von 'B P , so folgt: 'B P ~ R (Die Einzelheiten hierzu findet man z.B. bei E. HEWITT und K. STROMBERG [1], (10.23), (10.25).) Wir betten C vermbge x f--> (x, 0, ... , O)t ein in den lR.P und erhalten fur jedes p 2': 1 eine Lebesguesche Nullmenge Cp mit C p ~ R Wegen lR. ~ lR.P ist C p ~ lR.P und damit q::J(Cp ) ~ q::J(lR.P ). Da )..P : ~P --> lR vollstiindig ist, existiert also eine Surjektion von ~P auf q::J(lR. P ). Der Satz von SCHRODER und BERNSTEIN (s. E. HEWITT und K. STROMBERG [1], (4.7)) liefert nun ~P ~ q::J(lR.P ), also ~P ~ q::J(lR.). Nach einem beruhmten Satz von CANTOR kann keine Menge M bijektiv auf q::J(M) abgebildet werden. Wegen 'B P ~ lR., ~P ~ q::J(lR.) ist daher 'B P ~~p. D Korollar 8.6 wurde schon von LEBESGUE ([1], S. 212-213) in seiner These bewiesen. 4. Die Cantorsche Funktion. 8.7 Beispiel. Es gibt eine wachsende stetige Funktion F : lR. --> lR. mit folgenden Eigenschaften: a) FI]- 00,0] = 0, FI[I, 00[= 1, und fur aile n 2': 0, k = 1, ... , 2n ist Flln,k konstant. b) F(C) = [0,1]. c) In allen Punkten x E lR. \ C ist F differenzierbar mit F'(x) = O. d) )..p(C) = 1, )..p(lR. \ C) = O. Beweis. Wir setzen FI] - 00,0] := 0, FI[I, 00[:= 1. Zuniichst beschreiben wir FI[O,I] \ C anschaulich wie folgt: Es sei Fllo,l := d.h. gleich dem arithmetischen Mittel aus den niichstgelegenen links und rechts schon vorhandenen Funktionswerten. Induktiv wird nun F in jedem der beim n-ten Schritt der Konstruktion von C entfernten mittleren Drittel In,k (k = 1, ... , 2n) gleich dem arithmetischen Mittel aus den niichstgelegenen links und rechts schon vorhandenen Funktionswerten gesetzt. Durch stetige Fortsetzung erweitern wir F dann auf ganz R Zur priizisen Definition von F auf [0,1] gehen wir etwas anders vor und definieren F zuniichst auf C. (Nachtriiglich macht man sich dann klar, daB die folgende Definition von F mit der obigen anschaulichen Beschreibung ubereinstimmt.) Es sei x E C. Dann hat x genau eine Entwicklung der Form x = 2:;;:1 (2Xk) . 3- k mit Xk E {O, I}, und wir definieren: F(x) := 2:~=1 Xk . 2- k . Dieses ist mit den schon erfolgten Festlegungen F(O) = 0, F(I) = 1 vertriiglich. Ferner ist F(C) = [0,1]' denn jedes y E [0,1] hat eine dyadische Entwicklung. Wir zeigen, daB FIC wachsend ist: Dazu seien x, y E C, x < y, x wie oben, y =
!,
74
II. Inhalte und MaBe
L~l (2Yk) . 3- k mit Yk E {O, I} und q:= min{k EN: Xk
0< Y - x
# yd.
Dann ist
=
2(Yq - Xq) . 3- q + 2· L (Yk - Xk) ·3- k k=q+l
::;
2(Yq - Xq) . 3- q + 2· L 3- k = 2(Yq - x q)· 3- q + 3- q . k=q+l
Wegen Yq - Xq = ±1 folgt Yq = 1, Xq = 0. Daher ist q-l
F(x)
L
q-l
00
Xk . 2- k
k=l
+
L Xk' Tk ::; L Xk . Tk k=q+l k=l
q-l
LYk' 2- k
+
L 2- k k=q+l
00
+ 2- q ::;
k=l
LYk' 2- k = F(y) ,
k=l
d.h. FIC ist wachsend. Wir setzen F durch F(x) := sup{F(y) : Y E C, Y ::; x} (x E [0,1]) auf ganz ~ fort. Da FIC wachst, ist die letztere Definition mit der Festlegung von FIC vertraglich. Nun ist F : ~ ~ ~ wachsend, und es gelten a), b), c), also ist F auch stetig. Weiter ist AF(~ \ C) = AF([O,IJ \ C) = L::'=o L~:l AF(In,k) = und AF(C) = AF([O, 1]) = 1. 0
°
Wir nennen F die Cantorsche Funktion zu Ehren von G. CANTOR ([IJ, S. 255), auf den diese Konstruktion zuriickgeht. - Deutet man Malle auf ~ als Massenverteilungen, so hat das Mall AF die merkwiirdige Eigenschaft, daB es stetig verteilt ist und seine ganze Masse auf die Lebesguesche Nullmenge C konzentriert hat. Es gibt sogar streng wachsende stetige Funktionen G : ~ ~ lR, die Massenverteilungen beschreiben, deren gesamte Masse auf eine Lebesguesche Nullmenge konzentriert ist. 8.8 Beispiel. Es sei (Jan, bn Dn2:1 eine Abzahlung der Menge aller offenen Intervalle von ~ mit rationalen Eckpunkten, und mit der Cantorschen Funktion F sei G : ~ ~ ~, G(x) := L::'=l Fn(x), wobei F n (X):=2- n F(x-a n ) (XE~). bn - an Gist stetig, da die Reihe gleichmaBig auf ~ konvergiert. Ferner ist G streng wachsend: Seien x, Y E ~, x < y. Dann gibt es a, bE tQl mit x ::; a < b ::; Y; es sei etwa Ja, b[=Jak, bd. Dann ist G(y) - G(x) 2: FdY) - Fk(X) = 2- k > 0, also ist G streng wachsend. Die endlichen MaBe AG und L::'=l AFn stimmen auf J iiberein. Nach dem Eindeutigkeitssatz 5.6 ist AGI93 = (L::'=l AFn) 193. Es sei weiter Cn := {an + (bn - an)x : x E C} das zu [an,bnJ (statt [0,1]) gehOrige Cantorsche Diskontinuum. Dann ist 2n F n die zugehorige Cantorsche Funktion und A( Cn) = 0, AFn (~ \ Cn) = O. Die Menge N := U::'=l Cn ist nun eine in ~ dichte Fu-Menge mit A(N) = 0 und AG(~\N) = L::'=l AFn (~\N) = 0; AG(~) = 1. Wegen
°
1#
strenger Monotonie von Gist aber AG(I) > fUr jedes Intervall I c ~ mit 0. Die Funktion G beschreibt also ein Map, bei welchem sich die Gesamtmasse 1 auf eine Lebesguesche Nullmenge konzentriert, so dap dennoch jedes Intervall positiver Lange ein positives Map hat.
Aufgaben 8.1. Konstruieren Sie zu jedem e > 0 eine nirgends dichte perfekte Menge K C [O,IJ mit A(K) > 1 - e. (Hinweis: Konstruktion des Cantorschen Diskontinuums.)
8.2. Es gibt eine magere Menge A C
~
und eine Lebesguesche Nullmenge N C
~
mit
§ 8. Das Cantorsche Diskontinuum
75
JR = Au N. (Bemerkung: Nach einem beriihmten Satz von BAIRE hat in jedem vollstandigen metrischen Raum X jede magere Teilmenge A c X ein in X dichtes Komplement (s. z.B. HEWITT und STROMBERG [1], (6.54)). Daher ist N dicht in JR.) 8.3. Konstruieren Sie eine F.,.-Menge A C [0,1]' so daB fiir jede nicht-leere offene Menge C [0,1] gilt < A(A n U) < A(U). (Anleitung: Es seien (In)n2:1 eine Abzahlung der abgeschlossenen Teilintervalle von [0,1] mit rationalen Endpunkten und A1 C heine nirgends dichte perfekte Menge positiven MaBes (s. Aufgabe 8.1). Es gibt eine nirgends dichte per-
°
U
fekte Menge B1 C h \A1 mit A(B1) > O. Sind Al, ... ,An-1,B1, ... ,Bn- 1 (n ~ 1) schon als disjunkte nirgends dichte perfekte Mengen positiven MaBes gewahlt, so daB Ak C h und Bk C h \ Ak fiir k = 1, ... , n - 1, so enthalt In \ (A1 U ... U An- 1 U B1 U ... U Bn- 1) ein Intervall, und die Konstruktion laBt sich fortsetzen. A := U~=l Ak leistet das Verlangte.)
°eine F.,.-Menge A JR mit A(A) < c, so daB fiir jede °< A(A n U) < A(U). (Hinweis: Aufgabe 8.3.)
8.4. Konstruieren Sie zu jedem c > offene Menge U C JR mit U io 0 gilt
C
8.5. Zu jedem a E [0,2] gibt es x, y E G mit x + y = a. (J .E. NYMANN: The sum of the Cantor set with itself, L'Enseignement Math., II. Ser., 39, 177 f. (1993) bestimmt fiir jedes
a
E
[0.2] die Anzahl der (x, y)
E
G x G mit x
+y =
a.)
8.6. Es seien F: JR ---> JR die Cantorsche Funktion und X,y E G, x < y, F(x) = F(y). Dann gibt es ein n ~ und ein j E {1, ... , 2n} mit lx, y[= In,j. (Hinweis: Beweis der Monotonie von FIG in Beispiel 8.7.)
°
8.7. Es seien a := log 2/log 3 und F : JR ---> JR die Cantorsche Funktion. Zeigen Sie: Fiir alle X,y E [0,1] gilt IF(x) - F(y)1 :<::: 21x - YI"'. (Hinweis: Stetigkeitsbeweis von FIG in Beispiel 8.7.) 8.8. Es sei F : JR ---> JR die Cantorsche Funktion. a) Berechnen Sie die Riemannschen Integrale J; F(x) dx, J;/3 F(x) dx. b) Es sei "( : [0,1] ---> JR2, ,,((x) := (x, F(x))t fiir x E [0,1]. Die Kurve "( ist rektifizierbar. Bestimmen Sie die Bogenlange von "(.
°
8.9. Es seien < c < 1 und 10 ,1 das offene Intervall der Lange ~ mit dem Mittelpunkt ~. Aus [0,1] \ 10 ,1 entferne man 21 Intervalle der Lange 2- 3 . c, so daB 22 gleich lange Intervalle iibrigbleiben, und so fort. Insgesamt werden auf diese Weise abzahlbar viele disjunkte offene Intervalle der Gesamtlange c aus [0,1] entfernt; iibrig bleibt eine nirgends dichte perfekte Menge K C [0,1] vom MaB 1- c. Zu K konstruiere man die Cantorsche Funktion G. G(x) dx. a) Berechnen Sie das Riemannsche Integral b) Es sei "( : [0,1] ---> JR2, ,,((x) := (x, G(x))t fiir x E [0,1]. Zeigen Sie: "( ist rektifizierbar. Bestimmen Sie die Bogenlange von "(.
J;
8.10. Konstruieren Sie eine Funktion f : [0,1] ---> JR, so daB die Menge D der Unstetigkeitsstellen von f das Lebesguesche MaB hat und so daB fiir jedes Teilintervall J C [0, 1] mit
°
lio 0 der Durchschnitt J n D iiberabzahlbar ist. (Hinweis: Es sei G
1 C [0,1] das Cantorsche Diskontinuum. Fiir jedes der offenen Intervalle von [0,1] \ G1 bilde man das entsprechende Cantorsche Diskontinuum; es sei G2 die Vereinigungsmenge dieser Diskontinua. Die induktive Fortsetzung dieser Konstruktion liefert eine Folge (Gn )n;::l disjunkter Mengen. Es seien
D :=
U:'=l Gn
und f(x) := 2- n fiir x E Gn (n E N), f(x) :=
°fiir x E [0,1] \ D.)
8.11. Versieht man D := {0,1} mit der diskreten Topologie, so ist G homiiomorph zum
II. Inhalte und MaBe
76
abzahlbaren topologischen Produkt D:;. FaBt man hier Dais zyklische Gruppe auf, so ist DrY eine kompakte abelsche topologische Gruppe, d.h.: C tragt die Struktur einer kompakten abelschen topologischen Gruppe (s. Beispiel VIII.3.2).
§ 9.
Metrische auBere MaBe und Hausdorff-MaBe "Urn die Existenz von meBbaren Mengen darzulegen, fahren wir jetzt eine vierte Eigenschaft des auBeren MaBes ein: IV. Sind Ai und A2 zwei Punktmengen, deren Entfernung (j ¥ 0 ist, so soli stets 1£*(Ai u A2) = 1£* (Ad + 1£*(A2) sein." (C.
CARATHEODORY
[2], S. 259)
1. Metrische auBere MaBe. In diesem ganzen Abschnitt sei (X, d) ein metri-
scher Raum. Fur A,B eX, A 1- 0, B 1- 0 bezeichnen d(A,B):= inf{d(x,y): x E A, y E B} den Abstand von A und B, d(x,A) := d({x},A) den Abstand des Punktes x E X von A und d(A) := sup{d(x, y) : x, yEA} den Durchmesser von A; d(0) := O. - Der folgende Begriff geht zuruck auf C. CARATHEODORY [2], S. 259.
9.1 Definition. Das auBere MaB 7) : >:P(X) -+ lR heiBt ein metrisches iiujJeres MajJ, wenn fUr alle A, Be X, A 1- 0, B 1- 0 mit d(A, B) > 0 gilt (9.1 )
7)(A U B) = 7)(A)
+ 7)(B) .
9.2 Beispiel. Es seien ([ C >:P(X) irgendein Mengensystem mit 0 E ([ und p: ([ -+ [0,00] eine Funktion mit p(0) = O. Fur A eX, (j > 0 setzen wir
wobei wieder inf 0 := 00. Im Beweis des Fortsetzungssatzes 4.5, a) haben wir schon bemerkt, daB 7)0 ein iiujJeres MajJ ist. Die Funktion (j H 7)o(A) ist fallend; wir setzen
(9.3)
7)(A) := sup 7)0 (A) 0>0
(A c X) .
Fur An C X und alle (j > 0 ist dann 7)0 (U:::'=l An) ::; 2::::::'=1 7)0 (An) ::; 2::::::'=l7)(An), also 7) (U:::'=l An) ::; 2::::::'=1 7)(An), und 7) ist als iiujJeres MajJ erkannt. Es seien nun A, B eX, A 1- 0, B 1- 0 und d(A, B) > O. Zum Nachweis von (9.1) braucht nur noch 7)(A U B) ::::: 7)(A) + 7)(B) gezeigt zu werden. Dabei
77
§ 9. Metrische auBere MaBe
k6nnen wir gleich 1](A U B) < 00 annehmen. Es seien 0 < J < d(A, B) und C n E 1 in Uberdeckungen (An)n2:1 von A, (Bn)n2:1 von B, und es folgt L:;"=1 p(Cn) ~ 1]o(A) + 1]o(B), also 1]o(A U B) 2:: 1]o(A) + 1]0 (B) , 1](A u B) 2:: 1](A) + 1](B). Ergebnis: 1] ist ein metrisches iiuperes Map. (Dagegen braucht 1]0 kein metrisches auBeres MaB zu seinj s. Aufgabe 9.2.) Fur X = JRP liefert die vorangehende Konstruktion bei spezieller Wahl von
9.3 Satz. Sind X ein metrischer Raum und 1] : ~(X) ---+ lR ein iiuperes Map, so gilt ~(X) c 2l7J genau dann, wenn 1] ein metrisches iiuperes Map ist.
Beweis. 1st (9.4)
~(X) C ~,
so gilt fUr aIle Q
1](Q) = 1](Q n G)
c X und aIle offenen G c X:
+ 1](Q n GC).
Es seien nun A,B eX, A -=1= 0, B -=1= 0 und 0 < J < d(A,B). Dann ist G := {x EX: d(x, A) < J} eine offene Menge mit A c G, B c GC, und (9.4) mit Q := Au B liefert (9.1). Sei nun umgekehrt 1] ein metrisches auBeres MaB. Es genugt zu zeigen, daB jede abgeschlossene Menge A eX, A -=1= 0 1]-meBbar ist. Fur M C AC und n E N set zen wir Mn := {x EM: d(x, A) 2:: ~}. Fur aIle Q eXist dann nach (9.1)
1](Q) 2:: 1]((Q n A) u (Q n AC)n) = 1](Q n A) + 1]((Q n AC)n). Es bleibt zu zeigen: Fur aIle M C AC mit limn --+ oo 1](Mn) < 00 gilt limn--+oo 1](Mn) 2:: 1](M). Zu diesem Zweck setzen wir Pn := Mn+1 \ Mn und beachten: Sind die im folgenden auftretenden Mengen nicht leer, so ist d(Mn' M n M~+1) 2:: l/n(n+l), also d (U~=1 P2k , P2n+2) > 0, und (9.1) liefert induktiv 1] (U~=1 P2k ) = L~=11](P2k). Diese Gleichung ist auch richtig, wenn gewisse Pn leer sind. Analog ist 1] (U~=o P2k +1) = L~=o 1](P2k +1) , und wegen limn--+oo 1](Mn) < 00 folgt:
L:;"=11](Pn) < 00. Nun ist M = Mn U U~n Pk (n EN), denn A ist abgeschlossen, also 00
1](M) :::; 1](Mn)
+L
1](Pk) (n E N) .
k=n Hier konvergiert die Folge der Reihenreste fUr n ---+ Behauptung.
00
gegen 0, und es folgt die 0
9.4 Beispiel. Wir wenden die Konstruktion aus Beispiel 9.2 an auf X = lR, d(x, y) = Ix - yl (x, y E lR) und wahlen als
II. Inhalte und MaDe
78
2. Hausdorff-Malle. Es seien weiter X ein metrischer Raum, e: die Menge der A c X mit d(A) < 00 und p(A) := d(A)" (A E e:; a > fest). Dann liefert die Konstruktion aus Beispiel 9.2 die auBeren MaBe
°
(9.5)
h,,(A) := suph",o(A)
(9.6)
(A
c X).
0>0
Wir nennen ha das a-dimensionale iiujiere Hausdorff-Maji; fiir a = 0 ist ho gleich dem Zahlmail zu setzen. - Offenbar andert sich h",o(A) nicht, wenn man zusatzlich die An aile als abgeschlossen voraussetzt. Eine bijektive Abbildung - : £ ---+ lR und des LebesgueBorelschen MaBes (3 := >-1'.l3· 1m Faile des ~p geht die Definition von ha zuriick auf F. HAUSDORFF: Dimension und iiujieres Maji, Math. Ann. 79, 157-179 (1919). Den Namen "a-dimensionales auBeres MaB" fiir h" rechtfertigt HAUSDORFF durch den Nachweis, daB fiir a = 1, 2,p wenigstens bei den einfachsten Mengen A der Wert h,,(A) bis auf einen (von p abhangigen) konstanten Faktor mit den iiblichen Ausdriicken fiir Lange, Flache, Volumen iibereinstimmt. Fiir a = 1 zeigen wir das in Satz 9.9 und fiir a = p in Satz III.2.9 und Satz V.1.16. Fiir eine ausfiihrliche Diskussion des Hausdorff-MaBes und verwandter MaBe verweisen wir auf H. FEDERER [IJ, C. DELLACHERIE [1], P. MATTILA [IJ und C.A. ROGERS [IJ. - Ein weiteres Ziel der HAUSDORFFschen Arbeit besteht in der Ausdehnung des Dimensionsbegriffs auf nicht ganzzahlige Werte von a; s. dazu Aufgabe 9.3. 3. Rektifizierbare Kurven. Eine Kurve ist eine stetige Abbildung 'Y : [a,bJ ---+ ~p eines kompakten Intervalls [a, bJ C ~ in den W. Die Bogenliinge Lb) von 'Y ist definiert als das Supremum der Langen aller 'Y einbeschriebenen Streckenziige:
Lb) := sup
{~II'Y(tk) -
'Y(tk-I)11 : a = to < h < ... < tn = b} ,
und 'Y heiBt rektijizierbar, falls Lb) < 00. In letzterem Fall ist auch 'Y1[u, vJ (a:S u :S v :S b) rektifizierbar, und fiir a :S u :S v :S w :S b gilt Lbl[u, vJ) + Lbl[v, wJ) = Lbl[u, wJ). 9.5 Satz. lst'Y : [a, bJ ---+
~p
rektijizierbar, so ist I: [a, bJ ---+
~,
I(t) := Lbl[a, tJ) (t E [a, bJ)
stetig. Beweis. Es seien a e, so daB
< e :S b und to > 0. Dann gibt es Zwischenpunkte a = to < tl < ... < tn I(e) :S
f
11'Y(tk) - 'Y(tk-IlII
=
+ ~.
k=l
Wegen der Stetigkeit von "( existiert ein 8 EJO,e - tn-d, so daB 11"((t) - "((e)11
<
~
fiir aile
§ 9. Metrische auBere MaBe t
E
79
[e - 0, e]. Fiir aile t E [e - 0, e] ist nun
l(e)
::;
t
1I,(tk) -,(tk-dll
+~
k=l
n-l
::; L III(tk) -,(tk-l)11 + III(t) -,(tn-dll + III(e) -,(t)11 + ~ ::; l(t) +
10,
k=l d.h. I ist in e linksseitig stetig. Entsprechend zeigt man die reehtsseitige Stetigkeit. 1st, : [a, b] --> lRP eine Kurve, so bezeichne Eine injektive Kurve heiBt einfaeh.
b]
:=
0
,([a, b]) die Spur (Wertemenge) von ,.
9.6 Korollar. 1st, : [a, b]--> lRP eine einfache rektijizierbare Kurve, so ist I: [a, b]--> [0, L(r)]
streng monoton wachsend und bijektiv. Beweis. 1st I nicht streng monoton wachsend, so ist ll[c, d] fiir geeignete c, d mit a ::; e konstant. Dann ist aber auch ,I [c, d] konstant.
< d ::; b 0
9.7 Lemma. 1st, : [a, b] --> lRP eine rektijizierbare Kurve, I wie in Satz 9.5 und 1) das aujlere Lebesgue-Majl auf,+!(lR), so gilt jilr alle E c [a, b]:
insbesondere ist h1(b]) ::; L(r). Beweis. Es seien daB
10
> 0, 0> O. Dann existiert eine Folge (In)n:,::l in J mit I(E)
L >..(In) ::; 1)(I(E)) +
10,
>..(In) < 0 (n
E
C U~=l
In, so
N).
n=l
Die 1ntervalle I n := 1-1 (In) iiberdecken E, also gilt ,(E) C U~=l,(Jn)' und es ist sup {11I(u) -,(v)11 : u,v E I n } ::;
sup {Il(u) -1(v)1 : u, v E I n} ::; >..(In)
< O.
Damit resultiert h1,o(r(E)) ::; L~=l d(r(Jn)) ::; L~=l >..(In) ::; 1)(I(E)) Behauptung. 9.8 Lemma. Fur jede K urve , : [a, b]
-->
+ 10,
und es folgt die 0
lRP gilt
Beweis. Es seien 10 > 0, 0 > O. Dann existiert eine endliche oder unendliche Folge von offenen Mengen An mit [,] c Un2:1 An , d(An) ::; 0 + c/2 n+1 und Ln2:1 d(An) ::; h1,o([,]) + c. Wegen der Kompaktheit von b] reichen endlich viele der An zur Uberdeckung von [,] aus, d.h. wir konnen gleich annehmen, daB nur endlich viele AI, . .. , AN vorliegen. Wir wahlen wie folgt eine Teilmenge von {AI,"" AN} aus: Es sei U1 eine dieser Mengen mit ,(a) E U1. 1st ,(b) i U1, so sei Tl := sup{t E [a, b] : ,(t) E U1} und U2 E {AI,"" AN} so gewahlt, daB ,(Td E U2. 1st auch ,(b) i U2, so sei T2 := sup{t E [a, b] : ,(t) E U2} und U3 E {AI,"" AN} so gewahlt, daB ,(T2) E U3, und so fort. Das ergibt eine "Kette" U1, ... , Urn mit ,(a) E U1 , ,(b) E Urn, Uk n Uk+1 oF 0 fiir k = 1, ... , m - 1. Wir setzen to := a, t", := b und wahlen to < tl < ... < t", mit ,(tj) E Uj n Uj+l (j = 1, ... ,m -1). Damit erhalten wir den Streckenzug ,(a) = ,(to), ,(tIl, ... "(t,,,) = ,(b), dessen Gesamtlange hOchstens gleich
80 d(UI )
II. Inhalte und MaBe
+ ... + d(Um )
ist, und es folgt N
Ih(b) -')'(a) II ::::
L d(An) :::: hl,o([')']) +
E.
n=l
o 9.9 Satz. Fur jede einfache rektijizierbare Kurve ')' : [a, b]
-->
IRP ist Lb) = hI ([')']).
Beweis. Es seien a = to < tl < ... < tn = b und 'Yj:= 'Y1[tj-l,tj] (j = 1, ... ,n). Dann ist nach Lemma 9.8 n
L 11')'(tj) j=1
'Y(tj-l)II ::::
L hd[')'j]) = hl([,),D, j=1
denn ')' ist einfach. Es folgt Lb) :::: hI ([')'D, und Lemma 9.7liefert die umgekehrte Ungleichung.
o Eine Verallgemeinerung von Satz 9.9 ftir den Fall nicht einfacher Kurven findet man bei H. FEDERER [1], S. 177, Theorem 2.10.13. Nach C. JORDAN ist die Spur jeder rektijizierbaren Kurve ')' : [a, b] --> IRP eine ,\P-Nullmenge (s. Gaul's d'analyse, Bd. 1, 2. Aufi. S. 107, § 112); allgemeiner ist h,,(['YD = 0 ftir alle a> 1 (s. Aufgabe 9.6). Dagegen gibt es durchaus stetige Kurven "I : [a, b] --> IR2 mit ,\2(["1]) > 0, denn nach G. PEANO existiert z.B. eine stetige Abbildung von [0,1] auf [0, eine sog. PeanoKurve (s. z.E. G. PEANO, Math. Ann. 36, 157-160 (1890); D. HILBERT, Math. Ann. 38, 459-460 (1891); F. HAUSDORFF [1], S. 369 ff.; W. SIERPINSKI [1], S. 52-66; S. auch W. SIERPINSKI [1], S. 99-119, wo auf S. 116-117 ein Versehen von HILBERT korrigiert wird). Von H. HAHN und S. MAZURKIEWICZ (1888-1945) wurde sogar gezeigt: Eine Menge M E IRP ist genau dann stetiges Bild des Einheitsintervalls, wenn M kompakt, zusammenhangend und lokal zusammenhangend ist (s. H. HAHN [2], S. 164 ff.). - Eine Peano-Kurve ist aber niemals einfach. Eine einfache Kurve "I: [a,b]--> IR2 nennt man einen lordan-Bogen; ist ,),(a) = ')'(b) und "I I [a, c] einfach ftir alle a < c < b, so heiBt ')' eine (geschlossene) lordan-Kurve. Ein lordanBogen ist also das homoomorphe (d.h. das bijektive und in heiden Richtungen stetige) Bild eines kompakten Intervalls; eine Jordan-Kurve ist das homoomorphe Bild einer Kreislinie. Es gibt lordan-Bogen und lordan-Kurven ')' mit ,\2([')']) > O. Auf diese bemerkenswerte Tatsache weist erstmals H. LEBESGUE in seiner These ([1], S. 219) hin. Entsprechende Beispiele findet man bei H. LEBESGUE ([4], S. 29-35), W.F. OSGOOD (1864-1943; S. Trans. Am. Math. Soc. 4,107-112 (1903)), F. HAUSDORFF ([1], S. 374 f.) und bei J.R. KLINE (Amer. Math. Monthly 49,281-286 (1942)). K. KNOPP (1882-1957) verdankt man ein Beispiel eines Jordan-Bogens "I: [a,b]--> IR2, so daB fUr jeden Teilbogen gilt: ,\2([')'1 [c,d]]) > 0 (a:::: c < d:::: b); S. Arch. Math. Phys. (3) 26, 109 f. (1917). Beztiglich neuerer Literatur tiher einfache Jordan-Bogen positiven FlachenmaBes S. H. SAGAN [1], chap. VIII und K. STROMBERG, S. TSENG: Simple plane arcs of positive area, Expo. Math. 12,31-52 (1994). Notwendige und hinreichende Bedingungen daftir, daB eine kompakte Menge M C IR2 Teilmenge der Spur eines Jordan-Bogens ist, werden von R.L. MOORE und J.R. KLINE (Ann. Math. (2) 20, 218-223 (1918-1919)) angegeben. - Jordan-Bogen')': [a,b] --> emit ,\2([')'D > 0 dienen in der Theorie der Approximation im Komplexen zur Konstruktion eines Kompaktums K c C von der Gestalt eines
IF,
K
"Schweizer Kases mit inneren Punkten", so daB nicht jede auf K stetige und auf holomorphe Funktion darstellbar ist als gleichmaBiger Limes einer Folge rationaler Funktionen (s. z.B. D. GAIER: Vorlesungen uber Approximation im Komplexen, Basel-Boston-Stuttgart: Birkhauser 1980, S. 104 ff.).
4. Kurzbiographie von F. HAUSDORFF. FELIX HAUSDORFF wurde am 8. November 1868 in Breslau geboren, wuchs in Leipzig auf, studierte Mathematik und Astronomie in Leipzig, Freiburg und Berlin und promovierte 1891 mit einer Arbeit tiber astronomische Refraktion. Nach seiner Habilitation (1895) lebte HAUSDORFF als Privatdozent in Leipzig. Ais Sohn wohlhabender Eltern war er nicht auf eine bezahlte Stellung angewiesen und konnte sich seinen
§ 9. Metrische ¨außere Maße
81
vielseitigen wissenschaftlichen und k¨ unstlerischen Interessen widmen. Hausdorff verkehrte damals viel unter K¨ unstlern und Literaten und ver¨offentlichte unter dem Pseudonym Dr. Paul Mongr´e philosophische und literarische Werke; seine 1904 erschienene zeitkritische Farce Der Arzt seiner Ehre wurde 1912 mit Erfolg aufgef¨ uhrt. Nach seiner Ernennung zum a.o. Professor in Leipzig (1901) erhielt er erst 1910 einen Ruf auf ein Extraordinariat an der Universit¨at Bonn, 1913 einen Ruf als Ordinarius nach Greifswald; 1921 folgte Hausdorff einem Ruf auf ein Ordinariat an der Universit¨ at Bonn. Wegen seiner j¨ udischen Abstammung wurde Hausdorff Ende M¨ arz 1935 auf Grund des von der nationalsozialistischen Regierung erlassenen Gesetzes u ¨ber die Entpflichtung und Ver” setzung von Hochschullehrern aus Anlaß des Neuaufbaus des deutschen Hochschulwesens“ emeritiert; er stand in seinem 66. Lebensjahr. Als sensibler Mensch registrierte er sehr wohl die Anzeichen der kommenden Katastrophe. Seine letzten Lebensjahre waren u ¨ berschattet von st¨andiger Angst und zunehmender Vereinsamung. Um der bevorstehenden Deportation in ein Konzentrationslager zu entgehen, schied Hausdorff am 26. Januar 1942 gemeinsam mit seiner Frau und seiner Schw¨agerin aus dem Leben. Sein umfangreicher mathematischer Nachlaß konnte fast vollst¨andig gerettet werden; Teile davon wurden von G. Bergmann unter dem Titel Nachgelassene Schriften (Stuttgart: Teubner 1969) herausgegeben. Die Vorlesungen zum Gedenken an Felix Hausdorff herausgegeben von E. Eichhorn und E.-J. Thiele [1] und der von E. Brieskorn [1] herausgegebene Gedenkband unterrichten u ¨ ber Hausdorffs Leben und Werk und die Zeitgeschichte. Hausdorffs Gesammelte Werke sind auf 9 B¨ ande veranschlagt und erscheinen ab 2001 im Springer-Verlag. Hausdorff war ein ungew¨ohnlich vielseitiger und scharfsinniger Mathematiker. Er begann als Astronom, wechselte dann zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, zur Geometrie und etwa ab 1900 zur Mengenlehre (einschl. Topologie), wobei seine außermathematische Publikationst¨atigkeit zur¨ uckging. Seine intensive Besch¨aftigung mit der Mengenlehre wurde durch die pers¨onliche Bekanntschaft mit G. Cantor zutiefst beeinflußt. Im Sommersemester 1901 hielt Hausdorff die wohl weltweit zweite Vorlesung u orern. (Im Win¨ ber Mengenlehre – vor drei H¨ tersemester 1900/01 hatte bereits E. Zermelo in G¨ottingen vor sieben H¨ orern die weltweit erste Vorlesung gehalten, die ausschließlich die Mengenlehre behandelte.) Weitere Arbeitsgebiete von Hausdorff waren Maßtheorie, Summabilit¨atstheorie, Theorie der Fourier-Reihen und Algebra. Als ein Werk von mathematikhistorischer Bedeutung wird heute sein Buch Grundz¨ uge der Mengenlehre (Leipzig: Veit & Comp. 1914; Reprint: New York: Chelsea Publ. Comp. 1949, 1965) angesehen. In meisterlicher Darstellungskunst, eleganter K¨ urze und wunderbarer Klarheit gab Hausdorff in diesem Werk nicht nur eine vorz¨ ugliche Darstellung der abstrakten Mengenlehre, sondern auch zum ersten Male eine Einf¨ uhrung in die Theorie der topologischen und der metrischen R¨aume bis hin zur Lebesgueschen Maß- und Integrationstheorie. In diesem Buch findet man das Hausdorffsche Maximalit¨atsprinzip (ein zum Zornschen Lemma und zum Auswahlaxiom ¨aquivalentes Maximalit¨ atsprinzip), die Hausdorffschen Umgebungsaxiome, insbesondere das Hausdorffsche Trennungsaxiom aus der Theorie der topologischen R¨aume, den Hausdorffschen Satz von der Unl¨osbarkeit des Inhaltsproblems im Rp (p ≥ 3) und den ersten vollst¨andig korrekten Beweis von Borels starkem Gesetz der großen Zahl. In einem Brief vom 13.5.1926 schrieb der bekannte russische Topologe P.S. ¨ Alexandroff (1896–1982) an Hausdorff: ... Ubrigens merke ich bei meiner jetzigen Vor” lesung in G¨ottingen, daß ich Ihre erste Auflage bereits auswendig zitiere (so dirigieren gute Dirigenten z.B. die Beethovenschen Symphonien auch ohne Partitur!)...“ Die zweite Auflage von Hausdorffs Buch erschien unter dem Titel Mengenlehre (Leipzig: W. de Gruyter 1927), eine dritte, erweiterte Auflage 1935 (Reprint: New York: Dover 1944; engl. Ausg. New York: Chelsea Publ. Comp. 1957, 1962); hierbei handelte es sich gegen¨ uber der ersten Auflage praktisch um ein neues Buch, in dem insbesondere die Theorie der analytischen Mengen und die Bairesche Klassifikation der Funktionen eine Darstellung fanden. – Mit dem Namen Hausdorff verbunden sind weiter die Hausdorff-Maße, die Hausdorff-Dimension, das Summationsverfahren der Hausdorffschen Mittel, das Hausdorffsche Momentenproblem und die Baker–Campbell–Hausdorffsche Formel aus der Theorie der Lie-Algebren. – Im Eingang des Mathematischen Instituts der Universit¨at Bonn, Wegelerstr. 10 befindet sich eine Gedenktafel mit der Inschrift:
II. Inhalte und MaBe
82
An dieser Universitat wirkte 1921-1935 der Mathematiker FELIX HAUSDORFF 8.11.1868-26.1.1942. Er wurde von den Nationalsozialisten in den Tod getrieben, weil er Jude war. Mit ihm ehren wir alle Opfer der Tyrannei. Nie wieder Gewaltherrschaft und Krieg! Aufgaben. 1m folgenden sei (X, d) ein metrischer Raum. 9.1. Es seien TJ : s:jJ(X) --7 iR ein metrisches auBeres MaB und
rp(A) .,p(A)
.- inf{TJ(B): B ::) A, B E .- inf{TJ(B): B::) A, B E
Dann sind rp,.,p metrische auBere MaBe, und fiir alle A
rp(A)
= inf{ rp(B)
: B ::) A}, .,p(A)
~l)}, ~(X)}
(A
c X).
c X gilt
= inf{ .,p(B) : B
::) A}.
9.2. In der Situation des Beispiels 9.2 brauchen nicht alle offenen Teilmengen von X TJ/jmeBbar zu sein. Insbesondere ist TJ/j nicht notwendig ein metrisches auBeres MaB.
9.3. 1st A c X und h,,(A) < 00, (3 > a, so gilt h~(A) = o. Es gibt also ein eindeutig bestimmtes 8(A) ~ 0, so daB h,,(A) = 0 fur a > 8(A) und h,,(A) = 00 fiir a < 8(A); dieses 8(A) heiBt die Hausdorff-Dimension von A. a) Fiir jedes A c JRP gilt 8(A) ::; p.
51#
b) Fiir jedes A C JRP mit 0 gilt 8(A) = p. c) Fiir jede einfache rektifizierbare Kurve 'Y ist 8(['Y]) = 1. (Es gibt jedoch stetige Funktionen f : [0, 1] --7 JR, deren Graph die Hausdorff-Dimension 2 hat; s. P. WINGREN: Concerning a real-valued continuous function on the interval [0,1] with graph of Hausdorff dimension 2, L'Enseignement Math., II. Ser., 41, 103-110 (1995) und Y.-Y. LIU: A function whose graph is of dimension 1 and has locally an infinite one-dimensional Hausdorff measure, C.R. Acad. Sci., Paris, Ser. I 332, 19-23 (2001).) d) Fiir An eX (n E N) ist 8 (U:::'=l An) = sup{ 8(An) : n EN}. e) Fiir jede abzahlbare Menge A eXist 8(A) = o. f) 1st A c JRP, 8(A) = 0, so gilt AP(A) = o. g) Fiir das Cantorsche Diskontinuum C c [0,1] gilt 8(C) = log2/log3. h) Zu jedem a E]O, 1[ existiert eine Menge A C [0,1] mit 0 < h,,(A) < 00, d.h. mit 8(A) = a (F. HAUSDORFF, Math. Ann. 79, 157-179 (1919)). werde in 9 Teilquadrate der Kantenlange 1/3 unteri) Das Einheitsquadrat Qo = [0, teilt. Man entferne aus Qo die vier Teilquadrate, die an die mittleren Drittel der Kanten von Qo angrenzen, so daB als Restmenge 5 abgeschlossene Teilquadrate der Kantenlange 1/3 iibrigbleiben, die an den Eckpunkten des zentralen Teilquadrats zusammenhangen. Induktiv entstehe Qn+l aus Qn, indem man auf jedes der 5n Teilquadrate von Qn entsprechend denQn. Zeigen Sie: 8(Q) = log 5/ log 3. selben TilgungsprozeB anwendet wie auf Qo; Q :=
IF
n:::,=o
9.4. Ist'Y : [a, b] --7JRP eine einfache rektifizierbare Kurve, so ist hl("((A)) = A(I(A)) fur alle
A
E ~I[a,b].
9.5. Ubertragen Sie die Ergebnisse des Abschnitts 3 auf (stetige) Kurven'Y : [a, b] --7 X. 9.6. Fiir jede rektifizierbare Kurve 'Y : [a, b] --7 JRP ist h,,(['Y]) = 0 fur aile a AP(['Y]) = 0, falls p ~ 2. (Hinweise: Lemma 9.7 und Satz III.2.9.)
> 1, und es gilt
Kapitel III MeBbare Funktionen «Pour passer de la definition de l'integrale d'apres Cauchy-Riemann it celIe que j'ai donnee, il suffit de remplacer les divisions de l'intervalle de variation de la variable par les divisions de l'intervalle de variation de la fonction.»l (H. LEBESGUE [7], S. 71) MeBbare Funktionen sind fur die Integrationstheorie von entscheidender Bedeutung, da als Integranden nur meBbare Funktionen vorkommen. Urn den Begriff der MeBbarkeit von Funktionen zu motivieren, erinnern wir kurz an den Begriff des Riemann-Integrals und stellen ihm die Ideen gegenuber, die Lebesgue zur Einfuhrung seines Integralbegriffs dienen. Wir betrachten eine beschrankte nicht-negative Funktion 1 : [a, b] ~ JR (a, b E JR, a < b). Zentrales Problem der Integralrechnung ist die Frage nach dem Flacheninhalt der Ordinatenmenge 0(/) := {(x, y)t E JR2 : a ::; x ::; b, 0 ::; y ::; I(x)}. Nach B. RIEMANN hat folgender Ansatz zur Lasung dieses Problems weite Verbreitung gefunden: Wir betrachten Zerlegungen Z : a = Xo < Xl < X2 < ... < Xn = b des Intervalls [a, b] und schachteln die Ordinatenmenge 0(/) von auBen dadurch ein, daB wir 1 im Intervall [Xj-l, Xj] durch das entsprechende Supremum von 1 ersetzen. Der FHicheninhalt dieser oberen Approximation des gesuchten Flacheninhalts ist gleich der Obersumme O(j, Z) :=
L
(sup{/(x) :
Xj-l ::;
x::;
Xj})· (Xj -
Xj-l) •
j=l
Dual dazu definieren wir eine untere Approximation durch die Untersumme U(/, Z) :=
L
(inf{/(x) :
Xj-l ::; X ::; Xj}) . (Xj -
Xj-l) .
j=l
Nun ziehen wir das Unterintegral von
Jb f(x) dx
:=
1
sup{U(f, Z) : Z Zerlegung von [a, b]}
-a
zur unteren und das Oberintegral
J
-b
/(x) dx := inf{O(f; Z) : Z Zerlegung von [a, b]} ----------I Urn von der Integraldefinition nach Cauchy-Riemann zu derjenigen uberzugehen, die ich gegeben habe, genugt es, die Unterteilungen des Definitionsintervalls der Funktion zu ersetzen durch Unterteilungen des IntervalIs, in dem die Werte der Funktion liegen.
J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 7. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-17905-1_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011
84
III. MeBbare Funktionen
zur oberen Approximation des gesuchten Flacheninhalts heran. Die Funktion f heiBt Riemannintegrierbar iiber [a, b], wenn das Oberintegral von f mit dem Unterintegral iibereinstimmt, und dann heiBt
i
b
-b
b
f(x) dx:= !/(X) dx = Lf(X) dx
das sog. "eigentliche" Riemann-Integral von f iiber [a, b]. Geometrisch dient dieses Integral zur Definition des Flacheninhalts der Ordinatenmenge von f. - Verzichtet man auf die Forderung der Nichtnegativitat von f, so bleibt die obige Definition des Integrals unberiihrt, nur die geometrische Interpretation lautet dann: Das Riemann-Integral miBt den mit Vorzeichen versehenen Flacheninhalt zwischen der "Kurve" Y = f(x) und der x-Achse, wobei die Flachen oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ zu zahlen sind. - Aus Griinden der historischen Korrektheit bemerken wir, daB RIEMANN selbst diesen Integralbegriff in seiner G6ttinger Habilitationsschrift 1854 nicht mit Hilfe von Ober- und Untersummen sondern mit Hilfe von Zwischensummen "L7=1 f(~j)(xj - Xj-I) (Xj-I:<:; ~j :<:; Xj , j = 1, ... , n) einfiihrt. Die zur Riemannschen Definition aquivalente Definition mit Hilfe von Ober- und Untersummen wird 1875 gleichzeitig unabhangig von J.K. THO MAE (1840-1921), G. ASCOLI (1843-1896), P. DU BOIS-REYMOND (1831-1889), H.J.S. SMITH (1826-1883) und G. DARBOUX (1842-1917) angegebenj die Begriffe "Oberintegral" und "Unterintegral" werden erst 1881 von V. VOLTERRA (1860-1940) eingefiihrt. Betrachten wir die obige Konstruktion des Riemannschen Integrals, so fallt auf, daB im ganzen Ansatz gar keine Riicksicht genommen wird auf den Graphen von f. Benutzt werden willkiirliche Zerlegungen Z, die in keiner Weise an den Graphen von f "angepaBt" zu sein brauchen, und diese k6nnen durchaus zu schlechten Approximationsergebnissen fiihren. Diese Beobachtung veranlaBt H. LEBESGUE, anstelle der Unterteilung der Abszissenachse eine Unterteilung der Ordinatenachse vorzunehmen, urn auf diese Weise eine bessere Anpassung an den Verlauf des Graphen von f zu erzielen: Es seien etwa 0 :<:; f < M(M > 0) und Y : 0 = Yo < YI < ... < Yn = Meine Unterteilung von [0, M]. Dann kann man den Flacheninhalt der Ordinatenmenge von f von unten approximieren durch die Lebesguesche Untersumme n-l Udf,Y):= LYjA({X E [a,b]: Yj:<:; f(x) < YHI}) j=O
und von oben durch die entsprechende Lebesguesche Obersumme n-l OL(f,Y):= LYj+1 A({x E [a,b]: Yj:<:; f(x)
< YHI}),
j=O
v 0 r a u s 9 e set z t , daB alle Mengen f-1([Yi>Yj+d) = {x E [a,b] : Yj :<:; f(x) < YHI} (j = 0, ... , n - 1) Lebesgue-meftbar sind. Funktionen mit dieser Eigenschaft nennt LEBESGUE ([2], S. 127) meftbare Funktionen. Es zeigt sich nun, daB praktisch alle Funktionen, mit denen man es in der Analysis iiblicherweise zu tun hat, wirklich meBbar sind. Zum Beispiel sind alle stetigen Funktionen meBbar, und Limites von punktweise konvergenten Folgen meBbarer Funktionen sind meBbar. Fiir beschrankte meBbare Funktionen ist es nun leicht, die Lebesguesche Integraldefinition anzugeben: 1st namlich c > 0 und die Unterteilung Y so fein, daB fiir den "Feinheitsgrad" von Y gilt maxj=o, ... ,n-l(Yj+1 - Yj) < c, so ist ersichtlich Odf, Y) - Udf, Y) < c(b - a). LaBt man nun Y eine Folge (y(k») k2:1 von Zerlegungen mit gegen 0 strebendem Feinheitsgrad durchlaufen, so konvergiert die zugeh6rige Folge der Lebesgueschen Ober- und Untersummen gegen einen gemeinsamen Grenzwert, der nicht abhangt von der Auswahl der Folge (y(k») k>1 j dieser Grenzwert heiBt das Lebesgue-Integral von f. Existiert das eigentliche Riemann-Integral von f, so auch das Lebesgue-Integral, und beide haben denselben Wert. Daher ist es legitim,
§ 1. MeBbare Abbildungen und BildmaBe
85
f:
auch das Lebesgue-Integral in der Form !(x) dx zu schreiben. - Dieser Zugang zum Integralbegriff wird 1901 von H. LEBESGUE in einer Note in den C.R. Acad. Sci. Paris 132, 1-3 (1901) vorgeschlagen; er hat sich heute in mannigfachen aquivalenten Formulierungen allgemein durchgesetzt. In einem Vortrag zieht LEBESGUE 1926 folgenden sehr anschaulichen Vergleich zwischen seinem Integralbegriff und dem Riemann-Integral (s. LEBESGUE [2], S. 358, [7], S. 72): «On peut dire encore qu'avec Ie procede de Riemann ... on operait ... comme Ie ferait un commerc;ant sans methode qui compterait pieces et billets au hasard de l'ordre ou ils lui tomberaient sous la main; tandis que nous operons comme Ie commerc;ant methodique qui dit: j'ai m(Ed pieces de 1 couronne valent 1 . m(Ed, j'ai m(E2) pieces de 2 couronnes valant 2· m(E2), j'ai m(E3) billets de 5 couronnes valant 5· m(E3), etc., j'ai donc en tout: S = 1 . m(Ed + 2· m(E2) + 5· m(E3) .... Les deux procedes conduiront, certes, Ie commerc;ant au meme result at parce que, si riche qu'i! soit, il n'a qu'un nombre fini de billets it compter; mais pour nous, qui avons it additionner une infinite d'indivisibles, la difference entre les deux fac;ons de faire est capitale.»2
§1.
Mefibare Abbildungen und Bildmafie
1. Me6bare Abbildungen. Wie oben bemerkt, heiBt eine Funktion j : [a,b] -+ lR mej1bar, wenn fUr jedes 1ntervaIl [a,,8[c lR gilt j-l([a,,8[) E ~l.
Es wird sich in Satz 1.3 zeigen, daB diese Bedingung gleichbedeutend ist mit "j-l(A) E ~l fUr aIle A E 1B1". Nun liegt es auf der Hand, wie man den MeBbarkeitsbegriff einzufUhren hat fUr Funktionen j : X -+ Y, wenn auf den abstrakten Mengen X, Y irgendwelche O"-Algebren vorgegeben sind: 1st 2l eine O"-Algebra tiber X, so nennen wir das Paar (X,2l) einen Mej1raum oder einen mej1baren Raum; die Mengen aus 2l heiBen mej1bare Mengen. (Dabei wird nicht vorausgesetzt, daB auf 2l ein MaB definiert sei. 1st zusatzlich /1 : 2l -+ lR ein MaB auf 2l, so heiBt (X, 2l, /1) ein Maj1raum.) 2Man kann auch sagen, daB man sich bei dem Vorgehen von Riemann verhalt wie ein Kaufmann ohne System, der Geldstiicke und Banknoten zahlt in der zufalligen Reihenfolge, wie er sie in die Hand bekommt; wahrend wir vorgehen wie ein umsichtiger Kaufmann, der sagt: Ich habe m(El) Miinzen zu einer Krone, macht 1· m(E1 ), ich habe m(E2) Miinzen zu zwei Kronen, macht 2· m(E2), ich habe m(E3) Miinzen zu fUnf Kronen, macht 5 . m(E3), usw., ich habe also insgesamt S = 1 . m(El) + 2· m(E2) + 5· m(E3) + .... Die beiden Verfahren fiihren sicher den Kaufmann zum gleichen Resultat, wei! er - wie reich er auch sei - nur eine endliche Anzahl von Banknoten zu zahlen hat; aber fUr uns, die wir unendlich viele Indivisiblen zu addieren haben, ist der Unterschied zwischen den beiden Vorgehensweisen wesentlich.
86
III. Me13bare Funktionen
1.1 Definition. Es seien (X, 21), (Y, 123) Me13raume. 3 Eine Funktion hei13t 21-SB-mejJbar oder kurz mejJbar, wenn gilt f-1(SB) C 21.
f : X --+ Y
Hier benutzen wir die Sehreibweise (1.2.5). - Sollen die zugrundeliegenden 0"Algebren ausdrtieklieh hervorgehoben werden, so sehreiben wir kurz f : (X,21) --+ (Y,SB). Der Begriff des MeBraumes ist ftir die MaBtheorie von iihnlicher Bedeutung wie der Begriff des topologischen Raumes in der Topologie: Bekanntlich ist eine Abbildung I : R -+ S des topologischen Raumes R in den topologischen Raum S genau dann stetig, wenn fUr jede offene Menge V c S das Urbild I-I (V) offen in R ist. Viele grundlegende Eigenschaften topologischer Riiume und stetiger Abbildungen haben nattirliche maBtheoretische Analoga, wenn man die Begriffe "offene Menge" und "stetige F'unktion" ersetzt durch "meBbare Menge" bzw. "meBbare Funktion".
1.2 Beispiele. a) Jede konstante Abbildung f : (X, 21) --+ (Y,SB) ist me13bar. b) 1st X c Y und j : X --+ Y, j(x) := x (x E X) die kanonisehe Inklusionsabbildung, so ist j : (X, 21) --+ (Y,SB) genau dann me13bar, wenn SBIX C 21. Insbesondere ist die identisehe Abbildung (X,21) --+ (X, 123) genau dann me13bar, wenn 123 C 21. e) Es seien X eine Menge, (Y,SB) ein Me13raum und f : X --+ Y eine Abbildung. Dann ist 21 := f- 1 (123) die bez. mengentheoretiseher Inklusion kleinste O"-Algebra Q.: tiber X, fUr welche f : (X, Q.:) --+ (Y,SB) me13bar ist. d) 1st f : (X, 21) --+ (Y, 123) eine Abbildung, so ki:innen wir die Bildmenge f(X) mit der Spur-O"-Algebra SBlf(X) ausstatten. Die Abbildung f : (X, 21) --+ (Y,SB) ist genau dann me13bar, wenn j : (X, 21) --+ (f(X), SBlf(X)) , j(x) := f(x) (x E X) me13bar ist. 1.3 Satz. Sind f : (X,21) --+ (Y,SB) eine Abbildung und <E C 123 ein Erzeuger von 123, so ist f genau dann 21-SB-mejJbar, wenn f-1(<E) C 21.
Beweis. 1st f-1(<E) C 21, so ist naeh Satz 1.4.4 aueh f-1(SB) = 0"(f-1(<E))
c
21. D
Wir nennen eine Abbildung f : W --+ ]Rq kurz Borel-mejJbar, wenn sie SBPSBq-me13bar ist. Allgemeiner hei13t eine Abbildung f : X --+ Y des metrisehen (oder topologisehen) Raumes X in den metrisehen (oder topologisehen) Raum Y Borel-mejJbar, wenn sie SB(X)-SB(Y)-me13bar ist.
1.4 Korollar. J ede stetige A bbildung f : X --+ Y eines metrischen (oder topologischen) Raumes X in den metrischen (oder topologischen) Raum Y ist Borel-mejJbar. Insbesondere ist jede auf einer Teilmenge A C W definierte stetige Funktion f : A --+]Rq Borel-mejJbar (d.h. (SBPIA)-SBq-mejJbar).
Beweis. Das System der offenen Teilmengen von Y erzeugt SB(Y). Ftir jede offene Menge V C Y ist f-1(V) E SB(X), und die erste Behauptung folgt aus 3In diesem Paragraphen bezeichnet '13 irgendeine o--Algebra tiber Y; die o--Algebra der Borelschen Teilmengen von lJl!. bezeichnen wir mit '13 1 .
§ 1. MeBbare Abbildungen und BildmaBe
87
Satz 1.3. Zum Beweis der zweiten Aussage bezeichne DP das System der offenen Teilmengen von JRP. Dann ist DPIA das System der (relativ) offenen Teilmengen 0 von A, und wir wissen aus Korollar 1.4.6, daB IB(A) = IBPIA. 1st speziell A E 'E P und 1 : A -t IRq stetig, so ist fur jede Menge B E 'E q das Urbild 1-1 (B) E 'E P . Dagegen braucht fur eine Borelsche Teilmenge C C A die Bildmenge 1(C) C IRq keine Borelsche Teilmenge des IRq zu sein. Diese Tatsache gibt Anlafl zur Einfiihrung der sag.
analytischen oder Suslinschen Mengen (s. z.B. BOURBAKI [7], Chap. IX, §6, COHN [1], S. 261 ff., CHRISTENSEN [1], DELLACHERIE [1], HAHN [2], Kapitel V, HAUSDORFF [2], HOFFMANNJORGENSEN [1], LUSIN [1], PARTHASARATHY [1], S. 15-22, ROGERS-JAYNE [1], SAKS [2], S. 47 ff.).
1.5 Satz. Sind (X,~), (Y, IB), (Z, Q:) MejJriiume und die Abbildungen f : (X,~) --+ (Y, IB), g : (Y, IB) --+ (Z, Q:) mejJbar, so ist auch gof : (X,~) --+ (Z, Q:) mejJbar.
Beweis. Fur jedes CEQ: ist g-l(C) E IB, also (gof)-l(C) = f-1(g-1(C)) E
~.
o 1.6 Beispiele. Die Funktion f = (iI, ... , fp)t : (X,~) --+ (JRP, IBP) sei meBbar. Die Norm II· I : JRP --+ JR, x f-7 Ilxll ist stetig, also Borel-meBbar. Daher ist auch Ilfll : (X,~) --+ (JR, 1B1) meBbar; insbesondere ist der Absolutbetrag jeder meBbaren komplexwertigen Funktion wiederum meBbar. - Die Projektionen prj: JRP --+ JR, prj(x) := Xj fUr x = (Xl, ... ,Xp)t E JRP sind stetig, also Borel-meBbar. Daher sind alle Komponenten iI, ... , fp : (X,~) --+ (JR, 1B1) von f meBbar. Auch die Funktionen JRP --+ JR, x = (Xl,"" Xp)t f-7 Xl + .. .+Xp bzw. X f-7 Xl' .. "xp sind stetig, also Borel-meBbar. Daher sind iI + ... + f p , iI····· fp : (X, ~) --+ (JR, 1B1) meBbar.
2. BildmaBe. Mit Hilfe meBbarer Abbildungen kann man MaBe "verpflanzen" und wie folgt den Begriff des BildmajJes einfUhren: 1.7 Satz. Es seien (X,~), (Y, IB) MejJriiume, f : (X,~) --+ (Y, IB) eine mejJbare Abbildung und f1 : ~ --+ lR ein MajJ auf~. Dann ist v : IB --+ lR, v(B) := f1(f-1(B)) (B E IB) ein MajJ auf IB; Bezeichnung: f(f1) := v. Man nennt f (f1) das BildmajJ von f1 bez. f. - 1st g : (Y, IB) --+ (Z, Q:) eine weitere mejJbare Abbildung, so gilt: (gof)(f1) = g(f(f1)) (Transitivitiit).
Beweis. v : IB --+ lR ist sinnvoll, da f meBbar ist. Zum Nachweis der 0"Additivitat von v sei (Bn)n>l eine Folge disjunkter Mengen aus lB. Dann ist (f-1(Bn))n?:1 eine Folge disj-;mkter Mengen aus ~ und
Zum Nachweis der Transitivitat sei A
E
Q:. Dann gilt:
III. MeJ3bare Funktionen
88
((gof)(p,))(A) = p,(J-l(g-l(A))) = (J(p,))(g-l(A)) = (g(J(p,)))(A) . D
Aufgaben. 1.1. Es seien (X, Qt), (Y,~) MeBriiume, X = U~=1 An mit disjunkten An E Qt, fn : An -> Y (n E N) und f: X --> Y, f(x) := fn(x), falls x E An (n EN). Zeigen Sie: f ist Qt-~-meBbar genau dann, wenn ftir jedes n E N die Abbildung fn : (An' QtIAn) -> (Y,~) meBbar ist. 1.2. Es seien (X, Qt, /-L), (Y,~, v) MaBriiume mit den Vervollstiindigungen (X, Qt, ji) bzw. (Y, (Y,~) meBbar, und ftir jede v-Nullmenge C E ~ sei /-LU- 1 (C)) = O. Zeigen Sie: Die Abbildung f : (X, Qt) --> (Y, (Y, J sei wachsend und surjektiv. Ferner sei F : J -> JR wachsend und rechtsseitig stetig. Zeigen Sie:
(Bemerkung: Die Konstruktion Lebesgue-Stieltjesscher MaBe liiBt sich ftir wachsende und auf
Jrechtsseitig stetige Funktionen G : I
--> JR sinngemiiB ebenso durchftihren wie in Kap. II. Dabei definiert man AG(]a, 13]) := G(f3) -G(a+O) flir la, 13] c I. 1st ferner a E Ilinker Eckpunkt von I, so setzt man AG([a,f3]) := G(f3) -G(a) flir 13 E 1,13 > a,AG({a}):= G(a+O) - G(a); analog bei b. Damit ist ein PriimaB AG auf JIll erkliirt, und das Fortsetzungsverfahren aus Kap. II liefert ein vollstandiges MaB AG auf einer a-Algebra QtG tiber I, wobei QtG :) ~III. In diesem Sinne sind hier AFogl(~IIJ) und AFI(~IIJ) definiert.)
1.4. Ftir jede wachsende und stetige Funktion F : I
->
JR gilt: F(AF )1(~IIF(I))
= All(~llF(I)).
1.5. Die wachsende Funktion F : [a, 13] -> [a, b] sei auf la, f3[ rechtsseitig stetig, a = F( a) , b = F(f3), und es seien g, G : [a, b] -> [a, 13] definiert vermbge
g(y) G(y) Dann ist G : [a, b]
.- inf{xE[a,f3]:F(x)2':Y} (a::O;y::O;b), .- g(y + 0) ftir a < y < b, G(a) := g(a) = a , G(b) ->
:=
13 .
[a, 13] wachsend und auf la, b[ rechtsseitig stetig. Zeigen Sie:
1.6. Es sei (X, Qt) ein MeBraum. Zwei Elemente x, y E X heiBen aquivalent (bez. Qt), wenn flir aile B E Qt gilt XB(X) = XB(y). Die Aquivalenzklassen bez. dieser Aquivalenzrelation heiBen Qt-Atome. - Zeigen Sie: 1st f : (X, Qt) -> (Y,~) meBbar und gilt {y} E ~ (y E Y), so ist f auf allen Qt-Atomen konstant. Insbesondere ist jede meBbare Funktion f : (X, Qt) -> (JRP, ~P) auf allen Qt-Atomen konstant. 1.7. Sind X, Y metrische Raume, f : X -> Y eine Abbildung und SeX die Menge aller Punkte, in denen f stetig ist, so ist Seine Go-Menge. 1.8. Es gibt keine Funktion f : JR -> JR, die in allen Punkten aus IQi stetig und in allen Punkten aus JR \ IQi unstetig ist. (Hinweis: IQi ist keine Go-Menge nach dem Satz von BAIRE; s. E. HEWITT, K. STROMBERG [1], (6.56).) 1.9. Das BildmaB eines a-endlichen MaBes braucht nicht a-endlich zu sein. 1.10. Ftir jedes x E I := [0,1] sei eine feste dyadische Entwicklung x = L:~=1 x n 2- n (x n E {O, I} (n EN)) ausgewahlt. Ferner seien 7f : N --> N eine Permutation und f : I --> I
§ 2. Bewegungsinvarianz des Lebesgue-MaBes
89
wie folgt definiert: Hat x E I die Entwicklung x = 2::::'=1 x n 2- n (x n E {a, I} (n EN)), so sei f(x) := 2::::'=1 x rr (n)2- n . Zeigen Sie: f : (I, 'B 111) -+ (I, 'BIll) ist meBbar, und fur
J1 := ,V 1('B 1 11) gilt f(J1) = J1.
§ 2.
Bewegungsinvarianz des Lebesgue-MaBes
Der Flacheninhalt einer meBbaren ebenen Punktmenge andert sich nicht, wenn man die Menge einer beliebigen Drehung oder Verschiebung unterwirft. Diese als Bewegungsinvarianz des Lebesgue-MaBes bezeichnete fundamentale Eigenschaft des Flacheninhalts ist bereits seit altester Zeit bekannt. Ganz klar ausgesprochen wird die Bewegungsinvarianz des Lebesgue-MaBes von LEBESGUE in seiner These, wo bei der Formulierung des MaBproblems gefordert wird ([1], S. 208): «Deux ensembles egaux ont meme mesure.» 4 Wir werden im folgenden die Bewegungsinvarianz des Lebesgue-MaBes beweisen und allgemeiner das Verhalten des Lebesgue-MaBes bei beliebigen invertierbaren affinen Abbildungen untersuchen. 1. Translationsinvarianz des Lebesgue-MaBes. Fur a E JR:P heiBt ta : W -+ W, ta(x) := x + a (x E W) die Translation urn a. Fur B c W setzen Wlr
B
+ a := ta(B)
=
{x
+ a: x
E B} , B - a := La(B) = {x - a : x E B} .
Mit (3P := )llIB P bezeichnen wir stets das Lebesgue-Borelsche MaB und mit ).P : £P -+ lR das Lebesgue-MaB.
2.1 Satz. Das Lebesgue-Borelsche MajJ (3P und das Lebesgue-MajJ ,AP sind translationsinvariant; d.h.: Fiir alle a E JR:P ist die Translation ta : JR:P -+ W sowohl IBP -IBP -mejJbar als auch £P -£P -mejJbar, und es gilt ta ((3P) = (3P , ta (>..P) = )...P; es ist also )...P(B + a) = ).P(B) fiir alle BE £P , a E JR:P .
Beweis. Die Translation ta ist stetig, also IBP-IBP-meBbar. sinnvoll. Fur aile c, dEW mit e ::; d ist t,:;l (]e, d]) =]e t a((3P)(]e, d]) = (3P(]e, d]). Die cr-endlichen MaBe ta((3P) und (3P dem Halbring JP uberein, und Korollar 11.5.7 liefert ta((3P) = uber ).P folgt nun aus Aufgabe 1.2.
Daher ist ta((3P) - a, d - a], also stimmen also auf (3P. Die Aussage 0
Das Lebesgue-MaE ist sogar das einzige translationsinvariante MaB p auf £P, das der Normierungsbedingung p(]O, I]P) = 1 genugt:
2.2 Satz. 1st p ein translationsinvariantes MajJ auflB P (bzw. £P) mit p(]O, I]P) = = (3P (bzw. p = )...P ).
1, so ist p 4 Je
zwei kongruente Mengen haben gleiches MaB.
III. MeBbare Funktionen
90
Beweis. Fur nl, ... , np E N betrachten wir das Gitter der Punkte (kdnl, ... , kplnp)t (0::; kj < nj fUr j = 1, ... ,p) und verschieben das Intervall I1f=ljO, 11nij um jeden dieser Gitterpunkte. Das ergibt die disjunkte Vereinigung
jO,ljP=
o~~nj (g]o,~J + (~>···,~:r)· j=l, ... ,p
Alle nl ..... np Mengen auf der rechten Seite haben wegen der Translationsinvarianz von p, gleiches MaB, und wegen p,(]O,ljP) = 1 folgt p, (I1f=ljO, 1lni]) = I1f=1 1ln i. Wenden wir nochmals die Translationsinvarianz von p, an, so folgt p,(I) = (3P(I) fUr alle 1 E J~. Nun liefern Korollar II.S.7 und Korollar II.6.S die Behauptungen. D 1m Beweis des Satzes 2.2 wurde sogar nur die Translationsinvarianz von p,IJ~ unter allen Translationen ta mit a E Q!' ausgenutzt, so daB sich der Satz entsprechend scharfer formulieren laBt. - Die Benutzung des halboffenen Intervalls jO,ljP in der Normierungsbedingung von Satz 2.2 ist unwesentlich, denn die Aussage gilt entsprechend mit [O,ljP (oder [0, l[P oder jO, l[P): 2.3 Korollar. 1st p, ein translationsinvariantes Map auf p,([0, 1jP) = 1, so ist p, = {3P (bzw. p, = )'.P).
~P
(bzw. £P) mit
Beweis. Mit a := p,(jO, 1jP) gilt wegen der Translationsinvarianz: 1 = p,([0, 1jP) ::; p,(j-1, 1jP) = 2P a, also a> 0. Das MaB v:= ~p, erfUllt nun die Voraussetzungen von Satz 2.2, also ist v = {3P (bzw. v = -XP). Wegen ~ = v([O, 1jP) = (3P([O, 1jP) = D 1 ist daher auch p, = {3P (bzw. p, = -XP). 2.4 Korollar. 1st p, ein translationsinvariantes Map auf a := p,([0, 1jP) < 00, so ist p, = a{3P (bzw. p, = a-XP).
°
~P
(bzw. £P) mit
Beweis. Fur a > erfUllt a- l p, die Voraussetzungen von Korollar 2.3, und die Behauptung ist klar. - Fur a = ist p,(]0, 1jP) = und p,(JRP) = p,
°
(u
gE'llP
(]O, 1jP +
°
g)) = L
p,(jO, 1jP) =
°,
gE'llP
d.h. p, = 0, und die Behauptung ist ebenfalls richtig.
D
Ohne die Normierungs- bzw. Endlichkeitsbedingungen werden Satz 2.2 und Korollar 2.3, 2.4 falsch, denn das ZahlmaB auf ~P (bzw. £P) ist offenbar translationsinvariant, aber kein konstantes Vielfaches von {3P (bzw. -XP). Fur jede (multiplikativ geschriebene) Gruppe G wird die Linkstranslation La : G -t G{a E G) erkliirt vermoge La{x) := ax. Ein fundamentaler Satz aus der Theorie der topologischen Gruppen besagt nun: Auf jeder lokal-kompakten Hausdorffschen topologischen Gruppe G gibt es bis auf einen positiven konstanten Faktor genau ein (links-)translationsinvariantes RadonMajJ J], i' 0, das auf der cr-Algebra der Borelschen Mengen von G erkliirt ist. Dieses MaB heiBt zu Ehren seines Entdeckers, des ungarischen Mathematikers A. HAAR (1885-1933),
91
§ 2. Bewegungsinvarianz des Lebesgue-MaBes
das Haarsche MafJ von G. Zum Beispiel ist (JP das Haarsche MaB auf der additiven Gruppe (lRP, +), und das ZahlmaB ist das Haarsche MaB auf (ZP, +). In Aufgabe 2.7 lernen wir das Haarsche MaB auf der multiplikativen Gruppe 8 1 der komplexen Zahlen vom Betrage eins kennen. Allgemein werden wir den Satz von der Existenz und Eindeutigkeit des Haarschen MaBes in Kap. VIII, § 3 beweisen.
2. Das BildmaB des Lebesgue-MaBes unter bijektiven affinen Abbildungen. Eine Abbildung 1 : IRP ---+ IRP heiBt affin, wenn es eine lineare Abbildung 9 : W ---+ W und einen Vektor a E W gibt, so daB 1(x) = g(x) + a (x E W). Dabei sind a = 1(0) und 9 eindeutig bestimmt, also ist die Definition det 1 := det 9 der Determinante von 1 sinnvoll. Eine affine Abbildung 1 : W ---+ Wist genau dann bijektiv, wenn det 1 -# ist.
°
2.5 Satz. Jede bijektive affine Abbildung £P -£P -mejJbar, und es gilt
1 ist sowohl '13 P-'13 P-mejJbar als auch 1(V) = 1det 11- 1 ).,p
.
Beweis. Die Stetigkeit von 1 impliziert die Borel-MeBbarkeit, und nach Aufgabe 1.2 genugt der Beweis fUr (3P. Wir schreiben 1 = ta 9 mit einer Translation ta(a E W) und 9 E GL (IRP). Da die Bildung von BildmaBen transitiv (Satz 1.7) und die Translationsinvarianz von (3P schon bekannt ist (Satz 2.1), brauchen wir nur noch zu zeigen: 0
(2.1)
Fur alle 9 E GL (W) ist g((3P)
= detgl- 1(3P . 1
Dazu seien 9 E GL (IRP) , B E '13 P , a E IRP. Dann ist
g((3P)(B - a) = (3P(g-l(B - a)) (3P(g-l(B) - g-l(a)) = (3P(g-l(B)) = g((3P)(B) , d.h. g((3P) ist translationsinvariant. Ferner ist g-l([O,l]P) kompakt, also g((3P) ([0, ljP) < 00. Nach Korollar 2.4 gilt also mit c(g) := g((3P)([O, ljP):
g((3P) = c(g )(3P .
(2.2) Es bleibt zu zeigen:
c(g) = Idetgl- 1
(2.3)
.
Diesen Nachweis fUhren wir in den folgenden drei Schritten (a)-b). (Aufgabe 2.1 eroffnet zwei andere Moglichkeiten, den Beweis zu erbringen.) (a) 1st 9 eine orthogonale lineare Abbildung, so liefert (2.2)
Es folgt c(g) = 1 = detgl-l, d.h. (2.3) ist fUr orthogonales 9 richtig. (Insbesondere ist damit der Satz fUr jede Bewegung 1 bewiesen.) ((3) Die Abbildung 9 E GL (W) werde bez. der kanonischen Basis {e1,' .. , ep } 1
III. MeBbare Funktionen
92
des ]RP beschrieben durch die Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen d1 , .•. , dp > O. Dann ist nach (2.2)
d.h. (2.3) gilt auch fUr "diagonales" g mit lauter positiven Diagonalelementen. (r) Es seien nun g E GL (W) beliebig und g* der adjungierte Endomorphismus von g. Zur positiv definiten Abbildung gg* gibt es eine orthogonale Abbildung v und eine positiv definite "diagonale" Abbildung d, so daB gg* = vd 2 v* (s. KOECHER [1], S. 195). Die Abbildung w := d- 1v*g ist orthogonal und g = vdw. Hier gilt offenbar Idet gl = det d. Daher liefert die Transitivitat der Bildung des BildmaBes nach (0:) und ((3) die Behauptung (2.3). 0 1st f eine bijektive affine Abbildung, so auch die Umkehrabbildung wir k6nnen Satz 2.5 auf f- 1 statt f anwenden. Dann folgt:
f- 1 , und
2.6 Korollar. Es sei f : W --+ W eine bijektive affine Abbildung. Dann ist filr jedes A E I)3P (bzw. £P) auch f(A) E I)3P (bzw. £P) und ),P (f (A) )
= Idet fl AP(A) .
2.7 Beispiel. Das von den Vektoren a1, ... ,ap E W aufgespannte Parallelotop
hat das Volumen
Beweis. Sind a1, ... , ap linear abhangig, so liegt P in einer Hyperebene, und die Behauptung folgt aus Beispiel 11.4.6. Sind a1, ... ,ap linear unabhangig, so ist die Matrix M = (a1,"" ap) invertierbar, P = M([O, l[P), und Korollar 2.6 0 liefert das Gewunschte. Bezeichnen wir mit G = Mt M = ((aj, ak) )j,k=l,oo.,p die Gramsche Matrix von a1,"" ap, so konnen wir die obige Formel auch in der Form
AP(P) = (detG)1/2 schreiben (vgl.
KOECHER
[1], S. 171).
3. Bewegungsinvarianz des Lebesgue-MaBes. Eine affine Abbildung f : --+ ]RP von der Form f(x) = u(x) + a (x E W) mit a E W und orthogonalem u : W --+ ]RP heiBt eine Bewegung. Bekanntlich ist f genau dann eine Bewegung, wenn fUr alle x, y E ]RP gilt Ilf(x) - f(y)11 = Ilx - yll (s. z.B. KOECHER [1], S. 173). Fur jede Bewegung fist I det fl = 1. Daher enthalt Satz 2.5 als Spezialfall die sog. Bewegungsinvarianz des Lebesgue-MajJes: ]RP
2.8 Korollar. Die MajJe (3P und AP sind bewegungsinvariant; d.h.: Jede Bewegung f : W --+ ]RP ist sowohl I)3P -I)3P -mejJbar als auch £P -£P -mejJbar, und es gilt: f(f3P) = f3P , f(A P ) = AP •
§ 2. Bewegungsinvarianz des Lebesgue-MaBes
93
Da mit f auch f- 1 eine Bewegung ist, erhalten wir: 1st f eine Bewegung und ~P (bzw. £P), so ist auch f(A) E ~P (bzw. £P) und >.P(f(A)) = >'p(A).
AE
Zusammenfassend steilen wir fest, dafi )'.P : £P -> i: "fast" eine Lasung des in Kap. I, § 1 formulierten MaBproblems ist. Einziger "Mangel" dieser Lasung ist nur, dafi der Definitionsbereich von >,P nicht ganz q3(JRP) ist. (Das werden wir in § 3 zeigen.) Die Frage, ob es bewegungsinvariante echte (MaB- )Fortsetzungen von >,P gibt, wurde schon 1935 von E. SZPILRAJN (der spater seinen Namen zu E. MARCZEWSKI (1907-1976) anderte) positiventschieden (Fundam. Math. 25,551-558 (1935)). Man hat sogar die Existenz bewegungsinvarianter Fortsetzungen von >,P mit sehr "groBen" Definitionsbereichen nachgewiesen. Um das zu prazisieren, fuhren wir folgende Begriffe ein: Ein Mafiraum (X,~, p,) heiBt sepambel, wenn es eine abzahlbare Menge 0 ein C E 0 ein C E . vom Gewicht 2' (c = Kardinalzahl von JR) konstruiert, und K. KODAIRA (1915-1997) und S. KAKUTANI (Ann. Math., II. Ser., 52, 574-579 (1950)) haben die Existenz einer translationsinvarianten Fortsetzung von>. vom Gewicht c nachgewiesen. S. KAKUTANI und J.C. OXTOBY (1910-1991) (Ann. Math., II. Ser., 52, 580-590 (1950)) haben sogar eine bewegungsinvariante Fortsetzung von>. vom Gewicht 2' konstruiert. Insbesondere gibt es also bewegungsinvariante nicht separable Fortsetzungen des Lebesgueschen MaBes. Nach E. HEWITT und K.A. Ross ([1], § 16) gelten entsprechende Resultate fiir kompakte metrisierbare topologische Gruppen (versehen mit dem Haarschen MaB) und fur nicht diskrete lokal-kompakte abelsche topologische Gruppen (Math. Ann. 160, 171-194 (1965)). Die Existenz bewegungsinvarianter Fortsetzungen von >,P veranlafite W. SIERPINSKI 1936 zu der naheliegenden Frage, ob es eine maximale bewegungsinvariante Fortsetzung von >,P zu einem MaB gibt. Eine endgiiltige Antwort auf diese schwierige Frage wurde erst 1985 von K. CIESIELSKI und A. PELC (Fundam. Math. 125, 1-10 (1985)) gegeben: Es gibt keine maximale bewegungsinvariante Fortsetzung von >,p. Wir haben oben die Frage diskutiert, inwieweit das Lebesgue-MaB das einzige (durch p,([O,I]P) = 1) normierte translationsinvariante Map auf £;P ist. Man kann auch fragen, ob >,P der einzige normierte translationsinvariante Inhalt auf £;P ist. Die Antwort ist negativ: Setzt man p,(A) := >.P(A) fur beschranktes A E £P und p,(A) := 00 fiir aile unbeschrankten Mengen A E £P, so ist p, ein bewegungsinvarianter normierter Inhalt auf £;P mit p, of >,p. Diese Feststellung veranlaBte S. RUZIEWICZ zu folgender raffinierteren Frage (s. S. BANACH [1], S. 67): Gibt es einen normierten bewegungsinvarianten Inhalt II auf dem Ring £;1: der beschrankten Lebesgue-meBbaren Teilmengen des JRP mit p, of >'PI£;I:? Entsprechend kann man fur die (p - 1)-Sphare Sp-1 := {x E JRP : Ilxll = I} (p ~ 2) die Frage nach der Existenz normierter rotationsinvarianter Inhalte p, stellen, die vom "natiirlichen" Lebesgue-Borelschen MaB (s. Aufgabe 2.7) verschieden sind. Beziiglich der Existenz solcher sog. Ruziewicz-Inhalte p, sind bemerkenswerte Resultate erzielt worden: Schon S. BANACH ([1], S. 66 ff.) bewies, daB auf JR1, JR2, Sl Ruziewicz-Inhalte existieren (s. auch S. WAGON [2]). Fur p ~ 3 existieren hingegen keine Ruziewicz-Inhalte auf Sp-1. Dieser Satz wurde fiir p ~ 5 bewiesen von G.A. MARGULIS (1946- ) (Monatsh. Math. 90, 233-235 (1980)) und von D. SULLIVAN (Bull. Am. Math. Soc., New Ser., 4,121-123 (1981)). Fiir p = 3,4 stammt das Resultat von V.G. DRINFEL'D (Funet. Anal. Appll8, 245-246 (1984)); der Beweis stiitzt sich auf die Jacquet-Langlandssche Theorie der automorphen Formen auf GL 2. Fiir die euklidischen Raume JRP mit p ~ 3 bewies G.A. MARGULIS (Ergodic Theory Dyn. Syst. 2, 383-396 (1982)), daB keine Ruziewicz-Inhalte auf £;1: (p ~ 3) existieren. Eine ausfuhrliche Diskussion der hier angesprochenen Probleme findet man bei S. WAGON [2] und bei P. DE LA HARPE und A. VALETTE (Asterisque 175 (1989)). Eine gut zugangliche Lasung des Problems von RUZIEWICZ gibt P. SARNAK: Some applications of modular forms. Cambridge: Cambridge University Press 1990. Ein weiteres mit Fragen der Bewegungsinvarianz zusammenhangendes klassisches Problem ist das Tarskische Problem der Quadmtur des Kreises (Fundam. Math. 7, 381 (1925)):
III. MeBbare Funktionen
94
Kann man eine (abgeschlossene) Kreisscheibe und ein Quadrat im ]R2 von gleichem Flacheninhalt in Endlich viele disjunkte pam'weise kongruente Mengen zerlegen? Von diesem Problem schrieb P. ERDOS (1913-1996): "If it were my problem I would offer $ 1000 for it - a very, very nice question, possibly very difficult." Das Tarskische Problem wurde erst unHingst von M. LACZKOVICH (J. reine angew. Math. 404, 77-117 (1990)) positiv entschieden, und zwar konnte LACZKOVICH sogar zeigen, daB man bereits nur mit Translationen als Bewegungen auskommt. Das Tarskische Problem ist hingegen nach wie vor offen, wenn man Zerlegungen in endlich viele disjunkte paarweise kongruente mejJbare Mengen verlangt. Einen Uberblick liber die Lasung des Tarskischen Problems findet man bei R.J. GARDNER und S. WAGON (Notices Am. Math. Soc. 36, No. 10,1338-1343 (1989)). Klirzlich hat M. LACZKOVICH (J. London Math. Soc. (2) 46, 58-64 (1992)) sogar gezeigt: Sind A,B c W zwei beschrankte konvexe Mengen mit '\p(A) = ).P(B) > 0, so kann man A derart in endlich viele disjunkte Teilmengen AI, ... ,An zerlegen, daB man nach Auslibung geeigneter Translationen auf AI, ... ,An eine disjunkte Zerlegung von B erhalt. Uber Fragen, die mit der Bewegungsinvarianz des Lebesgue-MaBes zusammenhangen, unterrichtet ein nlitzlicher Uberblicksartikel von K. CIESIELSKI (Math. Intell. 11, No.2, 54-58 (1989)). 4. Das p-diInensionale iiuflere Hausdorff-Mafl. Es seien hp das p-dimensionale auBere Hausdorff-MaB im ]RP und riP das auBere Lebesgue-MaB. 2.9 Satz (F. HAUSDORFF 1919). Es gibt eine Konstante !>'p EjO, 00[, so dajJ
Wegen der Bewegungsinvarianz des auBeren Hausdorff-MaBes bringt dieser Satz die Bewegungsinvarianz des Lebesgue-MaBes besonders deutlich zum Ausdruck. - Die Konstante !>'p werden wir in Satz V.1.16 bestimmen. Beweis von Satz 2.9. Es seien 15 > 0, W :=]0, 1jP. Durch Unterteilung der Kanten von W in n halboffene Teilintervalle der Lange lin erhalten wir eine Zerlegung von W in n P Teilwlirfel, die alle den Durchmesser -/pIn haben. Wahlen wir nun n > -/P115, so liefert Gl. (11.9.21) h p,8(W) <; pp12, also hp(W) <; ppI2 < 00. Ist andererseits (An)n:CI eine Uberdeckung von W mit d n := d(An) <; 15 (n EN), so wahlen wir eine abgeschlossene Kugel Kn vom Radius d n mit An C Kn und erhalten
n=l
n=l
also hp(W) 2: ().P(K1(0)))-1 > 0. Damit ist!>,p:= (hp(W))-1 EjO, 00[, und das MajJ !>'phpl'EP (s. Satz I1.9.3) ist normiert und translationsinvariant. Nach Satz 2.2 ist also I>phpl'EP = {3P. 1st nun A C W, 15 > 0, so gibt es zu jedem n E N eine offene Uberdeckung (Unklk>1 von A mit drUnk) <; 15 (k E N) und -
=
I)d(UnkW <; h p,8(A)
1
+ ;;; .
k=1 Flir M := n~=1
U%"=l Unk
E 'E P gilt nun A C M und
also h p,8(A) = h p,8(M). Zu I5 n = lin wahlen wir nun eine Borel-Menge Mn =:> A mit hp,l/n(A) = hp,l/n(Mn ) und set zen B := n~=1 Mn· Dann gilt B E 'E P und B =:> A. Sei nun 15 > 0. Wir wahlen n E N so groB, daB lin < 15 und erhalten
§ 2. Bewegungsinvarianz des Lebesgue-MaBes d.h. hp(B) = hp(A). Fur jedes A
c
~p
95
ist also
hp(A) = inf{hp(B) : B E IB P
,
B :::l A} ,
if(A) = inf{if(B) : B E IB P
,
B :::l A} .
und ebenso ist Da K,php und
rl
auf allen Borel-Mengen ubereinstimmen, folgt die Behauptung.
D
Der obige Beweis von Satz 2.9 benutzt nur das Verhalten des Lebesgueschen MaBes unter Translationen und unter Homothetien x t-t ax (x E W; a > 0). Damit erhalten wir einen weiteren Beweis von Korollar 2.8.
Aufgaben. 2.1. a) 1m AnschluB an Gl. (2.2) laBt sich der Beweis von Satz 2.5 alternativ wie folgt zu Ende fUhren: Die Abbildung c : GL (W) -+ ~x (~X := ~ \ {O}) ist ein Homomorphismus. Daher gibt es nach einem bekannten Satz aus der linearen Algebra (s. z.B. KOEcHER [1], S. 119) einen Homomorphismus cp : ~x -+ ~x, so daB c(g) = cp(detg) fur alle 9 E GL (~P). Bestimmen Sie cp, indem Sie c(g) fUr die linearen Abbildungen der Form (X1, ... ,Xp)t t-t (ax1,X2, ... ,Xp)t (a> 0), (Xl, ... ,xp)t t-t (-X1,X2, ... ,Xp)t berechnen. b) Fuhren Sie einen weiteren Beweis von (2.3) mit Hilfe einer Zerlegung von 9 in ein Produkt von Elementarmatrizen (s. z.B. KOECHER [1], S. 87). 2.2. Es seien al,' .. , a p
> 0 und E das Ellipsoid E:=
{x E ~p
:
xila~
+ ... + x;/a; < I}
Zeigen Sie: E ist Borel-meBbar und ,\P(E) = a1· ... · ap,XP(K1(0)). (Bemerkung: ,XP(K1(0)) wird in Beispiel V.lo8 berechnet.) 2.3. Betrachten Sie alle Parallelogramme, die eine vorgegebene Ellipse in der Ebene umfassen und mit jeder Seite beruhren. Welche dieser Parallelogramme haben den kleinsten Flacheninhalt? 2.4. Fur alle A, B E ~p mit ,XP(A) < 00 oder ,XP(B) < 00 gilt lim",->o ,XP(A n (B + x)) = ,XP(A n B). Die Endlichkeitsvoraussetzung ist nicht entbehrlich. (Bemerkung: Siehe auch Beispiel IV.3.14.) 2.5. Sind A,B E ~P, ,XP(A) > 0, ,XP(B) > 0, so enthalt A + B := {x + y : X E A, Y E B} ein Intervall. (Bemerkung: Diese Aussage besitzt eine Verallgemeinerung fUr lokal-kompakte topologische Gruppen; s. A. BECK et al., Proc. Am. Math. Soc. 9, 648-652 (1953).) 2.6. a) 1st G c ~p eine additive Untergruppe des W mit G E ~p , ,XP(G) > 0, so gilt G = W. b) Nach a) ist jede Lebesgue-meBbare additive Untergruppe G ~ ~p eine 'xP-Nullmenge. Eine solche Untergruppe kann durchaus gleichmachtig zu ~ sein, wie das folgende Beispiel (Fall p = 1) lehrt: Es sei G die von den Zahlen I:~=o anlO- n! (an E {O, 1, ... , 9} fur alle n 2': 0) erzeugte additive Untergruppe von !It Dann ist G gleichmachtig zu ~, Gist eine ,XI-Nullmenge, und Gist von erster Bairescher Kategorie. 2.7. Fur n 2': 2 seien sn-1 := {x E ~n : Ilxll = I} die (n - l)-Sphare und!2l n := IB n ls n- 1 = lB(sn-1). a) Es gibt ein endliches MaB J.tn # 0 auf !2l n , das in bezug auf die orthogonale Gruppe O(n) invariant ist (d.h. f(J.tn) = J.tn fur alle f E O(n)). b) Jedes endliche O(2)-invariante MaB auf!2l 2 ist ein nicht-negatives Vielfaches von J.t2. (D.h.: J.t2 ist das Haarsche MaB auf der kompakten multiplikativen Gruppe S1 = {z E IC : Izl = I}. - Es ist auch jedes endliche O(n)-invariante MaB auf !2ln ein nicht-negatives Vielfaches von J.tn; das folgt z.B. aus Korollar VIII.3.26.) 2.8. Es gibt ein translationsinvariantes MaB J.t : 123 1 -+ i:, welches nicht bewegungsinvariant ist
96
III. MeBbare Funktionen
(d.h. welches nicht invariant ist bez. der Spiegelung u : JR -+ JR, u(x) = -x (x E JR)). (Bemerkung: Nach Korollar 2.4, 2.8 ist jedes translationsinvariante MaB v auf ~l mit v([O, 1]) < 00 bewegungsinvariant. - Hinweise: Konstruieren Sie eine Borel-Menge C C [0,1], so daB fiir jede Folge (an)nEN reeller Zahlen gilt u(C) UnEN(C + an), und definieren Sie I1(A) := 0, falls zu A E ~l eine Folge (an)nEN reeller Zahlen existiert mit A C UnEN(C + an), und I1(A) := 00 anderenfalls. Die Menge Caller x E [0,1], die eine Entwicklung zur Basis 4 haben, in der die Ziffer 2 nicht vorkommt, leistet das Verlangte.)
ct
2.9. 1st (X,'.2l,I1) u-endlich und hat '.2l einen abzahlbaren Erzeuger, so sind (X,'.2l,I1) und (X,2t,jL) separabel. Insbesondere sind (llil.P,~P,,BP) und (n~.p,£P,AP) separabel.
EA
2.10. Fiir jede konvexe Menge A C JRl' mit 0 gilt A= U~2 (1 - to) A, also AP(A) = AP(A). Das liefert einen weiteren Beweis fiir Korollar 11.7.8 und Satz II.7.7. 2.11. 1st al, ... , ap E JRP eine Basis des JRl', so heiBen JRP, al, ... , ap eine Z-Basis von r und
r
:=
Zal
E!) ••• E!)
Zap ein Gitter im
°: ;
+ ... Apap : Aj < 1 , j = 1, ... ,p} ein Fundamentalparallelotop von r. P ist ein Vertretersystem der Nebenklassen aus JRP Ir. a) AP(P) hat unabhangig von der Wahl der Z-Basis von r stets denselben Wert, und dieser P := {AlaI
ist gleich Idet(al, ... ,ap)l. b) Fiir R -+ 00 gilt
I{x
E
r: Ilxll ::; R}I
=
APl~~~)) RP + O(RP-l) .
(Zur Erinnerung: Sind /, 9 : [a,oo[-+ C zwei Funktionen, so bedeutet ,,/(t) = O(g(t)) fiir 00" definitionsgemiiB, daB 1/(t)1 ::; Clg(t)1 fiir alle t 2: to mit geeignetem C > 0, to 2: a.) c) Es seien ME £P und AP(Mn (M + g)) = 0 fiir alle 9 E r, 9 # o. Dann ist AP{M) ::; AP{P). d) 1st K c JRl' eine kompakte Menge mit AP{K) 2: AP(P), so gibt es x, y E K, x # y mit x - y E r (H.F. BLICHFELD (1914)). e) Aussage d) wird schon fiir p = 1 falsch, wenn "kompakt" durch "abgeschlossen" ersetzt wird. f) Es sei C C JRP eine kompakte, konvexe und bez. symmetrische (d.h x E C ==> -x E C) Menge mit AP{C) 2: 2PAP(P). Dann gibt es ein x E C n r mit x # 0 (Gitterpunktsatz von H. MINKOWSKI (1896)). (Hinweis: d).)
t -+
°
§ 3.
Existenz nicht meBbarer Mengen
1. Nicht Lebesgue-me6bare Mengen und UnlOsbarkeit des MaBproblems. Zum Nachweis der Existenz nicht Lebesgue-meBbarer Teilmengen des W benutzen wir folgenden Ansatz, der auf G. VITALI ([1], S. 231-235) zuriickgeht: Wir nennen x, y E jRP aquivalent genau dann, wenn x - y E Q! ist. Damit ist eine Aquivalenzrelation auf W erkHirt. Die zugehOrigen Aquivalenzklassen sind genau die Nebenklassen der additiven Gruppe jRP nach der Untergruppe Q!. Nach dem sog. Auswahlaxiom5 der Mengenlehre k6nnen wir aus jeder .Aqui5 Auswahlaxiom.
1st !m eine nicht-Ieere Menge von nicht-Ieeren Mengen, so existiert eine
§ 3. Existenz nieht meBbarer Mengen
97
valenzklasse ein Element (einen Vertreter) auswahlen und die Menge M dieser Vertreter betraehten. (VITALI 1905). Fur jedes Vertretersystem M von W /Q!' gilt M ~ £P. Insbesondere ist £P~~(W).
3.1 Satz
Beweis. Angenommen, es sei M E £P. Ware ),P(M) > 0, so ware naeh Satz I1.7.6 die Menge M - Meine Umgebung von 0, enthielte also ein Element r E Q!' mit r oF 0 im Widersprueh zur Wahl von M. Daher folgt ),P(M) = 0, also aueh ),P (M + r) = 0 fUr alle r E Q!'. Das heiBt aber: W = UrEIQi' (M + r) ist als abzahlbare Vereinigung Lebesgueseher Nullmengen selbst eine Lebesguesehe Nullmenge: Widersprueh! D
Satz 3.1 laBt die Mogliehkeit offen, daB vielleieht nur deshalb M ~ £P ist, weil der Definitionsbereieh von ),P ungesehiekterweise zu eng gewahlt wurde. Das ist aber nieht der Fall, wie der folgende Satz 3.2 lehrt. 3.2 Satz. Es seien G eine abziihlbare dichte additive Untergruppe von W und M ein Vertretersystem von W / G. Ferner sei p, : 21 ---+ iR ein bez. G translationsinvariantes MafJ auf der a-Algebra 21 uber W, wobei £P C 21, p,1£P = ),p. Dann ist M ~ 21, und es gibt keine Menge A E 21, A c M mit p,(A) > O. Beweis. Angenommen, es sei M E 21. Da G dieht ist im W, gibt es eine Basis gl, ... ,gp des W mit gl, ... ,gp E G. Wir betraehten das Gitter r = Zgl EB ... EB Zgp und das zugehOrige Fundamentalparallelotop P:= {AlgI
+ ... + ),pgp : 0 ::;
),j
< 1 fUr j = 1, ... ,p} .
Die Menge L := U'YEr( -'Y + (M n b + P))) c P ist ein Vertretersystem von W /G, und da 21 bez. G translationsinvariant ist und £P umfaBt, folgt L E 21. Wir fUhren dies zum Widersprueh: Wegen der Translationsinvarianz von p, und p, I£P = ),P ist zunaehst 00
= p,(JRP)
= p,
(U
(g
+ L))
=
gEG
L gEG
p,(g + L)
=
L p,(L) , gEG
also sieher p,(L) > O. Andererseits ist GnP abzahlbar unendlieh, und mit 2P := {2x : x E P} gilt
L gEGnp
p,(L) =
L gEGnp
p,(g + L)
= p,
(
U (g + L)) ::; p,(2P) = ),P(2P) <
00 ,
gEGnp
denn 2P ist Lebesgue-meBbar und besehrankt. Es folgt p,(L) = 0: Widersprueh! - Ebenso sieht man, daB aueh kein A E 21, A c M mit p,(A) > 0 existiert. D 3.3 Satz von Vitali (1905). Das MafJproblem ist unlosbar. Funktion f : !m ---+ UAE9Jl A, so dafl f(A) E A fiir aIle A E !m. - Intuitiv gesprochen, bewirkt ein solches f die simultane Auswahl eines Elements aus jeder der Mengen von !m.
98
III. Me£bare Funktionen
Beweis. Angenommen, es sei JL : \J3(lRP ) ---7 lR ein bewegungsinvariantes Ma£ mit JL([O, ljP) = 1. Dann liefert Korollar 2.4: JLI£P = )...P. Nun wahlen wir in Satz 3.2 G := QP und erhalten M 1. \J3(lRP ), was absurd ist. D 3.4 Satz. Jede Menge A mefJbare Teilmenge.
c
lRP mit rl(A)
>
0 enthiilt eine nicht Lebesgue-
Beweis. 1st M ein Vertretersystem von lRP /QP, so liefert die a-Subadditivitat des au£eren Ma£es:
rl(A) ::;
L 1l(A n (M + r)) . rEQP
Nach Satz 3.2 gilt fUr alle r E QP mit An (M +r) E £P notwendig )'..p(An (M + r)) = O. Waren also aIle Mengen An (M + r) (r E QP) Lebesgue-me£bar, so ware 'T/P(A) = 0 im Widerspruch zur Annahme. Folglich gibt es ein r E QP, so
da£An(M+r)1.£P.
D
Der Beweis der Existenz nicht Lebesgue-meBbarer Teilmengen des lEI. P beruht ganz wesentlich auf dem Auswahlaxiom, das erstmals 1904 von E. ZERMELO (1871-1953) ausgesprochen wurde. Das Auswahlaxiom war in der Entstehungsphase der axiomatischen Mengenlehre heftig umstritten, ahnlich wie z.B. das Parallelenaxiom in der Geometrie lange Gegenstand kontroverser Diskussionen war. Erst 1963 hat P.J. COHEN (1934-2007) bewiesen, daB das Auswahlaxiom von den iibrigen Axiomen der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre (ZF) unabhangig ist. H. LEBESGUE fand die Konstruktion nicht Lebesgue-meBbarer Mengen mit Hilfe des Auswahlaxioms wenig iiberzeugend. In einem Brief vom 16.2.1907 schrieb er an VITALI: «Ce mode de raisonnement idealiste n'a pas, it mes yeux, grand valeur. .. »6 Noch 1928 schrieb LEBESGUE in der zweiten Ausgabe seiner Le90ns sur l'integmtion [6] auf S. 114: «Je ne sais pas si l'on peut definir, ni meme s'il existe d'autres ensembles que les ensembles mesurables ... Quant it la question de l'existence d'ensembles non mesurables, elle n'a guere fait de progres depuis la premiere edition de ce livre. Toutefois cette existence est certaine pour ceux qui admettent un certain mode de raisonnement base sur ce que l'on a appele l'axiome de Zermelo».7 Eine ahnlich distanzierte Haltung zum Auswahlaxiom nahm E. BOREL ein. Er bezog in vielen Artikeln, die im dritten Band seiner rEuvres gesammlt sind, zu Grundlagenfragen der Mengenlehre Stellung, und in einer kurzen Note (rEuvres, Tome 4, S. 2409) bemerkte er 1923 lakonisch: «Le probleme de la construction effective d'ensembles non mesurables, sans l'emploi de l'axiome de M. ZERMELO, reste ouvert.»8 Dieses Problem wurde erst wesentlich spater gelost, als es gelang zu zeigen: Ohne Gebrauch des Auswahlaxioms ist es prinzipiell unmoglich, die Existenz einer nicht Lebesgue-meBbaren Teilmenge von lEI. nachzuweisen. Genauer hat R. SOLOVAY (Ann. Math., II. Ser., 92, 1-56 (1970)) bewiesen: Wenn es ein Modell von ZF gibt, in dem eine unerreichbare Kardinalzahl existiert, so gibt es auch ein Modell von ZF, in dem eine schwache Form des Auswahlaxioms, das sog. Prinzip der abhangigen Wahlen, gilt und in dem jede Teilmenge von lEI. LebesguemeBbar ist. Dabei heiBt eine Kardinalzahl '" unerreichbar, wenn jedes Produkt ItEl X, von 6Diese idealistische Art der Beweisfiihrung hat in meinen Augen keinen groBen Wert ... 7Ich weiB weder, ob man andere als meBbare Mengen definieren kann, noch ob solche Mengen existieren ... Was die Frage nach der Existenz nicht meBbarer Mengen betrifft, hat es seit der ersten Ausgabe dieses Buches keinen Fortschritt gegeben. Jedenfalls ist diese Existenz gesichert fiir diejenigen, die eine gewisse Art der Beweisfiihrung anerkennen, die auf dem sog. Axiom von Zermelo beruht. 8Das Problem der effektiven Konstruktion nicht meBbarer Mengen ohne Benutzung des Axioms von Herrn Zermelo bleibt offen.
§ 3. Existenz nicht mefibarer Mengen
99
Mengen X, mit IX,I < K, und mit einer Indexmenge I einer Machtigkeit III < K, selbst eine Machtigkeit < K, hat. Die Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl ist in ZF nicht beweisbar. Viele Logiker glauben, daB die Annahme der Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl mit ZF konsistent istj ein Beweis dafUr steht allerdings noch aus. Wenn man also bereit ist, das Auswahlaxiom aufzugeben - wozu wir wie die weitaus meisten Mathematiker natiirlich nicht bereit sind (!) - so ist es konsistent anzunehmen, daB jede Teilmenge von lR Lebesgue-meBbar ist. (Dabei wird vorausgesetzt, daB die Annahme der Existenz einer unerreichbaren Kardinalzahl mit ZF konsistent ist.) Das Ziel der Untersuchungen von SOLOVAY war natiirlich nicht, den Satz 3.1 von VITALI als falsch zu verwerfenj vielmehr sollte die Notwendigkeit des Auswahlaxioms fiir den Beweis der Existenz nicht Lebesgue-meBbarer Teilmengen von lR erkannt werden. SOLOVAY schreibt: "Of course, the axiom of choice is true, and so there are non-measurable sets." Einen gut lesbaren Uberblick iiber die Konsequenzen der iiblichen mengentheoretischen Axiome fiir die Lebesguesche MaBtheorie bieten J.M. BRIGGS und T. SCHAFFTER: Measure and cardinality, Amer. Math. Monthly 86, 852-855 (1979). Uber die Geschichte des Auswahlaxioms kann man sich mit Hilfe von G.H. MOORE [lJ umfassend informieren. 1m AnschluB an SOLOVAY wurden namentlich von S. SHELAH (1945- ) weitere tiefliegende Resultate iiber das MaBproblem erzieltj S. J. STERN: Le probleme de la mesure, Asterisque 121-122, 325-346 (1985)j J. RAISONNIER: A mathematical proof of S. Shelah's theorem on the measure problem and related results, Isr. J. Math. 48, 48-56 (1984). 2. Kurzhiographie von G. VITALI. GUISEPPE VITALI wurde am 26.8.1875 in Ravenna geborenj er starb am 29.2.1932 in Bologna. VITALI besuchte das Gymnasium in Ravenna und studierte 1895-96 in Bologna u.a. bei F. ENRIQUES (1871-1946) und C. ARZELA (1847-1917), anschlieBend 1897-98 in Pisa u.a. bei L. BIANCHI (1856-1928) und U. DINI (1845-1918). In Pisa schloB er eine dauerhafte Freundschaft mit seinem Mitstudenten G. FUBINI (1879-1943). VITALI war von 1899-1901 Assistent bei U. DINI und habilitierte sich 1902 an der Scuola Normale Superiore in Pisa. Aus wirtschaftlichen Griinden arbeitete er von 1904-1922 als Lehrer in Genua, anschlieBend als Professor 1922-25 in Modena, 1925-1930 in Padua, ab 1930 in Bologna. VITALI ist einer der Schopfer der modernen Theorie der reellen Funktionen. Er fiihrte 1904 den Begriff der absolut stetigen Funktion ein, der fiir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung von zentraler Bedeutung ist. Ferner wies er die Existenz nicht LebesguemeBbarer Teilmengen von lR nach, und er fiihrte den wichtigen Begriff der Vitalischen tiberdeckung ein, fUr den er den Vitalischen tiberdeckungssatz VII.4.2 bewies. Mit seinem Namen verbunden sind der Konvergenzsatz von VITALI VI.5.6 und ein Konvergenzsatz fUr Folgen holomorpher Funktionen. Da VITALI geraume Zeit in wissenschaftlicher Isolation arbeitete, iiberschneidet sich sein Werk z.T. mit Resultaten anderer Mathematiker, namentlich mit dem Werk von H. LEBESGUE (s. hierzu den Brief von LEBESGUE in VITALIS Opere, S. 457-460).
3. Weitere Beispiele nicht Lebesgue-meBbarer Mengen. 3.5 Beispiel. Es sei Beine Hamel-Basis von R., d.h. eine Basis des IQ-Vektorraums R.. Die Existenz einer solchen Basis zeigt man iiblicherweise mit Hilfe des sog. Zornschen Lemmas; S. z.E. W. GREUB: Linear algebra. 4th ed. BerlinHeidelberg-New York: Springer-Verlag 1975. Jede Lebesgue-meflbare HamelBasis von R. ist eine Lebesguesche Nullmenge (W. SIERPIl'~SKI [1], S. 323). (Beweis. Angenommen, es sei B E .£ eine Hamel-Basis von R. mit )..(B) > O. Nach Satz II.7.6 gibt es ein € > 0 mit J - €,€[e B - B. 1st nun a E B und r E IQ, 0 < ra < c, so gibt es b, c E B mit b - c = ra. Wegen b #- c widerspricht
III. MeBbare Funktionen
100
das der linearen Unabhangigkeit von B tiber Q. D) Man kann zeigen, daB Lebesgue-meBbare Hamel-Basen von IR vom MaBe 0 existieren und daB nicht Lebesgue-meBbare Hamel-Basen von IR ebenfalls existieren (s. z.B. H. HAHN und A. ROSENTHAL [1], S. 101-102). Es ist auch bekannt, daB keine Hamel-Basis von IR eine Borel-Menge ist (s. lac. cit., S. 102). Aber unabhangig von diesen Aussagen ergibt sich bereits allein aus der Existenz einer Hamel-Basis von IR die Existenz einer nicht Lebesgue-meBbaren Teilmenge von R Es seien Beine Hamel-Basis von IR , a E B und M := Span (B \ {a}), d.h. M:={trkbk:nEN, rI, ... ,rnEQ, b1, ... ,bnEB\{a}}. k=l
Dann ist M nicht Lebesgue-mefJbar (W. SIERPIl~"sKI [1], S. 324). (Beweis: 1st M Lebesgue-meBbar, so ist IR die disjunkte Vereinigung der abzahlbar vielen Mengen M + ra (r E Q), die alle Lebesgue-meBbar sind und das MaB >"(M) haben. Daher ist >"(M) > 0, und nach Satz 11.7.6 gibt es ein E > 0, so daB ra E M - M = M fUr alle r E Q , 0 < Irl < E: Widerspruch zur linearen Unabhangigkeit von B tiber Q! D) Ebenso sieht man: 1st Beine HamelBasis von IR und A i= 0 eine abzahlbare Teilmenge von B, so ist Span (B \ A) eine nicht Lebesgue-mefJbare Teilmenge von R 3.6 Beispiel. Wir definieren eine Relation M auf R Fur reelle x, y gelte (x, y) E M genau dann, wenn Ix - yl = 3k fur geeignetes k E Z. Sind x, y E JR, so nennen wir eine Folge (xo,xI), ... ,(Xn-l,Xn ) EMmit Xo = x, Xn = Y einen Weg der Lange n von x nach y. Einen Weg mit Xo = Xn nennen wir eine Zyklus. - 1st (xo,xI), ... ,(Xn-l,Xn ) ein Zyklus, so gilt Xv = Xv-l + ~v3kv mit ~v = ±1 und kv E Z (1/ = 1, ... , n). Wegen Xo = Xn folgt ~13kl + ... + ~n3kn = 0, also auch fUr jedes N E]\j
63 k1 +N
+ ... +~n3kn+N = o.
Fur hinreichend groBes N sind hier aile Exponenten positiv, d.h. es liegt eine Summe von lauter ungeraden ganzen Zahlen vor. Da die Summe verschwindet, muB die Anzahl der Summanden gerade sein. Ergebnis: Es gibt in M keinen Zyklus ungerader Lange. Wir fuhren nun eine Aquivalenzrelation Rein: (x, y) E R genau dann, wenn es einen Weg gibt von x nach y. Es seien Vein Vertretersystem der Aquivalenzklassen von R und U
.-
U {x E JR:
es gibt einen Weg ungerader Liinge von x nach a} ,
aEV
G
.-
U{x E JR:
es gibt einen Weg gerader Lange von x nach a} .
aEV
Dann ist GnU = 0, da es keinen Zyklus ungerader Liinge gibt, und G U U = JR. Fur aile x E JR gilt (x, x ± 3k ) EM, also G ± 3 k C U, U ± 3k C G (k E Z). Ware nun G E Z, so auch U E Z und A(G) > 0, A(U) > o. Nach Satz II.7.6 gibt es ein 8 > 0 mit G n (G + t) =F 0 fur aile t E JR mit It I < 8: Widerspruch zu G + 3k C U (k E Z) , GnU = 01 D 4. Existenz nicht meBbarer Mengen flir Lebesgue-Stieltjessche MaBe. Zerlegt man die wachsende rechtsseitig stetige Funktion F : JR --t JR gemiiB Satz 11.2.4 in F = G + H mit einer Sprungfunktion G und einer wachsenden stetigen Funktion H, so ist 2(p = 2(H, 2(c = q:l(JR) (Aufgabe II.4.4), so daB wir uns auf die Diskussion der O"-Algebren 2(p fur wachsendes stetiges F beschriinken kiinnen. Fur konstantes Fist 2(p = q:l(JR); fur aile nicht konstanten stetigen wachsenden Funktionen F: JR --t JR gilt hingegen 2(F~q:l(JR); mehr noch:
101
§ 3. Existenz nicht meBbarer Mengen
c
3.7 Satz. Es gibt eine Menge B Funktion F : JR ---+ JR gilt B if- QlF.
JR, so daft fur jede nicht konstante stetige wachsende
Der Beweis dieses Satzes erfordert einige Vorbereitungen. 3.8 Lelllllla. Zu jeder uberabziihlbaren Go-Menge A C JR gibt es eine nirgends dichte abgeschlossene Teilmenge C C A mit A(C) = 0, so daft eine stetige surjektive Abbildung f : C ---+ [0, 1] existiert.
Beweis. Es sei K C A die Menge aller Kondensationspunkte von A, d.h. die Menge aller a E A mit der Eigenschaft, daB fiir jede Umgebung U von a die Menge UnA iiberabzahlbar ist. Dann ist K i 0 und K enthalt keine isolierten Punkte, d.h. Kist perfekt. Wir schreiben nun A = n~=1 G n mit offenen G n C JR (n E N) und flihren folgende Konstruktion vom Cantorschen Typ durch: Es seien Ko, KI C JR zwei disjunkte abgeschlossene
t,
Ko
o
Intervalle mit Lange :s: so daB nK i 0, KI nK i 0, K U KI C GI . Sind fiir n E N die 2n disjunkten abgeschlossenen Intervalle Ki" ... ,i" (i l , ... , in E {O, I}) mit Lange :s: 3- n schon erklart, so daB das Innere jedes dieser Intervalle mit K einen nicht-Ieeren Durchschnitt hat und so daB aile Kil ,... ,i" in Gn enthalten sind, so wahlen wir Ki" ... ,i,,,i,,+, (in+1 E {O, I}) als disjunkte abgeschlossene Intervalle mit Lange:S: 3- n- l , so daB Kn Kil, ... i",in+1i 0 und Ki" ... ,i",i,,+l C G n + 1 n Ki" ... ,i", Da K C A keine isolierten Punkte enthalt, ist die induktive Konstruktion miiglich, und wir setzen
n u 00
C:=
n=l
K ll,""Z"
•
1,1, • . ,inE{O,l}
Dann ist C eine nirgends dichte perfekte Teilmenge von A. Flir jedes n E N gilt A(Cl :s: (2/3l n , also ist A(C) = 0. Zu jedem x E C gibt es eine eindeutig bestimmte Folge (inln>1 E {O,lY' mit x E Kil, ... ,i" flir aile n E N, und die Zuordnung x >-+ f(x) := L~=I i n 2- n E [O~ 1] definiert eine Surjektion von C auf [0, 1]. Fiir x,x ' E C n Kil, ... ,i" ist If(x) ~ f(x')1 :s: 2- n , also ist f auch stetig. 0
3.9 Lelllllla. Die Menge aller uberabziihlbaren abgeschlossenen Teilmengen von JR ist gleichmiichtig zu JR.
Beweis. Die Menge aller offenen Teilintervalle von JR mit rationalen Eckpunkten ist abzahlbar, und jede offene Teilmenge von JR ist Vereinigung offener Intervalle mit rationalen Eckpunkten. Daher gibt es hiichstens ( (= Kardinalzahl von JR) offene Teilmengen von JR, also auch hiichstens ( abgeschlossene Teilmengen von JR. Andererseits gibt es mindestens ( iiberabzahlbare abgeschlossene Teilmengen von JR. Nach dem Satz von SCHRODER und BERNSTEIN (s. E. HEWITT, K. STROMBERG [1], (4.7)) folgt die Behauptung. 0 Fiir den Beweis des folgenden Satzes von F. BERNSTEIN (1878-1956) beniitigen wir den Wohlordnungssatz: 1st Meine Menge und ,,:S:" eine Relation auf M, so heiBt ,,:S:" eine Ordnung auf M, falls fiir aile a, b, c E M gilt: (i) a :s: a (Refiexivitiit), (ii) a :s: b und b :s: a ==? a = b (Antisymmetrie) und (iii) a :s: b und b :s: c ==? a :s: c (Transitivitiit). Dabei wird nicht verlangt, daB je zwei Elemente von M vergleichbar sind, d.h. daB fiir aile a, b E M gilt a :s: b oder b :s: a. (Daher benutzen manche Autoren statt des Namens Ordnung den Namen Halbordnung.) Eine Ordnung heiBt eine Wohlordnung, wenn jede nicht-Ieere Teilmenge A von M ein kleinstes Element besitzt (d.h wenn ein a E A existiert mit a :s: x fiir aile x E A). Zum Beispiel ist die Menge N mit der iiblichen Relation ,,:S:" eine wohlgeordnete Menge; JR mit der iiblichen Relation,,:S:" ist dagegen nicht wohlgeordnet. In einer wohlgeordneten Menge M sind je zwei Elemente a, b vergleichbar, denn {a, b} c M hat ein kleinstes Element. Die Bedeutung des Begriffs der Wohlordnung beruht auf dem sog. Wohlordnungssatz, der schon von G. CANTOR vermutet und von E. ZERMELO bewiesen wurde. Wohlordnungssatz (E. ZERMELO 1904). Auf jeder Menge existiert eine Wohlordnung.
102
III. MeBbare Funktionen
Es ist bekannt, daB der Wohlordnungssatz auf der Basis der Axiome von ZF aquivalent ist zum Auswahlaxiom. Zum Beispiel folgt aus dem Wohlordnungssatz, daB auf IE. eine Wohlordnung existiert; man kann aber keine Wohlordnung von IE. "explizit angeben". (Literatur: C.H. MOORE [1].) 3.10 Satz (F. BERNSTEIN 1908).9 Es gibt eine Menge Be IE., so dajJ sowohl B als auch Be mit jeder uberabziihlbaren abgeschlossenen Teilmenge von IE. einen nicht-leeren Durchschnitt hat.
Beweis. Nach dem Wohlordnungssatz und Lemma 3.91aBt sich die Menge:F alIer iiberabzahlbaren abgeschlossenen Teilmengen von IE. indizieren mit Hilfe der Ordinalzahlen < TJ, wobei TJ die kleinste Ordinalzahl mit ( Vorgangern ist: :F = {F" : a < TJ}. Wir denken uns eine feste Wohlordnung auf IE. gegeben; diese induziert vermoge Restriktion auf jedem Element von :F eine Wohlordnung. Jede abgeschlossene Teilmenge von IE. ist ein Go. Daher hat jedes F E:F nach Lemma 3.8 die Machtigkeit c. Es seien aI, b1 die beiden (im Sinne der zugrundeliegenden Wohlordnung) kleinsten Elemente von F 1 , a2, b2 die beiden kleinsten von aI, b1 verschiedenen Elemente von F2, und so fort: 1st a < TJ und sind a(3, b(3 fiir aIle Ordinalzahlen (3 < a bereits definiert, so seien a", b" die beiden kleinsten Elemente von F" \ U(3<" {a(3, b(3}. Da Fa die Machtigkeit ( hat, wahrend a eine Kardinalzahl kleiner als chat, ist die letztere Menge nicht leer - sie hat sogar die Machtigkeit ( - , so daB aa, b" fiir aIle a < TJ definiert sind. Die Menge B := {a" : a < TJ} lei stet nun das Verlangte: 1st F C IE. eine iiberabzahlbare abgeschlossene Teilmenge von IE., so gibt es ein a < TJ mit F = F", und dann ist aa E B n Fund b" E Be n F. 0 Beweis von Satz 3.7. Die Menge B aus Satz 3.10 leistet das Verlangte: Es seien F : IE. -+ IE. stetig und wachsend und B E ~F. Dann ist nach Aufgabe I1.7.5 AF(B) = sup{>.F(K) : K C B kompakt} . 1st nun K C B kompakt, so ist K notwendig abziihlbar, denn ware K iiberabzahlbar, so miiBte auch Be mit K einen nicht-Ieeren Durchschnitt haben, was absurd ist. Wegen der Stetigkeit von Fist aber AF(A) = fUr jede abzahlbare Menge A C IE., und es folgt AF(B) = O. Mit 0 gleicher Begriindung ist aber auch AF(B C ) = 0, d.h. AF(IE.) = 0 und Fist konstant.
°
Die Menge B in Satz 3.71aBt sich als additive Untergruppe von IE. wahlen; s. K.R. STROMBERG: Universally nonmeasurable subgroups, Amer. Math. Monthly 99, 253-255 (1992).
Aufgaben. Es bezeichnen TJP das auBere Lebesguesche MaB und AP das Lebesguesche MaB; TJ := TJ1 , A:= AI. 3.1. Es seien D ein Vertretersystem von IE./Q, G die additive Cruppe alIer rationalen Zah-
(k E Z, n E N) und E := {x + y : xED, y E G}. Ferner seien (rn)nEI\ ein Vertretersystem von Q/G und En := E + rn. Zeigen Sie: Fiir jedes IntervalI list TJ(1 n E) = A(I) und TJ (I \ U~=l Ed = A(I) (n EN). len der Form k ·2- n
3.2 Konstruieren Sie eine Folge (An)nEN disjunkter Teilmengen von IE.P mit TJP (U~=l An)
<
L~=l TJP(A n)· (Man kann die An (n E N) so wahlen, daB U~=l An =]0, ljP.)
3.3. Konstruieren Sie eine Folge (An)nEN von Teilmengen von W mit TJP(A n )
<
00,
An
t
o, limn-+oo TJP(A n ) > O. 3.4. Es seien A C IE., TJ(A)
> 0, und die Menge TaIler t E IE. mit A + t = A sei dicht in IE..
9F. BERNSTEIN: Zur Theorie der trigonometrischen Reihe, Sitzungsber. der Kg!. Sachsischen Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Phys. K!. 60, 325-338 (1908).
§ 4. MeBbare numerische Funktionen
103
a) Fiir jedes Interval! J C lR gilt 1)(A n J) = A(I). b) 1st A E £, so ist A(AC) = O. 3.S. Es sei A gleich der Menge M aus Beispiel 3.5 oder gleich einer der Mengen G, U aus Beispiel 3.6. Fiir jedes Interval! J C lR gilt 1)(A n I) = 1)(AC n J) = A(I). 3.6. Konstruieren Sie eine nicht meBbare Funktion meBbar ist. 3.7. Die Abbildung 1 : lR -+ lR2, I(x) .- (x,O)t £1_£2- meBbar.
1 : (lR, £)
-+ (lR, 'B), deren Betrag Borel-
(x E lR) ist 'B 1 -'B 2-meBbar, aber nicht
3.8. Es seien C das Cantorsche Diskontinuum, F die Cantorsche Funktion und 1 lR-+ lR, I(x) := ~(x + F(x)) (x E lR). a) I(C) ist eine nirgends dichte perfekte Teilmenge von [0,1] mit A(f(C)) = ~. b) Es gibt eine Menge A E £ mit I(A) rf. £. c) Es gibt eine stetige streng wachsende Funktion 9 : lR -+ lR und eine Menge B E £ mit g-l(B) rf. £. (Diese SchluBweise liefert die Existenz von nicht Borelschen Lebesgue-meBbaren Teilmengen von lR ohne die friiher benutzte Machtigkeitsbetrachtung.) d) Sind g, h : (lR, £) -+ (lR, 'B) meBbar, so braucht go h : (lR, £) -+ (lR, 'B) nicht meBbar zu sein. Es konnen sogar {x E lR: g(x) of- O} eine A-Nul!menge und h stetig und streng wachsend sein. 3.9. Zeigen Sie: Die Menge C aus dem Beweis von Lemma 3.8 ist dem Cantorschen Diskontinuurn homoomorph (d.h. es gibt eine stetige Bijektion von C auf das Cantorsche Diskontinuum, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist). 3.10. Jedes A E £P mit AP(A)
> 0 enthalt ein N E £P, AP(N)
= 0 mit
N
~
III
3.11. Es sei 9t die Menge aller Teilmengen von lR, deren Rand eine Lebesguesche Nul!menge ist. Dann ist u(9t) gleich der von den Jordan-meBbaren Teilmengen von lR erzeugten u-Algebra, und es gilt: 'B~u(9t) ~£. (Hinweise: \!5 := {G lc:,. A: G, A c lR,G offen, Amager} ist eine u-Algebra iiber lR mit u(9t) C \!5 n £. 1st nun M C lR ein Vertretersystem von IR./IQ, so gilt nach Aufgabe II.8.2: M = AU N, wobei A mager, A(N) = O. Hier ist A E \!5 \ £. Ware N E \!5, so auch M E \!5, und es ware M = G lc:,. B, G offen, B mager, wobei G of- 0 nach Wahl von M. Da G ein Intervall enthiilt, existiert ein 8 > 0, so daB (x + M) n M of- 0 fiir alle x E lR, Ixl < 8: Widerspruch zur Wahl von M. Es folgt: N E £ \ \!5, also \!5 n £~£.) 3.12. 1st Beine Hamel-Basis von lR, so ist die von B erzeugte additive Untergruppe G C IR. nicht Lebesgue-meBbar.
§ 4.
MeBbare numerische Funktionen «Lebesgue introduisit l'espece des fonctions mesurables. Le progres etait immense. Car Ie passage a la limite ... d'une suite de fonctions mesurables donne encore une fonction mesurable .... Des lors, toutes les fonctions rencontrees dans
III. MeBbare Funktionen
104
les problemes de I'Analyse sont mesurables.»10 (A. DENJOY in LEBESGUE [1],
S.69)
1. Rechnen in iR, Topologie von iR. Fiir die Zwecke der Integrationstheorie ist es bequem, nicht nur meBbare Funktionen f : (X,2l) -+ (JR,123) zu betrachten, sondern auch Funktionen mit Werten in iR := JR U {-oo, +oo}. Zuniichst legen wir die Regeln fUr den Umgang mit den Elementen 00 = +00 und -00 fest. Anordnung und Absolutbetrag werden von JR auf iR fortgesetzt vermoge -00 < a < +00 fUr alle a E JR, 1001 = I - 001 = 00. Damit sind die Begriffe max, min, sup, inf fiir Teilmengen von iR in natiirlicher Weise sinnvoll. Jede nicht-leere Teilmenge M C JR hat ein Supremum in iR; dieses ist das iibliche Supremum, falls M durch eine reelle Zahl nach oben beschriinkt ist, und sonst ist sup M = 00. Addition, Subtraktion und Multiplikation werden - soweit moglich - vermoge Stetigkeit im Sinne der sogleich einzufUhrenden Topologie erkliirt:
a + (±oo) := (±oo) + a:= ±oo fUr a E JR, a - (±oo) := -(±oo) + a := =t=oo fiir a E JR , 00 + 00 := 00, -00 + (-00) := -00 , -(±oo) := =t=oo , a. (±oo) := (±oo) . a:= { ±oo, falls a E]O, 00] , =t=oo , falls a E [-00, O[ .
Diese natiirlichen Definitionen werden ergiinzt durch die willkiirlichen Festlegungen O· (±oo) := (±oo)· 0:= 0, 00 - 00 := -00 + 00 := 0 . Die Definition 0 . 00 := 0 ist die einzig angemessene Festlegung, wie Wlr III der Integrationstheorie und bei der Diskussion der ProduktmaBe sehen werden. Somit sind Summe, Differenz und Produkt je zweier Elemente von iR erkliirt. Die fUr reelle Zahlen bekannten Rechenregeln gelten nur mit Einschriinkungen fiir das Rechnen in iR. Zum Beispiel sind die Addition und die Multiplikation auf iR zwar kommutativ, aber nicht assoziativ. Das Distributivgesetz gilt nicht fUr die Rechenoperationen auf iR. Dagegen ist die Restriktion der Addition auf ]- 00, +00] assoziativ, und auch die Einschriinkung der Addition auf [-00, +oo[ ist assoziativ, so daB z.B. fiir ak E]- 00, +00] die Summenschreibweise Z=~=l ak sinnvoll ist. DefinitionsgemiiB sei die Menge der Intervalle ]a,oo] (a E JR) eine Umgebungs basis von 00 in iR, und die Menge der Intervalle [-oo,a[ (a E JR) sei eine Umgebungsbasis von -00 in iR. Fiir a E JR sei wie iiblich {]a - c, a + c[: c > O} eine Umgebungsbasis. Eine Menge V C iR heiBt eine Umgebung von x E iR, wenn es eine Menge U aus der betr. Umgebungsbasis von x gibt mit U C V. Eine Menge A C iR heiBt offen, wenn A Umgebung jedes Punktes x E A ist. Ersichtlich ist lOLebesgue fiihrte die Klasse der mej1baren Funktionen ein. Der Fortschritt war ungeheuer. Denn der Ubergang zum Grenzwert ... einer Folge meBbarer Funktionen ergibt wieder eine meBbare Funktion. . .. Seitdem sind alle Funktionen, auf die man bei Problemen aus der Analysis gestoBen ist, meBbar.
§ 4. MeBbare numerische Funktionen
105
eine Menge A e lR genau dann offen, wenn AnR. offen in R. ist und wenn im FaIle +00 E A (bzw. -00 E A) ein a E R. existiert mit la, 00] e A (bzw. [-00, a[e A). Damit ist lR ein kompakter topologischer Raum, und R. ist eine offene und dichte Teilmenge von lR. - Nun sind die Begriffe Konvergenz und Stetigkeit in lR sinnvoll. Bekannte Schreibweisen wie limn---+ oo an, limx ---+ oo f(x) , limx ---+_ oo f(x) lassen sich nun auch im Sinne der Topologie von lR auffassen als Limites bei Annaherung an +00 E lR bzw. -00 E lR. Viele Satze aus der Analysis gelten sinngemaB fUr lR; z.E.: Jede monotone Folge in lR konvergiert. Jede Folge in lR hat einen Haufungswert, denn lR ist kompakt. Fiir jede Folge (a n )n>l in lR sind der Limes superior und der Limes inferior in lR erklart vermoge lim an = lim (sup{ak: k 2': n}),
n--+oo
n--+oo
lim an n---+oo
= lim (inf{ak: k 2': n}) , n---+oo
und dieses sind der groBte bzw. kleinste Haufungswert von (a n )n>l in lR. Die Folge (an)n~l konvergiert genau dann in lR, wenn ihr Limes superior gleich ihrem Limes inferior ist, und in diesem FaIle gilt limn---+oo an = lim an = lim an. n---+oo n---+oo Diese AusfUhrungen iiber Zahlenfolgen gelten sinngemaB auch fUr die punktweise Konvergenz von Folgen von Funktionen fn : X --+ lR (n EN). Die a-Algebra 23 := 'B(lR) der Borelschen Teilmengen von lR ist nach Definition die von den offenen Teilmengen von lR erzeugte a-Algebra. Man erkennt: 23 = {BUE: B E 'B, E e {-oo,+oo}}; insbesondere ist 231R.
= 23. (Letzteres ist auch klar nach KoroIlar I.4.6.)
2. Me6bare numerische Funktionen. Es sei in § 4 stets (X,2l) ein MeBraum. Zur Unterscheidung von den reeIlwertigen Funktionen auf X nennen wir die Funktionen f : X --+ lR numerische Funktionen. Eine numerische Funktion heiBe meftbar, wenn sie 2l-23-meBbar ist. Fiir reeIlwertiges fist die 2l-'B-MeBbarkeit gleichbedeutend mit der 2l-'B-MeBbarkeit. 4.1 Beispiel. Fiir A wenn A meBbar ist.
e X und a
E
R., a -=I- 0 ist a . XA genau dann meBbar,
Die folgende abkiirzende Schreibweise paBt zwar nicht zum iiblichen Gebrauch der Mengenklammern, ist aber so suggestiv, daB keine MiBverstandnisse zu befUrchten sind: Fiir f, 9 : X --+ lR und a, f3 E lR set zen wir {f > a}:= {a < f}:= {x EX: f(x) > a} = rl(]a,oo]); entsprechend sind U < a}, U:::; a}, {f 2': a}, {f = a}, U -=I- a}, {a < f:::; f3}, U < g}, U :::; g}, U -=I- g}, {f = g}, {a < f, 9 > f3} usw. definiert.
4.2 Satz. Fur jede numerische Funktion f : (X,2l) --+ (lR, 'B) sind folgende Bedingungen a)-e) iiquivalent: a) fist meftbar. b) Fur alle a E R. ist U > a} E 2l.
106
III. MeBbare Funktionen
c) Fur alle a E lR ist U 2: a} E 2L d) Fur alle a E lR ist U < a} E Qt. e) Fur alle a E lR ist U ::; a} E Qt. Beweis. Jedes der Mengensysteme {]a, 00] : a E lR} , {[a, 00] : a E lR} , E lR} , {[-oo,a] : a E lR} ist ein Erzeuger der (I-Algebra IB (Aufgabe 4.3). Daher ist die Behauptung klar nach Satz 1.3. 0
{[-oo,a[: a
4.3 Satz. Fur jede Folge (fn)n>l mefJbarer numerischer Funktionen aui X sind SUPn>l in, infn>l in, n-+oo lim in, li~ in mefJbar. Insbesondere ist limn-+oo in mefJn-+oo bar, ialls dieser Limes (in i) existiert. Beweis. Die Funktionen SUPn>l in und infn>l in sind meBbar nach Satz 4.2, da fUr jedes a E lR gilt in ::; a} = nUn::; a} E { SUP n>l n=l Hieraus folgen die MeBbarkeit von
Qt,
{inf in 2: a} = nUn 2: a} E n~l n=l
Qt.
lim in = inf (sup ik) , lim in = sup (inf in) n-+oo n~l k~n n-+oo n~l k~n und von limn-+oo in, falls der letztere Limes in
i existiert.
o
Wenden wir Satz 4.3 an auf die Folge il,"" in, in, in,"', so folgt:
4.4 Korollar. Sind ft, ... , in : (X, Qt) -+ (i, IB) mefJbare numerische Funktionen, so sind auch max(ft,···, in) und min(ft,···, in) mefJbar. Die MeBbarkeit vektorwertiger Funktionen liiBt sich mit Hilfe der MeBbarkeit der Koordinatenfunktionen charakterisieren:
4.5 Satz. Eine Funktion i = (ft, . .. , ip)t : (X, Qt) -+ (JRP, IBP) ist genau dann mefJbar, wenn alle Koordinateniunktionen il,"" i p : (X, Qt) -+ (lR, IB) mefJbar sind. Beweis. Die Projektionsabbildungen prj : JRP -+ lR, prj(x) := Xj fUr x = (Xl, ... ,Xp)t E JRP, sind stetig, also Borel-meBbar. 1st also i meBbar, so sind auch alle ij = prj 0 i (j = 1, ... ,p) meBbar. Sind umgekehrt ft, ... , i p meBbar und la, b] E JP, a = (al,"" ap)l, b = (bl, ... ,bp)t, so ist i-l(]a,b]) = ~=lij-l(]aj,bj]) E Qt. Da JP die (I-Algebra IBP erzeugt, folgt die Behauptung nach Satz 1.3. 0
Wir statten C = lR2 mit der (I-Algebra 1B2 aus und erhalten aus Satz 4.5:
4.6 Korollar. Eine komplexwertige Funktion i : (X, Qt) -+ (C, 1B2) ist genau dann mefJbar, wenn Rei und 1m i mefJbar sind. Die Bildung von Linearkombinationen und Produkten meBbarer numerischer Funktionen liefert stets wieder meBbare numerische Funktionen:
§ 4. MeBbare numerische Funktionen
107
4.7 Satz. Sind f,g: (X,Q() ---+ (i,lE) mejJbar und 01,(3 E OIf
+ (3g,
f . g, If I mejJbar.
JR,
so sind auch
Beweis. Es seien zunachst f, g : X ---+ ]R reellwertig. Dann ist h : X ---+ ]R2, h(x) := (j(x),g(x))t (x E X) nach Satz 4.5 meBbar. Die Funktionen S,p:]R2 ---+]R, S(XI,X2):= Xl +X2,P(XI,X2):= Xl'X2 ((Xl,X2)t E ]R2) sind stetig, also Borel-meBbar. Daher sind f + g = soh, f· g = poh nach Satz 1.5 meBbar. Sind nun f, g : X ---+ JR meBbare numerische Funktionen, so sind fn, gn : X ---+ ]R, fn := max( -n, min(j, n)), gn := max( -n, min(g, n)) (n E N) nach Korollar 4.4 meBbar. Nach dem soeben Bewiesenen sind fn + gn und fn . gn (n E N) meBbar, also sind auch f + g = limn--->oo(jn + gn) , f· g = limn--->oo fn' gn meBbar. Da die konstanten Funktionen Oi bzw. (3 meBbar sind, sind auch OIf und (3g meBbar und folglich auch OIf + (3g. Speziell ist - f meBbar und damit auch If I = max(j, - f). 0
4.8 Korollar. Sind f, g : (X, Q() ---+ (C, 1E2) mejJbar und 01, (3 E C, so sind auch OIf
+ (3g,
f . g, If I mejJbar.
o
Beweis. Klar nach Korollar 4.6 und Satz 4.7.
4.9 Korollar. Sind f, g : (X, Q() ---+
(JR, IE)
mejJbar, so sind die Mengen {f
<
g} , {f ::; g} , {f = g} , {f =1= g} mejJbar. Beweis. Wegen {f < g} = {g - f > O}, {j ::; g} = {g - f ~ a}, {f = g} = {j - g ::; O} n {j - g ~ O}, {f =1= g} = {j - g < O} U {j - g > O} folgt die Behauptung sogleich aus der MeBbarkeit von f - g und g - f. 0
Fur jede numerische Funktion f : X ---+
r
:=
JR sind der
Positivteil
max(j, 0)
und der Negativteil
r
:= max(-f,O) = (-f)+(~ O!)
erkUirt, und es gilt f =
r - r , If I = r + r .
(JR, IE) ist genau dann mejJbar, wenn ihr Positivteil f+ und ihr Negativteil f- mejJbar sind.
4.10 Korollar. Eine numerische Funktion f : (X, Q() ---+
Beweis. 1st f meBbar, so auch - f, und damit auch f+, f- nach Korollar 4.4. - Umgekehrt ist f = f+ - f- nach Satz 4.7 meBbar, wenn f+ und f- meBbar sind. 0
4.11 Korollar. Eine komplexwertige Funktion f : (X, Q() ---+ (C, 1E2) ist genau dann mejJbar, wenn (Ref) + , (Ref)-, (1m f)+, (1m f)- mejJbar sind. Beweis. Klar nach Korollar 4.6, 4.10.
o
III. MeBbare Funktionen
108
3. Approximation durch Treppenfunktionen. Ftir die in Kap. IV zu entwickelnde Integrationstheorie ist die M6glichkeit der Approximation meBbarer Funktionen durch Treppenfunktionen von entscheidender Bedeutung. 4.12 Definition. Eine meBbare Funktion f : (X,2l) --+ (lR, IE), die nur endlich viele verschiedene (reelle) Werte annimmt, heiBt eine (2l-)Treppenfunktion. Es seien T die Menge der (2l-)Treppenfunktionen auf X und T+ die Menge der nicht-negativen Funktionen aus T Ersichtlich ist T ein Vektorraum tiber lR, und fUr
f, gET gilt f . g
E
r,
max(j,g) E T, min(j,g) E T, ifi E T Ftir f,g E T+ und a ~ 0 sind auch af E T+ und f + g E r+ , f . g E r+.
1st f E T und f(X) = {al, ... ,am } mit verschiedenen al, ... ,am E lR, so sind die Mengen Aj:= f-l({aj}) E 2l (j = 1, ... ,m) disjunkt und f = 2:7=1 ajXA j · Sind umgekehrt f31, . .. , f3n E lR (nicht notwendig verschieden) und Bl"'" Bn E 2l (nicht notwendig disjunkt), so ist n
r,
g:= Lf3jXBj E j=l
und fUr f3l,"" f3n ~ 0 ist g E T+. Wir bezeichnen mit M die Menge der meBbaren numerischen Funktionen
f : (X,2l) --+ OR, IE) und mit M+ die Menge der nicht-negativen Funktionen aus M. Folgender Satz ist fUr die spat ere Integraldefinition von entscheidender Bedeutung: 4.13 Satz. Fur eine nicht-negative numerische Funktion f auf X gilt f E M+ genau dann, wenn es eine Folge (U n k:::1 von Funktionen aus T+ gibt mit Un
t
f.
Beweis. Jeder Limes einer wachsenden Folge von Funktionen aus r+ liegt in M+ (Satz 4.3). - 1st umgekehrt f E M+ und n E N, so sei ._ Aj,n .-
{ {
j < j+1} f"ur J. -- 0 , ... , n . 2n - 1 , 2n _ f < 2"
{f
~
n} fUr j = n . 2n
.
Die Mengen Aj,n(j = 0, ... , n . 2n) sind disjunkt, liegen in 2l, und es ist X = n2n . j=O Aj,n' Daher gIlt
U
n2n
u n := L
.
;nXAj,n E T+ ,
j=O
und (u n )n2: 1 ist wachsend: Nach Definition ist namlich Aj,n die disjunkte Vereinigung von A 2j,n+1 und A 2j+l,n+1 fUr j = 0, ... , n . 2n - 1, und A n2 n,n ist die disjunkte Vereinigung der Mengen A j,n+1 (j = n . 2n+1, ... , (n + 1)2n+1 - 1) und A(n+1)2n+1,n+1' Daher ist Un+1 ~ Un- 1st nun x E X und f(x) = 00, so gilt un(x) = n t 00 = f(x), wahrend fUr f(x) < 00 und n > f(x) gilt un(x) ~ f(x) < un(x) + 2- n . Insgesamt folgt Un t f. D
§ 4. MeBbare numerische Funktionen
109
4.14 Korollar. a) Zu jeder beschriinkten S)!-meflbaren Funktion j : X -+ lR gibt es eine wachsende Folge (Un)n~l von Treppenjunktionen, die gleichmiiflig gegen j konvergiert. b) Zu jeder nach unten beschriinkten meflbaren Funktion j : X -+] - 00, +00] gibt es eine wachsende Folge von Funktionen Un E T (n E N) mit Un t j. c) Zu jedem j E M gibt es eine Folge von Funktionen Vn E T mit Vn -+ j. Beweis. a) und b) sind klar nach dem Beweis von Satz 4.13, und c) ergibt sich durch Anwendung von Satz 4.13 auf j+ und j-. 0 4. Abzahlbar erzeugte MeBraume. Zwei Mellraume (X, 2l), (Y, '23) heillen isomorph, wenn es eine mellbare Bijektion f : (X,2l) -+ (Y, '23) gibt, so dall auch f- 1 : (Y, '23) -+ (X,2l) mellbar ist; eine solehe Abbildung f heillt dann ein meftbarer Isomorphismus. Ziel der folgenden Uberlegungen ist Satz 4.17, in dem die Isomorphieklassen der Mellraume (A, '23 1 IA) (A c ffi.) durch einfache Bedingungen charakterisiert werden. Zunachst einige Vorbereitungen: Man sagt, ein Mengensystem \!: c >,p(X) trennt die Punkte von X, wenn zu allen X,y E X mit x -I y ein A E \!: existiert mit XA(X) -I XA(Y). Ein Mellraum (X,2l) heillt separiert, wenn 2l die Punkte von X trennt. 4.15 Lemma. Ein Mengensystem \!: (X,o-(\!:)) separiert ist.
c
>,p(X) trennt die Punkte von X genau dann, wenn
Beweis. Angenommen, \!: trennt die Punkte von X nicht. Dann gibt es x, y EX, x -I y, so dall fur aIle A E \!: entweder gilt X,y E A oder X,y E N. Nun ist ~:= {G eX: {x,y} c G oder {x, y} c GC} offenbar eine o--Algebra mit \!: c ~, also 0-( \!:) c ~. Daher trennt auch 0-( \!:) die Punkte von X nicht. 0
Ein Mellraum (X,2l) heillt abziihlbar erzeugt, wenn 2l einen abzahlbaren Erzeuger hat. 4.16 Satz. Ein Meftraum (X,2l) ist genau dann abziihlbar erzeugt, wenn es eine meftbare Funktion f: (X,2l) -+ ([0, 1J, '23 1 1[0,1]) gibt mit f- 1 ('23 1 1[0, 1]) = 2l. Beweis. Gibt es eine Funktion f mit den angegebenen Eigenschaften, so ist 2l abzahlbar erzeugt nach Satz 1.4.4. - Es seien nun umgekehrt {An : n E N} ein Erzeuger von 2l und f: X -+ [0,1]'
n=l
Dann ist f 2l-'23 1 1[0, 1J-mellbar. Weiter ist f(x) :::: ~ fur aIle x E Al und f(x) :s L~=2 3- n = 1/2·3 fur aIle x E Ai, d.h. Al = f-1([1/3, 1]) E f- 1('23 11[0, 1]). Ferner ist A2 = (A2 n Ad u (A2 \ AI) = f- 1([3- 1 + 3- 2 ,1]) U f- 1([3- 2 , 3- 1 D, und analog fortfahrend erkennt man: An E f- 1 ('23 11[0, 1]) fur aIle n, also 2l C f- 1 ('23 1 1[0, 1]). 0 4.17 Satz. Ein Meftraum (X,2l) ist genau dann separiert und abziihlbar erzeugt, wenn eine Menge M C [O,lJ existiert, so daft (X,2l) zu (M, '23 1 1M) isomorph ist. Beweis. 1st (X, 2l) zu (M, '23 1 1M) (M c [0,1]) isomorph, so ist (X,2l) separiert und abzahlbar erzeugt. - 1st umgekehrt (X,2l) separiert und {An: n E N} ein Erzeuger von 2l, so betrachten wir die Funktion f aus dem Beweis zu Satz 4.16. Angenommen, fur x, y E X gilt f(x) = fry). Die Werte der Funktion f haben triadische Entwicklungen, in denen nur die Ziffern und 1 vorkommen. Fur solche Zahlen existiert aber nur eine einzige triadische Entwicklung, und es folgt: Fur aIle n E N gilt entweder x, YEAn oder x, y E A~. Nach Lemma 4.15 folgt x = y, d.h. fist injektiv. Daher leistet M := f(X) nach Satz 4.16 das Verlangte. 0
°
5. Ein minimaler Erzeuger von '23 1 • Ein Erzeuger \!: von 2l heillt minimal, wenn fur aIle A E \!: gilt 0-( \!: \ {A}) -I 2l. Ais bemerkenswerte Anwendung von Lemma 4.15 zeigen wir: Es
110
III. MeJ3bare Funktionen
gibt minimale Erzeuger von S})l. Urn einen so1chen Erzeuger explizit anzugeben, setzen wir <En := {)(k - 1) . Tn, k· 2- n [: k E Z} und behaupten: <E :=
UnEZ
(n E Z)
<En ist ein minimaler Erzeuger von S})l.
Beweis. Es seien E := {k· 2- n k E Z,n E Z. Dann ist
:
k E Z, n E Z} und x E E,x
i'
O,x = (2k -1)· 2- n mit
weiter ist {O} E 11{<E), also s,p{E) C 11{<E). Jedes offene Intervall I C ~ liillt sich schreiben als (abzahlbare) Vereinigung aller Mengen A E <E mit A C I vereinigt mit der Menge In E E s,p{E). Daher ist I E 11{<E), also S})l c 11{<E) und folglich S})l = 11{<E). Da S})l die Punkte von ~ trennt, muB nach Lemma 4.15 auch jeder Erzeuger von S})l die Punkte von ~ trennen. Sei nun A E <E. Wir zeigen, daB <E \ {A} die Punkte von ~ nicht trennt. Dazu schreiben wir A =)(k -1)· 2- n , k· 2- n [ mit k E Z,n E Z und setzen a ._ { (k - 1) . 2- n
.-
k· 2- n
,
,
falls k gerade , falls k ungerade
und b:= (2k -1)· 2- n - 1 (= Mittelpunkt von A). Dann ist a 1: A, bE A, und fur aile anderen B E <En, B i' A gilt a 1: B, b 1: B. Fur m > n liegt weder a noch b in einer Menge aus <Em. 1st aber a E C fur ein C E <Em mit m < n, so gilt notwendig auch b E C. Daher trennt <E \ {A} nicht die Punkte von ~. D Weitergehende Aussagen uber minimale Erzeuger findet man bei SHORTT und BHASKARA RAo [1), S. 37 ff.
Aufgaben. 4.1. Der topologische Raum JR ist kompakt, denn: a) Jede offene Uberdeckung von JR hat eine endliche Teiluberdeckung. b) Es gibt eine bijektive stetige Abbildung I : [0,1)---+ JR.
