FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau

Bernd Klein FEM

"Man muss gelehrt sein, um Einfaches kompliziert sagen zu können; und weise, um Kompliziertes einfach sagen zu können ."

nach CharIes Tschopp

Bernd Klein

FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau 8., verbesserte und erweiterte Auflage Mi t 23 0 Abbildunge n, 12 Fallstudi en und 20 Übun gsaufgaben

STUDIUM

11 VIEWEG+ TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Natlonalbibfiogratie: detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1990 2., neu bearbei tete Auflage 1997 3., überarbeitete Auflage 1999 4., verbesse r te und er weiterte Auflage 5., verbesserte und erweiterte Auflage 6., verb esserte und erweiterte Auflage 7., verbesserte Auflage 2007 8., verbesserte und erweiterte Auflage

2000 2003 2005 2010

Alle Rechte vorbehalten

© Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lekto rat: Thomas Zipsner llmke Zander

vleweg- Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien . Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Seience-Business Med ia. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwer tung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielf ält igungen, Ubersetzungen, Mikrover filmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnarnen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säure freiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Print ed in Germany ISBN 978-3-8348-0844-8

v

Vorwort zur I. Auflage Das Buch gibt den Umfang meine r Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wiede r, die ich seit 1987 an der Universität Kasse l fU TStudenten des Maschinen baus halte. Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorie zu vermitte ln. sondern auc h die Handhabung der Methode im Ablauf und d ie Anwend ung an einigen typischen Problemstellungen in der Elaste statik. Elastedy namik und Wänne leitung zu zeigen. Das realisierte Konzept dürfte damit auc h für viele Praktiker (Berechnungs tngenieure, CA E-Konstrukteure und CA D-Syste mbeauft ragte ) in der Industrie von Interesse sein. da sowoh l ein Gesa mtüberbl ick gegeben wird als auch die für das Verständnis benötigte n mathematisch-physikalischen Zusammenhänge dargestellt werden. Um damit auch d irekt umsetzbare Erfahrungen vermitteln zu können, stützt sich der Am...-endungs teil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur Verfüg ung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bear beiteten Beispie le haben mich die Mitarbeiter des Bereiches CAE der Firma [KOSS, Stuttgart. stets gut berate n. Die Erste llung des Man uskriptes hat Frau. M. Winter überno mmen. der an dieser Stelle ebenfa lls herzlich gedank t sei.

Kassel, im September 1990

B. Klein

Vorwort zur 8. Auflage Bücher haben d ie unange nehme Eigenschaft. nie fertig zu werde n. So fallen mir auch beim Arbeiten mit meinem Buch immer wieder Darstellungen und Ableitungen au f, die man besser und schö ner machen kann, Die Neuauflage enthält wieder viele Verbesserungen im Text und in den Übungen, die zum noch bessere n Verständnis der Finite-Element-Methode beitrage n sollen. Auch soll dem Lernenden eine gegliiltete T heorie helfen, d ie teils doch komplexen Z usammenhänge besser zu verarbeite n. Gemäß dem Motto des Buches .Anscbaulichkeit vor Wissenschaftlichkeit" ho ffe ich auch we iterhin auf einen interessierten Leserkreis an Fachhochschulen, Universitäten und in dcr Prax is. Die eingearbeiteten Verbesserungen beruhe n zu einem erheblic hen Te il auf Anregu ngen von Studierenden. Kollegen und Mitarbeite rn, d ie auc h weiter hin sehr dankbar aufge nommen werden . Mit der text lichen Umsetzung war wieder Frau M. Winter betraut, der an d ieser Stel le ebenfalls herz lich gedank t sei. Calde n be i Kasse l. im Januar zü lü

B. Klein

VI

Inhaltsverzeichnis Einfü hr ung ..

1.1 1.2 1.3 1.4 2

3

1

Il istor ischer Überblick Generelle Vorge hensweise Aussagesicherheit e iner FE-Analyse Qualitätsstandards

I 4 8 10

An wend ungsfelder und Soft wa re

.

2. 1 2.2

. .

Problemklassen Kommerzielle Software

Grundgle ichu ngen d er linearen Finite-E lement- Met hode 3. 1 Matrizenrechnu ng 3.2 Gleichungen der Elastestatik 3.3 Grundgleichungen der Elastedynamik 3.4 Finites Grundg leichu ngssystem 3.4.1 Variationsprinzip . 3.4.2 Methode von Galerkin

4

ni e Ma tr ix-Steifigkeitsmet hode .

5

Das 5.1 5.2 5.3

Kon zept de r Finite- Elemen t- Met hode Allgemeine Ve rgehensweise FE-Programmsystem Mathematische Formulierung 5.3 .1 Ebenes Stab-E lement . 5.3 .2 Ebenes Drehstab-Element .. 5.3 .3 Ebenes Balken-Element . 5.4 Prinzipie ller Verfahrensablauf 5.4.1 Steiflgkeits rransformation .. 5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte 5.4.3 Zusammenb au und Randbedingungen 5.4.4 Sonderrandbedingun gen 5.4.5 Lösung des Gleichungssystems 5.4.6 Berechnung der Spannungen .... 5.4.7 Systematische Problembehandlung ...

.. . . . . .

11 11 12 16 16 19

26 27 27 31

34 .

41 41

. . .

44 45 45 50

. .

. . . . . .

53 62 62 65 68 72

74

SI

83

6

Wahl der Ansa tzfunkt ione n

.

89

7

Element ka talog Fü r etastostaus che P ro bleme 7. 1 3 - D~ B a l k en- E l em ent 7.2 Sche iben-Elemente 7.2.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand .. 7.2.2 Dreieck-Element . 7.2.3 Flächenkoordinaten . 7.2.4 Erweiterungen des Dre ieck-Elements 7.2.5 Rechteck-Element

. . . .

93 93

.

97 97

98 105

.

11 0 11 1

VII

Inhaltsverzeichnis

7.3

7.4 7.5 7.6

8

•

'0

7.2.6 Konverge nz Balken-Sc heiben-Elemente 7.2.7 Berücksichtigung der Schubverformung 7.2.8 Viereck-Element 7.2.9 Isoparametrische Elemente 7.2.10 Numerische Integration .... Platten-Elemente . 7.3.1 Belastungs- und Beanspruchungszustand 7.3.2 Problematik der Platte n-Elemente 7.3.3 Rechteck-Platte n- Element 7.3.4 Dreieck-P latten-Element 7.3.5 Kon vergen z 7.3.6 Schubverformung am Plattenstrei fen 7.3.7 Beulp roblemarik Schalen-Elem ente Volume n-Elemente Kreisr ing-El ement

119 120 125 129 134 139 139 143 146 152 153 155 156 165 170 175

. . Kontaktprob leme 8.1 Problembeschreib ung . . 8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprob1cme 8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme ..... 8.3.1 Iterative Lösung nicht linearer Probleme ohne Kontak t 8.3 .2 Iterative Lösun g mit Kontak t FE M-A nsa tz für dynamisc he Pro bleme . Virtuelle Arbe it in der Dynam ik . Element massenmat rizen . 9.2.1 3-D-Balken-Element 9.2.2 Endma ssenwirkung 9 .2.3 Dreieck-Sche iben-Element 9.3 Dämpfungsmatrizen 9.4 Eigenschw ingun ge n ungedämpfter System 9.4.1 G le ichungssystem 9.4.2 Numerische Enn ittlung der Eigenwerte . 9.4.3 Stat ische Reduktion nach Guyan . . . 9.5 Freie Schwingungen 9.6 Erzwungene Schwingungen 9.7 Beliebige Anregungsfu nktion ..... 9.8 Lösung de r Bewegungsg1eichung

182 182

. .

' .1 ' .2

.

G r u nd gleich ungen d er nichtlin ea ren Fin ite-Eleme nt-M et hode ... 10. 1 Lösungspri nzip ien für nicht lineare Aufgaben .... 10.2 Nichtlineares Elastiz itätsve rha lten . 10.3 Plastizität 1004 Geometrische Nich tlinearität 10.5 Instabilitätsprobleme

. . . .

. . .

184 188 188 18' 202 202 204 205 207 20' 212 213 213 221 222 226 228 237 238 247 247 250 253 257 259

1nhaltsverzeichn is

VIII 11

Wärmeiibertragu ngsproblem e .. 11 .1 Physikalische Grund lagen ..... 11 .2 Diskret isierte Wärmeleitu ngsgleichung 11 .3 Lösung sverfahren 11 ,4 Ther misch-stationäre strukturmechanische Berechnung 11 .5 Ther r nisch-tran siente strukturmechanische Berechnung

266 266 271 273 275 276

12

Mehrkd r persyste me 12.1 Merkmale e ines MKS 12.2 Kinemat ik von MKS 12.2.1 Drehmatrix 12.2.2 Ebene Bewegung 12.3 Kinet ik von MKS . 12.3.1 G rundbeziehungen für den starren Körpe r 12.3.2 Newton-Euler-Methode 12,4 Lagrange'sche Methode 12.5 Mechanismenstrukturen

279 279 281 283 285 287 289 29 1 293 295

13

Ba uteiloptimier ung 13.1 Formu lierung einer Optimierungsaufgabe 13.2 Parameteroptimieru ng 13.3 Bionische Strateg ie 13,4 Selektive Kräftepfadopt imierung

297 297 298 300 303

14

Grund regeln der rE M-A nwe nd ung 14.1 Fehlerquellen 14.2 Elementie rung und Vernetzung 14.3 Netzaufbau 14,4 Bandbreiten-O ptimierun g 14.5 Genauigkeit der Ergebnisse 14.6 Q ualitätssicherung

306 306 307 3 11 3 14 3 18 320

Fallstudie 1: zu Kapitel 4 Mcurix-Steiflgkehsmetitode Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vergehensweise Fallstudie 3: zu Kapite l 5 Konzept der FEM / Sc hiefe Randbedingungen Fallstudie 4: zu Kapite l 5 Konzept der FEM / Durchdringun g Fallstud ie 5: zu Kap itel 7 Anwendung wm Schalen-Elementen Fallstud ie 6: zu Kap itel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen / Mapped mesht ng Fallstud ie 7: zu Kap itel 7.5 Anwendung der Vohnnen- Elemente / Free mesh ing Fallstud ie 8: zu Kap itel 9 Dynamische Probleme Fallstud ie 9: zu Kap itel 9.6 Erzwungene Schwingungen Fallstud ie 10: zu Kap itel 10 Materialnichtlinearit ät Fallstudie 1I: zu Kapitel I0,4 Geom etrische Nichtlin earit ät..... Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Warmeleitungsprableme

323 325 329 330 332 335 337 340 343 347 350 353

Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe

357 358 359 36 1

4. 1 5. 1 5.2 5.3

Inhaltsverzeichnis Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe

IX

5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6. 1 7. 1 7.2 9.1 9.2 9.3 9.5 10.4 11.1 11.2

363 365 368 369 370 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383

Mathematischer Anhang QM-Checkliste einer FE-Berechnung Literaturverzeichnis Sechwortverzeichnis

384 400 40 2 40 7

x

Formelzeichensammlung

';

A A

Multiplikatoren (mm 2) (mm)

A A;

Quersehninsfläc he Koordinatenmatrix ; Koetlizientenmatrix: Iterationsmatri x Boole'sche Matri x Koeffizient

B B

Lösungsbereich differenzi erte Ansatzfunktionsmatrix: Koeffizientenmatrix nicht linearer Anteil de r Matrix ß

ßN - C(N im m)

(N fmm 2) (N /mm 2)

(m m; grd) (N/mm; grd)

f

(N )

bezogene (vertei lte)

(N )

Funkti on allgeme in Vektor der äußeren Einze lkräfte

Km"

F(x)

F

F, Fh F'

äußere Kräfte Reakt ionskräfte

Fi3

äquivalente Einzel-

Koeffizient

F,

Drehste itlgkeitskoeffizient

unbekannte Rea ktionskräfte

- G-

Systcmdärn pfungsmatr ix; Wärmekapazitätsmatrix

kräfte

Zeilenvek toren Formfunktionen

g gj ,gj

G G

(N /mm 2)

Glei tmodul Form funktionsmatrix: Matrix der Knotenansatzfunktio nen Formfunktionsmatrix

(N)

Grav itations kraft kubischer Anteil der Form funktionsmatrix linearer Ante il der Formfunktionsmatrix rotator ischer Ante il der Formfunk tions-

- D-

d

(mm )

d

(mm/s 2)

d

(mm/s)

ds

D(u)

Elastizitätsmatrix Tangenten-Elastizitätsmatrix

Integrationskonstante

ci _ Ci c;

dp

Elastizitätsmodul

F;

Elementdämpfungsmatrix

c

E E [T

Resultierende der Schwing ungs- Dtjl, Einze lkraft

Federkonsta nte

C

cij

- E-

- F-

- ß-

C

oi fferenzialoperatorenrnatr ix

0

-A-

Knotenversen tebunge n Knorenbeschleunigung Knotengeschwindigkeit Plattenante il der Knote nversc hiebung Scheibenante il der Knotenversch iebung Differen zialoperator

Gi

G, G kub G 1in

G,

rnattix

Formelzeichensammlung translatoriseher Anteil der Formfunktionsmatrix

G,

- Jf -

h h,

Stützstelle

(mm)

H

Amplitudenhöhe Herr niresehe An-

satzfunktionsrnatrix • J.

Integral. allgemein Gebietsintervall: Einheitsmatrix

I I

. J. J

Jp

(m ru')

J y,J I-

( mm")

J, ·Kk k

(N Imm ) (N Imm )

Jacobi-Matrix polares Flächenträgheitsmomcnt Flächenträgheitsmoment 2. Invariante des Spannungstensors Federkonstante Elernentsteifigke itsmatrix:

(W /mmK) Ele mentw ärme-

k

(Nimm)

k ll

(Nimm)

kG

(N i mm )

k ij (N i mm)

k l'

(Nimm)

ks

(Nimm)

K, M

K

(Nimm)

leitungsmatrix transformierte Elementsteifigkeitsmatrix Biegesteiflgkeitsmatrix geometrische Steiflgkelrsmatrtx verschieb ungseinflusszahlen. Steiflgkeitskoe fflziente n

Plattenanteil der Steitigke itsmatrix Scheibenanteil der Steiflgke itsmatrix Diagonalhypermatrix Systemsteitigke itsmatrix:

XI (W/nm- K) Syste mwärmelei-

rungsmatrix partitionierte

IK"Ko, ~j K" K cc

KN

(NImm)

Kr

(NImm)

Ka

(NImm)

Sys temstei tlg kehsmatrix Systembiegesteifigkeitsrnatrix reduzierte Steifigkeitsm atr ix geometrische Systemste itlgkeits-

rnatrix Tangentenste iligkeitsmatrix Initia lspannungsmatrix

•L. ( ij

(mm)

L L L

(NImm)

-M ·

Koeffizienten; Matrixelement Länge DitTerentialoperator Drelecksmatrix; Lastoperator

m

(kg)

mij

(kg)

Elementmassenmatrix Massenkoetli zient

(N mml

Knotenlastvektor von eingeleiteten Momenten Oberflächenlastvektor bei verteilten Momenten verteiltes Torsions-

rnm)

moment

mK mo m,

seitenbezogene Biegemomente Systemmassenmatrix Biegemoment reduzierte Massenmatrix (N .mm) Moment

m x.y M

Mb M cc Mi

I'"" '"l I\\ u

I\\s

part jtionie rte

Systemmassenmatrix

XII

~

Formelzelchensammlung

f\i -

Stützste llen.

n

Zähler seitenbezogene Kräfte Fes twertve kto r An satzmatrtx: Nebenbedingungs-

I1 x. y

n

N

matrix

Q Q, Q Xl

w ärrnestrom (N ) (N)

Querkraft Querkra ft

( mm)

Radius

-Rr

R

Rand

R

Ve ktor de r Elerne ntknote nkräfte der

Schnittgröße n

Nj

ungebundenen

Struktur

-0 0

2

(mm )

- p-

Pi P, P,

(Ni mm)

Kraftk o mponente Knot enlastve ktor ve rtei lte Lä ngskr aft

PI:

(N /mnl)

verteilte äußere

(N )

Querk raft Knoten versohlebungsve ktor der

p

ungebundenen

r P

(N ) (N )

P -,

Po Ps Pp

- Qq q q

(N )

(N im m)

(N/m m2 )

Stru kt ur Systemlastve ktor Vektor der Eleme ntknotenkräfte äquivalente Kräfte Oberfl ächenk räfte Kraftvektor des Sche iben a ntei ls Kraft vekto r des Platt ena ntei ls

seiten bezogene Querkraft Wärm cstrom dichte Vektor der ve rte ilten ä ußeren Ober-

Fl ächenkräfte q " .yz

(NImm)

q, Q

( Ni mm)

R

(N )

R, R"

(N zmm ")

Fließ grenze

(N zmm")

Bruchgr enze

(N /mm 2) (N )

Spannungsrnarrix

Oberfläche

se itellbezogene Querkräfte verteilte Strec ke nlast Knoten punktwä rme -

n üsse

-S-

S S ., S Y.F

, ,

Vekto r der Kont akt -

knotenkräüc

Schnittkräfte in

Stäben ( mm 3 )

stat ische Mo mente

- T-

, I

T

( mm) ( s) (K) (N . nm]

T,

u. v, w

( mm )

"

( mm)

,;

Tempe ratu r; To rsio nsmo ment Tr an sformat io nsmatrix Eliminat ions matr ix

T

- u·

Elementdicke

Zeit

( mm/s)

Vers c hie bungskompo nent en Elementve rschiebungsvekto r

Geschwindigkeitsvekto r de r Elementverschie-

" "i

bungen

( rnm/s')

( nun )

Besc hleunigu ngsvektor der Elem entve rschiebungen Ve rschiebung

XlII

Forme lzeic hensammlu ng

U

(mm) (mm)

U, U,

Üc

Syste mverschiebungsvektor unbe kannte Versc hiebungen primä re Freiheitsgrade Besch leunigungen der primären Freiheu sgrade

se ku ndäre Freiheitsgrade bekan nte verschtebunge n unbekannte Ve rschiebungen Beschleunigungen der unbekannten Versch iebunge n

U, U, U,

Üu

-, ~ '-

Vektor Volumen

vergrößerungsfunktion

~

w(x, I)

wb w,

(mm)

W

(N omnv

Versc hieb efun ktio n Biegeverformung Sch ubverformung Ar beit

W,

(N ornm)

äuße re Arbe it

(N · nm]

innere Arbe it Formänderungs-

W"

~ .'(

energ le: Restwert

-

x

,

(mm)

II

Weg Eigen vektor Eigenve ktormat rix

)' .

Hi lfsvektor

y

II

'0

$ $(x)

41 ji "'i

y ~. i;

"

"

~

A

e

p p

Q

X

-

"

e

Ä

w-

w,

"i

ß

~i

( mrrr')

V Vi

(1IK)

Längenaus de hnungskoeffi zic nt Konstantenvektor

Wärmeübergangs -

II

, 0

' , (t)

koeffizient Richtungswin kel Winke l; Parameter Differenz Verzerrungsveklor Anfangsverzerrungsvekto r Ergiebigkeit be liebiger Drehw inkel Koeffizienten der Elementträghe itsmatrix Verdrehung am Knoten Winke l Aus lenku ng normierte Koordinate Koelli zientenmatrix Krümmung; spez . Wärme ( Ils) Längsfrequ en z (W/mm K) Wärmeleitfähigkeit; Eigenwerte; Lagrangescher Multiplikato r Reib koeffizient Eigenwertmatr ix Massenträg heil (kgldm ~) Dichte Vektor der Elemen tknotenvcrschiebu ngen äußere Anregung (N/m m 2) Normals pann ung (N/mm 2) Schubspan nung Erregungsfu nktion

v

i; ro

( I/s)

( IIs) 'V Rc d

'i

Querkontrak tion; Frequenz Dämpfungsmaß Kenngröße für de n Sc hubwiderstand. Eigenkreisfreq uenz Winke l Flächen koor dinate

I Einführung Die Finite-Element-Methode hat sic h se it vielen Jahren im Ingenie urwesen bewährt und wird m ittlerweile sc hon routinemäßig für Berech nungsaufgahen im Maschinen-. Apparate-

und Fahrzeugbau eingesetzt. Sie ermöglicht weitestgehend realitätsnahe Aussagen in den Stad ien Kon zeptfin durig und Entw icklu ng von Bauteilen und Strukturen durch Rechn ersimulation der physikal ischen Eigenschaften und trägt damit wesen tlich zur Verkürzung der gesa mten Produktentwic klungsze it bei . Im Zusam menwirken m it CA D zä hlt heute die FEM als das leistungsfähigste Ve rfahren. d ie Ingenie urarbeit zu rationa lis ieren lind qua litativ zu op tim ieren. Das Vertra uen in FEM-Rec hnungen darf aber nicht nachlässig machen, so haftet der Berechn ungsingenieur bei einer falschen Ausleg ung nac h de m BG B. G PSG und dem Prod HfG. Insofe rn sol lten die Grundzüge de r FE-M ethode a llen Ingenieu ren bekannt se in. um d ie problemgerechte Einset zbarkeif und die erzielte n Ergeb nisse in der Pra xis beu rteilen zu kön nen . Intention des Buches ist da her de r Brückensch lag zw ische n Theorie und Praxis sow ie einen Überblick zu Anwendungen in de r Statik. Dynam ik. Mehrkörp ersimulation (M KS) und Wärmeübertragung geben zu wo llen.

1.1 Historischer Überblick Mit de r klassischen technischen Mec han ik ist es bis heu te nicht mög lich. komplexe elastomechanische Zusa mmenhänge in rea len Systeme n ga nzhe itlich zu erfassen. Üblic herweise ge ht man dann so vor. dass ein star k vereinfachtes Mode ll des Problems geschaffe n w ird. welches gew öhnlich leichte r zu lösen ist. I-Herbei ist natü rlich die Übertragbarkeit der Ergeb nisse stets kritisch abzu klären. da die Abweichungen meist groß sind. Allgeme ines Bestreben ist es da her. Systeme so rea litätsnah wie nötig für e ine Betrachtung aufzubereiten.

F(I)

m,

Diskretes Modell

...

Kont inuierl iches Modell

c

d,

"

d,

m,

F(t) (bzw. F) Aluminium Temper atur T I Gum mi

Verform ung öu

Reibung~-(';;'t''''''>i:i==-Einschlü ss

Lagerung Tem p eratu r T2 Bild 1. 1: Ideales Mode ll versus reales Modell

Von der Vergehens weise her kann in ei ne disk rete und eine kontin uierliche Modellbi ldung unterschieden werden. Als Beispiel (s. Bild 1.1) den ke man an eine schw iegfähige Struktur, die d iskret als FederMasse-Schwi nger und kontinuierlich als Kontinuumsschw inger idealisiert werden kann . Bei diskreten Sys temen folgt die Systemantwort stets aus einer geringen Anza hl von Zustandsgrößen . d ie meist in For m von ge koppe lten linearen Gleichungen auftreten.

1 Einführung

2

Demgegen über muss d ie Antwort e ines kontinuierlichen Systems aus der Lösung einer Differenzialgleichung ermitte lt werden, wobe i e ine Vielzah l von Zustandsg rößen interessieren. In der Praxis stehe n abe r wie bei der vorste henden Modeliierung angedeutet Aufgaben an. die durch e ine komp lizierte Geometrie, überlagerte Lastfälle. unübersichtliche Randbedingungen und verschieden art ige Werkstoffgesetze geken nzeic hnet sind. Hierbei geht es rege lmäßig um gut gesic herte Ergebnisse. da hierhinter letztlich ei n Einsatzfall steht. der e ine Absicherung erforderlich macht. Vor d iesem Hintergr und sind somi t Lösungsverfahre n gefordert. die universell und genau sind. ingenieurmäßige n Charakter haben. auf kontin uier liche Systeme anwendbar sind und lokale Aussagen ermöglichen. Diese Forde rungen werde n. wie wir später noch sehen werden. in idea ler Weise von der FEM (A RG 641 erfül lt. Verfo lgt man einführend kurz die Entwic klungsgesc hichte der FEM, so ist festzustel len. dass man es hier mit e iner relativ j unge n Methode zu tun hat. die im Wesent lichen in den letzten 60 Jahren entwic kelt worden ist. Erfo lgreiche Anwendungen haben dann sehr schnell zu einer sp runghafte n Verbreitung geführt . Wie der Ze ittabe lle von Bild 1.2 zu entnehmen ist, wurde das Grundgerüst etwa gleichwert ig von Mathematikern und Ingenieuren gesc haffe n IM EI 891.

ctast. Stabmodelle von

JOer-Ja llfe Co mputerEntwicklung

Ilre1/11ikoff. 1941

bereichs weise Ansatze zur Lösung vo n DG Ls Counmt. 1943 Prager/SYl1ge. /94 7

Krall- und Verschiebungsgrößenve rfahren filr Stabtragwerke. Matrizen formulierung von A'X)'riI, 19.";4

,

erste ingenieurmäßige Herleitu ng der Flächen clcrn cntc Tumer.Ctough/ .I/artill/7opp. 19J3- / 9,;6 Na me 'TE M" durch Clough. / 960

•

- Umwandlung de r DGL durch va rtattcn srnctho dc ode r Ritz-Ga lcrk tn-A nsatz Be.ueling /Melo.ylJiJ(' teubeke. ca. 1961 - erste Konfe renz über Com putermechanik. / 963 - erstes FEM-Leh rbuch vo n Zienktevicz/Cheung. 196 7

, stürmische Weiterent":" icklung der Methode

,

1'/1/1 / 96J bis h ellte: - Ver allge meinerung 1I. Vereinfachung der Method e - neue Anwe ndungsgc hiete (Strö mung. Wärmeleitung. Magnetismus. Mu ltiphysik] - Sim ulation vo n Prozessen (Um formung, Schwe iße n. S pritzg ießen ctc.)

gege"würt;/::

I "i n nelle I' rodllktentwick lung I CA D + MKS + FE M = CAE

I

Bild 1.2: Zei ttafel der FE-Methode-Entwicklung nach CAD-FEM/Grafing

1.I Historischer Überb lick

3

Herausgehoben werden solle n hier nur einige ma rkante Enrwicklu ngssch ritre: Im Jahre 1941 hat Hrennikaff ein Stabmode ll (Gitrerrostverfahren) gesc haffe n, mit dem 2-D-Stabwerk· und Scheibenprob leme einfac her lösbar waren. Er ben utzte dabe i einen Matr izenforma lismus. der der heutigen FE-Methode ähnlich ist. Etwa 1943 habe n Courans und später PrugerlSY IIRe bereic hsweise Ansätze zur Lösu ng von Differenzialgleichungen herangezogen und da mit das Prinzip de r Untertei lung von Lösungsgebieten benutzt. welc hes de m Gru ndgedanken der FEM entsp richt. Aufbaue nd auf de n Arbeiten von Ostenfeld (Tragwerkberechnung m it Versc hiebungen als Unbe kannte ) haben Arg}"is und Kelsey (195 4) im Wesentlichen das Matr izenformat für die Berech nung von staba rtigen Tragwerken mit dem Kraft- und Versc hieb ungsgrößenverfa hre n aufbere itet. Etwa parallel erfo lgte du rch Turner. C/OUXh. Martin und Topp die Übertrag ung auf die Festkörpermechanik. Begünstigt wurden diese Arbeiten durch das Aufkommen der ersten leistungsfähigen Computer. Die Prägung des Begriffs ..FEM" wird im A llgemei nen C!o/lRh ( 1960) zugesc hrieben. der hierm it die Mode llvors tellung eines Kontinuums als eine Zusam menset zung von Teilbereichen (finiten Elementen) ver band. In jede m Teilbereich wird das Elemen tverhalten durch einen Satz von Ansatzfunktionen beschrieben. die d ie Versc hiebu ngen. Deh nungen und Spa nnungen in diesem Te ilbereich w iede rgeben. Ein Z iel der FEM beste ht darin. d ie prob lembesc hre ibende DGL in ein lineares G leich ungssystem umzuw andel n. Dieser Sch ritt gel ingt einma l dadurch. indem über das Variationsp rinzip eine Ersatzgle ichgew ichtsbe d ingung formuliert wird ode r durch das Verfahren des ge w ichteten Restes (Ritz-G ale rkin) d ie Abweichungen. eines die DGL erfü llenden Lösungsansatzes. m inimiert werde n. Diese Erkenn tnisse sind etwa 1962 von Besseting. Metosh und de Venbeke gewonnen worden. In der Folge hat d ie FEM im Ingenieurwesen große Aufmer ksam keit gefunden, was durc h eine eigene Konferenz und d ie Abfass ung erste r Lehrbücher dokumentiert ist. Mit der Etablierung der Methode setzte eine stürmische Weiterentwicklung ein, und es wurden übe r die lineare Elast ik ergä nze nde Formul ierunge n für n ichtlinea res Materi alverha lten, nichtli neares geo metrisches Ver halten, Instabilität und Dynam ik gefunden. Durch de n ausgew iesenen Anwendungserfo lg bestand we iteres Interesse, auc h andere Phänomene w ie Wärm ele itung. Strömu ng. elektromagnetische Felde r und Multiphysik (gekoppelte Effek te) für d ie FE-M ethode zu ersc hließe n. In dem heu te anges trebten integratlven. rech nerunterstützten Konstruktionsprozess ste llt FEM in Verbi ndu ng mit CA D ein w ichtiges Bas isve rfahren dar, welches im Zuge der virtuellen Produkt- und Prozessentwicklung immer stä rker angewandt wird. Gemäß de m derze itige n Stand der Technik werden von versch iedenen Softwarehäusern komm erzielle Universalprogra mme [z. B. NAS TRAN , ANSYS, MA Re, I·DEAS. ABAQUS usw.) angeboten. d ie sich nur in Nua ncen unterscheiden. Meist sind diese Programmsysteme für die lineare Elaste mec hanik entwic kelt und später um Module zur nichtlinearen Festigkelrsberectmung. Dynamik oder Wärme leitung erwe itert worden . Daneben ex istieren auch

1 Einführung

4

eigenständige Prograrnrnsysterne für Strö mungsprobleme (C FD = Computational Fluid Dynarnics gew öhnlic h mit ALE -A nsatz ' ) ode r Mehrkörperdynam ik (MKS).

1.2 Generelle Vergehensweise Wie spätere Ausfilhrun ge n zeigen werden , benötigt der Anwender der Finite-E lement-Methode gesichertes Grundwissen über die theoretischen Zusammenhänge. da die hauptsächliche ingenieurmäßi ge Aufgabenstellung in der Überführung des realen Bauteils in eui finites Analogon besteht. Der weitere Ablaut: d. h. die eigentliche Berechnun g. erfolgt hingegen du rch den Rechner automatisch. Der Artwende r ist erst w ieder gefragt, wen n es um die Plausibilitätsprüfung des Ergeb nisses und dessen Rückumsetzu ng zur Baute iloptimierung geht.

(0)

(real)

(ide alis iert)

St,~ E lemente

-,

Sy mmetne halfte

Scheiben-Elemen te Fx

Bild 1.3: Schritte vom realen Bautei l zum FE-Modell

Da de r Umfang diese s einführenden Manu skr iptes in der Hauptsache auf die Behandlung von Festigke itsproblemen ausge richtet ist. so llen an einem kleinen ein fü hren den Beispiel die wesentl ichen Arbe itsschritte der Finite -Ele ment -Met hode di skutiert werden . Im vor stehenden B ild 1.3 ist dazu ein e infacher Doppel-Tvträger (lPB) unter einer statischen Momente nbelast ung dargestellt. Von Interesse se i dabei d ie Erm itt lung des Verformungszustan des. der Deh nungen und der Spannunge n bevorzugt in den hoc h beanspruchten Flanschen. Bei de r notwendigen pro blemgerechten Aufbereitung gi lt es. hierzu folgende Schr itte zu durchlaufen:

0)

Anmerkung: A I .E _ A rbitrary l.agrangian Eulerum-Methode zur A nalyse n ctcr Oberflä chen, Mehrphasenströmungen und Fluid-Struktur -Effe kten

1.2 Generelle Ve rgehenswe ise

5

I. Gemäß des mechani schen Verhaltens des Baute ils muss einjiniles Modell geb ilde t werden. Im vorliegenden Fall wird der Träge r in den Flanschen Zug- Druck und im Steg hauptsäch lich Schub abtragen. Entsprechend d iesen Belastun gen könn en die Flansche durch Stab- und der Steg durch Scheihe n-Eleme nte ideali siert werde n. Möglich wäre au ch eine einheitliche Idealisieru ng durch Sc halen-E leme nte oder ga r Volumen-E leme nte. Bei der Elemen tierung muss stets die Ver sch iebu ngskompa tibilität an den Knoten der zusammen gebu ndenen Elemente gegeben se in.

Zur Elementierun g se i noc h bemerkt: Wenn für die Flansche Stah -Elemente gewählt werden. ka nn man nur Norma lkräfte bzw. absch nittswe ise Zug/Druck-Spannungen bestimmen . WUrde man sta ttdesse n ganzhe itlich Sch(/len~E le me nte wä hlen. so bezie hen sich die erm itte lten Spannungen auf die Mittelebene der Elemente. Erst mit der Wahl von Volumen-Eleme nten kann man e ine we itgehend reale Spannungsverteilung auch in den Ecken ermittel n. 2. Bei e iner Modellbild ung ist immer zu prüfen, ob Sy mmetrien ausgenutzt werden könn en, da hierdurch d ie Bearb eit ungszeit grav ierend verkürzt werden kann. Das Beisp iel zeigt in Geometrie und Belastung eine Halbsymmerrle, insofern braucht nur e ine Hälfte des Trä gers als Modell aufbere itet werden. An de n Sc hnittkanten müssen dann aber besondere Randbed ingungen angege ben werden. 3. Für die Netzb ildung ist es wichtig. dass das Netz dort verdichtet wird, wo man exaktere Informati onen erzielen will und dort grob ist, wo die Ergeb nisse nicht so sehr von Interess e sind. Die Netze werden heute aussch ließ lich mit Pre-Prozessore n weitgehend automat isch erzeugt. Hierzu ist ei ne Aufteil ung des zu vern etzenden Gebi etes in Mak ros vorzubereiten. Ein Mak ro wird ge wöhn lich dur ch drei oder v ier Se iten gebildet, bei grö ßere r Se itenza hl ist durch Linienzusamm enfassung ein rege lmäßiges berand etes Gebiet zu erzeuge n. Durch die Wah l der Elementgeometrie und eines Seite nte ilers muss dann eine sinnvolle Vem etzung möglich se in. 4 . Grundsätzlich können elastomecha nische Vorgänge nur ausgelöst werden. wen n Festha ltunge n vorliegen. d. h. ein Bauteil mindestens statisch bestimmt gelage rt ist und mind estens eine Kraft wirkt. Dies g ilt auch fllr unser Beisp iel. das jetzt m it zutreffe nden Rand bedingun gen zu versehen ist. Alle Knotenpun kte auf den Schnittkante n müssen sich dabei in y-Richnmg frei bewegen könn en. in x- Richtung aber in ihrer Bewegl ichkeit ges perrt werden . Weiter muss an mindestens einem Punk t d ie Beweg lich keit in y-Richumg gesperrt werden. dami t das Baute il kein e Starrkö rperbeweg ungen vollt1i hrt. 5. Da die Elemente über di e Knotenpunkte verbunde n werden . so llten d ie äußeren Kräfte wenn mög lich in die Knoten ei ngeleite t werde n. Nac hdem diese ingenieurmäßigen Vorarb eiten durchge führt worden sind , kann man sic h eines FEM-P rogr ammsysterns bedie nen. in das nun das Mode ll einzugeben ist. Wenn das Modell formal richtig ist. lässt sich der Gleichung slöser anstarren , der nach de n Verformungen aufl öst und in einer Rückrechnung die Spannunge n, Dehnun gen sow ie Reaktionskräfte ausweist. Die Aufb ereitun g der dabei anfa llende n Daten erfo lgt üblicher weise gra-

6

I Einflihrung

fisch. Im Bild 1.4 ist der formale Ablauf dargestellt. wie er heute in der FEM-P raxis ange wandt wird.

CAD·Syste m

Pre-Prozessor (Vorlauf) FEM·U niversalp rogramm (So lver) Post·Prozessor (Nachlauf)

Bild 1.4: Konventionelle CAE·Prozesskette

lm Regelfall ist das Bautei l in CA D erste llt wo rden und muss noc h entsp rechend aufbereitet werden. Hierbei kann es se in. dass die Hersteller zwischen dem CAD· und dem FEM· System eine Direktkopplung realisiert haben. In d iesem Fall kann e in Bauteil a ls Flächenoder Volumenmodel l sofort übernomme n werden. Liegen hingegen zwei völlig autonome Systeme vor. so muss die Baute ilgeomet rie über eine Standardschn ittste lle wie [GES (Initial Graphics Exchange Speci fication ). STEP' ) (Standa rd fbr the Exchange of Product Model Data) ode r VDAFS transport iert werden. Es ist in diese m Zusa mmen hang se lbstredend. dass in beide n Fäl len die Darstellung bereinigt werden muss bis auf d ie nackte Geometrie. die für FEM von Interesse ist. Die AufgabensteIlung des Pre-P rozessors ist die Gene rierung eines bereche nbaren FE-Mode lls. d. h. die Erzeugung eines sinnvollen Netzes. Zuweisu ng der Elementdaten (A, J. t) und der Materialwerte (E, v] sowie Einbringung der Kräfte und Randbed ingungen. Ein dami t bestimmtes System kann nun mitte ls eines numerischen G leichun gslösers behandelt werden. und zwa r wird ein G leichungssystem des Typs Ste ifigkeit x Verschiebungen -:: Kräfte nach den Verschiebunge n aufgelöst. Über das Werkstoffgesetz besteht we iterhin ein Zusamme nhang zu den Spann ungen, die somit ebenfa lls berechn et werden kön nen. Für die Ausgabe wird ein Post-Prozessor eingesetzt . Dieser stellt die verformte Struktur sowie die Dehnungen und Spannungen in einer Struktur dar. Hierzu werde n Farbfüllb ilder benutzt. die sofort e inen Überblick über die herrschenden Verhältnisse gebe n. Wie diese Darlegungen erkenne n lassen. ist dies eine quali fizierte Ingenie urarbeit. die normalerweise eines Spezialisten bedar f. Dies zeigt sich auch in großen Konstru ktionsbüros, die "A nmerkung: STEI' ist in der ISO 1030) genormt und Iälug . allc produktbeschreibenden Datcn vo n CAD nach CAD oder CA D nach r EM zu übenra gen. VDAFS ist dic Schnittstelle der Auto mobiliud usuic für Flächen und Volumina. hat cinc sehr gute Ü bertragungstreue(VIM -Datci '" 5 · STEP-Datci ).

7

1.2 Generelle Ve rgehenswe ise

zwischen CA D-Konstrukteuren und FEM-Analytikern unterscheide n. Keineswegs ist es aber so, dass FEM-P robl eme vollauto matisch durch Rechner ge löst we rden können. Wie die Tät igke itsanalyse von Bild 1.5 auswe ist. ist der Rechner hier nur das zentrale Hilfsmitt el, ohne dessen Leistungsfähigkeit die Methode gene rell nicht wirt schaftlich nutzbar wäre.

anfallende Bear beitungsschritte

• methodengerechte

Aufberei-

gesc hätzte r Mannze itaufwa nd

gesc hätzte Rech enzeit

10 %

.

50 %

20 %

.

70 %

30%

10 %

10 %

-

rung des Prob lems

des FE-Modells · Generierung im Pre-Prozessor Rechenlau f · Ergebnisauswe rtung ;m Post-

•

Prozessor, Dokumentatio n

· PlausibiIitätsprüfung

Bild 1.5: Tätig keitsanalyse zur Bearbeitung von FE-Problemen

Bis vor wen igen Jahren war der manu elle Aufwand bei der Bear beitu ng von FE-P roblemen noch sehr groß und somit die Durchführung von FE-Rechnungen sehr teuer. Dies hat sich mit der schnellen Weiterentwic klung der Comp utertechnik aber grundlegend geändert. Die Möglichkeiten zum interaktiven Arbeiten wurde n durch eine neue Bildschlrrutechnolog!e verbessert, was wiederum d ie Voraussetzunge n für leist ungsfähigere Prozessoren war. Zude m konnte d ie Rechengeschwindigkeit VOll Workstat ions etw a verhundertfacht und die Spe icherkapazität verzehnfacht werde n. Ein neuer Trend weist zu Pe-L ösungen in einer wlndows/Nr-Arbcnsumgcbun g. die mittlerweile Work station in den Leistungs parame tern 0 ) überholt haben. Durch diese günstige ren Rahme nbedingungen ergibt sich zunehmend die Cha nce. auch größere Berechnungsumfange in vertretbarer Zeit und zu geringe ren Kosten zu bearbeiten. Eine we itere Perspekt ive, vor allem in den USA. gebe n so genannte MCA E-Systeme (Mechanica l Co mputer Aided Eng ineer ing) wie beispielsweise J-DEAS (oder in Ansätzen CAT IA V5. ANS YS w orkben chj . in denen CA D, FEM. Optim ierung und Lebensdauer als Verfa hrenss trang zusammengefüh rt worde n sind, Um insbesondere die Möglichkeiten zum Leichtball (n iedr iges Eigengew icht, hohe Ste ifigke it, beste Matenalausnutzungj z ielgerichteter genutzt werden könne n, beda rf es ebenfalls einer besseren Anpass ung der Strateg ie. Realisiert wird dies heute über Kontur- oder Topologieoptimieru ngsa lgorithm en. die die OberFl ächenkont ur oder die Material vertei lung dem Belastungsverlauf ang leichen. Die FE· Me· thode entwic kelt sich somit immer mehr zu einem Werkzeug der Prävention. in dem Bauteile "A nmerkung: Im Jahre 1985 lag die Lcisumgsfähigkcit eines Micru-VAX-Il-Reehnersystems tür ca. 1.000 Elemente t- 5,000 FHGs) bei 60 Min . CPU; im Jahre 1999 schaffte der parattctrcchner Silicon Origin ca. 280,000 Elemenl~ (=- 1.2 Mio. FllGs) hd 20 Mm C I'U; heute schaffen pe s mit (4 GB-RAM) etwa 500,000 Elemente (.. 2.0 Mio . I'I IGs) bei 60 Min. CPU-Zeit.

8

1 Einführung

durch Simulation praxistaugl ich gemach t werden. Dies erspart Prototypen und aufwänd ige Nachbesserurigen im späteren Nutzungsumfeld.

1.3 Aussagesicherheit einer FE-Ana lyse Eine Frage, die Anwende r immer wieder bewegt, ist die nach der Richtigkeit der Erge bnisse. Überspitzt kann man dazu feststellen: Ein FE-Programm rechnet alles, was formal richtig ersche int. Ob das. was gerec hnet wird. jedoch dem tatsächlichen Verhalten gerech t wird, muss letztlich durch ingenie urmäßigen Sac hverstand überprüft werden. Bei der Anwendung gibt es näm lich einige Fehlerquellen, die letztlich die Qualität des Ergebn isses negativ beeinflussen : Ein häufiger Fehler besieht in der physikalisch unkorrekten Annahme der Randbedingungen. welches dann zu e iner falschen Spannungsverte ilung und falschen Auflage rreakt ionen führt. Ein we iterer Fehler ist, dass die ausge wäh lten Elemente die Reaktionen des Bauteils nur unzureichend wiede rgebe n, wodurch die tatsächl iche Spannungsverteilung nicht erfasst wird. Des Weiter en kann es sein, dass zu stark vereinfachte Körpergeometrieverläufe zu nicht vorhandenen Spannungss pitzen führen. oder - das Netz einfach zu gro b gewählt wurde, um verlässliche Aussagen machen zu können. Die Anwendung der FEM bedarf somit einiger Erfahrung, da der implizit im Ergebnis mitgeführt e Fehler maßgeblich durch die Sorgfalt des ß erechnungsingenieurs bestimmt wird. Über die Größe des Fehlers kann regelmä ßig nichts ausgesagt werden. da zu komp lizierten Bauteilen meist keine exakte physika lische Lösung bekannt ist. Unterstellt man, dass alle Annahmen zutreffend gewählt wurden, so ist für d ie Genauigkeit des Ergeb nisses die Anzahl der Elemente verantwortlich. die zur Bauteilbeschreibun g herangezogen wurden . Je feiner also e in Netz gewä hlt wu rde. umso genauer kann ein Bauteil beschrieben werden und umso geneuer werden auch die Ergebnisse sein. Aus d iesem Grunde bezeichnet man Programme mit diese r Abhängigkei t als h-Versionen . weil eben die Ergebnisgüte eine Funktion von h - dem relativen Elementdurchmesse r - ist. Diese Zusammen hänge stellen für die Praxis oft ein Hindernis dar, da man ja e igent lich ein sehr gutes Ergebnis erzie len möchte , für das man aber eine große Elementanzahl benötigt. was wieder um g leichbedeutend ist mit ei ner sehr langen Rechenzeit. Prinzipiell ex istiert für dieses Problem aber ei n einfacher Lösungsa nsatz. denn d ie Funktion Genau igkeit über Elementa nzahl oder Freiheitsgrade konvergiert immer monoton gegen das exakte Ergebnis eines FE-Modells. Demnach bräuchte man nur das vorha ndene FE-Netz mit einem größeren Te iler zu verfeinern, jeweils das berechnete Ergebn is auftrage n LInd sich die konvergierende Funktion ermitte ln. Der Haken bei d ieser Vergehensweise ist der hohe Aufwand an Arbeitsund Rechenzeit. weshalb diese Möglichkeit prakt isch nicht genutzt wird. Sieht das Ergebn is (farbige Darstellung mit einem Post-Prozessor) einigermaßen vernünftig aus. so wird in der Regel aus Ze it- und Kostengründen auf eine Netzve rfeinerung und Konvergenzuntersuchung verzichtet.

1.3 Aussagesicherheit einer FE-An alyse

9

Diese an sich unbefriedi gende Situatio n ist man in den letzten Jahren mit so ge nannte n pVersionen ang ega nge n. Während in herk ömmlichen FE· Programmen das Eleme ntver ha lten mit Polynom en erster. zwe iter und in Ausnahmefä llen dritte r Ord nung approximiert w ird, we ndet man sich heute immer mehr Polyn omen höheren Grades (bis 10) zu. Der Vort eil liegt dar in. dass m it höh erem Polynomgr ad die Genaui gkeit eines Elem entes zunimmt. ohne da s Ne tz verdic hte n zu müssen . Die Ge na uigke itssteigerung erfo lgt durch automa tisches Hochset zen des Polyn om gra des bei unverä nderter Ne tzgeo metrie. Wen n die Ergebnisgüt e akzeptabel ist. wird der Rech enlau f abgebroc hen. Ein Anwendungs be ispie l zur Über prüfung der vorste henden Aussagen ze igt Bild 1.6. Es handelt sic h hierbe i um die Vie rte lsymmetrie e iner Nietb rücke au s ein em hochfesten Stahl. so wi e sie im Flugzeu gbau zur Übe rbrückung von Rissen in de r tragend en Struktur eingesetzt w ird.

I

E J§

~

.g-

h-Version 78 3

754 p- version

725 3

696 h- Verslon

•

66 7

100

40 0

1.000

4.0 00

10.00 0

13.000 FHGs -

Bild 1.6: S pan nungsauswert ung in de r N ietbrücke mit einer h- und p-V ersion (nach INN 90/)

Für die erste ModelI ierun g mit einer h- Version wurden 2 .250 Vo lumen-E lemente (entspr icht 4.000 FHGs ) aufgewandt. Die größte Spannungsspitze liegt dann bei 66 7 N /m m 2. Wird die Elem ent anzah l auf 4.5 00 ver do ppelt (entspricht 13.000 FHGs), so steig t die Spa nnungss pitze au f 783 N / m m 2• was einer relati ven S pannungsz unahme von 15 % entsp richt.

1 Einführung

10

Analysiert man das Problem mit einer p-v erslon, so re ichen zur Modellierung 18 Volu menElemente aus. Aus der Auftrag ung ist mit zunehmendem Polynomgrad die Konvergenz deutlieh sichtbar. Erfa hrungsge mäß erreicht man mit dem Po lynomgrad 6 (entspricht 3. 100 FHGs) meist recht gute Ergebnisse. was durch dieses Beispiel ebenfa lls belegt werden konnte. T heoretisch kann bis zu einem Po lynomgrad 9 ausgewert et werden. Mit der Erhöhung des Polynomgrades nimmt d ie Rechenzeit jedoch so stark zu, dass p-basiertc Lösungen letztlich unwirtschaftlich gege n h-basierte Lösungen sind. Ein weiterer Nachteil ist, dass die p-Methode bevorzugt auf lineare Probleme anwendbar ist und oft bei nichtlinearen Fragestellungen oder in der Dynamik versagt.

1.4 Qualit ätsstand ard s Innerhalb einer Produktentwicklung konnte sich die FEA a ls ein wichtiger Bestandteil etablieren. Als Dienstleistung kann sie ..inrem" im Unternehmen oder •.extern" von einem lngenieurbüro erb racht werden. Da mit der DIN EN ISO 900 1 Vorgaben für die Planung und Durch füh rung von Produkter nwickfungsprozessen gemach! werden. bedeutet d ies natürli ch auch. dass an d ie A usfü hrungsqualität von Fß-Berechnungen Vorga ben bestehen. die umzusetze n und einzuhalten sind. Die Norm fordert beispielswe ise ein .•Management der Ressourcen", um die Kundenanforderungen zu befriedigen. Dies umfasst d ie Fähigkeiten des Personals und ei ne Inf rastruktur an Soft- und Hardware, d ie sicherste llt. dass Aufgabenste Ilungen gemäß den Vorgaben erfüllt werden können. Weiterhin muss ei ne .Planung und Produktrealisie rung'' vorgenommen werden. d ies verlangt Aufzeichnungen zum FE· Einsatz und den erzielten Ergebnissen.

" d

Eine we itere wichtige Forderung ist die ..Bewertung, Ver ifizierung und Validierung'' von Ff.Ergeb ni.uen. womit oft verbunden ist, dass letztlich eine vera ntwort liche Führu ngs. kraft durch e ine Unterschrift für d ie Richtigkeit der Ergebnisse e insteht.

Der letzte Punkt wird in der Nonn mehrfach herausgestellt und fuhrt letztlich zu der Forderung: Dienstleistungen müssen validiert werden. wenn d ie Ergeb nisse nicht durch Messung verifiziert werden können. Im Sinne der Norm bedeutet Validieren, dass Berechnungsergebnisse als gültig erklärt werden müssen und Verifizieren verlangt ein e Überprüf ung auf Richtigkeit. Interpretiert man d ies. so wird also verlangt. dass mittels analytischer Handrechnung Vergleichsergebnisse herangezoge n werden. We isen diese d ie g leiche Größeno rdnung auf. so ist zu vermuten. dass das Ffi-Ergcbnis ..richtig" ist. Dies schließt formal auch die richtige Handhabung e in. womit wesentl iche Pflichten aus dem Produkt haftpflic htgesetz (ProHfG) abgedeckt sind .

11

2 Anwendungsfelder und Softwa re 2.1 Problemklassen Die Methode der finiten Eleme nte ist für eine große Klasse von tech nisch-physikalische n Aufgaben interessant. we il seh r tief greifende Analysen mög lich werde n. Bild 2.\ ze igt ei ne Z usamme nste llung von bisher bekannte n Anwe ndungen. Der Schwerpun kt liegt dabe i eindeutig bei Festig keits-. Potenzial- und Multiphysikproblemen .

«(J = E· E)

lineare Elastostatik:

Hooke -sches Materi alverhalten

nicht lineare Elastostatik :

nichtlineares Materi alverhalten (P lastizität) geometrisch nichtlineare Probleme (Instab ilitätsprobleme, große Verschieb unge n bei klei nen Deh nungen ) impulsart ige große Verfo rmungen (Crash, imp lizit) Umfor mprozesse (AL E-Methode )

• lineare Elastodynamik :

nichtlineare Elasto dyna mik :

Eigensch w ingungen fre ie und erzwungene Schw ing ungen zufa llser regte Schwingu nge n zei t- und verschiebu ngsabhängige Kräfte Stabilität. Kreiselbewegung

StarrkörperdynarnIk:

MKS bzw . EM KS

Elastohydrodynam ik:

Sch m ierfi lm

Ermudungsfestigkeit:

Sc hädigung, Lebensdauer, Rissbruch

Aeroe lastiz ität:

elast. Strukturverhalten unter Ans nö mung

Wärmeübertrag ung :

stationäre und instationäre Wärmeleitung

Thermoelastizträr:

mechanische Beanspruchung unter hohen Temperaturen

Flüssigke itsströmungcn:

Siekorströmung. Geschwindigkeits-, Druck- und Temperaturfelder

Elektrotechnik:

ele ktrisches Strömungs feld. Mag net- und Wel lenfe lder

Akust ik:

Schalldruckverteilung. Druck stöße

Gießtechnologie:

Sp ritz- und Druckgießen . Schwer kraftgießen

Multiphysik:

gekoppelte Strömung, Tem perat ur mit Elastik

Bild 2. 1: Methode nstammbaum der FEM (n ach IKLE 80f)

12

2 Anwendungsfelder und Software

Ein Krite rium für die Anwendu ng der Methode ist. dass das phys ika lische Problem entweder durch eine Differe nzialgleichung oder ein äq uivalentes Variationsprinzip dars te llbar ist. (Di es ist HiTviele Probleme gegeben, j edoch nicht tUTalle.) Wir werde n später herausar beiten. dass d ies bei den Pro blemklassen der Elastestatik und Elastodynamik entweder d ie Differenzialgleichung des G leichgewic hts oder ersatzweise die G leichheit der inne ren und äußeren virtue llen Arb eit ist. Die Befried igung dieser Glei chungen versuc ht man mit gee ignete n Ansätzen näherungsweise zu erfüllen. wodurch sic h de r Näherungscharakter der Methode IM A Y 93/ ergibt. Bei de r Behandlung elastestat ischer und elastedynamischer Probleme wendet man heute die so genannte Venchiehungsgräßen-Mefhode (u nbeka nnt sind die Versc hieb ungen in einer Struktur) an. in dem man Ansatz funkt ionen für das Versch iebungsverhalten der Elemente vorg ibt und hiermit ein G leichu ngssystem bildet . Früher wurde auc h die so ge nannte Kraßgroßen-Methode (unbekan nt sind die Kräfte in ei ner Struktur) verwandt. Da in der Praxis aber viel häu figer die Kräfte a ls die Versc hieb unge n bekannt sind. hat sic h in der Theorie und Programmerstell ung die Versc hiebu ngsg röße n- Methode durchgesetzt. wes halb diese im Folgenden auc h Formulierungsbasis sein so ll. Im Zuge de r Weiterentw icklung de r FE- Methode ist abzusehen. dass über die Stufen Feldproblerne. Multiphysik zukü nftig komplexe SystemmodelIieru ngen ein brei tes Anwendungsfeld darste llen werde n. Dynami sche bzw. elasted ynamische Systeme werden immer tiefer durch d ie M KS oder EMKS (elastische Mehr körpersysteme) ersch losse n. Zu de n wichtigsten Fe ldproblemen zä hlen: Wärmelei nmg, Poten zia lström ung und Magnetismu s. Diese Prob leme lassen sic h auf einen identischen DG L.Typ zurückfüh ren. Je nac h Spez ifikat ion der Kon stanten kann dann d ie Fourier' sche w ärmelei tuugsgleichung, die Poisson' sche Gleichu ng fllr Potenzialströ mungen ode r die Max well'sche G le ichung für die mag netische Kraftwirk ung entw ickelt werde n. Ein entsprechendes Ffi-Mode ll ist dadurch ge ken nze ichnet. dass an den Knoten nur eine ska lare Unbekannte (Temperatur. Druck. Magnetfeld etc. ] vor kommt und da her ein modi fiziertes Programm mit einer ande ren Spe ichertechnik benötigt wird. Weiter sind in de n letzten lahren CF D-Programme' j (Computational Fluid Dynam ics) entwickelt worden. Diese stellen eine Realisierung für Ström ungsprobleme mit dem Med ium Luft oder Wasser dar. Darüber hinaus können auch zähe Strömungen (Kunststo ffschmelzen) mit dem Modul Mü LDF LüW erfasst werden.

2.2 Kommerzielle Software Der Soft waremarkt hat sich in den letzten Jahren sehr konso lidiert. Wäh rend vor 10 Jahren noch etlic he hundert große und kleine FE-Programme am Markt ware n. hat sic h d ies au f wenige Systeme konzen triert. Dieser werden mit großer Programm ier kapazität überwiegend in de n USA entwickelt und weltweit vermarktet. Man schätzt den FE-Markt auf ein Volumen von 3-4 Mrd. DollarlJahr.

' ) Anmerkun g: z. B. kommcrviclfc Softwareprodukte FLOW · 3·D. CFX . Starf'D. F111Cnl

13

2 .2 Kommerzielle Software

Im Bild 2.2 ist eine Kurzübersicht übe r die in Deutschl an d verbreitetsten Programme wiede rge geben. Die Untersch iede sind im Prinzip gering. Dies schließt nicht aus. dass man in einem speziellen Anwendungsfal l ge rade die ..letzten 5 %" be nöt igt.

ADI NA

ANS YS

•

Leben sdau era nalyse

• • • • •

Magnet felder

-

T e mperaturei nflüsse

• • •

•

k. A.

•

Syst em

MSC NAS TRAN

A BAQ US

I-DE AS

• •

•

Berechnungsoptionen Fest igke itsanaly se statisch Explizite Dyn am ik

Stab i Iitätsana lyse Frequen zanal yse

Strömung Ak ustik O ptimier ung Kom akteinfluss

• • • • • • •

•

•

• • •

• • • •

• • • • • -

• •

• • • • • •

• • • -

• •

• • •

• • •

•

•

• • • •

• •

•

• •

•

•

1\1ateria leigcnscha fte n Plastizität Kriech ve rhalt en

V iscoelas tizitätl-p lastizität Ve rbu ndwerkstoffe

•

k. A.

• k. A.

•

Schnittst ell en zu a ndere n C A[· Prog ra m me n (Au swahl) CAT IA Pro!Eng ineer

• •

• •

• • •

k. A.

k. A.

I- DEAS

•

So lidWork s

•

•

k. A.

k. A.

uni verse ll

un iversell

universe ll

nichtlin. Probleme

Eins atzge biete

k.A.

Bild 2.2: Universel le FEM- Program me • verfügbar (geg ebenenfa lls Erwe iterun g) • nicht ver fügbar k. A. kein e Angabe durch den Hersteller

• • un iversel l

14

2 Anwen du ngsfe lder und So ftware

MSC ADAMS

Pro/Mechanic

PAM-

a

CRA SH

• •

•

•

•

• •

· • • •

•

-

-

-

k. A.

•

k. A.

•

·

•

k. A .

k. A.

k. A.

k. A .

-

LS-DY NA

COSMOSM

statisch

•

•

Explizite Dynam ik

•

Stabilitätsanalyse

•

· •

Freque nzanalyse Leben sdau eran alyse

• •

• •

Magnetfelder

-

System

ßer echn ungsoptionen

Festigkeitsanalyse

Temperaturein flüsse

•

• ·

Akustik

k. A.

-

Optimierung

k.A .

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• •

k. A.

k. A. k. A.

• ·

Strömung

Kontakteinfl uss Mate ria leigensc harren

Plastizität

.

;.

..

k. A .

;

k. A.

k. A.

-

•

•

k. A.

k. A.

•

• ·

• •

k. A.

-

-

•

Bewegungs-

Elastik. Dynamik, Lebensdau er

Kriechverha lte n

k. A .

Viscoe1astizitätlplastizität Verb undw erksto ffe

Schnittstellen zu a nde re n C AEProgra m me n {Auswa hl]

via

ANSYS

CA TI A

-

k. A.

Pro/Engi neer

·

k.A.

I-DE A S

-

•

So lid Works

Einsa lzge biete

Cras h. Umformung

k. A. ein fache Strukt uranalysen

simulation

Bild 2.3: FEM-Programm e für spezielle Anwendungen

k. A .

k. A. Cr ash

15

2.2 Kommerzielle Software

Neben den aufgefLlhrten schon sehr leistungsfähige n Universalprogrammen (A DINA. ANSYS. NASTAN und I ~ D E A S ) existiert beispielsweise mit ABAQUS eine von der Theorie her sehr komplette Implementierung, die auch schwierigste Fälle zu lösen gestattet. Meist liegen diese Fälle schon im Forschungsbereich. sodass e in normaler Anwender dieses Mehr fast nie nutzen wird. Dar über hinaus existieren weitere Spez ialprogramme, die ihre Stärken in der Crash-Analyse. Umformsimulation. MKS (ADAMS. visuaINASTRAN) oder Lebensdauer (FEM FAT. Pro/MEC HANICA) haben. Einige Programme hierzu weist Bild 2.3 aus. Die zukünftige Entwicklungsrichtung der FE-Programme wird mehr in der System- und Prozessschiene liegen, in dem Abläufe oder Ereignisse simuliert werden. In diese Richtung entwickeln sich die MKS·P rogrammsysteme (Kinematik/Kinetik) und die Prozesssimulation (Umfo rmen. Gieße n, Härten, Lackieren etc. ), um zunächst "v irtuelle Prototypen" zu qualifizieren. Eine heute schon in der Automobilentwicklung zur Anwendung kommende Methodenkette zeigt Bild 2.4.

3-D-CAD-ßauteilmode ll (virtueller Prototyp)

I

~

I

H

I TOP-OPT/ FORM·O PT

I I

MK S

~ FEM

~

I

I

H

Bauteil-/Systemanalyse

~ Prozesssirnulation

LOB

I I

Im Vordergrund stehen hierbei d ie Entwicklungsze iten. ) zu reduzieren, in dem virtuelle CA D-Prototypen so lange qualifiziert werden, bis alle vorgegebenen Anforderungen mit erfüllt werden. Danach beginnt erst das Entwicklungsstadium mit ..materiellen Prototypen",

Bild 2.4: Simulation in der Bauteilentwicklung

Ein zielgerichteter F E M ~E i nsatz erfordert auch ein entsprechendes Rechnerequipmcnt. Heute sind PC~L ösungen unter 3 2~ oder 64~ bi t~W in d ows ge läufig. Für die Jz-bit-va nanre ist meist ein DualCore-Prozcssor mit 4 GB RAM ausreichend, fllr' anspruchsvo llere Anwcndungen (größer 500.000 Knoten) sollten schon Rechner mit einem 64-bit-Windows und zwei Prozessoren und 16 bis 32 GB RAM vorgesehen werden.

·1A nmerkung: In der Autor uobilmdusmc sind die Emwicktungszcitcn in den I.:IFI.:n 10 Jahren von 60 MIHWI.:n auf 30 Momnc bFW. im Maschinenhau von 30 Monaten auf 12 Monate verkürzt worde n

16

3 Grundgleichun gen der linea ren Finite-ElementMethode Wie zuvo r schon angesproche n. ist die FE-Methode eine computerorientierte Berechnungsmerhode. da deren Ablauf gut programmierbar ist. Dies setzt vora us. dass alle wese ntlichen G leichungen in eine bestimmte Form gebracht werden müssen . Als besonders zweckmäßig hat sich hierbei die Matrizenformulierung erwiesen. weshalb wir die bekannten Gleichungen der Elastizitätstheorie neu form ulieren müssen . Das Z iel besteht in der Aufstellung der finiten Grundgleichungen und der Ermittlung von Zusammenhängen zwischen den Stei figkeile n. Masse n, Kräften und Versc hiebungen.

3. 1 Matrizen rech nung Zum we iteren Verständnis der Methode sind e inige Grun dkenntnisse in der Matrizenalgebra erforderlich. die darum vorweg noch einma l zusamme ngestel lt werden sollen. Die später noch aufzustellendefinile Grundgleichung ist ei ne G leichung der Form fl UR 54f k u = p.

(3. 1)

v

Sie g ibt einen Zusammenhang an zw ischen einer vorhandenen linearen Steifigke it (k ), auftretenden unbekannten Verschiebu ngen (u) und bekannten Kräften (p). Wir wollen dies nun so verallgeme inern. dass eine Gleichung von der Form fZ UR 54! A ·x= y

(3.2)

vorliege n mag. Hier in beze ichnet jetzt A eine rechteckige A nordnung (m x n, d. h. m Zei len und n Spalten) von G rößen, d ie Matrix gena nnt werden soll. Mit x sol l we iter der Vekto r der unbekannten Größen und mit y der Vekto r der bekan nten rec hten Seile bezeichnet werden, Das somit gegebene lineare Gleichungssys te m kann auch wie folgt ausgesc hrieben werden:

['"

a 21

' mi


an

3 22

aB

' ml

<1 m 3

X? == ["] y? ' I" ] • ["] . .

a 2n

Umn

.

.

xn

Yn

(3.3 )

Man erkennt somit d ie Ana logie zwischen der GI. (3.1) und (3.2 ). Die Elemente a ij in der Matrix A so llen des Weiteren noch Koeffi zienten genannt werden. Oh ne, dass jetzt schon auf Lösungsverfahren für G I. (3.2) eingega ngen werden soll. ist es natürlieh klar, dass die Unbekannten in x zu ermitteln sind . Dies führt zur Operation der Inversion der Koeffizientenmatrix . was symbo lisch dargestellt werden kann a ls x =A

-t

adj A

' y = det A ' ) ' ,

(3.4)

3.1 Matrizenrechnung

17

Die Inversion als solches ist im Anhang beispielhaft erläutert. Zu r Koeffizientenmatr ix sollen aber noch e inige Anmerkungen gemac ht werden . Dies sei zunäc hst die Transpon ierung {Superskript .•r') oder Sp iegel ung an der so genannten Hauptdiagonalen. Das Transponieren läuft dabei so ab. dass die Eleme nte aij der Matrix A durch die Elemente aji ersetzt werden . d. h.. es findet ein Vertauschen der Ze ilen und Spalten statt, z. B. a ll

AI = al Z [

(3.5)

al3

Hieraus erkenn! man weiter. das für symmetrische Matrizen

(3.6) sein muss. Wir werden nachfo lgend wiederholt Vektoren bzw. Spallenmatrizen transponieren. d. h.• aus einer Spaltenmat rix wird eine Ze ilenmatrix geb ildet:

yl = [Yl yz ... Yn

I·

(3.7)

Als besonde rs wichtig so ll hier das Transponieren eines Matrizenproduktes hervorgeh oben werden. weil eine Vertauschungsregel wirksam wird. Es g ilt: (3.8)

Von den Rechenarte n mit Matrizen soll hier nur die Muniplikation näher erläutert werden , unter anderem , weil sie vorstehe nd schon benutzt worden ist. Zunächst ist zu bemerken. dass das Produkt zweic r Matri zen nicht vertauschbar ist, d . h. ganz allgemei n g ilt: (3.9)

Bei der Produktb ildung muss somit d ie Multiplikation •.von links" von der ..nach rechts" unterschiede n werden . Damit überhaupt zwei Matrizen mite inander multipliziert werden können. muss d ie Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Ze ilenzahl der zweiten Matrix sein: A

8

un v mm x n

=

C

tm x r j

(3.10)

Ist diese Ver kettbarkeusregel nicht erfü llt, so ist das Matrizenprodu kt nicht defin iert . Mit den Elementen der vorhergehe nden Matrizen lautet dann das Produkt:

18

3 Grundg leichunge n der linearen Finite-E leme nt-Met hode

cij =

n

L 3 ik . bkj .

(3. " )

k= 1

Diese Rege l ist so anz uwend en, dass man das Element cij der Prod uktmatrix erhä lt. wen n man j ede s Eleme nt der i-ten Zei le der ersten Matri x mit j ede m Element der j-ten Spalten der zweit en Matri x multipliziert und die einzelne n Produkte addiert. z. B.

[

· b 12 + 312 ' b 22]

' lI

3 11

' 21

321 . bu

+ 322

. b 22

lm Zusammenh ang m it der Multiplikat ion tritt öfters der Fall auf, da ss mit ein em konstanten Fakt or multipliziert we rde n muss, d iesbezüglich gilt:

(3.12)

Auch tritt der Fall auf, dass quadrat ische Matri zen mit der Einhe itsmatrix

mult ipliziert werden müssen. Ein Nachvo llzug beweist, dass

(3.13)

A ·I = I ·A =A ist. d. h.. die Reihenfolge spiel t in diesem Fa ll kein e Roll e.

Als Letztes so ll noch kurz auf die Differen ziati on und die Integrat ion e ingeg ange n werd en , was aber als e lementar anz use hen ist. Die Differenz iation eine r Matrix wird elem entweise durchgeführt, z. B.

dA

[

~ dx

dx = da l t

dx

~] dx

(3 . 14)

dan dx

G leiche s g ilt für die Integrat ion , die ebe nfa lls elementwe ise durchgeführt w ird,

1'12 'dX ].

fan -dx

z. B. (3 . 15)

3.2 Gleichungen der Elastestatik

19

Auf die ansonsten noch benötigten Besonderheiten der Matrizenrechnung wird im jeweiligen Te xt und im Anhang näher eingegangen.

3.2 Gleichungen der Elastestatik Im Fo lgenden sollen linear-elastische Körper unter der Einwi rkung von Kräften betrachtet werden . Die demz ufo lge eintretenden Verformungen sollen als stetig. klein und reversibel angenommen werden . Zur Beschreibung des elastemechanischen Verhaltens eines Körpers sind hierbe i 15 Gleichungen erforder lich. und zwar

- 6 Verschiebung s-Verzerrung sgleichu ngen. - 6 Verzerr ungs-Spannungsgleichungen und - 3 Gleichgewichtsgleichungen. In diesen Gleichungen treten insgesamt 15 Unbekannte auf. Dies sind:

3 Verschieb ungen u l = [u v w J •

&l = [ 1': " "» 1':11 Y,y Yp y,, ]

6 Verzerrungen und

- 6 Spannungen Hierin bezeichnet u(x). v(y) und w(z) richtungsab häng ige Verschiebungen in einem kartesischen Koordinatensystem. die wiederu m Verzerrunge n I': (Dehnungen und Gleituugen) hervorrufen und über das Hoc ke-sehe Ce serz Spannungen (J hervorrufe n. Der Zusammenhang zwischen den Versc hiebu ngen und den Verzerrungen" ist bekanntl ich gege ben durch Ezz =

dV dU = -+ UX Uy '

Y7X

UW

i); ,

dw = - +dz dx du

(3. 16)

Hier werden part ielle Ableitungen benutzt, we il eine räumliche Bez iehung bestehen soll. An dem ebenen Schei ben-E lemen t in Bild 3.1 sind d iese Zusammen hänge leicht zu erkennen. welc hes in der nachfo lgenden Ableitung exemp larisch gezeigt wird:

" A nmerkung: Di e Glcitungcn ergeben sich durch systematisches verrauschen im Zähle r. beispielsweise (Iv

(l u

(I ,

()

y . = -+ ')

y

20

3 Grundg leichungen der linearen Finite-Element-Methode

y

- -- - - - - , I

I

"

2" . Yxy

I

C

B'

A'

dy

v B

A

Bild 3.1: Verze rrungen am ebene n Sche iben-Element

E,,,

=

A 'B' -AB AB

=

(dX + ~.~ dX- dX) = du dx

UX

avclx -aOd] y

-

= ~- 1 ( D'A'B')"' ~- .!!. _~ _ ~ =uv+uu.

Y xY2

2

[2

dx

dy

Jx()y

Unser Ziel ist es abe r zu Matr izengleic hungen zu kommen . Aus diesem Gru nd schre iben wir nun GI. (3.16) sy mbolisch auf als

a

l>,x t

a, 0

yy

,= = a t ll

Yxy

Yyz y,",

0

0

0

a

0

dy 0

a

dy a, 0

a a,

a

9' 0

a -a

-

ij,

0

[:]=0"

(3 . 17)

dy

a a,

-

Wir wollen d iese Schreibweise je tzt fotgenderma ßen interpretieren: Wendet man auf d ie Verschiebungen LI die Differenzialo peratorenmatrix D an. so erhält man die Verzerrungen e .

21

3.2 Gleichungen der Elastestatik

Für lineares isotropes w erkstoffverhalten besteht des We iteren noch e ine eindeu tige Beziehung zw ischen den Verzerrungen und den Spannungen. Dieses Werkstoffgesetz lautet für 3-D-Körper: 0 \\

=

On. =

7.""":~E;;-=[(l - v )f.\\ + V(E ..\ \, + E/.I.)1 (l + v )(l 2v)

[(1- v )En + V(E\ x + Eyy )l

E

(I + v)(I-2v )

.

(3.18)

E

1'\ Y = 2(1 +V ) ' Yxy ,

E

1'VI = . 't vr. 2(I+ v ) ' E

Die hierin eingehenden Werksto ffkons tanten E als Elast izitätsmodul und v als Q uerkoruraktion sollen zunäc hst als Einpunktwerte (nicht richtun gsabhängig) betrachtet werden. Somit lässt sich auch die vorstehe nde GI. (3.18) in symbo lischer Matrizenschreibweise darstellen

,1,

(1- v)

°xx

v (I- v)

on

°ll 1'\ y

=

E

(1 + v)(I- 2v)

t yz

sy m.

t zx

v v (1- v)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(I-2 v) 2

0

0

(I- 2v) 2

Yxy

0

(I- 2v) 2

Yp YlX

bzw. verkürzt als 0" = [ ' 1: .

(3.19)

Besonderes Augen merk wollen wir we iterhin noch auf d ie Elastizit äts- bzw. Materialeigenschaftsr nairix E richten. die sich also aus dem E-Modul und der Quer kontraktion v zusammensetzen. E Anmerkung: Zuvor ist G '" - ( - -) gesetzt worden. 2 1+v

22

3 Grundg leichunge n der linearen Finite-E lement -Methode

Die bis j etzt ruf einen dreidim ensionalen Körp er entwicke lten G leichunge n bedürfen in der Anwendung aber noch zwei Spez ialisier unge n. Dies betrifft insbesondere den Fall des "e benen Spannungsz ustandes (E52 )" und den Fall des ..ebenen Verzerrungszustand es (EVZ)" , d ie beide be i Bauteilmodellierun gen vorkommen können. Der E52 tritt in dünnen Scheiben auf. z. B. dünnwandigen Leicht baukonstruktionen . Die Dickenausdehnun g kann hierbei vernac hläss igt werden, weshalb folgende Annahmen ruf die Spannungen und Verzerrun gen gemacht w erden können: On = 0. f zx = 0. r /_y = 0,

aber E72 # 0 (wegen der Qu erkontraktion). Somit besteht der folgende Zusammenha ng zw ischen den Verzerrungen und den Spannunge n:

0,,] (I_E [' [ 0 yy

=

v2

) v

0

T xy

o v

o (1 - v )

0 --2-

] [

'" . . "»

(3.20)

Y x~

Die Dehn ung in Dickenrichtung bestimmt sich weiter zu

Der EVZ tritt hiergegen in se hr langen Zy lindern mit konstantem Querschnitt auf, desse n Ende n festgehalten werden und d ie Belastung als Linien last längs der Mantel fläche erfolgt. Die Annahmen hierfür sind: w

e

kons t. bzw .

(lJ

= 0 sowie Yyz = 0 und Yz.x = 0 aber

(JlJ"*

O.

Der Zusa mmenhang zwischen den Verzerrunge n und den Spannunge n ist som it gege ben durch

[ 0"

on

T xy

=

E

(I + vX I-2v )

(I- v)

v

0

v

(I - v)

0

0

(1-2v) 2

0

[

'" . "»

(3 .21)

Yxy

Für d ie Spannung über die Dicke ergibt sich dann wieder

Bis hierh in ist aber noch kein e Verbindung zu den äußeren Kräften hergestellt worden. Diese folgt aus der Forderung des G leichgewichts zwisc hen den inneren Spannungen und der

3.2 Gleichungen der Elastestatik

23

äußeren Belastung. welche sowohl im Inneren wie auch auf der O berfläche eines Körpers erfüllt sein muss. Wir wollen dies exempla risch an dem Quader-Element in Bild 3.2 für die x-Richiung ze igen: -c.c....

K~

(

<Ja" )

- O.' - o -, . dy -dz s- O" n +a;- dx dy ·d z -t p . dx -dz e

[

ty~

a",

1

+--ay- dY

dx ·dz - t~_\ ' dX ' dy+ (tJ_~ + d~~~ dz)ctX ' dY -P~ -dx -dy -dz = 0 oder (3.22a)

= 0.

Trägt man an dem Quader auch noch d ie Kräfte in die anderen Achsen richtungen e in und bildet wie geze igt auch hier das Gleichgewicht. so entwickeln sich daraus die anderen Gleichgewichtsbed ingungen zu

dt w da vy dt q - -' + - ' - + -- - Py =0. dx a y dz '

(3,22b)

y

t 1-_: _ -

"--0_ •

1

1<:]== I

dy

/

/

/

px

- --10-

a

xx

+ -aa"'-' dx dx

/~-- .-------~----~

/ / t v x'

z Bild 3.2: Kräftegleichgewicht am Quader-Element aus dem Körperinneren Berücksichtigt man ferner noch das Momentengleichgewicht um die Schwerachsen. so führt d ies zum Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen:

24

3 Gr undg leichunge n der linearen Finite-E lement- Met hode "xy = t yx '

t yz = Tz}" t -, =

'X7'

Damit kan n die Gleichgewichtsgleichung auc h geschrieben werden als

il il,

0

0

0

il ily

0

0

il il,

0

il ily

a

il, 0

0

il il, il ily

a il, 0

il il,

Cl xx

0 yy

on T xy T yz

-[:Jm

(3 .23)

Tzx

Vergleicht man hieri n di e auftreten de Differenzialoperatorenmatrix mit GI. (3.17), so lässt sic h die Gleichgewichtsg leichung auc h verkür zt angeben a ls

(3 .24) Da mit den herge leiteten Gleich ungen d ie gesamte Elastostatik beschrieben ist. wollen wir noch e inmal mit Blick auf das konst itutive Gleic hungssyst em zusammenfassen: Durch die Gleichung E

= D·u,

(3 .25)

vie lfac h auc h kinemat ische Vertr äglichkeit genannt, werden die auft retenden Versch iebungen mi t den Verzerrungen verk nüpft . Als Randbedingungen kann hier vorkom men, dass die Verschiebungen u = ii auf der Verschieb ungsob erfläche vorgeschriebene Werte anne hmen . Durch die G leichung O =E ' E

(3.26)

ist das Hooke'sche Sto ffgesetz formuliert . welc hes die Verzerrungen m it den Spannungen linear verknüpft. Hierbe i ist

E = f'[ E, v) die Materialeigenschaftsmatrix. welche durch de n Elast izitätsmod ul E und die Querkontraktion v gegeben ist. Die G leichungen gelten fllr homogene Kör per.

3.2 Gleichungen der Elastestatik

25

Als Letztes gilt es. über die Gleic hgewic htsgleichung D1 .a -p = O

(3.27)

den Kräftezustand zu berüc ksichtigen. Der Vollstän digkeit halber sollen jetzt noc h einige Sonderfälle betrac htet werden. wo das Sto ffgesetz fl O R 95f d ifferenzierter anz usetzen iSI: Es liegen vor der mechani schen Belastung bere its schon so genannte Anfangsspannungen a ll ') (z. B. Eigenspannung aus Vorverfo rmungen oder Schwe ißen) vor. Für d iesen Fall ist

anz usetze n. welche e ine Add ition der mechanischen Zusatzspannungen erfordert. Es liegen vor der mechan ischen Belastung bereits so genannte Anfangsdehnungen Eu "J. z. B. W ärmedehnungen. vor. Für d iesen Fall gilt mit den Anfangsde hnunge n in den drei Raumrichtungen

somit für das Stoffgesetz

(5.28) Wie gemei nhin bekannt ist. ergibt sich die richtungsabhängige Anfan gsdehnung aus dem Produkt Längenausdehnungskoeffizient (al ' T) mal Elastizitätsmodu l E. Die elast ische Spa nnung folgt abe r aus der Differenz der Dehnungen. Die Vorstellung beruht dara uf. dass d ie Wärmede hnung des Bauteils nicht behindert ist. lnfolge der freien Ausdehnbarkeit wird zwar ein Weg zurüc kgelegt . der aber keine elastisc he Spannung hervorruft. Am Modell eines einseilig eingespannten Stabes kann dies gedan klich leicht nachvo llzogen werden . Vö llig anders verhält sich dagegen ei n Bauteil. bei dem d ie Wärmeausdehnung behinde rt ist. Ein Be ispiel dafür mag der gezeigte dünnwandige Behä lter im umse itigen Bild 3.3 geben. der von Raumtemperatur nun hoch gefah ren werden soll auf einen Temperaturzustand von T = 200 "C. Info lge der Einspannbed ingungen (Anschraubung an e iner Boden platte) ergebe n sich j etzt mechanische Zwangsspannunge n. die zu e iner Werkstoffbean sp ruchung führen.

An fangss pannungen " " s ind Spann ungen. mit de nen keine Dehnunge n verbunden sind. J. h. Spannungen. die im undc formicrten Zustand eines Elementes vorhande n sind. ") Anmerkung: Anfangsde hnungen Co sind Dehnun gen. die in Elemente n ein geprä gt sind. o hne dass Span" Anmcrkung:

nungen erzeugt werden .

26

3 Grundg leichunge n der linearen Finite-E lement -Met hode 1 . ... - ' 0

1." _' •.,'01;-'

'."'"Il <.""_ll

......, 1 . ' 0( _0'

' .' '''0_ <."", ••,

b)

' .1"_0•

...". , .20['0

",

....

2 . ...••

""" 0 ' ,~ 'O l

1. 00< ' 0'

Bild 3.3: Behält er unter Temperaturbeanspruchun g a) ohne A usde hnu ngsbe hinderu ng du rch Randbedingungen b) mit Ausdehnu ngsbehinderu ng durch Randbed ingungen

3.3 Grundgleic hungen der Elastedy namik Bei allen Problemstell ungen. wo die e inw irkende n Kräfte zeitabhängig sind. werde n auc h die Verschiebungen u(x, y. z; I). Verzerrungen c (x. y. z: I) und damit Spannungen e t x. y. z; I) sowo hl weg- wie zeitab häng ig sei n. Im zu erste llenden Zusa mmenhang führt dies zu einer erwe iterte n Formulierung de r Glci chgewichrsgteich uug, und zwar in dem gemäß des d'Alem bert' schen Prinzip s so gen annte beschleunigungspro port ionale Trägheits.

3.4 Finites G rundgleichungssystem

27

kräfte (-p . ü) berücksic htigt werden müssen . Die erweiterte Gleichgewichtsgleichung bzw . der Impulssatz (3.27 ) lautet somit: D1

.

(1' -

P= - p.ü .

(3.29)

Vielfach treten in Systemen noch zusätzl iche dissipat ive Kräfte auf, die Schwing ungsausleukungen dämpfen. Diese Kräfte wirken ebe nfa lls der Bewegung entgegen und können gewöhnlich geschwindigkeitsp roportional (.e . u ) ang esetzt werden. ln späteren Betrachtungen werden wir noch einma l auf die Besonderheiten der Elastedy namik e ingehen.

3A Finites Grundgleichu ngssystem Für die Problemklassen Elas tik und Dynamik sind also mit G I. (3.27) lind (3.29) jeweils die Gleichgewichtsg leichunge n definiert worden. Beide G leichungen ste llen Differenzialgleichungen dar. Auf Grund der Ausführu ngen in Kapitel 2 ist uns bisher beka nnt, dass wir zur näherungsweisen Vera rbeitung einer Differenzialgleichung zwei Möglichkeiten haben. und zwar ei nma l du rch Heranziehen des Variationsprinzips eine Ersatzg leichgew ichtsg leich ung zu formuliere n oder mit dem Ansat z von Galerkln d ie Diff erenzialgleichung in ein Funktional zu verwandel n. Der grundsätzliche Vorte il ist dar in zu sehen. dass die Ordnung der DGL jewe ils ha lbiert wird. Da diese Vergeh ensweisen fast gleichwert ig sind, sol len hier beide Lösungswege zur Gewinnung der finiten Systemgleichung kurz demonstriert werden.

3.4. 1 Variati on sprinzip Das Variationsprinzip nutzt das Prinzip der virtuellen Arbe it (P VA). die für einen elast ische n Körper eine Ersatzg le ichgewichtsbedingung darstellt. Bevor wir d ie virtue llen Arbeiten an einem Körper ein führen. bedarf es noch einiger Klärun gen bezüglich des Begri ffs Variation. Als äußere virtue lle Arbeit bezeichnet man die Arbeit der äußeren Kräfte mit ihren virtuellen Verschie bung en. Mit virtuellen Verschiebunge n Oll me int man dabe i kleine gedachte Verschiebungen. die kinematisch mögl ich sind und die Randbed ingungen nicht verletze n. Voraussetzung ist so mit. dass der Verzerrungszustand beschränkt (Stetigke it der Verschiebungen ) ist. der Stoffzusam menhalt (keine Klaffungen ode r Überlappungen) gewah rt bleibt und die Randbed ing ungen nicht verletzt werden. In ana loger We ise kan n die innere virtuelle Arbe it einge führt werde n. Sie ist die Arbeit der inneren Spannunge n. die mit den virtuellen Verzerrunge n geleistet wird . Die virtue llen Verzerrungen Öl: leiten sich durch Differenziation von den virtue llen Versch iebunge n ab. Über das Prinzip der virtuel len Arbeit kann nun verallge meinert die Ersatzg leichgewichtsgleichung IBUC 731 formu liert werde n: Ein elastis cher Körper ist unter gegeben en äußeren Kraften im Gleichgewicht , lI'enJl die äußere virtuelle Arbeit g leich der inneren virtue llen Arbeir ist .

28

3 Grundg leichunge n der linearen Finite-E lement -Methode

d./I. (3.30)

wird. Um dieses Prinzi p nun anwenden zu können, müssen wir d ie beschriebenen Arbeiten definieren. Dazu denke n wir uns im Bild 3.4 einen belieb igen elastischen Körper. Die Oberfläche dieses Körpers soll nun so aufgetei lt werden. dass mit Du ein Verschiebungs rand fü r

vorgeschr iebene Verschiebungen u und mit 0 0 ein Spannungsrand für gegebene K räfte q (verteilte Oberflächenlasten ) lind F (konzentrierte Einzella sten) vorliege n. Im Inneren so llen noch Volumenkrä fte P (Eigengewicht. Fliehkräfte o. Ä.) auft rete n. y

F

q

I I I I

I I

°u, , . . /

,

.....l-

-I-----~

x

, u =uau fO u Bild 3.4: Zuge lassene äußere Lasten an e inem 3 D-Körpe r [Hilhert-Raum] o

Die virtuelle Endarbeit der äußeren Lasten kann dann folgendermaßen angese tzt werden : oWa = ou l. F + f ou l . P d V + fll u l . q dO. V

(3.31)

0

Hierzu korrespond iert die innere virtuelle Endarbeit (3 .32)

Gemäß GI. (3.30) sollen d ie Arbe iten g leichgesetzt werden, was zu der Identität

29

3.4 Finites Gru ndg leichungssystem f OE! . rr dV = Ou I . F + f Su I . P dV + f 0 u' . q d O

v

V

(3.33)

0

füh rt. Die uns bekannte n Beziehungen für die Verzerrungen E

= D vu

bzw. für die Transpo nier ung der Verzerrungen

und für die Spa nnungen G =F: · E = F: · D ·1l so llen nun mit dem Zie l eingeführt werden. die Spann unge n zu elimi nieren. Aus G I. (3 .3 1) folgt somit die Var iatio nsg leichung f oo l. D l . [ . n dv. u = ou l . F+ f ou l · pdV+f oo' · q dO .

v

v

(3.34)

0

Da bishe r noc h keine Näheru ng ben utzt worden ist. gilt die vor stehende Beziehung exakt. wenn m it u die tatsächlichen Verschiebunge n benutzt werde n. An dieser Stelle setz t aber jetzt die Näherung der Finite-Element-Methode ein, in de m für d ie Versc h iebunge n eines Elements ein Ansatz gemacht werden soll. Um diese n Schritt verständlich zu machen . soll in ei nem kleinen Exku rs das Biegeproblem in Bild 3.5 betrachtet werden. Für den eingespannten Balken wo llen wir hier per Appro ximation mit verschiedenen Funktionen vers uchen , die Biegel inie zu ermit teln . Man erke nnt hierbei Fo lgendes: Der Ans atz m it Kreisbogenform (\V I) verstößt gegen die Zwän ge der Randbedingu ng und wird die Durch biegun g nur ungenau w iede rgeben . Durch die Wah l eine s trigonometrischen Ansatzes (w 2 ) kann zwar die Form der Biegelinie abgeschätzt werden, jedoch ist auch hier die Durch biegun g noch sehr ungen au. Mit einer Para bel 4 . Grades (w3 ) kan n sowohl die Form als auch der Betrag der Durchbiegu ng recht gut abgeschätzt werden. Der Ansatz liegt auch sehr nahe an der .Kertenlinie''. Die Kettenlinie sel bst ist eine Potenzfunktion 3. Grades, insofern bietet es sich an, einen Approximationsansatz 3. Ordn ung (w 4) zu wählen . Im A llgemeinen ist es so. dass m it einer Vergrößerung der Eleme ntanzahl. d. h. Verfe inerung de r Struktu r, das Näherungsergebnis \V sich imme r mehr de r exakten Lösun g w nähert. Das gewählte Balkenbeis piel ist dafür kei n sc höner Beweis, da man in Folge des .j-ichrigen' ' Ansatzes schon mit zwe i Elementen (und \~'4 ) bere its e ine sehr gute Lös ung erhä lt. d ie sich kaum noc h verbessern lässt.

