Heinz Haferkorn
Optik Phy sikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen
4.,bearbeitete und erweiterte Auflage
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Heinz Haferkorn Optik Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen
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Heinz Haferkorn
Optik Phy sikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen
4.,bearbeitete und erweiterte Auflage
Autor: Prof. Dr. Heinz Haferkom. em. Technischc Universitiit llmenau
Das vorlicgende Werk wurde sorgfaltig erarbeitet. Dennoch uhemehmen Autor und Verlag fur die Richtigkeit von Angaben. Hinweisen und RatschlPgen sowie fur eventuelle Druckfehler keine Haftung.
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Bibliogratischc Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation i n der Deutschen Nationalbibliografie: detaillierte bibliogratische Daten sind im Internet iihcr
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ISBN 3-527-40372-8 0 2003 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. Weinheim
Gedruckt auf slurefreiem Papier. Alle Rechte. insbesondere die der Ubersetzung in andere Sprachcn. vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgcndeiner Form - durch Photokopie. Mikroverfilmung oder irgendein anderes Verfahren - reproduziert oder in eine von Maschinen, insbesondere von Datenverarbeitungsmaschinen.verwendbare Sprache ubertragen oder ubersetzt werden. Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen, Handelsnamen oder sonstipen Kennzeichen in diesem Buch berechtigt nicht zu der Annahme. daS diese von jedermann frei benutzt werden durfen. Vielmehr kann es sich auch dann um eingetragene Warenzeichen oder sonstige gesetzlich geschutzte Kennzeichen handeln. wenn sie nicht eigens als solche markiert sind. All rights reserved (including thow of translation into other languages). No part of this book may be reproduced in any form -by photoprinting. microfilm. or any other means - nor transmitted or translated into a machine language without written permission from the publishers. Registered names. trademarks. etc. used in this book. even when not specifically marked as such, are not to be considered unprotected by law. Satz: Manuela Treindl. I.aaher (ah Kapitel 7 ) Druck: Druckerei Lokay, Reinhcim Bindung: Litgeh & Dopf GmbH. Hcppenheim
Vorwort zur 4. Auflage Nachdem die 3. Auflage des Bandes Optik vergriffen ist und umfangreiche Recherchen sowie Nachfragen von Fachkollegen einen weiteren Bedad erwarten lassen, hat sich der Verlag zur Herausgabe einer weiteren Auflage entschlossen. Der Inhalt der 3. Auflage stellt auch heute noch ein solides Fundament fur die Beschaftigung mit der Optik dar, wenn auch an einigen wenigen Stellen manuelle oder grafische Methoden behandelt werden, die durch den Einsatz des Computers an Bedeutung verloren haben (z. B. bei der Prismendimensionierung). Deshalb war es naheliegend, den bisherigen Inhalt beizubehalten und durch einige weiterfuhrende oder aktuelle Abschnitte zu erganzen (Kapitel7). Dabei muate aus Pbtzgriinden teilweise die umfassende theoretische Darstellung gegenuber verbalen Aussagen zuriickstehen. Fur geringfugige Uberschneidungen zwischen dem bisherigen Text und dem Text des Kapitels 7 bittet der Autor um Entschuldigung. Zu besonderem Dank ist der Autor dem Verlagsleiter Physik des Wiley-VCH, Dr. Alexander Grossmann, verpflichtet. Seine positive Einschatzung des Buches und sein Optimismus fur eine erfolgreiche Weiterfuhrung haben diese Auflage ermoglicht. Der Autor bedankt sich ebenfalls bei den Mitarbeitern des Verlages, die zum Gelingen des Vorhabens beigetragen haben. In diesen Dank sollen auch die Mitarbeiter der Verlage einbezogen werden, die die vorangegangenen Auflagen bearbeitet haben. Hinweise zur Verbesserung des Buches oder zu vielleicht noch vorhandenen Fehlern nimmt der Autor stets gem entgegen. Ilmenau, im Juli 2002
Heinz Haferkorn
Vorwort zur 3. Auflage Die erste Auflage des Buches ,,Optik" beruhte auf den langjahrigen Lehr- und Forschungserfahrungen am Lehrstuhl fur Technische Optik der Technischen Hochschule Ilmenau und loste die von mir zum internen Gebrauch herausgegebenen Lehrbriefe ab. Aufgrund des erfreulichen Interesses, das meinem Buch entgegengebracht wurde, machte sich nach kurzer zeit eine zweite Auflage notwendig. Die vorliegende dritte Auflage wurde griindlich uberarbeitet und wesentlich erweitert. Die Aufgabe dieses Buches sol1 darin bestehen, das spezifische physikalische Grundlagenwissen aufzufrischen und zu ergbzen, die Voraussetzungen fiir die Beschaftigung mit den Spezialgebieten zu schaffen sowie Unterstutzung bei der praktischen Anwendung der Optik zu geben. Deshalb galt es, bei einem vertretbaren Umfang des Buches die Funktion eines Lehrbuches mit
h
Vorwort zur 3. Auflace
der eines Nachschlagewerkes zu vereinen, d. h. ein ausgewogenes Verhaltnis von methodischem Rustzeug und praktisch notwendigen Kenntnissen uber grundlegende optische Elemente zu finden sowie die Wechselbeziehungen zwischen den physikalischen und den technischen Aspekten zu erfassen. Daraus ergibt sich auch, dalJ kein Platz fur Ubungsaufgaben und Angaben uber kommerzielle Gerlte vorhanden ist. Wahrend in einigen Abschnitten uber den Stoff der Grundlagenvorlesung hinausgegangen wird, muBte auf Teilgebiete der Spezialausbildung in Technischer Optik bzw. Physik verzichtet werden. So wurden vor allem die systematische Theorie der optischen Abbildung einschlieBlich der Bewertung und Synthese optischer Systeme, die optische MeBtechnik, die Spektroskopie, die Holographie, die integrierte Optik und die Laserphysik nur eingeschrankt dargeboten. Es sind aber in der dritten Auflage Teilgebiete umfassender als in der ersten Auflage sowie zahlreiche neuere Entwicklungen enthalten. Das betrifft vorrangig die Strahlungsphysik, Strahlungsquellen und -empfanger, die Laserbundel-Transformation,die Abbildung mit inhomogenen Elementen, die diinnen Schichten, die nichtlineare Optik, die adaptive Optik sowie die optischen Systeme. Das Literaturverzeichnis wurde erweitert, und einige farbige Abbildungen konnten eingefugt werden. Besonders ausfuhrlich wurden solche Gebiete behandelt, die erfahrungsgemd3 in der Ausbildung grol3ere Schwierigkeiten bereiten. Wert gelegt wird auf exakte Definitionen und auf eine solide Darstellung der klassischen technischen Optik, die in manchen Lehrbuchern in den Hintergrund gedrangt wird. Der Autor vertritt die Meinung, daB es auch fur das Verstandnis und die Weiterentwicklung der vielfaltig vorliegenden Computer-Software notwendig ist, die optischen Grundlagen zu behemschen. Es kann nicht die Aufgabe von Hochschulabsolventen sein, nur vorgegebene Gleichungen rezeptmaBig abzuarbeiten. Deshalb wird groBer Wert auf die Ableitung der Zusammenhange gelegt. Die Darstellungsweise ist vorwiegend dem Lehrbuchcharakter angepaBt. Ein Teil der Ableitungen vnn Gleichungen ist aus dem Text herausgeliist und in Tabellen zusammengefalJt worden, meistens in Form von FluObildem. Dadurch sol1 die Ubersichtlichkeit beim Nachschlagen erhoht werden. Grundlagenkenntnisse in Mathematik und Physik werden vorausgesetzt. Die'Formelzeichen und Vorzeichenregeln der Technischen Optik werden konsequent nach den in Abschnitt 1.2 angegebenen Grundsatzen benutzt. Da Buchstaben mehrfach verwendet werden mussen, wird die Bedeutung jeweils in den einzelnen Abschnitten erklart. An der Erarbeitung und Lehrerprobung des Stoffes uber viele Jahre hinweg haben die Mitarbeiter des Lehrstuhls fur Technische Optik der Technischen Hochschule Ilmenau Anteil. lhnen gilt deshalb an dieser Stelle besonderer Dank. Fur wertvolle Hinweise bedanke ich mich bei den Herren Professoren J. Klebe (Potsdam), B. Wilhelmi (Jena) und J. R. Meyer-Arendt (Oregon, USA). Dem Verlag bin ich sehr dankbar fur die Moglichkeit, nach vielen zeitbedingten Problemen die dritte Autlage auf den Markt bringen xu konnen. SchlieBlich habe ich den Lektorinnen Frau Erika Amdt und Frau Brigitte Mai fur die Unterstutzung bei der Realisierung und die gute Zusammenarbeit zu danken. Eingeschlossen in diesen Dank sind alle, die an der technischen Herstellung Anteil haben. insbesondere Herr und Frau Ritter (Berlin) fur die ausgezeichnete Umsetzung des Manuskripts in die Reprovorlage. Zum SchluB mochte ich die Hoffnung ausdrucken, daB moglichst viele Studierende und Fachkollegen das Buch positiv aufnehmen mogen und daraus Nutzen ziehen konnen. Hinweise zur Verbesserung nimmt der Autor jederzeit dankbar entgegen. Ilmenau, im Februar 1994
Heinz Haferkorn
1
Einleitung
I1
2.4.4
1.1
Arbeitsgebiet Optik
2.4.5
1.1.1
Sichtbares Licht Das elektromagnetische Spektrum Lichtquanten Gliederung und Entwicklung des Arbeitsgebietes
I I1 13 14
1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 I .2. I I .2.2
2.5 2.5.1
16
Bezeichnungsgrundsatze
18
Formelzeichen Vorzeichenregeln
18 20
2.5.2 2.5.3 2.5.4
2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2. I .4 2.1 .5
Physikalische Grundlagen Lichtwellen und -strahlen Elektromagnetische Wellen Polarisationsarten Huygenssches Prinzip Lichtstrahlen Fermatsches Prinzip
23 23 23 29 34 35 31
Reflexion und Brechung
39
Brechungsgesetz Reflexionsgesetz Polarisation durch Reflexion und Brechung Totalreflexion Doppelbrechung
39 44
2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3
Dispersion und Absorption
64
Absorption Dispersion Werkstoffe
64 72
2.4
Koharenz
2.4. I 2.4.2 2.4.3
Spontane und induzierte Emission Interferenzanteile der Intensitat Zeitliche Koharenz bei spontaner Emission
84 84 87
2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
46 53 57
2.5.5
Raumliche Koharenz bei spontaner Emission Kohbenz bei induzierter Emission Interferenz Amplituden und Phasendifferenzen an der planparallelen Platte Intensitaten an der planparallelen Platte Interferenzerscheinungen an planparallelen Platten lnterferenzerscheinungen an keilformigen Platten Weitere Interferenzerscheinungen Beugung
2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.6.5
Mathematische Fassung des Huygensschen Prinzips Fraunhofersche Beugung am Rechteck Fraunhofersche Beugung am Kreis Beugung am Liniengitter Fresnelsche Beugung an der Kante
102 i08 1 I8 1 I8
121 125 129 132 134 134 138 143 146 153
Abbildung
156
Optische Abbildung Ideale geometrisch-optische Abbildung Geometrisch-optische Abbildung Wellenoptische Abbildung
156
159 161 162
Strahlungsphysik und Lichttechnik
164
3.1
Strahlungsphysikalische GroRen
164
3.1.1
StrahlungsfluB Strahlstarke
164 I68
2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4
15
93
3
3.1.2
8
3. I .3 3.1.4 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 4
Inhalt Strahldichte Bestrahlungsstarke
169 170
4.4
Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
Lichttechnische GroBen
172
Lichtstrom Lichtstirke Leuchtdichte Beleuchtungsstarke Fotometrisches Entfernungsgesetz
172 I73 175 I75 I76
4.4. I 4.4.2 4.4.3 4.4.4
Intensitat in der Bildebene Intensitat in Achsenpunkten Wellenaberrationen Punktbildfunktion. Definitionshelligkeit Modulationsiibertragungsfunktion Inkohiirente Ortsfrequenzfilterung Zonenplatte Hologramme
Abbildende optische Funktionselemente
4.4.6 179
4.1
Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente 4.1.1 Funktionselemente 4.1.2 Brechende Rolationsflachen 4. I .3 Beziehungen fur das paraxiale Gebiet 4. I .4 Flachenfolgen 4. I .5 Zentrierte Linsen 4. I .6 Reflektierende Rotationsflichen 4. I .7 Windschiefe Strahlen 4.1.8 Matrixdarstellung im paraxialen Gebiet 4.1.9 Spezielle rotationssymmetrische Funktionselemente 4.1.10 Spezielle nichtrotationssymmetrische Funktionselemente 4.1.1 I Inhomogene und anisotrope Funktionselemente 4.1.12 Funktionselemente zur Laserbiindel-Transformation
4.2
Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
4.2. I 4.2.2 4.2.3 4.2.4
Begrenmng der Offnung Scharfe Feldbegrenzung Randabschattung Begrenzung des Zerstreuungskreises Begrenzung des Lichtstroms
4.2.5 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5
179 I79 180 I84 193 206 218
4.4.7 4.4.8
235 238 250 254 263 266
266 274 276 283 295
327 33 1 336 34 1 350 357 362 366
Nichtabbildende optische Funktionselemente
374
5.1 5.1.1 5.1.2
Lichtleitende Funktionselemente Linsenfolgen Licht- und Bildleitkabel
374 374 379
5.2
Dispergierende Funktinoselemente
5
226
300 Klassifikation der Abbildungsfehler 300 Abbildungsfehler im paraxialen Gebiet 306 Offnungsfehler 3 10 Koma. Bildfeldwolbung. Astigniatismus 315 Verzeichnung 323 Abbildungsfehler
4.4.5
327
5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4
Dispersionsprismen Beugungsgitter Etalons Auflosungsvermogen. Dispersionsgebiet Filternde Funktionselemente Absorptionsfilter Interferenzfilter mit Absorption Dielektrische Mehrfachschichten Reflexionsanderung
382 382 392 399 400 407 407 409 415 423
5.4
Polarisierende Funktionselemente
5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5 5.4.6
Polarisationsprismen Flachenpolarisatoren Phasenplatten Halbschattenpolarisatoren Interferenzpolarisatoren Matrizenbeschreibung
43 1 43 1 436 439 442 445 448
5.5
Ablenkende Funktionselemente
453
5.5. I 5.5.2 5.5.3 5.5.4 5.5.5
Planspiegel Planparallele Platten Planspiegelplatten Reflexionsprismen Keile. Kristallplatten und -prismen
453 460 464 464 487
9
Inhalt Apertur- und lichtstromandernde Funktionselemente
492
5.6.1 5.6.2 5.6.3
Neutralfilter Biindelteilung Mattscheiben. Bildschirme
492 493 497
5.7
Energiewandelnde Funktionselemente
5.7.1 5.7.2 5.7.3
Strahlungsquellen KenngroDen von Strahlungsempfangern Strahlungsempfdnger
5.8
Nichtlineare Funktionselemente
5.8.1 5.8.2
Grundziige der nichtlinearen Optik 5 10 Funktionselemente 514
6
Optische Instrumente und Systeme
5.6
6. I 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.2.7 6.2.8
Grundbegriffe Auge Grundzuge der Brillenoptik VergroBerung Abbildungsmahtab Optische Instrumente und Gerate Lupe und Mikroskop Lupe Optikschema des zusammengesetzten Mikroskops VergriiRerung und Auflosungsvermogen Scharfentiefe Beleuchtung Fourier-Theorie der kohaenten Abbildung Mikroskopische Abbildung von Liniengittern Partiell-koharente Abbildung
499 499 506 508 5 10
Perspektive und Scharfentiefe Fotometrie
608 616
6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5
Optische Systeme
618
Beleuchtungssysteme Achromatische Fotoobjektive Aplanatische Fotoobjektivd Anastigmatische Fotoobjekive Objektive mit veranderlicher Brennweite 6.5.6 Spiegelobjektive 6.5.7 Fernrohrobjektive 6.5.8 Mikroobjektive 6.5.9 Okulare 6.5.10 Spezielle optische Systeme
7 52 1 521 521 527 529 535 537 539 539 543 547 555 559 566 570 580
Fernrohr
583 583
6.6.3 6.3.4
Afokale Systeme VergroRerung und Auflosungsvermogen Fernrohrleistung Spezielle Fernrohre
5 87 596 598
6.4
Fotografie
602
6.4.1 6.4.2
Abbildungsarten Biindelbegrenzung
602 603
6.3 6.3.1 6.3.2
6.4.3 6.4.4
7.1 7.1.1 7.1.2 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.3 7.3.1
618 628 634 634 642 650 653 656 662 665
Weiterfiihrende und aktuelle Ergiinzungen
673
Einleitung
673
Vorbemerkungen Aspekte der Entwicklung des Arbeitsgebietes
673
Physikalische Grundlagen
677 677 679 686 690
Dipolstrahlung Interferometer Beugung an Raumgittern Streuung
674
Strahlungsphysik und Lichttechnik 695 Licht- und Beleuchtungstechnik
695
Abbildende optische Funktionselemente
700
7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4
Inhomogene Funktionselemente Hologramm-Typen Anwendungen der Holografie Koh2rente Bildverarbeitung
700 703 710 715
7.5
Nichtabbildende Funktionselemente
7 I7
7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4
Integrierte Optik Modulatoren. Schalter. Speicher Strahlungsquellen Anwendungen der Laser
717 722 732 743
7.6
Optische Instrumente und Systeme 748
7.6. I 7.6.2 7.6.3
Mikroskopierverfahren Astronomische Fernrohre Optische Systeme
7.4
748 760 764
Inhalt
10
7.6.4 7.6.5 7.6.6
Ansatz optischer Systeme
Korrektion optischer Systeme Bewertung optischer Systeme
764 770 772
Literatur und Quellen
779
Namen- und Sachverzeichnis
787
1
Einleitung
1.1 Arbeitsgebiet Optik 1.1.1
Sichtbares Licht
Die Q t i k ist die Disziplin der Physik, in der die Eigenschaften des Lichtes unlcrsucht werden. Das Licht stellt eine Erscheinung der rnateriellen Welt dar,deren Wesen erst nach eincm griindlichen Studium ihrer Wirkungen erfaI3t werden kann. Zunachst werden wir das Licht als Strahlung ansehen, die von den Lichtquellcn ausgeht oder von den Gegenstiinden reflektiert wird und auf die dlls menschliche Auge anspricht. Das Bestreben, Weiteres uber das Licht zu erfahren, fiihrt zur experirnenlellen Untersuchung seiner Ausbreitungseigensch&en. Die Beobachtung der Lichtausbreitung im Vakuum - oder auch in der Luft bei nicht zu groUen Strecken - legt &as Model1 des L i c h t s t r i s nahe (Abb. 1.1). Wir kommen so zur rein geometrischen Behandlung des Lichtweges. Einern einzelnen Lichtstrii kmn jedoch keine physikalische Kealitat Lukommen. Allein die Tatsache, daU Licht eine Energieform darstellt, schliefit die Konzentration liings irgendwelcher Strecken aus. Das Strahlenmodell kann deshalb iiber das reale Wesen des Lichtes nichts aussayen und hat nur eng begrenzte Gultigkeit.
Abb. 1.1 Lichtstreuung an Staubteilchen.Eindruck eines Lichtstrahls
Unter geeigneten Versuchsbedingungen werden Interferenz (Abb. 1.2), Beugung ( Abb. 1.3) und Polarisation (Abb. 1.4) des Lichtes beobachtet. Interferenzerscheinungen lassen sich nur mit dnem Wellenmodell beschreiben. Ejne wesentliche Seite des Lichtes muW also sein Wellencharakter sein. Die Polarisierbarkeit des Lichtes beweist, dal3 die Lichtwellen transversal sind. Wcitere Experimente, wie z. B. der Faraday-Effekt (Abb. 1.5) und der Ken-Effekt, zeigen, dalj es sich bei Licht um elektromdgnetische Wellen handelt, also urn elcktromdgnetische Feldenergie. Bei der Ablenkung des Lichtes durch ein Dispersionsprisma wird weibes Licht in die Spektralfarben zerlegl. Jeder Farbe kann ein kleines Frequenzintervall bzw. im homogenen
12
1 Einleitung Schirm
Abb. 1.2 Interfcrenz des Lichtes a111 Fresnelschen Hiprisiiia Sch i rm
naturliches Licht vor dern
Abb. 1.3 Heugung des Lichtes am Spalt
Abb. 1.4 Polarisation des Lichtes durch ein Filtcr
v.4 g ed rehte Schwrngungsebene
Abb. 1.5 Faraday-fltfekt (scheniatiscli)
Abb. 1.6 Spektrliler IIellenipfindlichkeitsgrad des Auges
1.1 Arbeitsgebiet Optik
13
Stoff ein Wellenlhgenintervall zugeordnet werden. Das menscNiche Auge spricht auf Licht unterschiedlicher WellenlUge verschieden stark an. Nach zahlreichen Messungen ist man iibereingekommen, als Grundlage fiir fotometrische Messungen eine Konvention uber die relative spektrale Hellempfindlichkeit des Auges einzufiihren. Die grol3te Hellempfindlichkeit liegt im Gelbgriinen bei der Wellenliinge d = 555 nm. Sie ist gleich 1 gesetzt. Den spektralen Hellempfindlichkeitsgrad Vn als Funktion von d zeigt Abb. 1.6. Unser Auge nimmt den Bereich von d = 380 nm bis d = 780 nm wahr. (In Abb. 1.6 kommt der Anteil oberhalb A = 700 nm nicht zum Ausdruck, weil die relative spektrale Hellempfindlichkeit zu klein ist.) Nun sind wir in der Lage, fiir die Naturerscheinung Licht im engsten Sinne, nmlich As auf unser Auge einwirkende Strahlung, den physikalischen Charakter anzugeben, der wesentliche Ausbreitungseigenschaften erfaf3t.
I
Eine wesentliche Seite des Lichtes ist seine Erscheinungsform als elektromagnetische Welle. Die Wellenliingen liegen fiir sichtbares Licht zwischen d = 380 nm und d = 780 nm. Die Energieverteilung auf die einzelnen Frequenzintervalle bestimmt die Farbzusammensetzung und d a t den Fubeindruck.
1.1.2
Das elektromdgnetische Spektrum
Die Wellenliingen des sichtbaren Lichtes stellen n u einen schmalen Ausschnitt aus dem gesamten Wellenliingenbereich dar, den die elektromagnetischen Wellen umfassen. An das rote Ende des sichtbaren Teils des Spektmms schlieRt sich der infrarote, an das violette Ende der ultraviolette Bereich an. Noch groBere Wellenliingen als das Infrarot haben die schlechthin als eleklrische Wellen bezeichneten Erscheinungen der drahtlosen Nachrichtentechnik. In Richtung kiirzerer Wellenliingen folgen auf Ultraviolett die Rontgenstrahlung, die Gammastrahlung und die Hohenstrahlung. Einen Uberblick uber die Verteilung der einzelnen Bereiche vermittelt die logarithmische Wellenliingenskala der Abb. 1.7.
-14 -13 -12 -11 -5
-4
,
1
-10 - 9
-3
-2
-1
1
1
1
0 1
-8
-7 2
1 1
-6
/
-5 4
3 1
-1,
1
-3
6
5 1
-2
1
8
7 1
0
-1
1
10
9 1
2
1
1
11 1
3 4 Lgi(k/m))
5
12 13
14
l g Il/nml 1
1
I
22,48 2,48 iU@ 1948 1848 1748 1648 15,48 lqL8 13,LE 12,48 11,48 10,48 9,48 8,48 748 6,48 5,48 4,LB 348 Lg ( v/5‘’ )
Abb. 1.7 Elektromagnetisches Spektrum
Die genannte Einteilung des elektromagnetischen Spekmms ist relativ willkiirlich vorgenommen worden. Die einzelnen Bereiche uberschneiden sich auRerdem teilweise. Der wesentliche Gesichtspunkt der Gliederung sind die unterschiedlichen Methoden, mit denen die Wellen erzeugt werden, d.h. die verschiedenen Prinzipien der Strahlungsquellen.
14
1 Eiiileitung
Es erhebt sich nun die Frage, wodurch sich die Wellenliingenbereiche vom physikalischen Gesichtspunkt aus voneinander unterscheiden. AuBerdem erscheint es angebracht, das Gcbiet “Optik” von einer speziellen Bindung an die relative spektnlle Hellemptindlichkeil des Auges zu befreien. Wie weit sollcn wir aber dabei gehen? Diese Frage Iiiljt sich nur beantworten, wenn &e zweitc wesentliche Seite des Lichtes, sein Quantencharakter, in die Betrachtung einbezogen w i d .
1.1.3
Lichtquanten
Bei der theoretischen Behmdlung von Experimenten, bei denen &as Licht in Wcchselwirkung mit Stoff trill, mit dem Wellenmodell ergeben sich Widerspriiche grundsiitzlicher Natur. h u t lich tritt das Versagen des Wellenmodells bei der Deutung des iulkren lichtelektrischen Effektes hervor. Wir erliutern kurz den experimentellen Befund (Abb. 1.8). Metall
E
Photonen strorn
ELektronenstrom
Abb. 1.8
Aul3erer lichtelektrischerEffekt (schemntisch)
Bei der Bestrahlung einer Metalloberlliche mit Licht konnen Elektronen ausgelost werden. Me Messungen ergeben: -
Die Anzahl der austretenden Elektronen ist proportional der Lichtintensitiit. Die kinetische Energie der Elektronen ist proportional der Frequenz des Lichtes.
Die lunetische Energie der Elektronen hingt also nicht von der Lichtintensitit ab, wie es mit dem Wellenmodell zu crwarlen wiire. Einstein erkannte 1905, dal3 die experimentiellen Befunde des au13eren lichtelektrischen Effektes mit der Annahme von Lichtquanten der Energie W=kv
zwanglos erkliirt werden konnen. Es gilt: Jedes Quant kann ein Elektron auslosen, so da13 die Anzahl der Elektronen von der Anzahl der 1,ichtquanten abhingt. Diese ist durch die Lichtintensitiit bestimmt. - Die kinetische Energie der ausgelosten Elektronen muU gleich der um die Austrittsarbil Wo verminderten Energie eines Lichtquants sein. Es ist also -
= 2 7
= hv-W,.
1.1 Arbeitsgebiet Optik
15
Damit ist experimentell eindeutig nachgewiesen:
I
Eine wesentliche Seite des Lichtes ist sein Quantencharakter.
Wir sind auf einen echten dialektischen Widerspruch gefiihrt worden. Das Licht, als eine Erscheinung der materiellen Welt, hat zwei wesentliche Seiten, die im klassischen Sinne unvereinbar sind, den Wellen- und den Quantencharakter. Deshalb wenden wir oftmals zur Beschreibung der Eigenschaften des Lichtes zwei Modelle an, von denen jedes fur sich nur eine wesentliche Seite widerspiegelt. Die Erscheinungsform als elektromagnetische Welle wird mit dem Wellenmodell beschrieben, das sich besonders eignet, wenn die Ausbreitung des Lichtes zu behandeln ist. Die Erscheinungsform als Gesamtheit von Lichtquanten wird mit dem Quantenmodell beschrieben, das sich besonders bei der Behandlung der Wechselwirkung des Lichtes mit Stoff beWi ihlt.
Die elektromagnetische Theorie des Lichtes hat von den Mawellschen Gleichungen auszugehen. Die Eigenschafien der Stoffe werden modellmd3ig einbezogen. Die Modelle koMen rein klassisch angesetzt werden, oder sie werden quantentheoretisch begtiindet. Eine relativ umfassende Giiltigkeit hat die Vorgehensweise der Wellenmechanik, bei der die Stoffe quantentheoretisch, die Felder klassisch dargestellt werden (semiklassische Theorie). Aber auch in dieser nichtrelativistischen Quantentheorie existieren Wellen- und Quantenmodell nebeneinander. Das Lichtquant wird auch Photon genannt. Die Photonen stellen Elementarteilchen mit dem Spin 1, der Ruhemasse 0, der Energie W = h v , der Masse m = ( h v ) / c 2und dem Impuls p = ( h v ) / cdar. Bereits wegen der verschwindenden Ruhemasse muU eine konsequente Theorie der Photonen eine relativistische Theorie sein. Eine formale Vereinigung von Wellen- und Quantenmodell wird in der Quantenelektrodynamik vorgenommen. Diese ist ein Spezialfall der Quantenfeldtheorie, in der grundsatzlich die Elementarteilchen aus einer Quantelung der zugeordneten Wellenfelder hervorgehen. Die Anzahl der Lichtquanten, &e auf die Energieeinheit entfallen, betragt
Mit h = 6,6262.10-34W.s2 und c=2,99792.108m.s-' erhalten wir die Quantenanzahl je Wattsekunde. die der Abb. 1.9 zu entnehmen ist.
Abb. 1.9
Quantenanzahl z je Wattsekunde im elektromagnetischen Spektrum
I Einleitung
16
Mit abnehmender Quantenamahl je Energieeinheit oder je Volumeneinheit tritt der Quantencharakter gegcnuber dem Wellencharakter stiirker in den Vordergrund. Im elektromagnetischen Spektrum liegt das sichtbare Licht bei mittleren Quantenanzahlen je Energieeinheit. Qumten- und Wellencharakter kommen also weitgehend zur Geltung. Wir stellen fest:
Die optische Strahlung umfalJt den Teil des elektromagnetischen Spekmms, in dem Wellen- und Quantencharakter gleichrangig zu beriicksichtigen sind.
I
Scharfe Grenzen koMen nicht gemyen werden. Die eine Grenze liegt innerhalb des infmoten Bereichs, die andcre im Gebiet der Rontgenstrahlung. Die Mittelstellung des Lichtes im elektromagnetischen Spektrum bedingt die Vielfalt an Erscheinungen und Methoden der Optik. Tabelle 1.1 IJntergliederung der uptischen Strlihlung
Gebiec
Wellenlage in IIIII
IR -c
1000000... 3000 3 000.. .14OO 14OO... 780
R-B IR-A
VIS
780 ... 380
W - A LJV - I3
380 ... 315 315 ... 280 280 ... 100
uv-c
Im Sinne der Lichttechnik wird nur fir den sichtbmen Teil des elektromagnetischen Spektrums der Begriff “Licht” verwendet. Die Anteile vom Ultravioletten (UV, A=lWnm . .. 380 nm) iiber das Licht (VIS, von eng. visible = sichtbar) bis zum lnfrioten (IR, 1 = 780 nm . ..lOa, pm,) werden optische Strahlung genannt. Tab. 1.1 enthjilt die weitere Unteneilung der optischen Strahlung.
1.1.4
Gliederung und Entwicklung des Arbeitsgebietes
Optik als physikalische Disziplin. Eine Gliederung der Optik vom physikalischen Standpunkt aus ist durch die Modelle gegeben, mit denen die Eigenschaften des Lichles behmdelt werden koMen. Wir unterscheiden: -
Geometrische Optik (Strahlenrnodell) Wcllenoptik (Wellenmodell) Qumtenoptik (Quantenmodell).
Die Mittelstellung des Lichtes innerhalb des elektromagnetischen Spektrums bringt enge Reziehungen zu anderen physikalischen Disziplinen mit sich. Im langwelligen Bereich uberschneiden sich die Arbeitsgebiete Optik und Mikrowellenphysik, im kurzwelligen Bereich ist der Ubergang zur Rontgenphysik flieBend. Das Wellenmodell b e w m sich auch in der Elektrophysik. Das Quantenmodell erf& die direkte Verbindung zur Molekiil-, Atom-, Festkiirper- und Elementarleilchenphysik.
1.1 Arbeitsgebiet ODtik
17
Die Beschaftigung mit der Optik als physikalischer Disziplin dient vorwiegend der Erkenntnis und der Bereitstellung von neuen Prinzipien fiir die technische Anwendung. Optik a l s technische Disziplin. In bestimmten technischen Systemen werden die optischen Gesetze und Erscheinungen, also optische Wirkprinzipien, genutzt. Diese technisch-optischen Systeme losen im wesentlichen zwei Aufgabenkomplexe:
- Aufgaben der Informationstechnik -
Aufgaben der Energietechnik.
Den weitaus umfassendsten Einsatzbereich stellen die Aufgaben der Informationstechnik dar, also die Aufgaben Informationserfassung, -iibertragung, -wandlung, -speicherung und -auswertung. Die Informationstechnik befaJ3t sich mit Informationen iiber Erscheinungen, Prozesse und Systeme in der materiellen Welt, deren gesetzmiifjige Zusammenhkge und mathematische Beschreibung im Rahmen der Einzelwissenschaften zum Zweck der Erkenntnis - technische Prozesse und Systeme zum Zweck ihrer Weiterentwicklung, ihrer meotechnischen Erfassung, ihrer Regelung und Steuerung - gesellschaftliche, natiirliche und technische Prozesse und Systeme zum Zweck der Nachrichteniibertragung.
-
Technische Systeme zur Losung der genannten Aufgaben werden Gerate genannt.
I
Die Geratetechnik ist die technische Disziplin, deren Gegenstand die Vorstufen der Produktion, die Produktion und die Konsumtion von Geraten ist.
Die Technische Optik ist damit vorwiegend mit der Geratetechnik verbunden. Aufgaben der Energietechnik, also Aufgaben der Energieiibertragung, -wandlung, -speicherung, -regelung und -steuerung, werden zum gegenwwgen Zeitpunkt nur in geringem Umfang mit technisch-optischen Systemen gelost. Beispiele sind die Beleuchtungstechnik, die Energieiibertragung mittels Laser zur Materialbearbeitung und die Energieerzeugung iiber die gesteuerte Kernfusion, bei denen das Plasma mit fokussierten Laserbiindeln erhitzt wird. Entwicklungstendenzen. In der Entwicklung der optischen Gerate zeichnen sich folgende prinzipielle Tendenzen ab: -
Im Zuge der Rationalisierung von Konstruktion und Fertigung sowie zur Verbesserung des Kundenservices werden optische Gerate mit gleicher Grundfunktion oder mit ihrer Peripherie zu Geratesystemen zusammengefal3t. Die optischen Gerate werden aus optimierten Baugruppen gebildet und damit selbst optimiert. Die geringere Komplexitat der Baugruppen wird in vielen Fgillen die mathematische Modellierung der Funktion und ihrer Analyse ermoglichen, so daB die Optimierung der Baugruppen quantitativ erfaRbar wird. Optimierte Baugruppen konnen zu Einheitssystemen zusammengefa6t werden. Die Kopplung von Optik und Elektronik wird weiterhin wachsende Tendenz zeigen. Elektronische Baugruppen erweitern und e r g m e n die Leistungsfmgkeit der technisch-optischen Systeme, indem sie das optische Signal wandeln, registrieren und auswerten. Die
18
1 Einleitunn
klassische Kombination Feinmechanik - Optik ist verstdkt ubergegangen in dle Kombination Feinmechanik - Optik - Elektronik. D u u haben besonders die Mikromechanik, die Optoelektronik und die Mikroelektronik beigetragen. Durch den Einsatz von Mikrorechnern ist es moglich, auch in optischen Systemen Regel- und Steuerprozesse in grokrem Umfang zu realisieren. - In den Bauelementen kiinnen neue optische Wirkprinzipien und neue optische Werkstoffe eingesetzt sein. In wachsendem Umfang werden dle Ergebnisse der Laserphysik, der nichtlinearen Optik, der Kohjirenzoptik und der Optik der Wellenleiter, z. B. in Form der integrierten Optik, in die technische Anwendung ubergefiihrt.
1.2 Bezeichnungsgrundsatze 1.2.1
Formelzeichen
Fur die geometrische Optik sind die Bezeichnungsrichtlinien und die Formelzeichen unabhangig von den anderen Gebieten der Optik festgelegt worden. Dasselbe gilt fiir einige weitere Teilgebiete der Optik, z. B. fiir die Lichttechnik oder die lineare Ubertragungstheorie. Bei einer umfassenden Darstellung der Optik entstehen auch zahlreiche Rertihrungspunkte zu anderen Teilgebieten von Physik und Technik (Elektrophysik und -technik, Optoelektronik, Quantentheorie, Thermodynamik u.a.). Dadurch l a t sich nicht vermeiden, da13 Formelzeichen mehrfach verwendet werden. Die spezielle Bedeutung wird deshalb in den einzelnen Kapiteln erkl2rt. Grundsatzlich geht das Bestreben in diesem Buch W n , die genormten oder in intemitionalen Richtlinien empfohlenen Bezeichnungsgrundsiitze anzuwenden. Neben den einschlagigen Standards werden die Empfehlungen der IUPAP (SYMBOLS, UNITS AND NOMENCLATURE IN PHYSICS, Document U.I.P. 20 von 1978) und die Festlegungen der 11. Generalkonferenz fiir Malj und Gewicht (1960) zum Intemationalen Einheitensystem (SI) weitgehend beriicksichtigt. In Einzelfdlen werden aus methodischen Gesichtspunkten oder wegen der Uberschneidung der Gebiete abweichende Festlegungen getroffen. In Tab. 1.2 sind die in diesem Buch umgesetzten Grundsatze fiir die Auswahl der Formelzeichen enthalten. Tab. 1.3 enthiilt ausgew<e Formelzeichen. Besonders hingewiesen sei auf folgende Abweichungen (in Klammern nach DIN): Knotenpunkt N (H), Objektpunkt A (0),Scheitelpunkt V (S), Pfeilhohe g ( p ) .
Das Uberstreichen objektseitiger nichtkonjugierter GroSen wenden wir nur an, wenn dadurch MiSverstiindnisse vermieden werden. Es ist nicht einzusehen, dal3 die Brennweite f nur dann vom Leser als nichtkonjugiert zu f' erkannt werden soll, wenn das Formelzeichen iiberstrichen ist (f),dagegen aber die Brennweite f' ohne Uberstreichen als nichtkonjugiert zu f erkannt werden mu13. (Im ubrigen wird der Querstrich oft auch dann nicht angewendet, wenn es sich um die Sehwinkel handelt, die manchmal konjugiert, aber manchmal nichtkonjugiert sind.)
19
1.2 Bezeichnungsgrunde
Tabelle 1.2 Grundsiitze fur die Auswahl von Formelzeichen __
Element
Darstellung
Beispiel
Punkte
lateinische GroObuchstaben lateinische Kleinbuchstaben griechische Kleinbuchstaben gestrichen iiberstrichen (bei Bedarf) griechische Buchstaben
Objektpunkt A
Strecken Winkel Grokn des Bildraumes nichtkonjugierte GroSen dimensionslose Grokn
Pupillengrokn
mit Index p
Objektgrok y Zentriwinkel cp BildgrBk y' Brennpunkt F AbbildungsmaBstab
p',Y Y Zentriwinkel 'pp fiir den Hauptstrahl
Tabelle 1.3 Ausgewslhlte Formelzeichen Punkte ~
_
~
_
Objektpunkt Kriimmungsmittelpunkt Brennpunkt Hauptpunkt Knotenpunkt (Nodus) Knotenpunkt, nach DIN Achsenpunkt der Pupille Scheitelpunkt (Vertex) Scheitelpunkt, nach DIN ~
Entfernung Hauptpunkt -axialer Objektpunkt (Objektweite) Entfernung axialer Objektpunkt -beliebiger Achsenpunkt Entfernung Kriimmungsmittelpunkt- axialer Objektpunkt Linsendicke Abstand zweier benachbarter Flslchenscheitel Brennweite Pfeilhohe Durchstobhohe eines Strahls Hauptpunktspanne Strahllage Entfemung axialer Pupillenpunkt - axialer Objektpunkt Kriimmungsradius Schnittweite Optisches Interval1
a
b C
d e
f ?!.
h i 1
P 1
S
t
20
1 Einleitung
Tabelle 1.3 Fortsetzung
Strecken Querkoordinaten eines Objektpunktes Entfernung Brennpunkt - axialer Objektpunkt
x, Y 2
Winkel Ablenkung eines Lichtstrahls Winkel zwischcn Lichtstrahl und Einfallslot (Einfallswinkel) Winkel zwischen I;lkhennormale und optischer Achse (Zentriwinkel) Winkel zwischen Lichtstrahl und optischer Achse (Schnittwinkel)
6
Azimut
v
&
cp 0
Dimensionslose GroUen TiefenmaUstab AbbildungsmiiBstab Winke1verh;iltnis Relative Teildispersion Abbesche Zahl Hohenverhdtnis Numerische Apertur Vergrokmng
d p' Y' P V 0
A
rf
Von den GrundsAtzen abweichende Bezeichiiungen Brechzahl Offnungszahl (Blendenzahl) Offnungsverhatnis Halbex Offnungswinkel Halber Feldwinkel Sehwinkel
1.2.2
n k K U
W
Ws
Vorzeichenregeln
Bei der Anwendung von Beziehungen der geometrischen Optik in der Optik-Konsmktion werden Strecken und Winkel nach bestimmten Grundsiitzen mit VorLeichen versehen. Vorausgesetzt wird der Normalfall rotationssymmetrischer optischer Systeme.
Ein rotationssymmetrisches optisches System hat eine Symmetrieachse, die optische Achse genannt wird. Die Funktion der optischen Systeme ist die optische Abbildung. Die optische Abbildung transfonniert GroUen des Objcktraums in GroSen des Bildraums. Die Punkte des Objekt- und des Bildraums sind durch die Kwrdinaten festgelegt. Im allgemeinen verwendet man rechtshindige kartesische Koordinatensysteme.
1.2 Bezeichnungsgrundsiitze
21
Vereinburungen: Die kartesischen Koordinaten des Objektraums werden mit x, y, z, die des Bildraums werden mit x', y', z' bezeichnet. Die z-Achse und die z'-Achse stimmen mit der optischen Achse uberein. Die objektseitige Lichtrichtung wird in Zeichnungen im allgemeinen von links nach rechts angenommen (Abb. 1-10). Definition (Abb. 1.1 1). Ein aaeraxialer Objektpunkt und die optische Achse spannen die Meridionalebene auf. Eine Sagittalebene steht senkrecht auf der Meridionalebene und enthiilt einen als Bezugsstrahl ausgewiihlten Lichtstrahl. Vereinbarung: Die Meridionalebene wird im allgemeinen in die Zeichenebene gelegt und als y-z-Ebene verwendet.
Vurzeichenvereinburungen:Eine Strecke ist positiv, wenn der fiir die Vorzeichenfestlegung ausgewiihlte Bezugspunkt am linken Ende der Strecke liegt.
Abb. 1.10 Koordinatensysteme bei einer zentrierten optischen Abbildung
Zentriertes optisches System ein Merrdionolstrahl Meridionalebene Bezugsstmh l ein Sagittalstmhl Sagittalebene ophsche Achse A
ex
Abb. 1.11 Meridional- und Sagittalebene(A Objektpunkt)
Zur Bestimmung des Vorzeichens eines Winkels zwischen einem Lichtstrahl und einer Bezugsgeraden dreht man in Gedanken den Lichtstrahl auf dem kiinesten Weg in den Bezugsschenkel. Bei Drehung im mathernatisch positiven Sinn (entgegen dem Uhtzeigersinn) ist der Winkel positiv. Das Vorzeichen von Strecken und Winkeln wird in die Zeichnungen mit eingetragen. Der Drehsinn zur Bestimmung des Vorzeichens von Winkeln kann in Zeichnungen durch Anbringen von nur einem MaSpfeil gekennzeichnet werden.
22
1 Einleihna
Beispiele fiir die brechendc Fliiche (Abb. 1.12) enthat Tab. 1.4.
Anmerkung: Auf zwei Unterschiede in diesem Buch gegenuber den DIN-Vorschriften ist hinzuweisen. Sie haben sich in der Lehre b e w m und hangen auch mit der zeitlichen Erarbeitung des Manuskripts zusammen. 1. Fur den Einfalls-, Brechungs- und Reflexionswinkel wird in DIN der Strahl als Bezugsschenkel verwendet. Dadurch erhalten diese Winkel das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist aber inkonsequent, zur Bestimmung des Vorzeichens bei & “den Strahl in die Achse”, bei E “das Einfallslot in den Strahl” zu drehen. In den entsprechenden Gleichungen ist der Ubergang zu DIN durch Vorzeichenwechsel bei den Einfalls-, Reflexions- und Brechungswinkeln leicht vollziehbar. 2. Weiter wird festgelegt, daM die Vorzeichen der Strecken und Winkel in Zeichnungen einzuklammern sind. Davon wird hier abgewichen. Auf die Polemik, ob dies falsch ist, wollen wir nicht weiter eingehen. Es sei jedoch darauf hingewiesen, daD bei der Ableitung von Formeln anhand von Skizzen das Vorzeichen ohnehin zu beriicksichtigen ist. So ergibt sich z.B. nach Abb. 1.12 die vorzeichenbehaftete Streclce AC aus -s* r und nicht aus (-)i+ r oder gar s^ + r . Mit dem zahlenmdigen Beispiel s^ = - 100 und r =SO erhdt man -s^ + r = 100+ SO = 150, also den richtigen Wert. Natiirlich darf man in die Skizzen nicht die vorzeichenbehafteten Zahlenwerte einsetzen und dann Strecken zahlenmSig addieren.
+
Abb. 1.12 Grokn an der
brechenden Kugelflache Tabelle 1.4 Bezugsgrokn fiir die Vorzeichenfestlegung
Element
Formelzeichen
Bezugspunkt bzw. Schenkel
Schnittweite Fllchenradius StrahllSlnge Schnittwinkel Zentriwinkel Einfallswinkel Reflexionswinkel Brechungswinkel Ablenkung
s r
FlachenscheitelV Flachenscheitel V FllchendurchstoSpunktB Optische Achse Optische Achse Einfallslot (Normale) Einfallslot (Normale) Einfallslot (Normale) Verlslngerung des einfallenden Strahls
1 0
cp & &’ &’
6
bzw.
E”
2
Physikalische Grundlagen
2.1
Lichtwellen und -strahlen
2.1.1
Elektromagnetische Wellen
Das Modell der ebenen Welle. In 1.1.1 haben wir erlautert, da13 eine wesentliche Seite des Lichtes seine Erscheinungsform als elektromagnetische Welle ist. In einer elektromagnetischen Welle sind die elektrische Feldsmke E und die magnetische Feldstiirke H gesetzmsig zeitlich und ortlich verhderlich. Die elektromagnetische Welle transportiert elektrische und magnetische Feldenergie.
I
Die elektromagnetische Welle ist die Ausbreitungsform der elektromagnetischen Feldenergie.
Fiir theoretische Untersuchungen iiber die Eigenschaften der Lichtwelle wird in vielen Faillen das Modell der ebenen periodischen elektromagnetischen Welle verwendet. Bei einer ebenen Welle ist die Schwingungsphase auf zueinander parallelen Ebenen, den Wellenflachen, konstant. In einer periodischen elektromagnetischen Welle sind die elektrische und magnetische Feldstiirke zeitlich und ortlich periodisch. Es gilt: In einer ebenen elektromagnetischen Welle schwingen die eleldrische und die magnetische Feldstiirke in je einer Ebene zeitlich und ortlich periodisch. Die elektrische Feldstnke E . die magnetische Feldstiirke H und der Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung s bilden ein Rechtssystem. Die Wellenfliichen sind eben (Abb. 2.1).
E A
Abb. 2.1 Darstellung der FeldstSrken in einer elektromagnetischen Welle
Die optischen Wirkungen der elektromagnetischenWelle werden vorwiegend durch den elektrischen Anteil bestimmt. Wir beschr*dnken deshalb die weiteren Beziehungen zunachst auf die elektrische FeldsWke. Die reelle Darstellung der ebenen Welle. Die Beschreibung der Welle zu einer bestimmten B i t t = const ergibt eine periodische Funktion des Weges 1. Wir nehmen an, dal3 diese Funktion sinusformig ist (Abb. 2.2a). Auch die Darstellung der Schwingung der elektrischen Feldstiirke an einem festen Ort 1 = const ergibt dam eine sinusformige Kurve (Abb. 2.2b).
Wellenzahl k =
Kreiswellenzahl w = 2nk
Anzahl der Perioden je Liingeneinheit
Anzahl der Perioden auf 2x Langeneinhei ten
A
1
Abb. 2.2a Darstellung der sinusformigen Welle bei t = const
t-const
Wellenlange A
Liinge einer Periode
fiumliche Periodizitslt
Tabelle 2.1 GroBen zur Beschreibung einer Welle
va
E = A cos[ 2 7 4 ; - t) + 61
E = Acos[2n(kl-~r)+6]
E = A cos(w4 - mt + 15)
Amplitude A
Anfangsphase 6
c =
Verkniiufune
1-const
=
Kreisfrequenz w = 2nv
Frequenz v T
1
Schwingungsdauer T
bei 1 = const
Abb. 2.2b Darstellung der sinusfonnigen Welle
yM
EI
Anzahl der Perioden in 271 Zei teinheiten
Anzahl der Perioden je Zeiteinheit
Dauer einer Periode
Zeitliche Periodizitslt
2.1 Lichtwellen und -strahlen
25
Raumliche und zeitliche Periodizitat werden mit den Grokn beschrieben, die in Tab. 2.1 zusammengestellt sind. Die Anfangsphase 6 ist die Schwingungsphase, die den Zustand der Welle zur Zeit t = 0 am Ort I = 0 bestimmt. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Schwingungsphasen ausbreiten, nennen wir Phasengeschwindigkeitc. Nach Tab. 2.1 gilt = va. (2.1) Die sinusftjrmige Welle kann mit einer Sinus- oder einer Kosinusfunktion mathematisch beschrieben werden. Weil die genannten Winkelfunktionen die Periode 2x haben, ist
E = Asin(wI-wt+6)
oder E = Acos(wl-ot+6)
(2.2a, b)
zu setzen. (In Tab. 2.1 wurden am Beispiel der Kosinusfunlction weitere Schreibweisen eingetragen, die durch das Umrechnen der SchwingungsgroSenentstehen.) Die Vorzeichen von wl und ut miissen entgegengesetzt gewWt werden, wenn die Gleichungen (2.2a, b) eine Welle beschreiben sollen, die sich in positiver I-Richtung ausbreitet. Oftmals ist das Verhalten mehrerer Wellen unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung zu untersuchen. Dazu ist es notwendig, die Ausbreitungsrichtung durch den Einheitsvektor s und einen beliebigen Punkt des Wellenfeldes durch den Ortsvektor r anzugeben. Fiir den vom Ursprung aus durch die Welle zuriickgelegten Weg gilt nach Abb. 2.3 die Beziehung 1 = r . s . (Das Skalarprodukt der Vektoren r und s gibt die Liinge der Projektion des Vektors r auf die Richtung des Vektors s an.) Damit gehen G1. (2.2a) und G1. (2.2b) uber in
E =Asin[w(rs)-wt+S]
und
E = Acos[w(rs)-wr+6].
(2.3a, b)
Abb. 2.3 Zur Ableitung der GI. (2.3)
Komplexe Darstellung der ebenen Wdle. Die elektrische Feldstiirke als eine beobachtbare GroRe mul3 durch reelle Funktionen dargestellt werden. G1. (2.3a) und G1. (2.3b) beschreiben also den physikalischen Sachverhalt unseres Modells der ebenen Welle. Zur rechnerischen Vereinfachung theoretischer Ableitungen ist manchmal die komplexe Schreibweise der elektrischen Feldstiirke formal anwendbar. Es gilt zunachst E = A Im (ej[w(r8)-m1+6]] und E = A Re (e j[w(ri)-mt+sJ)
Beide Gleichungen lassen sich zusammenfassenzu E = Ae
j[w(rs)-ar+S]
(2.4)
26
2 Physikalische Grundlagen
Von den unter Anwendung von G1. (2.4) erhaltenen Ergebnissen hat dam n u der Realteil oder der Imaginiirteil physikalische Bedeutung. Die komplexe Amplitude. Mit der Anfangsphase 6 und dem Betrag der Amplitude A kann d e komplexe Amplitude
(2.5)
a =
gebildet werden. Setzen wir noch w = -2n und
li
0=
h
ein, dann erhalten wir aus G1. (2.4) mit G1. (2.5) 2rj
-( r s - C l )
E = a e A
I
Die komplexe Amplitude a stellt die formale Zusammenfassung des Betrags der Amplitude A und der Anfangsphase 6 der Welle dar.
Wellengleichung. Die G1. (2.6) fiir die ebene periodische Welle ist eine Losung der aus den Maxwellschen Gleichungen fir homogene isotrope Nichtleiter
h + r o t E = 0,
-b+rotH = 0
(2.7a, b)
folgenden Wellengleichung (B magnetische Induktion, H magnetische Feldstiirke, D elektrische Verschiebung, E elektrische Feldstiirke). In isotropen Stoffen gilt aul3erdem D = &,&oE, H = -B . Pr PO
(2.8a, b)
Darin sind E~ und p o die elelctrische bzw. magnetische Feldkonstante, E~ die relative Dielektrizitatskonstante, pr die relative Permeabilitat; E , und pr sollen orts- und zeitunabhhgig sein. Aus G1. (2.7b) geht rnit GI. (2.8a, b)
- &,E0 I3 + -rot B = P r PO
o
hervor. Wir differenzieren nach der Zeit und setzen B aus G1. (2.7a) ein. Wir erhalten E,E,
fi + 1
r o t rot E = 0. Pr PO
(2.7~)
Es ist rot rot E = grad div E - A E mit A E = divgrad E,.e,+divgradE,.e,+divgrad
Damit geht aus G1. (2.7~)
E,.e,,
2.1 Lichtwellen und -strahlen
27
hervor. Wir fiihren die Abkiirzung
ein und erhalten (2.9)
I
G1. (2.9) ist die partielle Differentialgleichung zur Bestimmung der elektrischen FeldstLke im homogenen isotropen Nichtleiter. in dem keine ijberschuSladungen enthalten sind. Sie wird Wellengleichung genannt.
E, = p , = 1. Die absolute Brechzahl des Nichtleiters, die durch n = co/c definiert ist, ist also mittels
Fiir das Vakuum ist
(2.10)
n=&
auf elektromagnetische StoffgroRen zuriickzufiihren. Im allgemeinen sind die Stoffe, die das Licht nicht absorbieren, nicht ferromagnetisch, so das mit guter Ngiherung pr = 1 ist und n= gilt. Fiir die ebene periodische Welle nach G1. (2.6) ist
J.r
grad Ex = -2xj Ex.s
A
und divgrad Ex = - - 4ERx2,
A2
gilt, erfiillt die G1. (2.6) die Wellengleichung. Es gibt aber noch eine Vielzahl weiterer Ltisungen der Wellengleichung, u.a. auch die der Kugelwelle. Intensitiit der ebenen Welle. Die magnetische Feldstiirke der ebenen Welle 1 s t sich aus der elektrischen Feldstlirke mit der G1. (2.7a) unter Beriicksichtigung von G1. (2.8b) berechnen. Mit G1. (2.6) erhalten wir wegen rot u v = u rot v + grad u x v
Bei der ebenen Welle ist rot a = 0,so did3 nach Ausrechnen des Gradienten 2 ~ j rot E = -(sxE)
A
wird. Integration von G1. (2.7a) nach der Zeit ergibt fiir die periodische Welle
H = --jrot1
PIPo
E . d t = -(sx PrPoC
E)
28
2 Physikalische Grundlagen
bzw. H =
\i""
(sxE). (2.11) PrPO Die Energiestromdichte, also die je Sekunde durch eine senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehende Flacheneinheit hindurchgehende Feldenergie, folgt aus
S =ExH.
(2.12)
S ist der Poyntingvektor. Fiir die ebene Welle gilt mit G1. (2.11) S = \ JPr, E POo [ E ~ ( s ~ E ) ] .
Nach dem Entwicklungssatz fiir doppelte Vektorprodukte und mit E s = 0 ( E steht senkrecht auf s) ergibt sich (2.13) Wir haben bereits betont, daR nur der Realteil oder der Imaginslrteil der komplexen Feldstiirke physikalisch sinnvoll ist. Diese Aussage wird bei der Produktbildung wesentlich. Fiir die Summe zweier komplexer Zahlen gilt: Realteil der Summe = Summe der Realteile beider Summanden, Deshalb diirfen komplexe Feldstiirken addiert werden. Fiir das Produkt zweier komplexer Zahlen gilt aber: Realteil des Produkts f Produkt aus den Realteilen der Faktoren. Der Realteil des Produkts zweier komplexer Zahlen beschreibt demnach nicht den physikalischen Vorgang, der durch das Produkt aus den Realteilen der Faktoren gegeben ist. Wir koMen trotzdem die komplexe Schreibweise verwenden, wenn wir statt E 2 den Ausdruck
[+ ( 6+ .*)I2
einsetzen ( E * ist zu E konjugiert komplex). Wegen E + E* = 2Re ( E ) ist gesichert, dao nur die physikalisch sinnvollen Realteile multipliziert werden. Damit erhalten wir
Durch die Periodizitat der elektrischen Feldstiirke schwanlct auch die Energiestromdichte zitlich und raumlich. Die Lichtdetektoren registrieren jedoch den Mittelwert iiber eine gro0ere Anzahl an Perioden. Diesen Mittelwert berechnen wir aus
Die ersten beiden Summanden sind periodische Funktionen, deren Mittelwert iiber eine Periode verschwindet. Der dritte Summand ist zeitlich konstant, so daB (2.14)
2.1 Lichtwellen und -srrahlen
29
gilt. Der Betrag des Zeitmittelwertes des Poyntingvektors, ((S)(,wird Intensitat der Welle genannt. Mit ~ , ~ ~ =pl /, ~pergibt *~ sich fiir die Intensitat l
2.1.2
Polarisationsarten
Die Lichtwelle ist eine transversale Welle, so dalj sie polarisiert werden kann. In einer polarisierten Welle beschreibt der Vektor der elektrischen Feldsttirke in jeder zur Ausbreitungsrichtung senkrechten Ebene eine bestimmte Bahn. Diese ist, wie wir noch beweisen werden, eine gerade Strecke, ein Kreis oder eine Ellipse. Dementsprechend unterscheidet man verschiedene Polarisationsarten.
I
Die Lichtwelle kann linear, zirkular oder elliptisch polarisiert werden.
Die linear polarisierte Welle hat eine raumfeste Ebene, in der die elektrische Feldstkke schwingt. In der senkrecht dazu liegenden Ebene mu3 dam die magnetische Feldstkke schwingen. Historisch hat sich folgende Bezeichnungsweise eingebiirgert:
I
Die elektrische Feldsttirke schwingt in der Schwingungsebene; die magnetische Feldsttirke schwingt in der Polarisationsebene.
Es ist auch moglich, dal3 sich linear polarisierte Wellen gleicher Phase, aber verschiedener Schwingungsrichtung in der gleichen Richtung ausbreiten. In solchem Licht, das partiell polarisiert heifit, ist eine Schwingungsrichtungbevorzugt enthalten. Im theoretischen Grenzfall, bei dem alle Schwingungsrichtungenvorkommen und alle Amplituden gleich sind, wird von natiirlichem Licht gesprochen. Eine linear polarisierte Welle, die sich in z-Richtung ausbreitet, wird nach GI. (2.2a) in reeller Form durch
E = Asin(wz-m+S) beschrieben. Wir erhalten experimentell linear, zirkular oder elliptisch polarisiertes Licht, wenn wir zwei phasenverschobene, senkrecht zueinander schwingende Wellen gleicher Frequenz uberlagern. Diesen Vorgang wollen wir theoretisch behandeln. Wir nehmen die x- bzw. die y-Richtung als Schwingungsrichtung an. Die elektrischen Feldstiirken der Wellen lauten Ex = AXsin(wz-wf+6,)
und Ey = Aysin(wz-ot+Sy).
Wir untersuchen die resultierende Feldstsirke und deren Schwingung am festen Ort z = ~ 0 Die , Anteile W Q in den Argumenten der Sinusfunktionen gehen dann in die Anfangsphase am Ort z = Q ein. Wir setzen WQ+&
=
s:,
wz0+c5, = 6;
und erhalten Ex = Axsin(-wf+61),
Ey = Aysin(-wt+6b).
30
2 Physikalische Grundlagen
Die Phasendifferenz zwischen den Wellen betragt
6 = 6;-6;.
(2.16)
Abb. 2.4 demonstriert das Entstehen einer zirkular polarisierten Schwingung fiir den Spezial-
6; = 0",
t=o
6 = 90"
It t =4w
Abb. 2.4 Entstehung der zirkular polarisierten Welle
Tabelle 2.2 Ableitung der Gleichung fiir die Schwingungsellipse
Komponenten der elektrischen Feldswke E, = A, sin (-ox + 6;) E, = A, sin (-mt + a:), Auflosen nach - mt Ex a,: -mt = arcsin -Ax
EY - at = arcsin --
6;
AY
Gleichsetzen der rechten Seiten
Einfiihren der Phasendifferenz 6 = 6; - 6: und Urnformen
9 = sin (arcsin -+ti A, A Ex X
1
Anwenden der Additionstheoreme
Anwenden von cos a = ,/=
Umformen
31
2.1 Lichtwellen und -strahlen
Fiir den allgemeinen Fall ist in Tab. 2.2 die Kurvengleichung
(2.17) abgeleitet worden. Die quadratische Gleichung (2.17) stellt einen Kegelschnitt dar (Abb. 2.5). Weil die Bahnkurve des Feldstiirkevektors innerhalb des durch 2Ax und 2Ay aufgespannten Rechtecks bleiben muR, kann es nur ein Kreis, eine Ellipse oder eine gerade Linie sein.
Abb. 2.5 Schwingungsellipse
In Tab. 2.3a und Tab. 2.3b sind auRerdem die Beziehungen enthalten. mit denen die Lage der Bahnkurven und das Achsenverhiiltnis der Ellipsen bestimmt werden konnen. Es gilt fiir die Lage (Abb. 2.5) tan201 = tan2ly.cos6,
tanly =
A’; Ax
(2.18a, b)
fiir das Hauptachsenverhiiltnis (Abb. 2.5)
sin2y = fsin2ly.sin6,
tany = .;b
Tabelle 2.3a Ableitung der Gleichung zur Berechnung der Achsenlage der Ellipse
Hauptachsentransformationder Kurvengleichung 2 cos 6 A, A* Ax A,
tan2a = --
Einfiihrung &r Abkiinung
Einsetzen und Anwenden eines Additionstheorems
tan2a = -
(2.19a, b)
32
2 Physikalische Grundlagen
Tabelle 2.3b Ableitung der Cileichung zur Berechnung des Hauptachsenverhfiltnissesder Ellipse Parameterdarstellung der Ellipsenflache F =1 $(E& - E y i , ) d r
2 Differentiation der Komponenten der elektrischen Feldstirke Ex = -oAxcos(-wr+6:), by = - o A , c O S ( - ~ t + 6 ~ ) Einsetzen in die Flachengleichung, Anwenden von Additionstheoremen
-z 1 oA,Aysin(6: - 6;)
F =
(~ni/m
jdr 0
EinfWen von S = 6; - 6: und Integrieren F = rcA,A,sin& Ausdrikken der Ellipsenflache mit den Halbachsen F = nab Gleichsetzen der Flachengleichungen und Beachten, daI.3 A,, A,, a, b positiv sind ab = f A,AY sin6 Intensiut der ebenen Wellen (Amplituden A, und A Y )
I
= ~%(A:+A,z)
2
IntensitBlt der ebenen Wellen (Amplituden a und b)
I
=
5%(aZ+b2) 2
Gleichsetzen der Intensitiiten a 2 + b 2= As+A,’ Division durch ub
iAy
a+-=+ b a
A,
A,
sind
Abkiirzungen
Einsetzen (h+tmy)sinS = Anwenden von
tan2y+l tan~
2 sin2y
Einsetzen sin2y = f s i n 2 y . s i n 6
33
2.1 Lichtwellen und -strahlen
Tab. 2.4 f&t die Schwingungsformen bei verschiedenen Werten der Phasendifferenz zusammen. Abb. 2.6 veranschaulicht den raumlichen Zustand einer elliptisch polarisierten Welle zu einer festen Zeit.
Abb. 2.6 Elliptisch polarisierte Welle in einem Zeitmoment
Tabelle 2.4 Polarisationsarten (Schwingungsformen in A b h g i g k e i t von der Phasendifferenz, Umlaufsinn entgegen der Lichtrichtung gesehen)
Phaseniifferenz
Kurvengleichung
I
Schwingungsform
IA,#A.
lEy =
I
ISchwingungsform I
I\
polarisiert
polarisiert
linkselliptisch polarisiert
linkselliptisch
elliptisch mlarisiert linkselliptiscb polarisiert linear polarisiert rechtselliptisch polarisiert elliptisch rechts-
Eli
linkszirkular polarisiert links-
elliptisch polarisiert linear polarisiert
1 0 1 1 1 0 1 &: :? I zisich polarisiert
polarisiert
polarisiert
elliptisch
elliptisch
34 2.1.3
2 Physikalische Grundlagen
Huygenssches Prinzip
Die Ausbreitung des Lichtes kann als Uberlagerung von Lichtwellen gedeutet werden. Wir erlautern diese Aussage am Beispiel einer Lichtwelle, die von einer punktfonnigen Lichtquelle ausgesendet wird. Die Lichtquelle ist dadurch ausgezeichnet, dal3 an ihrem Ort primiir eine elektromagnetische Schwingung eingeleitet wird. Die Schwingung ubertragt sich durch die radiale Ausbreitung des elektromagnetischen Feldes von Volumenelement zu Volumenelement. In der Umgebung der Lichtquelle beobachten wir die zeitlich und raumlich veriinderliche elektromagnetische Feldenergie als elektromagnetische Welle. Das Huygenssche Prinzip stellt eine M6glichkeit dar, die Ausbreitung dieser Welle allgemein zu verstehen. In Abb. 2.7 ist eine Kugelwelle durch die Wellenflachen veranschaulicht. Die Wellenfront ist verstsirlct eingezeichnet. In einem Punkt P’, der auf der Wellenfront liegt, beginnt gerade die Schwingung. Fiir das ubrige Gebiet hat der Punkt P’ also mit der Lichtquelle gemeinsam, dal3 eine Schwingung eingeleitet wird. Der Unterschied zwischen der Lichtquelle P und dem Punkt P’ besteht darin, daB am Ort der Lichtquelle Energie, z. B. Wiirmeenergie, in elektromagnetische Feldenergie umgewandelt wird, wiihrend die Schwingungsenergie im Punkt P’ aus der Welle selbst stammt. Die Schwingung sollte sich nun vom Punkt P’ aus ebenfalls radial ausbreiten und der Punkt P’ damit zum Zentrum einer Kugelwelle werden. Da der Punkt P’ beliebig ausgew2hlt ist, gilt dieselbe Uberlegung fiir jeden Punkt des Wellenfeldes. Diese theoretische Erwartung wird im ersten Teil des Huygensschen Prinzips postuliert.
I
Jeder Punkt eines Wellenfeldes ist Erregungszentrum einer Kugelwelle, die Elementarwelle genannt wird.