4.2. Es gibt eine Metrik d auf JR, so daB die offenen Mengen des metrischen Raumes gerade die in § 4 erklarten offenen Teilmengen von JR sind. 1st (JR, d) vollstandig?
(JR, d)
4.3. Die folgenden Mengensysteme sind Erzeuger der l1-Algebra SB: {)a, (0) : a E ~} , {[a, (0) :
a E
~} ,
{[-oo, a[: a E ~} , {[-oo, a) : a E
4.4. Jede monotone Funktion
I : ~ ---+ ~ ist
~}.
Borel-meBbar.
4.5. a) Hat I : ~P ---+ ~ nur abzahlbar viele Unstetigkeitsstellen, so ist I Borel-meBbar. b) 1st die Menge der Unstetigkeitsstellen von I : ~P ---+ ~ eine .xP-Nullmenge, so ist I £P_S})meBbar. 4.6. Jede rechtsseitig stetige Funktion I : ~ ---+ ~ ist Borel-meBbar. (Hinweis: Bezeichnet 'I die gewohnliche Topologie auf ~ so ist I genau dann rechtsseitig stetig, wenn I : (~,!R) ---+ (~, 'I) stetig ist, wobei !R eine geeignete Topologie auf ~ bezeichnet.) 4.7. Jede rechtsseitig stetige Funktion I : ~ ---+ ~ hat hochstens abzahlbar viele Unstetigkeitsstellen. (Bemerkung: Diese Aussage liefert eine weitere Losung fur Aufgabe 4.6.) - Scharfer gilt: 1st U c ~ offen, Y ein metrischer Raum und I : U ---+ Y in jedem Punkt von U rechtsseitig oder linksseitig stetig, so hat I hochstens abzahlbar viele Unstetigkeitsstellen. 4.8. Jede rechtsseitig stetige numerische Funktion I : (~P, S})P) ---+ (JR, SB) ist meBbar. (Bemerkung: Das Argument aus dem Hinweis zu Aufgabe 4.6 laBt sich nicht unmittelbar ubertragen!) 4.9. 1st
I : X ---+
~
eine Funktion und A C X, so heifit
l1(f,A):= sup{l/{x) - l{y)l: X,y E A}
fur A
i' 0,
11(f,0):= 0
§ 4. Me£bare numerische Funktionen die Schwankung von
f
auf A. Zeigen Sie:
f : (X, Qt)
III --; (JR, ~) ist mef3bar genau dann, wenn zu
jedem 6> 0 eine Zerlegung von X in abzahlbar viele disjunkte mef3bare Mengen An (n E N) existiert, so daf3 O"(f, An) < 6 (n EN).
4.10. Es seien (X, Qt, 11) ein Maf3raum, (X, 2(, p.) seine Vervollstandigung und f : (X,2() --; OR, 'B) mef3bar. Dann gibt es zwei mef3bare Funktionen g, h : (X, Qt) --> (JR, 'B) mit 9 <:: f <:: h und 11( {g < h}) = o. Insbesondere gibt es zu jeder mef3baren Funktion f : (JRP, ,eP) --> (JR, 'B) eine Borel-mef3bare Funktion 9 : JRP --> JR mit .\P( {f oF g}) = O. 4.11. Es seien (X, Qt) ein Mef3raum und Vein Vektorraum von Funktionen folgenden Eigenschaften:
f :X
-->
JR mit
(a) Jeder Limes einer wachsenden Folge von Funktionen aus V gehort zu V. (b) Es gibt eine Algebra It c Qt mit 0"(1t) = Qt, so daf3 fiir aile A E It gilt XA E V. Dann enthalt Valle mef3baren Funktionen f : (X, Qt) --> (JR, ~). Insbesondere ist der Vektorraum aller mef3baren reellwertigen Funktionen auf X der kleinste Vektorraum von Funktionen
f :X
-->
JR mit den Eigenschaften (a), (b). (Hinweis: Satz 1.6.2 oder Satz 1.6.8.)
4.12. Es seien (X, Qt) ein Mef3raum und Vein Vektorraum von beschrankten Qt-mef3baren Funktionen f : X --; JR mit folgenden Eigenschaften: (a) 1 E V. (b) Fiir aile f,g E V gilt max(f,g) E V. (c) Fiir jede wachsende, gleichmaf3ig beschrankte Folge (fnln-?l von Funktionen aus V gilt limn~oo fn E
Dann ist
~
V.
:= {A eX: XA E V}
c Qt eine O"-Algebra, und V ist der Raum aller beschrankten
~-mef3baren reellwertigenFunktionen auf X. (Hinweis:
XU>"') = limn~oo inf(l, n(f-a)+).)
4.13. Es sei Vein Vektorraum von Funktionen f : JRP --> JR mit folgenden Eigenschaften: (a) Jeder Limes einer wachsenden Folge von Funktionen aus V liegt in V. (b) Jede stetige Funktion f : JRP --; JR liegt in V. Dann enthalt Valle Borel-mef3baren Funktionen f : JRP --; R Der Vektorraum der Borelmefibaren Funktionen f : JRP --> JR ist also der kleinste Vektorraum von Funktionen f : JRP --> JR, der abgeschlossen ist bez. monotoner Konvergenz von Folgen und der aile stetigen Funktionen enthalt (G. VITALI (1905)). - Wie lautet die entsprechende Aussage fiir Vektorraume von Funktionen f : X --> JR, wobei X ein metrischer Raum ist? (Hinweise: Korollar 1.6.3 oder 1.6.8, ferner Aufgabe 1.6.1.) 4.14. Es sei D der Durchschnitt aller Mengen :F von Funktionen f : JRP --> JR mit folgenden Eigenschaften: (a) Fiir jede monotone konvergente Folge (fn)n>l von Funktionen aus:F gilt limn~oo fn E :F. (b) J ede stetige Funktion f : JRP --> JR liegt in :F. Dann ist D gleich der Menge aller Borel-mef3baren Funktionen f : JRP --; R - Wie lautet die entsprechende Aussage fUr Funktionen f : X --; JR, wobei X ein metrischer Raum ist? (Hinweis: Nach Aufgabe 4.13 ist zu zeigen, daf3 D ein Vektorraum iiber JR ist.) 4.15 Fortsetzungssatz fUr me13bare Funktionen. Es seien (X, Qt) ein Mef3raum, Meine beliebige Teilmenge von X und f : (M, QtIM) --> (JR, ~1) mef3bar. Dann laf3t sich f zu einer Qt-mef3baren reellwertigen Funktion auf ganz X fortsetzen. (Hinweis: Der Vektorraum aller QtIM-mef3baren Funktionen 9 : M --> JR, die eine Qt-mef3bare Fortsetzung auf ganz X zulassen, enthalt nach Aufgabe 4.11 aile mef3baren Funktionen (M, QtIM) --> (JR, ~1 ).)
III. MeBbare Funktionen
112
4.16. Zeigen Sie: 1st (X, m) abziihlbar erzeugt, so sind aile Ql-Atome (s. Aufgabe 1.6) meBbar. 4.17. Trennt die abzahlbare Familie ~ C q:l(X) die Punkte von X, so gilt {x} E u(~) ffir aile
xEX. 4.18. Die Menge
~
:= {](k - 1) ·2- n , k· 2- n [: k = 1, ... , 2n , n E N} ist ein minimaler
Erzeuger von ~11l0, 1[.
§ 5.
Produkt-a-Algebren
1. Initial-a-Algebren und Produkt-a-Algebren. Ganz analog zum Begriff der 1nitialtopologie (s. BOURBAKI [6], chap. 1, § 2, no. 3) lassen sich 1nitial-aAlgebren definieren, und es bestehen ganz analoge Sachverhalte wie in der Topologie: Es seien X eine Menge, auf der a priori keine a-Algebra ausgezeichnet ist, 1 eine 1ndexmenge, (y;, ~,) (L E 1) MeBraume und f, : X -+ Y; (L E 1) Abbildungen. Dann gibt es eine bez. mengentheoretischer 1nklusion "kleinste" a-Algebra Q( auf X, so daB aIle Abbildungen f, : (X, Q() -+ (y;, ~,) (L E 1) meBbar sind, und zwar ist
Q( = I(f, : LEI) := a
(u f,-l(~,))
.
'El
Diese a-Algebra heiBt die Initial-a-Algebra auf X bez. der Familie (f,),E!. Liegt nur eine einzige Abbildung f : X -+ (Y, ~) vor, so ist I(f) = f-1(~). 5.1 Beispiele. a) Fur (E c l.l3(X) ist a( (E) = I(XA : A E (E); dabei wird IR mit der a-Algebra der Borelschen Mengen ausgestattet. b) 1st (Y,~) ein MeBraum, X C Y und j : X -+ Y die naturliche 1nklusion, so ist I(j) = ~IX. c) Es seien (X" Q(,) (L E 1) MeBraume, X := TI,E! X, das carlesische Produkt der X, (L E 1), d.h. die Menge aller Abbildungen x : 1 -+ U,E! X, mit x, := X(L) E X, fUr aIle LEI. Wir schreiben die Elemente x E X in der Form x = (x,),E! und nennen x, die L-te Koordinate von x. Fur LEI sei pr, : X -+ X,, pr,(x) := x, die zugehOrige Projektion. Dann heiBt I(pr, : L E 1) =: Q9Q(, 'El
die Produkt-a-Algebra auf TI,E! X,. DejinitionsgemiifJ ist ®'El Q(, die bez. mengentheoretischer Inklusion kleinste a-Algebra auf X, bez. welcher alle Projektionen pr, (L E 1) mefJbar sind. 5.2 Satz. Es seienX eine Menge, (y;, ~,) (L E 1) eine Familie von MefJriiumen und f, : X -+ Y; (L E 1) Abbildungen. 1st (E, ein Erzeuger von~, (L E 1), so ist (E := U,E! f,-l ((E,) ein Erzeuger von I(f, : L E 1).
§ 5. Produkt-a-Algebren
113
Beweis. Wegen \1: C I(j, ~ E I) ist a(\1:) C I(j, : ~ E I). Umgekehrt ist j,-l(\1:,) C a(\1:) (~E 1), also nach Satz 1.4.4 j,-l('l3.) C a(\1:) (~E 1), folglich a (U'Ed,-l('l3,)) C a(\1:). 0 5.3 Beispiel. Es seien (X" ~,) (~E 1) MeBraume, X = ®'EI~' und \1:, ein Erzeuger von~, (~E I). Dann ist
flEl X,
,
~ :=
ein Erzeuger von ~. 1st insbesondere I endlich und gibt es eine Folge (E"n)n?l in \1:, mit U~=l E"n = X" so ist auch
~:=
{II E, :E,
E
\1:, fUr alle
~ E I}
'EI
ein Erzeuger von ~. (Begriindung: Fur E, E~, (~E 1) ist zunachst flEI E, = n,El pr;-l(E,) E ~, also a(~) C ~. 1st umgekehrt EK E \1: K (I\: E I), so gilt wegen der Endlichkeit von I E a(~) , nLEN
fUrl..EI\{/'t}
d.h. \1: C
a(~)
und damit
~
C
a(~).
D)
Sind insbesondere nur zwei MeBraume (X,~), (Y, 'l3) mit Erzeugern \1: von und ~ von 'l3 vorgelegt, so ist ® := {A x Y : A E \1:} U {X x B : B E ~} ein Erzeuger der Produkt-a-Algebra ~ 0 'l3, und gibt es Folgen (An)n?l in \1: und (Bn)n>l in ~ mit Un>l An = X, Un>l Bn = Y, so ist auch \1:*~ = {E x F: E E \1:, F E ~} ein Erzeuger von ~ 0 'l3-:- Speziell ist ~ * 'l3 ein Erzeuger von ~ 0 'l3. ~
5.4 Korollar (Transitivitiit der Bildung von Initial-a-Algebren). Unter den Voraussetzungen von Satz 5.2 seien fur jedes ~ E I eine Indexmenge K" Meftriiume (Z"K' (£"K) und Abbildungen g"K : 1'; ---+ Z'K (I\: E K,) gegeben, und es sei 'l3, = I(g"K : I\: E K,). Dann gilt: I(g,,, j, : ~ E I , I\: E K,) = I(j, : ~ E 1) ; 0
Diagramm:
X ~ (1';, 'l3,) ~ (Z,,,, (£",,) . Beweis. \1:, := U"EK g;;/( (£'K) erzeugt 'l3" also ist U'EI j,-l (\1:.) ein Erzeuger von I(j, : ~ E 1). Andererseits ist U,Elj,-l(\1:,) = U,ElUKEK(g,,,oj,)-l((£,,,) auch 0 ein Erzeuger von I(g,,, j, : ~ E I, I\: E K,). 0
5.5 Beispiele. a) In Beispiel 5.1 c) sei I = UKEK I" mit disjunkten IK (I\: E K). 1m Sinne der natiirlichen Identifizierung von I1KEK (I1'EIK X,) mit I1'EI X, gilt
114
III. MeBbare Funktionen
dann
® (® 21,) = ® 21, "EK
'ElK
(Assoziativitiit der Produktbildung) .
,EI
b) Faktorisierung uber das Produkt: In der Situation des Satzes 5.2 versehen wir Y := I1El 1"; mit der O"-Algebra 113 := Q9'EIIB, und betrachten die Abbildung f : X ---+ Y, f(x) := (f,(x)),El (x EX). Bezeichnen wir mit pr, : Y ---+ 1"; die L-te Projektion, so ist f, = pr, ° f (L E I), und KoroIlar 5.4 ergibt: I(f) = I(f, : LEI). Jede Initial-O"-Algebra laBt sich also bereits als Initial-O"-Algebra bezliglich einer einzigen Abbildung darsteIlen.
5.6 Satz. Sind in der Situation von Satz 5.2 (Z, <1:) ein weiterer MejJraum und 9 : Z ---+ X eine Abbildung, so ist 9 : (Z, <1:) ---+ (X,I(f, : LEI)) genau dann mejJbar, wenn aile Abbildungen f,og: (Z, <1:) ---+ (1";,113,) (L E I) mejJbar sind. Beweis. Nach KoroIlar 5.4 ist die Inklusion I(g) C <1: mit der MeBbarkeit aIler 9 (L E I) gleichbedeutend. 0
f,
0
5.7 Beispiel. Sind (X" 21,) (L E I) MeBraume, X := I1EI X" 21 := Q9'EI21" (Z, <1:) ein MeBraum und 9 : Z ---+ X eine Abbildung, so ist 9 : (Z, <1:) ---+ (X, 21) genau dann meBbar, wenn aIle pr,og : (Z, <1:) ---+ (X" 21,) (L E I) meBbar sind. - Wir wahlen spezieIle g: Dazu seien X, i 0 flir aIle LEI und a, E X, fest gewahlt. Flir K c I definieren wir eine Einbettung jK : Il"EK X" ---+ Il'El X, vermoge jK((X")"EK) := (x,),El, wobei x, := a, flir aIle LEI \ K. Dann ist pr,ojK flir LEI \ K gleich der konstanten Abbildung a" und flir L E Kist pr,ojK gleich der Projektion von Il"EK X" auf die L-te Koordinate. Daher ist jK Q9"EK 21,,-Q9,El 21,-meBbar. Flir M C Il'EI X, nennen wir ji/(M) = {(X")"EK E
IT X,,:
mit x, := a, flir LEI \ K gilt (X,)'EI E M}
"EK
den Schnitt von M durch (a")"EI\K. Entsprechend heiBt flir f : X ---+ Y die Abbildung f ojK :
IT X" ---+ Y , (X")"EK
H
f((x'),El) mit x, := a, flir LEI \ K
"EK
der Schnitt von f durch (a"hEl\K oder die partieile Abbildung von f bei "festgehaltenen" Koordinaten x" = a" (.\ E 1\ K). Die MeBbarkeit von jK impliziert nun:
5.8 Korollar. Sind (X" 21,) (L E I) nicht-leere MejJriiume, so ist jeder Schnitt einer Q9'EI 21,-mejJbaren Menge M C Il'EI X, mejJbar, und fur jeden MejJraum (Y, 113) ist jeder Schnitt einer Q9'EI 21, -1B-mejJbaren Abbildung f : Il'EI X, ---+ Y wiederum mejJbar. 2. Borel-Mengen topologischer Produkte. Sind (X" 'I,) (L E I) topologische Raume, so tragt X := Il'EI X, die Produkttopologie 'I. Diese ist die grobste
§ 5. Produkt-a-Algebren
115
Topologie auf X, beziiglich welcher aIle Projektionen prL : X ~ XL (t E 1) stetig sind. Eine Menge A eXist also genau dann offen, wenn zu jedem x = (XL)LEI E A eine endliche Menge Eel und Umgebungen UI< von XI< in XI< (I\: E E) existieren, so daB ITI<EK U" x ITLEI\K XL C A. Zur Topologie 'I gehOrt die a-Algebra 17('1') = 23(X) der Borel-Mengen von X. Andererseits ist X mit der Produkt-a-Algebra ®LEI 23 (XL) der Borel-Mengen der XL ausgestattet. Die Projektionen prL : X ~ XL (t E I) sind stetig, also Borel-meBbar, und es folgt: 23(X) :::> ®LEI 23(X.); d.h.: 5.9 Satz. 1st (X, 'I) das topologische Produkt der topologischen Riiume (XL) 'I L ) (t E I), so gilt: IJ3(X) :::> ®LEl23(XL)'
In der Inklusion des Satzes 5.9 steht nicht notwendig das Gleichheitszeichen, und zwar nicht einmal fUr das Produkt nur zweier topologischer Raume (s. Aufgabe 5.3 und Bemerkung 5.16). Der folgende Satz 5.10 enthalt ein einfaches Kriterium fUr die Giiltigkeit des Gleichheitszeichens. 5.10 Satz. Es sei (X, 'I) das topologische Produkt abziihlbar vieler topologischer Riiume (Xk' 'I k) (k;::: 1), und es sei angenommen, daft alle (Xk' 'I k) (k;::: 1) eine abziihlbare Basis der Topologie haben. Dann gilt:
23(X) =
® 23(Xk) . k~l
Beweis. 1st ItTk eine abzahlbare Basis von 'I k, so bilden die Mengen prk/(Vk,) n EN, Vkv E ItTkv fUr v = 1, ... , n) eine abzahlbare Basis ItT von 'I. Offenbar ist ItT C ®k>l23(Xk), und jede Menge aus 'I ist abzahlbare Vereinigung von Mengen aus W. Daher ist 'I C ®k>l 23(Xk ), und es folgt die Behauptung. D
... n prkn1(VkJ (n
5.11 Bemerkung. Ein topologischer Raum E heiBt ein LindelOf-Raum, wenn jede offene Uberdeckung von E eine abzahlbare Teiliiberdeckung hat, und E heiBt erblich Lindelofsch, wenn jeder Teilraum von E ein Lindelof-Raum ist. Jeder topologische Raum mit abzahlbarer Basis ist erblich Lindelofsch. In Verallgemeinerung von Satz 5.10 gilt IB(X) = ®,ElIB(X,), falls (X, 'I) erblich Lindelofsch ist. Zum Beweis wende man Aufgabe 5.4 an auf die Subbasis QJ von 'I, die aus allen Mengen der Form ItEl V; (V; E 'I, fiir alle £ E I und V; = X, fiir alle £ E I mit hochstens endlich vielen Ausnahmen) besteht.
Satz 5.10 liefert unmittelbar das folgende KoroIlar 5.12. Dabei vereinbaren wir als Bezeichnung: Fiir Xc W sei 23~ := 23 P IX. 5.12 Korollar. Fur X 23P = 23 1 0 ... 0 23 1 .
c
W, Y
c
IRq gilt 23~ 0 1J3~
=
3. Mefibarkeit der Diagonalen. 5.13 Beispiel. Es seien (X, Ql), (Y, IB), (Z, It) MeBraume, und es sei D,z := {(x, x) : x E Z} E It ® It ;
23~+xqy; speziell ist
116
III. Meßbare Funktionen
Z heißt die Diagonale von Z × Z. Ferner seien f : (X, A) → (Z, C) , g : (Y, B) → (Z, C) meßbar. Die Abbildung F : X × Y → Z × Z , F (x, y) := (f (x), g(y)) (x ∈ X , y ∈ Y ) ist nach Satz 5.6 meßbar. Es folgt: {(x, y) ∈ X × Y : f (x) = g(y)} = F −1 ( Z ) ∈ A ⊗ B . ur den Graphen G(f ) jeder meßbaren Im Spezialfall (Z, C) = (Y, B) , g = idY erhalten wir: F¨ Abbildung f : (X, A) → (Y, B) gilt G(f ) := {(x, f (x)) : x ∈ X} ∈ A ⊗ B , vorausgesetzt, daß Y ∈ B ⊗ B. Da Y gleich dem Graphen von idY ist, liefert umgekehrt die Meßbarkeit von G(f ) f¨ ur alle meßbaren f auch die Relation Y ∈ B ⊗ B. – N¨ utzliche Kriterien f¨ ur die Meßbarkeit der Diagonalen enth¨ alt der n¨ achste Satz. 5.14 Satz. F¨ ur jeden Meßraum (X, A) sind folgende Aussagen a)–d) ¨aquivalent: a) Es gibt eine abz¨ahlbare Menge E ⊂ A, die die Punkte von X trennt. b) Es gibt eine Menge M ⊂ [0, 1] und eine meßbare Bijektion f : (X, A) → (M, B1 |M ). c) X = {(x, x) : x ∈ X} ∈ A ⊗ A. d) Es gibt eine abz¨ahlbar erzeugte σ-Algebra C ⊂ A mit {x} ∈ C f¨ ur alle x ∈ X. ∞ Beweis. a) =⇒ b): Trennt E = {An : n ∈ N} ⊂ A die Punkte von X, so ist f := n=1 3−n χAn eine meßbare Injektion von X in [0, 1]; das zeigt man wie in den Beweisen der S¨ atze 4.16, 4.17. b) =⇒ c): Nach Beispiel 5.13 gilt f¨ ur jede gem¨ aß b) gew¨ahlte meßbare Bijektion f : X → M : {(x, y) ∈ X × X : f (x) = f (y)} ∈ A ⊗ A . Wegen der Injektivit¨ at von f ist aber letztere Menge gleich X . c) =⇒ d): Wegen X ∈ A ⊗ A gibt es eine abz¨ ahlbare Menge E ⊂ A, so daß X ∈ σ(E ∗ E) (s. Aufgabe I.4.2). Wegen σ(E ∗ E) = σ(E) ⊗ σ(E) liefert Korollar 5.8: {x} ∈ σ(E) f¨ ur alle x ∈ X. d) =⇒ a): Klar nach Lemma 4.15. 2 5.15 Korollar. Ist (X, A) ein Meßraum mit X ∈ A ⊗ A, so gilt |X| ≤ |R|. Beweis. Nach Satz 5.14, d) ist |X| ≤ |C|, und Aufgabe I.6.5 liefert |C| ≤ |R|.
2
5.16 Bemerkung. Es sei (X, T) ein Hausdorff-Raum. Dann ist X abgeschlossen in X × X, also X ∈ B(X × X). Gilt nun B(X × X) = B(X) ⊗ B(X), so folgt nach Korollar 5.15: |X| ≤ |R|. F¨ ur jeden Hausdorff-Raum X mit |X| > |R| gilt also B(X × X) ⊃ = B(X) ⊗ B(X).
Aι ) , (Yι , B aume, fι : Xι → Yι Aufgaben 5.1. Es seien (Xι , ι ) (ι ∈ I) nicht-leere Meßr¨ Abbildungen. Die Funktion f : X → Y , f ((x ) ) := (f (x ))ι∈I ist genau dann ι ι ι ι∈I ι ι ι∈I ι∈I ι∈I Aι ι∈I Bι -meßbar, wenn alle fι : (Xι , Aι ) → (Yι , Bι ) (ι ∈ I) meßbar sind. aume, Aι ⊂ Xι , Aι = ∅ (ι ∈ I). Ist ι∈I Aι ∈ ι∈I Aι , so gilt 5.2. Es seien (Xι , Aι ) Meßr¨ Aι ∈ Aι (ι ∈ I). Unter welcher Zusatzvoraussetzung gilt die Umkehrung? 5.3. Es seien T die gew¨ ohnliche Topologie von R und Tr die rechtsseitige Topologie“, die ” von den Intervallen [a, b[ (a, b ∈ R , a < b) erzeugt wird. a) Die R¨ aume (R, T) , (R, Tr ) haben die gleichen Borel-Mengen. (Hinweis: Kelley [1], S. 58, J, (d).) b) F¨ ur die Produkttopologie T2r von Tr mit sich selbst gilt: B(R2 , T2r ) ⊃ = B(R, Tr ) ⊗ B(R, Tr ). 5.4. Ist (X, T) ein erblich Lindel¨ ofscher topologischer Raum und V eine Subbasis von T, so ist σ(V) = B(X).
§ 5. Produkt-cr-Algebren
117
5.5. a) 1st C(Y) die Menge alier stetigen reeliwertigen Funktionen auf dem metrischen Raum
Y, so gilt:
~(Y) =
I(I : I
E
C(Y)).
b) Es seien (X,21) ein MeBraum, Y ein metrischer Raum und In: X --; Y (n E)\if) eine Folge meBbarer Funktionen, die punktweise gegen I : X --; Y konvergiere. Dann ist I 2l-~(Y) meBbar. (Hinweis: Satz 5.6. - Bemerkung: Von Y wird nur gebraucht, daBjedes abgeschlossene A c Y von der Form A = g-l( {O}) mit geeignetem 9 E C(Y) ist. Nach ENGELKING [1], S. 69, 1.5.19 ist letztere Bedingung fiir einen Tl-Raum Y gleichbedeutend damit, daB Y vollstiindig normal ist, d.h. daB Y normal ist und daB jede abgeschlossene Teilmenge von Y eine G 8 Menge ist.) 5.6. Es seien X ein topologischer Raum mit abzahlbarer Basis (Un)n>l und (Y, d) ein metrischer Raum. Dann ist ~(X x Y) = ~(X) ® ~(Y). (Hinweis: Fiir offenes U c X x Y und n, k E )\if seien Vn,k die Menge der y E Y mit Un X K(y, i) c U und Wn,k die Vereinigung der K(y, lnit y E Vn,k' Dann ist U = Un,k~l Un X Wn,k E ~(X) ® ~(Y).)
i)
5.7 Faktorisierungssatz. Tragt X die 1nitial-cr-Algebra bez. t : X --; (Y, ~), so ist eine Funktion I : X --; (JR, ~l) genau dann t-l(~)-meBbar, wenn es eine meBbare Funktion g: (Y,~) --; (JR,~l) gibt lnit I = got. (Hinweis: Fiir alle x,y E X mit t(x) = t(y) ist I(x) = I(y). Daher existiert eine Funktion 9 : t(X) --; JR mit I = got. Aufgabe 4.15 liefert das Gewiinschte.)
Analog zum Begriff der Finaltopologie werden in den folgenden Aufgaben Final-cr-Algebren diskutiert. Dabei unterstellen wir folgende Vomussetzungen und Bezeichnungen: Es seien (X., 2l.) (~E I) MeBraume, X eine Menge und I. : X. --; X (~E I). 5.S. Es gibt eine beziiglich mengentheoretischer 1nklusion groBte cr-Algebra 2l auf X, in bezug auf welche alle I. (~E I) meBbar sind, und zwar ist 2l = F(I. : ~ E I) := n{A eX: 1.-l(A) E 2l.} . • EI
F(I. : ~ E I) heiBt die Final-cr-Algebm auf X bez. (1.).0. 5.9. 1st (Y,~) ein weiterer MeBraum, so ist 9 : X --; Y genau dann F(I. : ~ E I)-!B-meBbar, wenn alle 9 a I. : (X., 2l.) --; (Y, ~) (~E I) meBbar sind. 5.10. Fiir jedes ~ E I sei K. eine weitere 1ndexmenge, und es seien MeBraume (Y,.", !B u ,) (~E I, "" E K.) gegeben lnit Abbildungen g." : Y,." --; X., so daB 2l. = F(g." : "" E K.) (~E I). Dann gilt:
Diagramm:
(Transitivitat der Bildung der Final-cr-Algebra). 5.11. Es sei S := {(~, x) : ~ E I, x E X,} die "disjunkte Vereinigung der X, (~E I) ", und fiir ~ E I sei q, : X, --; S, q,(x) := (~, x) (~E I, x E X,) die kanonische Einbettung. Wird S lnit der Final-cr-Algebra F(q, : ~ E I) versehen, und setzt man I : S --; X , I((~, x)) := I,(x) (~E I, x E X,), so gilt: F(I, : ~ E I) = F(I). (D.h.: Jede Final-cr-Algebra laBt sich bereits als Final-cr-Algebra bez. einer einzigen Abbildung darstellen.) 5.12. Es seien (X,21) , (Y,~) MeBraume und I: (X,21) --; (Y,~) meBbar. Ferner seien R:= E X x X : I(x) = I(y)} die durch I induzierte .Aquivalenzrelation, q : X --; XI R die kanonische Abbildung, welche jedem Element von X seine .Aquivalenzklasse mod R zuordnet, 9 : XI R --; I(X) die durch I induzierte Bijektion, die jedem Element von XI R das eindeutig bestimmte Bild eines seiner Reprasentanten zuordnet, und j : I(X) --; Y die kanonische
{(x, y)
III. MeBbare Funktionen
118
Inklusionsabbildung. Dann sind in der kanonischen Faktorisierung
(X,Ql)
~
Ii
d (XjR,:F(q)) alle Abbildungen meJ3bar.
(Y,~)
...!4
(f(X), ~lf(X))
Kapitel IV Das Lebesgue-Integral «Le progres essentiel obtenu par MM. Borel et Lebesgue dans la theorie de la mesure, est d'avoir realise l'additivite au sens complete Toute la superieurite de leur theorie vient de lao II importe toutefois de dire que la premiere idee de cette theorie revient it M. Borel. L'reuvre propre de M. Lebesgue ne commence qu'avec les integrales definies.»l (CR. DE LA VALLEE POUSSIN [1J, S. 17)
Bei der Einfuhrung des Integralbegriffs folgen wir einem Weg, der im wesentlichen von W.R. YOUNG vorgeschlagen wurde und der sich auf die Benutzung monotoner Folgen stutzt. Dieser Zugang zeichnet sich dadurch aus, daB von vornherein auch unbeschrankte Funktionen und MaBraume unendlichen MaBes ohne jeden Mehraufwand einbezogen werden, und die konstruktive Integraldefinition liefert automatisch fur viele Aussagen einen effizienten Beweisansatz. Die Brucke zur ursprunglichen Definition von Lebesgue schlagen wir in Aufgabe 3.1. Wir legen fur das ganze Kapitel IV folgende Voraussetzungen und Bezeichnungen fest: (X, 2(, f-L) sei ein MaBraum; MeBbarkeit von Funktionen f : X ~ JR bzw. f : X ~ ce ist stets in bezug auf die a-Algebra 2( zu verstehen. M sei die Menge der meBbaren numerischen Funktionen f : X ~ IR und M+ die Menge der nicht-negativen Funktionen aus M. Weiter seien T die Menge der (reellwertigen) Treppenfunktionen und T+ die Menge der nicht-negativen Funktionen aus T.
1 Der wesentliche Fortschritt, der in der MaBtheorie von den Herren Borel und Lebesgue erzielt wurde, besteht darin, die Bedeutung der a-Additivitat erkannt zu haben. Die ganze Uberlegenheit ihrer Theorie kommt daher. Es ist jedoch wichtig festzustellen, daB die erste Idee dieser Theorie von Herrn Borel stammt. Das eigentliche Werk von Herrn Lebesgue beginnt erst bei den bestimmten Integralen.
119Springer-Lehrbuch, J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 7. Aufl., DOI 10.1007/978-3-642-17905-1_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011
120
§ 1.
IV. Das Lebesgue-Integral
Integration von Treppenfunktionen "Starting from such simple integrals the whole theory of integration follows by the Method of Monotone Sequences." (W.H. YOUNG: On integration ... , Proc. London Math. Soc. (2) 13, 109-150 (1914))
Bei der EinfUhrung des Integralbegriffs gehen wir in drei Schritten vor: Zunachst definieren wir in § 1 das Integral fUr nicht-negative Treppenfunktionen, dehnen dann in § 2 mit Hilfe monotoner Folgen die Definition aus auf beliebige Funktionen aus M+ und fUhren anschlieBend in § 3 den Integralbegriff fUr integrierbare Funktionen zuruck auf den Integralbegriff fUr Funktionen aus M+.
f
1.1 Lemma. Die Funktion
E
T+ habe die Darstellungen
m
f
=
n
L ajXA = L f3kX j
j=1
Bk
k=l
m
n
j=1
k=1
Beweis. Mit Am+! := B 1 , •.. , Am+n := Bn sei ~ die Menge aIler Durchschnitte n M , wobei Mi E {Ai, fUr aIle i = 1, ... , m + n. Je zwei verschiedene i Mengen aus ~ sind disjunkt, denn fUr geeignetes i ist die eine enthalten in Ai, die andere in Ai. Jedes Ai (i = 1, ... , m + n) ist gleich der Vereinigung aIler Elemente von ~ mit Mi = Ai. Sind nun C 1 , • •• ,Cr die verschiedenen Elemente von ~, so hat f genau eine DarsteIlung f = L~=1 "'fIXez mit 1'1, ••• , I'r 2 0, und aus Symmetriegrunden genugt es zu zeigen, daB
n::i
An
m
r
j=1
1=1
Nach Definition gilt nun fUr aIle I = 1, ... ,r: 1'1
=
L
aj,
j=l •... ,1'1t: GleAj
und es folgt:
~
1'1IJ,(C1)
=
~ (j=2=, 0C~
a j ) fJ,(CI )
=
~aj =t=.",
fJ,(CI )
I
=
~ajfJ,(Aj),
0C~
denn jedes Aj ist gleich der disjunkten Vereinigung der in Aj enthaltenen C l •
o
§ 1. Integration von Treppenfunktionen
121
Nun ist folgende Definition sinnvoll, denn sie hangt nicht ab von der Auswahl der Darstellung von f. 1.2 Definition. Fur f E T+ , 2t heiBt
f
=
2:7=1 ajXAj mit al,···, am :::: 0, AI' ... ' Am E
das (/1-)Integral von f (uber X). Das Integralzeichen wurde 1675 von G.W. LEIBNIZ (1646-1716) eingefiihrt. Es stellt ein stilisiertes ,,8" dar und soli an ,,8umme" erinnern. Das Wort Integral (von lat. integer = ganz, vollstandig) wurde von JOHANN BERNOULLI (1667-1748) gepragt und erscheint erstmals 1690 im Druck in einer Arbeit von JAKOB BERNOULLI (1654-1705).
1.3 Folgerungen. a) Fur aIle A E IX ist
Ix
XA
d/1 = /1(A) .
b) Fur aIle f,g E T+ und a,j3 E JR, a,j3:::: 0 gilt
Ix
(af
+ j3g)d/1 =
a
Ix
f d/1 + j3
Ix
9 d/1.
c) Fur aIle f,g E T+ mit f:S 9 gilt
Ix
f d/1 :S
Ix
9 d/1 .
Beweis. a) und b) sind klar (wegen Lemma 1.1). c) Es ist 9 = f + (g - j), und hier ist 9 - f E T+. Daher folgt nach b)
Ix
9 d/1 =
Ix
f d/1 +
Ix
(g - j) d/1::::
Ix
f d/1 .
o Bisher wurde in Kap. IV nur die endliche Additivitat von /1 benutzt. Die Ergebnisse aus § 1 gelten daher sinngemaB auch fUr Inhalte auf Algebren anstelle von MaBen. Erst von § 2 an wird die a-Additivitat von /1 eine entscheidende Rolle spielen.
Aufgaben. 1.1. Fiir aile
Ix
f d/l
=
sup
f
E
T+ gilt:
{~(inf{f(x): x E Bk}) ·/l(Bk): B b ·· .,Bn E ~ disjunkt, k01 Bk = X}
inf{~(SuP{f(X): x E Ck }) ·/l(Ck): Cb···,Cn E ~disjunkt, k01 Ck = X} .
122
IV. Das Lebesgue-Integral
1.2. Fiir jedes
f
E T+ ist J.tf : Qt-+
i:, J.tf(A)
:=
Ix f· XA dJ.t ein MaB auf Qt.
1.3. Es seien 0 < al < ... < an die (endlich vielen) verschiedenen positiven Werte, die E T+ annimmt; ao := O. Dann gilt:
f
§ 2.
Integration nicht-negativer me6barer Funktionen "(1) The function whose integral is required is approached as limiting function by discontinuous functions, whose integrals are already known ... (2) The mode in which the limiting function is approached is by means of monotone sequences of these functions, and it is shown that, whatever monotone sequence of functions of the elementary type in question be employed, the limit of their integrals is necessarily the same." (W.H. YOUNG [1])
1. Definition des Integrals. Nach dem Vorgehen von W.H. YOUNG erweitern wir den Integralbegriff durch Bildung monotoner Limites von Funktionen aus T+: Zu jedem f E M+ gibt es nach Satz II1.4.13 eine Folge (Un)n>l in T+ mit Un t f (n ---+ 00), und es bietet sich die Definition -
r
1X f
dJ1:= lim n--+oo
r
1X Un dJ1
an. Diese Definition erweist sich als sinnvoIl, denn sie hangt nicht ab von der spezieIlen Auswahl der Folge (Un)n~l. Der Nachweis der Unabhangigkeit von der spezieIlen Auswahl beruht auf folgendem Satz: 2.1 Satz. Fur jede wachsende Folge v E T+ mit v :::; lillin--+oo Un gilt
(Un)n~l
von Funktionen aus T+ und jedes
rv dJ1:::; lim 1r Un dJ1 .
lx
n--+oo
X
Beweis. Es sei v = L7=1 ajXAj mit al, ... , am 2:: 0 und disjunkten AI' ... ' Am E 2L Fur festes f3 > 1 und n E N set zen wir Bn := {f3u n 2:: v} (E Ql). 1st nun x E X und v(x) = 0, so ist x E Bn fUr aIle n E N. 1m FaIle v(x) > 0 ist limk--+oof3uk(x) > v(x), also x E Bn fUr aIle hinreichend groBen n E N. Es folgt: Bn t X, und nach Definition von Bn ist f3u n 2:: v . XBn. Die Stetigkeit des MaBes von unten impliziert daher
Ix
m
m
lim'"' ajJ1(Aj n Bn) v dJ1 = '"' L.J ajJ1(Aj ) = n-t 00 L..-t j=l
lim n--+oo
j=l
V· XBn dJ1:::; lim f3 r u 1r X n--+oo 1X
Der Grenzubergang f3 -I- 1 liefert die Behauptung.
n
dJ1 = f3 lim n--+oo
u 1r x
n
dJ1.
o
§ 2. Integration nicht-negativer meBbarer Funktionen
123
Bemerkung. Der Beweis von Satz 2.1 benutzt die a-Additivitat von p, in Form der Stetigkeit des MaBes von unten. Die a-Additivitat von p, ist sogar gleichbedeutend mit der Giiltigkeit der Aussage von Satz 2.1, d.h.: Gilt Satz 2.1 fur den Inhalt p, auf 2l, so ist p, ein MajJ. (Zum Beweis gelte A, An E 2l (n E N) und An t A. Wendet man die Voraussetzung an auf Un := XA n , V := XA, so folgt p,(A) :::; limn--?oo P,(An). Die umgekehrte Ungleichung ist klar. D) 2.2 Korollar. Sind (Un)n~l' (Vn)n~l zwei wachsende Folgen von Funktionen aus T+ mit liffin--?oo Un = limn--?oo Vn , so gilt lim { Un dp, = lim { Vn dp, . n--?oo 1x n--?oo 1x
Beweis. Fiir alle kEN ist Vk :::; liffin--?oo Un, also nach Satz 2.1 { Vk dp,:::; lim { Un dp, , n--?oo lx
lx und fUr k
~
00 ergibt sich
lim { Vk dp,:::; lim { Un dp,. k--?oo 1X n--?oo 1X Aus Symmetriegriinden folgt die Behauptung.
D
2.3 Definition. Es seien f E M+ und (U n )n>l eine Folge von Funktionen aus T+ mit Un t f. Dann heiBt das von der Auswahl der Folge (Un)n~l unabhangige Element { f dp,:= lim { Un dp, (E [0,00]) lx n--?oo lx das (p,-)Integral von f (iiber X). Schreibt man U E T+ als Limes der konstanten Folge Un := U (n EN), so erhellt, daB Definition 2.3 fUr Treppenfunktionen denselben Integralwert liefert wie Defintion 1.2. - Die Folgerungen 1.3 gelten entsprechend (beachte: 0·00 = 0): 2.4 Folgerungen. a) Fiir aile
Ix b) Fiir alle
f, 9
E
(af
+ (3g)
f, 9 dp,
E M+ und a, (3 E [0,00] gilt
=a
Ix
f dp, + (3
Ix
9 dp,.
M+ mit f :::; 9 gilt
Ix
f dp, :::;
Ix
9 dp, .
Beweis. a) Es seien zunachst 0 :::; a < 00 und Un E T+, Un aU n E T+ , aU n t af, und es folgt
t
f. Dann ist
{ af dp, = lim { aU n dp, = lim a { Un dp, = a { f dp,. n--?oo 1x n--?oo 1x 1x
1x
124
IV. Das Lebesgue-Integral
{f > O} und haben n· XA too· f, also
1st a = 00, so setzen wir A :=
roo. f d
ix
= { 0, falls /L(A) = 0, 00, falls /L(A) >
/L
o.
1st nun /L(A) > 0 und An := {J > ~} (n EN), so gibt es wegen An t A ein n E N mit /L(An) > 0, und es folgt (nach Satz 2.1) Ix f d/L ;::: Ix ~XAn d/L > 0, also 00 . Ix f d/L = 00. 1st dagegen /L(A) = 0, und U E r+, U :::; f, so ist {u > O} c A und daher Ix U d/L = 0, folglich auch Ix f d/L = O. Ergebnis: Ix d/L = a Ix d/L fur alle a E [0,00]. Nun ist nur noch IxU + g) d/L = Ix f d/L + Ix 9 d/L zu zeigen. Dazu wahlen wir Un, Vn E r+ mit Un t f, Vn t g. Dann gilt Un + Vn t f + g, und Folgerung 1.3 b) liefert
af
f
r
lim (un n---+ooix
+ Vn) d/L
r
r
r
r
lim Un d/L + lim Vn d/L = f d/L + 9 d/L . n---+ooix n---+ooix ix ix b) Es ist 9 =
f + (g - f),
wobei 9 -
f
E
M+, und a) ergibt
D
2.5 Korollar. Fur alle
f
E M+ gilt
if d/L = {i U d/L : U sup
Beweis. Fur alle U E
r+
mit U :::;
E
r+ , U :::;
f} .
f gilt Ix f d/L ;::: Ix U d/L, also
if d/L ;::: {i U d/L : U sup
E
r+ , U :::;
f} .
Die umgekehrte Ungleichung ist auf Grund der Integraldefinition evident. 2.6 Satz. Fur
f
E M+ gilt
if d/L =
0
genau dann, wenn {f > O} eine /L-Nullmenge ist. Beweis. Fur A:= {J > O} und An := {J >~} (n E N) gilt An Es sei zunachst Ix f d/L = O. Aus ~XAn :::; f folgt dann
t
A.-
D
§ 2. Integration nicht-negativer meBbarer Funktionen
125
d.h. Il(An) = 0 (n EN). Wegen An t A ist daher Il(A) = O. 1st umgekehrt Il(A) = 0, so folgt aus i ::; ooXA nach Folgerung 2.4
o ::; also
Ix i
Ix
i dll ::;
00 .
Ix
XA dll
= 0, o
dll = O.
2. Der Satz von der monotonen Konvergenz. Der folgende Satz von der monotonen Konvergenz von B. LEVI (1875-1961) zahlt zu den wichtigsten Konvergenzsatzen der Integrationstheorie. Bemerkenswert ist, daB dieser Satz fUr beliebige wachsende Folgen aus M+ gilt, wobei unendliche Werte durchaus zugelassen sind. Diese Tatsache ist wesentlicher Grund fUr die Betrachtung meBbarer numerischer Funktionen auf X, die den Wert 00 annehmen durfen, und fUr die Integraldefinition, in welcher auch der Wert 00 des Integrals zugelassen wird. 2.7 Satz von der monotonen Konvergenz (B. wachsende Folge (fn)n?:l von Funktionen aus M+ gilt
1[
X
(lim in) dll n--+oo
LEVI
1906)2. Fur jede
= lim [ in dll· n--+oo
JX
Beweis. Zunachst ist i := limn-too in E M+. Fur alle kEN ist ik ::; i, also ik dll ::; i dll und daher
Ix
Ix
lim [ ik dll::; [ i dll . k-too } X } X Zum Beweis der umgekehrten Ungleichung sei u E T+ , U ::; i. Fur (3 > 1 set zen wir Bn := {(3 in 2:: u} und erhalten: Bn E 2(, Bn t X und (3 in 2:: u . XBn' Bier gilt u . XBn E T+ und u . XBn t u. Nun impliziert Satz 2.1:
und da (3 > 1 beliebig ist, folgt weiter
Korollar 2.5 liefert nun die Behauptung.
o
Ohne die Voraussetzung der Monotonie wird die Aussage des Satzes von der monotonen Konvergenz falsch; Beispiel: Es seien (X, 2(, Il) := (JR,!B 1, (31) und in := ~X[o,nl' Dann konvergiert (fn)nEN auf ganz JR gleichmaBig gegen 0, aber die Folge der Integrale IIR in d(31 = 1 konvergiert nicht gegen O. 2B. LEVI: Sopra l'integrazione delle serie, Rend. Reale Inst. Lombardo di Sci. e Lett., Ser. II, 39, 775-780 (1906); H. LEBESGUE: Brief an M. FRECHET, 4.1. 1906, Rev. Hist. Sci. 34, 149-169 (1981); H. LEBESGUE [2], S. 115.
126
IV. Das Lebesgue-Integral
2.8 Korollar. Filr jede Folge (fn)n?l von Funktionen aus M+ gilt
Beweis. Anwendung des Satzes von der monotonen Konvergenz auf die Folge der Teilsummen der Reihe 2:::=1 fn; dabei ist die Additivitat des Integrals auf M+ zu beachten. 0
2.9 Beispiel. Es seien X := N, 2l:= ~(N) und p, das ZahlmaB auf 2l. Dann ist M+ gleich der Menge aller Funktionen f : N -+ [0,00]. Wir zeigen: Fur alle f E M+ ist
Beweis: Mit gn := f(n) . X{n} E M+ ist f =
Ix
2:::=1 gn, also nach Korollar 2.8
Ix
Nach Folgerung 2.4, a) ist aber gn dp, = f(n) X{n}dp, = f(n). 0 Es seien weiter fn : N ---+ [0,00] (n E N) und fn(k) =: ank (n, kEN). Dann liefert Korollar 2.8: Fur alle ank E [0, 00] (n, kEN) gilt
3. Kurzbiographie von B. LEVI. BEPPO LEVI wurde am 14.5.1875 in Turin geboren, studierte 1892-1896 Mathematik an der Universitat seiner Heimatstadt u.a. bei G. PEANO und V. VOLTERRA und promovierte 1896 bei C. SEGRE (1863-1924) mit seiner Arbeit iiber ein Thema aus der algebraischen Geometrie. Er wirkte bis 1899 als Assistent am Lehrstuhl fiir projektive und deskriptive Geometrie, anschlieBend wurde er Professor an der Technischen Hochschule Piacenza (1901) und den Universitaten Cagliari (1906), Parma (1910) und Bologna (1928), wo er 1951 emeritiert wurde. Wegen seiner jiidischen Abstammung diskriminiert, emigrierte LEVI 1939 mit seiner Familie nach Argentinien, wo er an der Universitat Rosario eine neue Wirkungsstatte (1939-1961) fand. Er starb am 28.8.1961 in Rosario. Die wissenschaftlichen Veroffentlichungen von B. LEVI sind vielseitig: Er begann mit Arbeiten zur algebraischen Geometrie, beteiligte sich an der Diskussion urn das Auswahlaxiom und lieferte Beitrage zur Mengenlehre und zur Lebesgueschen Integrationstheorie. In der Geometrie publizierte er iiber projektive Geometrie und den absoluten Differentialkalkiil, in der Physik iiber Quantenmechanik, in der Zahlentheorie iiber die arithmetische Theorie ternarer kubischer Formen, in der reellen Analysis iiber partielle Differentialgleichungen und das Dirichletsche Prinzip und in der Funktionentheorie iiber elliptische Funktionen. F. RIESZ (Zur Theorie des Hilbertschen Raumes, Acta Sci. Math. Szeged 7, 34-38 (1934-35)) benutzte eine von B. LEVI fiir das Dirichletsche Prinzip schon 1906 verwendete SchluBweise und bewies den Projektionssatz: 1st U ein abgeschlossener Unterraum des Hilbertraumes H, so hat jedes f E H genau eine Zerlegung der Form f = 9 + h mit 9 E U, h ~ U. Dieser Satz wird bisweilen auch nach B. LEVI benannt und ist die geometrische Grundlage fiir den Darstellungssatz von F. RIESZ fiir stetige lineare Funktionale auf einem Hilbert-Raum. Der Beweis
§ 2. Integration nicht-negativer meBbarer Funktionen
127
des Projektionssatzes beruht auf der Ungleichung von B. LEVI: 1st U ein Untervektorraum des euklidischen oder unitiiren Vektorraums V und hat x E V von U den Abstand d, so gilt lur aUe u,v E U: lIu - vJJ :::; v'JJx - UJJ2 - d2 + v'lIx - VJJ2 - d2 • Besondere Verdienste erwarb sich B. LEVI auch als Organisator (Begriindung mathematischer Zeitschriften in Argentinien), akademischer Lehrer und Lehrbuchautor.
4. Mafle mit Dichten. Ais weitere Anwendung des Satzes von der monotonen Konvergenz zeigen wir, wie sich mit Hilfe nicht-negativer meBbarer Funktionen MaBe mit Dichten konstruieren lassen. 2.10 Satz. Fur jedes f E M+ ist f 8 p, : 2l --+ (f 8 p,)(A) :=
Ix
JR,
f· XA dp,
(A E 2l)
ein Map auf 2l, das sog. Map mit der Dichte f in bezug auf p,. Beweis. Zum Nachweis der (j-Additivitat sei A = U:=l An mit disjunkten An E 2l (n EN). Dann ist f· XA = 2::=1 f· XA n , und Korollar 2.8 ergibt sogleich die Behauptung. 0
2.11 Korollar. Fur jedes f E M+ ist f8p, "stetig" in bezug auf p, infolgendem Sinne: Fur alle A E 2l mit p,(A) = 0 gilt f 8 p,(A) = O. Beweis. 1st A E 2l eine p,-Nullmenge, so ist auch {f· XA > O} eine p,-Nullmenge, und die Behauptung folgt aus Satz 2.6. 0
2.12 Satz. Fur alle f, 9 E M+ gilt:
Ix
f d(g 8 p,) =
Insbesondere ist f 8 (g 8 p,)
Ix
(f. g) dp,.
= (f . g) 8 p,.
Beweis. Nach Definition von g8p, gilt die erste Gleichung fUr aIle f = XA (A E 2l), also auch fUr aIle f E T+. 1st nun f E M+ beliebig, so wahlen wir eine Folge von Funktionen Un E T+ (n E N) mit Un t fund erhalten
lim r u n d(g8p,) = lim r(un·g)dp,= r(f·g)dp,j ixr fd(g8p,) = n-+ooix n-+ooix ix die letzte Gleichung folgt aus dem Satz von der monotonen Konvergenz. - Die zweite Aussage folgt aus der ersten durch Ersetzen von f durch f· XA (A E 2l).
o
Aufgaben.2.1. Sind (Jln)nEN eine Folge von MaBen auf~ mit Jln N) mit In t I, so gilt:
r
lim In dJln = n-too}x
lxr I
dJl.
t
Jl und l,fn E M+ (n E
128
IV. Das Lebesgue-Integral
(Hinweis: Es ist bequem, die Behauptung zunachst im Fall f = fn (n E N) zu beweisen.) 2.2. Sind (Jln)n?:1 eine Folge von MaBen auf 21 und Jl :=
2.3. 1st
f
E M+ und
Ix f
dJl <
00,
L::::"=I Jln, so gilt fUr alle f
so gilt fUr jedes € > 0: Jl( {f
E M+:
> €}) < 00.
2.4. Es seien An E 21 (n E N) und Bm die Menge der x E X, die in mindestens m der Mengen An liegen (m E N). Dann ist Bm E 21 und mJl(Bm) :::; L::::"=I Jl(An).· 2.5. a) Fiir aIle
f E M+ gilt:
Ix f
dJl
=
sup
{~(inf{f(X) : x E Ad)Jl(Ak) : n E N,
AI, ... , An E 21 disjunkt, X =
U
Ak} .
k=1
b) Bleibt Aussage a) richtig, wenn man anstelle endlicher Zerlegungen von X abzahlbare Zerlegungen zugrundelegt? 2.6. Es seien (X, 21, Jl) := (lR,~, AI~), (rn)n>1 eine Abzahlung von Q, An :=]rn, rn + n- 3 [ und f := L::::"=I n . XAn· a) III. fdA < 00 und A( {f = oo}) = o. b) Die Abzahlung (rnk:>:1 laBt sich so wahlen, daB fUr jedes Intervall 1 C ~ mit A(I) > 0 gilt:
LXI. P
dA =
00 .
c) Es gibt ein a-endliches MaB 1/ : ~ --+ i:, so daB 1/(1) = positiver Lange, wahrend 1/( {a}) = 0 fiir alle a E ~.
§ 3.
00
fiir jedes Intervall 1 C ~ von
Integrierbare Funktionen "When we come to consider unbounded functions no fresh difficulty arises in the application of our original principle, provided always we consider ... the two positive functions iI and 12 whose difference is f and whose sum is the modulus of f." (W.H. YOUNG: On the new theory of integration, Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 88, 170-178 (1913))
1. Integrierbare Funktionen. In einem dritten und letzten Konstruktionsschritt dehnen wir den Integralbegriff aus auf geeignete meBbare Funktionen. Dabei wird gleich der Fall komplexwertiger Funktionen mit erfaBt. Wir legen folgende Bezeichnungen fest: Es seien][ = lR oder C versehen mit der a-Algebra ~(][) = ~ bzw. ~2 und
i
:=
lR oder C versehen mit der a-Algebra ~
:= ~
bzw. ~2
•
129
§ 3. Integrierbare Funktionen
Fiir jede Funktion f : X ---+ If( sind der Realteil Ref und der Imaginarteil 1m f erklart; fiir If( = i: ist Ref := f, 1m f := 0 zu setzen. f : (X,2l) ---+ (If(,~) ist genau dann meBbar, wenn aIle Posit iv- und Negativteile (Ref)±, (1m f)± meBbar sind. 3.1 Definition. Eine Funktion f : X ---+ If( heiBt (f1-)integrierbar (iiber X), wenn f mej1bar ist und wenn die vier Integrale (3.1) aIle endlich sind, und dann heiBt die reelle bzw. komplexe Zahl
Ix f
(3.2)
das (f1-)Integral von f1 ).
df1 :=
Ix
(Ref) + df1-
+i
Ix
Ix
(Ref)- df1
(1m f)+ df1- i
Ix
(1m f)- df1
f (iiber X) oder das Lebesgue-Integral von f (iiber X bez.
Wenn die Deutlichkeit eine klare Kennzeichnung der Integrationsvariablen erfordert, schreiben wir ausfiihrlicher
Eine Funktion f E M+ ist genau dann integrierbar, wenn ihr f1-Integral fiber X endlich ist, und das Integral (3.2) stimmt dann mit der friiheren Begriffsbildung iiberein. Eine Funktion f : X ---+ i: ist genau dann integrierbar, wenn f mej1bar ist und wenn die f1-Integrale von f+ und f- fiber X endlich sind, und dann ist
(3.3) Eine Funktion f : X ---+ C ist genau dann integrierbar, wenn Ref und 1m f integrierbar sind, und dann gilt
(3.4)
Ix Re
Ix
(Ref) df1 + i
f df1
=
(Ix
f d f1 ) =
Ix
Ix
(Ref) df1
(Imf) df1, ,
1m
(Ix
f d f1 ) =
Ix
(1m f) df1.
Natiirlich kann man mit (3.3) und den Konventionen aus Kap. III, § 4, 1 fiir jedes meBbare f : X ---+ i: ein Integral definieren, bei dem ±oo als Werte des Integrals zugelassen sind. Ein so allgemeiner Integralbegriff ist jedoch wenig zweckmaBig, da die iiblichen Rechenregeln nicht richtig sind. Gelegentlich wird bei uns aber der Fall eine Rolle spielen, daB auf der rechten Seite von (3.3) hochstens ein Term unendlich wird:
130
IV. Das Lebesgue-Integral
3.2 Definition. Eine Funktion f : X -+ lR heiBt quasiintegrierbar genau dann, wenn f mefibar ist und wenn mindestens eines der Integrale f+ dJ1, f- dJ1 endlich ist, und dann heiBt
Ix
Ix
(3.5) das (J1-)Integral von f (tiber X). Insbesondere ist jedes f E M+ quasiintegrierbar, und der Integralwert (3.5) stimmt mit der frtiheren Definition tiberein. 3.3 Satz. Fur jede Funktion f : X -+ Jk sind folgende Aussagen a)-f) iiquivalent: a) fist integrierbar. b) Ref und 1m f sind integrierbar. c) (Ref)± und (1m f)± sind integrierbar. d) Es gibt integrierbare Funktionen p, q, r, s E M+ mit f = p - q + i(r - s). e) fist mefibar, und es gibt ein integrierbares g E M+ mit If I :::; g. f) fist mefibar und If I integrierbar. Eine Funktion g ::::: 0 mit If I :::; g heiBt eine Majorante von If I· Die Aquivalenz von a) und e) besagt: Eine Funktion f : X -+ Jk ist genau dann integrierbar, wenn sie mefibar ist und wenn If I eine integrierbare Majorante hat. Beweis von Satz 3.3. Die Aquivalenz von a)-c) ist klar, ebenso "c) ===? d) ". Zum Nachweis von "d) ===? e)" set zen wir g:= p+ q + r + s. Weiter ist "e) ===? f)" klar, denn If I ist meBbar und aus If I :::; g mit integrierbarem g E M+ folgt die Integrierbarkeit von If I· Die Implikation "f) ===? a)" ist ebenfaIls klar, denn f ist meBbar, und (Ref)± , (1m f)± E M+ haben aIle die integrierbare Majorante If I, sind also selbst integrierbar. 0
In Satz 3.3, f) ist die Bedingung der MeBbarkeit von f nicht entbehrlich. (Beispiel: Es seien (X, 1.2(, J1) = (JR, £,,x) , A C [0,1], A tJ- £, B := [0,1] \ A, f := XA - XB· Dann ist If I = X[O,lj integrierbar, aber fist nicht meBbar, also auch nicht integrierbar.) 3.4 Korollar. Fur jedes integrierbare f : X -+ lR ist {If I = oo} eine J1Nullmenge. Beweis. A:= {If I = oo} ist meBbar und 00' XA :::; If I, also gilt nach Folgerung 2.4: 00 . J1(A) = 00 . XA dJ1 :::; If I dJ1 < 00, d.h. J1(A) = O. 0
Ix
Ix
3.5 Korollar. Sind f,g : X -+ lR integrierbar, so sind auch max(f,g) und min(f, g) integrierbar. Beweis. max(f,g) und min(f,g) sind meBbar und werden betragsmaBig durch If I + Igl majorisiert. 0
§ 3. Integrierbare Funktionen
131
2. Linearitat und Monotonie des Integrals. 3.6 Satz. Sind f, 9 : X --+ ][ integrierbar und a, 13 E K, so ist auch af integrierbar und
+ f3g
Beweis. Wir zeigen die Behauptung in drei Schritten. Dabei sind fUr numerische Funktionen f, 9 die imaginaren Terme gleich 0 zu setzen. (i) 1st f = p - q + i(r - s) mit integrierbaren p, q, r, 8 E M+, 80 ist
Begrilndung: Aus Ref = (ReJ)+ - (ReJ)- = p-q folgt q+(Ref)+ = p+(ReJ)-, und die Additivitat des Integrals auf M+ liefert
Hier sind aIle Terme endlich, also ist
und mit der entsprechenden Gleichung fur den Imaginarteil folgt (i). (ii) f + gist integrierbar, und es gilt
i (J
+ g) df.1 = i
f df.1
+i
9 df.1.
Begrundung: p := (ReJ)+ + (Reg)+ , q := (ReJ)- + (Reg)- , r := (ImJ)+ + (Img)+ ,8 := (Imft + (Img)- sind integrierbare Funktionen aus M+ mit f + 9 = P - q + i(r - 8). Daher ist f + 9 nach Satz 3.3, d) integrierbar, und (i) liefert: i (J
+ g)
df.1 = i
p df.1 - i
i (ReJ) + df.1 + i
q df.1 + i i
(Reg)+ df.1- i
r df.1 - i i
8
df.1
(ReJ)- df.1- i (Reg)- df.1
+i i (ImJ)+ df.1 + i i (Img)+ df.1- i i (ImJ)- df.1- i i (Img)- df.1 i f df.1+ i
9df.1.-
(iii) af ist integrierbar und i
af df.1
= a i f df.1.
132
IV. Das Lebesgue-Integral
Begrundung: af ist integrierbar, denn af ist meBbar, und lafl = lallfl ist nach Folgerung 2.4 integrierbar. Da fur komplexwertiges f die Gleichung
klar ist, genugt es nun wegen (ii) (!) zu zeigen: Fur aIle integrierbaren Funktionen f : X ---+ lR und aIle a E R gilt
L
af dp, = a
L
f dp, .
Fur a ;::: 0 ist (af)+ = ar , (af)- = af-, und die Behauptung folgt aus der positiven Homogenitat des Integrals auf M+. Fur a < 0 ist dagegen (af)+ = lalf- , (af)- = lair, also
L
af dp, =
lal
(L r
dp, -
Lr
dP,) =
a
L
f dp, .
o
lR
3.7 Satz. Sind f, g : X ---+
quasiintegrierbar und f ::::: g, so gilt:
L L f dp, :::::
Beweis. Wegen r also
Ix g- dp"
g dp, (Monotonie des Integrals).
::::: g+, f- ;::: g- ist
Ix r
dp, :::::
Ix g+ dp" Ix f- dp,
L Lr Lr L L f dp, =
dp, -
dp, :::::
g+ dp, -
g- dp, =
>
L
g dp,.
o 3.8 Satz. 1st f : X ---+
i
integrierbar, so gilt
Beweis. Wir wahlen ein ( E IK,
I
L
1(1 =
f dp, I = (
1 mit
L L f dp, =
(f dp, .
Hier ist die Hnke Seite reeIl, also auch die rechte Seite, und es folgt:
o 3. Der Raum £}. Die Menge der integrierbaren numerischen Funktionen auf X ist bez. der punktweisen Verknupfung kein Vektorraum, wenn es eine nicht-Ieere p,-Nullmenge gibt. Daher definieren wir:
§ 3. Integrierbare Funktionen
133
3.9 Definition. £1 := £1(p,) := £l(X, 21, p,) bezeichne die Menge der integrierbaren Funktionen mit Werten in K Bevor wir erste grundlegende Eigenschaften von £1 aussprechen, erinnern wir an folgende Begriffe: 1st Vein Vektorraum liber lK, so heiBt I . I : V -+ lR eine Halbnorm auf V, falls fUr alle x, y E V und a E lK gilt: (i) Ilxll 2': 0, (ii) Ilaxll = lalllxll, (iii) Ilx + yll ::; Ilxll + Ilyll (Dreiecksungleichung); V heiBt dann ein halbnormierter VektorTaum. In jedem halbnormierten Vektorraum ist 11011 = 0 (nach (ii)). Gilt Ilxll = 0 nur fUr x = 0, so heiBen 11·11 eine Norm und Vein normierter VektorTaum. Jede Halbnorm induziert vermoge d : V x V -+ lR, d(x, y) := Ilx - yll (x, y E V) eine Halbmetrik auf V (s. Aufgabe 11.1.6); ist II . II so gar eine Norm, so ist d eine Metrik auf V. Insbesondere ist jeder halbnormierte Vektorraum ein topologischer Raum, und der Begriff der stetigen Funktion r.p : V -+ lK ist sinnvoll.
3.10 Satz. £1 ist ein halbnormierter lK- VektorTaum mit del' Halbnorm
Die Abbildung I : £1 -+ lK,
ist eine stetige positive Linearform auf £1, d.h.: list stetig, und fur alle reellwertigen f E £1 mit f 2': 0 gilt I(f) 2': O. Beweis. £1 ist nach Satz 3.6 ein lK-Vektorraum, und 11·111 ist eine Halbnorm auf (Dagegen ist 11·111 nicht notwendig eine Norm, denn nach Satz 2.6 gilt genau dann Ilflh = 0, wenn {If I > O} eine Nullmenge ist. Gibt es also eine nicht-leere Nullmenge A E 21, so ist f := XA E £1, f -I 0, aber IIfl11 = 0.) Weiter ist I eine positive Linearform auf £1, und die Stetigkeit von I ergibt sich aus
£1.
II(f) - I(fo) I = I
Ix (f -
fa) dp,1 ::;
Ix
If - fol dp,
= Ilf -
folh
(f, fa
E
£1). o
Wir werden in Kapitel VI den Raum £1 in allgemeinerem Rahmen genauer untersuchen und beweisen, daB £1 vollstandig ist.
3.11 Satz. Fur jede beschrankte und mejJbare Funktion f : X -+ lK mit p,({f
-I O}) <
00
gilt f E
£1.
Beweis. 1st If I ::; a, so ist a·
X{NO}
eine integrierbare Majorante von If I·
0
4. Stetige Funktionen mit kompaktem Trager. Flir eine Funktion f : lRP -+ lK heiBt Tr f := {x E lRP : f (x) -I O} der Trager von f. Nach Definition ist Tr f stets abgeschlossen. 1st a rt Tr f, so gibt es eine ganze Umgebung U von
IV. Das Lebesgue-Integral
134
a mit flU = O. Eine Funktion f : JRP -+ lK hat genau dann einen kompakten Trager, wenn es eine kompakte Teilmenge K C JRP (z.B. eine abgeschlossene Kugel mit hinreichend groBem Radius) gibt mit flKc = O. Es bezeichnen C(JRP) die Menge der stetigen Funktionen f : JRP -+ lK, Cc(lRn die Menge der f E C(JRP) mit kompaktem Trager und C~(JRP) die Menge der beliebig oft differenzierbaren Funktionen aus Cc(JRP). 3.12 Satz. Zu jedem f E .c l (lEP , £P, >.P) und jedem 10 > 0 gibt es ein 9 E Cc(lRP) mit Ilf - gill < 10; d.h.: Cc(JRP) liegt dicht in .cl(JRP,£P,),P).
Beweis. Nach Satz 3.11 ist Cc(JRP)
c .cl(JRP, £P, ,V). -
GemaB der Definition des Integrals gibt es zu jedem 10 > 0 eine integrierbare Treppenfunktion u mit Ilf ulll < 10, u = I:7=lLtjXA j mit Ltl, ... ,Ltn E lK und Al, ... ,An E £P, .V(Aj) < fUr j = 1, ... , n. Wegen der Dreiecksungleichung geniigt es also zu zeigen: Zu jedem A E £P mit )'p(A) < = und jedem 8 > 0 gibt es ein h E Cc(JRP) mit
=
IlxA - hill < 8. Zum Beweis dieser Aussage wahlen wir zunachst n E N so groB, daB fUr + 8/2, also IlxA - XBlll <::: 8/2. Zu B wahlen wir ein Kompaktum K und eine beschrankte offene Menge U mit K C Be U, ),P(U\K) < 8/2 (s. KorollarII.7.2). Es kann gleich K =I 0 angenommen werden, denn sonst leistet schon h = 0 das Verlangte. Das Kompaktum Khat von der abgeschlossenen Menge UC einen Abstand d(UC, K) > O. Die Funktion h : lRP -+ lR, h(x) := 1 - min(l, d(x, K)/d(UC, K)) ist also sinnvoll, stetig, hlK = 1, hlUc = 0, also ist Tr h als abgeschlossene Teilmenge des Kompaktums V auch kompakt, d.h. h E Cc(JRP). Nach Konstruktion gilt IlxB - hilI <::: IIXu XKlll < 8/2, also IlxA - hill < 8. D
B := An [-n, njP gilt ,\P(A) <::: ),P(B)
Bekanntlich existiert zu jedem Kompaktum K C lRP und jeder offenen Menge U =:> K eine Funktion h E C~(lRP) mit 0 <::: h <::: 1, hlK = 1, hlUc = 0 (s. z.B. W. WALTER: Analysis II, S. 262). Wahlen wir im vorangehenden Beweis eine solche Funktion h, so erhalten wir (vgl. auch Korollar V.3.8):
3.13 Korollar. C~(lRP) liegt dicht in
.c
1
(JRP,£P,),P).
Satz 3.12 und Korollar 3.13 gelten entsprechend flir aile Lebesgue~Stieltjesschen MaBe. Satz 3.12 ermoglicht eine elegante Losung der Aufgabe III. 2.4: 3.14 Beispiel. Fur aIle A, B E £P mit AP(A)
lim AP(A n (B
t-+o
< 00 oder AP(B) <
+ t))
00
~
gilt
= AP(A n B).
Beweis. Wegen der Translationsinvarianz von AP genligt der Beweis flir den Fall AP(B) < 00. Zu E > 0 gibt es nach Satz 3.12 ein 'P E Cc(IRn mit IlxB - 'PIlI < E, und wir erhalten flir
t
E Illi.P:
W(A n B) - AP(A n (B
+ t))1
=
lip
XA(X)(XB(X) - XB(X - t)) dAP(x)1
: ; llRPr IXB(X) - XB(X - t)1 dAP(X) : ; jRPr IXB - 'PldAP + If}!.pr 1'P(x) - 'P(x - t)ldAP(X) + i[{pr 1'P(x - t) - XB(X - t)ldAP(X).
§ 3. Integrierbare Funktionen
135
Wegen der Translationsinvarianz des Lebesgueschen MaBes sind das erste und das letzte Integral auf der rechten Seite gleich, und es folgt:
\>,P(A n B) - AP(A n (B
+ t))1
::;
210
+ Iu~p Icp(x)
- cp(x - t)1 dAP(X).
Da cp einen kompakten Trager hat, ist cp gleichmaBig stetig. Zum vorgegebenen 10 > 0 gibt es daher ein 8 > 0, so daB Iu~p Icp(x) - cp(x - t)1 dAP(X) < 10 fUr aIle t E ~P mit IItll < 8, und es o folgt die Behauptung.
5. Integration tiber me6bare Teilmengen. 1st f : X -t i integrierbar, so bieten sich zwei M6glichkeiten zur Definition des Integrals von f tiber meBbare Teilmengen Y c X an: (i) Man integriere f· Xy tiber X. (ii) Man bilde den MaBraum (Y, 2l1Y, t-t1(2lIY)) und integriere flY bez. t-t1(2lIY). Beide Ansatze fiihren zum gleichen Resultat: 3.15 Lemma. Sind Y E 2l, ~ := 2l1Y , 1/ := t-tl~ und f : X -t i, so gilt: a) f . Xy ist 2l-meflbar genau dann, wenn flY ~-meflbar ist. b) Es ist f . Xy E M+(X,2l) genau dann, wenn flY E M+(Y, ~), und dann gilt
Ixf' Xy dt-t = [flY dl/.
c) f . Xy ist t-t-integrierbar uber X genau dann, wenn flY I/-integrierbar ist uber Y, und dann gilt Ix f . Xy dt-t = [ f IY dl/ . Entsprechendes gilt lur quasiintegrierbare Funktionen. Beweis. Ftir aBe A E ~ ist (f1Y)-l(A) = ((f. Xy)-l(A)) nY, also folgt a), und die unter b) und c) nachzuprtifenden MeBbarkeitsbedingungen sind klar. - Zum Beweis von b) seien I· Xy E M+(X, 2l) und (Un)n>l eine Folge aus T+(X, 2l) mit Un t I· Xy· Dann gilt: unlY E T+(Y,~) (n EN) und unlY t IIY. Wegen unlY c = 0 folgt:
r I· Xy dt-t = n-+oo} lim rUn dt-t = lim rUn IY dl/ = r I IY dl/ . n-+oo}y }y
} X
X
o
Aussage c) folgt sogleich aus b). 3.16 Definition. 1st in der Situation des Lemmas 3.15 die Funktion integrierbar oder quasiintegrierbar, so heiBt
[ I dt-t== Ix f· Xy dt-t = [IIY dl/ das (t-t-)Integral von I uber Y. 1st X = lR und z.B. Y = [a, b], so schreibt man
r I dt-t
}[a,b]
=
lb a
I dt-t
I . Xy
136
IV. Das Lebesgue-Integral
etc. Diese Schreibweise ist gerechtfertigt, wenn Jl( {a}) = Jl( {b}) = 0 ist; anderenfalls ist zwischen den Integralen uber [a, b], la, b], [a, b[, la, b[ zu unterscheiden. 1st Jl = JlF das Lebesgue-Stieltjessche MaB zur wachsenden rechtsseitig stetigen Funktion F : JR ---+ JR, so schreibt man z.B.
r
f dJlF =
J[a,bj
lb
f(x) dF(x).
a
Diese Schreibweise ist legitim, falls JlF({a}) = JlF({b}) = 0 ist, d.h. falls F in a und b stetig ist. Speziell fUr F(x) = x, d.h. fUr Jl = ,\ schreibt man z.B.
Fur b < a ist - wie beim Riemannschen Integral - die Konvention
lb
f(x) dx :=
-l
a
f(x) dx
ublich. Diese Schreibweise ist vertraglich mit den fUr das Riemann-Integral ublichen Notationen, denn wir werden in § 6 zeigen, daB jede (eigentlich) Riemannintegrierbare Funktion auch Lebesgue-integrierbar ist mit gleichem Wert des Integrals. - 1st A E £P, so heiBt eine ,£PIA-meBbare Funktion f : A ---+ i Lebesgue-mejJbar, und fUr Lebesgue-integrierbares f : A ---+ i schreiben wir
6. Historische Anmerkungen. Der moderne Integralbegriff wird von H. LEBESGUE in seiner These (1902) begriindet. Seine wesentliche Idee haben wir schon am Anfang von Kap. III skizziert. Etwas spater als LEBESGUE gelangt W.H. YOUNG zum Integralbegriff (Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 204,221-252 (1905) und Proc. London Math. Soc. (2) 2, 52-66 (1905)). Die Definition von YOUNG beruht auf der Einfiihrung von Ober- und Unterintegralen. YOUNG betrachtet Funktionen f mit meBbarem Definitionsbereich E C ~ zerlegt E in endlich oder abziihlbar viele disjunkte meBbare Mengen, multipliziert das MaB jeder dieser Mengen mit dem zugehorigen Supremum bzw. Infimum von fund bildet durch Summation dieser Terme Ober- und Untersummen. Das Infimum der Menge der Obersummen ist dann das (Youngsche) Oberintegral von Ii entsprechend liefert das Supremum der Menge der Untersummen das Unterintegral. Haben Ober- und Unterintegral denselben Wert, so heiBt dieser das Integral von f, und I heiBt integrierbar. (Diese Definition ist auch fiir unbeschranktes f brauchbar, falls eine Zerlegung von E existiert, fiir welche die Obersumme von If I endlich isti man betrachtet dann nur absolut konvergente Ober- und Untersummen.) Der Zusammenhang der Definition von YOUNG mit unserer Integraldefinition wird in Aufgabe 2.5 hergestellt. F. RIESZ ([1], S. 445) gibt 1910 eine einfache Definition des Lebesgue-Integrals, die vom Integralbegriff fiir Treppenfunktionen ausgeht: 1st I auf einer meBbaren Menge E C 1R. definiert, und nimmt f auf den disjunkten meBbaren Mengen AI, A 2 , ••• c E die Werte all a2, ••• an, wobei Uj>1 Aj = E, so setzt RIESZ f(x) dx = Lj>1 aj>.(Aj ), vorausgesetzt, daB die Reihe absolut-konvergiert. Von dieser speziellen Klasse integrierbarer Funktionen ausgehend erhiilt er durch Bildung von Limites gleichmiiftig konvergenter Folgen die Klasse der integrierbaren Funktionen. F. RIESZ ([1], S. 185-187,200-214) eroffnet 1912 einen elementaren Zugang zum Lebesgue-Integral, der nur den Begriff der Nullmenge zugrundelegt, aber nicht
IE
§ 3. Integrierbare Funktionen
137
das Lebesgue-MaB auf lR beniitigt. Dabei geht RIESZ aus vom Integral ftir einfache Funktionen der Form 'P = "'L7=1 Cij XI" wobei 11, .. . , In C [a, b] disjunkte Intervalle sind. 1st nun f : [a,b] -+ lR beschriinkt und gibt es eine beschriinkte Folge ('Pn)n>1 einfacher Funktionen, so daB f (x) = limn--+= 'Pn (x) ftir aile x E [a, b] mit Ausnahme hiichst~ns der Elemente x einer Nullmenge, so zeigt RIEsz: Ftir jede solche Folge ('Pn)n;>1 konvergiert die Folge der Integrale der 'Pn gegen denselben Grenzwert, und dieser ist dann das Integral von 'P. Bei diesem Zugang ist sofort klar, daB jede Riemann-integrierbare Funktion auch Lebesgue-integrierbar ist mit gleichem Wert des Integrals. Unabhiingig von F. RIESZ entwickelt W.H. YOUNG einen weiteren Zugang zum Integralbegriff auf der Basis der Methode der monotonen Folgen (s. Proc. London Math. Soc. (2) 9, 15-50 (1911) und Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 88, 170-178 (1913)). Dabei beginnt er mit einer Klasse einfacher Funktionen, ftir die das Integralleicht erkliirt werden kann, und erweitert den Integralbegriff durch Bildung mono toner Folgen. Diese Idee zur Einftihrung des Integralbegriffs benutzen auch wir hier; sie liefert ftir viele Aussagen einen effizienten Beweisansatz. Das wird schon deutlich bei den Untersuchungen von YOUNG tiber das Stieltjes-Integral. LEBESGUE bemtiht sich 1909 ohne rechten Erfolg urn eine Ubertragung seiner Integrationstheorie auf das Riemann-Stieltjes-Integral. Dagegen erreicht YOUNG (Proc. London Math. Soc. (2) 13, 109-150 (1914)) dieses Ziel mtihelos mit Hilfe seiner Methode der monotonen Folgen. Dazu schreibt LEBESGUE ([6], S. 263): «M.W.H. YOUNG montrait que ... l'integrale de Stieltjes se definit exactement comme l'integrale ordinaire par Ie procede des suites monotones ... »3 Unabhiingig von YOUNG entwickelt J. RADON [1] die Theorie des Stieltjesschen Integrals ftir Funktionen f, die auf einem kompakten Intervall im lRP definiert sind. Dabei benutzt er zur Approximation des Integrals Analoga der Lebesgueschen Oberbzw. Untersummen, bei denen das Lebesguesche MaB der Mengen {Yj ::; f < Yj+l} ersetzt wird durch das entsprechende Lebesgue-Stieltjessche MaB. Der letzte Schritt zur Definition des Integrals ftir meBbare Funktionen auf einer abstrakten Menge wird 1915 von M. FRECHET [1] vollzogen. Er schreibt (C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. A, 160,839-840 (1915)): « ... la definition de Radon fournit immediatement une definition de I' integrale ... etendue a un ensemble abstrait E, c'est-a-dire a un ensemble dont les elements sont de nature quelconque.»4 7. Kurzhiographie von W.H. YOUNG. WILLIAM HENRY YOUNG wurde am 20. Oktober 1863 als Sohn einer Kaufmannsfamilie geboren. Auf der Schule erkannte E.A. ABBOTT (1838-1926), Autor des bekannten "mathematischen Miirchens" Flatland, YOUNGS ungewiihnliche mathematische Begabung. Neben seinem Studium der Mathematik an der Universitiit Cambridge (1881-1884) widmete sich YOUNG seinen vielseitigen geistigen und sportlichen Interessen. Der Studienerfolg entsprach daher nicht ganz den hochgesteckten Erwartungen. Von 1886-1892 war YOUNG Fellow des Peterhouse College in Cambridge, hatte aber keine feste Anstellung am College oder an der Universitiit. Es war damals in Cambridge durchaus tiblich, durch Privatunterricht stattliche Einnahmen zu erzielen. Aus eigenem EntschluB wirkte YOUNG 13 Jahre lang als Lehrbeauftragter, Privatlehrer und Prtifer; diese Arbeit vom frtihen Morgen bis zum spiiten Abend ermiiglichte ihm in Verbindung mit seinem "banker's instinct" die Ansammlung stattlicher Ersparnisse. 1m Jahre 1896 heiratete YOUNG seine frtihere Schtilerin GRACE EMELY CHISHOLM (18681944). Sie hatte 1893 ihr AbschluBexamen in Cambridge mit hervorragendem Erfolg bestanden, wurde aber als Frau nicht zum Graduiertenstudium zugelassen und begab sich daher zu weiteren Studien nach Giittingen, dem damals neb en Paris renommiertesten Zentrum mathematischer Forschung in der Welt. Die Giittinger Universitiit nahm in der Frage des Promotionsrechts ftir Frauen eine liberale Haltung ein. Schon 1874 wurde SOPHIE V. KOWALEVSKY (1850-1891) in absentia als erste Mathematikerin in Giittingen promoviert; ihr wurde auf Ftirsprache ihres Lehrers K. WEIERSTRASS (1815-1897) die mtindliche Doktorprtifung erlas3Herr W.H. YOUNG zeigte, daB ... sich das Stieltjes-Integral ebenso wie das gewiihnliche Integral mit Hilfe der Methode der monotonen Folgen definieren liiBt. 4 ... die Definition von Radon liefert unmittelbar eine Definition des Integrals ... , das tiber eine abstrakte Menge erstreckt wird, d.h. tiber eine Menge, deren Elemente von irgendwelcher Art sind.
138
IV. Das Lebesgue-Integral
sen. 1m Jahre 1895 promovierte G. CHISHOLM bei F. KLEIN (1849-1925) in Giittingen als erste Frau, der in Deutschland nach regularem Promotionsverfahren der Doktorgrad (in irgendeinem Fach!) zuerkannt wurde. GRACE CHISHOLM YOUNG erlangte als Mathematikerin internationalen Ruf. Von den drei Siihnen und drei Tiichtern der Familie YOUNG wurden ein Sohn und eine Tochter bekannte Mathematiker. Die groBe Wende in YOUNGS Leben kam 1897; Frau YOUNG erinnerte sich: "At the end of our first year together he proposed, and I eagerly agreed, to throw up lucre, go abroad, and devote ourselves to research." Von 1897-1908lebte die Familie YOUNG in Giittingen, ab 1908 in Genf, danach in Lausanne. Bis zu seinem 35. Lebensjahr hatte YOUNG keine Beitrage zur Forschung geliefert - aber in den Jahren von 1900-1924 entfaltete er eine gewaltige Forschungsaktivitat und schrieb uber 200 Arbeiten und drei Lehrbucher, zwei davon gemeinsam mit seiner Frau; daneben nahm er Lehraufgaben an verschiedenen Universitaten wahr. Durch Kriegsereignisse von seiner Familie getrennt, starb YOUNG am 7. Juli 1942 in Lausanne. In seinem Nachruf (J. London Math. Soc. 17,218-237 (1942)) bezeichnet ihn G.H. HARDY (1877-1947) als "one of the most profound and original of the English mathematicians of the last fifty years". Ein lebendiges Bild des Ehepaares YOUNG und seiner vielfaltigen Aktivitaten zeichnet I. GRATTAN-GUINNESS: A mathematical union: William Henry and Grace Chisholm Young, Ann. Sci. 29, 105-186 (1972); s. auch BRUCKNER und THOMSON [1]. Die mathematischen Schriften von W.H. YOUNG sind uberwiegend der reellen Analysis gewidmet. Unabhangig von H. LEBESGUE entwickelte er etwa zwei Jahre spater als LEBESGUE die Lebesguesche MaB- und Integrationstheorie. Es muB fur YOUNG eine herbe Enttauschung gewesen sein festzustellen, daB LEBESGUE ihm zuvorgekommen war - aber das tat seiner Produktivitat keinen Abbruch, er selbst nannte den neuen Integralbegriff das Lebesgue-Integral. Als von bleibendem Wert in der Integrationstheorie erwies sich die von YOUNG entwickelte Methode der monotonen Folgen. Gemeinsam mit seiner Frau veriiffentlichte YOUNG 1906 das erste englische Lehrbuch der Mengenlehre. Bedeutende Beitrage lieferte YOUNG zur Thearie der Fourier-Reihen: Die Ungleichungen von HAUSDORFF-YOUNG sind eine tiefliegende Verallgemeinerung der beruhmten Vollstandigkeitssatze von PARSEVAL und RIEsz-FISCHER. Ein schwieriges Problem in der Theorie der Fourier-Reihen ist die Frage, welche Nullfolgen als Folgen von Fourier-Koeffizienten integrierbarer Funktionen auftreten. Einer der schiinsten Satze von YOUNG liefert einen Beitrag zu diesem Problem: 1st (an)n>l eine konvexe NullJolge positiver Zahlen, so ist ~::"=l an cos nt eine Fourier-Reihe, d.h. es gibt eine gerade Funktion J E .c 1 ([-7r,7r]), so daB an = ~ D"J(t)cosntdt (n 2: 1). Der stattliche Band der Selected Papers von G.C. YOUNG und W.H. YOUNG [1] enthalt auBer der Dissertation von G.C. YOUNG im wesentlichen eine Auswahl der Publikationen uber Fourier-Reihen. - Die mehr elementaren Arbeiten von YOUNG zur Differentiation von Funktionen mehrerer reeller Variablen haben die Lehre nachhaltig beeinfluBt. Die angemessene Definition der (totalen) Differenzierbarkeit hatten schon J.K. THOMAE und O. STOLZ (1842-1905) ausgesprochen; YOUNG zeigte die wahre Nutzlichkeit dieses Begriffs. Eine hubsche Frucht seiner Arbeit ist folgender Satz: 1st J in einer Umgebung des Punktes (xo,Yo) E JR2 einmal partiell difJerenzierbar, und sind ~, ~~ im Punkte (xo, Yo) total difJerenzierbar, so gilt ~(xo, yo) = -I/;h(xo, yo). - Die Youngsche Ungleichung bildet die Grundlage fur die Theorie der Orlicz-Riiume.
Aufgaben. 3.1. J: [a, b] -t JR (a, b E JR, a < b) sei Lebesgue-meBbar und beschrankt, A < f < B. Fur jede Zerlegung Y : A = Yo < Yl < ... < Yn = B seien UL(f, Y), OdJ, Y) die Lebesguesche Untersumme bzw. Obersumme von J (s. Einleitung zu Kapitel III) und O(Y) := max{Yj+1 - Yj : j = O, ... ,n -I} das FeinheitsmaB von Y. a) Fur jede Folge (y(k) k::l von Zerlegungen von [A, B] mit O(y(k)) -t 0 gilt:
lim Udf, y(k)) = lim OdJ, y(k)) = k-too
k-too
r J d)". b
Ja
§ 3. Integrierbare Funktionen
[1
b)
139
sup{UL(j, Y) : Y Zerlegung von [A, Bn
d)'
inf{O L (j, y) : Y Zerlegung von [A, Bn . (Bemerkung: Hiermit ist gezeigt, daB fiir beschriinkte Lebesgue-meBbare Funktionen 1 : [a, b] --+ lll? und Ji = ). der Integralbegriff aus Definition 3.1 iibereinstimmt mit der urspriinglichen Definition von H. LEBESGUE.) 3.2. Sind a
> 1 und 1 : X --+ IK meBbar, so ist 1 genau dann integrierbar, wenn 2:>nJi ({an::;
111 < aMI}) < 00.
nE:/:
3.3. Sind
1 : X --+ IK meBbar und Ji(X) < 00,
so ist
1 genau dann
integrierbar, wenn
00
LJi({lll > n}) < 00. n=!
3.4. Es seien (Jin)n2:'1 eine Folge von MaBen auf Qt, Ji = L~=1 Jin und 1 : X --+ JK meBbar. Zeigen Sie: 1 ist genau dann Ji-integrierbar, wenn L~=1 111 dJin < 00, und dann gilt:
Ix
3.5. Es seien (X, Qt, Ji) ein IT-endlicher MaBraum und F : X --+ IK eine meBbare Funktion mit der Eigenschaft, daB fiir aile g E £1 gilt: Fg E £1. Dann gibt es ein a > 0, so daB Ji( {IFI > a}) = ist. (Hinweis: Zu jeder Folge (a n )n>1 positiver reeller Zahlen mit an t 00 gibt es eine Folge (€n)n2:'1 positiver reeller Zahlen~ so daB L~=1 IOn konvergiert, aber L~=1 anIOn divergiert.)
°
3.6. 1st Ji das ZiihlmaB auf \}3(N), so ist eine Funktion 1 : N --+ IK genau dann integrierbar, wenn L~=1 l(n) absolut konvergiert, und dann gilt: 1 dJi = L~=1 l(n).
IN
3.7. Die Funktion 1 : X --+ IK sei integrier bar. a) Zu jedem 10 > gibt es ein Ii > 0, so daB fiir aile A E Qt mit Ji(A)
°
< Ii gilt:
(Hinweis: Zeigen Sie die Behauptung zuniichst fiir beschriinktes 1.) b) Zu jedem 10 > gibt es ein A E Qt mit Ji(A) < 00, so daB
°
I 3.8. Die Funktion
Ix 1 L1 dJi -
1 : [a, b] --+
dJiI < 10 fiir aile B E Qt mit B =:l A.
lll? sei Lebesgue-integrierbar und F : [a, b] --+ lll?,
F(x) := [
l(t) dt
(x
E
[a, b]).
a) Fist stetig. b) Ist 1 in Xo E [a,b] stetig, so ist F in Xo differenzierbar mit F'(xo) = l(xo). c) Ist 1 stetig in [a, b], so stimmt das Riemann-Integral von 1 iiber [a, b] mit dem entsprechenden Lebesgue-Integral iiberein. d) Eine stetige Funktion 1 : [0,00[--+ IK ist genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn 111 iiber [0, oo[ uneigentlich Riemann-integrierbar ist.
IV. Das Lebesgue-Integral
140
3.9. 1st f : ~ -+ lk. Lebesgue-integrierbar, so ist F : ~ -+ lK, F(x) gleichmiifJig stetig auf ~. 3.10. Fur jedes
f
:=
J; f(t)
dt
(x E ~)
E .cl(~p,£P,.>..P) gilt:
lim
t-+o
r If(x + t) - f(x)1 dx = o.
iroc
p
(Hinweis: Satz 3.12.)
§ 4.
Fast iiberall bestehende Eigenschaften « ... je dirai qu'une condition est remplie presque partout lorsqu'elle est verifiee
en tout point, sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle.»
5
(H. LEBESGUE
[2], S. 200)
Das f-l-Integral erweist sich im folgenden als unempfindlich gegentiber Abanderungen des Integranden auf f-l-Nullmengen, solange der Integrand meBbar bleibt. Urn diese Eigenschaften des Integrals bequem formulieren zu konnen, erweist sich der von H. LEBESGUE 1910 eingefUhrte Begriff "fast tiberall" als sehr zweckmaf3ig. 4.1 Definition. Die Eigenschaft E sei fUr die Elemente x E X sinnvoll. Dann sagt man, die Eigenschaft E gilt (f-l- )fast uberall auf X (Abktirzung: (f-l- )f. u.) oder (f-l- )fast alle x E X haben die Eigenschajt E, wenn es eine (f-l-)N ullmenge N E Q! gibt, so daB alle x E N C die Eigenschaft E haben. Sind zum Beispiel f,g: X --+ Y zwei Funktionen, so ist f = 9 f-l-f.u. genau dann, wenn es eine f-l-Nullmenge N gibt mit flNc = glNc. Eine numerische Funktion f : X --+ lR ist f.u. endlich genau dann, wenn es eine f-l-Nullmenge N gibt mit f(NC) C lR. Eine Folge von Funktionen fn : X --+ lK. (n E N) konvergiert f.u. gegen f : X --+ lK. genau dann, wenn eine f-l-Nullmenge N existiert mit fnlNc --+ flNc. Eine auf einer Teilmenge A C X erklarte Funktion f : X --+ Y ist f.u. auf X definiert genau dann, wenn es eine f-l-Nullmenge N gibt mit AC C N. Eine Funktion f : X --+ lK. ist f.u. beschrankt genau dann, wenn es ein Q ;:::: 0, Q E lR und eine f-l-Nullmenge N gibt mit IflNcl :::; Q. - In der Definition des Begriffs "fast tiberall" wird nicht gefordert, daB die Ausnahmemenge M der x EX, welche nicht die Eigenschaft E haben, zu Q! gehort; es wird nur verlangt, daB M Teilmenge einer geeigneten f-l-Nullmenge N E Q! ist. 1st das MaB f-l vollstandig und gilt E f.ti., so ist auch M E Q! und f-l(M) = O. 5 ... ich werde sagen, daB eine Bedingung fast iiberall erfullt ist, wenn sie fur aile Punkte bis auf die Punkte einer Menge vom MaBe Null gilt.
§ 4. Fast liberaIl bestehende Eigenschaften
141
Satz 2.6 UiJ3t sich jetzt so formulieren: Fur aUe I E M+ gilt:
Ix I dp, = 0
{:=::}
I = 0
p,-I· u.
KoroIlar 3.4 besagt nun:
I : X -+ i: integrierbar 4.2 Satz. a) Sind I,g: X -+
===}
III
<
00
p,-I·u.
i: quasiintegrierbar und Is g p,-j.u., so gilt
1st insbesondere I = g p,-j. u., so gilt
b) Sind I, g : X -+ i: mejJbar, I integrierbar und I < g quasiintegrierbar und
p,-I. u., so ist g
IxldP,S IxgdP,.
c) Sind I, g : X -+
i
mejJbar, I integrierbar und I
g
p,-j.u., so ist g
integrierbar und Ix I dp,
= Ix g dp,.
Beweis. a) N := {I > g} ist meBbar, p,(N) = O. Daher verschwindet M+ f.li. Wegen XNC S g+ folgt:
r·
Ix
r dp,
= Ix (1+ . XN
+
r .XNc) dp,
= Ix
r .XN
r .XNC S Ix g+ dp,.
Ebenso ist fxl-dp,?: fxg-dp" und es folgt a). b) Aus I g p,-f.li. folgt S g+ p,-f.li. und j- ?: g- p,-f.li. Da integrierbar ist, ist auch g- integrierbar, d.h. g quasiintegrierbar und
r
s
Ix I dp,
= Ix
r dp, - Ix r
E
dp, S Ix g+ dp, - Ix g- dp,
c) ist klar nach a).
1-
= Ix g dp,.
o
4.3 Korollar. Die Funktion I : X -+ i sei mejJbar, und es gebe eine integrierbare Funktion g E M+ mit III S g p,-I.u. Dann ist auch I integrierbar.
Beweis. Nach Satz 4.2 a) sind (ReJ)± , (1m I)± integrierbar.
o
Sind I, g : X -+ i: integrierbar und I S g p,-f.li., so gilt fUr aIle A E Ql nach Satz 4.2, b): fA I dp, ::; fA g dp,. Umgekehrt:
IV. Das Lebesgue-Integral
142 4.4 Satz. Sind f, 9 : X -+ i: integrierbar und
i
(4.1)
f dJL :::;
i
9 dJL
filr alle A E
Q(,
so ist f :::; 9 JL-f. il. Gilt insbesondere in (4.1) das Gleichheitszeichen, so ist f = 9 JL-J.il. Beweis. M := {f > g} und Mn := {J > g+ liefert:
also JL(Mn) = 0 (n EN), denn
IMn f dJL E R
*} (n
N) sind meBbar, und (4.1)
E
Aus Mn
t
M folgt nun JL(M) = O. D
Einfache Beispiele lehren, daB Satz 4.4 nicht entsprechend fUr f, 9 E M+ richtig ist; man setze z.B. Q( = {0, X} , JL(0) = 0, JL(X) = 00, f = 2 . Xx , 9 = Xx. 1st aber JL a-endlich, so gilt: 4.5 Satz. 1st JL a-endlich und gilt filr die quasiintegrierbaren Funktionen f, 9 :
X-+i:
i
(4.2)
f dJL :::;
i
9 dJL
filr alle A
E Q( ,
so ist f:::; 9 JL-f.il. Gilt speziell in (4.2) das Gleichheitszeichen filr alle A E so ist f = 9 JL-f· il.
Q(,
Beweis. Aus Symmetriegriinden kann angenommen werden, daB f- integrierbar ist. Dann ist -00 < f dJL :::; 9 dJL, also ist auch g- integrierbar. - Wir wahlen eine Folge meBbarer Mengen Bn mit Bn t X , JL(Bn) < 00 (n E N) und setzen An := Bn n {g :::; n}. Dann gilt An E Q( und An t {g < oo}. Ferner sind JL(An) < 00, g+IAn beschrankt und g- integrierbar, also ist g. XAn integrierbar. (4.2) mit A = B n An (B E Q() liefert nun:
Ix
-00
<
Is
f . XAn dJL:::;
Ix
Is
9 . XAn dJL
<
00
fUr alle B E
Q( .
Insbesondere (B = X) ist auch f . XAn integrierbar, und Satz 4.4 ergibt: f . XAn :::; 9 . XAn JL-f.ii. Mit E := {g < oo} ist daher f . XE :::; 9 . XE JLf.ii., und wegen glEC = 00 folgt f :::; 9 JL-f.ii. D
Aufgaben. 4.1. Es sei In : X -t K (n E 1'1) eine Folge integrierbarer Funktionen mit ~::'=1 Ilnl dJ.t < Dann konvergiert die Reihe ~::'=1 In J.t-f.ii. gegen eine integrierbare Funktion I : X -t IK, und es gilt:
Ix
00.
§ 4. Fast tiberall bestehende Eigenschaften 4.2. Die Funktion f [0,00[: Fur jedes a n-n f(nx).)
143
: [0,00[-+ lK sei Lebesgue-integrierbar. Dann gilt fur .V-fast aile x > ist limn-+oo n-n f(nx) = 0. (Hinweis: Aufgabe 4.1 mit fn(x)
°
E =
4.3. Es seien (akh>1 irgendeine (!) streng monoton wachsende Folge naturlicher Zahlen und fn: [0,1]-+ re, -
Dann konvergiert (ink?,1 A-f.u. gegen 0. (Hinweis: Es ist
und fUr m 2 ~ n ~ (m
+ 1)2
gilt
4.4. Fur x E [0,1] sei x 2:::"=1 dn(x) ·2- n (dn(x) E {O, I} fur aile n E N) die dyadische Entwicklung von x, wobei wir die nicht abbrechende Entwicklung von x wahlen, wenn x eine abbrechende und eine nicht abbrechende Entwicklung hat. Ziel der folgenden Aufgabe ist es zu zeigen, dall fur A-fast aile x E [0,1] die Folge (d n (X))n;O:1 "asymptotisch ebensoviele Nullen wie Einsen" enthalt. Diese Aussage lallt sich folgendermallen prazisieren: Wir nennen mit E. BOREL ([4], S. 1055-1079) die Zahl x E [0,1] normal, falls limn-+oo ~ I{k : 1 ~ k ~ n, dk(x) = 1}1 = ~. Ziel ist es nun zu zeigen: A-fast aile x E [0,1] sind normal. Dieses Resultat hat eine sehr anschauliche wahrscheinlichkeitstheoretische Deutung: Man stelle sich eine Munze vor, die auf einer Seite eine ,,0" und auf der anderen Seite eine"l" tragt. Die Folge (d n (X))n;O:1 (d.h. den Punkt x) kann man dann auffassen als Ergebnisfolge unendlich vieler Munzwurfe. Bei einer idealen Munze wird man erwarten, dall bei "praktisch allen" solchen Ergebnisfolgen die Zahlen ,,0" und ,,1" asymptotisch mit gleicher Haufigkeit auftreten. Das ist das sog. starke Gesetz der grofJen Zahlen von E. BOREL ([4], S. 1055-1079). Fur den Beweis fuhren wir leicht modifizierte Bezeichnungen ein: Es seien h(x) := 2(ddx) - ~) und Fn := ~(!I + ... + fn). Wir haben zu zeigen, dalllimn-+oo Fn = kann in folgenden Schritten geschehen: a) Fur aile j, kEN ist fol fdk dA = b) Fur aile n E N ist fol F~ dA = ~. c) limn-too FnJ(x) = d) Fur k
°
A-f.u. auf [0,1]. Das
Ojk.
°fur A-fast aile x E [0,1]. (Hinweis: Aufgabe 4.1.) IFII m};k + IFk I. Folgern Sie: limn-too Fn = ° A-h. auf [0, 1].
~ m gilt
~
Aufgabe 4.5. Es sei (X, §t, iL) die Vervollstandigung von (X, '2l, JL). Eine Funktion f : X -+ Ik ist genau dann iL-integrierbar, wenn eine JL-integrierbare Funktion 9 : X -+ Ik existiert mit
f = 9 JL-f.u., und dann gilt: grierbare Funktionen?
fx f diL = fx 9 dJL. Gilt das Entsprechende auch fur quasiinte-
144
IV. Das Lebesgue-Integral
§ 5.
Konvergenzsatze «Si des fonctions positives, bornees sommables: h (x), h(x), ... ten dent vers une fonction bornee ou non f(x) et si fn(x) dx reste, quel que soit n, inferieur it un nombre fixe, la fonction f(x) est integrable, et l'on a:
J:
J:
f(x) dx :S liminf
I: fn(x) dx.»6
(P. FATOU: Series trigonometriques et series de Taylor, Acta Math. 30, 335-400 (1906), insbes. S. 375) «Si des fonctions sommables fn forment une suite convergente et sont to utes, en valeur absolue, injerieures dune fonction sommable positive F, la limite f des f nest sommable et son integrale est la limite de l'integrale de f n.» 7 (H. LEBESGUE
[2], S. 199)
1. Das Lemma von FATOU. Das Lebesguesche Integral zeichnet sich gegenuber dem Riemannschen besonders dadurch aus, daB wesentlich bessere Konvergenzsatze gelten. Als wichtiges Resultat haben wir schon den Satz von der monotonen Konvergenz kennengelernt, der besagt:
Das folgende sog. Lemma von P. FATOU (1878-1929) enthalt eine Verallgemeinerung des Satzes von der monotonen Konvergenz fUr Folgen von Funktionen aus M+, die nicht notwendig konvergieren.
5.1 Lemma von P. Fatou (1906). Fiir jede Folge von Funktionen in M+ (n E N) gilt:
Beweis. Zunachst ist i := lim in gn t
i·
E
M+ und fUr gn := infk2:n!k
E
E
M+ gilt
n-+oo
Der Satz von der monotonen Konvergenz liefert daher:
6Wenn eine Folge positiver, beschrankter, integrierbarer Funktionen h(x),h(x), ... gegen eine beschrankte oder unbeschrankte Funktion f(x) konvergiert und wenn die Integrale fn(x) dx fiir alle n unterhalb einer festen Schranke bleiben, dann ist die Funktion f(x)
J:
integrierbar, und es gilt:
t
a
f(x) dx :S lim inf
n--+oo
t
a
fn(x) dx.
7Wenn die integrierbaren Funktionen f n eine konvergente Folge bilden und alle betragsmaBig unterhalb einer positiven integrierbaren Funktion F bleiben, so ist der Limes f der fn integrierbar und sein Integral ist der Limes der Integrale der fn.
145
§ 5. Konvergenzsatze
o 2. Kurzbiographie von P. FATOU. PIERRE FATOU wurde am 28.02.1878 in Lorient (Frankreich) geboren; er starb am 09.08.1929 in Pornichet. FATOU studierte von 1898-1900 in Paris an der Ecole Normale Superieure, wo er iiber E. BOREL und H. LEBESGUE die neuesten Fortschritte der Theorie der reellen Funktionen kennenlernte. Ermutigt durch das Interesse seines Freundes H. LEBESGUE, «qui n'a cesse de s'interesser a mes recherches et dont les conseils m'ont ete fort utiles», verfaBte FATOU seine Dissertation Series trigonometriques et series de Taylor, Acta Math. 30, 335-400 (1906). Ziel dieser Arbeit war es zu zeigen, welche Vorteile die Lebesgue-Borelsche Theorie des MaBes und die Theorie des Lebesgue-Integrals fUr die Theorie der Fourier-Reihen und fiir die Funktionentheorie bieten. Ein beriihmtes Ergebnis dieser Arbeit ist der sog. Satz von FATOU VI.2.35: Ist die Potenzreihe f(z) = L:;:'=o anz n fUr
Izl < 1 konvergent und beschrankt, so existiert fUr A-fast aile 'P E [0,27r] der "radiale" Limes limr---+l- f(rei
und
lim { Ifn - fl dp,
n-toojx
= o.
Beweis. Nach Korollar 4.3 sind fund alle fn (n E N) integrierbar. Wir k6nnen
IV. Das Lebesgue-Integral
146
nach § 4 ohne Beschrankung der Allgemeinheit annehmen, daB f, 9 und aIle fn (n E N) liberall Werte in lK haben und daB liberall gilt limn-+oo fn = f, Ifni:::; 9 (n EN). Dann ist gn := If I + 9 -Ifn - fl E M+ (n EN), und das Lemma von FATOU liefert:
r(If + g) dp, = Jrx gn dp, rgn dp, = Jr(If + g) dp,J I
Jx
lim
n-+oo
:::; lim
n-+oo
x
x
I
lim n-+oo
r Ifn - fl dp,.
Jx
Hier ist das Integral von If I+ 9 endlich. Daher folgt: limn-+ oo Wegen
fx Ifn - fl dp, = O.
o
ergibt das die Behauptung.
Das folgende Beispiel enthalt eine bemerkenswerte Verscharfung eines fUr stetig differenzierbare Funktionen fUr das Riemann-Integral wohlbekannten Satzes.
5.3 Beispiel (H. LEBESGUE [1], S. 235). f : [a, b] -+ lK sei difJerenzierbar und beschriinkt. Dann ist l' Lebesgue-integrierbar iiber [a, b] und
l'
lb l'
d)' = f(b) - f(a).
(Warnung: l' braucht nicht Riemann-integrierbar zu sein! Auf diese Mi:iglichkeit hat zuerst V. VOLTERRA (Giorn. di mat. (1) 19, 333~337 (1881)) aufmerksam gemacht. Ein Beispiel dafUr findet man bei ROOIJ und SCHIKHOF [1], S. 80~83.) Beweis. Im folgenden kann ohne Beschrankung der Allgemeinheit angenommen werden, daB f : JR -+ lK differenzierbar ist und If' (x) I :::; M fUr aIle x E JR mit geeignetem M > O. Mit gn(x) := n (J (x + ~) - f(x)) (x E JR, n E N) gilt l' = limn-+oo gn- Daher ist l' meBbar, denn gn ist stetig, also ist l' liber [a, b] Lebesgue-integrierbar. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist Ign(x)1 = 11'(~n)1 :::; M mit geeignetem ~n E]x, x + ~[, also ist die Konstante Meine liber [a, b] integrierbare Majorante der Folge (gn)nEN. Der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert:
r f'(x) dx = b
Ja
lim n---+oo
Wegen der Stetigkeit von fist F(x) := Aufgabe 3.8), und es folgt:
lb
gn (x) dx = n
lb
n(F(b+~)
(f (x
j"/; gn(x) dx. a
fax f(t) dt differenzierbar mit FI
+ ~) -
-F(b))
f (x)) dx
-n(F(a+~)
--+ FI(b) - FI(a) = f(b) - f(a) .
n-+oo
-F(a))
=
f (s.
147
§ 5. Konvergenzsatze
Durch Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz auf die Folge der Teilsummen der Reihe 2:~=1 h erhalten wir:
5.4 Korollar. Die Funktionen I, In : X ---+ lK seien mejJbar, und es gebe eine integrierbare Funktion g EM+, so dajJ lur aile n EN gilt I 2:~=1 Ik I :::: g JL-f. u., und es sei I = 2:~1 Ik JL-f.u. Dann sind I und aile In integrierbar, und es gilt
1 f1 I dJL =
X
n=1
In dJL .
X
5.5 Korollar. Sei I : X ---+ i integrierbar uber A E 2l und A = U::"=1 An mit An E 2l (n E N) , JL(A j n A k ) = 0 fur aile j, kEN, j =I- k. Dann gilt:
Beweis. Nach § 4 kann gieich ohne Beschrankung der Allgemeinheit angenommen werden, daB A die disjunkte Vereinigung der An ist und daB I· XA iiberall endlich ist. Dann ist I· XA = 2:::"=1 f· XAn' und g := If I· XA ist eine integrierbare Majorante der Folge der Teilsummen. Korollar 5.4 ergibt die Behauptung. D
4. Von einem Parameter abhangige Integrale. 5.6 Satz (Stetige Abhangigkeit des Integrals von einem Parameter). Es seien T ein metrischer Raum und f : T x X ---+ lK habe folgende Eigenschaften: a) Fur aile t E T ist I(t,·) E .c.1. b) Fur JL-Iast aile x EXist f(·, x) : T ---+ lK stetig im Punkt to E T. c) Es gibt eine Umgebung U von to und eine integrierbare Funktion g E M+, so dajJ fUr aile t E U gilt: If(t, ·)1:::: g JL-f.u. 8 Dann ist die Funktion F : T ---+ lK, F(t) :=
Ix
f(t,x) dJL(x)
(t E T)
stetig im Punkte to E T, und auch die Abbildung : T ---+ £1, (t) := I(t,·) E £1 (t E T) ist stetig in to E T. Beweis. Es sei (tn)n2:1 eine Folge von Punkten aus U mit limn - H ,,, tn = to. Dann ergibt eine Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz auf die D Folge der Funktionen fn := f(tn,·) (n E N) sogieich die Behauptung.
5.7 Satz (Differentiation unter dem Integralzeichen). Es seien I ein Intervail, to E I, und f : I x X ---+ lK habe folgende Eigenschaften: a) Fur aile tEl gilt f(t,·) E £1. b) Die partieile Ableitung -%i(to, x) existiert fur aile x EX.
c
lR
8Die Vereinigung der Nullmengen Nt := {If(t, ·)1 > g} (t E U) braucht keine Nullmenge zu sein.
148
IV. Das Lebesgue-Integral
c) Es gibt eine Umgebung U von to und eine integrierbare Funktion 9 E M+, so daft fur aile t E U n I, t :I to gilt
If(t,x~=L(to,x)1 ~g(x)
jj-f.u. 9
Dann ist die Funktion F : I ---+ lK.,
Ix
F(t) :=
f(t, x) djj(x)
(t E I)
im Punkte to (ggf. einseitig) differenzierbar, ~{ (to,') ist integrierbar, und es gilt
F'(to)
=
Ix ~
(to, x) djj(x).
Zusatz. Die Aussage dieses Satzes bleibt bestehen, wenn man die Voraussetzungen b), c) ersetzt durch: b*) Es gibt ein 8> 0, so daft die partielle Ableitung ~{(t,x) (x E X) fur aile t E U :=]to - 8, to + 8[ nI existiert. c*) Es gibt eine integrierbare Funktion 9 E M-'-, so daft fur aile t E U und x E X gilt:
Beweis. Es sei (t n )n::O-1 eine Folge in U mit lim n -+ oo tn = to, tn :I to fUr aIle n E N. Eine Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz auf fn := (j(t n ,') - f(t o, ·))/(tn - to) (n E N) liefert unter den Voraussetzungen a)-c) sogleich die Behauptung. - Zum Beweis des Zusatzes wenden wirden Mittelwertsatz der Differentialrechnung an und erhalten zu jedem n E N und x E X ein (i.a. von x abhangiges!) t~ E U, so daB
Wieder ergibt der Satz von der majorisierten Konvergenz das Gewunschte.
0
5.8 Satz (Holomorphe Abhangigkeit des Integrals von einem komplexen Parameter). Es sei G C C offen, und f : G x X ---+ C habe folgende Eigenschajten: a) f(z,·) E [.1 fur aile z E G. b) Fur aile x EXist f (', x) : G ---+ C holomorph. c) Zu jeder kompakten K reisscheibe KeG gibt es eine integrierbare Funktion gK E M+, so daft fur aile z E K gilt: If(z, ')1 ~ gK jj-f.u. Dann ist die Funktion F : G ---+ C, F(z) :=
Ix
f(z, x) djj(x)
(z E G)
9Die Vereinigung der Ausnahme-Nullmengen braucht keine Nullmenge zu sein.
§ 5. Konvergenzsatze
149
holomorph, fur alle ganzen n ;::: 0 ist ~:! (z,·) integrierbar uber X, und es gilt:
(z
E
G) .
Beweis. Es seien a E G und r > 0 so klein, daB K := K2r(a) C G. Fur aile z E K2r(a) ist dann nach der Cauchyschen Integralformel fUr Kreisscheiben f(z, x) =
r
~ 27l'l
f((, x) d(,
1 &K2r(a)
(- Z
wobei das Kurvenintegral im Riemannschen Sinn zu verstehen ist (s. Grundwissen-Band Funktionentheorie I von R. REMMERT). Fur aile z, w E Kr (a) , z i- W ist also
F(z) - F(w) z- w
=
r r
~ lx 27l'l
1&K2r(a) (( -
f((, x) d( dtAx). z)(( - w)
Es sei nun (wkh:o-1 eine Folge in Kr(a) mit limk->oo Wk und 1 f((,x)
:= -
27l'i
1
()(
&K2r{a)
(-
Z (- Wk
= Z, )
Wk
i-
z fUr aile k
d(.
Dann ist
l
fL-f.U.,
und es gilt wegen der gleichmaJ3igen Konvergenz des Integranden im Kurvenintegral . 1 f((,x) of hm oo 27l'l &K2r(a) ( - Z uZ
1
die zweite Gleichheit beruht hier auf der Cauchyschen Integralformel fUr die Ableitung ~;(.,x). Der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert nun die Behauptung fUr n = 1. Eine Fortsetzung dieser SchluBweise liefert unter Benutzung der Cauchyschen Integralformel fUr die h5heren Ableitungen die Behauptung in vollem Umfang. 0 Eine vertiefte Diskussion der Differentiation eines Integrals nach einem komplexen Parameter findet man bei MATTNER [2].
5. Der Satz von SCHEFFE. Sind f, fn (n E N) integrierbar und gilt Ix IfnfldfL ~ 0 (n ~ (0), so folgt auch IxfndfL ~ IxfdfL' denn I JyfndfL Ix f dfLl ::; Ix Ifn - fl dfL· Der Satz von H. SCHEFFE (1907-1977)10 gibt eine hinreichende Bedingung fUr die umgekehrte Implikation. lOR. SCHEFFE: A useful convergence theorem for probability distributions, Ann. Math. Stat. 18, 434-438 (1947).
150
IV. Das Lebesgue-Integral
5.9 Satz von Scheffe (1947). Die Funktionen
f, fn
E M+
(n E
1\1) seien
integrierbar, und es gelte
lim
n-+oo
fn = f
fL-f.U., lim
n-+oo
Jrx fn dfL = }rx f dfL.
Dann gilt:
Beweis. Das Lemma von FATOU liefert:
r
lim
(In + f - Ifn - fl) dfL
} X n-+oo
r(In + f - Ifn - fl) Jr f Jr Ifn - fl
< lim
dfL
n-+oo } X
2
dfL- lim
x
n-+oo
x
dfL,
und es folgt die Behauptung.
0
f, fn
5.10 Korollar. Die Funktionen gelte
lim
n-+oo
fn = f
fL-f.U., lim
X -+ n{ seien fL-integrierbar, und es
r Ifni
n-+oo } X
Dann gilt:
lim sup I n-+oo AE21
r
dfL
=
r
JA Ifni dfL - JA If IdfLl
r If I
}X
=
dfL.
o.
Beweis. Fur alle A E 2l ist
I
i
Ifni dfL -
i
If I dfLl
~
i Ilfnl-lfll ~ Ix IlfnldfL
If IIdfL, o
und Satz 5.9 ergibt die Behauptung.
Aufgaben. 5.1. Liisen Sie Aufgabe 4.1 mit Hilfe des Satzes von der majorisierten Konvergenz. 5.2. 1st f : lR -+ OC Lebesgue-integrierbar, so gilt limn-+= f(x fur AI-fast aile x E lit 5.3. Fur aile
f
E
+ n) = limn-+= f(x
- n)
=0
M+ gilt
5.4 Erweitertes Lemma von FATOU: Die Funktionen f, fn : X -+ quasiintegrierbar. a) 1st Ix f dJ.L > -00 und fn 2: f J.L-f.u. (n EN), so gilt:
r
Jx
lim fn dJ.L :S lim n--+oo
n--+oo
r fn
Jx
dJ.L.
lR seien meBbar und f
§ 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral b) 1st
Ix f
dM <
00
und fn :::: f M-f.ii.
Jrx
151
(n EN), so gilt:
lim fn dM 2: lim n---+iX}
n-+oo
Jrx
fn dM.
Ix
Ix
c) Zeigen Sie, dafi man oben auf die Voraussetzung f dM > -00 bzw. f dM < 00 nicht verzichten kann und dafi im Satz von der majorisierten Konvergenz die Bedingung der Existenz einer integrierbaren Majorante auch im Faile M(X) < 00 nicht durch die schwachere Bedingung SUPnEN IfnldM < 00 ersetzt werden kann.
Ix
5.5. Es seien f, fn : X ---t IK mefibar, a E JR, Ifni:::: a M-f.ii., und es gelte fn ---t f M-f.ii. auf X, M(X) < 00. Zeigen Sie:
r
lim Ifn - fl dM n-HX)}x
= 0,
lim
r fn dM = ixr f dM.
n--+cojx
5.6. Es sei M(X) < 00, und die Folge (fn)n?-l M-integrierbarer Funktionen fn : X ---t IK konvergiere M-f.ii. gleichmafiig (d.h im Komplement einer geeigneten M-Nullmenge gleichmafiig) gegen die mefibare Funktion f : X ---t IK. Dann ist f integrierbar, und es gilt: lim n-+oo
Jrx
Ifn - fl dM = 0, lim n-tOCl
5.7. Es sei 5) ein Halbring, der
Q(
Jrx
fn dM =
r f dM.
}x
erzeuge, und MI5) sei a-endlich. Ferner sei
f :X
---t
lk eine
IA
integrierbare Funktion mit der Eigenschaft, dafi f dM = 0 fiir aile A E 5) mit M(A) < 00. Zeigen Sie: f = 0 M-f.ii. Gilt die Aussage entsprechend fiir quasiintegrierbare Funktionen? 5.8. Es seien Ie JR ein 1ntervall, a E lund f : I ---t IK Lebesgue-integrierbar mit fiir aile x E I. Dann ist
f =0
I: f(t) dt = 0
'\-f.ii. (H. LEBESGUE (1904), G. VITALI (1905)).
5.9. Konstruieren Sie eine positive stetige Funktion f : JR ---t JR mit limlxl-+= f(x) = 0, so dafi fa O.
§ 6.
Riemann-Integral und Lebesgue-Integral «Four qu 'une fonction bornee f(x) soit integrable, il faut et il suffit que l'ensemble de ses points de discontinuite soit de mesure nulle.»l1 (H. LEBESGUE [2J, S. 45)
1. Eigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral. Jede eigentlich Riemann-integrierbare Funktion ist Lebesgue-integrierbar, und die Integralwerte stimmen iiberein. 1m folgenden Satz von H. LEBESGUE (1904), der unabhangig von G. VITALI (1904) bewiesen wurde, werden die Riemann-integrierbaren Funktionen genau charakterisiert. Vorlaufer dieses Satzes stammen von B. RIEMANN und von P. DU BOIS-REYMOND; s. dazu H. LEBESGUE [6], S. 26-29.
6.1 Satz. Eine beschriinkte Funktion f : [a, b] -+ K (a, b E lR'.P, a < b) ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen 11 Dafiir, dafi eine beschrankte Funktion f(x) [Riemann-Jintegrierbar ist, ist notwendig und hinreichend, dafi die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen vom Mafi Null ist.
152
IV. Das Lebesgue-Integral
eine ).,P-Nullmenge ist, und dann stimmt das Riemann-Integral von f mit dem Lebesgue-Integral iiberein. Beweis. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit kann ][{ = lR angenommen werden. Fiir j = 1, ... , p zerlegen wir [aj, bj ] in die 2n disjunkten Teilintervalle [aj, aj + (bj - aj)2- n ], ]aj + (bj - aj)2- n , aj + (bj - aj)2- n+1], ... , ]b j - (bj aj )2- n , bj ] und erhalten durch Bildung cartesischer Produkte eine Zerlegung von [a, b] in 2np disjunkte Intervalle Ink (k = 1, ... , 2np). Mit CY.n,k := inf{j(x) : X E In,k} , f3n,k := sup{f(x) : X E In,d bilden wir die Treppenfunktionen gn, h n : [a, b] -+ lR, deren Wert auf In,k gleich CY.n,k bzw. f3n,k ist. Dann ist (gn)n>l wachsend, (hn)n>l fallend, gn :::; f :::; hn' und
r gn d)"'P
2 np
=
i[a,b]
L CY.n,k )...P(In,k) =: Un k=l
ist die Riemannsche Untersumme zur Zerlegung (In,kh=1, ... ,2np und
r hn d)"'P
2 np
=
i[a,b]
L
f3n,k )",P(In,k) =: On
k=l
die entsprechende Riemannsche Obersumme. 1st nun f Riemann-integrierbar, so ist limn--+oo Un = limn--+ oo On. Die Funktionen 9 := limn --+ oo gn und h := limn--+ oo h n sind Borel-meBbar und beschrankt, also Lebesgue-integrierbar iiber [a, b], und der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert:
r gd)"'P = n--+oo lim Un = (R_)!b f(x) dx = lim On = r h d)"'P, a n--+oo i[a,b]
i[a,b]
wobei der Zusatz ,,( R-)" andeutet, daB es sich urn ein Riemann-Integral handelt. Aus Ira,b](h - g)d)"'P = 0 folgt nun mit Satz 2.6: h = 9 )...P-f.ii., also f = 9 )...P-f.ii., denn es ist 9 :::; f :::; h. Da )...P die Vervollstandigung von f3P ist, lehrt Aufgabe 4.5: fist )...P-integrierbar iiber [a, b] und
r
i~~
fd)"'P=
r
i~~
9d)...P=(R-)!bf(x)dX. a
Bezeichnen D die Menge der Unstetigkeitsstellen von fund R die Menge der Randpunkte aller In,k (n EN, k = 1, ... , 2np ), so ist D c R U {g < h} eine )...P-Nullmenge. 1st umgekehrt D eine )...P- Nullmenge, so ist 9 = h )...P- f. ii., denn {g < h} cD. Der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert also zusammen mit Satz 4.2: lim Un n--+oo
=
r 9 d)"'P = i[a,b] r h d)"'P = n--+oo lim On,
i[a,b]
§ 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral
153
o
d.h. fist Riemann-integrierbar.
Satz 6.1 gilt entsprechend fur jede beschriinkte Funktion f : M --+ lK., die auf einer lordan-meftbaren Menge MeW definiert ist, denn eine besehrankte Menge MeW ist genau dann Jordan-meBbar, wenn ihr Rand eine JordanNullmenge ist (vgl. W. WALTER: Analysis II, S. 234-235).
6.2 Beispiele. a) Fiir x E [0,1] sei f(x) := 1, falls x rational und f(x) := 0, falls x irrational ist. Die Funktion fist das bekannte Beispiel von DIRICHLET ([1], S. 132) einer nieht Riemann-integrierbaren Funktion. Da f iiberall unstetig ist, ist aueh naeh Satz 6.1 evident, daB f nieht Riemann-integrierbar ist. Andererseits ist f als eharakteristisehe Funktion der Borelsehen Nullmenge Qn [0, 1] Lebesgue-integrierbar mit fol f d)" = 0. b) Fiir x E [0,1] sei f(x) := 0, falls x irrational ist, und f(x) := ~, falls x E [0, 1] n Q die Bruehdarstellung x = ~ mit minimalen ganzen p 2: 0, q 2: 1 hat. Die Menge Q n [0,1] der Unstetigkeitsstellen von fist eine )..-Nullmenge, also ist f Riemann-integrierbar mit (R-) fol f(x) dx = fol f d)" = 0, da f = f. ii. c) Es seien C C [0,1] das Cantorsehe Diskontinuum und Ace, A rJ- Q31. Dann ist f := XAI[O, 1] auf [0,1] \ C stetig, d.h. die Unstetigkeitsstellen von f bilden eine Lebesguesehe Nullmenge. Daher ist f Riemann-integrierbar mit (R-) fol f(x) dx = fol f d)" = 0, da f = )"-f.ii. Eine Riemann-integrierbare Funktion braucht also nicht Borel-meftbar zu sein. d) 1st K c [0,1] eine nirgends diehte perfekte Menge mit )..1(K) > (s. Aufgabe II.8.1), so ist f := XK )..1-integrierbar, und f stimmt nieht )..1-f.ii. mit einer Riemann-integrierbaren Funktion iiberein.
°). -
°
°
In Verallgemeinerung von Satz 6.1 bewies W.H. YOUNG (Proc. London Math. Soc. (2) 13,109-150 (1914)): Es sei f: [a,b] ~ 1& beschrankt undg: [a,b]---+ 1& mono ton wachsend und auf ]a,b[ rechtsseitig stetig. Dann existierl das Riemann-Stieltjes-Integral f(x) dg(x) genau dann, wenn die Menge der Unstetigkeitsstellen von f eine Ag-Nullmenge ist, und dann f(x) dg(x) = Ira,b] f dAg. Der Beweis von Satz 6.11iillt dies leicht erkennen, wenn man gilt: zur Zerlegung von la, b[ nur Stetigkeitspunkte von 9 benutzt.
J:
J:
2. Uneigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral. 6.3 Satz. 1st I C lR ein Intervall und f : I --+ lK. Riemann-integrierbar uber jedes kompakte Teilintervall von I, so ist f genau dann Lebesgue-integrierbar uber I, wenn If I uneigentlich Riemann-integrierbar ist uber I, und dann stimmt das uneigentliche Riemann-Integral von f uber I mit dem Lebesgue-Integral uberein.
Beweis. Es seien I =]a,b[ mit -00 :::; a < b :::; 00 und a < an < bn < b, an 1a, bn t b. Dann ist f = limn --+ oo f . X[an,b n ] naeh Satz 6.1 Lebesgue-meBbar. Weiter gilt naeh Satz 6.1 und dem Satz von der monotonen Konvergenz:
(6.1)
lim (R-) n--+oo
rbn If(x)1 dx = lim Jan n--+oo
! I
If I·
X[an,b n ]
d)"
=
! I
If I d)".
154
IV. Das Lebesgue-Integral
1st nun If I uneigentlich Riemann-integrierbar iiber I, so ist die linke Seite dieser Gleichung endlich, also ist If I und damit auch f Lebesgue-integrierbar iiber I. ~ 1st umgekehrt f Lebesgue-integrierbar iiber I, so ist die rechte Seite von (6.1) endlich und If I iiber I uneigentlich Riemann-integrierbar. 1st If I uneigentlich Riemann-integrierbar iiber I, so liefert Satz 6.1 in Verbindung mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz:
b bn (R-) r f(x) dx = lim (R-) r f(x) dx = lim ! f . X[an,bn} d)" =!f d)".
Ja
Jan
n-.too
n-+oo
I
I
1m Falle eines halboffenen Intervalls I schlieBt man ebenso.
D
6.4 Beispiel. Das uneigentliche Riemann-Integral
(R-) ('X! sin x dx
(6.2)
Jo
x
existiert: Fiir 0 < a < b liefert eine partielle Integration
I Jarbsinx x
dxl =
I [-COSX]b x
a
_ rbcos2x dxl::; ~+~+ rbd~ Ja X a b Ja x
=~, a
und das Cauchy-Kriterium ergibt die Konvergenz von (6.2). Aber Isinx/xl ist nicht iiber jO, oo[ uneigentlich Riemann-integrierbar, denn
l
11"
(n+1)11"
Isin x I -
dx 2:
L n
1 (k)
+ 1 7r
k=l
X
1(k+
1 )11"
Isinxl dx =
k1r
2 -
1 L ---+ 00. k+1 n
7r k=l
Daher ist x H sinx/x nicht iiber jO,oo[ Lebesgue-integrierbar. ~ Ebenso sieht man: Das Integral oo sin x / x a dx existiert fUr 0 weder als uneigentliches Riemann- noch als Lebesgue-Integral, fUr 0 < a ::; 1 als uneigentliches RiemannIntegral, aber nicht als Lebesgue-Integral, fUr 1 < a < 2 als absolut konvergentes uneigentliches Riemann-Integral, also auch als Lebesgue-Integral und fUr a 2: 2 wegen des Verhaltens bei 0 weder als Riemann- noch als Lebesgue-Integral.
Io
a ::;
6.5 Die Gammafunktion. Fiir x > 0 existiert das Eulersche Integral
(6.3) als absolut konvergentes uneigentliches Riemann-Integral, also auch als LebesgueIntegral. Zum Beweis seien 0 < a < f3 < 00 und x E [a, f3j. Dann ist
o < t"'~le~t
o < e,-le- t
::;
::; t a - 1 fUr 0 < t ::; 1 und
t{3-1e- t ::; M e- tj2 fUr alle t 2: 1
mit geeignetem M > O. Da die Funktion 9 :jO, 00[--+ JR., g(t) :=
{
ta-l
Me-tj2
fUr 0 < t < 1, fUr t> 1 -
§ 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral
155
uneigentlich Riemann-integrierbar ist, existiert (6.3) als absolut konvergentes uneigentliches Riemann-Integral. Die F'unktion f: ]O,oo[-t lR heiBt die Gammafunktion. Mit partieller Integration beweist man die Funktionalgleichung
f(x
+ 1) =
(x > 0) .
x f(x)
Wegen f(l) = 1 ist also f(n + 1) = n! fur alle ganzen n ~ O. 1st Xo > 0 und wahlen wir 0 < a < Xo < (3 < 00, so sind fUr die Umgebung U =]a, (3[ von Xo die Voraussetzungen von Satz 5.6 erfullt, und wir erkennen: Die Gammafunktion ist stetig. Differenzieren wir den Integranden in (6.3) k-mal nach x, so erhalten wir:
fJk
8x k tx-1e- t
=
(log t)k tx-1e- t ,
und fur alle x E [a, (3] hat diese F'unktion die integrierbare Majorante Ilogtlkg(t). Der Satz von der Differentiation unter dem Integralzeichen liefert nun sukzessive: Die Gammafunktion ist beliebig oft difJerenzierbar, und fur alle k ~ 0 gilt:
(6.4)
f(k)(X) =
1
00
(logt)k tx-1e- t dt
(x> 0).
Wegen log(1 + x) :::; x (x> -1) ist (1 - t/n)n :::; e- t fur 0:::; t :::; n, und der Satz von der majorisierten Konvergenz (integrierbare Majorante: g) liefert fur x> 0:
r(x)
rOO tx-1e-t dt =
Jo
lim
r
n-+oo Jo
(1 _
lim
roo t x- 1 (1 _
n-+ooJo
!) n
n
!) n
n
X 0 n (t) dt
1, [
e- 1 dt .
Das letzte Integral bestimmen wir durch sukzessive partielle Integrationen und erhalten die Gaupsche Darstellung der Gammafunktion: x
Fur x
,
f(x) = lim n n. . n-+oo x(x + 1) ..... (x + n)
(6.5)
=
~ liefert (6.5) zusammen mit der Wallisschen Formel
(6.6) d.h.
(6.7) was wir noch auf verschiedenen anderen Wegen herleiten werden. Da fUr x E C und t > 0 gilt ItXI = tRe"" lassen sich die obigen Aussagen unmittelbar auf komplexe x mit Re x> 0 ausdehnen, d.h. (6.3)-(6.5) gelten fUr
156
IV. Das Lebesgue-Integral
x E C, Rex> o. - Die Holomorphie der Gammafunktion und Gl. (6.4) lassen sich fUr Re x > 0 auch miihelos mit Satz 5.8 beweisen. Bringt man in der GauBschen Darstellung den Faktor n! in den Nenner und fiigt Faktoren exp( -z/k) ein, so erhiilt man fiir Rez > 0 . exp(z(logn-L~=li)) () rz=hm n ( ) ( ). n_oo Z TIk=l 1 + f exp -f Hier stellt z TI%"=l (1 + z/k) exp( -z/k) eine ganze Funktion von z E C dar mit den Nullstellen 0, -I, -2, ... , und der Limes limn _ oo (logn - L~=ll/k) existiert und ist gleich -'Y, wobei 'Y = 0,5772 ... die Eulersche Konstante ist (s. Grundwissen-Band F'unktionentheorie II von R. REMMERT). Das liefert die meromorphe Fortsetzbarkeit der Gammafunktion in die ganze komplexe Ebene und die Weierstmftsche Produktdarstellung:
_1_ = ze'Yz IT (1 + .:.) e-*
(6.8)
r(z)
(z
E
q.
n
n=l
Insbesondere ist r- 1 eine ganze Funktion, und nalgleichung folgt aus (6.8)
r
ist nullstellenfrei in C. Wegen der Funktio-
1
r(z)r(l- z) =
z
II 00
(
1-
2) =:;;:1
:2
sin 7rZ
n=l
(s. z.B. R.
REMMERT,
loco cit.), also
r(z)r(1 - z)
(6.9)
Hieraus folgt erneut:
r (!)
=
7r
= -.-. SIll7rZ
..;1f.
3. Mittelwertsiitze der Integralrechnung. 6.6 Erster Mittelwertsatz der Integralrechnung. Es seien f : [a, b] ---> lR Lebesgueintegrierbar, f 2:: 0 und 9 : [a, b] ---> lR stetig. Dann gibt es ein ~ E [a, b], so daft
t
f(x)g(x) dx =
g(~)
t
f(x) dx.
Beweis. Mit a = rnin{g(x) : x E [a, b]} und f3 := max{g(x) : x E [a, b]} erhalt man durch Integration der Ungleichung af ::; fg ::; f3f: a
t
f(x) dx::;
t
f(x)g(x) dx ::; f3
t
f(x) dx.
Der Zwischenwertsatz fiir stetige Funktionen ergibt unmittelbar die Behauptung.
0
6.7 Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung (0. BONNET 1849). Es seien f : [a, b] ---> lR Lebesgue-integrierbar und 9 : [a, b] --> lR monoton. Dann gibt es ein ~ E [a, b], so daft
t
f(x)g(x) dx = g(a)
t
f(x) dx
+ g(b)
l
f(x) dx.
Beweis. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit sei 9 fallend. Sei e > O. Dann gibt es ein 8> 0, so daB If(x)ldx < e fiir alle u, v E [a, b] mit 0 ::; v - u < 8 (s. Aufgabe 3.7). 1st nun
J:
§ 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral
157
Z: a = Xo < Xl < ... < Xn = b eine Zerlegung von [a,b] mit Jl(Z) := max{Xk+1 - Xk : k = < 0, so ist wegen der Monotonie von 9
0, ... , n - I}
If: f(x)g(x) dx - L~=l g(Xk) f::_ f(x) dxl :s L~=l f::_ If(x)l(g(x) - g(Xk)) dx :s L~=l (g(xk-d - g(Xk)) f::_ If(x)1 dx :S c:(g(a) - g(b)). Fiir S(Z) 9(Xk) f::_ f(x) dx gilt also: Durchlauft Z eine Folge z(n) von Zerlegungen 1
1
1
:= L~=l
1
mit Jl(z(n)) -+ 0, so gilt: lim s(z(n)) = n--+oo
lb
f(x)g(x) dx.
a
Die Funktion F : [a, b] -+ JR., F(x) = fax f(t) dt (x E [a, b]) ist stetig (Aufgabe 3.8). Mit Abelscher partieller Summation folgt: n-l
S(Z) =
L g(xk)(F(Xk) - F(Xk-I)) = L F(Xk)(g(Xk) - g(Xk+1)) + F(b)g(b). k=l
k=l
Wir setzen a := min{F(x) : a :S X :S b}, {3 := max{F(x) : a :S x :S b} und erhalten
a(g(a) - g(b))
+ F(b)g(b) :S S(Z) :S {3(g(a) - g(b)) + F(b)g(b).
Hier lassen wir Z eine Folge (z(n))n:::l mit Jl(z(n)) -+ 0 durchlaufen; das ergibt fiir n -+ 00:
+ F(b)g(b) :S [ f(x)g(x) dx :S {3(g(a) - g(b)) + F(b)g(b).
a(g(a) - g(b))
Es gibt also ein 'f/ E [a, {3] mit
[ und da 'f/ =
F(~)
f(x)g(x) dx = 'f/(g(a) - g(b))
ist mit geeignetem
~
+ F(b)g(b) ,
E [a, b] (Zwischenwertsatz), folgt die Behauptung.
0
6.8 Korollar. 1st in der Situation des Satzes 6.7 die Funktion 9 :::: 0 fallend, so gibt es ein ~ E
[a,b], so daft [
f(x)g(x) dx = g(a)
t
f(x) dx.
o
Beweis. Man wende Satz 6.7 auf 9 := 9 . X[a,b[ an.
6.9 Beispiel. Fiir jede monotone Funktion g: [0,00[-+ JR. mit limx-->oog(x) = 0 existiert das trigonometrische Integral
:=
1
00
g(t)e itx dt
(x -10)
als uneigentliches Riemann-Integral: Nach Korollar 6.8 ist fiir 0
l
Ia
b
g(t) sin tx dtl = Ig(a)11
lE sin tx dtl :S Nlg(a)1 2 , a
und zusammen mit der entsprechenden Gleichung fiir den Kosinus liefert das Cauchy-Kriterium die Existenz des uneigentlichen Riemann-Integrals. Zusatzlich ergibt sich:
158
IV. Das Lebesgue-Integral
ausgepr¨agten geistigen Interessen, starb fr¨ uh an Tuberkulose und hinterließ seine junge Frau, seine Tocher Claire, den tuberkul¨osen Henri und einen weiteren Sohn, der bald an tuberkul¨oser Meningitis starb. Seine Mutter mußte in Heimarbeit n¨ahen, um den Lebensunterhalt der Familie zu sichern, denn es gab keine Versorgung aus ¨offentlichen Kassen. Wie Lebesgue schrieb, mußte seine Mutter auf Gedeih und Verderb ihrer Arbeit gewachsen sein, die ihr nicht immer genug einbrachte, um sich satt zu essen. Dennoch stimmte sie ohne Z¨ogern zu, als ihre Kinder berufliche Wege einschlugen, die ihr selbst lange Zeit nur Belastungen brachten. Auf der Primarschule und der Realschule in Beauvais erkannten die Lehrer die mathematische Begabung von Lebesgue, und ein Stipendium seiner Heimatstadt erm¨oglichte ihm den ´ Besuch des Lyzeums in Paris. W¨ahrend seines Studiums an der Ecole Normale Sup´erieure in Paris (ab 1894) lernte Lebesgue die intellektuelle Elite seiner Zeit kennen, blieb aber in seinem angestammten sozialen Milieu und heiratete die Schwester eines Studienfreundes. Zu seinen Studienfreunden z¨ahlten der Mathematiker P. Montel (1876–1975), bekannt durch den Satz von Montel u ¨ber normale Familien holomorpher Funktionen, und der Physiker P. Langevin (1872–1946). Nach dem Staatsexamen (1897) arbeitete Lebesgue zwei Jahre lang ´ in der Bibliothek der Ecole Normale Sup´erieure; gleichzeitig schrieb er seine ersten Arbeiten. Von 1899–1902 unterrichtete er am Lyzeum in Nancy. W¨ahrend dieser Zeit schrieb er seine Th`ese: Int´egrale, longueur, aire, die ein Markstein in der Geschichte der Mathematik wurde. Nach der Promotion (1902) wirkte Lebesgue von 1902–1906 als Dozent an der Universit¨at Rennes, danach als Lehrbeauftragter an der Universit¨at Poitiers (1906–1910), anschließend als Dozent f¨ ur mathematische Analysis (1910–1919) und Professor (1919–1921) an der Sorbonne, ab 1921 als Professor am Coll`ege de France; 1922 wurde er Nachfolger von C. Jordan in der Acad´emie Fran¸caise. W¨ahrend des Ersten Weltkriegs besch¨aftigte Lebesgue sich im Dienst f¨ ur Erfindungen mit ballistischen Problemen und beseitigte gef¨ahrliche Fehler. Im Verlauf sei´ ner siebzehnj¨ahrigen T¨atigkeit als Lehrbeauftragter sowohl an der Ecole Normale Sup´erieure ´ (rue d’Ulm) als auch an der Ecole Normale Sup´erieure de Jeunes Filles in S`evres (1920–1937) bildete er viele Generationen franz¨osischer Gymnasiallehrer und -lehrerinnen aus. Nach l¨angerer Krankheit starb H. Lebesgue am 26. Juli 1941 in Paris, hochgeehrt durch Preise und Auszeichnungen von zahlreichen wissenschaftlichen Institutionen. Die wichtigsten mathematischen Arbeiten von Lebesgue sind der reellen Analysis gewidmet. Seine erste Arbeit (1898) enth¨alt einen einfachen Beweis des Weierstraßschen Approximationssatzes. Von gr¨oßter Bedeutung sind seine Arbeiten zur Integrationstheorie. Dabei kamen ´ Borel u Lebesgue die Vorarbeiten von E. ¨ ber Maßtheorie und R. Baire u ¨ ber reelle Funktionen zustatten. R. Baire hatte mit den sog. Baireschen Klassen eine Art Hierarchie unter den Funktionen aufgestellt und damit ordnende Gesichtspunkte in die vermeintlich v¨ollig ungeordnete Welt der unstetigen Funktionen gebracht. Ausgehend vom Maßproblem entwickelt Lebesgue im ersten Kapitel seiner Th`ese die Lebesguesche Maßtheorie auf R und im R2 . Damit vervollst¨andigt und pr¨azisiert er die etwas raschen Andeutungen (indications un peu ´ Borel. Im zweiten Kapitel folgt die Integraldefinition zun¨achst auf geomerapides) von E. trischem Wege u ¨ ber das Maß der Ordinatenmenge im R2 , anschließend auf analytischem Wege u ber die Lebesgueschen Summen, und es werden einige wichtige Eigenschaften des Integrals ¨ entwickelt: Jede Riemann-integrierbare Funktion ist Lebesgue-integrierbar mit gleichem Wert b des Integrals. Hat f : [a, b] → R eine beschr¨ankte Ableitung, so gilt: a f (x) dx = f (b) − f (a). x u. dif(Daß f¨ ur integrierbares f : [a, b] → R die Funktion F (x) := a f (t) dt (x ∈ [a, b]) f.¨ ferenzierbar ist mit F = f f.¨ u., wird von Lebesgue ([1], S. 333–335) 1903 bewiesen.) Ein Konvergenzsatz gestattet, die Funktionen der Baireschen Klassen als integrierbar zu erkennen. Auch mehrfache Integrale f¨ uhrt Lebesgue ein und beweist, daß mehrfache Integrationen auf einfache zur¨ uckgef¨ uhrt werden k¨onnen ( Satz von Fubini“). In den Kapiteln III–V der ” Th`ese folgen geometrische Anwendungen auf Kurven und Fl¨achen, und Kapitel VI ist dem Problem von Plateau (1801–1883) der Bestimmung einer Fl¨ache minimalen Fl¨acheninhalts mit gegebener Randkurve im R3 gewidmet. “It cannot be doubted that this dissertation is one of the finest which any mathematician has ever written,” schreibt J.C. Burkill in seinem Nachruf (Obituary Notices of the Fellows of the Royal Soc. 4, 483–490 (1942–44)).
