Elektrotechnik fur Ingenieure

Wilfried Weißgerber

Elektrotechnik für Ingenieure 1

Literatur für das Grundstudium

Vieweg Handbuch Elektrotechnik herausgegeben von W. Böge und W. Plaßmann Elemente der angewandten Elektronik von E. Böhmer Elemente der Elektronik – Repetitorium und Prüfungstrainer von E. Böhmer Grundzusammenhänge der Elektrotechnik von H. Kindler und K.-D. Haim Aufgabensammlung Elektrotechnik 1 und 2 von M. Vömel und D. Zastrow Elektrotechnik für Ingenieure – Klausurenrechnen von W. Weißgerber Elektrotechnik für Ingenieure – Formelsammlung von W. Weißgerber Elektrotechnik von D. Zastrow Elektronik von D. Zastrow

vieweg

Wilfried Weißgerber

Elektrotechnik für Ingenieure 1 Gleichstromtechnik und Elektromagnetisches Feld Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium 7., überarbeitete Auflage Mit zahlreichen Beispielen, 469 Abbildungen und 121 Übungsaufgaben mit Lösungen

Viewegs Fachbücher der Technik

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1990 2., überarbeitete Auflage 1992 3., überarbeitete Auflage 1994 4., verbesserte Auflage 1997 5., verbesserte Auflage 2000 6., verbesserte Auflage April 2005 7., überarbeitete Auflage März 2007

Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Reinhard Dapper / Imke Zander Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Technische Redaktion: FROMM MediaDesign GmbH, Selters/T. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0058-9

V

Vorwort Die drei vorliegenden Bände „Elektrotechnik für Ingenieure“ sind ein Lehr- und Arbeitsbuch für Ingenieurstudenten im Hochschulbereich, die im Grundstudium die Grundlagen der Elektrotechnik verstehen möchten. Das Buch soll dem Studienanfänger das Verständnis für elektrotechnische Probleme erleichtern. Deshalb ist der Stoff sehr ausführlich und systematisch dargestellt. Gleichzeitig soll es bei der Lösung von Übungsaufgaben und bei der Prüfungsvorbereitung behilflich sein, also auch den Anforderungen im Selbststudium genügen. Das Buch ist aus einem Vorlesungs-Skript entstanden, das in gedruckter Form vorliegt und schon von mehreren Studentengenerationen im Unterricht intensiv genutzt wurde. Von den Studenten, ohne deren helfende Kritik das Buch in dieser Form nicht entstanden wäre, wird die Ausführlichkeit der Darstellung besonders gewürdigt. Bei keiner Herleitung heißt es „wie man leicht sieht“, vielmehr ist die mathematische Herleitung der Ergebnisformeln so ausführlich gehalten, dass sie sofort nachvollzogen und ohne eigene Zwischenrechnungen verstanden werden kann. Dem Studierenden wird es somit ermöglicht, sich auf die dargestellten physikalischen Zusammenhänge und vor allem auf die praktischen Beispiele zu konzentrieren, die sowohl im Text als auch als Aufgaben zum Selbststudium reichlich zu finden sind. Im Anhang sind die Lösungen der Aufgaben zusammengestellt, nicht nur als Zahlenergebnisse, sondern in ausführlicher Form eines Lösungsweges. Bei Neuerscheinungen ist es selbstverständlich, dass die Bezeichnungen dem neuesten Stand der Normen entsprechen. Dadurch ist dem Studierenden oft der Zugang zu älterer Literatur verwehrt, weil Widersprüche das neu erworbene Wissen in Frage stellen. Zwischen der heute üblichen und der nicht mehr gebräuchlichen Darstellung gibt es oft nur kleine Unterschiede, die aber leicht zu verstehen sind, wie beispielsweise die Quellspannung und die EMK in Kapitel 1 oder die elektrostatische Feldstärke und die induzierte Feldstärke beim Induktionsgesetz oder die elektrostatische Feldstärke und die Hallfeldstärke beim Halleffekt in Kapitel 3. Die heute verwendeten Bezeichnungen sind bei der direkten Gegenüberstellung links angeordnet; die auf der rechten Seite aufgeführten veralteten Größen ermöglichen das Verständnis älterer bewährter Literatur. Unterzieht man sich der kleinen Mühe, die heute oft verpönte EMK zu verstehen, dann wird es leichter, die Größen des magnetischen Feldes über Analogiebetrachtungen zu erfassen; im magnetischen Feld gibt es zwei verschiedene Arten von „Spannungen“. Die Lösungsverfahren der Gleichstrom-Netzberechnung werden in Kapitel 2 nicht nur dargestellt, sondern auch hinsichtlich ihrer Verwendbarkeit bei umfangreicheren Netzen untersucht. Deshalb wird auch der Gaußsche Algorithmus, der häufig in Rechnerprogrammen zu finden ist, ausführlich beschrieben. Bei der Behandlung der elektromagnetischen Felder in Kapitel 3 ist die Übersicht über die vier feldbeschreibenden Größen und deren Zusammenhänge an den Anfang gestellt, damit die Analogien und die Unterschiede zwischen den Feldern deutlich werden. Bei der Beschreibung der Felder im einzelnen wird prinzipiell gleich vorgegangen: Wesen des Feldes, messtechnischer Nachweis, Fluss, Flussdichte, Spannung (Durchflutung), Widerstand/Leitwert (Kapazität), Feldstärke. Damit wird die Systematik noch unterstrichen. Bewusst ist mit der Behandlung des elektrischen Strömungsfeldes begonnen worden, weil der Feldbegriff mit bekannten Größen der Gleichstromtechnik des Kapitels 2 erläutert werden kann.

VI

Vorwort

Auf die Differentialform der Maxwellschen Gleichungen ist absichtlich verzichtet worden, weil oft die mathematischen Voraussetzungen zum Verständnis fehlen und weil die meisten praktischen Berechnungen mit der Integralform möglich sind. Die Bewegungsinduktion und die Induktion durch zeitlich veränderliche Magnetfelder werden durch gleiche Bilder erläutert. Um die Richtungen der Größen, die die Induktionsvorgänge beschreiben, einfach ermitteln zu können, wird die Rechte-Hand-Regel für alle behandelten Fälle benutzt. Bei magnetisch gekoppelten Kreisen wird deutlich unterschieden, ob die beiden Spulenströme eingeprägt sind oder – wie beim Transformator – nicht. Die 6. Auflage wurde um ein Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen und Einheiten ergänzt. Die 7. Auflage ist noch einmal überarbeitet und durch Erläuterungen ergänzt worden. Für die vielen Anregungen meiner Kollegen und Studenten möchte ich herzlich danken. Ebenso danken möchte ich allen Mitarbeitern des Verlags, die zum Gelingen des dreibändigen Werks beitragen. Wedemark, im März 2006

Wilfried Weißgerber

VII

Inhaltsverzeichnis 1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik ............................................

1

1.1 Ungeladene und geladene Körper ............................................................................. 1.2 Das Coulombsche Gesetz und das elektrische Feld .................................................. 1.3 Das elektrische Potential und die elektrische Spannung ........................................... 1.4 Der elektrische Strom ................................................................................................ 1.5 Der elektrische Widerstand ....................................................................................... 1.6 Die elektrische Energie und die elektrische Leistung ............................................... Übungsaufgaben zu den Abschnitten 1.1 bis 1.6 ..............................................................

1 4 5 10 12 22 25

2 Gleichstromtechnik .............................................................................................

27

2.1 Der unverzweigte Stromkreis .................................................................................... 2.1.1 Der Grundstromkreis ...................................................................................... 2.1.2 Zählpfeilsysteme ............................................................................................ 2.1.3 Die Reihenschaltung von Widerständen ......................................................... 2.1.4 Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen ................................. 2.1.5 Die Reihenschaltung von Spannungsquellen ..................................................

27 27 31 33 34 35

2.2 Der verzweigte Stromkreis ........................................................................................ 2.2.1 Die Maschenregel (Der 2. Kirchhoffsche Satz) .............................................. 2.2.2 Die Knotenpunktregel (Der 1. Kirchhoffsche Satz) ....................................... 2.2.3 Die Parallelschaltung von Widerständen ........................................................ 2.2.4 Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen ................................ 2.2.5 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle ............................................... 2.2.6 Die Parallelschaltung von Spannungsquellen ................................................. 2.2.7 Messung von Widerständen ............................................................................ 2.2.8 Der belastete Spannungsteiler ........................................................................ 2.2.9 Kompensationsschaltungen ............................................................................ 2.2.10 Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt ................................................................................................ Übungsaufgaben zu den Abschnitten 2.1 und 2.2 .....................................................

37 37 39 39 41 44 54 58 62 66

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung ......................................................................... 2.3.1 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze (Zweigstromanalyse) ...................................................................................... 2.3.2 Netzwerkberechnung mit Hilfe des Überlagerungssatzes (Superpositionsverfahren) .............................................................................. 2.3.3 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie (Zweipolverfahren) ....... 2.3.4 Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren .............................. 2.3.5 Netzwerkberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren ......................... 2.3.6 Matrizen und Determinanten und ihre Anwendung bei der Netzwerkberechnung .......................................................................... 2.3.6.1 Matrizen ........................................................................................... 2.3.6.2 Determinanten und Bilden der inversen Matrix ............................... 2.3.6.3 Lösung der Netzberechnungs-Gleichungssysteme ........................... Übungsaufgaben zum Abschnitt 2.3 .........................................................................

80

69 74

80 86 90 98 102 108 108 114 118 129

VIII

Inhaltsverzeichnis

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung ........................................................... 2.4.1 Energie und Leistung....................................................................................... 2.4.2 Energieumwandlungen ................................................................................... 2.4.3 Messung der elektrischen Energie und Leistung ............................................ 2.4.3.1 Messung der elektrischen Energie .................................................... 2.4.3.2 Messung der elektrischen Leistung .................................................. 2.4.4 Wirkungsgrad in Stromkreisen ....................................................................... 2.4.5 Anpassung ...................................................................................................... Übungsaufgaben zum Abschnitt 2.4 .........................................................................

132 132 135 138 138 140 142 145 149

3 Das elektromagnetische Feld ............................................................................. 150 3.1 Der Begriff des Feldes .............................................................................................. 150 3.2 Das elektrische Strömungsfeld .................................................................................. 3.2.1 Wesen des elektrischen Strömungsfeldes ....................................................... 3.2.2 Elektrischer Strom und elektrische Stromdichte ............................................ 3.2.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand ....................................................... Übungsaufgaben zum Abschnitt 3.2 .........................................................................

154 154 156

3.3 Das elektrostatische Feld ........................................................................................... 3.3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes ................................................................ 3.3.2 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte ........................................ 3.3.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, Kapazität und Permittivität (Dielektrizitätskonstante) .................................................... 3.3.4 Verschiebestrom - Strom im Kondensator ..................................................... 3.3.5 Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes ............................................ 3.3.6 Das Verhalten des elektrostatischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Dielektrizitätskonstanten ............................. Übungsaufgaben zum Abschnitt 3.3 .........................................................................

167 167 170

3.4 Das magnetische Feld ............................................................................................... 3.4.1 Wesen des magnetischen Feldes ..................................................................... 3.4.2 Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte .......................................... 3.4.3 Durchflutung, magnetische Spannung und magnetische Feldstärke (magnetische Erregung), magnetischer Widerstand und Permeabilität .......... 3.4.4 Das Verhalten des magnetischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Permeabilitäten ........................................................................ 3.4.5 Berechnung magnetischer Kreise ................................................................... 3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise .............................. 3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter ......................... 3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten ..................... 3.4.6 Elektromagnetische Spannungserzeugung - das Induktionsgesetz ................. 3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – die Bewegungsinduktion .................................................................. 3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – die Ruheinduktion ............................................................................

214 214 216

160 166

175 197 201 206 211

222 242 246 246 276 279 288 288 300

Inhaltsverzeichnis 3.4.7 Selbstinduktion und Gegeninduktion ............................................................. 3.4.7.1 Die Selbstinduktion .......................................................................... 3.4.7.2 Die Gegeninduktion .......................................................................... 3.4.7.3 Haupt- und Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren ....... 3.4.8 Magnetische Energie und magnetische Kräfte ............................................... 3.4.8.1 Magnetische Energie ........................................................................ 3.4.8.2 Magnetische Kräfte .......................................................................... Übungsaufgaben zum Abschnitt 3.4 .........................................................................

IX 305 305 319 337 343 343 352 363

Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben.......................................................................................... 379 1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik .............................................................. 379 2 Gleichstromtechnik ........................................................................................................... 2.1 und 2.2 Der unverzweigte und der verzweigte Stromkreis ......................................... 2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung ......................................................................... 2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung ...........................................................

381 381 391 396

3 Das elektromagnetische Feld ............................................................................................ 3.2 Das elektrische Strömungsfeld .................................................................................. 3.3 Das elektrostatische Feld. .......................................................................................... 3.4 Das magnetische Feld ...............................................................................................

398 398 399 410

Verwendete und weiterführende Literatur ................................................................ 435 Sachwortverzeichnis ........................................................................................................ 436

Inhaltsübersicht Band 2 4 Wechselstromtechnik 5 Ortskurven 6 Der Transformator 7 Mehrphasensysteme Anhang mit Lösungen der Übungsaufgaben

Band 3 8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen 9 Fourieranalyse 10 Vierpoltheorie Anhang mit Lösungen der Übungsaufgaben

Formelsammlung Kompakte Darstellung der zehn Kapitel der Bände 1 bis 3

Klausurenrechnen 40 Aufgabenblätter mit je vier Aufgaben, ausführlichen Lösungen und Bewertungen

X

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten Schreibweise physikalischer Größen und ihrer Abbildungen u, i

Augenblicks- oder Momentanwert zeitabhängiger Größen: kleine lateinische Buchstaben Gleichgrößen, Effektivwerte: große lateinische Buchstaben Maximalwert

U, I û, î G G G E, D, r

vektorielle Größen

Schreibweise von Zehnerpotenzen 1012 p Piko 109 n Nano 106 P Mikro 103 m Milli

103 k Kilo 106 M Mega 109 G Giga 1012 T Tera

102 c Zenti 101 d Dezi 10 1 2

10

da

Deka

h Hekto

Die in diesem Band verwendete Formelzeichen physikalischer Größen

a A b G B, B c

C d G D, D

D D* e G E, E E, e f f Fe G F, F

Länge Fläche, Querschnittsfläche Länge magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion Länge Konstante Lichtgeschwindigkeit c = 2,99792· 108 m/s spezifische Wärmekapazität (spezifische Wärme) elektrische Kapazität Dicke Durchmesser elektrische Verschiebungsflussdichte oder Erregungsflussdichte Durchmesser Drehfederkonstante Elementarladung e = 1,602· 10–19 As elektrische Feldstärke EMK Frequenz Eisenfüllfaktor Kraft

G Gm h G H, H i

I k K G l, l l L m M n N G N p

elektrischer Leitwert magnetischer Leitwert Höhe, Länge magnetische Feldstärke oder magnetische Erregung zeitlich veränderlicher Strom (Augenblicks- oder Momentanwert) laufender Index Stromstärke (Gleichstrom) Knotenzahl Kopplungsfaktor Konstante Länge Anzahl Induktivität Masse Anzahl Gegeninduktivität Drehmoment Anzahl Drehzahl Entmagnetisierungsfaktor Normale Verhältniszahl

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten P q Q rG




r R

Rm s G


S, S t T

u

U G


v, v v V

w w´ W x y z

Leistung (Gleichleistung) zeitlich veränderliche Ladung Ladung, Elektrizitätsmenge variabler Radius Radiusvektor, Ortsvektor elektrischer Widerstand Radius magnetischer Widerstand Weg, Länge Stromdichte Zeit Periodendauer (Dauer einer Schwingung) zeitlich veränderliche elektrische Spannung (Augenblicks- oder Momentanwert) elektrische Spannung (Gleichspannung) Geschwindigkeit Widerstandsverhältnis Volumen magnetische Spannung Windungszahl Energiedichte Arbeit, Energie laufende Ordinate auf der Abzissenachse laufende Ordinate auf der Ordinatenachse Zweigzahl Ankerumdrehungen

XI D E J ' H

K M ) N P

Q U 4 V W Z <

Winkel Temperaturkoeffizient Zeigerausschlag Winkel Temperaturkoeffizient Winkel Zeigerausschlag Differenz, Abweichung Dielektrizitätskonstante Dielektrizitätskonstante des Vakuums, Influenzkonstante: As H0 8, 8542 ˜1012 Vm Wirkungsgrad elektrisches Potential magnetischer Fluss Temperatur spezifischer Leitwert Permeabilität Permeabilität des Vakuums: Vs P0 1, 256 ˜106 Am laufender Index spezifischer Widerstand Durchflutung Streufaktor Zeitkonstante Temperaturkennwert Kreisfrequenz Verschiebungsfluss Induktionsfluss oder verketteter Fluss

XII

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten

Einheiten des MKSA-Systems (m, kg, s, A) Basiseinheit der Länge l der Masse m der Zeit t der elektrischen Stromstärke I der absoluten Temperatur T der Lichtstärke I der Stoffmenge n

das Meter, m das Kilogramm, kg die Sekunde, s das Ampere, A das Kelvin, K die Candela, cd das Mol, mol

von den Basiseinheiten abgeleitete Einheit Newton, der Kraft F Joule, der Energie W Watt, der Leistung P Coulomb, der Ladung Q gleich des Verschiebungsflusses < Volt, der elektrischen Spannung U Ohm, des elektrischen Widerstandes R Siemens, des elektrischen Leitwertes G Farad, der Kapazität C Weber, des magnetischen Flusses ) Henry, der Induktivität L Tesla, der magnetischen Induktion B Hertz, der Frequenz f

1N = 1kg · m · s–2 = 1V · A · s · m–1 1J = 1kg · m2 · s–2 = 1V · A · s 1W = 1kg · m2 · s–3 = 1V · A 1C = 1A · s 1V = 1kg · m2 · s–3 · A–1 = 1W · A–1 1: = 1kg · m2 · s–3 · A–2 = 1V · A–1 1S = 1kg–1 · m–2 · s3 · A2 = 1V–1 · A 1F = 1kg–1 · m–2 · s4 · A2 = 1C · V–1 1Wb = 1kg · m2 · s–2 · A–1 = 1Vs 1H = 1kg · m2 · s–2 · A–2 = 1Wb · A–1 1T = 1kg · s–2 · A–1 = 1Wb · m–2 1Hz = s–1

Die komplette Liste der verwendeten Formelzeichen und Schreibweisen befindet sich in der Formelsammlung vom selben Autor unter dem Titel „Elektrotechnik für Ingenieure – Formelsammlung“.

1

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik 1.1 Ungeladene und geladene Körper Um elektrische Erscheinungen erklären zu können, ist es notwendig, die wichtigsten Zusammenhänge über den Aufbau der Materie zu kennen. Bereits vor etwa 2500 Jahren wurde von den Griechen Leukipp und Demokrit der Begriff des Atoms als kleinsten Baustein der Materie geprägt (atomos – unteilbar). Gleichartige Atome setzen sich zu den Grundstoffen der Materie – den chemischen Elementen – zusammen. Auf der Erde gibt es 83 verschiedene stabile und 22 instabile Elemente, die im so genannten „Periodensystem der Elemente“ zusammengestellt werden: Stoff Wasserstoff Helium Lithium Beryllium · · Chlor · · Wismut Polonium Astatin · · · Uran · · · Nobellium · · ·

chemisches Zeichen H He Li Be · · Cl · · Bi Po At · · · U · · · No · · ·

Ordnungszahl 1 2 3 4 · · 17 · · 83 84 85 · · · 92 · · · 102 · · ·

Verschiedenartige Elemente chemisch in bestimmten Gewichtsverhältnissen verbunden, werden „chemische Verbindungen“ genannt. Die kleinsten Bestandteile heißen Moleküle. Gleichartige Atome können sich auch zu Molekülen zusammenlagern. Beispiele: Wasser H2O = 2H + O 1 Wassermolekül gleich 2 Wasserstoffatome und 1 Sauerstoffatom Kochsalz NaCl = Na + Cl 1 Kochsalzmolekül gleich 1 Natriumatom und 1 Chloratom

2

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

Verschiedene Atome unterscheiden sich durch ihren Atomaufbau. Atommodelle sind theoretisch erarbeitet und experimentell nachgewiesen worden, durch die der Atomaufbau veranschaulicht werden kann. Nach dieser Theorie besteht jedes Atom aus einem Atomkern, um den Elektronen kreisen, ähnlich wie Planeten um die Sonne. Das Atom ist also entgegen der griechischen Auffassung teilbar. Die Art der Atome wird durch die Anzahl der Kernbestandteile – im wesentlichen Protonen und Neutronen – und die Anzahl der umkreisenden Elektronen bestimmt. Nach den Modellvorstellungen bewegen sich die Elektronen auf Bahnen – den Elektronenschalen. Die im Periodensystem nacheinander aufgeführten Elemente besitzen entsprechend ihrer Ordnungszahl entsprechend viele Protonen im Kern und umkreisende Elektronen. Dabei wird zunächst die 1. Schale mit zwei Elektronen, die 2. und 3. Schale jeweils mit acht Elektronen, usw. aufgefüllt [1]. Beispiele:

Bild 1.1 Elektronenschalen und Atomdurchmesser

Innerhalb einer waagerechten Elementperiode nimmt der Atomradius entsprechend der wachsenden Anziehung des positiven Kerns auf die negative Elektronenhülle mit steigender Kernladung ab. Innerhalb einer senkrechten Elementgruppe nimmt dagegen der Atomradius mit steigender Kernladung zu, weil von einem zum nächsten Gruppenglied eine neue Elektronenschale hinzukommt. Die Größenordnung eines Atoms soll anhand eines Wasserstoffatoms veranschaulicht werden, dessen Durchmesser 2 · 10–8 cm beträgt. Der Durchmesser des Wasserstoffatomkerns beträgt nur 6 · 10–12 cm, d. h. fast das gesamte Atom ist masselos. Die Größenverhältnisse des Atomkerns werden anschaulich, wenn der Kern als ein Ball mit einem Durchmesser von 6 cm gedacht wird, dann umkreist das Elektron das Zentrum in einem Abstand von 100 m: 1 ˜10 8 cm 6 ˜10 12 cm

10 4 cm . 6 cm

1.1 Ungeladene und geladene Körper

3

Die Bahngeschwindigkeit des den Atomkern umkreisenden Elektrons beträgt etwa 2 200 km/s. Obwohl die Masse des Elektrons mit 0,91 · 10–30 kg sehr klein ist, entsteht durch die hohe Bahngeschwindigkeit eine beträchtliche Fliehkraft – zu berechnen nach F = m · v2/r – die das Elektron aus der Umlaufbahn bringen möchte. Es existiert zwischen Elektronen und Atomkern eine Anziehungskraft, die die Fliehkraft aufhebt. Man könnte annehmen, dass die Massenanziehungskraft (Gravitationskraft) genauso wie beim Sonnensystem die Fliehkraft aufhebt. Eine Abschätzung ergibt jedoch, dass die Fliehkraft eines Elektrons etwa 1035 mal so groß ist wie die Massenanziehungskraft zwischen Elektronen und Atomkern [2]. Die Anziehungskraft, die das Kreisen der Elektronen um den Atomkern ermöglicht, ist ebenso nicht erklärbar wie die Massenanziehungskraft. Sie wird „elektrische Kraft“ genannt; den Namen hat sie von dem griechischen Bernstein – electron – erhalten, denn es tritt diese Kraft nach außen in Erscheinung, wenn Bernstein Papierschnitzel anzieht, nachdem der Bernstein mit einem Wolllappen gerieben wurde. Um sich die elektrische Kraft zu veranschaulichen, wurde der Begriff der elektrischen Ladung eingeführt, der für Materie kennzeichnend ist. Das Elektron wird als kleinste negative Ladung und das Proton im Atomkern als kleinste positive Ladung angenommen; die Elementarladung des Elektrons bzw. des Protons beträgt 1,602 · 10–19 C (Coulomb). Ist in einem Körper die Anzahl der Protonen (positive Ladungen) gleich der Anzahl der Elektronen (negative Ladungen), dann ist der Körper nach außen hin elektrisch neutral, d. h. ungeladen. Ein Körper, bei dem die Anzahl der Protonen überwiegt, weil Elektronen durch äußere Energien entzogen worden sind, heißt „positiv geladen“. Ein Körper ist „negativ geladen“, wenn die Elektronenanzahl gegenüber der Protonenanzahl größer ist, d. h. wenn ein Elektronenüberschuss vorliegt. Wie beim Atom bestehen zwischen geladenen Körpern elektrische Kräfte: Anziehungskräfte zwischen ungleich geladenen Körpern, Abstoßungskräfte zwischen gleich geladenen Körpern. Auf elektrisch neutrale Körper wirken keine elektrischen Kräfte. Von außen ist einem Körper nicht anzusehen, ob er geladen oder ungeladen ist; das ist erst festzustellen durch einen anderen geladenen Körper. Die Einführung des Begriffs „Ladung“ erleichtert also die Beschreibung der elektrischen Kraft. Experimenteller Nachweis: Der „Ping-Pong-Versuch“ Zwei tellerförmige Metallnetze sind in einem Abstand von ca. 30cm gegenüber angeordnet und werden mittels eines Bandgenerators unterschiedlich aufgeladen, d. h. das eine Netz hat einen Elektronenüberschuss (negativ geladen), das andere hat einen Elektronenmangel (positiv geladen). Zwischen den beiden geladenen Netzen befindet sich pendelförmig aufgehängt ein mit Graphit überzogener Tischtennisball, der sich nicht bewegt, weil er elektrisch neutral, also ungeladen ist. Eine isolierte Metallscheibe wird an das positiv geladene Netz gehalten und damit selbst positiv geladen. Berührt nun die positiv geladene Metallscheibe den Tischtennisball, wird dieser ebenfalls positiv geladen, und er bewegt sich nun nach dem negativ geladenen Netz hin. Beim Anstoß an das negativ geladene Netz wird der Tischtennisball negativ geladen und von dem negativ geladenen Netz abgestoßen und gleichzeitig von dem positiv geladenen Netz angezogen. Beim Berühren des negativ geladenen Balles mit dem positiv geladenen Netz wird der Ball positiv geladen, wodurch er wieder abgestoßen wird, usw.

4

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

1.2 Das Coulombsche Gesetz und das elektrische Feld Zwischen elektrisch geladenen Körpern wirken Anziehungs- bzw. Abstoßungskräfte, die durch das Coulombsche Gesetz1) (skalare Form) beschrieben werden: F

mit F:

Q ˜Q K 1 2 r2

(1.1)

elektrische Kraft,

K:

dimensionsbehafteter Proportionalitätsfaktor,

Q1, Q2: gleichnamige oder ungleichnamige Ladungen und r:

Abstand zwischen den beiden Ladungen.

Die elektrische Kraft wird also durch die beiden Ladungen und den Abstand bestimmt und wird damit als „Fernwirkung“ zwischen den beiden Ladungen erklärt. Die gleiche Kraft kann aber auch aus der Wechselwirkung der Ladung Q2 und einer Zustandsgröße in dem Punkt, in dem sich die Ladung Q2 befindet, beschrieben werden. Die Zustandsgröße wird allein durch die Ladung Q1 bestimmt und heißt elektrische Feldstärke. Umgekehrt kann die Kraft auf die Ladung Q1 aus der Wechselwirkung zwischen der Ladung Q1 und der Feldstärke – verursacht durch die Ladung Q2 – erklärt werden. Die Kraft wird also als „Nahwirkung“ zwischen Ladung und Raumzustand aufgefasst. Die Feldtheorie nach Faraday2) geht davon aus, dass mit einer Ladung Q1 in der Umgebung ein elektrisches Feld existiert. Im Punkt der Ladung Q2 herrscht eine Feldstärke E, abgeleitet aus dem oben angegebenen Coulombschen Gesetz: E

K

Q1 , r2

(1.2)

die von der Ladung Q1 und dem Abstand r abhängig ist. Die Kraft auf die Ladung Q2 ergibt ich dann aus F

E ˜ Q2

K

Q1 Q2. r2

(1.3)

Entsprechendes gilt für die gleich große Kraft auf die Ladung Q1. Mit der Einführung des Feldbegriffs ist es möglich, alle in der Umgebung der Ladung Q1 zu erwartenden Kräfte auf Ladungen Q2 vorauszusagen und umgekehrt. Die Ladung Q2 wirkt also wie ein Indikator des Raumzustands in der Umgebung der Ladung Q1 und umgekehrt. Das elektrische Feld in der Umgebung einer Ladung wird durch gedachte Linien, die so genannten Feldlinien veranschaulicht. Jede elektrische Feldlinie hat einen Anfang bei einer positiven Ladung und endet bei einer negativen Ladung, hat also eine Richtung. Wird nur die Umgebung einer Ladung beschrieben, d. h. die Gegenladung ist weit entfernt, dann gehen die Feldlinien strahlenförmig von der Ladung aus bzw. treffen auf die Ladung auf, je nachdem ob die Ladung positiv oder negativ ist.

1)

Coulomb, französischer Physiker, 1736–1806

2)

Faraday, englischer Physiker, 1791–1867

1.3 Das elektrische Potential und die elektrische Spannung

5

Auf eine positive Ladung wirkt damit immer eine Kraft in Richtung der elektrischen Feldlinie, auf eine negative Ladung wirkt eine Kraft entgegen der Feldlinienrichtung. Aus dem Feldbild kann die Richtung der Feldstärke und die zu erwartende Kraft auf Ladungen und die Größe der Feldstärke bzw. der Kraft abgelesen werden: Die Richtung der Feldlinien stimmt mit der Richtung der Feldstärke überein, die Dichte der Feldlinien bestimmt die Größe der Feldstärke und die Größe der auf eine Ladung wirkenden Kraft. Beispiele von Feldlinienbilder:

Bild 1.2 Feldbild zweier geladener Platten

Bild 1.3 Feldbilder von punktförmigen Ladungen

Bild 1.4 Feldbilder von zwei gleichnamigen und zwei ungleichnamigen punktförmigen Ladungen

1.3 Das elektrische Potential und die elektrische Spannung Werden zwei ungleichnamige, dicht beieinanderliegende Ladungen um eine Entfernung s verschoben, dann muss entgegen der Coulombschen Anziehungskraft eine Kraft F aufgewendet werden. Bei dieser Ladungstrennung wird die Arbeit W = F · s verrichtet. Wird die negative Ladung Q2 um s verschoben, dann hat sie die an ihr verrichtete Arbeit in potentieller Energie gespeichert, analog wie ein um s angehobener Körper mit der Masse m potentielle Energie enthält: W 1 = M1 · Q 2 .

(1.4)

6

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

Die Ladung Q2 hat in Bezug auf die Ladung Q1 das elektrische Potential M1

W1 , Q2

(1.5)

das ist die gespeicherte Energie bezogen auf die verschobene Ladung Q2.

Bild 1.5 Ladungsverschiebungen vor der Trennung

nach der Trennung

nach weiterer Trennung

Wird die Ladung Q2 um ein weiteres 's verschoben, dann wird die potentielle Energie der Ladung Q2 auf den Wert W 2 = M2 · Q 2

(1.6)

erhöht. Dann hat die Ladung Q2 in Bezug zur Ladung Q1 das elektrische Potential M2

W2 , Q2

(1.7)

das ist die erhöhte gespeicherte Energie bezogen auf die verschobene Ladung Q2. Für die Verschiebung der negativen Ladung Q2 von der positiven Ladung um eine gleiche Entfernung s ist die aufzuwendende Energie immer gleich groß, gleichgültig in welcher Richtung die Ladung von Q1 aus verschoben wird. Den Punkten mit dem gleichen Abstand s von der Ladung Q1 ist deshalb gleiches Potential zuzuordnen. Auf derartigen Flächen gleichen Potentials, den Äquipotentialflächen, geschieht eine weitere Verschiebung energielos. Jedem Punkt in der Umgebung der Ladung Q1 kann also ein elektrisches Potential zugeordnet werden, das ein Maß für die potentielle Energie der Ladung Q2 ist, die sich jeweils in den Punkten befindet. Wird bei der Verschiebung der Ladung Q2 der Abstand zur Ladung Q1 größer, dann muss Energie aufgewendet werden. Wird der Abstand kleiner, dann wird Energie frei; auf Grund der Coulombschen Anziehungskraft bewegt sich die Ladung Q2 auf die Ladung Q1 zu. Die Differenz an potentieller Energie beim Verschieben der negativen Ladung Q2 in der Umgebung der positiven Ladung Q1 von s nach s + 's beträgt 'W = W2 – W1 = (M2 – M1) · Q2.

(1.8)

1.3 Das elektrische Potential und die elektrische Spannung

7

Die Energiedifferenz 'W kann auf die zu verschiebende Ladung Q2 bezogen werden und wird elektrische Spannung U genannt: U

'W Q2

M 2  M1 .

(1.9)

Die elektrische Spannung U ist also gleich der Differenz der elektrischen Potentiale. Während jedem Raumpunkt in der Umgebung einer elektrischen Ladung ein elektrisches Potential M zugeordnet werden kann, können gleiche Spannungen U zwischen verschiedenen Raumpunkten bestehen. Wird eine positive Ladung in der Umgebung einer positiven Ladung verschoben oder eine negative Ladung in der Umgebung einer negativen Ladung verschoben, dann muss entgegen der Coulombschen Abstoßungskräfte Energie aufgewendet werden. Die Einheit des elektrischen Potentials und der elektrischen Spannung ist Volt1): 1V 1

N˜m , C

(1.10)

denn das elektrische Potential und die elektrische Spannung haben die Dimension Energie pro Ladung. Im Kapitel 3.3 „Das elektrostatische Feld“ wird genauer auf die Zusammenhänge zwischen Ladung, elektrische Feldstärke, Feldlinien, elektrisches Potential und elektrische Spannung eingegangen. Die Erzeugung elektrischer Spannung ist immer mit Ladungstrennung und Ladungsverschiebung verbunden. Elektrische Energie bedeutet also potentielle Energie von getrennten ungleichnamigen Ladungen. Die Ladungstrennung erfolgt durch Einwirkung anderer Energieformen wie mechanischer Energie, chemischer Energie, Wärmeenergie oder Lichtenergie. Andere Energien werden in elektrische Energie umgewandelt, indem sie die Ladungstrennung bewirken und aufrechterhalten. Beispiele: Umwandlung mechanischer in elektrische Energie: Das Bewegen eines metallischen Leiters in einem zeitlich konstanten Magnetfeld bewirkt eine Ladungstrennung im Leiter (Dynamomaschine). Umwandlung chemischer in elektrische Energie: In Akkumulatoren wird die Ladungstrennung infolge von chemischen Reaktionen über längere Zeiten aufrechterhalten. Umwandlung von Wärmeenergie in elektrische Energie: Zwei verschiedene metallische Leiter mit unterschiedlicher Austrittsarbeit für Elektronen sind kontaktiert und bilden einen Stromkreis. Haben beide Kontaktstellen unterschiedliche Temperaturen, dann tritt eine von der Temperaturdifferenz abhängige Spannung auf (Thermoelement). Umwandlung von Lichtenergie in elektrische Energie: Im Photoelement werden durch Bestrahlung mit Licht negative Ladungen von positiven Ladungen getrennt.

1)

Volta, italienischer Physiker, 1745–1827

8

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

Jede von außen zugeführte Energie pro Ladung wird in einer Spannungsquelle durch die Quellspannung Uq erfasst. Sie entspricht der Energie pro Ladung, die sich nach der Ladungstrennung als Spannung ergibt. In älterer Literatur wird die in einer Spannungsquelle zugeführte Energie pro Ladung durch die elektrische Spannung E, der „Elektromotorischen Kraft“ (EMK) berücksichtigt. Wörtlich übersetzt heißt EMK „elektronenbewegende Kraft“ und bedeutet, dass die zugeführte Spannung Elektronen durch die Leiterbahn – von Minus nach Plus – treiben kann. Auf die EMK wird in der neueren Literatur meist verzichtet, weil sie zu Verwechslungen mit der elektrischen Feldstärke E führen kann und weil der Name „Kraft“ missverständlich ist, denn die EMK E entspricht einer Spannung.

Warum gibt es also zwei Bezeichnungen für die Spannung der Spannungsquelle? Im Gleichstromkreis kann eine Spannung gemessen werden, egal ob sie durch eine Ladungstrennung in einer Spannungsquelle oder ob sie durch einen Stromfluss durch einen Widerstand entsteht. Deshalb werden alle Spannungen mit einem „U“ bezeichnet, also auch die Spannung der Spannungsquelle mit Uq. Sämtliche Berechnungen im Gleichstromkreis werden mit der Quellspannung Uq vorgenommen, obwohl sie auch mit der Spannung E möglich sind. Die EMK E dagegen ist eine wichtige Analogiegröße des Gleichstromkreises zum magnetischen Kreis. Der magnetische Kreis wird mit den Begriffen „magnetischer Fluss“, „magnetische Flussdichte“, „magnetische Spannung“, „magnetische Feldstärke“ und „magnetischer Widerstand“ beschrieben, die dem Gleichstromkreis entlehnt sind, denn physikalisch lassen sie sich nicht erklären. Im magnetischen Kreis müssen aber im Gegensatz zum Gleichstromkreis zwei Arten von „magnetischen Spannungen“ unterschieden werden: die Durchflutung oder MMK 4, die der EMK entspricht, und die magnetischen Spannungen V infolge magnetischer Flüsse ) in magnetischen Widerständen. Die EMK im Gleichstromkreis vervollständigt also die Analogie zum magnetischen Kreis (siehe Abschnitt 3.4.3), so dass es möglich ist, für magnetische Kreise Ersatzschaltbilder mit elektrischen Schaltsymbolen angeben zu können (siehe Abschnitt 3.4.5). Mit diesen Ersatzschaltbildern lassen sich Zusammenhänge in magnetischen Kreisen vorteilhaft erklären. Bei der Berechnung von magnetischen Kreisen ist eine Kennlinienüberlagerung (siehe Abschnitt 3.4.5.1, Bilder 3.124 und 3.125) notwendig, die der Kennlinienüberlagerung für den Grundstromkreis mit der EMK E entspricht (siehe Abschnitt 2.1.1, Bild 2.5). Wird in der Literatur über das Induktionsgesetz und den Halleffekt berichtet, werden häufig die Begriffe „induzierte Feldstärke“ und „Hallfeldstärke“ verwendet, die aber nur im Zusammenhang mit der EMK E zu verstehen sind (siehe Abschnitt 3.4.6.1, S. 290 und Abschnitt 3.4.8.2, S. 355). Aus diesen Gründen ist der Quellspannung Uq die EMK E gegenübergestellt. Der Unterschied zwischen beiden Betrachtungsweisen ist sehr einfach zu verstehen. Ausgangspunkt ist der unterschiedliche Energieansatz, der im Abschnitt 1.6 dargestellt wird. Diejenigen Leser, die eine eindeutige Betrachtungsweise wünschen, sollten bei den Gegenüberstellungen grundsätzlich nur die linke Seite beachten und die Spannung E oder e ignorieren. Mit der rechten Seite wird die Analogie zum Magnetfeld vervollständigt und der Zugang zu älterer Literatur ermöglicht.

1.3 Das elektrische Potential und die elektrische Spannung

9

Wird die Spannungsquelle, in der die Ladungen getrennt werden, durch einen elektrischen Leiter (äußerer Widerstand) zu einem Leiterkreis geschlossen, dann bewegen sich die Elektronen auf Grund des aufgebauten Spannungszustandes vom Minuspol (Elektronenüberschuss) über die Leiterbahn des elektrischen Leiters zum Pluspol (Elektronenmangel), wo sie mit den positiven Atomrümpfen rekombinieren. Die Bewegung der Elektronen bei ortsfesten positiven Atomrümpfen wird bei metallischen Leitern beobachtet. Bei Elektrolyten dagegen sind sowohl negative Ladungen (Anionen) als auch positive Ladungen (Kationen) in umgekehrter Richtung in Bewegung und am Ladungsausgleich beteiligt.

Bild 1.6 Elektronenbewegung bei metallischen Leitern

Bild 1.7 Ionenbewegung bei Elektrolyten

Die Antriebsenergie der negativen Ladungen (Elektronen bei metallischen Leitern und Anionen bei Elektrolyten) ist im Punkt B höher als im Punkt A. Dagegen ist die Antriebsenergie der positiven beweglichen Ladungen (Kationen) bei Elektrolyten im Punkt A höher als im Punkt B. Für negative Ladungen herrscht im Punkt B ein höheres Potential, für positive Ladungen im Punkt A. Die Potentialdifferenz heißt Spannungsabfall oder einfach Spannungsfall. In einem allgemeingültigen Ersatzschaltbild für die Spannungsquelle mit äußerem Widerstand werden die Richtungen von Spannungen nach der Bewegungsrichtung und den Potentialen der positiven Ladungen (Kationen) festgelegt, also entgegen der Bewegungsrichtung und Potentiale der negativen Ladungen (Elektronen, Anionen): alle U: von Plus nach Minus (EMK E: von Minus nach Plus). Nach dieser Richtungsdefinition ist das elektrische Potential MA im Punkt A höher als das elektrische Potential MB im Punkt B. Der Spannungsabfall U ist also die Potentialdifferenz U = MA – M B.

(1.11)

Bild 1.8 Richtungsdefinitionen für Spannungen

10

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

In diesem so genannten Grundstromkreis bedeuten: Uq (bzw. E): Die ideale Spannungsquelle wird als Quellspannung Uq durch einen durchgezogenen Kreis mit einem außenliegenden Pfeil (siehe Bild 1.11, S. 13) dargestellt, der von Plus nach Minus zeigt. (Bei der EMK E wird der Richtungspfeil, der von Minus nach Plus zeigt, innerhalb des Kreises eingezeichnet.) U i:

Infolge des Innenwiderstandes Ri der Spannungsquelle und des Ladungstransports (Konvektionsstrom) I entsteht ein Spannungsabfall.

U:

Infolge des Widerstandes Ra (Widerstand außen) des äußeren Leiters und des Ladungstransports I entsteht der Spannungsabfall an den Klemmen der Spannungsquelle bzw. des äußeren Leiters, der deshalb auch Klemmenspannung genannt wird.

1.4 Der elektrische Strom Grundsätzlich gibt es zwei Arten des elektrischen Stroms: den Verschiebungsstrom im Nichtleiter und den Konvektionsstrom im Leiter. Verschiebungsstrom: Während des Auf- und Entladens eines Zweielektrodensystems (z. B. zweier paralleler Leiterplatten) durch eine Spannungsquelle werden die Ladungen von der Spannungsquelle auf die Leiterplatten verschoben. Im nichtleitenden Zwischenraum kann während dieses Vorgangs ein magnetischer Raumzustand gemessen werden, als ob im nichtleitenden Medium Ladungen bewegt werden. Deshalb wird im Nichtleiter ein elektrischer Strom angenommen. Im Abschnitt 3.3.4 wird auf diesen Verschiebungsstrom genauer eingegangen. Konvektionsstrom: Die durch den Spannungszustand in der Spannungsquelle verursachte gerichtete Bewegung elektrischer Ladungen wird Konvektionsstrom genannt, weil er mit Stofftransport, den Ladungen, verbunden ist. Der Name „Konvektion“ ist auch gebräuchlich bei Wärmeübertragungsvorgängen mit Stofftransport. In Metallen sind ausschließlich die freien Elektronen beweglich, die positiven Atomrümpfe mit ihren gebundenen Elektronen sind ortsfest. Der positiv definierte Gleichstrom I ist entgegengerichtet dem Elektronenstrom. In elektrolytischen Flüssigkeiten (anorganische und organische Säuren, Laugen, Salzlösungen) zerfallen die Moleküle zum Teil in positive Ionen, den Kationen, und negative Ionen, den Anionen. Dieser Vorgang heißt Dissoziation. Bei Anlegen einer Gleichspannung an zwei Elektroden, die in der elektrolytischen Flüssigkeit eingetaucht sind, wandern infolge der Coulombschen Anziehungskräfte die Kationen zum Minuspol (Kathode) und die Anionen zum Pluspol (Anode) und bilden damit den elektrischen Strom. Der positiv definierte Strom stimmt mit der Bewegungsrichtung der Kationen überein und ist entgegengerichtet dem Strom der Anionen. Beispiel: NaOH

Na+ + OH–

1.4 Der elektrische Strom

11

Gase sind unter normalen Bedingungen Nichtleiter, weil praktisch keine Ladungsträger vorhanden sind. Ladungsträger (Ionen, Elektronen) können durch Ionisation von außen (z. B. Röntgenstrahlen) entstehen. Diese können durch die anliegende Spannung derart beschleunigt werden, dass sie selbst Gasmoleküle ionisieren; Gase werden dann leitend (Lichtbogen). Begleiterscheinungen des elektrischen Stroms sind: 1. Wärmewirkung in einem Leiter: Die beweglichen Elektronen stoßen mit den ortsfesten Atomrümpfen zusammen und versetzen sie in Schwingungen, die die Erwärmung des Leiters bedeuten. Die kinetische Energie der Elektronen wird also in Schwingungsenergie (gleich Wärmeenergie) der Atomrümpfe umgewandelt. Die im Leiter entstehende Wärmeenergie wird nach außen übertragen und damit der elektrischen Energie des Stromkreises entzogen. 2. Aufbau eines magnetischen Feldes: Ein Konvektionsstrom ist immer von einem ihn umwirbelnden Magnetfeld begleitet, das durch Eisenfeilspäne oder kleine Magnetnadeln nachgewiesen werden kann, die durch magnetische Kräfte ausgerichtet werden (siehe Abschnitt 3.4.1). Wie erwähnt, ist auch der Verschiebungsstrom mit einem magnetischen Feld verbunden. 3. Stofftransport bei Ionenleitern: Bei der Stromleitung in elektrolytischen Flüssigkeiten ist die Bewegung der Ladungsträger, den Ionen, mit einem Stofftransport verbunden. Die zu den Elektroden wandernden Ionen rekombinieren und setzen sich als neutralisierte Stoffe an den Elektroden ab. Beispiel: Ein Strom von 1 A (Ampere 1), Einheit des elektrischen Stroms) scheidet in einer wässrigen Silbernitratlösung (AgNO3) in einer Sekunde 1,118 mg Silber (Ag) ab. So lautet die nicht mehr gebräuchliche Definition der Einheit des elektrischen Stroms Ampere.

Definition der Einheit des elektrischen Stroms: Die Stromstärke I eines elektrischen Stroms beträgt 1 A (Ampere 1)), wenn durch die Querschnittfläche des Leiters pro Sekunde die Ladungsmenge von 1 C (Coulomb), das sind 6,24 · 1018 Elektronen, hindurchtritt:

1A 1

C s

6,24 ˜1018 Elektronen . Sekunde

1 C sind selbstverständlich nur Elektronen, wenn die Elektronen den Ladungstransport übernehmen, also bei metallischen Leitern. Für einen zeitlich konstanten Ladungsstrom ist der Strom ein Gleichstrom I

Q , t

(1.12)

bei zeitlich veränderlichem Ladungsstrom ist der Strom gleich dem Differentialquotient, also dem Quotient der Differentiale dq und dt: i

1)

dq . dt

Ampere, französischer Mathematiker und Physiker, 1775–1836

(1.13)

12

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

Bei gleichmäßiger Verteilung des Stroms über der Fläche ist die Stromdichte S konstant S

I A

mit

[S] = 1

A , mm 2

(1.14)

bei ungleichmäßiger Stromverteilung über der Fläche ist der Teilstrom dI auf das Flächenteil dA zu beziehen:

S

dI ˜ dA

(1.15)

Im allgemeinen werden zwei Stromarten unterschieden: Gleichstrom ist ein in Stärke und Richtung zeitlich gleichbleibender Strom (siehe Kapitel 2), Wechselstrom ist ein zeitlich periodisch sich ändernder Strom (siehe Band 2, Kapitel 4).

Bild 1.9 Gleichstrom

Bild 1.10 Wechselstrom

1.5 Der elektrische Widerstand Beim Stromdurchgang durch einen Körper wird die Antriebsenergie der Ladungsträger längs des Stromkreises vermindert. Der elektrische Widerstand eines Körpers ist ein Maß dafür, wie sich der Körper dem Stromdurchgang widersetzt. Er wird wesentlich von den Materialeigenschaften bestimmt. Bei der Stromleitung in Metallen lässt sich die Eigenschaft des elektrischen Widerstandes durch die Vorstellung erklären, dass die sich bewegenden Elektronen durch die positiven Atomrümpfe abgelenkt und gebremst werden. Je nach Größe des elektrischen Widerstandes werden unterschieden: 1. Leiter: Metalle, metallische Verbindungen (Leiter 1. Ordnung), Elektrolyte (Leiter 2. Ordnung), 2. Halbleiter: Beispiele sind Kohle, Silizium, Germanium, Selen, einige Schwermetalloxyde (Urandioxyd), 3. Nichtleiter (Isolatoren): Beispiele sind Glimmer, Quarz, Salze in fester Form, Kunststoffe. Die Eigenschaft der unterschiedlichen Stromleitung fester Materialien lässt sich durch das so genannte Bändermodell der Atome [2] erläutern. Nach diesen Modellvorstellungen bewegen sich die Elektronen in verschiedenen Energiebändern, von denen für die Stromleitung nur das Valenzband mit Valenzelektronen und das Leitungsband mit freien Elektronen in Frage kommen.

1.5 Der elektrische Widerstand

13

Bei metallischen Leitern überlappen sich beide Bänder, so dass die Valenzelektronen die Stromleitung übernehmen können. Bei Halbleitern sind Leitungsband und Valenzband energetisch nur relativ gering getrennt, denn bei relativ kleiner Wärmezufuhr wandern Valenzelektronen in das Leitungsband und stehen der Stromleitung zur Verfügung. Beispiel: An einem Siliziumstab liegt eine elektrische Spannung an, wodurch infolge des relativ hohen Widerstandes ein geringer Strom fließt. Bei Erwärmung des Stabes mit Hilfe eines Bunsenbrenners erhöht sich der Strom auf ein Vielfaches. Durch die Widerstandserwärmung bleibt der hohe Strom erhalten; die äußere Erwärmung ist nicht mehr notwendig.

Bei Nichtleitern liegen Valenzband und Leitungsband energetisch so weit auseinander, dass Valenzelektronen nicht die verschwindend wenigen freien Elektronen bei der Stromleitung unterstützen können. Wird ein elektrischer Widerstand Ra an eine Spannungsquelle angeschlossen, dann verursacht der Spannungsabfall U über dem elektrischen Widerstand einen bestimmten Strom I.

Bild 1.11 Spannung und Strom eines elektrischen Widerstandes

Ist der Widerstand Ra von Einflussgrößen unabhängig, also konstant, dann tritt bei halber Spannung U/2 auch nur die Hälfte des Stroms I/2 auf und bei zweifacher Spannung 2 · U verdoppelt sich der Strom auf 2 · I, d. h. der Quotient aus Spannung und Strom ist konstant U I und Spannung und Strom stehen in linearer Beziehung zueinander: Ra

U = Ra · I

oder

I

U Ra

Die Einheit des elektrischen Widerstandes heißt Ohm1): [R a ] 1

1)

V A

1 :.

Ohm, deutscher Physiker, 1789–1854

(1.16)

(1.17)

14

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

Die Kennlinie für einen konstanten Widerstand ist eine Nullpunktsgerade. Wegen des linearen Zusammenhangs zwischen Strom und Spannung wird ein konstanter Widerstand auch linearer Widerstand genannt.

Bild 1.12 Kennlinie eines linearen Widerstandes

Wird der lineare Widerstand Ra von Ra1 auf Ra2 vergrößert und soll der Strom gleich bleiben, dann muss die Spannung proportional von U1 = Ra1 · I auf U2 = Ra2 · I erhöht werden:

Ra2

> Ra1

U2 I

>

U2

> U1

U1 I

Bild 1.13 Kennlinien linearer Widerstände

Eine Vergrößerung des Stroms von I2 = U/Ra2 auf I1 = U/Ra1 bei gleichbleibender Spannung wird erreicht, wenn der Widerstand umgekehrt proportional verkleinert wird:

Bild 1.14 Kennlinien linearer Widerstände

Ra2

> Ra1

U I2

>

I2

< I1

U I1

1.5 Der elektrische Widerstand

15

Der Anstieg der Geraden U = f(I) = Ra · I

(1.18)

ist ein Maß für die Größe des linearen Widerstandes und beträgt Ra. Die Abhängigkeit von Strom und Spannung wird auch oft umgekehrt angegeben, I = f(U) =

1 ˜U = Ga · U, Ra

(1.19)

so dass die Steilheit der Geraden durch den Kehrwert des linearen Widerstandes bestimmt wird, der elektrischer Leitwert 1 Ra genannt wird. Die Einheit des elektrischen Leitwerts heißt Siemens1):

Ga =

(1.20)

[Ga] = 1S = 1:–1. Wird der lineare Widerstand Ra von Ra1 auf Ra2 vergrößert und soll der Strom gleich bleiben, dann muss die Spannung entsprechend erhöht werden: Ga2 1 R a2 Ra2 U2 I U2

< Ga1 1 < R a1 > Ra1 U1 > I > U1

Bild 1.15 Kennlinien linearer Widerstände

Eine Erhöhung des Stroms von I2 auf I1 bei gleichbleibender Spannung wird bei entsprechender Verkleinerung des Widerstands erreicht:

Bild 1.16 Kennlinien linearer Widerstände

1)

Siemens, deutscher Elektrotechnik-Ingenieur, 1816–1892

Ga2 1 R a2 Ra2 U I2

< Ga1 1 < R a1 > Ra1 U > I1

I2

< I1

16

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

Ein Widerstand Ra hat also bei konstanten Einflussgrößen wie Temperatur und Druck eine lineare Strom-Spannungs-Kennlinie, die Gleichung für den ohmschen Widerstand Ra= konstant

(1.21)

beschreibt das Ohmsche Gesetz. Ein Netzwerk mit nur konstanten ohmschen Widerständen und zwei Anschlussklemmen stellt einen passiven Zweipol dar. Wird an die beiden Klemmen eine Spannung U angelegt, dann fließt durch den Zweipol ein Strom I, der linear von der Spannung abhängt. Der Quotient aus Spannung U und Strom I entspricht einem ohmschen Widerstand Ra = U/I, der als Ersatzschaltung für den passiven Zweipol verwendet werden kann:

Bild 1.17 Ersatzschaltung eines passiven Zweipols

Lineare Widerstände werden als homogene Leiter hergestellt, die beim Stromfluss eine gleiche Stromdichte über den Querschnitt garantieren. Sie lassen sich durch die Bemessungsgleichung errechnen: Ra

mit l:

U˜l A

l N ˜A

(1.22)

Länge des Leiters

A:

Querschnittfläche des Leiters

U:

spezifischer Widerstand

N = 1/U: spezifischer Leitwert

Materialgrößen

Die Materialgrößen U und N werden für verschiedene Materialien messtechnisch ermittelt. Durch Strom-Spannungs-Messungen kann der Widerstand Ra bestimmt werden und dann auf die Querschnittsfläche 1 mm2 und die Länge 1 m bezogen werden: A l

mit [U] = 1

: ˜ mm 2 m

1 l ˜ Ra A

mit [N] = 1

m : ˜ mm 2

U = Ra ˜ N=

(1.23) 1

S˜ m mm 2

(1.24)

1.5 Der elektrische Widerstand

17

Nichtlineare Widerstände sind ohmsche Widerstände, die einen nichtlinearen Verlauf U = f (I) haben; sie sind stromabhängig [3]. Für einen nichtlinearen Widerstand werden zwei Widerstände für unterschiedliche Anwendungen definiert, die aus der Kennlinie abgelesen werden können: Gleichstrom-Widerstand Ra (statischer Widerstand) und differentieller Widerstand Rd (dynamischer Widerstand)

Bild 1.18 Kennlinie eines nichtlinearen Widerstandes

Wird der nichtlineare Widerstand an eine Gleichspannungsquelle mit einem Innenwiderstand angeschlossen, dann stellt sich auf der Kennlinie ein Arbeitspunkt ein, der sich durch Kennlinienüberlagerung ermitteln lässt (siehe Abschnitt 2.1.1, Bild 2.5). Der Gleichstromwiderstand ist dann gleich dem Quotienten aus den im Arbeitspunkt ablesbaren Werten von Strom und Spannung Ra (I) = U/I, der für jeden Arbeitspunkt verschiedene Werte annehmen kann. Für die im Bild 1.18 gezeichnete Kurve erhöht sich der Gleichstromwiderstand vom Punkt P1 zum Punkt P2 auf das 1,5-fache: U1 U 2 3 ˜ U1 , R a (I 2 ) 1,5 ˜ R a (I1 ) . I1 I2 2 ˜ I1 Der differentielle Widerstand Rd entspricht dem Anstieg der Tangente im Arbeitspunkt der Kurve und wird berücksichtigt, wenn sich der Gleichstrom I um geringe Weite verkleinert oder vergrößert. Die gekrümmte Kurve wird in diesem Bereich linearisiert, indem der Anstieg der Tangente den Widerstandswert bestimmt. R a (I1 )

Genauso könnte auch der Sekantenanstieg von zwei benachbarten Punkten der nichtlinearen Kurve verwendet werden. Der Widerstand, der dem Sekantenanstieg entspricht, wird Schwankungswiderstand genannt, weil er die Spannungsschwankung 'U auf die Stromschwankung 'I bezieht. Ist der Funktionsverlauf U=f(I) analytisch bekannt, dann kann der stromabhängige Widerstand Rd=f(I) mit Hilfe der Differentiation errechnet werden. Da das im Allgemeinen nicht der Fall ist, kann der differentielle Widerstand für bestimmte Ströme nur angenähert ermittelt werden. Die U=f(I)-Kennlinie kann durch Geradenstücke ersetzt werden, die durch benachbarte (I, U)Paare gebildet werden. Die Anstiegswerte der Geradenstücke können dann einfach berechnet und die Rd=f(I)-Kurve angenähert dargestellt werden.

18

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik Beispiele von nichtlinearen Widerständen: Dioden (Gleichrichter) Lichtbogen metallische Thermowiderstände (Metallfadenlampe) Eisenwasserstoffwiderstand (Eisendrahtspirale in Wasserstoff unter Druck) Thermistoren (Halbleiter) Sperrschichtwiderstände Hochvakuumdiode

Bild 1.19 Kennlinie einer Diode

Bild 1.20 Kennlinie eines Lichtbogens

Verschiedene Leitermaterialien verhalten sich hinsichtlich ihrer Stromleitfähigkeit bei unterschiedlichen Temperaturen unterschiedlich, z. B. nichtferromagnetische und ferromagnetische Stoffe. Die Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes verschiedener Materialien lässt sich messtechnisch ermitteln und in einem Koordinatensystem darstellen:

Bild 1.21 Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes

Bei einer Bezugstemperatur -z beträgt der spezifische Widerstand Uz. Durch die Temperaturänderung '- = d- wird Uz um 'U geändert. Übersteigen die Temperaturen die Bezugstemperatur -z nur in bestimmten Grenzen, dann kann die Änderung des spezifischen Widerstandes

1.5 Der elektrische Widerstand

19

näherungsweise mit Hilfe der Tangente im Punkte (-z, Uz) abgelesen werden: das Differential dU. Der Anstieg der Sekante wird also durch den Anstieg der Tangente angenähert: 'U §dU · | ¨ ¸ '- ©d- ¹z oder

§dU · 'U ¨ ¸ ˜ '-. ©d- ¹z

(1.25)

Der spezifische Widerstand bei erhöhter Temperatur ist dann U = Uz + 'U §dU · U = U z  ¨ ¸ ˜ '©d- ¹z

(1.26) (1.27)

ª º § dU · U = Uz ˜ «1  1 ˜ ¨ ¸ ˜ '-» U d z © ¹z ¬ ¼

(1.28)

U = Uz ˜ [1 + Dz · '- ] mit '- = - – -z.

(1.29)

Im Allgemeinen wird der Temperaturkoeffizient Dz auf 20ºC bezogen. Die Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes für Temperaturen - < 200ºC lässt sich damit durch folgende Formel berechnen, in der - in ºC eingesetzt werden muss: U = U20 · (1 + D20 · '-)

mit

'- = - – 20ºC.

(1.30)

Die Formel für die Temperaturabhängigkeit für höhere Temperaturen soll ohne Erläuterung ergänzt werden: U = U20 · [1 + D20 · '- + E20 · ('-)2].

(1.31)

Damit lässt sich auch die Temperaturabhängigkeit eines linearen Widerstandes für Temperaturen bis 200ºC angeben: Mit Ra = U

l l = U20 ˜ [1 + D20 · '-] A A

(1.32)

ergibt sich Ra = R20 · (1 + D20 · '-)

mit

R20 = U20

l A

(1.33)

bzw. für Temperaturen über 200ºC: l . (1.34) A Temperaturen - können in K (Kelvin) oder ºC (Grad Celsius) angegeben werden, wobei der absolute Nullpunkt 0K = – 273,15ºC beträgt. Für Temperaturdifferenzen '- sollte nur die Einheit K (Kelvin) verwendet werden, die sich aus der Differenz zweier Temperaturen in K ergibt. Sind aber zwei Temperaturen in ºC (Grad Celsius) angegeben, ist es sinnvoll, deren Temperaturdifferenz auch in ºC anzugeben. Für Temperaturdifferenzen gilt deshalb 1K= 1ºC.

Ra = R20 ˜ [1 + D20 · '- + E20 ˜ ('-)2]

mit

R20 = U20

20

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

Spezifischer Widerstand U, spezifischer Leitwert N und Temperaturkoeffizient D20 sind von verschiedenen Materialien messtechnisch ermittelt worden: Material

Symbol

U

N

: ˜ mm 2

m : ˜ mm 2

m Aluminium Silber Kupfer Gold Platin Eisen Manganin Chromnickel

Al Ag Cu Au Pt Fe Cu, Fe, Mn, Ni Cr, Ni, Fe

0,028 0,016 0,018 0,023 0,11 0,125 0,4 1

D20

36 63 56 44 9 8 2,5 1

1 DC

oder

1 K

0,004 0,004 0,004 0,004 0,002 0,005 0,00001 0,00005

Ist die Temperaturabhängigkeit eines Widerstandes nichtlinear wie bei Temperatursensoren, kann auch mit Gl. (1.34) gerechnet werden. Beispiele für die Berechnung temperaturabhängiger Widerstände Beispiel 1: Ein temperaturabhängiger ohmscher Widerstand wird durch die Gleichung R = R20 · [1 + D20 · (- – 20ºC)] berechnet, wobei der Widerstand R20 bei - = 20ºC bekannt sein muss. Ist der Widerstand R = RA bei einer anderen Temperatur -A bekannt, dann lässt sich der Widerstand ebenfalls bei einer beliebigen Temperatur - berechnen. 1. Zunächst wird die Gleichung für R = f (-) hergeleitet, wenn -A, RA und D20 gegeben sind. In die Gleichung wird dann der sogenannte Temperaturkennwert W eingeführt: 1 1  20º C mit [D 20 ] und [ W] 1º C W ºC D 20 2. Anschließend wird der Temperaturkennwert für Kupfer mit dem genauen Temperaturkoeffizienten D20 = 3,92 · 10–3 ºC–1 berechnet. 3. Schließlich wird der Widerstand eines Kupferdrahtes bei 20ºC und bei 80ºC berechnet, wenn bei 10ºC der Widerstand 6: beträgt. Lösung: Zu 1. R = R20 · [1 + D20 (- – 20ºC)] RA = R20 · [1 + D20 (-A – 20ºC)] 1  D 20 ˜ -  D 20 ˜ 20º C R = 1  D 20 ˜ - A  D 20 ˜ 20º C RA R=

1  20º C  D 20 1  20º C  - A D 20

˜RA

W ˜RA W -A

mit

W

1  20º C D 20

1.5 Der elektrische Widerstand Zu 2.

Zu 3.

21

§ 1 · für Kupfer: W ¨  20¸º C 235º C ©0,00392 ¹ 235º C  20º C R20 = ˜ 6: 6,24:, 235º C  10º C 235º C  80º C ˜ 6: 7,71:. R80 = 235º C  10º C

Beispiel 2: Die Temperaturabhängigkeit metallischer Leiter kann bei Messinstrumenten zu Anzeigefehlern führen. Bei Feinmessgeräten wird deshalb vor dem Drehspulwiderstand aus Kupfer RCu ein Vorwiderstand aus Manganin RM geschaltet, der einen viel kleineren Temperaturkoeffizienten hat: DM = 1 · 10–5 K–1

gegenüber

DCu = 3,92 · 10–3 K–1.

1. Um wie viel Prozent erhöht sich der Drehspulwiderstand RCu, wenn sich die Umgebungstemperatur von 20ºC auf 30ºC erhöht. 2. Für den Gesamtwiderstand der Reihenschaltung R = RCu + RM wird die Formel für den Temperaturkoeffizienten D hergeleitet, wenn RCu 20, RM 20, DCu und DM gegeben sind. 3. Anschließend wird der Temperaturkoeffizient D für RCu 20 = 20: und RM 20 = 80: berechnet. 4. Schließlich wird festgestellt, um wie viel Prozent sich der Gesamtwiderstand R erhöht, wenn sich die Umgebungstemperatur von 20ºC auf 30ºC erhöht. Lösung: Zu 1. RCu = RCu 20 ˜ (1 + DCu · '-) RCu = RCu 20 ˜ (1 + 3,92 · 10–3 K–1 ·10K) RCu = RCu 20 · 1,039 d. h. 3,9 % Zu 2. R = RCu + RM R20 ˜(1 + D · '-) = RCu 20 ˜(1 + DCu · '-) + RM 20 ˜(1 + DM · '-) R20 + D · '- · R20 = RCu 20 + DCu˜'- · RCu 20 + RM 20 + DM · '- · RM 20 mit R20 = RCu 20 + RM 20 D · '- · R20 = DCu · '- · RCu 20 + DM · '- ˜ RM 20.

Die Gleichung durch '- dividiert ergibt: D · R20 = DCu · RCu 20 + DM · RM 20 D ˜R  D M ˜ R M 20 D Cu ˜ R Cu 20  D M ˜ R M 20 D = Cu Cu 20 R 20 R Cu 20  R M 20 3,92 ˜ 103 K 1 ˜ 20:  1 ˜ 105 K 1 ˜ 80: =792˜ 10–6 K–1 20:  80:

Zu 3.

D=

Zu 4.

R = R20 ˜(1 + D · '-) = R20 ˜(1 + 792 · 10–6K–1 · 10K) R = R20 · 1,00792 das sind 0,79 %

22

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

1.6 Die elektrische Energie und die elektrische Leistung Die Erzeugung elektrischer Spannung erfordert von außen zugeführte Energie, um Ladungen entgegen der Coulombschen Anziehungskräfte zu trennen. Die bei der Ladungstrennung zugeführte Energie wird in den Ladungen in potentieller Energie gespeichert. Aus den Betrachtungen über die Verschiebung von Ladungen im Abschnitt 1.3 folgt für die in einer Spannungsquelle erzeugte – genauer umgewandelte – elektrische Energie:

Werz = Q · Uq

(1.35)

Werz = Q · E

mit Quellspannung Uq

mit EMK E

Wird die Spannungsquelle an einen Leiterkreis mit einem Widerstand angeschlossen, dann wird durch den Stromfluss im Leiterkreis Wärme erzeugt. Die Abnahme der potentiellen Energie der Ladungen längs des Leiterkreises, für die der Spannungsabfall U maßgebend ist, entspricht der abgegebenen Energie: Wabg = Q · U.

In einem Stromkreis ist die Summe aller vorzeichenbehafteten Energien Null:

(1.36)

Die in einem Stromkreis erzeugten Energien sind gleich den abgegebenen Energien: n

l

¦ Wi

0

¦

(1.37)

i 1

oder ausführlich W1 + W2 + ... + Wl = 0

i 1

m

Werzi

¦ Wabgi

i 1

oder ausführlich Werz1 + Werz2 + ... + Werzn = Wabg1 + Wabg2 +... + Wabgm

Energieansatz mit Quellspannungen:

Energieansatz mit EMK E:

Werden für die Spannungsquellen Quellspannungen Uq angesetzt, gilt für den Energiesatz, dass die Summe aller vorzeichenbehafteten Energien (zugeführte Energien sind negativ, nach außen abgegebene Energien sind positiv) Null ist.

Werden für die Spannungsquellen EMK E verwendet, dann gilt der Ansatz, dass die erzeugte – also zugeführte – Energie gleich der abgegebenen Energie ist.

Im Kapitel 2 werden diese Energieansätze angewendet.

1.6 Die elektrische Energie und die elektrische Leistung

23

Die abgegebene Energie in ohmschen Widerständen lässt sich mit der Definitionsgleichung für den zeitlich konstanten Strom I

Q bzw. Q t

I˜t

bei zeitlich konstanter Spannung angeben: Wabg = Q · U = U · I · t

(1.38)

und mit dem Zusammenhang zwischen Strom, Spannung und Widerstand U

R a ˜ I bzw. I

U Ra

I2 ˜ Ra ˜ t

U2 ˜ t. Ra

ergibt sich Wabg

(1.39)

Sind Strom und Spannung zeitlich veränderlich, dann ist mit i

dq bzw. Q dt

t2

(1.40)

³ i ˜ dt

t1

die abgegebene Energie gleich dem Zeitintegral t2

Wabg

(1.41)

³ u ˜ i ˜ dt.

t1

Die Einheit der Energie ist 1 Joule1) gleich 1 Wattsekunden gleich 1 Newtonmeter: [W] = 1 J = 1 Ws = 1 Nm.

(1.42)

Der Stromfluss in einem ohmschen Widerstand ist mit der Umwandlung elektrischer Energie in Wärmeenergie verbunden. Aufgrund des unterschiedlichen Atomaufbaus verschiedener Stoffe ist die für die Erwärmung von 1ºC notwendige Wärmemenge unterschiedlich. Jeder Stoff hat eine spezifische Wärmekapazität c, die sich messtechnisch ermitteln lässt. Die spezifische Wärmekapazität c eines Stoffes gibt an, wie viel Wärmeenergie notwendig ist, um 1 kg dieses Stoffes um 1ºC = 1K zu erwärmen (siehe S. 19). Beispiele: Wasser 4 187 J/(kg · K), Kupfer 394 J/(kg · K), Eisen 461 J/(kg · K),

1)

Aluminium Gold Sauerstoff

Joule, englischer Physiker, 1818–1889

880 J/(kg · K), 130 J/(kg · K), 730 J/(kg · K).

24

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

Um einen Körper mit der Masse m in kg um eine Temperaturdifferenz '- in K erwärmen zu können, ist die Wärmeenergie (Wärmemenge) W = c · m · '-

(1.43)

erforderlich.

Für das Studium älterer Literatur sollten die heute nicht mehr gebräuchlichen Energieäquivalente zwischen mechanischer Arbeit, Wärmeenergie und elektrischer Energie bekannt sein: mechanische Arbeit

Wärmeenergie

elektrische Energie

426,9 kp · m

= 1 kcal

= 4,187 · 103Ws

0,102 kp · m

= 0,2388cal

= 1Ws.

Für die konstruktive Auslegung von Stromkreisen und elektrischen Verbrauchern ist nicht die dort umgesetzte Gesamtenergie entscheidend, sondern die Energieänderung dW pro Zeit dt, die elektrische Leistung:

P

dW . dt

(1.44)

Bei konstantem Strom I und konstanter Spannung U ist die Energieänderung pro Zeit konstant. Mit W=U·I·t

(1.45)

ergibt sich dann für die Gleichstromleistung W U˜I t und mit U = Ra · I bzw.

(1.46)

P

P

I2 ˜ R a

I = U/Ra

U2 . Ra

(1.47)

Die Einheit der Leistung ist 1 Watt1) gleich 1 Volt mal Ampere: [P] = 1 W = 1V · A.

1)

Watt, englischer Erfinder, 1736–1819

(1.48)

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 1.1 bis 1.6

25

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 1.1 bis 1.6 1.1 Ermitteln Sie die Anzahl der Elementarladungen, die den Querschnitt eines Drahtes in 1s passieren, der von einem zeitlich gleichbleibenden Strom von 1A durchflossen wird. 1.2 Ermitteln Sie die Geschwindigkeit der Elementarladungen in einem Kupferdraht mit dem Querschnitt A=1mm2, der mit einem Strom von 1A durchflossen wird. Die Anzahl der Elementarladungen pro cm3 beträgt n=8 ·1022. 1. Berechnen Sie zunächst die Ladung Q, die in dem Draht von 1 mm Länge vorhanden ist. 2. Anschließend ist die Stromstärke zu ermitteln, die durch Verschieben der Ladung Q um lmm in einer Sekunde entsteht. 3. Schließlich ist die Strömungsgeschwindigkeit einer Ladung zu berechnen, die einem Strom von 1A entspricht. 4. Geben Sie zusammenfassend die Gleichung an, mit der die Geschwindigkeit der Elementarladungen aus obigen Angaben direkt zu berechnen ist. 1.3 In einem Draht von 0,06mm Durchmesser fließt ein zeitlich konstanter Strom von 80mA. 1. Berechnen Sie die Elektrizitätsmenge (Ladung), die in einer Stunde den Querschnitt durchfließt. 2. Ermitteln Sie die Stromdichte in A/mm2 und in kA/cm2. 1.4 Für den skizzierten Stromkreis sind die Quellspannung Uq bzw. die EMK E, die Klemmenspannung UAD und die Spannung UAC zu ermitteln, wenn der Spannungsabfall aufgrund des inneren Widerstandes der Spannungsquelle Ui=10V und die elektrischen Potentiale der Punkte A bis D MA=200V, MB=150V, MC=120V und MD=0V betragen.

Bild 1.22 Übungsaufgabe 1.4 1.5 Der Drahtdurchmesser eines Kupferdrahtes beträgt 1,4mm. Berechnen Sie den ohmschen Widerstand des Drahtes als kurzen Verbindungsdraht von 20cm Länge und als Fernsprechkabel von 500km Länge. 1.6 Für eine Spule eines Drehspulinstrumentes wird das skizzierte Rähmchen mit den Maßen a = 30mm, b = 6mm, c = 40mm und 'c = 0,6mm verwendet. 1. Zunächst ist die Windungszahl w einer Kupferdrahtwicklung zu berechnen, wenn für die Wicklung (Lagenwicklung) die Fläche b·'c zur Verfügung steht. Die Drahtdurchmesser betragen isoliert 0,12mm und unisoliert 0,10mm. 2. Berechnen Sie dann den Spulenwiderstand, indem Sie für die Länge einer Windung die mittlere Länge lm = 2˜(a + c + 2 · 'c) annehmen.

Bild 1.23 Übungsaufgabe 1.6

26

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

1.7 Durch Strom-Spannungs-Messungen wurde die skizzierte Kennlinie U = f(I) ermittelt. Stellen Sie zunächst eine Wertetabelle für die markierten (I,U)-Paare auf. Berechnen Sie den Gleichstromwiderstand Ra = f(I) und den differentiellen Widerstand Rd = f(I). Für Rd nähern Sie die Kurve durch Geradenstücke an, die durch die markierten Punkte gebildet werden. Berechnen Sie die Anstiege der Geradenstücke und stellen Sie die Funktionen Ra = f(I) und Rd = f(I) dar.

Bild 1.24 Übungsaufgabe 1.7 1.8 Der ohmsche Widerstand einer Spule aus Kupfer und einer Spule aus Manganin darf sich infolge Erwärmung nur um 0,1 % erhöhen. 1. Berechnen Sie die Temperaturen, die die beiden Spulen annehmen dürfen. Die Bezugstemperatur soll 20ºC betragen. 2. Warum lässt sich nur die Spule aus Manganin für die Herstellung von Widerständen verwenden? 1.9 Ein Kupfer-Doppelkabel ist zwischen den Punkten A und B verlegt. Im Punkt B sind die beiden Adern des Kabels zusammengeschlossen, und im Punkt A wird eine Gleichspannung von 60V zwischen den beiden Adern angelegt. 1. Ermitteln Sie die Länge des Doppelkabels, wenn bei einer Kabeltemperatur von 20ºC eine Stromdichte von 50mA/mm2 gemessen wird. 2. Bei einer anderen Temperatur wird eine um 10 % höhere Stromdichte gemessen. Wie hoch ist die Kabeltemperatur bei dieser Messung? Erläutern Sie das Ergebnis. 1.10 Die Kupferwicklung eines Transformators hat bei der Temperatur -1 = 15ºC den Gleichstromwiderstand R1 = 20:. Im Dauerbetrieb steigt der Widerstand auf R2 = 24,3:. Gesucht ist die Temperatur -2, die die Wicklung des Transformators im Dauerbetrieb annimmt. 1. Geben Sie zunächst die beiden Gleichungen für die temperaturabhängigen Widerstände R1 und R2 allgemein an. 2. Berechnen Sie aus beiden aufgestellten Gleichungen die gesuchte Wicklungstemperatur -2. 1.11 Für einen Tauchsieder mit der Leistungsaufnahme von 1kW bei 220V soll ein Heizdraht aus Chromnickel und mit einem Durchmesser von 0,3mm dimensioniert werden. 1. Ermitteln Sie die notwendige Länge des Heizdrahtes, indem Sie die Temperaturabhängigkeit des Materials zunächst vernachlässigen. 2. Untersuchen Sie anschließend den Einfluss des Temperaturkoeffizienten, indem Sie den prozentualen Zuwachs des Widerstandes des Heizdrahtes bezogen auf gleiche Längen berechnen, wenn die Temperatur von 20ºC auf 100ºC anwächst. 1.12 Mit Hilfe eines Kochers, der einen ohmschen Widerstand von 24,2: besitzt und an 220V angeschlossen wird, sollen 8,6l Wasser nach einer halben Stunde von 20ºC zum Sieden gebracht werden. 1. Berechnen Sie die Strom- und die Leistungsaufnahme des Kochers. 2. Berechnen Sie die vom Wasser aufgenommene Wärmemenge, wenn das Wasser siedet. Vergleichen Sie die aufgenommene Wärmeenergie mit der vom Kocher abgegebenen Wärmeenergie.

27

2 Gleichstromtechnik

2.1 Der unverzweigte Stromkreis

2.1.1 Der Grundstromkreis Ein unverzweigter Stromkreis ist die geschlossene Hintereinanderschaltung verschiedener Schaltelemente: Spannungsquellen, Widerstände in Form von elektrischen Verbrauchern, Leitungen usw. Die praktisch vorkommenden Stromkreise bestehen aus räumlich angeordneten und mehr oder weniger kontinuierlich verteilten Widerständen. Diese werden in Schaltbildern konzentriert angenommen, d. h., die Verbindungen zwischen den Spannungsquellen und Widerständen sind widerstandsfrei. Die in den Spannungsquellen kontinuierlich verteilten Widerstandsanteile werden ebenfalls konzentriert gedacht und zum Innenwiderstand der Spannungsquelle zusammengefasst. Die Spannungsquelle wird ebenfalls idealisiert, d. h. widerstandslos, angenommen. Die Ersatzschaltung einer Spannungsquelle besteht also aus der Reihenschaltung der Quellspannung Uq und dem Innenwiderstand Ri. Wird die Spannung auf Grund einer Energieumwandlung in einer Spannungsquelle durch die Bezeichnung EMK E von den Spannungen U in stromdurchflossenen Widerständen unterschieden, dann besteht die Ersatzschaltung aus der Reihenschaltung EMK E und dem Innenwiderstand Ri. Jeder unverzweigte Stromkreis lässt sich zum bereits erwähnten Grundstromkreis zusammenfassen. Er besteht aus dem aktiven Zweipol der Spannungsquelle (Uq und Ri bzw. E und Ri) und dem passiven Zweipol des Verbrauchers (Ra). Dadurch lassen sich komplizierte Netzwerke einfach behandeln (siehe Abschnitt 2.3.3: Zweipoltheorie). Im Allgemeinen besteht die Aufgabe darin, bei bekannten Spannungsquellen und Widerständen die Ströme zu berechnen. Wie schon erwähnt, werden für Spannungsquellen heute nur noch Quellspannungen verwendet. Um Rechenbeispiele älterer Literatur [5], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15] verstehen zu können – wo mit der EMK E gerechnet wird –, werden im Folgenden der Grundstromkreis, die Reihenschaltung von Spannungsquellen, die Maschenregel, die Ersatzspannungsquelle, die Ersatzstromquelle und die Netzberechnungsverfahren sowohl mit der Quellspannung Uq als auch mit der EMK E behandelt. Die unterschiedlichen Energieansätze (Abschnitt 1.6) sind Ausgangspunkt der beiden Betrachtungsweisen:

28

2 Gleichstromtechnik

Nach den Energieansätzen des Abschnitts 1.6 ergibt sich für den Grundstromkreis:

Bild 2.1 Grundstromkreis mit Quellspannung Uq

Bild 2.2 Grundstromkreis mit EMK E

Die Summe der drei vorzeichenbehafteten Energien ist Null:

Die erzeugte Energie ist gleich der beiden abgegebenen Energien:

3

1

¦W

i

0

(2.1)

i 1

¦W

erz i

i 1

W1 + W2 + W3 = 0 – Q ˜ Uq + Q ˜ U + Q ˜ Ui = 0

2

¦W

abg i

(2.2)

i 1

Werz1 = Wabg1 + Wabg2 (2.3)

Q ˜ E = Q ˜ U + Q ˜ Ui

(2.4)

(2.5)

E = U + Ui

(2.6)

– U q + U + Ui = 0 U q = U + Ui

Beim Aufstellen der Spannungsgleichung wird der unverzweigte Stromkreis nur einmal umfahren, und zwar in Richtung des Stroms I:

Wird für die Spannungsquelle die EMK E verwendet, dann muss der unverzweigte Stromkreis zweimal in gleicher Richtung umlaufen werden:

die Quellspannung Uq liegt entgegengesetzt zur Umlaufrichtung, wird also negativ berücksichtigt,

beim ersten Umlauf wird die EMK E,

die Spannungen U und Ui liegen in Umlaufrichtung, gehen also positiv ein.