Wir beobachten jedoch keine Elementarwellen, sondern eine Kugelwelle, die von der Lichtquelle P ausgeht. Diese Tatsache wird durch die Uberlagerung der Elementarwellen erkliirt. In Richtung der Normalen zu den Gesamtwellenflachen koMen sich die Elementarwellen ungestort ausbreiten. In allen anderen Richtungen heben sie sich durch Interferenz gegenseitig auf. Daraus ergibt sich eine radiale Verschiebung der Wellenfront, die als Einhiillende der Elementarwellen erscheint. (In Abb. 2.7 ist ein Teil der neuen Wellenfront gebrochen eingezeichnet.)
..-
Abb. 2.7 Zum Huygensschen Prinzip
Zum Versthdnis dieses Vorgangs sei noch darauf hingewiesen, da0 die Erregungszentren infinitesimal benachbart sind und die Elementarwellen in kleinsten Bereichen interferieren. In Abb. 2.7 muDten der Abstand der Zentren und die Elementarwellen stark vergroRert dargestellt werden. Wir formulieren den zweiten Teil des Huygensschen Prinzips:
2.1 Lichtwellen und -strahlen
I
35
Die Elementatwellen uberlagern sich so, da13 nur ihre Einhiillende, die Wellenfront, beobachtet werden kann. Parallel zur Wellenfront verlaufen die Flachen gleicher Phase, die Wellenflachen.
Das Huygenssche Prinzip, also die Beschreibung der Wellenausbreitung mit Hilfe der ijberlagerung von Elementarwellen, bewtihrt sich bei der Deutung shtlicher Ausbreitungseigenschaften der Lichtwellen.
2.1.4
Lichtstrahlen
In der geometrischen Optik werden die Ausbreitungseigenschaften des Lichtes mittels der Lichtstrahlen beschrieben. Der Verlauf der Lichtstrahlen wird mit mathematischen Methoden untersucht. Es gilt also:
I
Die geometrische Optik bedient sich des Strahlenmodells des Lichtes.
Die Beschreibung der Ausbreitung von Lichtwellen geht im allgemeinen in die Beschreibung des Lichtweges mit Lichtstrahlen iiber, wenn die Wellenlhge des Lichtes gegen 0 geht. Die geometrische Optik versagt aber auch im Grenzfall 1 0 . wenn die Verhatnisse in der Umgebung der Schattengrenze und an Orten hoher Energiedichte untersucht werden sollen. Trotzdem wenden wir die geometrische Optik an, um die Begrenzung von Strahlenbiindeln und die Konzentration von Lichtstrahlen in einem Punkt oder dessen unmittelbarer Umgebung zu behandeln. Wir mussen uns aber dariiber klar sein, dal3 wir dann im Rahmen der geometrischen Optik selbst fiir kleine WellenlWgen nur Ntiherungsaussagen erhalten. Die feineren Einzelheiten, die mit der Biindelbegrenzungund der Vereinigung von Licht in der Umgebung von Bildpunkten verbunden sind, gehen dabei verloren. Wir fassen zusammen:
I
Das Strahlenmodell beschreibt den Lichtweg, wie er im Grenzfall verschwindender Wellenlhge auI3erhalb von Stellen hoher Energiedichte und in einer gewissen Entfernung von der Schattengrenze vorhanden wae. Von siimtlichen weiteren Eigenschaften des Lichtes wird abstrahiert.
Bestimmte Eigenschaften der Lichtwelle ktinnen dem Lichtstrahl formal - ohne physikalische Begriindung - zugeordnet werden, damit einige zusatzliche wellenoptische Aspekte in die geometrisch-optische Beschreibung einbezogen sind (z. B. Zuordnung einer Wellenlhge). Die Anwendung des Strahlenmodells auf Fiille, die nicht den theoretischen Voraussetzungen entsprechen (z. B. die Anwendung fiir I % 0). fiihrt zu Ntiherungsaussagen. Das Strahlenmodell des Lichtes wirft noch eine weitere Frage auf, die seine Anwendbarkeit auf praktische Probleme betrifft. Ein einzelner Lichtstrahl und sein Verlauf lassen sich mathematisch abstrakt behandeln. Experimentell ist ein einzelner Lichtstrahl nicht zu realisieren. Wir erlautern den ProzeS des Ausblendens eines Lichtbundels abnehmenden Durchmessers am Beispiel einer kreisformigen Lochblende. Wir erzeugen ein Parallelbiindel, das wir senkrecht auf einen undurchsichtigen Schirm mit einer kreisfdrmigen Offnung treffen lassen. Geometrisch-optisch ergibt sich hinter dem Schirm ein Parallelbundel mit dem Lochdurchmesser und damit einer scharfen Schattengrenze.Vemngern wir den Lochdurchmesser stetig, dam sollte sich das Bundel schlie6lich auf einen Lichtstrahl zusammenziehen. Praktisch wird dieser Proze6 durch den Wellencharakter des
2 Physikalische Grundlagen
36
Lichtes begrenzt. Mit kleiner werdender Lochblende tritt d e Beugung stPker in den Vordergrund. Im Bundel liegt eine Intensitatsverteilung nach Abb. 2.8 vor. Im Innern der ersten Nullstelle befindet sich der Hauptanteil der Intensitat (ca. 84%). Abb. 2.9 enthdt den auf die Brennweite f‘ einer abbildenden Linse bezogenen Radius r‘ des ersten dunklen Ringes und den halben Offnungswinkel u’ des Bundels. Die in Abb. 2.8 eingezeichnete Strahlenvereinigung im Brennpunkt der Linse ist also nicht geeignet, das Verhalten des Lichtes bei enger Blende richtig zu beschreiben.
I
Intensitat
Abb. 2.8 Intensitiitsverteilung durch Beugung an der kreisformigen Offnung 687
20 -
51,7
15 -
t
t
3
i_
34,4
‘;I0
-
m 0 7
122
5-
I
0
1
I
I
-
0,4 Ot6 0,8 Durchmesser der Offnung in mm
0,2
I
-
1.0
Abb. 2.9 Radius der ersten Nullstelle bei der Beugung an der kreisformigen Offnung
Bei R = 500 nm und 0,l mm Lochdurchmesser ist r’/ f’ = 6 , l . und u’ = 21’. In der Brennebene einer Sammellinse mit der Brennweite f’ = 50 mm betragt also der Durchmesser des hellen Zentrums 2r‘ = 0,61 mm. Wir halten fest:
I
Ein einzelner Lichtstrahl ist eine mathematische Abstraktion. In der Praxis mussen wir stets das Verhalten von Lichtbundeln untersuchen.
Axiome der geometrischen Optik. Es gibt verschiedene Moglichkeiten, zu den Gesetzen der geometrischen Optik zu gelangen. Wir werden zwar einige wellenoptische Aspekte zur Veranschaulichung und Begriindung der grundlegenden Gesetze heranziehen, grundsatzlich wollen wir sie jedoch axiomatisch an die Spitze stellen.
2.1 Lichtwellen und -suahlen
37
Axiome sind Satze. die im Rahmen der dargestellten Theorie nicht beweisbar sind. Sie folgen aus der Erfahrung, indem sie empirisch festgestellte Zusammenhbge verallgemeinern. Auf die Axiome wird das Gebaude der Folgerungen und theoretischen Aussagen aufgebaut. Das Brechungsgesetz z. B. soll ursprtinglich von Snellius durch Messungen gefunden worden sein. Die Meflfehler gestatten natiirlich nicht, das Gesetz in aller Strenge experimentell zu bestatigen. Die Abstraktion liegt in der mathematischen Fassung, die ex& fiir siimtliche im Rahmen der Voraussetzungen liegende Fgille gelten soll. Wir formulieren die Axiome der geometrischen Optik. 1. Axiom: Im homogenen Stoff sind die Lichtstrahlen gerade. 2. Axiom: An der Grenzflache zweier homogener isotroper Nichtleiter wird das Licht im allgemeinen nach dem Reflexionsgesetz reflektiert und nach dem Brechungsgesetz gebrochen. 3. Axiom: Der Strahlengang ist umkehrbar, d. h, die Lichtrichtung auf einem Lichtstrahl ist belanglos. 4. Axiom: Lichtbiindel durchkreuzen einander, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Die Axiome 1, 3 und 4 sind fiir sich verst&dlich. Der Inhalt des 2. Axioms wird Gegenstand des nachsten Abschnitts sein. Zunsichst definieren wir noch einige Begriffe, die im Zusammenhang mit Gesamtheiten von Lichtstrahlen auftreten.
I
Jede raumliche Gesamtheit von Lichtstrahlen nennen wir ein Strahlenbundel; jede in einer Ebene liegende Gesamtheit von Lichtstrahlen nennen wir ein Strahlenbuschel.
In der geometrischen Optik kommen nicht beliebige Strahlenbundel vor. Die Lichtstrahlen mussen vom wellenoptischen Standpunkt aus senkrecht zu den Wellenflachen stehen.
I
Ein Bundel, dessen Strahlen Normalen zu einem Flachensystem darstellen, heil3t orthotom.
In der geometrischen Optik werden also orthotome Strahlenbundeluntersucht. Da l b g s des gesamten Lichtweges die Wellenflachen senkrecht zu den Strahlen verlaufen, gilt der Satz van Malus:
I
Durch Reflexionen und Brechungen des Lichtes geht die Orthotomie der Strahlenbundel nicht verloren.
Der Satz von Malus ist wellenoptisch evident. Wir verzichten deshalb auf den umstbdlichen Beweis mit rein geometrisch-optischen Mitteln.
2.1.5
Fermatsches Prinzip
Das Huygenssche Prinzip erkl8t-t die Lichtausbreitung mittels der ijberlagerung von Elementarwellen. Seine Basis ist das Wellenmodell des Lichtes. Das Fermatsche Prinzip ist eine weitere Grundlage fiir die Ausbreitung des Lichtes. Es fiihrt auf die dem Strahlenmodell des Lichtes zugeordneten Axiome, die wir in 2.1.4 angegeben haben. Der Sarz von Fermut 1Ut sich damit als allgemeines Prinzip fiir den Zugang zur geometrischen Optik venvenden. Er lautet:
2 Physikalische Grundlagen
38
Ein Lichtstrahl verbindet zwei Punkte des Raumes auf einem Weg, dessen optische Liinge, verglichen mit der Liinge von Nachbarwegen, einen Extremwert darstellt. Im allgemeinen handelt es sich um einen minimalen Weg. Das Fermatsche Prinzip gilt demnach W die optische Wegliinge L, die auch kurz Lichtweg genannt wird. Dieser ist gegeben durch L = nl.
(2.20)
Verglichen werden durfen nur der wirkliche Lichtweg und mogliche Nachbarwege. Abb. 2.10a zeigt, dal3 beim ebenen Spiegel der wirkliche Lichtweg zwischen A und A’ kiirzer ist als der gestrichelte Nachbarweg. Der direkte Weg zwischen A und A’ ist zwar kiirzer, er stellt aber keinen Nachbarweg dar. Abb. 2. lob enthiilt ein Beispiel dafiir,da13 der wirkliche Lichtweg zwischen A und A‘ l a i n ger ist als der gestrichelte Nachbarweg. Das geht daraus hervor, daO der Lichtweg iiber den zum Vergleich eingezeichneten Ellipsenspiegel mit den Brennpunkten A und A’ unabhhgig vom AuflrefTpunkt des Strahls konstant ist.
a)
bJ
C)
Abb. 2.10 Fermatsches Prinzip, wirklicher Lichtweg ist ein Minimum (a) bzw. Maximum (b) bzw. gehort zu einem Wendepunkt (c)
Abb. 2 . 1 0 ~demonstriert den Spezialfall gleicher L h g e aller Lichtwege zwischen A und A’, wie er beim Kugelspiel moglich ist. (A und A’ stimmen mit dem Kriimmungsmittelpunkt uberein.) Bei stiickweise konstanter Brechzahl (Abb. 2.1 l), dem praktisch wichtigsten Fall, lautet die mathematische Fassung des Fermatschen Prinzips x n k l k = Extremum.
(2.21)
k
Die absolute Brechzahl nk des StOffeS k ist durch
gegeben; co bzw. ck sind die Lichtgeschwindigkeiten im Vakuum bzw. im Stoff k. Damit gilt nach G1. (2.21)
?$
co
= Extremum.
co ist eine Konstante, und & = l k lck ist die Zeit, in der das Licht die Strecke Eine mit GI. (2.21) gleichwertige Formulietung lautet also = Extremum.
x& k
zuriicklegt. (2.22)
2.2 Reflexion und Brechung
39
Abb. 2.11 Lichtweg bei stiickweise konstanter Brechzahl
In Worten:
I
Das Licht legt zwischen zwei Punkten denjenigen Lichtweg zuriick, der gegeniiber Nachbarwegen eine extremale Zeit erfordert.
In den sogenannteninhomogenen Stoffen ist die Brechzahl eine stetige Funktion des Ortes. Der Lichtweg zwischen den Punkten A und A' ist aus A'
L = J'nd
(2.23)
A
zu berechnen. Das Fermatsche Prinzip ist in die Form r n d l = Extremum
(2.24)
A
zu bringen. Die Berechnung des Verlaufs der Lichtstrahlen nit G1. (2.24) ist eine Aufgabe der Variationsrechnung, d e GI.~ (2.24) ist gleichwertig mit A'
6 j n d l = 0. A
Die auf G1. (2.25) bezogene Formulierung des Fermatschen Prinzips lautet:
I
Die erste Variation des Lichtweges verschwindet.
Das Problem 1Ut sich auf die Losung von Differentialgleichungen,den Eulerschen Gleichungen der Variationsrechnung, zuriickfiihren.
2.2 Reflexion und Brechung 2.2.1
Brechungsgesetz
Wdlenoptische Begriindung des Brechungsgesetzes. Wir untersuchen das Verhalten des Lichtes an einer unendlich ausgedehnten, ebenen Grenzfliiche, die zwei homogene, isotrope und nichtabsorbierende Stoffe voneinander trennt.
2 Physikalische Grundlagen
40
An dieser Stelle nennen wir einen Stoff “homogen”, wenn die Phasengeschwindigkeit des Lichtes an jeder Stelle den gleichen Betrag hat; wir nennen ihn “isotrop”, wenn die Phasengeschwindigkeit des Lichtes unabhagig von der Ausbreitungsrichtung ist. Eine ebene Lichtwelle treffe unter dem Einfallswinkel E auf die Grenzflache auf. Der hindurchgehende Anteil wird gebrochen und verlaist die Grenzflache unter dem Brechungswinkel E’. Die Brechung des Lichtes ist eine Folge des Huygensschen Prinzips, nach dem die Ausbreitung der Wellenfront als Ausbreitung der Einhiillenden von Elementarwellen erkliirt wird (Abb. 2.12).
Abb. 2.12 Brechung an einer Grenzflache
Abb. 2.13 Zur Ableitung des Brechungsgesetzes mit dem Huygensschen Prinzip
In Abb. 2.13 stellt die Ebene AC eine Wellenflache dar. In der Zeit, in der die Wellenfront im Stoff 1 vom Punkt A aus bis zur Grenzflache (Punkt B) gelangt, breitet sich die Wellenfront im Stoff 2 vom Punkt C bis zum Punkt D aus. Die Ebene BD ist ebenfalls eine Wellenflache. Fiir die Ausbreitungszeit gilt (c und C’ sind die Phasengeschwindigkeiten des Lichtes) y sin&
t = --
und
y sin E’ t = I C
C
(2.26)
Gleichsetzen der rechten Seiten und Umformen ergibt
-sin- e‘c sine
I
/
--
(2.27)
c*
‘
Fiir ” < wird das Licht d>C
vom
hin gebrochen. Einfallslot weg
Die Richtung der Wellennormalen gibt im isotropen Stoff zugleich die Richtung der Lichtstrahlen an, so daD auch in der geometrischen Optik das Brechungsgesetz (2.27) gilt. Theoretisch exalct ist diese Aussage jedoch nur fiir die unendlich ausgedehnte Grenzflache. An einer durch Kanten begrenzten Flache eines Korpers tritt Beugung auf. In vielen praktischen Fiillen kann jedoch davon abgesehen werden. Auch bei nichtebenen Wellenflachen wenden wir das Brechungsgesetz (2.27) an. Gebrochen wird die Wellennormale, also der Strahl.
2.2 Reflexion und Brechuna
41
Absolute und relative Brechzahl. Fiir den iibergang des Lichtes aus dem Vakuum in einen Stoff gilt das Brechungsgesetz (2.27) in der Form
sine sine'
- CO = n.
(2.28)
c
Das Verhdtnis aus der Phasengeschwindigkeit des Lichtes im Vakuum co und der Phasengeschwindigkeit des Lichtes in einem Stoff c ist dessen absolute Brechzahl n.
I
Fiir zwei verschiedene Stoffe 1st
n = -co
und n ' = 7 co ,
C
(2.29)
C
so daR I
c=IL C'
(2.30)
n
gilt.
Das Brechungsgesetz (2.27) l a t sich mit (2.30) als sine, sine
-a n'
oder (2.31)
nsine = n'sine'
schreiben. Das Produkt n sine kann also mit den vor der Flache giiltigen GrtiBen oder mit den hinter der Flache gultigen GroBen gebildet werden. Es ergibt sich beide Male der gleiche Wert.
I
Das Produkt n sine ist eine Invariante der Brechung.
In der technischen Optik wird zur Kennzeichnung des Stoffes im allgemeinen die Brechzahl nL gegenuber Luft verwendet. Weil aus G1. (2.30) nach Erweitern
CI - -.-
nLuft
=
3 mit
n
__ =
n' - n; nL und nLuft
nt n Luft folgt, gilt G1. (2.31) auch dann, wenn die Brechzahlen n und n' auf Luft bezogen sind. c
nL"R
n'
ZusammengefaBt ergibt sich als Inhalt des Brechungsgesetzes ftir die Brechung an der Grenzflache zwischen zwei homogenen, isotropen und nichtabsorbierenden Stoffen:
I
Der Lichtstrahl bleibt in der Einfallsebene. Einfdls- und Brechungswinkel sind verkniipft durch n sine = n' sine'.
Zeichnerische Ermittlung der Richtung des gebrochenen Strahls. Die Richtung des gebrochenen Strahls l%t sich mit einem einfachen zeichnerischen Verfahren bestimmen. Wir geben zunachst die Zeichenvorschrift an und beweisen anschliefiend deren Richtigkeit. 1. Zeichne zwei konzentrische Kreise, deren Radien sich wie die Brechzahlen beiderseits der
Grenzflache verhalten! 2. Zeichne durch den Mittelpunkt der Kreise eine Parallele zur Strahlrichtung vor der Grenz-
fltiche! Diese schneide den Kreis, dessen Radius der Brechzahl vor der Grenzfliiche proportional ist, im Punkt A.
2 Physikalische Grundlagen
42
3. Zeichne durch den Punkt A eine Parallele zum Einfallslot! Diese schneide den Kreis, dessen Radius der Brechzahl hinter der Grenzflache proportional ist, im Punkt B. 4. Verbinde den Mittelpunkt der Kreise mit dem Punkt B! Diese Verbindungslinie ist der Strahlrichtung hinter der brechenden Flache parallel.
Abb. 2.14 Zur Konstruktion der Richtung des gebrochenen Strahls
Beweis (Abb. 2.14). Anwenden des Sinussatzes im Dreieck ABC:
sin(-&') = -r sin(l8O0+e) r" Anwenden von sin(-&') =-sin&', sin(l80"+~)= -sin& und Vergleich mit dem Brechungsgesetz ergibt
also das vorausgesetzte Radienverhdtnis. Die Hilfskonstruktion wird zweckmaig auRerhalb des eigentlichen Strahlenverlaufs und in einem vergroaerten Maastab ausgefiihrt. Das Verfahren ist nicht nur bei Planflachen anwendbar. Vektorielles Brechungsgesetz. Sowohl das Brechungsgesetz (2.3 1) als auch die zeichnerische Konstruktion der Richtung des gebrochenen Lichtes sind einfach anwendbar, wenn die Strahlen in einer Ebene bleiben. Bei der Brechung an mehreren Flachen bleibt ein Lichtstrahl zwar an jeder Einzelflache in der Einfallsebene; die Einfallsebenen verschiedener Flachen stimmen im allgemeinen jedoch nicht uberein. Es ist dann der Strahlenverlauf im Raum zu untersuchen. Dabei sind oft komplizierte raumliche Winkelbeziehungenzu betrachten. Ein raumlicher Strahlenverlauf l a t sich rationell behandeln, wenn die Flachenlagen und die Strahlrichtungen durch Vektoren beschrieben werden. Die Richtung des Lichtstrahls vor bzw. nach der Brechung ist durch den Einheitsvektor s bzw. s' gegeben (Abb. 2.15). Die Lage der Flache bezuglich des einfallenden Lichtstrahls ist durch die Richtung der Flachennormalen im Auftreffpunkt charakterisiert. Wir verwenden dazu den Normaleneinheitsvektor n.
2.2 Reflexion und Brechung
43
Abb. 2.15 Einheitsvektoren fiir das vektorielle Brechungsgesetz
Abb. 2.16 Vektorielles Brechungsgesetz
Das vektorielle Brechungsgesetz hat die Vektoren s, s’ und n so miteinander zu verknupfen, dal3 nsine =n’sine’ gilt. Es liegt nahe, die Sinusfunlctionen durch die Betriige von Vektorprodukten zu ersetzen. Es gilt (Abb. 2.15) sine = IsxnI und nsi&‘ = Is’xnl. (2.32) Weil der Lichtstrahl bei der Brechung in der Einfallsebene bleibt, stehen die Vektoren s x n und s’x n senkrecht auf der Einfallsebene. In Abb. 2.15 weisen beide Vektoren in die Zeichenebene hinein (vgl. Abb. 2.16). Wir diirfen also auch
n(s x n ) = n’(s’x n )
(2.33)
setzen. G1. (2.33) ist das vektorielle Brechungsgesetz (Abb. 2.16). Im allgemeinen sind die FlEhenlage und die Richtung des einfallenden Lichtstrahls bekannt, d. h., die Vektoren n und s sind vorgegeben. Die Aufgabe besteht dann darin, aus dem vektoriellen Brechungsgesetz (2.33) den Einheitsvektor s’ in Richtung des gebrochenen Strahls zu berechnen. Die Auflosung von G1. (2.33) nach s‘ ist in Tab. 2.5 enthalten. Das Ergebnis lautet s‘ = n s -n
n’
1; 1.J(ns)-
(2.34)
Die Komponenten von s’ folgen aus (2.35) Die Rechenvorschrifkn (2.35) fCir die Komponenten von s’ wertet man am besten in einem Rechenschema aus. Mit den Abkiirzungen (2.36a, b, c) von denen N und W in Nebenrechnungen bestimmt werden, erhalten wir nach Tab. 2.6.
2.B.
das Schema
44
2 Physikalische Grundlagen
Tabelle 2.5 Ableitung des vektoriellen Brechungsgesetzes ____
~
_
_
_
_
_
_
Anwenden des vektoriellen Brechungsgesetzes n ( s x n ) = n'(s'x n )
Vektorielle Multiplikation mit n
1
Anwenden des Entwicklungssatzes n[n2s- (ns)n] = n'[nzsf- (ns*)n]
Anwenden von n2 = 1, Auflosen nach s'
+
I
[s - (ns)n] n(ns')
I Anwenden des Brechungsgesetzes Anwenden von cos E = (ns) und sin2 E = 1- cos2 E
I Einsetzen IK G n t e n d a r s t e l l u n g
Tabelle 2.6 Rechenschema fiir das vektorielle Brechungsgesetz
- nxM
- nyM
- n,M
+ s,N
+ s,N
+ s,N
2.2.2
N(ns) -W
I
Rdexionsgesetz
An einer Grenzflache, die zwei Stoffe unterschiedlicher Brechzahl voneinander trennt, wird stets ein Teil des Lichtes reflektiert. Das Reflexionsgesetz, das wir wie das Brechungsgesetz mit dem Huygensschen f i n z i p begriinden konnten, lautet:
2.2 Reflexion und Brechung
I I
45
Der Lichtstnhl bleibt in der Einfallsebene. Einfalls- und Reflexionswinkel sind durch &
= -d
miteinander verknupft.
Der Reflexionswinkel &’ wird analog zum Einfallswinkel & gegenuber der HaCheMOfmalen, also gegenuber dem Einfallslot, gemessen. In der Schreibweise & = -€’ (2.37) driickt sich die Vorzeichenregel fiir Winkel aus, die natiirlich auch fix den Reflexionswinkel gilt. Wir konnen die Tatsache, d d der Reflexions- und der Einfallswinkel entgegengesetzt gleich sind, auch dadurch veranschaulichen, dal3 bei der Reflexion beide Strahlen auf derselben Seite der Grenzflache liegen. Der Lichtstrahl “kehrt sich im wesentlichen um”. Der Vergleich des Brechungsgesetzes (2.31) und des Reflexionsgesetzes zeigt, dal3 das Reflexionsgesetz formal als Spezialfall des Brechungsgesetzes fiir
n = -n’ (2.38) aufgefdt werden kann. Die Folge davon ist, d d Beziehungen, die fiir die Brechung abgeleitet worden sind, unter Anwendung von G1. (2.38) fiir die Reflexion spezialisiert werden konnen. Vektorielles Reflexionsgesetz. Auch das Reflexionsgesetz IiU3t sich in eine vektorielle Form bringen. Wir legen fest, d d der Normalenvektor A in die reflektierende Flache hinein und der Strahlvektor s’ in Richtung des reflektierenden Strahls weist (Abb. 2.17).
Abb. 2.17 Einheitsvektoren fiir das vektorielle
Abb. 2.18 Zur Ableitung des vektoriellen
Reflexionsgesetz
Reflexionsgesetzes
Das vektorielle Reflexionsgesetz geht aus dem vektoriellen Brechungsgesetz hervor, wenn n’ = - n gesetzt und s‘ in -s’ (2.39) ubergefiihrt wird. Dies ist zu erkennen, wenn man den Spezialfall & = 0 betrachtet. Das vektorielle Brechungsgesetz ergibt s’ = s
(&=0), w w e n d das Reflexionsgesetz mit der festgelegten Richtung von s’ s’ = - s (&=0) ergeben m a .
(2.40)
46
2 Physikalische Grundlagen
Aus G1. (2.33) folgt mit GI. (2.38) und GI. (2.39) das vektorielle Reflexionsgesetz s x n = s’xn.
(2.41)
Entsprechend geht GI. (2.34) mit G1. (2.38) und GI. (2.39) uber in s‘ = s - 2(ns)n.
(2.42)
G1. (2.42) ist auch anhand von Abb. 2.18 auf einfache Weise anschaulich abzuleiten. Die Komponenten des Strahlvektor s’ lauten s; = si -2(ns)n,,
i = x , y, z .
Auch fiir die Auswertung dieser Rechenvorschriften sei ein Rechenschema vorgeschlagen (Tab. 2.7). Tabelle 2.7 Rechenschema fiir das vektorielle Reflexionsgesetz
2.2.3
Polarisation durch Reflexion und Brechung
Reflexions- und Brechungsgesetz sind eine unmittelbare Folge der Forderung, daR die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstiirke an der Grenzflache zweier Dielektrika stetig ist: Et, = Et* (E,, Tangentialkomponente unmittelbar vor, E,* unmittelbar hinter der Grenzflache). Die Gleichungen der elektrischen Feldstiirken an der Grenzflache lauten nach G1. (2.6)
einfallende Welle
Ej(r.
E = a.e
- c,)
reflektierte Welle gebrochene Welle Die Grenzflache liege in der x-y-Ebene, also bei z = 0. Die Stetigkeitsforderungfiihrt auf Ex+EI = E:I und
E,+E; = EY.
Diese Gleichungen mussen fiir beliebige Zeiten t und beliebige Punkte der Grenzflache gelten. Das ist nur moglich, wenn die variablen Exponentialfunktionen in jedem Summanden gleich sind. Diese Forderung bedeutet
2.2 Reflexion und Brechung
47
Gleichheit der Koeffizienten von r liegt vor, wenn
also
ist. Wegen c = v;l ist
v=v=v. Die Frequenz des Lichtes gindert sich bei Reflexion und Brechung nicht. Wenn die Einfallsebene die n-z-Ebene ist. gilt sy = 0 , so daS wegen GI. (2.43) auch S; = S; = 0 sein muS. Das ist der Beweis dafiir,daf3 die Normalen des reflektierten und des gebrochenen Lichtes in der Einfallsebene liegen.
Eih'allsebene
reflektkrende Fldche
Abb. 2.19b Zerlegung der Feldstiirkevektoren. Azimut
Abb. 2.19s Vektoren und ihre Zerlegung
bei Reflexion und Brechung Fiir die x-Komponenten ist
A = -s:n" Und S, = -s" Y X n zu fordern. Aus Abb. 2.19a ist abzulesen, dal3 S,
s,=
= : S
-sine,
s:=
sind, =:s
-sin&"
(2.44a, b. c)
ist. Damit ergeben sich das Reflexionsgesetz &'=-& und das Brechungsgesetz n s i n ~ = n"sin &" direkt aus der Stetigkeit der Tangentialkomponentender elektrischen Feldstiirke an der Grenzflache.
48
2 Physlkalische (irundlagen
Fresnelsche Formeln. Wir lassen eine linear polarisierte ebene Lichtwelle auf die Grenzflache zwischen zwei homogenen und isotropen Nichtleitern auftreffen. Ein Teil der Lichtenergie wird reflektiert, ein Teil geht durch die Grenzflache hindurch. Fiir die Amplituden der reflektierten und der gebrochenen Lichtwelle erhalten wir relativ einfache Gleichungen, wenn wir sie in eine Komponente parallel zur Einfallsebene up und eine Komponente senkrecht zur Einfallsebene a, zerlegen (Abb. 2.19b). Den Winkel zwischen der Einfallsebene und der Schwingungsrichtung nennen wir Azimut. Fiir die Azimute gilt
(2.45) Aus Abb. 2.19a lesen wir a, = - u p cos E ,
a: = a)pcos E’,
a, = a,,
a; = a:, a: = a i s i n d ,
a, = -a,sinE,
al: = -U:COS d f , ajr = uy, a: = -agsinE”
(2.46)
ab. Da dle Grenzflache dle x-y-Ebene, die Einfallsebene die x-z-Ebene ist, hat der Ortsvektor r keine y- und z-Komponente. Es ist also
sr = s,x,
sfr = six,
sf‘r = s:x.
Mit den Gleichungen (2.44a, b, c) fiir die Komponenten von s, sf und s f f , dem Reflexionsund dem Brechungsgesetz wird -sr= - -
s’r = -
xsinE
C
C
9
--xsinE
C
C
’
sf’r - --xsin& Cff
C
Es ist also sr/c=s‘r/c=sffr/cf‘, und die Exponentialfunktionen in den Gleichungen fiir die elektrischen Feldstkken an der Grenzflache sind gleich. Die Stetigkeitsbedingungen f i r dle Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstjirke gelten fur dle komplexen Amplituden: a,+a:
= a:,
u,+a;
= a;
bzw. mit den Gleichungen (2.46) (up-u’,)cosE =
a;COSEN,
a,+a: = a,.
(2.47a, b)
Die Stetigkeitsbedingungen fiir die Tangentialkomponenten der magnetischen Feldstiirke H , , = H,* lauten mit n = wegen
JEr
unter Beachtung der Gleichheit der Exponentialfunktionen in E , E‘, E“
n ( s x a),
+ n(s’ x d ) , =
n ( s x a),
+ n(s’ x d ) , = n ” ( f
n N ( S nx
a”),
und x a”),.
2.2 Reflexion und Brechung
ex
49
ey
ez
, 0 COSE -aapcos& a, -aPsin&
s x a = -sin&
ex
s ' x ~ '= -sin&
al,cos&
ey
I
,
-COSE
a:
-a',sin~
sin( <- E ) tan(<-&) al, = - a a', = a, . tan(<+&)' sin( &" + e ) ' a: = a,
ez
0
2 sin E" . cos E a; = 2sin&".cos& sin(&"+&) ' a~sin(~"+~).cos(<-&~.
(2.49a, b) (2.50a, b)
Die Fresnelschen Formeln beschreiben die Abh2ngigkeit der senkrecht und parallel zur Einfallsebene liegenden Amplitudenkomponenten vom Einfallswinkel fiir das reflektierte und das gebrwhene Licht.
Reflexionsgrad und Transmissionsgrad. Die Amplituden eignen sich zur Beschreibung des Polarisationszustandes des Lichtes. Wir registrieren aber mit Lichtempfhgern die Lichtintensitat. Wir definieren: Der Reflexionsgrad R ist das Verhdtnis aus Der Transmissionsgrad T reflektierter Intensitat 'I und auffallender Intensitat. hindurchgelassener Intensitat I" In Formeln:
und T = - -I". (2.51a. b) I I Wenn wir nichtabsorbierende Stoffe voraussetzen, muD wegen des Energieerhaltungssatzes
R = -I'
R+T = 1 gelten. Es geniigt also, den Reflexionsgrad explizit anzugeben. Das Intensitatsverh2ltnis (2.51a), fiir das nach G1. (2.15) I' I
-
la'I2 laI2
(2.5 lc)
2 Physikalische Grundlagen
50
gilt, la& sich mit den Fresnelschen Formeln berechnen. Einsetzen von G1. (2.49a) und G1. (2.49b) ergibt tan2(E” - E ) sin2(E” - E ) R, = R, = (2.52), (2.53) sin2(E” + E ) ’ tan2(&“ + E ) . Fiir kleine Winkel, fiir die die Winkelfunktionen gleich den Winkeln selbst gesetzt werden konnen, gilt R = (&” - &)’/( &” + E ) ~unabhiingig von der Schwingungsrichtung. Mit dem Brechungsgesetz fiir kleine Winkel n& = n”&” geht daraus
(2.54) hervor. a!
I
“$/
,
L t
60”
”-
90”
€
a)
Abb. 2.20 Reflexionsgrad als Funktion des Einfallswinkels
a)n=l,n”=1,5,b)n=1,5,n”=l
Abb. 2.20 enthat die Funktionen R, (E ) und R, ( E ) sowie den Reflexionsgrad
Rs -tR , (2.55) R(&)= 2 fiir den Fall, daS natiirliches Licht eifldlt (fiir dieses ist A, = A,). Im Fall E = 0” betragt der Reflexionsgrad R = 0,04 bei n = 1und n” = 1,5. Abb. 2.21 zeigt die Abhiingigkeit des Reflexionsgrades fiir senkrechten Lichteinfall bei n = 1 und variablem n” . Wir betrachten eine Grenzflache, auf die natiirliches Licht variablen Einfallswinkels trim. Im reflektierten Licht fehlt die parallel zur Einfallsebene schwingende Komponente, wenn R, =
tan* (f- E ) tad(<+&)
=o
(2.56)
ist (Abb. 2.20). G1. (2.56) ist erfiillt, wenn tan(&”+&)
+m
(2.57)
2.2 Reflexion und Brecbung
51
oder
f+& +E
(2.58) 2 gilt. (Zu beachten ist, daK R nicht verschwindet, wenn der Zgihler gleich 0 ist. Dies ist nimlich ftir E"= &'=O der Fall, so daB auch der NeMer verschwindet. Der Grenzwert ergibt GI. (2.54).) Wir verwenden das Reflexionsgesetz E' = - E und erhalten n &#f-d= -. (2.59) 2 Das bedeutet: Das reflektierte Licht e n W t nur eine senkrecht zur Einfallsebene schwingende Komponente der eleldrischen FeldsWke, ist also linear polarisiert, wenn reflektierter und gebrochener Strahl senkrecht aufeinander stehen. Diese Aussage wird Brewstersches Gesetz genannt (Abb. 2.22).
I
Abb. 2.21 Reflexionsgrad als Funktion der Brechzahl (E = 0")
Abb. 2.22
Zum Brewsterschen Gesetz
Den Einfallswinkel, bei dem das reflektierte Licht linear polarisiert ist, nennen wir Polarisationswinkel und bezeichnen ihn mit E , . Dieser folgt aus dem Brechungsgesetz, wenn wir G1. (2.58) beriicksichtigen. Aus n" sin&[ -sin (90° - Q ) n ergibt sich n" (2.61) tanEI = -. n Die numerische Auswertung der GI. (2.61) ist in Tab. 2.8 enthalten. Tabelle 2.8 Polarisationswinkel
n" n
1,4910 1,5237 1,6281 1,7036 1,8270
El
56" 09'
56"43' 58" 26' 59"35' 61O18'
2 Physikalische Grundlagen
52
Das an Glasplatten reflektierte Licht erzeugt in manchen Fdlen unerwiinschte Reflexe. Diese machen z. €3. das Fotografieren einer Schaufensterdekoration oder eines mit Glas abgedeckten Bildes unmoglich. Durch Vorschalten eines Polarisationsfilters lassen sich die Reflexe weitgehend unterdrucken, wenn die Aufnahme unter einem geeigneten Winkel gegenuber der Glasplatte erfolgt und die DurchlaI3richtung cles Filters senkrecht zur Schwingungsrichtung des polarisierten Lichtes steht (Abb. 2.23).
Abb. 2.23 Unterdrixkung von Reflexen mittels Polarisationsfilter (links ohne, rechts mit Filter)
Polarisationsgrad. Wird der Polarisationwinkel nicht eingehalten, dann ist das Licht partiell (teilweise) linear polarisiert. Im reflelctierten Licht ist die senkrecht zur Einfallsebene stehende Schwingungsrichtung bevorzugt enthalten. Zwischen den Amplituden der einzelnen Schwingungsrichtungen besteht aber keine Phasendifferenz. Wir definieren den Polarisationsgrad des reflektierten Lichtes durch 01
--Rs - R ,
I -
R,+R,’
Bei senkrechtem Lichteinfall sind R , und R, nach G1. (2.54) gleich. Dasselbe gilt nach (2.52) und (2.53) fiir & = g o 0 . In beiden Fdlen wird a,= O . Bei E = ist R,=O und al = 1. Fiir beliebige Einfallswinkel an einer Flache mit n = 1 und n” = 1,5 entnehmen wir den Polarisationsgrad der Abb. 2.24.
2.2 Reflexion und Brechung
53
Abb. 2.24 Polarisationsgrad als Funktion des Einfallswinkels (n = 1, n”= l3)
Reflexion von linear polarisiertem Licht. Auf eine Grenzflache treffe linear polarisiertes Licht auf. Das Azimut des reflektierten Lichtes betragt
Da stets cos (E - E”) > cos (E + E”) gilt, wird das Azimut bei der Reflexion vergrosert. Fiir das Azimut des gebrochenen Lichtes gilt nach G1. (2.45) und GI. (2.50) tan
a” l y= 2 = cos(E”-&)~tany. a:
Wegen cos (&” - E ) < 1 verkleinert sich das Azimut bei der Brechung. Die berechneten hderungen des Azimuts bei der Reflexion und bei der Brechung entsprechen einer Drehung der Schwingungsebene;das Licht bleibt linear polarisiert.
2.2.4
Totalreflexion
Wir formen das Brechungsgesetz (2.31) urn in sin &‘ = (n/n’).sin E . Fiir n’ < n geht das Licht vom optisch dichteren in den optisch dunneren Stoff uber. Die rechte Seite im Brechungsgesetz ist kleiner als 1 oder gleich 1, wenn sin E S n’/n gilt. Nur dann ergibt sich ein reeller Brechungswinkel d. Fiir Einfallswinkel, die groRer als der aus
n’ sinEG = n
(2.62)
folgende Grenzwinkel E~ sind, ist das Brechungsgesetz nicht erfiillbar. Bei solchen Einfallswinkeln erhalten wir keinen gebrochenen Lichtstrahl, sondern nur reflektiertes Licht (Abb. 2.25a).
I
Das Licht wird an der Grenzflgche zweier Stoffe vollstiindig reflektiert, wenn die Brechzahl auf niedrigere Werte springt und der Einfallswinkel gr6Rer als der Grenzwinkel der Totalreflexion E~ ist. Diese Erscheinung heiRt Totalreflexion, und es gilt das Reflexionsgesetz.
2 PbysikalischeGrundlagen
54
Abb. 2.25b enthiilt die Funktion zahlbereich und n' = 1.
'
&G
= f(n'/n) fiir den praktisch interessierenden Brech-
&G
30 -
/ I
20
I
1,2
l,4
I
1
I
1,s
1,8
2,0
I
2,Zn
bl
0)
Abb. 2.25 a) Totalreflexionan der Grenzflache mit a' < n, b) Grenzwinkel der Totalreflexiona l s Funktion der Brechzahl
Fresnelsche Formeln. Das Brechungsgesetz schreiben wir mit G1. (2.62) sin & sin E" = sin E~ '
(2.63a)
fiir den Kosinus des Brechungswinkels erhalten wir
cos &" = -J .sin eG Fiir sin E > sin E~ ist cos E" = sin E G- J J
I
(2.63b)
Das fonnale Anwenden des Brechungsgesetzes auf die Totalreflexion erfordert einen komplexen Brechungswinkel.
Bei formaler Einfiihrung des komplexen Brechungswinkels diirfen wir shtliche fiir die Brechung abgeleiteten Gleichungen der Wellenoptik auf die Totalreflexion iibertragen. In den Feldstiirkegleichungen fiir die einfallende Welle und fiir die reflektierte Welle kommt E nicht vor. Fiir die gebrochene Welle betragt die elektrische Feldstiirke (Einfallsebene ist die x-tEbene)
Mit G1. (2.63b) entsteht daraus
Die zweite Exponentialfunktion allein wiirde eine periodische Welle beschreiben, die sich in x-Richtung ausbreitet. Durch die erste Exponentialfunktion ist die Welle nicht periodisch. Die Amplitude nimmt in z-Richtung exponentiell ab. Da die x-y-Ebene die Grenzflache darstellt,
55
2.2 Reflexion und Brechung
lauft im optisch dunnen Stoff eine Welle l h g s der Grenzflache. Die Eindringtiefe ist jedoch wegen der exponentiellen Amplitudeniinderung gering. L a g s einer Strecke
klingt die Amplitude auf den e-ten Teil ab. Im gunstigsten Fall, d. h fiir & = 90’. erhalten wir 2 , = (A”/2n) tan E ~ Bei . optischen Glkern mit &G < 45’ ist z , < A”/2n.
I
Bei der Totalreflexion breitet sich im optisch dunneren Stoff eine Welle liings der Grenzflgche aus. Die Amplitude nimmt senkrecht zur Grenzflgche rasch ab (Abb. 2.26).
Abb. 2.26 Wellen an der Grenzfliiche bei Totalreflexion (schematisch)
Wir setzen den Sinus des Brechungswinkels nach G1. (2.63a) und den Kosinus des Brechungswinkels nach G1. (2.63b) in die Fresnelschen Formeln ein. Aus G1. (2.49a) erhalten wir
~7
sin&.cos&- sin& sin E -sin E sin &r. sin E~ a, = a, s i n & . c o s & + j e v sin E -sin E sin & G sin & G
-
,
a, = a,
COSE-
-
jJsinZE-sin2EG
c o s ~’-/,j+
(2.65a)
Entsprechend folgt aus G1. (2.49b) I
up = ap
sin2E . cos E - j ,/sin2 E - sin2E~ sin2EG.cosE+j,/==‘
(2.65b)
56
2 Physikalische Grundlagen
Polarisation.Zwischen der rechtwinklig und der parallel zur Einfallsebene schwingenden Komponente entsteht bei der Totalreflexion eine Phasendifferenz. Wir lassen entweder natiirliches oder linear polarisiertes Licht unter einern Azimut von \v = 45” auf die Grenzflache auftreffen. Dadurch erreichen wir, da13 die Komponenten a, und up gleichen Betrag und gleiche Phase haben. Wir bringen die Fresnelschen Formeln in eine Form, aus der die Phasenanderung bei der Totalreflexion direkt ablesbar 1st. Statt GI. (2.65a) schreiben wir
a: = a,
cosE - jdsin’
E
- sin’ E~
e-Ja\
- a a , e-2 J a,.
GI. (2.65b) formen wir urn in
,
sin’
op =
EG cosE
- jJsTn2
E
1sin’ EG
-2 / a p
e-’aP
J V sin’ E~ COSE + j cin E - sin E~ =
a
P
T
= a, e
Dabei ist
6
tan a, = tan 2 = 2
Jsin?
E
-
sin? E~
cos E
, tana
P
= tanJ- =
2
sin’ E - sin’ E~ sin2E~ COSE
(3,.46a, b)
Die Phasendifferenz zwischen a: und a; betragt 6 = 6, - 6,. Wegen
6
tan- = tan 2
( a , - a,) =
tana, - tana,
1 + tana, tana,
(2.67)
erhalten wir rnit GI. (2.66a, b)
6
tan- = 2
COSE
J sin E - sin T E~
sin’ E
(2.68)
2.2 Reflexion und Brechung 2.2.5
57
Doppelbrechung
Wir untersuchen die Wellenausbreitung in einem homogenen anisotropen Stoff. Optisch anisotrop sind vor allem die Kristalle. Auch verspannte Glker und Plaste verhalten sich optisch anisotrop. Diese Erscheinung stellt die Grundlage der Spannungsoptik dar, mit der Spannungen in Werkstiicken modellmiil3ig untersucht werden kijnnen. In einem Nichtleiter lUt sich die eleldrische Verschiebung durch die Gleichung D = &,E+P
darstellen. Die dielektrische Polarisation P hat ihre Ursache in der Polarisation des Stoffes, also vor allem in der Erzeugung und Ausrichtung von elementaren Dipolen. Bei nicht zu starken Feldern ist die dielektrische Polarisation im isotropen Stoff der elektrischen Feldstiirke proportional. Ihre Richtung ist also nur von der Richtung der elektrischen Feldstiirke abh&gig, nicht von strukhuellen Einfliissen des Dielektrikums. Es gilt im isotropen Stoff: P = E,~E.
(Bei starken Feldern, wie sie mit Lasern erzeugt werden koMen, ist P auch von hoheren Potenzen der elektrischen Feldst&ke abhhgig. Das ist die Grundlage fiir die nichtlineare Optik.) Die skalare Gr6Be a heifit dielektrische Suszeptibilitat. Damit ist D = &,(a+l)E.
Wir setzen die relative Dielektrizittitskonstante &, = a+ 1 , die also ebenfalls ein Skalar ist, ein und erhalten D = co&,E.
Im anisotropen Stoff kann sich die dielektrische Polarisation im allgemeinen nicht in Richtung der elektrischen Feldstiirke ausbilden. Jede Komponente der dielektrischen Polarisation ist dann von allen drei Komponenten der elektrischen Feldstiirke abhhgig:
6=
&O(alI&
PZ =
&O(aZlEl+a22&+0123&)r
p3 =
&O(a31EI+a32&+a33'%3).
+a12&?+a13&)*
(Die Komponenten sind mit x P 1, y B 2, t P 3 bezeichnet.) Entsprechend gilt mit &ik
= aik, i # k ,
&ik= a i k + l , i = k ,
fiir die elektrische Verschiebung DI =
&0(&11&+E12&+&13E3),
0 2
=
&0(&214+E22&+&23'%)9
0 3
=
&0(&31El+&32&+&33'%).
Der Zusammenhang zwischen D und B wird durch einen Tensor vennittelt, der als Matrix
2 Physikalische Grundlagen
58
geschrieben werden kann. Der Tensor der Dielektrizitatskonstanten lautet (2.69)
und es ist D = &&E. Mit den Maxwellschen Gleichungen kann abgeleitet werden, dal3 der &-Tensor symmetrisch ist (qk= tzki). Damit sind er und auch der reziproke Tensor E-' durch Ellipsoide zu veranschaulichen (vgl. die Darstellung des Triigheitstensors in der Mechanik). Die geometrische Darstellung des Tensors E wird Fresnelsches Ellipsoid (Abb. 2.27a) und die des Tensors E-' Indexellipsoid genannt (Abb. 2.27b). Die systematische Behandlung der Kristalloptik, bei der
Abb. 2.27a Fresnelsches Ellipsoid
Abb. 2.27b Indexellipsoid
der Zusammenhang zwischen E und D sowie zwischen der Ausbreitung der Energie in Richtung des Einheitsvektors w (w steht senkrecht auf E ) und der Ausbreitung der Wellenflachen in Richtung des Einheitsvektors s (s steht senkrecht auf D) untersucht werden, ftihrt auf die folgenden grundlegenden Ergebnisse [ 191. 1. Im Kristall sind im allgemeinen zu einer vorgegebenen Ausbreitungsrichtung der Energie w nur zwei Richtungen von E moglich. Diese stimmen mit den Hauptachsen der Ellipse uberein, die beim Schnitt der senkrecht zu w stehenden Ebene mit dem Fresnelschen Ellipsoid entsteht (Abb. 2.28a). Die Liinge der Halbachsen der Ellipse sind die zugeordneten Strahlzahlen m , und mu. Die analoge Uberlegung mit dem Indexellipsoid fiihrt auf zwei senkrecht zueinander stehende Vektoren D , und Dn sowie die zugeordneten Brechzahlen n, und nn (Abb. 2.28b).
Abb. 2.28a Schnittellipse zwischen Fresnelschem Ellipsoid und Ebene
Abb. 2.28b Schnittellipsezwischen Indexellipsoid und Ebene
2.2 Reflexion und Brechung
59
Die Abb. 2.27a, b enthalten zugleich die Vorschriften zur Konstruktion der Feldstiirkerichtungen. Beim Fresnelschen Ellipsoid steht D senkrecht auf der Tangentialebene an den DurchstoSpunkt von E, beim Indexellipsoid vertauschen E und D ihre Rolle. Damit gilt: Im Kristall stimmen die elektrische FeldstPke und die elektrische Verschiebung nicht iiberein. Dadurch bilden auch die Ausbreitungsrichtungen der Energie w und der Wellennormalen s einen Winkel miteinander. Eine elektromagnetische Welle zerfUt im Kristall in zwei senkrecht zueinander schwingende Wellen. Das Licht wird polarisiert. 2. Wenn sich die Wellentlachen in Richtung einer Hauptachse des Indexellipsoids ausbreiten, dam liegen D , und D , in Richtung der beiden anderen Halbachsen. Die Brechzahlen n, und n, ergeben sich aus den Lhgen der Halbachsen. Die Lgingen der Halbachsen des Indexellipsoids werden Hauptbrechzahlen genannt und mit n l ,n, und n 3 bezeichnet. Dies sind die Kennzahlen des Kristalls bezuglich des Verhaltens der Wellennormalen. Die Strahlzahlen zIund zn fix die Energieausbreitung in Richtung einer Hauptachse des Fresnelschen Ellipsoids sind den Kehrwerten zweier Hauptbrechzahlen gleich. Deshalb sind die Halbachsen des Fresnelschen Ellipsoids gleich den Kehrwerten der Hauptbrechzahlen.
optisole
Abb. 2.29 Schnittkreise zwischen Fresnelschem Ellipsoid und Ebene.
Optische Achsen 3. Es gibt zu einem vorgegebenen dreiachsigen Ellipsoid zwei Ebenen. in denen die SchnittW e n Kreise sind (Abb. 2.29). Beim Fresnelschen Ellipsoid ist dann keine E-Richtung ausgezeichnet. und es gibt nur eine Strahlzahl z = z , = z , . Fiir die senkrecht zu den Schnittkreisen stehenden Richtungen w gibt es also keine ausgezeichnete Schwingungsrichtung, so da5 sich beliebig polarisierte Wellen ausbreiten k6nnen. (Es tritt keine Aufspaltung in senkrecht zueinander schwingendeWellen auf.)
Im Kristall gibt es im allgemeinen zwei Richtungen der Energieausbreitung, in denen sich eine Welle wie im isotropen Stoff verhat. Diese Richtungen werden optische Achsen genannt. Im allgemeinen sind die Kristalle optisch zweiachsig. Der allgemeine Fall liegt bei den Kristallen des triklinen, monoklinen und rhombischen Kristallsystems vor. 4. Die Kristalle des tetragonalen, trigonalen und hexagonalen Kristallsystems haben mehrziih-
lige Symmetrieachsen, so daO das Fresnelsche Ellipsoid und das Indexellipsoid Rotationsflachen sein mussen. (Die Kristalle des kubischen Systems haben drei senkrecht aufeinander stehende vierzwige Drehachsen, so daO die Ellipsoide in Kugeln ausarten. Kubische Kristalle verhalten sich optisch isotrop.) Es gibt also nur zwei Hauptbrechzahlen n, und n,. Bei allen Ellipsen, die beim Schnitt des Indexellipsoids mit einer Ebene entstehen, ist eine Halbachse gleich lang. Fiir alle Richtungen von s ist eine Brechzahl konstant nI = n, (ordentliche bzw.
2 Physikalische Grundlagen
60
reguliice Brechzahl), die andere n n = n, hiingt vom Winkel y zwischen s und der Rotationsachse ab (Abb. 2.30). Die Gleichung der Schnittellipse, die die Kotationsachse enthiilt, lautet 2 -+Y X2 2 "r
= 1.
2 na
Weiter ist x = ny cos w und y = n, sin y.Daraus folgt fiir die Brechzahl
n$ =
2 2 nr "a
(2.70)
n,2cos2w + n,2sin2y '
Es gibt bei einem rotationssymmetrischen Indexellipsoid und Fresnelschen Ellipsoid nur einen Schnittkreis mit einer Ebene. Dieser steht senkrecht zuc Rotationsachse, die damit die optische Achse ist. Die tetragonalen, trigonalen und hexagonalen Kristalle sind optisch einachsig . In optisch einachsigen Kristallen entsteht im allgemeinen eine linear polarisierte ordentliche Welle, deren Brechzahl n r unabhiingig von der Normalenrichtung s ist, und eine senkrecht dazu schwingende auaerordentliche Welle mit der richtungsabhiingigenBrechzahl n y . Die Normalenrichtung und die optische Achse spannen eine Ebene, den Hauptschnitt des Kristalls auf. Es gilt: Ordentliche Wellen schwingen senkrecht zum Hauptschnitt. Auljerordentliche parallel
I
Abb. 2.30 Schnitt durch das Indexellipsoid
Abb. 2.31
eines einachsigen hstalls
im Kristall
Gegenseitige Lage der Vektoren
5 . Nach Abb. 2.27 besteht zwischen der Ausbreitungsrichtung der Energie w und der Ausbreitungsrichtung der Wellennormalen s der Winkel y . Entsprechend sind auch die Geschwindig-
keiten verschieden. Damit die Wellenflachen erhalten bleiben, muB sich aber die Normalengeschwindigkeit c, als Projektion der Strahlgeschwindigkeit c, auf die Richtung s ergeben (c, =C,COSY; Abb. 2.31). Normalen- und Strahlgeschwindigkeit sind im allgemeinen richtungsabh'dngig und auaerdem k die beiden senkrecht zueinander schwingenden Wellen im Kristall verschieden (c,~, cnn,cSI,cSII). Bei den optisch einachsigen Kristallen 1st jedoch die Suahl- und Normalengeschwindigkeit fiir die ordentliche Welle gleich und unabhiingig von der Ausbreitungsrichtung der Wellen (c,, = c,, ).
2.2 Reflexion und Brechunp.
61
-
6. Tragen wir von einem Punkt im Kristall aus nach allen Richtungen Vektoren ab, die der Strahlgeschwindigkeit c, proportional sind, dann bilden ihre Endpunkte die Suahlenflache. Da es zu jeder Richtung w die beiden Strahlgeschwindigkeiten cSIund cSIIgibt, ist die Strahlenflache zweischalig. Bei optisch zweiachsigen Kristallen besteht sie aus zwei Flachen vierter Ordnung, die sich in den DurchstoRpunkten der optischen Achsen beriihren. Bei optisch einachsigen Kristallen besteht die Strahlenflache aus einer Kugel mit dem zu c,, proportionalen Radius und einem Rotationsellipsoid mit den Halbachsen, die zu c,, und c, proportional sind. Kugel und Rotationsellipsoid beriihren sich in den DurchstoDpunkten der Rotationsachse, die zugleich die Richtung der optischen Achse hat. Man unterscheidet positiv und negativ einachsige Kristalle (Abb. 2.32).
Abb. 2.32 Elementarwellen im negativ (a) bzw. positiv (b) einachsigen Kristall
1
positiv Bei einem -einachsigen Kristall liegt die Kugel des Rotationsnegativ innerhalb ellipsoids.
Auch bei der Anwendung des Huygensschen Prinzips auf die Lichtausbreitung in Kristallen mussen die zwei Elementarwellen betrachtet werden, die aus den beiden Teilen der Strahlenflache fiir kleinste Ausbreitungszeiten bestehen. Doppelbrechung. Fiir die Brechung der Wellennormalen an der Grenzflache zwischen einem isotropen und einem anisotropen Stoff gilt (Abb. 2.33):
Die Wellennormalen bleiben in der Einfallsebene. Die Normale der ordentlichen Welle wird nach dem Gesetz n sin E = n,sin E:, die Normale der auRetordentlichen Welle nach dem Gesetz n s i n ~= n,sinEl, gebrochen.
Abb. 2.33 Doppelbrechung
(2.71a) (2.71b)
62
2 Physikalische Grundlagen
Die Anwendung des Brechungsgesetzes fiir die aufierordentliche Welle ist schwieriger, als es auf den ersten Blick erscheint, weil nw von dwabhhgt. Der Winkel ty l a t sich bei bekannter Onentierung der Oberflache zur optischen Achse des anisotropen Stoffes auf den Winkel E; zuriickfiihren. Das bedeutet eine Koordinatentransformation von dem System, das die optische Achse als Koordmatenachse enthat, auf das System, das die Flachennormale als Koordinatenachse enthat (Abb. 2.34a). Nach [ 191 gilt mit I# = q - &; (2.72) Als Abkiirzungen sind die GrZiaen A1
=
nin3 -(n; -nt> n2sin2&.cos2q (n;- nP)n sin E . sin 217 , A2 = n:+(n;-n:)sin’q n? +(n’f-n:)sin*q
(2.73a, b)
eingefiihrt. Mit der Abkiirzung A3
):(
(2.73~)
=
gilt fiir den Brechungswinkel der Energie (Strahlrichtung) (2.74) Abb. 2.34b enthat die Konstruktion der Wellenflachen und der Strahlrichtungen fiir eine s c m g auf die Kristalloberllache auftreffende Welle. Ihr liegen zwei Regeln zugmnde: Die Wellenflfichen tangieren die Elementarwellen. - Die Strahlen gehen durch den Beriihrungspunkt der Wellenflachen mit den Elementarwellen. -
Fiir senkrechten Lichteinfall ist n$ =A,, A, = (nr/na)’ tan 17.
A%
Loge deroptischen Achse
ouOerardentlicher
ordentlicher Stmhl
‘7.Y
1 ‘Y/
ouDernrdentliche
+ i /
Richtung der
Grenzflache
optischen Achse
Abb. 2.34a Winkel an der Grenzflache
zwischen einem isotropen und einem optisch einachsigen Stoff
I
Wellenfloche
Abb. 234b Konstruktion der Strablund der Normalenricbtung
63
2.2 Reflexion und Brechunn
Die Tab. 2.9 enthailt die zeichnerische Konstruktion fiir verschiedene Lagen der optischen Achse. Fiir 11 = 0 ist n = n,, dv= dw= 0 (1. Zeile von Tab. 2.9); fiir 11= 90" ist n = n, , dv= dw= 0 (2. Zeile, 3. Zeile); fiir beliebiges q gilt n: n2 = ni + ( n ; -n:)sinZq und (4. Zeile)
n'Y
Die Phasendifferenz, die infolge der unterschiedlichen Phasengeschwindigkeit zwischen der ordentlichen und der aul3erordentlichen Welle liings der Strecke 1 im Kristall entsteht, ist mit Hilfe der Gleichung 6 = (2nAL)/A0 berechnet worden (AoLichtwellenliinge im Vakuum, AL optischer Wegunterschied zwischen beiden Wellen). Wir konnen zusammenfassend festhalten: Bei der Brechung an der Grenzflache zwischen einem isotropen und einem anisotropen Stoff entstehen im allgemeinen zwei Wellen unterschiedlicher Normalen- und Strahlrichtung, deren Schwingungsebenen senkrecht zueinander stehen. Es tritt Doppelbrechung ein. Bei optisch einachsigen Stoffen entstehen die ordentliche und die aaerordentliche Welle. Die Abb. 2.35a bis e zeigen den Verlauf enger Parallelbundel durch planparallele Platten aus optisch einachsigen Kristallen. Tabelle 2.9 Doppelbrechung bei unterschiedlicher Orientierung der optischen Achse zur Oberfliiche Elemen&ellen,
Normalen-und
optische Achse
Strahlkonstnrlttion
.#-
:!hx-
Strahlrichtung
Polarisation
bleibt senkrecht
Okmhe' bleibt senkrecht zur Wellenfliichen zur senkrecht Oberflache tangieren die Elementamellen
keine polarisation
Phasendifferenz h g s der Strecke 1 keine Phasendifferenz (nur eine Welle)
parallel zur Obeffliiche
ordentliche Welle senkrecht zur Zeichenebene, aukmrdentliche Welle parallel zur Zeichenebene
parallel zur Obefiche
ordentliche Welle. parallel zur Zeichenebene, 6= 2nl (n, -n,) aukrordentliche A, Welle senkrecht zur Zeichenebene
schrtlg zur
Oberflihe
ordentlicher Strahl ordentliche Welle bleibt senkrecht zur senkrscht zur Obediiche, Zeichenebene, au6erordentlicher aukrordentliche Welle parallel strahl wird zur Zeichenebene gebrochen
6 = W(n, - n, ) 2,
6=-(n, 2,
-nv)
64
2 Physikalische Grundlagen
2.3
Dispersion und Absorption
2.3.1
Absorption
Siimtliche Stoffe absorbieren einen Teil des hindurchgehenden Lichtes, wobei die Lichtenergie in eine andere Energieform umgewandelt wird; im allgemeinen entsteht W W e . Stoffe mit geringer Absorption heinen durchsichtig. Metalle absorbieren das Licht sehr stark. Reintrdnsmissionsgrad. Wir untersuchen den Lichtdurchgang durch eine planparallele Platte aus einem homogenen isotropen Stoff. I 2sei die Lichtintensitat unmittelbar vor der Austrittsflache, I, die Lichtintensitat dicht hinter der Eintrittsflache (Abb. 2.36). Die relative h d e rung der Lichtintensitat in der Platte ist dem zuriickgelegten Weg proportional. Es gilt
dr I
=
-a K.dx, a
Die GroBe K heiNt Absorptionskonstante. Wir integrieren iiber die Plattendicke d,
und erhalten In-1 2 - - -4~n d . I,
A
(2.75)
Wir definieren:
I
Der Quotient aus den Intensitaten I 2und I, in den Endpunkten einer im absorbierenden Stoff von monochromatischem Licht zuriickgelegten Strecke ist der spektrale Reintransmissionsgrad zi,L ,auch innerer spektraler Transmissionsgrad genannt.
65
2.3 Dispersion und Absorption
Nach GI. (2.75) gilt fiir den Zusammenhang zwischen dem Reintransmissionsgrad und der Absorptionskonstanten (2.76) 1
I,
l2 I"
Abb. 2.345 Zum Reintransmissionsgradund Transmissionsgrad
Glastyp Code-Nr. Art A innm 300 340 380 420 460 500 540 580 620
VD 51 -74 671 Griinglas
BE 40 - 92 643 Blauviolett
RDA43 - 54 70 1 Rot (Goldrubinglas)
Til,a
7il.A
Ti1.A
0,030 0,525 0,667 0,623 0,716 0,600 0,340 0,140 0,066 0,043
660
700 740 800 1000 2000 3000
0,040
0,045 0,120 0,830 0,570
0.001 0,550 0,910 0,915 0,710 0,190 0,015 0,012 0.00 1 0,004 0,140 0.190 0,180 0,292 0,530 0,640
0.050 0,340 0,470 0,520 0,500 0,380 0,255 0,560 0,825 0,920 0,950 0,970 0.983 0,990 0,990 0,410
Der spektrale Reintransmissionsgrad fiir die Einheitsdicke zi1.l (Beispiele enthat Tab. 2.10) ist der auf die Dicke 1 mm bezogene spektrale Reintransmissionsgrad. Diese Gr6Be ermoglicht es, die verschiedenen Stoffe zu vergleichen. Aus G1. (2.76) folgt mit d = 1mm (2.77a) Aus dem Vergleich von G1. (2.76) und G1. (2.77a) ergibt sich %A
=
&*
(2.77b)
66
2 Physikalische Grundlagen
Aus der G1. (2.76) folgt 1nzi,, =--
4KKd
A ,
Der Ubergang zu dekadischen Logarithmen ist durch In ri,,= 2,3025852 log zi,Agegeben. Also ist
A Ti,,. -0,18323-log d Damit kann bei bekanntem Reintransmissionsgrad fiir eine vorgegebene Wellenliinge und Dicke die Absorptionskonstante K berechnet werden. (Dabei soll noch auf einen moglichen TrugschluS hingewiesen werden. Die Wellenlhge in G1. (2.76) ist als Bezugsgroae aufgenommen worden, damit K dimensionslos wird. Trotzdem hiingt natiirlich auch K von der Wellenlhge ah.) K =
Transmissionsgrad. An den beiden Flachen der planparallelen Platte wird ein Teil des Lichtes reflektiert. Dadurch wird die durch die Platte hindurchgehende Intensitat zusatzlich geschwacht. Die Reflexionsverlustewerden im Transmissionsgradebenfalls erfak
I
Der Transmissionsgrad 7 A 1st das VerhBiltnis aus hindurchgelassener und auftreffender Intensitat (Abb. 2.36).
I sei die Intensitat unmittelbar vor der Eintrittsflache, 1" die Intensitat unmittelbar hinter der Austrittsflache. Damit gilt
z, =
(f),
(2.78)
Wir berechnen den Transmissionsgrad fiir eine planparallele Platte aus einem nichtleitenden Stoff mit der relativen Brechzahl n. Das Licht soll senkrecht auf die Platte treffen und nicht interferieren. Es wird innerhalb der Platte mehrmals reflektiert. Von Flache zu Flache ergibt sich fiir die Intensitaten (den Index A lassen wir weg): Eintrittsflache,
einfallend hindurchgelassen
I IT
Austrittsflache,
einfallend reflektiert hindurchgelassen
l T ~ i
ITqR
Eintrittsfliiche,
einfallend reflektiert
ITT~R ITz2R2
Austrittsflache,
einfallend reflektiert hindurchgelassen
I T T ~ R ~
I T 2 ri
ITr:X3 IT2T3R2
usw.
Die Anteile mit T 2 sind die ersten beiden Teilintensitaten des durch die Platte hindurchgehenden Lichtes. Wir lesen ab, daB die gesamte hindurchgelassene Intensitat m=O
67
2.3 Diswrsion und Absomtion
betragt. Die Summe stellt eine unendliche geometrische Reihe dar. Aufsummieren ergibt
Bei geringer Absorption diirfen wir nach G1. (2.51~)angenwert T = 1- R setzen, so das fiir den Transmissionsgrad nach (Gl. 2.78)
gilt. liegt zwischen 0 und 1. Bei Glasfiltern ist R klein. Bei n = 1.5 gilt z. B. Der Wert von R = 0,04. Bei %,A = 0 ist 1- &R2 = 1, und bei %,A = 1 ist 1- &RZ = 0,9984. Bei kleinerem Reflexionsvermogenist mit guter Nwenmg 1- .r?kRZ = 1- RZ. Wir schreiben 1- RZ= (1 - R)( 1+ R) und erhalten
oder mit R nach G1. (2.54)
Der Ausdruck 2n R, = nz +1
(2.79)
wird in Filtertabellen Reflexionsfaktor genannt, obwohl er die Transparenz der beiden Flkhen beschreibt. Zwischen dem Transmissionsgrad und dem Reintransmissionsgrad besteht die Beziehung TI = Ti,*R,.