30

3 Grundg leichunge n der linearen Finite-E lement-Met hode

l;= x / L

q

q ·L \\exakt == 3&4 E . J

246810

n (e Anzahl Elemente) -

Bild 3.5: Kon verge nzverlauf einer Approximationsfun ktion fllr Balken biegung

Auf dieser Erkenntni s aufbauend . wollen wir uns wieder G I. (3.34) zu wenden. in dem wir jetzt einen Verschiebungsansatz von der Form u = G ·d

(3.35)

einführen wollen. Mit d iesem Ansatz wird also e ine Verbindung zw ischen beliebigen verschieburigen u in einem Körper über bestim mte "S tützste Ilen" d ( Knorenversc hieb ungen) hergestellt. Diese Verbindung w ird über d ie Ze ilenmatrix G geb ildet, d ie insofern also Ansatz funktionen enthalten muss. Stellt man zu GI. (3.35 ) noch die Variation

auf, so kann nun G I. (3.34) ausfo rmuliert werden zu

3.4 Finites Gru ndgleichungssystem

31

JOd' · G I . 0 1 • s O · G ava = od' ·G I . F + JOdl · G ' · P dV+JOd' · G I . q ao , v v 0 da d ies für a lle Variationen gelten muss. kann auc h

j (O . G )'. E ·( O· G )dV· d = G t . F + j G ' . P dV + j G '. q dO

v

V

(3.36)

0

geschrieben werde n. Analysiert man diese Gleichung. so stel lt man fest. dass auf der linken Seite das Produkt e iner Ste ifigke it mit e inem Weg steht, we lches auf der rechten Seite g leich de n äußeren Kräfte n ist. Je nach gewä hltem Ansatz kann diese Gleichung nicht exa kt erfüllt werden . Für GI. (3.36) wollen wir verkürzt k .d =

p.

(3.37)

schreiben. Dies ist d ie gesuc hte finite Grundgleichung. in der d ie Knotenverschiebungen d über die Elementsteifigkeit k mit den gesamten äußeren Krcft en p in Relation stehen. Als Vorschrift zur Berechnung der Ste ifigkeitsmarr!x haben wir

k = j (O. G )'. E · (O · G ) dV = j ll '. [ ·11 dV v V

(3.38)

erhalten . Die auf der rec hten Seite von GI. (3.36) stehenden Ausdrücke stellen insbesondere Beziehungen dar. wie Kräfte auf die Knoten e ines vernetzten Gebietes zu verteilen sind. Zur Matrix der Ansatz funktio n G I = [gI' g2' ... 1 soll noch bemerkt werden, dass die hierfür zu wäh lenden Glieder bevorzugt als Po lynome zu wählen sind, wie beispielswe ise

Es ist leicht nachvollziehbar. dass diese Ausdrücke einfach zu integrieren und zu differenz ieren sind.

304.2

Met hode von Ga ler kin

Eine andere Mög lichkeit. die finite Grundgleichung zu finden. besteht in der Methode von Bubnov/Galerkin' ) oder allgemei n in der Methode des gewic hteten Restes. Von der Idee her wird eine Differenzia lgle ichung genommen. in der für die Unbekannte ein Ansatz gemacht wird und man für das Integral des Restes verlangt. dass es mög lichst klein wird /BAT 86/.

· 1 Anm erkung:

Bon s G. Gatcrkm . russischer Mathematiker ( 187 1- 19-15). arbeitete auf dem Gebie t der näherungswciscn lutcgration HHI DG Ls, Galcrkin muvtc die so genannte schwache Formulierung zur Lösung einer 001. im integralen Sinne.

32

3 Grundg leichunge n der linearen Finite-E lement-Methode

Da wir es hier mit einem Grundprinzip zu tun haben, so ll der mathematische Hintergrund nur ku rz betrachtet werden. Nehmen wi r an

L(u] = r

(3.39)

se i die differenziell e Formul ieru ng eines physikalischen Problems. Hierin bezeichnet L[u] eine abge leitete Zustandsg röße und r eine bekannte rechte Seite. Des We iteren soll noc h mit

(3.40) eine Rand bedingung vorgegeben sein. D ie ..gewic htete Restmethode- geht nun davo n aus. dass sich die Lösung für G I. (3.39) darstellen lässt als n

Li = Igj . u i _l = a o + 31 • x + 3 2 • x 2 + ...+ an • x n

(3.4 1)

i =d

wobe i Uj _l Multiplikatoren und gj linear unabhän gige Funkt ionen sind. Der Ansatz sollte hier bei mind estens die Randbedingung erfüllen. Setzt man j etzt d iesen Nähe rungsansatz in d ie DGL ein, so wird wahrschein lich eine absolute Identität der linke n und rechten Seile nicht zu erfü llen sein, son dern es wird mit WI{ ein Restwert WR = L(u) - r 'T- 0

(3 .42)

übrig bleiben, den es in idealer Weise zu minimieren gilt. Nach der Methode von Galerkln ist fgi , WR·d B+ B=Löslln gs-

beteich

fg j , R B ·d R =O

(3 .43)

R =Rand

zu forde rn. Wir wo llen dies nunmehr übertragen auf d ie DGL des Gleichgewichts (3.24), die vereinb arungsgem äß eine Matrizengleichung darstellt. Entsp rechend des besc hriebene n Formalismus multipliziere n wir diese DG L mit einer Ansatzfunktionsmatrix G I und integrieren über das Vo lumen eines Körpers. Man er hält fG 1(I)I , E .D . u - p)dV = 0 .

(3 .44)

V

Randbedingungen sind im vorliegenden Fall nicht zu berücksichtigen, wesha lb das Problem vollständ ig beschrieben ist. Später werden wir im Kapitel 11 .2 bei der Behandlung von Wärmeleitungsp rob lemen erkennen , dass für e ine Lösung verschiedene Randbed ingunge n maßgebend sein können. Als Nächstes führt man in GI. (3.44) den bekannte n Ansatz u = G ·d

3.4 Finites Gru ndgleichungssyste m

33

ein. Die Knotenverschiebunge n sind somit nichts anderes, als die noch zu bestimmenden Multiplikatoren und daher für uns die e igentliche Lösung des diskretisierten Problems. Setzen wir jetzt den Ansatz in dieser Form e in, so folgt

J G 1(n t . [ . n · G ) dV .d - J G I . r dV = 0

v

v

oder besser zusammengefasst j (IJ -G )' - ' - (IJ -G) dv . d - jG ' - P dv = 0 _ V V

(3 _45)

Man erkennt hierin d ie Analogie zu GI. (3.36) und hat wieder diejinite Grundgleichung k -d =

P

gefunden. Sollen zu den angesetzten Volumen kräften auch noch andere Kräftegruppen berücksich tigt werden, so ist die rechte Seite der GI. (3.45) um diese Kräfte gee ignet zu vervollständigen. Zur Abrundung elaste-mechan ischer Probleme soll die Galerkln' sche Methode auch noch auf die dynamisc he Gleichgewichtsgleichung (3.27) angewandt werden. Aus P: ü + D' . E . D · u - P = 0 folgt dann wieder

J Gt (p . ü+ nt . [ . n . u - p)dV = O V

bzw. nach Einsetzen des Ansatzes pj G' -G dY -d+ j( IJ -G)' - '-( IJ- G ) dY -d - jG ' -pdY = O_ V V V

(3 _46)

Dies ist gleichz usetzen mit der bekannten Schwingungsdifferenzialgleichung

m . d + k . d - p =O .

(3 _47)

Für d ie neu auftretende Massenmatrix ist somit auch die Bildungsvorschrift

m = p JG ' . G dV v ermittelt worden.

(3 _48)

34

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode Ein vom Verständn is der Vorgehenswe ise guter Einst ieg in die Finite-Element-Methode stellt die von der Tragwerksberechnung her bekannte Matrix-S teifigkeitsmethode /HA H 75/ dar. Wie man später erke nnen w ird. ist der ablaufende Forma lismus dem der Ffi-Methode völlig identi sch. Zur Begrü ndung der T heorie ist im Bild 4 .1 ein beliebiges elastisches Tragwerk dargestellt. Die einwirkende n äuß eren Kräfte werde n dieses Tragwer k verformen . sodas s eine Durchsenkung festzuste llen sein wird.

y

y. v

'~~_- - - ,

L __

--

p

-

-

-

~

'" -

.

'

--

-unverformre r Körp er

verformte r Körper

Bild 4 . 1: Verfor mungszustand e iner el astischen Tragkonstru ktion

Bei unterstellten kleinen Ver form ungen und vorausgesetzter Linea rität kann zw ische n den Krä ften und den Verschiebungen folgender Zusammen hang angegeben werden: Die Versch ieb ung

u.' = [u ,

vd von Kör perpunkt en hä ngt eindeu tig von de r Wirkung

a ller Krä fte Fj ab :

Im Fall der Linearität muss auch die Umkehrung gel ten, und zwar gehö rt zu einem Verformungszustand ein e indeu tiger Kräftezustand :

i = I . .... n. Hieraus ist zu folgern, dass d ie Kräfte über e ine Ste ifigkeit mit den Verschiebunge n linear verknüpft s ind, d . h. eine Beziehung

" · Uj . i = I. ..., n Fj = L>ij j= l

bestehr. Entwickelt man weite r GI. (4. 1) als Matrizeng1eichungen. so g ilt auch

(4. 1)

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

35

FI = [kll

F2

k 21

r,

k nl

" I

",

.

·

[ ··

..

[

k"

(4.2)

",

Die hier in auftr etenden Koeffiz ienten k jj heißen Vers chiet mngseinfiusszahten und sind nach Maxwell symmetrisc h. d. h. es gilt k jj = k jj. Dami t ist auch die Koeffizientenmatrix sy mmet risch über die Hauptdiagonale . Besond ers vortei lhaft lässt sic h die Matrix-Steifigkeitsmethode bei sta bartigen Tragwerken anwende n. Die prinzipielle v er gehensweise so ll hier aber fü r ein Federelem ent (Stab analogie) darges tel lt werden. so wie es im Bild 4.2 eingefüh rt ist.

o Knoten zähl er o Elem entzähler

,)

•

b)

CD

•

[j]

F,

[j]

C) FI

"I

•

"2

CI

111

C,

Bild 4.2: v e rgehensweise der Mat rix-Steifi gkeit srnethode (nach IHA H 75/) am Fede rmodelJ a) Ansatz für das lineare Federelement b) Systemansatz für zwe i Fede relemente c) geb undenes System 4 ( Ci = Federkonstante; ci = d DJ.

(G'

j

H8.

j

w))

FR = FJ

- - -- - - va= 0

36

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

Das Federelement repr äsentiert dabei ein eindimensiona les fini tes Element. Alle Informationen des Elements we rden llber d ie Knoten gegeben. d ie zufolge der Kräfte dann Verschiebunge n ausführen. Auf Elementebene lässt sich som it d ie Steifigkeitsbeziehung formulieren: F] = c ' ß ll J2 = c , u J - cu a. Fz = c· .1,uZ I = c ' 1l2

(4 .3)

- vvr.

Matriziell kann dies gesc hrieben werden als (4.4 )

Die abgespaltene 2-x-2-Matr ix k stellt hierbei die Elementst eifig kcits rnarrix einer Feder dar. Will man hingegen die Beziehung fiir ein System entwic keln. so müsse n so viele Gleichungen aufgestellt w erden. wie Unbekannte vorhanden sind LInd d ie Randbedingungen be-

rücksicht igt werden. Im zu Grunde liegenden Beispie l soll ein System aus zwei Federn betrachtet werde n. bei denen in zwe i Knoten Kräfte ei ngeleitet werde n und der dritte Knoten festgehalte n ist.

Die Systembeziehungen für die Kräfte lassen sich durch wechselseitiges Festha lten der Knoten und die dann wirksame Federgleichung folgender maßen entwickeln:

u l =u J =O:

FJ = c2 · uJ. F2 =(Cl + C2) u 2'

F2 = - FJ • F1 = - c l , u 2.

F1 = 0; FJ =-c2 , u 2;

u 2 =u J = 0:

FI = cI , ul '

F2 = - FI•

FJ = 0.

UI =U 2 = 0:

werde n diese Gleichun gen so rtiert und zusammengefasst. so kann als Matrizengleichung

I] [- 'c~I ~~ [F =

-,~] .[~; ] c2

uJ

bzw. (4.5)

angegeben werden. Die G I. (4 .5) drückt hierin den Systemzusammen hang aus, während G I. (4.4) als Elementgleichung aufgeste llt worden ist. An der Systemst eifigkeitsmat rix K ist zu erken nen. dass diese ebenso symmetrisch ist wie d ie beiden zusam menge fassten Elememmatrizen. Weilerhin ist an der Matrix zu erkennen. dass diese auc h sofort durc h Blockadd ition (direkte Steifigkeitsme thode = Überlagerung am gemeinsamen Knoten) darstel lbar wäre. Dies ist e ine beso ndere Eigenart von Systemen, die aus eindimensionale n Elementen (Stäbe. Balken) aufgebaut sind.

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

37

Das vorstehende Gleichun gssystem ist aber so nicht aufl ösbar . da die Randbedingungen bisher unberüc ksicht igt geblieben sind, d. h., das Syste m kann insgesa mt noch e ine Starrkörperbewegung ausführen. was sich in der Singularität der Gesamtsteifigkeitsmatrix ausdrückt. Ein Kennzeichen e ines singulären Systems ist, dass d ie Determ inante der Gesamtsteifl gkeitsmatrix

verschwindet. Erst für ein statisch bestimmtes Sys tem wird die Gleichung auflösbar. welch es durch eine positiv definite Gesamt steifigkeitsmatrtx möglich ist. Wird nun in die vorstehende GI. (4 .5) die Randbedingung u) = 0 eingearbeitet. so können die Versch iebungen und die unbekannte Reaktionskraft F) bestimmt werden:

(4.6)

Dazu muss das Gleichungssystem wie folgt aufgespalten werd en:

'I : :; ] [ : ; ]

F) ==

(4 .7)

(4. 8)

Zufolge der beiden vorgegebene n Kräfte Fl • Fz solle n je doch zuerst d ie Versc hiebungen best immt werden, und zwa r aus der folgenden Rechnung:

(4 .9)

Für die Inversion K - l ist hierbei d ie Gleichung im Anhang benutzt wo rden. Aus der Ausmultiplikation der vorstehenden Gle ichung ergeben sich so für d ie Knoten verschiebungen

(4.10)

Damit kann weiter die Reaktionskraft best immt werden zu

38

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

(4. 11)

Manchmal sind auch die Sc hnittkräfte Sij im Element von Interesse. FUr deren Bestimmung gilt, dass d iese stets auf Elementebene zu ermitteln sind. und zwa r -

im Element I für den Knoten

CD

und @:

SI] = CI[ -'- + _1_) F1 +..:L . F2 _..:.L . F1 __'_I. F2 cI

c2

c2

c2

(4 .12)

c2

Sl 2 = - 5 11

bzw. im Element 2 für de n Knoten @ und U) :

[522 ]= [- c 5 23

c2

- " ] C2 '

I -"][-,-.F I+ 'F2 ] ["2] [ '2 .

0

= - C2

5 22 = c2[....!.... . F1 +...!.... . F2 ) = F] + FZ c2

c2

'2

C2

C2

0 (4 .13)

5 23 = - 5 22 ,

Die Erkenntn is aus diesem Beisp iel so ll im Weiteren se in. dass man durch die Anwendu ng eines bestimm ten Forma lismus zu der Lösung einer bestimmten Klasse von Aufgabe n kommt. Ver allgemeinert man diese Ve rgehensweise . so lassen sich som it hinreichend komplexe Tragw erke behandel n. Ziel muss es also se in. diesen methodischen Ansatz variabel zu entwickeln . Die algc rithmisc he Verall geme inerun g so ll jetzt an dem kleinen Tragwerk von Bild 4.3 wie folgt vorge nommen werde n: Mit F3 = [0 F) ~ - F)y F.f:>; 1

0] so llen d ie bekannt en äußeren Kräfte beze ichnet wer-

den. Entsprechend so llen mit FbI = [Fh

F1y F2 ~ ] die Rea ktionskräfte bezeich net werde n.

39

4 Die Matr ix-Ste ifigkeitsmethode

- Sinngemäß bezeic hnet Ua t = und

[V2

u) v) u4 v41die unbeka nnten Verschiebu ngen

u,' = [UI v I u 2 1 die bekannten Randbedi ngu ngen (vorgeschriebene Autlagerverschicbungen oder Unbewegfichkeiten). Gemäß diesen Vereinbarungen kan n d ie vorherige GI. (4.5) bzw . d ie neu zu erstel lende System gleichung folgendermaßen partiti oniert werden : (4.14)

b) r 2y = 0 Fh

"J

- I) y

Fh; 1'4 ~, = 0

Fi x

-- -- "',,\ ----

,,

K ba : K bb

,,

\'1 = 0

!

Bild 4.3: Fachwerk aus Stab-E lementen (alle Knoten 2 FHGs) a) Mode ll mit Krän en und Lager b) besch re ibendes G leichungssyste m

Wir haben es h ier also mit ei ner Hyperg le ichung zu tun, in der m it Fa. tI • Va ti Vektore n und mit K aa , K ab , K bb Untermatrize n vorkommen. Löst man zum Zwec ke der Komponen tenbest imm ung diese G leich ung auf. so fo lgt daraus (4.15) (4.16)

Da d ie Verschiebungen interessieren, muss GI. (4.15) aufge löst werde n nac h (4. 17)

4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode

40

und diese G leichung zur Bestimmung der Reaktionskräfte in G I. (4. 16) e ingesetzt werden, man er hält so (4.18)

Bei den meisten technischen Syste men werden unbewegliche Auflager U b = 0 vor liegen; fllr e inen derartigen Fall vereinfachen sich die be iden vorste henden G leichunge n zu

(4.19)

(4.20) Ocr geze igte Lösungsweg lässt sich nun formal folgendennaßen beschreiben: Defini tion e ines mechani schen Beschreibungselem ents (Stab oder Ba/keil); mat rizielle Formulierung des Zusa mmenhangs zwischen Knotenkräften und Knotenversch lebungen ; Erstellu ng einer Elementsteifigkeitsmatrix k: einem GesamtverschieZusam men bau der Gleic hunge n zu einem Gesamtkraftve ktor bungsvcktor U und einer Gesa mtste ifigkeftsmatr!x K; Unterdrückung de r Starr körperverschiebu ngen eines Syste ms durch die Einfüh rung von Randbedi ngungen und Partition ierung des Gleichun gssystems in unbekannte verset uebungen V a und unbekannte Reaktionskrä fte Fb :

I"

Lösung der entstandenen Teilgleichungssysteme und Ausweis der Versch iebunge n V a und der Reaktionskräfte Fb sowie gegebenenfa lls Rückrechn ung zu den Schnittg rößen Sij bzw. Spannunge n a in den Elementen . Von der Methodi k des Ve rgehens werden wir diese Sch ritte bei der im Weiteren zu beschre ibende n orig inären Ffi-Methode alle wieder finden.

41

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode In de n nachfolgende n Unterkapiteln so ll das Konzept der FEM puzzleart ig zusam mengese tzt

werden. weshalb das Kapitel 5 grundlegend für das methodische Verständnis ist. Neben der Darlegu ng de s praktischen Ve rgehe ns liegt der Foku s au f alternat ive mathematisch e Formulier ungen und letztendli ch der Überführun g in e inen stri ngenten Gesamta blauf Um die Theori e mög l ichst transparent zu halten. werden nur Stob- und Balken-Elem ente benutzt . Dies vereinfacht zwar die Darstellung, besc hränkt aber nicht die Allgemeingültigkeit der

vergehensweise. Insofern ist eine Übertragung auf andere Elementtypen oder andere Fragestellungen leicht mög lich.

5.1 Allgemeine Ve rgehenswe lse Wie einleite nd sc ho n herausge stellt , muss man heute d ie FEM· Anwe nd ung als integralen Bestandt eil e iner CAE-Kon=eplion bzw. knnstruktionsbegieitenden Berechnung begreifen. Tatsächlich liegt e in Stüc k Wirtsc haftlichke it vo n CA D und FEM dar in, wen n CA D· Mode lle von Pre-Prozessoren übern omm en, mithilfe eines FE· Rechen laufs ver ifiz iert und die Ergebnisse von Post- Prozessoren schne ll ausgewertet und dargestellt we rde n könn en sow ie die geä nderte Geo metrie wieder nach CA D zurückgeführt we rde n kann. Ideale Ver hä ltnisse liegen vor, wen n das kom plette CAD- Bauteil in versc hiedene Layer aufgebaut worden ist. Für die FE-B erechn ung benöt igt man nämlich nur die reine Geometri e, sodass die Layer , die Ve nnaßung oder Text entha lten, ausgeblendet werde n können. Des Weiteren kann es se in, dass Bauteile gew isse konstruktive Gegebenheiten entha lten, d ie für das Festigkeitsverhalten von geringer Bedeutung sind. aber d ie Netzgenerierung ersc hweren würde . Demgemäß ist zu prüfen. ob geo met rische Details vernach läss igt we rden können . ob sich vielleicht Einbau- oder Anbautei le ausk lammern lassen oder inwiefern tatsäch lich Kontakt IST E 921 zu berücksichtigen ist. Je nach Bauteilgeom etrie und Belastun g kan n auch ein rekon stru iertes Flächen- oder Volumenmodell au sreich end se in. Ist ein kom plexes räumliches Objekt zu ana lysieren. ist in der Regel e in 3- D-Vo lumenmode ll erforder lich. Im Bild 5.1 ist der prinz ipielle Ablaufeiner integrati ven CAE· Kelte dargestellt. Aufgabe vo n CA D-Sys temen ist es, vo llständige Fertigungs- und Mon tageunterl agen zu erzeugen. In der Praxis werde n daz u Einzelteil-, Gr uppen- und Zusammenba u-Zeic hnungen angefert igt. Aus der Zusammenbau-Zeichnung sind in der Regel die Funktion und die Belastung zu erken nen . Für die Bewährun g eine r Str uktur kan n es dabe i w ichtig se in, eine n Gesamtve rbund oder die gefä hrdeten Einze lte ile siche r auszulegen . Im vo rliegen den Fa ll se i unters te llt. dass die Festigk eit des Hebels für einen Mechanism us entsche idend ist und dieser daher mittels FEM ana lysiert wer den so ll. Einige FE-Sys teme erlauben auch d ie Berechnung von Baugruppen (z . B. CAT IA-V5/GAS). we lches natürlich die Real ität besser abzubi lden hilft .

42

5 Das Kon zept der Finite-E lement-Met hode Aus der Konstruktio nsgeom etrie ist dahe r d ie Berechnungsgeom etr ie herauszu lösen, die Randbedi ngungen festzulegen und die Einleitung der Kräfte zu bestimmen . Die Berechnungsgeometrie muss dann an das FE-Sys tem übergeben we rde n. Im Regel fa ll wird es dabei so sei n. dass e in Sc hnittstellenprotok oll als IGES-, VDA-FS- od er ST EPFile erzeugt werden muss. Dieses Protokoll kan n gewöhnlich ve rlust fre i übert rage n we rden. Neuerd ings wird zw ischen einigen CA D- und FEM-Sys temen auc h eine Direktkopplun g {z. B. zw ischen CAT IA und l- DEAS bzw. ANS YS) reali siert. Die Vo llständigk eit der Übe rtrag ung wird hierbe i garantiert und d ie Wirtsch aftlic hke it nimmt zu, we il eben zeitintensive Wandlu ngssc hritte ent fallen und eine Rückkopplu ng zum CA D-Mode ll besteh t. M ithilfe eines Pre-Prozcssors gi lt es weiter, d ie Geometrie zu einem FE-Mode ll aufzub ere iten. Der ers te Schritt dazu ist die Bildung von Mak ros (d iese werden gew öhnlich durch drei oder vier Seiten begrenzt). aus de nen über die Angabe von abges timmten Seitenteilern ein Elementnetz generiert werden kann. Hierm it hängt d ie Typdefinition der Elemente und deren Spez ifizier ung un mittelbar zusammen, da hierauf beg ründet das Eingabeprot oko ll ers te llt wird. Dieses Protokoll muss des Weit eren noc h um die Werkstoffkennwerte. die Randb ed ingungen und die Kräfte vervo llständigt werden . M it dem Eingangsprotoko ll liegen alle Informationen fiir den Fß-Löser vor. Dieser baut sich ents prec hen d der Netztopologie und der Elementkennzeichnung die Steifigkeit de r Struktur auf, arbe itet d ie Randb edingungen und die Kräfte ein und löst das dam it enrstehen de G leichungssystem nac h den Ve rschiebu ngen auf: (Steifig keit) x (Verschiebunge n) = (äußere Krä fte). Aus den Ve rschiebunge n können dann in einer Rückrechnung die auftretende n Dehnungen, Spa nnunge n und die Reaktionskräfte erm ittelt werde n. Für eine rat ion elle Auswertung nutzt man heute leistungsfähige Post-Prozessoren. die die angefa llenen Daten qualitat iv und quan titat iv ausw ert en . Derart ige Prozessor en könne n meist die ve rformte mit der unvertormten Strukt ur zu einem Verformungs bild überlagern, d ie Dehnungen ode r Spannunge n als Isol inienplot oder Farbfü llbilde r ge mäß einer Werteska la auswe rten sowie d ie Größe und Richtung der Reaktionskräfte darstell en.

W ie ers ichtlich, hat d ieser Ablauf zwar ein ige sche mat ische Anteile, hieraus ist aber nicht zu schließe n. dass e ine Problembearbeitung mit FEM einem festen Autom atismus gehorcht. So verschiedenartig wie Pro blemstell ungen sei n werden , werden auc h Lösu ngsan sätze zu entwicke ln sein. Das TretTen der Realität hat da bei viel mit der Beherrschung de r theo retische n Mögl ichkeit en und de r Aussc hö pfung de r Fähigkeiten der Programme zu tun. ln der Prax is ist zunehmend e in Zusa mmenwac hsen von CA D und FEM (z. B. CAT IA· V5 mit dem ELFINI.Modul) zu beobachten. Dies bed ingt eines CA E.Spez ialisten, der vo n seinem Ausbild ungsh intergrund rechn erunterstützte Methoden siche r beherr scht.

43

5.1 Allgemeine Verge hensweise

CA DBauteil

vereinfachtes Analysemodell

C A[)-System 3 - ()-Volu menmnd~11

I

eina Baugru ppe

Problem aufbereitun g

I

He rauslösung der Ha uptgeom etrie

o IGES! V DA- FS-!

ST EP-File

Mod ellü bergabe

11

D;" kl. kopplung

Schn itts telle

FEM-System o

Modellübernahme

Pre-P roze sstng Ko nstru ktion der Makros Auswahl des Elementtyps Fes tlcg ung der Elcmenneiler Eingabe der Elcmcmdarcn Z uweisung der Werkstoffkennwerte Einführung der Randbed ingungen Einleitung da Kräfte

Lös ung des Gle ichu ngssyste ms Berechn ung de r Verschiebungen Berechnung der Sp annungen Rückrechnung zu den Reak tionskräften

Post- Pro zcssi ng Darstellu ng de r verformte n Strukt ur

Darstellung de r Spann ungsverteilu ng ( Isolinien. Fa rbfü l1 bildcr)

Bild 5. 1: Rechnerunterstützte Bauteila nalyse im interaktiven Dialog

44

5 Das Konzept der Finite-E lement -Methode

5.2 Fg -Program msystcm Die FE· Programme. die sich heute am Markt du rchgese tzt haben. sind wei tgehe nd vollständ ige und durchgängige Syste me . Mit vollständ ig soll dabei umschrieben werden, dass man es mit Kom p1etlsystemen zu tu n hat, die unter e iner abgestimmten Oberfläche einen Pre- und Post-Prozessor, den G leichungslöser sowie versch iedene Ergänzu ngsrnod ule verfüg bar haben. Durchgängig kann zudem auch sehr we it reichend se in. Es umfasst die Abbildun g von Geo met rie- und Mate riallinearität ode r -nichtlinearität. Kontakt. Elastedynamik . Thermoe lastizität sow ie se hr schnelle Umformp rozesse.

interaktiver Pre-Prozessor

\

)

FE1\I-U niversa lprogr a mm

-(

interaktiver ) Post-Prozessor

I

j linea re r

nichtlinearer Programmren

Progra mmtell

H c...

Elaste stat ik

e-

Elastedynamik.

implizite

Materialnicht-

linearität (Pla stizität, Kriechen)

Spezia lanwe nd unge n

-

Temperatur. feldana lyse (stat ionär. instationär)

mungen.

-

f-

Kontakt

-1 Akustik

'-

Elastodynamik, ex plizite (Crash)

e-

gro ße VerforInstab ilität (Kni cke n, Kippen, Beulen)

fl uidströmungen (kompressibe l, inkompressibe l)

Spritzgießsimulation

Bild 5.2: Programmstruktur e ines komm erziel len FE-Program msystcms

Ein typ ischer Methoden baum eines FE-Program ms ist im Bild 5.2 gezeigt. Der Grun dumfang besteht gewöhnlich aus e inem linearen Programmte il zur Lösung von elastosta tische n und elastodynam ischen Problemen. Hieran können verschiede ne Spez ialanwendungen ange koppelt werden, d ie eigene Routin en darstellen. Insgesamt beste ht bei allen Softwarehäusern

5.3 Mathematische Formulierung

45

das Bestreben. das FEM-Einsatzfeld zu erweitern. Eine sehr wesentliche Erweiterung stellt die Nichtlinearit ät dar, und zwar in den Ausprägungen Materiahnc tnlineariun, geometrische Nichtlinearit ät und nichtlineare Str ukturdynamik. Hierbei geht es um die realistische Erfassung des Werkstoffverha ltens (Fließen), großer Verformungen (Instabilität) und die lntegrution im Zeitbereich (Crash). Darüber hinaus eignen sich noch die Potenzialproblerne (Wärme1eitung, Magnetfelder. elektrische Felder) sehr gut für d ie numerische Bearbeitung. Somit kann mittlerweile eine große Klasse von Aufgabe n der Technik bzw. der technischen Physik mit der FEM abgedeckt werde n.

5.3 Ma t hematische Formulier ung Die exemplarische Anwendung der im Kapitel 3.4 dargelegten Beziehungen zur Defin ition des Steifigkeits.Ve rschiebungs. Kraft-Zusammenhanges soll im Weiteren je weils an einem eindimensionalen Stab- und Balken-Elemem mit ihren unterschiedlichen Knotenfreiheitsgraden geze igt werden. Dies ist insofern sinnvoll. da mit diesen Einzelfre iheitsgraden später verschiedene Elementtypen aufgebaut werden können. Die Einsatzfelder für Stab-Elemente sind Fachwerke und für Balken-Elemente Rahmentragwerke. Im Maschinen- und Fahrzeugbau sind hiermit vielfä ltige Anwendungen (Berechnung von Maschinengestellen. SpaceFrame. Wellensysteme etc.) verbunden.

5.3. 1 Ebenes Stab-Element Das finite. längssteife Slah~ E l emen t ist zuvor schon im Kapitel 4 als diskretes Federelement eingeführt worden. Innerhalb der FEM wird es jedoch als Kormnuumsetemem" mit den beschreibenden Eigenschaften Geometrie (A. L) und Werkstoff ( p. E) benutzt. Um den Zusammenhang zwischen den Verformungen. der Geometrie und dem Werkstoff herstellen zu können. muss d ie entsprechende Differenzialgle ichung aufgestellt werden. Als verallgemeinerter Fall ist demgemäß von e inem bewegten Element (Statik wäre ein Sonderfall) auszugehen. Im nachfolgenden Bild 5.3 ist d ies beispielhaft charakterisiert. Merkmal ist hierbei. dass alle Kraftgrößen (Knotenkräfte und verteilte Kräfte) nur in Längsrichtung auftreten und hierzu auch Knotenreaktionen Ui (i "" I, 2) korrespondieren. Je Knoten tritt also e in axialer Freiheitsgrad auf. Anzumerken ist. dass stets die Kräfte und Verschiebungen in Richtung der lokalen Koordinaten angetrag en werden (und nicht wie in der Mechanik mit Plus und Minus). Die Eigenschaften des Elements werden ebenfalls in dem lokalen Koordinatensystem beschrieben. Später ist das Element in einer Struktur in be lieb iger Lage zu einem glohulen Koordinatensystem eingebaut. Gemäß der Lage und der Belastung der Struktur ände rt sich dann insbesondere d ie Steifigkeit des Elements. wodurch e in anderer ßeanspruchungszustand

· 1A nmerkung: Das reine Slub·Ek menl fi ndet Anwendung in Fachwerken und wird immer gelenk ig angcschlossen. Eskann also kerne Querkr äfte und Bicgcmomcrac übertragen wie Balken-Elem.:nl':.

5 Das Konzept der Finite-E lement-Methode

46

induziert wird. Dementsprec hend ist eine transform ierte Ste ifigkeitsrna trix zu erstellen. so wie d ies später im Kap itel 5.4. [ geze igt wird.

N, y,

•

\

Fr

•

\

U(X.I)

(lokales KS)

x,

F.;:

•

p -A vdx - ü

• er , + dcr.~ ( x ilx

- F (g lobales KS) z, 7.

dX)A

Bi ld 5.3: Impu lsbetrachtung am li nearen Stab·E lemcnt

Ste llt man nun an eine m infinitesimalen Stab-Elementehen mit de r Länge dx das Gleichgewicht (= Impulssatz) her, so folgt daraus die Euler'sche DG L:

(5. ' ) Durch Heranziehung des Galerkin' schen Forma lismus (s. G I. (3.4 1» gilt es we iter. die finite G leichung zu erstellen. Dazu multiplizieren wir d ie DGL mit einer noch unbekan nten Formfunktion gj(x) und integrieren über den Lösungsbere ich

j = 1, 2.

(5.2)

Als Endergeb nis soll d ie e infache Schwingungsd ifferenz ia lgleichung vorliegen. weshalb wir den mittleren Term mir der Produktregel der Differenz iation um eine Ordnung ern iedrigen müssen. hiernac h gilt: -"

ux

2

1 uu ( E · A · g .(x) · -"") = E · A · g . -u u + Eo A ug · J

ux

J

ux 2

ux ux

Wird dies berücksichtigt. so kann die vorstehe nde G leichu ng auch gesc hrieben werden als

J p . A ·g·J -"," ·"")L =0 1.[ c ut+ 2 E . A -"g uxJ · -"" ux -g J· ·px. Jdx - (E·A ·g JUX 0 und mit aus integrierten Randtenn en bzw. an den Integration sgrenzen

(5.3)

47

5.3 Mathematische Formulie rung

g _a'_U+ E. A_iJg_'j . du _ g_ . Jdt 2 dx dx J

p~ ) d.'\ - (E ' A. g-(L} du ILdx

J

E· A· g-(O) du J dx

10)= O.

An dieser Stelle wo llen wir nun mit

z

U(X ,/ ) = I g i {x }. u i (I) ss gl (x ): u 1(I) + g 2 (x} . v z ( t) j=1

(5.4)

einen Ansatz' ) fU r die unbekannt en Versch iebungen ein führen, und zwar so, das s von den Knotenverschiebungen Uj ausgehend in das Innere des Elements utx. I) hinein ap proximiert werden kann . Die dazu er forderlichen For mfunktionen gj. gj wählen wir linear unabhängig, und zwar so. dass alle Randbedingungen erfü llt werden. Wegen der durchge führte n Ortsund Zeitseparierurig können sodann die erforderlichen Ableitungen

dU 2 dg- = I -=.!. Uj dx j=] dx ge bildet und in die G I. (5.3) eingese tzt werden:

f I(P'

A · g j' gj

i=lo -

_iJ2_~_j + E· A_ag_'j . _iJg_i Uj Lx - (Jgj . p~ . dX) df

dx

dx

r

II

) i )0) = 0. '- U i ) L- E· A · g/ O(2 I -iJc(, - '- U (E·A .gj(L(i=lI2-ag(,) dx dx i= 1

j = L 2. (5.5)

Löst man diese Gleichung auf. so ergibt s ich

~( J\'A.g J 'g- . dx _iJ'_"_i2 + JI. E .A _iJgdx_'j ._iJgdx_'i dX' U-] { 'J' '' J.. p x ' dX)

. 1=1

1

II

:I

ul

(>

1

(>

~

(5.6)

j = I. 2. wobei j etzt Massen. Steifig keite n. Knotengrößen und Kräfte abgespalten sind. Somit ist die ges uchte Sch wingungsdlfferenziaigieichung nJ ·ü +k ,u =P O+P K

(5.7)

in dlskrerlslerter Form zu erkenne n. A usgeschrieben lautet diese Matr izengleichun g auc h

' 1 Anmerkung: Raylcig b-Ruz -Ansatz - Lineark ombination von orts- und zenabhängigen Form- biW. An,"lzfunktioncn

5 Das Kon zept der Finite-Element-Methode

48

(5.8)

Aus GI. (5.6) sind insbesondere d ie Vorschriften zu entnehmen. wie die entsprechenden Matriz en oder Vekto ren zu bilde n sind, und zwa r die Koe ffiz ienten der Elementmassenmatrix m a ls I. I1lj i

= Jp·A·grg j dx ,

J. i = 1. 2

(5 .9 )

o

di e Koeffizienten der Elememsteifigkeitsmatrix k als l.

"

k j i = f E . A .gj ' gi dx •

j . i = 1, 2

(5. 10)

o

die Knotenkomp onenten des Oberflächenlastvektors Po I.

j = 1, 2' )

Pj =f gj ·P x · dx •

(5. " )

o

der Knotenlassvektor

(5. 12) mit de n Randbedingungen

(5. 13)

2 ug(, ) ) Fx 2 ~ N 2 = E · A · l ( I -'- uj L ' i =1 iJ x

Wäh lt man für das Slah· Element jetzt linea re Fonnfu nktionen (shape functions} der Art

x gJ = 1-- und L

x

sa =-, L

so g ilt für den Ve rsch iebungsa nsatz (s. G I. (5.4 » . ) Anmerkung: Zur GI . \ 5. 11) ist anzumerken, dass der Ausdruck "in" Vorschrift enthält. wie verteilte Lasren • die zwischen K11l'I"n ein geleitet wcrdcn • bezüglic h der Formfunk nonen konsistent auf' die Knoten zu verschmie ren sind. Die GI. (5. 13) wird vielfac h nicht berück sichtigt.

49

5.3 Mathematische Formulie rung

(5. 14) womit die Verschiebungs- und Kraftrandbedingungen erfüllt werden. Der Verlauf dieser Ansatzfunktionen über die normierte Stablänge ze igt Bild 5.4 zu einem belieb igen Ze itpunkt bzw . in den Knoten.

g

CD

Cl

~ =". L

u(L. f) = u 2(t ) Bild 5.4: Formfun ktionen für das Sla h-Element mit normierter Länge

Somi t ist es jetzt möglich. d ie Koeffizienten der interessierenden Matrizen

1. 1.2 pA 111 22 = p ·AJg2 ' g2dx = p . A] ; " dx =-;- L, o 0 L 1. " I. I E .A k 11 = E . A ]g1 · gl dx= E . A ] -:;-- dx= - -, o 0 LL

1." 1. I E.A k 21 =E·A]g1 ·g 2 dx =E .A ] -2'"dx = - - - , o 0 L L

zu berechnen. Werde n d iese nun eingesetzt. so können d ie Matrizen ausfo rmulie rt werde n zu

5 Das Konzept der Finite-E lement -Methode

50

(5. 15)

(5. 16) Des Weiteren findet man fü r die Kraftve ktoren

(5.17)

und die

F, PI\: =

[ ]

F2 K

og,0I - E E.A dx [

a" l d"x

°1.["'].

21 _0:, ug 2

IL d; 1t.

(5. 18)

Uz

womit wieder das G leichgewicht zu den Schning rößen N j in den Knoten deu tlich wird.

5.3.2

E benes Drehstab - Element

Eine schöne Anwendung in der Physik bzw. Schw ingungstec hnik findet das (modifizierte) Stab-Element. um Drehschwingungen analys ieren zu könne n. Typische Frageste llungen ergeben sich bei verzweigten Wel1ensyslemen im Gelriebebau ode r bei Verarbeitungsmasch inen.

Um die zuge hörigen Beziehu ngen für rotatorisehe Schwingungen aufstellen zu können . ist im Bild 5.5 e in spezielles Drehstab-Element e ingefü hrt worden. Hier ist we iter angenommen. dass übe r d ie Länge des Elementes ein verteiltes Drehmoment m[ einge leitet wird. Dies entsp richt in etwa der Krafteinleitun g über eine Nabe oder e inen Flansch etc . An den Knoten soll das Element äußere Einze lmomente Tj aufnehmen können. bzw. es werden diskrete Verd rehunge n (!l j hervorgeru fen. Für alle Zusa mmenhänge sei linear elast isch es Verhalte n angeno mmen . Ange merkt sei noch. dass d ie Massem rägheit um die x-Achse zu besti mmen ist (d . h. nicht wie be i a llgemeiner Kinematik als Massemensor).

51

5.3 Mathematische Formulie rung

j

Bild 5.5; Impulsbetrachtung am linearen Drehs luh·E lementO

Bildet man jetzt unter den gezeigten Verhältnissen an e inem infinitesimalen Elementehen das Gleich gewicht. so folgt hieraus

.. ar

d0 'lj) - -dx - m - dx

a,

'

e

O.

(5. 19)

Durch Einsetze n von de =

J r 2 · dm = P J r 2 ·dA ·d.\( = p· J r - dx

av

dA

für das Massentr äghc usrnomem " ! und den beka nnten Beziehung en a~

T = G . Jp . -

a,

aT= G · J

bzw. -

ax

p

a2~ .-

ax 2

für das Drehmoment kann d ie vorstehende GI. (5. 19) umgeformt werden zu

a 2~ a2~ p -J - G· J - m = 0.

r a, 2

p

ax2

I

(5.20)

" Anmerkung:

Vorstehend bezeichnet 0( x) einen beliebi gen Drehwinkel an der Stelle x, aber <1> 1' <1> 2

" )Anmerkung I

bezeichnenjeweils Verdrehungen an den Knoten. Das Trägheit smoment J p (llir polar) kann so nur für einen Kreisquerschnitt gebildet werden; verallgeme inert müsste J l benutzt werden ,

Anmerkung 2:

Bei Wellenelementen iSI J p '" (n . d\ 132.

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

52

Wird hierauf wieder der Gate rkin's cbe Formalismu s angewandt. so erhält man d ie Gleichung

a'~ a'$- g · · m Jdx = O - - G · J ·g' JL[p- J P "g J'012 P J ux 2 J I

o

J=

1, 2.

(5.2 1)

Da auch fiir das vorliegende Problem der Gleic hungstyp (5.2 ) maßgebend ist. muss der mittlere Term in bekannt er Weise umgeform t werden zu

wird dies berücksichtigt, so erhält man die zu GI. (5.21 ) äquivalente Gleich ung

2$ j JoL(p- J P ·g J· -aa/ + G · J _ag ·a$ _ - g· · ln Jdx - (G ·J ' g 'a~)L = 0. 2 p ox UX J P J iJx 0 t

(5.22 )

Mittels des zuvor schon in GI. (5.14) benutzten Rayleigh-Ritz-Ansatzes

a

l1l( x, I) = I gi( X) . $ j (l)

(5.23 )

i=l

bzw. mit den entsprechenden Zeit- und Ortsableitungen

folgt auc h für GI. (5.22)

(5.24) j = 1, 2. Dam it liegt wieder d ie d iskretisicrt e DGL

(5.25) vor, die entw ickelt lautet:

'12 ][",,] [T,,] + [TI]

c

22

. $ 2

= T "'2 0

T

2

K·

(5.26)

5.3 Mathematische Formulie rung

53

Alle Berechnungsvorschriften für die benöt igte n Ausdrücke findet man wiede r in G I. (5.24), und zwar

für die Koeffizienten der Elememträgheitsmcurix L

0 j i =J p·J p ·gj ·gi·dx,

j. i = 1. 2,

(5.27)

" für die Koeffiz ienten der Elementdrehsteifigkeitsmcurix I.

,

Cj i = JG. Jp. g j ' gi . dx . o

j . i = 1, 2,

(5.28)

für den Oberftächenlastvekuw e ines vertei lten Momentes

(5.29)

und für den Knote nlastve ktor von eingeleiteten Momenten

mK=[TITz ]K

(5.30)

mit den Randbedingungen

Da das Dreh-Sluh- Element auch wieder linear mit den g leichen Ansatzfu nktionen wie in G I. (5 .14) angesetzt werde n kann, ergebe n sich zu G I. (5.15) und (5.16) ähnliche Matrizen.

5.3.3

Ebenes Balken-E lemen t

In Ana logie zu den stabart igen Elementen soll nun das Balken- Eleme nt beschrieben werden. Wir wo llen h ierbei die Bemoulli-Hypothese zu Grunde legen. die unter reiner Biegung von Schubverzerrungs freiheit und gerade ble ibenden Q uerschn itten ausge ht. Die im allgeme inen Fall auft rete nden Verhältnisse bei biegesteifen Elementen zeigt Bild 5.6. Biegesteife EIe-

54

5 Das Kon zept der Finite-Element-Methode

mente werden in Rahmenstrukturen eingesetzt. d. h.. sie werde n nicht gelenkig angebunden und übertragen dahe r Querkräft e und Biegemom ente .

p ·A wd x Bild 5.6: Impulsbetrachtung am Biege-ßaO.:en-Elemenl (Bem oulli-Element)

Zur Ermittlu ng de r beschrei ben den Differenzialg leichung so ll w iede r von der G leichgewichtsg leich ung an e inem Balken-Ele menteh en ausgegangen werden: (5.3 1) d ies führt zu der DGL .. -dQ-z p . A ' wdx

-t

q. = 0 . z

(5.32)

Hierin gilt es abe r noch. die Ableit ung der Quer kraft du rch d ie Versc hiebung zu ersetzen. Dazu kann noch die Momentenbedingung dx .. dx dM y - M ,. - Q~' dx + q, -dx . - - p . A · w -dx .-+ M ). + - - dx = 0

."

.-

2

2

dx

(5.33 ) ausgen utzt werden. Vernachläs sigt man dabei alle kleinen Größen zwei ter O rdnung. so fäh rt d ies auf die Bez iehung

5.3 Mathemati sch e Formulierung

55

Unter weit erer Berück sichti gun g der Biegelinienbezieh ung M y = - E . J y . w" fo lgt aus G I. (5.33 ) also

(5.34) Wird d iese G leichung nun vorst ehend eingeführt , so erhä lt man als DG L der Biegeschwingung p .A . \v +E .J y .w IV _q z = O.

(5 .35)

Auf diese DGL wird jetzt wied er da s Galerki n- v erfa hren an gewandt , wod urch folge ndes Funktional entsteht:

J~ ' A .gj ' W + E . J y . g j · w lV -gj · q z ) dx = 0,

j

=

1, ..., 4.

(5.36)

o

Zur Erniedr igun g der Ordn ung des m ittleren Ter ms gilt es w ie zuvor sc hon. d ie Produktregel anzuwende n. und zwar zunächst folge ndermaße n:

(5.37) Diese Ordnungserniedrigung ist so lange durchzuführen, bis d ie Durchbiegung w in der zwe iten O rdnung vor liegt . also ist d ie Produktregel noc h einma l anz uwe nde n auf

Dam it kann jetzt fo lgende Ersetzu ng des Terms vorgenommen wer den : (5.3 8) Wird dies in G I. (5 .36) berück sichtigt. so liegt das Funktional in de r Form

J ~ 'A . g j · w + E ·J y .g/' . w " -

o

g j . q J dx + [(E . J y .gj - w ....)

_(EJ,. g'J w-)]IL= 0 0

vo r. Es ist im Weiteren jedoc h zwec kmäßig, von folgender Gleichun g au szugehen:

(5.39)

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

56

(5.40)

Für die Verschiebung soll jetzt wieder der zuvor scho n benutzte Se parationsansa tz gemacht werden. und zwar 4

w{x.t) = L g j(x) ·d d t).

(5.4 1)

i =l

worin der Knote nverschiebungsve ktor sich aus den folgenden Kom ponenten zusammensetzt;

d=[dl]=[::]."1 d2

(5.42 )

w2

'1'2 Führt man diesen Ansa tz mit se inen Ab leitunge n 4

W=

L

gj · d j ,

i =!

w' =

4

L

"

gi · d j •

i=l

w .. =

4

1:

gj

. dj

j=1

ein. so erg ibt sich für G I. (5.40)

(5.43)

j = I, . " 4.

Diese Gleichung stellt so mit wieder die Sch wingu ngs- Dfi l, eines Balken- Elements dar:

m . d +k . d = pO+ p ,, ·

(5.44 )

Umse itig ist diese Gleichung a ls matriziel1e Elementbeziehu ng ausges chrieben worden:

5.3 Mathematische Formulie rung

57

ll m12 ml} ml4 ll k12 .pI k 21 k 22 m21 mn [m W '] [k m " m " m31 m33 m34 . ';.~'2 + k31 kn m" '+'2 k 41 k u m" m" m" m"

k 13 k 14 k23 k 24 k33 k34 k·B

'1',' [W w, =

k"

'1',

0, 0"1+ 0, 0F.2 My1

M\'2 .

M,

0

M,

, (5.4 5)

Die Vorschriften, wie d ie Matrizen und Vektoren zu bilden sind. sind ebenfa lls wieder aus GI. (5.43) zu entnehmen. Von der Dimens ion (z. B. bei 3-D) her ist jede Matrize an die Anzah l der Unbekannten anzu passen . Damit kann ausformul iert werden, und zwa r für d ie Koeffizienten der Elementm assenmatrix findet man somit L

j , i = I , ..., 4,

mj i = Jp · A ·gj·gi dx,

(5.46)

o

für d ie Koeffizienten der Elemcmsteifigkeitsmatrix findet s ich entsprechend I.

"

"

j , i = 1, ..., 4,

k j i = J E .l y . gj ' gi dx ,

(5.47)

o

die Vektorkomponenten der Streckenlast als Knotengrößen ergebe n sich zu I.

]g l -qydx

Ozl

c I.

Ig, . q jdx

M y1 =

Po =

(5.48)

fg J · qz dx

0'2 M y2

o I. o L

0

Ig, · q,dx

"

0

" od die Vektorkomponenten des Gleichgewichts an den Knoten zufo lge angreifender Einzellasten und Momente

5 Das Konzept der Finite-E lement-Methode

58

0, PK =

M,

(5.49 )

0, M, K

Offen ist aber j etzt noch. wie die For mfunktionen gj zu wählen sind. Im vorliegenden Fall wollen wir diese so bestimmen. dass die Biegelinie mit ihren Randbed ingungen erfü llt wird. Demzufo lge gehen wir von der speziellen DGL aus: wIV (x) = O : 1

(5.5 0)

Die Durchbiegun g werhält man nun durch vierrnalige Integra tion über die Stufen

"2

w' = c l +c 2 ' x +c 3 ' -

,

(5.5 1) Werden hierin d ie Randbedingun gen des Elements, d. h, an den Ste llen x. L, d ie Knotenfreiheitsgrade eingesetzt. so komm t man zu den Integrationskonstanten w(x = O) = Co ::W I'

(5.52)

w '[ x = 0) = Cl :: - '11 1,

(5.53 )

(5.54 )

(5.55 )

' ) Anmerkung: Normale rweise ist \\ IV = -<.1 , (x ) , nachfolg end soll aber ein finites Element Iür Knotenlastcinlcnu ng hergeleitet 'WTÜCR.

5.3 Mathematische Formulie rung

59

Die beide n unbekannten Konstanten c2 ' c3 gewinnt man aus de n beiden letzte n Gleich ungen durc h elementare Umformung « 5.54 ) + (5.55)' (- Ll2) ....,. cj • c3 in (5.54 ) ....,. C2» zu

12 ( 0/1 . L va: L ) c3 = L3 wl - w 2 - -2 - - -2-

(5.56)

und (5.57) Durch Einsetzen in G I. (5.51 ) und Sortieren folgt letztendlich

(5.58)

d. h, e ine Beziehung, wie die Durchbiegung an einer beliebigen Stelle x m it de n feste n Knotengrößen w l . l.j! l . w 2 ' 0/2 verknüpft ist. Nimmt man weiter Bezug zu GI. (5.4 1), so wird offe nsicht lich, dass die Formfunktionen vorstehend best immt sind als

(5.59)

Da von der exakten DGL ausgega nge n wurde. beschre iben auc h di e Formfunktionen die Biegelini e exa kt. Bezogen auf die normierte Koordi nate

s=~ L

ze igt umse itig das Bild 5.7 den Verla uf dieser For mfunkt ione n {Herrnite Poly nome), die sowohl die Knotenverschiebungen als auc h die Ne igungen de r Biegel inie wiedergebe n könne n.

5 Das Kon zept der Finite-Element-M ethode

60 g

0,8

gl

/

0,4

/

0,2

°'- , ,/ ,

/

/

0,6

/

/

,-

!:H

/

/

/

/ "'-_ -r--", " / : - .... -

-

,

- --- -

,1,0

"""~~--r-...;-~--.,..-"c».-dI;.L-­ 0,2 - - 0,4,

0,6

0.8

;""

Bild 5.7: Ansatzfunktionen fllr das Bulken-E lement

Für d ie Bestimmun g der hier interessierenden Massen- und Stei figke hs matr izen müssen jetzt noc h die zu G I. (5.40) zuge hörigen Ab leitungen gebildet we rden . und zwa r 6x g l =- L2

g , = 2

+0 '

(_..L!.- +4xL2 _ 3XLJ2 J L, 6x

gJ =

6x 2

6x 2

lY-lT'

g; = (~>3:3l

6

(5.60 )

12

12x

= -2- + 3L L '

gl

g2" =

"

( ~ - ~;) L, 6

g3 = L2

12x

- l}'

g4" = ( ~2 -~; }.

gl "' = J ' L (5.6 1)

g2"' =

6

-2' L

(5.62)

'" 12 gJ = - LJ ' 6

g4"' = -2" ' L

Mit den somit vollständ ig vorhandenen Formfunktionen so llen jetzt gemäß GI. (5.46) und (5.47) exe mp larisc h e inige Matrizenkoeffiz ienten berechnet werde n:

5.3 Mathematische Formulie rung

61

= E · J ~,

2L(X2

X3) 2 E · Jv k44 = E . Jy. L!"l} - LJ dx =4~ . Würde man nun alle Kom binationen vo n Indizes bilden. so erhie lte man jewei ls vo llständig -

die Massel/matrix

156 · 22L 01 =

",d

4L'

,,P-;.A "'.cL ', I 420

54 13L -13L _3L2 156

sym .

22L

4L'

(5.63)

62

5 Das Kon zept der Finite-Element-M ethode

d ie Steifigkeits mc urix 12 k =

.':....:'3.L L

[

-6L

-1 2

-6L

4L'

6L

2L'

12 sym.

des ebe nen Balken-E leme nts im

6L

(5.64)

4L' X- ,

z-Systcm .

SA Prinzipielle r Verfahrensahlauf Nac hdem jetzt beispie lhaft d ie Massen- und Steitigkeitsmatrizen sow ie d ie Lastvektoren fU T drei Elemen ttypen bekannt sind. wo llen wir uns de r Ab lauffo lge von den Einze lelementen zum Gesamtm odell zuwe nden. Wir beschränken uns hier bei auf die linear elast ische Statik, wohl w issend. dass der Algorithmus für den dynamischen Fall nur entsprechen d erwe itert werde n bra ucht.

5.4. 1 Steifigkeitstra nsfor mal ion Die zu vor hergel eiteten Sreiflgkett smatrtze n gelten ausschließlic h fllr das festgelegte lokale (e1ementcigene) Koord inatensystem des betrac hteten Stob- und Bulken-Element s. In Str ukturen eingebaut werde n abe r diese Elemente belieb ige Lagen ei nnehmen, weshalb für ei ne Gesamta ussage dann nur transfo rmie rte Steifigkcite n maßgebend sind. Diesen Zusammenhang kann man sich sehr anschau lich an de m einfac hen Stuh -Element klarmache n. IUr das die lokale Kraft-Ste iflgkelts-Verschiebungs-Beziehung

[ 1-1 ].["1 ] [ FF'Ix2 ] = ~ L - 1 I u2 lautete. Die Elementste ifigkeit verk nüpft dabei d ie Knotenkräfte mit den Knotenverschiebunge n in Wirkri chtu ng. Kommt ein Element anders zu der Wirkric htung ..zu liegen" , so wird auc h die Steifigkeit ande rs sein. Um diesen Sachverhalt wiede r allgemei n gültig beschre iben zu kön nen , betrachten wir das Transfo rmationsprob lem eines Vektors. Der Vektor steht ste llvertretend für eine Kraft oder eine Versc hiebung. Die durchzuführe nde Vektortransfor mat ion ist exemplarisch im Bild 5.8 dargestellt. Der hierin abgebildete ebe ne Vektor v so ll nun globa l-lokal rücktransform iert werden . d. h. vom globalen x ~, y -Koordi natensystem in das lokale X- , y-Koo rdinate nsys tem. Die entsprec henden Vektorkom ponenten sind demgemäß

63

5.4 Prinzipieller Verfahrensablau f x = v x · cosa + v y -s mu, v y =-v " ·sina+ v y -cosc. V

zweckmäßiger ist es aber, diese Gleichung matriziell anzugeben als

] [ W'" [ ,, v y = - sino: y

'ina] [''']

(5.65)

cosc . v y

y

CD

Q)

== Elementknoten

,, ,, ,, , ,, ,,

Bild 5.8: Global-lokale Transfonnation eines Knotenvektors Wir wollen diese Transformationsbeziehung nun übertragen auf die hier interessierenden Knotengrößen Kraft und Verschiebung, d ie sich somit ergeben zu (5.66)

["i] [ w,", 'inU] ["i] vi = - sino coso: . v i

.

(5.67)

Diese beiden Matrizeng le ichungen können auch symbolisch geschrieben werden als (5.68)

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

64

(5.69) Weil hierin aber nur e in Knoten zusammengefasst ist. muss die Transformationsmatrix ein Element erweitert werden zu CO;U

- sina

0 0]

,

; ;"U :

cosc !

0

0

----------- t-----------. .

T =

o o

[

0 :, 0

~

ruf

cosc

stnc

s mu

cosc

.

-c

(5.70)

Eine wichtige Eigenschaft d ieser Transformationsmatrix ist d ie Ident ität de r inversen Transformierten zur transponierten Transformierten: (5.7 1) Diese Aussage kann bestätigt werden aus der tnvarian: der äußeren Arbeit, die als skalare Größe in allen Koordinatensystemen gleich sein muss. Daher kann angesetzt werden: I

-1

-

Wa = p · d= p - d .

(5.72 )

Berücksicht igt man hierin die Transformationsbeziehung. so darf auch (5.73) geschrieben werden. Wegen der uneingeschränkten Gültigkeit der Arbe itsaussage muss somit (5.74) also g leich der Einheitsmatrix sein. was Aussage der GI. (5.71) war. Unter Nutzung der bisherigen Beziehungen wollen wir j etzt d ie Transformation der Elementsteifigkeitsmatri x vornehmen. Dazu gehen wird von der finiten Gleichung (5.75)

p = k ·d

aus und führen darin GI. (5.6 S) und (5.69) als Transformationen ein, es fo lgt hieraus (5.76) und nach zusätzlicher Linksmuhiplikation mit der transponierten Transformierten

IT' kann GI. (5.74) formuliert werden

(5. 77)

5.4 Prinzipie ller Verfahre nsab lau f

65

Man erhä lt damit die transformie rte Einzetsteifigkeitsmatrix

Dies soll nunmehr beispie lhaft an einem Sfah- Element geze igt werden. we lches dazu um fiktive Knotenfreihe itsgrade v i in y-Richtung erweitert wird:

1

r

- I 0] 00 1 0 0 00 0

Fy'

",

o

E·A 0 0 F'. l p = F" =-Fv2 L - I o

' I

= k vd .

(5.79)

"2

"

Für die durchzuführende Transfor mation kürzen wir die Koeffizie nte n der Matrix' ) mit

c "" cos u und s = sin u ab, somit ist fo lgende Rechnung erforder lich:

:-; ~ r

~]. ~ ~ -~ ~]·r-: ; oo 0] 0

o

0 c -s

O

O s

c

- I 0

1 0

0 0

0000

00

c s

l'

= T ·k ·T .

-, ,

Dies führt zu der lagea bhängigen Eleme rnsteiflgk eitsmatrix

-

E·A

k =-

L

,."c

,. c

" -,'

_ , 2 - s ·c

-s · c

-,' -s ·c

-,,

,2

,. c

s-c

"

-s · c

(5.80)

Würde ma n ein Slah ·Element j etzt um u "" 90° drehen. so wäre das Ergebnis von GI. (5.80), dass die Elementsteifig keit dann in y-Richtung umorientiert wäre.

SA ,2 Äquh 'alente Knotenkräfte Bei den vorherigen Betrachtungen ist schon deutl ich geworde n. dass die an e inem finiten Modell ang reife nden Kräfte über die Knote n e ingeleitet werde n sollten. Diesbezüg lich ist anzustreben, dass die Knoten imme r so platziert werden, dass sie unterhalb der KraftangrifTspunkte zum Liegen kommen. Falls dies nicht mög lich ist, müssen gemäß G I. (5 , 11) und GI. (5,48) die angre ifende n Kräfte auf alle Knotenfreihe itsgrade verschmiert werden. Dafür g ilt es, das folgende Prinzip zu wa hren:

" A nmerkung: " = c . "

5 Das Kon zept der Finite-E lement-Methode

66

Alle nicht an ei nem Knoten eines finiten Elementes ang reifenden Kräft e müssen so allf d ie Freiheitsgrade ver/eilt werden, dass die angreifenden Krafte mit ihren Versenie-

bungen dieselbe virtuelle Arbeit leisten. wie die konzentrierten Knotenkr äfte mit ihren örtlichen Verschiebungen. Heutige FE-Programme

ruhren d iese ..Versc hmie rung-' automatisch durch.

Bezeichnen wir nun d ie verschmierten Kräfte als äquivale nte Kräft e Pa , so muss d ie virtuelle A rbeit fo lgendennaßen angesetzt werden:

oWa =öd 1 ' Pa =

Joul .p d V + fo ul -q dO + ou l · F . V

(5.81 )

0

Wird hierin wiede r der Verschiebu ngsan satz mit

eingeführt, so g ilt tUTdie äqu ivale nten Knotenkräfte ein es Eleme nts

Pa = Je t . p dv e JG I . q dO+ GI· r

v

(5.82)

()

ode r als Erken ntnis. dass das Versc hmieren jeweils durch Multiplikalion mit dem Ansatz durchgeführt wird. dam it alle Freiheitsgrade anges proche n we rde n. Diese Ve rgehensweise wollen w ir kurz am Stab - und Balken- Element de monstriere n.

I-D-Stab-E lem ent unter einer verteilten Längskraft (z. B. Eigengewicht) ge mäß Bild 5.9. Die äquivalenten Knoten laste n sind in Richtu ng der Frei heitsgrad e anz utragen.

=?

x

=?

Bild 5.9: Äquivalente Knoten kräfte am Stah-Element

Aus dem übertragenen Ansatz von GI. (5. 82) folgt:

(5.83)

5.4 Prinzipie ller Verfahre nsab lau f

67

Das formale Vorgehe n führt hier auf eine Lösung, die natürl ich auf der Hand lag. Aus einfacher Überlegung findet man sicherlich auch, dass die Streckenlast hälftig aufzute ilen ist. Im nachfolgenden Fal l ist dies jedoch nicht sofort ersicht lich.

2-D-Balken-E leme llt unter e iner verteilten konstanten Oberfl ächenkraft {z. B. Eigengewicht oder Linienlasl) gemäß Bild 5.10

Bild 5. 10: Äq uivalente K notenk räfte am ebenen Bulken-Element

Als Ansatz' ) hierfür gill 3x 2

Fu ,

r.

=

M" F"

Y

,

x3 x4 , - - +- L2 2L 3

2x 3

1- - - +- -

L

=10

L' L3 2, ' , 3 - d - -- L L' 2 2>3 3x ----L3 L' ,3 - -L L'

"

M2ä y

x2

--q y dx e q ,

2

2x 3

x4

3L

4 L2

+- -- - -

.,3

-L' --2L " -3

L 0

,3

---" 3L 4L'

oder I

2 L 12 1 2

(5.84)

L 12 '1 A nmerkung: Es müssen T U Jen Kneten freiheitsgraden alle entsprechenden K notenkräfte in positiv er Rich tung angelragen werden.

5 Das Konzept der Finite-E lement-Methode

68

d. h.. die Strec kenlast muss auf alle Kn otel1 ~ FH G s (Durchb iegung und Neigung) verschmiert werden. Weiter se ien im Bild 5. 11 noch e inige andere häu fig vorkommende Streckenlastprofi le angegeben. die ebenfalls leicht herzuleiten sind .

~q, I.

.1

L

~ L

I·

3

= - q:l, L.

20

M 1ä y

= q, . LJ

30

M 1ä y

5 96

= +- q,

-

·L'

·1

Bild 5. 11: Erfassung äquiva lenter Knotenk räfte am ebenen Balken- Element

5.4.3

Z usamme nbau und Rand bedi ngungen

Es gibt verschiedene Mögl ichkeiten des Zusammenbaus VOll Einzelelementen zur Gesamtstrukt ur. Wir wollen hier aber eine forma le Methode unter Zuhilfenahme der so genannten Boole 'sehen Zuordnungsmatrix wählen, die programmtechnisch leicht zu verwa lten ist und immer zum Zie l fllhrt. Der Ablauf ges ta ltet sich hierbei folgende rmaße n: Alle transformicrten Steifigkeiten und Masse n der vorkommenden n Einze lelemente werden im ersten Schritt in Diagonalhypermatr izen 0) auf der Hauptdiagonalen zusam mengefas st: l

K

=[k k,

_0

o

.,

]=lk

1 . , '"

k,J

(5 .85 )

(5.86) Gena uso verfahre man mlr den Knote nverschieb ungen und Knotenkräften. d ie demzu folge zu Spa ltenhype rvektoren zusammenzufassen sind: (5 .87 )

' ) Anmerkung: Die links- und rechtsseitigoffenen Klammem sollen die diagonale Anordnung symbolisieren.

5.4 Prinzipie ller Verfahrensablauf

,

P2

69 (5.88)

Damit ist die Bauweise des Modells erfasst. Insofern können auch Gleichungssysteme erstellt werden. Das statische Gleichungssystem der ungebundenen Struktur lautet dann K ·p =R

(5.89)

und das entsprechende ungebundene, dynamische Gleichungssyste m (5.90)

Das Merkmal ist bisher, dass es noch keine strukturelle Verknüpfung der Elemente untereinander gibt. AufgabensteIlung ist aber, die Abhängig keit zwischen der ungebundenen und gebundenen Struktur (entsprechend der Nummerierung der Knoten) herzustellen. Man spricht demnach vom Zusammenbinden der Elemente. Bei der hier da rzustellenden Technik gehen wir von de r Existenz einer Beziehung ,, = A · U

(5.9 1)

aus. Dabei ist " der so genannte Knotenverschiebungsvektor der ungebundenen Elementauflistung. U der globa le Knotenverschiebungsve ktor der gebundenen Elementstruktur und A die Boole 'sehe Matrix ·) oder so genannte Inzidenzmatrix. Die Koeffizienten der Boole'schen Matrix sind entwede r 0 oder I. wobei d ie Eins die Gleichhe it der Verschiebungskomponenten zwischen ungebundener und gebunde ner Struktur ausdrückt. Null weist insofern aus. dass keine Identität besteht. Im umseitigen Bild 5.12 ist der Aufbau einer Boole' schen Matrix am Beispiel eines beliebigen ebenen. finiten Geb ietes dargestellt. Das dargestellte Geb iet sei ein Ausschnitt aus einem großen Netz, bei dem beispie lsweise ein Rechtcck~ E l ement an ein Dreiec k-Elem ent anstößt. Aufgabe ist es hier, den lokal-globalen Zusammenhang zwischen den Knoten herzustellen, de r e inmal durch d ie globale Nummerierung am Bauteil und einmal durch die lokale Nummerierung an dem betre ffenden finiten Element besteht. Gelöst wird dies durch systemat ischen, knotenwe isen Vergleich.

' 1 Anmerkung:

Der Z usammenhang über die Boolcschc M atri x .\ wird in großen Strukturen auch wiede r gc-

nutzt. um einzelnen Elementen bzw. deren Knoten Verschiebungen zuzuweisen. Aus den Ver-

schicbungcn wer den dann Elementdehnungen und Elcmcntspannungcn bestimmt.

5 Das Kon zept der Finite-E lement-Met hode

70

i lokale Nummer

'2

CD g loba le Num mer

",

4

[j]

,

,

'3

~

3

4

5

6

,,,

,

"Il

3

1

0

'Il

4

0

I

" 13

5

Oll

[j]

2

7

8

9

10

1 I

' 13

6

" 14

7

' 14

8

" 21

9

'21

10

" 22

I1

'22

12

" 2)

13

' 2)

14

I

, ",v, CD I

3

1

",

4 '2

I

5 "3

I

6 '3

I I

0

0

7

I

8 9

I

1

",

v, ",

10 ' 5

CD Q)

® G>

1 I

Bild 5. 12: Lokal-globale Knotenfreiheitsgradzuweis ung über Boc le'sche Matr ix

Der Vek tor p ist in diesem Fall die Aullistung aller FHOs der Elemente und U d ie Auffistung aller zu den 5 Knoten gehörende n FHGs. Durch de n Vergleich am Knoten ka nn dann über A der Zusammenhang hergeste llt werden. beispielsweise am Knoten ® : Die FHGs u 12. vu des Rechteck- Elements fallen m it de n Struktur-F HGs LI} . v3 zusamme n. we lche in den Spa lten 5, 6 von A mark ien sind. - Gle ichze itig fallen m it de n FHOs u J , v 3 auch die FHGs UZt _ vn des Dreieck-E lements zusammen, welche ebenfalls in den Spalten 5, 6 von A festgehaben sind. -

5.4 Prinzipie ller Verfahre nsab lauf

71

Einen entsp reche nden Zusa mmenhang gilt es auch für die Kräfte herzustellen. Die Forderu ng muss hierbe i se in. dass d ie auf eine gebundene ode r unge bundene Struktur e inw irkende virtuelle Arbe it als ska lare Größe g leich groß sein muss. somit kann angesetzt werden:

out . 1' = 5 ,11 . R = su' · A t. R .

(5.92)

Hieraus lässt sich d ie zu G I. (5.9 1) dua le Beziehung (5.93)

für die Einbindung der Kräfte gewinnen. Setzt man jetzt hierin der Reihe nach G I. (5.89) und GI. (5.9 1) e in. so folgt daraus die finite Gesamtg leichung p = Al . R = Al . K ' 1' = At . K · A · U = K · U .

(5.94)

Die Gesamtsteifig keitsmatr ix ist somit aus der Operation K =A 1 · K ·A

(5.95)

zu bilden. Entsprechendes gilt für d ie Gesamtmassenmat rix M = A 1 ·M · A .

(5.96)

Ein Kennzeichen beider Matrizen ist ihre Symmetrie und ihre ausgeprägte Bandstruktur (außerhalb der Hauptdiagonalen schwac h besetzt). Da aber noch keine Randbedingungen berücksich tigt wurden. sind beide Matrizen singulär. d. h.. phys ikalisch sind noch Star rkörperbewegu ngen mög lich. In einem we iteren Schritt muss es nun darum gehe n. die vorgegebenen Randbedi ngu ngen einzua rbe iten. Um dies algo rithmisc h durc hführen zu können. er innern wir uns an dieser Ste lle an die in Kap itel 4 entwic kelte Prozedur. Wir hatten dort ein Problem aufgesp alten in unbe kannte und beka nnte Größen . Im Rahmen der FEM ist jetzt abe r folgende Nomenklatur zwec kmäßig : U 11 al s unbekannte Versch iebunge n. U s als bekannte Verschieb unge n. Fu als bekannte äußere Kräfte

""d

-

Fs als unbekannte Reaktio nskräfte.

Das G leichungssystem (5.94) muss demn ac h aufges palten werden in (5.97)

5 Das Kon zept der Finite-E lement -Met hode

72

was wiede r zu den be iden Gl eichungen Fu = K uu ' U u + K us - U s ' Fs = K su . U u + K ss· Us

(5.98)

filhrt. Da vie lfach an den Auflage rn vo rgesc hriebene Verschiebun gen Us = 0 ex istieren. vere infachen sich die Beziehungen zu (5. 99)

(5.100) W ill man diesen Formati smu s nun progr amm techn isch realisieren. so sind im Wesentli chen die folgenden Sc hritte durc hzuführe n: Durchn urnmerierung aller Knot en der Str uktu r und Festlegung der Randbedingu ngen (d. h. Knoten-NT. und Richtung). Entsprechend der auft retenden Freihei tsgra danza hl kann de r Speic herp latz ru f die Gesarnts te lflgke lrsmatr ix K reserviert werden . Über die Anzah l der Randbedingungen ist weiter bekannt, welc he Speicherp lätze d ie Untermatrizen K uu und K , u einne hmen werden . Die Matrix K wi rd au fgefüll t. in dem die randbedingungsbehafteten Freiheit sgrade an das Ende de r Matrix umgespelchert we rden. Dam it liegen a lle Unter matrizen (K uu' K us ' K su ' K ,, ) vor . Danach kön nen die Gle ichungssysteme (5 .97 ) und (5.98) ausgewertet we rden . Die erfor derl ichen Auffüll- und Umspe icheroperationen sind mit den ge läufigen Programmiersprachen FO RTRAN und C relativ einfach du rch füh rbar .

5,4,4

Sonder ra nd bed tngungcn

Nebe n den zuvor eingeführte n einfachen Festlagerrandbedingungen w ird man in der Praxis au ch auf andere Randbed ingungen stoßen. Im Wesentli chen werden d ies d ie im nachfo lgende n Bild 5.13 gezeigte n Sonderrandbedingu ngen se in. Um diese erfassen zu können. ist teilwe ise sogar ein iteratives Vorgehen erforder lich. w ie beispielswei se be i ( Fede r-j konta kt. Die Konta ktproblematik w ird späte r im Kapitel 8.2 ausfü hrlich dargeste llt. Daher so ll hier nur kurz auf die Transformat ion von Freiheitsgraden an ..sc hiefen Aufl agern " eingegange n werden. Derartige Fä lle treten ge wöhn lich be i Stahlbaustrukturen oder heute vermehrt bei Space-Frame-S trukturen von Verkehrsfahrzeugen au f.

73

5.4 Prinzipie ller Verfahre nsab lauf

b) F

Bild 5.13: Sonderrandbedingungen a) schiefe Aullager im neuen Koordinatensystem b) Kontakt durch Anschlag

Würde man eines der im Bild 5. 13 dargestellten Sys teme global beschre iben. so g ilt hierfür natürlich die bekannte finite Syste mgleic hung

Die Verschiebungen U lägen also in Richtung der gewäh lten g lobalen Koord inaten (XI' }'I ) vor. Von Interesse ist aber die ged rehte Richtung (X2' }'2)' Am sc hiefe n Auflager ist deshalb e ine Tran sfor mation der Knotenfreiheitsgrade erforder lich, und zwar hier angegeben für zwei Freiheitsgrade:

- Si""] . [",] = T - t - u sa T 1 cosc

wz

' 11 .

(5. 101)

Die daz u benöt igte Trans formationsma trix haben wir vorhe r als G I. (5.67) sc hon hergeleitet. Insofern kann durc h einfaches Einse tzen d ie neue Bezieh ung mit einer angepassten knotenweise n Transformation angegeben werden. und zwar (5.102) Praktisch wird diese Multiplikation in Einzelgleichungen aufgelös t und d ie Multiplikation nur für die G leichungen des Knotens Nr . 5 durchgeführt. An einem kleinen Beispiel sol l dies im nachfolgenden Bild 5. 14 vom Prinzip her dargestellt werden. Der Balken mag so ge lagert se in. dass links ein Festlager und rechts ein Loslager vorliegt. Infolge der äuße ren Kraftw irkung entsteht e ine Durchbiegu ng mit relativen Lagerversc hiebungen. Das Loslager ist in der Stru ktur um den Winkel 0: gene igt. Bei der Geometriebeschreibun g wird man dan n d ie Bed ingu ng w z = 0 im gedre hten Koord inatensystem sperren. Von Interesse sind abe r die im g lobalen Koordinatensystem wirksamen Verformunge n. d ie dann mit der ausform ulierten Gleichung besti mmt werden können.

74

5 Das Kon zept der Finite-E lement -Met hode p/( x)

x

-

, kJl

0

0

k14

2

0

k 22

k2)

0

k 25 k 26

3

0

k"

k"

0

k 35

kJ6

0

0

k 44

0

0

4 k4 1

0

0

5

0

k"

k S3

0

k"

k S6

6

0

kö2

0

k ö5

k66

ut

k" ,

wl

wl

U2

- '

~

I

"I -e-

I

WI

-rr-

I

cos

0;

~

",

-sin c

T' · P

-tr-

sin 0: cos c I

w2 =->

-.":-'-

wz wz

Bild 5. 14: Einbau schiefer Randbed ingungen in e in G leichungssyste m

5"".5

Lösung des Gleic h ungssystems

Zur Lösung der finiten G leich ung werde n wegen der Größe des Gleichungssyst ems nur numerische Verfa hren eingesetzt. Hierbei unterscheidet man direkte und indirekte Verfa hren (und in der Dynam ik noch Redu klionsverfahren) . Zu den leistungsfä higsten direkten Verfahren zäh len das Gauß 'sctie lind das Cho/esk)'-Elimintlfionsvelfahren. welch e aber nur für kleinere Stru kturen geeignet sind. we il vie l Speic herp latz erforderlich ist. Für größere Stru ktu ren eignet sich hingegen das Frontlös ungsverfahren (Wavefront), welc hes weniger Massenspeicher und wenige r Hau ptspeicher benöt igt. Für große Stru kturen (größer 50.000 Unbekannte) haben sich Iterationsverfahren (Gau ßSe ide l, konj ugierte Grad icnten/CG- bzw. PCG.verfahren) du rchgesetzt, d ie oft viel sch nelle r rechnen als d ie direkten Verfahren und weniger Speicherplatz benötigen . Da hier nur das Problemve rständnis geweckt werden so ll, wird m it dem Cholesky-Verfahrcn eine mehr mathematische Lös ungssireregle und m it dem Frontl ösungsverfahren (FLV) ein typischer Computera lgorithmus geze igt.

Cho lesky-Verfahren Für die Anwendung sei vorausgesetzt, dass die Koeffi zientenmatri x K symmetrisch und positiv definit sei. Demnach muss erfüllt se in: -

k ij = k j i (Symmetrie) fü r Lj == I, .... n

75

5.4 Prinzipie ller Verfahre nsab lauf

""d

k ii > 0

(positive lI auptd iagonale)

sow ie alle det

IKij l > 0 (alle Unterdeterminan ten positiv),

Falls dies vorliegt. kann die Koeffi zientenma trix in die zwe i Dreiecksmatrizen K = L. . L.I

(5. 103)

zer legt werden, Die Auflösun g der G leichung K , U = P er folgt dan n zwe istufig unter Ausn utzung des l lilfsvektors y: L. ·)' = P -.,.y .

(5. 104)

L.1 ·U =y -.,.U .

(5.1 05)

Wie dies prinzipiell abläuft. ist im Schema von Bild 5.15 dargeste llt. Hierzu muss aber noch angegeb en werden. wie die Koeffizienten der Dreiecksmatri x L. bestimmt werden, Für e ine symmetrische Matr ix sind zu bilden 1

a) auf der Hauptdiagonalen: ( ii = ( k ii _ ii > / ) ,

i = I , ...• n

(5.1 06)

k == 1. .... t , I.

(5 .107)

j=d

1

b) auf der Nebend iagona len:

( 11 - - - - - - -

L

,

( nn

= - '-( k ki - ki lt jk . ( ji) ' ( kk j=l

YI Y

L

( I;i

p

U

Y

""

·Y"

Bild 5.15: Ab lauf des Cho lesky -Verfahrens be i Zerlegung in zwei Dreiecksmatrizen

""

5 Das Kon zept der Finite-E lement -Met hode

76

So wie vo rstehend angedeutet. w ird nun zuerst der Hilfs vektor ausgerechnet. und zwar )' 1

F, = - -.

(5.108)

1 11

(5.10 9)

Hieran sch ließt sich die Bestimmung der tatsäc hlichen Unbekannten an zu

(5.110)

Un _j =

I

( n-j .n-j

(Yn-j - ( ll-j .n-j+ I" Un- j +l - · · ( n-j .n · u ll ) j = O. I .... n - 1. (5.1 11 )

Dass dieses Verfah ren leicht praktizierbar ist. möge das fo lgende kurze Beispie l ze igen , bei dem de r Lösungsvektor U gesucht ist:

Der Test zeigt sofort. dass die Koeffizientenmatrix symmetrisch und positiv definit ist. Somit kan n da s Cho lesky -Verfah ren schrittweise ab laufen:

,

Bestimmung der Dreiecksmatrix l.}

I. J-1auptdiagonale i = I:

2. Nebe nd iagonale k = I, i = 2:

3. Hauptdiagona le i = 2:

worau s folgt

0

. , ],

( 11 = k 11 - ~ ( j l (

J= I

re:-

= V" 11 = 2

5.4 Prinzipiell er Verfahre nsa blau f

77

Gegenprü fung ge mäß GI. (5.103)

Best immung des Hufsvek tors y Yl

= -.!i.= ~= 3, ( 11

,

2

2( ' ) 2 11

yz = (F 2 - (ZI 'Yl) = 7 - - · 3 = - · - = .....rr: 11, .Ji1 2 Jil 2 ( 2Z Bestimmung der Un bekannt en im Vektor U

für de n Lösungsvektor er hä lt ma n so

u' = [J

2) .

Der Vo rteil des Cho lesky-Verfahre ns ist. dass es im All gemeinen schne ll rechn et; von Nach tei l ist. dass viel Speic herp latz erforderl ich ist. weil die beiden Dreieckmat riz en im Haupts pe icher präsent se in müssen .

Frontlösun gsverfah ren Beim Front lösungsverfahre n /G RO Ol l werden d ie Elemcnrsteifi gkeit smatr izen a ller Elernente im Massenspeich er aufge baut und nach der Reih en fo lge der Knotennum merierung sukzessive im Ha uptspe icher als Einzelgleich ungen abgearbeitet. Deshalb ist das Verfahren für große Stru ktu ren geeigne t, da nie die Gesamtste ifig kei tsmat rix a ufgebaut we rde n muss, insgesamt w ird som it nur wenig Speic herp latz in A nsp ruc h geno mmen . An einem klein en Stabwer kbeis pie l wo llen wi r im umseiti gen Bild 5. 16 die Technik kurz kennen lern en. Vorgegeben se ien da bei d ie Konstant en E ·A l = 1 000 E · A Z = 750 LI . • L,

E ·A ) =50 0 und E ·A 4 =25 0, L) L4

wo bei Al = A z = A) = A 4 = A sein so ll.

5 Das Kon zept der Finite-E leme nt-Me thode

78

P:~ - - - 0-", [lJ

•

[]

CD

ul =O

1.000

- 1.000

•

"3

"2

- 1.000 1.000

+ 750

+5 00

-500

- 500 + 500

+ 250

- 250

- 250 +25 0

-

• @

-

-

F,

"5

-

- 750

-750 + 750

m "I

"2

o

"3 =

0

",

o

"5

FS.\

Bild 5. 16: Sta bwerk mit zuge höriger Ste ifigke itsmatrix Die Eleme ntma trizen we rde n nun nachein and er abgearbei tet' >.

1. Sch leife: Einlesen de r Ste ifigkeitsmat rix von Ele me nt I

1.000 -1.000].[.':!.] = [F,,,,], [- 1.000 1.000 u2 0 Abspa lten de r ersten Gleich ung

F '""""li'_+;-;; ' ~.0~OoOC·-,",,-2 = 1.000 Fn: ak u l =1.000 + u 2·

( 5.1 12)

da am Lager u l = 0 ist, folgt daraus 0 = Freak

1.000

+u

2

bzw .

(5. 11 3) Diese G leich ung w ird zur Berechnung der Reakt ionskraft abgespeic he rt. ' ) A nmerkung: Zum besseren Verständnis des Ablaufs sei dem A nwcndcr empfehlen. zuerst die Gcsamtstcifigkcusmatrix aufzustelle n Die Konstruktion ocr Gleichungen wird dann ,01<"11 ersic htlich.

5.4 Prinzipie ller Verfahre nsablau f

79

2. Schleife: Einlesen der Steitigkeitsmatrix von Element 2 - 1.000 · 0 + 1.000 + 750 = 1.750

- 750

-750

750

-[ ~ ~ ] = [ %J

Elimination' ) von L1 2 aus 1.750 · u 2 - 750 · L1 J = 0 750 u z = - - ' L13 = 0,429 . u3 [.750

(5. 11 4)

3. Schleife: Einlesen der Sreifigkeitsmatrix von Element 3 - 750 ·0.429 +750 + 500 - 500 = 928.25 500

'l~~] = [~]

500

Elimination von uJ aus 928.25 · L1 3 - 500 · u4 = 0 UJ

= ~ ' L14 92 8.25

= 0,539' u 4

(5 .115)

4. Schleife: Einlesen der Steitigkeitsmatrix von Element 4

- 500 · 0. 539 +5 00

u

+ 250 - 250 . [ --,] =

[

Us

= 480 .50 250

[r---] 0

5x

250

Elimination von u4 aus 48 0.50 . u4 - 250 · u5 = 0 u4

' 1 Anmerkung:

250 480,50

= --_ · u~ = 0 .5 2 · u~

-

.

-

(5. 11 6)

Die Eliminicrung von Unbekannten ist erforderlich. weil immer nur ,,\ei Gleichungen in den Hauptspeicher sollen.

5 Das Kon zept der Finite-E leme nt-Met hode

80 5. Schle ife: Bilden der Schlussg leichung

-250 , u 4 + 250. u S = FSx = 300

(-250 · 0.52) u s + 250 ' u s = 300 u~

.

300 = - = 2,5 120

(5.1 17)

6. Rückrechnung ( Back Substitu tion)

vs = 2,5 u 4 = O,52 'us = 1,J mm u J = 0.539 , u 4 = 0,7 mm

u a = 0.4 29 , uJ =O,3 mm ul = 0

Reaktionskrafl: Freak = - 1.000 · v z = - 300 N Beob achtet man, welc he Plätze von der Gesamtste itigkeitsmatrix benöt igt wurde n. so entsprac h die s ge nau der maximalen w avefr ont. hier 2. In der Regel ist d ieser Wert bei der Aufl ös ung der Gl eichunge n verände rlich. Die m ittlere Größe ist j edoch e in Ma ß ruf die benötigt e Rechen zeit. d iese lässt sich folgendermaßen a bsc hätzen:

RZ "" (Anzahl der Unbekannten N) + (RMS·Wavefront)2 [sec.] .

(5.1 18)

Hierin ist

Einige Programm sys teme (z. B. ANSYS) arbeiten mit dem Frontlösungs verfahren . Die ge~ läufi gen Ffi-Gleichungs löse r sind vorher schon erwähnt worden. Es wurde auch darge legt. dass die Rechen zeit zur Lösung ei nes Problems vo n der Anza hl de r Unbeka nnten abhängt. Für die Zunahme der Un bekannten in n-basierten Systemen gilt d ie empirische Bezi ehun g 0 -

h- '

.

Mit c wird hie rbei der Ver viel fachu ngsfak tor für die unbekannten N bei eine r Net zve rfemerung ( N nachher '" C • N vorher) bezeichne t. Der Diskretisien mgsparameter h (s. auc h Bild

U) impl iziert da nn m it der Dimen sionalität d die Erhöh ung der Unbe kannten. d. h., eine Halbieru ng der Elementgröße bed eutet bei 2· D~S t m kt uren die Vervierfacheng und bei 3 ~ D~ Strukturen die Ver achtfa chung der Unbe kannten. Wie die Gleich ungslöser dieses Prob lem s bewältigen . ze igt d ie folgend e Aus wert ung ( u. a. nac h jJU N Oll) .

5.4 Prinzipieller Verfahrensablau f

~ Verfahren

Cho lesky GaußSeidel

ca rco FLV

RZ SPB RZ SPB RZ SPB RZ SPB RZ SPB

81

kleine kleinere mittelgroße größere große Strukturen Strukturen Strukturen Strukturen Strukturen (N " 1.000) (N " 3.600) (N " 14.000) (N " 56.000) (N " 220.000)

22 ,

0.00 1 s 185 kB

0, 11 s 1.3 1 MB

1.70 s 10 MB

79M B

170 s 49 kB

3.000 s 193 kB

·

·

· · ·

0.36 s 67 kB

4.5 s 250 kB

92, 985 kB

950 s 3,8 MB

8.000 s 15 MB

0.05 s 70 kB

0. 1 s 250 kB

1,95 s 1.2 MB

3.5 s 4,6 MB

17.5 s 20 MB

1.000 s 50kB

3.600 s 200 kB

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Bild 5.17: Tendenzielle Effizienz und Wirtschaftlichkeit von numerischen Gleichungslösern (RZ '" Rechenzelt. SPB '" Speicherbedart)

5.4.6

Berechnung der Spannungen

Im Nachgang zur Auflösung des Gleichungssystems können je tzt mit den berechneten Verschiebungen auf Demen/ebene die Spannungen bestimmt werden. Wir wo llen im Folgenden voraussetzen, dass über GI. (5.90) wieder eine lokale Zuordnung erfolgen kann. Für unsere beiden Demonstrationselemente Stab und Balken gesta ltet sich dann die Rechnung folgendermaßen: - Sluh-Element Definition und Auswertung der Dehnung:

Anwendung des Werkstoffgesetzes.

c,

-",,:: "C I = E ' Ex = E · -~"~2~L

(5. 119)

- Balke n-Eleme nt Verzerrungsansatz für den Bernoull i-Balken (s. auch Bild 5.18):

(5. 120)

5 Das Konzept der Finite-Element-Methode

w'

x)

u(x )

Bild 5. 18: Defi nition der Verformung am Balken~ E le me nt

Definition der Dehnung: E

ou

x

"

ff

= - = - z· w (,) = - z . G · d

ox

(5.121)

oder mit GI. (5.6 1) folgt

Wegen der Koordinatenabhängigkeit muss diese Gleichung knotenweise ausgewe rtet werden. und zwa r zu

bzw.

Entsprechendes gilt fiir das Werkstoffgesetz. (5.122) Unter symmetrischen Bedingungen muss dies zu gleichen Spannungen führen. Vorstellung war hier zu zeigen. dass die Spannungen immer elementweise. und zwar mit dem jeweiligen Verschiebungsansatz auszuwerten sind.