§ 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral
159
Im akademischen Jahr 1902–1903 hielt Lebesgue am Coll`ege de France eine Vorlesung u ¨ber Integrationstheorie, die er unter dem Titel Le¸cons sur l’int´egration et la recherche des fonctions primitives (Paris 1904) ver¨offentlichte ([2], 11–154). Leitmotiv dieses Buches ist die Frage, unter welchen Bedingungen das unbestimmte Integral eine Stammfunktion des Integranden ist. Die historische Entwicklung dieses Problems wird ausf¨ uhrlich dargelegt: Ein Kapitel behandelt die Theorie der Integration von Cauchy und Dirichlet, es folgen zwei Kapitel u ¨ ber das Riemann-Integral, eines u ¨ber Funktionen von beschr¨ankter Variation und zwei u ¨ber Stammfunktionen. Erst im letzten Kapitel geht Lebesgue kurz auf seinen Integralbegriff ein. Dabei geht er axiomatisch vor und formuliert analog zum Maßproblem das Integrationsproblem. Dieses f¨ uhrt er auf das Maßproblem zur¨ uck und gelangt mit Hilfe des Lebesgue-Maßes und des Begriffs der meßbaren Funktion zur analytischen und zur geometrischen Definition des Integrals. Die Untersuchung von Stammfunktionen und die Rektifikation von Kurven dienen als Anwendungsbeispiele. Mit diesem Buch wurde die Lebesguesche Integrationstheorie allgemein zug¨anglich. Eine zweite, wesentlich erweiterte Auflage dieses Werkes erschien 1928 ([6]). Um zu zeigen, daß das Lebesgue-Integral f¨ ur die L¨osung wichtiger Probleme ein unersetzliches Hilfsmittel ist, wandte Lebesgue sich der Theorie der Fourier-Reihen zu und erzielte folgende Resultate: Die Fourier-Koeffizienten jeder 2π-periodischen u ¨ber [0, 2π] integrierbaren Funktion konvergieren gegen Null (Lemma von Riemann–Lebesgue). Jede FourierReihe darf gliedweise integriert werden. Das Lebesguesche Konvergenzkriterium umfaßt alle klassischen Konvergenzkriterien f¨ ur Fourier-Reihen. Die Folge der arithmetischen Mittel der Teilsummen der Fourier-Reihe einer 2π-periodischen u ¨ ber [0, 2π] integrierbaren Funktion f konvergiert f.¨ u. gegen f . – Im akademischen Jahr 1904–1905 hielt Lebesgue am Coll`ege de France eine Vorlesung u ¨ber Fourier-Reihen, die als Buch ([8]) ver¨offentlicht wurde. Bis zu seiner Aufnahme in die Acad´emie Fran¸caise (1922) schrieb Lebesgue etwa 90 B¨ ucher und Arbeiten haupts¨achlich u ¨ ber Maß- und Integrationstheorie, Fourier-Reihen, Mengenlehre, Variationsrechnung, Theorie des Oberfl¨achenmaßes und Dimensionstheorie. Besondere Erw¨ahnung verdient hier seine große Arbeit Sur l’int´egration des fonctions discontinues ([2], ¨ S. 185–274). Einen ausf¨ uhrlichen Uberblick u ¨ ber diese Arbeiten gibt Lebesgue selbst in der Notice sur les travaux scientifiques de M. Henri Lebesgue ([1], S. 97–175). In den Jahren ´ Norm. Sup´er. eine mit gallischer Sch¨arfe ausge1918–1920 entbrannte in den Ann. Sci. Ec. ´ Borel und H. Lebesgue, die sich jedoch gegenseitig durchaus tragene Polemik zwischen E. sch¨atzten (s. B. Arnold: Borel versus Lebesgue – eine Fallstudie ¨ uber reelle Funktionen und Forschungsprogramme, Diss., Darmstadt 1986). Dabei ging es auch um Priorit¨atsfragen. Was diese anbetrifft, ist heute unstrittig, daß die Maßtheorie auf Borel zur¨ uckgeht, w¨ahrend die Integrationstheorie von Lebesgue stammt. Ein lebendiges Bild der wissenschaftlichen Auffassungen, der lange Zeit freundschaftlichen Beziehungen und der unterschiedlichen Charaktere der Partner vermitteln die Briefe von Lebesgue ([9]) an Borel. In seinen letzten 20 Lebensjahren publizierte Lebesgue zahlreiche Arbeiten p¨adagogischen, historischen und elementargeometrischen Inhalts. Die ersten Arbeiten von Lebesgue zur Integrationstheorie wurden von den zeitgen¨ossischen Mathematikern u uhl bis feindlich aufgenommen. Charles Hermite (1822 ¨ berwiegend k¨ –1901) wollte anfangs die Vorank¨ undigung der Resultate der Th`ese nicht zur Publikation in den C.R. Acad. Sci. Paris annehmen. Er hatte seine Meinung schon fr¨ uher in einer vielzitierten Zeile in einem Brief an Stieltjes zum Ausdruck gebracht: Je me d´etourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions qui n’ont point de d´eriv´ees.12 Auch gegen die Annahme der Th`ese wurde Kritik ge¨außert. So reagierte G. Darboux ausgesprochen feindlich, obgleich er selbst 1875 eine gewichtige Arbeit u ¨ ber unstetige Funktionen geschrieben hatte. V.J. Boussinesq (1842–1929), Professor f¨ ur Differential- und Integralrechnung an
12 Ich wende mich ab mit Entsetzen und Abscheu von dieser beklagenswerten Plage von Funktionen, die u ¨ berhaupt keine Ableitungen haben.
160
IV. Das Lebesgue-Integral
der Sorbonne, soll gesagt haben: Mais une fonction a tout int´erˆet `a avoir une d´eriv´ee!13 ´ Picard (1856–1941), dessen Name mit den Picardschen S¨atzen in der Funktionentheorie E. und dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindel¨ of in der Theorie der Differentialgleichungen verbunden ist, verteidigte die Untersuchungen von Lebesgue. Er konnte U. Dini (Pisa) zur Publikation der Lebesgueschen Th`ese in den Annali di Mat. bewegen. Dini war auch nicht recht von der Bedeutung der Arbeit u ¨ berzeugt, aber um Picard entgegenzukommen, nahm er die Arbeit zur Ver¨offentlichung an (s. hierzu Vitali [1], S. 9). Erst etwa ab 1910 nahm die Anzahl der Mathematiker, die in ihren Arbeiten das LebesgueIntegral benutzten, rasch zu, wozu namentlich die Pionierarbeiten von P. Fatou, F. Riesz, E. Fischer (1875–1954) beitrugen. Insbesondere die Arbeiten von F. Riesz u ¨ ber Lp -R¨aume sicherten dem Lebesgue-Integral einen dauerhaften Platz in der Funktionalanalysis. – In einem Nachruf schreibt P. Montel u ¨ ber H. Lebesgue ([1], S. 84): Il a ´et´e un grand savant, un professeur admirable, un homme d’une incomparable noblesse morale.14
Aufgaben. 6.1. a) Ist f : [a, b] → R Lebesgue-meßbar und beschr¨ankt, so gilt f¨ ur das Riemannsche Ober- bzw. Unterintegral:
b a
f (x) dx ≤
a
b
f dλ ≤
b
f (x) dx . a
b) Es sei U ⊂]0, 1[ eine offene Menge mit Q∩]0, 1[⊂ U . Bestimmen Sie das Riemannsche Oberbzw. Unterintegral von χU . Wann ist χU Riemann-integrierbar? 6.2. Hat f : [a, b] → R in jedem Punkt einen rechtsseitigen und einen linksseitigen Grenzwert, ´ Norm. Sup´er. (2) 4, 57–112 so ist f Riemann-integrierbar (G. Darboux, Ann. Sci. Ec. (1875)). (Bemerkung: Vgl. Aufgabe III.4.7.) 6.3. Welche der folgenden Funktionen f, g, h sind uneigentlich Riemann-integrierbar bzw. Lebesgue-integrierbar u ¨ ber I? √ a) f (x) = x/ 1 + x4 , I = R. b) g(x) = sin xα (α ∈ R) , I =]0, ∞[. c) h(x) = 2x sin x12 − x2 cos x12 , I =]0, 1[. 6.4. Ist f : [0, ∞[→ [0, ∞[ monoton fallend, so ist die Funktion x → f (x) − f ([x] + 1) ([x] = gr¨oßte ganze Zahl ≤ x) Lebesgue-integrierbar u ¨ber [0, ∞[.
6.5. Es seien f : [α, β] → [a, b] , g : [a, b] → R. a) Ist g stetig und f Riemann-integrierbar, so ist g ◦ f Riemann-integrierbar (P. du BoisReymond (1880)). b) Sind f, g Riemann-integrierbar, so braucht g ◦ f nicht Riemann-integrierbar zu sein. c) Ist g ◦ f f¨ ur jede stetige Funktion f : [α, β] → [a, b] Riemann-integrierbar, so ist g stetig. (Hinweise: Es seien K ⊂ [α, β] eine nirgends dichte perfekte Menge positiven Maßes, y ∈ ]a, b[ , f (x) := h(x) + y, wobei h : [α, β] → R eine stetige Funktion ist, die auf ]α, β[\K positiv und hinreichend klein ist und sonst verschwindet. Nach Voraussetzung ist g ◦ f in einem Punkt aus K stetig. – Die Aussage gilt entsprechend, wenn man in der Voraussetzung nur C ∞ -Funktionen f zugrundelegt.) ur n ∈ N , x ∈ [0, 1] sei 6.6. Es seien (rk )k≥1 eine Abz¨ahlung von Q ∩ [0, 1], und f¨ fn (x) :=
∞ k=1
13
2−k (x − rk )2 (1 − (x − rk )2 )n−1 .
Aber eine Funktion hat alles Interesse, eine Ableitung zu haben! Er war ein großer Gelehrter, ein bewundernsw¨ urdiger Lehrer, ein Mensch von unvergleichlichem moralischem Adel. 14
161
§ 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 1st 9 :=
E::'=1 fn
Riemann-integrierbar iiber [0,1]?
6.7. Fiir alle x,y E C mit Rex
> 0, Rey > 0 gilt:
1+
tx-l 00 (_1)n --dt-L.:--
1
o 1
ty
-
n=O X
+ ny .
(Warum konvergiert die Reihe auf der rechten Seite?) 6.B. Priifen Sie, ob das folgende Integral als uneigentliches Riemann-Integral oder als LebesgueIntegral existiert, und zeigen Sie:
1
00
o
6.9. Fiir
8
1 - cos t d _ 7r 11 2 - - - t - - - - og . t 2 et 4 2
> 0 gilt
~x 1/ = 2r(8 + 1)L(8), cos die Gammafunktion bezeichnet und L(8) = E::'=1 (_l)n /(2n + 1)'. rOO
Jo
wobei
r
6.10. Fiir alle x E JR gilt:
x'
1
00 sintx -=---h /2 dt = 7r tanh 7rX . o sm t (Anleitung: Das Integralliillt sich in Gestalt einer unendlichen Reihe auswerten. Diese bestimmt man durch Fourier-Entwicklung der 27r-periodischen Funktion fa : JR -> C, fa(x) = cosh ax fiir Ixl :::; 7r und festes a E C \ iZ.)
6.11. Die Funktion F : JR
->
JR,
F(t):=
roo log~1 + t:x2) dx
(t E JR)
Jo
+x ist wohldefiniert, stetig und injedem Punkt t =I 0 differenzierbar. Bestimmen Sie F'(t) (t =I 0) explizit und zeigen Sie: F(t) = 7r log(1
+ It!)
(t E JR).
6.12. Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion
f(t) :=
1
00
o
f :]0,00[-> JR,
sinx e- tx dx
(t > 0)
x
explizit und zeigen Sie: f(t) = 7r /2 - arctan t (t > 0). Zeigen Sie weiter durch Grenziibergang t -> +0: (R-) sinx dx = ~.
roo
Jo
x
2
6.13. Die Funktionen F,G: JR -> JR,
F(x) := (lax e- t2 dt) 2 (x E JR) sind differenzierbar mit F' + G'
,
G(x) := [e-;:I;t2) dt
= 0, F + G = l
Folgern Sie:
(n ?: 0 ganz, t
> 0) .
Folgern Sie weiter durch Reihenentwicklung des Integranden und Anwendung des Satzes von der majorisierten Konvergenz:
_1_1+ e-x2/2+itx dx 00
V2ir
-00
=
e- t2 / 2 .
162
IV. Das Lebesgue-Integral
6.14. Die Funktion
I : JR -+
lR,
I(t) :=
1
00
(t E JR)
e-x-t2Ixx-1/2 dx
ist wohldefiniert, stetig, in jedem Punkt t of 0 differenzierbar und geniigt der Differentialgleichung I'(t) + 2/(t) = 0 (t> 0). Folgern Sie: I(t) = ftexp(-2Itl) (t E JR). 6.15. Die Funktion
I : JR -+ lR, (t E JR)
+ tl(t)
geniigt der Differentialgleichung I'(t)
= 0, also gilt: I(t) = v'27rexp( _t 2/2).
6.16. Beweisen Sie mit Hilfe einer Differentiation unter dem Integralzeichen in der Gleichung
CSr(s) =
1
00
x s - l e- tx dx
die Funktionalgleichung der Gammafunktion: r(s
(s,t> 0)
+ 1) = s r(s) (s > 0).
6.17. a) Der Raum Span {xl: I E 3 P} liegt dicht in £1(A P). b) 1st I c JR ein Intervall und I : 1-+ lK Lebesgue-integrierbar, so gilt: lim /,/(x)e itx dx = 0 Itl->oo I (Lemma von RIEMANN-LEBESGUE). 6.18. Die Funktion
1
t
00
ua(t) :=
o
-2--2
t +x
cosaxdx
(a,t>O)
geniigt der Differentialgleichung U~ = a 2 u a (wiederholte Differentiation unter dem Integralzeichen und partielle Integration). Daher ist ua(t) = ae at + {3e- at mit geeigneten a,{3 E lit Fiir a -+ 00 konvergiert ua(t) gegen 0 (Lemma von RIEMANN-LEBESGUE), und fiir a -+ +0 hat U a (t) den Limes 1r /2. Daher gilt:
1
00
o
t
- 2 - - 2 COS ax
t
d
+x
1r
x = -2 e
-at
(a,t
> 0).
Bestimmen Sie durch eine weitere Differentiation unter dem Integralzeichen das uneigentliche Riemann-Integral
1
x
00
(R-)
o
-2--2
t
+x
1r
sinaxdx = _e- at 2
(Hinweis: Beim letzten Schritt wahle man T
(a,t> 0).
> 0 und differenziere zunachst im Integral iiber
]0, T] unter dem Integralzeichen. Den Rest kann man nach partieller Integration abschatzen. - Fortsetzung: Aufgabe V.2.13.) 6.19. Es seien (an)n<,:1 eine Folge positiver reeller Zahlen mit L~=l an 10g(1 + l/an ) < 00 und (bn)n<,:l eine beliebige Folge reeller Zahlen. Dann konvergiert die Reihe L~=I an/Ix - bnl AI_ f.ii. auf lit (Hinweise: Es gilt limn-> 00 an = O. Man setze In(x):= an/lx-bnl fiir an:::; Ix-bnl und In(x)
= 0 sonst.
Mit An
=
{x : In(x)
of
an/Ix - bnl} gilt L~=l V(An)
Al (lim An) = O. Fiir jedes R > 0gilt nun f~ L~=l In dAI < n->oo
f. ii. auf lit)
00,
<
00
und
also konvergiert L~=l In
Kapitel V ProduktmaBe, Satz von Fubini und Transformationsformel «Le procede dont je fais usage, est fonde sur la propriete connue des integrales doubles, d'etre independantes de l'ordre dans lequelles deux integrations sont effectuees .... la justice exige aussi d 'attribuer it EULER la premiere idee de faire servir la propriete enoncee des integrales doubles it l'evaluation des integrales definies simples.»1 (DIRICHLET [1], S. 111)
Das folgende Kapitel ist vornehmlich der Diskussion "mehrfacher" Integrale gewidmet. Zentrale Satze sind der Satz von FUBINI und die Transformationsformel. Der Satz von FUBINI gestattet die Reduktion mehrfacher Integrale auf einfache. Die Transformationsformel ist das p-dimensionale Analogon der Substitutionsregel fUr das Riemann-Integral. 1m folgenden Kapitel seien (X, 2l, p,), (Y, 113, v) zwei MaBraume, M(X, 2l) , M(Y, 113) , M(X x Y, 2lQ9I13) die Mengen der meBbaren numerischen Funktionen auf X, Y bzw. X x Y und M+( ... ) die Menge der nicht-negativen Funktionen aus M( .. .).
§1.
ProduktmaBe "Man kann in dem Raume X x Y ein MaB einfiihren, so daB Mengen von der Gestalt M x N meBbar sind, und zwar das MaB J-!(M)v(N) haben (dabei bedeuten M und N meBbare Untermengen von X resp. Y), ... " (ULAM [1], S. 40)
1Das Verfahren, welches ich benutze, beruht auf der bekannten Eigenschaft von Doppelintegralen, unabhangig von der Reihenfolge der Integrationen zu sein .... die Gerechtigkeit gebietet es zudem, EULER die erste Idee zur Benutzung der genannten Eigenschaft der Doppelintegrale zur Auswertung von einfachen bestimmten Integralen zuzuschreiben.
J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 7. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-17905-1_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011
164
V. Produktmal3e
1. Produkt-a-Algebren. Wir wollen ein "Produktmal3" p auf X x Y definieren, so dal3 fUr aile A E 21, BEl]) gilt: p(A x B) = f.l(A) v(B) (elementargeometrische Motivation: Flacheninhalt eines Rechtecks = Lange· Breite). Als Definitionsbereich fUr ein solches Mal3 p bietet sich die von
21*1])
= {A
x B: A E 21, BEl])}
erzeugte Produkt-a-Algebm
an. Aus Korollar III.5.8 wissen wir: 1.1 Lemma. 1st M E 21 ® 1]), so ist jeder Schnitt
Ma .- {y E Y : (a, y) EM} M b .- {xEX:(x,b)EM}
(a E X), (bEY)
mejJbar, d.h. Ma E 1]), Mb E 21, und filr jeden MejJmum (Z, It) und jede mejJbare Abbildung f : (X x Y,21 ® 1])) --+ (Z, It) sind aile Schnitte f(a,') : (Y,I])) --+ (Z, It), f(', b) : (X, 21) --+ (Z, It) (a E X, bEY) wiederum mejJbar. Beweis. Diese Sachverhalte lassen sich unabhangig von den Entwicklungen aus Kap. III, § 5 auch wie folgt ad hoc zeigen: Die Menge 9Jt aller Teilmengen M c X x Y, fUr welche aile Schnitte M a, Mb (a E X, bEY) mel3bar sind, ist eine a-Algebra mit 21 * I]) c 9Jt, also gilt 21 ® I]) c 9Jt, und die erste Aussage ist bewiesen. 1st ferner CElt, a E X,b E Y, so gilt (f(a, .))-l(C) = (f-1(C))a, (f(', b))-l(C) = (j-1(C))b, und das liefert die zweite Aussage. 0 Weiter ist aus Beispiel III.5.3 bekannt: Sind <E, J Erzeuger von 21 bzw. I]) und gibt es Folgen (Ank"l in <E, (Bnk>l in J mit U~=l An = X , U~=l Bn = Y, so ist
<E
*J =
{E x F : E E <E, F E J}
ein Erzeuger von 21 ® 1]). Insbesondere ist JP * Jq I])P ® I]) q = I])p+q.
= Jp+q ein Erzeuger von
2. Produktma6e. Die Existenz eines Produktmal3es sichert der folgende Satz. 1.2 Satz. Es gibt ein MajJ p : 21 ®
(1.1 )
I])
--+ JR., so dajJ
p(A x B) = f.l(A) v(B)
(A E 21, BE 23).
Beweis. Wir definieren zunachst p auf dem Halbring 21* I]) durch (1.1); dabei ist die Konvention O· 00 := 0 wesentlich. Dann ist p : 21 * I]) --+ lR ein PriimajJ: Zum Nachweis der a-Additivitat sei A x B die disjunkte Vereinigung der Mengen
§ 1. ProduktmaBe An
X
p(A
165
Bn mit A, An E Qt, B, Bn E!B (n EN). Dann gilt nach Folgerung IV.2.4: X
B) =
i
v(B) XA(X) dJL(x) = i
v((A
X
B)x) dJL(x)
i v (Q(An X Bn)x) dJL(x) = it:V((An Q.l t: i
V ((An
X
X
Bn)x) dJL(x)
Bn)",) dJL(x) = t:p(An X Bn);
dabei gilt die Gleichheit (!) nach Korollar IV.2.8. Nach dem Fortsetzungssatz II.4.5 laBt sich das PramaB p : Qt * !B -+ JR fortsetzen zu einem MaB auf a(Qt * !B) = Qt o !B. D Damit ist die Existenz eines ProduktmaBes gesichert, aber nicht die Eindeutigkeit. - Offenbar ist die Konstruktion von p mit Hilfe des Fortsetzungssatzes recht unhandlich. Einen flexiblen KalkUl verspricht folgender Ansatz, der bisweilen nach B. CAVALIERI (1598-1647), einem SchUler von G. GALILEI, benannt wird (s. Abschnitt 3.): 1st M E Qt 0!B, so ist jeder Schnitt Mx meBbar, und es liegt nahe, die Funktion x H v(Mx) bez. JL zu integrieren:
p(M)
:=
i
v(Mx) dJL(x).
Dieser Ansatz ist nur sinnvoll, wenn die Funktion unter dem Integralzeichen aus M+(X, Qt) ist. Letzteres ist der Fall, wenn v a-endlich ist:
1.3 Satz. 1st v a-endlich, so ist fur jedes M E Qt 0!B die Funktion x v(Mx) Qt-mePbar, und p : Qt 0!B -+ JR, (1.2)
p(M)
:=
i
v(Mx) dJL(x)
(M
= JL(A) v(B) (A
E
E Qt
H
o !B)
ist ein Map auf Qt 0!B mit (1.3)
p(A
X
B)
Qt, B E !B) .
Beweis. Zunachst mussen wir zeigen, daB fM : X -+ JR, fM(X) := v(M",) (x E X; M E Qt 0 !B) Qt-meBbar ist; dieses ist die wesentliche Schwierigkeit im folgenden Beweis. Zu diesem Ziel benutzen wir das Prinzip der guten Mengen und setzen
9J1 := {M
E
Qt 0 !B : fM ist Qt-meBbar} .
Fur A E Qt, B E !B ist
fAXB(X) = v(B) XA(X)
(x
E X)
offenbar Qt-meBbar, also gilt Qt * !B c 9J1. Die weitere Argumentation erfolgt in zwei Schritten: (1) 1st v(Y) < 00, sO ist 9J1 = Qt 0!B.
166
V. ProduktmaBe
Begriindung: 9)1 ist ein Dynkin-System uber X x Y, denn es gilt: a) X x Y E 9)1, denn fxxy ist konstant gleich v(Y). b) Fur M E 9)1, x EXist wegen der Subtraktivitat des MaBes (v(Y) < oo!)
eine ~-meBbare Funktion. c) 1st (Mn)n~1 eine Folge disjunkter Mengen aus 9)1, so ist U:'=1 Mn E 9)1, denn fU':'=lMn = 2::'=1 fMn ist ~-meBbar. Insgesamt ist 9)1 ein Dynkin-System, das den durchschnittsstabilen Erzeuger ~ * IE von ~ 01E umfaBt. Nach Satz I.6.7 ist das von ~ * IE erzeugte DynkinSystem I) gleich ~01E, und aus I) c 9)1 c ~01E folgt 9)1 = ~01E. (Bemerkung: Alternativ kann man auch so schlieBen: 9)1 ist eine monotone Klasse, die den von ~ * IE erzeugten Ring umfaBt. Satz I.6.2 liefert daher 9)1 = ~ o IE.) (2) 1st va-endlich, so ist 9)1 = ~ 01E. Begrundung: Sei (Bn)n>1 eine Folge von Mengen aus IE mit Bn t Y, v(Bn) < 00 (n E N) und Vn : IE -+ R, vn(B) := v(B n Bn) (B E IE). Fur jedes M E ~01E ist x H vn(M",) nach (1) ~-meBbar, also ist auch fM(X) = limn ---+ oo vn(M",) eine ~-meBbare Funktion von x EX, d.h. 9)1 = ~ 0 IE. Damit ist die durch (1.2) definierte Funktion p sinnvoll und offenbar gilt (1.3). Zum Nachweis der a-Additivitat von p sei (Mn)n~1 eine Folge disjunkter Mengen aus ~ 0 IE. Dann gilt:
p
(Q
Mn)
=
=
Ix (Q f1 v (
n=1
X
Mn)
J
dll(X) =
Ix ~V((Mn)"')
dll(X)
v((Mn)x) dll(X) = fP(Mn); n=1
hier ist die Vertauschung von Summation und Integration nach Korollar IV.2.8 zulassig. 0 1st v nicht a-endlich, so ist der Ansatz (1.2) zur Definition eines ProduktmaBes nicht sinnvoll, denn x H v(Mx) braucht nicht meBbar zu sein; BEHRENDS [1], S. 96 gibt ein Beispiel dafur. - Auch fUr a-endliches v braucht das MaB p aus (1.2) nicht das einzige MaB auf ~ 0 IE zu sein, das (1.3) erfullt: 1.4 Beispiel. Es seien (X,~) = (Y, IE) := (JR, lEI), 11 das ZahlmaB auf lEI und v := (31. Wir wissen aus dem Beweis von Satz 1.2, daB p gemaB (1.1) ein PramaB auf lEI * lEI ist. Bezeichnet 'TJ das auBere MaB zu p, so ist 11" := 'TJ11E2 nach Kap. II eine MaBfortsetzung von p. Offenbar ist D := {(X, x) : x E [0, I]} E 1E2. Ware 1I"(D) < 00, so gabe es Mengen An, Bn E lEI (n E N) mit Dc U:'=1 An X Bn und 2::'=IIl(An)· (31 (Bn) < 00. Fur alle n E N ist daher An endlich oder (31 (Bn) = o. Die Vereinigung A aller endlichen An ist abzahlbar, die Vereinigung Baller Bn mit (31(Bn) = 0 ist eine (31-Nullmenge, und es gilt D c (A x JR) U (JR x B). Bezeichnet nun prl die Projektion auf die erste Koordinate, so ist einerseits pr 1(D\(AxJR)) = [0, 1]\A, wahrend andererseits pr 1(D\(AxJR)) C B,(31(B) =
167
§ 1. ProduktmaBe 0: Widerspruch! Es folgt 7r(D) = Satz 1.3 ist p : 'B2 ---+ R,
p(M) :=
i
00. -
Nun ist aber v = fJl a-endlich, und nach
fJl(Mx) dJl(x)
(M E 'B2)
eine MaBfortsetzung des PdimaBes (1.1) mit p(D) = O. Das urspriingliche PramaB (1.1) hat also zwei verschiedene MaBfortsetzungen. - 1m vorliegenden Beispiel ist bemerkenswert, daB die Abbildung y r--+ Jl(MY) (M E 'B2) immer noch Lebesgue-meBbar ist. (Das wird bei BEHRENDS [1], S. 94-96 bewiesen.) Daher ist a : 'B2 ---+ R,
a(M) :=
i
Jl(MY) d>.l(y)
(M
E
'B2)
eine dritte MaBfortsetzung von (1.1). Wegen a(D) = 1 ist a
i= p und a i= 7r.
1.5 Satz und Definition. Sind Jl und v a-Endlich, so gibt es genau ein Map Jl 0 v : 2l 0 lB ---+ R mit (1.4)
Jl0 v(A x B) = Jl(A) v(B)
(A E 2l, B E 'B) ,
und zwar ist
Das Map Jl0 v ist a-Endlich und heipt das ProduktmaB von Jl und v. Beweis. Das PramaB p: 2l*'B ---+ R, p(A x B) = Jl(A)v(B) (A E 2l, BE 'B) aus dem Beweis von Satz 1.2 ist a-endlich, denn aus An E 2l, Bn E 'B, An t X, Bn t Y, Jl(An) < 00, v(Bn) < 00 folgt An X Bn t X x Y, p(An X Bn) < 00 (n EN). Nach Korollar II.5.7 gibt es also genau ein MaB Jl0 v: 210 'B ---+ R mit (1.4), und Jl0v ist a-endlich. Andererseits ist das MaB p aus (1.2) ein MaB auf2l0lB mit (1.3), also ist p = Jl0 v. Aus Symmetriegriinden ist auch a : 210 'B ---+ R, a(M) :=
i
Jl(MY) dV(y)
(M E 210 'B)
ein MaB mit a(A x B) = Jl(A)v(B) (A E 2l, B E 'B), also ist auch a = Jl0 v. D
1.6 Korollar. Fur alle M E 210 'B sind folgende Aussagen a)-c) iiquivalent:
a) Jl0 v(M) = O. b) v(Mx) = 0 fur Jl-fast alle x E X. c) Jl(MY) = 0 fur v-fast alle y E Y.
Beweis: klar nach (1.5) und Satz IV.2.6.
D
1.7 Beispiele. a) Fiir die a-Algebren 'B P und 'B q gilt 'B P 0 'B q = 'B p + q . Die entsprechenden Lebesgue-Borelschen MaBe fJP 0 fJ q und fJ p +q stimmen auf dem erzeugenden Halbring JP * Jq = Jp+q iiberein, also gilt fJP 0 fJ q = fJ p +q •
V. ProduktmaBe
168
b) Fur X E IBP set zen wir IB~ := IBPIX,,B~ := ,BPIIB~. Sind nun X E IBP, Y E IBq, so erzeugt der Halbring IB~*IB} die a-Algebra IB~®IB~, und nach Korollar III.5.12 ist IB~ ® IB} = 1B~+1Y, Da die MaBe ,B~ ® ,B} und ,B~+".qy nach a) auf dem Erzeuger IB~ * IB} dieser a-Algebra ubereinstimmen, erhalten wir:
(./P
fJx
/0,
'
(./q - (./p+q
fJy -
fJxxY .
c) Die a-Algebra ,£P ®,£q ist in ,£p+q echt enthalten (Aufgabe 1.1). Daher ist ).p+q eine echte Fortsetzung von ).P ® ).q. Das MaB ).p+q ist vollstandig, ).P ® ).q unvollstandig. d) Die Funktionen F : W ~ IR, G := lR.q ~ lR. seien wachsend und rechtsseitig stetig und H : lR.p +q ~ IR, H(x, y) := F(x)G(y) (x E W, Y E lR.q ). Dann stimmen die zugehOrigen Lebesgue-Stieltjesschen Malle >'F @>'G und >'H auf JP * Jq iiberein (Aufgabe 11.3.3), also gilt:
e) 1st auch nur eines der Malle /1, v nicht u-endlich, und existieren beide Integrale unter (1.5), so brauchen diese Integrale nicht gleich zu sein, wie Beispiel 1.4 lehrt.
1.8 Beispiel: Kugelvolumen im W (C.G.J. JACOBI: Werke III, S. 257). Fur das Volumen Vp(R) = ,BP(KR(O)) einer Kugel vom Radius R > 0 im W gilt:
{
p(p~;r~4'2RP, falls p gerade, 2(2,,)(p-l)/2
p(p-2) ..... 3.1
RP
.f.
II
d
,Ja s P ungera e,
(1.6)
wobei
r
die Gammafunktion bezeichnet.
Beweis. Nach Korollar III.2.6 ist Vp(R) = wpRP mit wp = ,BP(K1(O)). Fur p ~ 2 ist W = lR X lRP- 1,,BP =,B1 ® ,Bp-1, und fUr -1 < x < 1 ist der Schnitt (K 1(O))x eine (p - 1)-dimensionale Kugel yom Radius VI - x 2 • Daher liefert (1.5):
(Substitution: x = cos t). Das letzte Integral wird (ublicherweise bei der Herleitung des Wallisschen Produkts) mit Hilfe sukzessiver partieller Integrationen berechnet:
1
,,/2 .
o
smPt dt = {
(p-1)(p-3) ..... 3·1 " £ 11 d p(p-2)· ... -4-2 '"2' asp gera e, (p-l)(p-3)· ... ·4.2
p(p-2) ..... 3-1
'
£ 11 d asp ungera e.
Damit ist Vp(R)/Vp_2(R) = ~R2 (p ~ 3). Die rechte Seite von (1.6) genugt = y'1f(!)) und fUr p = 2 derselben Rekursion, und da (1.6) fUr p = 1 (r gilt, folgt die Behauptung. 0
G)
§ l. ProduktmaBe
169
1.9 Beispiel (SIERPINSKI [1], S. 328-330). Es gibt eine Menge A C [0, IF, A ~ £,2, so dajJ jede-r Schnitt Ax (x E ]E.) und jede-r Schnitt AY (y E ]E.) hOchstens einen Punkt enthiilt. Das bedeutet: In Korollar 1.6 und in Aufgabe 1.4 wird die Implikation "b) ==} a)" ohne die Voraussetzung der MeBbarkeit von M falsch. Obgleich fUr die Menge A beide Integrale in (1.5) (mit J.l = v = (31) sinnvoll sind, ist A nicht Lebesgue-meBbar. Beweis. Wir beginnen mit einer Vo-rbeme-rkung: Jede Menge M E £,1 mit .\l(M) > 0 hat die Miichtigkeit c. Beg-rundung: Es gibt ein Kompaktum K C M mit V(K) > 0 (Korollar 11.7.2). Nach dem Satz von CANTOR-BENDIXSON (s. z.B. HEWITT-STROMBERG [1], S. 72) hat K eine Zerlegung K = Q U C in eine perfekte Menge Q und eine abzahlbare Menge C. Da K uberabzahlbar ist, ist Q # 0, und nach einem bekannten Satz von CANTOR (s. lac. cit.) ist IQI ?:: c, also IMI = c. Zur Konst-ruktion de-r Menge A argumentieren wir ahnlich wie im Beweis des Satzes IIL3.10: Die Menge .ft := {K C [0, K kompakt, (32(K) > O} hat nach Lemma III.3.9 die Machtigkeit c. Nach dem Wohlordnungssatz konnen wir die Elemente von .ft indizieren mit Hilfe der Ordinalzahlen < 7/, wobei 7/ die kleinste Ordinalzahl mit c Vorgangern ist: .ft = {Ka : a < 7/}. Wir konstruieren A mit Hilfe einer Definition durch transfinite Induktion: Es sei (ao, bo ) ein beliebiger Punkt von Ko. Weiter sei nun a < 7/ und fUr aile (3 < a sei (af3,bf3) E Kf3 schon so definiert, daB aile Schnitte der Menge {(af3,bf3) : (3 < a} hOchstens einelementig sind. Nach der Vorbemerkung und Korollar 1.6 hat die Menge der x E [O,IJ mit (31((Ka)x) > 0 die Machtigkeit c, wahrend l{af3 : (3 < a}1 < c. Daher existiert ein aa E [O,IJ \ {af3 : (3 < a}, so daB .\l((Ka)aa) > 0, und da auch der Schnitt (Ka)aa die Machtigkeit chat, gibt es ein ba E (Ka)aa \ {be: (3 < a}. Damit ist fUr aile a < 7/ ein Punkt (aa,b a ) definiert, und wir zeigen:
IF :
A:= {(aa,ba ): a < 7/} leistet das Verlangte. Offenbar sind aile Schnitte von A hochstens einelementig. Ware nun A E £,2, so ware .\2(A) = 0 nach Aufgabe 1.4, also .\2([0, IF \ A) = 1. Nach Korollar 11.7.2 gabe es dann ein K E .ft mit K C [0,
IF \ A:
Widerspruch, denn nach Konstruktion ist
KnA#0.
0
3. Das Cavalierische Prinzip. In seiner schon friih mit dem Vorwurf der Dunkelheit bedachten Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (Bologna 1635, 2. Ausg. 1653) formuliert der Jesuat (nicht Jesuit(!))2 B. CAVALIERI folgendes Prinzip: "Figurae planae habent inter se eamdem rationem, quam earum omnes lineae iuxta quamuis regulam3 assumtae, et figurae solidae quam earum omnia plana iuxta quamuis regulam assumta. (( In freier Ubersetzung liiBt sich das etwa so aussprechen: Ebene Figuren bzw. riiumliche Korper stehen (dem MafJe nach) in demselben Verhiiltnis wie in gleicher Hohe zwischen beiden gefiihrte gerade bzw. ebene Schnitte. - Als maBtheoretische Version dieses Prinzips folgt aus Satz l.5 unmittelbar: 1.10 Cavalierisches Prinzip. Es seien
f.J"
v a-endlich, und fiir M, N E 2l® IB
2 Jesuaten (Jesusdiener) nannten sich die Mitglieder eines urn 1360 in Siena gegrundeten Vereins fur strenge Askese und Werke der Nachstenliebe. Papst PAUL V. genehmigte 1606 den Zutritt von Priestern, aber schon 1668 hob CLEMENS IX. die Jesuaten auf. - Bis ins spate 17. Jh. gab es kaum ausreichend besoldete Anstellungen fur Mathematiker. CAVALIERI hatte einen Lehrstuhl fUr Mathematik an der Universitat Bologna inne und war gleichzeitig Prior eines Jesuatenklosters (s. E. GIUSTI [1]). 3Zum Begriff der -regula s. M. CANTOR: Vo-rlesungen ube-r Geschichte de-r Mathematik, Bd. II, S. 834. Leipzig: Teubner 1900.
170
V. ProduktmaBe
gelte
v(Mx) = v(Nx ) fur f1-fast aile x EX. Dann ist f10 v(M)
=
f10 v(N) .
1.11 Volumenbestimmung der Kugel nach ARCHIMEDES. In seiner Methodenlehre4 gibt ARCHIMEDES eine elegante Begrundung dafUr, "daB die Kugel viermal so groB ist wie ein Kegel, dessen GrundfUiche dem groBten Kreis der Kugel gleich ist, die Hohe aber dem Radius der Kugel, und daB ein Zylinder, dessen Grundfiiiche dem groBten Kreis der Kugel gleich ist, die Hohe aber dem Durchmesser des Kreises, anderthalbmal so groB ist wie die Kugel..." Indem wir die von ARCHIMEDES zugrundegelegte geometrische Situation geringfUgig modifizieren, konnen wir diese Aussage wie folgt beweisen: Wir legen um die Kugel KR(O) einen Kreiszylinder vom Radius R mit der Hohe 2R mit der xAchse als Rotationsachse. Aus dem Zylinder entfernen wir die beiden Kreiskegel mit der Spitze 0, die die Grundfiiichen des Zylinders zur Basis haben; das ergibt einen Restkorper M. Fur Ixl < R ist (KR(O))", eine Kreisscheibe mit dem Radius (R2 - X2)1/2, hat also den Fliicheninhalt n(R2 - x 2). Der Schnitt Mx ist ein Kreisring mit iiuBerem Radius R, innerem Radius lxi, hat also ebenfalls den Fliicheninhalt n(R2 - x 2). Nach dem Cavalierischen Prinzip ist also j13(KR(0)) = (J3(M). Da nach (1.5) jeder der beiden Kreiskegel das Volumen ~R3 hat, erhalten wir: j13(KR(0)) = ~1!-R3, und das impliziert die Behauptung. Ergebnis: Das Volumen des Zylinders verhiilt sich zum K ugelvolumen und dieses zum Volumen der beiden Kegel wie 3 : 2 : 1.
4. Produkte endlich vieler Ma6raume. Die obigen Resultate lassen sich ohne weiteres auf endlich viele MaBriiume ausdehnen: Vorgelegt seien die aendlichen MaBriiume (Xj, 21j , f1j) (j = 1, ... , n). Gesucht ist ein auf der von 211 * ... * 21n erzeugten Produkt-a-Algebra ®j=l 21j definiertes Produktmafi p : ®j=l21j -+ JR, so daB p(A1 x ... x An) = f11(Ad ..... f1n(An) (Aj E 21j fUr j = 1, ... , n). Wir wissen nun aus Kap. III, § 5, daB im Sinne der naturlichen Identifikation von (Xl x ... X X n- 1) X Xn mit Xl x ... X Xn gilt:
(211 0 ... 0 21n- 1) 021n = 211 0 ... 0 21n , und diese a-Algebra hat den Erzeuger (211 * ... * 21n-d * 21n = 211 * ... * 21n. Daher liefert Satz 1.5 nebst Beweis in Verbindung mit einem Induktionsargument sofort: 1.12 Satz und Definition. Sind (Xj,21j,f1j) (j
=
1, ... ,n) a-endliche Mafi-
riiume, so existiert genau ein Mafi n
n
j=l
j=l
4J.L. HEIBERG, H.G. ZEUTHEN: Eine neue Schrift des Archimedes, Bibl.Math., 3. Foige, Bd. 7,321-363 (1907).
171
§ 1. ProduktmaBe so daft n
n
j=l
j=l
Das Maft ®j=l/Jj ist (T-endlich und heiftt das Produktmafi von 1"'1,·· ., {tn. Fur alle M E 2ll ® ... ® 2ln ist die Funktion Xn f-t {tl ® ... ® {tn-l (Mxn) meftbar, wobei MXn = {(Xl, ... , Xn-l) : (Xl,"" Xn-l, Xn) EM}, und es gilt:
®
{tj(M) =
j=l
1
{tl ® ... ® {tn-l (MxJ d{tn(xn).
Xn
1m Sinne der naturlichen Identifikation von (Xl x ... X X n - l ) ... X Xn gilt: ({tl ® ... ® {tn-I) ® {tn = {tl ® ... ® {tn .
X
Xn mit Xl x
In Verbindung mit dem Eindeutigkeitssatz liefert Satz 1.12: 1.13 Satz. In Satz 1.12 seien fh, ... ,Sjn Halbringe mit (T(Sjj) = 2lj, und {tjlSjj sei (T-endlich (j = 1, ... , n). Dann gibt es genau ein Maft p: ®j=l2lj --+:i mit n
(1.7)
P(BI x ... x Bn) =
II {tj(Bj )
(Bj E Sjj fur j = 1, ... , n),
j=l
und zwar p = ®j=l {tj. Beweis. Definiert man p gemaB (1.7) auf dem Halbring Sj := Sjl * ... * Sjn, so ist p = {tl ® ... ® {tnlSj ein (T-endliches PramaB, und nach Beispiel III.5.3 ist dSj) = 2ll ® ... ® 2tn. Der Eindeutigkeitssatz ergibt also das Gewiinschte. D
In Verbindung mit Beispiel II.4.6 fUr p = 1liefert Satz 1.13 einen Beweis von Satz II.3.1. Produkte abstrakter MaBraume wurden erstmals eingefiihrt von H. HAHN: Uber die Multiplikation total-additiver Mengenfunktionen, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Ser. 2, 2, 429-452 (1933) und von Z. LOMNICKI und S. ULAM (s. ULAM [1], S. 79-120). 5. Das p-dirnensionale au13ere Hausdorff-Mall. Es seien hp das p-dimensionale auBere Hausdorff-MaB im W und rf das auBere Lebesgue-MaB. Nach Satz 111.2.9 gibt es ein K,p E )0,00[, so daB rf = K,php; offenbar ist K,p = (hp()O, l[p))-l. Zur expliziten Bestimmung von K,p benotigen wir folgende Version des Uberdeckungssatzes von VITALI. 1.14 Satz. Es seien U C jRP offen, )..P(U) < 00 und 0> O. Dann existiert eine Folge disjunkter abgeschlossener Kugeln Kn c U mit d(Kn) < 0 (n E N), so daft )..P(U \ U:'=l Kn) = O.
Beweis. Sei Kl C U irgendeine abgeschlossene Kugel mit d(Kl) < 0. Zur induktiven Definition der Kn nehmen wir an, Kr, . .. ,Kn seien schon konstruiert. Weiter sei Rn das Supremum der Radien aller abgeschlossenen Kugeln vom Radius ~ 0/2, die in U \ (Kl U ... U Kn) Platz haben. Wir wahlen als K n+1 C U \ (Kl U ... U Kn) eine abgeschlossene Kugel vom Radius rn+! 2: !Rn,rn+! < Rn· Mit wp:= 7rp / 2 /f (~+ 1) ist dann 00
00
n=l
n=l
(1.8) also bilden die Tn(n 2: 1) eine Nullfolge.
v.
172
ProduktmaBe
Angenommen, es sei AP(U \ U::'=l Kn) > O. Es sei Ln die zu Kn konzentrische Kugel mit dem Radius 4r n. Nach (1.8) ist 2:::'=1 AP(Ln) < 00, und wir konnen ein q E I'll wahlen, so daB 2:::'=Q+l AP(Ln) < AP(U \ U::'=l Kn). Sei Xo E U \ (U::'=l Kn U U::'=Q+1 Ln). Da die K j abgeschlossensind, gibt es ein 0 < p < 8/2, so daB Kp(xo)n(KlU ... UKq) = 0. 1st nun n E I'll und Kp(xo) n (Kl U ... U Kn) = 0, so ist p ::::: Rn ::::: 2rn+1. Da die rn (n 2: 1) eine Nullfolge bilden, gibt es also ein minimales mEN mit Kp(xo) n Km '" 0, und nach Konstruktion ist m > q. Nun ist Xo ¢ Lm und Kp(xo) n Km '" 0, also gilt fUr das Zentrum Xm von Km: p
+ rm 2: Ilxo -
xmll > 4rm ,
also p > 3r m 2: ~Rm-l. Wegen der Minimalitat von mist aber Kp(xo) C U\(KlU .. . UKm - l ) und daber p ::::: R m - l : Widerspruch! 0 Der folgende Satz bringt zum Ausdruck, daB die Kugel vom Durchmesser d unter allen Mengen A C IW' mit d(A) ::::: d maximales (auBeres) MaB hat: 1.15 Satz. Fur jedes A C JRP gilt:
wobei (1.9)
das Volumen einer Kugel vom Durehmesser 1 im
JRP
ist.
Beweis. Es kann gleich angenommen werden, daB A eine beschrankte Borel-Menge des JRP ist. Wir iiben auf A eine nach dem Geometer J. STEINER (1796-1863) benannte Symmetrisierungsoperation aus, die es gestattet, eine Menge vom MaB ;3P(A) in einer Kugel vom Durchmesser d(A) zu finden. Fiir y E JRP-l sei AY := {Xl: (Xl'Y) E A}. Dann ist AY E lEI und die Funktion f : IW'-l -+ JR, f(y) := ;3l(AY) (y E IW'-l) ist Borel-meBbar. Wir ersetzen nun den (evtl. "unsymmetrischen") Schnitt AY durch das "gleich lange" symmetrische Intervall Iy := ]-U(Y), ~f(Y)[ und bilden die Steiner-Symmetrisierung ul(A):=
U yE'lR p -
Iyx{y}. 1
Urn zu zeigen, daB ul(A) eine Borel-Menge ist, wahlen wir eine Folge (Un)n>l in r+(IW'-l, lE P - l ) mit Un t f. Dann ist die Funktion gn(Xl,y):= un(y)-Ixil ((Xl,Y) E lRxJRP-l) BorelmeBbar, und wegen {gn > O} t ul(A) folgt: ul(A) E lE P . Nach (1.5) ist ;3P(A) = ;3P(Ul(A)). Wir zeigen weiter, daB d(Ul(A)) ::::: d(A) ist: Fiir AY '" 0 sei Ky := [inf AY, sup AYj. Sind nun X E Iy,x' E Iy., so ist Ix - x'i ::::: ~f(Y) + U(y') ::::: Ie - e'l fiir geeignete Eckpunkte e von Ky,e' von Ky •. Zu allen (x,y),(x',y') E ul(A) gibt es also (e,y),(e',y') E if mit lI(x,y) - (x',y')I1::::: lI(e,y) - (e',y')II, folglich ist d(Ul(A)) ::::: d(A). Entsprechend definiert man fiir i = 1, ... ,p die Steiner-Symmetrisierung ui(A) von A in bezug auf die i-te Koordinatenhyperebene Hi = {x E JRP : Xi = O}. Dabei ist ;3P(Ui(A)) = ;3P(A) und d(Ui(A)) ::::: d(A). Fiir j '" i ist uj(ui(A)) symmetrisch in bezug auf Hi und H j . Die Menge u(A) := up( ... Ul (A)) ist nun in bezug auf alle Koordinatenhyperebenen symmetrisch, d.h. fUr alle x E u(A) gilt -x E u(A). Wegen d(u(A)) ::::: d(A) liegt daher u(A) in der Kugel urn 0 vom Durchmesser d(A), und wegen ;3P(u(A)) = ;3P(A) folgt die Behauptung. 0 1.16 Satz (F. HAUSDORFF (1919)). Fur alle A C JRP ist 7f(A) = llphp(A) mit IIp gemiip (1.9).
Beweis. Es ist nur noch zu zeigen, daB (hp(W))-l, W :=jO,l[P den Wert (1.9) hat: Nach Satz 1.14 gibt es zu jedem 8 > 0 eine Folge disjunkter abgeschlossener Kugeln Kn C W
173
§ 1. ProduktmaBe
mit d(Kn) < 8 (n E N), so daB 'xP(W \ U~=l Kn) = O. Nach Satz III.2.9 ist dann auch hp(W \ U~=l Kn) = O. Weiter ist nach Gl. (11.9.5): hp,li
(91
Kn) ::;
~(d(Kn))P = a;l ~ ,XP(Kn ) ::; a;l,XP(W) = a;l,
also hp,li (U~=l Kn) ::; a;l fiir aile 8 > 0 und daher hp(W) ::; a;l. Es sei weiter 8> 0 und (An)n>l eine Uberdeckung von W durch Mengen vom Durchmesser d(An) ::; 8 (n E N). Dann gilt nach Satz 1.15: 00
1 = IJP(W) ::; L
1]P(An ) ::; a p L(d(An))P,
n=l
n=l
o
also hp,Ii(W) 2: a;l. Weitere Ergebnisse vom Typ des Satzes 1.16 findet man bei FEDERER [1], S. 197.
Aufgaben. 1.1. Die u- Algebra £P 181 £q ist in £p+q echt enthalten. (Hinweis: Jeder Schnitt einer Menge aus £P 181 £q ist Lebesgue-meBbar.) 1.2. Fur abzahlbare Mengen X, Y gilt: '+l(X) 181 '+l(Y) = '+l(X x Y). 1st dagegen IX! > !]R.!, so ist '+l(X) 181 '+l (X) eine echte Teilmenge von '+l(X x X). (Hinweis: Korollar 111.5.15. Bemerkung: Unter Annahme der Kontinuumshypothese ist '+l(X) 181 '+l(X) = '+l(X x X), falls IX! ::; !]R.!; s. B.V. RAO: On discrete Borel spaces and projective sets, Bull. Amer. Math. Soc. 75, 614-617 (1969) und A.B. KHARAZISHVILI: A note on the Sierpiriski partition, J. Appl. Anal. 2, 41-48 (1996).) 1.3. 1st X uberabzahlbar und Qt die von den endlichen Teilmengen von X erzeugte u-Algebra uber X, so gehort die Diagonale L := {(x, x) : x E X} nicht zu QtI8l Qt, obwohl aile Schnitte von L zu Qt gehoren. (Hinweis: Satz 111.5.14.) Fur die folgenden Aufgaben 1.4-1.6 gelten die Voraussetzungen und Bezeichnungen von Satz 1.5. 1.4. Fur aile M E (QtI8l
'B)~
sind folgende Aussagen a)-c) aquivalent:
a) (J.t 181 v)~(M) = O. b) Fur J.t-fast aile x EXist M" E l konvergiert gegen Null (!). Diskutieren Sie das Monotonieverhalten dieser Folge und besti~men Sie die Dimension n, fur we1che Vn (l) maximal ist. Fur welches n 2: 2 ist das Verhaltnis des Volumens von Kr(O) zum Volumen des die Kugel umgebenden Wurfels (Kantenlange 2r) maximal? b) Die (Potenz-)Reihe 2:~=1 Vn(r) konvergiert fur aile r > 0; insbesondere ist (Vn(r)k~l fiir jedes r > 0 eine Nullfolge (!). c) Die Reihe 2:~=1 n(n+1)/2Vn (r) konvergiert genau fur 0 < r < (2rre)-1/2.
174
V. ProduktmaBe
1.8 Volumen von Rotationskorpern. Es sei
K
:=
{(x, y, z)t
E
f : [a, b] -+
JR:3 : x E [a, b], y2
der durch Rotation der Ordinatenmenge von Dann ist K Borel-mel3bar, und es gilt:
f
[0, oo[ Borel-mel3bar und
+ Z2 :s: (f(X))2}
urn die x-Achse entstehende Rotationskorper.
°
1.9. Es seien < r:S: R. Durch Rotation der Kreisscheibe Kr((O,R)) urn die x-Achse im JR:3 erhalt man einen Torus T. Zeigen Sie:
A3 (T) = 2Jr 2 r2 R (J. KEPLER (1571-1630): Nova stereometria doliorum vinariorum, Linz 1615). 1.10. "Wenn in einen Wlirfel ein Zylinder eingeschrieben wird, der die Grundflachen in den gegenstehenden Quadraten hat und mit der Zylinderflache die librigen vier Ebenen berlihrt, und ferner in denselben Wlirfel ein zweiter Zylinder eingeschrieben wird, der die Grundflachen in zwei anderen Quadraten hat und mit der Zylinderflache die vier librigen Ebenen berlihrt, so wird der von den Zylinderflachen eingeschlossene Korper, der in beiden Zylindern enthalten ist, [dem Volumen nach] 2/3 des ganzen Wlirfels sein." (ARCHIMEDES; s. J.L. HEIBERG, H.G. ZEUTHEN: Eine neue Schrift des Archimedes, Bib!. Math., 3. Folge, Bd. 7,321-363 (1907).) b) "Wenn in ein rechtstehendes Prisma [d.h. in einen Quader] mit quadratischen Grundflachen ein Zylinder eingeschrieben wird, dessen Grundflachen in den gegenstehenden Quadraten liegen und des sen krumme Oberflache die 4 librigen Rechtecke berlihrt, und durch den Mittelpunkt des Kreises, der Grundflache des Zylinders ist, und eine Seite des gegenstehenden Quadrats eine Ebene gelegt wird, so wird der Korper, der durch diese Ebene [vom Zylinder] abgeschnitten wird, [dem Volumen nach] 1/6 des ganzen Prismas sein." (ARCHIMEDES, loco cit. ) 1.11. Bestimmen Sie mit Hilfe des Cavalierischen Prinzips das Volumen eines sphiirischen Rings, der als Restkorper librigbleibt, wenn man in eine Kugel ein zylindrisches Loch bohrt, so dal3 die Zylinderachse ein Durchmesser der Kugel ist. Aile spharischen Ringe gleicher Hohe haben gleiches Volumen (unabhangig von den Radien der Kugel und des Zylinders). (Hinweis: Benutzen Sie als Vergleichskorper eine Kugel, deren Durchmesser gleich der Hohe des Rings ist.)
°
1.12. Flir f : X -+ [0, oo[ bezeichne O(f) := {(x, y) E X x JR: : :s: y < f(x)} die Ordinatenmenge von f, und flir f : X -+ JR: sei 9(f) := {(x, f(x)) E X x JR:: x E X} der Graph von f. Ferner sei (Y, '2), v) := (JR:, '2)1,,61), und p sei definiert wie in Satz 1.3. Dann gilt: a) f E M+(X, QI) o¢=? O(f) E QI@ '2)1. (Hinweise: ,,===}": g(x, y) := f(x) - y : X x JR: -+ lR ist QI @ '2)1-SB-mel3bar. ,,¢=": Schnittbildung.) b) f dJL = p(O(f)) flir aile f E M+(X, QI). (Bemerkung: Diese Aussage eroffnet eine alternative Moglichkeit zur Definition des Integrals mit Hilfe des Produktmal3es der Ordinatenmenge.) c) 1st f : X -+ JR: QI-'2)1-meBbar, so ist 9(f) E QI @ '2)1 und p(9(f)) = 0. (Bemerkung: Flir Funktionen f : JR: -+ JR: ist auch bekannt: 1st 9(f) E '2)2, so ist f Borel-mel3bar, und ist 9(f) E £1 @'2)1, so ist f Lebesgue-meBbar; S. Amer. Math. Monthly 81,1125-1126 (1974).) d) 1st JL IT-endlich und f E M+ (X, QI), so gilt:
Ix
L XJ
a 1.13. 1st K
c
mit Ilx - yll
= 1. (Hinweis: Satz 1.15.)
JL({f>t})dt,
LX) JL({f > t})
(,,,-1
dt
(a> 0).
ffi? eine kompakte konvexe Menge mit AP(K) 2: AP(K1 / 2 (0)), so gibt es x, y E K
§ 2. Der Satz von
§ 2.
175
FUBINI
Der Satz von FUBINI «Se f(x, y) e una funzione di due variabili x, y, limit at a in un'area r del piano (x, y), aHora si ha sempre:
1r
f(x,y) da
=
f f dy
f(x,y) dx
=
f f dx
0
illimitata, integrabile
f(x,y) dy,
quando con da si intenda l'elemento d'area di r.» (G. FUBINI: Sugli integrali multipli, Rend. R. Accad. dei Lincei, Ser. 5a, l6, 608-614 (1907))5
1. Der Satz von FUBINI. Die Integration in bezug auf das ProduktmaB J1 @ v zweier (J-endlicher MaBe J1, v kann als iterierte Integration in bezug auf die einzelnen Variablen durchgefiihrt werden. Dies ist der wesentliche Inhalt des folgenden Satzes von G. FUBINI, der zu den am haufigsten benutzten Satzen der Integrationstheorie gehort, denn "eine geschickte Vertauschung der Integrationsreihenfolge ist oft die halbe Mathematik", wie ein Bonmot von K. JORGENS (1926-1974) besagt. 2.1 Satz von G. Fubini (1907). Es seien J1,V (J-endlich. Dann gilt: E M+(X X Y,21 Q9 '23) sind die durch
a) Fur jedes f
x c---+ i
f(x, y) dv(y)
(bzw. y c---+ i
f(x, y) dJ1(x))
auf X (bzw. Y) definierten nicht-negativen numerischen Funktionen 2l-mejJbar (bzw. '23-mejJbar), und es gilt:
(2.1)
iXyf dJ1Q9v
b) 1st f: X x Y -+ aile x E X und
lit
=
i
(if(x,y) dV(y)) dJ1(x)
i
( i f (x,Y)dJ1 (X)) dv(y).
J1@v-integrierbar, so ist f(x,·) v-integrierbar fur J1-fast
A := {x EX: f (x, .) ist nicht v-integrierbar} E 21; ebenso ist f(', y) J1-integrierbar fur v-fast aile y E Y und B := {y E Y : f(', y) ist nicht J1-integrierbar} E '23 . 51st f(x, y) eine beschrankte oder unbeschrankte Funktion zweier Variablen x, y, die tiber eine Flache r der (x, y)-Ebene integrierbar ist, so gilt stets:
1r
f(x,y) da
=
f f dy
wobei unter da das Flachenelement von
r
f(x,y) dx
=
f f dx
zu verstehen ist.
f(x,y) dy,
176
V. ProduktmaBe
Die Funktionen
~ [f(X, y) dl/(y)
x
bzw.
Y~ i
f(x, y) dJ1-(x)
sind J1--integrierbar iiber AC bzw. l/-integrierbar iiber BC, und es gilt: (2.2)
ixy f dJ1- ® l/ =
Lc ([ f(x, y) dl/(Y)) dJ1-(x) IE< ( i J(x, y) dJ1-(X))
c) 1st f : X x Y
--+:t
dl/(y).
2l ® fJ3-meftbar und eines der Integrale
(2.3)
ix)fl dJ1-0l/, i
( [ If(x, y)1 dl/(Y)) dJ1-(x) , [
( i If(x, Y)I dJ1-(X)) dl/(Y)
endlich, so sind alle drei Integrale endlich und gleich, fist J1- 0 l/-integrierbar, und es gelten die Aussagen unter b). 2.2 Bemerkung. Es seien N E 2l eine J1--NuIlmenge und g : NC integrierbar. Dann setzt man
--+:t
J1--
wobei 9 : X --+ :t irgendeine 2l-meBbare Fortsetzung von g auf X ist. Diese erweiterte Integraldefinition ist sinnvoIl, denn sie hangt nicht ab von der Auswahl von g, und sie stimmt fUr auf ganz X definierte Funktionen g mit der bisherigen Definition uberein. 1m Sinne der erweiterten Integraldefinition schreibt man die Formel (2.2) meist in der Gestalt
(2.4)
ixy f dJ1- 0 l/ =
i
( [ f(x, y) dl/(Y)) dJ1-(x)
[(iJ(x,y) dJ1-(X)) dl/(Y)· Entsprechendes gilt fUr nicht-negative meBbare Funktionen, die nur fast uberaIl definiert sind.
Beweis des Satzes von FUBINI. a) Fur aIle M E 2l ® fJ3 ist Mx E fJ3 (x EX), f-t l/(Mx) = fy XM(X, y) dl/(Y) ist 2l-meBbar, und nach (1.5) ist
die Funktion x
Aus Symmetriegrunden gilt dies entsprechend mit vertauschten RoIlen fUr J1und l/. Das liefert a) fUr aIle f = XM (M E 210 fJ3), also gilt a) auch fur aIle f E T+(X X Y, 210 fJ3).
§ 2. Der Satz von
177
FUBINI
1st nun f E M+(X X Y,21 ® l23), so gibt es eine Folge von Funktionen fn E X Y,21 ® l23) (n ~ 1) mit fn t f. Flir alle x EXist f(x,') E M+(Y, l23) (Lemma 1.1), fn(x,') E T+(Y, l23), und es gilt fn(x,') t f(x, .). Nach der Integraldefini tion gilt also flir alle x EX:
T+(X
[fn(X, y) dv(y) t [f(X, y) dv(y).
(2.5)
Bier steht auf der linken Seite eine Folge 21-meBbarer Funktionen von x E X. Daher ist die rechte Seite in Abhangigkeit von x E X ebenfalls 21-meBbar, und wir erhalten:
r
r fn d/1 v = r ( r fn(x,y) dV(y)) d/1(x) = r r fn(x,y) dV(y)) d/1(x) = Ix ([ f(x, y) dV(y)) d/1(x)
f d/1 ® v = lim
}XXy
n-+oo}XXY
®
(Integraldefinition)
lim n-+oo}X }y
(Aussage a) gilt flir T+)
(lim n-+oo}y
(monotone Konvergenz)
}x
(nach (2.5)).
Entsprechend argumentiert man bei vertauschten Rollen flir /1 und v. b) Mit fist auch If I integrierbar bez. /1 ® v, und a) liefert:
Ix ([ If(x, y)1 dV(y)) d/1(x) = Ixxy If I d/1
®v <
00.
Bier ist nach a) das innere Integral auf der linken Seite eine 21-meBbare numerische Funktion von x EX, und die Endlichkeit des Integrals impliziert:
[If(x,Y)1 dv(y) <
00
flir /1-fast alle x EX.
Da flir alle x E X der Schnitt f(x,·) l23-meBbar ist, gilt flir die "Ausnahmemenge" A aus Aussage b):
A = { x EX: [
If(x, y)1 dv(y) =
und diese Menge ist offenbar meBbar mit /1(A)
[f(X, y) dv(y) (2.6)
00 }
,
= O. Flir alle x E AC gilt:
[(Ref)+(x, y) dv(y) - [(Ref)-(x, y) dv(y) +i [(1m f)+(x, y) dv(y) - i [(1m f)-(x, y) dv(y).
Bier sind nach a) alle Integrale auf der rechten Seite in Abhangigkeit von x E X Funktionen aus M+(X, 21), und alle diese Funktionen sind /1-integrierbar, denn flir g E {(Ref)±, (1m f)±} ist
Ix ([ g(x, y) dV(y)) d/1(x) ::; Ix ([ If(x, Y)ldV(Y)) d/1(x) <
00.
v.
178 Daher ist (2.6) fL-integrierbar tiber AC, und wegen fL(A)
1c
Produktma13e
= 0 folgt nach a):
([f(X,Y) dV(y)) dfL(x)
1c ([ +i
(Ref)+(x, y) dV(y)) dfL(X)
1c ([
1([ 1([
-lc ([
(1m f)+ (x, y) dV(Y)) dfL(X) - i
(Ref)+(x, y) dV(Y)) dfL(X) -
+i
r
ixxy +i
(Ref)-(x, y) dV(y)) dfL(X)
1c ([
1([ 1([
(Ref)-(x, y) dV(Y)) dfL(X)
(1m f)+(x, y) dV(Y)) dfL(X) - i
(Ref)+dfLQ9V-
r
ixxy
(1m f)- (x, y) dV(Y)) dfL(X)
(1m f)-(x, y) dV(Y)) dfL(X)
(Ref)- dfLQ9V
r (Imf)+dfLQ9V-i ixxy r (Imf)-dfLQ9V ixxy
r f ixxy
dfL
Q9
v.
Entsprechend schlie13t man bei vertauschten Rollen fUr fL und v. c) ist klar nach a) und b). Sind fL und v a-endlich, so garantiert der Satz von barkeit der Reihenfolge der Integrationen
FUBINI
o die Vertausch-
1 ([f(X,Y) dV(Y)) dfL(X) = [(1 f(x,y) dfL(X)) dv(y) ,
(2.7)
falls gilt: (i) f E M+(X X Y, Q( Q9 123) oder (ii) fist fL Q9 v-integrierbar. Bedingung (ii) ist erfUllt, falls f me13bar und eines der Integrale (2.3) endlich ist. Dagegen ist die Existenz der iterierten Integrale unter (2.7) nicht ohne weiteres hinreichend fUr (2.1) bzw. (2.2) bzw. (2.7), wie die folgenden Beispiele lehren. 2.3 Beispiele. a) Ftir x, y > 0 ist
X2 - y2
(2.8)
( x2
+ y2)2 =
fP
~
UXUY
X arctan -
Y
also gilt:
t (t (xX22 +- y2)2d y2) t (t X2 - y 2 ) y dx = 4' io io (X2 + y2)2dx dy = -4·
io io
7r
7r
Die iterierten Integrale unter (2.7) existieren beide, sind aber nicht gleich. Insbesondere ist die Funktion (2.8) nicht ;32-integrierbar tiber ]0, 1[2. - Dieses Beispiel wurde schon 1814 von A.L. CAUCHY gefunden, aber erst 1827 veroffentlicht und von zahllosen Autoren tibernommen; s. A.L. CAUCHY: Memoire sur les
§ 2. Der Satz von
179
FUBINI
integrales dejinies, CEuvres, Ser. 1, Tome 1, 319-506, insbes. S. 394-396 (1882). Zahlreiche weitere Beispiele dieser Art findet man bei G.H. HARDY: Note on the inversion of a repeated integral, Collected Papers, Vol. V, 647-649 und bei S.D. CHATTERJI: Elementary counter-examples in the theory of double integrals, Atti Sem. Mat. Fis. Modena 34, 363-384 (1985-86).
b) Bezeichnet A c [0,1 J2 die Menge aus Beispiel 1.9, so sind aIle Schnitte Ax, AY h6chstens einelementig, die iterierten Integrale
[
( [ XA(X, y) dX) dy, [
( [ XA(X, y) dY) dx
existieren und sind gleich, der Integrand ist nicht-negativ, aber es ist A tt £2, d.h. XA ist nicht A2 -integrierbar liber [0,1]2. Flir die Gliltigkeit von (2.1) ist also die Voraussetzung der 2l ® 'B-MeBbarkeit von f wesentlich (vgl. hierzu MATTNER [1], MILNOR [1]). c) G. FICHTENHOLZ: Sur une fonction de deux variables sans integrale double, Fund. Math. 6, 30~36 (1924) hat sogar gezeigt: Es gibt eine Lebesgue-meBbare Funktion f : [0, IJ2 -+ !fR, so daB f nicht A2 -integrierbar ist liber [0,1 F, wahrend flir aIle meBbaren Teilmengen A, B C [0,1 J die folgenden iterierten Integrale existieren und iibereinstimmen:
Sind JL, v nicht (j-endlich, so gibt es zwar nicht notwendig ein eindeutig bestimmtes ProduktmaB, aber man kann speziell das MaB p aus dem Beweis von Satz 1.2 als eine Fixierung des ProduktmaBes wahlen. Bei dieser Wahl des ProduktmaBes gilt der Satz von FUBINI sinngemaB (s. RAO [1], S. 325). Mit Hilfe von § 1, 4. laBt sich der Satz von FUBINI leicht ausdehnen auf Funktionen f : Xl x ... X Xn -+ lk., wobei (Xl> 2tj , JLj) (j = 1, ... , n) (j-endliche MaBraume sind.
2.4 Satz (G. FUBINI 1907). Es seien JL, v vollstiindige (j-endliche MajJe und (JL Q9 v) ~ : (2t Q9 ~) ~ -+ i. die Vervollstiindigung von JL Q9 v. Dann gilt: a) Fur jedes f E M+(X X Y, (2tQ9~)~) ist f(x,·) ~-mejJbar fur JL-fast aile x E X, f(·, y) 2t-mejJbar fur v-fast aile y E Y, die Funktionen x M f(x, y) dv(y) bzw. y M Jx f (x, y) dJL( x) sind f. u. auf X bzw. Y erkliirt und 2t-mejJbar bzw. ~-mejJbar, und es gilt (im Sinne von Bem. 2.2)
Jy
(2.9)
Ixxy f d(JL
Q9
v)~
=
Ix ([ f(x, y) dV(y)) dJL(x) [ (Ix f(x, y) dJL(X)) dv(y).
b) 1st f : X x Y -+ lk. (JL Q9 v)~-integrierbar, so ist f(x,·) v-integrierbar fur JL-fast aile x EX, f(·,y) JL-integrierbar fur v-fast aile y E Y, und es gilt (2.9) (im Sinne von Bem. 2.2). c) 1st f (2t Q9 ~)~-mejJbar und eines der (ggf. im Sinne von Bem. 2.2 zu verstehenden) Integrale
Ixxy Ifld(JLQ9v)~, Ix ([ If(x, y)1 dV(y)) dJL(x) , [ (Ix If(x, Y)ldJL(X)) dv(y)
180
V. Prod uktmaBe
endlich, so sind alle drei Integrale endlich und gleich, und es gelten die A ussagen unter b).
f
ist (J1,(2)V)~-integrierbar,
Beweis. 1st M E (l2l ® 1J3)~, so gibt es A, C E l2l ® IJ3 mit (fL ® 1/) (C) = 0 und ein N C C, so daB M = AUN. Fiir aile x EXist Mx = AxUNx , N x c cx, und hier ist I/(Cx ) = 0 fUr fL-fast aile x E X (Korollar 1.6). Daher ist XM(X,') = XM. 1J3meBbar fUr fL-fast aile x E X, und im Sinne von Bern. 2.2 gilt nach (1.5)
Dies gilt entsprechend mit vertauschten Rollen fUr fL und 1/, also folgt a) fUr aile f = XM mit M E (l2l ® 1J3)~ und damit fUr aile f E T+(X X Y, (l2l ® 1J3)~). - 1st nun f E M+(X X Y, (l2l ® 1J3)~), so gibt es eine Folge von Funktionen fn E T+(X X Y, (l2l ® 1J3)~) mit fn t f. Fiir pAast aile x E X gilt fn(x,,) E T+(Y, 1J3), also ist auch f(x,') E M+(Y, 1J3) fUr fL-fast aile x E X. Die weitere Argumentation verHiuft ahnlich wie im Beweis von Satz 2.1. 0 2. Historische Anmerkungen. L. EULER fiihrt erstmals 1768 Doppelintegrale ein und bemerkt die Gleichheit
[ (ld
f(x, y) dY) dx =
ld ([
f(x, y) dX) dy
der iterierten Integrale, wobei er stillschweigend voraussetzt, daB f auf [a, b] x [e, d] stetig ist (s. L. EULER: De formulis integralibus duplieatis, Opera omnia, Ser. 1, Vol. 17, 289-315). DaB die Rechtfertigung der Vertauschung der Integrationsreihenfolge fiir unstetige Funktionen auf eigentiimliche Schwierigkeiten stoBt, fiihrt gegen Ende des 19. Jh. zu z.T. kontroversen Diskussionen und zu insgesaint unbefriedigenden Vertauschungssatzen (s. z.B. P. DU BmsREYMOND: Uber das Doppelintegral, J. reine angew. Math. 94, 273-290 (1883); A. PRINGSHElM: Zur Theorie des Doppel-Integrals ... , Sitzungsber. Bayer. Akad. Wiss., Math.-Nat. Kl. 28,59-74 (1898), ibid. 29, 39-62 (1899); C. JORDAN: Cours d'analyse, 2eme ed., tome II, §§ 56-58, Paris 1894). Dagegen fiihrt die Lebesguesche Integrationstheorie in natiirlicher Weise zu einer befriedigenden Theorie der Doppelintegrale. Schon H. LEBESGUE beweist in seiner These (1902), daB Gl. (2.4) fiir f.1. = v = {31 und alle beschrankten {32-integrierbaren Funktionen gilt, und er bemerkt, daB dieses Resultat auch auf unbeschrankte Funktionen ausgedehnt werden kann. Letzteres wird von G. FUBINI: Sugli integrali multipli, Rend. R. Accad. dei Lincei, Ser. 5a, 16, 608-614 (1907) genau ausgefiihrt. Diese Arbeit gibt genaue Beweise fiir Satz 2.1, b) und Satz 2.4, b) fiir den Fall des Lebesgueschen MaBes. In einer FuBnote bemerkt FUBINI, daB seine Resultate unabhangig auch von B. LEVI gefunden wurden. In der Tat weist dieser in einer FuBnote auf S. 322 seiner Arbeit SuI principio di Dirichlet (Rend. eire. Mat. Palermo 22, 293-360 (1906)) auf die Beitrage von LEBESGUE hin, bemerkt die Integrierbarkeit von f(', y) fiir fast alle y und schreibt dann: « ... l'integrale d'area del LEBESGUE puo dunque ottenersi sempre con due integrazioni successive.»6 Die Aussagen a) und c) von Satz 2.1 und Satz 2.4 gehen zuriick auf L. TONELLI: Sull'integrazione per parti, Rend. R. Accad. dei Lincei, Ser. 5a, 18, 246-253 (1909). Dieser schreibt: « ... dimostriamo che una junzione f(x, y) misurabile superficialmente in R [= [a, b] x [e, d]], non negativa, e tale che esista {
dx
lY
f(x,y) dy,
6... das zweidimensionale Lebesgue-Integral kann daher immer durch zwei sukzessive Integrationen erhalten werden.
§ 2. Der Satz von
181
FUBINI
e integrabile superficialmente in R.
Da cia segue
1m Beweis stiitzt sich TONELLI (1885-1946) auf die Arbeit von FUBINI. In der Literatur werden daher die Satze 2.1, 2.4 oft nach FUBINI und/oder TONELLI benannt. - Eine sorgfaltige Diskussion der Doppelintegrale stammt auch von C. DE LA VALLEE POUSSIN: Reduction des integrales doubles de Lebesgue ... , Acad. Roy. Belgique, Bull. Cl. Sci. 1910, 768-798. Dieser gibt einen weiteren genauen Beweis des Fubinischen Satzes, auf den er auch verweist, und er beweist (offenbar unabhangig von TONELLI) die Aussagen a), c) der Satze 2.1, 2.4. 1m wesentlichen dasselbe leistet E.W. HOBSON: On some fundamental properties of Lebesgue integrals in a two-dimensional domain, Proc. London Math. Soc. (2) 8, 22-39 (1909). Auch W.H. YOUNG: On the change of order of integration in an improper repeated integral, Trans. Camb. Philos. Soc. 21, 361-376 (1910) beweist die Resultate von TONELLI. Er macht in seiner Arbeit On the new theory of integration (Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 88, 170178 (1913)) darauf aufmerksam, daB die Ergebnisse von TONELLI besonders bequem mit Hilfe seiner Methode der monotonen Folgen bewiesen werden k6nnen. Zusatzlich beweist G. FUBINI: Sugli integrali doppi, Rend. R. Accad. dei Lincei, Ser. 5a, 22, H.1, 584-589 (1913) die Tonellischen Resultate, bemerkt aber in einer Note kurz darauf (ibid., 22, H.2, 67 (1913)) die Prioritat von TONELLI. - In seiner letzten Arbeit n teorema di riduzione per gli integrali doppi (Rend. Semin. Mat., Torino 9, 125-133 (1949)) berichtet FUBINI selbst iiber die historische Entwicklung.
3. Beispiele fUr Anwendungen des Satzes von
FUBINI.
2.5 Beispiel. Es seien (X,~, JL) = (Y, ~, II) = (N, ~(N), JL), wobei JL das ZahlmaB auf N ist. Dann ist ~(N) 0 ~(N) = ~(N x N), und der Satz von FUBINI besagt: Die Gleichung 00
00
m=l n=l
(m,n)ENxN
00
00
n=l m=l
gilt fUr alle amn E [0, ooJ, und sie gilt auch fUr amn E C, falls eine der auftretenden Reihen bei Ersetzung von amn durch la mn I konvergiert. Das ist gleichbedeutend mit dem gropen Umordnungssatz fur Doppelreihen (s. Kap. II, § 1, FuBnote 2). 2.6 Beispiel. Eine Vertauschung der Integrationsreihenfolge er6ffnet haufig einen Weg zur Auswertung bestimmter Integrale, bei denen der Integrand keine elementare Stammfunktion hat. Ein typisches Beispiel ist hier das Integral oo exp( _x 2 ) dx. Da der Integrand nicht-negativ ist, k6nnen wir bei (!) die
fo
7 ..• wir zeigen, daB eine auf R zweidimensional meBbare, nicht-negative Funktion f(x, y), fiir we1che das Integral dx f(x, y) dy existiert, zweidimensional integrierbar ist. Daher folgt
J: J:
{dX
l
Y
f(x,y)dy=
ll x
Y
f(x,y)dxdy=
l l Y
dy
x
f(x,y)dx.
V. ProduktmaBe
182 Integrationsreihenfolge vertauschen und erhalten:
roo ( roo y e-(1+x 2)y2 dY )
10
~
1 (1 00
00 e- x2y2
~
dx =
10
roo ~ =
210
dX) Y e- y2 dy =
~
1+x
1 (1 00
4
00 e- t2
dt) e- y2 dy =
(1
00
e- y2 d Y)
also (vgl. Gl. (IV.6.7) und Aufgabe IV.6.13):
1°
00
(2.10)
2
e- x dx =
1
--Ji.
2 Dieses Resultat wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie oft in der Form _1_
V27fa
1+00
e-(x-/l)2/ 2 u 2 dx = 1
(/1 E JR, (J > 0)
-00
gebraucht. Die hier auftretende Dichte der Gauftschen Normalverteilung ziert neben dem Portrat von C.F. GAUSS (1777-1855) die Vorderseite der 1989 erschienenen Banknote uber 10 DM. - Der obige Beweis von (2.10) wurde von P.S. LAPLACE (1749-1827) im Jahre 1778 angegeben; s. Memoire sur les probabilitf.s, CEuvres completes de LAPLACE, tome 9, S. 447-448, Paris 1893. Das Integral (2.10) wurde erstmals 1730 von L. EULER bestimmt (s. Opera omnia, Ser. 1, Vol. 14, S. 11 oder Mechanica, Vol. 1, Opera omnia, Ser. II, Vol. 1, S. 100 und Opera omnia, Ser. IV A, Vol. 2, S. 40-41.) 2.7 Zusammenhang zwischen Betafunktion und Gammafunktion. Fur x, y > 0 existiert das Integral
(2.11)
B(x, y) :=
11 e-
1 (1 - t)Y-1 dt
als absolut konvergentes uneigentliches Riemann-Integral, also auch als LebesgueIntegral; B : ]0, 00[2--+ JR heiBt die Eulersche Betafunktion. Diese steht in einem einfachen Zusammenhang mit der Gammafunktion (s. Gl. (IV.6.3)). Zur Herleitung dieses Zusammenhangs multiplizieren wir die Integrale f(x),r(y) (x,y> 0) und substituieren im inneren Integral u = v - t: r(x) r(y)
=
100 (100 100 (100
t x - 1 u y- 1 e- t - u dU) dt t x - 1 (v - t)y-1 e- V dV) dt
XM(t, v)t X - 1 (v - t)Y-1 e- V d{32(t, v) ,
{ 1]0,00[2
wobei M := {(t, v) E JR2 : v > t > O}. Nach Vertauschung der Integrationsreihenfolge (Integrand nicht-negativ!) ergibt sich:
100 (l
f(x)f(y) = =
100 (1
1
w x - 1 (1
V
t X - 1 (v - t)Y-1 dt) e- V dv
- W)y-1 dW) v x +y- 1 e- V dv = B(x, y) f(x + y),
2,
§ 2. Der Satz von Fubini
183
also (2.12)
B(x, y) =
Γ(x) Γ(y) Γ(x + y)
(x, y > 0) .
ur alle komplexen x, y mit Wegen |tz | = tRez (t > 0, z ∈ C) ist (2.11) auch f¨ Re x, Re y > 0 sinnvoll. Wir wenden nun Satz 2.1, c) und b) an und erkennen: Gl. (2.12) gilt einschl. Beweis f¨ur alle x, y ∈ C mit Re x, Re y > 0. F¨ ur x = y = 21 liefert (2.12) (Substitution: t = u2 ) 2 1 1 du 1 − 12 − 12 √ Γ = π, = t (1 − t) dt = 2 2 1 − u2 0 0 und wir erhalten erneut (s. Gl. (IV.6.6)) √ 1 (2.13) Γ = π, 2 was mit (2.10) gleichbedeutend ist. – W¨ahlen wir in (2.12) speziell y = 1−x, 0 < x < 1, so liefert die Substitution u = (1 − t)−1 − 1: ∞ x−1 u du Γ(x) Γ(1 − x) = B(x, 1 − x) = 1+u 0 1 x−1 1 −x u v = du + dv 1 + u 1 +v 0 0 (v = u−1 ). Hier entwickeln wir (1 + u)−1 bzw. (1 + v)−1 in die geometrische Reihe und erhalten wegen majorisierter Konvergenz f¨ ur 0 < x < 1: (2.14)
Γ(x) Γ(1 − x) =
∞ (−1)n n=0
x+n
+
∞ n=0
+∞ (−1)n (−1)n = . n + 1 − x n=−∞ x + n
F¨ ur x = 12 kann man hier die rechte Seite mit Hilfe der Leibnizschen Reihe auswerten und erh¨alt wieder (2.13). Auf der rechten Seite von (2.14) steht die bekannte Partialbruchentwicklung der Funktion π/ sin πx, und wir erhalten erneut (vgl. Gl. (IV.6.9)) (2.14)
Γ(x) Γ(1 − x) =
π sin πx
(0 < x < 1) .
(Man kann hier auch umgekehrt vorgehen und Gl. (IV.6.9) zum Beweis der Partialbruchentwicklung von π/ sin πx heranziehen.) – Den obigen Beweis von (2.12) hat C.G.J. Jacobi (1804–1851), der her” kulische Analyst“,8 im Jahre 1833 angegeben (Gesammelte Werke, Bd. 6, S. 62–63). Das Resultat selbst stammt von L. Euler (Opera omnia, Ser. 1, Vol. 14 und Vol. 17). 8 Attribut von L. Kronecker (1823–1891) in seinen Vorlesungen ¨ uber die Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale, Leipzig: Teubner 1894, S. 236.
184
V. Prod uktmaBe
2.8 Beispiel: L:::"=11/n2 = 1[2/6. Das iterierte Integral
laBt sich nach Entwicklung des Integranden in die geometrische Reihe durch sukzessive gliedweise Integrationen berechnen (Satz von der majorisierten Konvergenz mit I L:~=o( _1)k(xy)kl ::::: 2/(1 - y), dann Korollar IV.2.8): 1
00
P
= 2 ~ -:----=
~ (2n+ 1)2·
Andererseits ergeben die Substitution u = u(x) = x + ~Y(X2 - 1) und eine anschlieBende Vertauschung der Integrationsreihenfolge (Integrand positiv!):
P =
I: (1\ 1 /
-1 1 / -1
+ 2:y + y2 dy ) du 1 [ y + u ] y=1 arctan Vf=U2 vI - u 2 y=o 1 1+u ~
vI - u 2
arctan
11--::-:?
vI - u 2
du
du ,
denn die untere Grenze liefert den Beitrag Null. 1m letzten Integral substituieren wir u = - cos 2ip, 0 < ip < 1[/2. Dann ist (1 + u)(1 - U 2)-1/2 = tan ip, also P = 2 Jo"/2 ip dip = 1[2/4, und es folgt: 1
00
1[2
~ (2n + 1)2 = 8". Wegen L:::"=11/n2 = L:::"=11/(2n)2 + L:::"=o 1/(2n + If ist das gleichbedeutend mit dem beriihmten Resultat von EULER: (2.15) Der obige Beweis von (2.16) ist eine Variante der Argumentation von F. GOLDSCHEIDER (Arch. Math. Phys. (3) 20, 323-324 (1913)). 4. Der Gau13sche Integralsatz ilir die Ebene. Es seien cp, ¢ : [a, b] --+ !lit stetig und von beschriinkter Variation (d.h. rektijizierbar im Sinne von Kap. II, 3.), 'P < ¢ und
B
(2.16)
:=
{(x, y)t
E IE.2
:
a ::; x ::; b, cp(x) ::; y ::; ¢(x)}.
:=B
Ferner sei v : B --+ IE. stetig, auf G nach y partiell differenzierbar, und Vy sei auf G beschrankt (oder auch nur auf jedem vertikalen Schnitt beschrankt und ,82-integrierbar iiber G). Dann ist nach dem Satz von FUBINI und Beispiel IV.5.3 -
1
V
G
y d,82=-
j b(11/>(X) vydy) dx= jb (v(x,cp(x))-v(x,¢(x)))dxh') 1vdx. a
'I'(x)
a
'Y
§ 2. Der Satz von
185
FUBINI
Hier bezeichnet ,),(.) = (x(-),y(·)) die durch "Aneinanderhangen" der Kurve (t,
B
u : B --> JR stetig und auf G := nach x partiell differenzierbar und U x auf G beschrankt (oder wenn auch nur U x auf jedem horizontalen Schnitt von G beschrankt ist und (32-integrierbar tiber G). Zusammenfassend erhalten wir folgendes Ergebnis, das von B. RIEMANN in seiner Dissertation (Mathematische Werke, S. 12-14) bewiesen wurde. In der deutschen Literatur wird dieser Satz meist als Gauftscher 1ntegralsatz fur die Ebene bezeichnet, in der englischsprachigen Literatur als Greenscher Satz (nach G. GREEN (1793-1841)). 2.9 Gaul3scher Integralsatz fUr die Ebene. Es seien B C JR2 ein Normalbereich (in bezug auf be ide Koordinatenachsen) und')' die positiv orientierte, stetige und rektiJizierbare Randkurve von B. Die Funktionen u, v : B --> JR seien stetig, und die partiellen Ableitungen u x , Vy
:=B
seien auf G vorhanden und beschriinkt. (Es genugt, wenn U x auf jedem horizontalen, Vy auf jedem vertikalen Schnitt von G beschriinkt ist und wenn U x , Vy uber G (32 -integrierbar sind.) Dann gilt:
(2.17)
Die Formel (2.18) gilt also ohne die sonst i.a. geforderte Voraussetzung der Stetigkeit der Ableitungen U x , v y , wenn man nur die relativ schwachen Beschranktheitsforderungen aus Satz 2.9 postuliert. 2.10 Korollar. 1st B C JR2 ein Normalbereich (in bezug auf beide Koordinatenachsen) und ')' die positiv orientierte, stetige und rektiJizierbare Randkurve von B, so gilt:
(2.18)
(32(B)
=
~ l(xdy 2 ,
Beweis: (2.18) mit u(x,y) = x, v(x,y) = -yo
y dx).
o
Offenbar gelten (2.18), (2.19) sinngemaB auch dann, wenn Beine "Zerschneidung" in endlich viele Normalbereiche zulaBt. 2.11 Beispiel: Cauchyscher Integralsatz. Es seien D C lC offen und f : D --> lC komplex differenzierbar, d.h. ftir alle Zo E D existiere l'(zo) := limHzo(f(z) - !(zo))/(z - zo). Ftir u := Ref, v := 1m f gelten dann die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen
(2.19) Das folgt sofort aus der Definition der komplexen Differenzierbarkeit, wenn man die Annaherung an Zo einmal parallel zur x-Achse (z = Zo +h, hE JR, h f= 0, h --> 0), zum anderen parallel zur y-Achse (z = Zo + ih, h E JR, h f= 0, h --> 0) vornimmt. Wir setzen zusiitzlich voraus, daft u x , u y lokal beschriinkt sind in D, d.h. daB u x , u y auf jedem Kompaktum KeD beschrankt sind. Ftir jede positiv orientierte, stetige und rektifizierbare einfach geschlossene Kurve ')', die
v.
186
ProduktmaJ3e
einen in D gelegenen Normalbereich B berandet, gilt dann nach (2.18) (mit G :=1]): if(Z)dZ.-
i(UdX-VdY)+ii(UdY+VdX)
l
(2.20)
(-v x - u y) df32
+i
l
(u x
-
v y) df32 .
Da hier nach (2.20) auf der rechten Seite beide Integranden verschwinden, erhalten wir den Cauchyschen Integralsatz: i
f(z)dz
= O.
Hieraus folgt in bekannter Weise (s. Grundwissen-Band Funktionentheorie I von R. REMMERT) die ubliche "lokale" Funktionentheorie einer Variablen (Cauchysche Integralformel, Potenzreihenentwicklung, Maximumprinzip etc.). Aile diese Ergebnisse sind also mit Hilfe des GauBschen Integralsatzes rasch und leicht zuganglich, wenn man nur die lokale Beschriinktheit der Ableitung der betrachteten komplex differenzierbaren Funktionen voraussetzt. Wie in der F'Llllktionentheorie gezeigt wird, ist diese Beschranktheitsvoraussetzung uberfiussig, da sie automatisch erfUllt ist (s. R. REMMERT, loco cit., S. 141). - Man kann ubrigens oben die Voraussetzung der lokalen Beschranktheit von l' ersetzen durch die Voraussetzung der lokalen f32-Integrierbarkeit von f', denn Beispiel IV.5.3 laBt eine entsprechende Verscharfung zu. 2.12 Beispiel: Pompeiusche Forme!' Auch die Cauchysche Integralformel und die sog. Pompeiusche Formel (inhomogene Cauchysche Integralformel) lassen sich leicht aus dem GauBschen Integralsatz gewinnen: Dazu seien D, "( wie in Beispiel 2.11 und f : D -t IC stetig differenzierbar (oder es seien auch nur f partiell differenzierbar und fx, fy lokal beschrankt in D). Es sei ferner zED im Inneren von "( gelegen. Wir wenden (2.21) an auf die Funktion ( >-+ g(() := 2~J(()/(( - z) und das Gebiet G \ Kc(z) (c > 0 hinreichend klein). Wir bezeichnen mit oK,,(z) den positiv orientierten Rand von K,,(z) und setzen U := Reg, v := Img, ( = t; + iT). Dann liefert (2.21): (2.21)
_1 27ri
1
f(() d( _ _ 1 z 27ri
'Y ( -
r
f(() d( z
J&K,(z) ( -
Hier laBt sich der Integrand auf der rechten Seite ausdrucken durch die Wirtinger-Ableitung oglo(:= ~(g< +igry) = ~(u<+iv~+iury -Vry), und da (>-+ ((_z)-1 holomorphist in D\ {z}, ist og I 81, = 2~i (( - z) -18 f I 8(. Fur c -t +0 konvergiert
~
r
!(() d( =
27rZ J&Kc(z) ., - z
~
t" f(z + ceil) dt
27r Ja
gegen f(z). Damit liefert (2.22) fUr c -t +0 die Pompeiusche Formel (2.22)
f(z) =
~ 27rZ
1
f(() d(
'Y ( -
Z
r
-.!.
of/o( df3 2 (t;, I)) , 7r JG ( - z
benannt nach dem rumanischen Analytiker D. POMPEIU (1873-1954). Fur komplex differenzierbares fist 8f lo( = 0, und (2.23) impliziert die Cauchysche Integralformel (2.23)
f(z)
=~ 27rZ
1
f(() dC
'Y ( -
dabei ist nach wie vor z im Inneren von "( gelegen.
Z
§ 2. Der Satz von
FUBINI
187
5. Kurzbiographien von G. FUBINI und L. TONELLI. GUIDO FUBINI wurde am 19. Januar 1879 in Venedig geboren. Er war ein brillanter Schiiler und Student. 1m Alter von 17 Jahren nahm er 1896 sein Studium an der Scuola Normale Superiore in Pisa auf. Die folgende formende Periode seines Lebens wurde wesentlich durch seine Lehrer L. BIANCHI, U. DINI und E. BERTINI (1846-1933) bestimmt. Seine Dissertation (1900) iiber den Cliffordschen Parallelismus in elliptischen Raumen gewann rasch an Publizitat, da ihre Ergebnisse schon 1902 in BIANCHIS bekanntes Buch iiber Differentialgeometrie aufgenommen wurden. FUBINI verbrachte nach der Promotion ein weiteres Jahr in Pisa und vollendete seine Habilitationsschrift iiber harmonische Funktionen auf Raumen konstanter Kriimmung. Ende 1901 wurde er Lehrbeauftragter an der Universitat Catania (mit nur 22 Jahren), und bereits wenig spater war er bei der Bewerbung urn eine Professorenstelle an derselben Universitat erfolgreich. Nach einer Zwischenstation in Genua wurde FUBINI 1908 Professor fUr mathematische Analysis am Polytechnikum in Turin; gleichzeitig wirkte er als Lehrbeauftragter fiir hOhere Analysis an der Universitat Turin, bis er 1938 infolge der von der faschistischen Regierung erlassenen Rassengesetze in den Ruhestand versetzt wurde. FUBINI folgte 1939 einem Ruf an das Institute for Advanced Study in Princeton, N.J. und emigrierte mit seiner Familie in die USA. Trotz seiner schon schlechten Gesundheit setze er seine Lehrtatigkeit an der New York University fort. Er starb am 6. Juni 1943 in New York. - Gegen Ende seines Lebens fiigte FUBINI seinem Namen offiziell den Nachnamen seiner Ehefrau ANNA GHIRON hinzu und nannte sich GUIDO FUBINI GHIRON. FUBINI war ein hochst fruchtbarer, vielseitiger und scharfsinniger Mathematiker. Seine Arbeitsgebiete stehen weitgehend in der Tradition der italienischen Mathematiker des 18. und 19. Jahrhunderts: Reelle Analysis, insbesondere Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung, das Dirichletsche Prinzip; Differentialgeometrie, insbesondere Riemannsche Raume, nichteuklidische Riiume, Lie-Gruppen, das Riemann-Helmholtzsche Problem, projektive Differentialgeometrie; diskontinuierliche Gruppen und automorphe Funktionen; mathematische Physik und Ingenieurmathematik. - Neben "dem" Satz von FUBINI hat FUBINI folgenden bemerkenswerten Satz aus der Theorie der reellen Funktionen bewiesen (s. Korollar VII.4.7): 1st F = L~=l in eine konvergente Reihe von monoton wachsenden Funktionen in : [a, b) -+ lR (n EN), so dari man diese Reihe A-f.U. gliedweise dijferenzieren, d.h. es ist F' = L~=l i~ A-f.U. (Nach einem Satz von LEBESGUE ist jede monotone Funktion A-f.ii. differenzierbar.) - Die wichtigsten der fast 200 Arbeiten aus FUBINIS Feder sind in den Opere scelte, Vol. 1-3 (Roma: Cremonese 1957) gesammelt. Besonderes Gewicht haben auch seine Lehrbiicher. Viele Generationen von Studenten studierten FUBINIS Lezioni di Analisi (Turin 1913) und die zugehOrige Aufgabensammlung. Die gemeinsam mit E. CECH (1893-1960) verfaBte Monographie iiber projektive Differentialgeometrie gilt als Klassiker auf diesem Gebiet. FUBINIS Monographie (1908) iiber diskontinuierliche Gruppen und automorphe Funktionen ist ein umfangreiches Werk, das zahlreiche neue Resultate des Autors enthalt; noch 1954 bezeichnet B. SEGRE (1903-1977) in seinem Nachruf auf FUBINI dieses Buch als "noch heute maBgebend iiber diesen Gegenstand". LEONIDA TONELLI wurde am 19. April 1885 in Gallipoli (unweit Lecce, Siiditalien) geboren. Mit 17 Jahren schrieb er sich 1902 in Bologna ein zum Studium der Ingenieurwissenschaften. Unter dem EinfiuB seiner Lehrer C. ARZELA und S. PINCHERLE (1853-1936), die bald die auBergewohnliche Begabung des jungen Mannes erkannten, wechselte er das Studienfach und wandte sich der reinen Mathematik zu. 1m Jahre 1906 legte TONELLI seine Dissertation iiber die Approximation durch Tschebyschew-Polynome vor, wurde rasch Assistent an der Universitat Bologna und erhielt 1910 die sog. "freie Dozentur" fiir infinitesimale Analysis. Die weitere akademische Laufbahn fiihrte ihn als Lehrbeauftragten bzw. Ordinarius (ab 1917) an die Universitaten Cagliari (1913), Parma (1914) und Bologna (1922). 1m Jahre 1930, als sein wissenschaftliches Ansehen seinen Gipfel erreicht hatte, wurde TONELLI an die SenoIa Normale Superiore di Pisa berufen, urn die groBe wissenschaftliche Tradition dieser Institution fortzusetzen. An der Universitat Pisa hatte Tonelli den Lehrstuhl fiir infinitesimaIe Analysis inne und den Lehrauftrag fiir hohere Analysis; an der Scuola Normale Superiore hielt er zusatzliche Vorlesungen, die seine Lehrveranstaltungen an der Universitat erganzen
188
V. ProduktmaBe
und den Horern den Weg zu eigener mathematischer Forschung ebnen sollten. Die inhaltlich und didaktisch meisterlichen Vorlesungen TONELLIS iibten auf das Auditorium eine groBe Anziehungskraft aus; es wird berichtet, die Studenten seien den Darlegungen des «Maestro insuperabile» in «religioso silenzio» gefolgt.9 Gegen die damalige faschistische Regierung Italiens hegte TONELLI eine offene Feindschaft. 1m Herbst 1939 wurde er an die Universitat Rom berufen, setzte aber zusatzlich seine Arbeit in Pisa fort, urn seine Schiiler an der Scuola Normale Superiore nicht im Stich zu lassen, und kehrte 3 Jahre spater ganz nach Pisa zuriick. Besondere Verdienste erwarb er sich wiihrend seiner langen Amtszeit als Direktor des mathematischen Instituts der Universitat Pisa. In der schwierigen Periode nach dem September 1943, als Pisa und die ehrwiirdige Scuola Normale von deutschen Truppen besetzt waren, gelang es TONELLI als Direktor der Scuola in Zusammenarbeit mit Schiilern und Kollegen, die Institution vor Schaden zu bewahren und die wertvollen Sammlungen und die unschatzbar wertvolle Bibliothek zu retten. - L. TONELLI starb am 12. Miirz 1946 in Pisa. Er war hochgeehrt als Mitglied zahlreicher Akademien und wissenschaftlicher Vereinigungen und Trager mehrerer bedeutender wissenschaftlicher Preise und Auszeichnungen. TONELLI schrieb rund 150 Arbeiten vornehmlich iiber Themen aus der reellen Analysis, insbesondere iiber Funktionen reeller Variablen, analytische Funktionen, trigonometrische Reihen, gewohnliche Differentialgleichungen, Funktionalgleichungen, Variationsrechnung, das Dirichletsche Prinzip und das Plateausche Problem. Seine Arbeiten haben wesentlich mit dazu beigetragen, dem Lebesgue-Integral allgemeine Verbreitung zu verschaffen. Zum Beispiel erkannte TONELLI in der absoluten Stetigkeit der Komponenten von 'Y die notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, daB die Lange Lb) der stetigen und rektifizierbaren Kurve 'Y durch das Lebesgue-Integral ii'Y'(t)1I dt gegeben wird (s. Satz VII.4.22). Weiter lieferte er analoge Untersuchungen zum Problem der Quadratur gekriimmter Flachen. Sein Beitrag zum Satz von FUBINI (-TONELLI) ist von bleibendem Wert. Bemerkenswert sind die Arbeiten von TONELLI zur Approximation reeller Funktionen einer oder mehrerer Variablen. Von TONELLI stammt ein Zugang zur Lebesgueschen Integrationstheorie, der die vorherige Entwicklung des Lebesgue-MaBes entbehrlich macht. Der Theorie der trigonometrischen Reihen widmete er iiber 10 Arbeiten und die wichtige Monographie Serie trigonometriehe (Bologua: ZanichelIi 1928), die in systematischer und vollstandiger Weise den Stand dieser Theorie von 1928 widerspiegelt. - Die bedeutendsten Arbeiten von TONELLI liegen auf dem Gebiet der Variationsrechnung. Ausgehend von der Feststellung, daB die in der Variationsrechnung betrachteten Funktionale im allgemeinen unstetig sind, bemerkte er die Halbstetigkeit dieser Funktionale, und unter systematischer Verwendung der Lebesgueschen Integrationstheorie und der Methoden der Funktionalanalysis eroffnete er mit seiner «metodo diretto» einen neuen Zugang zu den Extremalproblemen. Ais wichtige Anwendungsbeispiele behandelte er z.B. isoperimetrische Probleme und die klassischen Probleme von DIRICHLET und PLATEAU. Seine groBe zweibandige Monographie Fondamenti di Caleolo delle Variazioni (Bologna: Zanichelli 1921, 1923) hat auf die weitere Entwicklung dieses Gebiets einen nachhaltigen EinfluB ausgeiibt. Die wichtigsten Arbeiten von TONELLI sind in den Opere seelte, Vol. 1-4 (Roma: Cremonese 1960) gesammelt.
J:
Aufgaben. 2.1. Es sei f,,(x, y) := X· y/(x 2 + y2 + 1)" (x, y E JR). Bestimmen Sie alle a E JR, fiir welche die iterierten Integrale J~: existieren. Fiir welche a ist
f"
(I~: f,,(x, y) dX) dy und J~: (I~: f,,(x, y) dy) dx
,82-integrierbar iiber JR2?
2.2. Priifen Sie, welche der Integrale
l (l
f(x,Y)dX) dy,
l (l
f(x,Y)dY) dx,
j f d,82
9Mit Blick auf heute bisweilen anzutreffende Verhiiltnisse kann der Verf. ein ,,0 tempora, o mores!" nicht unterdriicken.
§ 2. Der Satz von
189
FUBINI
(1 =]0,1(2) fiir die folgenden Funktionen existieren und iibereinstimmen. a) f(x,y) = (x _Y)/(X+y)3 fiir x,y > O. b) f(x, y) = /y ((x 2 - y2)2/(x 2 + y2)2) fiir x, y > O. 22n fiir 2- n < x :S 2- n +l, 2- n < y:S 2- n+1 , n E N, c) f(x, y) := { _22n+l fiir 2- n- 1 < x :S 2- n , 2- n < y :S 2- n+l , n EN, o sonst.
tx
2.3. Bestimmen Sie alle stetigen Funktionen 9 : [0,00[---+ [0,00[, so daB
r
g(xy) d{32(X, y) <00.
i[0,11 x [1,00[ 2.4. Esseif: JR.2 ---+ JR., f(x,y):= 1 fiirx E tQ, f(x,y):= 2y fiir x tf- tQ. Welchesderlntegrale
[ ( [ f(x,Y)dX) dy, [ ( [ f(x,Y)dY) dx existiert als iteriertes Riemann-Integral bzw. iteriertes {31-lntegral? 1st integrierbar? 2.5. Es seien f : [0,00[---+ [O,oo[ (31-integrierbar und g(x) :=
Jxoo f(t) dt
f
iiber [0,1]2
{32-
(x 2: 0). Wann ist
9 (31-integrierbar iiber [O,oo[?
2.6. Die Funktion
f : [0,00[---+ JR. sei stetig,
1
00
die uneigentlichen Riemann-Integrale
f(t) logt dt,
1
00
f(t) dt
seien (nicht notwendig absolut) konvergent, und es gelte: Jooo f(t) dt = O. Dann gilt fiir alle a,b > 0:
l (1 a
00
f(XY)dY) dx-l°O ( [ f(XY)dY) dx =
1m Spezialfall f(t) = ae- at - {3e-{3t (a,{3
1
00
f(t) logtdt.
> 0) hat die rechte Seite den Wert log{3/a (G.H.
HARDY).
2.7. Mit M:= {(x,y)t E JR.2 : x
< y,y > O} gilt:
Lye-~(X'+Y') d{32(X,y)
=
~
(1 + v'2) yrr.
2.8 Partielle Integration. f,g: [a,b]---+ K seien .V-integrierbar, und fiir x E [a,b] sei
F(x) := [
f(t) dt, G(x) := [ ' g(t) dt.
Dann gilt:
[F(X)9(X)dX = F(b)G(b) - [f(X)G(X)dX. (Hinweis: Anwendung des Satzes von FUBINI auf (x, y) >--+ f(y) g(x) XE(X, y) mit E = {(x, y) E [a,b]2: y < x}.) 2.9 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Es seien f,g : X ---+ K meBbar und 1112,lg12 E £1. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von FUBINI durch Betrachtung der Funktion (x, y) >--+ If(x)g(x)f(y)g(y)1 die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:
(Ix Ifgl dP) :s (Ix Ifl2 dP) (Ix 2
Igl2 dP) .
v.
190
ProduktmaBe
(Hinweis: 1st J.L nicht u-endlich, so verschwinden fund 9 auflerhalb einer meBbaren Menge u-endlichen MaBes.) 2.10. Es seien M C ]R.2 offen und f : M ---+ ]R. zweimal stetig partiell differenzierbar. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von FUBINI:
(Hinweis: SchlieBen Sie indirekt und integrieren Sie die Differenz von rechter und linker Seite iiber ein geeignetes hinreichend kleines Quadrat.) 2.11. Fiir jedes R also gilt
> 0 ist die Funktion (x, y)
e- xy sinx ,82-integrierbar iiber ]0, R[x]O, 00[,
R
sin x roo (10rR e- XY sin x dx ) dy. 10r ----;dx = 10
Bestimmen Sie durch Grenziibergang R ---+
und folgern Sie:
I-t
1
00
1-
00
x~os x dx = ~,
das uneigentliche Riemann-Integral
1 Ci: 00
x
r
dx =
~.
(Bemerkung: Das letzte Integral wird im Beweis des Satzes von WIENER-IKEHARA beniitigt, der die Basis fiir den WIENERschen Beweis des Primzahlsatzes ist.) 2.12. a) Fiir 1 < Rea < 2 existiert das Lebesgue-Integral fooo sinx/x a dx. Setzen Sie hier x-a = r(a)-1 fooo e- tx t a- 1 dt und zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von FUBINI:
roo sinx dx =
10
xa
7r . 2r(a) sin 7ra/2
Gl. (*) gilt fiir 0 < Rea < 2, wenn man die linke Seite als uneigentliches Riemann-Integral auffaBt. b) Benutzen Sie die Methode aus a) zur Bestimmung der Integrale F(t) :=
roo e
10
-tx
cos x
X1/ 2 dx, G(t) :=
roo e
10
-tx
sin x X1/ 2 dx
(t > 0)
und folgern Sie durch Grenziibergang t ---+ +0: (R-)
roo cosx
10
x1/2 dx
roo sinx
= (R-) 10
F
X1/2 dx
= V"2·
(Fresnelsche Integrale; vgl. Aufgabe 4.3). 2.13. Schreiben Sie X-I sin ax = des Satzes von FUBINI:
1
00
o
f; cos ax da und folgern Sie aus Aufgabe IV.6.18 mit Hilfe
sin ax 7r -at 2 2) dx = -22 (1 - e ) x (t +x t
(a,t>O).
2.14. 1st Vein Vektorraum von Funktionen f : X ---+ IK, W ein Vektorraum von Funktionen 9 : Y ---+ IK, so bezeichne V @ W das Tensorprodukt von V und W, d.h. den Vektorraum aller endlichen Summen von Funktionen der Form (x, y) I-t f @ g(x, y) := f(x) g(y) (f E V, 9 E W; x EX, Y E Y). Zeigen Sie: Sind J.L, 1I u-endlich und liegt V dicht in £1 (X, Qt, J.L), W dicht in £1 (Y,~, 1I), so liegt V @ W dicht in £1(X x Y, Qt @ ~,J.L @ 1I). Insbesondere liegt £1 (J.L) @£1(1I) dicht in £1 (J.L@1I). (Bemerkung: Dieser Sachverhalt motiviert die Schreibweise
§ 3. Faltung und Fourier-Transformation
191
des ProduktmaBes mit dem Zeichen ,,181" fiir das Tensorprodukt.) 2.15. Es seien A,B E ~P,,BP(A) < oo,,BP(B) < 00 und f(t) := ,BP(A Dann ist f : ~P --t ~ gleichmaBig stetig, und es gilt:
n (B + t)) (t E JRP).
r f d,BP = ,BP(A) ,BP(B).
i'RP
1st ,BP(A) > 0, ,BP(B) > 0, so enthiilt A - B einen inneren Punkt. (Hinweise: Die gleichmaBige Stetigkeit zeigt man wie in Beispiel IV.3.14. Ferner stellt man f als Integral einer charakteristischen Funktion dar und wendet den Satz von FUBINI an. Wegen {f > O} c A - B enthalt A- B einen inneren Punkt, falls ,BP(A),BP(B) > 0; vgl. Aufgabe III.2.S. - Die Aussagen gelten sinngemaB mit £P,.x P statt ~P,,Bp.) 2.16. Kugelvolumen im
,BP(KR(O)) einer Kugel im
Alternativ zu Beispiel 1.8 laBt sich das Volumen Vp(R) = vom Radius R > 0 folgendermaBen bestimmen: Fiir r > 0 sei
~p.
~P
Dann gilt nach Korollar III.2.6
Beweisen Sie zunachst mit Hilfe des Satzes von Fubini fiir die Laplace-Transformierte
Fp(t) := die Identitat Fp(t) = 7rp/2t-p/2-1
(*) zu Fp(t) = Vp(l)r (~ die Gl. (1.6).
§ 3.
(t
[YO e> 0).
tr
fp(r) dr
(t > 0)
Bestimmen Sie anschlieBend Fp(t) mit Hilfe von
+ I) r p/ 2 - 1 (t > 0), und folgern Sie durch Vergleich der Resultate
Faltung und Fourier-Transformation
1. Integration in bezug auf Bildma6e. 1m folgenden seien (X, Qt, fJ) ein MaBraum, (Y,IJ3) ein MeBraum und t : X --+ Y eine meBbare Abbildung. Nach Satz 111.1.7 ist das BildmaB t(fJ) : 123 --+ lR erkliirt durch
t(fJ)(B) := fJ(C 1 (B))
(B
E
123).
Die Integration einer Funktion f : Y --+ i fiber Y bez. t(fJ) liiBt sich wie folgt auf die Integration von fat fiber X bez. fJ zurfickfiihren:
3.1 Allgemeine Transformationsformel. Fur alle f
E
M+(Y, 123) ist
(3.1)
Eine lJ3-meftbare Funktion f : Y --+ i ist genau dann t(fJ)-integrierbar uber Y, wenn fat fJ-integrierbar ist uber X, und dann gilt (3.1).
192
V. ProduktmaBe
Beweis. Fur aIle f E ist nun zunachst
M+(Y,~)
ist f ot E M+(X, 2l). - 1m FaIle f = XB (B E
~)
[XB dt(J.L)
= J.L(Cl(B)) =
Ix
Xt- 1 (B) dJ.L
=
Ix
XB ot dJ.L.
Daher gilt (3.1) fUr aIle f = XB (B E ~) und mithin auch fUr aIle f E T+(Y, ~). - 1st nun f E M+(Y, ~), so wahlen wir eine Folge von Funktionen Un E T+(Y,~) mit Un t fund erhalten nach dem schon Bewiesenen
r
Jy fdt(J.L) =
lim n--+oo
r
Jy undt(J.L) =
lim n--+oo
r
r
Jx unoidJ.L= Jx fotdJ.L,
denn fUr die Funktionen unot E T+(X, 2l) gilt unot t f ot. Die zweite Aussage folgt unmittelbar durch Anwendung der ersten auf (Ref)±, (Imf)±. 0
3.2 Korollar. Es seien t : W --+ W eine bijektive affine Abbildung und f E M+(W, £P) oder f : W --+ i )..P-integrierbar. Dann gilt
(3.2)
r fd)'.P= Idettl JIRPr fotd)..p.
JIRP
Beweis. Nach Satz III.2.5 ist t £P-£P-meBbar und t()..P) liefert daher sogleich die Behauptung.
=
I det tl- l )..p. Satz 3.1 0
Insbesondere ist das )..P-Integral uber W translations- und spiegelungsinvariant. 3.3 Beispiel. Es seien (X, 2l, J.L) ein MaBraum und 9 : X --+ lR eine meBbare Funktion mit J.L(g-l(la, b])) < 00 fUr aIle a, b E lR. Dann wird das BildmaB g(J.L) : ~1 --+ i: durch eine wachsende rechtsseitig stetige Funktion F : lR --+ JR beschrieben. Wir wahlen in Satz 3.1 (Y,~) := (JR, ~1), t := g, f = id : JR --+ JR und erhalten: 1st zusatzlich 9 ;::: 0 oder 9 E £1 (J.L), so gilt:
r9dJ.L=j+00 xdF(x). -00
Jx
1st allgemeiner f : JR --+ lR eine Borel-meBbare Funktion und f ;::: 0 oder fog E £1(J.L), so gilt
Von dieser Moglichkeit der Transformation des J.L-Integrals in ein LebesgueStieltjes-Integral wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie Gebrauch gemacht. 2. Transformation von MaBen mit Dichten. Es seien (X, 2l, J.L) , (Y, ~) und t : X --+ Y wie oben und 9 E M+(Y, ~). Dann laBt sich das MaB mit der Dichte 9 bez. t(J.L) wie folgt als BildmaB bez. t darsteIlen: 3.4 Satz. Fur alle 9 E M+(Y,~) gilt:
9 0 t(J.L) = t((got) 0 J.L).
§ 3. Faltung und Fourier-Transformation
Beweis. Nach (3.1) gilt fUr alle B (g 8 t(p,))(B) = =
Ix
193
E ~:
[XB .9 dt(p,) !}XB' g) ot dp, =
Xt- 1 (B) • (got) dp, = ((got) 8 p,)(C 1(B)) = (t((got) 8 p,))(B).
o 3.5 Korollar. 1st t : X --+ Y ein meflbarer lsomorphismus, so gilt fur alle hE M+(X, 2t): t(h 8 p,) = (hoC 1) 8 t(p,).
Beweis: klar nach Satz 3.4 mit g:= hot- 1.
o
3. Die Faltung auf £1 (JRP , ~P, (3P). Fur f, 9 E C}((3P) ist die Funktion 'P : R2p --+ R, 'P(x, y) := f(x - y)g(y) (x, y E JRP) Borel-meBbar, und es gilt nach Korollar 3.2:
Ilflhllglh < 00. Nach dem Satz von FUBINI ist die Menge A der x E JRP, fur welche 'P(x,·) nicht (3P-integrierbar ist, eine (3P-Nullmenge. Daher ist die Funktion f * 9 : JRP --+ lK,
j
* g(x)
:=
{ }'irf.P f(x-y)g(y)d(3P(y) o
Borel-meBbar, und nach (3.3) gilt j
fUr fur xE A,
* 9 E £l((3P)
und
Die Funktion j * 9 heiBt die Faltung von fund g. Die Substitution y H x - y in der Definition von j
*9
liefert nach (3.2)
die Faltung ist also kommutativ. Ferner ist die Faltung distributiv in dem Sinne, daB fUr alle j, g, h E £l((3P) gilt
(f
+ g) * h =
j
*h+9*h
(3P-f.u.
Wir zeigen weiter: Die Faltung ist assoziativ in dem Sinne, daB fur alle j, g, h E £1 ((3P) gilt
194
V. Produktmaße
Wegen der Distributivit¨at der Faltung gen¨ ugt der Beweis der Assoziativit¨at f¨ ur den Fall f, g, h ≥ 0. Dann ist aber nach Korollar 3.2 in Verbindung mit dem Satz von Fubini f ∗ g(x − y) h(y) dβ p (y) = f ∗ g(y) h(x − y) dβ p (y) Rp
Rp
=
Rp
=
Rp
f (z)g(y − z) dβ p (z) h(x − y) dβ p (y)
p
f (z)
Rp
= Rp
Rp
g(y − z)h(x − y) dβ (y) dβ p (z)
f (z) g ∗ h(x − z) dβ p (z) ,
und es folgt die Behauptung. – Mit Hilfe der obigen Eigenschaften der Faltung werden wir in Kap. VI den zu L1 (β p ) geh¨origen Banach-Raum L1 (β p ) mit der Struktur einer Banach-Algebra ausstatten. 3.6 Lemma. Es sei (kn )n≥1 eine Folge aus L1 (β p ) mit kn ≥ 0 , kn 1 = 1 und d({0} ∪ Tr kn ) → 0 (n → ∞). Dann gilt f¨ur alle f ∈ L1 (β p ): lim kn ∗ f − f 1 = 0 .
n→∞
ur a ∈ Rp sei fa (t) := f (a+t) (t ∈ Rp ). Beweis. Es seien f ∈ L1 (β p ) und ε > 0. F¨ Dann gibt es nach Aufgabe IV.3.10 ein δ > 0, so daß fa − f 1 < ε f¨ ur alle a ∈ Kδ (0). Wir w¨ahlen n0 ∈ N so groß, daß Tr kn ⊂ Kδ (0) f¨ ur alle n ≥ n0 . Dann gilt nach dem Satz von Fubini f¨ ur alle n ≥ n0 : | kn (y)(f (x − y) − f (x)) dβ p(y) | dβ p(x) kn ∗ f − f 1 = ≤
Rp
Rp
kn (y)
Rp
Rp
|f (x − y) − f (x)|dβ p(x) dβ p (y) ≤ ε
Rp
kn (y) dβ p (y) = ε . 2
Eine Folge (kn )n≥1 wie in Lemma 3.6 kann man als eine approximative ” Einheit“ f¨ ur die Multiplikation ∗“ auf L1 (β p ) ansehen. – Wir werden in Korollar ” 3.10 zeigen, daß es keine Einheit“ k ∈ L1 (β p ) gibt mit der Eigenschaft, daß ” k ∗ f = f β p -f.¨ u. f¨ ur alle f ∈ L1 (β p ). Ist U ∈ Rp offen und g : U → Rp partiell differenzierbar, so bezeichnet Dk g = ∂g/∂xk die partielle Ableitung von g nach dem k-ten Argument. Ist α = (α1 , . . . , αp ) mit ganzen α1 , . . . , αp ≥ 0 ein Multiindex, so setzen wir |α| := α1 + . . . + αp , und f¨ ur g ∈ C |α| (Rp ) , x ∈ Rp sei Dα g := D1α1 ◦ . . . ◦ Dpαp g , xα := xα1 1 · . . . · xαp p .
195
§ 3. Faltung und Fourier-Transformation
* g E COO(W)
3.7 Satz. Fur f E £.l(j3P) und g E C,:"'(W) ist f
D°(f
* g) = f * (DOg)
und
fur alle a.
Beweis. Wegen der gleichmaJ3igen Stetigkeit von Dkg gibt es zu jedem E > 0 ein 8 > 0, so daB IDkg(u) - Dkg(v)1 < E fUr alle u, v E W mit Ilu - vii < 8. Bezeichnet ek den k-ten Einheitsvektor des W, so gilt also fUr 0 I- t E lR, It I < 8 und x E W:
I~(f * g(x + tek) =
f
* g(x)) -
(f
* Dkg)(X)
I ~P f(Y)~ l t (Dkg(X - Y + sek) -
I
Dkg(X - y)) ds dj3P(y) I ::;
Ellflh .
Daher ist f * g in x partiell differenzierbar mit Dk(f * g) = f * (Dkg), und diese Funktion ist offenbar stetig (Aufgabe 3.1). Eine Fortsetzung dieser SchluBweise liefert die Behauptung. 0 Nun k6nnen wir leicht einen weiteren Beweis fUr Korollar 1V.3.13 angeben:
3.8 Korollar. C,:"'(W) liegt dicht in £.l(j3P).
Beweis. Fur n
E
N sei k n : W -+ lR,
wobei en > 0 so gewahlt sei, daB Ilknlll = 1. Dann ist kn E C,:"'(W), Tr kn = Kl/n(O). 1st nun f E £,l(j3p) und E > 0, so gibt es ein R > 0, so daB fUr g := f· XKR(O) gilt Ilf - gill < E/2. Nach Lemma 3.6 ist Ilkn * g - gill < E/2 fUr alle n ~ no(E), also Ilf - kn * gill < E fUr alle n ~ no(E). Hier ist kn *g E COO(lRP ) (Satz 3.7), und da g und kn einen kompakten Trager haben, ist auch der Trager von k n * g kompakt. 0
4. Die Fourier-Transformation. Im folgenden legen wir in den Definitionen des Raumes £,1 und der Faltung * anstelle von j3P das Map f-tp := (27r)-p/2j3p
zugrunde. Diese Umnormierung hat zur Folge, daB am Ende die Formel des Fourierschen Umkehrsatzes besonders einpragsam wird. Fur komplexwertiges f E £,l(f-tp) heiBen j, j : W -+ C,
j(t):=
r e-i(t,x) f(x) df-tp(x)
ilRP
(t
E
JRP)
die Fourier- Transformierte von fund
j(t):=
r ei(t,x) f(x) df-tp(x)
ilRP
= j( -t)
(t E JRP)
196
V. ProduktmaBe
die inverse Fourier-Transformiertevon f. Hier bezeichnet (t, x) = L~=l tjXj das Skalarprodukt von t, x E JRP. (Der Name von j wird spater durch den Fourierschen Umkehrsatz motiviert.) Die C-lineare Abbildung, die jedem f E £}(/1p) seine Fourier-Transformierte j zuordnet, heiBt die Fourier- Transformation. Sie ist benannt nach dem franzosischen Mathematiker, mathematischen Physiker, Administrator und «secretaire perpetuel» der Academie des Sciences JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER (1768-1830). 3.9 Satz. Fur f, g E £} (/1p) gilt: a) j E C(JRP), Ijl ~ II fill und limlltll-+oo j(t) = O. b) (f*gY'=j.g. c) Fur fa(x) := f(a + x) (a E JRP) und (Mrf)(x) := rPf(rx) (r > 0) gilt:
d) 1st a
.c
l
=
(/1p) fUr
ia(t)
ei(a,t) j(t) ,
(Mrf)lI(t)
jUt) ,
(e-i(a,x) f) II
(J)a.
(al, ... ,ap) mit ganzen al, ... ,ap 0 ~ f3 ~ a, so gilt fUr 0 ~ f3 ~ a:
?: 0 und f
E
C1al(JRP),x,Bf
E
D,B j = (-i)I,BI(x,B fY'. Beweis. a) Nach Satz IV.5.6 ist j stetig. Die Ungleichung Ijl ~ Ferner ist nach Korollar 3.2 fur t E JRP, t i= 0 j(t) =
Lp e-i(t,x)f(x)d/1p(x)
= -
Ilflll
ist klar.
Lp e-i(t,x)f (x+ 11~12t) d/1p(x),
und es folgt:
2Ij(t)1
~ Lp If(x) -
f (x
+
11~12 t) Id/1p(x) -+ 0 fUr Iltll -+
00.
(Dies ist ein alternativer Beweis des Lemmas von RIEMANN-LEBESGUE; s. Aufgabe IV.6.17.) b) Wegen (3.3) ist nach dem Satz von FUBINI
Lp e-i(t,x) (Lp f(y)g(x - y) d/1p(y)) d/1p(x)
(f
* g)lI(t) =
=
Lp (Lp e-i(t,x-y) g(x - y) d/1p(x)) e-i(t,y) f(y) d/1p(Y) = j(t)g(t) .
c) ist klar nach Korollar 3.2. d) folgt durch sukzessive Anwendung von Satz IV.5.7. 3.10 Korollar. Es gibt kein k E
.c
l
(/1p).
.c l (/1p),
so daft k
*f
D
= f f.u. fUr alle f E
§ 3. Faltung und Fourier-Transformation
197
Beweis. Gibt es ein solches k, so ist k1 = 1 fUr alle f E £l(pp). Hier wahlen wir f(x) = exp(-llxI1 2/2). Dann ist = f nach Aufgabe IV.6.13 oder IV.6.15, und
1
es folgt k = 1: Widerspruch, denn als Fourier-Transformierte einer Funktion 0 aus £l(pp) muBte k im Unendlichen verschwinden (Satz 3.9, a)). 3.11 Fourierscher Umkehrsatz. Sind f E £l(pp) und f
1 E £l(pp),
so gilt:
= (it f·il.
Beweis. Fur die Funktion
rr p
(3.4)
kn(x)
:=
(21f)p/2
max(O, n - n2lxjl)
(x
E 1I~.P)
j=l
gilt nach Aufgabe 3.2:
kn(t) = rrP (Sintj/2n)2 j=l t j /2n
(3.5)
P)
( t E
~
und (kn)V = knDer Grundgedanke des Beweises ist nun: Die Behauptung kann fUr die "approximative Einheit" (k n )n>l durch Rechnung verifiziert werden und ergibt sich dann folgendermaBen allge~ein: Wegen k n1 E £l(pp) ist nach dem Satz von FUBINI
Fur n ---+
00
gilt hier nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz: Ilk n1-
1/11 ---+ o. Daher konvergiert die Folge der Funktionen (k n 1)V gleichmaBig gegen (i)V (Satz 3.9, a)). Andererseits gilt Lemma 3.6 ebenso mit Pp statt (]p, und da Ilknlh = 1 ist bez. PP' erhalten wir: Ilkn * f - flh ---+ o. Fur alle R > 0 ist daher nach (3.6)
r
JKR(O) = lim
1(1t - fl dpp = lim
n--;oo
und es folgt
n-HXl
r
JKR(O) If * kn -
r
JKR(O)
l(k n1)V - fl dpp
fl dpp ~ lim Ilf n-->oo
* kn -
flh = 0,
f = (i) v f. u.
3.12 Korollar. Sind f, g E £l(pp) und gilt
o
1 = g,
so ist f = g f.il. ("Injekti-
vitiit" der Fourier-Transformation). Beweis. (f - g)1I = 0
E
£l(pp), und der Umkehrsatz liefert die Behauptung.
0
198
V. ProduktmaBe
Der Fouriersche Umkehrsatz ist der Schliissel zu einem eleganten Beweis der folgenden vereinfachten Version des Satzes von PLANCHEREL, benannt nach dem Schweizer Mathematiker MICHEL PLANCHEREL (1885-1967). 3.13 Satz von Plancherel (1910). Sind lil 2 E £,1 ({lp) und
f E £,l({lp) und P E £,l({lp),
so ist
(3.7)
1*
Beweis. Fur f*(x) := f( -x) gilt = j. Daher hat g := f * f* E £,l({lp) die Fourier-Transformierte 9 = lil 2. Wegen If(x - y)f( -y)1 ::; Hlf(x - y)12 + If( -y)n konvergiert fUr aile x E ]RP das Faltungsintegral fUr g, und es ist
g(x) =
r
j]Rp f(x - y) f( -y) d{lp(Y)
=
r
j]Rp f(x + y) f(y) d{lp(Y) (x
E
JRP).
Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (s. Aufgabe 2.9 oder VI.1.6) liefert fUr aile x, x' E JRP
und hier konvergiert die rechte Seite nach Satz VI.2.30 fUr x' ---+ x gegen 0, d.h. gist stetig. (Fur beschranktes f folgt die Stetigkeit von g auch aus Satz IV.3.12 oder Aufgabe 3.1.) Zu vorgegebenem E: > 0 gibt es also ein 8 > 0, so daB Ig(x) - g(O)1 < E: fUr aile x E Ko(O). Wir benutzen nun die k n aus (3.4) und wahlen no so groB, daB Tr k n C Ko(O) fUr aile n 2: no; dann ist
fur aile n 2: no. Daher ist
Andererseits ist g * k n E £,l({lp) und (g * knY\ = gkn E £,1 ({lp) , denn gist als Fourier-Transformierte beschrankt und kn E £,l({lp). Der Umkehrsatz ergibt daher wegen der Stetigkeit von g * kn : (3.8) Nun liefert eine Anwendung des Lemmas von FATOU wegen limn--+oo kn = 1:
§ 3. Faltung und Fourier-Transformation
199
Da hier die rechte Seite endlich ist, gilt Ijl2 E £1 (f-lp). Wir k6nnen nun wegen ::; 1 in der letzten Formelzeile den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden, statt "lim" uberall "lim" schreiben und die Ungleichheit zur Gleichung verscharfen. D
o ::; kn
Aus (3.7) folgt sogleich eine Formel, deren Analogon fUr den Fall der FourierReihen zuerst von MARC-ANTOINE PARSEVAL (1755-1836) angegeben wurde. 10
3.14 Parsevalsche Formel. Sind f,g E £l(f-lp) und p,g2 E £l(f-lp), so gilt:
r
(3.9)
iRP
fgdf-lp =
r
iRP
jgdf-lp.
Beweis. Wegen
liefert (3.7) sogleich die Behauptung.
D
3.15 Beispiele. a) Fur f(x) = e- a1xl (x E IRj a > 0) ist j(t) = (27r)-1/22a/(a 2+ t 2 ) (t E IR). Daher gilt nach (3.9) fUr a, b > 0:
1-00+00
dt (a 2 +t2)(b2 +t2)
-;-::,-----;:-;---;:-::,-----=
=
~ 2ab
1+ 00 e-(a+b)lxl dx = -00
b) Fur f(x) = Xl-a,a[(x) (a> 0) ist j(t) (3.9) liefert fUr a, b > 0:
1
+00
-00
=
7r ab(a+b)"
_(27r)-1/22(sinat)/t (t E IR), und
sin at sinbt d . ( b) 2 t - 7rmm a, . t
1m Jahre 1932 publizierte NORBERT WIENER (1894-1964) folgenden bemerkenswerten Satzll:
3.16 Satz von Wiener (1932). Fur f E £l(f-lp) liegt Span {fa: a E JRP} genau dann dicht in £l(f-lp), wenn j nullstellenfrei ist. Die Notwendigkeit der Bedingung ist wie folgt leicht einzusehen: Angenommen, es gibt ein to E JRP mit j(to) = 0, so daB Span {fa: a E IRP } dicht liegt in £1 (f-lp). lOPARSEVAL DES CHENES, M.-A.: Memoire sur les series et sur l'integration complete d 'une equation aux differences partielles lineaires du second ordre, a coefficiens constans, Memoires presentes a l'Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savans, et Ius dans ses assemblees, Sciences math. et phys. (savans etrangers) 1, 638-648 (1806). lIN. WIENER: Tauberian theorems, Ann. Math. 33, 1-100 (1932); Collected Works, Vo!' II, 519-618, Cambridge, Mass.: MIT Press 1979.
V. ProduktmaJ3e
200
Dann gibt es zu jedem g E £}(J.Lp) und c > 0 endlich viele AI, ... , An E C und al,"" an E W mit Ilg - L;=l AjfaJl < c. Wegen ia(t) = ei(a,t) j(t) verschwinden die Fourier-Transformierten von fa!, ... , fan an der Stelle to, und da fUr aIle hE £}(J.Lp) gilt Ihl :::; IlhllI, miiJ3te fUr aIle g E £}(J.L) gelten: g(t o) = 0: Widerspruch, denn fUr g(x) = exp(-llxI1 2 /2) ist g = g nullstellenfrei. - Der Beweis der Hinliinglichkeit der angegebenen Bedingung liegt wesentlich tiefer; s. z.B. H. REITER: Classical harmonic analysis and locally compact groups, London: Oxford University Press 1968, S. 8-9 oder K. CHANDRASEKHARAN: Classical Fourier transforms, Berlin: Springer-Verlag 1989, S. 70-73. Benutzt man den Satz von FUBINI in der Version des Satzes 2.4, so lassen sich die Ergebnisse dieses Paragraphen iiber Faltung und Fourier-Transformation sinngemaJ3 auch aIle mit (27r)-p/2 AP anstelle von (27r)-p/2(3p = J.Lp aussprechen.
Aufgaben 3.1. 1st eine der Funktionen J, 9 E £1 (JLp) besehrankt, so ist J * 9 gleiehmiiJ3ig stetig auf IRP. Sind J, 9 E £1(JLp) beide unbesehrankt, so braueht J * 9 nieht stetig zu sein. 3.2. a) Fiir cp : IR ---+ IR, cp(x) := (211")1/2 max(O, 1 - Ixl) ist
'(t) = (Sint/2)2 =21-eost. cp t/2 t2 Die Fourier-Transformierte der Funktion k n aus (3.4) ist daher dureh (3.5) gegeben. (Hinweis: Satz 3.9, e).) b) Fiir die Funktion cp aus a) gilt (cp)V = cpo (Hinweis: Da cp gerade ist, hat man das Integral r~:C2(1- eost)eostxdt zu bestimmen. Dazu sehreibt man (1- eost)eostx = eostx!(eost(x + 1) + eost(x -1)), integriert partiell und benutzt Aufgabe IV.6.12.) Daher gilt fiir die Funktion k n aus (3.4): (kn)V = k n . 3.3. 1st t : IRP ---+ IRP eine orthogonale lineare Abbildung und 3.4. In der Situation des Satzes von
(Hinweis: Grenziibergang n ---+
00
PLANCHEREL
J E £1 (JLp) , so ist (f
0
t)1I = jot.
gilt fUr aile x E IRP:
in (3.8) oder Parsevalsehe Forme!.)
3.5. Es sei S(IRP) die Menge aller 9 E COO(IRP), so daB
sup{(l
+ Ilxllk)IDOg(x)1
: x E IRP}
< 00
fUr aile kEN, a E ZP, a ~ O. Die Funktionen aus S(IRP) heiBen schnell Jallende Funktionen; z.B. gehort g(x) = exp(-llxI1 2) zu S(W). a) S(IRP) liegt dieht in £1 (JLp) , denn Cg"(W) C S(IRP). b) Fiir aile 9 E S(IRP) gilt g E S(IRP) und
DOg
= (_i)lol(xog)lI,
tOg(t)
= (_i)lol(DOg)lI(t)
(a E ZP,a ~ 0).
e) Die Fourier-Transformation definiert eine bijektive Abbildung von S(IRP) auf sichj die Umkehrabbildung wird dureh 9 >-+ 9 gegeben. 3.6. Esseien X = [0,1[,21:= 'B 1 IX,JL:= (1+X)-1 0 {,8 1 121) und t: X ---+ X,t(O):= O,t(x):= X-I - [X-I] fiir 0 < x < 1, wobei [a] die groBte ganze Zahl :::; a bezeiehnet. Dann ist t(JL) = JL,
201
§ 4. Die Transformationsformel
d.h. f.t ist t-invariant. (Bemerkung: Uber interessante Eigenschaften der "GauB-Abbildung" t berichtet R.M. CORLESS: Continued fractions and chaos, Amer. Math. Monthly 99, 203-215 (1992).) 3.7. Fur M c ffi.P sei card M E [0,00] die Anzahl der Elemente von M. Es gilt fUr aile ME !,BP: Die Funktion x t-+ card ((M + x) n ZP) ist Borel-meBbar und
r
(3P(M) =
card ((M
+ x) n ZP) d(3P(x).
J[O,l[P
Ist also (3P(M) > 1 (bzw. < 1), so existiert eine Borel-Menge A C [O,1(P mit (3P(A) > 0, so daB card ((M + x) n ZP) 2 2 (bzw. = 0) fUr aile x E A. Entsprechendes gilt fUr )',P statt (3P. (Bemerkung: Von H. STEINHAUS stammt folgendes Problem: Gibt es eine Menge M C ffi.2, so daft card (t(M) n Z2) = 1 fUr jede Bewegung t : ffi.2 -t ffi.2? - Es ist bekannt, daB keine beschrankte Menge M E ,e2 das Gewunschte leistet; s. J. BECK: On a lattice-point problem of H. Steinhaus, Stud. Sci. Math. Hung. 24, 263-268 (1989); s. auch P. KOMJATH: A latticepoint problem of Steinhaus, Quart. J. Math., Oxf. (2) 43, 235-241 (1992).) 3.8. Es sei (an)n>l eine Folge reeller Zahlen, und es gebe ein A E ,el mit )"l(A) > 0, so daB lim n ..... oo exp(ianx) fUr aile x E A existiert. Dann konvergiert die Folge (an)n>l in lit (Hinweise: Die Menge M der x E IR, fUr welche g(x) := lim n ..... oo exp(ianx) existier( ist eine additive Gruppe. Nach dem Satz von STEINHAUS ist M = ffi.. Eine Betrachtung von
r
JIR f(x)g(x) dx =
lim n-too
ilRrf(x) exp(ianx) dx
lehrt, daB punkte?)
(an)n~l
§ 4.
Die Transformationsformel
beschrankt ist. Warum hat
(an)n~l
(f E .cl(ffi.))
keine zwei verschiedenen Haufungs-
" ... nanciscimur
quae est formula generalis pro integrali transformando. Quam formulam pro duabus et tribus variabilibus eodem fere tempore Eulerus et Lagrange invenerunt, sed ille paullo prius. Et haec formula egregie analogiam differentialis et Determinantis functionalis declarat.,,12 (C.G.J. JACOBI: De Determinantibus functionalibus, Gesammelte Werke, Bd. III, S. 438) 12 ... erhalten wir
J
U8f8!1 ... 8!n=
J( U
~ M Mx l"'8x 8 h ) 8x8xl ... 8xn, L..,,±8x·8 n
welches die allgemeine Transformationsformel fUr das Integral ist. Euler und Lagrange haben diese Formel fUr zwei und drei Variable fast gleichzeitig gefunden, aber jener ein wenig eher. Diese Formel macht in vorzuglicher Weise die Analogie zwischen der Ableitung und der Funktionaldeterminante deutlich. ("In Jacobi's Aufsatze ist nicht beachtet, dass bei der Transformation der Integrale immer nur der absolute Werth der Functionaldeterminante eine Rolle spielt...", bemerkt L. KRONECKER in seinen Vorlesungen uber die Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale, Leipzig: Teubner 1894 auf S. 235.)
202
V. ProduktmaBe
1. Die Transformationsformel. In Kap. III haben wir fUr jede bijektive affine Abbildung t : W -+ W die BildmaBe t({3P) , t(>..P) bestimmt:
(4.1)
t({3P) = Idettl- I{3P, t(>l)
= Idettl-l,\p.
Wesentliches Ziel dieses Paragraphen wird es sein, diese Ergebnisse durch einen ApproximationsprozeB auf beliebige bijektive stetig differenzierbare Transformationen t mit nullstellenfreier Funktionaldeterminante auszudehnen. Zunachst erinnern wir an folgende Sachverhalte: Es seien X C W offen und t : X -+ W stetig differenzierbar, t = (t l , ... , tp)t (Spaltenvektor). Mit D j . 8/8xj (j = 1, ... ,p) ist dann
Dt := (DIt, ... , Dpt)
= (
DI:.t l , ...
'~.Ptl)
Dltp ,
, Dptp
die Funktionalmatrix von t. Bekanntlich besteht folgender Zusammenhang zwischen dem Nichtverschwinden der Funktionaldeterminante det Dt und der lokalen Bijektivitat von t: 1st a E X und det((Dt)(a)) i- 0, so vermittelt t einen CI-Diffeomorphismus einer offenen Umgebung U C X von a auf eine offene Umgebung V von f(a); d.h. tlU : U -+ V ist bijektiv, stetig differenzierbar, und die Umkehrabbildung (tIU)-1 : V -+ U ist ebenfalls stetig differenzierbar (s. W. WALTER: Analysis II, S. 118 ff.). Die Funktionalmatrix der Umkehrabbildung ist dann nach der Kettenregel gegeben durch (D(tIU)-I)(t(X))
= ((Dt)(X))-1
(x E U).
1st also det Dt nullstellenfrei auf X, so ist Y := t(X) eine offene Teilmenge des lR.p . Weiter folgt: 1st t : X -+ Y eine bijektive stetig differenzierbare Abbildung der offenen Menge X C W auf die offene Menge YeW, so ist t genau dann ein C I _Diffeomorphismus, wenn det Dt nullstellenfrei ist auf X. - Man beachte, daB fUr p :2: 2 aus der Nullstellenfreiheit der Funktionaldeterminante einer stetig differenzierbaren Abbildung t von X auf Y nicht die Bijektivitat von t folgt, wie das Beispiel der Polarkoordinatenabbildung t :]0, oo[ xlR. -+ lR.2 \ {O}, t(r, rp) := (r cos rp, r sin rp) (r > 0, rp E lR.) lehrt. Fur eine lineare Abbildung T : lR.P -+ W wird die (zur euklidischen Norm auf lR.P assoziierte) Norm von T erklart durch IITII := sup{IITxll : x E W, Ilxll :::: I}. Dann ist IITxl1 :::: IITllllxl1
(x
E
JRP) .
Es werde T bez. der kanonischen Basis el,"" ep des W beschrieben durch die Matrix (tik), d.h. Tek = 'Lf=I tikei fUr k = 1, ... ,po Dann gilt fUr x = (Xl,"" Xp)t E lR.P:
§ 4. Die Transformationsformel
203
und die Cauchy-Schwarzsche U ngleichung liefert
also: ( 4.2)
Fur Borel- bzw. Lebesgue-meBbares X C lRP set zen wir S)3~
.- S)3PIX, {3~ .- £PIX, A~
£~
4.1 Lemma. Sind X, Y so ist
c
.-
{3PI'B~,
:=
API£~.
lRP offen und t : X --+ Y ein C 1 -Diffeomorphismus, S)3~
= {t(A)
:A
E S)3~}.
Beweis. Die Umkehrabbildung C 1 : Y --+ X ist stetig, also ist t(A) = (C 1 )-l(A) A E S)3~. Ist umgekehrt B E 'B~, so ist A := C 1 (B) E S)3~ und B = t(A). D E S)3~, falls
Es seien nun X, YeW offen und t : X --+ Y ein C 1 -Diffeomorphismus. In Verallgemeinerung von (4.1) werden wir im folgenden zeigen:
Diese Gleichungen besagen: t ist sowohl S)3~-S)3~-meBbar als auch £~-£~-meBbar, und es gilt
( 4.3) Ersetzen wir hier Weise
c1
durch t, so k6nnen wir (4.3) auch in der aquivalenten
AP(t(A))
= ildetDtldAP
(AE£~)
schreiben. In dieser besonders einpragsamen Form werden wir die Formel fUr das BildmaB beweisen, und zwar zunachst nur fUr Borel-Mengen (s. (4.4)). Die folgende Transformationsformel ist das p-dimensionale Analogon der Substitutionsregel. Zusammen mit dem Satz von FUBINI erm6glicht sie die Auswertung zahlreicher mehrdimensionaler Integrale. 4.2 Transformationsformel (C.G.J. JACOBI 1841). Es seien X, Y offen und t : X --+ Y ein C 1 _ Diffeomorphismus. a) Fur alle A E 'B~ ist
(4.4)
c
lRP
204
b) Fur alle
V. ProduktmaBe
f
E
M+(Y, IB~) gilt:
(4.5)
if
d{3P =
c) Eine Funktion f
Y -+
lK.
Ix f
ot Idet Dtl d{3p.
ist genau dann {3P -integrierbar uber Y, wenn
f t I det Dt I uber X {3P -integrierbar ist, und dann gilt: 0
if
( 4.6)
d{3P =
Ix f
ot IdetDtl d{3p.
Beweis. Der Halbring Sj:=
{0} u {]a,b]: a,b
E
Q
TnZP, a < b, [a,b]
ex}
erzeugt die O"-Algebra IB~, denn jede offene Menge M eXist die (abzahlbare!) Vereinigung der in M enthaltenen Mengen aus Sj. Wir zeigen in einem ersten Beweisschritt, der den wesentlichen Kern des ganzen Beweises enthalt, daB die zur Ungleichung abgeschwachte Aussage a) richtig ist fUr aIle Mengen aus Sj.
(1) Fur alle I E
Sj ist
(4.7) Begrundung: Es seien c > 0, I E Sj. Nach Lemma 4.1 ist t(I) E schreiben
IB~.
Wir
n
(4.8) als eine disjunkte Vereinigung von Wiirfeln III E Sj (v = 1, ... , n), die aIle die gleiche Kantenlange d haben. Da fUr hinreichend groBes mEN die Koordinaten aIler Eckpunkte von I in 2- m p liegen, ist eine solche Zerlegung (4.8) stets m6glich. Zusatzlich k6nnen wir durch fortgesetzte Halbierung aIler Kanten der III die Zerlegung (4.8) beliebig verfeinern. Wir wahlen die Kantenlange d wie folgt: Wegen I C X gibt es ein r > 0, so daB Kr(a) C X fUr aIle a E I. Da Dt und (Dt)-l auf kompakten Teilmengen von X gleichmaBig stetig sind, k6nnen wir nach (4.2) zusatzlich r > 0 so klein wahlen, daB
(4.9)
c sup II(Dt)(x) - (Dt)(a)11 ::; - - fUr aIle a E I,
M..jP
XEKr(a)
wobei (4.10)
M := sup 11((Dt)(y))-lll. yEI
§ 4. Die Transformationsformel
205
Nach Wahl eines solchen r wahlen wir nun die Zerlegung (4.8) so fein, daB d < r / -./p. Fur jedes bElv ist dann ( 4.11)
Wir wahlen fUr II = 1, ... , n ein a v E
Idet(Dt)(av)1
(4.12)
Iv,
so daB
= m~n Idet(Dt)(y) I , yEl v
und set zen
Tv := (Dt)(a v) (II = 1, ... , n).