Sowohl E als auch Ui und U liegen im Umlauf des Stroms I, gehen also positiv in die Spannungsgleichung ein.

beim zweiten Umlauf werden die Spannungen Ui und U erfasst.

2.1 Der unverzweigte Stromkreis

29

Beim normalen Betriebsfall wird die Spannungsquelle mit einem beliebigen Widerstand Ra mit 0 < Ra < f belastet, wodurch sich ein Strom I einstellt: Uq = I ˜ Ra + I ˜ Ri

(2.7)

Uq Ra  Ri

(2.8)

E = I ˜ (Ra + Ri)

Uq = I ˜ (Ra + Ri)

I

E = I ˜ Ra + I ˜ Ri

(2.9)

I

E Ra  Ri

(2.10)

Drei charakteristische Betriebszustände werden im Grundstromkreis unterschieden: Kurzschluss: Ra = 0

Bei einer Klemmenspannung U = 0 fließt ein Kurzschlussstrom Ik

Uq Ri

(2.11)

Ik

E Ri

(2.12)

Leerlauf: Ra = f

Bei verschwindendem Strom I = 0 ist die Klemmenspannung gleich der Leerlaufspannung U l = Uq

(2.13)

Ul = E

(2.14)

Anpassung: Ra = Ri

Ist der Außenwiderstand gleich dem Innenwiderstand, dann ist der Strom gleich der Hälfte des Kurzschlussstroms und die Klemmenspannung gleich der Hälfte der Leerlaufspannung I I

Uq 2 ˜ Ri 1 Ik 2

U = Uq – Ui mit Ui = U weil I ˜ Ri = I ˜ Ra U = Uq – U 2U = Uq 1 Ul U 2

(2.15)

(2.17)

I

E 2 ˜ Ri

I

1 Ik 2

U = E – Ui mit Ui = U weil I ˜ Ri = I ˜ Ra U=E–U 2U = E 1 Ul U 2

Auf den Anpassungsfall wird im Abschnitt 2.4.5 genauer eingegangen.

(2.16)

(2.18)

30

2 Gleichstromtechnik

Kennlinien des Grundstromkreises: Kennlinie des aktiven Zweipols U + U i = Uq U + I ˜ Ri = Uq U I ˜ Ri  1 Uq Uq U I  Uq Uq / R i I U  1 Ul I k

U + Ui = E U + I ˜ Ri = E U I ˜ Ri  1 E E U I  E E / Ri

1

(2.19)

I U  U l Ik

1 1

(2.20)

Das ist die Gleichung einer Achsen-Abschnittsgeraden mit den Achsen-Abschnitten Kurzschlussstrom Ik und Leerlaufspannung Ul:

Bild 2.3 Kennlinie des aktiven Zweipols des Grundstromkreises

Kennlinie des passiven Zweipols Im Abschnitt 1.5 wurde die Kennlinie des ohmschen Widerstandes behandelt: U = Ra ˜ I I

(2.21)

1 ˜U Ra

(2.22)

Bild 2.4 Kennlinie des passiven Zweipols des Grundstromkreises

2.1 Der unverzweigte Stromkreis

31

Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols Werden aktiver und passiver Zweipol zusammengeschaltet, dann stellt sich nur ein Strom I und nur eine Klemmenspannung U ein. Diese Größen ergeben sich durch Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols, indem im Schnittpunkt (genannt Arbeitspunkt) die Größen abgelesen werden.

Bild 2.5 Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols des Grundstromkreises

Aus den überlagerten Kennlinien lassen sich die Spannungen am Außenwiderstand und Innenwiderstand abgreifen. Praktische Anwendung: Um den Gleichstrom-Arbeitspunkt bei Transistoren und Röhren zu erhalten, werden die nichtlinearen Kennlinien als Kennlinien des passiven Zweipols mit der Kennlinie des aktiven Zweipols – gebildet aus der Versorgungsspannung (entspricht der Leerlaufspannung Ul) und dem Arbeitswiderstand (entspricht dem Innenwiderstand Ri) – überlagert.

2.1.2 Zählpfeilsysteme Für Netzberechnungen ist es notwendig, einheitliche Richtungen für Ströme und Spannungen durch Zählpfeile festzulegen, damit eindeutige Ergebnisse erzielt werden. Sie stimmen mit den im Abschnitt 1.3 bereits vereinbarten Richtungsdefinitionen überein. Spannungszählpfeile: Spannungen zeigen von der positiven zur negativen Klemme, EMK E von der negativen zur positiven Klemme. Das Symbol der Spannungsquelle mit Querstrichen wird in der älteren Literatur verwendet.

Bild 2.6 Festlegung der Spannungszählpfeile

32

2 Gleichstromtechnik

Stromzählpfeile: Vereinbarungsgemäß wird der Stromzählpfeil in Richtung des positiv definierten Stroms (Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger) im Schaltbild eingetragen.

Bild 2.7 Festlegung des Stromzählpfeils

Bei einer Netzberechnung werden die Zählpfeile grundsätzlich zu Beginn der Berechnung in das Schaltbild eingezeichnet. Sind die Richtungen von Strömen und Spannungen in Schaltelementen nicht voraussehbar, werden Richtungen angenommen. Das Rechenergebnis zeigt, ob die Annahme richtig war. Richtig vorausgesagte Größen ergeben positive, falsch angenommene Größen negative Zahlen. Im Verbraucherzählpfeilsystem (VZS-System) werden die im Verbraucher (Widerstand) definierten Strom- und Spannungsrichtungen zugrunde gelegt: Zur Ermittlung der Spannungsgleichung in einem unverzweigten Stromkreis wird der Umlauf in Richtung des Stromzählpfeils festgelegt. Dann gehen die Spannungen an Widerständen positiv in die Spannungsgleichung ein, weil Strom und Spannung in gleicher Richtung liegen. Die Spannungen an Spannungsquellen werden negativ berücksichtigt, weil Strom und Spannung entgegengesetzt gerichtet sind.

Beispiel: Grundstromkreis – Uq + U + Ui = 0 Die in einem ohmschen Widerstand in Wärme umgesetzte Leistung ist dann positiv und die durch die Spannungsquelle zugeführte Leistung negativ: (2.23) – Uq ˜ I + I2 ˜ (Ra + Ri) = 0.

Für verzweigte Stromkreise wird obige Regel entsprechend für Maschen angewendet (siehe Abschnitt 2.2). Grundsätzlich wird bei allen Netzberechnungen im Verbraucherzählpfeilsystem gerechnet. Um Verwechslungen im Vorzeichen zu vermeiden, wird auf das Erzeugerzählpfeilsystem, das die Spannungs- und Stromrichtungen der Spannungsquelle zugrundelegt, nicht eingegangen.

2.1 Der unverzweigte Stromkreis

33

2.1.3 Die Reihenschaltung von Widerständen In einem unverzweigten Stromkreis mit einer Spannungsquelle und n in Reihe, d. h. hintereinander, geschalteten äußeren Widerständen Rv mit v = 1, 2, ... , n ist an jeder Stelle des Kreises die Menge der pro Zeit fließenden Ladungen – die Stromstärke I – gleich. An den verschieden großen Widerständen Rv müssen die Spannungsabfälle Uv jeweils entsprechend groß sein, um den gleichen Strom I zu gewährleisten: ohmscher Widerstand R1 R2 ˜ ˜ Rn Spannungsabfall U1 = I ˜ R1 U2 = I ˜ R2 ˜ ˜ Un = I ˜ Rn Bild 2.8 Ersatzschaltung eines Stromkreises mit n in Reihe geschalteten ohmschen Widerständen

Die Klemmenspannung U ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle Uv an den Widerständen Rv: U = U1 + U2 + ... + Un

(2.24)

U = I ˜ R1 + I ˜ R2 + ... + I ˜ Rn

(2.25)

U = I ˜ (R1 + R2 + ... + Rn)

(2.26)

oder in Kurzform n

U = ¦ Uv v 1

n

I ˜ ¦ Rv .

(2.27)

v 1

Die n in Reihe geschalteten Widerstände lassen sich zu einem Ersatzwiderstand, dem Gesamtwiderstand Ra, zusammenfassen: Mit U = I ˜ (R1 + R2 + ... + Rn) = I ˜ Ra

(2.28)

ergibt sich für den Gesamtwiderstand der Reihenschaltung n

Ra

¦ Rv ,

(2.29)

v 1

n in Reihe geschaltete Widerstände können zu einem Gesamtwiderstand zusammengefasst werden, dessen Widerstandswert gleich der Summe der Einzelwiderstandswerte ist.

34

2 Gleichstromtechnik

Die n Widerstände lassen sich jeweils durch n Leitwerte angeben, so dass sich mit Rv =

1 Gv

mit v = 1, 2, ... , n

(2.30)

für den Gesamtleitwert Ga der Reihenschaltung mit Ra = 1/Ga schreiben lässt: 1 Ga

1 1 1  ! G1 G 2 Gn

(2.31)

oder in Kurzform 1 = Ga

n

¦ G1v .

(2.32)

v 1

2.1.4 Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen Ein unbelasteter Spannungsteiler besteht aus zwei in Reihe geschalteten Widerständen R1 und R2, die entweder räumlich getrennt sind oder aus einem Gesamtwiderstand mit einem Abgriff bestehen. Die Ausführung eines unbelasteten Spannungsteilers mit einem veränderlichem Abgriff, Schleifer genannt, heißt Potentiometer. Die Teilwiderstände werden damit variabel.

Bild 2.9 Ausführungen unbelasteter Spannungsteiler

Wird an den Spannungsteiler eine Spannung U angelegt, dann sind die beiden Widerstände vom gleichen Strom durchflossen, wenn durch den Abgriff kein Strom fließt. Der Spannungsteiler ist dann unbelastet, der belastete Spannungsteiler wird im Abschnitt 2.2.8 behandelt. Die anliegende Spannung U wird entsprechend der Größe der Widerstände aufgeteilt: U = U1 + U2 = I ˜ R1 + I ˜ R2 = I ˜ R.

(2.33)

Mit den Proportionen U1 U2

I ˜ R1 I˜ R2

und

U1 U

I ˜ R1 I ˜ R1  R 2

und

U1 U

R1 R1  R 2

I ˜ R1 I˜R

ergibt sich die Spannungsteilerregel: U1 U2

R1 R2

(2.34)

R1 ; R

(2.35)

die Spannungen über zwei vom gleichen Strom durchflossenen Widerstände verhalten sich wie die zugehörigen Widerstandswerte.

2.1 Der unverzweigte Stromkreis

35

Eine Anwendung der Spannungsteilerregel ist die Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers zum Messen höherer Spannungen, für die der Spannungsmesser nicht ausreicht. Die zu messende Spannung U wird durch die Reihenschaltung eines Vorwiderstandes Rv und des Widerstandes R0 des Messinstrumentes geteilt. Dadurch braucht das Messinstrument nur die Teilspannung U0 anzuzeigen.

Bild 2.10 Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers

Wird der Messbereich um das p-fache erweitert, d. h., kann die zu messende Spannung U das p-fache der am Messinstrument anliegenden Spannung U0 betragen, dann ergibt sich aus p

U U0

R0  Rv R0

1

Rv R0

(2.36)

die Größe des notwendigen Vorwiderstandes: Rv = (p – 1) ˜ R0.

(2.37)

2.1.5 Die Reihenschaltung von Spannungsquellen Werden n Spannungsquellen in Reihe geschaltet, dann lassen sich die Spannungen Uqv bzw. Ev und die Innenwiderstände Riv der n Spannungsquellen zu einer Ersatzspannungsquelle mit der Ersatz-Quellspannung Uq ers bzw. Ersatz-EMK Eers mit einem Ersatz -Innenwiderstand Ri ers mit v = 1, 2, ... , n zusammenfassen. Die Ersatzgrößen werden nach dem Verbraucherzählpfeilsystem (Abschnitt 2.1.2) ermittelt: Die Ersatz-Quellspannung Uq ers bzw. die Ersatz-EMK Eers berücksichtigt alle Uqv bzw. Ev, die in gleicher Richtung wirken, positiv und die entgegengesetzt wirken, negativ. Der Ersatz-Innenwiderstand Ri ers ist gleich der Summe aller Innenwiderstände Riv.

36

2 Gleichstromtechnik Beispiel: n = 4 Behandlung mit Quellspannungen:

Bild 2.11 Ersatzschaltung der Reihenschaltung von Spannungsquellen, behandelt mit Quellspannungen I ˜ Ri4 – Uq4 + I ˜ Ri3 + Uq3 + I ˜ Ri2 – Uq2 + I ˜ Ri1 – Uq1 + U = 0 I ˜ Ri ers – Uq ers + U = 0 d. h. Uq ers = Uq1 + Uq2 – Uq3 + Uq4 = Ri1 + Ri2 + Ri3 + Ri4 und Ri ers

oder Behandlung mit EMK:

Bild 2.12 Ersatzschaltung der Reihenschaltung von Spannungsquellen, behandelt mit EMK E1 + E2 – E3 + E4 = I ˜ ( Ri1 + Ri2 + Ri3 + Ri4) + U =I˜ Ri ers +U Eers d. h. Eers= E1 + E2 – E3 + E4 und Ri ers= Ri1 + Ri2 + Ri3 + Ri4

2.2 Der verzweigte Stromkreis

37

2.2 Der verzweigte Stromkreis

2.2.1 Die Maschenregel (Der 2. Kirchhoffsche Satz) Ein Netzwerk (kurz: Netz) ist ein verzweigter Stromkreis, der Energiequellen (Spannungsquellen und Stromquellen), Verbraucher (Widerstände) und die sie verbindenden widerstandslosen Leitungen enthält. Sind Ströme und Spannungen zeitlich konstant, dann handelt es sich um Gleichstromnetze. Unter einem Zweig des Netzes versteht man einen solchen Abschnitt, der nur aus in Reihe geschalteten Spannungsquellen und Widerständen oder nur aus Spannungsquellen oder nur aus Widerständen besteht und nur zwei Klemmen zum Anschluss an andere Abschnitte des Netzes besitzt. Eine Stromquelle (Abschnitt 2.2.5) rechnet nicht als Zweig, wenn sie zwischen zwei Knotenpunkten liegt. Ein Knotenpunkt des Netzes ist ein Punkt des Netzes, in dem nicht weniger als drei Ströme zufließen oder wegfließen und zwar Ströme durch Widerstände und Quellströme. In Netzen ohne Stromquellen sind in Knotenpunkten nicht weniger als drei Zweige verbunden. Wird von einem Knotenpunkt eines Netzes ausgegangen und wird der Leiter bis zum Ausgangspunkt verfolgt, ohne die Strecke zweimal zu durchlaufen, dann wird dieser geschlossene Weg eine Masche genannt.

Beispiel:

Bild 2.13 Netzwerk zur Erläuterung der Begriffe Zweige, Knotenpunkte und Maschen

38

2 Gleichstromtechnik

Zur Ermittlung der Spannungsgleichungen in einem verzweigten Stromkreis werden beliebige Maschenumläufe gewählt, für die die Maschenregel gilt: Beim Umlauf einer Masche ist die Summe aller vorzeichenbehafteten Spannungen (Quellspannungen und Spannungen an Widerständen) in einer Masche gleich Null:

n

l

¦ Ui

Beim Umlauf einer Masche ist die Summe der vorzeichenbehafteten EMK E gleich der Summe der vorzeichenbehafteten Spannungsabfälle an den Widerständen:

0

(2.38)

i 1

Wird mit Quellspannungen gerechnet, dann wird jede Masche nur einmal durchlaufen.

m

¦ Ei ¦ Ui i 1

(2.39)

i 1

Wird mit EMK E gerechnet, muss jede Masche zweimal durchlaufen werden, einmal für die EMK und einmal für die Spannungsabfälle.

Vorzeichenbehaftet bedeutet, dass alle in der gewählten Umlaufrichtung liegenden Spannungen und EMK positiv und dass alle entgegengesetzt gerichteten Spannungen und EMK negativ in der Maschengleichung berücksichtigt werden. Beispiel:

Bild 2.14 Beispiel eines verzweigten Stromkreises zur Erläuterung der Maschenregel Masche I: Uq1 + U2 – U3 + U1 = 0 Masche II: – U3 – Uq2 + U4 – U5 = 0 Masche III: – Uq3 – U5 – U2 + U6 = 0 usw.

Masche I: – E1 = U1 + U2 – U3 Masche II: E2 = – U3 + U4 – U5 Masche III: E3 = – U2 – U5 + U6 usw.

Das Netzwerk enthält insgesamt sieben Maschen, für die die Spannungsgleichungen aufgestellt werden können.

2.2 Der verzweigte Stromkreis

39

2.2.2 Die Knotenpunktregel (Der 1. Kirchhoffsche Satz) In einem unverzweigten Stromkreis ist die Stromstärke I an allen Stellen gleich. Verzweigte Stromkreise enthalten Verzweigungen, in denen sich der Strom jeweils aufteilt. Ein Netzwerk ist im Allgemeinen ein verzweigter Stromkreis mit Knotenpunkten und Zweigen. Treffen sich mehrere stromdurchflossene Leiter in einem Knotenpunkt, so gilt die Knotenpunktregel: Die Summe aller vorzeichenbehafteten Ströme eines Knotenpunktes ist Null; vorzeichenbehaftet bedeutet, dass die zum Knotenpunkt hinfließenden Ströme positiv und die von ihm wegfließenden Ströme negativ gezählt werden oder umgekehrt:

Die Summe der zum Knotenpunkt hinfließenden Ströme ist gleich der Summe der vom Knotenpunkt wegfließenden Ströme:

n

l

¦ Ii

0

(2.40)

i 1

Beispiel: – I1 + I2 + I3 – I4 = 0 oder I1 – I2 – I3 + I4 = 0 oder I 2 + I3 = I1 + I4

m

¦ Ii

¦ Ii

x n

x

i 1

(2.41)

i 1

p

Bild 2.15 Beispiel eines Knotenpunktes zur Erläuterung der Knotenpunktregel

2.2.3 Die Parallelschaltung von Widerständen In einem verzweigten Stromkreis mit einer Spannungsquelle und n parallelgeschalteten äußeren Widerständen Rv mit v = 1, 2, 3, ... , n liegt an allen n Widerständen die Klemmenspannung U an.

Bild 2.16 Ersatzschaltung eines Stromkreises mit n parallel geschalteten ohmschen Widerständen

40

2 Gleichstromtechnik

In den verschieden großen Widerständen Rv treibt der gleiche Spannungsabfall U verschieden große Ströme Iv durch die Widerstände Rv: ohmscher Widerstand

ohmscher Leitwert

R1

G1

I1

R2

G2

I2

. . .

. . .

Strom U U ˜ G1 R1 U R2

U ˜ G2

. . .

U U ˜ Gn Rn Nach der Knotenpunktregel ist der Gesamtstrom I gleich der Summe aller Teilströme Iv:

Gn

Rn

In

I = I1 + I2 + I3 + ... + In

(2.42)

U U U U   ! R1 R 2 R 3 Rn

I=

(2.43)

I = U ˜ G1 + U ˜ G2 + U ˜ G3 + ... + U ˜ Gn

(2.44)

§ 1 1 1 1 · ¸ I = U ˜ ¨¨   ! R n ¸¹ © R1 R 2 R 3

(2.45)

I = U ˜ (G1 + G2 + G3 + ... + Gn)

(2.46)

oder

oder in Kurzform n

I = ¦ Iv v 1

n

1 R 1 v

U˜¦ v

n

U ˜ ¦ Gv.

(2.47)

v 1

In einer Parallelschaltung von n Leitwerten können Einzelleitwerte Gv zu einem Gesamtleitwert Ga zusammengefasst werden: Ga = G1 + G2 + G3 + ...+ Gn

(2.48)

oder in Kurzform n

Ga = ¦ G v .

(2.49)

v 1

Die n Leitwerte lassen sich jeweils durch n Widerstände ersetzen, so dass sich mit Gv =

1 mit v = 1, 2, 3, ... , n Rv

(2.50)

für den Gesamtwiderstand Ra der Parallelschaltung mit Ga = 1/Ra ergibt: 1 Ra



1 1 1 1    ! R1 R 2 R 3 Rn

n

¦ R1 v 1

v

.

(2.51)

2.2 Der verzweigte Stromkreis

41

2.2.4 Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen Ein Stromteiler besteht aus zwei parallel geschalteten Widerständen R1 und R2, an denen die gleiche Spannung anliegt. Nach der Knotenpunktregel teilt sich der Strom I in die Teilströme I1 und I2 auf: I = I 1 + I2 .

(2.52) Bild 2.17 Stromteiler

Mit U = I1 ˜ R1 =

I1 G1

und

U = I2 ˜ R2 =

I2 G2

(2.53)

ergibt sich I=

U U  R1 R 2

§ 1 1 · ¸  U ˜ ¨¨ ¸ R R 2¹ © 1

(2.54)

I = U ˜ G1 + U ˜ G2 = U ˜ (G1 + G2).

(2.55)

Mit den Proportionen I1 I2

U R1 U R2

U ˜ G1 U ˜ G2

(2.56)

und I2 I

U R2 § · U ˜¨ 1  1 ¸ R R 2 ¹ © 1

1 R 2  R1 R2 ˜ R1 ˜ R 2

R1 R1  R 2

(2.57)

bzw. I2 I

U ˜ G2 U ˜ G1  G 2

lautet die Stromteilerregel: I1 I2

G1 G2

R2 R1

I2 I

G2 G1  G 2

(2.58)

und R1 . R1  R 2

(2.59)

In parallelen Zweigen mit ohmschen Widerständen sind die Teilströme proportional den Zweigleitwerten und umgekehrt proportional den entsprechenden Zweigwiderständen.

42

2 Gleichstromtechnik

Für zwei parallel geschaltete Widerstände gilt die Regel: Der Teilstrom verhält sich zum Gesamtstrom wie der Widerstand, der nicht vom Teilstrom durchflossen ist, zum Ringwiderstand der Parallelschaltung. Der Ringwiderstand bedeutet der Widerstand der Reihenschaltung der beiden Widerstände, nicht der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung: I1 I

R2 R1  R 2

(2.60)

I2 I

R1 . R1  R 2

(2.61)

und

Daraus lassen sich die Teilströme als Teil des Gesamtstroms berechnen: I1

R2 ˜I R1  R 2

(2.62)

I2

R1 ˜ I. R1  R 2

(2.63)

und

Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung kann aus der Formel für den Ersatzwiderstand von n parallelgeschalteten Widerständen mit n = 2 hergeleitet werden: Mit Gl. (2.52) 1 Ra

n

¦ R1 v 1

v

ergibt sich 1 Ra

1 1  R1 R 2

R 2  R1 R1 ˜ R 2

(2.64)

und Ra =

R1 ˜ R 2 . R1  R 2

(2.65)

Bild 2.18 Ersatzwiderstand von zwei parallelgeschalteten Widerständen

2.2 Der verzweigte Stromkreis

43

Eine Messbereichserweiterung eines Strommessers ist notwendig, wenn ein Strom gemessen werden soll, der größer ist, als das Strom-Messwerk zulässt. Zum Messinstrument mit dem Widerstand R0 wird dann ein Widerstand Rp parallel geschaltet, der entsprechend der Stromteilerregel einen Großteil des zu messenden Stroms I aufnimmt: R0  Rp

I I0

Rp

(2.66)

.

Bild 2.19 Messbereichserweiterung eines Strommessers

Der Messbereich des Strommessers soll um das p-fache vergrößert werden, d. h. I = p ˜ I0. Damit lässt sich mit p=

I I0

R0  Rp Rp

R0 1 Rp

(2.67)

die Größe des parallelgeschalteten Widerstandes errechnen: R0 . (2.68) p 1 Beide Widerstände durch Leitwerte ersetzt, ergibt die analoge Formel für den Vorwiderstand der Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers (Gl. (2.37)):

Rp =

Gp = (p – 1) ˜ G0.

(2.69)

Anmerkung: Dualität in der Gleichstromtechnik Bei den bisherigen Betrachtungen über die Gleichstromtechnik drängt sich eine Gesetzmäßigkeit auf, die die Reihen- und Parallelschaltung, Spannungen und Ströme, Widerstände und Leitwerte betrifft: Bei einer Reihenschaltung von Widerständen ist der Strom gleich und die Spannung wird entsprechend der Widerstände geteilt, die Widerstände werden zum Gesamtwiderstand zusammengefasst. Bei einer Parallelschaltung von Leitwerten ist die Spannung gleich und der Strom wird entsprechend der Leitwerte geteilt, die Leitwerte werden zum Gesamtleitwert zusammengefasst. Auch bei der Messbereichserweiterung setzt sich diese so genannte Dualität zwischen Größen und Schaltungen fort, wie aus den analogen Formeln für die zuzuschaltenden Widerstände zu ersehen ist: Spannungsmessung Reihenschaltung von Messinstrument und Reihenwiderstand Rv Rv = (p – 1) R0 Gv = G0/(p – 1).

Strommessung Parallelschaltung von Messinstrument und Parallelwiderstand Rp Gp = (p – 1) ˜ G0 Rp = R0/(p – 1).

Diese Dualität setzt sich in vielen Gesetzmäßigkeiten fort, so dass Zusammenhänge anschaulicher sind und Formeln besser behalten werden können. An entsprechender Stelle wird jeweils auf die Dualität hingewiesen.

44

2 Gleichstromtechnik

2.2.5 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle Eine elektrische Energiequelle lässt sich entweder durch eine Spannungsquelle oder durch eine Stromquelle im elektrischen Netzwerk angeben. Wie im Abschnitt 1.3 behandelt, kann die Spannungsquelle anschaulich physikalisch erklärt werden. Die Stromquelle hingegen physikalisch zu erklären, dürfte nicht ohne weiteres möglich sein; sie ergibt sich aus dem mathematischen Modell, das aus der Spannungsgleichung für den Grundstromkreis mit Spannungsquelle (Gl. (2.5) bis (2.8)) hergeleitet werden kann: Im Ersatzschaltbild für eine belastete Energiequelle wird die Spannungsquelle durch die Reihenschaltung der Quellspannung Uq bzw. der EMK E und dem Innenwiderstand Ri angegeben; der belastende Verbraucher wird durch den äußeren Widerstand Ra erfasst.

Bild 2.20 Ersatzschaltbilder für die belastete Spannungsquelle

Die Spannungsgleichung Uq = U + I ˜ Ri

bzw. (2.70)

E = U + I ˜ Ri

(2.71)

wird nur durch Ri dividiert, wodurch sich die Gleichung einer Stromverzweigung ergibt: Uq Ri

U I Ri

(2.72)

bzw. E Ri

U I Ri

(2.73)

Diese Gleichung bedeutet schaltungstechnisch die Parallelschaltung einer idealen Stromquelle mit dem Innenwiderstand Ri und dem Außenwiderstand Ra:

Bild 2.21 Belastete Stromquelle

2.2 Der verzweigte Stromkreis

45

Denn der Quellstrom Iq = Uq/Ri bzw. Iq = E/Ri der Stromquelle verzweigt sich nach obiger Stromgleichung in den Strom durch den Innenwiderstand Ii = U/Ri und in den Belastungsstrom I durch den Außenwiderstand Ra: Iq

Uq

mit Iq

bzw. mit Iq

Ri

und

(2.74)

Ii  I

Ii

E Ri

U Ri

(2.75)

Jede Ersatzspannungsquelle wird also mit der Gleichung Iq

Uq

Ri in eine äquivalente Ersatzstromquelle überführt:

bzw. Iq

E Ri

(2.76)

Bild 2.22 Spannungsquelle in Stromquelle

Umgekehrt kann jede Ersatzstromquelle mit der Gleichung Uq

Iq ˜ R i

bzw. E

Iq ˜ R i

(2.77)

durch eine äquivalente Ersatzspannungsquelle ersetzt werden:

Bild 2.23 Stromquelle in Spannungsquelle

Während die Quellspannung Uq keinen Widerstand enthält (Kurzschluss), wie die durchgezogene Linie im Kreis verdeutlicht, bedeutet der Quellstrom Iq jeweils eine Einströmung in die beiden Knotenpunkte (siehe Bild 2.64, S. 80) mit einem unendlich großen Widerstand (Unterbrechung), wie die quergezogene Linie im Kreis angibt. Bis Ende des Abschnitts 2.2 wird nur noch mit der Quellspannung Uq gerechnet.

46

2 Gleichstromtechnik

Die Ersatzspannungsquelle als Reihenschaltung ist damit der Ersatzstromquelle als Parallelschaltung gleichwertig, zumal sich an den Klemmen zwischen aktiven und passiven Zweipol in beiden Grundstromkreisen die gleiche Klemmenspannung U und der gleiche Klemmenstrom I bei Belastung mit dem Widerstand Ra einstellen: normaler Belastungsfall für Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle (Bild 2.20):

I

Uq

U

(2.78)

Ri  Ra

Ra ˜ Uq Ri  Ra

(2.79)

(Spannungsteiler) für Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle (Bild 2.21):

I

Ri ˜ Iq Ri  Ra

(2.80)

U

Ri ˜ Ra ˜ Iq Ri  Ra

(2.81)

(Stromteiler)

Die drei charakteristischen Betriebszustände der beiden Grundstromkreise zeichnen sich durch folgende Spannungen und Ströme aus: für Ersatzspannungsquelle Kurzschluss mit Ra = 0: Leerlauf mit Ra = f:

I = Ik =

I=0

U = U l = Uq

I

U=0

I = I k = Iq weil Ii = 0

I=0

U = Ul = Iq ˜ Ri

Ri

weil Ui = 0 U

Anpassung mit Ra = Ri:

Uq

U=0

für Ersatzstromquelle

weil Ii = Iq

U l Uq 2 2 I Ik q 2 2

Jedes Gleichstrom-Netzwerk kann mit entsprechendem Aufwand in einen GleichstromGrundstromkreis überführt werden. Dabei wird das Netzwerk so in einen aktiven und einen passiven Zweipol geteilt, dass sämtliche Spannungs- und Stromquellen im aktiven Zweipol enthalten sind und der Rest des Netzwerks mit nur ohmschen Widerständen dem passiven Zweipol zugeordnet ist.

2.2 Der verzweigte Stromkreis

47

Die Spannungsquellen-Ersatzschaltung enthält die drei Schaltelemente Uq ers, Ri ers und Ra ers, die für ein Gleichstromnetz folgendermaßen ermittelt werden: U q ers :

Die Ersatz-Quellspannung ist gleich der Leerlaufspannung Uq ers = Ul,

(2.82)

d. h., für den aktiven Zweipol des Gleichstromnetzes wird bei offenen Klemmen, also bei Leerlauf, die Klemmenspannung rechnerisch oder messtechnisch ermittelt. Sollten Spannungsquellen oder Stromquellen in Reihe oder parallel geschaltet sein, dann werden diese zusammengefasst und bei der Berechnung von Ul berücksichtigt.

Bild 2.24 Ermittlung der Ersatz-Quellspannung

R i ers :

Der Ersatz-Innenwiderstand ist gleich dem ohmschen Widerstand des aktiven Zweipols hinsichtlich der offenen Zweipolklemmen, wenn alle Spannungsquellen des Gleichstromnetzes als kurzgeschlossen und alle Stromquellen als unterbrochen angenommen werden. Innenwiderstände bleiben berücksichtigt in der Schaltung des Netzes. Anschließend müssen Brückenschaltungen durch Dreieck-Stern-Umwandlungen oder Stern-Dreieck-Umwandlungen (Abschnitt 2.2.10) in zusammenfassbare Reihen- und Parallelschaltungen überführt werden und mit den übrigen ohmschen Widerständen zusammengefasst werden.

Bild 2.25 Ermittlung des Ersatz-Innenwiderstandes

48 R a ers :

2 Gleichstromtechnik Der Ersatz-Außenwiderstand ist gleich dem ohmschen Widerstand des passiven Zweipols hinsichtlich der offenen Zweipolklemmen. Dabei müssen Brückenschaltungen durch Dreieck-Stern-Umwandlungen oder Stern-Dreieck-Umwandlungen (Abschnitt 2.2.10) in zusammenfassbare Reihen- und Parallelschaltungen überführt werden und mit den übrigen ohmschen Widerständen zusammengefasst werden.

Bild 2.26 Ermittlung des Ersatz-Außenwiderstandes

Die Stromquellen-Ersatzschaltung enthält die drei Schaltelemente Iq ers, Ri ers, und Ra ers. Die Ermittlung von Ri ers und Ra ers ist bei der Spannungsquellen-Ersatzschaltung beschrieben.

Iq ers :

Der Ersatz -Quellstrom ist gleich dem Kurzschlussstrom Iq ers = Ik,

(2.83)

d. h., für den aktiven Zweipol des Gleichstromnetzes wird bei kurzgeschlossenen Klemmen, also bei Kurzschluss, der Klemmenstrom rechnerisch oder messtechnisch ermittelt. In Reihe oder parallel geschaltete Spannungs- oder Stromquellen werden zusammengefasst und bei der Ermittlung des Kurzschlussstroms berücksichtigt.

Bild 2.27 Ermittlung des Ersatz-Quellstroms

R i ers : siehe oben R a ers : siehe oben

2.2 Der verzweigte Stromkreis

49

Nachdem die Schaltelemente des jeweiligen Grundstromkreises ermittelt sind, werden die Ströme und Spannungen nach den bereits angegebenen Formeln Gl. (2.78) bis (2.81) berechnet: für die Spannungsquellen-Ersatzschaltung: I

U q ers R i ers  R a ers

(2.84)

U

(2.86)

U

R a ers R i ers  R a ers

˜ U q ers

(2.85)

˜ I q ers

(2.87)

für die Stromquellen-Ersatzschaltung: I

R i ers R i ers  R a ers

˜ I q ers

R i ers ˜ R a ers R i ers  R a ers

Beispiel 1: Das dargestellte Gleichstromnetz soll in die Spannungsquellen-Ersatzschaltung und in die Stromquellen-Ersatzschaltung überführt werden. Die Auftrennung in aktiven und passiven Zweipol ist vorgegeben und im Schaltbild eingezeichnet:

Bild 2.28 Beispiel für die Überführung eines Gleichstromnetzes in Ersatzschaltungen in Form von Grundstromkreisen Spannungsquellen-Ersatzschaltung U q ers : Nach der Spannungsteilerregel (Gl. (2.35)) ergibt sich für die Leerlaufspannung:

Uq ers

Bild 2.29 Ermittlung der Ersatz-Quellspannung eines Beispiels

Ul

R2 ˜ Uq . R1  R2

50

2 Gleichstromtechnik R i ers : Die Quellspannung Uq wird kurzgeschlossen angenommen, so dass sich der Widerstand des aktiven Zweipols berechnen lässt: Ri ers = R3 + (R1 || R2) ( || bedeutet „parallel“ geschaltet) Ri ers = R 3 

R1 ˜ R 2 R1  R 2

R 3 (R1  R 2 )  R1R 2 R1  R 2

R a ers : Der Widerstand des passiven Zweipols besteht aus Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen: Ra ers = [(R4 + R5) || R6] + [R7 || R8] Ra ers =

R 7R 8 (R 4  R 5 )R 6  R4 R5 R6 R7 R8

Stromquellen-Ersatzschaltung

I q ers :

Bild 2.30 Ermittlung des Ersatz-Quellstroms für ein Beispiel

Nach der Stromteilerregel (Gl. (2.59)) ergibt sich für den Kurzschlussstrom bezogen auf den Gesamtstrom: Ik R2 , I R2  R3 der Gesamtstrom ist Uq Uq I= , R1  (R 2 || R 3 ) R  R 2 R 3 1 R 2  R3 und die Formel für den Ersatz-Quellstrom entsteht durch Multiplikation beider Gleichungen I q ers

Ik

Uq ˜ R 2 R1 (R 2  R 3 )  R 2 R 3

Ri ers und Ra ers wurden bereits für die Spannungsquellen-Ersatzschaltung ermittelt. Die Ergebnisse lassen sich mit der Formel Uq ers = Iq ers ˜ Ri ers kontrollieren.

2.2 Der verzweigte Stromkreis

51

Beispiel 2: In der skizzierten Schaltung ist die Spannung U vom Widerstand R abhängig. 1. Zunächst soll die Schaltung in die beiden Grundstromkreise überführt werden, indem nur der variable Widerstand R dem passiven Zweipol zugeordnet werden soll. 2. Mit Hilfe der beiden Ersatzschaltungen soll anschließend die Funktion U = f (R) entwickelt werden. 3. Die Funktion U = f (R) ist dann mit folgenden Zahlenwerten zu berechnen und darzustellen: Ri = 1:, Rp = 5: Uq = 10V, R = 0:, 0,5:, 1:, 2:, 3:, 4: und 5:. 4. Die Funktion mit den Zahlenwerten ist dann durch Kennlinienüberlagerung zu kontrollieren.

Bild 2.31 Schaltbild zum Beispiel 2

Lösung: Zu 1.

Uq ers = Ul = Ri ers =

Zu 2.

Rp Ri  R p

Uq

Iq ers = Ik =

RiR p

R a ers R i ers  R a ers

Stromquellen-Ersatzschaltung: mit Gl. (2.87)

U

˜ U q ers

R i ers ˜ R a ers

R R iR p

˜

Ri  Rp

U

R

Rp Ri  Rp

R Rp R i R p  R (R i  R p )

˜Uq

U

Ri  Rp R iR p Ri  Rp

˜Uq

U

˜ I q ers

R i ers  R a ers R iR p

U

Ri

Ra ers = R

Ri  R p

Spannungsquellen-Ersatzschaltung: mit Gl. (2.85)

U

Uq

˜R ˜ R

Uq Ri

R Rp R i R p  R (R i  R p )

˜Uq

52

2 Gleichstromtechnik Zu 3.

0 0

R in : U in V

0,5 3,1

1 4,5

2 5,9

3 6,5

4 6,9

5 7,1

Bild 2.32 Darstellung von U = f (R) des Beispiels 2

Zu 4.

Die Kennlinie des aktiven Zweipols ist eine Achsen-Abschnittsgerade mit den Abschnitten Rp 5 U 10 V 8,3 V Ul = Uq ers = Ri  Rp q 6

Ik = Iq ers =

Uq Ri

10V 1:

10 A .

Die Kennlinie des passiven Zweipols ist eine Nullpunktsgerade (siehe Bilder 1.15 und 1.16). Wegen der unterschiedlichen Widerstandswerte von R entsteht also eine Schar von Nullpunktsgeraden mit unterschiedlichem Anstieg. Die Überlagerung der Kennlinien bestätigt die Funktion U = f (R):

Bild 2.33 Kennlinienüberlagerung des Beispiels 2

2.2 Der verzweigte Stromkreis

53

Beispiel 3: Durch zwei voneinander getrennte Messungen soll in der skizzierten Schaltung zum einen die Spannung am Widerstand R2 mit einem Spannungsmesser gemessen werden und zum anderen der Strom durch den Widerstand R2 mit einem Strommesser gemessen werden. Die Schaltung soll als aktiver Zweipol und die Messgerätewiderstände RV und RA als passive Zweipole aufgefasst werden. Für die Spannungsmessung soll ein aktiver Zweipol mit Ersatzspannungsquelle, für die Strommessung ein aktiver Zweipol mit Ersatzstromquelle verwendet werden. 1. Zunächst sind die beiden Zweipol-Ersatzschaltungen anzugeben. 2. Dann sind mit Hilfe der Ersatzschaltungen die Formeln für die relativen Fehler 'U Ul

Ul  U Ul

'I Ik

Ik  I Ik

in Abhängigkeit von den gegebenen Widerständen zu entwickeln. Die Leerlaufspannung Ul ist die Spannung am Widerstand R2 ohne Spannungsmesser, also ohne Widerstand RV. Die Spannung U ist die Spannung am Widerstand R2 mit Spannungsmesser, also die Klemmenspannung zwischen dem aktiven und dem passiven Zweipol. Der Kurzschlussstrom Ik ist der Strom durch den Widerstand R2 ohne Strommesser, also ohne Widerstand RA. Der Strom I ist der Strom durch den Widerstand R2 mit Strommesser, also der Klemmenstrom zwischen dem aktiven und dem passiven Zweipol. 3. Wie groß muss der Widerstand RV des Spannungsmessers mindestens sein, wenn der relative Fehler 4 % betragen soll? 4. Wie groß ist der relative Fehler der Strommessung, wenn der Widerstand des Strommessers 100: beträgt?

Bild 2.34 Schaltbild zum Beispiel 3

Lösung: Zu 1. Spannungsmessung

Bild 2.35 Zweipol-Ersatzschaltungen zum Beispiel 3

Strommessung

54

2 Gleichstromtechnik Zu 2. 'U Ul mit

Ul  U Ul U Ul

1

U Ul

RV R iU  R V RV R iU  R V

'U Ul

1

'U Ul

R iU R iU  R V

R iU  R V  R V R iU  R V

mit RiU = [( Ri1 || R1 ) + Ri2 ] || R2 = 99,9: Zu 3.

RiU + RV =

Ik  I Ik

'I Ik

R iU 'U/U l

1

I Ik

R iI R iI  R A

mit

I Ik

'I Ik

1

'I Ik

RA R iI  R A

R iI R iI  R A

R iI  R A  R iI R iI  R A

mit RiI = ( Ri1 || R1 ) + Ri2 + R2 = 100,1k: Zu 4.

§ 1 · RV = R iU ˜ ¨  1¸ 'U/U © ¹ l

§ · RV = 99,9: ˜ ¨ 1  1¸ 0,04 © ¹

'I Ik

100: 100k:  100:  100:

'I Ik

998 ˜106 | 1˜103

'I | 0,1% Ik

RV = 2398:

2.2.6 Die Parallelschaltung von Spannungsquellen Werden n Spannungsquellen parallel geschaltet, dann lassen sich die Quellspannungen Uqv mit den Innenwiderständen Riv über entsprechende Stromquellen Iqv zu einer Ersatzstromquelle Iq ers und dann zu einer Ersatzspannungsquelle Uq ers mit dem Ersatz-Innenwiderstand Ri ers zusammenfassen. Zunächst werden die Spannungsquellen in äquivalente Stromquellen mit Iqv =

U qv R iv

mit v = 1, 2, 3, ... ,n

(2.88)

überführt.

Bild 2.36 Überführung von n parallel geschalteten Spannungsquellen in n äquivalente Stromquellen

2.2 Der verzweigte Stromkreis

55

Bild 2.37 Überführung von n parallel geschalteten Stromquellen in eine Ersatz-Stromquelle und eine Ersatz-Spannungsquelle

Dann lassen sich die Stromquellen mit den Quellströmen Iqv nach der Knotenpunktregel zu einer Stromquelle mit dem Ersatz-Quellstrom Iq ers zusammenfassen: I q ers

n

n

v 1

v 1

U qv

¦ Iqv ¦ R iv

.

(2.89)

Die parallel geschalteten Innenwiderstände Riv werden ebenfalls zusammengefasst zu einem Ersatz-Innenwiderstand Ri ers: 1 R i ers

n

1

¦ R iv .

(2.90)

v 1

Anschließend lässt sich die Ersatz-Stromquelle in eine äquivalente Spannungsquelle Uq ers mit dem in Reihe geschalteten Innenwiderstand Ri ers überführen:

U q ers

1 1

Iq ers ˜ R i ers

(2.91)

˜ Iq ers

R i ers

n

U q ers

U qv

¦ R iv

v 1 n

1 R 1 iv

¦

v

R i ers

1 n

1 R v 1 iv

¦

U q1



Uq2



U q3

!

U qn

R i1 R i 2 R i3 R in 1 1 1 1   ! R i1 R i 2 R i3 R in 1 1 1 1 1   ! R i1 R i2 R i3 R in

(2.92)

(2.93)

56

2 Gleichstromtechnik

Sind die parallel geschalteten Spannungsquellen mit einem äußeren Widerstand Ra belastet, dann lässt sich der Belastungsstrom mit Hilfe der Formel für den Grundstromkreis (Gl. (2.78)) berechnen: n

I

U q ers

I

v 1

R i ers  R a

n

U q1

iv

R i1

n

1 1 Ra ˜ ¦ v 1 R iv

iv

(2.94)

§ · ¨ ¸ n ¨ ¸ 1 1  Ra ¸ ¦ R ˜¨ n ¸ v 1 iv ¨ 1 ¨¦ ¸ ¨ ¸ © v 1 R iv ¹

U qv

¦R

v 1

U qv

¦R



U q2 R i2



U q3 R i3

! 

U qn R in

(2.95)

§ 1 1 1 · 1 Ra ˜ ¨  !  ¸ R in ¹ © R i1 R i2

Beispiel: Zwei parallel geschaltete Spannungsquellen sind mit einem Widerstand R belastet, dessen Strom mit einem Strommesser ermittelt werden soll. Der Instrumentenwiderstand sei RA. 1. Die Schaltung wird zunächst in einen Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle mit Iq ers und Ri ers überführt. 2. Anschließend werden die Ströme bei Belastung ohne Messinstrument und bei Belastung mit Messinstrument berechnet. Damit lässt sich der Fehler der Strommessung bezogen auf den wahren Stromwert angeben.

Bild 2.38 Beispiel für die Parallelschaltung von Spannungsquellen

2.2 Der verzweigte Stromkreis

57

Lösung: Zu 1. Die Spannungsquellen werden in äquivalente Stromquellen überführt und zu einer Stromquelle zusammengefasst:

Bild 2.39 Beispiel einer Überführung von parallel geschalteten Spannungsquellen in eine Ersatzstromquelle

I q ers

I q1  I q2

R i ers

R i1 ˜ R i2 R i1  R i2

Zu 2.

U q1 R i1



U q2 R i2

5 :˜4 : 9:

200 V 160 V  5: 4:

80 A

2,22 :

Mit Hilfe des Grundstromkreises mit Ersatzstromquelle können nun die gesuchten Ströme errechnet werden: mit Gl. (2.86) R i ers I ˜I R i ers  R a ers q ers

ergibt sich ohne Messinstrument: Ra ers = R 2,22 : I 80 A 7,993 A 2,22 :  20 : (wahrer Wert)

mit Messinstrument: Ra ers = R + Ra 2,22 : I 80 A 7,649 A . 2,22 :  20 :  1:

Durch das Messinstrument gibt es eine Verfälschung des Stromwertes von 4,3 %: 7,993A ˆ  100 % 7,649A ˆ  95,70 %, d. h., der vom Strommesser angezeigte Wert weicht 4,3 % vom wahren Wert ab. Ergänzend soll noch die Ersatzspannungsquelle errechnet werden, um die Gleichungen (2.91) bis (2.95) erläutern zu können: U q1 U q2 200 V 160 V   R i1 R i2 80 A 5: 4: 177,78 V . U q ers 1 1 1 1 1   2,22 : R i1 R i2 5: 4 :

58

2 Gleichstromtechnik

2.2.7 Messung von Widerständen Ein ohmscher Widerstand ist definiert durch den Quotienten aus Spannungsabfall UR am ohmschen Widerstand und der Stromstärke I des durch den Widerstand fließenden Stroms: R

UR . I

(2.96)

Deshalb lässt sich durch Messungen der Spannung U und des Stroms I ein ohmscher Widerstand ermitteln. Prinzipiell werden zwei Messschaltungen für die Messung von großen und kleinen Widerständen unterschieden, weil sich entweder bei der Spannungsmessung oder bei der Strommessung Fehler durch die Messinstrumentenwiderstände ergeben. Stromrichtige Messschaltung zur Messung von großen Widerständen: Bei der Messung von großen Widerständen wird der durch den Widerstand R fließende Strom I ohne Verfälschung gemessen, weil der Strom durch den Widerstand auch durch das Amperemeter fließt und angezeigt wird. Die gemessene Spannung U ist um den Spannungsabfall UA am Amperemeter größer als die Spannung UR, die den Widerstand bestimmt. Der gemessene Widerstand RM ergibt sich also aus

RM

U I

UR  UA I

RM = R + 'R

mit

UR UA  I I

'R =

UA I

(2.97)

(2.98)

RA.

Bild 2.40 Stromrichtige Widerstandsmessung

Bei der Messung von großen Widerständen R ist der Widerstand des Amperemeters so klein, dass die Spannungsmessung wenig verfälscht wird; die Spannung am Amperemeter ist vernachlässigbar klein im Vergleich zur Spannung am ohmschen Widerstand: UA << UR. Für die Ermittlung kleiner Widerstände (z. B. in der Größenordnung der Amperemeterwiderstände) ist die Schaltung nur dann geeignet, wenn der Amperemeterwiderstand RA bekannt ist und entsprechend berücksichtigt wird.

2.2 Der verzweigte Stromkreis

59

Spannungsrichtige Messschaltung zur Messung von kleinen Widerständen: Der Spannungsabfall UR am ohmschen Widerstand R wird direkt und damit unverfälscht gemessen, weil Widerstand und Voltmeter parallel geschaltet sind. Durch das Amperemeter fließt der um IV vermehrte Strom IA. Der gemessene Widerstand RM ergibt sich aus

RM

UR IA

UR I  IV

(2.99)

Bild 2.41 Spannungsrichtige Widerstandsmessung

oder in Leitwerten ausgedrückt I  IV UR

GM

IA UR

GM

G  'G

I I  V UR UR

mit

'G

(2.100) IV UR

GV

1 . RV

(2.101)

Nach der Stromteilerregel (Gl. (2.58)) ist IV I

R , RV

(2.102)

d. h., der Widerstand des Voltmeters muss im Vergleich zum kleinen ohmschen Widerstand R sehr hochohmig sein, damit der gemessene Strom IA nur durch einen geringen Strom IV verfälscht wird: I >> IV. Bei der Messung von großen Widerständen wäre der gemessene Strom für den gesuchten Widerstand nicht zu verwenden, weil der Strom IV gegenüber dem Strom I nicht mehr vernachlässigbar ist. Die Größen ohmscher Widerstände genau zu messen, ermöglicht die Gleichstrombrücke nach Wheatstone, die nur aus ohmschen Widerständen und einem empfindlichen Strommesser besteht. Bei drei bekannten Widerständen lässt sich ein unbekannter Widerstand ermitteln. R1, R2, R3 und R4 sind die ohmschen Widerstände, I1, I2, I3 und I4 sind Zweigströme der Messbrücke, und der Strommesser mit dem Widerstand RA kann kleine positive und negative Ströme IA messen. Die Brücken-Eckpunkte sind mit den Buchstaben A, B, C und D bezeichnet.

60

2 Gleichstromtechnik

Bild 2.42 Wheatstone-Messbrücke

Nachdem die Richtungen der Zweigströme und die Umlaufrichtungen der Maschen – wie eingezeichnet – festgelegt wurden, können die Maschengleichungen der Maschen ADC und BCD nach der Maschenregel (Abschnitt 2.2.1, Gl. (2.38)) aufgestellt werden: Masche ADC: – I3 ˜ R3 – IA · RA + I1 ˜ R1 = 0,

(2.103)

Masche BCD:

(2.104)

I2 ˜ R2 + IA · RA – I4 ˜ R4 = 0.

Aus den beiden Maschengleichungen lässt sich IA ˜ RA eliminieren: IA ˜ RA = I1 ˜ R1 – I3 ˜ R3 = – I2 ˜ R2 + I4 ˜ R4.

(2.105)

Die Brücke heißt abgeglichen, wenn die Spannung zwischen den Punkten C und D Null ist, d. h., wenn der Strom durch das Amperemeter Null ist. Dann ist die Spannung IA ˜ RA Null, und es ergeben sich die Beziehungen zwischen Strömen und Widerständen: I1·R1 – I3·R3 = 0

und

I1·R1 = I3·R3

– I2·R2 + I4·R4= 0 I2·R2 = I4·R4

I1 R 3 = I 3 R1

(2.106)

I2 R 4 = I4 R 2

(2.107)

Bei Abgleich der Brücke sind außerdem zwei Zweigströme gleich, weil der Diagonalzweig stromlos ist: I1 = I2 und I3 = I4. Dadurch werden obige Proportionen gleich und die Abgleichbedingung der Wheatstonebrücke lässt sich in ohmschen Widerständen ausdrücken: R3 R1

R4 R2

oder

R1 R2

R3 . R4

(2.108)

Bei der Messung eines unbekannten ohmschen Widerstandes (z. B. R1) mit Hilfe der eben beschriebenen Wheatstonebrücke ist zunächst mit einem anderen variierbaren Widerstand (z. B. R2) der Abgleich einzustellen. Der Abgleich wird mit dem empfindlichen Strommesser kontrolliert. Mit den beiden restlichen bekannten Widerständen (z. B. R3 und R4) lässt sich dann der unbekannte Widerstand nach der Abgleichbedingung berechnen.

2.2 Der verzweigte Stromkreis

61

Eine praktische Ausführung der Wheatstonebrücke ist die Schleifdraht-Messbrücke, in der die Widerstände R3 und R4 durch einen Drahtwiderstand mit gleichmäßigen Querschnitt A gebildet werden. Auf diese Weise wird die Widerstandsmessung auf eine Längenmessung zurückgeführt. RX ist der unbekannte Widerstand, RN ein genau einstellbarer Normwiderstand.

Bild 2.43 Wheatstonebrücke als Schleifdrahtmessbrücke ausgeführt

Die Einstellung des Schleifers wird solange verändert, bis die Brücke abgeglichen ist, bis also zwischen den Punkten C und D keine Spannung auftritt und das Nullinstrument (Amperemeter) keinen Strom anzeigt. Die Abgleichbedingung ergibt sich aus Gl. (2.108): R1 R2

R3 R4

R1 R2

RX RN

R3 R4

U ˜ l3 A U ˜ l4 A

l3 . l4

(2.109)

Die Formel für den unbekannten Widerstand RX lautet dann mit l4 = l – l3 RX

RN ˜

l3 l4

RN ˜

l3 . l  l3

(2.110)

Technische Ausführungen von Messbrücken enthalten umschaltbare Normalsätze von Widerständen, die um Zehnerfaktoren veränderbar sind. Die Schieberskala trägt direkt das Verhältnis l3/(l – l3). Der abgelesene Wert wird dann mit dem dekadischen Wert des Normwiderstandes RN multipliziert.

62

2 Gleichstromtechnik

2.2.8 Der belastete Spannungsteiler Der unbelastete Spannungsteiler (Abschnitt 2.1.4) besteht aus der Reihenschaltung von zwei Widerständen, die vom gleichen Strom durchflossen sind; der Abgriff zwischen den Widerständen ist stromlos. Es gilt dann die Spannungsteilerregel (Gl. (2.35)) U1 U

R1 R1  R 2

U2 U

R2 . R1  R 2

und

(2.111)

Bild 2.44 Unbelasteter Spannungsteiler

Ist parallel zum Teilwiderstand R2 ein Belastungswiderstand R3 geschaltet, dann verzweigt sich der Strom I1 in die Teilströme I2 und I3: I 1 = I2 + I3 .

(2.112)

Bild 2.45 Belasteter Spannungsteiler

2.2 Der verzweigte Stromkreis

63

Wird die Schleiferstellung des Potentiometers verändert, ändern sich auch die Spannung U2 und der Belastungsstrom I3. Im Folgenden soll dieser Zusammenhang entwickelt werden: Mit Hilfe der Spannungsteilerregel ergibt sich für den belasteten Spannungsteiler U2 U

R 2 || R 3 R1   R 2 || R 3

U2 U

R 2R 3 R 2  R3 § R R · R1  ¨¨ 2 3 ¸¸ © R 2  R3 ¹

R 2R 3 R1R 2  R 3  R 2 R 3

(2.113)

mit R1 = R – R2 U2 U

(2.114) R 2R3

R 2R3

 R  R 2  R 2  R 3  R 2 R 3

R  R 2  R 3  R 22  R 2 R 3  R 2 R 3

,

(2.115)

wobei sich – R2R3 und + R2R3 aufheben. Der Teilwiderstand R2 wird als Teil des Gesamtwiderstandes R ausgedrückt: R2 = v ˜ R

mit

0 d v d 1,

(2.116)

vRR 3

U2 U

RvR 3 2

R  vR  R 3  v R

U2 U

vR 3

2

R ˜ ª« vR+R 3  v 2 R º» ¬ ¼ U2 = U ˜

oder

2

R(v  v )  R 3

,

vR 3 . R ˜ (v  v 2 )  R 3

(2.117)

(2.118)

Der Strom durch den Belastungswiderstand R3 ist durch die Spannung U2 bestimmt: I3

U2 R3

U˜

v



R ˜ v-v 2  R 3

.

(2.119)

Erfasst der Schleifer den gesamten Widerstand mit R2 = R und v = 1 (im Bild Schleifer oben), dann ist der Strom I3 durch R3 maximal I3max

U . R3

(2.120)

64

2 Gleichstromtechnik

Das Stromverhältnis I3/I3max und das Spannungsverhältnis U2/U in Abhängigkeit vom Belastungswiderstand R3 und von der Schleiferstellung v sind durch eine Formel darstellbar: I3 I 3max

U2 U

v . R ˜ (v  v 2 )  1 R3

(2.121)

Zwei Grenzfälle für die Größe des Belastungswiderstandes R3 können mit obiger Formel bestätigt werden: R3 o f bedeutet der unbelastete Spannungsteiler

U2 U

v

R2 R

(2.122)

R3 = 0 bedeutet Kurzschluss des Teilwiderstandes R2 und U2 = 0: mit Gl. (2.119) ergibt sich I3

U˜

I3

U˜



v

R˜ vv 1 R(1  v)

2

(2.123)

U R  vR

U R  R2

U R1

I1 .

(2.124)

Die Formeln für I3/I3max und U2/U in Abhängigkeit von v = R2/R mit dem Parameter R/R3 sind gleich, also in einem Koordinatensystem als gleiche Kurven darstellbar. Die Kurven weisen eine vom Parameter R/R3 abhängige Krümmung auf. Je kleiner R3 gegenüber R ist, um so stärker ist die Krümmung. Wenn v = 1 ist, handelt es sich um eine Parallelschaltung von R und R3, denn R2 = R und R1 = 0. Damit ist I3/I3max = U2/U = 1, d. h. U2 = U und I3 = I3max.

Bild 2.46 Strom- und Spannungsverläufe des belasteten Spannungsteilers

2.2 Der verzweigte Stromkreis

65

Beispiel: Für den belasteten Spannungsteiler (Bild 2.45) soll der Strom I2 in Abhängigkeit von der Schleiferstellung v ermittelt werden. Gegeben sind U = 24V und R = 1 000:. 1. Zunächst ist mit Hilfe von entsprechenden Schaltbildern der Strom I2 bei v = 0 und bei v = 1 anzugeben. 2. Dann ist allgemein die Formel für den Strom I2 in Abhängigkeit von U, R, R3 und v zu entwickeln. Diese soll dann in die normierte Form R I2 f(v) mit als Parameter überführt werden. R3 I 2max 3. Schließlich soll der Verlauf der normierten Funktion mit v = 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 und 1 einmal mit R3 = 100: und zum anderen mit R3 = 10k: berechnet und in einem Diagramm dargestellt werden. Lösung: v = 1: Zu 1. v = 0: R2 = v · R = R R2 = v · R = 0 U 24 V U 24 V I 2 = I1 = I2 = R 1000 : R 1000 : I2 = 24 mA

I2 = 24 mA

Bild 2.47 Beispiel zum belasteten Spannungsteiler Zu 2.

Mit I2 =

U2 R2

und Gl. (2.118) vR 3 U2 = U ˜ R ˜ (v  v 2 )  R 3 I2 =

vR 3 U ˜ R 2 R ˜ (v  v 2 )  R 3

und R2 = v R I2 =

U ˜ R3 ª R ˜ R(v  v 2 )  R 3 º ¬ ¼

U ªR º R˜« v  v 2  1» R ¬ 3 ¼





66

2 Gleichstromtechnik ergibt sich I2 I 2max Zu 3.

I2 U/R

1 . R (v  v 2 )  1 R3

R3 = 100 : R R3

1 000 : 100 :

10

v

0

0,1

I2/I2max

1

0,526 0,323 0,286 0,323 0,526

0,3

0,5

0,7

0,9

1 1

v

0

0,1

1

I2/I2max

1

0,991 0,979 0,976 0,979 0,991

R3 = 10 k: R R3

1 000 : 10 000 :

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1

Bild 2.48 Beispiel zum belasteten Spannungsteiler

2.2.9 Kompensationsschaltungen Die Grundschaltung der Spannungskompensation kann aus dem belasteten Spannungsteiler abgeleitet werden, indem der Belastungswiderstand R3 durch eine Quellspannung Uqx ersetzt wird.

Bild 2.49 Grundschaltung der Spannungskompensation

2.2 Der verzweigte Stromkreis

67

Mit Hilfe der Spannungskompensation können Spannungen genau gemessen werden, ohne die Messspannung zu beeinflussen. Im Folgenden soll die Bedingungsgleichung für die unbekannte Spannung mit Hilfe von zwei Maschengleichungen entwickelt werden; die Maschenumläufe sind im Schaltbild eingetragen: Masche I: U = I1R1 + I2R2

mit I1 = I2 + I3 U = (I2 + I3)R1 + I2R2 = I2(R1 + R2) + I3R1 mit R = R1 + R2 U = I2R + I3R1 U  I 3R1 I2 = R

Masche II: Uqx – I2R2 + I3RA = 0

(2.125) (2.126) (2.127) (2.128) (2.129)

(Soll für die Spannungsquelle ein Innenwiderstand berücksichtigt werden, dann wird er genauso behandelt wie der Amperewiderstand RA: Statt I3RA muss dann I3 (RA + Rix) stehen.) Uqx = I2R2 – I3RA I2 =

U qx  I3R A R2

(2.130)

.

Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen für I2 ergibt sich die Formel für den Strom I3:

U  I 3 R1 R

U qx  I3R A

(2.131)

R2

UR2 – I3R1R2= UqxR + I3RAR I3 =

UR 2  U qx R R A R  R1 R 2

.

(2.132)

Der Schleifer am variablen Widerstand lässt sich so verschieben, dass die am Teilwiderstand R2 anliegende Spannung U2 gleich der Quellspannung Uqx ist; die Spannung Uqx kompensiert die Spannung U2. Im Zustand der Kompensation ist der Spannungsteiler unbelastet, denn der Belastungsstrom I3 ist Null. Die Spannungsteilerregel U2 U

R2 R

U qx U

(2.133)

umgeschrieben in U ˜ R2 = Uqx ˜ R

(2.134)

bestätigt in der Gleichung für den Belastungsstrom I3 (Gl. (2.132)) die Kompensationsbedingung, dass bei Spannungskompensation auch der Strom I3 Null ist.

68

2 Gleichstromtechnik

In der angegebenen Grundschaltung der Spannungskompensation ist U eine konstante Hilfsspannung, z. B. einer Akkumulatorenbatterie, und Uqx die zu bestimmende Quellspannung. Der Schleifer am Widerstand R wird so eingestellt, dass das empfindliche Galvanometer keinen Strom mehr anzeigt; dann ist die Spannungsquelle Uqx unbelastet. Die im Zustand der Kompensation anliegende Quellspannung Uqx ist so groß wie die abgegriffene Spannung U2. Die Messung von Uqx wird nicht von einem Messinstrument oder der übrigen Messanordnung beeinflusst. Die unbekannte Spannung ergibt sich dann aus U qx

U

R2 . R

(2.135)

Selbstverständlich lassen sich auch beliebige Spannungen, z. B. an stromdurchflossenen Widerständen oder zwischen beliebigen Punkten eines Netzes mit Hilfe der Spannungskompensation messen, ohne die Messspannung durch Belastung der Messanordnung zu beeinflussen. Eine Messung mittels Messinstrument bedeutet immer eine Belastung der Messspannung. Spannungsmessungen, bei denen eine noch größere Genauigkeit verlangt wird, lassen sich mittels zweifacher Kompensation bei Verwendung eines Normalelementes durchführen.

Bild 2.50 Zweifache Spannungskompensation

Zuerst wird in der unteren Stellung des Umschalters die Normalspannungsquelle kompensiert, deren Quellspannung auf vier Ziffern genau bekannt ist. Damit ergibt sich durch Grob- und Feineinstellung ein Widerstandswert RN. Bei Kompensation gilt U qN U

RN . R

(2.136)

Dann wird durch den zweipoligen Umschalter in der oberen Stellung die unbekannte Spannung Uqx bzw. Ux an die Messschaltung angelegt und kompensiert. Es ergibt sich ein ablesbarer Widerstandswert Rx. Bei Kompensation gilt Ux U

Rx . R

(2.137)

2.2 Der verzweigte Stromkreis

69

Während beider Kompensationen bleibt die Hilfsspannung U konstant, weil die Hilfsspannungsquelle bei beiden Kompensationen jeweils vom Widerstand R belastet wird. Der Spannungsabfall infolge des Innenwiderstandes der Hilfsspannungsquelle kann also keinen Fehler bewirken. Damit können beide Proportionen zusammengefasst werden: Ux Rx

U qN RN

U , R

(2.138)

und die unbekannte Spannung kann unabhängig von der Hilfsspannung auf vier Ziffern genau berechnet werden: Ux

Rx U qN . RN

(2.139)

2.2.10 Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt Teile eines Netzwerks, die aus Reihen- und Parallelschaltungen bestehen und die keine Spannungs- oder Stromquellen enthalten, lassen sich zu einem Ersatzwiderstand zusammenfassen und mit der Spannungsteiler- und Stromteilerregel berechnen. Besteht ein Netzwerkteil aus einer Brückenschaltung von ohmschen Widerständen, dann lassen sich Ströme und Spannungen nicht mit der Spannungsteiler- und Stromteilerregel ermitteln. Wendet man eine Dreieck-Stern-Transformation oder eine Stern-Dreieck-Transformation an, dann wird das Netzwerkteil eine Schaltung aus in Reihe und parallel geschalteten Widerständen.

Bild 2.51 Dreieck- und Sternschaltung in einer Brückenschaltung

70

2 Gleichstromtechnik

Die Dreieckschaltung von Widerständen zwischen den Punkten A, B und C der Brückenschaltung lässt sich in eine Sternschaltung umwandeln, wenn die Spannungen zwischen den Eckpunkten gleich bleiben: UAC = U2 UBC = U1 UBA = U3

Andererseits lässt sich auch die Sternschaltung von Widerständen zwischen den Punkten B, C und D der Brückenschaltung mit dem Sternpunkt A in eine Dreieckschaltung von Widerständen überführen, wobei ebenfalls die Spannungen zwischen den Punkten unverändert bleiben müssen: UBC = U1,

UDB = U4

UDC = U5 + U2

Bild 2.52 Durch Transformationen umgewandelte Brückenschaltungen

Ehe die Brückenschaltung weiter verfolgt wird, sollen die beiden Arten der Transformation gesondert behandelt werden: Dreieck-Stern-Transformation

Bild 2.53 Transformation einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung

2.2 Der verzweigte Stromkreis

71

Wenn die Spannungen zwischen zwei Eckpunkten der Sternschaltung und der Dreieckschaltung jeweils gleich sein sollen, dann muss bei der Sternschaltung und bei der Dreieckschaltung zwischen den jeweiligen Punkten der gleiche Gesamtwiderstand vorhanden sein: RAB = R3 || (R1 + R2) = R1'  R '2

und

RAB =

R 3 ˜ (R1  R 2 ) R1  R 2  R 3

R1'  R '2

(2.140)

RBC =

R1 ˜ (R 2  R 3 ) R1  R 2  R 3

R'2  R'3

(2.141)

RCA =

R 2 ˜ (R1  R 3 ) R1  R 2  R 3

R1'  R '3 .

(2.142)

Die Widerstände der Dreieckschaltung R1, R2 und R3 sind gegeben, die Widerstände der Sternschaltung R1', R'2 und R '3 gesucht. Deshalb müssen die Gleichungen entsprechend umgeformt werden. Zunächst wird Gl. (2.141) von Gl. (2.140) subtrahiert: (R1'  R '2 )  (R '2  R 3' )

R 3 (R1  R 2 )  R1 (R 2  R 3 ) R1  R 2  R 3

(2.143)

R1'  R 3'

R 3R1  R 3R 2  R1R 2  R1R 3 R1  R 2  R 3

(2.144)

R1'  R 3'

R 2 R 3  R1R 2 . R1  R 2  R 3

(2.145)

Zur Gl. (2.145) wird Gl. (2.142) addiert: R 2 R 3  R1R 2  R 2 R1  R 2 R 3 . R1  R 2  R 3

R1'  R 3'  R1'  R 3'

(2.146)

Damit ergibt sich die Formel für den Sternwiderstand R1' in Abhängigkeit von den drei Dreieckwiderständen: R1'

R 2R 3 . R1  R 2  R 3

(2.147)

Die beiden anderen Sternwiderstände können analog berechnet werden und ergeben die Formeln: R '2

R 3 R1 , R1  R 2  R 3

(2.148)

R 3'

R1R 2 . R1  R 2  R 3

(2.149)

Für die Umrechnung von Dreieckwiderständen in Sternwiderstände lautet die Merkregel: Sternwiderstand

Produkt der beiden Dreieckwiderstände . Summe aller Dreieckwiderstande

72

2 Gleichstromtechnik

Stern-Dreieck-Transformation

Bild 2.54 Transformation einer Sternschaltung in eine Dreieckschaltung

Bei einer Stern-Dreieck-Umwandlung sind die Widerstände R1' , R '2 und R 3' gegeben und die Widerstände R1, R2 und R3 gesucht. Die Umrechnungsformeln für die Dreieck-SternTransformation (Gl. (2.147) bis (2.149)) werden zunächst dividiert:

R1' R '2

R2 , R1

R '2 R '3

R1'

R3 , R2

R 3'

R3 . R1

(2.150)

Dann werden in den Gln. (2.147) bis (2.149) die unbekannten Widerstandsverhältnisse ersetzt, z. B.

R1'

R 2R 3 R1  R 2  R 3

R3 R1 R2 R 2 R3 1  R 1 R1

R1'

R 3'

R2 1

R1'

R '2



R1'

(2.151)

R 3'

und nach den gesuchten Größen aufgelöst, z. B. R2

R1'

R 3' §¨ R1' R1' ·¸  1 R1' ¨© R '2 R 3' ¸¹

§ R' R' · R 3' ¨1  1'  1' ¸. ¨ R ¸ 2 R3 ¹ ©

(2.152)

Die Formeln für die Dreieckwiderstände in Abhängigkeit von den Sternwiderständen lauten damit: R2

R' R' R1'  R 3'  1 ' 3 R2

R1' R '2  R '2 R 3'  R1' R 3'

R1

R '2  R 3' 

R '2 R 3'

R1' R '2  R '2R 3'  R1' R 3'

R1'

R1'

R3

R' R' R1'  R '2  1 ' 2 R3

(2.153)

R '2

R1' R '2  R '2 R 3'  R1' R 3' R 3'

(2.154) .

(2.155)

2.2 Der verzweigte Stromkreis

73

Werden die Widerstände durch Leitwerte ersetzt, dann ergeben sich für die Stern-DreieckTransformation Umrechnungsformeln, die der Dreieck-Stern-Transformation analog sind. Mit Gv = 1/Rv lassen sich die Widerstandsgleichungen in Leitwertform ausdrücken, z. B. Gl. (2.151): Aus R1'

R1'

R 3'

R2 1

R1'

R '2



(2.156)

R1'

R 3'

ergibt sich G 3' G2

G1'

G1' 1

G '2 G1'



G1' G 3' G 3' G1'

G1'  G '2  G 3'

(2.157)

und entsprechend G1

G3

G 3' G '2

(2.158)

G1'  G '2  G 3'

G1' G '2

G1'  G '2  G 3'

.

(2.159)

Für die eingangs dieses Abschnitts behandelte Brückenschaltung können nun die entwickelten Formeln angewendet werden. Bei der Umformung des linken Dreiecks der Brückenschaltung in die äquivalente Sternschaltung entsprechen die Indizes zufällig den Indizes der allgemeinen Umformung, so dass die Formeln für die gesuchten Widerstände R1' , R '2 und R 3' den Gleichungen (2.147) bis (2.149) entsprechen. Bei der Umformung des unteren Sterns der Brücke mit dem Sternpunkt A in eine äquivalente Dreieckschaltung lauten die Formeln für die Dreieckwiderstände nach den Gleichungen (2.153) bis (2.155) R "2

R3  R5 

R 3R 5 R2

R "3

R 2  R5 

R 2R 5 R3

R "5

R2  R3 

R 2R 3 R5

Anmerkung: Dualität in der Gleichstromtechnik Die am Ende des Abschnitts 2.2.4 beschriebene Gesetzmäßigkeit zwischen Reihenschaltung und Parallelschaltung, Spannungen und Strömen, Widerständen und Leitwerten kann durch die Dualität Dreieckschaltung und Sternschaltung ergänzt werden: Die Widerstandsgleichungen der Dreieck-Stern-Transformation entsprechen den Leitwertgleichungen der Stern-Dreieck-Transformation und umgekehrt.

74

2 Gleichstromtechnik

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 2.1 und 2.2 2.1

Von vier verschiedenen Grundstromkreisen sind die in folgender Tabelle eingetragenen Werte gegeben. Berechnen Sie die restlichen Zahlenwerte: Stromkreis 1 2 3 4

2.2

2.3

2.4

Uq V 50 30 12 6

Ri :

I A

Ui V

1,5 0,5

1

U V 48

10

Ra : 30 10 40

Bei einer Klemmenspannung von 54V fließt durch eine Spannungsquelle ein Strom von 3A, bei Kurzschluss erhöht sich der Strom auf 30A. Ermitteln Sie die Quellspannung und den Innenwiderstand der Spannungsquelle. Für ein Volta-Element wird eine Leerlaufspannung von 1,1V gemessen. Wird ein äußerer Widerstand von 5: an das Element angeschlossen, sinkt die Klemmenspannung auf 0,9V. Ermitteln Sie den Innenwiderstand der Spannungsquelle. Mit der skizzierten Schaltung lassen sich unbekannte Widerstände Rx mit Hilfe eines Strommessers direkt anzeigen. Die Skala des Strommessers wird nichtlinear in Ohmwerte geteilt. Rv ist ein Korrekturwiderstand. 1. Berechnen Sie RA und RV, wenn durch den Strommesser bei Endausschlag ein Strom von 3mA fließt und eine Spannung von 60mV anliegt. 2. Berechnen Sie die Ströme bei Rx = 10:, 100:, 1 000:, 10 000: und bei Leerlauf. Wie viel Skalenteile zeigt der Strommesser jeweils an, wenn die Skala in 30 gleiche Teile zerlegt wird.

Bild 2.55 Übungsaufgabe 2.4

2.5

An eine Spannungsquelle mit Uq = 100V und Ri = 200: ist ein nichtlinearer Widerstand R(I) mit folgenden Größenpaaren U = f (I) angeschlossen: U in V I in mA

2.6

5 10 15 20 152 265 321 359

30 50 70 400 410 411

90 411

110 437

1. Stellen Sie die Kennlinie des passiven Zweipols dar. 2. Überlagern Sie der gezeichneten Kennlinie die Kennlinie des aktiven Zweipols. 3. Geben Sie den Klemmenstrom I und die Klemmenspannung U an und errechnen Sie den Gleichstromwiderstand Ra. Ermitteln Sie außerdem für diesen Arbeitspunkt den differentiellen Widerstand Rd. An ein Potentiometer mit 600 Windungen liegt eine Spannung von 30V an. Berechnen Sie die Windungszahlen, die abgegriffen werden müssen, um die Spannungen 0,5V, 1V, 2V, 10V und 20V zu erhalten.

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 2.1 und 2.2 2.7

75

Für einen Vielfach-Spannungsmesser mit drei Spannungsbereichen 1,5V, 7,5V und 30V sind die Vorwiderstände R1, R2 und R3 zu berechnen. Bei Vollausschlag beträgt die Spannung am Messinstrument U0 = 0,075V bei einem Instrumentenwiderstand R0 = 30:.

Bild 2.56 Übungsaufgabe 2.7

2.8

2.9

Gleiche Spannungsquellen mit je Uq = 1,5V und Ri = 1: sind in Reihe geschaltet, um bei Belastung mit einem äußeren Widerstand von 20: einen Strom von 0,5A zu erreichen. Leiten Sie zunächst die Formel für die Anzahl n der Spannungsquellen ab, ehe Sie die Zahlenwerte berücksichtigen. Von der Stromverzweigung zweier paralleler Widerstände R1 und R2 mit den Teilströmen I1 und I2, dem Gesamtstrom I und der Spannung U sind die in folgender Tabelle eingetragenen Werte gegeben. Berechnen Sie die fehlenden Zahlenwerte: Stromverzweigung 1 2 3 4

2.10

U V 100 12

I1 A 0,5

I2 A 0,1

I A

R1 :

R2 :

10 mA 5 mA

4 300 200

6 700

Rers :

100

In der skizzierten Schaltung sind die Teilspannungen U1, U2 und U3 und sämtliche Ströme zu berechnen.

Bild 2.57 Übungsaufgabe 2.10

2.11

2.12

Ein Normalwiderstand hat nach seiner Fertigung statt des Sollwertes von 1,000: den Wert 1,004:. Berechnen Sie den Widerstand, der zur Korrektur dem Normalwiderstand parallelgeschaltet werden muss. An eine Spannungsquelle mit Uq = 15V und Ri = 2,4: sind drei Widerstände R1 = 12:, R2 = 7: und R3 = 3: parallel geschaltet. Berechnen Sie den Gesamtstrom, die Spannung an den Widerständen und die Teilströme durch die Widerstände.

76 2.13

2.14

2 Gleichstromtechnik Für ein Drehspul-Messinstrument mit einem Messwerkwiderstand von 20: soll der Messbereich von 3mA auf 7,5mA, 15mA, 30mA, 75mA, 150mA und 300mA erweitert werden. Berechnen Sie die dazu nötigen Parallelwiderstände. Für einen Vielfach-Strommesser mit den Messberechen 10mA, 100mA und 1A sind die Widerstände R1, R2 und R3 zu berechnen. Bei Endausschlag beträgt der Strom durch das Drehspulmesswerk 4mA bei einem Messwerkwiderstand von 5:.

Bild 2.58 Übungsaufgabe 2.14 2.15

In der skizzierten Schaltung soll die Spannung UAB mittels eines Spannungsmessers (Messbereich 10V, bezogener Widerstand 250:/V) ermittelt werden. 1. Berechnen Sie die Spannung UAB ohne Spannungsmesser. 2. Auf welchen Wert sinkt die Spannung UAB, wenn der Spannungsmesser angeschlossen wird? Wie groß ist der Fehler der Anzeige? 3. Wie lässt sich der Fehler vermindern und wie sogar vermeiden?