(2.80)
Wir weisen nochmals darauf hin, das G1. (2.79) nur bei kleinem Reflexionsvermogengilt.
Als weitere Groaen, die das Absorptionsverhalten der Stoffe beschreiben, werden die spektrale dekadische Extinktion (oder kurz Extinktion genannt) EA = -log
Ti,k,
(2.81a)
der spektrale dekadische Extinktionsmodul f3r die Einheitsdicke (kurz Extinktionsmodul genannt)
m A = -log +ril,k,
(2.8 1b)
die spektrale Diabatie @A
= l-logEk
(2.82a)
und die spektrale optische Dichte
Dk = -log TA eingefiihrt.
(2.82b)
68
2 Phvsikalische Grundlaeen
Wellengleichung fur Leiter. In einem elektrisch leitenden Stoff ist ein elektrischer Strom moglich. Die Maxwellschen Gleichungen lauten mit der elektrischen Stromdichte i rot
E+B
(2.83a)
= 0,
rot H - D - i
= 0.
(2.83b)
In isotropen Stoffen, in denen das Ohmsche Gesetz gilt, ist
H=-
B,
D = E,E,E und
i = aE,
&PO
so daB rot ~ - p ~ p ~ o ~ =- op ~ p ~ ~ ~ ~ ~ h wird. Wir differenzieren nach der Zeit:
. rot B - plpooh- p r p o ~ r ~= o0E Wir W e n die Kreisfrequenz w der zu untersuchenden Welle und eine DiimpfungsgroBe p mittels Pro prpoo= ~ ~ p ~und w pp = &OW
ein. Damit entsteht rot B - ~ ~ p ~ w - pp, pB , ~ , E~ ,= 0. In diese Gleichung setzen wir
b aus G1. (2.83a) ein:
rot rot ~ + ~ ~ p ~ ( ~ p f i +=~0., p , E ) Wir nehmen an, dal3 im betrachteten Gebiet keine UberschuRladungen vorhanden sind. Es gilt dann div E = 0 und rot rot E = -AE. Unter Verwendung von &,p0 = 1/ci ergibt sich die Wellengleichung fiir Leiter
AE = , 1( ~ p k + ~ , p ~ & ) .
(2.83~)
CO
Komplexe Brechzahl fur Leiter. Wir untersuchen die Eigenschaften einer periodischen Welle konstanter Ausbreitungsrichtung im Leiter. Mit G1. (2.6) erhalten wir analog zu den Ableitungen in 2.1.1 A E = - W E ,
A2
E=-?%E,
A
& = - W E .
A=
Einsetzen in die Wellengleichung (2.83~)und Kiirzen von E ergibt unter Verwendung von w = 27cv = (2XC)/A
Daraus ist abzulesen:
I
Wenn wir auch im Leiter an der Definition der Brechzahl X = c, / c festhalten wollen, dann mussen wir eine komplexe Brechzahl einf%hren.
2.3 Dispersion und Absorption
69
Wir s e w n
x = -/,
(2.84a)
= n(l+jrc).
Quadrieren ergibt ~ , p+, j p = n2(1- I c Z ) + 2 j n 2 ~ ,
so daB &,p, = n 2 ( 1 - 8 )
und p = 2 ~ n *
(2.84b, C)
zu setzen ist. (Die hiiufig verwendete Schreibweise 71 = n(1- jrc) ist physikalisch identisch. Bei der Ab-
- ?(n-ct)
ausgegangen werden, damit p und K positiv leitung muS d a m aber von E = a e sind.) Fiir den ortsabhtingigen Anteil der elektrischen FeldstPke gilt WE(#.#) --2UnK ?Q! (#.#) a.e = a . e l a (-). 20 Im Leiter nimmt die Amplitude der elektrischen Feldsmke ab, und zwar ltings der Strecke
A.0 (rs), = 27c n
auf den eK-tenTeil der Ausgangsamplitude. Die Welle wird im Leiter lrings der Ausbreitungsrichtung ged2mpft (Abb. 2.37). Die GrtiSe K stellt die Dgmpfungskonstante dar, die wir auch fiir absorbierende Nichtleiter in den Gleichungen (2.75) bis (2.77) verwendet haben.
Abb. 2.37 Gedampfte Welle zu einem
festen Zeitpunkt Wir erkennen nun auch die Bedeutung der komplexen Brechzahl. Die komplexe Brechzahl iistellt eine formale Zusammenfassung der reellen Brechzahl n und der Absorptionskonstanten K dar, die der Vereinfachung theoretischer Ableitungen dient.
Metallreflexion. Bei beliebigen Einfallswinkeln & setzen wir fiir die Reflexion an absorbierenden Stoffen in die Fresnelschen Formeln (2.85a. b)
70
2 Phvsikalische Grundlarren
mit 5”= n”(l+ j f l ) ein. Metalle zeichnen sich durch eine relativ grol3e Absorptionskonstante aus; es ist /Re (Zff/n)21>> 1. Deshalb vernachlksigen wir in G1. (2.85b) sin2& gegeniiber ( T f f / n ) 2 ,so daD cos &“ = 1 wird.
Mit den Gleichungen (2.85a, b) folgt aus den Fresnelschen Formeln (2.49a, b) -ff
-ff f
COS&-L
f
n
a, = a,
l-LCOS&
n
ap = -ap
COS&+L
l+LCOS&
n
n
Trennung von Real- und ImaginMeil ergibt 2( a, = a,
+)cos
&
(2.86a)
-j (cos&+$)2+(q)Z
(Cos&+$)2+[+)2
und 2
a’, = -ap
z - j E)
(5) cos &
[1+n n cos q +( +cos ff
&)
(2.86b) Wir setzen
Die analogen Gleichungen gelten fix die p-Komponente. Damit erhalten wir
R, =
R, =
und 2n” K” cos
2n” K” cos tan&’, =
, tanq =
n
(5) + (1
K f f ) - COS2 &
($*+
n
,
d f 2 )
(2.88a, b)
cos2& - 1
Wegen des groI3en Wertes fiir nff2K’” bei Metallen wird der Reflexionsgrad grol3 sein (Tab. 2.11). Die Wellenlibgenabhibgigkeit der Absorptionskonstanten wirkt sich stark auf den Reflexionsgrad aus. Gold z.B. reflektiert bevorzugt gelbes Licht, absorbiert also gelbes Licht auch stark. Diinne Goldfolien sind im durchscheinenden Licht blau.
2.3 DisDersion und Absomtion
71
Tabelle 2.11 Daten einiger Metalle fiir Licht der Na-D-Linie
Metall
nK
n
R(E=O)
Gold (massiv) Silber (massiv) Aluminium (massiv) Quecksilber Kupfer (massiv) Stahl (massiv)
2,82 3,64 523 4,4 1
0.37 0.18
0,929 0,950
1.44
0,827 0,753 0,714
2.63
3,37
1.62 0.62 2,27
0,589
Mit den Abkiirzungen A = 1+ (2n" ~ " / n+) B2. ~ B = (n"/n)' (1+ K"') ergibt sich fTir die Phasendifferenz zwischen der s- und der p-Komponente 2 n " ~ " ( ~ + 1 ) s i n 2 & . c o& s tan(6;-66',) =
(2.89)
Acos2~-B(1+cos4&)*
Fiir den aus
folgenden Einfallswinkel (Haupteinfallswinkel) ist 6;- 6',= k 90". Das reflektierte Licht ist zirkular polarisiert, wenn linear polarisiertes Licht unter dem Azimut einfdlt, fiir das la.l= Japl wird (meist von 45" wenig verschieden). Im allgemeinen ist das reflektierte Licht elliptisch polarisiert. Bei Silber hinter Glas mit n=1.5 ist ftir das Licht der Na-D-Linie n"/n=0,12, K"= 20,2222. Bei & = 0" erhtdt man R , = R, = 0,9328, 8, = 6'.= 0,7803 = 0 , 2 4 8 1 ~gP- 6: =O. Bei massivem Silber gegen Luft mit n = 1. n" =0,18,K"= 20,2222 ist der Reflexionsgrad in Abb. 2.38a dargestellt. Die Phasendifferenz 6; 6: ist in Abb. 2.38b enthalten. Fiir E~ = 76,084' ist 6; = - 82,458', 6: = 7.542" und 6; -6: = - 90". Es gilt R , =0,987 , R , =0,9066. Das Azimut im reflektierten Licht (Verhdtnis der Halbachsen der Schwingungsellipse) ergibt sich aus
-
tan ly' =
&
tan y .
Zirkular polarisiertes Licht wird f& Lichtes muS
tan y'= 1 erreicht. Das Azimut des einfallenden
betragen. woraus y = 43,78" folgt. Abb. 2 . 3 8 ~enthfilt tan y' als Funktion des Einfallswinkels. Mit tan y = 1 ( y = 45") lassen sich die Konstanten des Metalls messen, wenn durch einen Kompensator die Phasendifferenz von 90' aufgehoben und mit einem Analysator die Lage der Schwingungsellipse bestimmt wird (aus der Dunkelstellung die "Richtung der wiederhergestellten linearen Polarisation" ermittelt wird). Das zugeordnete Azimut, das aus
72
2 Physikalische Grundlagen
tan
wk =
Jmfolgt, ist das Hauptazimut. Nach [28] gilt angenaert
n = - s i n ~ ~ . t a n ~ ~ . c o s 2 1 yK" ; i ,= - t a n 2 ~ ; 1 . Fiir Silber gegen Luft ist w;l = 46,218'. Damit erhiilt man die Werte n = 0,167 (statt 0,lS) und K"= 23,506 (statt 20,2222). Die N5herung 1st also nicht sonderlich gut.
30 o
L-
0-I
,
L 0 30"
60"
I
E
90"
-30"-
-60"1701
p' fur t o n y -1
150
0
30
60"
90"
b)
Abb. 2.38 a) Reflexionsgrad an der Grenzflache Luft - Silber als Funktion des Einfallswinkels, b) Phasendifferenz als Funktion des Einfallswinkels, c) fiir tan = 1 und fiir tan y'= 1 als Funktion des Einfallswinkels
v'
2.3.2
w
w
Dispersion
Normale und anomale Dispersion. Beim Durchgang des Lichtes durch einen schwach absorbierenden Stoff tritt Dispersion auf. Die Brechzahl der Stoffe und damit die Phasengeschwindigkeit der Lichtwelle hiingen von der Wellenliinge ab (Abb. 2.39). Die Ursache dafiir ist das frequenzabhiingige Mtschwingen der Ladungen und Dipole im Stoff, das zu einer zeitlich veriinderlichen dielektrischen Polarisation fiihrt.
2.3 Dispersion und Absorption
73
Linie l,i
ihgF ed C
A'
t
t 1,65
A in nm
-
Abb. 2.39 Dispersion fiir Schwerflint (n, = 1,644, v, = 34.4) und Schwerkron (n, = 1,622, v, =60.0)
Wir nehmen an, daB die dielektrische Polarisation unter dem Einflu5 des elektrischen Feldes eine gediimpfte erzwungene harmonische Schwingung ausfiihrt. Wenn sich die elektrische Feldstsike l a g s der atomaren Dimensionen wenig iindert, k6nnen wir die Ortsabhagigkeit der Welle vernachlasigen. Die Welle nehmen wir als eben, periodisch und linear polarisiert an, so daR
ist. Die Schwingungsgleichungfiir die dielektrische Polarisation lautet P+2PP+w;P = E0kE; (2.90) P ist die Diimpfungskonstante, wo ist die Eigenfrequenz der freien ungediimpften Schwingung, und k ist eine von der Art und der Anzahl der mitschwingenden Teilchen abhhgige Grol3e. Fiir isotrope homogene Stoffe und schwache Felder setzen wir P = eoaE, P =
- jweoaE,
P = -02&,aE
und erhalten aus G1. (2.90) (2.91)
Die elektrische Suszeptibilitiit E ist komplex, so da13 auch die Brechzahl uber Z2= Zr = E + 1 (pr= 1 gesetzt) komplex wird. Trennung von Real- und ImaginWeil und Anwenden von n = n(l+ j ~ nach ) G1. (2.84a) ftihrt auf (2.92)
und (2.93)
74
2 Physikalische Grundlagen
In Abb. 2.40a ist n2(1- K * ) und in Abb. 2.40b n * als ~ Funktion von o dargestellt (fir w o 9 & aufierdem kann K ~ angenommen G ~ werden). In der Umgebung der Eigenfrequenz hat die Absorption einen groljen Betrag, und die Brechzahl nimmt mit der Frequenz ab (anomale Dispersion).
Abb. 2.40a Abwgigkeit der Brechzahl
von der Kreisfrequenz
Abb. 2.40b Abhtingigkeit des Absorptionskoeffizienten von der Kreisfrequenz
Fiir Frequenzen des Lichtes, die sich stark von der Eigenfrequenz unterscheiden, ist die Absorption zu vernachlasigen, und die Brechzahl wachst mit der Frequenz an (normale Dispersion). In einem Stoff koMen mehrere Eigenschwingungen angeregt werden. In Bereichen normaler Dispersion, in denen fl vernachlksigbar und wo # w iist, gilt dann
Im elektromagnetischen Spektrum ergibt sich ein prinzipieller Brechzahlverlauf nach Abb. 2.41 ( I , Resonanzstellen).
Abb. 2.41 Brechzablverlauf im elektromagnetischen 4
4
4
a
Spektrum (schematisch)
Glher zeigen im sichtbaren Gebiet des Spekuums normale Dispersion, sie brechen also violettes Licht stCirker als rotes. Bei ihnen Uitt anomale Dispersion im Infraroten und im U1travioletten auf. Im sichtbaren Gebiet von 450 nm bis 600 nm finden wir z. B. anomale Dispersion bei festem Fuchsin. Dispersionsformeln. Fiir die Abhiingigkeit der Brechzahl von der Wellenliinge des Lichtes konnen theoretisch begriindete Naerungsformeln angegeben werden, die empirisch bestimmte Konstanten enthalten.
2.3 Dispersion und Absorption
75
Im Bereich des sichtbaren Lichtes ist bei nicht zu hohen Genauigkeitsfordemngendie Dispersionsformel von Hartmann gultig. Sie lautet A n = no+ (a-ao)B*
A, B, n o und d o sind empirisch zu bestimmen. E liegt zwischen 0,5 und 2, ist aber haufig durch 1 ersetzbar. Beim Glastyp SF 761/273 (SF 4) gilt z.B.: no = 1,715, A. = 295,7 nm, A = 11,65 nm, B = 1. Fiir die Wellenlhge A = 587,6 nm berechnen wir fix SF 7611273 mit der Hartmannschen N2herungsformel n = 1,7549, wtihrend der experimentelle Wert n = 1,7552 betr2gt. Hohere Genauigkeit garantiert eine theoretisch besser begriindete Dispersionsformel, die fiir optische Glker von den Glasherstellernempfohlen wird. Die Beziehung n 2 = A. + A,AZ+ A2A-’ + A,A-4 + A4A-6 + A&-’ (2.94)
liefert mit den in den Glaskatalogen enthaltenen Konstanten, die mit der Methode der kleinsten Quadrate aus MeSwerten der Brechzahlen bestimmt werden, die Brechzahl n im Bereich 400 nm 2 A I750 nm auf f 3. in den Bereichen 355 nm I I I400 nm , 750 nm I A I1014 nm auf k 5
genau.
In G1. (2.94) sind die Wellenliingen in pm einzusetzen, wenn die im Katalog angegebenen Konstanten verwendet werden. Schliefllich sei noch die Herzbergersche Dispersionsformel angegeben. Diese lautet
n = Ao+A,Az+-
A2
az-a;
+
A2
(nZ- ~ 2 , ) ’~
A, = 168 nm.
Wdlenlangenskale. Durch die Dispersion wird das Licht bei der Brechung spektral zerlegt. Polychromatisches Licht hat eine wesentliche spektrale Breite der Intensitatsverteilung (Abb. 2.42), so daB es ein kontinuierliches Spektmm ergibt. Auch “weiOes Licht” ist polychromatisch. Seine spektrale Intensit&verteilung ist derjenigen der Sonnenstrahlung W i c h . QuasimonochromatischesLicht liegt im allgemeinen bei den Spektrallinien vor. Es kann aber auch mit Filtem aus polychromatischem Licht ausgesondert werden (Abb. 2.43). Das Wellenliingenintervall, auSerhalb dessen die Inkmitiit unter 50% ihres Maximalwertes liegt, heist Halbwertsbreite. Die Halbwertsbreiteerftillt bei quasimonochromatischem Licht die Bedingung AAo3 + A .
Abb. 2.42 Spektraler StrahlungsfluD fiir polychromatisches Licht
Abb. 2.43 Spektraler StrahlungsfluB fiir quasimonochromatischesLicht
2 Physikalische Grundlagen
76
Eine Folge von Spektrallinien eignet sich mit ihren Schwerpunktwellenliingen als Wellenliingenskale. Die fiir die Beschreibung der Dispersion optischer Glber verwendeten Spektrallinien sind in Tab. 2.12 zusammengestellt. Monochromatisches Licht stellt den theoretischen Grenzfall des quasimonochromatischen Lichtes fiir 0 dar. Es ist experimentell nicht zu verwirklichen, aber mit Lasern gut anzuniihern.
+
Tabelle 2.12 Spektrallinienals Wellenl~gennomale ~
~~
Symbol
Wellenlslnge in nm
Element
Spektralbereich
~~
i h
F’ F e d C’ C r s t
2.3.3
365.0 404,7 435.83 479,99 486,l 546,07 587,56
w Violett Blau Blau
Blau Griin
Gelb
64335
Rot
656,3 70632 852.1 1013.9
Rot Rot IR
IR
Werkstoffe
Optisches Glas, wie es f%r Spiegel, Prismen, Linsen u.a. verwendet wird, stellt einen wertvollen Werkstoff dar. Der Begriff “Optisches Glas” sol1 in folgender Weise weiter prsjisiert werden:
I
Optisches Glas ist ein anorganisches Schmelzprodukt, das ohne Knstallisation erstarrt. Es hat im sichtbaren Gebiet des elektromagnetischen Spektrums einen hohen Reintransmissionsgrad und ist weitgehend frei von Inhomogenitaten.
Die optischen Daten - es sind uber den gesamten Durchlbsigkeitsbereich mehrere Brechzahlen anzugeben - mussen innerhalb eines Glasblocks auRerordentlich konstant sein. Von den Glasherstellern wird im allgemeinen zugesichert, dal3 durch Feinkiihlung d e Brechzahlschwankung innerhalb einer Schmelze unter +-O,oOOl bleibt. Von Schmelze zu Schmelze kann sich irn allgemeinen die Brechzahl eines Glastyps um f0,001 iindern. Deshalb erhiilt jede Schmelze eine Nummer, fiir die aus dem entsprechenden Schmelzenzettel die realen Brechzahlen ermittelt werden koMen. Bei hochwertigen optischen Systemen muR im allgemeinen eine Abwandlung der Parameter vorgenommen werden, wenn andere Schmelzen zum Einsatz kommen. Zu den Fordemngen hinsichtlich der optischen Daten kommen diejenigen hinsichtlich Widerstandsfrngkeit gegen Wittemngseinflusse, Unempfindlichkeit gegen Fleckenbildung durch Saureeinflusse bei der Bearbeitung, Fehlen von Haufungen an Blasen, Fehlen von Schlieren, Knoten und Steinchen hinzu.
2.3 Dispersion und Absorption
77
Nach der grundsatzlichen Zusammensetzung und den optischen Eigenschaften werden die optischen Glker zu Gruppen, den Glasarten, zusammengefaBt (Tab. 2.13). Die speziellen optischen Glber mit bestimmten Werten der optischen Konstanten heiBen Glastypen. Tsbelle 2.13 Glasarten
Bezeichnung
Symbol
Bezeichnung
Fluorphosphatschwerkron Fluorkron Phosphatkron Phosphatschwerkron Borkron Kron Zinkkron Baritleichtkron Baritkron Schwerkron Schwerstkron Lanthankron Lanthanschwerkron
FPSK
Kurzflint Kronflint Baritleichtflint Doppelleichtflint
FK
PK PSK BK K ZK
BaLK
BaK SK SSK LaK LaSK
Symbol
KzF KF
BaLF LLF
Baritflint
BaF
Leichant
LF F BaSF SF
Flint
Baritschweflint Schwerflint Tiefflint Lanthanflint Lanthanschwerflint
TF
LaF LaSF
Folgende GroBen dienen der Charakterisierung der Glastypen: Die Huuprbrechzahl n, ist die Brechzahl fiir Licht der Quecksilberlinie mit der Wellenltinge A, = 546,07 nm. Trotz intensiver Forschung auf dem Gebiet der Silicatchemie konnten bisher nur Glker erschmolzen werden, deren Hauptbrechzahl etwa im Bereich 1,3 < n, < 2,l liegt. Die extremen Werte sind schwierig zu erreichen, so dal3 die zugehorigen Glastypen zunachst als Laborschmelzen vorliegen und noch nicht in die Fertigung ubergefiihrt sind. Preis und technologische Eigenschaften dieser Glastypen verhindern haufig ihren umfassenden Einsatz. Im Angebot sind Glker im Bereich 1,45 < n, < 1,93.
-
Die Huupfdispersion nF' nc, ist die Differenz der Brechzahlen fiir die Cadmiumlinien F' und C' (Tab. 2.12). Diese Spektrallinienliegen etwa an den Grenzen des visuell hellsten Teils des Spektrums. Die hderung der Brechzahl innerhalb dieses Bereichs wird deshalb als MaB fiir die Hauptdispersion verwendet. Bei optischen Glkern ist stets nF$> nc,, die Hauptdispersion also positiv (normale Dispersion). (In friiheren Glaskatalogen wurde nd als Hauptbrechzahl verwendet. AuBerdem war die Grunddispersion oder mittlere Farbzerstreuung nF - ncJ angegeben). Die Abbesche Zahl v stellt eine GroRe dar, mit der ebenfalls die Dispersion der optischen Glker beschrieben wird. Die Abbesche Zahl hat eine besondere Bedeutung ftir theoretische Zusamrnenhiinge, die bei der Synthese optischer Systeme angewendet werden. Die Abbesche Zahl fiir die Wellenluge A ist definiert durch VA =
n A- 1 nF'-nr
78
2 Physikalische Grundlagen
Es 1st also zu beachten, daB eine groRe Abbesche Zahl eine kleine Dispersion bedeutet, und umgekehrt. Zur Charakterisierung des Dispersionsverhaltens optischer Glber in Glaskatalogen sol1 die Abbesche Zahl verwendet werden, die mit der Hauptbrechzahl berech.net wurde, also n , -1
v, =
nF’
- net
Die optischen Glber liegen etwa im Bereich 10 < v, < 120.
In der Fertigung befinden sich Glastypen, f i r die etwa 20 < v, < 90 gilt. (Frtiher w d e in Glaskatalogen die Abbesche Zahl vd = (nd - l)/(nF - n c ) verwendet.) Der Tradition folgend werden Glber in den Bereichen n, < 1,6028, n,
v, > 54,7,
> 1,6028, v, > 49,7
Krone, die ubrigen Glber Flinte genannt (Abb. 2.44). (Fiir die vorher verwendete Bezugslinie “d” liegt die Grenze fiir nd> 1,6 bei vd = 50, fiir nd< 1,6 bei vd = 5 5 . )
20
50
80
v,
Abb. 2.44 Einteilung der Glaser in Flinte und Krone
Die relative Teildispersion P’ wird fiir spezielle Aufgaben der Farbfehlerkorrektion optischer Systeme benotigt.
I
Eine relative Teildispersion ist eine auf die Hauptdispersion bezogene Teildispersion.
Forme1ms;Big gilt
Ein Beispiel ist
Glasdiagramme. Ein Glastyp wurde friiher ausschlieSlich durch die Glasart und eine laufende Nummer beschrieben (z. B. Borkron 7 mit dem Symbol BK 7). Heute wird die Angabe Optisches Glas Glasart 1000(n, - l)/lOv,
79
2.3 Dispersion und Absorption
bevormgt ( n , mit drei Stellen, v, mit einer Stelle nach dem Komma). Fiir BK 7 mit n, = 1,5 18, v, = 63,9 lautet die Bezeichnung Optisches Glas BK 518/639. (Gelegentlich werden auch 1000(n, - 1)und lOv, verwendet.) Um bei der Vielzahl der zur Verfiigung stehenden Glker einen schnellen iiberblick uber deren optische Daten zu erhalten, hat es sich als nutzlich erwiesen, ihre Lage in verschiedene Glasdiagramme einzuzeichnen. Glasdiagramme benotigt man vor allem bei der Synthese optischer Systeme. Das n-v-Diagramm (Abb. 2.45a) ermoglicht einen ijberblick uber das Brechungs- und Dispersionsverhaltender Glastypen. In Zeichnungen, Rechenunterlagen und vor allem in Glasdiagrammen ist die genormte Bezeichnung unhandlich. Deshalb erhZilt jeder Glastyp zusatzlich eine Codenummer. durch die er z. B. im Glasdiagramm gekennzeichnet wird.
I
60
I
I
50
40
o: -.-
*e
Abb. 2.45a n,-v,-Diagramm fiir optische Gl-r
Optische Kristalle. Kristalle sind wertvolle Werkstoffe, die verwendet werden, wenn die optischen Eigenschaften der GlLer deren Einsatz nicht mehr zulassen. In der Natur kommen Kristalle meist nicht in ausreichender GrOl3e und Reinheit vor, deshalb werden sie kiinstlich geziichtet. Kristalle haben oftmals extreme optische Eigenschaften, sie konnen deshalb vorteilhafi in speziellen optischen Systemen mit hoher Bildgute eingesetzt werden. FluSspat (CaF, ) wird z. B. wegen seiner gunstigen Dispersionseigenschaften in Mikroobjektiven verwendet. In den Spektralbereichen, die an das sichtbare SpelrXrum angrenzen, absorbieren die Glker bereits stark. Fiir diese Bereiche werden Kristalle eingesetzt; im Ultravioletten z. B. FluSspat (durchlsSsig bis 150 nm herab) und @an. Bei Bauelementen fiir die visuelle Beobachtung koMm doppelbrechende Kristalle schlecht verwendet werden. Deshalb wird Quarz nicht in seiner kristallinen Form, sondern geschmolzen als Kieselglas (auch Quarzglas genannt) benutzt. Im Infraroten wird vielfach Steinsalz (durchlksig bis 1700 nm) eingesetzt. Lithiumfluorid (LiF) wird sowohl im Ultravioletten als auch im Infraroten verwendet. Doppelbrechende Kristalle benutzt man in der Polarisationsoptik zur Erzeugung und Untersuchung von polarisiemm Licht.
80
2 Physikalische Grundlagen
Optische Plaste. Plaste oder optische Kunststoffe sind synthetische Polymerisationsprodukte, Wenn sie bestimmten physikalischen Anforderungen geniigen, z. B. ausreichend transparent, wischfest und temperaturfest sind, kann man sie als optische Werkstoffe verwenden. Besonders geeignet sind u. a. die Duroplaste. Aus der Literatu sind uber 100 optisch brauchbare Plaste bekannt. Wir zeigen in Abb. 2.45b d e Lage dieser Plaste im n- v-Diagramm. Man erkeMt, dal3 sie den Bereich optischer Gliiser in Richtung kleiner Brechzahlen und kleiner Abbescher Zahlen erweitern. Wie bei den GlBern mu13 versucht werden, Stoffe zu entwickeln, die im n-v-Diagramm einen gro13eren Bereich uberstreichen.
'W
,
1
100
80
1
1
1
-
60
D'
1
40
1
1
20
,
n - vn -Diagramm mit der Lage der optischen Plaste Abb. 2.45b
Plaste haben gegenuber Glas einige Vorteile; man kann einfache Bearbeitungsmethoden anwenden, und der Materialpreis ist gering. So betragt bei entsprechend hoher Stiickzahl der Preis fiir eine Plastlinse nur 15% des Preises einer entsprechenden Glaslinse. Plaste haben auRerdem eine gute Lichtdurchlksigkeit, eine geringere Schockempfindlichkeit und eine geringere Dichte als Gliiser. Nachteilig sind die etwa zehnfach grogere Temperaturabhhgigkeit der physikalischen Eigenschaften, besonders der Brechzahl, die relativ geringe Temperaturbesthdigkeit und der hohe W-eausdehnungskoeffizient. Auf Grund der teilweise ungunstigen Eigenschaften sind Plaste gegenwmg fiir optische Systeme mit hoher Bildgiite ungeeignet. Giinstig sind sie in der Beleuchtungsoptik bei nicht zu hohen Temperaturbelastungen und fiir Bauelemente z u visuellen Anwendung einsetzbar. In groOen Stiickzahlen werden bereits Lupen, Prismen, Beleuchtungslinsen, gemmmte Lichtleiter, Plastfaserbundel und Brillengliiser hergestellt. Fiir Brillenglker wird der besonders widerstandsfige Duroplast 01 PS verwendet. Auch Fotoobjektive mit einem Offnungsverhtdtnis von 1: 8 sind bereits entwickelt worden. Plaste werden ferner zur Herstellung von Haftschalen, Kiivetten, Arbeitsschutzglkern und als Speicherstoffe verwendet. Besonders geeignet sind sie als Werkstoff fiir asphiirische Linsen, Fresnel-Linsen und Fresnei-Prismen. Plaste sind kein Ersatz fiir konventionelle optische Werkstoffe, sondern eine wertvolle Ergihzung.
Infrarottransparente Stoffe. Fur optische Bauelemente, die im infraroten Spektralbereich eingesetzt werden, ist eine hohe Transparenz in diesem Gebiet erforderlich. Einzelne optische Gliiser eignen sich nur fiir das nahe Infrarot (ca. bis 3 pm). Umgekehrt absorbieren die Infra-
2.3 Dispersion und Absorption
81
rotstoffe im sichtbaren Gebiet meistens sehr stark, so daB Methoden der Optik, die im sichtbaren Gebiet angewendet werden, fiir optische Systeme im Infraroten abgewandelt werden miissen (Zentrierung, priifung u. a.). Besondere Bedeutung fiir die Thermografie und die Whnebildtechnik haben Spektralbereiche der beiden “optischen Fenster”, in denen die Atmosphke sehr gute Transparenz hat (A= 3.. .5 pm, A = 8.. .14 pm). Wir konzentrieren deshalb die Ausfiihrungen auf Stoffe fiir diese Spektralbereiche. Die optischen Kennzahlen, die fiir Glaer definiert wurden, konnen auch auf die infrarottransparenten Stoffe angewendet werden (Tab. 2.14). Es ist jedoch ublich, als Abbesche ZahTabelle 2.14 1nfrarotdurchl;issige Stoffe
Stoff
Brechzahlen bei 3 4
(in pm)
5 v4 MgO 1,6920 1,6684 1,6368 12,l 4 0 3 1,7077 1,6752 1,6266 8,3 1,659 MgOA1203hp 1,698 1,685 17,6 LiF 1,36660 1,34942 1,32661 8,7 MgFz 1,3640 1,3526 1,3374 13,3 CaF, 1,41750 1.40963 1,39908 22,z BaF, 1,4613 1,458 1,4502 41.3 NaCl 1,52447 1,5219 1,51892 94,O KCl 1,47366 1,4720 1,4706 154,2 1,5341 222.9 KBr 1.5365 1,535 1,667 CsBr 1,669 1,668 334,O 1,742 CsJ 1,744 1,743 371.5 KRS 5 2,3857 2,3820 2,3798 234,2 KRS 6 2,1990 2,1956 2,1928 192,8 ZnS 2,2572 2,25 18 2,2461 112.8 ZnSe 2,4376 2.4332 2,4295 176.9 CdS 2,273 2.264 2,259 9093 Si 3,4320 3,4255 3,4223 250,l Ge 4,0450 4,0244 4,0151 101,2 151,7 GaAs 3,3157 3,3062 3,3005 IR 11 1,6253 BS 37A 1,6266 1,6074 1,5826 13,8 BS 39B 1,6364 1,6181 1,5959 15.3 CORTRAN 9754 1,644 bei 1,3 pm As2S3 2,41608 2,41116 2,40725 1593 As2Se3 2,4882 2,4835 2.48 11 208,9 FSG 919 2,5196 2,5148 2,5 119 196.7 FSG 920 2,8116 2,8040 2,8000 155.5 FSG 921 2,625 1 2,6201 2,6172 205,l FSG 922 2,6273 2,6218 2,6182 178,2 BS 1 2,5120 2,5070 UKC 28 2,7120 2,7070 2,7026 181,6 UKC 29 2,6225 2,6178 2,6141 192.6 UKC 32 3,0072 2,9988 2,9926 136,9 UKC 34 2,6147 2,6100 2,6067 201,3
8 1,4824
10
12
v10
1,215 1,2634 1,4008 1,426 1,50677 1,49470 1,4567 1,4628 1,530 1,5268 1,6625 1,664 1,74 1,739 2,3745 2,3707 2,1839 2,1767 2,2228 2,2002 2,4173 2,4065 2,226 2,243 3,4179 3,4184 4,0053 4,0032 3,2774 3,2873
1,48180 1,449 1.5215 1.660 1,737 2,3662 2,1674 2,1700 2,3930 2,205 3,4173 4,0023 3,2653
19,8 33,l 62.0 165.6 2463 165,l 71,3 22,7 57.9 32,3 2198.1 1001,o 103,5
2,39403 2,4779 2,5034 2,7922 1,6113 2,6096 2,4972 2,6940 2,6065 2,9810 2,5995
2,36446 2,4749 2,4899 2,7817 2,6020 2,5947 2,4840 2.6788 2,5934 2,9635 2,5873
467 492,2 110.9 170,2 172,8 107,6 114,7 11l,o 122.2 112.8 130,7
2,38155 2,4767 2,4975 2,7873 2,6070 2,6029 2,49 14 2,6875 2,6006 2,973 1 2,5941
2 Physikalische Grundlagen
82
len fur die Bereiche der optischen Fenster v4
n4 -1
=n2
- a5
und y o =
nlo - 1 n8 - n12
anzugeben (die Indizes beziehen sich auf die Wellenl'dnge in p). Nach [35] kann man die Infrarotstoffe nach ihrer Struktur einteilen in Kristalle (Einkristalle, Mischkristalle, polykristalline Stoffe), - kristalline Halbleiter, - GlLser (Aluminat-, Germanat-, Chalkogenidglker), - Plaste. -
Nach der Herstellungstechnologielassen sie sich gliedern in Kristallzucht (aus der Schmelze oder Zonenschmelzverfahren), HeiRpreSverfahren, CVD-Verfahren (chemical vapour deposition, Abscheidung aus der Gasphase), Glasschmelze, Glasschmelze unter Hochvakuum (Chalkogenidglaser), Plastherstellung. Einkristalle sind z. B. CaF, und Thalliumhalogenide (KRS 5, KRS 6). HeiRgepreSte polykristalline Stoffe sind z. B. MgFz, MgO, ZnSe. Sie werden z. B. unter der Firmenbezeichnung IRTRAN angeboten. In neuerer Zeit wird auch der Einsatz von polykristallinem CaLa,S4 und SrLa2S4vorbereitet. Germanat-, Tellurit- und Aluminatglker sind im mittleren Infrarot einsetzbar. Sie W e n die Firmenbezeichnungen IR 11 (Aluminatglas, ehem. UdSSR), BS 37A, BS 37B (Aluminatglas, GB) und CORTRAN 9754 (Germanatglas, USA). Chalkogenidgliiser stellen amorph erstante Schmelzen von Schwefel, Tellur und Selen dar, wobei Elemente der IV., V. oder VII. Gruppe des Periodensystems u.a. zugesetzt sind. Der erste Vertreter dieser Gruppe war das AsZS3, das z. B. von der Firma Servo Corporation of America als Servofrax vertrieben wird. Gunstige Eigenschaften zeigen die Halbleiter Germanium, Silicium und Galliumarsenid, die sich durch eine groBe Brechzahl auszeichnen, bei denen aber dadurch auch die Entspiegelung von Linsenoberflachenbesondere Bedeutung hat. Weitere Einzelheiten sind z. B. [35] und [36] zu entnehmen. Spiegelmetall. Fiir Oberflachenspiegel und auch fiir Ruckflachenspiegel (Planspiegelplatten, vgl. 5.5.3) werden im allgemeinen Trager aus Glas oder Kieselglas mit Metallschichten iiberzogen. Dazu konnen u a. Aufdampfverfahren oder chemische Verfahren angewendet werden. Zum Schutz der Metallschicht vor atmosphiirischen Einfliissen erhalten Oberflachenspiegel oft eine diinne Schicht aus Siliciumdioxid (vgl. 5.3.4), Planspiegelplatten eine duMe Kupferschicht (vor allem bei Silberbelag), die auRerdem noch lackiert sein kann. Die Spiegelmetalle sollen einen groDen Reflexionsgrad im gesamten genutzten Wellenlwgenbereich auheisen.
2.3 Dispersion und Absorption
83
Im sichtbaren Gebiet und im infraroten Gebiet hat Silber einen grol3en spektralen Reflexionsgrad (Abb. 2.46), im ultravioletten Gebiet allerdings ein Reflexionsminimum. Da Silber an Luft geschwkt wird (EinfluS von SH,), sind Schutzschichten erforderlich. Dadurch ist seine Verwendung bei Planspiegelplatteneinfacher als bei Oberflachenspiegeln.
1
I
Aluminium
0,75 -
jeweils kurz nach dem Aufdampfen € = O0
45
-
425 .
4t Abb. 2.445
200
360
&I
5;n
sbo
7bo
so0
R in nm-
Reflexionsgrad von Silber und Aluminium als Funktion der Wellenlslnge
Goldschichten sind sehr bestsindig gegeniiber atmosphiirischen Einfliissen. Der spektrale Reflexionsgrad ist besonders im infraroten Spektralbereich hoch und liegt von I = 0.75 pm bis A = 3 0 p iiber 0,99. Ein universe11 anwendbares Spiegelmetall ist Aluminium, das zwar nicht ganz die grol3en spektralen Reflexionsgrade erreicht wie Silber und Gold, aber vom ultravioletten bis zum infraroten Bereich einsetzbar ist (Abb. 2.46). Die nach dem Aufdampfen entstehende Aluminiumoxidschicht schiitzt die Spiegeloberflache. Es sei noch darauf hingewiesen, daB sich Metallschichten nach dem Auflragen allm8;hlich verhdern konnen sowie der Reflexionsgrad und die Absorptionskonstante (Tab. 2.11) vom Auftragverfahren, der Schicht&cke und von Umwelteinflussen abhtingen. Tab. 2.15 enthiilt einige Beispiele fiir spektrale Reflexionsgrade von Spiegelmetallen. Tabelle 2.15 Spektraler Reflexionsgrad von Spiegelmetall (kurz nach dem Aufdampfen, nach [22])
A innm 300 400 500 600 700 800 900 1000 5000 loo00
Aluminium
0,923 0,924 0,918 0,911 0,897 0,867 0,891 0,940 0,984 0.987
Silber
Gold
KuDfer
Platin
0,176 0,956 0,979 0,986 0,989 0,992 0,993 0,994 0,995 0,995
0,377 0,387 0,477 0,919 0,970 0,980 0,984 0,986 0,994 0,994
0,336 0,475 0,600 0,933 0,975 0,981 0,984 0.985 0,964 0.989
0,576 0,663 0,714 0,752 0,772 0,785 0,805 0,807 0,949 0.962
84
2 Physikalische Grundlagen
2.4
Koharenz
2.4.1
Spontane und induzierte Emission
Energiezustiinde. Der in diesem Abschnitt zu behandelnde physikalische Begriff “Kohiirenz” l a t sich nur verstehen, wenn die elementare Wechselwirkung des Lichtes mit den Stoffen beriicksichtigt wird. Deshalb wiederholen wir die aus der Physik bekannten gnmdsatzlichen Erkenntnisse uber die atomaren und molekularen Prozesse, an denen Lichtquanten beteiligt sind. Die Elektronen eines Atoms koMen diskrete Energiezustiinde annehmen (Abb. 2.47a). Der stabile Zustand, der Grundzustand, ist derjenige mit der geringsten Gesamtenergie. Durch Energiezufuhr lassen sich angeregte Zustbde erzeugen (Abb. 2.47b). Diese sind im allgemeinen instabil, so dalj nach einer gewissen Zeit direkt oder uber mogliche Zwischenstufen unter Energieabnahme der Grundzustand wieder erreicht wird (Abb. 2.47~).
Cl
a)
Abb. 2.47 a) Diskrete Energieniveaus des Wasserstoffatoms, b) Anregung durch Absorption eines Lichtquants, c) &rgang in den Grundzustand unter Lichtausstrahlung
Wir nehmen an, da13 die Energiebderungen mit der Vernichtung oder Erzeugung von Lichtquanten verbunden sind. Zwischen der atomaren Energiewderung W,- W,und der Frequenz v der dem absorbierten oder emittierten Lichtquant zugeordneten Welle besteht der Zusmmenhang
W*-Wl = hV
(2.95)
W . s2). (Planck-Konstante h = 6,6262. Bei molekularen Systemen sind zusatzlich zu den diskreten Energiezustbden der Elektronen diskrete Energiezustbde der Molekiilrotation und der Atomschwingungen moglich. Diese
2.4 Kohaenz
85
Energieniveaus liegen im allgemeinen dichter als die Elektronenniveaus. Die GI. (2.95) gilt auch fiir hergiinge zwischen Rotations- und Schwingungsniveaus. In festen Stoffen gibt es unter anderem Energiebader, in denen die Energieniveaus sehr eng beieinander liegen. Aus der unterschiedlichen Niveaustruktur resultieren die in 2.3.1 genannten Eigenschaften der Spektren atomarer, molekularer und glilhender fester Stoffe, die in Tab. 2.16 zusammengestelltsind. Wir greifen zwei Niveaus eines atomaren Systems heraus und beschreiben die bei der Wechselwirkung mit einem Quant moglichen Elementarprozesse. Tabelle 2.16 Niveaus und Spektren von Stoffgmppen
Atomare Stoffe
-
Elektronenniveaus
-
Linienspektren
Molekulare Stoffe
-
Elektronenniveaus Rotationsniveaus Schwingungsniveaus
-
Bandenspektren
gliihende feste Stoffe
-
Energiebiinder
-
kontinuierliche Spektren
Absorption eines Lichtquants. Wir lassen auf das atomare System Licht auftreffen. Bei der Ausbreitung des Lichtes ist die Erscheinungsform der Lichtwelle wesentlich. Die Lichtwelle enthalte Licht eines bestimmten Frequenzbereiches. Die spektrale Energiedichte w( v) gibt die Energie je Frequenzintervall dv an, die im Zeitmittel in der Volumeneinheit dz des Feldes enthalten ist:
Bei der Wechselwirkung des Lichtes mit den Atomen ist die Erscheinungsform der Quantengesamtheit wesentlich. Die spelctrale Energiedichte der Lichtwelle ist im Quantenmodell der Anzahl der Quanten des Frequenzintervalls dv je Volumeneinheit proportional. Enthat die Lichtwelle die Frequenz
v = - w2-w,, h
w,
w,,
also das Licht Quanten der Energie W = h v, dann besteht eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafiir, da8 Atome die Energie dieser Quanten aufnehmen. Die Atome werden unter Vernichtung, also Absorption, von Lichtquanten angeregt. Die Wahrscheinlichkeit flu die Absorption eines Lichtquants h b g t von der je Volumeneinheit vorhandenen Anzahl an Quanten ab. Fiir die ijbergangswahrscheinlichkeit gilt (2.96) B,, ist die GroSe, die fiir den Energieiibergang von W, nach W, in einem konkreten Atom charakteristisch ist und die mit den Methoden der Quantentheorie berech.net werden kann.
I
Die Wahrscheinlichkeit fiir die Absorption eines Lichtquants der Frequenz v unter Erhohung der atomaren Energie um den Betrag W, - W, = h v ist der spektralen Energiedichte der Lichtwelle proportional.
2 Pbysikalische Grundlagen
86
Spontane Emission eines Lichtquants. Der angeregte Zustand mit der Energie W, ist im allgemeinen instabil. Er wird unter Ausstrahlung eines Lichtquants wieder abgebaut. Bei Abwesenheit eines PuReren Feldes findet der Ubergang vom Niveau W, zum Niveau W, im Einzelatom ausschliefllich zufdlig, d. h statistisch, statt. Fiir die von PuReren Einflussen unabhiingige Ausstrahlung, die spontane Emission, betragt die Ubergangswahrscheinlichkeit (2.97) A l l ist eine Grofie, die fiir den spontanen Ubergang von W, nach W, eines konkreten Atoms charakteristisch ist. Auch A , mu8 quantentheoretisch berechnet werden.
,
Die Wahrscheinlichkeit fiir die spontane Emission eines Lichtquants der Frequenz v unter Verminderung der atomaren Energie um den Betrag W,- W, = h v ist unabhiingig von einem aderen Wellenfeld. Die wahrscheinliche Lebensdauer eines angeregten Zustandes, die Verweilzeit T,,, ist der ijbergangswahrscheinlichkeitfiir die spontane Emission umgekehrt proportional. Es ist also (2.98)
W m e n d der Verweilzeit, also wiihrend der wahrscheinlichen Ausstrahlungsdauer, legt die ausgestrahlte Lichtwelle den Weg S2l
= cT2,
(2.99)
zuriick. Die Verweilzeit liegt in der GroDenordnung von lo-' s. Fur c = 3 lo8 m . s-' und s ergibt sich z. B. sal= 3 m.Daraus folgt: T,, = Die aufgrund spontaner Emission strahlenden Lichtquellen senden eine Vielzahl von kurzen Wellenzugen aus, keine unendlich ausgedehnten zusammenhiingenden Wellen.
l
Es gibt auch angeregte Zustiinde mit einer bezuglich spontaner Emission sehr groDen Verweilzeit. Solche Zustiinde hei8en metastabil. Induzierte Emission eines Lichtquants. Siimtliche hergiinge aus angeregten Niveaus in tiefere Niveaus, experimentell besonders bei h r g i i n g e n von metastabilen Niveaus aus beobachtbar, koMen durch ein aderes Wellenfeld erzwungen werden. Fur diese induzierte Emission betragt die Ubergangswahrscheinlichkeit Uinduzierr= W ( V ) . B 2 1 .
(2. loo)
B,, ist eine GrtjDe, die fiir den induzierten ilbergang von W2 nach W, eines konkreten Atoms charakteristisch ist. B2 kann quantentheoretisch berechnet werden..
,
Die Wahrscheinlichkeit fiir die induzierte Emission eines Lichtquants der Frequenz v unter Verminderung der atomaren Energie um den Betrag W, - W, = h v ist der spektralen Energiedichte der anregenden Welle proportional. Beziehungen zwischen den Koeffizienten. Thermodynamische Untersuchungen ergeben fir den Zustand des Strahlungsgleichgewichts die Aussagen [ 11 (wir beschriinken uns auf nichtentartete Zustiinde):
2.4 Koharenz
87
- Bei der induzierten Emission hat die induzierte Welle dieselbe Ausbreitungsrichtung wie die induzierende Welle. - Die Wahrscheinlichkeitenfiir die induzierte Emission und fiir die Absorption sind gleich: B12 =
B2l
(2.101)
- Die Wahrscheinlichkeiten fiir die spontane und fiir die induzierte Emission sind einander proportional. Der Proportionalitlitsfaktor hiingt von der dritten Potenz der Frequenz ab: (2.102)
Im Bereich so hoher Frequenzen, wie sie im optischen Spektralbereichvorliegen, ist die sponm e Emission auch bei der Anregung von induzierter Emission nicht zu vernachlksigen. Sie bewirkt ein zusatzliches Rauschen.
2.4.2
Interferenzanteile der Intensitslt
Die von den Lichtquellen ausgehenden Lichtwellen iiberlagern sich im allgemeinen in vielfNtiger Weise. An einer Stelle des Raumes. an der das Licht registriert wird, konnen sich Lichtwellen uberlagern, die von verschiedenen Punkten derselben Lichtquelle, von Punkten unterschiedlicher Lichtquellen und zu verschiedenen Zeiten ausgesendet werden. In speziellen optischen Meageraten, den Interferometern, wird die ijberlagerung von Lichtwellen gezielt herbeigefiihrt. Urn die Interferenzerscheinungen verstehen zu konnen, ist es notwendig, das Zusammenwirken von Lichtwellen zu untersuchen. Die auf spontaner Emission beruhenden Lichtquellen senden kurze Wellenziige aus. In der drahtlosen Nachrichtentechnik ist es jedoch moglich, durch smdige Energiezufuhr zur ausstrahlenden Antenne eine sehr lange, angeniihert sinusformige Triigerwelle zu erzeugen. Auch mit stabilisierten Lasern sind relativ lange Wellenzuge mit nahezu harmonischen Schwingungen zu realisieren. Wir untersuchen zunachst die ijberlagerung von sinusformigen Wellen. Die Erscheinungen, die sich zusatzlich aus den Verhiiltnissen bei der Lichtausstrahlung ergeben, werden wir anschliel3end darstellen. Uberlagerung ebener periodischer Wellen. In komplexer Darstellung lautet die Gleichung der elektrischen Feldstiirke fiir eine ebene periodische Welle nach G1. (2.6) (2.103)
Die ijberlagerung mehrerer Wellen erfordert die vektorielle Addition der Einzelfeldst5rken (2.104)
Gleiche Ausbreitungsrichtung bedeutet gleiche Einheitsvektoren s, ,so daB
2 Physikalische Grundlagen
88
gilt. Der Faktor (2.105) ist die komplexe Amplitude der Summenwelle, also ist 2 x j (rs - c t )
E=aek
I
Die ijberlagerung ebener monochromatischer Wellen gleicher Ausbreitungsrichtung ergibt eine Welle gleicher Frequenz und Ausbreitungsrichtung, deren komplexe Amplitude die Summe der komplexen Einzelamplituden ist.
Jeder Amplitudenvektor kann in zwei senkrecht aufeinander stehende Komponenten akl und a k 2zerlegt werden, so da8 (2.106)
wird. Die Intensitat einer ebenen Welle betragt nach G1. (2.15)
Wir setzen G1. (2.106) ein:
Weil x u H und x u k 2 senkrecht aufeinander stehende Vektoren sind, deren skalares Produkt verschwindet, ist (2.107)
I
Die Intensitaten senkrecht zueinander schwingender Wellen uberlagern sich additiv. Es geniigt, die Interferenz linear polarisierter Wellen zu untersuchen.
(Von diesem Ergebnis wurde bereits bei der Behandlung der Polarisationsarten in 2.1.2 Gebrauch gemacht.) Wir gehen bei den weiteren Uberlegungen von (2.108)
aus. Wir erinnern daran, daD die komplexe Amplitude durch a, = AteJak gegeben ist. Aus der G1. (2.108) folgt, wie im allgemeinen die Interferenzerscheinungen zu behandeln sind: Die Betrage der Teilamplituden A k sind aus den Daten der Interferenzanordnung zu berechnen. Die Phasen der Teilwellen 6, ergeben sich aus den Lichtwegen in der Interferenzanordnung unter Beriicksichtigung von Phasenspriingen. Die komplexen Teilamplituden uk sind zu addieren. Die Intensitat folgt aus G1. (2.103).
2.4 Koh2renz
89
Wir gehen zur reellen Schreibweise uber, indem wir die komplexen Amplituden in G1. (2.108) einsetzen:
Wir formen urn in
oder
Mit den Abkiirzungen
6i -6, = 6 i k und exp(j6ik)+exp(- jSik) = 2cos tjik erhalten wir r
1
(2.109) Wir konnen den Faktor (E,E,c)/~ auch in die Summen hineinnehmen, wobei (2.1 10) entsteht. Der Anteil 2
xm cos
6ik
in GI. (2.1 10) tritt auf, weil die Wellen miteinander in
i
Wechselwirkung treten, d. h,weil sie interferieren. Er wird deshalb Interferenzanteil der Intensitat genannt.
I
Die Intensitiit der durch Interferenz entstehenden Welle setzt sich additiv aus den Einzelintensitaten und aus dem Interferenzanteil der Intensitat zusammen.
Fiir zwei Wellen vereinfacht sich G1. (2.110) zu I = 1,+I2+2Jl,l,COS6,,.
(2.11la)
Die Interferenz zweier Wellen gleicher Intensitat (I I = Z2 = I,) ergibt die Intensitat 1 = 21,(1+cos
4,).
(2.11 lb)
Fiir cos 6,, = 1 erhalten wir die maximale Intensitat IMaX = 41,; fiir cos SI2= - 1 erhalten wir die minimale Intensitat ,I = 0. Wellen unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung. Fiir zwei Wellen gleicher Schwingungsrichtung, aber unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung gilt entsprechend G1. (2.104) ftir die elektrische FeldsWke
(2.1 12)
90
2 Physikalische Grundlagen
Fiir die Berechnung der Intensitat ist der Ausdruck
2
( ( E + E ” ) ’ ) zu bilden. Da die Summan-
als Faktor enthalten, im Zeitmittel verschwinden, bleibt nur 2nj
+ a2a: + a , a *2 e
a,.;
(rsl -rs2)
2nj
+ a; a2e--
(rsl - w )
(2.1 13)
ubrig. Wegen
ergibt sich
1 ( ( E + E * l 2 ) = a,a: + a 2 a : + 2 R e
(2.1 14)
2
Mit a, = A,ejsi, u2 = A2ej6’, SI2= 6, - 62 folgt fiir die Intensitat E 2 E
c{A~+A~+2A,Azcos
(2.115)
Fw s, = s2 geht die G1. (2.115) in die G1. (2.11 la) uber. Bei A, = A, und I, = I2 = I, ist (2.116) Wir fihren den Winkel a zwischen den Richtungen s1 und s2 sowie den Winkel p zwischen r und der Winkelhalbierenden zwischen s, und s2 ein (Abb. 2.48). Es gilt d m
und I = I, + I , +2~1,1,cos
(4Y --smp.sinq+6,,)
(2.117a)
bzw. bei I, = I 2 = I ,
.
(2.117b)
Fiir Punkte auf der Winkelhalbierenden zwischen s, und s2 ist p = 0, und die Intensitat hsbgt lsbgs der Winkelhalbierenden in der gleichen Weise vom Ort ab wie bei gleicher Ausbreitungsrichtung der Wellen. r
Abb. 2.48 Vektoren und Winkel bei zwei Wellen
unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung
91
2.4 Kohiirenz Stehende Wellen. Fiir
a = 180" (entgegengesetzte Ausbreitungsrichtungen der Wellen) und
/3 = 90" (r Iiings der Ausbreitungsrichtung) ist I = 2f0[1+ COS(-y+S,,)].
Bei
(2.118a)
a,, = O gilt 2
2nr
(2.11 8b)
Es entsteht eine stehende Welle, bei der die Schwingungsknoten (I = 0) bei r = (2+ 1)11/4 (k = 0,1,2, . ..) liegen (Abb. 2.49a links).
Abb. 2.49a Betrag der elektrischen FeldsWke
Abb. 2.49b Interferenz von
und Intensitiit in einer stehenden Welle (links a,, = 0,rechts S,,= a)
senkrecht verlaufenden Wellen
Bei
aI2= R gilt (2.118c)
Es entsteht eine stehende Welle, bei der die Schwingungsknoten bei r = k A/2 ( k = O,l, 2,. ..) liegen (Abb. 2.49a rechts). Dieser Fall tritt bei der Reflexion einer Welle an einem optisch dichteren Stoff ein (Phasensprung n). Fiir a = 90" (senkrecht zueinander verlaufenden Wellen) und a,, = 0 ist
[
f = 21, l+cos ( 2c~rsin/3)].
(2.119)
Auf der Winkelhalbierenden (p = 0) ist I = 41,. Auf ihr liegen die Maxima. Parallel dazu liegen die weiteren Maxima, jeweils in Ausbreitungsrichtung um A entfernt. Senkrecht zu den Interferenzmaxima betragt deren Abstand m / 2 (Abb. 2.49b; Octe der Maxima gestrichelt). Fiir beliebige Schwingungsrichtungen in beiden Wellen miissen zunachst die Feldsttirlcen aufgeteilt werden in zwei senkrecht aufeinander stehende Komponenten (& senkrecht, E , parallel zur Ebene, die s1 und s2 aufspannen). Mit dem Azimut w ergibt sich E, = E cos y, E, = E sin w (Abb. 2.19b). Die senkrecht schwingenden Komponenten sind nach GI. (2.117a) zu behandeln. Die Intensitst betragt I, = [,sin2
w1+ f2 sin2 lyz + 241~1, sin w1. sin \yz cos 1-4 sinp. sin? + s,,]. ~
(2.120a)
92
2 Physikalische Grundlagen
Fiir die parallel schwingenden Komponenten ist zu beachten, dalj sie nicht gleichgerichtet sind. Es gilt EPlE;, = EPlE;, cos a und damit
F4Tr
I, = 1 , c o s * ~ , + 1 , c o s * y ~ + 2 ~ 1 ~ 1 , c o s ycosa.cos ~ ~ c o s ~--sinp-sinf+61,]. ~
(2.120b) Die Gesamtintensitat betragt I = I, +Ip oder I = 1 , + 1 , + 2 ~ l , l , [ ~ ~ + ~ ~ c o s -smp.sinf+ti,,]. a l c o s
[4n"r
(2.121) Die abgeleiteten Gleichungen fiir die Interferenz zweier Wellen ungleicher Ausbreitungsrichtung gelten fir Empfiinger, die nur auf die elektrische Feldenergie ansprechen. Sonst m a t e der Beitrag der magnetischen Feldstiirke zur Intensitat beriicksichtigt werden, weil die Energie des elektromagnetischen Feldes der Welle je zur Hafte im elektrischen und magnetischen Feld vorhanden ist. Wegen H, = H sin y,H, = H cos w gelten die GI. (2.120a, b) fiir die magnetische Feldstkke, wenn sin w2 durch cos I#,ersetzt wird. Die Gesamtintensitat IE+Hergibt sich d m aus
IE+"
= I, + I , + 2 J I , I , [ J m + J c o s y ,
~ c o s y z ] C o S 2 ~ ~ -csomsP . s i n ~ + S , , ] . 2
[4:r
Fur die beiden Spezialfdle y1= w2 = 90" und y1= w2 = 0" sowie I, = I, = I, wird
Fiir CI = 0 erhalten wir die gleiche Bedingung wie bei der Ableitung mit dern Poyntingvektor. Fiir a = 180" erhalten wir IE+H= 210, weil bei der stehenden Welle an den Orten der Schwingungsknoten von E die Schwingungsbauche von H liegen. Die Registrierung der stationiiren Interferenzmaxima und -minima durch Wien bei stehenden Wellen beweist deshalb die Gultigkeit unserer Ableitung auf der Basis der elektrischen Feldstiirke, die zu den G1. (2.118b, c) fiihfie. Auch die G1. (2.119), aus der die Lage der Maxima bei a = 90" folgt, wurde von Wien bestatigt. SchlieSlich konnte fiir I, = I , = I , , a = 90" auch gezeigt werden, daO bei I#,= w2 = 90" die Intensitat I, aus G1. (2.119) folgt und I, = 0 ist und daR bei w1 = w2 = 0" fiir die Intensitaten I, = 0, I, = 210 gilt (siehe [37]). Inkoharentes Licht verschiedener Lichtquellen. Wir beriicksichtigen, daO die spontan strahlenden Lichtquellen kurze Wellenzuge aussenden. Beim Einzelatom ist der Zeitpunkt des Energieiibergangs unbestimmt, es handelt sich um einen statistischen Vorgang. Beleuchten wir eine Stelle des Raumes mit zwei verschiedenen Lichtquellen, dam iiberlagem sich uber die Beobachtungszeit hinweg viele kurze Wellenzuge mit statistisch verteilten Phasendifferenzen. Weil die Beobachtungszeit bzw. die Zeitkonstante der Strahlungsempfhger groS gegenuber der Verweilzeit ist, registrieren wir den Zeitmittelwert der Intensitat nach GI. (2.110):
Bei konstanten Einzelamplituden ist
93
2.4 Kohiirenz
Der Zeitmittelwert von cos Si,verschwindet, wenn alle Werte Si,uber viele Perioden hinweg gleich wahrscheinlich sind. Es gilt also ftir die beobachtbare Intensitat k
Die Intensitat ist gleich der Summe der Einzelintensitaten, wie sie sich ohne Interferenz ergibt. Es gilt also:
I
Bei der Uberlagerung von Wellenzugen mit statistisch verteilten Phasendifferenzen verschwindet der Interferenzanteil der Intensitat. Das Licht erscheint dem Beobachter als nicht interferenzfmg; es wird inkohS;rent genannt.
2.4.3
Zeitliche Koharenz bei spontaner Emission
Modell der abgebrochenen Sinuswelle. Wir gehen davon aus, dal3 eine spontan strahlende Lichtquelle kurze, statistisch voneinander unabhagige Wellenzuge aussendet. Einen dieser Wellenzuge untersuchen wir hinsichtlich seiner spektralen Zusammensetzung. Da uns die genaue Form der Welle unbekannt ist, legen wir zuniichst den Modellfall einer abgebrochenen sinusfoxmigen Welle zugrunde. Diese leitet zur Zeit tl an einem festen Ort sprungartig eine sinusfoxmige Schwingung ein, die zur Zeit t2 plotzlich wieder abbricht. Die Schwingung wird durch die Funktion
(2.122) sonst beschrieben. Es handelt sich um eine nichtperiodische Funktion, deren spektrale Zerlegung mit dem Fourier-Integral auf ein Spektrum fi,ihrt, das in einem bestimmten Frequenzintervall kontinuierlich ist. Die Funktion (2.122) kann als Fourier-Integral w
E ( t ) = ja(v).e2'jvtdv
(2.123)
-w
dargestellt werden. Die Funklion a(v) ist die Spektraldichte. Diese gibt an, mit welcher Amplitude die sinusformige Welle der Frequenz v in die Summe der unendlich vielen sinusfoxmigen Wellen eingehen mu5, damit die Funktion E( :) nachgebildet wird. Die Umkehrung des Integrals (2.123) mit der Fourier-Transformation lautet w
a ( v ) = jE(t).e-2Kjvrdr.
(2.124)
-w
Wir setzen E ( t ) nach G1. (2.122) in G1. (2.124) ein und erhalten A1 -
(2.125)
2 Phvsikalische Grundlagen
94
Die Ausrechnung des Integrals ergibt
a(v) =
[ejK(V,-V)Af
-e-jn(vo-v)Ar]
(2.126)
2nj( vo- v) Mit der Abkiirzung
q = R(Vo-V)At
(2.127)
fiihrt die Anwendung der Eulerschen Formel auf
sin q a ( v ) = AoAt-.
(2.128)
77
Das Hauptmaximum der Funktion a( v) liegt bei q = O , lim(sinq/q)=l den Wert a ( v o ) = A o A t .
v = vo vor und hat wegen
Die auf die Spektraldichte bei v = v, normierte Spektraldichte (2.129) ist in Abb. 2.50 grafisch dargestellt. Die ersten Nullstellen beiderseits des Hauptmaximums ergeben sich aus q = fir, also nach GI. (2.127) fiir
(vo - V , ) A t =
k 1.
(2.130) sin n
Abb. 2.50 Spektraldichte der zeitlich begrenzten
sinusformigen Schwingung Die GroRe ~ ( v O - V , )
= ~ A v
(2.131)
bestimmt wesentlich die spektrale Bandbreite des “abgehackten”Wellenzuges, weil die Spektraldichte aaerhalb des Intervalls - n Iq1 R sehr klein ist. Es gilt also nach GI. (2.130) fiir die halbe Bandbreite
A v A t = 1.
(2.132)
Eine Welle endlicher Liinge erzeugt eine Schwingung, in deren spektraler Zerlegung eine Frequenz mit maximaler Amplitude und weitere Frequenzen mit geringeren Amplituden enthalten sind. Die halbe spektrale Bandbreite A v und die Zeit A t , w2hrend der die Schwingung andauert, sind umgekehrt proportional.
2.4 Koharenz
95
Eine Welle endlicher Liinge ist quasimonochromatisch.Die Zeitdauer Ar der Schwingung ist mit der Lghge A1 des angeregten Wellenzuges durch A1 = cAt verknupft. Mit G1. (2.132) erhalten wir A v A l = c. (2.133)
I
Je liinger ein Wellenzug ist, desto kleiner ist die Bandbreite. Nur eine unendlich ausgedehnte Welle w2re monochromatisch.
Wenn A v klein ist. kann es durch Differenzieren von v = c/A, wobei sich dV = --dA C
a2
(2.134)
ergibt, auf das Wellenlghgenintervall AA umgerechnet werden. (Das Minuszeichen lassen wir weg, weil nur der Betrag von Bedeutung ist.) Aus G1. (2.133) folgt mit G1. (2.134) AAAl = A’. (2.135) Die Gleichungen (2.132), (2.133) und (2.135) sind gleichwertig. Die Wellenzuge, die leuchtende Gase aussenden. werden hinsichtlich ihrer Amplitudenverteilung durch verschiedene physikalische Einflusse bestimmt. Natiirliche Breite der Spektrallinien. Bei sehr tiefer Temperatur und geringem Gasdruck kommt die Breite der Spektrallinien fast ausschlieRlich durch die endliche Dauer der Lichtausstrahlung zustande. Diese MtiirliChe Breite der Spektrallinien ist einer gediimpften Welle zugeordnet. Die Intensitat in einer Spektrallinie, als Funktion der Wellenlhge dargestellt, hat deshalb die Form einer Resonanzlrurve (Abb. 2.51a). Die Breite der Spektrallinie wird durch die Halbwertsbreitebeschrieben.
I
Die Halbwertsbreite AAo.5 ist das Doppelte des Wellenliingenintewalls, in dem die Intensitiit vom Maximalwert auf den halben Maximalwert abnimmt (Abb. 2.51b).
Die Halbwertsbreiteliegt bei Mtiirlicher Diimpfung in der Gr66enordnung AA0,s =
nm.