(4.13)
1st nun a E lund h : Kr(a) -+ JRP eine differenzierbare Funktion, so gilt nach dem Mittelwertsatz fUr aIle x, y E Kr(a):13
Ilh(x) - h(y)11 :::;
Ilx - yll
sup IIDh(x
+ A(y - x))II·
099
Diese Ungleichung wenden wir an auf h(x) := t(x) - Tvx, y = av und erhalten fUr aIle x E Iv: E:
Ilt(x)-t(av)-Tv(x-av)ll:::; M-./pllx-av ll
(4.14)
dabei wurde (4.9) benutzt. Fur x E Iv ist nun liefert:
Ilx -
(l1=l, ... ,n);
avll < d-'/p, und (4.14)
t(Iv) c t(av) + Tv(Iv - av) + Ked/M(O). Nach (4.10) ist aber Ked/M(O) = Tv (TV-l K ed /M(0)) C T"Ked(O), also:
13 Beweis.
Fiir hinreichend kleines 0
g(t) := (h(x
+ t(y -
> 0 ist x)), h(y) - h(x))
(-0
< t < 1 + 0)
differenzierbar (Kettenregel), und fiir t E [0,1] gilt:
g'(t)
(fth(x+t(y-x)), h(y)-h(X)) ((Dh(x
:S
+ t(y -
x)))(y - x), h(y) - h(x))
sup IIDh(x + >.(y - x))lllIy - xllllh(y) - h(x)ll·
099
Nach dem Mittelwertsatz fiir Funktionen einer reellen Variablen existiert ein
Ilh(y) - h(x)112
eE [0,1]' so daB
g(l) - g(O) = g'{el
:S
sup IIDh(x
09:9
+ >.(y -
x))lllly - xllllh(y) - h(x)ll·
o
V. ProduktmaBe
206
Hier ist Iv + KEd(O) - av enthalten in einem Wiirfel der KantenHinge d(l und wir erhalten nach (4.1)
+ 210),
(Diese Approximation von tlIv durch die affine Abbildung t(a v ) + Tv ist der Kern des ganzen Beweises.) Die Summation iiber v = 1, ... , n ergibt: n
v=l
<
+ 2c)P
(1
11
det Dtl df3P
j
die letzte Ungleichung folgt aus (4.12), (4.13). Der Grenziibergang 10 ---+ +0 liefert nun (4.7). ~~
(2) Fur alle A E
ist
~
f3P(t(A))
(4.15)
i
I det Dtl df3P.
Begrundung. Die MaBe rl (f3~) und Idet Dtl0 f3IJc erfUllen (4.15) fUr alle A E Sj, und ihre Einschdinkungen auf Sj sind a-endlich. Wegen a(Sj) = ~~ folgt (4.15) aus dem Vergleichssatz II.5.B. (3) Fur alle f E
M+(Y,~~)
ist
[ f df3 P ~ LfotldetDtldf3P.
(4.16)
= XB
Begrundung. Fiir f
mit B E ~~ ist A := rl(B) E ~~, und (4.15) liefert
[XBdf3P = f3P(t(A))
~
i
Idet Dtl df3P =
L XB ot Idet Dtl df3P.
Ungleichung (4.16) gilt daher fUr alle f E T+(Y, ~~). 1st nun f E M+(Y, ~~), so wahlen wir eine Folge von Funktionen fn E T+(Y, ~~) mit fn t fund erhalten
[ f df3P
lim n--+oo
r fn df3P ~
}y
lim n--+oo
Jrx fnotldetDtldf3P
L fot I detDtl df3P j die letzte Gleichung folgt aus dem Satz von der monotonen Konvergenz. -
(4) Fur alle f (4.17)
E
M+(Y, ~~) gilt: [fdf3P= LfotldetDtldf3P.
§ 4. Die Transformationsformel
207
Begrundung. Zunachst gilt (4.16). Anwendung von (4.16) auf den C1-Diffeomorphismus rl : Y -+ X anstelle von t und die Funktion f otl det Dtl E M+(X, 1l3~) anstelle von f liefert die umgekehrte U ngleichung
Ix
f
otl det Dtl df3P $
[ f df3P ,
denn nach der Kettenregel ist ((Dt)orl)(Drl) = E.Nun fiihren wir den Beweis wie folgt zu Ende: Aussage b) wurde unter (4) bewiesen, Aussage a) ist der Spezialfall f = Xt(A) von b), und Aussage c) folgt 0 durch Anwendung von b) auf (Ref)±, (1m f)±. Der obige Beweis der Transformationsformel ist eine Variante der Argumentation von J. The formula for change in variables in a multiple integral, Amer. Math. Monthly 61, 81-85 (1954). SCHWARTZ:
4.3 Korollar. Sind X, YeW offen und t : X -+ Y ein C1-Diffeomorphismus, so gilt fur A E 1l3~
(4.18)
{
fdf3P= (fotldetDtldf3P,
It(A)
lA
falls f E M+(t(A), Il3f(A)) oder falls f : t(A) -+
i
f3P-integrierbar ist.
Beweis. Man wende die Transformationsformal an auf g : Y -+ t(A)) := O.
i, glt(A)
f, gl(Y \
.0
4.4 Korollar. Die Transformationsformel gilt entsprechend fUr Lebesgue-meflbare Mengen bzw. Funktionen anstelle Borel-meflbarer. Beweis. Nach (4.4) ist A E 1l3~ genau dann eine f3P-Nullmenge, wenn t(A) E 1l3~ eine f3P-Nullmenge ist. Daher definiert t eine Bijektion von £~ auf £~, die Lebesguesche Nullmengen auf Lebesguesche Nullmengen abbildet. Da ).~,).~ gerade 0 die Vervollstandigungen von f3~, f3ir sind, folgt die Behauptung.
4.5 Polarkoordinaten in der Ebene. Die Abbildung t : X -+ Y, X := ~ O}, t(r, 'P) := (r cos 'P, r sin 'P)t ist ein C 1_ Diffeomorphismus mit det(Dt)(r, 'P) = r. Da {(x, O)t : x ~ O} eine ).2-Nullmenge ist, stellen wir fest: 1st f E M+(]R2, £2), so gilt:
]0, oo[ x ]0, 21r[, Y := ]R2 \ {(x, O)t : x
(4.19)
( fd).2= (f(rcos'P,rsin'P)rd).2(r,'P)'
lJR2
lx
Eine Funktion f ]R2 -+ i ist genau dann ). 2-integrierbar, wenn (r, 'P) f--t rf(rcos'P,rsin'P) ).2-integrierbar ist uber X, und dann gilt (4.19). - Auf der rechten Seite von (4.19) kann auch tiber [0, oo[x [0, 21r] integriert werden.
4.6 Beispiel. Der Satz von
FUBINI
([:00 e-x2 dX) =
(
llO,00[xlo,27r[
2
in Verbindung mit (4.19) liefert:
= i2 e- x2 -
y2 d).2(X, y)
re-r2d).2(r,'P) =21r
roo re-r2dr=1r. lo
V. Prod uktmaBe
208 Da das Integral positiv ist, folgt erneut:
roo
J
(4.20)
-00
e- x2 dx =
fi·
Zu dies em wohl popuHirsten Beweis von (4.20) findet man im 7. Band (1871) der Werke von C.F. GAUSS auf S. 290 folgende Bemerkung des Herausgebers E. SCHERING: "In seinen Vorlesungen "Methodus quadmtorum minimorum ejusque usus in Astronomia, Geodesia Sublimiori et Scientia natumli" pfiegte GAUSS diesen Satz in der Weise abzuleiten, daB er die Gleichung
mit Hiilfe geometrischer Betrachtungen aufstellte, und dabei x, Y als rechtwinkelige Coordinaten, p, 'P als Polar-Coordinaten der Punkte in einer Ebene voraussetzte." - Der Physiker Sir W. THOMSON, Lord KELVIN OF LARGS (1824-1907) soll mit Bezug auf (4.20) gesagt haben: "A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you."
4.7 Polarkoordinaten im JRP. Es seien p :::: 2, X :=]0, oo[ x ]0, 7r[P-2 X ]0, 27r[, und fUr (r, 'Pi, ... ,'PP_i)t E X sei r cos 'Pi sin 'Pi cos 'P2
r
t(r, 'Pi,"" 'Pp-i) :=
r sin 'Pi
sin 'P2
sin 'Pk-i
cos 'Pk
r
sin 'P2 sin 'P2
sin 'Pp-2 sin 'Pp-2
cos 'Pp-i sin 'Pp-i
r
sin 'Pi sin 'Pi
=: y.
Fur 1 ::; k ::; p - 1 ist dann Yk = (L~=k y~)1/2 cos 'Pk, wahrend YP = (Y~-i + y~)1/2sin'Pp_i; Ilyll = r. Mit Hilfe dieser Gleichungen zeigt man: t ist ein C i _ Diffeomorphismus von X auf Y := JRP \ Hp, wobei Hp = {y E JRP : Yp-i :::: 0, Yp = O} diejenige "Halfte" der Hyperebene {y : Yp = O} bezeichnet, in welcher Yp-i :::: 0 ist. Die rekursive Berechnung der Funktionaldeterminante liefert . p-2 . p-3 . 2 . d et (Dt) (r, 'Pi, ... ,'Pp-i ) -- rp-i sm 'Pi . sm 'P2 ..... sm 'Pp-3' sm 'Pp-2 .
Fur alle f E M+ (lRP , £P) ist also
(4.21)
ipfd)"p = if(t(r,'Pi"",'Pp-d) ·rP- i sinP- 2 'Pi ..... sin 'Pp-2 d)'..P(r, 'Pi,···, 'PP-i) .
Eine Funktion f : lRP -+ Ik ist genau dann ).,p -integrierbar uber lRP , wenn . 'Pp-2 u"b er X /\\p' . bar zs. t , f(t( r, 'Pi, ... ,'Pp-i )) . r p-i' smp-2 'Pl' .... sm -zn t Egner
§ 4. Die Transformationsformel
209
und dann gilt (4.21). - Wendet man (4.21) an auf die charakteristische Funktion von KR(O), so folgt emeut (1.6). 2. Der Satz von SARD. Sind X C W offen, t : X --+ ]RP stetig differenzierbar und die (relativ X abgeschlossene) Menge
C:= {x EX: Rang Dt(x) < p} der kritischen Punkte von t nicht leer, so ist t : X --+ t(X) kein C1-Diffeomorphismus. Wir fragen, unter welchen Bedingungen die Transformationsformel
r
(4.22)
f d)l
=
it(x)
r fat [
det Dt [ d)l
ix
noch gilt. Offenbar andert sich die rechte Seite nicht, wenn man tiber X \ C statt X integriert. Der folgende Satz von SARD lehrt, daB die Menge t( C) der kritischen Werte von t eine Nullmenge ist. Daher kann auf der linken Seite von (4.22) tiber t(X \ C) statt t(X) integriert werden. Das fUhrt zu einer Verallgemeinerung der Transformationsformel (Korollar 4.9). 4.8 Satz von Sard (1942). Sind XC ]RP offen, t : X --+ W stetig differenzierbar und C die Menge der kritischen Punkte von t, so ist t( C) eine j3P -Nullmenge. Bemerkung. Der Satz gilt allgemeiner fUr Ck-Abbildungen t : X --+ ffi.q , falls k = max(p q + 1,1) und C:= {x EX: Rang Dt(x) < q}; s. A. SARD: The measure of critical values of differentiable maps, Bull. Am. Math. Soc. 45, 883-890 (1942) oder S. STERNBERG: Lectures on differential geometry, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall 1964, S. 47-54. Einen Beweis fiir COO-Funktionen findet man bei M.W. HIRSCH: Differential topology, Berlin-HeidelbergNew York: Springer-Verlag 1976, S. 69-72, bei J. MILNOR: Topology from the differentiable point of view, Charlottesville: The University Press of Virginia 1965 und bei R. NARASIMHAN: Analysis on real and complex manifolds, Paris: Masson & Cie, Amsterdam: North-Holland Pub!. Compo 1973, S. 20 ff. und bei R. ABRAHAM et a!. [1], S. 221 ff.
Beweis des Satzes von SARD. C ist abzahlbare Vereinigung kompakter Teilmengen von X, also ist t(C) E IBP. - Es sei nun W E JP ein Wtirfel mit W C X. Wir brauchen nur zu zeigen, daB t(W n C) (E IBP!) eine j3P-Nullmenge ist. Zu allen x,a E W und j E {I, ... ,p} gibt es ein C,j EjO, 1[, so daB
(4.23) (Anwendung des Mittelwertsatzes auf die Funktion s H tj (a + 7)[, 7) > 0 hinreichend klein). Es sei nun E > O. Dann existiert ein Ij > 0, so daB
+ s( x
- a)) (s E
j - 7),1 (4.24)
[[(Dt)(x) - (Dt)(a)[[ <
E
fUr aIle x, a E W mit [[x - a[[ < Ij.
Es sei femer (4.25)
M
:=
sup [[(Dt)(x)[[. xEW
210
V. Produktmaße
Wir zerlegen nun W = nν=1 Wν in disjunkte Teilw¨ urfel Wν ∈ Ip , die alle die gleiche Kantenl¨ange δp−1/2 haben, wobei δ gem¨aß (4.24) gew¨ahlt sei. F¨ ur festes ν mit Wν ∩ C = ∅ sch¨atzen wir β p (t(Wν ∩ C)) folgendermaßen ab: Es sei a ∈ Wν ∩ C. Dann ist Rang (Dt)(a) < p. Da β p bewegungsinvariant ist, kann angenommen werden, daß t(a) = 0 und ((Dt)(a))(Rp ) ⊂ Span (e1 , . . . , ep−1 ) (d.h. (Dtp )(a) = 0). Dann gilt f¨ ur alle j = 1, . . . , p − 1 und x ∈ Wν nach (4.23), (4.25): |tj (x)| ≤ ((Dt)(a + ξj (x − a)))(x − a) ≤ Mδ . ur alle x ∈ Wν Wegen (Dtp )(a) = 0 ist nach (4.23), (4.24) f¨ |tp (x)| = |((Dtp )(a + ξp (x − a)) − (Dtp )(a))(x − a)| ≤ ((Dt)(a + ξp (x − a)) − (Dt)(a))(x − a) ≤ εδ , so daß insgesamt folgt t(Wν ) ⊂ [−Mδ, Mδ]p−1 × [−εδ, εδ] . Damit ist f¨ ur alle ν β p (t(Wν ∩ C)) ≤ 2p M p−1 pp/2 β p (Wν )ε , und die Summation u ¨ber ν = 1, . . . , n liefert β p (t(W ∩ C)) ≤ 2p M p−1 pp/2 β p (W )ε . Da ε > 0 beliebig ist, folgt die Behauptung.
2
4.9 Korollar. Es seien X ⊂ Rp offen, t : X → Rp stetig differenzierbar, C die Menge der kritischen Punkte von t, und t|(X \ C) sei injektiv. Eine ˆ ist genau dann λp -integrierbar u Funktion f : t(X) → K ¨ber t(X), wenn t(X) p f ◦ t | det Dt| λX -integrierbar ist u ¨ber X, und dann gilt: f dλp = f ◦ t | det Dt| dλp . t(X)
X
Beweis. t(C) ist als abz¨ahlbare Vereinigung kompakter Mengen Borelsch, t(X \ C) ist offen, also ist t(X) ∈ Bp . – Nach Korollar 4.4 gilt die Behauptung mit X \ C und t(X \ C) anstelle von X, t(X), und der Satz von Sard liefert das Gew¨ unschte. 2 Bemerkungen. a) Auch f¨ ur injektive stetig differenzierbare Abbildungen t : X → Rp braucht die Menge der kritischen Punkte von t keine Nullmenge zu sein. Ein Beispiel f¨ ur p = 1 findet man bei K. Floret (1941–2002) [1], S. 330, 17.15. b) Ist X ⊂ Rp offen und t : X → Rp stetig und injektiv, so ist nach einem tiefliegenden Satz von L.E.J. Brouwer (1881–1966)14 das Bild t(X) offen und t : X → t(X) ein Hom¨ oomorphismus. 14 L.E.J. Brouwer: Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl, Math. Ann. 70, 161–165 (1911); s. auch J.T. Schwartz: Nonlinear functional analysis, New York–London–Paris: Gordon & Breach 1969, S. 77 f.
§ 4. Die Transformationsformel
211
3. Verallgemeinerte Transformationsformel. 1st t : X -+ Y nicht global, sondern nur lokal bijektiv, so zerlegen wir X in abzahlbar viele disjunkte Mengen, auf denen jeweils t injektiv ist, wenden auf jeden dieser Teile die Transformationsformel an und fassen alles wieder unter einem Integralzeichen zusammen. Zusatzlich eliminieren wir mit Hilfe des Satzes von SARD die Voraussetzung der Nullstellenfreiheit von det Dt. 4.10 Verallgemeinerte Transformationsformel. Es seien X C JRP offen, t : X -+ JRP stetig differenzierbar, Y := t(X) und C die Menge der kritischen Punkte von t. Fur y E Y sei N(y) E [0,00] die Anzahl der x E X \ C mit t(x) = y. Dann ist N E M+(Y, IB~), und fur alle f E M+(Y, IB~) gilt: (4.26)
[
Nf dj3P =
Ix
fot IdetDtl dj3p.
Fur Borel-mej3bares f : Y -+ 1K. ist N f genau dann j3P -integrierbar uber Y, wenn f 0 t Idet Dtl uber X j3P -integrierbar ist, und dann gilt (4.26). Entsprechendes gilt fur Lebesgue-mej3bare Funktionen anstelle Borel-mej3barer. Beweis. Es seien zunachst det Dt nullstellenfrei und K C X kompakt. Zu jedem x E K wahlen wir offene Umgebungen U", von x und Vx von t(x), so daB tlU", : Ux -+ Vx ein Cl-Diffeomorphismus ist. Es existieren endlich viele xI, ... ,Xm E K, so daB K C U7=1 UXj • Die Mengen Al := UX1 n K,A 2 := (UX2 n K) \ AI' ... ' Am := (Ux~ nK) \U7=--;1 Aj sind disjunkte Borel-Mengen mit U7=l Aj = K. 1st nun f E M+(Y, IB~), so addieren wir die Gl. (4.18) mit A = Aj (j = 1, ... , m) und erhalten (4.27)
r
it(K)
N K fdj3P=
r f otldetDtldj3P,
iK
wobei NK(y) = 2::7=1 Xt(Aj)(Y) die (endliche) Anzahl der x E K mit t(x) = y bezeichnet. Ersichtlich ist N K E M+ (Y, IB~). - Wir wahlen nun eine Folge kompakter Mengen Kn C X mit Kn t X. Dann gilt: t(Kn) t Y und N Kn tN. Daher ist N E M+(Y, IB~), und Gl. (4.27) mit Kn statt K liefert fUr n -+ 00 die Gl. (4.26) fUr alle f E M+ (Y, IB~). Dies ergibt die Behauptung fUr Borel-meBbare Funktionen, falls det Dt nullstellenfrei ist. Nach Korollar 4.4 gilt Entsprechendes fUr Lebesgue-meBbares f. 1st nun det Dt nicht notwendig nullstellenfrei, so gilt Gl. (4.26) nach dem oben Bewiesenen mit X \ C statt X und t(X \ C) statt Y. Da Y \ t(X \ C) C t(C) nach dem Satz von SARD eine Nullmenge ist, folgt die Behauptung in vollem Umfang. D Noch allgemeinere Versionen der Transformationsformel findet man bei H. FEDERER [1], S. 243 ff., W. RUDIN [1], S. 153 f. und P. HAJLASZ: Change of variables formula under minimal assumptions, Colloq. Math. 64, 93-101 (1993). 4. Transformation von MaBen mit Dichten bez. )..p. Eine Modifikation des Beweises der verallgemeinerten Transformationsformel 4.10 ergibt einen Transformationssatz fUr Dichten.
V. ProduktmaBe
212
4.11 Transformationssatz fiir Dichten. Es seien Xc JRP offen, t : X ---+ JRP stetig differenzierbar mit nullstellenfreier Funktionaldeterminante, Y := t(X) und g E M+(X, ~~). Dann ist h : Y ---+ [0,00],
h(y)'-
.-
'" g(x) L....J 1 det Dt(x) 1 XEt- 1 ({y})
(y E Y)
Borel-mej1bar, und es gilt: t(g 8 f3~) = h 8 f3~ .
(4.28)
Entsprechendes gilt fUr Lebesgue-mej1bare Dichten g mit A~, At anstelle von f3~, f3~.
Beweis. Es seien K, Uj := UXj ' Aj (j = 1, ... , m) wie im Beweis des Satzes 4.10. Ftir B E ~t und j = 1, ... ,m gilt dann: i
XBotd(g 8
f3~) = i(XBot). gdf3~
r XB . go (t/Uj)-l . det D(tIUj)-ll df3~ . It(Aj)
J
J
=.
1
Die Summation tiber j = 1, ... , m ergibt:
r XBotd(g8f3~)= It(K) r XB.hKdf3~
(4.29)
lK
mit der Borel-meBbaren Funktion hK : Y ---+ [0,00], m
hK(Y) =
LXt(Aj)(Y)' (go(tIUj)-l·1 detD(t/Uj)-ll)(Y) j=l
L xEt-l({y})nK
g(x) 1
det Dt(x) 1
.
Wir wahlen nun eine Folge kompakter Mengen Kn C X mit Kn t X und erhalten aus (4.29) mit K = Kn durch Grenztibergang
Ix
XBotd(g 8
f3~) = [XB' hdf3~, o
und das ist nach Satz 3.1 gleichbedeutend mit (4.28). In der Situation des Transformationssatzes 4.11 gilt fUr aIle (4.30)
[ f . h df3~
=
Ix
f
E M+(Y, ~t):
fat· g df3~ .
Ftir Borel-meBbares f : Y ---+ Kist f . h genau dann f3P-integrierbar tiber Y, wenn fat· g tiber X f3P-integrierbar ist, und dann gilt (4.30).
213
§ 4. Die Transformationsformel
5. Der Brouwersche Fixpunktsatz. Mit Hilfe des in der Transformationsformel auftretenden Integrals kiinnen wir einen Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes fiihren. 4.12 Brouwerscher Fixpunktsatz. 15 Jede stetige Abbildung der abgeschlossenen Einheitskugel W' C W in sich hat einen Fixpunkt.
Beweis. Wir zeigen zunachst: Gilt der Satz fUr aIle Coo -Funktionen 9 : JRP -t W', so gilt er allgemein. Begriindung: Es sei f : W' -t W' stetig. Wir setzen f vermoge f(x) := f(llxll- 1x) (11xll > 1) zu einer stetigen Funktion f : W -t W' fort und wahlen eine Folge von C~-Funktionen kn : JRP -t JR, so dafi kn :::: 0, JIII.F kn(x) dx = 1, Tr kn C K1/n(0). Die Funktionen fn := f * k n (komponentenweise Faltung bez. j3P) sind nach Satz 3.7 beliebig oft differenzierbar, und es gilt fiir alle x E JRP
Ilfn(x)11 = max (fn(x), v) = max ((f, v) * kn(x» :S 1. vElI!P vElI!P Fiir alle n E N, x E W gilt weiter
IIfn(x) - f(x)11 = max (fn(x) - f(x), v) vElI!P
= max vElI!P
r (f(y) - f(x),v) kn(x - y) dy:S
IIi/.F
sup
Ilf(y) - f(x)ll.
yEK,/n(x)
Daher konvergiert (fn)n>l auf W' gleichmaBig gegen f. Nach Voraussetzung hat nun jedes fn einen Fixpunkt Xn E W'. Da W' kompakt ist, kann (ggf. nach Ubergang zu einer geeigneten Teilfolge) gleich angenommen werden, daB Xn -t Xo E W'. Die gleichmaBige Konvergenz von (fn)n?:l auf W' gegen f liefert dann f(xo) = Xo, d.h. f hat den Fixpunkt Xo. Es bleibt zu zeigen, dafijede Coo-Funktion g: W -t W' einen Fixpunkt hat. Wir schlieBen indirekt und nehmen an, 9 habe keinen Fixpunkt. Die Funktion g).(x) := x - Ag(X) (x E JRP, A E [0,1]) hat nun folgende Eigenschaften: Fiir 0 :S A < 1, x E Sp-1 ist
IIg).(x)11 :::: 1- Allg(x)11 ::::
1- A> 0,
und fiir A = 1 ist
Ilg).(x)11
=
Ilx - g(x)11 > 0
(x E W').
Die stetige Funktion (x, A) >-+ g).(x) hat daher auf dem Kompaktum K := (Sp-1 x [0,1]) U (W' x {I}) ein positives Minimum. Es gibt also ein 8 EjO,I[, so daB 119).(x)11 > 8 fiir aIle (X,A) EK. Es sei nun
h(A):= L<po9).detD9).dj3P
(O:SA:Sl).
Dann ist h stetig und
h(O)
=L
= 1,
h(l)
= 0,
denn 91 (x) tic Ko(O) fiir aIle x E W'. Andererseits ist h in jO, 1[ differenzierbar, und wir werden im restlichen Teil des Beweises zeigen, daB h'lA) = 0 ist fiir 0 < A < 1, was einen Widerspruch ergibt. 1m folgenden sei 0 < A < 1. (Die Anwendung der Kettenregel fiir Funktionen mehrerer Variablen setzt einen offenen Definitionsbereich voraus.) Dann ist (4.31) 15L.E. BROUWER: Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71,97-115 und S. 598 (1912); Berichtigung, Math. Ann. 82, 286 (1921).
214
V. Produktmai3e
wobei der Strich stets die Ableitung nach A bezeichnet. 1st nun A(A) = (ajdA)) eine (p x p)Matrix von differenzierbaren Funktionen ajk :]0,1[--+ lE., ak = (alk, ... , apk)t die k-te Spalte von A(A), so gilt
d~ det A(A)
(4.32)
=
det(a~, a2, .. ·, ap) + det(al, a;, a3, ... ap) + ... p
L
+ det(al, ... , ap-l, a~) =
ajk (A)ajdA) = Spur AI (A)A(A),
j.k=l wobei A(A) = (ajk(A))t die Komplementarmatrixvon A(A) bezeichnet und ajk(A) = (-l)j+k det Ajk (A), wobei Ajk (A) durch Streichen der j-ten Zeile und k-ten Spalte aus A(A) entsteht. Das zweite Integral auf der rechten Seite von (4.31) ist also gleich
Is
'P 0 g>.
=
t /, 'Pog>.(Dk(g~)j)(Dg>.)jkd(3p.
j,k=l
d~ det Dg>. d(3P =
Is
'P ° g>. Spur (Dg~)(Dg>.)~ d(3P
B
Hier bezeichnen (g~)j die j-te Koordinate von g~ und (Dg>.)jk das Element in der j-ten Zeile und k-ten Spalte von (Dg>.)~. 1m letzten Integral integrieren wir partiell in bezug auf die Variable Xk und walzen die Differentiation von Dk(g~)j auf die iibrigen Faktoren abo Da der Integrand nach Wahl von K, /i einen kompakten Trager in B hat, treten keine Randbeitrage auf, und wir haben
(4.33)1s 'P0g>.
-
+
d~ detDg>.d(3P
j~l
(Is (Dk('Pog>.))(g~)j(Dg>.)jk
Is
(g~)j Dk(Dg>.)jk d(3p)
'P0g>.
d(3P
+
Is
'Pog>.
(g~)j DdDg>.)jk d(3p)
.
Nach dem Entwicklungssatz ist L~=l Dk(g>.)i (Dg>.)jk = /iij det Dg>., also ist die erste Summe auf der rechten Seite von (4.33) gleich dem erst en Integral auf der rechten Seite von (4.31). Das ergibt:
-
ls'Po9>.diV(D9>')~9~d(3P,
wobei die spaltenweise zu bildende Divergenz von (Dg>.)~ ein Zeilenvektor ist, der mit dem Spaltenvektor g~ zu multiplizieren ist. Nach dem folgenden Lemma ist nun div (Dg>.)~ = 0, also ist hl(A) = 0, und die Behauptung ist bewiesen. D 4.13 Lemma von JACOBI. 1st U so gilt
c lE.P offen und 9 : U --+ lE.P zweimal stetig differenzierbar, div
(Dg)~
= 0,
215
§ 4. Die Transformationsformel
wobei die k-te Koordinate des Zeilenvektors auf der linken Seite gleich der Divergenz des k-ten Spaltenvektors der Komplementarmatrix (Dg)~ von Dg ist. Beweis. Bezeiehnet 6ij die Determinante der (p - 1)-reihigen Matrix, die aus Dg dureh Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht, so ist (Dg)~ = ((-1)i+j6 ij)t. Aus Symmetriegriinden geniigt es daher zu zeigen, daB die erste Koordinate von div (Dg)~ versehwindet, d.h. wir haben zu zeigen:
Mit h := (g2, ... , gp)t : U --t jRP-l ist 6 1 j = det(D1h, ... , D j _ 1h, Dj+ 1h, ... , Dph). Wir bezeiehnen fiir i ¥ j mit Gij die Determinante der (p - 1)-reihigen Matrix, deren erste Spalte gieich DiDjh ist, wahrend die iibrigen Spalten gieich D 1h, ... , Dph (im Sinne waehsender Indizes) sind, wobei die Spalten Dih und Djh auszulassen sind; Gii := O. Dann ist naeh (4.32)
mit
Cij
= 1 fiir i
< j, Cii
= 0 und
Cij
= -1 fiir i
p
> j. Das ergibt: P
~)-1)1+jDj61j =
L
j=1
i,j=1
(-l)i+jcijGij.
Die reehte Summe ist invariant bei Vertausehung der Summationsindizes i, j. Andererseits ist = -Cji, Gij = Gji , so daB die reehte Seite bei Vertausehung von i und j das Vorzeichen weehselt. Daher versehwindet die reehte Seite, und das war zu zeigen. D
Cij
Der tiefere Grund fiir die Konstanz der Funktion h aus dem Beweis des Brouwersehen Fixpunktsatzes ist die Homotopieinvarianz des Abbildungsgrads; s. H. LEINFELDER und C. SIMADER: The Brouwer fixed point theorem and the transformation rule for multiple integrals via homotopy arguments, Expo. Math. 4, 349-355 (1983). In dieser Arbeit wird aueh gezeigt, wie die Argumente aus dem obigen Beweis des Brouwersehen Fixpunktsatzes zu einem Beweis der Transformationsformel ausgestaltet werden konnen. Eine Teilmenge A des topologisehen Raums X heiBt ein Retrakt von X, wenn es eine stetige Abbildung f : X --t A mit flA = idA gibt; eine solehe Abbildung f heiBt dann eine Retraktion von X auf A. 4.14 Korollar. Sp-l ist kein Retrakt von JEP. Beweis. Gabe es eine Retraktion f von JEP auf Sp-l, so ware - f eine fixpunktfreie stetige Abbildung von JEP in sich: Widersprueh zum Brouwersehen Fixpunktsatz! D Eine stetige Abbildung f : X --t X eines topologisehen Raums X in sieh heiBt nullhomotop ("stetig in eine konstante Abbildung deformierbar"), wenn es eine stetige Abbildung F : X x [0,1] --t X und ein a E X gibt mit F(x,O) = f(x) (x E X) und F(x, 1) = a (x EX). Eine so1che Abbildung F heiBt dann eine Nullhomotopie. 4.15 Korollar. Die Jdentitlit von Sp-l ist nicht nullhomotop. Beweis. Gabe es eine Nullhomotopie F : Sp-l X [0,1] --t Sp-l von idsp-l, so ware f : JEP --t SP-l, f(AX) := F(x, 1 - A) (x E Sp-l, 0 ::: A ::: 1) wohidefiniert (!) und eine Retraktion von JEP auf Sp-l: Widerspruch zu Korollar 4.14! D Aufgaben.4.1. Es seien X C jRP offen und konvex und t : X --t jRP stetig differenzierbar und (Dt)(c) : W --t jRP (c E X) positiv definit. Dann ist t injektiv. (Hinweis: Sind a, bE X, t(a) =
216
V. ProduktmaBe
t(b), so wende man fiir festes y E JRP auf die Funktion A >-t (t(a+A(b-a)),y) 1 + 8) den Mittelwertsatz an.)
(-8 < A <
4.2. a) Fiir A E GL (p, JR) ist
r e-]]Ax]]2 d(3P(x)
JRP
7r p/ 2
=
1
det AI-I.
b) 1st A E GL (p, JR) positiv definit, so gilt:
r e-(Ax,x) d(3P(x) =
7r p/ 2 (det
JRP
A)-1/2 .
4.3. Multiplizieren Sie die Integrale
F(t) :=
1
00
e- tx2 cosx 2 dx, G(t) :=
1
00
e- tx2 sinx 2 dx (t> 0)
mit sich selbst und zeigen Sie mit der Methode aus Beispiel 4.6
F(t)2 - G(t)2 = Schreiben Sie weiter 2FG = FG
~ 1: t 2
(t
> 0).
+ GF und zeigen Sie entsprechend
2F(t)G(t) =
7r
1
41 + t 2
(t
> 0).
°
Da G(t) > ist, lassen sich F(t) und G(t) explizit bestimmen. Folgern Sie durch Grenziibergang t -+ +0: (R-)
1
00
cosx 2 dx = (R-)
1
00
sinx 2 dx =
Ii
{Fresnelsche Integmle}. 4.4. a) Es seien al, ... ,ap > 0, Y:= {y E JRP : y Borel-meBbar. Dann gilt:
> O,Yl + ... + yp < I}
und f :]0,1[-+ [0,00]
r f(Yl + ... + yp)yf , - l ..... y;P- l d(3P(y) = f(ad ..... f(a p) (f(U)U"'+"'+"P- l du, r(al + ... + a Jo
Jy
p)
und diese Gleichung gilt auch, falls f :]0,1[-+ JK: Borel-meBbar ist und eines der beiden Integrale existiert. (Hinweis: Benutzen Sie zur iterativen Berechnung des Integrals die Transformation t: X -+ Y,t(x) := (XI, ... ,Xp-2,Xp-lXp,Xp-l(1- xp))t, wobei X = {x E JRP : x > O,Xl + ... + Xp-l < 1,xp < I}.) 1st zusatzlich a p+1 > 0, so gilt:
r(1- (Yl + ... + yp))"P+'-lyf ' - l ..... y;P- l d(3P(y) = f(ad····· r(ap+d r(al + ... + a
Jy
p +1)
(DIRICHLET [1], S. 383 ff., [2], S. 375 ff.). b) Sind al, ... ,ap,aI, ... ,ap,(3l, ... ,(3p > und Z:= {z E JRP : z > 0, (zI/al)'" + ... + (zp/ap)"p < I}, Pj := (3j/aj (j = 1, ... ,p), so gilt unter entsprechenden Voraussetzungen an f: f((ZI/al)'" + ... + (zp/ap)"p)z~'-l ..... zgP- l d(3P(z)
°
l
= af' ..... a~P f(pd ..... f(pp) al ..... a p f(Pl + ... + pp)
11 0
f( U )U P 1 + ..• +p-l P duo
c) Das Volumen des p-dimensionalen Ellipsoids E(al, ... ,ap):= {x E JRP : (XI/al)2 (xp/ap)2 < I} betragt
+ ... +
217
§ 4. Die Transformationsformel speziell ist
rr P / 2 (P ) r P. f 2+1
j3P(Kr (O)) =
f
4.5. Unter entsprechenden Voraussetzungen an
gilt fur al, ... , a p > 0, X =]0, oo[P:
(J.L. RAABE, J. reine angew. Math. 28, 19-27 (1844)).
4.6. Fur Res> p/2 existiert das Integral
und es ist
Ip(S)=h(s-P;l) Ip-ds).
fif (s -~)
Mit h(s) =
/r(s) ergibt sich daher
Ip(s) = rrP / 2 f
(s - D/r(s).
(Alternativen: Polarkoordinaten oder Aufgabe 4.5.)
°
4.7. Es seien B E '13 P,j3P(B) < 00, und fur festes a E lf1.p+1 mit a p +l > sei K der Kegel mit der Basis B und der Spitze a, d.h. K = {A(b, 0) + (1 - A)a : 'S: A 'S: 1, bE B}. Dann ist K E '13 P+ 1 und j3p+l (K) = a p +l j3P(B) .
°
p+1
2': 1 sei En := {x E lf1.n : Ilxll < I}. - Es seien nun
4.8. Fur n ]0, 00[xEp _
1,
p
2': 2 und X .-
Y :=]0, OO[xlf1.p-l, t: X --+ Y,
Dann ist t ein C 1-Difreomorphismus mit det Dt(r, x) = r P - 1 (1 -llxI1 2)-1/2. 1st F :]0,00[--+ Borel-meBbar und F(r)r P- 1 uber ]0, oo[ j31-integrierbar, so gilt:
r
F(llylll dj3P(y) = 2 (
JIT?P
r= F(r)r P-
10
1
dr) .
r
JE
p_
IK
(1 -llxW)-1/2 dj3P-l(X). 1
Insbesondere resultiert fur F = XjO.l[
und fur F(r) = exp(-r2): rr P / 2
j3P(Ep) =
f
(P
2
+1
).
4.9. Sind a> 0,13 > O,a+j3 < pundx,y E lf1.P,x i= y, so istdie Funktion z f-t Ilx-zll"-Pllzylli3-P j3P·integrierbar uber lf1.P, und es gibt eine nur von a, j3,p abhiingige Konstante C",i3, so daB Ilx - zll"-Pllz - ylli3-P dj3P(z) = C",i3llx _ yll"+i3-p.
r
JIRP
(Bemerkung: C",i3 = rrP/2f(a/2)f(;3/2)f((p - a - j3)/2)/(f((p - a)/2)f((p - j3)/2)r((a + ,8)/2)); s. N. DU PLESSIS: An introduction to potential theory, Edinburgh: Oliver & Boyd 1970, S. 71 fr. oder N .S. LANDKOF: Foundations of modern potential theory, Berlin-Heidelberg-New
218
V. ProduktmaBe
York: Springer-Verlag 1972, S. 44.) 4.10. Es sei t : W \ {O} -t]0, 00[x8P -1, t(x) := Ulxll,llxll- l x) (x E IRP, x 1)9 wp, wobei
#
0). Dann ist
t(f3P) = Pp
pp(A)
=
L
wp(B)
=
pf3P({o:x: 0 < 0:::; l,x E B}) fiir BE 'BP,B C 8 P- l
r p- l df31(r) fiir A E 'Bjo,oo[' .
4.11. Fiir r 2: 0 sei Kr := {z E C: Izl < r}. Es seien R > 0 und I,g: KR -t C holomorphe Funktionen mit den Taylorreihen I(z) = L~=oanzn,g(z) = L~=obnzn (an,bn E C fiir n 2: 0, Izl < R). a) Fiir 0 ::; r < R gilt:
b) Fiir 0 ::; r ::; R ist
und sind 1/12, Igl2 f32-integrierbar iiber K R , so gilt die Formel unter a) fiir 0 ::; r ::; R. c) 1st I injektiv, so gilt: 00
f32(j(Kr)) = 11"
L nlanl2r2n
(0::; r ::; R).
n=l
Bezeichnet 8R die Menge aller holomorphen und injektiven Abbildungen I : KR -t emit 1(0) = 0,1'(0) = 1, so gilt
und das Infimum wird genau dann angenommen, wenn I(z) = z. d) 1st I(z) = 1 + L~=1 anz n fiir Izl < R holomorph und 0 < r < R,
111 + III df32 < 1
-2 11"r
-slal12r2 ,
Kr
so hat I in Kr eine Nullstelle. (Hinweis: 1st I in Kr nullstellenfrei, so hat I auf Kr eine "holomorphe Quadratwurzel" 9 mit g(O) = 1, I = g2. Wie beginnt die Potenzreihe von 9 urn O?) e) Wie lautet das Analogon von a) fUr Funktionen I, g, die in einem Kreisring D(r, R) := {z E C : r < Izl < R} (0::; r < R) holomorph sind? f) 1st I in D(O, R) holomorph, 0 < r < R und JD(O,r) 1/12 df32 < 00, so hat I in 0 eine hebbare Singularitat. 4.12. Es seien Ii': := {z E C : Izl < 1},G die Gruppe der Abbildungen z >--t (o:z + (3)/(iJz + a) (0:,f3 E C, 10:1 2 -1f31 2 = 1). (In der Funktionentheorie wird gezeigt, daB G gleich der Gruppe aller biholomorphen Abbildungen von Ii': auf sich ist; s. z.B. R. REMMERT: Funktionentheorie 1,4. Auf!. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1995). a) Das MaB p mit der Dichte 4(1 - IzI 2)-2 bez. f3~ ist G-invariant, d.h. es ist g(p) = p fiir alle 9 E G. b) Bezeichnet 8 1 die Einheitskreislinie, so operiert G auf X := Ii': x 8 1 vermoge
g(z,():= (g(z),(g'(z)/lg'(z)l)
((z,() E X,g E G).
Es bezeichne w das durch w( {ei
Kapitel VI Konvergenzbegriffe der MaBund Integrationstheorie 1m ganzen folgenden Kapitel sei (X, l2l, J.L) ein MaBraum. Wir betrachten fUr o < p < 00 die Menge £P der meBbaren Funktionen f : X -+ lK, fUr welche IflP E £1 ist, und set zen
Ilfllp :=
(Ix Ifl dJ.L) P
lip
(j
E £P) .
Fur p :::: 1 ist dann II . lip eine Halbnorm auf dem Vektorraum £P, und der fundamentale Satz von RIESZ-FISCHER besagt, daB der halbnormierte Raum (£P, II· lip) vollstiindig ist. Aus diesem Grunde ist £P von grundlegender Bedeutung fUr die Funktionalanalysis. Eine weitere wichtige Aufgabe fUr das folgende Kapitel wird es sein, den durch II . lip induzierten Konvergenzbegriff, die sog. Konvergenz im p-ten Mittel, mit anderen Konvergenzbegriffen zu vergleichen.
J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 7. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-17905-1_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011
220
§ 1.
VI. Konvergenzbegriffe der MaJ3- und Integrationstheorie
Die Ungleichungen von JENSEN, HOLDER und MINKOWSKI «Supposons que a(x) et f(x) sont des fonctions integrables dans l'intervalle (0,1), et que a(x) est constamment positive ...
dX) J; a(x)
1
o
a
1
(J.L.W.V. JENSEN: Sur les fonctions convexes ... , Acta Math. 30, 175-193 (1906))
1. Die Jensensche Ungleichung. Es sei I c JR; ein Intervall. Eine Funktion --+ JR; heiJ3t konvex, wenn fiir alle x, y E lund'>" E [0,1] gilt:
cp : I
(1.1)
cp(.>..x + (1 - .>..)y)
:s: .>..cp(x) + (1 -
.>..)cp(y).
1.1 Lemma. Fur jede Funktion cp : 1--+ JR; sind folgende Eigenschaften a)-e) iiquivalent: a) cp ist konvex. b) Fur aile x,y,t E I mit x < t < Y gilt:
:s: cp(x) + cp(y) -
cp(t)
c) Fur aile x,y,t
E
cp(x) (t - x). y-x
I mit x < t < Y gilt: cp(t) - cp(x) cp(y) - cp(x) . t-x y-x
-'---'--"----'-'--'- < d) Fur aile x,y,t
E
I mit x < t < Y gilt: cp(y) - cp(x) < cp(y) - cp(t) . y-x y-t
~~~~~
e) Fur aile x,y,t
E
I mit x < t < Y gilt: cp(t) - cp(x) cp(y) - cp(t) . t-x y-t
--'--'-----'- <
1Es seien a(x) und f(x) integrierbare Funktionen im Intervall (0,1) und a(x) sei stets positiv ...
( Jo
1
a(x)f(x) dX) 1
Ja a(x) dx
< -
J; a(x)
Ja a(x) dx
.
§ 1. Die Ungleichungen von
JENSEN, HOLDER
und
MINKOWSKI
221
Alle Bedingungen b )-e) aus Lemma 1.1 haben einleuchtende geometrische Bedeutungen: b) bringt zum Ausdruck, daB der Graph von cp in [x, y] unterhalb der Strecke von (x, cp(x)) nach (y, cp(y)) verlauft, c) besagt, daB die Steigung t H (cp(t) - cp(x))j(t - x) fur t > x monoton wachst, etc. - Zum Beweis von Lemma 1.1 zeigt man, daB alle angegebenen Bedingungen zu b) aquivalent sind. Wir uberlassen diesen elementaren Nachweis dem Leser. 1.2 Satz (JENSEN 1906). 1st cp : f ~ lR konvex, so ist cp aul J stetig.
J
J,
Beweis. Es seien Xo E und s, t E s < Xo < t. 1st nun Xo < x < t, so gilt nach Lemma 1.1: cp(s) - cp(xo) cp(x) - cp(xo) cp(t) - cp(xo) -'--'--'-----'--'---''-'- < < . s - Xo x - Xo t - Xo
Daher ist cp in Xo rechtsseitig stetig. Entsprechend zeigt man die linksseitige Stetigkeit. (Alternative: Aufgabe 1.3, a).) D Eine konvexe Funktion cp : f ~ lR ist also hOchstens in den zu f gehOrigen Endpunkten von 1 unstetig. Insbesondere ist jede konvexe Funktion cp : f ~ lR Borel-mefJbar. Die Definition der Konvexitat laBt sich maBtheoretisch wie folgt fassen: Fur x,y E f,A E [0,1] sei p, = P,x,y,>. das MaB auf IE} mit p,({x}) = A,p,({y}) = 1 - A, p,(A) = 0 fUr A E IE}, x, y tJ- A. Dann ist p, ein WahrscheinlichkeitsmaB auf IE} und (1.1) ist gleichbedeutend mit cp
(1
t dP,(t)) :::::
1
cp(t) dp,(t) .
Die Jensensche Ungleichung liefert eine bedeutende Verallgemeinerung dieses Sachverhalts. 1.3 Jensensche Ungleichung (1906). Es seien (X,~, p,) ein MafJraum mit p,(X) = 1, f c lR ein fntervall, I : X ~ f p,-integrierbar und cp : f ~ lR konvex. Dann ist I x I dp, E 1, cp list quasiintegrierbar, und es gilt: 0
(1.2)
cp
(Ix
I dP,) :::::
Ix
cp 0 I dp, .
Ix
I dp, E fist, daB also die linke Seite Beweis. Wir zeigen zunachst, daB m := von (1.2) sinnvoll ist. Dazu seien a, b E lR der linke bzw. rechte Eckpunkt von f. Aus a ::::: I ::::: b folgt wegen p,(X) = 1 durch Integration zunachst a ::::: m ::::: b (Satz IV.3.7). 1st nun a E lR und a tJ- f, so ist 0 < I(x) - a fUr alle x E X, und Satz IV.2.6 liefert: a < m. Entsprechendes gilt fUr b. Daher ist m E f. 1st m kein innerer Punkt von f, so ist m E lR rechter oder linker Eckpunkt von f. Die vorangehende Uberlegung laBt erkennen: I(x) = m fUr p,-fast alle x E X, also cp(J(x)) = cp(m) fUr p,-fast alle x E X, und es folgt: cpol dp, = cp(m), d.h. (1.2) ist richtig.
Ix
Es sei nun m
EI. Wir konstruieren eine Stutzgerade an den Graphen von cp
222
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
im Punkte (m,
-'----'-----'----'----'---=--<
,
also ist a := sup {
m-s
I} <
00,
und fUr aIle tEl, t > m gilt:
(1.3)
Ungleichung (1.3) ist fUr t = m offenbar richtig, und sie gilt nach Definition von a auch fUr aIle tEl, t < m. Daher gilt (1.3) fUr alle tEl. Geometrisch bedeutet (1.3), daB der Graph von
Wegen p,(X) = 1 ist hier die rechte Seite p,-integrierbar iiber X. Daher ist <po! quasiintegrierbar, und die Integration von (1.4) liefert (1.2). D
1.4 Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel. Es sei wieder p,(X) = 1. Eine Anwendung von (1.2) auf die konvexe Funktion
~ Ix ef dp, ,
d.h. fUr aIle 9 : X ~]O, oo[ mit logg E £l(p,) ist (1.5)
exp (Ix 10g9dP,)
~ Ix gdp,.
Wahlen wir z.B. X {1, ... ,n},~ = ~(X),p,({k}) = ak E [0,1] fUr k 1, ... , n, wobei al + ... + an = 1, so liefert (1.5) mit g(k) =: Xk > 0: n
n
k=l
k=l
II X~k ~ L akxk ,
(1.6)
und diese Ungleichung gilt sogar fUr aIle Xl,"" Xn ?: O. 1m Spezialfall al ... = an = lin ist (1.6) die klassische Ungleichung
(1.7)
(g
x,
rn
<:
~ ~ x,
(x" ... , Xn :> 0)
zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel.
§ 1. Die Ungleichungen von
JENSEN, HOLDER
und MINKOWSKI
223
2. Die HOldersche Ungleichung. Fur reelles p > 0 setzen wir ooP := := o. 1st dann f : X -+ 1K. meBbar, so ist Ifl P E M+(X, 2t), und (1.8)
(Ix Ifl d~
Np(f) :=
ist sinnvoll, 0 s:; Np(f) s:;
P
00.
) lip
(p E lR,p
00, oo-P
-I 0)
Offenbar ist
Wesentliches Ziel dieses Paragraphen wird es sein, zu zeigen, daB Np fUr p :2: 1 der Dreiecksungleichung geniigt (Minkowskische Ungleichung). Dabei wird der Fall p = 00 einbezogen: Fur p = 00 sei (1.9)
Noo(f) := inf{ a E [0,00] : If I s:; a
~-f.u.}.
Dann ist If I s:; Noo(f)
~-f.u., denn fUr Noo(f) < 00 ist {If I > Noo(f)} U:;"=l{lfl > Noo(f) + lin} eine ~-Nullmenge. Man nennt Noo das essentielle oder wesentliche Supremum von If I und schreibt
Noo(f) = ess sup If(x)l. xEX
Ersichtlich ist Noo(af) = lalNoo(f) (a E lK) und Noo(f+g) s:; Noo(f)+Noo(g), falls f, 9 : X -+ 1K. meBbar. - Die Bezeichnung Noo(f) wird durch Aufgabe 1.8 motiviert.
1.5 HOldersche Ungleichung. 2 Es seien 1 s:; p, q s:; 00, ~
+
~
=
1, wobei
1/00:= 0, und f,g: X -+ 1K. mejJbar. Dann gilt:
(1.10) Beweis. Fur p = 00 oder q = 00 ist die Behauptung klar. Seien nun 1 < p, q < 00: 1st dann Np(f) = 0 oder Nq(g) = 0, so ist f . 9 = 0 ~-f.ii. und die Behauptung richtig. 1st nun Np(f)· Nq(g) > 0 und Np(f) = 00 oder Nq(g) = 00, so ist (1.10) wiederum klar. Es seien daher im folgenden 1 < p, q <
00
und
0< Np(f), Nq(g) < 00. Nach (1.6) ist (1.11)
~1]
s:;
1 1 -e + -1]q fUr alle ~,1] E [0,00]. P q
Setzen wir hier ~ := IfIINp(f),1] := IgIINq(g), so liefert eine Integration uber X die Behauptung. 0
20. HOLDER: Uber einen Mittelwerthssatz, Nachr. k. Gesellsch. Wiss. G6ttingen (1889), 38-47.
224
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und 1ntegrationstheorie
1.6 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Sind f, 9 : X -+
lK
mejJbar, so gilt:
(1.12)
Beweis. p = q = 2 in (1.10).
D
1. 7 Beispiel. Wahlt man 11 gleich dem ZahlmaB auf N und 1 < p < 00, q := (1 - l/p)-l, so ergibt (1.10) die klassische Holdersche Ungleichung filr Reihen:
(1.13) fUr p
= q = 2 ist das die klassische Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.
Bemerkung. 1st 0 < p < 1, und bestimmt man q gemaB l/p + l/q = 1, so ist q < 0, und die H61dersche Ungleichung gilt im wesentlichen mit umgekehrtem Ungleichheitszeichen (s. Aufgabe 1.11). 3. Die Minkowskische Ungleichung. Die Ungleichung von H. MINKOWSKI (1864-1909) bringt zum Ausdruck, daB N p (') fUr 1 :::; p :::; 00 der Dreiecksungleichung geniigt. 1.8 Minkowskische U ngleichung. 3 Sind f, 9 : X -+ so gilt:
lK
mejJbar und 1 :::; p :::;
00,
(1.14)
Beweis. 1st p = 1 oder p = 00 oder Np(f) = 00 oder Np(g) = 00 oder Np(f+g) = 0, so ist die Behauptung klar. Es seien also 1 < p < 00, Np(f) < 00, Np(g) < 00, Np(f + g) > 0 und q := (1 - l/p)-l( Ell, oo[). Eine zweimalige Anwendung der H6lderschen Ungleichung ergibt: (1.15)
Ix
If
+ glP dl1 <
Ix Ifllf +
glP-l dl1 +
Ix Igllf +
glP-l dl1
< (Np(f) + Np(g))Nq(lf + gIP-l) (Np(f) denn q(p - 1)
+ Np(g))(Np(f + g))p/q,
= p. Wegen
(1.16) ist hier Np(f + g) < 00. Da Np(f + g) > 0 ist, liefert eine Division von (1.15) durch (Np(f + g))p/q die Behauptung. D 3R. MINKOWSKI:
Geometrie der Zahlen, Leipzig: B.G. Teubner 1910, S.
116,
(4).
§ 1. Die Ungleichungen von
JENSEN, HOLDER
und
MINKOWSKI
225
1.9 Beispiel. Wahlt man J1 gleich dem ZahlmaB auf N, so liefert (1.14) die Minkowskische Ungleichung fur Reihen: Fur X n , Yn E lK (n EN), 1 :::; p < 00
gilt:
(1.17)
1.10 Satz. Sind f, 9 : X --+
lK
mefJbar und 0 < p :::; 1,
(1.18)
N;(f
+ g) <
N;(f)
(1.19)
Np(f
+ g) <
21 / p- I (Np(f)
so
gilt:
+ N;(g) , + Np(g)).
Beweis. Die Funktion 0 fest) ist wachsend, wie man durch Differenzieren bestatigt. Daher gilt flir alle a, b :2: 0: (a
+ b)P :::; aP + bP .
Setzt man hier a = If I, b = Igl und integriert tiber X, so folgt (1.18). Die Funktion 1/J(t) := (a l /P + tl/P)(a + t)-l/p (t:2: 0; a > 0 fest) hat die Ableitung 1/J'(t) = (a/p)(a + ttl/P-I(tl/p-l ~ al/p-l), ist also flir 0 :::; t :::; a fallend, flir t :2: a wachsend, und hat in a ein absolutes Minimum. Daher ist
(a also
+ W/p
:::; 21/p-l(al/P
+ blip)
flir alle a, bE [0,00],
(Ix IflPdJ1 + Ix IglP dJ1) l/p :::; 2 P- (Np(f) + Np(g)) , 1/
und (1.18) ergibt (1.19).
I
o
4. Historische Anmerkungen. Fur endliche Summen geht die Cauchy-Schwarzsche Un-
gleichung (1.13) mit p = q = 2 zuruck auf A.L. CAUCHY: Cours d'analyse de I'Ecole Royale Polytechnique, Fe partie. Analyse algebrique. Paris: Imprimerie Royale 1821, S. 455 (Nachdruck: Darmstadt: Wiss. Buchges. 1968; deutsche Ausg.: Algebraische Analysis, Berlin: Verlag von Julius Springer 1885). 1m gleichen Werk fuhrt CAUCHY auf S. 457 ff. einen kunstvollen elementaren Beweis der Ungleichung (1.7) zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel. Die Ungleichung (1.12) fUr Integrale stammt von V.J. BUNJAKOWSKI 4 : Sur
quelques inegalites concernant les integrales ordinaires et les integrales aux differences finies, Memoires de l'Acad. de St.-Petersbourg (VII) 1 (1859), No.9 und von H.A. SCHWARZ 5: Uber ein die Fliichen kleinsten Fliicheninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung, Acta Soc. scient. Fenn. 15, 315-362 (1885) (= Mathematische Abhandlungen I, 223-269, insbes. S. 4Geb. 1804, Doktorand von CAUCHY (1825), Professor an der St. Peters burger Universitat (1846-1880), gemeinsam mit M.W. OSTROGADSKI (1801-1862) Wegbereiter der russischen mathematischen Schule unter P.L. TSCHEBYSCHEW (1821-1894), gest. 1889 in St. Petersburg. 5Geb. 1843, Studium in Berlin bei K. WEIERSTRASS, L. KRONECKER und E.E. KUMMER, Professor in Zurich, Gi:ittingen und Berlin (1892-1917), Arbeiten zur Theorie der Minimalflachen und konformen Abbildung, gest. 1921 in Berlin.
226
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
251).
O. HOLDER (1859-1937)6 wendet erstmals systematisch die Eigenschaft der Konvexitiit zum Beweis von Ungleichungen an: Er2 benutzt die Konkavitat des Logarithmus zum Beweis der Ungleichung (1.7) zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel, und er benutzt die Konvexitat von tP(p > 1) zum Beweis der Ungleichung (1.13), die seither seinen Namen tragt, aber schon ein Jahr friiher von L.J. ROGERS (An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of Math. 17,145-150 (1888)) gefunden wurde. H. MINKOWSKI 7 beweist die Ungleichung (1.17) im Jahre 1896 im Rahmen seiner beriihmten Untersuchungen zur Geometrie der Zahlen. Die auBerordentliche Bedeutung der Minkowskischen Ungleichung als Dreiecksungleichung in einem Funktionenraum wird wohl erstmals von F. RIESZ klar herausgestellt; er gibt auch einen eleganten elementaren Beweis der Ungleichungen von HOLDER und MINKOWSKI (s. F. RIESZ [1], S. 519-521). J.L.W.V. JENSEN 8 (Sur les fonctions convexes ... , Acta Math. 30, 175-193 (1906)) benutzt in systematischer Weise den Begriff der Konvexitat zur Herleitung wichtiger klassischer Ungleichungen. Insbesondere beweist er die Ungleichung (1.2) in Integralform. In einem Nachtrag zu seiner Arbeit raumt JENSEN ein, daB ein Teil seiner Resultate von HOLDER vorweggenommen wurde.
Aufgaben. 1.1. Sind I, J c ~ Intervalle und cp : I -+ J konvex, 'Ij; : J -+ wachsend und konvex, so ist 'lj;ocp konvex (JENSEN). 1.2. a) 1st cp : I -+ ~ konvex, so gilt fiir alle Xl,"" Xn E I und .AI, ... ,.A n 1:
::::
~
monoton
0 mit "Lj=l.Aj =
(JENSEN). b) Es sei n :::: 3. Unter allen dem Einheitskreis umbeschriebenen (bzw. einbeschriebenen) nEcken hat das regulare n-Eck den kleinsten (bzw. groBten) Umfang und den kleinsten (bzw. groBten) Flacheninhalt. 6Geb. 1859 in Stuttgart, Studium in Stuttgart, Berlin und Tiibingen, Promotion und Habilitation 1884 in Gottingen, Professor in Gottingen, Tiibingen, Konigsberg, ab 1899 in Leipzig, Arbeiten zur Algebra (Satz von J ORDAN-HOLDER iiber die Faktorgruppen aufeinanderfolgender Normalteiler in der Kompositionsreihe einer endlichen Gruppe), Holdersches Summationsverfahren, Holdersche Ungleichung, H61der-Stetigkeit (H61der-Bedingung), Nichtexistenz einer algebraischen Differentialgleichung fiir die Gammafunktion, gest. 1937 in Leipzig. 7Geb. 1864 in Alexoten (nahe Kaunas, Litauen), Abitur mit 15 Jahren, Studium 18801884 in Konigsberg und Berlin, Freundschaft mit D. HILBERT, mit 18 Jahren als Student erste groBe Arbeit iiber Arithmetik quadratischer Formen, die ihm 1883 den Grand Prix des Sciences Mathematiques der Pariser Akademie eintrug, 1885 Promotion in Konigsberg, 1887 Habilitation in Bonn, Professor in Bonn, Konigsberg, Ziirich und ab 1902 in Gottingen, Arbeiten iiber quadratische Formen (Prinzip von HASSE-MINKOWSKI), Geometrie der Zahlen, konvexe Mengen, algebraische Zahlentheorie, mathematischer Vollender der speziellen Relativitatstheorie (Minkowski-Raum), gest. 1909 in Gottingen. 8Geb. 1859, Autodidakt, ab 1876 Studium der Naturwissenschaften an der TH Kopenhagen, ab 1890 als Telefoningenieur Chef der Technikabteilung der Kopenhagener Filiale der Bell Telephone Comp., "nebenher" mathematische Arbeiten iiber Funktionentheorie (Satz von JENSEN iiber den Mittelwert von log [f(z)[), konvexe Funktionen und die Gammafunktion, gest. 1925 in Kopenhagen.
§ 1. Die Ungleichungen von
JENSEN, HOLDER
und MINKOWSKI
227
c) 1st die Matrix A E Mat (n, JE.) positiv semidefinit, so gilt: 1 (det A)l/n ::; -Spur A. n 1.3. Es sei I c JE. ein offenes Intervall. a) 1st cP : I ---+ JE. konvex, so ist cP in allen Punkten x E I rechtsseitig und linksseitig differenzierbar, d.h. es existieren
Drcp(x) := lim cp(y) - cp(x) , D1CP(x) := lim cp(y) - cp(x) . y.j.x y- x ytx Y- x (Hieraus folgt erneut die Stetigkeit von cp in I.) Die Funktionen Drcp, D1CP sind wachsend, DICP ::; Drcp und ffir x, y E I, x < y ist
Drcp(x) ::; cp(y) - cp(x) ::; D1CP(Y). y-x Daher ist limx.j.t Drcp(x) = limx.j.t D1CP(x) ffir aile t E I. Analog zeigt man: limxtt Drcp(x) = limxtt D1CP(x). Drcp und D1CP haben dieselbe (abzahlbare) Menge U von Unstetigkeitsstellen, und cp ist in allen Punkten von I \ U difJerenzierbar. b) Seien x, y E I, x < y. Die Funktionen Drcp, D1CP sind wachsend, also Riemann-integrierbar fiber [x, y], und es gilt:
cp(y) - cp(x) =
lY
Drcp(t) dt =
lY
DICP(t) dt.
c) Eine Funktion cp : I ---+ JE. ist genau dann konvex, wenn es eine wachsende Funktion 'IjJ : I ---+ IR, a E I und c E JE. gibt, so daB
cp(x) =
l
x
'IjJ(t) dt + c (x E I).
(Nach Aufgabe 11.2.4 ist cp genau in den Stetigkeitspunkten von 'IjJ differenzierbar.)
2::=1 a n (1 + Ixnl) < 00, so ist die konvexe
1.4. Sind an > 0 und Xn E JE. (n E N), so daB Funktion f : JE. ---+ JE., 00
f(x) :=
L anlx -
xnl
(x E JE.)
n=l
in jedem Punkt x ~ {xn : n E N} differenzierbar. 1m Punkte Xn ist die Differenz der rechtsseitigen und der linksseitigen Ableitung von f gleich 2a n . 1.5. Es seien I C JE. ein offenes Intervall und cp : I ---+ JE. konvex. Dann ist cp monoton oder es gibt ein c E I, so daB cp I {x E I: x::: c} wachsend und cp I {x E I: x ::; c} fallend ist. 1.6. Die Funktion cp : I ---+ JE. heiBt streng konvex, wenn ffir aile x, y E I, x i- y und .>.. E]O, 1[ gilt cp(.>..x + (1 - .>..)y) < .>..cp(x) + (1- .>..)cp(y). 1st cp streng konvex, so steht in der Jensenschen Ungleichung genau dann das Gleichheitszeichen, wenn f f.fi. konstant ist. 1. 7. Sind Jl(X) = 1, f, g E M+(X), f
.g
::: 1, so gilt:
Ix f Ix dJl .
g dJl
::: 1.
(Hinweis: (1.5).) 1.8. Sind Jl(X)
< 00, f : X ---+ lit. meBbar und Noo(f) < 00, so gilt:
228
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
Ix
1.9. Es seien 1 < p, q < 00, lip + 1/q = 1 und f, g : X -+ K meBbar mit Ifl P dJl < Iglq dJl < 00. In der H6lderschen Ungleichung (1.10) gilt genau dann das Gleichheitszeichen, wenn a,{3 E lR, (a,{3) i= (0,0) existieren, so daB alfl P = {3lgl q Jl-f.u. (Hinweis: In (1.11) steht genau dann das Gleichheitszeichen, wenn ~P = I'/q.) 00,
Ix
1.10 Verallgemeinerte Holdersche Ungleichung. Sind 0 ... + 11Pn = liT und II, ... , fn : X -+ K meBbar, so gilt:
< T,Pl> ... ,Pn ::;
00,
11Pl
+
(Hinweis: (1.6).) 1.11 HOldersche Ungleichung fiir 0 < P < 1. Es seien 0 < P < 1 und lip + 1/q = 1, also q < O. Ferner seien f, g : X -+ K meBbar und {g = O} \ {f = O} eine Jl-Nullmenge. Dann gilt:
Ix
Ifgl dJl
~
(Ix Ifl
P
dJl) l/p
(Ix
Igl q dJl) l/q ,
Ix
falls Iglq dJl < 00. (Hinweis: Wenden Sie die H6ldersche Ungleichung mit dem Exponenten p' := lip an auf u := Ifgl P , v := Igl-p.) 1.12. 1st
f : X -+ K meBbar, so ist I(f)
:=
{p > 0: Np(f) < oo}
leer, einelementig oder ein IntervaIl, und 'P : I(f) -+ JR, 'P(p) := Np(f) ist stetig. 1st Jl( {f i= O}) > 0, so ist 10g'P auf I(f) eine konvexe Funktion von lip, d.h.: Sind P ::; T ::; q,p,q E I(f), liT = Alp + (1 - A)lq mit 0 ::; A ::; 1, so ist
Ferner ist auch die Funktion P o-t log NJ:(f) auf I(f) konvex. (Hinweis: Aufgabe 1.10.) 1.13. Sind D c ([ offen und u : D -+ JR stetig, so heiBt u subharmonisch, wenn fur alle a E D und T > 0 mit Kr(a) C D gilt:
u(a) ::; -1
27r
1 2
0
"
u(a + Te it ) dt.
Es seien I C JR ein offenes IntervaIl, u : D -+ I subharmonisch und 'P : I -+ JR wachsend und konvex. Dann ist 'PoU subharmonisch in D. 1st insbesondere f : D -+ ([ holomorph und P 2: 1, so ist Ifl P subharmonisch. (Die letzte Aussage gilt sogar fur P > 0.) 1.14. Sind A, BE GL (m, JR) positiv definit und A E [0,1], so gilt: det(AA
+ (1 -
A) B) 2: (det A)A(det B)l-A .
(Hinweis: Aufgabe V.4.2, b).) 1.15. Sind die Funktionen 'Pn : [a, b] -+ JR konvex, und gibt es ein c E]a, b[ und ein a E lR, so
daB limn->oo 'Pn(a) = lillln->oo 'Pn(b) = limn->oo 'Pn(c) = a, so ist limn->oo 'Pn(x) = a fur aIle x E [a,b].
§ 2. Die Raume V und der Satz von
Die Riiume LP und der Satz von
§ 2.
229
RIESZ-FISCHER
RIESZ-
FISCHER «Boit 'Pl(X),'P2(X), ... un systeme norme de fonctions, definies sur l'intervalle ab, orthogonales deux Ii deux, bornees ou non, sommables et de carre sommable ... Attribuons Ii chaque fonction 'Pi(X) du systeme un nombre ai. Alors la convergence de 2:i a~ est la condition necessaire et suffisante pour qu'il ait une fonction f(x) telle qu'on ait
lb
f(X)'Pi(X) dx = ai
pour chaque fonction 'Pi(X) et chaque ai.»9 (F. RIESZ [1], S. 379) «Soit !1 l'ensemble des fonctions reelles f d'une variable reelle x telles que f et soient sommables ... Theoreme. - Bi une suite de fonctions appartenant Ii !1 converge en moyenne, il existe dans !1 une fonction f vers laquelle elle converge en moyenne.»10 (E. FISCHER: Bur la convergence en moyenne, C.R. Acad. Sci., Paris 144,1022-1024 (1907))
p
1. Die Riiume £P und V. Zu Ehren von H. LEBESGUE benannte F. RIESZ ([1], S. 403 und S. 451) die folgenden Funktionenraume mit ,,£P".
2.1 Definition. Fur 0 < P ~ 00 sei £P =: £P(p,) =: £P(X,!2l, p,) die Menge aller meBbaren Funktionen f : X --+ lK mit Np(j) < 00, und es sei
Fur reelles P > 0 ist also £P genau die Menge aller mej1baren Funktionen --+ lK, so daB Ifl P p,-integrierbar ist, und es ist
f :X
Ilfllp =
(Ix Ifl
Pdp, ) lip
(j
E
£P) .
9Es sei 'Pl(X),'P2(X), ... ein normiertes Orthogonalsystem von beschrankten oder unbeschrankten Funktionen, die im Intervall ab definiert, integrierbar und quadratisch integrierbar sind ... Wir ordnen jeder Funktion 'Pi (X) des Systems eine Zahl ai zu. Dann ist die Konvergenz von 2:i a~ die notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, daB es eine Funktion f(x) gibt, so daB gilt
lb
f(X)'Pi(X) dx = ai
fiir jede Funktion 'Pi(X) und jede Zahl ai. lOEs sei !1 die Menge der reellwertigen Funktionen f einer reellen Variablen x, so daB f und P integrierbar sind ... Satz. 1st eine Folge von Funktionen aus !1 eine Cauchy-Folge fii,r die K onvergenz im quadratischen Mittel, so existiert in !1 eine Funktion f, gegen welche sie im quadratischen Mittel konvergiert. (Anmerkung: FISCHER bezeichnet Cauchy-Folgen fiir die Konvergenz im quadratischen Mittel als convergent en moyenne.)
230
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
1m Falle p = daB
00
ist .coo die Menge aller meflbaren Funktionen f : X ---+ lK, so
Ilflloo := ess sup If(x)1 < 00. ",EX
.c
Fiir 0 < p < 00 gilt (1.16). Da nur Funktionen mit Werten in lK enthiiJt, ist also p fUr 0 < p :::; 00 ein lK- Vektorraum. Soll der Skalarenk6rper besonders hervorgehoben werden, so schreiben wir .c, bzw . .c~. Fiir alle f E .cp gilt: p
.c
Ilfllp = 2.2 Satz. Fur 1 :::; p :::; fur 0 < p < 1 ist
00
ist
.c
p
0 ~
= 0 /1-f.ii.
ein halbnormierter Vektorraum bez.
dp(f, g) := Ilf eine Halbmetrik auf
f
gll~
II· lip,
und
(f, g E .cP )
.cp •
Beweis. Alle nachzupriifenden Bedingungen sind klar mit Ausnahme der Dreiecksungleichung. Diese folgt fUr 1 :::; p :::; 00 aus der Minkowskischen Ungleichung (1.14) und fUr 0 < p < 1 aus (1.18). 0 Insbesondere ist .cp auch fiir 0 < p < 1 ein topologischer Vektorraum, d.h. bez. der durch dp definierten Topologie sind die Addition .cp x .cp ---+ .cp und die skalare Multiplikation lK x .cp ---+ .cp stetig.
.c
Der topologische Raum p erfiillt nicht das Hausdorffsche Trennungsaxiom, wenn es eine nicht-leere /1-Nullmenge gibt. Dieser Ubelstand liiBt sich wie folgt beheben: Die Menge N aller meBbaren Funktionen f : X ---+ lK mit f = 0 /1-f.ii. ist ein Untervektorraum von .cp , also ist der Quotientenraum
£1':= £1'(/1):= .cPjN (0 < p:::; (0) sinnvoll. Elemente von lJ' sind die Nebenklassen F = f + N (f E .cP)j zwei Funktionen f, g E p liegen genau dann in derselben Nebenklasse, wenn sie f.ii. gleich sind. Addition und skalare Multiplikation von Elementen von V' werden in bekannter Weise mit Hilfe von Vertretern der Nebenklassen erkliirtj lJ' ist dann ein lK-Vektorraum. 1st F E £1', so hat Ilfllp fUr alle Vertreter f E F denselben Wert, so daB die Definition
.c
1IFIlp := Ilfllp (f
E
F)
sinnvoll ist, und nun gilt fUr F E £1':
1IFIlp =
0 ~ F = 0,
wobei wir fUr das Nullelement N von lJ' einfach 0 schreiben. Daher erfUllt IJ' das Hausdorffsche Trennungsaxiom. Obgleich die Riiume IJ' keine Funktionen als Elemente haben sondern Aquivalenzklassen f.ii. gleicher Funktionen, bedient man sich oft einer etwas laxen
231
§ 2. Die Raume V und der Satz von RIEsz-FrscHER
Sprechweise und behandelt die Elemente von V wie Funktionen, wobei f.il. gleiche Funktionen zu identifizieren sind. Diese Vorgehensweise lauft auf eine Auswahl eines Vertreters des betr. Elements von LP hinaus und wird zu keinen MiBverstandnissen fUhren, da alle strukturellen Daten von V (Vektorraumstruktur, I . lip, Ordnungsstruktur von L~ etc.) mit Hilfe von Reprasentanten definiert werden. - Aus Satz 2.2 folgt nun unmittelbar:
2.3 Satz. Filr 1
o < p < 1 ist
s: p s: 00 ist V
bez.
dp(f, g) :=
II· lip
Ilf -
gll~
ein narmierter Vektarraum, und filr (f, 9 E V)
eine Metrik auf V.
2. Der Satz von RIEsz-FrscHER. Wesentliches Ziel dieses Abschnitts wird es sein zu zeigen, daB die Raume LP und V vallstiindig sind.
s:
2.4 Definition. Es seien 0 < p 00 und fn E £P (n EN). Die Folge (fnk::l heiBt im p-ten Mittel kanvergent gegen f E £P, falls limn-+oo Ilfn - flip = 0, d.h. falls (fnk?l in (der Halbmetrik von) LP gegen f E LP konvergiert. Die Folge (fnk?l heiBt eine Cauchy-Falge in LP oder eine Cauchy-Falge filr die Kanvergenz im p-ten Mittel, falls zu jedem s > 0 ein no(s) E I'll existiert, so daB Ilfm - fnllp < s fUr alle m,n 2: no(s). - Entsprechende Begriffe pragt man fUr V statt LP. 1st p = 2, so spricht man auch von Kanvergenz im quadratischen Mittel bzw. von Cauchy-Falgen filr die Kanvergenz im quadratischen Mittel. Filr p = 1 spricht man von Kanvergenz im Mittel bzw. von Cauchy-Falgen filr die Kanvergenz im Mittel. Konvergiert (fn)n?:l in LP (bzw. V) gegen f, so ist f f.il. eindeutig bestimmt (bzw. eindeutig bestimmt). Offenbar ist jede im p-ten Mittel konvergente Folge eine Cauchy-Folge in LP (bzw. V). Die Frage nach der Umkehrung dieser 1mplikation ist gleichbedeutend mit der Frage nach der Vallstiindigkeit von LP (bzw. V). Eine positive Antwort gibt der Satz von RIEsz-FrscHER.
2.5 Satz von Riesz-Fischer (1907).11 Die Riiume LP (0 < p
s:
(0) sind vallstiindig, d.h.: Zu jeder Cauchy-Falge (fnk?l in LP gibt es ein f E LP, sa daft Ilfn - flip -+ 0 (n -+ (0).
s:
Beweis. Es sei zunachst 1 p < 00. Es gibt eine Teilfolge (fnkh>l von (fn)n>l, so daB Ilfnk - fmllp 2- k fUr alle m 2: nk, k 2: 1. Mit gk := fnk - f nk+l gilt da~n fUr alle n 2: 1:
s:
n
n
n
k=l
k=l
k=l
11 F. RIEsz: Sur les systemes orthogonaux de /onctions, C.R. Acad. ScL, Paris 144, 615-619 (1907); E. FISCHER: Sur la convergence en moyenne, ibid. 144, 1022-1024 (1907).
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
232
Der Satz von der monotonen Konvergenz impliziert nun Np (2:~1 Igkl) ::; 1, also konvergiert die Reihe 2:~=1 gk /l-f.ii. absolut. Daher konvergiert die Folge (fn! - Inkh>l /l-f.ii. gegen eine meBbare Funktion X -t ][{, d.h. es gibt eine meBbare Funktion I : X -t ][{, so daB Ink -t I (k -t 00) /l-f.ii. Wir zeigen, daB I E £P und Illn - Illp -t 0 (n -t 00). Dazu sei c > o. Dann gibt es ein no(c), so daB 11l!- Imllp < c fUr alle l, m ~ no(c). Eine Anwendung des Lemmas von FATOU auf die Folge (lInk - ImI P )k>l ergibt: Fiir alle m ~ no(c) ist
und es folgt die Behauptung fUr 1 ::; p < 00. 1m Fall 0 < p < 1 geniigt II . II~ der Dreiecksungleichung, und die obigen Schliisse liefem bei Ersetzung von II . lip durch II . II~ die Behauptung. Es seien nun p = 00 und (fn)n?:l eine Cauchy-Folge in £00. Dann ist N:=
00
00
n=l
m,n=l
U {Ifni > IIlnlloo} U U
{11m - Inl
> 111m - Inlloo}
eine Nullmenge, und fUr alle x E NC gilt
Daher konvergiert (fn)n>l auf NC gleichmiiftig gegen 1:= liIDn-+oo XNC· In E Insbesondere ist I E e;O und liIDn-+oo Illn - 11100 = o.
£00. D
Ein vollstandiger normierter Vektorraum heiBt ein Banach-Raum. Aus Satz 2.5 resultiert unmittelbar folgende Version des Satzes von RIEsz-FISCHER: 2.6 Korollar. Fur 1 ::; P ::; 00 ist LP ein Banach-Raum, und fur 0 < p < 1 ist LP ein vollstiindiger metrischer Raum. Dem obigen Beweis des Satzes von RIEsz-FISCHER entnehmen wir mit HERMANN WEYL (1885-1955) folgendes Resultat. 2.7 Korollar (H. WEYL 1909).12 Es sei 0 < p::; 00. a) Zu jeder Cauchy-Folge (fnk?l in £P gibt es eine Teilfolge (fnkk?l und ein IE £P, so daft Ink -t I /l-f·u. b) Konvergiert die Folge (fnk::l in £P gegen IE £P, so existiert eine Teilfolge (fnkh>l, die /l-f·u. gegen I konvergiert. Beweis. a) ist im Beweis des Satzes von RIEsz-FISCHER enthalten. b) (fn)n>l ist eine Cauchy-Folge in £P. Nach dem Beweis des Satzes von RIESZFISCHER gibt es ein 9 E £P mit Illn - gllp ---+ 0 und eine Teilfolge (fnkh>b die /l-f.ii. gegen 9 konvergiert. Wegen Illn - Illp ---+ 0 ist aber f = 9 /l-f.ii. D 12H. WEYL: Uber die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten, Math. Ann. 67, 225-245 (1909) (= Gesammelte Abhandlungen I, S. 154-174).
§ 2. Die Raume IJ' und der Satz von RIEsz-FrscHER
233
2.8 Beispiel. Fur p = 00 ist Korollar 2.7 trivial, denn Konvergenz in ex> ist aquivalent mit gleichmaBiger Konvergenz auf dem Komplement einer geeigneten Nullmenge. 1st aber 0 < p < 00, so braucht die Folge (fn)n?l in der Situation des Korollars 2.7 nicht punktweise f.u. zu konvergieren, wie das folgende Beispiel lehrt: Es seien X = [0,1]' Qt := 1131:, J.l = !'J}. Wir zahlen die IntervalIe [0,1], [O,!], [!, 1], [O,~], G,~], [~, 1], [O,~], ... ab zu einer Folge von Intervallen In (n :::: 1). Dann gibt es zu jedem X E X unendlich viele n E N mit x E In und unendlich viele n EN mit x rt In- Die Folge der Funktionen fn := X1n (n E N) divergiert daher in jedem Punkt x EX. Andererseits gilt fUr 0 < p < 00
d.h. (fn)n?l konvergiert in jedem £P(J.l) (0 < p < 00) gegen Null. - 1m Einklang mit Korollar 2.7 macht man sich leicht klar, daB man aufvielerlei Weisen Teilfolgen (fnkh>l von (fn)n>l auswahlen kann mit fnk -+ 0 J.l-f.u. -
2.9 Beispiel. Jede Cauchy-Folge (fnk>l in £P (0 < p :s: 00) ist beschriinkt in dem Sinne, daB die Folge (1Ifnllpk>l in lR beschrankt ist (s. Aufgabe 2.1). Mit Blick auf Korollar 2.7 liegt es nahe zu fragen, ob jede beschrankte Folge von Funktionen aus £P eine fast liberall konvergente Teilfolge hat. Die Antwort ist negativ: Es seien (X, Qt, J.l) wie in Beispiel 2.8 und fn(x) := exp(27rinx). Dann ist Ilfnllp = 1 fUr aIle n E N und 0 < p :s: 00. Angenommen, es gebe eine streng monoton wachsende Folge (nkh>l natlirlicher Zahlen und eine (ohne Beschrankung der Allgemeinheit gleich Borel-meBbare) Funktion f : X -+ lK mit fnk -+ f f.u. Offenbar gilt
und der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert (k-+oo). Daher ist f
= 0 f.u. im Widerspruch zu
Ifnk I = 1.
Fur p -=I p' bestehen im allgemeinen keine Inklusionsbeziehungen zwischen £P und £P', und die entsprechenden Konvergenzbegriffe sind nicht generell vergleichbar. Fur J.l(X) < 00 besteht aber eine Vergleichsmoglichkeit: 2.10 Satz. 1st 0 < p < p'
:s: 00
und J.l(X)
<
Ilfllp:S: J.l(X)l!P-1/ p'llfllp'
00,
so ist £P' C £P und
fur aile f E £P',
d.h. Konvergenz in £P' impliziert Konvergenz in £P (mit gleichem Limes). Beweis. Der Fall p' = 00 ist klar. Fur 0 < p < p' < 00 set zen wir 1" := p'lp, s := (1 - 1/1")-1 und wenden die H61dersche Ungleichung mit den Exponenten 1", s
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
234
an auf die Funktionen
Es folgt:
IfI P , 1, wobei f
E tP':
f E £P und
Ilfllp::; (JL(X))l/p-l/p'llfll p'· D
3. Die Banach-Algebra Ll(lRn,~n,,Bn). Der Banach-Raum Ll(lRn,~n,,Bn) besitzt auf natiirliche Weise eine interne Multiplikation, die ihn zu einer BanachAlgebra macht. 2.11 Definition. Ein Banach-Raum (V, 11·11) iiber lK heiBt eine Banach-Algebra, wenn eine Multiplikation . : V x V -+ V erkliirt ist, die V zu einer lK-Algebra macht, so daB Ilx . yll ::; Ilxllllyll (x, y E V) .
Eine Banach-Algebra mit kommutativer Multiplikation heiBt kommutativ. 2.12 Beispiel. a) Fiir jedes Kompaktum X c IRn ist die Menge C(X) der stetigen Funktionen f : X -+ lK mit der Supremumsnorm
Ilfll := sup{lf(x)1 : x E X} und den iiblichen punktweisen Verkniipfungen eine kommutative Banach-Algebra mit Einselement. b) Die Algebra Mat (n, IR) ist bez. der in Kap. V, § 4, 1. erkliirten Norm eine Banach-Algebra mit Einselement. Nach Kap. V, § 3,3. liefert die Faltung fUr alle f, g E Ll(,Bm) ein wohldefiniertes Element f * g E Ll(,Bm), und die bekannten Rechenregeln besagen: Ll(,Bm) ist bez. der Faltung als Multiplikation eine kommutative lK-Algebra ohne Einselement (Korollar V.3.10). Da Ll(,Bm) nach RIESZ-FISCHER ein Banach-Raum ist, stell en wir fest: 2.13 Satz. Ll (IRm , ~m, ,Bm) ist bez. der Faltung als Multiplikation eine kom-
mutative Banach-Algebra ohne Einselement. Set zen wir wieder
JLm
:=
(27r)-m/2,Bm,
so ist fiir alle fELl (JLm) in natiirlicher Weise die Fourier-Transformierte j und die inverse Fourier-Transformierte j erkliirt. Die Gleichung (j * g)" = jg impliziert: Die Fourier-Transformation ist ein stetiger Homomorphismus der Banach-Algebra Ll(JLm) in die Banach-Algebra der stetigen Funktionen IRm -+ C, die im Unendlichen verschwinden (versehen mit der Supremumsnorm). Der Fouriersche Umkehrsatz nimmt fUr Ll(JLm) folgende Gestalt an:
§ 2. Die Riiume IJ' und der Satz von
235
RIESZ-FISCHER
2.14 Fourierscher Umkehrsatz. Sind f E Ll(/Lm) und
j
E
Ll(/Lm),13 so gilt:
Insbesondere ist die Fourier- Transformation auf Ll (/Lm) injektiv. - Der Satz von PLANCHEREL liiBt sich besonders durchsichtig in L2(/Lm) aussprechen (s. Satz 2.33).
4. Der Hilbert-Raum L 2(/L). Flir f,g E £2(/L) ist fg E £l(/L), denn fg ist meBbar und Ifgl :::; Hlfl2 + IgI2). Offenbar ist (-,.) : £2 x £2 ---+][,
eine positiv semidefinite hermitesche Form auf £2 (d.h. es ist (f, f) ?: 0, (oJ + /3g, h) = a (f, h) + /3 (g, h) und (f, g) = (g, f) fUr alle f, g, h E £2, a, /3 E ][), und es gilt
Die Form (.,.) hat alle Eigenschaften eines Skalarprodukts mit Ausnahme der Definitheit, denn es ist (f,j) = 0 genau dann, wenn f = 0 f.li. Die Definitheit wird nun durch Ubergang zu L 2(/L) hergestellt: Sind F,G E L2, so hat (f,g) fUr alle Vertreter f, 9 von F bzw. G denselben Wert, und (F, G) := (f, g)
definiert ein Ska1arprodukt auf L2, welches vermoge
die Norm von L2 induziert. - Ein Banach-Raum (H, II . II), auf dem ein Skalarprodukt (.,.) existiert, das vermoge IIxll = (X,X)1/2 (x E H) die Norm von H induziert, heiBt ein Hi1bert-Raum. Zusammenfassend stellen wir fest:
2.15 Satz. L 2 (/L) ist ein Hi1bert-Raum mit dem Ska1arprodukt
Wiihlt man insbesondere /L gleich dem ZiihlmaB auf 1= N oder Z, so folgt: Der Hi1bertsche Fo1genraum
12(1)
:=
{x
E ][1 :
~ IXjl2 < oo} JEI
13Genauer miifite man schreiben: j
+N E Ll(Pm).
236
VI. Konvergenzbegriffe der MaJ3- und Integrationstheorie
ist ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt
(X,y) = LXjYj
(x,y E [2(1))14.
jEI Wir erinnern kurz an einige grundlegende Tatsachen iiber Hilbert-Raume: Es sei H ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt (', .). Eine Familie (ej)jEI (I C Z)14 von Elementen von H heiBt ein Orthonormalsystem, falls (ej, ek) = Ojk fiir alle j, k E I. 2.16 Satz von der best en Approximation. Ist (ejhSjSn ein Orthonormalsystem in H, so gibt es zu jedem I E H genau ein 9 E Span (el,'" en) mit III -
gil
= inf{11I - hll : h E Span (el,"" en)},
und zwar g= L(I,ej)ej. j=l Fur dieses 9 gilt: n
(2.1)
III - gll2 = 111112 -
L I (I, ej) 12 . j=l
Beweis. Fiir Ai, ... ,An E Kist n
III -
L
n
n
+L
111112 - 2Re LXj (I,ej) j=l
Ajejll2
j=l
n
IAjl2
j=l n
111112 - L I (I, ej) 12 j=l
+L
I (I, ej) - Aj12.
j=l D
2.17 Besselsche Ungleichung. Sind (ej)jEI ein Orthonormalsystem in H und IE H, so konvergiert LjEI I (I, ej) 12 , und es gilt
L
(2.2)
I (I, ej) 12 :::; 11/112.
jEI Beweis: klar nach (2.1).
D
2.18 Korollar. Sind (ej)jEI ein Orthonormalsystem in H und Aj E K (j E I), so gilt: Es gibt ein I E H mit (I,ej) = Aj (j E I) genau dann, wenn LjEI IAjl2 < 00.
Beweis. Die Notwendigkeit der Bedingung folgt aus (2.2). 1st umgekehrt LjEI IAjl2 < E eine endliche Teilmenge von I, so ist II
L jEE
Ajejll2 =
L
00
und
IAjI2,
jEE
d.h. das Cauchy-Kriterium fiir die Konvergenz der Reihe LjEI Ajej ist erfiillt. Wegen der Vollstandigkeit von H definiert die Reihe also ein Element I E H, und die Stetigkeit des D Skalarprodukts impliziert (I,ej) = Aj (j E I). 14Entsprechendes gilt fiir beliebige Indexmengen I.
§ 2. Die Raume V und der Satz von
237
RIESZ-FISCHER
Ein Orthonormalsystem (ej)jEI in H heiBt vollstiindig, falls Span(ej : j E 1) dieht liegt in H. 2.19 Satz. 1st (ej)jEI ein Orthonormalsystem in H, so sind lolge:"'de Aussagen a)-f) iiquivalent: a) (ej)jEI ist vollstiindig. b) Fur jedes I E H gilt der Entwicklungssatz 1=
L
(f, ej) ej.
jEI
e) Fur alle I, 9 E H gilt die Parsevalsche Gleichung (f,g) =
L (f,ej) (ej,g) . jEI
d) Fur alle
I
E H gilt die Vollstiindigkeitsrelation
11/112 = L I (f, ej) 12. jEf
e) (ej)jEI ist ein maximales Orthonormalsystem. f) 1st I E H und (f, ej) = 0 fUr alle j E I, so gilt I = O. Beweis. a) => b): Zu jedem e > 0 gibt es eine endliehe Menge Eel und Elemente Aj E E E), so daB III - LjEE Ajejll < e. Nach dem Satz von der besten Approximation gilt daher fUr jede endliehe Menge J mit E C J c I:
][{ (j
jEE
jEJ
b) => e): Fiir jede endliehe Menge Eel ist naeh der Cauchy-Sehwarzschen Ungleiehung fiir das Skalarprodukt
I (f,g)
-
L
(f,ej) (eilg) I =
jEE
1/1 \
L jEE
(f,ej)ej,g \ /
I::; III -
L
(f,ej)ejllllgll·
jEE
e) => d): klar. d) => a): Fiir jede endliehe Menge Eel ist naeh (2.1)
jEE
jEE
b) => f): klar. f) => e): 1st (ej)jEI nieht maximal, so existiert ein I E H,II/II = 1 mit (f,ej) = 0 fiir aile j E lim Widersprueh zu f). e) => b): Fiir jedes I E H ist g:= LjEI(f,ej)ej E H, und es gilt (f,ej) = (g,ej) fiir aile j E I (Besselsehe Ungleichung 2.17 und Korollar 2.18). Gilt b) nicht, so gibt es ein I E H mit Ii-g. Das widerspricht e), da sich (ej)jEf urn III - gll-l(1 - g) erweitern liiBt. 0
1st nun (ej)jEI (1 C Z)14 ein Orthonormalsystem in L 2 (1l), so liefert Korollar 2.18 die Rieszsche Version 9 des Satzes von RIESZ-FISCHER:
2.20 Satz (F. RIESZ 1907). 1st (ej)jEI ein Orthonormalsystem in L 2 (1l) und aj E lK (j E 1), so ist LjEI laj 12 < 00 die notwendige und hinreichende Bedingung dafur, daft es ein f E L 2 (1l) gibt mit (I, ej) = aj fur alle j E I.
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
238
Sind (H1' (-, ·/1) und (H2' (-, ·/2) zwei Hilbert-Raume, so heiBt eine bijektive lineare Abbildung cp : H1 --+ H2 mit (cp(u),CP(V)/2 = (U,V/ 1 (u,v E H 1) ein (isometrischer) lsomorphismus. Aus Satz 2.20 in Verbindung mit Satz 2.19 ergibt sich der folgende lsomorphiesatz. 2.21 Isomorphiesatz. 1st (ej)jEI ein vollstiindiges Orthonormalsystem in L 2(/1), so ist die Abbildung cp : l2(1) --+ L 2(/1),
cp((aj)jEI):= Lajej jEI
((aj)jEf
E
l2(1))
ein lsomorphismus. 2.22 Vollstandigkeit des trigonometrischen Systems. Wir betrachten den MaBraum ([0, 1], ~fO,lJ' ,8~,lJ) und die zugehorigen Raume V([O, 1]) (1:::; P :::; oo),lK:= C. Es sei en(t):= exp(27rint) (n E Z,t E [0,1]). Dann ist en E Loo([O, 1]), und (en)nEZ ist ein Orthonormalsystem in L2([0, 1]). Wir behaupten: Das Orthonormalsystem (en)nEZ in L2([0, 1]) ist vollstiindig. Zum Beweis zeigen wir eine scharfere Aussage: Fiir jedes f E L1([0, 1]) und n E Z ist der n-te Fourier-K oejJizient
j(n) :=
11 f(t)e~27rint
dt
und damit die Fourier-Transformation A : L1([0,1]) --+
°
Beweis. Wir zeigen: 1st f E .cH[O, 1]) und j = 0, so ist f = f.ii. Das geschieht in zwei Schritten. (1) Es sei zunachst f : [0,1] --+
(2.3)
Wegen en = e~n (n E Z) sind mit T auch T und daher auch ReT, 1m T trigonometrische Polynome. Folglich liefert (2.3) fUr alle T:
11 (Ref(x))T(x) dx = 0,
11
(Imf(x))T(x) dx = 0.
Daher konnen wir uns beim Beweis der Behauptung auf reellwertige f beschranken. Angenommen, es sei f -=f- 0. Dann gibt es ein Xo E]O, 1[ mit f(xo) -=f- 0; sei ohne Beschrankung der Allgemeinheit gleich f(xo) > 0. Dann gibt es ein c > und ein 0 > 0, so daB f(x) 2: c fUr < Xo - 0 :::; x :::; Xo + 0 < 1. Wir set zen nun fUr n E N: Tn{x) := (1 + cos 27r(x - xo) - cos 27ro)n . Dann ist Tn ein trigonometrisches Polynom mit folgenden Eigenschaften: (i) Tn(x) 2: fUr Xo - 0:::; x :::; Xo + 0;
°
°
°
§ 2. Die Raume V und der Satz von (ii) Tn(x) ;:::: (1
+ cos 7r8 -
cos 27r8)n --+
00
n--+oo
(iii) ITn(x)1 ::::: 1 fUr x E [0, Xo - 8] U [xo Daher gilt:
fUr Ix - Xo I ::::: 8/2;
+ 8, 1].
I fo1 f(x)Tn(x) dxl ;::::
1
"'0+ 0 f(x)Tn(x) dx "'0-0
-I 1"'0-0 f(x)Tn(x) dx +
11
f(x)Tn(x) dxl
xo+o
0
;:::: 108(1 + cos 7r8 - cos 27r8t -
239
RIEsz-FISCHER
10[1 If(x) Idx
--+
00
n--+oo
im Widerspruch zu (2.3). Daher ist f = 0. 15 (2) Es sei nun f E £~([O, 1]) mit j = 0 und F(x) := fo'" f(t) dt (x E [0,1]). Dann ist F : [0,1] -+ ][ stetig mit F(l) = j(O) = 0 = F(O). Mit partieIler Integration (Aufgabe V.2.8 mit g(x) = exp(-27rinx)) folgt fUr aIle n -=I- 0:
11 1
F(n)
=-
=
1
o
0
F(x)e-21finx dx
f(x)
(
1)
--2. 7rln
1
2.
(e- ",n", - 1) dx = - . (j(n) - f(O)) = O. 27rzn A
A
Daher ist h := F - F(O) eine stetige Funktion mit h = 0, und nach dem erst en Schritt ist h = 0, d.h. F = F(O). Wegen F(O) = 0 ist also F = 0, folglich f = 0 f.li. (Aufgabe IV.5.8). 0 2.23 Korollar. Die Fourier-Transformation /\ : L2([0, 1]) -+ l2(Z) ist ein Isomorphismus.
Beweis: klar nach den Satzen 2.21, 2.22.
0
2.24 Korollar. Fur jedes f E L2([0, 1]) konvergiert die Reihe LnEZ j(n)e n im quadratischen Mittel gegen f, und es gelten die Vollstandigkeitsrelation
Ilfll~ = L Ij(nW nEZ
und die Parsevalsche Gleichung (j,g)
= Lj(n)g(n) (j,gEL 2([0,1])). nEZ
Beweis: klar nach Satz 2.19 und 2.22.
o
1st nun f E £2([0,1]), so existiert nach KoroIlar 2.7 eine Teilfolge der Folge der Partialsummen Llkl:Sn j(k)ek (n E N) der Fourier-Reihe von f, die punktweise f.li. gegen f konvergiert. Nach einem tiefliegenden Satz von L. CARLESON (1928- )16 konvergiert sogar die Folge der Teilsummen selbst punktweise f.li. ge15Dieser bemerkenswert element are Beweis stammt von H. LEBESGUE [8], S. 37-38. 16L. CARLESON: On convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta Math. 116,135-157 (1966).
240
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
gen f, und nach R.A. HUNT17 gilt das Entsprechende fUr aIle Raume V([O, 1]) mit p > 1. Dagegen hat A.N. KOLMOGOROFF schon 1926 eine Funktion aus £1([0,1]) konstruiert, deren Fourier-Reihe liberall divergiert. 18
5. Der Banach-Verband L~. Die Raume L~ (0 < p ::; 00) zum MaBraum (X, 2(, It) tragen eine natlirliche Ordnungsstruktur: Es seien F, G E L~ und f, g Vertreter von F bzw. G. Dann ist die Definition F ::; G
{=}
f::; g It-f.li.
sinnvoll, da unabhangig von der Auswahl der Vertreter f, g, und ,,::;" ist eine Ordnung auf L~ (d.h. reflexiv, antisymmetrisch und transitiv). - 1st allgemein V ein lR-Vektorraum und ,,::;" eine Ordnung auf V, so heiBt (V,::;) ein geordneter Vektorraum, falls gilt: (i) Sind x, y E V und x ::; y, so gilt x + z ::; y + z fUr alle z E V. (ii) Flir alle x E V mit x ::::: 0 und alle A E lR mit A > 0 gilt AX ::::: o. Offenbar ist (L~,::;) ein geordneter Vektorraum. Ein geordneter Vektorraum (V,::;) heiBt ein Rieszscher Raum, wenn zu je zwei Elementen x, y E Vein (notwendig eindeutig bestimmtes) Supremum sup(x, y) =: x V y E V existiert. Das Element x V y ist charakterisiert durch folgende Bedingungen: (i) x ::; x V y, Y ::; x V y. (ii) Flir alle z E V mit x ::; z und y ::; z gilt x V Y ::; z. In jedem Rieszschen Raum sind x+ := x V 0, x- := (-x) V 0,
Ixl := x V (-x)
erklart, und es gelten z.B. die Rechenregeln
und viele weitere. In jedem Rieszschen Raum existiert fUr alle x, y E Vein eindeutig bestimmtes Infimum inf(x,y) =: x 1\ y E V, und es gilt z.B. x 1\ Y = -((-x) V (-y)) = x - (x - y)+ . Offenbar ist £~ mit der punktweise definierten Ordnung ein Rieszscher Raum. Auch L~ ist ein Rieszscher Raum: Sind F, G E L~ und f, g Vertreter von Fund G, so ist
FVG=sup(j,g)+N, FI\G=inf(j,g)+N,
IFI =
Ifl+N.
17R.A. HUNT: On the convergence of Fourier series; in: Orthogonal expansions and their continuous analogues, Proc. Conf. Edwardsville, Ill., S. 235-255, Southern Illinois Univ. Press 1968. 18 A.N. KOLMOGOROFF: Une serie de Fourier-Lebesgue divergente partout, C.R. Acad. Sci., Paris 183, 1327-1328 (1926).
§ 2. Die Raume V und der Satz von
RIESZ-FISCHER
241
1st der Banach-Raum (V, II . II) bez. der Ordnung ,,::;" ein Rieszscher Raum und gilt fUr aIle x, y E V mit Ixl ::; Iyl notwendig Ilxll ::; Ilyll, so heiBt (V, 11·11,::;) ein Banach- Verband. Zusammenfassend konnen wir folgenden Satz aussprechen:
2.25 Satz. Fur 1 ::; p ::;
00
ist L~ ein Banach- Verband.
1st (V,::;) ein geordneter Vektorraum und MeV, so heiBt M nach oben (bzw. unten) beschriinkt, wenn ein a E V existiert, so daB v ::; a (bzw. v ;::: a) fUr aIle v E M, und (V,::;) heiBt ordnungsvollstiindig, wenn jede nicht-Ieere nach oben beschdinkte Teilmenge von Vein Supremum (d.h. eine kleinste obere Schranke in V) besitzt. In einem ordnungsvoIlsHindigen geordneten Vektorraum hat jede nach unten beschrankte nicht-Ieere Menge MeV ein Infimum.
2.26 Beispiel. Fur den MaBraum ([0, 1], !Bfo,ll'tJ~,l]) sind die Raume.c~ (0 < p ::; 00) nicht ordnungsvollstiindig bez. ihrer naturlichen punktweise definierten Ordnung. Zum Beweis seien M C [0,1], M 1'- !Bfo,l] und
:F := {XE : E eM, E endlich} . Dann ist :F c .c~ durch 1 E .c~ nach oben beschrankt. Angenommen, es gibt ein Element g := sup:F E .c~: Dann ist g ;::: XE fUr jede endliche Teilmenge E C M, also g ;::: XM. Fur jedes x E MC ist 1- Xix} eine obere Schranke von :F in .c~, also ist g ::; 1- Xix} fUr aIle x E MC. Es folgt: g ::; XM, also: g = XM. Es 0 ist aber XM 1'- .c~, denn Mist nicht meBbar: Widerspruch!
2.27 Satz. a) Fur 0 < p < 00 ist L~ ordnungsvollstiindig. Insbesondere ist L~ fUr 1 ::; p < 00 ein ordnungsvollstiindiger Banach- Verband. b) Ist p, a-endlich, so ist Lr; ein ordnungsvollstiindiger Banach- Verband. Beweis. a) Es seien M C L~, M =1= 0 und G E L~ eine obere Schranke von E .c~ ein Vertreter von G, so hat jedes F E Meinen Vertreter j mit j ::; g. Bildet man punktweise das Supremum s dieser j, so ist s ::; g. 1st nun M abziihlbar, so ist s meflbar, s E .c~ und s + N = sup M. Fur uberabzahlbares M braucht das obige s nicht meBbar zu sein, und das Argument ist wie folgt zu modifizieren: Es kann ohne Beschrankung der AIlgemeinheit angenommen werden, daB fUr aIle F E M gilt: F ;::: o. Fur jede nichtleere endliche Menge e c M existiert das Supremum supe E L~. Die Menge {II supellp : e c M endlich, e =1= 0} c lR ist durch IIGlip nach oben beschrankt, hat also ein Supremum a E R Zu jedem n E N wahlen wir eine nicht-Ieere endliche Menge en c M, en c en+! (n EN), so daB II sup en lip;::: a -lin. Dann ist A = U:'=l en eine abziihlbare nach oben beschrankte Teilmenge von L~, hat also nach dem schon Bewiesenen ein Supremum S := supA E L~. Wegen en t A gilt nach dem Satz von der monotonen Konvergenz: a = IISIIpWir zeigen: S = sup M. Zunachst ist klar: 1st H E L~ eine obere Schranke von M, so ist Hauch eine obere Schranke von A, also S ::; H. S ist auch eine obere Schranke von M: Fur aIle FE M gilt nach dem Satz von der monotonen
M. 1st g
242
VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie
Konvergenz Sp ≤ F ∨ Sp = sup sup{F } ∪ En p ≤ σ = Sp . n∈N
Aus 0 ≤ S ≤ F ∨ S folgt nun insgesamt S = F ∨ S, d.h. F ≤ S. b) Es sei nun μ σ-endlich. Dann gibt es eine integrierbare Funktion g : X → ]0, ∞[. Da die Maße μ und ν := g μ dieselben Nullmengen haben, ist L∞ R (μ) = ∞ 1 L∞ (ν), und wegen ν(X) < ∞ ist L (ν) ⊂ L (ν). Ist nun M eine nichtR R R leere nach oben beschr¨ankte Teilmenge von L∞ (μ), so hat M nach dem schon R Bewiesenen ein Supremum sup M ∈ L1R (ν), und offenbar ist dieses Element sup M das Supremum von M in L∞ 2 R (μ). 6. Dichte Unterr¨ aume von Lp . Die im folgenden angegebenen dichten Unp terr¨aume von L liefern verm¨oge der Quotientenabbildung Lp → Lp dichte Unterr¨aume von Lp . 2.28 Satz. a) F¨ur 0 < p < ∞ liegt der Raum Te := Span {χE : E ∈ A, μ(E) < ∞} dicht in Lp . Zu jedem f ∈ Lp und ε > 0 existiert ein g ∈ Te mit |g| ≤ |f |, so daß f − gp < ε. b) Ist H ⊂ A ein Halbring mit σ(H) = A und μ | H σ-endlich, so liegt f¨ ur 0 < p < ∞ der Raum Span {χA : A ∈ H , μ(A) < ∞} dicht in Lp . Beweis. a) Offenbar ist Te ⊂ Lp . – Es seien ε > 0 und f ∈ Lp , f ≥ 0. Dann existiert eine Folge von Funktionen tn ∈ T + mit tn ↑ f . Wegen f ∈ Lp sind alle tn ∈ Te , und der Satz von der majorisierten Konvergenz (Majorante |f |p ) liefert: f − tn p → 0. Es gibt also ein t ∈ Te mit 0 ≤ t ≤ f , so f − tp < ε. – Ist f ∈ Lp beliebig, so wendet man die soeben bewiesene Aussage an auf (Ref )± , (Im f )± ∈ Lp anstelle von f . Bildet man mit den entsprechenden t, u, v, w ∈ Te die Linearkombination g := t − u + i(v − w) ∈ Te , so ist |g| ≤ |f |, und f¨ ur 1 ≤ p < ∞ ist f − gp < 4ε, w¨ahrend f¨ ur 0 < p < 1 nach (1.18) gilt f − gpp < 4εp . b) Wir brauchen nur zu zeigen: Zu jedem E ∈ A mit μ(E) < ∞ und jedem ε > 0 gibt es disjunkte A1 , . . . , An ∈ H von endlichem Maß, so daß χE −χSnk=1 Ak pp = μ(E nk=1 Ak ) < ε. Zur Begr¨ undung benutzen wir Fortsetzungssatz II.4.5, Gl. (II.4.9) und Korollar II.5.7 und eine Folge disjunkter Mengen folgern: Es gibt ∞ Ak ∈ H (k ≥ 1) mit E ⊂ ∞ A , so daß ur k=1 k k=1 μ(Ak ) < μ(E) + ε/2. F¨ hinreichend großes n ist daher μ(E nk=1 Ak ) < ε. 2 Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn er eine abz¨ahlbare dichte Teilmenge hat. – W¨ahlt man in Satz 2.28, b) die Koeffizienten der Linearkombinationen aus Q (bzw. Q(i)), so folgt:
§ 2. Die Raume IJ' und der Satz von
243
RIESZ-FISCHER
2.29 Korollar. Existiert ein abziihlbarer Halbring 5) e Qt mit u(5)) = Qt, so dafJ J-L 15) u-endlich ist, so ist der Raum .O(J-L) lur 0 < p < 00 separabel. 2.30 Korollar (F. RIESZ 1910)19. 1st 0 < p < 00 und Ie JRm ein Intervall, so ist Span {XJ : J E J Q, J el}
dicht in £P ({J!). Insbesondere ist £P ({J!) separabel. Entsprechendes gilt fUr jede offene Menge U e JRm anstelle von I. 2.31 Satz. 1st 0 < p < 00 und I dicht in £P (I, fJ37, {J! ) .
e JRm
ein Intervall, so liegen Cc(1) und C:;O(1)
Beweis. Die Argumentation aus dem Beweis von Satz IV.3.12 liefert zu jedem I E £P({JY') und c > 0 ein 9 E Cc(l) mit III - gllp < c. Es bleibt zu zeigen, daB zu jedem 9 E Cc(1) und c > 0 ein h E C:;O(1) existiert mit IIg-hll p < c: Dazu fassen wir gals Element von Cc(JRm) auf, wahlen kn E C:;O(JRm) wie im Beweis von Korollar V.3.8 und bilden 9 * kn E C:;O(JRm). Zu c > 0 wahlen wir ein 8 der gleichmaBigen Stetigkeit von 9 so klein, daB zusatzlich K:= {x E JRm : d(x, Trg) ::::: 8} el und {Jm(K) ::::: {Jm(Tr g)+1. Fur alle n > 1/8 und x und daher
Ferner ist K kompakt, fur n > 1/8 ist Tr 9
c({Jm(K))l/P ::::: c({Jm(Tr g) Fur
I : JRm ---+ K
+ l)l/P.
und x E JRm sei
E
JRm ist dann Tr kn C K<5(O)
* kn e
K und Ilg - 9
* knllp
::::: D
Ix : JRm ---+ K, lAy)
2.32 Korollar. Fur 0 < p < 00 und £P({Jm), x H Ix gleichmiifJig stetig.
I
E
:=
I(y -
x).
£p({Jm) ist die Abbildung JRm ---+
Beweis. Zu c > 0 gibt es ein 9 E Cc(JRm) mit II! - gllp < c. Sind we iter x, Xo E JRm, so folgt fUr 1 ::::: p < 00: Il/x - Ixo lip = Il/x-xo - Illp ::::: Il/x-xo - gx-xollp + Ilgx-.,o - gllp + Ilg - Illp = 211/ - gllp + Ilg.,:,,-xo - gllp < 3c, falls Ilx - xoll hinreichend klein ist, denn gist gleichmaBig stetig und hat einen D kompakten Trager. - Fur 0 < p < 1 schlieBt man entsprechend mit II . II~.
7. Der Satz von PLANCHEREL.
Wir betrachten im folgenden die Raume = (27r)-m/2{Jm.
LI, L2 in bezug auf den MaBraum (JRm, fJ3 m, J-Lm) mit J-Lm 19F. RIESZ
[1], S. 451 fr.
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
244
2.33 Satz von PLANCHEREL. Die Fourier- Transformation /\ : Ll n L2 ---+ L2 liiflt sich auf genau eine Weise fortsetzen zu einem isometrischen lsomorphismus /\ : L2 ---+ L2. Fur alle f, 9 E L2 gilt dann die Parsevalsche Gleichung
Beweis. Naeh Satz V.3.13 ist /\ : Ll n L2 ---+ L2 eine lsometrie, d.h. fUr aIle f E Ll nL 2 ist j E L2 und IIfll2 = Ilj112' Da Ll nL 2 dieht liegt in L2, brauehen wir nur noeh zu zeigen, daB M := {j : f E Ll n L2} dieht liegt in L2. Ware M nieht dieht in L2, so gabe es ein h E L2 und ein 6 > 0, so daB Ilh - jib::::: 6 fUr aIle f E Ll n L2. Zu h gibt es ein 9 E C~(lRm) mit Ilh - gl12 < 6/2. Offenbar ist aber 9 E Ll n L2 (vgl. Aufgabe V.3.5, b)). Naeh dem Fouriersehen Umkehrsatz ist daher 9 = (g)V = (g)/\ E M: Widersprueh! D
2.34 Korollar. Fur jedes f E L2 und a > 0, t E IRm sind
sinnvoll, und es gilt: lim Ilua -
0--+ 00
jib =
0, lim
0--+00
IIva -
fl12 = O.
Beweis. Wegen f . X[-a,a]m E Ll n L2 ist U a = (f. X[-a,a]m)/\ sinnvoIl, und es gilt wegen der Isometrie der Fourier-Transformation: Ilua - jl12
= II((X[-a,a]m
- 1)ft112
Die zweite Aussage folgt ebenso.
= II(X[-a,a]m
- 1)f112 a--+oo -----+ O. D
8. Der Satz von FATOU iiber Potenzreihen. Der Satz von RIEsz-FISCHER ist die Grundlage fUr den folgenden Beweis eines beruhmten Satzes von FATOU uber Potenzreihen.
2.35 Satz von FATOU. 1st die Potenzreihe f(z) := 2:::"=0 anz n fur Izl < 1 konvergent und beschriinkt, so existiert der "radiale" Limes limr--+l-0 f(re it ) fur )..1-fast alle t E [0, 27rj. Beweis. Fur 0 < r < 1 konvergiert die Potenzreihe auf dem Kreis vom Radius r gleiehmaBig, also gilt:
Da dieser Ausdruek in Abhangigkeit von r besehrankt ist, konvergiert 2:::"=0 Ian 12. Naeh dem Satz von RIESZ-FISCHER konvergiert daher die Reihe 2:::"=0 ane int
§ 2. Die Riiume IJ' und der Satz von RIESZ-FISCHER
245
im quadratischen Mittel gegen eine Funktion g E L2([0, 27r]), also konvergiert die Reihe auch im (ersten) Mittel gegen g (Satz 2.10). Nach einem beriihmten Satz von LEBESGUE 20 iiber Fourier-Reihen ist daher die obige Reihe ,Vfast iiberall (C, 1)-summierbar gegen g, d.h. die Folge der arithmetischen Mittel (In := (so+ .. ,+sn)/(n+ 1) der Teilsummen sn(t) := L:~=o akeikt konvergiert ,AI_ fast iiberall gegen g. Aber jede (C, 1)-summierbare Reihe ist Abel-summierbar mit gleichem Grenzwert,21 d.h. es gilt 00
lim ' " anrneint r--+l-0 L...J
= g(t) fUr ,AI-fast alle t E [0,27r].
n=O
o 9. Historische Anmerkungen. Schon 1880 stoBt A. HARNACK bei seinen Untersuchungen zur Theorie der Fourier-Reihen (Math. Ann. 17, 123-132 (1880)) auf den Begriff der Konvergenz im quadrat is chen Mittel. Er stellt fest, daB die Folge der Fourier-Koeffizienten einer (im Riemannschen Sinn uneigentlich) quadratisch integrierbaren Funktion im Raum 12(2:) liegt, und er interpretiert diese Beobachtung dahingehend, daB die Folge der Teilsummen der betr. Fourier-Reihe eine Cauchy-Foige fiir die Konvergenz im quadratischen Mittel ist. Das fiihrt ihn zu dem wichtigen Satz: Die Fourier-Reihe jeder quadratisch integrierbaren Funktion f konvergiert im quadratischen Mittel gegen f (vgl. Korollar 2.24). Damit gibt er dem Begriff der "Darstellung" einer Funktion durch ihre Fourier-Reihe eine vollig neue Bedeutung. Da der Raum der im Riemannschen Sinn uneigentlich quadratisch integrierbaren Funktionen aber unvollstlindig ist bez. der Konvergenz im quadratischen Mittel, konnen die Harnackschen Untersuchungen nicht zu so einem abschlieBenden Resultat wie Korollar 2.23 fiihren. Erst der Lebesguesche Integralbegriff ermoglicht hier eine befriedigende L 2-Theorie der Fourier-Reihen. Es ist in der Geschichte der Mathematik ofter zu beobachten, daB wichtige Sachverhalte geradezu zwangslaufig von mehreren Autoren unabhangig entdeckt werden, wenn die Zeit dazu reif ist. Ein Beispiel dafiir ist die fast gleichzeitige Entdeckung des Lebesgueschen Integralbegriffs durch LEBESGUE, VITALI und YOUNG zu Beginn des 20. Jh. Besonders frappant ist die Gleichzeitigkeit der Entdeckung des Satzes von RIEsz-FISCHER, denn beide Autoren veroffentlichen den Satz im gleichen Jahr im gleichen Band der gleichen Zeitschrift C.R. Acad. Sci., Paris 144 (1907), und zwar F. RIESZ auf S. 615-619, E. FISCHER auf S. 10221024. Ausgehend von der Integralgleichungstheorie gibt F. RIESZ dem Resultat die Form des Satzes 2.20 (fiir das Lebesgue-MaB), wahrend E. FISCHER das Ergebnis in der eleganten Version des Satzes 2.5 (fiir das Lebesgue-MaB und p = 2) ausspricht. FISCHER zeigt auch, daB die Rieszsche Fassung des Satzes leicht aus seiner "Vollstandigkeitsversion" folgt. Wenig spater beweist F. RIESZ auch die Vollstandigkeit der Raume LP(J.L) (s. [1], S. 405 und S. 460). Dagegen laBt Korollar 2.24 nur eine teilweise Ausdehnung auf die Raume LP([O, 1]) zu (s. F. HAUSDORFF: Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes ilber Fourierreihen, Math. Z. 16, 163-169 (1923)). Implizit wird mit dem Satz von RIESZ-FISCHER auch die Frage nach dem "richtigen" Integralbegriff beantwortet, denn der Lebesguesche Integralbegriff fiihrt in natiirlicher Weise zu den vollstlindigen Funktionenraumen £,P(J.L), wahrend die entsprechend mit dem Riemann-Integral definierten Raume unvollstandig sind. Aus diesem Grunde haben die Arbeiten von RIESZ und FISCHER wesentlich den Weg zur allgemeinen Annahme des Lebesgueschen Integralbegriffs geebnet. - Einen kurzen Bericht aus berufener Feder iiber die Geschichte und die Bedeutung des Satzes von RIEsz-FISCHER findet man bei F. RIESZ [1], S. 327 f. 20 LEBESGUE [8], S. 94 oder A. ZYGMUND: Trigonometric series, 2nd ed., Vol. I, S. 90. Cambridge University Press 1959. 21ZYGMUND, loc. cit., S. 80.
246
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
Der oben angegebene klassische Beweis von Satz 2.5 geht zuriick auf H. WEYL. 12 Insbesondere bemerkt WEYL, daB jede Cauchy-Foige in £2(JL) eine f.ii. konvergente Teilfolge hat. Dieses Resultat spricht er in einer verscharften Form aus, auf die wir noch in Korollar 4.8 zuriickkommen. - Eine vertiefte Untersuchung der historischen Entwicklung findet man bei MEDVEDEV [1] und bei KAHANE und LEMARIE-RIEUSSET [1]. 10. Kurzbiographien von F. RIESZ und E. FISCHER. FRIEDRICH RIESZ (RIESZ FRIGYES) wurde am 22. Januar 1880 in Raab (damals Donaumonarchie Osterreich-Ungarn, heute Gyor, Ungarn) geboren. Nach dem Abitur nahm er 1897 ein Ingenieurstudium am Eidgenossischen Polytechnikum (der heutigen ETH) Ziirich auf, wechselte aber bald iiber zum Studium der Mathematik, das er an den Universitaten Budapest und Gottingen fortsetzte und 1902 mit der Promotion in Budapest abschloB. Die auf Ungarisch verfaBte Dissertation iiber ein Thema aus der projektiven Geometrie fand kaum Beachtung. Nach der Promotion setzte RIESZ sein Studiurn in Paris und in Gottingen (WS 1903/04) fort, wo er Lehrveranstaltungen von HILBERT und MINKOWSKI besuchte und spater enge Freundschaft mit E. SCHMIDT und H. WEYL schloB. Der lebendige Kontakt mit G6ttingen und Paris, den damaligen Zentren der aufkommenden Funktionalanalysis, mit HILBERT und seinen Schiilern und LEBESGUE, FRECHET und HADAMARD (1865-1963), war fiir die spateren wissenschaftlichen Erfolge von RIESZ von groBter Bedeutung. - Nach Erlangung des Lehrerdiploms war RIESZ ab 1904 in Leutschau (ungar. Locse, heute Levoca, Slowakei) und ab 1908 in Budapest als Oberschullehrer tatig. Wahrend dieser Zeit gelangen ihm fundament ale Entdeckungen. In Anerkennung seiner wissenschaftlichen Leistungen wurde er im Jahre 1912 zum auBerordentlichen, ab 1914 zum ordentlichen Professor an der Universitat Klausenburg (jetzt Cluj-Napoca, Rumanien) ernannt. Nach 1918 setzte er seine Tatigkeit provisorisch in Budapest fort, bis 1920 die Universitat Klausenburg nach Szeged (Ungarn) verlagert wurde. Unter schwierigen auBeren Bedingungen gelang es F. RIESZ gemeinsam mit A. HAAR (1885-1933) in Szeged ein mathematisches Zentrum von internationalem Rang zu schaffen mit einer angesehenen wissenschaftlichen Zeitschrift, den Acta Scientiarum Mathematicarum. Nach einer langen Spanne fruchtbarer Arbeit in Szeged (1920-1946) folgte RIESZ einem Ruf an die Universitat Budapest, wo er die letzten 10 Jahre seines Lebens verbrachte und am 28.2.1956 starb. Zu den zahlreichen akademischen Ehrungen, die F. RIESZ zuteil wurden, zahlt die Ehrendoktorwiirde der Pariser Sorbonne. Die mathematischen Abhandlungen von F. RIESZ sind in den zwei umfangreichen Banden seiner Gesammelten Arbeiten (Budapest 1960) bequem zuganglich. Seine Darstellung ist durchweg von mustergiiltiger Klarheit und von sicherem Blick fiir das Wesentliche gepragt. Seine Arbeitsgebiete umfassen Topologie, Theorie der reellen Funktionen, harmonische und subharmonische Funktionen, Funktionalanalysis, Ergodentheorie und Geometrie. AuBer dem Satz von RIEsz-FISCHER sind mit seinem Namen zahlreiche Darstellungssatze von grundlegender Bedeutung verbunden. So bewies er 1909 den Darstellungssatz von RIESZ fUr stetige Linearformen auf C([a, b]) durch Stieltjessche Integrale. Von ihm stammt der Darstellungssatz fUr stetige Linearformen auf L2([a,b]) oder einem Hilbert-Raum und der Satz von der Darstellung stetiger Linearformen auf LP durch Elemente von U (1::; p < 00, l/p+ l/q = 1). F. RIESZ fiihrt 1922 den Begriff der subharmonischen Funktion ein, mit dessen Hilfe O. PERRON (1880-1975) im Jahre 1923 eine iiberraschend einfache Behandlung des Dirichletschen Problems gelingt, welche die Grundlage bildet fiir die Klassifikation der Riemannschen Flachen und den wohl einfachsten Beweis des Uniformisierungssatzes. Fiir subharmonische Funktionen beweist F. RIESZ einen Darstellungssatz, der besagt, daB sich jede solche Funktion lokal als logarithmisches Potential plus einer harmonischen Funktion schreiben laBt. Die Analysis verdankt F. RIESZ die Begriffe der starken und schwachen Konvergenz, der Konvergenz nach MaB und viele wichtige Konvergenzsatze (s. §§ 4, 5). In der Funktionalanalysis liefert er wichtige Beitrage zur Theorie der Integralgleichungen und zur Spektraltheorie sowohl der kompakten als auch der beschrankten oder unbeschrankten linearen Operatoren (Spektralsatz fUr unbeschrankte selbstadjungierte Operatoren). Die Le90ns d'analyse fonctionnelle (Budapest 1952) von F. RIESZ und B. SZOKEFALVI-NAGY (1913-1998) sind eine klassische Darstellung des Gebiets von bleibendem Wert. - Von bleibendem Wert ist auch der uniibertroffen kurze und elegante Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes von L. FEJER (1880-1959) und F.
§ 2. Die Raume V und der Satz von
247
RIEsz-FISCHER
RIESZ (Acta Sci. Math. 1, 241-242 (1922/23)), der in fast allen Lehrbiichern der Funktionentheorie zu finden ist. Gemeinsam mit seinem 6 Jahre jiingeren Bruder MARCEL (1886-1969, Professor an der Universitat Lund) beweist F. RIESZ 1916 den merkwiirdigen tiefliegenden Satz von F. und M. RIEsz: Ist J.L ein komplexes Map auf [0, 27r] mit
10r27r e-intdJ.L(t) = 0 fiir aile ganzen n < 0, so existiert ein f E £1 ([0, 27r]) mit J.L = f 8 .V. ERNST FISCHER wurde am 12.7.1875 in Wien geboren, studierte 1894-99 Mathematik an den Universitaten Wien und Berlin und promovierte 1899 bei F. MERTENS (1840-1927) in Wien. Nach weiteren Studien bei H. MINKOWSKI in Ziirich und Gottingen wurde FISCHER 1904 Privatdozent, 1910 auBerordentlicher Professor an der technischen Hochschule Briinn (tschechisch Brno) und 1911 ordentlicher Professor an der Universitat Erlangen. Nach dem Kriegsdienst (1915-1918) folgte er 1920 einem Ruf an die 1919 wiedergegriindete Universitat zu Koln. Wahrend der Herrschaft der Nationalsozialisten wurde ab 1937 die Entlassung des "Halbjuden" FISCHER betrieben. Der Dekan der Philosophischen Fakultat der Universitat zu Koln konnte bewirken, daB FISCHER im Unterschied zu vielen seiner Kollegen nicht sofort entlassen sondern "nur" vorzeitig in den Ruhestand versetzt wurde. FISCHER erhielt 1938 eine von HITLER ausgefertigte Urkunde, in der er von seinen amtlichen Pflichten entbunden und in der ihm "fiir seine akademische Wirksamkeit und die dem deutschen Volk geleisteten treuen Dienste" der Dank ausgesprochen wurde. 22 Noch 1941 erhielt er das Treuedienstabzeichen in Silber fiir seine Dienstzeit. Dennoch gelangte 1944 sein Name auf die Liste derer, gegen die noch in letzter Stunde die Verfolgung aufgenommen werden sollte. FISCHER konnte sich aber mit seiner Familie auBerhalb Kolns fiir den Rest der Kriegszeit verstecken. Trotz seines vorgeriickten Alters stellte er sich sofort nach Kriegsende der Universitat zur Verfiigung und nahm schon im WS 1945/46 seine Lehrtatigkeit an der zerstorten Alma mater wieder auf. Er hielt seine letzte Vorlesung ein Semester vor seinem Tode am 14.11.1954 in Koln. Zu den bedeutendsten wissenschaftlichen Leistungen FISCHERS zahlen seine Einfiihrung des Begriffs der Konvergenz im quadratischen Mittel, sein Beweis der Vollstandigkeit von L2, die Minimax-Charakterisierung der Eigenwerte selbstadjungierter linearer Abbildungen (s. E. FISCHER: Uber quadratische Formen mit reellen KoejJizienten, Monatsh. Math. Phys. 16, 234-249 (1905)) und seine Beitrage zur Algebra und Gruppentheorie. Schon friih erkannte er die Entwicklungsmoglichkeiten der modernen Algebra und iibte als Hochschullehrer in seiner Erlanger Zeit auf EM MY NOETHER (1882-1935) pragenden EinfluB aus (s. A. DICK: Emmy Noether, 1882-1935. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhauser 1981). Aufgaben.2.1. Fiir jede Cauchy-Folge Unk::.! in £P (0 < p:S in ~ beschrankt.
00)
ist die Folge (llfnllp)n:>1
2.2. L=(J.L) ist eine Banach-Algebra. 2.3. Bezeichnet it die Vervollstandigung von J.L, so sind fiir 0 P(it) (norm-)isomorph.
< p :S
00
die Raume LP(J.L) und
2.4. Es seien 0 < p,p' :S 00 und fn E £P(J.L) n £P' (J.L) (n::::: 1). a) Konvergiert Unk?~1 in £P(J.L) gegen f E £P(J.L) und in £P' (J.L) gegen 9 E £P' (J.L), so ist f = 9 J.L-f.ii. 22Zitat nach F. GOLCZEWSKI: Kainer Universitiitslehrer und der Nationalsozialismus, Koln-Wien: Bohlau Verlag 1988, S. 130-131.
248
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
b) Konvergiert (fn)n'21 in C.P({L), so braucht (fn)n'21 in £P' ({L) nicht zu konvergieren. 2.5. Folgende Bedingungen a)-c) sind aquivalent: a) Es gibt 0 < p < p' < 00, so daB P({L) C P' ({L).
b) inf{{L(A) : A
E
2!,{L(A) > O} > O.
c) Fiir aile 0 < p < p' < 00 gilt P({L) C P' ({L). (Hinweise: a) =;. b): Nach dem Satz Yom abgeschlossenen Graphen ist die Inklusionsabbildung P({L) -+ P' ({L) stetig. b) =;. c): Fiir f E P({L) gilt {L({lfl > n}) -+ 0, also ist f f.ii. beschrankt. ) 2.6. Folgende Bedingungen sind aquivalent: a) Es gibt 0 < p < p' < 00, so daB P({L) ~ P' ({L). b) sup{{L(A) : A E 2!,{L(A) < oo} < 00. c) Fiir aile 0 < p < p' < 00 gilt P({L) ~ P' ({L). 2.7. Es seien 1:S p,q:S 00, l/p+ l/q = 1, und die Folge der Funktionen fn E £P konvergiere im p-ten Mittel gegen f E £P, gn E £q konvergiere im q-ten Mittel gegen 9 E £q. Dann konvergiert (fngn)n'2 1 im Mittel gegen fg E £1. 2.8. a) Ein halbmetrischer Raum (R, d) ist nicht sepambel genau dann, wenn eine iiberabzahlbare Menge A C R und ein t: > 0 existieren, so daB d(x,y) ;::: t: flir aile x,y E A,x i' y. (Hinweis: Nach dem Zornschen Lemma hat das System 2!n aller Teilmengen B C R mit d(x,y) ;::: l/n fiir aile x,y E B,x i' y ein maximales Element An- Betrachten Sie U::"=l An.) b) Fiir a, bE JRm , a < b ist der Raum L OO (!3[::,bl) nicht separabel. 2.9. 1st f Lebesgue-integrierbar iiber [a, b] C JR, so existiert zu jedem t: > 0 ein fj > 0, so daB fiir jede Zerlegung a = Xo < Xl < '" < Xn = b von [a, b] mit max{xk - Xk-1 : k = 1, ... , n} < fj gilt:
1[lf(t)ldta
tit" k=l
f(t)dtll
Xk-l
2.10. 1st {L nicht a-endlich, so braucht L;;({L) nicht ordnungsvollstandig zu sein. 2.11. Eine Menge M C L~ heiBt nach oben gerichtet, wenn zu allen u, v E M ein w E M existiert mit w ;::: u, w ;::: V. - Es seien 0 < p < 00 und M C L~ eine nicht-Ieere nach oben gerichtete Menge nicht-negativer Elemente. Zeigen Sie: Mist nach oben beschrankt genau dann, wenn sup{llullp : u E M} < 00, und dann gilt II supMllp = sup{llull p : u EM}. 2.12. Es seien (X,2!,{L) und (Y,'23,v) a-endliche MaBraume. Fiir f E L2({L) und 9 E L2(V) definiert f@g(x,y):= f(x)g(y) (x E X,y E Y) ein Element f@gE L2({L@v). Sind (ej)jEJ und (lkhEK Orthonormalsysteme in L2({L) bzw. L 2(v), so ist (ej @ lk)U.kjEJxK ein Orthonormalsystem, und sind (ej)jEJ und (fdkEK vollstandig, so auch (ej @lk)(j,kjEJxK' 2.13. Die Funktion f E £2([0,1]) sei stetig im Intervall I C [0,1]' und die Folge der Teilsummen Sn := LlklSn j(k)ek (n E I'l) der Fourier-Reihe von f konvergiere auf I gleichmaBig. Dann ist f(t) = limn--too sn(t) fiir aile tEl. 2.14. 1st F : JRm -+ IC in allen Koordinaten periodisch mod 1 und iiber [o,l]m Lebesgueintegrierbar, so heiBt
P(l):= ( F(x)e- 2rri (l,x) dx 1[0,11= der l-te Fourier-Koeffizient von odisch mod 1, so gilt:
f.
F(x) =
(l
E zm)
Zeigen Sie: 1st F E C 2m (JRm ) in allen Koordinaten peri-
L IEZ m
wobei die Reihe absolut konvergiert.
P(l)e 2rri (l,x)
(x
E
JRm),
§ 2. Die Raume Il' und der Satz von 2.15. Fiir
I
249
RIEsz-FISCHER
E S(]Rm) (s. Aufgabe V.3.5) sei
F(x) =
L
I(x
+ k)
(x E zm) .
kEZ=
Dann ist F E Coo (]Rm) in allen Koordinaten periodisch mod 1, und es ist zm), wobei (abweichend von der friiheren Normierung)
r l(y)e-
j(x):= die Fourier-Transformierte von
L
JR=
27ri (X,y)
P(l)
=
j (l) (1
E
dy
I bezeichnet. Aufgabe 2.14 liefert:
I(x
+ k)
L
=
j(l)e 27ri (l,x)
(x E ]Rm);
insbesondere gilt die Poissonsche Summenlormel
L
L
I(k) =
kEZ=
j(1).
IEZ=
Wendet man die Poissonsche Summenformel an auf IN(X) := I(Nx) (N E N) anstelle von I, so konvergiert die linke Seite fiir N ---+ 00 gegen 1(0), wahrend die rechte gegen (j)V(O) konvergiert, wobei j(x) = j( -x). Hieraus folgt der Fouriersche Umkehrsatz 1= (j)v. (Dieser kurze Beweis des Fourierschen Umkehrsatzes fiir schnell fallende Funktionen stammt von A. ROBERT: A short prool 01 the Fourier inversion lormula, Proc. Am. Math. Soc. 59, 287-288 (1976).) 2.16. Es seien G c IC offen und 0 < p < 00. a) 1st I: G ---+ IC holomorph und a E G, r > 0, Kr(a)
c
G, so gilt:
(Hinweise: Die Behauptung folgt aus der Ungleichung
1 I/(a)IP :::; 27r
127r I/(a + peit)IP dt
fiir 0 :::; p :::; r.
0
Fiir p::::: 1 folgt (*) aus der Cauchyschen 1ntegralformel zusammen mit Satz 2.10. Schwieriger ist der Fall 0 < p < 00: Offenbar geniigt der Beweis von (*) fiir a = 0, p = l. 1st I nullstellenfrei in Kl(O), so gibt es eine in Kl(O) holomorphe Fixierung von IP, und die Cauchysche 1ntegralformelliefert (*). Eventuell vorhandene Nullstellen von I lassen sich mit Hilfe geeigneter Automorphismen z f--t (z - a)/(l - az) (Ial < 1, a fest) der Einheitskreisscheibe abspalten. ) b) Die Menge HP der holomorphen Funktionen I : G ---+ IC mit
1I/IIp :=
(fa I/I df32) P
lip
< 00
ist fiir p ::::: 1 ein Banach-Raum mit der Norm II . lip und fiir 0 < p < 1 ein vollstandiger metrischer Raum mit der Metrik dp(f, g) = III - gll~. (Hinweis: Nach a) konvergiert jede Cauchy-Folge in HP auch punktweise, und zwar gleichmliflig auf allen kompakten Teilmengen von G.)
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
250
§ 3.
Der Satz von
JEGOROW
«Si l'on a une suite de fonctions mesurables convergente pour tous les points d'un intervalle AB sauf, peut-etre, les points d'un ensemble de mesure nulle, on pourra toujours enlever de l'intervalle AB un ensemble de mesure T) aussi petite qu'on voudra et tel que pour l'ensemble complementaire ... la suite est uniformement convergente.»23 (D.- TH. EGOROFF: Sur les suites de fonctions mesurables, C.R. Acad. Sci., Paris 152, 244-246 (1911})
1. Konvergenz J.l-fast iiberall. Ftir meBbare Funktionen fn : X -+ lK sind bisher folgende "punktweisen" Konvergenzbegriffe aufgetreten: (punktweise) Konvergenz (" tiberall"), K onvergenz J.l-fast ilberaIl, gleichmiijJige K onvergenz, J.l-fast ilberaIl gleichmiijJige Konvergenz (= gleichmaBige Konvergenz auf dem Komplement einer geeigneten Nullmenge = Konvergenz in £=(J.l)).
3.1 Satz. Sind fn, f : X -+ lK mejJbar, so gilt: a) (fn)n?:l konvergiert J.l-f.il. gegen f genau dann, wenn
b) 1st limn-+=J.l(U~l{lfn+k ~ fl ~ c}) = (fnk;>l J.l-f.il. gegen f· c) Gilt fn -+ f J.l-f.il. und ist A E m,J.l(A) < lim J.l (A n L){lfn+k n-t=
°filr aile c > 00,
0, so konvergiert
so giltfilr aile c > 0:
~ fl ~ c})
= 0.
k=1
SpezieIl gilt filr J.l(X) < fn -+ f J.l-f·il.
<¢=?
00:
1~~J.l (Q{lfn+k ~ fl ~ c}) = ° filr aile c > 0.
Beweis. a) Es gilt fn -+ f J.l-f.ti. genau dann, wenn {x EX: lin?:1 ::J k ?:1 f(x)1 ~ c} flir jedes c > eine J.l-Nullmenge ist. b) ist klar nach a). c) folgt aus a) und b) wegen der Stetigkeit des MaBes von oben.
°
Ifn+k(x)~
D
3.2 Beispiel. Ftir J.l(X) = 00 ist die umgekehrte Implikation unter b) falsch: Wiihlt man (X, m, J.l) = (JR, 2)1, (31), fn := X[n,=[, so konvergiert (fn)n?:1 tiberall gegen 0, aber es ist J.l({lfn ~ 01 ~ c}) = 00 flir alle c EjO, 1[. 23Hat man eine Folge meBbarer Funktionen, die in allen Punkten eines Intervalls AB konvergiert mit Ausnahme eventuell der Punkte einer Nullmenge, so kann man stets aus dem Intervall AB eine Menge beliebig kleinen [positiven] MaBes T) entfernen, so daB die Folge im Komplement dieser Menge gleichmaBig konvergiert.
§ 3. Der Satz von
JEGOROW
251
Fiir jeden der oben genannten Konvergenzbegriffe ist der Begriff der CauchyFalge sinnvoll. (Z.B. ist eine Folge von Funktionen fn : X --+ lK eine CauchyFalge fur die Kanvergenz J.L-f.u., wenn eine J.L-Nullmenge N E Ql existiert, so daB (fn(x)k?l fUr aIle x E NC eine Cauchy-Folge in lK ist.) In allen Fallen ist es richtig, daB jede Cauchy-Folge meBbarer Funktionen fn : X --+ lK gegen eine meBbare Funktion f : X --+ lK konvergiert (i.S. des jeweiligen Konvergenzbegriffs). - Analog zu Satz 3.1 lassen sich Cauchy-Folgen fUr die Konvergenz J.L-f.ii. charakterisieren. 3.3 Satz. Die Funktianen fn : X --+ lK seien mefJbar.
a) (fn)n?l ist eine Cauchy-Falge fur die Kanvergenz J.L-f.u. genau dann, wenn fur aUe c > 0 gilt:
b) 1st limn-+ooJ.L (U~l{lfn+k - fnl ::::: c}) = 0 fur aUe c > 0, sa ist (fn)n>l eine Cauchy-Falge fur die Kanvergenz J.L-f.u. c) Sind (fnk?l eine Cauchy-Falge fur die Kanvergenz J.L-f.u. und A E Ql, J.L(A) < 00, sa gilt fur aUe c > 0:
SpezieU gilt fUr J.L(X) < genau dann, wenn
00:
(fn)n?l ist Cauchy-Falge fur die Kanvergenz J.L-f. U.
2. Fast gleichmafiige Konvergenz. Eine Folge von Funktionen fn : X --+ lK heiBt fast gleichmiifJig kanvergent, wenn zu jedem 8 > 0 ein A E Ql mit J.L(A) < 8 existiert, so daB die Folge (fn I AC)n2:1 gleichmaBig konvergiert. Fast gleichmaBige Konvergenz bedeutet also gleichmaBige Konvergenz im Komplement geeigneter Mengen beliebig kleinen (i.a. positiven) MaBes. Urn Verwechselungen mit der J.L-f.u. gleichmiifJigen Kanvergenz zu vermeiden, werden wir anstelle von J.L-f.ii. gleichmaBiger Konvergenz im folgenden bevorzugt von Kanvergenz in £OO(J.L) sprechen. 3.4 Lemma. Kanvergiert die Falge der mefJbaren Funktianen fn : X --+ lK fast gleichmiifJig, sa gibt es eine mefJbare Funktian f : X --+ lK, sa dafJ fn --+ f J.L-f.u.
Beweis. Zu 8 = 11k (k E N) existiert eine Menge Ak E Ql mit J.L(A k ) < 11k, so daB (fn I A).;)n2:1 gleichmaBig konvergiert. Die Menge A := n~l Ak E Ql ist eine J.L-Nullmenge, und fUr aIle x E AC konvergiert (fn(X))n2:1 gegen die meBbare Funktion f(x) := limn -+ oo fn(X)XAc(X) (x EX). 0
252
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und 1ntegrationstheorie
Fast gleichmaBige Konvergenz einer Folge meBbarer Funktionen impliziert also die Konvergenz J.-t-f.u. Der folgende Satz von DMITRI FJODOROWITSCH JEGOROW (1869-1931)24 liefert fUr J.-t(X) < 00 die umgekehrte 1mplikation.
3.5 Satz von Jegorow (1911). 1st J.-t(X) < 00 und konvergiert die Folge der meftbaren Funktionen fn : X -+ lK J.-t-fast iiberall gegen die meftbare Funktion f : X -+ lK, so konvergiert (fn)n?l fast gleichmiiftig gegen f· Beweis. Nach Satz 3.1, c) gilt fUr aIle c > 0:
1st nun 8> 0 fest gewahlt, so existiert zu jedem kEN ein nk E N, so daB fUr
gilt: J.-t(B k ) < 8· 2- k • Die Menge A := U~=l Bk ist meBbar mit J.-t(A) < 8, und fUr aIle x E AC, k ?: 1 gilt x rt. B k , also
11i(x) - f(x)1 :::; Daher konvergiert (fn
IACk~l
1
k
fUr aIle j ?: nk·
gleichmaBig gegen f lAc.
o
Bemerkung. Der Satz von JEGOROW gilt entsprechend, falls fund die fn Werte in einem metrischen Raum haben (vgl. Aufgabe 4.5). 3.6 Beispiel. Fur den MaBraum ([0, 1[, IBtO,l[,,B~,l[) konvergiert die Folge der Funktionen fn(x) := xn (x E [0,1[) zwar punktweise gegen 0, aber nicht gleichmaBig. Fur jedes 0 < 8 < 1 ist aber die Konvergenz auf [0, 1-8] gleichmaBig, d.h. (fn)n>l konvergiert fast gleichmaBig gegen 0 (in Ubereinstimmung mit dem Satz von JEGOROW). 3. Kurzbiographie von D.F. JEGOROW. DMITRI FJODOROWITSCH JEGOROW wurde am 22.12.1869 in Moskau geboren. Nach dem SchulabschluB (1887) studierte er an der Universitat Moskau mit glanzendem Erfolg Mathematik und erhielt auf Grund seines hervorragenden AbschluBzeugnisses (1891) ein staatliches Stipendium zur Vorbereitung auf eine Laufbahn als Hochschullehrer. Der Ernennung zum Privatdozenten (1894) und der Verteidigung der Dissertation (1901) folgte auf Vorschlag der Universitat Moskau ein dreisemestriger Studienaufenthalt in Berlin, Paris und Gottingen (1902-1903); anschlieBend wurde JEGOROW zum Professor am Institut fiir reine Mathematik der Universitat Moskau ernannt. Als Prorektor der Universitat, Direktor des Forschungsinstituts fiir Mathematik und Mechanik (1921-1930), Prasident der Moskauer Mathematischen Gesellschaft (1923-1930) und korrespondierendes Mitglied der Akademie der Wissenschaften der UdSSR war JEGOROW eine der fiihrenden Personlichkeiten im mathematischen Leben Moskaus. Gemeinsam mit seinem Schiiler N.N. 24Betonung der Vornamen auf der ersten Silbe, beim Nachnamen auf der zweiten (mit offenem ,,0"). Der Name JEGOROW wird oft in der eng!. Transskription "EGOROV" oder in der frz. "EGOROFF" angegeben.
§ 4. Konvergenz nach MaE
253
LUSIN (1883-1950), der als begeisternder akademischer Lehrer eine groBe Anziehungskraft auf hochbegabte Studenten ausiibte, war er der Begriinder der beriihmten Moskauer SchuIe der Theorie der reellen Funktionen, aus der zahlreiche der angesehensten Mathematiker der Sowjetunion hervorgingen. JEGOROW war in den klassischen akademischen Traditionen fest verankert. Nach der Revolution gelang es ihm auf Grund seines hohen Ansehens einige Zeit, "seine" Schule vor unqualifizierter politischer EinfluBnahme zu schiitzen. Zur Zeit der stalinistischen Sauberungen nahm der politische Druck auf JEGOROW in der zweiten Halfte der zwanziger Jahre deutlich zu. Die widerliche Kampagne kulminierte in dem affentlichen Vorwurf der "Sabotage" in der Zeitschrift Bolschewik (No.2 (1931)). Wenig spater wurde JEGOROW unter dem Vorwurf der "Mitgliedschaft in einer konterrevolutionaren Organisation" verhaftet; er starb am 10.9.1931 nach einem Hungerstreik in der Verbannung in Kasan. Wahrend seines Studienaufenthalts in Paris harte JEGOROW die beriihmte Vorlesung von LEBESGUE iiber Integrationstheorie, und er war einer der ersten, die die Bedeutung des Lebesgue-Integrals fiir die Analysis erkannten. BeeinfluBt durch H. WEYL 12 , der den Begriff der fast gleichmaBigen Konvergenz unter dem Namen wesentlich-gleichmapige Konvergenz eingefiihrt hatte, bewies JEGOROW dann 1911 den mit seinem Namen verbundenen Satz. Das war der Beginn der "Moskauer Schule". Zur Historie des Satzes von JEGOROW bemerkt L. TONELLI (Opere I, S. 421), daB das Resultat im wesentlichen bereits 1910 von C. SEVERINI bewiesen wurde. - Die wichtigsten weiteren mathematischen Arbeitsgebiete von JEGOROW waren Differentialgeometrie, Variationsrechnung, Theorie der Integralgleichungen und Zahlentheorie. Aufgaben. 3.1. a) Es seien J.L u-endlich, f, fn : X -+ IK meBbar, und es gelte fn -+ f J.L-f.ii. Dann gibt es Mengen Ak E 2l (k E N) mit J.L(X \ U~l A k ) = 0, so daB fiir jedes kEN die Folge (fnIAkk?:l gleichmaBig konvergiert (N. LUSIN). b) Aussage a) wird ohne die Voraussetzung der u-Endlichkeit von J.L falsch. 3.2. Definieren Sie den Begriff einer Cauchy-Folge fiir die fast gleichmaBige Konvergenz und zeigen Sie, daB jede solehe Folge fast gleichmaBig konvergiert. 3.3. Sind f, g,fn E C} und gilt fn -+ f J.L-f.ii., Ifni:::; 9 J.L-f.ii., so konvergiert (fn)n>l fast gleichmaBig gegen f. 3.4. Es seien J.L(X) < 00 und f, fn : X -+ IK meBbar. Die Folge (fn)n>l konvergiert fast gleichmaBig gegen f genau dann, wenn fiir jedes I': > 0 gilt: -
3.5. Es seien J.L(X) < 00 und fn : X -+ IK meBbar. Dann sind folgende Aussagen aquivalent: a) Es gibt eine f.ii. gegen Null konvergente Teilfolge (fn.k?l von (fn)n?l. b) Es gibt reelle an 2': 0 (n 2': 1) mit lim an > 0, so daB die Reihe ,E<Xl_l anfn f.ii. absolut n-+oo nkonvergiert.