83

5.4 Prinzipie ller Verfahre nsab lau f

5.4.7 Systema tische Problem beh andlun g Aufbauend auf den vorausgegangenen Kapiteln wo llen wir nunmehr an e inem einfachen Stru ktu rbeisp iel d ie Vergehensweis e der FEM tra inieren. Dieses Strukturbeisp iel se i dem Stah lbau entlehnt und in seiner Funktion im Bild 5. 19 gez eigt. Nor malerwe ise tst die Modeliierung so durchzuführe n. dass alle interessiere nden Problempunkte geklärl werden können. Im vorliegenden Fall soll das Augenmerk ansschließlich auf die Durchbieg ung der Struk tur gerichtet se in. Nllr deshalb ist die im Beispiel herangezogene Modeliierung iiherhuupllI/öy,lich. Die Randbed ingunge n, die hier aus einer komplizierten Anschra ubung und einer Gabelkopfstützung bestehen. sind durch die Auflager sehr stark ideali siert worden.

F

1 T ,

»>:

" "

Sc hraube

»> I

Flachmaterial

3 (Länge L3)

leichter I-Träger (Länge L I ) Daten :

q z = J NImm F '" 1.000 N L t = 500 mm

E . J y t = 6.3 . 1010 Nmm 2

L 2 = 500 mm

E ·J y2 = [0,5 . [0 9 Nmm 2

L3 = 400 mm

E ·A 3 =2, 1. 107 N

Bild 5.19: Einfache Tragkonstruktion Als mate rielles Gebilde muss d iese Konstruktion im Weiteren FEM-gerecht aufbereitet werden. Am einfachsten biete n sich hierzu Balken- und Sta h-Elemente an. so wie d ies im Bild 5.20 dargeste llt ist. Bei e iner derart igen Idealisieru ng kön nen abe r nur g loba le Aussagen übe r die Elemente gemac ht werden. Wollte man beisp ielswe ise Nähere s übe r die Schweißnaht in der Konstruktion wissen. so musste flächig in Schalen-Elemente oder besser noch vo lumetr isch

5 Das Kon zept der Finite-E lement-Met hode

84

modelliert werden. Auch so llen keine Aussag en zu de n Schra ubanschlüsse n ge mac ht werde n, weshalb ein fache Auflager ausreichend sind. Der Ablauf bis zum Ergebnis der Durchbiegungs- und Spannungsermiu lung im Träger kann dann in d ie folgenden 10 Schr itte unterteilt werden:

I. S('hritt: Idealisierung

CD k--- -,

® Bild 5.20: Finites Modell de r Tragkon strukt ion Innerhalb der Idealisierun g' ) werden zunächst die Elemente geo metrisch (x i' zj /A j • Jil und physi kalisch (E, ...) definiert. Die geo metr ische Defi nition erfo lgt hierbei in de m globa len x- ,z -Koo rd inatensystem. Vom mechanischen Verh alten her erke nnt man eine Ba lkenstruktur, welche von einer Pendelstütze abges tü tzt w ird.

2. Schritt: Randb edingu ngen Gemäß den Stützunge n der Struktu r müsse n j etzt die Randbedin gu ngen eing efüh rt werden. lm vorliegende n Fall se i die Tragkonstruktion an zwe i Punkten mit de m Maue rwe rk starr versc hraubt. Aus d iesem Grunde se i hier angesetzt: am KnotenCD

am Knot en@)

wl - 0

w4 - 0

J . Sch ritt: Krafteinleit ung Die ve rteilte Strec kenlast ql muss weiter auf d ie Knoten
' ) Anmerkung: Im Beispiel seien vereinfacht nur reine 2-J),SIab- und Balken- Elemenle zugelassen.

5.4 Prinzipiell er Verfahre nsa blau f

85

1

0"

-

M"

-~

750 N

2

= ql ' L I

12

1

- 62.500 Nr nm =

0"

-

750 N

M 2ä

~

62.500 Nmm

2

12

4. Sc hr itt : Bilden de r Elcm cr usteifi gkeit smatrlzen Die untran sformiert en Matri zen lauten:

k

E ·J ,

Il

0} [

12 - 6L - 12 - 6 L 6L 2 L2 4L2 12

E· A[ ks _ . -

6L

L

1 - I]

- I

I '

4L2

Der Transform ationsw inkel für die Bulken·E lemente ist a = O. deshalb kön nen d ie Matrizen so überno mme n werden:

' 2 - 3000 k l = 504

- 12 - 3000]

10 . 106 3000

_

5 . 105

12

[

3000

[ ' 2 - 3000

_

'

k

2

= 84

- 12 - 3000

10 .10 6 3000

12

10 . 100

5 . 10 5

3000

10 . 10 6

Das Stuh-Eleme nt muss hin gegen m it n = 90 ° transfo rmie rt we rde n:

w,

" I

s ., -

E·A

[ k3 - L-

sc c

- ,z v

- s·c

" - s·c -,'

w2

"2

-,

" I

w, " 2 w,

2 - s· c

- s ·c

" , .c

- ,'

s .c

"

= 5,25 . 1O ~ - I

-:]

5. Sc hritt : Lok al-glo bale Beziehung der FHGs Entsprech end der gewä hlten Knotennum meri eru ng ist im Bild 5.2 1 die Zuo rdnung der Einzelelemente zum System ge ze igt .

86

5 Das Kon zept der Finite-E lement -Met hode

~

Ql w3' 'V3

W 'JI2 2_

~

® CD

I

W4 = 0

Ql

I

GI

W\_ \V]

w2' 0/2

CD ~

"I

Ql "2 Bild 5.2 1: Aufgeschni ttenes finites Mode ll

Diese Zuord nung muss auch durch die Bool e'sche Matrix w iedergegeben werden .

,

0

2

3

4

5

0

0

0

0

I

W\ =o

1 1

4 " I

1

5

1

6 7

I

1

8

I

'J',

2

" 2

3

'J'2

4

" J

5

'J'J W4 = 0

I

0 p

0

0

0

A

0

u

6. Sc hritt : Zusammenbau der Syste msteifigkeits mat rix Der Zusam menbau soll formal über die Boo te-sche Matrix vorgenommen werden. Hierzu ist d ie folgende Rechenoperation durc hzuführen:

5.4 Prinzipie ller Verfahre nsab lau f

87

10

1

10

1 1

[!]

1 1

1

5

1

0

1

a ij

1

1

1 1

b ij 11

- K

1

[2]

1

5

1

- - - - _.-

GJ

10

cij

1 1 10

Das Ergebnis ist d ie Ge sarrusteiflg kehs marrix a 22

'32

'" '" e.n bu i a J4 + b I2 t

.............. ........ _... a .n + b 21 a 44 + b 22 ~

'"0 0

i

.

0

0

b13

b"

b"

b"

_

b31

b32

bJJ + c ll

bJ4

b 41

b"

b4J

b"

Anhand einzelner Plätze in der Matrix kann d iese Matrizenmultiplikation leicht kontrolliert werden. Führt man jetzt die ß elegung wie zuvor gezeigt durch, so folgt für die Matrix

K =

1,51 . 106

2,52 . 10 11

7.056

1,26 . 106

- 1.008 - 252.000

5,88 , 108

252.000

500.000

53.508

252.000 8.4 . 107

o

o

7. Sc hr itt : Aufbau des globalen Lastvektors Korrespond ierend zur Krafte inleitung an den Knoten lautet der Lastvekt or.

5 Das Kon zept der Finite-E leme nt-Met hode

88

, I

- 62.500 N mm

p = ]

750 N 62.500 Nmm

4

1.000 N

o

5

8. Schritt: Lösun g des Gleichungssystem s

Durch Inversion der Steifigkeitsmatrix können über die Multiplikation

die unbek annten Knotenver schie bungen zu

WI w2 U=

_ 0.1 4°

- 0.0024 0.943 mm

\)12 =

0,00 11

0.943 mm

+ 0.06"

=

wJ

0.0 262 mm

0.026 2 mm

WJ

0.0033

+ 0.1 9

0

best immt werden. Es ist zu beac hte n, dass \jI [0] '" ar ctan [ \jI ] g ilt!

9. S('hritt: Berech nung de r Spannu ngen

Für Element I: 0 ,,(0) =

z . E · [ L~ ( w l - w 2 ) - ~(2 . 'VI + 1V 2

l]

0 ,,(0 ) = -48 5,767 Ni mm 2

O" ,, (L t ) = r . E
' [~2 (- w J + w Z) - t

(\V 1 + 2 · \1'2 )]

433,683 N I mm 2

Für Elem ent 2 ist ana log vorzugehen.

10. Sc hritt: Rückrechnung zu den Reaktionskräften (hier n icht du rchgefü hrt)

89

6 Wa hl de r Ansatzfunktionen Auf die Bedeutung der Verschieb ungsansätze wurde in den vorausgegangen en Betrachtungen zur Methode schon hinge wiesen. Vor diesem Hintergrund ste llt sich einem Anwender so mit die Frage. nach welchen Regeln erfüllende Ansätze zu bilden sind. Im Wesentlic hen müssen Verschiebungsansätze d ie folgenden drei Bed ingungen IGAL 761 erfüllen: I . Die Ansatzfunktion dar f keine Verzerr ungen oder Spannungen hervorrufen, wenn ein Element nur Starrkörperbewegungen vollführt. 2. Die Ans atzfu nktion muss stetig se in. Stetigkeit ist im Inneren und au f de m Rand zu verlangen. falls das Element mit e inem Element desselben Typs ode r mit Elementen desselben Ansatztyps in Berühru ng kommt.

und 3. Die Ansatzfunktion soll zumindest Konstamgiieder enthalten . damit auch e in konstanter Verzerrungs- und Spannungszustand dargestel lt werden kann. Die sich hinter diesen Forderungen verberge nde n Verha ltenswe isen sollen nun kurz erläutert werden.

Für die erste Regel wol len wir dazu Bild 6.1 hera nziehen. Zunächst s ind dort die Verschiebungsmod i Translation und Drehung dargestel lt. d ie ein verstarrtes Element ausfü hren können muss. ohne dass in ihm Verzerrungen und Spannungen hervorgerufen werden.

a)

su

b)

+3 " 7 spannungsfreie Element e

.- .

+~ q - ~ mögl iche Starrkörpertranslation und -dre hung am Element Bild 6.1: Idealisierung eines Krugbalkens a) Starrkörpe rmodi. b) mög licher v erformungszustand

90

6 Wahl de r Ansatzfunktionen

Der Grund. wesha lb ein Eleme nt in der Lage se in muss. d iese Starrkörperbeweg unge n zu er~ mögli chen . erkennt man an dem Verfonn ungs bild des Kragbalkenbeispiels. bei dem die rec hts vo m Kraftangriff liegen den Elem ent e unbcanspr ucht sind und trotzde m de r Form der Biegelin ie folgen müssen .

Bei den beiden bisher verwandten Ansatzfunktionen war dies gewährleistet. wie folgende Abschät zung zeigt: - Stah·Element

(6.1)

Dehnung:

Starrkörpe rbewegung.

woraus

e~

= 0 lind som it er", = 0 folgt.

- Balken-Element Dehnung:

(6.2)

Starrkörpe rbew eg ung en.

W

I=

W2

= w , 'V I = 'JI2 = 0 •

wo raus ebe nfalls Ex = 0 lind o .x = 0 folgt . Die Wirkung der z weiten Regel übe r die Stetig ke it erkennt ma n deutl ich im Bild 6.2.

4 kein Klaffe n der Rände r Bild 6.2: Kompatibilität zw ische n Elementen für den ebenen S pan. nungszustand (nach /BAT 86aJ)

-------x, u

6 Wahl der Ansatzfunkti onen

91

Kompatibilität zwischen den Elementen bedeutet in d iesem Fall. dass die Verschiebungen im Inneren und auf den Rändern der Elemente stet ig se in müssen. Hierdurch wird sichergestellt. dass bei einer verzerrte n Elementg ruppierung kein Klaffen der Elementränder auftritt. Diese Forderung ist bei den Elementen leicht zu gewährleisten, bei denen nur tra nstatortsehe Freiheitsgrade (Stab-, Balken-Eleme nt. Viereck-Sc heiben-Element) auftrete n. die physikalisch eindeutig deutbar sind. Schwieriger ist hingegen d ie Kompatibilität bei den Elementen (Plaue n-, Sc!Jalen-Eleme nte ) sicherzustellen. bei denen Freiheitsgrade aus höheren Able itungen von Versch iebungsg liedem folgen. Wie wir später noch erkennen werden. unterscheidet man demgemäß kompatible und nichtkompat ible Elemente. A us dieser Bedingung kann abgeleitet werden. dass die Ansatzfunktio n so viele G lieder haben muss. wie Freihe itsgrade in einem Element vorkommen. und dass d ie Ansatzfunk tion so oft differenzierbar sein muss, wie die höchste Ableitung des Variationsfunktiona ls es erfordert. Die drille ReKel bezüglich der Konstantg lieder kann physikalisch leicht begründ et werden. Stel lt man sich vor. dass in einem berandeten Gebi et die Elemente immer mehr verkleinert werden. so müssen letztlich im Grenzfall eines sehr kleinen Elements die Verzerrungen und damit Span nungen im Element konstante Werte ann ehmen. Hierdurch wird wiederum die Voraussetzung gesc haffen. dass mit sehr kle inen Elementen j eder belieb ig komple xe Verzerrungszu stand in einem Gebiet darstellbar wird. Die hier aufgeführte n Forderungen lassen sich gut mit Polynomen des Typs Uj .

.

,

xJ · Y

•

für i. j- k = 1. 2. ...• n FHG

(6.3)

befriedigen. Der Grad des Polynom s ist j + k, bis zudem be i kom pat iblen Elemen ten das Polynom vollständi g sein muss. Diese ei nfac hen Ansatz bauformen kommen insgesamt der mathematischen Beschreibung der FE-Methode se hr entgegen, da wiederho lt differ enziert und integriert werden muss. Eine e infache Entwicklungs mög lichkeit für die Aufstellung der artiger Polynome bietet das im Bild 6.3 dargestellte so gen annte Pascat 'sche Dreieck. welc hes zwe i- und dreid imensional aufge baut werden kan n. Polynom grad

..1 ................ . 2

.. 3 . .4

Bild 6.3: Terme für ein- und zwe id imensiona le Ansatzfunktionen

92

6 Wahl der Ansatzfu nktionen

Aus dem Pascal- sehen Dreieck lassen sic h recht schne ll die benöt igten Ansätze für eine best immte Elementverhalte nsweise ab leiten. Jeder Ansatz muss hierbei so viele Konsta nten haben, wie das Element Freiheitsgra de aufwe ist, z. B. eindimensionales Slah -Eleme nt

u(x) =

0: 1 + ({2 '

x,

(6.4)

eindimensionales Balken-Elem ent (6 .5)

zwe idimensionales Dreieck -Sche iben-Element

+ ({2 . x + 0: 3 . y, v(x , y) = 0: 4 + ({5 . x + u 6 . y,

ut x. Y) =

({I

(6.6)

zweid imensionales Rechreck-IViereck- Element u( x, y ) = 0. 1 + ({2 . x + ({3 . Y + ({4 . xy

usw. Hierin sind die Konstanten c, noch unbe kannt und müssen aus der Geometrie des Elements und den K notenbed ingungen bestimmt werden, welc hes beisp ielhaft für den Stab-Ansatz ge-

ze igt werden soll: (6 .7)

(6.8 )

Werden nun diese Konstanten in G I. (6.4) eingesetzt. so folgt daraus (6 .9)

Diesen auf die Knotenverschiebungen bezoge nen Ansatz habe n wir zuvor schon in Kapitel 5.3 be i der Her leitung des Slab -Elements benutzt.

93

7 Elementkatalog für elastostatische Probleme Die kommerziell verfügbaren FEM-Programm syslcme bieten ein e Vielzahl von Elementen an, d ie in Stab -, Balken-, Scheiben-, Ptauen-, Schalen-, Volumen- und Kreisrillg'-Elemclltc charakte risiert werde n können. Diese Eleme nte werden überwi egend dre id imens ional beschrieben und durch Sperren einzelner Freiheitsgrade dann ein- ode r zweidimensional en Problemen ange passt . Im Fo lgenden wollen wir uns exe mplarisch mit einigen Elementen auseinan dersetzen. um grundsä tz liche Prinzipien zu erken nen. Aus diesem Grund sind hier unterschiedliche Beschrei bungsmöglichkeiten gewählt worden.

7.1 3-I>·Balkcn- Elcmcn t Im Bild 7.1 ist e in so ge nanntes 3-D-Balken-Element mit Frei he itsgraden pro Knot en darges te llt. bei dem d ie Stab- und Balkeneigenscha tlen physikal isch entkop pelt sind. Demgemäß kann ein derarti ges Element Axialk räfte ( N i ) ' Drehmomente (Ti) sowie in zwe i ö

Ebenen Qu erkräfte (Q yi.

Qld und

M/d

Biegemomen te (M yi • übertragen und ist so mit fallw eise zur Analyse von Stab- und Rahmenstruktur en verwendbar.

e

CD

w,

w J j

- Po (X. , ) I-l ilfspunkt zur Orientieru ng des lokalen KS

z

Bild 7. 1: Linea res 3- D-Balke n-Element (nac h IPRZ 861) m it entkoppeltcn Knotenfreiheitsgrade n Bei der Au fste llung der zugehörigen Elementsteifigkeitsmatrix wo llen w ir hier von der Blockaddition Geb rauch machen, da im Kapitel 5.3 schon alle benötigten Teilerge bnisse hergeleitet worden sind. d . h., im vorliegen de n Fall kann man so tun, als wen n das 3-D-Balken-Element se lbst die Sys tem matrix des Stab- , Dreh-Stab- und Balken-Elem ents wär e, womit d ie Ste ifigkeitsante ile der entsprechenden Fre iheitsgrade nur richtig platz iert werde n brauchen . Wie die Platz ierung im Einze lnen du rchzufü hren ist. erkennt man im Sc hema.

94

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

CD I

2

3

(j)

4

5

6

a 2

7

-,

b

8

9

10

-b

I",

OCL

-I", OCL

4

OCL 4cL'

·6,L kL' 12d -6JL

5

7 8

12

-,

0

-b

E·A

9

6JL 2dI}

a

G · ],

10

E.J . E · J, d=- - ' 3 L ' LJ

11

C = __ L

12

N,

...."'.!...

Tl

v,

Q yl

'I' ~

M z1

w,

M~I

"2

N2

"' 2

T2

v2

Q y2

. -"----'-

I", .« L

----'IfIz2

-ocL 4cL'

~

12d

6JL

6.-IL 4dL'

Q LI

----''t' \'I

----'-

b

a = - L - ' b = -L-

",

----'-

-12d -6JL

·(,JL "",}

r--

-

----'-

3

6

11

Md

w2

Ozl

't' vz

M y2

----'----'-

(7. 1)

Für die Sa n ierung der Matrixg leichu ng ist gemäß de r mec ha nischen Wirkung eine best immte Log ik benutzt worden. die jedoch fU r ein allgem ei n gü ltiges Progra mm syste m zu indi vid uell ist. In kommerziellen FE-Programmen versucht man. eine strenge Systematik bei der Be legurig der Speicherplätze einzuhalten, weshalb man immer block weise die Versc hiebungen und Drehun gen abs peichert. Die knotenwei se Belegu ng beim Balken-Element ist demgemäß

"v

Zu der GI. (7. 1) ist noch zu bemerken. dass über A. J y.Z und 1, die Querschnittsgeometrie des Eleme nts e ingeht und diese Werte orien tiert werden müssen. In komfortablen Programm en sind d ie übl ichen Standardgeo met rien (Wi nkel-, U-, T-, Hur-. Rechteck-. Sechs kant-, Kreis- und Roh rprofil) fest abgespeichert. sodass über die beschre ibend en Parameter d ie benötigt en Eingabewerte sofort zur Verfüg ung geste llt werde n könn en . Des Weiteren bieten einige Program me als Zusatz leistung noc h an, dass man die Standard pro file miteinander verschme lzen oder freie Geome tricn im Ze ichenmodus erstellen kann, was manch mal eine erhebliche Arbe itserleic hterung darstellt .

7. 1 3-D-Balken-E leme nt

95

Aus dem Balken kann auch eine Elementfamilie begründet werden, wie im Bild 7.2 hervorgehoben ist.

•

x

b) R

CD

z

cl

x

CD

,~.

z

'-.

Das gekrümmte Balken-Element kann überall dort eingesetzt werden, wo die Mittellinie mit einem definierten Radius R ausgebogen ist. Viel variabler kann dagegen das parabo lische Element genutzt werden. da der Mittenknoten beliebig gesetzt werden kann. Bild 7.2: Ba lken· Elementfam ilie a) gerader Bulken b) gekrümmter Bulken c) parabolischer Balken

Klar iSI in diesem Umfeld, dass das lineare Element stets e ine gerade Mittellinie haben muss. In diesem Zusammenhang ist auch noch einmal auf die Krafteinleitung einzugehen. Im Bild 7.3 sind einige Mögl ichkeiten gezeigt, die ebenfalls von Programmen geboten werden. Diese bestehen darin. Kräfte sowoh l im globalen als auch im loka len Koordinatensystem einle iten zu können. Falls eine Kraft im globa len Syste m e ingegeben wird, erfolgt mittels der im Kapitel 5.4. I hergeleiteten Transformationsmatrix eine Umorlentierung in das lokale System.

a)

b)

Bild 7.3: Krafteinleitung in ein Balken-Elemen t a). b) Einleitung bezogen auf das g lobale KS c). d) Einleitung bezogen aufdas lokale KS

96

7 Elemen tkatalog für e lastostatische Probleme

Für d ie Anwendu ng ist a ls Letztes noch d ie Konvergen z des Balken· Elements von Interesse. An dem einfac hen Beisp iel der T ragkonstruktion so ll im Bild 7.4 eine Kon vergen zuntersuchung durch geführt werden. Die Tragkonstruktion sei mit einer Strec ken last beaufsch lagt und der Qu erschnitt sei e in Dopp el-T. Für die Feststellu ng der Konvergen z wird d ie Länge der Tragkonstruktion in eine untersch ied liche Anza hl von fi niten Balken-Elem enten eingete ilt und d ie Annäherung an die exakten Lösungswerte für d ie Durchbiegung. das Mom ent und d ie Qu crkraft festgestellt.

W ma"

,I

z,w

b Konver enztabel le

q, ·L

Anza hl

Q lheoL '" - , -

Elemente

cl

2 EL

3,9772

2.250.000.3

... CL XEI.

3.9772 3.9772

2.250.000.3 2.250.000.3

== 15.()()()

15J)()O 15.000 15.()()() 4 2 6 E +02 .3.4 1 E + 0 2 2.56E + 02 1.70E +02 8.52 E + 01 . 1.50 E· 04 ·8. 52 E + 01 ·1.70E + 0 2 -2. 56 E

+ 02

-.3.4 1 E + 02 -4.26 E + 02

Bild 7.4: Konvergenzbetrachtung mit e inem Balken·Element a) Lastfall. b) Kon vergenzanalyse. c) Span nungsa uswe rtung im Q uerschnitt

7.2 Sche iben -E leme nte

97

Aus der Tabelle erke nnt man. dass bereit s mit zwei Elementen die exakte Durch biegun g (Fehler 4.6 % ) und die exakten Schnittgrößen bestimmt we rden können . Eine Erhöhu ng der Element zahl bedeutet im Weiteren kei ne Genauigkeit serh öhung. dam it g ilt für ein BalkenElement augenscheinlich nicht d ie Regel. dass du rch e ine Erhöhung der Elementan zahl eine bessere Konvergenz erreicht werden kann. Diesbezügli ch ist zu hinterfrage n. warum dies so ist: Die Verhaltenswe ise eines Elements ist bek anntlich durch den Ansatz gegeben. Beim Balken-Elem ent habe n wir für den Ansatz d ie exakte Lösung der DG L erm itteln können. inso fern ist e in exaktes Element gesc haffen worde n. dessen Ge na uigke it nicht meh r gesteigen werden kann. Bei der we iter noch angegebenen Spann ungs veneilung ist mit G I. (5.115) linear über den Querschnitt ex trapoliert worden.

7.2 Scheiben-E lemen te 7.2. 1

Belast ungs- und Bea ns p r uch ungsz us ta nd

Dünnwandi ge. ebe ne Blech e. die in ihrer Mitt elebene belastet werden, bezeichnet man als Sche iben*>. Das Merkma l Dünnwendigkeit ist da bei gegeben, wen n d ie Dickenabmessung viel kleiner ist als d ie beiden an deren Längen ausdehnungen . In Scheiben tritt dann der schon in Kapit el 3 chara kter isierte ebe ne Spa nnu ngszustand (ESZ ) ein, der hier noch e inmal im Bild 7.5 dargeste llt ist.

F

riß'

---# t ~)'

x 0"

':---"-'-'-'- _. L-

-

-

-

F7 B

-:::f;1

--I

Bild 7.5: Sche ibe nartiges Bautei l mit typisc he n Belastungen Durch die Vernac hläss igung der I -Koord inate erhält man som it ein ebenes Problem , we nn die Eigenschaften auf die Mittel eben e überführt werden . Um e ine gee ignete finite Elementbeschreibung herl eiten zu kön nen. gilt es , vo rab die wesentlich en Beziehungen zu defi nieren. und zwar

' 1A nmerkung: Werden die Lasren so groß. dass die Mill"kb~'T\" ausbeult. gehl die Scheibe in eine Platte über.

98

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme der v erzerrungsvekror als (7.2)

der Spannungsve kto r als (7.3)

- d ie Elastizitätsmatrix a ls

v E=-

E

-

l _ v2

0

v 0

0 I- v

0

(7.4)

2

Als äu ßere Belastungen sind Einzelkräfte Fj • verte ilte O berflächen - (qh.y) sowie Massen kräfte (Pix.y ) zuge lasse n. Zur Idealisieru ng sche ibenförmige r Beanspruchu ngszu stände werden gewöhnlich Dreieck- und Viereck-E lemente he rangezogen. Mit Dreieck- Elementen können im A llgemeinen Randkonturen besser erfass t werd en, während Viereck-Elemente viel besser konverg ieren.

7.2.2

Dreieck- Ele ment

Am Beispiel de s ebenen Dreieck-Eleme nts wurde d ie FE-Methode erstmals bei Kont inuumspro blemen angewandt. Im einfachste n Fall wird e in Konstantelement (CST = constant strahl tria ng le) definiert. das im Inneren konstante Verzerru ngen und som it auch konstan te Spannunge n aufweist. Dies ist eine Folge de s einfac hen linearen Vers ch iebungsansalzes

uf x. y ) = (( I + ((2 ' x + ((3 - y,

v(x. y) =

(( 4

+ (( 5 ' x + (( 6 ' y.

(7.5)

der mit den Knotenfr eiheitsgr aden korrespondiert . Für die Verzerrungen erhält man dann

und

(7.6) 'Yxy =

du dv -+ = dy dx

((3

+ ((~ ,

.

7.2 Sche iben-Elemente

99

also konstante Größen. Um die mechanischen Eigenschaften beschreiben zu können. müssen im Weiteren d ie unbekannten Koeffizienten a j bestimmt werden. Hierzu schreiben wir fü r ein Dreieck-Element folgendes Gleichungssystem auf:

(7.7)

Dieses Gleichungssystem muss für jeden Knoten des im Bild 7.6 gezeigten Elementes ge iten. Für dre i Knoten erhält man so die sechs Gleichungen

, ,

XI

)"1 :

x2

)"2 :

x3

)"3 :

",

",

0

= - - - ------ .,- - - - - ---_.

o

:I

, ,I

xl

Yl

I

xz )" z

: I

x3

Y3

" 3 = Ne . c.

", ", ",

( 7.8)

y. v Ansatz:

Y2

A

/

/ 1\

LI X

Bild 7.6: Lineares Dreieck-Element in allgemeiner Lage mit Knotenkoord inaten und Ansatz

y, Y3

x,

\

)" \..l.

"

,. n

Aus GI. (7.7) gilt es nun. durch Einsetzen de r Knotenkoordinaten xi. Yj die Koeffizienten a j zu bestimmen. Wenn d iese bekannt sind. kann ein Zusammenhang zwischen dem Verschiebungsfeld im Inneren und den drei Knotenverschiebungen hergestellt werden. 1m Weiteren ist es ausreichend. nur das reduzierte Gleichungssystem

(7.9)

7 Elementkatalog tUT elastostarische Probleme

100

zu betrachten. da die Koeffi zienten C4- 6 genauso ermittelt werden können. Für d ie Glei ch ungs lösung wo llen wir h ier die so ge nannte Cromer'sche Regel benutzen, d ie eine sofortige Auflösung gestattet zu

(7. 10)

Llt

Yt

u2

Yl

LI)

YJ

(7. 11 )

dCI N u XI

L1 1

Xz Uz x)

LI)

(7. 12)

det N u

Da die Koeffizienten etwas läng liche Ausdrücke annehmen, wollen wir diese du rch folgende Vereinbarung abkü rze n, und zwar bedeu tet j etzt aj

= Xj ' Yk

- x I; ' Yj.

bj =Yj -Yk '

;. j.

k = (1.2.

3h (2. 3. r), (3. I. 2)

(7. 13)

Ci = x k - Xj'

Damit können die Koeffi zienten viel kürzer angege ben werden:

' ) Anr ncrkuug.: Für die Nummer ierung der Knoten entgegen dem Uhrzeigersinn l ässt sich der Flächeninhalt

1 eines Dreiecks mit A '" - dct N angeben . 2 "

7.2 Sche iben-Elemente

'01

Durch Einsetzen in den Ansatz von 0 1. (7 .5) er hält man den gew ünschten Zusammenhang u(x, y ) = - '- [(a l ,u l e e a ·uz +a 3 , u 3) + (b ] ' UI +b z - u z +b 3 ' U3) X

2A

+ (c] . ul «ca . Uz +c 3' U3) y] oder besser sortiert

bzw .

(7.14) Die in diesem Verschiebungsansatz auft retenden Funktionen

i =1, 2. 3

(7 .15)

sind die vor her schon erw ähnten Formfunktionen. die man nun, wie im Bild 7.7 geze igt. deuten kann.

y,v 1,0

g

x.u

Bild 7.7: Lineares Verha lten eines Dreieck-Scheiben-Elements info lge einer Einheitsversch iebung

102

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

Unter Benutzung dieses Ansatzes wo llen wir weiter d ie in GI. (7.6) angegebe nen Verzerrungen ermitteln. Hierzu sind nachfolgende Ableitunge n durchzuführen:

(7 . 16)

d ie hieraus result ierende A ussage konnte zuvor schon bewiesen werden. Sort iert man hieri n

die auftretenden Ausdrücke für die beka nnte matrizielle Gleichung E= n ·G · d = B ·d ,

so folgt

(]) 0

b, 0

",

G)

c, "b ,

b] 0

C3

': 1

_~L

",

b]

---_ ". "3 '3

(7. 17)

Damit können dann auc h die Spannungen " angesetzt werde n zu

Führt man die entsprec henden Matrizenoperalionen durch , so erhält man für die Spann ungs-

matrix

CD vc ,

vb, 1-, 2

- -c,

' I I- v -- bi

2

vb, I- v

- - c,

2

VC3

c3

c,

vb]

I -v - - b,

--c,

2

I -v

2

'

I- v

- 2- b3

.( 7.18 )

Wegen der vorausgese tzten konstanten Verzerrung müssen sich natürlich auch die Spannungen 0 H ' Cl' sv - t xy als konstant erge ben. Nachdem nun die Grundbeziehungen klar sind , wollen wir uns der Berechnung der Steifig keitsma trix zuwenden. Ganz a llgemein gehen wir dabei von der folgenden Gle ichung aus: ' ) Anmerkung: In der Literatur wird mit S = E · n die Spannung smatrix bezeichnet .

7.2 Sche iben-Elemente

103

k = 1(Il ·G )' · E· (Il · G ) dV=

v

Iß' . E · B dV .

v

Da d ie hierin eingehende H-Matrix selbst nur konstante Koeffizienten bein haltet. kann diese auch vorgezogen werden, man findet so

f

k = U l . E · Hf I · dA = A · t

(81 . E · B).

(7.19)

x )'

Angenommen wurde, dass das Element gerade Seiten und konstante Dicke hat. Um diese Gleichung e infach auswerte n zu können, haben wir schon die B-Matrix knote nwe ise part itioniert. dies ermöglicht uns durch

1 *t E * I * t '2A "' ' l _ v2 E ' 2A, BJ =

E· I

4~ I_ v2 ) lJi

*t

*

, E , Bj

•

(7.20) alle Unterma trizen der Elementste itigkeitsmat rix berechnen zu können:

(7.2 1)

:

Durch schrittweise Ausmultiplikationen ergeben sich d ie Untermatrizen zu

o

l

~~ j

o

0

I- v

2

' i

(7.22)

Über alle Kombinationen i, j führt dies zur Elemeut steifigkeitsmatrix des Dreieck-ScheibenElements (s. auch IHAH 75!), welche umseit ig aufgeste llt worden ist.

7.2 Sche iben -E leme nte

105

Auch be im Dreieck-Element wo llen w ir wiede r kurz auf die Konvergenz ei ngehe n. A ls Testproblem se i dazu eine Sche ibe m it M ittenloch unte r Gl eichspannu ng gewählt. so wie sie im Bild 7.8 dargestellt ist.

2r t = kon st.

- - -, - -- - - Bild 7.8: Spannungsauswertung in eine r ge loc hten Quadratscheibe (nach IA RG 86/)

Zur Ana lyse des Probl ems reich t es aus. e ine Vierte lsche ibe zu betrach ten . In diesem Viertel werden mit zwe i 60 °-S pira len I37-CS T-E lemente gene riert . A ls theoretisch e Lösung ist bekannt , dass um das Loch herum e ine For mzahl u Kmax = Oxxmax la o = 3.0 w irksam ist. Auch hier erg ibt sich mit e iner ausgewe rteten Formzahl von u K ",, 3.08 eine ve rb lüffe nd gute Annäh erun g. ln de m Beispiel können d ie verwandten Dreieck-Elemen te aber nur deshalb e ine recht gut Lösung ermitte ln. we il die Elemente in dem be kannten Span nungs ko nzent ratlo nsgeblet relativ klein sin d.

7.2.3

Fläc henkoordinate n

Eine bei der Her leitung VOll firnten Elementen vielfach benutzte Darstellung verwe ndet elemente igene Flächenkoordin ate n. um die Form ulierun g unabh ängig vo n der Gesta lt und Orient ierung zu machen. Diese Möglich ke it so ll der Vollständigke it ha lber kurz geze igt werde n.

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

106

Wie man insbesondere beim Dreieck-Element Flächenkoordinaten fest legt. zeigt Bild 7.9. y,v

yP

X,u

Bild 7.9: Flächenkoordinaten des Dreieck-Elements

Die Lage eines beliebigen Punktes P im Inneren des Dreiecks kann somit durch d ie Größe der drei Tei ltläche n Ai bzw. deren Verhä ltnis zur Gesamtdreieckfläche A ausgedr ückt werden. Für die demnach dimensio nslosen Flächenkoord inaten kann also angege ben werden: (7.24)

Wegen

ist weiter zu erkennen, dass die drei de finierten Flächenkoordinaten (7.25) nicht unabhäng ig voneinander sind. Um di e Lage eines Punktes im Dr eiecki nneren eindeutig

festzulegen. genügen nämlich nur zwei Koordinaten. Die hier e ingehenden Te ilflächen kann man über d ie folgenden Determinanten bestimmen : ' I'

x,

y,

' 2

Y2

xI'

YI'

(7 .26)

7.2 Scheiben-Elemente

' 07

Für d ie Gesamt fläche folgt entsp rechend

A=.!.

(7.27)

2

sodass wieder G I. (7.25) erfüllt wird. Dies se i für SI hier be isp ielhaft angedeutet:

,

xp

Yp

Xz x3

YZ = 2A Y3

x I'

yp

X"

Xz x3

YZ Y3

xz = x3

- '- {XZ Y3 + x pYz + y px3 - xZY P - x3YZ - x I'Y3) = 2A

2~ [(X 2Y] -

X]Y2)+ (Y2 -

y] )x" + (xJ - x, )y p

I.

Verallgemeinert man jet zt diese Beziehung und benutzt wieder die Abkü rzungen

mit

l. ]. k = 1, 2. 3;

2,3, I;

3. 1, 2.

so kann für d ie Flächenkoordinate auch angegeben werden:

Führt man d iese Operation für die drei bezogenen Koordin aten durch. so besteht folgende Zuordnung:

b'O'cz ].[Ix ] .

bz

b 3 c3

(7.28)

Y

bzw. es gilt auch die folgende Umkehrbeziehung :

[ :] = [~, Y

)'1

x2 X ']] [~;] . YZ)'3

(7.29)

S3

An d iesen Beziehungen ist zu erkennen. dass die Zusammenhänge zwischen den Flächenund kartesischen Koord inaten linear sind. d. h., e ine Ansatz funktion a ls X- . y-Poly ncm wird

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

108

ein S-Polynom desse lben Grades. Die im Weiteren zur Darstellung der Elementeigenschaften erfo rderlichen Differenziationen und Integrationen lassen sich mit Flächenkoordinaten ebenfalls recht ei nfach darste llen. Wählen wir 1;\,1;2 als unabhängige Koord inaten. so erfolgt d ie Differenziation nach der Produktregel zu

iJ iJ iJx + -iJ ' -iJy . iJ' iJ x iJ' · iJv iJ' ·

-= - ' ~I

_

~ l

': .

Der Übergang zw ischen den beiden Koordinatensystemen ist dann folgendermaßen gegeben:

iJ

[ a~iJX iJy .[(Ix iJ ] = J {iaxJ . 1 a~l 2[..i.- iJx iJy 2a~l

il; 2

=

il; 2

il; 2

iJy

(7.30)

iJy

Mit J ist hierin die so genanlltcJacohi-Matrix oder Funktionsmatrix eingefü hrt worden. die auch als (7.3 1)

verkürzt geschrieben werden kann. Im vorliegenden Fall lässt sich zeigen . dass die JacobiDeterminante gleich ist der doppelten Dreieck fläche

derJ = (;SX I.iJ~2 - ~~ .iJ~ J= 2A.

(7.32)

wo rin die Dreieckfläche nach GI. (7.27) anzusetze n ist a ls

2A =

XI

Y\

x2

Y2 = xa 'YJ + »r Y2 + xJ .y\ - x2 .y\ -

xJ

YJ

Xy

Y2 - xI' YJ

oder unter Benutzung der vorherigen Koeffi zienten (7.33)

Dam it ist dann auc h die Jacobi-Matrix gegebe n zu (7.34)

Som it kann auch der zur GI. (7.30) erforderliche umgekehrte Zusammenhang au fgeste llt werden:

7.2 Sche iben -E lemente

109

[-:'] =r' [ J~' ]=~ 0% {j

det J

{j

--

0''

Jy

UX

--

0"

_.l!L] 0<;, ox

(7.35)

0''

Die Integrationen bezüglich x und y müssen dann e benfa lls mit ~ l und ~ 2 transformiert we rde n. Für ein Fläc hen te ilchen ergibt sich so dA e dx vdy e det J vd s l· d S2 ",,2A · d SI· d S2 '

(7.36 )

Hierin treten typis che Integrale von der Foml lH AH 75/

j ..r I R .I".. 2S.r.. 3T dA = 2 A (2 +R!R· +S!S·T! + T) !

(7.37)

auf. wo rin R. S. T positi ve ga nze Za hlen dars tellen . Fü r eine Koord inate erhielte man so beispielsweise

j"

dA =2A-'=-. "

3!

A

3

Der Ver schie bungsansatz für ein in Flächenkoordinaten zu besch reiben des Dreieck -Element kann som it au fgestellt werden zu u( x, y ) = ~I . L1 1 +~2 ' u 2 + ~ 3 '

uj ,

v(X 'Y ) =~ I 'VI +~ 2 - va +~ 3 - vr ode r laut et in Matrixform LI

=

G ·d

bzw.

(7.38)

Die Fonn funkt ione n sind da bei

In der Übertragung auf andere Geornetrien erw eist sich die Flächenkoordi nat en-D arstellung mei st a uch als se hr vorte ilhaft .

110

7.2A

7 Eleme ntkatalog fLir e lastostatische Probleme

Erweiterungen des Dreieck-Element s

Für manc he Pro bleme ist das lineare Dreieck -Elemen t entwe der zu ungenau oder unzweckmäß ig, und zwar dan n, wenn es sic h einer gekrümmten Kontur anpassen muss, oder wenn d ie Genauigke it in einem Geb iet erhöht werden muss. Die immer feinere Unterteilu ng eines Geb iets in finite Elemente stöß t auch heute noch an Grenzen . Diese Grenzen sind durch die Numbe r-Crunc hing-Leistung ( Rechengesc hw indigkeit) und das Speic hervermögen (Haupts pe icher) des ver fügbaren Co mputers gegeben. So ze igt sich, dass d ie Rechenzeit etwa exponent iell m it der Elemen tezahl ansteigt und be i seh r fein en Netze n oft una kzeptable Laufzeite n anfa llen. Inso fern bleibt nur die Alternative, die Knotenza hl der Elemente (d. h. de n Ansa tz) zu erhöhen, um ge na uere Erge bnisse zu erha lten. Beim Dreieck-Element ist die sbezag fleh die im Bild 7. 10 gezeigte Elementfam ilie entwic ke lt worden.

. )

b)

y,v

Y

CD ",0 Q)

v,

CD Bild 7. 10: Dreieck-Elemente höherer Ordnu ng (nach /HAH 75!) a) parabolisches Elemen t mit 6 Knoten bzw. kub isch es Element m it 10 Knot en b) typischer Anwen dungsfall

Wie man erke nnt, ist hier sowohl die Möglichk eit vorhande n, quadratische und kubisc he Elemente zu besch reiben . O hne au f d ie Herle itung dieser Elemen te nähe r einzugehen, so llen ein paar allgemeine Eigensch afte n andiskutiert werden: Das 6-kno tige Element mit Mitten knoten auf den Se itenmitten hat insgesamt 12 Freiheitsgrade. Demn ach ist als Verschiebungsansatz ei n vo llständ iges Polynom zwe iten Grades zu wählen, und zwar

u(x, y) =U I + u 2 , x + u J , y + u 4 · x 2 " o s . x ' y + u Q . y2 , v{x,Y) = u 7 + Ug ' x + Uq ' Y+ulO ' x 2 "c u : x . y+ uJ2 ' y2,

7,2 Sche iben -E leme nte

11 1

So mit ergibt sich längs der Elementsei ten ei ne parabolische Verschiebungsverteilung. die durch die dre i Knotenpunkte je Se ite eindeutig bestimmt ist. Der Rand kann de mzufo lge gebogen werde n, wodurch die Kontur stüc kehenweise einer Kurve folgen kan n. Das lO-knotige Element mit zwei Zw ische nknoten auf jeder Dre ieckseite und ei nem Mitten knoten weist insgesamt 20 Freiheitsgrade auf, Insofern ist hier für der folgende vo llstä ndige Ansa tz maßgebend: 2 2 ) 2 ( ) = U I + U2 ' X + U3 ' Y + U -I ' X + U S ,x 'y+ U 6 'Y +U7 'X + Ull 'x , y mxy

+ U9

' X, y

2

+ U IO ' y 3 ,

v(x,y) = U I1 +0.1 2 ' X +UI3 ' Y+UI-I ' x + U18 ' x

2

2

+ o. IS ' X· y+ U16 ' y 2 + U17 ' x

3

. Y + U I9 . X · y 2 + 0.20 ' y 3

(7.39 ) Die Ve rsch ieb ungen einer Drei eckseite ge ho rchen dam it eine r kubischen Parabel. die eindeutig du rch d ie vier Stützstellen festgelegt sind. Durch die Anza hl der Stützstelle n w ird der Geometriefehler bei de r Anpass ung an ei nen beliebigen Rand relativ ge ring gehalten. Ein weiterer Vortei l ist. dass das Geb iet nur relat iv grob vernetzt we rde n brauch t. Eine gä nz lich andere Mög lich keit. das Elementverhalten festzulegen, besteht da rin, am Knoten außer de n Ver sch iebungen auch d ie Able itunge n der Verschiebunge n als Unbekannte einzuführen . Dem liegt som it eine kompliz ierte Ansatzfu nktion zu G runde, die wiederum auc h zu einer aufw änd igen Elementbeschreibung fü hrt. Im Element ergi bt sich dadu rch eine quadratisc he Verzerrungs- und Spa nnungs verteilung. weshalb bei der Idealisie rung mit großen Elementen gear be itet wer den kann. Ein we iterer Vorteil ist, dass bei einem de rart formulierten Elemen t außer Einzelk räfte auch Momente in die Knoten einge leitet werden kö nnen, Dreieck-Elememe mit Se itenmittenknote n können stets nur mit Scheiben-E lemen ten des g leichen Verha ltens kom biniert werden. da Kom pati bilität an den Rändern bestehen muss, Mei st füh ren die Theoriehandbücher zu einer FE-So ftware die zu berücksichtigenden Einschränk unge n für ei ne Elementklasse auf.

7,2.5

Rec hte ck-E lement

Ein anderes einfaches Element zur Behandlung von Sc heibenprobternen ist das RechteckElement m AH 75/. welc hes wegen se ine r rege lmäß igen Geo metr ie zwa r nur e ine beschränkte praktische Anwe ndung hat. hier abe r exemplarisc h betrach tet we rden so ll. um eine ande re Art vo n Herleitung ze igen zu können, Die Darstell ung des Elements ze igt Bild 7,1 1. wobe i aus Vere infac hungsgründe n die Abmessungen mit 2a und 2b gewählt wurde n.

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

11 2 y,v

Ansa tz:

Bild 7. 11: Lineare s Rech(eck-Sc heiben- Element m it Ansatz

Gemäß den vorausgegange nen Au sführungen kann der Versc hiebungszustand je Koo rdinatcnri chtung durch de n folgenden Ansatz beschrieben werden:

u{x, y) = (X I + u 2 ' x + 0.3 ' Y + U4 ' X ' y,

(7.40)

v{x,y) = 0:5 + 0:6 ' x + 0.1 ' Y + 0.8 ' x . Y.

Die Ansatzkoeffizienten (Xi bestimm en wir w ieder aus der Platzierung des Element s in se inem elementeigenen Koord inatensystem. Diese s regen wir hier genau mittig. sodass sich e inige Vereinfac hunge n ergeben. Mit den entsprechenden Knotenkoord inaten ( Xi = ±a , Yi = ± b) führt dies zu den folgenden G leichungen: am Knoten @ ist x-\ = -3. Y4 = b und so

- am Knoten CD ist xa = a. Y3 = b und so

U-\ = u l - u2 · a + a J · b - u 4 . a- b

UJ = uI + ul ' a + uJ · b + U4 - a- b

v 4 = a S - a b . a + u 7 . b - all . a . b

v J = u s + u 6 · a + u 7 · b + a g -a- b

am Knoten
am Knoten (i) ist x2 e a. Y2 = -b und so

ul = a l - u 2 · a- u J · b + a 4 . e. b

u i = U I + U l · a - u J · b - a 4· a · b

VI = U s - u b . a - a 7 . b + Ug . a . b

v 2 = Us + u b . a - u 7 . b - UoS . a · b

Wird diese Gleichung systematisch so rtiert. so erkenn t man über das matr izielle Schema de n Zusammenhang etwas besse r:

7.2 Scheiben-Elemente

-,

" I

"2

- b a - b a b 1 -, b -

-c

"3 "4

11 3

=

' I

' 2

'3

a.

b:,

U,

a -b ]

,

U2

0

a ·b : , 3 'b I

a3

, ---------------r------------,1\ - 3 - b a -b ,: 1 a - b -, ·b 0 ,: 1 a b ,·b

-,

:1

'4

b

a4

u,

(7.41)

U6

U,

-, ·b

a.

Zur Bestimmung der Koeffizienten ist es hierbei ausreichend. nur eine Te ilmatrix zu invertieren. Wir wollen dies beispielhaft mit dem Gauß 'sehen Alj!,o,.ilhmus tun. Zielsetzung ist es. dabei zu einer Dre iecksmatrix zu kommen, die von unten her auflösbar ist. Das Schema ist U,

I

-,

0

0

,·b - b "I - a·b I a - b "2 , ·b 1 a b "3 -, - a· b 1 b "4 ----------------------- -- ----------------------, - b , ·b 1 "I 2, - 2a · b 0 0 "2- " I 2, 0 2b 0 "3- " I - 2a · b 0 0 2b "4 - " I ----------------------- ------------------------, - b ,·b I " I 2, - 2a · b 0 0 "2 - " I 0 0 2b 2a · b " 3 - " I - " 2 + "I - 4a · b

0

-- - - - - - ---- - - ------ - - - (( 4 =

+" I "4 2 -----------------------h

- " I - "3

u] - u2 + u3 - u4

4 a -b

2 b · (( 3+2 a · b · ((4 = u3- u2 - Ut- u2 + u3 + u4

(( 3 =

4 b 2 a . (( 2 - 2 3 . b . (( 4 = u2 - u I

(( 2 =

- u ] +u 2 + u3 - u4

4a (( I - a . (( 2 - b . (( 3 ((I

=

+ a . b . (( 4

u l + u2 + u 3 + u 4 4

=

u1

- " I

114

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

W ie sich die Gle ich ungen ergeben. sieht man an den Umformungen der recht en Seite des Gauß'sc hen Schemas. Die entsp rechenden Beziehungen für u 5 bis a8 folgen aus einfachem Austau schen de r u- gegen die v-Ver sc hiebungen. Führt man jetzt die Koeffiziente n in den Verschiebungsansatz (7.39) ein . so kan n z. ß . die folgend e Zuo rdnung erstellt werde n: LI( x,y )

=

Ut + u2 + u3 + u4

·x-

4

LI] + u 2 - u) - u 4

4b

-y

(7.42)

W ird diese G le ichung wieder sortiert, so w ird sofort der Zusammenhang mit den Knotengrößen sichtbar:

u(, . y) = 4,lb[(, -, Xb -y)U1 + (, +, Xb - y)u, + (o+ ,Xb+ y) u, +(, -,Xb+ y) u, ] bzw.

(7,43)

Um die wei teren Herleilungen noch al lgeme in gültiger au sführen zu können, wollen wir ab jetzt mit de n be iden dime nsions losen Koordinaten ~ 0: x /a und Tj 0: y/b arbeiten. Der vorstehende Ansatz lautet dan n:

, (I;. ~) = ± [(I - I;XI , (I;. ~ ) =

~) ' I + (I + I;XI - ~ ) u, + (I + I;XI + ~) uJ + (I - I;XI + ~) u, I

±[(I -I;XI -~ )v, + (I + I; XI - ~) v, + (I +I;XI + ~}v, + (I - I;XI + ~ ) v, ] (7.44)

Hierin werden d ie folgenden Fonnfunktionen sofort sichtbar:

"I

I

= . (l- I; X I- ~ ).

",

I

= - ( I + I; X I + ~ ).

4

I

"' = . (1+ I;)( I -~ ). (7,45)

g,

= -'- (I- I;X I + ~ ). 4

welche einen regelmäßigen Aufbau zeige n. Die Eigenschaften dieser Formfunktion entnehme man de m umseitigen Bild 7. 12. welches beisp iel sweise die Verhaltenswe ise am Knote n 3 wiedergibt. Man erkennt, dass der Ansat z von GI. (7 .44) ei n lineares Elementverha lten wiedergibt.

7.2 Sche iben-Elemente

11 5

Bild 7.12: Darstellung der Formfunkt ion g 3(~ ' Tl) am Rech/eck-Element, linearer Verlau f der Randverschiebungen

Q)

Nachdem nun die Verschiebungen definiert sind, können als Nächstes die Verzerrungen ermittelt werden. Dazu greifen wir auf den dimensionslosen Verschiebungsansatz zurüc k und formuli eren

OV oll = I OV b oll

ov

E yy

= Vy = o'l . Vy

Y~y

= - + - =-' - + - ' - . iJy ih b a~ ,a~

.

ou

OV

1 OU

1 OV

Diese Gleichung überfü hren wir wieder in eine matrizielle Form und setzen den Ansatz ein. Die Aufspaltung liefert dann

", I

0 :

-' -1

a

_____ o~ .J1

°

'I

.

: I 0 ° b oll -----,----_. 1 -' 1

°

I ·0 1 1 - 1- ' b 0ll : a o~

", 0 ,: g 3

0 ,: g ..

: 0

g, : 0

",

,

,

gO.. ] .

"

", ' 3

", "

oder

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

116

(7.46) Mul tipliziert man ins besondere die GI. (7.46 ) kneten weise aus . so liegt der fo lgende Ve rschiebungs-Verzerrungs-Zustand am Knoten i vo r:

.!. .()gj a

0

a~

I

0

Bi =

dgj

(7.47)

a"

b

.l . ugj .!. . dgj b

a'l

a

a~

Führt man di es für alle vier Knot en au s, so liegen unter Berücksichtig ung de r Bauformen der g j (s. GI. (7.45)) die nachfo lgenden Te ilmatr izen vor :

_ 1- 11 a I 8 1 =4

b

b

1+ "

I 84 =4

b

1+ 11 a

I +~ b

b 1- 11

a

_ 1+ '1 a

I +~

0

- [+';

0

b

0

a

0

_ 1+ 1;

_ 1- '1 a

_ I -~

4

I 8 2 =4

_ I -~

0

I 8) = -

1- 11 a

0

(7 .48)

0 I -~

0

b

_ 1+ 11 a

l -~

b

Hierm it können sofort die Elementverzerrungen angeg eben werde n mi t

CD 1- "

Ex.x E

'" Yxy

a I =4

0 _

I -~

b

CD 0 I -~

b

1- "

a 0

1- '1 1+'; - -,,, a

b

CD 0 I +~

b

1- "

a

1+"

a 0

~ b

.,

8) 0 I +~

b

1+"

a 0

0 I -~

b

1+"

I -~

1+"

a

b

a

., ·3 .,

(7.49)

Die Diskussion von G I. (7.49) zeigt, da ss für die Koor dinatenrichtung x mlr n = konst. und für d ie Koordinatenric htung y mit ~ = konst . jeweil s auch kon stante Verzerrunge n vor liegen .

7,2 Scheiben -Elemente

11 7

Für d ie Elementsteifigke itsmatrix kann so formuliert werden: 1 1 4

4

k = 1n' . E· ß dV » a.b vt 1 1 L L V

ß ,' . E· ß J

d<· dn .

(7.50 )

- I - I i =l j = 1

Zweckmäßiger ist hier aber eine knotenweise Auswertung von Unterrnatrizen k ij und die spätere Zusammen fassung zur Elementsteifigkeit. Für e inen Knoten ergibt sich dann die fo lgende Unterrnatrix:

a .b .t

k· = -

16

1.1

{

·-

E l 1 Si

I I l _ v 2 - 1-

1+"a · " , 0

,, ,, ,, ,

0

,, ,,: 11 i ,

I +~<,

I + S ' Si I + 'l ' 'l i : 11 ': S' b a ' '

,

1

o

o

v

o o

0

I- v

2

( 7.51)

dari n sind mit Si.j und 'lLj die jeweiligen dimens ionslosen Knotenkoordinaten einzusetzen, Die bei der Integration auftretenden Integrale sind dabei recht einfach auszuwerten . und zwar zu

,,

<,'

J j(1 +~. ~,)' d< ·d~ = I~ <;,

- 1- 1

"J J'(I + S ' Si )' dS 'dll =3"16 'li ,

'l i

- 1- 1

<'· ~i

,,

J j( 1 + ~ · ~ i H I + ~ · ~ ;)d~ · d~ = 4 ~ , .~ , .

- 1-1

womit dann letztlich die umseitige Steifigkeitsrna trix erste llt werde n kann.

7.2 Sche iben -E lemente 7.2.6

119

Ko nv erge nz Ba lke n-Sc he lbe n- Ele me nt e

Bei e in igen prak tischen Anwe nd ungs fällen besteht o ft a lte rna tiv di e Mög lichk ei t, mit

Balken- oder Sche ihen-Eleme nten zu rechn en . Dies ist meist dann gege ben. we nn es sic h um d ünne. sc hla nke Tragstrukturen handelt. Im fo lgend en Beispiel se i e in de rartiger Fall konstru iert . Vorgegebe n se i ei n d ünner. hoch ste hender Blechstreifen. der in der Art e ines Kragbalke ns be las tet se i. Von Inter esse so ll hierbei die Durch biegun g am Ende se in. Z ur Lösun g des Pro blem s so llen ei nma l Balke n-Eleme nte und ei nm al Dreieck- bz w. Viereck-ScheibenElem ente e ingesetzt werden. Die Au swertung d ieser Aufgahensle llung ze igt Bild 7. 13.

1

E 7-

E

.> 7 6

D

D

==~::;~~====~~~===~;===:t= t

5

F = IOOON

~

4

3

~

4

I~ Typ

Netz

2 x4 4xll 8 x 16 16 x 32

xx 16

nach

w- 7, 12 7.26 W '" 7.31 W'" 7.324 W'"

Bcmoulli-Thcoric

16 x 32 Elementnetz _

,

Cl L

lineares Recht.:ck-El.

= 3E F L. J = 7.143mrn

~ : i~~~:20 mm 2

1

2mB 4_

J

Wthccr.

• 2 I~ = 7üOüON I mm

2

7. 143 7.36

CST·E!. 2.26 4.6 1 6.37 7.06

•

•

•

•

Cl L:J

quad r; Timoshe nko Bem oul1 i quad r. Balk.:n-EI. Ba lke n-EI. Rec ht.:.:k-El. Dre ieck- EI. ( 4) 7.36

( 8) 7.36

( 16) 7.36 (32) 7.36

7, 143 7. 143 7, 143 7, 143

7.29 7.32 7.33 7,332

7.24 7,3 1 7.32 7.33

Bild 7.13: Konverge nzverh alten zw ische n Balken-Elem enten und Dreieck- bzw. RechteckSc he iben- Eleme nte n

Idea lisiert ma n d ie Aufgabe a ls ß a lkenproblem und zieht für die Lösung d ie Euler- Berno ulliTheorie ( Ebenbleibe n der Q ue rschnitte) hera n, so erg ibt s ich nach der beka nnten Formel für die Dur chbi eg ung w = 7, 143 mm. we lches abe r nic ht die exa kte Lösung se in wi rd, da be i de r Ab se nku ng des Blechstreifens auch Schubve rformunge n eine Roll e s piele n wer de n.

7 Eleme ntkatalog für e lastostatische Probleme

120

Der Voneil der BALKE N-Idealisierung iSI, dass durch de n berücks ichtigte n Freiheitsgrad w' die Biegelinie kontinu ierl ich erfasst werde n kann. W ill ma n hingegen den Effekt der Schubdurchsen kung auch erfassen. so muss das (schubwe iche) Timoshenko-ßalken-E lclllcnt hera ngezogen werden. we lches Querkraftbiegung berüc ks ichtigt und m it w =:0 7,36 mm e inen um 3.5 % größere n Wert errechnet. Die Schubverformung kan n bei Sc heiben-Elementen du rch d ie Gleit urigen 'Y xy m iterfasst

werden. sodass die Scheiben lösung ebenfa lls gcnau sein müsste. Als problematisch erweist sich jedoch die Wahl des Elements. w ie die Konvergenzana lyse be legt: Das lineare Rechteck-Scheiben-Efement ko nverg iert rech t schne ll zu einem Wert w =:0 7,324 rum. während sich das lineare Dreieck-Sc heiben-Element als recht ungen au erweist, we il es zu ste if ist. Durch die Wahl von quadra tische n Rechteck· Element en lässt sic h das Ergebnis nur unwesentl ich verbessern. währen d das quadra tische Dreieck· Eleme nt ebenfalls recht gut konvergiert.

7.2.7

Beriick sich tigun g der Schub verformung

Wie zuvor festgestellt , kann in vielen Anwe ndungs fiillen (kurze r Balken. dicke Platte, Sandwiche lement) Sc hubve rfonnung auftreten, d ie dan n IUr eine we ites tgehend exakte Ergebnisermittlung berüc ks ichtigt werden muss. In Ergä nzung zur Beschrei bung des 2· D- Ba lken· Ele· ments so ll im Folgenden ein schubweiches. ebenes Ba lken-Element d iskutiert werden. Die Ve rformu ng eines de rartigen Eleme nts ist im Bild 7. 14 dargestellt.

dx

CDi

.- , ~

, fi.u

' j

-

,

--~-

L

Z'W l --=-:_

,

, ,, ,,

' \[7

CD )" QrJ

w(x)

,,",\

r:

, :ß\ . W

• -W

Bild 7. 14: Verformung eines Balken-Elements info lge Biegung und Schub

Aus de m Bild 7.14 entnimmt man für de n Verdrehwinke l der Querschnittsfläche ferenz aus Schubverzerrung und Biegeabsenkung) die Beziehung ß(x ) = )'(x ) - w'(x ).

ß ( Dif(7 .53)

7.2 Sche iben-Elemente

12 1

Der Verdrehwinkel ß folgt aus der bekann ten Beziehung (s. auch Seite 52)

worin die Krümmung Je statt aus der 2-maligen Ableitung der Durchsenkung w ( Je '" - w" ) nun durch d ie resu ltierende Krümmung Je = ß' zu ersetzen ist (Vo rzeichen siehe Bild 7. 14!). Die Schubverformung y ist das Resultat der nun berücksichtigten Qu erschnittswölbung durc h die Querkratt Q(x) = G · A · y(x) .

Bild 7.15: Schni ttgröße n am ebenen Balken-Element

Für die Schnittgrößen folgt aus dem Gleichgewicht am Knoten und im Inneren (7.54)

Q +Q zi = 0 und um einen Drehpunkt

(7.55)

M by + Myi + Qzi ' x = 0 .

Wird je tzt d ie Qu erkraft in d ie GI. (7.54) eingesetzt. so führt dies auf den Sch ubwinkel y G · A ' Y+ Q zi = O.

und das Einsetzen der Biegemomentbeziehung in GI. (7.55) ergibt eine Beziehung für den Verdrehwinkel ß E . 1 Y' • ß' + M yi + Q

/j .

X=

O.

(7.57)

122

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

Einma lige Integration von G I. (7.5 7) liefert Q . ß = -_1 . __ "_ 1

E. J ~,

M vi

. .x 2 - - ' _. x + ClE.J y

(7.58)

Mit GI. (7.56), 0 1. (7.58) und der GI. (7.53 ) lässt sich je tzt die Biegelinie w(x) berechnen. Aus 0 1. (7.53) folgt:

w' =-y -ß . w,

Q "i I ._Q zi M \i x+ C [. =---.-+._ . .\( 2 +--·_·

G·A Q -

w = _ --'2- .

G ·A

2 E . Jy

I

Q -

E .J y

1

M

x + _ . - -"_ . x3 + _ . - _yi . x 2 + Cl . x + C 2 . 6 E·ly

2 E. J y

(7.59)

Die Integrationskonst an ten C l und C 2 ergeben sich aus den Randbedi ngu ngen in Bild 7. 16.

Bild 7. 16: Randbedin gun gen an den Knote n eines Ba lken-Elements

Unte r Belastung verschiebt sic h de r Knoten i(j) um de n Weg

Q uerschnit tsfläche neigt sich dort um den Winke l w( x = 0) = wtw (x = L) = w j '

Wi

(wj)

in z-Richtung und d ie

ßi {ßj):

ß( ' =O) = ß; . ß(, = L) = ßj"

Mit diesen Randbedin gungen ermittel n sic h die Konstanten in GI. (7.58) und (7.59) zu (7.60)

Dam it folgt für die Funktion des Verdrehwinkels

~( x: )

und die Verschiebu ngs funktion w (x:)

7.2 Scheiben -Elemente

123

1 Q 2 My j ß(x ) = -_ · _ -"_ ·, - - - · X+ Pi . 2 E · J )' E · J )'

(7.61 )

Q . 1 Q 3 I M vi 2 ·x + Pi , x + Wj . w( x) = _ _ '_1 · x + - · _ -"_ · x +- ·_-·_ G ·A 6 E . Jy 2 E .J y

(7.62)

Es sind von den beiden Gleichungen (7.61) und (7.62) natürlich auch die Knotenbe dingungen (i. j ) zu erfüllen: (7.63)

(7.64 )

Das Umformen von GI. (7.63) nach dem Ausdruck (M yi . L)/(E . J )') und Einsetze n in die GI. (7.64) führt auf eine Beziehung zwischen der Kraft Q/i und den Randwerten w t - WI ' Pi und ßj :

(7.65)

Mit dem Schubparameter \V =

12 ~ E. J ' lautet GI. (7.65) somit auch

1+ 2 ' L ·G · A

(7.66) Bildet man weiter am Balken-Element nach Bild 7. 16 das Kräfte- und Momcn tengteichgewicht. so erhäll man die beiden Beziehungen

(7.67)

7 Elementkatalog für e lastos tatische Probleme

124

Folglich gilt für die Knoten kraft Q"j m it der berücksichti gten Vo rzeic hen ände rung.

Mit GI. (7.63) und G I. (7 .66) bestimmt man das Biegemoment M yi: E .l y .

L2

E · Jy

lJI ' w J + - L- · (I +3 ' lJI)' ~ i

ar ,

+L' (- I +3 ' lJI) ' ßj ' (7 .69)

und mir GI. (7.68) erhält man sc hließlich auc h das Biegemom ent M yj:

Myj = -6 .

7er , 'lJI '

er ,

Wj

+ 6'---v- ' \11 ' Wj

ar ,

ei,

+L ' (- 1+3 · \jI) ' ßi +L·(l +3 · \1') . J3j. (7 .70)

Di e G leichungen (7.66). (7.68). (7. 69) und (7.70) können dann zu der M atrizengl eichung Q zi

12 · W

- 12 ' \jf

- 6 · L · \jI

Q'J

- 12 · 'V

12 · IV

-6 · L · l.jJ

6 · L , \V

- 6 · L , \I'

6 · L ·'V

6 ·L · o/ 2 L ' (1 + 3' 1.11) L 2 . ( - 1+ 3 · l.jI)

M yi

[

M yj

bzw. zur so rtierten Eleme ntste ifigkeit des Tilllo.l'henko- Balkens

ßi 12 · IV k Tß =

L

'

- 6 L' \jf

(J+3 ' W)L2

E· J }'

W

J

- 12, 't'

)

ßJ - 6 L · 'V

6L · W ( - 1+ 3' \jI)L 2 12 ·l.jJ

sym.

O

(7.71 )

6 L , \V

(I + 3 · W)L '

zusa mme nge fass t werden . Die Matrix stel lt hie rin d ie gesuchte Elemenlsteifi gkei tsma tri x de s sch ubweichen . ebe nen Bal ken- Elements dar. Für \11 = I, d . h. größe re Baut eil- bzw . Elem entlängen , geht G I. (7.7 1) in G I. (5.64) über. Übertragen auf Platten und Scha len ist d ie Herl eitung ähnlich zu der so ge nannte n Reissner-Mindiin-Theorie ,

') Anmerk ung: Das hergeleuere Element ist e in so genannte, .Jockmg freies- Element. d. h.. es versteift nicht durch einen zu hohen Schubwiderstand. Dies resultiert daraus. dass der Verschieb ungsansatz ocr exakten Lösung der Biege-Dti l. e ntspricht. Das Element würde hingegen .Hockicrcn- bei einem linearen Ansatz.

7.2 Sche iben -E leme nte 7.2.8

125

Vierec k-E lement

Ein allgemeines Viereck-Elem ent ist in der Anwen dung dan n zwec kmäßig. w enn ien unrege lmäßiges Gebiet vernetzt werden muss und ei ne gu te Anpassung an ei n reales Gebiet erfolgen muss. Im Bild 7. 17 ist ein derart iges Viereck-Eleme nt in se inem natürliche n Koordinatensystem gezeigt.

2

x

U

Bild 7.17: A llgemei nes Viereck-E lement (nach / HA H 75/) Zw ischen den dimen sionslosen ~-. n -Fl ächenkcordin aten und de n kartesischen naten besteht die fo lgende lineare Transform ationsbeziehu ng:

X· ,

x(~. T] ) = al +~, u2 + T] ' u ) +; · T]·U4. y(~. T] ) = u5 +~ ' U 6 + T] , u 7 +~ ' T],u8 '

y-Koo rdi-

(7 ,72)

Wendet man hierauf wieder den zuvo r besc hriebenen Gauß ' schen Lösungsa lgorit hmus an, so erhä lt man zu GI. (7.42) äquivalente Beziehungen, und zwar XI + x2 + x) + x4 x I - x 2 - x) + x4 4 4 x l - x2+ x ) -x4 J:. + . ~ . Tl· 4 = Yl +Y 2 + y ) + Y4 _ Yl - Y2 - Y) + Y4 . J:. _ Yl + Y2 - x) - Y4 Y 4 4 ~ 4 ' 11 X

=

+YI -Y 2+Y ) -Y4 ·~ ·11.

4

die man weiter sort ieren kann zu

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

126

entsprec hend erg ibt sich auch

1

Y = ':'/(1 - CXI - ~ )Yi + (I + C)(l - ~ )Y 2 + (I + C)(I + ~ )Y J + (I - CXI + ~ )Y 41 . (7.73b) 4

Für die Vers chiebungen mac he n w ir jetzt w ieder einen linearen Ansatz. Dabei zeigt sich eine Übereinst imm ung zur Koo rdinatenbeziehung . Weg en der Ident ität der beiden Bauformen s pricht man hier au ch von eine m isoparametrischen Ansau: Dabei sind die Knotenpunktverschiebunge n auf da s lokale Koordi natensystem ausgericht et. Der A nsatz lautet somit:

+ ({2 . ~ + ({3 . Tl + 0.4 . ~ ' 11· v( ~. 1"] ) = ({5 + a 6 . ~ + ({ 7 . '1 + Us .;. 11 u ( ~ , TI) =

({I

(7.74a)

bzw. in Matrixform

["]=[' C ~ c~ I O ,

O

O

OO

0 0

IC

0 ] .[ : :

~C~

,

(7.74b)

a,

Dies ist der gleiche Ansatztyp wie be im Rechteck-E lement, sodass G I. (7.44) als v erschicbungsansatz übe rnomme n werd en kann mit

"= ~(I -cXI - ~) " , +(1+ CXI- ~) " , + (1 + CXI + ~) "J + (I-CXI + ~ ) "41 ,= .'.[(I-cXI~) ' I + (I +CXI- ~) '2 + (1+ CXI + ~) '3 + (I-CXI + ~) '4 1 4 Hierin erke nnt man die verallgemeinerten Formfun kt ione n zu

Wei ter können w ieder d ie Verzerrungen angege ben we rden zu E = I)· (;· d = ß · d

bzw. kann knotenwe ise d ie Bi -Matrix bestimmt werden zu

(7.75)

7.2 Sche iben-Elemente

127

o i = I, ..., 4.

(7.76)

Da es ausgesprochen aufwändi g ist. d ie Formfunkt ionen im X- , y-Koordinatensyste m darzustellen. gehen wir jetzt auch bei den Ableitungen über in das ~-, Tl-Koord inatensystem. Für die Umrechnung gilt wieder

(7 .77)

bzw. unter Berücksichtigung der Jacobi-Matrix' )

(7.78)

Zur Bestimmung der Inversen muss die Jacobi-Determinante ausgerechnet werden: (7 .79)

Damit können nun die in der Untermatrix GI. (7.76 ) erforderlichen Operationen ausgefüh rt werden. Diese ergeben sich zu

(7.80)

" Anmerkung: Jacc bi-Matnx od er Funkuonalmamx (nach C. G. J. Jacobi. e 11W·t 'll'185 1) ist die Darstellung

sämtlicher ersterpartieller Ableitungen einer Funktion.

7 Eleme ntkatalog für e lastos tatische Probleme

128

Unter Berüc ksicht igung von GI. (7.73) folgt sodann für d ie Jacobi- Matrix

J = 1. [ - (I - 11 ) I - Tl 4 - (l- ~ ) - (l + ~ )

I + TJ l+~

- (1+ 1,)] . I -~

" Y' ]

Xz YZ x 3 Y3

[

x4

(7.81 )

Y3

und für d ie entsprechende Determ inan te

(7.82)

Hierbei wurde n fo lgende Abkürzu ngen be nutzt:

Somit können nac h längerer Rech nu ng die Ab leitungen der Form fun ktione n ge bildet werden. Für gl erg ibt sich da nn beispielsweise

ag, = ax bzw.

ag, =

Y Z4

+ Y4 3 's+Y 32 8 det .t

's+ x2) 8 det .1

x 42 + x34

Oy

' Tl

."

(7.83)

wodurch letztlich die ß -Matrix gegeben ist. Dies ermöglicht es nun, auch die Steiflgke itsmatrix

k = t I I B' . r. . B dx dy x}

aufzustellen, worin noch die Integration in dx dy ersetzt wer den muss durch

dx ·dy = det J · d/; · dll ·

(7.84)

Nac h dem Ersetze n erhält man die Steifigke it im Referenzgebiet J ,

k ='I I B ' ·r. ·B d " J d~ · d ~ . - [- I

Aus der Ausmult iplikat ion erge ben sich recht komplizierte Integ ra le der Form

(7.85)

7.2 Sche iben -E leme nte

129

die effektiv nur noc h num erisch ge löst werden können. Auf die nume rische Integration finiter Gebiete so ll abe r zu eine m s päteren Zeit pun kt eingegangen we rden.

7,2,9

Isoparam etrisch e Eleme nte

Wie zuvor schon erwä hnt. muss es das Z iel jeglicher Modeliierung se in. die äußere Geometrie eines Bauteil s so exakt w ie möglich zu erfasse n. In der Praxis w ird d ies m it ausschließlich gerade berand eten Elemen te nicht möglich se in. da tec hnische Konturen in de r Regel nicht immer ge rade. so nde rn vie l öfter gekrümmt sind. Um hier bessere Mög lichkeiten der Abb ildung zu haben. müssen Elemente m it flexibel anpass baren Rändern. so ge nannte isoparametrische Elemente. defi niert werde n. Diese Aufgabenstellung ist nicht tr ivial. da bei der Elementbesch reibung über das umsc hließe nde Geb iet integr iert we rden muss. Man kan n sich das Problem aber erl eichtern . in dem man zu r Randbeschreibu ng di e gleiche Funktion nimmt. m it der der Ansatz des Elements geb ildet wird. Dies ist som it das entscheidende Merkmal der iso parame trischen Elemente. Seitens der Nomen klatur g ibt es jetzt fo lgende Zuordnung :

Elementtyp

Zah l der Zw ische nknoten

Po lynomgrad de r Se itengeo metrie

0

lineare Funktion quadratische Parabel kubi sche Parabel Parabe l 4 . Or dnung Parabel 5. Ordnung

linear qua dratisch kubisch parabolisch parabolisch

1 2 3 4

"

,

Parabel n + 1 Ordnung

Bild 7.18: Typisierung der isoparametr ischen Elemente Die Funktionsweise des isoparametrischen Konze ptes wollen wir j etzt an e infac h nachvollziehbaren Elementen stud iere n. Im Kapitel 7.2.3 haben wir zuvor schon die Darstellung des Dl't'ieck·Sche ibe n- Eleme nts in Flächenkoordinaten (siehe insbesondere GI. (7 .29» di skutiert. Bei der Koordinatentran sfermatten haben w ir dabei von de r Beziehung X =XI'~1 + x2 '~ 2 +x 3 'S3'

Y = YI ' SI + Y2 ' S2 + Y3 ' S3 Ge brauch ge mac ht. Diese Bezieh ung ist von der Ba uform vö llig ident isch zum Verset uebungsansatz (sie he GI. (7.3 8»

130

7 Eleme ntkatalog für e lastostatische Probleme u (~) =

SI ' LI ) + S2' u2 + 1;3 - ll) .

v(1;) = 1;1 . vt + 1; 2 ' va + 1;3 ' va. sodass w ir es zuvor schon m it eine m linearen. isopara metrischen Element zu tun hatten . G leiches gilt ruf das Viereck-Schei ben-Element. Wir hatten hier für die Koordinatentr ans fer-

mation

gefunde n. Nac h Umformung erhielte n wir für de n Versc hieb ungsansatz

u(I',,~) = -'-[(I - I',XI- ~) ul + (I +I',XI - ~ ) u + (I + I',XI + ~ ) u3 + (I -I',XI q ) u, l 4 v(l'"

~ ) = -'-[(l - I',XI -~ ) VI + (1+I',XI -~) vz + (I + I',XI + ~) ' 3 + (I -I',XI + ~ ) v, I 4

Verallgemeinert man die vorste hende Erke nntnis, so kann definiert werden: Isoparametrische Elemente nutzen e ine spez ielle Transformat ion mit gleichart igen Funktionen, um ein krum mlinig bera ndctes Gebiete in ge rade bcrandete .Einheit sgcbiete'' zu überführen. Durch weiteren Verg leich, z. ß . zwischen de m Rechteck-Eleme nt in Kapitel 7.2.5 und de m Vicl'eck·Element in Kapitel 7.2. 8, ist als weiterer Vorteil festzu stellen , dass be i Benutzung von natürlichen Koo rdinaten immer sofort der Zusammen hang zw ischen den Knoten verschiebunge n und de m Versch iebungsfeld im Elementinneren gegeben ist. Auc h führen d ie Formulierungen stets noc h au f ana lyt isch aus wertbare Integrale. Insofern ist es nahe liegend. diese v ergehen sweise auf a lle kru mmlinig be randcten Elemente auszuweiten . da d ies bei dc r Netzb ildung sehr vorte ilhall anwe ndbar sin d. Wir woll en nun dieses Kon zept an den be ide n im umse itige n Bild 7. 19 geze igten quadratischen Scheibe n- Eiemcnte n kurz da rlegen. Der hier eingeführte Seitenmittenknote n ist des ha lb notwend ig. um mit eine r quad ratischen Funkt ion ge krümmte Ränder näherungsweise nachbilde n zu können . Entsp reche nd ist das Knotenb ild zu erweitern. wenn noch höhcrgradige Polynome verwendet werde n sol len. Dies kann erforde rlich sei n. wen n auf e inem Elementrand auch Kr ümmungswec hse l erforde rlich sind. Dies da rf aber nicht zu de m Missve rständnis führe n. dass j etz t bel iebige Konturen de r exaktcn Körpergeom etrie nachgebi ldet werden können . So ll beispielsweise ein Boh rungsrand modell iert werde n. so w ird mit isop arametrischen Elementen der Rand stückehenweise durch ein Polynom erfasst; der Geometriefehler ist zwa r klein, aber de nnoc h vo rhande n. Mit höhergrad igem Po lynom reduzie rt sich d ieser Feh ler jedoch immer mehr. sodass er prakt isch für die Ste ifigkeit und d ie Spannungsverteilu ng in einem Kör per ke ine Roll e spie lt. Diese

7.2 Scheiben -Elemente

131

Geometrieabweichung wird aber allgemein zu den Fehlerquellen der FEM gezäh lt, welches den Näherungscha rakter der Methode ausmacht .

Y

Y,

Y6

Y, x

®

~Im

CD 0-

®

-"CD

~

CD

(I, I)

CD

(x, Y)

®

®8 Y,

(-I , 1)

S

CD

i;

cl

® CD

(-I , - I)

®

i;

CD

(I, - I)

x Bild 7.19: Abbi ldung krummliniger isoparametrischer Elemente auf ein .Einheitselement'' Der maßgebende quadratische Ansatz für das Dreieck-Element mit sechs Knoten lautet fllr eine Richtung in Flächenkoordinaten:

(7.86)

Beim Viereck-E lement ist es hingegen günstiger, im normierten Schwerpu nkt-Koordinatensystem zu arbeiten. Die verallgemeinerte Ansatzfunktio n für d ie acht Knoten lautet:

mit den speziellen Formfunktionen

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

132

1 g ; = 4( 1 + ~; . ~ )( I + ~ i · ~)( ~ ; · ~ + ~ ; · ~- I)

m, ; =1.2 .3.4

g i =~(1+ Jli ' Jl)( I -S2)

fiiri = 5.7

= ~ ( 1 + S i' S )( I- Tl2 )

fliri = 6, 8.

gj

(7.88)

Sowoh l der Ansa tz von G I. (7.86) sow ie der mit G I. (7.87) zu bildende Ansatz erfü llt die im Kapitel 6 fonnu Jierten Ste ifigke its-, Starrkörperverschiebungs- und Konsrantdehnungsbed ingunge n, insofern können auc h d ie isoparametrischen Elemente verträg lich formu liert werden.

Da die vergehensweise heim Viereck-Eleme nt ruf eine ganze Elementklasse repräsentativ ist, sollen die wei tere n Aus führungen nun auf das Viereck-Element ange passt werd en. Gemäß den vorausgegangenen Darlegungen ist es zweck mäßig, den Verschiebu ngsansa tz folgende rmaße n zu spezialisieren : (7.89) Hierbei ist der Knotenversch iebungsvektor eingefüh rt als

Demgemäß ist die Formfunkt ionsma tr ix zu partit ioni eren in die Zeilen vektoren g l . Für d ie Geo metr ie des isoparametrischen Elements wird der g leiche Ansatz gem ac ht. und zwar ~ ~ . .. . I , ] = [ ~g-' (' - - - -)-:-: - - -0- - _ ] . [ , ] m it beispielsweise \ = [y 0 ~ gt ( ~. ll) )'

[Xt

x2

' 31.

(7.90)

Damit kann jetzt die Elementsteiflgke itsmatrix berec hnet werden aus 1 I

I

k = I ß · E · B v t dA "" J J ß A

I

.

[ · ß · I det.I d~ dq .

(7.91)

- 1- 1

Zur Auflösung dieser G leichung muss aber noch die ß ·M alrix bestimm t werden. Diese erg ibt zunächst formal zu

a a,

B =D ·G =

0

0

a

iJy

a -a iJy a,

[~'

:']

133

7.2 Sche iben-Elemente

Da aber d ie Differenziati onen nach ~ und TI auszufLihren sind. müssen gemäß des vorstehenden Zusammenhangs die Differenzialoperatoren ersetzt bzw. zuvor gesch ickt mit e iner Zuwe isungsmatrix zerlegt werden. Dies erfolgt mit der Operation

o 00 0 B= 0 0 0

o

o 0

o

0 [":

:']

"

(7.92 )

iJy

Wird dies nun berücksichtigt. so fo lgt weiter

o o

0 0

B= 0 0 0

o

o r

1

o

0[":

0

:]

o

000 = 0 0 0

o

.[r, 0]

", -" g, "< g

.[r' 0]. "~o " , "< ()

I

1 0

o

r

o

1

g

o

",

- g

"'1

(7.93 )

Hierin muss noch d ie Jacobi-Matr!x bzw. die invertierte Matrix e ingesetzt werden zu

(7.94 )

134

7 Elementkatalog für e lastostat ische Probleme

(7.95)

Der A lgorithmus ist bis jetzt so allgemein gü ltig, dass m it g Formfu nktionen für e ine ga nze Elementklasse (I . oder 2. oder 3. Ordnung etc.] eingesetzt werden können. Insofern ist es angebra ch t. d ie G I. (7.9 1) numerisch auszuwe rte n. Im Vorgriff au f da s nachfolgende Kap itel g ilt es also. mit eine r Quadraturformel den folgenden Ausdruck au szuwerten: I 1

J J F (~. l] ) d~ dl] ""

- 1- 1

n

:~.>' i · F(~j .

n

'ld = LW j . BI . [

i =1

Mit ~ i' 'l i sind hier die Stützst elle n und m it eingeführt worden.

. 8 · \ det .t .

(7.96)

i=\ Wj

die Wichtungsfaktoren der Quadrat urformel

7,2, 10 Numerische Integra tion A ls eine wesentl iche Schw ierigkeit bei den vorhergehend einge führten verallgemeinerten Elementen ist d ie Integration der Steifig keitsm atrix zu sehen. die wegen der teils komplizi erten Koeffiz ienten und des unregelmäßig berandeten Ge biets nur numerisch durchgeführt werd en kan n, Wir wollen j etzt diese Problematik beis pielhaft au fgre ifen und fU r den ein- und zweidimens iona len Fall kurz d iskutieren. Der eindimens iona le Fa ll dient hier meh r de r Ansc hauung. Unterstellen w ir, es se i de r im umse itigen Bild 7.20 skizz ierte Funktionsverlauf ge geben. und es se i die Fläc he unter d ieser Funktion zu bestimmen, Der einfac hste Weg besteht dann darin . das Integrationsintervall in n äquid ista nte Abschn itte

b -,

x j =a + - n

·

(i == O. I• .... n)

zu unteneilen und durch die n + I Stützstelle n F{x iJ ein Interpolationspolynom n-ten Gr ades zu legen und darunter zu integrieren. Für die Ordnu ng n -::; I führt dies zur Trap ez. rege t und fur d ie O rdnung n == 2 zur Slm pson-schcn Regel. Die sic h somit für unterschiedliche Ordnungen (n == I bis n == 4) erge bende n Formeln we rden als Newton-CotesQuad raturen bezeichnet. In FEM-Programmen werden aber bevorzu gt die Gaußsehe n Q uadraturforme ln verwen det. da sie in der Regel ein genaue res Ergeb nis liefern .

7.2 Sche iben-Elemente

135 F (x,)

F (x ~ < F (X) ~ ~~

'---+------+------+ c - - - -

x

ne l , Trapezregel

b

b -a

j F(x)dx = -

, - (Fo +

F, ) ;

a

n- z, Simpsonsche Regel h

JF(x) dx = b ~ a (Fo + 4 F + Fz) , 1

a

n- J

h

b a

f F(x) dx = - 8- (Fo + 3 F[ + 3 Fz + F3) ; c

a

n=4 h

f F(x) dx = b90- a (7 Fo + 32 F + 12 FZ + 32 F3 + 7F,t) . i

a

Biid 7.20: Integration einer Funktion mit verschiedenen Interpolationspolynomen Der grundsätzliche Unterschied zu den einfachen Integrationsformeln besteht darin, dass bei den Gauß' sehen Quadraturformeln ein gewichteter Ansatz gemacht wird und d ie Stürzstellen optimiert sind. Allgemein lautet der Ansatz; h

1 = f F(x) .dx a

b -a n

"" -

-

2

:L W j

1=[

·F(xd ·

(7.97)

Es liegen somit 2 (n + I) Freiwerte. nämlich n + I Stützstellen und n + 1 Gewichtskoefflztenten Wj, vor. Demnach kann ein Polynom 2(n + I)-ten Grades exakt integriert werden.

7 Elementkatalog für e lastos tat ische Probleme

136

Eine Ha uptanwendung der nu me risc he n Integration ist d ie Bestimmung der eingeschlossenen Fläche be i isop arametrischen Element en. Deshalb empfiehlt es sich, von e inem normierten Intervall (- 1 :5 ~::; I) a uszuge hen und das Gauß-Legendre-Integral I

1 = jF(cHc -I

n

=I w; ·F(C;)

(7.98)

i= 1

zu Gr unde zu legen . Dies ist auch insofern vorteilhaft . da für das norm ierte Intervall bere its

die günstigsten Stützs tellen und d ie Wichtungsfaktoren tabelliert vorliegen. Einen kleinen Aussc hnitt au s einer derart igen Tabelle ze igt Bild 7.2 1.

C;

w;

I

0,0000 0000 0000

2,0000 0000 0000

I

± 0.5773 5026 9 190

+ I,0000 0000 0000

>-<>------<>--- I

0,0000 0000 0000 ± Q,7745 9666 914 1

+0,8888 8888 8889 +0,5555 5555 5556

n

-I

I.

2 .]

.

3 ·1

.

I

0

I

t----o--------o

Bild 7.21 : Stürzste llen und Wich tungskcefflzient en der eindime ns ionalen Gauß-LegendreIntegration IDA N 77/ bis n = 3, im Intervall ; [- I, + I]

Die Fest legung auf e in Einheitsintervall ste llt a ber ke ine Beschränkung der A llgemeing ültig. keit dar, da m ittels de r Transform ation b+a b- a Xi = - 2- ; i + - 2au f j ed es ande re Intervall umg erec hnet werd en kann, Vo n we it größerer Wichtigk eit ist hier ab er d ie Beh andl ung von Doppelintegralen für di e Integration von Dreieck- und Viereckbereich en. Diese Integrale liegen in de r Form d

1=

J

b

J F (, . y) ddy

(7.99)

y = c :I: =a

vor. Man erkennt, dass d ie Näherung du rch zwe ima lige Anwend ung der Quadraturregel entsteht und de sha lb a uch auf Flächen a usgedeh nt werden kann. D ie Anza hl de r Integrationspunkte kann dabei ohne We iteres in beiden Richtungen unterschiedl ich se in.

7.2 Sche iben -E leme nte

137

Bei der praktischen Anwendu ng der numme rische n Integration auf Rechteckber eiche empfie hlt es sic h, analog zum Einheits intervall von einem Einheitsquadrat (s. Bild 7.22) auszugehen.

y (-1, I)

"

u. I )

d

,

cl (-1, -1 )

( I, - I)

x

a Bild 7.22: Transfonn ation e ines Rechteckbereichs auf ein Einheitsquadrat

Durch die Transforma tion

Si

2 (b + a) = - - ' X' - - (b _ a) ' 1 (b -a)'

(d+c ) 2 '1i = - - - ' Yi - - - (d -c) (d -c)

(7.100)

kann nunmeh r das Integral G I. (7.99) für ein beliebiges Geb iets interva ll ange nähert werden du rch

(7. 10 1) ode r fllr g leiche Stützste llen (m "" n) im Einheirsq uadrat"! ange nähert werden durch

1 - (b -')(d -c)"~'W . F (' .) 4 ?... . ,> " '1 • .

(7. 102)

i =l

Für den häufi g benutzten Fall mit zwe i richt ungsabhängi gen Stützstelle n n = m =0 3 we ist Bild 7.23 die so genannte Neun- Punkte-Forme l aus. die Polynome bis zur 5. Ordnun g exa kt integrieren kann . " Anmerkung: Bci finiten Häc hcnclemcmc n werden an den Gaull-Punktcn in der Regel auch dic Elemcntspannu ngcn angegeben.