Bild 2.59 Übungsaufgabe 2.15

2.16

Drei parallel geschaltete Spannungsquellen sind mit einem Widerstand Ra belastet. Strom I und Spannung U sind gesucht. 1. Überführen Sie schrittweise die drei Spannungsquellen in eine Ersatzspannungsquelle, indem Sie jeweils die Schaltbilder und die zugehörigen Formeln angeben.

Bild 2.60 Übungsaufgabe 2.16 2. Berechnen Sie mit den allgemeinen Formeln die Quellspannung Uq ers und den Innenwiderstand Ri ers, wenn Uq1 = 24V, Ri1 = 12:, Uq2 = 16V, Ri2 = 12:, Uq3 = 8V und Ri3 =12: betragen. 3. Berechnen Sie den Strom I und die Spannung U, wenn Ra = 8: ist. Wie groß muss der Außenwiderstand sein, damit der Strom maximal ist?

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 2.1 und 2.2 2.17

2.18

2.19

2.20

77

Die Lichtmaschine eines Automobils mit einer Quellspannung Uq1 = 15,6V und einem Innenwiderstand Ri1 = 0,2: ist an eine Batterie mit der Quellspannung Uq2 = 12,6V und einem Innenwiderstand Ri2 = 0,01: parallel geschaltet und mit einem Verbraucher Ra = 1,2: belastet. 1. Wandeln Sie die beiden Ersatzspannungsquellen in äquivalente Stromquellen um und fassen Sie diese zu einer Ersatzstromquelle zusammen. Berechnen Sie für den Grundstromkreis den Strom durch den Verbraucher. 2. Berechnen Sie anschließend die Teilströme durch die beiden parallel geschalteten Spannungsquellen. Ein Widerstand von 30: wird einmal in der spannungsrichtigen Schaltung und zum anderen in der stromrichtigen Schaltung mit den gleichen Messgeräten gemessen. Der Strommesser zeigt in der spannungsrichtigen Schaltung 707mA und in der stromrichtigen Schaltung 645mA an. Der Spannungsmesser zeigt in beiden Schaltungen 20V an. 1. Entwickeln Sie die Gleichungen für den Spannungsmesser-Widerstand RV und den Strommesser-Widerstand RA. 2. Berechnen Sie RV und RA mit den Zahlenwerten. Die Größe eines konstanten Widerstandes R soll mit der spannungsrichtigen Messschaltung ermittelt werden. Der Widerstand des Strommessers RA beträgt 1:. 1. Leiten Sie zunächst die Gleichung für den Widerstand R in Abhängigkeit von UR, RV und IA ab. 2. Ermitteln Sie dann die Strommesseranzeige IA, wenn die Gerätekonstante des Strommessers kA = 1mA/Skt. und der Strommesserausschlag 140 Skalenteile (Skt.) betragen. Die Spannungsmesseranzeige ohne Messbereichserweiterung UR0 ist anschließend zu ermitteln, wenn die Gerätekonstante des Spannungsmesser kV = 10mV/Skt. und der Spannungsmesserausschlag 130 Skalenteile betragen. 3. Berechnen Sie dann den Spannungsmesserwiderstand RV und die Spannungsmesseranzeige UR, wenn das Messwerk des Spannungsmessers einen Widerstand RV0 = 200: besitzt und der Messbereich durch einen Vorwiderstand RVv = 9 800: erweitert wird. 4. Mit der oben allgemein abgeleiteten Formel ist nun der Widerstand R zu ermitteln. 5. Geben Sie die prozentuale Abweichung des Widerstandes an, wenn der Einfluss des Messgerätewiderstandes nicht berücksichtigt werden würde und nur die angezeigten Messwerte in die Rechnung eingehen. 6. Berechnen Sie schließlich den Fehler, der sich bei Anwendung der stromrichtigen Schaltung ergeben würde. Gehen Sie davon aus, dass der Widerstandswert R berechnet ist. Für eine nichtabgeglichene Wheatstone-Messbrücke als Schleifdrahtmessbrücke ausgeführt (siehe Bild 2.43) soll der Strom IA durch das Galvanometer mit RA bei Verstellung des Schleifers errechnet werden. 1. Entwickeln Sie die Gleichung für den Strom IA durch das Galvanometer in Abhängigkeit von den Widerständen R1, R2, R3, R4 und RA und der Spannung U, indem Sie die Brücke in einen aktiven und einen passiven Zweipol aufteilen: nur der Strommesser wird dem passiven Zweipol und der Rest der Brücke dem aktiven Zweipol zugeordnet. 2. Berechnen Sie den Strom IA, wenn R1 = Rx = 100: R2 = RN = 100:

R3 + R4 = 1,000: RA = 100:

mit l = 1m U = 2V

betragen und der Schleifer um 1mm von der Mitte des Schleifdrahtes verschoben wird.

78 2.21

2 Gleichstromtechnik Mittels Dehnungsmessstreifen lassen sich Zug- und Druckkräfte in Änderungen von ohmschen Widerständen umsetzen, die als Wheatstonebrücke zusammengeschaltet werden. 1. Ermitteln Sie zunächst die Ersatzschaltelemente Iq ers und Ri ers des äquivalenten Grundstromkreises mit Ra ers = RA. Beachten Sie, dass in der Schaltung eine Stromeinprägung I, also eine Stromquelle, angenommen ist. 2. Berechnen Sie anschließend die Abhängigkeit des auf den Quellstrom I bezogenen Stroms durch das Galvanometer IA von der Widerstandsänderung 'R: IA f('R). I

Bild 2.61 Übungsaufgabe 2.21

2.22

Die skizzierte Wheatstonebrücke mit drei gleichen Nickelinwiderständen R und einem Platinwiderstand Rp eignet sich für Temperaturmessungen. Bei 20°C sind alle vier Widerstände gleich, so dass die Spannung UCD Null ist. Bei höheren Temperaturen sind auf Grund der verschiedenen Temperaturkoeffizienten die Widerstände R und Rp unterschiedlich, so dass die Spannung UCD mit wachsender Temperatur ansteigt. 1. Leiten Sie zunächst die Formel für die Spannung UCD in Abhängigkeit von Rp, R und U ab. 2. Berücksichtigen Sie die Temperaturabhängigkeit der Widerstände durch die Temperaturkoeffizienten D20 und DP20. 3. Berechnen Sie für '- = 50ºC, 80ºC und 100ºC die Spannungen UCD, wenn D20 = 0,23 ˜ 10–3ºC–1 und DP20 = 0,002ºC–1 und U = 10V betragen.

Bild 2.62 Übungsaufgabe 2.22

2.23

Durch den Belastungswiderstand R3 des belasteten Spannungsteilers (Bild 2.45) fließt ein Strom I3 = 3A. Die anliegende Spannung U beträgt 100V, und die Spannungsteilerwiderstände betragen R1 = 20: und R2 = 15:. 1. Berechnen Sie aus den gegebenen Werten den Belastungswiderstand R3. 2. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit Hilfe des normierten Diagramms des belasteten Spannungsteilers (Bild 2.46).

Übungsaufgaben zu den Abschnitten 2.1 und 2.2 2.24

2.25

2.26

79

In einer Transistorschaltung wird der belastete Spannungsteiler mit U = 24V, R1 = 1,5M: und R2 = 100 kŸ (Bild 2.45) verwendet, wobei R3 die Belastung infolge des Transistors ist. 1. Berechnen Sie den Belastungsstrom I3 und die Spannung U2 in Abhängigkeit vom Belastungswiderstand R3 für folgende Werte: R3 = 0:, 25k:, 50k:, 93,75k:, 100k:, 200k:, 300k:, 500k:, 1M:, f. Stellen Sie die Verläufe in einem Diagramm dar. 2. Erläutern Sie die drei charakteristischen Betriebszustände anhand des Ersatz-Grundstromkreises mit Ersatzspannungsquelle für R3 = 0, R3 = f und R3 = Ri. Mit Hilfe der zweifachen Spannungskompensation (siehe Bild 2.50) soll die Quellspannung Uqx einer Spannungsquelle gemessen werden. Bei der Kompensation der Normalspannung UqN = 1,02V beträgt der obere kleine Widerstand 0,4: (Feineinstellung) und der untere große Widerstand 4: (Grobeinstellung). Bei der Kompensation der unbekannten Quellspannung betragen die Widerstandswerte 0,8 bzw. 6:. Ermitteln Sie Uqx. Für die skizzierte Schaltung ist der Widerstand zwischen den Punkten A und B mit Hilfe einer Dreieck-Stern-Transformation oder einer Stern-Dreieck-Transformation mit folgenden Widerstandswerten zu berechnen: R1 = 50:, R5 = 30:,

R2 = R4 = 20:, R3 = R6 = 10:.

Bild 2.63 Übungsaufgabe 2.26

80

2 Gleichstromtechnik

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung Für ein Gleichstrom-Netzwerk, in dem Spannungsquellen, Stromquellen und ohmsche Widerstände gegeben sind, sollen die Zweigströme und Spannungen berechnet werden. Die Richtungen der Spannungsquellen und Stromquellen sind durch Zählpfeile vorgegeben.

2.3.1 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze (Zweigstromanalyse) Lösungsweg: 1. Kennzeichnung der Richtung der Zweigströme Ist die Stromrichtung nicht vorauszusagen, dann ist sie beliebig anzunehmen. Die Berechnung ergibt negative Ströme, wenn die Stromrichtung falsch vorausgesagt wurde. 2. Aufstellen der k – 1 Knotenpunktgleichungen Für ein Netzwerk mit k Knotenpunkten ergeben sich k – l voneinander unabhängige Knotenpunktgleichungen mit Hilfe der Knotenpunktregel. Die Gleichungen sind voneinander linear abhängig, wenn sie sich aus einer oder mehreren Knotenpunktgleichungen ableiten lassen. Stromquellen im Netzwerk werden als Ein- und Ausströmungen in jeweils zwei Knotenpunkten und in den Knotenpunktgleichungen berücksichtigt. Sie sind also keine Zweige, denn sie haben einen unendlich großen Widerstand:

Bild 2.64 Beispiel zur Behandlung von Stromquellen bei der Zweigstromanalyse

3. Willkürliche Festlegung der Maschen-Umlaufrichtungen und Aufstellen der unabhängigen Maschengleichungen nach der Maschenregel Für die Berechnung eines Netzwerkes sind z Gleichungen mit z unbekannten Zweigströmen notwendig, k – 1 Knotenpunktgleichungen sind bereits aufgestellt. Dazu kommen noch die unabhängigen Maschengleichungen für die Spannungen der Maschen, die man erhält, wenn nach jedem Maschenumlauf die behandelte Masche aufgetrennt gedacht wird. Diese Trennstelle wird in einem Zweig des Netzes durch zwei Striche gekennzeichnet. Ein neuer Maschenumlauf darf nicht über diese Trennstelle erfolgen. Nach dem Umlauf wird eine zweite Trennstelle vorgesehen, die beim dritten Umlauf nicht überschritten werden darf, usw. Ist wegen der eingezeichneten Trennstellen kein Umlauf mehr möglich, sind alle unabhängigen Maschengleichungen aufgestellt. Nun ist noch zu kontrollieren, ob die k – 1 Knotenpunktgleichungen und die unabhängigen Maschengleichungen z Gleichungen ergeben. 4. Auflösen des Gleichungssystems nach den gesuchten Strömen und Spannungen Handelt es sich um kleine Netze, können das Eliminationsverfahren, das Einsetzverfahren, das Determinantenverfahren (Abschnitt 2.3.6.3), das Bilden der inversen Matrix (Abschnitt 2.3.6.2) oder der Gaußsche Algorithmus (Abschnitt 2.3.6.3) angewendet werden. Bei größeren Netzen sollte ein Rechner zu Hilfe genommen werden, für den z. B. der Gaußsche Algorithmus programmiert wird.

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

81

1. Beispiel: Gegeben ist die skizzierte Schaltung, in der der Strom I5 durch den Widerstand R5 mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze zu berechnen ist.

Bild 2.65 Beispiel 1 für die Zweigstromanalyse

Lösung: Anzahl der Zweige bzw. notwendigen Gleichungen: z = 3 Anzahl der Knotenpunkte: k = 2

Bild 2.66 Zum Beispiel 1 für die Zweigstromanalyse

Knotenpunktgleichung und unabhängige Maschengleichungen: k – 1 = 1: I 1 = I3 + I5 Masche I: – Uq1 + I1R1 + I3R3 – Uq2 + I1R2 = 0 Masche II: – Uq1 + I1R1 + I5R5 + I5R4 + I1R2 = 0 Nach den unbekannten Zweigströmen geordnetes Gleichungssystem: – I3 0 = I1 Uq1 + Uq2 = I1(R1 + R2) + I3R3 Uq1 = I1(R1 + R2)

– I5 + I5(R4 + R5)

(2.160) (2.161) (2.162)

Lösen des Gleichungssystems nach dem Eliminationsverfahren: Gl. (2.161) minus Gl. (2.162): Uq1 + Uq2 = I1(R1 + R2) + I3R3 = I1(R1 + R2) + I5(R4 + R5)} – {Uq1 Uq2 = I3R3 – I5(R4 + R5)

(2.163)

Gl. (2.162) minus (R1 + R2) * Gl. (2.160): + I5(R4 + R5) Uq1 = I1(R1 + R2) –{0 = I1(R1 + R2) – I3(R1 + R2) – I5(R1 + R2)} Uq1 = I3(R1 + R2) + I5(R1 + R2 + R4 + R5)

(2.164)

82

2 Gleichstromtechnik (R1 + R2) * Gl. (2.163) minus R3 * Gl. (2.164)): = I3R3(R1 + R2) – I5(R1 + R2) (R4 + R5) Uq2(R1 + R2) = I3R3(R1 + R2) + I5R3(R1 + R2 + R4 + R5)} – {Uq1R3 Uq2(R1 + R2) – Uq1R3 = – I5[(R1 + R2) (R4 + R5) + R3(R1 + R2 + R4 + R5)] I5 I5

U q1R 3  U q2 (R1  R 2 ) (R1  R 2 )(R 4  R 5 )  R 3 (R1  R 2  R 4  R 5 ) U q1R 3  U q2 (R1  R 2 ) (R1  R 2 )(R 3  R 4  R 5 )  R 3 (R 4  R 5 )

(2.165)

Wird bei den Spannungsquellen mit EMK Ei gerechnet, muss jede Masche zweimal umlaufen werden. Das Gleichungssystem kann sofort geordnet aufgeschrieben werden: – I3 0 = I1 E1 +E2 = I1(R1 +R2) + I3R3 E1 = I1(R1 + R2)

– I5 + I5(R4 + R5)

Es kann auf die gleiche Weise gelöst werden wie das geordnete Gleichungssystem mit Quellspannungen.

2. Beispiel: Für das skizzierte Gleichstrom-Netzwerk ist das Gleichungssystem für Zweigströme nach der Zweigstromanalyse aufzustellen.

Bild 2.67 Beispiel 2 für die Zweigstromanalyse

Lösung: Anzahl der Zweige bzw. notwendigen Gleichungen: z = 9 Anzahl der Knotenpunkte: k = 5

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

83

Bild 2.68 Zum Beispiel 2 für die Zweigstromanalyse Knotenpunktgleichungen und unabhängige Maschengleichungen: k1: 0 = I1 – I2 – I4 – I3 – Iq k2: 0 = I3 – I6 – I7 k3: 0 = I7 – I8 – I9 + Iq k4: 0 = I4 + I6 + I8+ I9+ I5 I: –Uq + I2R2 + I1R1 = 0 II: –I2R2 + I4R4 – I5R5 = 0 III: I3R3 + I6R6 – I4R4 = 0 IV: –I6R6 + I7R7 + I8R8 = 0 V: –I8R8 + I9R9 = 0 Nach den unbekannten Zweigströmen geordnetes Gleichungssystem: – I2 – I3 – I4 Iq = I 1 0 = I3 – I6 – I7 – Iq = I7 – I8 0 = I4 + I5 + I6 + I8 Uq = I1R1 + I2R2 0 = – I2R2 + I4R4 – I5R5 0 = I3R3 – I4R4 + I6R6 0 = – I6R6 +I7R7 + I8R8 0 = – I8R8 Gleichungssystem in Matrizenschreibweise: (Erläuterung siehe Abschnitt 2.3.6.1)

ª I q º ª 1 « » « « 0 » « 0 « I q » « 0 « » « « 0 » « 0 « U » = « R « q » « 1 « 0 » « 0 « 0 » « 0 « » « 0 » « 0 « » « « 0 ¬ 0 ¼ ¬

1

1

1

0 0 0 R2 R 2 0 0 0

1 0 0 0 0 R3 0 0

0 0 1 0 R4 R 4 0 0

0 0 0 1 0 R 5 0 0 0

0

0

1

1

0 1 0 0 R6 R 6 0

1 0 0 0 0 R7 0

0 0 1 1 0 0 0 R8 R 8

0 0 1 1 0 0 0 0 R9

º » » » » » » ˜ » » » » » » ¼

– I9 + I9

+ I9R9

ª I1 º « » «I 2 » « I3 » « » «I 4 » «I » « 5» «I6 » «I » « 7» « I8 » « » «¬ I9 »¼

Das Gleichungssystem kann mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus gelöst werden (siehe Abschnitt 2.3.6.3). Sind Zahlenwerte gegeben, kann auch ein Rechner die Zweigströme berechnen.

84

2 Gleichstromtechnik 3. Beispiel: Für das skizzierte Gleichstrom-Netzwerk mit den gegebenen Stromeinspeisungen Ia = 6,5A und Ib = 4,8A, den Quellspannungen Uq1 = 16V und Uq2 = 10V und den Widerständen R1 = 2:, R2 = 0,4: und R3 = 5: sind die Zweigströme, der abfließende Strom Ic und die Potentiale in den Punkten B, C, D und E gesucht.

Bild 2.69 Beispiel 3 für die Zweigstromanalyse

Lösung: Anzahl der Zweige bzw. notwendigen Gleichungen: z = 3 Anzahl der Knotenpunkte: k = 3

Bild 2.70 Zum Beispiel 3 für die Zweigstromanalyse

Knotenpunktgleichungen: A: B: C:

Ia + I2= I1 I1= Ib + I3 I3= I2 + Ic

Eine der Knotenpunktgleichungen ist für die Netzberechnung nicht notwendig. Werden die Knotenpunktgleichungen für die Punkte A und B in der Berechnung berücksichtigt, dann ist die Gleichung für den Punkt C überflüssig. Wie die folgende Addition der drei Gleichungen zeigt, ist die Gleichung für den Punkt C von den beiden anderen linear abhängig: I a + I2 + I1 + I3 = I1 + Ib + I3 + I2 + Ic I a = Ib + Ic . Das Netzwerk kann hinsichtlich der zu- und abfließenden Ströme als Knotenpunkt aufgefasst werden. Der 1. Kirchhoffsche Satz (Abschnitt 2.2.2) lautet in allgemeiner Form: Die Summe aller vorzeichenbehafteten Ströme, die durch eine Hüllfläche fließen, ist Null (Abschnitt 3.2.2, elektrisches Strömungsfeld). Die Hüllfläche ist für das Beispiel um das gesamte Netzteil zu denken; die Punkte A, B und C liegen auf der Hüllfläche.

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

85

Die Maschengleichung lautet entsprechend des festgelegten Umlaufs: I1R1 – Uq1 + I3R3 + Uq2 + I2R2 = 0. Die gesuchten Ströme können nun berechnet werden: aus Gl. (2.168) mit Gl. (2.166) und Gl. (2.167)

Ic = Ia – Ib = 6,5A – 4,8A = 1,7A I2 = I1 – Ia I3 = I1 – Ib.

in Gl. (2.169) eingesetzt ergibt sich I1: I1R1 – Uq1 + (I1 – Ib) R3 + Uq2 + (I1 – Ia) R2 = 0 I1(R1 + R2 + R3) = Uq1 – Uq2 + IaR2 + IbR3 U q1  U q2  I a R 2  I b R 3 I1 R1  R 2  R 3 16 V  10 V  6,5 A ˜ 0,4 :  4,8 A ˜ 5 : 4,4A I1 2 :  0,4 :  5 : mit Gl. (2.167) mit Gl. (2.166)

I3 = I1 – Ib = 4,4A – 4,8A = – 0,4A, I2 = I1 – Ia = 4,4A – 6,5A = – 2,1A.

Sowohl der Strom I2 als auch der Strom I3 fließen bei den gegebenen Größen in umgekehrter Richtung als angenommen: die Zahlenwerte sind negativ. Die Knotenpunktgleichung für den Punkt C kann zur Kontrolle der Ergebnisse herangezogen werden: I3 = I2 + Ic = – 2,1A + 1,7A = – 0,4A. Mit Hilfe der Maschengleichung (Gl. (2.169)) lassen sich die gesuchten Potentiale ermitteln: UAD + UDB + UBC + UCE + UEA = 0 I1R1 – Uq1 + I3R3 + Uq2 + I2R2 = 0 UAD = MA – MD = I1R1 = 4,4A ˜ 2: = 8,8V UDB = MD – MB = – Uq1 = – 16V UBC = MB – MC = I3R3 = – 0,4A ˜ 5: = – 2V UCE = MC – ME = Uq2 = 10V UEA = ME – MA = I2R2 = – 2,1A ˜ 0,4Ÿ = – 0,84V MD = MA – 8,8V = – 8,8V mit MA = 0: MB = MD + 16V = – 8,8V + 16V = 7,2V MC = MB + 2V = 7,2V + 2V = 9,2V ME = MC – 10V = 9,2V – 10V = – 0,8V Probe: ME – MA = – 0,8V | – 0,84V.

86

2 Gleichstromtechnik Spannungen, elektrische Potentiale und Ströme lassen sich in Abhängigkeit der Widerstände in einem Diagramm darstellen:

Bild 2.71 Zum Beispiel 3 für die Zweigstromanalyse: Darstellung des Potentialverlaufs

2.3.2 Netzwerkberechnung mit Hilfe des Überlagerungssatzes (Superpositionsverfahren) Das Überlagerungs- oder Superpositionsprinzip ist von allgemeiner physikalischer Bedeutung: In einem physikalischen System, in dem Wirkungen linear von den Ursachen abhängen, lässt sich zunächst jeweils die Wirkung von nur einer Ursache ermitteln. Die resultierende Wirkung aller Ursachen ergibt sich dann als Summe der Einzelwirkungen. Beispiele: Durchbiegung eines eingespannten Metallstabes infolge mehrerer Kräfte, Berechnung der Feldstärke oder des elektrischen Potentials in einem Punkt, verursacht durch mehrere Punktladungen (Abschnitt 3.3.3).

Für elektrische Netze lautet das Überlagerungsprinzip: (Satz von Helmholtz1)) Die Ströme in den Zweigen eines linearen Netzwerks sind gleich der Summe der Teilströme in den betreffenden Zweigen, die durch die einzelnen Quellspannungen und Quellströme hervorgerufen werden. Lineares Netzwerk bedeutet, dass zwischen den Strömen und Spannungen lineare Zusammenhänge bestehen.

1)

Helmholtz, deutscher Physiker und Physiologe, 1821–1894

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

87

Lösungsweg: 1. Kennzeichnung der Richtung der Zweigströme Ist die Stromrichtung nicht vorauszusagen, dann ist sie beliebig anzunehmen. Die Berechnung ergibt negative Ströme, wenn die Stromrichtung falsch vorausgesagt wurde. 2. Nullsetzen und Kurzschließen aller Quellspannungen und Nullsetzen und Unterbrechen aller Quellströme bis auf eine Quellspannung oder einen Quellstrom Innenwiderstände verbleiben in der Schaltung. Es empfiehlt sich, die Schaltung mit nur einer Spannungs- oder Stromquelle noch einmal zu zeichnen. 3. Berechnen des von der einen Quellspannung oder von dem einen Quellstrom verursachten Teilstroms in dem Zweig, in dem der Zweigstrom ermittelt werden soll Da nur eine Energiequelle in der Schaltung wirkt, kann in den meisten Fällen die Stromrichtung in dem betreffenden Zweig vorausgesagt werden. Die Richtung des Teilstroms kann dabei auch entgegengesetzt zur angenommenen Richtung des unter 1. vereinbarten Richtung des gesamten Zweigstroms verlaufen. 4. Nullsetzen und Kurzschließen aller Quellspannungen und Nullsetzen und Unterbrechen aller Quellströme bis auf eine zweite Quellspannung oder einen zweiten Quellstrom und Berechnen des Teilstroms in dem betreffenden Zweig 5. Berechnen der Teilströme in dem betreffenden Zweig auf Grund einer dritten, vierten,... Energiequelle Es ergeben sich so viele Teilströme, wie Spannungs- und Stromquellen in der Schaltung vorhanden sind. 6. Aufsummieren der Teilströme bei Beachten der Vorzeichen der Teilströme Teilströme, die die gleiche Richtung haben wie der unter l. vereinbarte gesuchte Zweigstrom, werden positiv berücksichtigt. Die Teilströme, die entgegengesetzt gerichtet sind, gehen negativ in die Berechnung ein.

1. Beispiel: Das Beispiel l der Zweigstromanalyse im vorigen Abschnitt soll mit Hilfe des Überlagerungssatzes berechnet werden, damit ein Vergleich beider Verfahren möglich ist. Gegeben ist die skizzierte Schaltung, in der der Strom I5 durch den Widerstand R5 zu ermitteln ist.

Bild 2.72 Beispiel 1 für das Superpositionsverfahren

88

2 Gleichstromtechnik Lösung: Zunächst wird die Quellspannung Uq2 kurzgeschlossen. Nur die Quellspannung Uq1 wirkt im Netzwerk, so dass die Zweigströme I1Uq1 und I5Uq1 , fließen:

Bild 2.73 Zum Beispiel 1 des Superpositionsverfahrens, Uq1 wirkt

I5 Uq

1

I1Uq

1

R3 , R3  R 4  R5

I1Uq

U q1 R ˜ (R 4  R 5 ) R1  R 2  3 R3  R4  R5

1

U q1 ˜ R 3

I5U q1

(R1  R 2 )(R 3  R 4  R 5 )  R 3 (R 4  R 5 )

.

Dann wird die Quellspannung Uq1 kurzgeschlossen, so dass nur die Quellspannung Uq2 wirkt:

Bild 2.74 Zum Beispiel 1 des Superpositionsverfahrens, Uq2 wirkt

I 5 Uq

2

I 3 Uq

2

I5U q2

R1  R 2 , R1  R 2  R 4  R 5

I3 Uq

2

U q2 (R1  R 2 ) ˜ (R 4  R 5 ) R3  R1  R 2  R 4  R 5

U q2 ˜ (R1  R 2 ) R 3 (R1  R 2  R 4  R 5 )  (R1  R 2 )(R 4  R 5 )

.

Beide Teilströme werden vorzeichenbehaftet überlagert, wobei die Nenner gleich sind: I5

I5

I5U q1  I5U q2

U q1 ˜ R 3  U q2 ˜ (R1  R 2 ) (R1  R 2 )(R 3  R 4  R 5 )  R 3 (R 4  R 5 )

.

Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis der Zweigstromanalyse (Gl. (2.165)) überein.

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

89

2. Beispiel: Für die skizzierte Schaltung mit zwei Stromquellen ist der Strom I2 durch den Widerstand R2 gesucht.

Bild 2.75 Beispiel 2 für das Superpositionsverfahren

Lösung: Zunächst wird die Stromquelle Iq2 geöffnet und der Teilstrom durch den Widerstand R2 berechnet, der durch den Quellstrom Iq1 verursacht wird:

Bild 2.76 Zum Beispiel 2 für das Superpositionsverfahren, Iq1 wirkt

I 2 Iq

1

I q1

R1  R 3 , R1  R 2  R 3  R 4

I 2 Iq

1

R1  R 3 I R1  R 2  R 3  R 4 q1

Dann wird die Stromquelle Iq1 geöffnet und der Teilstrom durch den Widerstand R2 berechnet, der durch den Quellstrom Iq2 hervorgerufen wird:

Bild 2.77 Zum Beispiel 2 für das Superpositionsverfahren, Iq2 wirkt

I 2 Iq I q2

2

R3  R4 , R1  R 2  R 3  R 4

I 2 Iq

2

R3  R4 I q2 R1  R 2  R 3  R 4

Schließlich werden die beiden Teilströme überlagert: I2

I 2 Iq  I 2 Iq 1

(R1  R 3 ) ˜ I q1  (R 3  R 4 ) ˜ I q2 2

R1  R 2  R 3  R 4

.

90

2 Gleichstromtechnik

2.3.3 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie (Zweipolverfahren) Durch die Netzwerkberechnung nach der Zweipoltheorie wird das gegebene GleichstromNetzwerk in einen Grundstromkreis überführt, wobei der gesuchte Zweigstrom gleich dem Belastungsstrom des Grundstromkreises ist bzw. die gesuchte Spannung gleich der Klemmenspannung des Grundstromkreises ist. Nach der Überführung kann der Strom bzw. die Spannung nach den Formeln für den Grundstromkreis (Gl.(2.78) bis (2.81) bzw. (2.84) bis (2.87)) berechnet werden. Wie bereits im Abschnitt 2.2.5 behandelt, gibt es zwei mögliche Ersatzschaltungen für ein Gleichstromnetz: die Spannungsquellen-Ersatzschaltung und die Stromquellen-Ersatzschaltung. Lösungsweg: 1. Aufteilung des Netzwerks in einen aktiven und einen passiven Zweipol Die Aufteilung muss so vorgenommen werden, dass der gesuchte Zweigstrom von der oberen Klemme des aktiven Zweipols in die obere Klemme des passiven Zweipols und von der unteren Klemme des passiven Zweipols in die untere Klemme des aktiven Zweipols oder umgekehrt fließt bzw. die gesuchte Spannung zwischen den Klemmen der Zweipole liegt. 2. Berechnung der Ersatzschaltung des aktiven Zweipols Ersatzspannungsquelle

Ersatzstromquelle oder

mit Uq ers = Ul und Ri ers

mit Iq ers = Ik und Ri ers

3. Berechnung der Ersatzschaltung des passiven Zweipols Ersatz-Außenwiderstand Ra ers 4. Ermittlung des gesuchten Stroms oder der gesuchten Spannung mit Hilfe der Ersatzschaltung (Grundstromkreis) Spannungsquellen-Ersatzschaltung s. Gln. (2.84) und (2.85) Stromquellen-Ersatzschaltung s. Gln. (2.86) und (2.87)

1. Beispiel: Das Beispiel 1 der Zweigstromanalyse und nach dem Überlagerungssatz soll auch mit Hilfe der Zweipoltheorie behandelt werden, um die Verfahren miteinander vergleichen zu können. Gegeben ist die skizzierte Schaltung, in der der Strom I5 durch den Widerstand R5 zu ermitteln ist.

Bild 2.78 Beispiel 1 für die Zweipoltheorie

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

91

Lösung: Die Schaltung wird zunächst in den aktiven und passiven Zweipol aufgeteilt und anschließend in den Grundstromkreis überführt. Beide Möglichkeiten sollen behandelt werden:

Bild 2.79 Zum Beispiel 1 für die Zweipoltheorie, Aufteilung in aktiven und passiven Zweipol Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle: U q ers U l :

Bild 2.80 Zum Beispiel 1 für die Zweipoltheorie, Ermittlung der Ersatz-Quellspannung Ul mit I Ul Ul Ul

U q2  I ˜ R 3 U q1  U q2 R1  R 2  R 3 U q2 

(U q1  U q2 )R 3 R1  R 2  R 3

U q2 (R1  R 2  R 3 )  (U q1  U q2 )R 3 R1  R 2  R 3 U q2 (R1  R 2 )  U q1R 3 R1  R 2  R 3

U q ers

92

2 Gleichstromtechnik R i ers : R i ers

(R1  R 2 ) ˜ R 3 R1  R 2  R 3

R a ers

R4  R5

R a ers :

Bild 2.81 Zum Beispiel 1 für die Zweipoltheorie, Ermittlung der Widerstände U q2 (R1  R 2 )  U q1R 3 I5 

I5

I5

U q ers R i ers  R a ers



R1  R 2  R 3 (R1  R 2 )R 3  R4  R5 R1  R 2  R 3

U q1R 3  U q2 (R1  R 2 ) (R1  R 2 )R 3  (R 4  R 5 )(R1  R 2  R 3 )

U q1R 3  U q2 (R1  R 2 ) (R1  R 2 )(R 3  R 4  R 5 )  R 3 (R 4  R 5 )

Dieses Ergebnis stimmt mit den Ergebnissen der Beispiele 1 der Zweigstromanalyse (Gl. (2.165)) und nach dem Überlagerungssatz überein. Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle: I q ers I k : Die beiden parallelgeschalteten Spannungsquellen werden zunächst in äquivalente Stromquellen überführt und zusammengefasst:

Bild 2.82 Zum Beispiel 1 der Zweipoltheorie, Ermittlung des Ersatz-Quellstroms Ik Ik

 I q1  I q2



U q1 R1  R 2



U q2 (R1  R 2 )  U q1R 3 (R1  R 2 )R 3

U q2 R3 I q ers

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

93

R i ers : 1 R i ers

1 1  R i1 R i2

1 R i ers

1 1  R1  R 2 R 3

R i ers

(R1  R 2 )R 3 R1  R 2  R 3

R a ers

R4  R5

R a ers :

Bild 2.83 Zum Beispiel 1 der Zweipoltheorie, Ermittlung der Widerstände

I5 

I5 I5

R i ers R i ers  R a ers

I q ers

(R1  R 2 )R 3 U q2 (R1  R 2 )  U q1R 3 R1  R 2  R 3  ˜ (R1  R 2 )R 3 (R1  R 2 )R 3  R4  R5 R1  R 2  R 3

U q1R 3  U q2 (R1  R 2 ) (R1  R 2 )R 3  ( R 4  R 5 )(R1  R 2  R 3 ) U q1R 3  U q2 (R1  R 2 ) (R1  R 2 )(R 3  R 4  R 5 )  R 3 (R 4  R 5 )

(vgl. mit Gl. (2.165))

2. Beispiel: Für die im Abschnitt 2.2.7 behandelte Wheatstone-Brücke (Bild 2.42) soll der Strom IA mit Hilfe der Zweipoltheorie ermittelt werden. Gegeben sind die Spannung U und sämtliche Widerstände. Lösung:

Bild 2.84 Zum Beispiel 2 der Zweipoltheorie

94

2 Gleichstromtechnik Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle: U q ers U l :

Bild 2.85 Zum Beispiel 2 der Zweipoltheorie, Ermittlung der Ersatz-Quellspannung

Ul

U1  U 3 R1 U mit U1 R1  R 2

Ul Ul

und

U3

R3 U R3  R4

§ R1 R3 · R1 (R 3  R 4 )  R 3 (R1  R 2 ) ¸ ¨ ˜U ¨ R  R  R  R ¸˜U (R1  R 2 )(R 3  R 4 ) 2 3 4¹ © 1 R1R 4  R 2 R 3 U U q ers (R1  R 2 )(R 3  R 4 )

R i ers :

Bild 2.86 Zum Beispiel 2 der Zweipoltheorie, Ermittlung des Ersatzinnerwiderstandes

R i ers

R 3R 4 R1R 2  R1  R 2 R 3  R 4

R i ers

R1R 2 (R 3  R 4 )  R 3R 4 (R1  R 2 ) (R1  R 2 )(R 3  R 4 )

R a ers

RA

R a ers :

IA

IA

R1R 4  R 2 R 3 U (R1  R 2 )(R 3  R 4 ) R i ers  R a ers R1R 2 (R 3  R 4 )  R 3 R 4 (R1  R 2 )  RA (R1  R 2 )(R 3  R 4 ) (R1R 4  R 2 R 3 )U R1R 2 (R 3  R 4 )  R 3 R 4 (R1  R 2 )  R A (R1  R 2 )(R 3  R 4 ) U q ers

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

95

Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle: I q ers I k :

Bild 2.87 Zum Beispiel 2 der Zweipoltheorie, Ermittlung des ErsatzQuellstroms

Ik

I 2  I1

mit I 2

R4 I R2  R4

und

I1

R3 I R1  R 3

Ik

§ R R 3 · 4  ¨ ¸˜ I ©R 2  R 4 R1  R 3 ¹

Ik

R 4 (R1  R 3 )  R 3 (R 2  R 4 ) U (R1  R 3 )(R 2  R 4 ) R1R 3 (R 2  R 4 )  R 2 R 4 (R1  R 3 ) (R1  R 3 )(R 2  R 4 )

Ik

(R1R 4  R 2 R 3 ) ˜ U R1R 3 (R 2  R 4 )  R 2 R 4 (R1  R 3 )

mit

U R1R 3 R 2R 4  R1  R 3 R 2  R 4

I

I q ers

R i ers : R i ers

R1R 2 (R 3  R 4 )  R 3R 4 (R1  R 2 ) (R1  R 2 )(R 3  R 4 )

R a ers

RA

R a ers :

IA

R i ers R i ers  R a ers

I q ers

IA

R1R 2 (R 3  R 4 )  R 3R 4 (R1  R 2 ) (R1  R 2 )(R 3  R 4 ) (R1R 4  R 2 R 3 ) ˜ U ˜ R1R 2 (R 3  R 4 )  R 3R 4 (R1  R 2 ) R R ( R 1 3 2  R 4 )  R 2 R 4 ( R1  R 3 )  RA (R1  R 2 )(R 3  R 4 )

IA

(R1R 4  R 2 R 3 ) ˜ U R1R 2 (R 3  R 4 )  R 3R 4 (R1  R 2 )  R A (R1  R 2 )(R 3  R 4 )

96

2 Gleichstromtechnik 3. Beispiel: Mit Hilfe der Zweipoltheorie soll für den belasteten Spannungsteiler die Klemmenspannung UAB in Abhängigkeit von der Schleiferstellung v ermittelt werden. 1. Für den aktiven Zweipol ist zunächst die Ersatzspannungsquelle mit Uq ers und Ri ers in Abhängigkeit von Uq, Ri, R = R1 + R2 und v = R2/R zu ermitteln. 2. Dann sind die Formeln für Uq ers und Ri ers für vernachlässigbaren Innenwiderstand Ri zu vereinfachen. 3. Die Abhängigkeit der Ersatzgrößen von der Schleiferstellung v ist anschließend zu berechnen und darzustellen: U q ers Uq

R i ers

f(v)

f(v)

R

für v = 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1

4. Schließlich ist die Klemmenspannung UAB in Abhängigkeit von der Schleiferstellung v bei Ri = 0 aus den Ersatzgrößen zu bestimmen.

Bild 2.88 Beispiel 3 für die Zweipoltheorie

Lösung: Zu 1.

Ul Uq U q ers

R i ers

R2 R  Ri Ul

R2 R R Ri  R R v ˜ Uq R 1 i R

R 2 || (R1  R i )

mit R = R1 + R2 R i ers

v R 1 i R

R 2 (R1  R i ) R 2  R1  R i bzw.

R 2 (R  R 2 )  R 2 R i R  Ri

R 2 R1  R 2 R i R 2  R1  R i R1 = R – R2 2

R 2R  R 2  R 2R i R  Ri

R2 

R 22 R  Ri 2 R R Ri 1 R

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung §R R 2 2 R 2 ˜ R i · 2 ¸ R§v  v 2  v R i · R ¨   ¨ ¸ ¨ R R ˜ R ¸ R2 R ¹ © © ¹ R R 1 i 1 i R R § R i · vR¨1 v + ¸ R ¹ © R 1 i R

R i ers

R i ers

Zu 2. Zu 3.

97

Uq ers = v ˜ Uq U q ers

und

v

Uq

v U q ers Uq R i ers R

und

Ri ers = v ˜ R ˜ (1 – v) R i ers R

v ˜ (1  v)

v  v2

0

0,25

0,5

0,75

1

0

0,25

0,5

0,75

1

0

0,1875

0,25

0,1875

0

Bild 2.89 Zum Beispiel 3 für die Zweipoltheorie

Zu 4.

U AB U q ers U AB

U AB

R a ers R i ers  R a ers R a ers ˜ U q ers

R3 ˜ v ˜ Uq

R i ers  R a ers

v ˜ (1 v)R  R 3

v ˜ Uq R (v  v 2 )  1 R3

Dieses Ergebnis entspricht der Formel Gl. (2.121) im Abschnitt 2.2.8.

98

2 Gleichstromtechnik

2.3.4 Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren Beim Maschenstromverfahren werden nur Maschengleichungen für Spannungen berücksichtigt. Deshalb sind im Gleichstromnetz vorkommende Stromquellen zunächst in äquivalente Spannungsquellen zu überführen. Bei idealen Stromquellen mit Gi = 0 ist die Umwandlung nicht möglich. In diesem Fall kann ein zur Stromquelle parallel geschalteter Innenwiderstand angenommen werden, der dann im Endergebnis unendlich gesetzt wird. Das Maschenstromverfahren kann aber auch für ideale Stromquellen erweitert werden [16]. Jeder unabhängigen Masche wird dann ein geschlossener Maschenstrom zugeordnet. In den Zweigen, die mehreren Maschen angehören, werden die Maschenströme überlagert. Die Zweigströme sind also gleich der vorzeichenbehafteten Summe der Maschenströme, je nachdem ob die Maschenströme in dem Zweig gleich gerichtet oder entgegengesetzt gerichtet sind. Anschließend werden die unabhängigen Maschengleichungen für die Zweigströme nach der Maschenregel aufgestellt und zwar mit den angenommenen Maschenströmen. Gegenüber der Netzberechnung nach den Kirchhoffschen Sätzen (Abschnitt 2.3.1) werden beim Maschenstromverfahren die Knotenpunktgleichungen eingespart, wodurch sich in vielen Fällen Vereinfachungen ergeben. Lösungsweg: 1. Umwandlung sämtlicher Stromquellen in äquivalente Spannungsquellen

Bild 2.90 Behandlung von Stromquellen beim Maschenstromverfahren

2. Jeder unabhängigen Masche wird ein Maschenstrom zugeordnet Dabei kann die Umlaufrichtung der Maschenströme beliebig gewählt werden. Die Zuordnung der Maschenströme wird so vorgenommen, dass durch den Zweig, für den der Strom berechnet werden soll, nur ein Maschenstrom angenommen wird, damit nach Auflösung des Gleichungssystems nicht die Summe oder Differenz von Maschenströmen gebildet werden muss. Es wird also mit der Festlegung des Maschenstroms begonnen, zu dem der gesuchte Zweigstrom gehört. Anschließend wird dieser Zweig getrennt gedacht und mit zwei Strichen gekennzeichnet. Dann wird ein neuer Umlauf mit einem neuen Maschenstrom gesucht und wieder getrennt gedacht, usw. Ist infolge der gedachten Trennstellen kein Umlauf mehr möglich, sind sämtliche unabhängigen Maschen berücksichtigt. 3. Aufstellen der Maschengleichungen für die ausgewählten Maschen und zwar für Zweigströme 4. Berechnen des gesuchten Stroms oder der gesuchten Ströme mit Hilfe des geordneten Gleichungssystems (Eliminationsverfahren, Cramersche Regel, Matrizenrechnung, Gaußscher Algorithmus im Abschnitt 2.3.6.3).

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

99

1. Beispiel: Das bereits dreimal behandelte Gleichstromnetz, jeweils Beispiel 1, soll auch mit Hilfe des Maschenstromverfahrens berechnet werden, um einen Vergleich mit anderen Netzberechnungsverfahren zu ermöglichen. Gegeben ist die skizzierte Schaltung, in der der Strom I5 durch den Widerstand R5 zu ermitteln ist.

Bild 2.91 Beispiel 1 für das Maschenstromverfahren

Bild 2.92 Zum Beispiel 1 für das Maschenstromverfahren

Lösung (siehe Bild 2.92): Masche I: II (R3 + R4 + R5) – III R3 + Uq2 = 0 weil II (R4 + R5) + Uq2 + (II – III) R3 = 0 Masche II: III(R1 + R2 + R3) – I1R3 – Uq2 – Uq1 = 0 weil (III – II) R3 – Uq2 + III(R1 + R2) – Uq1 = 0 Nach den unbekannten Maschenströmen geordnetes Gleichungssystem: = – Uq2 II(R3 + R4 + R5) – IIIR3 + III(R1 + R2 + R3) = Uq1 + Uq2 – IIR3 Auflösen des Gleichungssystems nach II = I5 mit Hilfe des Eliminationsverfahrens: II(R3 + R4 + R5) (R1 + R2 + R3) – IIIR3(R1 + R2 + R3) = – Uq2(R1 + R2 + R3) + IIIR3(R1 + R2 + R3) = (Uq1 + Uq2)R3 – IIR32 Beide Gleichungen addiert, ergibt den gesuchten Strom:

II

I5

I5

U q2 (R1  R 2  R 3 )  (U q1  U q2 )R 3 (R 3  R 4  R 5 )(R1  R 2  R 3 )  R 3 2 U q1R 3  U q2 (R1  R 2 )

(R1  R 2 )(R 3  R 4  R 5 )  R 3 (R 4  R 5 )

.

Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis der Zweigstromanalyse (Gl. (2.165)) überein.

100

2 Gleichstromtechnik 2. Beispiel: Für das skizzierte Schaltbild soll mit Hilfe des Maschenstromverfahrens das Gleichungssystem für die Maschenströme aufgestellt werden. Es soll mit dem alten Symbol für die Spannungsquelle (siehe Bild 2.6) gerechnet werden, damit auch die ältere Literatur verstanden werden kann. Gesucht ist der Strom I3.

Bild 2.93 Beispiel 2 für das Maschenstromverfahren

Bild 2.94 Zum Beispiel 2 für das Maschenstromverfahren

Lösung (siehe Bild 2.94): Wird mit EMK Ei gerechnet, kann das Gleichungssystem, nach den Maschenströmen geordnet, sofort aufgestellt werden: – IIIIR4 0 = II(R3 + R4 + R5) – IIIR5 E2 = – IIR5 + III(R5 + R6 + R7) – IIII(R6 + R7) E1 – E2 = – IIR4 – III(R6 + R7) +IIII(R1 + R2 + R4 + R6 + R7).

Gleichungssystem in Matrizenschreibweise: (Erläuterung siehe Abschnitt 2.3.6.1) § 0 · ¨ ¸ ¨ E2 ¸ ¨E  E ¸ 2¹ © 1

§ R3  R 4  R5 ¨  R5 ¨ ¨  R4 ©

 R5 R5  R6  R7  (R 6  R 7 )

 R4 · § II · ¸ ¨ ¸  (R 6  R 7 ) ¸ ˜ ¨ I II ¸ R1  R 2  R 4  R 6  R 7 ¸¹ ¨© I III ¸¹

Wird dieses Beispiel mit Quellspannungen berechnet, dann unterscheidet sich das Gleichungssystem lediglich durch die expliziten Größen bzw. durch die explizite Spaltenmatrix (Begründung siehe Abschnitt 1.6, Gl. (1.37))

§ · 0 ¨ ¸ ¨ U q2 ¸ ¨¨ U q1  U q2 ¸¸ © ¹

§ R3  R 4  R5 ¨  R5 ¨ ¨  R4 ©

 R5 R5  R6  R7  (R 6  R 7 )

 R4 · § II · ¸ ¨ ¸  (R 6  R 7 ) ¸ ˜ ¨ I II ¸ R1  R 2  R 4  R 6  R 7 ¸¹ ¨© I III ¸¹

Zur Berechnung der Maschenströme kann die Matrizengleichung mit der inversen Matrix der Verknüpfungsmatrix (Matrix der Widerstände) multipliziert werden. Mit Zahlenwerten wird das Gleichungssystem im Abschnitt 2.3.6.3 mit der Cramerschen Regel und mit Hilfe der inversen Matrix gelöst.

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

101

3. Beispiel: Für die skizzierte Schaltung ist das Gleichungssystem der unabhängigen Maschenströme zu entwickeln.

Bild 2.95 Beispiel 3 für das Maschenstromverfahren Lösung: Zuerst muss die Stromquelle Iq2 mit dem Innenwiderstand R2 in eine äquivalente Spannungsquelle umgewandelt werden.

Bild 2.96 Zum Beispiel 3 für das Maschenstromverfahren: Umwandlung der Stromquelle Die Parallelschaltung der Widerstände R3 und R4 kann zu einem Widerstand R34 zusammengefasst werden. Es ist einfacher, die Teilströme durch die beiden Widerstände mit Hilfe der Stromteilerregel aus dem Gesamtstrom zu berechnen als ein noch umfangreicheres Gleichungssystem zu lösen.

Bild 2.97 Beispiel 3 für das Maschenstromverfahren Uq1 = II(R1 + R7) + IIIR7 0 = IIR7 + III(R34 + R5 + R7)– IIIIR5 + IIVR34 Uq2 = – IIIR5 + IIII(R2 + R5 + R8) + IIVR2 Uq2 = IIIR34 + IIIIR2 + IIV(R2 + R34 + R6) Nachdem die Maschenströme berechnet sind, kann auch der Zweigstrom I2 ermittelt werden: mit I*2

I 2  I q2

ergibt sich

mit

I2

I*2  I q2

I*2

I III  I IV .

I III  I IV  I q2

102

2 Gleichstromtechnik

2.3.5 Netzwerkberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren Das Knotenspannungsverfahren basiert auf dem Knotenpunktsatz und dem Ohmschen Gesetz. Dabei wird mit den Spannungen zwischen dem jeweiligen Knotenpunkt und einem mit dem Potential Null festgelegten Knotenpunkt gerechnet. Verbindet eine ideale Spannungsquelle mit Ri = 0 zwei Knotenpunkte, dann wird in einem der beiden Anschlusspunkte der Spannungsquelle das Potential Null angenommen, wodurch das Potential des anderen Knotenpunktes über die Quellspannung bekannt ist. Mit den übrigen Spannungen und den Leitwerten ergeben sich dann die gesuchten Zweigströme. Einströmungen, z. B. Quellströme, lassen sich in den Knotenpunktgleichungen berücksichtigen. Lösungsweg: 1. Kennzeichen der Knotenpunkte von 0 bis k – 1: k0, k1, k2, k3, ... Der Knotenpunkt k0 erhält das Potential Null: M0 = 0. Zwischen den k – 1 Knotenpunkten und dem Knotenpunkt k0 bestehen dann die k – l Spannungen Ui0 : U10 = M1 – M0 = M1 U20 = M2 – M0 = M2 U30 = M3 – M0 = M3 #

Uk – 1,0 = Mk – 1 – M0 = Mk – 1. 2. Festlegen der Richtungen der z Zweigströme I1, I2, ... , Iz im Gleichstromnetz Einströmungen (zu- und abfließende Ströme) und Stromquellen (Quellströme) sind vorgegeben. 3. Aufstellen der k – 1 Knotenpunktgleichungen in den Knotenpunkten k1, k2, ... nach der Knotenpunktregel 4. Aufstellen der z Gleichungen für die Zweigströme in Abhängigkeit von den Zweigleitwerten G, den Spannungen Ui0 und den eventuell vorhandenen Quellspannungen Erläuterungsbeispiel:

Bild 2.98 Erläuterndes Beispiel zum Knotenspannungsverfahren

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

103

Fließt der Zweigstrom I1 vom Knotenpunkt k2 zum Knotenpunkt k1, dann wird er durch die Spannungsdifferenz U20 – U10 getrieben. Befinden sich zwischen den Knotenpunkten k1 und k2 Quellspannungen, dann sind diese zu der Spannungsdifferenz U20 – U10 zu addieren, wenn die Quellspannungen entgegengesetzt zum Zweigstrom I1 gerichtet sind, und zu subtrahieren, wenn die Quellspannungen gleichgerichtet sind mit dem Zweigstrom I1. Im Beispiel wirkt die Quellspannung Uq1 stromtreibend (entgegengesetzt gerichtet zu I1) und die Quellspannung Uq2 stromhemmend (in gleicher Richtung wie I1). Fließt der Zweigstrom durch mehrere in Reihe geschaltete Widerstände, dann ist deren Leitwert zu ermitteln. Im Beispiel fließt der Zweigstrom I1 durch die beiden Widerstände R1 und R2; der zugehörige Zweigleitwert beträgt G12 = 1/(R1 + R2). weil und

I1 = G12 ˜ (U20 – U10 + Uq1 – Uq2) I1(R1 + R2) = U20 – U10 + Uq1 – Uq2 U20 – U10 = – Uq1 + Uq2 + I1(R1 + R2).

Wird mit EMK Ei gerechnet, dann sind zu der Spannungsdifferenz die EMK zu addieren, wenn sie gleichgerichtet sind mit I1, und zu subtrahieren, wenn sie entgegengesetzt zu I1 sind: weil

I1 = G12 ˜ (U20 – U10 + E1 – E2) E1 – E2 = I1(R1 + R2) – (U20 – U10).

Für die übrigen k – l Zweigströme werden auf die gleiche Weise die Gleichungen ermittelt. 5. Einsetzen der Gleichungen für die Zweigströme in die Knotenpunktgleichungen und Ordnen des Gleichungssystems Durch das Einsetzen der unter 4. entwickelten Gleichungen in die unter 3. aufgestellten Knotenpunktgleichungen entsteht ein Gleichungssystem mit bekannten Leitwerten, gegebenen Quellspannungen und unbekannten Spannungen Ui0 6. Lösen des Gleichungssystems nach den unbekannten Spannungen Ui0 und Berechnen der gesuchten Zweigströme I1, I2, ... , Iz (Eliminationsverfahren, Cramersche Regel, Matrizenrechnung, Gaußscher Algorithmus im Abschnitt 2.3.6.3). 1. Beispiel: Das Gleichstromnetz mit zwei Spannungsquellen, das viermal mit verschiedenen Netzberechnungsverfahren jeweils als Beispiel 1 behandelt wurde, soll auch mit Hilfe des Knotenspannungsverfahrens berechnet werden, um Vergleiche der Verfahren zu ermöglichen. Gegeben ist die skizzierte Schaltung, in der der Strom I5 durch den Widerstand R5 zu ermitteln ist.

Bild 2.99 Beispiel 1 für das Knotenspannungsverfahren

Bild 2.100 Zum Beispiel 1 für das Knotenspannungsverfahren

104

2 Gleichstromtechnik Lösung (siehe Bild 2.100): Anzahl der Knotenpunkte: k = 2 Knotenpunktgleichung für k1: 0 = I1 – I3 – I5 Gleichungen für die Zweigströme: I1 = G12 ˜ (U10 – 0 + Uq1) I3 = G3 ˜ (0 – U10 + Uq2) I5 = G45 ˜ (0 – U10) eingesetzt in die Knotenpunktgleichung: 0 = G12U10 + G12Uq1 + G3U10 – G3Uq2 + G45U10 und nach der unbekannten Spannung U10 aufgelöst: U10

 G12 U q1  G 3 U q2 G12  G 3  G 45

.

Damit ergibt sich der gesuchte Strom

I5

mit

G12

I5

I5

 G 45 U10

1 , R1  R 2

G12 U q1  G 3 U q2 G12  G 3  G 45

G3

1 R3

G 45

und

U q2 · § U q1 1 ¨ ¸ ¨R R  R ¸R R 2 3 ¹ 4 5 © 1 1 1 1   R1  R 2 R 3 R 4  R 5

1 R 4  R5

G 45

U q1R 3  U q2 (R1  R 2 )

1 ˜ (R1  R 2 )R 3 R 4  R5 R 3 (R 4  R 5 )  (R1  R 2 )(R 4  R 5 )  (R1  R 2 )R 3 (R1  R 2 )R 3 (R 4  R 5 )

U q1R 3  U q2 (R1  R 2 ) (R1  R 2 )(R 3  R 4  R 5 )  R 3 (R 4  R 5 )

(vgl. mit Gl. (2.165)).

2. Beispiel: Für das skizzierte Schaltbild ist das Gleichungssystem für die Spannungen U10, U20, U30 nach dem Knotenspannungsverfahren zu entwickeln. Dabei sind Ia, Ib, Ic und I0 Einströmungen.

Bild 2.101 Beispiel 2 für das Knotenspannungsverfahren

Bild 2.102 Zum Beispiel 2 für das Knotenspannungsverfahren

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

105

Lösung (siehe Bild 2.102): Knotenpunktgleichungen: k1: 0 = Ia – I1 – I2 – I6 k2: 0 = – Ib + I1 + I3 + I4 k3: 0 = – Ic + I2 – I3 + I5 Der Strom Io ist durch die Ströme Ia, Ib und Ic gemäß des 1. Kirchhoffschen Satzes in allgemeiner Form (s Abschnitt 2.3.1, Beispiel 3) gegeben und wird deshalb durch die Netzberechnung nicht erfasst: Io = Ia – Ib – Ic. Gleichungen für die Zweigströme: I1 = G1(U20 – U10 + Uq1) = G1U20 – G1U10 + G1Uq1 I2 = G2(U30 – U10 + Uq2) = G2U30 – G2U10 + G2Uq2 I3 = G3(U20 – U30 + Uq3) = G3U20 – G3U30 + G3Uq3 I4 = G4(U20 – 0) = G4U20 I5 = G5(U30 – 0) = G5U30 I6 = G6(0 – U10) = – G6U10 eingesetzt in die Knotenpunktgleichungen: k1: k2: k3:

0 = Ia – G1U20 + G1U10 – G1Uq1 – G2U30 + G2U10 – G2Uq2 + G6U10 0 = – Ib + G1U20 – G1U10 + G1Uq1 + G3U20 – G3U30 + G3Uq3 + G4U20 0 = – Ic + G2U30 – G2U10 + G2Uq2 – G3U20 + G3U30 – G3Uq3 + G5U30

nach den unbekannten Spannungen Ui0 geordnetes Gleichungssystem: – Ia + G1Uq1 + G2Uq2 = U10(G1 + G2 + G6) + U20(– G1) + U30(– G2) + U20(G1 + G3 + G4) + U30(– G3) Ib – G1Uq1 – G3Uq3 = U10(– G1) + U20(– G3) + U30(G2 + G3 + G5) Ic – G2Uq2 + G3Uq3 = U10(– G2) geordnetes Gleichungssystem in Matrizenschreibweise: §I  G U  G U · 1 q1 2 q2 ¨ a ¸ ¨ I b  G 1U q1  G 3 U q3 ¸ ¨ I  G U  G U ¸ 2 q2 3 q3 ¹ © c

§G 1  G 2  G 6 G 1 ¨ G G  1 1 G 3 G 4 ¨ ¨ G 2 G 3 ©

· §U10 · G 2 ¸ ¨ ¸ G 3 ¸˜ ¨U 20 ¸ ¸ ¨ ¸ G 2  G 3  G 5 ¹ ©U 30 ¹

Wird das Beispiel mit EMK E berechnet, dann unterscheidet sich das Gleichungssystem lediglich durch die expliziten Größen bzw. durch die explizite Spaltenmatrix: Uq1 Ÿ E1 und Uq2 Ÿ E2. Das Gleichungssystem lässt sich mit allgemeinen Größen mit Hilfe des Eliminationsverfahrens nach den unbekannten Spannungen U10, U20 und U30 auflösen. Aus den Spannungen können dann die Zweigströme errechnet werden. Sind für die Spannungsquellen, Einströmungen und Widerstände Zahlenwerte gegeben, lassen sich die Elemente der linken Spaltenmatrix und die Elemente der quadratischen Verknüpfungsmatrix berechnen. Anschließend können die unbekannten Spannungen mit Hilfe der Regeln für die Matrizenrechnung ermittelt werden. Im Abschnitt 2.3.6.3 sind für dieses Beispiel Zahlenwerte gewählt und die Spannungen berechnet worden. Bei der Berechnung von größeren Netzen sollten Rechner zu Hilfe genommen werden. Die Rechenprogramme basieren nicht auf der Matrizenrechnung, sondern enthalten häufig den Gaußschen Algorithmus. Dieses Beispiel ist im Abschnitt 2.3.6.3 ebenfalls mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus durchgerechnet worden.

106

2 Gleichstromtechnik 3. Beispiel: Für die skizzierte Schaltung ist das Gleichungssystem für die Spannungen Ui0 aufzustellen.

Bild 2.103 Beispiel 3 für das Knotenspannungsverfahren

Lösung:

Bild 2.104 Beispiel 3 für das Knotenspannungsverfahren Knotenpunktgleichungen: k1: 0 = I1 – I2 – I4 k2: 0 = I2 – I3 – I5 k3: Iq = I4 + I5 – I6 Gleichungen für die Zweigströme: I1 = G1(0 – U10 + Uq) = – G1U10 + G1Uq I2 = G2(U10 – U20) = G2U10 – G2U20 I3 = G3(U20 – 0) = G3U20 I4 = G4(U10 – U30) = G4U10 – G4U30 I5 = G5(U20 – U30) = G5U20 – G5U30 I6 = G6(U30 – 0) = G6U30 eingesetzt in die Knotenpunktgleichungen: – G1Uq = – G1U10 – G2U10 + G2U20 – G4U10 + G4U30 0 = G2U10 – G2U20 – G3U20 – G5U20 + G5U30 Iq = G4U10 – G4U30 + G5U20 – G5U30 – G6U30 nach den unbekannten Spannungen Ui0 geordnetes Gleichungssystem: + G2U20 + G4U30 – G1Uq = – (G1 + G2 + G4)U10 0 = G2U10 – (G2 + G3 + G5)U20 + G5U30 G4U10 + G5U20 – (G4 + G5 + G6)U30 Iq = geordnetes Gleichungssystem in Matrizenschreibweise: §G U · §(G  G  G ) · §U10 · G2 G4 2 4 ¨ 1 q1 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ ¸ 0 G (G  G  G ) G ¨ ¸ ¨ 2 2 3 5 5 ¸˜ ¨U 20 ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ I ¸ ¨ G4 G5 (G 4  G 5  G 6 )¹ ©U 30 ¹ © q ¹ ©

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

107

4. Beispiel: Im skizzierten Schaltbild ist die Spannungsquelle ideal angenommen, d. h., der Zweigwiderstand ist Null. Das Gleichungssystem für die Spannungen U20 und U30 ist aufzustellen; U10 = Uq ist bekannt.

Bild 2.105 Beispiel 4 für das Knotenspannungsverfahren

Bild 2.106 Zum Beispiel 4 für das Knotenspannungsverfahren

Lösung (siehe Bild 2.106): Knotenpunktgleichungen: Die Knotenpunktgleichung für den Knotenpunkt k1 entfällt, weil die Spannungsquelle einen Kurzschluss der beiden Knotenpunkte k0 und k1 bedeutet. Für den Strom I1 braucht dann die Gleichung nicht aufgestellt zu werden. k2: 0 = I2 – I3 – I5 k3: 0 = I4 + I5 – I6 Gleichungen für die Zweigströme: I2 = G2(U10 – U20) = G2Uq – G2U20 I3 = G3(U20 – 0) = G3U20 I4 = G4(U10 – U30) = G4Uq – G4U30 I5 = G5(U20 – U30) = G5U20 – G5U30 I6 = G6(U30 – 0) = G6U30 eingesetzt in die Knotenpunktgleichungen: 0 = G2Uq – G2U20 – G3U20 – G5U20 + G5U30 0 = G4Uq – G4U30 + G5U20 – G5U30 – G6U30 nach den unbekannten Spannungen Ui0 geordnetes Gleichungssystem: – G5U30 G2Uq = (G2 + G3 + G5)U20 – G5U20 + (G4 + G5 + G6) U30 G4Uq = Mit Hilfe des Eliminationsverfahrens lassen sich die beiden Spannungen U10 und U20 einfach berechnen. Aus den Spannungen ergeben sich dann die gesuchten Zweigströme.

Das Knotenspannungsverfahren eignet sich auch für die Berechnung von stationären Temperaturfeldern. Nachdem das Feld in geeignete Volumenelemente aufgeteilt wurde, kann ein Ersatznetzwerk mit Knotenpunkten, Wärmeleitwerten und Einströmungen entwickelt werden. Für die gesuchten Wärmepotentiale, den Temperaturen, lässt sich ein entsprechendes Gleichungssystem aufstellen und mit Hilfe von Rechnern lösen. Anwendungsbeispiel: Temperaturfeld von Hochspannungssicherungen [22].

108

2 Gleichstromtechnik

2.3.6 Matrizen und Determinanten und ihre Anwendung bei der Netzwerkberechnung Bei drei Verfahren der Netzberechnung (Zweigstromanalyse, Maschenstromverfahren und Knotenspannungsverfahren) entstehen Gleichungssysteme, die nach den gesuchten Strömen oder Spannungen aufgelöst werden müssen. Für kleine Netze entstehen nur wenige Gleichungen, die mit dem Eliminationsverfahren oder dem Einsetzverfahren – wie gezeigt – behandelt werden können. Bei größeren Netzen ist das entsprechende Gleichungssystem so umfangreich, dass für die Lösung Rechner zu Hilfe genommen werden müssen. Ein Anwendungsbeispiel ist die Berechnung von elektrischen inhomogenen Strömungsfeldern (Abschnitt 3.2), z. B. von Schaltkontakten, von Erdern oder von Schmelzleitern in Sicherungen. Der elektrische Leiter kann in Volumenelemente aufgeteilt werden, denen jeweils ein elektrisches Potential zugeordnet wird. Zwischen den Volumenelementen werden homogene oder symmetrische Strömungen angenommen, denen einfach berechenbare Widerstände oder Leitwerte zugeordnet werden können. Es entsteht also ein Gleichstromnetzwerk, das mit den behandelten Verfahren berechnet werden kann. Wie umfangreich das Gleichungssystem wird, hängt von der Anzahl der Volumenelemente ab. Selbst bei großzügiger Aufteilung von 10 mal 10 mal 10 Volumenelementen in den drei räumlichen Dimensionen enthält das Gleichungssystem 1 000 Gleichungen mit 1 000 unbekannten Größen. Steht dem Benutzer ein Lösungsprogramm für Gleichungssysteme zur Verfügung, sollte ihm für die Eingabe der Systemdaten die Matrizenrechnung bekannt sein. Für die Erstellung eines Programms muss der Benutzer wissen, welches der Verfahren für eine Programmierung geeignet ist. Um einen Zugang zu den Lösungsverfahren zu bekommen, sind mathematische Kenntnisse nötig, die im Folgenden dargestellt werden sollen. Gleichzeitig werden die Voraussetzungen für die Vierpoltheorie im Band 3, Kapitel 10 geschaffen, die ohne Matrizenrechnung nicht einfach zu behandeln ist.

2.3.6.1 Matrizen Definition einer Matrix: Eine Matrix ist ein rechteckiges, nach m Zeilen und n Spalten geordnetes Schema von n ˜ m Elementen, die Größen oder Zahlen sein können. Dabei bestimmen die Anzahl der Zeilen und die Anzahl der Spalten den Typ der Matrix: Matrix vom Typ (m, n) oder eine (m, n)-Matrix: ªa11 « «a 21 «a 31 « a 41 A « « # « «a i1 « # «a

¬ m1

a12 a 22 a 32 a 42 # a i2

a13 a 23 a 33 a 43 # a i3

a14 a 24 a 34 a 44 # a i4

a15 a 25 a 35 a 45 # a i5

#

#

#

#

a m2

a m3

a m4

a m5

! ! ! ! !

a1k a 2k a 3k a 4k # a ik

! ! ! ! !

# !

a mk

!

a1n º » a 2n » a 3n » » a 4n » # » » a in » # » a mn » ¼

(2.166)

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

109

Matrizen mit einer Zeile, also vom Typ (1, n), werden Zeilenmatrix oder Zeilenvektoren genannt: A = (a1, a2, a3, ... ,an).

(2.167)

Matrizen mit einer Spalte, also vom Typ (m, 1), heißen Spaltenmatrix oder Spaltenvektor:

A

ª a1 º «a » « 2» « a3 » « » « # » «a m » ¬ ¼

(2.168)

Beispiel: Spaltenmatrix der Quellströme und Quellspannungen im Gleichungssystem bei der Netzberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze oder die Spaltenmatrix der Zweigströme (Abschnitt 2.3.1.2. Beispiel).

Matrizen, bei denen die Anzahl m der Zeilen gleich der Anzahl n der Spalten ist, heißen quadratische Matrizen. Sie werden Matrizen n-ter Ordnung genannt. Beispiel: Verknüpfungsmatrix im Gleichungssystem bei der Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren oder nach dem Knotenspannungsverfahren (Abschnitt 2.3.4 und Abschnitt 2.3.5).

Besondere quadratische Matrizen sind die Diagonalmatrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind,

D

§ d1 0 ¨ ¨ 0 d2 ¨0 0 ©

0· ¸ 0¸ d 3 ¸¹

für n = 3,

(2.169)

die Einheitsmatrix E, bei der alle Elemente der Hauptdiagonalen Eins und alle restlichen Elemente Null betragen und die symmetrische Matrix, bei der alle Elemente an der Hauptdiagonalen gespiegelt sind,

A

§ 6 3 0· ¨ ¸ ¨ 3 4 2¸ ¨ 0 2 0¸ © ¹

für n = 3.

(2.170)

110

2 Gleichstromtechnik

Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Größen oder Zahlen, bei denen die Art und der Platz innerhalb der Matrix entscheidend sind. Sie stellen außerdem keine Zahlenwerte dar. Deshalb können die bei Größen und Zahlen angewendeten Rechenoperationen nicht einfach auf Matrizen übertragen werden. Die Relationen und Operationen mit Matrizen müssen sinnvoll definiert werden. Eine Addition, Subtraktion und Multiplikation kann definiert werden, eine Division von Matrizen aber nicht. Gleichheit zweier Matrizen: Zwei Matrizen sind nur dann gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind und wenn sie in allen ihren entsprechenden Elementen übereinstimmen: A=B

(aik) = (bik).

oder

(2.171)

Addition und Subtraktion von Matrizen: Matrizen werden addiert oder subtrahiert, indem die einander entsprechenden Elemente addiert oder subtrahiert werden. Es können also nur Matrizen vom gleichen Typ addiert oder subtrahiert werden. Beispiel: §a11 a12 · A ¨ ¸, ©a 21 a 22 ¹

§b11 b12 · B ¨ ¸, ©b 21 b 22 ¹

§a11 r b11 A r B ¨ ©a 21 r b 21

a12 r b12 · ¸ a 22 r b 22 ¹

(2.172)

Für die Addition von Matrizen gelten außerdem folgende Regeln: A + B = B + A,

A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C).

(2.173)

Multiplikation einer Matrix mit einem Faktor k: In Übereinstimmung mit der Definition der Addition von Matrizen wird eine Matrix mit einem reellen Faktor k multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit k multipliziert wird. Beispiel:

k˜A

§ a11 a12 · k ˜¨ ¸ © a 21 a 22 ¹

§ k ˜ a11 ¨ © k ˜ a 21

k ˜ a12 · ¸ k ˜ a 22 ¹

(2.174)

Umgekehrt gilt selbstverständlich: Haben alle Elemente einer Matrix einen gemeinsamen reellen Faktor k, so kann dieser vor die Matrix gestellt werden.  1 sein. Erweiterung: Der Faktor k kann auch die imaginäre Einheit j Sind die Elemente einer Matrix komplex, dann kann die Matrix in zwei reelle Matrizen überführt werden. Beispiel: Zerlegung einer Vierpol-Koeffizientenmatrix (siehe Band 3, Abschnitt 10.5) § y11 ¨¨ © y 21

y12 · ¸ y 22 ¸¹

§ g11  jb11 g12  jb12 · ¨¨ ¸¸ © g 21  jb 21 g 22  jb 22 ¹

b12 · § g11 g12 · §b ¨¨ ¸¸  j ˜ ¨¨ 11 ¸¸ g g b b 22 ¹ 22 ¹ © 21 © 21

(2.175)

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

111

Multiplikation zweier Matrizen: Das Produkt einer (m, n)-Matrix A mit einer (n, p)-Matrix B in der Reihenfolge A ˜ B ist gleich eine (m, p)-Matrix C = A ˜ B. Die Elemente cik ergeben sich aus dem Skalarprodukt der i-ten Zeile des ersten Faktors A und der k-ten Spalte des zweiten Faktors B. Erläuterung: Aus zwei Matrizen lässt sich nur dann die Produktmatrix bilden, wenn die Spaltenzahl n des ersten Faktors gleich der Zeilenzahl des zweiten Faktors ist. Die beiden Matrizen sind dann verkettbar: (m, n) ˜ (n, p) = (m, p). Die Reihenfolge der Faktoren darf also bei der Matrizenmultiplikation nicht vertauscht werden, weil die Matrizen entweder nicht verkettbar sind oder sich bei quadratischen Matrizen unterschiedliche Elemente ergeben. Die Bildung der Produktmatrix soll mit n = 3 erklärt werden. Aus der Vektorrechnung ist bekannt, dass aus zwei Vektoren ein Skalarprodukt gebildet werden kann. Es bedeutet in Komponentenschreibweise: mit

§a x · ¨ ¸ ¨a y ¸, ¨ ¸ ©a z ¹

G
G
G
G
a ax e x  ay e y  azez



ergibt sich G G a˜b

G
G
G
G
b bx ex  by e y  bzez


§b x · ¨ ¸ ¨b y ¸, ¨ ¸ ©b z ¹

a x ˜ b x  a y ˜ b y  a z ˜ bz .

Zunächst werden die beiden Matrizen im Falkschen Schema angeordnet, wobei der erste Faktor A unten links und der zweite Faktor B oben rechts steht. Man stelle sich dann vor, dass in G
der i-ten Zeile der Matrix A die Komponenten des Vektors a
und in der k-ten Spalte der G
Matrix B die Komponenten des Vektors b
stehen, dann ergibt sich im Kreuzungspunkt der i-ten Zeile und k-ten Spalte das oben angegebene Skalarprodukt cik = axbx + ayby + azbz. n

3 1.

1. 2. 2. 3.

A

i. Zeile

ax

B

k. Spalte bx by bz

A˜B ay

az

!

# cik

Auf diese Weise kann das Skalarprodukt auch für beliebig große n gebildet werden, indem jede Zeile des ersten Faktors A und jede Spalte des zweiten Faktors B jeweils als Vektor mit n Komponenten angenommen wird. In jedem Kreuzungspunkt erscheint dann das Skalarprodukt.

112

2 Gleichstromtechnik Beispiele: 1. Zwei Zahlenbeispiele:

B

A

0 4

–1 0

3 –2

0 3

1 –2

1 0

4

–2

5

9 –8

–4 8

15 –6

B

A

2 –1

0 3

1 0

1 1

0

1

2

–1

C=A˜B

1

2

0

–1

3

0

4

–2

9 3

2 –7

2

1

C=A˜B

2. Multiplikation zweier quadratischer Matrizen 2. Ordnung:

A

a11 a21

b12 b22

b11 b21

B a12 a22

a11b11 + a12b21 a21b11 + a22b21

a11b12 + a12b22 a21b12 + a22b22

3. Multiplikation einer quadratischen Matrix mit einer Spaltenmatrix: X A

a11 a21

a12 a22

x1 x2 a11x1 + a12x2 a21x1 + a22x2 Y=A˜X

= y1 = y2

Bei der Multiplikation einer quadratischen Matrix 2. Ordnung mit einer Spaltenmatrix des Typs (2,1) im Beispiel 3 ist die Produktmatrix A ˜ X eine Spaltenmatrix des Typs (2,1), denn die Zeilenzahl der quadratischen Matrix A und die Spaltenzahl der Spaltenmatrix X bestimmt den Typ der Produktmatrix. Damit kann der Inhalt der Produktmatrix dem Inhalt einer Spaltenmatrix Y gleichgesetzt werden. Die Matrizenschreibweise Y = A ˜ X mit § y1 · ¨¨ ¸¸ © y2 ¹

§ a11 a12 · § x1 · ¨¨ ¸¸ ˜ ¨¨ ¸¸ © a 21 a 22 ¹ © x 2 ¹

bedeutet also eine andere übersichtliche Schreibweise für das Gleichungssystem y1 = a11x1 + a12x2 y2 = a21x1 + a22x2

(2.176)

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

113

Auf die gleiche Weise können lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen in Matrizenschreibweise übersichtlich geschrieben werden. Damit ist auch erklärt, warum bei der Behandlung der Netzwerks-Berechnung in den Abschnitten 2.3.1, 2.3.4 und 2.3.5 die Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise angegeben werden durften. Bei der Behandlung der Vierpoltheorie im Band 3, Kapitel 10 werden die Vierpolgleichungen ebenfalls in Matrizenschreibweise überführt, damit die Zusammenschaltung von Vierpolen einfacher behandelt werden kann. Multiplikation von mehr als zwei Matrizen und weitere Rechenregeln Die Multiplikation von mehr als zwei Matrizen lässt sich auf die Multiplikation von zwei Matrizen zurückführen: Assoziativgesetz: A ˜ B ˜ C = (A ˜ B) ˜ C = A ˜ (B ˜ C).

(2.177)

Sind die Addition und Multiplikation von Matrizen - wie bei der Vierpoltheorie - erforderlich, dann gelten zwei Regeln: Distributivgesetze: (A + B) ˜ C = A ˜ C + B ˜ C

(2.178)

C ˜ (A + B) = C ˜ A + C ˜ B.

(2.179)

Die beiden Regeln des Distributivgesetzes dürfen nicht zusammengefasst werden, weil die Faktoren bei der Matrizenmultiplikation nicht vertauscht werden dürfen. Inverse Matrix oder reziproke Matrix oder Kehrmatrix Die inverse Matrix A–1 kann aus einer Matrix A entwickelt werden, wenn die Matrix A quadratisch und ihre zugehörige Determinante det A ungleich Null ist. Ehe die inverse Matrix behandelt werden kann, müssen die Gesetze über die Bildung von Determinanten bekannt sein. Die inverse Matrix A–1 ist die Matrix, mit der die ursprüngliche Matrix A von rechts oder von links multipliziert die Einheitsmatrix E (Diagonalmatrix) ergibt: A ˜ A–1 = A–1 ˜ A = E.

(2.180)

114

2 Gleichstromtechnik

2.3.6.2 Determinanten und Bilden der inversen Matrix Definition einer Determinante Zu jeder quadratischen Matrix A existiert die zugehörige Determinante det A, die aus den Elementen nach folgender Rechenvorschrift eine Größe oder eine Zahl ergibt: a11

a12

a13

a14

"

a1n

a 21

a 22

a 23

a 24

"

a 2n

a 31

a 32

a 33

a 34

"

a 3n

a 41

a 42

a 43

a 44

"

a 4n

#

#

#

#





a n1

a n2

a n3

a n4

det A

¦ a PQ ˜ APQ

det A

(2.181)

# "

a nn

n

.

(2.182)

Q 1

Die obige Gleichung bedeutet die Entwicklung der Determinante nach der P-ten Zeile. Dabei ist APQ die sogenannte Adjunkte, die gleich der mit (– 1) P+Q vorzeichenbehafteten Unterdeterminante des Elementes aPQ ist. Diese ergibt sich durch Streichen derjenigen Zeile und Spalte von det A, denen das Element aPQ angehört. Es ist zweckmäßig, eine Determinante nach der ersten Zeile, also mit P = 1, zu entwickeln. Beispiele: 1. Berechnung einer Determinante 2. Ordnung:

det A =

a11

a12

a 21

a 22

2

¦a

1v

mit A11 = (– 1)1+1 ˜ a22 = a22

det A =

a11

a12 a 22

a 21

˜ A1v

a11 ˜ A11  a12 ˜ A12

v 1

und

A12 (– 1)1+2 ˜ a21 = – a21

a11 ˜ a 22  a12 ˜ a 21

(2.183)

2. Berechnung einer Determinante 3. Ordnung

a11 det A

a12

a13

a 21 a 22 a 31 a 32

a 23 a 33

3

¦ a1v ˜ A1v

a11 ˜ A11  a12 ˜ A12  a13 ˜ A13

v 1

mit A11 ( 1)11 ˜ A12 A13

a 22 a 32

(  1)1 2 ˜

a 23 a 33

a 22a 33  a 23a 32

a 21 a 23 a 31 a 33

(  1)1 3 ˜

a 21

a 22

a 31

a 32

(a 21a 33  a 23a 31 ) a 21a 32  a 22 a 31

det A = a11a 22 a 33  a11a 23 a 32 + a12 a 23 a 31  a12 a 21a 33 + a13 a 21a 32  a13 a 22 a 31

(2.184)

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

115

Die folgenden Rechenregeln für die Zeilen von Determinanten gelten entsprechend für die Spalten: 1. Eine Determinante ist gleich Null, wenn eine Zeile aus lauter Nullen besteht oder zwei Zeilen einander gleich sind oder zwei Zeilen einander proportional sind. 2. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn die Zeilen mit den Spalten vertauscht werden oder zu irgendeiner Zeile eine andere Zeile addiert bzw. subtrahiert wird oder zu irgendeiner Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile addiert bzw. subtrahiert wird. 3. Bei Vertauschen zweier Zeilen ändert sich das Vorzeichen der Determinante. 4. Eine Determinante wird mit einer Zahl k multipliziert, indem die Elemente einer einzigen Zeile mit k multipliziert werden. 5. Die Multiplikation zweier Determinanten wird auf die Multiplikation ihrer zugehörigen Matrizen zurückgeführt: (det A) ˜ (det B) = det (A ˜ B) = det (B ˜ A).