§ 4.
Konvergenz nach Mall «Soient fr(x), h(x), ... , f(x) des fonctions mesurables, definies sur l'ensemble E; I': etant une quantite positive queleonque, nous designons par m( n, 1':) la mesure d'ensemble [If(x) - fn(x)1 > 1':]; alors nous dirons que la suite [fn(x)] tend en mesure vers la fonction f(x), si, quelque petite que soit la quantite 1':, on a limn-t<Xl m(n, 1':) = 0.»25 (F. RIESZ [1], S. 396)
VI. Konvergenzbegriffe der MaE- und Integrationstheorie
254
1. Konvergenz nach Ma6 und lokal nach MaB. Mit F. RIESZ ([1], S. 396) fUhren wir den Begriff der Konvergenz nach MaE wie folgt ein.
4.1 Definition. Die Funktionen f, fn : X -+ lK (n E N) seien meEbar. Man sagt, die Folge Un)n>1 konvergiert nach MafJ gegen f, falls fUr jedes c > 0 gilt: lim Jl({lfn - fl ~ c}) = 0;
n-+oo
Schreibweise: fn -+ f n.M. Ferner sagt man, die Folge Un)n?l konvergiert lokal nach MafJ gegen f, falls fUr jedes c > 0 und alle A Emmit Jl(A) < 00 gilt: lim Jl({lfn - fl ~ c}
n-+oo
n A)
= 0;
Schreibweise: fn -+ f lokal n.M. 1st z.B. (X, m, Jl) = (JR., ~W,,81), so konvergiert die Folge der Funktionen fn := Xln,n+1[ lokal n.M. gegen 0, aber nicht n.M. gegen O.
4.2 Folgerungen. Die Funktionen f, f n, g, gn : X -+ lK (n E N) seien meEbar. a) Konvergiert Un)n>1 nach MaE gegen fund nach MaE gegen g, so ist f = 9 Jlf.ii. Konvergiert Unk?l lokal nach MaE gegen fund lokal nach MaE gegen g, so ist f = 9 lokal Jl-j. ii. , d.h. fUr alle A Emmit Jl(A) < 00 gilt f 'XA = g'XA Jl-f.ii. b) Aus fn -+ f n.M. und gn -+ 9 n.M. folgt fn + gn -+ f + 9 n.M. und afn -+ af n.M. (a ElK). Entsprechendes gilt fUr die Konvergenz lokal n.M. Beweis. a) Fiir alle kEN gilt Jl (
{If -
gl
~ ~}) ~ Jl ( {If - fn I ~ 21k} )
+ Jl
( {Ifn - gl
~ 2~})
Da hier die rechte Seite fUr n -+ 00 gegen 0 konvergiert, ist {If - gl ~ l/k} eine Nullmenge, also ist auch {j i= g} = U~1{lf - gl ~ l/k} eine Nullmenge. b) klar wegen {IUn + gn) - U + g)1 ~ c} C {Ifn - fl ~ c/2} U {Ign - gl ~ c/2}. D
4.3 Satz (F. RIESZ 1910).26 Es gelte 0 < p ~ Dann konvergiert fn -+ f n.M.
00,
f, fn E £P und Ilfn - flip -+
o (n -+ 00).
Beweis. Der Fall p = 00 ist klar, denn Konvergenz in £00 bedeutet gleichmaBige Konvergenz im Komplement einer Nullmenge. Fiir 0 < p < 00 folgt die Behauptung aus Jl( {Ifn - fl
~ c}) ~
Ix
IUn - f)/cI PdJl = c-Pllfn -
fll~ -+ O.
D
25Es seien JI(x), h(x), ... , f(x) auf der Menge E definierte meBbare Funktionen. 1st e irgendeine positive Zahl, so bezeichnen wir mit m(n,e) das MaB der Menge {If - fnl > e}. Dann sagen wir, daB die Folge (fn)n>l nach MaB gegen die Funktion f konvergiert, wenn flir jedes e > 0 gilt limn---too m( n, e) = 0.26F. RIESZ [1], S. 396.
§ 4. Konvergenz nach MaB
255
4.4 Satz. Sind f, fn : X ---+ ][ mefJbar und konvergiert gegen f, so gilt fn ---+ f n.M.
(fn)n~1
fast gleichmiifJig
Beweis. Zu jedem 6 > 0 existiert ein A E Q( mit Jt(A) < 6, so daB (fn I AC)n>1 gleichmiifJig gegen f I AC konvergiert. Daher existiert zu jedem c > 0 ein no(c) E N, so daB {lin - fl ~ c} c A fUr alle n ~ no(c). D 4.5 Satz (H. LEBESGUE).27 Sind f, fn : X ---+ ][ mefJbare Funktionen mit fn ---+ f Jt-f.u., so gilt fn ---+ f lokal n.M. 1st insbesondere Jt(X) < 00, so gilt fn ---+ f n.M.
Beweis: klar nach Satz 4.4 und dem Satz von JEGOROW. (Man kann auch bequem mit Satz 3.1, c) schlieBen.) D Umgekehrt braucht eine n.M. konvergente Folge nicht punktweise f.ii. oder gar fast gleichmaBig zu konvergieren: Die Folge in Beispiel 2.8 konvergiert in el, also nach Satz 4.3 auch n.M., aber sie konvergiert nicht punktweise. Wir werden aber zeigen, daB jede n.M. konvergente Folge eine f.ii. konvergente (sogar eine fast gleichmaBig konvergente) Teilfolge besitzt. Der Beweis laBt sich bequem im Rahmen einer Diskussion von Cauchy-Folgen fUr die Konvergenz n.M. erbringen.
2. Cauchy-Folgen fiir die Konvergenz nach MaB. Eine Folge meBbarer Funktionen fn : X ---+ ][ heiBt eine Cauchy-Folge fur die Konvergenz n.M., falls zu jedem c > 0 ein no(c) E N existiert, so daB fUr alle m, n E no(c) gilt
Jt({lfm - fnl ~ c}) < c. OfIenbar ist jede Cauchy-Folge in £P eine Cauchy-Folge fUr die Konvergenz n.M. (s. Beweis von Satz 4.3). Wegen
{11m - fnl
~ c} C
{11m - fl
~ c/2}
u {If -
fnl ~ c/2}
ist jede nach MaB konvergente Folge eine Cauchy-Folge fUr die Konvergenz n.M. Die Umkehrung dieser Aussage liefert Korollar 4.10.
4.6 Satz. Bilden die mefJbaren Funktionen fn : X ---+ ][ eine Cauchy-Folge fur die Konvergenz n.M., so gibt es eine Teilfolge (fnkh>l, die fast gleichmiifJig gegen eine mefJbare Funktion f : X ---+ ][ konvergiert.
Beweis. Zu jedem kEN gibt es ein nk E N, so daB nk < nk+l (k
~
1) und
Jt( {Ifm - fnl ~ 2- k }) ::::; Tk fUr alle m, n ~ nk. Es seien Ak := {Ifnk+! - fnk I ~ 2- k }, Bl := U~l Ak und 6 > O. Dann gibt es ein mEN mit Jt(Bm) < 6, und fUr alle x E B';" und l > k > m gilt
l-1
Ifni (X) - fnk(X)1 ::::;
L
IfnH!(X) - fnj(x)1 ::::; 21- k ::::; Tm.
j=k
27Nach F.
RIESZ
[1], S. 396 stammt dieser Satz von H.
LEBESGUE.
256
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und 1ntegrationstheorie
Daher konvergiert (fnk I B:',,)k>l gleichmaBig, und es folgt die Behauptung.
D
4.7 Satz. Konvergieren die mejJbaren Funktionen fn : X -+ lK n.M. gegen die mejJbare Funktion f : X -+ lK, so gibt es eine TeiIfolge (fnJk>l, die fast gleichmiijJig gegen f konvergierl. Beweis. Nach Satz 4.6 konvergiert eine geeignete Teilfolge (fnJk>l fast gleichmaBig gegen eine meBbare Funktion 9 : X -+ lK. Da (fnkh>l auch n.M. gegen 9 konvergiert (Satz 4.4), ist 9 = f f.li. D
4.8 Korollar (H. WEYL 1909).12 Es sei 0 < p < 00. a) Zu jeder Cauchy-Folge (fnk~l in £P gibt es eine TeiIfolge (fnJk?l und ein f E £P, so dajJ (fnkh>l fast gleichmiijJig gegen f konvergiert. b) Konvergiert (fn)n?~ in £P gegen f E £P, so gibt es eine TeiIfolge (fnkh?l, die fast gleichmiijJig gegen f konvergierl. Beweis. a) (fn)n?l konvergiert nach dem Satz von RIEsz-FISCHER gegen ein E £P, und die Satze 4.3, 4.7liefern a). Zugleich wird Aussage b) klar. D
f
4.9 Korollar (F. RIESZ 1910).25 a) Biiden die mejJbaren Funktionen fn : X -+ lK eine Cauchy-Folgefiir die Konvergenz n.M., so gibt es eine TeiIfolge (fnkh>l, die J.l-f.li. gegen eine mejJbare Funktion f : X -+ lK konvergiert. b) Konvergieren die mejJbaren Funktionen fn : X -+ lK n.M. gegen die mejJbare Funktion f : X -+ lK, so gibt es eine TeiIfolge (fn.h?l' die J.l-f·u. gegen f konvergiert. Beweis: klar nach Satz 4.6, 4.7.
D
4.10 Korollar (F. RIESZ 1910).28 Die mejJbaren Funktionen fn : X -+ lK biiden eine Cauchy-Folge fur die Konvergenz nach MajJ genau dann, wenn es eine mejJbare Funktion f : X -+ lK gibt mit fn -+ f n.M. Beweis. Wir haben bereits bemerkt, daB jede n.M. konvergente Folge eine Cauchy-Folge fUr die Konvergenz nach MaB ist. - 1st umgekehrt (fn)n?l eine Cauchy-Folge fUr die Konvergenz n.M., so existiert eine Teilfolge (fnkh>l, die fast gleichmaBig gegen eine meBbare Funktion f : X -+ lK konvergiert (Satz 4.6). Nach Satz 4.4 konvergiert (fnkh>l auch n.M. gegen f. Wegen
konvergiert daher auch (fn)n?l n.M. gegen f.
D
3. Vergleich der Konvergenzhegriffe. Wir sammeln die wesentlichen Beziehungen zwischen dem Konvergenzbegriffen in einem Schema. Dabei gelten die Implikationen ,,==?" unter der Zusatzvoraussetzung J.l(X) < 00. 28F. RIESZ [1], S. 397.
§ 4. Konvergenz nach MaE GleichmaEige Konvergenz
~
257
f.li. gleichmaBige Konvergenz (= Konvergenz in £(0)
==}
fast gleichmaBige
~
4.4
Konvergenz in £P
Konvergenz n.M.
Konvergenz
II 11 JJ II Punktweise Konvergenz
~
nn
3.5
Konvergenz pA.li.
~
Konvergenz lokal n.M.
Besonders interessant sind hier noch Zusatzbedingungen, die zusammen mit der Konvergenz p-f.li. oder der Konvergenz (lokal) n.M. die Konvergenz in £P implizieren. Zum Beispiel liefert der Satz von der majorisierten Konvergenz sofort: 1st 0 < P < 00, konvergieren die Funktionen fn E £P p-f.il. gegen die mefJbare Funktion f : X ~ lK, und gibt es ein g E £P mit Ifni :s; g p-f.il., so gilt f E £P und Ilfn - flip ~ O. Weitere Aussagen dieses Typs werden wir in § 5 kennenlernen. Die folgenden Beispiele erganzen die Aussagen des Schemas. 4.11 Beispiele. a) 1st 0 < p < 00, p(X) < 00, fn E £P und gilt fn ~ 0 pf.il., so braucht (fn)n>l nicht in £P zu konvergieren: Wahlt man (X,21,p) = ([0,1]' 113[0,11' jJ~,ll)' fn ~= n 2 / P XIO,1/nJo so gilt: fn ~ 0, fn E £P, aber Ilfnll~ = n, d.h. (fn)n>l ist nicht einmal beschrankt in £P. b) 1st 0 p < 00, fn E £P und konvergiert (fnk;>l gleichmiifJig gegen 0, so braucht (fn)n>l nicht in £P zu konvergieren, falls p(X) = 00. Ais Beispiel wahlen wir (X,21,p) = (1R,1B1,jJ1) und fn := n-1X[0,2nl' Dann konvergiert (fnk;>l gleichmaBig gegen 0, aber wegen Ilfnll~ = n- P 2n ist (fnk:':l nicht einmal beschrankt in £P. c) Eine n.M. konvergente Folge braucht nicht f.il. zu konvergieren: s. Beispiel 2.8. d) 1st p(X) = 00 und konvergiert (fn)n?l punktweise liberall und nach MaE und in jedem £P (0 < p < (0) gegen 0, so braucht (fn)n>l nicht fast gleichmaEig gegen 0 zu konvergieren: Wahlt man (X, 21, p) = (1R, ~1, jJ1) und fn := X[n,n+1/nl, so gilt fn ~ 0, fn ~ 0 n.M., Ilfnllp ~ 0, aber fUr jedes n E N und 0 < E < 1 ist
<.
4. Charakterisierung der Konvergenz n.M. und der Konvergenz lokal n.M. Die Aussage des Satzes 4.7 laEt sich zu einer Charakterisierung der Konvergenz n.M. erweitern:
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
258
4.12 Satz. Sind f, fn : X -+ ][ mejlbar, so gilt: (fnk?l konvergiert n.M. gegen f genau dann, wenn jede Teilfolge von (fnk?:l eine Teilfolge hat, die fast gleichmiijlig gegen f konvergiert.
Beweis. Konvergiert (fn)n?l n.M. gegen f, so konvergiert auch jede Teilfolge (fnkh?l von (fn)n?l n.M. gegen f, hat also nach Satz 4.7 eine fast gleichmaBig gegen f konvergente Teilfolge. - Es seien umgekehrt die" Teilfolgenbedingung" erfUllt und E > O. Es gibt eine Teilfolge gk := fnk (k 2': 1), so daB
Nach Voraussetzung hat (gkh>1 eine Teilfolge (gkz)l>l, die fast gleichmaBig gegen f konvergiert. Nach Satz 4.4 konvergiert p,( {Igkl - fl 2': E}) fUr l -+ 00 gegen 0, also ist lim P,({lfn - fl2': E}) = O. 0 n--+oo
4.13 Korollar. Sind f, fn : X -+ ][ mejlbar, so gilt: Konvergiert (fn)n>1 n.M. gegen f, so hat jede Teilfolge von (fn)n?1 eine p,-f·u. gegen f konvergeite Teilfolge. Fur p,(X) < 00 gilt auch die umgekehrte Implikation.
Beweis: klar nach Satz 4.12 und dem Satz von
JEGOROW.
o
4.14 Satz. Sind p, (J-endlich und f, fn : X -+ ][ mejlbar, so gilt: Konvergiert fn -+ f lokal n.M., so hat (fn)n?1 eine f·u. gegen f konvergente Teilfolge.
Beweis. Es gelte fn -+ f lokal n.M. Wir wahlen Ak E ~ mit Ak t X, p,(Ak) < 00 (k EN). Nach Korollar 4.13 existiert eine Teilfolge (fIn)n>l, so daB (fIn IAI)n>1 f.li. gegen f IAl konvergiert. Ebenso hat (fIn)n?1 eine TeilfOlge (hn)n?l' so daB(hn I A 2)n>1 f.li. gegen f I A2 konvergiert usw. Die Diagonalfolge (fnn)n>1 aller dieser Folgen (fkn)n?1 (k E N) konvergiert f.li. gegen f. 0 4.15 Korollar. Sind p, (J-endlich und f, fn : X -+ ][ mejlbar, so gilt: (fn)n?1 konvergiert lokal n.M. gegen f genau dann, wenn jede Teilfolge von (fn)n?1 eine f. U. gegen f konvergente Teilfolge hat.
Beweis. Die Notwendigkeit der Teilfolgenbedingung ist klar nach Satz 4.14. Die Umkehrung folgt aus Satz 4.12 und dem Satz von JEGOROW. 0
Aufgaben. 4.1. Sind In, I : X -+ K meBbax, konvergiert (fn}n>l nach MaB gegen lund ist (fn}n?l eine Cauchy-FoIge fiir die fast gIeichmaBige Konvergenz, so gilt In -+ I fast gIeichmaBig. 4.2. Sind J-L u-endlich, In'!, 9 : X -+ K meBbar und gilt In -+ I Iokal n.M., In -+ 9 Iokal n.M., so ist I = 9 J-L-f.ii. 4.3. Konvergiert die FoIge der meBbaxen Funktionen In: X -+ K IokaI n.M. gegen die meBbaxe Funktion I : X -+ K und ist cp: K -+ K stetig, so konvergiert (cpOln}n>l IokaI n.M. gegen cp 0 I. Die entsprechende Aussage fiir die Konvergenz n.M. ist falsch. 4.4. Es sei M der Vektorraum der meBbaren Funktionen
I : X -+ IK.
§ 5. Konvergenz in £P a) 1st /1(X)
259
< 00, so definiert d(f,g)
:=
r
If - gl
ix 1 + If _ gl d/1
(f,g E M)
eine Halbmetrik auf M. Eine Folge von Funktion fn EM konvergiert genau dann nach MaB gegen f E M, wenn d(fn' f) --+ O. Der halbmetrische Raum (M, d) ist vollstandig. b) Es seien /1 a-endlich, Ak E 2l,U:l Ak = X,/1(A k) < 00 (k E N) und 00
2~k
d(f,g):=L (A.)+l k=l /1 k
!
A,
If _ gl l+lf- I d/1 9
(f,gEM).
Dann ist d eine Halbmetrik. Eine Folge (fn)n>l in M konvergiert genau dann lokal n.M. gegen f E M, wenn d(fn' f) --+ O. Der halbmetiische Raum (M, d) ist vollstandig. 4.5. 1st (R, d) ein separabler metrischer Raum, so hat die Topologie von Reine abzahlbare Basis, also gilt 'E(R x R) = 'E(R) (8l'E(R) (Satz III.5.10). Sind femer f, 9 : X --+ R meBbar, so ist (f,g): (X, 21) --+ (RxR,'E(R)(8l'E(R)) meBbar, und diestetige Funktion d: RxR --+ OC ist meBbar bez. 'E(R x R). Daher ist do (f, g) : X --+ OC meBbar, und wir k6nnen definieren: Eine Folge meBbarer Funktionen fn : X --+ R konvergiert nach Maj3 gegen die meBbare Funktion f : X --+ R, falls flir aile c > 0 gilt:
Entsprechend ist der Begriff der Konvergenz lokal n.M. sinnvoll. a) Konvergieren die meBbaren Funktionen fn : X --+ R f.li. gegen die meBbare Funktion f : X --+ R, so gilt fn --+ f lokal n.M. b) Konvergieren die meBbaren Funktionen fn : X --+ R n.M. gegen die meBbare Funktion f : X --+ R, so gibt es eine fast gleichmaBig gegen f konvergente Teilfolge (fn, h:>l; insbesondere existiert eine f.li. gegen f konvergente Teilfolge. c) Sind fn, f : X --+ R meBbar, so gilt: fn --+ f n.M. genau dann, wenn jede Teilfolge von (fn)n:>l eine fast gleichmaBig gegen f konvergente Teilfolge hat. d) Sind /1 a-endlich und fn, f : X --+ R meBbar, so gilt: fn --+ f lokal n.M. genau dann, wenn jede Teilfolge von (fn)n:>l eine f.li. gegen f konvergente Teilfolge hat. Wie laBt sich Aufgabe 4.3 verallgemeinern? e) Sind /1, v a-endliche MaBe auf 21 mit den gleichen Nullmengen und fn, f : X --+ R meBbar, so konvergiert fn --+ f lokal n.M. bez. /1 genau dann, wenn fn --+ f lokal n.M. bez. v. f) Es sei /1(X) < 00. Sind f, 9 : X --+ R meBbar, so sei
15(f,g):= inf{c
~
0: /1({d(f,g)
> c}) :S c}.
Dann wird das Infimum angenommen, d.h. a := 15(f, g) ist die kleinste reelle Zahl mit /1( {d(f, g) > a}) :S a. 15 ist eine Halbmetrik auf der Menge M(X, R) der meBbaren Funktionen f : X --+ R. (Diese Halbmetrik wurde eingeflihrt von Ky FA!\" (1914~): Entfernung zweier
zufiilligen Groj3en und die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit, Math. Z. 49,
681~683
(1944).)
Eine Folge (fn)n:>l in M(X, R) konvergiert genau dann nach MaB gegen f E M(X, R), wenn 15(fn, f) --+ O. 1st R vollstandig, so ist (M(X, R), (5) ein vollstandiger halbmetrischer Raum.
§ 5.
Konvergenz in £P " ... a convergent sequence permits exchange of lim and J if it is bracketed by two sequences which permit this exchange." (J. W. PRATT: On interchanging
limits and integrals, Ann. Math. Stat. 31,
74~77
(1960))
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
260
1. Der Satz von PRATT. Die folgende niitzliche Variante des Satzes von der majorisierten Konvergenz geht fUr punktweise f.ii. konvergente Folgen fn, gn, h n zuriick auf J.W. PRATT, lac. cit.
5.1 Satz von Pratt (1960). Es sei (fn)n>1 eine Folge in £~(Jl), die lokal n.M. gegen die mefJbare Funktion f : X --+ lR. konvergiert, und {J =I- O} sei von (J-endlichem MafJ. Gibt es Funktionen gn, g, hn' h E £~(Jl), so dafJ (i) gn --+ g lokal n.M., h n --+ h lokal n.M., (ii) limn--+oo gndJl = gdJl, liilln--+oo hndJl = hdJl, (iii) gn ::::; fn ::::; hn Jl- f·U., so ist I E £~ (Jl), und es gilt:
Ix
Ix
Ix
Ix
lim { fn dJl = { I dJl. n--+oo 1x lx Beweis. Es gelte zunachst fn --+ I, gn --+ g, h n --+ h Jl-f.ii. Aus g ::::; I ::::; h Jl-f.ii. folgt dann f E £1, und das Lemma von FATOU liefert
also
Ix I dJl
::::; lim
n--+oo
Ix In dJl.
Eine nochmalige Anwendung des Lemmas von
FATOU ergibt
Ix
Ix
Ix
Ix
d.h. lim fn dJl ::::; I dJl. Insgesamt erhalten wir: limn--+oo fn dJl = I dJl. n--+oo Es gelte nun lediglich In --+ f, gn --+ g, h n --+ h lokal n.M. Da die integrierbaren Funktionen In,gn, h n auBerhalb einer geeigneten Menge (J-endlichen MaBes (d.h. auBerhalb einer abzahlbaren Vereinigung von meBbaren Mengen endlichen MaBes) verschwinden und da auch {I =I- O} von (J-endlichem MaB ist, liefert Korollar 4.15: g ::::; I ::::; h Jl-f.ii., also f E £1. - Angenommen, die Behauptung ist falsch. Dann gibt es ein 8 > 0 und eine Teilfolge (fnkh'2!, so daB (5.1)
IIx
fnk dJl -
Ix
I dJlI ?: 8
fUr alle kEN.
Da die integrierbaren Funktionen I, In, g, gn, h, h n auBerhalb einer geeigneten Menge (J-endlichen MaBes alle verschwinden, kann nach Korollar 4.15 zusatzlich angenommen werden, daB die Funktionen Ink' gnk' hnk punktweise f. ii. gegen f bzw. g bzw. h konvergieren. Dann ist aber limk--+oo fnk dJl = I dJl nach dem bereits Bewiesenen im Widerspruch zu (5.1). D
Ix
Ix
§ 5. Konvergenz in £P
261
Bemerkung. Die obige SchluBweise zur Abschwachung der Voraussetzung der Konvergenz J,t-f.ii. zur Konvergenz lokal n.M. geht zuriick auf F. RIESZ [1], S. 517. 5.2 Korollar
(PRATT
1960). Gilt in Satz 5.1 zusiitzlich gn :::; 0 :::; hn' so gilt lim
r Ifn -
n--+oo } X
fl dJ,t =
o.
Beweis. Offenbar gilt nach der obigen SchluBweise J,t-f.ii.
und hier konvergiert h n - gn
Ix
(hn - gn
+h -
9 lokal n.M. gegen 2h - 2g E £1 und
+h -
g) dJ,t -+
Ix
(2h - 2g) dJ,t.
Da Ifn - fllokal n.M. gegen 0 konvergiert, liefert Satz 5.1 die Behauptung. 0 Offenbar umfaBt Korollar 5.2 die Aussage des Satzes 1V.5.9 von SCHEFFE.
2. Konvergenz in £P. Der Satz von PRATT ist das wesentliche Hilfsmittel zum Beweis der folgenden Kriterien fUr die Konvergenz in £P. 5.3 Satz. Es seien 0 < p < 00, fn E £~, f : X -+ lK mepbar; {f # O} sei von aendlichem Map, und es gelte fn -+ f lokal n.M. Ferner gebe es h n , hE £pnM+, so dap h n -+ h lokal n.M., Ifni:::; hn J,t-f.u. und h~ dJ,t -+ hPdJ,t. Dann gilt: f E £P und Ilfn - flip -+ o.
Ix
Ix
Beweis. Die Funktionen fn, f, h n , h verschwinden auBerhalb einer geeigneten Menge a-endlichen MaBes. Nach Satz 4.14 ist daher If I :::; h J,t-f.ii., also f E £P. Ferner gilt nach Korollar 4.15: h~ -+ hP lokal n.M., und nach (1.16) gilt Ifn flP :::; 2P(h~ + IfI P ) J,t-f.ii. Daher liefert der Satz von PRATT die Behauptung.
o 5.4 Satz. Es seien 0 < p < 00 und fn, f E A ussagen iiquivalent: a) Ilfn - flip -+ O. b) fn -+ f lokal n.M. und Ilfnllp -+ Ilfllp"
£P
(n EN). Dann sind folgende
Beweis. a) =} b): Aus Ilfn - flip -+ 0 folgt zunachst fn -+ f lokal n.M. (Satz 4.3). 1st p;::: 1, so folgt die zweite Aussage unter b) aus Illfnllp-llfllpl :::; Ilfn - fllp-+ o. Fiir 0 < p < 1 schlieBt man entsprechend mit II . II~ anstelle von II . lip (s. (1.18) ). b) =} a): klar nach Satz 5.3 mit h n := Ifni. 0 5.5 Korollar (F. RIESZ 1928).29 Es seien 0 < p < 00, fn, f E £P, und es gelte fn -+ f J,t-f·u. und IIfnllp -+ Ilfllp· Dann gilt: Ilfn - flip -+ o. 29F. RIESZ
[1], S. 513.
262
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
o
Beweis: klar nach Satz 5.4 und Satz 4.5.
3. Der Konvergenzsatz von VITALI. Fiir die Funktionen fn E £P gelte fn -+ 0 p-f.ii. Wir fragen, welches Verhalten der fn die Konvergenz Ilfnllp -+ 0 verhindern kann. Nehmen die fn auf Mengen sehr kleinen MaBes sehr groBe Werte an, so kann man leicht erreichen, daB fn -+ 0 p-f.ii. wahrend zugleich Ilfnllp :::::: 1 fUr aIle n E N (s. Beispiel 4.11, a)). Man kann auch miihelos Funktionen konstruieren, die auf Mengen sehr groBen MaBes sehr kleine Werte annehmen, so daB fn -+ 0 p-f.ii. und Ilfnllp :::::: 1 fiir aIle n E N (s. Beispiel 4.11, b)). Grob gesprochen besagt der Konvergenzsatz von VITALI, daB dieses die einzigen moglichen Obstruktionen sind, welche die Konvergenz Ilfnllp -+ 0 verhindern konnen. 5.6 Konvergenzsatz von Vitali (1907).30 Es seien 0 < p < 00 und f, fn E £P (n EN). Dann sind folgende Aussagen a), b) iiquivalent: a) Un)n?l konvergiert im p-ten Mittel gegen f. b) (i) fn -+ f lokal n.M. (ii) Zu jedem c > 0 gibt es ein E Emmit p(E) < 00, so daft
r Ifnl Pdp < c
lEc
fur alle n EN.
(iii) Zu jedem c > 0 gibt es ein 8 > 0, so daft fur alle A Emmit p(A) < 8 und alle n E N gilt
i
Ifnl Pdp < c.
Eine Folge von Funktionen fn E £P mit den Eigenschaften (ii), (iii) heiBt (im p-ten Mittel) gleichgradig integrierbar.
Beweis. a) =} b): Bedingung (i) ist klar nach Satz 4.3. 1st 1 :::::: p < B E m, so liefert die Minkowskische Ungleichung
I
(Is
Ifnl PdP ) lip -
: : : II Un -
(Is
00
und
Ifl PdP ) lip I = IIIfnXBlip - IlfxBllpl
f)xBllp :::::: Ilfn - flip·
Nach Aufgabe IV.3.7 sind damit die Bedingungen (ii), (iii) klar. - Fiir 0 < p < 1 schlieBt man ebenso mit II . II~ anstelle von II . lip· b) =} a): Es gelte zunachst fn -+ f p-f.ii. Zu vorgegebenem c > 0 wahlen wir E E mgemaB (ii) und 8 > 0 gemaB (iii). Dann gibt es nach dem Satz von JEGOROW eine meBbare Menge BeE mit p(E \ B) < 8, so daB Un I B)n>l gleichmaBig gegen fiB konvergiert. Nun schiitzen wir mit (1.16) ab: -
(5.2)
Ix
Ifn - flP dp
: : : 2P
r (lfnl P+ IfI P) dp + 2 lE\B r (lfnl P+ IfI P) dp + lBr Ifn - flP dp.
lEc
P
~~-------------
30G. VITALI: Sull'integrazione per serie, Rend. eire. Mat. Palermo 23, 1-19 (1907) (= Opere, S. 237-255).
263
§ 5. Konvergenz in f ] Nach dem Lemma von FATOU ist hier
Die erst en beiden Terme auf der rechten Seite von (5.2) sind daher zusammen < 2P+2 E. Da (fn I Bk>l gleichmiifJig gegen fiB konvergiert, ist auch der dritte Term < E fUr aIle n :2: no(E), und es folgt a). Es gelte nun lediglich fn -+ f lokal n.M.. Angenommen, es gibt ein (j > 0 und eine Teilfolge (fnkh?l mit (5.3)
Ilfnk -
flip :2: (j
fUr aIle kEN.
Nach Satz 4.14 kann zusatzlich angenommen werden, daB (fnkh?l f.ii. gegen f konvergiert, denn die Funktionen f, fn verschwinden auBerhalb einer Menge a-endlichen MaBes. Nach dem oben Bewiesenen gilt dann Ilfnk - flip -+ 0 (k-+ (0) im Widerspruch zu (5.3). 0
Bemerkung. Der Konvergenzsatz von VITALI gilt entsprechend, wenn nur vorausgesetzt wird, daB f : X -+ lK meBbar ist und auBerhalb einer Menge aendlichen MaBes verschwindet; unter a) ist dann zusatzlich f E £P zu fordern. Dagegen reicht es fUr die Richtung "b) =} a)" nicht, f lediglich als meBbar vorauszusetzen: Es gibt MaBdiume, in denen Mengen B E Q( mit JL(B) = 00 exist ieren, so daB JL(AnB) = 0 fUr aIle A E Q( mit JL(A) < 00. Fiir f = XB, fn = 0 sind dann die Bedingungen b) erfUIlt, nicht aber a). - Konvergiert z.B. fn -+ f JLf.ii. oder fn -+ f n.M., so verschwindet f auBerhalb einer Menge a-endlichen MaBes. 4. Schwache Konvergenz in £P. 1st Vein Banach-Raum iiber lK und V' der (Banach- ) Raum der stetigen Linearformen V -+ lK, so heiBt eine Folge (Xn)n?l von Vektoren aus V schwach konvergent gegen x E V, falls
Ix
5.7 Definition. Es seien 1 :s: p < 00, q := (1 - l/p)-l und fn, f E £P (bzw. V). Die Folge (fn)n?l heiBt schwach konvergent gegen f, wenn fUr aIle g E 0 (bzw. Lq) gilt:
Schreibweise: fn ----' f· 1m Unterschied zur schwachen Konvergenz bezeichnet man die (Norm- )Konvergenz in £P als starke K onvergenz.
264
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
5.8 Folgerungen. a) Konvergiert die Folge (fnk::l aus £P (1::::: p < 00) schwach gegen f E £P und schwach gegen g E £P, so ist f = g f.li. b) Jede stark konvergente Folge in £P (1::::: p < 00) ist schwach konvergent mit gleichem Limes. c) Jede schwach konvergente Folge in £P (1::::: p < 00) ist beschdinkt.
Beweis. a) Die Voraussetzung liefert: Ix(f - g)hdp, = 0 fUr alle h E O. Wahlt man speziell: h(x) := { (f(x) - g(x))lf(x) - g(X)I~-l, falls f(x) 0, falls f(x)
-I g(x) , = g(x) ,
so ist h E 0 und Ix(f - g)hdp, = Ix If - glPdp, = 0, also ist f = g f.li. b) Konvergiert (fn)n~l in £P gegen f E £P, so gilt nach der Holderschen Ungleichung fUr alle g EO:
c) klar nach dem Satz von BANACH-STEINHAUS (Prinzip der gleichmaBigen Beschranktheit; s. HEWITT-STROMBERG [1], S. 217-218). 0 5.9 Satz. Es seien 1 < p < 00, f, fn E £P, und die Folge (1Ifnllp)n>l sei in lR beschriinkt. Konvergiert fn ---+ f lokal n.M., so konvergiert (fn)n~l schwach gegen f.
Beweis. Wir set zen zunachst voraus, daB sogar fn ---+ f p,-f.li. Es sei M > 0 so gewahlt, daB Ilfnllp ::::: M fUr alle n E N. Dann ist nach dem Lemma von FATOU auch
Es seien nun q = (l-l/p)-I,g EO und IV.3.7 ein 8 > 0, so daB
(llglq dp, ) l/q :::::
~
E
> O. Dann existieren nach Aufgabe
fUr alle A E 21 mit p,(A) < 8
und ein E E 21 mit p,(E) < 00, so daB
Nach dem Satz von JEGOROW gibt es eine meBbare Menge BeE mit p,(E \ B) < 8, so daB (fn I B)n>l gleichmaBig gegen fiB konvergiert. Mit Hilfe der
§ 5. Konvergenz in CP
265
Holderschen und der Minkowskischen Ungleichung konnen wir nun abschatzen:
I
Ix
fngd/i-
: :; lEer Ifn -
Ix
fgd/il
fllgl d/i +
:::; (Ilfnllp + Ilfllp) (
+ (llfn :::; 2M
r
lEw
(Le
Ifn - fllgl d/i +
Iglq d/i) llq
+
r Ifn -
lB
(L\B
fllgl d/i
Iglq d/i) llq)
- flP d/i) lip Ilgllq
(~ + ~) + ( l l fn -
fIPd/i) lip Ilgllq.
Wegen der gleichmaBigen Konvergenz der fn I B gegen fiB und /i(B) < 00 konvergiert der letzte Term fUr n -+ 00 gegen 0, und es folgt die Behauptung im Falle fn -+ f /i-f.il. Es gelte nun lediglich fn -+ f lakal n.M. Angenommen, die Behauptung ist falsch. Dann gibt es ein 9 E C q, ein t5 > 0 und eine Teilfolge (fnkh~l' so daB I
(5.4)
Ix
fnkgd/i-
Ix
fgd/il ?:. t5
filr alle kEN.
Wieder kann nach Satz 4.14 gleich angenommen werden, daB fnk -+ f /i-f.il., und dann gilt nach dem bereits Bewiesenen fnk ----' f im Widerspruch zu (5.4). D
Bemerkungen. a) Satz 5.9 gilt entsprechend, wenn anstelle von "f E CP" vorausgesetzt wird: f : X -+ lK ist meBbar und verschwindet auBerhalb einer Menge a-endlichen MaBes. b) Satz 5.9 gilt nicht fUr p = 1: Die Folge der Funktionen fn := nX]O,l/n[ konvergiert zwar punktweise gegen 0, Ilfnlll = 1 fUr alle n, aber (fn)n>l konvergiert nicht schwach gegen 0 in CI([O,1],!.B[O,I],,8~,I])' denn filr 9 = 1-E C'~o gilt Iol fng d,81
= 1 fUr
alle n.
Der folgende Satz von J. RADON und F. RIESZ ist besonders im Vergleich mit Satz 5.4 von Interesse. 5.10 Satz von RADON-RIESZ. 31 Es seien 1 < p < 00 und f, fn E CP (n EN). Dann sind falgende A ussagen iiquivalent: a) Ilfn - flip -+ 0 (n -+ 00). b) (fn)n>l kanvergiert schwach gegen fund Ilfnllp -+ Ilfllp·
Beweis. a) ::::} b): klar nach Folgerung 5.8, b). b) ::::} a): Filr den Beweis darf gleich Ilfllp > 0 angenommen werden. Es seien q:= (1- l/p)-1 und 9
(x) .- { If(xW / f(x), falls f(x) =1= 0, .0, fallsf(x) =0.
~---------------
31J. RADON
[1], S. 1363; F. RIESZ [1], S. 514 if. und S. 522 if.
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
266
Dann ist Iglq = IfI P, also g EO und Ilgll~ = Ilfll~. Nach b) gilt fUr n -+
Ix
(5.5)
fngdJi-+
Ix
fgdJi =
00
l!fll~·
Ferner liefert die HOldersche Ungleichung nach b)
und zusammen folgt: (5.6)
Wir set zen nun fUr 0 ::::: A ::::: 1
Dann sind In(O) und In(l) endlich, und fUr 0 < A < 1 liefert die HOldersche Ungleichung (mit den Exponenten pi = 1/A,QI = 1/(1- A)), daB In(A) endlich ist. Da die rechte Seite von (5.6) positiv ist, kann gleich angenommen werden, daB In(A) > 0 fUr alle n. Mit Hilfe der Holderschen Ungleichung priift man nach, daB die Funktion A H log In(A) konvexist. Nun gilt'nach b) und (5.6)
In(l)
= Ilfll~, In(O)
-+ Ilfll~, In(l - lip) -+ Ilfll~,
und die Konvexitat von log In impliziert nach Aufgabe 1.15: limn--+(x'/n(A) Ilfll~ fUr 0 ::::: A ::::: 1. Insbesondere gilt das fUr A = ~, d.h.
=
Daher folgt:
d.h. (lfnI P/2)n;:1 konvergiert im quadratischen Mittel gegen IfI P/2. Nun schlieBen wir indirekt: Angenommen, es gibt ein 8 > 0 und eine Teilfolge (ink h;:l mit
(5.7)
Ilfnk - flip
~ 8
fUr alle k ~ 1.
Da die Ifnk IP/2 im quadratischen Mittel gegen IfI P/ 2 konvergieren, kann nach Satz 2.7 gleich zusatzlich angenommen werden, daB
(5.8)
§ 5. Konvergenz in
.cp
267
also auch (5.9) Nach (5.5), (5.6) gilt weiter
Ix
(Ifnkgl - Re(fnkg)) dJ.L - t 0 ,
so daB wegen der Nichtnegativitat des Integranden (wiederum nach Satz 2.7) gleich zusatzlich angenommen werden kann, daB Ifnkgl - Re(fnkg) -+ 0 J.L-f.ii. Insbesondere folgt hieraus 1m (fnkg) -+ 0 J.L-f.ii., und (5.9) ergibt: fnkg -+ Ifl P J.L-f.ii. Nach Definition von 9 bedeutet dies: fnkX{!#-o} -+ f J.L-f.ii., und aus (5.8) folgt: fnk -+ f J.L-f.ii. Wegen unserer Voraussetzung Ilfnk lip -+ Ilfllp impliziert nun Korollar 5.5: IlInk - flip -+ 0: Widerspruch zu (5.7)! D Ein anderer relativ einfacher Beweis des Satzes von RADON-RIESZ wird von HEWITTSTROMBERG [1] als Ubungsaufgabe (15.17) vorgeschlagen. - Folgende Charakterisierung der starken Konvergenz in C1 findet man bei DUNFORD-SCHWARTZ [1], S. 295, Theorem 12: Fur
In, IE C1 (n E N) sind lolgende Aussagen aquivalent: a) Illn - 1111 ~ 0 (n ~ 00). b) In ---'- I und In ~ I lokal n.M. Die Implikation "a) =? b)" ist hier klar nach Folgerung 5.B, b) und Satz 4.3. Der Beweis der Umkehrung stiitzt sich auf den Konvergenzsatz von VITALI und eine Charakterisierung der schwach folgenkompakten Teilmengen von C 1 (s. DUNFORD-SCHWARTZ, a.a.O.).
Aufgaben 5.1. Es seien Jl(X) < 00,0 < r < p ::; 00 (also CP c e), I : x ~ lK eine meBbare Funktion und (fn)n?l eine beschrankte Folge in CPo Dann sind folgende Aussagen aquivalent: (i) In ~ I n.M. (ii) Illn - Illr ~ 0 und I E CPo (Hinweise: Sei Illnllp ::; M fiir aile n E N. Nach Satz 2.10 ist fA Ilnl r dJl ::; (Jl(A))l-r/ pMr fiir alle A E 'Zl, n E N. Gilt nun (i), so ergibt ein Teilfolgenargument mit dem Lemma von FATOU zunachst, daB I E CP, und der Konvergenzsatz von VITALI liefert (ii). - Die Umkehrung ist klar nach Satz 4.3.)
5.2. Es seien 0
< p < 00, In E CP, Illnllp = 1, und es gebe ein M > 0, so daB Ifni ::;
M (n E
N). a) Es gibt ein A E 'Zl mit Jl(A) > 0, so daB 2::;:'=1 Iln(x)I'" = 00 fiir alle x E A und 0 > O. (Hinweis: Die Folge (fn)n?l kann nicht f.ii. gegen 0 konvergieren.) b) Konvergiert die Reihe 2::;:'=10nln n.M. gegen eine meBbare Funktion I : X ~ lK, so ist (On)n;;'l eine Nullfolge. (Hinweis: Gibt es ein 8 > 0 und eine Teilfolge, so daB IOnkl 2: 8 (k E N), so konvergiert (fnk)k;;'l n.M. gegen 0.) c) Aussage b) wird ohne die Voraussetzung der Beschranktheit der In falsch. 5.3. Fiir 0 falls p' =
< p,p'
00.
:::;
00
ist {fg: I E CP,g E CP'} = Cpp'/(P+P'); dabei sei pp'/(p+ p') := p,
268
VI. Konvergenzbegriffe der MaB- und Integrationstheorie
5.4. Es sei (fn)n?l eine Folge in CP (1::; p < 00) mit L~=lll/n - In+1llp < 00. Dann konvergiert die Folge der Funktionen Fn := L~=l Ilk - 1k+11 f.ii. gegen eine Funktion F E CP, und es gilt auch IlFn -Flip -+ O. Die Folge (fn)n?l konvergiertf.ii. gegen eine Funktion IE CP, und es gilt
Il/n - Illp -+ O. -
Wie lautet der entsprechende Sachverhalt fiir 0
5.5. Sind In, 9 E CP (n E N) und gilt Ifni ::; 9 JL-f.ii. (n Bedingungen (ii), (iii) des Konvergenzsatzes von VITALI.
E N),
< p < I?
so erfiiIlt (fn)n?l die
5.6. Zeigen Sie mit Hilfe von Beispielen: Die schwache Konvergenz einer Folge in CP (1::;
< 00) impliziert weder die Konvergenz f.ii. noch die Konvergenz (lokal) n.M. noch die Konvergenz in CPo Weder die gleichmaBige Konvergenz einer Folge (von Funktionen aus CP
p
gegen eine Funktion aus CP) noch die Konvergenz n.M. impliziert die schwache Konvergenz. Aus In, IE CP (1::; p
< 00; n E N) und In -'" I folgt nicht I/nl -'" III. (Hinweis: Lemma von
RIEMANN-LEBESGUE.)
5.7. Es seien (X, Qt, JL) = ([0,1], 'B ro ,l], ,8~,1]) und 0 < p < 1. Dann ist 0 die einzige stetige Linearform auf CP. (Hinweise: 1st 'P f= 0 eine Linearform auf CP, so gibt es ein I E CP mit
1I/IIp = 1 und 'P(f) = a > O. Die Funktion F(x) := I; I/(t)IP dt (0::; x ::; 1) ist stetig, also gibt es eine Zerlegung 0 = Xo < Xl < ... < Xn = 1 mit F(Xk) - F(Xk-d = lin fiir k = 1, ... ,n. Fiir Ik := IX]Xk_I,Xk] gilt dann 1= /! + gn E {n/!, ... , nln}, so daB 1'P(gn)1 2: a, Ilgnll~ = n P - 1 -+ 0.)
... + In
f.ii., also existiert ein
5.S. Es seien (X, Qt, JL) = ([0,1]' 'B ro ,l], ,8~,1]) und In(x) := n sin2 n 7rx fiir x E [0,1]. Dann gilt
I: In(x) dx -+ 0 fiir aIle a, b E [0,1], und fiir jedes 9 E C 1([0, 1]) gilt I01 In(x)g(X) dx -+ 0, aber die Folge (fn)n?l konvergiert in keinem CP (1::; p < 00) schwach gegen O. 5.9. 1st 1 < p < 00, so konvergiert eine Folge (fn)n?l in CP(lR.m ,'B m ,,8m) genau dann schwach gegen I, wenn (1I/nllp)n?l beschrankt ist und wenn fiir aIle a,b E IQ'" mit a::; b gilt
Ila,b] In d,81 -+ ira,b] I d,81.
Kapitel VII Absolute Stetigkeit 1m ganzen folgenden Kapitel sei 21 eine o--Algebra. Ein wesentliches Ziel der folgenden Uberlegungen ist die genaue Charakterisierung aller MaBe v auf 2(, die bez. eines fest vorgegebenen o--endlichen MaBes JL auf 21 eine Dichte haben. Zentrale Ergebnisse sind hier der Satz von RADON-NIKODYM und der Lebesguesche Zerlegungssatz. Diese Satze gelten sogar fUr sog. signierte MajJe v, die sich von MaBen lediglich dadurch unterscheiden, daB die Forderung der Nichtnegativitat fallengelassen wird. Jedes signierte MaB ist darstellbar als Differenz von MaBen (lordanscher Zerlegungssatz). - Als Anwendung des Satzes von RADONNIKODYM bestimmen wir die Dualraume der Raume LP (1:::; p < (0). In § 4 stellen wir den Zusammenhang des Begriffs "absolut stetig" mit der Differentiation von Funktionen auf lR her. Das fUhrt uns zum sog. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung fUr das Lebesgue-Integral und zum Lebesgueschen Zerlegungssatz fUr Lebesgue-Stieltjessche MaBe auf R
§ 1.
Signierte MaBe; Hahnscher und J ordanscher Zer legungssatz "Ist
1. Signierte MaBe. Signierte MaBe unterscheiden sich von MaBen lediglich dadurch, daB die Forderung der Nichtnegativitat fallengelassen wird. 1.1 Definition. Eine Abbildung v : 21 -+ lR heiBt ein signiertes MajJ, wenn gilt: (i) v(0) = o. J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 7. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-17905-1_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011
270
VII. Absolute Stetigkeit
(ii) v(Qt.) c] - 00, +00] oder v(Qt.) C [-00, +00[. (iii) 1st A = U:'=l An mit disjunkten An E Qt., so gilt: 00
v(A) =
(1.1)
L v(An)
(u-Additivitiit).
n=1 Da die Addition auf]- 00, +00] und auf [-00, +oo[ assoziativ ist, hat Bedingung (ii) zur Folge, daB die Teilsummen der Reihe unter (iii) sinnvoll sind. Von der Reihe (1.1) wird gefordert, daB sie in I: gegen v(A) konvergiert. - Anschaulich kann man sich ein signiertes MaB vorstellen als eine Ladungsverteilung, bei der sowohl positive als auch negative Ladungen verteilt sind; v(A) ist dann die gesamte auf A befindliche Ladung. 1.2 Folgerungen. Es sei v : Qt. -+ lR ein signiertes MaB. a) 1st A E Qt., [v(A) [ < 00, so ist [v(B) [ < 00 fUr alle B E Qt., B c A. b) 1st A = U:'=1 An mit disjunkten An E Qt. (n::::: 1) und [v(A)[ < 00, so konvergiert die Reihe 2::'=lv(An) absalut.
Beweis. a) Es ist v(A) = v(B) + v(A \ B), und nach (ii) sind beide Summanden auf der rechten Seite endlich. b) Nach a) sind alle v(An) E lR, und wegen (iii) konvergiert die Reihe 2::'=1 v(An) unbedingt, also auch absolut. D 1.3 Beispiele. a) Sind p, u : Qt. -+ I: Maj]e, und ist p oder u endlich, so ist v := p - u ein signiertes MaB. Ein wesentliches Ziel dieses Paragraph en wird es sein zu zeigen, daB jedes signierte MaB v auf Qt. von dieser Form ist und daB p und u bei geeigneter "minimaler" Wahl durch v eindeutig bestimmt sind (J ordanscher Zerlegungssatz). b) Sind /1 : Qt. -+ I: ein MaB und f : X -+ I: quasiintegrierbar, so ist v : Qt. -+ 1:,
v(A) := i f d/1
(A
E Qt.)
nach a) ein signiertes MaB, denn es ist v = f+ 8/1- f- 8/1, und eines der MaBe f+ 8/1, f- 8 /1 ist endlich. Wir nennen v das signierte Maj] mit der Dichte f bez. /1 und schreiben 1.4 Lemma. Es sei v : Qt. -+ I: ein signiertes Maj].
a) Aus An b) Aus An
An t A falgt: v(An) -+ v(A) (Kanvergenz in 1:). Qt.,An.J,. B und [V(A1)[ < 00 falgt: v(An) -+ v(B).
E Qt., E
Beweis. a) Aus A
= A1 U U::'=1 (An+1 \ An)
(disjunkte Vereinigung) folgt
00
v(A)
= v(A1) + L v(An+1 \ An) n=l
lim ( v(Ad N~oo
N-1
+ '" v(An+1 \ ~ n=1
An)
)
= N~oo lim V(AN).
§ 1. Signierte MaBe; Hahnscher und Jordanscher Zerlegungssatz
271
b) Wegen Al \An t Al \B gilt nach a) v(A l \An) -+ V(AI \B). Nach Folgerung 1.2, a) sind aber in den Gleichungen v(Ad = v(A 1 \ An) + v(An) = v(A l \ B) + v(B) alle Terme endlich, und es folgt die Behauptung. D
1.5 Definition. Ein signiertes MaB v : Q{ -+ lR heii3t endlich, falls v(Q{) c R Ferner heiBt v a-endlich, wenn es eine Folge von Mengen En E Q{ (n ~ 1) gibt mit X = U::"=I En und Iv(En)1 < 00 (n EN). Nach Folgerung 1.2, a) ist v genau dann endlich, wenn Iv(X) I < 00, und v ist genau dann a-endlich, wenn es eine Folge disjunkter Mengen An E Q{ gibt mit X = U::"=I An und Iv(An)1 < 00 (n EN).
2. Der Hahnsche Zerlegungssatz. Stellt man sich ein signiertes MaB v : -+ lR als eine Ladungsverteilung vor, so wird man erwarten, daB X sich disjunkt zerlegen liiBt in zwei Mengen P, N E Q{, wobei P nur mit Ladungen ~ 0 besetzt ist und N nur mit Ladungen :::; O. Der Hahnsche Zerlegungssatz wird diese anschauliche Vorstellung in vollem Umfang rechtfertigen. Q{
1.6 Definition. Ist v : Q{ -+ lR ein signiertes MaB, so heiBt die Menge P E Q{ (v- )positiv, falls v( A) ~ 0 fUr alle A E Q{ mit A c P. Entsprechend heiBt N E Q{ (v-)negativ, falls v(A) :::; 0 fUr alle A E Q{ mit A c N. Weiter heiBt Q E Q{ eine (v-)Nullmenge, falls v(A) = 0 fUr alle A E Q{ mit A c Q. Fur MaBe stimmt die neue Definition des Begriffs "Nullmenge" offenbar mit der fruheren uberein. 1. 7 Lemma. 1st v: Q{ -+ [-00, +oo[ ein signiertes MajJ, so enthiilt jedes A E Q{ mit v(A) -=1= -00 eine positive Menge P mit v(P) ~ v(A).
Beweis. Wir zeigen zuniichst: Zu jedem E > 0 gibt es eine meBbare Menge AE C A mit V(AE) ~ v(A), so daB v(B) ~ -E fUr aile meBbaren B CAE' Zum Beweis schlieBen wir indirekt und nehmen an, fUr ein E > 0 sei diese Behauptung falsch. Dann enthalt jede meBbare Menge C C A mit v( C) ~ v( A) eine meBbare Menge B, so daB v(B) :::; -E. Induktiv erhalten wir eine Folge meBbarer Mengen BI C A, Bk C A \ (BI U ... U B k- I ) (k ~ 2), so daB v(B k ) :::; -E (k ~ 1). Da die Bk disjunkt sind, ist v (U;;:I B k ) = -00 im Widerspruch zu v(A) -=1= -00 und Folgerung 1.2, a). Nun wenden wir obige Zwischenbehauptung induktiv an mit E = lin und erhalten eine fallende Folge A I/ n E Q{, so daB P := n::"=l A I/ n positiv ist. Nach Lemma 1.4, b) ist v(P) ~ v(A). D
1.8 Hahnscher Zerlegungssatz (1921). Zujedem signierten MajJ v: Q{ -+ lR existiert eine disjunkte Zerlegung ("Hahn-Zerlegung") X = PUN (P, N E Q{) von X in eine positive Menge P und eine negative Menge N. P und N sind bis auf eine v-Nullmenge eindeutig bestimmt, d.h.: 1st X = pi U N ' eine zweite Hahn-Zerlegung von X in eine positive Menge pi und eine negative Menge N ' , so ist P DP' = N DN' eine v-Nullmenge.
VII. Absolute Stetigkeit
272
Beweis. 1 Es kann ohne Beschrankung der Allgemeinheit v(2l) C [-00, +oo[ angenommen werden. - Wir set zen 0: := sup{v(A) : A E 2l}. Nach Lemma 1.7 gibt es eine Folge (Pn)n>l positiver Mengen mit v(Pn) ---+ 0:. Die Menge P := U~=l Pn ist offenbar positiv, und es ist v(P) ?: v(Pn) fUr aIle n E N, also v(P) = 0:. Damit ist insbesondere erkannt, daB 0: E lR. Die Menge N := pc ist nun negativ, denn gabe es eine meBbare Menge BeN mit v(B) > 0, so ware v(P U B) > 0:, was unmoglich ist. 1st X = pI U N ' eine zweite Hahn-Zerlegung von X und B E 2l, B C P \ pI, so ist v(B) ?: 0, da B C P, und v(B) :s; 0, da B C N ' , also ist v(B) = 0. Daher ist P \ pI eine v-Nullmenge. Aus Symmetriegriinden ist auch pI \ Peine v-Nullmenge, d.h. P 6.P' = N 6.N' ist eine v-Nullmenge. 0 Historische Anmerkung. Der Hahnsche Zerlegungssatz geht zuriick auf H. HAHN [1], S. 404. Weitere Beweise des Satzes stammen von R. FRANCK: Sur une prop1"iete des fonctions additives d'ensemble, Fundam. Math. 5, 252-261 (1924) und W. SIERPINSKI: Demonstration d'un tMoreme sur les fonctions additives d'ensemble, Fundam. Math. 5,262-264 (1924) (= SIERPINSKI [2], S. 537-540).
3. Positive Variation, negative Variation und Variation. Es sei v : 2l---+ ein signiertes MaB mit der Hahn-Zerlegung X = PUN. Dann heiBen die MafJe v+ : 2l ---+ JR,
JR
v+(A)
:=
v(A n P)
(A E 2l)
die positive Variation, v- : 2l ---+ JR,
v-(A)
:=
-v(A n N)
die negative Variation und I v I : 2l ---+
(A E 2l)
JR,
die Variation von v. Da P und N bis auf eine v-Nullmenge eindeutig bestimmt sind, hangen v+, v-, I v I nur von v ab, nicht aber von der Auswahl der HahnZerlegung fUr v. Mindestens eines der MaBe v+, v- ist endlich, und es gilt:
Daher ist v genau dann endlich (bzw. a-endlich), wenn v+ und v- endlich (bzw. a-endlich) sind, und das ist genau dann der Fall, wenn Ivl endlich (bzw. 17endlich) ist. 1 Der folgende kurze Beweis des Hahnschen Zerlegungssatzes stammt von R. Doss: The Hahn decomposition theorem, Proc. Am. Math. Soc. 80,377 (1980).
§ 1. Signierte MaBe; Hahnscher und Jordanscher Zerlegungssatz
273
1.9 Satz. Fur jedes signierte MafJ v : 21 -+ lR und A E 21 gilt: (1.2) v+(A)
sup{v(B) : B E 21, Be A},
(1.3) v-(A)
-inf{v(B): B E 2l,B
(1.4)lvI(A)
sup
{t
c A},
U
IV(Aj)1 : A 1 , ... , An E 21 disjunkt, A =
An}
j=l
j=l
00
00
sup { L Iv(Aj)1 : Aj E 21 (j :::: 1) disjunkt, A j=l
U Aj} .
=
j=l
Beweis. Es sei X = PuN eine Hahn-Zerlegung fUr v. Fur jede meBbare Menge B C A gilt zunachst
v(B)
= v(B n P) + v(B n N)
also sup{v(B) : B E 2l,B
c A}
~
~ v(B
n P)
~ v(A
n P) = v+(A) ,
v+(A). Andererseits ist
v+(A) = v(A n P) ~ sup{v(B) : B E 21, Be A}, und es folgt (1.2). Eine Anwendung des soeben Bewiesenen auf -v anstelle von v liefert (1.3). Bezeichnen eYe (bzw. eYa ) das erste (bzw. zweite) Supremum auf der rechten Seite von (1.4), so ist zunachst
Ivl(A) = Iv(A
n P)I + Iv(A n N)I
Sind andererseits A 1 , .•. , An E 21 disjunkt mit n
eYe
Uj=l Aj c
~
eYa •
A, so ist
n
L Iv(Aj)1 ~ L(v+(Aj) j=l j=l also auch
~
eYa
~
Ivl(A).
+ v-(Aj))
~ v+(A)
+ v-(A) =
IvI(A) ,
o
4. Jordanscher Zerlegungssatz. Die Zerlegung v = v+ - v- des signierten MaBes v heiBt die lordan-Zerlegung von v. Urn eine wesentliche Eigenschaft dieser Zerlegung kurz aussprechen zu konnen, fUhren wir einen wichtigen neuen Begriff ein. 1.10 Definition. Zwei signierte MaBe v, p : 21 -+ lR heif3en zueinander singular, wenn es eine Zerlegung X = Au B, An B = 0, A, B E 21 gibt, so daB A eine v-Nullmenge und Beine p-Nullmenge ist; Schreibweise: v..l p. 1.11 Beispiele. a) 1st F : lR -+ lR eine Sprungfunktion, so gilt Ap 1123 1 ..1 f31. b) 1st F : lR -+ lR die Cantorsche Funktion (Beispiel 11.8.7) oder gleich der Funktion G aus Beispiel 1I.8.8, so sind Ap 1123 1 und f31 zueinander singular. c) Fur jedes signierte MaB v gilt: v+ ..1 v-.
274
VII. Absolute Stetigkeit
1.12 Jordanscher Zerlegungssatz. Jedes signierte Maß ν hat die JordanZerlegung ν = ν+ − ν− ;
dabei gilt: ν + ⊥ ν − . Die Jordan-Zerlegung ist minimal in folgendem Sinne: Ist ν = ρ − σ mit zwei Maßen ρ, σ : A → R, von denen mindestens eines endlich ist, so gilt: ν + ≤ ρ, ν − ≤ σ. Beweis. Es ist nur noch die Minimalit¨at der Jordan-Zerlegung zu zeigen. Dazu sei ν = ρ − σ mit zwei Maßen ρ, σ : A → R, von denen mindestens eines endlich ist. Dann gilt f¨ ur alle A ∈ A: ν + (A) = ν(A ∩ P ) = ρ(A ∩ P ) − σ(A ∩ P ) ≤ ρ(A ∩ P ) ≤ ρ(A) , also ν + ≤ ρ. Entsprechend ist auch ν − ≤ σ.
2
Historische Anmerkungen. Die Jordan-Zerlegung ist benannt nach C. Jordan, der eine analoge Zerlegung f¨ ur Funktionen von beschr¨ankter Variation entdeckte (s. C. Jordan: Sur la s´erie de Fourier, C.R. Acad. Sci., Paris 92, 228–230 (1881); s. auch Carath´ eodory [1], S. 180 ff., Hahn [1], S. 483 ff. und Aufgabe 1.10). F¨ ur Lebesgue–Stieltjessche Maße im Rp zeigt Radon [1], S. 1303 die Existenz einer Jordan-Zerlegung. Den allgemeinen Fall behandelt Hahn [1], S. 406–407, Satz XV, XVI.
1.13 Beispiel (H. Lebesgue [2], S. 380 ff.). Es seien (X, A, μ) ein Maßraum und f : X → R quasiintegrierbar. Das signierte Maß ν := f μ mit der Dichte f bez. μ (s. Beispiel 1.3, b)) hat die Hahn-Zerlegung X = P ∪ N mit P := f −1 ([0, ∞]), N := f −1 ([−∞, 0[). Daher ist ν+ = f + μ , ν− = f − μ ,
ν = |f | μ .
5. Der Banach-Verband der endlichen signierten Maße. Die Menge M(A) der endlichen signierten Maße auf A ist (bez. der u ¨blichen punktweisen Verkn¨ upfungen) ein Vektorraum u ¨ber R. Setzt man ν ≤ ρ : ⇐⇒ ν(A) ≤ ρ(A) f¨ ur alle A ∈ A (ν, ρ ∈ M(A)), so erweist sich (M(A), ≤) als geordneter Vektorraum, und zwar sogar als ein Rieszscher Raum (s. Kap. VI, § 2, 5.): Zur Begr¨ undung haben wir die Existenz eines Supremums zu ν, ρ ∈ M(A) zu zeigen und setzen σ := ν + (ρ − ν)+ . Dann ist zun¨achst ν ≤ σ, und nach (1.2) ist auch ρ ≤ σ. Sind nun τ ∈ M(A), ν ≤ τ, ρ ≤ τ und A ∈ A, so gilt nach (1.2): (ρ − ν)+ (A) = sup{(ρ − ν)(B) : B ∈ A, B ⊂ A} ≤ sup{(τ − ν)(B) : B ∈ A, B ⊂ A} = (τ − ν)(A) , also σ ≤ τ . Ergebnis: σ = sup(ν, ρ). – Wenden wir dieses Ergebnis speziell an f¨ ur ν = 0, so erhalten wir: ρ+ = sup(ρ, 0), d.h.: Die positive Variation ρ+ stimmt mit dem gem¨aß Kap. VI, § 2, 5. definierten Element ρ+ = ρ ∨ 0 ¨ uberein. Daher
§ 1. Signierte MaBe; Hahnscher und Jordanscher Zerlegungssatz
275
sind auch die Bezeichnungen P- und Ipi mit den ublichen Bezeichnungen in einem Rieszschen Raum konform: P- = (-p) V 0, Ipi = p V (-p). Fur II E M(21) definieren wir nun die Totalvariation von II vermoge 111111 :=
IIII (X) .
II . II ist eine Norm auf M(21). 1.14 Satz. (M(21), II . II) ist ein Banach- Verband. Beweis. Da fUr aIle II, p E M(21) mit 1111 :::; Ipi offenbar gilt
Man pruft leicht nach:
111111 :::; Ilpll, bleibt nur die Vollstiindigkeit von M(21) zu beweisen. Dazu sei (IIn)n>l eine CauchyFolge in M(21). Dann gibt es zu jedem e > 0 ein No(e) E N,- so daB fUr aIle m, n :::: No(e) gilt IllIm - lin II < e. Nach (1.4) gilt dann fUr aIle m, n :::: No(e) und B E 21
d.h. (IIn)n~l konvergiert gleichmiifJig auf 21 gegen eine Funktion II : 21 -+ lR. Offenbar ist II endlich-additiv. Wir zeigen: II ist (J-additiv. Dazu seien (Bkh>l eine Folge disjunkter Mengen aus 21, B := U%"=l Bk und e > 0; N := N o(e/3). Da liN ein signiertes MaB ist, gibt es ein no (e) E N, so daB n
IIIN(B) - LIIN(Bk)1 < e/3 fUr aIle n:::: no(e). k=l Damit wird fUr aIle n :::: no(e)
III(B) -
t
II(Bk) I
k=l
:::; III(B) - liN (B) I + IIIN(B) -
t
liN (Bk) I + IIIN
(Q
Bk) - II
(Q
Bk)
I < e. o
1.15 Satz. M(21) ist ordnungsvollstiindig.
Beweis. 1st 0 i- M c M(21) nach oben beschdinkt, so ist auch !VI := {sup E : E C M endlich, E i- 0} nach oben beschrankt, und II E M(21) ist genau dann Supremum von M, wenn II Supremum von !VI ist. Die Existenz eines Supremums von !VI zeigt man wie in Aufgabe 11.1.4 (Alternative: Aufgabe 1.4). (Warnung: Es ist zwar (sup !VI) (A) = sup{II(A) : II E !VI}, aber die entsprechende Gl. mit M anstelle von !VI ist nicht notwendig richtig.) 0 6. Kurzbiographie von H. HAHN. HANS HAHN wurde am 27.09.1879 in Wien geboren. Er studierte Mathematik an den Universitaten Strafiburg, Miinchen und Wien, wo er im Juli 1902, am Ende seines achten Semesters, zum Doktor der Philosophie promoviert wurde. In den folgenden Jahren setzte HAHN seine Ausbildung bei G. VON ESCHERICH (1849-1935),
276
VII. Absolute Stetigkeit
F. MERTENS (1840-1927) und W. WIRTINGER (1865-1945) in Wien und D. HILBERT, F. KLEIN und H. MINKOWSKI in Giittingen fort und verfafite seine ersten Arbeiten. Nach der Habilitation in Wien (1905) und einigen Jahren als Dozent in Wien erhielt er 1909 ein Extraordinariat an der Universitat Czernowitz (am Oberlauf des Pruth, damals Hauptstadt des iisterreichischen Herzogtums Bukowina, heute Tschernowzy, Ukraine). 1m Ersten Weltkrieg erlitt HAHN 1915 eine schwere Verwundung. Nach einer Tatigkeit als Extraordinarius (1916) und Ordinarius (1917) an der Universitat Bonn kehrte er 1921 an die Universitat Wien zuriick, wo er bis zu seinem Tode am 24.07.1934 eine fruchtbare Tatigkeit entfaltete. - HAHN verband starkes mathematisches Talent mit unermiidlicher Arbeitskraft. Seine Vorlesungen waren auf das genaueste vorbereitet und wurden in vollendetem Stil vorgetragen. Neben seinen vielseitigen mathematischen Arbeiten hegte HAHN griiBtes Interesse fUr Philosophie, insbesondere fiir Logik und mathematische Grundlagenforschung. In Aufsatzen und iiffentlichen Vortragen trat er fUr die Philosophie des logischen Positivismus ein und war fiihrendes Mitglied des beriihmten Wiener Kreises, einer Gruppe positivistischer Philosophen und Wissenschaftler, der u.a. die Mathematiker K. MENGER (1902-1985) und K. REIDEMEISTER (1893-1971), der Logiker K. GODEL (1906-1978), der Logiker und Philosoph R. CARNAP (1891-1970) und der Philosoph und Wissenschaftstheoretiker Sir KARL POPPER (1902-1994) angehorten. Ein lebendiges Bild von H. HAHN und dem Wiener Kreis zeichnet K. SIGMUND: A philosopher's mathematician: Hans Hahn and the Vienna Circle, Math. Intell. 17, No.4, 16-29 (1995). In seinen mathematischen Arbeiten wendet sich HAHN zunachst im AnschluB an Untersuchungen von G. VON ESCHERICH der Variationsrechnung zu. Bedeutende Beitrage liefert er zur Mengenlehre und Topologie (Charakterisierung der stetigen Bilder einer Strecke; s. Bemerkungen nach Satz 11.9.9). Eine besondere Meisterschaft entwickelt HAHN auf dem Gebiet der reellen Funktionen (Hellinger-Integral, Riemann-Integral und Lebesgue-Integral, Darstellung von Funktionen durch singulare Integrale, Satz von PARSEVAL fiir vollstandige Orthonormalsysteme, Fourier-Reihen, Fouriersche Umkehrformel, Produkte abstrakter MaBraume). Habent sua lata libelli: Die Entstehungsgeschichte der Lehrbiicher von HAHN [1], [2] und HAHN-RoSENTHAL [1] spiegelt in beklemmender Weise die leidvolle Geschichte Mitteleuropas in der ersten HaJfte des 20. Jh. Hiervon legen die Vorworte zu diesen Werken ein beredtes Zeugnis abo Dank des umfassenden Wissens von H. HAHN und A. ROSENTHAL (1887-1959) ist in diesen Lehrbiichern viel Wertvolles enthalten, das diese Werke bis auf den heutigen Tag zu Fundgruben macht. - HAHN ist einer der Begriinder der Funktionalanalysis. In seiner Arbeit tiber Folgen linearer Operationen (Monatsh. Math. Phys. 32, 3-88 (1922)) fUhrt er unabhangig von S. BANACH den Begriff eines vollstandigen normierten linearen Raums ein. Als zentrales Resultat beweist er einen Satz iiber gleichmaBige Beschranktheit von Folgen linearer Funktionale, der unter dem Namen Satz von BANACH-STEINHAUS oder Prinzip der gleichmiifligen Beschriinktheit zum ehernen Bestand der Funktionalanalysis gehiirt. Zwei Jahre friiher als BANACH beweist HAHN (Uber lineare Gleichungssysteme in linearen Riiumen, J. reine angew. Math. 157,214-229 (1927)) den sog. Satz von HAHN-BANACH iiber die Fortsetzbarkeit linearer Funktionale, der ebenfalls zu den Saulen der Funktionalanalysis zahlt. - Die gesammelten Abhandlungen (3 Bde.) von HANS HAHN sind 1997 im Springer-Verlag, Wien erschienen.
§ 1. Signierte MaBe; Hahnscher und Jordanscher Zerlegungssatz
277
Aufgaben. 1.1. Es seien v, p signierte MaBe auf 2l. a) Fur A E 2l sind folgende Aussagen aquivalent: (i) A ist eine v-Nullmenge. (ii) A ist eine v+ - und eine v- -Nullmenge. (iii) A ist eine Ivl-Nullmenge. b) Folgende Aussagen sind aquivalent: (i) v.l p; (ii) v+ .1 p und v- .1 p; (iii) Ivl.lp; (iv) .1 Sind zusatzlich p, v endlich, so sind (i)-(iv) auch aquivalent zu (v) II = O.
Ivl Ipl· Ivl Ipl
1.2. Es seien v : 2l -+ JR ein signiertes MaB, p, CT MaBe auf 2l, von denen mindestens eines endlich ist, und es gelte v = p - CT, P .1 CT. Dann ist p = v+ , CT = V-. 1.3. Sind (X, 2l, J.1) ein MaBraum und
sup(f 1.4. 1st M
(0)
f, 9 : X -+ JR integrierbar, so gilt:
J.1,g
(0)
tL) = (sup(f,g))
(0)
tL·
# 0 eine nach oben beschrankte Teilmenge von M(2l), (supM)(A)
sup
{t
so gilt fur aile A E 2l:
Aj(Aj) : AI"'" An E 2l disjunkt ,
j=1
A=
U
A j ,Al, ... ,An E M,n E
N}.
j=1
1.5. a) 1st v : 2l -+ [-00, +oo[ ein signiertes MaB, so gibt es ein P E 2l mit v(P) = max{v(A) : A E 2l} < 00. Insbesondere ist jedes endliche signierte MaB v : 2l -+ IR. beschrankt, d.h. es gibt ein reelles a> 0, so daB Iv(A)1 ::; a fiir aile A E 2l. b) Erfiillt
c
.-
sup{
.-
-inf{
A, B E 2l} ,
zwei Inhalte, von denen mindestens einer endlich (und damit beschrankt) ist, und es gilt
278
VII. Absolute Stetigkeit
Die Variation
Iv I von v wird definiert dureh
Ivl(A):= sup {~IV(Aj)l: An
E 2t disjunkt
(j 2: l),A
=
g
Aj} .
Eine Menge A E 2t heillt eine v-Nullmenge, falls v(B) = 0 fiir alle B E 2t, B C A. a) v ist genau dann ein komplexes MaB, wenn Rev, 1m v endliehe signierte MaBe sind. b) Aufgabe 1.1 gilt sinngemii.f3 fiir komplexe MaBe. e) ist das kleinste positive Mall /-' auf 2t, so dall Iv(A)1 /-,(A) fiir alle A E 2t.
Ivl
:s
Ivl (X)
(v E
ein komplexes Mall; v heillt das komplexe MaB mit der Dichte 1 bez. v; Sehreibweise: v = Zeigen Sie: = 1/10 /-'.
10/-'.
d) Der Vektorraum Mc(2t) der komplexen MaBe auf2t ist bez. der Norm Mc(2t)) ein komplexer Banaeh-Raum. 1.8. 1st (X,2t,/-,) ein Mallraum und
I:
Ilvll :=
X -+ IC integrierbar, so ist v: 2t -+ IC,
v(A) :=
i1
d/-,
(A E 2t)
Ivl
1.9. Zwei komplexe MaBe v, P auf2t heillen zueinander singular, falls
Ivl ~ Ipl; Sehreibweise:
v ~ p. -Sind v, p komplexe MaBe auf 2t, so sind folgende Aussagen aquivalent: a) v ~ p; b) Ilv + pil = Ilvll + Ilpll und Ilv- pil = IIvll + Ilpll; e) Ilv + pll + Ilv - pll = 2(llvll + Ilpll)· 1.10. 1st
1 : [a, b]
-+ JR eine Funktion, so heiBt
Var(f; [a,b])
:= sup {~I/(Xk) -
l(xk-I)1 : a
= Xo < Xl < ... < Xn = b,n E N}
die Totalvariation von 1 iiber [a, b], und 1 heillt von beschrankter Variation iiber [a, b], falls Var(f; [a, b]) < 00. Entspreehend nennt man das Supremum der Menge aller Summen n
L max(f(xd -
I(Xk-r), 0), a = Xo < Xl < ... < Xn = b
k=l
die positive Variation Var+(f; [a, b]) und das Supremum der Menge aller Summen n
- L min(f(xk) -
I(Xk-r), 0), a
= Xo < Xl < ... < Xn = b
k=l
die negative Variation Var- (f; [a, b]) von 1 iiber [a, b]. a) Fiir a < c < b ist Var(f; [a, b]) = Var(f; [a, c]) + Var(f; [c, b]). Entspreehendes gilt fiir Var+ und Var-. b) Die Menge BV(a,b) der Funktionen 1 : [a,b] -+ JR von besehrankter Variation ist ein Vektorraum iiber JR. e) Jede monotone und jede Lipsehitz-stetige Funktion 1 : [a, b] -+ JR sind von besehrankter Variation. - 1st cp : [a, b] -+ JR Lebesgue-integrierbar, so ist I(x) := cp(t) dt (a:S X b) von besehrankter Variation. d) Fiir aile 1 E BV(a, b) gilt:
f:
I(b) - I(a) Var(f; [a, b])
:s
Var+(f; [a,b]) - Var-(f; [a,b]) , Var+(f; [a,b]) + Var-(f; [a,b]).
e) Jedes 1 E BV(a, b) ist Differenz monotoner Funktionen; genauer gilt: Die Funktionen t+(x) := Var+(f; [a,x]),t-(x) := Var-(f; [a,x]) sind monoton waehsend mit 1 = I(a) +t+-
§ 2. Satz von RADON-NIKODYM und Lebesguescher Zerlegungssatz
279
t-. Diese Darstellung von f als Differenz zweier wachsender Funktionen heiBt Minimalzerlegung von f, denn sie ist minimal in folgendem Sinne: 1st f = 9 - h mit wachsenden Funktionen g, h : [a, b] --+ IR, so sind 9 - t+ und h - t- wachsend. (Bemerkung: Wegen der Analogie dieser von C. JORDAN entdeckten Zerlegung zur Darstellung (*) y = y+ - Y- nennt man (*) die Jordan-Zerlegung von Yi s. auch h).) f) 1st f E BV(a, b), so hat f hochstens abzahlbar viele Unstetigkeitsstellen und in jedem
x E [a, b] einen rechtsseitigen und einen linksseitigen Grenzwert. g) Sind f,t+,t- wie in e), so gilt fiir kein x E [a,b[ zugleich t+(x + 0) - t+(x) > 0 und t-(x + 0) - r(x) > o. Entsprechendes gilt fUr die linksseitigen Grenzwerte. Daher ist f in x E [a, b] genau dann (rechts- bzw. linksseitig) stetig, wenn t+ und r in x (rechts- bzw. linksseitig) stetig sind, und das ist genau dann der Fall, wenn t = t+ + r in x (rechts- bzw. linksseitig) stetig ist. Insbesondere ist f E BV (a, b) genau dann stetig, wenn die Komponenten der Minimalzerlegung von f stetig sind. h) 1st f E BV(a, b) auf la, b[ rechtsseitig stetig, so definieren t+, t- gemaB Kap. II zwei endliche MaBe p, u auf m:= lBl I [a, b]. Zeigen Sie: Fiir das endliche signierte MaB Y := p - u auf mgilt y+ = p, Y- = u, d.h. der Minimalzerlegung von f entspricht die Jordan-Zerlegung von Y.
i) Jedes f E BV(a, b) laBt sich schreiben als f = s s(a):= 0, s(x) := f(a
+ 0) -
f(a)
+
L
(f(u
+ 0) -
+ 9 mit der
f(u - 0))
+ (f(x)
Sprungfunktion s E BV(a, b),
- f(x - 0))
(a
< x :s: b),
a
wobei die Summation iiber aile Unstetigkeitsstellen u E]a, x[ von stetigen Funktion 9 := f - s E BV(a, b).
§ 2.
f zu erstrecken ist, und der
Der Satz von RADON-NIKODYM und der Lebesguesche Zer legungssatz «La condition necessaire et suffisante pour qu'une fonction F(E) soit parfaitement additive et JL-continue est qu'il existe une fonction JL-sommable f(x) telle que F(E) = LfdJL
pour tout E
E R.»2
(0.
NIKODYM
[1], S. 135)
1. Absolute Stetigkeit. 1st J.L ein MaB auf 2l und v = f 8 J.L mit der quasiintegrierbaren Dichte f : X ---+ JR, so ist nach Korollar 1V.2.11 jede J.L-Nullmenge eine v-Nullmenge. - Allgemein definieren wir nun:
2.1 Definition. Sind J.L, v signierte (oder komplexe) MaBe auf 2l, so heiBt v J.Lstetig oder absolut stetig bez. J.L, falls jede J.L-Nullmenge eine v-Nullmenge ist; Schreibweise: v « J.L. Hinreichend fUr die absolute Stetigkeit des signierten MaBes v bez. des MaBes J.L ist also die Existenz einer (quasiintegrierbaren) Dichte f von v bez. J.L. 2Die notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, daB eine [reellwertige] Funktion u-additiv und JL-stetig [bez. des endlichen MaBes JL] ist, ist die Existenz einer JLintegrierbaren Funktion f(x), so daB F(E) = f dJL fiir aile E E R. F(E)
IE
VII. Absolute Stetigkeit
280
Wesentliches Ziel dieses Paragraph en wird es sein zu zeigen, daB umgekehrt aus v « J1 notwendig die Existenz einer Dichte von v bez. J1 folgt, falls J1 cr-endlich ist (Satz von RADON-NIKODYM). 2. Der Satz von RADON-NIKODYM. Der Schliissel zum Beweis des Satzes von RADON-NIKODYM ist der folgende Spezialfall dieses Satzes. 2.2 Lemma. Sind v, p endliche MajJe auf 21 mit v <::: p, so gibt es eine mejJbare Funktion h : X --+ [0,1] mit v = h 0 p. Beweis (nach R.C. BRADLEY, Amer. Math. Monthly 96, 437-440 (1989)). Eine Familie P = {AI, ... , Am} disjunkter Mengen AI, ... , Am E 21 mit U;'=l Aj = X heiBt eine mejJbare Partition von X. Die meBbare Partition Q = {B I , ... , Bn} von X heiBt eine Verfeinerung von P, falls jedes Bk in einem Aj enthalten ist, und dann bilden die in Aj enthaltenen Bl eine meBbare Partition von A j . Zu je zwei meBbaren Partitionen P := {AI, ... , Am}, Q = {B I , ... , Bn} existiert eine grobste gemeinsame Verfeinerung, namlich {Aj n Bk : j = 1, ... , m; k = 1, ... , n}.
Jeder meBbaren Partition P = {AI, ... , Am} ordnen wir eine Treppenfunktion p : X --+ [0,1] zu, indem wir fUr x E A k , k = 1, ... , m setzen p(x) := { V(Ak)/ p(Ak)
o
, falls p(Ak) > 0, falls p( Ad = 0 .
,
Die Treppenfunktion p miBt die "Dichte" von v bez. pin bezug auf die Partition P. - Fur jede endliche Vereinigung A von Mengen aus P ist v(A) = IApdp. 1st also Q eine Verfeinerung von P, so gilt fur das zugehorige q und alle A E P
i
=
q dp
v(A)
=
i
pdp.
Da p auf den A E P konstant ist, folgt IApqdp = IAP 2 dp Ix pq dp = Ix p2 dp. Daher ist fUr jede Verfeinerung Q von P
(2.1)
Ix
q2 dp -
sup
{Ix
Ix
p2 dp
=
Ix
(A E P), also
(q - p)2 dp 20.
Es sei nun 0:
:=
p2 dp :
PmeBbare Partition von X}
Dann ist 0 <::: 0: <::: p(X) < 00. Zu jedem n E N existiert eine meBbare Partition P n von X, so daB fUr das zugehorige Pn gilt: (2.2)
0:
2
rp;
ix
dp
2
0: -
.!. .
n
Wegen (2.1) kann ohne Beschrankung der Allgemeinheit angenommen werden, daB Pn+l eine Verfeinerung von Pn ist. Dann gilt aber nach (2.1), (2.2) fUr alle n> m
§ 2. Satz von
RADON-NIKODYM
und Lebesguescher Zerlegungssatz
281
d.h. (PnkO:l ist eine Cauchy-Folge in £2(p). Es gibt also ein h E £2(p) mit IIPn - hlb -+ 0, und wegen 0 :::; Pn :::; 1 kann gleich 0 :::; h :::; 1 angenommen werden (Korollar VI.2.7). 1st nun A E 2t, so seien Qn die grobste gemeinsame Verfeinerung von Pn und {A, AC} und qn die entsprechende Treppenfunktion. Nach (2.1), (2.2) gilt dann IIPn - qnl12 -+ 0, also
v(A) =
i
qn dp = (qn, XA) = (Pn, XA)
+ (qn -
Pn, XA) -+ (h, XA) =
i
h dp.
o Zweiter Beweis von Lemma 2.2 (nach J. VON NEUMANN, Ann. Math., II. Ser. 41,94-161 (1940), insbes. S. 127 ff. (= [4], S. 194 ff.; s. auch [5], S. 99, FuBnote 24)). Wegen v :::; p und p(X) < 00 ist £i(p) c £i(v) c £~(v). Daher ist die Linearform I H Ix I dv (f E Li(p)) wohldefiniert und stetig (Satz VI.2.10). Nach dem bekannten Darstellungssatz von F. RIEsz 3 fUr stetige Linearformen auf einem Hilbert-Raum existiert ein h E Li(p), so daB
Ix
I dv
= (I, h) =
Ix
Ihdp
fUr aIle
IE Li(p)·
Wahlt man 1= XA (A E 2t), so folgt v = h0p. - Angenommen, es sei p(E) > 0 mit E := {h > I}. Dann ist v(E) = IEhdp > p(E): Widerspruch! Daher ist h :::; 1 p-f.ii. Entsprechend ist auch h ;:::: 0 p-f.u., d.h. es kann h : X -+ [0,1] gewahlt werden. 0
Satz von RADON-NIKODYM. Es seien /1- ein a-endliches Maft und v ~ /1ein signiertes Maft aul2t. Dann hat v eine Dichte bez. /1-, d.h. es gibt eine quasiintegrierbare Funktion I : X -+ JR, so daft v = I 0 /1-, und list /1--j. u. eindeutig bestimmt. 1st vein Maft, so kann I ;:::: 0 gewiihlt werden.
2.3
Beweis. Die Eindeutigkeitsaussage ist bekannt aus Satz IV.4.5. - Nach dem Jordanschen Zerlegungssatz braucht die Existenz nur fUr Mafte v bewiesen zu werden, denn fUr signierte MaBe v ist v ~ /1- gleichbedeutend mit v+ ~ /1- und v- ~ /1-. Es sei also im folgenden vein Maft. Wir fUhren den Existenzbeweis in drei Schritten: (1) Die Behauptung gilt lur endliche Mafte /1-, v mit v ~ /1-. Begriindung: Zum endlichen MaB T := /1- + v existieren nach Lemma 2.2 zwei meBbare Funktionen g, h : X -+ [0,1] mit /1- = g0T, V = h0T. Fur N := {g = O} gilt /1-(N) = INgdT = 0, also auch v(N) = 0, denn v ~ /1-. Die Funktion I( ) .= {h(x)/g(x) fUr x E NC, x. 0 fUr x E N --~-------------
3Darstellungssatz von F. RIESZ. 1st cp : H -t lK eine stetige Linear/arm au/ dem HilbertRaum H, so gibt es ein h E H, so daft cpU) = (I, h) fur alle / E H. Beweis. Fiir cp = 0 leistet h = 0 das Gewiinschte. 1m Falle cp oj 0 ist U := Kerncp ein abgeschlossener linearer Teilraum von H, U oj H. Daher gibt es nach dem Projektionssatz von F. RIESZ (s. IV.2.3) ein v E H,v oj O,v.l U. Wegen cp(v) oj 0 kann gleich cp(v) = 1 angenommen werden. Fiir jedes / E H ist dann / - cpU)v E u, also (I, v) = cpU)[[V[[2, und h := [[V[[-2V leistet das Verlangte. 0
VII. Absolute Stetigkeit
282 ist nicht-negativ, 2l-meBbar, und fUr alle A E 2l gilt: v(A) = v(A
n NC)
=
=
r
hdr =
I i
A nNe
iir
fgdr
AnNe
f dfL
=
AnNe
f dfL
=f
8 fL(A).-
A
(2) Die Behauptung gilt fUr endliche MafJe fL und beliebige MafJe v mit v Begrundung: Es sei 0::=
SUp{fL(B): B E 2l, v(B)
< oo} (:::;
fL(X)
«
fl.
< 00).
Dann gibt es eine wachsende Folge von Mengen Bn E 2l mit v(Bn) < 00, fL(Bn) und es ist E := U:'=l Bn E 2l, fL(E) = 0:. Es seien nun A E 2l, A c F := EC und v(A) < 00. Dann ist
t
0:,
O:+fL(A) = lim fL(BnUA):::; n-+oo
0:,
denn v(BnUA) < 00. Es folgt: fL(A) = 0, also auch v(A) = 0. Ergebnis: Fur jedes A E 2l mit A c F gilt entweder fL(A) = v(A) = oder fL(A) > 0, v(A) = 00. Nun ist En := Bn \ B n- 1 (n::::: 1; Bo := 0) eine Folge disjunkter Mengen aus 2l mit U:'=l En = E und v(En) < 00. Wir set zen Vn := XEn 8 v (n::::: 1), VF := XF 8 v. Dann sind die Vn endliche MaBe auf 2l mit Vn « fl. Nach dem ersten Schritt gibt es Funktionen fn E M+ mit Vn = fn 8 fl. Weiter ist nach dem oben Bewiesenen VF = (00 . XF) 8 fL, und es folgt:
°
00
V= LVn+VF
n=l
00
L
f n 8 fL
+ (00 . XF) 8
fL
n=l
(~fn + 00· XF) 8 fL·-
(3) Die Behauptung gilt fur a-endliche MafJe fL und beliebige MafJe v mit v « fl. Begrundung: Es gibt eine Folge disjunkter Mengen An E 2l mit fL(An) < 00 und U:'=l An = X. Die MaBe fLn := XAn 8 fL, Vn := XAn 8 v erfUllen die Voraussetzungen von (2), denn fLn(X) < 00, Vn « fLn- Daher gibt es ein fn E M+ mit Vn = fn 8 fLn, und wahlt man gleich fn I A~ = 0, so ist Vn = fn 8 fL, also
o In der Situation des Satzes von RADON-NIKODYM bezeichnet man die Dichte f auch als die RADON-NIKODYM-Ableitung und schreibt f
=
dv/dfL. Diese
Schreibweise als formale Ableitung wird motiviert durch Aufgabe 2.4.
§ 2. Satz von
RADON~NIKODYM
und Lebesguescher Zerlegungssatz
283
2.4 Korollar. In der Situation des Satzes von RADON~NIKODYM gilt: --+ [O,oo[ und eine Menge F E !2l, so dajJ
a) 1st vein MajJ, so gibt es eine mejJbare Funktion I : X
b) v ist genau dann endlich, wenn eine integrierbare DichteI: X bez. /1 existiert. c) v ist genau dann O"-endlich, wenn eine reellwertige DichteI: X bez. /1 existiert.
--+
lR von v
--+
lR von v
Beweis. a) wurde oben bewiesen und b) ist klar. - c) Existiert eine reellwertige Dichte I von v bez. /1, so seien (An)n;o.l eine Folge von Mengen aus !2l mit An X, /1(An) < 00 und Bn := An n {III:::; n} (n EN). Dann gilt Bn E !2l, Bn X und Iv(Bn)1 < 00, also ist v O"-endlich. - Ist umgekehrt v 0"endlich, so seien (En)n;o.l eine Folge disjunkter Mengen aus !2l mit U::"=l En = X, Iv(En)1 < 00 (n E N) und Vn := XEn 8 v (n EN). Dann ist Vn ein endliches signiertes MaB auf !2l, Vn « /1. Daher hat Vn eine (/1-integrierbare) reellwertige Dichte In, und wahlen wir gleich In I E~ = 0, so ist I = L:=l In eine reellwertige (quasiintegrierbare) Dichte von v = L::"=l Vn bez. /1. D
r
r
Der Satz von RADON~NIKODYM gilt allgemeiner fur sog. zerlegbare MaBraume HEWITT~STROMBERG [1], S. 317-320, KOLZOW [1], RAO [1]). Die Voraussetzung der O"-Endlichkeit kann aber nicht ersatzlos gestrichen werden, wie die folgenden Beispiele lehren. 4
(X,!2l, /1) anstelle O"-endlicher (s.
2.5 Beispiele. a) Ist X -=J 0,!2l = {0, X} und /1(0) = 0, /1(X) = 00, v(0) = 0, v(X) = 1, so gilt v « /1, aber v hat keine Dichte bez. /1. b) Es seien /1 das ZahlmaB auf!2l := 1!)1 I [0,1] und v := (31 I !2l. Dann gilt v « /1, aber v hat keine Dichte bez. /1: Ware namlich v = I 8 /1 mit I E M+, so ware I reellwertig und /1-integrierbar, da v([O,I]) < 00. Dann gabe es aber eine abziihlbare Menge A C [0,1] mit I I AC = (/1 = ZahlmaBi), und es ware 1 = v(AC) = fAc I d/1 = 0: Widerspruch! - Setzt man p(A) := fUr abzahlbares A E !2l und p(A) := 00 fUr uberabzahlbares A E !2l, so gilt ebenfalls v « p, aber v hat keine Dichte bez. p.
°
°
Historische Anmerkungen. G. VITALI ([1], S. 207) nennt 1905 eine Funktion F : [a, b] ---; IR absolut stetig, wenn zu jedem c: > 0 ein 0 > 0 existiert, so daB L:~=llF(!h) - F(O
e che
4Eine Charakterisierung derjenigen a-Algebren, auf denen die a-Endlichkeit von J1 eine notwendige Voraussetzung fiir die Giiltigkeit des Satzes von RADON-NIKODYM ist, findet man bei W.C. BELL und J.W. HAGOOD: The necessity of sigma-finiteness in the RADONNIKODYM theorem, Mathematika 28,99-101 (1981).
284
VII. Absolute Stetigkeit
essa sia assolutamente continua in (a, b}»(s. hierzu Hauptsatz 4.14 und Korollar 4.15}.5 H. LEBESGUE reklamiert 1907 in einem Brief an VITALI seine Prioritat (s. VITALI [1], S. 457460), raumt aber ein: « ... je n'avais pas mis mon nisultat en lumiere ... ».6 LEBESGUE ([2], S. 223) beweist 1910 den Satz von RADON-NIKODYM im Spezialfall J.t = AP ; daher wird der Satz oft auch nach LEBESGUE-RADON-NIKODYM benannt. Der Lebesgueschen Arbeit entnimmt RADON ([1], insbes. S. 1351) wesentliche Anregungen fiir seinen Beweis im Fall eines LebesgueStieltjesschen MaBes im 1l~.P. Auch P.J. DANIELL (1889-1946) beweist den Satz fiir LebesgueStieltjessche MaBe im W (Bull. Am. Math. Soc. 26, 444-448 (1920}). Die allgemeine Fassung des Satzes stammt von O. NIKODYM [1]. In dieser Arbeit zeigt NIKODYM auch, wie sich fiir MaBe auf u-Algebren iiber abstrakten Mengen bequem eine Integrationstheorie nach dem Vorbild von LEBESGUE, RADON und FRECHET entwickeln laBt. - Eine verbandstheoretische Version des Satzes von RADON-NIKODYM findet man bei G. BIRKHOFF: Lattice theory, third ed., Providence (R.I.): Amer. Math. Soc. 1973, S. 375. 3. Kurzbiographie von O. NIKODYM. OTTON MARTIN NIKODYM wurde am 13.08.1887 im Marktfiecken Zablotow am Oberlauf des Pruth unweit Kolomea (Kolomya) geboren. Damals gehorte Zablotow zum osterreichischen Kronland Galizien, nach der Wiederbegriindung des polnischen Staates (1918) zu Polen, nach dem II. Weltkrieg zur UdSSR und heute unter dem Namen Sabolotow zur Ukraine; dasselbe gilt fiir die damalige galizische Hauptstadt Lemberg (polnisch Lw6w, ukrainisch Lwiw). Nach dem Umzug seiner Familie nach Lemberg (1897) besuchte NIKODYM dort die Schule und studierte anschlieBend Mathematik und Physik an der Universitat Lemberg. Seine akademischen Lehrer im Fach Mathematik waren der explorateur de l'infinf W. SIERPINSKI (1882-1969), der sich 1908 in Lemberg habilitiert hatte und dort 1909 eine der weltweit ersten systematischen Vorlesungen iiber Mengenlehre hielt, und J. PUZYNA (1856-1919), zu dessen Arbeitsgebieten die damals sehr neue Theorie der Integralgleichungen und die Funktionentheorie zahlten. Nach dem AbschluBexamen (1911) arbeitete NIKODYM - wie sein Freund S. BANACH - als Lehrer an einer der hoheren Schulen Krakaus. Zeit seines Lebens blieb er ein engagierter Lehrer. O. NIKODYM ist mit der "Entdeckung" von S. BANACH eng verbunden. H. STEINHAUS erinnerte sich (Scripta Math. 26, 93-100 (1961}): "On a walk along the Cracow Green Belt one summer evening in 1916, I overheard a conversation, or rather only a few words; but these 'the Lebesgue integral', were so unexpected that I went up to the bench and introduced myself to the speakers - Stefan Banach and Otto Nikodym discussing mathematics. They told me they had a third member of their little group, [Witold] Wilkosz [(1891-1941)]. The three companions were linked not only by mathematics, but also by the hopeless plight of young people in what was then the fortress of Cracow - an insecure future, no opportunities for work and no contacts with scientists, foreign or even Polish. This indeed was the atmosphere in the Cracow of 1916." Die Wiederbegriindung des polnischen Staates nach dem I. Weltkrieg fiihrte zu einem Aufbliihen des wissenschaftlichen Lebens und zur Begriindung der sog. Polnischen Schule der Mathematik, in der mathematische Grundlagenforschung, Mengenlehre, Topologie, reelle Funktionen, MaBund Integrationstheorie und Funktionalanalysis besonders gepfiegt wurden. Bei der Griindung der Polnischen Mathematischen Gesellschaft in Krakau (1919) gehorten S. BANACH und O. 5Notwendig und hinreichend dafiir, daB eine Funktion F in (a, b) unbestimmtes Integral ist, ist ihre absolute Stetigkeit in (a, b). 6 •.• ich habe mein Resultat nicht ins [rechte] Licht gesetzt ... 7Inschrift auf SIERPINSKIS Grabstein.
§ 2. Satz von RADON-NIKODYM und Lebesguescher Zerlegungssatz
285
NIKODYM zu den 16 Grtindungsmitgliedern. Auf dringendes Anraten von SIERPINSKI promovierte NIKODYM 1924 (im Alter von 37 Jahren!), habilitierte sich 1927 in Warschau und arbeitete anschlieBend als Dozent in Krakau und Warschau. Von 1930 bis 19451ebte er mit seiner Frau, der Mathematikerin STANISLAWA NIKODYM, in Warschau. Wahrend der deutschen Besetzung Polens im II. Weltkrieg wurden aile hoheren Lehranstalten geschlossen, die meisten Lehrer und Professoren in Gefangnisse oder Konzentrationslager geworfen, viele von ihnen umgebracht, wie z.B. die bekannten Mathematiker S. RUZIEWICZ (1889-1941), S. SAKS (1897-1942), J. SCHAUDER (1899-1943). Viele der nicht inhaftierten Lehrer und Hochschullehrer hielten geheime Lehrveranstaltungen in Privatwohnungen ab - wohl wissend urn die drakonischen Strafen, die ihnen und ihren Schtilern drohten. Es gelang dem Ehepaar NIKODYM diese schwere Zeit in Warschau zu tiberleben und an diesen Lehrveranstaltungen mitzuwirken. - Nach dem Kriege emigrierte O. NIKODYM in die USA und fand am Kenyon College in Gambier (Ohio) eine neue Wirkungsstatte. Er arbeitete intensiv bis ins hohe Alter und starb am 4.5.1974 in Utica (N.Y.). Erst nach dem Doktorexamen beginnt NIKODYM mit der Veroffentlichung von Forschungsergebnissen. Bis 1945 veroffentlicht er tiber 30 Arbeiten und vier Lehrbticher, davon eines gemeinsam mit seiner Frau; nach 1947 folgen tiber 50 weitere Arbeiten und das monumentale Werk The Mathematical Appamtus for Quantum-Theories, Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1966. Er liefert zahlreiche Beitrage zur Theorie der reellen Funktionen, mengentheoretischen Topologie, MaBtheorie auf Verbanden, Funktionalanalysis, insbesondere Spektraltheorie und zur Theorie der Differentialgleichungen. Am bekanntesten ist wohl seine Arbeit [1] tiber den Satz von RADON-NIKODYM, wobei die Namengebung offenbar auf S. SAKS [1], [2] zurtickgeht. Weniger bekannt ist, daB NIKODYM schon 1931 eine Arbeit vorlegt, in der er zeigt, daB jede abgeschlossene konvexe Teilmenge eines Hilbert-Raums ein eindeutig bestimmtes Element minimaler Norm besitzt (s. Ann. Soc. Polon. Math. 10, 120-121 (1931), ausruhrlich veroffentlicht in Mathematica, Cluj 9, 110-128 (1935)). Dieser Satz wird oft F. RIESZ zugeschrieben, der ihn 1934 veroffentlicht und zum Beweis des Darstellungssatzes von RIEsz 3 benutzt.
4. Der Lebesguesche Zerlegungssatz. Sind p" v zwei endliche MaBe auf m, so wird v nicht notwendig p,-stetig sein, d.h. v wird nicht notwendig eine Dichte f bez. p, haben. Wir stellen die Frage: Kann man von vein endliches MaB der Form f 8 P, (f E M+) abspalten, so daB moglichst "wenig" librigbleibt? Anschaulich gesprochen wird v - f 8 P, "klein" sein, wenn dieses MaB auf einer Menge moglichst kleinen MaBes konzentriert ist. Am glinstigsten ist hier eine p,-Nullmenge, und dann ist v - f 8 P, l- p,. Eine soIche Zerlegung ist in der Tat moglich, und sie ist eindeutig bestimmt. 2.6 Lebesguescher Zerlegungssatz. Sind p, ein u-endliches MafJ und vein u-endliches signiertes MafJ auf m, so gibt es genau eine Zerlegung 8 v=p+u von v in zwei signierte MafJe p, u auf m, so dafJ p « p" u l- p, (Lebesguesche Zerlegung), und p hat eine (quasiintegrierbare) Dichte f : X -+ lR bez. p,. Dabei sind p, u u-endlich, und p, u sind genau dann endlich, wenn v endlich ist. 8Die signierten MaBe p, (J nehmen beide den Wert
-00
oder beide den Wert
+00
nicht an.
286
VII. Absolute Stetigkeit
Beweis. Den Eindeutigkeitsbeweis fUhren Wlr III Lemma 2.7 (sogar ohne die Voraussetzungen der O"-Endlichkeit von Il und v). - Nach dem Jordanschen Zerlegungssatz geniigt der Nachweis der Existenzeiner Lebesgueschen Zerlegung fUr MafJe v. Es seien also Il, v O"-endliche MaBe. Wir argumentieren ahnlich wie unter (1) im Beweis des Satzes von RADON-NIKODYM und setzen T := Il + v. Dann ist T ein O"-endliches MaB mit Il ~ T, und nach dem Satz von RADONNIKODYM gibt es ein 9 E M+, so daB Il = 9 0 T. Wir set zen N := {g = O}, definieren p,O" = Qt ---+ [0,00] vermoge p(A) := v(A n N C) , O"(A) := v(A n N)
(A E
Qt)
und stell en fest: p,O" sind O"-endliche MaBe mit v = p + 0". Offenbar gilt 0" ..L Il, denn Il(N) = INgdT = 0 und O"(NC) = O. Wir zeigen weiter: p ~ Il. Dazu sei A E Qt eine Il-Nullmenge. Dann ist 0 = Il(A) = Ix gXA dT, also gXA = 0 T-f.ii., d.h. T(A n NC) = O. Wegen p(A) = v(A n NC) ::; T(A n NC) = 0 ist also auch p(A) = o. - DaB peine Dichte f : X ---+ [O,oo[ bez. Il hat, folgt aus Korollar 2.4, c). D
2.7 Lemma. Sind Il, v signierte MafJe auf Qt, und gibt es eine Lebesguesche Zerlegun/ v = p + 0", p ~ 1l,0" ..L Il, so sind p, 0" die einzigen signierten MafJe mit diesen Eigenschaften.
Beweis. Es sei v = p' + 0"' eine zweite Lebesguesche Zerlegung von v, so daB p' ~ 1l,00' ..L Il. Dann gibt es Il-Nullmengen N,N' E Qt, so daB IO"I(NC ) = 10"'1 (N'C) = o. Fiir aIle A E Qt gilt daher p(A) = p(A n N Cn N'C) = v(A n N Cn N'C) = p'(A n N Cn N'C) = p'(A). Weiter ist
O"(A) = O"(A n N) = v(A n N) = v(A n N n N') , denn v(A n N n N'C) = p'(A n N n N'C) + O"'(A n N n N'C) = 0, da p = p'. Aus Symmetriegriinden liefert die Gleichung O"(A) = v(A n N n N') nun 0" = 0"'. D Historische Anmerkung. LEBESGUE ([2], S. 237) spricht 1910 im Fall J.t = AP den Zerlegungssatz folgendermaBen aus: «Hi s(I) est la fonction des singularites d'une fonction f(I) additive et Ii variation bornee, la difference f(I) - s(I) est absolument continue et s(I) a une variation totale plus petite que celle de to ute autre fonction u(I) telle que f(I) - 17(1) soit absolument continue.»9 Fiir Lebesgue-Stieltjessche MaBe J.t im ]RP beweist RADON ([1], S. 1322) den Lebesgueschen Zerlegungssatz. Der Fall abstrakter MaBraume wird von HAHN [1], S. 422-424, Satz XI-XIII detailliert behandelt. Allerdings zeigt HAHN nicht die Existenz einer Dichte des absolut stetigen Anteils von 1/. Der Name "Lebesguescher Zerlegungssatz" geht wohl zuriick auf SAKS [1], S. 16, [2], S. 32-35. Bez. einer verbandstheoretischen Version des Lebesgueschen Zerlegungssatzes verweisen wir auf K. YOSIDA: Vector lattices and additive set junctions, Proc. Imp. Acad. Tokyo 14, 228-232 (1940) und YOSIDA [1], S. 375-378. 9Ist s (1) der singulare Anteil des signierten MaBes f (1), so ist f (I) - s (I) absolut stetig und s(I) hat eine Totalvariation kleiner [oder gleich] derjenigen jedes anderen signierten MaBes 17(1), so daB f(1) - 17(1) absolut stetig ist.
§ 2. Satz von RADON-NIKODYM und Lebesguescher Zerlegungssatz
287
- Ubrigens lassen sich der Hahnsche, der Jordansche, der Lebesguesche Zerlegungssatz und der Satz von RADON-NIKODYM be quem mit Hilfe des Zornschen Lemmas beweisen; s. M.K. FORT: A specialization of Zorn's lemma, Duke Math. J. 15, 763-765 (1948). Aufgaben. 2.1. Es seien /L, v signierte (oder komplexe) Malle auf 2l, und v sei endlich. Dann ist v absolut stetig bez. /L genau dann, wenn zu jedem c > ein is > existiert, so dall Iv(A)1 < c fiir alle A E 2l mit I/LI(A) < is. (RADON [1], S. 1319.)
°
°
2.2. Es seien /L ein endliches signiertes Mall, vein signierter Inhalt auf 2l, und fiir jede Folge (An)n;>l von Mengen aus 2l mit (An) -+ gelte v(An) -+ 0. Dann ist vein signiertes Mall auf 2l.
°
I/LI
2.3. Es seien (X, 2l, /L), (Y, 'B, v) Mallraume, f : X -+ Y mellbar und [t, v die Vervollstandigungen von /L bzw. v. Zeigen Sie: Aus f(/L) « v folgt f([t) « v. (Vgl. Aufgabe III.1.2.) 2.4. Es seien /L ein O'-endliches Mall und v, p signierte Malle auf 2l. a) Aus v« /L folgt av« /L (a E JR) und d(av)/d/L = a(dv/d/L) /L-f.ii. b) Nehmen v und p beide den Wert +00 oder beide den Wert -00 nicht an, so ist v + p« /L, falls v« /L und p« /L, und dann gilt: d(v + p)/d/L = dv/d/L + dp/d/L /L-f.ii. c) 1st vein O'-endliches Mall mit p « v,v « /L, so gilt die "Kettenregel" dp dv -dv d/L
/L-f.ii.
d) 1st vein O'-endliches Mall mit v« /L und /L« v, so ist dv/d/L #
~: = (~~) -1
°
/L-f.ii. und
/L-f.ii.
2.5 In welchen der folgenden Beispiele existiert eine Lebesguesche Zerlegung von v bez. /L? a) 2l = 'Ill I [0, 1J, /L = Zahlmall, v = (31 12l. b) 2l = 'Ill I [0, IJ, /L = (3112l, v = Zahlmall. c) 2l = 'Ill I [0, IJ, Me [0, IJ, /L(A) := Anzahl der Elemente von AnM, v(A) := Anzahl der Elemente von A n Me (A E 2l). (Hinweis: Unterscheiden Sie die Falle M E 2l und M ~ 2l.) d) 2l = 'B21 [0,1]2, /L(A) := LXE[O,l] (31 (Ax) , v(A) := LYE[O,l] (31(AY) (A E 2l). 2.6. Sind /L ein O'-endliches Mall, vein O'-endliches signiertes Mall auf 2l, so gilt v dann, wenn kein signiertes Mall p # 0 existiert mit I pi::; p « /L.
Ivi,
~
/L genau
2.7. Sind v, p signierte oder komplexe Malle auf 2l, so sind folgende Aussagen aquivalent: a) v« p; b) (Rev)± « p, (Imp)± « p; c) « p; d)
Ivl Ivl « 14
2.8. Sind /L, v signierte oder komplexe Malle auf 2l, und hat v eine Lebesguesche Zerlegung v = p + 0', P « /L, 0' ~ /L, so hat die Lebesguesche Zerlegung = IpI +
I vi
I vi
10'1·
2.9. 1st v: 2l -+ ~ ein endliches signiertes Mall, so gibt es eine Ivl-integrierbare Funktion 9 : X -+ lR, Igl = 1, so dall v = 9 (0)
IvI·
2.10. 1st vein komplexes Mall auf 2l, so seien p := Rev,O' := 1m v und
Fiir
f
E
£1::(v) sei
Ix
f dv:=
Dann ist £1::(v) = £1.:(lvl).
Ix
f dp+ -
Ix
f dp-
+i
Ix
f dO'+ - i
Ix
f dO'- .
288
VII. Absolute Stetigkeit
2.11. Es seien /1 ein u-endliches MaB und vein komplexes Mall auf!ll mit v « /1. Dann existiert eine /1-f.u. eindeutig bestimmte Dichte 9 E CU/1) mit v = 9 8 /1. Fur meBbares f : X ---+ rc gilt f E Cb(v) genau dann, wenn fg E CU/1), und dann gilt
Ix
fdv =
Ix
fgd/1.
2.12. a) 1st v : 2( ---+ rc ein komplexes Mall, so gibt es eine meBbare Funktion 9 : X ---+ rc mit Igl = 1, so daB v = 9 81vl. (Bemerkung: In Analogie zur Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahien nennt man diese Darstellung die polare Zerlegung von v.) b) Fur alle f E .cUv) gilt
IIx f dvl ::; Ix If Idlvl·
2.13. Es seien (Xj ,!llj,/1j) ein u-endlicher MaBraum und Vj ein u-endliches MaB auf!llj mit der Lebesgueschen Zerlegung Vj = Pj + uj, Pj « /1j, Uj ~ /1j (j = 1, 2). Dann hat VI 181 V2 bez. /11 181 /12 die Lebesguesche Zerlegung VI 181 V2 = P + u mit P := PI 181 P2 « /11 181 /12 und u := PI 181 U2 + P218i Ul + UII8i u2 ~ /11181 /12· Hat Pj die Dichte fj : Xj ---+ lR bez. /1j (j = 1, 2), so hat PI 181 P2 bez. /11 181 /12 die Dichte h 181 h(Xl, X2) := fl (xr) . h(X2) (Xj E Xj, j = 1, 2). 2.14. 1st (/1n)n21 eine Folge u-endlicher Malle auf!ll, so existiert ein u-endliches MaB /1 auf 2(, so daB /1n « /1 fUr alle n E N. 2.15. 1st P ein MaG auf2( und ME 2(, so sei PM(A) := p(AnM) (A E 2(). - Es seien nun /1, v zwei u-endliche MaGe auf 2(. Dann existiert eine Zerlegung X = SUE (S,E E 2(,SnE = 0),
so daB gilt: /1 = /1s + /1E, V = Vs + VE, Vs ~ /1s, VE « /1E und /1E « VE. Entsprechendes gilt fUr u-endliche signierte MaBe /1, V. (Hinweis: Nach dem Satz von RADON-NIKODYM gibt es f,g E M+, so daB/1 = f8T,V = g8T, wobei T:= /1+v. Die Mengen S:= {f = O}U{g = O} und E := se Ieisten das Verlangte.)
§ 3.
(1 < p < 00)
Der Dualraum von V
1. Der Dualraum von IJ'(f.1) (1:::; p < 00). 1st (V, u ber lK., so heiBt
II ·11)
ein Banach-Raum
VI := {r.p : r.p : V ---+ lK. linear und stetig}
der (stetige) Dualraum von V. Bez. der Norm
11r.p11
:=
sup{Ir.p(x)I : x
E V,
Ilxll :::;
I}
ist auch VI ein Banach-Raum. Fur viele funktionalanalytische Untersuchungen ist die genaue Kenntnis von VI eine wesentliche Voraussetzung. 1m folgenden sei stets (X, 2[, f.1) ein MaBraum. Es ist unser Ziel, mit Hilfe des Satzes von RADON-NIKODYM zu zeigen, daB der Dualraum des Banach-Raums IJ'(f.1) (1:::; p < 00) (zumindest fUr a-endliches f.1) zu LQ(f.1) normisomorph ist. Dabei ist q E]I, 00] gemaB 1 1 -+-=1 p q festgelegt. Diese Bezeichnung wird im folgenden stillschweigend beibehalten.
§ 3. Der Dualraum von IJ' (1:::; p < 00)
289
3.1 Lemma. Fur jedes g E Lq ist
Ix
fgdp,
(J E IJ')
eine stetige Linearform auf IJ'. Die Gleichung II
Daher ist
Daher ist h E IJ' und
=
Ix
Iglq dp,
=
(Ix
Iglq dp, ) l/q
(Ix
Iglq dp, )
l-l/q = Ilgllqllhllp·
Folglich ist lI
II
Daher ist
hlgl dp, 2: ap,(E) = allfliI ,
II
0
Damit erhalten wir eine natiirliche Abbildung
290
VII. Absolute Stetigkeit
3.2 Satz. 1st p = 1 und /-L a-endlich oder 1
Ix f
g d/-L
00
und /-L beliebig, so ist
(f E IJ')
ein Normisomorphismus; kurz: (IJ')' = Lq. Beweis. Es sei '¢ E (IJ')'. Wir miissen zeigen: Es gibt ein g E Lq mit '¢ =
und die Stetigkeit von '¢ liefert: n
Lv(Ek ) = '¢ (XU1:=tEk) -+ '¢(XE) = v(E). k=l
v ist also ein (endliches) signiertes oder komplexes Map, und v « /-L, denn ist E E 2l eine /-L-Nullmenge, so reprasentiert XE das Nullelement von IJ', d.h. es ist v(E) = '¢(XE) = O. Nach dem Satz von RADON-NIKODYM existiert ein g E L 1 (/-L), so daB v = g 0 /-L. (1m FaIle ][( = C wende man den Satz von RADON-NIKODYM auf die endlichen signierten MaBe Rev, 1m van. Das liefert gl, g2 E L1 (/-L) mit Rev = gl 0 /-L, 1m v = g2 0 /-L, und g := gl + ig2 leistet das Gewiinschte. ) Nach Definition ist nun
d.h. fUr aIle
(3.1)
f
E
T
:= Span {XE :
E
E 2l} gilt
§ 3. Der Dualraum von LP (1:S; p <
291
00)
f
E Loo (C V (!)), so existiert eine Folge von Funktionen tn E T mit --70, Iltnll oo :s; Ilflloo. Daher gilt Iitn- flip --7 0 (Satz VI. 2.10), folglich 1/J(tn ) --7 1/J(f). Andererseits konvergiert (t ng)n'21 punktweise {l-f.u. gegen fg, wobei Itngl :s; Ilflloolgl {l-f.u. Der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert mithin tng d{l --7 f 9 d{l. Ergebnis: Cl. (3.1) gilt fur alle f E LOO. Wenn wir nun zeigen, daB gilt
1st nun
Iitn - flloo
Ix
Ix
(3.2) so sind wir fertig, denn dann stimmen 1/J, I.{Jg E (LP)' auf dem dichten linearen Teilraum T von V uberein, sind also gleich. Zum Nachweis von (3.2) unterscheiden wir zwei Faile: (i) q = 00: Die Funktion
!E(x)
:=
XE(X) . {g1(x)/lg(x)1 fur g(x) =I 0, fur g(x)=O,
(E
E
2t)
liegt in Loo. Daher gilt nach (3.1) fUr aile E E 2t:
i,g, d{l = lx!Eg d{l = 1/J(!E)
:s; 111/J1111!E111 = i"1/J" d{l,
und Satz IV.4.4 liefert: Igl :s; 111/J11 {l-f.u., also 9 E £,x" (ii) 1 < q < 00: Fur a > 0 seien Ea := {Igl :s; a} und
fa(x)
:=
xEJx)lg(x)lq-l . {
i-( x )/1
( )1
9 x
Ilglloo :s; 111/J11.
fUr g(x) -1-0, fUr g(x): o.
Dann ist fa E L OO , und (3.1) ergibt
also:
(in Iglq d{l) l/q :s; 111/J11 fUr aile a >
o.
Fur a --7 00 liefert nun der Satz von der monotonen Konvergenz die Beziehung (3.2) und zusatzlich Ilgllq :s; 111/J11· Damit ist die Behauptung fUr {l(X) < 00 bewiesen. (2) Die Behauptung gilt fur (J-endliche MafJe fl. Begrundung: Wir wahlen eine Folge von Mengen Xn E 2t mit Xn t X, {l(Xn) < 00 und setzen 2tn := 2t I X n , {In := {l12tn • Der Raum V({ln) laBt sich vermoge
als Unterraum von V auffassen. Dann ist 1/Jn := 1/J I V({ln) eine stetige Linearform auf V({ln), und nach (1) existiert ein gn E Lq(Xn ), so daB
1/Jn(f) =
lXr fgnd{ln n
fUr aile f E V({ln).
VII. Absolute Stetigkeit
292
Da gn JLn-f.ii. eindeutig bestimmt ist, kann gn ohne Besehrankung der Allgemeinheit gleieh so gewahlt werden, daB gn+1 I Xn = gn. Dann ist die Definition g(x) := gn(x) fUr x E X n , n E N sinnvoll, und gist meBbar. Naeh (1) ist Ilgnllq:::; II'I,I;nll :::; 11'1,1;11, und der Grenziibergang n -+ 00 liefert wegen mono toner Konvergenz: 9 E Lq, Ilgllq :::; 11'1,1;11· Fur alle f E V(JLn) ist
und da U~=l V(JLn) dieht liegt in V(JL), folgt (2). (3) Die Behauptung gilt filr beliebige MafJe JL, falls 1 < p < 00. Begrilndung: Fur A E 21 fassen wir L~ := V(A, 211 A, JL I (211 A)) als Unterraum von V auf und setzen '1,1; A := '1,1; I L~. Bezeiehnet nun 6 die Menge aller Elemente von 21, die bez. JL a-endliehes MaB haben, so existiert naeh (2) zu jedem A E 6 genau ein gA E L~, so daB 'l,l;A(f) = fA fgA dJLA fUr alle f E L~ und II'I,I;AII = IlgAllq. Fur disjunkte A, BE 6 ist (3.3)
= gA, gAUB I B = gBl
denn wegen der Eindeutigkeit von gA, gB, gAUB ist gAUB I A und aus 1 < q < 00 folgt: II'I,I;AUBllq
=
IlgAuBII~
=
IlgAII~
+ IlgBII~ =
II'I,I;Allq
+ II'I,I;Bllq·
Naeh (3.3) ist II'I,I;AII :::; II'I,I;BII fUr alle A, BE 21 mit A c B. Offenbar ist 0:= sup{II'I,I;AII : A E 6} :::; 11'1,1;11 < 00, und es gibt eine Folge (Sn)n>l in 6 mit II'I,I;sn II -+ o. Ersiehtlieh ist S .U~=l Sn E 6 und II'I,I;sll = o. Naeh (2) existiert ein 9 E L~, so daB (3.4)
'l,l;s(f)
=
Is fgdJL
fUr alle f E
L~.
Wegen (3.3) folgt aus II'I,I;sll = 0, daB 'l,l;B\S = 0 fUr alle B E 6. Fur jedes f E V ist nun B := {f Ie O} E 6, denn Bn := {If I > lin} t B und JL(Bn) :::; Ilnfll~ < 00. Daher ist 'I,I;(Xscf) = 'l,l;B\S(f I (B \ S)) = 0, und (3.4) liefert
'I,I;(f) = 'I,I;(xsf)
+ 'I,I;(Xscf) = 'l,l;s(f IS) =
Is fgdJL = Ix fgdJL = cPg(f)· D
Fur p = 1 und nieht a-endliehes JL ist cp nieht notwendig ein Normisomorphismus, doeh kann man zeigen, daB bei geeigneter Modifikation der Definition des Raums Loo die Abbildung cp genau dann ein Normisomorphismus ist, wenn der MaBraum (X, 21, JL) lokalisierbar ist (Satz von SEGAL-KELLEY; s. z.B. BEHRENDS [1], S. 189-191 und die dort angegebene Literatur). Zum Beispiel
§ 3. Der Dualraum von Lp (1 ≤ p < ∞)
293
ist jeder σ-endliche Maßraum lokalisierbar, und jeder im Sinne von Hewitt– Stromberg [1], S. 317 zerlegbare Maßraum ist lokalisierbar. – Der Dualraum des (modifizierten) Raums L∞ ist normisomorph zu einem Raum beschr¨ankter signierter Inhalte auf A (s. Hewitt–Stromberg [1], S. 354 ff.). Historische Anmerkung. F¨ ur p > 1 wird Satz 3.2 im Jahre 1910 von F. Riesz ([1], S. 467) in seiner großen Arbeit Untersuchungen u ¨ ber Systeme integrierbarer Funktionen bewiesen. Den wichtigen Spezialfall p = 2 erledigt Riesz ([1], S. 386–388) schon 1907 in einer Note in den C.R. Acad. Sci., Paris 144, 1409–1411 (1907). Gleichzeitig findet Fr´ echet dasselbe Resultat und ver¨ offentlicht es im gleichen Band derselben Zeitschrift auf S. 1414–1416. – Der Raum L∞ (f¨ ur das Lebesgue-Maß auf einem Intervall) wird erst 1919 eingef¨ uhrt von H. Steinhaus (Math. Z. 5, 186–221 (1919)). In dieser Arbeit zeigt Steinhaus, daß L∞ zu (L1 ) isomorph ist.
2. Die multiplikativen Linearformen auf der Banach-Algebra L1 (μm ). Ist A eine Banach-Algebra u ¨ber K, so heißt eine K-lineare Abbildung ϕ : A → K mit ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) (x, y ∈ A) eine multiplikative Linearform. Bemerkenswerterweise sind multiplikative Linearformen auf Banach-Algebren automatisch stetig (w¨ahrend auf unendlich-dimensionalen Banach-R¨aumen stets unstetige Linearformen existieren (!)). 3.3 Lemma. Ist ϕ eine multiplikative Linearform auf der Banach-Algebra A, so ist ϕ stetig mit ϕ ≤ 1. Beweis. Angenommen, es gibt ein a ∈ A mit |ϕ(a)| > a. F¨ ur b := (ϕ(a))−1 a n n gilt dann b < 1 und ϕ(b) = 1. Wegen b ≤ b und b < 1 ist yn := b + b2 + . . . + bn (n ∈ N) eine Cauchy-Folge in A, konvergiert also gegen ein y ∈ A, und aus byn = yn+1 − b folgt by = y − b. Da aber ϕ(b) = 1 ist, folgt hieraus ϕ(y) = ϕ(y) − 1: Widerspruch! 2 Es sei wieder μm := (2π)−m/2 β m (s. Kap. V, § 3, 4.). F¨ ur jedes t ∈ Rm 1 ˆ ist f → f(t) eine multiplikative Linearform auf LC (μm ), denn (f ∗ g)∧ = fˆ · gˆ (f, g ∈ L1C (μm )). Wir zeigen, daß dieses alle nicht-trivialen multiplikativen Linearformen auf L1C (μm ) sind: 3.4 Satz. Ist ϕ = 0 eine multiplikative Linearform auf L1C (μm ), so existiert ˆ f¨ur alle f ∈ L1 (μm ). genau ein t ∈ Rm , so daß ϕ(f ) = f(t) C Beweis. Wegen ϕ ∈ (L1 ) (Lemma 3.3) existiert nach Satz 3.2 genau ein h ∈ L∞ , so daß ϕ(f ) = f h dμm f¨ ur alle f ∈ L1 . Rm
Wir werten die Bedingung ϕ(f ∗ g) = ϕ(f )ϕ(g) (f, g ∈ L1 ) aus zur genaueren Bestimmung von h: Zun¨achst gilt nach dem Satz von Fubini f¨ ur alle f, g ∈ L1 mit fy (x) := f (x − y):
VII. Absolute Stetigkeit
294
i= * im (im i= (im im (f
g)(x)h(x) df-Lm(x) f(x - y)g(y) df-Lm(y)) h(x) df-Lm(x) fy(X)h(X)df-Lm(X)) g(y)df-Lm(Y)
cp(fy)g(y) df-Lm(Y)·
(Wegen Icp(fy) I :::; IIcplillfyl11 :::; IIfl11 existiert das letzte Integral in Ubereinstimmung mit dem Satz von FUBINI.) Andererseits ist
und es folgt fUr alle fELl: (3.5) Da cp -=I- 0 ist, k6nnen wir hier FELl so wahlen, daB cp(F) = 1 ist, und dann folgt: (3.6) Die Abbildung Rm ---+ L1, Y H Fy ist stetig, und cp ist stetig. Daher ist die rechte Seite von (3.6) stetig, d.h. h kann als stetige Funktion auf dem Rm gewahlt werden. Dann gilt (3.5) fUr alle fELl und alle y E Rm, und es folgt:
h(x + y) = cp((F.,)y) = cp(F.,)h(y) = h(x)h(y). Es gilt also die Funktionalgleichung
h(x + y) = h(x)h(y)
(3.7)
(x, y E Rm ),
und es ist h(O) = cp(F) = 1. Daher existiert ein a E Rm, a > 0, so daB
a:=
r
h(y) df-Lm(Y) -=I- O.
l[o,a]
Die Integration von (3.7) bez. y uber [0, a]liefert:
ah(x) =
r
l[o,a]
h(x + y) df-Lm(Y) =
r
h(z) df-Lm(z).
l[x,x+a]
Hier ist die rechte Seite nach x stetig differenzierbar, d.h. h ist stetig differenzierbar. Setzen wir w := (Dh)(O) E em, so ist nach (3.7) (Dh)(x) = wh(x) (x E Rm), also D(h(x) exp(-(w, x))) = 0 fur alle x E Rm. Daher ist h(x) exp(-(w, x)) konstant, und wegen h(O) = 1 ergibt sich h(x) = exp((w,x)). Weil h (E Loo!) beschrankt ist, hat w die Form w = -it mit tERm, d.h. es ist cp(f) = j(t) fUr alle fELl. Zugleich ergibt sich die Eindeutigkeit von t,
§ 3. Der Dualraum von V' (1:::; p < 00)
295
denn ist auch u E lRm und cpU) = j (u) fUr alle f E Argumentation auf h(y) = exp( -i(u, y)) anwenden.
L\
so liiBt sich obige 0
Bezeichnen wir mit Co(r) den Banach-Raum der stetigen Funktionen auf dem lRm, die im Unendlichen verschwinden (versehen mit der Supremumsnorm), so hat die Eindeutigkeitsaussage von Satz 3.4 zur Folge: Das Bild (LHJ.Lm))1I C Co (lRm) von LHJ.Lm) unter der Fourier-Transformation trennt die Punkte von lRm. Zusammen mit den iibrigen Eigenschaften der Fourier-Transformation liefert daher der Satz von STONE-WEIERSTRASS (s. z.B. SEMADENI [1], 7.3.9.): Der Raum (LHJ.Lm)Y liegt dicht in Co(lRm).
Aufgaben 3.1. Eine Menge M E ~ heiBt eine lokale (/1-)Nullmenge, wenn fUr alle E E ~ mit /1(E) < 00 gilt /1(M n E) = 0. a) Jede Nullmenge ist eine lokale Nullmenge, und jede lokale Nullmenge von u-endlichem MaB ist eine Nullmenge, aber eine lokale Nullmenge braucht keine Nullmenge zu sein. b) Die Abbildung 'P : Loo -+ (L1)' aus Satz 3.2 ist injektiv genau dann, wenn jede lokale Nullmenge eine Nullmenge ist. 3.2. Es seien p = 1 und /1 u-endlich oder 1 < p < 00 und /1 belie big. Ferner sei jede lokale Nullmenge eine Nullmenge und g: X -+ lK meBbar. a) Gibt es ein a E [0,00[, so daB Jx Ilgl d/1 :s: all/lip fUr alle I E LP, so ist 9 E Lq und
Ilgllq:S: a. b) 1st {g of- o} von u-endlichem MaB und Ig E L1 fur alle I E P, so ist 9 E Lq. (Hinweis: Konstruieren Sie eine geeignete Folge von Funktionen gn E Lq mit gn -+ g, und benutzen Sie den Satz von BANACH-STEINHAUS.) 3.3. Lemma 3.1 gilt sinngemiiB fUr (p, q) = (00,1) und liefert fur jedes MaB /1 eine normerhaltende Injektion 'P: L1 -+ (Loo)'. Die Abbildung 'P ist nicht surjektiv, falls /1 = j31IlBto.1J' (Hinweise: Der Raum C([O, 1]) der auf [0,1) stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm kann als abgeschlossener Unterraum von L oo (/1) aufgefaBt werden. Die Abbildung 'Ij; : C([O, I]) -+ ri., 'Ij;(f) := 1(0) (f E C[O, 1]) ist eine stetige Linearform mit 11'Ij;11 = 1. Nach dem Satz von HAHN-BANACH gestattet 'Ij; eine stetige Fortsetzung >¥ : L oo (/1) -+ lK mit 11'Ij;1I = II>¥II. Warum wird >¥ nicht durch ein Element von L 1 (/1) dargestellt?) 3.4. Eine Abbildung X: ]Rm -+ emit x(x + y) = x(x)x(y) (x,y E ]Rm) und Ixl = 1 heiBt ein Charakter. (Ein Charakter ist also ein Homomorphismus der additiven Gruppe (]Rm, +) in die multiplikative Gruppe 8 1 der komplexen Zahlen vom Betrage 1.) Zeigen Sie: Zu jedem Borel- (oder Lebesgue-) meBbaren Charakter X : ]Rm -+ C existiert ein t E ]Rm, so daB X(x) = exp(i(t, x)) fur alle x E ]Rm. (Hinweise: I t--+ JIJI.= x(x)/(x) d/1m(x) ist eine multiplikative Linearform auf L1(/1m). Daher existiert ein t E ]Rm, so daB X(x) = exp(i(t,x)) fur /1m-fast alle x E ]Rm. Insbesondere ist die Menge der x E ]Rm, fUr welche X(x) und exp(i(t, x)) ubereinstimmen, eine additive Untergruppe positiven MaBes.) 3.5. Jede Lebesgue-meBbare Lasung (3.8)
f(x
+ y)
I : ]Rm -+ ]R der Funktionalgleichung = I(x)
+ f(y) (x,y
E ]Rm)
ist stetig und hat daher die Gestalt I (x) = (a, x) mit geeignetem a E ]Rm. (Hinweis: X = exp(if) ist ein Lebesgue-meBbarer Charakter auf]Rm.) 3.6. Es gibt nicht Lebesgue-meBbare Lasungen der Funktionalgleichung (3.8). (Hinweise: Jede Lasung von (3.8) ist eine Q-lineare Abbildung von ]Rm in ]R. Schreibt man also die Werte von I auf einer Basis des Q- Vektorraums ]Rm ganz beliebig vor, so liiBt sich I auf genau eine Weise zu einer Lasung von (3.8) fortsetzen. Eine Miichtigkeitsbetrachtung liefert das Gewunschte.) 3.7. FaBt man Funktionen auf [0,21l"[ als (21l" )-periodische Funktionen auf ]R auf, so wird
296
VII. Absolute Stetigkeit
Ll := L~([O, 2rrJ, '13 1 1[0, 2rrj, f"f311 ('13 1 1[0, 2rr])) vermoge der Faltung
f
* g(x)
r
27r 1 :~ 2rr Jo f(x - y)g(y) dy
f
zu einer Banach-Algebra. Fiir durch
(f,g ELI)
E L1 wird die Fourier-Transformierte
1 f(n) := 2rr A
127r f(t)e- mt. dt
j : Z --+ C definiert
(n E Z),
0
und es gilt:
(f*gr'=j.g. Fiir jedes n E Z ist also CPn : L1 --+ C, CPn (f) := j(n) (f E L1) eine multiplikative Linearform auf L1. Zeigen Sie: Zu jeder multiplikativen Linearform cP : L1 --+ C, cP -I 0 existiert ein n E Z mit cP = CPn. - Wie lauten die Analoga der Aufgaben 3.4-3.6? 3.8. Versieht man (Z, +) mit dem Zahlmafi und den Banach-Raum It(Z) mit der Faltung +00
(x
* y)n:=
L
Xn-kYk
(n E Z)
k=-oo
(x = (Xk)kEZ,Y = (Yk)kEZ E It(Z)) als Multiplikation, so ist It(Z) eine Banach-Algebra. Zeigen Sie: Zu jeder multiplikativen Linearform cP -I 0 von It (Z) existiert ein mod 2rr eindeutig bestimmtes t E lR, so daB +00
(3.9)
cp(x) =
L
k=-oo
xke ikt
fiir aile x = (Xk)kEZ E It(Z). Umgekehrt ist jede Abbildung cP der Gestalt (3.9) eine multiplikative Linearform auf It(Z). 3.9. Es sei A die komplexe Banach-Algebra der absolut konvergenten Fourier-Reihen +0Cl
+00
x(t) =
L
k=-oo
xke ikt
(t E JK),
L
IXkl < 00
k=-oo
mit der Norm Ilxll := Lt:-oo IXkl und der punktweise definierten Multiplikation. Zeigen Sie: Jede multiplikative Linearform cP -I 0 von A ist ein A uswertungshomomorphismus cp( x) = x( t) mit geeignetem mod 2rr eindeutig bestimmtem t E llt
§ 4.
Absolut stetige Funktionen auf ffi.
1. Der Uberdeckungssatz von VITALI. Ziele dieses Paragraphen sind der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung fUr das Lebesgue-Integral und eine Verfeinerung des Lebesgueschen Zerlegungssatzes fUr Lebesgue-Stieltjessche MaBe auflR. Insbesondere wird sich fUr bez. (3 absolut stetige Lebesgue-Stieltjessche MaBe f..LF auf lR zeigen, daB die Radon-Nikodym-Ableitung df..LF/ d(3 mit der gewohnlichen Ableitung von F (3-f.ii. iibereinstimmt. Der Schliissel zu diesen Resultaten ist der Uberdeckungssatz von VITALI. 1m folgenden bezeichnen TJ das auBere Lebesgue-MaB, ). das Lebesgue-MaB und (3 das Lebesgue-Borelsche MaB auf lR.
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf IR
297
4.1 Definition. Es seien A c IR und F eine Familie von (offenen oder abgeschlossenen oder halboffenen) Intervallen I C IR mit )..(I) > O. Dann heiBt F eine Vitali- Uberdeckung von A, wenn zu jedem x E A und c > 0 ein I E F existiert, so daB x E I und )..(I) < c. 4.2 Uberdeckungssatz von Vitali (1908)10. Sind A C IR eine {nicht notwendig mefJbare} Menge endlichen iiufJeren Lebesgue-MafJes und F eine VitaliUberdeckung von A, so gibt es zu jedem c > 0 endlich viele disjunkte Intervalle Il, ... ,In E F (n::::: 0), so dafJ (4.1)
Beweis (nach BANACH [1], S. 90 ff.). Fur A = 0 wahle man n = 0 und das leere System von Intervallen. - Es sei nun A =I- 0. Wir wahlen eine offene Menge U ::J A mit )"(U) < 00. Ohne Einschrankung der Allgemeinheit konnen wir gleich voraussetzen, daB F nur abgeschlossene Intervalle enthalt, die aIle in U enthalten sind, denn {I : I E F,J c U} ist eine Vitali-Uberdeckung von A. Wir beginnen die induktive Konstruktion mit irgendeinem II E Fund nehmen an, die paarweise disjunkten Intervalle II, ... ,h E F (k::::: 1) seien schon konstruiert. 1st A C U~=l I j , so beenden wir die Konstruktion, und die Behauptung ist mit n := k richtig. 1m FaIle A \ U~=l I j =I- 0 sei
rk := sup {)..(I) : I E F, In
U 0} . Ij =
1=1
Dann ist 0 < rk ~ )"(U) < 00, und wir konnen ein h+1 E F auswahlen mit )"(Ik+1) > rk/2 und h+1 n U~=l I j = 0. Es sei nun A \ U~=l I j =I- 0 fUr aIle k ::::: 1. Dann ist
(4.2) Insbesondere gilt rk ---+ 0, und es gibt ein n E N mit I:~n+1 )..(h) < c/5. Zum Nachweis von (4.1) sei x E A \ U~=l I k. Da U~=l Ik abgeschlossen ist, existiert ein zu II' ... ' In E F disjunktes I E F mit x E I. Das Intervall I hat mit einem der Intervalle Ik mit k ::::: n + 1 einen nicht-Ieeren Durchschnitt, denn ware In h = 0 fUr aIle k ::::: 1, so ware rk ::::: )..(I) fUr aIle k im Widerspruch zur Konvergenz rk ---+ O. Es sei nun 1 > n die kleinste naturliche Zahl mit I n II =I- 0. Dann ist also )..(1) ~ rl-l < 2)..(I1), folglich betragt der Abstand des Punktes x yom Mittelpunkt von II hochstens )..(I) + ~)"(II) < 5)..(I1)/2. Bezeichnet nun J k das abgeschlossene Intervall mit )..(Jk ) = 5)..(Ik), das denselben Mittelpunkt lOVITALI
[1], S. 257 ff.
298
VII. Absolute Stetigkeit
hat wie h, so ist x E Jl und daher 1] (A \
Qh) :' : k~l
A(Jk ) = 5
k~/(h) < c.
Damit ist (4.1) bewiesen. Zusatzlich wird klar: 1] (A \ Uk>l h) haben wir das folgende Korollar im Fall1](A) < 00 bewiesen.
4.3 Korollar. 1st F eine Vitali-Uberdeckung von A
c JR,
O. Damit
o
so existiert ezne
abziihlbare Familie (Ikh?l disjunkter Intervalle aus F, so dafJ
Beweis. Fur n E Z ist Fn := {I E F : 1 C]n, n + 1[} eine Vitali-Uberdeckung von An := An]n, n + 1[. Wegen 1](An) < 00 existiert nach dem vorangehenden Beweis eine abzahlbare Familie (Jnkh>l disjunkter Intervalle aus Fn mit 1] (An \ Uk>l Jnk ) = 0, und (Jnk)nE7l,k?l ist-eine abzahlbare Familie disjunkter Mengen aus F mit
o 4.4 Bemerkung. Der Uberdeckungssatz von Vitali und Korollar 4.3 gelten ofIenbar sinngemiiB im W, falls:F nur Wurfel (Quader mit lauter gleich langen Kanten) enthiilt. Dagegen sind diese Aussagen nicht unveriindert richtig, wenn man als Elemente von :F beliebige Quader zuliiBt (s. BANACH [1], S. 90 fI.). Allgemeinere Versionen des Vitalischen Satzes fiir das Lebesgue-MaB im ]RP findet man bei BANACH [1], S. 90 fI., KAMKE [1], S. 82 fI., SAKS [2], S. 109 fI., L. MEJLBRO, F. TOPS0E: A precise Vitali theorem for Lebesgue measure, Math. Ann. 230, 183-193 (1977), O. J0RSBOE, L. MEJLBRO, F. TOPS0E: Some Vitali theorems for Lebesgue measure, Math. Scand. 48, 259-285 (1981).
2. Differenzierbarkeit monotoner Funktionen A-f.ii. 1st 1 c JR ein Intervall und f : 1 --t JR, so werden die rechten (bzw. linken) oberen und unteren Ableitungszahlen von f in x E 1 definiert durch D+f(x)
.-
-1' f(x 1m
+ h)h -
f(x)
h-++O
h-++O
-1' f(x) - f(x - h) 1m
h-++O
D f( ) ._ l' f(x x .- 1m
,+
h
D f( ).= l'
,_x.1m h-HO
+ h) h
f(x)
,
f(x) - f(x - h) .
h
Hier sind lim und lim in i: zu bilden. GehOrt der Hnke (bzw. rechte) Eckpunkt von 1 zu 1, so sind dort nur die rechten (bzw. linken) oberen und unteren Ableitungszahlen erklart. Offenbar ist stets D+ f ?: D+f und D- f ?: D-f, und f
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf lR
299
ist in x E 1 differenzierbar genau dann, wenn im Punkte x alle Ableitungszahlen endlich und gleich sind. - 1st f Borel- (bzw. Lebesgue- )meBbar, so sind alle Ableitungszahlen von f Borel- (bzw. Lebesgue-)meBbar (Aufgabe 4.2).
4.5 Satz (H. LEBESGUE 1904)11. 1st f: [a,bj---+ lR monoton wachsend, so ist f A-f.il. auf [a,b] dijJerenzierbar. Setzt man 1'(x) := 0 filr aile x E [a,b], zn den en f nicht dijJerenzierbar ist, so ist l' E £1 ([a, b]) und
lb
( 4.3)
!,(x) dx :::; f(b) - f(a).
Beweis. Wir zeigen zunachst, daB die Menge aller x E]a,b[ mit D+f(x) > D-f(x) eine A-Nullmenge ist. Zu diesem Zweck genugt es zu beweisen: Fur alle r, SEQ, r < s ist
AT,s:= {x E]a,b[: D+f(x) > s > r > D-f(x)} eine A-Nullmenge. Dazu setzen wir12 a := 1')(AT ,s) :::;> O. Wir wahlen ein c > 0 und eine offene Menge mit la, b[~ U ~ AT,s und A(U) < a + c. Zu jedem x EAT,s existiert ein h > 0, so daB [x - h, x] e U und f(x) - f(x - h) < rho Das System aller dieser 1ntervalle ist eine Vitali-Uberdeckung von AT,s' Nach dem Uberdeckungssatz von VITALI existieren daher endlich viele disjunkte 1m = [xm - hm' xm] e U (m = 1, ... ,p), so daB 1') (AT,s \ U!:,=l 1m) < c und ( 4.4)
~(J(Xm) - f(x m - hm)) < r ~ hm = rA p
p
Weiter ist jedes Y Elm nAT,s (m
[y, y + k] elm, so daB f(y
+ k)
(P) 1l11m
< r(a + c).
= 1, ... ,p) linker Eckpunkt eines 1ntervalls
- f(y) > sk. Das System aller dieser 1ntervalle
ist eine Vitali-Uberdeckung von AT,s n U!:,=l 1m. Nach dem Uberdeckungssatz von VITALI gibt es endlich viele disjunkte I n = [Yn, Yn + k n] (n = 1, ... , q) unter diesen 1ntervallen, so daB
1')
(AT,s \
~ In) :::;
1')
(AT,s \
~1 1m )
+ 1') (
(AT,s n
~1 1m) \ ~ In) < 2c,
und es folgt: ( 4.5)
q
q
~(J(Yn + kn) - f(Yn)) > s ~kn = SA
(q)
ld
In
:::;>
s(a - 2c).
11 LEBESGUE [2], S. 144 beweist den Satz fur stetige f. Der Fall unstetiger monotoner Funktionen wird behandelt von W.H. YOUNG, G.C. YOUNG: On the existence of a differential coefficient, Proc. London Math. Soc. (2) 9,325-335 (1911), W.H. YOUNG: On functions of bounded variation, Quarterly J. Math. 42, 54-85 (1911) und von H. LEBESGUE [6], S. 186-188. 12Nach Aufgabe 4.2 ist AT,s eine Borel-Menge, so daB wir ;3(A r,s) statt ry(AT,s) schreiben durften.