7 Eleme ntkatalog für e lastostatische Probleme

138

"

W; I

o

0

2

o

h

3

h

4

o

0

5

-h

-h 0

h

h

64/81 '" 0,790 1 234567901 235

--- ------------------------

6

40/8 1 = 0,493 8 27 16 49 38 27 16

------------ -------- ----

7

h

-h

8

-h

-h

9

-h

h

25/8 1 = 0.3086 4 197 5308 6420

mit h = 0,77459666 924 1 4834

Bild 7.23 : Ga uß- Punkte im Einheitsquadra t bzw . verzerrten Element IDA N 77/

Bei der Integration über Dreieckber eiche kan n wie der sehr vorte ilhaft von der Flächenk oord inatendarstellung Geb rauch gemac ht werde n. Wie hierm it seh r einfach die Integra tion von Polynomau sdrü cken erfo lge n ka nn, weist be ispie lswe ise G I. (7 .37) aus. Für kom pliziertere Integrationen ist es jedoch auch hier zwingend numeri sch auszuwerten, um überhaupt die vielfällige Elementtopologie er fasse n zu kö nnen. Wie gezeigt. sind die Integra le für Dreieckbereic he vo n der Fonn 1 = fF (x, y) dA "" 2A A

n.m

L

i=l

Wi · F (xj. Yd

(7. 103)

bzw. n

1- 2AL W i · F (S,. S2. S3) · i= 1

Die Fläche ist dabei wiedergegeben zu

(7. 104)

7.3 Platten-Ele mente

139

XI

2A = det

Yl

x,

y,

x3

Y3

bzw. 2A = (y, - y, ). (x, - x, )- (y, - y, ).(x, - x, ),

worin d ie Koordin atenpaare (x l ' YI)' (x 2' Y2) lind (x 3' Y3) d ie Eckpunkte eines Dre iecks im loka len kart esischen Koordinatensystem sind. Zwei Möglichk eite n der Integration unter Benutzung von Gauß-Punkten sind im nachfolgenden Bild 7.24 dargestellt. Das erläuterte Kon zept ist auch gee ignet. be liebig krumml inig umrandete Geb iete zu erfasse n. Hierzu müssen allerd ings die benutzten Transformationsbez iehungen entsprechend erwei te rt werde n.

20'd~ ~3 /

3_':..,.(~ _2 ~2

-- -

I"

~I

I

'

~

5. Ord nung

4/

I

I

,*,p!

-

-'"2 ~ ~!; l ' -, 3 5

""" ~

;

" " "

1

0,5

0,5

0

2

0

0,5

0,5

3

0,5

0

0,5

1

1/3

1/3

1/3

2

a

b

3

b

a

b

b

5

c

c

6

d

c

7

c

d

2 Wj

0,3333 3333

0.22500000

:] :] -------------- ----------------- _. 4

0. 1259 39 18

0. 132394 15

a "" 0.7974 2699

b =0, 1012865 1 c > 0,470 14206 d = 0.0596 1587 Bild 7.24 : Gauß-Punkte in zwe i Dre ieck bereichen IDAN 771

7.3 Platten-Elemente 7.3. 1

Belast ungs- und Bea ns p r uch ungsz usta nd

Eine Platte ist in Wirklichkei l e in dreidim ensionaler Körper mit entsprec hende r räumlicher Ausdehn ung. Um diesen ei nfach betrach ten zu können . wird er mittel s einiger Vere infachungen in ein zweid imensionales Probl em überführt. 1m weitesten Sinne kann eine Platte auch als ein zwe id imens ionaler Balken aufgefasst werden. was beisp ielsweise für einen Stre ifen ab einem Seite nver hält nis b/a kleiner von 0.3 ohne Weitere s zuläss ig wäre.

7 Elemen tkatalog für e lastostatische Probleme

140

Das wese ntliche Merkm al der Platte ist. dass d ie äußeren Kräfte (Fz. pz ) sen krecht zur Mittelebene einge leitet werden und demzufo lge e ine Absenknng (w) w ie auch Neigung ($,. . qJy) der Mittelebene auft ritt. Dies ist im folge nde n Bild 7.25 prinzipha rt dargestellt.

', U

~x :/:: ' ~t.l-.- - - - -~--. ,

[/ik:. ,v

W

/

--

- ~-- . -

z,w

Q .\

-

-

--

-- -_ -_ --"J---==OJ

_

.A'~"":--

P,.

w' =$y

Bild 7.25: Verfonnungsannahme n an einer Platte

An den Rändern treten m ir der Querkra ft Q " . dem Biegemom ent M y und dem Tors ions-

moment M xy zu den Verschiebungen äquivalente Schnittgrößen auf. Wie beim Bal ken kann au ch de r Verformungsz usta nd der Platte allein aus der Durchbiegung de r Mittele bene bestimmt werden. Mit dem hie rfür gültigen Verzerru ni,szus tand von G I. (5, 113) und den Annahmen der Kirchhoff'schen Theorie dünner Platten I /II AH 75/ kön nen da nn folgende Verschiebu ngsgröße n de finiert werden:

u"cl

w = w(x.y) , dW u =-z· d'

dW

(7. 105 )

v = -z 'ä; ' Dam it lässt sich der gesamte Verfo rmu ngszustand alleine mit de r Durch biegun g w besch reiben. Die hierin noc h vorkommende n Ab leitunge n sind die Querschnittsve rdrehunge n (I!l x. I!ly ) um die x- bzw. y-Achse

dW

o, =;iy' " Anmerk ung: Hci dicken Platten od er Sandwichplanen muss dcr Schubcmfluss berückst chtigt werden. Hierfür ist der ..Reissncr-Mindlm-A nsatz" am besten geeignet. In vielen Fli-Programmcn ist dies

rurPluucn die vorcmsrcüung.

7.3 Platt en-Ele mente

14 1

Für d ie Verze rrungen er hält man som it

au aX a,

-

Eu

=

EH

ily

Uu a, -+-

Yxy

iiy

iix

= z·

a' W aX' a' w

(7. 106)

ily' (l 2w

- 2-

-

()x(ly

Wie sic h leicht überprüfen lässt, fo lgt weiter 'i yz = 0 und "1 XI- = O. D ie zwe iten Able itungen werden gewö hnlich als Krümm ungen ")

K

x = -

a'w iix 2

(7 . 107a)

'

und die gem ischte Ab leitu ng als Verwi ndung

= ---

(7. 107b)

axiiy

bezeichnet. Mit dem Hooke'schen Gesetz für den ESZ (a n = O. tu = t yl =

0)

folge n dann fllr die

Span nunge n

(7. 108)

Durch d ie Abhängigke it von der z-Koo rdinate werden über die Dicke lineare Spannungsverläu fe ausgewiesen. Auf den beiden Deckflächen sind diese Span nungen maximal.

" Anmerkung. Für das Vorzeichen ist eingeplant: positive Durchbiegung nach unten und positives Moment erzeugt negative Krümmung,

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

142

Diese Spannu ngen müsse n weiter als Resultierende aufgefasst werden, aus denen man durc h Integration über der Plattendicke so die Schnittgrößen Biege- und Tors ionsmomente pro Längenei nhe it erhält: <12 In }'

q,

I

=

(J~\

- <12 <12 Tv = - <12

I

. Z

-dz, mx =

<12

<12

I

a yy . z· dz,

rn .\ )'

- V2

=

In }' ,

=

I

r

- <12

xy

. Z -dz,

<12

. dz,

I

qy =

(7. 109)

Tyz ·dz.

- <12

Wie sich diese Schnittgröße n erge ben. zeigt Bild 7.26 für einen normierte n Einhe itsschnitt (x = konst.).

· dA= O" :-,, · \· dz

, Bi ld 7.26: Z ur Besti mmung der Schnittg rößen ( nach 15Z1821)

Das Gleichgew icht (r aller Kräfte und L aller Mome nte g leich null) liefert

i)q

aq"

-' +. + p [x y) =O {Jxdyz

'

,

um\, (Jm . \ - _. + - - X" - q = O. dy y'

(7. 110)

ux

=

o.

Aus den Gleichgew ichtsbedingungen GI. (7.110) fo lgt durch rek ursives Einsetzen Q uerk räfte d ie Drei-Momentengleichung -

ruf die

u(um um,, ) u(um, um,, )

~

-

-' + - _.-

~

~

+-

~

-_ . +- - ' ~

~

+pz(x. y) =O -

(7. 11 1)

bzw. 2

ihn ----tu,

2 um XY +2 .- _. ~

u,ily

~

um" ily

2

+ --,- + Pz( x, y) = 0 , .

7.3 Platten-Elemente

143

Unte r Vervvendung der Beziehungen G I_(7. 107) bis (7.109) erhält man weiter

m, = - E- 2 I- v

-k\ + V- Ky)' -112 J z 2 dz = 1/ 2 J

J

3 2 2 E' 1 ( aw aw ( , ) ' - ,- + V' -,-, 12 · t -.v dx dy

3

E 1/2 2 E·t m y = - -2' (V' Kx + Ky ) ' z dz = ( I- v -t/ 2 12 · I - v In xy

2

W 2)' ( v 'd-, -

dX

2

J

dW + -,- , dy

(7.112)

1/ 2 2 E· t 3 dw 2 - - Kw ' z dz = - ",,"'''---cl+v - - tl 2 12· (I+v ) dXdy

= m ~x = -

E

J

Das Einsetzen von GI. (7. 112) in GI. (7 .111 ) fuhrt auf die partielle Differenzialg le ichung der Plattenb iegung

(7.11 3) welche die Durchbie gung mit der Last und d ie Ste ifigkeit verknüpft .

7.3.2

P roblema tik der Pla tteu- Elenr en te

Mitte ls des FE-Ansatzes so ll die vorstehe nde DGL linearisiert und als G leichung ssystem in w ("" Durchbiegung) form uliert werden. Als Knote npunktparameter sind d iesbezüglich die Durchbiegung wi und die entsprechenden Ableitungen lP :>.:i . lPyi anzu sehe n. Die im Kapitel 6 für zulässige Ansätze formulierten Bedingungen müssen jedoch bei der Platte e ine Erweiterung erfahren. und zwar ist jetzt zu fordern . dass d ie Durchbiegung w(x . y) sowie auch ihre Normalenableitung dw/dn an den Elementrändern stetig auf die Nachbarelemente /G AL 761 übergehen. Dies ist dann gegeb en. wenn sowohl die Durchbiegung als auch die Normalenableitung an jedem Elementrand eindeuti g durc h die Knotenpunktpara meter bestimmt sind. Mittels dieser Forderung ist g leichze itig gewährleistet. dass der Materialzusammenhalt zwischen den Elementen bestehen bleibt und kei n Knick bei m Übergang von einem Element in das benac hbarte auft ritt. Die für die Plauen-Elemente aufzustellenden Ansätze so llten diesbe züglich erftillen /HAH 75/: -

Vollständig keil des Verschiebungsansatze s zur Gewährleistung einer guten Konvergenz

""d

Einschluss der G lieder I. x. y. x2 . xy. ; , um Zuständ e veränderlicher Verzerrungen, Krümmungen sowie auch Starrkörperv erschiebungen erfassen zu können.

Mit dem pascal'schen Dreieck wurden ein fuhrend schon Po lynome zusammengestel lt, die die vorstehende n Bedingungen erfülle n. Im Fall der Plallen-Elemente stoßen wir hier aber auf eine neue Schwierigkeit. Beim Balkell-E lemel1l ist hera usgestellt worden , dass die Bie-

7 Elementkatalog für e lastostatische Probleme

144

gu ng mit eine m vo llständ igen Polynom 3. O rdnung beschrieben werden kann. Wie w ir aus dem Bild 7.27 aber entne hmen könn en, hat ein Polynom 3. Ordnung j edoch zehn G lied er. Unte r der Voraussetzu ng. dass ein PIa ffen-Element pro Knoten drei Freiheit sgrade hat, wäre also heim Rechteck-Element ein zwöl fgl iedriger Ansatz und beim Dreieck-Element ein neung liedriger Ansatz er forderlich. In der üblichen Bauform wä re di eser aber nur unvcllständ ig ode r überzählig au fzu stellen .

,)

,

n

CD

z

x

Q) b)

0)

@ 4>}3

CD

4l x3

/

w3

Q)

4l y3

0)

4l x3

w3

Polynomgl ieder

c)

,

x

,2 ,2,

,3

,4

n

,3,

" x2y 2

,,'

3

" ,,3

6 ,3

10

"

15

Bild 7.27: Freiheitsgrade an Pfa llen-E lementen a) rech teckiges Element mit 12 FHGs. b) dreieck iges Element mit 9 FHOs c) Pascat'scb es Dre ieck m it Ansatzfun ktionen

Ents prec hend des Au fbaus des Ansatzes kön nen nu nmehr zwe i Ga ttungen vo n Platten-Elementen /HAH 75/ formuliert werden, und zwa r

- verträgliche (so genannte konforme ) Elemente, bei denen die Ve rsch iebung und die Ve rdreh ung stetig zu den Nac hbarelementen übergeht, und nichtvertragiiche (so ge nan nte nichtkonforme) Elemente, d ie nur die Stetigke it der Verschiebungen verlangt, während die Verdrehung d ie Stetig keits forderung verl etzen darf. Die dadurch bei der Elementformulieru ng entstehende n Pro bleme wollen wi r nach folgend nur ku rz an sprechen . Vor der e igent lichen Elementbesc hreibung so ll aber noc h e inma l zusammenfassend der auf Plal1en-Elemente angepasste FE-Formalismus dargelegt werden . Wie schon ausgeführt wird dab ei fiir d ie Durch biegun g mit

7.3 Platten-Ele mente

145

w(x.y) = G(x.y)· d

(7.114)

in bekannter Weise e in Ansa tz gemacht. Die Verschieb ungsg rößen an den Knoten wählen wir zu d ,1 =

[w,. ",," xi

(7.115)

und d ie zuge hörigen Knotenkräfie zu (7. 11 6) Die Definition dieser Größe n zeigt noch e inmal Bild 7.28.

x

aw

~ =~~ y

"w ay-=$,

M yi

C1 .: jCDQ,

."

M

.XI

11

Bild 7.28: Verschiebungs- und Kraftgrößen am Knoten e ines PIaffen-E lements

Für d ie Verzerru ngen (s. auch G I. (7.106» kann so wieder der Zusammenha ng e

e

z- Jr-w

hergestellt werden. Wird dari n der vorstehende Ansatz eingeführt. so wird daraus &= z · O · G · d = z · n · d .

(7. 117)

Hierin lautet die B-Matrix für e inen Knoten:

"' ",' a'

Uy'

a' a,Uy

- 2-

(7. 11 8)

7 Eleme ntkatalog für e lastostatische Probleme

146

Damit sind wir Jetzt ge mäß G I. (7.109) in der Lage, als weitere Beziehung d ie für die Mittelebenen verformu ng maßge blichen Sch nittmomente (pro Seiten länge) anz ugeb en, und

zwar zu

"2

III

(7. 11 9)

= [ e vz dz .

-"2

Wird hierin die Spannung durch

ersetzt und dies in G I. (7. 119) berüc ks ichtigt, so folgt (7. 120)

Die Elementstcifigke itsmatr ix kann so wiede r unter Heranziehung des Energ ieprinzips ge wonne n werden, und zwar gilt tUT d ie innere Formä nderu ngsarbe it der dün nen Platte

'2 I E ' • E p . E dV

Wj = I

(7. 121)

V

bzw . für eine vi rtuel le Ver zerrung oWj=jO&I ' [p .t:dV =f

v

"2

J

A - 1/2

15EI ' [ ESZ ·z2dz .t:dA =jO&I . m dA .

( 7. 122)

A

G leich gewicht liegt vo r, wenn die äußere Arbeit de r Knotenkräfte gleich de r inneren Arbe it ist: ödl . p = 8d l J B 1 . EI" B dV ·d . (7. 123) V

Damit liegt die Beziehung zur Bildung der Elementste ifigke itsmatrix m it

k = Jn l

' [ I' . B dV

(7. 124)

V

fest.

7.3.3

Rechreck-Platten -Elem ent

Auf das e infac he 4-k notige Rechteck-Platten-Element ge hen die erste n Bemühungen zurück. Plattenprob leme mit der FEM zu berechne n. Ein derartiges Element ze igt das Bild 7.29.

7.3 Platten-Ele men te

147

Bild 7.29: Rechteck-Pfaffen- Element (nach /HA H 75/)

Mit den einge führten Knotenparametern (s. GI. (7. 115)) liegen som it 12 Freiheitsgrade vor,

für die es ein Ansatz zu machen g ilt. Unter Berücksichtigu ng der zu vor form ul ierten Ansatzbedingungen bietet es sich zunächst an. ein unvollständiges Polynom 4 . Grades mit 12 Koeffizienten zu wäh len. Im Pascal-sehen Dreieck sind dies die folgenden G lieder:

x ,2

,3

y

y2

'y , y2

, 2y

, 3y

,4

,'I

y3 , y3

Y'

wom it de r Ansatz

w(x . y) =U ) + u l' x + u 3' y + U4 · x l + u5' x ' y +u 6 ' yl + u 7 . x 3 + Ug . x 2 . Y + Uq . x . y2 + a 10 . y 3

+ a ) I . x3 . Y +

(7 . 125a)

cu . x - y 3

erstellt werde n kann. Dieser kann symbolisch auch als

wfx, y) = NI · u

(7. 125b)

mit

,

y

(7. 126)

7 Eleme ntkatalog für e lastostatische Probleme

148

gesc hrieben werden. Im We iteren wol len wir kurz unters uchen , ob dieser Ansatz stetig und som it zu anderen Elementen kompatibel ist. Aus G I. (7 . 126) fo lgt. dass sic h an e inem Eiementrand y = 0 d ie Durchb iegung als kubisch es Polynom (7 . 127 ) ergibt. Die hier in auftre tenden vier KoelTiz ienten

ßi

kön nen da be i eindeutig aus de n vier

Knoten bedin gungen wI (O. O). w [' (o, o). "' 2(a,o) und w 2'(a ,0) best immt werde n. Für die No rmalenableitu ng

(

dW(X. O))

an

= YI + Y2 ,s +Y) _s2 + 14 _53

(7 . 128)

Rand

ergib! sich ebenfalls ein kubisches Polynom , welches durch die zwei verfügba ren Knoten-

größenab leitungen jedoch nicht eindeut ig bestimmt ist. Insofern liegt also eine Unstetigkeit der Randn eigun gen beim Übergang zu de n Nach ba rele menten vo r. Deshal b sp richt man hier von eine m so gena nnten nichtvertr äglichen Element, obwoh l man bei seiner Anwendung ausre ichend gu te Genauigkeiten erz ielt hat. Die dargelegte Sc hwierigkeit läss t sic h umgehen . wenn man die Knote nfre ihe itsg rade des l'Iauen-Elements erhöht . Als Mög lichke it bes teht dazu noc h. die ge mischte n zwe iten Ab leitungen zu berücksich tige n. Der Knoten verschiebungsvektor lautet somit: d jl = [Wj

tp~i

tpyi

K ~yj l .

(7 . 129)

Das Element weist dem zu folge 16 Freiheitsgrade auf und erfordert einen 16-gliedr igen Ansatz. ln der Literatur schlägt man hier für ein unvo llständ ige s Polynom 6. Gr ades folgender Ba uform vor:

y

x

,2 ,3

,6

"

x'y x3y

,4

,'y

,'y

y2

'y

,,,,

y3 ,y3

,Y'

, 3";

;(3/ x4y 2

, y2

x3y 3

x2y 4

Y' y' ,y '

l

(7. 130)

Die Ansatzfunkt ion lautet so mit: Nt = [1 x y x2 xy

i

x3 x2y

xl l

x3y

x2i xl

x3y 2 x2y3 x3y3]. (7 . 131)

7.3 Platten-Elemen te

149

Prüft man auch hierfür die Stetigkeit, so stellt man wieder fest, dass für die Randdurchbiegung ein kubisches Polynom und für d ie Norma lenableitung am Rand ein quadratisches Polynom maßgebend ist. Im Gegensatz zu vorher stehen jetzt aber ausreichend viele Knotengrößen zur Verfügung. sodass alle Koeffizienten ßi . 1i eindeutig bestimmt werden können. Da nun die Durchbiegung und die Randableitungen stetig auf die Nachbarelemente übergehen , spricht man hier von einem vollverträglichen Element, Die zu dem Freiheitsgrad 1(.~yi korrespondierende Kraftgröße hat hingegen keine direkte phys ikalische Bedeutung, da sie weder Kraft- noch Momentencharakter aufweisen. Auf d ie weiteren Schritte bis zur Herle itung der Elementsteifigke it soll hier nicht eingegange n werden. weil diese sich in dem bekannten Schema vollzieht. Der Vollständigkeit halber sei jedoch umseitig die Biegesreijigkeirsmatri.. des Platten-Elements mit 12 FHGs angegebe n.

152

7.304

7 Eleme ntkatalog flir e lastostatische Probleme

Dreieck-Platten- Element

Wie be i Scheibenproblemen gilt auch für die Plattenproblematik. dass rechteckige Elemente nur se hr begrenzt e insetzbar sind. Eine größere Var iabilität in der Mod eliierung bieten naturgemäß DreieL'k- Eleme nte. In Ana logie zum vorausgegangenen Kapitel wollen wir hier zunächst ei n Dreie ck-E lement (s. auch Bild 7.27 ) m it drei Knoten. also 9 Freiheitsgrade, betrachten. A ls Knotenverschiebungsvektor ist dann w ieder G I. (7. 115) maßgebend . Se itens der Ansatzfunkt ionsb ildung zeichnet sic h dabei nur die Mög lichk eit ab . einen kubischen Durchb iegungsansatz mit w(x. y) = ul + u 2 . x + u 3 . Y + u4 . x 2 + u 5 . x . y + U6 . y 2 + U, . x 3 + Ug . x 2 . y + u 'ol . X • Y2 + ulO . Y3

(7 . 133 )

und 10 Koeffizienten zu wähle n. Ein Koeffiz ient ist hierbei über zählig und muss gesch ickt eli miniert werde n. Elementformulierungen. bei dene n ein Koe ffizient weggelassen w urde, haben sich bei Tes trechnu ngen als unbrauchbar erwiesen. Strategien. bei denen best immte Koeffizienten zusammengefasst wurden . ze igten hingegen gute Ergebn isse. Bewährt hat sich in d iesem Sin ne der Ansatz

(7 . 134 ) + u, · x 3 + Ull(X 2 · y + x· y 2) + U'ol·Y 3 . de r fü r jeden Frei he itsgrad einen Koeffi ziente n au fweist und insofern vollständig ist. Führen wir mit diesem Ansatz nun auc h wieder die Stetigkeits prüfung du rch, so liegt für d ie Randdurchb iegun g ein kub isches und für di e Randableitung ein qua drat isches Poly nom vor. Mit den angesetzten Knote nfre iheitsgraden ka nn also auc h hier die Randübergangsbed ingu ng nicht stet ig ge ha lten werden . Das 3· knotige Dr eieck-Pfauen- Element mit e inem Ansatzpo lynom 3. Grades ist som it als nictuvertr ägiich einz ustufe n. Wie bis jetzt er kannt wu rde , ist d ie Norma lenableitung (hv!dn maßgebend für die Nichtkon-

formität der Elemente. Es hat in der Forschung insofern nicht an Bemühungen gefeh lt, ko nforme Dreieck-Pfa ffen- Elemente zu entwicke ln. Auf diese Mögli chke iten so ll an dieser Ste lle j edoch n icht tiefer e ingega ngen werden. Ein bekann ter Weg. ve rträg liche Elemen te zu gew innen , besteht im A llgemeinen darin. die Knotenfrei wert e zu erhöhen. Wählen wir w ie im Bild 7.30 darge ste llt ein ö-knotiges Element und führen hierfür fo lgende Freiheitsgrade

d ,_1 =

[w ,- " xi "1'"

tp yi

K

xyi 1 für Knoten i == I , 2. 3

(7. 135a )

4, 5. 6

(7. 135b)

und für Knoten j

='

7.3 Platten-Ele mente

153

e in. so liegt ein Element mit insgesamt 2 1 Freiheilsgraden vor.

z, w y

CD

---

®

Q)

Bild 7.30: Dreieck-Pfarren- Element mit 6 Knoten Den höheren Knotena bleitungen können aber wieder keine physikalisch deutbaren Kraftoder Moment engrößen zugeo rdnet werde n. Mit den 2 1 Freiheitsgrad en besteht j etzt aber die Möglichkeit. ei n vollständiges Po lynom 5. Grades (s. GI. (7.130» mit genau 2 1 Koeffi zienten anzusetzen . Aufeinem Rand verändert sich somit die Durchbiegung wRand ebe nfalls nach dem Polynom 5. Grades. dessen sechs Koe ffizienten aber mit den hier verfüg bare n sechs Knotengrößen (w(x. oli. i- w'{ x. oli. j und lC"y.i.

j)

best immt werden können . Die Norma lenab leitung (hv!an )I~and verläuft hin-

gege n nach einem Polynom 4. G rades. dessen fünf Koeffi zienten durch die Ableitungen 2w (hv/an )i.j' (a !()n .()t)i.j am Eckknoten und durch (()w!ihl)k am Zwischenknoten gegeben sind. Die Norma lenableitungen am Knoten bildet man nach der impliziten Differenziation (7.136) Diese Formulierungsfe inheiten berühren abe r in der Regel den Anwendet nicht. da sie programmspezilisch ge löst werden. Daher wollen wir die Problematik der Elementformulierungen nicht weiter vert iefen. um uns praktische ren Fragestellungen zuwe nden zu können.

7.3.5

Konverge nz

Von allgeme inem Interesse ist es bei der Lösung von Plattenproblemen abzuwägen. ob man besse r Dreieck- oder Rechteck-Elemente für e ine Idealisierung verwendet und wie gut diese Elemente letztlich sind. Im Bild 7.3 1 ist eine derartige Konvergenzbetrachtung an einer fest ei ngespa nnten quadratischen Platte unter g leichmäß iger Flächenlast bezüglich der Durchbiegu ng in der Mitte durchgefü hrt worde n.

154

7 Elementkatalog fllr ela stostaris che Probleme

x

A

t »

a

2

E ::: 210000 N/mrn2

a = 300

,. /

y

., 4 P'' ---,,-w tbcor, = 0.0 14,-, E .t J

6

S.L--, - - - ------,---- - - , - - - - - - - , - - - - 4 x4

2x2

8x 8

16)( 16

Elementnetztei ler - - • "I). p ~Netz

2x 2

4 x4 8x8

16 x 16

0

w = 6,37 w = 6.5 7 w = 6,64 w = 6.66

~ 6,04 6,5 1

6,63 6,65

D 6.72 6,67 6,67 6,67

Ld 5,77 6.37 6,61 6,66

Bild 7.3 1: Konvergen zrec hnung mi t Pfa uen- Elementen nach Kirch hoff-Th eorie

Am Erge bnis der Aus we rtungen erkennt man bei einer Idealisieru ng der Vie rte lsymmetrie der Platte mit versc hie dene n v er feinerun gsgrad en. dass hier die Rechleck-Pfafl en- Elememe se hr schne ll und gut konverg ieren. Dem gegen über ze igen die Dl'cieck- PlUlfcn-E lemcnle ein

deutlich schlechteres Verhalten. Ein Phänomen ist, dass die quadratischen Elemente etwas sch lec hte r konverg ieren als die linearen, man nennt diesen Eff ekt .Locki ng". Ursache dafü r ist, dass der Ansatz die Sc hubverzerrung überbewe rte t und som it die Durchbiegu ng bloc kiert. Man kan n dem geg ensteue rn durch eine reduziert e Integration; dies führt zu einer energiefreien Ve rformung (hour-glass-mods).

7.3 Platt en-Ele mente 7.3.6

155

Schubver for mu ng am Plattenstreifen

Wie beim Balken -Elemente so llte auch be i dick en. kurzen Platten-Elementen die Sc hubverformung nicht vernachlässi gt werden. d. h.. das Mod ell vo n Kirchlu1J ist mit dem ReissnerMindfin-Ansatz zu erwei te rn. Um das Probl em für die Darstell ung zu vereinfachen. w ählen wi r wie im Bild 7.32 gezeigt einen Plattenstreifen. an dem man späte r die Glei chun gen für die Ebene verifiz ieren kann .

qy

@

Q)

=:=+ - -f - -E

~ I

>--L

z,w

Bild 7.32 : Schu bver for mung am Plattenstre ifen (nach /G AL 761)

Das Modell fU r ein Plattensteifeu-Element kan n ein Kragarm [z. B. zw ischen den Knoten @ und (1» sein. da jeweils nur die relati ven Ver schiebun gen interessieren. Für die Schubabsenku ng am Knoten (1) zufo lge Querkraftb iegung kan n somit angegeben wer de n:

_

W S3

= YX/ '

L _ 2 (l + v) Q z3 · L -

A· E

(7. 137)

.

Damit kann die fo lgende Flexibilitätsgleic hung für das Element unter Berück sic htig ung der Biege- und Schubnachg iebigkeit aufgestellt werden: L3

--- +

2(1+v) . L :

3E · J .v

A ·E

L2

,---

,, 2E . J,

----------------~------

L2

-2E-. \.-

:

L

, ! E .Jy

J~~-1' l

(7.138)

M y3

Inve rtiert man d iese Beziehung, so erhä lt man beispiel sw eise fiir den erste n Koeffi zienten de r Ste itigkeitsmat rix

=

12 E· J ~

L3

[ I +24 (1

+v~] A ·L

(7.139)

womit jetzt Biegung und Sc hub in der Elementste ifigkeit berücksichtig t sind. Schubverfo rmung spie lt insbesonde re bei sc hubweic he n Kon strukti onen wie Sandwichplatten eine große Rolle. Um d ies ausz utestcn. wählen w ir als Beispiel einen Sandwic h-Platte nstreifen. den wir mit gee igneten Sandw ich-Elementen er fasse n wo llen. Wicht ig ist hierbei.

156

7 Elementkatalog

ruf elastostarische Probleme

dass Schichten unterschiedlicher Steifigkeit beschr iebe n werden könne n, welches in den meisten Programm systemen ohne We iteres mög lich ist.

Pz

L = JOO~-----"'''

Daten:

, oL'(' J

EH "" 70.000 N/mm 2

\\ th 'M ' = ~ 24 + 1V

VII =: 0,33 G I( '" 450 N/mm 2 v I\. = 0,36

Pl = 0,5 N/m m2

t

EII ' v H

~ CD

rnit lj/ = \ \ r EM

GI\.'

CD

= 4.9m m

2·B 2

G I;. · d· L

= 4.8mm

VI(

Bild 7.33 : Konvergenzrech nung mit so genannten Sandwic hplatten-Elementen am Platten-

streifen) (Index : H = Haut, K '" Kern Der im Bild 7.33 geze igte Balken soll eine Sandwic htragkonstru ktion darstellen, um e inen einfac hen Vergleich zwischen der theoretis che n und der FEM-Lösu ng herstellen zu könn en. Die Rechnung ze igt. dass bere its mit wenigen Element en e ine recht gute Konvergen z zur theoreti schen Lösung hergestel lt werden kann. Der Fehler liegt etwa bei 2, 1 %.

7.3.7

Beulp ro blemat ik

Als ein grundlegendes Problem im Blechleichtbau lind daher der Plattentheorie g ilt die Erfass ung der Be ulung, und zwar in ebenen Tafe l- oder in Profilblechen. Würde man hier stre ng physikalisch klassifizieren. so tritt Beulen eige ntl ich bei druckbelasteten dünnen Scheiben auf. bei denen die Mittelfläche unter der Einw irkung von Randk räften ausbiegt. Die e lastischen Verhä ltnisse kön nen dabei al lerdin gs nur erfasst werden. wenn wir von einem Plattenzu stand ausgehen. Der Unterschied in der Betrachtungswei se zwischen Plattenb iegung und Beule n se i im Bild 7.34 hervorgehoben.

7.3 Platten-Ele mente

157

,)

b)

-

/,/'t 1

/

,,

, _

p ,

Bild 7.34: Untersch iede in den Kraftw irkungen bei Biegung und Beulu ng (nac h IKOL 58!) dün nwandiger Platten a) Kraftrichtungen bei Biegun g mit äußerer Last pz b) Kraftrichtungen bei Beulen mit rückdrückender Last - p , Bei der Planenbiegung wirkt mit pAx. y) eine positive äußere Flächenlast. die mit den entsprechenden Sc hnittkräften im G leic hgew icht steht. Bei der Plattenbeulu ng wird hingegen von e iner ausgelenkten Mittelebene ausgegangen und d ie Kraftgröße -P,.(x ,y ) bestimmt, die d ie Beulun g zurückformt. Die dabei wirkenden Druck-Schnittkräfte können hier als äußere Lasten angesetzt werden, die d ie Vorverformung bew irkt haben. Diese werden gewöhnlich linienhaft bzw . pro Seitenlänge definiert zu bezeichnen Biegemomente je Seitenlänge mxy- myx bezeichnen Drillmomente Je Seitenlänge n x' ny

bezeichnen Normalk r äfte je Seitenlänge

qxy- qyx

bezeichnen Querkräfte je Seilenlange

158

7 Elementkatalog

ruf elastostarische Probleme

(7. 140)

--+ ny= O" n"t .

Unte r der we iteren Annahme , dass wir es mit linear e lastischem Verhalten der Platte zu tun haben, kann HiT die Durchbiegung d ie SI. Venam'sche DGL (nac h 1$2 1 82/ auc h Beulgleichung)

.(

U'W - +2 q

ß · M w = p ( x. y ) = n · l

x

ox2

x~

·-u'w- + n .- -U'W -] dXOy > iJy 2

(7. 14 1)

mit der Plattenbiegesteifigkeit (7. 142)

zu Grunde gelegt werden. Hierbei werden j etzt die äu ßeren Druckkräfte positiv gezäh lt. lnfolge e iner angenOlr menen se hr kleinen Anfangsdurchbiegung w der Platte ergeben sich große Verzerr ungen ) der Mittelebene in der Beul-Vorzugsrichtung zu

UW)' . 2\ dX

=lf

uw .. = lf 2\ Uy )'

f"

und

dw dw y xy = -iJ, . -iJy-

(7. 143)

Der damit verbunde ne Verformungszustand muss von einer defin ierten Formä nde rungsenerg ie ISZI 821 aufrechterhalt en werden. Die erforderliche Größe kann angegeben werde n zu

">Anmerkung: Ve rzerrungen

bei großen Geometrieände rungen setzen sich aus einem linearen Antcil und einem geometr isch nichtlinearen Anteil wie folgt zusammen:

"9

7.3 Platten-Elemente

{ (ilW)'

WR = 21 !n ~ ä;

+2

Q XY

(ilw)(ilW) (ilW)') "

' ä; ' -ay +ny -ay

dA .

(7. 144)

Diese Gleichung kann auch rnatriziell gesch rieben werden als

] =-'I[ilw ilw ].[' "].[idWil,lW "

WR

2 AdXdY

q

-

(7.145)

dA.

Qxv

nv

.

.

-

ily

Machen wir je tzt wieder mit

W('. y) = G (,. » · d unseren bekannten Ansatz, so können die vorstehend benötigten Ableitungen ersetzt werden durc h

(7.146)

Damit kann für die Arbeit ( Kraft x Weg ) auch angegeben werden:

q,,]

G -

ny

1, 1 , · d dA w-r p · d = - d · k G -u.

2

2

(7. 147)

Mit (7.148)

wurde hierbei eine Matrix abgespa lten. die geometrische Stelfigkeitsmcurix heißt. Vielfach wird in der Literatur auch die Bezeichnung Anfangsspan nungsmatrix benutzt. um auszudrücke n. dass diese Matrix nicht nur von der Geometrie. sondern auch VOll dem Anfangsverformungszustand abhängig ist. Die geometr ische Steifigkei t macht sich besonde rs im richtungsabhängigen Widerstand gege n Beulen beme rkbar. Demzufolge lassen sich in Richtung der Seitenlängen die Steifigkeiten k Gx ' k Gy und die Diagonalsteifigkeit k Gxy de finieren. Oh ne nähere Ausrechnung sind diese drei Matrizen für konstant dicke Platten umseitig aufgeführt worde n.

J

- ")' \ ·d A + .. . ' I"' . (J ,)x

·1A nmerkung: Arocil .. W = e . e dV =- _

v

2A I

7.3 Platten-Ele mente

163

Setzt man j etzt we iter für das Benlprobl ern das Prinzip der virtuellen Arbeit an, so gilt

sw =

SWn -SWR

')

(7. 152)

ode r für ei n Element die Steifigke itsbeziehung p = (k ll -k c; ) ·d .

(7. 153)

Hierin wird mit k B gemäß G I. (7. 132) die normale Biegesteifigkeitsmatrix bezeichnet. Mit d iesem Elementz usammenh ang kann dann auch in bekannter Wei se der Syste mzusam menhang (7.154) hergestellt werden. Wie das allse its bekannte Knicken stellt auch Beulen ein Instabilitätsproblem dar. Eigenart jedes Instabilitätsproblems ist. dass nach dem erste n Eigenwert einer Bauform (erster möglicher Verformungszustand) gefragt wird, wobei die Größe der äußeren Kraft keine Ro lle spie lt. Im vorliegenden Fall sind mit Ilx - ny und q dennoch äußere Lasten vorhande n. Mit proportionalem Anwachsen d ieser Lasten um t.... nx , t.... ny , t... . q wird jedoc h d ie Ausbiegung größe r werden, weil sich d ie geo met rische Ste ifigkeit ändert . In diese m Fall ist also das fo lgende spezielle Eigenwertprob lem

(KIl -t... · KG ) · U = O

(7.155)

zu lösen. Ein Ausbeulen der Platte tritt somit ein, wenn für ein bestimmtes A eine nichnri viale Lösung von G I. (7.155) ex istiert. Der niedrigste Load-Faktor A ergibt dann die kleinste Beulla st. Für die Lösung von Eigenwertp roblemen der vorstehenden Art gibt es numerische Standardlose r. die nach Umform ung der vorli egenden G leichung rezeptmäßig anwen dbar sind. Um diese Grundform zu erreic hen. machen wir zuerst wieder von der Dreieckzerlegung (s. auch GI. (5.104)) bei der Matrix (7.156) Gebra uch. Als Nächstes multiplizieren wir die GI. (7.148) von links mit der inversen transponierten Dreieckmatrix und Klammern noch gee ignet aus, sodass folgende Gleichung (7. 157) bzw. d ie Universalfor m

0)

Anmerkung: Gcsanubicgczustand minus Anfangsdurchbiegung = Verformungsarben

7 Elementkatalog fllr elastostarische Probleme

164

(7. 158) vorliegt. Die Lösung erfo lgt sodann für den Eigenve ktor X • . der mitte ls der Rücktranstor-

mation IST O 73/ U = L.- 1. x ·

(7. 159)

wieder dem Problem angepasst wird. Über den Versch iebungsvektor U, der h ier noch auf Eins norm iert wird. können so alle Beulgru ndformen ermittelt werden. Ein typisches Anwendungsproblem hierzu zeigt Bild 7.35. Aufg abensteIlung ist es dabei. die verschiedene n Bculformen eines eingespa nnten Profilstabes unter einse itigem Druck zu bestimme n.

.)

b) B u ckL1 n~

c)

Loa d Fa ee or : 2 .0

d) Buelcl.l.1'l.Q Load r"'<:1;O<: '

1 .6

Bild 7.35: Beulin stabilit ätsfonnen eines druckbeanspruchten Profilstabes

Für die Lösu ng eines derartigen Problems kann ein Pfauen- oder ein Schalen*E lement herangezogen werden. Die Software muss dann über einen Instabilitätsmodul verfüge n. der die auftretenden Verformungszustände sicht bar machen kann. Die Abbildung zeigt in den Fenstern a. b, c exemp larisch die Eigenformen eines Z- und Doppcl-T-P rofils. Ergänzend ist

7.4 Scha len- Elemente

165

jeweils de r Effekt für eine n gebördelten Flunsch im Fenster d dargestel lt. Man er kennt, dass scho n e ine ku rze Bördelun g geeignet ist, eine n Flansc h wesentl ich zu stabilisieren. wodurch auch die Tragfähigkeit unte r Druck angehoben w ird. Ein weiteres Experiment zur Instabilität ist im Bild 7.36 an einigen dün nwand igen Rohren vo rgeno mmen worden.

b)

a) Buckl 1ng Load Fac cor: 1.0

Buc k~n g

Load Faccor : 0 .8

Bild 7.36: Beulinstabilitätsformen eines druckbeanspruchten Rohrs

Man erkennt seh r schö n die verschiedenen ß auform en und be i etwa gleiche n geo metrisc hen Ver hä ltnissen übe r den bezo genen Lastvektor auch den Widerstand gegen Beul en.

7.4

Schalen-Elemente

Die Bedeutu ng von Schalen-E lementen hat mit dem fortsch reitende n Le ichtbau enorm zugenommen . Überall dort, wo dünnwandige Bauteile (z. B. Fahrzeugkarosserie. Behälte r, Gehäuse etc. ) mit teils mehrachsiger Belastung nachgebildet werde n müssen. ist das Anwcndungs fe ld von Scha len. Insofern so llen auc h SchulclI-Elemente kurz dargestellt werden . Auf die sehr komp lizierte elas te mecha nische Theorie der Schalen wol len wir im Weiteren nicht einge hen. da nachfolgend nur dü nne. ebene Schalen-Elemente IKLE 94a/ betrach tet werden so llen. Diese unter liege n einem Membran- und Riegespann ungszustand. de r sic h vere infacht du rch Überlagerung der Scheiben- lind Plan eneigen sch aft da rste llen lässt. Mit

7 Elementkatalog

166

ruf elastostarische Probleme

diesen ebene n Elemente n können zwar Kreis- und Kuppelgeometrien nur fassettiert idea lisiert werden , was aber bei hinreichender Netzfeinheit meist eine gute Näheru ng erg ibt. Für größere Genauigkeit bieten viele FE-Programme noch Elemente mit Seiten - und Flächenmittenknoten an, die beliebige Bauteilgeom etrie n erfassen können.

,

.)

b)

<, <,

-.<, <,<, <, -"'<,- -,

-~ <,

~

/,

---

y

y

,)

Bild 7.37: Approx imation von Schalenkonturen durch ebene finite Schulen-E lemente a) Mode lIierung einer Zy linderschale b) ModelIieru ng einer Kuppe lschale c) Dach einer PKW-Struktu r

ln den Darstellungen von Bild 7.37 sind typische Anwe ndunge n von Dreieck- und RechteckSchulen-E lementen mit linearem und quadratischem Ansatz dargeste llt. Darüber hinaus exist ieren noch RinR-Schulen-E lemellte für durchgehende Rotatio nsgeoruettien. Am Beispiel des Dreieck-Schulen-Element s sollen nachfo lgend die wesent lichen Überlegungen angeste llt werden . Zunächst konstruieren wir uns das Dreieck-Schalen·E lement aus der Überlagerung des Dreieck-Schei ben- mit dem Dreieck-Nullen-E lement. Durch d iese Ve rgehensweise g ibt es keine direkte Kraftkopplung zwisc hen dem Membran- und Biegeante il / KOL 851. Eine Kopp lung entsteht jedoch in dem Moment, wenn äußere Kräfte und Momente in de n Knoten eingeleitet werde n. Das Prinzip der Überlage rung zeigt Bild 7.38.

7.4 Schalen-Elemen te

167

d . h., die Freiheilsgrade von Scheibe und platte we rden an eine m Schalen-Knoten zusammenge führt.

CD

C2J

u. x

CD

MYZ0

~ -S-

N~z

) C2J

NyZ

CD y. v

/"

0 12 ~ w

+

",

CD

p

CD

My,

.........

.y,/ )",

ljl~3

C2J

••

Bild 7.38: Über lagerung ei nes Sche iben- und Pfaffen-Elements zu ei nem Schalen-Element

Durch d ie erfo lgte Elementverknüpfung entstehen pro Knoten fün fn atürliche Freiheitsgrade. Um das Elementverhalten nachbilden zu können, müssen nun für die sich ergebenden Steifigkeltsanteile bestimmte Ansätze gemacht werden. Hierbei ist es zuläss ig, für den Sc heibe nanteil wieder lineare Verschiebungen und für den Plattenanteil kubische Durchbiegungen anzusetzen. Im Prinzip können somit die bekannten Einze lsteitigkeiten benutzt werden lind brauchen hier nur richtig platziert zu werden. Aus Verständnisgründen wo llen diesen einfacheren Herleitungsweg einsch lagen, um die Darstellung des Schalen-Elements etwas abzukürzen. Für den Membran- oder Scheibenante il kann demnach der folgende Verschiebungsansatz (7. 160)

7 Elementkatalog fllr elastostarische Probleme

168

mit (7. 16 1) gemacht werden. der letztlich zu der Elementt eil-Steifigkeir sbezlehung

(7. 162)

PS =k S 'd S

führt. Für den Plattenanteil kann hingegen der Verschieb ungsansalz

(7. 163)

w = G kll b · d p

mh (7. 164) ang esetzt werde n. Dieser Ansatz führt letztlich zu de r ande ren Elementt eil- Steili gkeilsbeziehUllg

(7. 165) Fasst man j etzt diese Teilstc ifigkeiten zur Schalensteifigkeitsbeziehun g zusa mmen. so erhä lt

man (7. 166) Für die anschließend noch durchzufuhrende Transformation der Ste ifigke itsmat rix auf das g lobale Koordinatensystem hat es sich als zwec kmäßig erw iesen. den Versc hiebungsvektor um eine formal e Drehung $li zu erw eitern . Hierzu muss da nn auch im Kraftvek tor ein Drehm oment Tzj zuge führt werden. Eine Kno renstelfl gkeltsbezlehung lautet dann N xi Q li

~ l~ T1i

",

, :0 -------.---------T,, :0 ,, 0 :0 ,, k Pi) , , __ _ _ _ _ _ _ _ : 0 ___ _ _ _ _L , , 0 0 ,0 0 0 ,c

w,

k s ·· 'J

_~ti_ M xi

,:0

=

0

,:0

~

_

vi

(7. 167)

lPx i

~)~ lfl1j

bzw. für das Element ergibt sic h eine t a-x- Ix-Steifigkeitsmatnx . Wie vorstehend schon zu erkennen ist. müssen hier alle eingeführten Dummyfreiheitsgrade mit Null-S teiflgkeite n aufge führt werden. Bevor aber die se Elementsteifigkeit zu einem Gesamtsys te m zusamrnenge-

7.4 Schalen-Elemente

169

baut we rden kann . muss noch eine T ransformation in das g lobale Koordinatensystem (s. auch Kapitel 5.3. 1) erfolgen. D ie die sbezügli ch vorliegenden Verhältnisse zeigt Bild 7.39.

~----:7;:- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -~'y

CD

, Bild 7.39: Loka l-g lobale Transformation eines Scha len-Elemcnts (nac h /FRA 741)

Für die dre i Richtungen erg ibt sich so mit de n Richtungskosinussen der Achsenwinkel folgende symbo lische Transfonnationsmatrix:

[

CO~ X'X ) co~ x.y ) CO,(x.,)]

T X }7- = cos(y.x) cos( z,x)

co s(y.Y) costy.Z} .

(7. 168)

co s(z.Y) cost z.ä)

Wird diese au f einen Knoten versch iebun gs- ode r Knotenkraftvektor angewandt. führt die s zu de n Transformationen (7 . 169) (7 . 170) wo rin jetzt die Knotentransformationsmatrix eine 6-x-6-Diagonahnatrix m it dem Bauprinzip

T1

= [!~~,:L_~_ ] O

! Txp.

(7. 171)

ist. Da bei dem Dreieck-Scha len- Elemcnt aber insgesamt 18 Knotengrößen zu tra nsformie ren sind. muss a uch die Transformat ionsmatrix erwe itert werden auf

7 Elementkatalog

170

ruf elastostarische Probleme

T, T=[ ~

(7. 172)

womit dann die lokal-globa le Transformation entsprechend p=k d v

T l . p= p= T 1 . k. T. d

zu der transformierten Element steifigkeit k = T1 · k · T

(7. 173)

erfolgen kann. Der we itere Ab lauf vollzieht sich dann nach dem bekannt en Sc hema in Kap itel 5.4.3.

7.5 Volumen-E lemente Nachdem vorstehend die ebenen Elemente recht ausführlich behandelt worden sind. so llen die finiten Volumen-E lemente nur überb lickartig gestreift werden. da sie am einfachsten zu entw ickeln sind. Die Anwendun g von Volumen-E lementen erfolgt bei allen dickwandigen oder massiven Bauteilen. Me ist wachsen bei einer dreid imensiona len Bauteilanalyse die Anzahl der Eie· mcnre und d ie Kn otenpunk te gegenüber einer ebenen Betrachtungsweise stark an . Hierdurch entstehen große Gesamtmatrizen mit größeren Bandbreiten, wodurch wiederum mehr Rechenleistu ng und erhöhter Speicherplat zbeda rf erforderlich wird. An prakt ischen Aufgaben hat sich geze igt. dass e in Volumenm ode ll etwa die Sfache Rechenzeit zu e inem äquivalenten Schalenmodell benötigt. Gegenüber Schalen -Elemente n wird man be i der Wah l von Volumina auch etwas unflexibler. wenn es um Wanddickenvariationen geht. Während bei der Schale direkt d ie Dicke modifiz iert werden kan n. müssen bei Volumina stets alle Knote n koordinat enweise versc hoben werd en. was eine neue Vemetzung erforde rlich macht. Innerha lb der FEM· Theorie bieten sich für die Analyse von dreidim ensionalen Elastizität sprobl emen nur einige wenige Grund geometr ien an. Im Bild 7.40 sind diese so genannten einfa chen Elemente zusammenges tellt. Eine generelle Z ielsetzung bei der Anwendung von VO!lIl11en·El ementen mu ss es daher sein. mög lichst wen ige dafür aber höhergradige Element e zu verwenden. An jedem Knoten werden dabei drei Verschieb ungskom ponenten. und zwar Uj . Vi und Wj in Koordinatenrichtung zuge lassen. Hierzu korrespond ieren mit N xi' N }i und N li auch drei Kraftkomponenten . Demzufol ge müssen auch die Ansätze entwickelt werde n. Beispiel s. weise lautet der e infachste und mögl iche lineare Verschiebu ngsansatz fü r das Tetraede rElement

7.5 Vo lumen-Elemente

17 \

U( X, y , Z) =U l +U2 'x +U3 ' y + U 4 · z,

(7. 174)

v( X , y , Z) = U ~ + U6 - x + U7 - Y + U R ·z,

W(X,y,Z)= Uq + UIO·X + Ul l -Y+ UI2 ·Z.

Wie man hieran erkennt, ist darin keine Richtung bevorz ugt, wodurc h sich unter anderem die Anforderungen an die Ansätze ergeben. Demzufolge müsse n sich auch im Pascat' schen Dreieck a lle Richtungskopplun gen ergeben. Tetrueder· Element

®

CD

- - --- QJ

Prisma-E lement

CD

®

Bild 7.40: Einfache lineare Volumen-Eleme nte

Nachfolgend ist das angepasste dre idimensionale Pesearsche Dreieck dargestellt.

Bild 7.4 1: Dreidimensionales Pascalsches Dreieck

172

7 Elementkatalog

ruf elastostarische Probleme

Hieraus können alle lineare n und quadratischen Ansätze (s. Bild 7.42) für die relevanten volumengcometrten entw ickelt werden.

Te traeder- Eleme nt

Quader-Element

iW

m

Pr isma-El ement

® ---- GJ -- (iJ ® -~


([)

Bild 7.42: Höhere finite Volumen- Elemente

Diesbez üglich ist immer abzuwägen. feiner mit kleinen Elementen oder gröber mit mehr Knoten zu modellieren. Maßgebend sind hier die verfügbare Rechnerleistung und die Speicherkap azität. Diese Maßnahmen sollen wieder umseitig an einer Konvergenzbctrachtung d iskutiert werden. womit das unterschiedliche Elementverhalten sichtbar gemac ht werden kann.

173

7.5 Vo lumen-Elemen te

I!:>.

1 o~:;

E S

LI>

W ,"ew

= 0.5 143 r nm

~ ..

0.49 0.48

~ 0.47 0.46

OAS

@ -+=4w

0.4 0.3

w tteor.

0.2

3 F· L

a · As E = 70000 N /m m 2 A = 50 ' 10 = 500 mm 2 L = 150mm (1 = 1,2

0.1

3E . J y

3

+u · F · L "" 0.5 143 mm

4 x l2

8x 24

•

Elementn etz

~ Typ

Netz

1 <3 2> 6 4 x 12 8 x 24

Tetraeder

I w = 0,118 w = 0,277 w = 0,4 16 w = 0,4 71

Li>

Prisma

tS)

Quader

rJ)

P

I

P

1

P

0,464 0,48 5 0,492 0,49 5

0,120 0.251 0.391 0,4 63

0,463 0,487 0,493 0,49 5

0,46 5 0,474 0,487 0,493

0,462 0,486 0,493 0,495

Legende: I = linear, p = parabolisch Bild 7.43 : Konvergenzuntersuchungen mit Volumen-Elementen am Balkenbi egeprobl em

Am Beispiel des volumetr ischen Balkens ist im Bild 7.43 die Konvergenzuntersuch ung m it Tedraeder-, Prisma- und Quader-Elementen durchgeführt worde n. Für die Netzgeo metrie wurde n die Elementteiler var iabel ge wählt. Vorgegebene theoretische Lösung ist die Durchsenkung eines Balkens mit Schubverformung. Man er kennt an der Aus we rtung e in recht untersch iedl iches Konvergenzverhatten. we lches aber im Trend de r vorausgegange nen Untersuchungen liegt. So zeig t sic h, dass beim linearen Ansatz das Quader-Element deu tlich besse r als das Tetraeder- und Prisma-Element konvergiert. Bei den höherwenigen Ansätzen, wie beisp iel sweise scholl bei einem parabolischen. ist nur noch eine geringfügige Kon verge nzd ivergenz feststellbar. Keines der herange zoge nen Volumen-E lemente kommt abe r in die Nähe der Balkenlösung. d. h., es ble ibt ein Mode llfehler von 4 %. Dies ist e ine Folge dessen, dass Volumen-E lemente nicht die Ne igung (e rste Ableitung) der Biegeli nie erfassen können, d. h., die Elemente sind zu ste if (.~llClIr locking) und blockieren die Verformungen.

174

7 Elementkatalog fllr elastostarische Probleme

Ein rea les Anwe ndungsbeispie l für Vo lumen-Eleme nte zeigte d ie fo lgende G usskonstruktion. Es hand elt sich hierbei um ein Anb indungsteil eines Drehgelenks ruf einen Ge len kautobus. Die Kräne werden übe r eine n zentralen Au tlagerpunkt in einen Innenkranz eingeleitet, der sich an der so ge nannte n Vorderwagena nbind eng abstützt. Die Vorderwagenan bindung se lbst ist am Busrah me n an me hreren Ste llen angeschraubt, welc hes hie r d ie Rand bed ingunge n darstellen. Der ä ußere Za hn kranz hat zusätzlich die Funkt ion e ines Ansc hlages be i Kurvenfahrten für das sc hwe nkende Hinterteil.

Unter der Strategie des Ropid-Prodsct-Devetopmem (virtual Prototyping) war es Aufgabe. alle Fah rzustände an ei nem nicht-physika lischen ß aute il rec hnerunterstützt zu sim ulieren. W ie im Bild 7.44 gezeigt. wurde daz u das mit große m Modell aufwand zu fertigende Bauteil weitestgehend exakt model liert.

Bi ld 7.44:

Finite-E lem ent-M odel l eines großen Gussteils. modelliert mit quadratischen Quader.Elementen

Zu allen Fahrzuständen wurde n a us Meh rkörperan alysen mi t der M KS-Soft wa re AD AM S die w irke nden Kräfte bes timmt und dazu d ie Spannungsverteilungen (z. B. Bild 7.45 für Vert ikal nicken ) errechnet. Durch d iese Vergehensweise konnte erreicht werde n. das s be reits das erste Ge lenk de n ß etriebsbeanspruchungen gewachsen war und eine Iteration trial and error verm iede n werden ko nnte. we lche in der Praxis vie l teure r als e ine gute FEM-Analyse ist. Im vor liegenden Fa ll entsp rach die Kostenrelat ion Rec hnung zu Prototyp e inem Verhä ltnis von I : 7. wobei noc h ga r nicht die weiter ersparten Versuchsmuster und die Zeitraffung bewertet wur den.

175

7.6 Kreisrin g-Ele mente STRESS ·

V O~ :\IISES I) H·~) R :\ I .HI 9 ~ : 1-

.' 11 :'01: 9.49t:-02 i\lAX : 2.3-1E+03

ß.c. I . U.~i\ l! 1,l.. 1)I S P LA C;:.D n: ~T

I DIS) tACE,\ It.I\T - :\lA G .\ 11 :"0 . 1..,9t.+01 .\ IAX. 6.3IH.+01 FRA:\ IE OF REF : I' ART

2.50 E+03 I.OOE+03 5.IIOE+l12 2.251-:+02 2.001-:+02 1.75 E+02 1.5IJ E+OZ 1.25E+o 2 I JIO F.+l12 750E+O I 5.00.:+01

2.50HOI " Al. n : OPTIO:'ol : ACT UAL SIIt:I.I , SURF.-\Ct:: TO P 0.110 1-:+110

Bild 7.45: Vergleichsspannungsve rtei lung im Gussteil

Ein weiterer Vorte il der FE-Analyse bestand dar in. dass gegen über dem erste n konstrukti ven Entwur f e ine Gewic htsers parnis von fast 20 % eingetreten ist. Dies ist im Wesentlichen auf die Verrippungsstr uktur zurückzuführen. Die Wirkung von Rippen kann aus Erfahrung nur schlecht quantifi ziert werden. Hier hilft natürlich eine FE-Ana lyse. um gez ielter in eine Struktur eingreifen zu können. Konstru ktionen werden so mit besse r ausge lastet. mit der Folge e iner höheren Ste ifigkeit bei ger ingere m Eigengewicht.

7.6 Kreisrtng-Elemcnt Als ein häufig vorkommendc r Sonderfal l der räumli chen Elastizität g ilt der rotationssymmetrische Spannungsz ustand. so wie er vielfach in dickwandigen Rotationskörpern (Ringe. Naben. Rohre) unter rotationssymmctrischer Belastung vorkommt. Dieser Spann ungsz ustand wird zerstört. wenn am Umfang klein e Diskontinuitäten (Ve rdickunge n. Löcher etc.) auftreten, in diesem Fall muss dann wieder abschnittsweise volumetrisch, z. B. mittels QuaderElemente etc .• idealis iert werden . Zur Darstellung der Versch iebungen , Verzerrungen und Spannungen ist som it ein Zylinderkoordina tensystem [ r, 41. z ) zwec kmäß ig (s. auch / WIL 65/), welches beispielha ft im Bild 7.46 an e inem dünnwandigen Rohr ' ) dargestellt ist. " Anmerkung: Falls hier die Spaummgsvcrtcilung über die Dicke mtcrcssicrcn sollte. müssen 2· 3 Elementreibengewählt werden

7 Elementkatalog HiT elastostarische Probleme

176

--

f-- -

$. v =O

Bild 7.46 : Rotat ionssymm etrisches Spannungsproblcm (nach ! WIL 65/)

Mit Verwe is auf die ents prechende Mechani kliteratur IGÖ L 9 11 treten dann folgende Verze rrungen auf:

1 ou ov v Yr41 = _ ·- + - - -= 0. r i}$

urr

Oll Jw YTI =ä; +a;- '

uv

I QW YqJ = - +- - - = 0 . J: i)z 2 aljl Bei rotati onssymm etri scher Belastung besteh t im Weiteren keine Winkelabhängigkeit über den Umfang, weshalb Yr<1l und YGI zu null werden. Des Weiteren verlangt d ie Symmetrie-

bedingung v = konst. Mithin kann die fo lgende Verzerrungsbedingung

"'"

" ,=

" Ez

Yr /,

=

r

0 0

""' "" 0

tJ

", ",

-

-

erstellt werden. Dies führt we iter zu der Spannungsbeziehung

(7_175)

7.6 Kreisring-Elemente

177

G,

.=

G, G,

I -v

v

0

0

<,

v

I- v

v

0

<,

v

v

I- v

0

E,

0

0

0

--

E

= (I + v)(I -

2v)

trI

(7.176)

] -2v

2

"frl

Wie im vorstehen den Bild we iter angedeutet ist. wird im Rahmen e iner FE-Analyse der vorliegende Kör per in einzelne Kre isring-Elemente zerlegt. Die Querschnitte werden dabei gewöhnlich dreieck- oder vierec kförm jg gewä hlt und die Knotenpunkte zu Knotenkreisen ausgeweitet. Da wir hier nur Prinzipielles darlegen wo llen. beschränken wir uns auf die Erläuterung des einfachen Kreisring-E lement s nach Bild 7.47.

' . W

, r, u

Bild 7.47: Kreisring-Dreieck- Element für einen rotationss ymmetrischen Spa nnungszustand

Für dieses Element kann der folgende lineare Verschiebungsallsatz u(r.z) =u . +u 2 · r+ u3 ·z. w(r.z) =u4 + Uj · r + u 6· z

(7.177)

gemacht werde n. Wird dieser in bekannter Weise au fgelöst . so erhält man (7. 178a) mit dem Knotenkreisverschie bungsvektor

7 Elementkatalog

178

ruf elastostarische Probleme (7.178b)

fLir die drei Umfangskreise des Dreieck- Element es bzw. tUTeinen Knotenkreis

Die Formfunktionsmatrizen fa llen dabei je Knoten kreis an und sind von der Bauform

:J

j

= 1,2. 3

(7.178,)

mit den zu GI. (7. 15) im Kapitel 7.2.2 (Dreieck-Scheiben-Element) ähnli chen Formfunkrio-

oe"

(7.179) Die hier eingehenden Koeffi zienten (s. auch GI. (7.13» müssen ebenfalls an das neue Koor dinatensystem angepa sst werden . sie lauten jetzt a j = rj , z k - Tk ' Zj'

(7. 180)

b j = Zj -Zk '

wobe i die Indizes zyklisch laufen:

i, j, k = (l . 2, 3), (2. 3,1),(3.1 , 2). Auch der in GI. (7.179) eingehend e Flächeninhalt des Dreiecks kann wieder über d ie Koordi natendeterminante

2A = dct l

'I

' I

T2

z 2 = T.(Z2 - ZJ ) + T2 ( Z)

'3

'3

-

zd + TJ {Z[ -

Z2)

(7. 181 )

bestimm t werden . womit dann der Ansatz vollständi g beschrieben ist. Für die Verzerrun gen gilt auch hier wiede r der Zusammenhang E= D · u = D ·G ·J = ß ·J .

(7.182)

Damit kann unter Heranziehung der schon in G I. (7.175) aufgestellten Differenzialoperat orenmatr ix mit Durchfiih rung der Differen ziationen auch d ie ß · Matrix erstellt werden, und zwar hier zweckmäßig je Knotenkre is zu

7.6 Kreisring-Elemente (}gj

J, fu.. Bi =

r

0 (}gj

J,

179

0

a

0 (}gj

0

bi

1

=

.....!.+

2A

J, (}gj

J,

r

c· . z

b, +-'r

0

. i = 1.2,3 .

0

'i

'i

b,

(7. 183)

Für die Spannunge n ergibt sic h so ebenfal ls wiede r

o e E vc e E vB vd .

(7. 184)

Da, w ie aus G I. (7. 183) ersichtl ich wird. d ie B-Matrix jetzt nicht mehr wie beim DreieckScheiben-E lement konstant, sondern von den Koordinaten r und z abhängig ist. sind natü rlich auch d ie Verzerrungen und Spannunge n im Element veränd erlich. Wie jetzt aus den G leichungen (7. 175) und (7. 183) ersicht lich wird. lieg! au ch beim Kreisring-Dreieck-Element in ebene n Sc hnitte n ein konstante r Dehnungs- und Spannungs zustan d vor. Für d ie Angabe di eser Werte wählen deshalb d ie Soft ware pakete meist den Flächenschwerpunkt ode r d ie Knotenkreise aus. Die Elementsteifi gkeit des Kreisring-Dreieck-Elem entes ka nn weiter in bekan nter We ise angesetzt werden zu k=

[ n' · E · ß av.

v

woraus m it dV '" 2 1t . r dA '" 2 n . r . dr . dz folgt k = 2

n]J R{r. Z)1

.

E . R(r. z}. r -d- - dz .

(7. 185)

TZ

Um sic h die erforde rliche Integration zu erle ichtern, nutzt man au ch hier vielfach d ie Nähe rung. indem man sich auf den Schwerpunkt bez ieh! und die Koord inaten folgenderma ßen mittelt: (7. 186)

Hiermit folgt dann für d ie Elementsteifigkeitsmatri x - I

--

k ",, 2 x · A · B · E· B· r .

(7. 187)

7 Elementkatalog fllr elastostarische Probleme

180

Als ein wei teres Problem muss noch kurz die Kra ftei nleitung bezüglich Massen kräfte und Oberflächenkr äfte dis kutiert werden. Eine verteilte Massenk raft (7. 188) ist dann folgender maßen als konzent rie rte Kraft

Fr = - 2

nfpJ GI . p - r dr dz r

(7. 189)

z

oder je Knoten kreis mit

Fpi

=-2nf fGj l r

(7 . 190)

' p' T dr dz

l

ei nzu leite n. Näherun gsweise ka nn eine konstante Massenkraft auch gleichmäßig au f die Knotenkreise zu (7. 191)

aufgete ilt werden. Ähnlich ist zu verfahren, wenn Oberflächenkräfte an einem Rand wie im Bild 7.48 wirken.

z

CD

q,

, Bild 7A8: Einleitung von radialen oder axiale n Oberfläc henkräften an einem Ring-Element

Mit den Oberflächenkräfte n

(7 . 192) folgt

7.6 Kreisring-Elemente

18\

Fql = 0 ,

(7. 193)

Fq2 =Fq3 =2/t· q · R .

z3 - zl 2

(7.194)

Ein typisches Beispiel für die Anwendung von Kreisring-Ele menten sind dickwandige Rohrleitungen. Im Bild 7.49 ist die Situation in einer Druckwasserleitung eines Kraftwerkes dargestellt. Druckbeaufschlagte Rohre können im Allgemeinen recht gut analytisch beha ndelt werden. weswegen das Beispiel nur der Konvergenzüberprüfung von linearen und quadratischen Kreisring-Dreieck-E lementen dient.

313

2 ,\ ,exakt =3 08 N / mm 307.6 ',\

..

"

\

,, , exakt = 100 N / mm 2

87.1 99.6 r = rj

Gleichungen :

)H';r] ~;:2 )H';r]

0, ~;:2 = ( ,: ;

0,

= ( ,: ;

Bild 7.49: Analyse einer Druckwasserleitung

Pi = 100N / mm 2 ri = 25 mm ra = 35 rnm

c,

182

8 Kontaktprobleme Die bisherigen Fli-Formulier ungen bezoge n sich nur auf das mechanische Verhalten einzelner unabhängiger Körper. Hai man es mit mehr als einem Körper (zusammengebaute Struktur ) zu tun. so besteht die Möglichkeit des Körperkontaktes infolge Verfonn ung. Die dabei au ftretenden mechanischen Effekte wie Stoße ffekte. Grenzfl ächendeformationen. Haftung, Reibung oder wieder Trennung der Körper infolge ei nes Körperkontakts können mit der bisher beha ndelten Theor ie n icht besc hrieben werden. Die Körper würden ohne Widerstand ineinander eindringen. Da dem in der Realität nicht so ist. ist es erforder lich, ruf die Finite Elemente Methode ein Verfahren zur Verfügung zu haben. welc hes im Kontaktfall zwisc hen Körpern die mechanischen Gegebenheiten realitätsnah abbildet. Diesem Zweck d ienen so genannte finite Kontaktelemente. Mithilfe der Kontaktelemente modelliert man die Grenz flächen der Körper in den Bereichen, wo man Kontakt verm utet. Solange kein Kontakt auftritt. läuft die Berechnung in der beka nnten Weise ab. Sollten aber Kontaktflächen aufeinander tre ffe n, so setzt ein iterativer Gleichgewichtsalg orithmus ein.

8.1 Problembeschreibung Im Gegensatz zu der bisher dargestellt en Theorie beschränkt sich die Formulierung der Kontaktelemente nicht nur auf eine rein mathem atisch-mechanische Form ulierung, sondern sie beinhaltet zusätz lich einen Rechenalgor ithmus. der zwischen modellierten Kontaktflächen einen Konta kt erkennen muss. Auch wenn die einfachs ten konstitutiven Beziehu ngen, wie zum Beispiel das Coulo mb'sc he Reibungsgesetz. verwendet werden. ist die com putergemäße Beschreibung des hochgrad ig n ichtlinearen Kontaktproblems schwierig. Die Schwierigke it der Formulierung und ModelIierung des Kontaktpro blems liegt beispielsweise in dem Unver mögen, die sich ergebe nden Kontaktflächen genau vorherzusage n. Die Randbedingungen sind der Analyse auch apriori nicht bekannt. sie hängen nämlich von den Lösungsvariablen selbst ab. Folglich ist ein inkrementelies Lösungsverfah ren erforder lich. Die hier dargestellte Theorie zur Behand lung von Kontaktproblemen er laubt die Behandlung von zweidimensionalen ebenen Kontaktproblemen unter quasistatischen Bed ingungen. d. h.• bei aneinander abgleitenden Kontaktfl ächen bewegen sich d ie Körper so langsam, dass dynamische Effekte wie Trägheitseffekte und Dämpfungseffekte in den relativ zueinander bewegte n Kontaktü ächcn vernachlässigba r sind. Das umse itige Bild 8.1 zeigt schematisch das hier betrachtete ebene Kontaktproblem in Form zwc ier beliebiger Körper. die sich unter Belastung berü hren. Die Festlegurig als Kontakt- und Zielkörper ist im Prinzip willkürlich. hängt aber davon ab, ob ein symmetrischer oder asymmetrischer Kontakt vorliegt. Beim symmetrischen Kontakt kann jeder Körper zum Ziel- oder Ko ntaktkörper erklärt werden. Beim asy mmetrischen Kontakt ist es zweckmäß ig. best immte Regeln e inzuha lten: Wenn der Kontakt bereich auf einer Oberfläche eben/konkav ist und auf der anderen Obe rfläche scharfkan tig/ko nvex ist, sol lte die ebene/konkave O berfläche die Zielfläche se in.

8.1 Problembeschreib ung

183

Sind beide Kontaktbereiche konvex (keine scharfen Kanten). sollte die Zielober fläche die ebenere der beiden sein. Ist ein Kontaktbereich scharfkant ig und der andere nicht. sollte die scharfkantige Oberfläche d ie Kontaktfl äch e sein. Wenn beide Kontaktbere iche scharfkantig oder wellig (alternierend konkavlkonvex) sind. ist d ie Zuordnung beliebig. Die Festlegung a ls Kontaktkörper und Zielkörper hat den Hintergrund. dass vom Programmalgorithmus nur überprüft wird. ob die Knoten des Kontaktkörpers in den Zie lkörper eindringe n. Der umgekehrte Fall wird gewöhnlic h nicht überprüft. Fo lglich können d ie Knoten des Zie lkörpers in den Kontaktkörper eindringen. ohne dass Reaktionen hervorgerufen werden. Die Fläche des Zielkörpers ist außerdem die Fläche. auf welche d ie freigesctmiuenen Kontaktkräfte des Kontaktkörpers einwirken. von außen aufgebrachte Belastungen

a)

Randbedingung

Kontaktkörper (co ntactor)

Zielkörper (ta rget)

aktuelle Kontaktzonen

b)

modellierte Kontaktelemente

Kontaktkräfte

Zielk örper

131 1 1

1

I 1

Kon taktkörper

Kontaktzone Bild 8.1: Zwei in Kontakt befind liche asymmetrische Körper a) Bed ingungen beim Kontakt b) fre igeschnittene Körper im Kontaktbere ich

184

8 Kontaktprobleme

Für eine allgeme ine Verwendbarkeit der finiten Konta ktelemente muss das finite Konta ktmod ell einige n Forder ungen ge nügen. Kontakt zw ischen elas tische n Körperpaarungen ode r starr-elastischen Körperpaar ungen muss genauso möglich sein, wie de r wiede rholte Kont akt oder die wiederholte Trennung der Körper. Die Form ulieru ng des Kontaktmodells muss große relative Bewegungen zw ischen den Körpe rn er lauben . Die Lösungsmethode für Kontaktprobleme muss in al lgeme ine nichtl ineare Lösungsmeth od en einzub inden se in. Haft-

oder Gleitbed ingungen sollten e inem realistischen physikalischen Mode ll entstammen und partie lles lI aften und Gleiten so llte möglich sein. Ein realis tisc hes Reibgesetz ist das Coulomb-sehe Reibgesetz. Es kennt die zwei Reibungskoeffizien ten Ils und Ild( lls ~ Ild ) : Il s ist der stat ische Haftre ibungskoeffizient und Ild ist der dy namische Gle itreibungskoeffizienl. Für eine partielle Kon taktfläche sei FN de r Betrag des se nkrecht auf die Teilfläche w irkenden resu ltieren den Kra ftvektors und FR de r Betrag des tangentia l auf d ie Teilfläche w irkenden resultierenden Kraftvektors. Ist [FR I S; fi S· FN , so g ibt es ke ine Re lativbewegu ng zw ischen den Teiltlächen. Die Teilfläche n haften aneinander. Übersch reitet die tangentiale Krattkompon en te FR die maximale Haftkraft Il s · FN , so gleiten d ie Flächen aneinander ab. Während der G leitreibung ist die tangentia le Re ibwiderstandskraft FR gleich Ild . FN . Die Relativbewegung (G leiten ) dauert so lange an, wie d ie tangent ia le Re ibwider standskraft FR gle ich der dynamischen G leitreibung Ild . FN ist. Sinkt die best immte tange nt iale Reibw iders tandskraft unter die dynamische G leitrei bung Ild ' FN , so hört die Relativbewegung auf. bis zu dem Zeitpunkt, wo die tangen tia le Reib widerstandskraft FR die statische Haftgrenze u , . FN w ieder überschreitet. Das obige Reibgesetz muss über jedes ei nzelne Konta ktfläc hensegment befried igt werden. sodass auch partielles Haften und Gl eiten bet rachte t werden kön nen. Es sei noch angemerkt. dass im nac hfo lgende n beschriebenen Konta ktmod ell elastische Effe kte in der Kontaktfläche vernachläss igt werden und somi t starr-plastisches Kontaktverha lten angenom men wird. Zwar w ird für d ie Kontaktelemente se lber starr-plast isches Verha lten angenommen. die zwei dimens iona le FE-O iskretisierun g um die Kontaktregion herum kann ab er auch elastisches Materialverhalten er fassen .

8.2 Einfache Lösungsmethode für Kontaktprob leme Aus Bild 8. 1 b) ge ht he rvor. dass die Kontaktbed ingu ngen an den Kontaktflächen für einen e inzelnen Körper Verschiebungs- und Kräfterandbed ingungen sind. Mathe mat isch gesehen hande lt es sich um Nebenbedingungen. Eine mathemat ische Mögli chke it zur Einarbeitung von Nebe nbed ingungen b ietet die Method e de r Lagrange-Muiüplikatoren, M ittels der Lagra nge-M ultiplikatoren lassen sich Extremwenaufgaben m it Nebe nbed ingu nge n lösen . Zur Formulierung der Extrem wertaufgabe mit Nebenbed ing unge n benötigt man desh a lb eine zu m inimierende oder maxi mierende Funktion und die Nebe nbedingunge n. Bei elast emechanischen Problemen gi lt beispielsweise das Prinzip vorn Min imum der totalen potenziellen Energie W. Für diskrete stat isch lineare Systeme ist so mit zu forde rn:

185

8.2 Einfache L ösungsmethode für Kontaktproblem e

L\W = .!.. ·ll l . K ( ll ) ·lI - V I . P

2

--?

M IN I M U ~l !

(8 .1)

NUll sei da s Sys te m durch die d isk reten Nebenbed ingungen m it den Festwerten n N ·U - n =O ei nges chränkt. Dann wi rd be i der Mu ltiplikatorenmethode das folgende erwe iterte Funkti ona l angesetzt: 1 t I • I W = -· U · K· U- U · P + l · (N · U- n) . 2

(8 .2 )

Die Station aritätsbedingung oW • = 0 führt unter Ver wendung der Beziehung

oW· = oU I· K · U - oU I . 1) + l l . 8( N . U- n) +. Oll .(N . U - n) = oU I . K · U _ ou t . P + l l . N · OU + . o " t . (N. U - n)

(8.3)

= oU I · ( K · U - P + N t , ,,) +0 ,, 1. (N · U - n ) = 0 -0

-0

Da oU I und 0 ,,1 willkürlich sind. erhält man das G leichungssystem

( 8.4)

Bei Kontaktproblern en erwe ist sich der Lagrange-Multip likator l a ls Vektor der KontaktKnotenpun ktkräfte. w ie folgend es Bei spiel verde utlichen so ll.

Bild 8.2 : Kragbalken mit federndem Anschlag bei komprimierter Feder (e = w max e freier Weg ,

k 4

w 3 = Federweg]

186

8 Kontaktprobleme

Llw 23 = e + w 3 - w z

Es sei:

Kontaktbed ingung. dW 23 = 0

6.w 23 =e+ wJ - w 2 = 0

ilw 2) > 0

Ab lösebedingu ng:

8,W23
r

wa > 0

Ist w 2 < e • so besteht kein Kontakt zw ischen Knoten 2 und der Kont aktfläch e 3. Es gilt für das Ge samtsyste m die Beziehu ng F,

12E · J

6E· J

LJ

L'

6E · J

L'

4E · J L

0

0

M, = FJ

0 0

,

., w,

(8.5)

w,

Gilt hingegen unter Belastung w 2 = e + w 3 (bz w. F2 = F3 ). so besteht Kontakt zwischen dem Kontaktknoten 2 und de r Kontak tfläch e 3. Dann gilt m it de r Nebenbedin gung

11

-->

w2 - w3 = e

0

-11[::]= ,

-->

N·U = n

(8.6)

das erweiterte Gleichungssystem

F2

12E · J

6E· J

L'

L'

M,

6E· J

F,

=

L2

4E · J

--

L

0

e

0

., w2

0 0

0

k

- I

w,

0

- I

0

A

Die dr itte Gle ichung im vorstehenden Gle ichungssystem (s. auch G I. 8.4) lautet:

Das Au flöse n des Gl eichungssystem s liefert z. B. für w 3 und A

3M,

"3 •E,--.;J •.'::

F2 + FJ - - - - 2L LJ w 3 = -----;- JC-- "'--3E

i'i.

--+ , tl

(8 .7)

8.2 Einfache Lösun gsmet hode für Kontaktprobleme

187

Hier zeigt sich. dass es sich bei A. um eine Kraftgröße handel n muss. Während F} eine Kraft ist. die d irekt am Knoten 3 angreift, kann es sich bei A. nur um die Kraft handeln , welc he durch den Kontakt auf d ie Kontaktfläche 3 übertra gen wird. F} und A. bewirken zusammen d ie Verschiebung w } an der Feder k. Der Legrange-Multiplikator J... stellt damit d ie Kontaktkraft dar, die von einer Kontakt fläche zur ande ren übertragen wird. Das vorstehende Beispiel d iente nur der prinzipiellen Darlegung des Kontak tproblems. In der Prax is sind d ie Probleme aber recht vie lfältig und natürlich nicht so einfach. Ein typisches Maschin enba uproblem mit Kontakt stellt die Übertragung eines Drehmoments mittels e iner Passfederverbindung dar. Die Verhältni sse sind im Bild 8.3 dargestellt. & UUL U,

, -

• •

t.

• • 'O P .

n u n · vo " "H E< ,.,,, ,

,."u ,, _, . ....

OHO&.... T' OO, , - • • C . ' . LO,., O ' OP L .. C "T ,. ,,, , HP,., OF &
_u

' •• "

..... ,

• .• • , •• •

. ' .. C< M. ..T _. ,

1. . "

• ••

........

"P L U' OP T I OM ," C 'U& ' . ... LL GUQ F&O . , T O •

. ...... '"" ....

.. ... ,.~

' .•U·"

Bild 8.3: Kontaktproblem an einer Passfederverbindung

Beobachtet man d ie Kraftübertragung. so ist Fo lgendes festzuste llen: Zu Anfang liegt Spiel vor. d. h.. die Passfeder macht eine Starrkörperbeweg ung bis sie anliegt. Erst wenn Kontakt hergestellt ist. erfolgt die Kraftübertragung. Wie später gezeigt werden wird. kann das Problem nur iterativ gelöst we rden. Weil hierzu programmt echn ische Rout ine erforderlich ist. so llte eine begleitende Ergebn isabschätzung über die Hertz' sehen Pressungsgleichungen vorgenommen werden.

188

8 Kontaktprobleme

8.3 Lösung zweidimensionaler Kontakt prob leme 8.3. 1 It erative Lösu ng nichtlin eare r Probleme oh ne Ko nta kt Die allgemeine Lösung des Kontaktproblem s ist nur iterativ möglich. Im nichtlinearen statisc hen Fall ohne Kontakt gi lt für den beliebigen Zeitp unkt I die Gleichgewi chtsgleichung

(8.8)

/ P -' F( U)= O.

Hierin ist I

P der Vektor der äußeren Knet enpunk tkräfte.

I

F der zu den inneren Elementspannunge n äqui valente Knotenpu nktkraftvektor,

I

U der Vekt or der Knotenpunkt verschiebungen.

Angenomm en sei j etzt. dass die Lösung

I

U bereits bekannt ist und die Lösung 1+ 1'./ U zum

Zeitpunk t 1 + 6./ gesucht se i. Der Vektor der äußeren Knoten punktlasten falls bekannt. Die GI. (8.8) ist zudem für alle Ze itpunkte f + fJ./ gültig: HAt p _ I+AI F {U ) = O.

f+ dl

P se i eben-

(8.9)

Mit der Definition l+A1 1P( U ): = 1+1H p _ I+A1 F( U)

( 8. 10)

kann d ie Beziehung (8.9) auch verkürzt als

(8." ) angegeben werden . Die exak te Lös ung I+AI U er füllt die GI. (8.1 1) exakt. Eine i-te Näherungslösung I+AI U(i) kann die Gleichung jedoch nur nähe rungsweise befriedigen. Nun se i unterstellt . dass e ine we itere Näherungslösung I+AI U(i- l) ebenfalls bekann t se i. Dann liefert eine Lmeansierung um den Arbeitspun kt mittels der Tay lor-Reih enentwic klung d ie Näherungsg leichung

Für d ie partielle Able itu ng in GI. (8. 12) erhält man aus G I. (8.10)

0 <1>

-

oU

oF

= - - = - K T( U) .

ao

( 8. 13)

8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme

189

Die partielle Able itung des Vektors der e lastischen Rückste llkräfte F (der äqu ivalent zu den inneren Eleme ntspann ungen ist) nach dem Verschiebungsvektor ergibt die so genan nte Tangentensteiligkeitsmat rix K T . Das Einsetzen von GI. (8.10) und GI. (8.13) in GI. (8. 12) liefert dann

Wird GI. (8.14) identisch null gesetzt, so erhält man für den ges uchten Verschiebungsvektor eine verbesserte Näheru ngslös ung

I + LlI

U(i):

I+Ll/ U(i) = I+LlI U(i- l) + I+LlI K T- I( Uii-l).

( I + Ll / 1, _

I+Ll I F{U)(i-I )).

(8. 15)

Mit der Abkürzung .1.U (ij : = I+LlI U(i) - I+LlI U(i- I) kann man schließlich die allgemeine Iterationsvorschrill nach Newton-Raphson" aufste llen:

(8. 16)

bzw.

Die Iteration ist dann so lange durchzuführen, bis d ie Versch iebungsinkremente .1.UO) oder der .Dut-of-balancev-Lastvcktor .1.R(i-l ) hinreichend klein sind. Da vom berech neten Zeitpunkt / ausgeg angen wird und der Zeit punkt t + .1. / berechnet werden soll, können wegen der anzunehmenden Stetigkeit der Lösungsfu nktion über die Ze it a ls Startwerte die Ergebnisse des Zeitpu nkts f verwendet werde n: (8. 17)

8.3.2

Iterative Lösun g mit Kont akt

Jetzt sei davon ausgegangen, dass zum Ze itpunkt t +.1.1 Kontakt auftritt. Dann erhält man ganz analog zu GI. (8.2) das al lgemeine nichtlineare Gleichungssy stem des Kontaktproblems I+ Ll/ 1, _

l+ LlI F(U) _

l+ Ll/ N I . 1+ ,0,. 1 1.. = 11

(8. 18)

mit den Nebenbedingungen I+LlI N . I+Lll l

=

l+LlI

A.

(8. 19)

H LlI N ergibt sich a ls Matrix aus den noch herzuleitenden geometrischen Kontaktbedingungen. ' 1 A nmerkung:

Lös ungsver fahren für mc hümcarc Gleichungssysteme mit guter

Konvergenz

190 -

8 Kontaktprobleme

t+t., ,, ist der Vektor der Kontakt-K noten punk tkräfte des Kontaktk örpers.

""d -

1+"" A

ist de r Vektor der Matcr ialüberlappungen. die es zu bese itige n g ilt.

Das Gleichungssystem aus den 0 1. (8. 18) und (8 . 19) ist nur iterati v lösbar. Anal og zu G I. (8 .10) defini ert man 1+AI ID(U,

I.) : =

I+Al p _ t+ Al r( U) _ 1+t'.I N ' . t+A 1A.= O.

(8.20)

Hier se i bemerkt. dass neben den unbekannten Versc hiebunge n I+"' t U auc h die unbekan nten Kontakt-Knotenpunktkräfte 1+!l.1" des Kon taktkörpers auft reten. Deshal b ist hier e ine Lineari sierung sowo hl über d ie unbek annt en Verschieb ungen als auch über die unbekannten Kontak t-Knotenpunktkräfte durchz uführen:

(8.2 1)

Mit den part iellen Ableitu ngen

(8.22)

und den Abkü rzun gen

Il U(i): = I+ß 1U(i) _ l+t. l U(i-l)· td .. (i) : = 1+!l.I j,,(i)_ 1+!l.I I.. (i-l)

(8.2.1 )

folgt au s G I. (8.2 1) schließlich das Glei ch ungssystem zur Bestimmu ng de r unbekan nten Verschiebunge n und Kontakt-K notenpunktkr ätt e: 1+!l.I
(8.24)

19 1

8.3 Lösu ng zweidimensionaler Kontaktprobleme

Mit der Abkürzung l+tH Rc(i- l) = _, +AI N I.(i-l) . I +AI ,,(i - 1) und der GI. (8. 19) lautet das best immende Gleichun gssystem für Kontaktproblem e /BAT 85; BAT 87; BAT 86b/:

[

'+~ ' KrIUj!i-ll "M N '.(i.'I ].[~u('I] = [ '+~' p _ H AI N (i - l )

'+~'[K r~U) Der Vektor

1+t:.1

,+MF1Uj!i-1i +'+MR}'-'I]

t.. "(J)

0

r

1+ t.1 A ( 1-1)

:'r')[~~r " r F(~I +

R,

=

(8.25)

R } i-I ) enthä lt alle Kontakt-K notenpunktkräfte sowoh l des Kontaktkörpers

als auch des Z ielkörpers der aktuellen Kontaktzone. Als Konvergenzbed ingung für GI. (8.25) gelten mit

j~

<x>

die beiden Forderungen

(8.26) und aus GI. (8.18) m (i- lj : = l+ t:.IF\U)(i- l) _I+M p~I+t:.I Rc{ i-1) =

I +AI

(i-l]

Rc.k 0,

für alle im Kontakt befindliehen Knoten k lur alle restliche n Knoten

(8.27) d. h.. es wird solange iteriert. bis die Materia lüberlappung

1+ t. 1 A (i-

I) beseitigt ist und der

OUI-uj-bulunce-Vektor ß R (i-l) für alle nicht in Konta kt stehenden Knoten verschwindet. Dann enthält der Ou-of- batance-vevxot fur d ie im Kontakt befindl ichen Knoten die Kontakt-Knotenp unktkräfte . Unbekannt ist noch die Matr ix der Kontaktbedingungen 1+ t:.1 N O- I) • die es aus geom etrischen Betrachtungen herau s zu bestimmen g ilt. Bild 8.4 zeigt eine aus finiten Sche iben-Elementen und Kontakt elementen model lierte zweidimensiona le Kontaktregion.

Kontaktkörper

, J

K

j +J

Ziel körper

1>.+ 1

Bild 8.4 : Finite Element-Diskretisie rung in Kontaktregion

192

8 Kontaktprobleme

Zur Best imm ung der Kontaktbedingun gen genügt die Betrachtung e ines Knotens k aus dem Konta ktkörper und eines Seg ments J aus dem Zie lkörper. Die Matrix 1+/11 ",, {i - I ) wird aus den Komaktbedingungen a ller lokalen Kontaktele mente zusa mmengesetzt. Auf diese Weise ist es mög lich. ruf die einzel nen Kontaktelemente untersch iedliche Kontaktbed ingungen zu berücksichtigen. Während sich z. B. ein Kontaktelemen t im Haftzustand befindet, kann das benac hbarte Element sic h im G leitz ustand befinden oder nicht in Kontak t sei n. Es ist beim Zusammenbau von 1+"'1 :\ (i -I) für jedes Kontaktelement einzeln zu entsc heide n. welche de r dre i Kontaktbeding ungen (Haften. Gleiten oder kein Kontakt) ruf ein Kontaktelement zu verwe nden ist.

I. Fall: Ke in Kontakt beim lteration sschntt i Das ist der einfachste Fa ll. Er tritt auf, wen n bei der Iterat ion i- I de r Kontakt knoten k sic h im Zusta nd ..Kein Konta kt" befindet. Es wird dann zu r Iteration i für das lokale Kontak tetement die Beziehung 1+.'11 N J(i- l)

=0

(8.28)

in d ie Matrix I+ AI :\fi -l ) eingebau t. Besteht zwischen zwei Kör pern kein Kontakt. so gi lt auch für die glohale Matrix I +AI :\ (i -I) '" O.