(2.185)

Beispiele zu den Rechenregeln für Determinanten: Zu 1: 1 2 3 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 2 4 6 1 2 3 =0 4 5 6 7 8 9 4 5 6 Zu 2:

Zu 3:

Zu 4:

3 4

5 3 2 1 2 5 5 = 4 5 0 =9 1 0 2 5 5 2

3 4

3 4 5 2 5 5 =9 1 0 2

3 4

0

5

3 4

5

2 5 5= 2 5 5=9 1 0 2

3 5 7

5

1 0 2

9

2 5 5

3 4 5 9 4 5 3 ˜ 2 5 5 = 6 5 5 = 27 1 0 2 3 0 2

Zu 5:

2 det A ˜ det B

A˜B 2 1 –3

3 0 1

3 1

1

0 2

1 0 2 ˜ 2 2  3 1 1 1 0

–1 2 –1

3 1

1 2 –1

0 2 0

–2 3 1

9 –1 0

6 0 2

4 0 8

det (AB) = 48 – 8 = 40

(20) ˜ (2)

40

B˜A 1 2 –1

0 2 0

–2 3 1

2 1 –3 8 –3 –5

det (BA) = – 16 + 5 + 51 = 40

3 0 1 1 9 –2

–1 2 –1 1 –1 0

116

2 Gleichstromtechnik

Bilden der inversen Matrix Bildungsvorschrift:

A

1

1 A det A ad

ª A11 « « A12 1 ˜ «« A13 det A « A14 « # « ¬« A1n

A 21

A31

A 41

"

A 22 A 23 A 24 #

A32 A33 A34 #

A 42 A 43 A 44 #

" " "

A 2n

A3n

A 4n

"

A n1 º » A n2 » A n3 » » A n4 » # » » A nn ¼»

(2.186)

1. Überprüfung der Umkehrbarkeit der gegebenen Matrix A: 1.1 Matrix quadratisch? 1.2 det A ungleich Null? 2. Aufstellen der adjungierten Matrix Aad der Matrix A: 2.1 Bilden der Adjunkten APQ, das ist die mit dem Vorzeichenfaktor (– 1)P+Q multiplizierte Unterdeterminante des Elements aPQ, die sich durch Streichen derjenigen Zeile und Spalte von det A ergibt, denen aPQ angehört. 2.2 Zusammenfassen der Adjunkten zu einer Matrix, indem die Zeilen mit den entsprechenden Spalten vertauscht werden. Es ergibt sich die gestürzte Matrix der Adjunkten. 3. Division der adjungierten Matrix Aad durch det A. 1. Beispiel: § a11 a12 · Bilden der inversen Matrix A–1 der Matrix A = ¨ ¸ (Matrix 2. Ordnung): © a 21 a 22 ¹ Zu 1. Die Matrix ist quadratisch und die zugehörige Determinante det A soll ungleich Null sein mit det A = a11a22 – a12a21.

Zu 2.

A11 = (– 1)1 + 1 ˜ a22 = + a22 A12 = (–1)1 + 2 ˜ a21 = – a21 A ad

Zu 3. A

1

§ A11 ¨¨ © A12

A 21 · ¸ A 22 ¸¹

A21 = (– 1)2 + 1 ˜ a12 = – a12 A22 = (– 1)2 + 2 ˜ a11 = + a11

§ a 22  a12 · ¨¨ ¸¸ ©  a 21 a11 ¹

§ a 22 1 ˜ a11a 22  a12 a 21 ©¨ a 21

 a12 · ¸ a11 ¹

(2.187)

2. Beispiel: § a11 a12 a13 · ¸ ¨ Bilden der inversen Matrix A–1 der Matrix A = ¨ a 21 a 22 a 23 ¸ (Matrix 3. Ordnung): ¸ ¨a © 31 a 32 a 33 ¹ Zu 1. Die Matrix ist quadratisch und die zugehörige Determinante det A soll ungleich Null sein (siehe Gl. (2.184)).

Zu 2. A11

(1)11 ˜

a 22 a 32

a 23 a 33

A12

(1)12 ˜

a 21 a 23 a 31 a 33

a 22a 33  a 23a 32  (a 21a 33  a 23a 31 )

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

Zu 3.

a 21

117

a 31

a 22 a 32

a 21a 32  a 22 a 31

(1) 2 1 ˜

a12 a 32

a13 a 33

 (a12 a 33  a13a 32 )

A 22

(1) 2 2 ˜

a11 a13 a 31 a 33

A 23

(1) 2 3 ˜

A 31

(1) 3 1 ˜

a12 a 22

A 32

(1)32 ˜

a11 a13 a 21 a 23

 (a11a 23  a13a 21 )

A 33

(1)33 ˜

a11 a12 a 21 a 22

a11a 22  a12 a 21

A13

(1)13 ˜

A 21

a11

a12

a 31 a 32

A ad

§ A11 ¨ ¨ A12 ¨A © 13

A 21 A 22 A 23

A 1

§ A11 1 ¨ ˜ ¨ A12 det A ¨ © A13

a13 a 23

a11a 33  a13a 31  (a11a 32  a12 a 31 ) a12 a 23  a13a 22

A 31 · ¸ A 32 ¸ A 33 ¸¹ A 21 A 22 A 23

A 31 · ¸ A 32 ¸ A 33 ¸¹

(2.188)

§2 3. Beispiel: ¨ –1 Bilden der inversen Matrix A der Matrix A ¨0 ¨ ©3 Zu 1. Die Matrix ist uqadratisch und hat den Wert Null.

Zu 2.

A11  A12  A13 

A ad

Zu 3.

A

1

1 2 0 1 0 2 3 1 0 1 3 0

1

A 21 

6

A 22 

3

A 23 

§ 1 1 2 · ¨ ¸ 2  4¸ ¨ 6 ¨ 3 3 2 ¸¹ © §1/8 ¨ 3¨ / 4 ¨3 / 8 ©

1 / 8 1 /4 3 /8

1 /4 · ¸ 1 / 2 ¸ 1 / 4 ¸¹

1 0· ¸ 1 2¸: ¸ 0 1¹ det A = 2 ˜ 1 – 1 ˜ (– 6) = 8, das ist ungleich

1 0 0 1 2 0 3 1 2 1 3 0

1

A31 

2

A32 

3

A33 

1 0 1 2 2 0 0 2 2 1 0 1

2 4 2

118

2 Gleichstromtechnik

2.3.6.3 Lösung der Netzberechnungs-Gleichungssysteme Cramersche Regel: Das Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen ist geordnet, so dass die gesuchten Ströme bzw. Spannungen untereinander stehen. Die Koeffizienten der Variablen lassen sich in einer quadratischen Matrix zusammenfassen, aus der eine Determinante D entwickelt und berechnet werden kann. Anschließend wird eine zweite Determinante Dv mit v = 1, 2, 3, ... , n aus der Determinante D abgeleitet, indem diejenige Spalte durch die von den Variablen unabhängigen Größen (links vom Gleichheitszeichen bzw. die gegebene Spaltenmatrix) ersetzt wird, die zu der gesuchten Variablen gehört. Die gesuchte Variable ergibt sich schließlich aus dem Quotienten beider Determinanten nach der Cramerschen Regel: Dv D

Iv

bzw.

(für Zweigstromanalyse und Maschenstromverfahren)

U v0

Dv D

(für Knotenspannungsverfahren)

Beispiel 1: Zum 1. Beispiel der Netzberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze im Abschnitt 2.3.1 (S. 81):

D

1 R1  R 2 R1  R 2

1 1 R3 0 0 R 4  R5

D5

1 R1  R 2 R1  R 2

1 0 R 3 U q1  U q2 0 U q1

R 3 (R 4  R 5 )  (R1  R 2 )(R 4  R 5 )  R 3 (R1  R 2 )

R 3 U q1  (R1  R 2 )U q1  (R1  R 2 )(U q1  U q2 )

D5 = R3Uq1 – (R1 + R2) Uq2

I5

D5 D

U q1R 3  U q2 (R1  R 2 ) (R1  R 2 )(R 3  R 4  R 5 )  R 3 ( R 4  R 5 )

(vgl. Gl. (2.165))

Beispiel 2: Zum 2. Beispiel der Netzberechnung nach dem Maschenstromverfahren im Abschnitt 2.3.4 (S. 100) mit folgenden Zahlenwerten: Uq1 = 10V bzw. E1 = 10V, Uq2 = 12V bzw. E2 = 12V, R1 = 2:, R2 = 4:, R3 = 12:, R4 = 2:, R5 = 16:, R6 = 3:, R7 = 5: Gleichungssystem in Matrizenschreibweise: § 0 V· ¨ ¸ ¨ 12 V ¸ ¨ 2 V¸ © ¹

§ 30 :  16 :  2 : · § I I · ¨ ¸ ¨ ¸ 24 :  8 : ¸ ˜ ¨ I II ¸ ¨  16 : ¨  2 :  8 : 16 : ¸ ¨ I ¸ © ¹ © III ¹

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

119

Determinante der Verknüpfungsmatrix: 30 : 16 : 2 : D

16 :

24 : 8 :

2 :

8 : 16 :

30 : ˜

24 : 8 : 8 : 16 :

 16 : ˜

16 : 8 : 2 : 16 :

2 : ˜

16 : 24 : 2 : 8 :

D = 30: ˜ [24: ˜ 16: – (– 8:)(– 8:)] + 16: ˜ [(– 16:) ˜ 16: – (– 2:)(– 8:)] – 2: ˜ [(– 16:)(–8:) – (– 2:) ˜ 24:] = 9 600:3 – 4 352:3 – 352:3 D = 4 896:3 ersetzte Spalte 0 V 16 : 2 : DI

12 V

24 : 8 :

2 V

8 : 16 :

0 V˜

24 : 8 : 8 : 16 :

 16 : ˜

12 V 8 : 2 V 16 :

 2 :˜

12 V

24 :

 2 V 8 :

DI = 0 V ˜ :2 + 16 : ˜ [12 V ˜ 16 : – (– 2 V)(– 8 :)] – 2 : ˜ [12 V ˜ (– 8 :) – (– 2 V) ˜ 24 :] DI = 0 V ˜ :2 + 2 816 V ˜ :2 + 96 V ˜ :2 DI = 2 912 V ˜ :2

II

DI D

2 912 V ˜ : 2 4 896 :3

0,595 A,

entsprechend ergeben sich die beiden anderen Maschenströme: III = 1,055 A, IIII = 0,477 A.

Der Rechenaufwand bei der Auflösung der Gleichungssysteme mit Hilfe von Determinanten steigt mit der Anzahl der Gleichungen und Variablen sehr stark an. Der Einsatz von Rechnern ist dann zu empfehlen, wenn für die Berechnung der Determinanten ein entsprechendes Programm zur Verfügung steht. Inverse Matrix Die Gleichungssysteme, die bei Anwendung des Maschenstromverfahrens und des Knotenspannungsverfahrens in Matrizenform entwickelt werden, können mit Hilfe der inversen Matrix (siehe voriger Abschnitt) nach der Spaltenmatrix der gesuchten Maschenströme bzw. Knotenspannungen aufgelöst werden. Maschenstromverfahren: Gleichungssystem: U=R˜I aufgelöstes Gleichungssystem: I = R–1 ˜ U mit U: Spaltenmatrix der in den Maschen wirksamen Quellspannungen bzw. EMK R: quadratische Verknüpfungsmatrix der Widerstände I: Spaltenmatrix der gesuchten Maschenströme R–1: inverse Matrix der Verknüpfungsmatrix R der Widerstände

120

2 Gleichstromtechnik Beispiel: Zum 2. Beispiel der Netzberechnung nach dem Maschenstromverfahren im Abschnitt 2.3.4 (S. 100) mit folgenden Zahlenwerten: Uq1 = 10V bzw. E1 = 10V, Uq2 = 12V bzw. E2 = 12V, R1 = 2:, R2 = 4:, R3 = 12:, R4 = 2:, R5 = 16:, R6 = 3:, R7 = 5: Gleichungssystem in Matrizenschreibweise: § 0 V · § 30 :  16 :  2 : · § I I · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 24 :  8 : ¸ ˜ ¨ I II ¸ ¨ 12 V ¸ ¨  16 : ¨  2 V ¸ ¨  2 :  8 : 16 : ¸ ¨ I ¸ © ¹ © ¹ © III ¹ Bilden der inversen Matrix R–1 (siehe voriger Abschnitt S. 116)) Zu 1. Die Matrix ist quadratisch und die Determinante entspricht der Größe det R = D = 4 896 :3 (nach Beispiel 2 der Cramerschen Regel, S. 119)

Zu 2.

A11



24 :  8 :  8 : 16 :

320 : 2 ,

A 31 A12



16 :  8 :  2 : 16 :



16 :

24 :

 2 : 8 :

R ad

272 : 2 476 : 2 272 : 2

16 :  2 : 24 :

8 :

30 :  2 : 16 : 8 :





30 :  16 : 24 :

16 :  2 :  8 : 16 :

272 : 2 ,



30 :  2 :  2 : 16 :

476 : 2 ,

30 :  16 :

272 : 2 ,

272 : 2 , A 23

 16 :



176 : 2 , A 22

176 : 2 , A 33

§ 320 : 2 ¨ ¨ 272 : 2 ¨ ¨ 176 : 2 ©



272 : 2 ,

A 32 A13

A 21



2:

8 :

464 : 2 .

176 : 2 ·¸ 272 : 2 ¸ ¸ 464 : 2 ¸ ¹

§ 320 : 2 272 : 2 176 : 2 · ¨ ¸ ¨ 272 : 2 476 : 2 272 : 2 ¸ ˜ Zu 3. R 1 ¸ 4 896 :3 ¨¨ 176 : 2 272 : 2 464 : 2 ¸ © ¹ Lösungsgleichungen für die Maschenströme: 1

§ 320 : 2 272 : 2 176 : 2 · § 0 V · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 272 : 2 476 : 2 272 : 2 ¸ ˜ ¨ 12 V ¸ ˜ 3 ¨ ¸ 4 896 : ¨ 176 : 2 272 : 2 464 : 2 ¸ ¨©  2 V ¸¹ © ¹ 1 2 2 [320 : ˜ 0 V  272 : ˜ 12 V  176 : 2 ˜ ( 2 V)] 0,595 A 4 896 :3

§ II · ¨ ¸ ¨ I II ¸ ¨I ¸ © III ¹

II I II I III

1

1 4 896 :3 1

[272 : 2 ˜ 0 V  476 : 2 ˜ 12 V  272 : 2 ˜ ( 2 V)] 1,055 A

4 896 : 3

[176 : 2 ˜ 0 V  272 : 2 ˜12 V  464 : 2 ˜ ( 2 V)] 0,477 A

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

121

Knotenspannungsverfahren: Gleichungssystem: I=G˜U aufgelöstes Gleichungssystem: U = G–1 ˜ I mit I: G: U: G–1:

Spaltenmatrix der in dem Knotenpunkt wirksamen Einströmungen und in den Zweigen wirksamen Spannungsquellen quadratische Verknüpfungsmatrix der Leitwerte Spaltenmatrix der gesuchten Spannungen inverse Matrix der Verknüpfungsmatrix G der Leitwerte

Beispiel: Zum Beispiel 2 der Netzberechnung (S. 105) mit folgenden Zahlenwerten: Uq1 = 8V bzw. E1 = 8V Uq2 = 6 V bzw. E2 = 6 V Uq3 = 4 V bzw. E3 = 4 V

nach dem Knotenspannungsverfahren im Abschnitt 2.3.5 R1 = 0,666 : R4 = 0,222 : Ia = 2 A R2 = 0,5 : R5 = 0,4 : Ib = 3 A R3 = 0,25 : R6 = 1 : Ic = 4 A

die Leitwerte haben dann folgende Werte: G2 = 2 S G3 = 4 S G1 = 1,5 S

G4 = 4,5 S

G5 = 2,5 S

G6 = 1 S

Gleichungssystem in Matrizenschreibweise: § 22 A · ¨ ¸ ¨  25 A ¸ ¨ 8 A¸ © ¹

§ 4,5 S  1,5 S ¨ 10 S ¨  1,5 S ¨ 2S 4S ©

 2 S · § U10 · ¸ ¨ ¸  4 S ¸ ˜ ¨ U 20 ¸ 8,5 S ¸¹ ¨© U 30 ¸¹

Lösungsgleichungen für die Knotenspannungen mit der inversen Matrix: § U10 · ¨ ¸ ¨ U 20 ¸ ¨U ¸ © 30 ¹ U10 U 20 U 30

§ 69,0 S2 ¨ ¨ 20,75 S2 3¨ 227,375 S ¨ 26,0 S2 © 1

1 227,375 S 3 1 227,375 S 3 1 227,375 S 3

20,75 S2 34,25 S2 21,0 S2

26,0 S2 ·¸ § 22 A · ¨ ¸ 21,0 S2 ¸ ˜ ¨  25 A ¸ ¸ 42,75 S2 ¸ ¨© 8 A ¸¹ ¹

[ 69,0 S 2 ˜ 22 A  20,75 S 2 ˜ 25 A  26 S 2 ˜ 8 A] 5,3 V [ 20,75 S 2 ˜ 22 A  34,25 S 2 ˜ 25 A  21 S 2 ˜ 8 A] 1,02 V [ 26,0 S 2 ˜ 22 A  21,0 S 2 ˜ 25 A  42,75 S 2 ˜ 8 A] 1,71 V

Aus den Spannungen lassen sich die Zweigströme berechnen.

Wird ein Gleichungssystem mit Hilfe der inversen Matrix über Adjunkten gelöst, dann ist der Zusammenhang zwischen der ursprünglichen Verknüpfungsmatrix und der inversen Matrix anschaulich dargestellt. Selbstverständlich lässt sich auch mit Hilfe der Determinante erkennen, ob das System von linearen Gleichungen linear unabhängig, also lösbar ist.

122

2 Gleichstromtechnik

Das Rechnen mit der inversen Matrix ist genauso wie bei der Cramerschen Regel wegen der Determinanten aufwendig und deshalb in dieser Form nicht zu empfehlen. Mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus oder des Stiefelverfahrens [4] wird die Behandlung von Gleichungssystemen mit der inversen Matrix für Rechner zugänglich.

Gaußscher Algorithmus Die systematische Umwandlung eines Systems mit n linear unabhängigen Gleichungen mit n Variablen in ein gestaffeltes Gleichungssystem – das bedeutet die Umwandlung der Koeffizientenmatrix in eine Matrix mit Nullen unter der Hauptdiagonalen bzw. die Umwandlung der zugehörigen Determinante mit Nullen unter der Hauptdiagonalen – soll anhand eines Systems mit drei linear unabhängigen Gleichungen und drei Variablen erläutert werden: Aufgabenstellung: gegeben:

gesucht:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = a1

b11x1 + b12x2 + b13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = a2

b22x2 + b23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = a3

b33x3 = b3

oder in Matrizenschreibweise: § a11 a12 ¨ ¨ a 21 a 22 ¨a © 31 a 32

a13 · § x1 · ¸ ¨ ¸ a 23 ¸ ˜ ¨ x 2 ¸ a 33 ¸¹ ¨© x 3 ¸¹

§ a1 · ¨ ¸ ¨a2 ¸ ¨a ¸ © 3¹

§ b11 b12 ¨ ¨ 0 b 22 ¨ 0 0 ©

b13 · § x1 · ¸ ¨ ¸ b 23 ¸ ˜ ¨ x 2 ¸ b33 ¸¹ ¨© x 3 ¸¹

§ b1 · ¨ ¸ ¨ b2 ¸ ¨b ¸ © 3¹

Überführung des Gleichungssystems in das gestaffelte Gleichungssystem: a11x1 

+ a12x2

a 21 a a11x1  21 a12x2 a11 a11 a

+

+ a13x3 = 

˜ c 21 

a1

a 21 a a13x3 =  21 a1 a11 a11

a

a

­ – a21x1  21 a12x2  21 a13x3 =  21 a1 a11 a11 a11 ® a x ¯ 21 1 + a22x2 + a23x3 = a2 § a 21 · § a 21 · a 21 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ a a12  a 22 ¸ ˜ x 2  ¨  a a13  a 23 ¸ ˜ x 3 =  a a1  a 2 11 © 11 ¹ © 11 ¹ a '22 ˜ x 2

 a '23 ˜ x 3

a '2

a 21 a11

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung a11x1

+ a12x2

123 + a13x3 =

˜ c 31 

a1

a 31 a11

a a a a  31 a11x1  31 a12x2  31 a13x3 =  31 a1 a11 a11 a11 a11

– a31x1 

+

a31x1

a 31 a a a12x2  31 a13x3 =  31 a11 a11 a11 + a32x2 + a33x3 =

a1 a3

§ a 31 · § a 31 · a 31 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ a a12  a 32 ¸ ˜ x 2  ¨  a a13  a 33 ¸ ˜ x 3 =  a a1  a 3 11 © 11 ¹ © 11 ¹ ' a 32 ˜ x2

'  a 33 ˜ x3

a '22 x 2 

a'32 ' a 22 x 2 a'22

+ a '23x 3 = 

a 3'

a '2

˜ c 32

a'32 ' a'32 ' a x =  a2 23 3 a'22 a'22



ac32 ˜ ac22

a' a' ' ' =  32 a '2 a x – a 32 x 2  32 23 3 ' ' a 22 a 22

+

' a 32 x2

' + a 33 x3 =

a 3'

' ' § a 32 · a 32 ' ' ¸ ¨  a a ˜ x =  a '2 + a 3' 23 33 3 ' ¨ a' ¸ a 22 © 22 ¹ '' a 33 x 3 = a 3''

Die Gleichungen in den Kästen werden mit b1i

a1i

b 2i

a '2i

'' b33 a 33

in das gesuchte gestaffelte Gleichungssystem überführt: b11x1 + b12x2 + b13x3 = b1 b22x2 + b23x3 = b2 b33x3 = b3. Aus der letzten Gleichung ergibt sich die Unbekannte x3, aus der vorletzten Gleichung mit x3 die Unbekannte x2 und schließlich aus der obersten Gleichung mit x3 und x2 die Unbekannte x1:

x3

b3 b33

x2

b 2  b 23x 3 b 22

x1

b1  b12 x 2  b13x 3 . b11

124

2 Gleichstromtechnik Zahlenbeispiel: Gleichungssystem: 2x – 3y + 4z = 19 4x – 4y + 3z = 22 – 6x – y + 5z = 7

2x – 3y + 4z = 19

˜ c 21

2

˜ c31

3

˜ c32

5

­ – 4x + 6y – 8z = – 38 +® ¯ 4x – 4y + 3z = 22

2y – 5z = – 16 gestaffeltes Gleichungssystem: 2x – 3y + 4z = 19 2y – 5z = – 16 – 8z = – 16

2x – 3y + 4z = 19 ­ 6x – 9y + 12z = 57 +® ¯ – 6x – y + 5z = 7

– 10y + 17z = 64 Lösungen:

2y – 5z = – 16

z=2 y=–3 x=1

­ +® ¯

10y – 25z = – 80 – 10y + 17z = 64 – 8z = – 16

Für eine formale Berechnung der drei Unbekannten eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen lässt sich das folgende Rechenschema anwenden: a11 a12 a13

a1

a11 a12 a13

a1

a21 a22 a23

a2

a '22

a '2

a31 a32 a33

a3

a '23 '' a 33

a '22 a '23

a '2

b11 b12 b13

b1

' ' a 32 a 33

a 3'

b22 b23

b2

'' a 33

a 3''

b33

b3

a 3''

Koeffizienten des gestaffelten Gleichungssystems

1. Zunächst werden die Koeffizienten des Gleichungssystems aik und ai in das Schema eingetragen. 2. Dann werden die Multiplikatoren c 21

a 21 ,  a11

c31

a 31 ,  a11

c32

' a 32

 a '22

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

125

und die restlichen Elemente des Schemas nach folgenden Formeln berechnet und eingetragen: a '22 = c21a12 + a22

= b22

a '23 = c21a13 + a23

= b23

a '2

= b2

= c21a1 + a2

' = c31a12 + a32 a 32 ' = c31a13 + a33 a 33

a 3'

= c31a1 + a3

acc33

' = b33 = c32 a '23 + a 33

acc3

= c32 a'2 + a 3'

= b3.

3. Aus den b-Koeffizienten des gestaffelten Gleichungssystems ergeben sich die gesuchten x-Werte: x3

b3 , b33

x2

b 2  b 23x 3 , b 22

x1

b1  b12 x 2  b13x 3 . b11

Zum Zahlenbeispiel (vorige Seite): Gleichungssystem: Rechenschema: 2x – 3y + 4z = 19 2 –3 4 19 4x – 4y + 3z = 22 4 –4 3 22 – 6x – y + 5z = 7 –6 –1 5 7 c21 = – 2 2 –5 – 16 Lösungen: – 10 17 64 c31 = 3 16 z 2 c = 5 – 8 – 16 8 32 16  (5) ˜ 2 y 3 2 19  (3) ˜ (3)  4 ˜ 2 z 1 2 Beispiel: Zum Beispiel 2 der Netzberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren im Abschnitt 2.3.5 (S. 105) mit den Zahlenwerten des Beispiels für die inverse Matrix (S. 121). Gleichungssystem: § 22 A · ¨ ¸ ¨  25 A ¸ ¨ 8 A¸ © ¹

Rechenschema: 4,5 – 1,5 –2 c21 = 0,33 c31 = 0,44

§ 4,5 S  1,5 S ¨ 10 S ¨  1,5 S ¨ 2S 4S ©

– 1,5 10 –4 9,5 – 4,67 c32 = 0,49

 2 S · § U10 · ¸ ¨ ¸  4 S ¸ ˜ ¨ U 20 ¸ 8,5 S ¸¹ ¨© U 30 ¸¹

–2 –4 8,5 – 4,67 7,61 5,32

22 – 25 8 – 17,67 17,78 9,12

126

2 Gleichstromtechnik Lösungen: x3

U 30

b3 b 33

x2

U 20

b 2  b 23 U 30 b 22

x1

U10

b1  b12 U 20  b13U 30 b11

9,12 V 1,71 V 5,32  17,67  4,67 ˜ 1,71 V 9,5

1,02 V

22  1,5 ˜ 1,02  2 ˜ 1,71 V 4,5

5,3 V

Soll ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten gelöst werden, dann kann die Berechnung formal nach folgendem Rechenschema erfolgen: a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = a1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = a2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = a3 a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = a4 a '22 = c21a12 +a22

= b22

' a '43 = c42 a '23 + a '43

a '23 = c21a13 + a23 = b23

a''44 = c42 a '24 + a '44

a '24 = c21a14 + a24 = b24

a '4' = c42 a '2 + a '4

a '2 = c21a1

+ a2

= b2

' = c31a12 + a32 a 32

'' ' '' a '44 = c43 a 34 + a '44 =b44

' = c31a13 + a33 a 33

' a '4'' = c43 a 3'' + a '44

' = c31a14 + a34 a 34

a 3' = c31a1

+ a3

a '42 = c41a12 + a42 a '43 = c41a13 + a43 a '44 = c41a14 + a44 a '4 = c41a1

+ a4

'' ' = b33 a 33 = c32 a '23 + a 33 '' ' = b34 a 34 = c32 a '24 + a 34

a 3'' = c32 a '2 + a 3' = b3

2.3 Verfahren zur Netzwerkberechnung

127

a11 a21 a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14 a24 a34 a44

a1 a2 a3 a4

c 21

a 21  a11

a '22

a '23

a '24

a '2

c31

a 31  a11

' a 32

' a 33

' a 34

a 3'

c 41

a 41  a11

a '42

a '43

a '44

a '4

'' a 33

'' a 34

a 3''

' a '43

' a '44

a '4'

'' a '44

a '4''

c32 c 42

' a 32

 a '22 a '42  a '22 c 43

a11

a12

a13

a '22

a14

a '23 '' a 33

a '24 '' a 34 '' a '44

' a '43

''  a 33

a1

b11

a '2 a 3'' a '4''

b12

b13

b14

b1

b22

b23

b24

b2

b33

b34

b3

b44

b4

Lösungen: x4 = b4 : b44 x3 = (b3 – b34x4): b33 x2 = (b2 – b23x3 – b24x4): b22 x1 = (b1 – b12x2 – b13x3 - b14x4): b11 Beispiel: Zum Beispiel 3 der Netzberechnung nach dem Maschenstromverfahren im Abschnitt 2.3.4 (S. 101) mit folgenden Zahlenwerten Uq1 = 12V, Uq2 = 10V, Iq2 = 5A, R1 = 1:, R2 = 2:, R3 = 8:, R34 = 4:, R4 = 8:, R5 = 10:, R6 = 20:, R7 = 8:, R8 = 2:. Gleichungssystem in Matrizenschreibweise:

§ U q1 · ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨U ¸ ¨ q2 ¸ ¨ U q2 ¸ © ¹

§ R1  R 7 ¨ ¨ R7 ¨ 0 ¨ ¨ 0 ©

R7 R 34  R 5  R 7

0  R5

 R5 R 34

R 2  R5  R8 R2

0 R 34

· § II · ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ I II ¸ ¸˜¨I ¸ R2 ¸ ¨ III ¸ R 2  R 34  R 6 ¸¹ ¨© I IV ¸¹

128

2 Gleichstromtechnik §12 V · ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨10 V ¸ ¨ ¸ ¨10 V ¸ © ¹

8: 0 : 0 : · § II · §9 : ¨ ¸ ¨ ¸ 22 :  10 : 4 : ¸ ¨ I II ¸ ¨8 : ˜ ¨ 0 :  10 : 14 : 2 : ¸ ¨¨ I III ¸¸ ¨ ¸ ¨0 : 4: 2 : 26 : ¸¹ ¨© I IV ¸¹ ©

Lösung des Gleichungssystems nach dem Gaußschen Algorithmus: 9 8 0 0

8 22 – 10 4

c21 = – 0,89 c31 = 0 c41 = 0

0 – 10 14 2

0 4 2 26

– 10

4

– 10

14

2

10

4

2

26

10

14,89

12 0 10 10 – 10,67

c32 = 0,672

7,28

4,69

2,83

c42 = – 0,269

4,69

24,92

12,87

21,90

11,05

c43 = – 0,644 Lösungen: IIV = 0,504 A IIII = 0,0650 A III = – 0,808 A II = 2,05 A Zweigströme: I1 = II = 2,05 A I6 = IIV = 0,504 A I8 = IIII = 0,0650 A I3 = I4 = I34/2 = – 0,152 A I*2 = IIV + IIII = 0,504 A + 0,0650 A = I2 =

I*2

– Iq2 = 0,569 A – 5 A

0,569 A

= – 4,431 A

I34 = III + IIV = – 0,808 A + 0,504 A = – 0,304 A I5 = IIII – III = 0,0650 A + 0,808 A = 0,873 A I 7 = II + III = 2,05 A – 0,808 A = 1,242 A

Das Rechenschema des Gaußschen Algorithmus lässt sich für größere Gleichungssysteme entsprechend erweitern. Ab etwa zehn Gleichungen mit zehn Unbekannten sollten Rechner zu Hilfe genommen werden, weil der Rechenaufwand mit Hilfe des Rechenschemas zu groß wird und der Fehler aufgrund der Fehlerfortpflanzung nicht zu vernachlässigen ist. Die Programmierung für einen Rechner ist relativ einfach, da nur einfache Rechenoperationen nötig sind. Mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus lassen sich auch Determinanten systematisch vereinfachen, wodurch das Rechnen mit der Cramerschen Regel und der inversen Matrix einfacher wird. Für die Lösung von Gleichungssystemen mit Hilfe von Rechnern bietet sich auch das Austauschverfahren nach Stiefel [4] an, das eine Weiterführung des Einsetzverfahrens ist. Beim Stiefelverfahren wird eine Ausgangsmatrix in mehreren Stufen invertiert.

Übungsaufgaben zum Abschnitt 2.3

129

Übungsaufgaben zum Abschnitt 2.3 2.27

Berechnen Sie mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze (Zweigstromanalyse) den Strom I2 durch den Widerstand Ri2 in der skizzierten Schaltung. Wenden Sie das Eliminationsverfahren oder das Einsetzverfahren an.

Bild 2.107 Übungsaufgabe 2.27

2.28

Eine Lampe soll mit I = 10A von zwei Spannungsquellen Uq1 = Uq2 = 220V mit unterschiedlichen Innenwiderständen Ri1 = 3: und Ri2 = 5: gespeist werden. Berechnen Sie mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze (Zweigstromanalyse) die Speiseströme I1 und I2 und den Widerstand der Lampe Rx.

Bild 2.108 Übungsaufgabe 2.28

2.29

Mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze ist das für die Berechnung der Zweigströme notwendige Gleichungssystem in Matrizenschreibweise aufzustellen. Gegeben sind die Spannungsquellen, die Stromquelle und die Widerstände.

Bild 2.109 Übungsaufgabe 2.29, 2.30 und 2.31

2.30

Für das gleiche Schaltbild sind sämtliche Zweigströme mit Hilfe des Maschenstromverfahrens und des Gaußschen Algorithmus mit folgenden Zahlenwerten zu berechnen: Uq3 = 12V R1 = 4: R3 = 5: R5 = 1: Uq1 = 10V I0 = 4A R2 = 10: R4 = 3: R6 = 2: Uq2 = 6V

2.31

Mit Hilfe des Knotenspannungsverfahrens und des Gaußschen Algorithmus sind die Ergebnisse der Aufgabe 2.30 zu bestätigen.

130

2 Gleichstromtechnik

2.32

Berechnen Sie den Strom I2 durch den Widerstand R2 in Abhängigkeit von Uqx der skizzierten Kompensationsschaltung mit Hilfe des Maschenstromverfahrens. Gegeben sind: R2 = 5k: R0 = 10k:. U = 4V, R1 = 2k:, Wie groß muss die Spannung Uqx sein, damit der Strom I2 Null ist?

Bild 2.110 Übungsaufgabe 2.32 2.33

1. Ermitteln Sie den Strom I2 durch den Widerstand R2 mit Hilfe des Superpositionsverfahrens. 2. Kontrollieren Sie das Ergebnis für den Strom I2 mit der Zweigstromanalyse nach Kirchhoff.

Bild 2.111 Übungsaufgabe 2.33 2.34

In der skizzierten Schaltung sind die Stromquelle Iq1, die Spannungsquelle Uq2 und die Widerstände Ri1, Ri2 und R gegeben. 1. Berechnen Sie den Strom I durch den Widerstand R mit Hilfe des Superpositionsverfahrens, ohne die Stromquelle oder die Spannungsquelle umzuwandeln. 2. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die Spannungsquelle in eine äquivalente Stromquelle überführen und die Stromquellen zusammenfassen.

Bild 2.112 Übungsaufgabe 2.34 2.35

1. In der skizzierten Kompensationsschaltung ist der Strom I2 mit Hilfe des Superpositionsverfahrens in Abhängigkeit von der Spannung Uqx zu ermitteln. 2. Kontrollieren Sie das Ergebnis für den Strom I2 mit der Zweigstromanalyse. 3. Geben Sie die Bedingungsgleichung für die Spannung Uqx an, damit der Strom I2 Null wird.

Bild 2.113 Übungsaufgabe 2.35

Übungsaufgaben zum Abschnitt 2.3 2.36

131

Für den skizzierten belasteten Spannungsteiler sollen mit Hilfe der Zweipoltheorie der Belastungsstrom I3 und die Spannung U2 ermittelt werden. 1. Wandeln Sie dazu den aktiven Zweipol einmal in eine Ersatzspannungsquelle und zum anderen in eine Ersatzstromquelle um, die dann jeweils mit dem Widerstand R3 belastet ist. Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse für Uq ers, Iq ers und Ri ers, bevor Sie mit den beiden Ersatzschaltungen I3 und U2 berechnen. 2. Gegeben sind die Größen U = 24V, R1 = 1,5M: und R2 = 100k:. Berechnen Sie I3 und U2 für die Werte von R3 = 0k:, 100k:, 200k:, 300k:, 500k:, 1 000k:, f und stellen Sie die Funktionen I3 = f (R3) und U2 = f (R3) in einem Diagramm dar.

Bild 2.114 Übungsaufgabe 2.36

2.37

Die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen A und B der skizzierten Schaltung soll gemessen werden. Es steht ein Voltmeter mit 10V Endausschlag mit einem Instrumentenwiderstand R0 = 5k: zur Verfügung. Der Messbereich des Voltmeters ist so zu erweitern, dass bei der Leerlaufspannung Endausschlag angezeigt werden würde. Gegeben sind Uq = 200V, Ri = 5k: und R = 5k:. 1. Ermitteln Sie zunächst die zu messende Leerlaufspannung und den Innenwiderstand der Schaltung (aktiver Zweipol). 2. Berechnen Sie dann den Vorwiderstand Rv für das Voltmeter. Mit welchem Widerstand wird die Schaltung also belastet? (passiver Zweipol) 3. Wie groß ist die Spannung UAB ab bei Belastung mit dem erweiterten Voltmeter und wie groß ist die prozentuale Abweichung vom ursprünglichen Wert der zu messenden Leerlaufspannung? 4. Welche Folgerungen ziehen Sie aus dieser Berechnung?

Bild 2.115 Übungsaufgabe 2.37

132

2 Gleichstromtechnik

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung 2.4.1 Energie und Leistung Energiebegriff: Während Strom, Spannung und Widerstand elektrische Größen sind, haben Energie und Leistung allgemeine physikalische Bedeutung. Sie bilden die Brücke zu den anderen technischen Wissenschaften, in denen andere Formen der Energie und Leistung behandelt werden. Energie ist das Vermögen, Arbeit zu verrichten. Energie und Arbeit sind damit hinsichtlich der Dimension gleichwertig. Alle Naturgeschehen sind Umwandlungen einer Energieform in eine andere, wobei die Gesamtmenge der einzelnen Energien in einem abgeschlossenen System konstant bleibt (Energiesatz nach Robert Mayer)1): n

¦ Wv

konstant.

v 1

Mit dem Satz von der Erhaltung der Masse (nach Lavoiseur)2): n

¦ mv

konstant

v 1

besteht zwischen Energie und Masse der Zusammenhang über die Lichtgeschwindigkeit c: W = m ˜ c2 (nach Albert Einstein)3): 1 g ˆ  8,9876 ˜ 1013 Ws, weil sich mit m = 1g, W = 8,9876 ˜ 1013 Ws, c = 2,99792 ˜ 1010 cm/s ergibt:

1g 

8,9876 ˜1013 Ws ˜ s 2

1 m 2 ˜ kg ˜ s 2

10 4 cm 2 ˜103 g ˜ s 2

2,997922 ˜1020 cm 2

107 ˜ s 2 ˜ cm 2

107 ˜ s 2 ˜ cm 2

1g

mit 1Ws = 1 kg ˜ m2 ˜ s–2. Leistungsbegriff:

Das Vorhandensein irgendeines großen Energiereservoirs allein ist für die Technik nicht maßgebend. Die Energie muss sich zeitlich ändern, d. h. nutzbar wandeln, wenn etwas geleistet werden soll. Die Leistung ist der Quotient aus dem Energieumsatz dW in der Zeitspanne dt, in der die Umwandlung erfolgt: P

1) 2) 3)

dW . dt

Robert Mayer, deutscher Arzt und Physiker 1814–1878 Antoine Lavoiseur, französischer Chemiker 1743–1794 Albert Einstein, deutscher Physiker 1879–1955

(2.189)

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

133

Ist die Energieänderung pro Zeiteinheit konstant, dann ist die Leistung konstant:

P

W . t

(2.190)

Beispiel: Energieumwandlungen im Speicherkraftwerk Die potentielle Energie des Wassers wird in kinetische Energie überführt:

Wpot

m ˜ g ˜ 'h,

Wkin

mit m: Teilmenge des Wassers und

m ˜ v2 2

'h : Höhendifferenz

Da keine Arbeit verrichtet wird, ist dies keine nutzbare Umwandlung von Energien. Indem die Wasserturbine angetrieben wird, erfolgt eine Umwandlung in mechanische Energie. Durch den an der Turbine angekoppelten Generator wird die mechanische Energie in elektrische Energie überführt. Diese Energieform ist für den wirtschaftlichen Transport von Energie geeignet. Außerdem ist sie wirtschaftlich in andere Energieformen übertragbar, z. B. für Antriebszwecke im Elektromotor.

In einem geschlossenen System ist auch die Summe aller Leistungen Null: n

¦ Pv

0.

v 1

Beispiel: Die Umwandlung von potentieller Energie des Wassers in kinetische Energie bzw. elektrische Energie entspricht der negativen Leistung hinsichtlich der potentiellen Energie und der positiven Leistung der kinetischen bzw. elektrischen Energie.

Elektrische Energie

In Analogie zur mechanischen Energie werden bei der elektrischen Energie Ladungsträger, d. h. Elektronen und Ionen (vgl. Körper), mittels der Quellspannung (vgl. Kraft) über einen Weg in einem Stromkreis (vgl. Gefälle) befördert. In der Spannungsquelle wird den Ladungsträgern die potentielle Energie erteilt, die es ihnen ermöglicht, durch den Leiterkreis zu fließen. In den Verbrauchern wird dann die elektrische Energie in andere Energieformen umgewandelt. Eine direkte Nutzung der elektrischen Energie ist also nicht möglich; sie ist eine Zwischenform zwischen anderen Energieformen. Vorteile der elektrischen Energie als Zwischenform: 1. Verlustarmer Transport großer Energiemengen über große Entfernungen. 2. Wirtschaftliche Umwandlung der elektrischen Energie in andere Energieformen: in Wärmeenergie fast 100 %, in mechanische Energie in Motoren bis 97 % und in chemische Energie bis 100 %. 3. Wirtschaftliche Energiespeicherung der elektrischen Energie in Akkubatterien oder durch Pumpspeicherwerke. Die elektrische und magnetische Energie im elektrischen und magnetischen Feld lässt sich nicht technisch nutzen, weil eine kontinuierliche Weiterverwendung nicht möglich ist. Außerdem ist die Energiedichte zu gering. 4. Bei der Nachrichtenübertragung wird die elektrische Energie in elektromagnetische Strahlungsenergie umgewandelt.

134

2 Gleichstromtechnik

Zusammenfassung der qualitativen Zusammenhänge: 1. Elektrische Energie einer Spannungsquelle: W = Q ˜ U q = Uq ˜ I ˜ t

bzw.

mit Q = I ˜ t

W=Q˜E=E˜I˜t mit EMK E und Q = I ˜ t

2. Elektrische Energie eines Verbrauchers. W=Q˜U=U˜I˜t

mit Q = I ˜ t

Bei zeitlich veränderlicher Spannung u(t) und zeitlich veränderlichem Strom i(t) muss die Augenblicksleistung integriert werden: W

³ u(t) ˜ i(t) ˜ dt .

(2.191)

3. Maßeinheit der elektrischen Energie: [W] = [U] ˜ [I] ˜ [t] = 1 V ˜ 1 A ˜ 1 s = 1 Ws (Wattsekunde) und 1 kWh = 3,6 ˜ 106 Ws (Kilowattstunde). Eine spezielle Maßeinheit der elektrischen Energie ist das Elektronenvolt, das in der Atomphysik und bei Halbleitern und Elektronenröhren verwendet wird: mit

W = Q ˜ Uq und

Q = e Elementarladung, Ladung des Elektrons

und

Uq = 1 V

ergibt sich die kleine Energieeinheit Elektronenvolt W = e ˜ Uq = 1,602 ˜ 10–19 As ˜ 1V 1 eV = 1,602 ˜ 10–19 Ws.

(2.192)

4. Umwandlung elektrischer Energie in Wärmeenergie: Enthält ein elektrischer Stromkreis nur ohmsche Widerstände, dann wird die elektrische Energie restlos in Wärmeenergie, in so genannte Joulesche Wärme, überführt: U2 ˜t . (2.193) R Bei zeitlich veränderlicher Spannung und zeitlich veränderlichem Strom wird die Energie durch Integration ermittelt.

W = I2 ˜ R ˜ t =

W

R ˜

³ [i(t)]

2

˜ dt

1 R

³ [u(t)]

2

˜ dt .

(2.194)

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

135

Elektrische Leistung Leistung ist die Energieänderung pro Zeit. Je schneller sich also eine Energieumwandlung vollzieht, um so größer ist die Leistung. Zusammenfassung der quantitativen Zusammenhänge: 1. Elektrische Leistung einer Spannungsquelle: P = Uq ˜ I bzw. 2. Elektrische Leistung eines Verbrauchers:

P = E ˜ I.

P = U ˜ I. 3. Maßeinheit der elektrischen Leistung: [P] = [U] ˜ [I] = 1 W. 4. Umwandlung elektrischer Leistung in Wärmeleistung: P

I2 ˜ R

U2 . R

2.4.2 Energieumwandlungen Elektrische Energie in Wärmeenergie Wie die Energieumwandlung elektrischer Energie in Wärmeenergie erklärt wird, ist bereits im Abschnitt 1.6 behandelt worden. Quantitativ lässt sich der Zusammenhang zwischen beiden Energieformen nicht errechnen; er wird mit Hilfe eines Kalorimeters messtechnisch bestimmt (nach Joule)1). Das Kalorimeter besteht aus einem thermisch gut isolierten Behälter mit einer Flüssigkeit mit der spezifischen Wärmekapazität c und der Masse m. Eine Heizspirale mit dem ohmschen Widerstand R erwärmt die Flüssigkeit mit dem Wirkungsgrad nahezu 100 %. Die elektrische Energie ist dann gleich der Wärmeenergie (Wärmemenge): Wel = Wth

(2.195)

U ˜ I ˜ t = c ˜ m ˜ '-.

(2.196)

Beispiel: Für Wasser soll die spezifische Wärmekapazität c ermittelt werden. Die Heizspirale wird bei einer Spannung U = 100V betrieben, wodurch ein Strom vom I = 1A die Heizspirale und 1 Liter Wasser, d. h. m = 1kg, erwärmt. Nach 10 Minuten ist das Wasser um eine Temperaturdifferenz von '- = 14,33 K wärmer geworden:

c

1)

U˜I˜t m ˜ '-

100 V ˜1 A ˜ 600 s 1 kg ˜14,33 K

4187

Ws . kg ˜ K

James Prescott Joule, englischer Physiker 1818–1889

136

2 Gleichstromtechnik

Wärmeenergie in elektrische Energie Die großtechnische Nutzung der Umwandlung von Wärmeenergie in elektrische Energie führt zurzeit noch über die mechanische Energie im Wärmekraftwerk: Kesselanlage, Dampfturbine und Generator. Neben dem großen Raumbedarf, hohen Unterhaltungskosten und großen Umweltbelastungen ist der Wirkungsgrad der Umwandlung mit 35 % bis 50 % relativ niedrig. Die direkte Umwandlung von Wärmeenergie in elektrische Energie (Thermoelement und Thermoemission) hat einen noch niedrigeren Wirkungsgrad von 0,5 % bis 25 %, so dass zurzeit an eine großtechnische Nutzung nicht zu denken ist. Mechanische Arbeit in elektrische Energie und umgekehrt Wegen der relativ hohen Wirkungsgrade wird der elektrische Energiebedarf vor allem aus der Umwandlung der mechanischen Energie gedeckt. Sie erfolgt in den häufigsten Fällen durch einen Generator nach dem Prinzip der elektromagnetischen Spannungserzeugung (Bewegungsinduktion), die im Abschnitt 3.4.6.1 behandelt wird: Wird ein Leiter in einem Magnetfeld bewegt, dann wird auf die Ladungen eine Kraft ausgeübt, die zu Ladungsverschiebungen im Leiter führt, wodurch in einem geschlossenen Stromkreis ein Strom verursacht wird. Dieser Vorgang ist reversibel, denn durch einen Elektromotor kann elektrische Energie in mechanische Energie umgewandelt werden. Verluste entstehen jeweils durch die Wärmeumwandlungen in den Wicklungen. Der Zusammenhang zwischen mechanischer Arbeit und elektrischer Energie wird durch folgende Umrechnungsformel beschrieben: 1 J = 1 Ws = 1 Nm = 1 kg ˜ m2 ˜ s–2. In älterer Literatur werden die Kalorie und das Kilopondmeter verwendet. Um die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Energien zu verstehen, sind in folgender Tabelle die dort verwendeten Energieäquivalente zusammengestellt: J = Nm = Ws 1J = 1 Nm = 1 Ws

cal

kWh 2,778

10–7

kpm 0,102

6,25 ˜ 1018

0,4269

2,62 ˜ 1019

3,671 ˜ 105

2,25 ˜ 1025

1

0,2388

1 cal

4,1868

1

1 kWh

3,6 ˜ 106

859,8 ˜ 103

1 kpm

9,80665

2,342

2,724 ˜ 10–6

1

1 eV

1,602 ˜ 10–19

3,82 ˜ 10–20

4,44 ˜ 10–26

1,63 ˜ 10–20

1,163 ˜ 10–6 1

eV

6,12 ˜ 1019 1

Rechenbeispiele für Energieumwandlungen: Beispiel 1: Aus einem in 200m Höhe liegenden Becken eines Pumpspeicherwerks fließen über drei Rohrleitungen je 20 m3/s für sechs Turbinensätze ins Tal. 1. Zu ermitteln ist die je Turbine zu installierende Leistung, wenn die Verluste vernachlässigt werden. 2. Zu berechnen ist die Elektroenergie in kWh, die bei täglich achtstündiger Einspeisung in das Landesnetz jährlich zurückgewonnen werden.

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

137

Lösung: Zu 1.

Pmech =

W mech t

m ˜ g ˜ 'h t

Pmech = 3 ˜ 20 ˜ 103 ˜ kg ˜ 9,81

m s3

Pmech = 3 ˜ 20 ˜ 200 ˜ 9,81 ˜ 103 Pmech = 117,72 ˜ 106 Pel

Zu 2.

1 Pmech 6

˜ 200 m

kg ˜ m m s2 s

Nm s

mit

1

kg ˜ m s2

1N

19,62 MW (elektrische Leistung eines Generators)

Wel

6 ˜ Pel ˜ t

Wel

6 ˜ 19,62 ˜ 103 kW

Wel

344 ˜ 106 kW/Jahr

8 h 365 Tage ˜ Tag Jahr

Beispiel 2: Ein Industriebetrieb hat einen Anschlusswert von 250kW. Anschlusswert ist die installierte Leistung einer Starkstromanlage, d. h. das Produkt aus Spannung und höchstem Strom, der aufgrund des installierten Leitungsquerschnitts fließen darf. Die tatsächliche Belastung des Netzes liegt im Mittel bei 50 % des Anschlusswertes, weil nicht alle Maschinen und Geräte gleichzeitig eingeschaltet (Gleichzeitigkeitsfaktor) und nicht alle Maschinen voll ausgelastet (Belastungsfaktor) sind. Die Belastungsspitze liegt deshalb bei etwa 170kW. Zu ermitteln sind die monatlichen Energiekosten bei täglich 16-stündiger Arbeitszeit und 26 Arbeitstagen im Monat, wenn der Tarif bei 0,08 EUR/kWh liegt. Lösung: Energiekosten Monat

16 h 26 Tage ˜ 0,5 ˜ 250 kW ˜ 0,08 EUR Tag Monat kWh

4160 EUR/Monat .

Beispiel 3: Ein Schwimmkran hebt ein Brückenelement mit der Masse m = 85t mit konstanter Geschwindigkeit in 15s 1,8m hoch. Zu ermitteln ist die Leistung des Kranmotors bei einem Wirkungsgrad von 82 % (Wirkungsgrad siehe Abschnitt 2.4.4). Lösung: Pmech = m ˜ g ˜ h/t mit 1N = 1kg ˜ m/s2 Pmech = 85 000 kg ˜ 9,81m/s2 ˜ 1,8 m/15 s 3 Pmech = 833 850 N ˜ 0,12 m/s = 100,1 ˜ 10 Nm/s

Pel =

Pmech K

100,1˜10 3 W 0,82

122 kW.

Beispiel 4: Ein Transistorenempfänger wird mit fünf Monozellen betrieben und nimmt dabei einen mittleren Strom von 100mA auf. Eine Monozelle mit einer Betriebsspannung von 1,3V kostet 1,– EUR. Zu berechnen ist der Preis der Kilowattstunde, wenn nach 200 Betriebsstunden der Batteriesatz gewechselt werden muss.

138

2 Gleichstromtechnik Lösung: Wel = U ˜ I ˜ t = 5 ˜ 1,3 V ˜ 0,1 A ˜ 200 h = 0,13 kWh 0,13 kWh ˆ  2,50 EUR und 1 kWh ˆ  2,50 EUR/0,13 = 19,25 EUR.

2.4.3 Messung der elektrischen Energie und Leistung 2.4.3.1 Messung der elektrischen Energie Messverfahren

Zur Messung der elektrischen Energie sind Umwandlungen in mechanische oder chemische Energie notwendig, d. h., die Messgeräte haben einen Eigenverbrauch, der die Messgenauigkeit beeinflusst. Bei konstanter Leistung Pel wird die elektrische Energie nach der Gleichung Wel = Pel ˜ t

(2.197)

auf eine Zeitzählung zurückgeführt. Es braucht nur die Zeitdauer der Einschaltung des Verbrauchers gezählt zu werden; die Zeitzähler sind lediglich Uhrwerke. In Beleuchtungseinrichtungen werden vorwiegend Zeitzähler verwendet, weil die umgewandelte Energie pro Zeit gleich bleibt, so lange die Beleuchtung eingeschaltet ist. Bei zeitlich veränderlicher Leistung muss die Leistung kleiner Zeitabschnitte 't aufsummiert werden: n

Wel

¦P

el v

(2.198)

˜ 't.

v 1

Bild 2.116 Ermittlung elektrischer Energie

Soll die Energiemessung noch genauer erfolgen, dann muss die Leistung in differentiell kleinen Zeitspannen dt, also in jedem Augenblick, betrachtet und dann kontinuierlich aufsummiert werden; der Funktionsverlauf Pel(t) muss integriert werden: t2

Wel

³ Pel (t) ˜ dt.

t1

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

139

In den meisten Anwendungsfällen ist die Netzspannung U konstant: Pel(t) = U ˜ i(t). Dadurch wird die Integration der Leistungskurve zu einer Integration der Stromkurve, die der transportierten Ladungsmenge entspricht: t2

Wel =U ˜ ³ i(t) ˜ dt

(2.199)

U˜Q

t1

mit i

dq dt

t2

und

Q= ³ i(t) ˜ dt . t1

Die Ladungsmenge wird in Amperestunden (A ˜ h) gemessen. Amperestundenzähler werden in der Praxis häufig eingesetzt, obwohl sie Netzschwankungen nicht berücksichtigen. Grundsätzlich werden folgende Zählerarten unterschieden: Wasserstoff-Elektrolyt-Zähler und Quecksilber-Elektrolyt-Zähler: Die von Ionen transportierte Stoffmenge in einem Elektrolyten ist der Ladungsmenge Q proportional. Die aufgefangene Stoffmenge ist also ein Maß für die Amperestunden. Diese Zählerart ist nur für experimentelle Arbeiten im Labor geeignet, indem die Elektroden gewogen werden. Magnet-Motorzähler nach dem elektrodynamischen Prinzip: Das Erregerfeld wird durch ein oder zwei Dauermagnete aufgebaut. In diesem Feld bewegt sich eine Metallscheibe aus Aluminium, auf der eine dreiteilige Ankerwicklung sitzt. Der größte Teil des Messstroms wird über einen parallelgeschalteten Nebenwiderstand RN geschickt, der Rest von etwa 100mA wird über Bürsten durch die Ankerwicklung geführt, wodurch ein Drehmoment, das so genannte Triebmoment MT = c1 ˜ I, erzeugt wird. Durch die im Erregerfeld drehende Metallscheibe werden Wirbelströme induziert, die ein Gegenmoment, ein Bremsmoment MB = c2 ˜ n bewirken. Bei Gleichheit beider Momente stellt sich die Drehzahl n der Scheibe ein: aus

c1 ˜ I = c2 ˜ n

folgt

n

c1 ˜ I. c2

Bild 2.117 Magnet-Motorzähler

140

2 Gleichstromtechnik Die Ankerumdrehungen z in der Zeit t ergeben sich aus z=t˜n=

c1 ˜I˜t c2

c1 ˜ Q. c2

(2.200)

Die in der Zeit t gelieferte Elektrizitätsmenge Q kann durch Zählung der Ankerumdrehungen gemessen werden. Motor-Wattstunden-Zähler: Sind die Fehler der Energiemessung infolge von Netzschwankungen zu groß, dann müssen Motor-Wh-Zähler eingesetzt werden, die ebenfalls nach dem elektrodynamischen Prinzip arbeiten. Anstelle von Dauermagneten werden Elektromagneten, so genannte Feldspulen, eingesetzt.

2.4.3.2 Messung der elektrischen Leistung Messprinzip Bei konstanten elektrischen Größen kann die elektrische Leistung durch eine StromSpannungs-Messung und anschließende Produktbildung erfolgen. Bei zeitlich veränderlichen Größen oder bei Registrierung der elektrischen Leistung wird ein elektrodynamisches Messwerk verwendet, dessen Triebmoment MT = c ˜ U ˜ I = c ˜ Pel

(2.201)

ist. Dem Triebmoment wirkt ein Gegenmoment einer Feder, das so genannte Richtmoment MR = D* ˜ D

(2.202)

mit

D* = Drehfederkonstante (Winkelrichtgröße) das ist das Drehmoment pro Winkel

und

D = Zeigerausschlag

entgegen, wodurch sich für den Zeigerausschlag ergibt: D=

c ˜ U ˜ I = cstat ˜ Pel D*

(2.203)

Bild 2.118 Leistungsmesser

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

141

Das Elektrodynamometer ist ein Drehspulmesswerk mit elektromagnetischer Erregung, dessen Triebmoment MT =k ˜ I1 ˜ w1 ˜ I2 ˜ w2 bzw. MT = c ˜ U ˜ I,

(2.204)

wenn die Felderregung aus der Spannung abgeleitet wird.

Stromrichtige und spannungsrichtige Leistungsmessung Wie bei der Strom- und Spannungsmessung bei der Ermittlung von Widerständen (Abschnitt 2.2.7) gibt es auch bei der Leistungsmessung eine spannungsrichtige und eine stromrichtige Schaltung:

Bild 2.119 Spannungsrichtige Messschaltung mit zwei getrennten Instrumenten

Bild 2.120 Stromrichtige Messschaltung mit zwei getrennten Instrumenten

Bild 2.121 Spannungsrichtige Messschaltung mit einem elektrodynamischen Messwerk

Bild 2.122 Stromrichtige Messschaltung mit einem elektrodynamischen Messwerk

In der spannungsrichtigen Schaltung wird der Strom verfälscht gemessen:

Die Messspannung ist in der stromrichtigen Schaltung um ¨U zu groß:

Umess = U,

Imess = I + 'I

Imess = I. Umess = U + 'U

142

2 Gleichstromtechnik

Die in den Instrumenten auftretende Verlustleistung bestimmt die Messgenauigkeit: spannungsrichtige Messschaltung Leistung des Verbrauchers

Leistungsverlust im Spannungs- bzw. Strompfad

P=U˜I=

U2 R

'P = U ˜ 'I =

mit 'I = Messleistung

stromrichtige Messschaltung

U2 RV

U RV

Pmess = P + 'P

P = U ˜ I = I2 ˜ R 'P = 'U ˜ I = I2 ˜ RA

mit 'U = I ˜ RA Pmess = P + 'P

2

relativer Fehler

'P P

U RV 2

U R

R RV

'P P

I2 ˜RA 2

I ˜R

RA R

Sowohl in der spannungsrichtigen als auch in der stromrichtigen Messschaltung wird eine um 'P zu große Verbraucherleistung P gemessen. In der Starkstromtechnik kann der Eigenverbrauch 'P des Spannungs- bzw. Strompfads vernachlässigt werden, weil die zu messende Verbraucherleistung P sehr viel größer ist als 'P. Es ist also gleichgültig, ob stromrichtig oder spannungsrichtig gemessen wird. In der Schwachstromtechnik kann der Eigenverbrauch des Strom- bzw. Spannungspfads nicht vernachlässigt werden. Um einen minimalen relativen Fehler bei der Leistungsmessung zu erreichen, empfiehlt sich bei kleinem Verbraucherwiderstand mit RV>>R die spannungsrichtige Messung und bei großem Verbraucherwiderstand mit R>>RA die stromrichtige Messung.

2.4.4 Wirkungsgrad in Stromkreisen Bei der Umwandlung einer Energieform in eine andere wird die eine Energie nicht restlos in die andere überführt. Das Verhältnis zwischen der Nutzenergie (umgewandelte, d. h. abgegebene Energie) und der zur Verfügung gestellten Energie (aufgewendete Energie) wird Wirkungsgrad K genannt. Bei technischen Untersuchungen werden anstelle der Energien die Leistungen ins Verhältnis gesetzt: K

mit

PN :

PN Pges

Nutzleistung

Pges: zugeführte Gesamtleistung.

(2.205)

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

143

Nach dem Satz von der Erhaltung der Energie bzw. der Leistungen ist die zugeführte Gesamtleistung gleich der Nutzleistung PN und der Verlustleistung PV. Damit lautet die Formel für den Wirkungsgrad K

PN . PN  PV

(2.206)

Beispiele: Die Umwandlung elektrischer Energie in Wärmeenergie geschieht praktisch 100 %: K = 1, in mechanische Energie (Elektromotor): K = 0,7 ... 0,99 und in sichtbare Lichtenergie (Glühlampen, Leuchtstoffröhren, u.a.): K = 0,01 ... 0,25.

Wirkungsgrad im Grundstromkreis Wie behandelt, kann jedes Gleichstromnetz in einen Grundstromkreis überführt werden, so dass die Ermittlung des Wirkungsgrades eines Grundstromkreises von Bedeutung ist. Die Energiequelle – als Ersatzspannungsquelle oder Ersatzstromquelle betrachtet – liefert die gesamte Leistung (erzeugte Leistung PE), im Außenwiderstand kann die Leistung (äußere Leistung Pa) genutzt werden und im Innenwiderstand muss eine Verlustleistung (innere Leistung Pi) in Kauf genommen werden. Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle:

Bild 2.123 Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle

Wird die Spannungsgleichung Uq = I ˜ Ri + I ˜ Ra mit dem Strom I multipliziert, dann entsteht die Leistungsgleichung des Grundstromkreises: Uq ˜ I = I2 ˜ Ri + I2 ˜ Ra PE = Pi + Pa. Laut Definition ist dann der Wirkungsgrad des Grundstromkreises mit Ersatzspannungsquelle K

K

Pa PE

Pa Pa  Pi

1 . R 1 i Ra

1 P 1 i Pa

1 I2 ˜ Ri 1 2 I ˜ Ra

(2.207)

144

2 Gleichstromtechnik

Der Wirkungsgrad ist maximal, wenn Ri/Ra gegen Null geht, d. h., wenn Ri gegen Null geht, denn Ra gegen Unendlich bedeutet Leerlauf; fließt kein Strom, kann eine Energieumwandlung nicht erfolgen. Um den Wirkungsgrad der Umwandlung von der in der Spannungsquelle erzeugten elektrischen Energie in äußere Energie im Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle am größten zu bekommen, muss der Innenwiderstand der Spannungsquelle minimal sein. Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle:

Bild 2.124 Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle

Entsprechend lässt sich die Stromgleichung des Grundstromkreises mit Ersatzstromquelle Iq

U U  Ri Ra

mit der Spannung U multiplizieren: Iq ˜ U

U2 U2  Ri Ra

PE = Pi + Pa. Für den Wirkungsgrad des Grundstromkreises mit Ersatzstromquelle ergibt sich dann eine andere Formel als für den Wirkungsgrad mit Ersatzspannungsquelle: K

K

Pa PE

Pa Pa  Pi

1 . R 1 a Ri

1 P 1 i Pa

1 U2 / Ri 1 2 U / Ra

(2.207)

Der Wirkungsgrad ist maximal, wenn Ra/Ri gegen Null geht, d. h., wenn Ri gegen Unendlich oder der Innenleitwert Gi gegen Null strebt. Für beide Grundstromkreise ist also der Wirkungsgrad am größten, wenn die Verluste innerhalb der elektrischen Energiequelle am kleinsten sind. Während das im Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle bei geringstem Innenwiderstand erreicht wird, muss im Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle der Innenwiderstand möglichst groß sein, damit der Strom durch den Innenwiderstand klein gegenüber dem Strom durch den Belastungswiderstand ist.

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung

145

In Abhängigkeit von Ra/Ri haben die Kurven für den Wirkungsgrad entsprechend der unterschiedlichen Formeln unterschiedliche Verläufe:

Bild 2.125 Wirkungsgrad für Grundstromkreise

Sind der Außenwiderstand Ra und der Innenwiderstand Ri gleich, ist der Wirkungsgrad K = 0,5. Die von der Energiequelle gelieferte Leistung wird nur zur Hälfte im Außenwiderstand umgesetzt. Auf diesen Anpassungsfall wird im Folgenden eingegangen.

2.4.5 Anpassung Wirkungsgrad-Maximum, Verbraucherleistung-Maximum In der Starkstromtechnik kommt es bei der Erzeugung, Übertragung und Weiterverwendung auf einen guten Wirkungsgrad der Leistungsumwandlung an, denn die Umwandlungen dürfen nicht mit zu großen Verlusten verbunden sein. In der Schwachstromtechnik, d. h. in der Nachrichtenübermittlung der Nachrichtentechnik, ist man weniger an einem guten Wirkungsgrad des Nachrichtenträgers interessiert, sondern an einer am Verbraucher maximal abgegebenen Leistung. Die maximale Leistung wird bei Widerstandsanpassung erreicht: der Belastungswiderstand Ra des passiven Zweipols muss gleich dem Innenwiderstand Ri des aktiven Zweipols sein. Die Berechnungen für die Widerstandsanpassung lassen sich auf den Grundstromkreis beschränken, weil jedes Gleichstrom-Netzwerk in einen Grundstromkreis mit aktiven und passiven Zweipol überführt werden kann. Zum Abschluss der Behandlung der Gleichstromtechnik sollen die den Grundstromkreis beschreibenden Größen einschließlich der Leistungen in Abhängigkeit von den Widerständen zusammengefasst werden. Dabei sollen Strom, Spannung und die Leistungen auf Maximalwerte bezogen und in Abhängigkeit vom Widerstandsverhältnis Ra/Ri dargestellt werden. Damit sind auch Aussagen über die Größen bei Anpassung möglich.

146

2 Gleichstromtechnik

Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle

Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle

Bild 2.126 Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle

Bild 2.127 Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle

maximale Spannung: Leerlaufspannung

maximaler Strom: Kurzschlussstrom

Ul = Uq = Ik ˜ Ri

Ik

maximaler Strom: Kurzschlussstrom Ik

Uq

maximale Spannung: Leerlaufspannung

Ul Ri

Ri

Ul = Iq ˜ Ri = Ik ˜ Ri Strom:

Spannung: U Ul U Ul

Ra Ri  Ra 1

(2.209)

1 1 Ra / Ri

I Ik

Uq Ri  Ra

˜

I Ik

Ri Ri  Ra

I Ik

1 R 1 a Ri

(2.210)

Spannung: U Iq ˜ Ri ˜ Ra 1 ˜ Ul Ri  Ra Iq ˜ Ri

Strom: I Ik

Ul Ri

Iq

Ri Uq

1 R 1 a Ri

(2.211)

U Ul

1 1

1 Ra / Ri

(2.212)

Weil die Ersatzspannungsquelle und die Ersatzstromquelle äquivalent sind, ist das Strom- und Spannungsverhalten in beiden Grundstromkreisen gleich. Bei Anpassung mit Ra = Ri ist der Klemmenstrom gleich dem halben Kurzschlussstrom und die Klemmenspannung gleich der halben Leerlaufspannung (vgl. Abschnitt 2.1.1) I Ik

0,5

und

U Ul

0,5.

2.4 Elektrische Energie und elektrische Leistung Leistungen im Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle

147 Leistungen im Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle

Erzeugerleistung: Leistung der Energiequelle PE = Uq ˜ I

PE = Iq ˜ U

innere Leistung: am Innenwiderstand umgesetzte Leistung U2 Ri äußere Leistung: am Außenwiderstand umgesetzte Leistung (Verbraucherleistung, Klemmenleistung)

Pi

I2 ˜ R i

I ˜ Ra

Ik 2 ˜ R i2

Ri ˜ Ra

2

Pa

Ik ˜ R i ˜

Pa

Pk

2

Ul Ri  Ra

2

R i  R a

2

R i  R a

Pa

Ul2 Ri ˜ Ra ˜ R i R i  R a 2

Pa

Pk ˜

Ri ˜ Ra

2

R i  R a Ik 2 ˜ R i Ul 2 Ri

Pk = Ik ˜ U l

(2.213)

Ik ˜ Ik ˜ R i

Pa

Pl ˜

das ist die Kurzschlussleistung, die bei kurzgeschlossenen Klemmen am Innenwiderstand Ri umgesetzt wird.

2

R i  R a Ik ˜

Ri ˜ Ra Ri  Ra

Ik 2 ˜ R i2 ˜ R a 2 1 2 R i  R a R a

Pa

Ik 2 ˜ R i ˜

Pa

Pl ˜

Pl

(2.215)

Ri ˜ Ra

Pa

mit Pl

Ul ˜ Ul Ri

1 Ra

Ul2 Ri ˜ Ra ˜ R i R i  R a 2

oder mit U

Ra

Ra Ri  Ra

Ul 2 ˜ Ra2

R i  R a

Ul 2

Pk

2

Ul ˜

Pa

R i  R a

Ri ˜ Ra

oder mit I

mit Pk

Pa

Ra

2

R i  R a

U2 Ra

mit U

Ri Ik ˜ Ri  Ra

mit I

Pa

Pa

2

Pa

Pa

Pi

Ri ˜ Ra

2

R i  R a

Ri ˜ Ra

2

R i  R a Ul 2 Ri Ik 2 ˜ Ri

Pl = Ik ˜ U l

(2.214)

Ul ˜ Ul Ri Ik ˜ Ik ˜ R i

(2.216)

das ist die Leerlaufleistung, die bei offenen Klemmen am Innenwiderstand Ri umgesetzt wird.

148

2 Gleichstromtechnik

Damit ergibt sich für die äußere Leistung bezogen auf die Kurzschluss- bzw. Leerlaufleistung mit Pk = Pl = Pkonst.: Ra Ri

Pa Pkonst.

§ R ·2 ¨1  a ¸ © R i ¹

(2.217)

.

Sie hat ein Maximum bei Anpassung der Widerstände, wie rechnerisch nachgewiesen werden kann: ­ ½ § ·2 § · ° R a ° 1 ˜ ¨1  R a ¸  2 ˜ ¨1  R a ¸˜ R a ° d ° R i d ­ Pa ½ © R i ¹ © R i ¹ R i ! 0 ¾ ® ® ¾ 2 §R ·¯Pkonst. ¿ §R ·°§ · ° § R ·4 a a R a a d¨ ¸ ¨1 d¨ ¸ ¨1  ¸ ¸ ° ©R i ¹ ©R i ¹° © R i ¹ ¯© R i ¹ ¿

d. h.

1

Ra R  2˜ a Ri Ri

0 bzw.

Ra Ri

1.

Die maximale Verbraucherleistung beträgt dann

Pa max Pkonst.

1 , 4

d. h.

Pa max

Pk 4

bzw.

Pa max

Pl . 4

(2.218)

Bild 2.128 Spannung, Strom und Leistung in Abhängigkeit von den Widerständen im Grundstromkreis

In der Nachrichtenübertragung wird also ein schlechter Wirkungsgrad in Kauf genommen, um eine maximale Verbraucherleistung zur Verfügung zu haben.

Übungsaufgaben zum Abschnitt 2.4

149

Übungsaufgaben zum Abschnitt 2.4 2.38

In einem elektrischen Warmwasserspeicher mit einem Fassungsvermögen von 40 Liter soll ein Heizelement eingebaut werden, das so bemessen ist, dass Wasser von 11,5ºC in drei Stunden auf 80ºC erwärmt wird. 1. Ermitteln Sie die elektrische Leistung, die das Heizelement aufnimmt, wenn der Wirkungsgrad 80 % beträgt. 2. Berechnen Sie die Stromaufnahme, wenn der Warmwasserspeicher an eine Spannung von 220V angeschlossen wird.

2.39

Eine Wasserpumpe mit elektromotorischem Antrieb soll je Stunde 20m3 Wasser in einen Behälter pumpen, der 25m höher liegt. Der Wirkungsgrad der Pumpe beträgt 70 %, der des Motors 90 %. 1. Berechnen Sie die Leistung des Antriebsmotors. 2. Welcher Strom fließt bei einer Spannung von 220V?

2.40

An einem aktiven Zweipol mit Uq = 20V und Ri = 1: ist ein variabler Widerstand Ra = 0:, 0,5:, 1:, 5:, 10: und 15: angeschlossen. 1. Berechnen Sie die Funktionen I = f(Ra),

U = f(Ra),

Pa = f(Ra),

Pi = f(Ra),

Pges = f(Ra).

2. Stellen Sie die Funktionen übersichtlich in einem Diagramm dar. Diskutieren Sie den Anpassungsfall. 2.41

Ein Thermoelement liefert eine Thermospannung von 150PV/K bei einem Innenwiderstand von 20Ÿ. Bei einem Temperaturunterschied von 100K zwischen den Lötstellenwerden nacheinander drei empfindliche Strommesser angeschlossen, die einen Endausschlag von 100PA, 1mA und 10mA haben. Der Eigenverbrauch der drei Strommesser beträgt bei Endausschlag jeweils 20PW. 1. Stellen Sie das Ersatzschaltbild der Messschaltung dar und berechnen Sie die Größen der Ersatzschaltelemente. 2. Berechnen Sie die Ströme, die bei Anschluss der Messinstrumente fließen. 3. Welches Instrument hat den größten Ausschlag und warum?

150

3 Das elektromagnetische Feld 3.1 Der Begriff des Feldes Vektorfeld und Skalarfeld Physikalische Größen können in ihrer Umgebung einen Raumzustand – genannt „Feld“ – verursachen, der durch andere physikalische Größen nachgewiesen wird. Masseteilchen im Feld einer anderen Masse (Gravitationsfeld) oder geladene Masseteilchen im Feld eines geladenen Körpers (elektrostatisches Feld) erfahren eine Kraftwirkung, die als Wechselwirkung zwischen Raumzustand und Indikator (Masseteilchen bzw. geladenes Masseteilchen) erklärt wird. Das Feld ist also ein energiegefüllter Raum. In jedem Punkt des Feldraums beschreiben eine vektorielle Feldgröße und eine skalare Feldgröße den Raumzustand. Vektorfeld und Skalarfeld beschreiben also gemeinsam den Raumzustand. Das Feld ist mathematisch eine vektorielle und skalare Ortsfunktion. Ist der Raumzustand zeitlich veränderlich, ist die Funktion orts- und zeitabhängig. Beispiele: 1. Strömungsfeld eines Baches Ursache: Flüssigkeitsdruck infolge der potentiellen Energie des Wassers Wirkung: gerichtete Geschwindigkeiten der strömenden Wasserteilchen (Vektorfeld) Wirkung: Verringerung der potentiellen Energie der Wasserteilchen längs des Baches (Skalarfeld) 2. Gravitationsfeld der Erde Ursache: Masse der Erde Wirkung: gerichtete Kraftwirkungen auf andere Massen in Punkten mit bestimmten Gravitationsfeldstärken (Vektorfeld) Wirkung: potentielle Energie der Lage von Massen in Abhängigkeit von der „Höhe“ (Skalarfeld) 3. Temperaturfeld Ursache: Wärmequelle Wirkung: gerichtete Wärmeströmung in Richtung niedrigerer Temperaturen (Vektorfeld) Wirkung: Temperaturfeld (Skalarfeld) 4. elektrisches Strömungsfeld Ursache: Ladungstrennung in der Spannungsquelle, d. h. die potentielle Energie der beweglichen Ladungen Wirkung: gerichtete Kräfte und Strömung von geladenen Teilchen infolge der elektrischen Feldstärke in einem leitenden Medium eines Leiterkreises (Vektorfeld) Wirkung: Verringerung der potentiellen Energie der geladenen Teilchen längs des Leiterkreises, beschrieben durch die elektrischen Potentiale (Skalarfeld)

3.1 Der Begriff des Feldes

151

5. elektrostatisches Feld Ursache: geladene Körper infolge Ladungstrennung Wirkung: gerichtete Kräfte auf andere geladene Körper infolge der elektrischen Feldstärken in einem nichtleitenden Medium (Vektorfeld) Wirkung: Verringerung der potentiellen Energie geladener Körper in der Umgebung anderer geladener Körper in Abhängigkeit vom Abstand, beschrieben durch elektrische Potentiale (Skalarfeld) 6. magnetisches Feld Ursache: bewegte elektrische Ladung in einem Leiter (Konvektionsstrom) und angenommener Verschiebungsstrom im Nichtleiter Wirkung: gerichtete Kraftwirkung auf Eisenfeilspäne, Magnetnadeln oder stromdurchflossene Leiter infolge der magnetischen Induktion (Vektorfeld) Wirkung: magnetische Potentiale in der Umgebung des Konvektions- und Verschiebungsstroms (Skalarfeld)

Feldstärke und Flussdichte Die den Raumzustand beschreibenden beiden Vektorgrößen sind Feldstärke und in den Strömungsfeldern die Flussdichte. In Feldern, in denen sich keine Ladungen bewegen und keine Strömung vorhanden ist, werden der Anschaulichkeit wegen auch die Begriffe Fluss und Flussdichte verwendet (elektrostatisches und magnetisches Feld). Ursache und Wirkung Im elektrischen Strömungsfeld ist die elektrische Feldstärke von der Ursache direkt abhängig, während die Flussdichte (Stromdichte) von den Materialeigenschaften des Leiters (spezifischer Widerstand U) mitbestimmt wird. Dagegen ist die Flussdichte im elektrostatischen Feld direkt von der Ursache (Ladung) abhängig, während sich die elektrische Feldstärke mit den Materialeigenschaften des Nichtleiters (Permittivität H) verändert. Im magnetischen Feld ist wiederum die magnetische Feldstärke (auch magnetische Erregung genannt) von der Ursache direkt abhängig, und die Flussdichte ändert sich mit den Materialeigenschaften (Permeabilität P). Die von den Materialeigenschaften beeinflussten Vektorgrößen können also auch als Wirkungsgrößen angesehen werden. Vektorielle Größen und skalare (integrale) Größen Aus den vektoriellen Feldgrößen lassen sich skalare Größen durch Integration ableiten; diese skalaren Größen heißen deshalb integrale Größen. Die folgende Übersicht über die feldbeschreibenden Größen der drei elektromagnetischen Felder soll lediglich die prinzipiellen Zusammenhänge zwischen den vier Größen veranschaulichen. Die Bedeutung der physikalischen Größen und die Gesetzmäßigkeiten werden in den folgenden Abschnitten ausführlich behandelt.

