~BENTO DE JESUS CARAÇA
CÁLCULO VECTORIAL I 3.A EDIÇÃO
LISBOA
1 9 6
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Composto • Impresso na TIPOGRARIA MATEMÁTICA, LDA. R. Dl6rlo de Noticies, 134, 1."-Esq. TKLEl'ONE
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BENTO DE JESUS CARAÇA
CÁLCULO VECTORIAL J.A EDIÇÃO
LISBOA
1 9 6
o
OBRAS DE MATEMÁTICA DO MESMO AUTOR
Lições de Algebra e Análise, Vol. 1- 1935, 1945 e 1956. Lições de Algebra e Análise, Vol. 11 - 1940, 1954 e 1957. Interpolação e Integração Numérica - 1933 {esgotado). Cálculo Vectorial - 1937, 1957 e 1960. Conceilos Fundamentais da Mate mática, I Parte - Junho 1941, Agosto 1941, 1942, 1944 e 1946. Conceitos Fundamentais da Matemática, 11 Parte- 1942 e 1944. Conceifos Fundamentais da Malemática, I, 11 e III Partes - 1951, 1952 e 1958.
A primeira ediçtlo desta obra apa1·eceu em 1937 e constitui a primeira das publicações do Núcleo de .Matemática, Fisica e Quim?·ca, congregação de antigos bolseiros no estrangeiro do Instituto de Alta Cultu1·a.
A 2.a ediçao deve a revis11o das suas provas aos Ex.mot S1·s. Drs. Alfredo da Gosta Mú·anda e Augusto de Macedo Sá da Gosta.
A revisao das p1·ovas desta 3 .4 ed1'çao foi feita pelos E x.'" 0' Srs. Drs. Alfredo da Costa Mtranda, Jaime da G1·uz Campos Fert·eira e Joaquim José Paes Motaes.
Para todos a expressao sincera do maior agradecimento.
J. M. G. Lisboa, Junho de 1960.
•
. CITAÇÕES As referências a números de fórmulas, parágrafos e capítulos são dadas em tipos e corpos diferentes, de acordo com os segui ntes exemp:os: Pág. 118, linha 10: f2. 9) -+ parágrafo 9 do capitulo II. Pág. 82, linha 17: [1 . 7, 45)]-+ fórmula 45) do parágrafo 7 do capítulo I. Dentro de cada parágrafo, a referência a uma fórmula do mesmo parágrafo faz-se pela simples indicação do seu número. Exemplo: Pág. 1181 linha 20: (50)] - fórmula 50) do mesmo parágrafo.
TÁBUA DE MATÉRIAS Pdg.
Capitulo 1.0
-
.Álgeln-a Vectorio!
I. Fundamento!! . II. Produtos e operadores. III. !\fomentos Bibliografia. Exercícios • Capítulo 2. 0 - .Álgebra Teti80I'Üll I. Transformações lineares II. Álgebra tensorial • Bibliografia . Exercícios • Capítulo 3.0 - Análise Vectorial I. Infinitésimos. • II. Derivação ordinária • III. Aplicações geométricas IV. Derivação tensorial e derivação dirigida
Bibliografia. Exercícios
.
Capítulo 4. 0 - Teon·a do. Cantpos • I. Operadores diferenciais II. Fluxo e circulação . Resumo • Bibliografia. Exercícios . Indice de nomes . Indice alfabético de matérias •
1
1 59
72 77 77 79 79 114
123 123 125 125 135 167 186 189 190
193 193 21:>
240
242 242
245 241
,
Cap. I. I.
1. 1.
Algebra Vectorial.
FUNDAMENTOS. Histórica.
O cálculo vectorial é de constituição relativamente recente e anda ligado, na sua origem, à procura duma possível representação g~ométrica dos números imaginários. Por isso, os vectores aparecem, considerados como linhas dirigidas, na obra de C. Wessel, Essai sur la rep?'éllentation de la direction (1797) e de J. A rgand, E.1sai sur ume maniere de t·eprésenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques ( 1~06) . Com a pu blicaçào das obras de G. 13 ~llavitis sobre as eqoipolências (a partir de 1832) da Atudehnung.~leltt·e de H. Grassmann (a partir de 1844) e dos trabalhos de W. Hamilton sobre os Quaterniões (a partir de 184.}), pode considerar-se fechado o primeiro ciclo, o ciclo preparatório, da história do Cúlculo Vecto1·ial. Deve·se principalmente a J. W. Gibbs e O. Heaviside (ambos na segunda metade do século xu) a estruturação deste ramo das ciências matemáticas com a forma que hoje apresenta. Define-se ainda hoje, frequentemente, vector como um segmento de recta orientado, tomando-o, portanto, como uma entidade de carácter geométrico, como o era para os iniciadores do cálculo vectorial. Mas os modernos pontos de vista sobre este corpo de doutrina não se compadecem com tal critério fundamental- há que, a partir do conceito geométri..:o de segmento orientado, deduzir outro, de carácter analítico, que fará., propriamente, o objecto de estudo do ramo de Análise que designamo!! por Cálculo Vectorial. É essa orientação, seguida, por exemplo, por M. LagallyVektor-Rechnttng, a adoptada nos parágrafos seguintes. CALCULO VECTORUL
1
2
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
1. 2.
Segmento orientado. Translacção.
Definições. Consideremos uma recta R) e a partir dum ponto arbitrário O, fixemos sobre ela um sentido positivo e um sentido negativo (fig. 1). A coa venção da existência de sentidos opostos numa mesma recta é fundamental em tudo que vai seguir-se. Ela permite-nos, a A B partir de cada segmento ou porção Flg. 1 da recta, definido por dois pontos A e B, distinguir dois segmentos dirigidos ou orientados - o segmento de A para B, origem A e extremidade B, que representaremos por A B, e o segmento de B para A, origem lJ e extre· midade A, que representaremos por B A. Um segmento dirigido ou 01·ientado é, por consequência definido por dois pontos quaisquer do espaço, A e B, e pela adjunção do conceito de ordem a que se sujeitam esses dois pontos. Dois segmentos dirigidos que diferem um do outro apenas pela ordem dos pontos que os definem, dizem-se opostos: o segmento dirigido B A é o oposto do segmento dirigido A B. Chama-se módulo dum segmento orientado A B à distância, em valor absoluto, dos dois pontos A e B; representá-lo-amos por modA B. Atribuamos a modA B o sinal + ou o sinal - , conforme o sentido de A para B coincidir ou não com o sentido positivo da recta sobre a qual existe A B; ao número assim obtido dá-se o nome de medida algébrica de A B e representá-lo-em os por med A B; tem-se portanto med A B = +modA B conforme o sentido de A B for positivo ou negativo, em relação ao eixo sobre o qual se encontra:
1)
med A B =
+ mod A B +- A B { - mo•.bA B - A B .J
tem sentido positivo ·.1 • tem senttuO negatwo.
Qualquer que seja o sinal do sentido de AB, é sempre verdade que 2)
med A B = - med B A •
Dá.se o nome de translacçlto a todo o movimento dum corpo no espaço tal que as posições inicial e final de cada um dos seus pontos definem segmentos orientados paralelos e com as mesmas medidas algébricas (igualdade de módulos e de sentidos).
PARÁGRAFO 2
Uma translacção fica conhecida portanto desde que se conheça o segmento orientado definido pelas posições inicial e final dum dos pontos do corpo cons iderado; as posições finais dos outros pontos são determinadas por segmentos orientados paralelos e de medidas algébricas iguais ao primeiro. Este facto vem chamar a atenção para o papel importante que desem· penha a existência de segmentos orienFlg. 2 tados nas condições indicadas, a que chamaremos segmentos equipolentes. Dois segmentos equipolentes A B e A' B' (fig. 2) são portanto tais que os quatro pontos A, B, A', B', definem um paralelogramo, a não ser que A B e A' B ' existam sobre a mesma recta; neste caso a equipolência é definida simplesmente pela concordância de sentidos e igualdade de módulos. Sempre que nos quisermos referir, indistintamente, ao segmento orientado A B e aos seus equipolentes, diremos que A B é definido ou dado a menos duma equipolência. Estas definições permitem-nos agora dizer que toda a translacçtlo no espaço é, independentemente do local em que se realiza, determinada univocamente por um segmento orientado, dado a menos duma equipolência; representaremos a translacção, determinada pelo segmento A B, por tAs. Da qui resulta que se A B é equipol~nte a ..4.1 B', A B se pode fazer coincidir com A' B' por meio da translacção t..u (v . fig. 2). Consideraremos ainda como iguais todas as translac«:ões que só diferem pelo local do espaço em que se efectuam, isto é, que são determinadas pelo mesmo segmento orientado, definido a menos duma equipolência: 3) tA n = tA' B' +- A B equipolente a A' B' . Chama-se translact;tlo nula aquela em que a origem coincide com a extremidade e escreve-se
4) Ao segmento orientado correspondente chama-se, ainda, segmento nulo, e escreve-se 6)
4
CAP. I.
.
ALGEBRA VECTORIAL
Propriedades. Do que está dito deduz-se que as propriedades da igualdade de translacções são a resultante imediata, o decalque das da equipolência e reclprocamE>nte. Ocupemo-nos destas.
1. • (reflexiva). Todo o segmento orientado é equipolente a si mumo,· é uma consequência imediata da definição. 2. a (simétrica). Se A B é equipolente a A' B', também A' B' é equipolente a A B ; com efeito, o paralelogramo definido por
A, B, A', B' é o mesmo que o definido por
A',
B', A, 8.
3.a (transitiva.). Se A B éequi'polente a A'B' e .A'B' eqwpolente a A" B", é A B equipolente a A" B"; com efeito, da definição resulta que A'' B'' é paralelo a. A B (por ser paralelo a A' B' e este a A B) que os sentidos coincidem e que é modA'' B" =modA' B' =modA B.
1. 3.
Composição de translacções.
A). Translacções com a mesma direcção. Definição. Sejam dadas duas translacções pm·alelas; como os segmentos orientados que as definem são definidos a menos duma. equipolência [1. 2], pode sempre supor-se que eles estão sobre a mesma recta e que, além disso, a origem dom coincide com a extremidade do outro. Sejam então A B e B C esses segmentos e tAn e tJJu as translacçõos correspondentes. Consideremos a translacçlio t.Ao cuja origem é a vrigem da primeim e cuja extremidade é a extremidarle da segunda. A operação pela qual às translacções tAs e t 8 o se faz corresponder t.Ao chama-se composiçllo ou adição de trnnslacções ; à trao lacção t.Ao chama-se resultante ou soma das translacções t..~ 8 e t 8 o e escreve-se
6) ao segmento orientado AG chama-se, ainda, soma doa orientados A B e B G e escreve-se 7)
segmento~
PARÁGRAFOS 2 e 3 As igualdades 6) a 7) não são, afinal, mais rlo que tradoções diferentes da mesma operação fuodame.ntal- a da composição de duas translacçõea ou dos segmentos orientados correspondente8. Como se vê, a operação é de efecti vaçiio simples : faz-se coincidu· a origem duma (a segunda) com a extremidade da outra (a primeira) e A-.a c toma-se n transla.cção deterrninad11 pela origem da primeira e extremidade da A:....__~C:......-_ ___,.,.B seguorla. Na figura jontn estão figurados casos que podem apresentar-se A B qunnto aos sentidos dos segmentos Fig. 3 orientados. As setas inferiores representam os sentidos dos segmen tos a compor; as superiores o do segmento soma. Em particular, tem-se imediatamente a partir da definição e de [1. 2, 4)]
tAB +toA= (u = 0
8) on
9) que nos indica que a soma de dois segmentos orientados opostos é nula. A coo trução da soma mostra a inda que entre as medidas algébricas se verificam, quaisquer que sejam os sentidos dos segmentos considerados, as relações
med A O = med A B
10)
+ med B C ,
e, em particular,
11)
med A B
+ med B
A = O
que coincide, aritmàticnmente, com [1. 2, 2)]. A composição de mais de duas transl11cções define-se como babitualmontose defi.oe a adição de mais de duas parcPias: compõem-se as duas primeiras, a translação obtida com põe-se com a terceira e assim 13ucessivamente. Resulta daqui que tAn + tBo tan = t.tn e, em geral,
+
12)
i.tr
A,+ t.dtA, + ··• + tA,_
1
.A. =
t.A, 4 0
,
igualdade à qual corresponde, para os segmentos orientadoS' correspondentes,
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
6
13) relação válida, pelo que está dito, qualquer que seja a pow;ao relativa, sobre a recta, dos pontos A 1 , . • • An. Em particular tem-se, como consequência imediata de 13) e 9),
A, Aa
14)
+ As As + ·. · + An-1 A» + AnA, = O.
Para as medidas algébricas verificam-se as relações gerais
+ ·· · + med An-1 An = med A, An med A, As + -. · + med A,._1 An + med An A 1 =O.
15)
med A, Az
16)
A justificação do nome adiçtlo dado, também, à operação que estamos estudando, está nos resultados do estudo, a que vamos proceder, das suas propriedades.
Propriedades.
1. a
-
A operaçiio é umforme. Com efeito de
tAs=(~· B' e ta a = ta' O' resnlta imediatamente, em virtude da defi-
nição, tA a+ tso = t~! B' orientados.
+ tn'O'
e relação análoga para os segmentos
2. 1 - É tAs+ O= t~~.B. Com efeito: tAs+ O= tAn
+ tnn =
tAn.
3. 3 -A operaçllo é comutatit·a. A igualdade: t,~~n+taD-= = toD + tAB, que exprime a comutatividade, é, como fàcilmeote se reconhece, uma consequf\ncia imediata da construção por meio da qual foi definida a operação.
4. a
A operaçllo é associativa. Anàlogamente, da construção resulta que -
tAs+ (tn o + tcD) =(tAs+ tno)
+ toD.
5. a - De tA B +te o= tA' 0' +te D ?·esulta tAs = tA' O' . Somemos, com efeito, a ambos os membros da igualdade, a translacção tDo; a igualdade mantém-se, pela propriedade 1. •, e vem t.tts + foD + tDe= = tA' B' laD + tDo donde, pela associatividade, t.t~n + (tcD fDo)= = tA' D' (toD + iDa) donde [8)] tAs O = tA' a• +O, donde, finalmente, pela proprieda de 2.a, t.<J.B .= tA' B'· Em conclusO.o, a operaç;ão goza das mesmas propriedades qae
+ +
+
+
7
PARÁGRAFO 3
a adição ordinária, à parte aq!lelas que se prendem coro os conceitos de maior que e menor que, que aqui não foram intToduzidos ruas que não são essenciais no algoritmo soma (vide, por exemplo, as propriedades da soma de números complexos, L1"ções (1), Vol. I, 8, 3). É fácil definir, agora, subtracção de duas trunslacções. Chama-se
diferença das ,duas translacções à soma tAs + toe : 17)
t.tto -
tAu
e
taD = tAB
tco
e escreve-se
tAB -
tco ,
+ tro •
Verifica-se imediatamente que a diferença é aquela translacção que somada com o subtractivo icD reprodoz o aditivo t..ttn; efectitDa) + toD = t.4.o + (tDa + taD) = t,w + O= t..Ao. vamente, (t.Ao Com esta propriedade fica estabelecida a analogia com a sabtracção ordinária; as doas operações podom fundir-11e numa só, a soma algébrica, regida por um conjunto de leis análogas às da soma algébric.a ordinária, cuja verificação omitimos por ser longa e fastidiosa.
+
B). Tronslocções com direcções diferentes. Definição. Dadas duas transtucções não paralela q uaisq oer, define-se duma maneira inteiramente análoga à anterior, a operação d!a. composiçêlo : faz-se coincidir a origem da segunda com a extremidade da primeira e considera-se como resultante ou soma das A B duas translacções dadas aquela translacção cuja Fig. 4 origem é a da primeira e c•1ja extremidade ó a da segunda (v. fig. 4, as setas indicam os sentidos dos segmentos orientados). Escreve·se ainda
LJC
6)
t..tll
+ taa =
t.J.o
a
7)
AB +BC= AG,
contiuuando, também, a chamar-se a A C soma dos dois segmentos orientados A B e B O. A adição, ou comvosic;ã.o, de mais de duas translacções define-se como habitualmente; na fig. 5 está construída a eoma de três translncções t1 = l.dB, t11 = tBo , ta = toD.
[2.•
(1) A desig11ação Liçõett refere-se a Lições de Álgebra e Análise do at~tor 3.• edição].
Oll
8
CAP. I.
ÁLGEBRA VECTORIAL
Propriedades. 1. • - A operaçllo é unifo1'1ne. Resulta imediatamen te da construção. 2! - Ê tAs
+O =
tAs. Foi
já estabelecida atl·ás.
8
3. - A operaçlio é comutativa. É o que resulta da figura 6, visto que AB é equipolente a D C e B C equ ipolen te a AD. 4. • - A operaçflo é a.~sor.ialiva. Com efeito, da figura f> resulta que é AD= t1 + t 2 + ta e que, por outro lado, se tem AD = t1 + (t2 + ts) e AD = (t1 + t2) + ts.
+
õ.•- De t 1 + t 3 = t2 + t 5 resulta t1 = t2 • Dem onstração inteiramente análoga il. da pro pr iedade 5. 8 anter iormente estabelecida. Em conclusi1o, a o-peração goza D das propriedades da adição or di~ nária, com o que se justifica o C emprego da designação soma. Quando as translacções tiverem todas a mesma direcção, a operação reduz -se à anteriormente estuFlg. IS dada, com todas as conclusões que lá for am deduzidas. Verificam.se a qui as igualdades 12), 13) e 14), mas as igualdades 10), 15) e 16), sobre as relações entre as medidas algébricas, são privativas do caso em que as translações têm todas a mesma direcção. Aquelas são, portanto, mais gerais que estas . Pode ainda definir-se sublracçllo de translacções com direcções diferentes e, para o fazer, adoptaremos a mesma definição: C
A figura 7 mostra como se construi a diferença. A difer ença das translacções t1=AB (aditivo) e t2 = B C é a traoslacção t1 -
ta
A Fig. 8
= t.Ao' •
Vê-se na figura que a soma de t 1 - ts = tAo• = tA'B com t!il= tBc é- t...,. 0 = tA 8 = t1 o que moRtra que a diferença é ainda aquela translacção que somada com a translacção subtracti vo reproduz o
PARÁGRAFOS 3 e 4
9
aditivo. Com isto fica estabelecida a identidade da operação agora definida com a subtracção ordinária.
1. 4.
Produto por um número real.
Na definição e estudo da multiplicação duma translacção, ou um segmento orientado, por um número real, seguiremos as étapes seguintes: a) o número é inteiro e posiC' tivo; b) o número é fraccionário positivo da 1 forma - ; c) o número é racional posin tivo qualquer; d) o número é real positivo qualquer; e) o número é real nega- A-r--......:--.y ti vo. Número inteiro e positivo n. Definição. D~finiremos a opera<;ào, cujo resultado se representa por n . tAs, pela igualdade.
A).
Fig, 7
(n )
18)
"""' n ·tAs= l..ts +tAs+ .. · +tAs
à qual corresponde, operando sobre os segmentos orientados, a definição de n · A B pela igualdade
(n) 19)
n. A B = A B
+ A B + ... + AB.
Se n =O ou t..t 8 =O , põe-se, por definição,
20)
O· t.&s = O,
n·
t.d.d
=O.
Propriedades. 1. a - O p1·oduto n · tA B é uma nova transl acçtfo com a mesma direcçllo e sentido que tAs e com módulo igual a n • mod tAB. Resulta imediatamente da definição e das propriedades da soma; a relação
21)
mod (n • t..4 8 ) = n · mod t..ts
é consequência directa de [1 3, l ô )] • A operação de que estamos tratando consiste, portanto, na dilataçélo duma translacçiio na sua direcção e sentido.
10
CAP. I.
ÁLGEBRA VECTORIAL
2 . a - A operaçtlo é uniforme. É consequência imediata da uniformidade da soma. Notemos, em particular, que esta propriedade significaque: de n = n' resulta n-tAs=n'·t..u; de tAB=tA'B' resulta n ·tAs= n · t.&'B'.
3. a - Do anulamento do produto resulta o anulamento de, pelo menos, um dos jacto1·es. Efectivamente, se nenhu m dos factores é nulo, a soma 18) é neceasàriamente diferente de zero. 4.a-se n=f=O, de n · tAn= · te o resulta tAs = te o ; se tAs=/=0, de n · tAs=o' • tAn resulta n=n'. É consequência
=n
imediata da uniformidade. A
5. a - A operaçao é dist1·i. hutiva em relaçtlo à soma de nú-meros. Com efeito, das propriedades da soma tem-se Fig. 8
(m
(m
+ n) · t.& 8 =
+ n)
.....---""---..,
l.&s+ · · · +t..u
(m)
..-_.....
= (t. u
(n)
,....---·_...._
+ ... + tAB) + (t.ts+ · .. + t.AB)
donde
22)
(m + n) · t_. 8 = m . tAs+ n · t.~.s .
6. a - A operação é distributiva em 1·elaçao à soma de t'·anslacções. A figura 8, em que se fez n = 3, mostra que a igualdade 23)
é uma consequência da definição, da construção da soma e das propriedlides da semelhança de triângulos.
7. a - A operação é comutativa, e associativa no sentido da se,quinte i,gualdade 24)
m · (n
·i.& o)=
É de verificação imediata.
n · (m · t.& 8) = (m · n) · t.&s.
11
PARÁGRAFO 4
B) . Número fraccionário positivo da lorma
n
Definição.
~ t 48 e o numero ' f racc10nar10 . ,. -1 , c h ama-se a a a trnns l acçao Dd n produto do número pela translacção, e representa-se por
_!_ . t.iln, n
àque la translacçii.o (se existir) cujo produto por n é t.11n:
25)
1
- · Ctn = t:ry n
n · t.,11 = t.fn •
A demoustração da existência de t.,11 , satisfazendo à igualdade de condição, é fácil: basta tomar para 4,11 aquela translação com a mesma direcção e sentido que t.ll. 8 e tal que n. mod fxy = mod t.11n• É claro que esta translação é única, em virtude da uniforn.idade da operação da multiplicação por um número inteiro e positivo.
Propriedades. Verifica-se fàcilmeu te, a partir da definição, que se mantêm as propr iedades atrás estabelecidas. C).
Número racional positivo qualquer.
tA.n e o número racional positi,•o
.!'!:. n
Seja a translação
Define·se produto de ~ n
m por (tn, que se representa por - · tAn, por meio da igualdade n
26)
~
· tAB- m ·
(! ·(~ B)
em virtude da qual a operação fica r eduzida às estudadas nos dois casos anteriores. É óbvio que se mantêm as propriedades. D). Número real posilivo quelquer. Definição. Seja a translacção t.u e o numero real positivo ), • definido pelo corte (L, M) no conjunto dos números racionais. Fixado um ponto arbitrário O como origem sobre uma recta, formemos os produtos r. tA. o e .a· t.J.n onde r é um número qualquer de L e s um número qualqaOl' de M. Como é r< s, tem·se r· mod t.J.n < s. mod t.JJ.n; se chamarmos R e S as classes dos pontos extremidades respectivamente dos produtos r. A B e s. A B, com origem em O, é claro que os pontos de R estão à esquerda dos pontos de S.
12
CAP. I.
ÁlGEBRA VECTORIAl
Completemos as classes R e S do modo seguinte: constru i-se a classe R que tem: a) todos os pontos de R; b) todos os pontos da recta tais que todos os pontos de S lbe estão à direita; construi-se a classe S com os pontos que nrw formam R. As cla~ses R e S formam um corte na recta; seja P o ponto por ele definido ; por definitjlo, toma-se o seg111ento orientado O P como produto ). . A B e, correspvndentemente, a t1·anBlacção top como
p1·oduto ). · tAn :
27)
=
). · t.~~a
lop
Da definição resulta, claro, que a translacção to p existe sempre
e é única. Propriedades.
Da definição e das propriedades gerais dos números reais [Lições, Vol. I, 5] resulta que a propriedades roen· cionadas nos casos anteriores se mantêm; omitimos, por ser l onga, a verificação respectiva. E). Número real neg., livo qualquer. Definição. Seja o segmento orientado A B e o número real e negativo ). . Façamos ,. ._ = -)., p. >O. Por dPjinição, chama-IJe produto de ). por A B, que continua a rep1·esentm·-se por ). . A B, ao segmento o1·ientado oposto [1. 2] do segmento o1·ientado p. • A B • É claro que o oposto de p.·AB é p.-BA, visto que p. . A B p.. B A = p. ·(A 8 B A)= p.. O= O, logo, tem-se
+
+
28) Anàlogaroente se tem
28a)
Propriedades. Da definição resulta imediatamente ue se man· têm todas as anteriores, excepto a primeira, que aqui toma o aspecto seguinte: o produto ). . tAn, ~
29)
sen~ido
oposto, e de módulo tal que
mod (). · tAs)=
I!.I · mod tJJ.s,
igllaldade esta que vale, afinal, em qualquer caso.
PARÁGRAFOS 4 e 5
l,
5.
13
Sistemas lineares.
As considerações feitas nos dois parágrafos anteriores podem ser resumidas do modo seguinte: Partiu-se da entidade transliJcçllo t1 = tAs (ou do segmento orientado correspondente A B) e definiram-se duas operações- a composição ou adiçilo t1 + ta e o l'ro· duto ~. t1 da translacção por um número real. Provou-se que essas operações gozam das propriedades seguintes :
1) A soma de duns trauslacções é uma translacção : t1
+ t 3 =is.
2) Existe uma translacção especial, denominada transl~tcção nula, t.d.A =O, tal que t1 + t.dA = t1 • 3) A adição é comutativa : t1 + t2 = t3 + t1 • 4) É associati,·a : t, + (t2 + t 8) = (t, + t2) + ts • 5) De t, + ts =ta+ ls resulta t1 = t3 ; de t, = t2 resulta lt + ts = ta + is . 6) O produto p • t 1 é uma translacção : p • t1 = t:~ . 7) De p =a r esulta p · t1 = a . t 1 ; de t1 = ta resulta p • t 1 = p · t:~ . 8) Do anulamento do produto resulta o anulamento de, pelo menos, um dos factores : ~
. t, =
o -- p = o
ou
t,
= o.
9) S e p=/=0, de p . t1 = p · t2 resulta t, = t,; se t1 =f=O, de p·t1 =a·t1 resulta p=a. 10) A operação é distributiva em relação à soma de números reais: (p + a) · t1 = p · t1 + a · t, . 11) É distributiva em relação à soma de trauslacções:
12) É comutativa e associativa no sentido da igualdade
Pois bem; sempre que, dada uma classe U de ontidades
quaisquer u,:
14
CAP. I.
' ALGEBRA VECTORIAL
se define uma operação de composiçao ou adiçdo, por meio da qual de u; e Uk se determina Ut (tam bém pertencente a U) a que se dá o nome de soma de ui com uk: a)
b) se define uma operação f · u;, de multiplicação de eleme,n tos dessa classe vor núro(>ros dum corpo R; c) além disso, essas duas operações go zam das doze propriedades ·Cujo resumo acabamos de dar; diz-se IJ.Ue a classe U constitui mn sistema linear, no co1po R, em relaçll.o à ope1·ação da adiçtlo ou composiçdo. Em virtude destas definições, podemos então di?.er que a classe das translacçlJes no espaço constitui um sistema linear, no co1·po dos números reais, em relaçdo à operaçllo de composição . Depen dência e independência linear. Dimensões do sistema. SE>jnm u 1 , 1t2 , • • • u 11 , n elementos do sistema linear U e R o corpo de números no qual ele é definido. Diz-se combinaçl'lo linear desses n elementos de U, no corpo R, de coeficientes 1. 1 , ). 2 , · •• À0 {1Hí71le1'0S de R), ao elemento u de U definido por
30)
"
U =
~À;·U; .
A combinação diz-se linea1· e homogénea quando quando
tt
=O , isto é,
31)
Quando esta igualdade se verifica, sem que sejam todos nulos os coeficientes da combinação, diz-se ainda que os n elementos u 1 são linearmente depend~ntes no corpo R . Quando , qualquer que seja o conjunto de n números de R, não todos llulos, não tem nunca lugar a relação 31) ou, por outras palavras , quando 31) só é poss[vel se os À; forem todos nulos, os n elementos u; dizem-se linearmente independentes no corpo R.
15
PARÁGRAFO 5
Sempre que oito se fa?; menção do corpo de números ao qual pertencem os )., , entender-se·á que eles s/J,o números reais quaisquer; é o que suporemos daqui em diante.
Um sistema linear diz-se a n dimensões quando: a) existem nele n elementos linearmente independentes;
b) quaisq uer que sejam os n + 1 elementos u1 , ••• u,., u,~+,, eles são sempre linearmente dependentes. Em todo o sistema linear U a n dimensões, há sempre n elementos linea1·mente independentes u1 , i = 1, 2, . · · n , tais que, dado um elemento qualquer u de U , exiRte um conjunto ú11ico de números reais p1 , • • • Pn não iodo., 1mlos, satíifazendo à relaçao n
32)
tt
= ~P• · u, ·
,_,
Com efeito, sejam u,, u2, ... u,., n elementos linearmente independentes, os quais existem sempre porque o sistema tem, por hipótese, n dimensões. a) De serem u, u1 , • •. Un linearmente1ldependentes, res ulta que À1 · u1 + ·· · + ).n • u,. + Àn1-1 • u =O co m À,.+t =I= O, porque se fosse ).,.+,=O os n elementos u, seriam linearmente dependentes contra a hipótese; resolvendo esta ig ualdade em ordem a u, tem-se
32), onde é P• =
À·
- -'- . Àn+J
b) Ü conjunto dos ri 1 i = 1 1 2 1 • • • n, é único; se hOU\'Osse outro conjunto de n números reais, sejam a,, i= 1, 2, · ·. n, tal que
" u = ~ ~~. u.1 ,
ter-se-ia
~ a,. u, = ~ p1 • u 1
donde
~ (p, - a,) . u, = O; ora estes n co~ficientes têm que ser todos nulos, porque se o não fossem os u, não seriam linearmente independentes, logo p1 = a 1 , i= 1 , 2, . .. n . Aos 11 olementos u1, linearmente independentes (e que, quanto ao resto, são escolhidos arbitràriamente) nos quais se exprimem, segundo 32), todos os outros elementos de U, dá-se o nome de base do sistema linear U; aos p; • u,, i = 1, 2, .•. n , dá-se o nome de componentes de tt e aos P• o de coeficientes de u na base Ut 1 Uz 1 • • • Un.
16
CAP. I.
ÁLGEBRA VECTORIAL
As definições dadas levantam a seguinte questão: a quantas dimensões é o sistema linem· das translacções 110 espaço? A resposta será dada num dos parágrafos seguintes [1. 7].
1. 6.
Definição de vector.
O conceito de translacção é de carácter flsico; o de segmento orientado, ao qual reduzimos o seu estudo, é de carácter geométrico. Convém ainda, se possível, introduzir uma nova entidade, não de carácter físico ou geométrico, mas aritmético, entidade que possa ser sujeita aos métodos gerais da A oálise, cuja fecundidade em tantos domínios tem sido posta à prova. Isso é possível, e faz-se pela introd ução dum novo conceito o vector lim·e - definido como segue: Dados dois pontos A e B e o se11 segmento orientado A B,
-
chama-se vector livre de .A B, e representa-se por A B, a uma função dos dois pontos A e B, e portanto de A B
-
A B =f(AB) satisfazendo às condições seguintes:
1. a - Essa função toma o me mo valor para todos os segu.entos ol'ientados equipolentes a A B e só para esses. A igualdade de \ectores livres, tradução aritmética do conceito geométrico de equipolência de segmentos orientados, é, portanto, reflexiva, simétrica e transitiva. 2. a - Põe-se f(AA) = 0 e por esta igualdade se define vecto1· nulo. 3. a - Sobre essa função é definida a operação de adiçtlo do seguinte modo: dados os dois segmentos orientados A B e CD e
--
- -
-
os vectores livres correspondeutes AB=f(AB), CD = j(CD), define-se soma A B 33)
+ CD
de A B com CD, pela igualdade
AB+ CD=f(AB+ CD).
Desta definição resulta que a soma de vectores livres é um vec· tor livre e que a operaçi\.o goza de todas as propriedades estabelecidas em [1. 3] para a soma de translacções ou segmentos orientados.
PARÁGRAFO 6
17
4.a- Sobre a mesma função define-se a operação de multiplicação por nm número real, do modo seguinte: dado o número real __...
~
p e o vector livre A B
=
j(A B), chama-se p1·oduto de p por A B,
~
e representa-se por p. A B, ao vector livre definido pela igualdade ~
34-)
p • A B = f(p · A B).
Daqui resulta que o produto dum vector livre por um número real é um vectvr livre e que a operação gosa de todas as propriedades estabelecidas em [1.4] para o produto de translacções por um número real. As vantagens da introdução desta nova entidade serão apreciadas nos desenvolvimentos que \'ãO st>guir-se. Por agora, insistiremos apenas em que o vector livre é de carácter wwlítico e não geométrico (I); o vector não é o segmento orientado, é uma função do segmento (e dos seus equipolentes) que o determina univ ocamente, como ele determina o segmento, a menos duma equipolência. Rigorosamente, deve dizer-se sempre-seja dado o vector livre ~
A B, função do segmento orientado A B; simplesmente, a esta maneira de dizer substitui-se habitualmente esta outra, mais abre· ~
viada -seja dado o vector livre A B- como se entre ele e o segmento houvesse ident1ficação e não, apenas, correspond~ ncia. Na prática corrente trataremos o vector livre como se ele fosse o segmento- não há. mal em o fazer, desde que a consideração permanente daquilo que os une não faça e~quecer o que, no fundo, os separa - os dominios diferentes a que pt>rtencem. Dá-se, aqui, uma coisa parecida (não idêntica) ao que se passa com as funções : na linguagem, confunde-se correntemente a função com a sua expressão aoalitica, dizendo, por exemplo- seja dada a função y = x · sen x, qu'\ndo deveria dizer-se- 11eja dada a função cuja expressão analitíca é y=x. senx . Aqui passa-se coisa análoga, tomando uma imagem geométrica pela entidade abstracta; é assim
(1) Contràriamente às definições dadas na maior parte dos trabalhos. Vid., oo entanto, M. Lagally - Vektor Rechnung (Leipzig, 1928) pág. 3 e 4; a mesma orientação é adoptada por R. Bricard- Le Catcul Vectoriel, Paris, 1929, pág. 10. O.Ú.COLO VEOTOUIAL
18
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
que, por exemplo, a figura 4 [1. 3] se considera como significando, de facto·, a adição de vectores, quando é apenas a imagem concreta. da operação abstracta adição de vectores livres. Do mesmo modo, a direcção, o sentido, a origem, a extremidade, o módulo, a medida algébrica. do segmento orientado A B, dizem-se dú·ecçtlo, sentido, origem, extremidade, módulo, medida algébrica
"""*
----+-
do vector livre AB=f(AB); o módulo do vector livre .AB repre~
senta-se por modA B. Fala-se, ainda, em equipolência de vecto1·es como significando a equipolência dos segmentos orientados respec· ti vos. No Cálculo Vectorial fala-se frequentem en te, não só em vec· tores, mas em grandezas vectoriais em oposição a grandezas esca· lareR. Estas, as eBcalares, são grandezas cujos estados podem ser ordenados biunivoca e contlnuamente, pelo menos do ponto de vista teórico, ao conjunto dos números reais; os seus estados são, por conse4uência, determináveis por números dum certo conjunto ou escala numérica; tais são, por exemplo, a temperatura, o tempo, o módulo dnm vector, etc. Pelo contrário, para o estudo das grandezas vectoriais não basta um conjunto numérico; intervém a direcçllo e o sentido dos segmentos orientados do espaço a cuja totalidade pode ser ordenado por correspondência biunivoca (a menos de equipolências) e continua, o conjunto dos vectores definidos como atrás fizemos. É grandeza vectorial, por exemplo, oma velocidade, uma aceleração, etc.
-
Notações. Além da notação já introduzida, A B, usaremos também para representar um vector, uma letra minúscula em nor· mando a, r , s , u; . • . e, ainda, a notação de Hamilton B- A onde A é o ponto origem e B o ponto extremidade. Da igualdade B- A= a tira-se a consequência aritmética 35) a qual se interpreta do modo seguinte: a soma do vector livre a = f(A B) com o ponto A, soa origem, é o ponto B, soa extremidade. Deftnições. Diz-se vector unitário todo o vector de módulo igual à unidade.
PARÁGRAFO 6
19
Diz-se vector unitário dum eixo o vector unitário que tem a direcção e sentido desse eixo. Dois vectores livres dizem-se opostos lJUando os seus Fegmentos orientados o são - módulos iguais, direcções paralelas , sentidos opostos. Dois vectores livres dizem-s~ colineares quando as suas direcções são paralelas; três vectores livres dizem-se coplanares quando as suas direcções são paralelas a um plano. Chama-se tlngulo de dois vectores livres ao ângulo, compreen,dido entre O e n 1 formado pelas direcções dos dois vectores, tendo em atenção os seus sentidos. Vectores ligados a uma base e vectores fixos. É conveniente introduzir, ao lado do conceito de vector livre, ainda o de vecto1· ligado a uma ba.~e. Esse conceito de vector difere do de vector livre apenas no âmbito da equipolência do segroendo orientado A 8 de que o vector é funçiio. Se essa equipolência joga em todo o espaço, tem-se o vector livre; se apenas joga sobre uma certa recta de posição fixa R), tem-se o que se chama o vector ligado à base R). Deste, pode ser dada uma definição análoga à. do vector livre (pág. 16) com a mod ificação seguinte: dados dois pontos A e B sobre a recta R ) e o correspondente segmento orientado A B, chama-se vector ligado à base R), definido por A B, a uma fun<;ão dos dois pontos A e B e da recta R), satisfazendo às condições segniotes: 1. 8 , essa. função toma o mesmo valor para todos os segmentos orientados equipolentes a A B existentes sobre a recta R) e só para esses; o resto da definição segue nos mesmos moldes. Como se vê, o segmento orientndc A B pode apenas deslizar sobre a recta R)- a sua linha de acção on suporte; por isso a estes vectores se pode chamar vectores deslizantes. U1.0 último grau de perda de liberdade dum vector é constituido pelos chamados vectores fixos ou localizados - aq neles para os qoais é fixa a origem e a extremidade. Co mo se vê, tJstas limitações não atingem, propriamente~ a essência da entidade vector. Q1Jando se disser simplesmente - vector- entender-se-á sem· pre que se trata dum vector {it;re.
20
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
1. 7.
Multiplicidade linear vectorial.
Dimensões. Oa definição de vector e das considerações feitas no parágrafo 1, 5, resulta imediatamente que o conjunto dos vectores do espaço forma um ;~útema linear ou, como também se diz habitualmente, uma mttltiplicidade lineat· vectorial. A pergunta feita no final desse parágrafo transforma-se agora nesta - a quantas dimensões é es~a multiplicidade'? É a essa pergunta que vamos agora responder. Antes, porém, de o fazer, lembraremos que, em \·irtude do que foi dito nesse parágrafo sobre os sistemas lineares, se verificam as seguintes propriedades.
1. a - Se a multiplicidade vectorial linear é a n dimensões, e i 1 . i 2 , ···i., é a sua base, entdo i 1 , ~, • • • Ín 8(10 Uneat·mente independentes e qualquer vector u da multiplicidade se expt·ime neles segundo
.
36)
u
= ~
)i. Íj
j .. J
que põe em evidência as componentes >1 • ii e os coeficientes l1 . Esta relação contém a chamada decomposiçdo de u segundo os vectores da base.
2. a - Dados dois vectores n
a
u = ~ 11 . i1 e v = ~ p.1 • i1 tem-se u
=
v sempre que e só quando
=
J=
1 , 2 ' •..
11 •
u ±v= ~ (11· +I'i).
Íj.
Àj
iJ.j '
Além disso: n
3.a- 37)
f-1
"
4.a -Dado u = ~).i. i1 e o número real p, tem-s~ i-1 n
38)
p • u = ~ (p. j:i) • Íj. i•l
21
PARÁGRAFO 7
Deixamos ao leitor o cuidado de verificar a filiação destas duas últimas propriedades nas propriedades formais do parágrafo 1. 5 (e suas correspondentes para os vectores livre~). Lembraremos apenas, para o caso da diferença em 37), que ela se reduz à soma com o vector oposto do subtractivo e que este é, afinal, igual a
(-1)·V. Posto isto, vamos responder à pergunta feita no começo deste parágrafo, considerando, sucessivamente, três casos: colinear idade, coplanaridade, caso geral (no espaço ordinário).
I - Colinearidade. 'I'EORE.IIA 1. 0 - Dados dois vectores colinea· res [1. 6] u e i, 71110 nulo, ea:iste um e só ttm número real l tal qtte
o= À -i
39) e esse número é
À=
40) onde 6 = + 1 se u e tidos contrârios.
6
.
modu rnod i
têm o mesmo sentido e e:
=
-
1 se têm sen-
. mod u . · Efectuemos, com efeito, o produto ), . 1 = s . - - .• 1 [1 . 6, 34), modi com referência a 1. 4, D) e E)]. É ele um novo vectur com a direcção de i -e portanto de u - com o sentido de i ou o contrário con1 ou 6 = -1 (portanto, sempre com o sentido de u) forme 6 =
+
e de módulo igual a [1. 4, 29)] mod (). · i)= Il i · mod i= mod ~ . mod i = mod1
=modo. Isto é, Ài=u. O número ). é único porque de À· i = f..l. i resulta, por ser i =f= O,').=p. [1. 5, prop. 9)]. A igqaldade 39) pode pôr se sob a forma
39a) que mostra ll. 5, 31 )] que os vectores colinea,·es u e i são linearmente depende11..tes. A reciproca é igualmente verdadeira: 2. 0 - 8emp1·e que dois vectores a e b silo linea1·mente depe?~dentes eles sdo colínem·es. TEOREMA
22
CAP. I.
ÂLGE.BRA VECTORIAl
Excluindo o caso de nulidade de algum dos vectores, suponha· mos que entre eles ee verifica a relação ~ · a+ a. b =O com p e a diferentes de zero (se um fosse nulo e-lo-ia o outro também); desta igualdade tira-se a=-~. b qne mostra que a e b são paralelos (porque a
multiplica~:ão
p por um nó. mero real não altera a
dirt>cçlio ).
Tudo quanto está dito pode resumir-se no enunciado seguinte: TEottEMA 3. o - O sistema de todos os vectores do espaço pa1·alelos a ttma direcçdo dada é um sistema vectorial linear a uma dz'menstlo.
Se i for um vector unitário, tem-se de 40), 41 )
e · mod u = med u ;
). =
se, além disso, i tiver o sentido de u, será 4~)
À=
modu, donde
u =i. modu
igualdade que reluciona um vector com o vector unitário do seu eixo e com o mesmo sentido. Escrevendo, abreviadamente, u em vez de mod u , tem-se 43)
u
= u ·i
II.- Coplanoridade.
i = ~. u
4. 0
Dados dois vecto1·es m!o nulos e nllo paraleloll i e j e outro vecto1· u coplanar a eles, e:r!ist~ sempre um e um só par de números reais ). e p., neto ambo8 nulo1 (a nao ser que u = ÜJ, taú que TEOREMA
44)
p I
/ _
_
I
_.L. _ _
A F ig . 9
Suponhamos que os trêB vectores i, j , u têm a mesma origem O, o que é sempre possivel, por serem ve('torE"s livres. Tiremos (fig. O) pela extremidade P de u paralelas às direcçOes de i e j; determinam-se assim dois pontos A o B e tem-se
PARÁGRAFO 7
23
___..
~
Mas [39)) O A=),· i, O B = p. · j,
-
o que demonstra 44).
~ Em face da construção, é evidente q oe O A e O B são úuicos e, portanto, únicos ). e p.. À mesma conclusão se chega por via anaHtica: dados ).' e ,..., tais que u = ),' · i + ,..., . j, tem-se ). . i + p. • j = ).' . i + 1-l' • j donde (À - Ã') • i + (p. - p.') . j = O e e ta igualdade exige que sejam I. - ).' =O, 1-'-- p.' =O pois, caso contrário, pelo teor. 2. 0 1 i e j seriam paralelos, contra a hipótese.
A igualdade 44) pode ser posta sob a forma
44a)
a qual nos mostra [1. 5, 31)] que os trils vectorescoplanares i,j eu allo linearmente dependentes. E como o são, a fortiori, se dois deles forem paralelos [basta pOr o coeficiente do terceiro igual a zer o e verifica-se então uma relação da forma 39 a)], tem·se: TEOR~MA
5. 0 -Trila -vectores coplanares quai8quer sil.o linea1·menle dependentes. A reciproca é igmalmente verdadeira:
Sempre que trils vecto1·es a, b e mente dependentes, eles sélo coplana1·es. TEOREmA
6. 0
-
c
são linear.
Suponhamos, com efeito, que há entre a, b e c, não nulos, {se algum deles o fosse ficava implkcitamente estabelecida a coplanaridade) oma. relação da forma /. • a+ p. · b c= O. Se algum dos coeficiellltes é nulo, está-se no caso do teorema 2.0 e cai-se logo na coplanaridade; afustemos esse caso. Da relação tira-se a=~. b +a. c que mostra imediatamente que a é coplanar a b e c visto que as multiplicações por números reais conservam as direcções e a adição conserva o plano.
+v.
O teorema 5. 0 mostra que a multiplicidade dos vectores paralelos a um dado plano não pode ter mais de duas dimensões, mas como, por outro lado, é sempre posdvel escolher no plano dois v,e ctores i e j não paralelos, e portanto linearmente independente:~, tew-se o TEOR~HA
a
1Wt
7. 0 - O sistema de todos os vectores do espaço pa1·alelos dado plano é um sistema linear vectorial a duas dimensões.
24
CAP. I.
ÁLGEBRA VECTORIAL
III. - Caso geral.
Comecemos por notar que a mu ltiplicidade dos vectores do espuço tem um número de dimensões maior que 2. É o que imediatamente resulta do teorema 6. 0 ; ef~ctivumento, dados três vectm·es não nulos nna coplanares, a , b, c ele:~~ sflo, necessà?·iame?lte, linea1·mente independentes, pois, se o não fossem, seriam copl nnuree como lá se demonstrou. Vamos agora provar que númPro de dimensões da multipJi.. cidade não pode ser maior que 3. De rn oostraremos para isso o
Uéttr'O • 8. 0 -lfflt'tdo vectores quauquer do espaço sêto sempre linearmente dependentes. TEORE~IA
Ponhamos de parte os casos simples em que haja paralelismo de dois \'ectores ou c o planaridade de três q uaisq oer de entre ele - em qualquer de tes casos há dependência linear dos quatro, com aoulamente de coeficien tes convenientes -- para nos ocuparmos do caso mais em geral: haver quatro vectores não nulos i, j, k, u, sem paralelismo nem coplanaridade entre quaisquer g!'llpos deles. Pois bem, vamos demonstr~r que e:eiste um e um só terno de números reais l , p. , v , tais que
4ó)
u=l·i +p. ·j +v· k.
Seja O a origem comum dos quatro vectores, o q ue é sempre possivel, e tiremos por P, extremidade de u , uwa paralela a k (fig. HJ); st-ja B o ponto em Cr---que ela e ncontra o plano definido por i e j.
-
Tem·se u = O B
+ BP;
-
mas [39)] BP= v . k
e [44)] O B = l. i +
o Fig. 10
45a) mostra que o
1-1. .j, logo verifica-se 4ó). A dewon tra~ã.o de que ). , f, v são únicos faz- se durua maneira inteiramente análoga oquola p or que e procedeu oo teorema 4. 0 • A relação 45), posta sob a forma
À·i +f.l ·i +Y ·k -u=O, quatro vectores são linearmente depend ntes, com
o que fica demonstrado o teorema. Dele, e das considerações feitas imediatamente antes, resulta finalmente que
25
PARÁGRAFOS 7 e 8 TEORE ,IoJA
9. 0 - A multiplicidade linear vectorial de todos os
vectores do espaço ordinário é um si tema linear a
tr~s
dimensCJes.
Decomposição. É claro que a relação 45) é absolutamente vale qualquer que s('ja a posição relativa de u para com os vectores i, j e k -se houvet' particularidades nessa posição, elas traduzir-se-ão no anulamento de coeficientes. E sa relação traduz a decomposição dum vector qualq uer u segundo a base i, j e k; para esta podem tomar-se três vectores quaisquer desde que não sejam nem nulos nem coplanares. Representarem os, para obter maior simetria nas fórm olas, os vectores da base por i 1 , is, is; a decomposiçào de u escreve-se então g~ral;
8
u =~)i.
46)
Íj.
j=l
Se ii são vectores unitários dos seus ei xos, o~ coeficientes ).i. ii são as medidas algéb1·icas [ 41)] dessas componentes. Quando o vector u fôr qualquer dos vectores i1 da base, a fórmula geral 46) toma o aspecto
'A1 das componen tes
8
ii = ~ õik ·h-,
47)
k-1
onde os OJk -símbolos de f(,.onecker- são definidos por OJ k -=- { O +- ~ -=!= k 1 +-J=k.
48)
1. 8.
Possibilidade duma teoria analítica das multiplicidades vectoriais (I)
As conclusões a que se chegou no parágrafo anterior mostram que, uma vez escolhida uma base no espaço ordinário, todo o vector do espaço fica unlvocamente determinado por três números reais
li>j -= 1,2,3. (1) Para a colllpretu~ão tia matéria Uf:l$tf:l parágrafo, cuja leitura não é indispensável para seguir os desen volvim entos Bubsequ entes, o leitor deve estar familiarizado com os elementos da teoria das l\Iatrizes e das f•'ormas Lineares. Ver, por ex., Lições, Vol. 1. 0 , cap . 12 e 13. Para outros desenvolvim entos sobre este assunto, ver, por ex., J . 'Vedderburo, Leclures on Mat1·ices, New- York, 1934.
CAP I.
26
Á GEBRA
VECTORIAL
Isto sugere a possibilidade de se estabelecer uma teoria geral, de carácter aaalitico, das multiplicidades vectoriais nos espaços n-dimeasionais. Vamos iad'car, brevemente, como essa teoria se pode desenvolver.
I. - Define-se vector num espaço eoclideano n-dimensional como o conjunto de n números reais p1, p2, • • • Pn, por esta ordem; usa-se a notação u = (p1 , pz, · · · p,) . Diz-se nttlo o vector em que p1 = O , i = 1 , 2 , · · · n e escreve· se
(0,0, ... O)= O.
II. - Dados dois vectores u = (pt, p2, · · · Pn) e v = (at, a2 , · · ·O'n) diz-se que são iguais, e escreve-se u =v, quando existem ns relações p1 = a1 , i= 1, 2, · · · n • Verifica-se que esta definição satisfaz às condições de ser refie· xiva, simétrica e transitiva.
m. -
Define-se soma dos dois vectores u e v, e escreve-se + v = (p1 + a1 , pa + aa, · · · Pn an).
+
u + v , pela igualdade u
Prova-se que esta operação goza das propriedad~s da adição ordinária- 1. 5, prop. 1) a õ) (mudando a palavra translacçtto em
vector).
lV.- Define-se prodt,to de u pelo número real igualdade
~,
e &screve-
·:!e ~ • u ou u · ~ , pela
Demon tra-se que esta opera~ii.o goza das prorrie-dndes ho.bituai - 1. 5, prop. 6) a 12).
V. - Define· se· sistema linear ou multiplicidade linear como foi feito no parágrafo 1. 5. Da definicãu resulta, por virtude de III e IV, que a totalidade dos vectores do espaço o-dimensional é uma multiplicidade Unear.
VI.- De III e IV resulta ainda que todo o vector o da mui. tiplicidade se pode pôr, duma única maneira, sob a forma u = pt • (1, O,··· O) pg ·(O, 1, ···O) ~~~ ·(O, O, · · · 1) ou,
+
abreviadamente, n =
•
L Pi. e;,
+ ··· +
onde os vectores ~ são definidos
i=l
pela igualdade eJ = (ài1 , à;2 , · •• à;.) e os ài" são dados por 1. 7, 4B). Os vectores da multiplicidade aparecem, assim, como formas
27
PARÁGRAFO 8
lineares nos ei. Estes, por sua vez, podem pôr·se também sob a for ma. anterior, visto que n
e1 = ~ OJI, • ek • k- 1
VII. - Define-se combinaçlfo linear de vectores, do modo seguinte: dados os vectores u, u1 , u.a, ···Um, diz-se que u é uma combinação linear dos restantes, quandv existem m números reais m
À;, i=
1, 2, · · · m, tais que u
=
~ À1 • Ut.
Vlii. -- Define-se dependência e independência linear coroo habitualmente: os m vectores Ut, u2, ·. · u,4 dizem-se linearmente dependentes quando existirem m números reais À;, i= 1, 2, ·. · m, m
não todos nulos, tais que ~À;.
Ui= O.
i=l
Se esta relação só for possível quando todos os À; forem nulos, os m vectores dizem-se linearmente independentes.
IX.- Da teoria das formas lineares resulta imediatamente que a co~dição necessária e suficiente pam que de entre os m vectorea
Ut =pu . 6t
Um
= Pmt . el
+ pr.a • e2 +
...
+ Ptn
•
e,.
+ ~..a . es + ... + Pmn • e,.
haja r e não mais de r linearmente independentes, é que a característica da matriz ((pj~r))
=
pu
~IB " • ~III
fjt
Pia •" Pin
I ~~; ~m3 p,.,.l "•
sija igual a r . Os ro - r vectores cujos coeficientes não figuram no determin ante principal são combinações lineares dos outros.
28
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
X.- Conclui-se daqui que os n vectores ej, j = i , 2, ... o, 4(10
linearmente independentes, v isto que a sua matriz
((ajk))= 1
o... o
o
J ... o
o u... J é a mal.l"iz identidade e tem, portunto, característica n. Aos vectores ej dá-se o nome de vectores-unidade e ao seu conjunto chama-se base da multiplicidade. De Vl resulta que todo o vector da multiplicidade se exprime, duma só maneira, nos vectore da base.
XI. - 8do linearmente dependentes guai.~qtter o
+ il.
vectores
da multiplicidade. Efectivamente a caracter[stica da matri:G
pu
não pode ser muior que n.
XIL - Define-se ordem ou número de dimensões da multiplicidade do mo do seguinte: diz-se que a multiplicidade é de ordem r, ou tem r
dimensões, quando há nela r vecto?·es li-nem·mente independentes
e
r+
1
qzw·isq~ter
silo
linearment~ depende1~if;~;.
De X e Xr conclui-se imediatamente que
a multiplicidade wtal dos t•ectores do espaço a-dimensional é de ordem n •
Com isto, ficam estabelecidas as propriedades atê aqui estudadas para os vectore6 ordinários, e por via meramente analitica. O leitor notará a analogia desta teoria com a dos números complexos a n unidades [Uções Vol. 1. 0 , 9. 12] o que vem confirmar a 11firmação atrás feita [1. 6 de que uw vector é uma entidade analitica e cão geométrica.
1. 9.
Coordenadas cartesianas.
É sabido, dos elementos da Geometria Annlitica 1 como a. posição dum ponto Do espaço pode ser fixada com a ajuda do método das coordenadas cartesianas.