VII. Absolute Stetigkeit
300
Nun ist jedes der Intervalle I n in einem 1m enthalten, und summieren wir bei festem m ilber alle n mit I n C 1m , so ergibt sich
L
(f(Yn
+ kn) -
f(Yn)) :::; f(xm) - f(x m - hm) ,
n:JnCITn
denn fist wachsend. Summieren wir nun ilber alle m = 1, ... ,p, so folgt q
p
L(J(Yn + kn) - f(Yn)) :::; L(J(xm) - f(xm - hm )), m=l
n=l
und (4.4), (4.5) liefern s(a - 2c:) < r(a + c:). Dies gilt fUr alle c: > 0, und aus r < s, a 2: 0 folgt a = 0, d.h. Ar,s ist eine A-Nullmenge. Eine Anwendung des so eben Bewiesenen auf - f(a + b - x) (x E [a, b]) anstelle von f liefert: D- f :::; D+f A-f.il., und insgesamt erhalten wir:
Die vier Ableitungszahlen sind also A-f.il. gleich, d.h. g(x) := limh--;o(J(x + h) - f(x))/h existiert A-f.il. als Limes in lit (DaB g A-f.il. endlich und damit f A-f.il. differenzierbar ist, wird sich gleich zeigen.) Wir definieren g(x) := 0 fUr alle x, fUr welche der obige Limes nicht in i: existiert. Filr x 2: b set zen wir f(x) := f(b) und bilden
gn(X):=n(f(x+~)
-f(X))
(xE[a,b]).
Dann gilt gn --+ g A-f.il., d.h. gist Lebesgue-meBbar. Da f monoton wachst, ist gn 2: 0, und eine Anwendung des Lemmas von Fatou ergibt
lb
g(x) dx :::;
+ ~) Ja n n r+~ f(x) dX) Ja
lim (b gn(x) dx = lim n {b (f (x n-+oo
Ja
lim (n n--+oo
n...-too
(b+~ f(x) dx -
Jb
lim (f(b) - n n-+oo
r+~ f(X)dX)
ia
f(X)) dx
:::; f(b) - f(a).
Damit ist g A-integrierbar und insbesondere A-f.il. endlich. Daher ist differenzierbar, und es gilt (4.3).
f A-f.il. 0
4.6 Korollar (H. LEBESGUE 1904)11. Jede Funktion von beschriinkter Varia-
tion ist A-f. u. difJerenzierbar. Beweis. Nach Aufgabe 1.10 ist jedes f E BV(a,b) darstellbar als Differenz monotoner Funktionen. 0 Ein elementarer Beweis der Differenzierbarkeit monotoner Funktionen A-f.il., der nicht den Uberdeckungssatz von VITALI benutzt, stammt von F. RIESZ ([1], S. 250-263; s. auch
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf R.
301
RIEsz-Sz.-NAGY [1], S. 3-7). RIESZ beweist den Satz nur fiir stetige monotone Funktionen und bemerkt, daB die Argumentation auf unstetige monotone Funktionen ausgedehnt werden kann. Eine Ausarbeitung dieser Bemerkung findet man bei M. HEINS: Selected topics in the classical theory of functions of a complex variable. New York: Holt, Rinehart and Winston 1962, S. 141-145. - Ein weiterer elementarer Beweis des Lebesgueschen Satzes stammt von G. LETTA: Une demonstration elementaire du tMoreme de Lebesgue ... , L'Enseignement Math. (2) 16, 177-184 (1970).
4.7 Korollar (G. FUBINI 1915)13. 1st (fn)n>l eine Folge monoton wachsender (bez. fallender) Funktionen auf [a, b], so daft -die Reihe F(x) := 2:::"=1 fn(x) fur alle x E [a, b] konvergiert, so gilt 00
(4.6)
F'
=
L f~
A-f.U.
n=l Beweis (nach F. RIESZ [1], S. 269). Ohne Beschrankung der Allgemeinheit seien gleich aIle fn wachsend und fn(a) = 0 (sonst ersetzen wir fn durch fn - fn(a)). Fiir Fn := 2:~=1 fk gilt nun Fn t F, und da aIle auftretenden Funktionen monoton wachsend sind, gilt nach Satz 4.5 fUr aIle n :::: 1 (4.7) Insbesondere konvergiert 2:::"=1 f~ A-f.ii. Zum Nachweis von (4.6) brauchen wir wegen (4.7) nur zu zeigen, daB fUr eine geeignete Teilfolge (Fnk )k>l gilt: F' F~k --+ 0 A-f.ii. Dazu wahlen wir die nk so groB, daB F(b) - Fnk(b) < 2- k , und set zen gk(X) := F(x) - Fnk(X) (x E [a,b]). Dann ist gk monoton wachsend, o :s:; gk :s:; 2- k, und wir k6nnen die obigen Betrachtungen auf die gk anstelle der fn anwenden. Dann folgt: 2:;;"=1 g~ konvergiert A-f.ii., insbesondere gilt g~ = F' - F~k --+ 0 A-f.ii., und das war zu zeigen. 0
4.8 Beispiele. a) Fiir die Cantorsche Funktion F (Beispiel IL8.7) ist F' = 0 A-f.ii. Daher steht in Ungleichung (4.3) nicht notwendig das Gleichheitszeichen (!). Nach Korollar 4.7 gilt fiir die Funktion G aus Beispiel 11.8.8: G' = 0 A-f.ii. Es gibt also streng monoton wachsende, stetige Funktionen auf R., deren Ableitung A-f. u. verschwindet. (Aber: 1st f : R. --+ R. uberall differenzierbar mit f' = 0, so ist f konstant; s. auch Satz 4.13.) b) Fiir jede Sprungfunktion H : R. --+ R. (s. Kap. II, § 2, 2.) ist nach Korollar 4.7 H' = 0 A-f.ii. 3. Der Dichtesatz. Ein Punkt x E R. heiBt ein Dichtepunkt der (nicht notwendig meBbaren) Menge A c R., falls gilt lim 1'}(A n [x - h, x + h]) = 1. 2h
h--++O
13G. FUBINI: Sulla derivazione per sene, Rend. Acad. Lincei Roma 24,204-206 (1915) (= Opere scelte, Vol. III, S. 90-92. Roma: Edizioni Cremonese 1962).
302
VII. Absolute Stetigkeit
Es bezeichne D(A) die Menge der Dichtepunkte von A.
4.9 Dichtesatz (H. LEBESGUE 1904). 1st A C lR eine beliebige Menge, so sind A-fast alle Punkte von A Dichtepunkte, d.h. es gilt 1](A \ D(A)) = O.
Beweis (nach F. RIESZ [1], S. 270). Ohne Beschdinkung der AIlgemeinheit kann angenommen werden, daB A beschrankt ist. Wir wahlen eine Folge (Un )n>1 beschrankter offener Mengen Un :J A mit 1](Un ) :::; 1](A) + 2- n (n ~ 1) u~d set zen f(x)
:=
1](An]-
00,
xl), fn(x)
:=
A(Unn] -
00,
xl)
(x E lR).
Dann ist gn := fn - f monoton wachs end, denn sind I, J c lR disjunkte IntervaIle, so ist 1](P U Q) = ",(P) + 1](Q) fiir aIle Pel, Q c J. Daher gilt o :::; gn :::; 2- n, und nach KoroIlar 4.7 konvergiert 2::=1 g~ A-f.ii., insbesondere gilt g~ -+ 0 A-f.ii. 1st aber x E A, so ist x E Un fUr aIle n und f~(x) = 1, denn Un ist offen. Daher ist f'(x) = 1 fUr A-fast aIle x E A, d.h. A-fast aIle x E A sind Dichtepunkte, 1](A \ D(A)) = o. 0
4.10 Korollar (H. A(A f':" D(A)) = o.
LEBESGUE
1904). Fur alle A E £1 ist D(A) E £1 und
Beweis. Nach dem Dichtesatz ist 1](A \ D(A)) = O. Fiir aIle A E £1 ist aber D(A) C D(Acy, also D(A) \ A c AC \ D(AC). Der Dichtesatz mit AC statt A liefert 1](D(A) \ A) = 0, insgesamt also 1](A f':" D(A)) = o. Daher ist D(A) E £1 und A(A f':" D(A)) = o. 0 H. LEBESGUE ([2], S. 139-140, S. 164 und S. 231) beweist den Dichtesatz fiir meBbare Mengen. Einen elementaren Beweis des Satzes fiir beliebige Mengen und ausfiihrliche Literaturangaben findet man bei W. SIERPINSKI ([1], S. 489-493).
4. Absolut stetige Funktionen auflR. Der bekannte Hauptsatz der Differentialund lntegralrechnung (fUr das Riemann-Integral) besagt: 1st f : [a, b] -+ lR stetig, so hat f eine Stammfunktion, und zwar ist
F(x)
:=
L"
f(t) dt
(a:::; x :::; b)
eine Stammfunktion von f (d.h. Fist differenzierbar mit F' = f). Je zwei Stammfunktionen von f unterscheiden sich hochstens urn eine additive Konstante. 1st G irgendeine Stammfunktion von f, so gilt:
G(b) - G(a) =
lb
f(t) dt.
Ziel dieses Abschnitts ist eine Version dieses Satzes fUr das Lebesgue-Integral. Als Warnung bemerken wir gleich, daB die angestrebte Gleichung
F(b) - F(a)
=
lb
F'(x) dx
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf lR.
303
nach Beispiel 4.8 schon fUr stetige monotone F nieht uneingeschrankt richtig ist. Der SchHissel zur Lasung des Problems ist der folgende Begriff.
4.11 Definition (G. VITALI 1905)14. Eine Funktion F : [a,b] -+ lK heiBt absolut stetig, wenn zu jedem c > 0 ein 0 > 0 existiert, so daB n
L !F(,6k) -
F(ak)1 < c
k=1 fUr aile a ::: a1 < ,61 ::: a2 < ,62 ::: ... ::: an < ,6n ::: b mit L~=1 (,6k - ak) < O.
4.12 Folgerungen. a) Jede absolut stetige Funktion ist stetig. Die Cantorsche Funktion F : [0,1] -+ lR. (Beispiel 11.8.7) ist stetig, aber nicht absolut stetig. b) Jede absolut stetige Funktion F : [a, b] -+ lK ist von beschrankter Variation (s. Aufgabe 1.10). Insbesondere ist jede absolut stetige Funktion )'-f.ii. differenzierbar.
Beweis. a) Zum Beweis der zweiten Aussage sei 0 > O. Wir wahlen die aj,,6j als die Eckpunkte der Intervalle Kn,j (j = 1, ... ,2n+1) mit hinreichend groBem 2n +1
n, so daB Lj=1 (,6j - aj) < 0 (s. Kap. II, § 8, 1.). Dann ist F im Intervall [,6j, aj+1] (j = 1, ... , 2n+1 - 1) konstant, also 2n +1
L
!F(,6k) - F(ak)1 = F(l) - F(O) = 1.
k=1 b) Wir wahlen das zu c := 1 geharige 0 > 0, setzen n := (b - a)/O + 1 und zerlegen [a, b] gemaB a = Xo < Xl < ... < Xn = b in n Intervalle gleicher Lange < O. Dann ist Var(F; [Xk-l, Xk]) < 1 fUr k = 1, ... , n, also n
Var(F; [a, b])
=
L Var(F; [Xk-l, Xk]) < n. k=l
Nach Korollar 4.6 ist F )'-f.ii. differenzierbar.
o
4.13 Satz (G. VITALI 1905)15. Jede absolut stetige Funktion F : [a, b] -+ lK mit FI = 0 ).-f. ii. ist konstant.
Beweis. Es seien a < e < b, c > 0 und A := {x E [a, e[: FI(X) = O}. Zu jedem x E A existieren beliebig kleine h > 0 mit x + h < e, so daB !F(x + h) F(x)1 < ch. Das System aller dieser Intervalle [x, x + h] (x E A) ist eine VitaliUberdeckung von A. Wahlen wir nun zum vorgegebenen c > 0 ein 0> 0 gemaB Definition 4.11, so existieren nach dem Uberdeckungssatz von VITALI endlich viele disjunkte Intervalle h := [Xk' Xk + hk] (Xk E A, hk > 0, Yk := Xk + hk < e,k = 1, ... ,n), so daB (4.8) 14VITALI 15VITALI
[1], S. 207. [1], S. 215 f.
304
VII. Absolute Stetigkeit
und Tf (A \ U~=l h) <
o.
Wir denken uns die Xk, Yk der GroBe nach geordnet:
Yo := a ::; Xl < Y1 ::; X2 < Y2 ::; ... ::; Xn < Yn ::; c =: Xn+1 . Dann ist also L~=o(Xk+1 - Yk) < 0 und mithin L~=o !F(Xk+1) - F(Yk)1 < Wegen (4.8) ergibt das n
E:.
n
L
!F(c) - F(a)1 = !2)F(Xk+1) - F(Yk)) + (F(Yk) - F(Xk)) ! < c(c- a + 1). k=O k=l Da
E:
> 0 beliebig ist, folgt F(c) = F(a) fUr a < c < b, also ist F konstant.
D
4.14 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung fiir das Lebesgue-Integral (H. LEBESGUE (1904), G. VITALI (1905))16. a) 1st f : [a, bj --+ i Lebesgue-integrierbar, so ist
F(x) absolut stetig, und es gilt F'
:= [ "
f(t) dt
(a::; X ::; b)
= fA-f. u.
b) 1st F: [a,bj--+ lK absolut stetig und setzt man F'(x) := 0 fur alle X E [a,b],
in denen F nicht diJferenzierbar ist, so ist F' Lebesgue-integrierbar uber [a, bj, und es gilt F(x) - F(a) = [ " F'(t) dt
(a::; x ::; b).
Beweis. a) Nach Aufgabe IV.3.7 gibt es zu jedem E: > 0 ein 0 > 0, so daB fUr aIle A E £1 mit A(A) < 0 gilt fA If IdA < E:. Daher ist F absolut stetig, insbesondere ist F A-f.li. differenzierbar (Folgerung 4.12, b)). Wir beweisen die Gl. F' = f A-f.li. zunachst in dem Fall, daB f beschrankt ist: Sei etwa If(x)1 ::; M (x E [a,b]). Wir setzen f(x) := f(b) fUr aIle x;::: b und
fn(x)
:=
( ( +;;:1) - F(x) ) n ixr
+1 / n f(t) dt
X
n F x
=
(a::; x ::; b).
Dann ist Ifni ::; M fUr aIle n E N und fn --+ F' A-f.li. Der Satz von der majorisierten Konvergenz liefert nun fUr a ::; c ::; b:
lC F'(x) dx =
lim
n--+oo
fn(x) dx = Jr a
lim n
n--+oo
l~~ (n [c+1/n F(x) dx -
r (F (x +.!) - F(X)) dx
Jan
n la+1/ n F(x) dX)
F(c) - F(a) = lC f(x) dx, ~~------------
16LEBESGUE
458-459.
[2], S. 145 und S. 175-182, [6], S. 183 und S. 188;
VITALI
[1], S. 205 ff. und S.
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf lR
305
denn Fist stetig. (Hier wird die klassische Version des Hauptsatzes der Differentialund Integralrechnung fUr stetige Integranden benutzt.) Damit erhalten wir
l
C
(F' (x) - I (x)) dx = 0 fUr a ::; c ::; b,
und nach Aufgabe IV.5.8 ist F' = I A-f.li. Nun sei I : [a, b] ---+ lk A-integrierbar, aber nicht notwendig beschrankt. Wir konnen gleich annehmen, daB I 2:: 0 ist, und set zen gn := min(n, I),
Nach dem schon Bewiesenen ist Fn A-f.li. differenzierbar mit Die Funktion G n ist wachsend, also A-f.li. differenzierbar mit Insgesamt erhalten wir F' = F~ + G~ 2:: gn A-f.li. Daher ist F' 2::
(4.9) und folglich
lb
F'(x) dx 2::
lb
f
F~ = G~
gn A-f.li.
> 0 A-f.li.
A-f.li.
I(x) dx = F(b) - F(a).
Da F wachsend ist, gilt hier nach Satz 4.5 das Gleichheitszeichen, also I:(F'(x)I(x)) dx = 0, und (4.9) impliziert F' = I A-f.li. b) Fist als absolut stetige Funktion von beschrankter Variation und daher Linearkombination monotoner Funktionen (Aufgabe 1.10). Die Ableitungen dieser monotonen Komponenten sind nach Satz 4.5 A-integrierbar, also ist F' E 1 ([a,b]). Set zen wir G(x) := I: F'(t)dt (a::; x::; b), so ist G nach a) absolut stetig mit G' = F' A-f.li. Die Funktion G - Fist daher absolut stetig mit (G - F)' = 0 A-f.li., also ist G - F konstant (Satz 4.13). Daher ist
.c
F(x) - F(a) = G(x) - G(a) =
l
x
F'(t) dt
(a::; x ::; b).
o Aus Hauptsatz 4.14, b) folgt unmittelbar: 1st I : [a, b] ---+ lR absolut stetig
und I' 2:: 0 A-f.ii., so ist I wachsend. Eine Funktion F : [a, b] ---+ OC heiBt ein unbestimmtes Integral, wenn eine Lebesgue-integrierbare Funktion I : [a, b] ---+ lk existiert, so daB
F(x) = F(a)
+
l
x
I(t) dt
(a::; x ::; b).
Nun folgt aus dem Hauptsatz 4.14 unmittelbar:
VII. Absolute Stetigkeit
306
4.15 Korollar (G. VITALI 1905)17. Eine Funktion F : [a, bj -+ lK ist genau dann ein unbestimmtes Integral, wenn F absolut stetig ist. Die Regel von der partiellen Integration (s. Aufgabe V.2.8) HiJ3t sich jetzt so aussprechen: 4.16 Partielle Integration. Sind I, 9 : [a, bj -+ lK absolut stetig, so gilt:
lb
[Igj~
J'(x)g(x) dx =
-lb
I(x)g'(x) dx.
4.17 Korollar (R. LEBESGUE 1906)18. 1st I: [a, bj -+ lK Lebesgue-integrierbar, so gilt lur >.-fast aUe x Eja, b[: (4.10)
11h If(x ± t) - l(x)1 dt lim -h
0,
1~(J(x+t)+I(x-t))-I(x)ldt
o.
h-++O 11h lim -h
(4.11)
h-++O
0
0
Beweis. Es sei A c lK eine abzahlbare dichte Menge. Nach dem Hauptsatz 4.14 gilt fUr aIle a E A und >'-fast aIle x Eja, b[ (4.12)
lim
h-++O
k10rh II(x ± t) - al dt =
II(x) -
al·
Bezeichnen wir mit Eo die Nullmenge der x Eja, b[, fUr welche (4.12) nicht gilt, so ist E := UoEA Eo eine Nullmenge. Es seien x Eja, b[\E und c > O. Dann existiert ein a E A mit If(x) - al < c/2. Nun ist 1
r
h
1
r
h
h 10 II (x ± t) - I (x) I dt :::: h 10 If (x ± t) -
a I dt
1
r
h
+ h 10 II (x) -
a I dt ,
und hier ist das zweite Integral auf der rechten Seite < c /2, das erste konvergiert wegen (4.12) fUr h -+ +0 gegen II(x) - al < c/2. Damit folgt (4.10), und (4.11) ist klar nach (4.10). D Man nennt x Eja,b[ einen Lebesgue-Punkt, falls (4.11) gilt. Daher ki:innen wir sagen: 1st I : [a, bj -+ lK Lebesgue-integrierbar, so sind >.-fast aUe x E [a, bj Lebesgue-Punkte. Auf diese Aussage stiitzt sich der Beweis eines sehr allgemeinen Konvergenzsatzes von LEBESGUE ([8], S. 59) iiber Fourier-Reihen. 5. Lebesguesche Zerlegung Lebesgue-Stieltjesscher Malle. 1st F : R. -+ R. wachsend und rechtsseitig stetig, so sei jJ,p : 1B1 -+ lR das zugehi:irige LebesgueStieltjessche MaE auf 1B1 (s. Beispiel IIA.7). 1m folgenden Abschnitt seien aIle Lebesgue-Stieltjesschen MaEe auf 1B1 definiert. 17VITALI
[1], S. 207 if. [8], S. 13.
18LEBESGUE
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf lR
307
Der Zerlegung F = Fe + Fd der wachsenden, rechtsseitig stetigen Funktion F : lR -+ lR in eine wachsende, stetige Funktion Fe und eine wachsende, rechtsseitig stetige Sprungfunktion Fd gem~iB Satz 11.2.4 entspricht die (eindeutig bestimmte) Zerlegung fl,F = fl,e + fl,d von fl,F in den atomlosen ("stetig verteilten") Anteil /1>e und den rein atomaren Anteil fl,d (s. Aufgabe 11.6.3). Bezeichnet U die (abzahlbare) Menge der Unstetigkeitsstellen von F, so ist (4.13)
fl,d(E) =
L
(E E ~W).
(F(x) - F(x - 0))
xEUnE
Nach Korollar 4.7 ist F~ = 0 f.ii., und offenbar ist fl,d 1- (3. Ziel der folgenden Uberlegungen ist die Zerlegung von fl,e in einen bez. (3 absolut stetigen und einen singularen Anteil. Dazu definieren wir: 4.18 Definition. Eine Funktion F : J -+ lR heiBt absolut stetig im Intervall J c lR, wenn F I [a, bj absolut stetig ist fUr aIle [a, bj c J, und F heiBt singular, falls F stetig und wachsend ist und F' = 0 (3-f.ii. 4.19 Satz. 1st F : lR -+ lR wachsend und rechtsseitig stetig, so ist fl,F genau dann, wenn F absolut stetig ist, und dann gilt fl,F = F' 8 (3.
«
(3
Beweis. 1st F absolut stetig, so set zen wir F'(x) := 0 fUr aIle x E lR, in denen F nicht differenzierbar ist. Dann gilt nach Hauptsatz 4.14 fUr aIle a < b fl,F(ja,b]) = F(b) - F(a) =
lb
F'(t)dt.
Die MaBe fl,F und F' 8 (3 stimmen auf J iiberein, sind also nach dem Eindeutigkeitssatz gleich. 1st umgekehrt fl,F « (3, so gibt es eine Borel-meBbare Funktion g : lR -+ [0,00[, so daB fl,F = g 8 (3, und es gilt
F(x) - F(a) = fl,F(ja,x]) =
l
x
g(t)dt
fUr aIle a, x E lR, x :::: a. Daher ist F nach Hauptsatz 4.14 absolut stetig (und F' = g (3-f.ii.). 0 4.20 Satz. Eine wachsende, stetige Funktion F : lR -+ lR ist singular genau dann, wenn fl,F atomlos ist und fl,F 1- (3.
Beweis. Es sei zunachst F singular. Damit ist F stetig, also fl,F atomlos (Beispiel 11.4.7). Weiter sei fl,F = P + a die Lebesguesche Zerlegung von fl,F bez. (3, wobei p « (3 und a 1- (3. Zu p, a existieren wachsende, stetige Funktionen G, H : lR -+ lR mit p = fl,G, a = fl,H, so daB F = G + H, und aus F' = 0 (3-f.ii. folgt G' = H' = 0 (3-f.ii. Das MaB p hat eine Dichte g bez. (3, und es ist G(x) - G(a) = p(ja,x]) =
l
x
g(t)dt
VII. Absolute Stetigkeit
308
x. Daher ist naeh Hauptsatz 4.14 9 = G ' = 0 ,6-f.li., also ,6. Nun sei umgekehrt PF ~ ,6. Das MaB p := F' 8 ,6 ist absolut stetig bez. ,6, und fUr aIle a < b ist nach Satz 4.5
fUr aIle a,x E lR,a p
=
0, PF
= IJ, PF
~
~
PF(]a, b])
=
F(b) - F(a) ;:::
lb
Naeh dem Vergleiehssatz 11.5.8 ist daher p also F' = 0 ,6-f.li.
~
F'(x) dx
=
p(]a, b]).
PF, und Aufgabe 2.6 liefert p
= 0, D
4.21 Lebesgue-Zerlegung von PF (H. LEBESGUE 1904)19. Zu jeder wachsenden rechtsseitig stetigen Funktion F : lR -+ lR existieren eine Zerlegung ( 4.14)
F
=
Fabs
+ F sing + Fd
in wachsende rechtsseitig stetige Funktionen und dazu eine Zerlegung
(4.15)
PF
=
Pabs
+ Psing + Pd
von PF in MafJe auf lEI, so dafJ gilt: a) Fabs ist absolut stetig, Pabs « ,6, Pabs = F' 8 ,6. b) F sing ist singular, Psing ~ ,6, F;ing = 0 ,6 -f. ii. e) Fd ist eine Sprungfunktion, F~ = 0 ,6-f.ii., und fiir alle E E lEI gilt (4.13). d) PF = Pc + Pd ist die eindeutig bestimmte Zerlegung von PF in den atomlosen Anteil Pc = Pabs + Psing und den rein atomaren Anteil Pd· e) Legt man die Normierungen Fabs(O) = Fsing(O) = 0 zugrunde, so sind die Zerlegungen (4.14), (4.15) eindeutig bestimmt. Beweis. Wir zerlegen wie oben F = Fc + F d, PF = Pc + Pd und weiter Pc = + Psing, Pabs « ,6, Psing -L ,6 (Lebesguesehe Zerlegung). Die MaBe PabS) Psing werden beschrieben dureh waehsende stetige Funktionen Fabs bzw. F sing die wir so wahlen ki:innen, daB (4.14) gilt. Wegen F;ing = F~ = 0 ,6-f.li. ist F~bs = F' ,6-f.li., und a)-d) sind naeh dem obigen klar. Aussage e) ist nun leieht zu sehen. Pabs
D
Eine vertiefte Darstellung der Differentiation von MaBen auf dem W und auf allgemeineren Raumen findet man bei COHN [1], EVANS und GARIEPY [1], FEDERER [1], HAHN und ROSENTHAL [1], KOLZOW [1], RUDIN [1], SAKS [2], SHILOV und GUREVICH [1], WHEEDEN und ZYGMUND [1], ZAANEN [2]. 6. Rektifizierbare Kurven. Eine (stetige) Kurve 1 : [a, b] -+ ffi'.P ist genau dann rektifizierbar, wenn aile Koordinatenfunktionen 11, ... ,1p von beschrankter Variation sind. Insbesondere existiert flir jede rektifizierbare Kurve f.li. die Ableitung 1'(t) (t E [a, b]). Es seien 1 rektifizierbar, L{"t) die Bogenlange von 1 und l(t) := L{"t I [a, t]) (a:S t :S b). 1st 1 sogar stlickweise stetig differenzierbar, so ist bekanntlich L{"t) = 1i'Y'(t) II dt. Der folgende Satz von L. TONELLI enthalt eine einfache notwendige und hinreichende Bedingung flir die Gliltigkeit dieser Gleichung.
f:
19LEBESGUE [2], S. 144 f. und S. 232 ff.
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf lR
309
4.22 Satz (L. TONELLI 1908)20. Ist"( : [a, bj ---+ lRP eine rektijizierbare stetige Kurve, so gilt: a) 11,,('11 ist Lebesgue-integrierbar und
(4.16)
L("()
~[
11"('(t)11 dt.
b) Das Gleichheitszeichen gilt in (4.16) genau dann, wenn aile Koordinatenfunktionen von "( absolut stetig sind. Beweis. a) Die Funktion I(t) := L("( I [a, t]) (a::; t ::; b) ist monoton wachsend, also f.ii. differenzierbar. Bezeichnet nun E die Menge der t E [a, bj, in denen lund alle "(1, ••. , "(p differenzierbar sind, so gilt fUr aile to E E: l'(to )
=
lim I(t) -I(to) > lim 11"((t) - "((to) II t - to - t--+to It - tol
= 11"('(to)ll.
t--+to
Nach Satz 4.5 ist also Ih'll integrierbar, und es gilt (4.16). b) Nach Aufgabe 4.11 sind "(l, ... ,"(p absolut stetig genau dann, wenn I absolut stetig ist. Gilt nun in (4.16) das Gleichheitszeichen, so ist I(t) = [II"('(S)II ds
(a::; t ::; b),
also ist I absolut stetig. - Seien nun umgekehrt I absolut stetig und a = to b,
< t1 < ... < tn
=
(s,t E [a,b]) ,
also sind aile
"(1, ••• , "(p
in s E [a, bj
'(s) = ("((s) - "((tj-1),"f'(s)) < II '(s)11
Ist dagegen "((s) = "((tj-d, so ist
so daB insgesamt gilt:
also L("() ::;
J: 11"('(s)11
ds, und in (4.16) gilt das Gleichheitszeichen.
Aufgaben. 4.1. Ist A c lR Vereinigung einer (nicht notwendig abzahlbaren!) Familie Intervailen (beliebigen Typs), so ist A E .£1. (Hinweis: Koroilar 4.3.)
o
g von
2oL. TONELLI: Bulla rettijicazione delle curve, Atti R. Accad. Sci. Torino 43,783-800 (1908); Bulla lunghezza di una curva, ibid. 47,1067-1075 (1912) (= Opere scelte, Vol I, S. 52-68 und S. 227-235. Roma: Edizioni Cremonese 1960).
310
VII. Absolute Stetigkeit
4.2. Es sei I C llil. ein Intervall. a) Fiir jede stetige Funktion f : I -+ llil. sind alle Ableitungszahlen Borel-meBbar. b) Fiir jede monotone Funktion f : I -+ llil. sind alle Ableitungszahlen Borel-meBbar. c) Fiir jede Borel- (bzw. Lebesgue-)meBbare Funktion f : I -+ llil. sind aile Ableitungszahlen Borel- (bzw. Lebesgue-)meBbar (SIERPIl~BKI [1], S. 452 ff., BANACH [1], S. 58 ff., AUERBACH, Fund. Math. 7, 263 (1925), SAKS [2], S. 113 f.). d) Fiir nicht Lebesgue-meBbares f : I -+ llil. brauchen die Ableitungszahlen nicht LebesguemeBbar zu sein, kiinnen aber durchaus Borel-meBbar sein. 4.3. 1st N c llil. eine >.-Nullmenge, so existiert eine wachsende absolut stetige Funktion f : llil. -+ llil., die in keinem x E N differenzierbar ist. (Hinweise: Es seien Un :::> N, Un offen, >.(Un ) < 2- n (n ~ 1) und f(x) := 2:::"=1 XUn (t) dt (x E llil.).)
J;
4.4. 1st f : [a, b] -+ llil. von beschriinkter Variation, t(x) := Var(f; [a, x]) (a::; x ::; b), so ist t >'-f.ii. differenzierbar mit t' = 1f'1 >'-f.ii. (Hinweis: Korollar 4.7.) 4.5. Es seien f: [a,b] -+ llil. von beschriinkter Variation, t(x) := Var(f;[a,x]),t±(x) Var±(f; [a, x]) (a::; x ::; b; s. Aufgabe 1.10). Dann sind folgende Aussagen aquivalent: (i) fist absolut stetig. (ii) t+ und t- sind absolut stetig. (iii) t ist absolut stetig. Insbesondere ist jede absolut stetige Funktion darstellbar als Differenz zweier wachsender absolut stetiger Funktionen (G. VITALI 1905). 4.6. Sind f : [a, b] -+ llil. absolut stetig und t, t± wie in Aufgabe 4.5., so gilt
t(x)
[ ' 1f'(u)ldu, t+(x) = ['(f')+(U)dU,
l
qx)
x
(f'nu) du
(a::; x ::; b).
4.7. 1st f: [a,b]-+ llil. von beschriinkter Variation, so gilt
[1f'(X)1 dx::; Var(f; [a,b]),
f absolut stetig ist. f : [a, b] -+ lK heiBt Lipschitz-stetig, wenn ein M > 0 existiert, so daB
und das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn 4.8. Eine Funktion
If(x) - f(Y)1 ::; Mix - yl fUr alle X,Y E [a,b]. Jede Lipschitz-stetige Funktion ist absolut stetig. 4.9. 1st f : [a, b] -+ llil. absolut stetig und N C llil. eine >.-Nullmenge, so ist f(N) eine >.Nullmenge. 4.10 Substitutionsregel. 1st ep : [a,,B] -+ llil. monoton wachsend und absolut stetig, ep(a) =: =: b und f E 1 ([a,b]), so ist (Joep). ep' E 1 ([a,,B]) und
a,ep(,B) (4.17)
.c
[f(X)dX =
J:
.c
f(ep(t))ep'(t)dt.
(Hinweis: Man beweise die Behauptung zunachst fiir charakteristische Funktionen von IntervaIlen. - Eine genauere Diskussion von (4.17) findet man bei STROMBERG [1], S. 323 ff.) 4.11. Sind 7 : [a, b] -+ llil.P eine rektifizierbare (stetige) Kurve und l(t) := L(-y I [a, t]) (a::; t ::; b), so ist I genau dann absolut stetig, wenn alle Koordinatenfunktionen 71, ... ,7p absolut
stetig sind (L. TONELLI 1908). 4.12. Es seien a, bE llil. und f : [0,00[-+ lR, f(O) := 0 und f(x) := x a sin(x- b ) fiir x > O. Unter welchen Bedingungen an a, b ist (i) f beschriinkt, (ii) f stetig, (iii) Var(J; [0, 1]) < 00, (iv) f
§ 4. Absolut stetige Funktionen auf lR absolut stetig, (v) j in 0 differenzierbar, (vi)
311
1'1 [0, Ij
beschrankt?
4.13. Es sei F : [a, bj --+ IR monoton wachsend, F Ija, b[ rechtsseitig stetig und /IF : '23 [a,bl --+ iR das zugehiirige Lebesgue-Stieltjessche MaB, das durch /IF (la, 13]) = F(i3) - F(a), /IF ([a, 13]) = F(i3) - F(a) (a < a < 13 ::: b) definiert ist. Zeigen Sie: /IF ist singular bez. 131 '23[a,bl genau dann, wenn es zu jedem c > 0 Zwischenpunkte a ::: a1 < 131 < ... < an < i3n ::: b gibt, SO daB L~=l (13k - ak) < c und L~=l IF(i3k) - F(ak) 1 2: Var(F; [a, b]) - c. Entsprechendes gilt fur das signierte MaB VF, das zu einer auf ja, b[ rechtsseitig stetigen Funktion F : [a, b] --+ IR von beschrankter Variation gehiirt (s. Aufgabe 1.10). 4.14. Es seien p > 0 und F: [0,1] --+ IR wie folgt definiert: F(O) := 0, und ist x = L~=o 2- kn mit natiirlichen Zahlen 0 < ko < k1 < ... , so sei
F(x) :=
L
pn(1
+ p)-k
n
•
n=O
Dann ist F streng monoton wachsend und stetig, und fur p = 1 ist F(x) = x (0::: x ::: 1). Fur p # 1 ist F singular. (Hinweis: 1st F in einem x E ]0, 1] differenzierbar mit F' (x) # 0, so ist p = 1; s. L. TAKACS: An increasing continuous singular junction, Amer. Math. Monthly
85,35-37 (1978).)
Kapitel VIII MaBe auf topologischen Raumen 1m vorliegenden Kapitel studieren wir MaBe auf topologischen Raumen. Musterbeispiele sind das Lebesgue-MaB und die Lebesgue~Stieltjesschen MaBe. Wir interessieren uns daher besonders fUr diejenigen MaBe auf der a-Algebra ~(X) der Borel-Mengen des topologischen Raums X, die mi:iglichst viele Eigenschaften mit dem Lebesgue-MaB gemeinsam haben. Diese etwas vage Zielvorstellung legt verschiedene Ansatze nahe. Das betrifft zunachst die topologischen Voraussetzungen an den Raum X: Der Wist sowohl ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum als auch ein vollstandig metrisierbarer Raum. Demzufolge entwickeln wir die Regularitatseigenschaften von Borel-MaBen in § 1 bevorzugt fUr lokal-kompakte Hausdorff-Raume und fUr vollstandig metrisierbare Raume. In § 2 zeigen wir: 1st X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so laBt sich jede positive Linearform J : Cc(X) -+ lK auf dem Raum Cc(X) der stetigen Funktionen f : X -+ lK mit kompaktem Trager in der Form
J(j) =
Ix
f df-l
(j
E
Cc(X))
"darstellen" durch ein geeignetes MaB f-l auf ~(X) (Darstellungssatz von F. RIEsz). Von dies em Satz beweisen wir mehrere Varianten. Das fUhrt zu einer Beschreibung des Dualraums von Co(X) durch signierte bzw. komplexe MaBe auf ~(X). ~ In Kap. III, § 2 haben wir festgestellt, daB das Lebesgue~Borelsche MaB fJP das einzige normierte translationsinvariante MaB auf ~P ist. Dieser Sachverhalt ist nur ein Spezialfall des fundamentalen Satzes von HAAR, den wir in § 3 beweisen: Auf jeder lokal-kompakten Hausdorffschen topologischen Gruppe existiert ein translationsinvariantes Radon-MafJ, und dieses ist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. Der Beweis dieses Satzes ist eines der wichtigsten Ziele von Kap. VIII. Da der Satz von HAAR im wesentlichen nur fUr lokal-kompakte Gruppen gilt, werden wir uns in §§ 2~3 bevorzugt mit Borel-MaBen auf lokal-kompakten Raumen beschaftigen. Es liegt in der Natur der Sache, daB wir in Kap. VIII beim Leser mehr Kenntnisse aus der mengentheoretischen Topologie voraussetzen mussen als in den vorangehenden Kapiteln. Die Bucher von v. QUERENBURG [1] und SCHUBERT J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 7. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-17905-1_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011
§ 1. Borel-Maße, Radon-Maße, Regularit¨at
313
[1] sind bei Bedarf zuverl¨assige Ratgeber. Wir rekapitulieren die zugrundegelegte Terminologie und einige grundlegende Sachverhalte in Anhang A.
§ 1.
Borel-Maße, Radon-Maße, Regularit¨ at
1. Grundbegriffe. Im vorliegenden Paragraphen studieren wir die sog. Regularit¨at von Borel-Maßen auf topologischen R¨aumen. Letztendlich wollen wir zeigen, daß Borel-Maße auf lokal-kompakten Hausdorff-R¨aumen mit abz¨ahlbarer Basis oder auf vollst¨andig metrisierbaren separablen metrischen R¨aumen viele Approximationseigenschaften mit dem Lebesgue-Maß und den Lebesgue– Stieltjesschen Maßen gemeinsam haben. Da bei unserem Vorgehen die kompakten Mengen eine ausgezeichnete Rolle spielen, m¨ ussen wir sicherstellen, daß alle kompakten Mengen Borelsch sind. Das ist in allen Hausdorff-R¨aumen der Fall, denn jede kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raums ist abgeschlossen. Daher verabreden wir f¨ ur den ganzen § 1 folgende Voraussetzungen und Bezeichnungen: Es seien X ein Hausdorff-Raum und O, C, K die Systeme der offenen bzw. abgeschlossenen bzw. kompakten Teilmengen von X. Ferner sei B = B(X) = σ(O) die σ-Algebra der Borel-Mengen von X. Bei den folgenden Definitionen schließen wir uns weitgehend den Namengebungen von L. Schwartz (1915–2002) [1] und R.J. Gardner, W.F. Pfeffer [1] an. In diesem Zusammenhang ist eine eindringliche Warnung n¨otig: In der Literatur werden dieselben Namen oft in unterschiedlicher Bedeutung benutzt. Daher ist es bei Konsultation verschiedener Quellen unerl¨aßlich, zun¨achst die Definitionen zu rekapitulieren, bevor man die mathematischen Aussagen vergleichen kann. 1.1 Definition. Es seien A ⊃ B eine σ-Algebra und μ : A → [0, ∞] ein Maß. a) μ heißt lokal-endlich, wenn zu jedem x ∈ X eine offene Umgebung U von x existiert mit μ(U) < ∞. Ein lokal-endliches Maß μ : B → [0, ∞] heißt ein Borel-Maß. b) Eine Menge A ∈ A heißt von innen regul¨ar, falls (1.1)
μ(A) = sup{μ(K) : K ⊂ A, K ∈ K} ,
und μ heißt von innen regul¨ar, wenn alle A ∈ A von innen regul¨ar sind. c) Eine Menge A ∈ A heißt von außen regul¨ar, falls (1.2)
μ(A) = inf{μ(U) : U ⊃ A, U ∈ O} ,
und μ heißt von außen regul¨ar, wenn alle A ∈ A von außen regul¨ar sind. d) Eine Menge A ∈ A heißt regul¨ar, wenn sie von innen und außen regul¨ar ist. Sind alle A ∈ A regul¨ar, so nennt man μ regul¨ar. e) Ein von innen regul¨ares Borel-Maß nennt man ein Radon-Maß.
314
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
Der Begriff "reguHir" wurde (im Sinne einer Art auBerer Regularitat fiir auBere MaBe) von CARATHEODORY [1], S. 258 gepragt und fand gleich Aufnahme in die mathematische Literatur (s. z.B. HAHN [1], S. 433, ROSENTHAL [1], S. 990 ff., SAKS [2], S. 50 f., VON NEUMANN [1], S. 103 ff.). Angeregt durch den VON NEUMANNschen Beweis der Eindeutigkeit des Haarschen MaBes (s. VON NEUMANN [5], S. 91-104) begannen A.A. MARKOFF (1903-1979)1 [1] und A.D. ALEXANDROFF [1] mit der Untersuchung regularer (signierter) Inhalte und MaBe auf (normalen) topologischen Raumen. Die weitere Entwicklung wurde durch die Diskussion der regularen MaBe im Lehrbuch von P.R. HALMOS [1] nachhaltig beeinfluBt. Die Darstellung bei HALMOS stiitzt sicb u.a. auch auf eine Vorlesung von J. v. NEUMANN [6] aus dem Jahre 1940, die erst 1999 veroffentlich wurde. - Die obige Festlegung des Begriffs "Radon-MaB" ist das Ergebnis einer langeren Entwicklung. Wir folgen dem Vorschlag von SCHWARTZ [1], S. 12 ff. Die Definition bei FREMLIN [1], S. 210 ist formal anders, in gewissem Sinne aber inhaltlich aquivalent.
1.2 Folgerungen. Es sei /1 wie in Definition 1.1. a) Eine Menge A E 2l mit /1(A) < 00 ist genau dann regular, wenn zu jedem E > 0 ein kompaktes K c A und ein offenes U :::) A existieren mit /1(U\K) < E. b) 1st /1lokal-endlich, so hat jedes K E ji eine offene Umgebung U mit /1(U) < 00; insbesondere ist /1(K) < 00 (K E ji). c) 1st X lokal-kompakt, so ist /1lokal-endlich genau dann, wenn /1(K) < 00 fUr aIle K E 5i. d) Der Raum X erfUIle das erste Abzahlbarkeitsaxiom. 1st jede offene Teilmenge von X von innen regular und /1(K) < 00 (K E ji), so ist /1lokal-endlich. e) Jede a-kompakte Menge ist von inn en regular. f) Jedes endliche Radon-MaB ist regular. g) 1st /1 ein Radon-MaB, so ist jedes K E ji von auBen regular.
Beweis. a) ist klar. b) 1st K E ji, so hat jedes x E K eine offene Umgebung U", mit /1(U",) < 00. Da K von endlich vielen dieser U", iiberdeckt wird, folgt b). c) folgt aus b). d) Wir schlieBen indirekt: Angenommen, es gibt ein x E X, so daB /1(U) = 00 fUr aIle U E D mit x E U. Es sei (Vn)nEl eine Umgebungsbasis von x mit Vn E D und Vn :::) Vn+1 (n EN). Nach Voraussetzung gibt es zu jedem n E N ein kompaktes Kn C Vn mit /1(Kn) ?: n und x E Kn· Die Menge K := U::"=l Kn ist kompakt: 1st namlich (U,),E/ eine offene Uberdeckung von K, so gibt es ein LO E I mit x E U,o und dazu ein N E N mit VN C U,o. Daher ist Kn C U'O fUr aIle n ?: N. Die iibrigen K j (j = 1, ... ,N -1) werden von endlich vielen U'" ... , U," iiberdeckt. Daher wird K von U,o, ... ,U," iiberdeckt, d.h. Kist kompakt. Nach Konstruktion ist aber /1(K) = 00 im Widerspruch zur Voraussetzung. e) 1st A a-kompakt, so ist A E ~, und es gibt eine Folge (Kn)n>l in ji mit Kn t A. Daher gilt /1(Kn) t /1(A); insbesondere folgt (1.1). f) Sei A E ~. Dann ist AC von innen regular. Wegen /1(X) < 00 ist daher A von auBen regular. 1Sohn des gleicbnamigenMathematikers A.A. MARKOFF (1856-1922), nach dem die Markoffschen Prozesse und die Markoffschen Ketten benannt sind.
§ 1. Borel-MaBe, Radon-MaBe, Regularitat
315
g) Nach b) hat K eine offene Umgebung U mit f.l(U) < 00. Da f.l von innen regular ist, existiert zu f > eine kompakte Menge LeU \ K mit f.l(L) > f.l(U \ K) - f. Nun ist V := U \ L eine offene Umgebung von K mit
°
o Nach Folgerung 1.2, c) und d) kann man in der Definition der Radon-MaBe die Forderung der lokalen Endlichkeit von f.l ersetzen durch die Forderung der Endlichkeit von f.l auf R, falls X lokal-kompakt ist oder dem ersten Abzahlbarkeitsaxiom geniigt. Ohne Zusatzbedingungen ist eine solche Ersetzung unzulassig (s. Beispiel 1.3, f)). 1.3 Beispiele. a) Die Borel-MaBe und die Radon-MaBe auf 23 P sind genau die Lebesgue-Stieltjesschen MaBe (s. Kap. II, § 7, insbes. Aufgabe II.7.5). Die Regularitat der Lebesgue-Stieltjesschen MaBe wird im folgenden in Korollar 1.11, Korollar 1.12 und in Satz 1.16 erneut bewiesen. b) Das ZahlmaB auf 23(X) ist genau dann lokal-endlich, wenn X diskret ist. Fiir diskretes X ist das ZahlmaB ein regulares Borel-MaB. c) Ist (f.l')'EI eine Familie von innen regularer MaBe auf 2( =:; 23(X), so ist f.l := L'EI f.l, von innen regular (Beweis zur Ubung). Ist also (f.l')'EI eine Familie von Radon-MaBen auf 23(X) und f.l := L'EI f.l, lokal-endlich, so ist f.l ein RadonMaB. d) Es seien f.l : 2( -+ [0,00] ein MaB, 2( =:; 23, A E 2( und f.lA : 2( -+ [0,00]' f.lA(B) := f.l(A n B) (B E 2(). Ist f.l lokal-endlich, so auch f.lA, und ist f.l von innen regular, so auch f.lA. 1st insbesondere f.l ein Radon-MaB, so auch f.lA (A E 23). e) Ein von aufJen regulares Borel-MafJ braucht nicht von innen regular zu sein: Es sei X = JR. verse hen mit der Topologie D, die von allen halboffenen Intervallen [a, b[ (a, b E JR., a < b) erzeugt wird. Offenbar ist D echt feiner als die iibliche ("euklidische") Topologie 'II auf JR.; dennoch ist 23((X,D)) = 23 1. Das MaB f31 ist sowohl bez. 'II als auch bez. D ein von auBen regulares Borel-MaB, und bez. 'II ist f31 auch von innen regular. In bezug auf D gilt zwar fiir alle A E 23 1
f31(A)
= sup{f31(F) : F C A, FElt},
aber f31 ist nicht von innen regular, denn jede bez. D kompakte Teilmenge von JR. ist abzahlbar (Beweis zur Ubung). f) Ein von innen regulares MafJ braucht nicht lokal-endlich und nicht von aufJen regular zu sein: Es seien 1'1,1'2 die iiblichen ("euklidischen") Topologien auf JR.l bzw. JR.2, X := JR.2 und D das System aller Teilmengen U C X mit Ux, UY E 'II fiir alle X,Y E R (Wie friiher ist Ux = {y: (x,y) E U},UY = {x: (x,y) E U}.) Dann ist D eine Topologie auf X mit D =:; 1'2; insbesondere ist D Hausdorffsch. Das System 2( aller Teilmengen A C X mit Ax, AY E 23 1 fiir alle x, y E JR. ist eine a-Algebra mit 2( =:; D, also gilt 23(X) c 2(. Auf 2( definieren wir vermoge
f.l(A) :=
L f31(Ax) + L f31(AY) xER
yER
(A
E 2()
316
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
°
ein MaB. 1st U E D eine Umgebung von (x, y) E X, so gibt es ein 15 > mit {x}x]y - r5,y + r5[C U, und zu jedem t E]Y - r5,y + r5[ gibt es ein Ct > 0, so daB ]x - Ct,X + Ct[x{t} C U. Daher ist p,(U) = 00, d.h. jede nicht-Ieere D-offene Menge hat unendliches MaB, p, ist nicht lokal-endlich. Die Diagonale D := {(x,x) : x E JR} ist 'I2-abgeschlossen, also auch D-abgeschlossen, und es ist p,(D) = o. Fur jedes offene U :J D ist aber p,(U) = 00, d.h. D und damit p, ist nicht von auBen regular. (Es gibt keine nicht-Ieere von auBen regulare Menge A E ~ mit p,(A) < 00.) Wir behaupten: Eine Menge M c X ist kompakt (bez. D) genau dann, wenn es endliche Mengen E, F c JR und kompakte K(x), L(y) c JR (x E E, y E F) gibt, so daB M= U{x}xK(x)UUL(y)x{y}. xEE
yEF
Begrundung: DaB jede Menge der angegebenen Gestalt kompakt ist (bez. D), sieht man leicht. - Umgekehrt: 1st M c X kompakt bez. D, so ist M kompakt bez. ~, also ist M C JR2 beschrankt und ~-abgeschlossen. Daher sind aIle Schnitte M x , MY c JR kompakt, und wir mussen nur noch zeigen, daB M in der Vereinigung endlich vieler achsenparalleler Geraden enthalten ist. Ware das nicht der Fall, so gabe es eine Folge von verschiedenen Punkten Zn E M (n::::: 1), so daB A := {zn : n E N} mit jeder achsenparallelen Geraden hOchstens einen Punkt gemeinsam hat. Dasselbe gilt dann fUr jede Teilmenge von A. Daher ist A abgeschlossen und diskret, also als Teilmenge des Kompaktums M endlich: Widerspruch! - Es folgt: D ist echt feiner als '1'2. Fur aIle M E j{ ist offenbar p,(M) < 00, und nach c) ist p, von innen regular. (Dieses Beispiel geht zuruck auf FREMLIN [2], S. 104 f.) g) Ein von auflen reguliires, endliches Mafl auf einem metrisierbaren Raum braucht nicht von innen reguliir zu sein: Eine leichte Modifikation des Beweises von Satz lII.3.10 lehrt: Es gibt eine "Bernstein-Menge" X C [0,1]' so daB sowohl X als auch [0,1] \ X mit jeder uberabzahlbaren kompakten Menge K C [0,1] einen nicht-Ieeren Durchschnitt hat. Nach dem Argument des Beweises von Satz III.3.7 ist X rt Q31 und SUp{,81 (K) : K C X, K kompakt}
(1.3)
=
sup{,81(L): L
C
[0,1] \ X, L kompakt} =
o.
Wir zeigen:
r/(X)
= inf{,81(U) : U :J X, U offen in JR} = 1.
Zur Begrundung sei U :J X, U offen in R Dann ist [0,1] \ U eine kompakte Teilmenge von [0,1] \ X, also ,81([0,1] \ U) = 0, d.h. ,81(U) ::::: ,81([0,1] n U) = 1. Da die Ungleichung ,,::; 1" klar ist, folgt die Behauptung. Wir versehen X mit der Spurtopologie 'I := 'II I X; dann ist Q3(X) = Q31 IX. Offenbar ist TJ := TJ1 I Sf3(X) ein auBeres MaB. Wir zeigen, daB aIle Mengen aus Q3(X) TJ-meBbar sind: Dazu seien A E 'I und Q C X. Es gibt ein U E 'II mit A = X n U, und wir erhalten
TJ(Q
n A) + TJ(Q n A = TJ(Q n U) + TJ(Q n (JR \ C
)
U)) ::; TJ(Q) ,
§ 1. Borel-MaBe, Radon-MaBe, Regularitat
317
denn U ist 1]1-meBbar. Foiglich ist A E QlTJ' also auch ~(X) C ~; f1 := 1] I ~(X) ist ein endliches Borel-MaB, und f1 ist von auBen regular, denn fUr aIle A c X ist
1](A) < inf{1](V): A c V, V E 'I} < inf{ 1]1(U) : A c U, U offen in lR} = 1](A) . Daher gilt auch fUr aIle A E
~(X):
f1(A) = sup{f1(F): F C A,F 'I-abgeschlossen}. Aber f1 ist nach (1.3) nicht von inn en regular, also kein Radon-MaB.
2. Regularitatssatze. Auf vielen wichtigen Hausdorff-Raumen ist jedes endliche Borel-MaB automatisch regular. Den Beweisen einiger Aussagen dieses Typs legen wir folgendes Regularitatslemma zugrunde. 1.4 Regularitatslemma. Fur jedes endliche MajJ f1 auf einer u -Algebra Ql ist 9l1' := {A E Ql : A f1-regular}
:J ~
ein u-Ring. Beweis. Wir fUhren den Beweis in zwei Schritten. (1) Fur alle A, BE 9l1' gilt A U B, A n B, A \ BE 9lw Begrundung: Zu jedem c > 0 gibt es kompakte K, Lund offene U, V, so daB K cAe U, L c B c V und f1(U \ K) + f1(V \ L) < c. Nun sind K U L kompakt, U U V offen, K U LeA U B C U U V und (U U V) \ (K U L) C (U \ K) U (V \ L), also f1((U U V) \ (K U L)) < c, und es folgt: Au B E 9lw Wegen (U n V) \ (K n L) c (U \ K) U (V \ L) folgt ebenso: An B E 9lw Weiter ist A \B = A \ (AnB), so daB wir beim Nachweis von A \B E 9l1' gleich B c A voraussetzen konnen. Dann durfen wir aber (ggf. nach den Ersetzungen K H K U L, V HUn V) auch gleich L C K und V C U annehmen und erhalten: K \ V c A \ B c U \ L, K \ V ist kompakt, U \ L offen und (U \ L) \ (K \ V) = ((U \ L) \ K) U ((U \ L) n V) = (U \ K) U (V \ L), also f1((U \ L) \ (K \ V)) < c. Daher ist auch A \ BE 9lw (2) Fur jede Folge disjunkter Mengen An E 9l1' (n;::: 1) gilt: U:=1 An E 9lw Begrundung: Zu vorgegebenem c > 0 existieren Kn E Jl, Un E D mit Kn C An C Un und f1(Un \Kn) < c2- n (n EN). Wegen 2::=1 f1(An) = f1 (U:=1 An) ::; f1(X) < 00 und f1(Un) ::; f1(An) + c2- n (n E N) ist 2::=1 f1(Un) < 00. Daher existiert ein N E N, so daB 2::=N+1 f1(Un) < c. Nun sind K := U:=1 Kn kompakt, U := U:=l Un offen, K C U:=1 An C U und f1(U \ K) ::; 2::=1 f1(Un \ Kn) + 2::=N+1 f1(Un) < 2c. Daher ist U:=1 An E 9lw Nach (1), (2) ist 9l1' ein u-Ring. D
1.5 Regularitatssatz. 1st f1 : ~ ~ [O,oo[ ein endliches Borel-MajJ, und sind alle V E D von innen regular, so ist f1 regular.
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
318
Beweis. Wegen D C 9\1-' liefert das Regularitatslemma 1.4 die Behauptung.
0
1.6 Korollar. 1st jede offene Teilmenge von X O"-kompakt, so ist jedes endliche Borel-MafJ auf X regular.
Beweis. Folgerung 1.2, e) und Regularitatssatz 1.5 ergeben die Behauptung. 0
3. Moderate Borel-MaBe. 1m folgenden wollen wir die Voraussetzung der Endlichkeit von f1 im Regularitatssatz 1.5 und in Korollar 1.6 abschwachen. Dabei leistet der von N. BOURBAKI [5], S. 21 eingefilhrte Begriff des moderaten MaBes gute Dienste. 1. 7 Definition. Ein Borel-MaB heiBt moderat, wenn X die Vereinigung einer Folge offener Mengen endlichen MaBes ist. 1.8 Folgerungen. a) Jedes moderate Borel-MaB ist O"-endlich, und jedes von auBen regulare O"-endliche Borel-MaB ist moderat. (Dagegen braucht ein nur O"-endliches Borel-MaB nicht moderat zu sein, wie die Beispiele von BOURBAKI [5], S. 101, exercice 8 und bei GARDNER und PFEFFER [1], S. 1016 f., 12.6 oder 12.7Iehren.) b) 1st X O"-kompakt, so ist jedes Borel-MaB auf X moderat (Folgerung 1.2, b)). c) Jedes Borel-MafJ auf einem Hausdorff-Raum mit abzahlbarer Basis ist moderat. Begrundung: Sei 'D eine abzahlbare Basis von X. Wir zeigen: Auch 'De := {V E 'D: f1(V) < oo} ist eine Basis von X. Zum Beweis seien U E D und x E U. Nach Voraussetzung hat x eine offene Umgebung W mit f1(W) < 00, und es gibt ein V E 'D mit x EVe un W. Offenbar ist V E 'De, d.h. 'De ist eine Basis von X. Insbesondere ist f1 moderat, da 'De abzahlbar ist. 1.9 Satz. 1st f1 ein moderates Borel-MafJ auf 'B(X) mit der Eigenschajt, dafJ jedes offene V C X mit f1(V) < 00 von innen regular ist, so ist f1 regular. Insbesondere ist jedes moderate Radon-MafJ auf 'B(X) regular.
Beweis. Es sei (Gn)n-;>l eine Folge offener Mengen endlichen MaBes mit U~=l G n = X. Die MaBe f1n := f11 'B(G n) (n E 1\1) sind nach dem Regularitatssatz 1.5 regular. Es seien nun A E 'B(X) und An := An G n (n E 1\1). Dann existiert zu jedem E > 0 ein offenes Un mit An C Un C G n und f1(Un \ An) = f1n(Un \ An) < E2- n (n E 1\1). Daher ist U := U~=l Un offen, U =:> A und f1(U \ A) L:~=l f1(Un \ An) < E, folglich ist f1 von auBen regular. - Weiter seien D: < f1(A)
s:
(U~=l Ak) ~ D: > O. Zu jedem j = 1, ... , N existiert ein kompaktes K j C Aj mit f1(Aj \Kj ) = f1j(Aj \Kj ) < E/N. Die Menge K:= U;=l K j ist kompakt, und es ist f1 (U;=l Aj \ K) s: L:~l f1(Aj \Kj ) < E, und N
E
1\1 so groB, daB
also f1(K) :2: f1
E :=
f1
(U~l Aj) ~ E =
D:.
Daher ist f1 auch von innen regular.
0
4. Regularitiit von Borel-MaBen. Satz 1.9liefert niitzliche Regularitatssatze fUr Borel-MaBe.
§ 1. Borel-MaBe, Radon-MaBe, Regularitat
319
1.10 Satz. Es seien X ein a-kompakter Hausdorff-Raum und J.L ein Borel-MafJ auf '23(X) mit der EigenschaJt, dafJ jede offene Menge endlichen MafJes von innen regular ist. Dann ist J.L regular und moderato Beweis. Nach Folgerung 1.8, b) ist J.L moderato Daher folgt die Behauptung aus Satz 1.9. 0
1.11 Korollar. 1st X ein Hausdorff-Raum, in dem jede offene Menge a-kompakt ist, so ist jedes Borel-MafJ auf '23 (X) regular und moderato Beweis: klar nach Folgerung 1.2 e) und Satz 1.10.
o
1.12 Korollar. 1st X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum mit abzahlbarer Basis, so ist jedes Borel-MafJ auf '23 (X) regular und moderato Beweis. Es seien (Vn)n~l eine abzahlbare Basis von X und U c X offen. Zu jedem x E U gibt es eine kompakte Umgebung Wx c U und dazu ein kEN mit x E Vk C V k C W x . Ersichtlich ist U gleich der Vereinigung dieser abzahlbar vielen (kompakten!) V k . Daher ist jedes U E D a-kompakt, und Korollar 1.11 impliziert die Behauptung. 0
1.13 Korollar. 1st X ein a-kompakter Hausdorff-Raum, so ist jedes RadonMafJ auf '23 (X) regular und moderato Beweis: klar nach Satz 1.10.
o
1.14 Bemerkungen. a) Fur endliche Borel-MaBe folgt Korollar 1.12 mit gleichern Beweis unmittelbar aus Korollar 1.6. b) Jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum mit abzahlbarer Basis ist polnisch (s. Anhang A.22). Daher folgt Korollar 1.12 auch aus Satz 1.16. c) Ein Borel-MafJ auf einem kompakten Hausdorff-Raum (ohne abzahlbare Basis) braucht nicht regular zu sein. Ein erstes Beispiel fUr diese Moglichkeit geht zuruck auf J. DIEUDONNE (1906-1992): Un exemple d'espace normal non susceptible d'une structure d'espace complet, C.R. Acad. Sci. Paris 209, 145147 (1939). Dieses Beispiel findet man als Ubungsaufgabe bei HALMOS [1], S. 231, ex. 10 und bei COHN [1], S. 215, ex. 7; eine ausfUhrlichere Darstellung geben FLORET [1], S. 350, A4.5, GARDNER und PFEFFER [1], S. 974, 5.5. und SCHWARTZ [1], S. 45 und S. 120. Viele weitere Beispiele findet man bei H.L. PETERSON: Regular and irregular measures on groups and dyadic spaces, Pacific J. Math. 28, 173-182 (1969). Dagegen gibt es durchaus auch kompakte Hausdorff-Raume ohne abzahlbare Basis (d.h. nicht metrisierbare kompakte Hausdorff-Raume), auf denen jedes Borel-MaB regular (d.h. ein Radon-MaB) ist (s. SCHWARTZ [1], S. 120-121). 1.15 Beispiel. Es seien D =f. 0 ein diskreter topologischer Raum und X := D x IR versehen mit der Produkttopologie D. Offenbar ist X lokal-kompakt.
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
320
Ferner ist X metrisierbar: Setzt man fUr x = (a,s),y = ((3,t) EX d(x
).~ {
,y.~
Is - tl ,falls Is - tl , falls
1+
a a
= (3, Ie (3,
so ist d eine Metrik auf X, welche die Topologie D definiert. X hat eine abzahlbare Basis genau dann, wenn D abzahlbar ist. (Man kann X auch auffassen als die "topologische Summe" von IDI Exemplaren von JR.) Die Menge 2( aller A c X mit Aa := {t E JR. : (a, t) E A} E 23 1 fUr aIle a E D ist eine o--Algebra. (Bezeichnen wir fur a E D mit ja : JR. ---+ X,ja(t) := (a,t) (t E JR.) die kanonische Injektion, so ist 2( die im Sinne von Aufgabe II1.5.7 gebildete Final-o--Algebra auf X bez. (ja)aED.) Wegen D c 2( ist offenbar 23(X) c 2(. 1st D abzahlbar, so gilt hier nach Satz III.5.10 das Gleichheitszeichen. (Fur uberabzahlbares D ist aber 23(X) Ie 2( nach KURATOWSKI [1], S. 362, Remark (= S. 268, Remarque der frz. Ausg.). Diese Tatsache wurde erstmals bemerkt von E. SZPILRAJN (= E. MARCZEWSKI); s. SIERPINSKI [2], S. 153 (= Fundam. Math. 21, S. 112 (1933)).) Das MaB JL : 2( ---+ [0,00],
JL(A) :=
L (31 (A,)
(A E
2(),
aED
ist lokal-endlich und von innen regular (Beispiel 1.3, c)). 1st D abzahlbar, so ist JL nach Korollar 1.12 ein regulares Borel-MaB. Fur uberabzahlbares D ist aber JL nicht von auBen regular: Die Menge F := D x {O} eXist abgeschlossen, JL(F) = 0, aber fUr jede offene Menge U ::J F gilt JL(U) = 00. 5. Regularitat von Borel-MaBen auf polnischen Raumen. Der topologische Raum X heiBt polnisch, wenn eine die Topologie von X definierende Metrik existiert, so daB (X, d) ein separabler vollstiindiger metrischer Raum ist. Die Klasse der polnischen Raume ist erfreulich reichhaltig (s. Anhang A.22). Neben den lokal-kompakten Hausdorff-Raumen sind die polnischen Raume in der topologischen MaBtheorie von besonderer Wichtigkeit. Ein wesentlicher Grund dafUr ist, daB wichtigen Konvergenzsatzen fUr stochastische Prozesse MaBe auf polnischen (aber nicht lokal-kompakten) Raumen zugrundeliegen, wie J.V. PROCHOROV (1929-) in einer grundlegenden Arbeie dargelegt hat. 1.16 Satz von Ulam (1939). Jedes Borel-MafJ auf einem polnischen Raum
ist reguliir und moderato Beweis. Es sei JL ein Borel-MaB auf dem polnischen Raum X. Wir beweisen die Regularitat von JL in drei Schritten. (1) 1st JL endlich, so ist JL reguliir. Begrundung: Nach dem Regularitatslemma 1.4 brauchen wir nur zu beweisen, daB jede abgeschlossene Menge F C X zu IJ\I' gehort. Das zeigen wir zunachst fUr F = X: Dazu seien d eine die Topologie von X definierende Metrik, bez. 2yU. V. PROKHOROV: Convergence of random processes and limit theorems in probability theory, Theory Probab. App!. 1, 157-214 (1956).
§ 1. Borel-MaBe, Radon-MaBe, Regularitat
321
welcher (X, d) vollstandig ist, und (X n )n>1 eine in X dichte Folge. (Wir diirfen gleich annehmen, daB X i- 0 ist.) Zu jed;m x E X und p > 0 existiert ein j E N mit d(x,xj) < p. Daher ist X = U;:1 Kp(xj), also
f1(X) = k--+oo lim f1
QU Kp(Xj)) '=1
Wahlen wir p = 1jn (n EN), so existiert also zu jedem c > 0 ein kn E N, so daB
f1
(Q
K1/n(Xj)) > f1(X) - c2- n .
Die Menge K := n:=1 U~:1 K 1/n (xj) ist abgeschlossen, also vollstandig. Fiir jedes 0 = 2jn > 0 (n E N) wird K durch die endlich vielen Mengen K 1/n(xj) (j = 1, ... ,kn ) vom Durchmesser :<:::: 0 iiberdeckt. Mit einem Diagonalfolgenargument folgt hieraus: Jede Folge in Khat eine Cauchy-Folge als Teilfolge. Wegen der Vollstandigkeit von K heiBt das: Jede Folge in Khat eine konvergente Teilfolge. Daher ist K kompakt. Nach Konstruktion ist nun
also X E 9lw (Diese ULAMsche Konstruktion einer kompakten Teilmenge K c X mit f1(KC) < c ist die wesentliche Schwierigkeit im ganzen Beweis, da a priori gar nicht klar ist, wie reichhaltig das System der kompakten Teilmengen eines polnischen Raums ist.) 1st nun F eine beliebige abgeschlossene Teilmenge von X, so wahlen wir zu c > 0 ein K E jt mit f1(KC) < c. Dann ist F n K eine kompakte Teilmenge von F mit F \ (F n K) c KC, also ist f1(F \ (F n K)) < c, d.h. Fist von inn en regular. Da F eine Ga-Menge ist (s. Aufgabe 1.6.1), ist F auch von auBen regular, denn f1 ist endlich. Daher ist F E 9lw -
(2) f1 ist moderato Begriindung: Folgerung 1.8, c). (3) Jede offene Menge G mit f1(G) < 00 ist von inn en regular. Begriindung: Gist eine F,,-Menge (Aufgabe 1.6.1). Nach (1) ist jedes abgeschlossene F c X mit f1(F) < 00 von innen regular. Daher ist auch G von inn en regular (s. Aufgabe 1.2). Aus Satz 1.9 und (2), (3) folgt nun die Behauptung des Satzes. 0 Nach Beispiel 1.3, g) wird Satz 1.16 ohne die Voraussetzung der Vollstandigkeit von X falsch. Historische Notiz. Nach OXTOBY [2], S. 216 hat ULAM den Satz 1.16 nicht veriiffentlicht, doch findet sich der Kern des Arguments, namlich Schritt (1) des Beweises, im wesentlichen in FuGnote 3 auf S. 561 bei OXTOBY und ULAM [1]. - In seiner Autobiographie Adventures of a Mathematician (New York: Charles Scribner's Sons 1976) berichtet S.M. ULAM (1909-1984) auf S. 84-86 iiber seine Zusammenarbeit mit J. OXTOBY (1910-1991).
322
VIII. MaBe auf topologischen Riiumen
Der Satz von ULAM gestattet eine weitgehende Verscharfung, iiber die wir ohne detaillierte Beweise kurz berichten: Ein Hausdorff-Raum X heiBt ein Suslin-Raum, falls es einen polnischen Raum Y und eine stetige Surjektion f : Y --+ X gibt. Eine Teilmenge A eines topologischen Raums Z heiBt eine Sus lin-Menge oder eine analytische Menge, wenn A bez. der von Z induzierten Relativtopologie ein Suslin-Raum ist. Die Klasse der Suslin-Raume ist abgeschlossen bez. der Bildung (i) abzahlbarer topologischer Summen oder Produkte, (ii) abzahlbarer Durchschnitte und abzahlbarer Vereinigungen Suslinscher Unterraume eines topologischen Raums, (iii) Borelscher Unterraume, (iv) stetiger Bilder (insbesondere Hausdorffscher Quotienten und Hausdorffscher Vergroberungen der Topologie). Dagegen ist das System der Suslinschen Teilmengen eines Hausdorff-Raums nicht notwendig abgeschlossen bez. der Komplementbildung: 1st ein Hausdorff-Raum X die Vereinigung abzahlbar vieler disjunkter Suslinscher Teilraume An(n 2': 1), so sind aile An E lB(X) (s. z.B. SCHWARTZ [1], Chapter II). 1.17 Satz von P.A. MEYER. Jedes Borel-Map auf einem Suslin-Raum ist regular und modemt.
Beweis. Parallel zum Beweis des Satzes von ULAM stiitzt sich die Argumentation auf drei Schritte: (1) Jedes endliche Borel-Map auf einem Suslin-Raum ist regular (s. SCHWARTZ [1], S. 122, Theorem 10 von P.A. MEYER). (2) Jedes Borel-Map auf einem Suslin-Raum ist modemt. Begriindung: Es seien X ein Suslin-Raum, Y ein polnischer Raum und f : Y --+ X eine stetige Surjektion. Jedes x E X hat eine offene Umgebung Ux mit fl(Ux ) < 00. Zum Beweis der Behauptung zeigen wir, daB bereits abzahlbar viele Mengen UXn zur Uberdeckung von X ausreichen: Sei namlich (Vn )n>l eine abzahlbare Basis von Y und I die Menge der n E N, zu denen ein x E X existiert mit -f(Vn ) C Ux ' Zu jedem n E I wahlen wir ein festes Xn E X mit f(Vn) C UXn ' Dann ist (UXn)nEI eine Uberdeckung von X, denn ist x E X und y E f- 1({x}), so gibt es ein n E N mit y E Vn C f-l(U x ), und dann ist x E f(Vn ) C UXn '(3) 1st fl ein Borel-Map auf dem Suslin-Raum X, so ist jede offene Menge G C X mit fl( G) < 00 von innen regular. Begriindung: 1st f wie unter (2), so der offene Teilraum f-l(G) C Y nach A.22 polnisch. Daher ist G ein Suslin-Raum. Nach (1) ist das endliche Borel-MaB flG := flllB(G) regular, also ist G von innen regular. D Aus Satz 1.9 und (2), (3) folgt nun die Behauptung des Satzes. Beziiglich vertiefter Darstellungen der Theorie der Suslin-Raume verweisen wir auf folgende Literatur: BEHRENDS [1], S. 236 ff., BOURBAKI [7], Chap. IX, § 6, COHN [1], S. 261 ff., CHRISTENSEN [1], DELLACHERIE [1], DELLACHERIE und MEYER [1], Chap. III, 1., HAHN [2], Kapitel V, HAUSDORFF [2], HOFFMANN-JORGENSEN [1], KURATOWSKI [1], LUSIN [1], PARTHASARATHY [1], S. 15-22, ROGERS, JAYNE u.a. [1], SAKS [2], S. 47 ff., SCHWARTZ [1], Chapter II, SRIVASTAVA [1]. Historische Notiz. Die Suslin-Raume sind benannt nach M.J. SUSLIN (1894-1919), einem der zahlreichen hochbegabten Schiiler von N.N. LUSIN (1883-1950). In der einzigen zu seinen Lebzeiten veroffentlichten mathematischen Arbeit (M. SOUSLIN: Sur une definition des ensembles mesumbles B sans nombres tmnsfinis, C.R. Acad. Sci., Paris 164, 88-91 (1917)) zeigt SUSLIN mit Hilfe der Theorie der analytischen Mengen, daB stetige Bilder Borelscher Mengen nicht Borelsch zu sein brauchen. Damit korrigiert er einen Fehler von LEBESGUE und gibt einen wesentlichen AnstoB fiir die weitere Entwicklung der Theorie der analytischen Mengen und der sog. deskriptiven Mengenlehre. - SUSLIN starb schon 1919 wahrend der schweren
§ 1. Borel-MaBe, Radon-MaBe, Regularitat
323
Zeiten im Gefolge der russischen Revolution an einer Typhusepidemie. Uber Leben und Werk von M.J. SUSLIN unterrichten die Biographien von V.l. IGOSHIN [1], [2J sowie ein Artikel von G.G. LORENTZ [lJ.
6. Der Satz von LUSIN. Der Satz von LUSIN stellt eine verbliiffend enge Beziehung her zwischen Borel-MeBbarkeit und Stetigkeit. 1.18 Satz von Lusin (1912).3 Es seien X, Y Hausdorff-Raume, Y habe eine abzahlbare Basis, JL sei ein a-endliches regulares Borel-MajJ auf IB(X) und f : X -+ Y. Dann sind folgende A ussagen aquivalent: a) Es gibt eine Borel-mejJbare Funktion g : X -+ Y mit f = g JL-f.ii. b) Zu jedem offenen U c X mit JL(U) < 00 und jedem 5> 0 gibt es ein Kompaktum K c U mit JL(U \ K) < 5, so dajJ f I K stetig ist (bez. der Spurtopologie von X auf K). c) Zu jedem A E IB(X) mit JL(A) < 00 und jedem 5> 0 gibt es ein Kompaktum K c A mit JL(A \ K) < 5, so dajJ f I K stetig ist. d) Zu jedem Kompaktum T c X und jedem 5 > 0 gibt es ein Kompaktum K c T mit JL(T \ K) < 5, so dajJ f I K stetig ist.
Bemerkungen. a) Die Voraussetzungen bez. JL sind z.B. dann erfiillt, wenn (i) JL ein moderates Radon-MaB ist (Satz 1.9) oder (ii) X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum mit abzahlbarer Basis ist und JL ein Borel-MaB (Korollar 1.12) oder (iii) X ein a-kompakter Hausdorff-Raum ist und JL ein Radon-MaB (Korollar 1.13) oder (iv) X ein polnischer Raum ist und JL ein Borel-MaB (Satz 1.16 von ULAM). b) Die Implikationen a) =? b) <==} c) <==} d) gelten auch ohne die Voraussetzung der a-Endlichkeit von JL. Beweis. a) =? b): Es kann gleich U = X, JL(X) < 00 angenommen werden. 1st (Bn)n>l eine abzahlbare Basis von Y, so gibt es wegen der Regularitat von JL zu jed-em n E N ein Kn E .R und ein Vn E D mit Kn C g-l(Bn) C Vn und JL(Vn \ Kn) < 5 . 2-(n+1). Daher ist V := U~=l (Vn \ Kn) offen mit JL(V) < 5/2, und h := g I vc ist stetig, wie folgende Betrachtung lehrt: Fur aIle n E N ist Vn n V C= Kn n V C c g-l(Bn) n V C= h- 1 (Bn)
C
Vn n V C,
d.h. h- 1 (Bn) = Vn n V C ist offen in VC. Daher ist h stetig. Es sei weiter N E IB(X) eine JL-Nullmenge mit f I NC = g INc. Wir benutzen ein weiteres Mal die Regularitat von JL und wahlen ein kompaktes K C (VUNY mit JL((V U N)C \ K) < 5/2. Dann ist
JL(K C) :::; JL(V
U
N)
+ JL((V U N)C \
K) < 5,
und f I K = g I K = h I Kist wegen K C VC stetig. b) =? c): Es sei A E IB(X), JL(A) < 00. Dann existieren ein offenes U =:> A und 3N. LUSIN: Sur les propriete.s des fonctions mesurables, C.R. Acad. Sci. Paris 154, 16881690 (1912).
324
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
ein kompaktes K c A mit f-1(U \ K) < 0/2. Nach b) gibt es ein Kompaktum LeU mit f-1(U \ L) < 0/2, so daB f I L stetig ist. Nun ist K n LeA ein Kompaktum mit f-1(A \ (K n L)) ::; f-1(A \ K) + f-1(A \ L) < 0, und f I K n List stetig. c) =} d): klar. d) =} c): Sind A E !23(X), f-1(A) < 00 und 0 > 0, so existiert ein Kompaktum TeA mit f-1(A \ T) < 0/2. Zu T wahlen wir nach d) ein Kompaktum K c T mit f-1(T \ K) < 0/2, so daB f I K stetig ist. Dann leistet K das Verlangte. c) =} a): Es sei X = U::=l An mit disjunkten An E !23(X), f-1(An) < 00 (n EN). Zu jedem j E N existiert ein Kompaktum Knj C An mit f-1(An \ Knj) < Ijj, so daB f I Knj stetig ist. Ersichtlich ist L := Un,jEN Knj eine a-kompakte Menge mit f-1(An \ L) = 0, d.h. N := LC ist eine Borelsche Nullmenge. 1st nun F C Y abgeschlossen, so ist (f I L)-l(F) = Un,jEN(f I Knj)-l(F) a-kompakt, also Borelsch. Daher ist f I L Borel-meBbar. Wahlen wir nun ein festes bEY und setzen 9 I L C := b, giL := f I L, so ist 9 : X -+ Y eine Borel-meBbare Funktion, 0 die f-1-f.ii. mit f iibereinstimmt. 1.19 Korollar. Es seien X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, f-1 ein regulares Borel-MajJ auf !23(X) und f : X -+ lK eine Funktion, die f-1-f.ii. mit
einer Borel-mejJbaren Funktion iibereinstimmt. Dann gibt es zu jeder offenen Menge U C X mit f-1(U) < 00 undjedem 0> 0 ein cp E Cc(X) mit Trcp C U, so dajJ f-1({x E U: f(x) i= cp(x)}) < 0 und Ilcplloo = IlfilK := sup{lf(x)1 : x E K}. Beweis. Nach Satz 1.18 und der folgenden Bemerkung b) gibt es ein Kompaktum K C U mit f-1(U \ K) c 0, so daB f I K stetig ist. Zur Konstruktion von cp betrachten wir die Alexandroff-Kompaktifizierung X := X U {w} von X. X ist als kompakter Hausdorff-Raum normal, und das Kompaktum K eXist abgeschlossen. Daher gibt es nach dem Fortsetzungssatz von H. TIETZE (18801964) (s. z.B. SCHUBERT [1], S. 83) eine stetige Funktion 9 : X -+ lK mit 9 I K = f I K. Zu K und U wahlen wir nach Lemma VIII.2.1 ein h E Cc(X) mit Tr h C U, h I K = 1. Dann ist 1/J := h· (g I X) E Cc(X) und Tr 1/J C U,1/J I K = f I K. Set zen wir noch cp(x) := 1/J(x), falls 11/J(x) I ::; IlfilK und cp(x) := IlfilK . 1/J(x)/I1/J(x) I, falls 11/J(x) I > IlflIK' so leistet cp das Verlangte. 0 Historische Notiz. Der "Satz von LUSIN" wurde bereits 1903 von BOREL ([4], S. 759 ff.) angedeutet und von LEBESGUE ([1], S. 336 ff.; [2], S. 141) ausgesprochen. VITALI ([1], S. 6 f. und S. 197) formulierte den Satz im Jahre 1905 unter Hinweis auf LEBESGUE wie folgt: «Se una funzione f(x) e misurabile in un interval!o (a, b) di lunghezza I, esiste, per ogni numero positivo c piccolo a piacere, un gruppo perfetto di punti di (a, b) e di misura maggiore di 1 - c in cui f(x) e continua.»4 7. Kurzbiographie von N.N. LUSIN. NIKOLAI NIKOLAJEWITSCH LUSIN wurde am 9.12.
1883 in Irkutsk geboren, besuchte nach einem Ortswechsel der Familie das Gymnasium in Tomsk und nahm 1901 sein Studium in Moskau auf mit dem Ziel Ingenieur zu werden. Urn sich dafiir die notigen Grundlagen anzueignen, studierte er zunachst Mathematik an der Uni41st eine Funktion f (x) in einem Interval! (a, b) der Lange 1 meBbar, so existiert zu jeder belie big kleinen positiven Zahl c eine perfekte Teilmenge von (a, b) vom MaBe groBer als 1 - c, auf welcher f (x) stetig ist.
§ 1. Borel-Maße, Radon-Maße, Regularit¨at
325
versit¨ at Moskau und war nach einem halben Jahr von diesem Fach so verzaubert“, daß er ” sich fortan der Mathematik zuwandte. W¨ ahrend der Unruhen im Revolutionsjahr 1905 wurde die Universit¨ at Moskau geschlossen, und D.F. Jegorow riet Lusin seine Studien in Pa´ Borel, J. ris fortzusetzen. Dort studierte er bis Juni 1906 und h¨ orte Vorlesungen bei E. Hadamard und insbesondere bei H. Poincar´ e (1854–1912), dessen sch¨ opferische Art des Vortrags ihn faszinierte. Nach Moskau zur¨ uckgekehrt, legte er Ende 1906 das Staatsexamen ab. Jegorow war von der Selbst¨ andigkeit und Originalit¨ at seines Sch¨ ulers so angetan, daß er Lusin veranlaßte, an der Universit¨ at zu bleiben, um die Hochschullehrerlaufbahn anzustreben. Im Jahre 1910 wurde Lusin Dozent, hielt aber zun¨ achst keine Vorlesung, denn dank Jegorow’s hartn¨ ackigen Antr¨ agen bekam er ein mehrj¨ahriges Reisestipendium zur Fortset¨ zung seiner Studien in G¨ ottingen und Paris. In G¨ ottingen schrieb er seine erste Arbeit (Uber eine Potenzreihe, Rend. Circ. Mat. Palermo 32, 386–390 (1911)), in der er eine Potenzreihe ∞ n n=0 an z konstruiert mit an → 0 (n → ∞), die auf der ganzen Einheitskreislinie divergiert. Die Jahre 1912–1914 verbrachte Lusin in Paris und wurde mit f¨ uhrenden Fachvertretern der ´ Borel, H. Lebesgue, A. DenTheorie der reellen und komplexen Funktionen bekannt: E. joy (1884–1974) und J. Hadamard. In diese Zeit f¨ allt die Publikation des ber¨ uhmten Satzes von Lusin3 . Zusammen mit dem Satz von Jegorow (1911) markiert dies den Beginn der sog. Moskauer Schule5 der reellen Analysis. Wieder in Moskau, nahm Lusin seine Vorlesungen auf und reichte eine Monographie mit dem Titel Integral und trigonometrische Reihe als Magisterarbeit ein. Diese Arbeit wurde mit einem Preis ausgezeichnet und auf Empfehlung der Gutachter gleich als Doktordissertation angenommen – ein ganz ungew¨ ohnlicher Vorgang, denn der damit verbundene Doktorgrad ist wesentlich h¨ oher zu bewerten als etwa ein Doktorgrad in Deutschland. Im folgenden Jahr wurde Lusin zum Professor ernannt. Bemerkenswert an Lusins Dissertation sind die vielen offenen Fragen und Probleme. Viele davon wurden in der Folgezeit von seinen Sch¨ ulern gel¨ ost. Eine jedoch, die ber¨ uhmte Lusinsche Vermutung, war 50 Jahre lang offen bis sie von L. Carleson im Jahre 1966 bewiesen wurde (s. die Bemerkungen nach Korollar VI.2.24). Bedauerlicherweise ist Lusins Dissertation nicht in einer ¨ Ubersetzung zug¨ anglich. Lusin war ein brillianter Hochschullehrer, und er entfaltete in den Jahren 1914–1924 trotz der Beeintr¨ achtigungen durch Revolution und B¨ urgerkrieg eine außerordentlich erfolgreiche Lehrt¨ atigkeit. Die Liste der Mitglieder der Lusinschen Schule, der sog. Lusitania,6 liest sich wie ein Who’s Who der Moskauer Mathematiker der 1. H¨ alfte des 20. Jahrhunderts, z.B. P.S. Alexandroff (1896–1982), D. Je. Menschow (1892–1988), A. Ja. Chintschin (1894–1959), P.S. Urysohn (1898–1924), A.N. Kolmogoroff (1903–1987), Nina K. Bari (1901–1961), die erste Frau, welcher der Grad eines Doktors und Kandidaten der Wissenschaft verliehen wurde, W.I. Gliwenko (1897–1940), L.A. Ljusternik (1899–1981), L.G. Schnirelman (1905–1938),7 P.S. Nowikow (1901–1975), M.A. Lawrentjew 5 Siehe z.B. B.V. Tikhomirov: The phenomenon of the Moscow mathematical school. In: Charlemagne and his Heritage, 1200 Years of Civilization and Science in Europe, Vol. 2, S. 147–162. Hrsg. P. Butzer et al. Turnhout: Brepols 1998. 6 Lusitania“ war der Name einer r¨ om. Provinz im S¨ udwesten der iberischen Halbinsel, etwa ” dem heutigen Portugal entsprechend. – Die Versenkung des brit. Passagierschiffs Lusitania“ ” im Jahre 1915 durch ein deutsches U-Boot war ein folgenschweres Ereignis im I. Weltkrieg. 7 Wilenkin8 bezeichnet Schnirelman als einen der begabtesten Gelehrten“ und f¨ ahrt ” fort: Es wird best¨ atigt, daß er den Entschluß faßte, den Gashahn in der K¨ uche zu ¨ offnen, ” nachdem er eine Vorladung in die Lubjanka [Sitz des Staatssicherheitsdienstes NKWD] und
326
VIII. MaJ3e auf topologischen Raumen
(1900-1980) und die etwas iilteren 1.1. PRIWALOW (1891-1941) und W.W. 8TEPANOW (1889-1950). Wiihrend der Bliitezeit der Lusitania in der ersten Hiilfte der zwanziger Jahre standen Mengenlehre, reelle Funktionen, Fourier-Reihen und MaB- und Integrationstheorie im Zentrum der Forschung. Relativ rasch lieBen sich die besser zugiinglichen Probleme lOsen, aber die noch offenen, schwierigen (wie z.B. die Kontinuumshypothese oder die Lusinsche Vermutung) widerstanden intensiven Bemiihungen. Sehr zu LUSINS MiBfallen wandten sich daher viele Mitarbeiter erfolgreich anderen Arbeitsgebieten zu wie Zahlentheorie, Differentialgleichungen, Topologie, Funktionalanalysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematische Logik. Zwischen dem Lehrer und etlichen seiner friiheren SchUler trat eine Entfremdung ein, es entwickelten sich gespannte, z.T. geradezu feindliche Beziehungen. Ein Grund dafiir ist wohl auch in der Komplexitiit von LUSINS Persiinlichkeit zu suchen, seiner Emotionalitiit und seinem autokratischen Fiihrungsanspruch. Der Niedergang der Lusitania begann schon Mitte der zwanziger Jahre; etwa fiinf Jahre spiiter liiste sich die Arbeitsgruppe auf. LUSIN konzentrierte sich wiihrend dieser Zeit auf seine Arbeiten iiber Mengenlehre und vollendete wiihrend eines Forschungsaufenthalts in Paris seine Monographie Le90ns sur les ensembles analytiques et leurs applications (Paris: Gauthier-Villars 1930). Unter bedriickenden Begleitumstiinden wurde LUSIN im Jahre 1927 zum korrespondierenden und 1929 zum wirklichen Mitglied der Akademie der Wissenschaften der UdSSR gewiihlt und mit der Leitung der Abteilung fiir Funktionentheorie im Steklov-Institut betraut. LUSIN geriet bald nach seiner Riickkehr aus Paris (1930) unter massiven politis chen Druck, verlieB die Universitiit Moskau und wechselte vollstiindig zur Akademie. 1m Jahr 1936, als der Stalinsche GrojJe Terror wiitete, wurde gegen L USIN eine existenzbedrohende Kampagne entfacht. 8 1m Parteiorgan "Prawda" (dt. "Wahrheit") erschien eine offenbar sorgfiiltig geplante Serie von Artikeln wie z.B. ,;Ober Feinde mit sowjetischer Maske", "Traditionen der Kriecherei", in denen vernichtende Vorwiirfe gegen LUSIN erhoben wurden. In der Untersuchungskommission der Akademie verhielten sich LUSINS Kritiker - darunter etliche aus den Reihen seiner friiheren Schiiler - dem Beschuldigten gegeniiber zuniichst iiuBerst aggressiv. Jeder erwartete LUSINs AusschluB aus der Akademie und die unvermeidliche Uberweisung der Angelegenheit an die Geheimpolizei. Aber es kam ganz anders. Vermutlich auf einen Wink "von ganz oben" iinderte sich in den letzten Kommissionssitzungen der Ton. In verbliiffendem Gegensatz zum Tenor der gesamten Kampagne wurde LUSIN am Ende yom Priisidium der Akademie unerwartet "milde" bestraft mit einer Abmahnung, einer Amtsenthebung und Versetzung in die Abteilung fiir Automation und Telemechanik. Schon 1941 erhielt er sein friiheres Amt in der Akademie zuriick, und er kehrte 1943 auch als Professor an die Universitiit Moskau zuriick. - LUSIN starb am 28. Februar 1950 an einem Herzanfall. In einem offiziellen Nachruf in der Regierungszeitung Izvestija heiBt es, LUSINS Name werde "einen Ehrenplatz in der Geschichte den Auftrag erhalten hatte, einen bekannten Parteifunktioniir zu beschatten, in dessen Haus er ver kehrte. " 8Siehe z.B. A.P. JUSCHKEWITSCH: Der Fall des Akademiemitglieds N.N. LUSIN (russ.), Vestnik Akad. Nauk SSSR 1989, H. 4, 102-113; A.E. LEVIN: Anatomy of a public campaign: "Academian Luzin's case" in soviet political history, Slavic Review 49,90-108 (1990); N.JA. WILENKIN: Formeln auf Sperrholz (russ.), Priroda 1991, No.6, 95-104; 8. PAUL: Die Moskauer mathematische Schule um N.N. Lusin, Bielefeld: Kleine Verlag 1997; 8.8. DEMIDOV, B.V. LEVSHIN: Der Fall des Akademiemitglieds Nikolai Nikolajewitsch Lusin (russ.), St. Petersburg: Russkii Christianskii Gumanitarnyi Institut 1999; Golden years of Moscow mathematics, 8. ZDRAVSKOVSKA, P. DUREN, eds. Providence, R.I.: Amer. Math. 80c. 1993.
§ 1. Borel-MaBe, Radon-MaBe, Regularitat
327
der sowjetischen Wissenschaft" einnehmen. Aufgaben. 1.1. Es seien 21 :J 'B eine a-Algebra und /.L ein von innen regulares MaE auf 21. Dann ist jedes A E 21, das eine offene Umgebung U mit /.L(U) < 00 hat, von auBen regular. 1.2. Es sei /.L : 21 ---> [0,00] ein MaE, wobei 21 :J 'B eine a-Algebra ist. a) 1st (An)n2:1 eine Folge von auEen (bzw. innen) regularer Mengen aus 21, so ist U::"=l An von auBen (bzw. innen) regular. b) 1st (An)n2:1 eine Folge von auBen (bzw. innen) regularer Mengen aus 21 mit /.L(An) < 00 (n EN), so ist n::"=l An von auBen (bzw. innen) regular. 1.3. Eine Familie A(~ 0) von Teilmengen von X heiBt nach oben gerichtet, wenn zu allen A, B E A ein C E A existiert mit Au B c C. 1st A nach oben gerichtet und B := UCEA C, so schreiben wir Ai B. - Es sei /.L ein Borel-Mail auf 'B. /.L heiBt T-stetig, wenn fur jede nach oben gerichtete Familie g(~ 0) offener Teilmengen von X mit 9 i H gilt
sup{/.L(G) : G E g} = /.L(H). Zeigen Sie: 1st jede offene Teilmenge von X von innen regular, so ist /.L T-stetig. 1.4. Es seien /.L,1/ : 21 ---> [0,00] von innen regulare MaBe auf der a-Algebra 21 :J 'B, und fur aile K E it mit /.L(K) = 0 sei auch 1/(K) = O. Zeigen Sie: 1/ « /.L. 1.5. Es seien /.L, 1/ endlicheMaileaufdera-Algebra21:J 'B mit 1/«/.L. 1st/.Lregular,soist auch 1/ regular. 1.6. Ein auBeres MaE TJ : S;p(X) ---> [0,00] heiBt von auften regular, wenn fur alle M c X gilt: TJ(M) = inf{TJ(U) : U :J M, U offen }. Zeigen Sie: 1st TJ ein von auBen regulares auBeres MaB, so ist eine Menge A c X genau dann TJ-meBbar, wenn fiir alle offenen U c X mit TJ(U) < 00 gilt: TJ(U) ~ TJ(U n A) + TJ(U n AC). 1. 7. 1st /.L : 'B
--->
[0,00] ein MaE, so ist TJ : S;p(X) TJ(A) := inf{/.L(U) : U
--->
[0,00],
c A, U offen} (A c X)
ein von auBen regulares aufieres MaB. 1st /.L endlich (oder moderat), so gilt 'B c 2(1) (= a-Algebra der TJ-meBbaren Mengen) genau dann, wenn /.L von auBen regular ist, d.h. wenn TJ I!B = /.L ist. 1.8. Es sei X = N u {oo} die Alexandroff-Kompaktifizierung des diskreten Raums (N, S;p(N)). Eine Menge A c N ist genau dann kompakt, wenn sie endlich ist; zusatzlich sind alle A c X mit 00 E A kompakt. Das ZahlmaE auf X ist nicht lokal endlich und nicht von auEen regular, wohl aber von innen regular. 1.9. X := N U {oo} trage folgende Topologie: Alle Teilmengen von N seien offen, und eine Menge A C X mit 00 E A heiEe genau dann offen, wenn
lim .!.IAn{l, ... ,n}l=l. n
n--+oo
Dann ist X ein normaler Hausdorff-Raum, in dem jede kompakte Menge endlich ist. Das ZahlmaE auf X ist nicht lokal-endlich, also kein Borel-MaE, und das ZahlmaE ist von innen, aber nicht von auEen regular. 1.10. Es seien X, Y Hausdorff-Raume,
! :X
--->
Y stetig, /.L ein von innen regulares MaE auf
'B(X) und !(/.L) das BildmaE auf 'B(Y). Zeigen Sie: !(/.L) ist von innen regular.
328
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
§ 2.
Der Darstellungssatz von F.
RIESZ
«Etant donnee l'operation lineaire A[f(x)], on peut determiner la fonction variation bornee a(x) telle que pour toute fonction continue f(x) on ait A[f(x)] = [ (F.
RIESZ
f(x) da(x). »
a
9
[2], S. 808)
1. Problemstellung. Fur den ganzen § 2 unterstellen wir stillschweigend folgende Voraussetzungen und Bezeichnungen: Es seien X ein Hausdorff-Raum, D, It, R dieSysteme der offenen bzw. abgeschlossenen bzw. kompakten Teilmengen und ~ = ~(X) die a-Algebra der Borel-Mengen von X. Ferner seien C(X) der Raum der stetigen Funktionen I : X ~ K, Cc(X) der Raum der I E C(X) mit kompaktem Trager Tr I := {I #- OJ, Cb(X) der Raum der beschrankten Funktionen aus C(X) und C+(X), C:(X), C:(X) die Mengen der nicht-negativen Elemente von C(X) bzw. Cc(X) bzw. Cb(X).
1st p, ein Borel-MaB auf ~(X), so braucht eine beliebige Funktion I E C(X) natiirlich nicht p,-integrierbar zu sein. Hat aber I E C(X) einen kompakten Trager K, so ist I Borel-meBbar und III ::; 1111100 . XK, wobei p,(K) < 00, also gilt I E C}(p,), d.h. Cc(X) c C}(p,). Daher definiert I: Cc(X) ~ K, (2.1)
I(I)
:=
Ix
I dp,
(I
E
Cc(X))
eine Linearlorm auf Cc(X), und I ist offenbar positivlO in dem Sinne, daB (2.2)
I(I) 2': 0 fUr alle I
E C:(X) .
Diese v6llig triviale Feststellung fUhrt zu folgender hOchst nicht-trivialen Frage: Sind alle positiven Linearlormen auICc(X) von der Form (2.1) mit einem geeigneten Borel-Maflp,? Die Antwort auf diese Frage ist keineswegs offensichtlich, sogar nicht einmal im Fall des kompakten Intervalls X = [a, bj, der erstmals 1909 von F. RIESZ mit uberzeugendem Erfolg behandelt wurde. In der Tat konnte F. RIESZ zeigen, daB zu jeder positiven Linearform I : C[a, bj ~ K ein Borel-MaB p, auf ~([a, b]) existiert, so daB I im Sinne der Gl. (2.1) durch 9ZU jedem linearen Operator A[f(x)] [auf C[a, b]] kann man eine Funktion a(x) von beschrankter Variation bestimmen, so dafi fiir jede [auf [a, b]] stetige Funktion f(x) gilt
A[f(x)] = [
f(x) da(x).
lOEine inhaltlich korrekte Bezeichnung ware "nicht-negativ", aber das klingt zu gekiinstelt.
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
RIESZ
329
j}, dargestellt wird (Darstellungssatz von F. RIESZ [1], S. 400-402). Eine entsprechende Existenzaussage ist fiir sehr weite Klassen von Hausdorff-Raumen richtig, z.B. fiir alle lokal-kompakten Hausdorff-Raume.
Ist die Existenzfrage positiv entschieden, so stellt sich die Frage nach der Eindeutigkeit von j},: Wenn die positive Linearform I : Cc(X) --+ ][( eine Darstellung der Form (2.1) mit einem Borel-Map j), gestattet, ist dann j}, das einzige Borel-Map mit dieser Eigenschaft? Die Antwort kann durchaus negativ ausfallen, und zwar aus folgendem Grund: Durch (2.1) wird das MaB j}, im wesentlichen nur auf den kompakten Teilmengen von X festgelegt. Dagegen ist auf der Basis von (2.1) durchaus nicht klar, welche Werte j}, auf "sehr groBen" (d.h. nicht a-kompakten) offenen oder abgeschlossenen Mengen annehmen wird. In der Tat kann man Beispiele lokal-kompakter Hausdorff-Raume mit derartigen "groBen" offenen oder abgeschlossenen Mengen angeben, fiir welche die Eindeutigkeitsfrage negativ zu beantworten ist, wenn man beliebige Borel-Mape j}, zur Darstellung von I heranzieht. Da aber Gl. (2.1) das MaB j}, im wesentlichen nur auf den kompakten Teilmengen von X festlegt, liegt es nahe, nur solche Borel-MaBe j}, zur Darstellung von I zuzulassen, die bereits durch ihre Werte auf jt eindeutig festgelegt sind, und das sind gerade die Radon-Mape. Ein wesentliches Ziel des vorliegenden Paragraphen wird es sein zu zeigen, daB fiir lokal-kompakte Hausdorff-Raume X sowohl das Existenz- als auch das Eindeutigkeitsproblem positiv zu beantworten sind, wenn ausschlieBlich Radon-Mape zur DarsteIlung von I herangezogen werden. 2. Fortsetzungssatz. Vorgelegt sei eine positive Linearform I : Cc(X) --+ K Wir interessieren uns fiir die Frage, ob I eine DarsteIlung (2.1) mit einem BorelMaB j}, gestattet. Ein solches j}, wird man nicht ohne weiteres gleich auf ganz 23 definieren konnen. Wir gehen daher schrittweise vor und definieren zunachst nur fiir K E jt (2.3)
j},o(K) := inf{I(J) : f E Cc(X), f ~ XK}.
Ganz ohne weitere topologische Voraussetzungen an X sind keine interessanten Eigenschaften von j},o zu erwarten, denn es existieren z.B. regulare HausdorffRaume, auf denen jede stetige reeIlwertige Funktion konstant ist (s. z.B. ENGELKING [1], S. 160 f., 2.7.17).Vom Ansatz (2.3) ist ein Erfolg zu erhoffen, wenn zu jedem K E jt ein f E Cc(X) mit f ~ XK existiert. Dann ist aber bereits {J > O} eine relativ kompakte offene Umgebung von K, und eine solche existiert fiir aIle K E jt genau dann, wenn X lokal-kompakt ist. Wir werden dementsprechend zunachst fiir lokal-kompakte Hausdorff-Raume einige grundlegende Eigenschaften von j},o feststellen. AnschlieBend gehen wir axiomatisch vor und beweisen aIlein auf der Grundlage dieser Eigenschaften von j},o (ohne Riickgriff auf das Funktional 1) einen aIlgemeinen Fortsetzungssatz fiir Mengenfunktionen j},o : jt --+ [0,00[, der die Fortsetzbarkeit von j},o zu einem von innen regularen MaB auf 23 liefert. Dieser Fortsetzungssatz ist so aIlgemein gehalten, daB er in Abschnitt 4. die Losung unseres DarsteIlungsproblems auch fiir voIlstandig regulare Raume erlauben wird. - Zur Erinnerung: Ein topologischer Raum Y
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
330
heiBt vollstiindig reguliir, wenn zu jedem a E Y und jeder offenen Umgebung U von a eine stetige Funktion f : Y -+ [0,1] existiert, so daB f(a) = 1, flue = O. Bekanntlich ist jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum vollstandig regular, denn er ist Teilraum seiner kompakten (also normalen, also vollstandig regularen) Alexandroff-Kom paktifizierung.
2.1 Lemma. Es seien X ein vollstiindig reguliirer HausdorfJ-Raum, K C X kompakt und U eine ofJene Umgebung von K. Dann existiert eine stetige Funktion cp : X -+ [0,1] mit cp I K = 1, cp I UC = O. 1st X zusiitzlich lokal-kompakt, so existierl ein solches cp E Cc(X) mit Tr cp c U.
Beweis. Zu jedem x
E
K existiert ein stetiges CPx : X -+ [0,1] mit CPx(x) =
1, CPx I uc = O. Die Mengen Vx := {cpx > ~} (x E K) bilden eine offene Uberdeckung von K, folglich existieren endlich viele Xl, . . . ,Xn E K, so daB
VX1 ' ... , VXn bereits ganz K iiberdecken. Die Funktion 7/J := max(2cpXl" .. , 2CPxJ ist stetig auf X, 7/J I K > 1,7/J I uc = O. Daher leistet cp := min( 7/J, 1) das Verlangteo - 1st X zusatzlich lokal-kompakt, so wahle man zunachst eine relativ kompakte offene Umgebung V von K mit K C V c U und wende die vorangehende Konstruktion an auf (K, V). 0 2.2 Lemma. Es seien X ein lokal-kompakter HausdorfJ-Raum, 1: Cc(X) -+ lK eine positive Linearform, und /-Lo sei gemiift (2.3) definierl. Dann gilt:
(K.l)
0::::: /-Lo(K) ::::: /-Lo(L) < 00 fUr alle K, L
(K.2) /-Lo(K
u L)
E
J't mit K
::::: /-Lo(K) + /-Lo(L) fur alle K, L
(K.3) /-Lo(K U L) = /-Lo(K)
+ /-Lo(L)
E
C
L.
J't.
fur alle K, L E J't mit K n L = 0.
(KO) Zu jedem K E J't und E > 0 existiert eine ofJene Umgebung U von K, so
daft fur alle kompakten LeU gilt: /-Lo(L) ::::: /-Lo(K)
+ E.
Beweis. (K.l) Nach Lemma 2.1 existiert ein f E Cc(X) mit f ::::: XL. Da 1 positiv ist, folgt (K.l). (K.2) Sind f, g E Cc(X), f ::::: XK, g ::::: XL, so ist f + g E Cc(X), f + g ::::: XKUL, also /-Lo(K U L) ::::: 1(1 + g) = 1(1) + l(g) , und die Infimumbildung bez. f, g auf der rechten Seite liefert (K.2). (K.3) Wegen (K.2) ist nur noch ,,:::::" zu zeigen. Dazu sei h E Cc(X) mit h ::::: XKUL' Offenbar ist U := LC eine offene Umgebung von K, und nach Lemma 2.1 existiert ein stetiges cp : X -+ [0,1] mit cp I K = 1, cp I uc = cp I L = O. Nun sind f := hcp, g := h(l - cp) E Cc(X), f ::::: XK, g ::::: XL, f + g = h, und es folgt:
l(h)
=
1(1) + l(g) ::::: /-Lo(K)
+ /-Lo(L).
Daher ist /-Lo(K U L) ::::: /-Lo(K) + /-Lo(L). (KO) Nach Lemma 2.1 existiert zu K E J't und 8 > 0 ein f E Cc(X) mit
§ 2. Der Darstellungssatz von F. Riesz
331
f ≥ χK und I(f ) ≤ μ0 (K) + δ. Offenbar ist U := {f > 1/(1 + δ)} eine offene Umgebung von K. F¨ ur jedes kompakte L ⊂ U ist (1 + δ)f ≥ χL und daher μ0 (L) ≤ (1 + δ)I(f ) ≤ (1 + δ)(μ0 (K) + δ) . W¨ahlen wir von vornherein δ so klein, daß δ(μ0 (K) + δ + 1) < ε, so folgt (KO). 2 2.3 Lemma. Es seien X ein Hausdorff-Raum und μ0 : K → [0, ∞[ eine Mengenfunktion mit den Eigenschaften (K.1)–(K.3), (KO) aus Lemma 2.2. Dann gen¨ugt μ0 folgender S t r a f f h e i t s b e d i n g u n g: (S) F¨ur alle K, L ∈ K mit K ⊂ L ist μ0 (L) − μ0 (K) = sup{μ0(C) : C ⊂ L \ K , C ∈ K} . Beweis. F¨ ur alle kompakten C ⊂ L \ K ist K ∪ C ⊂ L, K ∩ C = ∅, also μ0 (K) + μ0 (C) ≤ μ0 (L) (nach (K.1) und (K.3)). Daher braucht unter (S) nur noch ≤“ bewiesen zu werden. Dazu sei ε > 0. Dann existiert nach (KO) eine ” offene Umgebung U von K, so daß (2.4)
μ0 (H) ≤ μ0 (K) + ε f¨ ur alle H ⊂ U, H ∈ K .
Nun ist L ⊂ K c ∪U, und hier sind K c , U offen. Wir zeigen zun¨achst: Es existieren kompakte Mengen C ⊂ K c , D ⊂ U, so daß C ∪D = L. Begr¨ undung: Die Mengen L \ K c = K und L \ U sind disjunkte kompakte Mengen im Hausdorff-Raum (!) X, haben also disjunkte offene Umgebungen V, W : K ⊂ V, L \ U ⊂ W, V ∩ W = ∅ . Nun sind C := L \ V, D := L \ W kompakt, C ⊂ L \ K ⊂ K c , D ⊂ U, C ∪ D = (L \ V ) ∪ (L \ W ) = L \ (V ∩ W ) = L , also leisten C, D das Gew¨ unschte. Mit den obigen Mengen C, D ist nun μ0 (L) ≤ μ0 (C) + μ0 (D) (wegen (K.2)), also folgt nach (2.4) μ0 (C) ≥ μ0 (L) − μ0 (D) ≥ μ0 (L) − μ0 (K) − ε . 2 Ohne R¨ uckgriff auf das Funktional I werden wir im folgenden Fortsetzungssatz zeigen, daß sich jede Mengenfunktion μ0 : K → [0, ∞[ mit der Eigenschaft (S) zu einem von innen regul¨aren Maß μ auf B fortsetzen l¨aßt. Geh¨ort μ0 gem¨aß (2.3) zu einer positiven Linearform I : Cc (X) → K, wobei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist, so werden wir in Abschnitt 3. zeigen, daß μ die gew¨ unschte Darstellung von I leistet. – In der Literatur gibt es verschiedene Varianten des Fortsetzungssatzes 2.4. Die ¨alteste Version stammt wohl von G.
332
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
CHOQUET (1915-2006) [1], S. 207 ff. und [2], S. 158 ff., insbes. S. 164 f.; s. auch SCHWARTZ [1], S. 62, MEYER [1], S. 42 ff. und DELLACHERIE-MEYER [1], S. 82 ff. CHOQUET benutzt die Bedingung (KO) anstelle von (8); eine etwas allgemeinere, aber ahnliche Fassung steht bei BOURBAKI [1], S. 163 ff. Die folgende Formulierung des Fortsetzungssatzes mit (8) anstelle von (KO) stammt von KISYNSKI [1]; vgl. auch BERG-CHRISTENSEN-RESSEL [1]. Bezuglich neuerer Resultate verweisen wir auf ANGER-PORTENIER [1], POLLARD-ToPS0E [1], TOPS0E [1], [2] und KONIG [1]-[9]. In diesen Arbeiten wird in allgemeinerem Rahmen gezeigt, daB eine Straffheitsbedingung vom Typ (8) im wesentlichen notwendig und hinreichend fUr die Fortsetzbarkeit zu einem MaB ist. 2.4 Fortsetzungssatz. Es seien X ein Hausdorff-Raum und /10 : ~ -7 [O,oo[ eine Mengenfunktion mit der Eigenschajt (8). Dann gestattet /10 genau eine Fortsetzung zu einem von innen reguliiren MafJ /1 : 113 -7 [0,00], und zwar gilt fur aile A E 113
(2.5)
/1(A)
=
sup{/1o(K) : K c A, K E
~} .
Beweis (nach KISYNSKI [1]). Wenn /10 uberhaupt eine Fortsetzung zu einem von innen regularen MaB /1 gestattet, so ist diese durch (2.5) gegeben. Damit ist die Eindeutigkeit klar und auch der Ansatz fUr den Existenzbeweis: Fur beliebiges A c X set zen wir
(2.6)
/1(A)
:=
sup{/1o(K) : K c A, K
E ~} .
Die Eigenschaft (8) impliziert (K.l)-(K.3). Nach (K.l) ist /11 ~ = /10, und es ist zu zeigen, daB /11113 ein MaB ist. Dabei orientieren wir uns am Beweis des Fortsetzungssatzes II.4.5, mussen jedoch beachten, daB das auBere MaB in Gl. (11.4.6) durch ein Infimum definiert wird, /1 in (2.6) aber durch ein Supremum. Diese Bemerkung mag als Motivation dafUr dienen, daB wir jetzt im Analogon der MeBbarkeitsdefinition das Ungleichungszeichen umzukehren haben. Dementsprechend definieren wir fUr beliebiges Q C X Qt Q :=
{A eX: /1(Q)
und Qt:=
~
/1(Q n A)
n
Qtc
+ /1(Q n A
C )}
·
CEJt
Zum Beweis des Satzes werden wir zeigen: Qt ist eine O"-Algebra, Qt /11 Qt ist ein MaB. Sei Fe X abgeschlossen und C E ~. Dann gilt nach (8)
~
113, und
/1(C) - /1(C n F) = /1o(C) - /1o(C n F) = sup{/1o(D): D C C\F,D E~} = /1(C\F), also F E Qtc fUr alle C E ~, d.h. F E Qt. Wenn wir Qt als O"-Algebra erkannt haben, so folgt hieraus 113 C Qt.
§ 2. Der DarsteIlungssatz von F. RIESZ
333
Es bleibt zu zeigen: 2l ist eine a-Algebra und J.L 12l ein MaB. Zunachst ist J.L(0) = 0 (nach (K.3». Weiter ist 0 E 2l, und fUr aIle A E 2l ist auch AC E 2l. Es seien weiter A, B C X, An B = 0. Ist J.L(A) = 00 oder J.L(B) = 00, so ist J.L(A U B) = 00 (wegen (2.6», und die Ungleichung (2.7) ist richtig. Seien nun J.L(A), J.L(B) < Jl,K c A,L c B mit
J.L(A)
00
und c; >
o.
Dann existieren K, L E
+ J.L(B) - c; < J.Lo(K) + J.Lo(L) J.Lo(KUL) < J.L(AUB),
(nach (K.3»
und (2.7) gilt ebenfalls. Ist nun (An)n>1 eine Foige disjunkter Teilmengen von X, so foIgt mit (2.7) induktiv fUr aIle;;' E N
und daher
(2.8) Zum AbschiuB des Beweises brauchen wir daher nur noch zu zeigen: 00
(2.9)
Fur jede Foige von Mengen En E 2l (n EN) ist
UEn E 2l und n=1
Zum Beweis seien C E Jl und C; > o. Nach Definition von 2l und J.L gibt es zu jedem n EN kompakte Mengen An C C n En, Bn C C \ En, so daB
Fur aIle n E N sind (AI U ... U An~l) nAn und (BI n ... n Bn~d U Bn disjunkte kompakte Teilmengen von C.n Daher gilt fUr aIle n ;::: 1:
-Tnc; :::; J.Lo(An) + J.Lo(Bn) - J.Lo(C) < J.Lo(An) + J.Lo(Bn) - J.LO((AI U ... U An~l) nAn) -J.Lo((B I n ... n Bn~l) U Bn) (nach (K.l), (K.3» J.L(An \ (AI U ... U An~d) - J.L((B I n ... n Bn~l) \ Bn) (nach (S» J.LO(AI U ... U An) - J.LO(AI U ... U An~l) +J.Lo(B1 n ... n Bn) - J.Lo(B I n ... n Bn~l) (nach (S». 11
Fur n = 1 ist Bl n ... n Bn~l = C zu setzen.
334
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
Summiert man diese Ungleichungen iiber n = 1, ... , N, so folgt l l
J.Lo(Ai
(2.10)
U ... U
AN) + J.LO(Bi n ... n B N ) N
~ J.Lo(C) -
L 2- c > J.Lo(C) n
C.
n=i
Nach (S) gibt es ein D E ~ mit D
Bi \ n~=i Bn, so daB
C
(2.11) Da D n n~=i Bn = 0 ist und D, Bn (n E N) kompakt sind, ist D n n:=i Bn = 0 fUr alle N ~ No mit geeignetem No E N. Daher liefem (K.3) und (K.l) zusammen mit (2.11)
(2.12) fUr alle N
J.Lo ~
(6
Bn) :::; J.Lo(Bi ) - J.Lo(D) < J.Lo
(0
Bn)
+c
No, und nach (K.2) und (2.10), (2.12) folgt
(2.13)
t
~
J.Lo(An) J.Lo
+ J.Lo
(0
Bn)
(~An) + J.Lo (6 Bn) > J.Lo(C) -
2c
(N ~ No). Wegen Ai U ... U AN C C n U~=i En, n~=i Bn C C \ U~=i En folgt aus (2.13), da c > 0 beliebig ist:
und wegen An
C
C n En liefert (2.13)
(2.15) Aus (2.14) folgt U~=i En E Qt c fUr alle C E ~, d.h. U~=i En E Qt, und (2.15) ergibt
Damit ist (2.9) bewiesen.
D
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
335
RIESZ
3. Der Darstellungssatz von F. RIESZ ilir lokal-kompakte Riiume 2.5 Darstellungssatz von F. Riesz (1909).12 Es seien X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und 1 : Cc(X) --+ ][{ eine positive Linearform. Dann existiert genau ein Radon-Maft p, : IB --+ [0,00], so daft (2.16)
1(1)
=
Ix
f dp,
(I
E
Cc(X)) ,
und zwar ist
inf{1(1) : f E Cc(X), f 2 XK} (K E ~), sup{p,(K) : K c A, K E~} (A E IB).
(2.17) (2.18)
Beweis. Eindeutigkeit: Es sei p, ein Radon-MaE auf IB mit (2.16). Wir brauchen nur (2.17) zu beweisen, und da fur jedes K E ~ und f E Cc(X) mit f 2 XK offenbar 1(1) 2 p,(K) ist, bleibt unter (2.17) nur ,,2" zu zeigen. Dazu seien K E ~,E > O. Nach Folgerung 1.2, g) gibt es eine offene Umgebung U von K mit p,(U) ::; p,(K) + E, und nach Lemma 2.1 existiert ein f E Cc(X) mit XK ::; f ::; Xu· Nun folgt:
und die Eindeutigkeit ist bewiesen. Existenz: Wir definieren p, durch (2.17), (2.18). Nach Abschnitt 2. ist p, ein von innen reguHires MaE. Da X lokal-kompakt ist, ist p, auch lokal-endlich (Folgerung 1.2,c)), d.h. p, ist ein Radon-MaE. Es bleibt zu zeigen, daE (2.16) gilt, und dabei darf gleich f 2 0 angenommen werden. Wir fiihren den Beweis in zwei Schritten:
(1) Fur alle f
E
C:(X) ist 1(1) 2
Ix f dp,.
Begrundung: Es sei u = 'L'l'=l ajXAj (al,"" am> 0, A l , ... , Am E IB disjunkt) eine nicht-negative Treppenfunktion mit u ::; f. AIle Aj (j = 1, ... , m) sind im kompakten Trager von f enthalten, haben also endliches MaE. Zu vorgegebenem o < E < min( al, ... ,am) existieren daher kompakte K j C Aj mit p,(Aj) - E ::; p,(Kj) (j = 1, ... , m). Die disjunkten kompakten K j haben disjunkte offene Umgebungen Uj (j = 1, ... , m), und Uj kann gleich als Teilmenge der offenen Umgebung {f > aj - E} von K j gewahlt werden. Wir wahlen zu jedem j = 1, ... , m ein 'Pj E Cc(X) mit XKj ::; 'Pj ::; XUj' Dann ist m
9 := 2)aj - E)'Pj E C:(X) , g::; f
j=l 12F. RIESZ
[1], S. 400-402 und S. 490-495.
VIII. MaBe auf topologischen Riiumen
336 und daher m
1(J) 2:: l(g) =
m
z)aj -
c)l(
j=1
z)aj - c)J-l(Kj) j=1
Ix u dJ-l, und es folgt (1). E C:(X) ist 1(J) = Ix f dJ-l.
Damit ist 1(J) 2:: (2) Fur alle f
Begrundung: Ohne Einschriinkung der Allgemeinheit darf 0 ::; f ::; 1 angenommen werden. - Zu vorgegebenem 10 > 0 existiert nach Folgerung 1.2, g) eine relativ kompakte offene Umgebung U :J K := Tt f mit J-l(U) ::; J-l(K) + 10, und zu K, U gibt es nach Lemma 2.1 ein
o
folgt (2) und damit die Behauptung.
2.6 Korollar. 1st X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum mit abziihlbarer Basis, so existiert zu jeder positiven Linearform 1 : Cc(X) ---+ lK genau ein BorelMaj1 J-l, so daj1 1(J) = Ix f dJ-l
(J E Cc(X)).
Beweis. Jedes Borel-MaB auf 113 ist regular (Korollar 1.12), also ein Radon-MaB. Daher folgt die Behauptung aus dem Darstellungssatz von RIEsz. 0
2.7 Beispiele. a) Fiir jedes f E Cc(JRP) kann man IlRP f(x)dx elementar als pfach iteriertes Riemann-Integral definieren und erhiilt eine positive Linearform 1 : Cc(JRP) ---+ lK,I(J) := JIR!.P f(x)dx (J E Cc(JRP)). Der Darstellungssatz von RIESZ liefert dann eine von unseren friiheren Entwicklungen weitgehend unabhiingige M6glichkeit zur EinfUhrung des Lebesgue-Borelschen MaBes. Dabei iibernimmt der Fortsetzungssatz 2.4 die Rolle des friiher benutzten Fortsetzungssatzes II.4.5. Entsprechendes gilt fUr die Lebesgue-Stieltjesschen MaBe. b) 1st 1 : Cc(lR) ---+ lK eine positive Linearform, so existiert nach Korollar 2.6 genau ein Borel-MaB J-l : 113 1 ---+ [0,00]' so daB 1(J) =
L
f dJ-l
(J E Cc(lR)).
§ 2. Der Darstellungssatz von F. Riesz
337
Beschreibt man hier μ durch die (bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmte) rechtsseitig stetige wachsende Funktion F : R → R, so erh¨alt man eine Darstellung von I durch ein Lebesgue–Stieltjes-Integral: I(f ) = f dF (f ∈ Cc (X)) . R
Hier stimmt die rechte Seite mit dem Riemann–Stieltjes-Integral R f dF u ¨ berein, und man erh¨alt die Darstellung von I in der von F. Riesz angegebenen Form. Bemerkungen. Es gibt zahlreiche Varianten des Darstellungssatzes von F. Riesz. Die urspr¨ ungliche Version des Satzes wird von F. Riesz f¨ ur stetige Linearformen auf C[a, b] ausgesprochen. J. Radon ([1], S. 1332 ff.) l¨ost das Darstellungsproblem f¨ ur stetige Linearformen auf C(K), wobei K ⊂ Rp kompakt ist. F¨ ur kompakte metrische R¨aume wird der Satz bewiesen von S. Banach (1937; s. S. Saks [2], S. 320 ff., Note II) und S. Saks [3]; die Version f¨ ur kompakte Hausdorff-R¨aume stammt von S. Kakutani (1911–2004) [1]. Weitere markante Punkte der historischen Entwicklung sind die Arbeiten von A.D. Alexandroff [1] und V.S. Varadarajan [1] und die B¨ ucher von N. Bourbaki [1]–[5]. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung der Ergebnisse bis ca. 1970 findet man ¨ im Ubersichtsartikel von J. Batt [1]; s. auch Semadeni [1], S. 313 f. Einen einheitlichen Zugang zu Darstellungss¨atzen vom Rieszschen Typus er¨offnen D. ¨ Pollard und F. Topsøe [1]. Uber die neueste Entwicklung unterrichten Anger und Portenier [1]. Wir haben uns bei Darstellungen des Typs (2.16) konsequent auf RadonMaße μ beschr¨ankt. Viele andere Autoren (z.B. Hewitt–Ross [1], Hewitt– Stromberg [1], Rudin [1]) benutzen Borel-Maße ν, die regul¨ar“ sind in dem ” Sinne, daß ν(U) = sup{ν(K) : K ⊂ U, K ∈ K} (U ∈ O) , und ν(A) = inf{ν(U) : U ⊃ A, A ∈ O} (A ∈ B) . Dabei gilt dann f¨ ur alle B ∈ B mit ν(B) < ∞: ν(B) = sup{ν(K) : K ⊂ B, K ∈ K} , aber diese Gleichung ist nicht notwendig f¨ ur alle Borel-Mengen B richtig. Ist X lokal-kompakt, so ist das Existenz- und Eindeutigkeitsproblem auch dann positiv zu beantworten, wenn nur Borel-Maße ν zur Darstellung zugelassen werden, die im obigen Sinne regul¨ar“ sind. Eine genauere Untersuchung der Beziehun” gen zwischen diesem prinzipalen Darstellungsmaß“ ν und dem essentiellen ” ” Darstellungsmaß“ μ (d.h. dem Radon-Maß μ aus (2.17), (2.18)) findet man bei Bauer [1], [2] und Schwartz [1]. Dabei ergibt sich: μ und ν stimmen auf K und auf O u ¨berein. Daher ist μ = ν, falls μ regul¨ar ist (im Sinne von Definition 1.1,d)), also z.B., wenn μ endlich ist (Folgerung 1.2,f)) oder wenn X σ-kompakt ist (Korollar 1.13).
338
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
Auch gibt es verschiedene Moglichkeiten der Wahl der a-Algebra, auf welcher das darstellende MaB definiert ist. Naturlich kann man J.l11l3 vervollstandigen und das vervollstandigte MaB j1, zur Darstellung verwenden. Eine ganz andere Moglichkeit besteht darin, anstelle der a-Algebra der Borel-Mengen Il3 die kleinere a-Algebra ll3 o(X) C Il3(X) die Baireschen Teilmengen von X zu verwenden, die von den Mengen r1({0}) (f: X ---t [0,1] stetig) erzeugt wird (s. z.B. FLORET [1]). Uber Baire-MaBe informiert der ausfUhrliche Ubersichtsartikel von WHEELER [1]. 2.8 Satz. 1st X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so gilt: Eine positive Linearform I : Cc(X) ---t IK. ist genau dann stetig bez. der Supremumsnorm II . 1100 auf Cc(X), wenn das I darstellende Radon-Mafl J.l endlich ist, und dann ist J.l(X) = 11111· Beweis. 1st J.l endlich, so gilt nach (2.16) fUr alle
II(f)1 = I
Ix
f dJ.l1 :::;
1 E Cc(X):
J.l(X)lIflloo,
also ist I stetig bez. II . 1100 und 11111 :::; J.l(X). - Sei nun umgekehrt I stetig bez. 11·1100, also II(f)1 :::; 111111111100 (f E Cc(X)). Sei K c X kompakt. Dann existiert ein 1 E C:(X),O :::; f :::; 1 mit f I K = 1. Daher gilt J.l(K) :::; I(f) :::; 11111, also J.l(X) = sup{J.l(K) : K E Jl} :::; 11111. 0 Es seien weiter X ein lokal-kompaker Hausdorff-Raum und Co(X) der Raum der stetigen Funktionen 1 : X ---t IK., die im Unendlichen verschwinden in dem Sinne, daB zu jedem E > 0 ein K E Jl existiert mit If I KCI < E. (Bezeichnet X = Xu {w} die Alexandroff-Kompaktifizierung von X, so ist offenbar 1 E Co(X) genau dann, wenn f eine stetige Fortsetzung j E C(X) besitzt mit j(w) = 0.) Co(X) ist bez. der Supremumsnorm 11·1100 ein Banach-Raum, und Cc(X) liegt dicht in Co(X) bez. II . 1100 (Lemma 2.1). Eine Linearform I : Co(X) ---t IK. heiBt positiv, wenn I(f) ~ 0 fUr alle 1 E C;i(X), wobei C;i(X) := {J E Co(X) : f ~
OJ. 2.9 Lemma. 1st X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so ist jede positive Linearform I : Co(X) ---t IK. stetig bez. der Supremumsnorm. Beweis. 1st I unstetig, so existiert zu jedem n E N ein In E Co(X) mit IIfnlloo = 1 und II(fn) I ~ n 3 . Wegen II(fn) I :::; I(lfni) (Aufgabe 2.5) kann gleich In E C;i(X) angenommen werden. Nun ist 2:::"=1 n- 2 l1fnll00 < 00, also konvergiert die Reihe 2:::"=1 n- 2 In gleichmaBig auf X, und es gilt g := 2:::"=1 n- 2 In E C;i(X). Fur alle n E N ist n- 2 fn :::; g, also n :::; n- 2 I(fn) :::; I(g): Widerspruch! 0 2.10 Darstellungssatz von F. RIESZ fiir Co(X). Es seien X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und I: Co(X) ---t IK. eine positive Linearform. Dann existiert genau ein Radon-Mafl J.l auf 1l3, so dafl Co(X) C .t:}(J.l) und
(2.19)
I(f) =
Ix
f dJ.l
(f E Co(X)).
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
339
RIESZ
Dieses Radon-Map ist endlich und wird durch (2.17), (2.18) gegeben. Umgekehrt definiert jedes endliche Radon-Map J.l au/ ~ vermoge (2.19) eine positive Linear/orm I: Co(X) -+ K Beweis. Zur Einschrankung I ICc(X) gehort genau ein Radon-MaB J.l mit (2.16), und dieses ist durch (2.17), (2.18) gegeben. Nach Lemma 2.9 ist I ICc(X) stetig bez. II· 1100, also ist J.l nach Satz 2.8 endlich, folglich gilt Co(X) c £}(J.l). Nun dJ.l (f E Co(X)) zwei bez. 11·1100 stetige sind lund J : Co(X) -+ IK, J(f) := Linearformen auf Co(X), die auf dem dichten Teilraum Cc(X) iibereinstimmen. 0 Daher ist 1= J, d.h. es gilt (2.19). - Die Umkehrung ist klar.
Ix /
4. Der Darstellungssatz von F. RIESZ fUr vollstandig regulare Raume. 1m folgenden Abschnitt entwickeln wir zwei Versionen des Darstellungssatzes von F. RIESZ fUr vollstandig regulare Raume. Zunachst erinnern wir daran, daB die Klasse der vollstandig regularen Raume sehr reichhaltig ist, denn es gelten folgende bekannten Sachverhalte: (i) Beliebige Teilraume vollstandig regularer Raume sind vollstandig regular. (ii) Beliebige Produkte vollstandig regularer Raume sind vollstandig regular. (iii) Jeder metrisierbare topologische Raum ist vollstandig regular. (iv) Jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum ist vollstandig regular. 1m folgenden wollen wir die Uberlegungen der Abschnitte 2., 3. auf den Fall eines vollstandig regularen Raums X iibertragen. Dabei erweist sich der Raum Cc(X) als Definitionsbereich fUr I als unzweckmaBig: Legen wir zunachst versuchsweise wieder den Ansatz (2.3) zugrunde, so ist nur dann ein Erfolg zu erhoffen, wenn zu jedem K E Ji ein / E Cc(X) mit / :::: XK existiert. Dann ist aber bereits {/ > O} eine relativ kompakte Umgebung von K, und eine solche existiert fUr alle K E Ji genau dann, wenn X lokal-kompakt ist. Diesen Fall haben wir bereits in Abschnitt 3. behandelt. 1st X nur vollstandig regular (aber nicht notwendig lokal-kompakt), so liegt es im Hinblick auf Lemma 2.1 nahe, den Raum Cc(X) durch den Raum Cb(X) aller beschriinkten stetigen Funktionen / : X -+ IK zu ersetzen. Nun ist es durchaus nicht so, daB fUr jedes Radon-MaB J.l : ~ -+ [0,00] und jedes / E Cb(X) das Integral dJ.l existiert; schon fUr X = lR gilt das nicht. Dennoch konnen wir die Frage nach der Darstellbarkeit positiver Linearformen I : Cb(X) -+ IK durch Radon-MaBe stellen: Vorgelegt sei eine Linearform I : Cb(X) -+ IK, die positiv sei in dem Sinne, daB I(f) :::: 0 fUr alle / E C:(X). Gesucht wird ein Radon-MaB J.l, das I "darstellt" gemaB
Ix /
(2.20) Wenn es iiberhaupt ein solches Radon-Map J.l gibt, so lehrt eine Ersetzung von Cc(X) durch Cb(X) im Beweis der Eindeutigkeitsaussage des Darstellungssatzes von F. RIESZ 2.5, daB J.l eindeutig bestimmt ist und daB (2.21)
J.l(K) = inf{I(f) : / E Cb(X), / ::::
xd
(K E Ji).
Es bleibt die Frage nach der Existenz eines darstellenden Radon-MaBes J.l fUr
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
340
das vorgelegte 1 zu diskutieren. Dazu modifizieren wir gemaB (2.21) den alten Ansatz (2.3) und setzen
(2.22)
JLo(K)
:=
inf{ 1(f) : f E Cb(X), f ~ XK}
(K E
~) .
Nun ersetzen wir im Beweis von Lemma 2.2 den Raum Cc(X) durch Cb(X) und erkennen: JLo geniigt den Bedingungen (K.1)-(K.3), (KO) aus Lemma 2.2. Daher geniigt JLo auch der Bedingung (S) aus Lemma 2.3, und der Fortsetzungssatz 2.4 liefert: JLo laBt sich zu einem von innen regularen MaB JL : ~ -* [0,00] fortsetzen:
(2.23)
JL(A)
= sup{JLo(K) : K
C
A, K
E~}
(A E
~) .
Dieses MaB JL ist endlich, denn fUr jedes K E ~ ist JLo (K) :::; 1 (Xx), also ist nach (2.23) JL(X) :::; 1(Xx) < 00. Ergebnis: Zu jeder positiven Linearform 1 : Cb(X) -* ][{ gehOrt gemiij] (2.22), (2.23) ein endliches Radon Maj] JL : ~ -* [0,00[. Von diesem MaB JL werden wir in Satz 2.12 zeigen, daB es unter einer geeigneten (notwendigen und hinreichenden) Zusatzbedingung die Linearform 1 darstellt im Sinne von (2.20). 2.11 Lemma. Es seien X ein vollstiindig reguliirer Hausdorff-Raum, 1: Cb(X) -* ][{ eine positive Linearform und JL das durch (2.22), (2.23) definierte endliche Radon-M aj] auf ~. Dann ist Cb(X) C £} (JL), und es gilt: (2.24)
Ix
f dJL :::; 1(f)
(f E C:(X)).
Zum Beweis kontrolliert man die Argumente im Schritt (1) des Beweises des Darstellungssatzes von F. RIESZ 2.5, beachtet, daB AI, ... , Am wegen der Endlichkeit von JL alle endliches MaB haben, und ersetzt Cc(X) durch Cb(X). Das ergibt (2.24), also C:(X) c £l(JL) und daher auch Cb(X) C £l(JL). D 2.12 Darstellungssatz von F. RIESZ fUr Cb(X). Es seien X ein vollstiindig reguliirer Hausdorff-Raum, 1 : Cb(X) -* ][{ eine positive Linearform und JL das durch (2.22), (2.23) definierte endliche Radon-Maj]. Dann ist Cb(X) C £l(JL), und folgende A ussagen sind iiquivalent: a) 1 wird durch JL dargestellt gemiij] (2.25)
1(f) =
Ix
f dJL
(f E Cb(X)).
b) JL(X) = 1(Xx). c) Zu jedem E > 0 existiert ein K E ~, so daj] 1(f) < E fur alle f E Cb(X) mit o :::; f :::; 1, f IK = o. d) 1 ist s t r a f fin folgendem Sinne: 1st (fa.)aED ein Netz1 3 in Cb(X) mit l3D.h.: D ist mit einer Ordnung ,,:::::" ausgestattet, so daB zu allen a, (3 E D ein 'Y E D existiert mit a ::::: 'Y, (3 ::::: T - Die Konvergenz f ex -+ 0 gleichmaBig auf allen kompakten Teilmengen von X bedeutet: Zu jedem c > 0, K E it gibt es ein 'Y ED, so daB [fex(x) [ ::::: c fUr aIle a E D mit 'Y ::::: a und x E K.
§ 2. Der DarsteIlungssatz von F. RIESZ
341
Illalloo :::; 1 (a E D), so dajJ la ---+ 0 gleichmiijJig aul allen kompakten Teilmengen von X, so gilt l(1a) ---+ O. 1st eine dieser Bedingungen erlullt, so ist JL das einzige Radon-MajJ aul ~ mit (2.25).
Beweis. a) =} b): Man setze I = Xx in (2.25). b) =} a): Es genugt die Gl. (2.25) fUr 0 :::; I :::; 1 zu beweisen: Nach Lemma 2.11 ist Cb(X) C £} (JL) , und es gilt (2.24). Zum Nachweis der umgekehrten Ungleichung wenden wir (2.24) an auf 1 - I E C:(X) ansteIle von lund erhalten JL(X) -
Ix I
dJL =
Ix
(1 - f) dJL :::; 1(1 - f) = I(Xx) - 1(1) .
Ix
Wegen b) erhalten wir hieraus I dJL 2 1(1), und es folgt a). b) =? c): Sei c > O. Dann gibt es ein K E Jt mit JL(K) > JL(X) - c. 1st nun I E Cb(X), 0 :::; I :::; 1, I I K = 0, so ist nach b) und (2.22), (2.23) JL(X) - 1(1) = 1(1 - f) 2 JL(K) > JL(X) - c, also 1(1) < c. c) =? b): Nach (2.24) ist JL(X) :::; I(Xx), so daB nur noch ,,2" zu zeigen ist. Dazu seien c > 0 und K E Jt zu c gemaB c) bestimmt. Sei nun g E C:(X), 0 :::; g:::; 1, g I K = 1, so daB l(g) :::; JL(K) + c. Dann ist nach c)
I(Xx) = l(g)
+ I(Xx
- g) :::; JL(K)
+ 2c :::; JL(X) + 2c.
Da c > 0 belie big ist, folgt die Behauptung. a) =? d): Zu vorgegebenem c > 0 gibt es ein K E Jt mit JL(KC) < c/2 und dazu ein'Y E D, so daB Ila(x)1 :::; c/2(JL(X) + 1) fUr aIle a E D mit a 2 'Y und x E K. Nach (2.25) ist daher 11(1a) I = I ladJLI < c fUr aIle a 2 'Y. d) =? c): Fur K E Jt und h E C(X) set zen wir Ilhil K := sup{lh(x)1 : x E K}. Dann bilden die Mengen Uo,K(I) := {g E Cb(X) : IIf-gIIK < 8} (8) 0, K E Jt) eine Umgebungsbasis von I E Cb(X) bez. der Topologie der kompakten Konvergenz auf Cb(X). Es sei B := {I E Cb(X) : 11/1100 :::; 1} die abgeschlossene Einheitskugel in Cb(X). Dann bedeutet Bedingung d) genau, daB I I B stetig ist bez. der Spurtopologie der Topologie der kompakten Konvergenz auf B (s. z.B. KELLEY [1], S. 86). Zu vorgegebenem c > 0 existieren daher ein K E Jt und ein 8> 0, so daB 11(1)1 < c fUr aIle I E Uo,K(O) n B. 1st insbesondere 0 :::; I :::; 1 und I I K = 0, so ist I E Uo,K(O) n B und daher 11(1)1 < c. DaB es unter der Voraussetzung der DarsteIlbarkeit von I nur ein darsteIlenD des Radon-MaB gibt, haben wir schon oben (nach (2.20)) gesehen.
Ix
Die Aquivalenz der Aussagen a), b) des DarsteIlungssatzes 2.12 bedeutet: Wird I(Xx) durch JL dargestellt, so wird 1(1) lur alle I E Cb(X) durch JL dargestellt gemiijJ (2.25). In Aufgabe 2.7 lernen wir ein Beispiel einer positiven Linearform I : Cb(X) ---+ lK kennen, die nicht durch das zugehorige Radon-MaB JL dargestellt wird. Aus Aufgabe 2.7 folgt: Ein vollstiindig reguliirer HausdorffRaum X ist genau dann kompakt, wenn jede positive Linearlorm I: Cb(X) ---+ lK durch ein Radon-MajJ JL darstellbar ist gemiijJ (2.25). - Bedingung d) von DarsteIlungssatz 2.12 geht zuruck auf VARADARAJAN [1]; bez. weiterer Details s. BADRIKIAN [1] und WHEELER [1].
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
342
Satz 2.12 gilt sinngemaB, wenn die positive Linearform 1 auf ganz C(X) (X voIlstandig regular) definiert ist. Zum Beweis dieser Aussage ben6tigen wir folgendes Lemma: 2.13 Lemma. Sind X ein vollstandig regularer Hausdorff-Raum, 1 : C(X) -+ lK eine positive Linearform, f E C+(X) und fn := min(n, f) (n EN), so gibt es ein no E 1'11, so dafJ 1(f) = l(fn) fUr alle n ~ no. Sind insbesondere 1, J : C(X) -+ lK zwei positive Linearform, die auf Cb(X) ubereinstimmen, so ist 1 = J.
Beweis. Fur jede Wahl reeIler An > 0 ist g := 2::=1 An(f - fn) E C+(X), denn die Reihe ist lokal eine endliche Summe. Aus 2::=1 An(f - fn) :::; g folgt 2::=1 An(I(f) - l(fn)) :::; l(g) fUr aIle N E N. Daher konvergiert die Reihe 2::=1 An(I(f) - l(fn)), insbesondere gilt: An(I(f) - l(fn)) -+ 0 (n -+ 00). Da dies fUr jede Wahl der An zutrifft, gibt es ein no E I'll mit 1(f) = l(fn) fUr aIle n ~ no. D 2.14 Darstellungssatz von F. RIESZ fiir C(X). 1st X vollstandig regular, so gilt Darstellungssatz 2.12 entsprechend fur positive Linearformen 1 : C(X) -+ lK, wenn man uberall Cb(X) durch C(X) ersetzt.
Beweis. Zur Einschrankung 1 t Cb(X) gehOrt ein endliches Radon-MaB p, gemaB (2.22), (2.23), und nach Lemma 2.11 gilt (2.24). Wir zeigen zunachst, daB sogar
Ix
(2.26)
(f E C+(X)).
f dp,:::; 1(f)
Dazu seien f E C+(X) und fn, no wie in Lemma 2.13. Dann ist nach (2.24)
Ix
fn dp, :::; l(fn) = 1(f)
(n
~ no) ,
und wegen fn t f liefert der Satz von der monotonen Konvergenz die Ungleichung (2.26). Insbesondere folgt C(X) c 1 (p,). Nach DarsteIlungssatz 2.12 sind die Aussagen a)-d) dieses Satzes aquivalent. Zum Beweis von DarsteIlungssatz 2.14 brauchen wir nur noch zu zeigen, daB aus (2.25) folgt
.c
(2.27)
1(f) =
Ix
f dp,
(f E C(X)).
Das ist aber klar nach Lemma 2.13 mit J(f) :=
Ix f dp,
(f E C(X)).
D
Bemerkung. Ist X lokal-kompakt und abzahlbar kompakt, so ist C(X) = Cb(X)j ist X iiberdies nicht kompakt, so gibt es nach Aufgabe 2.7 eine positive Linearform I: C(X) ---+ lK, die nicht durch das zugehorige f.L dargestellt wird. - Folgender Raum X hat die genannten Eigenschaften: Es seien ,BN die Stone-Cech-Kompaktifizierung von N (s. Aufgabe 2.7) und a E (,BN) \ N. Dann ist X := (,BN) \ {a} lokal-kompakt und abzii.hlbar kompakt (s. ENGELKING [1], 3.10.18), aber X ist als dichte echte Teilmenge von,BN nicht kompakt. Wie oben bemerkt, ist ein vollstandig regularer Hausdorff-Raum X genau dann kompakt,
§ 2. Der Darstellungssatz von F. RIESZ
343
wenn jede positive Linearform auf CdX) durch ihr Radon-Mafl dargestellt wird. Dagegen gibt es sehr wohl nicht kompakte vollstandig regulare Raume X, fUr welche jede positive Linearform auf C(X) durch ihr Radon-Mafl dargestellt wird; z.B. hat jeder iT-kompakte lokalkompakte Hausdorff-Raum diese Eigenschaft (s. Darstellungssatz 2.19, b)).
5. Trager von MaBen. 1m Hinblick auf Darstellungssatz 2.14 stellen wir die Fmge, fUr we1che Radon-MaBe f.1 die Inklusion C(X) C £1(f.1) gilt. Wir werden zeigen: 1st X ein CT-kompakter, lokal-kompakter Hausdorff-Raum, so gilt C(X) C £1(f.1) genau dann, wenn f.1 einen kompakten Trager hat (Lemma 2.16). Dabei ist der Trager eines Radon-MaBes f.1 definiert als das Komplement der graBten offenen f.1-Nullmenge. DaB diese Definition sinnvoll ist, folgt aus Lemma 2.15. 2.15 Lemma. Sind X ein Hausdorff-Raum, f.1 ein Radon-MafJ auf \}I und (U')'EI eine (nicht notwendig abzahlbare) Familie offener f.1-Nullmengen, so ist f.1(UEI U,) = o.
Beweis. Sei K C U'EI U, kompakt. Dann existieren endlich viele i1,"" in E I mit K C U~=l U'v' folglich ist f.1(K) = O. Da f.1 von innen regular ist, folgt f.1(U'EI UJ = o. 0 Nach Lemma 2.15 ist die Vereinigung V aZZer offenen f.1-Nullmengen eines Radon-MaBes f.1 eine f.1-Nullmenge, und offenbar ist V die (bez. mengentheoretischer Inklusion) graBte offene f.1-Nullmenge. Das Komplement von V nennt man den Trager von f.1: Trf.1:= V c . Offensichtlich ist Tr f.1 abgeschlossen. Fur a E X gilt a E Tr f.1 genau dann, wenn fUr jede offene Umgebung U von a gilt f.1(U) > O. Sind f, 9 E C+ (X) (oder auch nur f, 9 E M+(X, \}I)) und f I Tr f.1 = 9 I Tr f.1, so ist f = 9 f.1-f.u. und daher
Diese Gleichung gilt auch fUr alle f, 9 E £1 (f.1) mit f I Tr f.1 = 9 I Tr f.1. 1st Tr f.1 kompakt, so sind alle f E C(X) f.1-integrierbar. Lemma 2.16 enthalt eine teilweise Umkehrung dieser Aussage. 2.16 Lemma. Es seien X ein CT-kompakter, lokal-kompakter Hausdorff-Raum und f.1 ein Radon-MafJ auf \}I, so dafJ C(X) C £1(f.1). Dann ist Tr f.1 kompakt.
Beweis. Wir wahlen eine aufsteigende Folge (Kj)j?l in Jl mit K j t X, K j CKj+1
(j ;::: 1). Angenommen, Tr f.1 ist nicht kompakt. Dann gibt es eine Folge 1 :s: n1 < n2 < ... naturlicher Zahlen und aj E Tr f.1, so daB aj E K nj + 1 \ Knj (j ;::: 1). Zur Vereinfachung der Notation kann gleich angenommen werden, daB aj E (Kj+1
\Kj )nTrf.1. Zu aj existiert ein 'Pj E C:(X) mit 'Pj(aj) > 0, Tr'Pj CKj+1 \Kj- 1 und 'Pj df.1 > 0 (s. Aufgabe 2.9, a)). Nach Multiplikation mit einer geeigneten positiven Konstanten kann 'Pjdf.1 = 1 angenommen werden. Dann ist f :=
Ix
Ix
344
VIII. MaBe auf topologischen Rliumen
2::;:1 'Pj E C+(X), denn die Reihe ist lokal eine endliche Summe, aber nach Konstruktion ist f ~ £1(J1) (Satz von der monotonen Konvergenz!). D 2.17 Beispiel. Ein endliches Radon-MafJ Jl auf einem lokal-kompakten Hausdorff-Raum X mit C(X) C £1 (Jl) braucht keinen kompakten Triiger zu haben. Ais Beispiel betraehten wir den lokal-kompakten Raum X = (;3N) \ {a} aus der Bemerkung nach Darstellungssatz 2.14. Fur B E 'B(X) und n E N sei 5n (B) := 1, falls nEB und 5n (B) := 0, falls n rt B. Dann ist Jl := Z=;:;O=12-n5n ein endliehes Radon-Mall auf X (Beispiel 1.3, e)), und es ist C(X) = Cb(X) C £1 (Jl). Wegen N C TrJl ist TrJl = X, aber X ist nieht kompakt.