152

3 Das elektromagnetische Feld

1. elektrisches Strömungsfeld: Ursache

Wirkung

G
E


Vektoren

elektrische Feldstärke dU dl

E

G

G

U

³ E ˜ dl

Uq bzw. EMK E, U Spannung der Spannungsquelle, elektrische Spannung

Skalare Integrale Größen

G
G
S
N ˜ E G
G
E
U ˜ S

G


S

Stromdichte

S

I=G·U

dI dA

I

G

G

³ S ˜ dA

I elektrischer Strom

U=R·I

2. elektrostatisches Feld: Wirkung

Ursache

Vektoren

G


D

G
G
D
H˜ E

G
E


Verschiebungsflussdichte

elektrische Feldstärke

dU dl

E

G

U

G

³ E ˜ dl

U elektrische Spannung

Skalare Integrale Größen

D

d< dA

<

G

G

³ D ˜ dA

<=Q Verschiebungsfluss Ladung

<=Q=C·U

3. magnetisches Feld: Ursache

Vektoren

G
H


magnetische Feldstärke magnetische Erregung

H

Skalare Integrale Größen

Wirkung

4 l

4

G

G
G
B
P˜H

G

³ H ˜ dl

4, V Durchflutung (MMK) magnetische Spannung

G


B

magnetische Flussdichte Induktion

B

) = Gm · 4 4 = Rm · )

d) dA

)

G

G

³ B ˜ dA

) magnetischer Fluss

3.1 Der Begriff des Feldes

153

Die Richtungslinien der vektoriellen Feldgrößen in einem Vektorfeld sind die Feldlinien. In einem Quellenfeld (elektrostatisches Feld) beginnen sie in einer Quelle (positiv geladener Körper) und enden in einer Senke (negativ geladener Körper). Befinden sich keine Quellen und Senken im Feld (elektrisches Strömungsfeld und magnetisches Feld), dann sind die Feldlinien in sich geschlossen. Das zugehörige Skalarfeld wird durch Flächen veranschaulicht, den so genannten Äquipotentialflächen (Flächen gleichen Potentials) im elektrischen und magnetischen Feld. Die Feldlinien durchdringen die Äquipotentialflächen senkrecht: die Feldlinien und Feldvektoren sind in Richtung des größten Potentialgefälles gerichtet. Der Zusammenhang zwischen den Feldlinien und den Äquipotentialflächen lässt sich z. B. für das elektrostatische Feld durch die folgende Gleichung mathematisch beschreiben: G


E = – grad M G
mit

E : elektrische Feldstärke und M: elektrisches Potential. Obwohl die elektrischen und magnetischen Felder auch hier wie in anderer Literatur getrennt dargestellt werden, bilden sie eine Einheit, weil sie über den Durchflutungssatz und das Induktionsgesetz miteinander verbunden sind. Die Maxwellschen Gleichungen stellen die elektromagnetischen Erscheinungen in Differentialform dar: G G
w D G Durchflutungssatz rot

H = S (3.1) wt G G
wB Induktionsgesetz rot

E = – (3.2) wt Der Satz von der Quellenfreiheit des magnetischen Flusses lautet in Differentialform G
div

B = 0

(3.3)

und der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verschiebungsflussdichte und der Raumladung im elektrischen Feld, der Gaußsche Satz G
div

D = U, (3.4) ist ebenso in Differentialform angegeben. Um die Gleichungen in Differentialform verstehen zu können, sind mathematische Kenntnisse der Vektoranalysis notwendig. Verschiedene Lehrbücher [5], [6], [7], [8] und [13] können für die Behandlung der Feldtheorie empfohlen werden. Zur Beschreibung der drei Felder und deren Zusammenhänge und zur Behandlung von grundlegenden praktischen Beispielen eignet sich genauso die integrale Form obiger Gleichungen, die in den folgenden Abschnitten angewendet wird.

154

3 Das elektromagnetische Feld

3.2 Das elektrische Strömungsfeld 3.2.1 Wesen des elektrischen Strömungsfeldes Die kollektive Bewegung von geladenen Teilchen bildet das elektrische Strömungsfeld. Es kann also nur in elektrischen Leitern existieren – im Gegensatz zum elektrostatischen Feld, das nur im Nichtleiter besteht. Wird die Bewegung der Ladung durch eine Gleichspannung verursacht, dann entsteht ein stationäres Strömungsfeld, das durch einen zeitlich konstanten Strom charakterisiert wird. Beispiel: Bereits im Kapitel 2 behandelte zeitlich konstante elektrische Strömungsfelder in linienhaften Leitern der Gleichstromnetze.

Die Behandlung der stationären elektrischen Strömungsfelder beschränkt sich nicht nur auf linienhafte Leiter, d. h. auf lange zylindrische Leiter mit konstanter Stromdichte über dem Querschnitt. Die Elektroden und der leitende Feldraum können – analog wie die Elektroden und das nichtleitende Medium des elektrostatischen Feldes – beliebige Formen annehmen. Man unterscheidet linienhafte, flächenhafte und räumliche Leiter. Beispiele:

Bild 3.1 Feld einer zylindersymmetrischen Anordnung (z. B. Kabel mit Kupferleiter und metallischer Ummantelung und Isolation als „Leiter“)

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

155

Bild 3.2 Strömungsfeld im Schmelzleiter einer Hochspannungssicherung

[

Bild 3.3 Feld einer kugelsymmetrischen Anordnung, d. h. eines Erders einer elektrischen Anlage

Messtechnischer Nachweis des Strömungsfeldes Das Potentialfeld mit den Äquipotentialflächen lässt sich messtechnisch durch eine Metallsonde ermitteln, deren Spannung zu einer Elektrode durch einen Spannungsmesser angezeigt werden kann. Die Messanordnung wird „Elektrolytischer Trog“ genannt.

Bild 3.4 Elektrolytischer Trog

Für flächenhafte Leiter lassen sich die Feldlinien und Äquipotentialflächen (hier nur Äquipotentiallinien) durch Leitpapieranordnungen messen, indem zwischen den aus Leitsilber bestehenden Elektroden eine Spannung anliegt, die durch einen Spannungsteiler geteilt werden kann. Zunächst wird eine Teilspannung am Spannungsteiler eingestellt und dann mit einer Metallsonde und einem empfindlichen Amperemeter in der Leitpapieranordnung gesucht. Die

156

3 Das elektromagnetische Feld

Punkte gleichen Potentials werden verbunden. Genauso wird mit anderen Teilspannungen verfahren: Beispiele:

Bild 3.5 Ermittlung der Strömungslinien eines Sicherungs-Schmelzleiters

Bild 3.6 Ermittlung der Äquipotentiallinien eines Sicherungs-Schmelzleiters

3.2.2 Elektrischer Strom und elektrische Stromdichte Elektrischer Fluss – elektrischer Strom I Die in dem leitenden Medium sich bewegenden Ladungsträger – vorwiegend Elektronen – bilden den elektrischen Fluss, genannt elektrischer Strom. Die Feldlinien sind die Strömungslinien der beweglichen Ladungsträger. Die Gesamtheit der Feldlinien kennzeichnet also den elektrischen Strom in einem Leiter. Nach der Richtungsdefinition des elektrischen Stroms (positiver Strom entspricht der Bewegungsrichtung positiver Ladungen) haben die Feldlinien die Richtung des größten Potentialgefälles. Die in Metallen sich bewegenden Elektronen wandern also entgegen den gerichteten Feldlinien. Elektrische Flussdichte – Stromdichte S Zwischen zwei Feldlinien eines flächenhaften Leiters oder in einem von Feldlinien begrenzten Schlauch fließt der gleiche Teilstrom 'I. Ist die Querschnittfläche 'A unterschiedlich, dann ist die Stromdichte S

'I 'A

(3.5)

unterschiedlich und das Strömungsfeld wird inhomogen genannt.

Bild 3.7 Strom und Stromdichte eines Schmelzleiters einer Hochspannungssicherung und eines Erders

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

157

Soll die Stromdichte in einem Punkt des Strömungsfeldes angegeben werden, dann sind gleichzeitig 'I = 0 und 'A = 0; der Quotient ist undefiniert. Die Stromdichte ergibt sich dann durch Grenzwertbildung mit 'A gegen Null, also aus dem Differentialquotienten S

'I 'A o0 ' A lim

dI . dA

(3.6)

Nur in inhomogenen Strömungsfeldern ist es notwendig, die Stromdichte punktweise zu be-

stimmen. Bei homogenen Strömungsfeldern sind die Abstände zwischen den Feldlinien überall gleich, so dass sich die Stromdichte aus dem Gesamtstrom I und der Gesamtfläche A berechnen lässt: S

I . A

(3.7)

In einem homogenen elektrischen Strömungsfeld ist also die Stromdichte überall gleich. Die Stromdichte ist damit eine den Raumzustand des elektrischen Strömungsfeldes beschreibende Größe, die die Bewegung von Ladungsträgern im Feld charakterisiert: Sie hat in einem Punkt des elektrischen Strömungsfeldes die gleiche Richtung wie die Feldlinien und hat einen Betrag, der der Dichte der Feldlinien entspricht. Die G
Stromdichte ist eine vektorielle Feldgröße des elektrischen Strömungsfeldes und wird mit S
gekennzeichnet. Im Folgenden sollen bei bekannter Stromdichteverteilung Teilströme und der Gesamtstrom ermittelt werden: Bei der Herleitung der Stromdichte im inhomogenen und homogenen Feld wurde vorausgesetzt, dass die Ströme die Fläche senkrecht durchströmen. Ist die Fläche jedoch um einen Winkel D geneigt, dann G
ist der G
die Fläche durchdringende Strom kleiner. Mit Einführung eines Flächenvektors A
bzw.

dA , der senkrecht auf der Fläche A bzw. dA angenommen wird und den Betrag der Fläche A bzw. dA hat, lässt sich die Stromverminderung durch das Skalarprodukt erfassen. Für ein homogenes elektrisches Strömungsfeld ergibt sich der von der gleich großen Fläche A erfasste Strom I durch G
G
(3.8)

I S ˜ A ˜ cos D S ˜ A

Bild 3.8 Strom und Stromdichte im homogenen elektrischen Strömungsfeld

158

3 Das elektromagnetische Feld

Soll in einem inhomogenen Strömungsfeld der Teilstrom I durch eine Teilfläche A erfasst werden und ist diese Teilfläche keine Äquipotentialfläche, dann muss die Teilfläche zunächst in Flächenelemente dA aufgeteilt werden, durch die jeweils der entsprechende Teilstrom dI fließt. Dieser ergibt sich wie beim homogenen Feld durch das Skalarprodukt G
G


dI S ˜ dA ˜ cos D S ˜ dA .

(3.9)

Der Teilstrom I durch die Teilfläche A wird durch Aufsummieren der dI-Anteile, d. h. durch Integrieren, ermittelt: I

G

G

³ dI ³ S ˜ dA .

(3.10)

A

Mathematisch ist dieses Integral ein Flächenintegral. Der gesamte Strom I, der im elektrischen Leiter fließt, wird durch eine in sich geschlossene Fläche A – einer Hüllfläche – erfasst. Diese wird entsprechend in Flächen d A aufgeteilt, durch die wiederum die Teilströme dI fließen, die durch das Skalarprodukt ermittelt werden. Durch Integration ergibt sich der Gesamtstrom durch die Hüllfläche:

I

lSG ˜ dAG

0.

(3.11)

A

Für den vorzeichenbehafteten Glesamtstrom I, der durch eine Hüllfläche fließt und gleich Null ist, wird das Flächenintegral zum „Hüllintegral“. Diese Gleichung bedeutet, dass elektrische Strömungsfelder keine Quellen oder Senken besitzen: ein elektrischer Strom ist eine in sich geschlossene Erscheinung in einem elektrischen Leiter. Deshalb heißt diese Gleichung auch die Integralform des Satzes von der Quellenfreiheit des elektrischen Stroms oder Gaußscher Satz. Für grundlegende Berechnungen ist es nicht notwendig, Ströme durch Flächen zu berechnen, die nicht gleich den Äquipotentialflächen sind. Werden Flächen gewählt, die gleich den Äquipotentialflächen oder gleich TeilenG
von Äquipotentialflächen sind, dann ist der G
NeigungsG
G
winkel D zwischen den Vektoren S
und d
A gleich Null und das Skalarprodukt

S ˜ dA wird gleich dem Produkt der Skalare S · dA mit cos D = 1. Sind zusätzlich die Beträge der Stromdichte konstant, dann kann S vor das Integralzeichen gesetzt werden und die Flächenelemente dA können einfach aufsummiert werden. Sie sind gleich der Gesamtfläche A, durch die der Strom I fließt. Auf diese Weise lassen sich Stromdichteverteilungen einfacher inhomogener Strömungsfelder errechnen.

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

159

Beispiele: 1. Strömungsfeld einer zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h (siehe Bild 3.1) Die Stromdichteverteilung S = f (r) soll ermittelt werden: Ausgegangen wird vom Ansatz für den Teilstrom I durch die Zylindermantelfläche A für inhomogene Strömungsfelder (Gl. 3.10): G G I ³ S ˜ dA . A

Für das Flächenintegral sollen die Äquipotentialflächen, die Zylindermantelflächen mit veränderlichem Radius r sind, berücksichtigt werden. Das Skalarprodukt hinter dem Integralzeichen ist dann gleich dem Produkt der Skalare: I

³ S ˜ dA .

A

G
Auf einer Äquipotentialfläche haben die Stromdichtevektoren S
gleiche Beträge, sind also unabhängig vom Punkt der Äquipotentialfläche mit der Teilfläche dA. Deshalb kann S vor das Integralzeichen gesetzt werden: I S ˜ ³ dA . A

Alle Flächenelemente dA aufsummiert, ergibt die Zylindermantelfläche A = 2 S r h: I S˜A S˜ 2˜ S˜r ˜h, woraus sich die Formel für die Stromdichte in Abhängigkeit vom Radius r errechnen lässt: S

I 1 ˜ 2 Sh r

(3.12)

Die Stromdichte nimmt hyperbolisch mit dem Radius ab.

2. Kugelsymmetrisches Strömungsfeld des Erders (Bild 3.3) Für die kugelsymmetrische Anordnung des Erders soll ebenfalls die Stromdichteverteilung ermittelt werden: Die Herleitung erfolgt analog wie im 1. Beispiel: G G I ³ S ˜ dA Teilstrom durch die Halbkugeloberfläche A A

I

³ S ˜ dA

Halbkugeloberfläche gleich Äquipotentialflächen A

A

I S ˜ ³ dA

auf Halbkugeloberfläche A Stromdichte S konstant

I S˜A S˜2˜S˜r2

Halbkugelfläche A 2 ˜ S ˜ r 2

A

S

I 1 ˜ 2 S r2

Die Stromdichte nimmt mit dem Quadrat des Radius ab.

(3.13)

160

3 Das elektromagnetische Feld

3.2.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand Elektrische Spannung Das elektrische Strömungsfeld wird verursacht durch die am leitenden Medium anliegende Spannung U, die aus der Ladungstrennung in einer Spannungsquelle hervorgeht (siehe Abschnitt 1.3). In jedem Punkt des Strömungsfeldes im leitenden Medium besteht dann ein elektrisches Potential M, das an der Eintrittsstelle des Stroms am höchsten und an der Austrittsstelle des Stroms am niedrigsten ist. Punkte gleichen Potentials bilden die Äquipotentialflächen, auf denen eine Ladungsverschiebung energielos erfolgen kann. Die Äquipotentialflächen werden von den Feld- oder Strömungslinien senkrecht durchstoßen. Zwischen Punkten verschiedenen Potentials M1 und M2 herrscht eine Spannung U12, die gleich der Potentialdifferenz ist: U12 = M1 – M2.

(3.14)

Elektrischer Widerstand und elektrischer Leitwert Zwischen der anliegenden Spannung U und dem Strom I besteht Proportionalität über dem elektrischen Widerstand R oder dem elektrischen Leitwert G: U=R·I

bzw. I =

1 · U = G · U. R

(3.15)

Der elektrische Widerstand R bzw. der elektrische Leitwert G wird durch die Materialeigenschaften des leitenden Mediums (spezifischer Widerstand U oder spezifischer Leitwert N=1/U) und durch die geometrische Anordnung des Leiters bestimmt. Für homogene Felder gilt die bereits behandelte Bemessungsgleichung (Abschnitt 1.5, Gl. 1.22): R U˜

l A

l N˜A

oder

G

A U˜l

N˜

A . l

(3.16)

Für inhomogene Felder lässt sich der wirksame Widerstand bzw. Leitwert für einfache Strömungsfelder durch „Homogenität im Kleinen“ berechnen. Beispiel: Elektrischer Widerstand der zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h ohne Randstörungen (siehe Bild 3.1): Der Widerstand R wird als Reihenschaltung von Widerständen der Zylinderschalen der Dicke dr und der Fläche A von Zylindermänteln aufgefasst, wobei in den Zylinderschalen jeweils ein homogenes Feld angenommen werden kann: dr dr U˜ dR U ˜ 2rSh A a

R

³ dR i

U 2Sh

ra

³ drr

ri

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

R R

U ˜ ln | r | 2 Sh

161

ra ri

r U ˜ ln a . ri 2Sh

(3.17)

Bild 3.9 Ermittlung des elektrischen Widerstandes einer zylindersymmetrischen Anordnung durch „Homogenität im Kleinen“

Elektrische Feldstärke In jedem homogenen Strömungsfeld ist die Spannung pro Länge – die elektrische Feldstärke E – konstant, weil die Stromdichte S und der spezifische Widerstand U des Leiters konstant sind: Mit U=R·I und R U

l A

U U

l ˜I A

und

ergibt sich die elektrische Feldstärke

(

I U  U˜ A l

U ˜S

(3.18)

162

3 Das elektromagnetische Feld

Im inhomogenen Strömungsfeld ist die Dichte der Strömungslinien und damit die Stromdichte S = d I/d A unterschiedlich. Gleichzeitig ist auch die Spannung pro Länge – die elektrische Feldstärke – unterschiedlich, denn der wirksame Widerstand eines Volumenelementes RV bei „Homogenität im Kleinen“, das vom Strom dl durchflossen wird, bewirkt einen Spannungszuwachs d U = RV · d I = U

dl ˜ d I, dA

mit

RV = U ˜

dl , dA

Bild 3.10 Volumenelement eines inhomogenen Strömungsfeldes

wodurch sich für die elektrische Feldstärke für inhomogene Felder der gleiche Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldstärke und der Stromdichte angeben lässt: (

dI dU  U dA dl

U ˜S .

(3.19)

G
G
Die elektrische Feldstärke

E ist ebenso wie die Stromdichte S
eine feldbeschreibende Vektorgröße, die allerdings von den Materialeigenschaften des Leiters unabhängig ist. Sie hat die Merkmale einer Kraft, die auf die Ladungen wirkt und deren Bewegung aufrechterhält.

Da zwischen den beiden feldbeschreibenden Vektorgrößen der Zusammenhang über dem spezifischen Widerstand U besteht, G
G
1 G
G
G
˜E N ˜E S oder (3.20)

E U ˜ S

U gilt für die elektrische Feldstärke entsprechendes wie für die Stromdichte: Sie hat in einem Punkt des elektrischen Strömungsfeldes die gleiche Richtung wie die Feldlinien und hat ebenso einen Betrag, der der Dichte der Feldlinien entspricht. Beispiel: Elektrische Feldstärke einer stromdurchflossenen zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h (siehe Bild 3.1): E=U·S mit E

I 1 ˜ 2Sh r U˜I 1 ˜ 2Sh r S=

(nach Gl. 3.12) (3.21)

Die elektrische Feldstärke einer zylindersymmetrischen Anordnung nimmt genauso wie die Stromdichte mit dem Radius hyperbolisch ab.

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

163

Elektrische Feldstärke und elektrische Spannung Im Folgenden soll die Spannung zwischen zwei beliebigen Punkten P1 und P2 eines inhomogenen elektrischen Strömungsfeldes bei bekannter Feldstärkeverteilung ermittelt werden.

Bild 3.11 Spannung und elektrische Feldstärke im elektrischen Strömungsfeld

Da sich im inhomogenen Strömungsfeld von Punkt zu Punkt die Feldstärke ändern kann, müssen zunächst Teilspannungen d U aus dem Skalarprodukt

dU

G
G
E ˜ dl E ˜ dl ˜ cos E

ermittelt werden, weil sich nur in Feldlinienrichtung eine Spannungsänderung ergibt. Nur die wirksame Komponente dl ˜ cos E als Projektion auf die Feldlinie trägt zur Spannungsänderung bei. Dann lässt sich die Gesamtspannung zwischen den Punkten P1 und P2 durch Aufsummieren der Spannungsänderungen d U, also durch Integrieren, errechnen: P2

U12

M1  M2

2

G

G

³ dU ³ E ˜ dl .

P1

(3.22)

1

Ist der Weg l ein in sich geschlossener Umlaufweg, dann ist das Wegintegral Null:

l EG ˜ dlG = 0 .

(3.23)

l

Die Aussage erinnert an den Maschensatz (Abschnitt 2.2.1, Gl. 2.38). Bei praktischen Berechnungen wird grundsätzlich längs einer Feldlinie integriert, wodurch das Skalarprodukt gleich dem Produkt der Skalare ist.

164

3 Das elektromagnetische Feld

Allgemeine Formel für den elektrischen Widerstand Der elektrische Widerstand des leitenden Mediums eines elektrischen Strömungsfeldes ist gleich dem Quotienten von Spannung und Strom, d. h. nach den Gleichungen 3.22 und 3.10: 2

R

G

G

G

G .

³ E ˜ dl

U I

1

(3.24)

³ S ˜ dA

A

Diese Formel braucht nur bei der Widerstandsberechnung inhomogener elektrischer Strömungsfelder angewendet zu werden. Bei homogenen Feldern vereinfacht sich die Formel zur bekannten Bemessungsformel für ohmsche Widerstände (Abschnitt 1.5, Gl. 1.22): E ˜l S˜A

R

U I

R

U˜ l . A

U˜S˜l S˜A

(3.25)

Beispiele: 1. Widerstand der zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h (siehe Bild 3.1) Das Strömungsfeld ist inhomogen, deshalb ergibt sich der Widerstand aus der Gleichung 3.24. Für die Ermittlung der Spannung U wird längs der radialen Feldlinie mit cos E = 1 und d l = d r integriert: 2

U

G

G

ra

³ E ˜ dl ³ E ˜ d r . 1

ri

Die elektrische Feldstärke ist bereits berechnet (siehe Gl. 3.21) E

U˜I 1 ˜ , 2 S˜h r

so dass sich für die Spannung durch Integration ergibt U

U˜I 2Sh

ra

³ drr

ri

r U˜I ln a . 2 S h ri

(3.26)

Wird die Spannung durch den Strom geteilt, entsteht die Widerstandsformel R

U I

r U ln a , 2 S h ri

(3.27)

die bereits mit der Annahme der „Homogenität im Kleinen“ (siehe Gl. 3.17) ermittelt wurde.

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

165

2. Widerstand einer Kugelsonde: Die Berechnung des Widerstandes R dieser kugelsymmetrischen Anordnung erfolgt analog wie die Berechnung im 1. Beispiel: 2

U

G

G

1

U

R

ra

³ E ˜ dl ³ E ˜ d r U˜I 4S

U I

mit E = U · S und

S=

ri

ra

U ˜ I ª 1 º ra  4 S «¬ r ¼» ri

³ dr 2 r

ri

U 4S

I 1 ˜ 4 S r2

(vgl. Gl. 3.13)

U˜I § 1 1 ·  4 S ¨© ri ra ¸¹

§1 1 · ¨  ¸ ©ri ra ¹ (3.28)

Bild 3.12 Widerstandsberechnung einer Kugelsonde

3. Widerstand eines Erders mit dem Radius ri: Die Berechnung des Widerstands erfolgt analog wie in den beiden vorigen Beispielen: 2

U

G G ³ E ˜ dl 1

U

R

U˜I 2S

U I

f

³ dr 2 r

ri

f

³ E ˜dr

mit

E=U·S

ri

U ˜ I ª 1º f  2 S «¬ r ¼» ri

und

S=

I 1 ˜ 2 S r2

(nach. Gl. 3.13)

U˜I 2 S ri

U . 2 S ri

Bild 3.13 Widerstandsberechnung eines Erders

166

3 Das elektromagnetische Feld

Einheiten der Größen des elektrischen Strömungsfeldes Die Einheiten der Größen, die das elektrische Strömungsfeld beschreiben, sind bis auf die der elektrischen Feldstärke im Abschnitt 1 angegeben:

[I] = A

[U] = V

[R] = :

[S] = A/mm2

[E] = V/m

[G] = :–1 = S

[U] =

: ˜ mm 2 m

[N] =

m : ˜ mm 2

Übungsaufgaben zum Abschnitt 3.2 3.1 Die Feldstärke in einer stromdurchflossenen Kupferleitung von 2,76mm Durchmesser und einer Strombelastung I = 20A ist zu berechnen (NCu = 56 m · :–1 · mm–2). 3.2 Ein Hohlzylinder aus Vulkanfiber mit U = 10 · 1012 : · mm2/m der Länge von 40mm, mit einem Innenradius ri = 10mm und einem Außenradius ra = 20mm wird von innen nach außen von einem Strom I = 10PA durchflossen. Die Stromdichte und die elektrische Feldstärke sind bei einem Radius von 18mm zu berechnen. 3.3 Entwickeln Sie die Formel für den Widerstand einer Kugelsonde durch „Homogenität im Kleinen“. 3.4 Leitungsmaste von Hochspannungs-Freileitungen werden geerdet. Bei Erdschlüssen im Netz fließt vom Leitungsmast aus ein Strom über einen Erder ins Erdreich (siehe Bild 3.13). Entwickeln Sie die Formel für die Spannung zwischen zwei Punkten P1 und P2, die den Abstand r1 bzw. r2 vom Erder haben. Mit der Formel für die Spannung ist es möglich, die so genannte „Schrittspannung“ für den Menschen zu berechnen, der sich in der Nähe des Leitungsmastes aufhält. Schrittspannung ist die zulässige Spannung, die für den Menschen ungefährlich ist.

3.3 Das elektrostatische Feld

167

3.3 Das elektrostatische Feld 3.3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes Ungeladene und geladene Materie Materie ist von Natur aus elektrisch ungeladen, also elektrisch neutral. Sie besteht bei atomistischer Betrachtung aus positiven und negativen Ladungen gleicher Anzahl, die sich nach außen hin kompensieren. Ein Körper ist geladen, wenn dieses Gleichgewicht gestört ist: er wird positiv geladen genannt, wenn ein Mangel an Elektronen besteht, und negativ geladen genannt, wenn ein Überschuss an Elektronen vorliegt. Ein Aufladen eines Körpers bedeutet also immer eine Ladungstrennung. Die Gesamtladung bleibt insgesamt erhalten, wie im „Satz von der Erhaltung der Ladung“ beschrieben. Alle Ladungsmengen sind ganzzahlige Vielfache der Elementarladung e = 1,602 · 10–19 C. Ladungsmengen können von einem Körper auf einen anderen durch Berührung übertragen werden, indem die freien Elektronen aufgrund der Abstoßungskräfte und Anziehungskräfte auf den anderen Körper fließen. In der Umgebung geladener Körper sind Kräfte auf andere geladene Körper zu beobachten, die dem elektrostatischen Feld zugeschrieben werden: gleichartige Ladungen stoßen sich ab, ungleichartige Ladungen ziehen sich an. Über ungeladene und geladene Körper, Coulombsche Kräfte und das elektrische Feld wurde in den Abschnitten 1.1 und 1.2 bereits geschrieben. Das elektrostatische Feld kann nur in einem nichtleitenden Medium existieren, weil sich die Ladungen in einem leitenden Medium ausgleichen würden. Beispiel: Eine Spannungsquelle wird an ein Zweielektrodensystem angeschlossen, das aus zwei Leiterplatten mit einem nichtleitenden Medium (Isolator) besteht. Solange der Schalter offen ist, sind die Metallplatten elektrisch neutral, also ungeladen. Wird der Schalter geschlossen, werden Elektronen von der oberen Platte auf die untere Platte durch die Spannungsquelle transportiert und zwar so lange, bis zwischen den Platten die Quellspannung Uq der Spannungsquelle anliegt. Die obere Platte ist dann positiv geladen und besitzt dann die Ladungsmenge + Q, die untere Platte ist negativ geladen und besitzt die Ladung – Q. Zwischen den Platten existiert ein elektrostatisches Feld, das mit Hilfe eines geladenen Körpers nachgewiesen werden kann: ein positiv geladener Körper wird sich nach der unteren Platte bewegen, ein negativ geladener Körper wird nach der oberen Platte wandern.

Bild 3.14 Ladungen und elektrostatisches Feld eines Zweielektrodensystems

168

3 Das elektromagnetische Feld

Die Elektroden und der nichtleitende Feldraum können vielfältige Formen annehmen, so dass es in vielen praktischen Fällen notwendig ist, mit idealisierten Ersatzladungen zu rechnen. Beispiel: Die in der Hochspannungstechnik zu Messzwecken verwendete Kugelfunkenstrecke besitzt bei anliegender Spannung ein kompliziert zu beschreibendes elektrostatisches Feld. Das Feld kann aber berechnet werden, wenn es durch ein Feld ersetzt ist, das unendlich vielen konvergierenden Punktladungen entspricht.

Bild 3.15 Ersatzladungen der Kugelfunkenstrecke

Idealisierte Ladungsverteilungen, die die Berechnung komplizierter elektrostatischer Felder ermöglichen, sind Punktladungen, Linienladungen, Flächenladungen und Raumladungen: Punktladungen sind Ladungen, die in Punkten angenommen werden. Das trifft nur in Annäherung bei geladenen Körpern zu, deren Abmessungen sehr klein im Verhältnis zu der Entfernung von ihrer Gegenladung sind. Linienladungen werden angenommen, wenn die Querabmessungen des geladenen Körpers klein sind zu den Längsabmessungen. Flächenladungen sind Ladungen, die auf einer sehr dünnen Schicht verteilt sind. Bei einer Raumladung ist die Ladung stetig im Raum verteilt. Beispiele elektrostatischer Felder:

Bild 3.16 Elektrostatisches Feld eines Plattenkondensators ohne Randstörungen (mit Randstörungen, siehe Bild 1.2)

Bild 3.17 Elektrostatisches Feld einer kugelsymmetrischen Anordnung (Kugelkondensator)

3.3 Das elektrostatische Feld

169

Bild 3.18 Elektrostatisches Feld einer zylindersymmetrischen Anordnung (Kabel, Zylinderkondensator)

Messtechnischer Nachweis Zum Nachweis der Ladung eines Körpers und damit des elektrostatischen Feldes dienen Elektroskope. Eine Art der Ausführung ist das Doppelpendel, das aus zwei an dünnen Drähten aufgehängten metallüberzogenen Kügelchen besteht. Weitere Nachweisgeräte für Ladungen sind das Blättchenelektroskop, das Zweifadenelektrometer, das Braunsche Elektrometer und das Bohnenbergersche Elektroskop.

Bild 3.19 Braunsches Elektrometer

Bild 3.20 Beispiel für eine Leitpapiernachbildung

Wie im Abschnitt 3.2 für das elektrische Strömungsfeld beschrieben, lassen sich auch für elektrostatische Zweielektrodensysteme, bei denen nur Änderungen in zwei Dimensionen zu erwarten sind, Leitpapiernachbildungen anfertigen, für die die Feldlinien und Äquipotentiallinien messtechnisch ermittelt werden können.

170

3 Das elektromagnetische Feld

3.3.2 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte Verschiebungsfluss oder Erregungsfluss Befindet sich in einem elektrostatischen Feld ein Leiter, dann werden die in ihm befindlichen freien Elektronen aufgrund der Kräfte, die auf Ladungen wirken (Coulombsche Kräfte), innerhalb des Leiters verschoben: die Elektronen wandern an die Oberfläche des Leiters, die der positiven Elektrode zugewandt ist; auf der anderen Seite des Leiters fehlen dann Elektronen. Die Ladungen innerhalb des Leiters werden infolge der Ladungen des Zweielektrodensystems verschoben. Diesen Vorgang nennt man „Influenz“ oder „elektrostatische Induktion“, in Anlehnung an die Ladungsverschiebung infolge eines Magnetfeldes. Experimenteller Nachweis: In einem elektrostatischen Feld zweier parallel angeordneter Elektroden werden zwei Metallscheiben so eingeführt, dass sie sich berühren und schließlich parallel zu den Elektroden gehalten werden. Aufgrund der Influenz wandern Elektronen auf die zur positiven Elektrode hingewandte Seite. Dann werden die Metallscheiben innerhalb des Feldes getrennt und einzeln herausgeführt. Mittels eines Blättchenelektroskops lässt sich nachweisen, dass die eine Metallscheibe negativ, die andere positiv geladen ist. Zwischen den getrennten Metallscheiben, die sich innerhalb des Zweielektrodensystems befinden, ist ein feldfreier Raum, wie sich messtechnisch nachweisen lässt. Eine Anordnung, in der innerhalb eines elektrostatischen Feldes ein feldfreier Raum existiert, wird „Faradayscher Käfig“ genannt.

Bild 3.21 Nachweis der Influenz

Bild 3.22 Influenz in einer Metallhülle

Wird ein geladener Körper vollständig durch eine Metallhülle umgeben, dann werden in der Metallhülle genauso viele Ladungen verschoben wie sich auf dem geladenen Körper als Elektronenüberschuss oder Elektronenmangel befinden. Diese Ladungsverschiebung ist unabhängig von der Größe und Lage der Hülle und unabhängig von den Materialeigenschaften des nichtleitenden Mediums.

3.3 Das elektrostatische Feld

171

Um den Vorgang der Influenz zu veranschaulichen, werden Flusslinien oder Feldlinien ähnlich wie die Strömungslinien im elektrischen Strömungsfeld eingeführt, die allerdings bei der positiven Ladung beginnen und bei der negativen Ladung enden. Im elektrischen Strömungsfeld dagegen sind die Flusslinien oder Feldlinien in sich geschlossen. Die Gesamtheit der Flusslinien des elektrostatischen Feldes charakterisieren den angenommenen Fluss, den Verschiebungs- oder Erregungsfluss <. Der Verschiebungsfluss beginnt grundsätzlich in einer Quelle (positive Ladung) und endet in einer Senke (negative Ladung) und kann nur so groß sein wie die Ladung, die den Fluss verursacht: <=Q

(3.29)

Im Gegensatz zum elektrischen Strömungsfeld besitzt also das elektrostatische Feld Quellen und Senken und wird deshalb zu den Quellenfeldern gerechnet. Verschiebungsflussdichte oder Erregungsflussdichte Zwischen zwei Feldlinien eines von Flusslinien begrenzten Schlauches wird jeweils der gleiche Teilfluss '< angenommen. Ist die Querschnittfläche 'A unterschiedlich, dann ist die Verschiebungsflussdichte (kurz: Verschiebungsdichte oder Verschiebung) oder die Erregungsflussdichte (kurz: Erregung) unterschiedlich und das elektrostatische Feld ist inhomogen: D=

'< 'A

(3.30)

Beispiel: Bild 3.23 Elektrostatisches Feld der zylindersymmetrischen Anordnung (vgl. Bild 3.18)

Soll die Verschiebungsflussdichte (Erregung) in einem Punkt des elektrostatischen Feldes angegeben werden, dann sind gleichzeitig '< = 0 und 'A = 0; der Quotient ist undefiniert. Die Verschiebungsflussdichte (Erregung) ergibt sich dann durch Grenzwertbildung mit 'A gegen Null, also aus dem Differentialquotienten D=

lim

'A o 0

'< 'A

d< dA

dQ dA

mit < = Q

(3.31)

Nur in inhomogenen elektrostatischen Feldern ist es notwendig, die Verschiebungsflussdichte punktweise zu bestimmen. Bei homogenen elektrostatischen Feldern sind die Abstände zwischen den Feldlinien überall gleich, so dass sich die Verschiebungsflussdichte (Erregung) aus dem Gesamtfluss < = Q und der Gesamtfläche A berechnen lässt: D=

< A

Q . A

(3.32)

In einem homogenen elektrostatischen Feld ist also die Verschiebungsflussdichte (Erregung) überall gleich.

172

3 Das elektromagnetische Feld

Die Verschiebungsflussdichte ist also eine den Raumzustand des elektrostatischen Feldes beschreibende Größe: Sie hat in einem Punkt des elektrostatischen Feldes die gleiche Richtung wie die Feldlinien und hat einen Betrag, der der Dichte der Feldlinien entspricht. Die Verschiebungsflussdichte oder elektrische Erregung ist eine vektorielle Feldgröße des elektrostatischen Feldes und G
wird mit

D gekennzeichnet. Im Folgenden sollen bei bekannter Verschiebungsflussdichte-Verteilung die Teilflüsse und der Gesamtfluss ermittelt werden: Bei der Ermittlung der Verschiebungsflussdichte im inhomogenen und homogenen Feld wurde vorausgesetzt, dass der Verschiebungsfluss die Fläche senkrecht durchsetzt. Ist die Fläche jedoch um einen Winkel D geneigt, dann ist der dieG
Fläche durchdringende Verschiebungsfluss G
kleiner. Mit der Definition eines Flächenvektors A
bzw. d
A , der senkrecht auf der Fläche A bzw. dA angenommen wird und den Betrag der Fläche A bzw. dA hat, lässt sich die Flussverminderung durch das Skalarprodukt erfassen. Für ein homogenes elektrostatisches Feld ergibt sich der von der gleich großen Fläche A erfasste Fluss < durch G
G
< = D · A · cos D =

D ˜ A

(3.33)

Bild 3.24 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte im elektrostatischen Feld

Soll in einem inhomogenen elektrostatischen Feld der Teilfluss < durch eine Teilfläche A erfasst werden und ist diese Teilfläche keine Äquipotentialfläche, dann muss zunächst die Teilfläche in Flächenelemente d A aufgeteilt gedacht werden, durch die jeweils der entsprechende Teilfluss d < hindurch tritt. Dieser ergibt sich wie beim homogenen Feld durch das Skalarprodukt G
G
(3.34) d < = D · d A · cos D =

D ˜ dA . Der Fluss < durch die Teilfläche A wird durch Aufsummieren der d<-Anteile, d. h. durch Integrieren ermittelt: G G < ³ d< ³ D ˜ dA . (3.35) A

Mathematisch ist dieses Integral ein Flächenintegral.

3.3 Das elektrostatische Feld

173

Der gesamte Verschiebungsfluss <, der im nichtleitenden Medium auftritt, wird durch eine geschlossene Fläche A – einer Hüllfläche – erfasst. Diese wird entsprechend in Flächen dA aufgeteilt, durch die wiederum die Teilflüsse d< hindurchtreten, die durch das Skalarprodukt ermittelt werden. Durch Integration ergibt sich der Gesamtfluss durch die Hüllfläche: <

l DG ˜ dAG

(3.36)

Q.

A

Das Flächenintegral wird also zum so genannten Hüllintegral. Die Hüllfläche umschließt den geladenen Körper mit der Ladung Q. Diese Gleichung bedeutet, dass elektrostatische Felder Quellen und Senken besitzen: ein Verschiebungsfluss beginnt bei der positiven Ladung und endet bei der negativen Ladung. Deshalb heißt diese Gleichung auch Integralform des Satzes von der Quellenstärke des elektrostatischen Feldes oder Gaußscher Satz. Für grundlegende Berechnungen ist es nicht notwendig, Verschiebungsflüsse durch Flächen zu berechnen, die nicht gleich Äquipotentialflächen sind. Werden Flächen gewählt, die gleich den Äquipotentialflächen oder gleich Teilen Äquipotentialflächen sind, dann ist derG
NeigungsG
von G
G
winkel D zwischen den Vektoren D
und d
A gleich Null und das Skalarprodukt D
˜ dA wird gleich dem Produkt der Skalare D ˜ dA mit cos D = 1. Sind zusätzlich die Beträge der Verschiebungsflussdichte konstant, dann kann D vor das Integralzeichen gesetzt werden und die Flächenelemente d A können einfach aufsummiert werden. Sie sind gleich der Gesamtfläche A, durch die der Fluss < hindurchtritt. Auf diese Weise lassen sich Verschiebungsflussdichte-Verteilungen einfacher inhomogener Felder errechnen. Beispiele: 1. Elektrostatisches Feld einer Punktladung oder einer geladenen Kugel Die Flussdichteverteilung D = f (r) soll ermittelt werden:

Bild 3.25 Elektrostatisches Feld von Punktladungen und geladenen Kugeln Ausgegangen wird vom Ansatz für den Fluss < für inhomogene Felder, und zwar für die Hüllfläche A, denn die Kugeloberfläche mit der Punktladung im Zentrum umschließt die Ladung Q: <

lDG ˜ dAG A

Q.

174

3 Das elektromagnetische Feld Die Kugeloberfläche A ist eine Äquipotentialfläche, so dass das Skalarprodukt hinter dem Integralzeichen gleich dem Produkt der Skalare ist: <

lD ˜ dA

Q.

A

G
Auf der Äquipotentialfläche haben die Verschiebungsflussdichtevektoren D
gleiche Beträge, die also unabhängig vom Punkt der Äquipotentialfläche mit der Teilfläche dA sind. Deshalb kann D vor das Integralzeichen gesetzt werden: <

l

D ˜ dA

Q.

A

Alle Flächenelemente d A aufsummiert, ergibt die Kugeloberfläche A = 4 S r2: < D ˜ A D ˜ 4Sr 2 Q ,

woraus sich die Formel für die Verschiebungsflussdichte in Abhängigkeit vom Radius r errechnen lässt: D=

< 1 4 S r2

Q 1 . 4 S r2

(3.37)

Die Verschiebungsflussdichte nimmt quadratisch mit dem Radius ab. 2. Elektrostatisches Feld einer zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h (Zylinderkondensator, Kabel, siehe Bild 3.18) Für die zylindersymmetrische Anordnung soll ebenfalls die Verschiebungsflussdichteverteilung ermittelt werden. Die Berechnung erfolgt analog wie im 1. Beispiel, allerdings mit dem Ansatz für Teilflüsse nach Gleichung 3.35, weil die Ladung der Innenelektrode nicht durch eine Hüllfläche umschlossen wird; oben und unten ist die Anordnung offen: G G < ³ D ˜ dA Teilfluss durch die Zylindermantelfläche A A

<

³ D ˜ dA

Zylindermantelfläche gleich Äquipotentialfläche A

D ˜ ³ dA

auf Zylindermantelfläche A Verschiebungsflussdichte D konstant

A

<

A

< = D · A = D · 2 S r h = Q Zylindermantelfläche A = 2 S r h D=

< 1 ˜ 2Sh r

Q 1 ˜ . 2Sh r

Die Verschiebungsflussdichte nimmt hyperbolisch mit dem Radius ab.

(3.38)

3.3 Das elektrostatische Feld

175

3.3.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, Kapazität und Permittivität (Dielektrizitätskonstante) Elektrische Spannung Das elektrostatische Feld wird verursacht durch die am Zweielektrodensystem (zwei leitende Elektroden mit nichtleitendem Medium) anliegende Spannung U, die aus der Ladungstrennung in einer Spannungsquelle hervorgeht (siehe Abschnitt 1.3). In jedem Punkt des elektrostatischen Feldes im nichtleitenden Medium besteht dann ein elektrisches Potential M, das an der Elektrode mit der Ladung + Q am höchsten und an der Elektrode mit der Ladung – Q am niedrigsten ist. Punkte gleichen Potentials bilden die Äquipotentialfläche, auf denen eine Ladungsverschiebung energielos erfolgen kann. Die Äquipotentialflächen werden von den Feld- oder Flusslinien senkrecht durchstoßen. Zwischen Punkten verschiedenen Potentials M1 und M2 besteht eine Spannung U12, die gleich der Potentialdifferenz ist: U12 = M1 – M2.

(3.39)

Auf die Begriffe „elektrisches Potential“ und „elektrische Spannung“ im elektrostatischen Feld wird im Zusammenhang mit der elektrischen Feldstärke genauer eingegangen. Kapazität eines Zweielektrodensystems Zwischen der anliegenden Spannung U und dem Verschiebungsfluss < bzw. der Ladung Q besteht Proportionalität durch die so genannte Kapazität C des Zweielektrodensystems: < = C · U = Q.

(3.40)

Die Kapazität C ist ein Maß für die Speicherfähigkeit des felderzeugenden Elektrodenpaars für elektrische Ladungen, wenn zwischen den Elektroden eine Spannung U anliegt. Sie wird durch die Materialeigenschaften des nichtleitenden Mediums (Permittivität H bzw. Dielektrizitätskonstante H bei Unabhängigkeit von den Feldgrößen) und durch die geometrische Anordnung des Zweielektrodensystems bestimmt. Für homogene Felder gilt die Bemessungsgleichung für die Kapazität, z. B. für einen Plattenkondensator ohne Randstörungen (siehe Bild 3.16) C

H˜ A . l

(3.41)

Für inhomogene Felder lässt sich die wirksame Kapazität (entspricht dem elektrischen Leitwert im elektrischen Strömungsfeld, siehe Abschnitt 3.2.3) für einfache elektrostatische Felder durch „Homogenität im Kleinen“ berechnen.

Beispiele: 1. Kapazität der zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h ohne Randstörungen (Zylinderkondensator, Kabel) Der nichtleitende Raum zwischen den Metallelektroden wird in Zylinderschalen der Dicke dr zerlegt, deren reziproke Kapazitäten nach der Bemessungsgleichung für homogene Felder (Gl. 3.41) berechnet und aufsummiert, d. h. integriert werden:

176

3 Das elektromagnetische Feld



1 ˜ dr H A

d 1 C

a



1 C

³ d C1

1 C

ln (ra /ri ) H2 S h

i

C H

1 ˜ dr H 2rSh 1 H2 S h

ra

³ drr

ri

2Sh ln (ra /ri )

(3.42)

Bild 3.26 Ermittlung der Kapazität einer zylindersymmetrischen Anordnung durch „Homogenität im Kleinen“ 2. Kapazität der kugelsymmetrischen Anordnung (Kugelkondensator, siehe Bild 3.17) Analog wird die reziproke Kapazität einer Kugelschale der Dicke d r bei Annahme eines homogenen Feldes innerhalb der Kugelschale berechnet und zur Gesamtkapazität durch Integration zusammengefasst:



d 1 C 1 C

a

1 ˜ dr H A



³ d C1 i

C H

4S 1 1  ri ra

1 ˜ dr H 4 S r2 1 H 4S

H

ra

³ dr 2 r

ri

4 S ri ra ra  ri



1 1 4SH r

ra ri

(3.43)

Bild 3.27 Ermittlung der Kapazität der kugelsymmetrischen Anordnung durch „Homogenität im Kleinen“ Die Ersatzschaltung der zylindersymmetrischen und kugelsymmetrischen Anordnungen für die Berechnung der Kapazitäten ist jeweils eine Reihenschaltung von Kapazitäten homogener Felder der Zylinderschalen und Kugelschalen. Die Reihenschaltung von Kapazitäten wird im Folgenden behandelt.

3.3 Das elektrostatische Feld

177

Zusammenschalten von Kapazitäten Um vorgegebene Kapazitätswerte mittels standardisierter Bauelemente – ausgeführt in Wickelkondensatoren, Scheibenkondensatoren, Elektrolytkondensatoren, u. a. – verwirklichen zu können, sind Parallelschaltungen, Reihenschaltungen oder gemischte Kondensatorschaltungen notwendig. Parallelschaltung von Kondensatoren: Bei der Parallelschaltung von n Kondensatoren liegen alle Kondensatoren an der gleichen Spannung U. Die Gesamtladung, die in den parallel geschalteten Kondensatoren gespeichert ist, ist gleich der Summe der Einzelladungen: n

Q = Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn =

¦ Qi .

(3.44)

i 1

Mit Q1 = C1 · U

Q2 = C2 · U

Q3 = C3 · U

...

Qn = Cn · U

ergibt sich Q = C1 · U + C2 · U + C3 · U + ... + Cn · U n

Q = U · (C1 + C2 + C3 + ... + Cn) = U ·

¦ Ci

U˜C .

i 1

Bild 3.28 Ersatzschaltung der Parallelschaltung von n Kondensatoren

Die Gesamtkapazität C von n parallelgeschalteten Kondensatoren ist gleich der Summe der Einzelkapazitäten n

C = C1 + C2 + C3 + ... + Cn =

¦ Ci .

(3.45)

i 1

Außerdem verhalten sich bei Parallelschaltung von Kondensatoren die Ladungen wie die zugehörigen Kapazitäten: Qi Q

Ci C

(3.46)

Qi Qj

Ci . Cj

(3.47)

178

3 Das elektromagnetische Feld

Reihenschaltung von Kondensatoren: Werden n Kondensatoren in Reihe geschaltet, dann ist der Verschiebungsfluss < = Q aller Kondensatoren gleich, wie durch den Vorgang der Influenz (elektrischer Leiter innerhalb des elektrostatischen Feldes) erklärt werden kann: Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = ... = Qn = Q

(3.48)

Bild 3.29 Ersatzschaltung der Reihenschaltung von n in Reihe geschalteten Kondensatoren

Die Gesamtspannung teilt sich in die Teilspannungen an den Kondensatoren auf: n

U = U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un =

¦ Ui

(3.49)

i 1

Mit U1 =

Q C1

U2 =

Q C2

U3 =

Q C3

U4 =

Q C4

... Un =

Q Cn

und

U=

Q C

ergibt sich U =

Q Q Q Q Q Q + + + + ... + = C1 C2 C3 C4 Cn C

§ 1 1 1 1 1 U = Q · ¨¨     ...  Cn © C1 C 2 C 3 C 4

n · 1 ¸ =Q· ¸ C ¹ i 1 i

¦

Q˜

1 . C

Der reziproke Wert der Gesamtkapazität der in Reihe geschalteten Kondensatoren ist gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten: 1 C

1 1 1 1 1     ...  C1 C 2 C3 C 4 Cn

n

1

¦ Ci .

(3.50)

i 1

Die Spannungen verhalten sich bei Reihenschaltung von Kondensatoren reziprok zu den zugehörigen Kapazitäten: Ui U

C Ci

Ui Uj

Cj Ci

(3.51)

.

(3.52)

3.3 Das elektrostatische Feld

179

Die Ersatzschaltung der zylindersymmetrischen und kugelsymmetrischen Anordnung als Reihenschaltung von Kapazitäten von Zylinder- bzw. Kugelschalen (siehe Beispiele für „Kapazität eines Zwei-Elektroden-Systems“) und ihre rechnerische Behandlung ist damit erklärt: Die Reziprokwerte der Teilkapazitäten d (1/C) müssen integriert werden. Anwendungsbeispiele: 1. Kapazitiver Spannungsteiler: Mit Hilfe der Reihenschaltung von Kondensatoren ist es möglich, hohe Gleich- und Wechselspannungen durch Spannungsteilung direkt zu messen. Die Schaltung heißt entsprechend „kapazitiver Spannungsteiler“. 2. Stoßspannungskaskade: Für Prüfzwecke von Hochspannungs-Anlagenteilen ist es notwendig, kurzzeitige Stoßspannungswellen zu erzeugen. Dabei werden zunächst mehrere parallel geschaltete Kondensatoren auf eine Spannung von ca. 100 kV aufgeladen. Durch Kugelfunkenstrecken werden diese in Reihe geschaltet. Weil sich die Spannungen an den Kondensatoren nicht sprungartig ändern können, bleiben die Spannungen an den Kondensatoren kurzzeitig bestehen und addieren sich zu einer hohen Gesamtspannung, die das Vielfache der Ladespannung beträgt.

Elektrische Feldstärke In jedem homogenen elektrostatischen Feld ist die Spannung pro Länge – die elektrische Feldstärke – konstant, weil die Verschiebungsflussdichte D und die Permittivität H des Nichtleiters konstant sind: Mit U

1 < C H˜ A l

und

C

U

l < H˜ A

und

< Q

und l Q H˜ A

ergibt sich die elektrische Feldstärke

E

U l

1< H A

1Q H A

1 D. H

(3.53)

180

3 Das elektromagnetische Feld

Im inhomogenen elektrostatischen Feld ist die Dichte der Flusslinien und damit die Verschiebungsflussdichte D = d
dU

1 dl d< H dA

mit

CV

H

dA , dl

Bild 3.30 Volumenelement eines inhomogenen elektrostatischen Feldes

wodurch sich für die elektrische Feldstärke für inhomogene Felder der gleiche Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldstärke und der Verschiebungsflussdichte angeben lässt: E

dU dl

1 d< H dA

1 dQ H dA

1 D. H

G


(3.54) G


Die elektrische Feldstärke

E ist ebenso wie die Verschiebungsflussdichte

D eine feldbeschreibende Vektorgröße, die allerdings von den Materialeigenschaften des Nichtleiters abhängig ist. Da zwischen den beiden feldbeschreibenden Vektorgrößen der Zusammenhang über die Permittivität bzw. Dielektrizitätskonstanten H besteht, G
G
G
1 G
D oder

D H ˜ E , (3.55) E

H gilt für die elektrische Feldstärke entsprechendes wie für die Verschiebungsflussdichte: Sie hat in einem Punkt des elektrostatischen Feldes die gleiche Richtung wie die Feldlinien und hat ebenso einen Betrag, der der Dichte der Feldlinien entspricht. Beispiele: 1. Elektrische Feldstärke in der Umgebung einer Punktladung oder einer geladenen Kugel (siehe Bild 3.25):

E

1 D H

mit E

D

Q 4 S r2

Q

< 4 SH r

< 4 S r2

2

4SH r 2

(nach Gl. 3.37) (3.56)

Die elektrische Feldstärke einer kugelsymmetrischen Anordnung nimmt genauso wie die Verschiebungsflussdichte mit dem Quadrat des Radius ab.

3.3 Das elektrostatische Feld

181

2. Elektrische Feldstärke innerhalb einer zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h (Zylinderkondensator, Kabel, siehe Bild 3.18)

E

1 D H

mit E

< 2Shr Q 2 SH h r

D < 2 SH h r

Q 2Shr

(nach Gl. 3.38) (3.57)

Bei einer zylindersymmetrischen Anordnung nimmt die elektrische Feldstärke mit dem Radius hyperbolisch ab.

Physikalisch hat die elektrische Feldstärke die Merkmale einer Kraft, die auf Ladungen wirkt, wie im Folgenden genauer erläutert werden soll. Das Coulombsche Gesetz beschreibt die Kräfte, die zwischen geladenen Körpern wirken: Q ˜Q F K 1 2 . r2

(nach Gl. 1.1 im Abschnitt 1.2)

In Vektorform lautet das Coulombsche Gesetz G
Q ˜ Q G
Q ˜ Q G
(3.58) F K 1 3 2 r K 1 2 2 r0 , r r

G
wobei

r der Radiusvektor zwischen den Ladungsschwerpunkten beider Körper ist und G
G
G


r0 r / r der Einsvektor in Richtung von r
ist. Beispiel: Kräfte zwischen zwei Punktladungen gleicher und ungleicher Polarität G
Q ˜Q G
Q1 ˜Q 2 G
F K 1 2 2 r0 r0 r 4 SHr 2

1 mit K und 4 SH 0

H Ho

Bild 3.31 Kräfte zwischen zwei gleichnamigen und zwei ungleichnamigen Punktladungen

und mit der Influenzkonstanten H0, d. i. die Dielektrizitätskonstante des Vakuums As Vm

(3.59)

1 As ˜109 . 9 Vm

(3.60)

H0= 8,8542 · 1012

und 4 S H0 =

182

3 Das elektromagnetische Feld

Die Feldtheorie nach Faraday erklärt die Kräfte zwischen zwei Ladungen nicht als Fernwirkung, sondern als Wechselwirkung zwischen der einen Ladung und dem Raumzustand, der durch die andere Ladung verursacht wird oder umgekehrt. Der Raumzustand des elektrostatischen Feldes wird neben der Verschiebungsflussdichte auch durch die elektrische Feldstärke beschrieben, so dass sich die Anziehungs- oder Abstoßungskraft allgemein aus dem Produkt von Feldstärke und Ladung ergibt: G
G


F E ˜ Q .

(3.61)

G
Verursacht z. B. die Ladung Q1 die Feldstärke E
mit

G
Q G
E K 21 r0 , r



(3.62)

dann wird auf die Ladung Q2 die Kraft G
G
F E ˜Q 2



K

Q1 ˜ Q 2 G
r0 r2

(3.63)

ausgeübt, die gleich der Kraft nach dem Coulombschen Gesetz ist. G
Wie aus der Gl. 3.62 ersichtlich, ist die elektrische Feldstärke E
unabhängig vom Vorhandensein einer zweiten Ladung Q2. Eine zweite Ladung wird lediglich als Indikator des elektrostatischen Feldes der Ladung Q1 angesehen: durch die Kraftwirkung auf die Ladung Q2 wird das Feld nachgewiesen. Die Richtung der Feldstärke wird in Richtung der Kraft positiv definiert, die auf eine positive Ladung wirkt: G
G
F E . (3.64)

Q Die Richtung der Kräfte und die Richtung der elektrischen Feldstärken in jedem Raumpunkt stimmt mit der Richtung der Feldlinien überein, die aus dem Verschiebungsfluss bereits abgeleitet wurde. Feldlinienbilder einfacher Anordnungen sind im Abschnitt 1.2 gezeichnet (Bilder 1.2, 1.3 und 1.4).

Ist die resultierende elektrische Feldstärke mehrerer Punktladungen gesucht, dann wird sie nach dem Superpositionsprinzip, d. h. durch Überlagerung der Wirkungen, ermittelt. Zunächst wird nur die Feldstärke einer Ladung, dann die Feldstärke einer zweiten Ladung, usw. berechnet. Sämtliche Feldstärken werden schließlich vektoriell überlagert. Die Ladung als Ursache und die elektrische Feldstärke als Wirkung hängen linear voneinander ab, so dass die Überlagerung gestattet ist.

3.3 Das elektrostatische Feld

183

Beispiele: Feld zweier gleichnamiger Punktladungen (siehe Gl. 3.86) und zweier ungleichnamiger Punktladungen

Bild 3.32 Ermittlung der resultierenden Feldstärken von Feldern gleichnamiger und ungleichnamiger Punktladungen

Permittivität und Dielektrizitätskonstante Die elektrische Feldstärke ist eine materialabhängige Feldgröße, während die Verschiebungsflussdichte (elektrische Erregung) vom Material des nichtleitenden Mediums unabhängig ist. Beispiel: Die Feldstärke in der Umgebung einer geladenen Kugel (Kugelkondensator) im Vakuum beträgt nach Gl. 3.56 Q E0 . 4S H 0 r 2 Wird in der kugelsymmetrischen Anordnung als nichtleitender Isolierstoff Öl eingefüllt, dann wird die elektrische Feldstärke im gleichen Raumpunkt um die relative Permittivität Hr geringer: E

Q 4 SH 0 H r r 2

.

Die Abhängigkeit der Feldstärke von der Art des Isolierstoffes ist selbstverständlich bei allen Zweielektrodensystemen festzustellen. Sie wird durch die relative Permittivität erfasst und Dielektrizitätskonstante (DK) genannt, wenn sie von der elektrischen Feldstärke unabhängig ist: Hr

E0 E

(3.65)

mit (3.66)

H H r ˜H 0

Hr ist eine Verhältniszahl mit [Hr] = 1; H0 dagegen ist dimensionsbehaftet (Gl. 3.59). Beispiele für relative Dielektrizitätskonstanten Hr: Aceton Acrylglas Bariumtitanat

21,5 3 1 000 ... 2 000

Hartgummi Kabelpapier in Öl Luft

2,5...5 4,3

Polystyrol (PS) Polyvinylchlorid (PVC)

2,5 3 ... 4

1,0006

Porzellan

5 ... 6,5

2

Schellack

3 ... 4

Glas

5 ... 12

Papier, trocken

Glimmer

5 ... 8

Polyäthylen (PE)

2,3

Transformatorenöl

2,3

Hartpapier

4 ... 7

Polypropylen (PP)

2,3

reinstes Wasser

80,8

184

3 Das elektromagnetische Feld

Elektrische Feldstärke, elektrisches Potential und elektrische Spannung G
Um den Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldstärke E
, dem elektrischen Potential M und der elektrischen Spannung U erklären zu können, werden virtuelle (angenommene) Ladungsverschiebungen in einem elektrostatischen FeldG
untersucht. Es wird also in einem Raumpunkt des Feldes, in dem G
die elektrische Feldstärke E
herrscht, eine Verschiebung der Ladung Q um ein Wegelement

dl G
angenommen. Da in einem elektrostatischen Feld auf eine Ladung eine Coulombsche Kraft

F wirkt, kann eine Ladungsverschiebung die Verrichtung einer Arbeit bedeuten: entsprechend der Bewegungsrichtung muss dem Feld eine Energie dW zugeführt werden oder die Energie dW wird dem Feld entzogen oder die Verschiebung erfolgt energielos. Die Energieänderung bzw. Verschiebungsarbeit dW lässt sich durch das folgende Skalarprodukt beschreiben: G G G G G G (3.67)
dW F ˜ dl Q ˜ E ˜ dl Q ˜ E ˜ dl ˜ cos (( E,dl ) dW Q ˜ E ˜ dl ˜ cos E Erläuterung: Verschiedene Fälle virtueller Verschiebungen der Ladung Q im elektrostatischen Feld eines Plattenkondensators mit der Feldstärke E: Im Bild 3.33 sind Ladungsverschiebungen in vier verschiedenen Richtungen angenommen, die mit Hilfe des Skalarprodukts erklärt werden sollen: Zu 1. Aufgrund der Coulombschen Kräfte würde sich die positive Ladung Q in Richtung der negativen Elektrode bewegen. Die Verschiebung in Richtung der positiven Elektrode entgegen der Coulombschen Kräfte bedeutet eine Zuführung einer Energie dW = Q · E · d l · cos 180º = – Q · E · d l

mit E = 180º.

Zu 2. Umgekehrt wird bei einer Verschiebung der Ladung Q in Feldlinienrichtung dem Feld Energie entzogen: dW = Q · E · d l · cos 0º = + Q · E · d l

mit E = 0º.

Zu 3. Eine Ladungsverschiebung auf einer Fläche, die von den Feldlinien senkrecht durchstoßen wird, erfolgt energielos: dW = Q · E · d l · cos 90º = 0

mit E = 90º.

Zu 4. Wird die Ladung unter einem beliebigen verschoben, wird für die EnergieändeG G Winkel rung die Wegkomponente
dl ˜ cos (( E, dl ) dl ˜ cosE berücksichtigt: G G dW Q ˜ E ˜ dl ˜ cos ( ( E,d l) Q ˜ E ˜ dl ˜ cosE .


Bild 3.33 Virtuelle Ladungsverschiebungen im homogenen elektrostatischen Feld

3.3 Das elektrostatische Feld

185

Bei Verschiebung der Ladung längs eines endlichen Weges l von einem Punkt P1 zu einem Punkt P2 wird eine Verschiebungsarbeit W12 verrichtet, die einem Energieumsatz W12 entspricht. Durch kontinuierliches Aufsummieren, d. h. Integrieren, der differentiellen Anteile an Verschiebungsarbeit bzw. Energieänderungen dW wird die Gesamtenergie ermittelt: 2

W12

2

³ dW

1

2 G G Q ˜ ³ E ˜ dl .

G G ³ F ˜ dl 1

(3.68)

1

Die Verschiebungsarbeit W12 bzw. Energie W12 bezogen auf die verschobene Ladung wird elektrische Spannung U12 genannt, die zwischen den Punkten P1 und P2 besteht:

U12

W12 Q

2

G

G

³ E ˜ dl .

(3.69)

1

Die elektrische Spannung ist also ein Maß für die Arbeit bzw. Energie, die für das Verschieben einer Ladung im elektrostatischen Feld aufgebracht oder gewonnen wird. Bei praktischen Berechnungen ist es nicht sinnvoll, das Wegintegral mit einem beliebigen Integrationsweg l zu lösen. Aus den Beispielen für die möglichen virtuellen Verschiebungen von Ladungen und aus der Gleichung für die Gesamtenergie W12 (Gl. 3.68) ist zu ersehen, dass die Energie W12 nur abhängig ist von der Lage des Anfangspunktes und des Endpunktes des Verschiebungsweges l, nicht aber vom Verschiebungsweg selbst. Der Verschiebungsweg könnte beliebig gewählt werden, ohne dass sich der Integralwert ändert, weil die aufsummierten wirksamen Energieänderungen W12 immer gleich bleiben, wenn die Ladung vom Punkt P1 zum Punkt P2 auf verschiedenen Wegen verschoben wird (siehe Bild 3.34). Deshalb lässt sich die Energie W12 bzw. die elektrische Spannung U12 am einfachsten ermitteln, wenn der Verschiebungsweg l bzw. Integrationsweg l nur längs einer Feldlinie mit E = 0º und quer zu den Feldlinien mit E = 90º gewählt wird. Denn nur die Energieanteile dW bzw. Spannungsanteile dU längs einer Feldlinie verändern die Gesamtenergie W12 bzw. die Gesamtspannung U12, die Anteile quer zu den Feldlinien sind Null. Außerdem wird der allgemeine Ansatz für einen beliebigen Integrationsweg (Gl. 3.68 und 3.69) vereinfacht, indem aus dem Skalarprodukt hinter dem Integralzeichen mit cos E = 1 das Produkt der Skalare wird: 2

W12

G G Q ˜ ³ E ˜ dl 1

2

c

G G Q ˜ ³ E ˜ dl 1 cosE=1

2

G G Q ˜ ³ E ˜ dl c

2 cosE=0

2

c

Q ˜ ³ E ˜ dl .

(3.70)

1

Entsprechendes gilt für die Formel für die elektrische Spannung:

U12

W12 Q

2c

³ E ˜ dl . 1

(3.71)

186

3 Das elektromagnetische Feld Beispiel: Verschiebung der Ladung Q im elektrostatischen Feld eines Plattenkondensators längs eines Weges l: Wird eine positive Ladung Q im homogenen Feld vom Punkt P1 zum Punkt P2 verschoben, dann werden positive und negative Energieanteile dW entsprechend der Wegkomponenten entstehen, die durch das Skalarprodukt (Gl. 3.67) erfasst und zur Gesamtenergie W12 integriert werden. Um die Energie W12 bzw. die elektrische Spannung U12 berechnen zu können, wird der Integrationsweg längs einer Feldlinie von P1 nach P2c und quer zu den Feldlinien von P2c nach P2 gewählt:

U12

W12 Q

2

G

1

c

2

U12

G

³ E ˜ dl

G G 2G G E ³ ˜ dl  ³ E ˜ d l 2c

1

c

2

G G ³ E ˜ dl 1

c

2

³ E ˜dl 1

c

2

U12

E ˜ ³ d l mit

E = konst.

1

U12

E ˜ l12

(3.72)

Bild 3.34 Verschiebung einer Ladung im Feld eines Plattenkondensators

Bei inhomogenen Feldern kann sich die elektrische Feldstärke von Punkt zu Punkt ändern. Wird eine Ladung Q von einem Punkt P1 zu einem Punkt P2 auf einem beliebigen Weg l verschoben, dann muss bei der Ermittlung der Energie W12 bzw. elektrischen Spannung U12 genauso wie im homogenen Feld das Wegintegral mit dem Skalarprodukt behandelt werden. Auf die gleiche Weise lässt es sich vereinfachen, indem der Integrationsweg nur auf einer Feldlinie mit E = 0º und nur quer zu den Feldlinien mit E = 90º gelegt wird, wie folgende Beispiele belegen.

Bild 3.35 Spannung und elektrische Feldstärke im elektrostatischen Feld

3.3 Das elektrostatische Feld

187

Beispiel 1: Elektrische Spannung und elektrische Potentiale im elektrostatischen Feld einer Punktladung und im Kugelkondensator Die Spannung U12 zwischen den Punkten P1 und P2 mit den Abständen r1 und r2 von einer positiven Punktladung soll ermittelt werden: 2

U12

G

G

³ E ˜ dl 1

G
G
Q r mit E 2 r 4 SHr

G
G
G
und

dl d r  dn

(nach Gl. 3.56)

Bild 3.36 Berechnung der Spannung im kugelsymmetrischen Feld G
G
Der Wegelemente-Vektor

dl wird also in eine G
radiale Komponente d
r und eine zur Feldlinienrichtung senkrechten Normalkomponente d
n zerlegt. In das Linienintegral eingesetzt, ergibt sich

U12

2 G G Q r ( drG  dn) ³ 4 SH r 3 1

2G G½ ­2 ° Q ° Gr ˜ drG  ® ³ r r˜ 3dn ¾ . 4 SH ° ³ r 3 °¿ 1 ¯1 G
G
Da die Vektoren

r und

dr kollinear sind, also in gleicher Richtung liegen, ist das Skalarprodukt gleich dem Produkt ihrer Skalare: G
G


r ˜ dr r ˜ dr G
G
Die beiden Vektoren

r und

dn stehen in jedem Punkt des Integrationsweges senkrecht aufeinander, so dass das Skalarprodukt Null ist: G
G


r ˜ dn 0.

U12

Damit vereinfacht sich die Gleichung für die Spannung: 2

U12

Q r dr 4 SH ³ r 3 1

U12

Q 4 SH

Q §1 1 · ¨  ¸. 4 SH ©r1 r2 ¹

r2

³

r1

dr r

2

Q 1 4 SH r



r2 r1

(3.73)

188

3 Das elektromagnetische Feld Wird der Verschiebungsweg oder Integrationsweg l auf die Feldlinie durch den Punkt P1 und quer zu den Feldlinien zum Punkt P2 gelegt, dann ergibt sich dieselbe Gleichung, weil nur die Anteile in Feldlinienrichtung berücksichtigt werden müssen. Wie im homogenen Feld des Plattenkondensators hängt auch die elektrische Spannung U12 zwischen den Punkten P1 und P2 des elektrostatischen Feldes einer Punktladung nur von den Abständen r1 und r2 ab, also vom Anfangspunkt und Endpunkt des Integrationsweges l, nicht aber vom Integrationsweg selbst. Das Weg- oder Linienintegral der elektrischen Feldstärke zwischen zwei beliebigen Raumpunkten ist unabhängig vom gewählten Integrationsweg. Wird eine positive Ladung in einem elektrostatischen Feld einer positiven Punktladung von einem beliebigen Punkt P aus ins Unendliche verschoben, dann wird vom Feld die Energie

WP of

f G G Q ˜ ³ E ˜ dl P

P G G Q ˜ ³ E ˜ dl f

geliefert. Bei Verschiebung der Ladung vom unendlich fernen Punkt zum betrachteten Punkt wird das Feld die gleiche Energie aufnehmen. Als elektrisches Potential M in der Umgebung einer Punktladung ist die auf die Ladung bezogene Energie definiert: M
oder M

WPof Q

P G G  E ˜ dl

(3.74)

³

f

f G G  E ˜ dl

³ P




Wird die Verschiebung der Ladung auf einer Feldlinie angenommen, dann vereinfacht sich das Wegintegral: Mit G
G


dl dr ist f

M


³

G G E ˜ dr

P

f

³ E ˜ dr r

und mit

E

Q

Bild 3.37 Elektrisches Potential in der Umgebung einer Punktladung

4 SH r 2

ist f

M

Q dr 4 SH r 2 r

M

Q 1 ˜ . 4 SH r

³

f

Q § 1· ¨ ¸ 4 SH © r ¹ r

und (3.75)

3.3 Das elektrostatische Feld

189

Im unendlich fernen Punkt verschwindet also das elektrostatische Feld der Punktladung, denn sowohl die elektrische Feldstärke als auch das elektrische Potential werden mit r o f Null. Die Definition des elektrischen Potentials eines beliebigen Punktes in der Umgebung der Punktladung setzt das Bezugspotential M = 0 des unendlich fernen Punktes voraus. Die in diesem Beispiel errechnete Spannung U12 lässt sich mit dem oben definierten elektrischen Potential bestätigen: U12

M1  M 2

P2

³

³ E ˜ dl

G G  E ˜ dl  f


U12

P1

f G G P2 G G  ³ E ˜ dl  ³ E ˜ dl P1

f

G

G

G

G

f

P2

³ E ˜ dl .

(3.76)

P1

Mit der Formel für das elektrische Potential (Gl. 3.75) ergibt sich die gleiche Spannungsgleichung (Gl. 3.73):

U12

M1  M2

Q §1 1· ¨  ¸. 4 SH © r1 r2 ¹

(3.77)

Jedem Punkt des elektrostatischen Feldes der Punktladung (oder der geladenen Kugel) lässt sich damit ein elektrisches Potential in bezug auf das Potential M = 0 zuordnen. Das Potential ist also eine skalare Funktion des Raums, kann z. B. in kartesischen Koordinaten eine Funktion M = f(x,y,z) sein. Punkte gleichen Potentials ergeben die Äquipotentialflächen, die für das Skalarfeld der Punktladung (oder der geladenen Kugel) die Form von Kugelflächen mit variablem Radius haben: M

Q 1 ˜ = konstant, 4 SH r

und mit Q und H konstant ist r = konstant.

(3.78)

Werden auf zwei Äquipotentialflächen, also auf Kugelflächen mit verschiedenen Radien, dünne leitende Metallflächen gelegt, dann verändert sich das elektrische Feld nicht, weil Punkte gleichen Potentials verbunden werden. Die in den Metall-Kugelflächen durch Influenz verschobenen Ladungen sind genauso groß wie die Punktladung. Das Feld zwischen den beiden Kugelflächen entspricht dem Feld eines Kugelkondensators, dessen Innenelektrode das Potential M1 und die Außenelektrode das Potential M2 erhält. Die anliegende Spannung ist gleich der Differenz der Potentiale U12 = M1 – M2 Jedem Punkt des elektrostatischen Feldes des Kugelkondensators mit r1 < r < r2 kann ein elektrisches Potential zugeordnet werden. Die Äquipotentialflächen sind ebenfalls Kugelflächen.

190

3 Das elektromagnetische Feld Beispiel 2: Elektrische Spannung und elektrische Potentiale im elektrostatischen Feld einer Linienladung und eines Zylinderkondensators Die für das Potentialfeld der Punktladung und des Kugelkondensators angewandte Art der Beschreibung lässt sich analog für das Potentialfeld der Linienladung und des Zylinderkondensators übertragen: Eine Linienladung + Q der Länge h, das sind eng aneinandergereihte Punktladungen, wirkt auf ihre Umgebung, wobei die Elektrode mit der Ladung – Q als Zylindermantelfläche mit sehr großem Radius (theoretisch r o f) angenommen wird. Die Ladungen können hinsichtlich der Vorzeichen auch vertauscht sein. Randstörungen sollen vernachlässigt werden. Die Äquipotentialflächen sind dann Zylindermantelflächen mit der Gleichung r = konstant.

Bild 3.38 Berechnung der Spannung im zylindersymmetrischen Feld

Werden auf zwei Äquipotentialflächen, also auf Zylindermantelflächen mit verschiedenen Radien dünne leitende Metallflächen gelegt, dann verändert sich das elektrische Feld nicht, weil Punkte gleichen Potentials verbunden werden. Die in den Metallrohren durch Influenz verschobenen Ladungen sind genauso groß wie die Linienladung. Das Feld zwischen den beiden Rohren entspricht dem Feld eines Zylinderkondensators, dessen Innenelektrode mit dem Radius r1 das Potential M1 und die Außenelektrode mit dem Radius r2 das Potential M2 erhält. Die zwischen den beiden Elektroden bestehende Spannung ist gleich der Differenz der Potentiale 2

U12

G

.

1


G
G
Mit

dl dr ist U12

G

³ E ˜ dl

M1  M 2

2

r2

1

r1

G G ³ E ˜ dr

³ E ˜ dr ,

weil längs einer Feldlinie integriert wird. Mit der Gleichung für die elektrische Feldstärke (Gl. 3.57) kann schließlich die Formel für die Spannung eines Zylinderkondensators angegeben werden: mit

U12

E

Q 1 ˜ 2 SHh r

Q 2 SHh

r2

³

r1

dr r

r Q ln 2 . 2SHh r1

(3.79)

Diese Gleichung lässt sich mit der Gleichung Q = C · U12 kontrollieren, indem die Kapazitätsformel (Gl. 3.42) entsprechend berücksichtigt wird.

3.3 Das elektrostatische Feld

191

Beispiel 3: Elektrische Spannung und elektrische Potentiale im elektrostatischen Feld einer Flächenladung und im Plattenkondensator Bei der Ermittlung der Spannung eines Plattenkondensators ist entsprechend von einer Flächenladung + Q, das sind dicht aneinandergelagerte Punktladungen oder Linienladungen auf einer ebenen Fläche A, auszugehen. Die Elektrode mit der Gegenladung – Q ist ebenfalls eine ebene große Fläche A, die weit entfernt angenommen wird. Dieses elektrostatische Feld hat selbstverständlich Randstörungen, die aber unberücksichtigt bleiben sollen. Die Flächenladungen können hinsichtlich des Vorzeichens auch vertauscht sein. Die Äquipotentialflächen sind gleichgroße Flächen A, die mit variablem Abstand parallel zu den Elektroden verlaufen.

Bild 3.39 Berechnung der Spannung im homogenen Feld

Werden auf zwei Äquipotentialflächen, also auf ebenen Flächen A dünne leitende Metallflächen gelegt, dann verändert sich das homogene Feld nicht, weil Punkte gleichen Potentials verbunden werden. Die in den Metallflächen verschobenen Ladungen sind genauso groß wie die Flächenladung Q. Das Feld zwischen den beiden Ebenen entspricht dem Feld eines Plattenkondensators, dessen Elektrode mit dem Abstand l1 das Potential M1 und die Elektrode mit dem Abstand l2 das Potential M2 erhält. Die zwischen den beiden Elektroden bestehende Spannung ist gleich der Differenz der Potentiale 2

U12

M1  M 2

G

G

³ E ˜ dl

.

1




Wird längs einer Feldlinie integriert, vereinfacht sich das Integral, indem nur noch die Längenelemente dl aufsummiert werden müssen: l2

U12

³

l2

E ˜ d l E ˜ d l E ˜ ( l2  l1 )

³

l1

U12

l1

E ˜ l12

(vgl. mit Gl. 3.72)

Die elektrische Feldstärke des Plattenkondensators ist nach Gl. 3.53 mit E

Q , H˜ A

so dass sich für die Spannungsgleichung U12

Q ˜ l12 H˜ A

(3.80)

ergibt, die sich mit der Gleichung Q = C · U12 kontrollieren lässt, weil die Kapazitätsformel für Plattenkondensatoren bereits angegeben wurde (Gl. 3.41).

192

3 Das elektromagnetische Feld

Linienintegral der elektrischen Feldstärke

G
G


Wird über einem geschlossenen Integrationsweg l das Skalarprodukt E
˜dl integriert, dann ist das Integral Null:

l EG ˜ dlG = 0 .

(3.81)

l

Physikalisch bedeutet diese Aussage, dass in einem Punkt keine Potentialdifferenz, also keine elektrische Spannung vorliegen kann.

Überlagerung von elektrischen Potentialen Wirken mehrere Ladungen auf einen Raumpunkt, dann überlagern sich die einzelnen elektrischen Potentiale zu einem Gesamtpotential nach dem Überlagerungsprinzip: n

¦ Mi .

M

(3.82)

i 1

Beispiel: Überlagerung elektrischer Potentiale von n Punktladungen Das Potential in einem Punkt des elektrostatischen Feldes von n Punktladungen ist gleich der Summe der n Potentiale: Mit Gl. 3.74 ist n

M

¦

f

n

Mi

i 1

G

G

¦ ³ Ei ˜ dli

i 1 P

und mit Gl. 3.75 M

1 4SHi

n

¦

1

Qi ri

.

(3.83)

Das Potentialfeld zweier Punktladungen, also mit n = 2, lässt sich mathematisch und zeichnerisch durch Äquipotentiallinien beschreiben: M

1 § Q1 Q 2 ·  . ¨ r2 ¸¹ 4 S H © r1

(3.84)

Wird in der Gleichung 3.84 M = konstant gesetzt, dann entsteht mit H = konstant die Bedingungsgleichung für die Äquipotentiallinien Q1 Q 2  r1 r2

K.

(3.85)

3.3 Das elektrostatische Feld

193

Für die Beschreibung des Raumzustandes zweier Punktladungen ist nicht nur das Skalarfeld der elektrischen Potentiale notwendig, sondern auch das Vektorfeld der elektrischen Feldstärken, das ergänzt werden soll. Wie beschrieben, werden die Feldstärken vektoriell überlagert (vgl. Bild 3.32):

G
1 §Q1 G
Q 2 G
· E ¨ 3 r1  3 r2 ¸ ¸. 4 SH ¨ r2 ©r1 ¹



(3.86)

Bild 3.40 Skalarfeld und Vektorfeld zweier gleichnamiger Punktladungen

Allgemeine Formel für die Kapazität Die Kapazität eines elektrostatischen Zweielektrodensystems ist gleich dem Quotienten aus dem Verschiebungsfluss \ = Q und der Spannung U12, ergibt sich also mit den Gleichungen 3.36 und 3.69:

C

< U12

Q U12

l DG ˜ dAG A 2

.