29
PARÁGRAFOS 8 e 9
Toma-se, como sistema de referência, o conjunto de três eixos não c(lplanares O x, O y, O z, que, por sim plícidade, se supõem tri-ortogonais; o seu ponto de encontro O denomina-se o1·igem das coordenadas e os eixos chamam-se eixos co01·denados. O sistema diz·se de disposiçao positiva ou de:r:t1·orsum se o considerarmos orientado do modo seguinte (fig. 11): um observador colocado ao longo de O z com os pés em O e a cabeça para o sentido positivo de z O z e virado para o interior do triedro, deixa o semi-ei:xo positivo Ox à direita e o semi-eixo positivo O y à esquerda. No plano O x y toma·se como sentido y positivo das 1·otaçrJes aquele pelo qual a rotação de menor amplitude (;) que
X
Fig, 11 leva o semi-eixo positivo O :r: à coincidência com o semi-eixo positivo O y se faz no sentido directo (contrário ao sentido do movimento dos ponteiros dum relógio)- é o sentido indicado pela seta curva na fig. 11. Dos seis sistemas determinados pelas seis permutações das letras :r:, y, z, três deles -os que correspondem a permutações part>ssão orientados como o da fig. 11, cada um deles é um sistema
z
.Y
X
Fig 12
dextrorsum; os outros três- os qnA correspondem a permntuções ímpares - são orientados de modo que o observador , nas condições acima indicudas, Yê à esquerda Ox e à. direita Oy- cada um deles diz·se de dispostçtlo negatiya ou sim'strorsum. Na fig. 12, os três sistemas superiores ~>ão de disposição posith·a
30
CAP. I ÁLGEBRA VECTORIAL
e os três inferiores de disposição negativa. Como se vê, dentro de cada um dos dois grupos, os sistemas derivam uns dos outros por permutações circulares das letras, e cada um dos negativos deriva de um positivo pela troca de dois eixos. Pode, é claro, fazer-se coincidir um negativo com o correspondente positivo desde que se lhe troque o sentido de um eixo(l). Posto isto, a posição de qualquer ponto M do espaço é fixada univocamente por três números reais- as suas três coordenadaB,
O A =:c, U 1:J = y, O C= z obtidos pela construção da fig. 13 e q111e é, exactamente, a mesma do parágrafo 1. 7, III, para a decom-
OM
posição do vector = u. Tem-se portanto, sendo i, j , k os vectores unitários dos eixo s, como estão indicados na figura, e visto que os ). , p., 11 de 1. 7, 4:'>) são, respectivamente, iguais a
- -
~ med O A = :c , med O B 49)
= y , med O C = z ,
M(:c, y, z)- O= u = :c· i + y · j
+ z •k
que mostra que os coeficientes da decomposiçao de u segundo os eixos são precisamente as coordenadaB da sua e:ctren.idade; por isso se dá, também, a ::c,y,z, o nome de coordenadas do vecz tor. C Como se vê, 49) é oro caso particular de 1. 7, 45) e, portanto, de 1. 7, 36) e dai resnha q ue são aplicáveis à soma de ~ vectores e ao produto deles por um número real as regras ordinárias da Álgebra, por
virtude de 1. 7, 37) e 38); e que
Flg. 15
a igu aldad e de dois vectores exige a igualdade das suas coordenadas homónimas e reclpro ca mente. Se o vector não tiver a origem em O mas sim num ponto M1 (x1 , y 1 , z1), tem-se, sendo M2 (:cs, !}2, zs) a sua ex tremida de,
- -
-- -- - -
OMs= OM1 + M, Ma donde M1 Mil= O Ms - OAJ1 =(x2 · i+Ys · j + (') Tudo o que et~tá dito a respeito da orien tação dos sistema tri-ortogonais se mantém, ipsis ve1·bis, se eles o não são.
31
PARÁGRAFO 9
+ za · k)- (xt ·i+ Yt • j feita permite escrever 50)
+ Zt • k),
e a observação que acaba de ser
-
Mt Ma = (xs - Xt) · i + (ya- Yt) · j
+ (zs -zt) · k.
Se representarmos, para obter maior simetria nas fórmulas, os vectores unitários dos eixos por it, is, is (it =i, is= j, is= k), e os próprios eixos por Ox1, Oxs, Oxs, a decomposição 49) toma o aspecto 8
111 (x, , W2 , x 8)
ól )
-
O=
L
:t k • ik •
k- 1
Como as coordenadas do ponto M são, afinal, as medidas das projecções de O M sobre os eixos coordenados, se
alg~bricas
--+-
u = O M é um vector unitá1·io, essas coordenadas são os cosenos --+-
dos ân gulos que o vector O M faz com cada um dos eixos, ou, como se diz habitualmente, os seus cosenos dú·ectores. --+
Se forem a.1 , a.z, <Xs os ângulos de O M respectivamente com O Xt , O x!l, O :cs, ter-se-á :c. = cos a.k , logo --+-
5:?)
--+-
8
O Jlf = ~ cos u.~; · ik +- mod O .M = 1 . k- 1
Sempre que, daqui em diante, se não fizer a indicação dos valores qne deve tomar o indice do somatório, entender -so-á que et~s es valores são 1, 2, 3, de modo que, por exemplo, 52) se escreverá simplesmente --+
O M = ~ cos a.k • h . J:
Tudo quanto ficoa dito neste parágrafo, à excepçtto do que se refere aos cosenos directores, se mantém se os eixos não são tri·ortogonais, bastando apenas modificar convenientemente a definição de coordenadas dum ponto. A construção feita no parágrafo 1. 7, III para deeuwposiç!l.o do vector u indica como essa definição nova é dada- as coordenadas cartesianas, não rectangulares, do --+
ponto .M são os números ~ , fL, v, da decomposição de O llf = u. É claro que em virtude desta definição as coordenadas deixam de
32
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
ser as medidas algébricas das prejecções de u sobre os eixos e por isllo as coordenadas do vector unitário não são iguais aos cosenos directores.
1. 10.
Aplicações.
O cálculo vectorial é susc~ptlvel de oumeros!:IS e importantes aplicações à Geometria e à F!sica. Nos capltulos seguintes serão tratadas algumas; runs podem desde já resolver -se algumas questões interessantes. 1.a - Oondiçr1o de pal·alelismo de dois vectores e::pre~sa nas suas coordenadas. SE'jnm os dois \'ectores u e v; (omo se sabe [1. 7 39) , a condição de paralelismo deles é v = A. u; vamos exprimir esta. condição nas co01·denadas dos dois vectores . Sejam o tres eixos coordonados Ox1, Oxz, OzB de vectores unitários i,, i2 , ÍJJ e u = ~ lk · Ík, v ·-= ~ m, • ik as decomposições k
dos dois vectores. De v = ), . u resulta ~ m~;-. i~r = ).. ~ lk ·h= k
k
= ~(). .lk) · Ít doode k
ó3)
"-=1,2,3
isto é, 1111
1n 2
m8
-=-=ls
ó3a)
que nos diz que a condiçtlo neceBsária e suficiente de pa,·alelismo de dois vectores, dados em decomposi9il.o ca1·iesiana, ~ a propo1·ciorwlidade da suas coordenadas. O coeficiente de proporcionalidade À 6
[1. 7, 40)) modv
ól) Z. a -~~~cw
À =fõ· - -- .
mudu -
Condiçilo de coplanm·idade de
coordcuad<.J.s. Sejam os trôs vectore:.
u = ~ lk · i~ . ~
v = ~ mk · ik , ~
tr~s
vectores e:lJpressa nas
33
PARÁGRAFOS 9 e 10
A condição de coplanaridads deles é [1. 7, 44)) no caso geral (não annlam€\nto nem paralelismo), w =). · u + p.. v com À e p. reais e únicos. É, por conseq uôncia, ~ ?lk • h=À ·~I k • i~: + p. •~ mk • i~:= k
=
~ (). -l~:
k
+ p. • m~<) ·h donde
k
k=1,2,3.
55)
3. a - Equação da 1·ecla qtte passa por um ponto dado e é paralela a um vector dado. Seja M um ponto do espaço e u um vector livre; a recta definida por .11 e u é con hecida desde que seja conhecido o ponto geral ou ponto corrente dela; a sua equação consistirá, portanto, no estabelecimento da condição necessária e suficiente a que deve satisfazer o ponto geral P para que esteja sobre a recta. Ora a recta R) é um lugar Fig. 14 geomét1·ico- o de todos aqueles pontos tais que a direcção definida por qualquer deles e por M seja a direcção
-
de u. A condição necessária e suficiente é portanto que MP e u sejam colineares, isto é, que haja um número real ). não nulo, único [1. 7, 39)] tal que
-
.MP=). . u.
56)
-
É esta a equaçao vecto1·ial da recta; como se vê, ela contóm ~
o parametro ). =e.
morl MP
. [54)] que, vanando de - oo a
+ oo,
modu permite ao ponto P descrever a recta, ilimitada nos dois sentidos. É fácil deduzir o aspecto cartesiano desta e4uaÇ"ão. Sejam (o:k) e (xk), k = 1, 2, 3, res pectivamente, as coordenadas cartesianas
dos pontos 111 e P e seja u = ~ lk . ik.
-
De 1. 9, 50) resulta
k
M P= ~(xk - o:~:)· i~:,
logo, deve ser (53)]
k
ó7)
k =1,2,3
ou seja, substit uindo x 1 , x 9 , x 8 pelos sim bolos habituais x, y, z, CÁLCULO V t:CTORIAL
3
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
re = a 1 + ), . l 1 JJ = as+). -ls z =as+). ·Is.
I
57 a)
São as chamadas equa~lJes paramétricas da recta R) . A 57) pode dar· se a forma
:Ck -
lk
O:k
= ). ,
k = 1, 2, 3, isto é,
re - a1 y - as z - as --- =---= - -
58)
chamadas equaç<Jes normais da mesma recta; os três 8 , definidos a menos duma constante multiplicativa coordenadas de qualquer outro vector paralelo a u igualmente a direcção da recta) denominam-se parâmett·os directo1·es da recta. Se o vector u for unitário, tem-se, representando por 01 ,93 , Os 08 ângulos que ele forma com OS eixos, lk=COS 91: [1. 9, 5~)) e, por consequência, as equações paramétricas da recta são
que são as números (porque as determinam
z,, l2, l
59)
k= 1,2 , 3
onde
__.. À=s.modMP
60)
e as equações normais são a1 y - a!l z - as ---=---=--C08 91 cos e2 cos Os
X -
61)
Aos cos ek dá-se o nome de cosenos directores da recta. 4. • - Equaçâo do plano que passa por um ponto dado e é paralelo a dois vectores dados. A dedução faz-se por um raciocinio inteiramente análogo ao 1'/ anterior. ~·.!---.:.P Seja 111 o ponto, u e v os vectores -..........., não paralelos dados. A condição necessúria e suficiente para que o ponto vnriável P
J.-<...,/
Fig. 15
...
__..
esteja sobre o plano é que os vectores 1l1 [>, u e v sejam coplanares, isto é, que seja [t . 7, 44)) 62)
PARÁGRAFO 10
35
com /. e tJ- reais e úoicos; é esta, por cooseq uê11cia, a equação vectorial pedida. Como se vê, figuram nela dois parâmetros À e p. que pela sua \'ar iação de - oo a + oo permitem ao ponto P descrever o plano inteiro. O aspecto cartesiano de 62) é tumbém de dedução simples. Sejam (cc~) e (.xk), k = 1, 2, 3, respectivamente, as coordenadas cartesianas de M e P e sejam u = ~ lk • ik, k
v= ~ mk · ik
as decomposições de u e v;
como [1. 9, 50)]
k
-+
MP= ~ (.xk - cck) • h, tem-se, em virtude de ó5 ), k
k=1,2,3.
63)
Estas eq nações 4 ue se escrevem, substituindo agora x 1 , xa, Xs pelos slmbolos habituais das variá\·eie, x,y,z,
63 a)
x - r7.t = À • lt y - aa = À • l2 [ z - ao = À • ls
+ p. · m1
+ fJ. · ma + fJ. • ms
são as chamadas eqtwçõe.~ pm·amétrica.~ do plano. É de notar, da comparação de 63 a) com 6~), como de 57 a) com 56), o maior poder de condensação e simplicidade na e8crita das fórmulas que o cálculo vectorial apresenta, sobre o método carte-siano. De 63) deduz-se a equaçao cartesiana do plano, para o que basta eliminar À e p. 1 isto é, estabelecer as condições necessárias e suficientes para que o si tema 63), considerado em relação a À e p. como incógnittts, seja compath·el. Como u e v 1 por hipótese, não são paralelos ( e o fos em, o plano seria indeterminado) o deter· minunte principal é de 2. a ordem e há uma só equação de condi· ção -anulamento do caracterlstico X - O'.J
64)
l,
?nj
=0
y- (X2 la 1112 z - rxs ls rns
que, desenvolvendo o determinante em relação aos elementos da primeira coluna, toma o aspecto
04 a)
a 1 • (x- a 1 )
+ a 2 · (y --
a~)
+ as · (z- as) =
O.
36
CAP. I.
ÁLGEBRA VECTORIAL
Adiante [1. 12, III] será vista a significação geométrica dos coeficientes al, as, as deste equação.
õ.a- Equaça.o do plano que passa por
tr~a
pontos não alinhados.
O problema reduz-se imediatamente ao anterior. SeJam A, B, C os três pontos dadoH, de coordenadas respectivamente (oo:k) , (~,),(/'~e) , ll = 1, 2,3. Fazendo B- A = u, C- A = v o pro· blerua reduz-se ao anterior A(«x T f:" m- se u = ~ (r;~ - a~;) · 1k ,
,,
v = ~ (/k - ak). ik e as equações 63) k
Flr;. 16
65)
Xk -
tomam o l:lspectü
oo:k) + (1· - ('lk - a:k),
a, = ). · (~k -
k=1,2,8,
A equação 64) escreYe·se agora
()6)
X1 -
a, · ~~ -
Ct:J
YI - at.r =O
x2-
cr,
~1
-
a9
Ys - "-:
:r" -
":J
~Q
-
as
{8 -
"'8
ou, o que é o mesmo,
66a)
"'l
~~
"/1
"'z
~2
"/2
crs
~B 1
18 1
1
=0.
Façamos agora uma aplicação à Fisica.
6.• - Ba1·icentro dum sistema de pontos 111ateriais de massa total ndo n1tla. Sejam os pontos do espnc;;os P1, P!J, . •• P., aoa quais ~>6 atribu6m, ou fa.,;em corresponder, as massas re~pectiYamente
..
m1, m2 , · • · mn; supondo que ~ m1 =f= O, e dado nm ponto arbitrá·
-
~
rio O do espaço, constrnamos o ,·ector fi:to O G definido pela igualdade, onde O P, siio também ,·actores fixos,
67)
37
PARAGRAFO 10
É claro que, uma ve:t escol hido O, esta igualdade determina -+
unlvocamente O G (e portanto G)- o vector O G vem expresso -+
.
?nt
m,.
Lmi
Lmi
--+
-+
em combinação linear dos vectores O Pt, O P 2
O Pn, com
, • ••
coe fi ctentes - - , .. · - - . Vamos demonstrar que o ponto G nllo depende do ponto O. Seja, coro . efeito, outro ponto O' do espaço e seja G' o novo ponto definido a partir de 67), isto é, seja -~
-+
L 11l;. O'P; = O'G' . L 11l;. -+
Como se tem, quaisquer que sejam os pontos, 00'
->-
--+
+ O'P; = OP;, -+
~
L m, ·(O P;- O O') =
vem, snbstituindo na igualdade nnterior, -+
= O'G'. L m,, donde, desenvolvendo o somató rio do primeiro --+
-
_,...
membro, L m; ·O P; ·- O O'· L m; = O' G'. L m,, donde, por 67), -+
-+
-
-+
->
-~
--+
--+
--+
(O G - O O')· L m; = O'G' ·L m;, donde, ainda, por ser L m,=f=O, O'G' = O G- O 0'. Mas, por outro lado, é sempre verdade que --+
--+
-
--+
-+
OO'+O'G=OG, donde O'G=O G-00', logo é O'G'=O'G o que prova que o ponto G' Ao ponto G, definido e cent1·o ou centro de gravidade Se se t omar para ponto dade 67) t oma a forma n
68)
coincide com G . determinado por 67), <'hama-se bari· do sistema de pontos dados. O o próprio baricentro G, a igual--+
L 1n; ·GP;=0 i=l
da qual se tiram algumas conclusões intereesantes. Vejamos duas. a) O sistema é constítuido po~· doiiJ pontos. 68) reduz-se a --+
--+
--+
--+
mt·GPt +ma·G Pa= O, donde (se ma=f=O)GP2 = ). . GPt que mostra [1. 7, 39)] que os dois ve-ctores ( G Pt e G P2 siio paralelos e, como têm a mesma origem G, estão sobre a mesma recta, logo
o baricent1·o do sistema está sob1·e a 1·ecta definida por P 1 e P2 •
38
CAP. I.
ÁLGEBRA VECTORIAL
--+ e as massas forem ambaa igu ais à unidade, é GP~=G- P1,
isto é, o baricentro está no meio do segmento 1'1 P 2 • b) O sistema é co11stiluúlo por t1·ê:J ].Jontos nlio alilll/,Qdo/3. Tem-se,
-
de 68), m1 • G P 1
-
+ 111] · G Pll
~).
ma· G Ps -O donde (5e ms =!=O)
---+ GPa=I..GPr+iJ· GP!il qoemostra[1.7, 4J )]que O estánoplano definido por P 1 , P:, P$.
- -- --
Se as ma8sas Bão iguais à unidade, tem -se GPs=-(GPt+ GP2) e daq ui conclui-se que G está sob1·e a mediana do tritlngulo de v~r
ticeB P 1 , Ps, P 8 a doi, ter901J a contar do vércice.
-
Efe.c tivnmonte (fig. 17), tirando por P 1 o vector fi:xo P 1 P = -+
-);o
__..
___...
= GP;?, vê-se que GP1 + GP2 =G P e, com o P 1 , P. Ps, G, dPfinem um pa-
-- -- + -
ralelogramo, U P corta
}J,
P 9 ao meio
-
em H e GP=2· Gil. Por outro lado. como Flg. 17
GPIJ=- (GP 1
GP 2) tem· e GPs=
= - 2 · GH, quer dizer, os pontos G,H, P8 estão alinhados e G está a dois tercos entre P8 e H . O mesmo r acioclnio se faz para as outras medi11nas, de modo que fica estabelecido que o baricentro está sobre cada uma das media oas a dois tercos a contar do vértice corres pondente o que, por consequência, estas, as medianat! . se cortam uum ponto o bariceatro do tr iângulo .
11.
PRODUTOS E OPERADORES.
1. 11.
Produto vectorial ou externo.
Defrnição. Dados dois vectores livres u e v, não nulos e não paralelos, ch!t.ma-se p1·oduto ,;ectorial ou produto e:ete1·no deles , e representa-se por UI\ v, que se lê: u e:eterno v, ao vector livre w que ~atisfaz às seguintes condições: a) a direcfill.O de w é perpeudicolar ao plano definido pelas direcções de u e v ; b) o sentido de w é tal que os três vectores u, v, w, por esta ordem, formem um triedro dext1·orsum, isto é, de disposição análoga à do triedro definido pelos \'actores i, j , k. c) o módulo de w é definido pela igualdade ü9)
modw = mod (ul\ v) = modu. modv • sen e
sendo e o tlngulo [1. 6] dos vectores u e v, O= ang (u, v). Como se vê, o módu lo 6 definido como igual ao valor absoluto da área do paralelogramo determinado pelos dois vectores u e v . Se algum. dos dois vectores u e v é nulo, ou se eles são par!t.lelos, põe-se por definição, Fig. 18
70)
u(\v=O.
Propriedades. O produto vectorial goza de algumas propriedades que o assemelham ao produto ordinário mas possui outras que dele o diferenciam nitidamente. Comecemos pelas primeiras. 1. I - Sendo
r
71)
p . (u 1\ v)= (p . u) 1\ v = u 1\ (p . v).
um
1~Úmero
J•eal qualquer, tem-se
4.0
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
Efectivamente:
a) a mnltiplicaçào por p não altera as direc~ões; b) se é p>O, os sentidos mau têm- se; se é p
c) émod[p · (u/\v))= IP!-modu -modv-sen e = (I PI · morl u) · mod v · sena = 7110d u · (i pI · mod v) · sen e. 2. a_ O produto
vectoria~
72)
uA(v
é disb·ibutivo em relação à soma, isto é,
+ w) =
ut\ v + ut\ w.
Comecemos por demon8tra r q oe, dado.s os vectores u e v, .~e chamarmos r ao vector projecçao do vector v sobre um pla11o perpendicular a u, se tem
u
UI\ V= Ut\r,
Com efeito (fig. 19): n) direcçao . Como r está no plano definido por u e v, as dire cções de ut\ v e u/\r c oincidem e estão sobre o plano P) perpenFlg. dicular a u. b) sentido. Os triedros u, v, u !\v e u, r, U/\r têm, evidentementE', a mesma disposi~ão. c) módulo. É mod (u ;\r) = mod u . mod r = =
19
mod u . (mod v . sen e)
= mod (n A v).
Como se vê, a efectivação de u/\r, multiplicação vectorial (à esquerda) de r por u, consistiu numa rotação, fe ita a r no sentid<> positivo e de amplitude
~, efectuada no plano P) perpen2
dic ular a u, e na mul tip licação do seu módulo (de r) por modu. Posto i to, passemos à dem onstração da igualdade 72). Seja ainda P) o plano perpendicular a u e projectemos ortogonalmente sobre ele (fig. 20) os vectores v, w, v + w; obtêm-se
-
sobre P) os vectores r, s e OH= r+ s. Pelo que acima se viu, é u t\ v = u 1\ r , u 1\ w = u 1\ s, ut\ (V+W) = u/\(r-rs) logo, a igualdade a demon strar, 7:2), reduz·se a u/\(r + s) = uA.r + uAs.
PARÁGRAFO 11
4J
Ora esta é manifestamente verdadeira visto que, como para r, s e r+s a multiplicação vectorial por u (à esquerdn) consiste
Flg. 20
na rotação sobre P) de
r.
no sentido positi\•O e na multiplicação
2 do módulo por n.od u, a igualdade O II= r
-
+s
não é destrulda
por virtude dessas modificações e se tem
uj\0 H= u/\r
+ u/\s.
Demonstrava-se anàl ogamente que
(u +V)/\ VI = U/\W + V/\W. Esta igualdade e 72) generalizam-se sem dificuldude e tem-se
73) que, utendendo a 71), se pode escrever sob a forma mais geral
em que i e k tomam, independentemente um do outro, todos os valores inteiros cada um do seu conjunto, em geral distintos um do outro. Esta ignaldade mostra que o sinal de produto externo e de comMnaçllo linea1· stlo permutát:eis. Passemos agora às propriedades pelas quais o produto vectorial difere do produto ordinário .
42
CAP. I.
3.3
-
ÁLGEBRA VECTORIAL
O prodt~to ?;ectorial nilo é eomutatt'vo. Verifica-se a relação
7ó) Efectivamente, as direcções e os módulos de u 1\ v e v 1\ u coincidem, como é óbvio, ruas os sentidos são opostos visto que a troca dos dois eixos u e v origina urna mudança na disposição do triedro [1. 9, fig. 12]; para que ele continue a ser dextr01·sum bá portanto que mudar o Stlntido do terceiro eixo, logo verifica-se 75). 4. a - O p1·oduto vecto1·ial n{lo é associativo, isto é,
76)
u/\ (v 1\ w) =I= (ui\ v) 1\ w.
Basta verificar, por exemplo, que as direcções dos dois vectores são diferentes. Ora r= uf\(v 1\ w ) é perpendicular a v 1\ w (e a u) e como v 1\ w é perpendicular ao plano definido por v e w, r é paralelo a esse plauo. U m racioclnio análogo mostra que S=(u/\ v)/\ w é paralelo ao plano definido por u e v, logo as direcções de r e s, em geral, são diferentes.
6. 3 -É ve1·dade que uf\ 0=0/\ u =O, mas de u f\ v =O não resulta necessàriamente u =O ou v= O; pode ser u =/=O , v =1= O e u paralelo a v, como resultu da definição 70). 6. • - Sejam u, v , w vectores não nulos; é verdade que de u = v resulta u 1\ w = v 1\ w e w 1\ u = w 1\ v , mas ndo é verdade qtte de UI\ w =v/\ w resulte necessàriamente u = v. Basta verificar que os módulos de u e v podem ser diferentes. Ora. de UI\ W=V 1\ w resulta, fazendo a ng (u, w) = O e ang (v, w)=O' moa' u . mod w · sena = mod v . mod w . senO' donde mod u . sen a = = modv ·senO' e esta igualdade pode coaxistir com modu=f=modv. P ode, no entanto, afirmar-se que, se a igualdade UI\ w =v 1\ w se 'l:erifica qualquer que srja o vector w, dela resulta necessàriamenle u = v . Com efeito, nessa hipótese, u e v são paralelos, porque da igualdade u 1\ w = v 1\ w resulta o paralelismo dos dois planos definidos por u e w e por v e w e osses dois planos só são paralelos par a w qualquer , se u e v forem paralelos . Do paralelismo de u e v resulta sena= senO', donde modu = = mod v; por outro lado, u e v têm, necessàriamente, o mesmo sentido (se o não tivessem, seria u /\ w = - v 1\ w) logo é u = v.
43
PARÁGRAFO 11
'i. • - Ndo é poRsível definir uma operaçl'l.o inversa da sua multiplicaçllo vectorial, pelo menos com o significado habitual, visto que há uma infinidade de vectores cujo produto vectorial por v é igual a u. Adiante [1. 20, b)] trataremos da operação designada pelo nome de divisllo vectorial. Expressão cartesiana do produto veclorial. Comecemos por determinar os produtos vectoriais dos vectores unitários dos eixos. Da definição resulta imediatamente (fig. 21) que
j;\j =O, j ;\ k=i ,
i/\i= O, i ;\j=k,
k/\k=O; k/\i = j;
estas três últimas igualdades fixam-se muito fàcil· mente notando que a or dem dos vectores unitáFig. 21 rios nelas é a das três permutações circulares das letras i, j , k . E como, pela troca dos factores, os produtos mudam de sinal, tem-se
lfli -
i ll i -kfl k=O
l
i;\j =- j;\i = k j ;\k=-k/\ j = i k/\i=-i 1\k=j .
77)
Pondo i1 , is , iq e m \·ez da i , j, k, 77) toma o aspecto
77 a)
it 1\ i1 = i1 1\ i2 = is 1\ is = io 1\ i1 =- -
1
Í2 1\ ia = i, 1\ is = O ij 1\ i1 = is
is 1\ i.:~ = i1 i1 1\ is = i2
igualdades que podem condensar -se nas relações
78)
ij 1\ij =
o'
ij 1\ ij+J = -
Íj+t
1\ij = ii-t-2
j=1,2,3 com a co nvençilo de que, sempre que algum dos índices supera 3 se lhe rleve subtmir o número 3. Posto isto, sejam dois vectores u = a,· i+ a2j +as· k ,
v = b,
·i+ b2 • j + bs · k.
44
CAP. 1. ALGEBRA VECTORIAL
Com a aplicação dus propriedades 11 ), 74) e 77), obtém-se
U/\ v= (a.2 · bs- as· b2) ·i+ +(as· b, - a1 · bs) · j +(a,· b2 - a2 • bt) · k
79)
igualdade a que se pode dar a forma simbólica
8())
U/\ V
=
i
j
k
Se representarmos os Yectores unitá rios por o aspecto
U/\
i,, i2, is,
79) toma
v= (~ai -i;);\ (~bk ·h) = (a2 · bs- Os· be) ·i,+ (as· b,- a, • bn) -ie
+
+ (a 1 • ba - a2 · b,) ·is que pode escrever-se
8 1)
U/\V=~(aj+J'bj+e-Oj+2 'b}+J)•ij i
com as mesmas convenções feitas a propósito de 78) quanto aos valores dos indicas.
1. 12.
Aplicações do produto vectorial.
Nos parágrafos seguintes serão vistas largas aplicações do produto vectorial. Por agora ''iiO ser tratadas, a titulo de exemplos, apenas algumas rrplícações geométricas. I. - Poroleli~mo de vectores. É conhecida já. a condição para que dois vectores uão nulos sejam paralelos, condição exp1·essa na.~ coordenadas cartesianas desses vectores [1. 10, 53)]. Mas é possivel exprimir essa condição independentemente do sistema de refer~ncia constituído pelos eixos cartesianos. Bast~, com efeito, escrever
82)
U/\ V = 0;
se nenhum dos dois vectores u e v é nulo, esta condição exprime necessàriamente o paraleUsmo de u com v. Se introduzirmos nesta condição as decomposições cartesianas
45
PARÁGRAFOS 11 e 12
dos dois vectores u = ~ ak · h,
v = ~ hk · ik,
k
tem-se [1. 11, 79)]
k
as b2) ·i,+ (asb 1 - o1 ba) . i 2 + (u 1bz- o2b1) ·is= O donde aabs-asb:~=O, asb1 -a1 b8 =0, a1 b2-a2b1=0 donde, (a:~ bs-
. da, -ar = -a2 =os . 'de com 1. 10, 53 a. ) am - que comct b1 b2 bs II.- Ângu lo de dois vectores.
e
eo
Sejam u e v dois vectores
seu ângulo.
De 1. 11, 69) mod (u 1\ v)= mod u · morl v . senO, resultu
83)
sen 0 =
mod (u 1\ v) mod u . mod v
III.- Coeficientes da equação do pleno. Viu·se (1. 10, 4.•] que a equação do plano passando pelo ponto J.Vl (()!.k) e paralelo aos Yectores (não paralelos) u = ~ lk • ik, v = ~ mk • ik é da forma k
G4)
k
Xt - 0'.1 x2 -- (it2 xa - cca
lt 111t l2 111:~ la ma
=0
ou seja
64 a) a1 · (xt- (itt)
+ a2 • (x2-
(it:~)
+ as · (xs- (;te)= O.
É fácil ver agora a significação geométrica dos coeficientes a1, a2, a8 • Efectivamente, como (1. 11, 80)] u 1\ v =
i, 11
i:~
l:~
is la
verifica-se imediatamente que a1, a2, os são, precisamente, as coordenadas ao vector ui\ v o como este, por definição, é perpendicular no plano definido por u o v, tem·se que os coeficientes das t·ariá·
vei$ na equaçao do plano
stlo as coordenadas do v ecto1· normal a esse plano.
46
CAP. I.
ÁLGEBRA VECTORIAL
IV - Área dum triângulo. Sejam três pontos do espaço, Mo, M1 , M2 , não alinhados, e A o \'alor absoluto da área do triângulo --+
definido por eles (fig. 22); escrevamos Mo M1 = u ; Mo M3 = v. Como A é metade da área do paralelogramo MoM1MM2 e para esta, em valor absoluto, se tem como valor mod u · h e h= mod v . .Yen 13, tem-se I
I
A= .!_mod u · mod v ·senO, isto é 2 1 84) A= -mod(u 1\ v). 2
11.Lj__.__.L__o.J!1, I'Jg. 22
Se os três pontos Mo, M1 , M3 estão no plano Oxy, A exprime-se muito simplesmente nas soas coordenadas. Seja Mo (o: L, as), M1 (~t, ~2), Ms (y1 , 12); tem-se
----
u =Mo M1
= (~t- at)it + ((jz- ag) i2,
v = Mo llf2 donde
u 1\ v =
=[(~L
=
(71 - a1) i1
is
is
it
tl- o:,
~j
-
<Xg
fl -
"/2 -
0:2
O!J
+ (y2- as) is
o o
- o:,)· ("'s- o:2)- (~s- <X2) • (Yt - o:,)]· io ·
É, por consequência,
isto é, como imediatamente se reconhece,
8ó)
1
A=-lól 2
com
1 1 1
V.- Área orientada. Vectores oxiois polares. Se, na fig. 22, trocarmos os vectores u e v, o valor absoluto do seu produto externo, e portanto da área A, fica o mesmo mas o sentido do vector u/\ v muda, como se sabe, consen·ando a direcção. Suponhamos que o contôrno do triângulo JJ-1 0 M1 M2 é descrito por um ponto no sentido indicado na figura 22 - de u para v:
PARÁG RAFO 12
47
Mo M1 M2- isto é, no sentido directo: a esse sentido do percurso vem ligado o sentido positivo de u;\ v, sentido tal que o triedro u , v, u;\v tem a disposição do triedro fundamental Ox1:r:2 :r8 • Este sentido de percurso é tal que a área é deixada à esquerda durante o movimento do percurso. Suponhamos agora o perímetro do triângulo descrito no sentido retrógrado: M0 M2M1 - a área é deixada então à direita durante o percurso e a este sentido de movimento vem ligado o sentido contrário ao que u ;\ v tinha há pouco, sentido que tor na agora o triedro u, v , u ;\ v de disposição contrária à do triedro fundamental de referência. Estas considerações justificam ns definições seguintes : a) Area o1·ientada. A toda a área liga-se o sinal + ou o sinal conforme o sentido do percurso em que é consid~rndo descrito o seu perímetro : sinal + se esse sen tido é o directo , sinal - se é o ret1·ó.qrado . Na fig. 22 o trillngulo MoM1M2 tem área +A, o triângulo lvfo M2 M1 tem área - A. A ár aa do parulelogramo definido por dois vectort's vem assim det~rminada, em 'l:alor absoluto e sinal, pelo produto vecte-1·ial desses dois vector·es- o módulo é o valor absoluto da ár ea, o sentido dá o sinal dela (1). b) A:rialidade do espaço. Mostram as considerações anteriores que é possivel definir um conceito de vector diferente do de vector livre, até aqui usado. É este novo vector o vector determinado em módulo, direcção e RAntido por uma área plana orientada- o módulo é o valor absol uto da área, a dú·ecção é a da perpendicular no pl11no em que se considera a área e o sentido é, sobre essa direcção, um ou o opôsto conforme o valor algébrico da área, isto é, conforme o sentido do percurso em q 11e se considera descrito o perimetro limitativo correspondente. Este conceito difere do de vector livre - determinado em correspondên('ia a nm segmento ol'ientado- precisamente em o sentido do vector estar dependente do sentido de percurso duma curva ou duma r otação em tôrno dum eixo e, por consequência, dependente da orientação do espaço deter01inadn pela 01·dem dos eixos, ou, como se diz habitualmente, da axialidade do espaço. (1) Os autol'es alemães designam essa determinação chamando ao produto vectorial u Av a E1'!Jij,lzung da área do paralelogramo definido por u e v.
48
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
Um vector definido como acima - por correspondência a uma ároa plana orientada- diz.se um vector axial; por oposição, os vectores não dependentes da orientação do E'spaço, determinados sim ple1< mente por correspondência a um segmento orientado, dizem· -se polm·es. Os vectores polares cointidem portanto com os vectores lines; em todo o caso só se lhes dá essa designação quando se qui er marcar a ua independência em relação à axialidade do espaço. Dum a maneira geral, dizem-se axiais as gmndezas, vectoriais ou escalares, cujo sentido, ou sinal. depend e da axialidade do espaço; dizem· se polm·es aquelas que são independentes da axialidade. O produto vectorial de dois vecto1·es polares é, manifestamente, tt»l vector axial. Adiante veremos exemplos de escalares axiais.
1. 13.
Produto escalar ou interno.
De(lnição. Dados dois vectores u e v, quaisquer, não nulos, dá-se o nollle de produto escalar ou produto interno deles, e escre,·e-se uI v, que se> lê u inte1·no v, ao escalar definido pela igunlrlade
86)
uI v= mod u · mod v· cos 9
onde fJ é o ângulo dos dois vectores. É, como se vê, um escalar, ·ao contrário do produto externo que é, por definição, um vecto1·. Na fig. 23 \'Ô·se que
e
mod v • cos 9 =VÃ = proj,. v mod u . cose = "U7l = proJ, u
(indicando os índices aqueles vectores sobre cujas direcc;ões se fazem as projecções ortogonais). À definição do produto escalar pode, portanto, dar·se o aspecto Fig. 25
86 a)
uI v = mod u · p1'oj,. v = rnod v· p1·ojv u.
Se algum dos vectores é nulo, põe-se, por definição, 87)
49
PARÁGRAFOS 12 e 13
Propriedades. Como no produto vectorial (11], há algumas propriedades idênticas às do produto ordinário e outras diferentes. Co mecemos pelat1 primeiras. 1. a
Sendo p um número real qualquer, tem-se
-
88)
p ·(uI v)= (p · u) Iv= uI (p ·v).
Com efeito, de (p. u) I v = mod (p · u) · mod v· cos (p. u, v) resulta:
a)
se
logo
b) se
logo
p > O, ang (p • u , v) = ang (u , v) = O, (p · u) Iv = p · mod u · mod v · cosO = p • (uI v), p < O, ang (p . u , v) = 1 t - O, (p · u)lv= lPI· modu. modv · cos(1t- O)= = - Ir I . mod u . mod v . CO$ e = p . (u Iv) .
Do mesmo modo se prova que, em qualquer hipótese, é uI (p · v) = p · (uI v). E corno para p = O se reduz tudo a zero, fica demonstrada 88) para p real qualquer.
2. a
-
O produtor
e~Icalar é
89)
comutatú;o:
ulv = vlu .
Com efeito, ang(v,u) =-O e cos( - O)= cosO.
3. • - O produto escalar é dist1·ibuti?;O em relação à soma, isto é,
u 1(v+ w)
90)
=
u 1v+ u 1w.
De facto, [86a)] ul(v +w)=mod u · proju(v+w)=modu · proj,.v+ u Iv + uI w . Anàlogameote se verifica que
+ mod u · proj,. w =
(u + v) 1w = u 1w
+ v 1w .
Conjugando esta propriedade com a primeira, estabelece-se imediatamente que
90a)
uli:f/-k'Vk=~fJ-k.(ulvk) k· l
e, mais geralmente ainda,
CÁLCULO VECTORIAL
k
50
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
igualdade que mostra que o si?wl de produto interno e o de combinaçlto linear slto pe1·mulétveis (comparar com o que se passa no produto vectoriall, 11, 74)). Vejamos agora as propriedades pelas quais o produto escalar se diferencia do produto ordinário.
4. a - O produto escalar 'fllto é as~ociativo. Efectivamente, nem a questão da aRsociatividade tem sequer que pôr·se, visto que é destitu1do de sentido o produto eecalar de três vectores: de qualquer maneira que se entenda uI v I w, esta operação é sempre impossivel, por vazia de sentido, visto que não existe produto escalar duw e!lcalar por um vector.
5. a ·- É verdade que se u = O ou v = O é uI v = O mas de uI v = O não resulta 11ecessàriame11te u = O ou v= O.- pode ser u =F O, v==/= O, u perpendicular a v. De facto, o anulamento do produto escalar pode dar-se em qualquer dos três casos sintetizados no quadro u=O
91)
nlv = O-+
l
V=O cos e = o -
a=
;
.
6. 8 -Éverdadequp,de U=V resulla ulw=vlw, masnãoé ve1·dade que de w = w resulte necessàriarnente = Efectivamente, se w *O, ulw=vlw equivale a modn. cos (u. w)= - modv • eo (v,w)qneé,evidente.mente, compativelcom modu=f=modv, logo, com u 4: v. Pode, no entao.to, afirmar-se que de = resulta u = v, em dois casos:
uI
vI
u v.
ulw vlw
1. 0
Quando u e v s{lo paralelos. Efectivament€, se u e v são paralelos, fazendo ang(u, w) = 9, ang(v, w ) = B', ou é 9 - O' e os sentidos dos do is vectores u e v sào concordantes, ou é O= 71'- Q' e u e v têm sentidos contrários; no primeiro caso, é cose - cosO' donde modu=modv e U=V j no seg undo, é cos e = - ()03 e• donde mod u = - mod v o q oe é impossivel por definiçii.o de módulo, logo é neceseiniameote u =v.
2. 0
Quando a igualdade seja o vecto1· w .
uI w =v I w
tem lugm· qualquer que
51
PARÁGRAFO 13
Com efeito, se assim é, u e v são paralelos e estamos reduzidos ao 1. 0 caso. O paralelismo de u e v resulta do fa cto de ser modu. C08 e= proj., u e modv. cos 9' = pro}wv. Or a, para que dois vectores tenham projecções iguais sobre qualque1· vector w, têm manifestamente que ser paralelos e do mesmo sentido.
7. a - Nrlo há operaçllo de divisllo escalar como inve1·sa da do produto escalar vilsto que não há nem escalar nem vector que multiplicado escalarmente por um vector dê outro vector. Expressão cartesiana do produto escalar. Em primeiro lugar, \•ejamos os valores dos produtos escala res dos vectores unitários dos eixos coordenados. Da definição, 86), resulta imediatamente que, por serem os vectores unitários perpendiculares entre si dois a dois, se tem
ijj=j l i = j lk=k l j = kl i = i lk = O { ij i = jlj=k l k=1
92)
que se pode escrever, mais simplesmente, ij I h = Ojk j 'k = 1, 2 ' 3 onde Ojk são os simbolos de Kronecker, definidos em 1. 7, 48). Suponhamos agora que se têm dois vectores u =~a; . ij e
93)
j
v=~ bk · ik; em virtude das propriedades 88), 90 b) e 93), tem·se k
I
uI v ~ (~ aj' ij) (~ b~: J
donde 94)
k
-i")
=
~ (ai · bk) · (ij I ik) = ~ a; . b~: • Ojl, )k
)k
uI v= ~a"· bk k
visto que no somatório duplo se anulam todos os õ1 ~: à excepção daqueles em que os indicas são iguais, os quais tomam o valor 1. Se em 94) fizermos v
=u,
vem uI u = ~a~ mas, por outro
"
lado, da definição (8G)] resulta q ne uI u = (mod u)9 (I), de modo (I) Alguns autor~s escrevem u J u - (mod u)2 = u2, definindo, assim, o quadrado de u; mas não é talv~ z muito de recomen
52
CAP. I.
que se tem (modu)11 =~ai,
ÁLGEBRA VECTORIAL
donde,
k
9b)
modu
=+~~a!.
Se o vector u é unitário tem-se mod u = 1 ; por outro lado, chamando ak , k = 1, 2, 3, aos ângulos que ele forma com os eixos coordenados, é [1. 9, 52)] u = ~ cos ak . h, logo de 95) resulta k
96) relação a que satisfazem, pelo que está dito, os cosenos directores de qualquer recta do espaço.
1. 14.
Aplicações do produto escalar.
I. - Algumas oplicações geomélricas.
a) Distancia de dois pontos. Sejam os dois po1.1tos M e P; a sua distância d, em valor absoluto, é dada pelo módulo do
-
-
vector u = .MP
d = mod.M P.
97)
É fácil exprimir d naA coo1·denadas cartesianas de M e P. Efectivamente, sendo M(a•), P (~,.), /c= 1, 2, 3, tem·se
-
u =.MP= ~(Bk- o:~;)· ik [1. 9, õO)] donde, por 1. 13, 95)
98) Como aplicação imediath deste resultado, tem-se a equação da superfície esférica de centro e raio conhecidos. Se o een tro é o
-
ponto fixo .M(a") e o raio é ,. , a superfície esféricn, lugar geométrico dos pontos P(x~t) tais que mod MP= r, tem por equaçlio
99)
~ (x" - o:~:)8 k
=
r2 .
l
PARÁGRAFOS 13 e 14
53
Se se trata de geometria a doas dimensões, no plano Oa:1 x 2 , an ula-se a coordenada x8 e tem-se, como valor da distância dos pontos M("J, a2) e P (~1, ~s)
Do mesmo modo, é
a equação da circunferência de centro (aJ, a2) e raio r. b) Ângulo de doú vecto1·es. De 1. 13, 86) resulta imediatamente, para valor do coseno do ângulo ~ dos dois vectores u e v,
100)
C·OS (J)
'
nlv = ----'--r~tod
u · mod v
Para obter a expresstlo cartesiana, não há mais que substituir numerador e denominador conforme 1. 13, 94) e 95); vem
101)
Se os vectores u e v são unitários, tem-se, sendo cos 9~; e cos 1-'-k, k = t, 2. 3, os cosenos directores rP.spectivos, e atendendo a 1. 9, 52) e 1. 13, 96),
cos !!> = ~ cos ak • cos P.k •
102)
k
A relação 100) junta com 1. 12, 83) e com a relação fundamental da goniometria sen 11 q> + cosrJ ~ = 1, estabelecem a relação interessante
103)
(nlv)9
+ [mod(u/\ v)]2
= (modu) 2 • (modv)3
•
Substituindo nesta igualdade os vectores pelas soas decomposições cartesianas e atendendo a 1. 11, 79), 1. 13, 94) e 95) obtém-se a identidade de Lagrange
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
104)
(a~+
a:+ a;)· (b~
+ (a1 b2 -
+ b: + b:) = (a1 b1 + a2 b2 + a8 ba)9 +
a2bi)2 +(as b1 - a1 b11) 2 + (a2 bs -as ba)2.
c) Perpendicula1·idade de vectores. Em virtude de 1. 13, 91) e 94) tem-se imediatamente, como condição de perpendicularidade dos dois vectores, não nulos u e v,
ulv = O
105)
ou, em decomposição cartesiana,
106) Estes resultados permitem resolver fàcilmente o seguinte problema : determinar a equação do plano que passa pelo ponto M e é perpendicular ao vector u.
-
O ponto geral P do plano deve ser tal que MP seja sempre perpt ndicular a u, logo é 107) a eq oação pedida. S e se quizer a equação cartesiana, tem-se, sendo
U=~O~.r•h.,
M(a:k),
k
1C8) a1 • (x, - u.,)
-
P(xk), donde MP=~(xt - a:~:)·4. , k
+ a2 • (x2- 0!2) +as· (xa -
as)= O
equação que já fora encontrada [1. 10, 64 a)] bem como a significac:ão geométrica [1. 12, III] dos coeficientes, significação que agora resulta directamente da dedução da equação. Em geometria plana, é
108 a) a equaçllo da 1·ecta, no plano O x, Xs, que passa pelo ponto (o:1 , o:a), fixo, e é perpendicular ao vector u = a 1 • i1 + a2 . i 2 . Das condições de paralelismo [1. 10, óo a)J e de perpendicularidade [106)], e atendendo à significação dos parâmetros directores das equaçõos normais da recta e dos coeficientes da equação do plano, resulta que, sendo dadas as duas rectus
j
I
55
PARAGRAFO 14
?'J)
rl?)
:CJ- al
:Cz- <Xz
Xs- as
lt
lz
Is
:c,-~~
Xa-
(3z
mg
m1
-
Xs- 0s ms
e os dois planos
P1) a1 • (xt - Ã1) + az · (:r:z- /.z) + as · (:r:s - Às) =O PJ!) b1 • (:r:1- p.1) + bz · (xz - p.z) + bs • (:r:s- !los)= O se têm os seguintes grupos de condições:
l1 lz lo rt) a ?'z) - = - = m1 ms ms
de
parolelismo
a1 az as P J) a Ps) - = - = bJ bs bs de 1'!) a P 1) a1 · l1 + a2 • lz +as . l8 =O de
perpendicularidade de de de
ri) a rz) l1 · m1 Pt) a P2) a1 • b1 a1
+ ls · mz + ls · ms =
+ a2 · bz + as · bs
aa
1·1) a P1) - = l1 ls
O
= O
as Is
= -
d) Aplicações à goniometria plana. São fáceis de deduzir as chamadas fórmula.s de adiçilo de angulos, Sejam u e v (fig. 24) dois vectores unitários. Como cos (; t em-se de
a) =
sen a ,
cos ( ; -
(3) = sen (3 ,
1. 9, 52),
u
=
cos a . i1
+
sen o: • iz v = cos ~ . i1
+ sen ~ . i.:~
donde
uI v = (cosa · i1
+ seno: · i2) I(c os~ · i1 + sen ~ · i2) .
Mas ulv = co.~e = cos(~- a)= cos (:( - ~), logo, efectuando o segundo membro, tem-se
109)
cos (o: - ~) = cosa. cos ~
+ sena · sen ~.
56
CAP. I.
ÁLGEBRA VECTORIAL
Se, em vez do produto escalar, fizermos o produto vectorial de
u por v, tem -se UI\V -=(co., a.sen~ - sena-cos~) · is e como mod (n/\ v)= se1L (u, v)= .gene= Wt (~ - a) = - sen (a-~) e como, ainda, o coeficiente dõ ui\ v segundo i., é positivo visto que, dada a di.;posição da fig . 24, o produto vectorial é dirigido para a parte pos ith a de 0?. , obtém-se
y
1
110) sen(a:-~) - senet · cos~-senp ·cosa . O
~_._
_______ X_
i, Fig, 24
Deduzem-se também com grande simplicidade algumas fórmulas da geometria do triângulo.
--+ É assim que, da igualdade (fig. 25) AC= AB + BC, se tira, ~
--+
-+
+ BG' I AG=
-+-
~
~--+-...
AG,
multiplicando escalarmente por
~
AG I AC = AB I AG+ ~
mod AB . mod AG. cos ex
+ mod IJC · mod AG· cos ~
donde, representando em geral mod 1'7Q por Pf.J,, e notando que
AGIAZ· =
A0'3
'
AG= .Ali -coso:+ bC-
111)
- -+
cos~.
c
Fazendo, do mesmo modo, a multiplicação escalar por AG mas suhstitoiodo, no segundo membro, AG por AB -
_,.
BC,
--
-
-..
--+
obtém-se AC/ 9 - (AB+BC) I(AB+lJG)=
= A- 1J9
=
A..::;...-'-_ __.___,
Fig. 25 + }J- <..: 9 + 2 A B I B c = AlP + "JJV 2 + 2 Ali· bU · COil (r.- -y) isto é, lU) AU = Ab + JJC 2 Al::l· l::IC · cosy . 2
2
2
-
Deduziam-se, com igual simplicidade, outras fórmnlas.
II.
Trab~lho.
Seja considerada uma forc;:a F, representada geometricamente pelo vector F (a sua direc~ão e sentido definem a direcção e sentido da força, o sen módulo corresponde, tomada uma certa uni-
07
PARAGRAFO$ 14 e 15
dade, à intensidaie da força). Se o ponto de aplicação A , da força (origem do vector) se desloca numa certa direcção AB, e no seutido de A para B, atiogic.do essa deslocação a amplitude
A B = mod
AB ,
chama-se trabalho realizado pela força F', por _,.. efeito do desloca meu to, ao produto escalar dos dois vectores F e A B:
-
w= FI A B .
113)
Com esta definição, as propriedades do coc.ceito físico de t1·abalho podem ser estu· dadas coro a ajuda do potente aparelho formal da entidade analítica p1·oduto escala1·.
Fig. 26
1. 15.
Produto misto.
Nos parágrafos anteriores estudámos duas funções de vectores, uma vectorial, outra escalar, definidas a partir de Mis ,·actores. Neste parágrafo e nos segoiotes vamos ocupar-nos de funções defi· nidas a partir de mais de dois vectores. Começaremob pelo chamado produto misto de três vectores, que é, como vai ver-se, um escalw·.
De{lnição. Dados três vectores u, v , w, chama-se produto mi:tto deles, e escrere·se uI v 1\ w, que se lê u inttrno v externo w, ao produto esc
u = ~ ak k
• Ík ,
Sejam
v = ~ b~: · iJ: , k
w
=
~ Ck • it k
as decomposições cartesianas dos três '' ectores. Tem·se [1. 11, 80)]
v 1\ w
=
~ mk • ik onde m1 , m2 , ma são os complementos algébricos h
58
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
dos elementos da primeira linha do determinante
is
bt
i.s b2
Ct
Cg
Cs
i1
bs
tem-se imediatamente 114)
uI v;\ w
=
a, b1 c1
as b2 ca
as ba cs .
Como caso particular interessante, tem-se que, se f6r u =i, V=j, W=k, (I 115)
o o = 1. 1 o o o 1
iljAk= 1
o
Propriedades. 1. a - O produto midtO conserva o t·alor absoluto e muda de sinal quando se trocam dois vectores. É consequência imediata de 114). 2. a - O prodztto 1m:sto nilo se alte1·a em valor ab.~olttio nem em sinal quando se ~fectua uma permutaçdo circtdar sobre os vectores. Efectivamente, as permuta~ões circulares de três letras - u v w, vwu, wuv-são pares, o que corresponde a um número par de trocas de linhas feitas em 114). Pode, portanto, escrever-se
116)
ujv;\w = vlwAu = · wlu;\v.
3. 8
O produto misto nao se altera, em valor absolttto nem em sinal, quando se trocam os sinais de produto escalar e vect01·ial, isto é, 117)
ujv;\w = u;\v j w.
É consequência imediata de 116), último termo, e da comutatividade do produto escalar.
PARÁGRAFO 15
59
4. 8
O p1·odttto misto anula· se sempre que, e só quando, se ?.:e-rifica algum dos três casos : anulamento de algum dos vectores, colinearidade de dois quaisquer, coplr:maridade dos t1·ês.
Efectivamente:
a) Se se dá qualquer destes trê11 casos, o determinante 114) é nulo por ter: ou uma linha nula, ou duas proporcionais ou as três linearmente d('pendentes [1. 7, 44 a)]. b) Se ulv ;\ w=O, ou é [1. 13, 91)] u=O, ou v 1\ w=O, ou u perp('ndicular a v 1\ w; por s ua vez, v 1\ w =O decompõe-se em v= O, w = O ou v paralelo a w; e u p~rpendicular a v 1\ w significa que u é paralelo ao plano de v e w. Repetindo o r aciocioio para os outros dois aspectos de llG), verifica-se a verdade do enunciado (essa repetição é necessária a penas para estabelecer o paralelismo, pois as outras duas condiç~es reencontram-se tais quais eram). Aplicações geométricas. 1) Coplanaridade de três vectoreR. Como resulta da propriedade 4. a, a condição de coplanaridade de três vectores u , v, w, pode ser posta sob a forma
118) ulv/\w =O. Se entre eles se verificar qut~ lquer relação mais simples: anulamento de algum, ou paralelismo de dois, o produto misto continua a ser nulo, mas não vai utilizar-se êsse anulamento para a exprimir -há maneiras mais simples: anulamento cio módulo, anulamento do produto vectorial- de modo que 118) se emprega apenas para exprimir a coplanaridade de três vectores no caso geral- sem anulamento e sem paralelismo. De resto, a relação 118) é equivalente à relação já conhecida [1. 7, 44)] W=), · n+p. • '! visto que, por ser o determinante das coordenadas ( 11 4)] nulo, uma linha (por exemplo a terceira) é combinação linear das duas outras. A condição de coplanaridade 118) permite escrever muito simplesmente a equatjlo do plano que passa pelos três pontos, nllo alinhados, Mo , Mt , Ms . Como o ponto geral P do plano tem que ser tal que (fig. 27)
-- -- ---- -- --
Mo P, M0 1l11 e Mo Ma sejam coplanares, tem-se para a equação pedida
119) MoPIMoMJ/\MoMJ/ =0 que é equivalente a 1. 10, 62).
60
CAP. I.
' ALGEBRA VECTORIAL
Para equaçc7o cartesiana, tem-se, sendo (a"), (~.1:), (yk), (~.~:) k = 1 , 2, 3, respectivamente, as coordenadas de 1Jl0 , M1 , 1Jf2 , P , e atendendo a 114), - a, ~ ~ -a,
XJJ -
<7.:J
~2-
(J.2
"'/t -
"'/2
~,
a,
-- Cl.:J
Cts =0, ~s - as Ys - às
~8 -
que é a equação já achada 1. 10, 66). A condição de não alinhamento dos três pontos estabelece-se para evitar o paralelismo de dois dos vectores em 119) e, por consequência, que as equações vectorial e cartesiana se transformem em identidades.