Abb. 2.51 a) Modell des zeitlicb begrenzten Wellenzuges und die zugeordnete Form der Spektrallinie, b) Modell der Welle und der Spekfrallinie fiir nattirliche D-pfung, c) Modell der Welle und der Spektrallinie fiir Doppler-Dhpfung
96
2 Phvsikalische Grundlagen
Doppler-Rreite der Spektrallinien. Bei den in den Experimenten normalerweise vorkommenden Driicken und Temperaturen ist die naturliche Linienbreite im allgemeinen klein gegenuber den anderen Einflussen auf die spektrale Breite. Interferometrische Messungen mit herkommlichen Lichtquellen erfordern, daO das leuchtende Gas unter einem geringen Druck steht ( p < 200 Pa) und mit niedrigen Stromdichten angeregt wird. Die Linienbreite wird d a m bei normalen Temperaturen wesentlich durch den infolge der Molekularbewegung auftretenden Doppler-Effekt bestimmt. Jedes strahlende Atom stellt eine relativ zum Beobachter bewegte Lichtquelle dar, so daO eine Frequenziinderung durch den Doppler-Effekt entsteht. Die Doppler-Breite hiingt von der mittleren Geschwindigkeit der strahlenden Atome ab und kann im Rahmen der kinetischen Gastheorie berechnet werden [2]. Fur die Halbwertsbreite durch Doppler-Effekt gilt AAo,5 = 7,1623, l O - ’ A 0 F
(2.136)
( A o Wellenlwge des Maximums, T absolute Temperatur, A, relative Atommasse gegeniiber Kohlenstoff mit A, = 12). Bis zur Wellenliinge A0 + AAo5 sinkt die Intensitat auf 5 % des Maximalwertes. Die Intensitat hiingt von der Wellenlange in Form einer GauB-Funktion ab (Abb. 2.51~). Die modellmiU3ig zugeordnete Welle zeigt einen Verlauf der Amplitude, die ebenfalls einer GauR-Funktion entspricht (Abb. 2.5 lc). Fiir die rote Cd-Linie ist z. B. A0 = 643,9 nm und A = 112,4. Bei T = 573 K betragt die Halbwertsbreite durch Doppler-Effekt dA0.5 = 1,041, nm.
Stofidhpfung. Bei hoher Temperdtur und hohem Druck ist die Molekularbewegung so groS, daO in starkem MaBe Ausstrahlungsvorgiinge bei Zusammenstokn der Atome unterbrochen werden. Im Moment des StoSes ubernimmt ein zweites Atom einen Teil der Anregungsenergie, wobei sich seine kinetische Energie erhoht. Die ausgestrahlte Welle wird verkiirzt und damit die spektrale Breite der Linie VergroSert. Fiir die Halbwertsbreite durch StoMhpfung gilt (p Dichte des Gases in kg . m-3, uA Atomradius in m) AAo,s = 4,9568.1029a:p
6 -.
(2.137)
Bei sehr hohem Druck kann die spektrale Breite durch StoSdWpfung so groS sein, daB das Spektrum durch die Uberlappung von Linien einen kontinuierlichen Untergrund enthdt. Elektrische Felder und weitere auRere Einflusse konnen zusatzlich auf die Breite der Spektrallinien einwirken (z. B. der Stark-Effektj. Aul3erdem erlauben die G1. (2.136) und (2.137) nur die Abschatzung der Einzeleffekte.
Teilung der Amplitude oder der Wellenfront. Wir wollen nun jeden einzelnen der Wellenziige endlicher L u g e in zwei Wellenzuge aufspalten und beide Anteile wieder so zusammenfiihren, daS sie sich uberlagern. Dazu gibt es zwei Prinzipien, die wir an zwei Beispielen erIautern. Im Interferometer von Mach-Zehnder werden die Wellenziige an einer teildurchlksigen Schicht aufgespalten (Abb. 2.52). Die Amplituden der Teilwellen sind kleiner als die Ausgangsamplitude, weshalb man von der Teilung der Amplitude spricht. Nach dem Durchlaufen unterschiedlicher Lichtwege, wodurch eine Phasendifferenz ent-
2.4 KoMrenz
97
steht, werden die Teilbiindel an einer teildurchlihsigen Schicht vereinigt. Jedes aus einer Welle stammende Teilbundelpaar hat wwend der gesamten ijberdeckungszeit konstante Phasendifferenz. Diese ist fiir alle Teilbundelpaare gleich und nur durch die Geometrie der Interferenzanordnung bestimmt. Da sich zwei Teilwellen ausreichend uberdecken mussen, wenn sie miteinander interferieren sollen, muB der optische Wegunterschied kleiner als die optische Lshge eines Wellenzuges sein. Der maximal zulihsige optische Wegunterschied ist die Kohaenzliinge. Die L a g e der Wellenzuge hshgt gesetzm%ig mit der spektralen Bandbreite zusammen, so das bei festem optischen Wegunterschied die Bandbreite begrenzt sein m a .
U
I
Abb. 2.52 Interferenz im Mach-Zehnder-Interferometer (Teilung der Amplitude)
Abb. 2.53 Interferenz im Youngschen
Interferometer (Teilung der Wellenfront) Im Youngschen Interferometer (Abb. 2.53) werden durch Spalte oder Lijcher aus den Wellenzugen schmale Ausschnitte ausgeblendet. Deshalb spricht man auch von der Teilung der Wellenfront. Die Wiedervereinigung der Teilbundel wird durch die Beugung des Lichtes hervorgerufen. Jeder Punkt der feinen Offnungen sendet nach dem Huygensschen Prinzip Kugelwellen in den gesamten dahinter liegenden Halbraum aus, in dem sie miteinander interferieren. Wir fassen zusammen: Ein Wellenzug kann mit sich selbst interferieren, wenn entweder seine Amplitude oder seine Wellenfront geteilt wird. Die Intensitiit h h g t von der Phasendifferenz zwischen den interferierenden Teilbundeln ab. Diese entsteht durch den optischen Wegunterschied und durch Phasenspriinge an reflektierenden Flachen. Die tiquivalente Wegdifferenz darf nicht grU3er sein als die Kohfirenzlshge. Diese ist der Halbwertsbreite der Spektrallinieumgekehrt proportional.
98
2 Physlkalische Grundlagen
Intensitit beim Youngschen Interferometer. Wir stellen uns die Aufgabe, die beim Youngschen Interferometer meabare Intensitat zu berechnen. Ein Punkt der Lichtquelle strahle quasimonochromatisches Licht aus. Die zugehorige Intensittit ist in Abb. 2.54 schematisch dargestellt. Die in einem Punkt des Schirmes interferierenden Teilwellen mit der Phasendifferenz ergeben nach G1. (2.11la) die Intensitat I,, = I, + I 2 +2JI,I,COS61,.
In der Umgebung von x = 0 konnen wir annehmen, da13 I, = I, ist. Es gilt also
(2.138)
I,, = 21,(1 +cos a,,).
(2.139)
In Abb. 2.55 ist die Funktion I(&) grafisch dargestellt. Die zu den verschiedenen Welled&,gen, also zu verschiedenen gehorenden Wellenanteile interferieren nicht miteinander, ihre Intensitaten sind zu summieren. Es ist mit Is = (dI,)/(d&) (Abb. 2.56)
&,,
I12d612 = 218(1+ cos 612) d612
(2.140)
und I =
1
21,(1+ cos &) d6,, .
(2.141)
6,
Wir setzen 218 = f(S,2),
612
=
&,+a,
d612 = d6
't
Intensitatsverteilungfiir quasirnonochromatisches Licht (schematisch)
Abb. 2.54
der spektralen Intensititsverteilung uber der Phasendifferenz
Abb. 2.55 Darstellung
Abb. 2.56 Zur Summation uber die Interferenzanteile der Intensitiit und Koordinatentransformation
2.4 Koharenz
99
und erhalten (2.142) Anwenden der Aationstheoreme ergibt 62-60
62-60
I = jf(6,
+ 6)d6+cos 6,
S r ~ o
61-60
jf(S0 + 6)cos 6 . d 6 -sin 6,
jf(a0+ 6)sin 6. d6.
81-60
61-60
(2.143) Haufig ist die Funktion f(6, + 6) symmetrisch, und das Integral iiber f(6, + @sin6 verschwindet (sin6 ist unsymmetrisch). Die G1. (2.143) geht uber in
If(
G 6 0
62-60
f( 6,
I =
+ 6)d6+cos 6,
- (62-60)
6o+ 6)cos 6. d6
- (62-60)
oder 82-60
62-60
I = 2 ~ f ( 6 0 + 6 ) d 6 + 2 c o s 6 0If(60+6)cos6.d6. 0
(2.144)
0
Die G1. (2.144) gilt allgemein fiir die Intensitat, die bei der Interferenz von Lichtwellen entsteht, in denen eine Phasendifferenz 6, mit maximaler Intensitat und eine symmetrisch dazu liegende Verteilung der Phasendifferenzen 6 vorliegt. Modell der “kastenformigen Spektrallinie”. Wir wenden die G1. (2.144) auf einen einfachen Modellfall an.Die Intensittit sei im Interval1 6, 5 616, konstant und gleich fo (6,- 6,) (Abb. 2.57). Es gilt
I d6+2f0cos6,
62-60
I = 2fo
62-50
0
cos6.d6.
(2.145)
0
Ausrechnen der Integrale ergibt I = 2f0[ 6, - a0 +cos 6, sin(6, - So)] ,
(2.146)
oder mit (6, - 60)fo=lo sin (6, - 6, )
6, - 6,
Abb. 2.57 Modell &r “kastenflirmigen”Spektrallinie
(2.147)
100
2 Physlkalische Grundlagen
Die Intensitatsverteilung (Abb. 2.57) sol1 im folgenden ausschlieBlich durch &e zeitlich begrenzte Aussuahlungsdauer bestimmt sein. Sie stellt d a m das Model1 der Intensitat in einer Spektrallinie dar. Wir berechnen mit GI. (2.147) die Interferemintensitat im Youngschen Interferometer, die durch das Licht, das von einem Punkt der Quelle ausgeht, auf dem Schirm hemorgemfen wird. Aus
6 = (2x A L)/k folgt bei konstanter optischer Wegliingendifferenz AL fiir jede Stelle des Schirms (2.148a, b)
(2.149)
r
sin
[it
I = 21, l+CoS -AL
-
(y
AL)(2.150)
&!%Ad
’
A:
-
Die optische Wegdifferenz AL ist an den einzelnen Stellen des Schirms verschieden. Fur kleine Werte AA , die wir voraussetzten, bestimmt der Faktor
die Lage der Intensitatsmaxima und -minima. Es gilt: FiirAL=kA,, k = 0 , 1 , 2,...,
:i‘
Fur A L = ( k + i ) l , , k = 0 , 1 , 2 ,.... ist cos (2; AL = - 1
und
:
A0
und sin
(7
AA)
IMax= 21, 1 +
sin(
AA)
IMin= 21, 1-
2xAL Ah
XI
(2.15 la, b)
Fiir die Sichtbarkeit der Interferenzlinien ist det Intensitiitsunterschied zwischen den Maxima
und den Minima wesentlich.
I
Der auf die Summe aus der maximalen und der minimalen Intensitat normierte Intensitatsunterschied zwischen den Maxima und Minima wird Kontrast genannt.
2.4 Kohaenz
101
Formelmiil3ig gilt also fiir den Kontrast
K =
‘Max
(2.152)
-‘Mm
IMax -k ‘Min
’
Fiir unseren Modellfall betriigt der Interferenzkontrast mit G1. (2.15 la, b) \
/
(2.153)
Ein bestimmter Mindestkontrast ist erforderlich, damit ein Empfhger das Interferenzbild auflost. Wir legen als Erfahrungswert fiir visuell gute Sichtbarkeit den Mindestkontrast
K = 0,2 zugrunde. Durch Auflosen der transzendenten Gleichung (2.153) folgt 2nuAA
(2.154)
= 2,65
oder (2.155)
2ALAA = 0,84Ai.
Bei vorgegebener voller Breite 1 der “Modellspektrallinie” ist die maxima zulbsige optische Wegiiinge A L , also die Kohiirenzlhge, begrenzt. Das Interferenzbild kann deshalb nur in einem Bereich des Schirms beobachtet werden, der in der durch GI. (2.155) bestimmten Umgebung der Stelle mit AL= 0 liegt (Abb. 2.58).
I
Die spektrale Breite einer Spektrallinie ist fiir einen festen F’unkt der Lichtquelle mit dem zeitlichen Verlauf der Lichtausstrahlung und -ausbreitung gekoppelt. Deshalb sprechen wir bei Vorliegen einer bestimmten Kohtirenzliinge von zeitlicher Kohiirenz.
‘t
Abb. 2.58 Interferenzbild im Youngschen Interferometer(linienformigeLichtquelle, quasimonochromatischesLicht mit “kastenformiger” Intensitiitsverteilung)
Die prinzipielle Struktur der G1. (2.155) bleibt erhalten, wenn konkrete Spektrallinien betrachtet werden, bei denen die Funktion f(6, + 6)im wesentlichen symmetrisch ist. Es ergibt sich
102
2 Physikalische Grundlagen
aber ein anderer Zahlenfaktor als 0,84, und fiir 2AA ist A&
einzusetzen. Es gilt z. B.
f i r naturliche Diimpfung ALAA,,, = 0,52 Azo,
(2.156)
fiir Doppler-Diimpfung A L AA o,5 = 0,68 Azo.
(2.157)
Fiir quasimonochromatisch strahlende Lichtquellen gilt bei Normaltemperatur der Erfahrungswert A L A A . , ~=
az0.
(2.158)
h4it dem Faktor 1 ist der EinfluB der verschiedenen Erscheinungen, die die Breite der Spektrallinien beeintlussen, niiherungsweiseerfal3t.
2.4.4
Raumliche Koharenz bei spontaner Emission
Wir legen weiterhin das Youngsche Interferometer zugrunde (Abb. 2.59). Wiihrend wir in 2.4.3 einen Punkt der Lichtquelle herausgriffen, der quasimonochromatischesLicht aussendet, betrachten wir jetzt den EinflUa der raumlichen Ausdehnung der Lichtquelle auf den Kontrast im Interferenzbild. Hinsichtlich der zeitlichen Kohiirenz beschrtinken wir uns hier auf den Grenzfall des monochromatischen Lichtes. Das Licht, das nahezu zur gleichen Zeit vom gleichen Punkt der Lichtquelle ausgestrahlt wird, ist kohiirent. Licht, das von verschiedenen Punkten der Lichtquelle stammt, ist inkoharent. Auf dem Auffangschirm uberlagern sich kohiirente und inkohiirente Wellen.
Abb. 2.59 Grtjkn am Youngschen Interferometer
bei ausgedehnter Lichtquelle
Die Lichtquelle sei senkrecht zur Zeichenebene sehr lang, ihre Breite sei d. Sie beleuchte zwei schmale Spalte gleicher Breite, die ebenfalls senkrecht zur Zeichenebene sehr lang sind. Die Lichtquelle liege symmetrisch zur Mittelsenkrechten auf der Spaltebene. Die Spalte sol1 wie in 2.4.3 so schmal sein, daR zwischen zwei Randstrahlen ein gegenuber der halben Wellenliinge sehr kleiner Wegunterschied besteht.
103
2.4 Kohiirenz
Die Absttinde Lichtquelle - Spaltebene und Spaltebene - Auffangschinn werden sehr groS gegenuber der Lichtquellenbreite und dem Spaltabstand vorausgesetzt. Es gilt also
R S = - a a ,R * d ,
b S = - a und b 9 x .
(2.159)
Infolge Beugung strahlen die Spalte in den gesamten Halbraum hinter der Spaltebene (entsprechend dem Huygensschen Prinzip). Die Annahme einer streifenformigen Lichtquelle bedingt, daR die Intensitat und die Phasendifferenz nur von einer Koordinate abhhgen. Dadurch sind die Gleichungen (2.143) und (2.144) unmittelbar anwendbar.
Berechnung der Phasendifferenz. Der optische Wegunterschied zwischen zwei Strahlen, die durch verschiedene Spalte gehen und in demselben Punkt der Lichtquelle beginnen, betriigt (Abb. 2.59) AL = n ( l 2 + l i - 1 , - 1 ; )
(2.160)
A L = n(12 - l l ) + n ( l i - 1 ; ) .
(2.161)
oder Nach dem Pythagoreischen Lehrsatz ist
und +R2 = d+a{+t2+R2. 4
Subtraktion ergibt 1 22 - 1 1 2 = ( 1 2 - l l ) ( Z 2 + l , ) = 2a5.
(2.162)
Wir konnen wegen G1. (2.159) angen2hex-t 1, + l2 = 2R setzen und erhalten = ,{a.
12-11
(2.163)
Entsprechend finden wir l 2 - 4 = ax. b /
I
(2.164)
Insgesamt betriigt nach den Gleichungen (2.161)) (2.163) und (2.164) der optische Wegunterschied
G
A L = na - + A . b)
(2.165)
Die zugeordnete Phasendifferenz erhalten wir aus S= 2nA.z4AOmit A o / n= A: (2.166) Fiir Licht, das von der Mitte der Lichtquelle ausgeht (5 = 0), betrilgt die Phasendifferenz
2 7tM So = Ab '
(2.167)
104
2 Physikalische Grundlagen
Fur Licht, das von einem Kandpunkt der Lichtquelle ausgeht ferenz
( 5 = d/2), betragt die Phasendif(2.168)
Es ist also = -.Tcad
6,-6,
(2.169)
AR
Diskussion der Intensitsltsverteilung. Strahlt die Lichtquelle mit konstanter Intensitat uber die gesamte Breite hinweg, dann koMen wir dle G1. (2.147) ubernehmen. Wir erhalten auf dem Schirm die Interferemintensitat sin(6,-6,)
6* - 6, Wir diskutieren diese Gleichung.
Linienfurrnige Lichtquelle. Wegen d = 0 ist
also
I = 2z0(1+c0s6,)
(2.170)
Die Maxima haben den Betrag 1 = 41, und liegen wegen cos6, = 1 bei k = 0 , 1 , 2)...
x = L-, kbA a
(2.171)
Fiir cos6, = -1 verschwindet die Intensitat. Die Nullstellen liegen bei
(
::I","*
x = f k+-
-
k=0,1,2, ...
(2.172)
Die Intensitat h h g t kosinusformig vom Ort ah (Abb. 2.60a). Das Interferenzbild besteht aus Streifen mit dem Kontrast K = 1,
Ausgedehnte Lichlquelle. Bei d f 0 vermindert der Faktor [sin(6, - 6, )]/(6, - 6o) die Intensitat in den Maxima und erhoht sie in den Minima. Der Faktor =
sin (6, - 6,) 6, -6,
(2.173)
ist ein Ma13 dafiir, wie groS der kohiirente Teil ist. Wir nennen I yI den Koh&enzgrad. Die Intensitat in den Maxima bzw. Minima betragt
IMax = 2Z,(l+y) und ZMin = 21,(1-y).
(2.174a, b)
Der Kontrast im Interferenzbild ergibt sich nach G1. (2.152) zu K = y.
I
Der Betrag des Kontrastes im Interferenzbild ist dem Kohiirenzgrad I yI gleich.
(2.175)
2.4 Kohtirenz
105
Der Kohiirenzgrad fiir vier Werte von 6, - 6, ist in Tab. 2.17 eingeuagen. Die dazugehongen Intensitatsverteilungen sind in Abb. 2.60a bis 2.60d grafisch dargestellt. Negativer Kontrast bedeutet eine Kontrastumkehr. Dort, wo bei positivem Kontrast die Maxima liegen, befinden sich bei negativem Kontrast die Minima und umgekehrt. Tabelle 2.17 Kohtirenzgrad in AbUgigkeit von der Lichtquellenbreite
K
I yI
Bemerkungen
0
1
1
linienformige Lichtquelle
AR
2 z 0,63
0,63
verminderter Kontrast
0
0
kein beobachtbares Interferenzbild
-2 = - 0,21 3x
0,21
negativer Kontrast (Kontrastumkehr)
6,- 8 0
d
0 x -
2
2a hR
x
a 3hR 2a
3x 2
It
Abb. 2.60 Interferenzintensitt
a) linienftirmigemonochromatische Lichtquelle, b) ausgedehnte Lichtquelle, c) verschwindender Interferenzkontrast, d) Kontrastumkehr
Koharenzbedingung. Die Interferenzlinien sind nur bei einem ausreichenden Kontrast gut sichtbar. Geben wir z. B. den Mindestkontrast K = 0,2 vor, dann muR nach G1. (2.154)
62-80 = 2.65 sein. Zusammen mit G1. (2.169) folgt daraus
ad LR
= 0,84.
(2.176)
Wir fiihren den halben Offnungswinkel der Beleuchtung u entsprechend Abb. 2.61 durch u/R = 2 tan u ein und erhalten d tan
=
o,m.
(2.177)
106
2 Physikalische Grundlagen
Bei kleinem Offnungswinkel koMen wir tan u = sin u = A setzen. Die GroBe A ist die numerische Apertur der Beleuchtung. Es gilt Ad = 0,42A.
(2.178)
Fiir ausreichenden Kontrast ist damit die Forderung (0,42 = 0,5 gesetzt)
a
(2.179)
Ad G -
2
als Kriterium zur Abschatzung der zuliissigen Lichtquellengrofle anzusehen. Die G1. (2.179) heidt Kohiirenzbedingung.
I
Das produkt aus der Beleuchtungsapertur A und der Lichtquellenbreite d mu13 sehr Mein gegen A/2 sein.
t-
R
Abb. 2.61 Zur Ableitung der Kohiirenzbedingung
Bei einer im Unendlichen liegenden Quelle ist die Kohiirenzbedingung (2.179) nicht anwendbar. In diesem Fall ist die Lichtquellengroae durch die scheinbare GroBe 2w zu beschreiben (Abb. 2.61). Es ist d / R = 2 tanw und a t a n w = 0,42A. Die Kohiirenzbedingung nimmt die Form
a
wa 4 -
2
(2.180)
(2.18 1)
an.
Das F’rodukt aus der halben scheinbaren GroSe w der Lichtquelle und der fiir die Abmessung der Interferenzanordnung charakteristischen Groae a muR sehr klein gegen A/2 sein. Es zeigt sich also, d& es Bereiche der Lichtquelle gibt, innerhalb deren das ausgestrahlte Licht als ausreichend kohtirent angesehen werden kann.
Fiir I yI = 0 liegt inkoh&-entesLicht vor, fiir I yI = 1 ist das Licht kohiirent, fiir 0 < I yI < 1 wird von partiell-kohiirentem Licht gesprochen. Die Erscheinung, da13 fir die Eneugung von Interferenzen eine bestimmte Ausdehnung der Lichtquelle zuliissig ist bzw. daI3 zwei Punkten des Wellenfeldes ein Kohiirenzgrad zugeordnet werden kann, heiat raumliche Kohiirenz.
2.4 Kohslrenz
107
Inkohiirenz des Lichtes kann entsprechend unseren Ausfiihrungen in 2.4.2 bis 2.4.4 drei physikalisch unterschiedliche Ursachen haben. h e r &e Beobachtungszeit hinweg iiberlagern sich viele Wellenzuge mit statistisch verteilten Phasendifferenzen zwischen den einer Wellenlbge zugeordneten Anteilen (unterschiedliche Lichtquellen oder Lichtquellenpunkte ohne Teilung der Amplitude oder der Wellenfront). - Die uberlagerten Wellen haben eine zu groRe spektrale Breite, d. h, die Wellen sind zeitlich inkohiirent (zu kurze Wellenzuge). - Die uberlagerten Wellen haben eine zu groRe Variationsbreite der optischen Wegliinge. d. h , die Wellen sind rfiumlich inkohiirent (zu weit entfernte Lichtquellenpunkte sind an der Beleuchtung beteiligt). -
Koharenzfunktion und komplexer Kohkenzgrad. Die Interferenz mit partiell-kohtirentem Licht im Youngschen Interferometer 1 S t sich allgemeiner darstellen. Ein Lichtquellenelement L i ( 5 , q ) erzeugt in zwei Punkten des beugenden Schirms die komplexen Amplituden ail = Ailexp ( j a i l )und ai2= A, exp ( j oli2). Bis zum Aufpunkt hdern sich die komplexen Amplituden auf ai,exp (j a i l ) bzw. ai,exp (jai2).wobei keine Veriinderung des Betrages der Amplituden angenommen wird. Die Interferenz der beiden kohiirenten Teilbiindel ergibt die komplexe Amplitude
+ ai2ejsiz ,
ai = ail
-
Es ist Ii aiaT,und die von den verschiedenen Punkten der Lichtquelle ausgehenden Intensitatsanteile sind zu summieren. Das ergibt fiir einen festen Aufpunkt I =11+12+2Re[q2(612)] (612
=
ail
(2.182a)
- 4 2 ) mit (2.182b)
Die GroRe
c2(&)
nennen wir Kohiirenzfunktion. Diese kann mittels
normiert werden. Die normierte Kohtirenzfunktionfiir 6,2= 0 ist der komplexe Kohiirenzgrad yI2(0),dessen Betrag [y12(0)lden von uns bereits eingefiihrten Kohticenzgrad darstellt. Die Intensitiit 1Ut sich damit als (2.183) I = I1 + I 2 + 2 mI YlZ(0)l cos (612 + a d schreiben. Fiir die symmetrisch vor den beugenden Offnungen liegende Lichtquelle wird a,,= 0. Wir kommen ZUTG1, (2.11la) zuriick, mit dem Unterschied, d d der Kohiirenzgrad beriicksichtigt ist. Fiihrt man in der Ebene des Schirms fiir die beiden beugenden Offnungen die Kmrdinaten xl, y1 bzw. x,, y, ein und setzt zur Abkiirzung x1 -xz Y1 ‘ Y 2 2 n x: + y : -(xi + Y i > v=- R , p=- R w=- a 2R I
108
2 Physikalische Grundlagen
d a m kann man fir die kontinuierlich ausgedehnte Lichtquelle den normierten komplexen Kohiirenzgrad aus j j l ( { ,q)e-2"j(5wqp)d{dq y0(v,p) = eJw (2.184) 77)dtdq berechnen. ,
jpG5
I
Der normierte Kohiirenzgrad ist bis auf einen Faktor gleich der Fourier-Transfonnierten der Intensitat in der Lichtquellenebene.
Fiir beugende Offnungen mit dem Abstand a, die symmetrisch zur Mittelsenkrechten auf der Lichtquelle liegen, ist x1 = - x 2 , y1 = -y2, y = 0, x1 - x 2 =yl - y z = a zu setzen. Mit
v = m d
(2.185)
AR
gilt fiir die spaltfonnige Quelle konstanter Intensitat (d Breite des Spaltes) (2.186) Die erste Nullstelle liegt bei v = 7c , so daB fiir das Kohiirenzintervall d . g B a
gilt, wie es den Gleichungen (2.173) und (2.169) entspricht. Fiir die kreisformige Quelle (d Durchmesser der Quelle) geben wir ohne Beweis das Ergebnis (2.187) an. (J1ist eine Zylinderfunktion.) Die erste Nullstelle liegt bei v = 3,81, fiir das Koh&enzintervall gilt d e 1,22-.AR (2.188) a
2.4.5
Koharenz bei induzierter Emission
Ein Laser 1st eine Lichtquelle, die auf der Basis der induzierten Emission arbeitet. Das kommt bereits im Namen zum Ausdruck, denn Laser ist eine Kurzform von engl. "Light amplification by stimulated emission of radiation". Vor der Entwicklung von Lichtquellen mit induzierter Emission gab es bereits Quellen fiir Mikrowellen, die nach diesem Prinzip arbeiten (Maser). Die Maser wurden nahezu gleichzeitig (1954) in der UdSSR von Basow und Prochorow, in den USA von Gordon, Townes und Zeiger erfunden. Die erste Veroffentlichung uber einen Laser stammt von Maiman (1960). Bevor wir das grundlegende Arbeitsprinzip der Laser darstellen, erlautern wir die Unterschiede zwischen dem Licht, das durch Laser erzeugt wird, und dem Licht, das von spontan strahlenden Lichtquellen ausgeht.
2.4 Kokenz
109
I . Das Licht, das ein Laser ausstrahlt, hat unter bestimmten Bedingungen gegenuber dem Licht, das spontan strahlende Lichtquellen aussenden, eine geringere spektrale Bandbreite. Nach den Ausfiihrungen in 2.4.3 bedeutet das einen htiheren Grad an zeitlicher Kohiirenz, also eine groRere Kohiirenzliinge. W W n d beispielsweise eine bestimmte Quecksilberlinie unter gunstigen Bedingungen die Koh2renzliinge AL=O,6 m hat, wird bei einem HeliumNeon-Gaslaser AL = 15000 m erreicht. Stabilisierte Helium-Neon-Gaslaser ermoglichen noch grofjere Kohfirenzltingen. Die theoretische Grenze, die aber praktisch nicht verwirklicht werden kann, liegt bei AL= 1,5 loam. 2. Das Licht eines Lasers breitet sich vorwiegend in eine Richtung aus. Die Austrittsoffnung eines Lasers sendet unter bestimmten Anregungsbedingungen raumlich kohiirente Wellen aus. Die Abb. 2.62 und 2.63 stellen die Lichtausstrahlung bei einer spontan strahlenden Lichtquelle und bei einem Laser schematisch dar. Bei einer spontan strahlenden Lichtquelle senden die einzelnen Punkte inkohaente Elementarwellen aus. Damit ist eine Ausstrahlung von inkohiirentem Licht nach allen Richtungen verbunden (abgesehen von dem Kohiirenzintervallentsprechend 2.4.4). Bei der induziert strahlenden Lichtquelle konnen die Elementarwellen kohiirent sein. Die Austrittsoffnung wirkt wie die beugende Offnung einer Linse, die eine punlctformige Lichtquelle in das Unendliche abbildet. So wird z. B. der Hauptanteil der Intensitat bei einer Offnung mit 10 mm Durchmesser und der Wellenltinge A = 500 nm in einen Lichtkegel mit 2u = 30” Offnung gestrahlt. Das entspricht einer Verbreiterung des Lichtbundels um ca. 1,45 m auf 10 km Enffernung. (Bis zu dem 384400 km enffernten Mond verbreitert sich das Bundel um ungefrihr 56 km.) spontan strohlende Lichtauelle
Abb. 2.62
Ausbreitung einer Lichtwelle
bei inkoment strahlenden Punkten
w AustrtttsPloche
Ausbreitung einer Lichtwelle bei rhmlicher Kohtirenz Abb. 2.63
3. Laser koMen mit hoheren Intensiaten strahlen als spontan strahlende Lichtquellen (hohere spektrale Energiedichte). Spektrale Energiedichten von R,L = lozaW . m-3 und Impulsleistungen von lo3 kW (lo9 kW mit Nachverstiirkung) sind erreichbar. Mit Fokussiemng ist die Leistungsdichte E, = lo1$...lozoW . m-2 moglich. 4. Laserstrahlung ist amplitudenstabiler als das Licht von spontan strahlenden Lichtquellen. Es stort nur das Quantenrauschen aufgrund der nicht ganz vermeidbaren spontanen Emission.
5 . Laser lassen sich bezuglich der Frequenz sehr gut stabilisieren. Werte von Av/ v = sind uber mehrere Stunden moglich. Bei extremer Stabilisierung sind auch schon Werte von Av/ v = 10-l2...lo-’’ erhalten worden.
6. Mit Lasern lassen sich ultrakurze Impulse erzeugen. Impulszeiten von 8~10-”s (vierfache Schwingungsdauer) sind bis vor kurzer Zeit die Grenze gewesen. Heute liegen die Zeiten noch darunter lo-’’ s). (0
110
2 Physikalische Grundlagen
Allgemein l a t sich der Laser folgendermaen charakterisieren: Der Laser ist eine Lichtquelle, die nach dem Prinzip der induzierten Emission strahlt. Der Laser enthiilt ein Element, in dem durch induzierte Emission Lichtwellen erregt werden. Dieses Element enthiilt einen aktiven Stoff, in dem eine Besetzungsinversion von Atomzustbden aufrechterhalten wird. Das aktive Bauelement ist als Resonator ausgebildet, so d a zwischen der induzierten Welle und den angeregten Atomen eine Ruckkoppelung hergestellt wird. Damit erreicht man eine rauscharme Verstiirkung der Welle, bevor sie aus dem Resonator ausgekoppelt wird. Damit sind drei Probleme n2her zu erlautern: Induzierte Emission, Besetzungsinversion, Ruck- und Auskoppelung. Die induzierte Emission wurde in 2.4.1 behandelt. Die wesentlichen Ergebnisse sind:
Die Wahrscheinlichkeiten fiir die induzierte Emission und fiir die Absorption eines Quants sind gleich. Bei hohen Frequenzen (optischer Bereich) ist die induzierte Emission in gewissem Umfang mit spontaner Emission verbunden. (Die spontane Emission stellt die wesentliche Rauschquelle dar.) Die induzierte Welle hat die gleiche Richtung wie die induzierende Welle. Angeregte Eigenschwingungen werden bevorzugt verst&kt. Besetzungsinversion. Wir betrachten ein System gleichartiger Atome. Im thermischen Gleichgewicht besteht eine statistische Verteilung der angeregten Zustiinde auf die Atome. Die Anzahl der Atome hoherer Energiezustande ist geringer als die Anzahl niedriger Energiezusthde. Fur zwei Niveaus mit den mittleren Besetzungszahlen N, (oberes Niveau) und N , (unteres Niveau) ist NI > N 2 . Es gilt die Boltzmann-Formel (2.189)
(k Boltzmann-Konstante, T dem atomaren System zuordenbare absolute Temperatur). Durch Einstrahlung von Licht mit der Frequenz v wird das obere Niveau angeregt, wenn die Energie der Lichtquanten absorbiert wird. Da jedoch die Wahrscheinlichkeiten fi die Absorption und die induzierte Emission gleich sind, aber mehr Atome im unteren Niveau vorliegen, uberwiegt die Absorption die induzierte Emission. Die Anzahl der induzierten Lichtquanten ist geringer als die der absorbierten Lichtquanten, so da6 keine Lichtausstrahlung beobachtet wird. Sollte es aber gelingen, den tieferen Zustand um mehr als 50% zu entleeren, d a m ist N , < N,. Die Anzahl der induzierten Quanten uberwiegt die Anzahl der absorbierten Quanten. In einem atomaren System, in dem mehr Atome in einem hoheren Energieniveau als in einem niedrigeren Energieniveau enthalten sind, besteht eine Besetzungsinversion. Das Erzeugen einer Besetzungsinversion durch Lichteinstrahlung wird optisches Pumpen genannt.
I
111
2.4 Kohiirenz
Umformen von G1. (2.189) nach T ergibt (2.190) Fiir N, > N, w i d T < 0. Wir erhalten einen Zustand, dem eine negative absolute Temperatur zugeordnet ist. Diese Auslegung folgt jedoch aus der formalen Anwendung der Boltzmannformel auf die Energieniveaus. Physikalisch bedeutet eine negative absolute Temperatur das Vorliegen einer Besetzungsinversion. Wir erlbtern das Erzeugen einer Besetzungsinversion an zwei Beispielen.
Rubinlaser. Rubin besteht aus einem Al,03-Kristallgitter, in das 0%-Ionen eingelagert sind. Die fiir das optische Pumpen wesentlichen Energieniveaus sind in Abb. 2.64 dargestellt. Durch eine Blitzrohre wird in den Rubinkristall kurzwelliges Licht gestrahlt. Der fiir die Besetzungsinversion entscheidende l’roze6 besteht darin, auf dem Umweg uber Absorptionsbanden und strahlungslose ijbergiinge den metastabilen Zustand von Cr- aufzufiillen. Aus diesem Zustand ist der ijbergang zum Grundzustand fast ausschlie6lich durch induzierte Emission moglich. Der Rubinlaser ist ein Beispiel fiir einen Dreiniveaulaser.
F
blau-violette Absorptionsbonde
4T’
grune Absorptionsbonde
OTZ
Absorption
I
Energieobgabe on dos Kristollgitter
metostabile Zustonde yon Cr3+
Loserubergange (Rot)
Grundzustond von Cr3+
Abb. 2.64 Laseriibergiinge beim Rubinlaser
Helium-Neon-Gaslaser. Die wesentlichen Energieniveaus sind in Abb. 2.65 angegeben. Eine Gasentladungsrohreenthiilt ein Gemisch aus Helium und Neon. Helium hat zwei metastabile Niveaus 2lS und P S , die wenig hoher liegen als die angeregten Niveaus 3 s und 2 s des Neons. Dadurch kann die Energie der Heliumniveaus durch unelastische St6Be (StoBe 2. Art) auf die Neonniveaus iibertragen werden. Bei einem geeigneten Mischungsverhiiltnis zwischen Helium und Neon entsteht eine Besetzungsinversion zwischen den Niveaus 2 s und 2 p sowie 3 s und 3 p. (Die Niveaus haben Multiplettstruktur. d. h., sie bestehen aus mehreren dicht beieinander liegenden Niveaus. Das w d e in Abb. 2.65 beriicksichtigt.) Beim He-Ne-Gaslaser wird also die Besetzungsinversion auf dem Umweg iiber die He-Atome und die StoSe zweiter Art erzeugt. Es handelt sich nicht um ein optisches Pumpen.
112
2 Physikalische Grundlagen
I
Helium
Neon
StoOe
Laser ubergange
(rnetasta bi 1)
Infrarot
Absorp-
--
tion
Ubergang
I I
I Ubergang zum Grundzustond
t
durch Energieabgabe a n die Wande des Entladungsrohres
Abb. 2.65 Laseriibergiinge beim Helium-Neon-Gaslaser
Der Helium-Neon-Laser ist ein Beispiel fiir einen Vierniveaulaser. AuRer den Festkorperlasern und Gaslasem gibt es auch noch Farbstoff- und Halbleiterlaser. Beispiele dafiir werden spater angegeben. Ruckkoppelung. Wir betrachten das Beispiel des Rubinstabes mit normal durchksigen Oberflachen. Die Blitzrohre strahlt das Licht in verschiedenen Richtungen in den Rubinkristall ein. Infolgedessen werden auch die induzierten Wellen in verschiedene Richtungen verlaufen. Die spektrale Breite des induzierten Lichtes unterscheidet sich dann im wesentlichen nicht von der spekualen Breite bei spontaner Emission. Das Licht verlat den Rubinkristall nach kurzer Zeit, eine nennenswerte Verstkkung findet nicht statt. Die Verhdtnisse iindern sich grundlegend, wenn wir die Endflachen des Rubinstabes vollstadig verspiegeln und damit den Rubinstab als Resonator ausbilden (Abb. 2.66). Die schrag auf die Spiegel auftreffenden Wellen verlassen nach kurzer Zeit den Rubinstab seitlich. Nur die senkrecht zu den Spiegeln hin- und herlaufenden Wellen bleiben im Resonator und werden durch induzierte Emission gleichphasig verst&kt. Die Verst&kung strebt einer G r e w zu, der aktive Stoff wird “gesattigt”.
i Abb. 2.66 Fabry-Perot-Etalonals Resonator il _ .
Im Kesonator bilden sich stehende Lichtwellen aus. Auf den Spiegeloberflachen liegen Schwingungsknoten, so dal3 zwischen der Resonatorliinge L und der Wellenltinge A der Eigenschwingungen der Zusammenhang
L
= kZ A
(kganzzahlig)
(2.191)
besteht. (Bei A = 500 nm und L = 500 mm liegt k in der GroRenordnung lo6.) Die Laserstrahlung besteht aus einem aquidistanten SpekUum sehr scharfer Linien. (Relative Linienbreite bei Gaslasem bis zu Av/ v = herab.) Diese Linien liegen innerhalb des
2.4 Kohilrenz
113
Linienprofils, das ohne Resonator entstehen wiirde. Damit ist die Ruckkopplung als Ursache fib die zeitliche wie auch fur die raumliche Kohiirenz des Lasers anzusehen. Die Anregung und Verstiirkung einer geringen Anzahl von Eigenschwingungen schmaler Frequenzbiinder erklsirt auch die hohe spektrale Energiedichte der Laserstrahlung.
Auskoppelung. Die Laserstrahlung mu13 aus dem Resonator ausgekoppelt werden. Das wird erreicht, wetm ein Resonatorspiegel teildurchlLsig ist. Damit die Verluste im Resonator klein bleiben, werden die Spiegel mit sehr geringer Durchltissigkeit hergestellt. Die Bedingung (2.191) fUr die Ausbildung stehender Wellen bleibt trotzdem giiltig. Die Beugung an der Austrittsoffnung verbreitert das Laserbundel. Das wurde bereits in Abb. 2.62b beriicksichtigt. Der Resonator braucht nicht aus Planspiegeln zu bestehen. Die Strahlung kann auch iiber Offnungen im Spiegel ausgekoppelt werden. Die damit zusammenhiingendenProbleme sind z. B. in [ 11 dargestellt. Die VerstBkung im Resonator durch induzierte Emission und die Ruckkopplung mussen grol3er sein als die Verluste. Diese Forderung heist Schwellenbedingung. Verluste entstehen durch die Auskoppelung, die Beugung, durch Streu- und Absorptionsprozesse sowie durch die Dejustierung der Resonatorspiegel. Alle Verluste fa& man in einem Faktor zusammen und definiert als Gute des Resonators der LWge 1 die GrijBe
Die relative Linienbreite der Strahlung ist der Kehrwert der Gute ( Av/ v = l/Q>.
GaufischeBundel. Im Laserresonator sind nicht nur longitudinale, sondern auch transversale Eigenschwingungen moglich. Jede Eigenschwingung wird Mode genannt und mit dem Symbol E M charakterisiert (Transverse Electric and Magnetic Field). Fiir den Resonator mit zylindrischem Querschnitt wird durch Indizes die Anzahl der kreisformigen und radialen Knoten der transversalen Moden gekennzeichnet (Abb. 2.67).
Abb. 2.67 Transversale Moden
Abb. 2.68 Konfokaler Resonator aus
sphiirischen Spiegeln Besondere Bedeutung, vor allem fiir Gaslaser, hat der konfokale Resonator. Dieser besteht aus Kugelspiegeln, deren Brennpunlde ubereinstimmen (Abb. 2.68). Im Grundmodus ("EM,,) bildet sich beim konfokalen Resonator eine Eigenschwingung aus, bei der die Intensitat quer zur Ausbreitungsrichtung der Welle nach einer GauSfunlrtion abnimmt ( G a d -
114
Physikalische Grundlagen
sches Bundel, Abb. 2.69). An der Stelle z = 0 nimmt die auf die Intensitat im Achsenpunkt normierte Intensitat radial gemU ’ _Z r _
i ( r > = e .,’
ab. Bis zu dem Radius r = wo sinkt die Intensitat auf l/e2 ab. Es l a t sich zeigen, dal3 (2.192)
ist (I Abstand der Spiegel = Resonatorliinge). Weitere KenngroRen des GauRschen Bundels sind der Bundelradius an der Stelle z w(z) = wo/l+(”)
2
’
(2.193) “WO
der Knimmungsradius der Wellenflachen 2
R(z) = z [ l + ( g )
(2.194)
und der halbe Divergenzwinkel (2.195)
c I
Abb. 2.69 GauSsches Bundel
Koharenz des Laserlichtes. Nach den Ausfiihrungen uber den Aufbau der Laser und ihre prinzipielle Funktion kommen wir noch einmal auf den eigentlichen Gegenstand deses Abschnitts zuriick. Sowohl eine groRe zeitliche wie auch eine g r o k raumliche Kohiirenz setzt einen kontinuierlich arbeitenden Laser im Einmodenbetrieb voraus. Impulslaser und Gaslaser im Mehrmodenbetrieb haben im allgemeinen keine bessere zeitliche Kohiirenz als thermische Lichtquellen. Halbleiterlaser strahlen in relativ groRe Divergenzwinkel (bis zu ca. 40 Grad). Besonders gute zeitliche Kohiirenz ist mit Gaslasern im Einmodenbetrieb, z. B. dem Helium-Neon-Gaslaser mit konfokalem Resonator, erreichbar, wenn der Aufbau hinsichtlich mechanischer und akustischer Storungen sehr gut stabilisiert ist. Dazu konnen auch Regelkreise, z. B. zur piezoelektrischen Stabilisierung der Resonatorliinge, eingesetzt werden. Es lassen sich so die bereits oben erwiihnten groRen Kohiirenzltingen erreichen. Theoretisch sind Bandbreiten von 1 Hz moglich. Auch die Langzeitstabilitat ist auf diese Weise zu sichern. Zum
115
2.4 Kohtirenz
Beispiel kann die relative Frequenzlinderung bei entsprechendem Aufwand uber eine liingere Zeit Av/v = lo-', betragen. Fiir die riiumliche Kohiirenz 1 s t sich mit dem Gaslaser im Einmodenbetrieb nahezu der theoretische Grenzwert erreichen, der durch die beugungsbedingte Divergenz gegeben ist. Die sogenannte Fresnel-ZaN F = - d2 (2.196) 4Aln' (n Brechzahl im Resonator der Liinge I, d genutzter Spiegeldurchmesser) kann z. B. bei Gaslasern F = 2 sein. Ab F < 50 ist aber die Beugung nicht zu vernachlbsigen.
1
1
,
b eine Mode
o
c
-
s
0,4
42 7-
\
,themkche
/ -\
I /
I
d
10 Radius in rnrn
1
-
Quelle
I
20
Abb. 2.70 Rglumlicbe KoWenz bei Lasern (nach [3])
Young [3] hat gezeigt, da6 bereits bei der Anregung zweier Transversalmoden die r'dumliche Kohtirenz wesentlich abnimmt. Bei Vielmodenbetrieb ist das Koh&enzintervall nicht groBer als bei thennischen Lichtquellen (Abb. 2.70). Das produkt aus der Fliiche des Kohsirenzintervallsund der Kohsirenzlhge stellt das Koharenzvolumen dar. Zur Charakterisierung der Kohsirenzeigenschaftendes Lichtes wird der Entartungsparameter verwendet. der die mittlere Anzahl der Photonen im Kohtirenzvolumen angibt. Zugleich ist er das Verhatnis aus den ijbergangswahrscheinlichkeitenfiir induzierte und spontane Emission:
a=-. Uinduziert KpOU,,
wiihrend bei Lasern unter bestimmten BedinFiir thermische Quellen ist maximal 6 = gungen 6 = loi3 moglich ist. Aufgrund der Kohsirenz von Gaslasern im Einmodenbetrieb kann auch Licht von zwei verschiedenen Lasem interferieren. Beschreibung der Koharenz mit Korrelationsfunktionen. Die Kohiirenzfunktion &(&)
fiir spontan emittiertes Licht beschreibt die Korrelation der elektrischen Feldsttirken in zwei Punkten des Wellenfeldes zu zwei Zeitpunkten. Das geht daraus hervor, daf3 die Phasendifferenz 6,, im Aufpunkt mittels 6,2= 2nv(r1 - r,) = 2 ~ auf~die2Zeitdifferenz 2 zuriickgefiihrt werden kann. Wenn wir die Lage der beiden Raumpunkte durch die Ortsvektoren r,, r, angeben und nur einen Punkt der Lichtquelle betrachten, dann gilt nach G1. (2.182b) r(rltt2,Z) = T&Ca ( r , , r + r ) . a * ( r z , r ) .
116
2 Physikalische Grundlagen
G1. (2.15) und damit auch GI. (2.182b) gehen aus dem Poyntingvektor durch Zeitmittelung hervor, wobei der Betrag der Amplitude zeitlich konstant angenommen wurde. Fiir den Fall des stationiiren Wellenfeldes mit zeitlich veriinderlicher Amplitude gilt entsprechend
und nach Nonnierung
Die Kohiirenzfunktion T(r,,r, , 2) ist eine Korrelationsfunktion erster Ordnung. Das Licht ist vollstilndig kohiirent, wenn y(rl, r 2 ,0) = 1, also r(rl,rz,2)=
JKXW,/FZ3
gilt. Der kohiirente Zustand ist bei spontan emittiertem Licht dadurch charakterisiert, da13 sich die Kohiirenzfunktion als Produkt aus zwei Funktionen darstellen I a t , von denen jede nur von den Koordinaten eines Punktes abhagt. Im Rahmen der Quantenfeldtheorie IUt sich zeigen, daO zwischen spontan emittiertem Licht und Laserlicht grundsatzliche Unterschiede bezuglich der Korrelation der Phasen und der Amplituden bestehen. Die Korrelation der elektrischen Feldstiirken ist bei Laserlicht in 2n Punkten des Ones und der Zeit moglich. Die verallgemeinerte Kohiirenzfunktion fiir ein stationiires Wellenfeld lautet:
Wi, t + r1,. .., r,,,r + r,,, r,,+17 r + %+lr ..., r,,,, t + = (a ( r l ,t + 7,) . .. a(r,,, + 2,) a* (r,,+,, t + T,,+, ) ... a* (r2,,,t+ 2,,, )). Wenn sich die verallgemeinerte Kohiirenzfunktion in ihrer quantentheoretischen Schreibweise analog zur Kohiirenzfunktion erster Ordnung als Produkt von Funktionen darstellen l a t , die nur je von der Koordinate eines Raum-Zeit-hnktes abhilngen, dam heifit der zugeordnete Zustand maximal oder quantentheoretisch kohiirent. Diese Zustiinde lassen sich bei Laserlicht angeniihert realisieren. Bezuglich der Kohiirenz unterscheidet sich Laserlicht also von spontan erzeugtem Licht durch die Anteile hoherer Ordnung der Korrelationsfunktion. Eng verbunden mit den Korrelationen der elektrischen Feldstkke sind die Korrelationen der Intensitat. Bei spontan emittiertem Licht betragt die Intensitatskorrelation in zwei RaumZeit-Punkten Fiir stationiire Felder
( ~ ( ,rt ,+ 7) . 1(r2,t ) ) = (a(rl,c + z) a* (r,,t + z) a(rz,t) a* (r2,t 1). Diese GroBe ist ein Ma13 fiir die Amplitudenfluktuationen im Wellenfeld. Fur zeitlich konstante Amplituden gilt offenbar
( ~ ( rt ,+, 7) . IV,, r)) = IT(r,,r,,
T) I
2
.
Bei zeitlich schwankenden Amplituden wird statt dessen (der Beweis sei hier ubergangen)
(I(r,,t + 2 ) . 1(rZ1r ) ) =
Iw,
'10
r2,
+ (w,, r> w,, t)).
2.4 K o h h n z
_____
117 ~
~
Fiir spontan emittiertes Licht konnte experimentell nachgewiesen werden, daf.3 die Grofle
(Qr, + 7) I(r2,t)) 3
‘
nicht verschwindet (Hanbury-Brown und Twiss, siehe z. B. [ 151). Das ist eine Folge der durch die kurzen Wellenziige hervorgemfenen Amplitudenfluktuationen. Irn Quantenmodell stellt sich die Amplitudenfluktuationals Schwankung der Photonenzahl n dar. Das mittlere Schwankungsquadrat ergibt sich aus statistischen Untersuchungen zu (An’) = ( n ) + ( n ) ’
Die relative Streuung betragt
Bei groDen Photonenanzahlen ist das mittlere Schwankungsquadrat gleich dem Quadrat der mittleren Photonenanzahl, so daR die Intensitiltsschwankungenin der Grofienordnung der Intensitat selbst liegen. Fiir Laserlicht ergibt sich im Idealfall keine Korrelation der Intensitaten (auch d a m nicht, wenn man hohere Intensitatskorrelationen hinzunimmt). Das mittlere Schwanlcungsquadrat der Photonenanzahl betragt ( ~ n ’ )= ( n ) ,
so daR die relative Streuung
bei grofien Photonenanzahlen gegen 0 geht. Das bedeutet eine hohe Amplitudenstabilitat. Das Licht eines stabilisierten Einmodenlasers kann in sehr guter Niiherung als monochrornatische Welle mit einern sehr kleinen Rauschanteil betrachtet werden. Damit ergibt sich zusammenfassend:
I
Spontan emittiertes Licht kann hkhstens kohiirent in der ersten Ordnung sein und hat eine grofie Amplitudenfluktuation. Laserlicht kann kohiirent von hoherer Ordnung sein und ist irn Idealfall amplitudenstabil.
Fiir sehr kleine Photonenanzahlen, fiir die (n)’ gegen ( n ) vernachllissigt werden kann, besteht kein Unterschied zwischen den mittleren Schwankungsquadraten Eiir spontan emittierte Strahlung und Laserstrahlung. Das ist noch einmal ein Hinweis darauf, daR bei sehr kleinen Intensitaten der Quantencharakter in den Vordergrund tritt.
Auf diese Andeutungen miissen wir uns hier beschrshken. Die vollstiindige Behandlung der Kohiirenz der Laserstrahlung erfordert die konsequente Anwendung der Quantenfeldtheorie und der Photonenstatistik und geht uber das Anliegen dieses Buches hinaus. Wir verweisen z. B. auf [18].
118
2 Physikalische Grundlagen
2.5 Interferenz 2.5.1
Amplituden und Phasendifferenzen an der planparallelen Platte
Berechnung der Amplituden. Es sei eine nichtabsorbierende planparallele Platte der Dicke d vorgegeben. Die Platte habe die Brechzahl n" und g r e w beiderseits an einen Stoff mit der Brechzahl n an.Wir lassen eine ebene Welle unter dem Winkel & auf die Platte auftreffen. An jeder Flache wird ein Teil des Lichtes reflektiert, ein Teil hindurchgelassen und dabei gebrochen. Es liegt also eine Teilung der Amplitude vor. Das auf beiden Seiten aus der Platte austretende Licht besteht aus mehreren Teilbundeln, die sich iiberlagern. Durch die unterschiedlichen Lichtwege der Teilbundel in der Platte entstehen Phasendifferenzen. Wir ktjnnen die durch Interferenz entstehende Intensitat bestimmen, wenn wir diese Phasendifferenzen und die Amplituden der Teilbiindel berechnen. Fur die Ableitung der Formeln nehmen wir an, daB n c n" ist.
Abb. 2.71 Teilung der Amplitude an der planparallelen Platte
Mit den Bezeichnungen der Abb. 2.71 gilt fiir die Amplitudenverhiiltnisse nach den Fresnelschen Formeln an der ersten Flache A' A" rl = (2.197a, b) A' t 1 = A
und an der zweiten Flache bzw. f%r die Mehrfachreflexionen (k 2 2)
(2.198a, b) Diese Formeln gelten sowohl ftu die s-Komponente als auch f7ir die p-Komponente. Mit den Fresnelschen Formeln (2.49) und (2.50) lassen sich die Beziehungen r1 = - r 2 (2.199)
119
5 Interferenz id
rl+tlt2 = 1
(2.200)
:weisen. Weiter ist r: =
rl
= R.
(2.201)
us G1. (2.200) und G1. (2.201) geht t1t2
= I-R
(2.202)
:nor. Fiir die Amplituden der aus der Platte austretenden Bundel konnen wir allgemeine Bezieongen angeben. Aus GI. (2.197a) und GI. (2.199) folgt A' = -r2A.
(2.203)
lie weiteren Bundel sind einmal in die Platte hinein- und einmal aus der Platte herausgeganen. Das ergibt den Faktor t t 2 . Das erste im reflektierten Licht enthaltene Teilbundel wurde men einmal reflektiert, so das
(2.204)
A; = r2tlt2A
;t. Zwischen den weiteren Teilbundeln liegen jeweils zwei weitere innere Reflexionen. Es ilt A' - ,.2k-1 (2.205) I1fZAk - 2
)as direkt hindurchgehende Licht wurde nicht reflektiert, seine Amplitude betragt A: = tlt2A.
(2.206)
lwischen den weiteren Teilbundeln. die durch die Platte hindurchgehen, liegen wieder zwei mere Reflexionen, so da6 sie die Amplituden A; = r;h-2tlt2A
(2.207)
aben. Unter Verwendung von G1. (2.201) und G1. (2.202) fonnen wir die Gleichungen (2.203), 2.205) und (2.207) um in A' = -&A, A; = (1-R)R
(2.208) k-i
2A,
A; = (1 - R) Rk-' A .
(2.209) (2.2 10)
lerechnung der Phasendifferenzen. Es genugt, die Phasendifferenzen zwischen den Bunleln mit den Amplituden A' und A; zu berechnen. Sowohl im reflektierten als auch im hinlurchgelassenen Licht haben zwei aufeinanderfolgendeTeilbundel dieselbe Phasendifferenz.
120
2 Physikalische Grundlagen
Bis zum Punkt A und von der Ebene BC an haben beide Teilbundel den gleichen Weg (Abb. 2.72). Die Phasendifferenz entsteht durch den optischen Wegunterschied
A L = d'(AD+DC)-nAB.
(2.21 1)
Die Strecken drkken wir durch bekannte GroBen aus. Nach Abb. 2.72 ist Al3
-sin€ = -, AC
COSE"
-tanf
=AD'
= -.AC
2d
(2.212a, b, c)
Abb. 2.72 Zur Ableitung der Phasendifferenz
zwischen benachbarten Bundeln Aus G1. (2.212a) und G1. (2.212~)folgt AX3 = - A C s i n ~= 2d sin&tan E".
(2.213)
Einsetzen von (2.212b) und (2.213) in (2.21 1) ergibt mit AD+ DC = 2AD
2n" A L = -cos f oder
(2.214)
2nd sine tan E"
[
AL = 2n"d 1 - f sin E sin E" cos E" Mit dem Brechungsgesetz und 1- sin2E" = cos2&" formen wir urn in
A L = 2n"d cos &".
(2.215)
Den Brechungswinkel k0Mm wir mittels
n" eliminieren. G1. (2.215) geht uber in
AL = 2
n
d
,
Die Phasendifferenz folgt aus
6=~ A L . l o
/
p
(2.216)
2.5 Interferenz
121
Wir setzen Ao/n” = 1” und erhalten aus G1. (2.215)
4n 6 = --dcost?, il” bzw. mit A o / n= A aus G1. (2.216)
(2.217a)
(2.2 17b)
2.5.2
Intensitiiten an der planparallelen Platte
Berechnung der Intensitiit. Wir berechnen die Intensittit, die sich bei der berlagerung der durch die Platte hindurchgehenden Teilbundel ergibt. Nach G1. (2.105) sind zunachst die komplexen Amplituden der Teilwellen zu addieren:
a” = z a ; .
(2.2 18)
k
Die komplexen Amplituden der Teilwellen betragen a; = A;eJS’
(2.2 19)
(2.220) Wir s e w n a: nach G1. (2.220) in GI. (2.218) ein und nehmen an,daf3 sichp Teilwellen uberlagern. Wir erhalten (2.221) k=l
Wir fiihren den neuen Summationsindex m=k-1
ein: P-1
a” = (1-R)A x R m e j m 6 .
(2.222)
m=O
Die Summe stellt eine geometrische Reihe mit endlich vielen Gliedern dar, die mit der Formel
(Anfangsglied a = 1, Quotient q = R . exp(j@, Gliedanzahl p ) aufzusummieren ist. Das Ergebnis lautet (2.223)
122
2 Physlkalische Grundlagen
Die Intensitat betragt nach GI. (2.112) (2.224) In der G1. (2.224) ist (2.225) die Intensitat des einfallenden Lichtes. Weiter gilt (l-RPejpG)(l-Rpe-jpG)= 1-2RPcosp6+R2p.
(2.226)
Mit der Hilfsformel cos p 6 = 1- 2 sin2(p6/2) geht die rechte Seite von G1. (2.226) uber in ( I - R P ) ~+ 4 ~ P s i 2n-.P6 2 Der Nenner der G1. (2.224) wird entsprechend umgeformt. Insgesamt ergeben die Gleichungen (2.224) und (2.225) dann (1 - Rp)2 + 4RPsin2 P6
I“ = I(1-R)’
(2.227) (1-R)2+4Rsin28 2
oder (I-RP)’ + 4 ~ ~ s2 P6 in I“ = I
1+-
4R sin2$ (1-R)’
(2.228)
.
Fiir unendlich viele Biindel ist der Grenzubergang lim RP = 0 vorzunehmen (R < 1!), so dal3 P+-
1
I” = I
1+*sin
2s
(2.229)
(1 - R)2 wird. Wegen des Energieerhaltungssatzes mu13 die Intensitat bei der ijberlagemng der unendlich vielen reflektierten Teilbundel I’ = 1-1”
betragen. Daraus folgt mit G1. (2.229)
I’ = I
4R sin2 f (1-R)’ l+*sin (1-R)’
2
6’
(2.230)
Diskussion der Intensitiitsgleichungen (unendlich viele Bundel). Wir diskutieren die G1. (2.229) und die G1. (2.230) fiir die hindurchgelassene bzw. die reflektierte Intensitat bei der Interferenz unendlich vieler Teilbundel. Fiir die Maxima und Minima gelten die Bedingungen, die in Tab. 2.18 zusammengefaljt sind.
123
2.5 Interferenz
Reflektierte Intensitlit G1. (2.230)
Hindurchgelassene Intensitlit G1. (2.229)
s i n2 Z6 = 0, 6 = kn,
k = 0,1,2 ,...,
2
2
erhalten wir das Minimum
d
F = kA
i
erhalten wir das Maximum I;ax = I.
Zhi. = 0. k = 0,1,2 ,...,
sin26 - = 1, 6 = (2k+1)1, lt 2 2 erhalten wir das Maximum
I
(2.23 1)
(2.23h. b)
2d,/($)2_sinZ~ = erhalten wir das Minimum
ZLx= I - 4R
(2.234%b)
(1+R)2
Der Konrrast bewgt
1
K’= 1
K” =
2R
1+RZ
(2.235a b)
In Abb. 2.73 ist der Intensitiitsverlauf im hindurchgelassenen Licht grafisch dargestellt. Es ist zu erkennen, da6 bei grtiBerem Reflexionsgrad schmalere Maxima und ein hoherer Kontrast vorliegen. Abb. 2.74 enthat K” als Funktion des Reflexionsgrades. Die Erhtihung des Reflexionsgrades ist ein Mittel, mit dem im Interferenzbild des hindurchgelassenen Lichtes ein grCiserer Kontrast und schmalere Maxima erzielt werden koMen.
I
I I I I
\ \ R=0,5 45 -
\ I 1 \
:/*
‘I
\ \
I
Q5
I
I /
\
I
n=u,a I
0
30
.
60
I
90
120 150
,
18Ood
0
0,5
1 R
2
Abb. 2.73 Intensitlit bei der Interferenz unendlich vieler Bundel
Abb. 2.74 Kontrast bei der Interferenz unendlich vieler Bundel
124
2 Phvsikalische Grundlaeen
Diskussion der Intensitiitsgleichungen (endlich viele Bundel). In Interferenzanordnungen konnen oft nur endlich viele Bundel uberlagert werden. Das kann z. B. daran liegen, da13 die vetwendeten Platten endlich ausgedehnt sind. Manchmal uberdecken sich nicht siimtliche Teilbundel, oder die wirksame Bundelanzahl wird durch Absorption begrenzt. Bei den praktischen Anwendungen wird im allgemeinen das hindurchgelassene Licht beobachtet. Wir beschrhken uns deshalb darauf, die Intensitat fiir diesen Fall zu diskutieren. Zur besseren Ubersicht sind in Abb. 2.75 Z2hler und Kehrwert des Nenners von G1. (2.228) fiir p = 8 und R = 0,8 grafisch dargestellt. Der Kehrwert des Nenners hat den Maximalwert 1 bei sin (6/2) = 0 und Minima bei I sin( 6/2)1= 1. Der ZBihler hat Maxima fiir [sin(p6/2)(= 1 mit der GroBe (1-RP)’+4RP = 1,364 und Minima fiir sin(p6/2) = 0 mit der GriiBe (l-RP)* = 0,693. Im Bereich einer Periode des Nenners durchlauft der Z m e r p Perioden. Das Intensitatsverhdtnis erhalten wir durch grafische Multiplikation beider Kurven der Abb. 2.75. Auf diese Weise entsteht Abb. 2.76. Es ergeben sich Hauptmaxima, Nebenmaxima und Minima.
I
Zo h ler
R = 0,8
p=a
-
014 43
Kehrwert des Nenners
0
30
60
90
120
150 l 8 O 0 d 2
Abb. 2.75 Ziihler und Kehrwert des Nenners der GI. (2.228) als Funktion von 6/2
0
30
60
90
120
150
?8O0-g L
Abb. 2.76 Intensiat bei der Interferenz
endlich vieler Bundel
Hauptmaxima liegen bei sin-6 = 0 2 bzw.
4 = kn, k=0,1,2,..
(2.236)
I;ax = I(1-RP)2.
(2.237)
2 Die Intensitat betragt
Nebenmaxima entstehen bei nicht zu kleinem p fast genau fiir l s i n g l = 1,
z = 1,2,3,..., (p-2). d.h. - = -2z+1 2 p 2’
(2.238)
125
2.5 Interferenz
Das maximale z finden wir durch folgende h r l e g u n g : Da 3/( 2p) der Abstand des 1. Nebenmaximums vom Hauptmaximum ist, muR
also zMln = p - 2 sein. Minima erhalten wir fiir
(2.239) Die G1. (2.239) fiihrt im Gegensatz zur GI. (2.236) auf Minima, weil der Nenner fiir jedes Argument des Sinus groR ist. Die Minima liegen insgesamt bei
$(k+;)n,
z = l , 2 , 3 ,...,(p-1).
(2.240)
Fiir eine groRe Bundelanzahl p wird der durch die Nebenmaxima entstehende Lichtschleier zwischen den Hauptmaxima sehr gering. Der Verlauf des Intensitiitsverhiiltnisses niihert sich demjenigen fiir p = m .
2.5.3
Interferenzerscheinungenan planparallelen Platten
Monochromatisches Parallelbundel. Wir lassen ein Parallelbundel monochromatischen Lichtes auf eine planparallele Platte auftreffen und beobachten im reflektierten Licht. Das Parallelbiindel kann mittels einer sehr weit entfernten kleinen Lichtquelle oder einer ins Unendliche abgebildeten kleinen Lichtquelle weitgehend angeniihert werden. Wir variieren entweder den Einfallswinkel & , indem wir die Platte drehen (Abb. 2.77), oder die Plattendicke d, indem wir den Abstand zweier Glasplatten iindern (Luftplatte, Abb. 2.78). h r die gesamte Plattendxke hinweg sind & bzw. d konstant. Mit wachsender Dicke oder mit abnehmendem Einfallswinkel werden nach G1. (2.231) und (2.233) nacheinander Maxima und Minima steigender Ordnung durchlaufen. Die Platte erscheint also uber ihre gesamte Fliiche hinweg abwechselnd hell und dunkel.
Abb. 2.77 Variation des Einfallswinkels an der planparallelen Platte
Abb. 2.78 Variation des Abstandes
zweier paralleler Glasplatten
126
2 Phvslkalische Grundlaeen
Poly- und quasimonochromatisches Parilelbundel. Wir beobachten im reflektierten Licht und beleuchten mit einem polychromatischen Parallelbiindel. Bei wachsender Plattendicke oder abnehmendem Einfallswinkel erscheint die Platte einheitlich in sich iindernden Interferenzfarben. Die Interferenzerscheinung durchlauft die Farben Gelb, Rot, Blau, Griin. Bei groBen Plattendicken verblassen die Farben allmiihlich. Wir erlautern das Entstehen der Interferenzfarben am Beispiel einer Platte veriinderlicher Dicke. Es gelte €=0, n" = 1,5 und 400nm I a n
s
760nm.
Nach GI. (2.231) gilt fur die Nullstellen der Intensitat
Bei k = O ist diese Gleichung unabhiingig von a erfiillt. Bei sehr kleinen Plattendicken ( d IA/3) wird das gesamte Licht ausgeloscht. Die Platte erscheint dunkel. Fiir k = 1 wird das Licht der kleinsten Wellenliinge a, = 400 nm bei der Plattendicke
a,
do = - = 133,3311111 3 ausgeloscht. Allgemein gilt
_ --k-. A. do
a1
Fiir a=400 nm,
=1, ist d/do = k ; fiir a =760 nm, A/Al =1,9, ist d / d o = 1,9k.