(3.87)

G G ³ E ˜ dl

1

Diese Formel braucht nur bei der Kapazitätsberechnung inhomogener elektrostatischer Felder angewendet zu werden. Bei homogenen Feldern vereinfacht sich die Formel zur bekannten Kapazitätsformel eines Plattenkondensators ohne Randstörungen (Gl. 3.41):

l

D ˜ dA C

A 2

E˜³d l 1

H˜E˜A E ˜l

H˜A . l

194

3 Das elektromagnetische Feld

Beispiele: 1. Kapazität der zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h ohne Randstörungen (Zylinderkondensator, Kabel, siehe Bild 3.18) Das elektrostatische Feld ist inhomogen, deshalb ergibt sich die Kapazität aus der Gleichung 3.87. Der Kehrwert der Kapazität wird angesetzt: 2

U12 <

1 C

U12 Q

G

G

³ E ˜ dl

1

lDG ˜ dAG

.

A

Für die Ermittlung der Spannung U12 wird längs einer radialen Feldlinie integriert, wodurch sich mit Gl. 3.79 und mit r1 = ri und r2 = ra r Q ln a 2 SHh ri

U12

ergibt. Wird die Spannung durch die Ladung geteilt, entsteht die Formel für die reziproke Kapazität 1 C

U12 Q

r 1 ln a . 2 SHh ri

Der Kehrwert C H

2Sh ln (ra /ri )

wurde bereits mit Hilfe der „Homogenität im Kleinen“ ermittelt (vgl. Gl. 3.42). Die Kapazität einer kugelsymmetrischen Anordnung lässt sich auf die gleiche Weise berechnen. 2. Kapazität einer Doppelleitung mit vorgegebener Länge h

Bild 3.41 Kapazität einer Doppelleitung

Die Berechnung der Kapazität erfolgt nach dem Überlagerungsprinzip: Zuerst ist die Spannung Uc 12 zwischen den beiden Punkten P1 und P2 anzugeben, wenn nur der Leiter l mit der Ladung + Q geladen ist: Mit Gl. 3.79 und H H0 c U12

r Q ln 2 2 SH 0 h r1

Q aR ln 2 SH 0 h R

Dann ist die Spannung U12 cc zwischen den Punkten P2 und P1 anzugeben, wenn nur der Leiter 2 mit der Ladung – Q auf die Umgebung wirkt: cc U12

r Q ln 1 2 SH 0 h r2

Q aR ln . 2 SH 0 h R

3.3 Das elektrostatische Feld

195

Schließlich ist die Spannung U12 zu ermitteln, wenn beide Leiter gleichzeitig geladen sind: U12

c  U c21 c U12

c  U12 cc U12

U12

Q aR ln . SH 0 h R

Q aR Q aR ln  ln 2 SH 0 h R 2 SH 0 h R (3.88)

Aus der Spannungsgleichung ist dann die Kapazitätsformel einer Doppelleitung abzuleiten: Mit Q = C · U12 ergibt sich

1 . (3.89) aR ln R Sind zum Beispiel der Abstand a = 0,5m und der Leiterradius beider Leiter R = 4mm, dann beträgt die Kapazität der Doppelleitung pro Kilometer Länge: C SH 0 h

C S ˜ 8,8542 ˜1012

As 3 10 m ˜ Vm

1 500  4 ln 4

5,77 nF.

An einem praktischen Beispiel sollen die Zusammenhänge zwischen den Größen des elektrostatischen Feldes noch einmal deutlich werden: Für einen Zylinderkondensator ist die maximale Feldstärke zu untersuchen, wenn der Außenradius ra und die anliegende Spannung U gegeben sind und der Innenradius ri verändert wird. 1. Zunächst ist die Formel für die elektrische Feldstärke E in Abhängigkeit von r zu entwickeln. Bei welchem Radius r ist die Feldstärke maximal und wie lautet die Formel für Emax? 2. Sind U und ra gegeben und wird ri variiert, dann hat die maximale Feldstärke bei einem bestimmten Innenradius ri ein Minimum. Das Verhältnis ra/ri ist zu ermitteln, bei dem die Funktion Emax = f (ri) ein Minimum hat. Wie groß ist dann Emax? 3. Schließlich ist die Funktion Emax = f(ri) für U = 10kV, ra = 10cm und ri = 2, 3, 4, 5 und 6cm zu berechnen und in einem Diagramm darzustellen. Für welchen Innenradius ist die maximale Feldstärke Emax minimal? Lösung: Zu 1. Für die zylindersymmetrische Anordnung ist bereits die elektrische Feldstärke aus der Verschiebungsflussdichte hergeleitet worden (siehe Gln. 3.38 und 3.57): Q 1 E ˜ . 2 SHh r

Mit

Q=C·U

und

C H

2Sh ln (ra / ri )

(siehe Gl. 3.42)

ergibt sich U H˜2 S h ˜ E ln (ra / ri ) 2 S H h r und E

U . r ˜ ln (ra / ri )

(3.90)

196

3 Das elektromagnetische Feld Bei r = ri ist die Feldstärke maximal, weil die Dichte der Feldlinien am größten ist: U E max . (3.91) ri ˜ ln (ra / ri ) Zu 2. Der Innenradius kann von 0 bis ra variiert werden, d. h., bei verschwindendem Innenradius wird die Dichte der Feldlinien unendlich groß und bei ri = ra wird der Abstand der Elektroden Null. In beiden Extremfällen ist die maximale Feldstärke unendlich groß. Das zwischen diesen Extremfällen liegende Minimum lässt sich durch Differentiation und Nullsetzen errechnen: 1 § r · E max (ri ) U ˜ ¨ri ˜ ln a ¸ ri ¹ ©

dE max dri



r · §  U ˜ ¨ ri ˜ ln a ¸ ri ¹ ©

U ˜ ª¬ln  ra / ri  1º¼ ª¬ ri ˜ ln  ra / ri º¼

2

2

ª º § ra · » « ra 1 ˜ «1 ˜ ln  ri ˜ ˜ ¨  2 ¸ » ri ra ¨ r ¸ » « © i ¹ ri «¬ »¼

0

0,

d. h.

ln  ra / ri 1

ra ri

oder

e.

Mit ri Zu 3.

ra e

ist

E max

U ˜e ra

(3.92)

Die gegebenen Zahlenwerte in die Gleichung 3.91 eingesetzt, ergeben folgende Größenpaare: ri in cm E max in

kV cm

2

3

4

5

6

3,107

2,769

2,728

2,885

3,263

Das Minimum liegt bei r 10 cm ri a 3,679 cm . e 2,7183

Bild 3.42 Maximale Feldstärke in Abhängigkeit vom Innenradius

3.3 Das elektrostatische Feld

197

3.3.4 Verschiebestrom – Strom im Kondensator Die physikalischen Größen Konvektionsstrom und Verschiebestrom, die bereits im Abschnitt 1.4 erwähnt wurden, sollen durch den Aufladevorgang eines Kondensators erläutert werden: Wird ein Kondensator mit der Kapazität C im ungeladenen Zustand zum beliebig gewählten Zeitpunkt t = 0 an eine Gleichspannungsquelle angeschlossen, dann werden von der Spannungsquelle Ladungen durch die Zuleitungen auf die Kondensatorplatten so lange transportiert, bis am Kondensator die gleiche Spannung anliegt wie an der Spannungsquelle infolge einer Ladungstrennung.

Bild 3.43 Aufladen eines Kondensators

Während der Aufladung ab t = 0 ist in jedem Moment die Summe aller Spannungen im unverzweigten Stromkreis Null: u R + uRi + uC

= Uq

(3.93)

i · (R + Ri) + uC = Uq.

(3.94)

Ist die Aufladung abgeschlossen, dann ist der Strom Null, und die Spannung am Kondensator ist gleich der Quellspannung: uCe = Uq. Dieser Zustand wird eingeschwungen genannt. Der gesamte Aufladevorgang ist ein Ausgleichsvorgang und wird prinzipiell im Kapitel 8 (Band 3) behandelt. Konvektionsstrom In den Zuleitungen zum Kondensator fließt ein zeitlich veränderlicher Strom i

dq dt

(3.95)

in Form von bewegten Ladungen, ein Konvektionsstrom. Mit q = C · uC ergibt sich i

d (C ˜ u C ) dt

uC

dC du C C dt dt

und i uC

dC du C du C C . du C dt dt

(3.96)

198

3 Das elektromagnetische Feld

Ist die Kapazität C unabhängig von der anliegenden Spannung uC, dann vereinfacht sich der Zusammenhang zwischen dem Konvektionsstrom und der Kondensatorspannung: i C

du C dt

(3.97)

Umgekehrt lässt sich die Kondensatorspannung durch den Strom ausdrücken. Sie ist gleich der Anfangsspannung U0 und der in der Zeitspanne von 0 bis t transportierten Ladungen bezogen auf die Kapazität: Mit du C

1 i ˜ dt C

ergibt sich t

uC

1 i ˜ dt  U . 0 C³

(3.98)

0

Sie wird in Zählrichtung des Stroms i positiv gezählt. Für den behandelten Aufladevorgang ist die Anfangsspannung U0 = 0. Der Konvektionsstrom durch die Zuleitungen des Kondensators ist mit einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld um die Drehachse verbunden (Abschnitt 3.4). Verschiebestrom Innerhalb des Kondensators existiert ebenfalls ein magnetisches Feld während seiner Aufladung, als ob die Ladungen durch den Nichtleiter fließen würden. Das magnetische Feld kann durch die Verteilung der Ladungen auf den Kondensatorplatten gedeutet werden: Die Ladungen verteilen sich auf den Kondensatorplatten radial vom Mittelanschluss zu den G
G
Plattenrändern mit der Geschwindigkeit v
. Mit der elektrischen Feldstärke E bildet der Ge
G
G
G
G
G
schwindigkeitsvektor

v über das Vektorprodukt E
= v
u B
einen Vektor B
, der die ringförmige Ausbildung des magnetischen Feldes innerhalb des Kondensators beschreibt. Die G
G
RichG
tung von

E ergibt sich, indem der Vektor v
auf dem kürzesten Weg in den Vektor

B gedreht wird. Die Drehung entspricht G
der Drehung einer Rechtsschraube, deren Fortbewegungsrichtung in Richtung des Vektors

E zeigt.

Bild 3.44 Deutung des Verschiebestroms mit Hilfe des Vektorprodukts

3.3 Das elektrostatische Feld

199

Das magnetische Feld wird also im Kondensator so ausgebildet, als wäre der Stromfluss durch den nichtleitenden Kondensator nicht unterbrochen. Der zeitlichen Änderung der Ladung dq/dt entspricht die Änderung des Verschiebungsflusses d
d\ dt

(3.99)

zugeordnet. Der Ladestrom in den Zuleitungen wird also durch den Verschiebestrom im Nichtleiter des Kondensators fortgesetzt gedacht. Das bedeutet eine Erweiterung des Strombegriffs: es gibt den Konvektionsstrom im Leiter und den Verschiebestrom im Nichtleiter. Dadurch erfährt der Kirchhoffsche Satz der Ströme durch eine Hüllfläche, die um eine Kondensatorplatte angenommen wird, keine Einschränkung. G
G
Der Verschiebestrom ist also eine Folge der zeitlichen Änderung der Feldgrößen

D und

E im nichtleitenden Medium. Dieser Zusammenhang zwischen elektrischem Strömungsfeld und elektrostatischem Feld soll mit Hilfe der Aufladung eines Plattenkondensators hergeleitet werden: Ein Volumenelement in Form eines Quaders der Länge d l und mit den Flächen d A besitzt die Kapazität C H

dA dl

Bild 3.45 Verschiebestrom und Feldgrößen

Der Verschiebestrom di durch das Volumenelement wird durch die Potentialdifferenz dM längs der Länge dl verursacht und beträgt § ¨ vgl. mit i ©

di = C

d (dM) dt

di = H

dA d (dM) d l dt

di d § dM · = H ¨ ¸ dt © d l ¹ dA S= H

dE dt

dD dt

und in Vektorform G
G
G
dE dD S H dt dt



C

duC · ¸ dt ¹

(3.100)

(3.101) (3.102)

(3.103)

200

3 Das elektromagnetische Feld

Strom durch den Kondensator Der Zusammenhang zwischen Verschiebestrom im Nichtleiter und Konvektionsstrom im Leiter wird mit der Gleichung (3.104)

\ q

deutlich: Der Verschiebestrom ist gleich dem Konvektionsstrom, weil der Verschiebungsfluss gleich der Ladung ist. An der Grenzfläche zwischen Leiter und Nichtleiter gilt auch der Kirchhoffsche Satz: i

d\ dt

dq . dt

(3.105)

Strom und Spannungsverlauf beim Aufladen eines Kondensators Die eingangs dieses Abschnitts beschriebene Aufladung eines Kondensators lässt sich rechnerisch durch Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 1. Ordnung behandeln (siehe Band 3, Abschnitt 8.2) und messtechnisch bestätigen: (R + Ri) · i + uC = Uq (R + Ri) C uc

i

du C  uC dt

Uq

U q ˜ (l  e t /W )

Uq R  Ri

˜ e t /W mit W

(R  R i ) C.

Bild 3.46 Verläufe von Strom und Spannung eines Aufladevorgangs

3.3 Das elektrostatische Feld

201

3.3.5 Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes Gespeicherte Energie eines Kondensators Wird die Spannungsgleichung für die Aufladung eines Kondensators (Gl. 3.94) i · (R + Ri) + uC = Uq mit i · dt multipliziert, dann entsteht folgende Energiegleichung: i2 · (R + Ri) · dt + uC · i · dt = Uq · i · d t, mit i

dq dt

d\ dt

C

du C dt

ergibt sich i2 · (R + Ri) · d t + uC · C

du C · dt = Uq · i · d t dt

(3.106)

und i2 · (R + Ri) · d t + C · uC · d uC = Uq · i · d t ,

(3.107)

wobei Uq · i · d t die in der Zeit dt von der Spannungsquelle abgegebene Energie ist, i2 · (R + Ri) · d t die in der Zeit dt in den Widerständen R und Ri in Wärme umgewandelte Energie ist, und C · uC · d uC die in der Zeit d t im Kondensator gespeicherte Energie ist. Ist der Spannungsanstieg beendet, d. h. ist d uC gleich Null, dann nimmt die gespeicherte Energie nicht mehr zu. Die Energiebilanz des gesamten Aufladevorgangs vom Schließen des Schalters zum Zeitpunkt t = 0 bis zu einem beliebigen Zeitpunkt t ergibt sich rechnerisch durch Integration obiger Energiegleichung: t

2 ³ i ˜ (R  R i ) ˜ dt  0

uC

³

t

C ˜ u C ˜ du C

0

U q ˜ ³ i ˜ dt .

(3.108)

0

Die im Kondensator in Form von elektrischer Feldenergie gespeicherte Energie von t = 0 bis t = t und uC(0) = 0 bis uC(t) = uC errechnet sich dann aus uC

we

³

uC

C ˜ u C ˜ du C

0

we

C ˜ u C2 2

C˜

³ u C ˜ du C 0

q ˜ uC 2

q2 2 ˜C

mit q = C · uC .

(3.109)

202

3 Das elektromagnetische Feld

Energiedichte Im homogenen Feld ist bei zeitlich veränderlichen Größen uC, q =\, D und E C · d uC = d\ = dq = A · d D und uC = E · l. Die gespeicherte Feldenergie lässt sich dann durch uC

We

C˜

³

D

\

u C ˜ du C

0

³ u C ˜ d\ 0

l ˜ A ˜ ³ E ˜ dD

(3.110)

0

bzw. D

We

V ˜ ³ E ˜ dD

mit V l ˜ A

(Volumen des felderfüllten Raums)

0

beschreiben. Mit D = H· E

bzw.

d D = H· d E

ergibt sich für die Energie E

We

V ˜ H ˜ ³ E ˜ dE 0

1 H ˜ E 2 ˜ V. 2

(3.111)

In Feldgrößen ausgedrückt ist die Energie eines homogenen Feldes bezogen auf das Feldvolumen die so genannte Energiedichte des elektrostatischen Feldes: w'e

H˜ E2 2

We V

D˜E 2

D2 . 2 ˜H

(3.112)

Die Feldenergie ist im homogenen Feld gleichmäßig verteilt. In inhomogenen Feldern ist der Energieanteil dWe im Volumenelement dV unterschiedlich, d. h. die Energiedichte ist gleich dem Diffentialquotienten w 'e

dWe , dV

(3.113)

die Energie lässt sich durch Integrieren der Energiedichte über das Volumen ermitteln: We

'

³ w e ˜ dV

(3.114)

V

Mathematisch ist dieses Integral ein Volumenintegral. Im inhomogenen Feld konzentriert sich die Energie in den Feldbereichen mit hoher elektrischer Feldstärke.

3.3 Das elektrostatische Feld

203

Beispiel: Gespeicherte elektrische Energie eines geladenen Zylinderkondensators gegeben sind die Größen Q, h, ra, ri und H Der Zylinderkondensator enthält ein inhomogenes elektrostatisches Feld, deshalb ist für die Energie die Formel 3.114 anzusetzen: '

We

³ w e ˜ dV .

V

Die Energiedichte w ce lässt sich mit den gegebenen Größen in Abhängigkeit vom Radius r entwickeln:

H ˜[ E (r)] 2 2 Q 1 E (r) = 2 SH h r

dW e dV

w 'e mit

H Q2 2 4 S 2H 2 h 2

w 'e

Q

w 'e

2

(nach. Gl. 3.112) (nach Gl. 3.57)

1 r2

1

. r2 8S Hh Aus der Energiedichte kann anschließend die Formel für die gespeicherte Energie entwickelt werden, indem zunächst die Energien von dünnwandigen Rohren der Dicke dr ermittelt und dann aufsummiert werden: 2

2

8S Hh

2

˜

1 r2

˜dV

dV = 2 r S h · d r Q2

dW e

2

8S Hh

2

2rSh

˜

r2

˜d r

dr Q2 4 SH h r

dW e a

We

Q2

w 'e ˜dV

dW e

mit

2

2

³ dWe i

Q 4 SH h

ra

³ drr ri

r Q2 ln a . 4 SH h ri

We

(3.115)

Abschließend kann das Ergebnis mit Hilfe der Kapazitätsformel für einen Zylinderkondensator (Gl. 3.42) kontrolliert werden: Mit Gl. 3.109 und q = Q Q2 2˜C

We

ergibt sich Q2 2 ˜ We und mit Gl. 3.115 C

C

Q2

4 SH h ln (ra / ri ) 2 ˜Q 2

2 SH h . ln (ra / ri )

(vgl. mit Gl. 3.42)

204

3 Das elektromagnetische Feld

Kraft auf die Elektroden eines Kondensators Wird ein Zweielektrodensystem mit der Ladung + Q /– Q aufgeladen und anschließend von der Spannungsquelle getrennt, dann wirken auf die Elektroden Coulombsche Anziehungskräfte. Die Größe der Gesamtkraft wird durch die Energieänderung d We des elektrostatischen Feldes ermittelt, wenn eine Elektrode um ein differentiell kleines Längenelement dl in Richtung der Feldkraft F verschoben gedacht wird. Bei Annäherung der Elektroden wird die ursprüngliche Feldenergie bei konstanter Ladung mit Q2 2˜C

We

kleiner, denn die Kapazität wird mit kleiner werdendem Abstand größer. In einem geschlossenen System ist die Summe der Energieänderungen Null: dWe + dWmech = 0 dWmech = – dWe. Die Arbeit (mechanische Energie) dWmech = F · dl, die bei der Verschiebung der Elektrode mit – Q durch die Coulombsche Kraft F verrichtet wird, ist gleich dem Verlust an Feldenergie (elektrische Energie) F · dl = – dWe. Die Kraft auf die Elektroden eines Kondensators ist also

F 

dWe dl



dWe dC ˜ . dC d l

(3.116)

Mit dWe dC

d § Q2 · ¨ ¸ dC ¨© 2 C ¸¹



Q2 2 C2

ergibt sich Q 2 dC ˜ 2 C2 d l

F

und mit

Q C

F

U C ist U C 2 dC ˜ . dl 2

(3.117)

Die Kraft ist so gerichtet, dass bei der dadurch veranlassten Bewegung der Elektrode die Energie verkleinert wird und dass die Kapazität bei der Bewegung der Elektrode in Richtung der wirkenden Kraft wächst. Nach der Definition der Kraft auf eine negative Ladung in der Umgebung einer positiven Ladung ist diese Kraft negativ (siehe S. 181, Bild 3.31), wie folgendes Beispiel zeigt. Die Gleichung für die Kraft kann auch hergeleitet werden, wenn das Zweielektrodensystem an der Spannungsquelle angeschlossen bleibt (Übungsaufgabe 3.22).

3.3 Das elektrostatische Feld

205

Beispiel: Kraft auf die Platten eines geladenen Plattenkondensators F

U C 2 dC ˜ 2 dl

mit

C = H·

dC A und dl l

H ˜

A l2

H˜A ˜ U C2 . (3.118) 2 ˜ l2 Für sinusförmige Wechselfelder geht in die Gleichung für die Kraft F der Effektivwert UC der sinusförmigen Spannung ein (siehe Abschnitt 4 im Band 2). F 

Bild 3.47 Kraft eines Plattenkondensators

Elektrostatische Spannungsmessung Hohe Spannungen lassen sich nicht nur mit Hilfe von kapazitiven Spannungsteilern messen, sondern auch mit direktanzeigenden elektrostatischen Messwerken. Durch Coulombsche Kräfte wird die Kapazität der Messanordnung verändert. Ist die Kapazität C der Zweielektrodenanordnung eine Funktion des Zeigerausschlags J eines elektrostatischen Messwerks, dann ist das Drehmoment proportional dem Quadrat der anliegenden Spannung:

M

U2 f ' (J) 2

mit C = f (J)

(3.119)

Für die Messungen hoher Spannungen bis 600 kV, auch für höhere Frequenzen bis 5 MHz, eignet sich das Elektrometer nach Starke und Schröder. Es besteht aus zwei kreisförmigen Platten, die an ihren Rändern mit einem Wulst versehen sind, um unzulässig hohe Feldstärken zu vermeiden. Eine der beiden plattenförmigen Elektroden besitzt in ihrem Zentrum ein kleines Fenster, in dem ein bewegliches Blech drehbar befestigt ist. Dieses Blech, das einen Spiegel trägt, verändert bei Drehung seine Kapazität zur gegenüberliegenden Platte. Ein Lichtzeiger führt über den Spiegel zur direkten Spannungsanzeige. Die Empfindlichkeit kann durch Änderung des Plattenabstandes variiert werden. Eine andere Form eines Elektrometers mit elektrostatischem Messwerk ist das Kugelvoltmeter von Hueter. Es besteht aus zwei hohlen Metallkugeln, die übereinander angeordnet sind. Die obere Kugel ist federnd aufgehängt und wird bei anliegender Spannung – Höchstwert 1 MV – nach unten angezogen. Die Anzeige des Messwertes erfolgt ebenfalls mit Hilfe eines Lichtzeigers über einem Spiegel.

206

3 Das elektromagnetische Feld

3.3.6 Das Verhalten des elektrostatischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Dielektrizitätskonstanten Ein Zweielektrodensystem mit einem homogenen wird durch ein Feldbild veranG
Dielektrikum G
schaulicht, das in Richtung und Betrag den D
-Vektoren oder E
-Vektoren entspricht. G
Besteht D -Vektoren das Dielektrikum aus verschiedenen Stoffen, dann können sich die Beträge der

G
und

E -Vektoren und ihre Richtungen unterschiedlich verändern. In der Praxis sind nur Schichtungen quer zu den Feldlinien (Querschichtung) und längs zu den Feldlinien (Längsschichtung) interessant. Die bei Schrägschichtung auftretende Richtungsänderung wird durch das so genannte Brechungsgesetz erfasst. Im folgenden soll das Dielektrikum nur aus jeweils zwei Stoffen verschiedener Dielektrizitätskonstanten bestehen. Für Dielektrika mit mehr als zwei verschiedenen Isolierstoffen lassen sich die Gesetzmäßigkeiten entsprechend anwenden. Querschichtung Die Trennschicht zwischen den beiden Isolierstoffen verläuft bei Querschichtung quer zu den Feldlinien, also längs einer Äquipotentialfläche. In beiden Stoffen und an der Grenzschicht bleibt die Verschiebungsflussdichte unverändert, weil der Verschiebungsfluss < und die Fläche A gleich sind: D 1 = D2 .

(3.120)

Sind die Dielektrizitätskonstanten der beiden Stoffe H1 und H2, dann ergibt sich mit D1 =H1 · E1 und

D2 = H2 · E2

H1 · E1 = H2 · E2 E1 E2

H2 H1

Hr 2 . H r1

(3.121)

Die elektrischen Feldstärken in den beiden Stoffen sind unterschiedlich und zwar umgekehrt proportional wie die absoluten oder relativen Dielektrizitätskonstanten. Das Ersatzschaltbild der Querschichtung ist die Reihenschaltung von Kapazitäten. Beispiel: Berechnung der Feldstärken bei Querschichtung eines Plattenkondensators U = U1 + U2 U = E1 · l1 + E2 · l2 H r1 mit E 2 ˜E Hr 2 1 H U E1 ˜ l1  r1 ˜ E1 ˜ l2 Hr 2 U E1 H l1  r1 l2 Hr 2 U E1 l · § l1 H r1 ˜ ¨  2 ¸ © H r1 H r2 ¹

(3.122)

Bild 3.48 Querschichtung in einem Plattenkondensator

3.3 Das elektrostatische Feld

207

und entsprechend: E2

U . l · § l1 H r2 ˜ ¨  2 ¸ © H r1 H r2 ¹

(3.123)

Bei Querschichtung müssen also zwei Feldlinienbilder unterschieden werden: ein Feld der Verschiebungsflussdichte und ein Feld der elektrischen Feldstärke. Wird z. B. ein Feld eines Plattenkondensators mit einem isotropen Dielektrikum Hr = 1 durch Feldlinien dargestellt, dann sind die D-Linien und E-Linien identisch. Das homogene Feld sei durch jeweils sechs Linien beschrieben:

Bild 3.49 D-Feld und E-Feld eines Plattenkondensators mit isotropen Dielektrikum

Ist dagegen das Dielektrikum quergeschichtet, dann bleibt wohl die Anzahl der D-Linien unverändert, aber die Anzahl der E-Linien muss entsprechend der relativen Dielektrizitätskonstanten verändert werden. Verhalten sich z. B. die relativen Dielektrizitätskonstanten Hr1 : Hr2 wie 3 : 1, dann stellt sich ein Verhältnis der Feldstärkebeträge E1 : E2 von 1 : 3 ein; das E-Linienverhältnis von 2 : 6 ist im Bild 3.50 gezeichnet. An der Trennstelle beider Medien verändert sich die elektrische Feldstärke sprunghaft.

Bild 3.50 D-Feld und E-Feld eines Plattenkondensators mit quergeschichtetem Dielektrikum (Hr1 : Hr2 = 3 : 1)

208

3 Das elektromagnetische Feld

Praktische Beispiele von quergeschichteten Feldern: 1. Befindet sich zwischen zwei festen Isolierstoffen mit HrI = 4 eine dünne Luftschicht mit HrL = 1 und beträgt die elektrische Feldstärke im Isolierstoff 20kV/cm, dann ist die elektrische Feldstärke in der Luftschicht EL

EI ˜

H rI H rL

20

kV 4 ˜ cm 1

80

kV . cm

Die kritische Feldstärke der Luft beträgt 21kV/cm, also wird die Luft durchschlagen (Lichtbogen). Deshalb sollten Lufteinschlüsse und Risse im Isolierstoff vermieden werden. 2. An einem Plattenkondensator mit Luft als Nichtleiter (HrL =1) und einem Elektrodenabstand l = 1cm liegt eine Spannung von 20kV an; die elektrische Feldstärke von 20kV/cm liegt knapp unterhalb der kritischen Feldstärke von Luft. Wird in den Plattenkondensator eine Glasplatte der Dicke lG = 0,2cm und HrG = 6,5 eingeschoben in der Absicht, die Isolation zu verbessern, dann wird das Gegenteil erreicht: die Luftstrecke wird durchschlagen und das Glas nur wenig beansprucht. Rechnerischer Nachweis: EL

U l · § lL H rL ˜ ¨  G ¸ H H rG ¹ rL ©

EG

EL ˜

H rL H rG

24

20kV 0,8cm 0, 2cm · 1 ˜ §¨  6,5 ¸¹ © 1

kV 1 ˜ cm 6,5

3,7

24 kV cm

kV . cm

Die kritische Feldstärke von Glas beträgt etwa 200kV/cm.

Längsschichtung Liegt die Trennschicht zwischen zwei verschiedenen Isolierstoffen auf Feldlinien, dann ist die Feldstärke in beiden Medien gleich, weil die Spannung zwischen den Elektroden gleich ist: E1 = E2.

(3.124)

Sind die Dielektrizitätskonstanten der beiden Stoffe H1 und H2, dann ergibt sich mit E1

D1 H1

D1 H1

D2 H2

D1 D2

H1 H2

und

E2

D2 H2

Hr1 . Hr 2

(3.125)

Wird in ein elektrostatisches Feld mit einem Dielektrikum ein anderes Dielektrikum in Längsrichtung eingebracht, dann tritt eine Umgruppierung der Ladungen auf, die sich in der unterschiedlichen Dichte des Verschiebungsflusses D1 und D2 äußert. Die Ersatzschaltung der Längsschichtung ist die Parallelschaltung von Kapazitäten.

3.3 Das elektrostatische Feld

209

Beispiel: Längsschichtung eines Plattenkondensators U E1 E 2 E l C = C1 + C2

C

H1A1 H2 A 2  l l

Bild 3.51 Längsschichtung im Plattenkondensator

Ungleichartig zusammengesetzte Isolierstoffe Längs- oder Querschichtungen ändern die Richtungen der Feldlinien nicht, lediglich die Dichte wird verändert. Wenn jedoch die Schichtung den Feldraum schräg durchzieht oder eine unregelmäßige Isolierstoffverteilung vorliegt, dann ändert sich das Feldbild erheblich. Verläuft die Trennfläche der verschiedenen Medien nicht senkrecht oder parallel zu den Feldlinien, so tritt an der Trennfläche eine Brechung ein. Das hierfür gültige dielektrische Brechungsgesetz soll mit Hilfe eines schräg geschichteten abgeleitet werden. Die G
Dielektrikums G
D und werden in eine NormalkompoE schräg G
auf die Trennfläche auftreffenden Vektoren

1G
1 G
G
E nente

D1n bzw.

E1n und eine Tangentialkomponente D bzw. zerlegt und auf die Ergeb
1t
1t nisse der Querschichtung und Längsschichtung bezogen. Die Normalkomponenten der Verschiebungsflussdichten (entspricht Querschichtung) und die Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstärken (entspricht Längsschichtung) sind gleich: D1n = D2n

(3.126)

E1t = E2t

(3.127)

Bild 3.52 Brechnungsgesetz für schräg geschichtetes Dielektrikum

210

3 Das elektromagnetische Feld

Einfache Dreiecksbetrachtungen führen zu Aussagen über die Normalkomponenten der elektrischen Feldstärken (entspricht Querschichtung) und Tangentialkomponenten der Verschiebungsflussdichten (entspricht Längsschichtung): D1n D1 ˜ cos D1

D 2n

E1t

D 2 ˜ cos D 2

H1 ˜ E1 ˜ cosD1 H2 ˜ E 2 ˜ cos D 2 H1 ˜ E1n E1n E 2n

E1 ˜sinD1

E 2 ˜sinD 2

D1 ˜sin D1 H1

D2 ˜ sin D 2 H2

H2 ˜ E 2n H2 H1

E 2t

(3.128)

D1t H1

D 2t H2

D1t D 2t

H1 . H2

(3.129)

Verschiebungsflusslinien und Feldstärkelinien werden unter dem gleichen Winkel gebrochen: Mit E1 · sin D1 = E2 · sin D2 H1 · E1 · cos D1 = H2 · E2 · cos D2

ergibt sich tan D1 H1

tan D 2 H2

tan D1 tan D 2

H1 . H2

und (3.130)

Das dielektrische Brechungsgesetz erfasst also die Gleichungen 3.128, 3.129 und 3.130. Beim Übergang von einem Medium in das andere ändert sich sowohl die Verschiebungsflussdichte als auch die elektrische Feldstärke, und zwar im entgegengesetzten Ausmaß. Beispiel: Verschiebungsflusslinien und Äquipotentiallinien zweischichtiger Kondensatoren

Bild 3.53 Beispiele von Feldern in zweigeschichteten Isolierstoffen

Übungsaufgaben zum Abschnitt 3.3

211

Übungsaufgaben zum Abschnitt 3.3 3.5 Zwei gleichgroße positive Punktladungen Q1 = Q2 = 5PC sind in Luft lm voneinander entfernt. 1. Berechnen Sie die Verschiebungsflussdichte und die elektrische Feldstärke in den beiden Punkten, in denen sich die Ladungen befinden. 2. Dann ist die Kraft zu berechnen, die auf die Ladungen wirkt. 3. Berechnen Sie anschließend die elektrische Feldstärke in einem Punkt P, der von beiden Ladungen 1m entfernt ist. Beachten Sie, dass wohl die Beträge gleich sind, aber nicht die Richtungen. 4. Wie ändern sich die Ergebnisse, wenn die beiden Ladungen negativ oder ungleichsinnig sind? 5. Schließlich ist im Punkt P das elektrische Potential zu ermitteln, wenn die Ladungen gleichsinnig und wenn sie gegensinnig sind. 3.6 Zwischen den Elektroden eines Kugelkondensators mit den Radien ri und ra liegt die Spannung U. Die Außenelektrode soll geerdet sein, d. h. sie soll das elektrische Potential Null haben. 1. Ermitteln Sie den Radius rx der Äquipotentialfläche, die die Spannung U/2 hat. Nehmen Sie die Gleichungen für die elektrischen Potentiale und elektrischen Spannungen zu Hilfe. 2. Berechnen Sie rx, wenn ra = 8cm und ri = 5cm betragen und stellen Sie das Ergebnis zeichnerisch dar. 3.7 Für einen Kugelkondensator sind der Außenradius ra und die anliegende Spannung U gegeben. 1. Leiten Sie aus der Formel für die Verschiebungsflussdichte D (r) die Formel für die maximale Feldstärke Emax in Abhängigkeit von U, ra, und ri ab. 2. Errechnen Sie aus der maximalen Feldstärke Emax(ri/ra) das Verhältnis ra/ri, bei dem die maximale Feldstärke ein Minimum ist. 3.8 1. Im Abstand r einer Linienladung Q der Länge h mit der Linienladungsdichte W = Q/h sind die VerG
G
schiebungsflussdichte

D und die elektrische Feldstärke E
anzugeben. Stellen Sie sich dabei vor, dass die Linienladung von einem konzentrischen Zylindermantel mit dem Radius r umhüllt wird. 2. Berechnen Sie die Spannung U12 zwischen zwei Punkten im Abstand r1 und r2 von der Linienladung. Welcher Integrationsweg ist für die Berechnung zweckmäßig? 3.9 An einem konzentrischen Einleiterkabel von 10km Länge mit ra = 20mm und ri = 10mm und einem Dielektrikum mit Hr = 4 liegt eine Spannung von 20kV an. 1. Berechnen Sie die vom Kabel aufgenommene Ladung. 2. Bei welchem Radius r sind die Verschiebungsflussdichte und die elektrische Feldstärke maximal und welche Werte nehmen sie bei den gegebenen Größen an? 3.10 In einem 110kV-Drehstromsystem sollen drei Einleiterkabel verlegt werden. Die Kabel haben Hohlleiter mit einem Querschnitt von 185mm2 und einem Innendurchmesser von dk = 15mm, in denen sich Ölkanäle befinden. Die maximale Betriebsspannung betrage 120kV. 1. Entwickeln Sie die Formel für die Isolationsdicke d eines Einleiterkabels in Abhängigkeit von der zwischen Bleimantel und Leiter liegenden Spannung, der zulässigen Feldstärke und den geometrischen Daten des Kabels. 2. Berechnen Sie die Dicke der Isolierung, wenn mit einer anliegenden Spannung von maximal 100kV zu rechnen ist und wenn die Betriebsfeldstärke von 8kV/mm nicht überschritten werden soll.

Bild 3.54 Übungsaufgabe 3.10

212

3 Das elektromagnetische Feld

3.11 1. Ein Plattenkondensator mit einer Fläche von A = 100cm2 und Luft als Dielektrikum wird an eine Spannungsquelle mit der Spannung U = 500V angeschlossen und aufgeladen. Der Plattenabstand wird von l1 = 1cm auf l2 = 2cm vergrößert, während die Spannungsquelle am Kondensator angeschlossen bleibt. Berechnen Sie die Ladung Q, die Verschiebungsflussdichte D, die elektrische Feldstärke E und die Kapazität C bei den verschiedenen Plattenabständen. 2. Der gleiche Plattenkondensator mit dem Plattenabstand l1 = 1cm wird nach der Aufladung auf 500V von der Spannungsquelle getrennt. Der Plattenabstand wird nun von l1 = 1cm auf l2 = 2cm vergrößert. Berechnen Sie die Ladung Q, die Verschiebungsflussdichte D, die elektrische Feldstärke E und die Kapazität C bei den verschiedenen Plattenabständen und vergleichen Sie die Ergebnisse. 3.12 1. Ein Plattenkondensator mit einer Fläche von A = 100cm2 und einem Plattenabstand von l = 1cm und Luft als Dielektrikum wird an eine Spannungsquelle mit der Spannung U = 500V angeschlossen und aufgeladen. Während der Kondensator an der Spannungsquelle angeschlossen bleibt, wird das Dielektrikum Luft durch Transformatorenöl mit Hr = 2,3 ersetzt. Berechnen Sie die Ladung Q, die Verschiebungsflussdichte D, die elektrische Feldstärke E und die Kapazität C bei den verschiedenen Dielektrika. 2. Der gleiche Plattenkondensator mit Luft als Dielektrikum wird nach der Aufladung auf 500V von der Spannungsquelle getrennt. Anschließend wird das Dielektrikum Luft durch Transformatorenöl mit Hr = 2,3 ersetzt. Berechnen Sie die Ladung Q, die Verschiebungsflussdichte D, die elektrische Feldstärke E und die Kapazität C mit den verschiedenen Dielektrika und vergleichen Sie die Ergebnisse. 3.13 Fünf Kondensatoren von je 10nF werden in Parallelschaltung mit einer Spannung von 10kV aufgeladen. Über Kugelfunkenstrecken werden sie in Reihe geschaltet und entladen. 1. Geben Sie die Spannung an, die beim Beginn der Entladung an der Reihenschaltung anliegt. 2. Ermitteln Sie die gespeicherte Elektrizitätsmenge (Ladung) und die Energien der Parallel- und Reihenschaltung. 3.14 1. Berechnen Sie die Gesamtkapazitäten folgender Schaltungen:

Bild 3.55 Übungsaufgabe 3.14, Teil 1 2. Berechnen Sie die Gesamtkapazität und die Teilspannungen U1 und U2, wenn die Gesamtspannung U = 1000V beträgt.

Bild 3.56 Übungsaufgabe 3.14, Teil 2 3.15 Eine frei hängende Kugel mit dem Radius ri hat gegen die weit entfernte Umgebung die Kapazität C = 4 · S · H · ri . Stellen Sie sich die Gegenelektrode als Kugelschale mit unendlich großem Radius ra vor. 1. Weisen Sie die Richtigkeit dieser Formel nach. 2. Ist die Spannung U zwischen der Kugel und der Gegenelektrode bekannt, dann lässt sich die maximale Feldstärke an der Kugeloberfläche mit obiger Formel errechnen. 3.16 Die Kapazität eines abgeschirmten Antennenkabels von 30m Länge und den Radien ra = 4mm und ri = 0,5mm ist zu berechnen. Die Isolation hat eine relative Dielektrizitätskonstante Hr = 2,5.

Übungsaufgaben zum Abschnitt 3.3

213

3.17 Beliebig viele Metallzylinder (Anzahl n) mit den Durchmessern d1 < d2 < ... < dn werden konzentrisch ineinander gesteckt und bilden eine Reihenschaltung von n – 1 Kondensatoren. 1. Berechnen Sie das Verhältnis der Zylinderdurchmesser, wenn die Kapazitäten zwischen benachbarten Zylindern jeweils gleich groß sein sollen. 2. Berechnen Sie die Durchmesser von vier ineinander gesteckten Zylindern bei gleichen Kapazitäten, wenn der Innendurchmesser 2 cm und der Außendurchmesser 16cm beträgt. 3.18 In einem Plattenkondensator mit dem Plattenabstand l und einer Fläche A soll das einheitliche Dielektrikum mit H durch ein quergeschichtetes Dielektrikum mit H1 und H2 so ersetzt werden, dass die Kapazität des Kondensators unverändert bleibt. Randstörungen des Feldes bei anliegender Spannung sollen nicht berücksichtigt werden. 1. Ermitteln Sie allgemein die Schichtdicke l1 des Dielektrikums mit H1 bei gegebenem Platten abstand l und gegebenen relativen Dielektrizitätskonstanten H, H1 und H2. 2. Berechnen Sie das Verhältnis l1/l, wenn H2 = 2 · H= 4 · H1 ist. 3. Kontrollieren Sie das Ergebnis, indem Sie die Teilkapazitäten mit der Gesamtkapazität vergleichen. 3.19 Ein konzentrisches Kabel besitzt zwei geschichtete Isolierschichten aus Kunststoff mit Hr1 = 5 und Hartgummi mit Hr2 = 3. Der Feldstärkeverlauf in den beiden Schichten ist zu berechnen, wenn die anliegende Spannung U und die Verhältnisse der Radien rg/ri = 2/1 und ra/ri = 4/1 gegeben sind. 1. Geben Sie die allgemeinen Formeln für die Feldstärkeverläufe E1 (r) und E2 (r) in den beiden Bereichen bei gegebener Ladung Q an. 2. Ermitteln Sie allgemein die Spannung U zwischen dem Innenleiter und Außenleiter aus den Teilspannungen U1 und U2 und ersetzen Sie in den Feldstärkeformeln Q durch U. 3. Beziehen Sie die Feldstärken der beiden Bereiche auf die Maximalfeldstärke Emax des Kabels, wenn die Isolation nur aus einem Material besteht und die Spannung U gleich bleibt. 4. Berechnen Sie mit den gegebenen Zahlenwerten die Funktionen E1 E max

3.20

3.21

3.22

3.23

§r· §r· E2 und stellen Sie sie in einem Diagramm dar. f ¨¨ ¸¸ und f ¨¨ ¸¸ E r max © i¹ © ri ¹ An einem Einleiterkabel liegt eine Spannung von 35kV an. Es besteht aus einem Leiterseil mit einem Durchmesser von 14mm (mit einem effektiven Querschnitt von 120mm2), einer Isolation mit Hr = 4 und einer Isolationsdicke von 17mm und einem Kabelmantel. 1. Berechnen Sie die größte und die kleinste Feldstärke im Kabel. 2. Befinden sich am Leiterseil und am Kabelmantel sehr dünne Luftschichten, dann schlagen diese infolge zu hoher elektrischer Feldstärken durch; das Kabel „glimmt“. Weisen Sie nach, dass die zulässige Feldstärke für Luft von 21kV/cm überschritten wird. Nehmen Sie dabei jeweils ein Feld mit zwei geschichteten Isolierstoffen an. 1. Geben Sie die Formel für die Berechnung der maximal möglichen Energiedichte eines felderfüllten Raums an. Begründen Sie die Formelangabe aus der Aufgabenstellung. 2. Berechnen Sie die maximal mögliche Energiedichte eines festen Isolierstoffes mit Hr = 5, dessen zulässige elektrische Feldstärke 280kV/cm beträgt. 3. Um wie viel höher ist die maximal mögliche Energiedichte dieses Isolierstoffes gegenüber der maximal möglichen Energiedichte von Luft, wenn die zulässige Feldstärke von Luft 21kV/cm beträgt. Die Formel für die Kraft F eines Zweielektrodensystems (Gl. 3.117) kann auch entwickelt werden, wenn das Zweielektrodensystem (Bild 3.47) nach der Aufladung an der Spannungsquelle angeschlossen bleibt. Leiten Sie die Formel für die Kraft F aus dem Ansatz der Energieänderungen her. Zwischen zwei parallelen Leitern von 100m Länge mit kreisförmigem Querschnitt und gleichem Durchmesser von 20mm, die einen Abstand zwischen den Leitermittelpunkten von 2m haben, liegt eine Spannung von 10kV. 1. Leiten Sie zunächst die Formel für die Kraft zwischen den parallelen Leitern ab. 2. Berechnen Sie anschließend die Kraft mit den angegebenen Zahlenwerten.

214

3 Das elektromagnetische Feld

3.4 Das magnetische Feld 3.4.1 Wesen des magnetischen Feldes Ursache des magnetischen Feldes In der Umgebung bewegter elektrischer Ladungen sind Kraftwirkungen zu beobachten, die einem magnetischen Raumzustand – dem magnetischen Feld – zugeschrieben werden. Die Ausbildung des magnetischen Feldes ist also eine Erscheinung, die die Bewegung elektrischer Ladungen immer begleitet. Bei Dauermagneten sind Molekular- und Elektronenströme Verursacher der magnetischen Erscheinungen. Ursache des magnetischen Feldes ist der Konvektionsstrom. Beim Aufladen und Entladen eines Kondensators ist ebenso ein magnetischer Raumzustand im Nichtleiter zu beobachten, obwohl keine Ladungen innerhalb des Nichtleiters bewegt werden (siehe Abschnitt 3.3.4). Ursache des magnetischen Feldes ist also ebenso der angenommene Verschiebestrom. Erscheinungsformen des magnetischen Feldes Das magnetische Feld lässt sich folgendermaßen nachweisen: 1. Eine Magnetnadel, das ist ein drehbar gelagerter Dauermagnet, wird im Magnetfeld in eine bestimmte Lage ausgerichtet. 2. Ebenso lassen sich Eisenfeilspäne im Magnetfeld ausrichten. 3. Befinden sich stromdurchflossene Leiter in einem Magnetfeld, dann wirken auf diese Kräfte. 4. Werden Leiter in einem Magnetfeld bewegt, dann entstehen im Leiter elektrische Spannungen. Aus der Kraft auf die Magnetnadel oder Eisenfeilspäne als Indikator kann auf die Stärke des Feldes und aus der Einstellrichtung der Magnetnadel bzw. Ausrichtung der Eisenfeilspäne kann auf die Richtung des Feldes geschlossen werden. Damit lassen sich Kraftlinien derart angeben, dass die Richtung an jedem Ort die Richtung der Kraft angibt und die Dichte der Linien proportional der Größe der Kraft ist. Die magnetischen Feldlinien sind in sich geschlossen, d. h. das Magnetfeld ist eine in sich geschlossene, den Strom umwirbelnde Erscheinung. Das Magnetfeld ist ein Wirbelfeld. Die positive Wirbelrichtung stimmt mit dem Drehsinn einer Rechtsschraube überein, deren Spitze sich in positiver Stromrichtung fortbewegt. Um die Wirbelrichtung des Magnetfeldes einfach festzustellen, benutzt man die rechte Hand, indem man den Daumen in die Richtung des Stroms richtet und die vier restlichen gekrümmten Finger die Richtung der Feldlinien angeben (Rechte-Hand-Regel).

3.4 Das magnetische Feld

215

Beispiele magnetischer Felder:

Bild 3.57 Magnetfeld eines Dauermagneten, ausgeführt als Stabmagnet

Bild 3.58 Magnetfeld eines langen stromdurchflossenen geraden Stromfadens

Bild 3.59 Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule

Bild 3.60 Magnetfeld einer Stromschleife

Messtechnischer Nachweis Magnetfelder lassen sich qualitativ durch Kraftwirkungen auf Magnetnadeln, Eisenfeilspäne und stromdurchflossene Leiter nachweisen und quantitativ durch Hallgeneratoren bei zeitlich konstanten Feldern und durch erzeugte Spannungen in Messspulen bei zeitlich veränderlichen Feldern messen. Auf alle diese angegebenen Effekte wird im Folgenden ausführlich eingegangen.

216

3 Das elektromagnetische Feld

3.4.2 Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte Magnetischer Fluss Das mit dem Konvektions- und Verschiebestrom verbundene magnetische Feld wird durch Feldlinien veranschaulicht, mit deren Hilfe die Stärke und die Richtung von zu erwartenden Kräften beschrieben werden können. Die Gesamtheit der Feldlinien wird analog zum Stromfluss im elektrischen Strömungsfeld magnetischer Fluss ) genannt. Den Raum, der von diesem Fluss erfüllt wird, nennt man in Analogie zum elektrischen Stromkreis magnetischer Kreis. Dabei denkt man an Spulen mit geschlossenem Eisenkern, in dem sich der magnetische Fluss konzentriert. Der Name „magnetischer Fluss“ könnte zu der falschen Vorstellung führen, dass in dem Raum Teilchen sich bewegen. Genauso wie im elektrostatischen Feld der Verschiebungsfluss < ist der magnetische Fluss ) ein angenommener Fluss, der die Beschreibung des Raumzustands erleichtert. Während der angenommene Verschiebungsfluss Quellen und Senken besitzt, ist der magnetische Fluss überall im magnetischen Kreis gleich groß genauso wie der elektrische Fluss im elektrischen Strömungsfeld (Kontinuitätsbedingung). Die magnetischen Flusslinien sind in sich geschlossen und besitzen damit keine Quellen und Senken. Magnetische Flussdichte – magnetische Induktion In jedem von Feldlinien begrenzten Schlauch besteht damit überall der gleiche Teilfluss '), der die Querschnittfläche 'A durchsetzt. Dieser Schlauch entspricht in der ebenen Feldbilddarstellung zwei benachbarten Feldlinien. Ist die Querschnittfläche 'A unterschiedlich, dann ist die magnetische Flussdichte – auch magnetische Induktion genannt – B

') 'A

(3.131)

unterschiedlich und das magnetische Feld ist inhomogen. Beispiele:

Bild 3.61 Magnetfeld eines langen stromdurchflossenen Stromfadens

Bild 3.62 Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule

3.4 Das magnetische Feld

217

Soll die magnetische Flussdichte in einem Punkt des magnetischen Feldes angegeben werden, dann sind gleichzeitig ') = 0 und 'A = 0; der Quotient ist undefiniert. Die magnetische Flussdichte (Induktion) ergibt sich dann durch Grenzwertbildung mit 'A o 0, also aus dem Differentialquotienten B

lim

'Ao0

') 'A

d) . dA

(3.132)

Nur in inhomogenen magnetischen Feldern ist es notwendig, die magnetische Flussdichte punktweise zu bestimmen. Bei homogenen magnetischen Feldern sind die Abstände zwischen den Feldlinien überall gleich, so dass sich die magnetische Flussdichte aus dem Gesamtfluss ) und der Gesamtfläche A berechnen lässt: B

) . A

(3.133)

In einem homogenen magnetischen Feld ist die magnetische Flussdichte überall gleich. Die magnetische Flussdichte (Induktion) ist damit eine den Raumzustand des magnetischen Feldes beschreibende Größe: Sie hat in einem Punkt des magnetischen Feldes die gleiche Richtung wie die Fluss- oder Feldlinien und hat einen Betrag, der der Dichte der Fluss- oder Feldlinien entspricht. Die magnetische Flussdichte (Induktion) ist eine vektorielle Feldgröße des magnetischen G
Feldes und wird mit

B gekennzeichnet. Im Folgenden sollen bei bekannter Induktionsverteilung magnetische Teilflüsse und der magnetische Gesamtfluss ermittelt werden: Bei der Ermittlung der magnetischen Flussdichte im inhomogenen und homogenen Feld wurde vorausgesetzt, dass der magnetische Fluss die Fläche senkrecht durchsetzt. Ist die Fläche jedoch um einen Winkel D geneigt, dann ist der die magnetische Fluss G
Fläche durchdringende G
kleiner. Mit der Definition eines Flächenvektors A
bzw. d
A , der senkrecht auf der Fläche A bzw. dA angenommen wird und den Betrag der Fläche A bzw. dA hat, lässt sich die Flussverminderung durch das Skalarprodukt erfassen. Für ein homogenes magnetisches Feld ergibt sich der von der gleich großen Fläche A erfasste magnetische Fluss ) durch G
G
(3.134)

) B ˜ A ˜ cos D B ˜ A

Bild 3.63 Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte im homogenen magnetischen Feld

218

3 Das elektromagnetische Feld

Soll in einem inhomogenen magnetischen Feld der Teilfluss ) durch eine Teilfläche A erfasst werden und wird diese Teilfläche von den Flusslinien nicht senkrecht durchdrungen, dann muss zunächst die Teilfläche in Flächen dA aufgeteilt werden, durch die jeweils der Teilfluss d ) hindurchtritt. Dieser ergibt sich wie beim homogenen Feld durch das Skalarprodukt G
G
d ) = B · dA · cos D =

B ·

dA .

(3.135)

Der Teilfluss ) durch die Teilfläche A wird durch Aufsummieren der d)-Anteile, d. h. durch Integrieren, ermittelt: )

G

G

³ d) ³ B ˜ dA .

(3.136)

A

Mathematisch ist dieses Integral ein Flächenintegral. Der gesamte magnetische Fluss ) wird durch eine in sich geschlossene Fläche A – einer Hüllfläche – erfasst. Diese wird entsprechend in Flächen dA aufgeteilt, durch die wiederum die magnetischen Teilflüsse d ) hindurchtreten, die durch das Skalarprodukt ermittelt werden. Durch Integration ergibt sich der magnetische Gesamtfluss durch die Hüllfläche:

)

l BG ˜ dAG

0.

(3.137)

A

Für den vorzeichenbehafteten magnetischen Gesamtfluss ), der durch eine Hüllfläche hindurchtritt und gleich Null ist, wird das Flächenintegral zum „Hüllintegral“. Diese Gleichung bedeutet, dass magnetische Felder keine Quellen und Senken besitzen: ein magnetischer Fluss ist eine in sich geschlossene Erscheinung. Deshalb heißt diese Gleichung auch die Integralform des Satzes von der Quellenfreiheit des magnetischen Flusses oder Gaußscher Satz.

Für grundlegende Berechnungen ist es nicht notwendig, magnetische Flüsse durch Flächen zu berechnen, die die Fläche nicht senkrecht durchströmen. WerdenG
die Flächen G
senkrecht durchströmt, dann istG
der G
Neigungswinkel D zwischen den Vektoren B
und d
A gleich Null und das Skalarprodukt

B ˜ dA wird gleich dem Produkt der Skalare B · d A mit cos D = 1.

3.4 Das magnetische Feld

219

Beispiel: Berechnung des magnetischen Flusses in der Umgebung eines langen stromdurchflossenen Leiters in einem kreisförmigen Kupferring mit rechteckigem Querschnitt

Bild 3.64 Magnetischer Fluss in der Umgebung eines stromdurchflossenen Leiters Das magnetische Feld ist inhomogen, der magnetische Fluss wird aus G G ) ³ B ˜ dA A

G
G
berechnet. Da die Vektoren

B und d
A kollinear sind, geht das Skalarprodukt in das Produkt der Skalare über:

)

³ B ˜ dA .

A

Die Formel für die magnetische Flussdichte (Induktion) wird im Abschnitt 3.4.3 hergeleitet. Die Induktion B nimmt mit wachsendem Radius r ab (siehe Bild 3.61) und ist längs des Leiters, also im gleichen Abstand vom Leiter konstant: B

P0 ˜ I 1 ˜ . 2S r

P0 ist die Permeabilität des Vakuums, also eine Materialgröße:

Vs Vs 0,4 ˜ S ˜106 . Am Am Bei praktischen Berechnungen verhält sich Kupfer magnetisch wie Vakuum. P0 = 1,256 · 10–6

In das Integral eingesetzt ergibt sich )

³

A

P0 ˜ I 1 ˜ ˜ dA 2S r ra

)

P0 ˜ I ˜ b dr ˜³ 2S r ri

)=

P 0 ˜ I ˜ b ra ln . 2S ri

mit d A = b · d r P0 ˜ I ˜ b ln r 2S

ra ri

(3.138)

220

3 Das elektromagnetische Feld

Einheit des magnetischen Flusses und der magnetischen Flussdichte Die Einheit des magnetischen Flusses ist 1 Voltsekunde oder 1 Weber: [)] = 1 Vs = 1 Wb.

(3.139)

Die 108-mal kleinere Einheit wird 1 Maxwell genannt: 1M = 10–8Wb, ist aber heute nicht mehr gebräuchlich. Die Einheit der magnetischen Flussdichte oder magnetischen Induktion ist damit 1Vs/m2 oder 1 Tesla: [B] =

1 Wb m2

1 Vs m2

1T .

(3.140)

Die ebenfalls nicht mehr gebräuchliche Einheit 1 Gauß ist in der Literatur noch weit verbreitet: 1 G = 10  4

Vs m2

10 8

Vs . cm 2

Kontinuitätsgleichung des magnetischen Flusses Magnetische Kreise werden vorwiegend aus Eisenmaterialien aufgebaut, damit hohe Induktionsverteilungen erreicht werden. Dort treten vorwiegend homogene Felder auf, für die der Gaußsche Satz entsprechend umgeformt formuliert werden kann: Die Summe der Teilflüsse, die eine Hüllfläche von außen durchsetzen, ist gleich der Summe der Teilflüsse, die durch diese Hüllfläche nach außen gerichtet sind: n

m

¦ )x zui ¦ )x abi . i 1

n

i 1

(3.141)

p

Diese so genannte Kontinuitätsgleichung des magnetischen Flusses ist für verzweigte magnetische Kreise wichtig. Beispiel:

Bild 3.65 Magnetisches Feld des E/I-Kerns

3.4 Das magnetische Feld

221

Kraftfeld – magnetische Induktion Dass die magnetische Induktion B das magnetische Kraftfeld beschreibt, zeigt ein Experiment über eine der Erscheinungsformen des magnetischen Feldes: das Auftreten mechanischer Kraftwirkungen auf stromdurchflossene Leiter. Durch einen Dauermagneten in Hufeisenform wird im Bereich der Pole ein magnetisches Feld mit der Induktion B ausgebildet. In diesem Bereich befindet sich ein pendelförmig aufgehängter Leiter.

Bild 3.66 Leiterschaukel im Magnetfeld

Beim Stromfluss I durch den Leiter entsteht eine Kraft F, die den Leiter bei der angegebenen Stromrichtung in den Magneten hineinzieht. Betrag und Richtung dieser Kraft lässt sich mit Hilfe folgender Vektorgleichung beschreiben: G
G
G
(3.142)

F = Q · (

v u

B ) mit Q: G


v : G


B : mit

bewegte Ladung des positiv definierten Stroms Geschwindigkeit der bewegten positiven Ladung magnetische Flussdichte, magnetische Induktion

G G F = Q · v · B · sin
sin (( v, B)

und und und F

v=

l t

G G
sin (( v, B) Q=I·t I ˜ l ˜ B.

1

(3.143)

Bild 3.67 Richtungen der Größen G
G
G
von F
Q ˜ ( v u B)

Die magnetische Kraft F ist der magnetischen Induktion B direkt proportional. Die Richtung der Kraft ergibt sich durch folgende Regel: G


G


Der erste Faktor des Vektorprodukts v
wird auf dem kürzesten Weg in den zweiten Faktor

B gedreht. Die Drehrichtung zeigt in die Richtung der gekrümmten Finger der rechten Hand, G
und der Daumen zeigt dann in die Richtung des Vektorprodukts, also in Richtung der Kraft

F .

222

3 Das elektromagnetische Feld

3.4.3 Durchflutung, magnetische Spannung und magnetische Feldstärke (magnetische Erregung), magnetischer Widerstand und Permeabilität Durchflutung – Magnetomotorische Kraft Der Konvektionsstrom und der Verschiebestrom sind vom magnetischen Fluss umwirbelt und können deshalb als Ursache des Magnetfeldes gedeutet werden. Der magnetische Raumzustand wird verstärkt, wenn mehrere Ströme oder der gleiche Strom mehrfach – wie bei einer Spule – die Umgebung beeinflussen. Die ein magnetisches Feld verursachenden Ströme, also die Stromsumme, werden Durchflutung, magnetische Urspannung oder Magnetomotorische Kraft MMK genannt: n

4=

¦ Ii .

(3.144)

i 1

Magnetische Urspannung und MMK sind heute nicht mehr gebräuchlich. Die Durchflutung ist gleich der Summe der Ströme, die die Fläche durchfluten, die von den geschlossenen Feldlinien gebildet werden. Für die Bestimmung der Durchflutung wird eine geschlossene Feldlinie ausgewählt, die als Umrandung einer Fläche angesehen wird. Sämtliche Ströme, die durch diese Fläche hindurchtreten, bilden vorzeichenbehaftet die Durchflutung. Die Durchflutung wird deshalb auch „die mit dem Magnetfeld verkettete Stromsumme“ genannt. Beispiele: 1. Feld eines langen stromdurchflossenen Stromfadens: 4=I=1A

Bild 3.68 Durchflutung eines Stromfadens

2. Feld mehrerer Stromfäden gleicher Stromrichtung: 10

4=

¦ Ii

10 · 0,1 A 1 A

i 1

Bild 3.69 Durchflutung mehrerer Stromfäden gleicher Stromrichtung

3.4 Das magnetische Feld

223

3. Feld mehrerer Stromfäden verschiedener Stromrichtungen: 3

4=

¦ Ii

I1  I 2  I3

i 1

4=–1A+1A+1A=1A

Bild 3.70 Durchflutung mehrerer Stromfäden verschiedener Stromrichtung

4. Feld einer Stromschleife mit einem und mit mehreren Leitern:

Bild 3.71 Durchflutung einer Strom schleife

5. Feld einer Spule in Luft („Luftspule“): 4=I·w mit

(3.145)

w Windungszahl

Bild 3.72 Durchflutung einer Luftspule

6. Feld einer Spule im Eisenkreis: 4=I·w mit

(3.146)

w Windungszahl

Bild 3.73 Durchflutung einer Spule im Eisenkreis

Einheit der Durchflutung Da die Durchflutung eine Stromsumme ist, wird sie in Ampere angegeben: [4] = 1 A.

(3.147)

224

3 Das elektromagnetische Feld

Magnetischer Widerstand und magnetischer Leitwert Der von einer bestimmten Durchflutung 4 verursachte magnetische Fluss ) ist je nach Anordnung und Material der Umgebung unterschiedlich groß. In Analogie zum elektrischen Strömungsfeld wird ein magnetischer Widerstand Rm angenommen, der sich dem angenommenen magnetischen Fluss widersetzt. Die Durchflutung entspricht damit der EMK E eines elektrischen Kreises und wird analog MMK genannt, obwohl „magnetbewegende Kraft“ in wörtlicher Übersetzung sinnlos ist und nur in Anlehnung zum elektrischen Stromkreis zu verstehen ist. Zusammenfassend die analogen Größen: elektrischer Stromkreis (elektrisches Strömungsfeld) E Elektromotorische Kraft EMK elektrische Urspannung I elektrischer Fluss, elektrischer Strom R elektrischer Widerstand

magnetischer Kreis (magnetisches Feld) 4 Magnetomotorische Kraft MMK magnetische Urspannung ) magnetischer Fluss Rm magnetischer Widerstand

Zwischen dem magnetischen Fluss ) und der Durchflutung 4 besteht für die meisten in der Technik verwendeten Stoffe direkte Proportionalität mit dem Proportionalitätsfaktor Rm: 4 = Rm · ).

(3.148)

Diese Gleichung heißt analog das „Ohmsche Gesetz des magnetischen Kreises“ oder Hopkinsonsches Gesetz 1) und sagt aus, dass die Größe des magnetischen Flusses nicht allein durch die Größe der Durchflutung bestimmt wird, sondern ebenso durch die Gestalt des magnetischen Kreises und die magnetischen Eigenschaften der Stoffe, in denen das Feld existiert. Gestalt und magnetische Eigenschaften des magnetischen Kreises werden durch den magnetischen Widerstand Rm erfasst. Beispiele: 1. Magnetischer Widerstand einer Luftspule gleicher Länge und mit unterschiedlichen Durchmessern: Das Magnetfeld der Luftspule besteht aus einem homogenen Anteil mit großer Induktion B innerhalb der Spule und einem inhomogenen Anteil mit sehr kleiner Induktion B außerhalb der Spule.

Bild 3.74 Magnetischer Widerstand einer Luftspule Deshalb wird der magnetische Widerstand der Luftspule vor allem durch das Feld im Innern bestimmt, der Anteil des magnetischen Widerstandes außerhalb der Spule kann bei praktischen Berechnungen vernachlässigt werden. Der magnetische Widerstand ist in der Spule mit größerem Durchmesser kleiner als in der Spule mit kleinerem Durchmesser, weil sich die Feldlinien wegen der größeren Fläche nicht so sehr zusammendrängen müssen.

1)

John Hopkinson, britischer Elektrotechniker 1849–1898

3.4 Das magnetische Feld

225

Nach der Bemessungsformel für magnetische Widerstände in homogenen Feldern l Rm = P0 ˜ A

(3.149)

mit P0: Induktionskonstante oder Permeabilität des Vakuums ergibt sich für den magnetischen Widerstand der Spulen: l l und Rm2 = . Rm1 = 2 S ˜d1 S ˜d 2 2 P0 P0 4 4

2. Magnetischer Widerstand einer Spule in Luft und mit einem Eisenkern: Aufgrund der hohen Permeabilität des Eisens, d. i. die spezifische „Durchlässigkeit“ für magnetische Flüsse, ist der magnetische Widerstand für eine Spule mit Eisenkern um ein Vielfaches kleiner als der magnetische Widerstand der Luftspule.

Bild 3.75 Magnetischer Widerstand einer Spule mit Eisenkern

Bei Vernachlässigung des Anteils außerhalb der Spule ergibt sich für die magnetischen Widerstände: l l RmL = und RmE = S ˜ d2 S ˜ d2 P0 P0 ˜ P r 4 4 mit Pr: relative Permeabilität 3. Magnetischer Widerstand einer Toroidspule: Das magnetische Feld der Toroidspule (Kreisringspule) ist inhomogen, weil die Feldlinien ungleich lang sind. Unter der Voraussetzung, dass r0 << D/2 und dass die Wicklung eng gewickelt ist, kann im Innern der Spule ein homogenes Feld angenommen werden. Der magnetische Widerstand lässt sich dann nach der Bemessungsformel berechnen: Rm = mit und und Rm =

l P˜A

l=D·S mittlere Feldlinienlänge P P r ˜P o Pr: relative Permeabilität D˜S

D 2

P r ˜P 0 ˜ r0 ˜ S

P r ˜P 0 ˜ r0 2

.

(3.150) Bild 3.76 Magnetischer Widerstand einer Toroidspule

226

3 Das elektromagnetische Feld

Bei praktischen Berechnungen ist es nur in Ausnahmefällen möglich, mit magnetischen Widerständen zu rechnen, weil nur wenige Felder homogen oder symmetrisch sind. Die in Ferromagnetika (Eisen, Nickel, Kobalt) vorkommenden Felder sind wohl homogen oder annähernd homogen, aber die Materialgröße – absolute bzw. relative Permeabilität – ist nicht konstant. Der wirksame magnetische Widerstand in Eisenkreisen ist also je nach Größe der Durchflutung von der variablen Permeabilität P abhängig. Der Kehrwert des magnetischen Widerstandes ist der magnetische Leitwert Gm =

1 , Rm

(3.151)

die Bemessungsgleichung für homogene Felder lautet entsprechend P˜A . l Magnetische Widerstände werden in

Gm =

[Rm] = 1

A Vs

(3.152)

(3.153)

gemessen, magnetische Leitwerte in [Gm] = 1

Vs =1H A

(Henry).

(3.154)

Permeabilität Die absolute Permeabilität P ist eine Materialgröße, die die magnetische „Durchlässigkeit“ eines Stoffes charakterisiert, in dem das magnetische Feld ausgebildet ist. Sie wird als Pr-faches der Permeabilität P0 des Vakuums aufgefasst: P = Pr · P0

(3.155)

mit P0 = 1,256 · 10–6

Vs Vs = 0,4 · S · 10–6 . Am Am

(3.156)

Die Permeabilität des Vakuums P0 wird auch Induktionskonstante genannt. Die relative Permeabilität Pr ist also eine Verhältniszahl, die die magnetische „Durchlässigkeit“ eines bestimmten Werkstoffs auf die magnetische „Durchlässigkeit“ des Vakuums bezieht. Mit Ausnahme der ferromagnetischen Stoffe haben alle Stoffe relative Permeabilitätswerte, die nur geringfügig nach oben oder unten von der Zahl 1 abweichen. Ist Pr < 1, so handelt es sich um diamagnetische Stoffe; bei paramagnetischen Stoffen ist Pr > 1 und bei ferromagnetischen Stoffen ist Pr >>1 (100 ... 10 000). Bei praktischen Berechnungen wird bei allen nichtferromagnetischen Stoffen mit Pr = 1 gerechnet. Bei ferromagnetischen Stoffen ist Pr variabel; nur bei grober Näherung kann mit einer konstanten relativen Permeabilität gerechnet werden.

3.4 Das magnetische Feld

227

Magnetische Spannungen Im elektrischen Strömungsfeld können elektrische Spannungen unterschieden werden oder nicht, je nachdem ob mit EMK E oder mit der Quellspannung Uq gerechnet wird: n

m

i 1

i 1

l

¦ Ei ¦ Ui

¦ Ui

0.

i 1

Im magnetischen Feld dagegen muss unterschieden werden in die Verursacher-Spannung 4, die Durchflutung, und in die magnetischen Spannungen Vi in magnetischen Widerständen infolge des magnetischen Flusses ). In homogenen Feldern ist die Durchflutung 4 gleich der magnetischen Spannung V und in homogenen Teilfeldern ist die Durchflutung 4 gleich der Summe der magnetischen Spannungen Vi: m

4=

¦

m

Vi

)˜

i 1

¦ R mi .

(3.157)

i 1

Durch die Durchflutung werden sämtliche Ströme vorzeichenbehaftet erfasst, z. B. auch von mehreren Spulen in einem Eisenkreis. Deshalb darf auf der linken Seite der Gleichung nur 4 und nicht 6 4i geschrieben werden. Beispiele: 1. Magnetisches Feld der Toroidspule mit konstanter Permeabilität Bei Annahme eines homogenen Feldes ist die Durchflutung gleich der magnetischen Spannung: 4=V l I · w = ) · Rm mit Rm . P˜A Damit ergibt sich für den magnetischen Fluss I ˜ w P ˜ A˜ I ˜ w . (3.158) )= Rm l 2. Magnetfeld eines Eisenkreises mit konstanter Permeabilität und zwei Luftspalten In dem skizzierten U-I-Eisenkreis mit zwei Luftspalten werden die beiden Luftspalte und die beiden Eisenabschnitte im U-Teil und I-Teil zu einem homogenen Feld mit zwei Abschnitten zusammengefasst: 2

4=

¦ Vi

2

)˜

i 1

¦ R mi

i 1

4 = V1 + V2 = ) · (Rm1 + Rm2) mit

V1 = VFe,

und

Rm1 = RmFe =

und

Rm2 = RmL

und

4 I˜w

V2 = VL l Fe P 0P r A Fe

lL P 0AL Bild 3.77 Eisenkreis mit Luftspalten

228

3 Das elektromagnetische Feld § l · l I · w = VFe + VL = ) · (RmFe + RmL) = ) ˜ ¨ Fe  L ¸ ©P 0P r A Fe P 0 A L ¹ Damit ergibt sich für den magnetischen Fluss )

I˜w R mFe  R mL

I˜w l lFe  L P 0P r A Fe P 0 A L

(3.159)

Wegen der Ausweitung der Feldlinien im Luftspalt ist AL > AFe.

Magnetische Feldstärke – magnetische Erregung In jedem homogenen magnetischen Feld ist die magnetische Spannung pro Länge – die magnetische Feldstärke oder magnetische Erregung H – konstant: Mit 4 = Rm · ) und

l P˜A

Rm

mit P = konstant

ergibt sich 4=

l ˜) P˜A

und damit H=

4 l

1 ) ˜ P A

1 ˜ B. P

(3.160)

d. h. die magnetische Feldstärke H ist konstant, weil die magnetische Flussdichte B im homogenen Feld konstant ist und die Permeabilität P des Magnetmaterials konstant ist (bei Nichtferromagnetika) oder konstant angenommen wird (bei Ferromagnetika). Der Durchflutungssatz für homogene Felder lautet damit: 4=V=H·l

(3.161)

Ist das Magnetfeld aus m homogenen Teilfeldern zusammengesetzt, dann können in den Teilfeldern unterschiedlich große magnetische Feldstärken H1, H2, ..., Hm bestehen, die gleich der magnetischen Spannungen V1, V2, ..., Vm bezogen auf die Längen l1, l2,..., lm sind: H1 =

V1 , l1

H2 =

V2 , l2

...

, Hm =

Vm . lm

Da die Durchflutung 4 gleich der Summe der magnetischen Spannungen ist, lautet der Durchflutungssatz für magnetische Kreise mit m homogenen Teilfeldern: 4=

m

m

i 1

i 1

¦ Vi ¦ H i ˜ li .

(3.162)

3.4 Das magnetische Feld

229

Zum Beispiel 2: Magnetfeld eines Eisenkreises mit zwei Luftspalten (Bild 3.77) Ist die Permeabilität P nicht konstant, sondern von der Durchflutung 4 oder der magnetischen Feldstärke H abhängig, dann entsteht eine Gleichung mit zwei Unbekannten: (3.163) 4 = HFe · lFe + HL · lL, die durch Kennlinienüberlagerung (siehe Abschnitt 3.4.5.1) gelöst werden kann. Mit konstanter Permeabilität P lässt sich die Aufgabe über magnetische Widerstände weiter verfolgen: Mit Gl. 3.159 I˜w l lFe  L P 0P r A Fe P 0 A L

)=

ergibt sich für die Induktionen BFe und BL, die magnetischen Feldstärken HFe und HL und die magnetischen Spannungen VFe und VL: I˜w l A lFe  L ˜ Fe P 0 ˜P r P 0 A L

BFe =

) = A Fe

HFe =

B Fe = P 0 ˜P r

I˜w lFe  lL ˜P r ˜

A Fe AL

I˜w . A lL ˜P r ˜ Fe 1 lFe AL entsprechend ergibt sich VFe = HFe · lFe =

BL =

HL =

I˜w ) = l A lL AL  Fe ˜ L P 0 P 0P r A Fe BL

P0

=

I˜w lFe A L ˜ lL  P r A Fe

VL = HL · lL =

I˜w . lFe 1 A L 1 lL P r A Fe

(3.164)

(3.165)

(3.166)

(3.167)

(3.168)

(3.169)

Mit Hilfe des Durchflutungssatzes für homogene Teilfelder lässt sich das Ergebnis kontrollieren: 4 = VFe + VL I·w=

1=

I˜w I˜w + A Fe lL lFe 1 A L ˜P ˜ 1 1 lFe r A L lL P r A Fe

lFe ˜ A L lL ˜P r ˜ A Fe + . lFe ˜ A L  lL ˜P r ˜ A Fe lL ˜P r ˜ A Fe  lFe ˜ A L

230

3 Das elektromagnetische Feld

Im inhomogenen magnetischen Feld ist die Dichte der Flusslinien und damit die magnetische Flussdichte (Induktion) B = d )/d A unterschiedlich. Gleichzeitig ist die magnetische Feldstärke H unterschiedlich, denn der wirksame magnetische Widerstand eines Volumenelementes bewirkt einen Zuwachs der magnetischen Spannung: dV R m ˜ d)

1 dl ˜ ˜ d) P dA

mit

Rm

dl , P ˜ dA

Bild 3.78 Volumenelement eines inhomogenen magnetischen Feldes

wodurch sich für die magnetische Feldstärke für inhomogene Felder der gleiche Zusammenhang zwischen der magnetischen Feldstärke und der magnetischen Flussdichte angeben lässt: dV dl

1 ˜ B. (3.170) P G
G
Die magnetische Feldstärke

H ist ebenso wie die magnetische Flussdichte

B eine feldbeschreibende Vektorgröße, die allerdings von den Materialeigenschaften des Magnetmaterials unabhängig ist.

H=

1 d) ˜ P dA

Da zwischen den beiden feldbeschreibenden Vektorgrößen der Zusammenhang über die Permeabilität P besteht, G
G
(3.171)

B P ˜ H , gilt für die magnetische Feldstärke entsprechendes wie für die magnetische Flussdichte: Sie hat in einem Punkt des magnetischen Feldes die gleiche Richtung wie die Feldlinien und hat ebenso einen Betrag, der der Dichte der Feldlinien entspricht. Bei nichtferromagnetischen Stoffen ist die Permeabilität P praktisch gleich der Induktionskonstanten P0 mit Pr = 1, so dass sich durch die direkte Proportionalität die magnetische Induktion B aus der magnetischen Feldstärke H errechnen lässt. Da bei ferromagnetischen Stoffen die Permeabilität P von der magnetischen Feldstärke H abhängig ist und dieser nichtlineare Zusammenhang nicht analytisch fassbar ist, muss zunächst das magnetische Feld durch die materialunabhängige magnetische Feldstärke H berechnet werden und anschließend die materialabhängige magnetische Induktion B aus der nichtlinearen Kurve, der Magnetisierungskurve, B = f (H) abgelesen werden.

(3.172)

3.4 Das magnetische Feld

231

Im Folgenden soll der allgemeine Durchflutungssatz für magnetische Felder behandelt und mit Hilfe von Beispielen erläutert werden: Zunächst sind die differentiell kleinen magnetischen Spannungen dV = H · dl längs einer Feldlinie kontinuierlich aufzusummieren, d. h. zu integrieren: 4=

ldV l H ˜ dl . l

(3.173)

l

Diese Gleichung ist der Durchflutungssatz für inhomogene magnetische Felder, indem längs eines Umlaufweges integriert wird, der gleich einer Feldlinie ist. Erweiternd kann der Umlauf auch beliebig gewählt werden, also auch nicht längs einer Feldlinie. Die Durchflutung ist dann gleich der vorzeichenbehafteten Stromsumme, die die Fläche durchflutet, die durch den Umlaufweg umgrenzt wird. Die kleinen magnetischen G
differentiell G
Spannungen werden dann aus dem Skalarprodukt dV = H
˜ dl ermittelt und integriert 4=

ldV l HG ˜ dlG . l

(3.174)

l

Diese Gleichung ist der Durchflutungssatz für inhomogene magnetische Felder, indem längs eines beliebigen Umlaufweges integriert wird (Allgemeine Form des Durchflutungssatzes).

Bei praktischen Berechnungen wird grundsätzlich längs einer Feldlinie integriert, wodurch das Skalarprodukt gleich dem Produkt der Skalare ist. Beispiele für die Anwendung des Durchflutungssatzes: 1. Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule: Innerhalb einer langen, dünnen, stromdurchflossenen Spule ist das magnetische Feld homogen, d. h. die Feldlinien verlaufen parallel, dicht und sind äquidistant. Streng genommen ist das Feld innerhalb der Spule inhomogen, weil das Feld an den Spulenenden wegen der sich auf kürzeren Wegen schließenden Feldlinien schwächer ist als in der Mitte der Spule. Im Allgemeinen kann diese Abweichung vernachlässigt werden.