2. Fall : Haften beim Iterationsschritt i Haften zu r Iterat ion i wird ange nommen . wenn entweder der Kontaktknoten k bei der Iteration i - 2 nicht in Kontakt ist und bei der Iteration i - I in de n Zielkörper eindringt. oder wen n d ie tangentiale Reibkraft bei der Iteration i -I die Haftgrenze nicht überschreitet und der Kontakt knote n k sich beim Iteratio nsschritt i -I im Zustand •.Hatten- befinde t. Im ersten Fall ist d ie Kontakt-K notenpunktkraft 1+11.1 I.. k(i) zu Beg inn null und w ird wäh rend der Iteration i erzeugt. Haften wird demnach grundsätzlich zuerst ange nommen. wenn ein Kontaktelement vom kon taktfreien Zustand in den Kontaktzustand übergeh t. Bild 8.5 a) zeig t den Ausgangszustand i - I vor dem durchzufüh rende n Iterationsschritt i. Der Knoten k aus dem Kon taktkörper dringt in den Zielkörper ei n und ve rursac ht am nahe

J d ie Übe rlappung I+!J. I ~ k (i- I) . Dieser Zustan d muss vorn Computeralgorithmus er kann t werden. sodass dann für den Iterationsschritt i die bestimmende n G leichungen des Kontaktproblems aufgestellt und ge löst werden können. Die Hauptforderung zur Bestimmung der Kontaktbedin gungenlautet: liegenden

Segment

Alle Übertopp nngen ent lang der aktuellen Kontaktoberflache müssen nach der Iteration i verschwinden! Bild 8.5 bl ze igt de n Verschiebu ngszusta nd nach der Iterat ion i. Das Segment J hat sich genauso verschoben wie der Kontaktknoten k. Die Überl appung 1+.1.1 Ak(i-l) w ird zurückgeschoben.

193

8.3 Lösun g zweidimensionaler Kontaktprobleme

,)

b)

/

.1---

(i) I

ß Uc - /

d .(i- I ) J

(i- I )

"

" .(i- I )

J

c

, "

.....

euJtn

(i - I)

A,

(i-I)

I-'J

k ß Uk

( i)

(i)

j+1 •

d

J

(i)

(i-I ) " j+1

, IHI

n

L

-l d(i-l)

x

J

Bild 8.5: Iterative Kontaktb ed ingun g a) Haftbed ingungen vor Iteration i b) Haftbed ingungen nach Iteration i

Die vorausgesetzte Starrheit der finiten Kontakte lemente führt auf d ie Beziehun g

(8.29) In Bild 8.5 b) ist de r Zusammenhang

(8.30) ers ichtlich. Hierin ist I3J(i) ein dimensionsloser Param eter zur Lokal isierung de r Kontaktstelle c am Segmen t J. Die Festleg eng von ß}i) für das Seg men t J beim Iterations sch ritt i hängt davon ab. ob von Haften ode r Gleiten auszugehe n ist. Beim lI aften gilt: n {ii _ . (i -I)

I-'J

- I-'J

(8.3 1)

•

d. 11 .• der Kontaktpunkt k behält seine relative Position c im Segmen t J bei. ß}i- I) folgt aus geo metrischer Betrachtung zu (i- I) (i-I)I "c I IdJ I

(i -I) _

ßJ

- "j+ 1

mit

d

J

= x .(i- I) _ x . ,(i- I) J

J'

(8.32)

194

8 Kontaktprobleme

Wegen GI. (8.29) besteht auch e in linearer Zusammenhang zwischen öu

P), öu j+l(i) und

6 u C(i ) . und zwar

(8.33) Elirninierung vo n li u e(I) in GI. (8.33) mittel s G I. (8.30 ) ergibt ~

(i)

tl u l,:

+

1+t'J.I ..

Llk

(I -

(i - I) _ -

R

PJ

(i-l l) " tlUj .. (i) + Rt'J (i-1)

A

' il Uj + l

(0

(8.34)

wo rin I d ie Einheitsmat rix im zwe id imens iona len Raum ist. lm

Haftfall lautet die gesuc hte Matrix der Kontaktbedin gungen

1+,',,' N/ i - 1) um

betrac hteten Kontaktele ment demnach :

(8.35) Mit der Kontaktkraft 1+t'J.1 AI.: (i - I)

{ 'M', (;- I) ] x.k

I+l!. ..."

A y.k

.

(1-1 )

arn Kontak tknoten k findet man für HAt R

u-u -_ -

c.k

bzw. im g lobale n

X- ,

t+tJ./

NJ

y-Systern

I.(H )

.

t+ t'J. h

'" I.:

(i- I)

8.3 Lösun g zweidimens ionaler Kontaktprobleme

195

1+"'1 ~ x .k (i - I) II.

1+"'1 1... .

y.k

I +/'"f R

e-u ,-

c.k

«-u

_(I_ RJ (i-l))1+"'f A «-u I"

~,k

_(I- ß}i-l))1+""

Ay.k(i - I)

_ R (i- I) .I +"'I

(i- 1)

I" J

R

- t-'J

Ax.k

1+"'1) (i - I ) ·k

=

1+"' f J,)i -l) J 1+"" I..

j+1

(8.36)

n- u

n-u . 1+"'hI\. ) .k (i - I)

Hierin sind I +"" j.-/i- I) und f + /'"l l..j + l( i - l) d ie Kontakt-K notenpunktkräfte am Zielsegment

J. Es zeig t sich in G I. (8 .36 ). da ss die Kontakt-Kn otenpunktkraft Zielknot en 1+ /',, '

1./-

1) und 1+/',,1 1.. j + l (i- l ) verte ilt ist. d. h., 1+"'1

I +"'f I..k (i- I) linear auf die

I.t -

I),

1+/',,/ I. j+l (i -l ) und

1+'" I l.k (i- I) stehen im stat ischen Gl eichgewicht. Bild 8.6 verdeutlicht diese Gegebenheit.

.Ii-I) . d .(i- I) eJ J

r:l.

Bild 8.6: Statisches Gleichgewicht der Konta kt- Knotenpunktkräfte

3. Fall: Gl eiten be im Iterationsschritt i Übersc hreitet während der Iteration i • I die tang entiale Reibkraft die Haftgrenze. so ist der Kontakt knoten k im Zustand ..Gleiten" und es w ird auch zur Iterat ion i ..G leiten " angen om· men. Beim Gl eite n bewe gt sich der Kont aktpunkt c entlang des Segments J (s. Bild 8.7). Der Para meter

ßJ

ände rt sich während der Iteration i um '"

ß/ i) zu (8.3 7)

196

8 Kontaktprobleme

öu

-

.

,r

(IV

:./--" c

_

ß Uk (i l

eu .(i ) J

L

x

Bild 8.7: G leitbedingun gen vor und nach Iteration i

Der Kontaktpunk t k behält nicht d ie relative Position bei c· bei. so ndern g leitet ents prechend dem Parameter A ß/i ) zu m Punkt c. Die G I. (8.30) ist desha lb nur HiTdie Kom ponente n in

Richtung der Segmentflächennormalen es zu erfüllen. Das Ska larprodukt der Vektoren aus G I. (8.30) mit dem Einheitsvektor es führt auf d ie Komponentengleichung in Richtu ng von

(8.38) We iterh in g ilt ( 8.39)

Die Länge der G le itstrecke ist a priori nicht bekannt LInd fo lg lich auch nicht der Parameter

.6.~J (i ) . Mit der Annahme. dass 6p/O näherungswe ise klein ist. ist auch hier GI. (8.31) verwen dbar. Einsetzen von G I. (8.3 1) und (8.39) in G I. (8.38) liefert es

I

l + tJ.l ... (i - l )_

a k

- es

t . f,(I _ p (i-1 J) .....(i) + p (i - I) .... _ (1 ) _ " (il]. ~ J u UJ J u UJ+l u Uk

M it I+ ßJ ..

"" k

n-u -_ es I · I +!J./ "".. k n-u -_ e \: · 1+111 '-"b A n-n + eS}· I+!J.I '-'k A n-n y s

folgt

(8.40)

8.3 Lösun g zweidimens ionaler Kontaktprobleme

197

Die gesuchte Matri x de r Kon taktbed ingungen 1+&1 N }i -I ) lautet also im Gleitfall: n (i - I) t-'J . es

1I .

(8.4 1)

Die Ände rung der Kontaktkraft d AI; (i) ist im Gleitfa ll nur bezügli ch de r Komp on ente in Normalenrichtung es mög lich. Der tangentiale Antei l der Kontaktkraft ist wegen der Gl eitbed ingung

IFR I = Ild ' FN

an die

Komponente in Normalenrichtung geko ppe lt. Die Kon taktkraftänderung d AI; (i) reduziert sich auf die Beziehung (8.42) Im Gegen satz zum Haftfall (G I. (8.34»). wo pro Kontaktk noten k jewei ls zwei zusätz liche Glei ch ungen hinzuzufügen sind, w ird im Gleitfall (G I. (8.40)) nur e ine G le ich ung pro Kon taktk noten hinzugefügt.

Damit sind d ie dr ei möglich en Fälle zur Bestimmung der Matri x der Nebenbedi ngun gen erläutert. Der Zusta nd de s Kon taktknoten s k nach de r Iterat ion i - I entsc he idet. welch er der dre i ob igen Fäll e zur Iteration i der Matrix 1+ 1'./ NO- I) einz ubaue n ist. Es ist bisher aller din gs offen. aufweiche Weise der Z ustand des Kontaktknotens zu best immen ist. Zur Fcst legu ng des Z usta ndes eines Kontaktknotens dien en d ie Zustände der an den Knoten angrenzenden Seg mente. Im Bild 8.8 sind d ie vers chiedenen Mögli chk eiten aufgeführt.

Zustände der an k angrenzende n Segmente ein angrenzendes Segment anderes an grenzendes Segment

Zustand vo n Knoten k

Haften

Haften Gle iten kei n Kon takt

Haften

Gleit en

G leiten kei n Kontakt

G1eilen

kein Kontakt

kei n Kontakt

kein Kontakt

Bild 8.8: Z usta nd eines Kontaktknotens De r Zusta nd e ines Kontaktsegments bestimmt sich mittels de s Cou lomb-sehen Relbungsgesetzes au s den auf da s Seg ment normal und tangential auf die Segmentfläc he einwirkenden Kräft e FN(i-l ) und FR(i- I) infolge des Kont akts. Die auf die Kontaktsegmente einwirken-

198

8 Kontaktprobleme

den Segmentkr äfte FN(i-l ) und FR (i - l ) resulti eren aus den K ontakt-Knotenpunktkr äften l+tH 1..(1-1) (B ild 8.9). Es

k- I

gilt somit, eine Bezieh ung zw ischen diesen herzustell en. k+1

Bild 8.9: K omakt-Knotenpunktkraft am K ontaktkno ten k

In erster Näherung geht man von e iner linearen Ve rteilung der Seg mentkräfte aus. Bild 8. 10 ze igt d ie Vert ei lung de r Segmentkräfte am einze lnen Seg ment K. k+ \

k+1

~'i"';"-\1S-\\1-~ r K

~

N.k+ 1(; - 1)

F

~ ."

n-u

Bild 8. 10: Seg ment-Kontaktpress unge n und res ultierende Segmentkräfte am Konta ktsegment K

Die Segmentk räfte FN. ,,(i -I ) und FR. ,, (i-I ) sind die Resultierenden der linear verte ilten Segment-Kontaktpress unge n (K raft pro Fläch e). Dam it gilt im lokalen r-, s- Koo rdinarensys-

lern

"od (8.43) worin h die Dicke des eb enen Kontaktelements bezei chnet. lm Sinne der Finite Element Method e sind d ie beide n äußeren Seg ment- Konta ktpress ungen f N. K(r/i-l ) und f R. K(r )(i- l) kon sistent mit der Ve rschiebungsinterpolation sfunkt ion auf die Elementknote n kund k + I zu verteilen. Die sich darau s ergebende n kon sistenten

199

8.3 Lösu ng zweidimensionaler Kontaktprobleme

Knotenpunktkräfte zwele r benachbarter Segmente K - I und K bi lden die Kontakt- Knot enpunktkraft I+ A 1 1.n-u am Knote n k. Den 2-knot igen finite n Ko ntaktelementen liegt ei ne lineare Interpolationsfunktion zu Grunde , Entsprechend GI. (3.36) gi lt für die konsistenten Knotenpunktkräfte R K(i - I) am Kontaktsegment K im lokalen r-. s-System

R

K

(i- I) = h .

dK (i - l j G (r( (i-I ) . r (r)( i- l)dr K

J

(8.44)

o

mit

R N," R

,

(i -1) _

-

n-n

R N.k+ l

1- - '-

o

r

o

d,

, G (r)l.(i- ll =

R R.k

d,

o

1- - '-

o

r

(i - I)

d,

d,

Mit G I, (8 .44) und etwas Aufwand berechnet man d ie konsistente n Knotenp unktkräfte am Seg ment K zu

f . 3

F . +

fNk

f N k+ 1

FRk

FR k +1

3

6

FR k

FR 1;.+1

6

3

Nk 1 -N-k + --

(i-l )

6

- '-+-'-6 3

(8 ,45)

- '- + - '--

-'-+-'--

Die Kontakt-K notenpunktkraft

I +A1 I. k (i-

I) am Knoten k erhält man durch Überlagerung

der konsistenten Knotenpunktkräfte der Segmente K - I und K. Dazu werden zue rst die konsistenten Knotenpunktkräfte vom lokalen r-. s-Sys tern ins g loba le x-, y-System tran sfor miert :

200

8 Kontaktprobfeme

f

f

_

xL _._x--k 1 +----

R " .k _1 (i- I)

3

(i- I )

6

( ,k - I l _._ - - +f x--6 3 f y•k _ 1 + f y•k

R y. k _ 1

3

6

( \" k -I

r.,

- --- +--6 3 k +1 -f"k--+ -f x--

(i- I )

3

R

,

(i- I)_

(i- I )

6

f ' k+ 1 l -f x -+---

R x•k +1

6

3

(\-,1;

( \'. k+ l

3

6

-

--- +---\'.1; f " .k+l -( -+----

6

3

und anschließend für den Knoten k über lagert:

I+tl l <\Ii- II=

-li-li [[

·",K"~ -'['"x II-li =[0 -I +0' ':\,K

~, _

= h.

~.K-l + ~ . K .

",k - I

~\'.k-I

d,;- l

[

(i- I)

]('-" d,;- l+d,;

",k+1

~.k+l

6

3

d,; 6

(8.46) Die G I. (8 ,43) bis (8,46 ) sind die ges uchten Beziehungen zwischen den Kontakt -K noten-

puuktk räften HA .../ I,J i-l ) und den Segmentkräfte n am Kontaktk ör per FN(i - I) und FR(i - I) . Der Kontakt-Knotenpunkt-Kraftvektor

1+ !f.1 J..

n-u ist nach der Iteration i -I

bekannt . Dann

ist man mith ilfe der G I. (8,43) und (8,46 ) in der Lage , die Segmentkräfte FN(i-l ) und FR (i- l) zu berechnen . Das Coulomb'sche Reibgesetz schließlich ermöglicht e ine Aussage über den Zustan d des Seg ments: 1. Ist FN. ,, (i- I) < 0 , so wirke n auf das Kontak tsegment K keine Segment kräfte. Das Segmen t K hat nach der Iteration i- I den Zustand kein Kontakt. Da aber de r Vek tor 1+ 1:>1

R e, k (i - I) noch die Werte der Iteration i- I enthält, sind d iese für die Iteration i auf

8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme

201

den neue n Stand zu bringen. Die Kontaktpressungen f N.1((r) (i-I) und f R.1( (r)(i-l ) der kontaktlosen Segmente werden auf null gesetzt. d. h. (8.47)

Entsprechend sind dann über d ie GI. (8.43) und (8.46) d ie Kontakt-Knotenpunktkräfte 1+AI R e. k(i- I) in GI. (8.25) anz upassen . 2.

Ist IFR. I( (i- I)I s Ils . FN . I( (i - I). so ist die tange ntiale Segmen tkraft kleine r als die Haft grenze. Das Kontaktsegment K befinde t sich nach der Iteration i . ! im Zusta nd Haften .

3. Ist IFR. I( (i- lll > 11 5 . FN. I( (i - I). so überschreitet d ie tangentiale Segmentkraft die Haftgrenze. Das Kontaktsegment K bekommt nach der Iteration i • I den Zustand Gleite n zugewiesen. Auch in diesem Fall sind die Kornakt-Knoten punktkräfte H AI R e. k(i- I) für die Iteration i anzupassen. Beim Gleiten wird d ie Beziehung (8.48) erfü llt. d ie Re ibkra ft hängt also direkt von der Norma lkraft ab . Während für d ie Norm al-

pressung f N. I( (r)(i-1 ) we iterhin die lineare Verte ilung nach Bild 8.10 (rechts) g ilt. wird

fü r die Reibpressu ngsverte ilung fR. K (r) (i-I) eine konstan te Verteilung angenommen. welc he die GI. (8.48) erfü llt. Sie wird erfüllt. wenn gilt f N. k (1-1) + f N. k +l (i - I) (i- I) f R. K = Ild . 2 =

(8.49)

COIlSt.

Hiermit sind dann über die GI. (8.43) bis (8.46) die Kontakt-K notenpunktkräfte I +A I

R e. k(i-I) anzupassen.

Mit der Kenntn is der Zustände der Kontak tsegme nte können nach Bild 8.8 d ie Zustände der Knoten am Kontaktkörper ermitte lt werden. Die Z ustände der Kontaktknoten nach der lteration i · I bestimmen schließlich darübe r, we lche Matrizen

I+A I NP

- I) für die Iteration i in

das Hauptgleichungssystem (8.25 ) einzubaue n sind. Dam it ist d ie Lösungsmethode zur Behandlung von quasistatischen Kontaktproble men vom Grundsatz her erläutert. Die Lösungsalgorithmen in den geläu figen kommerziellen Programmsystemen bauen in etwa auf der hier darge legten Theorie - mit einigen Modifikationen -, auf.

202

9

FEM-Ansatz für dynamische Probleme

Zu vor wurde d ie Anwendung der Finite-Eleme nt-Methode in der Elaste statik begründet. Viel mehr Probleme des Maschinen- lind Fahrzeugbaus sind aber dynamischer Natur. d. h. zeitab hängigen Belastungen F(t). p(l) und/oder q(l) unterworfen. Demzufolge sind auch d ie auftretenden Verschiebungen u(x. y. z; I), v(x. y, z: t), wf x, y, z: I ) nicht nur Funkti onen des Ortes. sondern auch der Ze it. Zwangsläufig g ilt d ies dann auch ruf die Verzerrungen E (x, y. z: J) und d ie Spannungen G(x. y. z: I ). Unter Berücksichtigung d ieser Ze itverläufe wol len wir nachfo lgend e inige e infache Grundprob leme der Dynamik und deren Bearbeitung mit der Finite-Ele ment-Methode (s. auch fPRZ 68/) aufgreifen.

9.1 Virtuelle A rbeit in der Dyn amik In Bild 9. 1 sei e in beliebiger elastischer Körper unter verschiedenen period ischen Kräften dargestellt. Durch diese A rt der Krafteinwirkung wird der Körper in einen Schwinguugsz ustand versetzt. welch er durch e inen perm anenten Austausch von Arbeit gekennzeichnet ist.

F (x, y ; t)

q ( x, y ; t)

y, v

t=

y .\{

'o +öt

Bild 9.1: Elastischer Körper unter dynami scher Lasteinwirkung zu einem Ze itpunkt t Ein Körper ist bekanntlich dann im statischen Gleichgewicht, wen n d ie innere virtue lle Arbeit ö Wj = JS E'. O dV

(9. 1)

V

und d ie äußere virtue lle Arbeit 8Wa = Su' . F +

Jöu I . P dV + Jou' . q dO V

0

(9.2 )

9. 1 Virtue lle Arbe it in der Dynamik

203

gleic h groß sind. Um dieses Gleichgewicht auch in der Dynamik herzustellen, muss je tzt gemäß des d'Alembert'schen Prinzips die äußere virtue lle Arbeit noch um die Trägheits- und Dämpfungskräfte erweitert werden. Somit gilt folgende Bilanz:

sw, = oWa -

J p . ou t . ü dV - Jy 'OU' , " dV .

v

(9.3)

v

Die e igentlich fü r kontinuierliche Verhältnisse gültige GI. (9.3 ) muss nun wieder in ein diskretes Gleichungssystem überführt werden. Hierzu führen wir in bekannter Weise einen Verschiebu ngsansatz, und zwa r je tzt in der folgenden Form ein:

u(x, y. z.r} = G (x. y, z}. d (l ) .

(9.4)

Wie man hieran erken nt, definieren wir die Formfunktionen ortsabhäng ig und die Knotenpunktversch iebungen zeitabhä ngig. Um diesen Ansatz einsetzen zu können, müssen noch fo lgende Beziehungen geb ildet werden: die Variation der Verschiebungen als Ou = G · &I , die Variation der Verzerrungen zu

die Spannungen zu o = [ · t: = [ · D · G ·d .

Führt man nun diese Beziehung in GI. (9 .3)· ) ein, so folgt &l l

HD. C l l . E . (U· G ) dv -d = &1 1 . C ' . F + &1 1 J G I • P dV + &1 1 JC I -q dO

v

J

V

0

- &1 1 p · Gt . G dV · d - &J 1Jy G I · G

v

V

av .u

(9.5)

Schaut man sich d iese Gleichung näher an, so kann man hierin die SchwingungsditTeren zialGleichung (9.6)

m · d + c · d + k . d - p = lI

erkennen. Dabei sind die folgenden Zuwe isungen vorgenommen worden:

"A nmerkung: öWj

'"

J&' . O dY ", &I I J (U G l' ·E ·(I) ·G ldY . d

v

v

204

9

F EM ~ A ll satz

ruf dynamische Probleme

als Elementmassenmatrix m = f p G ' · G dV , v

(9. 7)

als Elementdämpfungsmatrix c = Jy G 1 . G dV , v

(9.8)

a ls Elementstciflgkeitsmatrix (5. auch GI. (3.36»

k = j( O .G )' · E · (O· G ) dV v

(9.9 )

ond a ls resultierender Knotenkraftvektor p = G 1 .F + f G I . p dV +fG1 . q dO. V

(9. 10)

0

Ohn e weiter au f den Zusam menba u dieser Elementg rößen (ide ntisch zu Kapitel 5.3.3 ) zu dem Gesamtsystem M · Ü + C · U +K · U =P

(9.11)

eingehen zu wollen. wenden wir uns im Weiteren der Erstellung der Massenmatrix. Dämpfungsma tnx"! und der Lösung der G I. (9. 11) zu.

9.2 Element massenma t rizen Im fo lgenden Kapite l wollen wir zunäc hst ei nige ausgesuchte Elementmassenmatrizen aufste llen. um den Zusammenhang zu Kapitel 7 herstellen zu können. Diese Massenmalrizen heißen konsistent, we il die kontinuierl ich über das Element verteilte Masse gemäß den statischen Ansatzfu nktione n auf alle Knotenfreiheitsgrade verte ilt wird. Im Gegensatz hierzu führen konzentrierte Punktmassen zu diagonalen Massenmatrizen IARG 88/. Die Diskretisierung und Diagonalisi crung der GI. (9.1 1) werden wir im späteren Kapitel 9.4 noch als ein wichtiges Lösungsprinzip der Schwing ungslehre kennen lernen, da damit große Gleichungssysteme gelös t werden könne n.

') Anmerkung : Bei der Formulierung der Ekmwntdämpfuugsmatrrc ist hisher voruusgcscwt. dass die Dämpfung kontinuie rlich über 311e Elemente verteilt ist.

205

9.2 Elementmassenmatrize n 9.2. 1 3- I>-Balke n-E leme nt

Im Kap itel 5..1 wurden mit GI. (5. 15). (5.27) und GI. (5.6 .1) bereits die Massenträgheiten für die verschiedenen Element freihe itsgrade des Bulkell-E lemen ts (s. auch Bild 9.2) hergeleitet.

m CD E,A, J1, L

V,

\jiy 1

Bild 9.2: Dynamische Fre ihe itsgrade am Bulken- Element

Wie bei de r Steifigkehsmar rix gew innen wir auc h die konsistente Elementmassenmatrix durch einfache Freihei tsgr ad-Überlageru ng . Man entneh me dies der folgende n Au fstellung fU N 891 sow ie S. 50 und S. 6 1. 0, $ 1

I

\jI zl

10

11

12

$2

V2

\jI z2

\\,2

ijI y2 ül

d

156e -220.'1 . -22cL .t eL2

5 6

9

",

c

4

7

iVyl

b

3

8

\i 1

a

2

m ""

\'1

$ 1 54c

l3 eL -l3eL _3 .:1 .2 156c ·22el. ·22cL .J eL2

'I '11 zl 5.Je

-uer.

13e l. . 3 e1.2

a

b

ü2

"'2

c

d

p . J 1 ·L p ." . L p ·" · L ' = - -- . b = - -- . c = 3 3 6 d ==

p . J •L 1

"

.

wl W, I

p.". L e == - - .J20

156c 22e L

22eL .Je l.2

\' 2

~ z.2 156e 22el.

22eL .JeL2

w2

ijI y2 (9. 12)

9

206

F EM ~ All satz

ruf dynam ische Probleme

Für d iese Matrix treffen w ieder d ie chara kte ristischen Merkmale w ie die der Sym metr ie. der Band struktur und der dün nen Besetzu ng zu. Verna chläss igt wurde bisher die Drehträgheit. die abe r durch Elemen trotation . be ispielswe ise bei sehr hochkanti gen ode r schubweiche n Querschn itten, einen Einfluss auf d ie Schw ingung hat. Dieser Effekt ist prinziphaft im Bild 9.3 darges tel lt. In der Regel wirkt sic h dies auf die Längsverschiebung nur wenig aus. hi ngegen w ird di e Biegeamplitude mehr oder weni ger vergrößert.

Bild 9.3: Effekt der Drehträgheit von Massekö rper auf die Längsund Biegeamplitude

Um nun diesen Trägheitseffekt berücksichtigen zu können. g ilt es , den Ansatz fü r die Längsverschiebung wie fo lgt zu erweitern: u(x, t ) =u t - z- w' ,

(9. 13)

d. h.. d ie Längsver schiebung muss zusammengesetzt werde n aus de r axialen bzw. translatorisehen Versch iebu ng de r Balkenmittelachse und der Quersc hnitts neigung. Demzufolge ist der Verschiebungszustand e ines Balken· Elementes anzusetze n als

(9. 14) mit (e ntsprechen d S. 59 und S. 60)

o

: z (I 4x+_3X 2) :x: I

,:

,

L L2

IJ

L I _

I

,: L ,i

o

, , 3 2 +2x3 ) i (_~+2x2 _X)Li o i(3X_2'(3) 2 o (1_3X L2 IJ : L L2 L} : : L2 L} (9. 15)

Zwec kmäßig ist es jetzt. sich die Ansatzfunktion smatrix G aus einem translatorischen (G I ) und e inem rotator isehen (z . G r ) Ante il zusa mmengesetzt zu den ken. Dam it ergibt sich di e Massenmatrix zu m = p] f( G t + z ' G r((G t + z · Gr) dA dx , AL

9.2 Elementmassenmatrizen

207

welche ausformuliert werde n kann zu

m= PJ[GII ·Gl . A+ (GI1. Gr +Gr' . Gth ZdA+Grl. Gr JZ2dA]d'o

A

(9. 16)

A

-0

Hierin bezeichnen bekanntlich das Schweremoment oder das so genannte statische

Sy = JzdA = O

Moment. welches um d ie Schwerachse gle ich null ist

A

das Flächenträgheitsmoment. Nach Durchführung der Matr izenmultiplikationen und der Integration führt d ies au f

140

m=

0 0 22 L 156

70 0

4L'

p . A· L

0 54

0 140

420

0 13 L - IJ L _ 3 L2 0

0

156

22L 4L'

sym.

(9. 17)

0

+ P . A.L ( - J" _.30 A . L2 sym.

0

0

36

3L 4L'

0

0 0 - 36

0

0

3L

JL _ L'

0

0 36

0 - 3L 4L'

Bei d iesem Ansatz ist die Drehträgheit ausschließ lich den Biegefreiheitsgraden zugesch lagen worden. Vielfach wird der Drehträgheitsanteil e infach vernachlässigt. 9.2.2

End massenwirku ng

In schwingfähigen Strukturen, und zwar bevorz ugt Wellensysteme. mussen oft auf elastisehen Gliedern dis krete Einzelmassen wie Zah nräder, Kupplungen oder Schwungräder aufgebracht werden. Diese konzentrierten Einzelmassen verändern im Wesentl ichen die schwingende Masse und haben keine n oder nur einen sehr geringen Einl1uss auf die Steifigkeit

208

9 FEM-Ansatz für dy namische Problem e

IKLE 77/. Ein typ isch es Beispiel für ei ne derartige Situatio n zeigt Bild 9.4 . welch e eine abstrahierte Ritzelwelle idealisieren soll.

(i) E======~

z;

W (!)!

Bild 9.4: Wirk ung einer kon zentrierte n Einzelmasse an eine m Ba lken- Element

Die Masseurn atrix der Einzelmasse

M O)

kan n als Diagon almatrix (9.18)

aufgefasst werden . welc he so die tran slatorische und rotatorisehe Wirku ng w iedergibt. Im vorste henden Fa ll ist diese Matrix dann m it der Massenmatri x des Balken- Elements um Knoten 2 zu übe rlagern, woraus folgt: 156 L 420 1l '

22 z 420 4 ] - ~· L 420

54 420

- - ~· L

m=

13 L' 4201l"

-~ · L

13

a

3

-- ~· L

]

-- ~· L

420

420 22

156 - Il , L+ M

1:420

mil l.l= p ·A.

(9. 19)

L' 42011 "

4 3 1l·L + 0 420

-

sym

Fall s de r Balken se lbst noch schubwe ich ist. ist die Matrix noch um d ie en tsprechende n Terme der vorstehenden Bez ieh ung zu ergä nzen.

' ) Anmerkung: Massentr ägheit einer Scheibe um die Längsa..hsc 8

,

,

'" rn . R

2

9.2 Elementmassenmatrizen 9.2.3

209

Dreieck-Schelbe n-Eleme nt

Auch zur Herleitung der Element massenmatrix des Dreieck-Scheiben- Eunoems kann auf bereits im Kap itel 7.2.2 dargestellte Zusammenhä nge zurüc kgeg rilfe n we rden. Wir hatten dort in G I. (7.14) de n Verschieb ungsansatz hergeleitet zu

(9.20)

Es wurde weiter auc h schon dargelegt dass das Dreieck -Element unter Verwendung von Flächen koordin aten einfac her zu behan del n ist. Für das im Bild 9.5 geze igte Element kann folgen de Bezie hung zw ischen de n kartesischen Koordi naten und de n Flächen koordin aten hergeste llt werden:

x = x I +~1(X 31 - 1;2' X32)

(9.21)

Y =Yl +1;1(Y31 -1;2 ' Y32)

,)

y

--'Qj--

b)

,,

Bild 9.5: Dreieck-Scheiben- Eleme nt a) dynam ische Knotengrößen b) Flächenkoo rd inaten

9 FEM- Ansatz für dy nam ische Pro ble me

2 10

Wi rd nun in der vors tehende n GI. (9.2 0) die Variab len x und y durch eben diese Bezieh ungen ersetzt, so w ird ers ichtlich. dass neue Ansatzfunktio nen

auftreten. Führt man fern er noch die in G I. (7.36) über die Jacobi-Matrix hergestellt e Transfor mat ion ein. so laute t die an das Dreieck·E lement ange pass te Berech nungsvorschrift GI. (9.7) jetzt m =

"

p. tf fG I 00

· G det J d~l ds z .

(9 .23)

Die Determi nante der Jacobi-Matrix ist dabe i gegebe n als

iJx

iJx

Jy

dy

det J (x. y ) = _ . _ - _ . -

"SI "S' "S' "SI

= - ( x3 1 - 1; 2 . x32)Y n ' SI + x32 ( Y3J - 1; 2' Y32)

S'

(9.2 4)

=2A'SI . Berück sichtigt man d ies in GI. (9.23) und fü hrt die Integration durch. so er hält ma n getrennt für die x- und y- Ric htung a ls Eleme ntmassenma trix

,

2 I

1:

1 2

1'

I

2 '

1

,,

( x - Richtu ng )

0

, ,, ,,

p ·A ·! nt = - - - ------- r------12 1 I 12 0

(9.25)

2 I ( y - Richtung )

: I

1 2

Da bei der Programm ierun g de r Elementsteifigkeits matr ix mei st abe r eine ande re Freihe itsgradzuo rdnung gewä hlt w ird, ist es e rfo rde rlich. die vorstehende Matrix noc h umzu sortie ren . Dies führt dan n zu der Matr ix 2 0

0

I

0

I

0

Üt

2 0 1 0 1 vI 2 0 1 0 ü2 1 0 2 0 1 v2

p.A · I 1 01 = - - 12 0

0

I

0

0

1 0

I

0

2

1 0

(9.26)

0 ü3 2

v3

ln Ergä nzun g zu den vors tehe nden Massen matrizen se ien im Bild 9. 6 noch einige Elem entmasse nmat rize n für e ine Sc hwingungs richtu ng angegeben.

9 .2 Ele mentmassenmatrizen

2ll

Eleme nt

Massenmatrix

",

Recht eck·Scheiben-E lement

-

-

(21

m =~[~

GJ

36

-

-

üJ

yl Q) L _

"2

ti )

2

I

ü~

2

4

2

I

I

2

4

2

2

I

2

4

@)

x

Quader- Volumen-E lemenl

y, ü2 _

- -/ W

!cZ)

(6)

(j)

0) 1

/

/

/

-

(J)

..... - - - -- -

- -4) -x

(K'

z:

ül

Üz

ü3

ü~

Üs ü6 Ü 7 üg

8

4

2

4

4

2

I

2

4

8

4

2

2

4

2

1

2

4

8

4

I

2

2

4

8

2

2 1

4

p:V 4 m= - 21 6 4

2

4

2

1

2

8

4

2

4

2

4

2

1

4

8

4

2

1 2

2

4

2

2

4

8

4

I

2

4

4

2

4

8

ül ü2 ü3

ü~

I

1

I

2

Tetraeder- Vo Iunte n-Element

@

-

ÜI

zl

CD

--- ---

Y

lL."_

-

-

m = ~[~ 20

I

1 2

I

1 1

I

1

2

I

Cil

öl

x

Bild 9.6: Katalog einiger Elem entmassenmatrizen für lineares Elem entverhalte n (n ur xRichtun g)

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

2 12

9.3 Dämpfungsmatrizen Die vorstehende GI. (9. 11) wurde unter de r Vora usse tzung aufgestellt. dass Dämpfung in e iner Strukt ur vorhanden ist und dass die Dämp fungsmatrix w ie eine Masse n- ode r Ste ifigkeitsmatri x zu bestimm en ist. Auf die dabei auftrete nde n Probleme wo llen wir in diesem Kapitel kurz e inge hen. Zunäc hst g ilt es zu klassifizieren. we lche Dämpfu ngskräfte überhaupt auftreten. Hierzu kann d ie fo lgend e Eintei lung gefunden werden mit - Struktur- ode r Hysteresekräfte. d ie aus de r innere n Materialreibung resu ltieren, - Coulomb-sehe Reibung an den KontaktsteIlen (z. B. Sc hraube n)

""cl

- viskose Dämpfu ng in gegebenenfa lls angeb rachte Tilger. Prinzipiell sind diese dre i Mecha nismen im Bild 9.7 an einer Struktur an gedeutet.

Scheihen-Elemente

;/

Kontakt-Elemente

Substruktur II \ Struktur- oder Hysteresedäm pfung

I lauptstruktur

[ ~;w,

jw

(I)

J

viskose Dämpfi n

,;

Bild 9.7: Schwing fähige Struktur mit Dämpfungselementen

Meist treten in größe ren Str ukturen alle drei Mechanismen zug leich auf. Im Sinne einer mög lichst einfachen Behand lung de r Dämpfung und einer gu ten Lösbarkeit der DGL beschränkt man sich aber überwieg end nur auf die Berücksichtigung der viskosen Dämpfung. Gegebenenfalls w ird diese so angepasst. dass die viskose Dämpfung de n g leichen Energ ieverzehr bew irkt, wie der eigentl iche Dämpfungsmechan ismus. So ll nun in einer Berech nung die Dämpfung berücksic htigt werde n, so hat man de n Fall zu unterscheiden. dass jedes Elemen t einer quas i verte ilten Dämpfung unterliegt oder e ine konzentrierte Dämpfung an einem Knoten wirksam w ird. Für den erste n Fall hab en wir mit G I. (9.8) bere its eine Vorschrift gefunden. w ie man die Elementdämpfungs matrix aufzubauen hat. Wenden w ir hierauf de n Zusammenbaua lgor ithmus an, so ergibt sich mit C = A I · C· A

(9.27)

9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme

213

die Strukturdäm pfungs mat rix. Wirkt hingege n mit - y . W k noc h eine zusätzl iche Dämp fungskraft. so ist dieser Dämpfungsante il in d ie Diagonale der Matrix C auf den Platz (kk) zu addieren. Wie wir so m it erke nnen , ist der Einbau einer viskosen Dämpfung in den finiten Formalismus ein le ichtes Unterfangen. Der große Nac hte il ist dabe i, dass die Strukt urdäm pfungs matr ix C keinen d irekten Bezug mehr zur 1\1 - ode r K-Matrix aufweist. Dies ist inso fern problematisch, da die so genannte Diagonalisierung von G I. (9. 11), welches einer Er nkopplung der Schw ingungen gleichkommt, ein wicht iges Lösungsprinzip für die dynamische Stru kturanalyse darstellt. Man hat deshalb Ab hilfe ersonnen, zu der beispie lswe ise d ie Annahme einer strukturproportionalen Dämpfung ge hört. Verein fachi setz t man hier die Dämpfungsmatr ix als linear abhä ngig von der Massen- und Steiflgkeitsrnatrix in der Form tA RG 88/

C =a , K +ß · M

(9.28)

Der Vortei l diese r vergebensweise ist da rin zu sehen. das s m it der Diagonalisierung von K oder M. wie späte r gezeigt werden wird. auc h die .modale C-M atrix" diagonalisiert wird. Für die Parameter c und ß sind entweder Erfahrungswerte e inzusetzen oder geeignete Var iat ionen zu machen. In der Litera tur werden für diese Parameter Größeno rdnungen von 2-5 % für Strukturdämpfung", bis 8 % für Reibungsdämpfung von versc hraubten Metallstrukturen und bis 20 % für aktive Dämpfungselemente angegeben.

9,4 Eigensc hwing unge n un ged ämpftcr Systeme 9.4. 1 Gle ichungssystem Im folgende n Kap itel wol len w ir uns mit der Besti mmung der Eigen freq uenzen und Eigenvektoren (Moda lanaly se ) von ungedämpften Schwingungssystemen auseinandersetzen . D iese Aufgabe ist insofern grundlege nd. da bei den so genannten modalen Verfah ren zu r Er· rnlnlung der dyna mischen Antwo rt erzw ungener Schwingungen d ie Eigenve ktore n eine gr und legende Rolle sp ielen. Des We iteren geben uns auch die Eige nfrequenzen eine wichtige Information über das Systemverhalten unter Anregung. Die Bewegun gsgleichu ng eines ungedämp ften Schwingungssyslems lautet :

M · Ü +K · U =O .

(9.29)

Dies ist vom Typ her eine homogene lineare DG L m it konstanten Koeffizienten, für die gewöhnlich de r Lösungsansatz 'l

U = X · e P ", X ·exp(p 't)

.) Anmerkung:

Form el

von Lehr

.. )

für gedämp fte

(9 .30)

Eigenfrequenz w[) '"

~

W

(I; - 0.02- 0,OK bei Mc-

talte nj.dh. Wo .. O.'N W

n) Anmerkung zur Differenziation von GI. (9.30): i l '" p . .x . e P ' I == p ' ( I, f; == p 2 . X . c P I == p 2 . I "

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

2 14

herangezogen wird. Setzt man diesen in G I. (9 .29) ein, so wird die vorstehende DG L in das algebra ische Gleichungssystem (9 .31 )

überfü hrt. Bei der Diskussion d ieser Gleic hung ist d ie triviale Lösu ng X = 0 (Ruhezustand) nicht weiter von Interesse. Nichttriviale Lösungen erh ält man somit nur filr d ie versc hwindende Koeffizientendererminante (9.32 )

Die Entwic klung dieser Determinante als

de t

p 2 . m 12 + k 12

p2 ' m 13 + k n

p2 ' 1TI 22 + k n

p 2 'nl 2J +k 23

=0

p2 - In3) + k J3

führt auf ein Polynom n-ten Grades in p2

(')"

bn " p

('rJ

+ b n - 1 " \p

(9.3 3)

+· · · + bo = O.

welches als charakteristische G leichung bezeichn et wird. Diese Gleichung hat n von null verschiede ne Lösu ngen in p2 . Aus jeder Lösung kann noch die Wurzel den. sodass letztlic h 2 n-Lösungen in p vor liegen.

±N

gezogen wer-

Um den Aulbau der charakteristischen G leichung etwas besser verstehen zu können. wo llen wir diese einma l für nur ein schwingendes finites Element aufstellen. Ausgangsbeziehung ist hier die Determinante

dOl

mu

+ k 12

p2 ' lll l1 + k 11

p2 .

p 2 . m 21 + k 21

p2 .m 22 +k 22

= O.

(9.3 4)

Entwic kelt man diese aus

und so rtiert die Te rme, so führt d ies zu (mi I ' m 22 - m 2 1 . m I2 ) ' +

~2J + (m l1 . k 22 + m 22 . k 11 -

Iku . k 22 - k 21 . k 12 ) = O.

m 21 . k 12 - nl 12 ' k 2 dp2 +

9.4 Eigenschwingungen ungedäm pfter Syste me

215

Überträgt man nun d iese Aussage auf einen Schwinge r mit beliebig vielen Freiheitsgraden, so ist mit Rückblick auf GI. (9.32) folgender Zusammenhang

zu erkennen. Um weitere Erke nnmisse über den Charakter der Lösung p 2 zu gew innen, wollen wir die konventione lle Bearbeitung eines 2-Masse n-Sc hwingers (s. Bild 9.8) hier einmal einsc hieben. Für diesen gelten die folgenden Beziehungen:

c

M=

m[~o f~-'~J; , ~

a>

,J

0

I;

m

c

p' , m [



m

- I

+2 .: ].["] =[0] - c

+1

X2

0

113T

Bild 9.8: Diskreter 2-Masse·Schwingcr

Ge mäß der Problemformulierung kann dann d ie charakteristisc he Gleichung

(9.35)

erstellt werden. Die beide n Lösungen dieser quadra tischen Gleichung in p2 sind

(

(

p

2

.mJ =--'2- (3- ,15)= -0,3 8,

C

m p2 '-

c

J

J

11

(9.36)

r.)

I(3+ ..;5 = - 2,62. = -2

woraus vier Lösungen folgen. und zwar PI+ = 0. 62

i~

,

PI_ = - 0, 62

i~

(9.37)

9 FEM-Ansatz für dy nam ische Probleme

216 PII + = 1,62 i

~

V;;;

•

PlI _ = - 1. 62ijf .

(9. 38)

Die Lös unge n VOll G I. (9.36) g ilt es j etzt in die GI. (9.3 1) einzusetzen und auf xl = I zu normieren. Man erhält so für die erste Lösung

(9.39)

Aus der 2. Zei le erhält man dan n

und als Eigenvektor (9.40)

Setzt man weiter die zweite Lösu ng ein und entwickelt die Gleic hung, so erhält man

bzw. für den zwe iten Eigenvektor (9 .4 1)

Die Kemaussage, die w ir hieraus gewinnen. ist: Die Lösungen in p 2 der charakteristischen G leichung sind stets negativ reell. hingegen s ind d ie Lösungen Pi paarwe ise re in imagin är. Für die Eigenvektoren J( 1. 11 gi lt. dass sie immer reell sind IA RG 88/. Um diese Aussage für belieb ige Schw inger zu belegen, wol len w ir für einen Eigenvektor den kom plexen Aufbau (9.42)

und für den ande ren de n konjugiert komp lexen Autbau

9.4 Eigenschwingungen ungedäm pfter Syste me

217

(9.43)

anne hmen. Damit kann GI. (9.3 1) gesc hrieben werden als Pi

2

• I

• I

(9.44)

, x i · M , x i + Xj · K , x j = 0 .

Formuliert man diese G leichung aus. so fiihrt d ies zu

(9.45)

Da in den hier betrac htete n Fä llen die Massen.(M). und Steifigkeitsmatrix (K) immer sym· metrisch und posit iv definit se in soll. verschwinde n in der vorstehende n G I. (9.45) die Imag inärteile , sodass nur d ie reel len Anteile übrig bleiben . Die Lösung IO L S 721 von (Rayle igh-Q uotient )

(9.46)

ist damit negativ reell bzw . d ie Lösun gen Pi+ =

.I . Wi ,

Pi - =

.

- I.

Wi

.)

sind rein imaginär. Somit können die Eigenkreisfrequ enzen (unabhängige ..M odes'') forma l bestimm t werden zu

Wi 2 = ( x i I . K . Xi ) ' ( x i I . M . x i )- 1 > O.

(9.47)

Die Freque nzen. also d ie Anzahl der Schwingunge n pro Se kunde. erhält man dan n zu vi = Wi

(9.48)

2.

Des Weiteren wo llen wir die wichtige Eigensc haft der Eigenve ktoren dis kutiere n. dass sie konsistente Massenmatrizen und Steiflg keitsmatrizen simultan diagouali sieren. Um d ies zu belegen, fassen wir a lle mög lichen Eigenvektoren in die Matr izeng leichun g

'2

... ,

n

I~ 1~1 2

-'

~2

...

",,',I ~

" Anmcrk.ung: I" IrlW ~ . . ,.. . . 0I~cgc , n: .z - • , • 1.3 - ••...4 .,1crp' - . (I), CI,S: nuogmäre ",111 hC111. 1 - + , .
(9.49)

9 FEM-Ansatz für dy nam ische Probleme

218

zusam men. Dabei so ll noch folgende Abkü rzung eingeführt werden. und zwar eine zusammenge fasste Eigenvektormatrix

(9 .50) und eine Eigenwertmatrix (inverse Kreisfrequenz-Quadrate)

..-4. ~

(9 .5 1)

Somit kann G I. (9.49) auch gesch riebe n werden als

(9.5 2)

M ·X = K ·X·A. Erweitert man d ie vorstehende Gleichung noch du rch eine Vormultiplikation mit X I . I\1 . X = X l . K · X· A.

x'

zu

(9.5 3)

so wird M und K diagcnalisiert. Anhand des zuvor scho n benutzten Beisp iels wo llen wir d ies jetzt kurz beweisen. Für d ie Eigenvektorenmatrix tnicht normierte Moda lmatr ix) kann dann

X-

I

1

I

1 ]

. - [,(1 +"') , (1-"' )

(9 .54)

0)

angesetzt werden. Obwoh l in unserem Beispie l schon von einer diagonalen Massenmatrix ausgeg ange n worde n ist. wollen wir de nnoch die gewo nnene Aussage belegen. Es g ilt

""cl

" Anrucrkuug: FUr eine Normierung der Modalmatrix e xistieren zwe i Möglichkeiten : a) Masscnorthonormicrung

x " . :'11 · X = I --+

b ) Stcifigkcusorthonormicrung x '

" .X=I

--+

Folge: X' . ". X = A - I . Folge : x " . :'1 1 · X = A .

9.4 Eigenschwingungen ungedäm pfter Systeme

219

Damit können äuße rst beq uem die Kreisfrequenz-Quadrate aus

(9.55) bestimmt werden. Für das kleine Beis pie l lauten sie : 0l2 2 1

J

=..:. 15- -15 5+-151 ="':"1(3 _-15) (3+-15 1 . m 5+JS 5-JS 2m ~

(9.56)

In der Mathematik w ird die vors tehend bea rbe itete Aufgabe als Lösung des a llgeme inen Eige nwertproblems bezeichnet, weil es hier um die Ermittlung de r Matrix X der Eigen wertvekto ren " i und um die Diagon alisierung de r be iden Matrizen :\1 und K ge ht.

r

"

I L

2

I

L

2 r

2

,

CD

m

ü 1= 0

(j)

,

ü 1 '" 0

a>

,

ü2

,

ö3

p.E A,L

!ll 2

'-

,

(2)

u( tH

z

Ü

(,1)

Bild 9.9: Stabmode lle zur Besüm mung de r Eige nkreisfrequ en zen

In de r Dynam ik ste llt ei ne d iskrete Ideali sieru ng nur eine grobe Nähe rung dar, wie das Beispiel in Bild 9 .9 weite r belegen so ll. Wertet man nämlich 0 1. (9.56) fiir de n ideali sierten Zwei-Masse n-Schwinge r nach Bild 9.8 aus, so folgt für die Eigenkreisfrequenzen

Ol, ' = 2EL· A

2

2p·A · L

'(J- JS ),

Diese Näheru ngslösungen sind noch relativ weit entfernt von der exakten Lösung der Longitudinalschwingu ng eines homogenen Stabs m it

"h akt '"

1.5708~ p ·EL2 .

Der Fehler beträgt etw a 27 %. Wird das Beisp iel hingegen als finites Mode ll m it einem einzigen Element ge löst. so führt dies auf

220

9 FEM-Ansat z für dynamisch e Prob lem e

E·A _ 002 . p . A· L = 0, L

3

2 3E '" = - p . L2 od er

W = 1.7320 5

~

E 2'

p ·L

d. h., d iese Eigenkreisfrequ enz liegt nur noch um 10,3 % zu hoch . Verfein ern w ir das Model l auf zwe i Eleme nte, so führt dies zu

Wl = 1,6 114 J

E 2' (1)2 = 5.6293J

p.L

E2 '

p.L

Wie in der Statik gilt a uch für die Dynam ik. da ss sich mit zunehmende r Elementfeinheil das Erge bn is verbessert . Bild 9. 10 g ibt d iese Tend enz für die Eigenkreisfrequenzen wiede r.

Anzahl cl"

Elem ent e n

wj / roc \ ~kl -Verhäh nis

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3

1.026

1. 195

1.0 12

1. 103

1.200

4

1.006

1.058

1.1 54

1.19 1

5

1.004

1.037

1.103

1.181

1.282

6

1.003

1.026

1.072

I. 137

1.195

1.273

7

1.002

1.0 19

1.053

1.103

1.1 6 1

1.200

1.266

8

1.002

1.01 5

1.04 1

1.07 9

1.128

1.177

1.201

1.259

9

1.001

1.012

1.032

1.06 3

1.1 03

Ll48

1. 188

1.200

\ .254

10

1.001 \ .009

[.026

\ .0 5\

1.084

\ .\23

1.1 63 1. 195

1. 198

10

1. 103

1.250

Bild 9. 10: Bezogene Fehlerrate be i der Bestimmung der Eigenkreisfrequ en zen der Longitudinalsch wingung e ines e ingespa nnte n Sta bes

9.4 Eigenschwingu ngen ungedämpfter Systeme 9A .2

221

Numerische Er mitt lung d er Eigenwerte

Zur Lösung des zuvor beschr iebenen allgemeinen Eigenwertproblems mit symmetrischen und positiv delinite n Matrizen bieten sowohl die Mathematik wie auch die FEM-Universalprogramrne verschiedene Lösungsverfahren an. Ohne auf d ie mathematischen Hintergründe dieser Verfahren vertieft einzugehen. kann festgestellt werden. dass diese Anwendung von verschiedenen Gegebe nheiten abhäng ig ist: Zunächst ist herauszustellen. dass in der Praxis meist nur eine beschränkte Anzahl der meist niedr igsten Eigenkreisfrequenzen mit den dazugehörigen Eigenvektoren von Interesse sind. oder d iese Werte in einern bestimmten Intervall gesucht werden. Zufo lge der Diskretisierung sind die niedrigen Eigenwerte re lativ genau bzw. d ie höheren nur mit einern größere n Fehler bestimmbar. Im Besondere n ist maßgebend: Es liegt eine Problemstruktur vor. bei der die Matrizen M und K voll besetzt sind. Dies trin dann ein. wenn eine Kondensation zur Eliminierung von Freiheitsgraden vorgenommen wurde. In d iesem Fall eignen sich als Lösungsverfahren das Jacobi- und Hauseholder-Verfahren sowie die Modifikation von Househokter-Givens zur Erzeugung trid iagonaler Matrizen. Es liegt der Normalfa ll vor, dass M und K nur schwach besetzt sind und eine Hüll- oder Bandstruktur vorherrscht. Diesbezüglich erwe ist sich die Vektoriteration oder nisetaionsmethode als am zweckmäßigsten. Eine besondere Klasse von iterativen Lösungsverfah ren (z. B. Koordinatenuberrelaxation) nutzt die schwache Besetzung der Matrizen aus oder ope riert nur mit den von null verschiedenen Koeffizienten. Bei d iesem Verfahren ist zwar der Speicherbedarf am geringsten. aber der Rechenaufwand relativ hoch. Des Weiteren kann der allgemeine Fall vorkommen. dass Eigenwerte eines Systems bestimmt werden müssen. welc hes se lbst noch Starrkörperbewegungen (z, B. Flugzeug. Satellit etc.) vollführt. Die Matrix K (z. B. Lallczo.~-Ver fahren ) ist dann singulär. Derartige Probleme werden numerisch durch eine Spektralverschiebung gelöst. in dem die Matrix mit Faktoren multipliziert werden. die letztlich zu dense lben Eigenwerten fü hren. Dieses Verfahren kann auch aufstat isch bestimmte Strukturen angewa ndt werden. Bei einigen Programmsys temen kann der Anwender direkten Einfluss auf das zu wählende Verfahren nehmen und somit den Spe icherbedarf und die Rechenze it optimieren. Falls dies nicht möglich ist. wählen die Programme bevorzugt d ie Vektoriteration. oder wenn es insgesamt wirtschaftlicher (kleiner 1.000 FHGs) ist. das Householder-Verfahren. Im folgenden Beispiel ist exemplarisch eine Stahlbaubrücke hinsichtlich der Eigenkre isfrequenzen und Eigenschwingungsformen untersucht worden. Die Struktur hat insgesamt 8 · 2 = 16 Freiheitsgrade. von denen vier FIlGs gebunden sind. Frei sind somit 6 · 2 = 12 Freiheitsgrade. Für eine Struktur können so viele Eigenkreisfrequenzen berechnet werden. wie Freiheitsgrade vorliegen. also hier 12 Eigenfrequenzen. Praxisrelevant sind meist die ersten Eigenfrequenzen. weshalb in der Rechnung auch nur vier Werte berechnet wurden.

222

9 FEM-Ansatz für dynam ische Problem e

Anh and der Eigenschwingungsfo rmen ist weiter feststellbar. wann die Biege- und Längsschw ing ung angeregt werden .

ID.2

== 93,49 Hz

..',e> . ~"", . ~"" .,/ J1\:" '-'"


' "

-- ..

.. -, ., , ..., . '- ... .\:.' ' / -/ /

.

,

"-.

'.

®

roJ == II 7,947 Hz

ro4 == 161.33 1 Hz

--

" -. ""

-, -, .

.. --'

-

".: .. .. , .. .-.

Bild 9. 11 : Eigensch wi ngungen einer Stahlballbrücke

An den Schw ingungs for men erkenn t man . dass zunächst die Biegeeigenfrequenz angeregt wird. bevor als 2. und 3. Eigenfreq uenz die Long itudinalschwi ngu ngen anspreche n. Dieses ist oft zu beobachten, woraus gesch lossen werden ka nn, dass Systeme in der Regel ste ifer gege nüber den Längsschw ingungen sind. Des Weit eren so llen an diesem Beisp iel überprüft werde n. ob sich größere numer ische Unterschiede bei der Eigenfrequenzberech nung ergebe n. wen n untersch iedliche Lösungsverfahren gemäß der vorstehende n Aufl istung gewä hlt we rde n. Bei der vorliegenden Anzahl von Fre ihe itsgrade n (a lso kleiner Um fang) mach en sic h Unterschiede ers t in der zwei ten Kommastelle be merkbar. sodass man in etwa prognostizieren kan n, dass bei kleiner 1.000 FHGs das Lösungsverhalten keine maßgeb liche Rolle spie lt.

9.4.3

Statische Red uk tion na ch G UJan

ln de r Regel liege n einem Netza ufba u statische Vorgaben zu Grunde. wesha lb o ft sehr fe in idea lisiert wird. Es ist in der Regel aber nicht notwendi g. mit diesen in d ie Hunderte oder Tausende ge hende n Fre iheitsgrade n auch eine Eigenw ertan alyse ge mäß den vorausgeg ange ne n Lösungskonzepten vornehmen zu wollen . Gefragt ist daher eine Tech nik. die mit mög lichst wen igen Freihe itsgraden zu einer guten Aussage kommt. Für d iese Problemstellu ng hat sich in der Praxis die so genannte Reduk tion nac h GI~\,{Jn bewäh rt. die m it wenige n Freiheit sgrad en me ist den unteren Freque nzbereich gut absic hert. Um d ieses Ver fahren darstellen zu kön nen , wäh len wi r das einfache Beispiel eines Balkenschw ingers nach Bild 9.12 .

9.4 Eigenschwingungen ungedäm pfter Syste me

223

.)

b)

c)

Cl

@

Bild 9.12: Statische Reduktio n am Balkenschwinger /A RG 88/ a) Gesa mtsyst em mit 4 x 3 '" 12 FHGs b) auf2 FHGs reduziertes Syste m zur Annä herung der Längsschwingungen e) auf2 FHGs reduziertes System zur Annäherung der Biegeschwingungen

Im Beispiel se i ange nommen, dass mit 2-D-Ba/ken-E leme ntell, d ie je Knoten 3 FHGs aufweise n. idea lisiert wurde . Das Syste m kann so mit Längs- und Biegeschwingungen durchführen, d ie auc h get rennt aus wertbar sind. Stellt man sich beispielswe ise die Aufgabe. d ie Eigenfrequenzen des Balkenschwin gers zu ermitte ln, so können mit den vier x-Freihe itsgraden (U2 . ·.. 'U 5) gellau vier Long itudialEigenfreq uenzen und mit den vier z-Freihe itsgrade n (w 2,' '' , w.5) weitere vier TransversalEigenfrequenzen bestimmt werden. Interess ieren hingegen nur jeweils die ersten beiden Eigen frequenzen. so kan n das System kondensiert werden auf zwe i ernkoppelte x- und zFreiheitsgrade. Im umseitigen Bild 9.13 ist ei ne derartige Analyse an dem Balkenschwinger durchgeführt und ausgewertet worden. Werden alle 12 FHGs im Mode ll zugelassen. so ergibt sich bei der Biegeschwin gung nur ein relativ geringer Fehler von Fmax '" 1.45 % zu der Kontinuumslösung . Be i der Längsschwingung ist dieser Fehler mit Fmax '" 19, 14 % deutlich größe r. Im unte ren Frequenzbereich sind die Lösungen al lerdings dicht beisammen. Aus d ieser Vorbetrac htung kann geschlossen werden, dass für das gezeigte Beispiel eine Analyse mit jewe ils zwe i FHGs hinreichend genau se in müsste. wie die Auswe rtung auch bestätigt. Sind Stru kturen hingegen größer . so sollten für eine gute Näherung etwa 1/4 bis 1/3 der Knoten fre igegeben werde n. Erfahrungsgemäß bewegt sich dann der maximale Fehler kle iner 7 %, was an e inem Satellitenge häuse nachgew iesen werden konnte.

9 FEM- Ansatz für dynam isch e Probleme

224

L= Im

~ /f- -f- -f'------'f ~p, 10

E, A , J

E =7 · lQ

lO

N /m

2

p = 2.7· [0 Ns 2/m 4

L ----~

. =ViT A = 10 - 2

.1

I

In

a)

Kont inu um

Biegeschw ingung (1)1 ==

179 H z

Längsschwingung 0)1 ==

7.998 Hz

002 = 1.121 Hz

(1)2 = 23.994 Hz

(l}3 = 3.14 1 Hz

003 = 39.99 1 Hz

004 = 6.156 Hz

(1)4 = 55.987 Hz

b)

kond ensiertes FE-M odell

Biegeschw ingung (w ) 12 FIlG s

2 FH Gs

L ängsschw ingung ( u)

001 =

179 Hz <02 = 1.123 Hz (F = 0,12 % )

(01 =

(0) =3 .165 Hz (F =: O.77 % ) (04 = 6.245 Hz (F = 1,45 %)

(l}3 = 46. 128 I-1z (F = 15.35%)

(0 1 =

179 Hz(F =O , 17%)

-------------

(02 = 1.1 34 Hz (F = I %)

-------»->

8.049 Hz ( F = 0.64 %) (02 = 25.393 Hz (F = 5,83 % ) 004 = 66.70 5 Hz ( F = 19.14 % )

-------.i-> wJ =

.i->

8.204 Hz (F = 2,59 %)

Wz '" 28.663 Hz ( F = 19.46 % )

Bild 9. 13: Eigenfre quenzbestimmung am ei ngespann ten Ba lken (nac h /A RG 88!) a) exakte Kontinuumsl ös ung b) Lös ung des kondensierten Sys te ms

Für die bish er nur ver bal besc hriebene Ve rgehensweise wo llen w ir nun e inen einfac hen A lgo rithmus entw icke ln. Dieser geht davon a us. da ss in eine r Struktur zwe i Gruppen vo n Freiheitsgrad en vereinbart werde n kön nen . und zwa r

225

9.4 Eigenschwingungen ungedäm pfter Syste me - zu e liminie rende (sekundäre) Freiheitsgrade, hier bezeichnet als V c -

""d -

beizube ha ltende (primäre ) Freiheitsgrade, hier bezeichnet a ls Vc'

Um eine Bez iehung zw ischen diesen beiden Freiheitsgraden herstellen zu können. muss sichergestellt werden. dass an den zu e liminierenden Freiheitsgraden Ve keine äuße ren Kräfte angreifen. Gewöhnlich kann d ies durc h eine gee ignete Vernetzung erreicht werden . Insofern kan n man d ie Guya n-Reduktion auch als Interpolation der Schw ingu ng mit der Biege linie interpretieren. Für die statische, finite Systemgle ichung kann somit angesetzt werden:

(9.57) Löst man d ie beiden Gleichungen auf, so führt d ies bekanntlich zu K ce ' V e + K,:e ' Ve = I'e ' K ec . U c + K l'C · Vc = 0.

(9.58)

Aus der letzten Gle ichung können dann mit

die zu e liminierenden Freiheitsgrade bestimmt werden. Der Verschiebungsve kto r ist demnach auch als Reduzierungsansatz

(9.60)

da rstellbar. Ber ücksichtigt ma n dies in GI. (9.29). so liegt mit

(9.6 1) jetzt eine auf die primären Freiheitsgrade red uzierte Matrlzen-Düt. für das Eigenschwingungs prob lem vor. Macht man jetzt weiter mit G I. (9.30) einen Lösungsansatz für V p so führt dies wieder zu der G leichung

(9.62) Diese G leich ung wo llen wir nun zusätzlich mit Tc I vormutt fpliziere n. womit man dann

bzw. mit symmetrischen Matr izen

226

9 FEM-Ansatz für dynam ische Probleme

Iru2 l\1cc' - K cc'IXc = 0

(9.63)

erhält. Dieses Gleichun gssystem stel lt wieder das einfache lösbare Slandarde igenwcrtproblern dar, ruf das vorstehend bereits die Lösungen angege ben wurden. Um die Nutzanwendung der Kondensation noch e inmal real demo nstriere n zu können, wählen wir die zuvor schon analysierte Stahlbaubrücke. Bei dem verwendeten G uyan-Prozessor lassen sich Knoten ode r Knotengruppen direkt ansprechen und auf diese Knoten Richtungsvektoren aufsetzen. Insofern gelingt es also. große Systeme deutlich zu verkleinern, ohne eine maßgeblich e Ergebnis verschlecht erung hinnehmen zu müsse n. lm Bild 9.14 ist bewiesen. dass trotz der Kondensation der überwiegenden Anzahl der Knoten (d. h. frei sind nur noch die Knote n @) und (3) dennoch die Schwingungsgrund formen gut mit den Eigenschwingungen im Bild 9.1 1 überei nstimmen. wenn die physikalisch zulässigen Schwingungsrichtungen miteinander gekoppe lt werden.

0)1= 47.24919 Hz

'"'.....'1: '...

,/ :\

~ =

108. 1544 Hz

:':...., -. @

,/ /

,. ... .....-----

CD 0)3 = 150.85258 Hz

'\\"

---,--..

® 0).. = 277,4808 Hz

Bild 9.14: Kondensierte Lösung für d ie Stahlbaubrücke

Bei den ers ten beiden Eigenfrequenzen treten hingegen Abwe ichungen in der Gr ößenerd nung von 4.2 % bzw. 15,7 % auf, die sich weiter reduzieren lassen. wenn zusätzliche Freiheitsgrade freigegeben werden.

9.5 Freie Schwingu ngen Als Ergänzun g zu dem vorausgega ngenen Eigenschw ingungsproblem wollen wir nun weiter der Frage nachgehen. wie bei der freien Schwingung spezielle Anfangsbedingungen (Versch iebungen. Gesc hwindigkeiten. Beschleunigungen zu einem Startze itpunkr) zu behan deln

227

9.5 Freie Schw ingungen

sind. Hierbei besteht weiter d ie Einschränkung, dass keine Anregungen durch äußere Kräft e vorl iegen. Zu diese m Zweck gehen wir wieder von folgender Schw ingungsd itTerenzial-Gle ichung aus: (9.64 )

Dieses Gleichungssystem reduzieren wir jetzt auf die unbekannten Verschiebungen zu

und zu den A uflagerkr äften (9.65)

Wurde dabe i von der Redukt ion nach Guyan Gebrauch gemac ht. so muss man stattdessen von Gleichung (9.66)

ausgehen. Des Weiteren nehmen wir an dieser Stelle an, dass für die zu betrachtende Struktur schon eine Eigenwertberec hnung d urchgeführt wurde und alle Eigenvektoren bekannt sind. Als besonders zweckmäß ig hat es sich hierbei erwiese n, das allgemeine Schwingungsproblem in diesen Eigenvektoren zu entwickeln. Wir machen dazu folgende Variable nsubst itution: (9.67)

Ist die Anzah l n \ der Eigenvektoren g leich der Anzahl der gesa mten Eigenvektoren. dann ist die vorstehende Substitution exakt. Werden weniger Eigenvektoren benutzt (dynamische Reduktion). stellt die vorstehende Entwicklung dennoch eine brauchbare Näherung dar. Setzt man nun GI. (9.67) in GI. (9.65) oder (9.66) ein und multipliziert noch mit erhält man

x'

vor, so

(9.68)

Im Kapitel 9.4.1 wurde des Weiteren scho n festgestellt. dass die Eigenvektoren die Massenund Ste itigke itsmat rix dlagouallsle ren, womit sich so fü r GI. (9.6 8) ergibt 1 11.. + A - ' 11 = 0 .

(9.69)

Entwickelt man nun d iese Gle ichung nach den Freiheitsgraden. so ergeben sich Einzelgleichu ngen von der Form

9 FEM-Ansatz für dynam ische Probleme

228

(9.70) HiT d ie d ie al lgemeine Lösung mit (9 .71)

bekan nt ist . Für d ie Anfangsbed ingungen

(I

= 10 = 0) (9 .72)

und (9.73) lautete dann die spezielle Lösung :

Dieser einfache Lösungsweg war nur durch die zuvor gewählte Substitution möglich. So m it

bleiben noch als Teilprob1em die tatsächlichen Anfangsbed ingunge n in U u bzw. VII nac h Tl bzw. ~ zu tran sform ieren. Dies ist ge nere ll durch die bekannt en Zusa mmenhänge

(9.74 ) (9 .75)

bzw. auch

(9.76) mög lich. Diese Umformung g ilt für einen vollen Satz von Eigenvekt oren ( n, = :Li ==0 n bzw. n x n). welches du rch die Beziehu ngen von Se ite 218 gegeben ist. Wird hingegen d ie dy namische Reduktion ge nutzt. so ergibt sich fü r X eine Rech teckmatrix (11 x n x); die Beziehu ngen können dan n nur mit einem Energieprinzip gelöst werde n. Über d ie G I. (9.67) kan n letzt lich auch d ie Problem lösung für freie Schw ingunge n erm itte lt werde n.

9.6 Erzwu ngene Schwin gu ngen Bei den zuvor di skutiert en fre ien Schw ingungen bestand die Voraussetzu ng eines kräfte freien Systems . Wir wol len d iese Betrachtung nun um ze itbest immte Krä fte ode r auch zeit" Anmerkung: ~ j (I) = (1),

•

A i . COS (1), • 1 - IIl, . B j • sin

(I), •

I tfür jeden I'I IG ,.i··)

229

9 .6 Erzwungene Schwingungen

bestimmte Wege erweitern . Diese Größen können entwede r periodisch oder nichtperiodisc h sein oder gar in eine r allgemeinen Funktion vorkommen. In Ana logie zu GI. (9.64) und GI. (9.65) ist dann dafiir folgende Gleichung maßgebend:

""" r

M pu

(9.77)

M Sll

Hierin bezeichnet wieder -

U u (I ) die unbekannten Verschiebu ngen zu bekan nten äuße ren Kräften Pu(I ) .

- U P (f) vorgesc hriebene (geführte) Freihei tsgrade, woz u unbekannte Krän e Pp (r ) korrespondieren. und - Us (t) an Auflagern unterdrückte Verschiebungen, zu denen d ie Auflage rkräfte Ps (t ) zuge hörig sind. Durch statische Reduktion (s. Kapitel 9.4.3) ist daraus die Schwingungs-DGL (9.78)

zu gew innen. Nutzt man weiter die Substitution von GI. (9.67) und multipliziert noch mit X1 vor, so folgt daraus (9 .79)

bzw. (9.80)

Um die Umformung diese r Gleichung") trans parent zu machen. soll hier kurz dargelegt werden, wie die DGL eines Einmasse nschw ingers behande lt wird. Wir gehen dazu von der Gleichung (9.8 1)

zu einem Ze itpunkt I aus. Nach der Division durch die Masse erhält man (9.82)

O' Amn'·rk' llo" '., '\I hzw ~ d i a -- 'x ' · '' I -X ·" ' ·

,-J"" ." '

d'a -

I . K dia

230

9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme

Beka nnt lich beze ichnet der erste Q uotient d ie quad rierte Eigenkreisfr equen z

über die die rezip roke Masse in Verbi ndung mit der Federkonsta nten (= Ste ifigkeit) steht:

",' -,mi

ci

Die vorstehende Gleic hung"! kan n so mit auch dar gestellt werden als (9.83)

Auf der rechten Seite steht dann eine stcifigkeitsbezogene Kraft. Damit wird e ine ruf GI. (9.77) zutre tTende Parallele deutlich, und zwar lässt sic h j etzt diese G leichung darstellen als (9.84)

We il diese G leichung m itte ls de r Eige nve ktoren diagonalisien ist, kann im Weiteren eine typi sche Einzelgleich ung betrachtet werden . d ie von der Form ..

'l j +(J) j

2

"'li

= Wj

2

( )

· r'li /

(9 .85 )

ist. Auf der rec hten Se ite taucht j etzt aber ke ine Krall meh r auf, sonde rn mit rTJ i (r} e ine bezoge ne Erregungsfunktion . die es entsprechend den Vorga ben anz usetzen gilt. Diese Gleichung kann durch di rekte Integration (so S, 240 11',) gelöst werden,

') Anmerkung: DGI.s vom Typ (9. 82 ), (9.8 3) bzw. (9.85) können prinzipiell mil dem verfuhren der ,J enlrak n Differenze n" gelöst werde n. Unter der Voraussetzung vo n Linearität in allen Zeitintervallen gilt jeweils fllr e inen FIIG .J". lind zwar für die GescJ11l' lm i lj:keil in ocr lntcrvallmiüc (s. Bild 9 .20),

. u, - u, _.11 b auch LI .. u"" .1I - u , Al lW. ' +.1111 Al u, _.1I 12 " und fur die lJe.w:hfe IJl/Ig /lflX

Eingesetzt in GI. (9. 82) erhält man rUT die Wexämfenmg des Fl tGs ,j"' l um Zeitpunkt 1+ !lJ

9 .6 Erzwungene Schwingungen

231

Im einfac hsten Fall treten in der Tech nik harmonische Anreg ungsfunk tionen auf. so wie exemp larisc h im Bild 9.15 angedeutet ist.

' -t

absolut starr

z, w

Bild9 .15: Mit harmonischer Amp litude

Wir wo llen nun die Lösung von G I. (9.85) unter der Vorgabe einer sinusförm igen Einhe itserregung rTJ j (t) = "1" · sin D:i ./

(9.86)

mit der Anreg ung D:j diskutieren. Zunächst ist festz ustellen. dass mit GI. (9.85) vom Typ her eine inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vorliegt, die bekan ntlieh eine homogene (Lösung der Eigenschwingung ) und eine part ikuläre (Lösung der erzwungenen Sc hwingung) Lösung aufweist. Die homogene Lösung ist dabei t"Ji hOnJ IlgCII = Ai . sln wi . t

+ Bi - cos wi

·f.

(9.87)

Für die partiku läre Lös ung ist ebe nfa lls ei n sinusför mige r Ansatz

lli partikulär = Ci . stn D:j

./

(9 .88)

zu machen. da erfahrunasaemäß ein sinusförm ig ange regtes System auc h sinusför mig schw ingt. Setze n wir jetzt die partikuläre Lösung mit ihren Ab leitungen in GI. (9.85) e in, so erhalten wir sofort für den Koeffizienten (9.89)

und somit (9.90)

Die allgeme ine Lös ung lautet sodann:

9 FEM-Ansatz für dynam ische Problem e

232

(9.91)

Legen w ir nun auch für einen Anwe ndungs fa ll spez ielle Anfangs bed ingunge n, z. ß .

(9.92)

lldO) = 0 und lidO) = 0 fest. so lautet für d ie angepassten Koe tli zienten

cc · 0·

(9.93)

die Lösung fü r e ine period ische Anregung OJj ' !1 j

." ( 2- n i2)

n · =-

2

•

, ( 2- ni 2) ·smn-·, , Wj

OJj

=

.

1-

(nj /Wj)l

Wj.

·smw - ·t+

' sm n · . / -

I

(Anteil 11m:gung)

O: J Wj I-

.

(oJwd

1

(Ante il

· sm w j · f

Eigc~schll'ingul1g)

oder etwas übersichtli cher sortiert

ll j =

1 I - (llj/w)

2

( Sln .

r\

!1 j

•

Hj ' / - - SlllWj ' /

J.)

.

(9.94)

Wj

Den betrac hteten elementare n Fall wollen w ir noch einmal kurz von der Wirkung her ana lysieren. Dazu diskutieren w ir d ie so ge nannte Vergrößerungsfunktion

(9.95)

die vom Prinzip her eine statische A uslenkung von der Größe ..I " ins Verhältnis zu einer an regenden dy nam ischen Amp litude setzt. Die sich erge bende Abhängigkeit ze igt Bild 9. 16.

A ls Aussage ge w innt man daraus: Für Verhältn isse fl jlwi = I strebt die Sc hw ingungsamplitude gegen Une ndlich (Resonanzstelle) und würde be i nicht vorhande ner Däm pfung in d iesem Betriebszustand zu einer Zerstörung des Sys tems führen. " Anme rkung : Tritt hingegen in GI. (9.86) eine An2Plilude der Größe A auf so Iritt auch im Vnrfakmr von GI. (9 94) an Stelle von .. , .. die Größe A auf.

233

9.6 Erzwungene Schwingungen -

Für so genannte unterkritische Erregung mit Q i/Wj < I nimmt die Schwingungsamplitude laufend zu, während überkriti sche Erregungen zunächst zu einer Abnahm e der Schwingungsa mplitude führt. die später wieder ansteigt.

~

C=O

2

.t---I-.v

o

C = 0,5

2

n, -"',

Bild 9.16: Verlauf der Vergrößerungsfunkt ion für e ine periodische Erregun g bei zwei verschiedenen Dämpfungskonstanten C In der Realität wird man die se Verhalten swe ise natürl ich so nicht antreffen, da immer etwas Strukturdämpfung vorhanden sein wird. Als eine weitere wichtige Erregun gsfunkt ion d ieser Gruppe wollen wir noch den Rech/eck impuls behandeln, da er im Weitere n die Grund lage für d ie allgemeinen Erregungsfunktionen abgibt. Die Anreg ungs funktion und die Sys temantwo rt sind hierzu im Bild 9. 17 skizziert . Mit Bezug zu GI. (9 .85) lautet dann hier die Bewegungsdifferenz ial-Gleichung: .. 2 2 Ili+W i 'Il i =W j

· hj .

(9.96)

Diese DGL hat nun ohne nähe ren Beweis die Gesamuös ung" (9.97)

" Anmerkung: Es lasst sich beweisen. dass die homogene Antwort für gedämpfte Schwingungen maßgebend ist. während die partikuläre Antwort für eine schnelle. harte Auslenkung dominant ist Beim Impuls braucht daher nur die partikuläre Lösung berücksichtigt zu werden.

234

9 FEM-Ansatz für dynam ische Probleme a)

b)

o maximale Auslenkung

- --

1-

-- - - ' partik ulärer Lösungshere ich

homogener Lösungsbere ich

Bild 9.17: Antw ort einer Struktur auf ei nen Rechteckimp uls a) Impulsfunktion. b) Systemantwort Für die dem Impuls zugehörigen Anfangsbedi ngungen (Ruhezustand)

'l d / = O) = O und Jid f =O ) =O können somit drei interessierende Bere iche abgeg renzt und hierfür die partikulären Lösungen wie folgt angeg eben werden: -

im ßere i c h O :::: ( ~ ' 1 (9.98)

-

an der Stelle f = ' I (9.99) (9.100)

-

im Bereich t ;:: 'I (9.10 1)

9 .6 Erzwungene Schwingungen

235

Wertet man nu n die Aus lenkung in den Bereichen aus. so ze igt sic h. dass das System außerha lb de r Impulsdauer de r größten Amplitude unterworfen ist. Mit vorhande ner Strukturdä mpfung würde d iese Schw ing ung dan n abe r auch ausklingen . Eine schöne Anwendu ng fllr einen Impuls ste llt ein Ramm vorgang als Ham merschlag dar. Umse itig ist im Bild 9.18 e in Sta hlpfa hlrohr (0 1.6 m, 35 m lang. 40 mm Wandstärke) gezeigt. mit dem Windenerg ieplattformen in de r Nordsee vera nke rt werde n. Das Pfahlro hr wird m ittels eine r hydraulischen Hubramme (maximale Energ ie: 820 k.l, Hammer masse: 45.4 t) mit 6 mls etwa 16 m tief in den Mee resbo de n getr ieben. Die Ramme sc hlägt alle rdings nicht direkt auf das Rohr. sondern auf eine n puffernden Amboss (Masse: 15 t), de r im Wesentl ichen Pendelschlageffekte ausschaltet. In de r zusa mmengefassten Auswe rtu ngsdarste llung sind auch Details der ModelIierung erkennbar: Das Rohr ist aus linea ren Rechteck-Schalen- Elementen aufgebaut m it einem linear elast ischen Wer kstoffgesetz. Am linken Ende ist de r fre i aufliegende Amboss erkennbar. der ebenfa lls durch Sc ha len-E lemente idealisiert worde n ist und im Kontakt zu m Rohr steht. Das Eindri ngen in den Mee resboden wurde am rechten Ende übe r eine bre ite Elemen tre ihe mit einem auf den Meeresboden kalibrierten plastischen Werkstolfgesetz abgest immt. Dieses spez ielle Verha lten ist durch Eindr ingmess ungen be i de r Pfahlgründ ung der FIND-Pl attform vo r der Nordseeinsel Borkum in einen Sandboden gewonnen worde n. Insofern sind d ie Annah men sehr real. In der A uswertung am Bildsch irm kann man erke nnen: Durch den Rammsch lag bildet sic h unter dem Am boss eine Druck welle aus mit v '" 6 m/s. In Ze itinkrementen erkennt man im Impulseinleitungsbereich e in Stauchen und Entspa nnen des Roh rmundstuckes. Die durchlaufende Well e fächert sich in de m konischen Rohrbereich au f und ve rlangsamt sic h im zy lind rischen Bereich aufv » 5.5-4.0 m/s. Die du rch die Welle induzierte Bea nspruchung mit (Jv '" 250 N /m m 2 bleibt noch unterhalb der Streckgrenze des Materia ls. sodass das Rohr die Intensität des Rammschlages aushalten kann. Die Wellenbeschleu nigung ist beim Rammsc hlag m it a '" 10.63 m/s 2 sehr dic ht an der Erdbeschleunigung und verlangsamt sich auf a '" 2.74 m/s 2 am Rührende. Würde n bei Hammerschlägen die Impulse zei tlich se hr schne ll aufgebracht. so würde eine Überlagerung von Wel len statttinden und das Rohr letzt lich versagen. Die FE-Ergeb nisse bezüg lich der Spa nnung. Geschw indigkeit und Besch leunigung st immen bis auf 10,4 % mit Laborversu chen überein. die ein Messinstitut unter idea len Bed ingungen mit dünnwandigen Rohren in Belastungsversuche n erm itte lt ha t. Für den vor liege nde n Anwendungsfall. wo es ausschließlich um die Festigkeit und Sta bilität der Pfahlrohre ging. ist dies ausreichend genau.

9.7 Bel iebige An regungsfunk tio n

237

9.7 Bclieb lgc An regungsfunktion Absch ließend wollen wir zum Themenkre is Anregungen noch kurz einen Blick auf die Behandl ung beliebiger Anregungsfunkt ionen we rfen . Eine G rundlage hierzu stellt der Rechteckimpuls dar, den wir nach folgend dazu benutzen wo llen, eine belie bige Funktion surn mat iv zu erfassen. Hierzu definieren wir zunächst die Impulsstär ke

"

Jj = Jr

"

ll i

-d r e h , ·t l ,

(9.102)

wobei h j wieder d ie Am plitude im Bereich t '" 0 bis t = t I bezeic hnet. Des Weiteren beziehen wir uns noch e inma l auf GI. (9.96) ..

lli =wi

2

· hi- w i

2

. 'li

und integrieren diese G leichung zu

(9.103)

Das hierin auft retende Integral er fasst die Syste mträghe it der Antwo rtfu nktion und kann nach Bild 9. 17 näheru ngsweise gleich null gesetzt werden. We iter hatten wir zuvor sc hon gese hen, dass die max imale Auslenk ung des Systems dem Impuls träge nachfol gt. Unter Ber ücksichti gun g von G I. (9. 103) erhalten wir somit auch e ine gute Lösung für den Bewegungsablauf, wenn wir von den fo lgenden versch obenen Anfangsbed ingunge n (9.104) ausgehen und hierfür d ie spezielle Lös ung aus G I. (9.97) entwickeln. Man erhält näml ich so für d ie Konstanten (9. 105) sodass sich für die e ingeschwungene Allslenku ng (9.106) erg ibt. welches, wie zu erwa rten wa r, der homogenen Lösung entsp richt. Nach diesen Vorbetracht ungen wollen wir nun unse re Erkenntnisse auf die belieb ige Anregungs fun ktion VOll Bild 9.19 übertrage n.

238

9 FEM-Ansatz für dynami sche Pro bleme

1

T'li

1-

Bild 9. 19 : Zer legung einer Anregu ngsfunkt ion in ei ne Anzah l von Teilimpul sen (nach /ARG 881)

Wie in der Abb ildung an gedeutet ist. kann man den funkt ionellen Verlauf als eine Folge von Einze limpulsen de r Stärke

(9 .107) auffassen. welc hes die Antwort (5. GI. (9 . 106»

(9.108) hervorru ft. Die Syste mantwort auf di e Gesamter regun g findet sich so mit durch d ie Integration zu

',= Ir lli = Wj

f

TIJi (/s ) · s in Wj · (ti - / s ) dis ~ L Wj · h j ' dl s j '

~= O

(9 .109)

i_I

Das gefunde ne Integra l heißt allgemein Duhamel- Intcg ral und kann vernünft ig nur numerisch ausgewertet werden. Da wir es hier aber mit kleinen Rechteckimpulsen zu tun haben. können dafür e infac he Lösungs verfa hren w ie d ie Trapezregel . Gau ß od er Simpso n herangezogen we rden.

9.8 Lösung de r Bewegungsgleichu ng Bei der A uflösu ng der Bewegun gs-DGL (9. 11) geht man in FE-Programm en vielfac h nicht von den zuvor breit hera usgestellten Eigenforme n aus. sondern nutzt die so genan nte lmegration im Zenbereich nach Lagr ange. welc he stets nu merisch durchgeführt wird. Man nimmt dabei an. da ss alle Syste mgröße n (U. U. Ü) zu einem Zeitpunkt I bekannt sind: ge sucht sind dann d iese Größen zu dem späteren Zei tpunkt t + 6. t . Die dazu ange wa ndten Verfahren lassen sic h demgemäß so klassi fizie ren. wie der Übe rgang vo n t nac h 1 + 6.1 ermittelt w ird:

239

9. 8 Lösung der Bewegungsgleichung

Bei explizite n Verjähre n wird der Zustand zum Zeitpunkt t + 6. t alleine auf Basis des dynamischen Gleichgewicht s zum Zeitpunkt 1 (Euler'sche Betrachtungswe ise) dargestel lt. Bei impliziten Verjähren wird der Zustand auf Basis des dynamisc hen Gleichgewichts zum Zeitpunkt 1+111 unter Nutzung von Iterationen über alle Ze itschritte dargeste llt. Beide Verfahren haben Vor- und Nachteile, wesha lb hier der Einsatzfall maßgebend ist. Bei den gewöh nlichen strukturdynamische n Untersuc hunge n ist man am dynam ischen Gesamtverhalten interessiert. Dies untersch eidet sich von so genannten Weltenausbreitungsproblernen. wo loka le Phänomene untersucht werden sollen. Anders ausgedrückt spielen hier die Ze itdaue rn eine große Rolle, die einmal im Sekundenbere ich und einmal im Mitlisekundenbereich liegen. Entsprechend kommen dann d ie Vorte ile der Verfahren zur Geltung: Explizite Verfahren erfordern nur e ine ger inge Rechenzeit. haben jedoch eine Stab ilitätsgre nze. Diese Stabilitä tsgrenze ist gleich die Ze itdauer. d ie e ine elastische Spannungswelle benötig t. um durch das klei nste finite Element im Netz zu laufen. Impliz ite Verfahren benötigen eine derartige Stabilitätsgren ze nicht, da die Zeitschr itte um mehrere Größe nordnungen größer sind. Dies hat abe r den Nachteil, dass die FE·D GL in jedem Zeitschritt tj zu lösen ist. Die Anwendung exp liziter Verfahre n ist daher bevor zugt in der nichtlinearen FE-Dynamik (sc hnelle Umform ung. Fahrzeugcra sh etc .) zu sehen, wofür auch spez ielle Programmsystem e (z. B. ABAQ US-explizit. PAM-CRASH, LS-DYNA, RAD IOSS C RASH) existieren. Wegen der zunehmenden Bedeutung diese r Problemstellungen soll absc hließend zur Dynamik noch einmal au f d ie verschiede nen computerorientierten Verfahren zur Lösung der Bewegungsg leich ung eingegangen werden. Ausgangs punkt ist wieder die a llgemeine Bewegungsgleichung M · Ü + C · U +K · U =P ,

(9. 110)

Mathematisch ist d ies eine gewöhn liche linea re DGL zwe iter O rdnung. Da bei der FEMethode das dazugehörige Gle ichungssystem sehr groß werde n kann, sind fiir die Lösung nur ganz wenige Verfahren wirtschaft lich. Als besonde rs geeigne t haben sich die direkle Integration und die Modenuöertagerung I SD N 991 erwiese n. Direkte Integration Als direkte Integration wird die Lösung von DGLs mit einem numerischen Schritt-fü rSchr ill-Verfahren bezeichnet. Grundannahme sei hierbei. ein Gleichungssyste m nicht zu jedem Zeitpunkt I erfüllen zu wollen, sondern nur zu diskreten Ze itpunkten nach einem kleinen Zeitintervall öt • Dazwischen wird von linearer Interpolier barkeit ausgega ngen. Das Newmark-Ve rfahren realisiert diesen Ablauf. Voraussetzung für das Newmark-Verfahren ist. dass d ie Verschie bungs-, Geschwindigkeitsund Beschleunigungsvektoren (U, U,Ü) zum Anfangszeitpunkt 0 bekannt sind lind die Lö-

9 FEM-Ansatz für dynamische Pro bleme

240

sung von 0 bis fE ges ucht wird . Im Lösungsver fahren wird die zu betrachtende Ze itspanne fE in n gleiche Intervalle .6 f = l Ein unterteilt und Näh erungslösun gcn zu de n Zeiten O. .6.1 , 2.6./ • .... tE bestimmt. Da e in A lgorithmus die Lösung zur nächsten geforderten Zeit nur aus der vorausgegangenen Zeit berechnen kann , ge ht man stets von der Annahme aus, dass d ie vorausgega nge ne Lösung zu allen Ze itpunkten I bek annt ist. Insofern wird die Lösung immer zu 1 + ß t berechn et. An e iner Einzelgleichung ruf einen Freiheitsgrad so ll die Ve rgehensweise kur z dargestellt werde n. Zu lösen se i d ie Bewe gungsglei ch ung

(9. 11 1) Bei stetigen Bewegungen kann für die Beschleunig ung der Mittelwert

an gesetzt werden (aus Vere in fach ~m g sgrü n den sei jetzt de r FHG ..i" unterdr ückt) . Hiermit ergibt sich fllr d ie Geschwindigkeit )

und für den Weg

(9. 11 4) Wird nun die vorgehende Bezieh ung nach Ü t+t. 1 aufgelöst. so fo lgt daraus

..

U I+AI

=

4 (

11 / 2 U 1+t. 1 -

)

4.

..

u l - M UI - u f

(9. 115)

'

Ebenso muss die Gesc hwindigkeit reduziert werden. und zwa r m ittels - 2 (. u

!it

. ) .. - u f = U t+A I

t+AI

.