2.18 Lemma. Es seien X ein iJ-kompakter, lokal-kompakter Hausdorff-Raum und 1 : C(X) ---t lK eine positive Linearform. Dann existiert ein TEn, so dafJ 1(f) = 0 fur alle f E C(X) mit fiT = o. Beweis. Es seien die K j (j E N) wie im Beweis von Lemma 2.16. 1st die Behauptung falsch, so gibt es zu jedem n E N ein gn E C+(X), mit gn I Kn = 0 und l(gn) ::0- 1. Dann ist aber f := 2::~=1 gn E C+(X), denn die Reihe ist lokal eine endliche Summe, und fUr jedes N E N ist f ::0- 2:::=1 gn, also 1(f) ::02:::=11(gn) ::0- N fUr aIle N E N: Widerspruch! D
Es sei weiter X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. Wir statten C(X) aus mit der Topologie der kompakten Konvergenz 'Ie. Diese wird definiert durch die Halbnormen II . 11K: C(X) ---t [0,00[,
IlfilK := sup{lf(x)1 : x E K}
(K
E
n; f
E C(X)).
Die Mengen {g E C(X) : Ilg ~ filK < E} (E > O,K E n) bilden eine Umgebungsbasis von f E C(X). Eine line are Abbildung 'P : C(X) ---t lK ist genau dann stetig bez. der Topologie der kompakten Konvergenz, wenn ein KEn und ein a > 0 existieren, so daB 1'P(f) I ::: allfllK fUr aIle f E C(X).
2.19 Darstellungssatz von F. RIESZ fUr C(X). Es seien X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und 1 : C(X) ---t lK eine positive Linearform. a) 1st 1 stetig bez. der Topologie 'Ie der kompakten Konvergenz, so existiert genau ein Radon-MafJ J1 auf 93, so dafJ C(X) C £1(J1) und
(2.28)
1(f)
=
Ix
f dJ1
(f E C(X)).
Dieses Radon-MafJ hat einen kompakten Trager und wird durch (2.22), (2.23) gegeben. Umgekehrt definiert jedes Radon-MafJ J1 auf 93 mit kompaktem Trager vermoge (2.28) eine positive Linearform 1 : C(X) ---t lK, die bez. 'Ie stetig ist. b) 1st X zusatzlich iJ-kompakt, so ist 1 stetig bez. 'Ie, und es gelten die Aussagen unter a).
§ 2. Der Darstellungssatz von F. RIESZ
345
Beweis. a) Nach dem Darstellungssatz 2.5 gehOrt zu I 1 Ce(X) genau ein RadonMal3 p, mit (2.16), und p, wird durch (2.17), (2.18) festgelegt. Offenbar stimmt p, mit dem durch (2.22), (2.23) definierten Radon-Mal3 iiberein, also gilt C(X) c £}(p,) (Darstellungssatz 2.14). 1st nun I stetig bez. 'Ie, so gibt es ein K E ~ und ein a > 0, so dal3 11(f) allfllK (f E C(X)). Daher erfUllt I die Bedingung c) von Darstellungssatz 2.12, und Darstellungssatz 2.14 liefert (2.28). - Wir zeigen, dal3 Tr p, kompakt ist: Dazu seien L c Ke ein Kompaktum und cp E C:(X) mit cp L = 1, Tr cp c Ke (Lemma 2.1). Gl. (2.17) liefert p,(L) :::::: l(cp) : : : allcpllK = 0, also p,(L) = 0, und (2.18) ergibt p,(Ke) = O. Daher ist Tr p, c K, also ist Tr p, kompakt. 1st umgekehrt p, irgendein Radon-Mal3 mit kompaktem Trager, so ist C(X) c £}(p,), und (2.28) definiert eine positive Linearform I : C(X) ---+ lK, die stetig ist bez. 'Ie. b) 1st X O"-kompakt, so existiert nach Lemma 2.18 ein T E ~, so dal3 1(f) = 0 fUr alle f E C(X) mit fiT = O. Es seien V eine kompakte Umgebung von T und cp E Cc(X),O : : : cp :::::: 1, cp T = 1, Tr cp c V. Bezeichnen wir wieder das zu II Ce(X) gehOrige Radon-Mal3 mit p" so gilt nach Lemma 2.18 und Darstellungssatz 2.5 fUr alle f E C(X): 1
::::::
1
1
11(f)1 =
11(cpf)1 =
Ix
1
cpf dp,1 :::::: p,(V)llfllv . D
Bemerkungen. a) Ohne die Voraussetzung der 'Ic-Stetigkeit von I wird Darstellungssatz 2.19 falsch, wie die Bemerkung nach Darstellungssatz 2.14 lehrt. Auch wenn die positive Linearform I : C(X) ---+ lK durch das zugehorige /L dargestellt wird, braucht /L keinen kompakten Trager zu haben (Beispiel 2.17). b) Die Voraussetzung der a-Kompaktheit von X kann in Darstellungssatz 2.19 ersetzt werden durch die Voraussetzung der Parakompaktheit von X, denn jeder parakompakte lokalkompakte Raum ist darstellbar als disjunkte Vereinigung offener und a-kompakter Teilraume (s. ENGELKING [1], S. 382, Theorem 5.1.27). c) Lemma 2.16 folgt erneut aus Darstellungssatz 2.19.
2.20 Zusammenfassung. Es sei X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. Dann entsprechen die positiven Linearformen auf (i) Cc(X) den Radon-Maflen auf IB (Darstellungssatz 2.5); (ii) Co(X) den endlichen Radon-Maflen auf IB (Darstellungssatz 2.10); (iii) Cb(X) den Radon-Maflen auflB((JX), wobei (JX die Stone-Cech-Kompaktijizierung von X bezeichnet (Aufgabe 2.8); (iv) C(X) den Radon-Maflen mit kompaktem Trager, falls X O"-kompakt ist (Darstellungssatz 2.19). 6. Der Darstellungssatz von F. RIESZ itir stetige Linearformen auf Co(X). Die obigen Darstellungssatze gestatten die Beschreibung der Dualraume gewisser Banach-Raume stetiger F'unktionen mit Hilfe von Banach-Raumen regularer signierter (bzw. komplexer) Mal3e. Aus Platzgriinden beschranken wir
346
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
uns auf den Raum (Co(X), 11·1100) (X lokal-kompakter Hausdorff-Raum). Damit wird gleichzeitig der Dualraum von (C(X), 11·1100) fUr kompakte HausdorffRaume X bestimmt. Die allgemeine EinfUhrung signierter (bzw. komplexer) Radon-MaBe ist etwas diffizil (SCHWARTZ [1], S. 53 ff.). Da wir es nur mit endlichen MaBen zu tun haben werden, wird die Definition einfacher. ~ 1m folgenden benotigen wir fUr signierte bzw. komplexe MaBe v den Begriff der Variation Ivl von v (s. Kap. VII, § 1,3. und Aufgabe VII.1.7). 2.21 Definition. Ein signiertes oder komplexes MaB v : 'B --+ lK heiBt regular, wenn zu jedem A E 'B und E > 0 ein K E 5t und ein U E D existieren, so daB K cAe U und Ivl (U \ K) < E. Mit Mreg('B) bezeichnen wir die Menge der regularen signierten (bzw. komplexen) MaBe v : 'B --+ K 2.22 Folgerungen. a) Mreg('B) ist ein Banach-Raum bez. der Norm Ilvll .IvI(X). b) 1st v : 'B --+ lR ein signiertes MaB, so sind folgende Aussagen aquivalent: (i) v ist regular. (ii) v+, v~ sind regular. (iii) I v I ist regular. 1st vein komplexes MaB, so sind aquivalent: (i) v ist regular. (ii) p := Rev, (j := 1m v sind regular. (iii) p+,p~,(j+,(j~ sind regular. (iv) Ivl ist regular.
Beweis. a) Wir zeigen, daB Mreg('B) ein abgeschlossener Unterraum des BanachRaums M('B) ist: Dazu sei (Vn k>l eine Folge in Mreg('B), die gegen v E M('B) konvergiert. Es seien A E 'B, E > O. Dann ist Ilvn - vii < E /2 fUr alle hinreichend groBen n. Wir wahlen ein solches n fest aus, und zu V n ,A,E/2 (statt E) wahlen wir K, U gemaB Definition 2.21. Dann ist
Ivl(U \ K)
:<:::
Iv - Vn I(U \ K)
+
IVn I(U \ K)
:<:::
Ilvn
-
vii
E
+ 2 < E.
b) 1m reellen Fall sind die Implikationen (i) =? (iii) =? (ii) =? (i) klar, im komplexen Fall schlieBt man (i) =? (iv) =? (ii) =? (iv) =? (iii) =? (i). ~ 1m komplexen Fall heiBt v = p+ - p~ + i(j+ - (j~) die lordan-Zerlegung von v. D 1st vein signiertes MaB, so setzt man £l(V) := £l(V+) n £l(V~) und
Fur ein komplexes MaB v sind p := Rev, (j := 1m v endliche signierte MaBe, und man setzt £l(V) := £l(p) n £1(j) und
ifdV:= ifdP+iifd(j
(fE£l(V)).
§ 2. Der Darstellungssatz von F.
347
RIESZ
Ix
Sei v E M(lB): Dann ist XBdv = v(B) (B E lB), also ist fUr jede Linearkombinat ion u der Funktionen XB" ... ,XBn (B l , ... , Bn E lB disjunkt)
I
Ix
u dvl ::;
Ix
luldlvl .
Jede beschrankte meBbare Funktion 1 : X -+ ][( ist gleichmaBiger Limes von Funktionen u obigen Typs, und es folgt (2.29) speziell ist
Ix
I 1 dvl
(2.30)
::; Ilflloollvll·
1m folgenden legen wir einen lokal-kompakten Hausdorff-Raum X zugrunde und betrachten den Raum Co(X) der stetigen Funktionen 1 : X -+ ][(, die im Unendlichen verschwinden. Unser Ziel ist eine Beschreibung des Dualraums Cb(X) von (Co(X), 11·1100). 2.23 Satz. Es sei X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. Dann ist (2.31 )
<1> : Mreg(lB) ----+ Cb(X) , <1>(v)(I) := 1 dv (I E Co(X); v
Ix
E
Mreg(lB))
eine lineare Abbildung mit
11<1>(v)11
(2.32)
=
Ilvll·
Beweis. Nach (2.30) ist <1> sinnvoll und 11<1>(v)11 ::; Ilvll. Zum Beweis der umgekehrten Ungleichung sei 10 > O. Dann existieren disjunkte Ai, ... , An E lB mit "LJ=l Iv(Aj)1 > Ilvll - E. Zu den Aj existieren kompakte K j C Aj , so daB "LJ=llv(Kj)1 > Ilvll - 210, denn v ist regular. Zu den (disjunkten) K j gibt es paarweise disjunkte offene Uj =:J K j mit Ivl(Uj \Kj ) < lOin. Wir wahlen Funktionen
wobei die Terme mit v(Kj)
IIx
1 dvl
= 0 wegzulassen sind. Dann ist 11/1100 ::; 1 und
~
It i
>
L
j
1 dvl-
t
ij\Kj I/ldlvl
n
j=l
Iv(Kj)l-
10
~ Ilvll -
310.
o
VIII. MaBe auf topologischen Riiumen
348
Nach (2.32) ist injektiv. Zum Beweis der Surjektivitiit von wollen wir Darstellungssatz 2.10 verwenden, und das ist moglich, wenn jedes 1 E Cb(X) Linearkombination positiver Linearformen ist. Das ist richtig; in der Tat gilt ein Analogon des 10rdanschen Zerlegungssatzes VII.l.12 fUr Linearformen 1 E Cb(X).
2.24 Satz von der Minimalzerlegung (lK = lR). Es seien X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und 1 : Co(X) -+ lR eine stetige Linearform. Dann ist 1 = 1+ - 1- mit positiven Linearformen 1+,1- : Co (X) -+ lR, wobei fur f E Cci(X) gilt (2.33)
1+(f)
= sup{l(h) : hE ct(X), h ::; J}.
Diese Zerlegung von 1 ist minimal in folgendem Sinne: 1st 1 = J - L mit positiven Linearformen J, L : Co(X) -+ lR, so ist J - 1+ = L - 1- positiv. Beweis. Zum Nachweis der Minimalitat seien 1 = J - L mit positiven Linearformen J, Lund f, h E ct(X), h ::; f. Dann ist J(f) ~ J(h) ~ l(h) fUr aIle diese h, also J(f) ~ 1+(f), d.h. J -1+ = L -1- ist positiv. Zum Nachweis der Existenz definieren wir 1+ auf ct(X) durch (2.33). Diese Definition ist sinnvoIl, denn wegen der Stetigkeit von 1 ist die rechte Seite von (2.33) endlich. Wir zeigen:
(2.34) Begrundung: Da die Ungleichung ,,~" klar ist, bleibt ,,::;" zu zeigen. Dazu sei hE Cci(X), h ::; f + g. Dann sind p:= max(h - g, 0), q:= min(h, g) E ct(X),p::; f,q::; g,p+ q = h, also 1+ (f)
+ 1+(g)
~ l(p)
+ l(q) = l(h) ,
und die Supremumsbildung bez. h ergibt 1+(f) ist offenbar
+ 1+(g)
~
1+(f + g). - Weiter
(2.35) Nach (2.34), (2.35) gestattet 1+ genau eine Fortsetzung zu einer positiven Linearform 1+ : Co(X) -+ lR (Beweis zur Ubung). Nun leisten 1+ und 1- := 1 -1+ das Gewunschte. 0 Setzt man nun im FaIle lK
= lR fUr 1, J
1 ::; J :
{==}
E Cb(X)
J - 1 positiv ,
so lassen sich Uberlegungen aus Kap. VII, § 1,5. im wesentlichen muhelos ubertragen, und man erkennt: (Cb(X), 11·11) ist ein Banach- Verband. 1m FaIle lK = C liiBt sich mit Hilfe von Satz 2.24 die Existenz einer Minimalzerlegung wie folgt einsehen: Der Deutlichkeit halber schreiben wir Co (X, C),
§ 2. Der Darstellungssatz von F. RIESZ
349
Co (X, JR.) fUr die C- bzw. JR.-linearen Raume der komplex- bzw. reellwertigen stetigen Funktionen f auf X, die im Unendlichen verschwinden, und Cb(X, q, Cb(X, JR.) fUr die entsprechenden Dualraume. 1st IE Cb(X, q, so ist 1: Co(X, q --+ C,
(j E Co(X, q)
1(j) := 1(1)
ein Element von Cb(X, q; 1 heiBt das zu I konjugierte Element. In Analogie zur iiblichen komplexen Konjugation nennen wir 1
-
1-
RI:= 2(1 + 1) , II := 2i(1 - I) E C~(X, q den Real- bzw. Imaginiirteil von I. I heiBt reell, falls I = 1. Offenbar ist I genau dann reell, wenn 1= RI, und das gilt genau dann, wenn II = o. Ferner gilt
I = RI + iII,
1=
RI - iII.
2.25 Satz von der Minimalzerlegung (JK = q. Es seien X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und IE Cb(X, q. Dann gibt es eindeutig bestimmte positive Linearformen J+,J-,L+,L- E Cb(X,q, so dafJ gilt: a) 1= J+ - J- + i(L+ - L-). b) Sind P, Q, R, S E Cb(X, q positive Linearformen mit I = P - Q+i(R- S), so sind P - J+ = Q - J- und R - L + = S - L - positiv.
Beweis. Die Komponenten der Minimalzerlegungen von RI I Co(X, JR.), II I Co(X, JR.) besitzen kanonische Fortsetzungen zu positiven Linearformen J+,J-,L+,L- E Cb(X,q, und diese leisten das Verlangte. 0 2.26 Darstellungssatz von F. RIESZ fiir Cb(X). Es sei X ein lokal-kompakter
Hausdorff-Raum. Dann ist : Mreg(!.B)
(v)(j) :=
-----+ Cb(X) ,
Ix
f dv
(j E Co(X); v E Mreg(!.B))
ein ordnungstreuer Norm-Isomorphismus: 11(v)11 = IIvll·
Fur jedes v E Mreg(!.B) entsprechen die Komponenten der Minimalzerlegung von (v) den Komponenten der Jordan-Zerlegung von v. Beweis. Nach Satz 2.23 ist injektiv und normerhaltend. Zum Beweis der Surjektivitat von sei IE Cb(X). Dann werden die Komponenten der Minimalzerlegung von I gemaB Darstellungssatz 2.10 beschrieben durch endliche RadonMaBe, und durch Bildung einer entsprechenden Linearkombination erhalt man ein v E Mreg(X) mit (v) = I, d.h. ist surjektiv und offenbar ordnungstreu. DaB die Komponenten der Jordan-Zerlegung von v vermoge gerade den Komponenten der Minimalzerlegung von (v) entsprechen, ist leicht zu priifen.
o
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
350
Aufgaben. 2.1. 1m Beweis des Fortsetzungssatzes 2.4 gilt fur alle E C X mit J.l(E) < Q!E =
n n
00:
Q!c·
CCE,CEJt
Daher ist Q!=
Q!E.
ECX,Ji,(E)
2.2. Sind X ein kompakter Hausdorff-Raum, lK = lR und I : C(X) --+ lR eine stetige Linearform mit I(xx) = 11111, so ist I positiv. 2.3. Jede positive Linearform I : Cb(X) --+ lK ist stetig bez. der Supremumsnorm. 2.4. Es seien X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum, I : Cc(X) --+ lK eine positive Linearform, und fUr K E .~ sei
CK(X) := {1 E Cc(X) : 1 I K" = O}. Dann ist I I CK(X) stetig bez. der Supremumsnorm, aber I : Cc(X) --+ lK ist nicht notwendig stetig bez. der Supremumsnorm. 2.5. 1st V einer der Raume Cc(X), Co(X), Cb(X), C(X) und I : V --+ lK eine positive Linearform, so gilt II(f)1 ::; 1(111) fUr alle 1 E V. 2.6. Es seien F : lR --+ lR wachsend und rechtsseitig stetig, J.l := J.lF das zugehi:irige Lebesgue~ Stieltjessche MaE auf '13 1 . Dann ist Tr J.l das Komplement der gri:iEten offenen Teilmenge U C lR, auf welcher F lokal konstant ist. (Dabei heiEt F lokal konstant auf U, wenn jedes x E U eine Umgebung Vx C U hat, auf welcher F konstant ist. Das ist genau dann der Fall, wenn F auf allen Zusammenhangskomponenten von U konstant ist.) 2.7. Jeder vollstandig regulare Hausdorff-Raum X hat eine bis auf Homi:iomorphie eindeutig bestimmte Stone~Cech-Kompaktifizierung (3X (s. v. QUERENBURG [1], S. 136 ff.). Diese hat folgende Eigenschaften: X ist dichter Unterraum des kompakten Hausdorff-Raums (3X, und jede stetige Abbildung 1 : X --+ Y in irgendeinen kompakten Hausdorff-Raum Y laEt sich auf genau eine Weise zu einer stetigen Abbildung j : (3X --+ Y fortsetzen. ~ Es seien nun X ein nicht kompakter, lokal-kompakter Hausdorff-Raum, a E (3X \ X und I: Cb(X) --+ lK,I(f) := j(a) (f E Cb(X)). Dann ist I =F 0 eine positive Linearform auf Cb(X), aber zu I gehi:irt im Sinne von (2.22), (2.23) das Radon-MaE J.l = O. Insbesondere wird I nicht durch J.l dargestellt im Sinne (2.25). 2.8. Es seien X ein vollstandig regularer Hausdorff-Raum, (3X die Stone~Cech-Kompaktifizie rung von X, und fUr 1 E Cb(X) sei j : (3X --+ lK die eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung von 1 auf (3X (s. Aufgabe 2.7). Jeder positiven Linearform I: Cb(X) --+ lK entspricht vermi:ige i(h) := I(h I X) (h E C((3X)) eine positive Linearform i : C((3X) --+ lK, und zu dieser Linearform i gehi:irt nach Darstellungssatz 2.5 genau ein Radon-MaE fj : '13((3X) --+ [O,oo[ mit i(h) = hdfj (h E C((3X)). J(3X
r
Daher wird I gemaE I(f) =
r
J(3X
j dfj
(f E Cb(X))
durch ein Radon-MaE fj auf '13 ((3X) beschrieben. Umgekehrt entspricht jedem Radon-MaE fj auf '13 ((3X) vermi:ige (*) eine positive Linearform I : Cb(X) --+ lK. ~ Es sei nun X sogar lokalkompakt. Dann ist X eine offene Teilmenge von (3X (s. z.B. ENGELKING [1], S. 221, Theorem 3.5.8). Ferner seien I : Cb(X) --+ lK eine positive Linearform und J.l das nach (2.22), (2.23) zugehi:irige endliche Radon-MaE auf '13. Zeigen Sie: I wird genau dann durch J.l dargestellt gemaE (2.25), wenn (t(((3X) \ X) = 0, und dann ist J.l = fj I '13(X).
§ 3. Das Haarsche MaE
351
2.9. Es seien X ein vollstandig regularer Hausdorff-Raum und J.l ein Radon-Mail auf 'B. a) Fura E X gilt a E Trfl.genaudann, wennfur aIle f E C+(X) mitf(a) > gilt fdJ-l > 0. b) 1st U E D, so gilt J-l(U) = genau dann, wenn fur aIle f E C+(X) mit flue = gilt fdJ-l = 0.
°
°
Ix
Ix
°
2.10. In der Situation von Lemma 2.18 existiert eine kleinste kompakte Menge T C X, so dail J(f) = fUr aIle f E C(X) mit fiT = 0.
°
2.11. Es sei X ein Hausdorff-Raum, und fur a E X sei 6a (B) := 1, falls a E B, und 6a (B) := 0, falls a ~ B (B E 'B). Sind dann aI, ... ,an E X paarweise verschieden und AI, ... ,An > 0, so ist J.l := A16al + ... + An6an ein Radon-Mail mit Tr J-l = {a1,"" an}. 1st umgekehrt J-l ein Radon-Mail mit TrJ-l = {a1, ... ,an } (a1, ... ,a n paarweise verschieden), so gibt es AI, ... , An> 0, so dail J-l = A16a1 + ... + An6an· 2.12 1st J-l ein regulares Borel-Mail auf dem lokal-kompakten Raum X, so liegt Ce(X) fur jedes P E [1, oo[ dicht in £P(J-l). 2.13. Es seien X, Y lokal-kompakte Hausdorff-Raume und J-l : 'l3(X) --+ [0,00], v : 'l3(Y) --+ [O,ooJ zwei Borel-Maile. a) 1st f E Ce(X x Y), so gibt es zwei relativ kompakte offene Mengen U C X, V c Y mit Tr (f) C U x V, und zu jedem E > gibt es eine Linearkombination h von Funktionen des Typs (x,y) --+ u(x)v(y) (u E Ce(X),v E Ce(Y)) mit Trh C U x V und IIf - hll oo < E. (Hinweis: Eine einfache Lasung gelingt durch Anwendung folgender Version des Satzes von STONE-WEIERSTRASS auf die Alexandroff-Kompaktifizierung von X x Y. Satz von STONEWEIERSTRASS: Es seien Zein kompakter Hausdorff-Raum und A C C(Z) eine Algebra,
°
welche die Punkte von Z trennt, mit der Eigenschaft, dafJ aus f E A folgt 7 E A. Dann liegt A dicht in C(Z), oder es gibt ein Zo E Z, so dafJ A dicht liegt in {f E C(Z) : f(zo) = O} (s.
SEMADENI [1], S. 115).) b) 1st f E Ce(X x Y), so sind f(" y) E Ce(X) (y E Y), f(x,·) E Ce(Y) (x E X); die Zuordnungen x >-+ f(x, y)dv(y), y >-+ f(x, y)dJ-l(x) definieren Funktionen aus Ce(X) bzw. Ce(Y), und es gilt:
Iy
Ix
Ix
(if(x,Y)dV(Y)) dJ.l(x)
=i
(lxf(x,Y)dJ-l(X)) dv(y).
c) Definiert man die positive Linearform J : Ce(X xy) --+ IK, indem man J(f) (f E Ce(X xY)) gleich dem Doppelintegral unter b) setzt, so gehart zu J nach dem Darstellungssatz von F. RIESZ 2.5 genau ein Radon-MafJ J-l ® v auf 'l3(X x Y), so dail
J(f) =
r
ixxY
f dJ-l ® v
(f E Cc(X x Y)).
(Man beachte: Das Radon-Mail J-l ® v ist auch dann auf 'l3(X x Y) definiert, wenn 'l3(X) ® 'B(Y) C 'l3(X x Y).) #
d) Geniigen X und Y dem zweiten Abzahlbarkeitsaxiom, so ist das im Sinne von Kap. V gebildete Produktmail J-l ® vein regulares Borel-Mail auf 'l3(X x Y) und stimmt mit dem ebenso bezeichneten Mail aus Teil c) uberein. (Hinweise: Korollar 1.12 und Satz III.5.10.)
§ 3.
Das Haarsche MaB «On peut demontrer, en approfondissant quelque peu un result at tres connu de A. Haar, que dans tout groupe localement bicompact il existe une mesure invariante it gauche, et que cette mesure est unique.»14 (A. Weil [1], S. 141)
141ndem man ein wohlbekanntes Resultat von A. Haar ein wenig vertieft, kann man zeigen,
352
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
1. Topologische Gruppen. 1m ganzen folgenden § 3 legen wir folgende Be-
zeichnungen zugrunde: G sei eine multiplikativ geschriebene Gruppe mit dem Einselement e. Sind A, BeG und x E G, so setzen wir AB .- {ab:aEA,bEB},A- 1 :={a- 1 :aEA}, xA .- {xa: a E A}, Ax := {ax: a E A} . Fur a E G werden die Linkstranslation L(a) : G -+ G und die Rechtstranslation R(a) : G -+ G definiert durch L(a)x := ax, R(a)x := xa (x E G). 3.1 Definition. G heiBt eine topologische Gruppe, wenn G mit einer Topologie ausgestattet ist, so daB die Gruppenmultiplikation G x G -+ G, (x, y) H xy und die lnversenbildung G -+ G, x H X-I stetig sind. (Dabei ist G x G mit der Produkttopologie zu versehen.) 3.2 Beispiele. a) (JR, +), (JRn, +), (e, +), (en, +), (JR\ {OJ, .), (lO, 00[, .) sind abelsche topologische Gruppen. Bezeichnet JH[ den Schiefkorper der Quaternionen, so ist (JH[ \ {O},·) eine nicht abelsche topologische Gruppe. AIle diese Gruppen sind lokal-kompakt. Die Einheitskreislinie 8 1 c e und die Einheitssphare 8 3 C JH[ sind kompakte multiplikative topologische Gruppen. b) Die Gruppen GL(n,JR),GL(n,q sind (bez. der von JRn 2 bzw. n2 induzierten Topologie) lokal-kompakte topologische Gruppen; die Stetigkeit der Inversenbildung folgt aus der bekannten Formel A-I = (det A)-lA, wobei A die Komplementarmatrix von A bezeichnet (A = (( -l)j+k det Ajk)t, wobei Ajk aus A durch Streichen der j-ten Zeile und k-ten Spalte entsteht). Auch SL (n, JR), SL (n, q sind lokal-kompakte topologische Gruppen. Die orthogonalen Gruppen O(n), SO(n) und die unitaren Gruppen U(n), SU(n) sind kompakte topologische Gruppen. c) Die Gruppen (Q, +), (Q \ {OJ, .), GL (n, Q), SL (n, Q) sind (nicht lokal-kompakte) topologische Gruppen. d) Jede Gruppe ist bez. der diskreten Topologie eine lokal-kompakte topologische Gruppe. e) 1st (G.).EI eine Familie topologischer Gruppen, so ist I1EI G. bez. der Produkttopologie eine topologische Gruppe. Versieht man z.B. die additive Gruppe D := Zj2Z mit der diskreten Topologie, so ist die additive Gruppe DN aIler Folgen von Elementen aus D bez. der Produkttopologie eine (nicht diskrete!) topologische Gruppe. Nach dem Satz von TYCHONOFF istDDNkompakt. kompakt. ICHONOFF ist
e
1m folgenden sei stets G eine topologische Gruppe; U bezeichne das System der Umgebungen von e. Wir leiten einige grundlegende Eigenschaften topologischer Gruppen her, die zum Beweis der Existenz des Haarschen MaBes benotigt werden. 3.3 Lemma. Aile Linkstranslationen L(a), aile Rechtstranslationen R(a) (a E daB auf jeder iokal-kompakten [Hausdorffschen topoiogischen] Gruppe ein linksinvariantes MaB [I 0] existiert und daB dieses MaB [his auf einen positiven Faktor] eindeutig hestimmt ist.
§ 3. Das Haarsche MaB
353
G) und die Inversenbildung j : G --+ G, j(x) := phismen von G in sich.
X-I
(X
E
G) sind Homoomor-
Beweis. Die Abbildungen L(a), R(a) sind als Einschrankungen der stetigen Multiplikation G x G --+ G, (x, y) r--+ xy stetig, femer bijektiv, und die inversen Abbildungen (L(a))-l = L(a- l ), (R(a))-l = R(a- l ) sind ebenfalls stetig. Ebenso D ist j stetig, bijektiv, und l = jist stetig.
r
3.4 Lemma. a) 1st QJ eine Umgebungsbasis von e, so sind {aV: V E QJ}, {Va: V E QJ} Umgebungsbasen von a E G, und {V-I: V E QJ}, {V n V-I: V E QJ} sind Umgebungsbasen von e. Insbesondere hat e eine Umgebungsbasis bestehend aus symmetrischen Mengen (d.h. aus Mengen W mit W = W- I ). b) Zu jedem U E II existiert ein V Ell mit V 2 := V· V c U. c) Sind A, U c G, U offen, so sind AU und U A offen. d) Sind K, LeG kompakt, so ist K L kompakt.
Beweis. a) klar nach Lemma 3.3. b) klar wegen der Stetigkeit der Multiplikationsabbildung G x G --+ G, (x, y) r--+ xy. c) AU = UaEAL(a)U und UA = UaEAR(a)U sind offen nach Lemma 3.3. d) K List das Bild von K x LeG x Gunter der stetigen MultiplikationsabD bildung. 3.5 Lemma. Zu jedem U E II existiert ein V E II mit V cU. Daher ist G ein regularer topologischer Raum.
Beweis. Nach Lemma 3.4 existiert ein symmetrisches V E II mit V 2 C U. 1st nun X E V, so ist (xV) n V -# 0, d.h. es gibt v, w E V mit xv = w, also x = wv- l E VV- l = V 2 C U, d.h. V c U. Daher gilt das Regularitatsaxiom an der Stelle e, nach Lemma 3.3 also liberall. D 3.6 Lemma. Sind K cUe G, K kompakt, U offen, so existiert ein V E II mit KV C U. 1st insbesondere G lokal-kompakt, so gibt es ein abgeschlossenes und kompaktes V E II mit KV cU.
Beweis. Zu jedem x E K existieren ein Ux E II mit xUx C U und dazu ein offenes Vx Ell mit V; C UX' Die offene Uberdeckung (XVX)XEK von Khat eine endliche Xj VXj ' Setzen Teilliberdeckung. Daher existieren Xl, ... ,X n E K mit K C wir nun V := VXj ' so gilt KV c Xj VXj V C Xj UXj cU. - 1st insbesondere G lokal-kompakt, so bilden die abgeschlossenen und kompakten Umgebungen von e eine Umgebungsbasis, denn Gist regular (KELLEY [1], S. 146). D
n7=1
U7=1
U7=1 U7=1
Intuitiv gesprochen, wird man sagen, daB sich zwei Elemente x, y E G "nah beieinander" befinden, wenn mit einer "kleinen" Umgebung U E II gilt x-Iy E U (bzw. yx- l E U). Damit ki:innen wir den Begriff der gleichmaBigen Stetigkeit l5 fUr Funktionen f : G --+ lK definieren. 1 5 Fiir ein vertieftes Studium der hier implizit vorkommenden uniformen Strukturen auf topologischen Gruppen verweisen wir auf BOURBAKI [6], chap. 3 und W. ROELCKE, S. DIE-
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
354
3.7 Definition. Eine Funktion f : G ~ IK. heiBt links-gleichmiij1ig stetig, wenn zu jedem c > 0 ein U E 11 existiert, so daB If(x) - f(y)1 < c fUr aIle X,y E G mit x-ly E U (d.h. If(x) - f(xu)1 < c fUr aIle x E G, u E U). Entsprechend heiBt f rechts-gleichmiij1ig stetig, wenn zu jedem c > 0 ein U E 11 existiert, so daB If(x) - f(y)1 < c fUr aIle x, y E G mit yx- l E U (d.h. If(x) - f(ux)1 < c fUr aIle x E G, u E U). Eine links- (bzw. rechts-) gleichmaBig stetige Funktion braucht nicht rechts(bzw. links-) gleichmaBig stetig zu sein (vgl. HEWITT-Ross [1], (4.2)). 3.8 Satz. 1st G eine topologische Gruppe, so ist jedes f E Cc ( G) sowohl linksals auch rechts-gleichmiij1ig stetig.
Beweis. Es seien f E Cc ( G), c > 0 und K := Tr f. Zu jedem x E K gibt es ein Ux E 11, so daB If(x) - f(xu)1 < c/2 fUr aIle u E Ux , und zu Ux existiert ein offenes symmetrisches Vx Ell mit V; := (V;)Vx C Ux. Wegen der Kompaktheit von K existieren endlich viele Xl, ... ,Xn E K, so daB K c U;=l Xj VXj" Wir set zen V := n;=l VXj und behaupten: Fur aIle x E G und v E V ist If(x) f(xv)1 < c. Zur Begrundung sei x E G. 1st xV n K = 0, so ist f(x) = f(xv) = 0 (v E V), und die Behauptung ist klar. Sei nun xV n K i- O. Dann existiert ein j E {l, ... ,n} mit xVnXjVXj i- 0, also ist x E XjVXjV- l C XjV~, d.h. xV c Xj V~ c XjUXj . Fur aIle v E V ist daher nach Wahl von UXj
+ If(xj) -
If(x) - f(xv)1 :::; If(x) - f(xj)1
f(xv)1 < c.
Daher ist f links-gleichmaBig stetig. Der Nachweis der rechts-gleichmaBigen Stetigkeit von f kann analog gefUhrt werden. Man kann auch folgendermaBen schlieBen: Stattet man G mit der entgegengesetzten Multiplikation xey := yx (x, y E G) aus und laBt die Topologie unverandert, so erhalt man die zu G entgegengesetzte topologische Gruppe G opp • 1st nun f E Cc(G), so ist f : G opp ~ IK. nach dem oben Bewiesenen linksgleichmaBig stetig. Daher ist f : G ~ IK. rechts-gleichmaBig stetig. D
2. Linksinvariante Linearformen und MaBe. Eine Linearform 1 : Cc ( G) IK. heiBt linksinvariant, wenn
J(f oL(y)) = l(f)
(f
Entsprechend heiBt ein MaB p, : Q3(G) y E G gilt L(y)(p,) = p" d.h. wenn
p,(yB) = p,(B)
(B
~
E
E
~
Cc(G), y E G).
[0,00] linksinvariant, wenn fur aIle Q3(G),y
E
G).
ROLF: Uniform structures on topological groups and their quotients. New York: McGraw-Hill International Book Compo 1981
§ 3. Das Haarsche MaE
355
Analog werden rechtsinvariante Linearformen bzw. MaEe definiert. Flir abelsches G sind die Begriffe "linksinvariant" und "rechtsinvariant" offenbar aquivalent. Wir werden aber sehen, daE linksinvariante Linearformen bzw. MaEe nicht stets rechtsinvariant zu sein brauchen (s. Beispiel 3.14, a)). Mit Hilfe der entgegengesetzten topologischen Gruppe G opp (s.o.) lassen sich aile Aussagen liber linksinvariante Linearformen bzw. MaEe sofort auf rechtsinvariante libertragen (und umgekehrt), so daE wir uns auf die Diskussion des Begriffs der Linksinvarianz beschranken konnen. - 1st 1 (bzw. It) links- und rechtsinvariant, so heiEt 1 (bzw. {t) invariant. 3.9 Lemma. Es sei G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe. 1st 1 : Cc ( G) ---+ IK eine linksinvariante positive Linearform, so existiert genau ein Radon Mafl {t : 123 (G) ---+ [0,00] mit
(3.1)
1(j) = i f d{t
(j
E
Cc(G)) ,
und {t ist linksinvariant. Umgekehrt entspricht jedem linksinvarianten RadonMafl {t : I23(G) ---+ [0,00] vermoge (3.1) eine linksinvariante positive Linearform
1: Cc(G) ---+ K Beweis. 1st 1 eine linksinvariante positive Linearform auf C c ( G), so existiert nach dem Darstellungssatz von F. RIESZ 2.5 genau ein Radon-MaE {t mit (3.1). Dieses {t ist linksinvariant: Es gilt namlich nach der allgemeinen Transformationsformel V.3.1 flir aile f E Cc(G) und y E G: 1(j)=l(joL(y))
= lfoL(Y)d{t= lfdL(y)({t) ,
und da L(y)({t) ein Radon-MaE ist (Aufgabe 1.10), ist L(y)({t) = {t (y E G) wegen der Eindeutigkeit von ft. - Entsprechend folgt aus der allgemeinen Transformationsformel die Linksinvarianz von 1, falls {t in (3.1) ein linksinvariantes Radon-MaE (oder auch nur ein linksinvariantes Borel-MaE) ist. 0 3.10 Beispiele. a) Das MaE (3P ist ein invariantes Radon-MaE auf I23P; die zugehOrige invariante positive Linearform ist 1(j) = IIRP fdf3P (j E Cc(W)). b) 1m Faile der multiplikativen Gruppe IR x := IR \ {O} ist
1(j) :=
llRr
x
dx f(x)~
eine invariante positive Linearform; Ixl- 1 8 (31 II23(IRX) ist das zugehOrige invariante Radon-MaE. Flir die multiplikative Gruppe ]0, oo[ ist
1
00
1(j) :=
o
dx f(x)x
(j
E
Cc(]O, oo[))
eine invariante positive Linearform mit dem zugehorigen invarianten RadonMaE x- 1 8 (31 I 123 (]O, oo[). Mit Hilfe der Transformationsformel (V.4.5) stellt
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
356 man fest, daB
eine invariante positive Linearform fUr die multiplikative Gruppe C X liefert; hierzu gehOrt das invariante Radon-MaB Izl- 2 8 (321123(CX). c) 1st G diskret, so ist jede kompakte Teilmenge von G endlich, und C c (G) enthii.lt genau diejenigen Funktionen f : G -+ lK, die auBerhalb einer endlichen Teilmenge von G verschwinden. Daher definiert
I(f)
:=
L f(x)
(f
E
Cc(G))
xEG
eine invariante positive Linearform; das zugehi:irige invariante Radon-MaB ist das Zii.hlmaB. d) Fur die Einheitskreislinie 3 1 C C liefert
eine positive invariante Linearform; das zugehi:irige invariante Radon-MaB ist gleich 2~ mal dem Lebesgue-Borelschen MaB auf 3 1 . e) Wir fassen die Gruppe GL (n,JR) als offene Teilmenge von JRn 2 auf, indem
wi,,]ie Spallen x" ... , von EGL (0, "l '" einem Vekto, ( ;:. ) E,,"' x"
X
I
~':~l,,(ei~a;,de)rn:n:~nal::~ I::~:;:'~~~ A~~ de:: ~ :~,(::~~:nd::ev::: AX n Lebesgue-Borelsche MaB (3n2 im Sinne der obigen Identifikation auf GL (n, JR.) ubertragen. Dann ist
I(f):=
r
f(X)ldetXI- nd(3n 2 (x)
(f
E
Cc(GL(n,JR)))
lGL(n,IR:)
nach der Transformationsformel eine positive linksinvariante Linearform. Diese ist auch rechtsinvariant, denn wie oben sieht man, daB auch IdetD(R(A))1 = I det Aln fUr alle A E GL (n, JR.). 3. Existenz und Eindeutigkeit des Haarschen MaBes. 1m ganzen Abschnitt 3. sei G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe. Wir wollen zeigen: Es gibt eine linksinvariante positive Linearform I : C c ( G) -+ lK, I # 0, und list bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. Nach Lemma 3.9 ist dieser Satz aquivalent zu folgender Aussage: Es gibt ein linksinvariantes Radon-MafJ fJ, : 123 (G) -+ [0,00], fJ, # 0, und fJ, ist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. Dieses MaB fJ, nennt man nach seinem Entdecker A. HAAR (1885-1933) das Haarsche MafJ auf G.
§ 3. Das Haarsche MaB
357
Wah rend man in konkreten Beispielen (s.o.) das Haarsche MaB oft relativ leicht angeben kann, ist durchaus nicht offensichtlich, wie man dieses MaB allgemein find en kann. Zur Motivation des folgenden Existenz- und Eindeutigkeitsbeweises beschreiben wir den Ansatz, den A. HAAR [1], S. 579 ff. seinem Existenzbeweis zugrundelegt: Gibt es ein linksinvariantes Radon-MaB J.£ #- 0 auf G, so ist J.£ bereits durch die Werte J.£(K) (K c G kompakt) eindeutig festgelegt. Sind nun KeG kompakt und U E ti, so gibt es Elemente Xl, ... , Xn E G mit K C Uj=l xjU; wir bezeichnen mit (K : U) die minimale Anzahl n von Punkten Xl, ... , X n , die zu einer solchen Uberdeckung benotigt werden. Wir wahlen einfiir allemal ein festes Kompaktum Ko C G mit Ko#- 0. Dann ist J.£(Ko) > 0 (s. die Bemerkungen nach Satz 3.12, (iv)), und wir konnen gleich J.£ so normieren, daB J.£(Ko) = 1 ist. Die wesentliche Idee ist nun, eine sehr kleine Umgebung U von e zu verwenden, so daB sich die Translate xjU im wesentlichen liickenlos aneinanderfiigen. Dann wird naherungsweise gelten J.£(K) ~ (K : U)J.£(U), 1 = J.£(Ko) ~ (Ko : U)J.£(U), also J.£(K) ~ (K : U)j(Ko : U). Damit haben wir den Haarschen Ansatz fiir den Existenzbeweis: Ohne irgendetwas iiber die Existenz eines linksinvarianten Radon-MaBes J.£ #- 0 zu wissen, betrachten wir die Quotienten J.£u(K) := (K: U)j(Ko: U) bei schrumpfendem "U -+ {e}". Wenn sich dabei ein Limes einstellt, so besteht wegen der offensichtlichen Linksinvarianz J.£u(yK) = J.£u(K) (y E G) eine begriindete Aussicht, das gesuchte J.£ zu finden. Nun besteht die wesentliche Schwierigkeit darin, daB die Existenz eines Limes von J.£u(K) fUr "U -+ {e}" durchaus nicht leicht zu zeigen ist. HAAR meistert dieses Problem, indem er G zusatzlich als metrisierbar und separabel voraussetzt. Dann kann er U eine Umgebungsbasis (Un)n~l von e durchlaufen lassen und erhalt mit Hilfe eines Diagonalfolgenarguments eine konvergente Teilfolge, die das gewiinschte J.£ liefert. Der folgende Existenzbeweis nach A. WElL (1906-1998) benutzt eine Variante des Ansatzes von HAAR zur Konstruktion einer linksinvarianten positiven Linearform 1 : Cc ( G) -+ lK,l #- O. Das oben angedeutete Diagonalfolgenargument wird dabei ersetzt durch ein KompaktICHONOFF heitsargument (Satz von TYCHONOFF). Dadurch werden Abzahlbarkeitsvoraussetzungen an G entbehrlich.
3.11 Satz (A. HAAR (1932), J. v. NEUMANN (1936), A. WElL (1936)). 1st G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe, so gibt es eine linksinvariante positive Linearform 1 : Cc(G) -+ lK,l #- 0, und 1 ist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. 1 heiftt ein linkes Haar-lntegral auf Cc(G). Beweis (nach A. WElL [2]). Existenz: Es seien f,g E C!(G),g #- O. Dann ist V := {g > ~llglloo} eine nicht-leere offene Menge, folglich existieren endlich viele XI, ... ,Xm E GmitTrf C UZ'=lxkV,alsoistf::; 2(llflloojllglloo)2:Z'=lgoL(x;;I). Daher gilt eine Ungleichung des Typs m
(3.2)
f::; LCkgoL(x;;l) mitxI, ... ,Xm E G,CI, ... ,Cm ~ O,m E N. k=l
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
358
Fur jede positive linksinvariante Linearform J : Cc ( G) -+ lK, J =j: 0 folgt aus (3.2): J(j) ::; I:~=1 CkJ(g), d.h. I:~=1 Ck 2 J(j)/J(g). Das fUhrt uns zur Betrachtung folgenden Ausdrucks: Es sei (j : g) das Infimum aller Summen I:~=1
Ck von Koeffizienten C1, ... ,Cm, die in Ungleichungen des Typs (3.2) vorkommen. Das Funktional (j : g) (j,g E C:(G),g =j: 0) hat folgende Eigenschaften:
(3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8)
(j oL(y) : g) (j : g) (y E G), (Af : g) A(j : g) (A 2 0), (h+12:g) < (h:g)+(12:g) (h,12 E C:(G)) , (j : g) > Ilflloo/llglloo , (j : h) < (j : g)(g : h) (h E C:(G), h =j: 0), 1
(h: f)
: g) < (j : h) (j, g, h E C: (G) \ {O} ) . < (j (h : g) ~
Begriindung: (3.3)-(3.5) sind auf Grund der Definition von (j : g) evident. Zum Beweis von (3.6) gehen wir aus von (3.2) und erhalten Ilflloo ::; I:~1 ckllglloo, also I:~=1 Ck 2 Ilflloo/llglloo. Damit folgt (3.6); insbesondere ist (j : g) > 0, falls zusiitzlich f =j: 0 ist. Zur Begundung von (3.7) seien Xl,"" Xm E G und C1,"" Cm 2 0 gemaB (3.2) gewahlt und entsprechend Y1,"" Yn E G,d 1, ... ,dn 2 0 zu g,h, so daB g::; I:~=1 dzhoL(yz-1). Schatzt man die rechte Seite von (3.2) mit Hilfe der letzten Ungleichung ab, so folgt: f::; I:~=lI:~=lCkdzhoL((XkYZ)-l), also (j: h)::; I:~=lCkI:~=ldz, und die Infimumbildung auf der rechten Seite liefert (3.7). (3.8) folgt sogleich aus (3.7). Dabei ist zu beachten, daB die Nenner positiv sind, da f, g, h =j: O. Die weitere Beweisidee ist nun, den Trager von 9 auf den Punkt e schrumpfen zu lassen. Urn dabei (j : g) unter Kontrolle zu halten, liegt im Hinblick auf (3.8) folgende Quotientenbildung nahe: Wir wahlen fUr den Rest des Beweises eine feste Vergleichsfunktion fo E C:(G), fo =j: 0 und bilden Ig(j):=
(~::~)
(j,gEC:(G),g=j:O).
(Die Wahl der Funktion fo wird am Ende des Existenzbeweises bewirken, daB die Linearform I der Normierungsbedingung I(jo) = 1 genugt.) Die GIn. (3.3)(3.5) ergeben nun:
(3.9) (3.10) (3.11)
Ig(j oL(y)) Ig(j) (y E G) , Ig(Af) AIg(j) (A 2 0) , Ig(h + h) < Ig(h) + Ig(12) (h,12
und (3.8) liefert
(3.12)
E
C:(G)) ,
§ 3. Das Haarsche MaB
359
Wir fassen 19(1) als Naherungswert fUr das zu konstruierende 1(1) auf und stellen fest: Die Eigenschaften (3.9), (3.10) sind bereits passend, aber (3.11) ist zum Beweis der angestrebten Additivitat von I unzureichend. Daher beweisen wir eine Ungleichung in umgekehrter Richtung:
(3.13) Zu allen
JI, 12
E
C:(G) und 10 > 0 gibt es ein V 19(1l)
fur alle 9
E
C: (G), 9
+ 19(h)
::; 19(JI
E
ti, so dafJ
+ h) + 10
:f 0 mit Tr 9 C V.
Begrundung: Zu K := Tr (JI + h) wahlen wir ein h E C:(G) mit h j K = 1 und set zen F := JI + 12 + oh, wobei 0 > 0 so klein sei, daB 20(h : fo) < 10/2. Fur j = 1,2 setzen wir 'Pj(x) := fj(x)/F(x), falls x E {F > O}, und 'Pj(x) := 0, falls x E KC. Dann sind 'PI, 'P2 wohldefiniert, da K c {F > O} und 'PI (x) = 'P2 (x) = 0 fUr aile x E {F > O} n KC. Ferner sind die Funktionen 'PI, 'P2 stetig, da sie auf den offen en Mengen {F > O} und KC stetig sind. Daher gilt: 'Pl,'P2 E C:(G),O ::; 'PI + 'P2 ::; 1 und F'Pj = fj (j = 1,2). Die Funktionen 'PI, 'P2 sind nach Satz 3.8 links-gleichmaBig stetig. Wahlen wir also o < rJ < ~ so klein, daB 2rJ(JI + 12 : fo) < 10/2, so existiert ein V E ti, so daB j'Pj(x) - 'Pj(xv)j < rJ fUr aile x E G,v E V,j = 1,2. Es seien nun 9 E C:(G), g:f 0, Tr 9 C V und Xl,· .. , Xm E G, Cl, •.. , Cm 2 0, so daB (vgl. (3.2)) m
F::; I>kgoL(X;;l). k=l
(3.14) 1st hier goL(X;;l)(X) rJ (j = 1,2), also
:f 0,
so gilt x E XkV, und fUr diese x ist 'Pj(x) ::; 'Pj(Xk)
+
m
h(X) = 'Pj(x)F(x) ::;
L
Ck('Pj(Xk)
+ rJ)g(X;;lX) (x
E
G;j = 1,2).
k=l Eine Addition der hieraus resultierenden Ungleichungen fUr fUhrt unter Berucksichtigung von 'PI + 'P2 ::; 1 auf m
m
k=l
k=l
(JI : g), (12 : g)
Wegen (3.14) und (3.10), (3.11) konnen wir daher schlieBen:
(JI : g) + (12 : g) ::; (F: g)(l + 2rJ) ::; ((JI + 12 : g) 19(JI) + 19(h) ::; (I9(1l + h) + o1g(h))(l + 2rJ)·
+ o(h : g))(l + 2rJ),
Hier ist nach (3.12) und der Wahl von 0, rJ
2rJ1g(1l + h) < 2rJ(JI + 12 : fo) < 10/2, o1g(h)(l + 2rJ) ::; 20(h: fo) < 10/2, und (3.13) ist bewiesen. -
360
VIII. Maße auf topologischen R¨aumen
Zum Abschluß des Existenzbeweises betrachten wir den Produktraum X := 1 ¨ ber alle f ∈ Cc+ (G), f = 0 erf (f0 :f ) , (f : f0 ) , wobei die Produktbildung u streckt wird. Nach dem Satz von Tichonoff (1906–1993) ist X bez. der Produkttopologie kompakt, und nach (3.12) ist Ig ∈ X f¨ ur alle g ∈ Cc+ (X), g = 0. Der oben angedeutete Prozeß des Zusammenziehens“ des Tr¨agers von g auf den ” Punkt e l¨aßt sich nun mit Hilfe eines Kompaktheitsarguments folgendermaßen streng fassen: F¨ ur V ∈ U sei F (V ) der Abschluß der Menge {Ig : g ∈ Cc+ (G), g = 0, Tr g ⊂ V } in X. Sind V1 , . . . , Vn ∈ U, so ist F (V1 ) ∩ . . . ∩ F (Vn ) = F (V1 ∩ . . . ∩ Vn ), also hat das System der Mengen F (V ) (V ∈ U) die endliche Durchschnittseigenschaft. Wegen der Kompaktheit von X ist daher der Durchschnitt der Mengen F (V ) (V ∈ U) nicht leer; sei I ∈ F (V ) f¨ ur alle V ∈ U. Nach Definition der Produkttopologie gibt es zu allen f1 , . . . , fn ∈ Cc+ (G)\{0}, n ∈ N, ε > 0 und V ∈ U ein g ∈ Cc+ (G), g = 0 mit Tr g ⊂ V , so daß ur alle j = 1, . . . , n . |I(fj ) − Ig (fj )| < ε f¨ Aus dieser Approximationseigenschaft und (3.9)–(3.13) erhellt, daß I : Cc+ (G) \ {0} →]0, ∞[ folgende Eigenschaften hat (f, f1 , f2 ∈ Cc+ (G) \ {0}): (3.15) (3.16) (3.17) (3.18)
I(f ◦ L(y)) I(λf ) I(f1 + f2 ) 1 (f0 : f )
= I(f ) (y ∈ G) , = λI(f ) (λ > 0) , = I(f1 ) + I(f2 ) , ≤ I(f ) ≤ (f : f0 ) .
Daher gestattet I eine kanonische Fortsetzung zu einer linksinvarianten positiven Linearform I : Cc (G) → K, und nach (3.18) ist I = 0. (Wegen (3.6) und der Definition von (f0 : f0 ) ist (f0 : f0 ) = 1; folglich ist I(f0 ) = 1 nach (3.18).) Damit ist der Existenzbeweis beendet. – Eindeutigkeit: Es seien J : Cc (G) →K ein linkes Haar-Integral und f, g ∈ Cc+ (G), g = 0. Aus (3.2) folgt J(f ) ≤ m k=1 ck J(g), also (3.19)
J(f ) ≤ (f : g)J(g) .
Hier ist notwendig J(g) = 0, denn sonst w¨are nach (3.19) J(f ) = 0 f¨ ur alle f ∈ Cc+ (G), d.h. J = 0: Widerspruch! Es seien weiter f ∈ Cc+ (G), ε > 0. Dann existiert ein U ∈ U, so daß |f (x) − f (y)| < ε f¨ ur alle x, y ∈ G mit x−1 y ∈ U, denn f ist links-gleichm¨aßig stetig (Satz 3.8). Es sei ferner g ∈ Cc+ (G), g = 0 mit Tr g ⊂ U, so daß g symmetrisch ist in dem Sinne, daß g(x) = g(x−1 ) (x ∈ G). F¨ ur festes x ∈ G betrachten wir die Funktion G → R, y → f (y)g(y −1x). Wir bezeichnen diese Funktion im folgenden kurz mit f (y)g(y −1x), wobei y die freie“ Variable und x ein festes“ ” ” Element von G bedeuten. F¨ ur y −1 x ∈ / U ist g(y −1x) = 0, und f¨ ur y −1x ∈ U ist f (y) ≥ f (x) − ε. Daher ist wegen der Symmetrie von g J(f (y)g(y −1x)) ≥ (f (x) − ε)J(g(y −1x)) = (f (x) − ε)J(g(x−1 y)) = (f (x) − ε)J(g) ,
§ 3. Das Haarsche MaB
361
denn Jist linksinvariant, also
f(x) - c:S: J(I(y)g(y-lX))/J(g)
(3.20)
(x
E G).
Die Funktion gist rechts-gleichmaBig stetig. Zu vorgegebenem 'f} > 0 gibt es daher ein offenes W E U mit Ig(y) - g(z)1 < 'f} fUr aIle y, z E G mit yz-l E W. Zur Menge K := Tr (I + fo) existieren endlich viele Yl, ... , Yn E G und «Jl, ... ,«Jn E C;;(G) mit 2:~=l«JkIK = 1 und Tr«Jk C YkW (k = 1, ... ,n) (Partition der Eins).16 Auf der rechten Seite von (3.20) ist nun n
J(I(y)g(y-1x)) =
(3.21)
L J(I(y)«Jk(y)g(y-lX)) , k=l
und hier ist «Jk(Y) = 0, falls y ~ YkW, und fUr y E YkW ist Yk1X E Wy-1x, also g(y-1x) :s: g(Yk 1X ) + 'f}. Set zen wir nun Ik := J(I«Jk)!J(g) , so ist 2:~=llk = J(I)/J(g), und (3.20), (3.21) liefern: n
f(x)
:s: 10 + L
n
Ik(g(Yk 1X ) + 'f}) = 10 + 'f}J(I)/ J(g)
+ L Ikg(Yk 1X ).
k=l
k=l
Wir wahlen oben 'f} > 0 gleich so klein, daB 'f}J (I) / J (g) < 10, und zusatzlich wahlen wir ein h E (G) mit h I K = 1. Dann folgt
C;;
n
f(x)
:s: 2ch(x) + L
Ikg(Yk 1X ) (x
E G)
k=l
und mithin n
(I: g)
(3.22)
:s: 2c(h : g) + L Ik = 2c(h : g) + J(I)/ J(g). k=l
Hier dividieren wir durch (10: g) und erhalten nach (3.8) und (3.19)
(3.23)
(I: g) Ig(l) = (10: g)
(h : g)
J(I)
:s: 210 (10: g) + (10 : g)J(g) :s: 2c(h:
J(I)
fo)
+ J(lo)·
Wahlen wir nun gleich zu Beginn des Eindeutigkeitsnachweises die Umgebung
U so klein, daB auch Ifo(x) - fo(Y)1 < 10 fUr aIle x, Y E G mit x-1y E U, so gilt (3.22) auch mit (324) •
fo
anstelle von
f, und es folgt mit (3.19)
I(I)=(I:g) > J(I) 9 (10: g) - 2c(h: g)J(g)
+ J(lo)
.
Hier ist der Term (h : g)J(g) im Nenner von (3.24) nach oben abzuschatzen. Dazu wahlen wir ein h* E C;;(G) mit h*1 K = 1, set zen 10* := (4(h* : h))-l 16 Begrundung: Wir wahlen ein relativ kompaktes offenes V E U mit V C W. Dann gibt es endlich viele Y1, ... ,Yn E G mit K C LZ=l Yk V und dazu 'l/J1, ... , 'l/Jn E C:(G) mit 'l/Jk IYk V = 1, Tr'I/Jk C YkW. Wir setzen 'I/J:= LZ=l 'l/Jk und wahlen zusatzlich ein X E C:(G),O:::; X:::; 1 mit X I K = 1. Setzen wir nun (jJk(X) := min(x(x), 'I/J(x))'l/Jdx)N(x), falls 'I/J(x) > 0, und (jJdx) := 0, falls 'I/J(x) = 0, so sind (jJ1, •.• , (jJn stetig (!) und leisten das Verlangte.
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
362
und wahlen U von Anfang an so klein, daB zusatzlich 1h( x) - h(y) 1 < E:* fUr alle x,y E G mit x-1y E U. Dann gilt (3.22) auch fUr h,h*,E:* anstelle von f,h,E:, und zwar fUr alle symmetrischen 9 E C:(G),g -I- 0 mit Trg C U; d.h. (h: g)
+ J(h)jJ(g)
:::;
2E:*(h*: g)
:::;
~ ~~: : ~~ + J(h)jJ(g) :::; ~(h: g) + J(h)!J(g);
beim letzten Schritt wird (3.7) benutzt. Insgesamt ist (h : g)J(g) :::; 2J(h), und (3.24) liefert J(1) 19(1) ;::: 4E:J(h) + J(1o)
(3.25)
Nach (3.23), (3.25) gibt es zu jedem 0 > 0 eine Umgebung V E ti, so daB Ilg(1) - J(1)/ J(1o) < 0 fUr alle symmetrischen 9 E C:(G), 9 -I- 0 mit Tr 9 C V. Daher ist J(1)/ J(1o) eindeutig bestimmt. 0 1
Der obige kunstvolle, aber technisch diffizile Beweis der Eindeutigkeit eines linken Haarschen MaBes (nach A. WElL [2]) zeichnet sich dadurch aus, daB nur sehr element are Hilfsmittel verwendet werden und daB am Ende die Konvergenz der Quotienten 19(1) gegen ein linkes Haar-lntegral quantitativ nachgewiesen wird. Wesentlich kiirzere Eindeutigkeitsbeweise (mit Hilfe des Satzes von FuBINI) findet man z.B. bei BOURBAKI [4], FLORET [1], 13.5.3, LOOMIS [1] und RUDIN [2]. Wendet man Satz 3.11 auf die zu G entgegengesetzte Gruppe G opp an, so folgt: Es gibt eine nicht-triviale rechtsinvariante positive Linearform J : Cc(G) -+ lK und Jist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt; J heipt ein rechtes Haar-lntegral auf Cc(G). - 1m AnschluB an (3.19) haben wir gesehen: 1st 1 : Cc(G) -+ lK ein linkes (oder rechtes) Haar-lntegral, so ist 1(1) > 0 fur alle f E C:(G),f -I- O. 3.12 Satz (A. HAAR (1932), J. v. NEUMANN (1936), A. WElL (1936)). 1st G eine lokal-kompakte HausdorjJsche topologische Gruppe, so gibt es ein linksinvariantes Radon-Map J1,: ~(G) -+ [0,00],J1, -I- 0, und J1, ist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt; J1, heipt ein linkes Haar-Map auf G.
Beweis. Die Behauptung folgt sofort aus Satz 3.11 und Lemma 3.9.
0
Durch Anwendung von Satz 3.12 auf die Gruppe G opp folgen wieder Existenz und Eindeutigkeit (bis auf einen positiven Faktor) eines nicht-trivialen rechtsinvarianten Radon-Mapes v : ~(G) -+ [0,00]; v heWt ein rechtes Haar-Map auf G. - 1st J1, ein linkes Haar-MaB auf G, so hat J1, folgende Eigenschaften:
(i) J1,(aB) = J1,(B)
(a E G, B E ~(G));
(ii) J1,(K) < 00 fUr alle kompakten KeG; (iii) J1,(B) = sup{J1,(K) : K
c
B, K kompakt}
(iv) J1,(U) > 0 fUr jede offene Menge U
c
G, U
(B E ~(G));
-I- 0;
§ 3. Das Haarsehe MaB
363
(v) 0 < p,(U) < 00 fUr jede relativ kompakte offene Menge U
c
G.
Begrundung: (i)-(iii) sind klar, da p, ein linksinvariantes Radon-MaB ist. Zum Beweis von (iv) nehmen wir an, es sei U =1= 0 offen, p,(U) = O. 1st KeG kompakt, so existieren endlieh viele Xl, ... ,Xn E G mit K c U;=l xjU, folglieh ist p,(K) = O. Da p, von innen regular ist, folgt p, = 0: Widersprueh, denn als linkes Haar-MaB ist p, =1= O. - (v) folgt aus (ii) und (iv). 0 Fur ein reehtes Haar-MaB v ist (i) zu ersetzen dureh (i') v(Ba) = v(B) (a E G, BE Il3(G)); die ubrigen Bedingungen (ii)-(v) gelten entspreehend mit v statt p,.
1st I : G -+ lK eine Funktion, so set zen wir f* : G -+ lK, f*(x) := I(X-l) (x E G). Dann ist (foL(a))* = f*oR(a- l ), (foR(a))* = f*oL(a- l ) (a E G). 3.13 Satz. Es sei G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe. a) 1st 1: Gc(G) -+ lK ein linkes (bzw. rechtes) Haar-lntegral, so ist 1* : Gc(G) -+ lK,1*(f) := 1(f*) (f E Gc(G)) ein rechtes (bzw. linkes) Haar-lntegral. b) 1st p, : 113 (G) -+ [0,00] ein linkes (bzw. rechtes) Haar-MafJ, so ist p,* : Il3(G) -+ [O,oo],p,*(B) := p,(B-I) (B E Il3(G)) ein rechtes (bzw. linkes) HaarMafJ· e) GehOrt p, zu 1 im Sinne von Lemma 3.9, so gehOrt p,* zu 1*.
Den einfaehen Beweis uberlassen wir dem Leser (vgl. Aufgabe 3.14). Dabei ist zu beaehten: Die Abbildung I r-+ f* ist ein Isomorphismus von G c ( G) auf sieh, und die Abbildung B r-+ B- 1 ist eine Bijektion von Il3(G) auf sieh. 3.14 Beispiele. a) Die Menge aller Matrizen A = (~~) (x, y E JR, x =1= 0) bildet eine abgesehlossene Untergruppe H von GL (2, JR). Besehreiben wir die Elemente A E H dureh die entspreehenden Zahlenpaare (x, y) E JRx x JR (JR x := JR\ {O}), so erhalten wir die lokal-kompakte Hausdorffsehe topologisehe Gruppe G = JRx x JR mit der Multiplikation (x, y) (u, v) = (xu, xv + y), dem Einselement (1,0) und der Inversenbildung (x,yt l = (x-l,_x-ly). (Algebraiseh ist G das sog. semidirekte Produkt der multiplikativen Gruppe JR x , deren Elemente via Multiplikation als Automorphismen auf der additiven Gruppe (JR, +) operieren, mit der additiven Gruppe lR. Man kann G aueh auffassen als die Gruppe der bijektiven affinen Abbildungen (a, b) : JR -+ JR,t r-+ at + b (a,b E JR,a =1= 0).) Offenbar ist
ein linkes Haar-Integral auf Gc(G), denn fUr (a, b) E Gist Idet DL(a, b)1 = a2 , und die Transformationsformel ergibt die Linksinvarianz. Naeh Satz 3.13 definiert 1*(f) := 1(f*) (f E Gc(G)) ein reehtes Haar-Integral auf Gc(G). Da die Transformation t(x, y) := (X-I, -x-ly) die Funktionaldeterminante (det Dt)(x, y) = x- 3 hat, ergibt die Transformationsformel 1*(f) =
fa I(X-\~X-ly)
dj32(X,y) =
fa I(~IY)
dj32(X,y).
364
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
(Die Rechtsinvarianz von 1* laBt sich auch an der letzten Integraldarstellung leicht mit Hilfe der Transformationsformel nachprufen.) 1* ist offenbar kein positives Vielfaches von 1, d.h. 1 ist nicht rechtsinvariant. Gist wohl das einfachste Beispiel einer lokal-kompakten Hausdorffschen topologischen Gruppe, fUr welche die linken und die rechten Haar-Integrale wesentlich verschieden sind. Auffalligerweise besitzt die Gruppe GL (2, JR.) ein invariantes Haar-Integral (Beispiel 3.10,e)), die abgeschlossene Untergruppe H c GL (2, JR.) aber nicht. b) Es sei lHI x die (nicht abelsche) multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Quaternionen x = oo+(3i+,,(j+ok (00,(3,,,(,0 E JR.,i 2 = P = k 2 = -l,ij = -ji = k,jk = -kj = i,ki = -ik = j), versehen mit der von JR.4 induzierten Topologie. Fur x E lHI sei N(x) := 00 2 + (32 + "(2 + 02 die Norm von x. Bekanntlich ist N(xy) = N(x)N(y) (x, y E lHI). Fur a E JH[X ist I det DL(a)1 = (N(a))2. Daher ist
1(1):= ix
(~~:j)2d(34(X)
(j E Cc(lHIX))
ein linkes Haar-Integral auf Cc(lHIX), und 1 ist wegen I det DR(a)1 (a E lHIX) auch rechtsinvariant.
= (N(a))2
Historische Anmerkungen. Die Invarianzeigenschaften der Haarschen MaBe auf lFtP, lFt x , 8 1 und auf endlichen Gruppen sind seit langem wohlbekannt, aber erst mit der allgemeinen Akzeptanz des Gruppenbegriffs wird der strukturelle Begriff der Linksinvarianz klar. Das kommt erstmals 1897 in einer fundamentalen Arbeit von A. HURWITZ (1859-1919) zum Ausdruck, in der HURWITZ Haarsche Integrale fiir die orthogonale Gruppe SO(n) und die unWire Gruppe SU(n) bestimmt und fiir die Erzeugung von Invarianten durch Integration nutzbar macht. Zusatzlich betont HURWITZ "die allgemeine Anwendbarkeit des Prinzipes, die Invarianten
einer kontinuierlichen Gruppe durch Integration zu erzeugen," d.h. er weist auf die Existenz eines Haarschen MaBes fiir jede Lie-Gruppe hin. Erst von 1924 an wird der Wert dieser Untersuchungen in den Arbeiten von 1. SCHUR (1875-1941) und H. WEYL iiber die Darstellungstheorie kompakter Lie-Gruppen deutlich (Orthogonalitats- und Vollstandigkeitssatz fiir die Charaktere irreduzibler Darstellungen, explizite Bestimmung der Charaktere). Diese Untersuchungen gipfeln in dem beriihmten 8atz von F. PETER (1899-1949) und H. WEYL; dieser ist ein vollkommenes Analogon des aus der Darstellungstheorie der endlichen Gruppen bekannten Satzes von der Zerlegung der regularen Darstellung in ihre irreduziblen Komponenten (s. H. WEYL, Gesammelte Abhandlungen, Bd. II, III). Mit der Begriindung der allgemeinen Theorie der topologischen Gruppen durch
o.
SCHREI-
ER (1901-1929) und F. LEJA 17 wird die allgemeine Frage nach der Existenz linksinvarianter MaBe auf topologischen Gruppen aufgeworfen. Dabei muB man sich vergegenwartigen, daB sich in den zwanziger Jahren des 20. Jahrhunderts die angemessenen allgemeinen Begriffe in Topologie und MaBtheorie noch in statu nascendi befinden. In dieser Situation ist der Beweis der Existenz eines linksinvarianten MaBes auf jeder lokal-kompakten Hausdorffschen Gruppe mit abzahlbarer Basis 18 durch A. HAAR ein aufsehenerregendes Ereignis fiir die Fachwelt (s. 17 0. SCHREIER: Abstrakte kontinuierliche Gruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 4, 15-32 (1925); F. LEJA: Sur la notion du groupe abstrait topologique, Fund. Math. 9, 37-44 (1927). 18Die Metrisierbarkeit Hausdorffscher topologischer Gruppen mit abzahlbarer Umgebungsbasis von e wurde 1936 fast gleichzeitig und unabhangig gezeigt von GARRETT BIRKHOFF
§ 3. Das Haarsche MaE
365
z.B. A. WElL [1], S. 534). HAAR veriiffentlicht seinen Satz zuerst 1932 aus AniaB seiner Wahl zum korr. Mitglied der Ungarischen Akademie der Wissenschaften auf Ungarisch (HAAR [1], S. 579-599) und im folgenden Jahr auf Deutsch in den Ann. of Math. (2) 34, 147-169 (1933) (HAAR [1], S. 600-622). Die Beweismethode von HAAR haben wir oben bereits angedeutet; hierzu schreiben SEGAL und KUNZE [1], S. 188: "... either a great deal of optimism, or genius, is required to expect that a countably additive measure could really be obtained in this way. Haar supplied the genius, and the remarkable affinity between the theory of groups and integration shown by this result is indeed one of the authentic natural wonders of mathematics." HAAR selbst eriiffnet den Reigen eindrucksvoller Anwendungen seines Satzes mit einer Ausdehnung der Theorie von PETER-WEYL auf beliebige kompakte topologische Gruppen mit abzahlbarer Basis. Eine weitere spektakulare Anwendung ist die positive Liisung des beriihmten funften Hilbertschen Problems fur kompakte Gruppen durch J. VON NEUMANN 1933 ([3], S. 366-386). Dabei geht es urn folgendes: In seinem beriihmten Vortrag Mathematische Probleme formuliert D. HILBERT auf dem Internationalen Mathematiker-KongreB zu Paris 1900 als funftes Problem die Frage, "inwieweit der Liesche Begriff der kontinuierlichen Transformationsgruppe auch ohne Annahme der Differenzierbarkeit der Funktionen unserer Untersuchung zugiinglich ist." Auftopologische Gruppen spezialisiert ist dies die Frage, ob bei einer lokal euklidischen topologischen Gruppe aus der Stetigkeit der Gruppenoperationen bereits folgt, daB die Gruppenoperationen lokal in geeigneten Koordinatensystemen durch reellanalytische Funktionen beschrieben werden kiinnen, d.h. daB die Gruppe eine Lie-Gruppe ist. Die vollstandige Liisung dieses Problems erstreckt sich iiber einen langeren Zeitraum: Nach v. NEUMANNS Behandlung der kompakten Gruppen gelingt L.S. PONTRJAGIN 1934 die Liisung fur abelsche lokal-kompakte Gruppen, und erst 1952 erhalten A. GLEASON (1921-2008), D. MONTGOMERY (1909-1992) und L. ZIPPIN (1905-1995) die endgiiltige Liisung des Problems fur beliebige lokal-kompakte Gruppen (s. MONTGOMERy-ZIPPIN [1]). Schon 1933 fuhrt S. BANACH das Haarsche MaB in die Lehrbuchliteratur ein, und zwar in einem Anhang im Buch von S. SAKS ([1], S. 264-272; [2], S. 314-319, erneut abgedruckt in BANACH [1], S. 239-245). Dabei kombiniert BANACH den Beweisansatz von HAAR mit der Theorie der sog. Banach-Limiten, aber er beschrankt sich nicht auf den Falliokal-kompakter topologischer Gruppen mit abzahlbarer Basis, sondern er geht gleich axiomatisch vor und zeigt die Existenz eines invarianten MaBes auf lokal-kompakten metrisierbaren separablen topologischen Raumen, fiir deren Teilmengen ein geeigneter Begriff von Kongruenz erklart ist. Fiir eine wirksame Nutzung des Haarschen MaBes ist nicht nur seine Existenz, sondern ganz wesentlich auch seine Eindeutigkeit maBgeblich. Diese wird fur kompakte Gruppen 1934 bewiesen von J. VON NEUMANN ([3], S. 445-453); der Beweis fur beliebige lokal-kompakte Gruppen (mit abzahlbarer Basis) erfordert ganz andere Methoden und gelingt V. NEUMANN erst 1936 ([5], S. 91-104). Gleichzeitig beweist A. WElL die Existenz und Eindeutigkeit des Haarschen MaBes fiir beliebige lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppen ohne irgendwelche Abzahlbarkeitsvoraussetzungen (s. WElL [1], S. 132, S. 141 f. und [2]). WElL gewinnt auch eine Bedingung fiir die Existenz eines relativ invarianten MaBes auf einem homogenen Raum, und er zeigt, daB die Existenz eines "verniinftigen" linksinvarianten MaBes in gewissem Sinne fur die lokal-kompakten Gruppen charakteristisch ist ([2], S. 140 ff.). Dieses Ergebnis wird auf bemerkenswerte Weise abgerundet durch J .C. OXTOBY [2], der zeigt: 1st (1911-1996), S. KAKUTANI (1911-2004) und L.S. PONTRJAGIN (1908-1988) (s. A. WElL [1], S. 537).
366
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
G eine iiberabzahlbare vollstandig metrisierbare topologische Gruppe, so existiert ein linksinvariantes MaB J.! : s.B(G) ---> [0,00], das nicht nur die Werte 0 und 00 annimmt, und J.! ist genau dann lokal-endlich, wenn G lokal-kompakt ist. Auch S. KAKUTANI [2], [3] macht darauf aufmerksam, daB die Konstruktion von HAAR auf alle lokal-kompakten Hausdorffschen Gruppen ausgedehnt werden kann, und er beweist die Eindeutigkeit des Haarschen MaBes. Der konstruktive Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis fiir das Haarsche MaB von H. CARTAN (1904-2008) [1] ist dadurch ausgezeichnet, daB er keinen Gebrauch vom Auswahlaxiom der Mengenlehre macht; s. auch ALFSEN [1]. Fiir eine ausfiihrliche Darstellung der Theorie des Haar-MaBes und seiner Anwendungen auf die harmonische Analyse auf Gruppen verweisen wir auf BOURBAKI [4], HEWITT-Ross [1], LOOMIS [1], NACHBIN [1], REITER [1], RUDIN [2], SCHEMPP-DRESELER [1] und WElL [2].
4. Anwendungen des Haar-MaBes. 1m ganzen Abschnitt 4. seien G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe, I ein linksinvariantes HaarIntegral auf Cc(G) und J.L das zugehOrige Haar-MaB auf ~(G).
3.15 Satz. a) Gist diskret genau dann, wenn J.L( {e}) > 0. b) Gist kompakt genau dann, wenn J.L(G) < 00.
Beweis. a) 1st G diskret, so ist J.L ein positives Vielfaches des ZahlmaBes, also J.L({e}) > 0. - 1st umgekehrt J.L({e}) = a > 0, so ist J.L({a}) = a fUr aIle a E G wegen der Linksinvarianz von J.L. Daher ist jede kompakte Teilmenge KeG endlich, denn J.L(K) < 00. Da G Hausdorffsch und lokal-kompakt ist, ist also G diskret. b) Fur kompaktes Gist natilllich J.L(G) < 00. - Umgekehrt: Seien J.L(G) < 00 und V eine kompakte Umgebung von e. Sind Xl, ... , Xn E G, SO daB Xj V n Xk V = 0 fUr j =F k, so ist nJ.L(V) = J.L(xlV U ... U XnV) ::::: J.L(G) , also n ::::: J.L(G)/J.L(V). Wir konnen daher ein maximales n E N wahlen, zu dem Xl, ... ,Xn E G existieren, so daB Xj V n XkV = 0 (j =F k). 1st dann X E G, so existiert ein k E {1, ... , n} mit x V n Xk V =F 0. Daher liegt x in einer der kompakten Mengen Xl VV- l , ... ,Xn VV- l , folglich ist G kompakt. 0 Fill kompaktes G kann man also das Haar-MaB von G normieren zu J.L(G) 1, und dann ist J.L eindeutig bestimmt. -
=
FUr a E Gist Ia : Cc(G) --+ OC,Ia(f) := I(foR(a)) (f E Cc(G)) eine nichttriviale linksinvariante positive Linearform, denn fur aIle x E Gist Ia(f oL(x)) = I((foL(x))oR(a)) = I((foR(a))oL(x)) = I(foR(a)) = Ia(f). Da I bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt ist, gibt es ein Do(a) > 0, so daB (3.26)
I(foR(a)) = Do(a)I(f)
(f
E
Cc(G),a
E
G).
Die Funktion Do : G --+]0,00[, a I-t Do(a) heiBt die modulare Funktion von G. Da I bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt ist, hangt Do nur von Gab, nicht aber von der spezieIlen Auswahl von I. 1st Do = 1, so heiBt G unimodular. Offenbar ist Do = 1 genau dann, wenn I invariant ist. Insbesondere ist jede abelsche (lokal-kompakte Hausdorffsche topologische) und jede diskrete Gruppe unimodular.
§ 3. Das Haarsche MaB Bezeichnet
P,a
367
das Haar-MaB zu
la,
so gilt nach (2.17) fUr jedes Kompaktum
KeG: inf{Ia(J): f E Cc(G),f::::: XK} = D.(a)p,(K) inf{I(JoR(a)): f E Cc(G),f::::: XK} inf{I(g): g E Cc(G),g::::: XKa~l} p,(Ka- 1) = (R(a))(p,))(K) , und daher folgt nach (2.18) und Aufgabe 1.10:
(3.27)
(R(a)(p,))(B) = p,(Ba- 1) = D.(a)p,(B)
(a E G, BE 'B(G)).
3.16 Satz. Jede kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe ist unimodular.
Beweis: klar nach (3.26) mit f = 1 (oder (3.27) mit B = G).
o
3.17 Satz. Die modulare Funktion D. : G ---+]O,oo[ ist ein stetiger Homomorphismus von G in die multiplikative Gruppe ]0,00[.
Beweis. Wir wahlen ein f x,y E G:
E
C;;(G) mit I(J) = 1. Dann liefert (3.26) fUr aIle
D.(xy) = I(J oR(xy)) = I((J oR(x)) oR(y)) = D.(y)I(J oR(x)) = D.(x)D.(y). Es seien weiter K eine kompakte Umgebung von Tr fund e > O. Dann gibt es eine kompakte Umgebung V von e, so daB If(x) - f(xv)1 < e fUr aIle x E G, v E V und (Tr f) . V e K (Lemma 3.6). Daher ist fUr aIle v E V
11- D.(v)1 =
lfa (J(x) -
1
f(xv))dp,(x) :S ep,(K) ,
denn der Integrand verschwindet auf KC. Die Funktion D. ist also an der Stelle e stetig und wegen der Homomorphie und Positivi tat liberall. 0
3.18 Satz. Fur das rechtsinvariante Haar-Integral1* aus Satz 3.13 gilt (3.28)
1*(J) = I(D.f)
(J E Cc(G)) ,
und fur das entsprechende rechtsinvariante Haar-Mafl p,*: (3.29)
p,*(A) = D. 8 p,(A)
(A E 'B(G)).
Beweis. Die nicht-triviale positive Linearform f H I(D.f) (J E Cc(G)) ist rechtsinvariant, denn I(D. . (J oR(a))) = D.(a)-l I((D.f) oR(a)) = I(D.f) nach (3.26). Daher gibt es ein a > 0, so daB 1*(J) = od(D.f) (J E Cc(G)). Es folgt weiter: I(D.f) = I*((D.f)*) = I*(D.-1f*) = aI(J*) = aI*(J), also a 2 = 1, d.h. a = 1, denn a > O. Wir zeigen (3.29) zunachst fUr kompaktes KeG: Es seien L eine kompakte Umgebung von K,e > 0 und M := maxD.1 L. Dann gibt es ein f E Cc(G), so daB 0 :S f :S 1, f 1K = 1, Tr f e Lund 0 :S I(J) - p,(K) < elM. Daher ist
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
368
o ::; I(fj.J) -
fj.
8 p,(K)
! J
fj.f dp,-
f
fj.
8 p,(K)
fj.f dp, ::; M(I(J) - p,(K)) <
E: ,
JL\K
und wegen (3.28) und (2.17) folgt: p,*(K) = fj. 8 p,(K). Es sei weiter A E '.l3(G). Fur kompaktes K c A ist p,*(K) = fj. 8 p,(K) ::; fj. 8 p,(A), und die inn ere Regularitat von p,* ergibt: p,*(A) ::; fj. 8 p,(A). Zum Beweis der umgekehrten Ungleichung sei 0 < 01 < fj. 8 p,(A). Dann gibt es eine Treppenfunktion u,O ::; u = 'L;=l CjXA j ::; fj.XA mit disjunkten AI' ... ' An E '.l3(G) und CI, •.. , Cn > 0, so daB JG u dp, > 01. Wegen der inneren Regularitat von p, kann gleich angenommen werden, daB AI, ... , An kompakt sind, und mit K := U;=l Aj gilt dann: p,*(K) = fj. 8 p,(K) 2: JG u dp, > 01. Daher ist p,*(A) 2: fj. 8 p,(A). 0 Gl. (3.27) liefert in Verbindung mit der aIlgemeinen Transformationsformel V.3.1 (3.30)
l
f(xa) dp,(x) = fj.(a) l
f(x) dp,(x)
(a E G),
wahrend (3.29) impliziert
(3.31)
l
f(x-l)fj.(x) dp,(x) = l
Diese Gleichungen gelten fur aIle meBbaren Linksinvarianz von p, bedeutet dagegen:
f 2:
f(x) dp,(x). 0 und fUr aIle
f
E
£}(p,). Die
(3.32)
1st insbesondere G unimodular, so folgt fUr die genannten fund aIle a E G:
(3.33)
If(ax)dP,(x) = If(xa)dP,(x) = If(x-l)dP,(X) = lfdP,.
5. Invariante und relativ invariante Mafie auf Restklassenraumen. Fur den ganzen Abschnitt 5. vereinbaren wir folgende Voraussetzungen und Bezeichnungen: Es seien G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe mit neutralem Element e, LG(s),RG(s) die Links- bzw. Rechtstranslation um s E G, IG ein linkes Haar-1ntegral auf Cc(G), P,G das zugehOrige linke Haar-MaB und fj.G die modulare Funktion von G. Ferner sei Heine abgeschlossene Untergruppe von G. Dann ist auch Heine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe, und die Daten LH(t), RH(t) (t E H), I H, P,H, fj.H sind sinnvoll. Wir versehen die Menge G / HaIler Linksrestklassen sH (s E G) mit der Quotiententopologie; das ist die feinste Topologie auf G / H, welche die Quotientenabbildung q : G ---+ G / H, q( s) := sH (s E G) stetig macht. Eine Menge M c G/H ist genau dann offen, wenn q-I(M) offen ist in G. Dann ist eine Abbildung f : G / H ---+ Y in irgendeinen topologischen Raum Y genau dann
§ 3. Das Haarsche MaB
369
stetig, wenn f oq : G -+ Y stetig ist. Die Quotientenabbildung q ist auch offen, denn fUr offenes U c Gist q-1(q(U)) = UH offen in G (Lemma 3.4, c)), d.h. q(U) ist offen in G / H. Wir zeigen: G / H ist Hausdorffsch. Begrundung: Fur jedes a E Gist aH abgeschlossen in G, also (aHY offen in G, also {aH}C offen in G / H, folglich {aH} abgeschlossen in G / H. Sind nun a, bEG, aH -=I- bH, so existiert eine offene symmetrische Umgebung V von emit bH 'I. q(V 2 a). Dann sind q(Va),q(Vb) disjunkte offene Umgebungen von aH bzw. bH. - Da q kompakte Umgebungen von a E G aufkompakte Umgebungen von aH E G/H abbildet, ist G / H ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. 3.19 Lemma. Zujedem Kompaktum L C G/H gibt es ein Kompaktum KeG
mit q(K) = L. Beweis. Es sei V eine relativ kompakte offene Umgebung von e. Dann existieren endlich viele Sl, ... , Sn E G, so daB L C q(V Sl)U .. .Uq(V sn) = q(V SlU ... uv sn). Daher ist K := (V Sl U ... U V sn) n q-1(L) eine kompakte Teilmenge von G mit q(K) = L.
D
Fur jedes s E Gist die Linkstranslation L(s) : G/H -+ G/H,L(s)(aH) := saH (a E G) stetig, denn L(s)oq = qoLG(s). Da L(S-l) stetig ist und zu L(s) invers, ist L(s) ein Homoomorphismus. 3.20 Lemma. Fur jedes f E Cc(G), s E G definiert die Zuordnung t H f(st) (t E H) ein Element von Cc(H), und fH : G -+ K, (3.34)
fH(S):=
i
f(st) dJlH(t)
(s E G)
ist eine stetige Funktion mit (3.35)
fH(SU) = fH(S)
(s E G,u E H).
Daher definiert fH eine stetige Funktion f' : G / H -+ K mit f' 0 q = fH' und f' hat einen kompakten Trager. Die lineare Abbildung Cc(G) -+ Cc(G / H), f H f' ist surjektiv, und es gilt: (3.36) (3.37)
(foLG(u))' (foRG(u))'
J' oL(u)
6.. H (u)J'
(u
G), (u E H). E
Beweis. Fur s E Gist CPs : H -+ K, CPs (t) := f(st) (t E H) stetig und hat wegen {CPs -=I- O} c (s-lTr 1) n Heinen kompakten Trager. Daher ist fH sinnvoll, und wegen der Linksinvarianz von JlH bez. H gilt (3.35). Zum Nachweis der Stetigkeit von fH wahlen wir eine kompakte Umgebung L von K := Tr fund ein c > o. Wegen der rechts-gleichmaBigen Stetigkeit von fund Lemma 3.6 (angewandt auf G opp ) gibt es eine symmetrische Umgebung V von e, so daB VK C Lund If(s) - f(vs)1 < c fUr alle s E G,v E V. Daher ist fUr alle SEG,VEV IfH(S) - fH(vs)1 :::;
i
If(st) - f(vst)1 dJlH(t) :::; cJlH((S-l L) n H),
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
370
d.h. fH ist stetig, also ist auch I' stetig. 1st nun l'(sH) #- 0 (s E G), so gibt es ein t E H mit f(st) #- O. Dann ist st E K, also sH E q(K). Daher ist Tr I' c q(K), d.h. Tr I' ist kompakt, denn q(K) ist kompakt. Damit haben wir eine lineare Abbildung Cc ( G) -+ Cc ( G j H), f r--+ I' konstruiert. Wir zeigen: Diese Abbildung ist surjektiv. Zum Beweis sei F E Cc(GjH),F #- O. Nach Lemma 3.19 gibt es ein Kompaktum KeG mit q(K) = Tr F =: L. Wir wahlen ein Kompaktum C C H mit /-lH(C) > O. Dann ist auch q(KC) = L. Wir wahlen weiter ein 9 E C:(G) mit 9 I KC = 1. Dann ist
denn fUr s E K und t E C ist g(st) = 1. Nach Konstruktion ist also g'(sH) > 0 fUr alle sH E L. Definieren wir nun f(s) := g(s)F(sH)jg'(sH), falls sH E L, und f(s) := 0, falls sH tJ- L, so ist f E Cc(G) und f~ = F. Damit ist die behauptete Surjektivitat bewiesen. Nach (3.34) ist weiter fUr alle u E G
(joLG(u))~(sH) =
i
f(ust)d/-lH(t)
= (j~ oL(u))(sH) ,
und es folgt (3.36). Fiir u E H gilt nach (3.30): (j oRG(u))~(sH) =
i
f(stu)d/-lH(u) = L'l.H(u)l'(sH) ,
o
und es folgt (3.37). Eine nicht-triviale Linearform I : C c(G j H) -+ wenn eine Funktion L'l. : G -+ :oc existiert, so daB (3.38)
l(j oL(s)) = L'l.(s)I(j)
:oc
heiBt relativ invariant,
(j E Cc(GjH), s E G),
und dann heiBt L'l. die modulare Funktion von I. 1st I#-O eine positive relativ invariante Linearform, so ist L'l. : G -+]0, oo[ ein stetiger Homomorphismus. (Zum Beweis macht man sich klar, daB sich die Beweise der Satze 3.17 und 3.8 in offensichtlicher Weise iibertragen lassen.) 1st L'l. = 1, so heiBt I invariant.
3.21 Satz von A. Weil (1936).19 1st L'l. : G -+]O,oo[ ein stetiger Homomorphismus, so existiert eine nicht-triviale positive relativ invariante Linearform I : C c(G j H) -+ :oc mit modularer Funktion L'l. genau dann, wenn (3.39) und dann ist I bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. Beweis. Wir zeigen zunachst die Notwendigkeit der Bedingung (3.39) und nehmen an, I : C c ( G j H) -+ :oc sei eine nicht-triviale positive relativ invariante 19WEIL
[1], S. 132 und [2], S. 45
§ 3. Das Haarsche MaE
371
Linearform mit modularer Funktion 6.. Dann ist J : Cc(G) ---+ lK, J(J) := (J E Cc(G)) ein linkes Haar-Integral auf Cc(G), denn Jist nach Lemma 3.20 eine nicht-triviale positive Linearform, und nach (3.36) gilt fUr alle s E G:
1((6.1)')
J(JoLG(s)) = I((6.(JoLG(s)))') = 6.- 1(s)I(((6.1)oLG(s))') 6. -l(s)I((6.1)' oL(s)) = 1((6.1)') = J(J). Nach (3.26) ist daher
J(JoRG(s)) = 6. G(s)J(J)
(3.40)
(s
E
G,f
E
Cc(G)).
Andererseits ist fUr alle s E G, U E H, f E Cc(G) nach (3.34) und (3.30)
(6.(J oRG(U)))H(S) =
= 6. -l(U)
i
i
6.(st)f(stu) d/-LH(t)
(6.1) (stu) d/-LH(t) = 6. -l(U)6. H(u)(6.1)H(S) ,
und das liefert (3.41 )
J(J oRG(u)) = 6. -l(U)6. H(u)J(J)
(u
E
H).
Aus (3.40), (3.41) folgt als notwendige Bedingung (3.39). Es sei nun umgekehrt (3.39) erfUllt. Wir betrachten die Linearform
(J) und stellen fest: (3.42)
i
l6. l6. l
:=
-1
f d/-LG
(J
E
Cc(G))
0 ist eine positive Linearform mit
(J oLG(s))
-1(J LG(s)) d/-LG
6.(s)
0
(6. -1 1)oLG(S) d/-LG = 6.(s)(J) ,
denn /-LG ist linksinvariant bez. G. Wir wollen nun die gesuchte Linearform I mit Hilfe des folgenden Diagramms einfUhren, in dem ,,'" die Surjektion aus Lemma 3.20 bezeichnet:
,
---+
Offenbar existiert genau dann eine lineare Abbildung I, die dieses Diagramm kommutativ macht, wenn der Kern der linearen Abbildung ,,''' im Kern von enthalten ist. Wir zeigen daher folgende Zwischenbehauptung: 1st f E Cc(G) und f' = 0, so ist (J) = O. Zur Begrundung seien f E Cc(G) und l' = 0, d.h.
i
f(st)d/-LH(t) = 0
(s
E
G).
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
372 Nach (3.31) bedeutet dies:
Fur aIle 9 E Cc ( G) ist daher
Hier durfen wir nach Aufgabe 2.13 die Reihenfolge der Integrationen vertauschen:
L~H(t) (fag(s)~-1(S)f(sC1)d/-lG(S))
d/-lH(t)
=
O.
1m inneren Integral fUhren wir die Substitution s H st durch und erhalten wegen (3.30) und der Voraussetzung (3.39):
L
(fa g(st)~ -l(s)f(s) d/-lG(S)) d/-lH(t) = 0,
und eine nochmalige Vertauschung der Integrationsreihenfolge ergibt
Diese Gleichung gilt fUr aIle 9 E Cc(G). Nun wahlen wir ein spezielles g: Da G/H ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum ist, gibt es ein g E Cc(G/H) mit g I q(Tr f) = 1, und zu g gibt es nach Lemma 3.20 ein 9 E Cc(G) mit 9' = g. Fur dieses 9 gilt nach Konstruktion
L
g(st)d/-lH(t) = 1 (s E Tr f) ,
und aus (3.43) folgt:
fa
f(s)~ -1 (s)d/-lG(S)
=
0,
d.h. <'P(f) = O. Damit ist die obige Zwischenbehauptung bewiesen. Es gibt also eine Linearform 1 : Cc ( G / H) kommutativ macht, und zwar ist (3.44)
1(f')
=
<'P(f)
(f
E
~
lK., die das obige Diagramm
Cc(G)).
Nach Lemma 3.20 ist 1 nicht-trivial und positiv, und wegen (3.42) ist
1(f' oL(s)) = 1((f oLG(s))') = <'P(f oLG(s)) = ~(s)<'P(f) = ~(s)1(f'), d.h. 1 ist relativ invariant mit modularer Funktion ~. Gl. (3.39) ist also hinreichend fUr die Existenz einer Linearform 1 mit den genannten Eigenschaften. -
§ 3. Das Haarsche MaB
373
Zum Beweis der Eindeutigkeitsaussage seien 11 ,12 zwei nicht-triviale positive relativ invariante Linearformen auf Cc ( G / H) und J 1 , J 2 : Cc ( G) ---+ OC, Jk (J) := h((f:lf)') (J E Cc(G), k = 1,2). Wir haben oben bereits gesehen, daB J 1 , J 2 Hnke Haar-Integrale auf Cc(G) sind. Daher gibt es ein a > Omit J 1 = aJ2 • Fur aIle f E Cc(G) ist also I 1 (J') = J 1 (f:l- 1 f) = aJ2 (f:l- 1 J) = aI2 (J') , und die Surjektivitat der Abbildung ,,''' ergibt das Gewunschte. D
Es gelte (3.39) und I : C c ( G / H) ---+ OC sei eine nicht-triviale positive relativ invariante Linearform. Dann existiert nach dem Darstellungssatz von F. RIESZ 2.5 genau ein Radon-MaB f.,L : fJ3( G / H) ---+ [0,00] mit
I(J)=
(3.45)
r
fdf.,L
(JECc(G/H)).
JG/H
Wegen der allgemeinen Transformationsformel V.3.1 ist fUr aIle a E G
f:l(a)I(J) = I(J oL(a)) =
r
JG/H
f oL(a)df.,L =
r
fd(L(a) (f.,L)) ,
JG/H
und da auch L(a)(f.,L) ein Radon-MaB ist, ist f.,L relativ invariant in dem Sinne, daB L(a)(f.,L) = f:l(a)f.,L fur aIle a E G. Umgekehrt entspricht jedem relativ invarianten Radon-MaB f.,L gemaB (3.45) eine nicht-triviale positive relativ invariante Linearform I. Beschreiben wir I durch f.,L, so ist (3.44) gleich der 3.22 Formel von A. Weil (1936). Es sei f:l : G ---+]0, oo[ ein stetiger Homomorphismus, und es gelte (3.39). Dann existiert bis auf einen positiven Faktor genau ein nicht-triviales relativ invariantes Radon-MafJ f.,L : fJ3( G / H) ---+ [0,00], und bei geeigneter N ormierung von f.,L gilt die Wei 1 s c h e For mel
(3.46)
fa/H
(i
f(st)df.,LH(t)) df.,L(sH) = fa f:l- 1 f df.,LG
(J E Cc(G)) ,
wobei das inn ere Integral fiber H als Element von Cc(G / H) aufzufassen ist.
3.23 Korollar. Es seien H ein abgeschlossener Normalteiler von G und f.,LG/H ein linkes Haar-MafJ auf G/H. Gibt man zwei der linken Haar-MafJe f.,LG,f.,LH, f.,LG/H vor, so gibt es genau eine Fixierung des dritten, so dafJ die Wei 1 sche Formel
gilt. Ferner ist f:lG I H unimodular. .
=
f:l H; ist insbesondere G unimodular, so ist auch H
Beweis. f.,LG/H ist ein nicht-triviales linksinvariantes Radon-MaB auf G / H, also existiert ein nicht-triviales Radon-MaB f.,L obigen Typs mit f:l = 1. Nach (3.39) ist f:lG I H = f:l H. Ferner ist f.,L nach Satz 3.21 ein positives Vielfaches von f.,LG/H, und (3.46) ergibt die Behauptung. D
VIII. MaBe auf topologischen Riiumen
374
3.24 Korollar. Eine nicht-triviale positive invariante Linearform I : C c ( G I H)
--+ lK existiert genau dann, wenn t:,.H = t:,.e I H, und dann ist I bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. Beweis: klar nach Satz 3.21.
D
3.25 Korollar. 1st G unimodular, so existiert eine nicht-triviale positive invariante Linearform I : C c ( G I H) --+ lK genau dann, wenn auch H unimodular ist, und dann ist I bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt.
Beweis: klar nach Satz 3.21.
D
3.26 Korollar. 1st G kompakt, so existiert eine und bis auf einen positiven Faktor genau eine nicht-triviale positive invariante Linearform I : C c ( G I H) --+ K
Beweis. Als abgeschlossene Untergruppe von Gist auch H kompakt, und nach Satz 3.16 sind G und H unimodular. Daher liefert Korollar 3.25 die Behauptung. D
Flir die Existenzaussage von Korollar 3.26 gibt es folgenden einfachen zweiten Beweis: Es seien G kompakt und f E C(GIH). Dann definiert die Zuordnung s --+ f(sH) (s E G) ein Element von C(G), und I(J) := Je f(sH)d/1e(s) (J E C (G I H)) leistet das Verlangte. D Bemerkung. 1. SEGAL (Invariant measures on locally compact spaces, J. Indian Math. Soc. 13, 105-130 (1949)) beweist einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz fur positive invariante Linearformen auf Cc(X), wobei X ein lokal-kompakter uniformer Raum ist, auf dem eine gleichmaBig gleichstetige Gruppe von uniformen Isomorphismen operiert. Dieses Resultat findet man auch bei SEGAL-KuNZE [1], S. 187; s. auch FEDERER, S. 121 If. - Man kann die Frage nach der Existenz eines invarianten MaBes auf G / Hauch unmittelbar mit der Beweismethode des Satz 3.11 behandeln; das geschieht bei J. PONCET: Une classe d 'espaces homoglmes possedant une mesure invariante, C.R. Acad. Sci. Paris 238, 553-554 (1954).
Beispiel 3.27: H aar-Integral auf SL (2, lR). Die Matrizen M = (~~) der Gruppe G := SL (2, lR) operieren auf der oberen Halbebene JH[ := {z = x + iy : x, y E lR, y > O} vermoge z --+ M(z) := (az + b)/cz + d), denn flir z = x + iy E JH[ ist 1mM(z) = Y/lcz + dl 2 > 0, d.h. M(z) E lIl!. Flir alle M,N E G,z E JH[ ist (MN)(z) = M(N(z)).20 1st z = x + iy E JH[, so setzen wir Pz
._(VTi0 xlVTi) II VTi
.-
E
G.
Dann ist Pz(i) = z. Daher operiert G transitiv auf JH[, d.h. zu allen z, W E JH[ gibt es ein MEG mit M(z) = w; z.B. leistet M := PwPz- 1 das Verlangte. Die Fixgruppe des Punktes i in Gist die Gruppe K := SO(2) der Matrizen 20Bekanntlich sind die Abbildungen des Typs z >-+ M(z) mit MEG genau die konformen Abbildungen von 1HI auf sich; s. z.B. R. REMMERT: Funktionentheorie I, 4. Auff. BerlinHeidelberg-New York: Springer-Verlag 1995, S. 213.
§ 3. Das Haarsche MaE K
375
(c~srp sm rp
-sinrp) (rp E lR). 1st nun MEG und z := M(i), so ist cos rp Pz~1 M E K, d.h. es ist M = PzK : GIK ~ 1HI,(MK) := M(i) (M E G) bijektiv mit der Umkehrabbildung ~1 : 1HI ~ GIK,~I(Z) = PzK. Bezeichnet q: G ~ GIK die kanonische Quotientenabbildung, so ist q stetig, d.h. ist stetig, und man stellt fest: ist ein Homi:iomorphismus, der mit den Operationen von G auf 1HI bzw. auf G I K vertauschbar ist. Daher ki:innen wir 1HI als ein Modell von G I K ansehen. Auf 1HI ist das MaE mit der Dichte y~2 bez. f32123(1HI) invariant bez. der Operation von G, denn die Funktionaldeterminante der Transformation z H M(z) (M = (~!) E G) ist gleich IM'(zW = Icz + dl~4. Ferner definiert die Zuordnung K
:=
0
I(j)
1
:= -2 1f
l127r [1)
0
dxdy f(Px+iy K
(j
E Cc(SL (2, lR))
.
In der Tat ist G unimodular, denn Gist ein abgeschlossener Normalteiler der unimodularen Gruppe GL(2,lR) (Beispiel 3.10, e)) und daher nach Korollar 3.23 unimodular. Wir ki:innen uns auch leicht von der Linksinvarianz von I iiberzeugen: Fiir MEG, z E 1HI ist MPz(i) = M(z) = PM(z)i, also MPzK = PM(z)K. Das innere Integral in der Definition von I kann als stetige Funktion mit kompaktem Trager auf G I K ~ 1HI aufgefaEt werden, und das bei der auEeren Integration verwendete MaE auf 1HI ist G-invariant. Daher ist I linksinvariant bez. G. (Vgl. auch Aufgabe 3.15). Zahlreiche weitere Beispiele und Aufgaben findet man bei BOURBAKI [4], chap. 7, DIEUDONNE [1], HEWITT- Ross [1], NACHBIN [1] und SCHEMPPDRESELER
[1].
6. Kurzbiographie von A. HAAR. ALFRED HAAR wurde am 11. Oktober 1885 in Budapest geboren. Nach dem Besuch des Gymnasiums studierte er zunachst Chemie in seiner Heimatstadt, wechselte aber nach einem erst en Preis beim mathematischen Landeswettbewerb fUr Abiturienten zum Studium der Mathematik, Physik und Astronomie. Ab 1905 studierte HAAR in Gottingen, wo er im Jahre 1909 promoviert wurde mit einer Dissertation
"Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme", in der HAAR die spater nach ihm benannten orthogonalen Funktionensysteme einfiihrt, die "dadurch ausgezeichnet sind, daB die in bezug auf diese Systeme gebildeten Fourier-Reihen jeder stetigen Funktion konvergieren und die Funktion darstellen" (HAAR [1], S. 47~87). Referent der Dissertation war D. HILBERT. Schon wenige Monate nach der Promotion habilierte sich HAAR in Gottingen (1909) und wurde 1912 als Nachfolger von L. FEJER (1880~ 1959) an die Universitat Klausenburg (jetzt Cluj-Napoca, Rumanien) berufen. Der zweite mathematische Lehrstuhl war dort ab 1912 besetzt mit F. RIEsz. Nach dem erst en Weltkrieg fiel Siebenbiirgen an Rumanien; die
VIII. Maile auf topologischen Raumen
376
ungarischen Professoren der Universitat Klausenburg muBten die Stadt verlassen. Ab 1920 konnten HAAR und RIESZ ihr erfolgreiches Wirken unter schwierigen auBeren Bedingungen an der neu gegriindeten Universitat Szeged fortsetzen und das spatere Bolyai-lnstitut zu einem mathematischen Zentrum von internationalem Rang entwickeln. Eine wichtige Rolle spielte dabei die Griindung der angesehenen Zeitschrift Acta Scientiarum Mathematicarum durch HAAR und RIESZ im Jahre 1922. Die wichtigsten wissenschaftlichen Arbeiten von HAAR sind orthogonalen Funktionensystemen, partiellen Differentialgleichungen, Variationsrechnung, Approximationstheorie und topologischen Gruppen gewidmet. In der Theorie der orthogonalen Funktionensysteme spielt das Haarsche Orthonormalsystem eine ausgezeichnete Rolle. Die Variationsrechnung verdankt HAAR das Haarsche Lemma, welches er zur Liisung des Plateauschen Problems der Theorie der Minimalflachen einsetzt. In der Approximationstheorie garantiert die Haarsche Bedingung die Existenz und Eindeutigkeit bester approximierender Polynome. Die Haarschen Arbeiten iiber topologische Gruppen beschaftigen sich hauptsachlich mit der Theorie der Charaktere endlicher und unendlicher Gruppen. Die wohl originellste mathematische Leistung von HAAR ist sein Beweis der Existenz des Haarschen Mapes, das ein schlagkraftiges Hilfsmittel zur Untersuchung lokal-kompakter Hausdorffscher topologischer Gruppen bildet und eine Ausdehnung der Fourier-Analysis auf beliebige lokal-kompakte abelsche Gruppen ermoglicht (abstrakte harmonische Analyse). 1m Nachruf der Redaktion der Acta Sci. Math. heHlt es: "Er beabsichtigte vor kurzem, jene Methoden, die er in den letzten Jahren iiber Gruppencharaktere und ... den MaBbegriff auf Gruppenmannigfaltigkeiten entwickelt hat, auf verschiedene Fragen der Algebra, Topologie, Analysis und Zahlentheorie anzuwenden." - HAAR starb am 16. Marz 1933 inmitten einer produktiven Schaffensphase an einem Krebsleiden. Aufgaben. 1m folgenden seien stets G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe, I ein linkes Haar-lntegral auf G, J.L das zugehiirige Haar-MaB und.1 die modulare Funktion von G, soweit nichts anderes gesagt wird. 3.1. Es seien A, B E 'l3(G) und J.L(A)
= J.L(B) = O. 1st dann J.L(AB) = O?
3.2. Fiir cp E C+(G) ist I
c
II Cc(H)
ein linkes Haar-lntegral auf H. H
SL (3,~) die multiplikative Gruppe der Matrizen
A=
(~ ~ ~)
(x, y, Z E
001
~) .
Beschreibt man die Elemente A E H durch die entsprechenden Vektoren (x, y, z) E ~3, so erhalt man eine multiplikative Gruppe G mit der Multiplikation (x, y, z){u, v, w) = (x +u, Y + v, xv + z + w), und I(f) := f df33 (f E Cc(G)) ist ein linkes Haar-lntegral auf G. 1st I auch rechtsinvariant?
IG
3.5. Es sei G C GL (n,~) die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen
X12 X22
o
X13 X23 X33
o
0
§ 3. Das Haarsche MaB
377
FaBt man G als offene Teilmenge des ffi.n (n+1)/2 auf, so ist
ein linkes und
lr(f) =
r I PX)
lG
X llX 22 ••••.
(f E Cc(G))
n d,Bn(n+1)/2(x) xnnl
ein rechtes Haar-Integral auf G. Welches ist die modulare Funktion von G? 3.6. Die Elemente 9 E SO(3) lassen sich (bis auf eine NUllmenge) mit Hilfe der Eulerschen Winkel parametrisieren in der Form
wobei coscp
g
o
-sincp coscp 0
0) 0
, h.p =
1
(1 0 0
0
cos1/! sin1/!
Dann ist
1(f) =
8~2 [ "
1" ["
J(g
(f E C(SO(3)))
das durch 1(1) = 1 normierte Haar-Integral auf SO(3) (M.A. NEUMARK: Lineare Darstellungen der Lorentzgruppe. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1963, S. 22 ff. oder SCHEMPP-DRESELER [1], S. 170 f.). 3.7. Es sei Q; die multiplikative Gruppe I(Y mit der diskreten Topologie, und G :=
Q; x ffi. sei mit der Produkttopologie und der Multiplikation (a, b)(x, y) := (ax, ay + b) (a, x E IQlx, b, y E ffi.) ausgestattet (vgl. Beispiel 3.14, a)). Bestimmen Sie ein linkes Haar-Integral auf Cc(G) und die modulare Funktion von G. 3.S. Bestimmen Sie ein Haar-Integral und ein Haar-MaB fUr die additive Gruppe ffi. x
wobei
~
~,
die mit der diskreten Topologie versehene Gruppe (lR, +) bezeichne.
3.9. Die Menge r := G x ffi. ist bez. der Produkttopologie und der Multiplikation (x, t)(y, u) := (xy, t + ~(X)-lU) (x, y E G, t, u E ffi.) eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe. Bestimmen Sie ein linkes Haar-Integral auf Cc(r) und zeigen Sie: r ist unimodular; Gist isomorph zu einer abgeschlossenen Untergruppe von r. Andert man jedoch die Multiplikation in r, indem man ~ -1 durch ~ ersetzt, so ist die neue Gruppe nicht unimodular, falls G nicht unimodular ist.
3.10. Es seien G, H lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppen und /1-, lllinke HaarMalle auf G bzw. H. Dann ist das im Sinne von Aufgabe 2.13 gebildete Radon-MaB /1- (/9 II
ein linkes Haar-MaB auf G x H. Wie lafit sich die modulare Funktion von G x H durch die modularen Funktionen von G und H ausdriicken? 3.11. a) Existiert eine kompakte Umgebung V von e, die unter allen inneren Automorphismen x >-+ axa- 1 (a E G) von G invariant ist, so ist G unimodular. b) Gibt es einen kompakten und offenen Normalteiler in G, so ist G unimodular. 3.12. Gist unimodular genau dann, wenn 1= I*. 3.13. Die Gruppe G aus Beispiel 3.14, a) hat folgende Eigenschaft: Es gibt eine Borel-Menge
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
378
von endlichem linkem Haar-MaB, welche unendliches rechtes Haar-MaB hat. 3.14. Es seien Heine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe und 'P : G -+ H ein topologischer Isomorphismus. a) I'P : Gc(H) -+ ][(,I'P(g) := I(go 0, so daB I'P = m('P)I,J1'P = m('P)J1, und es gilt: b. 0 ,K'P mit Uo. =
(~~),D>,
=
(,x~2 ,x-~/2)
,K'P =
-sin'P) (a E > O,
0 mit h(Uo.) = ao.. Wegen D>,Uo.D>,-l = Uo.>, ist a = 1. Analog gibt es wegen D>,D" = D>,,,(,x,J1 > 0) ein b E ~ mit h(D>,) = ,xb(,x > 0), und wegen
lR,,x
TD>,T- 1 = D>,-l (T:=
§ 4.
(~ ~1)) ist b = 0.)
Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit " ... we show how a distance L(J11,J12) can be introduced between two measures J11 and J12 ... such that convergence in the sense of this distance is equivalent to weak convergence. The set of finite measures in 9\ together with the distance L constitutes a complete separable metric space :D(9\) ... For the compactness of the set '.l1 C :D(9\) it is necessary and sufficient that the following two conditions should be simultaneously fulfilled: 1. sUP!'E'Jl J1(9\) < 00. 2. For any E: > 0 there exists a compact KE such that for every measure J1 E '.l1
(Yu.V.
PROKHOROV 2 ,
S. 158)
1m folgenden untersuchen wir die Konvergenz von Folgen und die Kompaktheit von Mengen von endlichen MaBen auf topologischen Raumen. Dieses Thema ist auBerordentlich vielschichtig: Man kann an den zugrundeliegenden topologischen Raum verschiedenartige Forderungen stellen, unterschiedliche a-Algebren bieten sich als Definitionsbereiche fUr die betrachteten MaBe an, verschiedene Klassen stetiger Funktionen konnen als Testfunktionen dienen, und verschiedene Regularitatsbegriffe kommen in Betracht. Das ergibt eine reiche Palette
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
379
fein abgestuften Satzen, die wir hier nur beispielhaft behandeln konnen, tiber die aber BOGACHEV [1], [2] ausftihrlich berichtet. Urn einige zentrale Satze moglichst einpragsam aussprechen zu konnen, verabreden wir - soweit nicht ausdrucklich etwas anderes gesagt wird - fUr den ganzen § 4 folgende Voraussetzungen und Bezeichnungen: Es seien (X, d) ein metrischer Raum und ~ = ~(X) die O'-Algebra der Borelschen Teilmengen von X. Ferner seien C(X) der Raum der stetigen Funktionen I : X ~ ][{, Cb(X) der Raum der beschrankten Funktionen aus C(X) und Cc(X) der Raum der stetigen Funktionen I : X ~ ][{ mit kompaktem Trager. Ftir I E Cb(X) sei 11/11"" := sup{l/(x)1 : x E X} . Mit
M+(~)
end I i c hen
bezeichnen wir die Menge der
MaBe ft : ~
~
[0,00[, und fUr ft E M+(~) sei Ilftll := ft(X) . Fundamental ist im folgenden der Begriff der schwachen Konvergenz: Eine Folge von MaBen ftn E M+(~) heifit schwach konvergent gegen ft E M+(~), wenn fUr aIle I E Cb(X) gilt: lim {
n---.""ix
I
dftn =
{
ix
I
dft .
1m Portmanteau- Theorem wird dieser Begriff charakterisiert mit Hilfe des Konvergenzverhaltens der Folgen (ftn(M))n2:1 (M C X abgeschlossen bzw. offen bzw. Borelsch). Die schwache Konvergenz von Folgen von endlichen MaBen auf IR laBt sich tiber das Konvergenzverhalten der entsprechenden Folgen von Verteilungsfunktionen charakterisieren und £Uhrt zum klassischen Konvergenzsatz von HELLy-BRAY. Der bertihmte Auswahlsatz von HELLY wirft allgemein die Frage auf, unter welchen Bedingungen eine Folge oder Menge von MaBen aus M+(~) eine schwach konvergente Teilfolge hat (Analogon des Satzes von BOLZANOWEIERSTRASS). Ftir polnische Raume X gibt der Satz von PROCHOROV hierauf eine abschlieBende Antwort: Eine Menge M C M+(~) ist relativ lolgenkompakt genau dann, wenn sie straffund beschrankt ist. Die Prochorov-Metrikermoglicht es schlieBlich, die schwache Konvergenz auch als Konvergenz beztiglich einer Metrik aufM+(~) aufzufassen. 1st X ein polnischer Raum, so ist M+(~) beztiglich der Prochorov-Metrik ein polnischer Raum. 1. Eine Regularitatseigenschaft endlicher MaBe auf metrischen Raumen. 4.1 Satz. 1st ft ein endliches Map aul ~ (X metrischer Raum), so ist jedes B E ~ in lolgendem Sinne abgeschlossen-regular: Zu jedem c > 0 gibt es eine offene Menge U :J B und eine abgeschlossene Menge A C B mit ft(U \ A) < c.
Beweis. Analog zum Beweis des Regularitatslemmas 1.4 betrachten wir das System 9't aller abgeschlossen-regularen Borel-Mengen B C X und zeigen zunachst:
VIII. MaBe auf topologischen Riiumen
380
!n ist eine a-Algebra: Offenbar ist 0 E !no Sind nun B E ~,c > 0 und U:::J B :::J A, U offen, A abgeschlossen, J-l(U \ A) < c, so gilt UC c BC c AC, uc ist abgeschlossen, N offen, U \ A = AC \ Uc, also J-l(AC \ UC) < c. Daher ist !n abgeschlossen bez. der Komplementbildung. Sind weiter (Bn)n>l eine Folge von Mengen aus !n und c > 0, so gibt es zu jedem n E N ein offenes Un :::J Bn und ein abgeschlossenes An C Bn mit J-l(Un \ An) < c2- n - 1 . Dann ist U := U::'=l Un eine offene Obermenge von B := U~l B n , C := U::'=l An ist eine F,,- Teilmenge von B, und es gilt J-l(U \ C) < c/2. Da J-l endlich ist, gibt es ein N E N, so daB fUr die abgeschlossene Menge A := U~=l An gilt J-l(C \ A) < c/2, und es folgt: J-l(U \ A) < c. Daher ist BE !n, und !n ist als a-Algebra erkannt. Zum AbschluB des Beweises zeigen wir: !n enthiilt alle offenen Teilmengen von X: 1st G C X offen, so ist G eine F,,-Menge (Aufgabe 1.6.1), d.h. es gibt eine wachsende Folge abgeschlossener Mengen Fn eX (n E N) mit Fn i G. 1st weiter c > 0, so gibt es wegen der Endlichkeit von J-l ein N E N mit J-l( G \ F N) < c, und U := G, A := FN leisten das Gewtinschte. 0
4.2 Definition. Ein MaB J-l E M+(~) heiBt straff (engl. tight), wenn zu jedem c> 0 ein Kompaktum K C X existiert mit J-l(KC) < c.
4.3 Korollar. 1st in der Situation des Satzes reguliir, d.h. J-l ist ein Radon-Map.
4.1 das Map J-l straff, so ist J-l
Beweis. Es seien B E ~ und c > o. Dann gibt es ein offenes U :::J B und ein abgeschlossenes A C B mit J-l(U \ A) < c/2, und nach Voraussetzung gibt es 0 ein Kompaktum K C X mit J-l(KC) < c/2. Daher ist J-l(U \ (A n K)) < c. 1st nun X sogar ein polnischer Raum (d.h. ein vollstiindig metrisierbarer Raum mit abziihlbarer Basis, s. Anhang A.22), so haben wir im ersten Beweisschritt des Satzes 1.16 von ULAM gerade gezeigt, daB jedes J-l E M+(~) straff ist. Zusammen mit diesem wichtigen Beweisschritt, den wir im folgenden noch zweimal benutzen werden, liefem die obigen Argumente ftir endliche MaBe auf polnischen Riiumen gerade die Regularitiitsaussage des Satzes von Ulam. 2. Schwache und vage Konvergenz von Folgen von Mafien. Es seien J-l, J-ln(n E N) endliche MaBe auf der a-Algebra 2t tiber der Menge X. Wollen wir den Begriff der Konvergenz "J-ln -+ J-l" definieren, so driingt sich zuniichst der folgende Versuch einer Definition auf: (J-lnk:O:l konvergiert gegen J-l, wenn fUr alle A E 2t gilt:
(4.1)
lim J-ln(A) = J-l(A) .
n->oo
Dieser Versuch ist aber zu verwerfen, denn dieser Konvergenzbegriff ist fUr viele Zwecke (namentlich in der Wahrscheinlichkeitstheorie) zu restriktiv, wie das folgende Beispiel zeigt. 4.4 Beispiel. Auf (JR., ~l) betrachten wir die MaBe J-ln(B) := XB (~) ,J-l(B) := XB (0) (B E ~ 1 ,n E N). Intuitiv erscheint es als durchaus naheliegend, daB die Folge der Massenverteilungen J-ln, bei welchen eine Einheitsmasse im Punkt ~
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
381
plaziert ist, fur n ---+ 00 gegen die Massenverteilung J.l mit der Einheitsmasse im Nullpunkt konvergiert. Diese intuitive Vorstellung widerspricht aber (4.1), denn fUr A =]- oo,O],A = {O},A =]O,oo[ ist (4.1) offenbar nicht erfuIlt.Betrachten wir die Massenverteilung, bei der in den Punkten kin (1::; k ::; n) jeweils die Masse ~ plaziert ist (d.h. J.ln(B):= ~ E~=lXB (~) fUr B E ~l,n E N), so ist plausibel, daB (J.lnk::1 gegen X[O,l] <::) (31 konvergiert. Es ist aber z.B. J.ln([O, 1] \ Q) = 0, wahrend (31([0, 1] \ Q) = 1 ist, so daB auch hier die Bedingung (4.1) verletzt ist. Um zu einer geeigneten Abschwachung von (4.1) zu gelangen, die den intuitiven Vorstellungen des Beispiels 4.4 gerecht wird, beachten wir: (4.1) ist aquivalent zu der Forderung: Fur jedes 1 E ,Coo (X, ~,J.l) gilt lim r1 dJ.ln = r1 dJ.l . n->ooi ix x
(4.2)
(Der Beweis der Implikation ,,(4.1) =? (4.2)" genugt fur den Fall 1 ~ 0, und dann liefert eine Approximation durch Treppenfunktionen das Gewtinschte.) Wenn wir nun im FaIle eines topologisehen Raums X die Bedingung (4.2) nur fUr spezielle Klassen stetiger Funktionen fordern, so erhalten wir als interessante Konvergenzbegriffe die sehwaehe Konvergenz und die vage Konvergenz. 4.5 Definition. Es seien X ein metrischer Raum und J.ln, J.l E M+(~) (n E N). Dann heiBt (J.lnk::1 schwaeh konvergent gegen J.l, wenn fUr aIle 1 E Cb(X) gilt lim r 1 dJ.ln = r 1 dJ.l ; n->ooix ix
(4.3)
Sehreibweise: J.ln ~ J.l. Der Buchstabe "w" bedeutet hier "weakly". - Offenbar existieren die Integrale unter (4.3), denn die Integranden sind meBbar und beschrankt, und die MaBe sind aIle endlich. Die in Beispiel 4.4 angegebenen Folgen (J.ln)n>l konvergieren schwach gegen das jeweilige J.l. Unter den Gegebenheiten der Definition 4.5 betrachten wir das signierte MaB J.ln - J.l, bezeichnen seine Variation mit lJ.ln - J.l1 (s. Abschnitt VIL1.3) und seine Totalvariation mit IIJ.ln - J.l11 = lJ.ln - J.l1 (X) (s. Abschnitt VIL1.5). Dann gilt nach Aufgabe VII.2.12 fUr aIle I
fx 1 dJ.ln - fx 1 dJ.l1
<
1 E Cb(X)
fx 111 dlJ.ln - J.l1
< 1lllloollJ.ln - J.l11 , d.h.: Aus der "starken Konvergenz" ehe Konvergenz" J.ln ~ J.l.
IIJ.ln - J.l11
---+
° (n
---+
00) lolgt die "sehwa-
382
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
Zur schwachen Konvergenz von Folgen endlicher MaBe gehort eine nattirliche Topologie auf M+(~), die sog. schwache Topologie. Diese wird definiert als die grobste Topologie auf M+(~), bezuglich welcher alle Abbildungen
stetig sind. Eine Umgebungsbasis von /La E M+(~) bez. der schwachen Topologie wird gebildet vom System aller Mengen Uft, ... ,fn;E(/La) := {/L E M+(~) : IIxhd/L- Ixhd/Lal < dur allej = 1, ... ,n}, wobei it, ... ,In E Cb(X),n E N, € > O. Die schwache Topologie ist Hausdorffsch, denn nach dem folgenden Satz 4.6 gibt es zu verschiedenen MaBen /L, v E M+(~) ein I E Cb(X) mit € = ~I Ix I d/L - Ix I dvl > 0, und dann ist Uj;E(/L) n UjAv) = 0. Insbesondere ist der Limes einer schwach konvergenten Polge endlicher MafJe eindeutig bestimmt. 4.6 Satz. Sind /L, v zwei endliche Borel-MafJe aul dem metrischen Raum X, so dafJ
kld/L fUr alle I
E
Cb(X), so gilt /L
=
k ldV
= v.
Beweis. Fur 0 =I- A c X und x E X bezeichnen wir mit d(x,A):= inf{d(x,y): yEA} den Abstand des Punktes x von A. - Es seien nun U
In(x)
:=
min(l, nd(x, UC ) )
c X offen, n E N und
(x E X) ,
falls U =I- X, und In := 1, falls U = X. Dann ist In E Cb(X), und es gilt In i Xu, also (monotone Konvergenz)
/L(U) = lim
rIn d/L = lim JrIn dv = v(U) .
n-+oo } X
n--+oo
X
Daher stimmen /L und v auf allen offenen Teilmengen von X uberein, also auch auf allen abgeschlossenen Mengen, denn /L und v sind endlich und /L(X) = v(X). Nach Satz 4.1 folgt nun die Behauptung. D Fur lokal-kompakte Hausdorff-Raume X bietet sich folgende Variante der Definition 4.5 an: 4.7 Definition. Sind X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und /L, /Ln (n E N) Radon-MaJ3e auf ~(X), so heiJ3t (/Ln)n>l vage konvergent gegen /L, wenn fUr alle I E Cc(X) gilt
r
r
I d/Ln = I d/L . lim n-->ooJ X }X
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
383
Dieser Begriff wird von BOURBAKI [1] und BAUER [1], [2] eingehend untersucht. Die vage Konvergenz wird beschrieben durch die vage Topologie auf der Menge der Radon-MaBe; dieses ist die gr6bste Topologie, bez. welcher alle Abbildungen
fj
f-------+
lfdfj
(f
E
Cc(X))
stetig sind. Eine Umgebungsbasis des Radon-MaBes fjo bez. der vagen Topologie wird gebildet yom System aller Mengen von Radon-MaBen fj mit
Il Ii
dfj - l
Ii dfjo < c 1
fUr alle j
= 1, ... ,n ,
wobei Jr, ... , fn E Cc(X), n E N, c > O. - Nach dem Darstellungssatz 2.5 von F. RIESZ ist der Limes einer vage konvergenten Folge von Radon-MaBen eindeutig bestimmt. Zwischen yager und schwacher Konvergenz von Folgen endlicher MaBe besteht z.B. im Falle (X, 113) = (JR, 113 1 ) ein wesentlicher Unterschied: Gilt fjn ~ fj, so kann man in (4.3) f = 1 wahlen und erhalt: fjn(X) -+ fj(X) (n -+ 00), d.h. "es geht keine Masse verloren". Wahlen wir dagegen fjn(B) := XB(n) (B E 113 1, n EN), so konvergiert die Folge (fjnk21 vage gegen fj = 0, aber es ist fjn(JR) = 1 (n EN), wahrend fj(JR) = 0 ist, d.h. in dies em Beispiel "geht bei der vagen Konvergenz von (fjn)n?l gegen fj samtliche Masse verloren". 1m folgenden werden wir uns bevorzugt mit schwacher Konvergenz von endlichen MaBen auf metrischen Raumen beschaftigen; die vage Konvergenz kommt namentlich in Abschnitt 4 zum Zuge. Der Begriff der schwachen Konvergenz hangt folgendermaBen mit den in Kapitel VI studierten Konvergenzbegriffen zusammen: 4.8 Satz. Es seien (Y, It, v) ein endlicher MafJraum und fn, f : Y -+ JR (n E N) mefJbare Funktionen mit fn -+ f n.M. Ferner seien fjn := fn(v), fj := f(v) die zugehOrigen BildmafJe auf 113 1 . Dann gilt fjn~fj.
(4.4)
Insbesondere gilt (4.4), falls fn -+ f v-f·il. Dieser Satz gilt sinngemaB auch fUr meBbare Funktionen fn, f : Y -+ X mit Wert en in einem separablen (!) metrischen Raum. Zum Beweis verwendet man Aufgabe VI.4.5 zusammen mit der SchluBweise des folgenden Beweises (s. Aufgabe 4.1).
Beweis von Satz 4.8. Es seien g E Cb(JR) und (fnJk>l eine Teilfolge von (fn)n>l' Nach Satz V1.4.13 gibt es eine Teilfolge (fnk / )1>1, die v-f.li. gegen f konvergie~t. Nun konvergiert (go fnk / )1>1 v-f.li. gegen go f, gist beschrankt, und v ist endlich. Daher liefert der Satz von der majorisierten Konvergenz zusammen mit der allgemeinen Transformationsformel V.3.1 fUr I -+ 00:
i.
gdfjnkl = [gofnk/ dV -+ [gof dv =
i.
gdfj,
384
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
d.h. J-Lnk, ~ J-L. Wir haben damit gezeigt: Jede Teilfolge von (J-LnkC: 1 hat eine schwach gegen J-L konvergente Teilfolge. Hieraus folgt aber die schwache Konvergenz J-Ln ~ J-L, denn ware (J-Ln)n?l nicht schwach konvergent gegen J-L, so gabe es ein 9 E Cb(lR) , ein E > 0 und eine Teilfolge (J-Lnkh:::l von J-L, so daB (4.5) fUr alle kEN. Nach dem oben Bewiesenen hat aber (J-L nkh?l eine schwach gegen J-L konvergente Teilfolge im Widerspruch zu (4.5). Es folgt: J-Ln ~ J-L. Die zweite Behauptung folgt aus Satz VI.4.5. 0 1st in der Situation des Satzes 4.8 das MaB vein WahrscheinIichkeitsmajJ (d.h. v(Y) = 1), so nennt man eine meBbare Funktion J : Y --+ lR eine (reellwertige) ZuJallsgrojJe und das BildmaB J(v) die Verteilung von J. Statt von "Konvergenz nach MaW' spricht man dann von "Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit" und anstelle von schwacher Konvergenz spricht man von Verteilungskonvergenz. 1m Sinne dieser Terminologie besagt Satz 4.8: Jede nach Wahrscheinlichkeit konvergente Folge von ZuJallsgrojJen ist verteilungskonvergent (mit gleichem Limes).
3. Das Portmanteau-Theorem. Es seien X ein metrischer Raum, J-Ln, J-L E M+(23) (n EN), und es gelte J-Ln ~ J-L. Wahlen wir in (4.3) speziell J = 1, so folgt
Andererseits wissen wir aus Beispiel 4.4, daB die Gl.limn-too J-Ln(B) = J-L(B) nicht uneingeschrankt fUr alle Borel-Mengen B C X richtig sein kann. Die genauere Analyse lehrt, daB hier das Verhalten von J-L auf dem Rande von B entscheidend ist.
4.9 Definition. 1st J-L ein Borel-MaB auf dem topologischen Raum X, so heiBt eine Menge BE 23(X) J-L-randIos, wenn der Rand BB := B\ Beine J-L-Nullmenge ist. Das folgende sog. Portmanteau- Theorem 21 gibt nun eine Reihe von Bedingungen an, die zur schwachen Konvergenz J-Ln ~ J-L aquivalent sind. Dieses Theorem laBt sich bis in die Anfange der topologischen MaBtheorie zuriickverfolgen (s. A.D. ALExANDRoFF [1]). 21 Das eng!. Wort portmanteau bezeichnet einen Lederkoffer oder Mantelsack zum Transport von Kleidung auf Reisen. 1m libertragenden Sinn bedeutet Portmanteau-Theorem hier einen Satz, der Hilfsmittel enthalt, die man zum Weiterkommen braucht. - In der zweiten Auf!. des Klassikers BILLINGSLEY [2] wird in diesem Zusammenhang eine berlichtigte Arbeit von JEANPIERRE PORTMANTEAU zitiert. Neuere historische Forschungen sollen ergeben haben, daB es sich hierbei urn einen Abk6mmling des weit verzweigten frz. Adelshauses der Portemanteau de Bourbaki handelt. Allerdings besteht noch Unklarheit in bezug auf den Vornamen; es k6nnte sich durchaus auch urn Jean oder Andre oder Henri handeln; auch Nicolas scheint den Satz zu kennen.
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
385
4.10 Portmanteau-Theorem. Es seien X ein metrischer Raum und P,n, p, E M+(IB) (n EN). Dann sind folgende Aussagen iiquivalent: a) P,n ~ p,. b) Fur jede gleichmiifJig stetige, beschriinkte Funktion f : X -t JR gilt
lim n-+oo
r f dP,n 1rx f dp, . =
1x
c) Es ist limn-+oo P,n(X) = p,(X), und fur jede abgeschlossene Menge A lim n-+oo
d) Es ist limn -+ oo P,n(X)
C
X gilt
P,n(A) ::::: p,(A) .
= p,(X), und fur jede offene Menge U C X gilt n-+oo
e) Fur jede p,-randlose Borel-Menge B C X gilt
Beweis. a) =} b): trivial. b) =} c): Wahlt man in b) f = 1, so folgt zunachst: P,n(X) -t p,(X). Sei A C X abgeschlossen: Fur A = 0 ist nichts zu tun. Sei A =I- 0 und c > o. Die Menge Um := {x EX: d(x, A) <
~}
(m
E
N)
+
ist eine offene Obermenge von A und Um A, denn A ist abgeschlossen. Wir wahlen kEN so groB, daB p,(Uk ) < p,(A) + c. Die Funktion f : X -t JR, f(x) := max(l - kd(x, A), 0) (x E X) ist offenbar beschrankt und gleichmaBig stetig, denn fUr aIle x, y EXist Id(x, A) - d(y, A)I ::::: d(x, y). Nach Voraussetzung gilt daher lim f dP,n = f dp, ,
r
r
n-+oolx
und wegen
XA :::::
f :::::
XUk
lx
resultiert
lim P,n(A) ::::: n-+oo
lim n-+oo
r
r
1x f dP,n = 1x f dp, +c .
::::: p,(Uk )::::: p,(A) Da dies fUr aIle c > 0 gilt, folgt Aussage c). c) {==} d): klar (Komplementbildung). d) =} e): Mit d) gilt auch c). Sei B E 23, p,(8B) = p,(B), also folgt aus d) und c):
p,(B)
P,(B)
<
lim P,n(B)
<
und Aussage e) ist bewiesen.
<
Dann ist p,(B) = p,(B) =
lim P,n(B) n-+oo
n-+oo
< n--+oo lim P,n(B)
o.
lim P,n(B)
n--+oo
<
p,(B) = p,(B) ,
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
386
e) =:} a): Nach e) gilt zunachst J-ln(X) -+ J-l(X) , denn ax = 0; insbesondere ist die Folge (J-ln(X))n;O:l beschrankt. Wegen der Linearitat des Integrals und J-ln(X) -+ J-l(X) k6nnen wir zum Beweis von a) gleich annehmen: f E Cb(X), 0 < f < M (M > 0). Nach Aufgabe V.1.12 ist dann
Ix
f dJ-l =
1M J-l( {f > t}) dt ,
und Entsprechendes gilt fur J-ln statt J-l. Wegen der Stetigkeit von f ist 22 a{f > = t}, und zufolge der Endlichkeit von J-l gibt es eine abzahlbare Menge C C JR, so daB J-l( {f = t}) = 0 fur aIle t E JR \ C. Daher ist {f > t} fUr aIle t E JR \ C eine J-l-randlose Menge, und nach e) folgt mit Hilfe des Satzes von der majorisierten Konvergenz fUr n -+ 00
t} c {f
Ix
f dJ-ln =
1M J-ln({f > t}) dt -+ 1M J-l( {f > t}) dt Ix f dJ-l . =
o 1m Portmanteau-Theorem ist unter c) und d) die Bedingung "J-ln(X) -+ J-l(X)" nicht entbehrlich, denn die ubrigen Bedingungen unter c) bleiben z.B. richtig, wenn man unter die Folge (J-ln)n>l unendlich oft das MaB 0 "mischt", aber dabei bleibt a) nicht notwendig richtig. - Die Aufgaben 4.6, 4.7 enthalten Erganzungen zum Portmanteau-Theorem.
4. Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen und die Satze von HELLy-BRAY und HELLY. Jedem WahrscheinlichkeitsmaB J-l : ~1 -+ [0,1] haben wir in Abschnitt II.5.3 seine Verteilungsfunktion F : JR -+ JR, (4.6)
F(x) := J-l(]- oo,x])
(x E JR)
zugeordnet. Allgemeiner definieren wir jetzt fUr jedes endliche MaB J-l : ~1 -+ [0, oo[ eine Verteilungsfunktion F verm6ge (4.6), und wir nennen auch aIle Funktionen F + c (c E JR) Verteilungsfunktionen von J-l (vgl. Korollar 11.2.3). Ohne a priori ein MaB vorgegeben zu haben, verstehen wir im folgenden unter einer Verteilungsfunktion jede wachsende, rechtsseitig stetige, beschriinkte Funktion F : JR -+ JR; jedes solche F definiert verm6ge
J-l(]a, b]) := F(b) - F(a)
(a < b)
ein endliches MaB J-l : ~1 -+ [0,00[. 1st F eine Verteilungsfunktion, so set zen wir (4.7)
IIFII := x---+oo lim (F(x)
- F(-x)) .
22Die Inklusion kann echt sein (z.B. im Fall eines diskreten Raums).
§ 4. Sehwaehe Konvergenz und sehwaehe Kompaktheit
387
Wie in Absehnitt II.2.2 nennen wir zwei Verteilungsfunktionen F, G : lR --+ lR iiquivalent, wenn F-G konstant ist, und bezeiehnen mit [F] die Aquivalenzklasse von F. Dann gilt wie in Absehnitt II.5.3: Die Zuordnung J1 I-t [F] definiert eine Bijektion zwischen der Menge der endlichen Mafle auf 11)1 und der Menge der AquivaIenzkIassen von Verteilungsfunktionen F : lR --+ lR; dabei gilt (4.8)
1IJ111 = IIFII .
4.11 Definition. Die Folge der Verteilungsfunktionen Fn : lR --+ lR (n E N) heiBt vage konvergent gegen die Verteilungsfunktion F : lR --+ lR, falls fur alle Stetigkeitspunkte x E lR von F gilt:
lim Fn(x) = F(x) .
n-Hx)
Gilt zusatzlieh IlFnll --+ IIFII (n --+ 00), so heiBt (Fn)n>1 schwach konvergent gegen Fi Schreibweise: Fn ~ F. Der Limes jeder vage konvergenten Folge (Fn)n~1 von Verteilungsfunktionen ist eindeutig bestimmt: Sind namlieh F, G Verteilungsfunktionen und konvergiert (Fn)n~1 vage gegen Fund gegen G, so ist F(x) = G(x) fUr aIle x E lR, in denen Fund G beide stetig sind. Da Fund Gals monotone Funktionen je hoehstens abzahlbar viele Unstetigkeitsstellen haben, ist die Menge der gemeinsamen Stetigkeitspunkte von Fund G dieht in lR, und die reehtsseitige Stetigkeit von Fund G impliziert F = G. Aus der vagen Konvergenz der Verteilungsfunktionen Fn gegen die VerteiIungsfunktion F folgt nicht notwendig IlFnll --+ IIFII: 1st z.B. Fo irgendeine nieht konstante Verteilungsfunktion und Fn(x) := Fo(x + n) (x E lR, n E N), so konvergiert (Fn)n>1 vage gegen die konstante Verteilungsfunktion F := limt--+oo Fo(t), aber es ist TlFnll = IlFoll > 0 und IIFII = O. Bei der vagen Konvergenz von Verteilungsfunktionen kann also (ahnlieh wie bei der vagen Konvergenz von MaBen) "Masse verlorengehen". 4.12 Satz. Es seien J1n (n EN), J1 endliche Mafle auf 11)1 mit zugehOrigen Verteilungsfunktionen Fn , F : lR --+ R Dann sind folgende Aussagen iiquivalent: a) J1n ~ J1. b) Mit geeigneten K onstanten Cn E lR (n E N) gilt Fn - Cn ~ F (n --+ 00).
Beweis. a) =} b): Ohne Besehrankung der Allgemeinheit konnen wir annehmen, daB Fn, F gemaB (4.6) festgelegt sind. Aus J1n ~ J1 folgt zunaehst IIJ1nll --+ 11J111, und mit (4.8) ergibt sich IlFnll --+ IIFII· Aus J1n ~ J1 folgt ferner die vage Konvergenz von (Fn)n~1 gegen F mit Hilfe der 1mplikation "a) =} e)" des Portmanteau-Theorems. Dabei ist zu beaehten, daB das 1ntervall]- 00, x] genau dann J1-randlos ist, wenn x ein Stetigkeitspunkt von Fist, denn naeh Beispiel 11.4.7 ist J1({x}) = F(x) - F(x - 0). b) =} a): Wir zeigen, daB Aussage d) des Portmanteau-Theorems erfUllt ist. Zunaehst gilt: J1n(X) = IlFnll --+ IIFII = J1(X). Sei ferner U C lR offen. 1st
388
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
U = 0, so ist nichts zu tun; sei U -=I- 0 und c > O. Dann ist U eine abzahlbare Vereinigung disjunkter, nicht-Ieerer, offener Intervalle I j C lR (j ~ 1), und es gibt ein N E N mit
Zu jedem j = 1, ... , N konnen wir ein Intervall der Form ]aj, bj] C I j wahlen mit
JL(]aj, bj ]) > JL(Ij) -
(aj < bj )
cTj-l .
(Das folgt aus der Beziehung JL(]a,,BD = F(,B-O) -F(a) (s. Beispiel IIA.7) und der rechtsseitigen Stetigkeit von F.) Dabei konnen wir zusatzlich die aj, bj (j = 1, ... , N) als Stetigkeitspunkte von F wahlen. Dann folgt:
lim JLn(U) n--+oo
~ lim JLn (U]a j , bj ]) j=l
n--+oo
N
N
lim "(Fn(bj ) - Fn(aj))
n--+ooL.....t j=l
JL
) - F(aj)) = "(F(bj ~ j=l
(~]aj, bj])
> JL(U) - c ,
d.h. es ist limn--+ooJLn(U) ~ JL(U). Die Implikation "d) =? a)" des PortmanteauTheorems ergibt nun die Behauptung. 0
4.13 Satz von HELLy-BRAY. Konvergiert die Folge der Verteilungsfunktionen Fn : lR -+ lR schwach gegen die Verteilungsfunktion F : lR -+ lR, so gilt fur jedes 9 E Cb(lR): lim n--+oo
r 9 dFn = J'rJI. 9 dF .
J'JI.
Beweis. Nach Satz 4.12 konvergiert die Folge der endlichen MaBe JLn : ~l -+ [0,00[, die den Fn entsprechen, schwach gegen das endliche MaB JL : ~l -+ [0,00[, das zu F gehort. 0 4.14 Satz von HELLy-BRAY. Konvergiert die Folge der Verteilungsfunktionen Fn : lR -+ lR vage gegen die Verteilungsfunktion F : lR -+ lR, so gilt fur jedes 9 E Cc(lR): lim n--+oo
Beweis. Es sei 9
E
r 9 dF
J'JI.
n
=
r 9 dF .
J'JI.
Cc(lR). Wir wahlen Stetigkeitspunkte a, b von F mit Tr 9
C
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit [a
+ 1, b -
389
1] und set zen fUr x E JR, n E N:
Fn(a) Fn(x) Fn(b) F(a) F(x) F(b)
{ {
Gn(x) .-
G(x) .-
fUr x::;a, fUr a::;x::;b, fur x'2 b, fUr x::;a, fUr a::;x::;b, fUr x '2 b.
Dann sind Gn, G Verteilungsfunktionen mit G n ~ G, denn fUr aIle Stetigkeitspunkte x E JR von G gilt limn-+oo Gn(x) = G(x), und zusatzlich gilt IIGnl1 = Fn(b) - Fn(a) -+ F(b) - F(a) = IIGII (n -+ 00). Nach Satz 4.13 folgt daher lim n-+oo
Wegen Tr 9 C [a
+ 1, b -
i
r 9 dG n = iT$.r 9 dG .
iT$.
1] ist aber
gdGn =
i
gdFn ,
i
9dG =
i
9dF ,
o
und es folgt die Behauptung.
4.15 Satz. Sind F, Fn : JR -+ JR (n E N) Verteilungsfunktionen, so sind folgende A ussagen iiquivalent: a) Es gibt Konstanten en E JR, so dafJ (Fn - en)n::::l vage gegen F konvergiert. b) Fiir jedes 9 E Cc(JR) gilt lim n-+oo
r9 dFn iT$.r9 dF . =
iT$.
Beweis. a) =} b): Satz 4.14 von HELLy-BRAY. b) =} a): Es seien a, bE JR Stetigkeitspunkte von F, a < b, c > 0, a + c < b - c, und c sei so gewahlt, daB auch a ± c, b ± c Stetigkeitspunkte sind von F. Ferner sei ge E Cc(JR) definiert durch fUr fUr fUr fUr
x
~
[a, b] ,
a::;x::;a+c, a+c::;x::;b-c, b-c::;x::;b.
Dann ist wegen Voraussetzung b)
F(b - c) - F(a + c) ::;
= lim n-too
i
gedF
r gedFn ::; lim (Fn(b) -
JJR
n-HX)
Fn(a)) .