Bild 3.79 Durchflutungssatz für eine stromdurchflossene Spule mit zwei Integrationswegen

232

3 Das elektromagnetische Feld Außerhalb der Spule kann sich der magnetische Fluss über einen unbegrenzten Raum ausbreiten. Das magnetische Feld ist mit der geringen Feldliniendichte stark inhomogen und lässt sich nicht einfach in Abhängigkeit von Raumkoordinaten beschreiben. Für das Magnetfeld der stromdurchflossenen Spule soll der Durchflutungssatz für zwei Integrationswege (siehe Bild 3.79) angewendet werden: Integrationsweg 1: Der Integrationsweg begrenzt eine Fläche, durch die kein Strom hindurchtritt; die Durchflutung ist also Null. Die magnetischen Spannungen dV längs der Feldlinien – einmal in Richtung der Feldlinien und zum anderen entgegengesetzt der Feldlinien – ergeben integriert genauso viele positive wie negative Anteile. Die magnetischen Spannungen auf G
den Wegabschnitten zwischen den G
Feldlinien sind sämtlich Null, weil die Vektoren H
und d
l in jedem Punkt der Wegabschnitte senkrecht aufeinander stehen, so dass das Skalarprodukt jeweils Null ist. Integrationsweg 2: Der Integrationsweg wird in zwei Abschnitte zerlegt: in den Wegabschnitt längs der Feldlinie innerhalb der Spule und in den Wegabschnitt längs der Feldlinie außerhalb der Spule: 4=

³ Hi ˜ dl + ³ Ha ˜ dl l

.

l

Die geschlossene Feldlinie begrenzt eine Fläche, durch die w-mal der Strom I hindurchtritt. Innerhalb der Spule ist die magnetische Feldstärke Hi konstant. Die magnetische Feldstärke außerhalb der Spule Ha ist vernachlässigbar klein, so dass die Durchflutung für praktische Berechnungen gleich der magnetischen Spannung Vi des homogenen Feldanteils ist: I · w = H i ˜ ³ dl

Hi ˜ l = Vi .

l

Daraus ergibt sich die magnetische Feldstärke im Innern der Spule I˜w l und für die Induktion einer Luftspule I˜w Bi P o ˜ . l

Hi =

(3.175)

(3.176)

2. Magnetfeld außerhalb und innerhalb eines langen stromdurchflossenen Leiters: Außerhalb eines langen stromdurchflossenen Leiters sind die magnetischen Feldlinien Kreise mit dem Mittelpunkt im Leiter. In jedem Punkt eines Kreises ist der Betrag der magnetischen Feldstärke Ha gleich groß. Der Durchflutungssatz für inhomogene magnetische Felder mit dem Integrationsweg längs einer Feldlinie 4=

l H a ˜ dl l

geht in

Bild 3.80 Magnetische Feldstärke außerhalb eines langen stromdurchflossenen Leiters

l

4 = H a ˜ dl l

über, weil der Betrag der magnetischen Feldstärke Ha längs des Integrationsweges konstant ist.

3.4 Das magnetische Feld

233

Die Wegelemente d l des Umlaufs integriert ergeben die Länge des Kreisumfangs: 4 = I = Ha · 2 S · r. Damit lässt sich die magnetische Feldstärke außerhalb des stromdurchflossenen Leiters im Abstand r angeben: I . 2 S˜r

Ha =

(3.177)

Für die Induktion ist die Permeabilität für Luft mit Pr = 1, d. h. P = P0 zu berücksichtigen: Ba =

P0 1 ˜I˜ . 2S r

(3.178)

Diese Formel gilt für r t R. Wird im Innern des Leiters eine gleichmäßige Stromverteilung – also eine gleiche Stromdichte – angenommen, dann sind die magnetischen Feldlinien ebenfalls Kreise. Die magnetischen Feldstärken Hi ergeben sich nach dem Durchflutungssatz nur aus dem jeweiligen Stromanteil Ii des Gesamtstroms I, der von den Feldlinien als Integrationsweg umschlossen wird: 4=

l H i ˜ dl l

l

Ii = Hi ˜ dl

Hi ˜ 2S r

l

mit S =

Ii

I

r2 ˜S

R2 ˜S

ist Ii =

I R2 ˜S

r 2S H i ˜ 2 S r

woraus sich Hi =

I

˜r

(3.179)

P0 I ˜ ˜r 2S R 2

(3.180)

2S ˜ R 2

und Bi = ergeben. Die maximale Induktion tritt an der Oberfläche des Leiters bei r = R auf: Bmax = Ba = Bi =

P0 ˜ I . 2S ˜ R

(3.181)

Bild 3.81 Magnetische Feldstärke im Innern eines langen stromdurchflossenen Leiters

234

3 Das elektromagnetische Feld Wird im Leitermittelpunkt der Koordinatenursprung mit r = 0 gelegt, hat die Abhängigkeit der magnetischen Induktion B vom Radius r den im Bild 3.82 skizzierten Verlauf. Die Induktion nimmt von r = 0 bis r = R linear zu und fällt für r > R hyperbolisch ab.

Bild 3.82 Verlauf von B = f (r) eines langen stromdurchflossenen Leiters

3. Magnetfeld eines langen, stromdurchflossenen Rohres Auf die gleiche Weise wie im vorigen Beispiel lässt sich mit Hilfe des Durchflutungssatzes für inhomogene Felder die magnetische Feldstärke in den drei Bereichen eines langen, stromdurchflossenen Rohres berechnen. Dabei wird der Koordinatenursprung in den Mittelpunkt des Rohres mit r = 0 gelegt.

Bild 3.83 Magnetfeld eines stromdurchflossenen Rohres

Feldstärke innerhalb des Rohres mit 0 d r d ri: Als Integrationsweg werden konzentrische Kreise gewählt, weil sich wegen der Form des Leiters als Feldlinien nur Kreise ergeben können. Die von diesen Kreisbahnen gebildeten Flächen werden allerdings von keinem Strom durchstoßen, so dass die Durchflutung 4 Null ist: 4=

l H1 ˜ dl l

H1 ˜ l dl l

0.

3.4 Das magnetische Feld

235

Damit ist auch die Feldstärke innerhalb des Rohres Null: H1 = 0

(3.182) Feldstärke im Rohr mit ri d r d ra: Bei gleicher Stromdichte im Rohr wird durch einen kreisförmigen Integrationsweg, auf dem die magnetische Feldstärke H2 jeweils konstant ist, ein Teilstrom Ii erfasst, der sich ebenfalls durch den Gesamtstrom ausdrücken lässt: 4=

l H 2 ˜ dl

l

H 2 ˜ dl

l

mit

H2 =

H2 ˜ 2 S ˜ r

Ii

l

S=

Ii

I 2

2

r S  ri S

r 2  ri 2 ra 2  ri 2

˜

I 2Sr

2

2

ra S  ri S

und

Ii = I ˜

r 2  ri 2 ra 2  ri 2

§ r 2 · ¨r  i ¸. ˜ ¨ ¸ 2 S (ra 2  ri 2 ) © r ¹ I

(3.183)

Der Feldstärkeverlauf H2 = f (r) im Rohr ist eine gekrümmte Kurve, die durch die Näherung r + ri | ra + ri in eine Gerade überführt werden kann: H2 =

(r  ri ) (r  ri ) (r  ri ) I I ˜ | ˜ . (ra  ri ) (ra  ri ) 2 Sr (ra  ri ) 2 S r

mit

ra – ri = d Dicke der Rohrwandung ra  ri und mittlerer Radius rm 2 I ˜ r  ri . H2 2S ˜ rm ˜d Diese Formel wird bei dünnwandigen Rohren angewendet.

(3.184)

Feldstärke außerhalb des Rohres mit ra d r: Für die magnetische Feldstärke in einem Punkt außerhalb des Hohlleiters besteht kein Unterschied gegenüber einem Vollleiter nach dem Durchflutungssatz. In beiden Fällen wird die Fläche, die durch den kreisförmigen Integrationsweg gebildet wird, vom gleichen Strom durchflutet. Das Feldbild besteht in beiden Fällen aus konzentrischen Kreisen. Die Feldstärke ist deshalb außerhalb des Rohres durch die Formel

H3 =

I 2Sr

(3.185)

beschrieben. Die Feldstärke H des Rohres oder Hohlleiters lässt sich damit als Funktion vom Radius r durch eine Kurve zusammenfassen (Bild 3.84).

Bild 3.84 Magnetische Feldstärke eines stromdurchflossenen Rohres

236

3 Das elektromagnetische Feld

4. Magnetfeld eines Koaxialkabels Ein Koaxialkabel besteht aus einem Innenleiter für die Hinleitung des Stroms und der Ummantelung für die Rückleitung des Stroms. Das Magnetfeld des Koaxialkabels kann als Überlagerung des Feldes eines langen stromdurchflossenen Leiters (Beispiel 2) und des Feldes eines stromdurchflossenen Rohres (Beispiel 3) aufgefasst und berechnet werden: Innenleiter mit 0 d r d r1: H1 =

I 2 S r12

(3.186)

r

Isolierstoff mit r1 d r d r2: H2 =

I 2Sr

(3.187)

Außenleiter mit r2 d r d r3: H3 =

r3 2  r 2 2

r3  r2

2

˜

I 2Sr

(3.188)

außerhalb des Koaxialkabels mit r t r3: H4 = 0.

(3.189)

Die Herleitung und die Begründung der Ergebnisse werden in der Übungsaufgabe 3.28 verlangt.

Bild 3.85 Magnetfeld eines Koaxialkabels

Bild 3.86 Magnetische Feldstärke H = f (r) eines Koaxialkabels

3.4 Das magnetische Feld

237

Permeabilität und Hysteresekurve Für ein inhomogenes magnetisches Feld im materieerfüllten RaumG
gilt für jeden Feldpunkt mit G
der magnetischen Induktion

B und der magnetischen Feldstärke H
der Zusammenhang G
G
G
G
(3.190)

B = P ·

H = P0 · Pr ·

H = Pr · B
0 mit G
G
(3.191)
.

B 0 = P0 · H Die relative Permeabilität Pr gibt an, auf welchen Wert B die Induktion B0 eines magnetischen Kreises durch Einbringen von Materie erhöht oder erniedrigt wird: B = Pr · B0 Pr

mit

B0 Induktion im Vakuum

B B0

(3.192)

Ist Pr < 1, dann handelt es sich um diamagnetische Stoffe. Beispiele diamagnetischer Stoffe sind: Materie, chemisches Zeichen Antimon Kupfer Quecksilber Silber Wasser Wismut

Sb Cu Hg Ag H2O Bi

Pr 0,999 946 0,999 990 0,999 975 0,999 981 0,999 991 0,999 830

Physikalische Erklärung des Diamagnetismus: Mit der Bahnbewegung eines Elektrons – also eine bewegte Ladung – ist ein Magnetfeld verbunden, das Elementarmagnet oder magnetischer Dipol genannt wird. In Materie sind die magnetischen Elementardipole regellos verteilt, so dass sie sich im Mittel gegenseitig aufheben. Befindet sich die Materie jedoch in einem Magnetfeld, dann werden die bewegten Elektronen abgelenkt. Dadurch werden die magnetischen Elementardipole ausgerichtet, und zwar so, dass sie dem äußeren Feld insgesamt entgegenwirken. Das im Atomverband erzeugte resultierende magnetische Feld versucht das äußere Magnetfeld zu hemmen. Bei gleicher magnetischer Feldstärke H ist also bei diamagnetischen Stoffen die magnetische Induktion B geringfügig kleiner als die Induktion B0 im Vakuum. Diese diamagnetische Eigenschaft besitzen alle Materialien. Ist Pr > 1, dann handelt es sich um paramagnetische Stoffe. Beispiele paramagnetischer Stoffe sind: Materie, chemisches Zeichen Aluminium Luft Sauerstoff Platin Zinn

Al 02 Pt Sn

Pr 1,000 022 0 1,000 000 4 1,000 001 3 1,000 360 0 1,000 003 8

238

3 Das elektromagnetische Feld

Physikalische Erklärung des Paramagnetismus: Bei paramagnetischen Stoffen (para bedeutet gleich – griechisch) wird das äußere Magnetfeld durch ein inneres Magnetfeld – das so genannte magnetische Moment – verstärkt. Das paramagnetische innere Magnetfeld ist stärker als das diamagnetische Magnetfeld, das – wie oben erwähnt – bei allen Stoffen auftritt. Verursacht wird das paramagnetische Verhalten durch die so genannten Spins, das sind Rotationen der Elektronen um ihre eigene Achse, die sie neben der Bahnbewegung ausführen. Jeweils zwei Elektronen kompensieren ihre dadurch entstehenden magnetischen Momente. Bei paramagnetischen Stoffen fehlt eins dieser Elektronen pro Atom. Das unkompensierte magnetische Moment wird dann durch das äußere Feld ausgerichtet und trägt zum paramagnetischen Verhalten bei. Zusammenfassend kann das diamagnetische und paramagnetische Verhalten jeweils durch die Abhängigkeit der magnetischen Induktion von der magnetischen Feldstärke beschrieben werden: Die Kurven der Funktion B = f (H) sind Geraden mit unterschiedlicher Steigung, weil die Permeabilität von diamagnetischen und paramagnetischen Stoffen konstant und unabhängig von der magnetischen Feldstärke ist. Wie die Zahlenwerte für die relativen Permeabilitäten zeigen, sind die Unterschiede der Anstiege kaum messbar.

Bild 3.87 Permeabilität diamagnetischer und paramagnetischer Stoffe

Ist Pr >>1, dann spricht man von ferromagnetischen Stoffen („ferrum“ bedeutet Eisen). Beispiele ferromagnetischer Stoffe: Eisen (Fe), Kobalt (Co) und Nickel (Ni).

Physikalische Erklärung des Ferromagnetismus: Bei ferromagnetischen Stoffen werden pro Atom mehr als ein magnetisches Spinmoment eines Elektrons nicht kompensiert. Bei Eisen wirken die magnetischen Momente von vier Elektronen, bei Kobalt von drei Elektronen und bei Nickel von zwei Elektronen. Die resultierenden Spinmomente ergäben nur ein stark paramagnetisches Verhalten. Da sich jedoch benachbarte Spinmomente gegenseitig beeinflussen, indem sie sich in Stoffbereichen – den so genannten Weißschen Bezirken – magnetisch ausrichten, nehmen beim Auftreten eines äußeren magnetischen Feldes ganze Stoffbereiche spontan die Richtung des äußeren Feldes an. Dieses spontane Ausrichten der Bereiche nennt man Klappen der Weißschen Bezirke. Die resultierenden Spinmomente unterstützen also das äußere magnetische Feld.

3.4 Das magnetische Feld

239

Bild 3.88 „Klappen“ der Weißschen Bezirke bei ferromagnetischen Stoffen

Die Permeabilität Pr ist bei ferromagnetischen Stoffen von der magnetischen Feldstärke abhängig: Pr = f (H),

(3.193) G
der
und der magnetischen Feldstärke G
Zusammenhang zwischen der magnetischen Induktion B

H ist nichtlinear und nicht eindeutig. Der typische Verlauf der Abhängigkeit B = f(H) für weichmagnetische und hartmagnetische Werkstoffe ist die so genannte Hysteresekurve, die mit Hilfe einer Spule mit Eisenkreis messtechnisch ermittelt werden kann: Bei der ersten Magnetisierung des Werkstoffs – d. i. die Stromerhöhung von Null aus – verläuft die BH-Kennlinie nach der Neukurve in die Sättigung. Der Sättigungszustand des magnetischen Werkstoffs bedeutet, dass sich die magnetische Induktion bei weiterer Erhöhung der magnetischen Feldstärke – also des Stroms – nur unwesentlich erhöht, d. h. praktisch den Wert Bs erreicht.

Bild 3.89 Hysteresekurve

Bei Rücknahme der magnetischen Feldstärke zu Null, d. h. des Stroms zu Null, bleibt eine Restinduktion, die so genannte Remanenz Br, im Werkstoff erhalten. Um die Remanenz zu beseitigen, muss eine Magnetisierung in umgekehrter Richtung erfolgen, d. h. der Strom muss umgekehrt durch die Magnetspule fließen. Die notwendige magnetische Feldstärke heißt Koerzitivfeldstärke und beträgt – Hk. Bei weiterer Erhöhung der magnetischen Feldstärke in umgekehrter Richtung geht die magnetische Induktion ebenfalls in die Sättigung mit dem gleichgroßen negativen Induktionswert –Bs.

240

3 Das elektromagnetische Feld

Wird der Strom zu Null, verschwindet auch die Magnetisierung, und es verbleibt im Magnetmaterial eine gleichgroße negative Restinduktion –Br, die bei der positiven Koerzitivfeldstärke Hk verschwindet. Die Hysteresekurve ist also symmetrisch, wenn die Magnetisierung des Magnetwerkstoffs jeweils die magnetische Induktion in die Sättigung treibt. Erfolgt die Umkehr der magnetischen Feldstärke – also des Stroms – vor der Sättigung, dann entstehen partielle Hysteresekurven innerhalb der Hysteresekurve mit den Sättigungswerten. Messtechnische Aufnahme der Hysteresekurve: Die Hysteresekurve kann mit Hilfe eines homogenen Eisenkreises auf einem Speicheroszilloskopen aufgenommen werden, indem die Hallspannung die magnetische Induktion B und die Spannung an einem stromdurchflossenen Widerstand die magnetische Feldstärke H erfasst.

Bild 3.90 Messtechnische Aufnahme der Hysteresekurve

Der Zusammenhang zwischen der Hallspannung und der Induktion wird im Abschnitt 3.4.8.2 behandelt. Magnetische Werkstoffe Weichmagnetische Werkstoffe besitzen hohe Permeabilitäten, kleine Koerzitivfeldstärken, geringe Remanenzen, hohe Sättigungsinduktionen und geringe Magnetisierungsverluste. Die Hk-Werte liegen unterhalb 400A/m. Beispiele von weichmagnetischen Werkstoffen sind: Gusseisen, Temperguss, Dynamobleche I bis IV, Hyperm, Mu-metall, Permalloy, reines Kobalt, reines Nickel, reines Eisen, weichmagnetische Ferrite der Niederfrequenztechnik und Hochfrequenztechnik. Hartmagnetische Werkstoffe werden zur Herstellung von Dauermagneten verwendet und besitzen deshalb Hk-Werte, die zwischen 1 000 und 5000A/m liegen. Beispiele von hartmagnetischen Werkstoffen sind: legierte Kohlenstoffstähle, Federstähle, AlNiCo, Platineisen, hartmagnetische Ferrite. Die magnetischen Eigenschaften werden vor allem durch das Kristallgefüge (mechanische Spannungen), Alterung (Veränderung der Hysteresekurve durch Gefügealterung) und die Temperatur (oberhalb des Curiepunktes verschwinden die magnetischen Eigenschaften, z. B. bei Eisen bei 770ºC) bestimmt. Die nichtlineare und nichteindeutige Hysteresekurve lässt sich nicht analytisch erfassen. Deshalb wird bei der Dimensionierung magnetischer Kreise folgendermaßen verfahren: Für Dauermagnetkreise (hartmagnetische Werkstoffe) wird der 2. Quadrant der BH-Kurve – die so genannte Entmagnetisierungskurve – verwendet, (siehe Abschnitt 3.4.5.3)

3.4 Das magnetische Feld

241

Für geschlossene magnetische Kreise mit weichmagnetischen Werkstoffen wird die messtechnisch ermittelte Magnetisierungskurve (vom Hersteller geliefert) durch eine nichtlineare eindeutige Kurve angenähert. Die B- und H-Werte werden dann aus der Kurve entnommen. In Ausnahmefällen kann die BH-Kurve durch eine Gerade angenähert werden, d. h. es wird eine konstante Permeabilität angenommen. Nur dann kann mit magnetischen Widerständen gerechnet werden. Die Berechnung geschlossener magnetischer Kreise mit weichmagnetischen Werkstoffen und Luftspalten wird im Abschnitt 3.4.5.1 behandelt. Wegen der hohen Permeabilität „leiten“ die Magnetwerkstoffe den magnetischen Fluss zum Luftspalt. Beispiel für die Berechnung mit der BH-Kurve: Eine Toroid- oder Kreisringspule mit einer Windungszahl w = 60 und einem mittleren Durchmesser D = 80mm enthält einen Eisenkern aus Stahlguss, dessen mittlere Magnetisierungskurve für die einseitige Magnetisierung gegeben ist.

Bild 3.91 Magnetisierungskurve B = f (H) von Stahlguss

Sie wird einmal von einem Strom I1 = 0,6A und zum anderen von dem dreifachen Strom I2 = 1,8A durchflossen. Die magnetischen Feldstärken H1 und H2 und die magnetischen Induktionen B1 und B2 mit und ohne Eisenkern sind zu bestimmen. Lösung: Die Toroidspule wird als homogenes Feld angesehen, so dass vom Durchflutungssatz für homogene Felder (Gl. 3.161) ausgegangen werden kann: 4 = V = H · l. Mit 4 = I · w und l = D · S ergibt sich die Formel für die magnetische Feldstärke

I˜w . D˜S Die magnetische Feldstärke ist die vom Material unabhängige feldbeschreibende Größe, unterscheidet sich also nur durch die Ströme: H=

H1 =

0,6 A ˜ 60 3,14 ˜ 80 ˜103 m

143

A , m

H2 =

1,8 A ˜ 60 3,14 ˜ 80 ˜103 m

430

A . m

Enthält die Toroidspule keinen Eisenkern, dann betragen die Induktionen Vs A B01 = P0 · H1 = 1,256 · 10-6 ·143 = 0,18 mT, B02 = 3 · B01 = 0,54 mT. Am m

242

3 Das elektromagnetische Feld Besteht der Kern der Toroidspule aus Stahlguss, dann müssen die Induktionen aus der Magnetisierungskurve B = f (H) abgelesen werden: B1 = 0,6T

und

B2 = 1,2T.

Der Vergleich der ermittelten Werte zeigt: 1. Die Induktionen werden bei Verwendung des Stahlgusskerns bei 0,6A um das 3 300fache und bei 1,8A um das 2 200fache verstärkt, und zwar im Vergleich zur Luftspule. 2. Je größer der Strom und die Magnetisierung, um so mehr nimmt die Induktionsverstärkung ab. Der Kern wird mit größer werdendem Strom in den Sättigungszustand versetzt.

3.4.4 Das Verhalten des magnetischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Permeabilitäten Ein magnetisches Feld in einem homogenen MaterialG
wird durch ein Feldbild veranschaulicht, G
das in Richtung und Betrag den

B -Vektoren oder H
-Vektoren entspricht. Besteht der magnetische Kreis ausG
verschiedenen Magnetmaterialien, dann können sich die Beträge der G


B -Vektoren und H
-Vektoren und ihre Richtungen unterschiedlich verändern. In der Praxis sind nur Schichtungen quer zu den Feldlinien (Querschichtung) und längs zu den Feldlinien (Längsschichtung) interessant. Die bei Schrägschichtung auftretende Richtungsänderung der feldbeschreibenden Größen wird durch das Brechungsgesetz erfasst. Im folgenden soll das Magnetmaterial nur aus jeweils zwei Stoffen verschiedener Permeabilitäten bestehen. Querschichtung Die Trennschicht verläuft bei Querschichtung quer zu den Feldlinien, also längs einer Fläche, die von den Feldlinien senkrecht durchdrungen wird. In beiden Stoffen und an der Grenzschicht bleibt die magnetische Flussdichte (Induktion) gleich, weil der magnetische Fluss ) und die Querschnittfläche A unverändert bleiben: B1 = B2.

(3.194)

Sind die Permeabilitäten der beiden Stoffe P1 und P2, dann ergibt sich mit B1 = P1 · H1

und

B2 = P2 · H2

P1 · H1 = P2 · H2 H1 P 2 P r 2 . (3.195) H 2 P1 P r1 Die magnetischen Feldstärken (magnetische Erregung) in den beiden Stoffen sind unterschiedlich, und zwar umgekehrt proportional wie die relativen Permeabilitäten.

Bild 3.92 B-Feld und H-Feld bei Querschichtung

3.4 Das magnetische Feld

243

Längsschichtung Liegt die Trennschicht zwischen zwei verschiedenen Magnetmaterialien auf Feldlinien, dann ist die magnetische Spannung V = H1 · l = H2 · l für die Länge l gleich, so dass auch die magnetischen Feldstärken (magnetische Erregung) in beiden Stoffen gleich sind: H 1 = H2 .

(3.196)

Sind die Permeabilitäten der beiden Stoffe P1 und P2, dann ergibt sich mit H1

B1 P1

B1 P1

B2 P2

B1 B2

P1 P2

und

H2

B2 P2

P r1 . Pr2

(3.197)

Bei Längsschichtung verhalten sich die magnetischen Induktionen wie die zugehörigen Permeabilitäten.

Bild 3.93 B-Feld und H-Feld bei Längsschichtung

Die unterschiedliche Induktionsverteilung lässt sich auch über magnetische Widerstände Rm1 und Rm2 erklären, die parallel geschaltet sind. Der größere magnetische Fluss )2 tritt im kleineren magnetischen Widerstand Rm2 auf. Wegen P1 < P2 ist Rm2 < Rm1. Die magnetischen Spannungen sind gleich: V = )1 · Rm1 = )2 · Rm2

(3.198)

Bild 3.94 Ersatzschaltung der Längsschichtung

244

3 Das elektromagnetische Feld

Ungleichartig zusammengesetzte Magnetmaterialien Längs- oder Querschichtungen ändern die Gestalt der Feldlinien nicht, lediglich die Dichte wird eine andere. Wenn jedoch die Schichtung den Feldraum schräg durchzieht oder eine unregelmäßige Materialverteilung vorliegt, dann ändern sich die Richtungen der Feldlinien. Verläuft die Trennfläche zwischen den verschiedenen Magnetmaterialien nicht senkrecht oder parallel zu den Feldlinien, so tritt an der Trennfläche eine Brechung ein. Das hierfür gültige Brechungsgesetz soll mit Hilfe eines schräg geschichteten Magnetmaterials abgeleitet werden.

Bild 3.95 Brechungsgesetz für schräg geschichtete Magnetmaterialien

G
G
Die schräg auf die Trennfläche auftreffenden Vektoren B und in eine NormalH 1
G

1 werden G
G
G
H komponente

B1n bzw.

H1n und eine Tangentialkomponente B bzw. zerlegt und auf die
1t
1t Ergebnisse der Querschichtung und Längsschichtung bezogen:

Die Normalkomponenten der magnetischen Induktionen (entspricht Querschichtung) und die Tangentialkomponenten der magnetischen Feldstärken (entspricht Längsschichtung) sind gleich: B1n = B2n

(3.199)

H1t = H2t

(3.200)

Einfache Dreiecksbetrachtungen führen zu Aussagen über die Normalkomponenten der magnetischen Feldstärken (entspricht Querschichtung) und die Tangentialkomponenten der magnetischen Induktionen (entspricht Längsschichtung): B1n = B2n

H1t = H2t

B1 · cos D1 = B2 · cos D2

H1 · sin D1 = H2 · sin D2

P1 · H1 · cos D1 = P2 · H2 · cos D2

B1 ˜ sin D1 P1

P1 · H1n = P2 · H2n

B1t P1

B 2t P2

B1t B 2t

P1 P2

H1n H 2n

P2 P1

(3.201)

B2 ˜sin D 2 P2

(3.202)

3.4 Das magnetische Feld

245

Magnetische Flusslinien und Feldstärkelinien werden unter dem gleichen Winkel gebrochen: Mit H1 · sin D1 = H2 · sin D2 und P1 · H1 · cos D1 = P2 · H2 · cos D2 ergibt sich tan D1

tan D 2

P1

P2

und tan D1 tan D 2

μ1 . μ2

(3.203)

Beim Übergang von einem Magnetmaterial in das andere ändert sich sowohl die magnetische Flussdichte (Induktion) als auch die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung), und zwar im entgegengesetzten Ausmaß. Beispiel: Übergang der Feldlinien von Eisen in Luft und umgekehrt Die Feldlinien treffen unter einem Winkel von 30º auf die Trennfläche Eisen/Luft auf. Mit Hilfe der Gl. 3.203 lässt sich der Austrittswinkel errechnen: P tan D2 = 2 ˜ tan D1 P1 mit P1 >> P2

(ca. 4 000 : 1)

und tan D1 = tan 30º = 0,58 ergibt sich tan D2 = 0 und D2 = 0. Die magnetischen Feldlinien treten senkrecht aus Eisen in Luft aus und senkrecht von Luft in Eisen ein.

Bild 3.96 Magnetische Feldlinien beim Übergang von Eisen und Luft und umgekehrt

246

3 Das elektromagnetische Feld

3.4.5 Berechnung magnetischer Kreise 3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise Formung des magnetischen Feldes durch ferromagnetische Stoffe Die große relative Permeabilität ferromagnetischer Stoffe ermöglicht den von stromdurchflossenen Spulen verursachten magnetischen Fluss in vorbestimmte Bahnen zu konzentrieren und dabei tausendfach zu verstärken. Beispiel: Das schwache magnetische Feld einer Spule ohne Eisenkern (Luftspule) wird durch ein Eisenstück im Innern der Spule oder durch einen Eisenkreis mit oder ohne Luftspalt verformt und verstärkt.

Bild 3.97 Formung des magnetischen Feldes durch ferromagnetische Stoffe

Streufluss, Nutzfluss und Streufaktor Der im Luftspalt notwendige magnetische Fluss )L und damit die magnetische Induktion BL kann zu niedrig angesetzt sein, weil nicht der gesamte durch die Durchflutung 4 verursachte magnetische Fluss ) durch den Luftspalt verläuft. Der im Luftspalt sicher vorhandene Fluss )L ist gleich dem Fluss, der in den beweglichen Kern wieder eintritt: )L = )N.

(3.204)

Bild 3.98 Streufluss und Nutzfluss

3.4 Das magnetische Feld

247

Da dieser magnetische Fluss in Form von Kräften genutzt werden kann, wird er Nutzfluss )N genannt. Der Teil des magnetischen Flusses, der sich auf anderen Wegen über Luft kurzschließt, also nicht in den beweglichen Kern eintritt, heißt Streufluss )S. Dieser magnetische Fluss )S ist nicht direkt messbar. Der Gesamtfluss ), der durch die Durchflutung 4 hervorgerufen wird, ist also gleich der Summe des Nutzflusses und des Streuflusses: ) = ) N + ) S.

(3.205)

Als Streufaktor V wird das Verhältnis des Streuflusses zum Gesamtfluss definiert: V=

)S )

)S . ) N  )S

(3.206)

Für den Nutzfluss ergibt sich damit )N = )L = ) – )S = ) – V · ) )N = )L = (1 – V) · ).

(3.207)

Mit wachsender Luftspaltlänge lL nimmt die Streuung und damit der Streufaktor V zu (V = f(lL) im Bild 3.99). Bei praktischen Berechnungen wird eine Streuung von 5 % bis 20 % je nach Anordnung und Luftspaltlänge angenommen, um die geforderte Luftspaltinduktion BL sicherzustellen.

Bild 3.99 Abhängigkeit des Streufaktors V von der Luftspaltlänge lL

Ausweitung der Feldlinien am Luftspalt Am Luftspalt nimmt der magnetische Fluss )L eine größere Fläche als im Eisenkern ein, weil sich dort die Flusslinien ausdehnen können. Würde die Ausweitung der Feldlinien nicht durch einen Korrekturfaktor berücksichtigt werden, also die Luftspaltfläche AL gleich der Kernfläche AK angenommen, dann könnte die Luftspaltinduktion BL nicht die geforderten Werte erreichen: )L )L ! AK AL

mit

AL > AK.

248

3 Das elektromagnetische Feld

Bild 3.100 Ausweitung der Feldlinien an einem Luftspalt

Die Fläche AL kann nur grob geschätzt werden, weil die Luftspaltinduktion kontinuierlich nach außen abnimmt. Auf die Korrekturen, die von der Luftspaltlänge und der Größe der Polflächen abhängen, darf bei größeren Luftspaltlängen lL nicht verzichtet werden: AL AK

1,03 ... 1,10 .

(3.208)

Bild 3.101 Korrekturfaktor für die Berücksichtigung der Ausweitung der Feldlinien am Luftspalt

Eisenfüllfaktor Um Wirbelströme zu vermindern, wird der Eisenkern nicht massiv verwendet, sondern in Blechen gepackt, die gegeneinander elektrisch isoliert sind. Die Bleche sind einseitig oder beidseitig mit Isolierstoff bestrichen und getrocknet. Das Blechpaket besteht also z. B. nur aus 85 % Eisen, in dem der magnetische Fluss konzentriert wird, also die magnetischen Flusslinien verlaufen: fFe =

A Fe AK

(3.209)

mit AK: Kernfläche und AFe: Eisenfläche z. B. fFe = 0,85.

Bild 3.102 Eisenfüllfaktor

3.4 Das magnetische Feld

249

Berechnung der magnetischen Induktion im Eisen bei gegebener Luftspaltinduktion Werden im gezeichneten Eisenkreis mit Luftspalt die Streuung, die Ausweitung der Feldlinien am Luftspalt und der Eisenfüllfaktor berücksichtigt, dann lassen sich Formeln für die magnetischen Induktionen im Eisen bei vorgegebener magnetischer Luftspaltinduktion herleiten. Mit )N = )L = (1 – V) · ).

(3.210)

BN · AFe = BL · AL = (1 – V) · B · AFe ergeben sich die Formeln für BN und B.

Bild 3.103 Eisenkreis mit Luftspalt

Wird der linke Teil der Gleichung berücksichtigt und mit 1/AK erweitert, lässt sich die magnetische Induktion BN, die sich im beweglichen Eisenteil befindet, in Abhängigkeit von der Luftspaltinduktion BL angeben: BN = BL ·

AL A Fe

AL A BL ˜ K A Fe AK

(3.211)

mit

AL = 1,03 ... 1,10 AK

Ausweitung der Feldlinien

und

A Fe = fFe AK

Eisenfüllfaktor

Wird entsprechend nur die rechte Seite obiger Gleichung berücksichtigt und mit 1/AK erweitert, dann ergibt sich die Abhängigkeit der Gesamtinduktion B in Abhängigkeit von der Luftspaltinduktion BL: A 1 B = BL · L ˜ A Fe 1  V

AL AK 1 BL ˜ ˜ A Fe 1  V AK

mit

AL = 1,03 ... 1,10 AK

Ausweitung der Feldlinien

und

A Fe = fFe AK

Eisenfüllfaktor

und 1 – V

(3.212)

Streuung

Sowohl im Luftspalt als auch im Eisen wird jeweils ein homogener Feldverlauf angenommen.

250

3 Das elektromagnetische Feld

Aufgabenstellungen bei der Berechnung geschlossener Magnetkreise In der Praxis werden grundsätzlich zwei Aufgabenstellungen unterschieden, auf die im Folgenden ausführlich eingegangen werden soll: Aufgabenstellung 1: Gegeben:

magnetische Induktion B oder der magnetische Fluss ) an einer Stelle des Magnetkreises, insbesondere die Luftspaltinduktion BL Magnetisierungskurven B = f (H) der Magnetmaterialien des magnetischen Kreises Gestalt und Abmessungen des magnetischen Kreises erforderliche Durchflutung 4

Gesucht:

Aufgabenstellung 2: Gegeben:

Durchflutung 4 Magnetisierungskurven B = f (H) der Magnetmaterialien des magnetischen Kreises Gestalt und Abmessungen des magnetischen Kreises magnetische Induktion B oder der magnetische Fluss )

Gesucht:

Zu Aufgabenstellung 1: Lösungsweg bei der Berechnung der Durchflutung 4 bei vorgegebener Induktion BL: 1. Ansatz für die Durchflutung nach dem Durchflutungssatz für homogene Teilfelder (Gl. 3.162): m

4=

¦

m

Vi

i 1

¦ H i ˜ li .

i 1

2. Berechnung der magnetischen Feldstärke (magnetische Erregung) im Luftspalt HL aus der gegebenen Luftspaltinduktion BL : HL =

BL . P0

3. Ermittlung der magnetischen Feldstärken (magnetische Erregung) in den homogenen Teilfeldern aus Eisen nach den Formeln (Gl. 3.211 und 3.212) und mit Hilfe der Magnetisierungskurven B = f (H) nach Bild 3.104.

Bild 3.104 Ablesen der magnetischen Feldstärken aus den Induktionen

4. Berechnung der mittleren Feldlinienlängen im Eisen des magnetischen Kreises. 5. Berechnung der magnetischen Spannungen Vi in den Eisenabschnitten und im Luftspalt und Berechnung der Durchflutung 4.

3.4 Das magnetische Feld

251

Sind die magnetische Induktion in einem Eisenabschnitt oder der magnetische Fluss gegeben, dann muss der Lösungsweg entsprechend geändert werden, wobei die Gleichungen 3.210 bis 3.212 umgestellt werden. Beispiel 1: Für den Luftspalt der skizzierten Magnetanordnung ist eine magnetische Induktion BL = 0,95T gefordert. Die Magnetisierungskennlinie des Kernmaterials Stahlguss ist gegeben und im Bild 3.106 dargestellt. Die Abmessungen des magnetischen Kreises betragen: AFe1 = AFe2 = 80cm2, lFe1 = 60cm

lL/2 = 3mm

lFe2 = 50cm.

Bild 3.105 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise, Beispiel 1

Die Streuung wird auf 15 % geschätzt, und der Einfluss der Feldlinienausweitung am Luftspalt und der Eisenfüllfaktor werden zu dem Flächenverhältnis AFe1/AL = AFe2/AL = 0,9 zusammengefasst. Zu ermitteln sind die magnetischen Feldstärken (magnetische Erregung), die magnetischen Induktionen und die magnetischen Spannungen der einzelnen Abschnitte und die notwendige Durchflutung. Lösung: Zu 1. Ansatz für die Durchflutung Der Durchflutungssatz für homogene Teilfelder erfasst die Durchflutung 4 und die magnetischen Spannungen der drei Abschnitte des homogenen Kreises; die beiden in Reihe geschalteten magnetischen Widerstände der Luftspalte werden zu einem Abschnitt des Kreises zusammengefasst. Die magnetische Spannung aufgrund des Streuflusses ist nicht zu fassen, weil der entsprechende magnetische Widerstand nicht berechenbar ist. Deshalb lautet der Durchflutungssatz 4 = HL ˜ 2 ˜

lL  H Fe 1 ˜ lFe 1  H Fe 2 ˜ l Fe 2 . 2

(3.213)

Wegen der Streuung ist der magnetische Fluss im Eisenabschnitt 2 kleiner als im Eisenabschnitt 1; deshalb müssen auch die magnetische Induktion und die magnetische Feldstärke in diesen Abschnitten unterschiedlich sein (vgl. Bilder 3.98 und 3.103).

252

3 Das elektromagnetische Feld Zu 2.

Berechnung der magnetischen Feldstärke im Luftspalt

HL =

Zu 3.

0,95

BL

P0

Vs m2

1,256 ˜ 10 6

Vs Am

756,37 ˜ 103 ˜

A m

Ermittlung der magnetischen Feldstärken in den homogenen Teilfeldern aus Eisen Eisenabschnitt 1: Nach Gl. 3.212 ergibt sich für

BFe 1 = B L ˜

AL 1 ˜ A Fe 1  V

0,95 T ˜

1 1 ˜ 1,24 T 0,9 1  0,15

(3.214)

Bild 3.106 Ablesen der magnetischen Feldstärken aus der Magnetisierungskurve von Stahlguss im Beispiel 1

Aus der Magnetisierungskennlinie wird eine magnetische Feldstärke von HFe1 = 480

A m

abgelesen. Eisenabschnitt 2: Nach Gl. 3.211 ergibt sich für A BFe 2 BL ˜ L A Fe BFe 2

0,95 T ˜

abgelesen wird

H Fe 2

340

A . m

1 0,9

1,06 T,

3.4 Das magnetische Feld Zu 4.

Berechnung der mittleren Feldlinienlängen in Eisen Die mittleren Feldlängen sind gegeben, so dass sie nicht berechnet werden müssen: lFe1 = 60cm

Zu 5.

253

und

lFe2 = 50cm.

Berechnung der magnetischen Spannungen und der Durchflutung 4 = HL · lL + HFe 1 · lFe 1 + HFe 2 · lFe 2 4 = 756,37 · 103

A A A · 6 · 10–3 m + 480 · 0,6 m + 340 · 0,5 m m m m

4 = 4 538A + 288A + 170 A = 4 996A. Die magnetische Spannung des Luftspalts ist wegen des hohen magnetischen Widerstands wesentlich größer als die magnetischen Spannungen in den beiden Eisenabschnitten.

Würde die Magnetisierungskennlinie durch eine Gerade angenähert, also die Permeabilität P konstant angenommen werden, könnte mit magnetischen Widerständen gerechnet werden. Das Ersatzschaltbild für den magnetischen Kreis mit elektrischen Schaltsymbolen ist im Bild 3.107 dargestellt.

Bild 3.107 Ersatzschaltbild für den magnetischen Kreis des Beispiels 1

In Reihe geschaltete magnetische Widerstände werden wie elektrische Widerstände zusammengefasst: n

Rm

¦ R mi

(3.215)

i 1

d. h. die beiden Luftspaltwiderstände liegen in Reihe und ergeben den magnetischen Gesamtwiderstand

R mL =

lL . μ0 × AL

254

3 Das elektromagnetische Feld

Der Durchflutungssatz für die linke „Masche“ im Bild 3.107 lautet, ausgedrückt in magnetischen Flüssen und magnetischen Widerständen nach Gl. 3.157: 4 = )Fe 1 · Rm Fe 1 + )Fe 2 · Rm Fe 2 + )L · RmL. Mit )Fe 1 = )Fe 2 + )S = )Fe 2 + V · )Fe 1 und

) Fe1

) Fe2 1 V

)L 1 V

und

) Fe2 ) L

ergibt sich 4=

)L R  ) L ˜ R m Fe 2  ) L ˜ R mL 1  V m Fe1

und mit

)L = BL · AL

und

Rm Fe 1 =

und

lFe1 P ˜ A Fe1

R mL

und

lL P 0 ˜ AL

Rm Fe 2 =

lFe 2 P ˜ A Fe2

ist 4= 4=

B ˜A ˜l B ˜A ˜l B L ˜ A L ˜ lFe1  L L Fe2  L L L (1 V) ˜P ˜ A Fe1 P ˜ A Fe2 P ˜ A L B L ˜ lFe1 B ˜l B ˜l  L Fe2  L L . A Fe1 A Fe2 P (1 V) ˜P ˜ P˜ AL AL

Im Bild 3.106 ist die Magnetisierungskurve durch eine Gerade angenähert, deren Steigung ein Maß für die Permeabilität P des Stahlguss ist: P=

B Fe H Fe

Pr =

P P0

1,6 Vs / m 2 500 A / m

0,003 2

Vs Am

mit 0,0032 Vs/ Am 1,256 ˜106 Vs / Am

2 548 .

Werden sämtliche Zahlenwerte eingesetzt, lässt sich eine um ca. 1 % abweichende Durchflutung berechnen: Vs Vs Vs 0,95 ˜ 0,6 m ˜ 0,5 m 0,95 ˜ 6 ˜ 103 2 2 2 m m m   4= Vs Vs Vs 0,85 ˜ 0,0032 ˜ 0,9 0,0032 ˜ 0,9 1,256 ˜ 106 Am Am Am 0,95

4 = 233 A + 165 A + 4 538 A = 4 936 A. Die Annäherung der nichtlinearen Magnetisierungskurve durch eine Gerade wirkt sich nur auf die magnetischen Spannungen der Eisenabschnitte aus.

3.4 Das magnetische Feld

255

Beispiel 2: Auf dem Mittelschenkel eines aus M65-Stahlgussblechen gefertigten Kerns soll eine Spule angebracht werden, deren Durchflutung in Abhängigkeit von der Luftspaltinduktion ermittelt werden soll. Der Eisenfüllfaktor beträgt 85 % und die Streuung 5 %. Nachdem der Ansatz für die Durchflutung aufgestellt und begründet ist, sollen für folgende BL-Werte 0 0,4 0,8 1,2 1,4 1,6 T die zugehörigen VL-Werte, VFe-Werte und 4-Werte ermittelt werden. Die Magnetisierungskurve für Stahlguss ist im Bild 3.109 angegeben.

Bild 3.108 M65 -Stahlgussbleche für das Beispiel 2

Lösung: Zu 1. Ansatz für die Durchflutung Der verzweigte magnetische Kreis ist symmetrisch, deshalb genügt ein Umlauf der „Masche“ bei Anwendung des Durchflutungssatzes für homogene Teilfelder. Die Ermittlung der Durchflutung ist genau genug, wenn angenommen wird, dass im Eisen der magnetische Gesamtfluss bis an den Luftspalt heran auftritt, und im Luftspalt der um den Streufluss verminderte Gesamtfluss vorhanden ist. Denn es ist nicht abzuschätzen, wo der Streufluss aus dem Eisen austritt und wieder in das Eisen eintritt. Deshalb besteht die rechte Seite des Durchflutungssatzes nur aus zwei Anteilen, der magnetischen Spannung im Eisen und der magnetischen Spannung des Luftspalts: 4 = HL · lL + HFe · lFe Zu 2.

Berechnung der magnetischen Feldstärke im Luftspalt Die gegebenen BL- Werte werden in die Formel HL

Zu 3.

(3.216)

BL P0

eingesetzt und die HL-Werte berechnet, die in folgender Tabelle zusammengefasst sind. Ermittlung der magnetischen Feldstärke im Eisen Mit Gl. 3.212 und AL/AK = 1 B Fe

BL ˜

1 1 ˜ f Fe 1 V

BL 0,85 ˜ 0,95

(3.217)

lassen sich die BFe- Werte errechnen. Aus der Magnetisierungskurve können dann die HFe- Werte abgelesen werden. Die Wertepaare (HFe, BFe) sind ebenfalls in folgender Tabelle erfasst.

256

3 Das elektromagnetische Feld

Bild 3.109 Magnetisierungskurve von Stahlguss (Anfangskurve gestreckt) für das Beispiel 2 Zu 4.

Berechnung der mittleren Feldlinienlänge im Eisen Aus Bild 3.108 lassen sich die Maße ablesen und in folgender Formel berücksichtigen: f lFe = 2 a – 2 c + b – c – – lL (3.218) 2 lFe = (130 – 20 + 65 – 10 – 10 – 1) mm = 154 mm.

Zu 5.

Berechnung der magnetischen Spannungen im Eisenabschnitt und im Luftspalt Die magnetischen Feldstärken und die mittleren Feldlinienlängen lL = 1 mm und lFe werden in die Gleichungen VL = HL · lL und VFe = HFe · lFe und 4 = VL + VFe eingesetzt und die Rechenergebnisse in folgender Tabelle ebenfalls aufgeführt:

BL

HL

BFe

T

103 A/m 0 318,5 636,9 955,4 1 115 1 274

T

0 0,4 0,8 1,2 1,4 1,6

0 0,495 0,991 1,486 1,734 1,981

HFe A/m 0 120 280 1 900 9 000 30 000

VFe A 0 18,5 43,1 292,6 1 386 4 620

VL A 0 318,5 636,9 955,4 1 115 1 274

4 A 0 337 680 1 248 2 501 5 894

Aus der Darstellung der Rechenergebnisse in einem Diagramm lässt sich erkennen, dass der Kern nur für magnetische Induktionen im Luftspalt bis höchstens 1,2T verwendet werden soll, weil bei größeren Luftspaltinduktionen die aufzuwendende Durchflutung praktisch nur zur Erhöhung der magnetischen Spannung im Eisen führt.

3.4 Das magnetische Feld

257

Bild 3.110 Darstellung der Rechenergebnisse des Beispiels 2 Mit angenommener konstanter Permeabilität P ließen sich derartige Untersuchungen nicht anstellen, weil die Nichtlinearität der Magnetisierungskurve – insbesondere bis zur Sättigung – durch eine Gerade nicht berücksichtigt werden kann. Der Ansatz für die Durchflutung des Beispiels 2 lässt sich durch ein entsprechendes Ersatzschaltbild mit elektrischen Schaltsymbolen erklären, wobei die Streuung vernachlässigt werden soll:

Bild 3.111 Ersatzschaltbild des Magnetkreises des Beispiels 2 Parallel geschaltete magnetische Widerstände werden wie elektrische Widerstände zusammengefasst: 1 Rm

n

1

¦ Rm i .

(3.219)

i 1

d. h. die beiden gleich großen magnetischen Widerstände des Eisens, die parallel geschaltet sind, ergeben den halben magnetischen Widerstand:

1 1  R m Fe2 R m Fe2

2 . R m Fe2

258

3 Das elektromagnetische Feld Nach der Zusammenfassung der beiden parallel geschalteten magnetischen Widerstände ist der magnetische Kreis unverzweigt, für den der Durchflutungssatz gilt: 4 = ) · (RmL + RmFe) = ) · RmL + ) · RmFe =HL · lL + HFe · lFe mit

R mFe

R mFe1 

R mFe 2 2

.

Beispiel 3: Im Luftspalt des im Bild 3.112 dargestellten Magnetkreises aus genormten EI-84-Blechen (E-Kern aus Trafoblech IV, I-Kern aus Dynamoblech III, Schichthöhe 28mm, Eisenfüllfaktor 0,85) ist eine magnetische Induktion von 0,8T gefordert, die durch eine stromführende Spule auf dem Mittelschenkel erzeugt werden soll. Die Streuung ist auf 15 % geschätzt, eine Ausweitung der Feldlinien im Luftspalt soll berücksichtigt werden, so dass die Luftspaltfläche 7 % größer als die Kernfläche anzunehmen ist. Nachdem der Ansatz für die Durchflutung angegeben und begründet ist, sind die magnetischen Feldstärken, die magnetischen Spannungen und die Durchflutung zu ermitteln. Die Magnetisierungskurven der beiden Materialien sind im Bild 3.113 gezeichnet.

Bild 3.112 EI-84-Kernblech für das Beispiel 3

Lösung: Zu 1. Ansatz für die Durchflutung 4 = HL · lL + HE · lE + HI · lI.

(3.220)

Begründung des Ansatzes: Der verzweigte magnetische Kreis ist symmetrisch. Deshalb kann er wie ein unverzweigter Magnetkreis behandelt werden. Die magnetischen Feldstärken (magnetische Erregung) im E-Kern und I-Kern sind unterschiedlich, weil der magnetische Fluss im I-Kern wegen der Streuung kleiner ist als im E-Kern und weil die beiden Kerne aus unterschiedlichen Magnetmaterialien bestehen. Zu 2.

Berechnung der magnetischen Feldstärke im Luftspalt

HL

BL P0

0,8

Vs m2

1,256 ˜ 10 6

Vs Am

636,94 ˜ 103

A m

3.4 Das magnetische Feld Zu 3.

259

Ermittlung der magnetischen Feldstärken in den homogenen Teilfeldern aus Eisen Nach Gl. 3.211 ergibt sich für AL 1,07 AK BI BL ˜ 0,8 T ˜ 1,01 T. A Fe 0,85 AK Aus der Magnetisierungskennlinie für Dynamoblech wird eine magnetische Feldstärke von HI

180

A m

abgelesen. Nach Gl. 3.212 ergibt sich für

BE

AL AK BL ˜ ˜ 1 A Fe 1  V AK

0,8 T ˜

1, 07 1 ˜ 0,85 0,85

1,19 T,

abgelesen wird aus der Magnetisierungskennlinie für Trafoblech HE

160

A . m

Bild 3.113 Magnetisierungskurven von Trafoblech IV und Dynamoblech III für das Beispiel 3

260

3 Das elektromagnetische Feld Zu 4.

Zu 5.

Berechnung der mittleren Feldlinienlängen in Eisen Aus Bild 3.112 lassen sich die Maße ablesen und in folgenden Formeln berücksichtigen: lI = g + 2 c = (14 + 2 · 14) mm = 42 mm

(3.221)

lE = 2 e + g + 2 c = (2 · 42 + 14 + 2 · 14) mm = 126 mm.

(3.222)

Berechnung der magnetischen Spannungen und der Durchflutung 4 = HL · lL + HE · lE + HI · lI 4 = 636,94 · 103

A A A · 4 ˜ 10–3 m + 160 · 126 · 10–3 m + 180 · 42 · 10–3 m m m m

4 = 2 547,8 A + 20,2 A + 7,6 A = 2 576 A.

Nachdem der bewegliche I-Kern angezogen hat, wird der Luftspalt auf 0,1mm geschätzt. Jegliche Streuung kann dann vernachlässigt werden. Eine Ausweitung der Feldlinien im Luftspalt ist nicht mehr vorhanden. Wegen der unterschiedlichen Magnetmaterialien besteht die rechte Seite des Ansatzes für die Durchflutung auch aus drei Anteilen: 4 = HL · lL + HE · lE + HI · lI. Die magnetische Feldstärke im Luftspalt bleibt unverändert A , m

HL = 636,94 · 103

weil die magnetische Induktion BL gleich bleiben soll. Die magnetischen Induktionen im I-Kern und im E-Kern sind gleich, weil bei vernachlässigbarer Streuung der gesamte magnetische Fluss durch beide Kerne tritt: BI = BE = BL ·

1 f Fe

0,8 T = 0,94 T. 0,85

Aus der Magnetisierungskurve für Dynamoblech wird die magnetische Feldstärke des I-Kerns abgelesen und ergibt HI

160

A , m

aus der Magnetisierungskurve für Trafoblech kann die magnetische Feldstärke für Trafoblech entnommen werden und ergibt HE

70

A . m

Damit lässt sich die Durchflutung errechnen: 4 = 636,94 · 103

A A A · 0,2 · 10–3 m + 70 · 126 · 10–3 m + 160 · 42 · 10–3 m m m m

4 = 127,4 A + 8,8 A + 6,7 A = 143 A.

Ein angezogener EI-Kern benötigt einen wesentlich kleineren Spulenstrom.

3.4 Das magnetische Feld

261

Beispiel 4: Im skizzierten verzweigten magnetischen Kreis aus Stahlguss soll der magnetische Fluss im mittleren Schenkel )2 = 3 · 10–3 Vs betragen. Die Luftspaltfläche soll gleich der Eisenfläche sein, d. h., der Eisenfüllfaktor und die Ausweitung der Feldlinien im Luftspalt sollen vernachlässigt werden: AFe = AL = 30 cm2 .

Bild 3.114 Magnetkreis des Beispiels 4

Die Längen lFe1 = lFe3 = 110cm mit lFe1 – lL | lFe1, lFe2 = 30cm und die Luftspaltlänge lL = 1mm sind gegeben. Bei vernachlässigbarer Streuung ist die notwendige Durchflutung zu ermitteln. Lösung: Zu 1. Ansatz für die Durchflutung Der verzweigte magnetische Kreis erlaubt drei „Maschenumläufe“ für den Durchflutungssatz, wie das Ersatzschaltbild mit elektrischen Schaltsymbolen (Bild 3.115) verdeutlicht. Es wird für den Ansatz der Umlauf gewählt, der die Durchflutung 4 und die magnetische Spannung berücksichtigt, für den der magnetische Fluss )2 gegeben ist: 4 = HL · lL + HFe1 · lFe1 + HFe2 · lFe2.

(3.223)

Bild 3.115 Ersatzschaltbild für den magnetischen Kreis des Beispiels 4

Zu 2. Ermittlung der magnetischen Feldstärken im Eisen und im Luftspalt bis 5. In diesem Beispiel kann nicht nach dem bisher angewandten Lösungsweg vorgegangen werden, weil nicht BL, sondern )2 gegeben ist. Zunächst wird aus )2 die magnetische Induktion BFe2 berechnet und mit Hilfe der Magnetisierungskurve die zugehörige magnetische Feldstärke HFe2 abgelesen: B Fe2

)2 A Fe

H Fe2

300

3 ˜103 Vs 30 ˜104 m 2

1T

A . m

Dann muss die magnetische Induktion BFe3 ermittelt werden, weil die magnetischen Induktionen BFe1 = BL von BFe2 und BFe3 abhängen: BFe 1

)1 A Fe

) 2  )3 A Fe

)2 )  3 A Fe A Fe

BFe 2  BFe 3 .

(3.224)

262

3 Das elektromagnetische Feld

Bild 3.116 Magnetisierungskurve von Stahlguss für das Beispiel 4

Die magnetischen Induktionen im Abschnitt l und im Luftspalt sind nur gleich, weil keine Streuung und keine Ausweitung der Feldlinien im Luftspalt zu berücksichtigen sind. Da die magnetischen Widerstände Rm 2 und Rm 3 parallel geschaltet sind, müssen auch die magnetischen Spannungen gleich sein: VFe3 = VFe2

(3.225)

HFe3 · lFe3 = HFe2 · lFe2

(3.226)

lFe 2 A 30 A 300 ˜ 81,8 . lFe3 m 110 m Aus der Magnetisierungskurve lässt sich dann BFe3 = 0,26T ablesen. Die magnetischen Spannungen VFe3 und VFe2 können wohl durch magnetische Flüsse und magnetische Widerstände ersetzt werden, aber die magnetischen Widerstände sind wegen der variablen Permeabilität P nicht konstant, so dass nicht mit magnetischen Widerständen gerechnet werden kann. Nun können die restlichen magnetischen Induktionen und magnetischen Feldstärken und die Durchflutung ermittelt werden: HFe3 = HFe2 ·

BFe1 = BFe2 + BFe3 = 1 T + 0,26 T = 1,26 T, abgelesen wird aus der Magnetisierungskurve HFe1 = 500

A . m

Mit BL = BFe1 = 1,26 T

wegen

V=0

und

AL = AFe

lässt sich die magnetische Feldstärke im Luftspalt errechnen: Vs 1,26 2 BL A m HL 1,003 ˜10 6 . m P0 6 Vs 1,256 ˜10 Am Sämtliche mittleren Feldlinienlängen im Eisen und die Luftspaltlänge sind gegeben, so dass die Durchflutung mit dem Ansatz

4 = HL · lL + HFe1 · lFe1 + HFe2 · lFe2 berechnet werden kann: A A A 4 = 1,003 · 106 · 10–3 m + 500 · 1,10 m + 300 · 0,3 m m m m 4 = 1 003 A + 550 A + 90 A = 1 643 A.

3.4 Das magnetische Feld

263

Zu Aufgabenstellung 2: Sind im magnetischen Kreis zwei Voraussetzungen erfüllt, dann ist die Berechnung des magnetischen Flusses oder der magnetischen Induktionen bei gegebener Durchflutung einfach möglich: 1. Der magnetische Kreis besteht aus einem homogenen Magnetmaterial mit konstantem Querschnitt, so dass der Durchflutungssatz 4=H·l

oder

H=

4 l

(3.227)

nur die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) H als unbekannte Größe enthält, die über die Magnetisierungskennlinie zur magnetischen Induktion B und über die Fläche zum magnetischen Fluss ) führt. 2. Der magnetische Kreis besteht nur aus zwei Abschnitten oder lässt sich in zwei Abschnitte zusammenfassen, in denen jeweils ein homogener Feldverlauf angenommen werden kann. In den meisten Anwendungsfällen handelt es sich dann um einen Eisenkreis mit Luftspalt, für den der Durchflutungssatz für homogene Teilfelder 4 = HFe · lFe + HL · lL = HFe · lFe +

BL · lL P0

(3.228)

zwei Unbekannte enthält, so dass die Gleichung analytisch nicht lösbar ist, die Permeabilität des Eisens ist nicht konstant.

Zu 2. Im Folgenden soll ein grafisches Verfahren beschrieben werden, mit dessen Hilfe die unbekannten Größen des Eisenkreises mit Luftspalt ermittelt werden können. Es handelt sich dabei um das bereits im Abschnitt 2.1.1 beschriebene Verfahren der Kennlinienüberlagerung beim Grundstromkreis, das auf magnetische Kreise übertragen wird. Dabei wird der magnetische Kreis in einen aktiven Zweipol mit der Durchflutung (MMK) 4 und dem „Innenwiderstand“ RmL des Luftspalts und einen passiven Zweipol mit dem „Außenwiderstand“ RmFe des Eisens zerlegt. Physikalisch gibt es selbstverständlich weder eine magnetische Spannungsquelle oder MMK noch einen der Spannungsquelle zuzuordnenden Innenwiderstand. Die Zerlegung des magnetischen Kreises in zwei Zweipole ist in dieser Form nur gerechtfertigt, weil sie die Lösung des Problems ermöglicht. Da der Luftspaltwiderstand wegen P0 konstant ist, wird er zum „Innenwiderstand“ der Spannungsquelle erklärt. Der Eisenwiderstand kann als „Außenwiderstand“ auch einen nichtlinearen Verlauf haben.

264

3 Das elektromagnetische Feld

Um das Verfahren verständlicher beschreiben zu können, wird es in Analogie zum elektrischen Grundstromkreis dargestellt. Dabei wird die Spannungsquelle durch die EMK E erfasst, weil sie die analoge Größe zur Durchflutung 4 ist: elektrischer Grundstromkreis

magnetischer Kreis

Bild 3.117 Eisenkreis mit Luftspalt

Bild 3.118 Elektrischer Grundstromkreis

Bild 3.119 Ersatzschaltbild des magnetischen Eisenkreises mit Luftspalt

Kennlinien des aktiven Zweipols U + Ui = E U + I · Ri = E U I ˜ Ri  E E

1

U I  E E / Ri U I  Ul Ik

VFe + VL = 4 VFe + ) · RmL = 4

1 1

VFe ) ˜ R m L  4 4

1

(3.229)

VFe )  4 4/ Rm L

1

(3.230)

VFe )  V0 ) 0

1

3.4 Das magnetische Feld Wie im Abschnitt 2.1.1 dargestellt, ist diese Gleichung eine Achsenabschnittsgerade mit den Achsenabschnitten Kurzschlussstrom Ik und

265 Für den magnetischen Kreis ist diese Gleichung ebenfalls eine Gerade mit den Achsenabschnitten „Kurzschlussfluss“ )0 und

Leerlaufspannung Ul.

„Leerlaufspannung“ V0.

Kurzschluss:

„Kurzschluss“:

Die EMK E wirkt nur auf den Innenwiderstand Ri:

Die Durchflutung (MMK) 4 wirkt ausschließlich am Luftspaltwiderstand RmL. Das ist aber nur vorstellbar, wenn die relative Permeabilität des Eisens Pr unendlich groß ist, so dass der magnetische Widerstand des Eisens vernachlässigbar ist:

Ui = I · Ri = E, der Strom ist gleich dem Kurzschlussstrom

I

Ik

E . Ri

VL = ) · RmL = 4, der magnetische Fluss ist gleich dem „Kurzschlussfluss“: )

)0

4 . RmL

(3.231)

Leerlauf:

„Leerlauf“:

Da kein Strom fließt, fällt keine Spannung Ui ab. Der Spannungsabfall wäre auch Null, wenn Ri = 0 ist:

Wird analog RmL = 0 gesetzt, dann handelt es sich um einen Eisenkreis ohne Luftspalt; die Durchflutung steht ausschließlich dem Eisenwiderstand zur Verfügung:

U = Ul = E.

Bild 3.120 Kennlinie des aktiven Zweipols des elektrischen Kreises (vgl. Bild 2.3)

VFe = V0 = 4

(3.232)

Bild 3.121 Kennlinie des aktiven Zweipols des magnetischen Kreises

266

3 Das elektromagnetische Feld Kennlinie des passiven Zweipols U = I · Ra I

VFe = ) · RmFe

1 ˜ U mit R a Ra

l N ˜A

Bild 3.122 Kennlinie des passiven Zweipols des elektrischen Kreises (vgl. Bilder 2.4 und 1.18)

)

1 ˜ VFe mit R mFe R m Fe

(3.233) lFe P ˜ A Fe

Bild 3.123 Kennlinie des passiven Zweipols des magnetischen Kreises

Die Kennlinie des passiven Zweipols des magnetischen Kreises ist identisch mit der Magnetisierungskurve BFe = f (HFe), deren Ordinaten entsprechend umgerechnet sind: ) = BFe · AFe

(3.234)

VFe = HFe · lFe.

(3.235)

und

Durch Einsetzen von ), VFe und RmFe in obige Gleichung bestätigt sich, dass die BH-Kurve auch die Kennlinie des passiven Zweipols ist: B Fe ˜ A Fe

1 ˜ H Fe ˜ lFe lFe P ˜ A Fe

BFe = P · HFe, wobei P veränderlich ist.

3.4 Das magnetische Feld

267

Zusammenschalten des aktiven und passiven Zweipols Werden aktiver und passiver Zweipol zusammengeschaltet, dann stellen sich im elektrischen Kreis nur ein Strom I und eine Spannung U und im magnetischen Kreis nur ein magnetischer Fluss ) und eine magnetische Spannung VFe ein. Diese Größen ergeben sich durch Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols, indem im Schnittpunkt – dem so genannten Arbeitspunkt – die Größen abgelesen werden.

Bild 3.124 Kennlinienüberlagerung im elektrischen Kreis

Bild 3.125 Kennlinienüberlagerung im magnetischen Kreis

Für den Arbeitspunkt lässt sich die Spannungsgleichung des Grundstromkreises ablesen:

Entsprechend lässt sich für den Arbeitspunkt des magnetischen Kreises der Durchflutungssatz ablesen:

U + Ui = E I · Ra + I · Ri = E

VFe + VL = 4 ) · RmFe + ) · RmL = 4 HFe · lFe + HL · lL = 4

Rechenverfahren: Zunächst werden die Koordinaten der gegebenen Magnetisierungskurve BFe = f (HFe) bei Berücksichtigung der Eisenfläche AFe und der mittleren Feldlinienlänge lFe im Eisen in den Ordinatenwert ) = BFe · AFe und Abszissenwert VFe = HFe · lFe umgerechnet, so dass die Magnetisierungskurve in die Funktion ) = f (VFe) übergeht. Dann wird der Achsenabschnitt )0 = 4/RmL errechnet und an der Ordinate eingetragen. Mit dem Abszissenabschnitt 4 bildet er die Gerade, die den Schnittpunkt mit der Funktion ) = f (VFe) ergibt. Nun kann der magnetische Fluss ) abgelesen werden und mit den Flächen die magnetischen Induktionen im Eisen und im Luftspalt errechnet werden. Außerdem kann die magnetische Spannung VFe im Schnittpunkt abgelesen werden, wodurch sich mit der Eisenweglänge lFe die magnetische Feldstärke HFe ergibt. Die Feldstärke im Luftspalt HL wird aus BL oder aus dem ablesbaren VL errechnet.

268

3 Das elektromagnetische Feld Beispiel: Für einen UI-Kern 30 aus Dynamoblech III (siehe Bild 3.126) mit einem Gesamtluftspalt lL=0,3mm soll die Kennlinie des magnetischen Kreises ) = f (4) entwickelt werden: 1. Zunächst ist die Kennlinie des passiven Zweipols ) = f(VFe) anzugeben, indem die Magnetisierungskennlinie im Bild 3.127 verwendet wird. Die Schichtdicke beträgt 20mm. 2. Dann ist für die Durchflutungen 4 = 100A, 200A, 300A und 400A die Kennlinie des aktiven Zweipols einzutragen und die gesuchte Kennlinie zu ermitteln.

Bild 3.126 UI-Kern 30

Lösung: Zu 1. Die Magnetisierungskennlinie ist die Kennlinie des passiven Zweipols, wenn der Luftspaltwiderstand als „Innenwiderstand“ aufgefasst wird. Die Ordinatenwerte müssen nur auf die Funktion ) = f (VFe) umgerechnet werden: ) = BFe · AFe mit

AFe = 20mm · 10mm = 200mm2

z. B. ergibt sich für BFe = 1T ) = 1Vs/m2 · 200 · 10–6m2 = 200PVs. Die anderen Flusswerte werden ebenfalls berechnet und ersetzen die Induktionswerte der Ordinate.

VFe = HFe · lFe mit

(3.236)

lFe = lU + lI = 120mm

z. B. ergibt sich für HFe = 1 000A/m VFe = 1 000A/m · 120 · 10–3m = 120A. Die anderen VFe-Werte werden ebenfalls berechnet und ersetzen die Feldstärkewerte der Abszisse. Zu 2. Der Achsenabschnitt der Ordinate )0 = 4/RmL wird mit AL = AFe und mit

R mL

lL P0 ˜ A L

0,3 ˜103 m Vs ˜ 200 ˜106 m 2 1,256 ˜106 Am

1,1943 ˜10 6

A Vs

3.4 Das magnetische Feld

269

bei variabler Durchflutung berechnet: 4 in A )0 in PVs

100

200

300

400

84

167

251

335

Die vier Achsenabschnittspaare gehören zu vier Geraden, die mit ) = f (VFe) zu vier Schnittpunkten führen. Die )-Werte können dann einfach nach rechts zu den zugehörigen 4-Werten übertragen werden und ergeben die gesuchte Funktion ) = f (4):

Bild 3.127 Magnetisierungskennlinie von Dynamoblech III, ) = f(VFe) und ) = f(4)

Die Kennlinienüberlagerung kann aber auch mit der ungeänderten Magnetisierungskennlinie vorgenommen werden, die gleich der Kennlinie des passiven Zweipols ist. Für die Kennlinie des aktiven Zweipols müssen nur die Achsenabschnitte umgerechnet werden: Mit VFe + VL = 4 und HFe · lFe + HL · lL = 4 und HFe · lFe +

BL · lL = 4 P0

270

3 Das elektromagnetische Feld

ergibt sich die Achsenabschnittsgerade H Fe ˜ lFe B L ˜ lL  4 P0 ˜ 4 BL H Fe  4 P0 ˜ 4 lFe lL

1

(3.237)

1

oder H Fe B L  H 0 B0

1.

(3.238)

Bild 3.128 Achsenabschnittsgerade des aktiven Zweipols für die Eintragung in die Magnetisierungskennlinie

Die Achsenabschnitte entsprechen in Analogie zum elektrischen Grundstromkreis einem „Kurzschlussfall“ und einem „Leerlauffall“: „Kurzschluss“: Die Durchflutung (MMK) 4 würde ausschließlich am Luftspaltwiderstand wirken. Wie bereits ausgesagt, ist das nur für unendlich große Permeabilitäten des Eisens vorstellbar: BL ˜ lL P0

H L ˜ lL

4.

Die magnetische Induktion ist dann BL

B0

P0 ˜ 4 . lL

„Leerlauf“: Wie erwähnt, steht die Durchflutung ausschließlich dem Eisenwiderstand zur Verfügung, weil der Luftspaltwiderstand Null gesetzt wird: HFe · lFe = 4.

(3.239)

Die magnetische Feldstärke ist dann H Fe

H0

4 . l Fe

(3.240)

3.4 Das magnetische Feld

271

Werden aktiver und passiver Zweipol zusammengeschaltet, dann stellt sich nur eine magnetische Induktion BL = BFe und nur eine magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) HFe ein. Durch Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols können die Größen abgelesen werden, wie im Bild 3.129 zu ersehen ist. Die magnetischen Induktionen BL und BFe sind gleich, weil die Flächen AL und AFe gleich sind. Wird der Durchflutungssatz für den magnetischen Kreis HFe · lFe + HL · lL = 4 durch lFe dividiert, dann ergeben sich Feldstärken, die am Arbeitspunkt abgelesen werden können: l H Fe  H L ˜ L lFe

4 lFe

H0 .

Bild 3.129 Kennlinienüberlagerung der Kennlinie des aktiven Zweipols und der Magnetisierungskennlinie

Rechenverfahren: In die Magnetisierungskennlinie des Magnetmaterials wird die Achsenabschnittsgerade mit den Abschnitten B0

P 0 ˜4 lL

und

H0

4 , lFe

die so genannte „Luftspaltgerade“, eingezeichnet. Zunächst müssen also B0 und H0 errechnet werden. Aus dem Schnittpunkt lassen sich BL = BFe und HFe ablesen. Die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) im Luftspalt HL kann aus BL mit P0 berechnet werden oder aus der Kennlinie mit dem Abschnitt HL · (lL/lFe) ermittelt werden, indem der abgelesene Wert mit lFe /lL multipliziert wird. Ist zusätzlich eine Streuung V zu berücksichtigen, dann muss der Achsenabschnitt B0 auf B0/(1 – V) erhöht werden. Anschließend wird genauso verfahren wie oben beschrieben. Die Erklärung, warum B0 vergrößert werden muss, wird nach der Behandlung des folgenden Beispiels gegeben.

272

3 Das elektromagnetische Feld Beispiel: Eine Toroid- oder Kreisringspule mit einer Windungszahl w = 1 500, durch die ein Strom von 2A fließt, enthält einen Eisenkern aus Stahlguss (mittlerer Durchmesser dm = 95,5cm, Querschnittfläche 100cm2) mit einem Luftspalt mit der Luftspaltlänge lL = 3mm. Zu ermitteln sind der magnetische Fluss im Luftspalt )L und die magnetischen Spannungen im Luftspalt und im Stahlguss bei Vernachlässigung der Streuung und Ausweitung der Feldlinien im Luftspalt.

Bild 3.130 Stahlgussring mit Luftspalt

Lösung: In die gegebene Magnetisierungskennlinie wird die „Luftspaltgerade“ eingezeichnet, nachdem die Achsenabschnitte berechnet sind: 4 I˜w 2 A ˜1500 3000A H0 = lFe d m ˜ S 0,955 m ˜ S 3m H0 = 1000

A m

P ˜4 B0 = 0 lL

Vs ˜ 3000A Am 3 ˜103 m

1,256 ˜106

B0 = 1,256 T

Bild 3.131 Kennlinienüberlagerung zur Ermittlung der magnetischen Größen im Stahlgussring mit Luftspalt

3.4 Das magnetische Feld

273

Im Schnittpunkt beider Kurven werden die magnetischen Induktionen und die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) im Eisen BL = BFe = 0,93 T

und

HFe = 260

A m

abgelesen. Die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) im Luftspalt lässt sich entweder mit BL und P0 errechnen oder mit dem ablesbaren Abschnitt HL · (lL/lFe) bestimmen: Vs 0,93 BL A 2 m HL 740 ˜ 103 m P0 1,256 ˜ 10 6 Vs Am oder

HL

§ l · l ¨H L ˜ L ¸˜ Fe l © Fe ¹ lL

740

A 3m ˜ m 3mm

740

A A ˜1000 740 ˜10 3 . m m

Die magnetischen Spannungen betragen: A VFe = HFe · lFe = 260 · 3 m = 780 A, m VL

lL · § ¨ H L ˜ l ¸ ˜lFe Fe ¹ ©

740 A ˜ 3 m m

2220 A.

Der magnetische Fluss ist im Luftspalt und im Stahlgussring gleich, weil die Streuung vernachlässigt wird: Vs )L = )Fe = BFe · A = BL · A = 0,93 ˜ 100 ˜ 10 4 m 2 m2 )L = )Fe = 9,3 · 10–3 Vs. Erweiterung des Beispiels: Wird eine Streuung von 20 % angenommen, ändert sich der magnetische Fluss im Luftspalt. Mit Hilfe des Ersatzschaltbildes mit magnetischen Widerständen kann erklärt werden, warum der Achsenabschnitt B0 entsprechend erhöht werden muss. Dabei wird dem magnetischen Widerstand des Luftspalts ein Streuwiderstand RmS parallel geschaltet, weil im Eisen der gesamte Fluss und im Luftspalt der um den Streufluss verminderte Fluss angenommen wird. Das Ersatzschaltbild bei Berücksichtigung der Streuung wird dem Ersatzschaltbild ohne Streuung gegenübergestellt, damit die Unterschiede verständlich werden. Die sich durch Streuung ändernden Größen werden mit einem Stern gekennzeichnet.

Bild 3.132 Ersatzschaltbild ohne Streuung

Bild 3.133 Ersatzschaltbild mit Streuung

274

3 Das elektromagnetische Feld Der Nutzfluss im Luftspalt ist um das (1 – V)-fache des Eisenflusses vermindert: )*L

(1 V) ˜)*Fe .

(3.241)

Da die Flächen im Luftspalt und im Eisen gleich angenommen sind, ergibt sich entsprechende Gleichung für die magnetischen Induktionen: B*L ˜ A L

(1 V) ˜ B*Fe ˜ A Fe

B*L

(1 V) ˜ B*Fe

mit

AL = AFe.

(3.242)

Für die Berechnung des Achsenabschnitts B0 der „Luftspaltgerade“ wird angenommen, dass im Durchflutungssatz nur die Luftspaltspannung eingeht, denn bei verschwindendem Eisenwiderstand RmFe = 0 wird der aktive Zweipol kurzgeschlossen:

mit Streuung:

ohne Streuung: Aus

Aus H L ˜ lL ergibt sich BL

BL ˜l P0 L

VL

B0

P 0 ˜4 lL

B Fe

H *L ˜ lL

4

B*L ˜l P0 L

VL*

ergibt sich B*L (1 V) ˜ B*Fe und

und

(1 V) ˜ B*0 ˜ lL P0 B*0

P0 4 ˜ 1 V lL

4

(1 V) ˜ B*0

4

B0 1 V

(3.243)

Der Achsenabschnitt H0 bleibt bei Berücksichtigung der Streuung unverändert, weil bei Leerlauf“ der Luftspaltwiderstand RmL = 0 gesetzt wird und damit auch der Streuwiderstand RmS kurzgeschlossen wird: Aus HFe · lFe = 4 ergibt sich 4 . lFe Beträgt die Streuung 20 %, dann wird der Achsenabschnitt der „Luftspaltgerade“ auf der Ordinate von B0 = 1,256T auf B0 1,256 T B*0 1,57 T 0,8 1 V erhöht; der Achsenabschnitt auf der Abszisse H0 bleibt unverändert: HFe = H0 =

H0 = 1 000

A . m

3.4 Das magnetische Feld

275

Die geänderte „Luftspaltgerade“ ist in die Magnetisierungskennlinie im Bild 3.131 gestrichelt eingetragen, wodurch sich im Schnittpunkt die geänderten B- und H-Werte ablesen lassen: B*Fe = 1,04 T

H*Fe = 340

und

A . m

Die Luftspaltinduktion ist wegen der Streuung reduziert: B*L

(1 V) ˜ B*Fe

0,8 ˜1,04 T

0,832 T

und die magnetische Feldstärke beträgt:

Vs

0,832

H *L

B*L P0

H*L

§ * lL · lFe ¨ HL ˜ ¸˜ ¨ lFe ¸¹ lL ©

m2 Vs 1,256 ˜106 Am

662 ˜10 3

A m

oder 660

A ˜ 1000 m

660 ˜ 103

A . m

Die magnetischen Spannungen lassen sich einfach berechnen: * VFe

VL*

H*Fe ˜ lFe

340

A ˜ 3 m 1020 A, m

§ * l · ¨H L ˜ L ¸˜ lFe lFe ¹ ©

660

A ˜ 3 m 1980 A . m

Schließlich sind noch die geänderten magnetischen Flüsse anzugeben: Gesamtfluss im Eisen:

)*Fe

B*Fe ˜ A 1,04

Vs ˜ 100 ˜ 10 4 m 2 10,4 ˜ 103 Vs, m2

Nutzfluss im Luftspalt: )*L

(1 V) ˜ )*Fe

0,8 ˜ 10,4 ˜ 103 Vs 8,32 ˜103 Vs ,

Streufluss: )*S

V ˜ )*Fe

0,2 ˜ 10,4 ˜ 103 Vs 2,08 ˜103 Vs .

Der Nutzfluss im Luftspalt verringert sich von 9,3mWb auf 8,32mWb bei Berücksichtigung von 20 % Streuung. Da der Gesamtwiderstand des magnetischen Kreises durch den Streuwiderstand RmS verkleinert wird (vgl. die Bilder 3.132 und 3.133), vergrößert sich der Gesamtfluss und damit auch die magnetische Induktion im Eisen.