U I + At

..

,

4

+ u 1 = --2 At

. 2 ( = - u, + M U I + A I

-

(

U I + !j,/

uf

)

4 . - u 1 ) -!i-t u r»

•

wen n je tzt GI. (9. 115) und G I. (9.117) in G I. (9. 111) eingesetzt. so fo lgt daraus 0)

Anmerkung: Kinetikgleichförmig beschleunigter Bewegengen

(9. 11 6)

(9. 11 7)

9. 8 Lösu ng der Bewegungsgleichung

4( [df '+'-',

m , --,

U

A

24 1

) 4 ... ] [ .

2(

- u. - - u,- u, + Cj - u, + - " df

df

'+'-•' ,

(9.118)

+ k I" u ,+ !:J./ -- F ,+!:J. , bzw. aus der Zusammenfass ung find et sich d ie einsicht igere G leichung _ 4_ m. + 2.- c· + k . J. " = F ( d/ 2 1 dr 1 I t+!:J. ,

4

4 . ..

u, + u, '+'-' , e m, ( -dl-2u\+dr A

Bei gegebenen Anfangsbe d ingungen zum Ze itpunkt I (U, .

u,. ü,)

J (9. 11 9)

kann so m it u/+ !:J. ,

iterativ zum Folgezeitpunkt bestimmt werden . Mitt lerwe ile gib t es zum Ur-Newmark-Verfahren einige Varianten. Das Zie l besteht dari n. die Kon vergenz durch die Einfüh rung zusätzl icher Wicluu ngs fakto ren (0 und ß) zu beschleun igen. Der modifizierte Ansatz nutzt hierbei

Es lässt sich ze igen. dass mit 0 ;: >: 1/4 und ß ;: >: 1/2 eine sehr gute Konvergen z bei nurnerischer Stabi lität gewährleistet ist. Zentrale Differenzenmethode Die Central Differen ce Methode (real isiert in vielen nichtli nea ren FE~ Program me n , u. a. LSDYN A 3-0) ist eine einfache Realisieru ng der zuvor besprochenen vergehensweise. Diese approximiert über finite Differenzen (s . umseitiges Bild 9.20). Hiernach kann die Gesch windigkeit zum Ze itpunkt r abg eschätzt werden zu (9. 120) und die Besch leunigu ng zu

9 FEM-Ansatz fü r dynami sche Pro bleme

242

ü{

• - '- lu !'J./

I+& 12

_u

{-di!2

). _'_ ( U1+~1 ßf

-

11/

u/

(9. 121)

I • -2 (U/+bI - 2 u, + ur_di )' ßI

",·", I u

2tJ.u

---'---

u/ -

U/_

ru

1 -61

I"

l - tll/2

f

+ df/2

I

+ ill

2ß1

.. I

Bild 9.20: Diskretisierung eines stetigen Verschiebungsverlaufs Diese Ansätze werden nunmehr in da s dynamische Gleichungssystem M · Ü/

+ C · VI + K . V J = Pt

(9. 122)

einsetzt: hieraus folgt

( M +~ tl.I ' C)- U1+At = M 2 . PI _(61 2 . K - 2

1\1)' VI - ( M - ~ ill ' C)- V I _bl _ (9. 123)

M it der diagonalis ierte n Massen matr ix und der zwangsdiago nalis ierten Däm pfungsmatrix ist dann die Au fl ösung nach U n +1 mögl ich. Bei nichtlinearen Problemen (K (U)) w ird bevorzugt m it einer folgendermaßen mod ifiziert en G lei chung ge rechnet:

M .Ü

I

+ c . üI

+ p inl_ pc;I;1 J

-

I

'

welche dann d ie diskret approxim ierte Lösung hat:

(9. 124)

9.8 Lösung der Bewegungsgleichung

243

(1\1 +~dl' C) ' U' MI = /1/ 2 . (r,.:·XI - I', im )+2 1\1. U, - (1\1 +~/1/ ' C) ' U, _ru- ' (9. 125)

Bei vernachlässigter Dämpfu ng vereinfacht sich diese weiter zu ' /2 U '+/'", = L.>

", -I

. "

(pexl ,

-

p, im ) + 2 U , - U ,-ru- '

(9. 126)

Die zuvor erläuterten Ansätze entwickeln somit die Lösung zum Zeitpunkt 1 + ß' aus der Lösung zum Zeitpunkt I, weshalb man hier von explizierter lntegroüon spricht. Dem stehen Verfahren gegen über. die Gle ichungen sofort zu einem Zeitpunkt f iterativ lösen. die dementsprechend implizite Integrationsverfahren (z. B. nach Houbolt, wllson, Newmark ) benannt werden. Stabilität des zentralen Differenzenverfahrens Das Integrationsverfahren nach der zentralen Differenzenmethode ist nur bedingt stabil, d. h., der Zeitschritt ßI darf einen bestimmten kritischen Wert ß/hit nicht überschreiten. Um dies zu erläutern, wird vereinfacht e in \.FHG. System angesetzt . Die Bewegungsgleichung lautet für diesen Fa ll:

m.u, + C . LI , + k 'u,=

F, .

Mit Einfüh ung r des Lehr' schen Därnpfungsmaßes weiter

(9. 127) ~

und der Eigenkreisfrequenz (0 folgt

(9 .128)

Werden die Geschwindigkeit und d ie Beschleunigung wieder als zentrale Differenzen eingeführt

(9.129) I u, = - -,(Ul+ ru-

2

~f

- 2 LI , + u,_/j,j )

(9. 130)

und in d ie Bewegungs-Dfll. eingesetzt. so erhält man 2 _ (02· ß I 2 \ - 2 ~ w . 11 1 ßf2 = \ + 2 ~ ci - ßt u/ - \ + 2 ~ co . d 1 u/_/'"t + I + 2 ~ ro. ß 1 • p, . Diese Gleichung muss nun in die Matrixform

(9.131)

244

9 FEM-Ansatz fü r dynamische Probleme

- : : ~ ~o : ~;] .[ ", ] +[1 + 2~/:. ~/] . P' (9.132) 0

u / _ ß/

A

",

(9. 133)

+

überführt werden. Die ei ngeführten Ausdrüc ke bezeichnen hierbei A Ze itintegrationsoperator L.. Lastoperator. Für den

I III · t e n

Ze itpunkt unter der belieb igen Anfangsbedingung

Ll O

und ohne einwir-

kender äußeren Belastung (L . PI = 0) folgt dann

Die Stabi lität einer Lösung verlangt. dass der größte Eigenwe rt der Matrix kleiner oder gleich eins (lA! =:;; 1) ist. Wenn das betrachtete Minimalsystem noch dämp fungsfrei ist, können d ie Eigenwerte") bestimmt werden aus (9.135a) d ies führt zu

(9.136) Aus der quadratische n Gle ichung

finden sich die beiden Eigenwerte zu

(9.137 )

Für den Grenzfall lAJ ::; I ergi bt sich als kritischer Zeitsc hritt

(9.138)

' ) Anmerkung: Zur Lösung von GI. (9. 135al

~

, ') , J

2 - 01- ·;\ 1

- ).:

- I _

--------------r---- - 0 1

! 0-

(9, 135b )

9.8 Lösung der Bewegungsgleichun g

245

Bei e inem gedämpften System erhielte man stattdessen (9. 139)

Um die eingehende Eigenfreque nz einma l beispielhaft abzuschätzen , se i hier ein e infaches Stab-Modell gewählt.

p, A. E

~' I-

CD --+1===9 .

L

-I

m ]

=?i .(p A L)

• Q)

",

mz =

?i .(p A L)

Bild 9.21 : Längsschwinger mit einem FI-lG pro Knoten bzw. diskretes Model l Hierfür lautet die Massen- und Steiflg keitsrn atrix:

K =E~A [ I

- I

Die Eigenfrequenz wird ermittelt aus

(9. 140)

bzw.

r

·A

det

L

1 - -Ap · A· L

2

- -E·-A L

(9. 141 )

Der Wurzelausdruck beze ichnet die Wellenau sbreitungsgeschwindigkeit c in einem homogene n Werkstoff. Somit kann der kritische Zeitsch ritt auch angegebe n werden zu

9 FEM-Ansatz fü r dynamische Probleme

246

(9. 142)

2":"

(9. 143)

s , $ -L .

(9. 144)

0) =

L

oder

c

Diese Ung leichung wird allgemein als C FL-Bedingung nach Couran t. Friedrichs und Lewy bezeic hnet. Physikalisch beschreibt ß/ die Zeit, die eine Welle im betrachteten Material braucht. um von einem Knoten eines Elementes zum ande ren zu gelangen. Die vorstehende Absc hätz ung gilt für Stab- und Balkenstrukturen. Bei ebenen Strukturen, z. B. in Scha len, bestimm t sic h die Wellenausbreitun gsgeschwin digkeit zu

0 =

~ vP(i - vf

(9. 145)

Die charakteristische Länge L ist dann aus de r Schalenfläche A s und de r größte n Element kantenlänge Lma\ zu bilde n:

AS ·- . L ma\

L =-

(9.146)

Dami t w ird als Problem s ichtbar, dass das klei nste Element die Rechen zeit do miniert . Um d ies zu verhinde rn, so llte be i dy namischen Berechnungen mit möglichst großen Elementen bzw. gleich gro ße n Elementen gerec hnet werden. Sind aus irgen dwelchen Gründen jedoch kleine Elemente erforder lich, gre ift man in der Prax is zu einer Massenskalierung. Hiermit ist d ie fiktive Erhöhung der Dich te gemeint, und zwar

Pn =

(.6.1I. icl)2. E L min i (J - v 2 )

(n '" ab i-ter Zeitsch rin) .

Dies hat auf die el asted ynamis chen Effekte keinerlei Aus w irkungen.

(9.147)

247

IO Grund gleichungen der nichtlinea ren Finite-Element-Methode Bei der vorausgegangenen Formulierung der FE-Methode wurde angenommen. dass die Verschiebunge n einer Struktur klein sind und sich der Werkstoff linear elastisch verhält. In der finiten G leichung K ·U=

r

macht sich diese Linearität so beme rkbar, dass bei e iner Laststeige rung auf u . P auch die Verschiebungen um c . U zuneh men. Hiervon abweiche nd treten in de r Praxi s häuti g aber auch nichtlineare Materialprobleme (Plastizität, Kriechen) und geometrisch nichtlineare Probleme (Instabili tät) auf. Wir wollen nun im Sinne einer Abr undu ng der Elastostatik auf diese Problemkreise ebenfalls noch kurz einge hen. da derartige alternative Berech nungen in der Anwendung fe HE 881 imme r w ichtiger werden .

10.1 Lösu ngsprinzipien für nichtlineare Aufgaben Übertragen auf die hier zu behande lnden Aufgabe n kann ein nichtlineares Gleichungssystem in der folgenden Form

" (U) = R(U) - P = K (U) · U - P = 0

(10.1)

dargeste llt werden . Hierin bezeichnet R(U) die den Elementspann ungen in einem bestimmten Zustand entsp rechenden inneren Knotenkräfte und P wieder die äußeren Kräfte. Man sieht. dass d ie Knotenkräfte durch eine zustandsabhä ngige Steifigkeit smatrix gebildet werden . Insofern ist auch die vorstehende Gleichung nicht d irekt lösbar. sondern kann nur iterativ ge löst werden. Gemäß der Zielsetzung. nur einen eingeschrän kten Überblick über nichtlineare Probleme geben zu wollen, beschränken wir uns im Folgenden au f zwe i Lösungsprinzipien (s. hierzu auch IZIE 75f): Die direkte Iteration. be i der von folgender Gleichung ausgega ngen wird:

K (U) · U = P.

(10.2)

Nimmt man hier mit U = "u e inen sinnvo llen Ausgangszusta nd (z. B. aus einer linearen Rechnung) an. so ergibt sich mit ( 10.3)

ein erster Nähe rungswert . der durch sukzess ives Einsetzen in

nU= K(n- l ut · 1'

( 10.4)

248

10 Gru ndgleic hungen der nichtl inearen Finite-E lement-Met hode

we ite r verbessert werden kann . Die Iteration wird gewöh nlich abgeb roc hen. wenn die Zusta ndsä nderunge n ge mäß

I" U- n- l

ul ~ ß ' ßU

(wob ei ß c-c l )

klein sind. Demzufo lge w ird

"u

( 10.5)

als Lösung des G leichungssysterns angesehen.

Das Iterationsve rf ahren nach Newton- Raphson geh t davon aus, dass mit U = stetige Nähe rungs lösung für <J>(n

"u

eine

u] vorliegt und mit e iner nac h dem ersten Glied abge-

broch enen Taylor 'sehen Reihenentwic klung ( 10.6)

e ine bessere Lösung ge funde n werde n kann. Hierin beze ichnet ( 10.7)

d ie so ge nannte Tangentenstclflgkelrsrnatrlx: diese kann weiter auch ben utzt werden. die Sch rittweite (fo lgt aus G I. ( 10.6» des Lösungsverfahrens

( 10.8)

zu ste uern. Als Nachteil beider Lösungsverfah ren gilt, dass in jede m Iteratio nsschritt d ie Ste ifigke itsmat rix ne u bestim mt und ein lineares Gleichungssystem gelöst werde n muss. Um d iesen Aufwan d zu red uzieren. wird meist programmtech nisch e in modifiziertes NewtonRaphson- Verfahren real isiert. bei dem mit ei ner konstanten Steig ung ap pro ximiert w ird. Diesbezüglich w ird d ie Tangentcnstei flgkeitsrnatrix auf den Ausgangsz ustand ( 10.9)

fest bezogen. Für d ie Sc hrittwe itensteuerung erg ibt sich som it ( 10. 10)

Es kan n j edoch zweck mäß ig sei n. im Laufe der Iterat ion d ie Sc hrittweite zu ändern. demnach muss eine neue Tangentensteitigkeitsmatrix K T (n ang esetzt werden.

u] normi ert und in G I. (10 .10)

10.1 Lösun gsprinzipien für nichtlineare Aufga ben

24 9

c)

a)

j

K(U) · U =P

Gleich:~wicht ~

R(U )

P

~-~-~,~-----, j

,'7

, ~ .

10 W °u

u-

bl

Bild 10. 1: Iterative Lösungsverfahren mit ko nvergierende m Ve rha lten nach IA RG 871 a) d irekte Iteration b) Newton- Raphson- Verfahren c) modi fiziertes Newto n- Raphson-Verfa hren

Am Kon vergenzverhalt en wird in etwa de utlich. dass das New ton -Rap hson -Ve rfah ren besser und schneller ko nverg iert als das d irekte Iterationsverfah ren. Dem Vorte il des modifi zierten Nerwon-Raphson-Ve rfahrens mit e iner konstant en Tangen tensteifl gkelt smatr!x arbeiten zu können. steht allerd ings oft eine langsame Kon ver genz entgegen. Durch die Einfü hrung eines zusätzliche n Überr elaxation sfaktors c z 2 . mit dem der Korre kturwert multipliziert w ird. kan n das Kon vergiere n beschle unigt we rde n.

n .6U

O bwo hl für die beiden ge nann te n Ver fahren konvergentes Verhalten nachgewiesen we rden ka nn. zeigt die Praxis. dass de nnoc h Fälle auftreten. wo ke ine Lösung erm ittelt werde n kan n. In de rartige n Fällen führ en dann inkrementetle Verf ahren [ Euler. Runge- Kutte 2. Ordnu ng) sicherer zum Z iel.

25 0

10 Grundgleic hungen der nich tl inearen Finite-E lement-Met hode

10.2 Nichtlineares Elastizit ätsve r halten Bei ein ige n Material ien. wie Nfi-Metalle und hoc hfes ten Stä hlen. ist das Materialverh alten mehr oder weni ger nichtlinear. wes ha lb das Hcoke'sche Gesetz entweder nur bed ingt gült ig ist oder überhaupt nicht zutrifft. Einige derart typische Ve rläufe ze igt das Bild 10.2. A ngenomme n sei dabei, dass Bautei le aus diesen Materialien bis zum Bruch be lastet werden kön nen . ohne dass groß flächiges Fließen m it einem unbesti mmten Spannu ngs- Dehnu ngsZusammenhang vorkomm t.

t

c

' Rp

I = hoch fester Stah l (E 360, S 46 0 NL) 2 = verfestigender Stah l (5 355 JO) 3 = M , Al

Bild 10.2: Nich tlinea re Spannungs-Dehn ungsgesetze

Um die a uftretende N icht linearität erfassen zu kön nen. müssen wi r d ie maßgebende G leichgewichtsbed ingu ng zus tandsabhängig form ulieren und deren Erftlllung verlangen. Zu diesem Zweck gehen wir noc h ein ma l zu rüc k zu Kapite l 3.4 und übe rnehmen von dort die aus dem Prinzip der virt uellen Arbei t hergeleitete G leichgewichts bez iehung

Jöel' adV= ö' U. P . V

8 t UJ RI . adV=ö ' U . I' • V

wo raus ( 10. 11 )

fo lgt. Da GI. ( 10. 11) für jedes Material verhalten streng gültig ist. nehmen wir hie rin d ie Spa nnunge n nunme hr dehnungsabhängig an zu

10.2 Nichtlineares Elastiz itätsverhalten

o

e

o fe}.

25 1 (1 0. 12)

womit wieder de r Bogen zur Ausg angsg leichung ( 10.1) geschlagen ist und so auch d ie dort diskut ierten Lösungsverfahren • mit Ausnahme der direkte n Iterat ion . angewandt werden können. Zu diesem Zweck form ulieren wir noch einmal die T angcntensteifigkeit smatrix für d iesen Fall zu ( 10. 13)

worin j etzt mit E T = d a(& )/i.!f: der Tangenten-E-Modul eingeführt ist, den man mate rialabhängig aus dem Spannungs- Dehnu ngs ver laufam R p-Punkt best immen kann. Z u dem geze igte n Ansatz werden in der Literatur noch zwe i spezielle Modifikat ionen angeführt, und zwar das Verfahren der so gen annten Anfangsspannungen und das Verfahren der Anfangsdehnungen. Das A/~fangssp(llllllmgsvelf(lhren geht davon aus, dass das Materialgesetz von GI. (10. 12) auch in der additiven Form ( 10. 14)

darzustellen ist und alle Material nichtlinea ritäten durch einen sepa rierte n Spannungs zustand o N(e) erfasst werden können. Diesbezüg lich hat man es mit einer teillin earen Lösu ng. mit einer konstanten Elastizitätsmatrix E und einem noc h auszubalancierenden Kraftterm RN =

fßt · a N(&) dV

(10 . 15)

v

zu tun. der gemäß der G leichgewichtsbed ingung zu bestimmen ist. Das weiter noch angeführte Anfangsdehnungsverfahr en wird dann benutzt. wenn für ein Material nur der implizierte Zusammenhang E = E(a) zwischen den Verzerrun gen lind den Spannungen formulierb ar ist und insbesondere Dehnungsgrenzen das Versage n eines Bauteils (Rissbildung) kennzeichn en. Die prinzipielle Berücksichtigung einer Materialnichtlinearität soll das im Folgenden dargestellte kle ine Beispiel e iner Kragscheibe (s. Bild 1004) ze igen. dem einmal ein linea res und ein anderes Mal ein nicht lineares Modell zu G runde liegt. Als Materia l sei S 355 JO (ehern. St 52· 3 U) ange nommen. von dem im Bild 10.3 das wahre o-e-Dia gramm aus einer Messung an Normproben geze igt se i. Bis zur Fließgrenze Re '" 400 N /m m 2 liegt rein linear e lastisches Verhalten vor, Danach wird deutl ich verfest igendes Verhalten sichtbar. Dieses wird er fasst. in dem die not wendige Kraft auf den tatsächl ichen Querschnitt (verände rlich durch Q uer kontraktion) bezogen wird .

252

10 Grundgleichungen der nich tl inearen Finite-E lemen t-Met hode

Programmtechnisch w ird dieser Verlauf du rch Angabe von Zahlen paaren sichtigt, zw ischen dene n da nn interpoliert we rde n kann.

O"j .

Ei berüc k-

STRESS STRAIN DATA

2S

sn

->

~

.>

/

o.00

o

10 %

20%

30%

35 %

*ST RA IN* Bild 10.3: Plot der gespeicherten wahren Spannu ngs- Dehnungskurve von S 355 JO (Spannungen sind auf e ingeschnürtem Q uerschnitt bezoge n)

Die Auswertung zweicr Rechenläufe zur Kragsche ibe zeigt das we itere umse itige Bild 10.4 durch Angabe der cha rakterisierende n Iso linien, um insbeson dere d ie plastisc hen Bere iche eingrenzen zu kön nen. Bei der Annahme linear elast ischen Verha ltens rechnet das Programm nur ent lang der Hec ke-schen Geraden ( lngen ieurspan nungen ) und we ist d ie folgenden Ergeb nisse auf: (JcI

= 929 NImm 2 ,

Ecl = 0,0399 = 3,99 % , w maxer = 0,6 mm (Durchbiegung an der Krafteln leltungssrelle). Dass dies nicht real sein kann. vermitte lt uns unser inge nieurw issenschaftlicher Verstand, da d ie Nor mwerte (ReH = 355 N/mm 2, R m = 490 - 630 N/m( 2) viel tiefer liegen.

253

10.3 Plastiz ität

;

a)

/

I I I I I

I::'

/

0)

F = 30.000 N, E = 2 10.000N/mm2. L = 100 mm. B = 50mm, T = IO mm Bild 10.4: FE-Ana lyse e iner Kragscheibe a) linear e lastische Spannungsverte ilung (Hooke'sehe Spann ungen) b) zugehörige Dehnungsverrettung (Hooke'sche Dehnungen) c) nichtlinear elastische Spannungsvertei lung (Cauchy-Spannungen) d) entsprechende Dehnungsverte ilung (Hencky-Dehnungen)

Berücksichtigt man stattdessen das reale Spannungs-Dehnungsverhalten. so fuhrt d ies zu den fo lgenden Ergebn issen: (I 11]

= 557 N/mm 2 •

EIII

= 0. 103 ", [0.3%. w m 3,\

n

= 2.43 mm .

Die Verhältnisse sind somit nicht nur quantitativ. sondern auch qualitativ ganz anders zu bewerten. weshalb in vielen Fällen das tatsäch liche Materialverhalten entsche idend fllr eine Schädigungsbeurte ilung ist.

10.3 Plastizität Im Gegensatz zum nichtlinearen Elastizitätsverhalten ist plastisches Verhalten durch einen nicht eindeutigen Span nungs-Dehnungs-Zusamme nhang gekennzeichnet. Insofern ist Plastizität durch das Auftreten von großen Verzerrungen charakter isiert. die die nach einer Bauteilentlastung eingeprägten Verzerrungen konservieren.

Betrachtet man beispielsweise ein Bauteil unter e inachsiger Belastung. so gibt ein nichtlineares Materialgesetz noch keine eindeutigen Hinweise auf nichtlinear elastisches oder plastisches Materialverhalten bei der Belastung. Der Unterschied wird erst bei einer Entlastung sichtbar: Bei nichtlinear elastischem Verhalten fallen Be- und Entlastungskurve dicht zusammen. während bei plastischem Verhalten eine von der Belastungsgeschichte

254

10 G rundgleichungen der nichtl inearen Finite-E lement-Met hode

abhängige Entlastungsk urve auftri tt. Im folgende n Bild 10.5 sind e inige typi sche Charakte ristiken dieses Verhaltens dargestellt .

a)

t

b)

c

t c Belastung

Entlastung

E-

E)

t

o

Epl

E-

, ,, , , , , o = a [Er l) E-

Bild 10.5: Einachsiges Spa nnungs- Dehnungsverhalte n (nach lO D E 721) a) nichtlinea res e lastisch- plastisches Verha lten b) linea r e last isch-ideal-plastisches Verhalten c) linear elast isches Verhalten mit Verfestigung im plastischen Bereich

Einige wenige Materiali en verhalten sich idea l-plas tisch. d. 11., bei einer bestim mten Fließspannung R e werde n die Dehnungen unbegrenzt und unbe stimmt anwachsen. Unterhalb der Fließgrenze können entweder linear oder nichtl inear e lastische Verhä ltnisse vorkommen. Diese Modellvor stellung ist zwar einfach. jedoc h von der Realität weit entfernt. da di e klassischen Konstruktion swerkstoffe {St, A l. Mg. Ti) sich verfes tigend ver ha lten. weshalb auch nur dieser Fall (im Bild c) hier betracht et werden so ll. Vor Darlegung des plas tischen Rechenalgorithmus so llen zunächst die Vorstel lunge n des Fließ ens weiter kon kretisiert werde n: Wenn e in einac hsiger Spann ungszus tand (z. B. Zugstab) vor liegt. so ist Fließen ei nfach abzusc hätze n. wie 0 1 < R c ' da nn elastische Verhält nisse 0 1 = R c , dann Fließen.

255

10.3 Plastiz ität

Bei auftretenden mehrachs igen Spannungszustände n sind die Verhältnisse nicht mehr so übers ichtlich. da die Zonen des Fließbeginns nicht sofort e ingrenzba r sind. Folgerichtig muss d ie vorstehende Relation vera llgemei nert werden. wozu eine beanspr uchungsubhäng ige Größe F als Funktion des Spannungszust andes lind des Verfestigungsexponenten IC herangezogen wird. Weiterhin ist eine Konstante k erfo rderlich. welche die Widerstandsfähigkeit (in Abhängigkeit von der Fließgrenze) des Werkstoffs beschre ibt. Die vorstehende Relation ist demgemäß anzusetzen als F(a . !C ) < k , dann e lastische Verhält nisse, F(a. !C ) '" k , dann p lastische Verhältni sse.

(10 . 16)

Ohne Führu ng eines Bewe ises kann über die Zerlegung der Verzerrungen in e lastische und plastisc he Antei le ( 10. 17)

und einiger Annahmen (isotroper Werkstoff und Volumenkonstanz) letztlich eine elastoplastische Elastizitätsmatrix

best immt werden , mit der wiede r e in Spallllungs-Verzerrungszusammen hang gegeben ist. Für das Einsetzen von Fließen ex istieren mehrere physikal ische Interpretationen. wie beispie lsweise d ie Bed ingung nach v, Mises :

, F(a) "' - J 2 "' k.

(10 .19)

wobei J 2 die zweite Invariante des Spannungstensors darstellt. Beim Auftreten eines ebenen Spannungsz ustandes lautet d ie Fließbe dingu ng

oder (1 0.21)

entsprechend ergibt sich die Bedingung für den dreiachsigen Spann ungszustan d

~[(O\, - on'? + (o n - 0l.lY + (o n

- 0",)2 + 6

(t,/ + ty! + tl X2)]'" R,/ (10.22)

256

10 Grundgleic hungen der nichtl inearen Finite-E lement -Methode

oder

( 10.23) Die Deutung d ieser Bed ingu ngen zeigt Bild 10.6. Im ebenen Fall handelt es sich dabe i um ei ne Ellipse und im räumlichen Fall um einen Zy linder . Ein Spannungsz ustand ist dann folgende nn aßen zu charakterisieren: Innerhalb des Zylinders liegt elastisc hes Verh alten vor. auf dem Zy linde r plastisches und außerha lb des Zy linders liegende Zustände sind

nicht möglich.

,)

Fließgrenzlinie. plastischer Bereich

elastischer Bereich

'-f

ei nachsiger Druck

~~ °10 °1

einachsiger Zug

~i--*--'-:;~ :::; R,

~!!L E3.!!L

reiner Schub b)

hydrostatische Achse

o

Fli eßzy linder

Fließgrenzt1äche

Bild 10.6: Darstellung der v, Mlses 'schen Fließbed ingung (nach fe HE 89!) a) Grenzlinie fU Te inen ebe nen Spann ungsz ustand b) Fließgrenzfläche fllr einen räumlichen Spann ungsz ustand

'-X

10.4 Geom etrische Nichtlinearität

257

Eine we itere Fließbedingung geht auf Tresca zurück und ist wie folgt definiert : (10.24)

d. h.. Fließen tritt be i e inem kritische n Schubspannungswert ein. Sowo hl v , Mises wie auch Tresca werden bevorzugt für die Metallplastifizicru ng zu Grunde ge legt. Die Teesca-Bedingung wird j edoc h überwiegend in der Umfonn simulat ion herangezogen. Der Rechenalgorithmus beruht. wie zuvo r beschrieben. darauf, das G leichgewicht zwischen äußeren und inner en Kräften herzustel len. Dies muss in einem iterat iven Prozess er folgen. und zwar wie fo lgt: m 1 Pn + -_ [ ill , o nm +l dV

( 10.25)

V

mit (10.26)

Der Index m zäh lt hierbei d ie Iterationen und der Index n den Zustand. Der Zustand emsteht dadurch. dass am einfachsten das WerkstotTgesetz diskret über Paare (c. , fi ) besc hrieben wird. In diesem Fall kann zw ischen zwe i Zuständen {ai' f i ; 0 j . fj } e ine Tangenten-Elastizitätsmat rix E T n _ J = E cl. pJ(a n. f n; a n _ l . f n_ l)

( 10.27)

bestimmt werden. d ie wiederum d ie Berechnung ei nes zweckmäßigen Spannungsz uwach-

'" ( 10.28)

ermög licht. In der Praxis sind derart ige ite rative Rechnungen immer sehr aufwänd ig, da das Gleichungssystem für jeden Iterationsschritt und Zusta nd neu gelös t werden muss.

10.4 C eometrische Nichtlinea rität In den vora usgegangenen Kapiteln haben wir bei allen Prob lemen stillschweigend unterstel lt. dass in den betrachteten Körpern so wohl d ie Verschiebu ngen als auch die Verzerrungen relativ klein sind. FUr e in finites Element bedeutet dies. dass man während des gesa mten Be lastungsvorganges eine sich nicht wesentl ich verändernde Geometrie annehmen kann. für die ein linearer Versch iebungsansatz ausreichend ist. Bei vielen Praxisproblemen treffen diese Vora ussetz ungen aber so nicht zu. sondern es tret en oft große Verschiebungen mit kleinen Verzerrungen auf. Typisch hierfür sind große Formänd erungen.

258

10 Gr undgleichungen der nichtl inea ren Finite-E lement -Methode

Völlig unabhäng ig von diese m Verhalte n muss abe r natü rlich wieder die G leichgewic htsg leichung ( 10. 11) in j edem betrac hteten Zustand ge lten. In Ergä nzung zu den bereits diskutierten G leichungen gilt es jetzt aber, einen andere n Zusammenhang zw ischen den Verschiebungen li nd Verzerrungen zu berücksicht igen. Wi r wo llen diesen hier in der Form ,

,

" IU) = I" · ;;dV - P = O

( 10.29)

v

einführen. Mit dem Dach über der iJ-Matrix und über dem Spannungs vektor 0 sei wieder die funktional nichtlineare Abhängigkeit dieser Größen hervorgehoben. Insbesondere erg ibt sich jetzt die Abhäng igkeit bei der Verschiebungs-Verzerrungs matrix als (J& = B(u) .dd .

(10.30)

Für das nachfo lgende Lösungsverfahren erweist es sic h als problemgerechter. die B -Matr ix in zwei Anteile aufzuspa lten. und zwar wie folgt:

( 10.3 1)

ß (u ) "'B +B N(u ) .

Hierbei soll B das phasenweise lineare Verha lten und ß N(u ) das nichtlineare Verhalte n erfasse n. Die Additivität (Überlagerung zu

ß) entspricht in etwa dem realen Verhalten' ).

Die Lösung von GI. (10.29) kann wieder nur iterativ erfo lgen. Wir wählen hierzu zwec kmäßigerweise das Newton-Raphson-verfahren. Zur Aufbereitu ng des Verfahrens bilden wir zunäc hst die nach G I. ( 10.7) erforderliche Ab leitung

( 10.32)

Weiter ist daz u noch die Spannungsab le itung als (} Ö' = E · B, O
( 10.33)

und d ie abgeleitete Verschiebungs-Verzerrungsma trix

( 10.34) nötig. Setzen wir die s vorstehend ein. so folgt

' ) Anmerkung: Metallische Werkstoffe erfahren bereits im elastischen Bereich lokale plastische Verformungen und weisen umgekehrt im ptasnschcn Bereich noch ctasnschc A nteile auf. Bei Entlastung führen die elastischen Antdlo: im plnsuschcn Hereich 111 Eigenspannungen im Werkstoff

10.5 lnstab ilitätsprob leme

259

l ' ',' J

J

= aB N . ;; dV + B . E · B dV ad a v V

(10.35)

"

~

Im zweiten Term dieser G leichu ng erkennen wir die typische Bauform einer Ste ifig keit . Werten wi r d iesen Term nun unter Berücksichtigung vo n G I. ( 10.3 1) aus, so führt d ies zu K = f R' .E ,B dV + V

I BI , E , R N dV + I R N1 , E · ß d V + I R N' . E · B N d V

V

V

V

= K + K N. ( 10 .36) Mir K finden w ir d ie uns sc hon bekannte lineare Ste ifig keitsma trix w ieder. und m it K N kann eine neue Matrix {lnitialverschieb ungsmatr! x) abges palten werden, die die großen Verschieb ungen erfass t. Des Weilere n so ll aber auch noch der erste Te rm vo n G I. ( 10.35) betrachtet werden . der d ie Form einer Krall aufwe ist. Diesen wo llen w ir fo lgende nnaßen umfor men: (10.37)

fa B NI· ödV = K o · a d .

v

Die hierin zusätzlich zu definierende Matr ix K

o

(Initialspa nnungsm atrix) ist somit span-

nungs- und damit zustandsabh ängig . Nach d ieser Zw ischenbetrachtu ng können wir d ie G I. ( 10.32 ) zweckmäßiger schreibe n als a 41 =( K + Ko+ K N ) ·au E K T · a u

(10.3 8)

und alle Ste ifigkeitsa nte ile zur Tangent ialsteifigkeitsmatr ix zusammenfassen, som it sind wiede r die Voraussetz unge n für eine iterat ive Lösung gegebe n.

10.5 Insta bilitä ts probleme Als e ine beka nnte Anwendung der geometrisch nich tlinearen Theorie ge lten speziell die Instabilitärseffe kte. so w ie sie bei sc hlanken Stäben od er dü nnen Blechen (s. hierzu auch Kap itel 7.3.6) unter Drucklasten auft reten. Da wi r hier nur eine n Überblick über finite Formulieru ngsmöglichkeiten geben wollen, beschränken wir uns in der theoretisc hen Dar legung auf die bekannten Euter-sehen Knickfä lle von stabartigen Konstruktionen . Um dabei die Analogie zur elementaren Mec hanik ze ige n zu kön nen. gehen w ir vo n de m im Bild 10.7 gezeigt en schlanken Druckstab bzw . Balken aus.

260

10 Gru ndgleichungen de r nichtl inea ren Finite-E lement -Met hode

F

17 E'J,A, L

M

1 1

N + dN

11 M +dM

1

Bild 10.7: Druckstab zum Euterfal l I

Unter der Wirku ng der äu ßeren Kraft F und ab einer bestimmten Lasthöhe biegt bekanntl ich der Stab zu einer anderen Gleich gewicht slage aus . Da das Erreichen VOll G leichgewic htsJagen über das Prinzi p der virtuellen Arbe it best immba r ist. können w ir auch hier VO ll dieser Ersatzg leichgew ichtsbed ingung ausgehen . Für de n zuvor gezeigten Biegefall bestimmen wir zunächst mit F

Mb

F

(- E ·J· w"')

A

J

A

J

a n =- - + - - ' 1.=--+

,z

( 10.39 )

die auftretende Normalspannung und mit ( 10.40) d ie Faserd ehnun g. Dam it lässt sich die innere virtuelle Formänder ungsarbeit wie folgt ansetze n:

oW = fcr I

v

xx

-OE

xx

dV=JJ(!. +E.Z.W ")Z.OW.. .dA .dX "" f E .J y . w #· Öw #· dx. o A A

0

( 10.4 1) Hierin ist mit

das Flächenträgheitsmoment abges palten worde n. ln der kon ventionellen T heorie der Knicku ng w ird gewö hnlich die Arbe it de r wirkenden

Druckkräfte vernac h lässigt. weshalb G I. ( 10.4 1) auch für eine gute Absc hätz ung aussc hließlich auf Biegung reduzie rt werde n kann. Weiterhin setzen w ir m it

1O.5 lnstabilitätsprobleme

26 1

oWa = fF ·ou

(1 0.42)

,

die virtuelle Arbeit der äußeren Einzelkraft an. Hierin geht mit Su die geometrische Verkürzung (s. Bild 10.8) eines Balkeninkrements durch d ie Biegeauslenkung ein. Diese bestimmt sich aus einem Streckenverg leich zu LI

= dL- dx

= ~dx2

+ (w')2 · dx 2

-e

dx

= dx~I+ ( w ')2

- dx = ( 10.43)

= [~I + ( w ')2 - IJctX ",, ~ ( w ')2 ' dX bzw. als d ifferenzieller Zuwachs

Su =

[~ (w' + ow, )2 _ ~(w')2 ]dX"" w' · ow' .dx .

( 10.44)

F

w'dx

w·

dx 1---

-

dL -

-

u --'

Bild 10.8: Bestimmung der geometrischen Verkürzung eines Balk en-Elcmentchens Substituieren wir nun d iese Größe in GI. ( 10.42). so findet man für die äußere virtuelle Arbeit L

oWa = f F .w' ·ov/ . d:>.: .

( 10.45)

"

Für den Fall des Gleichgewichts ist somit zu fordern: l.

L

• 0

0

f

f

E . J v w ... · Sw... · dx = F w". ow' . dx .

(10 .46)

Wir übertragen jetzt den vorstehend entwickelten Lösungsweg auf e in geelgneres FE-Modc ll und fü hren in GI. ( 10.46) wieder den für eine Idealisierung mit Balken-Elemcmc n relevanten Verschiebungsansatz bzw. die entsprechenden Able itungen als

262

10 Grundgleichungen der nich tl inearen Finite-E lement-Met hode

ow' = G' . Cd.

( 10.47)

ow" = G" · &1 ein. Somi t liegt folge nde G leichung vor:

( 10.48)

die wir nu n interpr etieren können zu

( 10.49) Hierin beze ichnet K d ie uns schon beka nnte linear elast ische Steifigkeitsmat rix. und K N bezeic hnet die so ge nannte geo metr ische Ste jf lgkeitsmatr jx (nichtlinearer Ante il) auf Ges amtstrukturebe ne. Die Summe aus beiden Matrizen kön nen w ir wieder zu r Tangenrensteifig keusmarrix

( 10.50) zu sam men fassen .

Für ein Balken- Elemen t haben wir schon im Kapitel 5.33 di e Hiegesteiflgke ttsmatrix zu

~

E . J \' k = . L3

1 2 - 6L - 12 - 6Lj 4 L2

6L 12

2 L2

6L

4L'

erstellt. Unter Ben utzung der Balkenansatzfunkt ionen erhält man entsprechend die geomeIrische Balkensteifigke itsmatrix aus G I. ( 10 .48) zu

k N =-

~ F

30L

36

-3L 4 L2

- 36 3L

-3 L _ L2

36

3L

( 10.5 1)

4L'

Die äußere Last F ist hier a ls Druckkraft angesetzt . Nach gee ignetem Zusammenbau ist d ie vorstehende GI. ( 10.49) zu lösen . Eine nichttriviale Lösung erhält man aber nur für U "#- 0 aus der G leich ung

( 10.52)

1O.5 lnslab ilität sprobl eme

263

Wird d iese Gl eic hung fallspezifi sch (d. h. unter Berücksichti gun g der Randbed ingungen) aufge löst. so kann zunächst die kritische Knicklast Fktil und danach d ie Knickform zufolge o U du rch Einsetzen der Kraft in G I. ( 10.49) besti mmt we rde n. Die Bestäti gu ng dieses Lösungsver fahrens wollen w ir am Euler-Eall 11 des kn ickbelasteten Stabes von Bild 10.9 zeigen. Nach Euler kann da s Biegeknick problem durch die DG L • Jl2 ·w = 0 w+

( 10.53)

2 F Jl = E:J

( 10.54)

mit

beschrieben werden. De r bekannte Lösungsansatz hierfür ist w(x ) = C I -cosu - x + C 2 -sin u- x.

,)

( 10.55)

~ Fkril = ?

E ::: 70.000 N/m m2 b '" 25

X "L

I

11 ~

...l

~

'.w

rw~

0 0

~,

h
b)

<%l ,-----

i

C!

~

...l 11

...l

(D -.L-

;= 0

;

,f

w, = 0

Bild 10.9 : Knickstab zum Euler-Eall 11 und mi nimales Ffi-Modell

Übe r d ie Randb edin gu nge n (beispielswe ise w(o) = O. w(L) "" 0 ) führt dies zu dem Eigen. wertp roblern ( 10.56)

we lches nur durch d ie ganzzah lige Lösung Jl ·LI( = n · n:.

n

>

1, 2. 3. 4.

(10.57)

befried igt werden kan n. Se tzt man in diese G leichu ng wiede r den Fa ktor Jl ein, so fo lgt dar au s für die kriti schen Lasten

264

10 Gru ndg leic hungen der nic htl inea ren Finite-E lement-Met hode

( 10.58)

lm Bild 10. 10 sind für das vorstehende Beispie l versc hie dene FE-Modelle und deren kritische Lasten als Erge bnis des Eigenwertproblems nac h G I. (10.52) im Vergle ich zur analytischen Lösung nac h GI. (10.5 8) gezeigt. Man kann da be i unte rste llen, dass d ie analy tische Lösung die realen Verhä ltn isse we ites tgehend gu t trifft . Die einfac hste Fß- Lösun g beru ht hierbei unter Nutzung der Symmet rie au f eine m Halbrnodell lind führt mit 0 1. ( 10.52) zur charakterist ischen G leichu ng F ·L 8A · L - 15

F

24A -~ 10

12 F -961,. ---

241,. - -

L

10

.

E· J

= 0 nut A = - , L

( 10.59 )

5L

bzw.

F

kril1. 3

=

208 ±~ . A. 3

oder

Fkrit l = 5 .800,6 N

Fkrit3 = 75 .088,4 N

Fktil [N]

I Element + Symmetrie-

analytische Lösung n.

01.(10 .58)

1 Eleme nt ausnutzung

p

Mod ell

2 Elemente

~ w' = 0

Eigenwert

"

CD

575 7,3

@

GJ

1

"

4 Elemente 8 Element e

Pr

~

A

A

7000

5800,6

5800,6

5755

5752

23029, 1

35000

-

28000

23 117

22950

5 18 15,4

-

75088 ,4

75088,4

53 125

5 1500

Bi ld 10.10: Verg le ich einer analytische n Lösun g m it Fß-Lösungen eines Stabi litäts prob lems

1O.5 lnslabilitälsprobleme

265

Inso fern sind fo lgende Schlüsse aus der Tabelle zu ziehen: Durch nur einfinites Element können die krit ischen Laststufen der Knickkraft auch nicht annähernd richtig wiedergegeben werden. Selbst bei der Wah l von zwei finiten Elementen kann nur die erste kritische Last hinreichend genau bestimmt werden. die höheren kritischen Lasten bleiben ungenau. Erst durch die Wah l von n > .J finiten Elementen kommen die kritischen Lasten in eine Größenordnung. die als exakt bezeic hnet werden kann. Die Knickproblematik am Balken ist somit anders als die Biegeprob lematik einzustufen.

266

11 Wärmeiibertragungsprobleme Schon in der e in leitenden Wert ung der FE· Methode wurde herausgestellt. dass die Methode nicht nur in der Elastiz irätstheoric. sonde rn auch bei Feldp roblemen w ie Wärmelei tung. Potenzial strömung elektrisc her Felder und Magnet ismus anwe ndbar ist. Da insbesondere die Wärmeüb ertragun g im Maschin en- und Fahrzeugba u e ine wicht ige Rolle spielt. wo llen wir in der nachfolgend en Darstellun g auch noch kurz auf die met hod ische Autbere itung dieses Probl emkr eises /SVO 75/ einge hen.

11.1

Physikalische Grundlagen

Die weiteren Ausführungen sollen auf homogene. metalli sche Mater ia lien eingeschränkt bleiben. Demzufolge wollen wir unter Wärm eü bertragu ng d ie Ausbreitu ng von Wärm e in Körp ern cha rak terisieren und als e inen Austa usch von wärmeren mit kälteren Zone n ve rstehe n. Würde bei einem dera rtigen Austausch nicht laufend neue Wärme zuge führt. so würde ei n Ausg leichsvorgang einse tzen. an dessen Ende der gesamte Kör per eine einheit liche Temperatur hätte . Während dieses Ausgleichsvorganges ändert sich die Temperatur an jedem Ort des Kör pers mit der Ze it. Alle Ausgleichs-, AU f11eiZ- und Abkühlvorgänge sind demnach instationäre Wärmeübertragun gsvorg änge (T(x. y, z: r)). Ändert sich da gegen das Temperatur feld ze itlich nich t. so hat man es m it einem stationären Wärmeüb ert ragun gsvorga ng (F(x, y, z» zu tun. Ein derartiger Vorga ng bedarf so mit einer dauem den Wärm ezufuhr, wobei der Körper als Energ ieleiter fung iert. Das Vordringen eines Wärmestroms [e Wärmemenge/Zeit) in einem Körper ist aber nur möglich, wenn ein Temperaturgefäll e vorhande n ist. Der Wärmestrom sucht sich deshalb seinen Weg dort, wo das Temperaturgefälle arn ste ilsten ist. Der Wärmestrom muss darum eine Proport ionalität zum Temperaturg rad iente n01, zur Größe der Ber ührungsfl äche und zur w ärrneleit fähigkeit A des Materials aufwei sen. Diese Überlegung führt letzt lich zur so genannten Fourier 'schen Warmeleitungsg leichu ng ( 11.1)

d ie man auch pro Fläch e beziehen und als Wärmestrorndichte

.

Q

q =-

A

= -1.

aT

an

( 11.2)

angeben kan n. Der ablaufende Vor gang der Wärmeübertr agung kann mit der Strömung von Wasser du rch Kies verg lichen werden. Demna ch en tspricht die stationäre warmeubenragnn g einer Strö-

' ) Anmerkung Ein Grdtlicrll isl negativ. wenn er vom höheren zum nieengeren Potenzial führt. Der w ärmesuom breitet sich mfblgcdcsscn in Ric htung des negativen Temperaturgradienten aus

11.1 Physikalische Grund lagen

267

mung dur ch e ine gesäftigle Kiesschicht und d ie instationä re Wdrmeubertragtmg e iner Strömung durch eine trockene Kiesschicht (s. Bild 11 . 1).

dy

d,

Bild 11. 1: Wärme leitungsana logo n an e inem mit Kies gefüllten Behälter (nach IST E 7 1f) a) stationärer Strömung b) instationärer Strö mung

Die dann bei ei ner statio nären Str ömung durch den Kies in einer Zei teinhei t durchdrungen e Wasserm enge .. dQ '· ist bei dem gezeigten Ström ungspro fil proponional zum Gefa lle

(vT/ ax). zum Querschnitt [dy . dz) und zur Durchlässigkeit (A):

.

ar .

(1 1.3)

dQ = - A· dy ·dz · -

a,

Hingegen w ird bei einer instationären Strömung. im Sinne e iner Sättigung des trockenen Kieses. in j edem Volumen-E lement dem durch strömenden Wasser ein Teil entzogen. Übertragen auf die instationäre Wärm eübertragung w ird a lso dem Wärm estrom dQ au f der Strecke dx de m Volumen-E lement dV = dx . dy dz der Antei l [a(dO Yvx] dx entzoge n. D ies ist gle ich der Tem peraturänd erung vT/v' j e Zeiteinheit e ines Massenelements dm = p . dx . dy -dz m it der spez ifischen Wärmekapazität c, a lso

a(dO)

vx

ar

- - dx = dm · c · -

ar

ar .

vr

= p · c ·dx · dy ·dz · -

(1 1.4)

Bei Anwendu ngs problemen interessiert in der Regel die ze itliche Temperaturänderung vT/vl an einer bestimmt en Stel le im Körper. Diese erg ibt sic h aus der Kontlntdtcusbedingung (quas i Gleichgew ichtsgl eichung). wonach die vo m Vo lumen -Element dV aufgenomm ene Wärmele istun g g leich dem entzogenen Wärmestrom se in muss. Dieser ergib t sich du rch Ab leitung von G I. ( 11.3) zu

( 11.5)

11 FEM-Ansatz für Wänn eübertr agungsp rob leme

268

wora us sich weiter durch Gleichsetzen mit GI. ( 11.4) findet: p -c. dx. dy . dz.

aT d'

(}T

p ,c ,-

dl

= ,,_ a ZT · dx -dy -dz

vx2 a2T , = ", , -

( 11.6)

dx 2

Angemerkt sei noch einma l. dass bishe r nur die x-Richtung berücksich tigt ist. Der nun eintretende Vorze ichen wec hsel tritt auf, weil eine im Vo lumen verbleibende Wärmeleistung e inen Gew inn (+). aber für den Wär meleistungsstrom einen Verlust (.) da rstellt. Da neben einer Erwärmu ng du rch Wärmeübert ragung mitunter au ch noch eine durch innere Wärmequellen erfolgen kann. wollen w ir der Vollständi gkeit halber jet zt auch e ine Wärm equelle ei nbauen. deren innere Warmeleistung anzusetzen ist mit

,

( 11.7)

dQ v - = Q· p · dx · dy· dz.

Darin bezeichnet Q die Ergiebigke it (s pez ifisc he Wärme leistung) einer Wärm equelle. Ergänzen wir dam it die vorstehende DGL ( 11.6). so führt d ies zu

JT

J' T

.

( 11.8)

p ·C·- =A·-+ qy· .

a,

ax2

I

Wir vera llgeme inern j etzt diese DG L. indem w ir berücksic htige n. dass sic h der Wär meleitungsstrom nicht nur in x- Richtung, so nde rn in allen drei Raumric htunge n ausb reiten kann. Die ßilan=gleic/llmg lau tet fllr d iesen Fall:

. '', p'C ' -JT = (, V · I..· V ) · T + qy JI

'

( 11 .9)

mit de r Wärmeleitfähigkeirsmarrix

I.. =

[

,-,

0

0

Ay

o

0

0] o .

( 11 .10)

Az

Zur Lösung dieser Ditferenzialgl eichung bedarf es im We iteren Randbedingungen für de n Körper und gegebenenfalls Anj angsbedingllngen für d ie Tempera tur . lm Bild 11.2 ist zunächst ein Körper gezeigt. für den die wesent lichen randhedingungen angede utet wo rde n sind. Hierzu zählen:

0j

Anmerkung: Nabla-Opcrator: v '

m

[!.~

w ärme übenragungs-

11.1 Physikalische Grund lagen

269

die Tempera turbedingung, d. h.. die Temperatur auf de r Oberfläche muss in einem Bereich gleich der Umgeb ungstempe ratur se in. To =T""

(1 1.1 1)

die Wärmestrombedingung. d . h.• e in Wärmestrom auf der Oberllä che pflan zt sich auf der Normalen zu r Ober fläche in den Körper hinein fort.

,aT .

( 11. 12)

I\.~ =q v .

E

1v.r

,r----:T ' ,T

Oq

T(x.y,z;t)

-,

V

/ Bild 11.2: Wärm eübertragun g an einem Kö rper (nach / BAT 86af)

So llen hingegen noch andere Wänneübertragun gsefTekte (Kond uktion '" Wärm eleitu ng, Konvektion = Wänneüb ergan g, Wärm estrah lung) betrachtet werden. so s ind d ie vors tehenden Randbedingungen aufgabens pez ifisch zu erwe ite rn, um

Temperaturbedingu ngen und Wärmestrombedingungen in bestimmte n Punkten ode r auf best immt en Fläche n. K onvela tonsbedingungen. St rahlungsbedingun ge11, warm ekomaktbed ingungen und - tsotiernngsbedingungen. Eine ents prec he nde Übersicht hierzu gibt Bild 11.3.

11 FEM- Ansatz für Wänneübert ragu ngsprobleme

270 I. Ternperatur-R andbed ingu ng

*' V;

2. Wännefluss-Randbedingu ng

~ \.-- T v

::0

-

q v (x, y. z: I)

n

TiO(x . y, z; t )

q

- qn =qv -j

~

0,

3. w ärrneübertragungs-Randbed.

~ ...- Tv- unbek annt

T, unbek annt

4. W ärmestrahlungs-Rand bed.

1 V T y . unbekannt

[f

T_

•

•

qv = a (T,.,- Tv )

4 q v = cld Ts

~

~, 5. Wärmekontakt

TV 4 )

T s- bekannt /

~

6. Iso lierung

""'" r-r- ~

.=

-

T V2' bekannt

-s

S

~ 4v

=0

"'-'' -''

T V1' unbekannt

Bild 113 : Randbedingu ngen zu r Lösu ng vo n Tem peraturfeldproblemen

Einze lne Randbedi ngu ngen können dabei an Körpern alleine oder in Kombination vor kom men. wodurch eine konventionelle mathe mat ische Lösung äußer st schwierig bis unmög lich ist.

11.2 Dlskretist erte Wänneleit ungsg leich ung

27 1

11 .2 Diskrctisierte Wärmclcilun gsglcichung Der physikal ische Eff ekt der Wärmeleitun g findet nur in festen Körpern. und zwar im lnneren oder an der Ober fläche sich berührender Körper statt. Um hier den Te mperaturverlauf bestimmen zu können, ist es zwec kmäßig, den Körp er in eine Anza hl von finiten Elementen zu unterteilen und das Problem bereichsweise zu lösen. Aus diesem Grunde wandeln w ir die DGL ( 11.9) in die finit e Gru ndgleichung für das Wärme leitungsprob lem um. Hierzu machen wir. w ie in Kapitel 3 dargestellt, vom Galcrkin'schen Prinzip Gebrauch und ste llen für ein Element das fo lgende Funktional

IG'[p ., aT -(V'. l.. vlr] dV- IG' .QV dV= O

v

( I Ll 3)

v

i),

auf. N un machen wir noc h in bekan nter Wei se einen App roximationsansatz für die Temperatur über diskrete Knoten temperaturen. und zwa r mit T(x. y, z: r) = G (x. y, z}. T~ (r ) . Hieri n bezeichnet w ieder G den Ansatzfunktionsve kto r und

( 1L1 4) T~

de n Knotentem peraturvektor

für ei n Element. Setzt man jetzt den Ansat z in GI. ( 11. 13) ein, so erhält man

p - c ] G I . G dv . Te -

V

f [(V .G )1 . ). . (V . G )] dV . Te - f G I . qy dV = 0 V V

( I LI 5)

und hierau s die finite Wärm eleitungsgleichung ( I Ll 6)

Mit GI. ( 11.15) konnten also al le Vorsc hriften zur Erste llung einer d iskreten Wärme leitungsg leichung herge leitet werde n. Wir wollen das Pro blem j etzt erneut erweitern. indem wir den result ierenden Wärmeflussvekto r am Knoten vera llgemeinern in

qc < O,

+

fG' · qy d V

(d iskreter Wänn efluss am Knoten )

( I LI 7)

(verteilter Wär mefluss im Volumen )

V

+ f G 1 · qodO

(verteilte r Wärmefluss auf der Ober fläche)

+ f G 1 .(X . T""dO

(Konvekrionseffekte)

o o

Unter der Annahme, dass homogene isotrope Körper vorliege n, kann G le iches K" = konst. (s pez if. WärmelVolumen ) und A = kon st. für alle Richtungen angesetzt werden. Hierm it kann nunmehr definiert (s. auch IST E 921) werde n:

11 FEM-Ansatz ruf Wänneübertragungsp roblem e

272

die Wärmekapazit ätsmatrix C= KJ G 1 . G dV mit K= p 'C

( 11 .18 )

v

" ud d ie Wünneleinmgsmcurix

f

k = A (V · G) ' . (V . G ) dV + «] G ' . G dO .

v

( 11 . 19)

0

De n wei teren Anteil in der Wärmeleitungsmatrix erhä lt man dabei durch Einarbeitu ng des wärrneübergangs, der weiterhin zw ischen einem Gas ode r Flüssigkeit und eine m Körper bestehe n kann. Der Wärmestrom hat dabei an der G renz lläc he eine n Übergangswide rstan d (0 = Wärmeübergangszahl) zu überwinden. Nac hde m alle Beziehu ngen a uf Elem ente bene gegeben sind. muss man sich wiede r dem Zusammenbau zu eine m Körp ennod ell zuwe nde n. Es se i im Weit eren ange nom me n. dass die verwendete n Element geom etrien ( Knotcnanordnungen ) die gleic he Form ha ben, wie die in der Elastostat ik oder Elastedyn amik ver wendeten Eleme nte, sodass auc h der Zusa mmen bauAlgor ithmus den schon in Kapitel 3 a ufg estellt en Regeln gehorcht. Die Besonderheit da bei ist nur, dass j etzt pro Knoten mit de r Te mp eratur nu r eine Unbekannte 0 ) vorlieg t. Führt man den Zusammenba u dami t ents prechend durc h. so führt dies zu

C. T - K · T = Q .

( 11.20)

welc hes also die Syste mg leich ung des instationären Wärmeteinmgsprobtems darste llt. Verschwindet hierin der transienie Anteil. so reduz iert sich G I. (11 .20) auf da s station äre

Warmeteitungsproblem K ·T = Q .

( 11 .21 )

Wie in der nachfolgenden Tafel des Bildes 11 .4 deutlich w ird. gib t es dabei von der Prob-

lemforrnutlerung einde utige Anal ogie n zur mec hanischen Bauteilanaly se . welc hes sowohl für die Matrizen als a uch d ie physikalischen Konstanten gi lt. Der Grad de r DG Ls ist hingegen niedriger.

"A nmerkung: Dk Temperatur iSI eine skalare Gr öße. die von einem Knoten aus in alle Richtungen mit gtcichcr lr ucusität wlrkt .

Iki clasaomcchanischcn Problemen können hingegen alfc Größen in den drei Raurnricbtungcn unterschiedlich sein. Ffi-Programmc rur die E l a.~l ik müssen deshalb <:in<: andere Speicheriechnil benutzen.

273

11.3 Lösun gsverfahren

Temperaturan alyse

Versc hiebungsan alyse

DG L-System:

DGL- System:

C' T- K · T= Q

M · Ü+ K· U= P

m it

mit

T Q K C

,Ä c

Knotenpunkt-Temperatur Knotenpun kt-Wännellüsse Wänneleitun gsmatrix Wänneka pazitätsmatr ix Wärmeleitfähigkeit spez. warmeje Vo lumen Wärm eübergangsk oel1izient

U I' K M

E P

v

Knotenpu nkt-Verschiebu ngen Knotenpunkt-Kräfte Stei f gkeitsmatr ix Massen matrix Elastiz itätsrnatrix Dichte Qu erkontr akt ion

Bild 11.4: Zusammenhänge zw ischen de m Temperaturfeldprob lem und der elastomechanischen A nalyse

Neben den schon angedeuteten Formulierungsmög lichke iten bei Wärme übertragu ngsproblernen können in der Praxis auch noc h stationäre nichtlineare r robteme mit e iner temperaturabhäng igen Wärmeleit ungsmat rix K(T ) und e inern temperaturabhängigen Wärmefl uss Q (T) vorkommen. Dieser Aufgabentyp sei abe r hier ausge klammert .

11.3 Lösung sverfahren Die Lösu ngsp rinzipien für die zuvor diskut ierten Problemkreise we ichen nur in einigen Punkten von de n zuvo r in der Elastestat ik disk utierten Strateg ie ab, sodass wir uns hier m it ein paar prinz ipiellen Hinweisen kurzha lten könne n. Zu näc hst se i unterstel lt, dass ein im G le ich ungssystem und in den Randbed ingungen stationares Problem nac h GI. ( 11 .2 1) vor liegt . Dies kann formal nach den unbekan nten Knotenparam etern T durch Inversion aufgelöst werden:

( 11.22) An der Bauform der G le ichung ist sofo rt zu erkenne n. dass e in numerisch vö llig ide ntisches Problem zu dem etastostausc hen G le ichungssystem vorl iegt, we lches in Kapitel 5.4 .5 beha ndelt w urde. Wir erinnern uns, dass dieses Gleichungssystem nur dann lösbar ist. wenn eine POSitiV defi nite Gesamtste ifigke itsmatrix K über ents prec hende Randbedingungen erste llt werde n konnte. Im Fall de r stationären Wärmeleitung weist die Matr izeng leichung e inen Rangunterschied von ei ns auf. was für d ie Invertierung mindestens eine vorgeschriebe ne Tempe ratur.

11 FEM-Ansatz für Wänn eübertragungsprobleme

274

z. B. To = T"" (Umgebungstemperatur], erforderlich macht. Diese Bezugsetzurig ist auch insofe rn sinnvoll, da sich ein Temperatur zustand immer auf eine Referenztemperatur bezie ht. Liegt die zusätzliche Schw ierig keit einer nichtlinearen Wärmeleitungsmatrix K(T) vor. so kan n die vorstehende G leichung nur iterativ, beis pie lsweise mit dem schon im Kapitel 10. 1 beschriebenen Newt on-Raphson-Verfahren. gelöst werden. Etwas anders erwe ist sich d ie Lösungsproblemat ik be i der instationären Gleichung (J 1.20). ln de n me isten komm erziell angebotenen FEM.Wärme le itungsprogrammen wird als Lösungsverfahre n die direkte Integration nach der Zeit IALT 82/ verwandt, welche ein Temperaturfeld zu unterschiedl ichen Zuständen zu besti mmen ges tattet. Dazu zerleg t man den Betrachtu ngszei traum in eine Anzah l von Ze itinkrementen .6, = li+l - li mit 1 = 0" 1 " ',/i ' ... und bildet damit in der Gleichung die Ab leitung zu ( 11 .23)

und setzt d iese in die Gleichung C · T - K ·T = Q

ein . Man erhält so _._'_ C' i+ IT 111 /

' _C · i T _ K . i T =Q

1.11 /

( 11 .24)

_ ,- C · i+[T = Q + [ _l _ C+ K J ;T 111 1

1.11,

bzw. die identische Gleichung (1 1.25) die ausgehend von ei nem Anfangszustand i T = ° T =

LT

00

mög licherwe ise mit einer

ersten linearen Näheru ng von einem Punkt ausgehen d aufgero llt werden kann und iterativ mit versc hiede nen mathematischen Verfa hren (z. B. Gauß-Seide l, Jakob i, Konjugate G radien t, Überrelaxation etc .) zu lösen ist. Da hier deu tl ich weniger Unbekann te ermittelt werde n müssen, erwe isen sic h alle Verfah ren vergleichsweise al s sehr schne ll.

11.4 T hermisch-stationäre strukturmechanisc he Berechnung

275

11.4 Thermisch-stationäre struklurmechanische Berechnung Ein in de r Praxis häu figes Problem ist, dass Te mperaturen in Festkörpern mit mechani schen Bea nspruch ungen verbunde n sind. Derartige Mulnphysikaufgaben" können entwede r zwe istu fig oder als ge koppe ltes Problem [z. B. in ANSYS. FEMLA B) behande lt werden :

Zwelschritt- Lösung a = E ·E

m it konventionellem FE-Programm und zusätz lichem Wänneleitungsmod ul. Ei nschritt- Lös ung (M uIt iphys ikansa tz ) K 1her

o

0 K mcch

~ U

=

Tn" U\'or

~ T. U. a

m it spez iellen Multiphysik- bzw. Muhifeld-Elementen. Im Folgenden soll die Zweischritt-Lös ung auf das Problem de r stat ionäre n Temperatu r- und Spannungsve rte ilung in ei nem Rohr da rges tellt werden . Derart ige Fragestellungen sind im Masch inen- und Kraftwerksbau geläufig. Insofern ze igt das umseitige Bild 11.5 die Situation eines Rohres in einem Heißd amp f-Kühlkreislauf Für die Auslegun g sind der Temperatu rdurchgang durch d ie Wand ung und d ie thermisch-mechanis che Beanspruch ung von Intere sse.

Bei der Simulation ist besonders zu berücksicht igen. dass de r Elast izitätsmod ul und der Längenausdehnungskoeffizient te mperaturabhäng ig sind. z. B. für Cr-Ni-Stahl E IS T "" 2.15 . 105 N/mm 2 ,

E 300 ~C "" 1,90 . 10 5 N /m m 2,

6 I 1S C "" 13,9 . 10- K - , u LJ00 0C ",, 17 · \0-6 K - I. U l.

O

D ie Auswertung in den umse it igen Abb ildungen ist auf d ie Te mperatur und die Spannung in de r Rohrwandung bezogen, die hier als dünnwandig (R a/R i :::;; 1,2) angese tzt wurde . Für die Model Iierung wurde n rechteckige Kreisring-Elemente verwendet, weswegen bei diesem ,.einfachen" Problem nur Abwe ichungen von ca. 1-2 % gegenüber de r analy tische n Lösung auftre te n. Mit de n angegebene n Formel n {fIM 51/ lässt sich die FE· Rechnung übe rschlägig gut kontroll ieren.

·1Anmerkung: Allgemeine Muttiphysikaufgabe n bestehen in thermisch -mechanische, rnagncto-mccbanische. thermisch-magneus ehe oder do:klwmagndi so:h.them lisdl.meehanische Kopplun gen.

11 FEM-Ansatz für Wänne übe rtrag ungsproble me

276

analyt ische Lösung : O' a\ ial "'-U L · E · .:lT · ( I - v )

--- --

O'l:l rlgclltial

° tangclllial ""

T( r) =Tj

-- - -

u L ,E ·liT 2( I v)

+t8 T3 - T

1

In ~

R;

[ ,] In - . R,

180 200

. Ispannung (mN/mm' ) .b.43E+OS Tangentia

,

Ax ialspannung (mN/mm')

Temperatur (Ce lsi us)

·3.95F.+05

- 1.47E+05

1.01 E+05

H9F.+OS

5.91E+05

- I.0 4E+O~

_'. 93E+05

·54 5E+05 -4.9I E+05

_29710+05

-1991:+05

1.50E-t{)1

7,2oE+OI

1.291'+02

1~i> E+ 02

2.4310+02

3,00E+02

Bild 11 .5 : Ermitt lung der stationären the rmo- und elasto mechanischen Beanspruc hung übe r d ie Wanddicke eines da mpfdu rchs trö mten Ro hrs

11 .5 Thermisch-transicntc strukturmechanische Berechnu ng Im Kap ite l 11.6 ist die instatio nä re Wärm eleitungsg le ich ung hergeleitet worden, mit der s ic h Autheizvorgänge analysie ren lasse n. Bei A ufheizvorgä nge n interessieren gewöhn lich der Zei tverla uf de s Aufheizens und d ie hierd urch hervorgerufene Temperaturverteilung. In vie len Fällen. we nn ko mp liz ie rte Bauteile in Vorrichtungen ge schweißt werden. ist damit auch d ie Initiierung von Eigenspannu ngen ver bunden, da sich d iese späte r de n mec hanische n Spa nnungen überlagern. Eige nspa nnunge n werden durc h d ie zeitliche Diffe re nz zwischen Aufheiz- und Abkühlvorgä ngen einge prägt und lassen sich mit FEM leider nur se hr unsicher best immen. A ls Beispie l fiir ein transientes strukturm echa nisc hes Pro ble m soll im Bild 11.6 das Laserschweißen IO RO Ol l von dünnen Stah lblechen bet rac htet w erden. Der fok ussierte Laserstra hl mit einem definierte n Leis tungsei ntrag (Q '" 150 W /mm 2 ) lind einer vorgegebenen

11.5 T hermis ch-transiente struktu rmechanisc he Berech nung

277

Vorschubgeschw indigkeit [v = 2 m m/s) w ird über die Blechkan ten gefü hrt und m it Zus atzdraht verschwe ißt. Spannpratze \

c:

ftl p

linke Blech hälfte

e.

rechte Blechhälfte

Le istung

0

Q

~

punkt

SChwe iß1 richtu ng

c:

Model l

[

=:1)\

p

40 1-, --=---, 1 Bi ld 11.6: Situation be im Lasersch weißen

Im obige n FE-Mode ll ist d ie Sy mmetrie ausgen utzt und ein ebenes vierknotiges Schalen-

Element zu Gr unde gelegt worden . Der Schwe ißprozess wird du rch punk tuelle bz w. kantenbezogene Randb edi ngungen simuliert. Der Leistungseintrag des Lasers erfo lgt am linken Blechrand und wi rd mit Vorschubgesc hw indigkeit geste uert. Im Bild 11.7 ist exe mplarisc h de r zei tliche Vcrla ufausgewäh lter Knoten punkttemperaturen

in der Schweißn aht dargestellt. Die angegebenen Linien ,.s" gebe n den Tempera tur verla uf an bestimmten Stelle n wiede r bzw. zeigen d ie Ausstrahlun g de r Tem peratur einw irkun g in da s Materia l. Die augen blickliche Position findet sic h aus dem linearen Zusa mmenhang s = v . t , d. h. zu 5 sec. korrespond iert d ie Ste llung 10 mm vom Ursprung.

1 1;>

."•

800 720 640 4 80

Co

400

E ~

I

"

560

:::l

~

s=8

I

320 240

I

I

160

I

80

./

00 0.5

o

s=4 s=O

1,5 2 2.5 3

Zeit in s

I

2

I

3

I

4

I

5

3,5 4

I

6

Weg in mm

I

7

I

8

4.5 5 I 9

I

-

10

Bild 11.7: Knotenpunkt- Ternperatutv erlauf in der Sc hwe ißnaht über de m Weg

11 FEM-Ansatz für Wänneübertragun gsp robleme

278

Weiter gibt Bild 11 .8 lnfonn ationen über den Temperaturver lauf in der Schwe ißnaht und die

augenblicklich initiierte Elememspannung. a)

b)

T = 20 °C

T = 463 °C

T = 537 °C T = 685 °C

au fge schm o lzene s Metall

Bild 11 .8: Ausgewerteter Temperatur- und Span nungsvertauf im Blech (analysiert mit ANSYS) bei s = 10 mm Im Zent rum der ex ternen Wärm eq uelle ist die FE-Berechnu ng a llerd ings sehr unsicher.

279

12 Mehrkörpersysteme In den letzten Jahren hat mit der Entwicklung mechatronischer Systeme der M ks-Ansatz größere Bedeutung erlangt. da er Kinematik. Kinetik und Elastik (EMKS)O) miteinander verknüpfen kann. Mittlerweile kön nen umfangreiche MK S~A n a lysen mit komfortablen Programme n (z. B. MEOY NA, A DA MS~AN YS ) bea rbeitet werden, wobe i die Programme laufend verbessert werde n. Erst die MKS-Theor ie hat Gesam tsystemsimulat ionen (Fahrzeuge. Roboter etc.) im Rechner ermö glicht und die Pro bleme som it einer Optimierung / KNO 961 erschloss en. Weil d ie Anwend ungsb reite zune hmen wird. soll absch ließend noch die Lücke zwisc hen MKS und FEM gesc hlossen werde n.

12.1 Merkmal e eines l\l KS In der Tech nik kommen überwiegend gere gelte Mehrkörpersysteme /LAG 94/ mit defi nierten An- und Abtrieben vor, Diese Systeme bezeichnet man als kinematisch linear. wenn die Geomet rie- bzw . Lageänderungen zw ischen den Einzelkörpern klein bleiben, Nichtl ineare Geo metr ien kommen in der Prax is recht selten vor, Ein Mehrk örpers ystem stellt immer ein mechanisches Ersatzsystem (Modell) einer technisehen Realisierung dar. Hieraus folgt. dass Annahmen zu treffen sind. d ie die ,.realen Verhältnisse' bestmöglich annähern . •.Bestmöglich " bede utet im Ingenleurwesen: so real wie mög lich. einschätzbare Vemachlässigun gen und angemessener Aufwand. Im umseitigen Bild 12.1 ist ein mögliches Mehrkörpe rsystem ang edeut et worden, Diesem lassen sich die folgende n Eigensc haften zuordnen: Es besteht aus e iner endlichen Anzahl N von Kör pern (starr oder e lastisch). Die Körper sind durch passive, mechanische oder e lektromechanische sowie durch aktive Elemente (Antri ebe) untere inander verbunden. Zugleich tret en kinemat ische Bed ingungen durc h Führungen. Lager und Gelenke auf. Die kinemat ische n Bindungen erzeugen Zwänge. d ie die Bewegungsmögli chkeite n des MKS e inschränken.

""d

- Au f die Körper können äuße re Kräfte Fi und Momente Mi (i == I. .... n) einw irken. Wird mit r d ie Anzahl der geg eben en Zwangsbedingunge n bezeichnet. dann hat das MKS den Freiheitsgrad f == 6 · N - r (bei räum lichen Bewegungen ) bzw. f"« 3 , N - r (bei ebenen Bewegungen).

' 1 Anmerkung:

Bei M K S exis tiert auch eine Theo rie der ,./1c\ iblcn 1I.1KS·', abgekürzt EMKS.

12 Mehrkörpersysteme

280 Kupplung Körper

·· ··

.--

"\ ,

Gelenk~

,

" ""

Dämpfer ".

\,

\\.

-. -, ," " ,

...

..,

,-

"-.

:

J

x. I

';

~

'i'Z I

KS)i

$yi

Inertialsystem

:'

Yi

Körper i

Bild 12.1: Verallgeme inertes Mehr körpersystem

Definitionsgemäß he ißt ein Frei heitsgrad akti v. wenn er zu einem unabhängigen Antr ieb gehört. Bei eine m aktiven Mecha nismus (z. B. Roboter) si nd im Allgemeinen alle Fre ihe itsgrade aktiv. Die Freiheitsgrade (F HG) werden dabei von der Ausführung der Ge lenke beein flusst. Gelenke können gewisse Freiheitsgrade sperren und darübe r die Beweglichke it e inschränken. Ein wichtiges Lösungsmerkmal ruf MKS ist der Strukturaufbau (Topologie. s. /WAL 89/): Systeme mit Baumstrukmr: Solche Systeme zerfallen in getrennte Teilsysteme mit Zwang lauf wenn a lle Ge lenke zw ischen einem beliebigen Knotenpaar ent fernt ",'erden. Für derartige Syste me sind d ie Bewegungsg leichungen leicht zu erm itteln. Systeme mit kinematisch geschlossenen Schleifen: Dies sind Syste me, be i denen die zuvo r aufges tellte Bedingung nicht erfüllt ist. Das im Bild 12.1 modell ierte Sys tem hat keine Baumstruktur . Auf dem Weg von der Umgeb ung über die drei Körper zurück zum Ausgangspunkt gi bt es zw ischen alle n Körpern ein Gelenk. Man kann das Syste m nicht in zwe i Te ilsysteme zerlegen , wenn man nur ein Gelenk entfe rnt. Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen für kinematisch gesch lossene Schle ifen ist extrem aufwändig, da neben den Bindun gsgleichungen auch noch Verträg lichkeitsbedingungen zu berücksichtigen sind.

12.2 Kinematik von MKS

281

Ziel muss es stets se in, die Kinematik eines MKS durch elementare Gleichun gen der Mechanik ISC H 991 zu beschreiben.

12.2 Kinematik von MKS Die Aufg abensteIlung der Kinematik ist d ie Ennittlung der Lage. Gesc hwindigke it und Beschleunig ung von bewegten Einzelkörpern. Hierbei wird die Lage eines Körp ers durch seine Position und se ine Orientierun g erfasst. Zur Erfassung der räum lichen Bewegung eines Körpers wird ein Referenzkoordinatensystem ( KS)R benöt igt. Weiterhi n ist e in mit dem Körper {z. B. i-ter Körper) fest verbundenes Koordin atensystem (hier (KS)j) erford erlich. Das allgemei ne Kinematikproblem kann insofern auf die Dynamik der Koordi natensysteme zurüc kgeführt werden. Zu beacht en ist dabei aber noch. dass es für d ie Wahl des Referenzsystems zwe i grundsätzlich unterschiedl iche Möglichk eiten g ibt: a)

Das Referenzsystem ist ein Inertialsystem (KS)u ' d . h.• das Koordin atensystem ist beschleunigungsfrei. In der Anwendung wird das ( KS)o in der Regel auf eine nicht bewegliche Basis gesetzt; die Bewegung eines Körp ers wird dann bezüg lich d ieser Basis in Inert ialkoordinaten beschrieben. Das Referenzsystem ist ein Relativsystem. d . h. ein mit einem ander en beweglic hen K örper j des MKS verbundenes Koordinatensystem . Die Bewegung eines Körpers wird relativ zu einem Referenzkörp er beschrieben.

b)

Im Bild 12.2 sind die Verhältn isse zwischen den Inerttal- und Körp erkoordinat en dargeste llt. und zwar für den Punkt P. der sich relati v bewegen soll. Hierin bezeichn en (s. auch /HEI

980' ( KS)o das Inert ialsystem' ) und ( KS) i das Körpersystem.

O , e in körperfester Bezugspunkt und P ein var iabler Körperpunkt; c .xo ' e yo ' e l.O die Einheitsvektoren des (K S)o ; (ojc .xi . (olcy j . (ol czi die Einheitsvektoren des körp erfesten ( KS)i . dargestellt im ( KS)o : der Ort svektor im Inert ialsystem (KS)o ( 12.1)

' 1 A nmerkung:

Inertialsystem - beschleunigungsfreie s Koordinatens ystem

12 Meh rk örpersysteme

282 der Ort svektor im Körpersy stem ( KS)j

( 12.2) Die Koo rdi naten de r Einheit svektoren sind durch die Rlchrungskostnusse gege ben . Fasst man diese Koordina ten zu eine r Matrix zusa mmen . so erhält man die T ransfor mati on smatri x (siehe T in Kap itcI 5.4. I). d ie innerha lb der MK S auch m it Rotations- ode r Drehmat rix (R ) benannt wird:

(12.3) sie beschreibt die Orienti erun g des ( KS)j bez üglich des ( KS)o ' Wie früher scho n bewi esen . ist die Transformat ionsmatrix orthogo na l. d. h., es gilt

( 12.4)

R ·R ' = 1, hierau s folgt auch für die inverse Rotation sm atr ix

( 12.5) Die Bedeutung d ieser Beziehun g ist vor allem da rin zu sehe n. dass die Inversion e infac h auf die Transposition zurückzuführen ist.

p

/--::/"\_IL_B~'h~,nkurve von

P

Körper

\o ) rop bzw . (i) r p

x

(ll)e~ --0-::--;;-+ , /

•

Bild 12.2: lnert ial- und Körperkoo rd inaten bzw. -systeme als Rechtssysteme

283

12.2 Kinematik von MKS

Weiterhin lässt sich in de r Kinemat ik ei ne al lgeme ine Bewegung des Punkte s P als die Übertagerung einer Translation IIl1d einer Rota/ion au sführen. In dem vorstehende n Bild ergibt sich für ( 12.6) Die Gle ichu ng stellt also e ine Koordi natentran sform at ion ( KS)i -+ (K S)o ) dar .

12.2.1

Dre hm atrix

In den vors tehe nde n Skizzen sind scho n rechtsdreh ende Körper-K oordina ten systeme (KSh : eingeführt worde n. Als Zusam men hang (s. Bild 12.3) kann zwisc hen den Koo rdin aten des Punktes P im Inertia lsystem und im ged rehten Koordinatensystem bei einer Drehung 11m die x-Achse angegeben werde n:

( 12.7 )

bzw .

"

YK

Bild 12.3: Elementardrehung um d ie x-Ac hse mit de m Körperpunkt P um den Win ke l l1l,

In analoger Wei se findet sich die Drehmatrix für d ie Elementardreh unge n um die y- und zAchse:

( 12.8)

- sin 4>, cos

4J,(

o

( 12.9)

284

12 Meh rkörpersysteme

Zusammengesetzte Deh nungen können j etzt in einfacher We ise aus drei nachei nander ausgeführten Elementardrehungen geb ildet werden. Von de n vielen Mög lichkeiten, diese auszu führe n. habe n praktisch nur die Karda n- und die Euter-Win kel größere Bedeutung er langt: Drehung um die Karda n-Winkel

1. Rotat ion um die x-Ac hse

R ,,($ x ) '

2. Rotation um d ie neue y-Ac hse

R y{$ y ) ,

3. Rotation um die neue z-Achse

R, ($, ) ,

daraus folgt :

Führt man die Matrizenmultipl ikat ion durc h. so folgt fU Tdie Kardan'sche Drehmatrix

(12 . 11 )

Als Abkürzungen wurden benutzt:

Sx

= sin $ " , C z = eos $, usw.

Drehung um die Euter-W inkel Gemäß Vereinbarung müssen hier d ie Elementardrehungen nacheinander um d ie Z- , x-

und wiede r z-Achse ausgeführt werden. Die Drehmatrix für Euler-Winkel lautet so : (12 . 12) bzw .

c, . c y -s, + sx -c;

- w, · c y · c, - c x · s, c, , c y -c, s, -s,

Sy 's,

Sy ' c,

- s x · c \, · sz + c.x , c z R EUL =

[

-t

( 12. 13)

Besonders anzumerken ist, dass d ie Matriz en prod ukte in G I. (12. 10) und G I. (12 . 13) nicht kommutat iv sind . Eine andere Reihenfo lge der Multiplikation führt zu einem andere n Ergebnis. d . h. die Or ientierung des Körpers ist anders.

285

12.2 Kinemat ik von MKS 12.2.2

Ebene Beweg ung

Um die Prob lematik mit einfache r Darstel lung we itertre iben zu können . wo llen wir uns auf einen ebenen Fall besc hränke n. Im Bild 12.4 ist die ebe ne Bewegu ng charakter isiert. ohne Einschränkun g der Allgeme inheit gilt hier z - O.

Y P(x. y)

,, ,, ,, ,

YK v

(K ) r p \

,,

xK u

$,

,,I ( KSk , ,,, ,, ,,, ,, , ,

0 ( KS)o

Xo

Bild 12.4: Verhältnisse bei der ebe nen Bewegu ng

Die Bewegung lässt sich j etzt in der

X-,

y-Ebene eindeutig beschreiben. und zwar durch

Eine Drehung kan n somit nur noc h um die z-Achse er folgen und ist einde utig durch die Drehmatrix - sin ~/ ] cos 4l, gegeben . Eine allgemeine Luge lässt sich nunmehr angeben durch

(12 .14)

12 Mehrk örpersysteme

286

( 12.15) welc hes in Koordi naten

~, [ Yx] = [ Yox o ] + [,~, sm Q,

- , ; " ~,].[U] cos

o,

( 12.16)

v

entspricht. Die Geschwindigkeit erhä lt man bekanntl ich durch Di fferenziat ion nac h der Ze it. Es erg ibt sich

( 12.17) Um die Matrizenkooperationen ausführen zu könn en , wo llen w ir in einer Zwisch en betrachtung die Drehmatr ix kurz ableiteten:

R

I.

($ ) = dRz{lJl..) I

:I...

.~

U\l'z

F

. =[-SinQlz - COSljI ,] . (l,. ...

cos "''-

- sin!) z

.

( 12.18)

Auch die Entwicklung von GI. ( 12. 17) ist etwas mühsam, weshalb die Ausrechnung hier verk ürzt werd en soll. Z unächst kann geschr ieben werden:

( 12. 19)

Fühn man die Matrizenop erationen aus und fasst geeignet zusam men . so findet sic h ( 12.20)

Für einen star ren Körper ist insbesondere u = v = O. wes ha lb sich die Gleichung entsp rechend vereinfacht . Eine we itere Ve reinfac hung ergibt sich, wenn die Ausgangsg leichung modifi ziert wird. Aus GI. ( 12. 15) fo lgt au ch

(12. 2 1) Berück sichti gt man d ies in G I. (12. 17) und setzt

rp = 0 , so findet sic h ( 12.22)

Das Matrizenprodu kt ergibt

12.3 Kineti k von MKS

28 7

- cos ~,. ]. [ cose, - sin $z Hierin ist

$z

=

ill

( 12.23)

- sin Q,.

z•also d ie Winkelgesch wi nd igk eil. Endgültig erhält man so ( 12.24)

Ohne weit ere Herleitungen erg ibt sich für d ie Beschleunigung (12.25)

Wird we iterhin noch G I. ( 12.24) zur Elimination von

(x - xo ) und (y - Yo )

herangezogen .

so kan n letztlich die Endgl eichung

( 12.26)

angegeben werden . Mit

12.3

U

z = ~I ist dabei d ie Winkelbeschleunigung einge arbeitet worden.

Kinet ik vo n i\-'I KS

Z um Aufgabenkreis der Kineti k gehört d ie Bewegung vo n massebehafteten Körpern unter der Einwirkung vo n Krä ften und Momenten. Die Kinetik verfolgt so mit d ie Verk nüpfu ng von kinematischen Gr ößen mit Kraftgröß en. Die Besch reib ung des Bewegungsverhalt ens e ines Starrkörpersystems mit n Fre iheitsgraden fuh rt zu einern Satz von n ge wöhn liche n DGLs 2. Ordnung. d ie bekan ntli ch gut lösb ar sind. Wir sto ßen heute auf viele Fragestell ungen. wo d ie Kinetik eine große Rolle spielt. wie be ispie lswe ise: S imulation des Bewegungsverha ltens von Mechanismen unter der Einw irkung von Kräften; Ana lyse vo n mechat roni schen Strukturen bzw . Prototypen . um für best immt e Bewegungsabläufe die Ant riebe zu dimensionieren. sow ie Unterstützu ng beim Entw urf von Steuerungs- und Regelalgorithmen. um die erforde rlichen Stellgröße n für vorgege be ne Bahnkurven festz ulegen. Zur Lösung kinetischer Probleme können zwei grundve rschiede ne Ve rgehenswe isen herangezogen werden:

288

12 Mehrkörpersysteme

Be i der Newto n-Euler-Methode werde n die N-Ein zelkörper des Mehrkör persyste ms fre i geschnitten und d ie Wirkung benachbarter Körp er durch Schnittk räfte- und Sch nittmo rnente berücks icht igt. Die Impuls- und Dralls ätze für die Einze lkö rper liefen 6 · N Gleichunge n. Mit den aus de n Bindungen resultierenden Zwangsbeding unge n we rden dan n d ie Sc hn ittreak tio nen elim iniert. Die Lagrange'sche Methode basiert auf dem d'Alembert'schen Prinzip und lässt scholl zu Anfang nur solc he Ve rschiebungen zu. die mit den Zwangsbeding unge n vere inbar sind. Bei den so ge nannten Lagrange'schen G leichungen 2. Art erhä lt man unm ittelbar f Bewegungsgleichungen. wodurch die Elimination der Sch nittg rößen rea ktione n entfällt. In der fo lgende n Übersic ht des ß ildes 12.5 sind d ie beiden Lösungsmethod en von ihrem Ablaufgegenübergestel lt.

Newton-Eulet-Methode

Lagrange-Gleichungen 2. Art

Koordinaten system

Freiheitsgrade

ß indun gen , Zwangsbedi ngungen

vera llgemeine rte Koordinat ion

Freischneiden

kinetisch e Energie

äußere Krä fte und Momente

ve rallgeme inerte Kräfte

Impuls- und Drallsatz

Lagrange- Formalism us

Elimination der Schnittreaktio nen

Bewegu ngsgleichungen

Bild 12.5: Aufstellung der Bewegu ngsgleich ungen mit der Newt on- Eulet-Methode und de n Lagra nge-Gleich unge n 2 . Art

12.3 Kineti k von MKS

289

G ru nd bez iehu nge n für de n star re n Körper

12.3.1

Um sich im Weiteren m it Starrkörperkinetik beschäft igen zu können. müssen zunäc hst ein paar Beziehungen für einen e inze lnen starren Körper zusammengestellt werden. Dazu ist im Bild 12.6 ein beliebiger Körper geze igt. der sich um (K S){l bewegt.

Körper K m it de r Masse m

"' s

(KS)K = S

dm

Vp

Bild 12 .6: Besch reibungsgr ößen am starren Körper (Idea lfall: (KSh :. liegt im Körperschwerpunkt S)

Am Körper wirke n di e resultierenden äußeren Kräfte

,

( 12.27)

F = I dF und das res ultierende äußere Moment (0)

M =

f (o)f l'

x dF e

K

f (0) r . dF .

(12.28)

K

Mit diesen Kraftgrößen kön nen jetzt für die Starrkörperbewegung das Bewegu ngsgesetz sow ie der Impuls- und der Dreh- bzw. Drallsatz (im Inertialsystem) aufgeste llt werde n:

Bewegungsgesetz (Transfo rmation de r im Schwer pun kt vere inigten ga nzen Masse) m' (0) ;\

=

,f

(o) rp · dm

= F.

(12.29)

Imp ulssatz (Sc hll'elp lIllkr.w t=J

-dp =-dtd (m· rs.. ) ~ -dtd (m· vs. ) = F . dt

( 12.30)

290

12 Meh rkörpersysteme

Drehimpuls oder Drallsatz 0) in der 1. Formu lierung (dire kt über ( KS)o ) (12 .3 1) mit

x

( 0 ) \"1')'

dm =

f

( 0 ) "i'"1' ' ( 0 ) \11'

dm .

( 12.32)

K

Drallsatz in der 2. Formu li erung (über den Schwerp unkt) (ol L. = COlTS X (o) v s ' m

+

( 12.33)

(s ) Lrel. s ,

der Relati vdrall des Schwe rpunktes um e in belieb iges (KSk ist gegeben durch (S) L rd , s

= I (0) TSI' X (( 0)(1)

x

(O)rw) '

K

dm

=- I (0 ) r:<;p1' (0 ) t:s pd m "(o ) (l).

( 12.34)

K

Aus dem hergeleiteten Relativdr all"! kann we iter d ie Mat rix des Massentr äghei tsmomentes um ( KS)o abgele itet werden: {o ) e S

=- f (O) ~I' I .

f o)t:'il' dm .

( 12.35)

K

Die Massenmatrix ist in GI. ( 12.35) in Basiskoordin aten (auf das Inertialsystem bezogen) ausgedrückt und damit von der Orientierung des Körpers abhä ngig. Dies ist genere ll unzwec kmäß ig, weil die Massentr ägheitsmome nte für viele Körpergeom elrien schon besti mmt worde n sind. Das Massen trägheit smoment in körperei genen Koord inaten ergibt sic h damit zu

(12 .36)

" Anmerkun g In G I. (12.30 ) i~l der Tildeoperator eingeführt worden. dieser ersetzt das Kreuzproduk t ,,'eier Vektore n durch ein Matrizenprodukt. Allgemein gilt I1.ir das Kreuzprodu kt a x b die äquivalente Darstellung i . h , wenn

" 1Anmerkung: a x b = -b x a. d. h.. beim ve rtauschen der Vektoren lindert das Vektorprodukt scm Vo rzeic hen. Entwicklungssatz für Mc hrfachprodu kte: tax b ) x c= ( a· c )· h- ( b·e) · a

29 1

12.3 Kineti k von MKS

Die vo rstehe nden Beziehu ngen ge lten allge mein. Wenn j edoc h der Koo rdinatenursprung von ( KS) I( und der Schwe rpunkt zusammenfallen. vereinfac ht sich das Problem:

Drallsatz

(12.37) mit Ms

,f

(0)

t:w d F •

( 12.38)

kinetische Energie v E kill = -I

J(o) vp I ' (o) v p dm

2,

(12.39)

I

=-

2 Anle il der Rotation

Damit sind d ie wese ntliche n Grundbeziehunge n für starre Körper herge leitet worden ,

12.3.2

Newton- Euter- Met hode

Bei der Newton- Eulet-Methode ge hl man von den Freikörperbildern j edes einze lnen Körpers eine M KS aus. Im umseitigen Bild 12.7 ist ein derartiges Fre ikörperbild für einen Hebel aus einem Ge lenkmec hanismus gezeigt. Die Wechselw irkung mit dem Nachb arkörper wi rd durch d ie Sch nittgrößen Fi _ l • i. M i_I. i bzw . Fi. i+l ' M i. i+1 (Inde x bedeutet: vo m Körper i - I auf den Körper i bzw. entsprec hend) angegeb en .

'I A nmerkung: Die Formuhcnrng von GI. (12 .39) bedarf einiger Zwischcnscbriuc. die der Vollst ändigkeit halber hier augegeben seien:

=

I.

(o ) r p

2,

( Oj r p =(Ol rS +(Ol r SP

(Oj rS + (Oj rSP

bzw. 10 ) " P

oder ( 0 ) v I'

= I

(0 1

"s +

(<>I

ist auch

r.w

(o l "P

=

(o ) " S + ( o )rSp " I<»

I • (o . w l! (01 v s

I

, v I' = (o) v S ' (O ) ' i S

+

+ ( lOK) H. .

eo

(K) rp )1 . (o )l'l

I _ I _ (0 )(1) . (0 )'\ 1' ' (0 ) '\1"

(o )l!J

12 Meh rkörpersysteme

292

- F·1,I· t I

Bi ld 12.7: Nomenklatur am Fre ikörperbild des Körpe rs i

Aus dem G leichgewicht am Körp er gi lt demzufolge an den Schnittufern : Fi _ l. i ist d ie Kraftw irkung des Körpers i - I auf den Körper i. Analoges g ilt für M i_ I. i ' - Fi.i+l ist insofern die Reak tio nskraft des Körpers i auf den Körpe r i + I. Ana loges g ilt

Hir -M j . i + l · Die Bewegungsg leich unge n kön nen jetzt sch rittwe ise durch d ie Anwen dung des Impuls- und Drallsatzes sowie de r inversen Dynamik a ufgeste llt werden. Verallgeme inert ergibt sich beispielsweise für den dargestellten Körper i:

Impulssatz ( 12.40)

Drallsatz ( 12.4 1) mi t ( 12.42)

Bei der Erstel lung der Gleichungen ist es zweckmäßig, d ie kinematischen Größe n auf die kör perfesten Koordinatensysteme zu beziehen, we lche man am günst igsten in die Gelenkac hse n legt. Für die Kinetik ist es hingegen zweckmäßiger, de n Massenschwerpu nkt zu benutzen . Damit ist eine weitere Transfor mation verbunden. d ie vorstehend in die Ortsvekto ren (0) ~ - 1 , Si und l o) ~. Si mit eingeschlosse n ist. Wenn ma n a us den vorstehenden Beziehu ngen des Kapitels 12.2 die Geschw ind igk eiten (0) '''Si und die Winkelg esch windigke iten (o)(t.)i als bekann t angenommen werden . können

12.4 Lagrange' sche Methode

293

aus e inem rekursiven A lgor ithmus alle Kräfte und Momente bestimmt werden. wenn die Antriebsgrößen bek annt sind, Es gilt dann ( 12.43) Mi _I. i = M i. i +l -

( 0 ) '1. Si' Fi • i +l -

(o) 'ij - l . Si' Fi _ l • i

+ ( o )(-)S i" (o j (;) i + (oil W' (O)HSi ' (o jWi '

(1 2.44)

Dieses Iterationsverfahren lässt sich sehr gut al s Rech neratgonthr n us aufbauen .

12.4 Lagran ge'sche Methode Die wohl ver bre itetste Methode. d ie Bewegu ngsgleichungen e ines MKS aufz uste llen, besteht in de r Anwendu ng der Lagrangesehen Gleichung 2. Art:

~ (OE ) _ dt

0"

o
=Q.

(12 .45)

In d ieser G leichu ng bezeichnet E :; E kill d ie kinetische Energie des Sys tems. q ge nera lisierte Koordi naten und ( 12.46) der Vektor de r vera llgeme inerten Krä fte. Eine andere Darstellung von G I. (12 .45) erg ibt sich, wenn konser vative Krä fte Q k (einge-

prägte Kräfte' ) aus e inem konstanten Potenzia l. z. B. E IXl'> auftreten. Die vera llgemeinerte Kraft ist dann aufz uspalten (konservative + nich t konser vative Kräfte) in ( 12.47) Wenn dies berücksichtigt wird. kann die Lagr angesehe Glei chung auch folgendermaße n angegeben werden: ( 12.48) Für e in MK-System. we lches aus mehreren Körpern besteh t. müssen die Energ ieausdrücke über ei ne Summ ation bestimmt werde n. Die kinetische Energie eines Kör pers ist in G I. ( 12.39) schon de finiert worde n; über a lle Körper finden w ir som it · 1A nmerkung: Die Arbdl oder En ~rg i~ ist immer dann einfach 111 formulieren . wenn kon servative },räfte vor· liegen . Eine Krall bezeichnet man als konse rvativ . wenn sie aus einem Potenzial herrührt lind selbst nicht «cgabhängtg ist.

294

12 Mehrkörper systeme

E kin =

N

L E kin j

i=1

( 12.49) Um zu einer allgemein gültigen Bewegungsgleich ung zu kommen. müssen wir die vorste hende Gleichung we iter spez ifizie ren. Dies ist dur ch d ie Verknü pfung der realen Syste mgröße n mit den vera llgeme inerten Größen über d ie Jocobi-Matrix (5. hierzu auch Kapit el 7.2.3) mög lich. Es so ll daher gelten: (12 .50) Dam it lässt sich d ie Energi e eines Einzelkörper s angeben zu (12.5 1) wor injetzt die Elementm asse nmat rix die folgende Form anni mmt: ( 12.52) Für ein Gesamtsystem ist eine gee ignete Überlagerung vorzuneh men. sodass form al für die zusammenge fasste kinetische Energie angegeben werden so ll:

I q. I ' j"1 =' .q . 2

(12.53)

Für die Kräfte im System besteht noch nac h G I. ( 12.47) der Zusammen ha ng

( 12.54) Dami t lässt sich unter Anwendung de r Lagran ge ' schcn G I. ( 12.48) d ie folgende Bewegungs. gle icheng aufstel len:

(12.55) Die Massenma trix nt j ist hierb ei für ein Einze lglied eines Mechanismu s und 1\1 als Gesamtmassenm atrix (Ü ber lage rung aller Einzel masse) auf ein g lobales Mechan ismenk oordin atensystem zu verstehen. Entsp rechend sind in q alle Freiheitsgrad e und we iter im Lastvektor Q n a lle am Mechani smus ..angre ifenden Kräfte" zusamme ngefasst worden. Sinnvo ll lässt sic h die vorstehende Gleichu ng ( 12.54) nur numer isch lösen. Als Weiterentwicklung der vorstehende n Theori e gilt he ute die EMK S, wobei j etzt a lle G lieder als elastisch angenommen werden und somit der d irekte Übergan g zur FEM geschaffe n wurde .

12.5 Mechanismenstruktu ren

295

12.5 l\l cchanismcnstrukturcn D ie me isten Mechan ismen in der Prax is ge hen auf Ge lenkgetriebe zurück. Das Merkm al di eser Getriebe ist die Per iod izität , d. h.. alle Kräfte, Wege, Ge sch w ind igkeiten und Beschleunigungen ände rn sich peri odisch. Bei aktiven Mecha nismen werden vorgesch riebene Bewegu ngen ver langt. Dies setzt

.Zwanglauf voraus. Dieser ist gege ben, wenn die ..Grübfcr' sche Zwang laulbedingung" erfüllt ist: F = 3 (N - I) - 2G ,

N '" Anzah l der Körper bzw. Getriebeglieder (e insch ließlic h Gestell) G '" Anzahl der Gelenke

Der Wert F gibt so mit die Anzahl der erforderlichen Antriebe an.

Bild 12.8: Schmiede manipulato r als Dopp elschwin ge m it ausgebi ldeter Koppel stange als Streckarm

Im Bild 12.8 ist ein Sc hm iedemani pulator w iedergegeben. Er erfüllt d ie Aufgabe, Baute ile beim Warmschmieden zu handeln. Get riebetec hnisch liegt eine Doppe lsch winge mit Koppelstan ge und unabh ängige n Antrieben sow ie Baumstruktur vor.

296

12 Mehrkörpersysteme

Die Bewegun gsmöglic hke iten bestehen im rotatorisehen Schwenken und versc hiedenen Gre ifbeweg ungen. woflir lineare Antriebe (Hydrau likzy linder) und Dreh antriebe benöt igt werden. Für die MKS .Analyse wurde eine gee ignete Soft ware eingesetzt. die ein transparentes Bild von de r Starrkörperbewegung und der e1astomechan ischen Beanspruchung vermittelt. Da ein großer Informationsanfall übe r alle Bewegungssequenzen. Gel enk e und Glie der vorliegt. ze igt Bild 12.9 nur einen kleinen Ergebnisauszug in einer komprimierte n Darstellung.

Antrieb s- und Gelenk kräfte

Geschwindigke iten Beschleun igung en

We g (m m )

300+ 250 200 150 100 50

-

-

-

-

-

-

Weg des Greifarms

.",...-

Weg des

1'-- - Kop pelpunktes

Zeit ) -50o-t'1[i'07;:t;~~~~~\;""- (sek. - 10 - 15 -20 Weg des Antriebzylinders -25 -30

Bild 12.9 : Kinematische Analyse des Manipu lators (n ur ausgezeichnete Gel enke ausgewertet)

Zu m Leistungsumfa ng des Programms gehö ren die Ermitt lung aller Wege, Gesch w ind igkeiten. Beschleunigungen und Kräfte an de n Ge lenken. Je Bewegungssequenz kann weite re eine elas to mechanische Analyse du rchgeführt werden.

297

13 Bauteiloptimierung Die Ind ustrie verfolgt he ute intens iv die Realis ierung d urchgä ngiger CAE - Ketten und ist immer mehr daran inte ressiert. auc h O ptimier ungsm odul e (o ptl S LAN G. TOSCA. CA OSS ete .) in FE-Programmen ve rfügbar z u haben . Viele Bemühungen in dieser Richt ung s ind in de r Ve rga nge nhe it da ran gescheite rt. dass die mit einer Optimie run g von FE- Modell en ve rbundene g roße Rec hen- und Speicherkapaz ität nicht kosteng ünstig ver fügba r wa r. Dies hat sich in den letzten Jahren dramati sch geändert. denn modeme Worksta t ions und pe s überschre iten mitt le rwei le das Leistungsniveau ält erer Großrech ner . Eine z ielge richte te Baute il-

opt imierung ist damit praktizierbar geworden.

13.1 Formulierun g einer O ptimierungsaufgabe Die Gewichts - und Span nungs minim ierung an Bauteilen kann als ein G rund prob lem der Mec han ik beg riffen werde n, wes hal b es in der Ve rgangenh eit sch o n e ine Vielzahl vo n Arbeiten gegeben hat, d ie s ich pro blemk onfor m mit de r Op tim ierun g vo n FE M- Modelten au se inandergesetzt haben . Der Schwerpunkt dieser Arbe iten lag in der Übertragung vo n math em atischen Pa ramelerop limienm}!..l'nlelllOde n. so ge nann ten Gr adienten- ode r Suchver fahren. auf diesen Problemkreis. Zu diesem Zweck mu ss eine Pro blem stellung als Zielfunktion mit Ne ben bed ingu ngen formulier t we rde n. Ste llt man sich beis pie lswe ise die Aufgabe. ein Bautei l minimalen Eigengew ic hts z u finde n, so muss d ie Gewichtsfun kt ion des Ba uteils in Ab hä ng igk eit von den entsprec he nde n Ma ßpa rametern aufgestellt werden. A llgc me in ist also ei n Proble m i FO X 701 ( 13.1) mat hema tisch z u löse n. In der Technik wird es aber so se in, dass die Pa ram eter x i nicht belieb ig gegen null streben können . sondern das d urc h Nebenbedingungen bes timmte Param ete rg ren zen gegebe n sei n werden. Al s Gren zbed ingun ge n wi rd ma n de mnac h finden : geo metr ische Ne be nbe dingungen w ie

>

Xi grcn/ -X i
( 13.2 )

Spannungsnebenbedingungen w ie

( 13.3) und Ver fo rmungsbedi ngungen wie ( 13.4)

298

13 Bauteilo ptimierung

Im einfachsten Fall (Lagrange-Verfahre n) können Zie lfunktionen und Nebenbedingungen zu der resultierenden O ptimierungsfunktion /WEC 89/ m-t

n- t

0

i= l

i=m

i= n

Z = G(x) + L Aj (Xigrcnz - Xj)+ Lfcj (crj{X) - O"ma:.. ) + L Aj (Uj(X) - umaJ ~ MIN! ( 13.5) zusamme ngefa sst werden. A ls Extremwert ist sodann zu erfülle n: I . Z( x) 2. Z '( x)

erst ab nehmend. dann steigend erst negat iv, dann posit iv

und 3. Z~ ( x »

O

a lso positi v

Je nach angesetzte r Optimierungsstrategie findet sich dan n da s Minimum durch wieder holte s Able iten der Zielfunktion und vo ranschreiten in der Gradientenrichtung (z . B. Hoc keJeeves-Verfahren) oder durch Aufspannen eines unregelmäßige n S implex im Suc hraum und Bewert ung der Eckp unkte (z . B. Box-Verfahren). Dies sind alles sehr rechne rintensive Vorgän ge. da bei j edem Opt imie rungs schritt die Geo metrie verschoben und som it wieder die gesamte finite Sys temgleichung ge löst werde n muss. Es zeig t sich som it in der Praxis. da ss e ine Parameteropt imierung nur bei weni gen Parametern (xi : 5 s: i < 8) sinnvo ll und wirtschaft lich vertretbar ist. Ein we iterer Nach teil besieht oft noch da rin. dass im Regelfall der Optim ierung sprozess eine Netzanpassung erforderlich machen wi rd. welc hes wieder adaptive Algo rithmen für d ie Netzentzerrung bedar f. Im Zusa mmenhan g mit CA CE erlebt derzeit d ie Parameteroptim ieru ng eine zwe ite Blütezeit.

13.2 Para meteroptimierung Einige FE-Systeme bieten neuerdings integr ierte Optim ierer an . denen meist j edoc h nur einfache Variationsstrategjen zu G runde liegen . Nach teili g ist, dass selbst bei nur weni gen Parametern viel Rech enzeit be nötigt wird und man bei den ausgew iesene n Ve rbes serungen nicht sicher ist. ob da s tatsäch liche Minimum erre icht worden ist. Der Ansatzpunkt der Opt im ieru ngsstrategie ist dabe i da s parametrisierte Datenm odell des Pre-Prozessors Iß A I 78/, welches d ie Bauteilgen erieeung mit assoziat iver Geometrieverknüpfung ermöglicht. Die Vergehenswe ise ist in etwa d ie, dass an dem 3· D-Geometrie modell des Bauteils Parameier interaktiv als variabe l oder unabhängig dek lariert werden könne n. Über e in Tableau lassen sich da nn wei ter zwe i O ptim ierungsz iele vorgeben. und zwa r - Mi nimierung der größten Span nungsdifferenz oder - M inimierun g der Masse .

\3 .2 Parameteroptim ierung

29 9

Manchma l ist es auch möglich. diese beide n Ziele mult ikrite riell zu verk nüpfen. d. h.. es soll eine ausgewogene Problemlösung erzeugt werde n. Die

von

den

Programmsystemen

gen utzte

Strategie

ist

meist

die

so

genan nte

eindimensionale Suche, d. h.. eine Z ielfunkt ion w ird zunächs t mit e inem Startvektor

Xo

belegt und dafür d ie zu opt imie renden Verhältn isse berechnet. Danach wird ei n Parameter der Ziel funktion Z(X I' . . .• Xj ' . .. • x n) ~ MINIM UM!

( 13.6)

variiert. und zwar wechselseit ig nach oben bzw . unten mit der Sch rittweite p zu

( 13.7) und festgestel lt, wie sich die Z ielfunktion ändert . Bei Erfo lg w ird weiter in d ie als richt ig erkannte Rich tung getastet. Ist nach einige n Schr illen keine Verbesserung mehr mög lich , wird der näc hste Parameter vari iert. bis eine Abbruchsc hranke für die absolute Änderung der Z ielfunktion unterschritten wird . Durch diese Tec hn ik ka nn also nur in einem begrenzten Ge biet ein lokales Minimum gefunden werden . welches für praktisc he Vorgaben jedoch meist ausreic hend ist.

a)

b)

"

.. "..... " o o

'0

",

Bild 13. 1: Ausgangsverhältnisse bei der W inke lstütze a) Grundentwurf b) Spannungsverteilung

Als Beispie l für eine einfache Spa nnungsopt imie rung sei die im Bi ld 13. \ gezeigte Wink elstütze gewählt. die in Hochregallagern zu r Abstützung von Fachböd en dient. Verlang t ist dabei in der am höchsten beanspruchten Region die Unrcrschreltung eines Spannungsre ferenzwertes. Variabel so ll bei diesem Bauteil die innere Form sein. die so anzupassen ist bis die Fließgrenze von AIMg \ mi t R pO.2 = 95 N/mm 2 unterschritten ist.

300

13 Bauteiloptimierung

Der Startvektor für die Ausgangskontur wurde mit 10I

= [65"',

10. 90"1

gewä hlt. Hierdurch wird in der Kehle die zu lässige Span nung weit überschritten. bzw. d ie Verfo rmungen sind auc h zu hoch. Nac h zwö lf Variationen we ist das Programm den im Bild 13.2 dargestel lten Konturverlauf mit dem Lösungsvektor I OPI'

= 152". 32. 101"]

aus. Der Spannungsabbau auf Cl m 3 \ = 90,7 N/mm 2 ist durc h Matcrialaul'trag eingetreten. weshalb die Stütze um 20 % schwerer w ird.

.....-,"""" ......., o

•

• ....-<11

Bild 13.2: Optimierte winkelst ütze

13.3 Bionische Stra tegie Kom plexere mathe matische Optimierungsverfahren haben sich bisher in der Praxis nur schwer durchsetzen könne n, da der Anwende r zu viel Hintergrundwissen haben muss. um d ie Verfah ren stabi l anwenden zu können . Eine gute Chance akzeptiert zu werden ze ichnet sich hingegen bei dem CAO-Verfah ren (Co mputer Aided Optim ization IM AT 89/) ab. das d ie Strategie des biologischen Wachstums verwendet. Dies geht zurück auf die Erkenntnis. dass die Natur bei der Aus legung von Bäumen. Knochen. Skeletten und Ähnl iches ein ganz bestimmtes Designziel verfolgt. welches als Axiom der konstanten Oberfl üchenspannung charakterisiert we rden kann. Umgesetzt heißt dies. dass auf technische Bauteile d ieses biolog isehe Formgebungsprin zip ISAU 9 11 übertrage n we rden muss und dafü r eine Strateg ie erforderlich ist. In ei ner Vielzahl von praktischen Anwendungsfällen hat sich die Simulation des Baumwachstums als sehr erfo lgreich erw iesen. Aus der Schnittllächenana lyse von Stämmen hat

13.3 Bioni sche Strategie

30 1

man herau sgefunden. dass e in Stamm aus einem unv eränder liche n Kern und einer sich anpassenden Randzone (Kambium) besteht. Über die Randzone w ird das Wac hstum adapt iv ges teuert, und zwar in dem an überlasteten Bere iche n ein Mater ialauftra g und an unterbelasteten Bereichen ein Materialabtrag vorgenommen wird. Dieses Wachstum spr inzip muss j etzt durch e inen rechnerunterstützten Algor ithmus nachgebildet werden, der d ie Kon tura npassung initiiert. Bei der Programmrealisierung KONTO PTOj w ird das Baumwachsturn durch eine analoge Temperaturdehnung....varotegic nachgebil det . Nor malerwe ise ist dafür keine explizit formulierte Z ielfunkt ion nöt ig. weil sich Wachstum gez ielt durch Wärm ede hnu ng nachbil den lässt. Diese e infac he Aussage bedarf aber de nnoch eines kom plizierten Ab laufs. der jedoch leicht zu durc hschauen ist. Die wese ntlichen Schritte des CA O-Prinzips können w ie folgt zusammenge fasst werden: Ausga ngssituation ist stets ein mehr oder wen ige r gü nstiger Grunde ntw urf eines Bauteils. der ge wö hnlich aus Erfahrung entste ht. Das Netz so llte dab ei so gelegt wer den. dass etwa zwei b is dre i dünne Elementre ihen äquidistant zur äußeren Bauteilberandung ver laufen. Diese Elemente repräsentieren im We itere n das Kamb ium . Mit dem so au fbereiteten Modell wird dan n e ine erste FE-Analyse dur chgeführt und die Verg le ichsspannungen nach v. Mises berechn et. Damit sind alle Zonen hoher und niedriger Beanspruchung bekannt. Nunmehr w ird bezüglich einer als zuläss ig angesehenen Referenzspa nnung e ine Spannungsdi ffer enz über das Bautei l ge bilde t und diese proportional einem Temperaturfe ld gesetzt. Unabh ängig davon, dass dies gegen physikal ische Regeln verstößt. ist d ies ein pragmat ischer Ansatz. Dieses Temperat urfeld wird dann du rch Multiplikation m it dem Wärmea usdehnungskoeffiz iente n in eine Vergleichsde hnung umgewandelt. und zwa r so. dass sich nur d ie Randsc hicht ausdehnt. Dies bedingt. dass der Wärmeausdehn uugskoefflzient des Kerns zu null und der E-Modul des Randes E R3nd "" E Kcm/400 N/mm 2 herabgesetzt wird. Durch die somit gummiweiche Oberllächenschicht kan n sich die Kontur anpassen. ohne dass Zwangss pannunge n im Kern hervorgerufen werden. Dam it im Weiteren ei ne verträ gliche Netzände rung eintritt. muss der Dehnungszustand skaliert werde n. womi t ei n gleichmäß iges Wachstum her vorgerufen werde n ka nn. Dieser Vorga ng wird durch eine erste Iteration ausge löst. in dem der bestimmte Dehnungszustand als vorgesc hriebene Dehnungen des Prob lems behandelt w ird und hierm it eine neue FE-A nalyse erfolg t. Konsequenz ist, dass das Netz zufolge hoher Dehnungen auswächs t und zufo lge niedriger Deh nungen wegschr umpft. Im A llgeme inen bedar f eine Konturanpassung mehreren Iterat ionen. um alle Span nungsspitzen abzubauen.

'1

Anmerkung: KO NTOPT (Komur-Optuuicnmgj ist cmc Ergcucmwickluug des Fachgebietes L cichtbau-K on-

struktion an der Universitä t Kassel,

302

13 Bauteilo ptimie rung

Von Vortei l ist dabei. dass Sperrzollen (Fenster übe r Knotenpunkte) für Konturänderungen eingekreist we rden kön nen. Dies verh indert beispielsweise, dass sich Ansc hraubflächen verwerfen oder Ac hsabstände ändern . Die Umsetzung dieser Schritte in einen Algo rithmus ze igt das folge nde Flussdiagramm von Bild 13.3.

Ausgan gsgeomet rie

Fg-M odel l der Ausgan gsstrtlktur

FE-Analyse/lin.-e1ast. Statik - Verschiebun gen - Spannungen

I"

,

,!} Optimale Lösu ng erre icht?

konturoptim iert es Ba uteil

j'

0\

i

""(Jrcf

,!}

nein

Optim ierun gsstrategie - Temperat urdehnungsana log ie i "'T i =Ov - On:f

- FE-Analyse Temperaturausdehnun g

Ur = K

- \

. Fr

,!} variierte Bauteil kontur - A ufska lieru ng der Temperatur-

dehnungen

- Ne tze ntzerrung

Bild 13.3: Flussdiagramm der Te mperaturdeh nungsstrateg ie ( nach /FRE 95/)

I ;I

303

13.4 Sele ktive Kräftep fadoptimierung

Ein recht breites Anwendungsfe ld findet die biotechnische O ptimier ung mittlerweile in der Glättung von Kerbspannungen bei 2-0 - und 3-D-Bauteilgeometriell. Dies belegt im Weiteren auch das folgende Beispiel. be i dem es um die Lebensdauererhöhung eines wechselbeans pruchten Bauteils ging. Die Ausgangssitua tion erwies sich wegen der hohen Kerbspannung in e inem Übergangsbere ich und der dadurch abge minderten Lebensdauer als insgesamt sehr unbefriedigend. Aufgabe war es desha lb. durch nur kleine Änderungen d ie Oberllächenspa nnung abzusenken und somit auch d ie Lebensdauer zu erhöhen. Durch Anwendung der Temperaturdehnungsstrateg ie (und zwa r nach 30 Iterationen) war es tatsäc hlich möglich. mittels Konturanpassung das Spannungsniveau um 3 1 % abzusenken. we lches auch aus Bild 13.4 abgeleitet werden kann. b)

a)

c)

ursprüngliche Kerbkontu\'Y 7 _ _J

t-:optmuert .. e l Kerbkontur I

Bild 13.4: Optimieru ng ein es Ker bbereichs (nach IFRE 95f) a) Kont urvergleich b) Spannungs höhe in der Ausgangskontur c) Spannungshöhe in der optimierten Ko ntur

Diese Absenkung der Spannung geht dabei e inher mit einer Verlängerung der Lebensdauer des Bauteils. die sich im vorliegenden Fall mil 40 % einstellte .

13A Selektive Kräftepfado ptimieru ng Ein Sonder problem des Le ichtbaus besteht weiter darin, dass vielfach nicht einfach Konturen verschoben werden können. da dies meist mit einer Gewichtszunahme verbund en ist. wie die vorausg ega ngene Winkelstütze belegt. Viel wirksamer lassen sich oft Spannungen und Verformungen durch gez ielte Einbringung von Sicken oder Rippen

30 4

13 Bauteilo ptimierung

beein fl ussen. wodurch das Gewicht nicht unbed ingt zune hme n muss. Die Problemat ik besteht somit darin, die Zonen für wirksame Verste ifungen zu lokalisieren und dann dere n Fo rm im genau notwen digen Umfang ausz ubilde n, Diese praktisch interessierende Frages tel lung kann m ittels des Prinzips der selektiven

rfad-

opttmterung ge löst werde n. we lches eine Spezialisierung des Temperaturdehnungsprinzips

darstellt . FUr die Pfadoptimie rung besteh t d ie Voraussetzung, dass zu eine m Belastungsfa ll die Hauptspa nnungcn (J ] . 0" 2. 0" 3 bekannt sind bzw . mitte ls einer FE-Ana lyse ermittelt wer den kön nen. Gewöhnlich lassen die FE-Post-Prozessor en eine Darstellung der Haupts pannungstrej ektori cn zu. welche eine Richtungsinform ati on über d ie größte Bean spruchun g ge-

bell, Bei vielen Bauteilen w ird dieses Beanspruch ungsmaximum auf der Ober fl äche liege n. sodass da mit auc h die Ausprägungsrichtung für d ie Versteifungse1cmente bekan nt ist. Der Op timie rungsalgorithmus funkt ionie rt nun im Wese ntlic he n so, dass in einer ausgewäh lten Beanspruchungsse ktio n ein oder meh rere Kno ten in der Nähe der cj -Trejekrorie au sgewählt werden kö nnen und do rt loka les Wac hst um initiiert we rden kann. Nac h einer entsprechenden Anzahl von Iterat ionen bi ldet sic h dann in Abhängigkeit vo n de r Baute ildimen sion entweder eine Rippe ode r eine Sicke aus. Der Untersc hied zw isc hen diesen verstelfungse leme nten besteht im Wese nt lichen da rin, dass Ripp en auf massive Bauteile aufgesetzt und Sicke n in dünnen Blech en e ingeprägt werden . Die Erzeug ung von Sicke n ist daher mit der lok alen Symmetrie verbunde n. A ls O ptim ierungskr iter ium ist de mzu folge wieder das Min imienmgskrlte rtum für die Spannungsdifferenz "0

z = i~/CS Vi - csTer? ~ MINI MUM! heranzu ziehen. und zwar in dem ei ngesch ränkte n Var iationsgebiet der Pi(i = 1. "' , n o) ' die im Wesentlichen d ie Hauptspannungstraj ektorien bilde n.

( 13.8)

Knote n

Ein anschauliches Beispiel fllr diese vergehensweise so ll ein Scharn ier an einer Fahr we rksklappe eines Verkehrsfl ugze uges se in. Dieses Scharn ier ist hoch be lastet , d. h., es muss große Kräfte übert ragen kön nen und darf andere rseits aber nic ht zu schwer sein. Als ko nstrukt ive Alternative bietet sic h de mzu fo lge eine verrippte oder versickte Lösung an. [01 Bild 13.5 ist zunäc hst ein Scha rnierteil gezeigt. in dem die Spannungsspitze du rch das Aufsetzen von Rippen entsc här ft worden ist. Der Algorit hmus bietet hierbei die Mög lich keit, eine ode r mehrere Span nungspfade zu identi fizieren und d iese zu Rippen auswachsen zu lassen. und zwa r so lange, bis in dem Variationsgebiet die auftretende Spannung unter ha lb der Referenzs pannu ng liegt . Letzt lich werden verrippte Bauteile imme r nur in einer Urform tech no log ie herstel lbar se in.

13.4 Sele ktive Kräftep fadoptimierung

305

Bild 13.5: Massives Scharniertei l mit initiiertem Rippenwac hstum (nach IFRE 95/) 'I) Grundentwurf b) Spannungsverteilung im Grundentw urf c) lokal optimiertes Te il

Methodisch aufwändige r ist hingege n das Einbringen von Sicken, da hiermit die Einhaltung der Volumenkonstan z des Bautei ls verbunden ist. Materialauftrag auf der Oberfläche bed ingt gleichsam einen Mater ialabtrag auf der Unterse ite be i Einhaltung der Äquidistanz der Flächen. Dass auch d ies algor ithmisch zu beherrschen ist. ze igt das Blechteil im Bild 13.6, in dem jetzt zwei Sicken eingeprägt worden sind, welches ebenfa lls zu einer Spannungsabse nkung führt.

Bild 13.6: Leichtes Scharnierteil mit initiiertem Sickenwachstum (nach IFRE 951) a) Ansicht von oben b) Ansicht von unten

Probleme mit der Vorgabe Volumen- oder Materialkonstanz werden heute mit dem Fachtermini Topologieoptimierung bezeich net. Das Merkmal hierbei ist. e ine konstante Materialmenge so umzusch ichten, dass alle Restriktionen eingehalten werden.

306

14 Grundregeln der FEM-Anwendung Im Nac hgang zu den bishe rigen theo retischen Darlegungen zur FE-Methode sollen abschließend einige Gr undp rinzipien der Anwendung dis kutiert werden. de ren Nichtbeachtung entweder zu Fehlern ode r unnötigem Nachbesserungsa ufwa nd führt. Da in der Praxis die Anwendungsgesichtspu nkte und damit Probleme naturgemäß se hr vielschichtig sind, könne n d ie fo lgenden Ausführ ungen nur als Erfahru ngsque rsch nitt IKLE 94 b/ vers tanden werden.

l .t)

Fehlerquellen

Die FE-Met hode ist als inge nieur mäßiges Werkzeug natürlich auc h fehlerbehattet. ode r überall dort. wo Menschen einen Ablauf steuern. können sich Fehler einstellen. Mit dem Bewusstwerden dieser Unwägbarkeit muss auc h die Sensibi lität gegenüber möglichen Feh lerquellen wac hsen. lm Bild 14. 1 ist e ine Übers icht (s. auch IOEG 02/) gegeben. die die Hauptursac he n zusam menfasst. In der Verant wortung des Berechnungs ingen ieurs fällt somi t. die erforderlichen Sc hritte m it de r ange messe nen Sorgfalt du rchzuführen.

Anwendcr PreProcessing

Lösungsverfahren PostProcessing

·· · · ·· · ·

falsche Ideal isieru ng schlechte Elemente ver letzte Kompatibilität unge naue Mater ialdaten falsche Randbedingungen schlechtes Lösungsverfahren zu grobes Kon vergen zkr iteri um falsche Se lektion

Programm-H andhabung

Vernetzung · schlechte schlechte Elementformulierung ·• kein Elemen teheck Gleichungslöser · zuungeungcnaucr naue Rückrechn ung · Warnu ngen ignorieren · Mittelu ng · falsche falsche Darstellung ·

Bild 14. 1: Fehlerquellen bei FE-Analyse (siehe auch Checkl iste auf S. 375)

Trotz der Kumulierung von Fehlern IHAR 851 ist die FEM mit ca. 7-10 % Abweichung vom realen Verhalten (wen n die exa kte Lösung bekannt ist) eines de r genausten Berechnungsverfahren. Ihre Stärke liegt in der flexiblen Anpassbarkelt an reale Gegebenheiten und der Var iabilität bezüglich Ände rungen . Wird FEM gez ielt in Produk tentwicklungsprozesse eingesetzt. so fordern d ie üblic hen Qualitätsstandards (ISO 9001 . Q S-9000, VOA 6.1, bzw . iso/rs 16949) eine Validierung (gült ig erk lären) und Vcrifizie rung (prüfen auf Richtigkeit) dieser Dienst leistung. Dies setzt vora us. dass mit analy tischen Abschätzungen d ie Richtigkeit eine r FEM nachgew iesen werden kann.

14.2 Elementierun g und Ve me tz ung

307

14.2 Elcm cnticrun g und Vcr nctzung Zum Problemkreis de r Elementierung so ll hier die problem spezifische Auswahl der Elemenflypen aus einer Programm bibliothek. die vemetzungsregetn und die Gr uppenb ildungstechn ik gezählt werde n. d ie nachfolgen d ku rz dis kut iert werden so llen. Au f die ers te Hürde bei der Au fbereitung eines FEM- Modells stößt man bei der Wahl der Elem enttyp en. mit dene n eine Struk tur ode r ein Bautei l nachzu bilden ist. Innerhalb der Theorie unterscheidet ma n sie ben Gr undelem ente, d ie in der Regel auc h in FE- Programmen ve rfügbar sind. Aufg abe des Anw end crs ist es dan n. hier aus auszuwählen und gegebenenfa lls versc hiedene Elem ente zu komb inieren . Damit sind im Wesentlichen zwei Fehlerquellen ve rbunden: -

Durch die Elementierung wird der tatsächli ch vor liegende Verformungs- und S pann ungszus tand nich t ric ht ig w iede rgegeben. ode r Bei einer von der Bauteilgeometr ie bzw . dem Tragverhalten erzwu nge nen Kombination vo n Elem ent en wird gegen de n Grundsa tz der Verträglichkeit bei de n mechan ischen Knotenfreiheitsgraden vers toßen. Diese Bedi ngungen so llen nun einm a l exemp larisch diskut iert werde n. Für d ie praktische Anw endung gi bt es im Prin zip e ine einfache Rege l. die fo lgendermaßen zu ha ndha ben ist: • Stahlba ustrukturen ode r We llensy steme so llte n mi t stabartigen Eleme nten (Stab. Balken). • dü nnw and ige Ba uteile so llten durch ebene Elemente (Sch eibe. Platte, Scha le)

""d

• dickw and ige Bauteile du rch volumetrische Elemente ( volum lna. Kreis ring- Elemente) nachgebilde t werde n. D ie marktverbre iteten komme rziellen FEM· Systeme b iete n alle eine re lativ große Aus wa hl an Eleme nten unter sch iedl ichster Knoten anzah l und Ge ometr ie an . sodass d ie Realität fast immer rec ht gut abge bildet werd en kan n. Im Bild 14 .2 ist noc h einma l e ine überblickartige Zusammens te llung über d ie wichtigsten Grundele men te gegeben. Anget ragen sind jewei ls die Knotenverschie bungen und d ie zugehörigen Knotenkr äfte info lge der äu ße ren Belastung . Am STA B- und SC IIA LEN-Element sind jewei ls durch Strichie rung noch die beid en fiktiven Freihe itsg rade mark iert. Besonders zu beachten ist. ob be i Element en .Schubwe lchhelr' eine Roll e spie lt. Be i kurzen Ba lken müssen dann Timoshenko-Eleruente und bei dic ke n Scha len Re lssner-MindlinElemente herangezogen werd en.

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

308

Balken

.> 0, ,

Scheibe

NJ2

'1 i---

!

- - - - ----. -

"I.!::::::.::----",

-

N31

UI

z y ~ --

"'''

Iw, j"" ,

Platte

-----

Schale

r-\3

Vo lumina N

A ~"

421'/

I

P,

----!x

-------1'':;

Kreisring

'3

,

r

Bild 14.2: Katalog der Grundelemente

14.2 Elementierung und Veme tz ung

309

Im Prinzip sind zwischen allen Elementen Verknüpfunge n über die Fre iheitsgrade herstellbar. Die natürlichen Kom binationen sind jedoc h

Stab - mit Balken -Element. Stab - mit Scheiben-Element. Balken- mit Plauen-Element. Balken - mit Schalen- Element

""d

- Stab- oder Balken- mit

V()llImen~ E l e m e nt .

I

F

Balken

?-------?o===

-,

Ge lenk

IK - singulär I Balken

!

F

Balken ! F

Alle andere n Sonderverk nüpfungen können unter Zuhilfenahme eines starren Koppl ungselements (Co nstrai nt- Element) erzw ungen werden. In den meisten FE-Programmen ist dieses Koppl ungselement als versteiftes Balken-Element mit sechs translatorischen Freihe itsgra den abge bildet. Diesbezüglich überträgt das versta rrte Element nur Starr körperbewegunge n von einem Knoten zu einem anderen.

Im Bild 14.3 sind verschiede ne Möglichkeiten einer elastischen oder starren Kopplung angedeutet. Der erste Fall führt die An bindung zu dem Problem. dass ein Ge lenk ausgeb ildet wird. Info lgedessen würde die Gesamtsteifigke itsmatrix singulär. Dieses Problem kann mit den andere n Anbindungstechnik en umgange n werden.

Bild 14 .3: Knoten kopp lung zwischen SC HEIBE lind BA LKEN mittel s Ccnsrraint-Prinzip

Bei jedem Kopplungselement können die Anzahl und d ie An der we iterz uleitenden Freiheitsgrade individuell ges teuert werden. Ein typischer Anwendu ngsfall für eine derart ige Prob lematik ist im fo lgenden Bild 14.4 aufgegriffen worden. Hierbei geht es darum. die Spannungskonzentrat ion im Einspannbereich eines Blechs näher zu betrachten. Von der Elementierung her hat man dab ei mehrere Möglichke iten:

310

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

1. Man bildet das Blech durchgehend mit Schalen-Elementen nach, womit man aber nur die Möglic hke it hat. die Spannungen in der Mittelebene bzw. linear hochgerechnet entweder auf der Ober- oder Untersei te zu betrachten. 2. Man bildet das Blech d urchgehend zweischichtig mit Volumen-E lementen nach. Von Vorteil ist hierbei. dass jetzt die Span nungen an allen Stellen (auch über die Dicke) vor liegen: nachteilig ist j edoch die höhere Anzah l von Knotenfreiheitsgraden und die eingeschränkte Mög lichk eit zu variieren.

3. Die wirtschaftlichste Alternative ist im vorliegenden Fall jedoch. ein kombiniertes Schalen- Volumen-Modell aufzubauen. so wie im vorliegenden Beisp iel dargestellt. Damit liegt ein Komprom iss zwische n Wirtsc haft lichkeit. Genau igkeit und Variabilität des Modells vor.

2. 40 E+
Bild 14.4: Eingespannte Blattfeder a ls Kombi nat ionsmodell aus Schalen- und VolumenElementen unter Benu tzung von Kopplungselementen

Wie bei der Blattfeder geze igt, werden in dem Beispie l die Knote n der Schalen-Elemente mit den Knoten der Volumen-Elemente verbunden, we lches eigentlich eine unnatür liche Verknüpfung darste llt, da drei Drehfreiheitsgrade überzählig sind . Der Übergang zwischen den Elementen wird je Knotenreihe über drei Constraint-Eleruente hergestellt, d ie nur d ie translatorischen Freiheitsgrade weitergeben. wodurch die Drehfreiheitsgrade herausfallen, Vergleichsrechnungen zu reinen Schulen- und Volumen- Modellen zeigen in den Spannungsund Verschiebu ngswerten seh r geringe Unterschiede im Promillehere ich. sodass die gewählte Mögl ichkeit ein prakt ikab ler Weg ist. auf den man bei praktische n Fällen kaum verzic hten kann.

14.3 Netzaufbau

14.3

31 1

Netzaufbau

Eng verbunden mit der Elemenrierung ist der Problemkreis des Netzaufba us. dem wir uns j etzt auch zuwenden wollen. Diesbezüglich sollen hier angesproch en werden: die Element-Teilung sregel. die Partnerregel der Knotenpunkte. Erfahrungsergebnisse über das Konvergenzverhalten der Elemente, mög liche Fehl erquellen bei a llzu starker Entartun g von der Elementgr undgeom etrie

""d

- die Ausnutzung der Symmetrie. Jeder der aufgefiihrten Punkte hat erheblichen Einfluss auf das Ergebn is IN.N. 94/. Eine globa le Regel fü r die Elementteilung ist. dass an vermutete n Spannungskonzentrationsste Ilen das Netz engmasc hig se in so llte. während es an Ste llen g leichmäß iger Spannungskonzentrat ion ruhig grob sein darf. Diese Regel kann jedoch durch d ie Wahl von quadrat ischen oder kubischen Elementen entschärft werden. die ebe nfalls den Effekt eine r Genauigke itse rhöhung in ei nem Gebi et haben. Gedank lich kann man die Ana logie herstellen, dass zusätzliche Seitenmittenknoten bei beispielswe ise einem Viereck-Element näheru ngsweise wie e ine Viertelu ng des Gebietes wirken oder bei einem Dreieck -Element einer Drit tejung entsprechen. Typische Anw endungen für not wend ige Netzve rdichtunge n stellen in der Praxis Kerbprobleme mit den zu erwa rtenden Spannungskonzentrationen dar. Der im umseit igen Bild 14.5 gezeigte einfac he Kerbstab kann zu die sem Problemkreis als repräsentativer Fall angesehen werden. Das Beispie l ist zude m sy mmetrisch, weshalb hier nur eine Vierte lsche ibe betrachtet werden braucht. Vom Netzaufba u her ist es hierbei zwec kmäßig. zwe i Makros (mesh areas) zu bilden und diese mit abgestimmten Tei lern zu vernet zen. Proble mkonform wäre in diesem Fall eine von der Kerbe ausgehende logarithm ische Elem entgr ößenteilun g. die ein Makro abgestuft von dicht bis grob vernetzt . Um Unte rsch iede transpa rent werden zu lassen. wurde das Netz e inmal mit einem free meshAlgorith mus durch lineare Dreieck-Elemente und das andere Mal mit einem mapped meshAlgorithmu s durch lineare Viereck-Elemente geb ildet. Die Dreieck-Elemente wurden dabei teilwe ise so verzerrt. dass eine Netzkorrektur vorgenomm en werd en musste. Das manuell ges teuerte Netz mit Viereck- Elementen zeigte bereits von Anfang an eine brauchbare Topologie. Mit den gebildeten Netzen wurde auch eine FE-Berechnung dur chgeführt . Die Auswertun g und Darstellu ng der Knotenspannungen zeigen e in deutlich besseres Genauigkeitsverhalten des Viereck-Elem ents geg enüber dem Dre i('ck-Element. Damit ist die Erke nntnis aus Kapitel 7,2.6 erneut bestätig t worden. Für praktische Anwendungsfalle mit hohen Genauigkeitsforderungen sollte man daher zumindest quad ratische Dreieck-Elemente wählen, während man mit linearen Viereck-Elementen in der Regel gut leben kann. Zu der Vernetzung sei noc h die Anmerkun g gemac ht. dass d ie meisten Pre- Prozessoren über automatische vernerzuugsgencratoren mit free-mesh-Algorithmen verfügen. Bei 2-D-Gebie-

14 Grundrege ln der FEM-Anwend ung

3 12

ten funktioniert ein derartiger Algo rithmus nur mit ebenen Dreieck-Elemente n und bei 3· D-Geb ieten entsprechend nur mit volumetrischen Te/mede r- Elementen. Me ist kann die relative Dimensionalität im Verhältnis zur Größe des Baute ils e ingestellt werden, wodurc h sich in etwa die Qualität des Ergebnisses steuern lässt. Für bestimm te Anwend ungsfä lle kann es sein. dass ein derartiges Netz ausreichend oder wie bei Gusst ei len nur als ( Te e net mög lich ist. Eine sinnvolle Anwendung ist vor allem dann gegebe n, wenn zu An fang keine Einschätzung über Spannungsko nzentrationen vorl iegt. sodass

ein zunächst freies Netz hier hilfreich ist. sich an ein gesteuertes hochwertiges Netz heranzutaste n.

.)

b)

0)

d)

Bild 14.5: Zug lasche mit Bohru ng a) vernetz t mit Dreieck-Sc heiben-Elementen. b) zugehörige Span nungsvertellung, c) vernetzt mit Viereck-Sche iben-Elementen. d) zugehörige Span nungsverteilung Ein relat iv tr iviales Vemetzungsp rinzip besteht in der Partne rregel für d ie Knotenp unkte. Diese Regel impliziert die Aussage. dass stets j eder Knoten eines Elements einen Knotenpartner im anschließenden Element finden muss. Ein Netzau fbau. bei dem a lso Seitenmitte nknoten eines Elements nur auf d ie andere Seite eines anderen Elements stoßen. führt somit

313

14.3 Netzaufbau

zwangsläufig zu m ungewollten Klaffen de r Struktur. Im Bild 14.6 ist ein hierzu konstruiertes Beis piel da rgeste llt.

falsch

korrekt

Bild 14.6 : Zusammenbau gleichwertiger Eleme nte nach der Partnerregel für die Knotenpunkte

Die gewählten lineare n Reckteck-Scheiben- Elemente können nicht mit quadrat ische n Dreiec e-Schetben-Elemenren ge kopp elt werden . we il sich die Seiten geometrisch anders und auch die Elemente nume risc h anders verhalte n. Es ist insofern einsichtig. dass in einem Net z nur Elemente g leichen (Ansatz)-Typs verwandt we rde n können. Die zuvor bei der Vernctzung au fge tretene Problematik des erforderlichen Netztrimmens tritt in de r Anwend ungspraxis immer wieder auf. Viele Generatoren bieten daher eine Rou tine •.model checking' an, wobei ge prüft wird , ob - Knoten doppelt nummeriert sind . - Elemente ausgelassen sind oder - Elemente entartet sind. Am schw ierigsten sind hierbei d ie Elemenrverzerrungen" zu beheben, we il damit oft größere Netzkorrekturen verbunden sind . die manue ll beseitigt werden müssen . Im umseitigen Bild 14.7 sind einige häufi g vorkommende Ano mal ien zusa mmengestellt. die gewöhnl ich zu Berechnu ngs fehlern ode r zum indest zu nicht akzeptierbaren Ergeb nisabwe ichungen fü hren . Dies sind im Wesent lichen : sehr starke Elementverzerru ngen. was du rch große Unterschiede in de n Diagonalen abgeprüft werden kann ; große Unterschiede in den Selt enlängen von Elementen . welc hes übe r die Kno tenkoordinaten geprüft werden kann ; sehr spitze Wink el in Elementen oder - das Überschreiten von Grenzwinkeln in der Krüm mung von Elementen .

•) Anmerkung: Einige Programme verlugen bereits über adaptive Netzoptimicrcr. die entweder automatisch verd ichten lH.lc r entzerren können. Dieses Problem ist dominant bei großen Dehnungen (l . B. Umfonnsimulation ),

14 Grund rege ln der FEM-Anw end ung

3 14

Es ist dan n Aufgabe des Anwendcrs. d iese laten ten Fehlerquell en zu erkenn en und durch ge schickte Eingriffe in die Netzto pologie zu beseitigen. wenn es nicht sow ieso vom Generator durch Sel bstprüfung bemängelt w ird.

Element-Check

Bemerkung

Diagonal verhältnis:

I . Verzerrungsprüfung

-- -- -l---/d~ /

/

/

/

/

2. Seite nverhältnisprüfung

~

3. Spitzwin klig kelt sp rüfung

~

,

~

max

Seite nverhältnis:

smin

0

dmin -d - "" 0,4 bis 1,0

,

.

~ "" 0,5 b is 1,0 sma"

Winkelrestriktion:

Umin :<: 10°

a min

4. Überkrümmungsprüfung

Winkelrestr iktion:

" I

L--! ~


'

,,, ,v- ! ,,

",

0: :S; Ugrcnz "" 4 5°

,,! ' Clgr"n z

Bild 14.7: Typische Elementanomal ien

14.4 Band breiten- Op tim ierun g: Bei der vo rausgegangenen Diskussion der Lösungsverfahren IUr die finiten G leichunge n ist sc hon die Bedeut ung der Besetzung der Sys temmatrizen Ku nd M de utlich geworden. da hierdur ch der Speicher bedar f und der Rechenaufwa nd bestimmt werden. Insofern ist es

14.4 Bandbre iten-Optimieru ng

315

wichtig , für ei n Netz eine optimale Num merierung zu finden. weil hierdurch d ie so genan nte Bandbreite m inimiert w ird. Zie lsetz ung ist es somi t, Matrizen möglichst ohne Nu llelemente ebzuspeichern, wod urch auch große Matrizen in de n Hau ptspeicher ge laden werde n können . Anson sten müssten die Systemmatrizen immer w ieder in den Hintergrun dspeicher ausge lage rt werde n. wodu rch unnötig lange Bearbeitungszeiten / KANN 77/ entstünden. Bandbreiten-Optimierungsalgorithmen ge hören mittlerweife zum normalen Leistungsumfang jeden FE-Programms. Da die A lgorithme n größtenteils heuristischen Ursprungs sind. werden oft mehrere Algorithmen angeboten, die in der Regel jedoch unter schiedlich erfo lgreic h sind .

Bevor d ie Algor ith men kurz disku tiert werden so llen, g ilt es. zunäc hst die Bandbreite und das Spei che rverfah ren darzulegen. Als Beispiel mag dazu d ie im Bild 14.8 konstru ierte Ste ifigke itsmatrix mit typi scher Bandstruktur dienen.

Bild 14.8: Steiflgkeitsmatrix 2 mK+ 1= 5

mit

der

Bandbreite

Gan z allgeme in hat eine Matri x Bandstruktur. wenn a lle ihre Elemente jenseit s von zwei symmetrischen. durc h die Bandb reite festge legte Konturen verschwinden . Wen n K symmetrisch ist. kan n dies es Verhalten auch durch kjj =O. für j >i + m K besch rieben werden. Die Bandbreite ist da nn 2 m K + I und 2 mK die Zahl de r besetzten Neben diagonalen in K . Für die Abspeicherung der Origi nalmatrix benu tzt man in der Regel e in eindimensionale s Feld

in das nur die oberste Hä lfte von K präsemgehalten wird. Die Nu llelemente außerhalb der Kont ur sind dabei ent fernt worden . Das Speicherscherna hierzu zeigt das Bild 14.9. Beze ichnet man jetzt mit m j die ZeiJennummer des ersten nicht verschwindenden Elements in der Spalte i, so beschre ibt die Variable m j, i '=' I. n die Kontur der Matr ix. entspreche nd wei st die Variable (i - m j ) d ie Spaltenhö he aus . Auße rde m Feld A wird noch der Vektor AMA X (I ) gespeichert. de r insbesondere noch ein mal die D iagonalelemente von K bereithält. Damit ist e ine direkte Zuordnung von Spe icherp latz zu Origina lmatrix gegeben.

14 Grundrege ln der FEM-Anwendung

3 16 Ko ntur

a)

K ~

° '" ° k7~

' 67

symmetrisch

k 7li

k 88

b)

A(l ) =k ll • A(2) = k 22• A(3) =k I2, A(4 ) = k33• A(5) = k 23• A(6) = k 44• A(7) = k 34. A(8) = 0, .... etc.

\

A(2 1) speichert k58

Di agonale

0)

A(I) A(3)

I

A(9)

A(') A (') A(8) A(4) A(7)

z 4

A(I')

A(6 ) A(I I) A(l 4) A(IO) A(1 3)

@

; A MAX =

6 10

A( 16) A( 19)

I'

A( 18)

18

A(I') A( 17) A('O)

16

Bild 14.9: Speicherschema für die Elj v -gerechte Matri zen verarbeit ung a) ty pische Steifigkeitsmatrix b) Umsort ierung in ein eindimensiona les Feld c) Zuordnung zwischen Speicherfe ld und Ursprungsmatrix

Um die Bandbreit e einer Mat rix klein z u halten , mussen all e Koeffiz ie nte n d ie ungleich nu ll s ind zur Hauptdiagona len hingeschoben und alle Nu lleleme nte von der Hauptd iagonalen weggeschoben werden. Diesen Effekt erreicht man durch e ine entsprechende Knotenpunktnumme rieru ng. Man kann dazu siche rlich auch manue lle Strategie n nutzen. hierbei gilt die oberste Regel. das s der Nummernsprung in einem Element möglichst klein sein soll. Unter Berücksichti gung dieser Regel soll sich die Numm erierun g von Gebieten immer in die Richtung erstrecken, wo die geringere Anzahl von Elementen gebildet wird. Wie auch das folgende Bild 14.10 zeigt, ist diese Vorgehensweise sch lichtweg am effektivsten. da sich dadurch die ger ingste Bandbreite e instellt.

14.4 Bandbreiten-Op timi erun g

3 17

lJ

36

7

35

"

55

'"

56

J7

,

"

3.

'"

57

21

"

"

26

30

42

l

17

40

eo

34

"

23 52

76

9

6J

•

32

16 70

61

"

71

74

JI

79

3

6

73

" "" '" 43

14

63

-

25 75 2

,

M ooengemer: d 1I bi t: - 4 x 5 Schalenelemente, · 79 Knoten

Ausga ngszustan d Sloan G ibbs·King Gibb s-Poole-Stoc kmeyer

IL ..

So rtierung nach aufsteigendem y _ .1

,

72

12

20

50

....

77

"

64 41

,tJ....-. 4'

53

33

'"

19

27

45

62 47

59

58

22

10

-l6

· 2 • 1

., .,

Max ima le Bandbreite

Mittlere Kont ur

74 29 26 27

35 10 12

858 884 998

17

12

996

20

14

1146

II

Profile 279 4

•• .,

Sortierung nach aufste igendem x

---. 'L, •••• S 6 7 8

1 2 J 4

Bild 14. 10: Tes tbeispie l für Bandbreit en- und Profil nummer ierung

Ein dera rtiges Vorgehen ist unter dem rechneru nters tützten Gesicht spunkt natü rlich nicht wirtschaftlich. wes ha lb einige automati sche Algorithmen /SC H 801 en tw ickelt worden sind. wie beispielswe ise die von Rosen. Cuüutt-Mctc ee. Stoan. Gibbs-King, Gibbs-Poole-Stockmeyer usw. Diese A lgorithmen arbeiten alle nach mehr ode r weniger intuitiven Prinzip ien und liefern da her nicht mit Sicherhe it die optimale Nu mmerierung mit der minimal m öglichen Bandbre ite de r zugehörigen Matrizen.

318

14 Grundregeln der FEM-Anwendung

Der G rundalgorithmu s einer einfachen Koefflzientenv ertauschung, welches äqui valen t ei ner Knotenn ummerierung ist. geht auf Rosen zurück. Obwo hl das Verfahren eins ichtig und einfach ist. bereitet es Probleme bei sehr großen Matrizen und bei e iner ungünstigen Ausgangsnummerierung . Hiergegen be nutzt der Curhill-Mcxee-A jgoruhmus einen vier- oder fünfs eitige n Grap hen, der übe r das zu numm erierende Gebiet aufges pannt w ird und vertauscht dar in die Knotennumrncrn so lange. bis inne rhalb eines Graphen die Differen z de r Knotennum mem minimal ist. Bei dieser Abstimmung werde n auc h d ie angrenzenden Graphen mit berücksichtigt . Die ansonsten noch angegebenen Verfa hren stellen im Kern nur Abwandlungen des CMK-Algo rithmus dar und so llen daher ohne nähe re Erläuterung angegeben werden. Um nu n d ie Wirksamke it einer Band bre iten reduzieru ng ausweisen zu können. ist im vorstehe nden Bild ein Geb iet mi t e iner bewusst ungünstigen Nummerierung erzeugt wor de n. Man erkennt an der Auswe rtung. dass al le Verfahren die Band breite der Ste ifig ke itsmatrix deutl ich red uzieren . Im Gr unde genomme n ist jedoc h die Bandbreite nicht das alleinige Kriteriu m fü r einen geringen Speicherbedarf und geringe Rechenzelt. sonde rn hierbe i ist auch das numerische Rechenverfahren für die Gleichungslösu ng m itentsche idend. Wird insbesondere das G leichu ngslösu ngs verfahren von Cholesky benutzt. so ist das Profil der Steifigkeitsmatrix gleich wichtig. Mit Profil wi rd dabei d ie effe ktiv benötigte Anzahl von Koelli zienten bezeichnet. die für d ie Gleichu ngslösung un bedingt erforder lich sind. Bandbreite und Profil hängen natü rlich unm ittelbar zusa mmen. so dass du rch eine Unmumme rierung be ides beei nfluss t wird.

1~ .5

Gena uigke it der Erg ebn isse

Zum Einstieg in das Manuskri pt wurde au sgefüh rt. dass d ie Method e der fin iten Eleme nte heute a ls das leistungsfähigste numerisch e Ve rfah ren des Ingenieu rwesens gilt. In der Tat ist es auch so. dass bei richtige r Mode llbildung und abgest immten Eingangsdaten e ine sehr gu te Übe reinst immung der theoretischen Ergebnisse mit über prüfenden Experimenten erzie lt werde n konnte. So war es beispielswe ise am Fachgebiet für Leichtbau-Ko nstruktion an der Unive rsität Kasse l möglich. stat isch belastete Struk turen mit etwa 7 % Abweichung zu DM S-M essungen hinsichtlich der Spann ungsverteil ung zu analysieren oder ein Eigenfrequenzs pektrum bis auf 5 % Abweichung zu en tsprechenden Resonanzp rüfungen zu ermitte ln. Dies bedarf natürlich einer sorgfältigen Arbeitswe ise und einer dezid ierten Abst imm ung bezüg lich der der des sowie - der

Feinheit des Net zes. gewählten Elementtypen. Werkstoffverhalte ns und der Werkstoffdaten nu merischen Genauigke it der Rechnu ng.

Auf die ersten beiden Aspekte ist zuvor schon eingegangen worden . sodass wir diese Aus sage nur noch durch eine Bemerkung bezüglich der Netzfeinheit ergänzen wo llen. Hierzu beziehen wir uns auf die Konverge nzbetrachtungen der vorstehenden Kapitel. aus denen unter anderem die Erkenntnisse abz uleiten sind, dass man bei Zugrundelegung eines bestimmten Netzes nie den Abstand zum exakten Ergeb nis weiß. Einige Programm system e

14.5 Genauigkeit der Ergebnisse

319

bieten daher die Mög lichkeit. quasi auf Knopfdruck ein Netz doppelt so fein zu machen. Stellt man dan n bei einer erne uten Rechnung fest. dass es nur noch geringere Änderungen zur vorausgega ngenen Rechnung g ibt. so kann man das erste Ergebnis quas i als ausreichende Näherung ansehen. Dass ein derartiges Vorgehen praktiz ierbar ist. be legt unter andere m die Tatsache. dass sich die Rechenleistung der Supermikro-Rech ner in den letzten 3 Jahren mehr als verze hnfacht hat. Einen weiteren Ansatz punkt für ein gutes Ergebnis ergibt sich auch in der programmtechnischen Mög lichkeit, ein Gleichungssystem doppelt genau zu lösen. Die Programmsysteme. die diese Verhaltensweise zeigen. bezeich net man als so genan nte h~ Versionen. wom it zum Ausdruck gebrac ht wird, dass die Ergebnisgüte e ine Funktion des relevanten Elementdurchmessers h ist. Gänzlich anderes Verhalten ze igen hingegen Programme der so genan nten p-Versionen (z. B. PROBE /N.N . 94/), die den Polynomgrad p der Ansatzfunktion a ls variabe l ansetze n. Bei e iner g leich feinen Elementteilung können also mit einer p-v erslon mehr Freiheitsgrade in einem Gebiet untergebracht werden und somit ein aussagefähigeres Ergebnis erzielt werden. Zum Konvergenzverhalten sei noch angemerkt. dass unter Benutzung beschränkter vcrträgfieher Verschieb ungszustände die gefundene Lösung für eine Struktur eine wertvo lle Grenzetgenschaft besitzt. d ie in der Überschätzung der Fonn änderungsenergie besteht: Für eine gegebene Belastung wird deshalb d ie berechnete Formänder ungsene rgie kleiner oder höchstens gleich sein der Formänderungsenergie in der realen Struktur . Dies lässt sich damit erklären. dass die reale Struktu r keine Beschränkung hinsichtlich der möglichen Verschiebungen kennt. Die mit der Verschiebungsmet hode ge fundene Lösung muss somit immer eine untere Schranke für die Verschiebungen darstellen. Bei vorgeschriebe nen Verschiebungen wird die berechnete Fonnänderungsene rgie dagegen eine obere Schranke darstellen. sodass dann die Kräfte immer zu groß bestimmt werden. Diese unter anderen von Rayleigh für linear elastische Strukturen formulierte Aussage gilt im Wesentlichen auch für nichtlineares Materialverhalten und Temperaturbelastung. Neben den methodischen und numerischen Verbesseru ngsmög lichkeiten spiele n auch noch die Werkstoffdaten eine nicht zu unterschätzen de Rolle. da hiermit die Steifigke it eines Bauteils bestimmt wird. So haben wir vorstehend erkannt, dass bei linear elastischen Rechnungen d ie Querkontraktionszahl v und der Elastizitätsmodul E bzw. bei nichtlinearen Rechnungen zusätz lich noch d ie Fließgrenze Re und bei dynamischen Rechnungen ergänzend noch die Dichte p mit zu den Eingangsgrößen gehören. Bei Verwend ung von Standardwerten für diese Größen muss man sich natürlich auch über d ie statistischen Größen und die damit erzielten Rechnerergebnisse im Klaren sein. die dann nur für eine Werkstoffgruppe gelten. Strebt man hingegen eine Aussage an. die letztlich auch mit einem Experiment in Einklang steht. so ist es notwendig, abgesic herte Materialdaten zu verwenden. Dies soll unter anderem auch das Bild 14.11 verde utlichen. das be ispielsweise Materialkenngrößen verschiedener

32 0

14 Gr undregeln der FE M-Anwendung

Stähle' ) aufführt. die im Labor des Fachgebiets Le ichtbau-Konstruktion an der Universität Ka ssel ge messe n wurden. Strebt man hingegen e ine Auss age an , die letztlich a uc h m it e inem Experime nt in Einkl ang steht . so ist es notwendig . abgesicherte Material date n zu ver we nden. Dies soll unter a nderem

auc h das Bild 14.11 verdeutlichen. das beispielsweise Materialkenna rößcn verschiede ner Stäh le' ) auffuhrt. die im Labor des Fachgeb iets Leichtbau-Konstrukt i~n an der Universität Kassel gemessen wurde n.

E

3

v

[Nimm' ]

[Nimm']

Werkstoffe

C 22

0,277

C45

0.28

QStE 500

Rm

ReH bzw. R pO.2

0. 3 15

328 (min. 240)

E

[Nimm']

49 9

205.600

(min. 430)

(21 0 .000) 197.300 (21 0 .00 0)

496

708

(min. 340)

(min.620)

625 (min. 500)

777

196.300

(min.550·700)

(2 10.000)

Bild 14. 11: Materialkennwerte einiger Stäh le (Ve rgütungs- und Fei nko mstah l) im Verg leic h

Es fall t hie rbei auf, dass die Abweichungen von den be kan nten Standa rdwerten für Stah l (v = 0,3; E = 2,1 . 10 5 N/mm 2) tei ls noc h erheb lich si nd. Da mit w ird offensic htlic h, dass die Material daten manchm al eine nic ht zu ver nach läss igen de Feh lergröße darstell en . Resü mierend lässt sich festste llen, dass FEM. Ergeb nisabweichungen auf systemat ische Feh ler (numerische Feh le r, Ap prox ima tions fehler) und stoc hastische Abweichunge n (Abmessungsschwa nkungen. stre uende Mat erialdaten] zurückz uführen s ind.

1.J.6 Qualitätssicherung M it der Etab lie rung der FEM als Standardwe rkze ug der Prod uktentwi cklung unter liegt auc h eitle intern e ode r externe Dienst leist ung zuneh me nd den Ma ßstä ben vo n Q ualitätssic heru ngsmod ellen. Best re ben ist es, die Ausflihrungsqualität von Berechnungen z u erhöhen, in dem d iese nachvoll ziehbar und übe rprüfbar ge macht so wie pe rsön liche Ve rantwo rtlic hkelte n ges c ha ffen we rde n. In de r Industri e wurde n daz u die im Bild 14. 1" herausgestellte n Darleg ungsmodel le festgesc hrieben .

'J 'J

A nmerkung: Qualuätcn nach [)I N EN 10 083·1 lind [)I N EN 10 113 Anmerkung: Qualitäten nach [)IN EN 10 083·1 lind [)I N EN 10 113

14.6 Qualitätss icherung

32 1

Q ualitätsmodelle

I DIN EN ISO 900 1:2000 • Produkt e • Dienstleistu ngen • Prozesse

I NAFEMSQSS • FEA für Berechnung und Valid ierung techn, Produkte

I SAFESA • strukturierte Vorge henswe ise für FEA

Bild 14.12: Industrielle Qualität ssicherungsmodelle

Am verbreitet ste n ist die DIN EN ISO 9000:2000. welche ein QM- Prozessmodel1 für entwic kelnde und produzierende Unternehmen sowie Dienstle ister darlegt. Dies ist ein Organisatio nsrahmen. der auf die fehlerfreie Erbringurig aller A rbeitssc hritte ausge richtet ist. Durch eine Ze rtifizierung müsse n die Unte rnehmen nachweisen. dass sie d ieses Qualitäts mode ll (Prozesso rganisatio n. Qjvt-Handhuch) aufrechterhalten und tatsächlich leben. Parall el daz u wurde mit NA FEMS QSS (Qual ity System Supplement 10 ISO 900 1) ein Standard mit alleiniger Ausrichtung auf FEM-Dienstleistungen gesc haffen. Die Erweiterung umfasst insbesondere Forderun gen an die Pcrsonalquatlftkatlo n. Softwa re und die Risikokategorie des Prod uktes. Hiernach muss ein FEM-Berechner über ausreichende Berufser fahrungen verfügen. Produktverständnis und Fachkenn tnisse in der FE-Methode sowie der Numerik der Algorithmen aufwe isen. Weiterhin muss ein Berechnungsprojekt strukturiert gep lant werden und über d ie Stufen Modeüierung, Berechnu ng und Ergebni sinterp retation nachvollziehba r sein. Der ergän zend e SA FESA-Standard g ipfelt in der Forderung: Keine Freigabe von FE-Ergebnissen ohne Prüfung: ' und ,. IOO-%· Prüfung bei sicherheitsrelevanten Bauteilen. Bei ..nicht sicherheusrelev anten Bauteilen" ist zumindest •.die Richtigkeit eines Erge bnisses stichprobenhaft" abz usichern. Damit sind die künstlerischen Freiheiten von FE-Berechne rn zurüc kgeschnit ten und die Proj ektverantwortung in den Mittelpunkt gerüc kt worden. Eine noch ande re Dimension gibt in diesem Zusa mmenhang das Produkthaftungsgesetz (ProdHaftG) vor. welches den rechtl ichen Rahmen für den Berechnungsingenieur schafft. Falls das Versage n eines Bautei ls nachweislich auf mangelnde Sorgfalt bei der Berechnung zurüc kzufüh ren ist. greift letztlich das gesa mte Strafreg ister vom BGB bis zum StG B.

322

Fallstudien *)

0)

Anmerkung: Die nachfolgenden Fallstud ien wurden überwieg end mu dem FE-Programm ]·DEAS der Fjmta EDS tvw. einige ergäo/cnlk Rechnungen mit dem System A BA QUS von II I( S bearbeitet.

323

Fa llst ud ie 1: zu Ka pitel-l Mutrix-Steifigkeitsmettmde In der Literaturstelle von Hahn II IA H 751 ist dargeste llt. dass mit e infachen S/ab·Elemclllen seh r schön statisc h bestimmte und statisc h überbestim mte Fachwerkstruktu ren behande lt werden können. Um dies exemp larisch zu untermauern, soll hier die Lösung des so genannten Navier'schen Probl ems übernom men werden. Dieses Problem beste ht in der Berechnung der freien Knote nverschiebungen des vielfach statisch überbest immten elastischen Fachwerks von Bild 1.1 unter gegebenen äußeren Kräften. Mit der Lösung habe n sich im 17. Jahrhundert viele Mathematiker beschäftigt und sehr komplizierte Lösungs wege entwickelt.

r CD

Q)

t2=

Q)

@

H-t!.!3 H 3 3 3 H

Bild 1.1: Mehrfach statisch überbestim mte Fachwerkstruktur

Alle Stäbe sollen dabe i g leichen Querschnitt (A = konst.) haben und aus g leichem Werkstoff (E =: konst.) bestehe n. Wir wählen die Idealisierung so, dass jeder Stab e in finites Element mit zwe i Knoten und jeweils 2 Fre iheitsgraden ( Uj, vd se in soll. Bei acht Knoten erha lten wir so eine 16-x- 16-Gesamtsteifigkeitsmatrix. Da jeder Knoten cD bis 0 unverrückbar gelagert ist, braucht letztlich aber nur eine 2-x-2Matrix ((1 6 x 16) -(14 x 14 )) invertiert werden, welches im Grunde ein le ichtes Unterfangen darstellt, wie die folgende Lösung zeige

Fallstudie I: zu Kap ite l 4 Matrix-St elfigk eitsmethode

324

a) Systemg leichung

-1

2

16

1 2 3 4

5

k 15 15 k 15 16

6

ki b 15 k ib 16

o o o o

(I)

b) Kond ensierte Lösungsgl eichung

ß;]

2 1 k l515

k 151 6

k l bl 5

k 161 6

l§J=2

(2)

111 it

(3)

=-E · -A H

,J,sin 2ui

E .A ~ . 3

z.sm

k l616 = E · A L . - - - = - i=1 L i H i =l

Für die vorgege benen Kräfte

7 . 2 L COSa j - stn (Xi.

(4)

i =l

(5)

(Xi '

FSy erhalten wir d ie unbek annten Knoten ve rschiebun gen du rch Inversion der abges paltenen Ste itig keits matrix zu

~=

5J

F8 ~ '

I (k 1515 . k l616 - k 1615 . k J516)

k 1616

k 1616

wom it dan n auc h die Versc hieb ung des Knotenpunktes

- k 1516

(6)

k 1515

® best immt

ist.

325

Fa llst ud ie 2: zu Ka pitel S KOllzept der FEll! / A llge meine Vorgehe ns wei....e Die Hilfsmittel im Ingenieurwesen entwic keln sich una ufhaltsa m zu Co mpute rmetboden . Zukü nftige Produk tentwickler müsse n Fertigkeite n und Kenntni sse in der v irtuellen Produktentwic klung aufwe isen. Virtuelle Produktentwic klung besteht heute schon, w ie im Bild 2.1 darg estellt. aus einer leistungsfähigen Methode nkette.

CAE - Computer Aided Eng ineering K

- I

CAD

f----I

MKS

f----I

rEM

f----I

o rT

f----I

r STL

Bild 2. 1: Einsatz rech ne runterstützter Methoden (CA E) vorn Ko nzept zu m Produkt

In dieser Fallstudie so ll allerdings nur de r Weg vom CA D-Modell zu m FE-Mode ll bzw . zur FE-Berech nung skizziert werden. Das hierfür be nutz te Beispiel se i die Druck platte e ines einfach en Papierlochers. Die erste Stufe vom CA D-Exportfile bis zum FE- Import fi le zeigt Bild 2 .2. In d iesem Fa ll ist der ganze Loc her mit dem CA D-System CAT IA V5 konstru iert worden. Als gefährdetes Baute il wird vom Konstrukte ur die Handdruckplatte angese hen. die im Weiteren mit einer FE-Rec hnung ana lysiert werden soll.

Produktentw icklung I. Das Produkt ..Locher" ist mit CA T IA V5 als Volumenmode ll entwickelt worde n. CA T IA V5 ist ein CA D-System der neuen Generation. welches neben der Zeic hnungserstellung und Baureilp arametrisierung noch übe r Opt ione n verfugt. Prod uktwissen zu verwalten und best immte Anwen dungsprozesse (Blechu mfo rm ung, NC-Bearbeitung. Verkabelung, Teleran zen. einfac he linea re FE-Analyse n etc.) zu simulieren. 2 . Aus de m CAD-Mode ll kann natürlich e in Bautei l oder auch eine Baugruppe für eine Weilerbearbeitung exportiert werden. Da d ie Weiterbearbeitung mit eine m FEM- Systcm erfolge n so ll. muss ein geeig neter Datentran sfer vorgcnom men werden . Hierzu stehen softwaretechnisc h d ie IG ES- und STE P-Sc hnittellc· J zur Verfügung, d ie Grafik und Technologic austa uschen könn en . 3. In dem FE-Programm bzw . Pre-Prozessor kommt als Importfile ein Volumenmodell an. welc hes in unterschied licher Weise vernetzt werden kann. Im umseitige n Bild sind die einze lnen Sch ritte gemacht worde n.

' 1 Anmerkung:

IGES - In itial Graphic s Exchange Spc ciücation STEI' - Standard für rhc Exchange of Produc t Model Data (ISO 10303 )

326

Fallstud ie 2: zu Kapite l 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehensweise 3- D-CA D-Mode ll

Bauteil •.Handdruckplatte-

_

.

~

..,._ _

.. ...

• ,- -r

rr

,"".---,,', , "" '--'''''''," ",._ ,""'''.- .,,,

..... .-"".. ......

,'--'''.-.~

_~

_~ .'

,

".

-_

~ ~"'~,._~.--

. ,,, ,--_.",, ...- , . '

"

.,..-.,n,"-"''''''' '' '.' ','''' . ..-.," .., _"""',."" ""., , , ",0<

,

'

r~-;

__.... r,.

.-.. _ ... _ .. " ...." .. _ .,' ...u.-....., ' _ ............ '" ,

•.

<.m

,

.. .........

,,', .., h .

..... '.,"". ... _. --" --'-" .. .

, ~-,-...,' -'

'_ __. .. .. _ ..

_.- ........, ....... ..... . ,-"...---..,-_." ---.. •..

.. _.

.:j_."",.. . . . .-

a

,,.

",

_-.

~:

.., ... : •

.... .. ...... .. .: :. :. ,

•

.,

,

,

_

,

•

,

"

._. .

"'''' " ,-- .

.....• ...,,_ . ...,,_...

",'.'_

..

~,_

... . ..~,_

~-:

import iertes Volumen

1

zur We iterbearbei tung im FE· Programm

Bild 2.2: Vorn CA D-ModeJl zum Vo lumenmodel l im Pre-P rozessor

Fallstud ie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vergehensweise

327

Baute ilanalyse 4. Das Bauteilmodell liegt nun im Pre-P rozessor eines FE-Programms vor und muss für die Berechnung we iter aufbe reitet werden. Ein wese ntliche r Punkt ist hierbe i die Aus wahl des Berech nungsmodells. 5. Bei der zu berec hnenden Handdruckplat te. die aus einem dünnen Stah lblech gefertigt wurde, bietet sic h ein Schalenmodell ge radezu an. Wenn also ei n Schalenmode ll berechnet werde n soll , muss in dem vorliegenden Bauteil eine .Mldsurface'' gebi ldet und diese mit der physikalischen Dicke des Tei ls belegt werden. Gewählt wurden lineare SchalenElemente, die im .jree rnesh'' vernetzt wurde n. 6. In dem anderen Fall ist das importierte Volumen mode ll mit parabolischen .JetraederElementen" modell iert bzw. auch durch .Jree mest r- ver netzt worden. Dem TetraederElement liegt e in quadratischer Ansatz zugrunde, der natürlich sc hnel ler ge nauere Ergebnisse ermitteln wird. wie der lineare Schalenansatz . Der Ab laufvom Bautei lmode ll über die Stufen Vernetzung und phys ikalischer Datensatz (F, v. E, ...) ist im umse itigen Bild 2.3 dargestell t. Die unterschied liche Vergehe nsweise hat natürlich auc h Einfluss auf d ie erzie lten Ergebnisse, we lches die folgende Ta belle ausweist .

lin. Sc/wIen-Mode ll

quadr. Volumen-Mo dell

Anza hl " Knoten"

3.504

18.298

A nzahh.Elemente''

3.349

8.837

max. Spannung

98 %

100 %

max. Durchbie gu ng

104 %

100 %

I Sek unde

12 Sek unde n

Rec henze it

Das qualitativ h öherwenige Volumenmode ll m it fünfmal meh r Knoten als das Schalenmodell wird insgesamt näher an de r exa kte n Lösu ng des Problems liegen. Den Nachteil erkennt man in der Rechen zeit. wenn man sich sehr große FE-Modelle vorste llt.

328

Fallstud ie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Allgemeine Vorgehe nsweise

1

Vo lumen mode ll mit kreierter

..Midsurface"

Vo lumenmode ll mit ..Te/meder-Elemente n"

Schalenmodel l mit .. Viereck-Schalen-Elcmenten''

ausgewertete FE-Analyse ..Spannungsverlauf''

Bild 2.3: Vom Bauteilmodell zur FE-Analyse

329

Fa llst ud ie 3 : zu Ka pitel S Konzept der FEM / Schiefe Randbedingungen Im Kap itel 5 ist dargelegt worden, dass für die Lösbarkeit e iner finit en Gleichung die Randbed ingungen eine entscheidend e Rol le spie len. Dar über hinaus ist be i Systemen mit beweglichen Auflagern viel fach von Interesse, wie groß die Verschieb ungen am Au llager sind. Um d ie Rand bedingun gsproblem atik noch einm al hervorzuh eben, ist im Bild 3.1 eine e infac he Fachwerkstruktur mit sc hiefer Stützung gezeigt.

Q)

9

®

10

r, j @

"

®

12

@>

I:~' V x x

Bild 3. 1: Beispiel mit sc hiefen Randbedin gungen

Diese Fachw erkstruktur muss für die Berechnung statisch bestimmt gelagert werden. Da die Auflager im Knoten Cl> und ® jedoch nicht in Richtung des globalen Koordinat ensystems unterdrü ckt werden können, müssen für diese beiden Knoten ein eigenes Koordinat ensystem einge führt werden . Im Bild 3.2 ist das entsprechend verformte System dargestellt.

~==::::~-71~/r=7~ ,

Bild 3.2 : Verformtes Fachwer k mit Verschiebungs vektoren

Die Verschiebungsve kto ren an den sc hiefen A uflage rn verlaufen jetzt in Richtung des ge· drehten Koord inatensystems (x).

330 Fa llst udie -li zu Kap itel 5 Konzept der FEM / Durchdringung Zu eine r beson deren Art VOll Rand bedi ngungen führt die Kontaktproblemati k (siehe insbesondere Kapitel 8). Diese lässt einen Oberflä chenkomakt. abe r ke ine Durchdringung zu. Bild 4. 1 ze igt einen Gummi-Faltenba lgen , w ie er z. B. zum Schutz von Gelenkwellen zur Anwendung komm t. A uf Gr und de r Sy mmetrie wird das Bautei l aus Kreisring-Elementen mode lliert und so m it auf ein zweidimensiona les ß erech nungsmodcll reduziert. Für d ie Vermeidung e iner räumlichen Überschneidung der Elemente müssen auf der Oberfläch e Kontaktzonen defi niert und bei j edem Rechenschritt iterati v auf Kontakt geprüft werden.

Bild 4 .1: G umm i-Fallenbalg

Bei ..normale n FE-Modellen" wird die Durchdrin gung der Elemente im Norma lfall nicht geprüft, da es sich bei dieser Kontroll e um e inen se hr aufwändigen und rechenin tensiven Prozess handelt. der die reine Rechenzeit verdoppelt bis ve rdreifacht. Die exem plarische Auswe rtung dieser Pro blemstellun g ist im Bild 4.2 aufbe reitet worde n. Man erk ennt zunäc hst am Deforma tiousverhahen. w ie sich das obere Bauteil auf das untere Bauteil abstützt und we lche Verformunge n dabei entstehen. Des Weiteren ze igt der Spannungsplot. w ie d ie einge le itete Fläc hen last durch d ie Körper auf d ie Auflag e abge leitet w ird. Im unteren Te il des Bildes 4 .2 ist dasse lbe Modell ohne vorh erige Definition von Kontaktbedin gungen dargestellt. welches zu einem sinnlose n Ergebnis führt.

Fallstud ie 4: zu Kapitel 5 Konzept der FEM / Durchdringung

,)

331

9.57E +Ol 7 ,38E+Ol 5.27E+Ol 4 .13E+Ol 3 .17E+Ol 2.4 1E+Ol 1.74E+Ol 1.17E+Ol

595E+OO 309E+OO 2,2 5E-Dl

b) 1.01E.J01 7.7SE+OO

5.631:+00 ".33E+OO 3.32E+OO

2.52E+OO 1.81E+OO 1.21E+OO 8.~ 1

3.03E-0 1

Bild 4.2: Kreisring-Elemente des Faltenbalgs a) mit Ko ntaktbed ingungen, b) ohne Kontaktbedingungen

332

Fallstudie 5: zu Kapitel 7 An wendung mn Sc/wien-Elementen Wie schon an verschiedenen Stellen erwä hnt. ist es sinnvoll und zwec kmäßig, dünn wandige Bauteile mit finiten Schalen-E lementen zu modelli eren. Ein schönes Beispiel für eine derartige Anwendung ist d ie im Bild 5. 1 gezeigte Flanschverbindung für e inen Druckkessel.

Netz 5~

V Netz 4 (Schrauben)

l-

Ne~ l

(Rohrstutzen)

Bild 5.1: Bea nspruchte Flanschverbindung

Die Vorgesc hichte dieses Problems war, dass der Flansch im Betrieb bei einem bestimmten Spitzen wen des Innendrucks leckte, welches Kunden regelmäßig reklamierten. Eine Möglichkeit. d ies zu beheben, ist. die Flanschverbindung zu versteifen. O hne Ände rungen am Kessen kann Steifigkeit nur durch eine .H tnrerfürreru ng'' de r Dec kelverschraub ung erzeugt werden. Um d iesen Effekt zu erzielen, wurde eine geteilte Hinte rlegsche ibe konstruiert , die e ine ausreichende Versteifung bringe n müsste. Um h ier sie herzugehen, so llte dies mit einer Ffi-Simuhuion untermauert werden. Das nachfo lgende Bild 5.2 zeigt das im Pre-Prozessor erstel lte Model l. welches aus vier Einzernetzen beste ht. Da das Objekt völlig sy mmetr isch ist, re icht für d ie Analyse ein Viertelflansch aus, Rohrstutzen. Deckel und Hinterlegscheibe sind im free mesh mit lineare n Schulen-E lementen abge bildet. Für die Dichtung wurde hingegen ein v olu menmodell " ) aus linea ren Quader-Elementen gewählt Die Dichtu ng besteht aus einer Gummi-Metallstruktu r, für d ie hier ebenfalls lineares Material verhalten vora usgese tzt se i, da die Dichtun g nur mit ca. 0,2-0,3 mm verpresst wird. Im ganze n Dichtbereich wird weiterh in ..Kontakt" angenommen . Für die Verschraubung werden elastische ßalkt'n~ El emente , die entsprechend vorgespann t we rden können, gewählt,

Fallstud ie 5: zu Kapitel 7 Anwendung

\w /

Schalen-Elementen

333

Hinterlegsche ibe Dichtung

Rohrstutzen

Deckel

Bild 5.2: FE-Modell der Flanschver bindung

Die Auswertung der FE-Analyse zeigt das weitere Bild 5.3 anha nd von Spannungsaus wertungen (Ve rglcichsspannung nac h von Mises). Insgesamt sind die hier auftreten den Span. nungen in einem zulässige n Bereich. Es treten leichte Spannungskonzentrationen um die Schraubenlöcher auf, d ie aber regelmäßig durch Setzen abgebaut werde n.

8.9 1E+05 R.46 E+05 8.02E+05 7.57E+05 7. 13E+05 6.69E+05 6.24E+05 5.80E+05 5.35E+(l5 4.9 IE+05 4.46 E+05 4.02 E+05 3.57E+05 3. I3E+05 2.68E+05 2.24E+05 1.79E+05 1.35E+05 9.04E+04 4.59 E+04 1.471':+03

Bild 5.3: Spannungsanalyse am Flansch und an der Dichtung (Angabe in m N /m m 2)

334

Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung \'011 Schalen-Elementen

An der Dichtung im Bild 5.4 sieht man einen leichten Einzugseffekt. der durc h die simulie rte Pressung um den Schraubenkopf entste ht. Die angege benen Spannungen in der Dichtung sind resultierende Betragsspannungen aus Druck und auft retendem Schub.

5.00E+03 4.75E+03 4.50E+03 4.25E+03 4.00E+03

3.75E+03 3.50E+03 3.25 E+03

3.00E+03 2.75E+03 2.50 E+O] 2.25E+03 2.00E+OJ 1.75E+03 1.50E+OJ 1.25E+03 I.OOE+OJ 7.50E+02 5.UOE+02 2.50E+02 O.()OE +{)()

1.7010-0 1 162E-0 1 15JE-OI 1.4510-01 1.3710-0 1 129E-0 1 1.21E-01

I 1310-01 105E·01

9,7IE.02 8.90 E.02 R 10 10-02 7.2'1E-02

6.4910-02 5.6RE-02 4,1\810-02

40710·02 327E_01 2.46F.-02 1.661::-02

8,5010-03 4.5IE-04

Bild 5.4: Result ierende Spann ungen der Dicht ung (A ngabe in mN/mm)

in

Weiter sind im Bild 5.5 noch die Deformationen in dem Flanschdec kel bestimmt worde n. Diese erreichen eine G röße von 0. 17 mm, wäh rend die Dichtung bis 0,2 nun abdic htet. Mit der durchgeführten FE· Rechn ung ist nun bew iesen, dass die Hinterlegscheibe eine ausre ichende Ste ifigke it bringt, um zusammen mit der Dichtung das Problem des Leckens auc h beim Spitzendruck zu lösen.

Bild 5.5: Verformungsbild des Flansches (Angabe in mm)

335

Fa llst ud ie 6: zu Ka p itel 7.5 A nwen dung mesbing

VOll

Volumen-Elementen / Mappet!

Bei materiellen Körpern spielen die Randbed ingungen eine große Rolle. Einfache Auflager (Losleger. Festlager) wie in der Mechanik sind in der Praxis aber relat iv selte n. Es überwiegen dort Verschraubun gen, Klemmungen oder gekoppelte Stützungen. die dan n richtig in das Modell e ingearbeitet werden müssen. Als ei n allgemei ner Randb edingun gsfall wird am Beispiel einer aus Volumen-Eleme nten modell ierten Blattfeder der Fall vorgesc hriebener Versc hiebungen an bestimmten Knotenpunkten einer Struktur dargestellt. Die Th eorie dazu ist schon sehr früh im Kap itel 5.3.3 hergeleitet worden. Hiernach kann gemäß den auftretenden Mög lichkeiten - unbekannte Verschiebunge n ( U Unkll \llll1 ) ' - bekan nte Verschiebungen ( Usur r rcsscd )

""d

- vorgeschriebene Verschiebungen ( UprcslTi bcd ) eine finite Systemg leichung wie folgt partitioniert werden:

( I)

Dies fuhrt zu den drei Einze lg leichungen K uu · U u +K ur · U r = Fu ;

K su .

u,

O.

+ K sp ' U p = Fs •

K pu · U u +Kpp ·U p =Fp ;

(2)

O.

Hierin ist zu berücksichtigten. dass die bekannten Verschiebun gen an den Auflage rn U s die Reaktionsk räfte Fs an den Auflagern auftrete n.

.'='

0 sind.

es jedoc h keine vorgeschriebenen Kräfte gibt. d. h. Fp =: 0 ist. Damit können d ie unbekannten Verschiebungen bestimmt we rden zu (3)

336

Fallstudie 6: zu Kapitel 7.5 Anwendung \'(In Volumen-Elememen / Mappedmeshing

Diese unbekannten Versch iebungen werden in der hier betrachtete n Problemstellung einer zwangsweise verformten Blattfeder aus Kunststoff angewendet. die in der im Bild 6. 1 geze igten Bauform in e inem Messgerät eingebaut wird. Das freie Ende dieser Blattfeder macht dabei e inen vorgeschriebenen Weg von ca. 15 111m und speichert potenzielle Energie. Das Federmaterial sei aus r OM mit einem mittleren E-Mod ul von Ern = 2.250 N /m m 2 • einer Streckgrenze von R !I = 70 N/mm 2

""cl

- einer Querkontraktion von v = 0.32. Die linear elastische FEM-Analyse zeigt. dass bei den vorgegebenen Verhältnissen die maximal in den Randzonen der Blattfeder auftretenden Zug- bzw. Druckspannungen 26.2 N/mm z betragen. Der Materialwert Reit fllr die Streckgrenze übersteigt diese Span. nungen mit einem Sicherheitsfaktor von 2.7. Es ist daher auch bei wiederholtet Betätigung nicht mit Re laxation des Materials zu rechnen. 2.62E+01 1.57E+01 1.31E+01 7.65E+OO 2.62E+OO 1.05E+OO -1.05E+OO ·2.62E+OO _7.B5E+OO _1.57E+01 -2.62E+01

Bild 6.1: Spannungen und Deformation in e iner Kunststoff-Blattfeder

337

Fällstudie 7: zu Kapitel 7.5 An wendung der Volumen-Elemente I Free meslti,,;.: In dem gezeigten Bild 7. 1 ist eine Tretkurbel eines Fahrradkettenantr iebes dargestellt, die hinsichtlich des Span nungsverlaufs und der Verto nn ungen analysiert werden soll. Es handelt sich hierbei um ein sehr kompaktes Alu minium-Sc hmiedete il. welches e iner Torsions- und Biegebeanspruch ung unterl iegt.

Bild 7.1: Fahr radtretkurbel

Um die Geometrie der Freiformflächen mög lichst exakt nachbilden zu können. wurde n parabolische Tetraeder- Eleme nte mit Seitenmitte nknoten ausgewäh lt.

Bild 7.2: FE· Netz der Tretkurbel

338

Fallstud ie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der votumen-Etememe

Diese Elemente werden in modernen FE-Systemen bei automatischen Meshprozeduren. dem so genannten free meshing, üblicherwe ise verwendet. Für e ine realistische Modellbildung der Kraftein leitung war es notwendig. e in Stück des Pedalbolzens zu berüc ksichtigen. Damit ein mög lichst durchschnittliches Fahrerspektrum abge deckt werden kann, wurde als maximale Fußkraft F, = 1.000 N gewäh lt. Das erzeugte Drehmoment wird dann über einen Vierkan t in das Kettenb latt eingeleitet. Da bei der Analyse nur d ie Auge nblicksstel lung der ungünstigsten Krafteinleitung betrac htet wird. kann für d ie Anbindung an das Vierkantprofil eine feste Einspannung mit LI = O. V = 0 und w = 0 angenommen werden . Unter diesen Vorgabe n ist im Bild 7.3 zunächst die elastische Verformbarkeit der Kurbel ausgewertet worden. Es ist erkennbar. dass insbesondere im vordere n Bere ich die Knoten translaro riscb und rotatorisch ausge lenkt werden. Die Kurbel muss daher eine ausreic hende Tors ions- und Biegesteifigkeit aufweisen.

J. bJE' 9 ß

J . blE- Ol

Bild 7.3: Deformation der Tretkurbel bei Belastung lm weiteren Interesse ist noch abzuklären, ob d ie Beanspruchung in der Kurbel zulässig ist. Bild 7.4 zeigt die entsprechende Spannungsaus wert ung über Isolinien.

Fallstud ie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Vo/ufllen-Elememe

339

Wie zu erwarten war, nehmen die Spannungen zu bzw. verdichten sich an den Randbed ingungssteilen. Ausgewertet wurden dabei d ie Vergleichsspannung (I)

nach von Mises.

1.98E+02 1.59E+02 1.29E+ 02 9.56E+01 6.99E+01 5.02E+01 3.05E+01 2.06E+ 01 1.27E+01 6 .83E+OO 9.17E..Q1

Bild 7.4: Spannungsverte ilung in der Tretkurbel bei Be lastung Die Spannungen sind aber nicht kritisch, da im Gese nk geschmiedete AI· Legierungen Streckgrenzenwerte von 200-420 N/mm2 au fweisen.

Fallstud ie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme

34 1

Die Eigenfrequenze n konnten so gefu nde n werden zu: 3980,4 1/ min

66,34 s- 1

-

nl =

ol2= 250,95 s-1

-

u z = 15057

1/ min

00 3= 568,35 s - I

-

n 3 = 34 10 1

1/ min

())4= 78 1,87 s-1

-

n 4 = 469 12,2 1/ min

005= 817,1 6 s- I

"

n 5 = 49029,6 1/ min

00 1=

Wir wissen, dass man ein Masc hinenelement nie mit se inen Eigenfrequenzen anrege n so llte, da es so zerstört würde. Um also d ie zuläss igen Betriebsbere iche vor Augen zu haben, zeichnen wir uns das Frequenzba nd auf: Hierin ist sofort zu erkenne n, welche Betriebszustände mög lich sind, welche Eigenfrequenzen dazu durchfahren werden müssen und wie der Abstand zu den nächstliegenden Anregungen ist. Bei den mei sten Anwe ndunge n wird d ie hier betrachtete Welle auf Grund der Höhe de r Frequenzen nur in der ersten Eigenfreque nz auf kritische Anregu ng untersucht werde n müsse n.

5000

I I I I 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000 45.000 50000

"1

Bild 8.2: Frequenzba nd der Schneidwelle

Die sich dabei einste llenden Eigenf requ enzen ze igt das nächste Bild 8.3. Das Messer blatt zum Kartonschneiden befindet sich dabei auf der Knoten positio n Nr. 14. Aus den Eigenformen lässt sich dann mit Bezug auf die dazugehörenden Frequenzen eine Auss age über die Qualität der im Betrieb entste henden Sc hneidkante machen.

Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Prohleme

342 Mode Nurübe r I: 66 ,34 I I..

~

,, ,, ,, • • 0 N

Mode Nurnber 2: 250.95 111

Mode Numbcr 3: 568,35 111 _o--

~

Mode Nurübe r 4: 781,87 11..

.

_---------------------

Mode Nurnhcr 5: 817,16 111 , ......... _

~

__ F

;,

N

Bild 8,3: Erste füuf Eigenschwingungsfonn en der Schneidwe lle

,

343

Fa llst ud ie 9: zu Ka llitcl 9.6 Erzwungene Schwing ungen Im Folgenden so ll eine aus Volume n-Ele menten aufgebaute Stimmgab el als repräsentatives Beispie l für eine erzwu ngene Schw ingu ng behandelt werde n. Die Kraft soll durc h einen kurzen Schlag auf einen Z inken a ls Impuls P = 100 N ruf d ie Dauer von 1 ms aufgebracht werde n. Danach so ll die Stimmgabe l frei aussc hw ingen . Mittel s einer dy nam ischen FEM· Analyse wo llen wir im Weiteren die Eigen schw ingungsformen und das Aussc hwi ngverhalten der Stimmgabel ermitteln. Das Eigen verhalten des Mode lls erhält man aus der Lösung der homogenen DGL de r freie n Schwingungen

M · Ü + K · U =O

(I )

bzw. dem zugehör igen Eigen wertproblem. Die Eigenformen werden mit eine r Modalana lyse nach der Block-Lanczos-Methode er mittelt. Die Auswertung w ird auf d ie ersten acht Eigenfrequenzen und Eigenschwing ungen beschränkt. Diese sind im Bild 9. 1 da rgestellt. Die erste Eigenform (x-Richtung) hat e ine Eigenfrequenz von 148.96 Hz. Die zweite Eigenform ( 152. 19 Hz) ist orthogo nal zur erste n ge richtet. Die dritte Eigenform w ird durch Torsion der Z inke n gegeneinander erze ugt. Sie tritt m it höherer Frequenz (2 96.36 Hz) auf. Die weiteren ermitte lten Eigen forme n bas ieren auf den ersten dreien. weisen aber höhere Ordnunge n auf. In der nächsten Bet rachtung bringen wir den Sch lag am Ende ei nes Zinkens in x-Richtung auf und berechnen in Zei tsch ritten von 0,000 1 Sek unde n das Schwingungsbild . In der translenren Analyse wird die Folge nde inhomogene DGL mit Krafta nregung ge löst:

(2) Der Schlag ist quantifizie rt durch

P(IO= O) = O, P(I(I S. I S. t l = I ms) = 100 N. p(t >t 1) = 0. Da Ausschw inge n erfo lgen so ll, berüc ksichtigen wir noch zusätz lich m it

C = 0,0001· K

(3)

0,01 % Strukturdä mpfung. Am Bildsc hirm beobac hten wir, dass vom Ze itpunkt 10 ausge hend d ie Stimmgabel in x-Ric htung mit der Amp litude u ausgele nkt wird und nach 0,1 s bereits eine deutlic he Abnahme der Ampl itude festzustellen ist. Hierbei wurde im Wese ntlichen die erste Eigenfrequenz angeregt. Der Verlauf der Amp litude am LastangrifTs punkt ist im Bild 9.2 da rgeste llt.

Fa llstudie 9: zu Kapite l 9.6 Irzwungene Schwingungen

344

n l ",

148.96 Hz

" 3 = 296.39 11z

Bild 9.1a: Die ersten vier Eigenschwingungsformen der Stimmgabel

" 2 = 152.19 Hz

"4 =

3 12,94 Hz

345

Fallstud ie 9: zu Kapitel 9.6 Erz wungene Schwlngungen

n.s = 90 1,80 IIz

n6

n8

Bild 9.1b: Die fünft e bis achte Eigenschwingungsform der Stimmgabel

=

=

930,54 Hz

1880 Hz

346

Fa llstudie 9: zu Kapite l 9.6 Irzwungene Schwingungen

Bild 9.2: Ze itverlauf der Amplitude in x-Richtung

347

Fa llst ud ie 10: zu Kapitel 10 Materialnichtlinearit ät In den vorausgegangenen Beispielen sind alle Verformunge n lind Spannu ngs ver täufe linear elast isch analysiert worden, d. h., es wurde als Berechnungsgrundlage eine lineare Verlängerung des elastischen Bereic hs des Spannungs- Dehn ungsd iagramms verwe ndet. Die Problemstellung wird nun dahingehend erwei tert, dass ein Material gewä hl t werde n so ll, das einem realist ischen. nichtlinearen Verlauf des Spannu ngs- Dehnungs- Diagra mms gehorcht. Bei dem in diesem Beispie l betrachteten Bauteil hande lt es sich um einen Handgriff für einen Fluggastsitz. Dieser GritTwird einse itig belastet und besteht aus e iner MgAI-Gusslegierung und wird im Druckgussverfahren gefe rtigt. Das Material hat e ine Fließgrenze bzw. O.2-%-Dehngrenze von R pO.2 = 105 N/mm 2. Die Fließgrenze liegt also deutlic h unterhalb der Zugfestigkei t von R m = ISON/ mm 2 • sodass ausgeprägtes Fließen des Mater ials anzunehmen ist. Um Fließe n abe r programmtechn isch erfassen zu können. muss ein eindeut iger Zu~ sammen hang gegeben se in zw ischen den von den Spa nnungen hervorgerufenen Dehnungen . Zur Beschreibung dieses Zusammenhanges wä hlen wir das so gena nnte Z iegler-PragerGesetz. Die Strukturmechaniker Prager und Zicg ler entw ickelten in den Socr-Ja hren Gesetzmäßigkeite n. mit denen der Vorgang der Verfestigung bei plastischen Umformvergangen mathematisch beschriebe n werden kann . siehe auch Bild 10.1. Mithilfe dieses Gesetzes wird aus der Fließgrenze. der Bruchfestigkeit und der maxima len Bruchdehnung von 5 % ein Matertalverhalten. ähnlich dem im Bild 10.1 unter Q) gezeigten. generiert .

1

IRO

t-- --t-- - --::;::="- 7I

105

+---1'''---- - --,,-- - ---j

CD

B ild 10.1: Spa nnu ngs-De hnungsgesetz: CD ideal-plast isches Verhalte" @ Verha lten nac h Prager Q) Verbesserung des Prager-Gesetzes nach Z iegI"

elast ischer Bereich

0,2

5,0 E(%) -

348

Fallst udie 10: zu Kapitel 10 Materialniclulinearitat

Die Gesamtdehnung ergibt sich so zu (I)

und die e last ische Dehnun g zu = O" F

(2)

E

, n E' ''' ,

~ . ",

""" '02 ,2(11;.",

, """' 02

",

~$8E''''

~71 E '
~~.",

'''''''.0' , 'SE' O' ':!OE _
Bild 10.2: Verformungs- und Spannu ngsdiag ramm Handgr iff a) linear elast ische Berechnung b) materialnichtlineare Berechnun g

Im Bild IO.? sind verschiedene Ergebnisse einer linear e lastische n und der plastischen Berechn ung da rgeste llt. Die Verformungen bei der plastischen Rechnung sind etwas größer als bei der linear elast ischen Rechnung. da die innere Rand zone in einem gew issen Bereich wegfließt . Im w eiteren ist die Spannungsauswcrtung gezeigt. Wie im Kapite l 10 dargelegt. wird die Spannu ngsverte ilung iterativ ermitte lt. indem Gleichgewic ht zwischen den äußeren Kräfte n und der inneren Span nungsve rtei lung gefordert wird. Im erste n Iteratio nsschritt wird quasi e ine linear elast ische Rechnu ng bis zur Fließgrenze durchgefü hrt und in den we iteren lterationssch ritten mittels emer Überschreitungsrech nung au f der Zieg ler-Prager-Kurve G leichgewicht hergestellt.

Fallstud ie 10: zu Kapitel 10 lvluler ialnid lllinear ifii f

349

Eine Gege nübe rste llung der Höchstwerte der am Handgriff durchge führten Rechn ungen zeigt noch die folgend e Tab elle des Bildes 10.3.

2

u lllax(mm )

0 lllax (N /mm )

linear elast ische Analyse

0,74

177

plast ische Ana lyse

2,3 7

122

FEM-R echnung

Bild 103 : Höchstwerte der Deform ation und Spannungsve rteilung

Es ist zu erkenne n, dass d ie Spannung bei zuge lassenem Fließen nied riger ist als bei unterstelltem linearem Werkstoffgesetz. Dafür bild en sich aber größe re Verformungen aus . Sicher kann aber die plastische Analyse als die realistischere Berechnun gsmethode angesehen werde n. Insbesondere wenn die angesetzte n Belastungen Span nungen im Bauteil erze ugen, die höher als die Fließgrenze des Material s s ind. muss fiir Berec hnungen mit hohe m Genauigkeit sgrad d ie Materialnichtli nea rität Anwendung finden.

350

Fa llst ud ie 11: zu Kap ite l l 0.4 Geometrische Nichtlinearit ät Zum Problemkre is Nichtlinea rität ist ausgeführt worden, dass man prinzipiell eine Materialnichtlinea rität (E(d) und eine geometrische Nichtlinearität (K (U)) zu unterscheiden hat. In Ergänzung zu dem vorstehenden Beispie l so ll deshalb an e iner Gummidichtung für den Eisenbahnbereich exem plarisch auf große Verform ungen eingegangen werden.

Bild 11.1 : G ummid ichtung im Trägerprofil aus

Aluminium

Die Abmessungen und die Einbausituation dieser Dichtung zeigt das vorstehende Bild 11.1. Wegen der Symmetrie ist es dabei ausreichend. nur eine Hälfte zu betrachten . Beim Einsatz z. B. als Ahd ichtung für ei ne Tür oder Fenster wird die Dichtung um einen definierten Weg zusammengedrückt. Die dabe i entstehende Verformung des Bauteils ist zu groß für eine linear e lastische Berechnung, da bei hohen Verformungsg raden nicht mehr von der Anfangsgeometrie ausgegangen werde n kann, sondern die Verformungen müssen inkrementell aufgebracht werde n. So kann in jeder .Teürechnung'' auf ein aktuelles Netz Bezug genommen werden. Des Weitere n ist noch das Matertalgeserz von Gummi zu berücksichtigen. Unter der Vora ussetzu ng. dass Gummi homogen, isotrop und inkompressibel ist, kann hier das Materia lgesetz von Mooney- Rivlin IFUN 891 in der Formänderungsformulierung angesetzt werden: T = p + 2 c l B - 2 c2 B- 1 (gülti gbis 200 % Dehnung), Danach ergibt sich der Spannungstensor nach CAUCIIY T aus dem hydrostatischen Druckanteil p, dem linken CAUCll Y·GKEEN Tensor B und den be iden Materia lkonstanten c l und c 2'

Fallstud ie 11 : zu Kap. 10.4 Geomet rische Nichtiinearitat die

für

das

hier

durchgeführte

Berechnungsbeispiel

35 \ mit

cl = 0,5 N/mm2

und

2


b)

vrses VALue

4.7oe -Q3 5.20e -Q2 9.93E-Q2 '.46E-Q1 '.93E-Q1 2.4 1E-Q1 2.88 E-Q1 3.35E-Q1 3,83E-Q1 4.30E-0 1 4.77E-0 1 5.25E-0 1 5.72 E-0 1 6. 19E-0 1

r

l '__ -I

Bild 11.2: Situation am Gummiprofi l a) Verformung der Gummitü rdic htung bei 10 mm Türweg b) Spannungsverteilung in der T ürdichtung im deform ierten Zustand

Fallstudie 11: zu Kap. 10.4 Geometrische Nichtlinearit ät

352

Da der Türd ichtungsverband tUT Ilochgeschw indigkeitszüge ein Sicherheitste il dar stellt . war es Auflage der abnehmenden Behörden, das Ergebnis zu verifizieren. Bei einfachen Baute ilen ist d ies meist mit ana lytischen Rechenm odelle n innerhalb gew isser Schranken möglich. Bei dem vor liegend en nichtl inearen Problem und dem Mooncy-Rivhn-Gesetz ist dies

nicht einfach möglich. weshalb der Weg über ein Experiment gegangen werden musste. Bild 11 .3 zeigt die Auswert ung in ei ner Gege nüberstell ung.

a)

[NI 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0

I

-:

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

(mm] b)

[NI 200 ,.,~~~~~~~c-j 180 160

1 1

140

120 100

j

:~

1

20 ~ o oi - i - '3- 4;;-:'' '6-7 8 9 10 [mm]

Bild 11 .3: Verifizierun g und Validieru ng eines FE-Ergeb nisses a) Vers uchsdaten b) FE-Analyse zu zwei Shorehärten Man erkennt eine recht gu te Übereinst immu ng des FE-Ergebn isses.

353

Fall studie 12: zu Kapi tel tI Wärmeleitungsprobleme Wie bei der einführenden Beschre ibung der FE-Methode erw äh nt worde n ist. lässt sich diese auch auf viele versc hiede ne Feld pro bleme w ie z. B. d ie -

W ärmeteinmg,

-

Wärm eübertragun g durch Kon vektion

-

Wärmestrah lung

""d

aus der Thermodynamik anwenden. Wir wollen nun zu d ieser Probl emgruppe als ei nfaches Beispiel eine Zustandsanaly se eines Kühlkörpers HiT einen Leistun gstransi stor im Überlast ungsbet rieb bet rachten . An den Außenwänden des Kühlkörpe rs findet dabei Kon vektion mit de r Wärmeüb ergangszahl

o: = 20

2

"C statt. Die Wärm eleitung im Körp er beträgt " '" 0,45 W /m m "C . Der Wärmeü berga ng vom Kühlkörper in d ie Grundplatine ist zu null gesetzt worde n. W /m

Bild 12.1: Leistungstransistor am Kühlk örper

354

Fallstudie 12: zu Kapitel 11 Wanneleitungsprobleme

Die Ver lust le istung im Transistor w ird im FE-Modell durch eine Wännequelle m it konstant

abgegebener Energiemenge an vier Oberflächenknoten des Kühlkörpers simuliert. Es ergibt sich mit diesen Randbedingu ngen ein w ie im Bild 12.2 dargeste llter stat ionärer Tem perat urverlauf im Kühlk örper. 4 65E+02

4 .62E+02

4,S7E+o2 4 52E+02

4 ,49E+0 2

446E+02 444 E+02

4 42E+02 4 .41E+02

4 39E+02

4 .36E+02

Bild 12.2: Stationäre Te mperaturverteilung im Kühlkörper

Eine Temperatur von 465 "C ist sicher zu hoch für jeden Halbleiter. Sowohl für den Hersteller als auch für den Anwender ist es aber von großem Interesse abzuschätzen, wie lange in dem Transistor die in Wärme umgesetzte el ektrisc he Verlu stleistun g erze ugt werden kan n. bis die fllr da s Halbleitermaterial höchstzulä ssige Te mperatur von 200 "C übersch ritten und das elektro nische Ba ute il ze rstö rt wird. Dah er ist e ine zeita bhäng ige Erw ärmun g, wie sie im Bild 12.3 dargeste llt ist, zu bestimmen. Zu d iesem Zweck ist eine Seri e von FE- Rech nungen mit zeitinkre me nteller Abstufung durchzuführen. Als berech nete r Temperaturwert ist jeweils d ie Temperatur an den Knoten. an denen d ie Wärme in de n Kühlkörper eingeleitet worden ist. als Refere nz wert an genommen worde n. Da bei w ird j edoch der Rücken des Trans istors betracht et . D ie e igent liche Te mperatur im Inneren des Halbleiters ist jedoc h in Wirkl ichk e it noch e in wen ig höh er als in Bild 12.3 dargeste llt. D ieses gilt insbeso ndere bei stu fena rtig einse tzen den Über lasten. wie sie z. B. im Fall e ines Kurzschlusses a uftreten würde n. Für derart ige Fäll e wäre es ratsam, de n Tran sistor e benfalls im FE- Mod ell mit zumodcllieren .

Fallstud ie 12: zu Kapitel II Warmeleitungsprobleme

1 500 465

tf-

355

- - - -- - - - -- - - - --~--~ - -~---~---O----O---~

400 300 200 100 20 +-----j-.---_

1 0,8

--,_ --,-_ --,_ ---,_ ---,_ --,-_ 4 2 3 5 6 7 t[sJ-

Bild 12.3: Ze itabhä ngige Erwärmung des Transistors

Es ergi bt sic h som it, dass der Halbleiter maximal 0,8 Sekunden mit der ge wählten Übe rlast betrieben werden kan n, bis seine maximale Betriebstemperatur übersc hritten und d ie Funktion gefährde t w ird. Ein de rartiges Erwä rmungsze it-Diagramm muss j eweil s bei e iner anderen Ve rlustwä nne neu erstellt werden.

356

••

Ubungsaufgaben

357

Übungsaufgabe ... .1 Dre i starre masselose Balken se ien nur in der vertikalen Richt ung verschieblieh. Sie sind durch ein System von linear elastischen Federn gekoppelt. Für die angegebene Belastung F sind die V erschiebungen der Balken zu berechnen.

CD

E = 10.000 MPa

A = 25 mm 2 ( = 250 mm

'1

F =1.000 N

Q) '2

mi t:

'3

Q)

E ·A

'4

cl = c2 = c3 = c; = c = - 1-

),

'5

c4 = 2 c =

E·4 ·A =-:;-;;;-'

21

@

Erg ebnis Gleichungssys te m:

CD CD

Q) Q) @

-

@ c 1 +c2+ c 3+ c 4

1

-r

c z -cl

~

~

- c2- c 3

- ' 4

'2 + C3 + C5

- C;

- '5

c .. + c 5

- ' 4

u2 . ---'-" ---'--

-

" 4

~

Verschiebunge n: Ul =

O.

F

u2 = - = l mm.

c

9F

9

8,

8

u3 = - -= - mm.

U4

I1 F 8 ,

11 mm 8

= - -= -

+ .s,

= -

-

F

358

Üb ungsa ufga be 5. t Ermitteln Sie fU Tdas da rgestellte System aus zwe i Stäbe n die Knotenversch iebunge n lind die Knotenkräfte!

A I = A 2 = A = 25 mm 2 E = 2,0 .10 5 MPa ( I = 500 nu n C2 = 1.000 mm

F = 5.000 N Gehen Sie dabei schrittwe ise vor, inde m Sie die Oesamt steifigkeits beziehung mit den e ingearbeitete n Randbedingungen erstellen, das red uzierte System nach den unbekan nten Verschiebunge n auflösen. die Rea ktion skräfte berechnen, d ie Sc hnittk räfte berechn en. E ·A J

cl = -

Q)

1» 0I

-

Q)

(,

o

[j]

0

2 I

c,- =-E .(-A, 2

0

F

Ergebnisse Gleichungssystem .

Q)

-

,

~

CI + <: -r

cz

f...=.'-

~

--':-'-

- c 2 .~ - ~ c, ~ ~

Berechn ung der Knotenverschieb ungen: F 11 2 =-= O.5 mm.

c,

UJ

=(-'Cl!'- +"'c!"'2 )'F= 1.5 mm

Berechnu ng de r Reaktions- und Schniu kräfte: S21 = -F .

Element-NT.

J.2 lokale Knoten-NT.

0-

2

~

D

Q)

S22 = F

globa le Knoten-NT.

359

Übu ngsa ufgabe 5.2 Ermitteln Sie für das abge b ildete System aus vier Stäben die Knoten versch iebungen und Kräfte im dargestel lten Auge nblic kszusta nd! A, E, l

V

E = 2 . 105 MPa

starr

A = 25 mm 2 ( =

E. 2 A. 2 i

500 mm

F = 5.000 N

A, E, (

f----x, u

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie

die Gesamtsteitigkeitsbeziehung über die Blockaddition erste llen. die Randbedingungen einarbei ten und die reduzierte Beziehung erstellen. das reduzierte System nach de n unbekannten Verschiebunge n autlöse n, die Reaktionsk räfte berechnen

und • die Schnittkräfte berechnen.

[j]

1> J CD

-

F

Q)

1>'I

~

,2

G, ,

2

Berechnung der Knoten verschie bun gen: LI)

=

F cI

+ c2 + C3

= O,16 mrn

'4

2

D

Element-Nt.

1.2 lokale Knoten-NT.

0 Erge bnisse

®

lJl

globale Knoten-NT.

360

Übungsaufgabe 5.2

Berechnung der Reaktionskräfte: F

F] =--

3

F

F2 =-3 F F4 = - 3 Berec hnung der Schnitrkräfte: 5 11

=--F J

F 5 12 =-

3

5 21

=- -F3 F

522 = -

3

F 5 3 1 =-

3

F 5 32 =--

3

361

Übungsaufgabe 5.3 Ermit teln Sie für das da rgestellte zweid ime nsio na le Stabsystem die Knoten verschiebu nge n und Kräfte unte r Berücksic htigung der Sy mmet rie!

E = 200.0 00 MPa

A = 25 mm 2 ( =

A. E. {

1.000 mm

F = 5.0 00 N

E·A

I

c =c l = c2 = - -

c

F

Ge hen Sie dabe i sch rittweise vor, indem Sie die Gesam tsteifigkeitsbezieh ung mit de n ei ngearbeiteten Randbedi ngu ngen erste llen. das reduzierte System nach den unbekannten Verschie bunge n au flösen.

die Reaktionsk räfte berec hnen

""d • die Sc hnitt kräfte berechnen.

[j]

362

Übungsau fgabe 5.3

Er gebni sse Reaktionskräfte.

FYI =

- '2F = - 2.500 N F

= - - = - 2.500 N 2 F FV2 = - = 2.5 00 N . 2

Schnit tkrä fte. F

= - = 2.500 N 2 F

= - - = - 2.500 N

2

F

= - - = - 2.500 N 2

S,

I Y

= i= 2.500 N 2

363

Übungsaufgabe 5.4 Ermitteln Sie ruf das dargestellte System aus fünf Stäben die Knoten verschieb ungen und Kräfte unter besonderer Berücksichtigung der Symmetrie!

L Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die Elementsteifigkeitsr natrizen der Stäbe au fstellen, in die Gesamtstetflgkeitsbeziehung die Randbedingungen einarbe iten, die reduzierte Steifigkeitsbeziehung nach den unbekannten Verschiebungen auflösen. die Reaktionskräfte berechnen

""d • die Schnittkräfte berechnen.

-

F,

2-

x

364

Übung saufgabe 5.4

Er gebni sse Reaktionskräfte.

2

F -- :"1 3

5

F:q

-- - 6

5

F =-Y4 6

Sch nittkräfte. SI I

2

, = - -3 2 =]

5 12

2

x

=3

2

$12 =-y ]

,

5 6

x

5 =- 6

5 31 = -

5 32

5

6

5 22,

=-3I

5,

= 0

"

365

Übungsaufgabe 5.5 Ermitteln S ie für das dargestel lte zweidimensionale Stabsystem aus fünf Stä ben die Knotenverschiebungen und Kräfte .

Y L

I

x

Fy = 5.000 N

E = 200.000 MPa

A = 25 mm 2 { =

1.707 mm

alle Stäbe E, A

I

(

Ge hen Sie dab ei sc hrittweise vor, indem Sie Nu llstäbe identi fizieren . eine reduz ierte Konstruktion unter Ausnutzu ng der Symmetrie erste llen. die Elementsteifl gkeit en berechnen. die Gesamtsteifi gkeitsrnatr!x über die Blockaddition erstellen, die Gesamtsteifigkeit sbezie hu ng mit den e ingearbe iteten Randbedin gu nge n erstellen. das reduzierte Sys te m nach den unbekannten Vers chiebu ngen auflösen . die Reaktion skräfte berechnen

""d

• die Schnittkräft e ber echnen.

CD l A

Übungsaufgabe 5.5

366 Ergebni sse

G leichungssystem .

1

F, I

.[2 1

F YI

FX2

E·A = -_ .

Fn

(, 2

2

1

.[2 1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

_ Fy 2

- .[2 - .[2

Reaktionskräfte. F]

= -

x

F2

= -

y

( '- ) . -Fv = 1.036 N 2 .... 2 + I .

..n

(..n+ I)

· - F, = 2.929 N

.

Schnin kräfte:

SZl

S22

y

y

= - c · v3 = 2.929 N

=

c- va

= - 2.929 N

1

- .[2 - .[2

0

1

1

- .[2 - .[2

.[2

- .[2 - .[2

1

0

.[2

F' 3

1

0

0

0

0 - I

0

0

- I

1

1

1

.[2

.[2 1+ -

vJ =

ua

0

.[2

ul = 0

1

.[2

0

= 0

va =

0

uJ = 0

v3

367

Übungsau fgabe 5.5

5 JI , = -c , x

I

- ,vJ = 1.036 N

2.fi

5 JI )' =-c

S32

x

I

,,,2

r::; .

vr

= 1.036 N

= c . _ ' _ . vJ =- \. 036 N

2../2

I = c · 2../2· vr = - \. 036 N

368

Übungsaufgabe 5.6 ln der Indus tr ie werde n Rührwerke zur Durchmischung zäher Flüssigke iten eingesetzt . Antr iebsseitig kann eine große starre Masse (Moto r-Getriebe-E inheit) angesetzt werde n und als Reaktion am Rührwerk ein Differenzmoment I1T. Ermitteln Sie ruf das dar gestellte abstrahierte statistische System aus zwe i Drehstäben mit Einspannung lind Torsionsmoment d ie Knotenverdrehun gen!

G 2·I I2 .f 2 _--'_~_~ (

c

_ _ ~ ....... T

=c

Gehen Sie dabei schrittwe ise vor. indem Sie das verwendete Element beschreiben, d ie Gesamtsteifi gkeitsbezichung mit den eingearbeiteten Randbed ingungen erstellen. das reduzierte System nach den unbekannten V erdrehungen auflös en.

IQ)"1--::;--~(lJ ~----;:;--~2 [j]

o

2

0

I

Ci!__ ~T

o

Element-NT. 1, 2 lokale Knoten- Nr. Globale Knoten-Nt.

o

Erge hnisse Größe der Knotenverdrehun gen

369

Übungsaufgabe 5.7 Ermitteln Sie für den dargestellten Ba lken die Reaktionskräfte und d ie Biegelinie!

E •

3

M '" 10 Nm b "' 2 mm h =6 mm

I=~ 12 (

E = 200.000 N I mm 2

f '" 1.000 mm

("' I .OOO m m

Gehen Sie dabe i schrittwe ise vor. indem Sie • die Gesamtsteifigkeitsbeziehung mit den eingea rbeiteten Randbed ingungen erstel len. • das reduz ierte System nach den unbekan nten Verschiebungen auflöse n

und • d ie Reaktionskräfte berechnen.

~

~ Ergebn isse Reaktionskräfte. F1 = -1 5 N

--.. M = 10 Nm

1?""- --=---2 ' [j)

370

Übungsaufga be 5.8 Bestimmen Sie für den gezeigte n Balken d ie Verschiebun gen, d ie Reaktionsk räfte und d ie Schnittk räfte. Unterteilen Sie den Balken dazu in eine unterschied liche Zahl von Element en! q == I

E. I == I f == 2

Gehen Sie dabe i schrittweise vor. indem Sie unter Berücksichtigung de r Symmetrie für eine Untertei lung in zwei und drei Eleme nten folgende Arbeitssc hritte durchführen: die Elementsteifigkeitsmatrix besch reiben. d ie Be lastungen versc hmieren, d ie Gesamtsteifigkeits beziehung mit den ei ngearbe iteten Randbedi ngungen erstellen, das reduzierte System nach den unbekannten Verschiebungen auflösen, die Sch nittgrößen beschreiben. d ie Sc hnittgrößenver läufe darstellen.

I. Für zwe i Elemente

t> - - -

2. Für drei Elemente

[j]

(l)

,

2 I

Übungsaufgabe 5.8

37 1

Erge bnisse -

fU r die unbekannten Verschiebungen für zwe i Elemente

w,

0,208

~,

0

w, " =

=

~2

0,148 0.229

w3

0

~3

0,333

und für drei Elemente

"=

w,

0,208

~,

0

w,

0.1 8 1

~,

0,160

w3

=

0, 105

0,283

~3

w..

0

~4

0,333

- der Schnittgröße n für zwe i Elemente

I

- 0,5208

48

=

0,75

- 0,5

=

0,25

- 0.25

M,

o

0,25

0,25

_ 0,5

l l I

0,395

48

0,375

0,25 0.5 1 - 0,3958 3 _ - 0.02083 = - 0.375 - 0,75 0,0208 3

0.25

- 1

0,0208 3

0

Übungsaufgabe 5.8

372

und für drei Elemente - 0 16

r

[

[ -]

o

- 0 16

- _ - 0.00.?25 = - 0,4 9974 I = - O , 5~ - 0,33 [i] - 0.1 6 0.16

F

o

0,45

0,5 ]

0,444 74

0,00925

[

0.1 6

]

[

0,33

= - 0,454 _ - 0.00":25 = - 0.44~74

[

- 0.5 0,287 0,83

= - 0.287 rJl L.::.J - 0,83

F

[

0,00925

0.16 0.00925 0,16 ] - 0.00":25 0,16 0,00925

- 0,6 0,2774

=

373

Übu ngsa ufgabe 5.9 Bestimmen S ie d ie Verschiebungen bzw. Verdre hunge n des dargestellten Systems!

I

jr=, EI == I (I = I

0

EI = 1/2 (I = I

I

Gehen Sie bei der Lösung sch rittweise vor. und zwar indem Sie • die einzelnen Steifigkeitsmatr izen erstellen. • die Gesamtsteifigkeitsmatrix aufstellen

""d

• die Gleichung lösen,

[j]

Erg ebnisse

,

wz =-

, ,

9

c.p21 =- -

6

c.p22 =-

6

,r ~

374

Übungsa ufgabe 6. t Erläutern Sie für e in eindimens ionales 2·Knoten-Element ve ränder lichen Qu erschn itt die

Steifigkeitsmatrix: A(x ) "" A o· e-1h

mit ß<::O.

<1-- ' L

Gehe n Sie dabei schr ittwe ise vor, indem Sie d ie ein fachste geeignete Ansatzfunktion wählen. die Bedingungen angeben. die diese Ansatzfunkt ion erfü llen muss. die Formfun ktion des stabartigen Elements best imme n und • mit der Form fun ktion d ie Ste ifigkeitsmatrix berec hne n.

Ergeb nisse

375

Übungsaufgabe 7.1 Ermit te ln Sie HiT d ie dargeste llte Grundp latte e ines Hydro-Prüfstandes d ie g rößte Durchsenku ng! Der Rahmen se i als starr zu betrachten.

y"

~

a

J.,

a

a = 2 .000 mm t

e

cumm

E = 2 · I0 5 MPa N k = 1.250 -

a

mm

F = 50.000 N I V=3

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie die G leichu ng HiTdie Gesa mtdurchse nkung aufstel len, die G leichu ng HiTdie Durchsenku ng de r Feder aufstellen, die G leichung für d ie Durchsenkung der Platte ( mit de n in Kap itel 7 gegebenen Matrizen) aufste llen und • die beiden G leichunge n add ieren.

Ergebnis

F ( -I +

w ma\ Kraftangri ffspunkt = -

4

k

80, ' 3

79 E .\

J

= I0 ,35mm

376

Übungsaufga be 7.2 Ermitteln Sie für das dargestellte System di e kleinste kr itische Beulta st P = Pkrit !

y;1' z p

a == 2.000 10m t == 10 10m E =2 , 105 MPa I V= -

3

Gehen Sie da bei schrittweise vor, indem Sie die Randbed ingu ngen und Freiheitsgr ade ermitteln, die benötigt en linearen und nichtlinearen Teilmatrizen aufste llen. d ie charakteris tische Gleichun g entw ickeln

und • d ie kritische Heullast berech nen.

Erge bnis 3

Pkril min

= 3 E · t _ 75 N 2 '~10 m

377

Übu ngsa ufgabe 9. 1 In einer dynamisch be lasteten Tragstruktu r tritt der folgende Stab auf. Bestimmen S ie die Eigenfrequenz der Längsschwinguug!

L = I.OOOmm E = 70.000 N!mm 2

p. A, E

g p = 2.7 k == 2.7 . 109 Ns 2/mm 4 dm 3

x L

Idealisieren Sie einmal in einem und einmal in zwei Elemente(n).

I[

!2'

Erge bnisse (I)

I = 8.819.1 2 -

s

I 00 1 = 8204 -

s

", t

L

I 002 = 28664 -

s

378

Übungsaufgabe 9.2 Ermitt eln Sie für d ie dargestellte Rakete die erste harm onische Längseigenfrequen z !

m; c

bN c = 10 m

m

x,

>

12.500 kg

"1

Geh en Sie dabei schrittweise vor, indem Sie ruf d ie Längseigenfrequenz

• die Massen- sowie die Steiflgkeirsmatrix erstellen. • die Determ inanten bestimme n " cl • die Gleichung lösen.

Ergeb nis

002 =

R; 12 -

m

'

= 30,98 -

,

379

Übungsaufgabe 9.3 Ermitteln Sie bei dem skizzierten Torsionsschwinger d ie 1. Eigenfrequenz!

,-1<--

-L

G = 85.000 -

N -,

mm

kg

p = 7.850 - ,

p. G

m

d

d = 20mm L =100mm D = 140mm M = 10 kg

Gehen Sie dabei schrittweise vor, indem Sie • die Bewegungsgleichung für die freie urigedämpft e Schwingung aufste llen. • die Randbedingungen einarbeiten

",d

• das Gleichu ngssystem lösen.

Ergebnis

W=

3 4 - · G · Jt· d 32 rr L · ( p · _ ·d 4 · L + -3 M · D ') 32 8

= 7.321.0S.!. s

380

Übungsa ufgabe 9.4 Gegeben se i das dargestellte schwingfdhige System. Berechnen Sie für dieses System d ie erste n Eigenfrequenzen!

L = 3.000 mm M = 100 kg

kg

P = 7.850 -m J

E = 2 · lOS MPa

Q uerschnit t:

11 = 80 mm B = 40 mm r e örr un

Beachten Sie, dass sich h ier die Symmetrie des Modells gut nutzen lässt.

Ergebni s

156

I

I

M) = 20.03-

( -420 p . A . L + 2-

S

381

Übu ngsa ufgabe 10.4 De r dargestellte Balken ist links fest eingespannt lind rechts ve rschiebbar ge lagert. Der Balken erfahrt eine gleichmäßige Tem perature rhöhung .1.T. Berechnen Sie nach der FEMethode in ers ter Näherung die erste n beiden •.kritischen Temperaturerhö hunger r- ö'ro.. bei welc her der Balken mit seinen Eigenfor men knickt! E= I J= ]

E, A.J

I

CD

x

C

+ "T

A= I

2L

I.

L=]

ClT = 10- 2

'1

Beachten Sie, da ss die erste Eigenform aus einem Stah ·Mode li und d ie zwe ite Eigenform aus eine m Balken-Elemem bestimmt werden kann.

Ergebnisse

I . Eigenfonn:

.toT _ krit -

Fkti l

u .E.A

2 . Eigenform: dcl( K + K N ) = det [ E · ~ y [ 12 L 6L

det

l

I2 -~ F 6 -~ Fj 15 10 6 --'!'-F 10

4-~F

6L ] F[36

4L2 - 30 L 3L

=0

15

48 - 24 F - 24 F +g r 2 -36 +g F _ _ I_ r 1 = 0 15 5 75 10 100

r2 _ FkriU

104 F +80 =O

3

=i-(13-2.J3T)=2.49.

sr.. = knt.l

FkriLl

= ~ (13+ 2.J3T)=32.1 8

Fkrit.l = 2,49=2 49 li T _ = Fkrit.2 =3 2,1 8=3 2 18 2 ' knt.2 ,' A u T E 10A u T E 10-

382

Übungsa ufgabe t t. t Stellen Sie ruf das gez eigte Kabelstück e in fin ites ..Einelem ent-Modell" auf, we lches den stationären Z usammenhang zw ischen de n Wärm etlü ssen und der Tem pera tu r w ieder gibt!

CD

Ge hen Sie dabei schrittwe ise vor, inde m Sie d ie eindimens ionale Fouriersehe Wärmeleitu ngsg leichung aufste llen, den Zusamme nhang zw ischen der Wärmestromdichte lind den Wärmeeinflü ssen herstellen "" cl • einen linearen A nsatz ben utzen.

Ergebnis

383

Übungsaufgabe 11.2 Ermit teln Sie für das aus Sche iben-E lementen bestehende FE- Modell die Temperaturen an den K notenpunkten!

Gegeben:

Kw]

= [ ~ ~ =:] - I - I

2

Knotenternp eraturen: TJ = 100°C

r,

Tj

o-c = o-c =

Gehen Sie dabe i schrittwe ise vor, indem Sie in Analogie zur Verschieb ungsana lyse die Gesarn twärme teu ungsmat rtx bestimmen. die Gesamtwärmeleistungsbeziehungen erste llen. das redu zierte System nach de n unbekannten Temperatu ren auflösen

""d • die Tem per aturen an de n Knoten a:> und aJ berec hnen . Erge bnisse

384

Mathematischer Anhang

Mathematischer Anhang

385

Zielsetzung des Anhanges soll es sein, die vorstehenden Darlegungen zur Mathemat ik und Mechanik , insbesondere für den im Selbststudium lernenden FEM-Interesse nten. noch etwas vertiefter darzustellen bzw. über einige Lücken schnell hinwegzuhclfen . Al Vektoren und Matrizen Die Rechnung mit Vektoren und Matrizen hat in der ganzen MKS- und FEM-Theorie große Bedeutung, weshalb hier einige Grundbeziehun gen wiederho lt werden sol len. Zunächst ex istieren in der Vektorrechnung mehrere ..Produkte" , die entsprechend richtig ausgerechnet werden müssen: SkulU'1J1'(x/llkl zweier Vektoren

a - b = lal· lhl· cos(a. b) = a x . b; +a y · b y +a , ' b /.•

(A l)

Vektorp rod ukt zweier Vektoren

j = ax bx

a, b y'

k

a, a, b z b,

, j ,, , a y ,,. , by ,

(A2)

Spcuproduta (mehrfache Produkte )

(a x b) . c = (a. b. c ) = b x

a, b,

a, b,

Cx

cy

CI.

ax

(A3)

bzw. das dreifache Vektorprodukt

(a x b) x c = {a· c ) · b- (h · c )· a .

(M)

Die Matrizenrechnung wurde etwa 1850 von dem englischen Mathematiker Sylvester entwickelt. Eine Matrix bezeichnet eine rechteckige Anordnung von Größen in rn-Zeilen und nSpa lten. z. B.

a" A = a" ami

a 12

al3

a"

a"

a m2 a m3

...

a" ] a~l1 .

(A5)

a mn

Dieser Matrix A kann man d irekt keinen Wert zuordnen. dagege n können die Elemente a ij Za hlen. Funktionen oder selbst wieder Matrizen sein.

386

Mathemat ischer Anhang

Von eine r Quadratmatrix kann weiter eine Determinante bildet werde n. Dies ist eine Rechenvorschrift. die auf einer Matrix anzuwenden ist. und zwar '11

'12

det A = ' 21

' 22

'I,

'"

(A6)

Zum Beispiel lautet die Determinante einer z-x-z-Matnx (A 7)

Verschwin det die Determinante einer Matrix (det A = 0). so bezeichnet man die Matrix als singulär. Die inverse Matrix A- I einer nicht-singulären Quadratmatrix A ist definiert durc h die Bez iehung A- I ·A =A ·A - I = 1.

(AB)

Mitte ls der Inversion lässt sich die in der gewöhn lichen Zahlenrechnung defi nierte Division in die Matrixalgebra übertragen. Zur Demonstration der Inversion soll das folgende lineare Gleichungssystem gegeben se in:

au : x I +a J2' s a + 3 13 ' x 3 +"-+ 3 1n . x n = YI. 3 21' xI + 322 ' x 2 + 32) ' x ) +" -+3 2n ' x n = Y2.

(A9)

welches symbolisch in Matrixform geschrieben werden kann: A · x =)" .

(A IO)

Hierbei sei angeno mmen. dass alle aij bekannt sind und auch der Vektor y gegeben sei. Die Auflösung nach dem unbekannten x erfolgt wieder 3 US einer linearen Gleic hung heraus. und zwar aus XI = a lJ . YI + a I2' Y2 +ä 13 · Y3 + "+ä ln . Yn' X2 = 32 1 'Y l + ä 22 ' Y2 + ä2} 'Y3 +"-+ 32 n ·Y n•

(A " )

Mathematischer Anhang

387

we lches eben falls symbo lisch ges chrieben werden kan n als x =A -I . y .

( A 12)

Um eine derartige Inve rsion überschauba r darstellen zu könn en. so ll von folgendem Gleichungssys tem ausgegange n werden:

'''][,,] [y,] a23

. x2

= Y2

a 33

x3

Y3

( A 13)

•

Für d ie Bestimmung der unbekannten Xi wäh len wir d ie so ge nannte Cramer'sche Reget, d ie zunäc hst zu folgender Lösung führt:

XI =

y,

' 12

Y2

' 22

'2J

Y3

' 32

a 33

'12

'13

'21

' 22

'2J

'"

' 32

'"

'"

'" , X2 =

y,

'"

'"

'21

Y,

' 2J

'"

Y3

a 33

det A

'"

' 21

, x3 =

'"

'12

' 22

y, y,

'32 Y3 det A

( A I 4)

Im Prinzip sind d ie auftretende n Determinanten mit der Sarrus 'schell Regel (aber nur 3-x-3 Mat rix) bestimm bar. Hier so ll aber kei n Sonder fall. so nde rn d ie allgemei ne Determ inantenbest immung nach dem Laugtnon-Prinzip" darges te llt werden. Beliebige Determinanten können som it entweder nach de r Spa lte ode r nach der Zeile / RIE 96/ entwickelt werde n. Die Fo rme ln dazu lauten: j -te Spaltenentw icklung 2 .

J .

det A = (- I) +J · a U -de t A U + (-1) +J . a 2j -det A 2j + .

. .. + (_ I)n+J . a nj . der A nj =

n

. _

L (_ 1)1+J . aij . det A ij ,

i: J

i-te Ze ilenentw icklung det A = (- I)i +l. aiJ· detA il + (_ I)i+2 - eu · det A i2 + .

n

. .

. . . + (_ 1)1+n · a in · det A in = L(_ I)1+J · a U· de tA ij . j -t

" Anmerkung: Charfcs l.aughton ( 16. Jahrhundert ). englischer Cramcrschc Regel und das Sarrus-Pnnvrp.

Mathematiker.

verallgemeinerte die

388

Mathematischer Anhang

Zur Entwicklung der Determinanten nach den Spalten wollen wir hilfswe ise noch die Adjunten-Regel benutzen, Man erhält so

+ +

+

+

~ 15)

+

die Zähle rdeterminanten müssen entsprechend dem nachfolgenden A lgorithmus entwickelt werden:

"" '"

3'

I'" ''' I I'" '''23' I I'" 1I'" 1. I'" '"li''' '''22' I

+ 33 3' a22 "23 = +Yl 1'22 ' 23 1- 3 , a22 a32 a33 " 32 a33 33 ' 32 ' 33

'"

'"

3'

'" ' 31

3' ' 23 = -Y l 1' 21 ' 31 Y3 ' 33

'"

'" ' 22

3'

3 ' = + Yl1'21 ' 31 ' 32 33

' 21

' 31

231 'al 3 + 3 ' 'a32 22 1-

3'

a31

13 ' 3 al

en e. u

-YJ

a 21

+ 33

13

'

(A I 6)

' 23

a21

Die invert ierte Matrix kann so angegeben werden als + Yl 1a22 ' 32 A- 1

I'"

=-detA '- - 3 , ' 31

21 + YI!a ' 31

' 23

al l

I I' - 3,

u

' 32

23 + Y21al l '' 33 1 ' 31

"22 1 ' 32

13 ' ' 33

13 ' 1 - 33 ' 33

I'" ''' I

- Y2 3

31

13

1 + Y31 a l2 ' 1 ' 22 ' 23

' 32

I'" ' 21

+ Yl l

a ll

'

wobei

13

' 23 Yl e a l1 3 , es a 21 1

'''I

' 21 ' 22

33

~ a3 1

(A 17)

mit

,

'12

dctA = ' 21

'13 l, a ][

' 22

'31

a 32

' 23 : a 21 ' 22 - a3 1' a22' 313 - a32' 323 -er 1-a3l ·a21· 312 a 33 1 a3l ' 32 (A 18)

'"

,

'12


ln Kapitel 4 ist die Inversion einer 2-x-2-Matrix A =

['li' 21

(A I 9)

389

Mathematischer Anhang erforder lich. Wende t man hierauf das vorstehende Prinzip an. so fuhrt dies zu

-'12] . ' 11

(A20)

Für Handrechnungen ist das zuvo r geze igte Ver fahren recht tra nsparent; in Eü v -Programmen wird hingegen meist die Gauß-jordan-Elimination zu r Inversion bevorzugt.

B) Matrizen-Eigenwertp roblem Die vorstehend dargestel lten Instabil itätsprobleme (7.3.7/ 10.5 ) und die Bestimmung der Eige nfreq uenze n schwiegfähiger Systeme (9.4 ) führen auf die Lösung des EiKe1lll'erlprohlems. Macht man zum Beispiel für d ie Schw ingu ngs- DGL (B\)

M · Ü +K · U =O. den Ans atz U = x. . e iOl .t

(B2)

mit dem Eige nve ktor x. und der Eigenfreque nz 00. so führt d ies zu dem allgemeinen Matri zen -Eigenw ertproblem

(- oo2 . M + K ) x. = 0 .

(B3)

Da es in der N umerik jedoch Standa rdlöse r für das so genannte spez ielle Eigenwertproblem gibt. ist zunäch st eine Umformung sinnvoll. Mit A = 00 2 kann G I. (B3) gesc hrieben we rden

,I,

(-AI\I- 1. M+ M- 1. K) x. =( -A I+ A) x. = 1I .

(B4)

Im besondere n Fall liegen m it Mund K noch posit iv de fin ite. symmetrische Matrizen vor. Für die Nutzu ng der Symmetrie ist dann zweckmäßiger. auf die Massenmat rix e ine Dreieckszertegung anzuwen de n. Ausga ngsg leichung hierfür ist

(-A L1 . L+ K) = 0 . Mu ltipliziert man diese G leichung mit LI

(B5) -I

vor und klammert L aus. so folgt ( B6)

Die Symmetrieeigenschaft kann so auf A '" übert ragen werden. Durch versc hiedene numcrische Ve rfahre n (z. B. Jacobl-Jteration , Vektoriterat ion nach v. Mises) können im Weiteren

390

Mathemat ischer Anhang

die Eigenwerte Ä j = O) jl und d ie Eigenvektoren x * bestimmt werden. Die richtigen Eigenvektoren folgen aus der Rückiransformation

C) Variationsrech nung Bei der Herleitung der finiten Grundgleic hung wurde in Kapitel 3.4.1 von dem Variationsprinzip Gebrauch gemach t und die Variation einer Funktion oy(x) e ingeführt . Diese ist definiert als

Sy = )'(x) - y(x) .

(C I )

Im Gegensatz hierzu ist das Differenzial einer Funktion definiert als

dy = y(x + dx )-y(x).

(C2)

Der wesentliche Unterschied ist dabei, dass bei einer Variation die Funktion und bei einer Differenziation das Argument veränderlich ist. Diese Darlegung kann auch aus dem Bild I /C heraus interpretiert werden.

I y

Yß

YA

------:~/7"<-'j--=:,,;,-A I I I I I I I

xA

/

B

dx y(x)

x

x"

x_

Bild I /C: Variation und Diff erenziation einer Funktion Die Differenziation dy beze ichnet hierin die tatsächlic he Änderung von y bei einer Veränderung von x. Demgegenüber bezeichnet d ie Variation Sy eine gedac hte ode r viril/eile Ände-

Mathematischer Anhang

391

rung der Funktion y(x) nach y (x) . Die Funktion y(x) soll dabei in der Nachbarschaft von y(x) liegen. Aufgabe der Variationsrechnung (begrü ndet von Euler und ßernollllJ) ist es. einen möglichen Abstand zu minimieren oder allgemei n das Minimum eines Funktionals zu finden. d. h.

Sy = O.

(C3)

Be i dem vorstehenden Problem (Abstandsminderung) kann für die Variation fo lgender Ansatz gemac ht werden: (C4)

wori n u ein Parameter und ljl(x) eine beliebige Funktion darstellen. An Randbed ingungen ist zu berücksich tigen. dass an den Endpunkte n die Kurven zusa mmenfallen bzw. dort die Variation (C5)

verschwindet. Als Erkenntnis kann daraus gewonnen werden, dass - die Variation einer Funktion Sy stets beliebig klein ist

"nd

die Variation an vorgegebenen Stützstellen zu null werden kann, welc hes einem Zusammenfallen von y( x AIx B) und y(x AIx B) entspricht.

In der Mechanik wird d ie Variation oft au f eine n Verschiebungsverlauf angewandt. weshalb man hier dann auc h von viril/eilen Versc hiebunge n spricht. Weiterhin werden in den vorstehenden Kapiteln schon die beiden Regeln

YJ = -0 oy, 0 (O dx OX

(C6)

(C7)

benutzt. d ie jetzt mit dem Ansatz von GI. (C4) beweisbar sind.

Mathemat ischer An hang

392 0) Eigenvektore n und Eigenfreq uenzen

System matrizen:

Bild 110 : Zwe i- Mass en-Schw inge r

I

I. Das Eigen wertproblem : p 2 . M + K ]' X = 0

(D I)

2. Die Lösungshedingung: (02 )

bzw. in Determin antenschreibweis e entw icke lt

dot

p 2 . rn + 2c

-,

-,

p2 . m

= det

--+ 2 C

- I

- I p2 . m

= O.

--+1

c

Aufge löst führt dies zur Gleic hung" m m (-p2., -+ 2)( -p2., - + 1) - 1= 0

0)

Anmerkung: Excurs Lösung der quadratischen Gleichung

X2 + p . .X + Q=O .X I12

=_% ± ~ P42 _ q

(03 )

393

Mathematischer Anhang

Es erge ben s ich zwei Lösungen in ( p) 2 :

p2. on ) =.i. ~". _~ =_:!. +

(

c

1

2

4

2

4

fI =- !-(3 - ./5)= -0,38

V4

2

(04)

"2 .on) =_:!._ ~"._ ~ =- !-(3+ ./5)=-2, 62.

(

11

c

2

4

4

2

Diese Lösungen müssen in die Determinante e ingesetzt werden. und zwar zunächst I. L ÖSIIl1g

p2 . m

det

- - +2

- I

c

3 ./5 4 -- +- +-

- I

- I

3 ./5 2 - - +- +222

2

= det

p2 . m

2

- - +1

- I

c

2

(05)

Notwend ig ist jetzt eine No rmierung auf xl = I (desha lb wi rd nur die 2. Gleichung entwic ke lt):

j["

!-+ ./5 2

[

- 1, x l

2

- I

- I

_..!. + .J5' 2

= 1] [0]

x2

=

0

(06)

2

+(- ~ + ~ }X 2

= 0

1.2

- 2+(- 1+./5)" 2 =0 2(-1 -./5) 2(- 1-./5) ' 2 = (- 1+./5)(- 1-./5) = 4 1+./5

x2 =-2 Damit ergibt s ich der 1. Eigenvektor. ( 07)

394

Mathemat ischer Anhan g

Danach w ird die 2. Lösun g einge setzt :

det

3 ./5 +-4

- -- 2

2

- I

2

_ ~ _ .J5 +3. 22 2

- I

Es muss w ieder eine Norm ierun g auf

- I -x I

+(- ~- ~ )x 2

Xl

= det

./5 -2I -2

[ -:

- I

]

-~- ~

CD8) .

= 1 erfolge n:

1·2

=0

- 2+(-I- ./5)x, =0 x,=

2(- 1+ ./5) =2(- 1+./5)=-'- (1_./5) 4 2 (- 1-./5)(- 1+ ./5)

Sie findet sich der 2. Eigen vektor: ( D9)

Weite re Aufgl iederun g de r Lösu ng der charakteristischen Gle ichung :

( p2 C'

rn

)J= -0,38

--> P

2

O.38 · c

=- - rn-

Pl / 2 =

~ rn

(DIO) j2 = _ 1

----

rn ; ="CT

(PI/2) 1 = ±O. 62 · if f

(p' - - rn J c

=-2, 62

11

--> (PIf2) Jl = ±L62 . iff·

(D ll )

Erkenntnis: Die Lösungen in p 2 sind stets negativ reell; die Lösungen in p sind imaginär. Wozu braucht man d ie Eigenvektoren? -+ Übe r die Eigenvektoren kan n eine Matrizengleichung ..dlagonallslerr' werde n. Also

'J

Anmerkung: [p 2 ..\ 1 + K I·:\

= (1

I· x". Ansatz in der Schwingungsle hre. p 2 == _ (1)2 identisch dem

[K _ 002 . M ]' X = 0 , Ansatz in der FEM-ThL'tlrie

395

Mathematischer Anhang

(0 13)

Die vorst ehenden Erkenntnisse so llen jetzt auf ein großes Fß-Gleichungssystem ange wandt werden! Folgende Schre ibwe ise ist für das Eigenfrequenzproblem in der FEM gebräuc hlich:

t,

(K - A -I . M). X = O

A )\1 · X =A ·K ·X

(0 14)

.. w:d

I· X I

X I ·1\1 ·X =A ·X I ·K ·X

~

1\1 diag . = A · K diag ,

~

G leichung ist j etzt zeilenwe ise auflösbar!

Eigenvektor für das vorstehende System mit 2 Freiheitsgraden:

angewandt auf 1\1 :

angewandt auf K;

I ~(1+.'5)] .[ 2' [ 1 .!-(I - .'5) -, 2

-Cl [ I c . ~(I + .'5 )

I ] , [(5-.'5) 0 ] ~( I -.'5) ='2 0 (5+.'5) .

d . 11., eine sc hon diagonale Matrix bleibt ..d iagonal" : eine nichtdiagonale Matrix wird ..diago nal"!

Mathematischer Anhang

396

Bestimm ung der Eigenfrequenzen:

'I

ffi 2 ..J = K diag .: l\1 diag .

- I

(D IS)

")

= ~[(S-JS) 0 ] ~[(s+IJS) 0 2

(S + JS)

0

m

0

1

j

(S- JS )

_ c Rs - JS) 6 +J5"l ~i(J -J5") ~ + J5")1 - ml(s+J5") (s - J5"~ 2ml ' :I..,

Durchführ ung der Inversion laut Formel:

(0 16)

") Anmerkung: Excurs lur Inversion

~1

"1

==

"' » [ o

o ] -+

:\1- [

m 21

=- I - [ "' '' del :\'

0

Anmerkung: Excurs zur Umformung

(5 - .'5)(5 - .'5) 25-2 .5 ..'5 +(.'5)' (5+ .'5).(5 - .'51' 25 - (.'5)

30 - 10· ./5 20

397

Mathematischer Anhang E) Schw ingungs-DG L

FE· Lösu ngen werde n verständ licher, wenn ein Bezug zur Sc hw ingungs lehre hergestellt wird. Einige Zusammenhänge so llen nachfolgend erläutert werden.

T

Bild IfE: Diskretes

I - H~ G -Sy s te m

u

E I) Fre ie ungedäm pfte Sc hwingungen Freie Schwingungen treten auf, wenn die Erregerkraft in der zugehörigen Bewegun gsg leichung verschw indet. Es liegt som it eine homogene DG L vor: m · Ü+ c ·U + k ·u = O.

(E I )

Ruhe ist für u = 0 (triviale Lösung) mögl ich. Interessant sind a lleine nich ttriviale Lösungen in Form von Schw ingungen.

Ungedämpjie Schwing ungen setzen e in konservatives System voraus, be i dem der Energieer haltungssatz gilt: m . Ü + k u = 0. c

(E2)

Diese G leichung wird gewöhnlich in d ie Nor ma lform überführt: Ü+w 2 - u

w

O.

( E3)

Mit u (t) = A · sin w · t + B vcos ro -t

(E4)

ist d ie Lösu ng bekannt. Aus den Ze itableitunge n fo lgt u t t) = tu - A - cos co . t - ro. B - stn ro - t e v,

( ES)

Ü( t ) =_ 00 2 - A - cos w - t - w 2 . B vcos cr- t e a.

(E6)

Werden d ie Lösungen eingesetzt, stel lt man fest, dass d ie DG L identi sch er füllt ist. Die lntegrationskonsta nten A, B werden aus den be iden Anfangs bedingungen

398

Mathemat ischer Anhang u (t ) = Uo und Li( t = 0) = vo

best immt. Einsetzen von

1I

=

Uo

fürt

e

ü

führt zu B = 'tu und Li =

Yo

fiir t = 0 führt zu A = vo / m.

Dam it ist d ie a llgemeine Lösung als '0 .

u( t ) = -

Ol

sm w ·l +u o . cos cc - t .

(E7)

(2 ) Freie gedämpfte Schw ingungen

Für derartige nichtkonservative Systeme ist der Energieerhaltungssatz nicht mehr gültig. Die Schw ing ung w ird unter gesc hw ind igke ilspropo rtionalen Därnpfungskräften abnehmen:

m . Ü +c · Li + k . u = o. mit

k

(l)2 = -

m

( ES)

k und 20 = -

m

folgt

ü + 20 'u +w 2 ' U= 0.

(E9)

Die Standardform erhält man j edoch erst nach Defi nition des Leh r'schen Dämpfungsm aßes

(E I O)

( Ei l ) Eine Lösung d ieser linearen . homogenen DGL 2. Ordnung ist u (t ) = A · e A.t

•

Aus Einset zen in d ie OGL folgt

ode r

(Eil)

Mathematischer Anhang

399

Da für nichttriviale Lösungen u( t) -:F- 0 ist die Größe A · e A-1 niemals null werden kann. erfüllt der Lösungsansatz die DGL nur. wenn " eine Lösung der charakteristischen Gleichung (E13)

ist. Die Gleichung hat bekannt lich d ie Lösung (E I4) Jede d ieser Lösungen erfüllt d ie DGL, weshalb auch die Linearkombination (E I5) eine Lösung da rste llt. Die Konstanten A. B lassen sich wieder mit Anfa ngsbedingungen bestimmen.

400

Ql\l ~ Ch cckli st c

einer FE·B crcch nung

I . Mod ellbild u ngl ldealisier ung

•

Wahl des Berechnungsalgorithmu s

turabhän gigkeit

-

•

•

=> linear, nichtlinear. Ze it- ode r Te mpere-

Idealisieru ng

=> elastisch-plas tisch, idea l-plastisch

Modellred uktion

-

-

Betrachtung kritischer Beultei le Topo logie

=> physi kalisch und mechanisch richtig => Vernach lässigung von v errippu ngen, Fasen ete.

Sy mmetrie

Malerialeigenschaften

=> Randbedingungen => isotrop ode r orthotrop

2. Modellge ner ieru nglD isk re lisieru ng

•

Ver netzurig

-

Wahl des Elementtyps

-

Wahl der Elementgröße

-

Elementeigenschaften

=> elast isch. starr => geeignete Elemente, kompatible Verschiebungsensätze

Ansatzfunktion en geo metrische

=> aus reic hende Netz feinheit => Rand kont uren => Netzverfeinerung bei Kerben. Absätzen, Rissen

• •

G ittergenerierung

•

Randbed ingungen

Elemem formu lierung

=> vo llständ ig, Schalen dic ke etc. => Übergän ge vom gro ben zum feinen Netz. Elementfonnen

-

Lasteinl eitung

-

Lagerung

-

Flächen lasten etc. keine Starrkörperbewegung. => realitätsnah. Flächen-Lin ien

Zwa ngsbe dingu ngen

=> Co uplc DO F

=> Lastgr öße bei Symmetrie. Über lagerung.

3. Mod ellzusa mme nba u

•

•

Funktion Kontakt

=> Elemen tkopplungen => Defi nitio nen korrekt. Reibu ng erc.

Check liste e iner FE-B erechn ung

~.

Be rec hn ung

• •

Fehlerausgabe

=> Überprüfung der Berechn ungsfehler

Programmfeh ler

-

Rundungsfehler Inkompatibilität der Progrernrnrounn en

•

401

Wahl der Iterationsschritte

=> in der Regel vernach läss igbar => Vers ionswechse l => Kon vergenz

5. Be urteilung der Erge bnisse

•

Verifikatio n

-

visue lle Kontro lle

-

Stetigkeit der Span nungen

-

•

-

=> sind Ve rsc hiebungen ode r Span nungen realist isch

=> be i Elementübergängen

Übersch lagsrechnung exakte analytische Lösungen experimente lle Ergebnisse

Plausibilität

=> physikalisch korrekt. Bewegungen. Durchdringengen

•

Prüfen de r Ergebnisgüte

•

linear!nicht linear

=> Netzverfeinerung. Berechn ung mit andere n FE-Prog rammen

=> Spa nnunge n unte rhalb der zulässige n Werte

402

Literaturverzeichnis fA LT 821 Alte nbach . J.; Sac harov , A. S.: Die Methode der finiten Elemente in de r Festkör permcc hanik Hauser-v er lag. München 1982 tA RG 641 Argy ris. J.: Recen t Adva nces in Matrix Methods ofSt ructura l Ana lysis Pergarno n Press, Oxford 1964 tA RG 861 Argyrts. J.; Mfej nek, H.-P.: Die Method e der finit en Elemen te in de r elementare n Strukt urmec hanik. Bd. I : Verschiebungsmethod e in der Sta tik Fr ied r. Vieweg und So hn-Verlag, Wiesbaden 1986 tA RG 871 Argyris. J.: Mlej ne k. H.· P.: Bd. 2: Kraft- und ge mischte Methoden, N ichtlinearitäten Friedr. Vieweg und Sohn-Ve rlag. Wiesbaden 1987 tA RG 88/ Argyris, J.; Mlejne k. H.-P.: Bd. 3: Einfü hrung in die Dynamik Friedr. Vieweg und Sohn-Ve rlag, Wiesbaden 1988

IBA I 781

Baie r, 11.: Mathematische Programm ieru ng zur Op timierung von Tragwerken insbesondere bei mehr fache n Zielen Dissertation, TH-D armstadt, 1978

I BAT 851 Bathe. K. 1.; Cha ud hary , A.: A so lution method for planar and ax isymmetric contact probl ems International Journal for nu mer ical methods in eng ineering. Vol. 2 1, 65-88

( 1985) I BA T 86a Bathe , K.· J.: Finite-Elemente-Met hod en ' Springer -Ve rlag, Ber lin 1986

IBAT 86bl Bathe, K. J.; Chaudhary, A.: A so lution metho d for star te and dynamic ana lysis ofthree -dime nsional con tact pro blems w ith friction Co mputers & Stru krures. Vol. 24, No . 6, pp. 855-87 3, 1986

IBAT 871 Bathe, K. J.: Mijai lovich, S.: Finite Eleme nt ana lysis of frictional contact problems Specia l Issue, Journal de Mecaniq ue T heorique et Appliquee, 1987 I Bu e 731 Buck, K. E.: Scharpf D. W.: Einfü hrung in die Matri zell. Verschiebu ngsmethode in Finite Element in der Statik Hrsg. Buc k, Scharpf Ste in. Wunderlich. Ve rlag W. Ernst & Soh n, Ber lin 1973

IC HE 891 C hen, W. F.; Han. D. J.: Plasticity for Structu ra l Engmeers Spr inger -Verlag. Berfin - lleide lberg - New Yor k 1989

Literatur verzeich nis

403

/DAN 771 Danken , J.: Numerisc he Method en der Mechanik Springer-Ver lag, Wiell\977 I D EG 021 Deger. Y.: Die Methode der Finiten Elemente-Grun dlagen und Einsatz in der

Praxis Expert-Ver lag. Rennirrgen. 2. Au flage , 2002 I FOX 701 Fox. L. R.: Optimization methods for eng ineer ing design

Addison Wesley Publishing. Reading, Massachu setts 1970 I FRA 741 Franeck. H.; Recke. H.· G.: Berechnung von Laufrädern mit der Methode der

finiten Elemente Maschinenb autechnik 23 ( 1974) 9, S. 423·426 IFRE 951

Freitag. 0 .: Funktionsbasierte Komu roptimierung unter Einbez ug konstruktiver Formelemente VDl- Fortschrittberichte R. 201N r. 178, Dusseld orf 1995

I FUN 891 Funk. W.: FEM-Berechllung gummie lastischer Bauteile unter Verwendung ex-

per imenteller Daten Kautschuk + Gu mmi. Kunststoffe 42 ( 1989) 11 . S. 985-99 1 IGA L 761 Gallagher. R. H.: Finite-Element-Analysis

Spr inger-Verlag, Berlin 1976 IGÖ L 9 11 Göldner. H.: Lehrbuch höhere Fest igkei tslehr e

Fachbuchverlag Leipzig, 3. Auflage. 1991 IG RO Oll Gro th, C.; Müller, G.: FEM für Praktiker: Bd. 3: Temperaturfeld er

Expert-Verlag, Rennirrgen. 4. Au flage. 200 1 IHAH 751 Hahn. H. G.: Methode der fi niten Elemente in der Festigkeitslehre Akadem. Verlagsgesellschaft. Frankfurt/M. 1975 IHAR 851 Hartm ann. F.; Pickard. S.: Der Fehler bei finiten Elementen Baui ngenieur 60 (19 85). S. 463·468 I II EI 981

Ileimann, B.; Gerth. W.; Popp, K.: Mechatrc nik Hanser-v erlag, München - Wien, 1998

IIRO 781

Irons. ß . M.; Z ienkiew icz, O. c T he Jsoparametric Finite Element System Publicat ion University of Wales, Swansea 1978

IJUN Oll

Jung. M.; Langer. U.: Methode der finite n Elemente für Ingenieure

Teubner-verlag. Stuttga rt - Le ipzig - Wiesbaden 200 1

404

Literaturverze ichnis

IKAN 771 Kanarachos. A.; Müller. W.: Automatische Bandbreitenredukt ion. ein Hilfsmittel be i FE-Algorithmen VD1-Z 119 ( 1977) 10, S. 497-500 IKLE 77/

Klein, B.: Ein Beitrag zur rechnerunterstützten Ana lyse und Synthese ebe ner Gelenkgetriebe unter besonde rer Berücksichtigung mathe matischer Optimierungsstrategien und der Finite-Element-Methode Disserta tion, Ruhr-Universität Bochum, 1977

IKLE 80/

Klein, B.: Anwendung der Finite-Element-Methode im Maschinenbau Werkstatt und Betrieb, 113 ( 1980), S. 687- 694

IKLE 94a1 Klein, B.: Le ichtbau-Konstruktion Friedr. Vieweg und Sohn-Ver lag, Wiesbaden, 5. Auflage 2001 IKLE 94b/ Klein. B.: Die Finite-Eleme nt-Methode im Masch inenbau Seminarunter lage. Haus der Technik. Essen 1994 IKNO 961 Knothe. K.; Sticke l, S.; Dietz, SI.: Konzept für einen Betriebsfest igkeitsnachweis aufgrund gekop pelter FE-MKS-Simulationsrechnungen Konstruktio n 48 ( 1996), S. 35-39 IKOL 58/ Kollenbru nner, C. F.: Meister, M.: Ausbeulen Springer-Ve rlag, Berlin 1958 IKOL 85/ Kolar, V.: Kratoc hvil. J.; Le ttner. F.: Zen isck. A.: Berechnung von Flächen- und Raumtragwerken nach der Methode der finiten Elemente Springer-Verlag. Wien 1985 ILAG 94/ Lagnese. J. E.: Leugering. G.; Schmidt. E. J. P. G.: Modefing. Analysis and Cont rol of Dynamic Elastic Multi-Link Struct ures ß irkhäuser Verlag, Bosto n 1994 ILiN 89/

Link. M.: Finite Elemente in der Statik und Dynamik Teubner-Ver lag, Stuttgart 1989

ILOR 95/

Loreuz, P.: Poterasu. V.; Mihalache, N.: Methode der finiten Element e und der Rande lemente Friedrich Vieweg und Sohn-Verlag. Wiesbade n 1995

IM AT 89/ Mattheck. c.: Eng ineering components gro w like trees KfK-Bericht Nr. 464 8, Karlsruhe 1989

IMAY 93/ Mayr, M.; Thalh ofer, U.: Numerische Lösungsverfahren in der Praxis Hauser-Vertag. München - Wien 1993 IMEI 89/

Mei ßner, U.: Menzel, A.: Die Methode der finiten Elemente Springer-Verlag, Berlin 1989

405

Literatur verzeich nis INN 861

N.N.: Finite Elemente für Tragwer ksberechnungen Umdruck Inst. für Baustatik . Universität Stuttgart, SS 86

INN 901

N.N.: Aus der FEM-Zwickmiihle Druckschr ift Fa. TEDA S. Marbur g 1990

INN 941

N.N.: ABAQUS/Standard-Example Problems Manual Hibbitr. Karlsson & Se rensen. USA/ 1994

INN 991

N.N.: FE-Modeling and Analysis with l- DEAS SDRC· Publikation 07039 0· R 1/199

lO D E 721 Oden. J. T.: Finite Elements ofNo nlinear Continua

McGra w HilI. New York 1972 10 L S 721

IPRZ 681

Olsen. M.-D.: A Co nsistent Fin ite Element Method for Random Response Problems Computer & Strucrures ( 1972) 2. pp. 163-180 Przemieniecki, J. S.: Theory ofm atr ix structura l analysis. M cöraw-Htll. New York 1968

IRIE 961

Rießinger. T.: Mathem atik für Ingen ieure Springer-Verlag. Berlin - Heidelberg , New York 1996

L Eine neue Ges talto ptimie rungss trategie bio log ischer St rukturen GA MM-Tag ung. Krakau 199 1

I SA U 9 11 Sa uter,

I SCH 80!

nach

dem

Vorb ild

Schwa rz, 11. R.: Met hode der fin iten Elemente Teubner-Verlag. St uttga rt 1980

I SCH 991 Schwe rrassek. R.; Wallra pp. 0.: Dynamik fle xible r Mehrköp ersysteme

Vieweg-verlag, Braunschweig - Wiesbaden 1999 I SD N 991 Sonnensche in. U.: Mode liierung und numerische Crashsimulation von param e-

irisierten Fahrzeugkonzepten Diplomarbeit an der Universität Kasse1. 1999 I ST E 7 11

Stelzer, F.: W ärmeübertragung und Strömung Thlemlg-v ertag. München 1971

I ST E 921

Steinke, P.: Finite-Element-Methode Comelsen-verlag. Düsseldorf 1992

I STO 731

Sroer. J.; Bulirsch . R.: Einfü hrung in die numer ische Mathem atik 11 Heidelberger Tasch enbücher, Bd. 114, Springer-Ver lag. Berlin 1973

406

Literaturverze ichnis

/SVO 75/

Svoboda. M.; Kern , G.: FEM zur Berechnung der Tem peraturverteilu ng und der thermisc hen Bean spruchung von Verbrennungs moto ren MTZ - Motortechnische Ze itschrift 36 ( 1975) 2. S. 39·42

ISZA 54/

Szabo, 1. : Höhere tec hnische Mec hanik Springer-Ve rlag. Ber lin 1954

ISZ I 82/

Szilard. R.: Finite Berechnungsmethod en der Strukturmechanik W. Ernst und Sohn-Ve rlag. Berlin 1982

ff lM 5 1/

Timos henko. S.: Goodier, J. N.: Theory of Elasticity Mcfl raw-Hill Bock. New York 195 \

IW AL 89/ Wallrap p. 0. : Entw icklung rechnergestützter Methoden der Mehrkörperdyami k

in der Fahrzeugtechni k DFVL R-FB 89-17. Oberpfaffenh öfen 1989 IWEC 891 Weck. M.; Feld ermann. 1.: Anwendungs möglichkeiten von adaptiven Fin iteElement -Verfahren bei der Stru kturo ptimie rung Konstruktio n 4 1 ( 1989). S. 325-33 1 IWIL 65/

Wilson, E. L.: St ructura l Ana lysis of axisymme trjc Sclids A1AA Journal. 3 (1965 ) 12. pp. 2269·2274

/Z IE 75/

Z ienkiewicz, O. C.. Methode der finiten Eleme nte Hanser-Vertag, München 1975

/ZUR 541 Zurmü hl, R.: Praktische Mathematik Springer. Verlag. Berlin 1954

407

Sachwortverzeichnis A

u

ABAQ US 3 Abbruchschranke 299 Anfan gsbedin gung 228 Anfan gsdehnungsverfahren 25 1 Anfangsspa nnungen 25 Anfangsspa nnung smatrix 159 Anfangsspan nungsverfahren 25 1

d'Alembertsches Prinzip 26,203 Dämpfung 2 13 Dämpfungsmatrix 2 12 DGL 46 , 52, 55, 213, 225, 343 Diagonalhypermatrizen 68 Diagonalmatrix 208 Differenz enm ethode. zentra le 24 1 Differenz enverfahren. zentrales 243 Differenzialoperatorenmatrix 20 DIN EN ISO 9000:2000 32 1 Drallsatz 290 Dreh matrix 283 Drehstab-Element, lineare s 5 1 Dreh trägheit 206 3-D-Balken-E lement 93 Dreieck- Element 98 Dreiec k-Platten -Element 152 Dreieck-Scha len-Element [66 Dre ieck-Scheiben-Element 209 Duhamel -Integra l 238

A nregung 227

Anregungsfunkt ion 230.237 Ansatz , isoparametrischer 126 Ansatz funkt ion 3 1.60. 89 ANSYS 3

Antwortfunktion 237 Arbeit. virtuelle 27,202 Aussage sicherheit einer FE-Anal yse 8

"

Balken-E lement 53. 95

Bal ken-Schei ben-Elemente 119

Belkensteifigke itsmatrix. geo metrisc he 262 Bandbreiten-Optimierung 3 14

Bauteila nalyse. rechnerunterstützte 43 Baureifo ptimierung 297 Bedin gung nach v. Mises 255 Bemoulli-Balken 82 Bernoulli-H ypothese 53

Bculform 164 Beulun g 156

BewegungsditTerenzial-Glei chun g 233 Biegelin ienbeziehung 55 Bilanzgle ich ung 268 Bisekt ionsmethode 22 1 Blockaddition 36 B· Matrix 103, 132, 179 Boo le'sche Matrix 69, 70 Boot e-sche Zuordnungs matr ix 68 Box-Verfa hren 298

C CAE-Konzeption 41 CAE-Prozesskette, kon ventionelle 6 CAO-Verfahren 300 CFL· Bedillgung 246 Cholesky - Verf ahren 75 Coutomb-sc hcs Reibgesetz 184 Cramer-sche Regel 100

E Effiz ienz 81 Eigenfor m 164 Eigen frequenz 2 13 Eigen krei sfrequenz 2 17 Eigensch w ingungsform 342 Eige nschw ingungsproblem 225,340 Eige nspannung 25 Eigenv ektor 164,21 3,227 Eigenvektorenmatrix 218 Eigenwertmatrix 2 18 Eigenwertproblem 163 Einheitserr egung 23 1 Einheitsmatrix 18 Einheitsq uadrat 137 Einzelsteiligkeitsmatr ix. transformierte 65 Element, isoparametrisches 129 Element, kubische s 110 Element, vollverträgl iche s 149 Elementardrehung 283 Elementdämpfungsmat rix 2 12 Elementdrehsreifigkeitsrnarrix 53 Elemente, kompat ible 9 1 Elemente, vert räg liche 144 Elementierung 307

Sachwe rtverzeichnis

408

Elementmassenmatrix 48. 57.204 Elementsteifigkeitsrnatrix 36. 48 Elem entteilung 3 11 Eleme ntträghe itsmatr ix 53

Endmassenwirkung 207 Ene rgie. kineti sch e 29 1 Ersatzg leic hgewichtsg leichung 27 ESZ 14 \

Euler-Fall 263 F Fachwerk struktur 323. 329 Federelement 35 Fehlerque lle 306 F E~ Löser

42

Flä chenkoord inaten 105, 106 Fläch enträgh eitsm om ent 207 Flansch . gebörd elter 165 Fonnfunktion 47 ,49. 101 Fouri er -sehe W ärmeleitungsgleich ung 266

I I-DEAS 3 IGES 6 Imp uls 343 Imp ulssatz 289 Inert ialsystem 28 1 Initialverschie bungsmatr ix 259 Insta bil ilätsprobleme 25 9 Integr ation . direkte 23 9 Integr ation . numerische 134 Interpolation spolynom 134 Inter vall, normiertes 136 Invaria nz der äuße ren Arb eit 64 Inversion der Koe ffizient enm atrix 16 Inzidenzmatrix 69 Iteration, d irekte 24 7 Iterat ions ver fahren 74

J l acobi- Matrix 108.1 27. 133. 2 10

free meshing 3 11.337 Fre ihei tsg rad 280 Fre ihei tsg rad. primärer 225 Fre ihei tsg rad. se kundä rer 225 Frequ enzban d 34 1

Frontlösungsverfahren 74.77.78 Funktionsmatrix 108 G

Galerkin 3 1 Ga uß'se he Quadraturform eln 134

Gauß-Punkt 138, 139 Gesamtkraft vekt or 40 Gesamtmassenm atrix 7 1 Gesamtsteifi gkeit smatrix 40. 7 1,87 Gesch windigk eit 281 Gl eichungslöser 81 Grundg teic hung. fin ite 16 Guy an- Reduktion 222

H Hermire Polynome 59 Hooke-sches Gese tz 19 Hooke-Jceves- Verfahren 298 Hou seholdcr· G ivens· Mod ifikation 22 1 Householder- Verfahren 22 1 h-Verslon 8 Hyperg leichung 39

K Kinem ati k 28 1 Kinetik 279, 28 7 Ki rchhoff' sche Theorie dünn er Platten 140 Knickfa lle 25 9 Knotenkräfte 66 Knot enkr äfte. äquiva lente 65 Knot enkreisverschiebungsvek tor 177 Knotenlastvektor 48,53 Knotenvektor 63 K noten verschieb ungsvektor 56 Kon stan telem ent (CS T = con sta nt strain triangl e) 98 Ko ntaktfläche 184 Kontakt-Knotenpunk tkräfte 195.201 . 199 Kontaktk örper 182 Kontaktproblem 187 Kontaktp roblematik 330 Kontinuitätsbedingung 26 7 Kontur 3 15 Konvergen z 119,1 53, 173 Konvergenzbet rachtung 96 Koord inateniiberrela xation 22 1 Körpe r. isotrope 27 1 Kräne. dissipati ve 27 Kräftepfadoptimierung 303 Kraftgr ößen-Methode 12 Kre isfrequenz 2 19

Sachwertverzeichnis Kreisring-Dreieck -Element 177 Kreisring- Ele me nt 175 Krieche n 247 L

Lage. allge me ine 285 Lagra nge-M ultipl ikatoren 184 Lagra nge'sc hc Method e 288 La nczos- Ve rfa hren 22 1 Lösung, ho moge ne 23 1 Lösung, iterat ive 189

M map ped mesh ing 3 11.335 MA Re 3 Massen matr ix 6 1 Massenträg heitsm oment 5 1 Materia leigen sch aftsm atrix 2 1 Mal erial gesetz von Gummi 350 Mal erialr eibung 2 12 Matrix-Steifig keitsmethode 34 MCA E-Syste me 7 Mechanisme nst ruktu r 29 5 Mehrkörp ersyste m 279 Meshprozedure n 338 M ises, vo n 339 M itte nknoten 111 M KS 27 9, 28 1,287,29 1 Moda lmatrix 2 18 Mode nübe rlage run g 239 Momenteng leichgew ic ht 23 Moo ney-R ivlin 35 0,352 Mult ifeld- Ele me nt 275 Mult iphysi k 12 Mult iphysi ka ufga be 275 N NAST RAN 3 Navier'sc hes Pro ble m 323 Nebenbed ingung 185,297 Netzautb au 3 11 Netztopolog ie 314 Newtcn-Cotes-Quadrat ur 134 Newto n-Euler-Methode 288.29 1 Newto n-Raphson 189, 248 Nichtlinea rität 250 Nic htlinea rität. geo me tr ische 257 ,350

409

o Oberfläc hen lastvekto r 48 , 53 Optimierungsfunktio n 298 Ortsvektor 28 1 Out-c f-balance-Vektor 19 1 p

Pa ra meteroptim ie rung 298 Pa rtne rregel 3 12 Pascal-sches Dreiec k 9 1, 143 Pascal' sc hes Dreieck , dreid imensionales 17 1 Passfede rve rbind ung 187 Pfado ptim ierung. sele kt ive 304 Plastiz ität 247 .253 Platte nbeulun g 157 Platte n- Element 139 Platte n- Elemente, Problematik 143 Platte nstreifen 156 Polyno me 9 1 Polyno mgrad 9 positiv de finit 74 Post-P rozesso r 42 Pre-P rozesso r 42 Prism a-Elem e nt 173 Prod ukthaftungsgesetz 32 1 Prod uktregel 55 p- Ve rsion 9

Q

Quade r-E lem e nte 173 Quadrats cheibe. gelochte 105 Qu alitätss icherung 320 Querko ntraktio n 2 1, 22 R Ra nd bedin g ung 26 8,329 Ra pid-Prod ucl- De ve lo pment 174 Ray leigh -Quotient 2 17 Reaktio nskraft 37 Rechenze it 80 Rech teck- Ele me nt 11 1 Rech teck imp uls 233 Rechteck- Platten-Ele ment 146 Red uktion, stat ische 229 Refe re nzsystem 28 1 Re lativsystem 28 1 Restmeth od e. gewichtete 32 Restwert 32 Rotatio nsmatrix 282

Sachwert verzeichnis

4 10

S Sandwich-Ele mente 155 Schale n-Ele ment 165 Sche ibe n-Element 97 Schlag 343 Schubverformung 120, 12 1, 155 Schweißna ht 277 Schwingung, erzwungene 22 8 Schwingung , freie 226 Schwingungsd ilTerenz ial 203 Schw ingu ngsd ifferenz ialgleichung 33.46.

47

shapc funct ion 48 Simpson -schc Regel 134 So nde rrandbedingungen 72 Spahenhypervektoren 68 Spannungsauswertung 9

Spa nnungszusta nd, ebener (ESZ) 22,97 SI. venanrsche DG L 158 Stab-Element 45 Stab- Element. linea res 46 Standar dsc hnittste lle 6 Starrkörperbeweg ung 37. 89, 289 Sre ifigke itsrnatrix 62 Steifigkeitsmatrix. geo metr ische 159 Steiflg ke itstransfo rrnation 62 Stoffgesetz 24 Strateg ie, bionische 300 Struktur, ungebundene 69

Strukturdämpfung 235 ,343 Stützstellen 30. 134 Symmet rie 5 Systemsteiflgkeitsmatrix 36, 87

T Tangentensteifig keusmatrix 248 Tätigkeitsanalyse 7 Taylor'sche Reihenentwicklung 248 Te mperaturde hnungss trateg ie 30 1 Te mperaturgradient 266 Te mperaturverteilung 354 Te traeder-Eleme nt 170 Ti mos henko-Balken 120 Topo logie 280 Tragwerk 38 Transformat ionsmatrix 64,282 Transponierung 17 Tresca 257

U

Übe rrelaxa tionsfaktor 249

v v. Mises'sche Fließbe dingu ng 25 6 Validier ung 10 Variationsprinzip 27 Vekto riteration 22 1 Verfahren, explizite 239 Verfahren, imp lizite 239 Verform ungszustand 34 Ve rgle ichss pann ung 339 Ve rgröße rungs funkt ion 23 2 Ver ifiz ieren 10 Ver kcttbarkeitsrcge ! 17 Verschiebungsansatz 30.66, 109 Versc hieb ungsei nflussza hlen 35 Verschiebungsgrößen-Methode 12 Verträglichkeit. kinemat ische 24 verzerrungszustand. ebener (EVZ) 22 Vie reck-Element 125 Vo lumen-Eleme nt 170 Vo lumen-Eleme nte. lineare 17 1 Vo lumen kräfte 28 W

w ärmedehnen g 25 Wärmekapazitätsmatrix 272 Wärme leistu ng, innere 268 Wärmeleitfähigkeitsmat rix 268 Wärmeleitung 353 wärmefettungsanalogon 267 Wärmeleitungsgl eichung. diskretisicrte 27 1 Wärmeleitungsg leichung, instationäre 276 Wärmele itungsmatri x 272 Wärmestromdichte 266 Wärmeübertragung. instationäre 267 Wärmeübertragung. sta tionäre 266 Werkstoffgesetz 82 Win kelb eschle unigu ng 287 W inke lgesc hwind igke it 287 Z Zleg ler-Prager-Gesetz 347 Zielfunktion 297 Zielkörpe r 182 Zwangsspannungen 25