VIII. MaBe auf topologischen Wiumen
390
UiBt man hier c eine Nullfolge von Werten Ck durchlaufen, so daB alle Punkte a + Ck, b - Ck Stetigkeitspunkte sind von F, so erhalten wir
F(b) - F(a) <::: lim (Fn(b) - Fn(a)) . n-+=
Wenden wir die gleiche SchluBweise an auf die Funktion hE E Cc(IR), 0 fur x tf. [a-c,b+c], fUr a-c<:::x<:::a, 1 fUr a <::: x <::: b, c1(b+c-x) fUr b<:::x<:::b+c,
h ( ) '= { c1(x - (a - c)) EX.
so folgt
=
rhEdF
iIR
< F(b + c) - F(a - c) ,
also: lim (Fn(b) - Fn(a)) <::: F(b) - F(a) .
n-+=
Damit haben wir gezeigt: Fur alle Stetigkeitspunkte a, bE lR von F gilt lim (Fn(b) - Fn(a))
n-+=
= F(b) - F(a) .
(Hier brauchen wir die Voraussetzung a < b nicht mehr.) Wahlen wir nun irgendeinen Stetigkeitspunkt ao von Fund setzen Cn := Fn(ao) - F(ao), so besagt die letzte Gleichung: Fur alle Stetigkeitspunkte x E lR von F gilt lim (Fn(x) - cn)
n-+=
und das war gerade zu zeigen.
= F(x) , o
Die Satze 4.12 und 4.15 lehren, daB die schwache bzw. vage Konvergenz der (ggf. urn geeignete Konstanten abgeanderten) Verteilungsfunktionen gerade der schwachen bzw. vagen Konvergenz der zugeh6rigen MaBe entspricht. 4.16 Auswahlsatz von HELLY (1912). a) Jede gleichmiifJig beschriinkte Polge von Verteilungsfunktionen Fn : lR -+ lR hat eine vage konvergente Teilfolge. b) Jede beschriinkte Polge (J-ln)n?l von MafJen auf'1j1 hat eine vage konvergente
Teilfolge. Beweis. a) Die Folge (Fn)n?l heiBt gleichmaBig beschrankt, wenn es ein M > 0 gibt, so daB IFn(x) I <::: M fUr alle x E lR, n E N. Wir beweisen die Behauptung mit Hilfe des Cantorschen Diagonalverfahrens. Dazu sei (rj k>l eine Abzahlung von Q. Die Folge (Fn(rl))n?l ist beschrankt, hat also nach dem Satz von BOLZANO-WEIERSTRASS eine konvergente Teilfolge (F1n(rl))n?1. Nun ist die
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
391
Folge (F1n (r2))n>1 beschrankt, hat also eine konvergente Teilfolge (F2n (r2))n>1, usw. Die k-te Thilfolge (Fkn(rk))n>l konvergiert, und da (Fkn ) eine Teilfolge aller zuvor gewahlten Teilfolgen (Fjn)n>l (j = 1, ... , k - 1) ist, konvergiert (Fkn (rj))n2:1 fUr aIle j = 1, ... , k. Nehmen wir nun aus dem Schema der Fkn die "Diagonalfolge" der (Fnn)n2:1' so ist (Fnn(rj))n2:j eine Teilfolge von (Fjn (rj))n2: 1, also konvergiert (Fnn(rj))n>l fUr jedes j E N. Wir gehen zur tiblichen Notation fUr Teilfolgen tiber und stell en fest: Es gibt eine Teilfolge (Fnkh2:1 von (Fn)n2: 1 und eine Funktion G : Q -+ 1R, so daB lim Fnk(r) = G(r)
k-'too
fUr aIle r E Q .
Offen bar ist die Funktion G : Q -+ IR wachsend. Setzen wir nun ftir x E IR
F(x):= inf{G(r): r E Q,r > x}, so ist F rechtsseitig stetig, wachsend und beschrankt, d.h. Fist eine Verteilungsfunktion. Zum AbschluB des Beweises zeigen wir: (Fnkh>l konvergiert vage gegen F. Dazu seien x E IR ein Stetigkeitspunkt von Fund E: > o. Dann gibt es ein 0 > 0, so daB
F(x) - E: < F(y) :::; F(z) < F(x) fUr aIle y, z mit x - 0 < y < x < z < x y < s < x < z < t < x + 0, so daB
+ o.
+ E:
Zu y, z gibt es s, t E Q mit
F(x) - E: < F(y) :::; G(s) :::; G(t) < F(x)
+ E: .
Wegen der Monotonie der Fnk folgt hieraus:
F(x)-E: <
lim Fnk(S) :::; lim Fn.(x)
k-'too
k-+oo
lim Fn.(x) :::; lim Fn.(t) < F(x) + E: . < k-'too k-+oo Da hier E: > 0 frei wahlbar ist, erhalten wir: limk-+ooFnk(x) = F(x). b) Die Folge (I-£n)n>l heiBt beschrankt, wenn die Folge (III-£nll)n>l beschrankt ist. Ordnen wir I-£n gemaB (4.6) seine Verteilungsfunktion Fn zu, s~ ist die Folge (Fn)n2: 1 gleichmaBig beschrankt, hat also nach a) eine Teilfolge (Fnkh2: 1' die vage gegen eine Verteilungsfunktion F konvergiert. Nach dem Satz 4.14 von HELLy-BRAY konvergiert dann (I-£ nkh2: 1 vage gegen das zur Verteilungsfunktion F gehorige MaB 1-£. 0
Bemerkungen, historische Notizen. Der Satz 4.13 von HELLy-BRAY gilt auch bei Integration tiber ein kompaktes Intervall [a, b], falls nur die Folge der rechtsseitig stetigen wachsenden Funktionen Fn : [a, b] -+ IR an allen Stetigkeitspunkten von F gegen die rechtsseitig stetige wachsende Funktion F : [a, b] -+ IR konvergiert und F in a und b stetig ist (s. LOEVE [1]). Ferner gelten die Satze von HELLY und HELLy-BRAY sinngemaB auch fUr Funktionen Fn von gleichmaBig beschrankter Variation (s. NATANSON [1]). - BRAY (1889-1978)
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
392
(s. [lD veroffentlicht seine Ergebnisse iiber Stieltjessche Integrale 1919 offenbar ohne zu wissen, daB HELLY (1884-1943) die Satze 4.13, 4.14 und den wichtigen Auswahlsatz 4.16 schon 1912 als technische Hilfsmittel in einer Arbeit (s. HELLY [lD entwickelte, die im Keirn grundlegende Prinzipien der Funktionalanalysis enthalt (Satz von BANACH-STEINHAUS, Satz von HAHN-BANACH). Eine Wiirdigung des dornenreichen Lebensweges und der wissenschaftlichen Leistungen von EDUARD HELLY findet man im Artikel von P .L. BUTZER et al.: EDUARD HELLY (1884-1943). Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 82, 128151 (1980). Die Satze von HELLy-BRAY und HELLY spiel en insbesondere in der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Theorie der charakteristischen Funktionen (Fourier-Transformierten von WahrscheinlichkeitsmaBen) eine bedeutende Rolle. Der Begriff der schwachen Konvergenz von (signierten) MaBen wird implizit im Jahre 1911 eingefUhrt von F. RIESZ ([2], S. 798-827) in einer Arbeit, die sich mit dem Beweis und mit Anwendungen des Darstellungssatzes von F. RIESZ fUr stetige Linearformen auf C[a, b] durch Stieltjessche Integrale (d.h. signierte MaBe auf [a, bD beschaftigt. Dort werden auf S. 814 Linearformen des Typs f H f(x) dam(x) betrachtet, wobei die Totalvariationen der Funktionen am (m ~ 1) gleichmaBig beschrankt sind. RIESZ zeigt dann mit Hilfe des Cantorschen Diagonalverfahrens, daB die Folge (a m)m;::l eine schwach konvergente Teilfolge hat. Damit beweist RIESZ de facto den Auswahlsatz von HELLY, aber er spricht den Satz nicht als selbstandiges Resultat aus, da seine Untersuchung andere Ziele verfolgt. Auf der Grundlage des Satzes von HELLY konnten wir nun die schwach relativ folgenkompakten Teilfolgen von M+(~l) charakterisieren, doch stellen wir das zuriick, da wir im nachsten Abschnitt mit dem Satz von PROCHOROV2 ein wesentlich allgemeineres Resultat kennenlernen werden. Auch im Beweis des Satzes von PROCHOROV spielt das Cantorsche Diagonalverfahren eine tragende Rolle.
J:
5. Der Satz von PROCHOROV 2 • 1m ganzen Abschnitt 5 seien (X, d) ein metrischer Raum und ~ = ~(X). 4.17 Definition. Eine Menge M C M+ (~) heiBt (schwach) relativ folgenkompakt, wenn jede Folge von Elementen aus Meine schwach konvergente Teilfolge besitzt, d.h. wenn zu jeder Folge von Elementen Jjn E M (n ~ 1) eine Teilfolge (Jj n kh;::l und ein Jj E M+(~) existieren mit Jjnk ~ Jj. Offenbar ist jede relativ folgenkompakte Menge M C dem Sinne, daB {IIJjII : Jj E M} beschrankt ist.
M+(~)
beschrankt in
1m Satz von PROCHOROV werden die relativ folgenkompakten Teilmengen von M+(~) mit Hilfe des Begriffs der Straffheit charakterisiert. 4.18 Definition. Eine Menge M C M+(~) (X metrischer Raum) heiBt (gleichmaftig) strafj, wenn zu jedem c > 0 ein Kompaktum K C X existiert, so daB
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
{L(KC) < c fUr aIle {L E M. Eine Folge ({Ln)n?l von Elementen aus (gleichmiiftig) straff, wenn die Menge {{Ln : n E N} straff ist.
393 M+(~) heiBt
4.19 Beispiel. Es seien (X,~) := (JR, ~l) und {La(B) := XB(a) (a E JR, B E ~l). Dann ist die Menge {{Ln : n E N} nicht straff, aber {{Ll. : n E N} ist straff. Fiir beliebiges A c JR gilt: {{La : a E A} ist straff genaun dann, wenn A beschrankt ist.
Eine straffe Menge M C M+(~) braucht nicht beschrankt zu sein. (Beispiel: Man nehme auf JR ein Borel-MaB {L =I- 0 mit kompaktem Trager und setze
M
:=
{O:{L : 0: > O}.)
4.20 Satz (PROCHOROV 2 1956). 1st X ein polnischer Raum (d.h. ein vollstiindig metrisierbarer Raum mit abziihlbarer Basis), so ist jede relativ folgenkompakte Menge M C M+(~) straff und beschriinkt. Da trivialerweise jede einelementige Teilmenge von M+(~) relativ folgenkompakt ist, erweist sich der Satz 1.16 von ULAM im Fall eines endlichen MaBes {L als Spezialfall von Satz 4.20. In der Tat wiederholt das wesentliche Argument im Beweis des Satzes 4.20 gerade die SchluBweise des schwierigsten Schrittes im Beweis des Satzes 1.16 von ULAM.
Beweis von Satz 4.20. Oben wurde bereits bemerkt, daB jede relativ folgenkompakte Menge M C M+(~) beschrankt ist. - Zum Nachweis der Straffheit zeigen wir zunachst:
(A)
1st (Uk)k>l eine wachsende Folge offener Teilmengen von X mit Uk>l Uk = X, so gibt es zu jedem c > 0 ein mEN, so daft {L( U~) < c fur alle ji, EM.
Begriindung: Ware die Aussage (A) falsch, so gabe es eine solche Folge (Ukh?l und ein c > 0 mit der Eigenschaft, daB man zu jedem kEN ein {Lk E M finden konnte mit {Lk(Uk) ;::: c. Die Folge ({Lkh?l hatte nach Voraussetzung eine schwach konvergente Teilfolge. Wegen der Monotonie der Folge (Ukh?l diirften wir gleich ohne Beschrankung der Allgemeinheit annehmen, daB bereits die urspriingliche Folge ({Lkh?l schwach konvergiert: {Lk ~ {L. Nach dem Portmanteau-Theorem konnten wir dann schlieBen: Fiir aIle kEN ist
+
Da aber {L endlich ist und Uk 0, erhalten wir einen Widerspruch, und (A) ist bewiesen. Zum Beweis der Straffheit von M sei nun c > o. Wir wahlen eine in X dichte Folge (Xj)j>l und set zen bei fest em n E N k
Unk
:=
U K~(xj) j=l
(k E N) .
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
394
Dann konvergiert die Folge (Unk h?l wachsend gegen X, und nach (A) gibt es zu jedem n E N ein kn E N, so daB
a fortiori ist also
Die gleichen Argumente wie im Beweis des Satzes 1.16 von ULAM lehren nun: Unkn ist kompakt und I1(KC) < c fiir aIle 11 M. Daher ist M ~~ 0
K :=
n:=l
E
4.21 Korollar. Jede schwach konvergente Folge von MafJen I1n E 1) ist straff (und beschriinkt).
M+(~P)
(n 2:
Beweis. 1st (I1n)n?l schwach konvergent, so ist M := {l1n : n E N} relativ 0 folgenkompakt, und Satz 4.20 liefert die Behauptung. In Satz 4.20 gilt auch die umgekehrte Implikation, und zwar fUr beliebige metrische Raume. Das ist die beweistechnisch "schwierigere Halfte" des Satzes 4.23 von PROCHOROV, wahrend Satz 4.20 als die "einfachere Halfte" anzusehen ist. Bei Anwendungen des Satzes von PROCHOROV kommt meist die folgende "schwierigere Halfte" zum Zuge:
4.22 Satz (PROCHOROV 2 1956). 1st X ein metrischer Raum, so ist jede straffe und beschriinkte Menge M C M+(~) relativ folgenkompakt.
Beweis (nach BILLINGSLEY [3] und [2], second ed.). Es sei (I1nk?l eine Folge von Elementen aus M. Zur Konstruktion einer schwach konvergenten Teilfolge von (I1n)n>l benutzen wir folgenden Ansatz: Da (I1n)n?l straff ist, gibt es eine wachsende Folge kompakter Mengen Km C X (m EN), so daB 1
I1n(K':,.) < -
(4.9)
m
fUr aIle m, n EN.
Jedes Km (m E N) ist ein kompakter metrischer Raum, also separabel, folglich ist auch L := Km ein separabler Teilraum von X. (Man beachte hier, daB X nicht u-kompakt zu sein braucht; aber: Das Komplement der u-kompakten Menge List eine I1n-NuIlmenge fUr aIle n EN.) Wir wahlen eine abzahlbare dichte Menge DeL und betrachten die (abzahlbare) Menge Ji aIler Kugeln Kr(a) C X (r E Q, r > 0, a E D). 1st nun U C X offen und x E Un L, so wahlen wir ein c > 0 mit Ke(x) C U, danach ein a E D mit d(x, a) < c/2 und ein r E Q mit d(x, a) < r < c/2. Dann gilt fUr die Kugel B := Kr(a) E Ji: x E B C Be Ke(x) cU. Mit V bezeichnen wir die Menge aIler endlichen Vereinigungen von Durchschnitten des Typs B n Km(B E Ji, mEN) einschlieBlich der leeren Vereinigung 0. Die Menge V ist abzahlbar, und aIle Mengen aus V sind kompakt. Fiir jedes mEN ist Ji eine offene Uberdeckung von K m , also gibt es eine
U:=l
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
395
endliche Teiluberdeckung B l , ... , Br E it von Km. Trivialerweise bilden dann auch die Mengen Bl n K m, ... ,Br n Km E 'D eine Uberdeckung von K m, und da 'D abgeschlossen ist bez. der Bildung endlicher Vereinigungen, erhalten wir: Km E 'D fUr alle mEN. Wie im Beweis des Auswahlsatzes 4.16 von HELLY benutzen wir nun das Cantorsche Diagonalverfahren und wahlen eine Teilfolge (I1n.)k~l von (I1n), so daB der Limes (4.10)
fUr alle D E 'D existiert. (Die Konstruktion verlauft hier wie folgt: Sei (D j )j~l eine Abzahlung von 'D. Die Folge (I1n(Ddk?l ist nach Voraussetzung beschrankt (!), hat also eine konvergente Teilfolge (l1lk(Dl )h>l' Ebenso ist (111k(D2)h>l beschrankt, hat also eine konvergente Teilfolge (;;2k(D2)h~l' usw. Die Folge (111k(Dj)h>l konvergiert nach Konstruktion fUr alle j = 1, ... , t. Daher konvergiert d~ Diagonalfolge (l1kk(Dj)h~l fUr alle j E N, denn (l1kk(Djh:?.i ist Teilfolge der konvergenten Folge (l1jk(Dj)h~l' - Wir kehren zur ublichen Bezeichnung fur Teilfolgen zuruck und bezeichnen die Diagonalfolge mit (I1n.h~l)' Das wesentliche Ziel des folgenden Beweises ist nun die Konstruktion eines MaBes 11 auf 1"13 (X) , so daB fUr alle offenen U c X gilt:
(4.11)
I1(U)
=
sup{v(D) : D
E
'D, Dc U} .
Wenn wir ein solches 11 konstruiert haben, konnen wir den Beweis folgendermaBen rasch zu Ende fUhren: Sei U C X offen. Fur jedes D E 'D, D c U ist
also nach (4.11)
(4.12)
11(U) ::; lim I1n. (U) . k-4OO
Insbesondere ist 11 endlich, denn Mist nach Voraussetzung beschrankt. Ferner gilt wegen Km E 'D (m E N) folgende Ungleichungskette:
I1(X)
sup v(D) :::: sup v(Km) DE'D
mEN
SUp (lim I1 n .(Km )) k-400
mEN
> SUp (lim I1n.(X) mEN
k-400
~) m
lim I1n. (X) . k-400 Zusammen mit (4.12) ergibt sich I1(X) = limk-4oo I1n. (X), und wegen (4.12) liefert das Portmanteau-Theorem die schwache Konvergenz I1n. ~ 11. Damit bleibt nur noch ein MaB 11 auf I"13(X) zu konstruieren mit (4.11).
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
396
Zur Konstruktion eines solchen p, gehen wir ahnlich vor wie im Beweis des Fortsetzungssatzes 2.4 und bemerken vorab folgende trivialen Eigenschaften von v: Fur alle D I , D2 E D gilt
(4.14)
< V(D2) , falls DI C D2 , V(DI U D 2) < v(Dd + v(D2) ,
(4.15)
v(D I U D 2)
(4.13)
v(D I )
ferner ist v(0)
v(D I ) + v(D2) , falls DI n D2
= O. Fur offenes U
(4.16)
C
= 0;
X setzen wir nun zunachst
p(U) := sup{v(D) : D C U, D E D} ,
und anschlieBend fur beliebiges M C X (4.17)
'f/(M) := inf{p(U) : M C U, U offen} .
Zur Konstruktion des gesuchten p, werden wir zeigen: (A) 'f/ ist ein aufJeres MafJ, und jede abgeschlossene Menge A eXist 'f/mefJbar. Mit Hilfe von (A) ist die Konstruktion von p, rasch zu erledigen: Nach (A) gilt 23(X) c !2l1J (= a-Algebra der 'f/-meBbaren Mengen), p, := 'f/ I 23(X) ist also ein MaB, und fUr jedes offene U C X folgt (4.11) aus (4.13), (4.16), (4.17). Es bleibt nur noch (A) zu zeigen. Das geschieht in fUnf Schritten. (1) Sind A cUe X, A abgeschlossen, U offen, und gibt es ein D E D mit A cD, so existiert ein E E D mit AcE cU. Begrundung: Zu D gibt es ein mEN mit Dc Km. Als abgeschlossene Teilmenge des Kompaktums D ist A kompakt. Weiter ist A c UnL, denn DeL. Zufolge einer Bemerkung im Ansatz gibt es daher zu jedem x E A ein Bx E ~ mit x E Bx c Bx c U. Die Familie (BX)XEA ist eine offene Uberdeckung von A, folglich gibt es eine endliche Teiluberdeckung B Xll ••• , B x , (Xl' .•. ' Xr E A), und die Menge E := U;=l BXj n Km E D leistet das Verlangte. -
(2) Fur alle offenen U, V eXist p(U U V) ::::; p(U)
+ p(V)
.
Begrundung: Ist U = X oder V = X, so ist die Behauptung offenbar richtig. Sei nun Uc -I 0 -I VC und D C U U V, DE D. Wir betrachten die abgeschlossenen Mengen A
.- {x ED: d(x, U C) 2:: d(x, VC)} ,
B
.- {x ED: d(x, U C) ::::; d(x, VC)} .
397
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
Offenbar ist A c U, denn gabe es ein x E A \ u, so ware x E V, also d(x, UC) = denn VC ist abgeschlossen, und dann ware x ~ A: Widerspruch! Also ist A c U und entsprechend Be V. Nach Schritt (1) gibt es wegen A cD ein E E D mit AcE c U. Entsprechend gibt es ein FED mit B C F c V, und es gilt D = Au BeE u F. Daher folgt aus (4.13), (4.14):
o < d(x, VC),
lI(D)
~
lI(E u F)
~
lI(E)
+ lI(F)
~
p(U)
+ p(V) ,
und die Supremumsbildung uber alle D C U U V, DE D liefert (2). -
(3) Fiir alle offenen Un C X (n E N) gilt
Begriindung: 1st D E D, D C U:'=l Un, so gibt es wegen der Kompaktheit von D ein pEN, so daB D C U~=l Un, und mit einer trivialen 1nduktion unter (2) folgt
lI(D) Da D
E
~ p (~ Un) ~ ~ p(Un) ~ ~ P(Un) .
D, D C U~l Un belie big ist, resultiert (3). -
(4) TJ ist ein iiuj1eres Maj1. Begriindung: Da 1I(0) = 0 und da TJ monoton ist, brauchen wir nur noch die abzahlbare Subadditivitat von TJ zu zeigen. Dazu seien Mn C X (n E N) und c > o. Dann gibt es offene Un :J Mn mit p(Un) ~ TJ(Mn) + c . 2- n (n EN), und wir k6nnen mit (3) abschatzen: 00
00
< LP(Un) ~ L TJ(Mn) + c. n=l
n=l
Dies gilt fUr alle c > 0, also folgt (4). -
(5) Jedes abgeschlossene A eXist TJ-mej1bar. Begriindung: Wir mussen zeigen, daB fUr alle Q C X gilt (4.18)
TJ(Q) 2: TJ(Q n A)
+ TJ(Q n A
C)
•
Das zeigen wir zunachst fUr den Fall einer offen en Menge Q = U eX: Dazu sei c > O. Wirwahlen ein Dc UnAc (= offen (!)), DE D mit lI(D) 2: p(UnAC)-c. Weiter wahlen wir ein E C UnD c (= offen (!)), E E D mit lI(E) 2: p(UnDC)-c.
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
398
Da D,E disjunkte Mengen aus V sind mit DuE (4.13), (4.17) wegen UnDc:::l UnA:
c U
folgern wir aus (4.15),
p(U) > v(D U E) = v(D) + v(E) > p(U n AC) + p(U n DC) - 210 > 17(U n A) + p(U n AC ) - 210 • Da hier 10 > 0 beliebig klein sein darf, gilt (4.18) fUr offenes Q = U. 1st nun Q C X beliebig, so wahlen wir zu 10 > 0 ein offenes U :::l Q mit 17(Q) ~ 17(U) - 10 und erhalten nach dem so eben Bewiesenen
17(Q) > 17(U) - 10 ~ 17(U n A) + 17(U n AC ) > 17(Q n A) + 17(Q n AC ) - 10 ,
-
10
o
und es folgt die Behauptung (5). -
4.23 Satz von PROCHOROV 2 (1956). 1st X ein polnischer Raum, so ist eine Menge M C M+(lB) genau dann relativ folgenkompakt, wenn sie straff und beschriinkt ist.
o
Beweis. Satz 4.20 und Satz 4.22. Da insbesondere der Raum JRP polnisch ist, liefert der Satz von folgende Erganzung zum Auswahlsatz von HELLY.
PROCHOROV
4.24 Korollar. 1st f-Ln E M+(lB P ) (n ~ 1), so gilt: Die Folge (f-Ln)n~l ist genau dann straff und beschriinkt, wenn jede Teilfolge von (f-Ln)n~l eine schwach konvergente Teilfolge hat. Beweis. 1st (f-Ln)n~l straff und beschrankt, so hat jede Teilfolge von (f-Ln)n~l nach Satz 4.22 eine schwach konvergente Teilfolge. Umgekehrt: ErfUllt (f-Ln)n>l die angegebene Teilfolgenbedingung, so ist M := {f-Ln : n E N} relativ folge~ kompakt. Daher ist M und damit (f-Ln)n~l nach Satz 4.20 straff und beschrankt.
o Mit Hilfe von Satz 4.12 laBt sich die Aussage des Satzes 4.24 auch in Termen von Verteilungsfunktionen formulieren.
6. Die Laplace-Transformation. 1st f-L ein endliches Borel-MaB auf [0, 00[, so heiBt L : [0,00[--+ lR, L(s) :=
1
00
e- SX df-L(x)
(s
~ 0)
die (einseitige) Laplace- Transformierte von f-L. Offenbar ist L wohldefiniert, stetig und beschrankt, denn fUr s ~ 0 ist
0:::; L(s) :::; L(O) = Ilf-LII ;
399
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit femer gilt nach Satz IV.5.6 lim L(s)
S-HXJ
= /-l({0}).
Die Funktion List monoton fallend, und List gleichmaf3ig stetig auf [0,00[' denn fUr s ::: t gilt
°: :
°<
L(s) - L(t) =
1
<
00
1
00
e- SX (l - e-(t-slX) d/-l(x)
(1 - e-(t-slX) d/-l(x) = L(O) - L(t - s) ,
°
und die Stetigkeit von L in impliziert die gleichmaf3ige Stetigkeit. Auf ]0, oo[ ist L nach Satz IV.5.7 beliebig oft differenzierbar mit
L(kl(s) = (_l)k Speziell ist L" (s) ~
1
00
Xke-sx d/-l(x)
(s > 0; k
~ 0, k E
Z) .
°
fUr s > 0, d.h. List konvex.
Eine auf einem Intervall I C lR erklarte Funktion F : I --+]0, oo[ heif3t bekanntlich logarithmisch konvex, falls log F konvex ist, d.h. wenn
°
fUr alle x, y E I, < >. < 1. Nach Gl. (VL1.6) ist jede logarithmisch konvexe Funktion konvex. Wir zeigen: 1st /-l 1= ein endliches Borel-Mafi auf [0,00[, so ist die Laplace- Tmnsformierte L von /-l logarithmisch konvex. Zum Beweis seien s, t ~ und < >. < 1. Wir wenden die H6ldersche Ungleichung an mit p := >.-1, q := (1 - >.)-1 (p, q > 1,p-1 + q-1 = 1) und erhalten
°
° °
L(>.s + (1 - >')t) =
<
(1
00
1
00
e- Asx e-(1- Altx d/-l(x)
e-SXd/-l(X)r
(1
00
e-txd/-l(X)r-
A
L(S)AL(t)1-A.
o 4.25 Lemma. Sind /-In (n E N) und /-l endliche Borel-Mafie auf [O,oo[ mit zugehorigen Laplace- Tmnsformierten Ln (n E N) bzw. Lund gilt /-In ~ /-l, so gilt Ln(s) -----t L(s). n~oo
o
Beweis: Definition 4.5.
Lemma 4.25 gestattet folgende verscharfte Umkehrung, zu deren Beweis wir den Satz 4.22 von PROCHOROV heranziehen werden. 4.26 Satz. Es seien /-In (n E N) endliche Borel-Mafie auf[O, oo[ mit zugehOrigen Laplace- Transformierten Ln (n E N), und es gebe eine in stetige Funktion
°
400
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
L : [0,00[--+ JR mit limn-too Ln(s) = L(s) (s ?: 0). Dann gibt es ein endliches Borel-Map Jl auf [0, oo[ mit Jln ~ Jl, so dap L die Laplace- Transformierte von Jl ist. (Insbesondere ist L auf [0, oo[ stetig.) Beweis. Wir zeigen zunachst, daB (Jln)n?l straff ist. Zum Beweis benutzen wir die elementare Identitat -11T( 1-e -SIT) ds=-1 roe und erhalten nach dem Satz von
(r > 0)
FUBINI
(4.19)
Die Funktion List als punktweiser Limes stetiger Funktionen Borel-meBbar, ferner nach Voraussetzung stetig in 0, also in einem Intervall [0, b] beschrankt (b> 0 geeignet). Zu jedem c > 0 gibt es daher ein r E]O, b], so daB
(4.20)
liT
(L(O) - L(s)) ds < -c . roe
Nun gilt Ln(O)-Ln(s) --+ L(O)-L(s) (n --+ 00), und diese Konvergenz wird auf [0, b] majorisiert durch eine geeignete Konstante, denn 0 :::; Ln (s) :::; Ln (0) (0:::; s :::; b) und Ln(O) --+ L(O) (n --+ 00). Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz gibt es daher zu jedem c > 0 ein no EN, so daB fUr r gemaB (4.20) und alle n ?: no gilt
liT
(Ln(O) - Ln(s)) ds < -C . r o e Nach (4.19) ist nun Jln([r-l, oo[) < c fUr alle n ?: no, und wahlen wir a > r- l hinreichend groB, urn auch noch JlI, ... ,Jlno-l zu erfassen, so k5nnen wir schlieBen: Zu jedem c > 0 gibt es ein a > 0, so daB Jln([O, a]C) < c fUr alle n E N. Daher ist (Jlnk;~l straff und wegen IIJlnl1 = Ln(O) --+ L(O) auch beschriinkt. Nach Satz 4.22 gibt es ein endliches Borel-MaB Jl auf [0, oo[ und eine Teilfolge Jlnk ~ Jl (k --+ 00). Wir zeigen, daB bereits die "ganze" Folge (Jln)n?l schwach gegen Jl konvergiert: Dazu seien 1 E Cb([O,oo[) und M > 0 so beschaffen, daB 1111100 :::; M. Ferner sei M gleich so groB gewahlt, daB auch IIJlII :::; M und IIJlnl1 :::; M fUr alle n E N. Sei nun c > 0 und b := c/(4M + 1). Da (Jln)n>l straff ist, gibt es ein a > 0, so daB Jl([O, < b und Jln([O, < 8 fUr alle ,;i, E N. Zu a wahlen wir ein h E Cc([O,oo[) mit hi [0, a + 1] = 1,0 :::; h :::; 1 und approximieren die Funktion h . f E Cc([O,oo[) durch eine Linearkombination der Funktionen es : [0,00[--+ JR,es(x):= e- SX (x?: O;s > 0): Offenbar bilden die Linearkombinationen der Funktionen es (s > 0) mit komplexen Koeffizienten eine
an
an
§ 4. Sehwaehe Konvergenz und sehwaehe Kompaktheit
401
Unteralgebra A der C-Algebra Co([O,oo[) der stetigen Funktionen auf [0,00[, die im Unendliehen versehwinden, und A hat folgende Eigensehaften: (i) Fur aIle f E A ist 1 E A. (ii) A trennt die Punkte von [0,00[. (iii) Zu jedem x ;::: 0 gibt es ein f E A mit f(x) :/= O. Naeh einem KoroIlar zum Satz von STONE-WEIERSTRASS (s. z.B. SEMADENI [1], S. 116, 7.3.9.) liegt A daher dieht in Co ([0, oo[) bez. der Supremumsnorm, d.h.: Es gibt eine Linearkombination 9 der Funktionen e s (s > 0) (mit reeIlen Koeffizienten), so daB Ilhf - glloo < 8. Nun ist fUr aIle n E N
11
00
f dJLn -
11
1
00
9 dJLn
I
11
+ (hf - g) dJLnl < Ilf(l - h) IIooJLn ([a + 1, oo[) + Ilhf - glloollJLnl1 <
00
(f - hf) dJLnl
00
< 2M8, und die gleiehe Absehatzung gilt fUr JL ansteIle von JLn. Daher ist fUr aIle n E N (4.21)
11
00
<
f dJLn
11
00
-1
00
f dJLI
11 -1
(f - g) dJLn I +
< 4M8 +
11
00
gdJLn
00
00
9 dJLn -
1
00
9 dJL
I+
11
00
(g - 1) dJL I
gdJLI·
Da 9 eine Linearkombination der Funktionen e s (s > 0) ist und da Ln(s) --+ L(s) = OO e- SX dJL(x) (s;::: 0) konvergiert, gibt es ein nl EN, so daB fUr aIle n ;::: nl der letzte Term auf der reehten Seite von (4.21) kleiner ausfaIlt als 8. Naeh Wahl von 8 ist daher die linke Seite von (4.21) fUr aIle n;::: nl kleiner als (4M + 1)8 = 10, und es folgt: JLn ~ JL. D
Io
4.27 Korollar. Die Laplace-Transformation, die jedem endlichen Borel-Map JL auf [0, oo[ seine Laplace-Transformierte L zuordnet (L(s) = oo e- sx dJL(x) fur s ;::: 0), ist injektiv.
Io
Beweis. Es seien JL, v endliehe Borel-MaBe auf [O,oo[ mit gleieher LaplaeeTransformierten L. Wir set zen JLn := JL fUr gerades n E N und JLn := v fUr ungerades n E N. Die der Folge (JLn)n?l entspreehende Folge von LaplaeeTransformierten ist konstant gleieh Lund List in 0 stetig. Naeh Satz 4.26 gibt es daher ein endliehes Borel-MaB p auf [0, oo[ mit JLn ~ p. Da (JLn)n?l aber eine sehwaeh gegen JL und eine sehwaeh gegen v konvergente Teilfolge hat und der sehwaehe Limes eindeutig bestimmt ist, folgt JL = p = v. D 7. Die Prochorov-Metrik. 1m folgenden Absehnitt werden wir u.a. zeigen: 1st X ein separabler metriseher Raum, so gibt es eine natiirliehe Metrik 8 auf M+(~), die sog. Prochorov-Metrik, so daB die sehwaehe Konvergenz JLn ~ JL
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
402
aquivalent ist zur Konvergenz bez. der Metrik J (d.h. J(J.Ln, J.L) -+ 0; s. Satz 4.35). Der Raum (M+(~), J) ist ein polnischer Raum, falls X ein polnischer Raum ist (Satz 4.38). - 1m weiteren seien stets (X, d) ein metrischer Raum und ~ = ~(X). Fur A c X und c > 0 set zen wir Ae := 0, falls A = 0 und
AE
{x EX: es gibt ein yEA mit d(x,y) < c} {XEX:d(x,A)
4.28 Definition. Fur J.L,V E
J(J.L, v)
:= inf{ c
M+(~)
sei
> 0 : J.L(A) :::; v(Ae) + c und v(A) :::; J.L(Ae) + c fUr alle A E
~}
.
1m Hinblick auf Satz 4.29 heiBt J die Prochorov-Metrik. 4.29 Satz (PROCHOROV 2 1956). (M+(~), J) ist ein metrischer Raum.
Beweis. Offenbar gilt J(J.L, J.L) = 0 und J(J.L, v) = J(v, J.L) (J.L, v E M+(~)). Es seien weiter J.L, v E M+(~) und J(J.L, v) = O. Fur jede abgeschlossene Menge A eXist dann J.L(A) :::; v(Al/n) + ~ (n EN). Fur n -+ (Xl gilt A1/n ..I- A (A ist abgeschlossen!), und es folgt J.L(A) :::; v(A). Da die Definition von J symmetrisch ist in J.L, v, folgt J.L(A) = v(A) fUr alle abgeschlossenen A C X. Insbesondere ist J.L(X) = v(X), und durch Komplementbildung ergibt sich J.L(U) = v(U) fUr alle offen en U C X. Satz 4.1 liefert nun J.L = v. - Zum Nachweis der Dreiecksungleichung fUr J seien J.L, v, P E M+(~), c > 0, 'f/ > 0 und J(J.L, v) < c,J(v,p) < 'f/. Dann gilt fUr alle A E ~ J.L(A) < v(Ae) + c < p((AE)'1) + c + 'f/ < p(Ae+'1) + c + 'f/ , und aus Symmetriegrunden ist auch
also J (J.L, p) :::; c + 'f/. Die Infimumbildung bez. c und 'f/ liefert nun die Dreiecksungleichung
J(J.L, p) :::; J(J.L, v)
+ J(v, p)
. D
4.30 Lemma. Es seien J.L, v E
> 0 und
J.L(B) :::; v(Be)
(4.22)
fur alle B E
M+(~), c
~.
Dann gilt fur alle C E v(C) :::; J.L(ce)
+c
~
+ c + Ilvll - IIJ.LII .
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
Beweis. Fur beliebige B, G
c
403
X gilt:
(4.23)
Begrundung: Die 1nklusion B C (Gey ist gleichbedeutend mit "x tJ. Ge fUr aIle x E B", und das ist gleichbedeutend mit "d(x, y) ~ c fur aIle x E B, y E G". Die letzte Bedingung ist symmetrisch in B, G, also folgt (4.23). Es seien nun G E IB, c > 0, und fUr aIle B E IB gelte (4.22). Wir wahlen speziell B = (Ge)c und erhalten wegen (4.23)
M(Ge)
IIMII - M( (Ge)C) = IIMII - M(B) > IIMII - v(B e ) - c IIMII- Ilvll + v((Be)C) - c > v(G) + IIMII - Ilvll - c .
Damit ist die Behauptung bewiesen. 4.31 Korollar. Sind
(4.24)
M, v E M+(IB)
D
IIMII = Ilvll, so gilt inf{c > 0: M(A) :::; v(Ae) + c fur alle A E ~} inf{c > 0: v(A) :::; M(A e) + c fur alle A E ~} und
.
Beweis. Definition 4.28 und Lemma 4.30.
D
4.32 Beispiel. Fur a E X und B E IB sei Ma(B) := XB(a) (Einheitsmasse in a). Dann gilt fUr aIle a,b E X:
(4.25)
Beweis. Nach (4.24) ist 8(Ma, Mb) = inf{ c > 0 : XA(a) :::; XAE(b)
+ c fUr aIle A E
IB} .
Fur beliebiges A E IB ist XA(a) :::; 1, daher ist zunachst 8(Ma,Mb) :::; 1. 1st weiter c > d(a, b), so gilt fUr jedes A E IB (4.26) denn fUr a tJ. A ist diese Ungleichung trivialerweise richtig, und fUr a E A ist b E Ae, und (4.26) ist ebenfalls richtig. Damit haben wir gezeigt: Fur aIle a, bE X ist (4.27) Umgekehrt: 1st d(a,b) verletzt, d.h. es gilt (4.28)
~
1 und 0 < c < 1,A:= {a}, so ist b tJ. Ae und (4.26) ist
404
VIII. Ma£e auf topologischen Raumen
1st hingegen d(a, b) < 1, so wahlen wir wieder A = {a}, und fUr 0 < e <::; d(a, b) ist b tf- Ac, Ungleichung (4.26) ist verletzt, d.h. (4.28) gilt auch in diesem Fall. Aus (4.27), (4.28) folgt nun (4.25). 0 Offenbar ist min(l, d) eine Metrik auf X, die dieselbe Topologie definiert wie d. Beispiel 4.32 liefert folgendes 4.33 Korollar. Die Abbildung X OJ a f--7 /-La E M+(SB) (/-La(B):= XB(a) fur a E X,B E SB) definiert eine isometrische Injektion von (X,min(l,d)) in (M+(SB), b). 4.34 Satz. Sind /-L,/-Ln E M+(SB) (n E N) und gilt b(/-Ln,/-L) -+ 0 (n -+ (0), so folgt: /-Ln ~ /-L.
Beweis. Wir wahlen eine monotone Nullfolge (en)n;>l positiver reeller Zahlen mit b(/-Ln,/-L) < en (n ~ 1). Fur aile A E SB gilt dann (4.29) 1st speziell A
c X abgeschlossen, so gilt Ac n
.}
A, und (4.29) liefert fUr n -+
00:
speziell ist limn-+CXJ/-Ln(X) <::; /-L(X). - Ungleichung (4.29) gilt entsprechend bei Vertauschung der Rollen von /-L und /-Ln, und das bedeutet fUr A = X
also n-+CXJ 1nsgesamt haben wir damit gezeigt: Fur jedes abgeschlossene A eXist limn-+CXJ/-Ln(A) <::; /-L(A) , und es gilt /-L(X) = limn-+ CXJ /-Ln(X), Das PortmanteauTheorem liefert nun die Behauptung. 0 Fur separable metrische Raume gilt in Satz 4.34 auch die umgekehrte 1mplikation: 4.35 Satz (PROCHOROV 2 1956). Sind X ein separabler metrischer Raum und /-L, /-Ln E M+(SB) (n EN), so gilt fur n -+ 00:
Beweis. -¢=: Satz 4.34. Es seien (Xj)j;>l eine in X dichte Folge und e > O. Die Mengen Bl := K e / 2(Xl), B2 := K c / 2(X2) \ B l , ... ,Bn+! := K c / 2(xn+d \ (Bl U ... U Bn) (n ~ 1) sind paarweise disjunkt, haben aile h6chstens den Durchmesser e, und es ist =}:
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
x
405
) < E und bezeichnen mit endliche System der offenen Mengen (Bir U ... U BjmY, wobei 1 :::; j1 < j2 < ... < jm :::; k. Nach Voraussetzung ist limn-+ooMn(U) 2 M(U) fiir jede offene Menge U C X (Portmanteau-Theorem). Da m endlich ist, gibt es also ein no E N, so daB Mn(V) > M(V) - E fiir aIle n 2 no und aIle V E m. 1st nun A E ~, so seien B j" ... , Bjm (1:::; j1 < j2 < ... < jm :::; k) diejenigen unter den Mengen B 1 , ••• , B k , die mit A einen nicht-Ieeren Durchschnitt haben, und V := (Bir U ... U BjmY' Dann ist V C A 2E, und fiir aIle n 2 no gilt:
= U:=l Bn- Wir wahlen ein kEN mit M(Uj>k B j
m das
M(A)
:::; M(V)
+M
(U
B j ) :::; M(V)
+E
J>k
:::; Mn(V)
+ 2E :::; Mn(A2E) + 2E .
Nach Lemma 4.30 folgt hieraus fiir aIle n 2 no und aIle B E Mn(B) :::; M(B2E)
~
+ 2E + IIMnl1 - IIMII .
Wegen Mn ~ Mgilt aber IIMnll-+ IIMII, und durch hinreichend groBe Wahl von no konnen wir zusatzlich erreichen, daB liMn 11- IIMII :::; E fur aIle n 2 no. Insgesamt ergibt das fiir aIle A E ~ und aIle n 2 no die Ungleichungen M(A) :::; Mn(A 3E ) + 3E , Mn(A) :::; M(A 3E ) + 3E ,
o
d.h. fiir aIle n 2 no ist 6(Mn, M) :::; 3E.
4.36 Korollar. 1st (X, d) ein separabler metrischer Raum, so ist eine Menge M C M+ (~) genau dann relativ folgenkompakt (im Sinne der Definition 4.17), wenn M als Teilmenge des metrischen Raums (M+(~), 6) relativ kompakt ist.
Beweis. Bekanntlich ist ein metrischer Raum R genau dann kompakt, wenn jede Folge von Elementen aus Reine konvergente Teilfolge hat. Die Behauptung folgt daher aus Satz 4.35, denn nach Satz 4.35 ist M genau dann relativ folgenkompakt, wenn jede Folge von Elementen aus Meine bez. der Prochorov-Metrik 6 konvergente Teilfolge hat, und das ist genau dann der Fall, wenn jede Folge von Elementen aus M (AbschluB von M in (M+(~), 6)) eine konvergente Teilfolge h~.
0
4.37 Satz. Der metrische Raum (X, d) ist genau dann separabel, wenn (M+(~), 6) separabel ist.
Beweis. Da jeder Unterraum eines separablen metrischen Raums separabel ist, folgt die Separabilitat von (X, d) aus der von (M+(~), 6) (Korollar 4.33). - Es sei nun umgekehrt (X,d) separabel, und E > 0 und die Folge (Bj)j?l seien wie im Beweis von Satz 4.35. Fur a E X sei Ma(B) := XB(a) (B E ~). Wir lassen die leeren Mengen unter den B j weg und nehmen (nach eventueller Umindizierung) gleich an, daB B j =I 0 fiir j 2 1. Fur jedes j 2 1 wahlen wir ein aj E Bj und set zen ME :=
{t J=l
rjMaj :
n N, E
rj E Q, rj 20
fiir j = 1, ... ,
n} .
VIII. MaBe auf topologischen Raumen
406
Offenbar ist ME abzahlbar. Wir zeigen: Zu jedem 11 E M+(!13) gibt es ein v E ME mit 0(11, v) ::::: 3E. Begriindung: Zunachst wahlen wir kEN so groB, daB 11 (Uj>kBj) <
E.
Fur j
=
1, ... ,k wahlen wir weiter rj E Q,rj
~
0, so
daB 2:~=1111(Bj) - rjl < E. Sodann set zen wir v:= 2:~=1 rjl1aj und behaupten: v leistet das Verlangte. Zum Beweise seien A E !13 und I := {j EN: j ::::: k, An B j -1= 0}. Nach Wahl von kist dann
I1(A)
< 11
(U
Bj)
+E =
JEI
<
L
I1(Bj ) + E
JEI
L rj + 2E = JEI
V
(U
B j)
+ 2E
JEI
< v(A2E) + 2E
,
und da dies fUr aile A E !13 gilt, liefert Lemma 4.30
Hier ist k
Ilvll- 111111 = L
j=1
rj -
L
I1(Bj) <
E ,
j2:1
also ist 0(11, v) < 3E. Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen. - Setzen wir nun E = l/q (q E N) und bilden M := U~l M 1/ q , so ist M abzahlbar und dicht in (M+ (!13), 0). D 4.38 Satz (PROCHOROV 2 1956). (X, d) ist ein polnischer Raum genau dann, wenn (M+(!13), 0) ein polnischer Raum ist.
Beweis. Es sei zunachst (X, d) ein polnischer Raum. Nach Satz 4.37 ist nur noch zu zeigen, daB (M+ (!13), 0) vollstiindig ist. Dazu sei (I1n)n2:1 eine CauchyFolge bez. der Prochorov-Metrik O. Wir werden zeigen, daB (I1n)n;"l straffist und beschriinkt. Wenn das bewiesen ist, konnen wir den Beweis wie folgt abschlieBen: Nach Satz 4.22 hat (I1n)n2:1 eine schwach konvergente Teilfolge. Diese Teilfolge konvergiert nach Satz 4.35 auch bezuglich der Metrik O. Eine Cauchy-Folge in einem metrischen Raum, die eine konvergente Teilfolge hat, ist aber selbst konvergent, und die Vollstandigkeit ist bewiesen. Zum Beweis der Straffheit von (I1n)n>l seien E > 0, p > 0 und 0 < 1) < ~ min(E, p). Dann gibt es ein mo E N, so -daB O(l1m, I1 mo) < 1) fUr aile m ~ mo· Bezeichnen wir mit (Xj )j2:1 wieder eine in X dichte Folge, so gibt es ein kEN, so daB fUr aile m = 1, ... ,mo gilt (4.30)
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit
407
Fur aIle m :2: mo gilt dann nach Konstruktion (4.31 )
''" (~K"(X,)) > > limo
Pm (
(~ K,(X,)) ')
(~K1)(Xj)) - T/
> limo (X) - 2T/ (nach (4.30)) > lim(X) - 3T/ , denn wegen m :2: mo ist 0(lim, limo) < T/, also ( 4.32) Zusammen ergibt sich aus (4.30), (4.31): Fur aile m :2: 1 ist
Dies wenden wir an mit E . 2- n ansteIle von E, wahlen p = ~ k5nnen folgern: Zu jedem n E N gibt es ein k n E N, so daB
(n E N) und
fUr aIle mEN. Wie im Beweis des Satzes 1.16 von ULAM folgt nun die Straffheit von (lim)m?l' - Die Beschranktheit ist klar nach (4.32). Sei nun umgekehrt (M+(23), 0) ein polnischer Raum. Dann ist (X, d) separabel (Satz 4.37), und nach KoroIlar 4.33 ist nur noch zu zeigen, daB das Bild von X unter der Einbettung X "3 a H lia E M+(23) abgeschlossen ist. Wegen der Separabilitat von X sind in M+(23) schwache Konvergenz und Konvergenz bez. der Prochorov-Metrik gleichbedeutend (Satz 4.35). Daher genugt es zum Nachweis der Abgeschlossenheit des Bildes von X, wenn wir zeigen: 1st (an)n?l eine Polge von Elementen aus X, und gibt es ein Ii E M+(23) mit lia n ~ Ii, so gibt es ein a E X mit Ii = lia. Begriindung: Die Mengen Ak := {am: m :2: k} (k:2: 1) bilden eine faIlende Folge abgeschlossener Mengen mit Ak .J,. A := n~=l AnNach dem Portmanteau-Theorem ist fUr aIle kEN
also
Ii(Ak) = Ii(A) = Ii(X) = 1 . Wir zeigen weiter, daB A genau ein Element enthalt: Angenommen, es gibt a, b E A mit a I' b. Wir wahlen 0 < E < ~d(a, b) und set zen f(x) := max(l c1d(x, K(a)), 0) (x EX); dann ist f E Cb(X) und f I K£(a) = 1, f I K£(b) =
408
VIII. MaBe auf topologischen Riiumen
O. Nach Definition von A gibt es Teilfolgen (a n Jk>l' (a m Jk>l mit ank -+ a, ank E K,,(a) (k E N),a mk -+ b,amk E K,(b) (k E N)~Daher gilt
Ix f
dP,a nk
= 1,
Ix f dP,a~k =
0 (k
E
N) .
Dies widerspricht offenbar der Konvergenz
Die Menge A enthiilt also hochstens ein Element, und da A wegen p,(A) = 1 nicht leer ist, gibt es ein a E X mit A = {a}. Wegen p,(A) = p,(X) 1 folgt nun: p, = P,a' D Aufgaben.4.1. Es seien (Y, It, v) ein endlicher Mafiraum, (X, d) ein separabler (!) metrischer Raum und I, In : Y --+ X (n E !'iI) meJ3bare Funktionen mit In --+ I n.M. (s. Aufgabe VI.4.5). Ferner seien J.L := I(v), J.Ln := In(v) die zugehOrigen Bildmalle. Dann gilt: J.Ln ~ J.L. Insbesondere gilt J.Ln ~ J.L, falls In --+ lv-f. ii. 4.2. Sind (Y, It, v) ein endlicber Mafiraum, (X, d) ein metrischer Raum, In : Y --+ X (n E N) mellbar, J.Ln := In(v) (n E N) und a E X,J.La(B) := XB(a) (B E 'B) und gilt J.Ln ~ J.La, so gilt In --+ a n.M. (Warum ist hier - im Gegensatz zu Aufgabe 4.1 - der Begriff der Konvergenz In --+ a n.M. auch ohne die Voraussetzung der Separabilitat von (X, d) sinnvoll?) 4.3. Es seien J.L,J.Ln (n E N) endliche Mafie auf der u-Algebra Ql iiber der Menge X. Dann sind folgende Aussagen aquivaIent: a) Fiir aIle A E Ql gilt limn-too J.Ln(A) = J.L(A). b) Fiir aIle I E ,l;OO(X, Ql,J.L) gilt
r
lim IdJ.Ln= n--roo}x
lxr IdJ.L.
4.4. Es seien X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und J.L, J.Ln (n E N) endliche Radon-Malle auf 'B(X). Die Folge (J.Ln)n>l heille schwach konvergent gegen J.L (kurz: J.Ln ~ J.L), wenn fiir aile I E Cb(X) die Gl. (4.3fgilt. Zeigen Sie: a) Der Limes einer schwach konvergenten Folge endlicher Radon-Malle ist eindeutig bestimmt. b) Die Folge (J.Ln)n>l konvergiert genau dann schwach gegen J.L, wenn (J.Ln)n>l vage gegen J.L konvergiert und li~n-too J.Ln(X) = J.L(X) ist. 4.5. Ist J.L ein Borel-Mall auf dem topologischen Raum X, so bilden die J.L-randlosen Teilmengen von X eine Algebra, aber nicht notwendig eine u-Algebra. 4.6. Es seien X ein metrischer Raum und J.L,J.Ln E M+('B) (n E !'iI). Dann sind folgende Aussagen a)-d) aquivalent: a) J.Ln ~J.L. b) Fiir jede J.L-randlose abgeschlossene Menge A eXist limn-too J.Ln(A) = J.L(A). c) Fiir jede J.L-randlose offene Menge U eXist limn-too J.Ln(U) = J.L(U). d) Fiir jede offene Menge U eXist limn-tooJ.Ln(U) 2: J.L(U), und fiir jede abgeschlossene Menge A eXist limn-tooJ.Ln(A) ::::: J.L(A). 4.7. Ist (X,d) ein metrischer Raum, so heiJ3t eine Funktion I: X --+ IR Lipschitz-stetig genau dann, wenn es eine Konstante C 2: 0 gibt, so dall fiir aIle x, y E X gilt: I/(x)- l(y)1 ::::: Cd(x, y). Sind weiter J.L,J.Ln E M+('B) (n E !'iI), so sind folgende Aussagen aquivalent:
409
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit a) JLn ~ JL.
Ix
Ix
b) Fiir jede gleichmaBig stetige Funktion f E Cb(X) gilt liilln~= f dJLn = f dfL· c) Fiir jede Lipschitz-stetige Funktion f E Cb(X) gilt limn~= f dfLn = f dJL.
Ix
Ix
4.8. Sind (X, d) ein metrischer Raum und fL, v E M+('l3), so sind folgende Aussagen aquivalent: a) JL = v. b) Fiir jede gleichmafiig stetige Funktion f E Cb(X) ist f dJL = f dv. c) Fiir jede Lipschitz-stetige Funktion f E Cb(X) ist f dJL = f dv.
Ix
Ix
Ix
Ix
4.9. Es sei (Fn)n21 eine gleichmaBig beschrankte Folge von Verteilungsfunktionen auf lR, und es gebe eine abzahlbare Menge C C ~ und eine Funktion G : ~ \ C --+ lR, so daB Fn(x) --+ G(x) (n --+ 00) fiir aJle x E ~\ C. Dann gibt es eine Verteilungsfunktion F : ~ --+ lR, so daB (Fn)n21 vage gegen F konvergiert. 4.10. 1st (X, d) ein polnischer Raum, so ist jede schwach konvergente Folge von Mallen aus M+('l3) straffund beschrankt. 4.11. Es seien X, Y metrische Raume, f : X --+ Y stetig und JL, JLn E M+ ('l3) (n E N) mit fLn ~ JL. Dann gilt f(fLn) ~ f(JL)· 4.12. Eine Folge (JLn)n>l endlicher Borel-Malle auf [O,oo[ ist straff genau dann, wenn es eine monoton wachsende Funktion f : [0,00[--+ [O,oo[ gibt mit f(x) --+ 00 (x --+ 00) und SUPnEN f dJLn < 00.
10=
4.13. Es seien (X, d) ein metrischer Raum und fiir JL, JLn E M+('l3) (n E N) gelte JLn ~ JL. Dann gilt fiir jede nicht-negative stetige Funktion f : X --+ [0,00[: lim n---+oo
r fdJLn ~ ixr fdJL.
lx
(Hinweis: Fiir jedes mEN ist min(f, n) E Cb(X) und min(f, n)
t f.)
4.14. Es seien (Y, \!:, v) ein endlicher Mallraum, (X, d) ein separabler (!) metrischer Raum, f, 9 : Y --+ X zwei meBbare Abbildungen und f(v), g(v) die zugehorigen Bildmalle auf 'l3(X). Ferner bezeichne p die Halbmetrik aus Aufgabe VI.4.5, d.h.
p(f,g) = inf{c
~
0: v({d(f,g) > c}) ::::: c}.
Dann besteht zwischen p und der Prochorov-Metrik 8 folgende Beziehung:
8(f(v),g(v)) ::::: p(f,g) .
Anhang A Topologische R§ume 1m folgenden stellen wir ohne Beweise einige Begriffe und Sachverhalte aus der Topologie zusammen. Bei Bedarfsind die Lehrbiicher von BOURBAKI [6], [7J, DUGUNDJI [IJ, ENGELKING [IJ, KELLEY [IJ, V. QUERENBURG [IJ und SCHUBERT [IJ zuverliissige Ratgeber.
A.I. Ein topologischer Raum (X,D) ist eine Menge X versehen mit einem System D von Teilmengen von X, so dafi folgende Axiome erfiillt sind: (0.1) Jede Vereinigung von Mengen aus D gehOrt zu D; 0 E D. (0.2) Jeder endliche Durchschnitt von Mengen aus D gehOrt zu D; XED. Die Elemente x E X heif3en Punkte, die Elemente von D heiBen die ofJenen Mengen von X, und D heiBt die Topologie von X. Speziell ist '+l(X) eine Topologie auf X, die sog. diskrete Topologie. 1st (X, d) ein metrischer (oder halbmetrischer) Raum und D das System aller Mengen V C X mit der Eigenschaft, daB zu jedem a E Vein c > 0 existiert mit Ke(a) C V, so ist D eine Topologie auf X. In diesem Sinne ist jeder (halb-)metrische Raum ein topologischer Raum. - 1m folgenden sei stets (X, D) ein topologischer Raum, soweit nichts anderes gesagt ist.
A.2. Sind a E X, V C X, so heiBt V eine Umgebung von a, wenn es ein U E D gibt mit a E U C V;U(a) := {V eX: V Umgebung von a} heiBt der Umgebungsfilter von a. X heiBt separiert oder ein HausdorfJ-Raum, wenn zu allen a, b E X, a i' b Umgebungen U von a, V von b existieren mit un V = 0 (HausdorfJsches Trennungsaxiom). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum. - Sind A, V C X, so heiBt V eine Umgebung von A, wenn ein U E D existiert mit A cUe V. (Man beachte: Bei dieser Terminologie brauchen die Umgebungen keine offenen Mengen zu sein.) A.S. Eine Menge Q3 cD heiBt eine Basis von D, wenn jedes A E D Vereinigung (nicht notwendig abziihlbar vieler) Mengen aus Q3 ist. Eine Menge m C U(a) heiBt eine Umgebungsbasis von a, wenn zu jedem U E U(a) ein V E mexistiert mit V C U. Zum Beispiel bilden die Mengen Ke(a) (c > 0) eine Umgebungsbasis von a im (halb-)metrischen Raum (X,d), und die Mengen Ke(a) (a E X,c > 0) bildeneine Basis der Topologievon (X,d). - Der Raum (X,D) geniigt dem ersten Abziihlbarkeitsaxiom, wenn jedes a E X eine abziihlbare Umgebungsbasis hat. Jeder (halb- )metrische Raum geniigt dem ersten Abziihlbarkeitsaxiom. - (X, D) erfiillt das zweite Abziihlbarkeitsaxiom, wenn D eine abziihlbare Basis hat.
A.4. Eine Menge A C X heiBt abgeschlossen, wenn AC offen ist. Jeder Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen; X ist abgeschlossen. Jede endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen; 0 ist abgeschlossen. Zu jedem A C X gibt es eine bez. mengentheoretischer lnklusion kleinste abgeschlossene Menge F mit F ::J A, namlich den J. Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 7. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-17905-1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011
A. Topologische Raume
411
Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von X, die A umfassen. Diese Menge F heiBt die abgesehlossene Hi111e von A und wird mit if bezeichnet. Die Punkte b E if heiBen die Beri1hrungspunkte von A. Es gilt b E if genau dann, wenn UnA cF 0 fUr aile U E ll(b). 1st sogar Un (A \ {b}) cF 0 flir aile U E ll(b), so heiBt b ein Haufungspunkt von A. - Sind A, B eX, so heiBt A dieht in B, falls B C if. X heiBt separabel, wenn X eine abzahlbare dichte Teilmenge hat. Jeder topologische Raum, der dem zweiten Abzahlbarkeitsaxiom genligt, ist separabe!. Jeder separable (halb- )metrische Raum genligt dem zweiten Abzahlbarkeitsaxiom. A.5. Zu jedem A C X gibt es eine groBte offene Teilmenge U C A, namlich die Vereinigung aller offenen Teilmengen von A. Diese Menge U heiBt der offene Kern von A und wird mit
A
bezeichnet. Die Punkte x EA heiBen inn ere Punkte von A. Es gilt (A)e = Ac.
A.6. 1st Y c X, so ist DIY := {U n Y : U E D} eine Topologie auf Y, die Spurtopologie oder Relativtopologie von D auf Y. (Y, DIY) heiBt ein Teilraum von (X, D). A.7. Sind X, Y topologische Raume und f : X -t Y eine Abbildung, so heiBt f stetig in a E X, falls zu jeder Umgebung V von f(a) eine Umgebung U von a existiert, so daB f(U) C V. Die Abbildung f : X -t Y heiBt stetig, wenn sie in jedem Punkt a E X stetig ist. Kompositionen stetiger Abbildungen sind stetig. Eine Abbildung f : X -t Y ist genau dann stetig, wenn f-l(V) offen ist in X flir jede offene Menge V C Y. f : X -t Y heiBt eine topologische Abbildung oder ein Homoomorphismus, wenn f bijektiv ist und wenn f : X -t Y und f- 1 : Y -t X beide stetig sind. Existiert ein Homoomorphismus f : X -t Y, so heiBen X und Y homoomorph. A.S. Sind 6 und T zwei Topologien auf der gleichen Menge X, so heiBt 6 feiner als T (und T grober als 6), falls T C 6.
A.9. Sind (X, 6), (Y, T) topologische Raume, so gibt es eine grobste Topologie D auf X x Y, welche die kanonischen Projektionen prx : X x Y -t X, (x, Y) H X und pry: X x Y -t Y, (x, y) -t y stetig macht; D heiBt die Produkttopologie von 6 und T und (X x Y, D) das topologisehe Produkt von (X,6) und (Y, T). Die Mengen U x V (U E 6, VET) bilden eine Basis von D. Eine Abbildung 9 : (Z, ryt) -t (X X Y, D) ist genau dann stetig, wenn prx 0 9 und pry 0 9 stetig sind. Entsprechendes gilt flir Produkte endlieh vieler topologischer Raume. A.I0. Ein System II offener Teilmengen von X heiBt eine offene Uberdeekung von A C X, falls A C UUE'tI U. Eine Teilmenge T der Uberdeckung II von A heiBt eine TeilUberdeckung, falls T eine Uberdeckung von A ist. X heiBt kompakt, wenn jede offene Uberdeckung von X eine endliche TeilUberdeckung hat. Eine Menge A C X heiBt kompakt, wenn der Teilraum (A, D I A) kompakt ist, und A heiBt relativ kompakt, wenn if kompakt ist. (Viele Autoren verlangen von einem kompakten topologischen Raum zusatzlich, daB das Hausdorffsche Trennungsaxiom erfUlit ist, und nennen die im obigen Sinne kompakten Raume "quasikompakt".) Jede abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist kompakt. Jede kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raums ist abgeschlossen.
A.n. Eine Familie J von Teilmengen von X hat die endliche Durchschnittseigensehaft, wenn jeder endliche Durchschnitt von Mengen aus J nicht-leer ist. X ist kompakt genau dann, wenn flir jede Familie J abgesehlossener Teilmengen von X, welche die endliehe Durchschnittseigenschaft hat, der Durchschnitt aller Mengen aus J nicht-leer ist. A.12. Es sei f : X -t Y eine Abbildung von X in den topologischen Raum Y. 1st f stetig und K C X kompakt, so ist f(K) eine kompakte Teilmenge von Y. - f heiBt offen (bzw. abgesehlossen), wenn flir jede offene (bzw. abgeschlossene) Menge A C X die Bildmenge f(A) offen (bzw. abgeschlossen) in Y ist. 1st X kompakt, so ist jede stetige Abbildung f : X -t Y in einen Hausdorff-Raum Y abgeschlossen. Daher ist jede stetige bijektive Abbildung eines kompakten Raums X auf einen Hausdorff-Raum Y ein Homoomorphismus.
412
A. Topologische R¨aume
A.13. Eine Folge (xn )n≥1 in X heißt konvergent gegen a ∈ X, wenn zu jedem U ∈ U(a) ein n0 ∈ N existiert, so daß xn ∈ U f¨ ur alle n ≥ n0 . Der Punkt a ∈ X heißt ein H¨aufungswert von (xn )n≥1 , wenn es zu jeder Umgebung U von a unendlich viele n ∈ N gibt mit xn ∈ U . ¨ A.14. X heißt abz¨ahlbar kompakt, wenn jede abz¨ahlbare offene Uberdeckung von X eine endliche Teil¨ uberdeckung hat. X ist abz¨ahlbar kompakt genau dann, wenn jede Folge in X einen H¨aufungswert hat. Ist (X, d) eine halbmetrischer Raum, so sind folgende Aussagen ¨aquivalent: (i) X ist kompakt. (ii) X ist abz¨ahlbar kompakt. (iii) Jede Folge in X hat eine konvergente Teilfolge. Jede stetige Funktion auf einem abz¨ahlbar kompakten Raum ist beschr¨ankt und nimmt ihr Maximum und ihr Minimum an. A.15. Es seien I eine Indexmenge und ((Xι , Oι ))ι∈I eine Familie topologischer R¨aume. Das cartesische Produkt X := ι∈I Xι ist definiert als Menge aller Abbildungen x : I → ι∈I Xι , so daß xι := x(ι) ∈ Xι f¨ ur alle ι ∈ I; Schreibweise: x = (xι )ι∈I . Sind alle Xι = ∅(ι ∈ I), so ist X = ∅ (Auswahlaxiom). Das System aller Mengen der Form ι∈I Uι , zu denen eine endliche Menge E ⊂ I existiert, so daß Uι ∈ Oι f¨ ur alle ι ∈ E und Uι = Xι f¨ ur alle ι ∈ I \ E, bildet die Basis einer Topologie O auf X, der Produkttopologie der Oι (ι ∈ I). Dieses ist die gr¨obste Topologie auf X, die alle Projektionen prκ : X → Xκ , prκ ((xι )ι∈I ) := xκ (κ ∈ I) stetig macht. Alle prκ (κ ∈ I) sind offene Abbildungen. Satz von Tichonoff (1935): Sind alle (Xι , Oι )(ι ∈ I) kompakt, so ist (X, O) kompakt. A.16. X heißt regul¨ar, wenn f¨ ur jedes a ∈ X die abgeschlossenen Umgebungen von a eine Umgebungsbasis von a bilden. X heißt vollst¨andig regul¨ar, wenn es zu jedem a ∈ X und jeder abgeschlossenen Menge F ⊂ X mit a ∈ / F eine stetige Funktion f : X → [0, 1] gibt mit f (a) = 0, f | F = 1. X heißt normal, wenn es zu je zwei abgeschlossenen Mengen A, B ⊂ X mit A ∩ B = ∅ Umgebungen U von A und V von B gibt mit U ∩ V = ∅. Jeder vollst¨andig regul¨are Raum ist regul¨ar. Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal. Jeder (halb-)metrische Raum ist normal und vollst¨andig regul¨ar. A.17. X heißt lokal-kompakt, wenn jedes a ∈ X eine kompakte Umgebung hat. (Viele Autoren verlangen von einem lokal-kompakten Raum zus¨atzlich, daß das Hausdorffsche Trennungsaxiom erf¨ ullt ist; wir folgen hier Kelley [1] mit der Terminologie.) Ist X lokal-kompakt und Hausdorffsch oder regul¨ar, so bilden f¨ ur jedes a ∈ X die abgeschlossenen und kompakten Umgebungen von a eine Umgebungsbasis. Insbesondere ist jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum regul¨ar. ˆ := X ∪ {ω} und O ˆ := O ∪ {X ˆ \K : A.18. Es seien X ein Hausdorff-Raum, ω ∈ / X, X ˆ ˆ K ⊂ X kompakt }. Dann ist (X, O) ein kompakter topologischer Raum, und (X, O) ist ein ˆ Ist X nicht kompakt, so ist X ein offener dichter Teilraum von X. ˆ O). ˆ X ˆ Teilraum von (X, ˆ O) ˆ heißt ist Hausdorffsch genau dann, wenn X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum ist. (X, die Alexandroff-Kompaktifizierung von (X, O). A.19. Es sei X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum. X heißt σ-kompakt oder abz¨ahlbar im Unendlichen, wenn X darstellbar ist als abz¨ahlbare Vereinigung kompakter Mengen. Folgenˆ hat eine abz¨ahlbare Umgede Aussagen sind ¨aquivalent: (i) X ist σ-kompakt. (ii) ω ∈ X bungsbasis. (iii) Es gibteine Folge offener relativ kompakter Mengen Un ⊂ X(n ∈ N) mit ∞ U n ⊂ Un+1 (n ∈ N) und n=1 Un = X. A.20. Urysohnsches Lemma. X ist normal genau dann, wenn es zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen A, B ⊂ X eine stetige Funktion f : X → [0, 1] gibt mit f | A = 0, f | B = 1. Insbesondere ist jeder normale Hausdorff-Raum vollst¨andig regul¨ar. Es folgt: Jeder lokal-kompakte Hausdorff-Raum ist vollst¨andig regul¨ar, denn er ist Teilraum seiner kompakten, also normalen, also vollst¨andig regul¨aren Alexandroff-Kompaktifizierung, und jeder Teilraum eines vollst¨andig regul¨aren Raums ist vollst¨andig regul¨ar.
A. Topologische Raume
413
A.21. Metrisationssatze. 1st X ein Hausdorif-Raum mit abzahlbarer Basis, so sind folgende Aussagen aquivalent: (i) X ist vollstandig regular. (ii) X ist regular. (iii) X ist normal. (iv) X ist metrisierbar. Ein kompakter Hausdorff-Raum ist genau dann metrisierbar, wenn er eine abziihlbare Basis hat. 1st X ein lokal-kompakter Hausdorif-Raum, so sind folgende Aussagen aquivalent: (i) X hat eine abzahlbare Basis. (ii) X ist metrisierbar. (iii) X ist metrisierbar und £T-kompakt. A.22. X heiBt vollstiindig metrisierbar, wenn es eine Metrik d auf X gibt, welche die Topologie von X definiert, so daB (X, d) ein vollstiindiger metrischer Raum ist. (Warnung: 1st (X, d) ein vollstandiger metrischer Raum, so kann es durchaus eine andere Metrik d' auf X geben, welche ebenfalls die auf X vorhandene Topologie definiert, so daB (X, d') unvollstandig ist.) Ein vollstandig metrisierbarer Raum mit abzahlbarer Basis heiBt ein polnischer Raum. (Ein metrischer Raum hat genau dann eine abzahlbare Basis, wenn er separabel ist.) Jeder separable Banach-Raum ist polnisch; insbesondere ist IRn ein polnischer Raum. Jeder kompakte metrisierbare Raum ist polnisch, d.h. jeder kompakte Hausdorif-Raum mit abzahlbarer Basis ist polnisch. Jeder abgeschlossene und jeder oifene Unterraum eines polnischen Raums ist polnisch. Das Produkt hochstens abzahlbar vieler polnischer Raume ist polnisch. Jeder lokal-kompakte Hausdorif-Raum X mit abzahlbarer Basis ist polnisch, denn er ist oifener Teilraum des kompakten metrisierbaren (also polnischen) Raums X. - Ein Teilraum A eines polnischen Raums X ist genau dann polnisch, wenn A eine Go-Menge in X ist. Daher ist z.B. IR \ tQ! polnisch. Literatur: BOURBAKI [7], chap. 9, § 6, COHN [1], S. 251 if., ENGELKING [IJ, 4.3., V. QUERENBURG [1], S. 148 if., SCHUBERT [1], S. 131 f.
Anhang B Transfinite Induktion Es sei Meine uberabziihlbare Menge. Nach dem Wohlordnungssatz (s. Kap. III, § 3,4.) existiert eine Wohlordnung ,,:S" auf M. Wir durfen im folgenden gleich annehmen, dall M ein grolltes Element "I hat; sonst vergrollern wir M urn ein weiteres Element "I mit der Mallgabe x :s "I fur aile x E M und nennen die neue Menge wieder M. Fur a E M sei Mo := {,6 EM:,6 < a}. Die Menge C := {a EM: Mo ist uberabzahlbar} enthalt nach Voraussetzung das Element "I, d.h. C Ie 0, und da ,,:S" eine Wohlordnung ist, existiert ein kleinstes Element II E C. Die Menge I := Mo hat nun folgende Eigenschaften: (i) list wohlgeordnet und uberabzahlbar. (ii) Fur jedes a E list Mo abzahlbar. Man kann zeigen, dall I durch die Eigenschaften (i), (ii) bis auf eine ordnungstreue Bijektion eindeutig bestimmt ist. list ein Modell der Menge der abziihlbaren Ordinalzahlen; II ist die kleinste uberabziihlbare Ordinalzahl. I hat kein grolltes Element, denn ware a E I grolltes Element, so ware ja I = Mo U {a} abzahlbar: Widerspruch. Fur jedes a E I ist also die Menge {,6 E I : ,6 > a} nicht-leer und hat daher ein eindeutig bestimmtes kleinstes Element. Dieses heillt der Nachfolger von a und wird mit a + 1 bezeichnet; a heillt der Vorgiinger von a + 1 (und ist eindeutig bestimmt als grolltes Element der Menge {,6 : ,6 < a + I}). Das kleinste Element von I nennen wir 0, sein Nachfolger 0 + 1 heille 1, und so fortschreitend 1 + 1 = 2,2 + 1 = 3, ... konnen wir annehmen, dall w := N U {O} C I. Wegen w e I
"" gibt es ein kleinstes Element von I, das groller ist als aile Elemente von w. Dieses Element bezeichnen wir mit w, seinen Nachfolger mit w + 1, danach kommen w + 2, w + 3, ... , w2, w2 + 1,w2 + 2, ... ,w3, ... ,w4, ... ,w5, ... ,w 2 ,W 2 + 1, ... ,w 2 + W, ... ,w 3 , ..• ,w\ ... ,ww. (Hier ist WW ein Name fur eine wohldefinierte Ordinalzahl, nicht die Menge aller Abbildungen von win sich.) Aile oben genannten Elemente beschreiben wohldefinierte Ordnungstypen abzahlbarer wohlgeordneter Mengen, aber es sind naturlich bei weitem noch nicht aile, denn auf WW folgen WW + 1, ... ,w w + w, ... ,ww + w 2 , ••• , w(WW), ... Die geniale Idee GEORG CANTORS bei der Einfuhrung der Ordinalzahlen besteht darin, mit dem Zahlen einfach nicht aufzuhoren. Eine Ordinalzahl kann einen Vorganger haben (wie z.B. 1,2, w + 1) oder auch nicht (wie z.B. 0, w, w2). Eine Ordinalzahl ohne Vorganger heillt eine Limeszahl. Anders als in N kommt man in I in abzahlbar vielen Schritten nicht "bis zum Ende", denn es gilt: Zu jeder Folge (a n )n>1 in I gibt es ein,6 E I mit,6 > an fur alle n E N. Begrundung: Die Menge Un>1 MOn ist als abzahlbare Vereinigung abzahlbarer Mengen abzahlbar. Daher gibt es ein 'Y E 1 \ Un>1 MOn' und ,6 := 'Y + 1 leistet das Verlangte. Das von den naturiTchen Zahlen her bekannte Prinzip der vollstiindigen Induktion gestattet eine naheliegende Ausdehnung auf Ordinalzahlen. Speziell fur die Menge I besagt das Prinzip der transfiniten Induktion: Es sei E(a) eine Aussage, die fur alle a E I sinnvoll ist, und es gelte: (i) E(O) ist richtig.
415
B. Transfinite Induktion (ii) Aus E(a) folgt E(a + 1) (a E I). (iii) 1st "I eine Limeszahl, und gilt E(a) fiir alle a Dann gilt E(a) fiir alle a E I.
< "I, so gilt auch E("().
Beweis. 1st die Menge der a E I, fUr welche E(a) falsch ist, nicht-leer, so enthaIt sie ein kleinstes Element "I. Wegen (i) ist"l > 0, und nach (ii) hat "I keinen Vorganger, ist also eine 0 Limeszahl. Da aber E(a) fiir aile a < "I richtig ist, ergibt sich ein Widerspruch zu (iii). Das Prinzip der transfiniten Induktion gilt sinngemiill fiir jede wohlgeordnete Menge, nicht nur fiir die Menge I . .Ahnlich wie man im Bereich der natiirlichen Zahlen induktiv definieren kann, besteht auch in wohlgeordneten Mengen wie z.B. I die Moglichkeit der Definition durch transfinite Induktion, von der wir in Kap. I, § 4 und in Kap. III, § 3 Gebrauch machen. Literatur: DUDLEY [lJ, A.3, HAHN [2J, Kap. I, § 7, HALMOS [2J, HEWITT-STROMBERG [1], sect. 4; s. auch die Beitrage von THIELE in EICHHORN-THIELE [lJ und von KOEPKE in BRIESKORN
[lJ, DEISER [lJ.
Literaturverzeichnis ABRAHAM, R.; MARSDEN, J.E.; RATIU, T.: [1] Manifolds, tensor analysis, and applications. Second ed. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1988. ALEXANDROFF, A.D.: [1] Additive set-functions in abstract spaces, I-III. Mat. Sbornik, Nov. Ser., 8 (50), 307-348 (1940); 9 (51), 563-628 (1941); 13 (55), 169-238 (1943). ALFSEN, E.M. [1] A simplified constructive proof of the existence and uniqueness of Haar measure. Math. Scand. 12, 106-116 (1963). ANGER, B.; PORTENIER, C.: [1] Radon integrals. An abstract approach to integration and Riesz representation through function cones. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser 1992. BADRIKIAN, A.: [1] Seminaire sur les fonctions aleatoires lineaires et les mesures cylindriques. Lect. Notes Math. 139. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1970. BANACH, S.: [1], [2] (Euvres, Vol. I, I!. Warszawa: PWN-Editions Scientifiques de Pologne 1967,1979. BATT, J.: [1] Die Verallgemeinerungen des Darstellungssatzes von F. Riesz und ihre Anwendungen. Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 74, 147-181 (1973). BAUER, H.: [1] Maft- und Integrationstheorie. Berlin-New York: W. de Gruyter & Co. 1990, 2. Auf!. 1992. [2] Mafte auf topologischen Raumen. Kurs der Fernuniversitat-Gesamthochschule Hagen. Hagen 1984. BEHRENDS, E.: [1] Maft- und Integrationstheorie. Berlin-Heidelberg-New York: SpringerVerlag 1987. BERBERIAN, S.K.: [1] Measure and integration. New York: The Macmillan Comp.; London: Collier-Macmillan 1965. BERG, C.; CHRISTENSEN, J.P.R.; RESSEL, P.: [1] Harmonic analysis on semigroups. BerlinHeidelberg-New York: Springer-Verlag 1984. BILLINGSLEY, P.: [1] Probability and measure. New York etc.: J. Wiley & Sons, second ed. 1986, third ed. 1995. [2] Convergence of probability measures. New York etc.: J. Wiley & Sons, first ed. 1968, second ed. 1999. [3] Weak convergence of measures: Applications in probability. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics 1971. BOGACHEV, V.l.: [1] Measures on topological spaces. J. Math. Sci. 91, No.4, 3033-3156 (1998). (Translated from Itogi Nauki Tekh., Ser. Sovr. Mat. Prilozh. 36 (1996).) [2] Measure theory, Vol. 1, 2. Berlin etc.: Springer-Verlag 2007. BOREL, E.: [1] Let;ons sur la tMorie des fonctions. Paris: Gauthier-Villars, 1. Auf!. 1898, 2. Auf!. 1914, 3. Auf!. 1928, 4. Auf!. 1950. [2] Let;ons sur les fonctions de variables reelles. Paris: Gauthier-Villars, 1. Auf!. 1905, 2. Auf!. 1928. [3], [4] (Euvres de Emile Borel, Tome I, II. Paris: Editions du Centre National de la Recherche Scientifique 1972. BOURBAKI, N.: [1] Integration, chap. I-IV. Deuxieme ed. Paris: Hermann 1965. [2] Integration, chap. V. Deuxieme ed. Paris: Hermann 1967. [3] Integration, chap. VI. Paris: Hermann 1959. [4] Integration, chap. VII-VII!. Paris: Hermann 1963.
Literaturverzeichnis
417
[5J Integmtion, chap. IX. Paris: Hermann 1969. [6J Geneml topology, Chapters 1-4. 2nd printing. Berlin-Heidelberg-New York: SpringerVerlag 1989. [7J Geneml topology, Chapters 5-10. 2nd printing. Berlin-Heidelberg-New York: SpringerVerlag 1989. [8J Elemente der Mathematikgeschichte. Gottingen: Vandenhoeck & Ruprecht 1971. BRAY, H.E.: [IJ Elementary properties of the Stieltjes integml. Ann. Math., II. Ser. 20, 177186 (1919). BRIESKORN, E. (Hrsg.): [IJ Felix Hausdorff zum Gedachtnis. Band I: Aspekte seines Werkes. Braunschweig-Wiesbaden: Vieweg 1996. BRUCKNER, A.M.; THOMSON, B.S.: [IJ Real variable contributions of G.C. Young and w.H. Young. Expo. Math. 19, 337-358 (2001). BULIRSCH, R: [IJ Constantin Camtheodory, Leben und Werk. Sitzungsber., Bayer. Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Kl., Jahrgang 1998-2000, 27-59 (2000). CANTOR, G.: [IJ Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Berlin: Springer-Verlag 1932; Nachdruck 1980. CARATHEODORY, C.: [IJ Vorlesungen fiber reelle Funktionen. Leipzig-Berlin: B.G. Teubner, 1. Auf!. 1917,2. Aufl. 1927. Nachdruck: New York: Chelsea Publ. Compo [2J Gesammelte mathematische Schriften, Bd. IV. Miinchen: C.H. Beck 1956. CARTAN, H.: [IJ Sur la mesure de Haar. C.R. Acad. Sci. Paris 211,759-762 (1940); (Euvres, Vol. III, S. 1020-1022. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1979. CAVALIERI, B.: [IJ Exercitationes geometricae sex. Bononiae: Typis lacobi Montij 1647. Nachdruck: Rom: Edizioni Cremonese 1980. CHOQUET, G.: [IJ Theory of capacities. Ann. lnst. Fourier 5, 131-295 (1955). [2J Lectures on analysis, Vol. I-III. Reading, Mass.: W.A. Benjamin, Inc. 1969. CHRISTENSEN, J.P.R: [IJ Topology and the Borel structure. Amsterdam etc.: North-Holland Publ. Compo 1974. COHN, D.L.: [IJ Measure theory. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhauser 1980. COMFORT, W.W.; NEGREPONTIS, S.: [IJ The theory of ultmfilters. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1974. COURREGE, P.: [IJ Theorie de la mesure. Les cours de Sorbonne. Paris: Centre de Documentation Universitaire, deuxieme ed. 1965. DEISER, 0.: [IJ Kennen Sie wl?Mitt. Dtsch. Math.-Ver. 2001, No.1, 17-21. DELLACHERIE, C.: [IJ Ensembles analytiques, capacites, mesures de Hausdorff. Lect. Notes Math. 295. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1972. DELLACHERIE, C.; MEYER, P.-A.: [IJ Probabilites et potentiel. Chap. I-IV. Paris: Hermann 1975. DESCOMBES, R: [IJ Integmtion. Paris: Hermann 1972. DIEUDONNE, J.: [IJ Grundzfige der modernen Analysis, Bd. 2. 2. Auf!. Braunschweig: F. Vieweg & Sohn 1987; Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1987. [2J Geschichte der Mathematik 1700-1900. Braunschweig: F. Vieweg & Sohn 1985; Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1985. DIRICHLET, P.G. LEJEUNE: [IJ Werke, Bd. I. Berlin: G. Reimer 1889. [2J Vorlesungen fiber die Lehre von den einfachen und den mehrfachen bestimmten Integmlen. Braunschweig: F. Vieweg & Sohn 1904. DOOB, J.L.: [IJ Stochastic processes. New York etc.: J. Wiley & Sons 1953. [2J Measure theory. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1993. DUDLEY, RM.: [IJ Real analysis and probability. Pacific Grove, Calif.: Wadsworth & Brooks! Cole 1989. DUGUNDJI, J.: [IJ Topology. Boston: Allyn & Bacon 1966. DUNFORD, N.; SCHWARTZ, J.T.: [IJ Linear opemtors. Part I: Geneml theory. Second printing. New York-London: lnterscience Publishers 1964. EDGAR, G.: [IJ Integml, probability, and fractal measures. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1998.
418
Literaturverzeichnis
EICHHORN, E.j THIELE, E.-J. (Hrsg.): [IJ Vorlesungen zum Gedenken an Felix Hausdorff. Berlin: Heldermann-Verlag 1994. ENGELKING, R.: [IJ General topology. Warszawa: PWN-Polish Scientific Publishers 1977. EVANS, C.j GARIEPY, R.F.: [IJ Measure theory and fine properties of functions. Boca RatonAnn Arbor-London: CRC Press 1992. FATOU, P.: [IJ Series trigonometriques et series de Taylor. Acta Math. 30, 335-400 (1906). FEDERER, H.: [IJ Geometric measure theory. Berlin-Heidelberg-New York 1969. FLORET, K.: [IJ Mafl- und Integrationstheorie. Stuttgart: B.G. Teubner 1981. FRECHET, M.: [IJ Sur I' inUgrale d'une fonctionnelle etendue a un ensemble abstrait. Bull. Soc. Math. France 43, 249-265 (1915). [2J Des familIes et fonctions additives d'ensembles abstraits. Fundam. Math. 4, 329-365 (1923). Suite, ibid. 5, 206-251 (1924). FREMLIN, D.H.: [IJ Topological Riesz spaces and measure theory. Cambridge: Cambridge University Press 1974. [2J Topological measure spaces: two counter-examples. Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 78, 95-106 (1975). GARDNER, R.J.: [IJ The regularity of Borel measures. In: Measure Theory Oberwolfach 1981. Lect. Notes Math. 945,42-100. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1982. GARDNER, R.J.j PFEFFER, W.F.: [IJ Borel measures. In: Handbook of set-theoretic topology, chapter 22, 961-1043. Ed. by K. KUNEN and J.E. VAUGHAN. Amsterdam etc.: NorthHolland Publ. Compo 1984. GEORGE, C.: [lJ Exercises in integration. Berlin-Heidelberg-NewYork: Springer-Verlag 1984. GIUSTI, E.: [IJ Bonaventura Cavalieri and the theory ofindivisibles. (Beilage zu B. CAVALIERI [IJ.) Rom: Edizioni Cremonese 1980. HAAR, A.: [IJ Gesammelte Arbeiten. Budapest: Akademiai Kiad6 1959. HADWIGER, H.: [IJ Vorlesungen fiber Inhalt, Oberfliiche und Isoperimetrie. Berlin: SpringerVerlag 1957. HAHN, H.: [IJ Theorie der reel len Funktionen, Bd. 1. Berlin: J. Springer 1921. [2J Reelle Funktionen. Erster Teil: Punktfunktionen. Leipzig: Akademische Verlagsges. 1932. Nachdruck: New York: Chelsea Publ. Compo 1948. [3J Uber die Multiplikation total-additiver Mengenfunktionen. Ann. Sc. Norm. Super. Pis a, Ser. 2, Bd. 2, 429-452 (1933). HAHN, H.j RoSENTHAL, A.: [lJ Set functions. Albuquerque, New Mexico: The University of New Mexico Press 1948. HALMOS, P.R.: [lJ Measure theory. Princeton, N.J. etc.: D. van Nostrand Comp., Inc. 1950. Nachdruck: Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1976. [2J Naive Mengenlehre. Gottingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 3. Aufi. 1972. HAUSDORFF, F.: [lJ Grundzuge der Mengenlehre. Leipzig: Veit & Compo 1914. Nachdruck: New York: Chelsea Publ. Compo 1949. [2J Mengenlehre. Dritte Aufi. Berlin-Leipzig: W. de Gruyter & Co. 1935. [3J Gesammelte Werke. Bd. IV: Analysis, Algebra und Zahlentheorie. Berlin-HeidelbergNew York: Springer-Verlag 200l. HAWKINS, T.: Lebesgue's theory of integration. Its origins and development. Madison-Milwaukee-London: The University of Wisconsin Press 1970. Nachdruck: New York: Chelsea Publ. Compo HELLY, E.: [IJ Uber lineare Funktionaloperationen. Sitzungsber. der Kaiserl. Akad. der Wiss. in Wien, Math.-naturwiss. Kl. 121, 265-297 (1912). HEWITT, E.j Ross, K.A.: [IJ Abstract harmonic analysis, Vol. 1. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1963, second ed. 1979. HEWITT, E.j STROMBERG, K.: [lJ Real and abstract analysis. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1965. HOFFMANN-J0RGENSEN, J.: [IJ The theory of analytic spaces. Aarhus: Aarhus Universitet, Matematisk Institut 1970. HOPF, E.: [IJ Ergodentheorie. Berlin: Springer-Verlag 1937. Nachdruck: New York: Chelsea Publ. Compo
Literaturverzeichnis
419
Igoshin, V.I.: [1] M. Ya. Suslin, 1984–1919 (russ.). Moskau: Nauka–Fizmatlit. 1996. [2] A short biography of Mikhail Yakovlevich Suslin. Russian Math. Surveys 51, No. 3, 371– 383 (1996). Jacobs, K.: [1] Measure and integral. New York etc.: Academic Press 1978. Jean, R.: [1] Mesure et int´egration. Montr´eal: Les Presses de l’Universit´e du Qu´ebec 1975. Kahane, J.-P.; Lemari´ e-Rieusset, P.G.: [1] S´eries de Fourier et ondelettes. Paris: Cassini 1998. Kakutani, S.: [1] Concrete representations of abstract (M )-spaces. (A characterization of the space of continuous functions.) Ann. Math., II. Ser., 42, 994–1024 (1941). [2] On the uniqueness of Haar’s measure. Proc. Imp. Acad. Tokyo 14, 27–31 (1938). [3] A proof of the uniqueness of Haar’s measure. Ann. Math., II. Ser., 49, 225–226 (1948). Kallenberg, O.: [1] Foundations of modern probability. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, first ed. 1997, second ed. 2002. Kamke, E.: [1] Das Lebesgue–Stieltjes-Integral. Leipzig: B.G. Teubner 1956. Keleti, T.; Preiss, D.: [1] The balls do not generate all Borel sets using complements and countable disjoint unions. Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 128, 539–547 (2000). Kelley, J.L.: [1] General topology. Princeton, N.J. etc.: D. van Nostrand Comp., Inc. 1955. Nachdruck: Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag 1975. Kharazishvili, A.B.: [1] Strange functions in real analysis. New York–Basel: M. Dekker, Inc. 2000; second ed. London: Chapman & Hall, Boca Raton: CRC Press 2006 ´ski, J.: [1] On the generation of tight measures. Studia Math. 30, 141–151 (1968). Kisyn Koecher, M.: [1] Lineare Algebra und analytische Geometrie. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag 1983, 2. Aufl. 1985, 3. Aufl. 1992, 4. Aufl. 1997. Kolmogoroff, A.N.: [1] Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: SpringerVerlag 1933. K¨ olzow, D.: [1] Differentiation von Maßen. Lect. Notes Math. 65. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag 1968. K¨ onig, H.: [1] On the basic extension theorem in measure theory. Math. Z. 190, 83–94 (1985). [2] New constructions related to inner and outer regularity of set functions. In: Topology, Measure, and Fractals, S. 137–146. Hrsg. C. Bandt, J. Flachsmeyer, H. Haase. Berlin: Akademie-Verlag 1992. [3] The Daniell–Stone–Riesz representation theorem. In: Operator theory in function spaces and Banach lattices, 191–222. Basel–Boston: Birkh¨auser 1995. [4] Measure and integration. An advanced course in basic procedures and applications. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag 1997. Korr. Nachdruck 2009. [5] Measure and integration: Mutual generation of outer and inner premeasures. Ann. Univ. Sarav., Ser. Math. 9, No. 2, 99–122 (1998). [6] Measure and integration: Integral representations of isotone functionals. Ann. Univ. Sarav., Ser. Math. 9, No. 2, 123–153 (1998). [7] Measure and integration: Comparison of old and new procedures. Arch. Math. 72, 192– 205 (1999). [8] New versions of the Radon–Nikod´ym theorem. Arch. Math. 86, 251–260 (2006). [9] New version of the Daniell–Stone–Riesz representation theorem. Positivity 12, 105–118 (2008). Kuratowski, K.: [1] Topology, Vol. I. New York etc.: Academic Press 1966. (Franz. Original: Topologie, Vol. I. Quatri`eme ´ed. Warszawa: PWN 1958.) Lebesgue, H.: [1]–[5] Œuvres scientifiques, Vol. 1–5. Genf: L’Enseignement Math´ematique, Institut de Math´ematiques, Universit´e de Gen`eve 1972. [6] Le¸cons sur l’int´egration et la recherche des fonctions primitives. Deuxi`eme ´ed. Paris: Gauthier-Villars 1928. Nachdruck: New York: Chelsea Publ. Comp. 1973. [7] Message d’un math´ematicien: Henri Lebesgue pour la centenaire de sa naissance. Introduction et extraits choisis par L. F´ elix. Paris: Librairie A. Blanchard 1974. [8] Le¸cons sur les s´eries trigonom´etriques. Paris: Gauthier-Villars 1906. ´ [9] Lettres d’Henri Lebesgue ` a Emile Borel. Postface de Bernard Bru et Pierre Dugac. Cah. S´emin. Hist. Math. 12, 1–512 (1991). Lo` eve, M.: [1] Probability theory. Third ed. Princeton, N.J. etc.: D. van Nostrand Comp.,
420
Li teraturverzeichnis
Inc. 1963. Fourth ed. in 2 volumes. Berlin~Heidelberg~New York: Springer-Verlag 1977, 1978. LOOMIS, L.H.: [1] An introduction to abstract harmonic analysis. Princeton, N.J. etc.: D. van Nostrand Comp., Inc. 1953. LORENTZ, G.G.: [1] Who discovered analytic sets? Math. Intell. 23, 28~32 (2001). LUKACS, E.: [1] Characteristic functions. London: Charles Griffin & Comp., first ed. 1960, second ed. 1970. LUSIN, N.: [1] Ler;ons sur les ensembles analytiques. Paris: Gauthier-Villars 1930. Nachdruck: New York: Chelsea Publ. Compo MARKOFF, A.A.: [1] On mean values and exterior densities. Mat. Sbornik, Nov. Ser., 4 (46), 165~191 (1938). MARBO, C.: [1] A travers deux siecles, souvenirs et rencontres (1883~1967). Paris: Editions Bernard Grasset 1968. MARLE, C.-M.: [1] Mesures et probabilites. Paris: Hermann 1974. MATTILA, P.: [1] Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge etc.: Cambridge University Press 1995. MATTNER, L.: [1] Product measurability, parameter integrals, and a Pubini counterexample. Enseign. Math., II. Ser. 45, 271~299 (1999). [2] Complex differentiation under the integral. Nieuw. Arch. Wisk., IV. Ser. 5/2, No.2, 32~35 (2001) MAYRHOFER, K.: [1] Inhalt und MafJ. Wien: Springer-Verlag 1952. MEDVEDEV, F .A.: [1] Scenes from the history of real functions. Basel~Boston~Berlin: Birkhauser 1991. MEYER, P.-A.: [1] Probability and potentials. Waltham, Mass. etc.: Blaisdell Publ. Compo 1966. MILNOR, J.: [1] Fubini foiled: Katok's paradoxial example in measure theory. Math. Intell. 19, No. 2, 30~32 (1997). MONTGOMERY, D.; ZIPPIN, L.: [1] Topological transformation groups. New York~London: Interscience Publishers 1955. Nachdruck: Huntington, N.Y.: R.E. Krieger Publ. Compo 1974. MOORE, G.H.: [1] Zermelo's axiom of choice: Its origins, development, and influence. Berlin~ Heidelberg~New York: Springer-Verlag 1982. NACHBIN, L.: [1] The Haar integral. Princeton, N.J. etc.: D. van Nostrand Comp., Inc. 1965. NARASIMHAN, R.: [1] Analysis on real and complex manifolds. Paris: Masson & Cie.; Amsterdam: North-Holland Publ. Compo 1973. N ATANSON, LP.: [1] Theorie der Funktionen einer reellen Veranderlichen. Berlin: AkademieVerlag, 4. Auff. 1975. NEUMANN, J. VON: [1] Functional operators, Vol. I: Measures and integrals. Princeton, N.J.: Princeton University Press 1950. [2]~[5] Collected Works, Vol. I, II, III, IV. Oxford~London~New York~Paris: Pergamon Press 1961. [6] Invariant measures. Providence, R.I.: American Mathematical Society 1999. NEVEU, J.: [1] Mathematische Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Miinchen~Wien: R. Oldenbourg Verlag 1969. NIKODYM, 0.: [1] Sur une generalisation des integrales de M.J. Radon. Fundam. Math. 15, 131~179 (1930). OXTOBY, J. C.: [1] Measure and category. Berlin~Heidelberg~New York: Springer-Verlag 1980. [2] Invariant measures in groups which are not locally compact. 'Trans. Am. Math. Soc. 60, 215~237 (1946). OXTOBY, J.C.; ULAM, S.M.: [1] On the existence of a measure invariant under a transformation. Ann. Math., II. Ser., 40, 560~566 (1939). PARTHASARATHY, K.R.: [1] Probability measures on metric spaces. New York~London: Academic Press 1967. PEANO, G.: [1] Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. Torino 1887. PFEFFER, W.F.: [1] Integrals and measures. New York~Basel: M. Dekker, Inc. 1977.
Literaturverzeichnis
421
PIER, J.-P.: [1] Integmtion et mesure 1900-1950. In: Development of mathematics 19001950. Ed. by J.-P. PIER. B8.'lel-Boston: Birkhauser 1994. [2] Histoire de l'integmtion. Vingt-cinq siecles de matMmatiques. Paris: Masson 1996. [3] Mathematical analysis during the 20th century. Oxford-New York: Oxford University Press 2001. POLLARD, D.; TOPS0E, F.: [1] A unified approach to Riesz type representation theorems. Studia Math. 54, 173-190 (1975). QUERENBURG, B. v.: [1] Mengentheoretische Topologie. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1973, 2. Aufi. 1979. RADON, J.: [1] Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen. Sitzungsber. der Kaiserl. Akad. der Wiss. in Wien, Math.-naturwiss. Kl. 122, 1295-1438 (1913). (Auch in: J. RADON: Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1, 2. Basel-Boston: Birkhauser 1987.) RAO, M.M.: [1] Measure theory and integmtion. Second ed. Boca Raton (Fl.): CRC Press 2004. REITER, H.: [1] Classical harmonic analysis and locally compact groups. Oxford: Oxford University Press 1968. RIEMANN, B.: [1] Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher NachlafJ. 2. Aufi. Leipzig: B.G. Teubner 1892. Nachtrage, herausgeg. von M. NOETHER und W. WIRTlNGER. Leipzig: B.G. Teubner 1902. Nachdruck: Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1989. RIESZ, F.: [1], [2] Gesammelte Arbeiten, Bd. I, II. Budapest: Verlag der Ungarischen Akademie der Wissenschaften 1960. RIESZ, F.; SZ.-NAGY, B.: [1] Vorlesungen fiber Funktionalanalysis. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften 1956. ROGERS, C.A.: [1] Hausdorff measures. Cambridge etc.: Cambridge University Press 1970. ROGERS, C.A.; JAYNE, J., u.a.: [1] Analytic sets. New York-London etc.: Academic Press 1980. ROOlJ, A.C.M. VAN; SCHlKHOF, W.H.: [1] A second course on real functions. Cambridge etc.: Cambridge University Press 1982. ROSENTHAL, A.: [1] Neuere Untersuchungen fiber Funktionen reeller Veranderlichen. Nach den Referaten von L. ZORETTI, P. MONTEL und M. FRECHET bearbeitet von A. ROSENTHAL. Encyklopadie der Mathematischen Wissenschaften II, 3, Art. II C 9. Leipzig-Berlin: B.G. Teubner 1924. RUDIN, W.: [1] Real and complex analysis. Third ed. New York etc.: McGraw-Hill Book Comp.1987. [2] Fourier analysis on groups. New York-London: Interscience Publishers 1962. SAGAN, H.: [1] Space-filling curves. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1994. SAKS, S.: [1] TMorie de l'integmle. Warszawa 1933. [2] Theory of the integml. Second ed. Warszawa 1937. Nachdrucke: New York: Hafner Publ. Comp.; New York: Dover Publications 1964. [3] Integmtion in abstmct metric spaces. Duke Math. J. 4, 408-411 (1938). SCHEMPP, W.; DRESELER, B.: [1] Einfiihrung in die harmonische Analyse. Stuttgart: B.G. Teubner 1980. SCHUBERT, H.: [1] Topologie. Stuttgart: B.G. Teubner 1964,4. Aufi. 1975. SCHWARTZ, L.: [1] Radon measures on arbitmry topological spaces and cylindrical measures. London: Oxford University Press 1973. SEGAL, I.E.; KUNZE, R.A.: [1] Integmls and opemtors. Second ed. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1978. SEMADENI, Z.: [1] Banach spaces of continuous functions. Warszawa: PWN-Polish Scientific Publishers 1971. SHlLOV, G.E.; GUREVICH, B.L.: [1] Integml, measure and derivative: A unified approach. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall 1966. Nachdruck: New York: Dover Publications 1977. SHORTT, R.M.; BHASKARA RAO, K.P.S.: [1] Borel spaces II. (Dissertationes Math., Nr. 372.) Warszawa: Polska Akademia Nauk, Institut Matematyczny 1998.
422
Literaturverzeichnis
SIERPINSKI, W.: [1], [2] (Euvres choisis, Tome II, III. Warszawa: PWN-Editions Scientifiques de Pologne 1975, 1976. SOLOVAY, R.M.: [1] A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. Ann. Math., II. Ser., 92, 1-56 (1970). SRIVASTAVA, S.M.: [1] A course on Borel sets. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1998. STROMBERG, K.: [1] An introduction to classical real analysis. Belmont, Calif.: Wadsworth, Inc. 1981. [2] Probability for analysts. New York-London: Chapman & Hall 1994. SZABO, L.: [1] A simple proof for the Jordan measurability of convex sets. Elem. Math. 52, 84-86 (1997). TAYLOR, A.E.: [1] General theory of functions and integration. Waltham, Mass.: Blaisdell Pub!. Compo 1966. Nachdruck: New York: Dover Publications 1985. TAYLOR, S.J.: [1] Introduction to measure and integration. London: Cambridge University Press 1973. TOPS0E, F.: [1] Topology and measure. Lect. Notes Math. 133. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1970. [2] On construction of measures. In: Proceedings of the conference "Topology and measure", Zinnowitz, DDR, Oct. 21-25, 1974, Part 2, S. 343-381. Hrsg. J. FLACHSMEYER, Z. FROLIK, E. TERPE. Wiss. Beitrage Ernst-Moritz-Arndt-Universitat Greifswald 1978. ULAM, S.: [1] Sets, numbers, and universes. Selected works. Cambridge, Mass.-London: MIT Press 1974. VALLEE POUSSIN, C. DE LA: [1] Integrales de Lebesgue, fonctions d'ensemble, classes de Baire. Paris: Gauthier-Villars 1916. VARADARAJAN, V.S.: [1] Measures in topological spaces. Amer. Math. Soc. Trans!., Ser. 2, 48, 161-228 (1965). VITALI, G.: [1] Opere sull'analisi reale e complessa. Carieggio. Edizioni Cremonese 1984. WAGON, S.: [1] Circle-squaring in the twentieth century. Math. Intell. 3, Nr. 4, 176-181 (1981). [2] The Banach-Tarski paradox. Cambridge etc.: Cambridge University Press 1985. Second ed.1993. WElL, A.: [1] (Euvres scientifiques, Vol. I (1926-1951). Corrected second printing. BerlinHeidelberg-New York: Springer-Verlag 1980. [2] L'integration dans les groupes topologiques et ses applications. Paris: Hermann 1940. Deuxieme ed. 1953. WHEEDEN, R.L.; ZYGMUND, A.: [1] Measure and integral. An introduction to real analysis. New York-Basel: M. Dekker, Inc. 1977. WHEELER, R.F. [1] A survey of Baire measures and strict topologies. Expo. Math. 2,97-190 (1983). WIDOM, H.: [1] Lectures on measure and integration. New York etc.: van Nostrand Reinhold Comp.1969. YOSIDA, K.: [1] Functional analysis. Fourth ed. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag 1974. YOUNG, G.C.; YOUNG, W.H.: [1] Selected papers. (Hrsg. S.D. CHATTERJI, H. WEFELSCHEID.) Lausanne: Presses Polytechniques et Universitaires Romandes 2000. YOUNG, W.H.: [1] On the new theory of integration. Proc. Royal Soc., Ser. A., 88, 170-178 (1913). ZAANEN, A.C.: [1] An introduction to the theory of integration. Amsterdam: North-Holland Pub!. Compo 1961. [2] Integration. Amsterdam: North-Holland Pub!. Compo 1967.
Namenverzeichnis Kursive Seitenzahlen verweisen auf Kurzbiographien Abbott, E.A. (1838–1926) 137 Abraham, R. (1936–) 209, 416 Alexandroff, A.D. (1912–1999) 314, 337, 384, 416 Alexandroff, P.S. (1896–1982) 81, 325 Alfsen, E.M. (1930–) 366, 416 Anger, B. (1941–) 332, 337, 416 Appell, P. (1855–1930) 41 Archimedes (287 (?)–212) 2, 170, 174 `, C. (1847–1912) 99, 187 Arzela Ascoli, G. (1843–1896) 84 Auerbach, H. (1901–1942) 310 Badrikian, A. (1933–1994)342, 416 Baire, R. (1874–1932) 30, 37, 42, 158 Banach, S. (1892–1945) 4, 5, 6, 93, 276, 284, 297, 298, 310, 337, 365, 416 Bari, N.K. (1901–1961) 325 Batt, J. (1933–) 337, 416 Bauer, H. (1928–2002) 24, 337, 383, 416 Beck, A. 95 Beck, J. 201 Behrends, E. 167, 292, 322, 416 Bell, W.C. 283 Berberian, S.K. (1926–) 416 Berg, C. 332, 416 Bergmann, G. (1910–1998) 81 Bernoulli, Jakob (1654–1705) 121 Bernoulli, Johann (1667–1748) 121 Bernstein, F. (1878–1956) 6, 101, 102 Bertini, E. (1846–1933) 187 Bhaskara Rao, K.P.S. 110, 421 Bianchi, L. (1856–1928) 99, 187 Billingsley, P. 17, 384, 394, 416 Birkhoff, G. (1911–1996) 284, 365 Blichfeld, H.F. (1873–1945) 96 Bogachev, V.I. (1961–) 379, 416 Bois-Reymond, P. du (1831–1889) 151, 180 Bonnet, O. (1819–1892) 156 ´ (1871–1956) 3, 8, 17, 18, Borel, E. 33, 39, 41, 50, 55, 98, 119, 143, 145, 158 f., 324 f., 416
Bourbaki, N. 1, 7, 87, 112, 318, 322, 332, 337, 353, 362, 366, 375, 383, 384, 410, 413, 416 Boussinesq, V.J. (1842–1929) 160 Bradley, R.C. 280 Bray, H.E. (1889–1978) 391, 417 Brieskorn, E. (1936–) 81, 415, 417 Briggs, J.M. 99 Brouwer, L.E.J. (1881–1966) 210, 213 Bruckner, A.M. 138, 417 Bulirsch, R. (1932–) 58, 417 Bunjakowski, V.J. (1804–1889) 225 Burkill, J.C. (1900–1993) 158 Butzer, P.L. (1928–) 325, 392 Cantor, G. (1845–1918) 3, 6, 70–75, 81, 101, 169, 417 Cantor, M. (1829–1920) 169 Carath´ eodory, C. (1873–1950) 50– 52, 55, 57 f., 76, 274, 314, 417 Carleson, L. (1928–) 239, 325 Carnap, R. (1891–1970) 276 Cartan, H. (1904–2008) 366, 417 Cauchy, A.L. (1789–1857) 2, 159, 178, 225 Cavalieri, B. (1598-1647) 165, 169, 417 ˇ Cech, E. (1893–1960) 187 Chandrasekharan, K. (1920–) 200 Chatterji, S.D. (1935–) 178 Chintschin, A.Ja. (1894–1959) 325 Chisholm Young, G.E. (1868– 1944) 137 f., 299, 422 Choquet, G. (1915–2006) 332, 417 Christensen, J.P.R. (1944–) 87, 322, 332, 416 f. Ciesielski, K. 93 f. Cohen, P.J. (1934–2007) 98 Cohn, D.L. (1942–) 87, 308, 319, 322, 413, 417 Comfort, W.W. (1933–) 36, 417 Corless, R.M. 201 Courr` ege, P. 417 Daniell, P.J. (1889–1946) 284 Darboux, G. (1842–1917) 84, 159 Dedekind, R. (1831–1916) 3, 6, 11, 12
424 Deiser, O. (1971–) 415, 417 Dellacherie, C. (1943–) 78, 87, 322, 332, 417 Demidov, S.S. (1942–) 326 Denjoy, A. (1884–1974) 104, 325 Descombes, R. 417 Deuber, W. (1942–1999) 5 Dick, A. (1910–1993) 247 Dierolf, S. (1942–2009) 353 f. Dieudonn´ e, J. (1906–1992) 319, 375, 417 Dini, U. (1845–1918) 99, 160, 187 Dirichlet, P.G. (1805–1859) 2, 159, 163, 216, 417 Doets, H.C. 36 Doob, J.L. (1910–2004) 61, 417 Doss, R. 272 Dreseler, B. 366, 375, 377, 421 Drinfel’d, V.G. (1954–) 93 Dubins, L.E. 5 Dudley, R.M. 415, 417 Dugundji, J. (1919–1985) 410, 417 Dunford, N. (1906–1986) 267, 417 Dynkin, E.B. (1924–) 24 Eda, K. 36 Edgar, G. 417 Egoroff, D.-Th. s. Jegorow Eichhorn, E. 81, 415, 418 Engelking, R. (1935–) 36, 329, 342, 345, 350, 410, 413, 418 Enriques, F. (1871–1946) 99 Erd¨ os, P. (1913–1996) 94 Escherich, G. von (1849–1935) 49, 275 f. Euler, L. (1707–1783) 2, 163, 180, 182 f. Evans, C. 308, 418 Fatou, P. (1878–1929) 144, 145, 160, 244, 418 Federer, H. (1920–2010) 77 f., 80, 173, 211, 308, 374, 418 Fej´ er, L. (1880–1959) 57, 246, 375 Fichtenholz, G. (1888–1959) 179 Fischer, E. (1875–1954) 160, 229, 231, 245 f., 247 Floret, K. (1941–2002) 210, 319, 338, 362, 418 Fort, M.K. 287 Fourier, J.B.J. (1768–1830) 196 f. Franck, R. 272 Fr´ echet, M. (1878–1973) 27, 34, 55, 61, 65, 137, 246, 284, 293, 418, 421 Fremlin, D.H. (1942–) 314, 316, 418 Frobenius, G. (1849–1917) 57
Namenverzeichnis Fubini, G. (1879–1943) 99, 175, 179 ff., 187, 301 Gaier, D. (1928–2002) 80 Galilei, G. (1564–1642) 5, 165 Gardner, R.J. 94, 313, 318 f., 418 Gariepy, R.F. 308, 418 Gauss, C.F. (1777–1855) 182, 208 George, C. 418 Gillman, L. (1917–2009) 36 Giusti, E. 169, 418 Gleason, A. (1921–2008) 365 Gliwenko, W.I. (1897–1940) 325 G¨ odel, K. (1906–1978) 276 Golczewski, F. 247 Goldscheider, F. (1852–1926) 184 Grattan-Guinness, I. (1941–) 138 Green, G. (1793–1841) 185 Greub, W. (1925–) 99 Gurevich, B.L. 308, 421 Haar, A. (1885–1933) 90, 246, 312, 351, 356 f., 362, 364 ff., 375 f., 418 Hackenbroch, W. (1937–) 57 Hadamard, J. (1865–1963) 246, 325 Hadwiger, H. (1908–1981) 418 Hagood, J.W. 283 Hahn, H. (1879–1934) 22, 25, 49, 55, 61, 65, 80, 87, 100, 171, 269, 271 f., 274, 275 f., 286, 308, 314, 322, 415, 418 Hajlasz, P. 211 Halmos, P.R. (1916–2006) 34, 314, 319, 415, 418 Hardy, G.H. (1877–1947) 138, 179 Harnack, A. (1851–1888) 3, 245 Harpe, P. de la 93 Hausdorff, F. (1868–1942) 4, 12, 14, 18, 26, 78, 80, 87, 94, 172, 245, 322, 417, 418 Hawkins, T. 3, 418 Heiberg, J.L. (1854–1928) 170, 174 Heine, E. (1821–1881) 39 Heins, M. (1915–) 301 Helly, E. (1884–1943) 379, 386, 388 f., 418 Hermite, C. (1822–1901) 159 Hewitt, E. (1920–1999) 73, 75, 88, 93, 101, 169, 264, 267, 283, 293, 337, 354, 366, 375, 415, 418 Hilbert, D. (1862–1943) 12, 57, 80, 246, 276, 365, 375 Hirsch, M.W. (1933–) 209 Hobson, E.W. (1856–1933) 181 Hoffmann-Jørgensen, J. (1929–) 87, 322, 418
Namenverzeichnis H¨ older, O. (1859–1937) 223, 226 Hopf, E. (1902–1983) 61, 418 Hunt, R.A. (1937–2009) 240 Hurwitz, A. (1859–1919) 364 Igoshin, V.I. 323, 419 Jacobi, C.G.J. (1804–1851) 168, 183, 201, 203, 214 Jacobs, K. (1928–) 419 Jayne, J. 87, 322, 421 Jean, R. 419 Jech, T. (1944–) 36 Jegorow, D.F. (1869–1931) 250, 252 f., 325 ff. Jensen, J.L.W.V. (1876–1925) 220 ff., 226 Jerison, M. (1922–1995) 36 Jordan, C. (1838–1922) 3, 4, 57, 69, 80, 158, 180, 274 Jørsboe, O. 298 Juschkewitsch, A.P. (1906–1993) 326 Kahane, J.-P. (1926–) 246, 419 Kakutani, S. (1911–2004) 93, 337, 365 f., 419 Kallenberg, O. 419 Kamke, E. (1890–1961) 298, 419 Keleti, T. 25, 419 Kelley, J.L. (1916–1999) 292, 341, 353, 410, 412, 419 Kepler, J. (1571–1630) 174 Kharazishvili, A.B. 173, 419 ´ski, J. (1933–) 332, 419 Kisyn Kiyosawa, T. 36 Klein, F. (1849–1925) 57, 138, 276 Kline, J.R. 80 Knopp, K. (1882–1957) 80 Kodaira, K. (1915–1997) 93 Koecher, M. (1924–1990) 92, 95, 419 Koepke, P. 415 Kolmogoroff, A.N. (1903–1987) 34, 59, 61, 240, 325, 419 K¨ olzow, D. (1930–) 308, 419 ´th, P. 201 Komja K¨ onig, H. (1929–) 332, 419 Kowalevsky, S. v. (1850–1891) 137 Kronecker, L. (1823–1891) 183, 201 Kunze, R.A. 365, 374, 421 Kuratowski, K. (1896–1980) 320, 322, 419 Ky Fan (1914–2010) 259 Laczkovich, M. (1948–) 94 Lagrange, J.L. (1736–1813) 2
425 Landkof, N.S. 217 Lang, R. 68 Langevin, P. (1872–1946) 158 Laplace, P.S. (1749–1827) 182 Lawrentjew, M.A. (1900–1980) 325 Lebesgue, H. (1875–1941) 3, 17, 26, 33, 34, 39, 42, 49, 50, 55, 58, 65, 73, 80, 83–85, 89, 98 f., 104, 119, 140 f., 144 ff., 151 f. 157 ff., 239, 245 f., 253, 255, 274, 284 ff., 299 ff., 304 ff., 322, 324 f., 419 Leibniz, G.W. (1646–1716) 121 Leinfelder, H. (1946–) 215 Leja, F. (1885–1979) 364 Lemari´ e-Rieusset, P.G. (1960–) 246, 419 Letta, G. 301 Levi, B. (1875–1961) 125, 126 f., 180 Levin, A.E. 326 Levshin, B.V. 326 Levy, A. 36 Lindemann, F. (1852–1939) 57 Liu, Y.-Y. 82 Ljusternik, L.A. (1899–1981) 325 Lo` eve, M. (1907–1979) 391, 419 Lomnicki, Z. (1881–1941) 171 Loomis, L.H. (1915–1994) 362, 366, 420 Lorentz, G.G. (1910–2006) 323, 420 Lukacs, E. (1906–1987) 420 Lusin, N. (1883–1950) 42, 87, 253, 322 ff., 324 ff., 420 Maharam, D. (1917–) 56 Marbo, C. (1883–1969) 41 Marczewski, E. (1907–1976) 93, 320 Margulis, G.A. (1946–) 93 Markoff, A.A. (1856–1922) 314 Markoff, A.A. (1903–1979) 314, 420 Marle, C.-M. 420 Marsden, J.E. (1942–) 209, 416 Mattila, P. 78, 420 Mattner, L. 149, 179, 420 Mayrhofer, K. (1899–1969) 69, 420 Mazurkiewicz, S. (1888–1945) 80 Medvedev, F.A. (1923–1993) 246, 420 Mejlbro, L. 298 Menger, K. (1902–1985) 276 Menschow, D. Je. (1892–1988) 325 Mertens, F. (1840–1927) 247, 276 Meyer, P.-A. (1934–2003) 322, 332, 417, 420 Milnor, J. (1931–) 179, 209, 420 Minkowski, H. (1864–1909) 96, 224 ff., 276
426 Montel, P. (1876–1975) 158, 160, 421 Montgomery, D. (1909–1992) 365, 420 Moore, G.H. 99, 102, 420 Moore, R.L. (1882–1974) 80 Morita, K. (1915–1995) 36 Nachbin, L. (1922–1993) 366, 375, 420 Nagata, J. (1925–2007) 36 Narasimhan, R. (1937–) 209, 420 Natanson, I.P. (1930–2003) 391, 420 Negrepontis, S. 36, 417 Neumann, J. von (1903–1957) 4, 20, 26, 42, 281, 314, 357, 362, 364, 420 Neumark, M.A. (1909–1978) 377 Neveu, J. 420 ´m, O. (1887–1974) 279, 284 f., Nikody 420 Noether, E. (1882–1935) 247 Nowikow, P.S. (1901–1975) 325 Nymann, J.E. 75 Ohta, H. 36 Osgood, W.F. (1864–1943) 80 Oxtoby, J.C. (1910–1991) 93, 321, 365, 420 Painlev´ e, P. (1863–1933) 42 Parseval, M.-A. (1755–1836) 199 Parthasarathy, K.R. 87, 322, 420 Paul, S. 326 Peano, G. (1858–1932) 3, 4, 69, 80, 126, 420 Pelc, A. 93 Perron, O. (1880–1975) 57 Peter, F. (1899–1949) 364 Peterson, H.L. 319 Pfeffer, W.F. (1936–) 313, 318 f., 418, 420 ´ (1856–1941) 160 Picard, E. Pier, J.-P. 421 Pincherle, S. (1853–1936) 187 Plancherel, M. (1885–1967) 198 Planck, M. (1858–1947) 57 Plateau, J.A.F. (1801–1883) 158 Plessis, N. du 217 Poincar´ e, H. (1854–1912) 325 Pollard, D. 332, 337, 421 Pompeiu, D. (1873–1954) 186 Poncet, J. 374 Pontrjagin, L.S. (1908–1988) 365 Popper, K. (1902–1994) 276 Portenier, C. 332, 337, 416 Pratt, J.W. 259 f.
Namenverzeichnis Preiss, D. 25, 419 Pringsheim, A. (1850–1941) 180 Priwalow, I.I. (1891–1941) 325 Prochorov, J.V. (1929–) 320, 378 f., 392 ff., 401 ff. Puzyna, J. (1856–1919) 284 Querenburg, B. v. 312, 350, 410, 413, 421 Raabe, J.L. (1801–1859) 217 Radon, J. (1887–1956) 34, 43, 48 f., 65, 137, 265, 274, 284, 286 f., 337, 421 Raisonnier, J. 99 Rao, B.V. 173 Rao, M.M. (1929–) 179, 421 Ratiu, T. (1950–) 209, 416 Reidemeister, K. (1893–1971) 276 Reiter, H. (1921–1992) 200, 366, 421 Remmert, R. (1930–) 149, 156, 186, 218, 374 Ressel, P. (1948–) 332, 416 Riemann, B. (1826–1866) 2, 83 f., 151, 185, 421 Riesz, F. (1880–1956) 42, 126, 136 f., 160, 226, 229, 231, 237, 243, 245, 246 f., 254 ff., 263, 265, 281, 285, 293, 300 f., 312, 328, 335, 337, 375 f., 392, 421 Riesz, M. (1886–1969) 247 Robert, A. 249 Roelcke, W. (1928–2005) 353 Rogers, C.A. (1920–2005) 78, 87, 322, 421 Rogers, L.J. (1862–1933) 226 Rooij, A.C.M. van (1936–) 146, 421 Rosenthal, A. (1887–1959) 3, 26, 100, 276, 308, 314, 418, 421 Ross, K.A. 93, 337, 354, 366, 375, 418 Rudin, W. (1921–2010) 211, 308, 337, 362, 366, 421 Ruziewicz, S. (1889–1941) 93, 285 Sagan, H. 80, 421 Saks, S. (1897–1942) 26, 87, 285 f., 298, 308, 310 314, 322, 337, 365, 421 Samelson, H. (1916–2006) 49 Sard, A. (1909–1980) 209 Sarnak, P. (1953–) 93 Schaffter, T. 99 Schauder, J. (1899–1943) 285 Scheff´ e, H. (1907–1977) 149, 261 Schempp, W. (1938–) 366, 375, 377, 421 Schikhof, W.H. 146, 421 Schmidt, E. (1876–1959) 57, 246 Schnirelman, L.G. (1905–1938) 325 Schreier, O. (1901–1929) 364 Schubert, H. (1919–2001) 30, 36, 312, 324, 410, 413, 421
Namenverzeichnis Schur, I. (1875–1941) 364 Schwartz, J.T. (1930–2009) 207, 210, 267, 417 Schwartz, L. (1915–2002) 313 f., 319, 322, 332, 337, 346, 421 Schwarz, H.A. (1843–1921) 57, 225 Segal, I.E. (1918–1998) 292, 365, 374, 421 Segre, B. (1903–1977) 187 Segre, C. (1863–1924) 126 Semadeni, Z. 295, 337, 351, 421 Severini, C. 253 Shelah, S. (1945–) 99 Shilov, G.E. (1917–1975) 308, 421 Shortt, R.M. 110, 421 ´ski, W. (1882–1969) 18, 24, Sierpin 25, 42, 80, 93, 99 f., 169, 272, 284, 302, 310, 320, 422 Sigmund, K. (1945–) 276 Simader, C. (1943–) 215 Smith, H.J.S. (1826–1883) 84 Solovay, R.M. (1938–) 98 f., 422 Srivastava, S.M. 322, 422 Steiner, J. (1796–1863) 172 Steinhaus, H. (1887–1972) 68, 201, 284 Stepanow, W.W. (1899–1950) 325 Stern, J. 99 Sternberg, S. 209 Stieltjes, T.J. (1856–1894) 33, 34, 37, 49, 159 Stolz, O. (1842–1905) 138 Stromberg, K. (1931–1994) 5, 75, 80, 88, 101 f., 169, 264, 267, 283, 293, 310, 337, 415, 418, 422 Sullivan, D. (1941–) 93 Suslin, M.J. (1894–1919) 322, 418 ´ , L. 69, 422 Szabo Sz.-Nagy, B. (1913–1998) 246, 301, 421 Szpilrajn, E. s. Marczewski, E. ´cs, L. (1924–) 311 Taka Tannery, J. (1848–1910) 41 Tarski, A. (1902–1983) 4, 5, 6 Taylor, A.E. (1911–1999) 422 Taylor, S.J. 422 Thiele, E.-J. (1928–) 81, 415, 418 Thomae, J.K. (1840–1921) 84, 138 Thomson, B.S. 138, 417 Thomson, W. (1824–1907) 208 Tietze, H. (1880–1964) 324 Tikhomirov, B.V. 325
427 Tonelli, L. (1885–1946) 180 f., 187 f., 253, 309 f. Topsøe, F. (1938–) 298, 332, 337, 421, 422 Tseng, S. 80 Ulam, S.M. (1909–1984) 163, 171, 320 ff., 380, 393, 420, 422 Urysohn, P.S. (1898–1924) 325 Valette, A. 93 Vall´ ee Poussin, C. de la (1866– 1962) 34, 42, 119, 181, 422 Varadarajan, V.S. (1938–) 337, 341, 422 Vitali, G. (1875–1932) 5, 50, 96–99, 99, 111, 151, 160, 245, 262 f., 283 f., 296 ff., 303 ff., 306, 310, 324, 422 Volterra, V. (1860–1940) 84, 126, 146 Wagon, S. 4, 6, 93 f., 422 Walter, W. (1927–2010) 2, 37, 69, 134, 153, 185, 202 Weierstrass, K. (1815–1897) 137 Weil, A. (1906–1998) 351, 357, 362, 365 f., 370, 373, 422 Weyl, H. (1885–1955) 232, 246, 253, 256, 364 f. Wheeden, R.L. 308, 422 Wheeler, R.F. 338, 342, 422 Widom, H. (1932–) 422 Wiener, N. (1894–1964) 199 Wilenkin, N.Ja. (1920–1991) 325 f. Wingren, P. 82 Wilkosz, W. (1891–1941) 284 Wirtinger, W. (1865–1945) 276 Yosida, K. (1909–1990) 286, 422 Young, G.C. (1868–1944) 137 f. 299, 422 Young, W.H. (1863–1942) 34, 50, 119 f., 122, 128, 136 f., 137, 153, 181, 245, 299, 422 Zaanen, A.C. (1913–2003) 4, 20, 308, 422 Zermelo, E. (1871–1953) 57, 81, 98, 101 Zeuthen, H.G. (1839–1920) 170, 174 Zippin, L. (1905–1995) 365, 420 Zoretti, L. (1880–1948) 421 Zygmund, A. (1900–1992) 245, 308, 422
Symbolverzeichnis N,Z,«:l!,~,1C
6
qJ(X) 6
[a, b], la, b], [a, b[, la, b[ 7, 8 AC,A \B,A6.B 7 f(A), f-l(B), f-l(fJ3) 7 f[A 8 Xl X •.. x X p , XP 8 x = (Xl, ... , Xp)t E ~P, [[xII, Kr(a) 8 lim n ... oo An, lim n ... oo An 8 XA 10 u( It:) 16 fJ3(X),fJ3 P,fJ3 = fJ3l 18 DP,<1:P,.ltP 19 JP,J = Jl 19,21 ~P 19,22 .f) *.It 21 fJ3 [X, Q{ [ Y, It: [Y 15, 19 [~[ = c Machtigkeit von ~ 26 J.tF 37,46 ,X = ,Xl,'xp 39,43,55 Q{1/ 52 1]P(A), 1]1 (A) = 1](A) 55 .£p,.£l = .£ 55 fJP ,()l = fJ 55 1]F, Q{F,'xF 56 ji"
Ix
C(Il?!'), Cc(IRP), C~(~P) 134 f.li. = fast liberal! 140 (R-)J: f(x) dx 152 Q{ 0 fJ3 164 Ma,M b 164 J.t 0 v 167,351 EBj'=l Q{j 170 J.tl 0 ... 0J.tn 170 f * 9 Faltung 193 Dkg = 8g/8xk, D"'g, x'" 194 J.tP = (27r)-p/2fJP 195 j,r 195 S(Il?!') 200 Dt = (8t;j8xk) 202 [[T[[ 202 fJ~ = fJP [fJ3~,'x~ = ,XP [.£~ 203 Np(f) , Noo(f) 223 CP = CP(J.t) , Coo 229, 230 [[flip, [[f[[oo 229, 230 LP = LP(J.t) 230 (f, g) 235 n.M. = nach MaE 254 fn"">' f 263 v+,v-, 272,278 v .1 p 273 [[vii = 275 v« J.t 279 dv/dJ.t 282 Co(~m) 295 D+f,D+f,D-f,D_f 298 D, <1:,.It, fJ3 = fJ3(X) 313 C(X), Cc(X), Cb(X), C+(X), ct(X), ct(X) 328 Co(X),c;j(X) 338 TrJ.t 343 fJX 350 L(a),R(a) 352 M+(fJ3) 379 J.tn ~ J.t 381
Ivl Ivl(X)
A
8A =::4\ 384 Fn ~F 387 8(J.t, v) 402 U(a) 410
A,A 411
Sachverzeichnis Abbildung, abgeschlossene 411 -, affine 91 f. -, meBbare 86 -, offene 411 -, orthogonale 91 -, partielle 45, 114 -, stetige 411 -, topologische 411 Abbildungsgrad 215 abgeschlossene Riille 411 - Menge 410 Abhangigkeit, stetige 147 -, holomorphe 148 Ableitung 282 Ableitungszahlen 298 absolut stetig (fUr Funktionen) 303,307 absolut stetig (fiir MaBe) 279 abzahlbar 13 - erzeugter MeBraum 109 - im Unendlichen 412 - kompakt 412 - unendlich 13 Abzahlbarkeitsaxiom, erstes 410 -, zweites 410 Additivitat, abzahlbare 27 -, endliche 27 Alexandroff-Kompaktifizierung 412 Algebra 11 -, erzeugte 16 analytische Menge 87, 322 aquivalent 39, 45 Atom 65, 88 atomlos 65 auBeres Lebesgue-MaB 55 - MaB 51 Auswahlaxiom 96, 98 f. Auswahlsatz von HELLY 390 Auswertungshomomorphismus 296 Bairesche Klasse 158 - Menge 338 Banach-Algebra 194, 234 Banach-Verband 241 Beriihrungspunkt 411 beschrankte Folge in £P 233 Betafunktion 182 f. Bewegungsinvarianz 78, 89, 92 BildmaB 87 Bogenlange 78 Borel-MaB 313 - -, moderates 318
Borel-Menge 17 f. Borel-meBbar 86 Brouwerscher Fixpunktsatz 213 Cantorsche Funktion 73 f. Cantorsches Diskontinuum 70 cartesisches Produkt 412 Cauchy-Folge fUr die Konvergenz nach MaB 255 - - in £P,LP 231 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 189, 224 Cauchyscher Integralsatz 186 Cavalierisches Prinzip 169 C1-Diffeomorphismus 202 Darstellungssatz von F. RIESZ 281 Darstellungssatz von F. RIESZ fUr - Cc(X) 335 - Co(X) 338 - Cb(X) 340 - C(X) 342, 344 - q(X) 349 8-Ring 14 Diagonale 115 f. dicht 411 Dichte 127 Dichtepunkt 301 Dichtesatz 302 Differentiation unter dem Integral 147 Differenzenoperatoren 44 Differenzierbarkeit monotoner Funktionen 299, 301 disjunkt 7 Diskontinuum, Cantorsches 70 Dualitatsprinzip 7 Dualraum 288 -, von LP 290 Durchschnittseigenschaft, endliche 411 durchschnittsstabil 18, 24 dyadische Entwicklung 143 Dynkin-System 24, 60 - -, erzeugtes 25 Eindeutigkeitssatz 60 Entwicklung, dyadische 143 -, triadische 71 Erzeuger 16, 86 -, minimaler 109 1)-meBbar 51 f.
430 fallend 9f. Faltung 193, 296 fast gleichmiillig 251 fast uberall 140 Filter 35 Final-u-Algebra 117 Folge, beschrankte in £P 233 -, konvergente 412 Fortsetzungssatz 53, 332 - fur meBbare Funktionen III Fourier-Koeffizient 238 Fourier-Transformation 195, 238 Fourierscher Umkehrsatz 197, 235,249 F.,.-Menge 26, 67, 69 Funktion, absolut stetige 303, 307 -, Cantorsche 73, 301 -, charakteristische 10 -, integrierbare 129f. -, konvexe 220 -, meBbare 84, 86, 105ff. - mit kompaktem Trager 133, 328 -, modulare 366, 370 -, numerische 105ff. -, quasiintegrierbare 130 -, singulare 307 - von beschrankter Variation 278, 300 Funktionaldeterminante 202 Gammafunktion 154 -, GauBsche Darstellung 155 -, WeierstraBsche Darstellung 156 GauBsche Normalverteilung 182 GauBscher Integralsatz 185 geordneter Vektorraum 240 Gitter 96 Gitterpunktsatz von MINKOWSKI 96 gleichgradig integrierbar 262 Gramsche Matrix 92 Graph 116 Go-Menge 26, 67, 69 Haar-Integral, linkes 357 - -, rechtes 362 Haar-MaB 91 - -, linkes 362 - -, rechtes 362 Hahn-Zerlegung 271 Hahnscher Zerlegungssatz 271 Halbmetrik 133 Halbnorm 133 Halbordnung 101 Halbring 20 Hamel-Basis 99f., 103 Haufungspunkt 411
Sachverzeichnis Haufungswert 412 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - fur das Lebesgue-Integral 304 - fur das Riemann-Integral 302 Hausdorff-Dimension 82 Hausdorff-MaB 78, 94 Hausdorff-Raum 410 Hilbert-Raum 235 Hilbertscher Folgenraum 235 HOldersche Ungleichung 223, 228 holomorphe Abhangigkeit des Integrals 148 Homoomorphismus 411 Hulle, abgeschlossene 411 Indikatorfunktion 10 Induktion, transfinite 17, 414 f. Inhalt 27 -, auf J 37 -, endlicher 28 -, signierter 277 -, Stieltjesscher 34, 37, 46 -, von innen regularer 43 Inhaltsproblem 4 Initial-u-Algebra 112 Injektivitat der Fourier-Transformation 197, 239 innerer Punkt 411 Integral 121, 123, 129f., 135, 177 -, Haarsches 357 -, unbestimmtes 305 Integration uber meBbare Teilmengen 135 -, partielle 189, 306 integrierbare Funktion 129f. - Majorante 130, 145 invariante Linearform 355, 370 invariantes MaB 355 isomorph 109 Isomorphiesatz 238 Isomorphismus, meBbarer 109 Jensensche Ungleichung 221 Jordan-Bogen 80 - -Kurve 80 - -MaB 13, 15, 69f. - -meBbar 13, 15, 69f. - -Zerlegung 273, 279, 346 Jordanscher Zerlegungssatz 273 Kategorie, von erster 15 Kern, offener 411 Klasse, kompakte 43
431
Sachverzeichnis -, monotone 23 - -, erzeugte 23 kompakt 411 konvergente Folge 412 Konvergenz, fast gleichmaBige 251 - im Mittel 231 - im p-ten Mittel 231 - im quadratischen Mittel 231 - in £P 261 - lokal nach MaB 254 - nach MaB 254 -, schwache 263 f. 381, 387 -, vage 382, 387 - von Folgen von Mengen 9 Konvergenzbegriffe, Vergleich 257 Konvergenzsatz von VITALI 262 konvexe Funktion 220 - Menge 68 Korrespondenzsatz 61 kritischer Wert 209 Kugelvolumen 168, 170, 191 Kurve, einfache 79 -, rektifizierbare 78, 308f. -, stetige 78 Ladungsverteilung 270 Lebesgue-Borelsches MaB 55, 65, 89ff. Lebesgue-Integral 84, 129, 135f., 151f. Lebesgue-MaB 55,65, 66ff., 89ff. -, auBeres 55 Lebesgue-meBbar 55, 58, 67 Lebesgue-Punkt 306 Lebesgue-Stieltjessches MaB 56, 65, 88 Lebesgue-Stieltjessches PramaB 39, 48 Lebesgue-Zerlegung 285 - - von J-LF 308 Lebesguesche Nullmenge 55, 68 Lebesguesche Obersumme 84 Lebesguesche Untersumme 84 Lebesguescher Zerlegungssatz 285 Lebesguesches PramaB 39, 43 Lemma von FATOU 144, 150 - - JACOBI 214 - - RIEMANN-LEBESGUE 162, 196 Limes 9 - inferior 8 f. - superior 8 Limeszahl414 Lindeliif-Raum 115 Linearform, invariante 355, 370 -, linksinvariante 354 -, multiplikative 293 -, positive 328 -, rechtsinvariante 355 -, relativ invariante 370 linkes Haar-Integral 357
- Haar-MaB 362 links-gleichmaBig stetig 354 linksinvariante Linearform 354 linksinvariantes MaB 354 Linksrestklasse 368 Linkstranslation 90, 352, 369 lokal-endliches MaB 313 Lusinsche Vermutung 325 mager 15, 29 Majorante, integrierbare 130, 145 MaB 28 -, auBeres 51 -, Haarsches 91, 356, 362 -, invariantes 355 -, komplexes 277f. -, Lebesgue-Borelsches 55, 65, 89ff. -, Lebesgue-Stieltjessches 56, 65, 88 -, linksinvariantes 354 -, lokal-endliches 313 - mit Dichte 127, 270 -, rechtsinvariantes 355 -, signiertes 269 -, translationsinvariantes 89 ff. -, vollstandiges 63 Massenverteilung 41 MaBproblem 3, 5, 97 MaBraum 28, 85 -, lokalisierbarer 292 -, separabler 93 -, vollstandiger 63 -, zerlegbarer 283 Menge, abgeschlossene 410 -, analytische 87, 322 -, Borelsche 17f. -, dichte 411 -, konvexe 68 -, magere 15, 29 -, meBbare 85 -, negative 271 -, nicht meBbare 96ff. -, nirgends dichte 13, 71 -, offene 410 -, perfekte 71 -, positive 271 -, Suslinsche 87, 322 meBbar 51 f., 58 meBbare Menge 85 meBbarer Raum 85 MeBbarkeit konvexer Mengen 68 MeBraum 85 -, abzahlbar erzeugter 109 -, separierter 109 Metrisationssatze 413 metrisches auBeres MaB 76 Minimalzerlegung 279, 348f.
432 Minkowskische Ungleichung 224 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 205 Mittelwertsatze der Integralrechnung 156 moderat 318 modulare Funktion 366, 370 monotone Klasse 23 Monotonie 28, 51 J.t-Atom 65 J.t-fast liberall 140 J.t-Nullmenge 32 Negativteil 107 nicht meBbare Menge 96 ff. nirgends dicht 13, 71 Norm 133 normale Zahl143 Normalverteilung 182 Normisomorphismus 290 Nullhomotopie 215 Nullmenge 32, 271, 277 -, Lebesguesche 55, 68 -, lokale 295 Oberintegral 83 Obersumme 83 -, Lebesguesche 84 offene Menge 410 - Uberdeckung 411 offener Kern 411 Operationstreue 8 Ordinalzahl17,414 Ordinalzahlen, abzahlbare 414 -, liberabzahlbare 414 Ordnung 101 ordnungsvollstandig 241 Orthonormalsystem 236 -, vollstandiges 237 paarweise disjunkt 7 Parsevalsche Formel 199 - Gleichung 237, 239, 245 Partialbruchentwicklung 183 partielle Abbildung 45, 114 - Integration 189, 306 Partition der Eins 361 Partition, meBbare 280 Peano-Kurve 80 perfekte Menge 71 Poinssonsche Summenformel 249 polare Zerlegung 288 Polarkoordinaten 207f. polnischer Raum 320, 413 Pompeiusche Formel 186 positive Linearform 328 Positivteil 107
Sachverzeichnis PramaB 28 - auf] 38 -, Lebesguesches 39, 43 -, Lebesgue-Stieltjessches 39, 48 Prinzip der guten Mengen 19, 25 Produkt, cartesisches 412 ProduktmaB 167 Produkt-a-Algebra 112, 164 Produkttopologie 114, 412 Quadratur des Kreises, Tarskische 93 quasiintegrierbare Funktion 130 quasikompakt 411 Radon-MaB 313 Rand 384 randlos 384 Raum -, kompakter 411 -, lokal-kompakter 412 -, meBbarer 85 -, metrisierbarer 413 -, normaler 412 -, polnischer 320, 413 -, regularer 412 -, Rieszscher 240 -, separabler 411 -, a-kompakter 412 -, topologischer 410 -, vollstandig metrisierbarer 413 -, vollstandig regularer 412 rechtes Haar-Integral 362 - Haar-MaB 362 rechts-gleichmaBig stetig 354 rechtsinvariante Linearform 355 rechtsinvariantes Mall 355 rechtsseitig stetig 38, 47 Rechtstranslation 352 regular 313, 337, 346 -, von innen 313 -, von auBen 313, 327 Regularitatslemma 317 Regularitatssatz 317 rein atomar 65 rektifizierbare Kurve 78, 308 relativ invariante Linearform 370 relativ kompakt 411 Relativtopologie 411 Retrakt 215 Riemann-Integral, eigentliches 151f. -, uneigentliches 153 Riemann-integrierbar 84 Rieszscher Raum 240 Ring 11, 12 -, erzeugter 16, 22 Rotationsk6rper 174 Ruziewicz-Inhalt 93
Sachverzeichnis Satz von - - BAIRE 30, 75, 88 - - BANACH 4 - - BANACH und TARSKI 5, 6 - - BOREL-LEBESGUE 37, 39 - - CARLESON 239 f. - - der besten Approximation 236 - - der majorisierten Konvergenz 145 - - der Minimalzerlegung 348 - - der monotonen Konvergenz 125 - - FATOU 244 - - FUBINI 175, 179 - - HAAR-V.NEUMANN-WEIL 357 - - HAUSDORFF 4 - - HEINE-BoREL 38f. - - HELLy-BRAY 388 - - JEGOROW 252 - - LEVI 125 - - LUSIN 323 - - MEYER 322 - - PLANCHEREL 198, 244 - - PRATT 260 - - PROCHOROV 398 - - RADON-NIKODYM 281 - - RADON-RIESZ 265 - - RIESZ-FISCHER 231 - - SARD 209 - - SCHEFFE 150 - - STEINHAUS 68 - - STONE-WEIERSTRASS 295, 351, 401 - - TYCHONOFF I C H ON O FF 412 - - ULAM 320, 380, 393f., 407 - - VITALI 5, 97, 262, 303f. - - WElL 370 - - WIENER 199 Schnitt 114, 164, 169 schwache Konvergenz 263 f., 381, 387 Schwankung 111 separabler Raum 242, 411 u-additiv 27 u-Additivitat 27, 32 u-Algebra 13 -, erzeugte 16, 23 u-endlich 59, 271 u-Ring 13 -, erzeugter 16, 23 u-Subadditivitat 31, 51 signierter Inhalt 277 signiertes MaB 269 - -, endliches 271 - -, u-endliches 271 singular 273, 278 singulare Funktion 307 Sinusprodukt 156
433 Skalarprodukt in L2 235 Spiegelungsinvarianz 192 Sprungfunktion 40 Spur einer Kurve 79 Spur-u-Algebra 15, 20 Spur-u-Ring 15 Spurtopologie 411 Stammfunktion 2 starkes Gesetz der groBen Zahlen 143 Steiner-Symmetrisierung 172 stetig 86, 411 stetige Abhangigkeit des Integrals 147 Stetigkeit 86, 411 - von oben 32 - von unten 32 Stone-Cech-Kompaktifizierung 342, 344,350 straff 340, 380, 392f. Strafiheitsbedingung 331 Stutzgerade 221 Subadditivitat 31 Substitutionsregel 310 Subtraktivitat 31 Summenformel, Poissonsche 249 Sustin-Menge 87, 322 Sustin-Raum 322 T -stetig
327 Topologie 410 - der kompakten Konvergenz 344 -, feinere 411 -, gr5bere 411 topologische Gruppe 352 - -, entgegengesetzte 354 topologischer Raum 410 topologisches Produkt 411 Torus 174 Totalvariation 275 Trager einer Funktion 133, 328 - eines Radon-MaBes 343f. transfinite Induktion 414 f. Transformationsformel 203 f. -, allgemeine 191 - fur MaBe fUr Dichten 192, 212 -, verallgemeinerte 211 Translationsinvarianz 89 ff. trennen, Punkte 109 Treppenfunktion 108, 120 triadische Entwicklung 71 Uberdeckung, offene 411 Uberdeckungssatz von VITALI 171, 297 Ultrafilter 36 Umgebung 410
434 Umgebungsbasis 410 Umordnungssatz, groBer 29, 181 unbestimmtes Integral 305 Ungleichung, Besselsche 236 -, Cauchy-Schwarzsche 189, 224 -, Holdersche 223, 228 -, Jensensche 221 -, Minkowskische 224 unimodulare Gruppe 366 Unlosbarkeit des Inhaltsproblems 4 - - MaBproblems 5, 97 Unterintegral83 Untersumme 83 -, Lebesguesche 84 Urysohnsches Lemma 412 vage Konvergenz 382, 387 Variation 272, 278 -, beschrankte 278 -, negative 272, 278 -, positive 272, 278 Vektorraum, geordneter 240 -, halbnormierter 133 -, normierter 133 vereinigungsstabil 18 Vergleichssatz 61 Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge 178 Verteilungsfunktion 61 f., 386 Vervollstandigung 63 f. Vitali-Uberdeckung 297 vollstandig, MaB 63 -, MaBraum 63 -, Orthonormalsystem 236 Vollstandigkeit des trigonometrischen Systems 238 Vollstandigkeitsrelation 237, 239 Vorgiinger 414 wachsend 9, 46 WahrscheinlichkeitsmaB 61£., 386 Weilsche Formel 373 Wohlordnung 101 Wohlordnungssatz 101, 414 ZiihlmaB 29 Zornsches Lemma 287 Zwischensumme 84
Sachverzeichnis