II) Volume d·um paralelipipedo. a) Valo1· absoluto. Seja o paralelipipedo da fig. 2~ com are~tas, concorrentes num ponto, .~.1!0 J.lit ,
Fig. Z1
JJioJ.ltl2, .Mo Ma e altura h=iltloM=.Mo Ms ·cosa. Cbamando V ao valor absoluto do volume e A ao da área da base,
-- -- --
-- ----
tem-se V= A -h donde, por 1. 12, 84), V=mod(MoMt!\No!Jfs) · h=
=mod(Moi'Jilt/\MoM2) · modMoMs -f cos6 f e como MoM tem a -~
-~
direcçiio do produto vectorial Mo 1111 1\Mo M2 tem-se, por definição de prodnto misto,
I
V= M;iJt /\M;M2 fM;lfs l
120)
ou, o que é o mesmo, pela propriedade 3.a, 120a)
Para expressl!o cartesiana tem-se, pelo mesmo raciocinio pelo qual se deduziu a equação eartesiana a partir de 119), 121) COm Â
=
:X:1 -
IXJ X3 -
a 2 Xs -
~~ -
rxt ~a -
a2
{t -
O:t
"'/2 -
a2
~8
as
as Ys - as
-
J as 1
X1 X2 Xs a1 a.2
~~ ~2 Bs 1
/t Yj Ys 1
...I
.
PARAGRAFO 15
61
b) Slnal. Volume orientado . Assim como para a área [1.12, V)], pode definir-se volume orientado; daremos a definição seguinte .ao Yolume do paraleliplpedo de arestas a, b, c, por esta ordem concorrentes num vértice, liga -se o sinal+ ou o sinal - conforme o triedro a, b, c for de disposição positiva ou negativa [1. 9]- Corresponde esta definição a tomur o volume corno positivo ou negativo conforme o produto misto a Ib A c e portanto o determinante de 121) for positivo ou negativo. Efectivamente, em primeiro lugar, o paralelíplpedo de arestas it, Íg, is (por esta ordem) é positivo (disp osição do triedro fondamental de x3 referência) e itli2!\is = + 1 [115)]; por outro lado, todo o parnleliplpedo resultante deste por deformação con· tinua das ares tas (em comprimentos e ângulos) conserva o sinnl desde que Or-----------~~a disposição do triedro das arestas X:.. se não altere, pela definição dada; x,· orn, enquanto essa alteração se não Fig. 28 der, o produto misto não ronda também o sinal visto este depender, ape· 11as, do sinal de cosO (O = ângulo do primeiro vector com o produto vectorial dos outros dois) e, portanto, da orientação do triedro formado pelos três vectores. Por exemplo, enquanto a deformação do parnlelipfpedo con11An•ar a disposição relativa das duas primeiras arestas e a terceira fizer um ângulo agudo com O z, o triedro tem a disposição de i 1 , i2 , is e o produto misto é positivo. O produto anula-se (e, evidentemente, o volume) quando a terceira aresta passar pelo plano das doas primeiras, e ambos (produto e volume) tomam o sinal - desd e que ela atravesse esse plano pas ando a fazer um ângulo obtuso com O z. Pela definição dada, o escala" volume fica dependente da orientação dos eixos e, portanto, da axialt'dade [1. 12] do espaço-a todo o es calar nestas cond ições chama·se escalar axial. Se os três vectores a, b, c são polm·e .~ , o seu produto misto, ou seja o p1·od1tto do veclo1· polm· a pelo ~ectvr axial b/\c é, pelo que acaba de ver-se, um escalar axial.
62
CAP. I.
ÁLGEBRA VECTORIAL
Aplicação algébrica. Regra de Cramer. Sejam os três vectores não coplanares a = ~ ak · i k , b = ~ b~: • h, c=~ ck • ik. O vector k
u
=
k
k
~ u. · Ík podedecompor-sesegundo a, b, c, conforme 1. 7,45); k
tem-se u = x, ·a + x2 • b + :ts · c igualdade donde se tira, substituindo os vectores pelas suas decomposições e igualando os coeficientes de i, , i2 , is
I
a1
•
x1
a2 • x, as · x,
+b
+ c1 • Xs = + bz · :X:z + Cz • Xs = + bs · X2 + cs · Xs = 1 •
x2
u, Ug
ua .
Os valores de a:1 , Xz, x 8 que satisfazerem a este sistema satisfazem à igualdade vectorial u = x 1 • a + x 2 • b + x 8 • c e vice-versa, de modo que a resolução do sistema se pode reduzir à determinação dos valores de x 1 , x 2 , a:8 tais que ela se verifill ue. Essa determinação é muito sirop!es; basta, para calcular, por exemplo, :c,, multiplicar escalarmente ambos os mero bros por b ;\c; vem uI b ;\c = x 1
•
a I b ;\c
+ xz · b I b ;\c + xs · c I b ;\c •
Os últimos dois produtos mistos são nulos, pela propriedade 4. •. Fica, portanto,
u, x, = ulb/\c = alb/\c
b,
b2
Ct
C9
Us bs cs
a,
«z bs cs
as bs cs
b, c,
tl2
que é, precisamente, o valor dado para x 1 pela regra de Cramer. Supos-se, claro, que os vectores a, b, c não são coplaoares, para evitar o anulamento do determinante que figura em denominador. Determinavam-se anàlogamente m2 e x 8 •
1. 16.
Duplo produto vectorial.
De{lnição. Dados três vectores u, v, w, quaisquer, chama se duplo pr·oduto t·ectorial deles ao vector
122)
r = u;\ (v/\w).
G3
PARÁGRAFOS 15 e 16
Como se sabe das propriedades do produto vectorial, não é indiferente a localização dos parêntesis em 122); viu-se efectivamente que
(u/\ v) I\ w =I= uf\(v 1\ w).
1. 11, 76)
É, por isso, indispensável indicar sempre na definição do duplo produto vectorial qual dos dois agrupamentos se entende.
Propriedades. V' - O duplo produto vectorial é coplanar aos vectores v e w e tem-se, por consequência, r= u/\(v 1\ w) =À· v+ p. • w
123)
onde ). e p. silo doiiJ coPjicieH.tes a determinar . .Efectivamente, r é perpendicular a v 1\ w logo é paralelo ao plano de v e w e, por consequência, verifica-se 123) por força de 1, 7, 44).
2.a- Os coeficienteiJ ), e p. de 123) têm por valores ). = ulw, p. = - uI v e é portanto, u/\(v 1\ w) =(uI w) ·v - (uI v)· w.
124)
Façamos a demonstração analitica desta propriedade. Para isso, consideremos as decomposições cartesianas dos três vectores
+ a2 ·ia + as · is i, + b2 · h + bs · is
u = a1 ·i,
v = b1 • w = c1 • i1
+
Ca
·is
+
Cs ·is
e suponhamos, em primeú·o luga1·, que então, [1. 11, 79)] v 1\ w = (ba co - bs c.:~)· i, = m, · i1
donde
+ (bs c1 -
+ ma · i:~ + ma · is
U/\(v/\w) = Xt. il
v 1\ w =f=O .
b, co) • i2
I
1
+ x2. i3 + Xa. is
com (1. 11, 79))
X,
+ (b
= a2 • ms -
as · m 2 X2 = Os · m1 - a, · 111s Xa = a1 · m2 - as· m1
Tem-se
ca- b2 c1) ·ia
64
CAP. I.
.
ALGEBRA VECTORIAL
Ora, substituindo, obtém-se
X,= a2 • (br C2 - b2 c,) - as· (hs c,- b, cs) ='h, · (a2 C2 + asco) - c1 · (a.:~ b2 +as bs) = b1 ·(ar Cr + a2 Cs + as cs) - Cr • (a1 b, + as ba = b, · (u I w ) ·- c, · (uI v)
+ as bs)
e. anàlogatr,entE'
Xs Xs
=
=
bs · (uI w) - ca • (uI v) biJ · (uI w) -- cs · (uI v).
Multiplicando, agora, ordenadamente estas igualdades por ir , i~ , is e somando, obtém-se
Xr ·ir+ .Ys · i2
+ Xs ·is= (ulw) · (b, ·i, + b2 ·i:~+ b, ·is)- (uI v) · (c1 · ir + Cs · i2 + Cs • is) = (u I w) · v - (u I v) . w
o que demonstra 124), no caso, que snposemos, de ser v 1\ w =/=O. Suponhamos agora que v 1\ w =O; então [1. 11, 5.a] ou é v = O, ou w =O, ou v paralelo a w. Em qualquer dos dois primeiros casos é, evidentemente, r = O e o segundo membro de 124) anula-se também. Se é v paralelo a w tem-se [1. 7, 39)] v = p • w; r anula-se e o segundo membro de 124) transforma-se em
(u I w) · (p · w)- ui (p • w) · w = p ·[(uI w) · w- (u lw) · w] =O.
A fórmula 12-t) é, portanto, geral.
3.a - A soma dos duplos produtos vectoriaiiJ obtidos fazendo as permutações circulares sobre os três vectores é nula, isto é 125)
u/\ (v 1\ w) +v /\(w 1\ u)
+ w 1\(u/\ v)= O,
Com efeito, pela propriedade anterior, tem-se
uf\(v/\w)= (ulw) - v ·-(u lv) ·w v/\ (w/\u) =(v I u). w- (v lw) · u w /\(u 1\ v) = (wl v)· u - (w Iu) ·v donde, somando ordenadamente e atendendo à comutatividade do produto escalar, se obtém 125).
65
PARÁGRAFOS 16 e 17
1. 17.
Produtos de 4 vectores.
Consideraremos dois produ tos, definidos a partir de quatro vectores, a , b , c , d :
I (c/\d);
a)
o escalm·
(a/\b)
b)
o vector
(a 1\ b) 1\ (c 1\ d).
Vejamos como calculá-los.
a) Cálculo do escalar (a;\b)l(c/\d). 126)
(a/\b)l(c;\d) = ' ale
ald
É
h le i b ld .
Com efeito, o produto quádruplo de que estamos tratando pode ser considerado como um produto misto dos três vectores a, b e c/\d, tanto como um produto misto dos três vectores a;\b, c e d. Isto, que resulta imediatamente da defioição de produto misto [1. 15] , pode ser verificado directamente por via analitica, o que deixamos ao cuidado do leitor. Tem -se, portanto, conf:liderando os três factores a, b e c 1\ d e atendendo à permutabilidade dos sinais de produto vectorial e escalar no produto misto [1. 15, prop. 3.a] e às propriedades do duplo produto vectorial [1.16, 1~4)] bem como a 1. 13, tlS), a 1\b 1Cc 1\ d) = a 1b 1\ Cc 1\ d) = a l[(b 1d) • c - (b 1c) . dJ
=
= (b I d) ·(a I c) - (b I c)· (a I d), o que demonstra 126).
Estudo do vector (a/\b)/\(c/\d). Em primeiro lugar, verifica-se que este vector, visto ser perpendicular a c/\d, é coplanar a c e d logo tem-se (1. 7, 44)] b)
(a/\b);\(c;\d) =À· c+
v· d.
Por outro lado, por ser ele também perpendicular a a/\b, é coplanar a a e b , e portanto
(a;\b)/\(c/\d) CÁLCOLO V~CTORLAL
=~·a+ 11 • b. 5
66
CAP. I.
.
ALGEBRA VECTORIAL
Os coeficientes À e p. determinam-se fàcilrnente do modo seguinte: o produto quádruplo pode ser considerado como um duplo produto vectorial cujos factores são af\b, c e d; tem-se, portanto, de 1. 16, 124), 127)
(a/\ b)/\(c/\d) = [(a/\ b) I d] ·c- [(a/\b) I c]· d
isto é
a/\bld tL= - a/\blc.
). = {
Anàlogamente se determinam ~ e 'fl; tem-se
(a/\b)/\(c/\d) = - (c/\d)/\(a/\b) = = - l[(c/\ d) lb] ·a- [(c /\d) Ia]· bl isto é,
128) (a/\b)/\(c/\d) = - [(c/\d) lbJ ·a + [(c/\d) I a]· b. É portanto
{ 'tl=C/\d la. ~ =-
C/\dlb
As igualdades 127) e 128) permitem, no caso em que o produto misto alb !\c não é nulo, isto é, em que a,b,c não são coplanares [1.15, prop . 4.'], calcular os coeficientes da decomposição de d seg undo o triedro, não rectangular em geral, formado por
a, b e c. Com efeito, subtraindo ordenadamente 127) e 128) obtéw-se
O=- (c 1\ dI b) · a + (c 1\ dI a)· b- (a/\ b I d) · c+ (a/\b I c)· d que pode escrever-se, atendendo às propriedades do produto misto [1. 15],
129) (alb/\c). d-(blcAd). a+(cldAa). b -(d la/\b). c=O(l) e daqui tira-se d em combinação linear de a, b, c, visto que, por hipótese, alb /\c.:f=O.
(1) Esta igualdade iha-se fàcilmente notando que os quatro termos do primeiro membro contêm, com sinais alternadamente + e - , as permutaçõra circulares das letras a, b, c, d.
67
PARÁGRAFOS 17 e 18
1. 18
Operadores lineares no plano.
Seja U um sistema linem· [1. 5] qualquer e seja k o símbolo de uma operação por meio da qual os elementos do sistema U são transformados em outros elementos, pertencentes ou não a U. A !c dá-se o nome de ope1·ador (I) e, dado o elemento u de U, r epresenta-se por !c (u) o resultado que se obtém após a aplicação, sobre u, da operação de que se trata. Por exemplo, no sistema linear de vectores do espaço, os simbolos de produto escalar e produto vectorial são operadores que transformam: o primeiro, Yectores em escalares, o segundo, vecto· res em vectores. O operador k diz-se linear quando se comporta, em relação U. adü;ao e à mullt'plicaçtl.o po1· ttm número 1·eal (que são, como se sabe, as operações qne estruturam os sistemas lineares), do modo seguinte: lc(ul + u2) = k(u,) lc(u2) 130) { k (p. u) = p. k (u) p número real qualquer.
+
Destas igualdades resulta imediatamente que
131)
•
k
(~ p; • tl) = ~ ('; ·k(u;)
1
1
que mostra que o simbolo de operador linear é permutável com o de combinaçtto linear. O produto escalar e o produto vectorial , são, em virtude da defi· nição dada, operadores lineares [1. 11, 74); 1. 13, 90 b)]. Neste parágrafo vamos e11tudar mais dois operadores, cujo carácter linea1· será estabel~cido: o operador i, ou operador de ?'Otaçilo recta, e o operador ei8 , ou ope-rador de rotação ge1·al. Em tudo o que vai seguir-se, suporemos que os Yectores considerados pertencem a um mesmo plano (ou lhe são paralelos, por sere.n vectores livres), e representaremos por e o vector unitário normal a esse tJlano. Se o plano for o plano Oxy, será. e = + k, significando k, como sempre, o vector unitário do eixo ()z. (I) O operador podo defini r-se independentemente de U ser ou não um sistema linear ; o que há do essencial na noção de operador é a tra11sjormação de elemento em elemento e não a natureza do conjunto em que opera.
GS
CAP. I.
I. - OperôdOr i
(rotação recta}.
ÁLGEBRA VECTORIA L
Deftnição.
Dá-se o nome de
ope1·ado1· i àqu"le operador 4ue produz sobre um vector u a trans formação que consta da igualdade
132)
i(u) = e/\u.
Vejamos qual a significação geométrica deste operador. Como e 1\ u é perpendi cular a e e a u, ele está, evidentemente, no plano de u e faz coro este •·actor um ângulo de ~, contado
2
no sentido directo ou no retrógrado conforme os dois sentidos pos. slveis na orientação de e; se e·sa orientação é tal que e está em
o,~u-.
......__.___-'u=-' . :' ~-
-f ...-: <::1/\U
Flg. 29
relação ao plano dado como o eixo Oz em relação no plano Oxy (triedro da esquerda na fig. 29), o ângulo ~ é descrito no sen-
2
tido directo. Como, por outro lado, e 1\ u tem o mesmo módulo que u, tem-seque a apficaçtlo, ao vecto1' u r do operador i, significa geometri-
cameute a rotaçllo de u, no plano considerado (normal a e) de .!!. 2
radianos, no sentido directo ou 1·etró,qmclo, conforme o sentido de e . Com isto, fica ju:stificado o nome de operador de rotaçao recta.
1. a. - O operadnr i é um opet·ado1· Unear. Com efeito, tem -se, da definição e das propriedades do produto vectorial, Propriedades.
i(u 1- v)= ej\(u +v)- ej\u +e/\ v = i(u) i(p. u)
= ef\(p. u) = p. e/\u =
+~·(v)
p · i(u)
coro o que, em virtude de 130), fica estabfllecida a propriedade. Mais ge ralmente, é [131)] se u 1 , • •• U 11 são ve-ctores do mesmo plano
•
PARÁGRAFO 18
6!>
2. 8 -É 134)
i(u)li(v) = ulv.
Este r esultado, geometricamente evidente (visto que, sendo u e v vectores do mesmo plano, i(u) e i(v) são também vectores do mesmo plano, com os mesmos módulos que r espectivamente u e v, e fazendo entre si o mesmo ãngulo)(l), é de verificação analitica simples . Efectivamente, de 132) e 1. 17, 126) resulta i(u)l i(v) = (e/\u)l (ef\v) = ' ele elv 3. 8
-
É 135)
u1e 1= 11 ulv O
O 1= u1v. ulv
i(u)/\i(v) = UI\ V.
Demonstra-se geometricamente, pelas mesmas considerações feitas acima, ou anallticamente, recorrendo às propriedades do produto quádruplo vectorial [ 1. 17, 127)] e do produto misto. 4. 8 -Potencias sucessha~ de i . É possível definir as potências de i de expoentes 2, 3, ... ; basta definir i 2 pela igualdade i 2 (u) = i (iu) e, em geral,
13f3)
i" (u) = i [in-I (u)].
Em face da sign ificação geométrica do operador i, (v. fig. 29) verifica-se imediatamente que, qualquer que seja o sentido de e, e portanto o sentido da rotação de u, se tem i 2(u) = - u, i 8 (u ) = - i (u), i 4 (u) = u, ... , igualdades que podem trad uzir· se simbolicamente, por i 2 = - 1, i 8 = - i, i 4 = 1, .•. , ou, em geral 1+-1" = 0
137)
Í+-1· = 1 - 1+-r=2
-
i +-1' = 3
com o que o operador i fica assimilado, sintbblicamente , à unidade imaginária i [Lições, vol. 1. o, 8. 7, 3)]. (I) Note-se que a rotação é feita no mesmo sentido para os dois vectores (visto que esse ~;entiJo só depende do vector e) o IJ.Ue conserva o ângulo.
70
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
II.- Operador eiO (rotaçao geral). Da teoria da fnnção exponencial sabe-se que, sendo i a unidade imaginária, se tem eiO = C08 + i sen Pois bem, sendo agora i o operador de rotação I'ectu que acaba de ser estudado, define-se o novo operador e;o pela igualdade
e
e.
eiO(u) = cose. u
138) p
'
'
A Fig. 50
Tirando PA e
+ sene. i(u).
Vejamos qual é a sua significação geométrica. Seja o vector e normal ao plano da '\ figura 30 e orientado positivamente para \ a parte anterior do plano da figura. Dado o vector u, construamos i (u) = e 1\ u, a partir da linha de acção de u marquemos o ângulo e seja P o ponto em que a semirecta correspondente encontra o arr.o da circunferência de centro O e raio igual a modu. PB perpendiculares às linhas de acçüo de u e i (u),
u
e
-
--....~~~~-
têm-se os vectores OA e OB e OA+OB = OP, modOP = modu. Por outro lado, é
--
-+
[1. 7, 39)] OA
=). ·
u, ). =e
11lOd
OA
modu
; mas
-~
mod OA = mod OP ·I cose I= mod u ·I cosO I e o sinal de e coincide com o de cosO, de modo que se tem ), =c os e; do mesmo modo
-
~
tle conclue que
OB=p.·i(u)
com
p.=sene.
É, portanto,
O P=cosO. u +sene. i(u)=eiO(u) isto é, a aplicaçao, ao vecto1· u, do operador e1 ~ COltSÍ8le na rotaç{fo de U 1 de amplitude e, feita no plano 1w1·mal a e e 110 sentido directo, se o vectoT e ~ orientado como foi dito. Com istv, fica justificado o nome de opemdo1· de rotaçdo geral.
É claro que se
e=
1t'
2
-
se tem e'e (u) =i (u) e, na fig. 30, OP
coincide com i(u) do modo que o operador anterior é um caso particular deste.
Propriedades.
1.' - O operador e 10 é um ope1·ador li12em·. As igualdades e 0(u + v)= e16 (u) + éO(v) e eiO(p. u) = p. eiO(u) que, 1
conforme 130), estabelecem a li11earidade do operador, siio iroedia-
•
PARÁGRAFO 18
71
tas a partir da significa<:iio geométrica - se aos vectores u e v so dá, no plano por eles definido, uma rotação de amplitude O, no mesmo sentido, dessa mesma amplitude e no mesmo sentido roda a sua soma. Do mesmo modo, se u roda dum certo ângulo, num certo sentido, do mesmo ângulo e no mesmo sentido roda ~ . u. Se Ut, · .. u~ são vectores do mesmo plano, tem-se, em geral,
2.• - É 140)
ei(0+ 2k11·J(u)
=
e18(u) .
Efectivamente, os resul tad os das rotaçõAs sobre um vector, feitas no mesmo plano e no mesmo sentido e diferindo por um múltiplo inteiro de 2n, coincidem.
3.a- É 141) É, geometricamente, evidente. Mais geralmente, tem·se 142)
e 1 o{ei&~[··· eio,(u)J] =el<e,+O,+···+o;,l(u).
Daqui parte-se para a definição das potências sucessivas do operador de rotação geral. Definindo (e 10)2 pela igualdade (eiB)3(u)= = e' o[e16 (u)] e, em geral, (e18)n pela iguuldade (e1O)n (u) = =e 1 B[(e 1 0)"-1(u)] tem-se de 141) e 142)
(e 16)" (u)
143)
= e~na(u).
As propriedades estabelecidas mostram que o operador de rotação geral goza das propriedades formais dos números complexos e1 6 (i3 1).
=-
4.•- É
144)
e Estas duas propriedades são, ainda, imediatas a partir da significação geométrica do operador. Tanto destas, como das anteriores propriedades, são fáceis, se bem que menos imediatas, as dem onstrações anaHticas.
III.
MOMENTOS.
1. 19.
Momento dum vector deslizante em relação a um ponto .
-
Consideremos uma recta R) e um vector fi:ro [1. 6] u = A B sobre ela (fig. 31); seja O um ponto do espaço fora da recta R). Chama-se momento m do vector fixo u em rel ação ao ponto O, ao produto vectorial or- :::: .....- - - - - - O'
146)
-
m =OA/\ u.
Propriedades. 1. a - O momento m nêlo se altera quando o vector u sofre uma t1·anslacçao, de amplitude qualquer, ao longo da 1·ecta R). Demos, com efeito, a u a translacção A A' ao longo de R), Fig. õl
-
isto é, consideremos o vector A' B 1 = u; o seu momento em rela-
-
ção a O é m'
-+ f\u = (OA = OA' + AA')/\u = OA/\ u + A- A1 /\u=
= OA 1\ u = m em virtude de 1. 11, 70). Resulta daqui imediatamente que o momento se pode definú· para o vector u, sobre R), ind~>pendeutement~ da sua localização sobre R) isto é, para o '!:ecto1· deslizante ou vector ligado à base
R) [1. 6). Representaremos por (u, R) o vector deslizante u sobre R) - o momento de (u, R) em relação a O é definido por 146).
2. 3
O momento do vector deslizante (u , R) em 1·elaçêlo a O nllo se altera quando O se desloca liobre uma 1·ecta paralela a R). Com efeito. se O toma a posição O' sobre a recta paralela a R), não há mais que dar a n uma translacção sobre R) de
PARÁGRAFO 19
-
modo que a nova origem A 1 satisfaça a A~ A1 ~
evidente que O'A/\u
=
O'A 11\u
~ = OAI\u =
=
-
O O' e é então
m.
3. 3 - O momento de (u, R) em 1·elaçllo a O anula-se sempre que e só quando u é nulo ou O e~ttá sobre R) . É consequência imediata das propriedades do produto vectorial [1. 11, b. m]. 4.a- Coordenadas cm·tesiana.~ do momento. Prendamos ao ponto O (fig. 31) um sistema cartesiano rectan
+
~
como é O A= :e,· i, cartesiana de m:
+ X2. ia· + :r:s ·is,
tem-se para decomposição
~
m=OA/\u= i, x,
i2
xs
x, x2
is = L1 · ir
+ L2 • is +
Ls • is
Xs
Xs
com
L1 = x2Xs-xsX2, L2 = x 8 X1- a:1 Xs, La= XJ x:J- Xll X,.
147)
~
Momento resultonte dum sistema. Seja (ut, Rt)= A, B,, (u2, R2)= -
= A 2 l12 ,
->-
•••
-
(u,., Rn) = A,. Bn um sistema de vectores deslizantes
e O um ponto do espaço. Seja ainda m, = O~ A;/\ A; 81 o momento do vector deslizante (u;, R,) em relação a O. Chama-se momento
-
resultante do sistema em f(llação ao ponto O ao vector O G definido pela igualdade
148)
n m,=~ "OA,!\A;B;. 00= ~
É evidente, em virtude ila primeira das propriedades anteriores, que o momento 1·esultaute nao se altera quando q1wlquer dos vectores do sistema de liza ao longo da sua lú,ha de acçeto.
74
CAP. I.
ÁLGEBRA VECTORIAL
-
Quando, porém, se muda o ponto O, o momento resultante ~
~
altera-se, e tem· se O' G = ~ m~ =~O' Ai!\ A; B 1 • Mas
------ -- - -
0' At= 0'0 +O .A,, logo 0 1 G
= ~(0 ' 0 + OA 1)i\A1 B 1 =
= ~ 0'01\A;B; + ~O A;i\A;B1 = 0'01\ ~A1 8;
+
149) Resulta desta igualdade que o momento 1·esultante do sistema em relaçtlo a qualque1· ponto do espaço é conhecido desde que se conheça: a) o momento ?'esultallle em 1·elaçcio a um ponto O; b) a soma ->-
~ A1 B1 dos vecto1·es do sistema.
1. 20.
Coordenadas dum vector deslizante.
a) Coordenadas vectoriais.
Seja o vector deslizante (u, R); vamos ver que ele é determinado: a) pelo vector Uv1·e n , na o mdo; h) pelo momento m em 1·elaçao a um ponto O não pertencente a U). Com efeito:
I. -O vector livre u · determina a direcção, o sentido e o módulo de (u, R) e tambóm a direcção da R); falta ape.nas determinar a posiçllo de R). II.
O momento m determina : 1. 0 , o plano que passa por O e R) (que é perpendicular a m, (R logo, a direcção de m determina o plano sobre o qual existe R); 2. 0 , a área S do triângulo O A B (fig. 32), visto qo~ [1. 12, 84J mod m = 2 S e daqui resulta, por ser Flg. 32
2 S = modu. h, h= modm mod u
ficando portanto determinada a distância de O à recta R) no plano perpendicular a m; falta apenas determinar, por conseqoên-
75
PARÁGRAFOS 19 e 20
cia, qual o lado, a contar de O, no qual se encontra R), o qual depende do sentido da orientação da distância h; este é determi~
nado pelo sentido de m, visto que o tri~dro O A, u, m, por esta ordem, deve ter a disposição do triedro fund amental. Definição. Os dois vectores u e m que) como acabamos de ver, determinam o vector deslizante (u , R) chamam-se as suas coO?·denadas vectoriais em relaçlllJ ao ponto O.
b) Divisão vecloriol. Com o problema das coordenadas vector iais dum (u, R) prende·se o da chamada divisOo vectorial. Passa-se o seguinte: todo o vector deslizante (u, R) é determinado univocamente por um vector livre u e outro vector m, perpendi· ~
colar a u, ligados estes dois pela relação 14<3) m = O A 1\ u. Pode agora pôr-se a questão sob esta forma - dado um vecto1· lim·e u e outro vector m perpend·icular a u, determinar o vector x, tal que m = xf\ u. Trata-se, como se vê, da possibilidade de resolver o problema inverso do da multiplicação vectorial, pro~ blema cuja solução não tem interesse se m e u são quaisquer [1. 11, 7. a], mas que no nosso caso (m perpendicular a u) admite solução simples, se bem que indeterminada. Verifica-se, efectiva· mente, que satisfaz à igualdade m=x/\u o vector
X=_}_. u 1\ m. ulu
De facto,
x 1\ u
= - 1 . (u 1\ m) 1\ u = u lu
1
- . u 1\ (u /\ m) ulu
=
1
= - - ( u l m ·U -ulu·m] = m.
ulu
É claro que, se Xt é solução, é-o também x=x1+k · u (/c número real qualquer) visto que, então, xf\u = x1 1\u + k. uf\u = x1 f\u. ~
Na fig. 31, x1 é o vector OA; k. u, coplanar a u e portanto -+
vector de R) por ser u deslizante, é o vector A A', correspondente à translacção arbitrária de que u é susceptível sobre R); ~
x é o vector OA'.
76
CAP. I. ÁLGEBRA VECTORIAL
Pode, em resumo, dizer-se que
1
lõO)
X= ·UAm+k-u ulu
é a solução geral do problema da divisão vectorial. e) Coordenadas cartesianas. Chamam-se coordenadas cartesianas dum vector de11lizante (u, R) às coordenadas carte!lianas das suas duas coordenadas vectoriais u e m. Siio portanto [1. 19, 147)] X,, Xe, Xa, L,, La, La. Estes seis números são ligados pela relação
151) visto u e m serem perpendiculares. Das seis coordenadas cartesianas dom vector deslizante (u, R) só cinco são, portanto, independentes.
1. 21.
Momento dum vector deslizante em relação a um eixo.
Seja o vector deslizante (u, R), Ii) um eixo de vector unitário e, e O um ponto desse eixo. 8eja ~
ainda m = OA 1\ u o momento de (u, R) em relação a O, e cons trua-se ~
152) m= elm = eiOAf\u. O escalar m goza das seguintes propriedades : 1. a - É t'niJependente da posiçêlo de Fig. 55 u sobre R) . É consequência imediata de 1. 19, prop. 1.•. É independente da posição do ponto O sobre H) . Tome-
2. a -
-).
mos, com efeito, outro ponto 0', sobre H) e seja m' = e I O' A 1\ u. ~
~
-
+ O'A = OA, = e I O A 1\ u - e I 00' !\ u =
Como
00'
~
tem-se
m'
=
-+
~
e I (OA - 00') 1\ u =
--4-
m [1. 15, prop. 4!-).
PARÁGRAFOS 20 e 21
77
Definição. O escalar m diz-se momento do vector deslizante em relação ao eixo fl). Da definição 152) resulta imediatamente que
(u 1 R)
3. • - O momento m é a projecçilo sobre H), do momento de
(u , R) em relaçilo a qtwlque1· ponto de H) . Desta propriedade resulta ainda 4. a - Os momentos dum (u, R) em 1·elaçi'lo aos eixos coordenados O x 1 x2 x~ são m1 = L 1 , m2 = L2 1 m~ = L5 [1. 19, 147)]. Efectivamente, o momento de (u, H) em relação à origem dos eixos (ponto que pertence nos três eixos) é m = L 1 • i 1 + L2 · i 2 + Ls · i, e as projecções deste vector, ou sejam as sua.s próprias coordenadas, L 1 =mI i 1 , •• · , são, pela prop. 3. ~, os momentos em relação aos eixos coordenados.
+
1. 22.
Bibliografia.
Vorlesungen iiber Veklor-Rechntmg, por la:t Lagally. Leipzig, 1928. Etementary Vector Analysis, por C. E. Weatherburo. Lon
·iel, por A. Chatelet e J. Kampé de F'ériet. Paris, 1924. Leçons de Géomélrie Vect<wielle, por G. Bouligaod . Paris, 1924. Leçons d'Analyse Vectorielle, por G. Juvet. Vol. I. Paris, 1933. Veklon:malysis, por Siegfried Valentioer. Leipzig, 1929. lnitialio11 au:r; Métlwdes Vectol"l"elles, por G. Houligaud e G. H abate. Paris, 1926. Le~ons de Calcul Vectoriel, por P. 1 illus. Paris, 1931. Le Calcul Vectoriet, por R. Bricanl. Pads, 1929.
EXERCÍCIOS !.
DaJos os dois vectores livres determioar:
OP-2i-j+k,
a) a decomposição cartesiaua do vector P Q c os seus coseoos directores i
b) a. projecç.ão de P-Q s11bre o vector do plano O~ '!I que faz com os eixos O;!) C O Y I respectivamente, OS ângul OS SQ• C 6Ü 0 j
c) a án:a do triâogulo O P Q. 2.
Verificar as igualdades (u Av) A (u Aw) = (u I v Aw) · u (u + V) A (v + w) I (w + u) - 2 u Av I w .
78
CAP. I. ALGEBRA VECTORIAL
3.
Calcular o quadrado do prod to misto de três vectores. Eru que se transforma o resultado quando os vectores são triortogonais?
4.
Verificar que
(u 1\ v) I (v 1\ w) 1\ (w Au) - (uI v 1\ w)2 •
5.
Verificar as
s ~ guintcs
propriedades do operador eiO :
a) ule 10(u) - cos6·(modu)S
b) u/\eíO (u) - 8en8. (mod u)2 · e c) eiO (u) 1ei-:t. (u)
=
cos
(o-~)
· (mod up
d) e 10 (u)Aeia. (u) = sen (a.- o)· (modu)ll · e.
6 . Demonstrar vectorialmeote que as diagonais dum paralelogramo se cortam ao meio. 7.
Demonstrar que a soma dos vectores determinados pela três medianas dum triângulo (origens nos vértices) é nula.
8.
Seja O um ponto fixo, u e v dois vectores constantes com origem nesse ponto, P c Q as suas extremidades, e r o vertor variável de origem em O, r= ::ci + y j + z k. Mostrar que a esfera cujo diâmetro é P Q tem por equação (r- u) I (r- v) -O .
Cap. 11. I.
Álgebra Tensorial.
TRANSFORMAÇ0ES LINEARES.
2. 1.
Transformações de coordenadas cartesianas.
Posição do problema. O problema da transformação de coordenadas, de grande importância em tuilo que vai seguir-se, consiste no seguinte-dado um sistema (8) de eixos cartesianos Oxyz e as coordenadas (x ,y, z) du m ponto qualquer M do espaço, deter-
y, -;-)
minar as co ordenadas (x, do mesmo ponto M em relação a outro sistema (8) de eixos u'XJj"i:, isto é, calcular x,y,z em fun ção de ;r ,y, z e vice-versa, un hipótese de que a posição do ponto .M não varia mas, apenas, o sistema de referência do espaço . Suporemos, em primeiro lugar, que os sistemas (8) e (S) são ambos rectangulares e depois consideraremos o caso mais ger al de (S) e (8) serem qnai quer. Para obter maior simetria nas fórmulas a que se chegar, r epresentaremos, como habitualmente, os eixos do sistema (S) por
Oxt,Oxa,Oxo e os do sistema (S) por Oxt,o;,,oxa; os vectores uoit:írios dos eixos serão representados, respectivamente, por
Ít ,
---
i2 , is e i1 , i2 , is .
Resolução do problema. 1. 0 caso: (S) e (8) triorto,qonaís. Os dois sistemas terão, em geral, além de direct;ões diferentes dos eixos, também origens diferentes mas, pura simplificar a questão, pode mos sapôr que as origens coincidem ; se isso nüo se desse, não bnveria mais que tomar om sis te ma intermédio (S') coro a ori gem do segundo e eixos parnlelos ao primeiro , isto é, o sistema
80
I
CAP. 11.
ALGEBRA TENSORIAL
que se deduz de (S) por uma. translacção da origem determinada ---+
·.r' -- ~"'~-
pelo vector O Õ. É claro que se um ponto },{ tem no sistema (S') as coordenadas (x~, xá, x~) ele tem, no primitivo sistema (S) as coordenadas
1) [
XJ
= À1 +X~
X2
=
ÀJ +X~
:r:s = ),"
+ a:8
se chamarmos À1 , ).a , Às às coordenadas de O em relação Fig. M ao sistema ( S) . Feita, por consequência, esta transformação prévia de coordenadas, ficamos apenas com os dois sistemas (S') e (S) com a mesma origem, mantendo se, entre eles, as mesmas relações direccionais que existiam entre (S) e (S) . Suporemos, portauto, em tudo o que vai seguir-se, que as origens de (S) e (S) coincidem.
-----·x-.. .x
• rtg. 35
Sejam, então, os dois sistemas da figura 35, o ponto },[ de coordenadas (x1,x2 ,x8) em (8) e (~.~,xs) em (S) e procuremos as relações que ligam os X; aos x 1 •
81
PARÁGRAFO 1
-
__.. O vector O }.1 tem, no sistema ( S), a decomposição cartesiana
--------
OM=~l • Ít+~ll · b +xs
· is o, no sistema (.S), OM~x1 · Ít +X3 ·i2 +xs is. Ora, como por hipótese, o ponto M, e por consequência o
-
vector O M, não mudou, mas simplesmente o sistema de referência, deverá ser 2) k
k
e para que desta relação se tirem os x, em função dos xk não há mais do que exprimir os vectores 1~< nos h, isto é, decompor os vectores unitários do novo sistema (S) no primitivo sistema (8). Ora as coordenadas (coeficientes da decomposição cartesiana) dos vectores unitários são [1. 9, ó2)J os cosenos dos ângulos que os vectores formam com os eixos coordenados, logo se fizermos
i,k=1,2,3
3) ter-se-á
= au · Ít + a21 · ia + rxst · is ~ = aa • Ít + a:2z • Í2 + a:s2 · is [ is = Ct.ts • Ít + a:2s • is + a:ss • is Ít
4) isto é
~ O:jk. Íj
4=
ó)
k=1,2,3
j
tomando o Indica do somatório, evidentemente, também os valores 1, 2 , 3 . Substituindo agora estes três valores 5) em 2), tem-se
~X~: • ik = ~ Xk . ~ <Xjk • Íj k
k
=
i
~ Íj • (~ <Xik • Xk ) i
k
e como um somatório não depende da letra que representa o Indica em relação ao qnal o somatório se desenvohe, esta igualdade pode escrever-se so b a forma
~ xr i1 = ~ii' (~ai" j CÁLCULO VEOTORllL
j
·'X,)
k
6
82
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
donde
6)
:v;= ~C(jk. xk
j=1,2,3,
k
fórmulas que resolvem o problema.
2. 0 caso: (S) e (S) nao triortogonais. Como se Stt be [1. 7] três vectores não eoplanares quaisquer podem servir de base para a decomposição de um vector qualquer do espaço. Se tomarmos três vectores quaisquer nessas condições i1 , i 2 , i 8 , com origem comum O; como ei:x:os com·denados as três rectas Ox1 , O:x:2, Ox8 , sobre as 4uais eles se encontram e orientadas como eles, e como planos coordenados os planos definidos por esses eixos dois a dois, terem os um sistema de referência cartesiano 11flo 1·ectangular O a: r x2 x 8 em relação ao qual as coordenadas dum ponto serão as distâncias aos planos coordenados, medidas niio já nas perpendiculares nos planos mas, sim, sobre as paralelas aos eixos; e essas coordenadas são únicas porque as decomposições são únicas [1. 7 e 1. 9]. Se o ponto M tiver, nesse sistema ( S), as
-
coordenadas x 1 , x 2 , x 8 , o vector O M = u tem [1. 7, 45)] a decomposição
exactamente como se passa num sistema rectangular. Dado ugora outro sistema (8) também não triortogonal, de base 11 , Ta, 't não coplauares: ter-se-há, se forem ;;J, ã;, ;;s as coordenadas do mesmo ponto M n«:>sse sistema, u = ~;;k ·L; e, k
para relacionar as coordenadas igualdade
Xk
com x~:, não há mais que, na
~ Xk • h = ~ Xk .4 ' k
introduzir as relações que ligam os ik aos h, isto é, as decoro· posicões dos ik no sistema ( S). Essas decomposições são da forma 7)
k = 1,2,3
, PARAGRAFO
83
que, introduzidas na igualdade acima, nos dão, por um raciocínio análogo ao que atri1s fizemos,
8)
Xj
= ~
Cjk.
Xk
}=1,2,3.
k
Tudo se passa, portanto, como no caso de os sistemas serem triortogonais, à parte a significação dos coeficientes c1 k que lá eram os cosenos directores dos vectores unitários do sistema (S) e que aqui deixam de o ser porque essa propriedade de8aparece desde que o sistema de referência deixe de ser triortogonal. É claro que as relações )) e 6) são, respectivamente, casos particulares de 7) e 8); para as distinguirmos, representaremos, daqui em diante, a transformação geral 8) por TI e a transformação de coordeoadas 6) por Tm (a razão do uso destes índices será adiante explicada) de modo que sompre que nos referirmos a T1 e 1',, enteuder-so-ão, respectivamente, as transformações de coordenadas Xj
= ~
Cjk.
Xk
j=1,2,3
k
T.. )
fVj
= ~ IXjk • Xk
}=1,2,3.
k
Estas fórmulas de transformação de coordenadas vão constituir o ponto de partida de explorações em dois doruinios diferentesno primeiro, ocupar ·nos-emos essencialmente do seu significado geomótrico, no seguaclo daromos nton«;iio ospocial ao seu carácter analítico. Antes de iniciar o estudo em cada nm desses doruloios, fixernoH ·d esde já o carúcter linear de Ti. e T.~: as duas transformações con:sistem na efecti\'ação duma substituir;ilo linea1· homog~nea sobre os x 1 :
·"X, + C12 • Xa + r.,ll · Xs TI ) Xo = Cas · ~ + C22 • ~s + C2s · ~ Xs = C!Jt • X1 + C33 • X3 + ClllJ • :J.'s Xs
I
=
Cn
•
Por isso se lhes dá o nome de tran formações lineares. Chama-se matriz desta transformação linear à matriz
D
=
cu
cn
CJs
ca,
C22
C2s
Css
Cs2
Css
84
CAP. 11.
'
ALGEBRA TENSORIAL
da substituição linear homogénea sobre os :r,, e chama-se módulo da transformação lioear ao deter111Ín11nle associado (1) a esta matriz
9) Como se vê, [7)] as colunas da matriz são constitufdas pelas coordenadas dos vectores unitários do sist!:'ma. (S) em relação a (S) e daqui resulta. que o módulo O(D) é, neces~Jàriamente, diferente de zero. Efectivamente, se fosse O(D) =O, haveria a mesma relação linear e homogénea entre os elementos das linhas e os três ,·actores "'L ,i:t ,1, seriam linearmente dependentes, logo coplanares [1. 7] contra a hipótese.
2. 2.
O ponto de vista da geometria afim.
A transformação linear T1 a que se chegou no parágrafo anterior - transformação das coordenadas dum mesmo ponto em dois sistemas diferentes dt> coordenadas com a mesma origem - pode ser encaradã dum outro ponto de vista. Consiste ele em considerar essa transformação como dando, num mesmo 8ÍSiema fundamental de coordenadas, as reluções esistentes entre as coorl'lenadas de dois pontos. Consiste, como se vê, este critério em deduzir, do espaço dado, e partindo de um dado sistema de coordenadas cartesianas, um novo espaço cujos pontos têm coordenadas definidas em função das do primeiro t>ela transformação T1. O estodo das propriedades desse novo espaço é o objecto da geometria afim. É claro que o ponto tle coordenadas nulas no primitivo espaço é também o ponto de coordenadas nulas no espaço definido pela transformação linear T1 ; efec tivamente, para 'i; = O vem a:;=O e, reciprocamente, o sistema
11
+ C-12 • w:~ + C1s • Xs
Xt
=
cu · X1
:r:2
=
Cg1 •
Xs
= Cat • X1 + C8:J • :1!2 + Css • Xa
1
(I) V. Liçóà, vol. 1. 0 , 12. 4.
~~ + c 2ll ·~a
+ c2s • ~s
PARÁGRAFOS I e 2
85
dá para :c1 =X2 = :Cs=O a. solução única XJ=X2=xs=0 visto que é, então, um sistema homogéneo de determinante e(D)= 1CJk 1=f=O. Resulta daqui que a transformação linear T1 , fazendo corresponder a cada ponto um novo ponto, faz, afinal, corresponder a cada ''ector livre (q ue pode sempre s u pôr· se ter origem na origem dos eixos) um novo Yector livr e; isto é, Tz define uma nova multiplicidade vectorial, a multiplicidade vecto1·ial afim, cujo estudo é objecto da geometria afim. Pelo que se viu, a correspondência dum vector ao seu correspondente do espaço afim é definida, afinal, pela matriz D = ((cJk)) da transformação linear; dos seus elementos c1 ~:, e só deles, dependem os novos vectores. A matriz D = ((c1t)) pode ser portanto encarada como um operador, agen te da transformação dum vector noutro vector. Representaremos essa acção do operador D pela notação
D(V) =V; ela. significa que o operador D fa z corresponder ao vector V o vector V efectuando sobre as coordenadas de V a substituição linear Tz. Como propriedade importante deste operador, tem·se que: O operador D = ((cJk)) é linem·. P ara o ver tem que provar-se [1. 18] que
D(V1 + V2) = D(V1 ) + D(V3) D (p · V1) = p • D(V1) . Sejam k
=
~ (:ct
+ y~:). i~: .
k
Fazendo a transformação linear Tz sobre os
k
:c~:
e Yk tem-se [2. 1, 8)]
D (V2) = ~ ( ~ Ckj • Yi ) . i"
D(V1) = ~(~ckJ ·;i )i~:, j
k
D (Vl
+ V2) =
I<
~ (~ Ckj. Xj k
=
+ ~ Ckj . YJ).
j
D(V1) + D (Vg).
j
ik
e
j
= ~~ Ckj(Xj k
j
+ y;). i~:
86
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
Por outro lado, é p · V1
= ~ (p · Xk) · ik ,
donde
k
n (p. v~)=~ [~ k
Ckj.
(pxi)] . 4 = P. ~(~c"'. ;j). h= P. n (V1)
i
k
i
com o que fica demonstrada a linearidade do operador D. Daqui resulta que, em geral, é
D (~ p; ·V,) = ~ Pi· D (Vi).
10)
;
i
Por estas propriedades se pode já antever o papel importante que a teoria das matrizes é chamada a desempenhar no estudo das transformações lineares J.o espaço. No parágrafo seguinte serão estudadas algumas propriedades dessas transformações.
2. 3.
Propriedades das transformações lineares.
Continuando a considerar a questão que nos está ocupando do ponto de vista da geometria afim, suporemos, para simplificar, e sem perda de generalidade, que temos um sistema de coordenad~>.s cartesianas rectangulares e nele definida a transformação linear geral
n
-+
X1
=
Xz
=
C;u
::Cs
=
Cst • X1
I
Cu • X 1
-
c 13 · x 2
+
-
CJB • Xs
·~I + CD!: • ~3
+ C28 • ~8 + Css · X1 + Cs8 · Xs
e a transformação linear particular
I
X1
T,.
= OI.JL • -X1 + 01.12 • -X2 r
Xa = 0:21 • X3 =
-
O:Js · Xs
~1 + OI.!JSJ • ~2 + 01.23 • ~8
t:/.s1 • X1
+ <xsz • Xa + 0!.83 · X3 •
Nestas duas transformações os coeficientes CJk e a1k têm a mesma significação - as colunas do operador D = ((CJk)) são, num e noutro caso, os cosenos directores dos vectores T1 , Ta ,1,- mas as diferentes relações direccionais desses vectores, triortogonais em T,,. e não triortogonais em produzem alterações profundas nos espaços definidos por T, e T,., como veremos no parágrafo seguinte.
n'
87
PARÁGRAFOS 2 e 3
Por agora, e como primeira propriedade das transformações lineares, vamos ver uma particularidade importante das transforma~ões
Tm.
Propriedade 1.a - O módulo da transjo1·mação Tm é um determinante ortogonal.
Efectivamente, no determinante
9(D) =A = a 11 tem··se: a) por serem os vectores Í 1 , i;,~, unitú1ios (e o sistema fundamental rectangular) donde (modÍk)2 = 1:
isto é,
k=1,2,3;
11)
b) por serem os mesmos vectores pe1pendiculares ent1·e si dois a dois (e o sistema fundamental rectangular) donde 41ft=O, se k-f=l:
!
rxu • rx1s
rxu • «to
oc12 • fX.Js
ou
~Seja
+ + +
rx21 • «22 ()(21 • a:2s oc12 • cr.as
+ «st • 1):93 = O
+
OCst • fX.8lJ
=O
+ asa · a88 = O k,l=1,2,3
12)
As relações 11) e 12) podem conglobar-se em
13)
~ IXjk •
IXj l
=
(jkl
k,l=1,2,3
j
ns quais mostram que o determinante A é ortogonal(!). (1) V. Lições, Vol. 1.•, 15.4, 3).
88
CAP. li.
ÁLGEBRA TENSORlAL
Daqui se conclui imediatamente, pelas propriedades dos determinantes ortogonais, que entre os coeficientes de T.,. se verificam, além de 13), também as relações
1.0
~ U.kj • rx,j =
14)
k,l=1,2,3;
akt
j
2. 0
-
o módulo de Tm só é susceptivel de tomar os valores
+1 e -1. Pelo facto de o módulo de Tm ser um determinante ortogonal, a estas tran:.formações dá-se o nome de l1'a71sjo1·maçôe8 ortogorwis. Elas gozam de propriedades importantes como veremos. Antes de prosseguir, salientemos que as transformações lineares gerais T1 não são ortogonais, por lhes faltarem ns relações 12) de perpendicularidade dos vectores ~. O módulo destas transforma· ções é sempre diferente de zero, como se viu no final do parágrafo 2. l, mas não ortogonal se elas não forem da forma T,.. Produto de transformações lineares. Chamaremos produto de duas transformações lineares: T,, de operador D = ((cik)), e Tí, de operador D'= ((cjk)), ao resultado obtido pela efectivação suces· SÍ\ 8 das duas transformações. Isto é, se por T 1 se efectua a pas1
sagem dos passagem
Xj
dos
aos x~:
Xk
pelas relações ::ci = ~ Cjk
a
outras coordenadas
• xk
= x
1
;, = ~ CÍct • ~~, chama-se p1·oduto à p11ssagem dos Xj
=
e por
TI a
pelas relações Xj
aos ;
1
por
~Cjk • ~C~!·~~ k
relação que pode escrever-se
ló)
}=1,2,3
com
lô)
ril =
~ Cj k .~
•
c; 1 •
89
PARÁGRAFO 3
Daqui se conclui que o resultado do produto é uma no\·a transformação linear T;' definida por lõ) e produzida pelo operador
D" = ((ril)) = ( (~ Cjk · CÍ,e)) k
que é(l) o produto dos dois operadores De D'. Assim, a operação do produto de duas transformações lineares reduz-se à do produto dos dois operadores correspondentes, o que tem a enorme vantagem de trazer para aqui toda a aparelhagem formAl do produto de matrizes; assim n oper!lção é associath·a (uma ,·ez definido, como habitualmente, o produto de mais de duas t>ubstituições) e, em geral, 11ao comutativa; além disso, o determinante associado do produto (módulo) é igual ao produto dos determinantes associados dos factores. Pode, pois, enunciar-se a
Propriedade 2. a - O produto de tran.-Jonnaç?Jes lineares é uma trans.fol·maçào linear; a operaçtlo ,qoza da p1'op1'iedade associativa e em ge1·al nao da com1ttativa ; o módulo do produto é igual ao p1·oduto dos módulos dos factores. Daqui r es ulta, pelo facto de o prodnto de determinantes ortogonais ser um determinante ortogonal (2): Corolário. O produto de duas transformaçêJes ortogonais é uma transfcmnaçao ortogonal; se elas tit:erem módulos iguais o produto tem módulo 1, se os tiverem d·ife?·entes o produto tem módulo - 1 .
+
Chama-se transformaçÃo inve1·sa da à transformação qlle dela se deduz expri-
Transformoção inversa.
transformação linear
Ti
mindo as coordenadas ~k em função da::; coordenadas :r~; . O sistema
l
Wt
=
X2 =
Xs
=
~~
+
Ctz •
-
+
Cs! • Xg
+ Cts • ~8 C:u • Xt + C211 • Xz + C:zs • Xs
Cu •
Csl • Wt
~li
-
considerado em relação às incógnitas
(l) V. Lições, vol. 1. 0 , 12. 7, 1). (ZJ Idem, idem, 15. 4, prop. 4.•.
+
-
CBS • Xs
'Xz, x2, X8,
é compatlvel
90
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
e determinado por ser o determinante do sistema (módulo de '1'1) diferente de zero e tem-se(')
Xj =
17)
~ YJ k
j=1,2,3
. Xk
k
onde os "/ik são os quocientes d'>s complementos algébricos dos Cl·j (que representaremos por CkJ) peJo módulo!
18) Tem-se, portanto, a
Propriedade 3." - Toda a transformaçdo linear T 1 (módulo diferente de zero) tem uma transformaçc1o inver;~a que é tamb~m linear e da jo1·ma 17). Procuremos a im:e1·sa duma
transjo1·maçilo ortogonal """ - É , neste caso, (2) "/Jk = A~;1 r.x.w O(D) = «kJ, T,.: x1 = """"«jl,. x~.: . -= 1.: fJ (D) O(D) logo a inversa é definida por
j=1,2,3
19)
e obtém-se, por consequência, trocando os indices dos coeficientes. Calculemos o p1·oduto duma t1·ansformação linear pela sua in'!;e1·sa. Fazendo o produto de ;c1 = ~ Cjk • xk por ã'J = ~ 'Yik • Xk k
x1 =~ri''~l
obtém-se, por 15),
/;
com [16)]
ril = ~CJk '"/H· 1.:
Mas [18)]
"/kl = - - (}lk'
= -- ~cik · C1k 1
O(D)
k
1
O(D)
logo
1 - • OJt' fJ(D)
= -
(1) V. L ições, vol. 1.•, 13. 11, 13). (Z) Idem, idem, 15. 4, prop. 2.•, 2).
(l) Idem, idem, 11 . 7, prop. 1.•, 2).
é
rj l =
~ Cjk k
O(D)(~) = Õjl·
1 . --. O(D)
clk =
PARÁGRAFOS 3 e 4
91
Tem-se, por consequência,
}= 1,2,3
20)
isto é, a transformação linear produto é a transformação
I
x, =
20a)
x1
x2
= ~2
Xs
=
Xs
que se denomina tmnsformação identidade, pelo factt) de transformar um ,·ector em si mesm o. Obtinha-se o mesmo resultado se se im·ertesse a ordem dos factores, logo:
Propriedade 4. 8
Existe uma transformaçêto linear, denominada t1·an$jonnação identidade (repruentá-la-emos pCJr E), que é igual ao produto de qualque1· tt·anAjo?·maç/lo linem· pela sua úwersa, independentemente da ordem dos faclot·e.ç.
É fácil ver que a tl'ansformação identidade multiplicada por outra a não altera. Efectivamente, efectuando sobre a transformação identidade outra transformação T, obtém-se, à parte eventualmente a designação das letras, a mesma T, e efectuando sobre T1 a transformação identidade, obtém-se ainda T,, logo
Propriedade 5. a - A multiplicação duma transformaçtlo linear T1 pela tranifonnaçao ider~tidade é uma operação comzttativa (como a da multtplicação pela inve1·sa, o que é, na mult1plicação de t?·ansfm·maçõeslineares, ttma excepçll.o) e o 1·esultado da operaçdo é igual a T •.
2. 4. O conceito de grupo de transformações lineares. Seja considerado um conjunto U de elementos de natureza qualquer - números, qualquer que seja a sua natureza, opera~ões, transformações, etc. - e suponhamos que dentro desse conjunto se definem, duma maneira inteiramente arbitrária : a) uma operação de composiçao ou multiplicaçélo de elementos de U, pela qual de dois elementos u1 e tt 2 de U ee determina o seu produto u1 • tt2 ;
92
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
b) um elemento de U que se designará por elemento unidarle on identidade: e . c) o inverso u-1 dum elemento qualquer u de V. O conjunto diz-se que é um grupo quando satisfaz às seguintes condições:
1.• - O produto de dois elementos quaisquer de U é ainda um elemento de U- pela operação da composição ou produto não se sai nunca do conjunto. 2. • - A operação da multiplicação é unijo1·me e aJ3sociativa, não se exigindo, em geral, a sua comutatividade, isto é, podendo ser diferentes os produtos à. esquerda e à direita de us por u1 • 3. a - O produto, à esquerda, da identidade por uru elemento qualquer de U é igual a esse mesmo elemento: e•U=lL.