276

3 Das elektromagnetische Feld

3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter In diesem Abschnitt soll das Magnetfeld einer Leiteranordnung mit mehreren parallelen stromdurchflossenen Leitern beschrieben werden. Das Magnetfeld der einzelnen Leiter kann zum resultierenden Magnetfeld nach dem Überlagerungsprinzip überlagert werden: Die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) in einem Punkt P in der Umgebung der stromdurchflossenen Leiter ergibt sich durch vektorielle Addition der Teilfeldstärken, die sich nach der Gleichung der magnetischen Feldstärke außerhalb eines Leiters (Gl. 3.177) berechnen lassen. Beispiel:

Die magnetische Feldstärke (magnetiG
sche Erregung)

H in einem Punkt, der von den Mittelpunkten von zwei stromdurchflossenen Leitern r1 und r2 entfernt ist, ist gleich der Vektorsumme mit

G
G
G
H

H1  H 2

H1

I1 2 S r1

H2

I2 . 2 S r2

und

(3.244)

Bild 3.134 Überlagerung von magnetischen Feldstärken in der Umgebung von zwei stromdurchflossenen Leitern

Die Überlagerung der Induktionsverteilung einzelner Stromleiter ist nur möglich, wenn die Permeabilität P konstant ist; zwischen B und H muss ein linearer Zusammenhang bestehen, sonst darf das Überlagerungsprinzip nicht angewendet werden. Im Magnetmaterial Eisen wird also zunächst die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) als die vom Material unabhängige Größe ermittelt. Mit Hilfe der entsprechenden Magnetisierungskennlinie lässt sich dann die magnetische Induktion ablesen. Bei mehreren parallelen stromdurchflossenen Leitern wird das Überlagerungsprinzip in gleicher Weise angewendet. In der Praxis sind die magnetischen Felder zweier paralleler stromdurchflossener Leiter, einer so genannten Doppelleitung, von Bedeutung, weil die Feldstärkeformel auf der Verbindungslinie zwischen beiden Leitern die Berechnung von Leitungsinduktivitäten (Abschnitt 3.4.7.1 und Übungsaufgabe 3.53) ermöglicht. Magnetisches Feld der Doppelleitung Die Feldverteilung zweier gerader paralleler Leiter mit gleichen Strömen mit der Stromstärke I hängt von der Stromrichtung ab, die in den beiden Leitern gleich oder verschieden sein kann. Auf der Linie, die durch beide Leitermittelpunkte verläuft, lässt sich die magnetische Feldstärke durch Überlagerung der vorzeichenbehafteten Beträge ermitteln, weil nur in senkrechter Richtung zur Verbindungslinie Anteile auftreten. Aus Symmetriegründen wird der Nullpunkt des Koordinatensystems in die Mitte zwischen beiden Leitern gelegt; die Linie, auf der beide Leitermittelpunkte liegen, wird x-Achse genannt.

3.4 Das magnetische Feld

277

Magnetische Feldstärke der Doppelleitung bei verschiedener Stromrichtung: Rechts außerhalb beider Leiter mit x>

d R: 2

H = H1 – H2 H=



2S xd 2

H= I ˜ 2S H=

I







I

2S x d 2



x d x d 2 2 2 2 d x  2



Bild 3.135 Magnetische Feldstärke der Doppelleitung bei verschiedener Stromrichtung

d I ˜ . 2S 2 d 2 x  2



· §d Diese Formel gilt auch links außerhalb beider Leiter, also für x < – ¨  R ¸ . ¹ ©2 d Zwischen beiden Leitern rechts mit 0 d x <  R : 2 H = – H1 – H2

H=–

H=

d x d x 2 I I =– I ˜ 2  2 2 S d d d  x2 2S x 2S x 2 2 2

I ˜ 2S







d



x  d 2 2

2





.

· §d Diese Formel gilt auch zwischen beiden Leitern links, also für x > – ¨  R ¸ . ¹ ©2 Die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) außerhalb der Doppelleitung auf der Achse beider Leiter (x-Achse) lässt sich bei verschiedener Stromrichtung mit Hilfe einer Formel berechnen: H=

I ˜ 2S

d



x  d 2 2

2

.

(3.245)

278

3 Das elektromagnetische Feld

Magnetische Feldstärke der Doppelleitung bei gleicher Stromrichtung: Rechts außerhalb beider Leiter mit x>

d R: 2

H = H 1 + H2 H=



2S xd 2

H= I ˜ 2S

H=

I







I

2S x d 2



x d xd 2 2 2 2 x  d 2

Bild 3.136 Magnetische Feldstärke der Doppelleitung bei gleicher Stromrichtung



2x I ˜ . 2S 2 d 2 x  2



· §d Diese Formel gilt auch links außerhalb beider Leiter, also für x < – ¨  R ¸ . 2 ¹ © d Zwischen beiden Leitern rechts mit 0 d x <  R : 2 H = – H 1 + H2 I I H=–  d d 2S x 2S x 2 2





H=

I ˜ 2S



2x



x  d 2 2

2



= I ˜ 2S

d x d x 2 2 2 d  x2 2



.

· §d Diese Formel gilt auch zwischen beiden Leitern links, also für x > – ¨  R ¸ . ¹ ©2 Bei gleicher Stromdichte in beiden parallelen Leitern ergibt sich die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) auf der Achse beider Leiter (x-Achse) aus

H=

I ˜ 2S

2x



x  d 2 2

2

.

(3.246)

In der Mitte zwischen beiden Leitern ist mit x = 0 die magnetische Feldstärke H = 0, da sich zwei betragsmäßig gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete H-Anteile überlagern.

3.4 Das magnetische Feld

279

3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten Dauermagnetkreis Prinzipiell besteht ein Dauermagnetkreis aus einem Abschnitt aus hartmagnetischem Material (Dauermagnet), einem Abschnitt aus weichmagnetischem Material mit hoher Permeabilität zur „Leitung“ des magnetischen Flusses zum Luftspalt und dem Luftspalt, in dem die Luftspaltinduktion genutzt wird.

Bild 3.137 Dauermagnetkreis

Beispiel: In einem Gleichstrom-Messgerät erfährt eine stromdurchflossene Spule, die sich im Luftspalt befindet, ein Drehmoment, das zum Zeigerausschlag führt.

Die Magnetisierung von ferromagnetischen Materialien in beide Richtungen ist von Hystereseerscheinungen begleitet (siehe Bild 3.89). Die Hysteresekurve von hartmagnetischen Werkstoffen zeichnet sich durch hohe Restinduktionen (Remanenz) Br und große Koerzitivfeldstärken Hk aus. Bei der Herstellung hartmagnetischer Werkstoffe wird die magnetische Feldstärke (magnetische Erregung) H nach einer Magnetisierung bis zur Sättigung wieder zurückgenommen, so dass bei H = 0 die Restinduktion Br dauernd bestehen bleibt. Es kann sich deshalb nur eine magnetische Induktion im Dauermagneten einstellen, die einem Arbeitspunkt auf der eindeutigen Entmagnetisierungskurve im 2. Quadranten der Hysteresekurve entspricht. Berechnung eines Dauermagnetkreises Bei der Berechnung eines Dauermagnetkreises bei bekannter Entmagnetisierungskurve und bei bekannten Abmessungen des magnetischen Kreises sind die Längen der magnetischen Abschnitte und die Durchflutung 4 = 0 gegeben. Zu ermitteln sind die magnetischen Induktionen in den drei Abschnitten, in denen jeweils ein homogenes Feld angenommen wird. Der Durchflutungssatz für homogene Teilfelder 4 = 0 = HL · lL + HFe · lFe + HM · lM

(3.247)

enthält drei unbekannte magnetische Feldstärken, so dass die Gleichung nicht einfach gelöst werden kann. Wird die magnetische Spannung VFe = HFe · lFe vernachlässigt, weil der wirksame magnetische Widerstand des Weicheisens aufgrund der hohen Permeabilität verschwindend gering ist im Vergleich zu den magnetischen Widerständen des Dauermagneten und des Luftspalts, dann lässt sich die Gleichung mit zwei Unbekannten durch Kennlinienüberlagerung lösen.

280

3 Das elektromagnetische Feld

Die Ermittlung der Luftspaltinduktion, die bei der Berechnung von Dauermagnetkreisen letztlich interessant ist, entspricht damit der Aufgabenstellung 2 der Berechnung geschlossener magnetischer Kreise im Abschnitt 3.4.5.1: Der Entmagnetisierungskennlinie wird eine Nullpunktsgerade überlagert, wodurch ein Schnittpunkt entsteht, in dem die gesuchten Größen des Dauermagneten abgelesen werden können: die magnetische Feldstärke HM und die magnetische Induktion BM . Im Folgenden soll die Nullpunktsgerade hergeleitet werden: Ohne Berücksichtigung eines Streuflusses ist der magnetische Fluss )L im Luftspalt genauso groß wie im Dauermagneten )M: )L = )M

(3.248)

BL · AL = BM · AM.

(3.249)

oder

Nach der magnetischen Induktion im Dauermagneten aufgelöst, ergibt sich BM =

AL ˜ BL . AM

(3.250)

Mit BL = P0 · HL

und

HL = –

lM ˜ HM lL

aus dem Durchflutungssatz 4 = 0 = HL · lL + HM · lM

(3.251)

und lM ˜ HM lL

(3.252)

lM A L ˜ ˜ HM lL A M

(3.253)

BL = – P0 ˜ ergibt sich BM = – P 0 ˜ oder BM = –

P0 ˜ HM N

(3.254)

lL A M . ˜ lM A L

(3.255)

mit N=

N wird Entmagnetisierungsfaktor genannt.

3.4 Das magnetische Feld

281

Diese Nullpunktsgerade besitzt den Anstieg m = – P0/N und führt zum Arbeitspunkt P auf der Entmagnetisierungskennlinie mit den ablesbaren Größen im Dauermagneten BMP und HMP. Aus der magnetischen Induktion im Dauermagneten lässt sich mit dem Flächenverhältnis die Luftspaltinduktion aus der Gleichung 3.249 mit BM = BMP berechnen: BL =

AM ˜ B MP . AL

(3.256)

Bild 3.138 Kennlinienüberlagerung für die Berechnung eines Dauermagneten

Die Luftspaltinduktion lässt sich auch angenähert berechnen, wenn die Entmagnetisierungskennlinie durch eine Achsenabschnittsgerade mit den Achsenabschnitten Br und Hk ersetzt wird und diese mit der Nullpunktsgeraden überlagert wird.

Beispiel: Ein Dauermagnetkreis enthält einen Dauermagneten mit lM = 5cm, Br = 1,10T und Hk = –52 000A/m, ein Weicheisen mit vernachlässigbarem magnetischen Widerstand und einen Luftspalt mit lL= 2mm. Die Querschnittfläche ist überall gleich. 1. Mit der gegebenen Entmagnetisierungskurve des Dauermagnetmaterials soll die Luftspaltinduktion ermittelt werden. 2. Anschließend soll die Luftspaltinduktion BL rechnerisch ermittelt werden, indem die Kennlinie durch eine Gerade mit den Punkten (0, Br) und (Hk, 0) angenähert wird. Lösung: Zu 1. Zunächst ist die Steigung m der Nullpunktsgeraden zu berechnen: m=–

P0 N

mit

N=

lL A M ˜ lM A L

wegen AL = AM

lL lM

282

3 Das elektromagnetische Feld N=

2 mm 50 mm

0,04

1,256 ˜ 10 6 Vs m=  0,04 Am

 31,4 ˜ 10 6

Vs Am

Vs ˜3 2 m  A 104 ˜ 3 m 0,314

0,942 T . A  30 ˜ 103 m

Dann wird die Nullpunktsgerade mit der Entmagnetierungskennlinie überlagert, wodurch sich im Schnittpunkt die magnetische Induktion im Dauermagneten ablesen lässt: BMP = 0,72 T.

Bild 3.139 Kennlinienübelagerung für das Beispiel der Berechnung eines Dauermagnetkreises

Weil die Luftspaltfläche gleich der Fläche des Dauermagneten ist, unterscheidet sich die magnetische Induktion im Luftspalt nicht von der im Dauermagneten. Zu 2. Die Achsenabschnittsgerade BM =

Br ˜ H M  Br Hk

H · § Br ¨ 1  M ¸ Hk ¹ ©

und die Nullpunktsgerade (Gl. 3.253) BM = – P 0

lM A L ˜ ˜HM lL A M

werden nach HM aufgelöst und gleichgesetzt: §B · B l A HMP = Hk · ¨ MP  1¸  MP L M B P l © r ¹ 0 M AL mit HM = HMP

und

BM = BMP.

(3.257)

3.4 Das magnetische Feld

283

Damit lässt sich die angenäherte magnetische Induktion im Dauermagneten errechnen: Hk

B MP B MP lL A M  Br P 0 lM A L

B MP

Hk

Hk . Hk 1 lL A M  B r P 0 lM A L

(3.258)

Mit Gl. 3.256 lässt sich schließlich die Luftspaltinduktion ermitteln: Br H H k 1 ˜B ˜ k BL MP lL AL Hk AL Br 1  AM Br A M P0 lM H k BL

BL

Br Br AL lL  A M P 0 ˜ H k lM

Br wegen Br lL 1 P 0 ˜ H k lM

1,1 T Vs 1,1 2 2 m 1 ˜ Vs A 50  6 1,256 ˜ 10 ˜ 52 000 Am m

AL = AM.

(3.259)

0,657 T

Der angenähert berechnete Wert liegt um ca. 9 % niedriger als der exakt ermittelte Wert durch Kennlinienüberlagerung.

Mit der beschriebenen Kennlinienüberlagerung lässt sich der Arbeitspunkt eines bereits gefertigten Dauermagnetkreises ermitteln. Die ablesbaren Induktions- und Feldstärkewerte sagen nichts darüber aus, ob der Dauermagnet optimal ausgenutzt wird. Eventuell ließe sich bei gleicher Luftspaltinduktion das Dauermagnetvolumen verkleinern; mit der Formel für die Luftspaltinduktion in Abhängigkeit von dem Produkt BM · HM lässt sich dieser Zusammenhang erläutern. Diese Formel für BL entsteht durch Multiplikation der beiden folgenden Gleichungen: Mit Gl. 3.252 BL = – P 0 ˜

lM ˜ HM lL

(aus dem Durchflutungssatz 4 = 0 =

BL · lL + HM · lM) P0

und BL =

AM ˜ BM AL

(aus der Gleichheit der magnetischen Flüsse, Gl. 3.249)

ergibt sich BL 2

P 0 ˜

A M lM ˜ ˜ BM ˜ H M A L lL

P 0 ˜

VM ˜ BM ˜ H M VL

(3.260)

284

3 Das elektromagnetische Feld

BL

P 0 ˜

VM ˜ BM ˜ H M VL

(3.261)

mit VM = AM · lM

(Dauermagnetvolumen)

und VL = AL · lL

(Luftspaltvolumen).

Bei gleich bleibender Luftspaltinduktion BL und vorgegebenen Abmessungen des Luftspalts (Luftspaltfläche AL und Luftspaltlänge lL), also des Luftspaltvolumens VL, ist das Dauermagnetvolumen VM umgekehrt proportional dem Produkt BM · HM: VM



BL 2 ˜ VL 1 ˜ BM ˜ H M P0

(3.262)

Optimierung des Dauermagnetkreises Bei der Dimensionierung eines Dauermagneten sollte deshalb von der größtmöglichen Energiedichte im Dauermagneten ausgegangen werden. Die Energiedichte ist dem Produkt BM · HM proportional und kann aus den ablesbaren BM- und HM- Werten der Entmagnetisierungskennlinie errechnet werden. Sie ist Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist und besitzt dementsprechend ein Maximum (BM · HM)max. Zweckmäßigerweise wird diese Abhängigkeit (BM · HM) = f (BM) durch eine Kurve dargestellt, die der Entmagnetisierungskurve übersichtlich zugeordnet werden kann: Im Maximum wird einfach eine Waagerechte auf die Entmagnetisierungskurve gezogen, wodurch sich der optimale Arbeitspunkt Popt ergibt (siehe Bild 3.140, links). Auf diese Weise ist auch einfach zu kontrollieren, ob ein bereits vorhandener Dauermagnetkreis optimal genutzt ist. Der durch Kennlinienüberlagerung ermittelte Arbeitspunkt müsste mit dem optimalen Arbeitspunkt übereinstimmen, wenn der Dauermagnetkreis richtig dimensioniert ist. Für jedes Dauermagnetmaterial lässt sich also mit Hilfe der Entmagnetisierungskennlinie das Maximum (BM · HM)max und der optimale Arbeitspunkt Popt mit den Koordinaten BMopt und HMopt angeben. . Beispiel: AlNiCo700: BMopt =1,06 T, HMopt = 53 kA m Ist nur die Entmagnetisierungskennlinie gegeben, kann der optimale Arbeitspunkt auch einfacher als oben beschrieben genügend genau ermittelt werden: Die Diagonale des Rechtecks, das mit der Remanenz Br und der Koerzitivfeldstärke Hk gebildet werden kann, schneidet genügend genau die Entmagnetisierungskennlinie im optimalen Arbeitspunkt (siehe Bild 3.140, rechts).

3.4 Das magnetische Feld

285

Bild 3.140 Ermittlung des optimalen Arbeitspunktes aus der Entmagnetisierungskennlinie

Sind die Abmessungen des Luftspalts AL und lL, also das Volumen des Luftspalts VL = AL · lL gegeben und ist das Produkt BM · HM maximal, dann wird die Luftspaltinduktion BL nur noch vom Volumen des Dauermagneten VM = AM · lM bestimmt: BL 2

P 0 ˜

(B M ˜ H M ) max ˜ VM . VL

(3.263)

Bei gegebenen AL, lL und VM ist die Luftspaltinduktion dann optimal: B Lopt

P 0

VM ˜ (B M ˜ H M ) max A L ˜ lL

P 0

VM ˜ B M opt ˜ H M opt . A L ˜ lL

(3.264)

Die Abmessungen des Dauermagneten AM und lM lassen sich anschließend berechnen, indem zuerst mit Hilfe der Flussgleichung )M = )L die Fläche des Dauermagneten errechnet wird und dann aus dem vorgegebenen Magnetvolumen die Länge des Dauermagneten ermittelt wird: AL

AM = lM =

B M opt

(3.265)

˜ B L opt

VM lM

(3.266)

oder indem zuerst mit Hilfe des Durchflutungssatzes HLopt · lL + HMopt · lM = 0 die Länge des Dauermagneten berechnet wird, so dass sich aus dem vorgegebenen Magnetvolumen die Fläche des Dauermagneten ergibt: lM = –

AM =

H L opt ˜ lL H M opt VM . lM

=–

lL ˜ B L opt P 0 ˜ H M opt

(3.267) (3.268)

286

3 Das elektromagnetische Feld

Soll nicht erst die optimale Luftspaltinduktion BLopt, sondern gleich die Fläche des Dauermagneten bei maximaler Energiedichte ermittelt werden, dann kann die folgende Formel verwendet werden: AM

AM

AL ˜B BMopt Lopt 

AL

VM § · ˜ ¨ P0 ˜ ˜ BMopt ˜ H Mopt ¸ A L ˜ lL ¹ BMopt ©

P 0 ˜ VM ˜ H Mopt ˜ A L l L ˜ BMopt

2

2

mit

lM

VM . AM

(3.269)

Beispiel: Der Dauermagnetkreis des letzten Beispiels mit lM = 5cm, lL = 2mm, Br = 1,10T, Hk = – 52000A/m und AL = AM soll für maximale Energiedichte dimensioniert werden. Es ist zu untersuchen, ob dann die gegebenen Abmessungen des magnetischen Kreises im Widerspruch zueinander stehen. Lösung: Zunächst ist das Produkt (BM · HM)max mit Hilfe der Entmagnetisierungskennlinie und des Rechtecks Br – Hk zu bestimmen (Bild 3.141):

Bild 3.141 Ermittlung des optimalen Arbeitspunktes für das Beispiel

Aus den im Schnittpunkt abgelesenen Werten Vs A BMopt = 0,6 HMopt = – 28,75 · 103 m2 m ergibt sich VAs . BMopt · HMopt = (BM · HM)max = – 17,25 · 103 m3 Soll die Fläche des Dauermagneten AM gleich der Luftspaltfläche AL sein, dann sind die magnetischen Induktionen gleich: BLopt = BMopt = 0,6T. Die Luftspaltlänge lL und die Länge des Dauermagneten lM können dann aber nicht ihre gegebenen Werte behalten, wie mit Gl. 3.264 nachgewiesen werden kann: BLopt =

P 0

A M ˜ lM ˜ (B M ˜ H M ) max A L ˜ lL

P 0

lM ˜ (B M ˜ H M ) max mit A M lL

AL ,

mit lL = 2mm und lM = 50mm ergäbe sich BLopt = 0,736T; die magnetischen Induktionen müssen aber bei Flächengleichheit gleich sein.

3.4 Das magnetische Feld

287

Soll die Luftspaltlänge 2mm betragen, dann verringert sich die Länge des Dauermagneten nach Gl.3.267: lL ˜ B L opt 2 ˜103 m ˜ 0,6 Vs / m 2  lM =  P 0 ˜ H M opt 1,256 ˜106 Vs / Am ˜ (28,75 ˜ 10 3 A / m) lM = 33 · 10–3m = 33mm. Soll die Länge des Dauermagneten mit 50 mm erhalten bleiben, dann kann die Luftspaltlänge entsprechend vergrößert werden: P 0 ˜ lM ˜ H M opt 1,256 ˜106 Vs / Am ˜ 5 ˜102 m ˜ (28,75 ˜ 10 3 A / m) lL =   B L opt 0,6 Vs / m 2 lL = 3 · 10–3m = 3mm. Wenn die Länge des Dauermagneten mit 50mm und die Luftspaltlänge mit 2mm unverändert bleiben sollen, dann ändern sich die Luftspaltinduktion BLopt und das Flächenverhältnis AM/AL: BLopt

AM AL

in

BMopt

BLopt =

P 0

A M lM ˜ ˜ (B M opt ˜ H M opt ) A L lL

eingesetzt und quadriert, ergibt B Lopt 2 P 0 ˜

B L opt lM ˜ ˜ B M opt ˜ H M opt B M opt lL

B L opt

P 0 ˜

lM ˜ H M opt lL

BL opt

1,256 ˜ 10 6

und (vgl. mit Gl. 3.252)

Vs 50 A ˜ ˜ 28 750 Am 2 m

0,903 T.

Das Flächenverhältnis beträgt BLopt BMopt

0,903 T 0,6 T

AM AL

1,505.

Dauermagnetkreis mit Streuung Ist der magnetische Fluss im Luftspalt durch einen geschätzten Streufluss vermindert, dann wirkt sich der Streufaktor V mit )L =(1 – V) · )M

(3.270)

BL · AL = (1 – V) · BM · AM

(3.271)

in den Formeln für die Luftspaltinduktion und die Dauermagnetfläche aus, dargestellt für maximale Energiedichte im Dauermagnetabschnitt: BLopt =

AM =

(1 V) ˜P 0



VM ˜ (BM ˜ H M ) max VL

P 0 ˜ VM ˜ H M opt ˜ A L (1 V) ˜ lL ˜ BM opt

.

(3.272)

(3.273)

288

3 Das elektromagnetische Feld

3.4.6 Elektromagnetische Spannungserzeugung – das Induktionsgesetz Die Erscheinungen der elektromagnetischen Spannungserzeugung treten auf, wenn in einem konstanten Magnetfeld Leiter bewegt werden oder wenn sich Magnetfelder zeitlich ändern, in denen sich Leiter befinden. Wenn beide Vorgänge gleichzeitig auftreten, überlagern sich beide Erscheinungen. Den Vorgang der Spannungserzeugung nennt man Induktion und unterscheidet entsprechend in Bewegungsinduktion und Ruheinduktion, die im Folgenden getrennt behandelt werden sollen.

3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – Bewegungsinduktion Ein stromdurchflossener Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld wird durch eine Kraft bewegt, wie im Abschnitt 3.4.2 „Kraftfeld – magnetische Induktion“ beschrieben (Leiterschaukel im Magnetfeld, Bild 3.66). Bei der Beschreibung derartiger Vorgänge wird vom Motorprinzip (motor – Beweger, lat.) gesprochen. Wird umgekehrt ein Leiter senkrecht zum Magnetfeld bewegt, dann entsteht im Leiter eine elektrische Spannung. Gehört der bewegte Leiter zu einem geschlossenen Leiterkreis, dann fließt in ihm ein Strom. Bei diesen Vorgängen spricht man vom Generatorprinzip (generator – Erzeuger, lat.). Experimenteller Nachweis: Im Bereich der beiden Pole eines Dauermagneten besteht ein magnetisches Feld mit der Induktion B. Ein pendelförmig aufgehängter Leiter wird in diesem Bereich bewegt. Das an diesem Leiter angeschlossene Spiegelgalvanometer zeigt einen Strom an, der sich umkehrt, wenn die Bewegungsrichtung des Leiters verändert wird. Die elektrische Spannung, die im bewegten Leiter entsteht und den Strom hervorruft, wird durch die Bewegung induziert.

Bild 3.142 Bewegte Leiterschaukel im Magnetfeld

3.4 Das magnetische Feld

289

Kraftwirkung auf elektrische Ladungen im Magnetfeld Zur Erläuterung der Bewegungsinduktion muss zunächst die Lorentzkraft an elektrischen Ladungen, die sich im magnetischen Feld bewegen, behandelt werden: Wird in einem magnetischen Feld eine positive elektrische Ladung Q mit der Geschwindigkeit G


vG
unter einem Winkel D zu der Feldlinienrichtung bewegt, so wird auf die Ladung eine Kraft

Fmag ausgeübt, die der Ladung eine veränderte Bewegungsrichtung gibt. Bei einer negativen elektrischen Ladung wirkt die magnetische Kraft entgegengesetzt. Größe (Betrag) und Richtung dieser magnetischen Kraft können mathematisch durch das Vektorprodukt G G G Fmag Q ˜ (v u B) (3.274) mit Fmag = Q · v · B · sin D beschrieben werden. Die Richtung der KraftG
verläuft senkrecht zur Richtung der GeschwinG
digkeit

v und der magnetischen
; die Vektorgleichung erfasst sowohl Betrag als G
Induktion G
B G
auch Richtung der Vektoren

Fmag , v
und B
.

Bild 3.143 Betrag und Richtung der Lorentzkraft auf Ladungen

G
G
G
G ein Rechtssystem. Das lässt sich Die Vektoren

v , B
und (

v u B ) bilden in dieser Reihenfolge G
einfach beschreiben, indem der erste Faktor, der Vektor v
, auf dem kürzesten Weg in den zweiG
ten Faktor

B gedreht wird. Die Drehrichtung zeigt in die Richtung der gekrümmten GFinger der G
rechten Hand, und der Daumen zeigt G
dann in die Richtung des Vektorprodukts (

v u B ), also in Richtung der magnetischen Kraft Fmag .

Bewegter Leiter im Magnetfeld

Wird ein Leiter im Magnetfeld bewegt, dann bewegt sich das positive Ionengerüst des Metalls und mit ihm die freien und gebundenen Elektronen. Die freien Elektronen sind als „Elektronengas“ im Gitter frei beweglich. Im Ruhezustand des Leiters können die Ladungen im Mittelpunkt des Leiters jeweils zum positiven und negativen Ladungsschwerpunkt zusammengefasst gedacht werden. Der chaotischen Wärmebewegung der freien Elektronen überlagert sich die Bewegung des Leiters. Auf die bewegten positiven und negativen Ladungen wirken magnetische Kräfte, so dass die Ladungsschwerpunkte längs des Leiters getrennt werden. Diese Lorentzkräfte auf Elektronen und positive Ladungen lassen sich jeweils durch das oben angegebene Vektorprodukt beschreiben, wobei die Ladung Q einmal negativ ist wegen der Elektronen und einmal positiv ist wegen der positiven Ladungen. Die freien Elektronen wandern im Leiter im Bild 3.144 vom vorderen zum hinteren Leiterende, so dass das vordere Leiterende positiv und das hintere Ende negativ geladen ist.

290

3 Das elektromagnetische Feld

Bild 3.144 Lorentzkraft im bewegten elektrischen Leiter

Bild 3.145 Darstellung des Vektorprodukts und der Feldstärken

Durch die G
Ladungstrennung entsteht ein elektrisches Feld im Leiter, dessen elektrische Feldstärke

E von + Q nach – Q gerichtet ist. Die Coulombschen Kräfte G
G
(3.275)

Fel Q ˜ E , die auf die Ladungen wirken, sind also entgegengesetzt zu den Lorentzkräften gerichtet: G
G
(3.276)

Fel  Fmag G G G Q ˜ E Q ˜ (v u B) . (3.277) Werden die magnetischen Lorentzkräfte formal wie Coulombsche Kräfte aufgefasst, dann muss eine elektrische Feldstärke eingeführt werden, die entgegengesetzt G
G
zu der elektrischen Feldstärke

E gerichtet ist. Sie heißt induzierte Feldstärke und wird mit E
i bezeichnet: G
G
Q (3.278)
˜ E Q ˜ E i . Damit ergibt sich für die Feldstärken G E

G G (v u B)

(3.279)

G Ei

G G v u B

mit

mit

E = – v · B · sin D

Ei = v · B · sin D.

(3.280)

3.4 Das magnetische Feld

291

Die mit der G
Ladungstrennung entstehende induzierte Spannung lässtG
sich aus der elektrischen Feldstärke

E oder aus der angenommenen induzierten Feldstärke E
i berechnen. Als Quellspannung uq ist sie von + Q nach – Q gerichtet, als EMK e ist sie wie die induzierte elektrische Feldstärke von – Q nach + Q gerichtet: 2

uq

1

G G ³ E ˜ dl

e

1

G

G

³ E i ˜ dl 2

Weil die Ladungen innerhalb des Leiters gleichmäßig über dem G
Querschnitt verteilt sind, ist G
G
das elektrische Feld homogen. Die Vektoren E
(bzw. E
i ) und d
l sind kollinear, so dass das Skalarprodukt zum Produkt der Skalare wird. Außerdem ist E (bzw. Ei) konstant und die aufsummierten dl sind gleich der Leiterlänge l, so dass sich das Wegintegral (siehe Gl. 3.22) vereinfacht: 2

uq

2

³ E ˜ dl

1

uq

E ˜ ³ dl

1

E ˜l

e

1

³ Ei ˜ dl 2

(3.281)

 v ˜ B ˜ l ˜ sin D

e

1

Ei ˜ ³ dl

Ei ˜ l

2

v ˜ B ˜ l ˜ sin D

(3.282)

Befindet sich G
der Leiter im Magnetfeld nicht senkrecht zur v, B-Ebene, sondern bildet mit der Normalen

N der v, B-Ebene einen Winkel E, dann ist die induzierte Spannung entsprechend kleiner: uq

v ˜ B ˜ l ˜sinD ˜ cos E

(3.283)

e

v ˜ B ˜ l ˜ sin D ˜ cos E

(3.284)

Während der Verschiebung des Leiters wird in der Zeit dt die Fläche dA überstrichen. Die zeitliche Änderung der Fläche, multipliziert mit der magnetischen Induktion B, ist gleich einer magnetischen Flussänderung und gleich dem Betrag der induzierten Spannung uq bzw. e: dA ˜B dt

(ds ˜ sin D) ˜ (l ˜ cos E) ˜B dt

d) dt

ds ˜ B ˜ l ˜ sin D ˜ cos E dt

d) dt

v ˜ B ˜ l ˜ sin D ˜ cos E

d) dt

uq

bzw.

d) dt

e .

(3.285)

292

3 Das elektromagnetische Feld

Um die Zusammenhänge besser zu veranschaulichen, ist eine Darstellung des Leiters im Magnetfeld in drei Ansichten gewählt:

Bild 3.146 Darstellung der Bewegung eines Leiters im Magnetfeld in drei Ansichten

Es ist empfehlenswert, ein Modell aus Pappe der Größe DIN A4 anzufertigen, in dem der VekG
tor

v ausgeschnitten ist, so dass ein Draht der Länge von ca. 15 cm verschoben werden kann:

Bild 3.147 Modell zur Erläuterung der Bewegungsinduktion

Aus obiger Darstellung ist nicht ersichtlich, ob die Fläche zeitlich wächst oder abnimmt. Ebenso ist eine Flusszunahme oder Flussabnahme nicht erklärbar, wenn es sich um die Bewegung eines Leiters im Magnetfeld handelt.

3.4 Das magnetische Feld

293

Bewegte Leiterschleife im Magnetfeld Wird allerdings der Leiter zu einem Leiterkreis erweitert, lässt sich eine Flusszunahme oder Flussabnahme eindeutig erklären. In einem Magnetfeld, das die Zeichenebene senkrecht von oben nach unten durchsetzt, befindet sich eine Leiterschleife, die senkrecht zu den Feldlinien angeordnet ist und mit einem Widerstand R abgeschlossen ist:

Bild 3.148 Bewegte Leiterschleife im Luftspalt eines Magnetfeldes

Wird der Teil der Leiterschleife, der sich im magnetischen Feld befindet, mit einer GeschwinG
digkeit

v bewegt, dann wird eine Spannung uq bzw. e induziert: 2

uq

G G ³ E ˜ dl

1

uq

v ˜ B ˜ l

2 G G G  ³ (v u B) ˜ dl

1

e

1

G G ³ E i ˜ dl 2

e

1

G

G

G

³ (v u B) ˜ dl 2

v ˜ B˜l

mit sin D = sin 90º = 1 und cos E = cos 0º = 1

Bild 3.149 Bewegte Leiterschleife im Magnetfeld mit Ersatzschaltbild

294

3 Das elektromagnetische Feld

Die Spannung uq bzw. e treibt einen Strom i in der angegebenen Richtung durch den Widerstand R. Dieser Strom bewirkt ein magnetisches Feld, das das äußere Feld innerhalb der Leiterschleife vergrößert und außerhalb der Leiterschleife schwächt, wie mit der „Rechte-Hand-Regel“ (siehe Anfang des Abschnitts 3.4.1) nachgewiesen werden kann. Durch die Bewegung des Leiters wird der durch die Leiterschleife umfasste magnetische Fluss vermindert. Das magnetische Feld des Stroms i versucht, diese Flussverminderung aufzuheben. Auf die beweglichen Ladungsträger des Stroms i im Magnetfeld wirken magnetische Kräfte, die insgesamt so gerichtet sind, dass sie die Bewegung des Leiters zu hemmen versuchen. Die G G G Gesamtkraft kann mit Hilfe des Vektorprodukts F Q ˜ (v u B) nachgewiesen werden, indem G
der Geschwindigkeitsvektor

v in Richtung des Stroms zu legen ist (siehe Gl. 3.142). G
Wird der Leiter in der angegebenen Richtung mit der Geschwindigkeit v
bewegt, dann wird die durch die Leiterschleife umfasste Fläche kleiner, d. h. die Flächenänderung ist negativ: dA dt



l ˜ ds dt

l ˜ v .

(3.286)

Damit lässt sich die induzierte Spannung auch durch die zeitliche Änderung des von der Leiterschleife umfassten magnetischen Flusses errechnen: uq

v ˜ B ˜ l

B˜

dA dt

e

mit uq

d) dt

v ˜ B ˜ l B ˜

dA dt

d) = B · dA

(3.287)

e



d) dt

(3.288)

G
v
verschoben, dann Wird die Leiterschleife in umgekehrter Richtung mit der Geschwindigkeit G
G
wird die elektrische Feldstärke

E bzw. die induzierteG Feldstärke E
i und damit die induzierte G Spannung uq bzw. e nach dem Vektorprodukt B (v u B) umgekehrt gerichtet:

Bild 3.150 Bewegte Leiterschleife im Magnetfeld mit Ersatzschaltbild (umgekehrte Bewegungsrichtung der Leiterschleife zu Bild 3.149)

3.4 Das magnetische Feld

295

Die Spannung uq bzw. e treibt dann einen Strom i ebenfalls in umgekehrter Richtung durch den Widerstand R. Dieser Strom bewirkt ein magnetisches Feld, das das äußere Feld innerhalb der Leiterschleife schwächt und außerhalb der Leiterschleife verstärkt, wie mit der „Rechte-Hand-Regel“ (siehe Anfang des Abschnitts 3.4.1) nachgewiesen werden kann. Durch die Bewegung des Leiters wird der durch die Leiterschleife umfasste magnetische Fluss vergrößert. Das magnetische Feld des Stroms i versucht, diese Flussvergrößerung aufzuheben. Auf die beweglichen Ladungsträger des Stroms im Magnetfeld wirken magnetische Kräfte, die insgesamt so gerichtet sind, dass sie die Bewegung desG Leiters zu hemmen suchen. Die GeG G samtkraft kann durch das Vektorprodukt F Q ˜ (v u B) nachgewiesen werden, indem der G
Geschwindigkeitsvektor

v in die Richtung des Stroms zu legen ist (siehe Gl. 3.142). Wird der Leiter in der angegebenen Richtung mit der Geschwindigkeit v bewegt, dann wird die durch die Leiterschleife umfasste Fläche größer, d. h. die Flächenänderung ist positiv: dA dt

l ˜ ds dt

l ˜ v.

(3.289)

Mit der magnetischen Induktion B multipliziert B˜

dA dt

(3.290)

v ˜ B˜l

ergibt sich eine induzierte Spannung, die der induzierten Spannung bei entgegengesetzter Bewegungsrichtung entgegengesetzt gerichtet ist: uq

d) dt

e

d) dt

Die Leiterschleife lässt sich andererseits in der gleichen Richtung wie im Bild 3.149, also nach rechts, verschieben, wobei die Leiterschleife mit dem Widerstand R auf der linken Seite im Innern des Magnetkreises (siehe Bild 3.148) angeordnet ist. Da nur im Leiterstück der Länge l die Spannung induziert wird, unterscheidet G
sich dieser Fall nicht hinsichtlich der Richtungen G
G
G
von

E (bzw.

E i ), uq (bzw. e),

v und F
. Auch die Vergrößerung der Fläche, die von der Leiterschleife eingeschlossen wird, ist entsprechend der Festlegung negativ anzusehen. Dieser Fall entspricht dem Fall im Bild 3.150, indem das Bild auf den Kopf gestellt wird. Bewegte Spule im Magnetfeld Wird in einem zeitlich konstanten Magnetfeld eine Spule mit der Windungszahl w mit der G
Geschwindigkeit v
bewegt, dann werden in w parallelen, eng beieinander liegenden Leitern einer Spulenseite w gleiche Spannungen induziert, die insgesamt uq

w ˜ v ˜ B ˜ l ˜ sin D ˜ cos E

(3.291)

e

w ˜ v ˜ B ˜ l ˜sinD ˜ cos E

e

w ˜

(3.292)

bzw.

bzw. uq

betragen.

w˜

d) dt

(3.293)

d) dt

(3.294)

296

3 Das elektromagnetische Feld Beispiel 1: Verschieben einer rechteckigen Spule in ein homogenes, zeitlich konstantes Magnetfeld Eine rechteckige Spule mit den Seiten a = 8cm und b = 10cm und mit w = 100 Windungen wird mit einer Geschwindigkeit v = 5m/s senkrecht zur magnetischen Induktion B in ein homogenes, zeitlich konstantes Magnetfeld mit B = 1T eingetaucht. Die Normale der Spulenfläche bildet mit der Richtung des Magnetfeldes den Winkel J = 60º. Zu ermitteln sind die Richtung und der Betrag der induzierten Spannung in der Spule. Lösung: Zur Veranschaulichung der Zusammenhänge soll die Spule im Magnetfeld in drei Ansichten dargestellt werden:

Bild 3.151 Darstellung der Verschiebung einer Spule im Magnetfeld in drei Ansichten Zu empfehlen ist, ein Modell aus Pappe der Größe DIN A4 und eine rechteckige Drahtschleife anzufertigen. In das Pappmodell werden zwei Schlitze eingeschnitten, in der die Spule schräg verschoben werden kann:

Bild 3.152 Modell zur Erläuterung der Bewegungsinduktio n (Beispiel 1)

3.4 Das magnetische Feld

297

Solange sich die Spule außerhalb des Magnetfeldes befindet, ist sie wegen B = 0T spannungslos. Beim Eintauchen der einen Seite der Spule wird in jedem der w Leiterstücke der Länge b eine gleich große und gleichgerichtete Spannung induziert, wobei mit D = 90º und E = 0º die induzierte Gesamtspannung der Spule nach Gl. 3.291 uq = – w · v · B · b ergibt und in der Draufsicht im Bild 3.151 von rechts nach links gerichtet ist. Mit den gegebenen Zahlenwerten errechnet sich uq =  100 ˜ 5

m Vs ˜1 ˜ 0,1 m s m2

50 V .

Nach Verschieben der Länge a ·cos J gelangt die andere Seite der Spule mit der gleichen Länge b in das magnetische Feld. Die gleich großen, gleich gerichteten induzierten Spannungen wirken den induzierten Spannungen im anderen Teil der Spule entgegen, so dass die Gesamtspannung in der Spule Null ist. Es wird also nur in der Zeit von 8ms eine rechteckförmige Impulsspannung von 50V entstehen: t=

a ˜ cos J v

0,08 m ˜ 0,5 5 m/s

8 ms .

Wird die Spule in der gleichen Richtung durch den Luftspalt weiter verschoben, dann gelangt die eine Spulenseite außerhalb des Magnetfeldes, so dass nur die Gesamtspannung der anderen Spulenseite an den Klemmen der Spule zu messen ist. Wird auch die andere Seite der Spule aus dem Luftspalt geführt, ist die Gesamtspannung Null. Dieser Spannungsimpuls hat die gleiche Höhe und Breite wie der erste Spannungsimpuls, ist aber umgekehrt gerichtet. Der Zeitabschnitt zwischen beiden Impulsen wird durch die Breite des Luftspalts und der Geschwindigkeit, mit der die Spule verschoben wird, bestimmt. Da die Spule nur in einem Luftspalt mit relativ großer Luftspaltlänge bewegt werden kann, ist die Abgrenzung des magnetischen Feldes fließend, so dass der tatsächliche Spannungsimpuls eine mehr oder weniger abgerundete Form erhält.

Bild 3.153 Zeitlicher Verlauf der induzierten Spannung beim Verschieben einer Spule im Magnetfeld

Folgerung: Beim Verschieben einer Spule innerhalb eines homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeldes entsteht an den Spulenklemmen keine Spannung, weil sich die induzierten Spannungen kompensieren.

298

3 Das elektromagnetische Feld Beispiel 2: Drehen einer rechteckigen Spule mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit in einem homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeld Eine rechteckige Spule mit den Kantenlängen a = 5cm, b = 7cm und einer Windungszahl w = 100 wird mit n = 200 Umdrehungen pro Minute um ihre Symmetrieachse in einer stromdurchflossenen Zylinderspule gedreht. Die Drehachse ist senkrecht zum Magnetfeld angeordnet. Der Strom in der Zylinderspule beträgt I = 12A, die Windungszahl pro Länge wsp/l = 10/cm. Zu ermitteln sind die Richtung und der Betrag der induzierten Spannung. Lösung: Zur Veranschaulichung der Zusammenhänge soll die Spule im Magnetfeld in zwei Ansichten dargestellt werden:

Bild 3.154 Darstellung der Drehung einer Spule im Magnetfeld in zwei Ansichten Ein Modell aus Pappe der Größe DIN A4, in der eine aus Draht gebogene Drahtschleife gedreht werden kann, hilft die Zusammenhänge zu verstehen. Wie im Bild 3.155 ersichtlich, ist ein zur „Spule“ passender Schlitz auszuschneiden.

Bild 3.155 Modell zur Erläuterung der Bewegungsinduktion (Beispiel 2)

G


G


Da sich der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor v
und dem Induktionsvektor

B mit der Umdrehung der Spule ständig ändert, sind die induzierten Spannungen auch zeitlich veränderlich: sie sind sinusförmig. In der im Bild 3.154 oberen Spulenseite ist die Spannung nach Gl. 3.291 uqo = – w · v · B · b · sin D

mit

cos E = 1,

mit

sin (180º – D) = sin D

die Spannung in der unteren Spulenseite ist uqu = – w · v · B · b · sin (180º – D) uqu = – w · v · B · b · sin D. Beide Spannungen sind so gerichtet, dass sie sich zu einer Gesamtspannung addieren: uq = uqo + uqu = – 2 · w · v · B · b · sin D.

(3.295)

3.4 Das magnetische Feld

299

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit Z beträgt die Bahngeschwindigkeit v=

mit a·S T = 1/f f

a˜S T

(3.296)

Umfang des Kreises, Periodendauer, Frequenz.

Aus D 2S 2 ˜ S ˜f , T t auch Kreisfrequenz genannt, ergibt sich Z=

(3.297)

2S Z und damit für die Bahngeschwindigkeit a ˜ S ˜Z a ˜Z . v= 2 2S Die induzierte Gesamtspannung in der Spule ist also a · Z · B · b · sin D uq = – 2 · w · 2 uq = – w · A · Z · B · sin Zt mit T=

A=a·b

(3.298)

(3.299)

(3.300)

Spulenfläche

und D = Zt. Um die sinusförmige Spannung quantitativ angeben zu können, muss zunächst die magnetische Induktion innerhalb der Spule errechnet werden: Mit Gl. 3.176 I ˜ w sp B = P0 ˜ l ergibt sich Vs 10 · 12A · =15,072 · 10–3 T. Am 10 2 m Mit Z = 2 · S · n kann dann die Amplitude der sinusförmigen Spannung berechnet werden:

B = 1,256 · 10–6

uq = – 100 · 5 · 7 · 10–4m2 · 2 · S ·

200 Vs · 15,072 · 10–3 · sin Zt 60 s m2

uq = – 0,110 V · sin Zt. Folgerung: Durch Drehen einer Spule im zeitlich konstanten Magnetfeld sind zwei Spulenseiten an der Spannungsinduktion beteiligt. Deshalb werden elektrische Spannungen vorwiegend in rotierenden Generatoren erzeugt. Stimmt die Drehachse der Spule mit der Symmetrieachse der Zylinderspule überein, dann entsteht an den Klemmen der gedrehten Spule keine Spannung, wie mit Hilfe des Vektorprodukts nachgewiesen werden kann.

300

3 Das elektromagnetische Feld

3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – Ruheinduktion Eine in der Elektrotechnik wichtige Anwendung der Ruheinduktion ist der Transformator, der in den Abschnitten 3.4.7.2 und 6 (siehe Band 2) behandelt wird. Die Ausführungen über den Transformator setzen Kenntnisse über die Ruheinduktion voraus. Befindet sich in einem Magnetfeld, dessen feldbeschreibende Größen B und H sich zeitlich ändern, eine oder mehrere ruhende Leiterschleifen, dann werden in ihnen Spannungen induziert, die in Analogie zur Bewegungsinduktion behandelt werden können. In der in Bild 3.156 gezeichneten Magnetanordnung ist der Strom isp in der Spule zeitlich veränderlich. Damit verändert sich der damit verbundene magnetische Fluss ) und die magnetische Induktion B im Luftspalt. Bei Verringerung des Stroms nimmt auch der von der Leiterschleife umfasste magnetische Fluss ) ab, wodurch in der Leiterschleife Ladungen verschoben werden. Die durch die Flussverkleinerung induzierte Spannung

uq

d) dt

e



d) dt

treibt durch die Leiterschleife einen Strom i, der so gerichtet ist, dass der durch ihn verursachte magnetische Fluss der äußeren Flussverringerung entgegenwirkt.

Bild 3.156 Ruhende Leiterschleife im Luftspalt eines Magnetfeldes

Bild 3.157 Ruhende Leiterschleife im zeitlich veränderlichen Magnetfeld (Verkleinerung des Magnetflusses)

3.4 Das magnetische Feld

301

Mit Hilfe der „Rechte-Hand-Regel“ lässt sich die Richtung der induzierten EMK e angeben, wenn von der Verringerung des magnetischen Flusses ausgegangen wird: Der Daumen der rechten Hand zeigt in die Richtung des sich zeitlich vermindernden Flusses ), der von der Leiterschleife umfasst wird. Dann geben die gekrümmten Finger die Richtung der induzierten Spannung e an. Diese Regel lässt sich analog für die durch die Flussänderung gedeutete Bewegungsinduktion anwenden (siehe Bild 3.149). Wird umgekehrt der Strom isp in der Spule vergrößert, dann nimmt auch der von der Leiterschleife umfasste magnetische Fluss ) zu. Die in der Leiterschleife induzierte Spannung

uq

d) dt

e

d) dt

ist umgekehrt gerichtet und treibt einen Strom i durch die Leiterschleife in umgekehrter Richtung. Der mit dem Strom verbundene magnetische Fluss versucht die Flussvergrößerung aufzuheben.

Bild 3.158 Ruhende Leiterschleife im zeitlich veränderlichen Magnetfeld (Vergrößerung des Magnetflusses)

Die „Rechte-Hand-Regel“ gibt die Richtung der induzierten Quellspannung uq an, indem die Vergrößerung des magnetischen Flusses zugrunde gelegt wird: Der Daumen der rechten Hand zeigt in die Richtung des sich zeitlich vergrößernden magnetischen Flusses ), der von der Leiterschleife umfasst wird. Dann geben die gekrümmten Finger die Richtung der induzierten Spannung uq an. Diese Regel lässt sich analog für die durch die Flussänderung gedeutete Bewegungsinduktion anwenden (siehe Bild 3.150). Die induzierte Spannung entsteht nur in einer geschlossenen Leiterschleife, die den zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss umfasst. Deshalb wird die induzierte Spannung Umlaufspannung genannt.

302

3 Das elektromagnetische Feld

Durch mehrere Leiterschleifen lassen sich verschiedene zeitveränderliche Teilflüsse umschließen, die verschieden große Umlaufspannungen ergeben. Die Summe der Teilflüsse, die die induzierten Umlaufspannungen hervorrufen, wird Induktionsfluss oder mit den Leitern verketteter Fluss genannt: n

uq =

¦ i 1

d )i dt

§ n · d< d ¨ ) i ¸ ¸ dt dt ¨ ©i 1 ¹

n

¦

mit

<=

¦ )i .

(3.301)

i 1

Bei gleichem Umlaufsinn addieren sich die einzelnen induzierten Spannungen zu einer Gesamtspannung. Beispiel: In den drei Leiterschleifen, die jeweils einen unterschiedlichen magnetischen Fluss umfassen, werden drei Umlaufspannungen induziert:

Bild 3.159 Beispiel für die Erläuterung des verketteten oder Induktionsflusses

uq = uq1 + uq2 + uq3 uq =

d )1 d ) 2 d ) 3   dt dt dt

uq =

d ()1  ) 2  ) 3 ) dt

d< dt

mit < = )1 + )2 +)3

In praktischen Anordnungen, z. B. im Transformator, wird der magnetische Fluss, der sich zeitlich ändert, durch eine Spule umfasst. Der für die induzierten Umlaufspannungen bestimmende Induktionsfluss ist dann < = w · ),

(3.302)

also der w-mal umschlossene magnetische Fluss ). Der Induktionsfluss < ist also nur in Zusammenhang mit der induzierten Umlaufspannung zu verstehen. Die gesamte induzierte Spannung der Spule ist w-mal so groß wie die Umlaufspannung einer Windung:

uq = w ˜

d) dt

d (w ˜ )) dt

d< dt

(3.303)

e w ˜

d) dt



d (w ˜ )) dt



d< (3.304) dt

3.4 Das magnetische Feld

303

Beispiel 1: Neben einem langen stromdurchflossenen Leiter befindet sich eine rechteckige Spule mit der Windungszahl w. 1. Zunächst ist aus der vom Radius abhängigen magnetischen Induktion B(r) der magnetische Fluss durch die Spule zu ermitteln. 2. Dann ist die in der Spule induzierte Spannung zu bestimmen, wenn der Leiter von einem sinusförmigen Strom i ˆi ˜sin Zt durchflossen wird.

Bild 3.160 Beispiel l zur Ruheinduktion

Lösung: Zu 1. Das magnetische Feld in der Umgebung eines stromdurchflossenen Leiters ist inhomogen, deshalb muss für den magnetischen Fluss Gl. 3.136 angesetzt werden: G G ) ³ B ˜ dA . A

Wie im Beispiel im Abschnitt 3.4.2 (S. 219) beschrieben, wird das Integral vereinfacht:

)

³ B ˜ dA .

A

Mit Gl. 3.178 B(r) =

P0 1 ˜i˜ 2S r

und

dA = h · dr

ergibt sich

)

) Zu 2.

P0 ˜ i ˜ h 2S

a b

³ a

dr r

P0 ˜ i ˜ h ˜ ln a  b 2S a

P 0 ˜ i ˜ h § b · ˜ ln¨1  ¸. 2S © a ¹

Die induzierte Gesamtspannung wird durch Differentiation des zeitveränderlichen Stroms ermittelt: § b · di P0 ˜ h ˜ ln ¨1  ¸˜ 2S © a ¹ dt

uq = w ·

d) dt

uq = w ·

§ b · P0 ˜ h ˜ ln ¨1  ¸˜ Z ˜ ˆi ˜ cos Zt . 2S © a ¹

w˜

304

3 Das elektromagnetische Feld Beispiel 2: Drehen einer rechteckigen Spule mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit in einem homogenen, zeitlich konstanten Magnetfeld Das im Abschnitt 3.4.6.1 behandelte Beispiel 2 für die Bewegungsinduktion kann auch durch die Ruheinduktion interpretiert werden. Man stelle sich vor, dass sich der Beobachter auf der drehenden Spule befindet. Dann ändern sich für ihn die magnetische Induktion und der magnetische Fluss durch die Spule zeitlich nach einer Kosinusfunktion: B (t) = B · cos D = B · cos Zt

mit D = Zt

) (t) = B (t) · A = B · A · cos Zt

mit A = a · b Spulenfläche

) (t) = B · a · b · cos Zt

Bild 3.161 Beispiel 2 zur Ruheinduktion

Bild 3.162 Beispiel 2: Verlauf von Fluss und induzierter Spannung

Die in der Spule induzierte Spannung lässt sich durch Differentiation berechnen: d) d (cos Z t ) uq = w · w ˜B˜a ˜b˜ dt dt uq = – w · B · a · b · Z · sin Zt

(vgl. mit Gl. 3.300)

Bei Abnahme des magnetischen Flusses ist die induzierte Spannung uq negativ, bei Zunahme des magnetischen Flusses positiv.

Überlagerung beider Induktionserscheinungen Wie eingangs des Abschnitts ausgesagt, können sich die Vorgänge der Bewegungsinduktion und Ruheinduktion überlagern. Beide Erscheinungen lassen sich mathematisch in einer Formel zusammenfassen: G G G G G uq = – w · (3.305) v ˜ B ˜ dl  w ˜ d ³ B ˜ dA dt

l l



A

bzw. e=w·

l vG ˜ BG ˜ dlG  w ˜ dtd ³ BG ˜ dAG , l

(3.306)

A

wobei auch der Fall erfasst wird, bei der die Fläche A der Leiterschleife zeitlich verändert wird. In diesem allgemeinen Induktionsgesetz erfasst der erste Term die Bewegungsinduktion und der zweite Term die Ruheinduktion.

3.4 Das magnetische Feld

305

3.4.7 Selbstinduktion und Gegeninduktion 3.4.7.1 Die Selbstinduktion Induktivität Bei zeitlicher Änderung des Stroms in einer Spule ändert sich der damit verbundene magnetische Fluss, der vom Leiter der Spule w-mal umfasst wird und zu einer Spannungsinduktion führt. Um diesen Vorgang der Selbstinduktion besser beschreiben zu können, wird zunächst die Induktivität definiert. Fließt durch eine Spule ein Gleichstrom I, dann sind der magnetische Fluss ) und der w-mal umschlossene Fluss, der Induktionsfluss <, zeitlich konstant. Zwischen dem Induktionsfluss < und dem Strom I besteht eine lineare oder eine nichtlineare Abhängigkeit, je nachdem ob die Permeabilität konstant ist oder vom Strom abhängig ist: < = L · I.

(3.307)

Die Proportionalitätsgröße L heißt Selbstinduktivität oder kurz Induktivität und erfasst genauso wie der magnetische Leitwert Gm bzw. der magnetische Widerstand Rm die Materialgröße P und die konstruktiven Daten des magnetischen Kreises. Sie ist also für Nichtferromagnetika mit P = P0 konstant und für Ferromagnetika vom Strom abhängig. Die Maßeinheit der Induktivität ist Henry: [L] = 1

Vs = 1 H. A

Die stationäre Induktivität ist stromunabhängig L=

< I

w ˜) I

(3.308)

und lässt sich für Nichtferromagnetika mit P = P0 und für Ferromagnetika mit konstant angenommener Permeabilität P berechnen. Insbesondere bei homogenen Feldern kann die stationäre Induktivität einfach berechnet werden, indem der magnetische Leitwert mit w2 multipliziert wird: L=

w ˜) I

L=

w ˜ I ˜ w ˜Gm I

mit

) = 4 · Gm = I · w · Gm

ist

L = w2 · Gm =

w2 Rm

mit

Gm =

1 . Rm

(3.309)

Ist das Magnetfeld inhomogen, aber symmetrisch, dann lässt sich der magnetische Leitwert oder der magnetische Widerstand und damit die Induktivität durch „Homogenität im Kleinen“ ermitteln (siehe Abschnitt 3.2.3 und 3.3.3).

306

3 Das elektromagnetische Feld

In den folgenden Beispielen wird die stationäre Induktivität L über den magnetischen Leitwert bzw. magnetischen Widerstand oder über den Induktionsfluss berechnet: Beispiel 1: Induktivität einer Zylinderspule ohne Eisenkern oder mit Eisenkern und konstanter Permeabilität P Bei der Berechnung der Induktivität einer Zylinderspule wird angenommen, dass der magnetische Widerstand und damit die magnetische Spannung außerhalb der Spule vernachlässigt wird (vgl. Beispiel 1 im Abschnitt 3.4.3, allgemeiner Durchflutungssatz Bild 3.79) und dass im Innern der Spule ein homogenes Feld vorliegt. Da außerdem die Permeabilität konstant sein soll, kann die Induktivität mit Hilfe des magnetischen Widerstandes errechnet werden (nach Gl. 3.309):

L=

w2 Rm

mit Rm

l P˜A

A=

S ˜ D2 4

und

ist L=P·

S 2 D2 ˜w ˜ 4 l

Bild 3.163 Zylinderspule ohne und mit Eisenkern

Die Induktivität kann selbstverständlich auch über den Induktionsfluss < nach Gl. 3.308 ermittelt werden: L=

w ˜) I

< I

mit )=B·A und A= und

S ˜ D2 4 4 I˜w =P· l l

B=P·H=P·

L=

w ˜) I

w ˜B˜A I

L=

w I ˜ w S ˜ D2 ˜P ˜ ˜ 4 I l

L = P ˜ S ˜w ˜ D 2

4

l

2

.

(3.310)

3.4 Das magnetische Feld

307

Beispiel 2: Induktivität einer Toroidspule (Kreisringspule) ohne Eisenkern oder mit Eisenkern und konstanter Permeabilität P Das magnetische Feld der Kreisringspule ist inhomogen, weil die Feldlinien ungleich lang sind. Wird angenommen, dass das Feld homogen ist, dann lässt sich der magnetische Fluss über das Hopkinsonsches Gesetz (Gl. 3.148) angeben: L=

w ˜) I

< I

mit I˜w Rm

4 Rm

)= und

lm P˜A

Rm =

Bild 3.164 Toroidspule mit und ohne Eisenkern

und lm = 2 ˜

ra  ri ˜S 2

ra  ri ˜ S

und A = (ra – ri) · h ist und L =

)=

I ˜ w ˜P ˜ A lm

I ˜ w ˜P ˜ (ra  ri ) ˜ h (ra  ri ) ˜ S

P ˜ w 2 ˜ h ra  ri ˜ . S ra  ri

(3.311)

Die Induktivität, lässt sich auch exakt berechnen, indem die Inhomogenität des Feldes berücksichtigt wird. Damit kann beurteilt werden, welche Genauigkeit die angenäherte Berechnung zulässt: < w ˜) L= I I mit )=

³ B ˜ dA

A

und B=P·H=P·

I˜w 2˜S˜r

aus 4=

³ H ˜ dl

I · w = H ˜ dl = H · 2 · S · r

³

Bild 3.165 Inhomogenität einer Toroidspule

308

3 Das elektromagnetische Feld und dA = h · dr ra

)=

P ˜ I ˜ w ˜ h dr ˜³ 2˜S r ri

L=

r P˜I˜w ˜h ˜ ln a 2˜S ri

r P˜w2 ˜h 1 ˜ ˜ ln a . ri S 2

(3.312)

Die Abweichung zwischen exakt berechneter Induktivität (100 %) und angenähert berechneter Induktivität beträgt z. B. bei einem Verhältnis der Radien ra/ri = 5/4 ca. 0,4 %: ra  ri ra  ri r 1 ˜ ln a ri 2

0,111111 0,111 571

0, 99587 .

Beispiel 3: Induktivität eines unverzweigten magnetischen Kreises aus Eisen mit konstanter Permeabilität P Das magnetische Feld konzentriert sich im Eisen und ist inhomogen, weil die Feldlinien ungleich lang sind. Da ein homogener Feldverlauf angenommen werden kann, lässt sich die Induktivität mit Hilfe des magnetischen Widerstandes berechnen: L=

w2 R mFe

mit RmFe = L=

lFe P 0 ˜P r ˜ A

w  ˜P 0 ˜P r ˜ A . lFe

(3.313)

Bild 3.166 Magnetischer Eisenkreis

3.4 Das magnetische Feld

309

Beispiel 4: Induktivität eines unverzweigten magnetischen Kreises aus Eisen mit konstanter Permeabilität und einem Luftspalt Wird angenommen, dass im Eisen und im Luftspalt ein homogener Feldverlauf vorliegt, dann kann die Induktivität über den magnetischen Widerstand ermittelt werden: L=

w2 Rm

mit Rm = RmFe + RmL und Rm =

L=

lFe l P  L ˜ r P 0 ˜P r ˜ A P 0 ˜ A P r

w  ˜P 0 ˜P r ˜ A . lFe  P r ˜ lL

(3.314)

Bild 3.167 Magnetischer Eisenkreis mit Luftspalt

Beispiel 5: Induktivität eines konzentrischen Kabels ohne Berücksichtigung der Permeabilität des Innenleiters und des Mantels Im konzentrischen Kabel dient der Innenleiter als Hinleiter und der Außenleiter als Rückleiter. Das isolierende Medium zwischen Hin- und Rückleiter hat die Permeabilität P0. Dort bildet sich ein zylindersymmetrisches, also inhomogenes magnetisches Feld aus. Die Berechnung der Induktivität geht mit w = 1 in die Berechnung des magnetischen Flusses über: L=

< I

) . I

Dafür wird das isolierende Medium in ineinander gesteckte Rohre der Dicke d r aufgeteilt, in denen „Homogenität im Kleinen“ angenommen wird. Der Teilfluss d) tritt dann jeweils in Rohren um den Innenleiter auf. Der Gesamtfluss ergibt sich durch Integration der Teilflüsse:

310

3 Das elektromagnetische Feld

Bild 3.168 Konzentrisches Kabel

³d ) ³ B˜d A

)

A

mit B(r) = P0 · H(r) und H(r) =

I 2˜S˜r

(nach Gl. 3.177)

und dA = l · dr ra

)=

³ P0 ˜ 2 ˜ SI ˜ r ˜ l ˜ dr

ri

ra

)=

P0 ˜ I ˜ l ˜ dr 2˜S ³ r ri

L=

r P0 ˜ l ˜ ln a . 2˜ S ri

r P0 ˜ I ˜ l ˜ ln a 2˜S ri

(3.315)

Bild 3.169 Abwicklung eines Rohres der Dicke eines konzentrischen Kabels

Die Induktivität lässt sich auch über den magnetischen Leitwert errechnen, indem die magnetischen Leitwerte der ineinander gesteckten Rohre ermittelt und zum Gesamtleitwert zusammengefasst werden: L = w2 · Gm = Gm mit w = 1 mit dGm = P0 ·

l ˜dr dA = P0 ˜ 2˜S˜ r 2˜S˜r

a

L = Gm =

³ dG m i

L=

r P0 ˜ l ˜ ln a . 2˜ S ri

ra

P0 ˜ l ˜ ³ dr 2S r ri

3.4 Das magnetische Feld

311

Induktivität bei veränderlicher Permeabilität Die Induktivitätsformel L=

w ˜) I

< I

kann bei Annahme eines homogenen Feldes mit ) = B · A und bei Berücksichtigung des Durchflutungssatzes mit I=

H ˜ lm w

aus

4 = I · w = H · lm

in Abhängigkeit der beiden feldbeschreibenden Größen dargestellt werden: L=

w2 ˜ A B ˜ lm H

w2 ˜ A ˜P . lm

(3.316)

Aus dem Spulenstrom I lässt sich also die magnetische Feldstärke (Erregung) H berechnen, wodurch im Arbeitspunkt der Magnetisierungskennlinie (Bild 3.170) die magnetische Induktion B abgelesen werden kann: Der Quotient B/H ist dann gleich der Permeabilität P, mit der sich die stationäre Induktivität L errechnen lässt.

Bild 3.170 Ermittlung der Permeabilität aus der BH-Kurve

Bild 3.171 Abhängigkeit der Induktivität von der magnetischen Induktion

Wird der Spulenstrom I geändert, dann ändern sich H und B und der Anstieg P der Nullpunktsgerade durch den Arbeitspunkt. Die Induktivität ist also bei Berücksichtigung der Nichtlinearität der Magnetisierungskennlinie stromabhängig: L (I) =

< I

w2 ˜ A ˜P (H) lm

und kann in Abhängigkeit von B dargestellt werden (Bild 3.171).

312

3 Das elektromagnetische Feld

Wird auf die Toroidspule, durch die ein Gleichstrom I fließt, eine zweite Spule gewickelt, die mit einem Wechselstrom durchflossen ist, dann ändert sich die magnetische Feldstärke H um ± ' H und die magnetische Induktion B um ± ' B, genau genommen auf einer kleinen partiellen Hystereseschleife. Um die dann wirksame Permeabilität angeben zu können, wird die Hystereseschleife im Arbeitspunkt (H, B) durch eine Tangente angenähert. Damit geht der Anstieg der Tangente, genannt differentielle, umkehrbare oder reversible Permeabilität Pu, in die Berechnung der differentiellen Induktivität Ld ein: Ld =

w 2 ˜ A dB ˜ lm dH

w2 ˜ A ˜ Pu lm

(siehe Bild 3.170).

Die Größe der differentiellen Induktivität, auf die im Folgenden noch eingegangen wird, hängt also von der Steilheit der Magnetisierungskennlinie im Arbeitspunkt ab, der von einem Gleichstrom eingestellt wird. Derartige magnetische Anordnungen, in denen mit Hilfe eines Gleichstroms ein Wechselstrom gesteuert wird, werden Magnetverstärker oder Transduktoren genannt [21]. Selbstinduktion Fließt durch eine Spule ein zeitlich veränderlicher Strom, dann sind der magnetische Fluss ) und der w-mal umschlossene Fluss, der Induktionsfluss <, auch zeitlich veränderlich. Dadurch wird längs jeden Umlaufs um den magnetischen Fluss eine Umlaufspannung induziert, die insgesamt eine Spannung ui bzw. e ergibt:

ui =

d< dt

w˜

d) dt

(3.317)

e= 

d< dt

w ˜

d) dt

(3.318)

Erläuterung:

Bild 3.172 Erläuterung der Selbstinduktion bei kleiner werdendem Fluss

Bild 3.173 Erläuterung der Selbstinduktion bei größer werdendem Fluss

3.4 Das magnetische Feld

313

Durch eine zeitlich veränderliche Spannung u wird der eingeprägte Strom ie zeitlich kleiner, so dass auch der mit ihm verbundene magnetische Fluss ) kleiner wird. Nach der „Rechte-Hand-Regel“ wird eine Spannung ui bzw. e in der angegebenen Richtung induziert, wodurch ein Strom ii entsteht, der der Stromverkleinerung des eingeprägten Stroms ie entgegenwirkt. Mit diesem induzierten Strom ii ist ein magnetischer Fluss )i verbunden, der ebenfalls die Flussverkleinerung von ) verhindern will. Zum kleiner werdenden Strom ie muss also der induzierte Strom ii addiert werden und zum kleiner werdenden Fluss ) muss ebenfalls der induzierte Fluss )i addiert werden.

Wird der eingeprägte Strom ie durch die eingeprägte Spannung u zeitlich größer, dann wird auch der mit ihm verbundene magnetische Fluss ) größer. Die induzierte Spannung ui bzw. e ist dann umgekehrt gerichtet und treibt einen Strom ii, der dem eingeprägten Strom ie entgegengerichtet ist. Der Stromvergrößerung von ie wird durch den induzierten Strom ii entgegengewirkt. Der mit dem induzierten Strom ii verbundene magnetische Fluss )i ist dem magnetischen Fluss ) entgegengerichtet, um der Flussvergrößerung entgegenzuwirken. Vom größer werdenden Strom ie muss der induzierte Strom ii und vom größer werdenden Fluss ) der induzierte Fluss )i subtrahiert werden.

Wird in einer Spule der Strom zeitlich geändert, dann wird eine Spannung induziert, die versucht, den Strom und den magnetischen Fluss konstant zu halten. Die Induktion der Spannung in der Spule erscheint infolge der Änderung des eigenen Feldes und heißt deshalb Selbstinduktion. Die Proportionalitätsgröße L, die mit < (t) = L · i(t) auch den Zusammenhang zwischen dem zeitlich veränderlichen Strom i, das ist die Summe oder Differenz von ie und ii, und dem zeitlich veränderlichen Induktionsfluss < herstellt, wird Selbstinduktivität genannt. Stationäre und differentielle Induktivität Die induzierte Spannung u bzw. e ist mit < = L · i u=

d< dt

d ( L ˜ i) dt

e=–

d< dt



d (L ˜ i) dt

u=L·

di dL i˜ dt dt

d L· § di e = – ¨L˜  i˜ ¸ d t dt ¹ ©

u=L·

di dL di i˜ ˜ dt di dt

d L d i· § di ˜ ¸ e = – ¨L˜  i˜ d t d i dt¹ ©

Ist die Induktivität L vom Strom i unabhängig, ist also die Permeabilität P konstant, dann ist die Induktivität L konstant und die wirksame Induktivität ist stationär. Die Formel für die induzierte Spannung in der Spule lautet dann mit d L/d i = 0 u=L·

di dt

(3.319)

e =  L˜

di dt

(3.320)

314

3 Das elektromagnetische Feld

Ist die Induktivität L vom Strom i abhängig, ist also die Permeabilität P nicht konstant, dann muss obige Formel weiterentwickelt werden: di dL di  i˜ ˜ dt di d t § d L · d i u = ¨L  i ˜ ¸˜ © d i ¹ d t

§ d i d L d i · e = – ¨L ˜  i ˜ ˜ ¸ © d t d i d t ¹

u=L·

mit

d< dt

u=

u = Ld ·

§ d L · d i e = – ¨L  i ˜ ¸˜ © d i ¹ d t

mit

d< di ˜ d i dt

d< dt



e = – Ld ·

di dt

e=–

di dt

(3.321)

d< di ˜ di dt

(3.322)

mit

mit Ld =

d< di

L i˜

dL di

Ld =

d< di

L i˜

dL di

Die differentielle Induktivität Ld geht in die stationäre Induktivität L über, wenn die Induktivität vom Strom unabhängig ist. Der Verlauf der Funktion < = f (i) ist identisch mit dem Verlauf der Magnetisierungskennlinie B = f (H), indem bei homogenem Feldverlauf die Ordinatenmaßstäbe mit <=w·A·B

(3.323)

l ·H w

(3.324)

und i=

verändert werden. Die Steigung der Magnetisierungskurve ist für jeden H-Wert durch die Funktion P = f(H) gegeben. Entsprechend lässt sich aus der Funktion < = f (i) = L (i) · i

(3.325)

die Steigungsfunktion angeben: <' =

d< di

L(i)  i ˜

d L (i) di

Ld .

(3.326)

Analytisch ist die Magnetisierungskennlinie und damit die Funktion < = f (i) nicht einfach zu fassen. Deshalb ist zu empfehlen, die differentielle Induktivität Ld durch Tangenten an die Kurve zu ermitteln.

Bild 3.174 Ermittlung der differentiellen Induktivität

3.4 Das magnetische Feld

315

Spannung und Strom der Induktivität Werden die beiden möglichen induzierten Spannungen ui aufgrund der Flussverkleinerung (Bild 3.172) und Flussvergrößerung (Bild 3.173) zu einer Spannung an der Induktivität uL =

d< dt

L˜

di dt

(3.327)

zusammengefasst, dann muss diese Spannung in Richtung des Stroms positiv gerichtet sein; denn wächst der Strom, ist d i/d t positiv. Wird der Strom kleiner, ist die Spannung uL umgekehrt gerichtet, weil d i/d t negativ ist. Das Ersatzschaltbild einer Anordnung, in der der magnetische Fluss räumlich konzentriert angenommen wird, ist ein schwarzes Rechteck mit zwei Anschlüssen (Bild 3.175). Ist die Induktivität L vom Strom i abhängig, wie bei Spulen mit Eisenkern, dann wird das Ersatzschaltelement zusätzlich mit einem Strich versehen und mit Ld oder L (i) bezeichnet (Bild 3.176).

Bild 3.175 Ersatzschaltbild einer stromunabhängigen Induktivität

Bild 3.176 Ersatzschaltbilder einer stromabhängigen Induktivität

Jede Spule hat Joulesche Wärmeverluste, besitzt also einen ohmschen Widerstand, der beim Stromfluss zu einer Spannung uR führt. Da die induktive Spannung uL nur bei zeitlicher Änderung des Stroms entsteht, kann der ohmsche Widerstand R der Spule mit Gleichstrom gemessen werden. Genauso wie das magnetische Feld wird der ohmsche Widerstand räumlich konzentriert angenommen, so dass das Ersatzschaltbild einer Spule eine Reihenschaltung von den idealisierten Schaltelementen ohmscher Widerstand R und Induktivität L ist (Bild 3.177).

Bild 3.177 Ersatzschaltbild einer verlustbehafteten Spule

Bei zeitlich veränderlichen Größen teilt sich die an der Spule anliegende Gesamtspannung u in die ohmsche Spannung uR und in die induktive Spannung uL auf: u = u R + uL = R · i + L

di . dt

(3.328)

Diese Gleichung ist eine inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Bei der Behandlung von sinusförmigen Wechselgrößen (siehe Band 2, Kapitel 4) und Ausgleichsvorgängen (siehe Band 3, Kapitel 8) wird die Lösung dieser und gleichartiger Differentialgleichungen ausführlich behandelt.

316

3 Das elektromagnetische Feld Beispiele für Selbstinduktionsvorgänge: Wird an eine verlustbehaftete Spule eine zeitlich veränderliche (lineare oder sinusförmige) Spannung angelegt, dann entstehen die in den folgenden Diagrammen dargestellten Verläufe. Sie lassen sich mit der „Rechte-Hand-Regel“ mit den Bildern 3.172 und 3.173 und mit den Formeln 3.327 und 3.328 erklären. Beispiel 1: Linear ansteigender und linear abfallender Strom durch eine Induktivität

Bild 3.178 Spannungsverläufe bei linear veränderlichem Strom durch eine Induktivität

Beispiel 2: Sinusförmig veränderlicher Strom durch eine Induktivität

Bild 3.179 Spannungsverläufe bei sinusförmig veränderlichem Strom durch eine Induktivität

Auf die sinusförmigen Verläufe im Beispiel 2 wird im Kapitel 4 (Wechselstromtechnik) ausführlich eingegangen.

3.4 Das magnetische Feld

317

Zusammenschalten mehrerer Spulen Werden n verlustbehaftete Spulen in Reihe geschaltet, dann können sie zu einer Ersatzschaltung zusammengefasst werden. Die Ersatz-Schaltelemente sind die Ersatzinduktivität Lr und der Ersatzwiderstand Rr, die in Reihe geschaltet sind.

Bild 3.180 Reihenschaltung von Spulen und dazugehörige Ersatzschaltung

Der Zusammenhang zwischen den Induktivitäten der Spulen und der Ersatz-Induktivität bzw. zwischen den Widerständen der Spulen und dem Ersatz-Widerstand wird mit Hilfe der Spannungsgleichung hergeleitet: u

uR1  uL1  uR 2  uL 2  ...  uRn  uLn

u

uR1  uR 2  ...  uRn  uL1  uL 2  ... uLn

u

R1 ˜ i  R 2 ˜ i  ...  R n ˜ i  ¨L1

u

R1  R 2  ...  R n ˜ i  L1  L 2  ...  L n ˜

§ ©

uR  uL uR  uL

di di di · di  L 2  ...  L n ¸ R r ˜ i  L r dt dt dt ¹ dt di dt

Rr ˜ i  Lr

di dt

n

Rr

R1  R 2  ...  R n

¦ Ri

(3.329)

i 1

und n

Lr

L 1  L 2  ...  L n

¦Li

(3.330)

i 1

Bei der Reihenschaltung von n Spulen ist die Ersatzinduktivität Lr gleich der Summe der n Spuleninduktivitäten und der Ersatzwiderstand Rr gleich der Summe der n ohmschen Spulenwiderstände.

318

3 Das elektromagnetische Feld

Bei der Parallelschaltung von n verlustlosen Spulen

Bild 3.181 Parallelschaltung von verlustlosen Spulen und Ersatzschaltung

verteilt sich der Gesamtstrom in die Ströme durch die Spulen: i = i1 + i2 + ... + in. Wird die Stromgleichung differenziert, di dt

di1 di 2 di   ...  n , dt dt dt

und u

Lp

di dt

L1

di1 dt

L2

di2 dt

... L n

din dt

berücksichtigt, dann kann die Induktivität der Ersatzschaltung aus den Induktivitäten der parallel geschalteten Spulen errechnet werden: u Lp

u u u   ... L1 L 2 Ln

1 Lp

1 1 1   ...  L1 L 2 Ln

n

¦ L1i

(3.331)

i 1

Werden n verlustlose Spulen parallel geschaltet, dann ist der Kehrwert der Ersatzinduktivität Lp gleich der Summe der n Kehrwerte der Induktivitäten. Die Formeln für die Ersatzinduktivitäten der Reihen- und Parallelschaltung gelten aber nicht, wenn Teile des magnetischen Flusses einer Spule von den Windungen anderer Spulen umschlossen werden. Sind Induktivitäten miteinander gekoppelt, dann müssen zusätzliche Spannungen berücksichtigt werden, wie im folgenden Abschnitt behandelt wird.

3.4 Das magnetische Feld

319

3.4.7.2 Die Gegeninduktion Gegeninduktivität Fließt in zwei Spulen jeweils ein zeitlich veränderlicher Strom, dann ändern sich die mit den Strömen verbundenen magnetischen Flüsse. In jeder der beiden Spulen, die den magnetischen Fluss der anderen Spule umfasst, wird eine Spannung induziert. Um diesen Vorgang der Gegeninduktion, gegenseitige Induktion oder Fremdinduktion beschreiben zu können, wird zunächst die Gegeninduktivität definiert.

Bild 3.182 Gegeninduktivität bei Stromfluss in Spule 1

Bild 3.183 Gegeninduktivität bei Stromfluss in Spule 2

Fließt durch die Spule 1 ein Gleichstrom I1, dann entsteht ein magnetischer Fluss )1, der dem Strom I1 proportional ist:

Ist die Spule 2 mit dem Gleichstrom I2 stromdurchflossen, dann ist der entstehende magnetische Fluss )2 dem Strom I2 proportional:

)1 = Gm1 · 41 = Gm1 · w1 · I1. Ein Teil )12 des magnetischen Flusses )1 wird durch die Spule 2 umfasst: )12 = k1 · )1

(3.332)

)2 = Gm2 · 42 = Gm2 · w2 · I2. Der magnetische Teilfluss )21 des Flusses )2 ist mit Spule 1 verkettet: )21 = k2 · )2

mit Koppelfaktor k1

mit Koppelfaktor k2

und

und

0 d k1 d 1.

Der primäre Fluss )1 teilt sich in den primären Hauptfluss )12 und den primären Streufluss )1s auf: )1 = )12 + )1s.

(3.334)

Der primäre Hauptfluss )12 ist also proportional dem Gleichstrom I1: )12 = k1 · Gm1 · w1 · I1.

(3.333)

0 d k2 d 1.

Der sekundäre Fluss )2 teilt sich in den sekundären Hauptfluss )21 und den sekundären Streufluss )2s auf: )2 = )21 + )2s.

(3.335)

Der sekundäre Hauptfluss )21 ist ebenso dem Gleichstrom I2 proportional: )21 = k2 · Gm2 · w2 · I2.

320

3 Das elektromagnetische Feld

Mit der Windungszahl w2 ergibt sich der Induktionsfluss

Entsprechend ergibt sich mit der Windungszahl w1 der Induktionsfluss

<12 = w2 · )12,

<21 = w1 · )21,

der ebenfalls dem Gleichstrom I1 proportional ist:

der ebenfalls dem Gleichstrom I2 proportional ist: