Das gelbe Rechenbuch. Für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker. Rechenverfahren der Höheren Mathematik in Einzelschritten erklärt: Das ... Naturwissenschaftler und Mathematiker

Linearkombination linear (un)abhängig

IVIIwl

lVI = Jv~ + v2 2 + va 2

Ein Vektor mit Länge eins {also

v =f Öund w=f Öist definiert durch v·w

V-W

cos cp = orthogonal senkrecht

[V, W-j

Der Betrag eines Vektors ist

lVI = ~= Norm Einheitsvektor

- W- >= = V-TW = (V, W-) =< V,


= arccos IVIIwl·

Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist~ (90°), wenn das Skalarprodukt den Wert null hat. Die Vektoren heißen dann orthogonal oder senkrecht. Schreibweise: vl_w. Sind VI bis vk Vektoren und ai bis ak Skalare, so nennt man den Ausdruck aivi + · · · + akvk eine Linearkombination der Vektoren mit den Koeffizienten ai bis ak· Die Vektoren vi bis vk sind linear abhängig {l.a.), wenn es Koeffizienten ai bis ak gibt mit aiVI + · · · + akvk = Ö, wobei nicht alle a; = 0 sind. Andernfalls sind die Vektoren linear unabhängig (l. u.). Sind also VI bis vk linear unabhängig und ist aivi + · · · + akvk = Ö, so folgt ai = a2 = · · · = ak = 0. Beispiele für linear unabhängige Vektoren sind die Koordinateneinheitsvektoren des !Rn.

kollinear komplanar

Zwei Vektoren des IR2 sind linear abhängig, wenn sie auf einer Geraden (durch Null) liegen. Bezeichnung: kollinear. Drei Vektoren des IR3 sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene (durch Null) liegen. Bezeichnung: komplanar. Äquivalent damit ist, daß das Spatprodukt (vi,v2,v3) = o ist.

25

1.2. VEKTORRECHNUNG IM JRN

12. Berechnung! IAddition und Skalarmultiplikation I Zwei Vektoren sind gleich, wenn alle Komponenten gleich sind. Vektoren werden komponentenweise addiert. Dabei kann man nur Vektoren ein und desselben Vektorraums miteinander addieren. Ein Vektor wird mit einem Skalar multipliziert, indem jede Komponente einzeln multipliziert wird.

Ffu

V~

mW~ (j:) und

ist iJ + w=

Vt+Wt) (v2 +: w2 Vn

und aiJ =

+ Wn

i1 und fl sind Vekto'"n des IR', W ist Element des IR'. Eß Ist ü + V

i1- fl

~(

Y).

Es Ist 5i1

Gleichheit Addition Skalarmultiplikation

(av1) av2 :

l:YVn

~ ( ~1) und

~ G) und -W ~ ( -;3) . Dle Vekto'"n i1 (ode< i1) und

wlassen sich nicht addieren, da sie nicht im selben Vektorraum liegen.

IAnwendung der Vektorrechnung in der Geometrie I Bei der Untersuchung geometrischer Objekte werden den Punkten Ortsvektoren zugeordnet und die geometrische Aussage über die Lage von Punkten in eine algebraische Aussage verwandelt. Beispiele dazu finden sich im nächsten Abschnitt. Konstruktion von Vektoren: Als Beispiel werden zwei Seitenhalbierende im Dreieck beschrieben. Dazu legt man sich den Nullpunkt möglichst _e;ünstig in eine Ecke des Dreiecks. Zwei Seiten werden durch die Vektoren ii und b repräsentiert.

ö

L

b

ö

1~

2b

b

ö

b

Anwendung der Vektorrechnung in der Geometrie

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

26

Den dritten Seitenvektor c erhält man aus ä und b, indem man über bereits bekannte Vektoren vom Anfangs- zum Endpunkt von geht: zunächst den Vektor ä rückwärts, also -ä, und dann den Vektor bvorwärts. Insgesamt ist

c

c= -ä+b. ~

Genauso erhält man die Seitenhalbierende ~

d = -ä+

d im zweiten Bild als 1~

2b.

Analog kann man im dritten Bild den Vektor

e beschreiben. Es ist

1 (~ b~) . 1 ~ a~ + 1 ( -a~ + b~) = 2 a+ c= e~ = a~ + 2 2 Weiterbenutzt werden diese Ergebnisse im nächsten Abschnitt auf Seite 45.

ISkalarprodukt im !Rn I Skalarprodukt im !Rn

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte der jeweiligen Komponenten:

iJTw ist das Matrizenprodukt des Zeilenvektors ilT, der durch Transponieren aus dem Spaltenvektor il entsteht, mit dem Spaltenvektor w. Kroneckersymbol

Skalarprodukte der Koordinateneinheitsvektoren:

Allgemein ist

~ · ~ = J;j.

Dabei ist

J;j

1 i = j 0 i # j

das Kroneckersymbol:

Beispiel 2: Die Vektoren il und il aus Beispiel 1

Das Skala'Produkt von ü

~

m V~ (~I)

u· v = 1· 2- o· 1 + 1·1 = 3, _... ( ~ ...) un d -;. u, v

und

;,t

1111 = v'1 + o+ 1 = ilv

3

h,

lVI = v'4 + 1 + 1 =

vl3

J6

1r

= arccos lüiiVI = arccos -/2/6 = arccos 2 = 6

il und il haben die Längen .;2 und

v'6 und schließen den Winkel

i (~30°)

ein.

1.2. VEKTORRECHNUNG IM JRN

27

IOrthogonales Komplement I

v = ( ~~)

vR = ( ~~2 ) das orthogonale Komplement zu v. vR steht auf v senkrecht und ist nicht der Nullvektor, falls v =/:- Ö ist. vR entsteht aus V durch Drehung um 90° im Gegenuhrzeigersinn. Es ist (vR)R = -v. Ist allgemeiner v E lRn und ist die k-te Komponente von v nicht Null, so erhält man einen zu v senkrechten Vektor, indem man die k-te und eine andere KompoIst

Orthogonales Komplement

E JR2 , so heißt

nente vertauscht, eine der beiden mit einen Minuszeichen versieht und die restlichen Komponenten auf Null setzt.

Beispiel 3: Senkrechte Vektoren zu

vR

= (

~4 )

ist orthogonal zu

v.

v = (~)

Ein zu

und zu

w= (1, 2, 3, 4)\

w senkrechter Vektor ist z.B.

bei der

Benutzung der zweiten und vierten Komponente (0, -4, 0, 2)\

IKreuzprodukt und Spatprodukt I Diese Produkte gibt es nur im

Kreuzprodukt Vektorprodukt

JR3 !

Das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt i1 x so definiert:

v zweier Vektoren i1 und v des JR3 ist

• i1 x v steht senkrecht auf i1 und auf v (i1 x • es ist lil

X

VI =

• die Vektoren il,

liliiVI

sin

vj_ il, i1 x vj_ V)

1: (il, v)

v und i1 x v bilden ein Rechtssystem.

Das bedeutet: zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung von i1 und der Zeigefinger in Richtung von v, so zeigt der Mittelfinger in die Richtung von i1 x v.

w

Der Betrag des Kreuzprodukts von vund ist der (zweidimensionale) Flächeninhalt des von den Vektoren und aufgespannten Parallelogramms. Insbesondere gilt:

v

i1 x

v= Ö

w

<=>

i1 und

v sind linear abhängig.

Rechtssystem

28

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

IBerechnung des Kreuzprodukts Berechnung des Kreuzprodukts Vt) X ( Vz

=

(Uz V3- U3 Vz) U3 Vt - Ut V3

V3

Eselsbrücken

Ut V2 - U2 Vt

Eselsbrücken zu Berechnung:

Wt W2 W3

= = =

Man schreibt die ersten beiden Komponenten von i1 und noch einmal unter die Vektoren. Die erste Zeile wird nicht benutzt. Man berechnet die Einträge im Kreuzprodukt als drei 2 x 2-Determinanten.

v

Uz V3 - U3 Vz U3 Vt - Ut V3

Ut Vz - Uz Vt

Man entwickelt die Determinante oben nach der ersten Spalte und erhält so die Komponenten des Kreuzprodukts.

IRechenregeln Rechenregeln

üx

(v + w) = ü x v + ü x w

(ü + v) x

(aV) X w=V X (aw) = a(v X Achtung:

(Ü X

i!)

X

w),

w = ü x w+ v x w

VX

w = -w X V

W =f; Ü X (v X w)!

Das Kreuzprodukt ist also in beiden Faktoren linear und antikommutativ. Das Assoziativgesetz gilt für das Kreuzprodukt nicht!

IEntwicklungssätze I Entwicklungssätze v. Lagrange u. GraBmann

Mehrfache Kreuzprodukte lassen sich mit Hilfe der Entwicklungssätze von Graßmann und Lagrange in Skalarprodukte umschreiben. . ux vxw = u·wv- u·vw (ü x v) . (w x x) = (ü . w) (v . x) - (ü . x)( v . w) Insbesondere ist Iu X i71 2 = (Ü X v)(Ü X i!) = li11 2 IVI 2 - (Ü· v) 2 • ~

(~

~)

(~

~)~

(~

~) ~

(Graßmann) (Lagrange)

29

1.2. VEKTORRECHNUNG IM !RN

Es werden it x v und v x

üxv=

VXW=

w und it x (v x w) berechnet.

(1o1) (2) = (1) 1·2-1·1 -11 = (0·1-1·(-1)) 1·(-1)-0·2 -11 , = (-1) 1·3-2·1 (-112) (3)10 = (-1·1-1·0) 2·0-(-1)·3 13 x

X

Das Produkt itx (vx w) wird direkt und mit dem GraBmannsehen Entwicklungssatz berechnet:

ü

üx (Vx W)

X

(V X W)

~

mG) ~ (~!) . X

( m~ (~!)

~(ü·W)V- (ü-~W~4 (~I)- 3m~ ~4)-

Kreuzprodukte der Koordinateneinheitsvektoren

äxb

ä Das Kreuzprodukt von ä und b steht senkrecht auf der von ä und b aufgespannten Ebene.

ä Das Spatprodukt gibt das Volumen des von ä, bund caufgespannten Spats an.

ISpatprodukt I Das Spatprodukt der dreier Vektoren gibt das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Spats an:

Spatprodukt

30

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

... V, ... W... >:= (... ...) ... ... (... ......... ) < u, U X V • W = U • V X W...) = det( u, V, W

itvw und [itvw]

Auch die Schreibweisen

sind für das Spatprodukt üblich.

Rechenregeln für das Spatprodukt ergeben sich aus den Rechenregeln für Skalarund Kreuzprodukt. Bei der Vertauschung von Vektoren nimmt man am besten die Darstellung als Determinante und erhält

< it, v, w >=< v, w, it >=< w, it, v > = - < it, w, v >= - < w, v, it >= - < v, it, w > Das Spatproduktdreier Vektoren ist wie das Skalarprodukt ein Skalar, (d.h. eine Zahl), das Kreuzprodukt ein Vektor.

< it, v, w >= 0

{::}

it, v und w sind linear abhängig, < e1,e2 , e3 >=

Beispiel 5: Das Spatprodukt der Vektoren spiel Das Kreuzprodukt von

it,

1.

v und waus dem letzten Bei-

it und v ist oben bereits berechnet worden.

IDer komplexe Vektorraum cn I In einem komplexen Vektorraum sind auch komplexe Skalare zulässig. Wichtigstes Beispiel ist der cn, der analog zum m.n aus allen n- Tupeln mit komplexen Einträgen besteht.

Skalarprodukt im cn

Der wichtigste Unterschied zu reellen Vektorräumen ist beim Skalarprodukt: es ist keine symmetrische, sondern eine hermitesche Bilinearform. Das bedeutet, daß beim Vertauschen der Faktoren das Ergebnis komplex konjugiert wird. Damit wird erreicht, daß auch dann für jeden Vektor das Skalarprodukt mit sich selbst reell und positiv ist.

w*vist das Produkt des Zeilenvektors w*, der durch Adjungieren, d.h. Transponie-

ren und komplex Konjugieren aus dem Vektor wentsteht, mit dem Spaltenvektor

v.

31

1.2. VEKTORRECHNUNG IM JRN

i)

~ (23 + . . l 6 :V= B eiSple _ i , W~ =

~

~

V+ W

=

(3+2i) 3 - 2i '

(1 -i+ i) :

(1-

")~=

l V

~

~

V+ W,

(1 ") ~ und ~ -

t V

~

V· W

((1-i)(2+i)) = (3-i) 2 - 4i (1 - i)(3 - i)

i1 · w= v1w1 + v2w 2 = (2 + i)( 1 - i) + (3 - i)( +i) = 3 - i + 1 + 3i = 4 + 2i

13. Beispiele I Beispiel 7: Alle Vektoren des

xE

IR2, die mit i1 = ( ~) den Winkel 60°

einschließen. Alle Vektoren, die mit einem Vektor einen festen Winkel einschließen, bilden im IR2 zwei Halbgeraden und im IR3 einen Kegel. Ansatz: es sei

x=

(x 1, x 2) \ Dann ist

x · (1, 2)T 1 _ Xt + 2x2 o _ cos60 - lxll(1, 2)TI {:::} 2- Jxr + x~ V5

V5 1 2 2 _ {:: } 2Yxt + x2- Xt + 2x2

Bevor man diese Gleichung quadriert (das ist keine Äquivalenzumformung), notiert man, daß x 1 + 2x 2 stets positiv sein muß.

~(xi + xn = xi + 4XtX2 + 4x~ {:::} xi -

llx~ = 0

l6X1X2 -

Die p-q-Formel ergibt Xt

= 8x2 ± )64x~ + llx~ = (8 ± v75)x2

x 1 + 2x2 ist positiv, falls x 2 2:: 0 ist. Die gesuchten Vektoren liegen also auf den Strahlen t>0 t > 0 und x = t ( 8 - 1 x= t (8 +

f5) ,

Beispiel 8: Alle Vektoren des

v75) ,

x E IR2, die mit i1 = ( ~)

das Skalarprodukt

zwei haben. Alle Vektoren , die mit einem Vektor i1 #- 0 ein festes Skalarprodukt haben, liegen im IR2 auf einer Geraden und im IR3 in einer Ebene (Hessesche Normalformen,

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

32

siehe Abschnitt 3). Im. ffi.n bilden diese Vektoren eine Hyperebene, d.h. einen (n- !)-dimensionalen affinen Unterraum. Durch Gleichsetzen des Skalarprodukts mit zwei erhält man

(~~) · (~) = 2 ~ Xt + 2xz = 2. Das ist die Gerade

x

Beispiel 9: Alle Vektoren E ~3 , die mit (2, 1, -2)Thaben. Alle Vektoren

x,

die mit einem Vektor

v=

(1, 0, 1) T das Kreuzprodukt

v =/:- 0 ein festes

Kreuzpodukt

xx v=

üi haben, liegen auf einer Geraden (Plückerform, siehe Abschnitt 3), falls das Skalarprodukt von v und üi null ist. Andernfalls hat die Gleichung keine Lösungen. Da die Vektoren im Beispiel aufeinander senkrecht stehen, gibt es eine Lösungsgerade:

Für die gesuchten Vektoren gilt x 2

=

2 und x 3

-

x1

=

1 ~ x3

=+ 1

x1:

Wenn eine Lösungsgerade existiert, hat diese immer den Richtungsvektor v.

Beispiel 10: Alle Vektoren

x E ffi-2 , die zu v = ( ~) den Abstand r = 2 haben.

Alle Vektoren, die zu einem Punkt einen festen Abstand r haben, liegen im ffi- 2 auf einen Kreis mit Radius r um diesen Punkt, im ffi- 3 auf einer Kugel.

lx- ii1

= ~I(~~=~) I= 2

2

~ (xt- 1? + (x

2 -

2?

=

4.

Das beschreibt einen Kreis mit Radius 2 um den Mittelpunkt (1, 2).

1.3. GERADEN UND EBENEN

1.3

33

Geraden und Ebenen

!1. Definitionen I l1. Geraden im IR2 1

Geraden im

Beschreibt man den JR2 durch die x-und y-Koordinaten, hat man folgende häufig gebrauchte Beschreibungen von Geraden.

JR2

Koordinatendarstellungen • y=ax+b

Normalform

Normalform

Die Gerade schneidet die y-Achse bei bundhat die Steigung a. • y = a(x- xo) + y0

Punktsteigungsform

Die Gerade geht durch den Punkt (x 0 , y0 ) und hat die Steigung a. Y1- Yo Y- Yo - = X1·Xo X- Xo

Zweipunkteform

Punktsteigu ngsform

Zweipunkteform

Die Gerade geht durch die zwei Punkte (x 0 ,y0 ) und (x 1 ,yl). Die Steigung ist der Term Yl - Yo . X1- Xo

• ~ + '!j_

Achsenabschnittsform = 1 c d Die Gerade schneidet die x-Achse bei c und die y-Achse bei d. Diese Form läßt sich nicht bei Geraden durch den Nullpunkt oder achsenparallelen Geraden verwenden.

Achsenabschnittsform

Vektordarstellungen

• r = ä + )..b, ).. E IR

Parameterform oder Punktrichtungsform

Die Gerade geht durch den Punkt ä und hat b =1- Ö als Richtungsvektor. Damit lassen sich auch Geraden parallel zu y-Achse beschreiben.

• r·n=d

Normalenform

Dabei muß fi =j:. Ösein, d ist eine reelle Zahl. Verlangt man zusätzlich, daß fi ein Einheitsvektor sein soll, also lfil = 1, und daß d ~ 0 ist, hat man die Hesse'sche Normalform, HNF. Im Fall d =j:. 0 (dann geht die Gerade nicht durch den Ursprung) sind fi und d durch die Gerade eindeutig festgelegt. In diesem Fall ist d der Abstand der Geraden zum Nullpunkt.

Parameterund Punktrichtungsfarm

Normalenform

Hesse'sche Normalform, HNF

34 Geraden im JR3

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

!2. Geraden im IR3 l

Hier gibt es hauptsächlich zwei Darstellungen:

• r = ä + )..b, ).. E IR

Parameterund Punktrichtungsfarm

Parameterform oder Punktrichtungsform

Diese Form beschreibt wie im IR2 in Räumen beliebiger Dimension eine Gerade.

Plückerform

•rxiJ=w

Plückerform

Dabei muß iJ =f. 0 und iJ · w = 0 sein. iJ ist dabei ein Richtungsvektor der Geraden. Im Fall w = 0 geht die Gerade durch den Ursprung.

13. Ebenen im IR

l

3

Ebenen im IR3

Es werden wie bei den Geraden nur Vektorformen aufgeführt. Parameter-

Parameterform Dabei sind b =f. 0 und c =f. 0 zwei Vektoren, die die Ebene aufspannen. Damit die Ebene nicht zu einer Geraden entartet, verlangt man, daß die Richtungsvektoren b und c linear unabhängig sind.

form

3-Punkteform

3-Punkteform Das ist eine Variante der Parameterform. Hier wird eine Ebene durch die drei Punkte mit den Ortsvektoren ä, b und c beschrieben.

• r · ii = d

Normalenform

Normalenform

Dabei ist ii =f. 0. Bei der Hesse'schen Normalform, HNF verlangt man (wie bei Geraden im IR2 ), daß liil = 1 und d 2': 0 sein soll. Dann sind im Fall d > 0 der Normalenvektor ii und d eindeutig bestimmt. ii zeigt vom Ursprung in die Richtung der Ebene und d ist der Abstand zum Nullpunkt.

Schnittwinkel parallel, windschief

j4.

Schnittwinkeil

Geraden sind parallel, wenn die Richtungvektoren linear abhängig sind. Geraden im IR3 , die weder parallel sind noch sich schneiden, heißen windschief. Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind. Der Schnittwinkel 1 E (0, ~] von Geraden mit den Richtungsvektoren ä und bist der kleinere der Winkel a zwischen ä und b und ß zwischen ä und -b. lä·bl cos I = lällbl Im IR2 ist das auch der Winkel zwischen den Normalenrichtungen.

35

1.3. GERADEN UND EBENEN

Genauso berechnet man dem Schnittwinkel a E [0, ~] zwischen Ebenen als den Winkel zwischen ihren Normalenvektoren und den Schnittwinkel a zwischen einer Geraden und einer Ebene als a = ~ - ß, wobei ß der Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene ist.

j2.

Berechnung!

IGeradenformen im IR2 I Bei der Umwandlung von Koordinatenformen erhält man die Normalform + b immer durch Auflösen nach y. Daraus erhält man durch Einsetzen von x = 0 und x = 1 zwei Punkte der Geraden: (0, b) und (1, a + b). Die Achsenabschnittsform erhält man, indem alle Terme mit den Faktoren x und y auf die eine Seite und der Rest auf die andere Seite gebracht wird und dann durch diese Zahl dividiert wird. y = ax

j Beispiel 1: Umwandlung von y

= 3(x- 1) + 9

Die Gerade geht durch den Punkt (1, 9) und hat die Steigung 3. Auflösen nach y ergibt die Normalform y = 3x + 6. Umwandlung in die Achsenabschnittsform: y- 3x = 6

<=?

y

X

---=1 6 2

Die Gerade schneidet die x-Achse bei x = -2 und die y-Achse bei y = 6. Bei der Umwandlung von Koordinaten- in Parameterform benutzt man, daß eine Gerade mit der Steigung a den Richtungsvektor b = (!) hat und entnimmt der Geradengleichung einen Punkt. Bei Geraden parallel zu y-Achse der Form x = x 0 ist ein Richtungsvektor (~) und (x 0 , 0) eine Punkt der Geraden. Umwandlung von Vektor- in Koordinatenform: Es wird f = (:) eingesetzt. In der Parameterform wird aus den beiden Gleichungen für die erste und zweite Koordinate der Parameter>. eliminiert, bei der Hesseform kann man direkt nach y auflösen.

Beispiel 2: y = 3x + 6 in Vektorform, f =

(~) + >. ( ! 1)

und f ·

(~)

=2

in Normalform umwandeln. Aus der Steigung a = 3 und dem Punkt ( ~) erhält man f = ( ~)

+ >. (;) .

Geraden im JR2

36

r=

Einsetzen von

(

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

n

in

r=

G) + ). (!

1) ergibt die beiden Gleichungen

x = 2 + 3). und y = 1 - >.. Auflösen der zweite Gleichung nach ergibt>.= 1- y und x = 2 + 3(1- y), also y = -kx + ~-

Einsetzen von

r = (~)

b :=

r· (

(S. 27), ä :=

fiR

i)

= 2 ergibt 2x + y = 2, also y = -2x + 2.

r- ä + >.b

Parameterform

"+-"

in

>. und Einsetzen

r · ii =

++

~~ 2 ii.

d

Normalenform

Einen Punkt der Geraden kann man auch

durch Einsetzen von x = 0 oder y = 0 bestimmen. "-t" ii :=

t;n, d := äii.

Ist Hessesehe Normalform gesucht, so dividiert man die erhaltene Gleichung durch liil und ändert im Fall d < 0 auf beiden Seiten das Vorzeichen.

Beispiel 3: 91:

r=

U)

+). (

=n

in Normalenform und 92:

r ( ~2)

= 4 in

Parameterform umwandeln. Wegen

(:)R = (-;;b)

nimmt man ii = ( ~

Eine Normalenform von 91 ist

r· ( ~3 )

3)

und erhält d =

= -1, die HNF ist

G) ·(~3 ) r~

(!)

=

= -1.

~­

Aus dem Normalenvektor ii = (2, -2)T von 92 erhält man den Richtungsvektor b = (2, 2)~ Wegen liil 2 = 8 erhält man einen Punkt als ä = ~(2, -2)T = (1, -1)~ Alternativ hätte man aus der ausmultiplizierten Gleichung 2x - 2y = 4 den Punkt (0, -2) oder (2, 0) ablesen können. Damit ist = (1, -1)T + >.(2, 2)T eine Parameterform der Geraden.

r

I

Geraden im JR3

Geraden im IR3 1 Plückerform

~

r X V= w w:= ä v.

"+--"

V:= b,

"--t"

.... .... b- := v, a := IV112 v- x w

X

r = ä + >.b

Parameterform

1.3. GERADEN UND EBENEN

37

Beispiel 4, Hin- und Rückumwandlung von i'

MitV~b~ Gemden i' x

und

~ G) + >. G)

mundW~äxb~ mm~ n

2 ) istdiePlückerlomde.

X

G) ~ (:

2 ). Umgekehrt echält man damus mit

b ~ V,

~ ~ I~' V x W ~ ~ (~I) die Pammetedocm i' ~ ~ (~I) + >.

Der ursprünglichen Vektor ä ergibt sich für >. =

I~' ~ 2

m

!·

IUmwandlung von Ebenformen I Ebenen

Parameterform

"~"

r = ä + >.b + JLC

Entweder ä =

tt

r · ii = d

Normalenform

l 1~ 2 ii setzen oder man bestimmt ä durch

Einsetzen von

zwei Koordinaten als null und Bestimmung der dritten aus der ausmultiplizierten Gleichung ä · ii = d. Zur Bestimmung zweier Richtungsvektoren sucht man zwei linear unabhängige auf ii senkrecht stehende Vektoren. Dabei kann man benutzen, daß für r = (a,b,c)T =f. 0 zwei der Vektoren (-b,a,O)\ (-c,O,a)Tund (0, -c, b)Tlinear unabhängig und orthogonalzur sind (vgl. S. 27). Alternativ kann man auch zwei weitere Punkte bestimmen und die Ebenengleichung in der 3-Punkte-Form aufstellen. " -+"

-

n := b X C,

d :=

a· n.

Genauso wie bei Geraden im JR2 kann man die Hesse'sche Normalform durch Division durch ±liil erhalten.

Beispiels, Hin- und Rückumwandlung von

r~ (D + >. G) + ~ (:)

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

38 Mit d = ä · ii = 1 - 2 + 3 = 2 ist die HNF

2

J3 Umgekehrt lassen sich aus der Normalenform x- y + z = 2 die Punkte (2, 0, 0), (0, -2, 0) und (0, 0, 2) ablesen und damit ist eine Parameterform

,~ W

+A (

AltemaUv b"timmt man

ä'

~;) + ~ ( T)

~ (~I)

und

II

m

und

2

Richtungsvektoren.

ISchnittpunkte und -geraden I Schnitt von

Geraden und Ebenen

Bei Koordinatenformen von Geraden im IR 2 löst man beide Gleichungen nach y auf und bestimmt durch Gleichsetzen den x-Wert des Schnittpunkts. Aus einer der beiden nach y aufgelösten Gleichungen erhält man dann den y-Wert des Schnittpunkts. Ist die Gleichung für die x-Werte nicht lösbar, so schneiden sich die Geraden nicht und sind parallel. Hat diese Gleichung unendlich viele Lösungen (d.h. ist x beliebig), so sind die Geraden gleich. Bei der Berechnung der Schnittmenge von Geraden und Ebenen geht man stets so vor, daß man die beiden Gleichungen entweder ineinander einsetzt und so die Parameter bestimmt oder daß die Gleichungen als Gleichungssystem gelöst werden. Dabei treten folgende Fälle auf: • Es gibt keine Lösung. Beim Schnitt von Geraden im JR3 können diese windschief sein, sonst sind die Ebenen oder Geraden parallel. • Es gibt genau eine Lösung. Die Geraden oder Ebenen schneiden sich in einem Punkt. • Es gibt unendlich viele Lösungen. Dann gibt es mindestens eine Schnittgerade. Zwei gleiche Ebenen schneiden sich in einer Schnittebene.

IGeraden im IR

2 1

Geraden im JR2

Günstiger Fall: eine Gleichung liegt in Parameterform, die andere in Normalenform vor.