4. a - O produto, à esquerda, do ÍD\·erso dum elemento pelo próprio elemento é igual à identidade
u-1 •
tt
=e.
(Para a axiomática da noção de grupo, ver Teoria das J.fatrizes, por A. Monteiro). Exemplos de grupos. 1.0 - O conjunto dos números racionais, no qual se toma como composiçdo a multiplicação ordinária de dois números racionais e como unidade o número 1, satisfaz às condições postas e constitui, portanto: um grupo.
2. 0 - O conjunto dos números reais é também um grupo quando se toma para composiçllo a multiplicação ordinária e para unidade o número 1. 3. 0
-
O conjunto dos números fraccionários (não inteiros),
tomauuo como composição a multiplicação ordinária ndo é um grupo visto que o produto de dois números fraccionários pode ser um número inteiro. Não é, por razão análoga, um grupo o conjunto dos números reais não racionais.
93
PARÁGRAFO 4
4. 0 - O conjunto dos números inteiros poslttvos e negath·os, incluindo zero, é um grupo desde que se tome como composição a adição ordinária e como unidade o número zero; o inverso de a é, então, -a.
5.0 - O conjunto das translacções do espaço, onde se toma como composição a adição ordinária de translacções e como unidade a translacção nula, é também um grupo. 6.0 - O conjunto das simetrias em relação a um ponto, tomando como composição ou multiplicação a efectivação sucessiva duma simetria em relação ao ponto J.11 e uma simetria em relaçno ao ponto P, não é grupo, porque o produto dessas duns simetrias não é uma simetria, mas sim urna translacção definida pelo vector ~
2 . MP (fig. 36).
-- -
A.A"
=
BB'' =
~ = CC'' = 2 . 111 P
Fig. õ6
Da definição dada de grupo resulta ainda que o co11junto des tran.<jormaçlJes lineares T 1 é um grupo, como o é também o conjunto das transjúrmaçlJes ortogonai.~. Este último grupo diz-se um subgrupo do grupo das transformações lineares pelo facto de as T,. formarem grupo e de toda a T,. ser uma T,. É ainda verdade que formam grupo as tran.iformaç?Jes 01·togonais, Tm, de módulo + 1, ruas já as transformações ortogonais de
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
94
módulo -1 não formam grupo; efectivamente, o produto de duns dessas transformações não é uma transformação da mesma natureza, mas, sim, uma transform ação ortogonal de módulo + 1. Importância do conceíto de grupo. O conceito de grupo de transfor mações lineares tem uma importância enorme porque em relação a elA se podem classificar as propriedades geométricas do espaço. Há. propriedades geométricas que são invariantes p11ra um grupo de transformações lineares e que o não siio para outras. Assim, por exem pio, o paralPlismo de rectas é uma propriedade inrariante com o grupo das t1·an.iformaçêJe8 linem·ea, isto é, se dois dados vectores são paralelos, os seus transformados são também parale· los. Isto é uma consequência imediata de ser o operador D da transformação um operador linear; com efeito, dados dois vectores Vr e Vs = p · Vr, paralelos, os seus transformados pela trausfor· mação linear são W1 = D(V1 ) e w~ ·= D(~. V1)=p. D(Vr):::::p · Wr isto é, w3 é paralelo a w,. Mas já, por exemplo, a ortogonalidade se nlfo conserta para mna tmn.qjo1·maçét.o linear qualquer. Suponhamos, com efeito, dois vectores V1 = ~:rk ·Ík e V2=-- ~.lf•· Ík t
k
perpendiculares entre si1 isto é. verificando-se f.'ntre eles a relaçã o ~ x~ · yk =O, se suposermos os eixos rectangulares. k
011 se os transformados são D (V1 ) = ~ ~k • h, D (V2) com
~k = ~ cik • Xj, ~ = ~ c1" · Yi; k
k
~Xk · Y, ·
É
k
. (
j
~ Yt •h k
calculemos
,,
~ ;,~. y;, = ~ ( ~ Cjk. Xj) 1:
"
=
~ Ctk
. '!/l)
=
I
~ Xj Yt. ~ jL
Cjk . Ctk
k
= ~djt XJ · ?/t, não nulo em geral. i:
É fácil ver, porém, que se a transformação for ortogonal a ortogoualidacle se conserva; efer.tivamente, neste Cl! SO é Cjk =ai" e teru-se [2. 3, 14)] di t =
~ a.;"· a,"= o11
donde
~ Xk · Y" = k
=
~dit · Xj • y, = ~xi ~ ?itYt = ~xi. y1 =O, Jogo o anularoento jl
j
j
95
PARAGRAFO 4
de ~ ;k ·
y,
é uma consequência do anulamento de ~xk · yk e os
k
k
vectores transformados são ortogonais como o eram os primeiros. Há muitas outras propriedades que são destruidlls por uma transformação linear geral 7i e conservadas por uma transformação linear ortogonal; está neste número, como fàcilm ente se verifica, o ângulo de dois vectores e o módtdo dum vector e, por consequêncill a distância de dois pontos do espaço. Resulta daqui que as ár,e as e os volumes são alterados por uma transforma~ão T 1 e comervados (em valor absoluto, polo menos) por uma T.n. Verifiq uemo -lo, por exemplo, para o ''olume dum paraleliplpedo. Supondo sempre o sistema fundamental rectangular, sejam três vectores
+ a12 • b + a111 • is a21 • i1 + a2a • i2 + a2s · in
Vz = a.u • i,
Vs = Vs = as1 ·i,
+ as2 · i2 +
aso· is.
O paraleliplpedo definido por estes três \'ectores como arestas saldas dum ponto tem, como se sabe, [1. 15] o volume . ll = V1IV2;\Vs= au
a12
a1o
au
a22
a28
Façamos uma transform11ção linear T1 de operador D = ((cik)) e relacionemos este volume com o do pandcliplpedo defioido pelos vectores transformados
Vt = ãu · i1 + ã12 · i2 + a,s · is Vz = ãz1 · i1 + ã 22 · Í2 + a2s · is Vs = a31 · i1 + Õs2 • i:~ + asa • is . É
Ots
Ora, co mo os a;i
= ~ Cjk • ã;k k
aii
86
relaciouam com
~i
por [2. 1, 8)]
tem-se, em virtude da lei de forma~ào do produto
I
96
CAP. 11.
ALGEBRA TENSORIAL
de determinantes, que V= V' . e(D) , isto é, os dois volumes não são iguais, mas sim estão numa relação constante igual ao módulo da transformação e daqui resulta que se a transformação for ortogonal e de módulo + 1 os \·olumes conser vam -se, se for ortogonal e de módulo - 1 os volumes conservam o valor absoluto e mudam de sinal. E m resumo. A existência e utilização dum deter minado grupo de transformações pode servir para ordenação e selecção das propriedades geométr icas, tomando como critério de selecção precisamente o facto de as propriedades se conservarem ou não invarian t~s em relação ao grupo. A ca da gr upo corresponde assim um determinado conjunto de propriedades qne se conservam invariantes, l>ropriedades cujo estudo constitue o objecto duma determinada geom etria. Assim, as propriedades métricas do espaço são invar iantes com o grupo das transformações ortogonais (de módulo + 1 se se quer conservar o sinnl) as quais, por isso, se representaram por T.u; a geometria que lhe corresponde será a geometria métrica. D as propriedades invaria ntes com esse grupo bá algumas que desaparecem com o grupo mais geral das t ransformações lineares (distâncias, ângulos, etc.) e outras que se conserv!lm (paralelismo, por exemplo): !jerá o conjunto destas que fará objecto da geometria do grupo linear homogéneo (grupo das transformações lineares 1i) ou geometria afim, etc. Sem pretender aqui entrar-se em mais largos tlesenvolvimentos, vê-se já, no entanto, que papel central o conceito de grupo desem· penha, não só na estrutura de cada geometria particular, como na ordenação lógica de umas em relação a outras.
2. 5.
Invariâncias em relação ao grupo das transformações ortogonais.
Em tudo o que vai seguir-sa, têm uma importância muito par· ticular as transformações ortogonais . Convém, por isso, dar um r es umo de alguns escalare~ importnntes que são im·ariautes em relação ao grupo dessas transformações .
Sdo invariantes com o [JI'ltpo das tran.iformações ortogonais: 1.0
-
O produto escalar de dois vectores.
97
PARÁGRAFO 5
Sejam, com efeito, os vectores V1 = ~ x~: · i~: e V2 = ~ Y• · h k
e a transformação ortogonal T.A) a.•~; =~~/ri .
X;.
j
Tem-se Vri Vz = ~XI;. Yk k
= ~;i.
= ~ (~ O.l;j: x,). (~akl. Yt)
y;. ~
jl
"
j
l
(/.J.j· akl
= ~~.
k
y;. Ojt
[2. 3, 13)J
jl
= ~~ (~?jl ·y,) = ~;j . yj j
j
I
com o que fica demonstrada a invariância , visto que o produto escalar dos vectores transformados,
Vrl Ve =
~ ::S · yj, é igual ao j
dos vectores primitivos, V1 IV2 .
= ~ Xj • Yi.
A invariância pode ser
j
entendida doutra maneira: como a do produto escalar dos mesmos dois vectores V1 e V2 em relação nos dois sistemas de eixos, visto que, sendo os eixos rectan gulares, o pl"oduto escalar tem a mesma expressão formal em ambos os sistemas.
2.0
O módulo dum vector. Com efeito, como (rnod Vf = V I V, pela propriedade anterior
tem-se (mod Vf =VI V= V I V= (rnodV)z . Daqui resulta, é claro, que a distância de dois pontos quaisquer do espaço é invariante com o grupo das transformações ortogonais. Faz-se uma observação análoga à da propriedade anterior quanto à maneira de entender a invariância.
3. 0 - O {lngulo de dois vectores. Efectivamente dados os vectores V1 e V2 com ângulo 6 e os seus transformados V1 e V2 com ângulo e', tem-se [1. 14, 100)] pelas duas propriedades anteriores,
cos 0' = - --=v=-r v_-:__.--=:mod V1 • ruodV3 _,_ 1
VdV2 = mod v, . rnod v2
---"--'c.......:_ _
C08
0.
Mesma observação quanto ao modo de entender a invariância. c.l.LOULO VECTOIUAL
7
98
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
4. 0 - O val01· absoluto da área do paralelogramo determinado por dois vectores e também o sinal quando o módulo da tmn.~fo1"Tnaçll.o for+ 1. Que o valor absolu to da área se mantém, isso resulta imediatamente da conservação dos módulos dos vectores e do seu ângulo. Quanto ao sinal, esse depende da orientação do produto vecto~ rial dos dois vectores; sejam, no primeiro sistema rectangular, V1 = ~Xt · ik, V2 = ~Yk · ik e no segundosistemaosmesmos vectok
t
res V,=~Xk·4, V2=~Yk·'1. k
k
O seu produto vectorial no segundo sistema é [1. 11, 80)] Vt!\ V2
= it
i2 i,
~1
X3
Xs
Yt
y~
YB
-
~a }J
•
i.J
j
~(/.}8. i;
~(/.}/ •:1'J
~"'J:l'
X;
~(/.jl. !/i
~a,:9
·Xi
j
i
j
~~JS. i; j
j
~..:ia· Yi
~a;s · Yi j
i
em virtude de 2. 1, 5) e 2. 3, 19). Ora o último determinante é, como imediatamente se verifica efectuando o produto de colunas por liohas, igual ao produto
XL
:1'2
Xs
!/I Y2
Ys
+
referido ao primeiro sistema, devendo tomar-se o sinal se a transformação for de módulo + 1 e o sinal - se ela for de módulo - 1. O sinal da área é mantido, portanto, no 1. 0 caso e alterado no segando. Este resultad o permite·nos interpretar geometricamente o sinal do módulo da transformação ortogonal. Como acabamos de ver, o produto vectorial ue dois vectores quaisquer tem um sentido ou o oposto conforme o módulo é 1 ou - 1; sejam i 1 e i3 os dois vectores - a área do parale.ogramo por eles definido, na ordem i 1 para i 3 , é positiva e o seu produto vectorial é i,· façamos uma transformação ortogonal de módulo + 1; a área continua posith·a,
+
1
fica dispo to em relação a
T,
e
T2
como i, o está em rt'lação
PARÁGRAFOS 5 e 6
99
a i1 e is , isto é, o novo triedro triortogonal tem a disposição do pdmeiro. Se a transformação é de módulo - 1, o novo produto vectorial é oposto a ~ e o novo triedro tem, portanto, disposição diferente. O volume, em valo1· ab.~oluto, do pa1·alelipípedo definido tJOr vectores como arestas, hat;endo conservação ou não de sinal coNforme o módulo jo1· + 1 ou - 1 . Se se entende que o sistema de referência se mantém e que os vectores se transformam, a demonstração foi feita já no final do parágrafo anterior. Entend endo que os Yectores se conservam e se muda de sistema (triortogonal) de referência tem-se que os vectores V,= ~ xk ·i.~ ,
5.0
tr~s
k
V2 = ~ Yk • Ík,
V:J
= ~zk • Í.1
têm no novo sistema as decomposi-
1:
k
ções V, = ~;;,, -i~:, k
Vz
= ~y~: ·4, k
V8 = ~'Z; ·L. e, como o k
novo sistema é rectangular, a expressão do volume é dada ainda pelo produto misto dos três vectores e tem-se, do mesmo modo,
como imediatamente se verifica fazendo substituições de valores e efectuando o produto dos determinantes .
2. 6.
O ponto de vista do Cálculo Tensorial.
Nos parágrafos anteriores foram deduzidas as fórmulas gerais de transformação de coordenadas cartesianas (não rectangulares, em geral) 21)
Xj :"
~ Cjk • Xk
J=
1 '2 '3 . [2. 1, 8)]
k
e as da transformação inversa
22)
Xj = ~'(j k •XJ:
J=1,2,3 , [2.3,1 7)]
100
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
com
23)
1
(j/;
= - fJ(D)
[2. 3, 18))
clrj·
Encaradas do ponto de vista geométrico (o ponto de vista da geometria afim) estas fórmulas levaram às perspectivas da interven~ã.o do conceito de grupo na sistematização das geometrias [2. 4]. Vamos agora encarar as mesmas fórmulas de transformação dom ponto de vista diferente - o ponto de vista analitico formal, tomando como centro de interesse o modo como se tran.
x1
nesse novo sistema há três números reais únicos ,i2 , ;., , ligados com :x:1 , :x:2 , :x:8 pela transformação linear 21) e 22), que determinam o mesmo vector V. Consequentemente, este vector V é universalmente acompanhado e definido pelos três primitivos números reais :r. 1 , :x:11 , x 8 e fórmulas de transforma~ão da forma 21). Em vista disso, podemos estabelecer a seguinte nova concepção analitica de vector- entidade anaHtica definida univocamente por um dado conjunto de três nú meros reais ou, mais geralmente, de três funções de :x:1 , :x:2 , :x:8 que se transformam, de sistema cartesiano para sistema cartesiano, por dadas r elações, com base na transformação linear 21). É este, sobre a concepção da entidade vector, o ponto de vista do cálculo tensorial, ponto de vista que nos parágrafos seguintes vai ser desenvolvido. Antes de prosseguir, notemos, desde já. que a transformação de sistema para sistema, com base na transformação linear 21 ), pode ser de duas naturezas diferentes. Sejam u 1 , u2 , u8 (1 , 2, 3 são índices superiores e não expoentes; já será vista a razão por que se colocam em cima e não em baixo como habitualmente) três funções de x 1 , x 2 , x 8 no sistema (S); se, quando as variáveis x1 ,:x::~,:x:8 são subs tituidas por X",, 8 com elas ligadas por 21), [se se efectua uma transfor-
x,, x
PARÁGRAFO 6
101
ui ull u8 como
mação linear 21 )) essas funções se transformam em as próprias variáveis, isto é, pelas relações
24)
ttj
= ~
Cj 1 •
1
;-t
1
j=1,2,3
"
as ui dizem-se as compo11entes contra-variantes dum vector. Sejam agora u 1 , u2 , '~~~a três funções df' ~~, ~11 , x 8 e a transformação linear 21); se quando se efectua essa transformação linear (murlança de sistema cartesiano) essas funções se transformam em
- -
-
u,, u.e, us, pelas relações
25)
)=1,2,3
onde, como habitualmente,
26) as ui dizem-se as componentes cot·ariantes dum vector. As duas transformações - de contravariância e de covariância -são diferentes . A primeira é, como acima se disse, a transformação das próprias variáveis na transformação linear. A sE>gunda é, como vamos ver, a _f01·ma de tran8formaçil.o dos coeficientes dun•a jot•n,a linear invariante com uma dada tramjonnaçào linear (quando as variáveis se transformam por contrnv11riíincia). Seja, com efeito, a forma linear nas variáveis :r:1 , :r:8 :
w,
~ a~c . ai' e suponhamos que, feita a transformação linear 21), a /c
forma se mantém invariante, isto é, que
k
Tem -se de 22)
xk= L/'kj•Xj logo ~O~t ·~k = ~;k. (~)'kj. ~j)= j
= ~ (~akj
k
1:
•
/'k;). a:i oo, o que é o mesmo,
k
j
k
~a;xi= ~(~ ·/ki j
j
ãk) -~i
"
donde ai=~ "/ki · ã;, que é, evidentemente, à a forma 25). k
Conclui-se portanto que quando numa forma linear as 1:ariáveis
102
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIA L
se tran.~formam po1· cont?·avnriancia, se a fm·ma se mantém inva1·iante com essa tra1~sjormação, os coeficientes transjo?·mam-se po1· cova,-.itlnc?·a. P ara distinguir umas das outras, representam-se as variávei~ contravariantes com índices superiores e as covariantes com índices inferiores. Vejamos o que se
pa~:~sa
quando a transformação é ortogonal:
Xj =~O:jk"Xt
27)
} = 1,2 ,3. [2. 1,6)]
k
As componentes contravariantes u 1 , tt 2 , u 8 dum vector, transformam-se por [24)] ui=~ a1 k . Ük e as componentes covariantes k
k
1
= - - . O:jk
IJ(D)
.
e(D) (I)= fXjk'
Jogo é
Uj
= ~ O'jk
•
t4
Íf;tO é, a dife-
k
rença entre transfm-maçí1o cont?·avm-iante e covariante e, pot· consequêllcia, ent1·e componentes contravariantes e covariantes dum vector, desaparece se a transformaçflo é ortogonal ou, por outras palavras, se os dois sistemas sc1o 1·ectangulw·es. Encontramos, a11sim, pela segundu vez, as transformações ortogonais a produzir uma notável simplificação no âmbi to em que actuam. No que vai seguir-se, snpor-se-á semp1·e que se trata de transformações ortogonais e não se fará, portanto, mais discriminação entre contravariância e covariância de componentes dum vector.
2 . 7.
Produto tensorial. Tensor.
I . - Produto tensorial. Sejam consider11dos dois vectores V, e Vs e sejam, num sistema cartesiano triortogonal, Xk e yk, .'.- = 1,2,3, respectivamente, as suas coordenadas, isto é, seja V1 = ~ a:k · Í k k
2
Façamos os 3 = 9 produtos xi · !/k de cada uma das coorde(1) V. J.ições, vol. 1.•, 15. 4, prop. 2.•, 2).
PARÁGRAFOS 6 e 7
103
nadas de V, por cada uma do V2; obtemos aquilo a que se chama um sistema de 9 elementos, os quais se dizem, habitualmente, as compo11entes desse sistema. O sistema pode representar-se, abreviadamente, por
28)
ti"
j, !c
= Xj • Yk
=
1 , 2, 3
onde se entende que aos índices j e k - indices liV?·es- se devem dar, independentemente mn do out1·o, os valores 1, 2, 3. Em geral, chamaremos sistema ao conjunto de todos os elementos- componentes do si;stema- que r e ui taro da ex pressão simbólica
29)
i,,
onde os índices i2, . ·.i,. tomam, independentemente uns dos outros, os valores inteiros dum certo conjunto. Se eles são suscep· tlveis de tomar os valores inteiros 1 , 2, 3, o sistema 29) tem 3" componentes. Como se vê, cada um desses indices, tomando livremente os valores do seu conjunto, no caso presente os valores 1, 2, 3, concorre para a formação de componentes novas e diz-se, por isso, um índice livre. Na expressão simbólica dum sistema, podem aparecer também indicP.II ligados ao desenvolvimento dum somatório (indices repetidos como indice dum sornat(lrio); esses indicas não produzem compo· nentes novas - dizem -se índices mudos. Por exem pio, o sistema
i,k = 1,2,3
30)
tem dois ln
i,k=1,2,3 e essas três componentes alio
k
=
1 -• au
+ a21 + ast =
k = 2 -+ a12 + a23 k = 3-+ a 1s + a2a
+ aog = + aM =
b1 b2
ba .
Pode portanto escrever-se
30a)
i,k=1,2,3.
I
CAP. 11. ALGEBRA TENSORIAL
104
Habitualmente, usa-se a expressão simbólica 29) tanto para designar individualmente as componentes para valores particulares dos indicas, como para representar colecti,•amente o sistema. Cbama-se ordem dum sistema ao número dos seus índices livres - o sistema 28) é de ordem 2 ou duplo, o sistema 29) de ordem n, o sistema 30) de ordem 1 ou simples; um sistema de ordem zero ó um sistema com uma só componente; é, por consequência, um sistema em que todos os indicas são mudos. É claro que é indiferente a letra que designa um lndice mudo; assim, é, por exemplo,
k = 1,2,3.
30b)
Voltemos ao sistema duplo 28) ti"= x; . !/k para pôr a seguinte questão - como se transformam as componentes deste sistema quando se efectua uma transformaçiio ortogonal
31)
rl'j
= ~ a.jk. ~
j = 1, 2, 3 [2. 1, 6))
1.:
isto é, uma mudnnça para um novo sistema rectangular de coordenadas cartesianas ? Chamemos L;k à componente transformada de tik, que se define pela igualdade
32) Tem-se, fazendo a transformação, !/k
= ~Ct.k, .-:y,
donde
é, portanto, em virtude de 32), 33) r•
com o que se corresponde à pergunta feita. Vejamos agora como se efectua a transformação inversa, isto é,
100
PARÁGRAFO 7
corno se transformam as componentes do sistema duplo considerado quando se efectua uma transformação ortogonal de coordenadas inversa de 31)
Xj
34)
=~ctkj"X!.·
j=1 ,2,3 [2. 3, 19)] .
k
!'8
3õ)
De{!nição.
Ao sistema duplo 28)
tik = Xj · yk,
definido a par_
tir das coordenadas dos dois vectores VI= ~Xk. ik, v2
=
~.?/k. ih
k
k
e que, pela efectivação duma transformação ortogonal de coordenadas, se transforma, como acaba de ver-se, pela fórmula 33) e sua inversa 35), dá-se o nome de produto tensorial dos dois vectores dados Vt e V2.
A noção de produto tensorial pode ser fàcilmente generalizada. Sejam dados, num sistema (S) de coordenadas cartesianas rectangulares, os n vectores V1
=
~
Xk1) • h ,
V2
=
~
(2) • ~ Xk • lk , • • ·
v"
=
~
(11)
~ Xk
•
· Ir,
k
e construa-se o sistema de ordem n (3" componentes)
36)
}z ,f&, •· ·}n = 1, 2, 3.
Façamos uma transformação ortogonal de coordenadas, 31), e chamemos, no novo sistema cartesiano rectangular, compvnente transformada ao número definido pela igualdade
37)
f".1tt1"t,···l~•. . - ;;vJ ;;<.J~2> •••. ;<"J Js · Jn
Como se relacionam as componentes t com
De ser
t?
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
106 (I)
Xj, =
~
-(1)
k.J,CI.hr 1 •X,., lj
resulta que [36)]
rt
t • • •
Tu
ou, em virtude de 37),
r1, •.•
r,
Duma maneira inteiramente análoga à anterior se deduz que, para a transformação inversa se tem
39)
f;,,.
j.,=
~
':l.r,;,.···CI.r.,;.,
•t,,, ... r.,•
'1· .. . ,.,.
Ao sistema 36) que, por uma transforma~ão ortogonal de coor· danadas, se transforma, como acabamos de ver, em obediência às leis 38) e 39) dá-se o nome de p1·od·uto ten1o1·ial dos n vectores Vt, ... V... Como casos particulares da multiplicação tensorial que acaba de ser definida têm-se, como é óbvio, o quadrado tensorial, em geral, a potência tensorial de expoente n dum ,·ector.
ÍI. - Tensor. Os desenvolvimf"ntos anteriore-s permitem-nos agora dar a definição de tensor em coordenadas carteeianas rectangulares : Dado o sistema de ordem n t 1 ,J ... 1, i ,j, · · .} = 1, 3, 3 diz-se que ele constitue um tensor em 1·elaçllo à transformuçt1o 01'lo.r;onal [2. 1, 6)] de coorrlenada~ cartesianas, quando por essa transformação as suas 3• componentes t 1 ,J ... , se transformam noutras compo· nentes 't; ,J. .. . 1 pela lei
PARÁGRAFO 7
40)
107
t,,}' ... 1
~
= r ,
a;, · a.; • . · · · a,« · t,.,, ... ,,
1 , . . . "
e sua inversa ~
41)
TI 11' •• •
cx,;·0.4 j·· ·· C1.,~z·l,.,., ... " · u
Por uma convenção, estabelecida por Einstein e ha bitoalment~ seguida por vir tude da comodidade que proporciona na escrita das fórmulas, convenci ona-se suprimir o sinal de somatório sem pra que ele se efectue segundo um iodice que apareça repett'do na indicação simbólica dum sistema; para isto é preciso entender-se sempre que a tepet?'ção de um índice é sinal de que deve ser feito um somatót·io em relaçtl.o a e11se índice. Assim, não pode, por exemplo, dispensar-se o sinal de somatório no sistema bk = ~ aa [30 a)] visto que o 1ndice i não aparecia repetido na indicação a ;k , mas a escrita a1k • b; indica que de\·e ser feito um somatório em r elação a i, isto
é, que se trata, na realidade, do sistema c~. =~ a,~ . b,. De acordo com esta convenção de supressão dos somatórios, as fórmulas 40) e ·H) escre11em-se, respectivamente,
41a)
t;,j ....
l = o.;,.;•t;t.•J ··· · Cf.,.e·fr , •, ... u•
Da definição de tensor resultam imediatamente as seguintes consequências importantes.
t.• - 'l'odo o vector é um tensor de ordem 1 ou tensor simples. Efectivamente, as leis de transformação 40) e 41) que definem o tensor têm manifestamente como casos particulares as leis de transformação das coordenadas dos vectores que agora se escrevem, com a nova convenção
2. 8 ~Todo o escalar que, por uma transfor mação ortogonal de coordenadas, não altera o seu \·alor, isto é, que é invariante com os sistemas cartesianos rectangulares, pode ser considerado como
108
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
m
um tensor de ordem zero -a igualdade de invariância m = pode ser efectivamente considerada como um caso particular das leis gerais 40) e 41 ). Temos, assim, definida uma classe geral de entidades- os tensores- que engloba como entidades particulares 011 escalares e os \'actores. Encaradas deste ponto de vista geral, as distinções aparecem como resultantes, apenas, das diferenças de ordem. A corroborar a justeza deste ponto de vista, serão adiante definidas operações que permitem percorrer, em sentido ascendente ou descendente, a escala de ordens dos tensores, desde, ou até, à ordem zero. 3. a - Os produtos tensoriais atrás definidos, são, afinal, tensores; é o que mostra o aspecto das suas fórmulas de transformação -casos particulares de 40) e 41 ). 4.•- Um tensor pode ser definido por nm sistema arbitrário de 3" números (ou funções) num determinado sistema (S) de coordenadas cartesianas rectangulares; as soas compon,e ntes noutro sistema qualquer (S), também cartesiano rectangular, vêm dadas em função das primeiras pelas relações 40) e 41).
ó. a - As relações 40) e 41) mostram que as componentes dum tensor num sistema carte iauo rectangular são combinaç(}es lineares e homogénea!l das componentes do mesmo tensor noutro sistema qualquer, também cartesiano rectaognlar. Em purticolar, se essas compone·ntes furem nulas nwn sistema, 8lto também mdas em qualquer outro e se dois tensores têm componentes, respectivamente, iguais num sistema, têm-nas também, respectivamente, iguat".s em qualquer outro. Daqui resulta: Que se pode definir tensor nulo como aquele que tem, num sistema cartesiano rectangular, e portunto em qualquer outro, componentes todas nulas; mas há aqui a notar que há um tensor nulo em cada ordem, sendo, por exemplo, diferentes o vector nulo do tensor nulo de 2. a ordem, etc. a)
b) Que as equações tenso1·iais têm carácter absoluto- toda a equação tensorial obtida igualando um tensor a zero (equivalente ao conjunto da 3" equações cartesianas obtidas igualando a zero cada ama das componentes) num determinado sistema de coorde-
109
PARÁGRAFOS 7 e 8
nadas cartesianas rectangulares, continua a verificar-se em qualquer outro sistema de coordenadas cartesianas rectangular es: a equação é independente do siiltema de referência. Aqui reside uma das razões principais da comodidade que o cálculo tensor ial proporciona no estudo de certas leis físicas . c) Que se pode definir igualdade de tensores do modo seguinte - dois tensores da mesma ordem dizem-se iguais quando as suas componentes correspondentes (com os n1esmos valores particulares dos índices) são iguais num sistema cartesiano rectan_qular (e portanto em qualquer outro). E é claro que a igualdade T1 = T2 onde T1 é o tensor de componentes t]:>, ... ;N e T2 o tensor de componentes (2) ... j. equ1va • l e as ' 3" 1goa . ld a d es t ;,,
42)
}r, ·· ·}n
= 1, 2, 3
independentes do sistema de referência. 6. a - Se a transformação de coordenadas não for ortogonal, podem efectuar-se produtos tensoriais, e definir-se tensores, mais gerais que os definidos acima; efectivamente, como há, então, contra variância e covariâ.ncia nas componentes dos vectores [2. 6]. podem formar-se produtos onde figure só a contrava 1·iância (por exemplo, o produto tensorial de dois vectores dados pelas suas componentes contravariantes), só a covariâocia (por exemplo, o produto tensorial de dois vectores dado" pelas soas componentes covariantes) ou, simultâneamente, contravariâucia e covariâocia (por exemplo, o produto tensorial dum vector dado pelas componentes cootravariantes por nm vector dado pelas covariantes). É posshel, por consequência, definir componentes contr avariantes, CO\'ariantes e mistas dum tensor, isto é, definir tensores cujas componentes são contravariantes nuns índices e covariantes noutros. Deste caso não nos ocuparemos aqui, por tratarmos, apenas, de coordenadas cartesianas rectangulares.
2. 8.
Sistemas e Tensores particulares.
I. - Simetria e hemisimetria. Consideremos um sistema de ordem qualq uer. Se, pela troca de dois indices livres, i e k , as componentes se não alteram, o sistema diz-se simétrico nos dois fndices i e k.
110
CAP 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
Se a simetria se dá em relação a qualquer par de 1odices, o sistema diz-se completamente simétrico. O valor algébrico das componentes dum sistema completamente simétrico não se altera, pela definição, quando se efectua uma permutação qualquer sobre os índices; o número das suas componentes distintas é, consequen· temente, C,.+2,a. Por exemplo, o sistema duplo simétrico a;k tem fs ,s = 01 , 9 = 6 componentes distintas : au, a2:t, a88, a12 = azt , a1s = ast, a2s = as2. O sistema t1·iplo, completamente simétn'co a;ik tem fs,s= 06 , 3 = 10 componentes distintas: aut, a222, asas, aus, aus, aa21, a22s 1 0sst ,assa, a12s·
r.,,,.=
Se, pela troca de dois iodices livres, i e k, as componentes conservam o valor absoluto, mas mudam de sinal, o sistema diz-se htnni.~imét1·ico nesses dois indicas i e lc . Como acima, o sistema diz-se cumpletame11te hemiiJimétrico quando é bemisimétrico em relação a qualquer par de 1ndices.
Num sistema completamente hemisimétn'co stlo nulas todas as componentes em que figurem indices repetidos, pois, por exemplo, de a;Jk=- a;ik resulta, quando j = i, a;;k = -auk, donde auk=O. Por exemplo, o sutema duplo hemisimétrico aik tem por compo· nentes au = a22 = ass =O, Gts = - a21, Ots = - ast, aas = - as2. O sistema triplo completamente hemisimétrico a 1j k tem. só seis . comp~nentes não nulas, pois as 21 componentes em que há índices iguais são nulas; as seis não nulas têm todas o ruef'mo valor absoluto, o de a128 , e o sinal de a 128 , ou o contrário, conforme a permutação ij k for par ou 1m par em relação a 1 , 2, 3.
Sdo
pa~·ticularmente
importantes :
a) O sistema duplo simétrico de componentes nekor 1. 7, 48)]
43)
l.
Õi.~:
(a de Kro-
-{1+--i=k
!J,J.: -
0-i=j=k;
O sistema triplo hemisimétrico (completamente) e; 1 ~.: em quê e128 = 1 . Pelo que acima foi dito, tem-se, como componentes deste sistema, b)
O
44)
e;Jk =
l
+-dois indicas (pelos menos) iguais
+ 1 <-permutação
-
par dos indicas
1 +-permutação impar dos índices.
111
PARÁGRAFO 8
II. - Tensores simétricos e hemisimélricos. Sflja 7' um tensor cujas componentes, num dado sistema cart~siano rectangular, formam um sistema simétrico ou hemisimétrico. Vamos proYar que o caráct~1· simét1·ico ou hemisimétt·ico do sistema é inrariante com as transformações o1·togonais.
Seja, como exemplo, um tensor duplo tii; feita a transformação ortogonal ::c;= ai,· Xr (com a convenção de supressão do sinal de somatório) as componentes transformam-se por [2. 7, 41 a)]
donde
•rrocnnclo, neste segundo mE-mbro, r com s, o que o não altera por serem r e s indicas mudos, vem tj; = (1. 1 ; • sequência, conforme for t,,. = t" ou t.,. = f j ; = t i j ou t;;=-t;;.
t" e, por cont., assim virá
ccr; •
-
A demonstração generaliza·se fàcilmente para uma ordem qualquer. Daqui resulta que se pode definir tensm· simét1·ico ou hemisúnétrico como aquele cujas componentes formam, num dado sistema cartesiano re~tangnlar, e portanto em qualquE-r outro, um sistema simétrico ou hemisimétrico, respectivamente. Quando se não fizer menção especial do par de lndices em relaçã o ao qual se dá a simetria ou hemisimetria, entendE.~r-se-á que elas são completas. Assim, as designações : tensor bemisimétrico, tensor simétrico, significam, respecth•amente, tensor completamente hemisimétrico, tensor completamente simétrico. São particularmente importantes os dois tensores que a seguir vamos estudar.
a) O tensor fundamental ou unitário 6. É o tensor duplo simétrico cujas componentes formam o sis. tema
d;k
[43)].
As componentes deste tensor sélo invadantes com as ttansjo1-maçlJes ortogonais. Tem-se, com efeito, efectuada a
transforma~ão
I
CAP. 11. ALGEBRA TENSORIAL
112
X,; =
1'.1.j r · X,
r.k
=
(2. 7, 41 a)), 1'.1.,;.
a,k .
?,g = ~a,;_· .(~ a, k. r
o,.) =
~ •':1., ; . <Xrk
•
r
ou seja, em virtude de 2. 3, 13), ~k = tb o que prova a invariância. Pode, por consequência, definir-se o tensor fundamental ou unitário como aq uele que em qualquer sistema cartesiano rectangular tem as componentes Õ;k.
b) O tensor E. É o tensor triplo bemisimétrico cujas componentes formam o sistema e;;k [ 44 )]. Vejamos como se transformam as componentes quando se faz uma transfor mação ortogonal de coordenadas : Xj = ai,· x,.
É [2. 7, 41a)]
eijk=CI.,; ·a, j•atk•e, , .
Como e,., se anula desde que os lndices não sejam todos diferentes [44)], o somatório do segundo membro tem apenas seis termos, correspondentes às seis per mutações simples dos números 1, 2, 3 e de 44) resulta que três desses termos, os que correspondem a permutações pare11, são positivos e os outros três negativos; isto é, chamando p ao número que determina a paridade da permutação r s t, tem-se e;jk=~(-1)Pa, ; .a,j •'.1.tk= al i
1'.1.Jj
ri. Jk
(1.2i
(J.:!j
(1.2k
e este determinante é: nulo se i, j e k não são todos distintos; igual a + 9 (D) = au a,2 rJ. 1s se a permutação ij k for par e rJ.s , as:1 ass igual a - e(D) se ela for lm par. Tem·se, por consequência, que:
e.;
1. 0 - se a(D) = + 1, k toma exactamente os mesmos valores que 44) dá. para euk, logo as componentes elo tensor E sdo im:ariantes com a transformaçdo 01·to.qonal ;
PARÁGRAFO 8
113
2.0 - se e(D) = - 1, eíik anula-se nas mesmas condições que eijk mas as componentes não nulas Yêm todas com sinal trocado, não baveodo, portanto, propriamente invariância, mas sim uma troca de sinal em todas as componentes. Este carácter do tensor E reflecte-se nas suas aplicações geométricas, como adiante se verá. Passamos agora ao estudo da Al_gebra Tensorial.
OÁLCULO VEC'fORIAL
8
11.
ÁLGEBRA TENSORIAL.
2. 9.
Adição.
Definição. Sejam T1 e T2 dois teosores duplos , de componentes, respectivamente, a; j e b;i; construamos o sistema duplo G cujas componentes 45)
são as somas das componentes correspondentes (com os mesmos indir.es) de T 1 e T 3 • É fácil ver que, para uma transform ação ortogonal, aR compunentes de C se traosfurma m segundo as leia 2. 7, 40) e 41) que definem os tensores. Efectivamente, pela transformação :l!j = ~ Ct.jk . Xk [2. 1, 6)] tem·se [2. 7, 40)] aij = ~a:; r. t.Xja.
aTI
isto é, introduzindo
8
componente transformada c,, =ã,,+bro,
46) e esta igualdade, juntamente com a reciproca
46a) que fàcilmente se estabelece também, prova que o sistema C é um tensor em relaçd o à trausj01'1/laçl1o ortogonal euca,.ada. A esse tensor C chama-se soma dos dois teosores dados T1 e T 3 (a1leod os) e pela igualdade 45) é definida a adição tensorial. Os racioclnios feitos e definições dadas generalizam-se, como é óbvio, para uma ordem qualquer - a mesma nos dois tensores adeodos- e e tendem-se também imediatamente à adição de mais de duas parcel as (número qualquer finito).
115
PARÁGRAFOS 9 e 10
Propriedades. Verifica-se fàcilmente que a adição de tensores goza das propriedades da adição ordinária :
+ T2
a)
a soma Tt
de dois tensores é um tensor;
b)
a soma de T com o tensor nulo da soa ordem é ig ual a T;
c)
a operação é comutati,·a -
Tt
+ Tt~ = n + Tt;
d) é associativa- Tt+ Ts+Ts=Tt+(Ts+Ts)=(Tt+Ts)+Ts;
e) de T 1 = Ts resulta Tt + Ts = Ta de Tt + Ts = Ta +- Ts resulta Tt = T2 .
+ Ts
e, r eclpr ocamente,
Com base nestas propriedades. pode definir-se, duma maneira análoga à habitual, diferença de tensores e a definição pode ser dada em duas etapas: a) Dado um tensor T, existe um e um só tensor T' tal que T + T' =O; com efeito, se siio aii as componentes de T, a esta ig ualdade satisfaz o tensor T' de componentes - a, i, ú.m'co, porque de T + T ' = O= T + 1'1 resulta T' = T " ; do carácter absoluto da equação T+ T'= O, [2. 7, 5.a, b)J resulta, em seguida, que as componentes de 7'1 em qualquer sistema são iguais e de sinais contrários às de T.
b) Dados os tensores T, e Ts, define·se diferença Tz- T, pela igualdade
47)
T, - T2 = Tt
+ Tá
.- Ta + T3 = O
e do que está dito resulta que, se são a, 1 as componentes de T1 e b;i as de Tz, as de Tt- T2 são a, 1 - b,i . A adição e subtrncção podem englobar-se numa operação única - adiçlto algébrica.
2. 10.
Multiplicação.
A. Multipliceção de tensores. Sejam os tensores Tt e T2 , de ordena diferentes, por exemplo T 1 de ordem 2 com o sistema de componentes a1 1 e T 2 de ordem 3 com o sistema. de componentes bkzm. Construamos o sistema C cujas componentes se obtêm
116
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
multiplicando cada componente de T1 por cada uma de T2 , numa ordem prefixada:
48)
<: ijklm
=
a; j
• bklm ;
é claro que C é um sistema de 5 . • ordem ._. 3õ componentes. Vamos ver que estas componentes obedecem, para as transformações ortogonais, às leis 2. 7, 40) e 41) que definem a entidade tensor. Efectivamente, fazendo a transformação ortogonal :ci
= ~ aik • :Tk [ 2. 1, 6)] e definindo, no novo sistema, a componente k
transformada
a". 7i, .. v = c"t"v,
vem, sucessivamente,
donde
que é da forma 2. 7, 40). Verificava-se anàlogamente a transformação inversa, de modo q ue a igualdade 48) pode ser tomada para definição da operação de multi[Jlicação de tenso1·es; ao sistema Cijktm por ela definido chama-se tensor produto dos dois ten~ores T 1 e T 2 • A extensão ao caso de os dois tensores serem de ordens quaisq uer e de se tratar de um número finito qualquer de factores é imediata e tom-so quo o tcnsot· produto é de orderr~ igual à soma das ordens
dos factores. O produto tensorial de vectores, definido no parágrafo 2. 7, é um caso particular do produto de tensores, agora definido. Quanto às propriedades, verificam·se as habituais da operação da multiplicação, à excepção da comutatividade. Efectivamente : a)
O produto de dois ten sores é um tensor.
b) De T = O resulta, qualquer que seja T1 , T. T 1 =O e reclprocamente, de T. T1 =O resulta ou T = O ou T1 =O. A primeira parte é imediata porque se um dos sistemas tem todas as componentes nulas, o sistema produto 48) também as tem todas nulas e o anulamento mantém·se depois de qualquer transformação ortogonal [2. 7, [). •]; quanto à segunda parte, é e\·idente que se nenhum dos sistemas é nulo há em cada um deles pelo menos uma
I
111
PARAGRAFO 10
componente não nula e há, por consequência, no produto, uma componente não nula.
c) A operação niio é comutativa; quando se troca a ordem dos fa ctores obtem-se as mesmas componentefl mas pm· ordem diferente, se não se alterou a lei de formação delas; por exemplo, os produtos tensoriais dos vectores i e j são i · j = (1 , O , O) · (O , 1 , O) ::: (O , 1 , O , O , O , O , O , O , O)
e j -i = (O , 1 , O) • ( 1 , O , O) = (O , O , O , 1 , O , O , O , O , O)
(efectuando, em ambos os casos, o produto da primeira componente do primeiro, por todas as do segundo, etc.). A comutatividade só se consen-aria, modificando a lei de formação das componentes do produto quando se trocam os factores (V. P aul Appell, Traité de Mécanique Ralionelle, tomo V, pág. 32, nota).
d) De T, ""' Ta resulta T 1 ·Ta= Ta · Ts (é evidente) e de T, · Ta= T2 · Ta r esulta T, = Tfl porque em cada uma das componentes, e com conservação de ordem, se verifica esta propriedade. a~sociativa ,
e)
A operação é
f)
É distributi\·a em relação à adição (ainda pela mesma razão).
por uma razão análoga.
Como caso particular da operação da multiplicação, define-se, como habitualmente, a potenciação de expoente inteiro e positivo. B. Multiplicação dum tensor por um número real. Define-se esta operação como caso particular da anterior. Seja o mímero real ~, invariante com os sistemas cartesianos rectangulares. Como ~ pode ser considerado como um tensm· de ordem zero [2. 7, 2. '] o produto p · T está definido e é claro que, se são a,i ... z as componentes de T, sãq p. a;i ... z as do tensor p · T. Desta definição resultam imediatamente as propriedades seguintes: a)
O produto p · T é um tensor;
b)
d~
p =O ou T =O resulta p. T =O e, reclprocamente, de p • T =O resulta p =O ou T =O;
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
118
r) d·~ r = r · T1= p· T2; d~
d)
p· T
= 11 •
resulta. f. T
'1
=
(7 .
T,
TI
de
p=/=0 e p . T1 ...., p · T2 resulta T1 T r e!'I uI ta p = a ;
=
=
T;J,
resulta
T2, de T=f=O e
e) (p+a)·T=p·T +r;· T;
f)
p · (Tt
+ T2) = p • T1 + p · T2 ;
g) ? • (a • T)
=
11 • (p . T ) = ( p • 11) · 1' ;
h) p· T= T · p. Das propriedades a) a g), juntamente com as propriedades da adição de tensores [2. 9 ] conclue-se que o coujunto dos tensores em
cada ordem fonna um sistema linear [1. 5]. 2. 11.
Composição Tensorial.
Sejam dados dois tensores, T1 duplo, de componentes aii , e Te triplo, de componentes bkl,., e construamos o sistema
50) que se obtém igualando dois indice11, um em cada sistem a , efec· toando n multiplicação tens orial dos dois sistemaR obtidos e somando, em seguida, em relação ao Indica tornado comum ; é claro que o novo sistema assim formado não é de 5. a ordem mas sim de 3. a, visto que, no segun do membro de 50), há apenas três índices livres j, l, m . Vamos provar que o sistema Cj 1 m constitue o sistema da3
componentes dum tensor em relação à transformação ortogonal Xj = ~ <Xjk • ~k [2. 1, 6)]. Efectivamente, fazendo essa transformak
ção,donde a;j= ~<Xi r •<X; , •ãr, e bilm =~<Xit•<Xt,.·<X.,.,· btlt 'V ! e definindo com ponente transformada igualdade mente
c.".= ~ a, · b;,. . ,
C:.,., ,
no novo sistema, pela
análoga a bO), obtém·se sucessiva-
PARÁGRAFOS 10 e 11 Cj1111=
119
~ Usj ·Óstm=~~Zir •::ljs'ã,., . ~:X.il'"lu'« 111 v ·~ ... i
i
=
luv
•
~ (~ :x; , O(;t) · oy. · cc,,. • O(mv • ã,.• •bt,. v r 1lrtV
=
r•
i
~ ~• • CC/u
• CC 111 v,
~~r• · ~ 'lrl.
be,.v
t
lllV
isto é, lllV
51) transforma·se, portanto, em obediência à lei 2. 7, 40). Du ma maneir a análoga se verificava a transformação inverea, de modo que ei'"' é o sistema das componentes dom tt>11sor triplo. É a operação definida por 50) q na se chama compofliçi'to tensorial e ao tensor por ela obtido cbama.se tensor contraído a partir do primitivo tensor de [>. a ordem a1J. b"1"' . Como se vê, a operação fez-se satu1·ando um par de Indicas, um em cada tensor; da própria operação se deduz que pela saturação de um par de Indicas se obtém o abaixamento de duas unidades na ordem do produto. Esh. operaçiío estende·se a tensores de ordem qualquer, não sendo indispensável que se tenha efectuado previamente um produto - a igualização de dois Indicas, seguida duma soma no Indica tornado comum , denomina·se então uma contracçllo, que é revelada no abaixamento de duas unidades na ordem do tensor. É claro que se podem fazer contrliCÇões e composições s ucessivas ou simultâneas, tantas quantos os pares de Indicas disponíveis. Vejamos alguns exemplos. Cjtm
I. - Controcção do produto tensorial de dois vectores. Sejam os dois vectores Vt = ~Xk • ik e v2 = ~Yk ·h. O seu produto k
k
tensorial é o tensor de 2. • ordem de componentes e 1J = Xs · yJ [2. 7, 28)) e contraindo· o obtém-se, por 50), o escalar ~ :r:,. y, ou seja o produto escalar [1. 13, 94)] dos dois vectores.
120
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
E com um vector. Seja o \·ector v=~ a~.· i k e o ten:sor E [2. 8, II, b)]. Fazendo o produto com 11.
Composição do tensor
k
contracção (satura ção dum índice de E com o do Yector) obtém-se o tensor duplo de componentes
Para calcu lar estas componentes recordemos que, por definição do sistema e;jk, é
2. 8, 44)
e;i'·
=
l
O~ dois ludices (pelo menos) iguais
+ 1 +-permutação
par dos indices - 1 .-permutação ímpar dos indicas.
Obtém-se, por consequência,
Czt
=
C,n =
+ a2 · eu, + as • esu = a1 • em! + a:2 • e~2:1 + eo:12 = a1 · e121
a1J •
= a1 · e,2s + a2 · e:!2s + as • es~B = Cs1 = a1 • e1s1 + a2 · e2s1 + as • ess1 =
C2s
- lls
O a, a2
isto é, um tenso1· duplo hemi:lim~trico, cujas compo nentes constituem a matriz
o
Os
-a.,
o
a1
- a1
-a"
a,
o
I I
Como se vê, as três coordenadas do vector v bastam pat·a defi·
ni7· o tensor dupro obtido.
'
121
PARAGRAFO 11
Procuremos o tensor transformado deste tensor quando se efectua a transform ação ortogonal a:1 = :T2, Xt ='X, , a:8 = :Z:s. O ope1·ado1·
o o o o
parágrafo) e ela corresponde a uma mudança de axialidade do espaço [1. 12, V]. Tem-se, das fór mulas de transformação [20 7, 41)],
Sk =
~arj • c:t.1 J,;
• Cro
=
(l.J j •
(c:t.uo
o
Cu+ a:!k • C1t
+ ask • C1s) +
+ o:2j · ((.(Jk • <::u + a2k • C22 + ask · C.:?s) + + asj • (::xtto Cst + a2k • cs2 + o:a,, • Css)
"
o
donde, efectuando e substituindo,
C1J1 =
O,
Cu =
C92 =
c21 =
C/2 = Os'
Cst = Ctt:t = -
C;12
a1 ,
Ctt
= - as,
= Cu =
c,s
=
C:!JJ
= a, ,
o' Cvs = c,a = -
;;:! = Cst =
a2,
rss =
CtJ:J
=
a2 '
O,
isto é, as componentes do novo tensor for mam a matriz
O
--as
((8
o
Obtém-se, portanto, um novo tensor bemisimétrico que se forma do anterior mudando a, em -- a2, as em - a 1 e as em - a 8 ; é este o resultado produzido sobre o tensor considerado pela mudança de axialidade do esp11ço. Este resultado pode ser interpretado geometricamente do modo seguinte : - consideremos o 1.:ecto?' aa:ial [1. 12, V] de coordenadas Ot, á,j, as; mudemos a axialidade do espaço, isto é, efectuemos a transformação x 1 :~:3 = ;;, , a:8 = ;s; como o vector é, por hipótese, axial, ele muda de sentido , logo as suas coordenanas trocam o sinal e, além disso, troca-se o nome das dua·s primeiras, isto é, a, muda em -as, as em - a 1 , a8 em -as, exactamente a modificação produzida sobre as componentes do tensor bemisimétrico acima considerado. Os vect01·es axiais nllo sélo portanto mais que interpretações geométl·icas de tensores especiais de 2.4 ordem.
=;.e ,
122
CAP. 11. ÁLGEBRA TENSORIAL
Esta interpretação geométrica é imposshel de conseguir, em geral, com um vector line, visto que, como fàcilmeote se verifica('), a mudança de axialidade prodo7. nele apenas a troca do nome das duas primeiras coordenadas: Õ1 = a9 , ã2 = a1 , ã8 =as ; só o vector particular v = k · (i1 - i.e) se transfor ma no seu oposto pela mudança l'!.e axialidade. A interpretaçã o geométrica é também impossi>el de conseguir em espaços euclideauos a mais de três dimensões, visto que, então, o número de coordenadas do vector e o número de componentes distintas do ten5or hemisimétrico de 2. a ordem não coincidem; para quatro dimensões, por exemplo, são quat1·o as coordenadas do vector e seis os números não nulos que defioem a matriz hemisimétrica. III. -
Composição do tensor E com o produto tensorial de
dois vectores.
Sejam os dois vectores
V1
=~a, · i. ,
v2 =
~ bk · h;
k
h
efectuemos o seu produto tensorial e componhamo-lo com o tensor E, saturando dois pares de jodices; obtém-se o tensor simples de componentes
Fazendo k = 1, 2, 3 e substituindo os e1;k pelos seus valores - a8 bs, c,= - Ut bs + as bz, ca = a1 bz- a2 b1, isto é, o resultado da composição é o vector V1 A v 2 = i1 i!! is
[2. 8, 44)] como no e:'\E'mplo II, obtém-se c1 = oab8
a1
Ug
a8
br
ba
bs
IV.- Composição do tensor E com o produto lensoriol de três vectores.
Sejam os vectores vs , Vg , v... =~ cL- · i k e compo-
"
nhamos o seu produto tensorial com o tensor E, saturando três (I) O leitor fará oa cálculos respectivos.
PARÁGRAFOS 11 e 12
128
pares de indicas ; obtém·se o escalar ~ e;ik . a1 • b1 . c~.: que, pela ij k
definição das componentes de E [2. 8, 44)], é igual ao determinante dos nove elementos a;, bi, c~.:. É portanto, (1. 15, 114)] ~ e;i k · a; · b1 · ljl:
ck
=
a1
a 11
bl
b2
as =v,lv2/\.Vs. bs
c, Observação 1.4 • Como se vê, as três operações ruais importantes da Álgebra Vectorial, multiplicação escalar, vectorial e mista, aparecem agora conglobados numa operação única- composição tensorial. Observaçí'lo 2.« As composições em que fig ura o tensor E fornecem resultados influendados pela a.xialidade do espaço [ v. final do parágrafo [2. 8].
2. 12.
Bibliografia
A. McCoonell - Applications of the Absolute Differential CalculuB, Londres, 1936. U. Cisotti - Lezio11i di G1J.lcolo Tensoriale. !\'filão; 1928. G. Juvet - Introduction au Calcul Tens01·iel et au Calcul Difjlrtntiel Ahsolu. Paris, 1922. H. J effreys - Ca1·tesian Tensors. Cambridge, 1931. P. Ap pcll - Tmité de Mé~:aniqne Ratíonelle. Tomo 5.•. Paris, 1926.
EXERCÍCIOS
1.
Determinar o asrecto das fórmulas Je transfor mação de coordenadas cartesianas rectangulares quando os dois sistemas têm a mesma origem e o mesmo eixo O z e aos eixos U x, e O y se dá uma rotação de ângulo O no sentido directo.
2.
Dado o tensor de 2.• ordem t,., provar; a) que o tensor tik + t01 é simétrico; b) que o tensor tu. - tu é hemisimétrico; c) que o tensor t,k s~ pode decompor na soma de dois teusores de 2.• ordem, um simétrico e outro hemisimétrico.
124 3.
.
CAP 11. ALGEBRA TENSORIAL Estudar o efeito da mudança de axialidade do espaço sobre um vector livre.
4. Efectnar as segnintes composições de tensores: a.) do tensor fundamental com o tensor E, fazend o a saturação de dois pares de índices; b) do tensor E consigo próprio, fazendo a saturação do dois pares de ín1lices; c) do tensor E com o cubo do tensor fundamental, fazendo a saturação de três pares de i n'lices.
Cap. III. I.
Análise Vectorial.
INFINITÉSIMOS.
3. 1.
Introdução.
No estudo de todas as operações vectoriais tratadas no capi· tulo 1.0 - Álgebra Vectorial- ignorou-se sempre se as coordenadas dos \'ectores são constantes ou, porventura, funções de quaisquer variáveis; todas essas operações são igualmente válidas nuru e noutro caso. A discriminação é, no entanto, necessária, desde que se queiram fazer certas aplicações, geométricas e físicas, do Cálculo Vectorial. Vejamos três casos importantes. a) Dada uma curva, torsa em gAral, tomemos um ponto fixo O do espaço (fig. 37) e consideremos a multiplicidade dos vectores com origem em O e extremidade nos pontos P da curva; a cada o ponto P corresponde um vector r da Fig. 57 multiplicidade e o vector geral da multiplicidade é, por consequência, funçllo do ponto P: r ( P); ao facto geométrico de que a curva é o lugar dos pontos P, corresponde a descriçllo vectorial da curva pelo vector geral r ( P) da multivlicidade. Ao vector r ( P) dá-se o nome de vector-espaço (Ortsvektor) da cuna e a esta o de od6grafa (à ô ó ç =caminho) do vector. Ora, s.:~be-se da Geometria Analltica, qne, em relação a um sistema cartesiano de referência, as coordenadas do ponto corrente P da curva podem ser dadas em função dum parâmetro tt: a:1 = 1Jl1 (u),
I
126
CAP. III.
ANALISE VECTO RIAl
xs = ~s(u), xa = 'f!s( u); se chamarmo s a1 , Otz, as às coordenadas, constantes, do ponto fixo O, ter-se-á, para coordemadas do \'ector·espar;o r(P), x,-a. 1 =~ 1 (u), x2 -as =~a(u), Xs - as=~8 (n) o que exprimiremos ubreviadameote dizendo que o Yector r(P) é função do parâmetro u e escrevendo simplesmente r(u); é claro que 1)
r(u)
=
L 'h (ll) ·h, k
e r= r(u) é a equação vectorial da odógrafu . Por exemplo a recta que passa pelo ponto J.1(a 1 , as, a8) e é paralela ao vector v = ~ .'k · ik, é descrita vectorialmente pelo k
vector r().)=~ (ctk + lk · i) · h [ 1. 10, 57)] e esta igua ld ade equivale k
às três igualdades cartesianas, equações da recta, x 1 (l)=a. 1 +l1 • ~. X! (l) = a:1 + l 3 • l, a:8 (!.) = a8 + l 8 • ), ; a hélice cú·cular 1·ecta, existente sobre um cilindro circular recto de eixo Oz e raio r, é des cri ta vectorial mente pelo vector r(u)=rcosu · i 1 +r sen u · i 3 +k u. i 8 onde u é o ângulo formado pelo eixo O a: com a sem i-recta O M obtida projectando sobre o plano Oxy, em M, o ponto corrente P da !Jélice, e 2 k 1t é o passo da hélice; aq uelu igualdade vectorial equi\·ale às três equações c arte iaoas x 1 ~ r cosu, a:2 =1·sen u, x 8- k u. Como critério de simplicidade, quando houver que traduzir os resultados obtidos por via \'ectorial Am linguagem cartesiana, tomar·se-ão eixos rectangulares com origem no ponto O, origem do vector· paço.
b) O que está dito geueraliza-se imediatamente pnra as supe1jícies. o A de>Jcriçélo vectorial da superflcie faz-se Fig. õ8 ainda por um vector ·espaço r(f) (fig. 38) e esse vector é agore. função de dois parâmetros tt e v visto que dependem de dois parâmetros, como se sahe da Geometria Analítica, as coordenadas cartesiauas do ponto C<•r· rente da superfície. A superf1cie diz-se ainda odógrafa do vector r (u, v). A equação da snperflcie é, então, ~)
r(u, v) ··· ~ ~k(u,r)·it, k
PARÁGRAFO
127
mas para que esta equação, equivalente às três equações cartesianas :»1 ""'~,(u, v), :»11 = •h (u, v), :»s = ~s (u, v), represente de facto uma superfici~,
e não degenere numa linha, a matriz
b X t b x 2 b x 11 b u bu b :r., b :1!3 b Xs bu
bv bv bv deve ter caracter1stica igual a 2 pois, caso contrário, das três fun· ções a~,, xa, x 8 , não haverá duas independentes. Exemplo. O plano passando pelo ponto M (a 1 , a2 , a8 ) paralela· mente aos dois vectores v, = ~ 1, • ik , v2 = ~ mt . h é descrito k
k
vectorialmente pelo vector
+ lk · I. + 11111 • f-l) ·h
r(). , f-l) = ~ (crt k
e esta igualdade equivale às três equações cartesianas 1. 10, 63). Como outro exemplo, deduzamos a descrição vectorial da super· ficie esférica de centro na orige::n e de raio r; tomemos como parâmetros (tig. 39) a longitude 'P e a colatitude O; teru·se
x,
= uA
x2
= ')
Xa
= il11'
=
uM. CO$ 'f.
H = O JJJ · .~en ~ ,
=U
p • CO,; 0 ,
'
e como Ufl=r e OM-UJ' . .senfJ=r.~eu 9, tem-se para coordenadas do ponto cor· rente P
x,
l
~
Flg. 39
,.,.q,.n l
x 2 = rse•t ~ sen 0
:.t's = r COII fJ
e, conseq uootemen te, para vector-espaço,
3) r (?, ll) =
1·cos~sen
fJ. i 1
+ 1·sen
X,a
128
CAP. III.
ANÁLISE VECTORIAL
c) Noção de Campo. Os dois casos que acabam de ser vistos são os que directumente interessam nas aplicações geométricas; nas aplicações flsicas, porém, o caso mais importante põe-se de modo diferente-intervem, como fundamental, o conceito de campo. Seja uma região do espaço e a cada ponto P dela liguemos uma grandeza, de natureza escalar ou vectorial; à região assim completada com a função f(P) chama-se um campo- campo esca . lar ou campo uecto1·ial conforme f(P) fôr um escalar ou um vector. À função f(P) cbama-se funçllo do campo.
Exemplos.
A distribuição de temperaturas numa certa região do espaço, o potencial dum campo electrostático, constituem exemplos de campos escalares; a função do campo é aqui a lei pela qual varia a temperatura ou o potencinl de ponto para ponto. O momento resultante dum sistema de Yectores deslizantes em relução a um ponto do espaço [1. 19J, o vector intensidade dum campo magnético, constituem exemplos de campos vectoriais. Num campo escalar, chama-se supe1jície de nivel ao lugar geométrico dos pontos do campo nos quais a função do campo toma o mesmo valor; a equação das superflcies de nivel é, portanto, f( P) = const. Exemplos: as superficias isotérmicas dum campo de distribuição de temperaturas, as superfícies equipotencim"s dum campo electrostático . . Adiante (cap. 4. 0 ) será feito o estudo matemático sumário dos campos, escalares e vectoriais; do ponto de vista que, por agora, nos intorossa, salientemos apenas que um campo vectorial é afinal definido por um ,·ector r(x1 ,x3 ,a·8 ) visto que r, dependendo do ponto P, depende das suas coordenadas. A decomposição cartesiana de r é
4)
r (xt, :1.:2, :r3) = ~ tfk (x,, X2, :rs) · i". k
Os métodos vectoriais até aqui estudados não bastam para as necessidades do novo domioio de aplicações que ncabamos de entrever. Para nos limitarmos às aplicações geom~tricas, recordemos que a resolução de problemas de wétrica (comprimentos de arco, áreas) e de curvatura (flexão e tor&ão das curvas tors11S, cor. vatura das superfícies e das curvas traçadas sobre uma superfície) exigem a consideração de elementos infinitesimais, tanto de cunas como de s uperflcies- aparecerão, consequentemente, vectores de
PARÁGRAFOS 1 e 2
129
módulo inferior a todo o número positivo e, na criação do aparelho formal até aqui estudado, eles não foram tomados em consideração. A mesma necessidade aparece na teoria matemática dos campos. Jmpõe-se, porta.ntv, o completar a aparelhagem formal de que dispomos, com a inclusão dos conceitos infiniteRima.is. Consideraremos, para isso, os três casos: r (u), r (u, v), r (x,, x 2 , xs) e furemos sobre os \·actores e suas coorden adas nas decomposi~ões 1) 2) e 4) as suposições seguintes, das quai~ nllo sai?·emos: a) univocidade- que a cada ponto P corresponde um e um só vector, ou, que o sistema das três funções coordenadas deter-mina um e um só vector; b) continuidade, derivabilidade, total ou parcial, até à ordem que for exigida pelos cálculos, das funções coordenadas do Yector r.
3. 2.
Infinitésimo.
Definições. Seja o Yector r , em qualquer dos três casos especificados no parágrafo anterior; diz-se que é infinitésimo quando o seu módulo o for, isto é, quando, dado um número real positivo a' qualquer, houver sempre valores de modr tais que mod r<
ó)
o. (I)
Interessa porém completar a definição, introduzindo a localização do valor do parâmetro ou parâmetros de que o vector depende e para o qual ele ~;e torna infinitésimo. Comecemos por supor que o vect01· é funçllo de um partlmetro u-+r(u). Diz-se que o vector r(u) é i?ifinité~imo no valo1· tto do par(lmetro ou que é infinitésimo com tJ. u = u - uo quando o seu módulo o for , isto é, quando a todo o número real positivo ô for possfvel fazer corresponder outro número real positivo t (a) tal que a desigualdade lu-uol<e(a) arraste a desigualdade modr(u)
6)
lu- Uo l < t(o) __.
modr(u)
< a.
Propriedades. 1. - A soma de dois vect01·es infinitésimos com u - u0 é um vector in.finité$Ímo com u - Uo. 8
(') A definição fica assim reduzid\1 à de infinitésimos de funções escalares, tratados na Anáüse ordinária. CÁLCULO VECTORJ~L
9
130
CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL
Sejam r 1 (u) e r 3 (u) infinitésimos com u - u0 • Tem-se mod[r1 (u)+
+r2 (u)]<modr 1 (u)
+ modr
2
(u) e como, dado
i_
2 quer, é possh'el determinar t' (o) e E" (ii) tais que
d arraste modr1 (u)< - e lu - uol<< 11
2
positivo qual-
u0 I< E1 3 arraste modr2(u)<-,
11t -
2
na parte co mum aos dois contornofl, isto é, para Iu- u0 I< E sendo e o menor dos dois números t 1 e t 11 , ter-se-á mod r 1 (u) + +modr2 (u)<à, logo, afortiori, mod[r 1 (u)+r 2 (u)]<à.
2. a - Se r (o) é infinitésimo com u- u0 , o prodttto p • r (u), onde p é um número real qualquer, é i11.finité1Jimo com u- u0 • A demonstração é análuga à anterior. De sf'r r(u) infinitésimo com u- u0 resulta que, dado à positivo qualquer, é possh·el determinar ! (o) tal que donde se conclue que
ln -
uo I<
E
mod rp . r (u) J = 1p1. 111 od r Cu) é uma consequência de
I u- «o I<< (õ).
arra te rnod r (u)
a
< 1~ 1. -
1~1
<_i_, lfl
=
a
3. a - Toda a combinação linear de vectores infinitésimos com u - u0 é um vector infinitésÍI1IO com u - no • É consequência imediata das duas anteriores. 4. • - O produto escalar e o ptoduto vectorial dum t'ector por um , escalar no primeiro caso, 1:ectorial no 11egtmdo.
vector iujinité11imo com u - u0 sfJ.o infinitésimos com u - u0
Para o caso do produto escular, basta recorrer à definição [1. 13, ~6)] e às propriedades gerais dos infinitésimCis da Aoi.Llise Infinitesimal. Para o caso do produto vectorial, basta notar que pela definição [1. 11, ü9)] o módulo do produto vectorial é infinitésimo desde que o de um dos vectores o seja. Passando agora à decomposição cartesiana do vector (as propriedades já estabelecidas são independentes dela) tem-se a propriedade
5. • - É condiçdo necessária e suficiente para que o vector r (u) = ~
(u) o seja.
131
PARÁGRAFOS 2 e 3
A condiçi'lo é neceiSsária. Com efeito,democlr(u)- ~~[1'~:(u))2<~ com l!t-u0 l<s(o) resulta I'Pk(u) l< à com lu-u0 l <s(õ), logo 'fk(u) é infinitésimo com u - tt0 . A condiçtlo é suficiente. Com efeito, de ser ~~: (t') infinitésimo
com t t - tt0 minar
!~:(1)
,
res ulta q ue, dado tal
o positÍ I' O qualquer, se pode deter-
quE'I I u-n0 l<e~:(1)
arraste
l 'f~:(u)I
donde,
sendo e o menor dos e~.-, k=1,2,3, lu -u 0 1<~(1) arrasta ~ [~LA(u)]a < ~3 dondo modr(u)
Se o vector não é função dum só parâmetro, mas t:e trata dum r (u, v) ou dum r (:c1 , :c2 , :c8) , mantêm-se tanto a definição como as propriedades vistas; há apenas que atender a que o ponto em que r é infinitésimo não é um u0 mas sim um (u 0 • v0 ) ou um (a:~,:c~,:cg) e proceder às modificações convenientes do contorno dentro do qual se verificam as desigualdades - é um problema de Análise Infinitesimal e não de Análise Vectorial.
3. 3.
limite. Continuidade.
Comecemos ainda pelo caso de o vector ser função de um parâmetro u : r = r (u) . Definições. L a- Diz-se que o vector r (u) tem por limite o vector fixo r 0 quando u tende para u0 , e escreve-se lim r (u)=r0 , u-uo
quando o vector diferença d (u) = r (tt)- r 0 for infinitésimo com tt -
tio .
2.•- Diz-se que o vector r(u) é uma função continua deu no ponto u0 quando r (u 0 )= r 0 , isto é, quando 7)
lim r(u) =r (v 0 ). " ... "O
3.a ·-Diz-se que o vector r (u) é uma função <'Ontlnua de u sobre um arco de cur va (C), q uaodo é fnnção continua para todos os valores de u correspondentes nos pontos desse arco de cur va. Note-se a analogia destas definições com as da Análise Infinitesimal.
182
CAP. III.
ANALISE
VECTORIAL
Propriedades. 1.'- Soma. - Se lim r(u) = ro e lim s (u) = s0 é lim [r(u) + s(u)] = r 0
U-+ UQ
u~uo
+ So.
Efectivamente, fazendo v(u)= r(n)+s (tt) e Vo =,r 0 +s0 , tem-se v(u) - v0 = [r (tt) - ro] + (s(u)- so] donde, pelas condições da hipótese e pela propriedade 1. 1 do parágrafo anterior, re11olta que v(u)-v0 é infinitésimo com u-tt0 , logo pela def. 1. 8 , lim v (u)= v0 •
l.aa) - Se os vecto1·es r (o) e s (o) sc7o .funções contin ua~ de u no ponto u0 , a sua soma é funçtlo continua de u no ponto u 0 .
É consequência imediata da anterior (1. 8 ) e da def. 2. a. 1. 8 b) - Se os vectores r(u) e s(u) sllo funções contínttas de u sobre um certo arco de curva (C), ~.obre o mesmo arco ele curva é continua a sua soma.
É consequência imediata da anterior (1. a a)] e da def. 3. 8 • 2 .8
-
Pt·oduto por um número real. Se lim r (u)
= r0
tem-se,
" ..... "0
sendo p um número real qualquer (escalar constante), lim (p. r(u)] =p. r 0 • ,. ......,0
Demonstra?ão análoga à da prop. 1. a, a partir da igualdade
p • r (u)- p · ro = p · [r(u) - ro]. 2. a a) - Se o vector r ( u) é funçilo contínua de u no ponto u0 , o produto p • r (u), onde p é um número real, é funçilo continua de u no ponto u0 • 2. a b) -Se o vector r (u) é função continua de u sobre um ce1·to arco de curva (C), sobre o mesmo arco de curva é funçtlo continua o p1·oduto p ·r (u). Demonstrações análogas às de 1. a a) e 1.8 b). 3. 8
-
Gombinaçilo linear. Se lim ri(u)
=
r7 é, sendo p; núme-
U .... UQ
n
n
ros reais, lim ~ p;. r,(u) = ~ P•. r1, igualdade que, escrita sob U-+&4()
i-J
i -1
PARÁGRAFO 3
1H3 n
n
~p;•r,(u)=~~i·Zim ri(u), mostraqueosinal
aforma Hm
" .... t4Q
de lim. é permutável com o de combinação linear. Esta propriedade é conseq uência imediata das propriedades 1. 8 e 2.'. Resultam daqui propriedades 3." a) e 3.• b) sobre continuidade .num ponto e nuw arco de curva. Operador L. A partir do conceito de limite é definh,el, do modo seguinte, o operador L - é o operador que, aplicado ao vector r (u) , o faz passar ao limite quando u tende para u0 , isto é, é o operador definido pela igualdade
8)
L[r(u)] =
lim r(u). tl_., IIQ
As propriedades 1. a e 2. a, generalizadas na 3. a, estabelecem que
4. a - O operador L é linear [1. 18, 130)].
O conceito de limite aplicado às oper ações da multiplicação interna e externa dá origem à propriedade 5.'-Se lim r tn) = ro e lim s(u)=s0 , tem·se Um r (u) ls(u)= u ..... u0
=
U4UO
r 0 I s0 , lim r (u) À s (u) = r 0 1\ s0
U ... Uo
•
u... uo
A demonstração da primeira igualdade apoia-se na relação r (u) Is (u)- r0 I s0 =[r (tt) ·- r0 ] Is (u) + [s (u)- so] I r 0 e notando que o segundo membro, pelas propriedades 4. a e 1. a do parágrafo 3. 2 é infinitésimo com u- v0 • Anàlogamente para o produto vectorial tem-so
r (u) Às (u)- r 0 1\ s0 =[r (u)- r0 ] 1\ s (u)
+ r0 1\ [s (u)- s0 ].
Deduzem-se propriedades 5.' a) e f>.• b) para a continuidade num ponto e num arco de curva. Passando à decomposição cartesiana, tem·.se a propriedade
6.•- É condiçllo nece8sária e suficiente para que o vector r (u) = ~ 'P~< (u). i~:
tenha por limite o vector fia:o
k
r 0 = ~ l"- · it .k
quando u tende para u0 que seja lim ~t (u) U-+11()
= lt , k = 1, 2, 3.
134
CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL
É consequência da igualdade
r ( u) - r 0
=
~ [~k ( u) -lk] · ik
e da prop . 5.a do parágrafo 3. 2. Esta propriedade pode traduzir-se aoallticamente
escr~vendo
9) Resultam daqui, como anteriormente,
6. 8 a) e b). É c011diçtlo necessária e sujiâente pa1·a que o -,;ecto1· r (u) = ~ ipk (u) · il< Bf!}a funçao contí12ua de u no ponto u 0 , ou sobre
.
um arco de cur1ia, que as j1mções coordenadas !J>~< (u) o stjam.
Sonii.osotrataduw r(tt), masdeum r(u,v) ouun1 r(x 1 ,a:2 ,x8 ), as defioições e propriedades mantêm-se, pelo que foi dito no final do parágrafo 3. 2_ O enunciado da defin ição 3. a e das propriedades b) modifica-se então, havendo que substituir n expressão w·co de cu1·va por porção de supe1jlcie ou regillo do espa9o.
11.
DERIVAÇÃO ORDINÁRIA.
3. 4.
Derivada dum vector r (u).
Definições. 1.a- Seja o vector r(u), função conUoua de u no ponto u0 , isto é, tal que [3. 3, 7j] ltm r(u) =r (u 0 ). ",...."O
Se, quando 6. u = u- uo tende para zero de qualquer maneira, o limite da razão dos infinité~
lim r(u)- r(v 0 ) = [dr(u)J . " -+ "O
U -
d t~
Uo
110
E claro que este limite é nm 'ector, visto que o numerador do 1. 0 membro é um vector e o denominador um escalar. 3. 8 - Se a igualdade 10) se verifica para todos os valor~s u 0 correspQndentes aos pontos li um arco de curva (C), sobre esse arco de curva é definido um novo vector, função de u (que se obtém fazendo corresponder a cada u o segundo membro de 10) respectivo], que se chama vector derivado de r(u) ao longo de (G),
_
dr(u)
e que se representa pela notaçao - - .
du
d
3.a- A partir da def. 2.a, define-se o operadm· - do modo du seguinte - é aquele operador que aplicado ao vector r(u) o transforma no seu deriYado; é portanto definido pela igualdade
11)
~[r (u) ] = dr(u) du
du
CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL.
136
e está relacionado com o operador L [3. 3] por
~r(tt) = L r(u)-r(uo).
12)
clu
u- uo
Propriedades. As propriedades que 5eguem são todas eatubelecidas na ordem das definições 1." e 2. 8 , primeiro num ponto depois sobre um arco de corvn, sem que ao caso f.e faça mais nenhuma referência.
1. ~- Soma.
A de1·ivada duma soma de vect01·es {número ji11ito) é igual à soma das derivadas desses 1;ectores. Efectivamente,
~[r(u) du
+ s(tt)] =L r(u) + s(u)- [r(uo)-!-
s(uo)l
u-lto r(u~ u - uo
= L[l'(u) -
=L r(u)- r(uo)
+ s(u)- s(u0 )]
..J_
u -uo
L s(u)- s(t10)
1lo
li -
tt-
uo
(3. 3, 4.")]. A extensão a mais de duas parcelns é imediata. J. 3 - Prodttlo por um e.scalar constante. Se r(u) tem derivada e p é um escalar constante em relação a u, tem ·se
13)
d
d
[p·r(u)] = p·-r(u). du dtt
Demonstração 01náloga
u anterior.
3. a - A derivada duma combinaçtlo linem·, de coeficientes escalares coustantu, de vectore1, é a mesma combinaçt7o linear das deri-vadas desses t;ectores : 14)
d ~ ~ d -"'"'p' ·r;(u) = "'"'f' · -r,(u). d!t . . du I
I
É consequência imediata das duas propriedades aoteriores. Daqui se conclue que, para p1 = const.,
o operador
_.!:.._ dtb
é
137
PARÁGRAFO 4
linea1·. Não o é, porém, em geral; é o que resulta da propriedade seguinte: 4. m - Prod!tto po1· um escalar fu uçilo de u . Se r e p sélo um vector e wn escalar funções de u, tem-se 15)
d
d
- [p(u). r(u)] =p(u). r(u) dtt du
+ r(u). - d
du
p(u)
que generaliza 13). Com efeito, tem-se, fazendo s(u)=p(u).r(u),s (u) -s(uo)= = p(1t) · r(u) - p(u 0 ) • r(tto)=[p(u) - p(u 0)] · r(u)+[r(u)-r (uo)] · p(uo) donde a demonstração segue imediatamente (ponto , arco). A igualdade lf>) é generalizada, em virtude da prop. I. a, por d - ~p.(u) · r;(u)
16)
=
du ; =
d ~ [P• (u). r; (u) du 1
+ r;(n) · -dp; (u)] du
que generaliza também 14).
õ. a - P1·oduto escalar. Se os vect01·es r (u) e s (u) têm ambos de1·iv'lda é 17)
- d ír (u) Is (u) ] dtt
dr(11 ) 1s (u) + r (u) lds(u) -. . du du
= --
É consequência irqedi nta de 12) e da identidade que serviu para demonstrar a propriedade do produto interno contida em 3. 3, 5.•.
6. a - Produto vectodal. Se os vectores r (u) e s (u) têm ambos derit'ada é
18)
d
dr (tt)
dtt
du
ds(u) dtt
-[r(n)/\s(u)] = - - 1\ s(u) + r(u) 1 \ -- .
Demonstração análoga. É indispensável aqui não alterar, em uenhuma parcela, a ordem dos factores.
7. 0 -Produto misto. Sejam r 1 (u), r 2 ('u), r 8 (u) três vectores funções de tt e seja m = r 1 1r2/\ rs; calculemos a derivada de m .
138
CAP. III.
ANÁLISE VECTORIAL
1 Tem·se, pelas regra!:' antoriorea, 17) e lH) -dm =dr - 1r2/\ rs + du du d dr., + rJ~(rJI\rs) ecomo - (r9 1\ rs) = - - 1\ rs r:~ 1dr \ -8 vem, du du du s.ubstituiod() e aplicando a propriedt~de d i~ tribu~iva do produto esealar [1. 13, 90)],
+
ldu
19)
s.a-
Duplo produto vectorial. Operando dnma maneira inteira-
mente análoga, obtém·se
20)
Como se vê, as regras operatórias 17) a 20) são análogas às da Análise Infinitesimal. Passando à decompo~içiio c!Utesiaoa, tem·se a propriedade
9. 1 -É condiçllo necessária e suficiente para que o veeto1• r (u) = ~ cpk (u) · i~ tenha da·ivada, num po1lto ou sobre mn arco de k
1U.StJCJ ponto ou ne11~e arco lenham derivada as funções cpt(u)' e, se as derivadas e;ristem, e
CIWl:a, que
~r(u) = ~ d 'l>~ (u) -i~:.
21)
d1~
k
du
6.a do parágrafo 3. 3 aplicada à
É consequêocia da prop. igualdade
r(u) - r (uo) = ~ ~~(u)- q>k(uo) . i.~:. :U -
Uo
k
u -
tto
10.•- s~ o vector r(u) =a é constante, o seu derivado é nulo e r-tciprocamente dr(u) Se r(u.) = a constante, é r(u) - r(r1o)=O, logo [10)) - - =0 . du
139
PARÁGRAFO 4
dr(u) d~k(u) Reciprocamente, s e - - = O é · - =0 donde cp.(u)=const. du dtt e r(tt) =a é constante.
11. a - Se r (u) tem módulo constante (ndo nulo), o seu derivf!.do ou é nulo ou lhe é perpendicular, e red,p1·ocamente. Comecemos por calcular a. derivada do módulo de r (u). Da igualdade [modr (u)]2 =r (tt)l r (u) resulta, derivando ambos os mombros
em relação a u,2modr(u)·.!!._modr(u)=2r (u)l..!!.._r(u) donde du du -d mod r (tt) du
22)
=
I
1 · r (u) -d r (u.) • modr(u) du
Logo, se modr(u) = eonst. não nulo, o segundo membro é nulo, o que só pode dar·se se dr (u.) for nulo ou perpendicular a r (u.) . du Reciprocamente, se algum destes casos se dá, o primeiro membro é nulo, logo modr(u)=const. 12! - Se o vector r (u), não nulo, é paralelo a uma reetapa, o seu vector derivado é lhe paralel..() e ,·edprocomente. Seja to vector unitário de r(u), isto é, seja r(u)=p(u)·t com ~(u) = modr(u); t é, pela hipótese 1 constunte. Tem-se, deri-
vando,
.!!_r(u) =d? (u).t '""" dp(u),_J_.r(u) du du du p (u)
logo dr(u) du
6
paralelo a r (u) [1. 7, 39)]. dr(u) Reclprocamente, s e - - é paralelo a r (u) tem-se [1.12,82)] du dr =0 e, como -dr - -·t+p· dp dt, vem p·t/\ (dp dt) -0 r/\-·t+p·du du du du du du donde
p•~·t/\t+p2 ·t/\ dt =0 du
du
donde,ainda,porser tl\t=O,
dt du
t 1\ -=O. Mas t é um vector unitário, logo mod t = const. e
pela propriedade anterior é
tI ddut =O ;
portanto a condição
140
CAP. III.
dt
ANÁLrSE VECTORIAL
dt
t /\-=O exige que seja -=O, logo t é constante (prop.l0. 11 ) du du e r(u) tem, por consequência, direc~ão :fixA. Derivade dum ponto. O conceito de derivada estende-se a rum ponto função dum purâmetro escalar u. Seja P(u) um tal ponto; . . l' P (u0 d u) - P (u 0 )
se ex.1sttr
Q
P(u.+.o..U)
zm ,..,._o
+
Au
'
p
qualquer que sejn o modo com o D. u tende para zero , a esse limite chama· (U.+6 u) -se derinda do ponto P(u) corres-r~ pondente ao valor uo do parâmetro. É claro que esse limite, q uanJo existir, F'/g. 40 é um vector e é fácil ver que esse vector coiucide com o vector derivado de r(u)=P(u)-0, qualquerqiJ!esejaopontofiaJo O doespaço . Efecti\·amente (fig. 40) se O é fixo (coordenadas constantes em relaçi.io a u) tem-se
o
P(u 0
+ 6.11)- P(tt
0)
=
r(u 0 + óu)- r(u 0) .
Com esta propriedade, fica reduzido o estudo do derivado dum ponto ao de um vector.
3. 5.
Tangente a uma curva torsa.
Seja uma curva (C), torsa em gera], odógrafn do vector r (u) [3. 1], e suponhamos qu€l elite \'eCt<.r é, em todos os pontos de (C), fun~ão continua e admitindo \·ector derh·ado 11/Jo nulo. Como a continu idade e a existência de derivada de r(u) correspondf'm à continuidade ~ à existência de der i v ada à11a trêe fuu~oes coordenadas 'j'~r(u), k = 1, 2,3 (3. 3, 6. 8 a) e b), 3. 4, 9.a] que fi g uram nas três eq uaçl'les par a métricas da curva, :e, ='
não todas nulas- os pontos de (C) dizem -se, então, regulm·es; limitaremos o estudo !lO caso em que todos os pontos de (C) são regulares.
141
PARÁGRAFOS 4 e 5
Posto isto, consideremos um ponto A arbitrá rio (fig . 41) da curva e, a partir dele , os dois sentidos opostos de percur o sobre a curva, um dos qu ~:~. is será to mado como positivo e o outro como negativ o. Se tomarmos o pauto A como origem da contagem de ar cos ....-...
sobre u cu na, consideraremos o arco A P, de A pa r a P como positivo ou negativo conforme o sentido de A paru P coincidir ou não com o sen tido de percun10 tomado como positivo. ConvencionaX, 1'emos to mar como sentid o po itivo de percurso aquele que corresponde ao crescimento do parâmetrll escalar u. Fica assim definido, não só o sina l do arco s ou abscissa cw·vilinea do ponto P , medida a partir de A sobre a curva (da definição precisa e do cálculo de 8 será tratado no parágrafo seguinte), mas definido, do mesm o pasFig. 41 so, · o sentido de cre~cimento do arco. Seja, agora, P 0 uru ponto da curva, correspondente ao valor u 0 do parâmetro, e P um ponto vizinho, conespondente ao valor u. A esses dois pontos correspondem, respecti,· amen te, os vecto-
-
res r(u 0 ) er (u) e a figura mostra que o vector 6r (u) - r(u) -r (u 0) ~ P0 P está dirigido segun do a recta que pnssn por P0 e P. Dividam os 6r(u) . este vector pelo escalar 6 u = u - u0 ; o \· ector - contmua
.A.u
sobre a me!'ma recta e dirigido sempre, E:lill virtude da convenção de sinal acima feita, no sentido em que o arco cresce [no caso da fig. 41, é u > u 0 e a divisão por u- u 0 não altera o sentido de
-
r (u) = P0 P; se P os tivesse à o11querda de P 0 era u < tlo e a divisão por u- u 0 m udava o sentido de llr (u)J. Façamos tender o ponto P para P 0 sobre a curva, isto é,
Â
-
façamos tend er 6. u = u - tto para zero; Po P é, entõo, um vector
· fi mt ·é s1mo. · p or h'Ipótese, existo . JU
z·m1 â"-->O
0 r(u) · - r(u ) u---:-uo
= [dr - -(u)J . du
.,0
vector que, pelo que acaba de ' 'E'r-se, é dirigido no sentido em q ue o arco cresce. Por outro lado, por definição de tangente a uma curva, quando P tende para P 0 sobre a curru, a recta Po P,
CAP. III. ANÁLISE VECTORIAl
142
linha de acr;ão do ''ector r (u)- r (vo), tende para a tangente em u -
Uo
P0 , se existe, logo no caso presente, a tangente em P0 existe e é a lio.ha tle accão do vector [d1.·(u)J .
,[d.:r:2] 7[dxs1 [d:xr] d tt •o d d lt
,0
U
, 'I'Í~to
CJilO
,. 0
[dr(u)1 _~ [dxk] .h d lt
,0
"
_
dU
., 11
[3. 4, 21)]. As equações ca:rtesianas da tangente à curva (C) no ponto P 0 são então [1. 10, 58)] XJ-XJ
-dxt du
23) onde Xt'
=
Xa -Za rl X2 du
)_;s ·- :X:s
dzs d!t
x2 xh'
flão as coordenadas correntes da tangente e, 1 • tanto xr, a:a, xa como -d:c · ·. , sao toma d as no ponto p 0 (v0 ) . I
du
A equação vectorial da tnngeote é 24)
O vector dr(u).
dr P-0 P 1 \ - =O. du Efectuemos o (Jroduto do vector derivado
dr(u) pelo escalar infinitésimo du; o vector infinitésimo obtido, dv. dr(u) que representaremos por dr(u)-+dr(u)=-- .d-u, tem a du direcçao de dr (u) e existe, portanto, sobre a tangn1te à odógrafa du no ponto corre.~pondente ao valo1· do par{lmet?·o . A este vector charon-se diferencial do ve~tor r (1t ) . A sua decomposição curtesiana é, como resnl ta da definiçlio,
(2õ)
dr (u)
= ~ d x.., (u) • ik • k
PARÁGRAFOS 5 e 6
143
Daqui resulta que ao vector dr(u) se podem aplicur as propriedudes formais Jas diferenciais ordinárias e que, portanto, vale para ele um conjunto de regras formais análogas àquelas que atrás dr
deduzimos para o vector -
du
O vectvr dr(u) relaciona-se simplesmente coro o vector infinitésimo Ãr(u)=r (u)- r(u 0 ) . Efectivamente, Ãr(u)=~ [ipk(u)-
ipk ( uo)] . i.~:= ~ Â 'Pk (t~)
. h; ora, como se sabe do cálculo dife·
k
rencial, é Âipk(u)=dopk(u)+Ok, sendo Ok um infinitésimo de ordem maior que 1 com Âu = u - u 0 • É portanto Ãr(u) =
= ~d 1k(u)-i.~:+ ~Ok•Ík =dr(u)+ 6, isto é, Ãr(u) d1jere de "
Ir
d r (u) por um vector cujas coo1·denadas silo infinitésimos de o1·dem maior que 1 com  u . Por analogia com o que se passa nl\ Análise Infinitesimal, a
dr(u) chama-se, ainda, parte principal de ór(u) .
3. 6.
Comprimento de arco duma curva.
Seja uma curva (C), fig. 42, odógrafa dum vector r (u) e suponhamos que, em cada ponto compreendido entre dois pontos dados A(u0 ) e B(u1 ) da curva, r é função continua de u (a curva é continua) e adruite um derivado único não nulo (a curva teru uma tangente única em cada ponto) também função continua de u. Suponhamos, ainda, escolhido, so· O'J--------bre a curva, um sentido crescente X/1 do arco, entidade geométrica intuitiva. Vamos cal ou lar o com primento de arco entre A e B, que Fig. 42 representaremos p•Jr s; para isso tem que começar-se por definir o que se entende por tal comprimento de arco.
144
CAP. III.
ANALISE VECTORIAL
,..-....,
Deftnição 1. a -Divida-se o arco geométrico
,..-...., parciais M l_J e sej
A B em arcos
s 1 o com primeoto de cada um deles; faça-se
~si e calcule-se o seu limite quando cada um dos arcos parciais
tende para zero e o se01 número para infinito. É o valor cesse liruite, quando existir o for finito, que se toma para definição de s(l). ,.-...
Como se vê, a questio transportou-se do arco finito A B parn ,..-....,
o arco elementm·, infinitésimo MP, de quo represeutaremott o comprimetato infinitésimo por d s = s,; tudo está agora em definír o que se entende pelo comprimento d s . A ~ssa defin ição preside o seguinte critério de métrica das curns:
Defrnição 2.8
Chama-se comprimento do arco elementar da curva torsa (O) ao número real d s definido pela igualdado
26)
d s2 = d r 1 d r
ou seja, visto que dr 1dr= (mod d r) 3
,
ds = ±moddr tomando o sinal + ou o sinal - conformo o 6eo.tido do percurso sobre a curva coincidir ou ni'io com o sentido de crescimento do parâmetro tt. Como se vê, o crith-io adoptado pm·a a métrica .d a curva é o mais Bimples possít•el - começou por se as~Sirnilar o arco à corda e, elll seguida, tomando o módulo, não do vector ó r mas sim de dr, e\iminon·se o vector 6 referido no final do parágrafo anterior. DA definição resulta agora, em virtude de 3. 5, 25),
(I) Quando s existe e é fu nç.ão continua de u, a curva di2-se recl•jicácel isso dá-se am coodiçõe11 menos restritiva.~ ')li C 3(fl.l~las auposüs acima para r (u)- é necessário e sufieient..: que as '!'k (u) sejam contínuas e de variação limitaria; na nossa hipótes.,, como adiante so vorá, o arco s, altlm de função continua de u, tem derivada (V ido Jordan, Cours d'Annlyse, Tomo ].•, 3.• cd. pág. 107).
PARÁGRAFO 6
145
Pela definição 1, 8 .é, então, se o limite existir, s
=±lim~V~[a!~(u)] 2 -du;
= lim ~ds =
na hipótese feita, da continuidade
k
das derh•arlas, este limite existe e é
+ [
29)
S=_
"I
J(d
1)2·+ (d- x 3)3 + (d--8)2·du
x du
-
;c
du.
du
"'"0
devendo tomar-se o sinal + ou o sinal - conforme acima foi dito. Se o ponto A é fixo e B vnriãvel, s é enti10 fuor;ão de tt e da anitlise feita resulta que essa função tem derivada em relação a u , dada por [28)]
~ = + /(d x + (d x du \ du du 1
30)
2
3
)
)9
+
(d
x
8
3 )
•
d tt
A interpretação de sinal que acima foi .dada concorda com a interpretaç1io geral do sinal du01n derivada: sinal + ou - conforme a função é crescente ou decrescente . Caso em que u = s. Muitas \'ezes toma-se parA parâmetro de representação das cunas o próprio arco s; então as coordenadas de cada ponto sii.o funções da sua abscissa curvilfnea s; as equações cartesianas da curva são Xk = xk (s), k = 1, 2, 3, e u vecto-
-espaço da curva é r (s). Tem-se ao tão [3. 5, 25)] dr (s) = ~ dxk(s)·ik i<
e como, tomando como sentido de percurso o do crescimento ·do arco, é [::J.7)J ds = moddr(s). tem-se que o vector
31)
t
= dr(s)=Ida-,.(s) ·Í.t ds
I<
ds
é unitário.
.
dxk (s)
Daqut resulta [1 . 9, 52)] que - --, k d~
=
1, 2, 3, são os cosenos
directores da tangente à odógn1fa de r(s) e que, coroo coosequ€!ncia, 3~)
gsta igualdade e 29) dão o resultado eddente s = ClLCULO V&CTORI~L
1~''
ds . 10
1(6
CAP. III. ÁLGEBRA TENSORIAl
3. 7.
Derivadas de ordem superior.
Duma maneira semelhante à usada na Análise Infinitesimal, definem-se derivadas de ordem superior dom vector. Dado r (u), se dr admite vector deri\•ado, chama-se-lhe deri1:ado de 2." ordem du d3 r
de r(u) e representa-se por dull; do mesmo modo se define derivado de ordem 3 , ·. · n:
d"r _ (d"-'r) d du" - d u d un-l
33)
•
Destas definições e das propriedades estabelecidas no parágrafo 3. 4 resulta que, se é r (u) = ~ .rk (u) · ik a decomposição carte11iana de r (u), se tem
d" r= Id"xdn). h. d u" 1r d u"
34)
Muitos dos conceitos e das propriedades formais da Análise Infinitesimal, além dos já estabelecidos, se estendem sem alteração à. Aoâ.lise Vectorial ; por exemplo, o conceito e regra de derivação da junçflo de junçllo. Se r= r (u) e u =~(v), r diz-se função de função de v, nas mesmas condições que na Análise ordinária, e verifica-se a propriedade da continuidade- se r (u) é função continua de u e u função contlnua de v, r (v) é função continua de v. A derivada da r em ordem a v existe e calcula-se também por uma regra análoga - se r(rt) tem derivada no ponto u 0 e u = (j)(v) tem derivada não nula ao ponto v0 tal que 11 0 = cp(v0 ) , o vector r (v) tem derivada no ponto ~>0 , a qual tem por expre são
rdr (v)] = [ri r (u)] Ldv
~o
du
,. 0
. [~] . d v
Esta igualdade fnndamenta·se em que
V -1 0
PARÁGRAFO 7
147
e no facto de, na hipótese feita, as pa8sagena ao limite para 6. u =O e para Av= O serem equh•alentes. Quando a derivada existe num certo do wlnio, o le é definido o vector derivado dr (v), dado
dv pela igualdade
Hó)
E:remplo . Seja a curva (C'), odógrafa do vector r(u); se se · do -dr esta' 1'1gado toma para parâmetro o arco s , o vector der1va du
com o vector unitário da tangente dr = t [3.6, 31)] pela relação ds dr = t. ds du du
36)
donde se conclui imediatamente que [3. 6, 30)]
37)
d :rk
-
d8
1
d:ek
= - . - = - ;== = = = == = = = : : dtt (~:1)' + (~:ay +
J
(::sy
Para as de-rivadas de ordem superior tem-se, Infinitesimal,
CODlO
na Análise
De6niç0eR e expressões estendem-se ao Ca5o em que e trata du m P(u).
Fórmula de Taylor. Tall'.bém a fórmula de Tnylor se estende aqui sem dificuldade, se bem que não exactamente com a mesma forma.
Seja r(u)=~:rk(u)·h e suponhamos que as coordenadas k
x.-(u)
~e podem desenvolver segundo a íórmuln de Taylor
:IJk(u) = :rk(uo)
+ (u -
+ (u-
uo) · x~ (uo)
+ •·· +
uo)n. [x~n>(uo) +ti<]
n/
148
CAP. III.
ANÁLISE VECTORIAL
sendo Ek um infinité imo com u- u0 • Multiplicando ambos os membros por ik e somando em k, vem r (u) = r(uo)
+ (u- uo) • (~_:) + ·· · + du , 0
+ (u -
u0 )
11 •
nI
onde 6 (u)
= ~ '-k • ik
[(dn :) + 6(u)J du
,. 0
é um vector infinitésimo com u-
11 0 •
k
Fazendo 1~
38)
-
u 0 = h, vem
r(uo +h)= r(u 0 ) +h·
(dr)
+
d tt , 0
···-i-
h" (-·à" r) h'• +-. +· 6(n) n! , d u" ,. n! 1
0
qne é o desenvolvimento de Taylor para um ,·ector r(u). Como se vê, ele difere do da Análise ordinária no seu último termo; se bem que se tenha, utilizando o resto de Lagrange, :rk
(u)
=
2 ~l;
•
1=0~1 .
:z:i'> (u 0) +
hn . 721
x~·> (-11 0 + Qk h),
no illtimo termo do h,.
dnr(tt 0 +Oh)
deeenvolnmento do vector não pode escre\'er·se - · ----'-------" nI du" visto que fh \'aria com /c, isto é, com as coord enad as do vector. Se as coordenadas de r ( tL) forem desen vol dveie em série de Taylor numa '' izinbança de u 0 , tem.se então, para o vector,
3\))
r(uo + h)=r(uo)+h·(dr) du "o
+ ··· +
+-nh"I ·(d"r) - +· ... d un "O
O segundo memLro desta igualdade é uma série em cujos termos figuram vectores e é claro q ne só pode ser-lhe ligada uma ideia precisa desde q ne se defina coo vergência duma série. Essa definição dá-se do modo seguinte: formada a ROmll Sn dos n primeiros termos da série (soma que é om vector) a série diz-se convergente quando lim s,. fôr um vector finito s, vector que se diz, n ..... oo
então, soma dn sél'ie.
PARÁGRAFOS 7 e 8
149
Desta definição e das propr iedades da teoria dos limites de vectores [3. 3] resulta imediatumente que se as três sb·ies desenvol. vimenlos das Junçõe.~ escalm·es xk ( u) stto com;ergentes, é convergente o segundo membro de 39) e vice·versa. Todo o vector r (u) que, numa vizinhança do valor u 0 , é desen· volvlvel segundo 39) diz-se função analltica de u nessa vizinhança. Fazem-se considerações análogas para uma função P(u).
3. 8.
Derivadas parciais dum vector r (u, v).
Seja um vector função de dois parâmetros u e v. Exactamente como na Análise Infi nitesimal, definem ·se derivadas parciais em ordem a u e v do vector r (u,v) no ponto (u 0 ,v0 ) como os limi. · d . r (v0 + .6u, t•0 ) - r(u 0 • t 10 ) tes, se ex1sttrem, os quocientes r (u0 ,1•0 +.6t•) - r (u 0 ,11) 0
.6v
.
,
que se obtêm fazendo vanar de cada
vez apenas um parâmetro, e desde que esses limites sejam os mes· mos quaisquer que sejam as maneiras como respectivamente .6 u e .6 v tendem pBra zero. É claro que esses limites, quando e!!istem, são vectores; se esses vectores existem em todos os pontos dum certo domlnio [a superficie odógrafa de r (u, v)] , nesse domlnio são definidos (como na def. 2.• de 3. 4) os dois vectores, funções de u e v, derivadas parciais de r (u, v), respectivamente em ordem
õr õr e õu õv
a u e v , e q ue representaremos por -
lim 40)
Au-+0
r (u
+ .6 u , v) -
r (" , 11)
.6 U
. r(u.v + .6v) - r(u.v) õr - = 1tlll • õv A v-+0 .6v
Estes vectores podem, por sua vez, admitir derivadas parciais que, quando existi1·em, se chamam derivada.~ 11arciais de 2.a 01·dem de õ! r b ~ r õ' r b? r r (u, v) e que se representam pelas nota ç õ e s - . - - . - - . - ; b tt :t b u Õv õ r õ u Õ v2 definem-se do mesmo modo derivadas parciais de ordem 3, ... n, •.. ,
150
CAP. III.
ANÁLISE VECTORIAL
que são funções, em geral, de lt e v; para as representar usa-se o mesmo género de notacões. ~sten dem·se aqui també m moitas das propriedades gerais da Anál ise Infinitesi mal; veja mos al g umas que mais importam.
a) Independência da ordem de derivação. Demon tra-se que ~g r ~2 r se os vectores - - e - - tlão funções continuas de '' e v
~ u bv
~ v ~u
6les são iguais e, mais geralme nte, que dua s derivadas parciais, de ordem qualquer, que difiram apenas pela ordem da derivação são iguais ae forem fonçoes continuas de u e v.
b) Cálculo forma l. Verifica-se filcilmente que as regras operatórias s obre der ivadas se mantêm, assim como as propriedades operatórias estudadas no parágrafo 3. 4 referentes aos operadores vectoriais. c) Teorema dos acresc1mos nnitos. Seja o vector r (u, v) e consideremos a diferen<"u ll r = r (u + d u, v + d v)- r (u, v) = = r (u + d u , v + d v )- r (n + d u, t:) + r ( u + d u , v)- r (u , v ). Pode escrever-se [3. 5, o veetor dr (u)), se existem as deri\'adas parciais ,
r(u
+ d u, v+ d v) -
r (u + d u, v) = b r (u + du' v). d v + 61 ÕV
sendo 61 um vec tor cujas coordenadas são infinitéeim os de ordem maior que 1 com d v e
r(u + du,v) - r(tt,v)=
br(u v) ' -du+p.
Ou
sendo 11 um vector cuja .~ coordenadas são infinité simos de ordem m aior que 1 com d u. É, portanto, A
~r=
br(u,v) d
· u
b"
+ br(u+du,v) · d v + 11 + 6L. bv
· 1 -~r · da parc1a Se a der1va
~v
= br (u,v) + u• 3 bv
d
é continua, tem-se
. fi
br(u+dtt.v) = bv
sen o 63 um m nitésimo com du, de. modo que
PARÁGRAFO 8
161
~r(u,v )
A r=
õu
·d u
+
~r(u.tJ)
õv
· d v + 11 + 61 + 6: • d v,
on seja A
ur =
41)
ôr(u,v) d
b lt
.
u
+ br (n .v) . d v+ w bv
onde w é um vector cujas coordenadas são infinitésimos de ordE-m maior que 1 com o maior dos infinité:~imos (da mesma ordem) d u e dv; por outras palarras, supondo
é
que ldvl>ldul
e limdv =frO, du
lim ~=0.
d., ... 0o d v d V-+
Tiravam-se con<'lusões análogas se se tivesse, ao valor de Ar=r(u +du,v+dv) -r(u,v) somado e subtraldo r(u,v+dv)_, mas havia então, para deduzir 41), que supor õr continua, de modo b!t
que pode dizer-se que 41) é verdadeira na hipótese da continuidad& das duas derivadas parciais.
d) Fórmula de Taylor. Generaliza-se sem dificuldade a fórmula de Taylor obtida no parágrafo anterior para os vectores funções de um parâmetro (3. 7, 38)]. Essa fórmul a, que generaliza também o teorema dos acréscimos finitos [4 1)] pode escrever-se 4~)
r (uo +h, Vo
br + k) =r (uo, vo) + h ·ôr -+ k •- +
b uo
Õ Vo 2
1 ( h -br +-- + k · -br)< +· .. + 21 õ uo b Vo )
+ ~ . (h .~ + k n/
br
b uo
.
~)(••) + w b Vo
br
a) e representam as derivadas parciais tomadas b 11o õ Vo no ponto (u 0 , v0 ); b) ai! potências simbólicas têm a mesma signionde:
ficação que na Análise Infinitesi mal - de ehvolvidas pela fórmula do binómio, há que substituir os expoentes que recaem sobre as derivadas por índices de derivação e os produtos por uma derivada única de ordem iguul à soma das ordens; c) w é um vector cuju
152
CAP- III. ANÁLISE VECTORIAL
coordenadas são infinitésimos do ordem maior que n ·COm o maior dos dois infinitésimos (da mesma ordem) h e 7Z. · Estende-se também, quando as coordenadas de r(u 1 v) admitem desenvolvimentos em sórie do Taylor: a fórmula 39) do parágrafo anterior; tem-se ·
4:3)
r (uo +h 1 v0
+ k) =r (tto, Vo) + (h· ôr - + k · -ôr) + OUo
1 ( h- Or+ lc+···+-· n I {)~~o
-õ r )<"> b t; 0
ÕVo
+ -.. .
função composta . D efine-se função composta como ma fun~. O(:s de t, r(u,v) rliz-se função composta rle t e estende-se a propriedade ref(·l'ente à continuidade. A derivada da fuoc,:ão composta r(t) calcula-se a partir e)
Análise ordinária - se u e v são
de 41)-se r(u ,v) tem derimd as parciais ore õr conthmase ÔU
se
It
ÕV
e v têm derivadas não nulas ew relação a t, é
õr d u or d v -=·-+ ·Õ!t dt ÕV dt
dr
44)
dt
visto que, nessa llipóte-se, é aplicá\·el 41) e e tem
lim w =O. dt ....
f)
Diferencial totol.
45)
odt
Dá-se e te nome ao vector
õr bv
br
dr (u, v)=- · (llt +-·dI).
ou
A razão do nome é eviàente- se 1· (osse uma função escalar dus duas variâvei!; u e v seria dT, dado IJOI" 45), a sua diferen·
uo
cial total ordinilrill . .A:~ vantagens s eu uso são as habituais; a fórmula de derivação da função co01post~ reaulta dela imedia-
tamente.
Jt 1ambém imediato 4ue dr(u,t;) generaliza dr(u) -3. 5] e de 41) resulta qoe ele está relacionado com Ar(tt,v) duma maneira análoga àquela que liga dr ( ct) com 6. r ( u) . No r"rá.grafo seguinte será vista a significação geométrica de dr(u,v).
153
PARÁGRAFOS 8 e 9
g) Decomposição cartesiana. Se [3.1, 2)] r(u., v)~ ~ ~(u ,v) ·h k
um raciocínio fácil mostra que é l> r = ~ l> ·'l'k • h , ~r = ~ l>xk. ik k (') u bv k l>v
46)
l)n
verificando-se fórmulas anúlogas para as derivadas de ordem superior.
ó r=~.:r·k(u.,v)·h=~X~<(t)·ik e
Se u=q>(t).v = •f(t),
dr~-IdXk·l····· Mus, A
dt 1 d t tes de h·,
. 1an do os coe fi cien· por 44) e 46) tem- e, 1gua
d.Yk
ôxk d tt
l)x, d v
-dt= · - +bv - ·dt (')u dt
47)
que é a expressão da derivada do escalar Paru a diferencial total, tem· se
dr =
xk,
função composta de t.
I Ô- Xk . 1"• • d u + I -Ô~k . lk, • d v + I ((')- Xk . d u + -Õ.r.,~c . d v ) . 1,. J:ÔU
kÔV
k
ÕIL
ÔV
ou seja
48)
r1 r (tt , v)
= I cl Xk ( u , v) · ik k
que generaliza 3. 5, 25). Dão-se definicões e deduzem-se propriedades análogas para uma função P(tt, v).
3. 9.
Plano tangente e normal a uma superfície.
Porâmetros de Gauss. Seja o \·ector r (u, ·v) e a sua odógrafa, isto ó [3.1], a superflcie de equação r=r(tt,v); suporemos que a su perflcie é continua e que o vector r ( u , v) admite derh•adus parciais finitas e continuas sobre toda a regiõ.o da superficie que considerarmo!'. Os desen\·oh·iroeotos que vamos fazer .exigem a consideração de dois istemas particulares de linhas sobre a superficie. Fixemos um valor, u 0 , do parâmetro u e consideremos o conjunto dos pontos da superficie que conespondem a esse valor fixo uo; o lugar desses pontos é, o.1aoifestamente, a odógrafa do vector
154
CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL
r(uo, v)= R(v) e e!!sn odógrafa é uma wrva traçada sobre a super· flcie, c:urvm duda ero fuoçào do parâmetro variável único v • Tem-se, assim, correspondendo a cada valor de que é susceptível o parâmetro u, uma curva; o seu conjunto chama-se o sistema, ou familia, das curvas n = con. t. Anàlognmente se tem sobre a superflcie o sistema, ou famiUa, das curvas v= const., isto é, o sis· tema das odógrafus de r (u, v1), cujo parâm etro é u. Se admitirmos a univocidadt (além da continuidade), estabelecida no parágrafo 3.1 para a representação \'8Ctorial da superl1cie, isto é, que a cada pouto P corresponde um par tle valores de tt e v e reclprocameute, tem-se que por cada -ponto da superfície passa uma úuica curva de cada sistema (fig. 43) e que doas curvas do mesmo sistema não se cruzam (aliás llaveri'l. pares difereutes de valores de u v. .. ,... e v correspondendo ao mesmo ponto) a não ser em pontos excf'pcionais- em particular, se uma das curvas dum sistema se redu.-; a um ponto, por esse ponto passa uma infinidade de curvas do outro sistema (jã. veremos um exemplo). Daqui resulta que as curvafl das duas famllias cobrem a superficie, formando sobre ela uma rede, de modo tal que os pontos da superflcie podem ser individualizados pelas duas curvas, uma de cada farnllia, que po r lá passam e, por isso, elas podem ser consideradas como coonumadas dos pontos - chamam-ae as coordenadas curvili1Jeas dos -pontol!l da superflcie. Os parâmetros u e v que, como acabamos de ver, determinam sobre a superficie uma rede de coordenadas curviliueas, chamam-se p8rà.metros de Gauu. Uma equação da forma cy(u,v)=O que determine univocamente v como função de u, v = 1t (u), reduz o vector-espaço da sllperflcie a ser função, apenas, de um parâmetro~ r[u,1t(u)J=R(1t) - e, por coneeqoêocia, o Jogar quo corresponde às eqoa,ções r=- r (u, v) e ~ (u, v)= O é uma curva traçada sobre a st1perjieie; es&é. curva é em geral diferente das cun•as da rede . Reclprocamente, toda a curva. traçada sobre a soperficie resulta da existência duma relação particular v= f(u) entre tt e v e é, portanto, a odógrafa dum vector R(u)-r[u,f(n)].
155
PARÁGRAFO 9
E:cemplo. Consideremos a represen tação paramétrica da snperflcie esférica (3. 1, 3)) r(']), 6)=r cos 'P • sen 9 · i1 +r sen cp • sen 9 ·h+ + r cos 9 ·is. A rede de coordenadas corvilineas é aqui formada pela famflia de curvas e = con~t. - paralelos - e pela famllia de curvas f = const. - meridianos. Por cada ponto da superflcie passa uma curva de cada famllia (é o modelo do sistema das coordenadas geográficas) à excepção dos pontos P e P' onde, por se reduzirem a um ponto os paralelos, se cruza uma infi. nidade de meridianos.
Pio no tangente. Seja ~M (u 0 , v0 ) x .. um ponto da superficie e consideremos as duas curvas Cu 0 e C~0 da rede que passam por M; sobre C, 0 varia apenas v, sobre C.,0 varia u. As Fig. 44 derivadas parciais do vector r (u, v) tomadas oq ponto !rl são, pela sua própria definição e pela defini· ção de curvas da rede, os vectores tangentes [3. 5 ] a essas curvas
- (õr)
Ô'tJl
é o vector tangente à curva C,.0
,
(õ r)
tangente a C..0 •
Ô VM
Suponhamos que estes vectores, derivadas parciais, existem, não são nulos (nem colioeares) e são funções continuas de u e v; seja P o plano definido por eles. Vamos demonstrar o seguinte TEOREMA. Toda a curva com tangente, e:riste11le sobre a superftcie e passm1do pelo ponto M, tem a sua tangente sobre
o plano P. Seja C uma curva não pertencente à rede e nas condições da hipótese; o vector-espaço de que ela é odógrafa, é, pelo que se viu acima, um vector R (tt) =r [u, 1t (u)]. Suponhamos que v= 1t (u) tem derivada no ponto M e calculemos
(dR) . Visto que, por du M
b- r e -b r sno _ . h1pótese, continuas e como bn
bv
1t
,( )
u
é certamente dife-
rente de zero (caso contrário seria v=const. e C pertenceria à rede) pode aplicar·se J, 8, 44) e tem-se, para vector tangente à curva C,
166
CAP III. ANAliSE VECTORIAL
(dR) =(!!) +(õr) ·(dv) d-U
N
~
1t
J1
ÔV
M
d
U
igoaldadequemostra [1.7,44)] M
(!.:.)
(i:_')
qoe (dR) , e são coplaunres e que (dR) está, d rt M ÕU . M d V Jl d 1' J1 portanto, sobre o plano P. Ao plano P dá so o nome de plano tangente à. superficie no poo.to M; ~obre ele estão, pelo teorema demonstrado, todas as tangentes a todas curvas traçadas sobre a superfície que pas~am
por
l1f
(e que tõm tangente, claro).
O vector dr(u,v).
Pelo que acaba de ver·se, o vector dife.
ren.ci;-ol total de r (u , v) [3. 8, 45)] dr=!..:.· du
+ ~. dti
está dv sobre o pluno t angen te à superfleie no ponto em que são tomadas as derivadas parciais. É o vectm· infinitétâmo do plano fa11gent~, ass im como dr (u) é [3. 5) o vector infinitésimo da t11 nge nte à. ~u
CU r\· a r= r (1t). Normal. D efine-se nor-mal a om a superfície num ponto como a recta perpendicular ao plano tangen te nesse ponto; essa recta tem, consequentemente, a direcção do vector
49) Representaremos por n o vector 1tnitá.rio da normal; é
!E i\ ~r 50)
du õv __ n- _ _ __ .:.__
_ br)
mod(-br 1\ ôu bv
Equações cartesianas. Utilizando ns decomposições <:artesianatt, tem-se [3. 8, 46) e 1. 11, 80)]
ól)
N=
ir l)x,
i .!I is l);rD b :ro
l)u
bu
l)u
Ô·T 't
l).rg
õxs
l)v
õv
l)v
PARÁGRAFO 9
157
os parâmetros directores da normal, ou sejam os coeficientes da equação cartesiana do plano tangente [1. 12]. são,-·portanto, proporcionais aos determinantes funci onais (Jacobismos) seguintes
a,= ~~2 . ~~8 _
52)
I {
~n
~v
~u
~v
~u
~v
~u
~v
~v
~u
~v
a = ~Xs. ~Xt _ ~x1 • ~Xs 2
I
as=
I
F
~~8 . ~~2 = ~ (~s, Xs)
~u
~(u,v)
= ~ (~s, ~ 1 ) Hu,v)
_
~Xt. ~xs _ ~~a . ~xr = H~t. ~2). b(tt,v)
Se a equação cartesiana da superfície é dada sob a forma O é fácil ver que, se um, pelo menos, dos Jacobi&-
(~,, ~2, ~8) =
~F
~F
~F(1)
ô·r2 ~a:·s = - = - e que, portanto, as o1 as as equações cartesianas do plano tangente e da normal Pão .
~~,
·
nos é dtferente de zero, é -
53)
x2-~8
x,-~8
ôF
~F'
onde (X,, Xs, Xs) representam as coordenadas correntes e (:r,, a.·s, a.>3) · as do ponto, da superffcie, de que se trata, sendo as deri vadas parciais tomadas nesse ponto. Exemplo. Na representação da superfície esfériêa em parâmetros de Gauss r (
(') É o qut! res11lta do estlldo do sistema homogéneo
I ~F.~~~ + ~F.~~' + ~ F .~:rs=O ~~~ ~" ~~s ~n bxs brt
~F-~x, ~oc,
~v
+
~F.~~2+ ~F.~:rs=O. dv ~~" ~v
~~2
168
CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL
br bQ)
- = r sen e . (- sen
I
fica, é b r b r = O o que indica que as doas curvas da rede que se b '!' b e cruzam num ponto, qualquer , são perpendiculares entre si - a rede dh:-se, por isso, ortogonal. A direcção da normal à superffcie é a do vector i,
Í3
r C08 q> COS a r sen
- r sen
1' C08
sen e
-rsen~
-= rsene.r(cp , 9)
o
e a normal está, por consequência, dirigida segundo o vector-espaço r, isto é, segundo o raio da superfície esfér ica; o plano tangente é, por isso, perpendicular a r .
3. 10. Derivadas parciais dum vector r (x,, xz, xs). Seja o campo vectorial [3. 1, c)] r (x,, x 2 , a!s). O que foi dito no parágr1~fo anterior sobre derivadas parciais dum vector estende-se aqui imediatamente. A definição dá-se pela igualdade [3. 8, 40)J 54)
!..:_ = bx,
lim r (x,
t. .,, .... o
+ 11 x 1 , x 3 , x 8 ) - r (x1 , :r.2 , x 8 ) llx1
. d nas ana'l ogas para -br e -br . e ma1s bx, bxs As derivadas de ordem superior definem-se também duma maneira análoga A verificam·se: a propriedade da indepen dência da ordem no caso da continuidade, a extensão do cálculo for mal, a extensão do teorema dos acréscimos e a da fórmula de Taylor. Define-se ainda diferencial total pela igualdade [3 . 8, 4õ)] ~f>)
PARÁGRAFOS 9, 10 e 11
159
e estende-se imediatamente a regra de derh·ação da junçO.o composta l3. 8, 44)]. Se é r (.:c,' Xs' Xs) =I xk (xt 'X;~' xa). h a decomposição cartek
siana [3, 1, 4 )] do vector, tem-so, para expressão ela derivada parcial em relação a x~; .
~=~~x' .t,;
56)
ÕX1c
I
~ Xk
daqui resulta que dr =
. ) • d x~: = I ( I õ- x,d x~;) • I, , I (I -~ x, · 11 k
donde 57)
I
~Xk
I
k
~ Xk
dr=~dX,.f,
e esta relação mostra que a diferencial do vector se relaciona com a diferença como no caso em que o· vector é função de um ou dois parâmetros.
3. 11.
Coordenadas curvilíneas.
Os resultados do número anterior podem ser ainda generalizados desde que se estenda ao espaço o conceito de coordenadas curvilineas estabelecidas no parágrafo 3. 9 vara uma superflcie. Sejam, como habitualmente, (x1 , x 2 , xs) ·as coordenadas cartesianas rectangulares dom ponto lvl do espaço, e consideremos três funções
58) que suporemos uniformes, continttas no conjunto das três variáveis e deriváveis parcialmente até às ordens necessitadas pelos cálculos; · suporemos amda q uo o J aco b'1ano I = ~(tt,.tL!J,us) é d'f 1 erente de zero. õ(xt,x,,xB) Nestas condições, é manifesto que ao ponto M, com três coordenadas única., Xt , x 2 , x 8 corresponde um terno único de valores de u 1 , u1 , u 8 ; e como, na hipótese feita, o sistema tt~; ... fk (.:c,, xs, xB) é resolúvel em ordem a :e,,:e,,a:B-:e;=
160
CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL
recip rocamente, a cada terno de valorE-s de u 1 , u2, u., corresponde ttm de XL, xa, xs e, portanto, um ponto do espaço; por isso se diz que as relações 58) definem IJnla tranllformaçdo poTttual do espaço . As três \'ariáveis UJ, u2, li8 vodem, por conseq uência, ser tomudas como definindo um no\·o sistema de coordenadas, denominadas coordenadas gerais ou coordenadas cu1·vili11eas. · Este último nome é jostificad.o pela sua significação georuétric8. Efectivamente, seja uZ nm valor da ,·uriávf'l u~;; a equação u - u~, ou seja f~:(xL, a:,, xs) = ug representa nma uperficie passando pelo pon to de que u~ é uma Jas coordenadas gerHis. Daqui resulta que por cada ponto Jf0 (u-~, ~~~, 11~) do e paço passam t?·ê11 t>Uperf!cies cujo conjunto corresponde unl,vocamenie a esse ponto. O espaço fica, coo eqnentemente, dividido por um triplo sistema de superfícies -as superflcies u1 = const., u~ = const., u8 = const. - a que se dá o nome de superjicies coordenadas, as quais gener lizam a rede de cun-as coordeuádlls sobre uma superfície e a respeito das quais se fazem considerações análogas. As três Ruperflcies coordenadas que passam por um ponto cot·tam-se duas a duas sobre três linhas que se denominam linhas coordeuudas- a linha-u 1 , i ntersecção das superflc ies u 2 = cortst. e u 8 = c01111l . ; n linha -vz, iote- r~>ecção das su perffcies u 1 = const . e u 8 = co'llst.;
a Unha-u 8 , intersecção das superflcies const. e u3 = const. (fig. 45 ).
tt 1 =
~cons- 1 •
u
"
Flg. 45
etc. - são
0 :r. 1 1 0
X11
paralelas,
EJ:emplos. a) O prl>prio sistema das coordenadas cartesianas x, , X2 , :rs. As superfícies Xk = const. k = 1, 2, 3 são planos paralelos NOS planos coordenados; as linhas coordenadas - linhas-xL , intersecção das . supi>rf!cies x2 = const. e xs = const., respe<:tivamente, aos eixos coordenados
1 0 Xs •
b) O 8istemn deu coor~eiLadas esféricas . É sab ido como L3· l, fig. 39] a posição dom ponto P do espaço pode ~er fixada pelas ..
·
~
três coordenadas : ,. =modO P, ~ longitude e colatitude, (18, e.r.a fixo r por se tratar de pontos situudos sobre uma superfície esfé-
161
PARÁGRAFO 11
rica). As superfícies coordenadas são agora: as superficies r= con.~t., superfícies esféricas com centro em O; as superficies ~ = COnst., planos passando por 0 :1.'3 j as soperffcies e = C01f8t, 1 superficies cónicas com vértice em O. As linhas coordenadas são : as linhas· r, intersecções das superffcies
Seja o vector r (u,, ua, us) onde Ut, ua, us são sim bolos de coordenadas gerais. Em primeiro lugar, estendem-se a este vector, como é óbvio, não só as definições de derivadas parciais, como os conceitos e propriedades vistas no parágrafo 3. 10. Vejamos a significação geométrica da derivada parcial
~. bUt
Consideremos o ponto M(u~, u~, uZ); por definição de derivada parcial [3. 10, 54)],
(~) bUt
é obtida fazendo variar apenas u 1 e M
consen·ando constantes os parâmetros u, e us br) . r(u1 + ~uJ,ug,ug)-r(u~,ug,ugl ~m ( b- ltt M = ~1llt40 .Ó. Ut logo, em virtude da significação geométrica do vector derivado de r (u) [3. 5], o vector { ~) \ Õ n,
é tangente no ponto M à odógrafa JL
do vector R(ut) =r (ttt, u~, uZ), isto é, é tangente à linha coordenada de intersecção das superfícies coordenadas u3 = const. e us = const. que passam por M. Daqui resulta que as três derivadas parciais
ÕUt ' ÕU3 ' ÕUs
definem, em geral, uo1 triedro de taugentes às linhas coordenadas, triedro que se denomina triedro tangente no ponto considerado. Os três vectores só definem, de facto, nm triedro quando não forem coplanares, isto é, (1. 15, 118)] quando
~ I ~ 1\ ~ :::j::O.
Se, em
õ u1 õ u2 õ tts relação ao triedro fundamental cartesiano, é r = ~ xk (ul, tl:r' 11s) . Ík k
CÁLCULO VROTOKU.L
11
' CAP. III. ANALISE VECTORIAL
162
a decoro posição de r 1. 15, 114)]
59)
esta condição escreve·se [3. 10, 56) e
'
b Xz b XIJ -1> X1 -
õ 11t I õ XI
- -
, ÕIL2
Ô II J
I=
Õ IIJ
b (Xs' x2' Xs) ± b(tts,tt2,u8)'
o.
õ x2 õ Xs - b 112
-Õ IL 2
I-Õ Xr- -õ .Y3 õ us õus
-ÕXs -
õuo
Quando o triedro tan gente é trirectangular, o sistema de coor· denaclas curvilineas diz-se 01·togonal. É ortogonal, por exemplo, o sistema das coordenadas esféricas acima descrito . Transformação de coordenadas. Consideremos uma transformação de coordenadas curvilineas definida pelas relações
u, =
60)
q;>;
u2, -;;o)
(ur ,
i = 1,2,3
cnjo sistema su poremos uniforme, continuo e derivável; suponhamos ainda que existe o sistema inverso e que s.atisfaz às mesmas condições. As derh•adas parciais do vector r em relação aos u1: exprimem-se, em virtude da regra de derivação da função composta, por
Gl)
b~ =!E,. b~r Õ 111.-
ÕUt
+ !:_ . Õ~2 + !E_. b ~s= ~!:_. b ~;.
Õllk
Õ1!2
Õ tl·k
Õlls
Õllk
i
Õ lt ;
ÔU~c
Anàlogameute, as derivadas em relação aos uk exprimem-se por
62)
iE..= Õtt.,.
o_:
b~ . bus+ _Õ112+ b_: .õ ull=~ õ_: _õ u;_ b n,. Õ1tz Õ n,. b /13 b u,. i b tt1 b u,.
Õ111
Ero particu lar, se a transformação ee realiza de coorden adas cartesianas rectanguiares para coordenadas cartesianas rectangulares, tem-se, como é sabido, [2- 1 o 3) J'i =
~ 0:; k k
'
;!.- .
:;; ; = ~ .Xk i k
•
:r, ;
'
PARAGRAFOS ll e 12
163
daqui resulta imediatamente que 63)
~x~ _
-=--
.
~X;
G3a)
;(;~;)
~Xk
-
~
()".ki
õx~.-
expressões que se fixam fàcilruente, notando que o primeiro indice do segundo membro é sempre o da letra sem barra. As derivadas parciais de r(x 1 ,x2 ,x9 ) são, por 61) e 62) ~r _ -=-ÕXk
~ i
~X; -õr . --=ÕX;
ÕXk
~r
__ ~
~r
õ x;
- -~--==-·
~ ;rk
;
~X;
~ Xk
donde, em virtuoie de 63 e 63 a)
64)
3. 12.
Integrais de vectores.
Os conceitos de função primitiva, integral definido, integrais cur\·ilineo, de superfície e de volume estendem-se fàcilmente ao caso de se trata r de funções vectoriais. I. - Primitiva dum vector r (u). Dado o vector r (u), chama-se função p1'imit.iva dele, e representa-se por .fr (u) · d u, ao vector R(u) tal que
G5)
dR(tt) = r(u). du
Desta definição e de 3. 4, prop. I. a e lO.a resulta que se R1 (n) é uma primitiva de r (u) o é também a sua soma com um vector constante c qualquer, e que é R(u) = R1 (tt) +c a expressão geral das primitivas de r (11). Se é
[3. I, 1)] r(1t) = LXk(u). h a decomposição cartesiana k
do vector, a definição e as considerações feitas implicam imediatamente que
GG)
R(n) = j'r(u)·du = ~Í,.· j 'Xk (n)-dn +~ck -ik. k
...
k
164
CAP. III.
ANÁLISE VECTORIAL
11. - Integral definido. A definição dá-se como na Análise ordinária - dado o vector r (tt), define-se integral definido pela igualdnde
j
67)
•U
r (u) . dtt ~ lim ~r ("n;) · (ui- u;_ 1)
uo
quando este limite existe e é o mesmo qualquer que seja a maneira como se efectuou a divisão do intervalo (11 0 , U) em ínten·alos parciais (ui-/, u;), qual1.1 uer que seja o valor Yl; de u tomado em cada um desses intervalos parciais e qualquer que seja a maneira como eles tendem para zero. Demonstra.se que estas condições aã'O verificadas se r ( tt) é função continua de u no intervalo (u 0 , U). Verificam-se as propriedades habituais referentes ao intervalo de integração - s e u 1 é um ponto do intervalo (u 0 , U) tem-se
.L -. u
-. o
,"1
r (u) · du =
68)
J..Q
r (n) · du
+ ),,
r(u) . dn
e, além disso, lt.IQ
ju
69)
r(u).du=
-j
.u
r(u).du.
140
Se R(u) é uma primitiva de r(u), tem-se ainda
70)
/
"U
r(n)·du=R(U)- R(u0 ) .
.., t~Q
Se o vector for dado pela sua decomposição cartesiana, r ( lL) = ~ xk (u) . ik ' é
O teorema da média não se verifica com a forma que tem na Análise ordinária. Apliquemos, com efeito, o teorema da média ao segundo membro de 71); supondo as funções xk (u) continuas,
juo
·•U
tem se
Xk(u)·dtt=(U-uo)·Xk(Tik) onde Tik é um ponto do
Jo
"L'
intervalo (uo, U). Daqui resulta, somando em /c,
r (u) · du =
PARAGRAFO 12
1M
= (U-no)· I Xk(nk) · ik · k
o integral não se exprime, portanto, em
r tomado num ponto do inten•alo, visto que os ·11k dependem, em geral, das funções X1, É, DO entanto, verdadeira a seguinte propriedade: seja ~ um valor do intervalo (uo, U) e P o ponto correspondente; supondo sempre que as funçõc>s Xk (n) são continuas em todo o intervalo, e portanto em tL = ~, façamos tender u 0 e U para ~ ; por virtude da continuidade, Xk (1lk) tende para X ~c(~) e a igualdade acima dá-nos
J r(n). •U
7:"!)
lim
uo.u-~
0
"
U - uo
d1t
= r (C,) .
III. -Integrais curv ilfneo, de superflcie e de volume. As definições dão-se como na Análise ordinária e as propriedades são análogas, à parte os teoremas da média. Dado o vector, função de ponto, r (P) = r (x,, x,, xs) e um arco C, finito, duma cun•a continua e rectificável [3. 6] de equações xil = ~ (x 1 ), x 8 = tjJ (x 1 ), define-se integral c·m·vilineo ao longo de C pela igualdade
73)
j~r(x1 ,x 1
x 8 )·d x 1
=
lim~r(P 1)· h;
[onde P 1 (~;,'11; ,q é o ponto corresponden te ao valor, qualquer, 1 ~~ do intorvo.lo h, .- x~1 ) l e n, = cp (~t), ~ 1 = ~ (~;)] se este limite existe e é o mesmo qualquer que seja a maneira como se .JÇ divide o arco C em arcos parciais, qualquer que seja o ponto P, tomado em cada arco parcial, e (u,) qualquer que seja a maneira como os ht tendem para zero. Estas condições são verificaX,. das se r (x, , x 2 , x 8 ) é função continua de P, pois, na hipótese acima feita. sobre a curva C, o Fig. 46 segundo membro de 7::\) transforma-se num integral definido de vector função continua. de x,.
xt
166
CAP. III. ANÁLISE VEC TORIAL
Definem-se anàlogamente
J r ( P) · d :rs , v('
J r(P) · cls = lim L. r(P 1) ·.~i (v . fi~ . 4,\3). '
(~
E:cemplo. ecalcolemos
Seja uma curva O e dois pontos A («o) e B (u 1 ) dr t·ds. Como[ 3.6, 31)] t= - , tem·se( 1) Ân d$
f
(~uanto
às propriedades, verificam-se, entro outras, as seguintes:
74)
j' Ct
75)
r(P ) .d:c; = j' r(P) - dx, + j" r(P)·d te; ; + Gt
Cr
Ct
,. r(l')· rl x; = - j'r(P) - d x; .... - ü
("
e propriedades idênticas parn os integrais curvillneos j~ r ( JJ) • d s. Os integrais de superflcie e de volume definem-se sobre o mesmo modelo e as propriedades são análogas . Os teoremas da média não se verificam, mas gencraliza.se, na bipóte~:e da con tinuidade, a igualdade 72) deste parágrafo. É
J'l 76)
lim S-+ 0
r (x 1 , a.' :J. a-s) · d S
8
S
== r(P)
77) quando o espaço de integração (área ou volume) tende em todas as direcções para o ponto P, conservando·o sempre no seu interior.
(1,1 O vector função integraoda coincid e aqu.i com o vector de que a curva (' é odógrafa, o que se não dá, evidenfemcmte, em geral.
III.
APliCAÇÕES GEOMÉTRICAS.
Nos parágrafos 3. 5, 6 e 9 do presente capitulo foram já tratadas algu mas aplicações geomé tricas da An álise Vectorial; vamos ainda, a título de exemplo e para mostrar a fecundidade dos métodos deste r amo da Análise, resolver alguns problemas, que agruparemos sob duas rúbricas gerais- problemas de métl'ica e problemas de curvatura. Os problemas tratados seriio em número re trito; o leitor poderá, para roais amplo conhecimento da matéria, consultar as obras indicadas na nota bibliográfica do fim do capitulo.
3. 13.
Problem as de métrica. Superfícies.
Foi visto já no parágrafo 3. 6 como se define a métrica sobre uma curva torsa - 3. 6, 26) d s2 = dr Idr . V amos, por isso, ocupar-nos, apenas, da métrica sobre as soperficies.
A). Primeira forma quádrica fundamental. Seja uma superfl. cie, odógrafa. do vector r(u,v) [u A v parâmetroRdeGauss(3.9)] função continua e admitindo derivadas parciais finitas e continuas em toda a região da soperflcie sobre que lle operar. Consideremos a rede de curvas coot'denadas u = const., v = const ., e seja
3. 8, 45)
dr =
!!:. . d u + !~ . d v ~ tt
õv
o vector diferencial total que, como se sabe r3. 9], exi~te no plano tangente à superfície . Seja C uma curva da superfície, definida por uma relação v= rc (u) entre os dois parâmetros de Gauss, e supo· nhamos que C admite tangente, isto é, que pode escre\·er-se dv=TC' (u) - du; a cada curva C corresponde um veetor dr, tangente a C, existente sobre o plano tangente e individualisado pela relação d ·v = -rr' ( u) . d u; o seu vector finito tangente é
168
CAP. III.
dr br - = -cl tl ôu
78)
A NÁLISE VECTORIAL
+ -br- . 7!, ( 11) • bv
Define-se comprimento de arco elementar ds da curva C sobre a superfície pela ig ualdade 79)
d.• 2 = dr l dr=(~ · du +!E. -dv) I (~ · dn + ~ · dv). btt b1' bu bv
O critério adoptado para a definição da métrica sobre a supe1jicie é, como se vê, exactamente o mesmo que presidira já à definição da métrica duma cur va torsa qualquer [ 3. 6, 2ô)]. Desenvolvendo o segundo membro de 79), encontra-se 80)
d s2 = E . d tt2 + 2 I:' . d u d v
+
G . d v2
com
81)
E=~~'*~= (n·od~~y G =
I
~.: ~!. = (1JtOd b1;
ôV
!!.)
F=~ ~~ b tl b v
2 •
ÔV
É ao segundo membro de 80) que se dá o nome de primeira forma quadrática fundamental da teoria das supe1jícies e dela depende tudo o que, sobre uma superficie, diz respeito a métrica. O comprimento de arco da cun·a C [v= rc (u)] entre dois pontos correspondentfls aos valores tio e u1 do parâmetro, tira-se mediatnmente de 80); tem-se
donde 82)
s=+j~··· ~
v·
du
+
devendo tomar-se o sinal ou o sinal análoga à feita no parágrafo 3. 6.
B).
(dduv)ll -du
d t• +G · E +2 F'--'
conforme convenção
Ângulo de duas curvos da superffcie.
Sejam as curvas
C1 e CR da superflcie, definidas pelas relações v = n (u) e v= p (u)
PARÁGRAFO 13
169
. e seJam [78)] (dr) = -õr + -õr · r. , (n) e (dr) = -õr d lt 1 Õ U dV d ti 2 b tl os vectores tangentes respectivos (fig . 47). Cbama-se tlngulo das duas curvas ao ângulo dos seus dois vectores tangentes; seja ele w, tem-se [1. 14, 100)]
+ -õr . p' (tt) dV
donde resulta imediatamente, efectuando o produto interno do nomeFig. 47 rador, atendendo aos valores 81) dos coeficientes da forma e notando que de 79) resulta mod dr=ds,
83)
cos~
=
E + F[ 1! 1 (u) + p' (tt) ] + G r.' (n). p' ín) . VE+2 Fr.' (u) + G[r.' (u)y . E+ 2 Fp' (n) + G [p' (u)]11
v
Se as duas curvas pertencem à rede das curvas coordenadas, esta expressão simplifica-se; com efeito, para a curva 0 1 , tt= const .,
é
(~!.) = !..:_ dn1
logo cos r,} • cos &>
84)
e para a curva 0 2
V=const ., é (dr)
,
{)v
= cos ( {)r - - ' õr) -
e de F {)u {)n = V E · V G · cos &l resulta
I
rltt!J
= !..:., bu
{)r {)r {)r õr - = mod - . ))tOd õu õv õu õv
= -
•
F
cos w
=V EU.
Daqui se conclue que se F =O é
&J
= ~ e reclprocamente (1), 2
logo a condição necessária e suficiente para que a 1•ede de curt•as coordenadas seja ortogonal [3. 9 ] é que tJeja F = O; no. primeira.
(t) Supõe-se que se trata de pontos em que existe plano tangente à superfície e em que, portanto, o denominador não é nulo nem infinito.
liO
CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL
forma quadrática íundlameutal nii.o existe, entiio, termo rectangular. É o que acontece, por exemplo, na superffcie esférica em que, como se viu [3. 9, exemplo] é
-bõr'f = 1' 8611 o
<J •
[-
~ = ,.. rco.~ '.IJ õ9 .
•
• 8611 'lJ • 1,
.
co.~ e . i/
+ cos . • l '!l . 1 ~
+ sen .
li .
coa a• i2 - sen o. is)
. se tem e em que, por consequência,
E
õrlõr =
=
1· 2 • ~ewoo <~,
Õ
F
=
~:I~~ =O,
G
=
~~I~ ~ -:1~
,
donde
85)
O). Elemento de área. Chama-se elemento de área dS da superflcie à área, em valor absoluto, do paralelogramo infinitésimo construido sobrfl os dois vectores infinités imos tangentes ás duas curvas da rede saldas dum ponto. É portanto, [1. 12, 84)]
dS=
86)
mod [ (dr)u\(dr):~]
representando por (dr) 1 e (dr) 3 os vectores infinitésimos tangentes, respectivamente, ás CUf\'tiS GJ' 'U = COnst., e V=const.;
c2,
. õr daqm resulta que (d r)1 = - . d v,
õr
(d r)a = -
õv
dS=
modl~ 1\ ~1- d1tdv.
lõu
õv
Õn
Mas [1. 14, 103)]
rI r)z + [ (õ r õvõr)Js =
õ -õ ( -Ôlt õv
mod -
=
donde , por 81), 87)
1\ -
b~t
( õubr) 1J1Vd -
2
3
. (
s )~ =E · O, Ti+ ( -d dttdv
,
õr) , mod-
õv
isto é
dS = vEG- fi'B.dttdv.
.d
lt,
donde
.
PARAGRAFOS 13 e 14
171
O elemento de área é, como se vê, um infinitésimo de 2.a ordem (considerando du e dv como de 1." ordem e equivalentes). A definição foi dada de modo a eliminar no elemento de área os infinitésimos de ordem superior. Para a soperflcie esférica tem-se, vi,.to que E = ,.3 . ,qen 9 e, F -~ O . G ,= r 2 , 88)
3.
14.
d8 =
r . .~en o. d 'l> • d a .
Problemas de curvatura.
I. - Curvas torsas. Seja G nma curva, torsa em geral, odógrafa do vector r(s), onde o parâmetro s representa o arco, com as convenções estabelecidas nos parágrafos 3. 5. e 3. 6. Suporemos que o vector r (s) admite, para todo o ponto da curva, um derivado não nulo e que, além disso, é derivável até à ordem exigida pelos cálculos.
Triedro de Serret. Consideremos, tomado num ponto M, dr o vector (3. 6, 31 l] t = - que é, como se sabe, unitário . Resulta ds A).
desse fu.cto que tlt = 1, donde, derivnndo em ordem as, tldt =0, ds
o lJ. ue mostra que dt - e. perpen d'1cu 1ar a t. da dt tário de isto é, façamoR d:; '
89)
dt
-=~·n
ds
seJa.
.
n o vector um-
i> o.
Ao vector n dá-se o nome de normal p1'Í11cipal à curva no ponto !Jf, e ao plano definido por t e n o de plano osculado1· à curva. Consideremos ainda o vector 90)
ao vector b, normal ao plano osculador, dá-se o nome de bino?·rnal à curva no ponto M.
172
CAP. III.
ANALISE VECTORIAL
Ao triedro trirectangular definido pelos três vectores unitários t, n, b chama-se t?·iedro de Serret da curva. Como se vê, esse triedro não é fixo, ''aria de ponto para ponto da cuna. Os três planos do triedro de Serret são (fig. 48): o plano de t e nplano oswlador; o plano de t e bt plano rectificante; o plano de n e b plano normal. Para que o sentido do triedro de c Serret fique determinado, é necessário e suficiente fixar os sentidos dos veca tores t e n ; ora t é, como se sabe Flg. 48 [3. 5 e 3. 6] dirigido no sentido em que o arco s cresce; basta, por conseq aência, determinar o sentido de n . Esse sentido t! tal que o tlngulo de -+
MM'= ó.r(s) com n é agv..do. Para o verificar, desenvolvamos 6. r (s) pela fórmula de Taylor; vem [3. 7, 38)] 6. r(.<~)= 6. s. dr ds
= com lim 6 (s) 6. . -o
=
6. s . t
1 6..~ . • [dll r + 6(s) + -. -~ 3
2!
ds·
J
+ ./- . 6..~2 . [ d t + 6 (.~)] 2!
ds
O, e. onde as derivadas são tomadas no ponto M.
Multipliquemos escalarmente ambos os membros por dt; tem -se ds
I
6. 1' ( s) d t = ...!_ • 6. sz . d t cts 21 di$
I[d + 6 t
ds
(R)] e com o d t
ds
I[d
t ds
+ 6 (s)] >O
para valores 11uficieotemente pequenos de s, é .:lr(s)ldt>O, ds ___.. dt o que mostra ser agudo o ângulo de 6 r (s) = 1'11 1'11' com - = ), · n ds e portanto com n, por ser ). >O. Esta propriedade pode exprimir-se dizendo que o vector n está di1igido no se11tido da concavidade da curva no ponto M . Notemos, de passagem, que a fórmula de Taylor, acima escrita, ó.r(s) = ó.s. t
+.!..... ~-~ 3 • 21
[). .
n t 6 (s)] mostra [1. 7,44)] que
173
PARÁGRAFO 14
-
. MM'= .6. r (s) está no plano dos vectores t e À. n + 6 (s); yuando As tende para zero, isto é q uando M' tende para M sobre a curva, ). . n + 6 (s) tende para À· n e esse plano tende, portanto, para o plano osculador, logo o plano osculador· é a posição limite do M, um ponto M', vizinho de M sobre a
plano definido pelo ponto curva, e o vector t .
B). Fórmulas de Frenet. Consistem essas fórmulas nas expressões das derivadas dos vectores t, n .• b em relação ao arco s. Comecemos pelo vector t; tem-se [89)] dt = À· n; Yejamos a ds
significação do coeficiente ~. Para isso, tracemos, com centro num ponto O arbitrário, (fig. 49) urna esfera de raio unidade. Quando o ponto M se desloca sobre a cuna, o vector eqnipoleote a t tirado por O descreve sobre a superfície dessa c esfera uma curva que se chama indicatriz das tangentes ; seja a o arco da indicatriz, contado a partir dum ponto A' que se faz correspondbr a Fig. 49 A, origem dos arcos sobre O; toma-se como sentido positivo do arco a aquele em que a cresce com s. Ao deslocamento infinitésimo As de !J1. sobre a curva correRponde, na iudicatt·i~, o deslocamento A a que mede o ângulo .6. O das tangentes nos pontos lYI e M'; pela hipótese feita da derivabilidade, t é função continua de 8 e .6. a é, portanto, infinitét:imo com t:u. dt d t da Pela lei de derivação da função de função, tem-se - = - · ds
da
ds
dt
dt que mostra que e têm a mesma direcção e sentido visto que d8 d (J . - por ser a crescente com s; ora -dt é -da é um esca I ar postbvo ela de um vector unitário, visto q ne d t da
=
lim .6. t e, pela métrica adopfl.a-+OÃa
. rnod .6. t ta da nas curvas torsas [ 3 . 6] , é l tm = 1 ; é portanto fl.a-+0 .6. a
174
dt
-
da
CAP. III.
=
ANÁLISE VECTORIAL
n e em virtude de 89) pode escrever-se
91)
rlt
da
r/.-:
ds
- = - ·D
--+
da da . !:J.a Vejamos a sigoificaç1io ge>oruétrica de -- ó - = lun ---= cl11' ds óa~oó. s -
. t,. O l ~m .
A este l'IOHte, ' . que me de a ve l oct'da d e de vannção na
ós-OÓ.s
direcção da tangente à curva C, chama-8e curvatto·a de jlexao, ou p1·imdra cut·vatura, ou, simplesmente, curvatu1·a da curva no ponto
M e representa-se por .!:._, chamando a p raio de cun•atura da ~
curva no ponto 'j{, Tem-se, por consequência,
ti a 1 l = - ,._,d8 9
92)
--+
dt
-
1
= - · D.
ds
f
Dá.-se, ainda, o nome de centro de cun;atura dn cun·a no ponto M à extremidade do vector p · n com origem nesse ponto. Passemos a.r;ora ao rectot· b. De ser b unitário, resulta, como
para t, b
I tI
I{(
b ds
= O e como, por outro
lado, é b 1t
tI
b d t + dlb =O donde, por 92), ddb = O, logo da r ..~ s diculnr a b e t, está na direcção de n , isto é,
93)
db
= O,
~d· ~ ,
8
tem-se per pen-
v>o. <
- = p.·D
ds
Para determinar /J., procedamos, em relação às binormais b, exactamente como acima em relação às tangentes; construida a indicatriz das bioormais o charnundo cr' ao arco dessa indicatriz, d b d b da' cl b tem-se -- = - · e é, por uma ra:;:ão análoga à de cimn, ds do ' ds clri' um vector unitário, logo
9-!)
db
-
do'
= +n. -
' PARAGRAFO 14
175
d a1 d a' /::,. a' /::,. e· Quanto a - , tem-se lim = fim - , chamando d8 ds àt-+0 /::,. s ... o /::,. 8 e' ao ângulo das duas binormai~:~ vizinhas. Este limite, que mede a velocidade de variação da direcção da binormal ou, o que é o mesmo, a velocidade de variaçi'io da direcção do plano osculador e, portanto, a maior ou menor intensidade segundo a qual a curva difere duma curva plana, chama-se segunda cu?·vatltra ou torsdo da curva no ponto jjf, e escreve-se
95)
da'
1
d8
T
-r raio de torsl1o.
A torsão pode ser positiva ou negativa; atendendo a 94) e 95), . db db da' rib a denvada - = - . escreve-se - =
1
.
+- · n e o smal da - -t tors3o depende, por consequência, de serem ou não do mesmo sends
d a' d s
ds
c
tt'd o os vectores -db e n.
.
.. a torooveocwnan d o tomar como posttl\'a da são quando esses dois vectores são de sentidos contrários (o que eq uivale, como fàcilmente se vê, a tom.ar como sentido positivo de movimento das binormais quando s cresce, o sentido directo), tem-se db 1 96) - = - - -n. ll s 't'
Ocupemo-110.,, ji11almente, do vector n. De n =h 1\ t [consequência dn db dt de 90)] resulta - = - 1\ t + b 1\ donde, por 92) e 96) ds
97)
ds
ds
dn 1 1 - = - - -t+ - ·b. d8 p 't'
É às fórmulas
j
9~) ~ a = Oí~) 1
97)
.Q
db
ds =
rl n
_!_ • n P
1
-- -:;- ·
1 p
n
-- = - - . t d.~
+ -1 . b '!'
116
CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL
qne se dá. o nome de fórmu.las de Frenet. Se a curva C é plana., o plano osculador é o plano da curva, a binormal é constantemente perpendicular a e se plano e portanto a torsiio é idênticamente nula; à primeira curvatura cbama-se então, simplesmente, curvatura da curva plana. C). Cá lculo das curva,turas. reeulta imediatamente que
J P
98)
Da primeira fórmula de Frenet
dt = ds
- - mod -
d2r
1110d-.
d s2
Da segunda e primeira resulta
db
1
1
dt
d2r
-=- -· p ·- =-- . p · - ; ds -r ds -r d ,q::J
por outro lado,
db , mu 1.t1p )'1can do esca )anDente Igaalaodo os doia vnlores rle -d$ .
I
I
. l'fi d _ !___ • d r d r ~ dr 1\ d·' r t!:_:l r , por -d2r e snmp 1 can o, vem 'r ds 9 dg1 ds dtJd2 ds 2 donde, por 98) e atendendo às propriedades do produto misto 2
2
[1. 15] 99) Costuma, ainda, definir-se cw·vatura total duma curva torsa como o número Ir. tal que
100)
1 d ll - =mod-. k
ds
177
PARÁGRAFO 14
A terceira fórmula de Frenet mostra imediatamente que, por serem t e b perpendiculares entre si, é 101)
Se o parâmetro não é o arco, isto é, s~ a curva C' é descrita vectorial mente por um vector r (u}, calculam-se fàcilmente, a partir de 98) e 99), lUI expressões das cnn::turas. Tt>m-se, pela lei de derh·açiio da função ele função, dr du
dr d s ds du
-=- ·- ,
donde, depois de simplificações evidentes,
Oa, r
por ser t = -dr ds
dt)
. , . e ang ( t , - = - r. nmtar10 ds 2
tem-se
2 d2 r logo, de 98) resulta mod dr - ;\ -d r) = mod( ds ds 3 · ds 2
102)
e de 99) tira-se 103)
clLCULO VBOTORIAL
12
' CAP. III. ANALISE VECTORIAL
178
D).
Expressões cartesianas. Seja r(s)= ~~k(s) · 4 a decomk
posição cartesiana do vector que descreve a curva C, isto é, sejam .Xk = Xk (s), !c= 1, 2, 3, as equações carte5iana~~ da curva. T~m-,se imediatamente
104)
lOõ) 1013)
dr
=
t = -
ds
drrk .
Ik
·1•
ds
n = p , d t = o , I d' :ek . i k rls
'
k
h=t/\D=f~·
d s 11
is
x~ (s)
i2 x2(s)
x~ c-~)
x~· (s)
x~ (s)
x:i(s)
it
Os coeficientes do plano oscolador, proporcionais às coordenadas da biuormal , são 1M) A=~·~-~·~; E=~-~-~·~; 0= ~·~-~-~ (derivadas tomadas em relaçiio a s). Para as curvaturas, tem-se: de 98):
1
108)
I
p
[x~ (s)Jl
de 99): 109)
2 D _ 1 1 .D_ D -; = P • - I [xi-'(s)f
=I x~:e~
k
1
(s) .xj, (s) a:8 (t) (s) w~ (11) x8 (s)
:r~· (s) x~· (s) x8' (s)
Se o paríimetro do vector não é o arco s, resulta de 102) que
110)
1 p
-
(AB =
I
+ Bll + az)9
(::r
onde A, B, C são dados por 101) mas com as derivadas tomadas em relação a tL •
PARÁGRAFOS 14 e 15
179
De 103) e 110) tira-se, para a torsão, 111)
1
o
-; =r .
c:y . 1
D
1
1
= A2
+ Bz + (}2.
D I
onde D 1 é o determinante D de 109) mas com as derivadas tomadas em ordem a u .
3. 15.
Problemas de curvatura.
li.- Superffcies. Seja uma superficie S, odógrafa do vector r (u, v) que supomos função continua dos parâmetros de Gauss u e v e admitindo, em relação a eles, derivadas parciais até à ordem
exigida pelos cálculos em cada ponto da superfície; supomos ainda que as der i vadas de 1. a ordem são diferentes de zero. A). Normol. Plano tangente. No parágrafo 3. 9 definiu-se vector unitário normal à superflcie pela igualdade
3. 9, 50)
n
N
=
--
modN
= ------
mod ôr - ; \ôr) -
(h
õv
Deste vector deduz-se fàcilmente outra expressão, onde figuram os coficientes da primeira forma quadrática fundamental
Flg. li()
[3. 13, 80) e 81)]. Com efeito, de 1. 14, 103) resulta 2
mod õr - ;\ õr)] [ ( bu bv
+ (õrlbr) _ õu bv
9
2
=
(
br) · ( mod õr)s mod-
bu
õv
180
CAP. III.
que, em
virtnd~
br) mod ( -ôr A-
de 3. 13, 81 ) se escreve =
~v
õu
ANÁLISE VECTORIAL
.1 vEG-F!! logo
1 ~r ôr , n = -=. - !\ - - I l -= EG - F:J. VH ~u ôv
112)
O pl a n o tang ente em M à superfície é, como se sabe, o plano perpendicular à normal nesse ponto; a sua equação vectorial é,
portanto,
-~õr NP - 1\ õr - = 0. ÔU ÕV
113)
B). Segunda lorma quadrática fundamentaL No p ar ágrafo 3. 13 definiu-se a pri meira forma quadrática (eru d u e d v) da teoria das superficies e viu-se que dsla dependem ae suaa propriedades métri· cas . Vamos a.gora definir outra forma quadrática em d1t e dv, com a qtml e~tão ligadas as proj)riedades de curvatura da superflcie. Essa forma define-se como igual ao produto escalar - dr' d n . Tem-se, por consequência,
- dr I d = -
~r
n= -
I
(ôbur.d
u
õr · d v) bv
(~~I~ n + b r
On . d tts -
~u ~v
llu õu
bl/
I
·
I(bn . õu
du
b n) . d u d v -
f)a
+ ~ n.d v) = õv
~r
~v
I
õn . d v~'
ÕV
isto é,
114)
- dr Id n
= D • d u:J + 2 D' · d u d v
.J..
D' 1 • d 'I?
com
lló)
D=-~r~õn, õa du
D 11
=
_
õrlõn. õv õv
A estes coeficiences pode dar-se outra for ma; deriraodo as rela-
. hl
ções evtdentes -
0u
õrl
n =O, - n =O em relação a u e v, tem -se bv
PARÁGRAFO 15
D
=
18 1
I
õ9r n' D' =
dull
~I n' buôv
2
I
D" = õ r2 n donde, sub.:.ti toindo n ôv '
pelo seu valor 112), 116)
I
D = _!_. õ r ôr I\ õ~r
VIl õu õv
I
õu 2 '
I
D ' = _1_ . õ r ôr I\ ~ ô 1t bv bubv'
vH
2
D'' = _!_ . õ r ô r I\ ô r . VH ôu õv ôv2 Vamos ver, por alguns exemplos, como aos problemas de curvatura interessa, de facto, a forma 114).
O). Curvatura normal duma curva sobre a superffcie. Seja C uma curva traçada sobre a superficie S, t o vector unitário da tangente a essa curva e ·n 1 o vector unitário da soa normal prin-
dt
cipal [3. 14] , dirigido, como se sabe, segundo d
,
seja ainda n
11
o vector unitário da normal à soperflcie. Os dois planos (t , n), nor mal à soperflcie, e
(t, d,, dt) ,
oscula-
dor à curva O, são, eru geral, di ferentes; se representarmos por a o ângulo de dt com n, o ângulo dos dois planos é a ou
ds
1r-
a
conforme n for dirigido ou não para o mesmo lado da superficie
dt
que - . ds Posto isto, consideremos o produto escalar
dtln, ds
que repre-
1 1 sentaremos por N . É [3. 14, 92)] N = - . n1 I n = - · cos 11; e
p
p
182
CAP. III.
como, por serem
t
ANÁLISE VECTORIAL
I +tI d
e n ortogonais, se tem dt n
ds
n =O, ds
vem N=_!_·cosa = -tlrln=_drldn=_drldn ou s('ja por P ds ds ds d sR 114) e 3. 13, 80)
117)
1
N=-.
COS
Ddu1 Edu
p
2
+ 2 D'rludTJ + D"dv' • + 2 F d u d v + G d v'
Desta igualdade tira-se a seguinte conclusão importante- o segundo membro d('pende, além das derivadas parciais de r e n em ordem a u e v, que nada têm que ver com a curva O, apenas do quociente dv. Ete não se altera, portanto, quando a curva C
du
variu, conservando a mesma tangentt~ , e daqui resultam as duas consequências Regnintes: a) tudo ao mantém e m 117) quu.ndo se substitue a curva C pela secção plv.na obtida na superfir ie cortando· a com o plano osculador a C; com efeito, tanto o segundo membro de 117) como rr conservam o mesmo valor; b) se for 0 1 outra curva, sobre a superficie, com a mesma tangente qu·e C e plano oscu lador difere nte, chamando a 1 ao ângulo da sou normal principal com n e pr ao seu raio de CLirvatura, tem-se 118)
1 1 - ·cosa = - · cos rr 1 •
p
pr
Em particular, se para a secção plana C é ~=O, isto é, 1!6 o plano da secção coincide com o plano (t, n), (C diz-se, então, urna secçdo no1·mal à superflcie), tem-se, chamando R ao seu raio de curvatura 119)
1 N= - . R
Isto é, quando C é uma secção normal, N é a sua curva!ura (flexão); por isso a N se dá, em geral, o nome de cu1·vat·ura normal duma curva C da superflcie, De 117) e 119) resulta qoe
120)
1 1 N = - = - · cosa __,.. R p
~
"""' R · cos- rr
183
PARÁGRAFO 15
igualdade que mostra que o centro de curvatura da curva C se obtém projectado sobre o seu plano o colador o centro de curvatura da secção normal que tem a mesma tangente (teorema de Meusniel'). Em resulllo:
a curvatura uorruul e a curvatura de flexão, num ponto, duma curva qualquer sobre a superftcie, !:'ão iguais à da secção plana que se obtém cortando, nesse ponto a superficie com o plano oscul11.dor à curva; b) o estudo da cnn-atura doma secção plana reduz se, por 120), à da secção normal que tem a mesma tangente. 1 Como é sempre p >O, a expressão N = - · cos u mostra ~
ainda que a cunrntura normnl é positiva ou negativa conforme n normal principal à curva e a normal à superfície formarem um ângulo agudo ou obtuso, isto é, conforme a normal n estiver orient!l.da uo sentido da concavidade ou no da com·exídade dn superficie.
D). Curveture geodésica. Seja á curva C nas condições ante· riores; chama-se cu1·vatU1·a geodésica de C ao produto escalar
= dtl - t1 ,
. . . perpen d'teu Iar a. tan· c Itama·se t 1 ao vector nUttarto ds gente t e existente sobre o plano tangente à superflcie; é claro
G
que (fig. 51) t, é perpendicular ao plano (t, n) e o ãogulo de d t
ds
com t, é u- -~ ou -n
2
2
+a
· · da no sen· con f orme n esbver or1enta
tido da convexidade ou da concavidade da superffcie; é, portanto,
121)
1 G = - · n1 It1 p
=
+ -1 · sen a p
e G é, afinal, a curvatura da projecção de C sobre o plano tan· gente à superficie. R). linhas geodésicas Dá-se este nome a toda a curvn traçada sobre a superficie cujo plano osculador em cada ponto coincide com o plano (t, n), isto é, tal que quando o ponto ~/ descreve a curva o plano osculador se mantém normal à superficie. Para uma geodé· sica tem-se, por ser a = O ou a = ~ ,
184
CAP. III.
122)
'
ANALISE VECTORIAL
1
N=+-;
G=O,
p
a sua curvatura geodésica é portanto nula e a sua curvatura llormal é, à parte o sinal, ig ual à sua curvatura de flexão .
F). linhas assinlóticas. Dá-se este nome il s curvas da super· fl cie que têm e m cada pooto curvatura fl()rmal uula. 11\ p(\r consequência (117)]
11= ~. (a. menos qu e 2
8&
trate de rectas) isto é, as
linhas assintóticas são aquelas cujo vlano osculador coincide com o plano tan gente à superficie. De 117) resulta ainda qoe a equação diferencial das l inhas assintóticas é
D · d u3
123)
+ 2 D' · d u d v + D''. d v 2 =O.
Uma discussão elementar mostra que os pontos da soperflcie ~e podem classificar, em relação à existência de assintóticas, em: a) ponto em que D'2 - D. D " >O- n equação 123) tem duas raizes reais em d v, logo há duas assintóticas reais e o ponto diz. se
du hipe,·bólioo; h) ponto em que D' 3 - D · D '' = 0 na duas assintóticas siio coincidentes e o ponto diz-se parabólico; c~ ponto em que D''- D . D''
9 N = D du 11+ 2 D' dtt d-v
N . (E
Ed1t
+ 2F
+ D" dv 2 ;
+ 2 Fdudv + Gdv 2
. ).
+ G . 12) -
(D
dv
fazendo - =)., tem -se dtt
+ 2 D' . ). + D" . /, = O , 9
)
e quação do 2. 0 grau ew ). que se' escreve
124) (N G - D").
~.t
+ 2 · (FN -
D') ·I. + N E- D =O
e qn0 mostra que por cada ponto d~ superficie passam. em geral, duas cunas (dois vulores de
I. =::)
correspondentemente a C111da
valor de N. A condição necessária e suficiente para que essas
PARÁGRAFO 15
185
duas curvas sejam reais e coincidentes é que (F N - D')S - (N G- D'') · (N E - D) = O. 'sta equação é, como se vê, do 2. 0 grau em N 1~5)
(EG - F 3 ). N 3 + (2FD'- DG-ED 11 ) . N+DD"- D'2 =0 e às soas duas raizes, N 1 e Na, dá-se o nome da curvaturas principais da superficie no ponto considerado. Demonstra-se que as curvaturas principais constituem os valores extremos (máximo e mínimo) da curvatura normal e nesta propriedade reside a soa particular importância.
FI). Curvature duma superffcie. A curvatura doma curva plana mede·se pela variação de direcção da sua normal; as duas curvaturas duma curva torsa medem-se pela variação de direcção da sua normal principal (flexão) e da sua binormal (torslio) No caso doma superffcie, o problema é mais complic~tdo- a forma da superficie na vizinhança dom ponto depende do comportamento da infinidade de curvas da soperflcie que passam por esse ponto e é, evidentemente, impossfvel dar uma definição de curvatura (que convém que seja simples) que abranja todos esses elementos. Mas algumas considerações anteriores [C)J permitem guiar-nos na escolha doma função que possa caracterizar a cur\·atura duma superflcie num ponto. Em primeiro lugar, podem considerar-se apenas as secções planas; destas, as não normais podem excluir-se, visto que o estudo do seu comportamento se reduz imediatamente ao da~:~ secções normais [120)]; por outro latfo, das secções normais bá ainda, como privilegiadas, as principais, correspondendo a valores extremos da curvatura normal; o problema reduz-se, portanto, à escolha duma função conveniente das curvaturas principais N 1 e N 3 • Há várias definições de curvatura; citaremos duas, sem entrar em mais detalhes sobre o assunto: a) curvatura total (Gauss)
DD''-D'3 K = Nt· Na = ;
127)
E G- fi"J
b) curvatura média (Sophie Germain) 127)
Kz=
1
1
2 · (Nz+ N~)-=- 2 ·
2 F D' - D G - E D"
EG -Fa
IV.
DERIVAÇÃO TENSORIAL E DERIVAÇÃO DIRIGIDA
3. 16.
Derivação tensorial dum vector.
Seja o campo vectorial [3. 1] r (P) =r (:v 1 , x~ , x 8 ) = = ~X . . (x 1 , x2, x 8) · is onde (x,, Xz, xs) é um sistema de coordek
nadas cartesianas rectangulares . Construamos o 2. a ordem, de componente a
.~istema
[2. 7] de
i> X;
128)
t;Jk=-, ÔXk
e vejamos como elas se co mportam quando se efectua uma transformação ortogonal de coordenadas [2. 1, 6)] x1 = ~ a;k. Xk. k
Chamando componente
~ t i/k a. expressao
tran:~formada
no novo sistema (x 1 , x 2 , x 8 )
i> x, tem-se, ut1'l"1zan d o a regra de dert\·açao . - da =-=-, i>.rk
função composta [3. 10] e aten dendo n 3. 11, 63 a),
t,,k = -
i>
i> X, = -Ir:x.;t·X=
ÔXk
= =
ÔXs I
I a•1·
i>
-
- X, Ô Xk
1
i> Xt b;;, i> x, i> XI I a.u · I -=- · ~ = I a,J • I a.k r • -=- = I a.;, · ak , • -='
r ÔXr
I
a.u . a"~ t11r
ÔXr,
I
r
ÔXr
Ir
Ô.C r
.
Ir
Quanto à. transformação inversa, te m-se,
- I l r
cx1; • ex,. k
•
t1,,
•
~nà loga mente,
PARÁGRAfOS 16 e 17
187
E::;tes dois resultados mostruro, por 2. 7, 40) e 41), que a componentes ttfl: se cowportam com o as de um tensor de 2. 1 ordem. De{lnição.
Ao tensor taJI< , definido po1· 12 ~. chama-se tenso1·
derivado do vector r (P) =~X._ (x 1 1 x2 , x5)
.
it e à operação pela
k
qual ele se obtém chama se de,·it·açc7o tensorial do t:ector r lP). Esta operação generaliza-se, como fàcilmente se vê, a um tensor de orde m qualquer cujas componentes seja m fun<;ões das coordenadas cartesianas (a.- 1 , a.-2 1 x 8 ) ; obtém-se, como é óbvio, um novo tens or, cuja ordem é superior numa unidade à do anterior. A openção de deril·açã.o teosorial está, como veremos no capltnlo seguinte, na base dn teoria matem~t ica dos campo s.
3. 17.
Derivação dirigida.
0 conceito de dn·iv'lda
d~'n'gida OU
deri'f:ada segundo uma
dÍ1'f!C·
yllO é uma generalização do conceito de derivada parcial. Seja, no espaç rJ a três diwensões, referido a 'um siste ma de coordenadas
carte ianas rectaugolares, o escalar m (P); o que significu
b-m l' m(.TJ -= un bxr ~ :z:, ... o
-
+ ó.x1 .x.,a:a)- m(x1,x2 ,x8)
?
Ãx,
significa que esta derivada é o limite da razão incrementlll quand o do ponto Po(x,,:c3,xs) se passa ao ponto P 1 (x 1 + ÂXt 1 X2 ,xs), isto é, quando se deu ao ponto um deslocamento infinitésimo sobre uma paralela ao ei:ro O x 1 • ~m ~m _ Do 1nesmo modo, - - , - - sao bX3
bXs
obtidas dando ao ponto, arguFJg. IIli mento de m(P), deslocamentos infinitésimos sobre paralelus respectiva mente· aos eixos Ox3 e Oxs. Pois bem, no conceito gernl de uerivada dirigidll , a direcção saindo de P 0 , e sobre a qual se efectua o deslocamento, é qualquer; as
CAP. 111. ANÁLISE VECTORIAL
188
derivadas parc1a1s aparecem assim como derivadas dirigidrH• parti. culares - as derivadas egundo as direcções dos eixos. O qu~ está dito para um escalar aplica-se ipsis ve'rbis a um vector r (P). Calculemos as derivadas. Derivado de um escalar. Seja o escalar m (P) e um ponto P 0(:c1 , Xg, x 8) do espaço. Seja s = ~ ak · ik um vector livre, e seja A).
-
k
t:.P = P1 - P0 um deslocamento infinitésim o na direcção de s (fig. 52); chama· se de1·ivada dirigida do escalar m segundo s, e representa-se por
~ m,
ao
e~calar
~m
=
lim m(P1 ) - m(Po)
bs
1:?9)
~8
&-;_.o
definido pela igualdade
mod ~
se existir o limite do segundo membro quando P 1 tende pnra P 0 de qualquer maneira, mas sobre a linha de acção de s. --+ --+ Fn.zendo mod à P = p, tem-!e t:. P = P 1 - Po = X 1 • i1 + + x2 • is + Xo . is = p . cos CXJ • il + p • COB (;(2 • is + p • C08 Gls • is sendo cos cx1 , cos cx2 , cos cx8 os cosenos directores do suporte tle s, isto é, 5
as componeotes do vector unitário - - ; é, portanto, fazendo mods m (Pz) - m (Po) = Â m , Â m = m (x 1 p cos "'', Xt + p cos o:2 , :r8
+ pcos "'a)
+
- m (:rt,
+
Xg, X3).
Suponhamos que a função m(P) é tal que se lhe pode aplicar a fórmula de Taylor ; \'em
F
onde ~
-
m
~s
é finito. Resulta daqui que, pela definição (12 9)] é
. t:.m = lzm - = p.... o P
bm
CO$ OI.J • -
~:c1
+
bm
COiJ 1Xt • -
~:rJ
+ C0.9 e<8 • -~ m j bxs
tem-se, por consequ ência, para valor da derh,ada dirigida,
130)
PARÁGRAFOS 17 e 18
189
Se n é o vector unitário da normal a uma superflcie de ni\·el (3. 1] do campo escalar m ( P) passando pelo ponto P, é, então, ak = (xk, n) e a derivada segunrio a normal tem por valor
131)
õm = õn
-
~
"'-'cos(.x-~r,
õm n).-. Õ~k
k
8). Derivado dum vector. Seja o vector r ( P). Define-se do mesmo modo de1·ivada segundo a direcçllo de s pela igualdade 132)
õr = õs
Úm r (P 1)
-
Pt-+Po mod(P1
r(Po) -
P o)
se este limite existe quando P1 tende para P0 de qualquer maneira , mas sobre a linha de acção de s. O raciocinio anterior é aplicável e, se o vector r(P) admite desenvolvimento em fórmula de Taylor, tem-se
133) Definem-se derivadas dirigidas de ordem superior.
3. 18.
Bibliografia.
Max Lagally - Vorlesungcn über Vekwr-Rechnung. Leipzig, 1928. C. E. Weatherburn - Elementary Vector Analysis. Londres, 1935. A. Chatelet e J. Kampé de Fóriet- Calcul Vector1'el. Paris, 1924. G. Bouligand- Leçon$ de Géometrie Vecwrielle. Paris, 1924. G. Juvet- [eçons cl'Analyse Vectoríelle tVol. 1. 0 ). Paris, 1933. A. Tresse - Éléments ele Géomét,.ie Analytique. Paris, 1925. C. Burali-Forti e H. Mareolongo - Flémenls de Cc.tlcul Vecloriel (tradu9ão francesa) . Paris, 1910. R. Garoier- Cours ele Mathématiques Gé>1éralu (Vol. 1.•). Paris, 1930. R. Courant- Porletunge11 über Difjtrelltial-und lntegralrechntmg (V o!. 2.•). Berlim, 1931. G. Julia - Élements de Géometrie b1jinitésimale. Paris, 1927.
CAP. III. ANÁLISE VECTORIAL
EXERCÍCIOS 1.
Dados os vectores coustantes a e b, a constante escalar u ~ cos ( n · t) ·a + sen (n · l) · b , «~ u a) calcular - -
d
t~
11
e o vector
+ n 2 u ·, du
b) verilicar que u A di- n · a;\b. 2.
Deduzir, das expressões gerajs das curvaturas das cunas torsas, as curvaturas das cun·as planas.
3.
Calr.ular as curvaturas da hélice circular recta .
.4.
Dada uma curva (C) do espaço, w = w (u), e um vector corr tante a, escrever a equação ,ia superfície cilíndrica r! e directriz (C) e gera trizes paralelas a a e fazer, sobre essa superfície, as determinações seguintl's: a) a dnas formas quadráticas fundamentais; 6) rede t' = const., v -= su perfi cie ;
co•~t.;
ortogonalidade · ângulos de curns obre a
c) elemen to de área; d) curvatura normal d., curvas sobre 11 , uperflcie;
e) curvaturas total e média da superfície.
5.
FaJ.tlr o estndo indicado no exerc icio anterior no caso em que a directriz ó a circunfer!)ucia do plano O ~:e y de centro na origem e raio r e o vector a é o vector unitário do eixo O z. Sobre essa superf!eio, determinar as curvas que cortam as gcratrizes sob um ângulo constaote.
6. Calcular os prorlutos cscalarea e vectoliais da derivadas cm ordem a s dos vectores unitários do triedro do Serret. Verificar que, quando a fle~>ão e a torsão duma o.;urva são constantes, o vecdn db . tor h - - 1\- ó cons tante e deduzir daf que a curva é uma béhce cir· ds
ds
cular. (Demonstrar-so-á que os eixos do triedro de Scrrct formam âogu!os couatantes com o vector consta te h; o facto de a hélice ser circular deduzir-se-á em seguida da constância da flexão).
7,
Provar que toda o curva cujo raio de torsão e curvatura estão nu tna razão constante é uma hólice. (Sendo __.:_ - k, estudar o vector h
=
t
P
cionais .::om os eixos do triedro de Serret).
+ k ·b
e as suas r elacões rlirec-
PARÁGRAFO 18
l !Jl
8.
l•'azer um estudo análogo ao do ex.ercJCIO n.• 4 sobre a superfície cónica cuja directriz é uma curva qualquer (C) e cujo vértice é um pon to 'lua]. quer fora de (C). Caso particular- snperfíde cónica circular recta.
9.
Sejam: O a orige.n, P o ponto de coordenadas (x.k), r - P - O 1 1· - mad r , t o vector unitário da direc\•ão s. V('rificar que a)
b)
õ )'
1
õs
r
-=-· tlr br - = t. ÕS
Cap. IV. I.
Teoria dos Campos.
OPERADORES DIFERENCIAIS.
4. 1.
Definições.
A ope1·ação de derivada tensorial, definida no parágrafo 16 do capitulo 3, permite definir três operadores dije1·enciais da maior importância na teoria matemática dos campos.
Gradiante. Seja o campo escalar U (x1, x2, xs) onde U é um escalar admitindo derivadas parciait1 e invat-iante com os sistemas cartesianos rectangulares, isto é, tal que U (x1, X2, xs) = = U(~, ('J. Um tal escalar é [2. 7, consequência 2.a] um tensor de ordem zero. A sua derivada tensorial é, portanto, um 'OU 'OU 'OU vecto1' de coordenad:1s - - , - - , - -. A esse vector chama-se 'Ox1 'O X:J 'Oxs gradiante do escalar U, e escreve-se l. o
-
xa, xs)
1) 2. 0 - Divergência.
Seja o campo vectorial r ( P) = ~ lú · h, k
admitindo derivadas parciais; construamos o seu tensor derivado
t, 1k =
-ox. ~ e 'O
contraiamos esse tensor; obtém-se [2. 11 ] o escalar
Xk
(1) A invariância do escalar fun ção do campo em relação aos sistemas de coordenad ~ s
é o caso corrente da Física; evidentemente, a distribuição de temperaturas dum campo, por exemplo, é independente do sistema de coordenada• a que essa região do espaço esteja porventura referida. C.lLC!JLO V'EO'rORU L
13
CAP. IV.
194
TEORIA DOS CAMPOS
L t~ 1 ~; =L õ X~; que 11e chama divergência do vector r(P) e escreve-se k
k ÔXk
~
~~x .
~)
divr =~-v-· . k
3. 0
-
ÕXk
Rotacional. Seja ainda o campo vectorial r (P)=
L . .r~;. h k
e componhamos o seu derivado tensorial com o tensor E [2. 8] saturando dois pares de índices. Obtém·se, é claro, um vector, que se diz rotaçllo ou rotacional ou lurbilhllo de r e que se representa por rot r ou (notação usada sobretudo pelos autores ingleses e americanos) curlr ('). Determinemos a decomposição cartesiana de rot r. Por defini·
- é rol r= ~Yi ~ ·ii com [ 2• 11 ] Yi = ~ ~õ X; çao, - · e;ik 1
ik
Õ;rk
=
õ Xt
e1j2 · -
ÔX2
+
õ~ õL õ~ + eJ}B • -õ~ + 8JJjJ · - + eaja • - - + eojJ · + eoj2 • -õ~ ( 2). õ~
õ~
õ~
õ~
õ~
Fazendo j = 1, 2, 3 e atendendo aos valores das componentes 1 , eros = e2rs = es21 = - 1 , obtém-se de E, 8t28 = e281 = e8r!l =
+
3)
rot r =
+
(Õ Xs _ ÕX2') . it + (Õ X, _ õ Xo) .i õxs
õxo,
ÕXJ
ÕX2,
ÕJ's
2
+
ÕX1
(õ X!l _ õ X1) .is
qne pode escrever-se simbolicamente
4)
rot r=
i1 Õ X1 Õ X2 Õ Xs
Xt
X2
Xs
õ
com a condição de se interpretar o produto - .
xk
como sendo
ÔXi
. l -õXk . ad a parcta a d en.v ÔX;
(1) A palavra curl significa anet. (2) Omitindo já, por serem nulos, todos os termos em que figuram dois índices iguais em e0 ~ .
PARÁGRAFOS 1 e 2
195
Do que foi dito em 2. 11 sobre as composições em que entra o tensor E, resulta que o operador rotacional é axial. Como se vê, os três operadores que acabam de ser definidos actuando sobre campos deduzem deles outros campos; mais precisamente: Operador gradiante - deduz dum campo escalar nm campo vectorial; Operador díverg êncz'a- deduz dnm campo vectorial um campo escalar; Operador rotacional - deduz dum campo vectorial um campo vectorial.
4. 2.
Primeiras propriedades.
A) . Expressões na derivação ordinário. Os três operadores diferenciais foram definidos a partir da operação de derivação tensorial; relacionam-se, porém, fàcilmeote com a derivação ordinária.
Gradiante. - A igualdade 4. 1, 1) exprime que as coordenadas de grad U são as derivadas ordinárias (parciais) do escalar U(P). , . - S eJa . o vector r (P) = ~ ~ n.k "''" • lk . D we1·gêncta.
~ ô -xj = ~ . Õ Xk
J
Õ)
.
·11
I
k
;
tem-se -br = ÕXk
don de lt< . -ô r = ô . de de 4 • I, 2) , é - xk 1ogo, em v1rtu ÔXk
I) X;;
~ -~ - l)r . d wr= -""lk k
Rotacional. -É, auàlogamente,
Õ Xk
.
CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS
196
donde, somando, 6)
rot r
~·
= ~h (\ k
~r .
{)
Xl
B). Linearidade. As igualdades õ) e 6) juntas com 4. 1, 1) mos tram imediatamente que grad ( Ut + U2) = grad U1 + grad U2 div (r 1 + r 2) = div r 1 + div r 2 [ rot (r 1 + r 2) = rot r1 + rot r2
7)
e que, sendo p um escalar constante é grad ( p . U) =
~ ~ ( P . U)
~
k
~ ~ U . d U · l.k = ~ p·· l k = p • gra ,
Ô Xk
k
'( p·r) =~lk ~-~b (p·r) dw k b Xk e anàlogamente rot (p . r) Estas três igualdades
=
l
~-~ p ·br- = P· d'wr
=~lk k
{) Xk
p • 1·ot r.
grad(p · U) div(p ·r) 1·ot (p . r)
8)
{) Xk
= =
=
p • grad U p • divr p · rot r
p = const.
juntamente com 7) mostram [1. 18, 130)] que para p = const., os trê11 operarlores diferenciais que estamos estudando são operadot·es lineares. As igualdades 8) não subsistem se p for um escalar fnnoão de ponto; introduzem·se outros termos que contêm as derivadas de p [3, 23); 4, 26); 5, 30)]- a linearidade desaparece portanto quando o multiplicador p for funçilo de P . Do gradiante pode porém dizer-se, sem restrição, que é um operador linear visto que, quando p é função de ponto , o produto p · U é, não o produto do campo por um número, mas sim o produto de dois campos.
C).
lnvariâncio.
Os três operadores diferenciais sdo invariantes com uma trans[orma9t10 01·togonal dos ei:r:os.
Seja, com efeito, a transformação ortogonal [2. 1, 6)] :r:i = ~ai h • Xk, h = ~ Cl.kz ·i;; para o escalar invariante U tem-se k
PARÁGRAFO 2
197
[3. 11, 62 a)]
o que prova a invariância de g1·ad U. A demonstração é análoga para os outros dois operadores; façamos, por exemplo, a verificação para o rotacional, não havendo mais que trocar o sinal do produto externo em interno para ter a divergência.
~-;-
~r
=~ ~. A ---=-.
•
~x.
Adiante [ 4. 9] se verá que a invariância destes operadores diz respeito, não apenas a sistemas ortogonais, mas a quaisquer sistemas de coordenadas.
D). O vector simbólico v (nabla). Os três operadores diferenciais podem exprimir ·se muito simplesmente num operador simbólico, introduzido por Hamilton, o vector simbólico v, que se lê nabla, definido pela igualdade
9)
v=
-
~
~Xt
. + -~1 3. +-la ~ . .
lJ
~Xz
~Xs
Por convenção, este operador simbólico, de carácter vectorial, pode ser aplicado a um escalar ou a um vector e está sujeito às regras ordinárias da álgebra vectorial, estudadas no capitulo 1. Assim, dado um escalar U(P), o produto V U, que se lê
CAP. IV.
198
TEORIA DOS CAMPOS
nabla U o a del U, interpreta-se conforme a igualdade
isto é, V U = grad U.
10) Anàlogamente, tem-se
11)
õr
vr = -
ÔX J
. õr . ôr · 11 + - · 1.:1 + -
. · 1s ÔXS
ÔX2
entidade que não é, manifestamente, nem um vector nem um escalar. O jogo das regras da álgebra vectorial permite exprimir div r e rot r ; efectivamente
logo, simbolicamente,
vir= divr.
12)
A nàlogamente se encontra
v/\r =
13)
rotr
que coincide com a igualdade simbólica 4. 1, 4). As fórmulas 10), 12) e 13) permitem o estabelecimento rápido de certas relações entre os operadores diferenciais; o seu uso requere, porém, uma atenção cuidadosa na consideração daqueles termos sobre os quais incide o símbolo V. As derivadas dirigidas exprimem -se também fàcilmente no ope· rador V. Efectivamente, chamando t ao vector unitário de coordenadas cos (lk , k = 1 , 2, 3, a igualdade, 3. 17, 130) que dá a derivada do escalar U segundo a linha de acção de s, de vector unitário t, escreve-se
14)
ou = õs
tlgrad U
=ti V U.
j
199
PARÁGRAFOS 2 e 3
Se essa linha de acção é normal à superfície de nlvel que passa pelo ponto considerado,, tem-se, chamando n ao vector unitário da normal a essa superfície, n = ~ cos (x,., n). h donde
õU
15)
-- = n ~n
I gmd U = n I V U.
Do mesmo modo, a derivada dirigida dom vector pod13 escrever· -se [3. 17, 133)]
õr=t!Vr. õs
16) Se s é o vector de que s = 1nods,
t
é o vector unitário, tem-se, fazendo
õr s-=siVr. bs
16a)
Passamos 11.gora a estudar mais minuciosamente cada um dos operadores.
4. 3.
O operador gradiante.
A).
Interpretação geométrica.
Seja o campo escalar continuo
U(P); consideremos (fig. 53) dois pontos vizinhos P e P 1 do campo e as enperfícies de aivel [3. 1] que passam pelos pontos P e P1 • ~
+
Façamos P1 - P = d P e sejam U e U d U os valores da função do campo nas superfícies de nivel \'ÍZinbas; tem-se no sistema cartesiano rectangular
d
V=~~~. da-" k
17)
O cc1 , .c2, Xs,
-
dP =
L d x, • ik
e
k
donde [4. 1, 1) e 1. 13, 94))
ÕXk
d U = grad Uld J>
relAção que é válida qualquer que seja a direcção do deslocamento ~
infinitésimo determinado pelo vector d P. A significação desta igualdade completa-se com a s,e guinte propriedade- se existe um
200
CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS
--
--+-
vector u tal que, para qualquer deslocamento i11flnitésimo d P do campo, se tenha d U
-
= u I d P,
Com efeito, da igualdade grad
-
é necessàriamente
UI d P =uI d P,
u = grad O .
verificada para
d P qualquer, resulta (1. 13, 6. 8 ] u = gmd U. Suponhamos que o ponto vizinho de P,
-
P2= P + d P está sobre a própria superfície de nivel que passa por P e, sobre ela, numa direcção qualquer; a relação 17) Ftg. ~ mantém-se e como é, neste caso, d U =0, tem-se que o vectm· grad U (P) é normal à superfície de nivel qtte passa pelo ponto P. Determinemos o sentido de grad U; para isso, voltemos a considerar o ponto Pt sobre a superfície de nlvel correspondente a U + d U e suponhamos d U >0; a igualdade 17) dá então
-
grad UI d P >O que mostra que o ângulo dos vectores grad U e d P é agudo, isto é, que o vector grad (J está dirigido no sentido em que o valor da fttnçào do campo attmenta. Estas propriedades permitem precisar o que no parágrafo anterior se disse quanto às relações de grad U com a derivada dirigida do escalar U. Seja a superfície de nlvel que passa por P e n o vector unitário normal a essa superficie. Como grad U tem a
direcção de n, a igualdade [4. 2, 15)]
bU - = bn
~i! = grad UI n bn
mostra que
+ mod grad a = ±
(devendo tomtlr-se o sinal + ou o sinal - conforme n e grad U tiverem o mesmo sentido ou o contrário) e ainda que
18)
bU ·D= grad U. bn
201
PARÁGRAFO 3
i:J). Potencio!. Seja o campo vectorial r (P). Se existe uma função U(P) contloua, uniforme e derivável tal que, para todo o ponto P do campo se tenha r = - grad U
10)
diz-se qne o campo r (P) deriva do potencial U(P) ou que o campo r(P) tem potencial. À função U(P) dá-se então o nome de potencial·escalar do campo.
G). Propriedades do gradianle. Além das propriedades já assinaladas no parágrafo 4. 2, convém mencionar mais as seguintes:
V - Se U (P) = const é grad U = O • Resulta imediatamente da definição [ 4. 1, l )].
2.• -- Se U1 , U2 , • · • Un sl'Lo escalares funçiJes do ponto P (x 1 , x 2 , x 3), admitindo derivadas pa1·ciais, e se f(U 1 , U2 , • • • Un) é uma .funçl'Lo escalar admitindo derivadas parciais, contínuas em relaçélo a U1 , · · • Un, tem-se 20)
Com efeito,
I _!L:r, · i1 = I (I _!Lu"' · ~ x,0 k) · i1 I_!_C (I ~ Uk · i1 ) l') .
grad f =
~
1
1
~
k
=
~
k
~ uk
1
~
a:1
Casos particulares. a). Se f( U, , · · · U,.) = Ut + ·· · + U~ , tem-se
õf
- - = 1, donde õ u~. 21) k
k
b). Se f( Uz , • · • U,.) = ~ P• • U,, sendo P• escalares constantes, é
õf U..
~
= P•, donde
i
(1) A demonstração vale, evidentemente, nas condições, menos restrictiva11 que a continuidade das derivadas parciais, sob as quais é válida a regra de derivação da função compoata (ver qualquer tratado de Análise).
202
CAP. IV.
grai~p• . U1 = ~p;. grad U;
22) c).
lfEORIA DOS CAMPOS
~f
.
U
Se .f=p. U, com p função de pon to, é b
=
p,
~~ """õ;' =
U,
logo
grad (p · U) = p. grad U + U · gradp
23)
igualdade que completa a primeira de 4. 2, 8).
3.•- Ê 24)
gr·ad(r I s)=r /\7'0t s + sf\ roi r+r I v s+s I v r.
Com efeito,
grad(rls) =
I -~- (rls) · ik = Iik ·(~Is)+ Ii.· (ri~). 1:
Ora, r 1\
~ :Ck
(ik A~') ~~
~ Xk
k
= (r I~) ~~
bX k
k
·ik- (ri h).~
donde
~~
e aoàlogamente
Fazendo os soruatórios em !c e adicionando, vem [4. 2, 6)] grad(rls) =r 1\ 7'0ls
~ ~s ~ br + s 1\ 1·otr + .c-ak.+ ~bk . k
~
Xk
~
l·
:rk
donde, por 4. 2, 11) se deduz 24). Esta igualdade pode escrever·se doutra maneira que põe em evidência as derivadas dirigidas dos vectora11 r e s; com efeito, de4. 2, 16a) resulta, fazendo modr=r, mods=s,
24 a)
bs
õr
br
~
!J1'ad(r Is)=r (\rol s+ s 1\.?·ot r+ r· - + s - . s
PARÁGRAFOS 3 e 4
203
4.a- Gradia nre da distância. Seja O a origem dos eixos e P(xk) um ponto variável; consideremos o vector r = P- O= ~ x • . ik k
e façamos r= modr. É
P-0
~õ)
gradr= - - r
igualdade que exprime que o gradiante da disttlncia dum ponto variável P à origem é igual ao vector unitário de vector P-O=r. IDfecti va mente, da igualdade
r2
= ~
xz
tira-se, diferenciando,
xk
= ( ~ - · lk Id P logo,
k
r ·
d ,.
=
L
Xk •
d Xk donde dr =
k
L-;x:k · d k
por 1 7) é grad r =
~ Xk • ik k
r
r
'
:rk
\k
r
• )
_,.
= _}_ . r . ,.
A iguulclade 25) vale ainda, como imediatamente se verifica, quando O é, não a origem, mas um ponto fixo qualquer de coor· danadas (ak), constantes.
4. 4.
O operador divergência.
A). Vector e campo solenoidais. Seja o campo vectorial, admitindo derivadas parciais, r (P); o campo escalar dele deduzido pelo operador divergência, diz-se solenoidal quando em todo~; os pontos do campo for divr =O; r diz-se então, também, um vecwr solenoidal. Para designar um campo solenoidal usa-se também a expressão campo sem fonte (Qnellenfrei); a razão deste nome será vista adiante [ 4. 9], quando se tratar da significação física da divergência.
8).
Propriedades.
Além das que foram vistas no parágrafo
4. 2, mencionaremos as seguintes : 1.~ -
Se a é um vector constante, é diva= O; efectivamente, . ~ .Y,, O nessa h1pótese é - - = . ~ .~.
2.a- Se p e r sl1o um escalar e um vector fwru;tJes de ponto, tem-se
26)
div (p • r)
= p · di v r
+ grad pIr .
204
CAP. IV.
TEORIA DOS CAMPOS
Com efeito, de 4. 2, ó) tem-se div (p.
r)=~ i~: I _!_ (p. r)= ~
k
~.l k -ôr · 1- ~ ~'l = p~ 1~: r . -ôp = p . d'tv r 1 k ô~ • D~
+ r ~~ÔP ~- · i • ô~
1: •
Esta propriedade completa a significação da segunda igual· dade de 4. 2, 8).
3.· =É div (r 1\ s) = s Irot r - r I rot s
27)
Com efeito, de 4. 2, ó) e das propriedades do produto misto deduz-se que
4.a- Se O(ak) é um ponto fixo e P(xk) um ponto variável, é 28)
div(P - 0 ) =3.
Efectivamente,
4. 5. A).
O operador rotacional. Campo irrotecionel.
Seja o campo vectorial, derivável,
r(P) e seja u(P) o campo vectorial que dele se deduz pela aplicação do operador rotacional, u ( P) = rot r; este novo campo diz-se irrotacional ou lamelar em toda a região em que rot r= O. A r azão do nome lamelar será vista adiante [ 4. 6, B), 2. 8 ] . Como ao rotacional se dá também o nome de turbilhão, um campo irrotacional diz-se também sem turbilhtto (Wirbelfrei). B). Significação flsice do operador rolecional. Demonstra-se, em cinemática do corpo sólido, que, dado um corpo animado dum movimento de rotaçi~o em torno dum eixo passando por O, com
PARÁGRAFOS 4 e 5
205
velocidade angular igual ao módulo do vector w = ~ ak . ik, o k
vector velocidade dum ponto P do corpo é v = w 1\(P - O). Calculemos o rotacional de v; para isso, tomemos O como origem e sejam (xk) as coordenadas de P; é P - O= ~ :x:k • h k
e w 1\(P- O)=
i1
i2 is
a1
a2 as
X1
Xa
=
Pt ·ir
+ Pa · i2 + Ps ·is .
Xa
Por 4. I, 4) tem-se rol v
=
= 2 ·(a, · i1 + a.a · b + as· is) .
is õ
i1 ÕXt
õxa
Pt
Pa
õxa
Pa '
É, portanto, 29)
rotv =
C). Propriedades. seguintes:
2w.
Além das já
vistas,
têm-se mais as
1. a - Se a é um vector constante, é rota = O . Resulta imediatamente da definição.
2. a
-
Sendo p e r
um escalar e ttm vector funções de ponto,
tem-se
rot(p. r)
30)
=
p. 1·ot r+ grad pi\ r.
Dedução análoga à de 4. 4, 26). Esta propriedade mostra que o operador rotacional não é, em geral, 11m operador linear e completa a significação da terceira igualdade de 4. 2, 8).
3. 8 -É 31)
rot
(r /\s) =r· div s- s · div r + sI V r - r I V s.
Com efeito, por 4. 2, 6) e pelas propriedades do duplo produto
CAP. IV.
206
TEORIA DOS CAMPOS
vectorial [1. 16, 124)] tem-se [r = ~ ak . i~ , s = ~ bk ·i;.) : 1:
rot(r;\s ) = ~hl\ ..!.. (r;\s) k b:t:J,
=L h/\(!! 1\ s) + Ô:l:t;
k
+ ~h/\ (r/\ ~) = L ~ids) ·~-L (i~; 1!:..)·s + Ô Ô Ô k
Xp
+L k
(ill~) ·r ô xk
+ r . d z.v. s -
k
.1:
á'k
.l'.'k
~ (ik Ir ) · ~ = L. b~: · !:.. b.:rk
k
s · div r
b::r:.~
k
~ bs ~ ak • k ÔXt
donde imediatamente se tira 51). Os dois últimos termos de !H) podem substituir-se pelas derivadas dirigidas; tem-se [ 4. 2, 16 a)]
31 a)
rot (r 1\ s) = r . di v s - s . div r
+ s . br
-
1' .
b
8
.
~r
{I s
~v- 8qjam dP e õP doia deslocamentos infiniUsúnos do pontoP, dP=~dxk·h, d P=L•Lr~: ·il;, e dr e or asdifek
renciais correspondentes:
, or =
~ õr ..w - · tJ, .:rk ;
k ÕX1:
tem-se 32)
rot r
li•P 1\ÕP "'' dr j3P- õr I i•P.
Com efeito, [ 4. 2, 6) e 1. 17, 126)]
h
liP
loP
h
~Iii-' ~loP ~Xk
=I
d ;c!.
OXk
I=
I -br . (l:.rk Io-p k
k
b:t:l; Ôl'
~Iii) ~1a"P - I Ô.Ch
{lx,
~X'!:
k ÔXk
......
. oX ~c I d p .
PARÁGRAFOS 5 e 6
207
A estas propriedades pode ainda juntar-se a seguinte, que relaciona o rotacional com a di\•ergência e o gradiante.
5. 8
con.~tante
Se u é um vectm· qualque1·, é
33)
unitário e r outro vector,
div r = [grad (r I u) - rot (r 1\ u)J Iu .
Tem-se, efectivamente, por 4. 3, 24) e notando que u é constante, grad(r lu) = u ;\ 1·otr +uI V r, donde g?·ad (rlu)l u =(uI Vr)[u; por outro lado, [31 )] rot (r 1\ u) = - u · div r + uI V r , donde rot (r;\ u) I u = - div r + (uI V r) I u; suhstituio.do ordenadamente obtém-se 33).
6. •- Se O A um ponto .:fixo de coordenadaJJ (Cl:k) e P variável de coordenadaJJ (xk), variáveis independentes, é
34)
1·út (
1tm
ponto
P - O)= O.
Com efeito, de P - O=~ (xk - ak) ·h resulta ~
rot(P - O)=
4. 6.
il
i2
is
~
~
õ
ÔXt
ÕX2
ÕXs
X1 - a.1
:r2- a 2
:X:s - as
=0.
Operadores duplos.
Dá-se o nome de operadores diferenciais duplos àqueles que se obtêm aplicando sucessivamente a uw dado campo, dois dos três operadores atrás estudados! por exemplo : I'Ol grad. É claro que uão são possiveia todos os 311 ·= 9 operadores duplos, pois, pela própria natureza dos operadores si mples, carecem de significado: grad grad, grad rot, div div, rot div. Há portanto, de facto cinco operadores duplos - div grad, rot grad, div rot, grad div, rot 1·ot que vamos estudar sumàriamente. A iteração de operadores pode prosseguir; na 3. a ordem há 38 = 27 arranjos triplos, mas o número de operadores triplos efectivos é, como é óbvio, muito menor. A). Operadores div grad. loplociano. Seja o campo escalar, admitindo derivadas até à 2. 8 ordem , U(P).
208
CAP. IV.
Como grad U
=I 0 U ·h, k
tem-se [ 4.1, 2)]
ÔXk
div grad U
TEORIA DOS CAMPOS
=I -
õ(õU) U· =- Iô:v; 3
~ ÔXk
ÕXt
1t
Õ
Laplaciano. Dado o escalar U(P), chama-se laplaciano desse escalar, e escre\'e-se !!.U ou LapU, à função 35)
Lap U = div g1·ad U
b2 U
~-
=
.
" õx! Simbolicamente, escreve-se ( 4. 2, 10) e 12)] 36)
09 !!.U = VIVD = ( õx~
õg) + -0 + 9
b~
õxi
U-.
Por analogia com o laplaciano dum escalar, define-se ainda laplaciano dum vector pela igualdade
37)
o~
r
Lapr = ~ k
bx~
mas a analogia dos dois operadores Lap V e Lap r é apenas formal e em face da expressão ca1·tesiana, visto que div gmdr não tem significado; a significação vectorial de Lapr será vista adiante [D)} Funçdo harmónica. A toda a função de ponto U(P), definida num domlnio E, que, em todo o ponto desse domlnio, satisfaz it equação
38) denominada equaçdo de Laplace, dá-se o nome de função harmónica nesse domfnio (1). (1) Alguns autores (V. E. Goursat, Cours d'Analy8e Matliématique, tomo III, pág. 242) definem função harmónica como aquela que, além de satisfazer à equação Lap U = O , é ainda regular em E . Uma função U (x, y, z) diz-se regular num domlnio E quando:
õU õU õU
a) U e as suas derivadas parciais de 1.• ordem -
~X
, - ' - são contíÕy Õ Z
nuas em todo o ponto de E e da sua fronteira; b) as derivadas parciais de 2.• ord
b9 u o ~ u o ~ u ' - são continuas õ x 2 b y8 õ z!
-- , -
em todo o ponto de E e finitas (porventura descontinuas) sobre a fronteira.
209
PARÁGRAFO 6
Propriedades do laplaciano dum escalar.
1- a - Se p = const. é Lapp =O.
39)
É consequência imediata da definição.
2. a- Sejam Ut, ·. · Un escalares funções de ponto, derivávei8 até à 2." ordem, e F (U1 , • •• Ua) uma funçiJ.o escalar derivável também até à 2." ordem; tem-se
Com efeito, é Lap F = div grad F( UI' •.. Un) = div
(I
b F . grad
~r b U~:
uk)
kdiv ( õb ukF • grad uk)
=
I
=
I [ k
b F . div grad
b U~r
[ 4 . 3, 20))
[4. 2, 7))
uk + grad
b F I grad
b U~:
uk]
[ 4. 4, 26)]
donde, por 4. 3, 20) se tem 40). Casos particulares. ·
a). Seja
tem-se
logo 41) k
b). Seja
F = p • U , p = const;
Lapp = O,
gradp =O,
tem-se
õF
-
bu
õF bp
= p , - = U,
logo
Lap(p. U) =p. Lap U.
42) c). Seja
k
F = U · V, com U e
dentes uma da outra. É, então, OiLOOLO VEOTO~L
V funções de ponto indepen-
.!!:._ = V õU
'
õF õV
=
U ' 14
CAP. IV.
210
õ9 F = ÕB F õ ua õ V3 43)
=
o. _;.....___ õ9F = 1 , õUõ V
,
TEORIA DOS CAMPOS
1ogo
Lap( U · V)= U • Lap V+ J7 · Lap U+2 grad Ulg,·ad V.
As igualdades 4-1), 42) e 43) mostram que, em relação à linearidade, o operador Lap U se comporta como o operador gradiante. d). Seja F = f( U).
44)
Lapf(U) =
Tem-se imediatamente, de 40),
P (U) · Lap U + f ''(U) • grad Ulgrad U .
u
Deduziam· se, com igual simplicidade, as expressõesd e Lap V, Lap
U", ....
3.•- Sejam: O a origem dos ei:cos, P o ponto de coordenadas (xk), r = P-
O=~ Xt • Í~r.
e t·=modr. Afunçã.o
k
2_ r
é harmónicas
em todo o dominio finito que não contenha O . Com efeito: a)
Na origem a função f(r)
=.!....
é descontinua, logo não é
r
harmónica num dominio que contenha O. b)
Em todo o ponto diferente de O tem-se, em virtude de 44), + -2 grad r I grad r. Ora [4 . 3, 2ó)] grad t• = -r r8 r logo, pelas propriedades da divergência e do gradiante, Lap r = 1 .1 Lap - = - ~ · Lap r r r-
= div grad r = div (.!._ · r) = .!.._ • div r r
r
+ grad .!._ Ir = !__ · div r r
r
1 31 2 1 12 - -9 .gradrlr= - - - -rir= - ; é portantoLap- = - - . -- + 1•
+ E. ·!.. .. r 1r
r
r8
r
1'
r9
r
= O o que prova que .!._ é harmónica. r8 1.l! r A propriedade mantém-se, como fàcilmento so vorifica, se O é um ponto fixo qualquer de coordenadas (cxk) - a função 1 1 é harmónica em todo o dominio finito que não r mod(P- O)
PARÁGRAFO 6
211
contenha O(cck). Mais, num tal domínio, não só a função como as suas derivadas parciais até à 2. a ordem são contínuas; pode por-
.!_
é harmónica e regular(1) em todo o r domínio finito que ntlo contenha o ponto O (cc~o:).
tanto dizer-s e que a funçtla
B).
Operador rot grod.
P1·opriedades.
1.• - A funçtlo rot grad U é identicamente nula : rot grad U
45)
=O .
Seja, com efeito, a função escalar U = U(:JJk); como [ 4. 1, 1 )]
grad U
= ~ b U · ik k
Ô:JJk
é 4 . 1, 4)1
rot grad U =
i,
b
i2 b
is b
=0
ÕX1 ÕXz ÕXs
õUõ UõU ÔXJ ÔX3 ÔXs
se a função U(.x~) é tal que valha para ela o teorema da independência da ordem da derivação. Suponhamos que a função U(.xk) é uniforme; então, o campo vectorial r= grad U deriva do potencial - U [ 4. 3, B)J logo, esta propriedade significa que todo o campo tiectorial com potencial é um campo irrotacional [4. 5, A)]. 2.'- Redp1·ocamente, sempre que rotr =O , o vector r pode ser considerada como o gradiante dum escalar. Seja, com efeito, r
=
~ Xk (x1, x2, xs) · ik e 1·ot r
= O; daqui
resulta que [4. 1, 3)]
õ Xa _ ôX2 = O Ô.X2
ÔXa
'
ôX1 _ õXa = O 1 õ.rs b.x1
b X:~_ ôX1 =O. ÔXJ
ÔX2
(') Sobre as definições de função harmónica e de função regular, ver a nota da pág. 208.
212
CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS
Ora, se as funções Xk são continuas, bem como as suas deri· vadas parciais (hipótese que supomos verificada) estas condições são necessárias e suficientes para que exista uma função U(::c~c) tal que ~Xk. da:~c
=dU
(ver, para a demonstração, qualquer tra-
k
tado de Análise, por exemplo J. Hadamard , Cours d' Analyte, tomo I, pág. 229 e seg.). Mas para o escalar U, função do ponto
-
-
P (:r~c), verifica-se a relação [4. 3, 17)] d U = grad CId P com d P ::o:~ dxk. ik, e esta relação, junta com d U = ~ X1:. d ::ck =k
lt
- r ld--+ P, dá, por ser d- P qualquer, r= grad U [4. 3, A)]. Se a função U(::ck) é uniforme, o campo vectorial r= grad U deriva dum potencial; o campo pode portanto ser irrotacional sem que derive dum potencial: é necessário juntar a uniformidade da função Quando isso se dá, a r chama-se vect01' potencial e a
a.
- V potencial-escalar. Esta propriedade justifica o nome de lamelar dado também ao campo irrotacional. Efectivamente, se rotr =O, é, como se viu, r = g1·ad U e o campo escalar U(P) é dividido pela familia de superffcies de nivel· U = const. (superficies que, pela sua própria definição, se não cortam, na hipótese da uniformidade) em camadas ou lamelas.
C).
Operador div rot.
Propriedades.
1! - A função div rot r é identicamente nula:
46)
div rot r sO .
Seja, com efeito, r=~ Xk . ik; tem-se k
rot r=
Ít
iz
is
õ
õ
b.r,
ÕX3
x,
x~
b õx., Xs
PARÁGRAFO 6
218
se, como supomos, vale pt~ra as funções xk o teorema da iudepen· dência da ordem de derivação. Simbolicamente, tem-se 46 a)
div rot r =
vI v I\ r
=
õ õ .r, õ
õ õ .r, õ õ .r,
Õ Xt
x,
Xt
õ =0. õ xs õ õ xs Xs
Mostra esta propriedade que, sob as condições analiticas supostas, todo o campo t•ectorial u (P) cujo vector é rotacional de outro (u = rotr) é solenoidal (div u =O) . 2. a -Reclprocamente, em todo o campo u (P) solenoidal (div u=O) pode determina1·-se um vector r tal que u = rot r . Seja u
= ~ Xk • ik
e di v u
=
k
~ õ X~, = O. t
A possibilidade de
Õ :rk
existência dum vector r tal que rot r= u está condicionada pela possibilidade de determinar três funções Rk (P) tais que
õ Rs _ õ Ra ~X'2
=
X, ,
õxs
õ Rt _ õ Rs = bres
~.r1
x. .. '
õ Xt + ô X3 + õ Xs = O. ÔX t
ÔX2
ÔXs
Ora, demonstra-se (ver, por exemplo, J. Hadamard, Cour.t d'Analyse, tomo I, pág. 488 e seg.) que é possível de facto determinar as três funções Rk ( P) satisfazendo a estas condições e que existe portanto um vector r=~ Rk · ik tal que rot r=u e div u = O. k
Diz-se, neste caso, que o vector u deriva do potencial-vector r ou, ainda, que r é o potencial-vecto1· do vector solenoidal u. É claro que não existe um potencial-vector único de u; a aua soma com o gradiante dum escalar U(P) é também potencial-vector de u; com efeito, rot (r + grad U) = rot r = u [45 )]. Como a função U( P) é arbitrária, pode escolher-se de modo que o campo r+ grad U seja por sua vez, solenoidal; é preciso,
214
CAP. IV.
TEORIA DOS CAMPOS
e basta, parti isso, que div (r + grarl U) = divr + Lap U=O : isto é, que a função U(P) satisfaça á equação às derivadas parciais divr = - Lap U; mas do est11do desta equação não nos ocupare· mos aqui.
D). Operadores grad div e rol rot. Limitar·nos-emos a dedu· zir a seguinte relação que liga estes dois operadores: J•ot 1·ot r = grad div r -
47)
Lap r .
Com efeito, seja r = ~X~; · i1: ; tem-se [ 4. 2, 6)]
('t' .
r) rol rotr = rot 'lkl \bÔX 1:
k
ora, por 37) é
I t
• r = gr gra d dw
('t' . 1\ b r ')
= I 1.1 /\ - b
Ô Xt
I
' 11:
-
k
ÔXk
I)Br ----'2 = Lapr e, por outro lado, é bxn
ad(Il)X, - )= I- õ (Il)X, - ). . I 11:
l
ÔX t
Ir
ÔXk
I
ÕX t
=
kl
b3XI
Ô Xk Ô X t
· h.
Operando sobre o simbolo de Hamilton, obtinha-se mais ràpi· damente rot rotr=v I\ (v 1\ r)= (v Ir) v - (vlv)r -= ,grad div r - Lap r .
=
v(vlr) - .6.r
11.
FLUXO E CIRCULAÇÃO
4. 7.
fluxo.
A). Definições. Seja o campo vectorial v(P) e considere-se, na região do espaço em que ele é definido, uma porção S de superfície com duas faces distintas. Sabe-se que isso nem sempre é possível; há superfícies com uma face só. O exemplo mais simples, dado por 1\fõbius, pode construir-se assimtoma-se uma tira rectangular de
I
I
papel ABCD (fig. 54) e colam-se BA CD os dois bordos AB e CD, dobrando previamente a tira de modo tal q ue a letra D venha caír sobre .A o a letra C sobre B . Dados dois pontos P e P' sobre a mesma normal à primitiva superfície S 1 mas em faces opostas, só se poderia ir de um a outro Otl atravessando a superfície ou passando por um dos Fl.g. M bordos; na nova superfícieS' passa-se, como imediatamente se vê, de um a outro por uma linha contínua sem atravessar a superfície e sem passar pelos bordos - a st~perfície tem uma face s6.
Seja d 11 um elemento da superfície S e, num ponto P de d11, n a semi-normal orientada. Se a superfície S for fechada, consideraremos como positi,·a, salvo menção expressa em contrário, a semi-norm al orientada para o exterior; caso contrário, escolher·se-á. arbitràriamente uma face como po~>itiva. Def. l. • -Chama-se fluxo elementar do vector v ( P) do campo, através do elemento d 11 da superfície S, da face negativa para a positiva, ao esco.lnr 48) onde, como acima foi dito, n é a semi-normal correspondente à face positiva.
216
CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS
Def. 2. a-- Chama-se fluxo total do vector v (P), através de toda a porção finita de superficie S, da face negativa para a face positiva, ao integral de superfície 49)
B). Significação física. Suponhamos que o campo vectorial de que se trata é um campo de velocidades, isto é, suponhamos que a região do espaço considerado está cheia dum fluido de densidade conf.tante ~, em movimento, e que v v (P) é, em cada ponto P, a ,·eloci· da de desse fluido; suponhamos ainda que é ~ = 1. Qual é a quantidade, medida em massa, de fluido que, na unidade de tempo passa, através do elemento da, da face- para a face+ de S? Nas hipóteses feitas, essa quantidade é numericamente igual ao volume do cilindro de base da e altura v I n , se supusermos da suficientemente pequeno para que a velocidade possa Fl.g . 06 ser considerada constante em todos os seus pontos. Essa quantidade do fluido é, portanto, igual ao fluxo d q>. Considerando agora toda a superficie S, vê-se que o fluxo q> é afinal, a quantidade finita de fluido que, na unidade de tempo, passa através da superficie, da sua face negativa para a sua face positiva. Se a superfície S for fechada, o fluxo total tp é a quantidade de fluido que, na unidade de tempo, sai da região do espaço limitada por S ou, melhor, o excesso da quantidade saída sobre a entrada, dando o sinal + ao fluxo correspondente à passagem do interior para o exterior tfiuido saído) e o sinal - ao correspondente à passagem do exterior para o interior (fluido entrado). O anulamento do fluxo através duma superfície fechada significa, por consequência, que a quantidade de fluido entrado é igual à quantidade de fluido saído no mesmo tempo, isto é, que, no global,
•
' PARAGRAFOS 7e 8
..
217
não há produção nem destruição de fluido, podendo, no entanto ' haver produções e destruições locais que se neutralizem. Quando há, num ponto, produção de fluido diz-se que há nele uma fonte positiva; quando há destruição, diz-se que há uma fonte negativa. Veremos, dentro em pouco, uma condição suficiente para que não haja fontes. Antes disso, demos um exemplo de superflcies não fechadas através das quais o fluxo é sempre nulo- são os chamados rubos de fo?·ça do campo. Num campo vectorial, chamam·se linhas de força às curvas que, em cada ponto, são tangentes ao vector do campo; é claro que, se o campo é uniforme, as linhas de força não se intersectam [aliás haveria num ponto mais de um vector v (P)J- por cada ponto do campo passa uma e uma só linha de força. Dado um contorno fechado (C) qualquer dentro do campo, chama-se tubo de .força à superflcíe que é o lugar geométrico das linhas de força que passam pelos pontos do contorno. O fluxo através da parede dom tubo de força é manifestamente nulo, visto que v é, em todo o ponto da parede, perpendicular a n (fig. 56). As designações: linhas de força, tubo de força são adequadas sobretudo ao caso em que se considera o campo vectorial como um campo de forças, isto é, como fazendo corresponder a cada ponto do espaço uma força (intensidade do campo magnético, por exemplo); no caso que supuF'lg. 156 semos, de se tratar dum campo de velocidades, melhor seria chamar-lhes Unhas de co?·?·entes ou linhas de fluxo, tubos de corrente ou tubos de fluxo.
4. ·8.
Teorema de Ostrogradsky-Gauss.
Sejam: 8 uma superficie fechada, continua, encE-rrando um volume -r; n a semi-normal à soperficie orientada positivamente para o exterior de -r; v um vector função uniforme continua e derivável de P (:r:k) dentro de -r e sobre S. Verifica-se a igualdade
218
CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS
50) que exprime que o integral da divergência estendido ao volume T é igual ao fluxo total do vector v at1·avés da superfície S (teorema de Ostrogradsky-Gauss). Este teorema, conhecido também pelos nomes de teo1·ema da divergência ou do fluxo, pode demonstrar-se por via meramente anaHtica, sem recurso a qualquer consideração de ordem física; vide, para este efeito, qualquer tratado de Análise, por exemplo, R. Courant, Vorlesungen über Differential und Integralreclmung, tomo 2. 0 , pág. 311 e seg.; J. Hadamard, Couts d'Analyse tomo 1.0 , pág. 440 e seg. Vamos dar deste teorema uma ilustração física. Para isso, suponhamos, como acima, que o campo vectorial é um campo de velocidades da corrente dum fluido de densidade constante f = 1 que passa através da região do espaço, simplesmente conexa(I) encerrada na superfície fechada e contipua S, e suponhamos mais qoe a velocidade, função do campo, não depende do tempo mas apenas da posição do ponto P. Seja v = Vt · it V2 • i2 + va ·is a decomposição cartesiana de v ( P) e dividamos o volume T em paralelipipedos elementares por um triplo sistema de planos paralelos aos planos coordenados. Consideremos om desses paralelipfpedos elementares de volume dT = dx1 - dxs . dxs (fig. 57) e vejamos qual a quantidade de fluido
+
(') Urna região do espaço diz-se simplesmenú conexa quando dados dois pontos quaisquer A e B dela e dois caminhos quaisquer indo de A a B, esses dois caminhos se podem reduzir um ao outro por uma deformação continua deles e sem sair da região. Os interiores duma esfera, dum elipsoide, dum cilindro, são simplesmente conexos; mas já o não é, por exemplo, a região do plano compreendida entre duas circunferências concêntricas, visto que todo o caminho que envolva a circunferência menor se não pode reduzir a outro que a não envolva por deformação contínua e sem sair da coroa; não são também simplesmeute conexos o interior dum toro, a região do espaço compreendida entre dois cilindros com o mesmo eixo, etc. Pode definir-se ainda região do espaço simplesmente conexa como aquela que pode ser deduzida duma esfera por deformação contínua. Ao contrário do que se passa numa região de conexão m1íltipla, numa simplesmente conexa toda a curva fechada se pode reduzir por deformação contínua a um ponto.
•
219
PARÁGRAFO 8
entrado e saldo na unidade de tempo pelo sístema das duas faces paralelas ao plano Ox1 xs. A componente de v perpendicular a essas faces é v2 = v11 • i 2 e, por consequência, pela face da esquerda entra uma quantidade de fluido igual a q1 = 1>:; • rl .1·1 • clx9 • No trajecto para a segunda face den tro do paraleliplpedo, v~ sofre, em X~
s
o X
X~ J
Fig . 57
ÔV 9
virtude do acréscimo d x 2 , um acréscimo d v11 = - - · d .1:2 , de modo ÔX2
que pela face da direita sai uma qnhntidade de fluido igual a q2
=
(v + ô 9
Vg.
d x 2)
•
d Xt • d
ÔX2
x
O excesso do fluido saldo sobre
8•
o entrado na unidade de tempo é, então,
õ 1:.a
qlt- q1 = -
ô .1'2
· dT .
Raciocinando do mesmo modo para os outros dois sistemas de faces paralelaa, do paraleliplpedo, tem-se que o excesso, positivo ou negativo, de fluido saído sobre o entrado em todo o paralelipfpedo elementar é
õl)
vj + -+ ô . -ô Vs) ·dT=dwv-dT.
ô ( -ôa:1
Vg
bxll
ba:s
Este excesso provém, se o fluido é, como se supôs, de densi· dade constante, da existência, dentro do paraleliplpedo elementar, de fontes: positivas (produção, excesso positivo) ou negativas (absorção, excesso negativo); se o fluido não é de densidade constante
CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS
ll20
a existência do exces~o pode ser interpretada corno uma condição de compressibiltdade. Estendamos agora o racioclnio a todos os paraleliplpedos elementares em que o volume T ficou dividido pelo triplo sistema de planos acima coo iderado; o flui do saído por cada race duro paralelipipedo elementar é fluido entrado no paralelipl pedo que lhe está adjacente por essa face. No interior de S as somas de sas quanti· dadas de fluido anulam-se, de modo que o limite da soma dos termos 51) ou seja
jji' div v · d'
T
é o excesso total do fluído saldo
sobre o entrado atra,•és da superflcie S; mas esse excesso é, como acima foi visto, o fluxo total do vector v (P) através de S, ou seja [ 4. 7, 49)] T =
j ~)~ v In · da,
donde, igualando, se obtém 50).
Observações. 1. a - A igualdade 50) r e pousa, como se viu pelo raciocioio feito, sobre a hipótese da continuidade e derivabilidade de v(P) em 't' e sobre S; se assim não for, ela não é válida os dois membros podem não existir ou existir e ter valores diferentes.
2. 3
Na região do espaço exterior a 8, o vector v(P) pode ser descontinuo ou não existir; se isso se der, em vez de se considerar a semi-normal exterior toma-se a interior; não há mais que mudar o sinal ao sentido da normal e, portanto, ao integral de superflcie que dá o fluxo; o teorema tom eotão por expressão aoaHtica.
3.a- Supôs-se, no raciocfn io feito, que o volume 't' era limitado por uma s(l superficie fronteira 8, encerrando um \'Olume simplesmente conexo ; mas o teorema é válido em condições mais gerais (ver, por exemplo, R. Courant, loc. cit. pág. 313). É válido, em particular, quando o volume T for limitado por uma superflcie fechada continua S e por outras superfícies fechadas, também continuas, S1, Se, etc. (número finito) interiores à primeira (fig. 58); o fluxo total é então a soma dos fluxos através de s' sl' sll'- .. . Simplesmente, há que atender aos sinais das semi-normais a
221
PARÁGRAFOS 8 e 9
essas fronteiras limitantes internas; se a semi-normal n for orien· tada como em 50), para o ex-terior de T, essas sarni-normais devem ser orientll.das, co mo mostra a fig. 58, para o interior das super· flcies limitantes internas.
4. • - Se no campo vecto· rial interior a 8 existem des· continuidades (pontos, linhas ou superfícies) procede-se, para o seo estudo, do modo seguinte - isola-se a descontinuidade por uma superfície fechada, continua, 81 que a envolva completamente e aplica-se o Fig.~ teorema de Ostrogradsky·Ganss ao volume interior às duas superflcies S e S, , como acima foi indicado, procurando determinar para que tende o fluxo ~:~.través da Bllperftcie 81 quando ela tende, em todas as di'rec· ções para o lugar de descontinuidade. Veremos um exemplo no parágrafo seguinte. Expressão cartesiono.
e o=
L eos (n, :vk) • ik
Seja v(P)
=
~vk ·i. o vector do campo
a sarni-normal exterior a S. A igualdade
~
50) escreve-se, como é óbvio,
53) 4. 9.
Consequências do
teorema de Ostrogradsky-
-Gauss. 1.•- Campo solenoidal. Soponbamos qne o campo vectorial v ( P) é eolenoidal l4- 4] isto é, que div v= O em todo o ponto do campo. O integral triplo do primeiro membro de 4. 8, 50) anula-se portanto e tem-se
54)
J'J;
v I n · d ~ =O
CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS
que mostra que em todo o campo solenoidat é nulo o flu:co total através de qualquer supe1jície fechada continua interior a esse campo. Tem-se portanto aqui uma condição suficiente para que no interior da superflcie S não haja produção nem destruição de fluido, não baja font e, positiva nem negativa, visto que, o fluxo total sendo nulo, a quantidade de fluido entrado é igual à de floirlo saido através da superCicie. Por isso, como acima :se disse [4. 4] , os campos solenoidais se chamam também campos sem fonte. A condição não é, evidentemente, necessária visto que pode haver fontes positivas e negativas locais cuja acção ,s e equilibre. Se, porém, o fluxo - - - - ... é nulo através de qualquer superficie fechada compreendida no campo considerado, é então
j JJ div v . d
T
= O
para T qualquer, dondedivv - 0 em todo o campo, e o campo é solenoidal - a condição é, então, também necessária. Se o campo v(P) é o campo de velocidades dum fluido, a condição div v =O pode ser interpretada como a condição de incompressibilidade desse fluido. Outro aspecto da questii.o é o seguinte. Seja~, no campo soJenoidal, duas calotes de superfícies S, e Sa apoiando-se sobre um contorno fechado pelo qual passa uma porção de superfície S (um + sl e diafragma). Sejam TJ e Tz os volumes limitados por S + Sfl (fig. 59). O teorema de Gauss dá imediatamente, por ser div v - O tanto em -r: 1 como em -r:1 , Fig. 59
s
,
r) .
S+Sr
vln-da =j"j" •
S+S~
vin-da
223
PARÁGRAFO 9
sendo as normais orientadas como na figura. Desta igualdade tira-se
isto é, 110 campo solenoidal, o fluxo atravAs de qualquer calote de superficie apoiada num dado contorno fechado é constante. Esta pro· priedade será completada adiante (4. 13, 4.•]. Sempre que isto se dá, o fluxo diz-se conservativo. Consideremos, em particular, um tubo de força dentro do campo solenoidal e limitemo-lo por dois diafragmas Sz e Sz formando bases (fig. 60). Como a superflcie total S 8 1 + 3 é fechada, o teorema de
+
Gauss dá
j~ {
v I n . da= O e como o fluxo através de S
s + 1+ s~
j'j~ vln 1 -da=- fj~ vln 3 -da
isto é, a 1 3 quantidade de fluido entrado por uma das bases do tubo de fo?·ça é
é nulo [4. 7] vem
igual à quantidade de fluido satdo pela outra, quaisquer que sf[jam as bases e a sua forma. Descontinuidades. Suponhamos que no campo solenoidal há. um ponto de descontinuidade. Seguindo o método indicado em 4. 8, observação 4.a, isolar se-á esse ponto por uma esfera Sz ,p, de ceutro nele (fig. 61) e aplicar-se-á o teo· rema à região do espaço compreendida entre S e Sz . Como div v = O, o fluxo total através de S + 8 1 é nu1o e, por serem n e n~ as normais exteriores a -r, tem-se
JJ:
v I n · d 11
+
J'j; v I n~ ·
donde, por ser n~ = -
da = O
1
Dz ,
) . .vfsi'vln-du =j'j's, vln,.dl]
Fig. 60
t
isto é, o fluxo através de S é igttal ao fluxo através de 8 1 , qualquer que aeja Sz.
CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS
224
Façamos agora tender
S1
para o ponto
O e procuremos
p=limj'j' vln 1 -da; se esse limite existir, será, pela igual-
.,-o
S1
dade acima, j'j'vln-da=p.
-
• s
Seja ]Jil um ponto de S1 , e ~
mod O.M; Sfl o produto E. v é finito em O, o módulo da função integrando. v In 1 é inferior a E=
0:
-
Fig,
sendo o: uma constante pos sitiva; e como a área de integração 8 1 é 4 1t E~, o teorema da média dos integrais múltiplos mo~tra que o valor absoluto do iotearal é inferior a
61
4X
,;? ·
.!!.._ = 4 1t
(t.
S
donde p =0. Conclui-se daqui que o flu:ro total é ainda mdo através de S como se nc'lo houvesse ponto de de.~continuidade em O. 2. a - Teoremas do gradiante e do relacional. Do teorema de Ostrogradsky-Guuss tirum-se, como corolários, dois outros em que figuram um g1·adiante e um rotacional. Supõe-se, claro, que se verificam as condições iniciais. e). Façamos, na igualdade que traduz o teorema [4. 8, 60)], v= p . r onde p é um escalar função de P e r um vector constante. Tem-se [4. 4, 26)] div v = div (p ·r) = g1·ad pI r e, por outro lado, v I n = (p · n) I r. Substituindo em 4. 8, 50) \'em
j J'1 grad pI r · d
tante r I
J'JJ
T
=
J'js' ( p · n) Ir · da
grad p • d
T
=r I
Jl
donde, por ser r cons-
p · n. da. Nos dois membros
desta igualdade figuram integrais de vectores [3 . 12] qoe são, como se sabe, vectores, e da igualdade dos dois produtos escalares, verificada para r qualque1·, tira-se, [1. 13]
55)
j'j 'Jg,·ad p · d = JJ:P .n. da . T
(twrema do gradíante).
Deste teorema tira· se uma consequência interessante; façamos, em ambos os membros da igualdade, p = 1 ; vem
j'J:n .
da
=
O.
Ora da é o elemento de áre.a [3. 13, C)] e n . da o elemento de área orientada; por consequt\ncia, a igualdade anterior mostra que a área total orientada duma superficie fechada é nula. b).
Façamos v= u 1\ r sendo r um vector constante. 1'em-se
[4. 4, 27)] div v= div(u 1\ r)= r11·otu e v In = u 1\ rln=rln 1\ u donde, substituído em 4. 8, 50) e pela mesma razão invocada acima, se obtém
J
56)
fi1·otu. dT
~ffsn 1\
u
·da (teorema do rotacional).
Ê fácil escrever a expressão cartesiana destes dois teoremas.
3.a - lnvoriância dos operadores diferenciais. Os três teoremas: da divergência (Gauss), do gradiante e do rotacional tornam imediato o facto, já assinalado em 4. 2, C) num caso particular - que os tr~s operadores diferenciais são invariantes com o sistema de rejerDncia. Efectivamente, as igualdades 4. 8, 50), 55) e 56) permitem dar definições novas dos .operadores. Seja uma região simplesmente conexa -r do espaço, encerrada numa superflcie fechada e continua S. Seja P um ponto no interior de S, no qual é definida e continua div v, e façamos tender S em todas as direcções para P. Tem-se, como se sabe div v (P) = lim !_ T~O
. j'j"' (div v . d-r donde,
T
"T
em virtude do teorema de Ostrogradsky·Gauss
57)
div v ( f') = lim _!_ . T-+o T
CÁLCULO VECTORI~L
..
j j v I n · da = Um s
S-+P
flvln
III
·da
s ·---
d-r 15
CAP. IV.
226
TEORIA DOS CAMPOS
Anàlogamente, dos teorem as do gradiante e do rotacional se tira [3. 12, 77)] 1 " ...... grad p (P) = lim - · grad p • d T,
Jj j
T-+0 'r
rot v (P) = lim -1 · f-+0 'r
•
't
j'!"j rot v · d -r 1:
logo 58)
grad p (P) = lim_!_.
,.
jj
t ... o t
59) rot v ( P)
=
1 lim - · 't-+ 0 't'
p. n.
s
f'
d~; =
·'
JJ n A v · da = Um s
Jj"P ·n ·da
lim---=8s~P
JJI
--
dT
Jln v· A
J'Id
S4P
./
da
T
Como se vê, os segundos membros destas três igualdades, que podem ser tomadas corno definições dos operadores, não dependem do sistema de referência empregado, com o que fica estabelecida a invariância.
4. 10.
Fórmulas de Green.
Voltemos ao teorema de Ostrogradsky-Gauss 4. 8, 50)
j ·.rI div v · d
T
=
Jl
v In . da
válido nas condições expressas no parágrafo 4. 8. Seja U (P) um escalar função de P, contínua em t e sobre S, bem como as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem, e tal que V=gradU, o que equivale a supor que o campo vectorial v(P) derh·a do potencial escalar - V se U é, além de continua, uniforme. TE>m-se divv=divgrad U= Lap U[4. 6, 35)] e nlv -= nlgrad U, donde, substituindo, 60)
j'JJ
Lap U · d-r =
fj ~n Igrad U . d
q
(1.• fórmula rk Green)
PARÁGRAFOS 9 e 10
227
que exprime que o 1'ntegral do laplaciano de U estendido ao volume -r , nas condições gerais do tem·ema de Ostrograds!cy-Gauss, é igual
ao fluxo do gradiante de U através da superfície que limita -r • A 1. a fórmula de Green pode ainda escrever-se, notando que
[4. 2, 15)] nlgrad D ,..., ô D, ôn
J"fj'~ Lap U · d J·js' ô~U ·da .
61)
T
=
Conclui-se daqui imediatamente que se U é uma função harmónica ( 4 6, 38)] no domfnio considerado, tem-se
J'lôs -ônu· d a=O.
62)
Em particular, fazendo
?'
=
mod[P(xk)- O(at)], tem-se
63)
desde que S não encerre o ponto O(ak). Sejam agora U e V duas funções continuas em -r e sobre S, bem como as suas derivadas de primeira e segunda ordem, e tais que v = V· grad U. Tem-se [ 4. 4, 26)] div v = div (V· grad U) = = V· div grad U + grad V I g1·ad U = V· Lap U + grad V I grad U e n Iv 64)
= n I V. grad U =
JJi
V· ô U, donde, substituindo em 4. 8, 50)
ôn
(V· Lap U + grad U lgrad V). d-r=
j'J:v. ôõ~ .da
(2.• fórmula de Green).
Mudando, neste. igualdade, U em V e V em U e subtraindo ordenadamente, obtem-se
65)
õ u U- bnJ' ô !::'\ da· J"'jJ'(V-Lap U- U-Lap V)· d-r = j'Jt(s V- bn(3.• fórmula de G1·een).
228
CAP. IV.
TEORIA DOS CAMPOS
Se U e V são harmónicas, resulta daqui
JJ ( ~
65)
s
v) -da = O.
b u- U- -b V -bn bn
Em todas estas fórmulas, n designa sempre a sarni-normal exterior a S. Demonstra- se que as fórmulas de Green subsistem quando as derivadas de 2.a ordem apresentam descontinuidades eobre S, conservando-se porém finitas; para a demonstração, ver C. Jordan, Cours d'A11alyse, tomo 2. 0 pág. 176 e seg. 1
Façamos agora na 3. 1 fórmula de Green,
r
=mod[P(a:.~:)]- O(a~<)].
Por ser
1
V=- com r
função harmónica, vem, se o
r
ponto O é ea:terior a S :
bU s bn J·J·11-: . Lap U. d-r Jj'(1
67)
...
s~
=
~ 1
o ponto
-:- 1
o não é exterior a s'
b..!...
u.____!_) -da . ôn
esta igualdade deixa de ser
válida, visto haver então descontinuidade da função
!_
dentro de S.
r
Demonstra-se, (ver, por exemplo, C. Jordan, Cours d' Analyse, tomo 2. 0 , pág. 181 e seg.), que se o ponto O é interior a S se tem 1
68)
J'f'll - ·Lap U · d • = J·Js'(1-r ·-ôU - U · -ô-;-) · d u-4n • |
U
onde U é tomado no ponto O (ak), e que se o ponto O está sobre S, vale então a igualdade
b_!_
69)
J'j~ ( .!_,Lap U-dT=j' ((!_ b U- U-....::_) -da-2nU. J~ r
Js
r b 11
I
bn
Se U for função harmónica, anula-se o integral triplo e tem-se
70)
Jj' (!... .b U _ s
r
bn
1
Ub
r) ,da
bn
=
O 4 Tr U 2 1t U -
O exterior a S O interior a S O sobre S .
PARÁGRAFOS 10 e 11
229
Teorema de unicidade. Seja 1: uma região simplesmente conexa do espaço, limitada por uma superflcie fechada S, continua. Demonstra-se, e dessa demonstração não nos ocuparemos aqui, que é possível determinar um vector v, função de (P) em -r, desde que sejam dtvlos: a) em cada ponto interior a S, um número r= div v e um vector 5 =roi v ; b) em cada ponto da fronteira S, a projecção de v sobre a normal n exterior a S . Como aplicação da 2.a fórmula de Green, vamos provar que a solução deste problema é única. Seja então um vector v , satisfazendo a
rot v =
dív v = r ,
5 ,
v ID
= Vn
(1•, s, v,. dados) e suponhamos que há outra solução do problema, isto é, que existe um vector u =# v tal que
div u = r , rot u =
5 ,
u In
= t;,. •
Faz.e ndo w = u -v, tem-se
div w ~ o , rot w
=
o'
Wn =
w In =
Vn -
v,. =
o.
De ser 1·ot w =O, resulta que há uma função U tal que w=grad U, donde div w =LapU=O . Na2.afórmuladeGreen façamos V= U; vem
f J'1 (
U · Lap U + g1·ad
UI grad U) · d 1: =
1
•
e apliquemo-la à função
-ou -
õn
= n I grad
j' ls U · -õõnu · d o
.
V= n I w
J
=
U,
cujo gradiante é
O e por ser
j.[(mod grad U) 9 ·d-r = O.
Lap U =O,
w •
Como
obtém-se
Ora, pelas hipóteses feitas, esta
igualdade é válida quando o campo de integração é não o campo total mas sim qualquer dentro do campo total, logo deve ser grad U =O donàe w =O e u =v; a solução é, portanto, única.
4. 11.
Circulação.
Definição. Seja (O) nina curva do espaço, continua., sem ponto múltiplo, odógrafa do vector r (s), onde 8 é a abscissa curvillnea
230
CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS
[3. 5]. Seja v(P)
v(s) um vector função uniforme, continua e dr derivável de s e t = - o vector unitário da tangente à curva no ds ponto P. Dá-se o nome de circulaçllo elementar do vector v ( P) sobre o arco d 8 ao infinitésimo v I t . d 8 e o de circulação total ao longo do arco AB da curva (C) ao integral curvillneo =
71)
fAB=
r vlt·d 8. J.,.n
Sigoincação lfsic~ de circulaçeo. Suponhamos que o vector v(P) é uma força função do ponto P, v(P) = F(P) . Ao Ftg.ro produto Fldr =modF- cos9-ds dá-seo nome de trabalho elementar da força F ( P) sobre o deslocamento infinitésimo d s, e al) integral curvilineo
l
Fldr o de trabalho total ao longo da curva (C). O trabalho é,
por consequência, uma circulação.
Propriedades. Da definição [71)] e das propriedades dos integrais curvilineos resultam imediatamente as seguintes propriedades da circulação.
Prop. l.a.
A circulaçllo conserva o valor absoluto e muda de
sinal quando, conser1;ando os extremos do arco, se muda o sentido do percurso.
Efe-ctivamen te
r vlt·cls=- JBAr vlt·d8.
72) Prop. 2.a.
J.AB
Se A , B , C são trls
ponto.~
sohre uma curva, tem-se,
qualquer que seja a sua posiçllo relativa,
73)
r
J.AB
v 1t . d 8
+r
JBo
v 1t . d 8 ,.,
r
)Ao
v 1t . d s .
PARÁGRAFO 11
231
Prop. 3.a. SeJa (C) uma cut-va fechada, plana ou toJ·sa, e (C 1) outt·a curva juntando dois pontos de (C) (fig. 63); a citculaçlfo ao longo de (C) + (C 1) é igual à circulaçdo ao longo de (C). Escolhumos, sobre a curva (C) = A D B E A como posi· E tivo aquele sentido de percurso tal que, durante ele, uma porção de superffcie limitada por (C) seja deixada à esquerda - é o sentido das set&s na fig. 63. Seja ( C1) a curva A F B. Tem-se
visto que, pela propriedade
1.•,
é
r + j'
vAF8
Fig. 611
=o.
BFA
Mais geralmente, se houver uma curva fechada (C) e uma rede sobre uma calote de superfície apoiada em (C), a circulação ao longo da curva (C) é a mesma que ao longo de (C) mais todos os percursos interiores da rede, visto que cada um desses percursos é descrito duas vezes, sendo uma em cada sentido; supõe-se, evidentemente, que não se altera, durante o percurso total, o sentido geral Fig, S. marcado pela seta exterior na fig. 64. Independência do circulação em relação ao caminho. Da definição dada de circulação [71 )] resulta que ela depende, em geral, além do vector v(s) e dos pontos extremos A e B, ainda da própria curva, isto é, do caminho da circulação.
232
CAP. IV.
TEORIA DOS CAMPOS
Com efeito, de r(d) = ~x"(s) ·i" e v(.~)= ~Xk(s) ·h resulta k
•k.
d :l!k • t = - = I-. ds k ds dr
e
1
vlt · dl! =
B
l
•l
•a
k
a
donde v I r
=
v It . d s =
I k
x" . -dds:r" -d s
dx" IXk · - - ·ds o que mostra que a estrtttura d~t
k
da curva (C) influi no valor da circulação. Tem·se, porém, que, se o ''ector v(P) for o gradia.nte de nm escalar, então a circulação é iodependente do caminho e dependente apenas dos pontos extremos. Seja, com efeito, V um escalar tal que v=gradV; é então v!dr=gl·adV!dr = dV [4. 3,17)], a função integrnnda em 71) é uma dift>rencial ex:~cta e tem-se, para valor da circulação.
74)
rA B
=
rdV
Jw
=
VB
--
V.d
sendo VA e V8 os valores que toma o escalar V (P) nos extremoa do arco. Pode enunciar-se, portanto, o segnmte Teorema. É condiçllo suficiente para que a ci1·culaçlto dum vector v ( P) nela dependa da cu r"~; a ao lotzgo da qual ela se toma, meu apenas dos seus pontos extremos, que esse vector Stffa o gradiante de um escalar
No parágrafo 4 . 13 será estudada a condição necessária. Se a função V é uniforme, então o campo deriva do potencial-escalar - V [v = - grad(- V)], logo, em todo o campo que deriva dum potencial a circulaçao é independente do caminho. Pode, por conseq oência, deformar-se cootlnuamente, de q na lquer maneira, o caminho que une dois pontos qu~isquer A e B (de modo que o caminho durante e depois da deformação não saia do campo) sem que a circulação do campo entre A e B se altere. Mais, podem fazer·se escorregar de qualquer maneira os dois pontos A e B sobre as suas respectivas superficies de nlvel: a circulação mantém-se constante e igual a Vn- VA. Estfls resultados transportam-se imediatamente para o caso de o campo vectorial v(P) ser om campo de forças, caso em que, como se viu, a circulação é um trabalho.
PARÁGRAFOS 11 e 12
4. 12.
233
Circulação ao longo de uma curva fechada.
Seja (C) uma curva fechada, continua, sem ponto múltiplo e
S uma calote de superfície (fig. 65) com duas faces, limitada por
..
•
'
(C) e tnl que a região do espaço limitada por S e um diafragma apoiado em (C) seja simplesmente conexa. Seja n a normal ex te· rior a S; a escolha da face exterior e, consequentemente, do sentido positivo da normal exterior, faz-se de modo que a axialidade do espaço mar cada por esse sentido e pelo sen· tido positivo da circulação sobre (C) seja a mesma que é dada pelo triedro funda mental O~~, ~ti, ~a. Seja ainda v ( P) um campo vectorial uniforme, continuo e derivável no Ftg.6() qual (C) e S estão imersas. O teorema seguinte relaciona a cirwlaçao ao longo de (C) com o flu~o através de S . Teorema de Ampere-Stokes. A circulaçilo do vector v (P) ao longo de (C) é igual ao flu~o do seu rotacional através de S , isto é
75)
•
l vl dr"" Jl'·otvln
·do.
Em primeiro lugar, pela propriedade 3. 8 do parágrafo anterior, se se dividi1· a calote S por uma rede de curvas (fig. 64), a circulação ao longo de (C) é igual à cir culação ao longo de ( Ct), sendo ( Ct) formado por (C) e por todos os contornos interiores da rede. V amos calcular esta circulação total, para o que consideraremos um paraleloo gramo infinitésimo da rede: P 1 PR Ps P4 (fig. 66). Fig. 00
Façamos
__..
=o
-
Pt P2 =dr.
Pt P4 r - o primeiro tem o mesmo sentido que o percurso, o segundo o sentido contrário. Em geral, representaremos por d o acr éscimo sofrido por uma
CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS
234
grandeza vectorial no sentido de P1 para
P~
e por d o acréscimo ~
sofrido no sentido de P1 para P". Assim, o lado P2 Ps difere ->-
-+
de P1 P, = dr por um acréscimo d (dr) e o lado ?4 P8 difere de ~
P 1 P, =dr por um acréscimo d(dr), isto é -+
Ps Ps
=or+ d(dr)
-)o
P<~Ps = dr +5(d r).
:Mas, para que o paralelogramo .feche em
P8 ,
deve ser
P1~P, + P2- Ps = Pt- ) oP, + P,- Ps, isto é, dr+ ó r+ d (à r) = =dr+ dr+ d(dr), logo, tem-se como condiçtlo para que o para. lelogramo feche
d(õr)
76)
=
õ(d r ) .
-
Posto isto, calculemos a circulação õr de v ao longo do para-
-
lelogramo. Notando que P1~P~ e P2 Ps têm o sentido da circulação
.....
e P4 P8 e P, P4 o sentido contrário, tem-se õf
= vldr+(v+dv)f[àr +d(h)]- (v+õv)l [dr+d(d r )J- vi h =v l[d (õr)- a(d r)J+ d v 1h - õv 1dr +d v 1d (h)- >.v 1a(dr) =dvl~r-hldr+(dv-àv)ld(õr) [76)]. Ora [4. 5, 32)] dvl?r - ~vldr = rotvldr 1\ àr, logo 77)
c3
r
=
I'Ot
v Idr 1\ õr
+ (d v -
à v) Id (?r) .
Intervém agora aqui uma questão de métrica. Define-se fl-13,86)] área dum paralelogramo elementar de superflcie como a área do paralelogramo rectilineo correspondente, dado pelos vectores infinitésimos tangentes aos lados, o que equivale, nesta métrica, a desprezar iofinitésimos de ordem superior a 2. Tem-se assim dri\ Õr =n·do
onde é dfJ = mod(dr 1\ õr) e n a normal orientada como foi dito. De 77) resulta, porlanto,
or =
1'0t
v I n . do
+
IV
onde w é um infinitésimo de ordem superior à de de.
PARÁGRAFOS 12 e 13
231\
Esteadendo agora a circulação a todos os paralelogramos infinitésimos em que ficou decomposta a superficie S e tomando o limite da soma quando dr e õr tendem para zero, o que equivale a d (J tender para zero' o primeiro ruem bro tende para r o, e o
.
('
segundo para) Jsrotvln.da e, como
rc,=rc,
tem-se finalmente
q. Expressão O ov1 , :c6 , ova,
carlesiona.
v (P)
6·
d·
Seja,
= ~ vk · ik ·
nu m triedro fundamental Tem·se imediatamente
k
78)
= 4. 13.
- - -~ V3). . J'j' [(~VIJ s
~xll
~ovo
cos (n , ov1 )
J
+ · ··
·da.
Consequências do teorema Ampere-Stokes.
l.a - Campo com potencial. Seja um campo escalar V( P), uniforme, continuo e derivável, e seja v(P) o campo vectorial definido por v = grad V. Consideremos no campo um contorno fechado e uma calote de superflcie apoiada nele, nas condições do teorema de Stokes [ 4. 12, 75)]. De ser [ 4. 6, 45)]. rot grad V = O, resulta que
fo
v Idr
=
O, isto é, que em todo o campo que derzva dum potencial
é nula a circulayao ao longo de qualquer curva fechada (C) naB condições do teorema de Stokes. A interpretação física é imediata - P-m todo o campo com potencial é nulo o trabalho duma força ao lon9o dum penurso fechado. Este resultado pode tirar-se, independentemente do teorema de Stokes, recorrendo às considerações feitas no parágrafo 4. 11 sobre a independência da circulação em relação ao caminho. Viu-se, com efeito, lá que se o vector v (P) é o gradiante dum escalar V(P), a circulacão entre dois pontos A e B não depende do caminho
236
CAP. IV.
TEORIA DOS CAMPOS
mas apenas de A e B: r A 8 = V8 - VA. Seja então a curva fechada AGBH(fig. 67). Tem-se rAGB = VB- v.J., rBBA =VÁ- VB onde se representa por VÁ o valor que a função toma ao voltar a A depois de descrita a curva (C). A circulação total ao longo da curva é porH----B tanto r= VA- VA e, se a funçtlo v é uniforme, isto é, se o campo v (P) deriva dum potencial, r= o. (] A uniformidade de V(P) desempenha, A como se vê, aqui um papel fundamental; Fig. 67 pode acontecer que haja, no campo considerado, singularidades, isto é, pontos ou linhas tais que, em todo o percurso fechado que os envolva, a função V volte ao ponto de partida com um valor diferente. É o que acontece, por exemplo, com a função V= m·c tglL- dado :e
um ponto M do plano O :e y, ao qual corresponde o ângulo polar e, sobre uma circunferência de centro na origem e raio UM a função volta a M, se o percurso se faz uma só vez e no sentido directo, com o valor 9+21t'; a circulação do vector v=gmdarctg ?J :1!
ao longo desse percurso é, portanto, V.u- VJI = 2 r. ; se a circunferência é descrita k vezes no sentido directo a circulação é igual a 2 k "" É fácil ver que a circulação não depende da forma da curva mas apenas do número de voltas que ela dá em torno do ponto. Sejam, com efeito, duas curvas fechadas (C1 ) e (C2) envolvendo a origem Fig. 68 (fig. 68) e dando, cada uma delas, uma volta só em torno dela. Façamos um corte A B de espessura infinitésima e consideremos o percurso fechado com origem e extremidade em A e feito na ordem indicada pelos números das setas da figura. Tal percurso não envolve a origem e, por consequência, na hipótese de não
PARÁGRAFO 13
237
haver mais singularidades no campo, a circulação total ao longo dele é nula. Ora essa circulação decompõe-se do modo seguinte: r Ot + r .d B - f Os -- f D .d = 0 vistO qUe 0 sentido de percursO sobre (C,) é oposto do sentido sobre ( Ct); é, portanto, r 0 , = r c, . É claro que as mesmas considerações se aplicam, qualquer que seja a natureza da singularidade que origina a não-uniformidade e qualquE>r que seja o ponto do plano em que essa singularidade se dê. No espaço passa-se uma coisa análoga- pode então haver, não só pontos, mas linhas de st11gularidade; em todo o percurso fechado que ~nvolva urna linha dessas, a circulação não é nula mas tem um valor constante, dependente apenas do número de voltas que ele dá em torno da linha de sigularidade. 2. • - Anulamento da circulação. Seja o campo vectorial v (P) uniforme, continuo e derivável, e suponhamos que a circulação 4 nula ao longo de qualquer curva fechada (O) do campo. Tem-se então que, para toda a calote de superfície imersa no campo e apoiada em (C) é
Jl
rotvln. da=O o que exi-
ge que seja rotv=O em todo ocampo,istoéquev=grad V. Tem-se portanto que é condi-
çtlo necessária pat•a que a ci1·· culaçi1o slja nula ao longo de todo o pe1·curso (O) do campo v(P) que ele seja irrotacional. Por outro lado, o anulamento da circulação sobre todas ns curvas fechadas do ••tg. 69 campo exclui a hipótese de não-uniformidade de V acima mencionada, logo o campo deriva dum potencial-escalar. É claro que o anulamento da circulação ao longo de qualquer curva fechada do campo implica que a circulação entre dois pontos quaisquer do campo é independente do caminho. Sejam (fig. 67) os pontos A e B; de ser r.dGBHA=O resulta f..tas=fAHB· A
238
CAP. IV.
TEORIA DOS CAMPOS
propriedade anterior pode, portanto, enunciar-se dizendo que é condiçllo necessária para que a circulaçllo no campo v (P) 11(70 dependa do caminho que ele derive dum potencial (v. o teorema sobre a condição suficiente no final do parágrafo 4. 11 ). 3. a - Superfície fechado. Seja uma curva fechada (C) nas condições habituais e doas calotes de superfície apoiadas em (C) (fig. 69) e imer11as no campo v(P) nas condições habituais tam· bém ; sejam n, e n2 as normais exteriores a 8 1 e 8 2 • Aplicando a cada uma das calotes o teorema de Stokes, tem-se
j. v Idr = J. rt•ot v In, . d a = J. r
79)
J8t
• C
.JSt
!'Ot v
In1 . da
donde
JJ~, 1·ot vln, ·da-
80)
s
fl,
1·otv ln, ·da= O.
+ s,
s~ja = s, a superficie fechada form ada pela reunião das duas e -r o volume interior a S; como a normal n , exterior a S, coincide com n, sobre S, e é igual a- n, sobre S,, a igualdade 80) escreve-se
81)
j
1
rot v In · da
=
O
que exprime que atrat:és de toda a superficie fechada S, continua e encet·rando tlm dominio simplesmente conexo, imersa num campo vectorial v (P) uniforme, continno e derivável, é 11ulo o fluxo do rotacional do campo. Esta propriedade fornece uma nova demonstração da identidade divrot v:=O, visto que, pelo teorema de Ostrogradsky·Gauss, se tem
j~j~rotvln·da = J~Jldiv1·otv·dT
e o anulamento deste
integral para T qualquer implica o anulamento idêntico da função integranda. Esta demonstração é mais ger al que a data em 4 . 6 C) por não depender do. sistema particular de rE-ferência. 4. 8 - Fluxo conservativo. Suponhamos que o campo v(P) é solenoidal ; o fluxo é, então, C01lsert;alivo [4. 9, 1.•]. É fáci l expri-
PARÁGRAFO 13
239
mir o fluxo através de qualquer calote de superfície, apoiada num contorno fechado (C), na circulação ao longo desse contorno. Efectivamente, de ser divv =O resulta v =-mtu e a igualdade 79) escreve-se 82) que exprime que num campo solenoidal ojlu::co do vector v do campo através de qualquer calote de superfície apoiada num dado contorno fechado (O) é igual à circulaçl!o do potencial-vector de v ao longo de (O).
5. a -
Fórmula de Riemann.
Suponhamos que o campo vectorial
v(P) está sobre o plano O::c,::c2 (ou lhe é paralelo) e seja, nas condições habituais, uma curva fechada ( G) do plano, encerrando uma região simplesmente conexa S. É, então,
n = i,, da = d ::c, · d ::c2,
donde, pelo teorema de Stokes,
83) 6. a - Teorema do grodianle . Seja v um vector de direcção fixa, que se pode pôr, portanto, sob a forma v= V. a com a fixo; apliquemos-lhe o teorema de Stokes; tem-se [4. 5, 30)] 1·ot v= rot (V· a)=grad V !\a donde nl1·ot v=nlqrad V !\a =ai nf\gradV; por outro lado, v Idr = a I(V· dr) logo, substituindo na expressão do teorema de Stokes vem fl . 13, 6.a)] 84)
j ~V· d r = J'.J ~n 1\ grad V. d
!1 •
7. a - Comparação dos teoremas de Gauss e Stokes. Estes doi11 teoremas apresentam uma semelhança curiosa de conclusões:
a) ambos estabelecem, em determinadas condições, a independência
do integral pelo qual se exprimem em relação ao campo de
240
CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS
integração (fluxo conservativo ou indepf:lndência da circulação em relação ao caminho);
b) quando essa independência se verifica, é nulo o integral ao longo duma curva fechada (Stokes) ou sobre uma superflcie fechada (Gauss).
4. 14.
Resumo.
Seja o campo vectorial v ( P), uniforme e continuo, bem como as suas derivadas parciais de 1. 1 e 2. 8 ordem. Recordemos as seguintes definit;Des: a) Campo solenoidal, ou sem fonte (Quellenfrei)- aquele em que
divv =O. b) Campo irrotacional, ou lamelar, ou sem tu.rbilhllo (Wirbelfrei) -aquele em que rotv =O. c) Campo com potencial- aquele em que há uma função V( P) uniforme, continua e derivável, tal que v :c:: grad V. Estabeleceram-se as seguintes p1·opriedades:
1! - Todo o campo com potencial é irrotacional [4. 6, 45)]; em todo o campo v(P) irrotacíona.l existe um escalar V(P) tal qne v= grad V [4. 6, B), 2.']. 2.•-Todo o campo cujo vector é rotacional de outro é solenoidal [ 4. 6, 46)] ; em todo o campo v (P) solenoidal existe um vector u ( P) (potencial-vector) tal que rot u =v [ 4. 6, C), 2. •].
3. a - Em todo o campo solenoidal é nulo o fluxo total através de qualquer snperflcie fechada interior a esse campo, nas condições do teorema de Ostrogradsky-Gan~s [4. 9, 1. 1] ; em todo o campo solenoidal, o fluxo é conservativo [ 4. 9, 1. •J; em todo o campo solenoidal, o fluxo do vector v do campo através de qualquer calote de superficie apoiada num contorno fechado (C) é igual à circulação do potencial-vector de v ao longo de (C) [4. 13, 4!].
PARÁGRAFOS 13 e 14
241
4.a-o fluxo do rotacional do campo v( P) através duma su perficie fech
-
6 .8 -
Em todo o campo que deriva dum potencial, é nula a circulação ao longo de qualquer curva fechada (C) nas condições do teorema de A m pere-Stokes [ 4. 13, 1. •]; a circulação não depende do caminho que liga dois pontos; sempre que num campo a circulação é independente do caruinho, o campo deriva dum potencial [ 4. 13, 2. 3 ] . Um campo vectorial v (P) é determinado nnlvocamente, numa região finita, simplesmente conexa, do espaço, limitada por uma superfície fechada e continua, desde que se dê:
a) em cada ponto do campo, adivergênciaeorotacionalde v(P);
b) em cada ponto da superficie limitante, a componente de v (P) s obre a normal e xterior a essa superfície [ 4. 10, unicidade] . Posto isto, os campos vectoriais podem classificar-se, em relação
à sua divergência e ao seu rotacional, em quatro tipos; a) Campos sem fonte e sem turbilMlo
div v = O , rot v = O . Existe então um escalar V tal que v = grad V e satisfazendo
à equação
div grad V= Lap V = O. Estes campos dizem-se, por isso, campos de Laplace.
b) Campos sem fonte e com turbilhllo
div v = O , rot v =F O . c) Campos com fonte e sem turbilhão
div v =F O,
1·ot v = O •
d) Campos com .fonte e com turbilhão
div v =F O, O.LCULO VECTORIAL
rot v =f= O . 16
CAP. IV. TEORIA DOS CAMPOS
242
Neste caso é sempre posslvel decompor o campo em dois dos tipos b) e c). Efectivamente, se for div v= r, ''ot v= s, pode fazer·se v= V1 + v2 com
divv1 =O {
4. 15.
?'Ot Vt =
S
divv 9 =r { 1·ot Vs =O.
Bibliografia.
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Obras gerais J. l:ladamard- Cotlrs d'Analy e. 'fomo I. Paris, 1927. C. Jordan - Cours d'Analyse. Tomo II. Paris, 1913. R. Cou rant- V orlesungen über Differential- und 1nteg•·al1'echnung. Vol. II. Berlim, 1931. R. Garoier- Cours de Mathé111a.tiques Générales. Vol. H. Paris, 1931. M. A. Babl - Nouvea= Éléments d' Analy&e. Tomo I. Paris, 1937. EXERCÍCIOS I.
Calcular
a) b)
c) 2.
grad U para U- log (x~ + y~ + z?) div (grad U 1\ g•·ad V) uI rol u onde u é dado pela relação p · u - g1·ad V (p 1 u o V funçõu de ponto).
Sendo a e b dois vectores constantes, r trar que
(
1)
a I gra.d b I grad,. 3.
=
-
=
P (::r::.)- V, ,. ~ mod r, mos~
1 ·a I b + -3· (a I r). (b I r) . -rl ,.s
Dado um vector solenoidal n, mostrar que rot rot rol rol. u - Lap Lap u .
PARÁGRAFOS 14 e 15 4.
243
eja S uma esfera do centro em O e raio r, P o ponto corrente da superfície esférica, r ... (P- V), r = mocl r;
Jj ~r
I n ·da
a)
calcular
b)
verificar, em relação a
sobre a &upt:rfície esférica; e~sa
esfera, o teorema do fluxo para o vector
r
u -- · r
5.
Dada uma superfície fechada S e três vectores 1 w = - • rot v e v - rot u, mostrar que 2
~ 6.
Jfl(mod v)Ld~- .!J1'u I
+
tais que
~!Is u A v I n ·da.
Dada uma calote de superfície S, limitada por um contorno f.:chado (C) 1 e as funções de ponto U e v, mostrar que
j;; 7.
w·dT
u , v, w
U · n I rot
v · cl a =
J:
U · v I cl r
-
J.h
gmd U
A v I n · rl a •
Utilizando o resultado do exerclcio anterior, exprimir o fluxo do vector w - grad U A grad V através de S, numa circulação ao longo de (C) .
8. Seja um campo vectorial uniforme v (P), irrotacional; define-se um campo escalar do modo seguinte: tomado um ponto fixo O, ao qual se li,ra o número zero, a carla ponto M faz-se corresponder o valor da circulação de v (P) ao longo dum caminho ligando O a M. Estudar, do ponto de vista da uniformidade, e das relações com v (P), o campo escalar assim definido.
fNDICE
DE
NOMES
(Os números referem-se às péglnes)
Ampért, A.- 233, 235, 241 Appel, P. -117, 123 Argancl, J. - 1 BeUatJitis1 G. - 1 Bouli,qatul, G.- 77, 189, 242 B1"icarcl, R. -17,77,242 Buhl, A.- 242 Burali-Fo1·ti, C. - 77, 189, 242 Clul~let, A. - 77, 189 Cisoui, U.- 123 Courant, R.- 189, 218, 220, 242 c,·amer, G. - 62 Ein6tein, A.- 107 F•·et1et, F'. - 173, 176, 177 Garnier, R. - 189, 242 Gauss, K.- 153, 154 1 157, 167, 179, 185, 217, 218, 221, 222, 224, 225, 226, 227, 238,239, 240 Germain, S. - 185 Gibbs, J . -1 Gour.s<1t1 E. - 208 Grassmann 1 II. - 1 G·•·een, G.- 226, 227, 228, 229 H adama•·d, J.-1 59, \l l2, 213, 218, 242 Hamilton, W.- 1 1 181 1971 214 Heaviside, O. - 1 I onn /.o1.08ky I w. - 24 2 Jrjf'reys, li. - 123
Jorda n, C. - 144, 228, 242 Jul1a, G. - 189 Jtwet, G. - 77, 123, 189, 242 Kampê de Fériet1 J.- 77 1 189 Kronecker, L - 25, 51, 110 Lagally, M. - 1, 17, 77, 1891 242 Lagrange, J - 53, 148 Laplace, P. - 208, 241 Mat·colongo, R.- 77, 189, 242 McConnell, A. - 123 Meusnier- 183 Mübius, A. - 215 Monteiro, A.- 92 N;llus, P. - 77 Ostrogradslry - 217, 218, 221 1 224, 225, 226, 227, 23:!, 240 R abalé, G. - 77 R-iemann, B.- 239 Senet, J . - 171, 172, 190 Stokes , G.- 233, 235, 238, 239, 240, 241 Taylor, 8.- 147, 148, 151 1 152, 15H, 172, 189 T1·es$e, .1'1. - 189 Va/e ntiner, S.- 77, 242 Ve1·onnet, A.- 242 Weotllerburn, C.- 77, 189, 242 Wedderbum, J . - 25 Weasel, C. - 1
,.
ÍNDICE ALFABÉTICO DE MATÉRIAS (Os números referem-se õs p6ginos)
Acrúcimos finitos. Teorema dos - - 150-151. Adiçi.io. v. Soma. Afim. Geometria- 84, 96; multiplicidade vectorial- 85. Analítico. Cllorácter- do vector li vrtl 16-18, 2õ-28. Ângulo de dois vectores: definição 19; comportamento em face das transformações lineares 95, 96-99; determinação pelo produto escalar 53, determinação pelo produto vectorial 45. --de duas curvas duma superfície 168-170. Anulamento do produto: por um número 10, 11, 12, 13-14, 17, 26, 117; externo 42; interno 50; misto 59; de tensores 116-117. do fluxo 217, 221-224, 240. - d a circulação 235-237, 237-238, 240-241 . .Área dum triângulo 46; plana orientada 47; comportamento em face das transformações lineares 95, 9lS; elemento de-duma superfície 170-171,225. Assintéticas. Linhas -184. Associatividarle no produto: por mi meros 10, 11, 12, 13, 17, 26, 118; de elementos dum grupo 92, de tensores 117; de transformações lineares 89. - na soma: dtl elementos dum sistema linear 13; de translacções 61 8; de vectores 16, 26; de tensores 115. Axial. Escalar- -!7-48, 61; vector - - 48, 121. A.xialidade do espaço 47, 120-122. Ba·ricentro 36-38. Base duma multiplicidade vectorial 20, 28; dum sistema linear 15; vector ligado a uma - v . Deslizante. Binormal 171. Campo. Definição 128; função do--128; escalar 128; vectorial128; irrotacional ou lamelar 204, 237, 240-2U; com potencial 201, 211, 232, 235-238, 240; solenoidal ou sem fonte 203, 221-224, 240-241; de velocidades 216; de forças 217; de Laplace 241 ; Teoria dos- s 193-242. Cartesiana&. Coordenadas v. Co?rdenada8. Centro de gravidade 36-38; de curvatura v. Curva. Circulação. Definição 229; de significação física 230; i ndependência em relação ao caminho 231-232, 235, 240, 241; teorema de Ampere-Stokes 233-235; suas consequências 235-240; anulamento da-- 235-236, 237-238, 241.
24S
ÍNDICE AlfABÉTICO DE MATÉRIAS
Colintaridade de dois vectores 19, 21-221 ~2, 44-45. Combinação linear 14; --o homogénea 14; de vectores 27. CompoMnles dum elemento dum sistema linear 15; dum elemento duma multi-
plicidade vectorial 20 ; dum tensor 101-102; 109. Compo31çõo. Operação de-- : num grupo 91-92, num sistema linear 13-14; de
translacções 4-9; tensorial 118-123. Compos:a. Vector fun•;âo --1 52, 159. Compre.ssib•lidade. Condição ufl-- 220. Comutalimdade no produto: por números 10, 11. 12, 13, 14, 17, 26, 118 ; de ele-
menros dum grupo 92; de vectores 42, 4!1, 58; de tenson:s 117; de transformat,:Ões lineares 8(). --na soma: dt~ translacyÕes 6-8; de elementos dum sistema linear 13-14; de vectores 16, 26; de tensores 115. Concavidade. Sentido da-- duma curva num ponto 1í2-173. Cone.dto do espaço 218. Conservo. lho. Fluxo - - 223, 238-239, 240. Continuidude dum vector função de !>Onto 131-134. Contracção de tensores 119-123. Cootrat•ariantes. Componentes-- dum wnsor 101-102. CoT>ve>·gêllcia duma série de vectores 148-149. C001·der.adas cartesianas 28-32, transformações de - - 79-84, suas interpretações 84-86, 99-102; --dum vector deslizante : cartesianas 76, vectoriais 74-75; - - curvílineas 153-154, 15()-16~ ; linhas - 1 ! 3-154 1 160-161. superfícies -160-161. Coplanaridade de três vectores 19, 22-23, 32-33, 59. Covuriantes. Componentes --dum tensor 101-102. Cramer Regra .Je - - 62. Curva odÓ!(rafa dum vector 125. comprimento de arco 143-145, 168; centro de curvatura 174 ; números ligados a um ponto: curvatura de flexão 174, 176-179; torsão 175-179; curvatura total 176; raio de curvatura 174; raio de torsão 175; planos ligados a um ponto: osculador 172-173; normal172; rectificaote 172; vectores li~Cados a um ponto: tangente 14U-143; normal principal 171-l72i binormal 171 ; indica triz: das tangentes 173; das binormais 174. Curvatura de curvas v. Curva; de curvas numa superfície v. Superfície; de superfícies v. Superfície. Curvilíneas. Coordenadas- 153-154, 159-163. Curvilí.neo. Integral 165-1 66.
Decomposição dum vector 20, 25, 30. Depe11
ÍNDICE ALFABÉTICO DE MATÉRIA S
249
Derit>ação or•lioária de vectores 135-166 i tcn orial e dirigida ,(e escalares e vectores 186-189 i d11m ponto 140. Desco>ltinw:dades num campo vectorial 221, 223-224. Deshllant.e. Vector-: definição 19; momento v. Momet1to: coor enadas v, Coo1·denadas . Diferença de translacções 7, 8-9; de vectores 20-21 ; de tensores 1\5. D1jerenc-õal. Vector - - 142-143, 153, 156, 159; opo.:rador - - v. Operadores. Dimensões dum sistema linear 15-16; duma multiplicidade vectorial 20-25, 28. Dú ectores. Cose nos 31-32, 34; parâmetros- 34. Distância de rlois pontos 52-53; gradiante d a - 203. Distributividade do produto: por números 10, 11. 12, 13, 14, 17, 26, 118; de vec-
tores 40-41, il9; de tensores 117. Diver.ryência (Qperador) v. Opet·aúorts. Divi11ão vectorial 43, 75-76.
Eig:os coorrlenados 29. Equação cartesiana : duma recta 54; dum plano S:l-36, 54, 60;
duma circunferência 53; duma sup~rficie esférica 52; -vectorial : duma recta 33-34,126; dum plano 34-35,54,59-00, 126-127; duma superficie esférica 127 i ciuma hálice circular recta 126 i da odógrafa dum vector 126. de Laplace 208. Equações cartesianas: duma recta 3R-31, duma hélice circular recta 126; -paramétricas: duma recta 34; dum plano 35. Equipolência de segmentos orientados 3-4; de vectores 18. Equipotenciais. Superficies 128. Escalar. Campo 128; grandeza-- : definição 18i axial 48, 61; polar 48: produto- ou interno 48-57, 95-97. Externo. Produ to ou vectorial 39-48, 98.
Flexão. urvatura de-174, 176-179. Fluxo. Definição 215-216; significação física 216-217; teorema d o - (G auss)
217-221, 239 i suas consequências 221-220; anulalllento do - 217, 222-224 conservativo 223, 238-239, 240. 240; Fonte dum campo 217, 2:.12. Força. . Linhas de-217; tubos rle 217,223. Funna.s quarlráticas fundamentais da teoria das superfícies. v. Superfície. Fórmulas goniométricas 15~-156 i de Taylor 147-149, 151-152; de l<'rentJt 173-J 76;
de Green 226-229; de Riemann 239· Fórmulas d e - 173-176. Função rlum campo 128i harmónica 208, 227-229; regular 208; primitiva dum '' ector 163. Ftlndamenlal. 'l'ensor- ou unitário 111-112. ].',·e11el.
2110
ÍNDICE AlFABÉTICO DE MATÉRIAS
Ga!UB. Parâmetros de--153-151; teorema de Geodésica. Curvatura 183 ; linha -183-184. Gradia.nte (operador) v. Operadores. ~amdade.
Centro de -
v. 1'eorema.
36-38.
Green. fórmulas de- 226-229. Grupo 91-96.
Harmónica. Função- 208. Hel ice cÍI'cular recta 126. lletm'a~·metria.
ele sistemas e tensores 109-111. 14.
Homogénea. Relação linear e -
Identidade. Elemento dum grupo 92; transformação linear 91;
- d e Lagran ge 53-54. Igualdade de translacções 3, 4; ele vectores 161 26; de tens ores 109. In compressibilt'dade. Condição de-- 222. Independência da circulação em relação ao caminho 231-232, 235, 240, 241;-
linear: de elementos dum sistem a linear 14-16; de vectores 20. lndicatriz. v. Curva. I nfinitésimos vectoriais 129-131. Inte_ryrat. de vectores 163-166. lnU7"tiO. Produto- ou escalar 48-IH; 96-97. lnva1·ia•1tes com transformações lineares 94-99; operadores diferenciais 196-197 1 225-226. ln ~rso. Elemeuto dum grupo 92; transformação linear 89-91. lrrotncirmal. Campo v. Campo. lllotirnucas. Superfícies - - 128.
K1·onecker. Sim bolos de -
25.
Lagrange. Identidade de- 53-M. Lamelar on irrotacional. Campo -
v. Campo. Laplace. Equação de 208; campo de 24.1. Laplaoiano 207-211, 214, 226-228. Limile dum vector 131-134. Linea.1·. Combinação 14-15; combinação de vectores 27; dependência v. Dependência; independên cia-v. fnclependência; sistema- 13-16; multiplicidade- vectorial 20-28; operador - - vectorial v. Operadore3; transformação- 79-99.
ÍNDICE ALFABÉTICO DE MATÉRIAS
251
L inearidade Jos operadores de rotação no plano 68-69, 70-71; dos operadores
diferenciais 135-137, 196; da matriz operador duma transformação linear 85-86. Linha-s coordenadas 153-154 , 160; assintóticas 184 i geodésicas 183-184; de força dum campo 217 i de singularidade dum campo 237. Livre. Vector-16-17.
Matriz durr.a transformação linear 83-86. Medi da algébrica dum segmento orientado 2. Métrica das curvas e das superfícies 143-145, 167-171; geometria 96. Meusnier. Teorema de 183. Misto. Produto de três vectores 57-62. Módulo flum segmento orientado 2; dum vector livre 18, 97; duma transforma-
ção linear 84. Momento dum vector deslizante: em relação a um ponto 72-73; em relação a um eixo 76-77; resultante dum sistema de vectores deslizantes 73-74. lt{rlltiplicação v. Produto. Multiplicidade linear vectorial 20-28.
Nabla. Operador 197-199. Nível. Superfl.::ies de 128. Normais. Equações da recta 34.
No•·mal . Plano a uma curva 172; - - principal a uma curva 171-172; - a uma superfície 156-158 i 179-180. Nulo . El emento dum sistema linear 13-14; vector-16, 26 ; teosor--108
Od6grafa. Curva 125; superfície 126-127. d Operador D (matriz) 85i L (limite) 133. - (derivada) 135-140. du Operadores lineares no plano 67-71: rotação recta 68-69i rotação geral 70...71;
diferenciais 193-214: grad . 193, 195-199, 199-203, 225-226; teorema do 224-225, 239 i di v. 193-194, 195-199, 203-204, 225; teorema d a - v. teor. do fluxo; rot. 194-199, 20-1-207, 226; teorema d o - 225; v (nabla) 197-199. Invariância dos -196-197, 225. - d uplos 207-214. Opostos. Segmentos dirigid os - - 2 i vectores --19. Ordem duma multiplicidadt> vectorial 28; dum sistema 104 i dum tensor 107. Orientação dum segmento 2; dum sistema de eix os 28-30; duma área plana 46-48 ; dum volume 61 ; do espaço ( axialidade) 47; da normal a uma superfície 215; dum elemento de área 225; do percurso sobre uma curva 230-231.
ÍNDICE ALFABÉTICO DE MATÉRIAS Ortogonal. Transformação linear 88, ~G-99. Ortog<malidcule v. Perpendicularidade. Oçculador. Plano--duma curva 171-173.
Paralelismo. Condições de--: de dois vectores 21, 32, 44-45; de recta~, de
planos, de recta e plano 55. Invariância com o grupo das transformações lineares 94. P aramitricas. Equações-- V. Equações. Parâmetros directores da recta 34 ; de Gauss l:i3-154. Perpe>1dicula•·idade. Condições de--: de dois vectores 54; de rectas, de planos, de recta c plano 65. Comportamento em face das transformações lineares 94-~5. Plano. Equações 34-36, 54, lí9-60, 127 i perpenclicularidade e paralelismo de - - a recta e plano õ5; tangente a uma superfície 155-156, 157, 1~0; normal a uma curva 172. Polar. Escalar-- 48 i vector-- 48. Potencial-escalar 201, 212i-- vector 213; vector--212; campo com --201, 211, 232, 235-237, 238, 240. Primitiva !<'unção-- dum vector 163. P·r oduto por um número: duma traoslacção 9-12; de el.,mentos dum sistema linear 14 ; dum vector 17, 26; dum tensor 117-118; --de vectores: escalar 48-57, 9b-97; vectorial39-48, 98; misto 57-62; duplo vectorial 62-64; de 4 vectores 65-66; --de elementos dum grupo 91-92; - - tensorial 102-106. --de tens ores 115-117.
Reclifir:ante. Plano - - duma curva 172. Rectificátvd. Curva - - 144. Reflexit;a. Propriedade--: da equipolência 4; da igualdade 4, ln, 26. Regular. Ponto-- duma curva 140 ; fu nção-- num domínio 208. Resultante (ou soma) de translacções 4-9 ; momento-- v. Mome11to. R iematm. Fórmula de-- 239. Rotaci01icll (opt!rador) v. Operar/ores.
Sem fonte. Campo-- v. CamJ>O solenoidal. Série de vectores 148, 152. Serrei. Triedro de--171-173. Simetria de sistemas e teuaores 109-111.
ÍNDICE ALFABÉTICO DE MATÉRIAS
2~3
Simétrica. Propriedade-: da equipolência 4; da igualdade 4, 16, 26. Singularidade dum campo escalar 2~6-237. Sisrema 103-104; -linear 13-16. Solenoidal. Campo- v. Campo; vector-- v. Vector. Soma de translacções 4-9 i dum vector livre com um ponto 18i de vectores16, 20, 26; de elementos dum sistema linear 13-14; de teosores 114-11:) ; duma stirie convergente de vectores 148. Snbgrupo 93. &ubtracção v. Diferença. Superfície. Equação vectorial 127; --como odógrafa dum vector 126i-esférica v. Equação; coordenadas curvillneas numa -1ó3-Hí4 i métrica numa 167-171; primeira form a quadrática fundamental 167-168 ; segunda forma quadrática fundamentallS0-181; curvaturas duma- (média, principais, total) 184-185; curvaturas das curvas traçadas numa--: geodésica 183-184; normal 181-183 i linhas numa--: assintóticas 184; geodésicas 183-184; normal a urna -156-158, 179-180; plano tangente a uma 155-156, 157, 180 ; secção normal a uma--182; com uma só face (Mtsbius) 215; integral d e - 166. Superfíciu coordenadas 160-161; de nível 128; equipotencíais 128 ; isotérmicas 128. Suporte dum vector deslizante 19.
Tange nU a uma curva 140-143; plano- a uma superfície 155 156, 157, 180; triedro 161-162. Taylor. Desenvolvimento de 147-149, 151-152. Tensor. Definição 106-109; nulo 108; simples 107 i simétrico 111; bemisimétrico 111i fundamental ou unitário 111-112; E 112-113, 120-123 ; contraído doutro 119. Tenaorial. Produto - - 102-106; composição -118-123. Teorema dos acréscimos finitos 11)0-151 i de Meusnier 183; de unicidade 229; ele Ostrogradsky-Gauss 217-221, 238; suas consequências 221-229i de Ampere-Stokes 233-235, 239-240; suas consequências 235-240 i do gradiante, 224-225, 239 ; do rotacional 22~. TO'rsão duma curva 175-179· Trubalho 51, 230, 232, 235. Transformaçõea linearu 79-99. 2'ransitiva. Propríerlade - - : da equipolência 4; da igualdade 1, 16, 26. Tt·anslação. Definição 2-3 i nula 3; compo~ição 4-9; multipliçação por um número real 12. Triângulo. Área dum-- 46; sua orientação 46-47. Triedro de Serret 171-173; tangenw 161-162. Tubo de força 217. Turbilhão (ou rotacional) v. Ro!acional; campo sem- v. Campo irrotacional·
25!
ÍNDICE ALFABÉTIICO DE MATÉRIAS
Unicidad-e. Teorema- 229. Unidade. Elemento --dum grupo 92. Unitário. Vector 18-29; tensor 11 t-112. Uniformidade DO produto: por um número 10, 11, 121 17, ~6 1 116; de elementoe dum grupo 92; de tensores 117; de transformações lineares 89; na soma: de translacções 6, 8; de elementos dum sistema linear 13-14; de vectores 16, 26; de teosores ltô ; - d u m campo escalar 201, 212; não--dum campo escalar 237. Utlivocidacle dum campo vectorial 129.
Vector. Definição 16; carácter analítico 16-18, 25-28; imagem geométrica 17-18; concepção do ponto de vista do cálculo tensorial99-JOO, 107-108; evolução histórica do conceito 1; livre 16-17; axial 48, 121-122; polar48; de~lizante v. Deslizante; fixo 19; nulo 16, 26; unitário 18-19; eq uipolente dou tro 18: oposto a outro 19; do espaço euclideano n-dimensional 26;- u.nidade duma multiplicidade vectorial 28: --espaço duma curva 125; solenoidal 203; potencial 212; potenci a l - 215; simbólico (nabla) 197-199. Ve.:torial . Grandeza 18; multiplicidade linear 20·28; produto--ou exteroo39-48,· 98; duplo 62-64; divisão- 43, 75-76; campo- 128-129. Volume dum paralelipfpedo ôO, 61; oriootado 61; comportamento em face das transformações lineares 95, 99; ia tegral de 166.