39

1.3. GERADEN UND EBENEN

Man setzt gleich und erhält ein Gleichungssystem für natürlich nur eine der Variablen bestimmen muß:

>. und J-L, woraus man

92:r·n=d

•91:r=ä+>.b,

Die erste Gleichung wird in die zweite eingesetzt und daraus

• 91: r. nJ.

=

dt'

92:

r. n2

=

>. bestimmt.

d2

Entweder schreibt man die Gleichungen in Koordinaten aus und löst das entstehende Gleichungssystem für die x- und y-Koordinaten oder man bringt eine der Gleichungen in Parameterform.

IGeraden im IR3 I • Zweimal Parameterform: wie im IR2 .

Man setzt die erste Gleichung in die zweite ein und bestimmt

>..

Man bringt eine Gleichung in Parameterform und geht wie oben vor.

IGerade und Ebene I

Gerade und Ebene

Günstiger Fall: Ebene in Normalen-, Gerade in Parameterform.

• 9: r = ä + >.b, E: r = c+ J-Ll + ve Gleichsetzen ergibt ein Gleichungssystem mit den drei Unbekannten >., J-L und v. Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, reicht es>. zu bestimmen. Oft ist es einfacher, die Ebene in Normalenform zu bringen .

• 9: r = ä + >.S, E:

r. n =

d

Einsetzen der Geraden- in die Ebenengleichung gibt eine Gleichung für

>..

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

40

• g:

r

X

w,

V=

Ebene beliebig

Am einfachsten ist es, die Gerade in Parameterform zu bringen und dann wie oben zu verfahren.

IZwei Ebenen I Zwei Ebenen

Günstiger Fall: Eine Ebene in Normalen-, eine in Parameterform.

E2:r=d+ve+~f Gleichsetzen ergibt ein System mit drei Gleichungen für die vier unbekannten Parameter. Es reicht aus, ein Parameterpaar (>-., p,) oder (v, ~) zu bestimmen. Diese Variablen sind dann noch von einem Parameter abhängend. Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt die Schnittgerade. Einfacher ist es meist, eine Ebene in Normalenform zu bringen.

• Et:r=a+>-.b+p,c,

• E1:

r = a + >-.b + Jlz,

E2:

r. ii = d

Einsetzen der ersten in die zweite Gleichung ergibt eine Gleichung zwischen ).. und p,. Löst man z.B. nach).. aufund setzt dann).. in die Ebenengleichung ein, erhält man die Gleichung der Schnittgeraden.

• E1:

r· ii1

= d1,

E2: r· ii2 = d2

Man schreibt die beiden Gleichungen für die Koordinaten aus und ermittelt eine Lösung mit dem Gaußsehen Eliminationsverfahren. Alternativ bringt man eine Gleichung in Normalenform und nimmt das Verfahren von oben.

Bei•piel 6' Schnitte von g• i'

E, i'

~ (D + ,\ ( ~J,

~ ( ~2) + ß

m mund +v

E, i' · (

~~) ~ -2

Will man den Schnittpunkt von g und E 1 berechnen, bekommt man durch Gleichsetzen das Gleichungssystem

1.3. GERADEN UND EBENEN

41

In Matrixschreibweise hat man also

Von der Lösung nach dem Gaußalgorithmus benötigt man nur >. = -2 (es ist außerdem p. = 0, v = 2}. Da das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, erhält man den eindeutigen Schnittpunkt

Einfacher ist der Schnittpunkt zu berechnen, wenn man E1 in Normalenform überführt:

Setzt man jetzt für

r die Geradengleichung ein, erhält man

und man erhält den Schnittpunkt wie oben. Natürlich kann man genauso den Schnittpunkt von g und E2 berechnen:

und der Schnittpunkt ist (3, 2, 3) ~ Die Berechnung der Schnittmenge von E 1 und E 2 geht ganz ähnlich vor sich:

Auflösen nach J.L ergibt J.L = 1 - v und die Schnittgerade ist damit

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

42

IAbstand und Lotpunkt I Abstand und Lotpunkt

E

Lotpunkt

Der Abstand d ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke e. Diese hat die Eigenschaft, auf den Richtungsvektoren der beteiligten Geraden und Ebenen senkrecht zu stehen. Der Lotpunkt (oder Fußpunkt des Lots) Po ist derjenige Punkt auf einer Geraden oder Ebene, der zu einem gegebenen Punkt den kürzesten Abstand hat.

Geht die Gerade oder Ebene durch den Nullpunkt, so ist die Bestimmung des Lotpunkts die in Abschnitt 8 (S. 97) beschriebene orthogonale Projektion auf diesen Unterraum. Im folgenden sind P und Q Punkte mit den Ortsvektoren Po hat den Ortsvektor f!o.

I

p und ij, der Lotpunkt

Abstände im R 2 1

Abstand im m_2

• Punktp-Punkt • Punkt

p- Gerade 9: r = a+ )..b:

·t~ Der Lt p0 o pun kt 1s und d(P, 9) = • Punkt

if: d(P, Q) = lf- Q1

lf1

. araus errechnet man e~ = p~0 - p~ ~ ~ = a~ + (f-a)·bb~D

b. b (vgl. Bsp. 10).

p- Gerade 9: f. ii = d

Der Abstand ist d(P, 9) =

I: 11f· ii- dl, der Lotpunkt f!o = p- P·~n-: d ii.

n Ist die Gerade in HNF, so ist die Berechnung wegen besonders einfach.

lnl

n·n = ii · ii = 1

• Gerade 9 1 - Gerade 92 : Falls die Geraden gleich sind oder sich schneiden, ist der Abstand null. Sind die Geraden parallel, nimmt man einen beliebigen Punkt aus 92 und berechnet den Abstand zu 9 1 •

43

1.3. GERADEN UND EBENEN

Beispiel 7: Abstand und Lotpunkt von P = (0, 4) zu 9: f · ( ~) = 3

Wegen

lnl =I(~)

I=

2 ist d(P,9)

=l~llff· n- dl =~I(~)·(~) -31 =~·

Den Ortsvektor des Lotpunkts erhält man aus

n- d ~ _ ~ _ ~ _ P. ~~nPo-P n·n

(o2) = ( 4/2) (o)4 _~ 4 3

IAbstände im IR3 I • Punktp-Punkt • Punkt

Abstand im JR3

if:

wie im IR2 ist d(P, Q)

= lff- Q1

p- Gerade 9= r= ä+>..b: wie im JR2 oder d(P,9)

Fusspunkt des Lots:

=

l(ä- i!} X bl lbl

Po = ä+ (p-: ä2 · bb (vgl. Beispiel 10). b·b

• Punkt

p- Ebene E:

r= ä + >..b + p,C:

Analog zur Berechnung des Abstands windschiefer Geraden erhält man die >..-und p,-Werte des Lotpunkts aus dem Gleichungssystem

>..(b. b) + p,(b. C) = -(ä- P). "b,

>..(b. C) + p,(c· C) = -(ä- P>. c

Daraus berechnet man den Abstand d(P, E) = • Punkt

p- Ebene E:

f ·

Der Abstand ist d(P, E) =

lff- Pol·

n= d d n. l:llff·n-dl, der Lotpunkt Po= p- p·~n-= n·n

n Auch hier ist die Rechnung einfacher, wenn die Ebene in HNF vorliegt.

• Gerade 91 : f = ä + )..b - Gerade 92: f =

c+ p,d~

l(c- ä.J · (~x d)l siehe Beispielll. Sind die Geraden parallel lb X d (dann ist b x d = Ö), so geht man wie im nächsten Punkt vor:

d(9 1 ,92 ) =

• Gerade - Ebene oder Ebene - Ebene: falls es keinen Schnittpunkt gibt, nimmt man einen Punkt der Geraden oder Ebene und berechnet den Abstand zur anderen Ebene.

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

44

Beispiel 8: Abstände und Lotpunkte von P = (3, 4, 0) zu

.,r~ UJ +~

m r~ m+pUJ und&

Schreibt man die Gerade g in der Form d(P,g) =

I(P'- ~)X bl = _1 lbl v'B

(;)

1

+v (

~~)

r = ä + .Ab, so ist

X(~)

=

2

_1 (

v'B

6)

-4

=

J32 = 2 v'8

Berechnung des Fusspunkts des Lots:

Natürlich kann man d(P, g) jetzt auch als

IP'- P'ol

erhalten.

Die Berechnung von d(P, E) ist am einfachsten, wennEin HNF gebracht wird:

ergeben eine Normalenform und die HNF:

Damit berechnet man den Abstand

Beweismethoden

IBeweismethoden I Bei der Berechnung von Abstands- oder Projektionsformeln benutzt man häufig diese Beweismethode:

CD

Aufstellen eines geschlossenen Umlaufs, d.i. eine Summe von Vektoren, die den Nullvektor ergibt. Dabei enthält der Umlauf einen oder mehrere unbekannte Vektoren oder Parameter.

1.3. GERADEN UND EBENEN

®

45

Bestimmung der Unbekannten durch • Ausnutzung von linearer Unabhängigkeit • Skalarmultiplikation • Bildung von Kreuzprodukten

Die Methoden werden an zwei typischen Beispielen erklärt. Beispiel 9: Schnitt von Seitenhalbierenden Bewiesen werden soll, daß sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks im Verhältnis 1 : 2 schneiden. Dazu betrachtet man wie auf Seite 26 das Dreieck mit den Seiten a und b und stellt zunächst die Geradengleichungen der Seitenhalbierenden auf: g1

1 b...) r... = a... + "'( -a... + 2

:

g2

:

... 1 (... b...) r=J.L·2a+

Der Schnittpunkt S liegt auf beiden Geraden und erfüllt daher beide Gleichungen:

®

Sortieren nach

aund bergibt: J.L ... .X (1 - .X - - )a + (2 2

... - -J.L-)b = 0 2

Nun wird ausgenutzt, daß a und b linear unabhängig sind und daß daher beide Vorfaktoren null sein müssen. Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem für die beiden Parameter .X und fL 1 1 -.X- -J.L = 0 2 2

Die Lösung ist .X= fL =

~-

Das bedeutet gerade, daß die Strecke AS zwei Drittel der Strecke AT beträgt und daß sich die Seitenhalbierenden wie behauptet im Verhältnis 1 : 2 schneiden.

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

46

I Beispiel 10: Abstand Punkt-Gerade Gesucht ist der Abstand des Punktes P mit dem Ortsvektor pzur Geraden 9 mit der Gleichung r = ä + >.b. Zu p und 9 wird der Fußpunkt P0 des Lots von P auf die Gerade berechnet. Die Verbindungsstrecke wird mit e bezeichnet. Es gilt

p

ej_b.

CD

Der ~esu~hte~gesc~lossene Umlauf ergibt sich aus p + e = a + >.b:

@ Skalarmultiplikation mit bentfernt wegen b· e= 0 den unbekannten Vektor

e und ergibt eine Bestimmungsgleichung für >..: ~

~ ~

(p- ä) . b-)., (b. b) = 0 => )., =

(p-ä)·b ~

lW

~- ~+ "'b~- p-a ~- ~- p~+ (p-ä) ·bb~ => e-a ~

Jbj2

Der gesuchte Abstand läßt sich als

®

Je1 berechnen.

Ist nur der Abstand gesucht, hat man im R3 eine zweite Möglichkeit: wegen Üeist jb x e1 = JbJJe1. Bildet man in(*) das Kreuzprodukt mit b, so erhält man

13. Beispiele I Beispiel 11: Formel für Abstandzweier nicht paralleler Geraden Berechnet werden soll der Abstand der Geraden 9 1 und 92 mit den Gleichungen 91:

r= ä + >.b

92:

r= c+ f-ld

~

ö

Bei Abstandsberechnungen benutzt man immer die Tatsache, daß die kürzeste Verbindungsstrecke esenkrecht auf den Richtungsvektoren bund d der beiden Geraden steht.

47

1.3. GERADEN UND EBENEN

CD

Aufstellen eines geschlossenen Umlaufs: ä + )..b + e =

c+ {Ld~ also

@ Daraus kann man nun den unbekannten Vektor e bestimmen, wenn man )..

und 1-L kennt. Da esenkrecht zu bund zu dist, erhält man durch Skalarmultiplikation in (*) mit b und d zwei Gleichungen, aus denen man die Zahlen ).. und 1-L bestimmen kann:

+ >."b -~-Ld+ e1· "b = ö. "b {::} >. (b. "b) -~-L (d· "b) = (c- a). "b C) + )..b- {Ld + e1 d = ö b {::} ).. (b d) - 1-L ( d d) = (c- ä) d

[(ä- C)

[(ä -

°

0

0

0

0

e und der Abstand der beiden Geraden lellassen sich nun durch Einsetzen von ).. und

®

1-L

in (*) bestimmen.

Während die obige Methode in Räumen beliebiger Dimension funktioniert, kann man im JR3 . auch das Kreuzprodukt zu Hilfe nehmen. Dabei benutzt man, daß im Fall nichtparalleler Geraden der Verbindungsvektor, der ja auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen muß, die Form e = V bX dhaben muß. Dann geht Gleichung (*) über in

Jetzt kann man die Parameter).. und {Laus der Gleichung entfernen, indem man mit bx d skalar multipliziert und dabei ausnutzt, daß bx J sowohl auf b wie auch auf d senkrecht steht:

(a- CJ · (b X

d) +V (b X d) · (b X d) = Q

und damit

_ _ e1 x d- un dlnl_l(c-ä)·(bxd)l _ _ LJ - v (b- x dn_(c-ä)·(bxd)be__ 2 lb X dl lb X dl

Bei,piel 12, Schnitte von E, ' f · (

E,

~2) ~ 3 mit

r~ (~;)+A(Ü+"G) undE, r(~~) ~-4

Beim Schnitt von E 1 und E 2 wird die Darstellung von E 2 in E 1 eingesetzt:

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

48

Die beiden .Ebenen haben keinen gemeinsamen Punkt und sind damit parallel. Zur Berechnung ihres Abstands bringt man am einfachsten E 1 in HNF, indem durch Vf7 dividiert wird. Dann wählt man aus E 2 den Punkt P = ( -2, -2, 0) T und berechnet 3) - 2) · - 1 ( -2 - - 3 = 1- _2 - - 3 I = - 5 d(E2 El) = d(P El) = ( -2 Vf7 Vf7 Vf7 Vf7 Vf7 2 0 ' ' Zur Berechnung des Schnittpunkts von E 1 und E 3 schreibt man die Gleichungen aus und verwendet das Gaußsehe Eliminationsverfahren: 3x- 2y + 2z = 3

X-

y

+Z =

-4

(0 1 -1115) -4 {:} 1 0 0 11 121 -43) {:} (01 -11 -11 115) Nimmt man t = z als Parameter, liest man y = 15 + t und x = 11 ab. Die ( 3 -2 1 -1

Schnittgerade ist also

(~1) ii-

c=

(~) 3

und der Abstand ist d(gl,92) = l(c-

ist

iiJ. (~X d)l

lb x d

bx l =

=

~ = 0.

v3

Die Geraden haben den Abstand Null und damit einen Schnittpunkt P. Zur Berechnung von P schreibt man

>.b + Jt( -d) = c- ii und löst das Gleichungssystem für >. und Jt nach dem Gaußalgorithmus: ii + >.b = c+ Jtl

{:}

(!1 ~1 ~3) {:} (~1 .~1 ,=;) 2

-1

-3

0 I -1 '-9

Man hat also>.= 3 (und Jt = 9) und damit deq Schnittpunkt (10, -1, 7)~

49

1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN

1.4

Matrizen und Determinanten

11. Definitionen I Eine (m, n)-Matrix A ist ein rechteckiges Schema von Zahlen, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. Vorsicht! Die Schreibweise ist nicht einheitlich, machmal sind m und n in ihrer Bedeutung vertauscht .

A

= (a;j)i.=l .. = m

(..,

al2

a21

a22

aml

am2

... ...

Matrix

.) ,.

a2n

J=l..n

amn

Eine Matrix mit gleichvielen Zeilen und Spalten heißt quadratisch. Andere Schreibweisen: In den folgenden Bezeichnungen kann man den allgemeinen Körper lK durch IR oder C ersetzen.

m

X

n-Matrix, M(m, n), Mm,n(IK), .C(!Kn, ocn), JL(!Kn, !Km) und JK(n,m)

Schreibweisen für quadratische Matizen:Qln, GlL(n, IK) und JL(!Kn). Besondere Matrizen: Eine Matrix, die nur Nullen als Einträge hat, heißt Nullmatrix und wird mit 0 bezeichnet.

!) (: : ! !) (~ ;: :) dn

* * *

*

0 0 0

Null-, Einheits-, DiagonalSkalarDreiecksmatrix

*

Obere Untere Diagonalmatrix Einheitsmatrix Dreiecksmatrix Dreiecksmatrix Skalarmatrix En oder In Die n-reihige Einheitsmatrix wird mit En oder In oder einfach mit E oder I bezeichnet. Ist A eine quadratische n x n- Matrix und gibt es eine (quadratische n x n-) Matrix B mit AB= E {dann ist auch BA= E), heißt A regulär oder invertierbar. Bezeichnung: B = A- 1 . Nichtinvertierbare quadratische Matrizen heißen singulär.

regulär singulär

Der Rang einer Matrix wird auf Seite 83 definiert und berechnet. Die Zahlen von links oben bis rechts unten in einer quadratischen Matrix bil.den die Hauptdiagonale. Diagonalmatrizen oder Skalarmatrizen haben also nur Einträge auf der Hauptdiqgonalen. Die Elemente von rechts oben bis links unten bilden die Nebendiagonale.

Haupt-, Nebendiagonale

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

50

Transponierte AT

Adjungierte A* symmetrisch hermitesch selbstadjungiert schiefsymmetrisch schiefhermitesch

Die Transponierte AT einer Matrix A erhält man, indem man Zeilen und Spalten vertauscht. Dabei entsteht aus einer m x n-Matrix einen x m-Matrix. Bei quadratischen Matrizen bedeutet Transponieren, daß an der Hauptdiagonalen gespiegelt wird. Die Adjungierte A* einer (komplexen) Matrix A erhält man, wenn man in der Transponierten von A alle Einträge durch ihre komplex Konjugierten ersetzt. Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A =AT ist, und hermitesch oder selbstadjungiert, wenn A = A* ist. Für reelle Matrizen fallen diese Begriffe zusammen. Gilt A = -A-r; heißt A schiefsymmetrisch, gilt A = - A *, heißt A schiefhermitesch. Oft ist es sinnvoll, Vektoren des !Rn als Matrizen mit einer Spalte und n Zeilen aufzufassen und Matrizen als nebeneinandergestellte Spaltenvektoren zu betrachten. Den Zahlen des Grundkörpers entsprechen die 1 x 1-Matrizen. Beispiel 1: Transponierte und Adjungierte, symmetrische Matrizen

A

= (

~ ~)

AT=

-2 5

D = F

G= (

= ( 3

2-

2+i

2

i)

i . + i)

-1+z

1

0

c

~2)

c+~ 2-z

2 3i) -i 3

0 3 4

F* =

(~ 2-z

B=

GD

D* =

=BT

c-

2i -3i

2+i) i 3

2 + i) = ( 3 . 2 - i) = F 2 2+z 2

G*=(1:i -1o+i)=C-:i -1o-i)=-G

B ist symmetrisch, C ist schiefsymmetrisch, F ist hermitesch oder selbstadjungiert, G ist schiefhermitesch.

(Reelle) schiefsymmetrische Matrizen haben auf der Hauptdiagonalen stets Nullen. Bei schiefhermiteschen Matrizen ist die Hauptdiagonale rein imaginär. Ist ä =

b=

(~~)

(:~)

ein (Spalten-) Vektor, so ist äT = (a 1 , a 2 ) ein Zeilenvektor. Mit

ist das Matrixprodukt äTb = a 1 b1 + a 2 b2 = ä · b das Skalarprodukt der

beiden Vektoren. Determinante detA, lAI

Determinanten quadratischer Matrizen lassen sich als alternierende Multilinearform auf den Spaltenvektoren definieren, die für die Einheitsmatrix den Wert Eins annimmt. Eine andere Möglichkeit ist es, die Definition über die im nächsten Punkt aufgeführten Rechenregeln vorzunehmen .. Schreibweise: det A oder I A

I·

1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN

51

j2. Berechnung!

j1.

Rechenregeln für Matrizen

I Rechenregeln für Matrizen

a(A + B) = aA +aB

A+B=B+A

(A + B)C = AC+ BC

(A

+ B) + C =

A(B + C) = AB+ AC

A + (B

+ C)

(AB)C = A(BC)

Achtung! Im allgemeinen ist AB =f. BA. Sind A und B invertierbare n x n-Matrizen so ist AB invertierbar und es ist

(A*)* = A

AE=EA=A (A+B)T=AT+BT (A

+ B)* =

A*

+ B*

(aA)T = aAT

(AB)T =ETAT

(A-1)T = (AT)-1

(aA)* = aA*

(AB)*= B*A*

(A-1)* = (A*)-1

(Ax,y) = (x,ATy)

(Ax, Y')

reelles Skalarprodukt

j2.

= (x, A*Y')

komplexes Skalarprodukt

Addition und Multiplikation von Matrizen I

Matrizen lassen sich addieren, wenn sie jeweils gleiche Zeilen- und Spaltenzahl haben. Die Summe der Matrizen wird dann elementweise gebildet. Eine Matrix wird mit einer Zahl (einem Skalar) multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit dem Skalar multipliziert wird.

A

=

a12 a22 a~1

(""

)

... ... ,

A

B

+B =

) c·

= b~1

b12 b22

. .. ,

a12 ("" +bn a22 a21 b21

7

aA

=

(aa"

a~21

aa12 ... aa22 . ..

)

)

+ b12 .. , + b22 ...

Das Matrixprodukt AB läßt sich bilden, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix A mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix B übereinstimmt. Das Produkt einer (m, n)-Matrix mit einer (n, p)-Matrix ist eine (m, p)-Matrix.

Addition und Multiplikation

52 Falk-Schema

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

Die Berechnung geschieht am besten mit dem Falk-Schema:

B

-+

bl .

* * *

IJ

b2· IJ

b3· IJ

* * * ...· · ] - [ - - C iIj [ a;1-ai2-a;3-· * * * ... A

C=AB

* * *

l

Cij

= =

a;Iblj n

L

+ ai2b2j + · · · a;nbnj

a;kbkj

k=l

Die Matrizen werden über Eck nebeneinander geschrieben. Das Produkt hat in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors von A und des j-ten Spaltenvektors von B. Gleichzeitig kann man die Größe der Produktmatrix erkennen: sie hat soviele Zeilen wie A und soviele Spalten wie B. Nach demselben Schema werden Matrizen und Vektoren (das sind ja Matrizen mit einer Spalte) multipliziert. Wenn mehrfache Produkte berechnet werden, kann man die Zwischenergebnisse direkt weiterverarbeiten: Z.B. kann das Produkt ABC kann in der Reihenfolge (AB)C oder als A(BC) berechnet werden. Die Schemata sehen dann so aus:

c und

B BC A A(BC)

a= 1·3+3·0=3 b=1·1+3·2=7 c=0·3+4·0=0 d=0·1+4·2=8 e = -2 · 3 + 5 · 0 = -6 f = -2. 1 + 5. 2 = 8

Damit ist C

= AB = (

~ ~).

Das Produkt BA kann man nicht bilden, da die -6 8 Spaltenzahl von B ungleich der Zeilenzahl von A ist. Am letzten Beispiel kann man gut zwei andere Eigenschaften der Matrixmultiplikation erkennen:

53

1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN

• Die Matrix A wird mit der Matrix B multipliziert, indem A mit den einzelnen Spaltenvektoren von B multipliziert wird. Diese Produkte werden nebeneinandergeschrieben.

(

A

Im Beispiel oben ist die erste Spalte von C das Produkt A b1 , wobei der erste Spaltenvektor von B ist. Genauso ist mit b2 =

b1 =

m

G) die zweite Spalte

von C das Produkt A b2 • Anwendung: Wenn man eine Matrix A mit mehreren Vektoren b1 bis bk multiplizieren will, schreibt man die Vektoren nebeneinander in eine Matrix Bund erhält die Ergebnisse als Spalten des Matrizenprodukts AB. • Das Produkt der Matrix A mit dem Vektor b = (b1, . .. , bk) T ist die Linearkombination der Spaltenvektoren von A mit den Koeffizienten b1 bis bk.

Im Beispiel ist die erste Spalte von C das 3-fache der ersten Spalte von A plus das 0-fache der zweiten Spalte. Die zweite Spalte von C ist die Summe der ersten Spalte von A und der zweifachen zweiten Spalte. Konsequenz: Ist A einem x n-Matrix mit den Spaltenvektoren ä 1 bis än und D eine n x n-Diagonalmatrix mit den Elementen d 1 bis dn auf der Diagonalen, so besteht das Produkt AD aus den Spaltenvektoren d1 ä 1 bis dnih.· Eine Matrix wird mit einem Skalar a multipliziert, indem man die Matrix mit der a-fachen Einheitsmatrix multipliziert.

Beispiel3: Bvfür B

=

(~

n

und v= (

~1 )

Das Produkt ist das Negative des ersten Spaltenvektors von B plus das Doppelte + 2 ( = ( 1) . der zweiten Spalte: Bv = - (

~)

~)

Berechnung mit dem Falk-Schema: ( 3 1) 0 2 .

~

-t ~211~

+--3·(-1)+1·2 +--0·(-1)+2·2

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

54

Inverse Matrix

13. Inverse Matrix I Gibt es für einen x n-Matrix A eine Matrix B (die dann auch einen x n-Matrix ist) mit AB= En, heißt B die Inverse zu A. Schreibweise: B = A- 1 .

B = A- 1

{::}

A = B- 1

{::}

AB = BA = En

Betrachtet man die Gleichung AB= En als n Gleichungen für die Spaltenvektoren von B, so erkennt man, daß bi der Lösungsvektor der Gleichung Ax = ei ist. ei ist der i-te Koordinateneinheitsvektor. Darauf beruhen zwei Verfahren zur Bestimmung von B = A- 1 :

bi

• Berechnung mit dem Gauß-Algorithmus Dieses Verfahren empfiehlt sich für Matrizen mit Zahlen ab einer Größe von 3 X 3. • Berechnung mit der Gramersehen Regel Dieses Verfahren empfiehlt sich für Matrizen bis zur Größe 3 x 3 und für Matrizen, in denen die Einträge Funktionen sind.

IInversenberechnung mit

dem Gauß-Algorithmus I

GaußAlgorithmus

CD ® ®

Man schreibt dien x n-Einheitsmatrix rechts neben die Matrix A. Durch Umformungen des Gauß-Verfahrens wird aus der Matrix A die Einheitsmatrix En gemacht. Dabei werden alle Umformungen auch mit der Matrix auf der rechten Seite vorgenommen. Danach steht auf der rechten Seite A - 1 •

Beispiel 4: Die Inversen von A

= (

~ ~)

und B

=

(021 3~ 251)

55

1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN

Zunächst wird neben A die Einheitsmatrix E geschrie( 1 311 -1 ) 811 0 ) ( 32 5 ben. Dann wird von der er0 1 {::} 2 5 0 1 sten die zweite Zeile und dann von der zweiten zwei( 1 0 1-5 8 ) 1 3 11 -1 ) mal die erste Zeile subtra{::} 0 1 2 -3 {::} ( 0 -1 -2 3 hiert. Danach wird die zweite Zeile dreimal zur ersten addiert und dann mit -1 multipliziert. Jetzt steht links die Einheitsmatrix und rechts A - 1 = ( -;_5 3 ).

!

Analog wird die Inverse von B berechnet: die ersten beiden Zeilen werden vertauscht und dann wird die erste zweimal von der zweiten Zeile subtrahiert. (1 2 2 0 1 0) 2 3 51 0 0) ( 1 2 2 0 1 0 {::} 0 -1 1 1 -2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

Die zweite Zeile wird zweimal zur ersten addiert und dann mit -1 multipliziert. Zum Schluß werden in der dritten Spalte oben zwei Nullen erzeugt. ( 1 0 0 2 2 -3 0 ) 1 0 4 {::} ( 0 1 -1 -1 2 0 {::} 0 1 0 -1 0010 01 0010

Die Inverse von B ist damit B- 1 =

IInversenberechnung mit

(2 -3 -4) -1 0

2 0

1 1

~3

:4)

.

der Gramersehen Regel I

Am einfachsten ist der Spezialfall einer 2 x 2-Matrix:

Cramersche Regel 2 x 2-Matrix

b) - = ad -1 bc ( -cd -b) a

(a c d

1

Man muß also die Hauptdiagonale vertauschen, in der Nebendiagonalen das Vorzeichen umdrehen und durch die Determinante dividieren. Allgemeiner Fall

Allgemeiner Fall:

CD

Berechne det A. Falls det A

=

0 ist, ist A nicht invertierbar.

@ Berechne die Adjunkte Ad A zu A (vgl. S. 58). @ Es ist A- 1 =

de~A (Ad A)"':

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

56

BeispielS: Die lnve<sen von A

WegendetA=-1istA- 1 = Probe

~ G~) nnd B ~ G~ ~)

~ 1 (!2

-;8 ) =

(~5

!3).

Die Probe AA-l = E 2 geht auf. Zur Inversion von B berechnet man die Determinante von B durch Entwicklung nach der Ietzen Zeile: det B = 1

AdB =

I i ~ I= 4 -

3 = 1. Die Adjunkte von B ist

I~ il-1~ il I~ ~I -I~ ~I I~ ~1-1~ ~I (!a -4 I~ ~I-li ~I Ii ~ I

-1 2

1

n

Damit wird B- 1 = - 1 - (Ad B)T detB

~ ( !1 0

-3 2 0

Y)

J4. Rechenregeln für Determinanten J Rechen rege In für Determinanten

Determinanten gibt es nur bei quadratischen Matrizen! • Die Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn das Vielfache einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) addiert wird. det(· · ·,

v+ a:w, · ··, w, · ··) = det(· · ·, v, · ··, w, ·· ·)

• Die Determinante einer Matrix ist die Determinante ihrer Transponierten. detA = detAT • Die Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Zeilen oder zwei Spalten vertauscht werden.

w · ··) =

det(· · · ' v' · · · , '

w ·· ·' v' · · ·)

- det(· · · , '

57

1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN

• Wird aus allen Elementen der Faktor a ausgeklammert, muß insgesamt der Faktor an ausgeklammert werden. det(aA) = andetA • Wird eine Zeile (oder Spalte) in eine Summe aufgespalten, so ist die Determinante die Summe der Determinanten der einzelnen Summanden. det(· · ·, v+ w, · · ·) = det(· · ·, v, · · ·) + det(· · ·, w, · · ·) • Wird eine Zeile (oder Spalte) durch ihr a-faches ersetzt, so ist die Determinante das a-fache der ursprünglichen Determinante. det(···,a'Ü,···) = adet(···,'Ü,···)

•

det(AB) = det A det B

•

A regulär

<=>

detA det A

-1

~

1 = detA

0

• Eine einfache Regel für det(A + B) gibt es nicht. Die Determinante der Einheitsmatrix ist eins. Die Determinante von Diagonalund Dreiecksmatrizen ist das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen.

15. Berechnung von Determinanten I Die Determinante einer 2 x 2-Matrix ist das Produkt der Haupdiagonalelemente minus dem Produkt der Nebendiagonale: det (

~ ~)

= ad - bc

Bei einer 3 x 3-Matrix verwendet man die Sarrus-Regel: Die ersten beiden Spalten werden noch einmal rechts neben die Matrix geschrieben. Dann werden für jede der drei von oben links nach unten rechts durchgehende Diagonalen die Produkte addiert und für jede von oben rechts nach unten links verlaufende Diagonale subtrahiert. a

det

(~g h~

!)

d

z

= aei + bfg + cdh- ceg- afh- bdi

Berechnung von Determinanten

g /

b

c

1

e

f

1

h

i

a

b

d

e

g

h

~XX/ /XX~ /

/

"+ "+ "+ I

Achtung! Die Sarrus-Regel gibt es nur bei 3 x 3-Matrizen!

Sarrus-Regel

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

58

16. Laplace'scher Entwicklungssatz I Laplace'scher Entwicklungssatz Kofaktor algebraisches Komplement

Determinanten größerer Matrizen werden durch Entwicklung nach einer Spalte oder Zeile berechnet. Dazu müssen für die Elemente einer Zeile oder Spalte die Kofaktoren (andere Bezeichnung: algebraischen Komplemente) berechnet werden. Berechnung des Kofaktor eines Elements a;{

CD

Streiche die Zeile und Spalte, in der das Element a;i steht. Das sind die i-te Zeile und die j-te Spalte.

®

Berechne die Determinante der übrigbleibenden (n- 1) x (n- !)-Matrix.

@ Multipliziere diese Zahl mit ( -1 )i+i. Dieses Vorzeichen kann man nach der Schachbrettregel bestimmen: für das obere linke Feld der Matrix ist das Vorzeichen +1, danach wechseln sich +1 und -1 ständig ab.

Adjunkte

( +~. + ++ :::) ... . ..

..

Bezeichnung: Ist die Ausgangsmatrix A = (a;j), so wird der Kofaktor des Elements a;i mit A;i bezeichnet. Die Matrix der Kofaktoren ist die Adjunkte Ad A oder adjA von A. Achtung! Nicht mit "Adjungierter" verwechseln! n

detA

2:a;iAii

Entwicklung nach der i-ten Zeile

i=l

n

=

LaiiAii

Entwicklung nach der j-ten Spalte

j=l

Das bedeutet, daß man die Determinante einer Matrix dadurch berechnen kann, daß man für alle Elemente einer Zeile (Spalte) die Elemente mit ihren Kofaktoren multipliziert und diese Zahlen aufsummiert. Das läßt sich am Besten anwenden, wenn in der entsprechenden Zeile (Spalte) schon viele Nullen stehen.

Beispiel 6: Entwicklung von D =

1 2 3 4 2 3 4 3 nach der zweiten Zeile 3 4 3 2 4 3 2 1

Zunächst werden die Kofaktoren der Elemente berechnet. Nach der Schachbrett-

1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN regelsind die Vorzeichen - · + ·-

= - det

A23

· +.

234)

Au~- det (

A"

4 3 2 3 2 1

c2

3 4

4 3

59

;)

A,.

~

3

+det ( ;

~ +det ( ;

3 2 2 3 4 3 3 2

;) )

Mit der Sarrus-Regel berechnet man A21

A22 = -10,

= 0,

A23 = -( -20) = 20 und A24 = -10

und erhält nach dem Entwicklungssatz

D = 2 · A21

+ 3 · A22 + 4 · A23 + 3 · A24 = 2 · 0 -

3 · 10 + 4 · 20 - 3 · 10

= 20.

13. Beispiele I sin

Beispiel 7: D

=

Man kann natürlich die Determinante einfach nach der Sarrus-Regel berechnen und dann oft genug die Gleichung sin 2 t + cos 2 t = 1 verwenden. Hier soll soweit wie möglich entwickelt werden. Zur Berechnung wird aus der zweiten und dritten Spalte dann nach der dritten Zeile entwickelt:

D =

sin

2(

COS

{)

T

herausgezogen und

cos

I cos

. {) . - 8111

sin

{)

I . ,v I sin

0

COS

cos

I)

Nun werden aus den beiden kleinen Determinanten die Faktoren sin {) und cos {) ausgeklammert: D

. {) T 2 ( COS 2 {) • Slll

=

I - cossm
sin

sin

Slll 3 {)

cos.

I)

r 2 ( cos 2 {) • sin {) (cos 2

+ sin 2 {))

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

60

Beispiel 8: Berechnung von D =

11 14 17 12 15 18 13 16 20

Bei dieser Determinante lohnt es sich, erst einige Umformungen zu machen: Die zweite Zeile wird von der dritten abgezogen, danach die erste von der zweiten. Damit erhält man zwar keine Nullen, aber kleinere überschaubarere Zahlen. D =

11 14 17 12 15 18 = 13 16 20

11 14 17 1 1 1 1 1 2

Jetzt zieht man die erste Spalte von der zweiten und dritten ab und entwickelt nach der zweiten Spalte.

D=

11 3 6 1 0 0 1 0 1

= -311

1

Beispiel 9: Das Produkt ABC für A = (

01

I = -3

~ ~1 ~~),

-1

1

0

2 0 1 0 3 0) B = ( 0 2 0 1 0 3 und C = ( 1 2 3 1 2 3) T 2 0 1 0 3 0

Wenn man zunächst das Produkt AB berechnet, hat man 18 Elemente zu berechnen und dann im Produkt (AB)C noch einmal 3. Berechnet man zunächst BC und dann A(BC), sind es nur 3 + 3 = 6 Elemente. Die gesamte Rechnung wird in einem Schema vorgenommen. Man erhält unten recht das Ergebnis

ABC~ ( ~3) I BeispiellO: D ~ det

B 2 0 2 2 0

1 0 1

A

-t

0

0 1 0 1

-!.

1 2 3 1 2 3 11 14 11

3 0 0 3 3 0 0 -1 0 0 -1 1 -3 -1 1 3 0

c

BC

ABC

G ~2) 0 2

0

Die Determinante wird nach der zweiten Spalte entwickelt. Da das erste und dritte Element Null sind, braucht man die Kofaktoren auch nicht zu berechnen.

1.4. MATRIZEN UND DETERMINANTEN

61

Nach der Schachbrettregel sind die Vorzeichen - - + - -, so daß das mittlere Element ein Pluszeichen abbekommt: D=-0+21

~ ~ 1-0=2·(6-45)=-78

Beispiel 11: Die Inverse von A =

~

(3 -4 0) 0

0

5

4

3

0

Hier wird die Gramersehe Regel benutzt. Bei der Berechnung der Determinanten muß man die Regel det( o:A) = an det A beachten. Das heißt, daß bei der Determinante von A der Vorfaktor i~s und bei der Berechnung der Adjunkte der Vorfaktor f& auftritt. Diese Rec(h~un!:n ~)nn man umgehen, wenn man statt der Inversen von A die von B =

CD

0

0

5

4

3

0

berechnet und die Regel (o:A)- 1 =~A-i benutzt.

Es ist detB = -80-45 = -125.

@ Die Adjunkte von B ist Ad B =

-15 -(-20) 0 0 0 -25 -20 -15 0

@ Die Inverse von A : 1 - (Ad B)T A- 1 = 5B- 1 = 5 detB 5 . .=..!. 125

4) 0 3 =AT (~~5 ~ =~~) =!5 (!4 0 0

-25

0

0

5 0

Die Matrix A hat also die Eigenschaft A-i = A-r: Matrizen mit dieser Eigenschaft heißen heißen orthogonal. Analoge Begriffsbildung: Ist A eine (komplexe) Matrix mit A-i = A*, so heißt A unitär. Orthogonalität einer Matrix bedeutet, daß die Spalten (und Zeilen genauso) ein Orthonormalsystem (ONS) bilden, vgl. Abschnitt 8. Beispiel 12: Auflösen der Matrixgleichung AX B + C = D nach X Erster Schritt ist die Subtraktion von C. Will man nun die Matrizen A und B auf die andere Seite bringen, muß man beachten, daß man von links mit A-i und von rechts mit B-i multipliziert:

AXB + C

= D {::} AXB = D- C {::}X= A-i(D- C)B-i.

orthogonal unitär

62

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

21 -35) 1

5

Gerechnet wird mit dem Gaußalgorithmus. Dabei wird das ganze tabellarisch aufgeschrieben und mit einer Kontrollspalte "abgesichert". Diese Kontrollspalte enthält (wie auf Seite. 74 beschrieben) die Summe der Elemente in der Zeile davor. Dann werden mit den Zahlen dieser Spalte beim Gaußverfahren die gleichen Umformungen gemacht wie mit dem Rest der Matrix. Zur Kontrolle rechnet man danach die Zeilensumme neu aus. Wenn man sich nicht verrechnet hat, muß man die Zahl in der Kontrollspalte erhalten. In der letzen Spalte wird notiert, welche Umformungen im nächsten Schritt vorgenommen werden, vgl. Seite 75. Die römischen Ziffern geben dabei die Nummer der Zeile an. Kommt es auf die Reihenfolge an, wird diese mit ®, ® usw. angegeben.

1

2

1 5 -3 2 1 0 0 1 5 0 1 2 5 1 0 1 5 0 0 -3 -13 -2 1 0 -5 1 0 1 5 0 0 0 2 -2 1 0 0 -4 0 1 0 5 0 0 1 -1

0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 1 0

0 0 1

-2

5/2

11/2 -13/2 3/2

-5/2 1/2

Die Inverse von A ist also A- 1 =

1 3

!)

1 7 !)

7 -17 III := III + 3II -5 I:=I+5III Q1} 7 Il:=Il-5III@

4 5 -3 2

(~4 ~~~2 -1

II := II- 2l @ l/Ittll ® I:= I- 2l/

1/2

III := III/2 @

63

1.5. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

1. 5

Lineare Gleichungssysteme

IL Definitionen! Ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit m Gleichungen für n Unbekannte hat die Form

a31X1

+ + +

am1X1

+

aux1 a21X1

+ + +

a1nXn

b1

a2nXn

b2

a33X3

+ + +

a3nXn

b3

am3X3

+ ... +

amnXn

bm

a23x3

a32X2

+ + +

am2X2

+

a12X2 a22x2

a13X3

Dabei sind die (reellen oder komplexen) Zahlen au bis a 111 n die Koeffizienten, bis Xn die Unbekannten und b1 bis bm ist die rechte Seite.

x1

IMatrixschreibweise I

A=

("" .

am1

a,.) a~n

a12 a22

:

'

x~m

und

amn

am2

Koeffizienten rechte Seite Matrixschreibweise

Übersichtlicher ist die Matrixschreibweise: Mit a21

lineares Gleichungssystem LGS

b=

(:~)

schreibt sich das LGS als

Ax=b. Ist b = Ö, heißt das LGS homogen, sonst inhomogen. Ersetzt man in einem inhomogenen LGS die rechte Seite bdurch Ö, so erhält man das zugehörige homogene Gleichungssystem. Zur Durchführung des Gauß'schen Eliminationsverfahrens bietet sich die Schreibweise in einer erweiterten Matrix an. Dazu werden in der expliziten Schreibweise als Gleichungen die Unbekannten x 1 bis Xn und die Pluszeichen weggelassen, so daß nur die Systemmatrix A iibrigbleibt. Die Gleichheitszeichen werden durch eine senkrechte Linie ersetzt. Auch die Matrixklammern außen können fehlen. a12

a1n

a21

a22

a2n

b,)

am1

am2

amn

bm

(""

b2

oder

au

a12

a1n

b1

a21

a22

a2n

b2

am1

am2

amn

bm

Bei homogenen Systemen läßt man den Strich und die rechte Seite auch noch weg, so daß nur die Matrix A dasteht. In dieser Schreibweise bedeutet die Durchführung des Gauß'schen Eliminationsverfahrens, die Systemmatrix auf der linken Seite in Zeilenstufenform zu bringen.

homogen, inhomogen

erweiterte Matrix Systemmatrix

Zeilenstufenform

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

64

Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, wenn sie so aussieht: • Die erste Zeile kann links Nullen haben, muß aber nicht. • Jede Zeile hat links mindestens eine Null mehr als die darüber. • Die letzten Zeilen können auch nur aus Nullen bestehen. Beispiel 1: Matrizen in Zeilenstufenform

0 [] 3

A= (0 0 0

D=

0 0 0

@] (o 0

0 0 0 1

rn0

~ ~) (~ ~ ~ ~ ~) B=

0

1 1 0 2 0 0

0

oooo[f]

C=

[! H~ fl oooo 0

o1)

E=

[f]

(0o []rn 1o ~ ~) @]7

F=

(&rn

0 0

0

0 0 0

2 4 2

5 5 0 Das jeweils erste Element von links, das ungleich Null ist, ist eingerahmt. Was weiter rechts davon steht, ist unerheblich. 0

0

0

A, B, C und D sind in Zeilenstufenform, E und F sind es nicht, da bei E die zweite Zeile links soviele Nullen hat wie die erste (nämlich eine) und weil bei F die Nullen rechts und nicht links mehr werden.

IInterpretation von LGS I Nimmt man die Interpretation des Matrix-Vektor-ProduktsAx von Seite 53, so läßt sich das Problem so formulieren: • welche Koeffizienten x 1 bis Xn muß eine Linearkombination der Spaltenvektoren der Matrix A haben, damit sich der Vektor bergibt? • Gesucht ist ein Vektor x, der mit den Zeilenvektoren der Matrix A die Skalarprodukte b1 bis bm hat. Insbesondere sucht man bei homogenen Systemen einen Vektor, der auf den Zeilen von A senkrecht steht.

j2. Berechnung I

ILösbarkeit und Lösungsstruktur I Kern

Nullraum ker A

Wegen des im siebten Abschnitt beschriebenen Zusammenhangs zwischen Matrizen und linearen Abbildungen nennt man die Menge aller Vektoren x mit Ax = Ö den Kern oder Nullraum von A. Schreibweise: ker A oder K(A). Stets gilt:

1.5. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

65

• Der Kern bildet einen Unterraum, d.h. mit zwei Vektoren sind auch die Summe und Vielfache im Kern enthalten. • Für die homogene Gleichung gilt die Dimensionsformel: Hat mannUnbekannte und ist k der Rang der Matrix A, so ist

Dimensionsformel

k.l

Idim ker A = n Das bedeutet, daß man n - k Parameter in der Lösung frei wählen kann. • Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung erhält man als Summe einer partikulären Lösung und aller Lösungen der homogenen Gleichung. Das bedeutet, daß die Menge aller Lösungen einen affinen Unterraum bildet. • Ein inhomogenes LGS ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Matrix A gleich dem Rang der erweiterten Matrix (AI b) ist. Bei quadratischen n x n Matrizen A gilt: Die inhomogene Gleichung ist für jede rechte Seite {::} Die homogene Gleichung ist (durch {::} det A

beindeutig lösbar.

x = 0) eindeutig lösbar.

=f 0

{::} A ist regulär.

{::} ker A = {0}. {::} rg A = n. Beispiel 2: Die Lösbarkeit der LGS Ax = 0 und Bx = b mit den Matrizen A und B aus Beispiel 8 im nächsten Abschnitt (S. 84) A =

(312 432 354 645 675) und B (100 000 304 000 65)7 =

Da der Rang von A zwei (S. 84) ist und es 5 Unbekannte sind (es ist ja eine 3 x 5-Matrix), hat das LGS nach der Dimensionsformel einen dreidimensionalen Lösungsraum. Da der Rang von B drei ist und der Rang von der erweiterten Matrix (BI b) erstens nicht kleiner sein kann (es kommen ja Spaltenvektoren hinzu) und zweitens nicht größer sein kann (es sind ja nur drei Zeilen), ist auch der Rang der erweiterten Matrix drei. Damit ist das System für jede rechte Seite b lösbar. Nach der Dimensionsformel hat das homogene System einen Lösungsraum der Dimension5-3 = 2. Das inhomogene System hat damit eine Lösung der Gestalt x = x0 + >-.ä1 + J.La2 mit zwei Parametern ).. und Jt.

partikuläre Lösung

66

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

IAuswahl der Rechenmethode I Zur Lösung von LGS gibt es zwei Verfahren: das Gauß'sche Eliminationsverfahren und die Gramersehe Regel. Standardverfahren ist das Gaußverfahren. Vorteile der Cramerschen Regel

Die Gramersehe Regel hat in folgenden Fällen Vorteile: • Es sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. • Das LGS enthält Funktionen statt Zahlen. • Es ist nicht die Gesamtlösung

x, sondern nur eine Komponente Xi gesucht.

• Man braucht (etwa in theoretischen Überlegungen) eine geschlossenen Formel für die Lösung. Nachteile der Cramerschen Regel

Die Nachteile der Gramersehen Regel : • Das Verfahren ist nur für eindeutig lösbare Systeme mit quadratischer Matrix A verwendbar. • Das Berechnen vieler großer Determinanten ist aufwendig.

11. Gramersehe Regel I Cramersche Regel

Gesucht ist die Lösung des LGS Ax =

b.

A ist dabei einen x n-Matrix.

CD

Berechne det A. Ist det A = 0, so ist das LGS entweder unlösbar oder mehrdeutig lösbar und die Gramersehe Regel ist nicht anwendbar.

®

Die Matrix A; entsteht, indem der i-te Spaltenvektor von A durch die rechte Seite bersetzt wird. Berechne det A;.

®

Die i-te Komponente des Lösungsvektors

x ist

detA; Xi

= detA ·

67

1.5. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

Spezialfall

Spezialfall eines 2 x 2-Systems:

( ~ ~) x =

(j) ist eindeutig lösbar

{:}

det (

~ ~)

2X2 ;f 0.

Dann ist

Beispiel 3: x 3 aus der Lösung des LGS

CD

detA =

12 16 -9

0 -2 -8 1 3 7 = (-1)(46- 48) = 2. 0 -6 -23

6 7

2 4 1 3

2xr + 4x2 + 6x3 x 1 + 3x2 + 7x 3 3xr + 3x2 - 2x3

3 3 -2

2 4 12 1 3 16 wird aus der 3 3 -9 ersten Zeile der Faktor 2 und aus der letzten der Faktor 3 herausgezogen.

@ Zur Bestimmung der Determinante von A3 = 1 2 6 det A3 = 2 · 3 · 1 3 16 1 1 -3

2 6 1 10 0 -1 -9 1

=6 0

@ Es ist x 3 = ddet AA3 = Q= 3. Analog erhält man et

I Beispiel 4: ~~

2

3~

:

In Matrixschreibweise mit

CD

Wegen det ( ~

~)

:

Xr

= 6( -9 + 10) = 6 = 1 und

X2

= -2.

~2

x = ( ~)

lautet das LGS (

~ ~) x = ( ~2) .

= 2 · 3 - 4 · 1 = 2 =f 0 ist das System eindeutig lösbar

und die Gramersehe Regel ist anwendbar.

@ Es ist detA 1 = det ( ~2 .

det A 1

8

~)

= 8 und detA 2 = det det A 2

-12

(~ ~2 ) .

_

= -12. ( 4 )

@ Mrt x = det A = 2 = 4 und y = det A = - 2- = -6 rst x = _ 6 .

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

68

Gauß'sches Eliminationsverfahren

12. Gauß'sches Eliminationsverfahren I Das Gauß'sche Eliminationsverfahren ist ein systematisches Verfahren zur Auflösung von LGS. Zunächst wird eine Standardversion beschrieben, danach Varianten. Ziel des Verfahrens ist es, mit Hilfe erlaubter Umformungen das LGS auf eine bestimmte Form ("gestaffeltes System") zu bringen, in der man die Lösungen (soweit es sie überhaupt gibt) einfach ablesen kann.

Erlaubte Umformungen

Erlaubte Umformungen: • Vertauschen zweier Gleichungen. • Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl a

=/:-

0.

• Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen. Das Verfahren wird an Beispielen erklärt. Dabei wird links das Gleichungssystem aufgeschrieben und rechts daneben die Kurzschreibweise als erweiterte Matrix. Beispiel: eindeutig lösbar

Tip

Gesucht ist die Lösung von 2xl X1 3xl

+ 4x2 + 6xa + 3x2 + 7xa + 3x2 - 2xa

= =

12 16

-9

12)

4 6 3 7 16 3 -2 -9

G

Bei allen folgenden Schritten werden nur die oben aufgeführten erlaubten Umformungen verwendet. Jeder Umformung des LGS entspricht eine Umformung der erweiterten Matrix. Wenn man sich über die Zulässigkeit einer Umformung oder die Bedeutung dieser Matrix im Unklaren ist, kann man sie jederzeit durch die ausgeschriebenen Gleichungen ersetzen. Das empfiehlt sich besonders bei nicht eindeutigen Lösungen. Welche Umformungen vorgenommen werden, richtet sich immer nach der Systemmatrix auf der linken Seite!

CD

Zunächst wird in der ersten Zeile als Koeffizient eine Eins erzeugt. Man könnte z.B. die ersten beiden Gleichungen vertauschen oder die zweite von der ersten subtrahieren. Hier dividieren wir die erste Gleichung durch den Faktor 2 bzw. multiplizieren mit 1/2. x1 x1 3xl

+ 2x2 + 3xa + 3x2 + 7xa + 3x2 - 2xa

=

6 16 -9

(11 32 37 166) 3 3 -2 -9

@ Jetzt werden geeignete Vielfache der ersten Gleichung zu den weiteren addiert, um das x 1 aus diesen Gleichungen zu "eliminieren".

1.5. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

69

Hier wird zur zweiten das Negative, und zur dritten das ( -3}-fache der ersten Gleichung addiert: x1

+ 2x2 + 3x3

6

x2 + 4x3 -3x2- llx3

10 -27

( 001

i

~

6 ) 10 -3 -11 -27

@ Die erste Gleichung bleibt ab jetzt unverändert und man führt die Schritte

CD

und ® mit den übrigen Gleichungen durch:

® ®

x 2 hat schon den Vorfaktor 1. Addition des Dreifachen der (neuen} ersten zur (neuen} zweiten Gleichung liefert x1

+ 2x2 + 3x3 x2 + 4x3 XJ

(01 21 34 106)

6 10 3

0 0 1

3

@ Jetzt ist man bei einem gestaffelten LGS angekommen, das von unten nach oben rekursiv aufgelöst werden kann: Die letzte Zeile liefert x 3 = 3. Dieses Ergebnis wird in die zweite Gleichung eingesetzt: x2 = 10- 4x3 = 10-4 · 3 = -2.

Beieie Werte in die erste Gleichung eingesetzt: x1 = 6- 2x2- 3x3 = 6- 2 · ( -2)- 3 · 3 = 1 Die eindeutige Lösung des LGS ist also x 1 = 1, x 2 = -2 und x 3 = 3. Ändert man das Beispielsystem ab, kann das Lösungsverhalten anders sein: 2x1 + 4x2 + 6x3 x1 + 3x2 + 7x3 3xl + 3x2 - 3x3

12 16

-9

2 4 (1 3

6 12) 7 16 3 3 -3 -9

Hier ist nur der Vorfaktor von x 3 in der dritten Gleichung von -2 zu -3 geändert worden. Die erste Umformung wird wie oben vorgenommen. Bei® entsteht als dritte Gleichung -3x 2 - 12x3 = -27 x1

+ 2x2 + 3x3

6

x2 + 4x3 -3x2- 12x3

10 -27

(0~ -3i ~

6 ) 10 -12 -27

Beispiel: unlösbar

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

70 und bei

® als dritte Gleichung 0 = x 1 + 2x2 x2

+ 3x3 + 4x3

=

3

~)

6 10 3

0 =

Da dies ein Widerspruch ist, ist das LGS unlösbar. Jetzt ändert man in der dritten Zeile des obigen Systems die rechte Seite zu -12: Beispiel: mehrdeutig lösbar

2xl + 4x2 + 6x3 x 1 + 3x2 + 7x3 3xl + 3x2 - 3x3

2 4 (1 3

12 16 -12

12) 16 3 3 -3 -12 6 7

Nach der Division der ersten Gleichung durch 2 erhält man in x 1 + 2x2 + 3x3 x2 + 4x3 -3x2- 12x3 und in

®

1 2 6 ) 3 (0 1 10 4 0 -3 -12 -30

6 10 -30

als dritte Zeile 0 = 0 x 1 + 2x2 x2

+ 3x3 + 4x3 0

Parameter

®

6 10 0

(10 21 34 106) 0 0 0

0

Die letzte Gleichung ist immer erfüllt und kann daher wegfallen. Jetzt hat man den Effekt, daß man x 3 als freie Variable oder Parameter wählen kann. Nimmt man x 3 = t, kann man die beiden übriggebliebenen Gleichungen auflösen zu x2 = 10 - 4x3 = 10 - 4t x1

und

= 6- 2x 2 - 3x3 = 6- 2 · (10- 4t)- 3t = -14 + 5t.

Die Lösungsgesamtheit ist also x 1

= -14 + 5t, x 2 = 10- 4t und x 3 = t mit t

E IR.

Schreibt man das als Vektor, erkennt man die Stuktur der Lösung:

Der erste Vektor ( -14, 10, 0) Tist eine partikuläre Lösung. Der Kern des zugehörigen homogenen LGS LJsteht aus dem von (5, -4, 1)T aufgespannten Unterraum.

71

1.5. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

IFormulierung des Verfahrens für

erweiterte Matrizen I

CD bis @ wird die Systemmatrix in Zeilenstufenform gebracht. CD In der oberen linken Ecke der Systemmatrix wird eine Eins erzeugt.

In

Falls in der ersten Spalte nur Nullen stehen, ignoriere diese Spalte und mach mit der Restmatrix ohne sie weiter.

@ Erzeuge unter dieser Eins Nullen.

®

Ignoriere ab jetzt die erste Zeile und Spalte und wende das Verfahren ab auf die übrigbleibende Matrix an.

CD

@ Wenn Zeilen entstehen, die (links und rechts) nur aus Nullen bestehen, werden sie weggelassen.

@ Am Ende des ersten Teils des Eliminationsverfahrens gibt es drei mögliche Situationen für die Systemmatrix auf der linken Seite: • Die Matrix links hat unten mindestens eine Zeile nur mit Nullen, aber rechts steht keine Null. Dann ist das LGS unlösbar. • Die Matrix links hat in der ersten Zeile links keine und in jeder weiteren Zeile links genau eine Nullmehr als in der Zeile davor. Dann gibt es eine eindeutige Lösung des LGS. Andere Formulierung: die Matrix ist eine (quadratische) obere Dreiecksmatrix und die Diagonalelemente sind ungleich Null. • Wenn keiner der beiden Fälle oben auftritt, hat die Matrix weniger Nicht-Null-Zeilen als SpalteiL Dann ist das LGS mehrdeutig lösbar. Diejenigen Variablen, die nicht zu den Spalten mit den Einsen gehören, wählt man als Parameter. Die anderen Variablen sind dann durch diese und die rechte Seite festgelegt.

@ Im Fall der Lösbarkeit wird die Lösung rekursiv von der letzten Zeile ausgehend ermittelt.

IVarianten des Verfahrens -

Rechentechniken

I

Wenn man sich an die Beschreibung des Algorithmus hält, kommt man immer zu einer Lösung (falls es die gibt). Rechentechnisch sind die nachfolgend besprochenen Varianten oft günstiger. Besonders wichtig ist das folgende Verfahren, das auch bei der Inversion von Matrizen angewendet wird:

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

72

Wichtiges Verfahren

Wenn man eine Eins ausgewählt hat, erzeugt man nicht nur darunter, sondern auch darüber durch Addition geeigneter Vielfacher der Zeile Nullen in der entsprechenden Spalte. Das Verfahren wird am ersten Beispiel von oben erläutert. Die ersten beiden Schritte sind wie oben. Da die Matrizen Kurzschreibweisen für LGS sind, werden sie durch Äquivalenzzeichen verbunden. 2 4 (1 3

6 12) 7 16 3 3 -2 -9

1~)

1 2 3 (1 3 7 3 3 -2 -9

( 001

i

~

6 ) 10 -3 -11 -27

Jetzt wird nicht nur das Dreifache der zweiten Zeile zur dritten addiert, sondern auch das Doppelte der zweiten Zeile von der ersten subtrahiert: 1 0 -5 -14) (0 1 4 10 0 0 1 3

1 0 0 1) ( 0 1 0 -2 0 0 1 3

Bei der letzten Umformung wurde das 5-fache der letzten Zeile zur ersten addiert und das 4-fache der letzten Zeile von der zweiten subtrahiert. Jetzt kann man die Lösung Xt = 1, x2 = -2 und x3 = 3 bequem ablesen. Auch im Fall nichteindeutiger Lösbarkeit hat diese Variante Vorteile. Das dritte Beispiel von oben sieht dann so aus: 2 4 (1 3

6 12) 7 16 3 3 -3 -12

1 2 (1 3

3

6 ) 7 16 3 3 -3 -12

( 001

i

~

6 ) 10 -3 -12 -30

Im nächsten Schritt fällt die dritte Zeile weg. Gleichzeitig wird das Doppelte der zweiten Zeile von der ersten subtrahiert. 1 0 -5 -14) (0 1 4 10 0 0 0 0 Das ist eine typische Situation: vorne steht (ev. nach Spaltenvertauschungen) eine (2 x 2- )Einheitsmatrix. Die Variablen dahinter (hier ist nur eine) nimmt man in der Lösung als Parameter. Mit x 3 = t liest man aus den ersten beiden Zeilen ab: Xt

= -14 + 5x3 = -14 + 5t,

X2

= 10 - 4x3 = 10 -

4t.

Die Lösung schreibt man dann ebeso wie in der Rechnung oben in Vektorform um.

73

1.5. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

IBrüche vermeiden I Eine Variante ist es darauf zu verzichten, in der oberen linken Ecke eine Eins zu erzeugen und sich zunächst mit einer Zahl ungleich Null zufriedenzugeben. Damit kann man oft die Benutzung von Brüchen vermeiden.

. . 5: I Bmspiel

2x 4X

+ +

y = 3y =

Brüche vermeiden

2

- 2

Hier läßt man die erste Zeile stehen und erzeugt gleich darunter eine Null:

Man liest die Lösung x = 4, y = -6 ab.

IEinsen in anderen Spalten I Genauso kann man darauf verzichten, die Eins (oder die Zahl ungleich Null) in der jeweils ersten Spalte zu erzeugen. Man kann eine beliebige Spalte wählen, erzeugt darunter und darüber Nullen und läßt dann in den weiteren Berechnungen diese Spalte außer acht.

I

Beispiel 6:

i~

! 2~

Einsen in anderen Spalten

2 5

Hier beginnt man mit der schon vorhandenen 1 in der zweiten Spalte:

Man liest die Lösung y = 6 und x = -1 ab.

ISimultane Lösung für mehrere rechte Seiten I Soll das Gleichungssystem für mehrere rechte Seiten gleichzeitig gelöst werden, schreibt man die rechten Seiten nebeneinander und rechnet "normal" weiter. Das macht man z.B. beim Invertieren von Matrizen mit den rechten Seiten e1 bis

en.

. . 1 7 2x B eispie : 4x

+ +

y = 3y =

2

_2

und

2x 4x

+ +

y 3y

5 5

Mit denselben Umformungen wie oben hat man

I

I

I

10) (10 o1 I-64 -55)

(2 o 8 (2 1 2 5 ) 2 5) ( 42 31 -2 5 {::} 0 1 -6 -5 {::} 0 1 -6 -5 {::}

Im ersten Gleichungssystem ist wie oben x = 4 und y = -6, im zweiten x = 5 und y = -5.

Simultane Lösung

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

74

IVarianten des Verfahrens Kurzschreibweise

Notation

I

IKurzschreibweise I Die Matrizen in den verschiedenen Arbeitsschritten werden in ein Schema untereinandergeschrieben und durch waagerechte Striche getrennt. Zeilen, die nicht mehr verändert werden, werden durch Einrahmen der ganzen Zeile {oder der erzeugten 1) markiert und nicht weiter aufgeschrieben. Bei der Bestimmung der Lösung durch Einsetzen werden dann nur die markierten Zeilen verwendet.

+ 4x2 + 6x3 + 3x2 + 7x3 3xl + 3x2 - 2x3 2xl

Beispiel 8:

X1

12 16 -9

= = =

Das ist das erste Beispiel von oben. Die Rechnung schreibt sich so: 2 1 3 1 1 3 0 0 0

4 6 12 7 16 3 3 -2 -9 2 3 6 3 7 16 3 -2 -9 1 4 10 -3 -11 -27 1 0 3

ISpalten vertauschen I Spalten vertauschen

Will man Spalten vertauschen, darf man das, wenn man sich merkt, welche Spalte zu welcher Variablen gehört. Beispiel: y Z 2 -1 2 -2 -1 2 -2 X

(

2) {::} (!1

-1

Beim Invertieren von Matrizen ist das Vertauschen von Spalten verboten!

IKontrollspalte

J

Kontrollspalte Mehr Rechensicherheit erhält man mit einer Kontrollspalte. Dazu schreibt man in der Ausgangsmatrix ganz rechts hinter einen Doppelstrich die Summe der Elemente jeder Zeile hin, also von linker und rechter Seite des LGS. Mit diesen Zahlen

75

1.5. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

werden nun die gleichen Umformungen wie mit dem Rest der Matrix vorgenommen. Nach jeder Umformung kontrolliert man, ob die Summe noch stimmt. Beispiel 9: 2x 4x

+

2

y

-2

3y

Die -1 unten in der Kontrollspalte ist jetzt dadurch entstanden, daß von der zweiten Zeile das Doppelte der ersten subtrahiert wurde. Die Kontrolle besteht darin, daß -1 auch die Summe der Zahlen vor dem Doppelstrich ist.

INotation der Umformungen I Will man die Rechnung später noch einmal nachsehen, schreibt man auf, welche Umformungen man macht. Dazu gibt es viele verschiedene Notationen, von denen drei vorgestellt werden.

®

Multiplikation mit Konstanten und Addition von Vielfachen einer Zeile zu einer anderen wie im Beispiel unten, Vertauschen von Zeilen durch Verbindung mit PfeileiL

@ Steht in der Notationsspalte bei der durch ein Kästchen markierten Zeile der Faktor a und bei einer anderen darunter (oder darüber) der Faktor b, so wird die andere Zeile durch das a-fache der markierten plus das b-fache der anderen ersetzt.

©

Es wird eine PASCAL-ähnliche Schreibweise benutzt, wobei die Zeilen durch römische Zahlen gekennzeichnet werden. Vertauschung der ersten beiden Zeilen z.B. wird als I f+ I I beschrieben.

@

®

2 1 3

[] 1

3 0 0 0

4 3 3 2 3 3

[]

G 7 -2 3 7 -2

12

©

1/z

:2

I:= I/2

1G

-9 G 1G

(!)@ +-

-9

10 4 -3 -11 -27 3 0 L!J

I

-1 -3 1

1

+-

®

+-

3 1

II := I I - I III := III- 3I III := III + 3II

Notation der Umformungen

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

76

13. Beispiele I Beispiel 10: Die Lösung von Ax = Ömit A

(30 813 45)7

=

1

Es handelt sich um ein homogenes System, das mit dem Gauß-Algorithmus gelöst wird. Dazu wird von der ersten das Dreifache der zweiten Zeile subtrahiert.

{: }

(30 815)7 1 3 4

-;8 ~7)

(~ 0

8

7

Da die dritte Zeile das Negative der ersten ist, kann man sie weglassen. Jetzt wird auf drei verschiedene Arten weitergerechnet.

®

Zeilenvertauschen, Division der {neuen) zweiten Zeile durch -8 und Subtraktion des Dreifachen der zweiten von der ersten Zeile:

(~ !8 !7) {::}

G~ 's) {::}

(1 0 0 1

7

11/8 )

1/s

mit x 3 = t kann man die Lösung ablesen: Xt

= -

11/st

X2

=

-7jst,

X3

=

t,

t E IR.

Wenn man es lieber ganzzahlig hat, ersetzt man t = 8s und erhält Xt

= -lls,

x2 =

-7s,

X3

s E IR.

= 8s

@ Wenn man nicht gerne mit Brüchen rechnet, kann man die erste Zeile mit 3 und die zweite mit 8 multiplizieren und dann die erste zur zweiten addieren: ( 0 -24 -21)

8

24

32

( 0 -24 -21) 8

0

11

Wenn man jetzt die Zeilen durch -24 und 8 dividiert, kann man wie bei@ die Lösung ablesen. Trick

©

Da die Matrix den Rang 2 hat, berechnet man mit der Dimensionsformel (siehe S. 65) die Dimension des Lösungsraums dim ker A=l. Es reicht also, einen nichttrivialen Vektor im Kern von A zu bestimmen. Nach der Interpretation des LGS auf Seite 64 sucht man einen Vektor x0 , der auf den Zeilen von A senkrecht steht. Eine Möglichkeit ist das Kreuzprodukt der Zeilen:

Alle Lösungen sind also durch

x = tx0 , t E IR gegeben.

Diesen Trick kann man oft bei der Bestimmung von Eigenvektoren bei 3 x 3Matrizen benutzen.

77

1.5. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

I Beöspielll• Das LGS

( 3 + i -4i 12 + i) -2i 2- i 2

Dieses komplexe 2 x 2-System löst man am besten mit der Cramerschen Regel. i -4i det A = 3 + _ 2i 1 2 det At =

I ; ~ ~ =~~ I= -4i + 2 + Bi + 4 = 6 + 4i

dct A2 --13 +2 i 22 + _ii Damit ist die Lösung Zt

I=- 6.2+ 2 + 8.2 = 2 + 2.2

I=

. 3 - 3.2 . 4 - 22= 7 -2-

z = ( :~)

= 6 + 4i = (6 + 4i)(2 - 2i) = !( 20 _ 4i) = !( 5 _ i) 2 8 8 2 + 2i 3. 12i (3-3i)(2-2i) 3-3i =-s=-22 s z2 =2+2i=

Beispiel 12: Die

L(ö~m~ v~n A~6= ~)mit

A=

0 0 -2 -8 2 2 2 1 0 1

und

bt

( 12 ) = -14 und 11

( 3)

b2 =

2 1

Es wird die tabellarische Schreibweise, eine Kontrollspalte K und die Notation für die Operationen verwendet.

©

Xt

X2

3 0 1 1 0 3 1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

bt bz xs X4 12 3 0 -6 9 -2 -8 2 -14 2 1 11 2 2 1 1 11 2 2 1 -1 -1 4 7 1 12 3 0 -6 9 1 11 2 2 1 -1 -1 4 7 1 -3 -12 3 -21 0 2 4 0 -2 3 -1 -1 4 7 1 -3 0 0 0 0 X3

K 21 -20 18 18 10 21 18 10 -33 8 10 -3

I++ III I!:= II /( -2)

III := I l l - 3I I:= I - II III := III + 3ll

Die letzte Zeile s~t nun, daß das LGS für die rechte Seite b2 unlösbar ist. Bei der rechten Seite b1 fällt die letzte Zeile weg und man kann die Lösung ablesen:

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

78

bei x 1 und x 3 stehen die Einsen. Diese Variablen werden durch die restlichen festgelegt: man wählt x 2 = t, X4 = u und xs = v und erhält x1 = 4 + 2x4- 3xs = 4 + 2u- 3v,

X3

=7-

4x4

+ xs = 7 -

4u + v

Die Gesamtlösung bildet einen dreidimensionalen affinen Unterraum des IR5 :

Beispiel 13: Die Lösung von Ax =

bmit A =

(c?s cp -r sin cp) und b= (r) sm cp r cos cp 0

Die Determinante von A ist det A

= r cos2 cp + r sin2 cp = r.

Für r =/- 0 ist das LGS also eindeutig lösbar und wird, weil es Funktionen enthält, mit der Gramersehen Regel gelöst.

I

I= r2coscp

I

I= -r sin cp

dctA1 = 0r -rsincp rcoscp det A2 = c?s cp ro smcp Damit ist für r =/- 0 die eindeutige Lösung x1

Für

1·

det A1

= -ctd A =

1· 2cos cp

r

det A2

-= = rcoscp und x2 = dctA

-r sin cp r

.

= -smcp

= 0 lautet das LGS als erweiterte Matrix

Da sin cp und cos cp nicht gleichzeitig Null werden, muß x 1 = 0 sein. x 2 ist frei wählbar. Die Lösung ist also ( cos cp ) x = - sincp

für r=/-0

und

x=t(~),

tEIR

fürr=O.

1.6. VEKTORRÄUME

1.6

79

Vektorräume

j1. + 2.

Definitionen und Berechnungj

Da der Fall endlichdimensionaler Rämne im Mittelpunkt steht, werden alle Vektoren mit einem Pfeil geschrieben, was eigentlich nur im !Rn und cn üblich ist.

IVektorraum I Ein reeller Vektorraum (kurz: VR) ist eine Menge, in der Addition und Multiplikationerklärt sind und in der folgende Rechenregeln gelten. ü, und wsind Elemente des Vektorraums, a und ß reelle Zahle11.

reeller Vektorraum

v

• ü+v=v+ü,

ü+(v+w)

• Es gibt einen Nullvektor Ömit

=

(v+ü)+w

v+ Ö= v.

• Zu v gibt es einen Vektor -v mit v + (-V) = Ö.

• (a+ß)v=av+ßv,

(aß)V=a(ßi!),

a(v+w)=av+aw,

l·v=v

Die Elemente des Vektorraums heißen Vektoren. Die Elemente des Grundkörpers IR oder C heißen Skalare. Läßt man auch komplexe Faktoren zu, hat man einen komplexen Vektorraum.

I Beispiel 1: !Rn und cn Wichtigstes Beispiel für einen Vektorraum ist der n-dimensionale euklidische Raum !Rn, der aus allen n- Tupeln von reellen Zahlen besteht. Der dreidimensionale Raum IR3 z.B. besteht aus allen Punkten mit drei Koordinaten (x, y, z). Dem Punkt (x,y,z) entspricht der Vektor r= (x,y,z)~ Läßt man komplexe Koordinaten zu, erhält man analog den cn. j Beispiel 2: Polynome

Der Raum aller Polynome höchstens n-ten Grades mit reellen oder komplexen Koeffizienten bildet einen (n+l)-dimensionalen reellen oder komplexen VR (s.u.). Die Addition von Vektoren ist die Addition von Polynomen. Dem Nullvektor entspricht das Nullpolynom. Daß die Axiome von oben erfüllt sind, ist unmittelbar klar. j Beispiel 3: Stetige F\mktionen, C(I)

Ist I ein Intervall, betrachtet man den Raum C(I) aller stetigen F\mktionen auf I. Das ist mit der gleichen Begründung wie in Beispiel 2 ein VR.

Vektor Skalar

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

80

IUnterraum I Unterraum Teilraum

Ist V ein VR und U ~ V eine Teilmenge, die selbst einen Vektorraum bildet, heißt U Unterraum, Untervektorraum oder Teilraum von V. Ist V ein VR und U ~ V, so ist U genau dann ein Untervektorraum, wenn U mit je zwei Elementen x und y auch x + y und alle reellen Vielfachen von x enthält. Diese Eigenschaft heißt Abgeschlossenheit gegen Summen und Vielfache Stets hat V die trivialen Unterräume V und {0}. Beispiel 4: Ist

A eine Matrix, so ist {xl Ax = 0} ein Unterraum.

Ax = 0 und Ay = 0 folgt ja A(x + fj) A(ax) = aAx = aO = 0. Aus

=

Ax + Ay

=

0 + 0 = 0 und

Der Unterraum in diesem Beispiel heißt Kern von A, vgl. S. 87. Ein weiteres Beispiel für einen Unterraum ist oben angegeben: Der Raum aller Polynome n-ten Grades auf lR ist ein Unterraum von C(JR), dem Raum aller stetigen reellen Funktionen, da Addition und Skalarmultiplikation nicht aus den Polynomen hinausführt. affiner Unterraum

Ist U ~ V ein Unterraum und i1 E V, so nennt man W = einen affinen Unterraum. U heißt die Richtung von V.

{rl r = i1 + il,

u EU}

Will man den Unterschied betonen, sagt man statt Unterraum dann auch linearer Unterraum. Ein linearer Unterraum ist ein Spezialfall des affinen Unterraums, der die Null enthält. Hyperebene

Ein (n- !)-dimensionaler affiner Unterraum eines n-dimensionalen Raumes wird als Hyperebene bezeichnet.

Dimension von U

(linearer) Unterraum

affiner Unterraum

0

{0}

{il}

1

Gerade durch null

Gerade

2

Ebenen durch null

Ebene

n-1

Hyperebene durch null

Hyperebene

Übersicht über lineare und affine U nterräume.

81

1.6. VEKTORRÄUME

Ilinear anhängig und unabhängig I Sind ä 1 bis äk Vektoren und a 1 bis ak reelle Zahlen, so nennt man den Ausdruck a 1 ä 1 + · · · akäk Linearkombination. Die Zahlen CYj heißen Koeffizienten. Man beachte, daß eine Linearkombination immer (auch in unendlichdimensionalen VR) eine endliche Summe ist.

Linearkombination Koeffizient

Die Vektoren v1 bis Vk sind linear abhängig (l.a.), wenn es Koeffizienten a 1 bis ak gibt mit a 1v1 + · · · + akvk = 0, wobei nicht alle a; = 0 sind. Andernfalls sind die Vektoren linear unabhängig (Ln.:.).

linear ( un )abhängig

Sind also a1

=

a2

v1

bis vk linear unabhängig und ist a 1v 1 ak = 0.

+ · · · + akvk = 0,

so folgt Kriterien für lineare Abhängigkeit

= ··· =

• Ein Vektor ist linear abhängig, wenn er der Nullvektor ist. • Zwei Vektoren ü und v sind linear abhängig, wenn sie auf einer Geraden durch Nullliegen bzw. wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Die Vektoren heißen dann kollinear. • Drei Vektoren ü, v und wsind linear abhängig, wenn sie auf einer Ebene durch den Nullpunkt liegen bwz. wenn einer sich als Linearkombination der beiden anderen darstellen läßt. Im !R3 hat man das Kriterium mit dem Spatprodukt:

Drei linear abhängige Vektoren heißen komplanar.

v1bis vk sind linear abhängig, wenn der Rang der Matrix mit den Spaltenvektoren v1 bis vk kleiner als k ist, siehe S. 83.

• k Vektoren

• Kriterium für n Vektoren des !Rn oder
v1 bis Vn

sind linear abhängig {:} det( v1 , ... , Vn) = 0.

Bei•piel ., Lineare Abhängigkeit von u

~

m'V~ T) (

Die drei Vektoren des !R3 sind linear abhängig det (ü, v, w) =

i

0

1 1 -~ -~1 = -

I -11

-1

0

{:}

und w

~ ( ~:)

det( ü, v, w) = 0. Wegen

I+ I -10

-1 -1

I= -1 + 1 = 0

(Entwicklung nach der ersten Spalte) ist dies der Fall; es ist ü-

v + w= 0.

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

82

I Spann, lineare Hülle I

Spann lineare Hülle Erzeugendensystem

Die Menge aller Linearkombinationen einer Menge M von Vektoren heißt Spann vonModerlineare Hülle von M. Schreibweise: spann(M) oder spM. -Der Spann einer Menge M bildet immer einen Unterraum, der als der von M aufgespannte Unterraum bezeichnet wird. Spannen die Vektoren VI bis vk den Unterraum U auf, so heißen die Vektoren Erzeugendensystem für U. Beispiel 6: Beispiele für "Spann" bzw. "lineare Hülle" • Der Spann der n Koordinateneinheitsvektoren des JRn ist gerade der IRn. • Der Spann der Monome 1, x, x 2 , .•. , xn ist der Raum der Polynome höchstens n-ten Grades. • Der Spann von

G) ,(~)

und (

=~) ist die Gerade {f1 r =

t

G) ,

t E IR}.

IBasis und Dimension I Basis

Die Vektoren bi bis bn bilden eine Basis des Vektorraums V, wenn sich jeder Vektor v E V in eindeutiger Weise als Linearkombination der Basisvektoren bi bis bn schreiben läßt:

V= Dimension

aibi + a2b2 + ... anbn

Wenn es eine Basis aus n Vektoren gibt (dann hat auch jede andere Basis n Elemente), nennt man den Raum n-dimensional. Schreibweise: dim V= n.

V ist n-dimensional. {::} Jen linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis.

{::} Eine (und damit jede) Basis hat n Elemente. {::} Es gibt n linear unabhängige Vektoren mit V= span (vi, ... , vn). {::} Es gibt n linear unabhängige Vektoren, aber jeweils n linear abhängig. Kriterium: Basis

+ 1 Vektoren

sind

Charakterisierung einer Basis als minimales Erzeugendensystem

VI, ... , vk ist eine Basis für U, falls gilt: i) VI, ... , Vk spannen U auf, d.h. VI bis ii) keine echte Teilmenge von VI bis

vk

vk sind ein Erzeugendensystem für U. spannt U auf.

83

1.6. VEKTORRÄUME

Der Unterraum, der nur aus dem Nullvektor besteht, hat die Dimension Null. Beispiel 7: Beispiele für Basen 0) ~ e2 = (0, 1, 0, 0) T • Die Koordinateneinheitsvektoren el = (1, 0, usw. bis en = (0, 0, 0, 1) T sind eine Basis des n-dimensionalen Raumes m.n, die kanonische Basis oder Standardbasis. kanonische Basis • Die Monome 1, x, x 2 , • •• ,xn sind eine Basis des (n + 1)-dimensionalen Standardbasis Raumes der Polynome höchstens n-ten Grades. 0

0

0

0

0,

0

0

0,

0,

• Die Monome 1, x, x 2 , x 3 , Raumes aller Polynome.

•..

bilden eine Basis des unendlichdimensionalen

• Der Lösungsraum eines inhomogenen LGS ist ein affiner Unterraum. Der Lösungsraum eines homogenen LGS ist ein (linearer) Unterraum. Zum Beispiel hat das zugehörige homogene System von Beispiel 12 im letzten Abschnitt auf Seite 77 einen dreidimensionalen Lösungsraum. Eine Basis davon ist

'lih =

(0,1,0,0,0)~

w2 = (2,0,-4,1,0)T

und

W3 = (-3,0,1,0,1)T

IRang einer Matrix I Der Rang einer Matrix ist der Rang der zugehörigen linearen Abbildung, (S. 87). Verwandte Begriffe: Der Zeilenrang ist die Maximalzahllinear unabhängiger Zeilenvektoren der Matrix, der Spaltenrang die Maximalzahllinear unabhängiger Spaltenvektoren der Matrix. Schreibweise: rg A oder rank A. Damit sind Spalten- und Zeilenrang die Dimensionen der von den Spalten- bzw. Zeilenvektoren aufgespannten Räume. Rang = Zeilenrang = Spaltenrang Bestimmung des Ranges einer Matrix: Die Matrix A hat den Rang k {:} Es gibt k Lu. Zeilenvektoren, aber keine k

+ 1.

{:} Es gibt k Lu. Spaltenvektoren, aber keine k

+ 1.

{:} Es gibt eine k x k-Untermatrix mit nichtverschwindender Determinante, aber keine (k + 1) x (k + 1) Untermatrix mit dieser Eigenschaft. Eine k x k-Untermatrix entsteht dadurch, daß man beliebige Zeilen und Spalten streicht, so daß eine Matrix mit k Zeilen und k Spalten übrigbleibt. {:} Die Dimension des Bildes der Abbildung x ---* Ax ist k

Rang Zeilenrang Spaltenrang

84

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

Rang-

Zur Bestimmung des Ranges kann man die Matrix umformen.

bestimmung

Folgende Umformungen ändern den Rang einer Matrix nicht: • Transponieren • Addition von Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte).

f. 0.

• Multiplikation einer Zeile (Spalte) mit einer Zahl a

Hat die Matrix A Zeilenstufenform, so ist der Rang die Anzahl der Nicht-NullZeilen in A.

Beispiel 8• Rang von A

~

(l 2345) 3 4 5 6 4567

und B =

(1 030 5) 0 0 4 0 6 00007

Bei der ersten Matrix subtrahiert man zunächst die zweite von der dritten Zeile und dann die erste von der zweiten Zeile. rg A = rg

(11 21 31 41 5)1 = rg (11 21 31 41 5)1 = 2 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

Die zweite Zeile wurde von der dritten subtrahiert, und offensichtlich bleiben zwei linear unabhängige Zeilen übrig. Bei der zweitenMatrixBist der Rang höchstens drei, da es nur drei Zeilen gibt. Streicht man die zweite und vierte Spalte, erhält man eine 3 x 3-Untermatrix. rg

Rechenregeln

(100 000 304 000 5)67 = rg (100 304 5)67 = 3

Der Rang ist drei, da die übrigbleibende Diagonalmatrix die nichtverschwindende Determinante 1 · 4 · 7 = 28 hat. • Die Nullmatrix hat den Rang Null, En den Rang n. • rg (AB)

~

min{rg A, rg B}

• Ist A invertierbar, so ist rg (AB) diese Produkte möglich sind).

=

rg B und rg (BA)

=

rg B (soweit

• Bilden die Spalten der n x n-Matrix A eine Basis, und ist B invertierbar, so ist der Rang von AB und der Rang von BA jeweils n, und die Spalten beider Matrizen sind ebenfalls Basen.

85

1.6. VEKTORRÄUME

Beispiel 9: Der Rang von AB für A

= (; ~)

und B

=(

!1

-;6 )

Sowohl A als auch B haben jeweils eine linear unabhängige Spalte oder Zeile und damit den Rang eins. Andere Begründung: Der Rang ist kleiner als zwei, da es keine 2 x 2-Untermatrix mit nichtverschwindender Determinante gibt, aber größer gleich eins, da es 1 x 1-Untermatrizen mit Determinante ungleich Null gibt. Wegen AB= 0 (Nullmatrix) ist der Rang von AB gleich Null. Kriterium für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystem Das lineare LGS Ax =bist genau dann lösbar, wenn der Rang der erweiterten Matrix (AI b) gleich dem Rang von A ist.

I Beispiele I BeispiellO: Liegt ü = (4, 3, 5, 1)Tim Spann von iJ1 = (2, 3, -1, O)T und V2 = (0, -3, 7, 1)T?

ü liegt dann im von iJ1 und iJ2 aufgespannten Unterraum, wenn ü eine Linearkombination dieser beiden Vektoren ist, d.h. wenn es Zahlen a und ß gibt mit aiJ1 + ßiJ2 = ü. Das bedeutet, daß das Gleichungssystem mit der Systemmatrix A = (iJ1, iJ2) und der rechten Seite Ü lösbar ist. Hier wird folgendes Kriterium benutzt: Das LGS ist lösbar, wenn der Rang der Matrix A = ( 1, iJ2) gleich dem Rang der erweiterten Matrix (iJ1, iJ2 l ü) ist.

v

Der Rang von A ist offensichtlich zwei, da iJ1 und iJ2 linear unabhängig sind. Zur Berechnung des Ranges der erweiterten Matrix werden geeignete Vielfache der letzten und der vorletzten Zeile von den anderen subtrahiert:

rg

(~

!, ~3 )

101

= rg

(~ !, ~:) = (~ rg

101

0 0 -1 1 0

Da der Rang zwei ist, liegt ü im Spann von iJ1 und iJ2.

I Beispiel 11: Der Rang von A = ( ~i ~i) Der Rang ist sicherlich größer gleich eins. Da der Rang wegen det A = 0 kleiner als zwei ist (die erste Zeile ist das 2i-fache der zweiten), und die Matrix nicht die Nullmatrix ist, ist der Rang eins.

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

86

Drei Vektoren des IR3 bilden eine Basis, falls sie linear unabhängig sind. Das ist genau dann der Fall, wenn det(V't, v2 , v3 ) =/:- 0 ist: 3 0 1 Wegen 0 3 3 = -3 - 9 = -12 =1- 0 bilden die Vektoren eine Basis. 1 1 0 Beispiel 13: Die Dimension des von den Vektoren 'Üt, 10 aufgespannten Unterraums

v2 und ü aus Beispiel

Da der Rang der Matrix mit diesen Vektoren als Spalten den Rang zwei hat, ist die Dimension zwei. Beispiel 14: Lineare Unabhängigkeit der Funktionen fo.(x) Zu beweisen ist: ist mit o:; =/:-

= eo.x

in C(IR)

O:j

At e01 x + A2e 02 x + · · · + Akeo.kx = 0, so folgt At = A2 = · · · = Ak = 0. Die Null in der ersten Gleichung ist die Null des Vektorraums, d.h. die Nullfunktion. Das bedeutet, daß die Gleichung für alle x erfüllt ist. Daß dies richtig ist, beweist man über vollständige Induktion. Der Induktionsanfang ist klar: eine Funktion eo.x ist linear unabhängig, da sie nicht die Nullfunktion ist. Im Induktionsschritt nimmt man an, daß die obige Aussage für jede Summe mit n - 1 Summanden gilt. Zu zeigen ist, daß dann auch bei n Summanden At = A2 = · · · =An = 0 folgt. Der Beweis davon benutzt das Wachstumsverhalten der Exponentialfunktionen bei oo. Nachdem man die o:; eventuell umnummeriert hat, darf man annehmen, daß O:t die größte der Zahlen O:t bis O:n ist. Dann klammert man in der Linearkombination den Faktor e01 x aus:

Ateo.lx+A2eo.2x+·. ·+Akeo.kx = 0

=>

eo.lx(At +A2e(o.2-o.l)x+·. ·+e(o.n-o.l)x) = 0

Nach dem Kürzen durch e01 x hat man, daß die Klammer für alle x E IR Null ist. Daher gilt das auch, wenn man den Grenzwert für x -+ oo nimmt. Weil o:; - O:t stets negativ ist und für o: < 0 der lim eo.x = 0 ist, verschwinden alle Summanden X-100

bis auf den ersten und man erhält At = 0. Übrig bleibt dann eine Summe mit n -1 Summanden, für die nach der Induktionsvoraussetzung gilt: A2 = · · · = An = 0. Mit derselben Methode läßt sich auch die lineare Unabhängigkeit der Monome xk, k = 0, 1, 2, ... beweisen.

1.7. LINEARE ABBILDUNGEN

1. 7

87

Lineare Abbildungen

IL+ 2. Definitionen und Berechnung I Sind V und W Vektorräume, so nennt man eine Abbildung L: falls fiir alle v1 , E V und a E lR gilt

v2

Ist L : V

~

V~

W linear, lineare Abbildung

JR, nennt man V auch Linearform. Weitere Bezeichnungen:

Linearform

• L surjektiv: Epimorphismus

Epi-, lso-, Auto-, Endamorphismus

• L bijektiv: Isomorphismus • L:

V~

• L :V

~

V: Endomorphismus, lineare Selbstabbildung

V bijektiv: Automorphismus

Der Kern oder Nullraum einer linearen Abbildung L : V ~ W ist der Unterraum von V, der alle Elemente enthält, die auf den Nullvektor von W abgebildet werden. Schreibweise: Kern L, N(L), kerLoder I<(L). Das Bild von L ist der Unterraum von W, der aus allen Elementen von W besteht, die als Bild eines Elements von V unter L vorkommen. Schreibweise: R(L). Der Rang von L (rg L) -ist die Dimension des Bildes von L. Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen • Ist L : ]Rn ~ JRm eine lineare Abbildung, so läßt sich L eindeutig als Abbildung x ~ Ax schreiben. Die Matrix A enthält in den Spalten die Bilder der Koordinateneinheitsvektoren des ]Rn. • Umgekehrt ist für jede Matrix A E M(m, n) die Abbildung LA :]Rn L(x) = Ax linear.

~

lRm,

• Sind L : JRn ~ JRm und M : JRm ~ JRP lineare Abbildungen mit den Matrizen A und B, so ist die KompositionMoL eine lineare Abbildung von ]Rn nach JRP, der die Produktmatrix BA entspricht. • Der inversen Abbildung entspricht die Matrix A-l. • Der identischen Abbildung, die jeden Vektor x auf sich selbst abbildet, entspricht die Einheitsmatrix En· Der Nullabbildung, die alles auf 0 abbildet, entspricht die Nullmatrix 0. Dieser Zusammenhang erlaubt es, die linearen Abbildungen zwischen dem ]Rn und dem JRm mit den m x n-Matrizen Mm,n zu identifizieren.

Kern Nullraum

Rang lineare Abbildungen und Matrizen

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

88

Beispiel 1: Beispiele linearer Abbildungen

• Ist A einem x n-Matrix, so ist die Abbildung LA : !Rn -t !Rm, L(x) linear.

=

Ax

• Ist ä ein fester Vektor des !Rn und(·,·) ein Skalarprodukt (vgl. Abschnitt 8) auf dem !Rn, so ist die Abbildung x -t (x, ä) eine Linearform. Es läßt sich zeigen, daß alle Linearformen diese Gestalt haben. • Die Abbildung x = (xi, ... , Xn) T -t x;, die einem Vektor die i-te Koordinate zuordnet, ist eine Linearform. Sie ist als Skalarprodukt mit dem i-ten Koordinateneinheitsvektor e; schreibbar. Projektion

• Ist ä E !Rn ein Einheitsvektor, so ist die Abbildung x -t (x · ä)ä linear und heißt Projektion von x auf den durch ä aufgespannten Unterraum. Der Kern dieser Abbildung besteht aus den zu ä senkrechten Vektoren. • Viele Differentialoperatoren wie f -t grad f, v -t rot v, v -t div v und f -t b..f (siehe Kapitel4.8) sind linear. Weitere Beispiel findet man auf den Seiten 90 und 93. Koordinaten eines Vektors bezüglich einer Basis Faßt man die n Vektoren VI bis Vn des !Rn zu einer Matrix V = (VI, ... , vn) zusammen, so gilt: VI bis Vn bilden eine Basis des !Rn {:} V ist invertierbar. Diese Tatsache erlaubt es, die invertierbaren Matrizen mit den Basen zu identifizieren. Ist VI bis Vn eine Basis des Vektorraums !Rn, so hat Darstellung als Linearkombination der Basisvektoren:

Koordinaten

xE

!Rn eine eindeutige

Die Zahlen ai bis an sind die Koordinaten von x bezüglich der Basis VI bis Vn. Man kann sie zum Koordinatenvektor ä = ( ai, ... , an) T zusammenfassen. Die Darstellung von

x ist x= va:.

Die Koordinaten hängen natürlich von der Basis ab. Gibt man einen Vektor in der Form = (xi, ... , Xn) T an, so sind die Zahlen x; die Koordinaten bezüglich der Standardbasis, die zur Matrix En gehört.

x

89

1. 7. LINEARE ABBILDUNGEN

Ermittlung der Koordinaten bzgl. einer Basis

CD

Fasse die Basisvektoren zu einer Matrix zusammen, z.B. Diese Matrizen sind invertierbar.

®

Darstellungsgleichungen für

v1 bis Vn zu V

.

x werden nach der gesuchten Größe aufgelöst.

Dabei beachte man sorgfältig, ob die Matrizenmultiplikationen von links oder von rechts erfolgen.

IAnwendungen: I • Aus x = Vä folgt: der Koordinatenvektor ä von

x bzgl. V ist ä = v- x. 1

• Ist tih bis Wn eine zweite 'Basis, die zur Matrix W zusammengefaßt wird, gilt: Ist ä Koordinatenvektor von x bzgl. V und bder Koordinatenvektor von bzgl. W, so errechnet man den Übergang dazwischen aus

x= Vä=

w'b

a=

=?

x

v- 1w'b

• Werden die Basisvektoren f11 bis Vn durch Cf11 bis Cvn ersetzt (C regulär), so berechnet man den Koordinatenvektor b bzgl. dieser neuen Basis aus x = Vä = CVb als

Beispiel 2: Darstellung von

(!) in der Basis f1

1

Bezüglich der Basis f1t, v2 mit der Matrix V=

(~

= (

=;)

~)

und

v2 =

(

hat der gegebene Vektor

die Koordinaten

Die Matrixinversion wurde nach der Cramerschen Regel vorgenommen. Probe:

a1f11

+ a2v2 =

1

(~) + 1 ( =~) =

(!).

=;)

90

Aufstellen einer Matrix

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

IAufstellen der Matrix einer linearer Abbildung I Gegeben ist eine lineare Abbildung L : IR.n --+ IRm. Gesucht ist eine Matrixdarstellung von L. Man bestimmt die Bilder der Koordinateneinheitsvektoren Die Matrix von List (L(el), ... , L(en)).

Bei,piel 3, Die Matdx von X-> ä x X mit ä Zunächst werden die Bilder von

Die Matrixdarstellung ist

allgemeiner Fall

~

e1 bis en unter L.

(!)

e1 , e2 und e3 bestimmt.

a X X = Ax mit der schiefsymmetrischen Matrix

Ist die Abbildung L zwischen allgemeinen endlichdimensionalen Vektorräumen V und W gegeben, geht man so vor:

CD

Wähle eine Basis

v1 bis Vn in V

und eine Basis

w bis Wm in W. 1

@ Bestimme für jedes Basiselement v; die Koordinaten des Bilds L(v;) bezüglich der Basis

w1 bis Wm·

@ Die i-te Spalte der Abbildungsmatrix A besteht aus den so bestimmten

w bis w.",. Mit der so gefundenen Matrix A gilt: Ist a der Koordinatenvektor von x E V bezüglich der Basis v1 bis Vn, so ist b= Aa der Koordinatenvektor bezüglich der Koordinaten von L(v;) bzgl.

Basis w 1 bis

Wm

von

1

y = Lx E fV.

Beispiel 4: Matrix der Ableitungsabbildung D 1m Raum der Polynome höchstens dritten Grades Wegen (! + g)' = f' + g' und (af)' = af' ist die Abbildung f--+ f' eine lineare Abbildung. Da die Ableitung eines Polynoms wieder ein Polynom mit um eins vermindertem Grad ist, ist die Ableitungsabbildung für jedes k E N eine lineare Selbstabbildung im Raum der Polynome vom Höchstgrad k.

1. 7. LINEARE ABBILDUNGEN

CD

91

Als Basis wählt man am einfachsten die Monome und nummeriert die Basiselemente von Null ab: v0 = 1, V'1 = x, v2 = x 2 und 3 = x 3 . Da es sich um eine Selbstabbildung handelt, wählt man uh = vk = xk.

v

@ Jetzt werden die Koordinaten der Ableitungen der Basiselemente bestimmt: wegen D(vk) = (xkY = kxk-l = kvk-l und D(V'o) = 0 sind alle Koordinaten von D(V'o) null und die Koordinaten von D(vk) an der (k - 1)-sten Stelle gleich k und null sonst.

@ Die Matrix enthält in den Spalten die Koordinaten: 0 A= ( 0 0 0

1 0 0 0

0 2 0 0

0) 0 3 0

3

Ist also

f

naten von

=

f'

L a:kxk und ä der Vektor (a:o, a:~, 0:2, a:a)~ so sind die Koordik=O

durch Aä gegeben.

Beispiel: Für f(x) = 3 + 4x 2 - 5x3 ist ä = {3, 0, 4, -5) -r: Aus Aä = {0, 8, -15, 0) T erhält man f' = 8x - 15x2 .

IBasiswechsel I

Basiswechsel

Wenn man die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung L : !Rn ~ !Rm bezüglich eines Paares von Basen hat und sie bezüglich eines anderen Paares von Basen ermitteln will, geht man wie bei der Bestimmung von Koordinaten auf Seite 89 vor:

CD

Fasse die Basisvektoren zu Matrizen zusammen, z.B. V'1 bis Vn zu V . Diese Matrizen sind invertierbar.

@ Darstellungsgleichungen für A werden nach der gesuchten Größe aufgelöst.

IAnwendungen: I Im !Rn seien die Basen V und U gegeben, im !Rm dieBasenWund Z. Bezüglich

V und W habe die lineare Abbildung L die Matrix A. x E !Rn hat die Darstellungen x = Vä = Ub, für y E !Rm ist y = Wc= •

zJ. Geht man zu den Basen U im !Rn und Z im !Rm über, so ist mit ä = v- 1 Ub und c= w- 1 Zd y= L(x) <=> Aä= c<=> Av- 1Ub = w- 1 Zd<=> z-iw Av- 1 Ub = l

Bezüglich der Basen U und Z ist die Matrix von L also A' =

z- 1W A v- 1 u.

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

92

• Ist L : !Rn -7 !Rn eine Selbstabbildung, die in der kanonischen Basis V = W = En die Matrix A hat, so ist bei einem Basiswechsel zu U = Z y= L(x) {::} y= Ax {::} Uc= AUä {::}

c= u- 1 AUb.

In der Basis U hat man also die Darstellungsmatrix

BeispielS: Sei v1 =

u- 1AU.

(~), v2 = ( =~), w1 =(;)und w2 =

G)·

Man bestimme die Matrix M der linearen Abbildung L mit L(vl) = w1 und L(v2) = w2 Zusammenfassen der Vektoren zu Matrizen:

1. Möglichkeit

Hat man im IR2 die Basen V und W gegeben, so hat die Abbildung nach der Regel über das Aufstellen von Matrizen die Matrix A = E 2 = ( ~

~).

Mit

U = Z = E 2 erhält man aus der allgemeinen Formel die Matrix bezüglich der kanonischen Basen:

M = z-l W A v- 1 U = E2 1 W E2

v- 1 E2

= W

v- 1.

Jetzt muß man V invertieren (am besten mit der Gramersehen Regel) und W damit multiplizieren:

v-1 = ~

(-5 2)

1 -8 3

w=

(~ ~)

M

= wv-1 = (-13 5) -34 13

2. Möglichkeit Hier faßt man die beiden Gleichungen Mi71 = w1 und Bestimmungsgleichung für A ist dann wie oben MV= W

{::}

M

Mv2 = w2 zusammen: Die

= wv- 1.

93

1. 7. LINEARE ABBILDUNGEN

j3.

Beispiele I

Beispiel 6: Die Lösungen von y"

+ 3y' + 2y = -2e-x

Die Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten wird im Beispiel 2 in Kapitel 6. 7 berechnet:

In der Begriffen dieses Kapitels:

D(y) = y" + 3y' + 2y ist eine lineare Abbildung vom Raum C 2 (1R) der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen in die stetigen Funktionen auf IR. Der Kern von D ist zweidimensional; eine Basis wird durch das Fundamentalsystem y1 = e-x, y2 = e- 2x gegeben. Die allgemeine Lösung ist die Summe einer partiklären Lösung Yr = -2xe-x der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung, die als Linearkombination der beiden Basiselemente geschrieben wird.

I

Beispiel 7: Matrizen von Drehungen

Die Matrix einer Drehung um den Winkel a wird aufgestellt, indem die Bilder der Koordinateneinheitsvektoren ermittelt werden.

~ t_~ t_- V AC

(COSQ') . Slll Q'

_ ~ _ (-sina) A~e2COSQ' V2Damit ist die Matrix einer Drehung um den Winkel a Drehung um den Winkel a

= (cos

D a

a -cossinaa)

sin a

Beispiel 8: Matrizen von Spiegelungen an Geraden Eine Spiegelung an einer Geraden g ist dann eine lineare Selbstabbildung des IR2 , wenn die Gerade durch den Nullpunkt geht. (Beweis: Wegen L(Ö) = L(O · Ö) = 0 · L(Ö) = Ö wird der Nullpunkt bei einer linearen Abbildung immer auf den Nullpunkt abgebildet. Das wird er bei der Spiegelung an einer Geraden, die nicht durch Null geht, nicht. Daß es im anderen Fall wirklich eine lineare Abbildung ist, wird unten bewiesen).

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

94

Konstruiert wird die Matrix S 9 dieser Abbildung.

x

Der Einfachheit halber beschreiben wir die Gerade g durch g : = tä, t E IR mit einem Einheitsvektor ä. Zunächst wird zu einem beliebigen Punkt P mit Ortsvektor p der Spiegelpunkt Q konstruiert: Von pausgehend ist der Ortsvektor des Fußp punkts R des Lots von P auf die Gerade g gegeben durch

-

r = (p · a-)a.

fist ja gerade die orthogonale Projektion von p auf den durch ä aufgespannten Unterraum, vgl. S. 97. Den Spiegelpunkt Q erhält man nun, indem man vonRaus den Verbindungsvektor PR noch einmal abträgt: mit

- - (-)- P-R =r-p= p·aa-p erhält man den Spiegelpunkt Q aus

if= L(f/) = f + (f- f/) = 2(p· ä)ä- p Das ist wirklich eine lineare Abbildung: L(af/)

= 2(ap· ä)ä- oß= a(2(p· ä)ä- ti) = aL(f/)

L(p+S) = 2((p+S) · ä)ä- (p+S) = (2(p· ä)ä- fi)

+ (2(8'· ä)ä- s)

= L(f/) + L(S)

Die Matrix S 9 erhält man nun aus den Bildern der Koordinateneinheitsvektoren. . a- = M It

(ai) . a ISt 2

Die Spiegelungsrnatrix ist also

S _

(2ai - 1 2aia2

9 -

2aia2 ) - 1

2a~

Spezialfälle:

ai a

Bei der Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden ist = 2 = ~, bei der Spiegelung an der XI-Achse ist = 1 und a2 = 0. Die entsprechenden Matrizen sind

ai

und

95

1.8. SKALARPRODUKT

1.8

Skalarprodukt

Wie im zweiten Abschnitt wird zunächst alles für reelle Vektorräume formuliert. Die Unterschiede zu komplexen Räumen werden auf Seite 99 aufgezählt.

lt. + 2. Definitionen und Berechnung! Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum ist eine positiv definite symmetrisehe bilineare Abbildung. Darunter versteht man eine Zuordnung v, w f-t ( v, w) mit folgenden Eigenschaften: • (av, w)

= a(v, w),

(ü + v, w)

= Ut, w) + (v, w)

(Linearität) (Symmetrie)

• (v,w) = (w,V)

• Für alle v ist (v, V) ~ 0 und

Skalarprodukt

(v, v) = 0 {:} v = Ö

(positive Definitheit)

Schreibweisen für das Skalarprodukt:

(v, w) =< v, w >= [v, w], auf dem

]Rn

auch V. w = VTW, auf

cn auch V*w

Ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt wird als euklidischer Vektorraum bezeichnet. orthogonal oder Null, so heißen v und Ist das Skalarprodukt von v und senkrecht. Ist U ein Unterraum von V, so ist die Menge aller Vektoren in V, die auf allen Vektoren von U senkrecht stehen, ein Unterraum. Bezeichnung: UJ. := {vl (v,ü) = 0 für alle ü E U} ist das orthogonale Komplement zu U. Andere Bezeichnung: Orthogonalraum.

w

w

wgenau v; v! · w= · · · = vk · w= 0. Der Orthogonalraum eines Vektors v # Öim JR2 ist der Spann des auf Seite 27 definierten orthogonalen Komplements vR.

Ist v1 bis vk eine Basis (oder ein Erzeugendensystem) von U, so liegt dann in UJ., wennwaufallen senkrecht steht, d.h.

Beispiel 1: Gesucht ist der Orthogonalraum UJ. des von v1 = (1, 2, 3, 4, 5) ~ 2 = (2, 3, 4, 5, 6) T und v3 = (3, 4, 5, 6, 7) Taufgespannten Unterraums U ~ JR5 .

v

Für einen Vektor chungen gelten:

x = (x 1 ,x 2 ,x3 ,x4 ,x 5 )Tbedeutet x· v; = 0,

daß folgende Glei-

euklidischer Vektorraum orthogonal, senkrecht orthogonales Komplement Orthogonalraum

96

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA 2xi 3xi

+ 3x2 + 4xa + 5x4 + 6xs + 4x2 + 5xa + 6x4 + 7xs

0 0

In Matrixschreibweise bedeutet das gerade, daß x im Kern der Matrix A aus Beispiel 13 liegt. Das Gleichungssystem wird mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren gelöst. Die ersten Umformungen sind dieselben wie in Beispiel 13 bei der Bestimmung des Rangs von A.

4 5) (1 2 3 4 5) (1 2 3 4 5)

1 2 3 (2 3 4 5 6 3 4 5 6 7

1 1111{::}1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

{::}

1 2 3 4 5 ) (1 0 -1 -2 -3) {::} ( 0 -1 -2 -3 -4 {::} 0 1 2 3 4 Daraus liest man die allgemeine Lösung mit den Parametern r = x 3 , s = x 4 und t = x 5 ab: ~

x

x2 XI)

= [ xa

3x4+-3xs 4x ) [ -2x xa + 2x4 3 -

=

5

:ra

X4

X4

X5

Xs

=r

[ -2 1) 1 0 0

+s

[ -3 2) 0 1 0

+t

[ -4 3) 0 0 1

Die letzten drei Vektoren bilden eine Basis des gesuchten Unterraums Norm Eigenschaften •on Norm und Skalarprodukt

u.1..

Jedes Skalarprodukt(·,·) definiert eine Norm auf den Vektorraum: //ii'// = (v, v) 'h Eigenschaften von Norm und Skalarprodukt

1/v/1

~ 0,

1/ii'/l = 0 {::} v = i5 Positivität

1/av/1 = Ja/ 1/v/1 positive Homogenität 1/v + w/1 :::; 1/ii'/1 + 1/w/1, I1/ii'/1- 1/w/1 I : :; 1/ii'- w/1 Dreiecksungleichungen I(v, w) I :::; 1/ii'/1 /Iw// Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (v,w) = ~((v+w,v+w)-(v-w,v-w)) = ~(1/v+wW-1/v-wW)

Polarformel

Die Polarformel dient dazu, Aussagen über Skalarprodukte zweier verschiedener Vektoren (linke Seite) auf Aussagen über Normen (rechte Seite) zurückzuführen. Beispiel 2: Beispiele für Skalarprodukte • Wichtigstes Beispiel ist das Standardskalarprodukt auf dem !Rn. Die zugehörige Norm ist der Betrag des Vektors. Im Standardskalarprodukt gilt (Ax, Y)

=

(x, AT:il).

1.8. SKALARPRODUKT

97

• Ist A eine symmetrische positiv definite Matrix (siehe nächster Abschnitt), so definiert die Zuordnung x, fj -t xT A fj ein Skalarprodukt auf dem !Rn. Es läßt sich zeigen, daß alle Skalarprodukte auf dem !Rn so entstehen. Im Standardskalarprodukt ist gerade A = En. • Auf dem Raum der auf [a, b] stetigen F\mktionen C([a, b]) definiert die Zuordnung J, g -t f(t)g(t) dt ein Skalarprodukt.

1:

IOrthonormalsysteme, Orthogonale Projektion I Ist {bt, b2, .. .} eine Menge von Vektoren, die paarweise aufeinander senkrecht stehen, spricht man von eitnen Orthogonalsystem. Ist außerdem die Norm jedes Vektors eins (alle Vektoren sind Einheitsvektoren), hat man ein Orthonormalsystem, ONS. Eine Orthonormalbasis ONB ist eine Basis, die ein Orthogonalsystem ist. Dieser Begriff ist wichtig, weil man beliebige Vektoren bezüglich einer ONB entwickeln kann: Ist {v1 , .•• , vn} eine Orthonormalbasis von V, so ist für jedes

xE V

n

... = (X,......VJ )...VJ + (X,......V2 )...V2 + · · •+ (X,......Vn )...Vn = ""( ...... ) ... L.,..- X, Vj Vj

Orthogonalsystem Orthonormalsystem ONS Orthonormalbasis ONB

X

j=l

Ist U ~ V, so läßt sich jeder Vektor x E V zerlegen in eine Anteil liegt, und einen Anteil x2, der auf U senkrecht steht. Die Abbildung

CD

x -t x1 heißt orthogonale Projektion

Bestimme eine ONB

x1 , der in U

auf den Unterraum U.

v1 bis Vk des Unterraums U.

Das läßt sich eventuell mit dem unten beschriebenen Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahren erreichen.

®

Die Projektion

x1 = Px des Vektors x E V ist dann

... = p X... = (X, ...... ) ... +( X, ...... )... VJ VJ V2 V2

X1

k

...... ) ... + · · · + (X,......Vk )...Vk = ""( L.,..- X, Vj Vj j=l

®

. t... ... E S IS X = XJ

... + X2

... ... nu't... X2 = X - XJ.

orthogonale Projektion Konstruktion

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

98

IGram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren I GramSch midtsches Orthogonalisierungsverfahren

Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren dient dazu, zu einer Menge bis vk Vektoren üh bis üh zu bestimmen, die erstens ein Orthonormalsystem bilden und zweitens denselben Raum wie VI bis Vk aufspannen. Manchmal wird es auch als Schmidt'sches Orthogonalisierungsverfahren bezeichnet. Das Verfahren beruht darauf, vom jeweils nächsten Vektor die Projektionen der schon konstruierten Vektoren zu subtrahieren, so daß ein zu diesen senkrechter Vektor übrigbleibt.

VI

®

Hat man bereits üh bis

Wj-I

~ ~ (~ ~) ~ u· v·) , WI WI) = v·)

konstruiert, bilde

• • ·-

~ ) ~) - I= v·~ v·) , w· ) - I w· )

(~

j-I 2:<~

Rechentechnisch ist es oft einfacher, die Ü; statt der

..

~) ~ v·) , w· w·

i=I

w; zu verwenden:

Da die Uj ohnehin noch normiert werden, darf man Uj auch durch ein Vielfaches ersetzen. Damit kann man gelegentlich die Verwendung von Brüchen umgehen.

®

Setze Wj

= l~il Üj und mache bei® weiter. Wenn man mit den Uj rechnet,

kann dieser Schritt auch erst am Schluß erfolgen.

@ Ist Üj

= Ö, so war Vj von VI bis Vj-I linear abhängig. In diesem Fall streicht man einfach Vj aus der Ausgangsmenge und macht mit dem nächsten Vektor weiter.

Waren die

v; linear unabhängig, tritt dieser Fall nicht ein.

Beispiel 3: Eine ONB für den Spann von

CD

Aus

VI= ÜI =

(1, 2, 1)T erhält man

VI=

ÜI • ÜI =

{1, 2, 1)T und 6 und

WI =

v2 =

{4, 2, 4)T

~(1, 2, 1)\

99

1.8. SKALARPRODUKT

® ·

W2 =

~{1, -1, 1)T

v3

w1 und w2 bilden eine ONB für den von iJ1 und iJ2 aufgespannten Unterraum.

IKomplexe Vektorräume I Alle in diesem Kapitel gemachten Aussagen und Definitionen gelten auch in komplexen Vektorräumen, wenn man jedesmal IR durch C und !Rn durch cn ersetzt. Es ist (v,w)

= W*v=

f: v;w; und lVI = (iJ,iJ) h = Jlv1l 1

2

k=l

+ · · · + lvnl 2

Die einzigen Unterschiede treten an folgenden Stellen auf: • Statt einer symmetrischen hat man jetzt eine hermitesche Bilinearform:

(ü, V)

= (v, ü)

und

(>.ü, V)

= >.(ü, V),

aber (ü, >.V)

= X(ü, V)

• Die Polarformel gilt nicht. • Das orthogonale Komplement eines Vektors im C 2 :

(:) R

= (

~b)

• Es ist im (komplexen) Standardskalarprodukt (Ai', Y) = (X', A*Y) (adjungierte Matrix).

13. Beispiele I Beispiel 4: Orthogonale Projektion von aus Beispiel 3

x=

(1, 2, 3) Tauf den Unterraum

Mit der in Beispiel 3 konstuierten Orthonormalbasis

) .. P X.. = (X.... 1 W1 W1

w1 , w2 ist die Projektion

) .. + (X.... W2 W2 = 1

Mit den Methoden aus Abschnitt 7 erhält man, daß P durch Pi' =

~2 (~ ~ ~) x 1 0 1

gegeben ist.

Komplexe Vektorräume

100

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

Beispiel 5: Das Skalarprodukt von

v=

G: ;)

und

w=

(2

~ i)

Da es sich um komplexe Vektoren handelt, muß man die komplexe Form des Skalarprodukts verwenden:

(v, w) = w·v = (-2i, 2 + i)

G: n

= (-2i + 2) + (3 + 4i) = 5 + 2i.

Beispiel 6: Gesucht ist eine Orthonormalbasis für den von v1 = (1, i, 0, 0)~ v2 = (0,1,i,O)Tund v3 = (0,0,1,i)Taufgespannten Unterraum des C4 • Es wird das Gram-Schmidt'sche Orthogonalisierungsverfahren verwendet.

CD

Es ist

Ü1

=VI und wegen

lüii = vf2 ist w1 = ~(1,i,O,O)T

(]) Jetzt muß das Skalarprodukt

(v2 , üi) = i1j v2 berechnet werden:

"'v, ~ (I. -i. o. 0) Wegen (i11 , üi)

m~

= ji11 j2 = 2 errechnet sich Ü2

-i

als

@ Verdoppelvon u 2 gibt i12 = (i, 1, 2i, 0)~ li12 12 = 6 und

®

Das Skalarprodukt von

~ ~

WI'

2

v3 mit i11 ist offensichtlich Null.

(v,, a,) u;v, (-i, 1, -2i, o)

@ Es ist

1 w = v'6(i, 1, 2i, 0)~

w3 = y ~(-l,i, 1,3i)~ 12

w2 und Wa sind die gesuchte Orthonormalbasis.

(!) ~ -

2i.

1.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN

1. 9

101

Eigenwerte und Eigenvektoren

Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n x n-Matrizen. Statt En (n x n-Einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben.

11. Definitionen I IEigenwerte und Eigenvektoren I Ist A eine Matrix, so heißt p(>.) = det(A- >.E) charakteristisches Polynom von A. Eine (komplexe) Zahl >. heißt Eigenwert(EW) von A, wenn >. Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. Ist >. Eigenwert von A und x ein Vektor x Eigenvektor EV von A zum Eigenwert >.. Das bedeutet, daß

=I Ö mit

(A- >.E)x = Ö, so heißt x

x =I Ögenau dann Eigenvektor zum Eigenwert>. ist, wenn gilt

charakteristisches Polynom Eigenwert EW Eigenvektor EV

Ax = >.x Ist>. k-fache Nullstelle von p, so ist o(>.) = k die algebraische Vielfachheit von >.. Die geometrische Vielfachheit oder Vielfachheit v(>.) ist die Dimension des Kerns von A- >.E, also die Dimension des Eigenraums von A zu >..

algebraische und geometrische Vielfachheit Eigenraum

Andere Bezeichnungen: Manchmal sagt man Ordnung statt algebraischer Vielfachheit und Vielfachheit statt geometrischer Vielfachheit. Ist>. Eigenwert von A, so ist 1 ~ v(>.) ~ o(>.) zu >. Hauptvektoren (HV) höherer Stufe. Ein Vektor

~

n. Im Fall!/(>.) < o(>.) existieren

Hauptvektor HV

x heißt Hauptvektor k-ter Stufe zu >., wenn gilt

Wegen (A- >.E) 0 x =Ex= x sind die Eigenvektoren gerade die Hauptvektoren erster Stufe. Ist x Hauptvektor k-ter Stufe, so ist (A- >.E)x Hauptvektor (k -1)ster Stufe. Der Hauptraum ist der Spann aller Hauptvektoren. Seine Dimension ist o(>.), d.h. es gibt insgesamt soviele Lu. Hauptvektoren wie die Nullstellenordnung von >.. Insbesondere gilt bei einer einfachen Nullstelle des charakteristischen Polynoms: Es gibt einen eindimensionalen Eigenraum und keine Hauptvektoren höherer Stufe.

Hauptraum

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

102 diagonalisierbar

Eine reelle Matrix heißt (reell) diagonalisierbar, wenn i) das charakteristische Polynom nur reelle Nullstellen hat ii) für jede Nullstelle algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmen. Das bedeutet, daß der ~" eine Basis aus Eigenvektoren von A hat bzw. daß es keine Hauptvektoren höherer Stufe gibt. Entsprechen heißt eine komplexe Matrix (komplex) diagonalisierbar, wenn für jede Nullstelle die geometrische und algebraische Vielfachheit übereinstimmen.

Spektrum

Das Spektrum von A ist die Menge der Eigenwerte a(A) = {.A 1 , .•. , Ak}, die Resolventenmenge ist p(A) = C\a(A). Ist .A E p(A), so heißt die dann existierende Matrix (A- .AE)- 1 Resolvente.

orthogonal

Eine Matrix heißt orthogonal, wenn ihre Spalten ein .Orthonormalbasis bilden; d.h. die Skalarprodukte verschiedener Spalten sind stets Null und der Betrag jedes Spaltenvektors ist eins. Äquivalent dazu ist oder

unitär

Im komplexen Fall heißt eine Matrix unitär, wenn gilt oder

A* A = A A* = En.

Die Bedeutung orthogonaler und unitärer Matrizen liegt darin, daß für beliebige Vektoren und wund einer orthogonalen oder unitären Matrix A gilt

v

IAvl = lVI

(Av,Aw) = (v,w)

und

Eine orthogonale Transformation ändert also Winkel und Längen nicht.

ISymmetrische Matrizen und quadratische Formen I quadratische Form

Eine quadratische Form auf dem !Rn ist eine Abbildung der Form n

x = (x1, ... ,xn)T ~ Q(x)

=

L

c;i x;xi

iJ=l

Die

C;j

sind dabei reelle Zahlen mit

C;j

=

Cji·

Mit der symmetrischen Matrix

C = (c;j)i,j=l. .. n schreibt sich das als

Andersherum ist Q die zu C gehörende quadratische Form. Die Untersuchung quadratischer Formen ist wichtig bei der Untersuchung von lokalen Extrema von Funktionen auf dem ~n, vgl. Kapitel 4.5. Dort ist die symmetrische Matrix

103

1.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN

durch die Hessematrix einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion gegeben. In diesem Abschnitt findet man auch weitere Kriterien und Rechenmethoden zur Untersuchung der Definitheit einer quadratischen Form oder Matrix, z.B. das Hurwitz-Kriterium. Eine symmetrische Matrix heißt genau dann positiv /negativ (semi)definit oder indefinit, falls das für die entsprechende quadratische Form gilt. Definitheit

Die quadratische Form heißt positiv definit , wenn für x -:f 0 stets Q(x) > 0 ist {::} für alle Eigenwerte .A von C ist .A > 0. positiv semidefinit , wenn für stets Q(x) 2:: 0 ist {::} für alle Eigenwerte .A von C ist .A 2:: 0. negativ definit , wenn für x -:f 0 stets Q(x) < 0 ist {::} für alle Eigenwerte .A von C ist .A < 0. negativ semidefinit , wenn für stets Q(x) ::; 0 ist {::} für alle Eigenwerte .A von C ist .A ::; 0. definit , falls Q negativ oder positiv definit ist. indefinit , falls es x und iJ gibt mit Q(x) < 0 < Q(if) {::} die Matrix C hat positive und negative EW. (Gefährliche) Schreibweise: C positiv definit: C > 0, C positiv semidefinit: C 2:: 0, C negativ (semi)definit: C < 0 (C::; 0).

j2.

Berechnung

I

IBerechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren I Grundsätzlich geht man so vor:

CD

Aufstellen des charakteristischen Polynoms p(.A)

®

Ermittlung der Eigenwerte als Nullstellen von p (Hornerschema)

= det(A- .AE)

@ Zu jedem EW werden die zugehörigen EV bestimmt (Gaußalgoritlunus). @ Falls bei einem EW .A die geometrische kleiner als die algebraische Vielfachheit ist, kann man Hauptvektoren bestimmen.

Schreibweise

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

104

zu

(!): Aufstellen des charakteristischen Polynoms

Das charakteristische Polynom wird als Determinante derjenigen Matrix berecllnet, die entsteht, wenn in A von den Hauptdiagonalelementen jeweils A abgezogen wird. Im allgemeinen lohnen sich Umformungen mit den Zeilen oder Spalten nur selten: zwar kann man sich kleinere Zahlen beim Rechnen erzeugen, dafür nimmt die Anzahl der A in der Matrix aber zu. Hat man eine Zeile oder Spalte mit vielen Nullen, lohnt sich (wie immer) Entwickeln. Wenn man Produkte nicht sofort ausmultipliziert, kann man manchmal im nächsten Schritt Rechnungen einsparen. Kontrolle

Spur

Als Alternative oder zur Kontrolle kann man benutzen: p hat immer die Form

Die Spur einer Matrix A (spur A) ist die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen. Für n = 2 und n = 3 ist das ausgeschrieben:

p(A) = A2 p(A) c, "' füd

=

~ (: ~

spur A A + det A

-

-A 3 + spur AA 2

-

D

dcfulle.t alH,

(n = 2)

c2 A + detA

~ I~

(n

= 3)

:H; ;H~ n

23 -23) 5

0

+3 + c = I! ~ I+ I~ ; I+ I~ ! ~ I und damit p(A) = det A

spur A

=1

5 = 9,

=51

2

~2 ~ = -5 +5 +15 = 15,

-A 3 + 9A 2 - 15A- 25.

= -25

Wenn man will, stellt man lieber die Nullstellen von -p fest (da -p(A) mit +A 3 beginnt), rät (da die Summe der Koeffizienten bei den geraden und ungeraden Potenzen beidesmal16 ist) die Nullstelle A1 = -1 und dividiert mit dem Hornerschema: 1 -9 15 25 -1 10 -25 -1 0 1 -10 25 2 Das Restpolynom .A - lO.A + 25 hat die doppelte Nullstelle .A 2,3 = 5. Es ist also A1

= -1,

A2

= A3 = 5.

105

1.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN

2 1- .A 3 .A -2 34 Einfacher ist es so: Beim Ausrechnen von p(.A) = 5-.A 0 0 p-q-Formel der mit erhält und Zeile wickelt man nach der letzten

ent-

Izu ® : Ermittlung der Eigenwerte I

CD

p(.A) bestimmt, sucht man wie in Abschnitt 1 beschrieben die Hat man in NullstelleiL Hilfsmittel ist oft das Hornerschema. Bei einigen Matrizen geht es schneller, da man erledigen kann:

CD

und

®

in einem Schritt

Ist A eine Diagonalmatrix oder eine (obere oder untere) Dreiecksmatrix, so stehen die Eigenwerte von A in der Hauptdiagonalen.

Izu @: Bestimmung der Eigenvektoren I Ist A ein EW von A, so sind die EV die Elemente aus dem Kern von A - .AE, die nicht der Nullvektor sind. Gesucht sind also Lösungen des homogenen LGS (A- .AE)x= Ö. Die Bestimmung erfolgt in der Regel mit den Gaußsehen Eliminationsverfahren. Die Dimension des Lösungsraums ist mindestens eins und höchstens so groß wie o(.A), die algebraische Vielfachheit von .\. Zum Abschluß empfiehlt es sich, eine Probe zu machen: Man rechnet die Gleichung Ax = .Ax nach. Dabei kann man so vorgehen: Man schreibt alle gefundenen EV nebeneinander in eine Matrix B und berechnet AB. Die Spalten dieser Produktmatrix müssen dann die Form "Eigenwert * Eigenvektor" haben; d.h. es müssen die entsprechenden Vielfachen der Spalten von B sein.

I Beispiel 1: Fortsetzung Zu A1 = -1 bildet man A - .A 1 E = A

+E

und bestimmt den Kern:

0) 3) {::} (24 42 -23) {::} (24 42 0)0 {::} (01 1 0 0 42 -2 (42OOG 0 0 1 001 001 Daraus liest man einen EV (1, -1,0)T ab.

Probe

106

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

Zu .>. 2 ,3 = S rechnet man analog mit A - SE:

(-440 -220 -230 ) {::} (-400 00203)1 {::} (-400 00200)1 Da A-SE der Rang zwei hat, gibt es also nur einen eindimensionalen Eigenraum, obwohl.>.= S doppelter Eigenwert ist. Einen EV liest man als (1, 2, O)T ab. Die Probe macht man für beide EV gleichzeitig mit dem Falk-Schema: 1 1 -1 f-- Eigenvektoren 0 0 -1 s 1 10 f-- Eigenwert * Eigenvektor 0 0

2

1

Matrix A

0

Izu

23 -2 0 s

--+ 4 3

@: Bestimmung von Hauptvektoren I

Diesen Schritt braucht man nur, wenn die algebraische Vielfachheit o(.A), also die Nullstellenordnung von .>., größer ist als die geometrische Vielfachheit v(.A), also die Dimension des Eigenraums zu >.. Man bestimmt nun nacheinander die Hauptvektoren zweiter, dritter usw. Stufe, bis die Dimension des verallgemeinerten Hauptraums o(.A) ist. Hauptvektoren höherer als erster Stufe sind nie eindeutig bestimmt. Das liegt daran, daß für einen HV k-ter Stufe und einen HV kleinerer als k-ter Stufe die Linearkombination + aw ein HV k-ter Stufe ist.

v

CD

v

w

Bilde (A - .AE) 2 und bestimme den Kern. Der besteht genau aus dem Spann der EV (HV 1. Stufe) und der HV 2. Stufe. Man ergänzt nun eine Basis des Eigenraums zu einer Basis des Hauptraums zweiter Stufe. Die ergänzenden Vektoren sind HV 2. Stufe

@ Wenn man noch nicht genug HV hat, bildet man (A- >.E) 3 , bestimmt den Kern und ergänzt eine Basis des Kerns von ( A - >.E)2 zu einer von (A - >.E) 3 . Die ergänzenden Vektoren sind HV 3. Stufe.

@ Nach demselben Verfahren werden sukzessive weiter Hauptvektoren bestimmt. Das Verfahren bricht spätestens nach dem o(>.)-sten Schritt ab. Die Basisergänzung in CD und@ kann man umgehen, indem man HV sucht, die auf den bereits gefundenen HV kleinerer Stufe senkrecht stehen und daher von ihnen I. u. sind:

107

1.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN

CD

Bilde B = (A- >.E) 2 und ergänze B um Zeilen, die aus den bereits gefundenen HV 1. Stufe (den EV) besteht. Der Kern der so erweiterten Matrix besteht aus HV 2. Stufe.

@ Bilde B

= (A- >.E) 3 und ergänze B um Zeilen, die aus den bereits gefundenen HV 1. und 2. Stufe besteht.

Der Kern der so erweiterten Matrix besteht aus HV 3. Stufe.

Beispiel 1: Fortsetzung Da v(5} = 1 und o(5) = 2 ist, braucht man nur einen HV zweiter Stufe.

CD

Zunächst bildet man B

= (A- 5E? =

24 -12 -16) ( -24 12 16 . 0 0 0

Da der Rang von B offensichtlich eins ist, hat der Kern nach der Dimesionsformel (S. 65} die Dimension zwei. Wenn man jetzt den Kern von B bestimmt, benutzt man clevererweise, daß man schon weiß, daß der EV v 1 = (1,2,0}Tim Kern liegt. Ein zweiter davon linear unabhängiger Vektor im Kern ist z.B. 2 = (2, 0, 3}, und das ist der gesuchte Hauptvektor.

v

Bei der alternativen Methode muß man mehr rechnen und weniger denken:

CD

In der Matrix B oben läßt man die zweite und dritte Zeile weg und ergänzt um die Zeile (1, 2, 0}.

Daraus liest man (B/J 5, -4/! 5, 1}T oder (8, -4, 15} als HV ab.

IBesonderheiten bei reellen Matrizen I • Da auch reelle Polynome nichtreelle Nullstellen haben können, kann eine reelle Matrix A auch nichtreelle komplexe EW haben. In diesem Fall kann man zu A komplexe EV bestimmen. • Ist ).. = a + ib einen nichtreeller EW, so ist auch X= a- ib EW, und zwar mit derselben algebraischen und geometrischen Vielfachheit wie >.. • Ist

x EV zum nichtreellen EW ).. = a + ib, so ist I! Ev zu EW X=

a - ib.

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

108

Beispiel 2: Eigenwerte und -vektoren von A

CD

=(

!2

;)

4-). _ 2 2 _1 >. ) = (4- >.)(2- >.) Es ist p(>.) = det

(

+2 =

>. 2

-

6>.

+ 10.

Alternativ: spur A = 6,

®

det A = 10

=>

p(.A)

= >. 2 -

6>.

+ 10

Die p-q-Formel gibt >. 1,2 = 3 ± i.

@ Da A eine reelle Matrix ist, braucht man nur zu einem der EW einen EV zu bestimmen, da man den anderen durch komplexes Konjugieren erhält. Da A- >.E gebildet wird und man mit positivem Realteil meist leichter rechnet, wird ein EV zu >. 2 = 3 - i bestimmt. A->.2E=A-(3-i)E=

c~i

_/+i)

Die zweite Zeile ist das ( -1 + i)-fache der ersten Zeile und kann weggelassen werden. Aus der ersten Zeile liest man einen Eigenvektor 2 = ( 1, -1 - i) T ab.

v

Damit ist

v= 1

(1, -1 + i)TEV zum EW >. 1 = 3 + i.

Besonderheiten bei symmetrischen und hermiteschen Matrizen • Symmetrische und hermitesche Matrizen haben stets nur reelle Eigenwerte. • Für jeden EW stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit iiberein. • Eigenvektoren zu verschiedenen EW stehen senkrecht aufeinander. • Es gibt eine Orthonormalbasis des !Rn bzw. cn aus Eigenvektoren. Das bedeutet, daß diese Matrizen immer diagonalisierbar sind und daß sich jeder Vektor in der Basis der EW entwickeln läßt. • Schiefsymmetrische und schiefhermitesche Matrizen haben stets rein imaginäre EW, d.h. der Realteil ist immer null. Ist die Raumdimension ungerade, so haben (reelle) schiefsymmetrische Matrizen immer null als EW und sind damit nicht invertierbar. • Ist A eine symmetrische [hermitesche] Matrix, so gibt es eine ONB aus Eigenvektoren. Faßt man diese zu einer Matrix C zusammen, so ist C eine orthogonale [unitäre] Matrix, d.h. es ist CCT = En [CC* = En]· Es ist CT AC=

c- 1 AC= D,

[C* AC=

c- 1 AC= D]

wobei D eine Diagonalmatrix ist, die auf der Hauptdiagonale die EW von A enthält.

109

1.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN

IEigenschaften des Spektrums I Ist A eine Matrix mit den Eigenwerten A1 , A2 ••• , so gilt: • Die Eigenwerte von A

+ ttE sind ..\1 + JL, A2 + fL ••••

• Die Eigenwerte von aA sind aA 1 , aA 2,... • Die Eigenwerte von Ak, k E N sind At, A~, ...

• A invertierbar

{::}

0 ist kein Eigenwert von A.

In diesem Fall gilt die letzte Aussage auch für k E Z. Insbesondere hat 1 1 ... A -1 d'1e E'1genwert e r;-, x;-, • Weder für die Eigenwerte von A + B noch für die von AB gibt es einfache Regeln.

Beispiel 3: Eigenwerte und -vektoren von A = ( ~

CD

und

~)

@ Es ist p(A)

und damit A1

@ Zu A1

=13; A

6

~ A I= A2- 9A + 14 =(A- 2)(A- 7)

= 2 und A2 = 7.

=2 bildet man A- 2E =(~

~)

und liest einen EV

v

1

=(~2 ) ab.

Einen EV zu A2 = 7 kann man analog berechnen. Alternativ kann mau auch die Tatsache benutzen, daß bei symmetrischen Matrizen die EV zu verschiedenen EW senkrecht zueinander stehen. Man erhält einen EV zu

A2

=7 als orthogonales Komplement zu v als v2 =vf =(=~) .

Normiert man

1

v1 und 'Ü2 und schreibt sie dann in eine Matrix C, erhält man

Da die Spalten von C ein ONS bilden, ist C eine orthogonale Matrix, also CT =

c- 1. Mit D = ( ~ ~)

hat man die Gleichung

AC=CD.

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

110

Diese Gleichung liest man so, wie in Abschnitt 4 beschrieben ist. In C stehen die EV von A. Das Produkt AC ist also spaltenweise das Produkt von A mit seinen EV. Auf der anderen Seite steht das Produkt der Eigenvektormatrix C mit der Diagonalmatrix D. Das ist in Abschnitt 4 bereits als eine Matrix bestimmt worden, deren Spalten aus Vielfachen der Spalten von C besteht, wobei die Faktoren die Diagonalelemente von D sind. Insgesamt bedeutet die Gleichung also "Matrix mal EV = EW mal EV". Aus der Orthogonalität von C erhält man nun

Die vorletzte Gleichung bedeutet nach den in Abschnitt 7 über Basiswechsel gemachten Aussagen, daß die zu A gehörende Abbildung in der Basis, die aus den ortbonarmierten EW von A besteht, eine besonders einfache Gestalt hat, nämlich durch die Diagonalmatrix D gegeben wird. Nach all den theoretischen Erklärungen kann man das auch ausrechnen:

_1J5 (-2 1) (3 2) _1J5 (-2 -1) 1(-4 2) (-2 -1)

CTAC =

5

~

5

-1 -2 1

-7 -14

2 6

-2

1

-2

(100 350) (20 0)7 =

13. Beispiele I Weitere Beispiele zu Definitheit finden sich in Kapitel 4.4, weitere Beispiele zu Eigenwerten und -vektoren in Kapitel 6.12

A läßt sich zerlegen in

A= B

+ 2E =

(

~

-2

-1 2) + (1 00) 0 2

-2 0

2 0 1 0 0 0 1

0

Der schiefsymmetrische Teil B hat rein imaginäre EW ±J.li, und, da die Raumdimension ungerade ist, den EW Null. A hat daher EW der Form ..\ 1,2

= 2 ± J.l

und ..\ 3

= 2.

Diese Vorbemerkung soll als Beispiel für die Verwendung der Rechenregeln für das Spektrum dienen und wird in der folgenden Rechnung nicht benutzt.

111

1.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN

CD

Das charakteristische Polynom wird nach der Sarrus-Regel berechnet. 2->.

p(>.) = =

1 -2

-1 2 2- >. -2 2 2- >.

(2 - >.) 3 - 4 + 4 + 4(2- .>.) + (2 - .>.) + 4(2- >.)

(2 - >.? + 9(2- >.) Alternativ ist

=2+2+2 =6, c2 =I ; ~2 1+1 !2 ; 1+1 ~ ~1 I= 8+8+5 =21 detA =8-4+4+8+2+8 =26 und damit p(>.) =-.>. 3 +6>. 2 -21.>.+26

spur A

®

Die EW erhält man durch Faktorisieren von p:

p(>.)

=(2- .>.)((2- >.? + 9)

@ Der EV zu >.3

~ ~1

=

!2).

=>

AI,2

=2 ± 3i, >.3 =2.

2 ist ein nichttrivialer Vektor im Kern von A - 2E =

Statt des Gauß'schen Eliminationsverfahrens benutzen -2 2 0 wir hier den in Abschnitt 5 auf Seite 76 beschriebenen Trick: Der Eigenraum eines einfachen Eigenwerts ist immer eindimensional. Daher hat A- 2E nach der Dimensionsformel (S. 65) den Rang zwei und man erhält eine Basis des Kerns als Kreuzprodukt der (offensichtlich linear unabhängigen) ersten beiden Zeilen: (

Bei der Bestimmung der Eigenvektoren zu den komplexen Eigenwerten spart der Trick noch mehr Rechenarbeit: einen Eigenvektor zu >.I = 2 + 3i erhält man so als

V,~ (~~i) ~~) ~ (~~8~:). X (

Einen Eigenvektor zu >. 2 = >.I = 2 - 3i erhält man, da A eine reelle Matrix ist, durch Konjugieren von VI, also

Bei der Verwendung dieses Tricks wird dringend zu einer Probe geraten!

112

KAPITEL 1. LINEARE ALGEBRA

Beispiel 5: Eigenwerte und-vektorenvon A = (

! 3)

~3

Da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt, sind die Diagonalelemente die Eigenwerte und es ist >. 1 = >. 2 = -3. ·Die EV erhält man als nichttriviale Lösungen von (A+3E)x = Ö. Wegen A+3E = (

~ ~)

sind alle EV Vielfache von (

~) .

Es ist also v( -3) = 1 und o( -3) = 2 und es gibt HV 2. Stufe. Da der verallgemeinerte Hauptraum die Dimension 2 haben muß, kann es nur der ganze IR2 sein und man wählt als HV irgendeinen

von(~)

Lu. Vektor, z.B. e2 =

Bei,piel 6: Eigenwecte und -vektocen von A

(~)·

~ (~ ~ ~ ~) 0 0 0 1 0 0

Da A symmetrisch ist, sind sicher alle EW reell.

CD

A - >.E wird nach der ersten Spalte entwickelt, die entstehenden Determinanten nach der zweiten Spalte: p(>.)

->.

0

0 1 0

->.

=

->.

= >.21 1

0 1

1 0

->.

0 1 0

0

->.

1 1-1->. 1

->.

@ Es ist also >. 1,2 = 1 und >.3,4 = @ EV

zu>.,,,~

=

1 ->.

->.

->.

0

0 1

->.

1 0

0

->.

I= (>.2 -

1) 1->. 1

0

+ ->. 1

1 0 0

0 1

->.

1 1=(>.2-1)2

->.

-1.

hind Elemente d"' Kem.von A-E

~

(I

il

~I

JJ

Man erkennt, daß die erste und dritte und daß die zweite und vierte Zeile linear abhängig sind und man daher nur die ersten beiden Zeilen betrachten muß. Man kann direkt die EV v1 = (1, 0, 1, O)T und ih = (0, 1, 0, 1)T ablesen. Analog erhält man zwei Lu. EV zu >. 3,4 = -1 als Basis des Kerns von

A+E=

(~

~ ~ ~)

1010 0 1 0 1

alsv3=(1,0,-l,O)Tundv4 =(0,1,0,-1)~

Kapitel 2 Differentialrechnung 2.1

Aussagenlogik

lt. Definitionen I In der Mathematik ist- anders als im richtigen Leben- jede Aussage wahr oder falsch. Dafür verwendet man dieSymbolewund f. Sind zwei Aussagen a und b stets gleichzeitig wahr oder falsch, so heißen sie äquivalent, a {::} b (Bijunktion). Wegen der Verwechselungsgefahr mit Konvergenz und Abbildung werden hier die Schreibweisen {::} und => den alternativen Bezeichnungen +-+ und ~ vorgezogen.

wahr, falsch

Achtung: Aussagen werden durch Folgepfeile oder Äquivalenzzeichen miteinander verbunden, nicht durch Gleichheitszeichen! Eine Aussageform ist eine Aussage, die eine Variable enthält und je nach dem, was für diese Variable eingesetzt wird, wahr oder falsch ist, z.B. ist x > 7 für x = 8 wahr und für x = 7 falsch.

Aussageform

Die Aussage •a (nicht a), ist genau dann wahr, wenn a falsch ist und umgekehrt (Negation, Verneinung). a 1\ b (a und b) ist wahr, wenn beide Aussagen a und b wahr sind (Konjunktion), a V b (a oder b) ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen a und b wahr ist (Disjunktion).

Verknüpfung von Aussagen

Die Folgerung oder Subjunktion a => b (oder a aus einer wahren eine falsche Aussage folgt.

~

b) ist nur dann falsch, wenn

Folgt aus der Aussage a die Aussage b, d.h. gilt a => b, so heißt b notwendig für a und a hinreichend für b. Diese (und andere) Verknüpfungen von Aussagen lassen sich durch Wahrheitswerttabellen definieren, die alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte enthalten. 113

notwendig, hinreichend

114

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

•a al\b avb a=?b a{::}b w w w w f w f f f f w w w f f w w w f f

a b w w w f f w

f f

·b a 1\ •b •(a=?b)

f

f

f

w

w

w

f

f f

f f

w

Mit solchen Tabellen lassen sich auch die Rechenregeln beweisen: z.B. wird in den letzten drei Spalten •( a =? b) {::} (a 1\ •b) bewiesen. Quanteren

3, V

Schreibweisen

Der Quantor 3 bedeutet "es existiert (mindestens) ein", 3x E M: x > 2 bedeutet also, daß die Menge M mindestens ein Element x mit x > 2 enthält. Der Quantor 3! bedeutet "es existiert genau ein". Der Quantor V bedeutet "für alle". Vx E M: x > 2 heißt demnach, daß die Ungleichung x > 2 für alle Elemente x der Menge M gilt. Andere Schreibweisen: \;lx E M ""

V

xEM

Der Zusammenhang zwischen diesen Quantoren ist so gegeben: für eine Aussageform P(x) gilt 3 P(x) {::}--, V •P(x)

xEM

xEM

und

V P(x) {::}--, 3 •P(x)

xEM

xEM

Bei nebeneinanderstehenden gleichen Quantoren darf man die Reihenfolge vertauschen, bei verschiedenen Quantoren nicht.

j2. Widerspruchsbeweis

Berechnungj

Um die Aussage a =? b zu beweisen, kann auch die dazu äquivalente Aussage ·b =? •a gezeigt werden. Dieses Verfahren heißt Widerspruchsbeweis.

IKlammersetzung I Klammersetzung

Am stärksten bindet die Negation •, danach Konjunktion 1\ und Disjunktion V, die untereinander gleichstark sind. Danach kommen Implikation =? und Äquivalenz {::}, die untereinander wiederum gleichstark sind. Als Beispiel derselbe Ausdruck einmal voll geklammert und einmal nur, wo es absolut nötig ist: (•(a {::} b)) {::} ((a 1\ (•b)) V (b 1\ (•a))) •(a {::} b) {::} (a 1\ •b) V (b 1\ •a)

115

2.1. AUSSAGENLOGIK

IRechenregeln I

Rechenregeln

Zur Verdeutlichung werden einige eigentlich unnötige Klammern gesetzt. Absorbtion

al\w{::}a

al\j{::}j

aVw{::}w

aVj{::}a

Kommutativität a 1\ (b 1\ c) {::} (a 1\ b) 1\ c Assoziativität a V (b 1\ c) {::} (a V b) 1\ (a V c) Distributivität a 1\ (b V c) {::} (a 1\ b) V (a 1\ c) Negation de Morgansche Regeln al\b{::}bl\a

IVerneinung von Aussagen mit

aVb{::}bVa

a V (b V c) {::} (a V b) V c

...,(a => b) {::} a 1\ -,b -,(a V b) {::} (...,a) 1\ (-,b)

Quantoren I

@ Sicherheitshalber kann man die Schreibweisen V und 3 verwenden. xEM

CD

xEM

Vor die Aussage wird eine Verneinung ..., gesetzt, hinter jeden Quantor wird eine doppelte Verneinung ...,..., gesetzt.

@ Gemäß den Regeln wird ...,v..., durch 3 und ...,:J..., durch V ersetzt. Die übrigbleibende Verneinung wird gemäß den Logikregeln verarbeitet. Schritt @ hat folgenden Sinn: Bei der Negation der falschen Aussage 3x > 0: x 2 = -1

entsteht ...,3 x

> 0 : ...,..., x 2

= -1,

und nicht ...,3 ...,...,x

> 0 : x 2 = -1.

Die erste (richtige) Form wird zu Vx > 0 : ..., x 2 = -1, ergibt also die wahre Aussage Vx > 0 : x 2 =1- -1. Die zweite (falsche) Form ergibt V x :<:::: 0 : x 2 = -1, was auch falsch ist und als Negation einer falschen Aussage doch wahr sein müßte. Bei der empfohlenen Schreibweise stehen die Negationen hinter dem Quantor von allein an der richtigen Stelle.

Verneinung von Aussagen mit Quanteren

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

116

13. Beispiele I Beispiel 1: Verneinung der Definition der Stetigkeit von Die Stetigkeit einer Funktion

f in

a

f im Punkt a ist definiert durch

VE > 0 36 > 0 Vx E M: (lx- al < 6:::} lf(x)- f(a)l <

®

V

3

V

<>0 6>0 xEM

CD

(lx- al < 6:::} lf(x)- f(a)l <

f)

f)

..., V...,..., 3 ...,..., V ..,...,(Ix-al< 6:::} lf(x)-f(a)l <E) •>0

xEM

6>0

Für die Verneinung von a :::} b gilt: -,( a :::} b) {::} (a 1\ -,b). Damit ergibt sich als Verneinung der Stetigkeit (-, V -,) (..., 3 ...,) (..., V ...,) ..., (lx- al < 6:::} lf(x)- f(a)l < E), also •>0

xEM

6>0

3E > 0 V6 > 0 3x E M: lx- al < 61\ lf(x)- f(a)l 2:: Beispiel 2: Negation von:

CD

f

ist das Supremum der Menge A.

8

Die zu verneinende Aussage ist nach Abschnitt 2 8

{::}

= supA

@ Bei der Negation dieser Aussage wird zunächst die Regel-,(a/\b) {::} -,av-,b benutzt: 8

{::}

=f supA

Jetzt werden die zusätzlichen Negationszeichen eingesetzt: {::}

(..., V ...,..., x :::; xEA

V ...,..., 3 ...,..., x > 8- f) 8) V (..., <>0 xEA

@ Die Regeln ..., V..., B 3 und ..., 3..., B V werden angewendet: {::}

( 3 ..., x :::; xEA

3 V ..., x > 8- f) 8) V ( •>OxEA

Die restlichen Negationen werden in den Ungleichheitszeichen verarbeitet: {::}

( 3 x > xEA

3 V x :::; 8- f) 8) V ( •>OxEA

Wenn also 8 nicht das Supremum von A ist, dann ist entweder 8 keine obere Schranke von A (der erste Term) oder 8 ist nicht die kleinste obere Schranke (der zweite Term).

117

2.2. MENGEN

2.2

Mengen

Definitionen I

lt.

• Sind A und B Mengen, so ist die Vereinigung A U B diejenige Menge, die alle Elemente enthält, die entweder in A oder in B (oder in beiden Mengen) liegen.

Vereinigung

• Der Durchschnitt A n B besteht aus denjenigen Elementen, die in beiden Mengen gleichzeitig liegen.

Durchschnitt

• Das Komplement von A wird mit Ac oder CA bezeichnet und enthält alle Elemente der Grundmenge, die nicht in A liege11. Diese Grundmenge muß aus dem Zusammenhang klar sein, z.B. bei Intervallen ist die Grundmenge IR. Oft wird auch das Symbol A verwendet, das aber leicht mit dem Abschluß einer Menge (siehe Kapitel 4.1) verwechselt werden kann.

Komplement

• Das relative Komplement A \B besteht aus allen Elementen von A, die nicht in B liegen. Eine andere übliche Schreibweise ist A - B, eine andere Bezeichnung ist Differenz oder Differenzmenge.

relatives Komplement

• Das Kreuzprodukt A x B ist die Menge aller Paare von Elementen (a, b), wobei a aus A und b aus Bist.

Kreuzprodukt

• Die leere Menge

0 enthält keine Elemente.

leere Menge

• Ist jedes Element von A auch in B, so nennt man A Teilmenge von B,

Teilmenge

A~B.

Das Zeichen A C B wird in verschiedenen Bedeutungen benutzt: manchmal bedeutet es dasselbe wie A ~ B, manchmal daß A eine echte Teilmenge von B ist, d.h. A ist Teilmenge von B, aber von B verschieden. Dafür wird i.a. das Symbol A ~ B benutzt. Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn A ~ B und B ~ A ist.

echte Teilmenge

12. Berechnung I Durch formale Definitionen lassen sich Aussagen über Mengen in Begriffe der Aussagenlogik übersetzen: AU

B={xi x E A V x E B}

Ac ={xix Ii A}

AnB={xix E Al\x E B} A\B ={xix

E

Al\x Ii B}

A x B={(x,y)ix E Al\y E B} Der leeren Menge entspricht die falsche, der Grundmenge die wahre Aussage. A ~ B wird übersetzt mit x E A => x E B. Der Gleichheit A = B entspricht XE

A {:}XE B.

Übersetzungstabelle

118

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

j Rechenregeln j

AUB=BUA

AnB=BnA

AU (B u C) = (Au B) u C

An (B n C) = (An B) n C

n C) = (Au B) n (Au C) (Au BY = Ac n ßC (A\B) U C = (Au C) n (Be U C)

An (B u C) = (An B) u (An C) (A\B) n C = A\(B U cc)

(A\B)\C = A\(B U C)

A\B =An Be

AU (B

(An

BY =

Ac u

ßC

Die Bezeichnungen sind (zeilenweise) Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz. Die vierte Zeile heißt wieder de Morgansche Regeln. Beweis von Rechen rege In für Mengen

Der Beweis von Rechenregeln für Mengen geht in drei Schritten vor sich:

CD

Übersetzung in Begriffe der Aussagenlogik mit Hilfe der Tabelle

@ Anwendung der Rechenregeln der Aussagenlogik

®

Rückübersetzung

Beispiel 1: (Au B) n C = (An C) U (B n C) Das Distributivgesetz der Mengenlehre wird in @ mit Hilfe des Distributivgesetzes der Aussagenlogik bewiesen.

CD

x E (Au B) nc

{::}

xEAUBAxEC (x E A V x E B) A x E C

@

{::}

(x E A A x E C) V (x E BA x E C)

®

{::}

xEAnCVxEBnC x E (An C) u (B n C)

{::}

{::}

Intervalle

IIntervalle I Intervalle sind Teilmengen von IR, die mit je zwei Zahlen auch alle dazwischenliegenden enthalten.

119

2.2. MENGEN

Schreibweisen ]a, b[ oder (a, b)

[a, b[ oder [a, b) ]a, b] oder (a, b] [a, b]

Definition {x E IR a < x < b} {x E IR a~x
{x E IR a

~

~

x

b}

Bezeichnung offen (rechts) halboffen (links) halboffen abgeschlossen

Darüber hinaus gibt es noch das unbeschränkte Intervall IR und die vier einseitig beschränkten Intervalle:

]- oo, a] = ( -oo, a] = {x E IRI x ~ a}

[a, oo[= [a, oo) = {x E IRI x 2:: a}

]- oo,a) = (-oo,a) = {x E IRix < a}

(a,oo[= (a,oo) = {x E IRix > a}

Für diese vier Intervalle sind auch (der Reihe nach) folgende Schreibweisen üblich: IR:;;a, IR~a, IRa· Gelegentlich benutzt: IR+ =]0, oo[, IR- =]- oo, 0[. Der Durchschnitt zweier offener Intervalle ist leer oder ein offenes Intervall. Für Ja- 6, a + 6[.

a EIRund 6 > 0 ist die 6-Umgebung U,s(a) das Intervall

6-Umgebung

ITeilmengen von IR I Im folgenden sei M stets eine nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen. Viele topalogische Eigenschaften von Mengen wie Rand, Offenheit u. ä. sind auch in Kapitel 4.1 erklärt. Hier sind nur die besonderen Eigenschaften von Mengen in IR erklärt. Eine Menge M c IR ist beschränkt , wenn es zwei Zahlen C 1 und C2 gibt, so daß für jedes X E M die Ungleichung Ct ~ X ~ c2 gilt. Äquivalent damit ist die Existenz einer Zahl C mit lxl ~ C für alle x E M. Diese Formulierung definiert auch Beschänktheit in C. Gilt für alle x E Mx 2:: C 1 bwz. x ~ C2 , so nennt man lvf nach unten bzw. nach oben beschränkt. Ist M C IR nach oben beschränkt, so nennt man jede Zahl C mit x ~ C für alle x E M eine obere Schranke von M. Die kleinste obere Schranke (die in IR stets existiert), heißt sup M, Supremum von M. Analog ist inf M, das Infimum von M als größte untere Schranke einer nach unten beschränkten Menge erklärt. Falls die Menge M ein größtes Element besitzt, so nennt man es Maximum max M, ein kleinstes heißt Minimum min M. Es gilt: • Ist M C IR abgeschlossen und beschränkt, so existieren Maximum und Minimum von M. • Wenn max./11 existiert, dann ist supM • Ist supM E M, so ist maxM

maxM.

= supJ\.1.

• Wenn minM existiert, dann ist inf M • Ist inf M E M, so ist min M

=

= inf M.

=

minM.

beschränkt

Supremum lnfimum Maximum Minimum

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

120

•

inf(-A) = -supA

sup( -A) = - inf A

min(-A) = -maxA

max( -A) = - minA Dabei ist -A = {xl - x E A}. • a = sup A gilt genau dann, wenn

i) Vx E A : x :::; a, d.h. a ist obere Schranke von A ii) Vf. > 0 3x E A x > a- f., d.h. a- f. ist keine obere Schranke mehr, egal wie klein man f. auch wählt. • Beim Infimum ist entsprechend: a = inf A genau wenn V x E A : x ;::: a und V f. > 0 3 x E A x < a + f. Der wesentliche Unterschied zwischen den Begriffen Maximum und Minimum einerseits und Supremum und Infimum andererseits ist, daß Maxima und Minima immer zur Menge gehören, Suprema und lnfima i.allg. nicht. Andererseits existieren bei beschränkten Mengen Supremum und Infimum immer, Minimum und Maximum aber nicht.

I

Beispiel 2: M =

{~~ n E N}

Die Menge M besteht aus allen Kehrwerten natürlicher Zahlen, also 1 1 1 1

M

= {1, 2' 3' 4' 5' ... }

Daraus erkennt man max M = sup M = 1 und inf M = 0. Ein Minimum hat M nicht, da das Infimum nicht zur Menge gehört (Null ist ja kein Kehrwert einer natürlichen Zahl).

13. Beispiele I I

Beispiel 3: Beweis von (A\B)\C = A\(B U C)

1. Möglichkeit: Rechenregeln für Mengen

Benutzt werden die Definition und die de Morganschen Regeln:

(A\B)\C = (A\B)ncc = (AnBc)ncc = An(Bcncc) = An(BUC)c = A\(BUC) 2. Möglichkeit: Zurückführung auf Aussagenlogik Hier wird benutzt, daß A = B genau dann gilt, wenn x E A {::} x E B gilt.

x E (A\B)\C {::}

x E (A\B)

{::}

xEA {::}

1\

-,x E B

1\

1\

-,x E C

-,x E C

{::}

XE A 1\ XE (B U C)c

{::}

(x E A 1\ -,x E B)

xEA {::}

1\

1\

-,x E C

-,(x E B V x E C)

XE A\(B U C)

121

2.3. FUNKTIONEN

Funktionen

2.3

IL+2. Definitionen+ Berechnung!

IGrundsätzliches I Eine Funktion f mit Definitionsbereich D (oder !I))) und Wertebereich W (oder W) ist eine Vorschrift, die jedem Element des Definitionsbereichs ein Element des Wertebereichs zuordnet. Wenn man es gerrau nimmt, besteht die Funktion aus den drei TeilenD, Wund f, und zwei Funktionen stimmen nur dann überein, wenn alle drei Teile gleich sind. Ist f(x) = y, so heißt y Wert von f an der Stelle x. Ist C C W, so ist die Menge aller x E D mit f(x) E C das Urbild von C unterfundwird mit f- 1 (C) bezeichnet. Ist f : M --+ N, so gilt f(A

r

1 (A

n B)

n B) =

r

~

f(A)

1 (A)

n f(B)

n j- 1 (B)

j(A U B)

= f(A) U j(B)

f- 1 (A U B)

=

r

1 (A)

U

r

1 (B)

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Funktionen zu beschreiben. Üblich ist die Angabe von Definitions- und Wertebereich und der Abbildungsvorschrift. Oft wird auch nur diese angegeben und der Definitionsbereich ist die größte Teilmenge von IR oder C, auf der dies sinnvoll ist. Eine andere Möglichkeit ist die Beschreibung durch Tabellen, was sinnvoll ist, wenn der Definitionsbereich nur endlich viele Elemente hat. Der Graph der Funktion f : D --+ W ist eine Teilmenge von D x W und besteht aus allen Paaren (x, y) mit x E D und y = f(x). Andere Bezeichnungen: Statt Definitionsbereich sagt man auch Urbildbereich, statt Wertebereich die Bezeichnung Wertevorrat. Gelegentlich versteht man unter Wertebereich auch die Teilmenge von W, die wirklich als Bild eines x E D vorkommt. Andere Bezeichnung dafür: Bild von f oder Bild von D unter f. Manchmal ist der Ausdruck Funktion für reell- oder komplexwertige F\mktionen reserviert und sonst wird Abbildung verwendet (z.B. für vektorwertige F\mktionen). Nimmt man statt des Definitionsbereichs D eine Teilmenge D 1 C D und erklärt man eine Funktion fi : D 1 --+ W so, daß sie für x E D 1 dieselben Werte wie f hat, so nennt man !I Einschränkung von f und f Fortsetzung von !I. Genauso kann man auch den Wertebereich oder beides einschränken. Benutzt werden diese Begriffe bei der Konstruktion und Beschreibung von Umkehrfunktionen (s.u.). z.B. ist f(x) = x 2 als Funktion von IR nach IR weder injektiv noch surjektiv. Schränkt man f auf den Definitionsbereich [0, oo[ und den Wertebereich [0, oo[ ein, so ist die diese Einschränkung bijektiv und hat daher eine Umkehrfunktion

andere Bezeichnungen

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

122

. (nämlich yx). Schränkt man f auf den Definitionsbereich ]-oo, 0] ein, erhält man eine andere Umkehrfunktion, nämlich -yx. Bei verschiedenen Einschränkungen des Sinus erhält man die verschiedenen Zweige des Arcussinus. Eigenschaften von Funktionen, die mit Stetigkeit oder Differenzierbarkeit zu tun haben, findet man in den entsprechenden Abschnitten, besondere Eigenschaften komplexer Funktionen im Kapitel über Funktionentheorie (Kap. 7).

IInjektiv, surjektiv, bijektiv I Verknüpfung

injektiv, surjektiv, bijektiv

Ist f : M ~ N und g : N ~ P, so heißt die Funktion g o f : M ~ P mit der Abbildungsvorschrift (g o f)(x) = g(f(x)) Verknüpfung, Komposition, Verkettung oder Hintereinanderausführung von f und g. g o f wird als "g nach f" gelesen und bedeutet eben, daß zuerst f und danach g angewandt wird. Eine Funktion

f :M

~

N heißt

• injektiv, falls für x 1 =I x 2 stets f(xt)

=I f(x 2 )

ist

• surjektiv, falls es für jedes y E N (mindestens) ein x E M gibt mit f(x) = y • bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. Die Funktion f : M ~ M, die jedes Element von M auf sich selbst abbildet, heißt identische Abbildung oder Identität und wird mit IdM bezeichnet. Inverse

f:

M

~

N sei eine Funktion. Dann heißt eine Funktion g: N

~

M

• Linksinverse zu /, falls g o f = IdM ist, • Rechtsinverse zu • Inverse zu

J, falls f o g = IdN ist,

f, falls g Links- und Rechtsinverse ist.

f heißt dann linksinvertierbar, rechtsinvertierbar oder invertierbar. Die Inverse oder Umkehrfunktion zu

f

wird mit

f- 1 bezeichnet.

Achtung: Bei bekannten Funktionen wie trigonometrischen oder hyperbolischen Funktionen oder deren Umkehrfunktionen bedeuten Exponenten oft etwas ande1- statt arcsinx. res: man schreibt sin 2 x statt (sinx) 2 und sin- 1 x bedeutet -. sm:t Eine Funktion f ist genau dann linksinvertierbar, wenn f injektiv ist, genau dann rechtsinvertierbar, wenn f surjektiv ist, und Invertierbarkeit ist äquivalent zur Bijektivität.

2.3. FUNKTIONEN

123

Diese Eigenschaften lassen sich durch die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x) = y für eine vorgegebenes y beschreiben: Eigenschaften von

f

Lösungen der Gleichung f(x)

f injektiv f linksinvertierbar f surjektiv f rechtsinvertierbar f bijektiv f invertierbar

=

y

eine oder keine eine oder mehrere genau eine

Das bedeutet für eine injektive/ surjektive/ bijektive Funktion von IR nach IR, daß jede Parallele zur x-Achse den Graphen höchstens einmal/ mindestens einmal/ genau einmal schneidet.

h ist injektiv, da kein Element von N Bildzweier Elemente von Mist, aber nicht surjektiv, da y E N nicht Bild eines Elements von M ist. h

ist nicht injektiv, da w E N Bild von a und b ist, aber surjektiv, da jedes Element von N Bild eines Elements von M ist.

Ja ist injektiv (keine zwei Elemente von

M haben dasselbe Bild) und surjektiv (jedes Element von N kommt als Bild vor). h ist damit bijektiv.

!4

ist weder injektiv (w E N ist Bild von a und b) noch surjektiv (x E N kommt nicht als Bild vor).

f 5 ist keine Funktion, da c E

M zwei Bilder hat.

IBerechnung der Inversen I f : M-+ J-l so: Ist

N eine invertierbare Funktion, so berechnet man die Umkehrfunktion

Berechnung der Inversen

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

124

CD

Vertausche in y

= f(x)

die Variablen x und y: x

= f(y).

@ Man löst diese Gleichung nach y auf und erhält y = 9(x). Dann ist 9 = f- 1, der Definitionsbereich von 9 ist das Bild von fundder Definitionsbereich von f ist das Bild von 9·

Dem Verfahren zur Inversion reeller Funktionen entspricht die Konstruktion des Graphen der Umkehrfunktion: Der Graph der Umkehrfunktion zu f entsteht aus dem Graphen von f durch Spiegeln an der 1. Winkelhalbierenden.

Beispiel 2: f(x)

=

x- 32 X-

Der Definitions hereich von

CD

f ist IR\ { 3}.

y - -2 . . t a lso x = .. Au f zu1osen 1s y- 3

@ Multiplikation mit dem Nenner gibt xy- 3x = y- 2, also y(x -1) = 3x- 2. Damit hat die Umkehrfunktion die Gestalt 9(x)

=

f- 1 (x)

=

Definitionsbereich IR\ { 1} ist gleichzeitig der Wertebereich von

Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems

3x- 2 . Der

x-1

f.

Bei mehreren Variablen x 1 bis Xk und y 1 bis Yk geht man analog vor. Dabei ist in der Regel ein (nichtlineares) Gleichungssystem mit n Gleichungen für die n Unbekannten y 1 bis Yn zu lösen. Die folgende Anleitung kann nur als Richtschnur dienen, da es kein allgemeines Verfahren zur Auflösung nichtlinearer Gleichungen gibt. Wenn das gegebene Gleichungssystem linear ist, löst man es leichter mit den in Kapitel 1.5 angegebenen Rechen verfahren.

CD

In den Gleichungen Yl = xk und Yk vertauscht.

h (x1, ... , Xn)

bis Yn = fn(xl, ... , Xn) werden die

@ Man nimmt eine Gleichung heraus und löst sie nach einem Yi auf. @ Man setzt diese

Yi in die restlichen Gleichungen ein und erhält n - 1 Gleichungen für die restlichen n- 1 Unbekannten Yk·

125

2.3. FUNKTIONEN

G) Schritte ® und @ werden wiederholt, bis nur noch eine Gleichung übrig ist, die nach dem letzten Yk aufgelöst wird.

@ Jetzt werden die Lösungen rückwärts in die aufgelösten Gleichungen eingesetzt, bis man alle Lösungen erhält.

In Koordinaten heißt die FUnktion also

CD

Nachdem man die Xk und die Yk vertauscht hat, bleibt folgendes Gleichungssystem nach y 1 bis y 3 aufzulösen: Y1 X2 = - , Y2

® ®

Die zweite Gleichung läßt sich gut nach y1 auflösen:

Y1 = x 2 y2 .

Wenn man dies in die erste und dritte Gleichung einsetzt, erhält man zwei Gleichungen, die nur noch y 2 und y 3 enthalten: Xl

X2

Y~

= --, Y3

®

Die zweite dieser Gleichungen wird nach

®

x2 y4 In der ersten Gleichung steht dann nur noch y 2 : x 1 = ...1.....1..

aufgelöst:

Y3

=

x32. X2 Y2

X3

Diese Gleichung wird nach Y2 aufgelöst: des Definitionsbereichs von Wurzeln zu nehmen.

®

Y3

f sind hier (und im weiteren) nur die positiven

• (t\l\ In v er häl· t man y3: Y3 emgesetzt

In

Yi = xx21 ~3 , also Y2 = 1xx21 ~3 . Wegen

X3- = =2 X X2 Y2

® erhält man schließlich Y1: Y1 =

x2 Y2 =

-.

2

ff;3 X3 ~::::;: Xl Xt :Z:l :Z:2

\jx1 x~ x3.

Damit ist die Umkehrfunktion f- 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) = ( \jx 1 x~ x 3 , 1x1 ~ 3 , x2

{§,). VX1

Gleichzeitig haben wir ausgerechnet, daß der Bildbereich von f ganz JR+ x JR+ x JR+ ist, da dies offensichtlich der Definitionsbereich der Umkehrung ist.

126

Monotonie

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

IMonotonie I Sind M und N Teilmengen von IR, so heißt

f :M

-t

N

• monoton steigend, falls aus x 1 < x 2 immer f(xl) ~ j(x2) folgt, • streng monoton steigend, falls aus x 1 < x2 immer j(x1)

< j(x2)

folgt,

• monoton fallend, falls aus x 1 < x 2 immer f(xl) ~ j(x2) folgt, • streng monoton fallend, falls aus x 1 < x2 immer f(x 1) > j(x2) folgt. Statt monoton steigend sagt man auch nichtfallend, statt monoton fallend auch nichtsteigend, statt steigend auch wachsend. Streng monotone Funktionen sind injektiv. Ist I C IR ein Intervall und f : I -t IR stetig und injektiv, so ist f streng monoton. Zusammenhang mit der Ableitung: Ist f eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall I, so gilt

• • • •

f'(x) > 0 für alle f' (x) ~ 0 für alle f'(x) < 0 für alle f'(x) ~ 0 für alle

x x x x

=> f streng monoton steigend E I {:> f monoton steigend E I => f streng monoton fallend E I

EI

{:>

f monoton fallend

13. Beispiele I Beispiel 4: Eine Linksinverse zu 1 auf Seite 123 Berechnung einer Linksinversen

11 und eine Rechtsinverse zu h aus Beispiel

Bei der Berechnung einer Linksinversen geht man so vor: Eine Linksinverse 9 einer injektiven Funktion 9

f :M

-t

N ist gegeben durch

(x) = { y falls f(y) = x ist Yo sonst

y0 ist dabei ein beliebiges Element von M. Die Injektivität von f sichert dabei gerade, daß die Gleichung f(y) x höchstens eine Lösung y hat.

=

x für jedes

Anschaulich bedeutet das, daß man alle Zuordnungspfeile umdreht und die übrigbleibenden Elemente von N auf irgendein Element von M abbildet.

II: I!

11 wird durch folgende Tabelle beschrieben: 11 I~ Eine Linksinverse 9 1 von 11 läßt sich also durch die folgende Tabelle beschreiben

(u)

(mit Yo = a):

u

91 (u)

I wa I xb I ay I zc

2.3. FUNKTIONEN

127

Bei der Berechnung einer Rechtsinversen geht man so vor: Eine Rechtsinverse g einer surjektiven Funktion f : M -+ N ist so gegeben: zu x E N nimmt man irgendein y E M mit f(y) = x und definiert g(x) := y. Die Surjektivität von f sichert dabei gerade, daß die Gleichung f(y) = x für jedes x immer mindestens eine Lösung y hat. Anschaulich bedeutet das, daß man von jedem Element von N aus irgendeinen dort ankommenden Pfeil umdreht.

h wird durch folgende Tabelle beschrieben: -...,..u("')--it----+-+-+-91

Eine Rechtsinverse 92 von

h

U

2

/ X

X

y

enthält man also z.B. durch die Tabelle

Beöspiel 5, Bestimmung d"' lnve<sen von f(x)

y

W

~

X X< -1 2x 2 -1 ~ x < 0 { -x 4 0 ~ x ~ 1 x+1 x>1

Hier ist man ohne eine Skizze verloren. Man erkennt, daß jede Parallele zur x-Achse den Graphen der Funktion in genau einem Punkt schneidet. Daher ist f bijektiv und man kann direkt die Umkehrfunktion angeben. Dazu notiert man in einer Tabelle die verschiedenen Definitionsbereiche der Teile von f und kontrolliert gleichzeitig, daß sich der Wertevorrat IR aus den einzelnen Wertebereichen zusammensetzt. J-1

li»

f

w

JI»1 =]- oo, -1[

X

w1 =l- oo, -1[

X

JI»2 = [-1,0[

2x 2

w2 =J0,2J

-~

ll»a = [0, 1]

-x4

Wa = [-1,0]

Fx

Jl»4 =]1, oo[

x-1

x+1 w4 =]2,oo[

Daraus liest man die Form von f- 1 ab: f- 1 (x) =

{

X

X<

Fx

-1

-~

-1 ~X~ Ü

0<x~2

x-1 2<x

Berechnung einer Rechtsinversen

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

128

Eigentlich ist aus der Skizze klar, daß f bijektiv mit der Umkehrfunktion g = 1 ist. Da wir Mathematiker aber stolz darauf sind, auch scheinbar evidente Dinge beweisen zu können, hier eine Andeutung, wie ein strenger Beweis aussehen könnte.

f

f o g = IdN und g o f = IdM nach. Zum Beispiel heißt die erste Gleichung f(g(y)) = y für alle y E N. Dann beginnt man mit einer Fallunterscheidung nach den Definitionsbereichen der einzelnen Teilfunktionen von g. Diese Bereiche sind durch die Wertebereiche W 1 bis W4 von f gegeben. 1. Möglichkeit: man rechnet die Gleichungen

Ist also z.B. y E W2 =]0, 2], dann ist g(y) = -{[. Jetzt muß man nachsehen, in welchen Teildefinitionsbereich von f diese Zahl liegt. Man erhält, daß g(y) im Intervall (-1, 0( liegen wird, also in ]]))2 . Daher ist f(g(y)) = 2 · (-~~Y =

2~ =

y.

Diese Rechnung führt man auch noch mit W1 , W3 und W4 durch und eine analoge Rechnung für die Gleichunggof = ldM. 2. Möglichkeit: man zeigt, daß die Gleichung f(x) = y für jedes y E IR stets eine eindeutige Lösung x hat, die durch x = g(y) = f- 1 (y) gegeben ist. Dazu teilt man IR in vier disjunkte Bereiche W 1 bis W4 auf und rechnet die Behauptung durch Fallunterscheidung nach. Dabei geht wesentlich ein, daß die Einschränkung von f als F\mktion von ]]))i nach Wi bijektiv ist (z.B. aus Monotonieüberlegungen). Beispiel 6: Untersuchung auf Monotonie von f(x) = x- 2 x-3 y

I I

!L

Der Definitionsbereich besteht aus den beiden Intervallen / 1 =] - oo, 3( und / 2 =]3, oo(. Da f auf seinem Definitionsbereich differenzierbar ist, untersucht man zunächst die Ableitung:

____ ..,. ______ _ X

1

f (x)

=

1·(x-3)-(x-2)·1 (x- 3)2

-1

= (x- 3)2 < O.

Damit ist die F\mktion sowohl auf / 1 wie auf / 2 streng monoton fallend. Um festzustellen, ob f insgesamt eine monotone Funktion ist, macht man am besten eine Skizze. Jetzt erkennt man, daß f insgesamt nicht monoton ist, da f auf h und h streng monoton fällt, aber z.B. f(O) = ~ < 2 = f(4) ist.

2.4. VOLLSTÄNDIGE INDUKTION

2.4

129

Vollständige Induktion

In diesem Abschnitt verwenden wir die Bezeichnung N für die natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, ... } und No für die natürlichen Zahlen einschließlich der Null. In einigen Büchern werden die natürlichen Zahlen einschließlich der Null definiert und N* für die positiven natürlichen Zahlen verwendet, also N = {0, 1, 2, 3, ... } und N* = {1, 2, 3, ... }.

11. + 2. Definitionen und Berechnung! Das Verfahren der vollständigen Induktion dient dazu, eine Folge von Aussagen zu beweisen. Dabei ist für jedes n E N eine Aussage A(n) gegeben. Der allgemeine Beweis geht dann in zwei Schritten vor sich:

CD

Induktionsanfang Die Aussage wird für n = 1 bewiesen, (oft durch eine direkte Rechnung).

@ Induktionsschritt Für jedes n ~ 1 wird unter Benutzung der Aussage A(n) die Aussage A(n + 1) bewiesen.

Der zweite Schritt könnte auch so aufgeschrieben werden:

@ Induktionsschritt Für jedes n ~ 2 wird unter Benutzung der Aussage A(n -1) die Aussage A(n) bewiesen.

IVarianten I Induktion mit anderem Anfang: Der Induktionsanfang muß nicht zwingend bei n = 1, sondern kann bei jeder beliebigen ganzen Zahl sein. Wird als erstes eine Aussage für n = -4 bewiesen, und geht der Induktionsschritt für alle n ~ -4 durch, so hat man die Aussage für n = -4, -3, -2, -1, 0, 1, ... bewiesen. Benutzung mehrerer Stufen: Gelegentlich ist der Induktionsschluß vom Typ A(n), A(n + 1) => A(n + 2). Dann hat man im Induktionsanfang zwei Aussagen direkt zu beweisen, also z.B. A(1) und A(2), um die Aussage für alle n E N zu beweisen. Diesen Induktionstyp findet man in Beispiel 4 und in Kapitel 6.10 in Beispiel 5.

vollständige Induktion

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

130

IRechenschema I Rechenschema

Als Hilfe kann man folgendes Rechenschema verwenden, das für den Standardfall aufgeschrieben und in anderen Fällen entsprechend abzuändern ist: 1. Induktionsanfang n = 1 zu zeigen: < hier steht A(1) > Beweis: < hier steht der Beweis von A(1) >

2. Induktionsschritt A(n) => A(n + 1) Voraussetzung: < hier steht A(n) > zu zeigen: < hier steht A(n + 1) > Beweis: < hier wird A(n + 1) unter Verwendung von A(n) bewiesen> Dabei erhält man A(1), indem man in der allgemeinen Aussage A(n) jedes n durch 1 ersetzt, A(n + 1) durch Ersatz von n durch n + 1. Im Zweifelsfall nimmt man lieber (n + 1) statt n + 1. Strategie

Oft ist es eine gute Strategie, die Aussage A(n + 1) umzuformen, bis man A(n) erhält. Wenn dann alle Umformungen Äquivalenzumformungen waren, hat man den Beweis erbracht. Das Beweisende kann man durch ein Symbol wie \\ oder 0 kennzeichnen.

I Beispiel 1: L k = 3 L k 2n

n

k=n

k=1

Im ersten Schritt, dem lnduktionsanfang, werden einfach beide Seiten der zu beweisenden Gleichung ausgewertet. 1. Induktionsanfang n = 1

Beweis:

2

1

k=1

k=1

L k = 3L k

zu zeigen: 2

1

k=1

k=1

L k = 1+ 2= 3 = 3L k

0

Im Induktionsschritt kann man ohne Probleme nach der "Grundtaktik" rechnen: 2. Induktionsschritt A(n) => A(n + 1) 2n

Voraussetzung:

L

n

k= 3

k=n

2n+2

zu zeigen:

L

k=n+1

L k=l

n+1

k= 3

L

k=1

k

k

131

2.4. VOLLSTÄNDIGE INDUKTION n+l

2n+2

Beweis:

I:

3I:k

=

k

k=l

k=n+l

(Bekannte Teile werden abgespalten)

E,

k- n + (2n + 1) + (2n + 2)

3

(~ k + (n + 1))

(Die Induktionsvoraussetzung wird benutzt) -n + (2n + 1) + (2n + 2)

3n+3

3(n + 1) 3n+3

=

0

Bei dieser Rechnung ist es leicht: A(n + 1) wird äquivalent umgeformt, bis man A(n) benutzen kann. Im nächsten Beispiel sind die Aussagen nicht äquivalent, sondern es ist nur die Schlußrichtung A(n) => A(n + 1) möglich. Das ist oft bei Beweisen von Ungleichungen der Fall.

t:<

Beispiel 2: Zeigen Sie: für n ;:::: 2 ist

2

2-

.!. n

k=l

Da die Aussage für n;:::: 2 formuliert ist, ist auch der Induktionsanfang n = 2. 1. Induktionsanfang n = 2 2

L -1 < 2 k=l k2

zu zeigen: •

Beweis:

1 k2

2

L k=l

1

2 1 3

1

= 1+ 4< 2= 2 - 2

0.

Im Induktionsschritt hat man folgende Situation: 2. Induktionsschritt A(n) => A(n + 1) 1 n 1 k2 < 2 Voraussetzung:

n

L

n+l

zu zeigen:

1

k=l

1

L- < 2 -n-+-1 k=l k2 n+l

L

Beweis:

1 k2

k=l

1

< 2- n+ 1

Man versucht, auf beiden Seiten etwas Bekanntes zu erzeugen: n

1

~-+ (n k2

ti

1

+ 1)2

1

1

1

<2--+---n n n+1

Nun möchte man gerne die Induktionsvoraussetzung benutzen. Das geht aber nicht mit einer Äquivalenzumformung, sondern man muß "rückwärts" denken: zu der wahren Aussage der Voraussetzung wird die übrigbleibende Ungleichung addiert, und daraus folgt die zu zeigende Zeile oben:

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

132

I

:E-<2-1 k2 n1

n k=l

1 (n + 1) 2

1

:::;

1

n- n + 1

Daher geht die aufgeschriebene Rechung weiter mit 1

<.!.- _1_.

(n+1) 2 - n

n+1

Man beachte, daß zu Beginn der Zeile <= steht! Der Rest ist einfach, man bringt beide Seiten auf einen Nenner:

n < (n + 1) 2 - n(n + 1) n(n + 1) 2 n(n + 1)2 n:::;n+l.

#

D

Eine Alternative ist es, den Beweis des Induktionsschritts als Ungleichungskette aufzuschreiben: 2. Induktionsschritt A(n) => A(n + 1) n 1 1 Voraussetzung: k2 < 2 - -

L

n 1

k=l

n+l

Behauptung:

1

Lk

2

< 2 - -n

k=l

Beweis: n+l 1 :E k2 = k=l

+1

1 1 :E k2 + (n + 1)2 n

Bekanntes abspalten

k=l

n.V.

1

< 2-

1

n+ (n + 1)

2

1 1 1 1 2---+----+-:---= n + 1 n + 1 n (n + 1)2

A(n) benutzen

gewünschte rechte Seite erzeugen

1_ + n(n + 1)- (n + 1) 2 + n 2 __ zusammenfassen n+1 n(n+1) 2 1 n 2 + n - n 2 - 2n - 1 + n 2 - - - + ---.,..------,.,,-;:---n+1 n(n+1)2 2--1__ 1 Rest abschätzen n+ 1 n(n+ 1)2 < 2--1D n+1

133

2.4. VOLLSTÄNDIGE INDUKTION

Ia. Beispiele I Beispiel 3: Ist f(x) = ln(1-

~),so ist f(n>(x) =- ~; ~ :1~ für n ~ 1.

1. Induktionsanfang n = 1

.

zu zeigen:

1)! !'( x ) =- ((1_ x)1

2 Beweis: nach der Kettenregel ist 1

1

f (x) =

(1- 1)!

1

1

-21- ~

=- 2- x =- (2- x)1"

D

2. Induktionsschritt A(n) => A(n + 1)

(n- l)! (2-x)n n! zu zeigen: f(n+l>(x) = (2- x)n+l Beweis: Durch Ableiten erhält man:

Voraussetzung: /(n)(x) =

f(n+l)(x)

=

n.=v.

=

{!(n)(x) )'

( - (n-1)!)' (2- x)n (n- 1)! -( -n) (2- x)n+l (-1) n!

D

Hier ist der Beweis einmal ganz ordentlich aufgeschrieben: Daß die (n + 1)-ste Ableitung die Ableitung der n-ten ist, ist die induktive Definition einer höheren Ableitung. Die Stelle, an der die Voraussetzung über A(n) eingeht, ist extra vermerkt. Beispiel 4: Man zeige: Ist ao = 0, a1 = 1 und an+2 = an

an=

)s [C+2vsr- c-2vsrJ.

+ an+l.

so ist

Es handelt sich um die Fibonacci-Zahlen, bei denen jede Zahl die Summe der beiden vorangehenden ist: a2 = 1, a 3 = 2, a4 = 3, as = 5, a6 = 8 usw. Da die Definition von an+ 2 zwei vorhergehende Glieder benutzt, muß im Induktionsanfang die Behauptung für zwei Startterme nachgewiesen werden:

FibonacciZahlen

134

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

1. Induktionsanfang n = 0 und n = 1 zu zeigen: a0 = 0 und a 1 = 1 Beweis: Man setzt n = 0 und n = 1 in die allgemeine Form der an ein:

ao=

a1

[C+2vßr- c-2vsr] = Jsl1-1]=0 = _1 [ 1 + J5 _ 1 - vß] = _1 [J5] = J5 J5 Js

1.

2

0

2

2. Induktionsschritt A(n) =?- A(n + 1) Voraussetzung:

zu zeigen:

+2vß)

an =

Js [ ( 1

an+l

= _1 [(1 + JS)n+l

an+2

J5

n- (1-

2

= _1 [( 1 +

J5

2vß)

n],

_ (1-2VS)n+ll ,

J5)n+2 _(1 _2J5)n+2]

2

Beweis:

n.V.

Dabei wurde benutzt

vß)

( 1 ±2

2

-

-

1 ± 2VS + 5 - G± 2VS 4

-

4

- 1+

1 ± J5 2

.

Man halte sorgfältig auseinander: A(1), A(n) und A(n + 1) sind Aussagen, die durch Zeichen wie <=? oder =?- miteinander verbunden sind. Gleichheitszeichen treten zwischen Termen wie an oder an+l auf.

2.5. KOMPLEXE ZAHLEN

2.5

135

Komplexe Zahlen

11. Definitionen I Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form z = x + iy (oder z = x + yi) mit reellen Zahlen x und y. Die imaginäre Einheit i genügt der Gleichung i 2 = -1. Ist z = x + iy, so heißt x =Re z Real- und y =Im z Imaginärteil von z. Achtung: der Imaginärteil ist nicht iy, sondern die reelle Zahl y. Die Gesamtheit der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet.

Real-, Imaginärteil Re z, Im z

Darstellung komplexer Zahlen mit Hilfe der komplexen Exponentialfunktion:

Iz =

rei"' = r( cos cp + i sin cp)

Das sind die Eulersche und Polarkoordinaten- oder trigonometrische Form, die Schreibweise z = a + ib heißt Gaußsehe oder kartesische Darstellung. Ein anderer üblicher Bereich für den Winkel cp ist das Intervall [0, 21r[. An der Polarkoordinatendarstellung erkennt man, daß der Winkel nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 27f festliegt. Den Wert des Winkels im Grundintervall bezeichnet man als Hauptwert. Im z y

Z =X+

iy

r

Re z r

-y

Z = X - iy

In der Gaußsehen Zahlenebene lassen sich die komplexen Zahlen veranschaulichen. Dabei wird IR durch die Identifizierung x --* x + Oi nach C eingebettet. Das bedeutet, daß der reellen Zahl x die komplexe Zahl x + Oi entspricht. Bezeichnungen: Der Winkel cp E] - 1r, 1r] heißt Argument von z: cp =arg z. r = Tzl heißt Betrag und ist der Abstand von z vom Nullpunkt. Statt Betrag sagt man auch Absolutbetrag oder Modul.

Die konjugiert komplexe Zahl z entsteht aus z durch Spiegelung an der reellen Achse. Andere Schreibweise: z* statt z. Ist z = x

+ iy = rei"',

so ist z = x- iy = re-i"'.

Auf C ist keine Ordnung definiert. Das bedeutet, daß es Ungleichungen zwischen komplexen Zahlen nicht gibt, wohl aber Ungleichungen zwischen Beträgen oder Argumenten. Eigenschaften komplexer Funktionen (Holomorphie, harmonische Funktionen) findet man in Kapitel 7.

Gaußsehe Zahlenebene

Argument Betrag

konjugiert komplexe Zahl z, z*

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

136

12. Berechnung I 11. Umrechnung der Darstellungen I Umrechnung der Darstellungen

Der Übergang zwischen Euler- und Polarkoordinatenform geschieht stets durch die Eulerformel:

Eulerformel

Iex+iy =

ex ( cos

y + i sin y) .1

r, cp Ha, b Ist z = rei"' = r(coscp+isincp), so ist z = a+ib mit a = rcoscp und b = rsincp. Ist z = a + ib, so ist r = J a2 + b2 • Berechnung des Arguments cp: b arctan a>0 I. und IV. Quadrant a

cp=

2 b arctan- + 7r a

1r

a

positive imaginäre Achse

a < 0, b ~ 0

II. Quadrant

a = O,b

2

b arctan--

a = 0, b > 0

1r

a

<0

< O,b < 0

negative imaginäre Achse III. Quadrant

z = 0 hat kein (oder jedes) Argument. Alternativ kann man cp aus einer der beiden Gleichungen J a2 + b2 cos cp = a, J a2 + b2 sin cp = b bestimmen. Den richtigen Wert des Winkels entnimmt man einer Skizze. Verwendet man für den Winkel den Bereich von 0 bis 21r, so ist

cp=

b arctana 7r 2 b arctan- + 1r a 37r 2 b arctan - + 27r a

I

e2k7ri

a > O,b

~

0

I. Quadrant

a = O,b > 0

positive imaginäre Achse

a
Il.und III. Quadrant

a = O,b < 0

negative imaginäre Achse

a > O,b < 0

IV. Quadrant

= 1,

e(2k+1)11"i

= _ 1,

Das sind gleichzeitig alle Möglichkeiten, 1 und -1 in Eulerform zu schreiben. Rein imaginäre Zahlen (Zahlen mit Realteil Null) haben die Form z = re(k+lf2)".; mit k E Z.

2.5. KOMPLEXE ZAHLEN

137

Beispiel!: Trigonometrische und Eulerform von z1 = v'3+i, z2 = Z3 = -/3- i und Z4 = v'3- i,. I. Quadrant II. Quadrant

Z3

=

-/3- i

-/3+i,

Zt

=

/3 + i

Z4

=

/3- i

IV. Quadrant

III. Quadrant

Als erstes wird Zt = v'3 + i in der Form Zt = r 1ei'Pt = r 1 ( cos cp 1 + i sin cpt) geschrieben: es ist r 1 = J3+1 = 2. Der Winkelläßt sich auf mehrere Arten aus der Gleichung v'3 + i = 2( cos cp + i sin cp) bestimmen: • Aus der Tabelle: da z1 im ersten Quadranten liegt, ist 1P1

= arctan ~ = ~­ v3

6

• Der Vergleich der Realteile ergibt v'3 = r cos cp 1 = 2 cos cp 1. Daher ist und für cp 1 kommen die beiden Werte ±~ in Frage. Da z 1 cos cp 1 = im ersten Quadranten liegt, muß IPt = ~ sein.

Yf

Das geht mit dem Imaginärteil natürlich analog.

!.

• Man vergleicht außer den Real- auch die Imaginärteile und erhält sin cp = Daher kommen hier die Winkel ~ und 5; in Frage. Der einzige gemeinsame Winkel für Real- und Imaginärteil ist cp 1 = ~. Das geht immer: Für z =F 0 legen die Gleichungen Re z = r cos cp und Im z = r sin cp den Winkel eindeutig fest. Damit hat man die Darstellung z1 =

v'3 + i = 2( cos ~ + i sin ~) = 2ei"/s.

Für die anderen drei Zahlen erhält man genauso r 2 = r 3

cp 2

-1

arctan -

v'3 1

cp3

arctan -

cp4 =

-1 arctan-

v'3 /3

+ 1r = -

7r

--

6

+ 1r =

= - -

6

7r

= --

6

57r

-

6

57r

7r

1r

= r4 = 2 und

1r

= --

6

KAPITEL 2. DIFFERENTIALRECHNUNG

138

Grundrechenarten

12. Grundrechenarten I Bei den Grundrechenarten wird i wie eine Konstante behandelt. Beim Dividieren wird der Bruch zunächst mit der konjugierten Zahl des Nenners erweitert. Dann ist der Nenner reell, und man kann Real- und Imaginärteil des Zählers einzeln dividieren.

(a+ib)

+ (c+id) =

(a+c)+i(b+d),

(a + ib) · (c + id)

=

(a+ib)- (c+id) = (a-c)+i(b-d)

ac + i(bc + ad) + i 2 bd

=

(ac- bd)

(ac + bd) + i(bc- ad)

(a + ib)(c- id) a+ib = (c + id)(c- id) c+ id

+ i(bc + ad)

ac + bd

= c2+d2

. bc - ad

+ zc2+d2

Sind die Zahlen in Eulerform gegeben, lassen sie sich i.allg. nur nach Umwandlung in die kartesische Form addieren oder subtrahieren. Für die Multiplikation und Division verwendet man ganz formal die Rechenregeln für Potenzen:

Danach muß man eventuell den Winkel um ±2?T verändern, damit er wieder im Bereich) - ?T, 1r)liegt. Beispiel 2: Für z = -5 + 10i und w = 1 + 2i berechne man z zw und.:_,

+ w,

z - w,

w

z+w z-w zw z w

Kontrolle

( -5 + 10i) + (1 + 2i) = -4 + 12i ( -5 + 10i) - (1 + 2i) = -6 +Bi ( -5 + lOi) · (1 + 2i) = -5- 20 + i( -10 + 10) = -25 + Oi = -25 -5 + 10i ( -5 + 10i)(1- 2i) -5 + 20 + i(lO + 10) . 1 + 2i = (1 + 2i)(1- 2i) = 1+4 = 3 + 4z.

Kontrolle: Wenn beim Dividieren der Nenner nach dem Erweitern mit reell und positiv ist, hat man sich sicher verrechnet. Beispiel 3: Berechnen Sie für z 1 = J3 + i und z2 = Quotient in der Eulerform.

-J3 + i

Nach I3eispiel1 ist z1 = 2eifi und z2 = 2e~i. Damit ist 'Ir.

571'.

.

z 1 z 2 = 2 e6' 2 es'= 4e".. = -4 und

'iiJ

nicht

Produkt und

2.5. KOMPLEXE ZAHLEN

z

2eii 2 eT'

- 1 = ----s;;-: = e Z2

139

_2"i T

-21r 3

.. -21r 3

1 2

.J3.

= cos - - + zsm-- = --- -z. 2

13. Konjugation, Real- und Imaginärteil I Ist z

= a + ib = rei'P = r( cos