A/&
1 , , I ,
I
I
1 2 3 4 5
I
,
,
,
I ,
10
I
I
Ill
15
I
,
I
I
I
20
,
I
,
I
I
25
d/d,
Abb. 2.79 Zur Ausloschung einzelner Wellenlagen bei wachsender Plattendicke
Die Funktion d / d o = f(A) ist in Abb. 2.79 grafisch dargestellt. Bei kleinen Plattendicken wird bei jeder Plattendicke eine Wellenlhge, also eine Farbe, ausgeloscht (d < 3do). Die Platte erscheint in der zur ausgeloschten Farbe komplementhen Farbe. So wird z. B. bei d = 2,5 do die Wellenliinge a =500 nm (griines Licht) in der zweiten Ordnung ausgeloscht, die Platte sieht rot aus. Bei mittleren Plattendicken werden einige Farben in unterschiedlicher Ordnung ausgeloscht (Tab. 2.19). Die Platte erscheint in einer Interferenzfarbe, die aus der Mischung der ub-
2.5 Interferenz
127
rigen Farben besteht. Ihre Sattigung nimmt dadurch ab. Mit steigender Plattendicke werden immer mehr Farben in unterschiedlichen Ordnungen gleichzeitig ausgeloscht (Tab. 2.19). Die Folge davon ist, da6 im gesamten Wellenltingenintervall eine Anzahl von schmalen Bereichen fehlt. Der Gesamteindruck wird mit steigender Anzahl solcher dunkler Linien im kontinuierlichen Spektrum “weiBlicher”, die Interferenzfarben verblassen immer s&ker. SchlieDlich erhalten wir das sogenannte “WeiS hoherer Ordnung”. (Die Erscheinung m e l t aul3erlich den Fraunhoferschen Linien im Sonnenspektrum.) Tabelle 2.19 Ausgellischte Ordnungen bei verschiedenen Plattendicken
Ordnung
ausgelbschte Wellenhnge k i d = 2.54, (in MI)
ausgeloschte Wellenlage bei d = 3,5do (in nm)
500
700,00 466.67
ausgeloschte Wellenlibge bei d = 14,5do (in nm)
1
2 3 4 5 6
7
8 9 10 11 12 13 14
725.00 644.44 580.00
527,27 483.33 446.15 414.29
Die geschilderte Farbihderung bei variabler Dicke kann an Olschichten gut beobachtet werden. Bei der Ausbreitung des 01s sinkt die Schichtdicke, wobei erst die Farben diinner Plattchen auftreten und bei sehr geringen Dicken eine graue Oberflache entsteht. Auch die Anlasfarben sind eine Folge der Interferenz an der wachsenden Oxidschicht. Bei geringen ijrtlichen Dickenschwankungen treten die Interferenzfarben raumlich nebeneinander auf. Die Interferenzerscheinung bei der Beleuchtung mit quasimonochromatischem Licht ist qualitativ derjenigen fUr polychromatisches Licht gleich. Infolge des kleineren Wellenintervalls sind die Interferenzfarben in den hoheren Ordnungen gesattigter und besser wahnunehmen. Haidingersche Ringe. Wir beleuchten eine planparallele Platte mit einer ausgedehnten Lichtquelle monochromatisch und bilden die Interferemrscheinung in der Brennebene eines Fernobjektivs ab (Abb. 2.80a). Jeder Punkt der Lichtquelle sendet ein Strahlenbundel aus. Die Strahlen, die von verschiedenen Punkten der Lichtquelle ausgehen und dieselbe Richtung haben, werden vom Objektiv in einem Punkt der Brennebene vereinigt. Da alle diese Strahlen denselben Einfallswinkel an der planparallelen Platte haben, bestehen zwischen den interferierenden Teilbundeln die gleichen Phasendifferenzen. Die Intensitat im Punkt P‘ folgt aus G1. (2.228) oder G1. (2.229). Die Phasendifferenz ist nach G1. (2.217) einzusetzen.
128
2 Physikalische Grundlagen
Wegen der Rotationssymmetrie um die optische Achse sind die Kurven gleicher Intensitat konzentrische Kreise in der Brennebene. Die Intensitat Udert sich l h g s des Radius so, wie es in Abb. 2.73 bzw. in Abb. 2.76 dargestellt ist (Abb. 2.80b).
AuffongH-H‘
srhirm
Abb. 2.80a Erzeugung der Haidingerschen
Abb. 2.80b Haidingersche Ringe in Transmission
Ringe
Jeder Kreis gleicher Intensittit ist einem Einfdlswinkel zugeordnet. Wir sprechen deshalb von Streifen gleicher Neigung oder Haidingerschen Ringen. Diese entstehen ohne optische Abbildung im Unendlichen. Sie sind daran erkennbar, daB sie bei einer Parallelverschiebung der Plane am gleichen Ort bleiben.
I
Bei Abweichungen von der Parallelitat der Flachen sind die Kreise defonniert. Haidingersche Ringe sind deshalb ein empfindliches Kriterium zur Priifung von planparallelen Platten. Bei dicken Platten treten nur sehr hohe Ordnungen auf, so daPJ zahlreiche Ringe unter sehr kleinem Winkelabstand erscheinen. Das Interferenzbild wird durch das Auge ohne optische Hilfsmittel nicht aufgelost. Aaerdem kann auch bei zu groRen Plattendicken die Kohiirenzliinge des Lichtes zu klein sein, um Interferenzen entstehen zu lassen. Wegen
o Isin2&I 1
(2.241)
gilt nach G1. (2.231) fiir die Maxima im hindurchgelassenen Licht (2.242)
nH = 1 3 , A =500 nm, d = 5 mm und Bei -
n
,/-
= 1,l ergibt sich z. B.
3oooO 2 k 222000. Der G1. (2.242) entnehmen wir, daR die Ordnung der Ringe nach aul3en hin abnimmt. In der Mitte ist die Ordnung also am groRten, und die niedrigen Ordnungen sind nur bei dunnen Platten vorhanden.
129
2.5 Interferenz
2.5.4
Interferenzerscheinungenan keilfijrmigen Platten
Berechnung der Intensitiit. Wir beleuchten einen Keil mit einem Parallelbundel monochromatischen Lichtes. Der Einfallswinkel sei so gewiihlt, da6 das an der ersten Flache gebrochene Licht senkrecht auf die zweite Flache auftrim (Abb. 2.81). Das an der ersten und das an der zweiten Fliiche reflektierte Teilbundel interferieren an der Keiloberflkhe miteinander. Das lnterferenzbild entsteht auf der Keiloberflache.
m Keil bei senkrechtem Lich :infall
Fiir die komplexen Amplituden gilt:
An der ersten Flache reflektiertes Licht (Phasensprung R beachten!)
a' = -rlA,
an der ersten Flache hindurchgegangenesLicht
a" =
an der zweiten Flache reflektiertes Licht
a; = r2t,AeJi,
an der ersten Flache hindurchgelassenes Licht
a" - rzr,tZAej6.
t , A, .6
Entsprechend den Gleichungen (2.219), (2.201) und (2.202) ist r, =
&, r2 = JR,,
t,t2 =
I-R,
zu setzen. Die Intensitat betragt nach G1. (2.109) E E C
I' = -[RIA' 2
+ K Z ( I - R ~ ) ~-2-(l-R1) A~
A'COS
a]
bzw.
I' = Z[R, +Rz(1-R,)2 - 2 ~ ( l - R , ) c o s 6 ] .
(2.243)
Fiir kleine Keilwinkel gilt R, = R2 = R , R 6 1 und
I' = 2ZR(l-c0s 6).
Der optische Wegunterschied der Teilbundel betriigt AL = 2n"d, woraus mit d = x siny und ."/Ao = l/A" die Beziehung f%r die Phasendifferenz 6 = $*d,y hervorgeht.
(2.244) (2.245)
(2.246)
130
2 Physikalische Grundlagen
Diskussion der Intensitiitsbeziehung. Die Nullstellen der Intensitat ergeben sich fiir also 6 = 2 k n .
cos6 = 1,
Die dunklen Streifen verlaufen parallel zur Keilkante und haben von dieser die Entfernungen x = - IcA”
2sin y ’
k=0,1,2, ...
(2.247)
Abb. 2.82 enthdt die Funktion I ” / I = f ( x ) fiir R =0,05.
$1
R = 0.05
Das durch Amplitudenteilung am Keil entstehende Interferenzbild liegt im Endlichen. Die Streifen konstanter Intensitat befinden sich an den Stellen konstanter Keildicke. Sie werden deshalb Streifen gleicher Dicke genannt. Beim Verschieben des Keils bewegen sich die Streifen mit.
I
Beim Beleuchten mit weiRem Licht ist die Keilkante dunkel, deM nach G1. (2.247) ist unabh8;ngigvonA” f ur k=Oau ch x =O. Die weiteren Streifen sind farbig. Es koMen aber nur wenige Streifen beobachtet werden, weil die Interferenzerscheinung mit der Entfernung von der Keilkante in das “WeiR hoherer Ordnung” ubergeht. Abb. 2.79 ist sinngem&l3auch auf den Keil anwendbar. Beliebiger Einfallswinkel am Keil. Fiir einen Keil, an dessen Oberfl5che das Licht nicht gebrochen wird (Abb. 2.83), ist bei beliebiger Lichteinfallsrichtung
6 = y c o s (El
+ y)
(2.248)
und l 3 = -d-
Fiir E , = -y ist
sin E , sin y
E~
(2.249) *
= 0,
Fiir(E,I
I E ~ ~ y,>
E,
< 0 ist 1 , > d ,
das Interferenzbild liegt in der Keiloberfliiche. das Interferenzbild liegt unterhalb der Keiloberflache (virtuelles Interferenzbild), das Interferenzbild liegt oberhalb der Keiloberflache (reelles Interferenzbild).
2.5 Interferenz
131
y.
Lp, Abb. 2.83 Biindelteilung am Keil bei beliebigem Lichteinfall
Abb. 2.84 Eneugung Newtonscher Ringe
Newtonsche Ringe sind Streifen gleicher Dicke, die rotationssymmetrischen keilformigen Schichten entstehen. Wir legen eine Plankonvexlinse mit gro5em Kriimmungsradius auf eine Planplatte (Abb. 2.84). Das an der konvexen Linsenflache und das an der Oberseite der Planplatte reflektierte Licht kommen zur Interferenz. Aus dem Pythagoreischen Lehrsatz folgt r 2 = ( r - d ) 2 + p 2 . Wir vernachliissigen d Z und ltisen nach d a u t
d = -. P' 2r
(2.250)
Der optische Wegunterschied nach GI. (2.245) betragt AL = n"pZ/r.Daraus ergibt sich die Phasendfferenz 6 = 2y n p2 . r
(2.251)
Die dunklen Ringe, fiir die die Bedingung 6 = 2kn gilt, haben die Radien p = dkA"r,
(2.252)
Je grof3er k ist, desto dichter liegen die Ringe. Bei weiRem Licht sind nu- etwa fiinf farbige Ringsysteme zu beobachten.
Probegliiser. Newtonsche Ringe, die an der Luhchicht zwischen einer polierten Linsenoberflache und einem Probeglas entstehen, das den Sollradius enthat, dienen der h f u n g der Linse im FertigungsprozeS. Die sogenannte "Passe", ein Ma6 fiir die Genauigkeit des Flachenradius, wird in Ringen angegeben. An der Form der Newtonschen Ringe, d. h an den Abweichungen von deren Kreisformigkeit, ist zusiitzlich zu erkeMen, welche Abweichungen von der Rotationssymmetrievorliegen (Rundpasse, SattelpaSfelder usw.).
132
2 Physikalische Grundlagen
I
Abb. 2.85
\‘
Interferenz am Probeglas
Nach Abb. 2.85 ist niihemngsweise ( p l = p 2 )
also
Darin kann r,r2 = r 2 gesetzt werden, so daD Ad = TPA2 r 2r ist. Fiir die Phasendlfferenz gilt angeniihert
(2.253)
(2.254)
Bei k dunklen Ringen auf der Linsenoberflache mit dem Durchmesser D = 2 p betragt die Radienabweichung A r = -.4kAr2 (2.255) D2 Beispiel: Fiir r = 40 mm, D = 40 mm, A = 500 nm,k = 2 ist Ar = 4 pm und Ar/r = AO,l%O. Bei k = 1 ist Ar = 2 pm, so daS fiir Ar < 2 pm oder Ar/r < 0,OS %O keine Ringe mehr zu sehen sind (“Nullpasse”).
2.5.5
Weitere Interferenzerscheinungen
Zwei vollig gleicharlige planparallele Platfen seien parallel zueinander angeordnet. Das Licht sol1 zunachst von einer weit entfernten punktformigen Lichtquelle ausgehen (Abb. 2.86). Die
2.5 Interferenz
133
Brechung bringt keine Besonderheiten hervor, deshalb bleibt sie in Abb. 2.86 unberiicksichtigt. AuDerdem wollen wir annehmen, da6 nur das maximal zweimal reflektierte Licht von merklicher Intensitiit ist. Behandelt wird das hindurchgehende Licht, in dem vier Reflexionen enthalten sind. Zwischen den Teilwellen mit den Amplituden A; und A: besteht eine sehr g r o k Phasendifferenz; zwischen den Teilwellen mit den Amplituden A'; und AT ist die Phasendifferenz gleich 0. Diese Aussage ist unabhshgig vom Einfallswinkel an der Plane, so das die gesamten Anteile A'; und A; zur maximalen Intensit% interferieren. Die Anteile A; und A: geben wegen der groflen Phasendifferenz k i n e beobachtbare Interferenzerscheinung. Dieselbe Interferenz tritt bei der Beleuchtung mit Parallelbundeln und mit ausgedehnten Lichtquellen ein.
IAufspaltung
t- // / ..
.
Abb. 2.86 Interferenz an zwei parallelen Platten
/
zwischen A ; und A; einfuhrt
Abb. 2.87 Interferenz an zwei schriig zueinander stehenden Platten
Die VerMtnisse adem sich, wenn zwischen den Platten ein kleiner Keilwinkel vorhanden ist (Abb. 2.87). Bei der Beleuchtung mit einem Parallelbundel besteht zwischen den Anteilen mit den Amplituden A'; und A: eine konstante Phasendifferenz uber die gesamte hordnung hinweg. Es ergibt sich eine einheitliche Interferenzintensitat, die aber nicht gleich der maximalen Intensitfit zu sein braucht. Bei der Beleuchtung mit einer punktformigen Lichtquelle entstehen Interferenzstreifen im Unendlichen, die Brewsterschen Streifen. Der Abstand der Streifen bett*dgt (2.256)
(n Brechzahl, y Keilwinkel, d Plattendicke). Dieselbe Erscheinung l a t sich mit einer ausgedehnten Lichtquelle erreichen, deren GroSe jedoch eingeschrw sein muD, wenn der Interferenzkontrast ausreichend sein soll. Die Interferenz an zwei planparallelen Platten mit kleinem Keilwinkel wird im Jaminschen Interferometer angewendet, um zwei riiumlich getrennte interferenzmge Bundel zu erzeugen (Abb. 2.88). Werden z. B. in beide Teilbundel mit Luf&gefiillte Kuvetten eingebracht, so verschieben sich die Brewsterschen Streifen, wenn der Luftdruck in einer Kbvette geiindect wird. Auf diese Weise ist die Druckabhiingigkeit der Brechzahl in Luft meflbar. In iihdicher Art wirkt das Mach-Zehnder-Interferometer,bei dem eine n x h gr6Sere Trennung der Teilbiindel mBglich ist als beim Jaminschen Interferometer. Abb. 2.89 zeigt eine Ausfiihrungsform mit Prismen (vgl. Abb. 2.52).
134
2 Physikalische Grundlagen
1
.+jlzI)z Abb. 2.88 Prinzip des Jaminschen Interferometers
I
Abb. 2.89 Mach-Zehnder-Interferometer
Shearinginferferometer fiihren eine Versetzung von zwei Teilwellen ein. Damit ist es moglich, eine deforrnierte Wellenflache mit sich selbst zur Interferenz zu bringen. Abb. 2.90 enthdt das Optik-Schema einer Ausfiihrungsfom als Dreieckinterferometer. In Abb. 2.91 wird die seitliche Aufspaltung durch Doppelbrechung erreicht. Zwischen Polarisator P und Analysator A befindet sich eine Anordnung aus zwei planparallelen Platten eines optisch einachsigen Stoffes, die das Licht in zwei parallel versetzte Lichtbiindel mit senkrecht zueinander stehenden Schwingungsrichtungen und der Phasendifferenz 0 aufspaltet (Savartsche Doppelplatte). Der Analysator sorgt dafiir, daB beide Wellen wieder gleiche Schwingungsebenen haben und damit interferieren koMen.
Abb. 2.90 Dreieckinterferometer
Abb. 2.91 Erzeugung von zwei
versetzten Wellen mittels Savartscher Doppelplatte
2.6
Beugung
2.6.1
Mathematische Fassung des Huygensschen Prinzips
Wir wenden das Huygenssche Prinzip an,urn den EinLluB von Hindernissen auf die Lichtausbreitung zu untersuchen. In Abb. 2.92 befindet sich die als punktforrnig angenommene Lichtquelle in sehr groSer Entfernung vor der Mtte des Spaltes. Auf den Spalt trim eine ebene
2.6 Beununn
135
Welle auf. Wie siimtliche Punkte im Wellenfeld, so senden auch die Punkte in der Spaltebene Elementarwellen aus. Hinter den Kanten werden jedoch die nach den Seiten laufenden Elementarwellen nicht ausgeloscht, weil von dort k i n e Elementarwellen entgegenkommen. Die Folge ist eine Ausbreitung des Lichtes in alle Richtungen hinter dem Spalt.
I
Die Ausbreitung des Lichtes in den geometrischen Schatten hinter Hindernissen hinein wird Beugung genannt.
- -geo m etri sches Lichtbijndel
--Abb. 2.92 Beugung am Spalt nach dem Huygensschen Prinzip
Als Folge der Beugung tritt eine makroskopisch beobachtbare Interferenzerscheinung auf. Das gesamte Licht innerhalb der Spaltoffnung stammt bei der Anordnung nach Abb. 2.92 von einer punktformigen Lichtquelle und ist deshalb kohiirent. In jede Richtung wird von jedem Punkt der Offnung eine Welle gestrahlt. Die Gesamtheit aller Wellen einer Richtung interfe-
riert miteinander; wegen der Parallelstrahlen einer hchtung allerdings erst in sehr grokn Entfernungen vom Spalt. Das Interferenzbild ld3t sich aber auch in der BreMebene einer Linse erzeugen. Die Beschreibung der Beugung mit dem Huygensschen Prinzip in der bisher dargestellten Form hat nur qualitativen Charakter. Die Berechnung der Lichtintensitiiten in den verschiedenen Richtungen hinter dem Spalt erfordert, daB wir das Huygenssche Prinzip mathematisch fassen. Zu diesem Zweck mussen wir einfache Annahmen uber den EintluD der beugenden Hindernisse auf die Lichtwelle treffen. Dies erkennen wir, wenn wir bedenken, das z. B. eine periodische elektromagnetische Welle auf einem Metallschirm periodische Influenzladungen erzeugen wiirde, die ZUT Anregung einer neuen Welle werden ktinnten. Wir nehmen folgende Aussagen als ausreichend an:
- Die Anwesenheit eines Schirms ver&dext die Lichtwelle in den Offnungen des Schirmes nicht. Die Ruckseite des Schirmes sendet k i n e Welle aus und beeintldt die gebeugte Welle nicht. - Der Schirm ist schwarz, so daf3 er kein Licht refleldert. -
Wir beschrWn uns auf die Behandlung Fraunhoferscher Beugungerscheinungen. Diese entstehen bei einer Lichtquelle, die so weit vor dem Schirm steht, daB die Lichtwelle vor den beugenden Objekten als eben angesehen werden kann. Bei den Fresnelschen Beugungserscheinungen befindet sich die Lichtquelle im Endlichen. Huygenssches Prinzip fur Fraunhofersche Beugung. Wir berechnen die komplexe Amplitude des Lichtes, das sich in eine vorgegebene Richtung hinter dem Spalt ausbreitet. In der Theorie der Beugung ist es ublich, statt von der komplexen Amplitude von der Lichterregung zu sprechen.
136
2 Physikalische Grundlagen
Die Bezeichnungen gehen aus Abb. 2.93a hervor. Der dargestellte Spalt soll zunachst senkrecht zur Zeichenebene sehr lang sein. Wir haben eine Wellenflache AE3 vor dem Spalt eingezeichnet. Bis zu dieser ist die Phase uber den gesamten Biindelquerschnitt konstant. Die Flache CD stellt keine Wellenflache dar. Von CD ab entstehen aber iiber den Bundelquerschnitt einer Bchtung hinweg keine Phasenunterschiede mehr. Die Phasendifferenzen innerhalb eines gebeugten Bundels werden durch den unterschiedlichen optischen Weg zwischen der Wellenflache Al3 und der Bezugsflache CD hervorgerufen, den Teilbiindel zuriicklegen, welche durch verschiedene Liingenelemente 65 der Offnung gehen.
Abb. 2.93a Zur Berechnung der Phasendifferenzen
Der optische Wegunterschied eines beliebig herausgegriffenen Teilbiindels zum Randbiindel betragt (Abb. 2.93a) AL = t t ( l o + l - l o o ) .
(2.25 7)
Sind a, und a die Richtungskosinus der Wellen vor bzw. hinter dem Spalt, so gilt (d Spaltbreite) lo =
5ao,
1 = ( d - ( ) a , loo = a d
(2.258)
und nach G1. (2.257)
AL = n ( ( ~ 0 - a ) .
(2.259)
Die Phasendifferenz betragt (2.260) odermit A o / n = h
2n A 6 = -(5(0rO
a
-a).
(2.26 1)
Die komplexe Amplitude einer Teilwelle lautet mit G1. (2.261) F&uo-a)
as = Age
(2.262)
A kann als unabhhgig von 4 angenommen werden, well wir eine ebene Welle beugen und der Spalt vollig durchlhsig sein soll.
.
2.6 Beugung
137
Die durch Interferenz entstehende Gesamtlichterregung in einem sehr weit vom Schirm entfernten Aufpunkt ist die Summe der komplexen Einzelamplituden. Da wir jedoch stetig ve&derliche Phasendifferenzen zwischen den Teilbundeln haben, ist die Summation durch eine Integration zu ersetzen. Sind mehrere Spalte im Schirm vorhanden, so m a uber stimtliche Offnungen integriert werden. Die Lichterregung folgt also aus (2.263) Offnungen
Beriicksichtigen wir, da6 der Schirm eine Flache darstellt, auf die die ebene Welle auftrifft, dann haben wir deren Richtung durch die Richtungskosinus gegenuber der 5 - und der 9Achse zu beschreiben. Die Integration uber den Schirm ergibt (2.264) Offnungcn
Mit der aus G1. (2.264) berechneten Lichterregung bilden wir uu*. Dieses Absolutquadrat der komplexen Amplitude ist der Lichtintensitat proportional. Eine strenge Beugungstheorie hat von der Wellengleichung auszugehen. Fiir die elektrische Feldstkke lautet diese
AE =
4E. CO
Die Wellengleichung ist fiir die durch die Schirme vorgegebenen Randbedingungen zu losen. Die FeldgroBen sind Vekloren, also mussen auch die Polarisationszusttinde von EinfluD auf die Beugung sein. Strenge Ldsungen von Beugungsproblemen gibt es nur fiir wenige Spezialfdle der beugenden Objekte. Fiir praktische Aufgaben reicht im allgemeinen die Annahme skalarer Wellen aus. Die skalare Wellengleichung AU = ,U1 CO
(Uist eine skalare FeldgrOSe, z. B. eine Komponente der elektrischen Feldstkke) geht fiir eine zeitlich periodische Welle mit U = U ( X , y ,z) . exp und c/A= c, /A, uber in 4 nZ Au+-u A2
= 0.
Die Berechnung der komplexen Amplitude up Iu in einem Aufpunkt P im Inneren einer geschlossenen Flache mit beugenden Strulcturen fiihrt niiherungsweise auf die Kirchhoffsche Beugungsformel (Ableitung siehe z. B. [ 193). Sie lautet fiir Lichtquellen- und Aufpunkte, die nicht zu dicht am ebenen beugenden Schirm liegen (Abb. 2.93b),
mit = 0 2
=
(2.26%)
2 Physikalische Grundlagen
138
Abb. 2.93b Zur Kirchhoffschen Beugungsformel
Die Strukturfunktion f({,q) beschreibt die komplexe Amplitude direkt hinter dem Schirm. Sie muS bekannt sein. Integnert wird uber den Schirm. Fiir den Fall, dal3 die Entfernungen der -e ist, liegt FraunhoferLichtquelle und des Aufpunktes vom Schirm so groR sind, dal3 sche Beugung vor. In G1. (2.265a) ist nur zu beriicksichtigen, so da8 sie bis auf die konstanten Faktoren (auch y kann im allgemeinen als konstant angesehen werden) in G1. (2.264) iibergeht. 1st nicht zu vernachlhsigen, dann liegt Fresnelsche Beugung vor.
2.6.2
Fraunhofersche Beugung am Rechteck
Berechnung der normierten Intensitlit. Wir wenden die GI. (2.264) auf die Beugung einer ebenen Welle an einer rechteckigen Offnung an (Abb. 2.94). Wenn der Ursprung in der Mitte des Rechtecks mit den Kantenlsingen 1 und b liegt, d m lautet G1. (2.264)
-112
-blZ
Die Integration ergibt
(2.266) Mit exp(jx)-exp(-jx)=2jsinn erhalten wir nb IT1 z sin-(ao-a) sin-((Po-(P> a a a = A
(2.267)
oder mit den Abkiirzungen nb nl $%-a) = v, +Do-P)
(2.268)
(%)
a,-a
die Beziehung a = A l b -sinv - . sinw v w
P0-P
= w
(2.269)
139
2.6 Beugung
&'-A
Abb. 2.94 Beugende recbteckige offnung
Fiir das ungebeugte Licht ist a = a, und erregung a, = Alb.
p =Do. Wegen % ; (sin v/v) = 1 betragt die Licht(2.270)
a und a, sind reell. Wir erhalten deshalb durch Division von a2 nach G1. (2.269) und ui nach GI. (2.270), wobei der Proportionalitatsfaktor in der Formel fiir die Intensitat wegfdlt, die auf die Intensitiit des ungebeugten Lichtes bezogene - nonnierte Intensitfit 2
(2.271)
Hinter dem Spalt ordnen wir eine Sammellinse an, in deren Brennebene die Interferenzerscheinung abgebildet wird (von Abbildungsfehlern sehen wir ab). Nach Abb. 2.95 ist (a= cos I?): X'O - = -.2 cotcc cot& = -
f"
f'
(2.272)
Abb. 2.95 Abbildung der Fraunhoferscben Beugungserscbeinung
140
2 Physikalische Grundlagen
Fiir geringe Neigungen der einfallenden Lichtstrahlen gegeniiber der Normalen auf der Schirmebene ist tt0wenig verschieden von 90”. Das gebeugte Licht hat nur fiir Winkel in der Niihe von & = Go merkliche Intensitat, so daR bei a. = 90” auch 15 wenig von 90” abweichend angenommen werden darf. Mt cot&= cos 6 = a , cot&, = cos a,= a, erhalten wir 010-a
x;l - x’ = -.
(2.273a)
f’
Dieselbe Rechnung wiederholen wir fiir die y’ -Richlung, wobei sich
Po-P
Yh -Y’
(2.273b)
=-
f‘
ergibt. Die G1. (2.273) setzen wir in die G1. (2.268) ein:
v =
nb 3,f
IT1
w = 7(yi-y’).
y(io-a!),
if
(2.274a, b)
Diskussion der Beugungsintensitiit. Wir diskutieren die GI. (2.271) fiir die norrnierte Intensitat. Zunachst betrachten wir die Abhiingigkeit der Intensitat von x’ . Die Funktion f ( v ) = [(sinv)/v]’ ist in Abb. 2.96 grafisch dargestellt. Nullstellen der Intensitat erhalten wir fir v = k z n , 2=1,2,3 ...
(2.275)
Die Nullstellen der lntensitat liegen also bei Xi-X’
= &-23,f’ b
(2.276)
‘
Die Nebenmaxima bestimmen wir aus = 0,
Abb. 2.96 Normierte Intensiat bei der Beugung am Spalt
141
2.6 Beugung
woraus die Gleichung tanv, = v,
(2.277)
hervorgeht. Wir losen G1. (2.277) graphisch, indem wir tan v mit der Geraden v = v zum Schnin bringen. Abb. 2.97 1Ut erkennen, daR die Nebenmaxima mit guter Niiherung bei 3 V, = & ( 2 ~ + 1n) 2 , ~ = l , 2 , ..., liegen. Aus GI. (2.274a) folgt
aft
= &--22 + 1 2 b ‘
x’0-x;
(2.278)
Die Intensitat in den Nebenmaxima betragt
oder I,
1 =1+v$ *
(2.279)
Tabelle 2.20 Nebenmaxima bei der Beugung am Spalt
2z+1 2 ~
1.43 2,46 3,47 4,48
1,s 2-5 3s 4s
0,047 0,017 0,008 0,005
In Tab. 2.20 sind die grafisch ermittelten v,-Werte und ihre Niiherungen sowie die normierten Intensititen angegeben. Fiir die y’ -Richtung gelten die gleichen hrlegungen. Es ist y Io - y
I
=&I ZAf’
yh-y:, =
aft *--22+1 2 1
fiir die Nullstellen,
(2.280)
liir die Nebenmaxima.
(2.281)
142
2 Physikalische Grundlagen
Das Interferenzbild bei der Beugung an einem Quadrat zeigt Abb. 2.98. Die Interferenzstreifen einer Richtung liegen bei der Beugung am Rechteck desto dichter beisammen, je l a g e r die zugeordnete Kante des Rechtecks ist. Bei einem Spalt ist die eine Kante sehr groa gegenuber der anderen ( 1 9 6 ) . Die Interferenzlinien der x’-Richtung gehen dann in denen der y’-Richtung unter, und wir erhalten ein einfaches Streifensystem. Abb. 2.99 zeigt das Beugungsbild am Rechteck.
Abb. 2.98 Beugung am Quadrat
Abb. 2.99 Beugung am Rechteck
Sicherung der Koharenz. Weines Licht. Unsere bisherige Rechnung setzt voraus, daB das Licht, das von den einzelnen Spaltpunkten aus in eine Richtung gestrahlt wird, kohiirent 1st. Bei der Beleuchtung mit einer ausgedehnten Lichtquelle ist das Lichtbiindel einer Beugungsrichtung in sich partiell-kohiirent, Nach der Kohiirenzbedingung G1. (2.18 1) fur unendlich ferne Lichtquellen mul3 b tan w < a/2 sein. Bei einer vorgegebenen WinkelgroBe 2w der Lichtquelle darf der Spalt nicht breiter sein, als es nach be--- a (2.282) 2tanw
zulLsig ist. Die Sonne z. B. hat die WinkelgroBe 32’. Es ist tan w = 0,004654 und bei einer Wellenknge von a =500 nm
Nur mit einem Spalt, dessen Breite klein gegen 0,05 mm ist, kann die Beugung des Sonnenlichtes an einem Spalt direkt beobachtet werden. Experimentell l a t sich d e Fraunhofersche Beugung am Spalt nur untersuchen, wenn auch zur Beleuchtung ein Spalt verwendet wird, der parallel zum beugenden Spalt steht und der die notwendige Kohiirenz sichert. Die Gleichungen (2.276) und (2.278) enthalten die Wellenliinge des Lichtes. Sie gelten also zunachst nur fiir monochromatisches Licht. Bei einer polychromatisch (z. B. wei0) strahlenden Lichtquelle ist G1. (2.276) fiir jede Wellenl2nge gesondert anzuwenden. Das ungebeugte Licht bleibt polychromatisch wie das einfallende Licht. Die Interferenzstreifen werden jedoch farbig. Es entstehen dabei keine Spektralfarben, sondern Mischfarben. Diese kommen folgenderrnden zustande: Wegen der Proportionalit& von x’ und A nach G1. (2.276) werden die Spektralfarben innerhalb jeder Ordnung in der Reihenfolge blau, griin, gelb und rot ausgeloscht. Die iibrigbleibenden Farben mischen sich zur KomplementMarbe der ausgeloschten Farbe. Die Streifen niedriger Ordnung erscheinen in der Reihenfolge gelb, rot, blau und griin
143
2.6 Beugung
gefabt. Die Streifen hoherer Ordnung sind nicht zu sehen, weil sich die Farben wieder zu einem WeiD mischen, in dem eine gewisse Anzahl ganz schmaler Wellenliingenbereichefehlen (“WeiS hoherer Ordnung”).
2.6.3
Fraunhofersche Beugung am Kreis
Abb. 2.100 zeigt einen Schirm mit einer kreisformigen Offnung (Durchmesser 2p,). Die einfallende Lichtwelle sei eben. Das in eine Richtung gebeugte Licht soll durch eine dicht hinter dem Schirm stehende Sammellinse (in Abb. 2.100 nicht eingezeichnet) in einen Punkt der x’- y’-Ebene fokussiert werden. In der Schirmebene werden Polarkoordinaten mittels 5 = pcosrp, q = psinrp (2.283) eingefiihrt. In der Brennebene der Linse soll der Ursprung mit dem Bildpunkt des ungebeugten Lichtes iibereinstimmen. Es ist deshalb x ’ - i o = r’cos29,
y‘-yk
= r’sin29
(2.284)
zu setzen. AuDerdem gelten die Beziehungen
-
x’ cot a = cot &o = f’ ’
4
f”
-
-
Y’ cotPo = Y’o cotp = -
f”
f”
(2.285)
Daraus ergeben sich wegen cot6 = cos Cc = a fiir Winkel in der N&e von 90’ die Gleichungen
0-a
X’o i
= - und
f’
po-p
Y’o -Y’ =-
f’ .
Abb. 2.100 Beugende kreisftirmige Ofhung
(2.286)
144
2 Physikalische Grundlagen
h4it den Gleichungen (2.283), (2.284) und (2.286) erhalten wir
P" (cos 29. cos cp+sin 29. sin cp) 5(ao- a ) + q(p0- p ) = - 7
f
oder
5 (a,- a)+ q ( p 0 - p> =
-
PL cos ( 29 - cp). f'
(2.287)
Gleichung (2.287) setzen wir in das Integral von G1. (2.264) ein. Das Flachenelement lautet in Polarkoordinaten d A = pdpdcp. (2.288) Die Integrationsgrenzen sind 0 I p I pm und
0 I cp I 2 x .
(2.289)
Wir erhalten mit den Gleichungen (2.287) bis (2.289) aus der GI. (2.264) Pm2r
2rjpr'
ms(6-V)
a = Ajje
PdPdcp.
(2.290)
0 0
Das Integral iiber dcp berechnen wir mit der Formel (siehe z. B. [ 7 ] ) (2.291)
J , ( x ) ist die Zylinderfunktion erster Art der nullten Ordnung. J o ( x ) und die in der weiteren Rechnung benotigte Funktion J 1 ( x ) sind in Abb. 2.101 grafisch dargestellt. Der Vergleich von G1. (2.290) und G1. (2.291) zeigt, daR x = - 2xpr'
Af'
(2.292)
zu setzen ist. Es bleibt (2.293)
zu berechnen. Dazu dient nach [ 7 ] die Fonnel jJ,(x)xdx = x J , ( x ) . 0
(2.294)
145
2.6 Beugung
Wir fiihren in der G1. (2.293) wieder die Substitution x=-
2npr’
nf’
’
2n r’ dx = Y d p ,
Af
0 Ix 5
2n ,,,r’
(2.295)
durch und berechnen (2.296)
Wir erhalten mit G1. (2.294) und der Abkiirzung
2n pmr’ v= -
(2.297)
nf‘
das Ergebnis a = 27tpiA-.J l ( V )
(2.298)
V
Fiir das ungebeugte Licht ergibt das Integral in G1. (2.290) wegen r’ = 0 unmittelbar die Flache der beugenden Offnung, fiir die Lichterregung also 2 a. = np,,,A.
(2.299)
Die normierte Intensitat in der Brennebene der Linse betragt (2.300)
Die normierte Intensitat htingt uber v nur vom Radius r’ in der Brennebene der Linse ab; sie ist also auf Kreisen konstant. Das Interferenzbild besteht aus konzentrischen Kreisen urn den Punkt x ; , $, . Die Funktion nach GI. (2.300) ist in Abb. 2.102 dargestellt. Wir dishtieren G1. (2.300).
Abb. 2.102 Nonnierte Intensitat
bei der Beugung am Kreis
146
2 Physikalische bndlagen
Die Nullstellen liegen auf Kreisen, deren Radien aus J , (v, ) = 0 folgen. Diese Nullstellen entnehmen wir einer Tafel (vgl. [7]). Aus G1. (2.297) ergeben sich dann die Radien, die in Tab. 2.21 eingetragen sind. Die Nebenmaxima berechnen wir mit Hilfe der Formel (vgl. [7]) (2.30 1) Tabelle 2.21 Nullstellen der Intensittit bei der Beugung am Kreis
Tabelle 2.22 Nebenmaxima bei der Beugung am Kreis
~
1 2 3 4
r'p,
m
n 3,832 7,016 10,173 13,324
0,6098 1,117 1,619 2,121
1
2 3 4
f 'A 5,135 8,417 11,620 14.796
0,817 1,340 1,849 2,355
0,0175 0,00415 0,00160
0.00078
Die Lage der Nebenmaxima folgt aus J2(v,,,) = 0. Tabelle 2.22 enthiilt die aus [7] entnommenen Werte fiir v, sowie die nach G1. (2.300) berechneten normierten Intensitaten i,. Wir erkennen, dalj die Nebenmaxima noch lichtschwacher als bei der Beugung am Rechteck sind.
Abb. 2.103 Beugung an der kreisfonnigen Offnung
Die A u s m n g e n uber die Kohiirenzbedingung und uber die Beugung von weiBem Licht in 2.6.2 gelten sinngema auch fiir kreisformige Offnungen. Abb. 2.103 zeigt die fotografische Aufnahme der Beugungserscheinung an der kreisformigen Offnung.
2.6.4
Beugung am Liniengitter
Wir untersuchen die Beugung an einer ebenen Struktur, die sowohl den Betrag als auch die Phase der komplexen Amplitude als Funktion des Ortes versbdert. Die einfallende Welle sei eben und habe den Betrag der Amplitude A. Die Struktur hat eine vom Ort abhangige Durch-
2.6 Beugung
147
lassigkeit, so daR der Betrag der Amplitude hinter der Struktur A(<, 7)ist. Auch die Phase des Lichtes ist hinter der Struktur veriindert. Sie htingt aus zwei Griinden vom Ort ab.
- Durch die Beugung wird eine Phasendifferenz uber den Bundelquerschnitt einer Richtung hinweg eingefiihrt. Sie hat analog zu G1. (2.261) den Betrag (2.302)
- Es kann auch innerhalb der Struktur eine Phasenhderung 6 = 6(&77>
(2.303)
entstehen. Mit G1. (2.302) und G1. (2.303) erhalten wir fiir die komplexe Amplitude hinter der Struktur a5.rl = A D ( &
2rj
q ) . ej s ( ~ , r l ) ~ e ~ [ 5 ~ a o - ~ ~ + r l ( B o - B l
(2.304)
Fiir den Anteil, der den Einflul3 der beugenden Struktur widerspiegelt, m e n wir die Abkiirzung
f ( C , q) = a(5. q)ejs(C.")
(2.305) (2.306)
es liegt eine reine Phasensmktur vor. Bei 6 = 0 wird
f(5.77)
=
(2.307)
0(5?7)),
und es liegt eine reine Amplitudenstruktur vor. Die Lichterregung erhalten wir, wenn wir nach dem Vorbild der Ableitung von G1. (2.264) das Huygenssche Prinzip anwenden und at,, nach GI. (2.264) uber die Flache der Struktur integrieren. Es ist also (2.308) Wir spezialisieren G1. (2.308) ftir ein ebenes Liniengitter (Abb. 2.104). Dieses stellt eine eindimensionale periodische Struktur dar, d. h., die Strukturfunktion h b g t nur von einer Variablen ab und ist in dieser periodisch.
Abb. 2.104
Ebenes Liniengitter
148
2 Physikalische mndlagen
Ein Liniengitter entsteht z. B., wenn mit einem Dimanten in gleichen Abst2nden Linien auf eine Glasplatte geritzt werden. Fiir die Strukturfunktion eines Liniengitters schreiben wir
f
f(5)=
(2.309)
~(t).ej"~)'.
Die Periode g ist der Abstmd homologer Gitterstellen, den wir Gitterkonstante nennen. Die Periodizitat der Funktion f ( 4 ) driickt sich in der Gleichung
f(0, k=0,1,2,3,...,
f(C+kg) =
(2.310)
aus. ,Die Linien sollen die Liinge 1 haben; die Gesamtlinienmahl sei N. Das Koordinatensystem legen wir so an, wie es in Abb. 2.104 eingezeichnet ist. Damit geht GI. (2.308) uber in Ng 112
2rj
a = A J jf(e1-e 0
--[b0a) + v&- P)]
(2.31 1)
d5dV.
-(W)
Die Integration uber dq ist ohne Kenntnis der Funktion
f(5) ausfuhrbar und ergibt (2.312)
-W)
Die Funktion (sinL)/L mit der Abkurzung L = n1(P0 - P ) / A hat nach Tab. 2.20 nur merklich von 0 verschiedene Werte, wenn rCl -@*
a
-0,
4 TI,
also
A. p*-p e 1
ist. Die rechte Seite der Ungleichung (2.313) ist sehr klein (bei 1 = 20 mm und so da13 nahezu A/l = 2 . Po =
P
(2.313)
A = 400 nm ist (2.314)
sein mu13 und das Integral (2.312) durch 1 ersetzt werden kann.
I
Ein Liniengitter erzeugt eine Intensitatsverteilung, die in Richtung der Gitterstriche schmal ist.
Mit G1. (2.312) und (sin L ) / L= 1 geht G1. (2.31 1) uber in (2.315)
J
0
Die explizite Integration uber d( setzt die KeMtniS der Funktion f(5) voraus. Wir ktinnen aber die Rechnung noch allgemein weitefihren, wenn wir die Peridzitat dieser Funktion beriicksichtigen. Wir stellen das Integral (2.315) als Summe uber die einzelnen Furchen, d . k uber die einzelnen Periodizitatsbereiche, dar. Wir setzen also (2.316) k=O
is
Die Integrale werden von dem Parameter k unabhiingig, wenn wir mittels (2.317)
149
2.6 Beugung
die neue Variable K einfiihren. Wir erhalten de = gdK,
0 I K 5 1,
(2.318)
und wegen der Periodizitat Mit den Gleichungen (2.317) bis (2.319) formen wir G1. (2.316) um in (2.320) Da nur K variabel ist, schreiben wir im folgenden statt f( q )stets f( K). Zur Abkiirzung setzen wir w = (li"o-=g O1)
(2.321)
und erhalten (2.322) Die Summe stellt eine geometrische Reihe mit N Gliedern dar. Wir summieren, wodurch G1. (2.322) in
If( 1
a = Agl l-e2jlvw
1 - e2jw
K),
e2jKWdK
(2.323)
0
ubergeht. Fiir das ungebeugte Licht ist bilden wir den Grenzwert
01
= a, und damit w = 0. Nach der Regel von de I'Hospital
(2.324)
(2.325)
I, = - =aa'
a06
/ 0
2
f( K) . e2jKWdK 1
j f ( K)dK
[-I.
2
(2.326)
0
1. Wegen der Gesamtlinienanzahl N im NeMer, die bei Beugungsgittern sehr groS ist (z. B. kann sie N = los betragen), erhalten wir nur merklich von 0 verschiedene Werte, wenn sin w in der Nme von 0 liegt, also w = rnn ist. Der Grenzwert fiir w + rnn folgt aus lim w+mr
[-I2
sin Nw Nsinw
= lim w-mr
[NcosNw 1 = 1. NCOSW
(2.327)
150
2 Physikalische Grundlagen
Die Hauptmaxima der normierten Intensitat liegen also bei (2.328)
w = mx. Nach G1. (2.321) gilt fiir die Richtungen, in die die Hauptmaxima fallen, a0-a
mA = -,
m = 0 , + 1 , f 2 , f 3,...
g
(2.329)
2. Zwischen den Hauptmaxima liegen Nullstellen der Intensitat bei Nw = zn,
(2.330)
also in den Richtungen OL0
ZA
- a = -,
Ng
t = f l , f 2 , f 3 ,...,f(N-1).
(2.331)
3. Nebenmaxima erhalten wir zwischen den Nullstellen. Ihre Lage folgt aus
lsinNwI
dw Nsinw
N2cos Nw sin w - N sin Nw cos w N2sin’ w
=o
oder N tan w, = tan Nw,.
(2.332)
Diese transzendente Gleichung hat bei grol3em N fast genau die Losungen w, = (22 + 1)x/2N, so dal3 fiir die Nebenmaxima
a,-a = f (2z+ 1)A , z = 1,2,3, ..., (N -2), 2Ng
(2.333)
gilt. Die Nebenmaxima sind sehr lichtschwach. Die normierte Intensitat betragt in ihnen nur etwa i = 1/ N * , Wir konnen sie im allgemeinen vernachlksigen. Da der Faktor [(sin Nw)/(N sin w)]’ nur fiir w = rnx wesentlich ungleich 0 ist, brauchen wir die Intensitat auch nur fiir diese Werte des Arguments weiter zu untersuchen. Nach G1. (2.326) betragt die normierte Intensitat in den Hauptmaxima
(2.334)
Aus der Periodizitiit des Gitters folgt, dal3 nur in bestimmte Richtungen Licht merklicher Intensitat gebeugt wird. Der Betrag dieser Intensitat ist von der speziellen Strukturfunktion f( K) abhiingig. f( K ) stellt eine Funktion dar, deren periodische Fortsetzung die Strukturfunktion (2.319) bildet. Wir koMen sie in eine Fourier-Reihe entwickeln:
15 1
2.6 Beugung
Multiplikation mit exp (2nj rn K) und Integration uber dK von 0 bis 1 ergibt (2.336)
Da m und n ganzzahlig sind und auf der rechten Seite von G1. (2.336) iiber eine Periode der Funktion exp [27rjK(rn - n)] integriert wird, erhalten wir
1 0
e2xjrh-n)dK = 6m n *
(2.337)
Smnist das Kronecker-Symbol. Auf der rechten Seite von G1. (2.336) bleibt nur der Summand mit rn = n ubrig, und wir finden a,,, = jf(K)~eZKjm‘dK.
(2.338)
0
Fiir m = 0 ist speziell 1
(2.339)
a0 = Jf(x)dK. 0
G1. (2.338) und G1. (2.339) setzen wir in G1. (2.334) ein. Die normierte IntensiGt in den Hauptmaxima betragt (2.340)
Das Ergebnis fassen wir zusammen: Die normierte Intensitat hat bei der Beugung am Liniengitter nur fiir die einzelnen Ordnungen wesentliche Werte. Dafiir ist allein die Periodizitat des Gitters verantwortlich. Der Betrag der nonnierten Intensitiit ist das Absolutquadrat der auf a, bezogenen Fowier-Koeffizienten der Strukturfunlction f ( K). a. ist der Mittelwert der Strukturfunktionuber eine Periode.
1
Sind einzelne Ordnungen in der Fourier-Entwicklung der Strukturfunktion nicht enthalten, dann fehlen sie auch im Spektrum des Gitters. Als Beispiel betrachten wir ein reines Amplitudengitter mit “kastenfdrmiger” Durchli4ssigk i t . Es sei (Abb. 2.105): (2.341)
’lL 0
xo
1
ae
Abb. 2.105 Strukturfunktiondes Amplitudengitters
0
zog
9
5
mit “kastenf6miger” Durchlbsigkeit
152
2 Physikalische Grundlagen
Aus G1. (2.339) folgt U”
= Y d K = KO
(2.342)
0
und aus G1. (2.338) (2.343) Damit wird die normierte Intensitat nach G1. (2.340)
*
.
l m = - amam = [
a:
sinxmx, nm rcO
1, 2
.
(2.344)
sie nimmt mit der Ordnung der Maxima ab (Abb. 2.106a). Wenn ~r eine Ordnung xmK, = k n , k = + l , f 2 , + 3 ,...,
(2.345a)
ist, dam FAllt sie aus. Aus GI. (2.345a) folgt
k KO = -
(2.345b) m’ so daM K,, ein echter Bruch sein m a . (Es ist zu beachten, da8 k und m ganzzahlig und K~ < 1 ist.) Beispielsweise fehlen bei K~ = 0,5 die geraden Ordnungen im Spektrum (Abb. 2.106b).
Abb. 2.106a Normierte Intensibten in den Ordnungen (Strukturfunktion nach Abb. 2.105)
Abb. 2.106b Ausfall der geraden Ordnungen ( IC, = 0,5)
Die G1. (2.329) fir die Richtungen der Hauptmaxima enthiilt die Wellenlhge des Lichtes. Ein Beugungsgitter erzeugt deshalb ein Spektrum, wenn weifies Licht gebeugt wird. Nur die nullte Ordnung ist weiB. Der Richtungskosinus des gebeugten Lichtes ist der Wellenljinge proportional. Langwelliges Licht wird stkker abgelenkt als kurzwelliges. In einem bestimmten Winkelbereich ist die Winkeldispersion konstant. Deshalb wird das Gitterspektrum Normalspektrum genannt.
Beugung am Doppelspalt. Aus G1. (2.326) ergibt sich mit N = 2 die normierte Intensitat bei ~ cos2w . der Beugung am Doppelspalt. Wegen sin 2w = 2 sin w . cos w ist (sin N w/N sin w ) = Fur vollig durchlassige Spalte im undurchlassigen Schirm gilt G1. (2.344). Aus G1. (2.326) folgt 2 sin x K,, m i = cos2w. (2.346) xK,m
[
1
153
2.6 Beugung
Abb. 2.107a enthat die nonnierte Intensitat fiir ic, = 1/10; die Werte auDerhalb des Bereichs - 7c Iv I 7c sind praktisch zu vernachllsigen. Wenn in einem der beiden Spalte die Phase urngeiindert wird, wandelt sich G1. (2.346) fur die auf w = 6 = 0 normierte Intensitat in
ab. Die Intensitatsverteilung wird dadurch seitlich verschoben (Abb. 2.107b). Das hat z. B. Bedeutung fiir das Gasinterferometer nach Haber und Ldwe [12]. Abb. 2.107~zeigt das Beugungsbild des Doppelspaltes im zentralen Teil.
Abb. 2.107a Normierte Intensitiit am Doppel-
spalt mit
K~ = 0,l
Abb. 2.107b Normierte Intensitiit am Doppelspalt mit ~ , = 0 , 1und 26=n
Abb. 2.107~ Zentraler Teil des Beugungsbildes am Doppelspalt
2.6.5
Fresnelsche Beugung an der Kante
Fiir Fresnelsche Beugung gilt das vollstlindige Integral nach G1. (2.265a). Durch eine giinstige Koordinatenwahl l a t es sich vereinfachen. Den Koordinatenursprung legen wir auf die Verbindungslinie Lichtquelle - Aufpunkt, und die 5 -z-Ebene werde durch den Quellenpunkt und die z-Achse aufgespannt (Abb. 2.108).
Kante
Abb. 2.108 Koordinaten an einer beugenden Kante
154
2 Physikalische Grundlagen
Es gilt d m a = a,,p =Po = 0, y = yo und a;= 1- y;, woraus sich gilt die Umformung
= 0 ergibt. Weiter
Mit den Abkiirzungen
geht G1. (2.26Sa) uber in (2.347) Wir wenden diese Gleichung auf die Fresnelsche Beugung an einer Kante an, die parallel zur q-Achse verlliuft. Die Kante liege bei 5 = to,Wenn 5 > 0 ist, liegt der Aufpunkt im geometrischen Schatten; wenn to< 0 ist, liegt der Aufpunkt im geometrischen Lichtbundel. Mit f(v, w) = const = found
geht G1. (2.347) uber in (2.348) Das Integral l u t sich aufspalten in
Nach [7] sind die Fresnelschen Integrale definiert als
155
2.6 Beugung
oder j e Tj t y z dv = --C(vo)+j 21 Va
[:- - S ( V , > 1.
Die Intensitat im Aufpunkt ist aa* proportional, also der GroSe (2.349a) Im geometrischen Lichtbundel geht die GrtjDe a (-m) a*(--) gegen den Wert 82
(2.349b)
so daJ3 die darauf nonnierte Intensitat (2.350a) betriigt. Die Schattengrenze liegt bei kann in die Form
t o= 0, also v o = 0, hinter ihr ist
+{[c(-~-c(~~)I~
+[s(-)-s(~~)I
i =
i = 1/4. G1. (2.350a) (2.350b)
gebracht werden. In der Darstellung S ( v ) als Funktion von C(v) (Cornusche Spirale, Abb. 2.109) stellt die GroSe in den geschweiften Klammern das Quadrat des Abstandes der Punkte v = vo und v = m der Cornuschen Spirale dar. Insgesamt ergibt sich hinter der Kante ein Verlaufder nonnierten Intensitiit gem26 Abb. 2.1 10a. b und Tab. 2.23. Die Anwendung der G1. (2.347) auf die Beugung an einem Spalt fthrt auf eine Intensitatsverteilung mit Maxima und Minima. Die bei der Fraunhoferschen Beugung vorhandenen Nullstellen treten nicht auf [ 191.
-1,o
g
L
L
1a
-3 -
%
-1,5
Pororneter v
-951
Comusche Spirale, Absrand der Punkte v = v 0 vom Punkt v = -
Abb. 2.109
2 Physikalische Grundlagen
156
Abb. 2.110a Normierte Intenslat bei der Fresnelschen Beugung an der Kante
Abb. 2.110b Beugungsbild an der Kante
Tabelle 2.23 Ort sowie normierte Intensitiilen der Maxima und Minima bei Fresnelscher Beugung an der Kante
iMax ~~
1,2172 2,3445 3,0820 3,6741 4,1832 4,6367
1,3704 1,1993 1,1457 1,1261 1,1104 1,0994
I
-V0
lMin
1,8725 2.7390 3,39 13 3,937 1 4,4159 4,8473
0,778 1 0,8432 0.87 19 0,8890 0,9006 0,9093
2.7 Abbildung 2.7.1
Optische Abbildung
Der Begriff “Abbildung” wird in verschiedenen Wissenschaftsgebieten verwendet. Vor allem stellt er eine philosophische Kategorie dar, die fiir die E r k l h n g des Erkenntnisprozesses von Bedeutung ist. Auch in der Mathematik wird von einer Abbildung gesprochen, wenn eine Menge von Elementen mit bestimmten Relationen in die gleiche oder in eine andere Menge transfonniert wird. So kann ein Raum als eine Menge von Punkten mit einer bestimmten Metrik in einen zweiten Raum abgebildet werden. Die optische Abbildung transformiert mit Hilfe von technischen Systemen bestimmte Objekteigenschaften in Bildeigenschaften. Es ist nun unsere Aufgabe, Gemeinsamkeiten der verschiedenen Abbildungen herauszuarbeiten, sie andererseits abzugrenzen und zu klassifizieren. Gegeben ist in jedem FalI ein Objekt, das abgebildet werden soll. Das Objekt kann materiel1 sein. Bei der Erkenntds von Erscheinungen der realen Welt sind die Objekte materiell. Das trim damit auch auf die realen Objekte bei der realen optischen Abbildung zu.
2.7 Abbildung
157
Die Objekte koMen aber auch nichtmaterieller Natur sein. Sowohl bei der mathematischen Transformation als auch bei der Abbildung von modellierten technischen Strukturen sind die Objekte nicht materiell gegeben. Zum Beispiel ist ein Kreis in der materiellen Welt nur angeniihert realisierbar. Als Gegenstand der Mathematik stellt er ein nichtmaterielles Gebilde dar. Auch ein Objektpunkt ist nur das Modell fiir einen eng begrenzten Bereich der Objektstruktur. Die Abbildung transformiert die wesentlichen Eigenschaften des Objekts in das Bild bzw. Abbild, d. h in einen anderen Bereich, so dal3 aus dem Bild auf bestimmte Eigenschaften des Objekts zuriickgeschlossenwerden kann und am Bild modellm2Rige Untersuchungen iiber das Objekt mtiglich sind. Das Bild kann auch dazu dienen, einen kiinstlerisch beeinfldten Eindnrck von der objektiven Realitat zu vermitteln. Das Bild kann materiell sein, es ist dann ein materielles Modell des Objekts. Ein ProzeD, ein System oder eine Struktur koMen jedoch in den nichtmateriellen Bereich abgebildet werden, so daR das Bild ein nichtmaterielles Modell des Objekts darstellt. In diesem Sinne l a t sich eine im materiellen Bereich vorliegende reale Abbildung selbst in den nichtmateriellen Bereich abbilden, also modellieren. Im modellierten Bereich sprechen wir von einer konkreten Abbildung, wenn die abbildende Struktur bzw. der abbildende ProzeD ebenfalls modellmaI3ig bekannt sind; wir sprechen von einer abstrakten Abbildung, wenn nur die Verkniipfung von Eingangs- und Ausgangsgrokn, also die Funktion der abbildenden Struktur, betrachtet wird. Wir fassen zusammen:
I
Die Abbildung ist eine Transformation von wesentlichen Eigenschaften eines Objektbereichs in den Bildbereich zum Zweck der Erkenntnis, der Modellierung oder der kiinstlerischen Darstellung der objektiven Realitat.
Wir ubertragen nun die allgemeinen Erkenntnisse iiber die Abbildung auf die optische Abbildung. Wir halten zunachst fest:
I
Die Realisierung der optischen Abbildung ist eine der Hauptaufgaben der technischen Optik.
Die optische Abbildung wird durch technische Systeme vennittelt. Diese beeinflussen das vom Objekt ausgehende Licht so, daJ3 es im Bildraum die wesentlichen Eigenschaften der Objektstruktur reproduzieren kann.
I
Die optische Abbildung wird durch technische Systeme, die optischen Systeme, vermittelt. Triiger der Informationen iiber das Objekt ist das Licht.
Wir unterscheiden die reale, die konkrete und die abstrakte optische Abbildung. Die reale optische Abbildung transformiert die Eigenschaften einer materiellen Objektstruktur, die auf den riiumlichen und zeitlichen Zustand des Lichtes einwirken, in die reale Bildstruktur. Das Licht ist der materielle Trager der Objektinformationen. Es liegt eine reale technische Struktur vor, ein reales optisches System, die das Licht so beeinfldt, daI3 die Bildstruktur entsteht. Diese kann subjektiv (visuell) oder objektiv ausgewertet werden. Eine reale optische Abbildung verkniipft folgende Strukturen: - das reale Objelctsystem, das aus der Strahlungsquelle, dem Beleuchtungssystem und der Objektstruktur bestehen kann, - das reale optische System, das im allgemeinen eine Baugruppe darstellt, deren Hauptfunktion durch abbildende optische Bauelemente realisiert wird,
158 -
2 Physikalische Grundlagen
das reale Bildsystem, das aus der Bildstruktur, der Auffangflache und dem Strahlungsempfiinger bestehen kann.
Die konkrere optische Abbildung ist das nichtmaterielle Modell der realen optischen Abbildung. Objektsystem, optisches System und Bildsystem werden modellm2l3ig beschrieben. Da jedoch die Modelle der in der Abbildungskette auftretenden technischen Strukturen in die Betrachtung einbezogen werden, sind auch die Strukturen konkret gegeben. So liegt z.B. das Modell des realen optischen Systems als konkrete Struktur aus Funktionselementen vor, die wir konkretes optisches System nennen. Dieses ist im allgemeinen eine Funktionsgruppe. Wir weisen noch darauf hin, d& das konkrete System auch die Fertigungsfehler modellm&ig erfassen kann. Das Lichtsignal tritt als konkretes Modell des Lichtes auf, z.B. als Wellenmodell des Lichtes. Die konkrete optische Abbildung kann nur theoretisch behandelt werden. Die Objektstruktur ist im allgemeinen durch die Objektfunktion mathematisch modelliert. Die abstrukre optische Abbildung erfal3t den allgemeinen Zusammenhang zwischen Objekt- und Bildeigenschaften. Sie ist somit ebenfalls ein nichtmaterielles Modell der realen optischen Abbildung, aber ohne Beriicksichtigung der konkreten technischen Strukturen. Das abstrakte Modell des optischen Systems erfiillt also nur bestimmte Funktionen. Diese bestehen darin, Eingangssignale so in Ausgangssignale umzuwandeln, d& die Merkmale einer Abbildung erfiillt werden. Das abstrakte optische System ist eine “black box”, deren Funktion in Elementarfunktionen zerlegt werden kann. Auch vom konkreten Modell des Lichtes ist so weit zu abstrahieren, d& das Licht als Signal ohne physikalische Modellstruktur behandelt wird. Das Licht tritt dm im eigentlichen Sinne nicht mehr in Erscheinung, und es werden allgemeine Gesetze der technischen Abbildung von Objektinformationen in Bildinformationen aufgedeckt oder anwendbar. Wir wollen die bei der optischen Abbildung vorliegenden Einzelerscheinungen noch etwas genauer angeben und formulieren zunachst die allgemeinen Zusammenhange. -
-
-
-
Die optische Abbildung stellt eine Transformation derjenigen Eigenschaften der Objektstruktur in die Bildstruktur dar, die eine Modulation des Lichtes hervormfen. Moduliert werden koMen smtliche GrtiBen, die den raumlichen und zeitlichen Zustand des Lichtes beschreiben. Infolge der Modulation sind die Informationen iiber das Objekt im Lichtsignal verschlusselt (codiert) enthalten. Da die Lichtdetektoren Leuchtdichte- und Farbunterschiede registrieren, mul3 die Bildstruktur eine Entschliisselung darstellen, die die transformierte Objektstruktur in Farb- oder HelUDunkel-Kontraste umwandelt. Im allgemeinen treten bei der Abbildung beabsichtigte und unerwiinschte Filterwirkungen auf, durch die bestimmte Objekteigenschaften im Bild hervorgehoben, abgeschwacht oder unterdriickt werden. Die Abbildung kann durch statistische Schwankungserscheinungen beeinflul3t werden, die ein optisches Rauschen darstellen.
Die einzelnen Schritte erlautern wir am Beispiel des Liniengitters mit stuckweise konstanter Strukturfunktion, das mit einem senkrecht zur Gitterebene einfallenden Parallelbiindel be-
2.7 Abbildung
159
leuchtet wird. Ein Projektionsobjektiv bildet das Gitter auf einem Schirm ab. Die Lichtwelle sol1 in Form des skalaren Wellenmodells betrachtet werden. Modulation. Das Liniengitter moduliert die Lichtwelle, indem es die komplexe Amplitude periodisch verSndert. Die ebene Wellenflache wird durch die ortlich periodisch variable Transparenz, die ijrtlich variable optische Wegliinge und durch die Beugung in eine komplizierte Wellenflache umgewandelt. Codierung. Die am Liniengitter gebeugte Welle enthat die Objekteigenschaften verschlusselt, indem sie die im Objekt periodisch verilnderlichen Grijkn in Form von Amplituden- und Phasenverlaufen in einem Wellenfeld transportiert. Filterwirkung. Das Projektionsobjektivhat einen begrenzten Durchmesser, so d d es niemals das gesamte am Liniengitter gebeugte Licht erfassen kann. Das hat zur Folge, d d im Bild nicht das gesamte vom Objekt ausgehende Licht zur Interferenz gebracht wird. Im Bild konnen dadurch nicht alle Objekteigenschaften erkannt werden, z. B. unter bestimmten Verhiiltnissen nicht die scharfen Kanten der einzelnen Periodizitatsbereiche. Das Liniengitter erscheint verwaschen, und nur die Periodizitat ist in das Bild ubertragen worden. Es sind also bestimmte Objekteigenschaften unterdriickt, d. h durch eine Filterwirkung aus der Welle getilgt worden. Entschliisselung. Die Information uber das Objekt, d e die Lichtwelle enthat, muR in optisch wahrnehmbare Bildeigenschaften umgewandelt werden. Ohne besondere MaRnahmen wiiren z.B. Phasenunterschiede im Objekt nicht im Bild erkennbar. Es gibt jedoch Maf3nahmen (Eingriffe in die Welle, die einer Filterung entsprechen), durch die Phasendifferenzen in Hell/Dunkel-Kontrast umgewandelt, also entschlusselt werden konnen. Optisches Rauschen. Bei der Projektion ist Streulicht vmhanden, das sowohl aus dem Abbildungsvorgang wie auch aus der Umgebung stammen kann. Im Bild setzt das Streulicht den Kontrast herab.
2.7.2
Ideale geometrisch-optische Abbildung
Die in 2.7.1 gegebene allgemeine Beschreibung der optischen Abbildung 1 s t sich in einzelnen Zugen verfeinern, wenn ein bestimmtes Model1 des Lichtes und darnit eine konkrete theoretische Konzeption der optischen Abbildung zugrunde gelegt wird. Wir stellen uns auf den Standpunkt der geometrischen Optik. In der geometrisch-optischen Theorie der Abbildung denken wir uns das Objekt aus leuchtenden Punkten aufgebaut. Dabei ist es gleichgultig, ob es sich um direkt ausgestrahltes, reflektiertes oder gestreutes Licht handelt. Von jedem Objektpunkt geht ein rjdumlicher Lichtkegel, ein Strahlenbundel, aus.
I
Jedes Strahlenbundel des Objektraumes hat einen Konvergenzpunkt A, in dem sich die Strahlen schneiden. Deshalb wird es homozentrisch genannt.
Die Gesamtheit an Objektpunkten stellt die Objektstruktur dar. Als modulierbare GroBen treten nur die raumliche Verteilung der Objektpunkte und die Strahlrichtungen auf. Die punktformige geometrisch-optischeAbbildung wird nun folgendermden definiert:
160 I
2 Physikalische Grundlagen
Eine punktformige geometrisch-optische Abbildung liegt vor, wenn die homozentrischen Strahlenbundel mit den Konvergenzpunkten A in homozentrische Strahlenbiindel mit den Konvergenzpunkten A’ venvandelt werden. Der einem Objektpunkt A zugeordnete Konvergenzpunkt A’ ist der Bildpunkt. A und A’ heiDen konjugiert.
Die punktfomige geometrisch-optische Abbildung transformiert also eine Struktur aus Objektpunkten in eine Struktur aus konjugierten Bildpunkten.
I
Die Gesamtheit aller moglichen Objektpunkte bildet den Objektraum; die Gesamtheit aller moglichen Bildpunkte bildet den Bildraum.
Da sowohl die Gesamtheit der moglichen Objektpunkte wie auch die Gesamtheit der moglichen Bildpunkte den Raum vollstiindig ausfiillen konnen, uberdecken sich im allgemeinen Objekt- und Bildraum einer Abbildung. Wir unterscheiden sowohl bei den Objekt- als auch bei den Bildpunkten reelle und virtuelle Punkte.
I
In einem reellen Punkt schneiden sich die Lichtstrahlen; in einem virtuellen Punkt schneiden sich die Verlhgerungen der Lichtstrahlen.
Abb. 2.1 11 demonstriert die punktformige geometrisch-optische Abbildung am ebenen Spiegel. Zu jedem Objektpunkt gibt es am ebenen Spiegel einen Bildpunkt. Der Spiegel teilt soWONden Objektraum als auch den Bildraum. Der Halbraum vor dem Spiegel enthiilt die reellen Objekt- und Bildpunkte; der Halbraum hinter dem Spiegel enthiilt die virtuellen Objektund Bildpunkte. Der Abb. 2.1 12 ist zu entnehmen, daR ein ebener Spiegel jede Objektstruktur in eine gleichgrooe Bildstruktur abbildet, also transformiert. Eine geometrische Figur, z. B. ein Quadrat, wird in eine m i c h e Figur abgebildet. (Im Spezialfall des ebenen Spiegels ist es eine kongruente Figur.) Damit erfiillt der ebene Spiegel eine zweite Forderung, die an eine ideale geometrisch-optische Abbildung zu stellen ist, niimlich die khnlichkeit.
I
Bei der W i c h e n Abbildung werden geometrische Figuren in W i c h e Figuren abgebildet.
Damit gilt:
I
Die ideale geometrisch-optische Abbildung ist punktformig und W i c h .
Abb. 2.111 a) Reelles Objekt, virtuelles Bild am ebenen Spiegel, b) Virtuelles Objekt, reelles Bild am ebenen Spiegel
161
2.7 Abbildunp,
Der unendlich ausgedehnte ebene Spiegel Wiirde eine ideale geometrisch-optische Abbildung realisieren. Besondere Bedeutung haben die rotationssymmetrischen optischen Abbildungen, bei denen sowohl im Objekt- als auch im Bildraum eine Symmetrieachse, die optische Achse, existiert. Eine ideale geometrisch-optische rotationssymmetrische Abbildung, die den gesamten Raum punkU3rmig und geometrische Figuren in achssenkrechten Ebenen gihnlich abbildet, wird durch gebrochene lineare Funktionen mathematisch beschrieben. Sie ist im mathematischen Sinne eine rotationssymmetrischekollineare Abbildung. A u k r mit dem Planspiegel ist die kollineare Abbildung nicht mit optischen Systemen realisierbar.
Abb. 2.112 Kongruentes Bild am ebenen Spiegel
2.7.3
Geometnsch-optische Abbildung
Praktisch ist niemals der gesamte Objektraum abzubilden und eine exakt punktfomige und gihnliche Abbildung weder notwendig noch moglich. In der geometrischen Optik ist die einzige physikalische Grundlage fiir die Bestimmung des Strahlenverlaufs das Fermatsche Prinzip, also die Extremaleigenschaft des Lichtweges. Durch das Fermatsche Prinzip sind die Strahlrichtungen innerhalb des Systems aus optisch wirksamen Flachen und Stoffen festgelegt, wenn die Objektpunkte und die objektseitigen Strahlrichtungen vorgegeben sind. Die Strahlen eines objektseitig homozentrischen Bundels schneiden sich im Bildraum im allgemeinen nicht in einem Punkt,aber haufig in der Umgebung eines Punktes. Es sind damit zwei EinschrWcungen, denen eine realisierbare geometrisch-optischeAbbildung unterliegt: 1. Die abzubildende Objektstruktur ist raumlich begrenzt, d. h,die abzubildenden Objektpunkte sind auf ein bestimmtes Gebiet des Objektraumes beschrhkt. 2. Die Bildstruktur besteht nicht aus Bildpunkten, aber die Strahlen, die von einem Objektpunkt ausgehen, schneiden sich im Bildraum in der Umgebung eines Punktes.
2 Physikalische Grundlagen
162
Wir erlautern diese Bemerkungen an drei Beispielen, Bei der Projektion von Diapositiven hat das Projektionsobjektiv die Aufgabe, die ebene und begrenzte Objektstruktur m i c h vergrol3ert auf die Projektionswand abzubilden. Es ist also ein Ausschnitt einer Objektebene in einen Ausschnitt der Bildebene abzubilden. Bei der fotografischen Aufnahme wird ein Teil der Objektebene in einen Teil der Filmebene abgebildet. Die abzubildende Objektpunkte und die Punkte eines beiderseits der Objektebene liegenden Gebietes (des Schiirfentiefenbereichs) sollen auf dem Endbild so kleine Zerstreuungsfiguren ergeben, da8 ein den Forderungen genugender Bildeindruck erreicht wird. - Beim Betrachten eines Fixsterns mit dem Fernrohr mu8 das Licht, das vom Fixstern ausgeht und von dem Femrohr aufgenommen wird, auf eine so kleine Flache konzentriert werden, daB der Stem als Punkt erscheint. Die geometrisch-optische Abbildung muS unbestimmter definiert werden als die ideale geometrisch-optische Abbildung. Die geometrisch-optische Abbildung transformiert eine rhmlich begrenzte Struktur aus Objektpunkten in eine Bildstruktur aus Zerstreuungsfiguren, deren Gesamtheit in Verbindung mit einem bestimmten Empfainger eine den Anforderungen des jeweiligen Anwendungszweckes geniigende Aussage uber wesentliche Objekteigenschaften erlaubt. Wie groB die zulissigen Abweichungen von der Punktfodgkeit und von der ;ihnlichkeit sind, h h g t von der speziellen Aufgabe ab. Die genaue Beantwortung dieser Frage setzt umfassende Untersuchungen uber die Bewertung optischer Systeme und Bilder voraus. Diese sind nicht allein auf geometrisch-optischer Grundlage moglich [ 191. Durch eine entsprechende Kombination von abbildenden optischen Elementen in den optischen Systemen wird der Bereich der angeniiherten punktfomigen und gihnlichen Abbildung auf die notwendige GroBe erweitert.
2.7.4
Wellenoptische Abbildung
Bei der Behandlung der optischen Abbildung mit dem Wellenmodell des Lichtes wird im allgemeinen davon ausgegangen, daB das Licht zeitlich kohiirent ist. Wird nur ein Objektpunkt abgebildet, dann ist die Frage nach der rhmlichen Kohiirenz gegenstandslos. Das wellenoptische Modell der Abbildung eines Objektpunktes beschreibt eine von diesem ausgehende Kugelwelle, die an den Offnungen des optischen Systems gebeugt wird und deren Wellenflkhen durch die abbildenden Elemente transfonniert werden. Dadurch entsteht im Bildraum eine Intensitatsverteilung mit Interferenzmaxima und -minima. Die Konzentration der Lichtintensitat in einem Hauptmaximum und seine Umgebung ist Bedingung fiu die optische Abbildung im Sinne der Wellenoptik. Fiir die theoretische Behandlung der wellenoptischen Abbildung eines reellen Objektpunktes wird ein Modell verwendet, das noch weiter spezialisiert ist. Es gelten folgende Festlegungen: - Vom Objektpunkt geht eine divergente Kugelwelle aus.
2.7 Abbildunp,
163
- Ein geometrisch-optisch punktfbnig abbildendes optisches System wandelt die Kugelwelle in eine Kugelwelle mit einem anderen Konvergenzpunkt um. Alle anderen optischen Systeme eneugen eine Welle mit asphiirkhen Wellenfltichen. - Die vom optischen System transformierten Wellen werden an der Austrittspupille gebeugt, wobei fiir die einzelnen Aufpunkte im Bildraum im allgemeinen Phasendifferenzen zwischen den Teilwellen entstehen. - Die Interferenz der Teilwellen, die von den einzelnen Elementen der Austrittspupille ausgehen, ergibt die bildseitige Intensitiitsverteilung. Bei der Abbildung ausgedehter Objekte geht nach dem wellenoptischen Modell von jedem Objektpunkt eine Kugelwelle aus, die transformiert und gebeugt wird. Die ijberlagerung s2mtlicher Beugungsbilder M g t von der rihmlichen Kohtirenz im Objektraum ab. Bei inkohiirent strahlenden Punkten sind die Intensitaten, bei kohtirent strahlenden Punkten die komplexen Amplituden, bei partiell-kohhnten Punkten gemischte Ausdriicke zu addieren. Das Umsetzen dieses Konzepts ist teilweise in 4.4 vorgenommen worden. Ausfbhrlich sind die theoretischen Grundlagen in [ 191 dargestellt.
3
Strahlungsphysik und Lichttechnik
3.1
Strahlungsphysikalische Groflen
3.1.1
StrahlungsfluB
Eine wesentliche Seite der optischen Strahlung 1st ihre Erscheinungsform als elektromdgnetische Welle. Die Energie der optischen Strahlung, also die elektromagnetische Feldenergie, ist unabhtingig vom menschlichen Auge registrierbar. Es gibt eine Vielzahl an Strahlungsempfbgern, die eine objektive Messung der energetischen GroBen gestatten. Dazu gehoren Fotozellen, Fotoelemente, Fotovervielfacher, Fotodioden, Fototransistoren, Fotowiderstiinde, lichtempfindliche Schichten zur Fotografie, CCD-Zeilen bzw. -matrizen u.a. Objektive MeBverfahren sind aderhalb des sichtbaren Gebietes notwendig. Die objektiv gemessenen energetischen GroBen der optischen Strahlung werden zweckmN3ig in denselben Einheiten angegeben wie andere Energieformen der Physik. Die im Zusammenhang mit der Strahlungsenergie stehenden GroBen werden strahlungsphysikalische GroBen genannt, wenn sie in den physikalischen Mdeinheiten angegeben und unabhiingig von den physiologisch-optischen Eigenschaften des menschlichen Auges gemessen werden. Gegeben sei eine zeitlich stationiire und raumlich begrenzte Strahlungsquelle. Wir legen eine geschlossene Flache um die Strahlungsquelle und berechnen die im Zeitmittel je Zeiteinheit durch die Flache hindurchgehende Energie (Abb. 3.1).
einhullende Floche
Abb. 3.1 Zur Definition des Strahlungsflusses
Abb. 3.2 Spektraler StrahlungsfluO
Damit erhalten wir die gesamte Strahlungsleistung der Quelle, fiir die der Begriff des Strahlungsflusses Qe gepragt wird. (Der Index “e” deutet auf “energetische GroRe” hin.)
I
Der Strahlungsflul3 Qe stellt die SUahlungsleistung einer Quelle dar. Er wird in der Einheit Watt gemessen.
165
3.1 StrahlungsphysikalischeGrokn
In einem nichtabsorbierenden Stoff ist der Energieerhaltungssatz fiir die Strahlungsenergie erfiillt. Der StrahlungsfluD ist also eine primiire GrOfle, die beim Durchgang durch ein optisches System bei Vernachlhsigung von Verlusten erhalten bleibt. Der StrahlungsfluS einer Quelle setzt sich im allgemeinen aus den Anteilen fiir die einzelnen Wellenliingen zusammen. Der spektrale StrahlungfluD (3.1) bestimmt die Strahlungsleistung im Wellenliingenintervall StrahlungsfluD(Abb. 3.2)
a.Entsprechend gilt fiir den
A2 @e
=
j@&
(3.2)
Ai
Der Strahlungsflul3je Flacheneinheit der Quelle in den Halbraum wird spezifische Ausstrahlung genannt und mit d@C Me = -, dql
[ M e ] = -,W m2
(3.3)
bezeichnet (ql Flache der Quelle). Fiir die spezifische spektrale Ausstrahlung gilt (3.4)
Als Beispiel betrachten wir den schwarzen Strahler, der z. B. als Hohlraumstrahler ausgebildet sein kann [ 141. Die strahlende Offnung sei eben und strahle in den gesamten davor liegenden Halbraum. Die spezifische spektrale Ausstrahlung ergibt sich aus der Planckschen Strahlungsgleichung [ 141 zu
(T absolute Temperatur). Die Konstanten haben die Werte c1 = (3,741832f0,000020).10-16W . m 2 ,
c2 = (1,438786f0,000045)~10-2 m.K. Relative spektrale spezifische Ausstrahlungen enthat Abb. 3.3. Mit der Abkiirzung x = - c2 AT kann fiir G1. (3.5) auch
geschrieben werden. Die spezifische Ausstrahlung folgt wegen dx=-%a, AT
~ 2 x 1 bei 0 02ALm,
166
3 StrahlunnsDhvsik und Lichttechnik
aus
Das Integral kann mit Hilfe von [2] (3.9a, b, c)
gelost werden. Es ergibt sich (3.10) Das ist das Stefan-Boltzmannsche Gesetz. Die Konstante betragt Q
= (5,67032 f O,OOo71)~ lo-* W. m-*. K 4 .
Abb. 3.3 Relative spektrale spezifische Ausstrahlung des schwanen Strahlers als Funktion der Wellenltinge
Differenzieren von G1. (3.7) nach der Wellenltinge fiihrt auf
bzw. 5x4(eX-1)-x5ex = Die Gleichung e”(5-x) = 5
o
(3.11)
167
3.1 StrahlungsphysikalischeGrti6en
hat die Ldsung x = 4,9651, so das sich aus GI. (3.6) das Wiensche Verschiebungsgesetz Am,T = b
(3.12)
und mit c2 b = (2.897790+0,000090).10-3m . K
ergibt. Bis zu T 3000 K kann fiir das sichtbare Gebiet in G1. (3.5) die Eins im NeMer vernachlksigt werden. Es entsteht die Wiensche Nuerung der Strahlungsgleichung: (3.13)
Daraus folgt die spezifische Ausstrahlung zu
Ausrechnen des Integrals fiihrt auf Me = ~c1T4 [e-x1(x~+3x~+6x1+6)-e-xz(x~+3x~+6~2+6)]. c2
FiirAl =0, Az = m ist x1 = 0 , x2 = m und M e = -6cl T4 .
(3.14)
4
Statt des exalden Faktors 7c4/15 = 6,49 erhdt man also den Faktor 6, der relative Fehler betriigt ca. 8%. Tab. 3.1 enthat als Funktion der Temperatur die spezifische Ausstrahlung im gesamten Spektrum, jeweils nach der Planckschen und nach der Wienschen Strahlungsgleichung berechnet, sowie im sichtbaren Gebiet nach der Wienschen Strahlungsgleichung.
Tabelle 3.1 Spezifische Ausstrahlung nach der Stefan-Boltzmannschen Gleichung und in der Wienschen Nfierung (Gesamtstfahlung und im sichtbaren Gebiet) TinK
1000 2000 3000 4Ooo 5Ooo 6Ooo
7000 8000 9000
loo00
lo-' M e (Stefan-Boltzmann)
lo-' Me (Wien)
0,00057 0.00907 0,04593 0,145 16 0,35439 0,73487 1,36144 2,32256 3,72030 5,67032
0,00052 0,00838 0,04236 0,13412 0,32744 0,67898 1,25789 2,14591 3,43733 5,23902
lo-' M e (Wien, VIS) 0,00152 0.05814 0,41390 1,44082 3,42890
168
3 Strahlungsphysik und Lichttechnik
Leuchtende Stoffe sind hlufig als graue Strahler anzusehen. Ihr Absorptionsvermogen ist unabhiingig von der Wellenliinge, aber kleiner als beim schwarzen Strahler. Bei Selektivstrahlern ist das Absorptionsvermogen wellenlhgenabhangig . In diesen Fiillen kann die Temperatur des schwarzen Strahlers mit gleicher spezifischer Ausstrahlung angegeben werden. Diese sogenannte “schwarze” Temperatur T, ist stets kleiner als die wahre Temperatur des Stoffes. Fiir Platin betragt z. B. beim Schmelzpunkt die wahre Temperatur T = 2042 K, die schwarze Temperatur T, = 1832 K. Gliihlampen enthalten Gliihdriihte aus Wolfram, dessen Schmelzpunkt bei 3635 K liegt. Bei VakuumgluNampen wird die Temperatur des Gluhfadens auf ca. 2700 K begrenzt. Bei Fiillung des Kolbens mit Edelgas wird die Temperatur von ca. 3000 K vemetbar. Zusatze von Iod oder Brom (Halogengliihlampe) ermoglichen Temperaturen des Gliihdrahtes bis ca. 3400 K. Durch die Temperaturerhohung wird eine wesentlich griil3ere Strahlungsausbeute (3.15)
(P elektrische Leistung) erreicht. Wegen der Verschiebung des Strahlungsmaximums nach kleineren Wellenliingen liegt ein grofierer Anteil im sichtbaren Gebiet. Gasentladungen, Lumineszenzdioden und Laser sind in starkem Mal3e Selektivstrahler.
3.1.2
Strahlstiirke
Eine Strahlungsquelle strahlt im allgemeinen raumlich ungleichm2Big. Auch die einzelnen Elemente der Strahlungsquelle strahlen richtungsabhiingig. Wir greifen einen Punkt der Quelle und ein Raumwinkelelement dR heraus, dessen Spitze im betrachteten Punkt liegt (Abb. 3.4). Der auf das Raumwinkelelement dR entfallende StrahlungsfluB heiRt Strahlstiirke und wird mit I , bezeichnet. Es gilt (3.16)
I
Die Strahlstiirke I, ist der StrahlungsfluB je Raumwinkelelement.
tluelle
Abb. 3.4 Zur Definition der Strahlstiirke
Eine punktformige Strahlungsquelle ist nicht realisierbar. Die angegebene Definition der Strahlstkke ist aber auch dam anwendbar, wenn die Spitze des Kaumwinkelelementes im
169
3.1 StrahlunesDhvsikalische &O&n
Mittelpunkt eines Flachenelementes dq, der Quelle liegt. (Wir verwenden fiir Fltichen das Symbol 4,weil spater die numerische Ape- A benotigt wird. Elemente der Quelle indizieren wir mit “l”,Elemente des Empfahgers mit “2”.)
3.1.3
Strahldichte
Ein Flkhenelement dq, der Quelle strahlt mit der richtungsabhilngigen Strahlst2rke dl,(R). Die von der Flkheneinheit senkrecht zum Flachenelement ausgesendete Strahlstiirke I,, ist ein Ma6 fiir die Dichte der Energieabstrahlung. Diese wird Strahldichte Leo genannt. Es ist also Me0
Leo = -*
dq,
I
[Leo]=
W z .
(3.17)
Die Strahldichte Leo ist die auf die Flacheneinheit der Quelle bezogene Lichtst&ke, die senkrecht zu einem Flachenelement der Quelle wirksam wird.
Die SrrahldichtedefinitionIiiDt sich fiu schr’dg zum Flachenelement stehende Empfiinger erweitern. Eine ebene und kreisformige Flache habe in senkrechter Richtung die Strahldichte L e o ,Ein seitlich stehendet Empfiinger registriert die Strahlung scheinbar von einer elliptischen Flache, die die kleine Halbachse b = a cos E ,
hat (Abb. 3.5). Die Flache der Ellipse ist also kleiner als die Flache des Kreises. Die Strahldichte betragt deshalb (3.18)
Die Strahldichte ist von der Richtung unabhbgig,
N ~ M
Leo = L,,
(3.19)
d q1
Abb. 3.5 Strahldichte scluag zu einer strahlenden Ebene
170
3 Strahlungsphysikund Lichttechnik
d.h.
-K -O
- -1 d
dql
COSEl
e
dql
(3.20)
ist. Daraus folgt
dz, =
dcOCOS&l
(3.21)
I, =
cos E l .
(3.22)
bzw. leO
Ein Strahler mit diesen Eigenschaften heifit Lambert-Strahler. Fiir den Strahlungsfld des Lambert-Strahlers gilt Oc = j f e d a .
(3.23)
Bei Abstrahlung eines ebenen Lambert-Strahlersin den Halbraum ist 4 2 2c
Q2, = Ic0
a,
sin E~ . cos &, . d q dq. 0
(3.24)
0
Ausrechnen des Integrals ergibt Qzc = 7Cf,ORO = xL,q,Q,.
(3.25)
Diese Gleichung ist auch auf den spektralen Strahlungsflul3anwendbar. Es gilt also auch Me,, = -- XQOL,,*. dq, dQzc A
(3.26)
Nach GI. (3.5) hat also der schwane Lambert-Strahler die spelctrale Strahldichte (3.27)
3.1.4
Bestrahlungsstiirke
Wir gehen vom theoretischen Grenzfall einer punktfomigen Quelle aus und legen um diese eine Kugel (Abb. 3.6). Der Strahlungsflulil trim senkrecht auf die Kugelflache auf. Fiir die Stslrke der Bestrahlung der Kugelflache ist der auf die Flacheneinheit entfallende StrahlungsfluR dQeoma6gebend. Die Bestrahlungsswke Eeo ist damit durch E,, =
d@CO - 9
dq2
W [E,,] = m2
(3.28)
definiert. In Worten:
I
Die Bestrahlungsstiirke Eeo ist der auf die Flacheneinheit des Empfa;ngers bezogene Strahlungsflul3, der senkrecht auf seine Flache trifft.
171
3.1 Strahlungsphysikalishe&Men
Die Bestrahlungssttirke kann auch bei nicht punktf6rmigen Quellen berechnet werden. Es mussen d m die Strahlungsfluhnteile der einzelnen Flachenelemente der Quelle beriicksichtigt werden. Der schrag auf einen ebenen Empminger auftreffende Strahlungsfluk der in einem Kreiskegel verlaufi, bestrahlt eine elliptische Flache (Abb. 3.7). Die groBe Halbachse der Ellipse betragt a =
b cos E2
-,
Abb. 3.6 Zur Definition der Bestrahlungssmke
Abb. 3.7 Bestrahlungsstllrkebei schrag beleuchteter Ebene
Die bestrahlte Flache ist damit um den Faktor cos E~ gr6kr als bei senkrechter Bestrahlung. Fiir die Bestrahlungsstiirkegilt E, = E,, cos E2.
(3.29)
Die Bestrahlungssttirke, als Leistung je Flkheneinheit, stellt zugleich die Energie dar, die je Zeiteinheit durch eine senkrecht zur Energieausbreitung stehende Flacheneinheit geht. Sie ist also eine Energiestromdichte, so wie der Betrag des Zeitmittelwertes des Poynting-Vektors. Damit ist die Bestrahlungsstiirkefiir den Fall eines bestrahlten Schirms mit der Intensitat identisch. Bestrahlung. Manche Empminger, wie z.B. die fotogrifischen Schichten, akkumulieren die auhffende Strahlungsenergie. Die auf die Flacheneinheit entfallende Strahlungsenergie, die Bestrahlung E,, W g t von der BestrahlungsstiWe und von der Zeit ab.
I
Die Bestrahlung E, ist die Strahlungsenergie, die je Flacheneinheit auf einen Empfigertrifft.
Damit gilt
(3.30) Die smhlungsphysikalischen GrOEen und ihre Einheiten sind in Tab. 3.2zusammengestellt.
172
3 Strahlunasphysik und Lichttechnik
Tabelle 3.2 Strahlungsphysikalische GroDen GroBe
deutsch englisch StrahlungsfluB radiant flux (radiant power) Strahlstiirke radiant intensity Strahldichte radiance
franzosisch flux CnergCtique intensite energktique luminance 6nergCtique
russisch
Formelzeichen
Einheit
lIOTOK JIYYMCTOfi
a~eprn~ cma ~ a n y r e ~ ~ r nnoTHocTb
M B J I ~ ~ H M R
Bestrahlungs- irradiance stiirke
Bestrahlung
irradiation
Cclairernent Cnergetique irradation
3.2
Lichttechnische GroJ3en
3.2.1
Lichtstrom
o6nyraeMocn o6npe~ue
Der StraNungsfluR einer Quelle kann mit dem rnenschlichen Auge subjektiv registriert werden. Dabei wird er entsprechend dem spektralen Hellempfindlichkeitsgrad V, bewertet. Auf Strahlung mit Wellenltingen, die auOerhalb des sichtbaren Gebietes liegen, spricht das Auge nicht an. Bei der Wellenlbge A = 555 nm ist die Hellempfindlichkeit des Auges am groRten. Damit bereits in den Einheiten der energetischen GroRen die physiologisch-optische Bewertung zum Ausdruck kommt, wird ein selbsttindiges Einheitensystem eingefihrt. Die im Zusammenhang mit der Lichtenergie stehenden GrijRen heiOen lichttechnische GroOen, wenn sie in lichttechnischen Einheiten gemessen und damit physiologischoptisch bewertet werden.
Der Lichtstrom ist der V,-bewertete Strahlungsflul3. A l s Einheit des Lichtstroms dient das Lumen (lm). Der Lichtstrom ergibt sich entsprechend der G1. (3.2) aus dem spektralen Strahlung s f l a unter Einbeziehung des spektralen Hellempfindlichkeitsgrades V, und des fotornetrischen Strahlungsaquivalents K, zu (Abb. 3.8) 780 nm
0 = K,
IOe,,(A)V'(A)dA,
[O] = lm.
(3.31)
380 nm
Das fotometrische Strahlungsaquivalent K, ist der Umrechnungsfaktor von Watt in Lumen. In 3.2.2 werden wir ableiten, daR es maximal K , = 683-lm W
(3.32)
betr'dgt.
In analoger Weise zum Aufbau der ubrigen strahlungsphysikalischen GroOen aus dem StrahlungsfluR leiten sich aus dem Lichtstrom die weiteren lichttechnischen GroRen ab.
3.2 Lichttechnische Grhkn
173
Abb. 3.8 Zur Definition des Lichtstroms
3.2.2
Lichtstiirke
Die Lichtstilrke ist durch (3.33) definiert. Die Lichtstiirke I wird im SI-System als GrundgroSe eingefiihrt, so daB ihre Einheit, die Candela, mittels einer primiiren MeSvorschrift festgelegt werden muO. Bis 1979 galt: Die Lichtstirke, die 1 cmz der Fliiche eines schwarzen K6rpers bei der Erstanungstemperatur des Platins (2042 K) und dem Druck 101325 Pa senkrecht zu seiner Ober.flEhe ausstrahlt, betragt 60 cd (60 Candela). Die 16. Generalkonferenz fiir Ma0 und Gewicht hat im Oktober 1979 eine neue Definition beschlossen, die aber inhaltlich keine grundlegende hderung mit sich bringt. Diese Definition lautet:
I
Die Candela ist die in einer Richtung abgegebene Lichtsti-irke einer Lichtquelle, die eine monochromatische Strahlung der Frequenz 540 THz ausstrahlt und deren Strahlstiirke in dieser Richtung 1/683 W .sr-l betragt.
Fiir den Zusammenhang zwischen den Einheiten Lumen und Candela gilt 1 Im = 1 cd.sr.
Analog zu G1. (3.25) ergibt sich fiir den in den Halbraum gestrahlten Lichtstrom einer Lichtquelle mit richtungsunabhiingigerLeuchtdichte
aJ= RROI,.
(3.34)
Mit 1, = 60 cd folgt daraus @ = 188Slm.
Durch numerische Integration erhiilt man mit
Qe,2
nach G1. (3.4) und G1. (3.5) bei T = 2042K
174
3 Strahlungsphysikund Lichttechnik
und 4,= 1 cm2 (Abb. 3.9) " p e , A V A dA = 0,276 w e
(3.35)
380 nm
Damit gilt fiir das fotometrische Strahlungsaquivalent
0
Km
=
=--18895 h = 6 8 3 b . W 0,276 W
78p.,1vAdA
(3.36)
380 nm
Das bedeutet, daR 1 W monochromatische Strahlungsleistung (1 W StrahlungsfluS) bei I = 555 nm den Lichtstrom CJ = 683 lm ergibt. Die absolute spektrale Empfindlichkeit (3.37)
K ( n ) = K m VA(I),
die fotometrisches Strahlungsaquivalentfiir monochromatische Strahlung genannt wird, ist in Abb. 3.10 enthalten. Beispielsweise ist bei A = 490 nm der Strahlungsleistung von 1 W nur der Lichtstrom Q, = 142,l lm aquivalent. Strahler @Q\/ schwaner lunpotarisiert)
-
7001
t4
5 soot
= t LOO
Y
300}
I \\
I
h. in nm
h in nmAbb. 3.9 V, -bewedeter spektraler StrahlungsfluB des schwarzen Strahlersbei T = 2042 K
------)
Abb. 3.10 Fotometrisches Strahlungsaquivalent fUr monochromatische Strahlung
als Funktion der Wellenliinge Die absolute Empfindlichkeit des Auges fiir Strahlung des schwarzen Korpers bei T = 2042 K betragt 780pm
Km
J C J ~ , . ~ VdA A 380 nm
=
780nm
j
= L 188 5 1m - 104,7-.lm 1.8 W W
CJeA
380 nm
K heifit auch fotometrisches Strahlungsaquivalentder Gesamtstrahlung.
(3.38)
175
3.2 Lichttechnische Gr66en
Die Normlichtart A strahlt eine Lichtquelle aus, die die Farbtemperatur Tj = 2859 K hat.
Das bedeutet, daS der Farbeindruck derselbe ist wie bei der Betrachtung eines schwanen Strahlers der Temperatur T = 2859 K . Fiir diesen Fall ist 780 am
780 nm
j @ e , L d A= 399,615.10’qlW und
j@e,LVLdA=91,56.103 q,W, 380 nm
380 nm
also
K = 683‘91,56
= 156,49m,
W
399,615 W
3.2.3
Leuchtdichte
Die Leuchtdichte folgt aus l d l L, = -COSE,
Fiir
(3.39)
dq,‘
= 0 ergibt sich aus G1. (3.39)
dl, Lo = -, dql
a.
[Lo]= m2
(3.40)
Oftmals wird die Fliiche in cm2 gemessen und die Einheit Stilb (sb) mittels
[L]= sb = cd .cm-’
(3.41)
eingefiihrt. Die Einheit Apostilb (asb) ist gesetzlich nicht mehr zulksig. Sie ist durch (3.42)
gegeben.
3.2.4
Beleuchtungsstiirke
Die Beleuchtungsstiirke berechnen wir aus d@O Eo = -, dq,
[Eo] =
5
= lx.
(3.43)
Als Abkiirzung fiir die Einheit lm . m-2 wird die Bezeichnung Lux (lx) verwendet. Trim der Lichtstrom schrag auf die beleuchtete Fliiche auf, d m ist gemM G1. (3.29)
E, = EOCOSEZ zu setzen.
(3.44)
176
3 Strahlungsphysik und Lichttechnik
Die Belichtung lautet entsprechend G1. (3.30) B = Et,
[B] = 1x.s.
(3.45)
Die lichttechnischen GroRen sind in Tab. 3.3 zusammengestellt.
GroBe
englisch franzosisch flux lumineux luminous flux (luminous power) LichtstArke luminous intensity intensite lumineuse Leuchtdichte luminance luminance
russisch
Formel- Einheit zeichen
c s e T o B o f i IIOTOK
0
lrn = cd. sr
cma
I
cd
RPKOCTE.
L
Beleuchtungs- illuminance smke Belichtung quantity of illuminance
eclairement
ocseueHHocm
E
cd , m-2 sb = cd . cm-* Ix = 1m.m-2
quantite d’eclairement
o c a eqem e
B
Ix . s
deutsch Lichtstrom
3.2.5
cBeTa
Fotometrisches Entfernungsgesetz
Der Lambert-Strahler. Als Modell einer ausgedehnten ebenen Lichtquelle wird haufig der sogenannte Lambert-Strahler verwendet. Dieser hat, aus jeder Richtung betrachtet, die gleiche Leuchtdichte. Fur die Lichtstake des Lambert-Strahlers folgt aus (vgl. G1. (3.19)) L , = Lo
(3.46)
(3.47)
also d l = dI,COS
E,.
(3.48)
Beim Lambert-SUahler gelten damit einfache analytische Beziehungen SOWONfiir die Leuchtdichte als auch fiir die Lichtstiirke. Darin ist seine Bedeutung als Modellquelle begriindet.
I
Der Lambert-Strahler hat fiir jede Richtung konstante Leuchtdichte und eine vom Betrachtungswinkel kosinusfonnig abhkgige Lichtstiirke.
Das fotometrische Entfernungsgesetz. Wir knupfen nochmals an Abb. 3.6 und an die Ableitung der G1. (3.28) an, beziehen uns aber auf die lichttechnischen GroRen. Eine punktfor-
3.2 Lichttechnische GroBen
177
mige Quelle erzeugt auf einer konzentrisch dazu liegenden Kugelflache die Beleuchtungsstiirke
Das Flachenelement der Kugel driicken wir durch das Raumwinkelelement d R und den Kugelradius r aus: dq, = r 2 d L ! . l . QO
AuSerdem fiihren wir die Lichtstirke I, nach G1. (3.33) ein. Wir erhalten
I
(3.49)
E, = $Go.
Dieser Ausdruck stellt das fotometrische Entfernungsgesetzfiir eine punktfonnige Lichtquelle der Lichtstiirke I. dar, die ein schriig stehendes Flachenelement in der Entfernung r beleuchtet (Abb. 3.11).
Ernpfanger
I0
Quelle
Abb. 3.11 Zum fotometrischen Entfernungs-
Abb. 3.12 Zum fotometrischen Entfernungs-
gesetz. Punktfonnige Lichtquelle
gesetz. Ausgedehnte Lichtquelle
Der optische FIuR. Wir koMen das fotometrische Entfernungsgesetz fiir den Fall erweitern, dal3 das Licht von einem kleinen Flachenelement einer ausgedehnten Lichtquelle ausgestrahlt wird (Abb. 3.12). Dazu ist in der G1. (3.49) die Lichtstiirke d i fiir die Ausstrahlungsrichtung einzufiihren. Fiir E setzen wir dementsprechend dE.Wir erhalten dE = -COS&2.R,. di r2 Nach GI. (3.39) ist d l = L cos &, . dq1, also
a=--cos &I .cos &,
(3.50)
dql. (3.5 1) r2 Eine andere Schrejbweise erhalten wir, wenn wir nach G1. (3.43) den Lichtstrom einfiihren. Es gilt dann d2@ =
'
9 cos E, . cos - dq,dq,. r2 &2
(3.52)
178
3 StrahlungsDhvsik und Lichttechnik
Mit GI. (3.52)ist der Lichtstrom zu berechnen, den das Flachenelement dq, dem in der Entfernung r stehenden Flachenelement dq, zustrahlt. 1st die Lichtquelle ein Lambert-Strahler, dann ist L eine Konstante. Auf der rechten Seite von G1. (3.52)ist die Leuchtdichte die lichttechnische GroSe, w&rend der Faktor cos El cos & Qodq,dq, r2 '
d2G =
(3.53)
die geometrischen Verhatnisse beschreibt. Er wird optischer F l d oder Lichtleitwert genannt. Allgemein ist also d 2 0 = L.d2G.
I
(3.54)
Der optische FluD spiegelt den EinfluD der geometrischen GroSen des optischen Systems wider. Der Lichtstrom stellt das Produkt aus optischem FluD und Leuchtdichte dar.
In der Schreibweise nach G1. (3.52)oder GI. (3.54)wird das fotometrische Entfernungsgesetz auch fotometrisches Grundgesetz genannt.
4
Abbildende optische Funktionselemente
4.1 Geometrisch-optischabbildende Funktionselemente 4.1.1
Funktionselemente
Technische Strukturen haben bestimmte Funktionen zu erfiillen. Eine Funktion besteht darin, Eingangsgroh in AusgangsgroBen uberzufiihren. So koMte z. B. ein paralleles Lichtbundel vorgegebener Richtung in ein Parallelbundel anderer Richtung zu transformieren sein. Es ware dann eine technische Struktur notwendig, die die Funktion “Ablenken” verwirklicht. Es leuchtet ein, dao es dafur mehrere Strukturen geben k a ~In. unserem Beispiel wtiren Spiegel, Prismen, Glasfaserbundel u. a. geeignet. Der SchlUS von der Funktion auf die Struktur ist also nicht eindeutig, wiihrend der umgekehrte SchluS eindeutig sein kann. Jede Struktur hat neben den gewiinschten Hauptfunktionen noch Nebenfunktionen, die besonders zu beachten sind und die gegebenenfalls die Auswahl einschrimken. Bei Prismen kann z. B. die Lichtablenkung mit einer Farbaufspaltung (Dispersion), mit einer Polarisation des Lichtes u. a. verbunden sein. Der SchluS von der Struktur auf die Hauptfunktion ist also auch nicht immer eindeutig, im allgemeinen aber nahegelegt. Wir unterscheiden reale und konkrete Strukturen. Reale Strukturen sind materiell, also gefertigt. Sie koMm nur experimentell untersucht werden. Konkrete Strukturen stellen nichtmaterielle Modelle der realen Strukturen dar. Sie ktinnen nur theoretisch behandelt werden. Es ist zweckmiif3ig, die elementaren Funktionen zu ermitteln, die einem physikalischen Wirkprinzip zugeordnet sind. In diesem Sinne definieren wir den Begriff der Elementarfunktion. Eine Elementarfunktion ist eine Verhupfung zwischen vorgegebenen EingangsgroBen und vorgegebenen AusgangsgrOBen, deren weitere Zergliederung in Zwischenstufen nicht erforderlich ist, weil sie unmittelbar mit realen technischen Strukturen den Bauelementen - mit bestimmter Wahrscheinlichkeit realisiert und mit konkreten technischen Strukturen - den Funktionselementen - modelliert werden kann oder soll. Die Anzahl der notwendigen Elementarfunktionen ist damit auch von der Entwicklung der technologischen Bedingungen abhiingig. Gelingt es, eine technische Struktur zu entwickeln, die als Ganzes eine Funktion realisiert, so kann diese als Elementarfunktion aufgefaRt werden. Es gilt weiter:
I
Ein Bauelement ist eine reale technische Struktur, die als Ganzes in einer bestimmten Umgebung vorgegebene EingangsgroBen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in vorgegebene AusgangsgrOBen uberfiihrt.
Es kommt also nicht darauf an, ob bei der Fertigung und Montage des Bauelements mehrere Einzelteile notwendig sind. Wesentlich ist n u , daS das Bauelement ohne weitere Bearbeitungs- sowie innere Montage- und Justierprozesse in eine komplexe technische Struktur eingefiigt werden kann und die gewiinschte Funktion erfiillt.
4 Abbildende ovtische Funktionselemente
180
Das Model1 des Bauelements ist das Funktionselement. Mit desem werden die wesentlichen Eigenschaften des Bauelements theoretisch erfaI3t.
I
Ein Funktionselement ist eine konkrete technische Struktur, die als Games in einer modellmiiBig bestimmten Umgebung vorgegebene EingangsgroBen in vorgegebene AusgangsgroBen iiberfiihrt.
Die Funktionselemente teilen wir nach Elementarfunktionen ein. Zur Zeit liegen noch keine abgeschlossenen Untersuchungen dariiber vor, welche optischen Elementarfunktionen notwendig sind. Wir verwenden hier die Elementarfunktionen Abbilden, Bundelbegrenzen, Ablenken, Dispergieren, Filtern, Lichtleiten, Polarisieren und Energiewandeln. In diesem Abschnitt beschiiftigen wir uns mit geometrisch-optisch abbildenden Funktionselementen. Ihre Funktion, die geometrisch-optische Abbildung, 1Ut sich ausreichend genau mit dem Strahlenmodell des Lichtes beschreiben.
4.1.2
Brechende Rotationsflachen
Das augenfttligste abbildende optische Bauelement stellt die Linse dar (Abb. 4.1). Eine Linse besteht aus zwei brechenden Flachen, die in bestimmter Weise zueinander angeordnet sind. Eine einzelne brechende Flache 1Ut sich nicht als Bauelement ausbilden. Trotzdem ist es fiir das Verstiindnis der geometrisch-optisch abbildenden Funktionselemente notwendig, die Eigenschaften der Einzelflache zu untersuchen. Wir werden dabei auch wesentliche methodische Hilfsmittel kennenlernen.
Abb. 4.1 Sammellinse
Die Linsenflachen miissen im allgemeinen feinoptische Qualitat haben, d. h,ihre Genauigkeit hinsichtlich Kriimmung und Oberflachenbeschaffenheitunterliegt besonders hohen Anforderungen. Die Oberflache wird gepriift, indem mit Probegliisern Newtonsche Ringe erzeugt oder Interferometer eingesetzt werden. A l s Vergleichsliinge dient also die Wellenliinge des Lichtes. Bei der traditionellen Fertigung von Linsen werden die Flachen an Glaskorper durch Lappen und Polieren angearbeitet (Bearbeiten mit losem Korn zwischen Linsenflache und Werkzeug). Dabei lassen sich Kugelflachen, also sphiirische Flachen, leichter und damit billiger herstellen als andere Flachen. Das ist der Hauptgrund dafiir, dal3 asphiirkhe Flachen seltener zum Einsatz kommen als sphiirische Flachen, obwohl jene Vorteile fiir einen einfachen Aufbau optischer Systeme mit sich bringen wiirden. Berechnung von Meridionalstrahlen. Wir wollen den Verlauf eines Lichtstrahls hinter der brechenden Flache berechnen. Die Daten des Strahls vor der Fliiche sollen gegeben sein. Die allgemeine Losung dieser Aufgabe stellt sich als unerwartet schwierig heraus, besonders wenn
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
181
mehrere Flkhen aufeinander folgen. Wir beschrihken uns deshalb auf die Berechnung von Strahlen, die im Meridionalschnitt verlaufen (vgl. 1.2.2). Strahlen, die im Meridionalschnitt verlaufen, heisen Meddionalstrahlen. Alle anderen Strahlen werden “windschief’ genannt.
I
Eine Flachennormale benutzen wir als optische Achse. Die Kugelfliiche ist rotationssymmetrisch um die optische Achse. Zur Festlegung des Lichtstrahls vor der brechenden Fliiche sind zwei Bestimmungsstiicke notwendig. Eine geeignete GroBe ist die Schnittweite. Die Schnittweite ist die Entfernung des Punktes, in dem ein Lichtstrahl die optische Achse schneidet, vom Flachenscheitel.
I
Als zweite GrWe verwenden wir - bei endlicher objektseitiger Schnittweite den Schnittwinkel des Strahls mit der optischen Achse (Abb. 4.2), - bei unendlicher Schnittweite die Einfallshohe des Strahls an der ersten Flache (Abb. 4.3).
L
l?’
Abb. 4.2 Zur Ableitung des Normalschemas (Objektweite endlich)
VI
Abb. 4.3 Zur Ableitung des Normalschemas (Objektweite unendlich)
Fiir Strahlen, die nicht nahe der optischen Achse verlaufen, schreiben wir die Schnittweiten und -winkel mit “Dach” (also s^, &). Fiir den Fall, daB nicht die objektseitige Schnittweite s^, sondern die DurchstoDhohe in einer achssenkrechten Ebene gegeben ist, ermitteln wir die objektseitige Schnittweite folgendermal3en (Abb. 4.2): i * . . j t a n u = s^-ci, s =a+(4.1) tan & *
.
182
4 Abbildende optische Funktionselemente
Entsprechend ergibt sich die DurchstoShohe in einer beliebigen bildseitigen achssenkrechten Ebene (Abb. 4.2): tan
2
=
A, $' = (;'--')tan -a
2.
s
(4.2)
Die Ableitung der Formeln fiir die Berechnung der bildseitigen Schnittweite und des bildseitigen Schnittwinkels anhand der Abb. 4.2 und 4.3 ist in Tab. 4.1 enthalten. Bei der Strahldurchrechnung an der sph8;rischen Flache ist es unzweckmWig, einen geschlossenen Ausdruck fir die bildseitigen GroSen abzuleiten. Es werden Formelsatze angewendet, die einer algorithmischen Aufbereitung der Rechnung entsprechen. Tabelle 4.1 Ableitung des Normalschemas
I
1
Anwenden des Auknwinkelsatzes im Dreieck
Gleichliegende Winkel an den Parallelen
Anwenden des AuOenwinkelsatzes im Dreieck
I
iY= p+&' Anwenden des Sinussatzes im Dreieck
im Dreieck
Anwenden des Sinussatzes im Dreieck
sin (180°+e) --- i + r sin (-6) 1
sin E = --h
sine' = r - s sin 3 r
oder sin E - r - s sin 6 r
1
Division sin 6' sin& = r-i -sin 6 sin &' r - i' Anwenden des Brechungsgesetzes sin3 sin6
_-r - ; n'r-i'
*,
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
183
Die Formelsatze lauten fiir; # - w : sin & = ‘-sin r
s i n & = --h r
sin E’ = n sin E n cp = 6-&
sin E’ = -sin n n’ q = -& iT‘= q?+&’
iT‘ =
cp+E’
(4.3a, b) E
(4.4a, b) (4.5a, b) (4.6a, b)
- r - sin E’ + r j’ = - r sin . E‘ (4.7a, b) sin iT‘ sin 6’ Die Rechenschemata (4.1) bis (4.7) heiSen Normalschemata. Beispiel. Eine brechende Kugelflache habe den Radius r = SO mm. Die Brechzahlen seien n = 1 und n’= 1,5182. Die objektseitige Schnittweite sei unendlich. Es sind die bildseitigen Schnittweiten fiir die Strahlen mit den Einfallshohen h = 10, 20, 30,40 und 45 mm zu berechnen. AuRerdem sind die DurchstoBhohender Strahlen in einer um 146,49 mm vom Scheitel entfemten achssenkrechten Ebene anzugeben. Das Ergebnis, mit dem Normalschema berechnet, ist in Tab. 4.2 enthalten. In Abb. 4.4ist der Strahlenverlauf zeichnerisch dargestellt. Wie sieht es nun mit der optischen Abbildung durch diese brechende Flache aus? Das einfallende achsparallele Strahlenbundel kommt vom unendlich fernen Achsenpunkt. Dieser ist also der Objektpunkt. Bei einer punktformigen Abbildung m a t e die bildseitige Schnittweite unabhugig von der Einfallshohe sein. Tab. 4.2 und Abb. 4.4 zeigen, da6 dies nicht der Fall ist. Fiir abnehmende Einfallshiihe konvergiert die Schnittweite gegen den in die Tab. 4.2 zusatzlich eingetragenen Wert s’ = 146,49 mm. j’ =
+
Abb. 4.4 Schnittweiten an einer brechenden Flache
184
4 Abbildende optische Funktionselemente
Tabelle 4.2 Bildseitige GroOen an einer brechenden Fl2che
i’lINll
h/= 0 10 20 30 40 45
-j‘/m 0 0,089 0,767 3,000 9,395 17,368
146,49 145,21 141,23 134.09
122.43 11335
Abb. 4.4 I a t efkeMen, daR im Bildraum eine Konzentration der Lichtstrahlen in einem gewissen Gebiet vorliegt. Es ist also zu erwarten, dal3 wir mit der brechenden Kugelflache eine geometrisch-optisch Abbildung im Sinne von 2.7.3 realisieren koMen. Aus diesem Grunde ordnen wir die sphiirische brechende Flache in die Behandlung der abbildenden optischen Funktions- bzw. Bauelemente ein. Wir kommen auf die Problematik der Realisiemng der geometrisch-optischen Abbildung in 4.3 zuriick. Insbesondere sind Hinweise notig, wie groD die Abweichungen von der idealen optischen Abbildung sind und wie groa die “zuliissige Umgebung” fiir die Strahlschnittpunkte sein darf. Das Normalschema erfordert sehr genaue Rechnungen mit hoher Stellenzahl, wenn n und n’ wenig voneinander abweichen. Einfalls- und Brechungswinkel sind dann auch wenig voneinander verschieden. In den ersten beiden Auflagen dieses Buches waren deshalb fiir diese Fiille spezielle Gleichungen angegeben worden, die aber beim Einsatz von Computern keine Bedeutung mehr haben.
4.1.3
Beziehungen fur das paraxiale Gebiet
Definition des paraxialen Gebiets. Eine besondere Rolle fiir die Untersuchung der Verhdtnisse an brechenden Rotationsflachen spielen die “flach und achsnahe” verlaufenden Lichtstrahlen. Die Formulierung “flacher Strahlenverlauf’ driickt aus, da8
tan
Q
tan
d
= sin Q = d
(4.8)
und = sin Q’
L-
d
(4.9)
sein soll. Die Achsniihe ist gewiihrleistet, wenn tan q = sin q
=
cp
(4.10)
ist. Wegen h sin cp = r
(4.11)
(Abb. 4.2) ist GI. (4.10) gleichbedeutend mit (4.12)
4.1 Geometriscb-optiscbabbildende Funktionselemente
I
185
Der Bereich um die optische Achse, in dem die Forderungen (4.8) bis (4.12) gelten, wird paraxiales Gebiet oder GauRscher Raum oder fadenformiger Raum genannt.
Der Name “achsnaher Raum” ist ebenfalls ublich. Dabei ist aber zu beachten, dal3 nicht allein die Achsnme, sondern auch die kleine Strahlneigung vorauszusetzen ist.
I
Die im paraxialen Gebiet verlaufenden Lichtstrahlen heiL3en Paraxialstrahlen.
Die Bedeutung des paraxialen Gebietes liegt darin, dal3 - geschlossene Beziehungen fiir die paraxialen BildraumgroSen gelten, ein schneller herblick uber die grundstitzlichen Verhiiltnisse an brechenden Rotationsflachen erhalten wird sowie - Bezugs- und HilfsgroRen fiir die Beschreibung des Strahlenverlaufs im aderaxiden Gebiet gewonnen werden. -
Die Abbesche Invariante stellt den Zusammenhang zwischen der objektseitigen und der bildseitigen Schnittweite von Paraxialstrahlenher. Die Ableitung der Abbeschen Invarianten (Abb. 4.5 und Tab. 4.3) geht von der Definition des Winkelverhiiltnisses tan 0’ y’ = -
(4.13)
tan B
aus. Im paraxialen Gebiet kann dafiir 0’ y’ = -
(4.14)
0
geschrieben werden.
Abb. 4.5 Zur Ableitung der Abbeschen Invarianten
Das Ergebnis der Ableitung in Tab. 4.3 lautet Q
I
(. .)
1 1 = = n ---
1 1 +a).
(4.15)
Die Grol3e Q kann sowohl mit den objektseitigen als auch mit den bildseitigen GroSen berechnet werden. Sie bleibt an der brechenden Flache konstant und wird Abbesche Invariante genannt.
186
4 Abbildende optische Funktionselemente
Tabelle 4.3 Ableitung der Abbeschen Invarianten Anwenden der Winkelfunktionen in den Dreiecken
Brechung eines paraxialen Meridionalstrabls
fiJ -5
-_-___--~_____---
Definition des Winkelverhdbiisses -y’ = a
5’9
+g
U
Definition des paraxialen Gebiets tan u = u, tan
U’ = u’, g
s, s’
c
I
Einsetzen
Anwenden von
u - n s-r
Gleichsetzen s - n s-r n’sl-r
7---
s
Umformen (Abbesche Invariante)
Auflosen von GI. (4.15) nach s’ ergibt (4.16) s
r
Daraus folgt: I
Im paraxialen Gebiet ist die bildseitige Schnittweite unabhtingig von der Strahlneigung und damit von der Einfallshohe. S a t l i c h e Paraxialstrahlen, die von einem Objektpunkt ausgehen, schneiden sich bildseitig in einem Punkt.
Irn paraxialen Gebiet liegt eine punktformige Abbildung vor. Strenggenornmen ist diese Aussage jedoch ohne praktische Bedeutung. Exakt gilt G1. (4.16) nur fiu die Einfallshohe null, also fiir einen Lichtstrahl, der l u g s der optischen Achse verlauft (daher auch der Name “fadenformiger Raurn”). Ein einzelner Lichtstrahl l a t sich aber nicht realisieren und konnte auch kein Bild ergeben, weil sich dazu Strahlen schneiden mussen. Die eigentliche Bedeutung
187
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
der G1. (4.16) liegt in ihrem Niiherungscharakter. Wir verweisen auf das Beispiel der brechenden Fliiche, fiir die das Strahldurchrechnungsergebnisin Tab. 4.2 enthalten ist. Mit abnehmender Einfallshtihe strebt die Schnittweitegegen den paraxialen Wert s’ = 146.49 mm. Die achssenkrechte Ebene, die den paraxialen Bildpunkt enthat, ist die GauSsche Bildebene.
I
Die Helmholtz-Lagrangesche Invariante vermittelt den Zusammenhang zwischen dem Winkelverhiililtnis und dem Abbildungsmaktab. Die Definition des Abbildungsmastabs als Verhiiltnis der lateralen Abmessungen des Bildes und des Objektes ist der Ableitung in Tab. 4.4 unter Verwendung von Abb. 4.6 zugrunde gelegt. Das Ergebnis lautet nya = n’y’a‘.
I
(4.17)
Das Produkt nya stellt eine Invariante &r paraxialen Abbildung an brechenden Hachen dar, die Helmholtz-LagrangescheInvariante genannt wird.
Abb. 4.6 Zur Ableitung der Helmholtz-LagrangeschenInvarianten
Aus der Helmholtz-LagrangeschenInvariante folgen die Gleichungen n P’y’ = -
(4.18)
n’
und wegen a’/o= s/s’ (4.19) Der AbbildungsmaSstab fiir die Gaul3sche Bildebene ist also konstant. Kardinalelemente. Die optische Achse enthiilt ausgezeichnete Punktepaare, die eine beson&re Bedeutung fiir den paraxialen Strahlenverlauf haben. Diese Punktepaare, die sogenannten Kardinalpunkte, sind die Hauptpunkte, die Knotenpunlrte und die Brennpunkte.
I
Ein Objekt, das in der durch den objektseitigen Hauptpunkt H gehenden achssenk1 in die achssenkrechte rechten Ebene steht, wird mit dem AbbildungsmaSstab Ebene abgebildet, die den Hauptpunkt H’ enthat.
r=
Der objektseitige Hauptpunkt und der bildseitige Hauptpunkt sind also zueinander konjugiert. Ein Lichtstrahl, der die optische Achse im objektseitigen Knotenpunkt N unter dem Winkel a schneidet, schneidet die optische Achse im bildseitigen Knotenpunkt N‘ unter dem gleichen Winkel (a=a’1. Fiir die Knotenpunkte ist das Winkelverhiiltnis y’ gleich 1.
188
4 Abbildende optische Funktionselemente
Tabelle 4.4 Ableitung der Helmholtz-Lagrangeschen Invarianten Brechung eines Paraxialstrahls am Flachenscheitel ~~
Definition des AbbildungsmaOstabes
Anwenden der Winkelfunktionen fiir kleine Winkel in den Dreiecken
-E,=--,
Y
-& ’ 0-
--YP I
S
Einsetzen Anwenden des Brechungsgesetzes fiir kleine Winkel - n --E, n‘
i
Anwenden von Einsetzen
~
s s
Umformen (Helmholtz-Lagrangeshe Invariante) ny a = n’y ’a’ Der objektseitige Knotenpunkt und der bildseitige Knotenpunkt sind also zueinander konjugiert. Der objektseitige Brennpunkt F wird in den unendlich fernen Achsenpunkt abgebildet (bildseitige Schnittweite des objektseitigen BreMpUnktstraNS sk = -). Der bildseitige Brennpunkt F’ ist das Bild des unendlich fernen Achsenpunktes (objektseitige Schnittweite des bildseitigen Brennpunktstrahls sF,= -). Objekt- und bildseitiger Brennpunkt sind n i c h t zueinander konjugiert. Die Kardinalelemente der brechenden Rotationsflache sind in Abb. 4.7 eingezeichnet. Die Schnittweiten der Haupt-, Knoten- und Brennpunktstrahlen werden in Tab 4.5 abgeleitet. Daraus folgt:
I
Die Hauptpunkte H und H’ fallen mit dem Flachenscheitel V, die Knotenpunkte N und N’ mit dem Kriimmungsmittelpunkt C zusammen.
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
189
Brennwdten. Als RechengroRen haben die Brennweiten eine besondere Bedeutung. Es gilt: tigen Brennpunktes vom bildseitigen Die obJektsei.tige Brennweite ist der Abstand des objektsei bildseittge objektseitigen Hauptpunkt, bildseitigen (Die Formulierung schlieBt die Vorzeichenregel ein. Bezugspunkte fiir die Brennweiten sind die Hauptpunkte.) f'
Abb. 4.7 Kardinalelemente und ausgezeichnete Strahlen fiir die brechende Fliiche
In Tab. 4.5 wird abgeleitet, daJ3 fiir die Brennweiten der brechenden Rotationsflache (4.20)
-n'r
f'=+-=K-1
n'r
n'-n'
(4.21)
(4.22)
gilt.
Zeichnerische Konstruktion von Bildort und -gro8e. Die Kenntnis der Kardinalelemente einer brechenden Flsche gestattet in einer einfachen Weise &e zeichnerische Ermittlung von Bildort und -groRe. Die achssenkrechten Ebenen, die durch die Hauptpunkte gehen und die wir Hauptebenen nennen, werden im MaRstab 1:l aufeinander abgebildet. Ein Lichtstrahl muR die bildseitige Hauptebene in der gleichen Entfernung von der optischen Achse durchstofien, in der er die objektseitige Hauptebene durchstoRt. Fiir die Bildkonstruktion gibt es drei ausgezeichnete Strahlen (Abb. 4.7). Der objektseitig achsparallele Strahl geht bildseitig durch den Brennpunkt F'. Der objektseitige Bre~punktstraNverlauft bildseitig achsparallel. Der objektseitige Knotenpunktstrahl wird parallel zu sich so versetzt, daJ3 er durch den bildseitigen Knotenpunkt geht.
Brennpunkt-Koordinatensystem. Bisher verwendeten wir zur Messung von Objekt- und Bildweite die Entfernungen vom Flachenscheitel, also die Schnittweiten. Im Brennpunkt-Koordinatensystem werden die Urspriinge der Koordinatensysteme in die Brennpunkte gelegt. Es eignet sich besonders fiir die Losung von Aufgaben der Optik-Konstruktion.
I I
[
(:t)
s=
nbH
S”
=o
s;,
=o
Schnittweiten des Hauptpunktsrrahls
Schlufifolgerung: Objekt in der Scheitelebene wird mit dem AbbildungsmaEstab fl’ = 1 in sich abgebildet.
nEo = n’E’,
Vergleich mit dem Brechungsgesetz fiir kleine Winkel (Brechung am Flachenscheitel)
s’ =
s;,
3 z - m
s‘
f
n’- n
n’-n
n’ r =-nr f’ = -
f’ = sGz-s;(a
sN = r
sfi. =
T
Schnittweiten des Knotenpunktstrahls
SP-SH
Anwenden von sH = s;l. = 0
f =
Schlufifolgerung: Der Strahl, der durch den Kriimmungsmittelpunkt geht, wird nicht abgelenkt.
Vergleich mit der Abbeschen Invarianten (n’ # n )
SN =
Spezialfall y’= 1 (aN= crfi. ) (Definition der Knotenpunkte)
u
Definition der Brennweiten (einschlie6lich Vorzeichenregel)
Schnittweiten der Brennpunktstrahlen
SF
f = a l
n’&
ti(+-+)
Spezialfdle (Definition der Brennpunkte)
n --- =
Spezialfallp‘ = 1 (yk, = YH) (Definition der Hauptpunkte)
n y a = n’y’cr‘
I s
Anwenden von (WinkelverMtnis)
Anwenden der Abbeschen Invarianten
Anwenden der Helmholtz-Lagrangeschen Invarianten
y’= a’ =
I
Knotenpunkte (N, N’)
I I I Brennpunkte (F, F’)
--------
Hauptpunkte (H, H’)
Brennpunktstrahl
Achsparallelstrahl
Knotenpunktstrahl
Ausgezeichnete Strahlen
Tabelle 4.5 Ableitung der Gleichungen fiir die Kardinalelemente der brechenden Flache
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
19 1
In Tab. 4.6 werden die Beziehungen fiir die Koordinaten der Kardinalpunkte, fiir den Abbildungsmahtab und fiir das Winkelverhtiltnis angegeben. Daneben wird der Tiefenmasstab definiert durch a’ = -.dz’ (4.23) dz Es ist
a‘ =
--p. f’
(4.24)
f
Wir heben die in Tab. 4.6 abgeleiteten Beziehungen fiir die Berechnung des paraxialen Bild-
oms (Newtonsche Abbildungsgleichung) zz‘ = ff’
(4.25)
und des paraxialen AbbildungsmaSstabs (4.26)
heNOr. Tabelle 4.6 Berechnung der paraxialen Grlil3en im Brennpunkt-Koordinatensystem
Koordinaten der Kardinalpunkte
WinkelverhWnis
Spezialfall p’ = 1 (HauptpunktKoordinaten)
hnlichkeit der
I z,=-f.zk,=-f’ 1
Definition des Winkelverhiilmisses und Zusammensetzen der Strecken
Definition des AbbildungSmasstabes
t
I
Gleichsetzen
Definition (BrennpunktKoordinaten) I
Hf
(Abbildungsgleichung)
l5
Differenzieren (TiefenmaOstab)
a’ d z ’ dz
IEinsetzen
’ z+f - z z+f ’ y=---ffLZ -+ ff’ f ’ f ‘ f + z 22
z
I Einsetzen
Kiirzen und Anwenden der Abbildungsgleichung
I
Spezialfall r‘=1 (KnotenpunktKoordinaten) ZN =f’, z ; , = f
z+f,
a‘ = z ‘ + f ’
ap = f , a N= f + f ’ a;, = f’, a“. = f + f’
Einsetzen (Koordinaten der Brennpunkte und Knotenpunkte.)
a =
Zusammensetzen der Strecken
Koordinaten der Kardinalpunkte
ZF =
0, z, = f’ 0, Z” =
Anwenden von
Einsetzen (Abbildungsmdstab)
Anwenden von
Tabelle 4.7 Berechnung der paraxialen GroBen im Hauptpunkt-Koordinatensystem
Anwenden von
s = a
Anwenden von
I
a‘
n-K a f’ ----
n’
(Abbildungsgleichung)
Urnformen _ n’ _n- - n’-n
Einsetzen
f
I
Anwenden der Abbeschen Invarianten
Abbildungsgleichung
4.1 GeomeUisch-ovtisch abbildende Funktionselemente
193
Hauptpunkt-Koordinatensystem.In manchen Fdlen, besonders bei der Behandlung der optischen Abbildung durch Fotoobjektive und durch Projektionsobjektive, ist es gunstig, die Objektweite sowie die Bildweite von den Hauptpunkten aus zu messen. Diese fallen dann mit den Urspriingen der Koordinatensysteme zusammen. Die fiir das Brennpunkt-Koordinatensystem abgeleiteten Formeln lassen sich in die Formeln fiir das Hauptpunkt-Koordinatensystemumschreiben, wenn nach Abb. 4.8 a = z+f,
(4.27)
a' =
(4.28)
Z'+f'
gesetzt wird (Tab. 4.7). f'
A
-a
I
-
t
l
-
Z'
a'
Abb. 4.8 Haupt- und Brennpunktkoordinaten
Wtihrend die Abbildungsgleichung im Brennpunkt-Koordinatensystem nur die universellen Brennweiten enthat, sind die im Hauptpunkt-Koordinatensystemgiiltigen Beziehungen fiir den Abbildungsmdstab
p'
=
Ad n' a
(4.29)
und fiir die Abbildungsgleichung (4.30)
in die die Brechzahlen eingehen, spezifisch fiir das paraxiale Gebiet der brechenden Flache. (Zu beachten ist, daR die Objektweite a nur dann mit der Schnittweite s identisch ist, wenn der Paraxialstrahl vom Achsenpunkt des Objekts ausgeht.)
4.1.4
Flachenfolgen
Ubergangsbeziehungenfur Meridional- und Paraxialstrahlen. Flac-afolgen bestehen aus zueinander zentrierten Flachen. Wir betrachten brechende Rotationsflachen, deren optische Achsen zusammenfallen.
Bei einer zentrierten Folge aus Rotationsflkhen liegen die Kriimmungsmittelpunkte der Scheitelkreise auf einer Geraden, die die optische Achse der Flachenfolge darstellt.
194
4 Abbildende optische Funktionselemente
Die GrijRen des Bildraums der Flachenfolge bestimmen wir, indem wir Lichtstrahlen von Flache zu Flache durchrechnen. Fur die Meridionalstrahlengelten die Formeln (4.3) bis (4.7) des Normalschemas. Zur Bestimmung der paraxialen G r o k n der Einzelfltichen sind die Formeln aus 4.1.3 anzuwenden (vgl. auch 4.1.8).
Abb. 4.9 Zu den ijbergangshziehungen
P!
I_
-K
4
Abb. 4.10 Zu den hergangsbeziehungen fiir das paraxiale Gebiet
Die objektseitigen GroRen einer in der Flachenfolge stehenden Flache mussen aus den bildseitigen Grofien der vorangehenden Flache berechnet werden. Fiir achsfeme Meridionalstrahlen lesen wir in Abb. 4.9 folgende hergangsbeziehungen ab: nk+l
= n:,
&k+1
= &;,
sk+1
(4.31a) (4.31b) /
= sk-ek. A/
(4.31~)
Fiir Paraxialstrahlen gilt nach Abb. 4.10 nk+l
= n;,
ak+l
=
sk+l = s; - e;, Yk+l
=
hk+1
= hk - e; 0;.
(4.32a.. .e)
$9
Die paraxialen Grbyen der Fldchenfolge lassen sich aus den paraxialen Schnittweiten be-
195
4.1 Geometrisch-optixh abbildende Funktionselemente
rechnen. Fiir den AbbildungsmaBstab
p'
=
'
v,
(4.33)
Y1
einer Folge aus n brechenden Fltichen werden in Tab. 4.8 (Grundlage ist Abb. 4.11) und in Tab. 4.9 die Beziehungen
p'
=
np;,
(4.34)
k=l
(4.35) (4.36)
abgeleitet. Tabelle 4.8 Ableitung von Gleichungen fiir den AbbildungsmaSstab Definition des Abbildungsmastabs fiir das System
p.=& YI Anwenden von yk+l= y;
I
Definition des AbbildungsmaBstabs fiir die Einzelfl2chen
I
I I
Einsetzen
I
AbbildungsmaSstab einer brechenden Fl2che
1 I I Einsetzen
Anwenden von
At+]
= n;
1
196
4 Abbildende optische Funktionselemente
Tabelle 4.9 Ableitung einer Gleichung fiir den AbbildungsmaOstab
Anwenden der Helmholtz-Lagrangeschen Invarianten ( n ; = n,+, , y; = y,+, , a; = )
Anwenden der Winkelfunktionen in den Dreiecken
!
I
Einsetzen
I
I
Anwenden der Definition fur on= h , / h ,
1
H
H’
Abb. 4.11 Zur Ableitung von Abbildungsmahtab und Brennweite fiir ein Flachensystem
Abb. 4.12 Zur Brennweite fiir ein Flachensystem
197
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
Die Berechnung der Brennweite aus den Schnittweiten an den Einzelfliichen ist in Tab. 4.10 auf der Basis der Abb. 4.12 d u r c h g e w worden. Folgende Beziehungen seien hervorgehoben:
(4.37) s, =
f ’ = s,-,f 1
--.
a n
Tabelle 4.10 Ableitung der Gleichung fiir die Brennweite einer Flachenfolge
Anwenden der hnlichkeit der Dreiecke
Urnformen und Enveitern mit h , f ‘ han = s,-f- h h , =SA
hn h ,
wn h ,
Grenzubergang s, + - 0 0 , h + hl , a:
Anwenden von P’= 1 n 2 s’ 1
4
sl a, Eliminieren von an
Anwenden von n
n,
’
Umformen n
mm (SIP’)
$I+-
f
Einsetzen
4
f’
4 Abbildende optische Funktionselemente
198
Kardinalelemente von zwei Fliichen. Zwei brechende Flschen stellen eine Linse dar. Es ist u. a. auch deshalb notwendig, die Kardinalelemente eines Systems aus zwei zentrierten brechenden Flachen zu berechnen. Als Hilfsmittel verwenden wir Abb. 4.13. Dieser - sowie der Ableitung der Beziehungen liegen zwei Gesichtspunkte zugrunde: - Der bildseitige Brennpunkt des Ersatzsystems ist das vom zweiten System entworfene Bild des Brennpunktes F;, weil alle achsparallel einfallenden Strahlen durch F; und F' gehen miissen. - Die Verliingerung eines achsparallel einfallenden Strahls schneidet den ihr zugeordneten durch das System gehenden Strahl in einem Punkt der bildseitigen Hauptebene H' des Ersatzsystems (Definition der Hauptebenen p' = 1).
Abb. 4.13 Brennpunkt und bildseitige Hauptebene fiir zwei Flachen
Als Rechenhilfsgrofie wird die optische Tubusliinge verwendet. Fiir diese gilt folgende Definition:
I
Die optische Tubusliinge, auch optisches Interval1 genannt, ist der Abstand des objektseitigen Brennpunktes eines Systems vom bildseitigen Brennpunkt des vorangehenden Systems.
Bei zwei Systemen ist die optische Tubusliinge t der Abstand des Brennpunktes F, vom Brennpunkt F; . Nach Abb. 4.13 gilt t =
el-h'+f2.
(4.38)
Die Ableitung der Beziehungen ist in den Tab. 4.11 und 4.12 enthalten. Es ergibt sich fiir die Brennweiten des Ersatzsystems
f
Af2 =t,
(4.39) (4.40)
und fiir den Abstand der Hauptebenen H bzw. H' von den Hauptebenen H, bzw. H i
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
199
fie: a,H = -
(4.41)
-.ftX
(4.42)
t '
' = aZH)
Bei mehreren Abbildungen mussen die Beziehungen (4.38) bis (4.42) auf jeweils zwei aufeinanderfolgende Systeme wiederholt angewendet werden. Wir konnen aber unter der Voraussetzung, daO fiir jedes Einzelsystem f'=-f
gilt, noch einige weitere Gleichungen ableiten.
Es ist zweckmSig, in die weiteren iiberlegungen die Brechkraft einzufiihren.
I
Die Brechkraf&F' eines optischen Systems ist der Kehrwert seiner bildseitigen BreMWeite:
F'=
1
(4.43
7.
f
Tabelle 4.11 Ableitung der Gleichungen fiir die Brennweite des Ersatzsystems
Abbilden von F,' durch das System 2 Anwenden von (Winkelverhiiltnis)
Definition des optischen Intervalls Anwenden der Winkelfunktionen in den Dreiecken
Einsetzen
I
4f = - 4f,
Analoge Ableitung f
=fi f i t
I
200
4 Abbildende optische Funktionselemente
Tabelle 4.12 Ableitung der Gleichungen fiir die Hauptebenenlage des Ersatzsystems
Abbilden von F,’ durch das System 2
I Anwenden der Abbildungsgleichung (z2=-tt)
Brennweite des Gesamtsystems
f’=
,, -fifi t
1
I
Einsetzen
I ’
a2H’
’ f,f,‘+f,‘f; =
f i - 7
t
Umfonnen
Definition der optischen Tubusliinge t =
e;-f,’+
f2
I(
Einsetzen
I
1
Analoge Ableitung
I
Als weitere HilfsgroBen verwenden wir die Quotienten aus den DurchstoBhohen eines Licht-
strahls durch die Hauptebenen innerhalb des Systems und der DurchstoBhohe in der Hauptebene der ersten Teilabbildung. Wir setzen Wk
=
-.hk
h,
(4.44)
Es gilt (4.45)
Die Hohenverhdtnisse in aufeinanderfolgendenHauptebenen innerhalb des Systems betragen
4.1 Geometrisch-optischabbildende Funktionselemente
20 1
(vgl. Abb. 4.14) h V = -.
a:-l
h,-l
Damit ergibt sich (4.46) Im Spezialfall a , = -00 wird a; = fi' und
wz = a2&' (sl =--). Aderdem ist (Abb. 4.15)
a2 = $-el
1- el4' oder a2 = -
F; .
Es gilt also 02
= I-&'
(al=--).
(4.47)
Es ist sinnvoll, noch die Definition
a1 = 1
(4.48)
hinzuzufiigen.
Abb. 4.14 Zur Ableitung des Htihenverhtilmisses
Abb. 4.15 Zur Ableitung der Gleichung fiir
o,bei unendlicher Objektweite Fiir die Brechkrajl eines Systems mit fiihrten Ableitung
f;= - fk gilt entsprechend der in Tab. 4.13 durchge(4.49)
In einem System, in dem die Hauptebenen aller Einzelabbildungen zusammenfallen, sind swtliche wk gleich 1. Wir erhalten n
F' =
FL (alle k=l
=l).
(4.50)
202
4 Abbildende optische Funktionselemente
Tabelle 4.13 Ableitung der Gleichung fiir die Brechkraft einer Flachenfolge (Brechkraft eines Systems aus n Einzelabbildungen mit f,' = - A )
Brechkraft der zusammengesetzten Abbildung
Definition des optischen In tervalls t = e;-f,'+ f 2 ~
Spezialfall
f:= - A . fi'= - f 2 t = e;-fi'-f;
I
Einsetzen und Diviaeren
Einfiihren der Brechkriifte F' = F,'+ Fl- e;F;%;'
I
Anwenden von w, = I-e;F,' I
I
Einsetzen F' = F,'+02F; I
Definition w, = 1 I
(I
F'=
20~5' k=l
Spezialfall
alle ok = 1 alle e; = 0
In Worten:
1
In einem optischen System mit f; = - f,., in dem shtliche Hauptebenen zusammenfallen, setzen sich die Einzelbrechkrrne additiv zur Gesamtbrechkraft zusammen.
Fiir die Hauptebenenabstade des Gesamtsystems von den Hauptebenen H, bzw. Hi ergeben sich bei zwei Abbildungen mit h ' = - & ebenfalls einfache Beziehungen.
203
4.1 Geometrisch-oDtisch abbildende Funktionselemente
Aus G1. (4.42) folgt mit G1. (4.40) a;H’ =
--elf’
(4.5 la)
A’ .
el eliminieren wir mittels (4.47), so da13 wir UiH’
=
(a,-1)
f’
(4.51b)
( a , = -00)
erhalten. Entsprechend l a t sich G1. (4.41) in (4.52a) und in (4.52b) umformen. Abbildungsgleichung fur f’= - f . Im Unterschjed zu den Hauptebenen der einzelnen brechenden Flache stimmen die Hauptebenen zweier Flachen mit nichtverschwindendem Abstand nicht iiberein. Fiir
(4.53) (4.54)
(Die Beziehungen zN = f’, z;, = f , zH = -f , 2;. = -f’ aus Tab. 4.6 gelten auch fiir das Ersatzsystem.)
I
In einem optischen System mit f = - f’ stimmen der objektseitige Hauptpunkt und der objektseitige Knotenpunkt sowie der bildseitige Hauptpunkt und der bildseitige Knotenpunkt uberein.
Nach Abb. 4.16 ergibt sich fiir den AbbildungsmaSstab (4.55)
Abb. 4.16 Zur Ableitung der Abbildungsgleichung bei f’ =
-f
4 Abbildende optische Funktionselemente
204
Daraus folgen die Abbildungsgleichung
--1 1 = r a’
a
(4.56a)
f’
und die Beziehungen
Zeichnerische Bestimmung von Bildort und -grofie. An der Abbildung eines Objekts konnen entsprechend unseren Ausfiihrungen nacheinander mehrere optische Elemente oder Systeme beteiligt sein. Beim Mkroskop z. B. erzeugt das Objektiv ein reelles Zwischenbild des Objekts, das Okular liefert davon ein virtuelles Endbild (Abb. 4.17). Fiir das paraxiale Gebiet brauchen wir zur Berechnung von Bildort und BildgroBe nur die abgeleiteten Beziehungen wiederholt anzuwenden. D ~ zeichnerische s Verfahren koMen wir schrittweise ausfiihren, indem wir die Zwischenbilder nacheinander ermitteln. Dabei kann lediglich d e Schwierigkeit auftreten, d& ein Zwischenbild hinter der Hauptebene H des njichsten Systems entsteht. Fiir dieses ist das Zwischenbild ein virtuelles Objekt. Wichtig ist weiter, daJ3 wir auch innerhalb einer Abbildungsfolge Strahlen in Zwischenbildpunkten beginnen lassen konnen. Wir nehmen dabei nur an, da13 wir den vorausgehenden Strahlenverlauf noch nicht kennen.
Abb. 4.17 Paraxiale Abbildung im Mikroskop
An den Beispielen der Abb. 4.18a bis 4.18f sol1 die zeichnerische Methode zur Bestimmung von Bildort und -groDe fiir einige Fiille veranschaulicht werden. Fiir die Strahlkonstruktion empfiehlt sich das formale Anwenden folgender Regeln: - Zeichne den ausgezeichneten Strahl im Objektraum bis zur Hauptebene H (DurchstoBhohe h)! - Zeichne den ausgezeichneten Strahl in der gleichen Achsentfernung h von der Hauptebene H’ an weiter! Beachte folgende Zuordnung:
Objektraum achsparalleler Strahl Strahl durch den Brennpunkt F Strahl durch den Knotenpunkt N
+ + +
Bildmum Strahl durch den Brennpunkt F’ achsparalleler Strahl Strahl durch den Knotenpunkt N’ (ohne Richtungsiinderung)
4.1 Geometrisch-ootisch abbildende Funktionselemente
Abb. 4.18 Beispiele fiir die Srrahkonstruktion
205
4 Abbildende optische Funktionselemente
206
4.1.5
Zentrierte Linsen
Die sphiirische Linse ist das wichtigste geometrisch-optischabbildende Funktionselement.
I
Die sphiirische Linse besteht aus einem Werkstoff mit hohem Reintransmissionsgrad, Sie stellt einen Korper mit zwei zueinander zentrierten brechenden Kugelflachen dar.
Die Zentrierung von Linsen und Linsenfolgen ist fiir die Praxis ein wichtiges Problem. Hier begniigen wir uns mit einigen Andeutungen dazu. Zwei Kugelflachen sind stets zueinander zentriert. Die Kugelmittelpunkte liegen auf einer Geraden, die zur optischen Achse der Linse wird. Die Linsen werden jedoch am Rande gefaI3t. Die Rotationssymmetrieder gefa&en Linse ist nur gesichert, wenn die Symmetrieachse des Randes, die sogenannte Formachse, mit der optischen Achse zusammenfWt (Abb. 4.19). Bei Linsenfolgen mussen auBerdem die optischen Achsen siimtlicher Einzellinsen zusammenfallen.
Abb. 4.19 Zentriexte Linse
In Abb. 4.20 sind drei Faille von Zentrierfehlern bei einer Linse dargestellt. Dabei wurde vorausgesetzt, daI3 die Formachse und die optische Achse in einer Ebene liegen. Im allgemeinen schneiden sich jedoch beide Achsen nicht, so daJ3 die Verhdtnisse wesentlich komplizierter sind als in den Beispielen der Abb. 4.20 (vgl. etwa [ 191). optische Achse -.
Formachse
a)
Abb. 4.20 Beispiele fiir nichtzentriexte Linsen
Kardinalelemente. Die weiteren Ausfiihrungen beziehen sich auf das paraxiale Gebiet einer zentrierten Linse. Sie gelten nicht n u fur sphiirische Linsen, sondern fiir alle Linsen, die zentrierte Rotationsflachen enthalten. Gegeben sei eine zentrierte Linse, die beiderseits an den gleichen Stoff angrenzt. Die Linsendicke werde mit d bezeichnet (Abb. 4.21). Die Untersu-
207
4.1 Geometrisch-ovtisch abbildende Funktionselemente
chung der Abbildung im paraxialen Gebiet der Linse erfordert die Kenntnis der Kardinalelemente. Bei einem System aus brechenden Fltichen mit n, = n‘, ist f‘= -f.
Es geniigt demnach, die bildseitige Brennweite f’ bzw. die Brechkraft F‘ zu berechnen. AuBerdem fallen die Haupt- bzw. Knotenpunkte H und N sowie H’ und N’ zusammen. Zur Ableitung der Brechkraftformel gehen wir von GI. (4.40) fiir die Brennweite zweier brechender FlEhen aus. Wir s e w n also
Nach (4.20) und (4.21) lassen sich die Brennweiten der Linsenflachen mit
.;
- = , = n2 n n1 n2
(4.57)
(n relative Brechzahl des Linsenwerkstoffes gegenuber der Umgebung) darstellen durch (4.58a, b)
(4.59a, b) H
H‘
Abb. 4.21 Paraxiale GrMen der Linse
Als HilfsgrtiSen verwenden wir die reduzierte Dicke d. = -d n
(4.60)
und die Sphmmeterwerte (4.61a, b)
Die Ableitung der Brechkraftfoxmel ist in Tab. 4.14 zusammengestellt. Wir entnehmen ihr (4.62)
208
4 Abbildende optische Funktionselemente
oder F' =
(4.63)
@1-@2+#1#2d.
Bei zwei brechenden Hachen betriigt die Entfernung des Hauptpunktes H' vom Hauptpunkt Hi der zweiten Flache nach GI. (4.51a)
Einsetzen von (4.58b), (4.60) und (4.61a) fihrt auf
a>Hp = -f'Qi,d.
(4.64)
Eine analoge Ableitung ergibt
ulH = f Q z d .
(4.65)
Tabelle 4.14 Ableitung der Gleichung fur die Brechkraft einer Linse Brechkraft zweier kollinearer Abbildungen
Definition der optischen Tubuslhge t = d-f,'+ fi
(mit e; = d ) Einsetzen und Ausdividieren F' = - fi- -1+ L - d Brennweiten der Einzelflachen mit n;/n,=n,/n; = n
fi
r,
= --, n-1
,
fi
=
f; fi'
f; A%'
nr,
n- 1
1 d' = - d n
Definition der Sphiirometerwerte
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
209
MeDtechnisch ist die Entfernung des Brennpunktes vom Flachenscheitel leichter zu erfassen als die Brennweite. Die Scheitelbrennweiten f , bzw. f,' sind die Entfernungen der Brennpunkte von den Flachenscheiteln V, bzw. V,. Der Kehrwert der Scheitelbrennweite f,'ist die Scheitelbrechkraft &' . Nach Abb. 4.21 gilt f. = f +a,,
und f.'= f'+a;,..
(4.66a, b)
Daraus geht mit (4.64) und (4.65)
f, = f ( l + 0 2 ( i ) und f,'= f'(1-eld)
(4.67a, b)
hervor. Bilden wir den Kehrwert von f,' nach G1. (4.67b) und eliminieren wir die Brechkraft F' mittels G1. (4.63), dann entsteht (4.68) bzw . (4.69) Die zeichnerische Bestimmung des paraxialen Bildortes und des paraxialen AbbildungsmaBstabs fiihren wir mit Hilfe der Brennpunktstrahlen und des Knotenpunktstrahls (zugleich Hauptpunktstrahl) aus (Abb. 4.22 und 4.23).
Abb. 4.22 Strahkonstruktion fiir die Samrnellinse
Abb. 4.23 Strahlkonstruktion
fiir die Zerstreuungslinse
Klassifikation der Linsenformen. Eine zentrierte Linse ist durch die Scheitelkriimmungen der beiden FWchen, durch die Flachenform, die Dicke, die Brechzahl, den AuDendurchmesser und den fkeien Durchmesser festgelegt. Fiir unsere Untersuchungen, die sich auf das paraxiale Gebiet beschrjdnken, spielen der AuDendurchmesser und der freie Durchmesser keine Rolle. Die Brechzahl ist nur in engen Grenzen variierbar und hat wenig EinLluS auf die grundlegende Wirkung der Linsen. Strahlenverlauf und Brechkraft werden wesentlich durch die Kriimmungsradien und die Linsendicke bestimmt. Von besonderer Bedeutung ist die Unterscheidung von Sammel- und Zerstreuungslinsen. Es gilt:
210
4 Abbildende optische Funktionselemente
Bei positiver Brennweite f’ schneiden sich achsparallel einfallende Paraxialstrahlen im bildseitigen BfeMpUnkt F’. Die Lime verwandelt ein paraxiales Parallelbundel in ein konvergentes Bundel und stellt damit eine Sammellinse dar (Abb. 4.24). Bei negativer Brennweite f ’ schneiden sich die Verlbgemngen von achsparallel einfallenden Paraxialstrahlen im bildseitigen Brennpunkt F‘. Die Linse verwandelt ein paraxiales Parallelbundel in ein divergentes Bundel und stellt damit eine Zerstreuungslinse dar (Abb. 4.25).
I
\
Brechung von Strahlen an der Sammel-
Abb. 4.24
linse
Brechung von Strahlen an der Zerstreuungslinse
Abb. 4.25
Abb. 4.26 Divergentes Bundel bildseitig der Sammellinse
Ob ein konvergentes oder ein divergentes Lichtbundel entsteht, h b g t von der Objektweite ab (Abb. 4.26). Eine Sammellinse bricht die Lichtstrahlen stets zur Achse zu (of> 0); eine Zerstreuungslinse bricht die Lichtstrahlen stets von der Achse weg (d€ o).(Die Winkel sind mit Vorzeichen zu betrachten.) Das hat z. B. zur Folge, daR eine Zerstreuungslinse innerhalb eines Systems fiir das hinter ihr stehende System grol3ere Einfallshohen mit sich bringt. Fiir die paraxiale Abbildung an Linsen gelten wegen f ’ = -f die Gleichungen des BrennpunktKoordinatensystems
Die grafische Darstellung der Bildweite und des Abbildungsmahtabes als Funktion der Objektweite in der Abb. 4.27 fiir Sammellinsen und in der Abb. 4.28 fiir Zerstreuungslinsen ermoglicht eine schnelle ijbersicht uber die Zusammenhiinge. Verschiebt man ein Zeichendreieck so, daO die Schenkel des rechten Winkels parallel zu den Koordinatenachsen bleiben und der Scheitel des rechten Winkels auf der ausgezogenen Kurve bleibt, dann zeigen die Winkelschenkel die gegenseitige Lage von Objekt und Bild an. Im Hauptpunkt-Koordinatensystem gilt
Eine einfache Gestalt der Abbildungsgleichung erhalten wir, wenn wir die Kehrwerte der Strecken einfiihren:
Damit ergibt sich
21 1
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
"
I I I
I
-7----
P
J
+.-.
Abb. 4.27 Grafische Darstellung der Abbildungsgleichung (Sammellinse)
z'
I
I
i
I --I-
I I -- --
-dz+
--&.4--2+-.I H F
Abb. 4.28 Grafische Darstellung der Abbildungsgleichung (Zerstreuungslise)
212
4 Abbildende optische Funktionselemente
In einem A’-A-Diagramm wird die Abbildungsgleichung durch eine Gerade dargestellt (Abb. 4.29 fiir eine Sammellinse). Der Abbildungsmahtab p’ = tan f und das Winkelverhiiltnis y’ = cot f sind ebenfalls aus dem Bild abzulesen.
Abb. 4.29 Grafische Darstellung der Abbildungs-
gleichung fiir die Kehrwerte der Strecken Wir gehen nun dazu uber, die Linsenformen zu klassifizieren. Fiir die Linsenflachen ergeben sich die sechs Moglichkeiten, die in Abb. 4.30 zusammengestellt sind. Von den neun daraus durch Kombination entstehenden Linsen (Abb. 4.31) sind die Kombinationen 1/4 und 3/6, 1/5 und 2/6 sowie 2/4 und 3/S identisch. Die Kombination der beiden Planflachen 2 und 5 ergibt eine planparallele Platte ohne Brechkraft. Es bleiben damit fiinf Linsenformen ubrig, die zu untersuchen sind. l:4
5
6
Abb. 4.30 Mogliche brechende Flachen
H
Abb. 4.32
1.5
2.4
2,5
2;6
3;4
3.5
3.6
Abb. 4.31 Mogliche Kombinationen brechender Flkhen zu Linsen
H’
Symmetrische Bikonvexlinse
Abb. 4.33 Teleskopische symmetrische
Bikonvexlinse
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
213
Symmetrische Bikonvexlinse (rl = -r, = r). Wir betrachten die symmefrische Bikonvexlinse wegen der besseren ijbersicht bei betragsmaig gleichen Radien (Abb. 4.32). Die Ergebnisse sind sinngemiU3 auf den allgemeinen Fall der unsymmetrischen Linse zu ubertragen. Wegen wird die BrecNuaft nach G1. (4.63) F’ = G ( 2 - d ) .
(4.70)
Die Hauptpunkte haben nach (4.64) und (4.65) die Scheitelabstiinde alH
= -a;H’
=
fad
> 0.
Die Hauptpunkte liegen also symmetrisch in der Linse. Fiir 2>
@d
oder d <
n-1
wird F’ > 0. Es liegt eine Sammellinse vor. Die Dicke darf also einen bestimmten Wert nicht uberschreiten, wenn die Linse sammelnd sein soll. Bei n = 2 braucht die Dicke allerdings nur kleiner als 4r zu bleiben (Kugel d = 2r!). Bei kleinen Linsendicken koMen wir 1 d < r , F‘ = 2@, U ~ H= -a;Hr = -d 2 setzen. Bei n = 1.5 dritteln die Hauptebenen angeniihert die Linse. Im Spezialfall d = -2nr n-1 verschwindet die Brechkraft. Das liegt &an, daR der bildseitige Brennpunkt der ersten und der objektseitige Brennpunkt der zweiten Flkhe zusammenfallen. Die Linse, als eine Folge aus zwei brechenden Flachen betrachtet, stellt ein teleskopisches System dar. Das optische Intervall ist null (Abb. 4.33). Bei d > & n-1 erhalten wir den wegen der betrachtlichen Linsendicke praktisch uninteressanten Fall der Zerstreuungslinse (F‘ < 0). Die Hauptebenen liegen auBerhalb der Linse. An dieser Stelle verweisen wir nochmals darauf, da6 die Definitionen der Sammel- und der Zerstreuungslinse ausschliefllich an das Vorzeichen der bildseitigen Brennweite gebunden sind. Es ist moglich, da6 der bildseitige Brennpunkt einer Sammellinse vor der zweiten Linsentlache liegt. Ein achsparallel einfallendes Paraxialbundel verlat dam die Linse als divergentes Bundel. Entsprechend kann bei einer negativen bildseitigen BreMweite der bildseitige Brennpunkt aaerhalb der Linse liegen. Abb. 4.34 zeigt fiir eine symmetrische Bikonvexlinse mit n = 1.5, r = 10 mm, wie die Brennweite, die ScheitelbreMweite und von der Linsendicke abhiingen. Im Intervall
l<@d<2 liegt der bildseitige BreMpunkt innerhalb der Linse, sonst aMerhalb,
214
4 Abbildende optische Funktionselemente
Abb. 4.34 Brennpunktlage und Brennweite fiir die
symmetrische Bikonvexlinse Symmetrische Bikonkavlinse (r, = -r2 = - r ) . Wegen cDL = - cDz = - rP wird die B r e c k a f t nach G1. (4.63)
(4.71)
F' = -(2+cDd).
Die Scheitelabsthde der Hauptpunkte betragen nach (4.64) und (4.65) a l H= -a;Hp =
-f'oci > 0.
Die Brechkraft ist stets negativ, die Bikonkavlinse also stets zerstreuend. Die Hauptebenen liegen symmetrisch innerhalb der Linse (Abb. 4.35). Plankonvexlinse ( 5 = r > 0, r, = -). Fiir cDI = @ und 0,= 0 wird
(4.72) und a," = 0,
=
-2
(4.73)
H'
Ir F'
Abb. 4.35 Symmetrische Bikonkavlinse
Abb. 4.36 Plankonvexlinse
Abb. 4.37 Plankonkavlinse
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
215
Die Plankonvexlinse 1st eine Sammellinse, deren Brechkraft unabhagig von der Dicke ist. Eine Hauptebene tangiert die gekriimmte Flache der Linse, die andere liegt um die Strecke d / n von der Planflache entfernt innerhalb der Lime (Abb. 4.36). Plankonkavlinse ( 4 = -r < 0 , r2 = -). Fiir die Plankonkavlinse gelten sinngemU dieselben ijberlegungen wie fiir die Plankonvexlinse. Die Brechkraft
F ’ = -/I-1
(4.74)
r
ist negativ, die Plankonkavlinse also zerstreuend (Abb. 4.37). Konkavkonvexlinse (r, > 0 , r2 > 0 , r, c r2). Wegen konvexlinse
> O2 1st die Brechkraft der Konkav-
F ’ = @1-@2+@,@2d stets positiv. Es liegt eine Sammellinse vor. Damit wird alH = alH
-f’~~d,
= -f’a1d, a;Ht c 0.
< 0,
Die Hauptebenen liegen auf den konvexen Seiten der Flachen; H liegt immer, H’ oft aul3erhalb der Lime (Abb. 4.38). Wegen ihrer a&en Form wird die Konkavkonkexlinse auch sammelnder Meniskus genannt. Bei einem sammelnden Meniskus mit objektseitig konvexen Fl2chen ist infolge der speziellen Hauptebenenlage die Scheitelbrennweite wesentlich kleiner als die bildseitige BEMweite. Die Baulshge von der Fassung bis zur Brennebene wird verhUiltnisrnti&g klein. Bei umgekehrter Lage des sammelnden Meniskus, konkave Flachen auf der Objektseite, gilt das Gegenteil (Abb. 4.39).
Abb. 4.38 Konkavkonvexlinse mit kleiner
bildseitiger Schnittweite
Abb. 4.39 Konkavkonvexlinse mit grokr bildseitiger Schnittweite
Hoeghscher Meniskus ( 4 = r2 = r > 0). Eine Linse, bei der beide Kriimmungsradien gleich sind, heifit Hoeghscher Meniskus. Die Brechkrafi betragt
F’ = (n- 1)’ d nr2
’
(4.75)
der Meniskus ist sammelnd. Die Hauptebenen haben von der Dicke unabhagige Scheitel-
216
4 Abbildende oDtische Funktionselemente
abstiinde (Abb. 4.40) U,H
’
= u2H’=
-- r
(4.76)
n-1’
Konvexkonkavlinse (ri > 0, r, > 0, rj > 6 ) . Fur cP1> CD2 war stets F’ > 0. Fiir GJ1< 0,enthalt die Brechkraftformel zwei Summanden unterschiedlichen Vorzeichens, so daR drei Fgle zu unterscheiden sind. Es gilt >
alai2d fiirF’<
=
olqJ fir F’ = 0,
0,
c OIcD2d W F ‘ > 0. Eine Zerstreuungslinse liegt vor, wenn fiir die Linsendicke d < -(cn -r2) (4.77) n-1 gilt. Diese Bedingung wird in den meisten praktisch vorkommenden Fgillen eingehalten sein. Die Hauptebenen liegen dann auf den konkaven Seiten der Flachen und wegen der geringen Dicke im allgemeinen auRerhalb der Linse (Abb. 4.41). Damit haben wir die Linsen klassifiziert. Fiir die Bezeichnungsweise gilt: Linsen mit vorwiegend sammelnder Wirkung erhalten die Endung “-konvex”. Dabei wird nicht unterschieden, wie die Linse im Strahlengang steht. Von den Ausnahmen bei groDen Linsendicken wird abgesehen. Sammelnd sind demnach bikonvexe, plankonvexe und konkavkonvexe Linsen. Ihr auReres Merkmal ist, da13 die Dicke auf der Achse groJ3er ist als am Rand. Zerstreuungslinsen sind am Rand dicker als auf der optischen Achse und werden durchweg mit der Endung “-konkav” bezeichnet. Zerstreuend sind demnach bikonkave, plankonkave und konvexkonkave Linsen.
Abb. 4.40 Hoeghscher Meniskus
Abb. 4.41 Konvexkonkavlinse
Aquivalentlinsen. Bei kleinen Linsendicken hiingen &e paraxialen GroDen der Linse nur wenig von der Linsendicke ab. Fiir bestimmte Aufgabenstellungen ergeben sich einfache Beziehungen, wenn zunachst mit Linsen verschwindender Dicke gerechnet wird.
1
Eine Linse mit verschwindender Dicke wird Aquivalentlinse genannt.
Fiir d = 0 wird die Brechkraft F’ = CD1-02. Wegen Ul” = = 0
(4.78a) (4.78b)
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
217
gilt:
I
Bei einer Aquivalentlinse fallen die Haupt-, Knoten- und Scheitelpunkte zusammen.
(Zu beachten ist, daI3 wir die Beziehungen des paraxialen Gebiets von Linsen fiir den Fall abgeleitet haben, bei dem beiderseits der Linse der gleiche Stoff angrenzt.) Die Aquivalentlinse kann mit einem Formparameter beschrieben werden, der Durchbiegung genannt wird. Die Durchbiegung einer Aquivalentlinse ist die Summe der Abbeschen Invarianten der Linsenflachen.
I
Die Definition der Durchbiegung lautet
Q
=
(4.79)
Qi+Q,-
Mit s1 = s, s; = s’ und nl = n; = 1 erhalten wir aus (4.15) und (4.79)
(4.80)
Der Name “Durchbiegung” kommt daher, dao bei monotoner hderung von Q die Linse ihre Form so veriindert, als wiirde sie durchgebogen (s und F’ konstant gehalten). Abb. 4.42 demonstriert diese Durchbiegung fiir Linsen mit s = n = 1.5, F’= 1 mm-l. (Die zeichnerisch notwendige Linsendicke geht natiirlich nicht in die Rechnung ein.) -00,
-30
-15
-6
-9
-3
0
3
6
9
15
30 Q/mm-‘
Abb. 4.42 Linsenform in Abh;ingigkeit von der Durchbiegung
Die Kenntnis der Durchbiegung und der Brechkraft genugt, urn die Kriimmungsradien der Aquivalentlinsen zu berechnen. Mit n{ = % = n und s; = s2 folgt aus der Abbeschen Invarianten GI. (4.15)
Einsetzen von F’ nach G1. (4.78a) fiihrt auf Qi - Q 2
=
nF‘
(4.81)
Addition bzw. Subtraktion von G1. (4.79) und G1. (4.81) ergibt (4.82a, b) Aus Q, und Q2 folgen unmittelbar die Kriimmungen (4.82~.d)
4 Abbildende optische Funktionselemente
218
4.1.6
Reflektierende Rotationsflichen
Retlexion an sphlrischen Einzelfllchen. Eine Flache, deren Hauptfunktion die Reflexion des Lichtes darstellt, ist eine Spiegelflache. Im allgemeinen wird ein groDes Verhiiltnis aus reflektierter und einfallender Intensitat durch die Anwendung polierter Metallobefilchen bzw. durch das Auftragen leitender oder nichtleitender Schichten auf einen nichtleitenden Triger erreicht.
I
Hohlspiegel haben einen negativen Kriimmungsradius, sie sind also konkav. Wolbspiegel haben einen positiven Kriimmungsradius, sie sind also konvex.
Spiegelflachen stellen geometmch-optisch abbildende Funktionselemente dm, die fiir sich allein eine grol3ere Bedeutung als brechende Flachen haben. Insgesamt kommen jedoch Spiegelflachen in optischen Systemen seltener zum Einsatz als brechende Flachen. Das Reflexionsgesetz &’
=
-&
kann als Spezialfall des Brechungsgesetzes fiir /
n = -n
aufgefaUt werden. Demnach sind die fiir sphMsche brechende Flachen abgeleiteten Formeln auch f i r Kugelspiegel anwendbar.
Abb. 4.43
Grokn am sphiirischen Hohlspiegel
Meridionalstrahlen. Fur die Durchrechnung von Meridionalstrahlen sind die Formelsiitze des Normalschemas (4.3) bis (4.7) umzuformen. Es ergibt sich (Abb. 4.43) fiir;
#
fiir; =
-03:
h sin& = --, r
sin& = -sin&, r &’
=
--m:
-&,
’=
-&,
cp =
-&,
&
cp = 6 - & , 3 = cp+&’ = &-2&,
ff =
s“ I = r . sin&
s = -r-+r.
sin(&- 2.5)
+,.,
A ’
-.,
-2&,
sin E sin 2~
(4.83a. b) (4.84) (4.85a, b) (4.86a, b) (4.873, b)
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
FW s^ =
-00
219
kann mittels
umgeformt werden in
(4.88)
Bei grohen Einfallshohen kommt es vor, dao ein Meridionalstrahl mehr als einmal am Spiegel reflektiert wird. Darauf ist bei der Strahldurchrechnung zu achten. Fiir s^ = -00 ergibt z.B. G1. (4.88) i' = 0, wenn ein Strahl die Einfallshohe h = l4/2 hat, Es entsteht ein Strahlenverlauf, wie er in Abb. 4.44 gezeichnet ist.
V
Abb. 4.44 Keilexion am spbmscben Hohlspiegel fiir E , = 60"
Aufgespalkte Spiegelflache. Haufig sind die Spiegelflachen in einem optischen System mit brechenden Fliichen kombiniert. Die Strahldurchrechnung wird unubersichtlich, weil sich durch die Rucklaufigkeit der Lichtstrahlen an den Spiegelfliichen die Vorzeichenwahl kompliziert. Wir vermeiden diese Schwierigkeiten, wenn wir den Spiegel formal in zwei Fltichen aufspalten und die Lichtrichtung beibehalten (Abb. 4.45). Die Spiegelfltiche ist dann an ihrer Scheitelebene gespiegelt worden.
Abb. 4.45 Gr66en am aufgespalteten Hohlspiegel
4 Abbildende ovtische Funktionselemente
220
Das Reflexionsgesetz fiir die aufgespaltete Spiegelflache erscheint in der Form E‘
=
(4.89)
&
und kann als Spezialfall des Brechungsgesetzes fiir I
n = n
(4.90)
aufgefdt werden. Diese Auslegung hat jedoch nur formalen Charmer. Es ist wesentlich zu beachten, daR der Lichtsuahl bis zur Spiegelflache zu zeichnen ist und erst am Spiegelbild des Spiegels in der gleichen Hohe weitergeht. Es handelt sich also weder um einen Spezialfall der Brechung an einer Flache noch urn die Brechung an zwei Flachen. Deshalb mussen auch die Durchrechnungsformeln neu abgeleitet werden. Sie koMen nicht aus denen fiir die brechende Flache mit n’ = n gewonnen werden. Der Abb. 4.45 ist zu entnehmen, daB
r’ = -r
(4.91)
9%
(4.92)
und -‘p
zu setzen ist. Meridionalstrahlen. Die Ableitung der Durchrechnungsformeln fiir Meridionalstrahlen ist derjenigen fiir brechende Flachen (Tab. 4. I ) vollig analog. Das Ergebnis lautet fiir;
#
-w:
sin E = T--s sin 6 , r
E’
= E,
fiiri =
-05:
sin& = --, h r
(4.93a, b)
= E,
(4.94)
‘p = -&,
(4.95a, b)
3=
(4.96a, b)
&’
2&,
= -r+_sinEr sin 2&
(4.97a, b)
Der Vergleich der Gleichungen (4.86), (4.87) und (4.96), (4.97) zeigt, daD sich die bildseitiund die bildseitigen Schnittwinkel 3 nur im Vorzeichen unterscheiden. gen Schnittweiten i’ Dieses in Abb. 4.43 und 4.45 anschaulich zum Ausdruck kommende Ergebnis bestatigt zusatzlich die Rchtigkeit des Formelsatzes (4.93) bis (4.97). Die Invarianten des paraxialen Gebietes. Einzelne Spiegelflache. Die Abbesche Invariante der brechenden Flache,
geht mit
n’ = - n
_-1 1
uber in die Abbesche Invariante der Spiegelflache,
=-l+A.
r s r s Die Helmholtz-Lagrangesche Gleichung der brechenden Flache
n y o = n’y’d
(4.98)
22 1
4.1 Geometrisch-optischabbildende Funktionselemente ergibt fiir den AbbildungsmaDstab
p’
=
--d
(4.99)
0 ‘.
Der AbbildungsmaRstabwird gleich 1 fiir d = - ff. Der Vergleich mit dem Reflexionsgesetz
E’ = -& zeigt, daD p’ = 1 wird, wenn der Spiegelscheitel abgebildet wird. Fiir die Schnittweiten der Hauptpunkte gilt also
I
(4. loo)
= 0.
s* = s;,
Die Hauptpunkte des einfachen Spiegels fallen mit dem Spiegelscheitel zusammen.
Fiir einen Strahl, der durch die Knotenpunkte geht, muB d = ff sein. Das ist fiir einen Strahl erfiillt, der durch den Kriimmungsmittelpunkt geht. Fiir die Knotenpunkte ist t
(4.101)
sN = sNp= r .
I
Die Knotenpunkte des einfachen Spiegels fallen mit dem Krummungsmittelpunkt zusammen.
Aus G1. (4.99) folgt dann noch fiir die achssenkrechte Ebene, die die Knotenpunkte enthjilt, daD p’ = -1 ist. Die Abbesche Invatiante (4.98) W t sich umformen in
-+1 1 = -. 2 s‘
r
s
(4.102)
-
Die objektseitige Brennweite f = sF ergibt sich aus GI. (4.102) mit s‘ = : f
= 11. 2
Entsprechend ist die bildseitige Brennweite f’ = sb, aus G1. (4.102) mit s = f’ = 1
--
(4.103) abzulesen: (4.104)
2‘
Es ist trivial, daD (4.105)
f’ = f
herauskommt, weil eine Spiegelflache wegen der Umkehrbarkeit des Strahlenganges nur einen Brennpunkt haben kann.
I
Die Brechkraft F’ eines Spiegels ist gleich der doppelten Krtimmung des Spiegels.
Die Lage der Kardinalelemente und die ausgezeichneten Strahlen sind in der Abb. 4.46a fiir den Hohlspiegel, in der Abb. 4.46b fiir den Wolbspiegel enthalten. Mit G1. (4.103) I a t sich die Abbildungsgleichungin Hauptpunkt-Koordinaten (4.102)
1 + 1 =1 sf
f
s
(4.106)
schreiben. Der AbbildungsmaSstab folgt aus G1. (4.19):
p‘
= --.S’ S
(4.107)
222
4 Abbildende optische Funktionselemente
Der Tiefernahtab betragt nach Tab. 4.6 01’
=
(4.108)
-P’2.
Daraus folgt, da8 das Objekt und das Bild gegenlaufig sind.
L.-__
H-H
F-F’
N=N’
Abb. 4.46 Srrahlkonstruktion a) am Hohlspiegel, b) am Wolbspiegel
Irn Brennpunkt-Koordinatensystem gilt fiir b e Koordinaten I
-f,
der Hauptpunkte
ZH = ZH‘ =
der Knotenpunkte
zN = zh, = f .
(4.109) (4.1 10)
Die Abbildungsgleichung lautet ZZ’
=
(4.111)
f2.
Daraus lesen wir ab, da8 z und z’ stets gleiches Vorzeichen haben, d. h., Objekt und Bild liegen, von der BreMebene aus gesehen, auf der gleichen Seite. Der Abbildungsrndstab betragt
p ’ = - -f
(4.112)
Z‘
____
Abb. 4.47 Grafische Darstellung &r
Abbildungsgleichung (Hohlspiegel)
4.1 Geometrisch-oDtisch abbildende Funktionselemente
223
I
I
i
I I
A
Abb. 4.48 Grafische Darstellung der
Abbildungsgleichung (Wtilbspiegel) Abb. 4.47 und 4.48 enthalten die grafische Darstellung der Abbildungsgleichung in BRMpunktkoordinaten f%rden Hohl- bzw. fiir den Wolbspiegel. h e n sind die zu einer gegebenen Objektweite gehorende Bildweite und der AbbildungsmaSstab zu entnehmen.
Aufgespaltete Spiegelfliiche. Aus dem Normalschema (4.93) bis (4.97) ergibt sich durch Spezialisierung auf das paraxiale Gebiet, daR die Abbesche Invariante fiir die aufgespaltete Spiegelflache (4.113) lautet. Daraus folgt:
I
I
Auch fiir die aufgespaltete Spiegelflaiche ist die Abbesche Invariante durch Spezialisierung derjenigen fiir die brechende Flache zu gewinnen. Es ist n' = n zu setzen, aber zu beachten, daa der bildseitige Kriimmungsradius vom objektseitigen durch das Vorzeichen unterschieden ist.
Umformen von G1. (4.113) fiihrt wegen r' = -r auf die Abbildungsgleichung
4-1= -2.
(4.1 14)
= -1.
(4.115)
r Aus G1. (4.1 14) folgt mit sk, = f' fiir s = --oo die bildseitige Brennweite s
f '
s
2
und mit sF = f fiir s' =
-
die objektseitige Brennweite
f = -r
(4.116)
f'= -f.
(4.117)
2'
Es gilt
224
4 Abbildende ovtische Funktionselemente
weil objekt- und bildseitiger Brennpunkt, vom Flachenscheitel aus gesehen, auf verschiedenen Seiten liegen. Die Abbildungsgleichung (4.1 14) 1 s t sich mit G1. (4.115) in (4.1 18) umformen. Wegen f ’ = -f sind siimtliche fiir diesen Spezialfall angegebenen Formeln in der paraxialen Abbildung anwendbar. Insbesondere gilt: Die Haupt- und die Knotenpunkte der aufgespalteten Spiegelflache fallen mit dem Flachenscheitel zusammen (Abb. 4.49 und 4.50).
Abb. 4.49
Strahlkonstruktion am aufgespalteten Hohlspiegel
Abb. 4.50 Strahlkonstruktion am aufgespalteten WBlbspiegel
Es zeigt sich also, daR aul3er dem naturgems mit der aufgespalteten Spiegelflache verbundenen Auseiniderfallen der Brennpunkte auch die Knotenpunkte an einer anderen Stelle liegen als bei der einfachen Spiegelflache. Das hat z. B. zur Folge, daR die aufgespaltete Spiegelflache nur mit Vorsicht zur Untersuchung des Einflusses von Flachenkippungen anzuwenden ist. Wir betonen deshalb noch einmal: Die aufgespaltete Spiegelflache ist ein formales Hilfsmittel, mit dem die Strahldurchrechnung an Spiegelflachen ohne die mit der Rucklaufigkeit der reflektierten Lichtstrahlen verbundenen Schwierigkeiten moglich ist.
Tab. 4.15 enthat zusammenfassend die grundlegenden Gleichungen fir die Abbildung im paraxialen Gebiet.
225
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente Tabelle 4.15 Zusammenstellung von Beziehungen fiir das paraxiale Gebiet
f’ #
_+
f , p’y‘ =
--f (Beispiel: brecbende Einzelflacbe)
f’
=0
Brennpunkt-Koordinaten
zp
Hauptpunkt-Koordinaten
ZH =
f
=
a;, =f’
2:. =
0
-f
z;l,=
-f’
aH = 0
ah. = 0
Knotenpunkt-Koordinaten
z = f’
Zh, =
f
a N= f + f ‘
ah. = f + f ’
AbbildungsmaBstab
f --L p ’ = - z - f’
WinkelverMtnis
f = - z=
TiefenmaBstab
a’= -z‘
Abbildungsgleichung
zz‘= ff’
f’ Z
-f _- - _f -1
f’ p’
z’
=
-LB2
f’ a 7’= a a’
f
a’ =
-($I2+
f’ = - f, p’y‘ = 1 (Beispiel: Einzellinse in Luft) Brennpunkt-Koordinaten
ZF =
0
z& = 0
aF =
-f’
a;. = f ’
Hauptpunkt-Koordinaten
ZH =
f’
26, = -f‘
aH =
0
a;, = 0
Knotenpunkt-Koordinaten
z N = f’
z;. =
a”, = 0
AbbildungsmaBstab
B’=-=-L f’
aN= 0 p ’ = -a‘ a
Winkelverbdtnis
f=L=-fl=l
TiefenmaBstab
a‘=
Abbildungsgleichung
zz’= - f’2
-f‘
f’
z
p’
z’
f’
f=-a =- 1 a’ p’
(;J
-I’ = P2 Z
a’ = --1 1 a‘
=
p’2
=1
a
f’
f’ = f , p’y‘ = -1 (Beispiel: reflektierende Einzelfliicbe) Brennpunkt-Koordinaten
ZF = 0
Hauptpunkt-Koordinaten
ZH =
Knotenpunkt-Koordinaten
z
2;.
-f‘
= f’
= 0
-f’
aH = 0
ah. = 0
z;, =
f’
a N = 2f’
ah. = 2f’
Winkelverhfilmis TiefenmaBstab
a‘
Abbildungsgleichung
2.’ =
p’=
f’
=
a;, = f’
z;, =
-f= -z’ z f ’ f = t = r = -I
AbbildungsmaBstab
a F = f’
z’
p’=
-a.a
y ‘ = - a= - -
1
p’
a’
p’
-Z = -PI2 Z
f’2
Brennpunkt-Koordinateensystem
-+1 1 =1
a’
a
f’
Hauptpunkt-Koordinatensystem
4 Abbildende ODtisChe Funktionselemente
226 4.1.7
Windschiefe Strahlen
Smtliche Strahlen, die nicht in der Meridionalebene liegen, heinen windschiefe Strahlen. Die Durchrechnung eines windschiefen StraNs durch ein System aus brechenden Flachen wird in Koordinatenschreibweise unubersichtlich, weil der Strahl nicht in ein und derselben Ebene liegt. Es ist also ein raumlicher Strahlenverlauf zu untersuchen. Fiir derartige Aufgaben ist die vektorielle Darstellung am rationellsten. Die Durchrechnung von windschiefen Strahlen ist eines der Probleme, deren Losung durch Anwenden des vektoriellen Brechungsgesetzes wesentlich vereinfacht wird. Die Durchrechnung eines windschiefen Strahls l a t sich in &e Teilaufgaben Berechnung der EingangsgroRen, Durchrechnung an einer Flache, ijbergang zur nacichsten Flache, - Schlul3rechnung
-
zerlegen. Zur vektoriellen Strahldurchrechnung sind der Normaleneinheitsvektor n im DurchstoRpunkt auf der Flache und die Einheitsvektoren s bzw. s’ mit dem vektoriellen Brechungsgesetz
oder dem vektoriellen Reflexionsgesetz s’ = s - 2(ns)n
zu verknupfen. Der Ort des DurchstoRpunktes durch die Flache ist ebenfalls durch einen Vektor zu keMzeichnen. In der ersten und zweiten Auflage dieses Buches wird dazu der Vektor verwendet, der vom Kriimmungsmittelpunktder folgenden FlPche ausgeht. Feder [67] hat einen Formelsatz entwickelt, bei dem der Vektor vom Flachenscheitel zum DurchstoRpunkt des Strahls mit der Flache weist. Haferkorn und Tautz [68] haben den Formelsatz auf dezentrierte Flachen angewendet. Wir beschreiben die Lage des Kriimmungsmittelpunktes der Flache durch den Einheitsvektor k, der vom DurchstoRpunkt der z-Achse durch die Flache zum Kriimmungsmittelpunkt weist. Bei zentrierten Flachen liegt k auf der z-Achse und geht vom Flachenscheitel V aus. Wir behandeln zunachst die Brechung an rler k-ten Flache. Swtliche GroRen, die der k-ten Flache zugeordnet sind, schreiben wir vorlaufig ohne Index. Es gilt (Abb. 4.51)
v , - , + ~ , s= el-1 e , + m
m+l,s = Y , v + r n = rk.
(4.1 19a, b, c)
In G1. (4.119~)W e n wir die Kriimmung R = l/r ein und setzen R v + n = k.
(4.119d)
227
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
Auf der Basis der Gleichungen (4.1 19) wird in Tab. 4.16 die Teilstrahlliinge
1, =
RmZ- 2(mk) (ks)+ (ns)
(4.120)
abgeleitet. Tabelle 4.16 Ableitung der Gleichung fiir die Teilstrahlliinge I ,
m+12s = v
Quadrieren und (ms) = 0 und (ms) = 0 beachtet I, = (vs)
(vk) = ( m k ) + l , ( k s )
L n = k-Rv I
skalare Multiplikation mit s und (vs) eingesetzt Rl, = (kS)-(n~)
Quadriert und n2 = k 2 = 1 2R(KV) = R2v2
v 2 und (vk) eingesetzt 2R(mk)+212R(ks)= R 2 ( m 2 + l ; )
1
7
Multiplikation mit (ks)+ (ns) Rl,[(ks)+(ns)]=(kS)’- IS),
2R (mk)+ 2 (ks)[(ks)- (m)]
A
(ns)’ =
(ns) eingesetzt und umgefomt
Rm2- 2(mk) (ks)+ (m)
(ks)2-R[Rm2-2(mk)]
228
4 Abbildende optische Funktionselemente
Tabelle 4.17 Ableitung der Gleichungen fiir die HilfsgroBen m2 und mk
skalare Multiplikation
skalare Multiplikation mit s, Beachten von
mit k und Umformen
Quadrieren
e, = (O,O, 1)
Die HilfsgroRen m 2und mk werden in Tab. 4.17 berechnet. Es ist
+ + el!, + 2 1 , ( ~ ~ --~2el-, s ) vk-l,z- 2e;-,ll s,
m2 = v : - ~ 1:
(4.12 1a)
(mk)= (v,-,k) +l,(ks)- e ; - , k z .
(4.121b)
und
Fiir die Teilstrahll2nge I I gilt nach Tab. 4.17 1, = el-,s, - (vk-,s).
(4.121~)
Bei zentrierten Flachen hat k nur eine z-Koordinate, es ist also k = (0,0,l). Als EingangsgroRen dienen die Komponenten von so (Abb. 4.52), die bei sIf -m aus (4.122a, b, c)
(4.122d) folgen. Bei s1 =
-W
sind die Richtungskosinus zu verwenden. Sie gehen bei sox = 0 uber in
s o y = -sin&p,
sox = cos up.
(4.123a. b)
(hPist Schnittwinkel des Bezugsstrahls mit der optischen Achse.) Die Koordinaten der Eintrittspupillenebene xp, yp,p bzw.
spl konnen
auf jede beliebige Ebene umgedeutet werden.
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
229
Abb. 4.52 Zur Ableitung der Gleichungen fik die Eingangsgrokn
.~
s;,
e
Abb. 4.53 Zur Ableitung der Gleichungen fiir die SchluOrechnung
Die SchluDrechnung ergibt sich aus der Beziehung Es ist r' = (2, i',0). also
r- = .? = v,,+1s;,,
r,' =
y = v,,+1s:,.
Y,
+ Is:
+
= (si - b)sLn r' (Abb. 4.53).
(4.124a, b) (4.124)
Den gesamten Rechenablauf enthdt Tab.4.18. Die Darstellung fiir die Wellentlachenberechnung und fiir dezentrierte Flachen ist in [ 191 angegeben. Aspharische brechende Flachen. Fiir die Durchrechnung von windschiefen Strahlen an asphiirischen Fliichen, die durch Polarkoordinaten dargestellt sind (vgl. 4.1.9), wird zunachst der DurchstoSpunld iterativ bestimmt. Ausgangswert ist der Radius r, der Scheitelkugel, mit dem nach dem Formelsatz fiir sphiirische Flachen cosy, = nk berechnet wird. Aus G1. (4.164) ergibt sich der neue Wert r,. Das Verfahren wird solange wiederholt, bis die iinderung des Radius unterhalb einer vorgegebenen Schranke liegt. Zur Bestimmung der FlaCheMOtmalen ist der Vektor Y in spmschen Polarkoordinaten darzustellen. Es ist (4.125a) v = x(cp. W e , + Y ( % y)e, + z(% W e ,
230
4 Abbildende optische Funktionselemente
Tabelle 4.18 Ablauf der windschiefen Strahldurchrechnung
Q = cos a - bzw. = 0 soy = cosp soy = -sin tip soz = COS? so, = cosa,
l o = J ( x - x p ) 2 + ( y - Y p ) 2+ p 2 sox = (x - X p ) / l O soy = (Y - Y p ) / l o $02 = P/'o
4 k:=k+l
t nein
L-! s.: +b'-v,,
? = v,,+1s:, j' = v,,+1s:,
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
231
mit x = rsintysincp,
y = rsintycoscp,
z = to-rcosy
(4.125b)
(Abb. 4.54). Nach den Regeln der Differentialgeometriefolgt der Normaleneinheitsvektoraus (4.126a)
mit (nur in (4.126~.d) bedeutet r’ die Ableitung von r g e m s (4.126d))
av = (r sin ty cos cp)e,
av
aty
+ (r sin y sin q)e,,
(4.126b)
= sincp(r cos ty + r’sin ty)e,+ cos cp(r cos
w+ r‘sin ty)e, + (r sin ty - r‘cos w)e,, (4.126~) (4.126d)
Das Vorzeichen von n richtet sich nach dem von t.
C -
Abb. 4.54 Zur Berechnung der Komponenten des Vektors Y bei asph&ixhen Flitchen
Spiegelflhhen. Bei der Durchrechnung windschiefer Strahlen an asph&schen aufgespalteten Spiegelflachen ist zunachst zu beachten, dafl in die ijbergangsfonneln von der Spiegelflkhe zur mhsten Flkhe der Radius r’ einzusetzen ist. Filr die aufgespaltete Spiegelflache ist die bisherige Schreibweise des vektoriellen Reflexionsgesetzes ungeeignet. Objekt- und bildseitiger Nonnaleneinheitsvektor fallen nicht zusammen, so dafl die vektorielle Schreibweise des Reflexionsgesetzesin eine der aufgespalteten Spiegelflkhe angepa6te Form zu bringen ist. Nach Abb. 4.55 gilt wegen & = E’ s x n = s’xd.
Die Auflosung nach s’ ergibt das vektorielle Reflexionsgesetz fiir die aufgespaltete Spiegelflkhe,
s‘ = (n’n)s - (n’s)n+ (ns)n’. Bei einem aufgespaltetenPlanspiegel gilt n’= n, (n’n)= 1 und s’ = E.
(4.127)
232
4 Abbildende optische Funktionselemente
Das Rechenscherna nach Tab. 4.18 ist fiir den aufgespalteten Spiegel anwendbar, wenn die Hinweise fiir die hderungen in den ijbergangsbeziehungen beachtet werden und das vektorielle Brechungsgesetz durch das vektorielle Reflexionsgesetz nach G1. (4.127) ersetzt wird.
Berechnung windschiefer Strahlen in Matrixdarstellung. Wir gehen vorn vektoriellen Brechungsgesetz (2.33) aus. Es lautet = 0.
nx(n’s’-ns)
Die Komponenten des Vektorprodukts folgen aus ex
eY
n, n’d-na
‘2,
n’p’-np
e, nz n’y’-n
Die GroDen a, j3, y sind die Richtungskosinus des einfallenden Strahls und a’, p‘, y’ die des gebrochenen Strahls. Das Ausrechnen der Determinante ergibt
- n y ) - n, (n’p’ - no) = 0, n,(n’ y’ - n y ) - n, (n’a’ - n a) = 0, n,(n’P’- np) - ny(n’a’ - n a) = 0.
ny(n’ y’
(4.128a, b, c)
Weiter gilt fiir den Einfalls- und den Brechungswinkel cos E = sn = an, +ony + yn,, cos E’ = s’n = a’n, +@’ny+ y’nz. Diese Gleichungen losen wir nach y bzw. y’ auf: 1 y = J-(cosE-anX-fin,,), y’ = -(COSE n, n, Einsetzen von y und y’ in G1. (4.128a) ergibt
n’a’- n a wird mittels G1. (4.12%) eliminiert:
P
P
- a n,-p’n,).
(4.129a, b)
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
233
Durch Auflosen von G1. (4.130) nach n’p’- n p erhalten wir unter Verwendung von n2 +ny’+n: = 1
die Beziehung
n’ P’ - n p = ny (n‘ cos E’
- n cos E ) .
(4.131)
Eine analoge Ableitung mit G1. (4.128b) als Ausgangsbeziehung fiihrt auf
n’a’-na = n,(n’cosd-ncosE).
(4.132)
Bei der sphiirischen brechenden Flache ist (Abb. 4.56) “x
rx , n y = - - ‘Y , nr = = --r r
--.rz r
(4.133)
Setzen wir die Identitat der objekt- und bildseitigen DurchstoDkoordinaten durch die brechende Fliiche an, r: = rx, ri = ry, rz’ = rz ,
(4.134)
](:p1
dam ktinnen wir die Brechung an der sphMschen Fliiche durch die Matrixprodukte n’ cos E’
- n cos E
r 1
(4.135a)
(4.135b) beschreiben.
Abb. 4.56 Vektoren fiir das vektorielle Brechungsgesetz
Fur Meridionalstmhlenist a = a’= 0 und ry = y , so daI3 mit n’cosd-ncosE r
=
(4.136)
234
4 Abbildende ovtische Funktionselemente
auch (4.137) geschrieben werden kann.
Ubergangsbeziehungen. Fiir den Ubergang von einer brechenden Fliiche zur anderen gilt (Abb. 4.57) nk+l rx.k+l
= n;,
=
ak+l
=
a;,
rx,k + l ; a k + l *
Pk+l
ry,k+l
=
=
fi;?
(4.138) (4.139)
ry.k + l ; P k + l *
In Matrixschreibweises e w n wir (4.140) Ausrechnen des Matrizenproduktsergibt nk+lfik+l
ry.k+l
=
An;P; +Bry',kp
(4.141)
+ Dry'.k.
(4.142)
= cn;fi;
Der Vergleich von (4.141), (4.142) und (4.13% (4.139) legt die Elemente A, B , C und D folgenderma6en fest: A=l,
E=O,
C=,
II
D=1.
nk
Abb. 4.57 hergangsbeziehungen
,' f x ,
k
G ,' ,
k+l
_L--.---/--.--
Die hergangsmatrix lautet also (l!
;)*
(4.143)
Zur praktischen Umsetzung der windschiefen Strahldurchrechnung existieren heute viele interne und kommerzielle Rechenprogramme. Im allgemeinen sind sie in Programme zur Optimierung bzw. Synthese optischer Systeme eingebunden. Ein Beispiel ist in [71] angegeben. Weitere Programme, vor allem aus US-amerikanischen Institutionen, koMen z. B. [33] entnommen werden.
4.1 Geomeuisch-optisch abbildende Funktionselemente
4.1.8
235
Matrixdarstellung im paraxialen Gebiet
Ubergang zum paraxialen Gebiet. Fiir den Grenzfall des paraxialen Gebiets gehen wir von
B = &+90",
rr = h
aus (Abb. 4.58). Damit ist
-
cosp = -sin0 oder
p
=
-0.
(4.144)
Weiter wird (4.145) Die Brechung von Paraxialstrahlen schreibt sich in Matrixdarstellung
(-y)(; -T)(-;Q). =
(4.146)
(Y) (; :)("R)
(4.147)
Dafiir kann auch =
gesetzt werden. Fiir Q = 0 muD nach der Definition des Brennpunktes hF'
sein. G1. (4.146) ergibt n'F' = n ' - n
r und damit (4.148)
Abb. 4.58 iibergang zum paraxialen Gebiet
Die ijbergangsmatrix nimmt wegen 1; = t; die Form (4.149)
236
4 Abbildende optische Funktionselemente
an. Bei der Anwendung in Verbindung mit der Schreibweise nach G1. (4.147) ist sie abzuwandeln in (4.150)
Paraxiale Strahldurchrechnung. Wir bezeichnen die Abbildungsmatrix mit A, die Ubergangsmatrix mit U. Fiir eine dicke Linse, die beiderseits an Stoffe mit unterschiedlicher Brechzahl grenzt, gilt dam (4.15 1) Mit
erhalten wir durch Ausmultiplizieren der Matrizen (4.152) Setzen wir (4.153)
so ist also f
4
n,
f ' = -,
= --,
m11
f, = -n,-,
11112
m12
m12
&'=
I m22 n2-, m12
m,, = -d
und wegen alH= f, - f bzw. a;", = &'- f
alH= -n,- m11-1 , m12
I
I
m22-1
= n2-.
11112
Die mi, heifien GauDsche Konstanten. Die numerische Strahldurchrechnung fiir das paraxiale Gebiet wird zweckmaig auf die Matrizenmultiplikation aufgebaut. Als Eingangsgrofie dient
n l q = n , -hl
(4.154)
$1
mit einer beliebigen EingangsgroBe h, . Es ist (4.155) und (4.156)
237
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente alS0
.’,a‘, = r n l l n , ~ l + r n m , ~ h’, h l , = m21n1~1+rn12h1.
(4.157), (4.158)
Rechnet man nicht die Elemente von A,, insgesamt aus, d m erhiilt man schrittweise die GroRen nach Tab. 4.19. Tabelle 4.19 Schema fiir die paraxiale Strahldurchrechnung
k:=k+l
k=n
nk+l‘k+l
=
la
nk u k
Nach Tab. 4.10 ergibt sich h a,, = s f , h, ~= h, 0;’
(4.159)
woraus mit h = h, f f
hl =(sl = --)
a‘,
(4.160)
hervorgeht. Fiir die Hauptebenenlage gilt a;*’ = s:,-f’
(sl = -).
(4.161)
Tab. 4.20 enthdt die paraxiale Strahldurchrechnung an einer Bikonvexlinse. Die objektseitigen GrtiBen werden mittels Ruckw&tsrechnung bestimmt.
4 Abbildende optische Funktionselemente
238
Bei der aufgespalteten Spiegelflache ist wegen n'F' = -2n'/r = -2n/r die Matrix
(4.162)
zu verwenden. Tabelle 4.20 Beispiel zur paraxialen Strahldurchrechnung (vgl. Tab. 4.2) rl=50, r,=-300. n l = l , n;=n,=1,5182, n l = l , d = 5 , >=3,2934(alleLiingeninmm) SI
--oo
hl
50 0 0,5182 50 146,48784
nlal n; a; h; sl
f' = 83,109119,
n2 0 2
hz
n; 4 h; s;
0,5182 48,293374 0,60 161875 48,293374 80,272395
= -2,8367238
Zur rechnergestiitzten paraxialen Dimensionierung, Manipulation und Analyse rotationssymmetrischer optischer Systeme existiert an der TU Ilmenau das Programm ILPADI [70].
4.1.9
Spezielle rotationssymmetrischeFunktionselemente
Als spezielle geometrisch-optischeFunktionselemente fassen wir alle Elemente auf, die nicht ausschliefilich aus zentrierten sphtirischen brechenden oder refleklierenden Flachen bestehen. Wir teilen sie folgendermden ein: - Spezielle zentrierte Elemente (sphtirische und asphiitische Spiegellinsen, asphtirische Lin-
sen), - spezielle nichtzentrierte Elemente (Zylinderlinsen, torische Linsen, schrag stehende Plan-
parallelplatten), - Elemente mit nichtstetigen Flachen (Fresnel-Linsen, Wabenlinsen, Fliegenaugenlinsen), - Elemente mit orts- oder richtungsabhiingiger Brechzahl (Elemente aus inhomogenen oder anisotropen Stoffen). In 4.1.9 bis 4.1.1 1 behandeln wir asphiirische Rotationsflachen, Spiegellinsen, Zylinderlinsen, torische Linsen, Fresnel-Linsen und Gradientenlinsen; Wabenlinsen werden spater behandelt.
4.1 Geometrisch-optischabbildende Funktionselemente
239
Anwendung von aspharischen Rotationsflachen. Asphiirische Flachen werden seltener in optischen Systemen angewendet als Kugelflachen, weil ihre Fertigung in feinoptischer Qualitat schwieriger ist. Hinsichtlich der Schleif-, Lapp- und Polierverfahren gibt es zwei Moglichkeiten fiir die Fertigung asphiirischerFlachen. Bei der sogenannten lokalen Retusche wird eine sphiirische Flache durch zonenweises Nachpolieren abgewandelt. Dieses Verfahren ist nur bei geringen Abweichungen von der Kugel okonomisch vertretbar. Sein Erfolg h u g t von der Geschicklichkeit des Feinoptikers ab. Das enielte Ergebnis wird in gewissen Abstiinden iiberprijft. Die lokale Retusche ist langwierig und teuer. Als Beispiel kann der Astrovierlinser von Sonnefeld dienen (Abb. 4.59), bei dem die letzte Flache retuschiert ist, um die Vereinigung aderaxialer Strahlen zu verbessern.
Abb. 4.59 Astrovierlinser nach Sonnefeld
Bei groI3en Abweichungen von der Kugel ist das maschinelle Vofiiisen der Flachen notwendig. Das endgultige Schleifen, Liippen und Polieren ist weniger aufwendig, wenn die MaRhaltigkeit durch Feinfriisen weitgehend gesichert ist. Durch spezielle Verfahren, wie z. B. das Trirota-Verfahren, bei dem die asphjirische Flache nur durch Rotationsbewegungen erzeugt wird. und seine Weiterentwicklung, haben sich aussichtsreiche Losungen fiir die Fertigung asphiirischer Rotationsflachen ergeben. Einige Beispiele fiir den Einsatz asphjirischer Rotationsflachen sind: In Kondensoren ist haufig die Genauigkeit der Flachen nicht so hohen Fordemngen unterworfen wie in Hochleistungsoptik. Sie stellen ein wichtiges Anwendungsgebiet der asphjirischen Fliichen dar. In Spiegelfemrohren und in Scheinwerfern spielen asphtirische Spiegelfliichen eine grofie Rolle. Ein besonderes Anwendungsfeld stellen die Weitwinkelobjektive fiir Luftbildaufnahmen mit extremen Forderungen dar. Auch in Fotoobjektiven werden sie bereits gelegentlich eingesetzt. Darstellung aspharischer Rotationsflachen. Die Behandlung der Strahldurchrechnung an asphiirkhen Flachen erfordert deren analyusche Darstellung. In den seltensten Fiillen ist die Beschreibung mittels geschlossener Funktionen moglich. Im allgemeinen verwendet man Beziehungen, die den Unterschied zwischen der asphbischen Flache und einer geometrisch ausgezeichneten Flache in Form einer Polynomdarstellung beschreiben. Die ausgezeichnete Flache wird moglichst so gewmt, da6 die asphiirische Flache wenig davon abweicht. Drei Darstellungen sind besonders nahegelegt.
- Geringe Deformationen von der Ebene aus werden in kartesischen Koordinaten beschrieben, indem die Pfeilhohe g als Funktion der Hohe h angegeben wird: g =
C4h4+C6h6+Cgh8+..'.
(4.163)
240 -
4 Abbildende optische Funktionselemente
1st die Grundform eine Kugel, dann sind Polarkoordinaten angepaRt. Die Meridiankurve der asphMschen Rotationsflache wird durch das Polynom r = ro+c,y4+c6~+cg@+~~~
(4.164)
dargestellt. - In manchen Fdlen ist bei groaen Abweichungen von Ebene und Kugel von der Parabel aiiszugehen. In kartesischen Koordinaten gilt dann (4.165) Die y-Koordinaten beziehen sich auf die Vergleichsparabel. Berechnung einer asphiirischen Rotationsfliiche. Als Beispiel berechnen wir eine brechende Rotationsflache, die den unendlich fernen Achsenpunkt in einen Bildpunkt abbildet. Wir gehen vom Satz von Malus aus, nach dem der Lichtweg zwischen zwei Wellenflachen konstant ist. Ein achsparalleler Strahl muR demnach von einer achssenkrechten Ebene bis zum
~
_
_
7
Abb. 4.60 Zur Berechnung
einer asph&ischen Flslche Bildpunkt dieselbe optische L a g e haben wie ein Strahl,der von derselben achssenkrechten Ebene aus l a g s der optischen Achse bis zum Bildpunkt verlauft. Nach Abb. 4.60 ist -nl + n ' t = n'f. ES
gilt -1 = g, I' =,-/, ng + n
'
,
also /
m =
ny'.
Quadrieren ergibt (4.166) Das ist bei n > n ' die Gleichung eines Hyperboloids, bei n < n ' die Gleichung eines Ellipsoids. Tab. 4.21 enthat Koordinaten einer asphiirischen Flache mit n = l , n'=1,5 und f'=100mm. E r g w e n wir diese Flache durch eine zum Bildpunkt konzentrische Flache, d a m entsteht eine
4.1 Geometrrscb-oDtiscbabbildende Funktionselemente
24 1
Linse, die den unendlich fernen Achsenpunkt punktformig abbildet (Abb. 4.61). Im Fall n > n’ ergibt sich eine Plankonvexlinse mit einer hyperbolischen Flache (Abb. 4.62). Es ist jedoch zu beachten, da6 beide Linsen zwac den Achsenpunkt punktf6rmig abbilden, nicht aber ein kleines achsensenkrechtes Flachenelement. Tabelle 4.21 Koordinaten einer asphiirkhen %the
5 10 15
20 25 30
18,025 24,725 29,580 33,333 36,325 38,73
Irn allgemeinen 1st die Berechnung von asphMschen RotationsflPchen, die 1Merhalb eines optischen Systems oder an einer Einzellinse einen vorgegebenen Stmhlenverlauf realisieren sollen, aufwendiger als im beschriebenen Beispiel. Nomalerweise ist eine Differentialgleichung fiir die Meridiankurve zu losen. Es kann aber auch die Bestimmung von diskreten Flachenpunkten aus der Strahldurchrechnung mit anschliel3ender Darstellung der Flachengleichung als Ausgleichspolynom notwendig sein.
Abb. 4.61 AspWscbe Linse
(Rotationsellipsoid und Kugelflacbe)
AspMsche Linse und Rotationshyperboloid)
242
4 Abbildende ovtische Funktionselemente
Spiegel mit Kegelschnitten als Meridiankurven. Die Gleichung der Meridiankurve eines Spiegels, der den unendlich fernen Achsenpunkt punktfonnig abbildet, erhalten wir aus G1. (4.166), wenn wir n' = -n setzen: h2 = 4f'g.
Das ist die Gleichung einer Parabel (Abb. 4.63a). Die Abbildung eines im Endlichen liegenden reellen Objektpunktes in einen reellen Bildpunkt wird vom reflektierenden Rotationsellipsoid vennittelt (Abb. 4.63b). Ein auberaxialer Strahl hat die L u g e l 1 + Z 2 , der Achsstrahl die L u g e 2a. Gleichheit beider Lichtwege ergibt die fiir eine Ellipse charakteristische Beziehung
1 1 + 1 2 = 2a. Die Kugelflache ist der Spezialfall, bei dem der Objekt- und der Bildpunkt mit dem Kriimmungsmittelpunkt zusammenfallen. Das Rotationshyperboloid bildet einen reellen Objektpunkt in einen virtuellen Bildpunkt ab (Abb. 4.63~).Das geht aus der Definition der Hyperbel hervor, fiir die
1, - 1 2 = 2a ist. Spiegelflachen sind gegenuber Fertigungstoleranzen empfindlicher als brechende Flachen. Sie sollten deshalb nur als asphiirkhe Flachen ausgebildet werden, wenn mit brechenden Flachen die gewiinschte Wirkung nicht erreicht wird.
g eornetrische b)
c)
geometrische Bren n p u nMe
Brenn pun kte
Abb. 4.63 a) Parabolspiegel, b) elliptischer Spiegel,
c ) hyperbolischer Spiegel
4.1 Geometrisch-optischabbildende Funktionselemente
243
Meridionale Strahldurchrechnungan aspharischen Rotationsflachen.Wir denken uns eine Flache analpsch vorgegeben. Die Gleichung der Meridiankurve sei entweder in kartesischen Koordinaten h = h(g) oder in Polarkoordinaten r = r( w) ausgedriickt. Wir berechnen den Verlauf eines Meridionalstrahls. In karfesischen Kuurdinafen setzen wir zunikhst voraus, dal3 die Schnittweite s und die PfeilhOhe g vorgegeben sind (Abb. 4.64). Wir berechnen die Ableitung h’(g). Aus p = hJl+h’*,
(4.167)
cot cp = h’
(4.168)
werden die Llinge p der Normalen und ihr Schnittwinkel mit der Achse gewonnen. (Gl. (4.167) und G1. (4.168) ubernehmen wir aus der Differentialgeometrie.) Nach Abb. 4.64 erhalten wir welter po = pcoscp+g. Mit cos cp = (cot
c p ) / d x sowie (4.167) und (4.168) formen wir um in
Po = hh‘+g (nur in (4.167) bis (4.169) ist h’ die Ableitung). AuSerdem gilt tanu=- h i-g‘
(4.169) (4.170)
Abb. 4.64 GroBen an einer aspMschen Rotationsflache
Damit sind die Hilfsgrokn fiir die Strahldurchrechnung gegeben. Anhand von Abb. 4.64 leiten wir mit dem Sinussatz, dem Adenwinkelsatz und dem Brechungsgesetz auf dem gleichen Wege wie bei der sphMschen Flache in 4.1.2 die Beziehungen Po-S^sin&, sin& = -
(4.171)
P sin&’ = +sin n
E,
(4.172)
cp =
&-&,
(4.173)
iY =
cp+&’,
(4.174)
s^’ = -p- sin E’
sin i~ +Po ab. G1. (4.173) wird nur zur Kontrolle benOtigt, da cp bereits aus G1. (4.168) folgt.
(4.175)
244
4 Abbildende optische Funktionselemente
(4.176) (Die Rechnung beginnt erst bei G1. (4.172).) Die Polarkoordinaten wiihlen wir so, daR der Ursprung im Kriimmungsmittelpunkt der Schmiegungskugel fiir den Scheitel der Flache liegt. Die optische Achse ist die Polarachse. Als AusgangsgrtiBen dienen zunachst die Schnittweite s^ und der Winkel y.Die HilfsgroSen folgen aus (Abb. 4.64) 1 dr tanp = --, r dW rsin y tan6 = s^ -ro + r cos y‘
(4.177) (4.178)
Die Durchrechnungsformeln, mit Sinussatz, AuBenwinkelsatz und Brechungsgesetz abgeleitet, lauten
ro - S sin(&--) = -sin 6, r
(4.179)
sin E’ = +sin
(4.180)
n
E,
z =ly+E’--p,
(4.181)
sin (E‘ - p) s = -r + r, . sin 3
(4.182)
‘.I
Bei s^ = --oo fallen G1. (4.178) und G1. (4.179) wegen b= 0 weg. Es gilt d m E =
p-ly.
(4.183)
Bei den h e r angegebenen Ableitungen der Durchrechnungsformeln fiir asphiirische Flachen setzen wir voraus, dal3 die Pfeilhohe g bzw. der Polarwinkel y gegeben ist. Steht die Flache innerhalb eines optischen Systems, dann keMen wir iiber die ijbergangsbeziehungen die Schnittweite s^ und den Schnittwinkel 6. Die GroBe von g bzw. y m a durch Probieren ermittelt werden. Dazu wird y niiherungsweise vorgegeben (z. B. wird als AusgangsgroRe der Zentriwinkel q0 zum DurchstoSpunkt des Lichtstrahls mit dem Scheitelkreis verwendet). Aus der Flachengleichung erhalten wir eine Ntiherung fiir h bzw. r. Aus G1. (4.170) bzw. (4.178) berechnen wir damit eine Ngiherung ftir 6. Darauf wird y abgeiindert und 6 erneut bestimmt. Das Verfahren wird solange fortgesetzt, bis der richtige 6-Wert erhalten wird. Sowohl bei der trigonometrischen Durchrechnung wie auch in Programmen zur Strahldurchrechnung ist es allerdings in der Praxis moglich und notwendig, iterative Verfahren zur Bestimmung des Strahldurchstofipunktes anzuwenden. Beziiglich der Durchrechnung windschiefer Strahlen vgl. 4.17.
Paraxiales Gebiet von aspharischen Rotationsflachen. Aus GI. (4.171) und G1. (4.175) folgt po -isin 6 -sine (4.184) Die linke Seite ist wegen des Brechungsgesetzes gleich n‘/n. Auf der rechten Seite setzen wir
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
245
die im paraxialen Gebiet giiltigen Niiherungen sin& != h, s i n 3 = sh! S
Po = ro
(4.185)
ein. Es ergibt sich die Abbesche Invariante (4.186)
I
Im paraxialen Gebiet sind die Formeln fiir Kugelflachen giiltig, wenn der m m mungsradius r, der Schmiegungskugel des Flachenscheitels eingesetzt wird.
Bei geringen Anspriichen an die Genauigkeit, z. B. bei asph2rischen Flachen in Kondensoren, ist ein schneller Uberblick iiber den Strahlenverlauf zu gewinnen, wenn das in 2.2.1 angegebene Verfahren zur zeichnerischen Ermittlung des gebrochenen Strahls angewendet wird. Zentrierte Spiegellinsen. Spiegellinsen stellen spezielle geometrisch-optische Funktionselemente dar, deren Hauptfunktion auf der Reflexion des Lichtes beruht. Zentrierte Spiegellinsen bestehen aus einer brechenden und einer reflektierenden Rotationsflache. Ihr Vorteil gegeniiber Oberflachenspiegeln besteht darin, daS die Spiegelfliiche durch die davorliegende Glasschicht geschiitzt ist. Sie konnen deshalb leicht gesaubert werden. Die Anwendbarkeit ist vocallem durch folgende Nachteile begrenzt:
Neben dem einmal an der Spiegelflache reflektierten Licht, dem Hauptreflex, entstehen Nebenreflexe. Von diesen ist der durch die Reflexion an der Vorderflache auftretende Vorderreflex am stkksten. Die hoheren Nebenreflexe nehmen intensitatsmiiI3ig rasch ab. Der Vorderreflex kann durch die Entspiegelung mittels Interferenzschichten herabgesetzt werden. Fiir groRe Spiegellinsen ist aber das Aufbringen der Schichten schwer zu realisieren. Im Glas entstehen Absorptionsverluste, die bei groRen und damit dicken Spiegellinsen iiber 5% betragen konnen. Die zweimalige Brechung an der Vorderflache ist mit Farbfehlern verbunden, so dai3 ein wesentlicher Vorteil der Spiegel verlorengeht. Spiegellinsen werden selten fiu hochwertige optische Systeme eingesetzt. h e Hauptanwendungsgebiete liegen bei den Scheinwerfern, den Signaloptiken, Beleuchtungssystemen und Fahrzeugleuchten. Paraxiales Gebiet von Spiegellinsen. Fiir die Abbildung im paraxialen Gebiet sind die Abbildungsgleichungen unabhiingig von der Fliichenform, weil nur der Scheitelkreisradius in die Beziehungen eingeht. Wir berechnen die Scheitelbrennweite und die Brennweite, indem wir die Methode der aufgespalteten Spiegelflachen anwenden (Abb. 4.65). An der ersten Flache gilt wegen s, = --m nach G1. (4.21) (4.187) Die Ubergangsbeziehung zur zweiten Flache, s2
= s;-d,
(4.188)
246
4 Abbildende optische Funktionselemente
ergibt zusammen mit der Abbildungsgleichung (4.114)
1= L-2 s;
(4.189)
r2
s2
den Kehrwert der bildseitigen Schnittweite an der Spiegelflache:
_1 -
(n-l)rz-2nrl+2(n-l)d s; nr1r2-(n-l)rzd
(4.190)
Aus der Abbildungsgleichung an der dritten Flache
4
*3
ss
s3
=
&
(4.191)
A'
ergibt sich mit s3 = ss - d und G1. (4.187)
1 - n-1 n = (n-l)(s; -d)+nr, +r
sl
r,
s2-d
(4.192)
r, (4 - d )
oder n[(n-l)r2 -2nr1+2(n-1)d] nrlrz- 2 ( n - 1 ) r 2 d + 2 n r , d - 2 ( n - 1 ) d 2
F ' = L = 3
s;
+-.n-1
(4.193)
Die BreMweite folgt aus G1. (4.37) zu f' =
-.s;s; s;
(4.194)
SZ s3
Mit s2 und sg entsprechend G1. (4.188) sowie s; nach G1. (4.192) erhalten wir f'
s;s;r,(s; - d )
=
(s; - d ) ( s ; - d ) [ ( n -1)(ss -d)+nr,]' s[ wird mit G1. (4.187), f'
n r: r2 =2
(n
(4.195)
sl mit G1. (4.190) eliminiert. Nach einigen Umformungen entsteht 1
- l)r2[nrl- (n- l)d] - nr, [nr,- 2(n - l)d]- ( n- 1)2d2.
Abb. 4.65 Spiegellinse mit aufgespalteter Spiegelflslcbe
(4.196)
4.1 Geometrisch-oDtisch abbildende Funktionselemente
247
Beispiele von Spiegellinsen
- Spiegellinsen mit konzentrischen Kugelflachen, fiir die also rz = r, -d gilt, haben l3.r s = -w oder s’ = w einen sehr storenden Vorderreflex. Dadurch sind sie schlecht als Scheinwerferoptiken zu gebrauchen. Sie eignen sich aber als Beleuchtungsspiegel groRer Offnung mit einem AbbildungsmaSstab fl’ = -1. Die Brennweite folgt aus G1. (4.196) zu
(4.197)
- Spiegellinsen mit nichtkonzentrischen Kugelflachen eignen sich fiir unendliche Objektoder Bildweite, wenn der Objekt- oder Bildpunkt in den Kriimmungsmittelpunkt der Vordemache gelegt wird (Abb. 4.66). Dadurch wird der Vorderreflex unschmich gemacht. Derartige Spiegellinsen wurden friiher unter dem Namen “Mangin-Spiegel” als Scheinwerferspiegel eingesetzt. Mit s; = -r, ergibt sich aus G1. (4.193) der Radius der Spiegelflache: r, = 2
(2n - I)r, d - nrf - ( n - l)dz 2( n - 1)d -r, (2n - 1)
(4.198)
Der Nachteil der Mangin-Spiegel ist ihre grol3e Randdicke, besonders bei groRen Durchmessern. Damit verbunden sind ein hohes Gewicht, Spannungen beim E r w m e n und Farbfehler. -
Fiir Scheinwerfer werden Spiegellinsen hergestellt, die Parabolflachen oder deformierte Parabolflkhen haben. Damit lassen sich gunstige Abbildungseigenschaften und geringe Reflexe erreichen. Ein Beispiel dafiir ist der R-Spiegel, der bei Carl Zeiss Jena entwickelt wurde.
Abb 4.66 Mangin-Spiegel
Fresnel-Linsen stellen Stufenlinsen dar. Sie bestehen aus Ringzonen, die jeweils ein Lichtbiindel in die gewiinschte Richtllng brechen. Die dteren Fresnel-Linsen, wie sie in Scheinwerfern und Signaloptiken eingesetzt werden, haben relativ grobe Stufen. Sie werden aus Glas gepreSt, und die Begrenzungsfliichender Zonen sind im Meridionalschnitt gekriimmt (Abb. 4.67). Fresnel-Linsen lassen sich bei geringem Gewicht mit groRem Offnungsverhdtnis herstellen. Als Beleuchtungsoptiken fiir Positionslampen von Schiffen oder Seezeichen werden Giirtellinsen verwendet. Diese kann man sich entstanden denken, indem der Meridionalschnitt einer Fresnel-Lime urn eine zur optischen Ache senkrechte Achse gedreht wird. (Die Giirtellinse stellt dann einen Kreiszylinder dar. auf dessen Oberflkhe die Ringzonen angeordnet
248
4 Abbildende optische Funktionselemente
a
sind; Abb. 4.68,) Im allgemeinen Fall kann die (iiirtellinse auch eine vom Kreiszylinder abweichende Form haben.
Abb. 4.68 Zylindrische Giirtellinse Abb. 4.67 Fresnel-Linsemit
gekriimmten Wirkflanken
Die heule im Geratebau eingesetzten Fresnel-Linsen bestehen im allgemeinen aus Plaste.
Sie haben sehr feine Stufen (bis etwa 0,05 mm herab), so da13 die brechenden Flkhen, die Wirkflanken, aus technologischen Griinden Ausschnitte aus Kreiskegeln sein miissen. Der Ubergang zwischen den Wirkflachen wird durch Storflanken gebildet (Abb. 4.69). Diese fuhren in der Bildebene zu Streulicht und zu rhgformigen Abschattungsgebieten, wenn die Fresnel-Linse als Kondensor in der N a e der Objektebene steht. Fiir die Fresnel-Linse, die ein Parallelbundel fokussieren soll, gilt nach Abb. 4.70 f i r die kte Ringzone &2k
= yk? 6, =
Eik-yk.
tan
Yk
=
7 hk .
(4.199a, b, c)
s2
Setzt man E,, nach GI. (4.199a) und hdt man nsiny, = sin(&+yk).
&ik nach G1. (4.199b) in das Brechungsgesetz ein, so er-
Abb. 4.69 Fresnel-Lime mit kegelfonnigen Wirkflanken
Abb. 4.70 Brechung eines achsparallelen
Strahls an einer kegelfbnnigen Wirkflanke
4.1 Geometrisch-optischabbildende Funktionselemente
249
Nach Umformen ergibt sich mit G1. (4.199~) hk -
(4.200)
Die Zone mit der Flankenneigung yk vereinigt das ringformige Biindel mit der Breite Ahk liings der Achse auf der Strecke (4.201) Es ist also
(4.202)
zu wiihlen, wenn die Biindel aller Zonen im gleichen Interval1 der Achse vereinigt werden sollen. Der Zerstreuungskreis in einer achssenkrechten Ebene ist allerdings nur von der Zonenbreite Ahk abhiingig. Die Fresnel-Linse zerlegt eine ebene Wellenflache in Ringzonen mit unterschiedlicher Phase auf einer Bezugskugel um den angesuebten Bildpunkt (mit der Schnittweite s;). Sie bewirkt also auch bei infinitesimal schmalen Wirkflanken keine punktformige Abbildung mit gleichen Phasen der Teilwellen. Der Lichtweg von einer achssenkrechten Ebene vor der Linse bis zum “Bildpunkt” ist nicht konstant. Durch das ijberlagern von zwei Systemen aus Wirkflanken auf demselben Untergrund lassen sich Fresnel-Linsen mit zwei “Bildpunkten” herstellen, allerdings mit vermindertem Bildkontrast. Mit zwei Fresnel-Linsenist ein im Endlichen liegender Objektpunkt in einen irn Endlichen liegenden Bildpunkt abzubilden, wobei das Lichtbundel zwischen den Linsen achsparallel sein kann. Die Stmktur der Wirk- und Storflanken mu8 aufeinander abgestimmt sein.
Beriicksichtigt man die Brechung an den Planfl&hen, dann ist ein Paar von Fresnel-Linsen moglich, deren Struktur gegenubersteht (Abb. 4.71). Damit 1st diese vor Staub geschutzt. Die geeignete Berechnung der Wirk- und Storflanken sichert, daB die zweite Linse nicht das von den Wirkflanken der ersten Linse ausgehende Licht abschattet. SchlieDlich ist auch das Anbringen der Rillenstruktur auf einem gekriimmten Untergrund moglich.
250
4 Abbildende ovtische Funktionselemente
4.1.10 Spezielle nichtrotationssymmetrischeFunktionselemente Zylinderlinsen gehoren zu den nichtrotationssymmetrischen abbildenden Funktionselementen. Die optisch wirksamen Flachen stellen polierte Zylinderflachen dar (Abb. 4.72).
I
Eine Zylinderlinse enthailt zwei polierte Zylinderoberflachen, deren Rotationsachsen parallel zueinander verlaufen.
Die Kreiszylinderlinse wird von Kreiszylindern begrenzt. Die von den Zylinderachsen aufgespannte Ebene stellt eine Symmetrieebene dar. Beim Einsatz der Zylinderlinse in einem zentrierten optischen System muR darauf geachtet werden, dal3 die optische Achse beide Zylinderachsen senkrecht schneidet. Zylinderlinsen, die in zylindrische Fassungen aufgenommen werden sollen, sind zu “zentrieren”. Darunter ist zu verstehen, da13 die Formachse - d. h. dle Symmetrieachse der aderen Berandung - beide Zylinderachsen senkrecht schneidet.
w
Abb. 4.72
Zylinderlinse
Die Zylinderlinse hat zwei ausgezeichnete Schnitte (Abb. 4.72). Ein senkrecht auf den Zylinderachsen stehender Schnitt wird wirksamer Schnitt genannt. Ein parallel zu der Ebene, die die Zylinderachsen enthat, liegender Schnitt heil3t unwirksamer Schnitt. Lichtstrahlen, die im wirksamen Schnitt liegen, werden so gebrochen wie die Meridionalstrahlen an einer sphslrischen Linse. Dem wirksamen Schnitt kann eine Brennweite zugeordnet werden. Strahlen, die im unwirksamen Schnitt verlaufen, werden wie an einer planparallelen Platte gebrochen, also nur parallel zu sich versetzt (Abb. 4.73).
Brechung im a) wirksamen bzw. b) unwirksamen Schnitt der Zylinderachse
Abb. 4.73
25 1
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
Zylinderlinsen bilden weder punktformig noch W c h ab. Sie sind uberhaupt nicht geeignet, Strahlenbundel in der Umgebung eines Punktes zu vereinigen. Im paraxialen Gebiet der beiden ausgezeichneten Schnitte ist der Abbildungsmahtab fl’ unterschiedlich, und zwar ist er im unwirksamen Schnitt gleich 1, im wirksamen Schnitt von der Objektweite und der Brennweite abhiingig. Dabei ist aber noch zu beachten, daD die Vereinigungspunkte der Strahlen des unwirksamen und des wirksamen Schnittes im allgemeinen weit auseinanderfallen. Die Wirkung von Zylinderlinsen sol1 an einigen Beispielen verdeutlicht werden. Die brechenden Flachen seien jeweils so berechnet, daR die Strahlen, die in einem wirksamen Schnitt verlaufen, in einem Punkt vereinigt werden.
Abb. 4.74 Bildlinie bei der Brechung
an der Zylinderlinse (s = -= )
Abb. 4.75 Bildlinie bei der Brechung an der Zylinderlinse (s # --m )
In Abb. 4.74 wird ein Objektpunkt abgebildet, der senkrecht vor der Planflache im Unendlichen liegt. Es ist zu erkennen, dal3 jeweils nur die Strahlenbundel der einzelnen wirksamen Schnitte in einem Punkt vereinigt werden. Als Bild des Objektpunktes ist eine Bildlinie anzusehen. Die Lichtenergie verteilt sich auf eine Gerade. In Abb. 4.75 liegt der Objektpunkt im Endlichen senkrecht vor der Mine der Zylinderlinse. In diesem Fall gibt es iiberhaupt nur ein Buschel, das in einem wirksamen Schnitt verliiuft,
25 2
4 Abbildende optische Funktionselemente
und ein Buschel, das in einem unwirksamen Schnitt verlauft. Alle anderen Strahlen sind windschiefe Strahlen. Damit treten Abweichungen der Strahlendurch$tolJpunkte von der eigentlichen Bildlinie auf. Die Abbildung einer Objektlinie, die parallel zu den Zylinderachsen in der Symmeuieebene liegt, fiihrt zu einer verwaschenen Bildlinie. Ein Objektspalt, dessen Mittellinie die gleiche Lage hat, wird so abgebildet, dal3 sich seine Liinge nur in Abhhgigkeit von der Divergenz des im unwirksamen Schnitt verlaufenden Buschels hdert, seine Breite aber entsprechend dem Abbildungsmahtab im wirksamen Schnitt abgewandelt wird. Gewisse Bildunschmen durch die windschiefen Strahlen sind nicht zu vermeiden (Abb. 4.76).
eines Objektspalts
=
q-f; Abb. 4.77 Gekreuzte Zylinderlinsen (Objekt im Unendlichen)
Der AbbildungsmaBstab l33t sich in zwei zueinander senkrechten Schnitten unterschiedlich gestalten, wenn zwei Zylinderlinsen gekreuzt angeordnet werden (Abb. 4.77). Beim Anamorphoten aus einem sammelnden und einem zerstreuenden Glied aus Zylinderlinsen, die wie ein hollhdisches Fernrohr wirken, ist eine Bilddehnung oder -stauchung in einem Schnitt moglich. In Verbindung mit einem Projektionsobjektiv, das die praktisch punktformige Abbildung iibernimmt, wird das bei der Aufnahme einseitig gestauchte Bild wieder gedehnt und damit die Breitwandprojektion ermoglicht (Abb. 4.78).
Torische Flachen stellen nichtzentrierte Flachen dar, die vorwiegend in Brillenglkern verwendet werden. Torische Linsen bestehen im allgemeinen aus einer torischen und einer spharischen Flache. Sie haben in senkrecht zueinander stehenden Schnitten verschiedene Brech-
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
253
kraifte und dienen der Korrektur astigmatischer Augen. Wir beschreiben die Entstehung einer torischen Flache (Abb. 4.79).
-
Anomorphot (wirksomer Schniit)
Objekt
objektiv
anomorpho!ischer Foktor =
$
U e r s t e s Zy lind erg ti ed 1 - F lzweites Zylirdergliedl PrOJektions- lunwirksomer Schnitt) objektiv
‘1
*
Abb. 4.78 Anamorphot aus Zylinderlinsen a) Wirksamer Schnitt, b) unwirksamer Schnitt
Abb. 4.79 Zur Entstehung &r
torischen Flache
Gegeben sei ein Kreisbogen mit dem Radius r,, der in der Y-Z-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems liegt. Wir drehen diesen Kreisbogen urn eine zur Y-Achse parallele Achse. Die Enffernung der Drehachse von der Y-Achse betrage r, . Die vom Kreisbogen ubersuichene Flache wird torische Flache genannt. Einen beliebigen Punkt des in der X-2-Ebene entstehenden Schnittkreises mit dem Radius r, ktinnen wir als Flachenscheitel V ansehen. In diesen legen wir den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems x, y, z, so daR die x-yEbene Tangentialebene zur torischen Flache ist.
254
4 Abbildende outische Funktionselemente
Im Flachenscheitel hat also die torische Flache in der y-z-Ebene den Krummungsradius r,, in der x-z-Ebene den Krummungsradius r,. Die Kriimmungsradien sind demnach in zwei senkrecht zueinander stehenden Schnitten verschieden, so dal3 die torische Flache nicht rotationssymmetrisch ist. Fiir zwei enge Buschel, die die Flache in der Ebene des Hachenscheitels durchstoaen, betragen die wirksamen BreMweiten
A‘=
n’r,
und
fi = Inn’. -r2n
(4.203)
Die Ebene, die im Scheitel den Kreis mit dem Radius r, aus dem Torus ausschneidet, heiSt Rotationsschnitt. Fiir einen beliebigen Rotationsschnitt ist P,C, der wirksame Kriimmungsradius. Jede senkrecht zum Rotationsschnitt stehende Ebene bildet einen Meridianschnitt, der einen Schnittkreis mit dem Radius P2C2= r, enthat. P2C2 gibt die Richtung der FlaCheMOrmalen an. Bei r, > r, spricht man von einem “wurstformigen”, bei r, < r, von einem “tonnenformigen” Torus.
4.1.1 1 Inhomogene und anisotrope Funktionselemente
Bei inhomogenen Stoffen hiingt die Brechzahl stetig vom Ort ab, sie ist eine Funktion der Ortskoordinaten. Nach dem Fermatschen Prinzip ist dam der Lichtweg gekriimmt. Fiir den optischen Lichtweg H im Rahmen der geometrischen Optik gilt (grad H ) 2 = n2 [ 191. Bei inhomogenen Stoffen ist grad n # 0, also grad H nicht stuckweise konstant, weshalb auch von Gradientenoptik gesprochen wird (im Englischen “gradient index”, abgekiirzt GRIN). Inhomogene Stoffe finden Anwendung als duMe Ubergangsschichten zwischen zwei homogenen Stoffen mit dem Ziel der Reflexionsminderung, als Gradientenfaser zur Signal- und Bildubertragung sowie als Gradientenlinsen oder -stabe zur optischen Abbildung. Bevorzugte Brechzahlverteilungen sind der Radialgradient (Zylindersymmetrie), der Axialgradient (konstante Brechzahl auf parallelen Ebenen) und der sphs;rische Gradient (Kugelsymmetrie). Wir behandeln zunachst Gradientenfasern und -stabe mit Zylindersymmetrie. Lichtausbreitung in inhomogenen Stoffen. Die Ausbreitung des Lichtes in einer Gradientenfaser sol1 geometrisch-optisch betrachtet werden. In einer Gradientenfaser nimmt die Brechzahl radial mit der Entfernung von der Faserachse ab. Die Lichtstrahlen beschreiben gekriimmte Bahnen, wenn sie nicht in Richtung der Brechzahliinderung oder senkrecht dazu verlaufen. Wendet man das Brechungsgesetz auf zwei benachbarte Schichten mit den Brechzahlen n und n + dn an, so ergibt sich
nsin& = (n+dn)sin(&+d&) und unter Anwendung der Additionstheoreme und Vernachlksigung kleiner GrtiSen n sine = n sin&+ d n . sin&+n cos&.d&
bzw. ncos&.d&+sin&.dn= 0.
(4.204)
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
255
AuflBsen nach d&ergibt d& = --tan&.-.
dn n
(4.205)
Aus Abb. 4.80 folgt (4.206) Durch Gleichsetzen von d&nach GI. (4.205) und GI. (4.206) erhiilt man fiir die Kriimmung der Lichtstrahlen wegen tan&.-dP = P
dn -rn&.-
n
den Ausdruck (4.207) 1st die Brechzahl als Funktion des Ortes bekannt, so 1%3t sich mit Hilfe von G1. (4.207) der Kriimmungsradius der Lichtstrahlen berechnen. Beschtthkt man sich auf Paraxialstrahlen, so kann nach der Theorie der Raumkurven
K
=
--d2r
dz2 gesetzt werden. Weiter gilt im paraxialen Gebiet dp = dr , so dal3 G1. (4.207) auf -d2r - - _1 d_n n dr dz2 fiihrt.
(4.208)
Flachen konstonter Brechzohl
/ Abb. 4.80 Strahlenverlauf im inhomogenen Stoff
Brechzahlverteilungen. Eine Gradientenfaser, deren Brechzahl mit der Entfernung von der Zylinderachse abnimmt, kann die Lichtstrahlen fokussieren, also eine optische Abbildung realisieren. In der Literatur w d e jedoch gezeigt, d& es k i n e Brechzahlverteilung gibt, mit der eine punktfoxmige Abbildung erzielt wird. Mit einer vorgegebenen Brechzahlverteilung ist es nicht moglich, sowohl meridionale wie auch windschiefe Strahlen in einem Punkt zu vereinigen.
256
4 Abbildende optische Funktionselemente
Wir betrachten zunachst die Ausbreitung von Meridionalstrahlen in einem inhomogenen Stoff (Abb. 4.81). Die Lichtstrahlen breiten sich in der Gradientenfaser infolge der stetigen Abnahme der Brechzahl sinusformig aus. Es entsteht eine sinusformige Bahn um die Faserachse, ohne da13 die Grenzflache erreicht wird.
c
Z
Abb. 4.81 Verlauf von Meridionalstrahlen im inhomogenen Stoff
Die ideale Brechzahlverteilung eines inhomogenen Stoffes bezuglich der Abbildung im Meridionalschnitt ist gegeben durch n(r) = n,sech(&r)
(nA ist die Brechzahl auf der Achse, r ist der Abstand von der Achse, a ist eine positive Konstante, sech x = I/(cosech x) ist der Hyperbelsekans, En sind Eulersche Zahlen.)
4 X
Abb. 4.82 Schraubenformiger Verlauf eines windschiefen Strabls im inhomogenen Stoff
Sollen windschiefe Strahlen in der Faser schraubenformige Bahnen ergeben (Abb. 4.82).
so ist die Brechzahlverteilung
erforderlich. Die Brechzahlverteilungen nach GI. (4.209) und GI. (4.210) unterscheiden sich in den Koeffizienten der Glieder ab 4. Ordnung des Radius. B e s c h r W man sich auf das paraxiale Gebiet, so brauchen nur die Glieder bis zur 2. Ordnung beriicksichtigt zu werden, und die ideale Brechzahlverteilung ist gegeben durch
n ( r ) = nA(l-+ar2).
(4.21 1)
25 7
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
In der Niihe der Zylinderachse muD die Brechzahlverteilung auf jeden Fall parabolisch sein, damit eine paraxiale Abbildung zustande kommt. Abbildungsgleichungen im paraxialen Gebiet. Mit der idealen Brechzahlverteilung im paraxialen Gebiet G1. (4.211) fiihrt die GI. (4.208), die &e Ausbreitung der Lichtstrahlen beschreibt, auf eine Schwingungsgleichung(im folgenden Text bedeutet nur bei r’ der Strich die Ableitung von r nach z gems (4.214)) -++r d2r
= 0.
(4.2 12)
dzZ
Dabei w d e n die Annahmen 10,5.ar21 Q 1 und n ( r ) = nA verwendet. Die Losung der G1. (4.212) liefert unter Beriicksichtigung der Anfangsbedingungen fiir den eintretenden Strahl (Einfallshohe r(0)= re,Strahlneigung r’(0)= re’)den Strahlenverlauf in der Faser (Abb. 4.83)
r ( z ) = re cos (J;;z) + r
i l sin(J;;z)
(4.2 13)
J;;
rl
=I
I
5
i
Abb. 4.83 Ein- und Ausgangsgrokn der Gradientenfaser
und durch Differentiation die Strahlneigung (4.214)
Setzt man in den Gleichungen (4.213) und (4.214) z gleich der Faserliinge 1, so erhdt man den Zusammenhang zwischen den Ein- und AusgangsgroBen innerhalb der Gradientenfaser: r, = r,cos(fil)+rilsin(J;il),
(4.215a)
= -re J;;sin(f i l ) + ri cos(,L/)
(4.2 15b)
J;;
rl
Man kann dieses Gleichungssystem als Matrizenprodukt schreiben: (4.216)
Die Paraxialstrahlen breiten sich in der Gradientenfaser sinusformig mit der Periode 2x/& aus. Dabei fallen die Durchgiinge durch die Faserachse nur bei achsparallel einfallenden Strahlen unabhiingig von der Einfallshohe re in einem Punkt zusammen. Daraus resultiert
25 8
4 Abbildende optische Funktionselemente
auch, dal3 alle achsparallel einfallenden Strahlen, nachdem sie die Faser passiert haben, in einem Punkt konvergieren. Der Abstand dieses Konvergenzpunktes von der Faseraustrittsflache betragt fs’. In der Entfernung -f’ kann eine aquivalente duMe Linse angenommen werden (Abb. 4.84).
rl 1
H’
--______
--
~
F’
Abb. 4.84 Zur Brennweite einer
Gradientenfaser Es koMen dann fiir die Gradientenfaser Brennpunkte, Hauptpunkte, Scheitelbrennweiten, Brennweiten und Hauptebenen definiert werden. Ein achsparallel einfallender Strahl hat am Austrittsende der Faser die Hohe r, = r,cos(J;;l)
(4.217a)
und die Neigung rat = -r,fisin(,Ll).
(4.217b)
Unter der Voraussetzung n ( r ) = nA und dem Brechungsgesetz nAri = n L d fiir kleine Winkel ergibt sich fiir die Scheitelbrennweite (4.218) nAr,Ja sin(Ja
Fiir die Brennweite erhiilt man (4.219) und fiir die Lage der Hauptebene H’ (4.220) Die entsprechenden Gleichungen fiir die objektseitigen GrOSen unterscheiden sich nur durch das Vomichen von den bildseitigen, weil der bildseitig achsparallel austretende Strahl analog verlaufen wiirde. G1. (4.219) zeigt, d& die Brennweite einer Gradientenfaser aul3er von ihren Konstanten nur von ihrer Liinge und nicht von ihren sonstigen geometrischen Abmessungen abhiingig ist. Um die Beziehungen zwischen Objekt und Bild zu erhalten, geht man von Abb. 4.85 aus. Strahlen, die von einem Punkt A des Objekts ausgehen, schneiden sich in einem Punkt des
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
259
Bildes. Betrachtet man zwei ausgezeichnete Strahlen, einen achsparallelen Strahl (1) und einen. der zum Achspunkt der EinUittsflache zielt (2), so lassen sich daraus die bildseitige Schnittweite s’, die BildgroRe y’ und der Abbildungsmdstab 0’ berechnen. Yl
- -s
- s’
I
Abb. 4.85 Abbildung an &r Gradientenfaser
Mit Hilfe der Koordinaten der austretenden Strahlen rii und deren Richtungen
&;
= (nArLi))/nL.die aus dem Brechungsgesetz folgen, ktinnen die Geradengleichungen fiir die
beiden austretenden Strahlen (1’) und (2’) aufgestellt werden. Die GroRen rii und rai erhsilt man unter Beriicksichtigung der Anfangswerte der eintretenden Strahlen (rel = y, re>= 0 , re, = 0, re; = (nL&,)/nA= -(nLre2)/(nAs)) aus den Gleichungen (4.215): y(l,) =
-?
re1& sin(&/) ( z -11
+ rel cos (
~ l ) ,
(4.221a) (4.221b)
Aus der Forderung gleicher Bildhohe folgt die Lage des Bildes: (4.222)
Setzt man G1. (4.222)in eine der Gleichungen (4.221) ein. so erhiilt man die BildgrtiRe ynl
n cos ( , / i l )
+ nAs J;;sin(&l)
(4.223)
und daraus den Abbildungsmdstab p‘ = y’/y . Mit Hilfe der Brennweite nach G1. (4.219) kann man umformen in
p’ =
f‘
(4.224)
s+ f R c o s ( & I ) .
Numerische Apertur. Die maximale numerische Apertur ergibt sich aus der Forderung, das der Randstrahl des einfallenden Strahlenbundels in der Gradientenfaser maximal bis zum wirksamen Faserradius r, ausgelenkt werden darf (Abb. 4.83). Mit der GI. (4.214) folgt aus der Extremwertforderung r’(zl) = 0 21
71 =2&’
(4.225)
4 Abbildende optische Funktionselemente
260
Damit ergibt sich fiir die maximale Strahlneigung innerhalb der Faser aus G1. (4.213) re' = rpJZ. Mit dem Brechungsgesetz erhdt man die maximale numerische Apertur zu A = nsinu = nArF&.
(4.226)
Transmissionsverlust. Lichtverluste werden in Gradientenfasern hauptsachlich durch Reflexionsverluste an den Endflachen und - Lichtabsorption im inhomogenen Stoff hervorgerufen. Die Reflexionsverluste lassen sich mit den Fresnelschen Fonneln berechnen. Die Absorptionsverluste hhgen von der Wellenlhge und vom Lichtweg in der Faser ab. -
Farbfehler. Inhomogene Stoffe lassen sich aus homogenen Stoffen herstellen, indem durch eine thermisch angeregte Diffusion Substanzen in die Faser eingebracht werden. Die Konzentration der einzelnen Komponenten des inhomogenen Stoffes ist ortsabhiingig, wodurch sich ein Brechzahlgradient herausbildet. Infolge der Wechselwirkung der einzelnen Komponenten des inhomogenen Stoffes in Abhhgigkeit von ihrer Konzentration mit dem Licht ist die Brechzahherteilung wellenlhgenabhiingig. Das bedeutet, dal3 bei der Abbildung Farbfehler und bei der Signalubertragung Verzermngen auftreten. Grddientenlinsen. Die Anwendungsgebiete der Gradientenlinsen sind besonders bei optischen Systemen fiir Kopiermaschinen, Videoplattengeraten und bei Mikroobjektiven zu finden. Auch Schmidt-Platten fiir Teleskope lassen sich realisieren. Allgemein sind Gradientenlinsen fiir miniaturisierte optische Systeme zweckm&I3ig.
fl Y O ge k r u mmte Bildschale
Abb. 4.86 Strahlenverlauf a) beim Maxwellschen c) bei der verallgemeinerten Luneburg-Lime
Fischauge, b) bei der Luneburg-Linse,
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
26 1
Bereits Maxwell hat 1854 die Abbildung mittels einer kugelsymmetrischen Brechzahlverteilung behandelt. Der Brechzahlverlauf
n(r) =
n0
(4.227)
1+(;)* (bei r = 0 liegt der Brennpunkt, und es ist n ( 0 ) = no, im Unendlichen gilt n(-) = 0) ermtiglicht die Abbildung nach der Gleichung zz’ = -R2 (Abb. 4.86a). Darin ist R der Radius, bis zu dem die Brechzahl auf 0,5no gesunken ist. Abgesehen davon, daR die Brechzahlverteilung pralctisch nicht zu realisieren ist, hat die Abbildung Verzeichnung. Die unendlich ferne Ebene kann auf die Kugelfliiche der Linse abgebildet werden, wenn die Brechzahl nach der Funktion (4.228) verlauft ( n = f i n , im Mittelpunlct, n = no an der Oberfliiche). Diese inhomogene Kugel wird Luneburg-Lime genannt (Abb. 4.86b). Sie laOt sich noch so abwandeln, da5 die gekriimmte Bildschale aderhalb der Linse mit dem Radius R liegt (z. B. den Radius 2R hat; Abb. 4.86~). Luneburg-Linsen und ihre Variationen haben in der integrierten Optik Bedeutung erlangt. Linsen mit radialer Brechzahliinderung sind With wie die “GRIN-Stabe” zu behandeln. Der fokussierenden Wirhng durch die Brechzahlverteilung uberlagern sich die Flachenbrechkriifte. Es lassen sich mit sphMschen Begrenzungsflachen analoge Verbesserungen der Bildgiite erreichen wie mit asphiirkhen Fliichen. k a l e Brechzahliinderungen sind ebenfalls geeignet, bei Funktionselementen, die entweder ebene oder sphMsche Grenzflschen haben, die Bildgute gunstig zu beeinflussen. In diesem Fall kann sich auch eine inhomogene Schicht begrenzter D i c k an einen homogenen Stoff anschlieRen. Miesel [38] berichtet uber die Verringerung des Offnungsfehlers (vgl. 4.3.3) bei Gradientenlinsen. Als MaS dient die Schnittweitendifferenz As’ = i’- s‘ zwischen einem Strahl der Einfallshohe h und dem paraxialen Strahl. Die axiale Verteilung hat den Verlauf
n(z) = no+n1z, die radiale Verteilung wird durch die Funktion (4.209), also durch n(r) = nosech(&r)
dargestellt. Die Konstanten n, bzw. a sind so vorgegeben, daS die Abweichung von n o = 1.5 bis 6 . auf einer Strecke von 10 m m betragt. Es wurde eine Plankonvexlinse ca. 3 mit dem Radius der Vorderflache 50 mm in Luft verwendet. Die objektseitige Schnittweite ist unendlich. Tab. 4.22 enthiilt die berechneten Werte fiir As’. Fiir Einzellinsen hat auch Moore bereits 1971 Berechnungen durchgefthrt [39]. Diese wurden z.B. auf Kollimatorlinsen ausgedehnt 1401. Moore gibt Werte fiir die Abbildungsfehler, Spot-Diagramme (DurchstoDpunkte in der Auffangebene fiir ausgewiihlte Strahlen) und Toleranzforderungen an. Eine Linse mit dem axialen Gradienten n = 1.65- 0,030294~ (Tab. 4.23a), eine Lime mit dem radialen Gradienten n = 1,522+0,0983r2 +0,03222r4 (Tab. 4.23b) und eine Linse mit dem radialen Gradienten n = 1,55+0,000261r4+0,00003r6 (Tab. 4.23~)werden vorgestellt. Bei der letzten Linse folgt die paraxiale Brechkraft nur aus
262
4 Abbildende optische Funktionselemente
der Kriimmung der Linsenflachen. Die Arbeiten zu inhomogenen Schmidt-Platten werden wir in 6.5 refeneren. Tabelle 4.22 Offnungsfehler von Gradientenlinsen nach [38] (sphiirische Liingsabweichung As’ = ?- s’)
h
homogen
n , = -0,058 cm-’
n , = - 0,0575 cm-’
0,7 1.4 2,l 2,s
-0,0566 -0,2302 -0,5344 -0,9984
0,0005204 0,0015289 0,0009329 -0,0065869
O,ooOo398 -o,oO04995 -0,00393 19 -0,0159933
& = 0,065 cm-’
& = 0,067 cm-I
~
h ~
0.7 1.4 2.1 2,8
0,0002701
0,003148 0,0125656 0,0167991 - 0,0054573
- O,OoO5924
-0,013778 - 0,062521
Tabelle 4.23 Von Moore angegebene Kollimatorlinsen, (a) axialer Gradient, (b) radialer Gradient, (c) radialer Gradient (Daten im Text, s = - m )
Offnungsverhdtnis 1:4 200 Brennweite in nun Durchmesser in mm 50 10 Dicke in mm 127,395 Radius 1, in mm Radius r2 in mm 5977,286
1:s 100 20 17.5 33,333 18,967
1:5 100 20
10 58,118 -962,279
Anisotrope Funktionselemente. Fiir Linsen, die wegen des grofieren spektralen Transmissionsgrades auBerhalb des sichtbaren Gebiets oder wegen des ungewohnlichen Dispersionsverhaltens (grofie Abbesche Zahl bzw. Lage im P-v-Diagramm weit von der “eisernen Geraden” entfernt, auf der die Mehrzahl der Glber liegen) aus Kristallen hergestellt werden sollen. wird man im allgemeinen die isotropen kubischen Kristalle einsetzen. Gelegentlich sind aber auch Funktionselemente aus optisch einachsigen oder zweiachsigen Kristallen erforderlich, &e eine von der Lichtrichtung abhhgige Brechzahl haben, also anisotrop sind. Zentrierte Linsen aus optisch einachsigen Kristallen sind nur dann optisch rotationssymmetrisch, wenn die optische Kristallachse parallel oder senkrecht zur optischen Ache liegt. Deshalb werden diese Faille bevorzugt. Da sich ordentliche Strahlen wie im isotropen Stoff mit der Brechzahl n , verhalten, hat die Kristallinse eine Brechkraft, die aus F,‘ = O1- O2+ Q102(ir
(4.229)
4.1 Geometrisch-optisch abbildende Funktionselemente
263
mit (4.230a, b, c) folgt. Bei einer Linse, bei der die optische Achse senkrecht zur optischen Kristallachse steht, haben bereits im paraxialen Gebiet die im Hauptschnitt verlaufenden Strahlen einen anderen Konvergenzpunkt als die senkrecht zum Hauptschnitt verlaufenden Strahlen. Es ergeben sich zusatzlich zur Brechkraft fiir das ordentliche Bundel zwei Brechkriifte fiir das aaerordentliche Bundel. Die Sphiirometerwerte lauten n,-1 '1
aJIV= -,
0 2 ,
=
Ry-1
-.
(4.23 1a, b)
r2
Als reduzierte Dicken sind
(4.232a, b) mit (4.233a. b) (vgl. [ 191) zu verwenden. Die Brechkriifte folgen aus
FA =
@Iv
- @zy
+ @1y@2ydm. &' =
-
@Iv @zv
+ #1V@2rds.
(4.234a, b)
Bei einer Linse mit parallel zur optischen Achse verlaufender optischen Kristallachse tritt k i n e Aufpaltung des Lichtes ein, das sich l a g s der optischen Achse ausbreitet. Es ist I(, = n , = n: / n , sowie d,,, = d8, und es entstehen nur zwei Brennpunkte. Eine Plankonvexlinse hat zwar nur eine Brechkra, aber wegen der unterschiedlichen Hauptpunktlagen trotzdem auseinanderfallende Brennpunkte.
4.1.12 Funktionselemente zur Laserbundel-Transformation Fiir die Transformation von Laserbiindeln gelten nicht in jedem Fall die Gleichungen des paraxialen Gebiets von reflektierenden und brechenden Rotationsfliichen. Das liegt besomiem an der geometrischen und strahlungsphysikalischenStruktur der Laserbundel. In 2.4.5 wurde ausgefiihrt, daa im Grundmodus der Laserschwingung ein Gaul3bundel ausgesendet wird, bei dem die htensitiit senkrecht zur Bundelachse nach einer GauI3funktion abnimmt und l h g s der Biindelachse eine engste Einschniirung vorhanden ist (Taille, Abb. 2.68, 2.69). Der Radius der Taille wird mit w, , der Radius in der Entfernung z von der Taille mit w bezeichnet (Gl. (2.193)). Der halbe Divergenzwinkel folgt aus G1. (2.195). Nach [19] betragt der Taillenradius fiir einen Resonator der L b g e 1, der durch Spiegel mit den Radien r, und r2 gebildet wird,
(4.235)
264
4 Abbildende optische Funktionselemente
G1. (2.192) stellt den Spezialfall fiir r, = r, = 1 dar (konfokaler Resonator). Die Gleichungen vereinfachen sich. wenn die konfokalen Brennweiten
W, =
X Z und -wo
A
w
= Ew2
(4.236a, b)
A
eingefiihrt werden. Die Gleichungen (2.193) und (2.195) gehen uber in (4.237a, b) Es l u t sich zeigen, daU ein rotationssymmetrisches optisches System mit der Brennweite f’ im Rahmen der sogenannten paraxialen Niiherung die in der Entfernung a , (gemessen vom Hauptpunkt H aus) liegende Taille in die Enffernung
’
a, = -
( a , +f’)f‘’
(a, + f’>*+
(4.238)
wd’+f’
transforrniert. Der Taillen-TransformationsmaOstabp: = wi /wofolgt aus
f‘ =
(4.239)
J’-
Winkelverh2ltnis bzw. Tiefenmastab betragen (4.240a, b)
Der Divergenzwinkel transformiert sich nach tan 0’= TWOt a n 0.
(4.240~)
WO
Die Abb. 4.87 und 4.88 veranschaulichen die Transformationsgleichungen fiir ein Beispiel.
4
I
I
”
I
Abb. 4.87 Bildseitige Taillenentfemung a:
(gestrichelt: Bildweite, die sich nach der paraxialen Abbildungsgleichung fiir Linsen ergabe)
Abb. 4.88 Taillen-TransformationsmaDstab pi als Funktion der Taillenentfemung a,
4.1 Geometrisch-optischabbildende Funktionselemente
265
Fiir hohere Moden als "EMoo kann man angenahert davon ausgehen, das in den Gleichungen der Taillendurchmesserund der Divergemwinkel um den Faktor v,, zu vergroRern ist (worn,,= v,,w,. Om,= v,,@). Fiir Moden ohne Rotationssymmetrie "EM,, (rn f n ) gilt v,, fiir die maximale Ausdehnung. Es ist z. B. v,, = 1 5 , vz0 = 1.85, 1.~30= 2,14. Der Vergrokrungsfaktor gilt auch fiir die transfonnierten Grofien. Es ist demnach ,@ ,: = v,@ und w,,, = v,, w;. AUSG1. (4.238) folgt (4.241)
G1. (4.239) fiihrt auf (4.242)
Weiterhin ist bei kleinen Winkeln (mit tan @'/tan @ = 1//3:~) '2 om, =
WOZrnn + @ i n ( 0 ,
+ .I-')'
(4.243)
f '*
Bei Halbleiterlasern ist zu beachten, das die Bundeltaillen in zwei zueinander senkrechten ~ beide Schnitte getrennt Schnitten sehr verschieden grofi sind. Die Gleichungen sind d a fiir anzuwenden. Die Laserbundel-Transformation ist fiir zwei grundlegende Aufgaben erforderlich: fiir die Fokussierung auf eine kleine Flache und fiir die Anderung des Bundelradius, die mit der &Iderung des Divergenzwinkels verbunden ist. Fiir die Fokussierung mu8 (P:l moglichst klein sein. Da la, nicht sehr groS gew2h.k werden kann, muD W, moglichst groR sein. Bei Gas- und Festkorperlasern ist die Divergenz klein, also W, grofi. Es gilt angeniihert bei W, 9 IQ, + f 'I
+f'l
P:
=
If I' w,'
Daraus folgt, daR ein optisches System mit kleiner Brennweite erforderlich ist. Die VergroRerung des Bundelradius fiihrt nach G1. (4.240~)zur Vemngerung der Divergenz. Der maximale Effekt wird erreicht, wenn die Bundeltaille in der objektseitigen Brennebene liegt, weil dann p: = f '/Woist (maximaler Wert). Eine weitere giinstige Wirkung hat demnach ein kleines W,. Bei Gas- und Festkoperlasern ist diese Forderung nicht erfiillt. Es m a t e also ein optisches System mit einer grol3en Brennweite verwendet werden. Haufig werden zweigliedrige afokale Systeme eingesetzt ( t = 0, f' = -). In diesem Fall ist (vgl. 6.3.2) =
W, p2 ' z ;
=
Ztp
(4.244a. b)
mit dem Aufweitungsfaktor (4.244~) Die umfassende Analyse der Kogelnickschen Formeln (4.236) bis (4.240) und ihre programmtechnische Umsetzung wurde von Richter u.a. vorgenommen [72], [73].
266
4 Abbildende optische Funktionselemente
4.2
Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
4.2.1
Begrenzung der Offnung
Blenden. In der geometrischen Optik werden die Objekte mit Strahlenbiindeln abgebildet, die von den einzelnen Objektpunkten ausgehen. In den optischen Systemen blenden die Spiegel-, Prismen- und Linsenfassungen sowie besondere Blenden aus den objektseitigen Lichtkegeln die Bundel aus, die die Abbildung vermitteln. Der gesamte damit zusammenhiingende Komplex an Erscheinungen wird oft “Strahlenbegrenzung” genannt, obwohl der Begriff “Bundelbegrenzung” besser ist. Dieser soll deshalb hier bevorzugt werden.
I
Siimtliche Offnungen im Strahlenraum eines optischen Systems, die an der Bundelbegrenzung beteiligt sind, heil3en Blenden.
Im allgemeinen nehmen wir die Blenden kreisforrnig und konzentrisch zur optischen Achse an, d. h., wir setzen im allgemeinen zentrierte optische Systeme und Blenden voraus. Nur bei anderen Blendenformen und -1agen soll besonders darauf hingewiesen werden. Die Bundelbegrenzung durch Blenden hat fir die Realisierung der optischen Abbildung groI3e Bedeutung. Einzelheiten uber den EinflUa der Blenden auf die Strahlenvereinigung werden wir in 4.3 behandeln. Es gibt jedoch grundlegende Blendenwirkungen, die mit ausreichender Naerung durch Anwenden der Beziehungen des paraxialen Gebietes untersucht werden koMen. Diesen wenden wir uns in diesem Abschnitt vorwiegend zu. Strenggenommen arbeiten wir in diesem Komplex mit so grol3en Blenden, Blendenbildern, Objekten und Bildern, daB das paraxiale Gebiet verlassen wird. Wenn wir in diesem Zusammenhang vom paraxialen Gebiet der geometrisch-optisch abbildenden Funktionselemente sprechen, dann meinen wir damit, daB wir die Formeln des paraxialen Gebietes anwenden. Da die Abbildung im paraxialen Gebiet ideal ist, wiire es eigentlich theoretisch exakt, von einer Untersuchung der Blendenwirkungen in einem ideal abbildenden System zu sprechen. Das Einzeichnen der Linsen in die Abbildungen dient zur Erhohung der Anschaulichkeit und soll stiindig darauf hinweisen, dal3 auch die Linsenfassungen als Blenden wirken. Zu behandeln sind auf der dargestellten Basis die Begrenzung der Offnung, - die Begrenzung des Feldes, - die Begrenzung des Zerstreuungskreises und - die Begrenzung des Lichtstroms. -
Die hier verwendeten Definitionen weichen teilweise von denen ab, die in DIN 1335 und in einigen Lehrbuchern verwendet werden. Die Unterschiede werden in 4.2.3 zusammengefaklt dargestellt. Offnungsblende. Wir beschmgen uns zuerst mit der Begrenzung der Offnung. Die hier betrachteten optischen Bilder sollen Luftbilder sein, d. h , sie werden nicht auf einem Schirm aufgefangen. Die Objektpunkte liegen auf der optischen Achse. Abb. 4.89 zeigt eine Plankonvexlinse. Die objektseitige Schnittweite betragt s = , die bildseitige Schnittweite s’ = f’
--
267
4.2 Bundelbegrenzende ovtische Funktionselemente
(weil Flachenscheitel und Hauptpunkt H' zusammenfallen). Eine besondere Blende ist nicht vorhanden. Die Linsenfassung begrenzt das Biindel, das vom unendlich fernen Achsenpunkt ausgeht, indem sie objektseitig den Durchmesser 2h des Bundels festlegt. 6 HH'
Abb. 4.89 Linsenfassung als Offnungsblende. Unendliche Objektweite
Abb. 4.90 zeigt dieselbe Plankonvexlinse wie Abb. 4.89, aber die objektseitige Schnittweite ist endlich. Die Begrenzung des Bundels durch die Linsenfassung kommt in der Festlegung des objektseitigen Offnungswinkels 2u zum Ausdruck. Objektebene
6 HH'
Abb. 4.90 Linsenfassung als Offnungsblende. Endliche Objektweite
Sowohl in Abb. 4.89 wie auch in Abb. 4.90 begrenzt die Blende den bildseitigen Offnungswinkel 2u'. Damit gelten folgende Definitionen:
I
I
Der
ObJektseitige
bildseitige
Offnungswinkel
2u 2u
ist der Winkel, den zwei in einer Ebene lie-
gende Randmahlen im ObJektraurn einschliekn. Bildraum Die Blende, die bei der Abbildung des unendlich fernen Achsenpunktes den objektseitigen Durchmesser 2h, bei der Abbildung eines im Endlichen liegenden Achsenpunktes den objektseitigen Offnungswinkel2u des Lichtbundels begrenzt, ist die Offnungsblende.
In Abb. 4.89 und 4.90 wirkt die Linsenfassung als Offnungsblende. Bei optischen Systemen, die fiir endliche objektseitige Schnittweite verwendet werden, ist es aus theoretischen Griinden oft zweckmiiBiger, statt des objektseitigen Offnungswinkels die numerische Apemu A (lies Alpha) anzugeben. Diese ist definiert durch A = n sinu.
(4.245)
Der Faktor n ist die Brechzahl des Stoffes, der sich vor dem optischen System befindet.
4 Abbildende optische Funktionselemente
26 8
Austrittspupille. In Abb. 4.91 w d e gegeniiber Abb. 4.89 zusatzlich eine Blende vor der Linse angebracht. Wir sprechen von einer Vorderblende. Jetzt wirkt diese als Offnungsblende, weil sie und nicht die Linsenfassung das Biindel einengt. 8,
HH'
Abb. 4.91 Offnungsblende als Vorderblende. 88,
Reelle Austrittspupille
Dieses SymWir bilden die Offnungsblende paraxial durch die Linse ab und erhalten 6,. bol bedeutet: durch Abbilden nach rechts entstandenes Bild der Blende B, . Das Symbol steht unterhalb des Blendenbildes, weil es einem umgekehrten Bild zugeordnet ist. Da B, und zueinander konjugiert sind, verlauft das Bundel so, als befinde sich an der Stelle von 6,eine wirkliche Blende.
m,
I
Das bildseitige Bild der Offnungsblende OB ist die Austrittspupille AP.
Die KeMtniS von Ort und GroSe der Austrittspupille reicht bei bekanntem Bildort aus, um die Begrenzung des Lichtbiindels im Bildraum zu bestimmen. +
88,
8,
B, H H '
c
cu
Abb. 4.92 Offnungsblende als Vorderblende. GBE
Virtuelle Austrittspupille
Abb. 4.92 unterscheidet sich von Abb. 4.91 dadurch, daR die Offnungsblende niiher an die Linse herangeriickt ist. Sie befindet sich innerhalb der Brennweite der Linse, so daB ihr Bild, die Austrittspupille, links der Linse liegt und virtuell ist. Dadurch gehen bildseitig die Randstrahlen nicht durch den Rand der Austrittspupille, sie scheinen von ihm herzukommen. (Die Strahlenverlbgerungen gehen durch den Pupillenrand.) Die Aquivalenz von Offnungsblende und Austrittspupille druckt sich darin aus, daB die Austrittspupille den bildseitigen Offnungswinkel 2u' festlegt. Damit ergibt sich eine zweite Moglichkeit, die Austrittspupille zu definieren. Die Austrittspupille AP ist das bildseitige Blendenbild, das bei einer im Endlichen liegenden Bildebene von deren Achsenpunkt aus unter dem kleinsten Winkel erscheint, bei einer im Unendlichen liegenden Bildebene das Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser. (Hinterblenden sind wie bildseitige Blendenbilder zu behandeln.) Diese Definition ist besonders fiir das Aufsuchen der Austrittspupille bei unbekannter Lage der Offnungsblende niitzlich.
4.2 Biindelbegrenzende optische Funktionselemente
269
Eintrittspupille. In Abb. 4.91 ilndert sich an der Biindelbegrenzung nichts, wenn die Blende ausgetauscht werden (Abb. 4.93). Es liegt dann eine Hinterblende vor. B1 und ihr Bild Diese wirkt in Abb. 4.93 als Offnungsblende, weil sie den bildseitigen Offnungswinkel 2u' bestimmt.
m,
Abb. 4.93 Offnungsblende als Hinterblende. Reelle Eintrittspupille
Die Kenntnis des objektseitigen Blendenbildes E, geniigt, um im Objektraum die Begrenzung des Biindels festlegen zu konnen. Ohne diese KeMtniS miilken wir das gesamte Bundel verfolgen, das die Linsenfassung hindurchltitlt. Die Blende B2 schneidet dann den in der Abb. 4.93 nicht getonten Anteil weg, so dal3 die nicht getonten Riinder des objektseitigen Bundels nicht an der Abbildung beteiligt sind.
I
Das objektseitige Bild der Offnungsblende OB ist die Eintrittspupille EP.
Weiter gilt also:
I
Eintrittspupille, Offnungsblende und Austrittspupille sind zueinander konjugiert.
8, HH'
8,
c
BB,
c
'\I
Abb. 4.94 Offnungsblende als Hinterblende.
,
GBE
Virtuelle Eintrittspupille
Auch die Blende B2 in Abb. 4.94 stellt eine Hinterblende dar. Sie begrenzt das Bundel stiirker als die Linsenfassung und ist deshalb die Offnungsblende. Im Unterschied zu Abb. 4.93 ist in Abb. 4.94 die Eintrittspupille ein virtuelles Bild der Offnungsblende. Die objektseitigen Randstrahlen zielen demnach auf die Eintrittspupille hin und gehen nicht wirklich hindurch. Zur Bestimmung der Eintrittspupille bei unbekannter Lage der Offnungsblende ist folgende Definition anwendbar: Die Eintrittspupille EP ist das objektseitige Blendenbild, das bei einer im Endlichen liegenden Objektebene von deren Achsenpunkt aus unter dem kleinsten Winkel erscheint, bei einer im Unendlichen liegenden Objektebene das Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser. (Vorderblenden sind wie objektseitige Blendenbilder zu behandeln.)
Als MaBzahl der objektseitigen Begrenzung der Offnung verwenden wir bei unendlich fernem
270
4 Abbildende optische Funktionselemente
Objekt die Offnungs- oder Blendenzahl k. Diese ist definiert durch 21
k = J (2h ist der Durchmesser der Eintrittspupille). 2h Der Kehrwert der Offnungszahl 1st die relative Offnung oder das Offnungsverhaltnis
(4.246)
2h (4.247) = Abb. 4.95 sol1 noch einmal demonstrieren, daJ3 es vom Objektort abhhgt, welche Blende als Offnungsblende wirkt. In Abb. 4.9Sa ist die objektseitige Schnittweite unendlich. Die Blende B, hat einen kleineren Durchmesser als die Blende B, , so da8 sie Offnungsblende (Vorderblende) und Eintrittspupille ist. Das Bild G, stellt die Austrittspupille dar; es erscheint vom Achsenpunkt des Bildes aus unter einem kleineren Winkel als die Blende B,. In Abb. 4.95b ist der Grenzfall dargestellt. B, und B, werden vom Achsenpunkt des Objekts aus unter dem gleichen Winkel gesehen. Wir haben zwei Eintrittspupillen, Offnungsblenden und Austrittspupillen. Die Blende B, und das Blendenbild sind die Austrittspupillen. In Abb. 4.9% scNieRlich ist die Blende B, Offnungsblende, Eintrittspupille und Austrittspupille. (Den geringen Unterschied zwischen der Linsenfassung und ihrem Bild konnen wir in allen Fiillen vernachliissigen, weil die Fassung sehr nahe bei der Hauptebene H steht.)
7'
el
84
Objektebene
81
8, HH'
8, H H ' ,
,,
Abb. 4.95 Abhhgigkeit der
Offnungsblende von der Objekt-
Bestimmung der Offnungsblende. Der Algorithmus, mit dem die Begrenzung der Offnung in einem beliebigen zentrierten optischen System untersucht werden kann, l%t sich in einem FluSbild darstellen (Tab. 4.24). Folgende Bezeichnungen und Begriffe sind zu erlautern: Bevorzugter Zwischenbildraum. Eine optische Abbildung ist im allgemeinen zusammengesetzt, d. h,das Objekt wird nacheinander von mehreren Funktionselementen abgebildet. Das Bild, das vom ersten abbildenden Funktionselement erzeugt wird, also das erste Zwischen-
4.2 Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
27 1
bild, ist das Objekt fiir das zweite abbildende Funlctionselement usw. Jeder Teilabbildung sind ein Objekt- und ein Bildraum zugeordnet. Shtliche Objekt- und Bildraume iiberdecken sich volls~dig. In einer optischen Abbildung aus n Einzelabbildungen sind die Bildraume 1 bis n-1 Zwischenbildriiume. Die Begrenzung der Offnung kann in jedem Zwischenbildraum untersucht werden. S h t l i che Blenden sind in den ausgewiihlten Zwischenbildraum abzubilden. In diesem 1st die Definition der Austrittspupille anzuwenden, womit die Austrittspupille fiir den Systemteil gefunden wird, der als Ganzes das ausgewiihlte Zwischenbild erzeugt. Der Aufwand zur Abbildung der Blenden ist am geringsten, wenn der Zwischenbildraum ausgewiihlt wird, in dem die meisten Blenden stehen. Diese sind ja dann direkt wie zwischenbildseitige Blendenbilder zu behandeln. In diesem Sinne formulieren wir:
I
Ein bevorzugter Zwischenbildraum enthiilt mehr Blenden als die iibrigen Bildrjdume des optischen Systems.
Blenden und Blendenbilder. Die Teilabbildung k ist mit dem Index k gekennzeichnet. Die Blenden tragen den Index v . So bedeutet BkBy: Bild der Blende v im Zwischenbildraum der Teilabbildung k. Grundsatzlich fiihrt der in Tab. 4.24 dargestellte Zweig iiber die Blendenbilder im Objektoder Bildraum stets zum Ziel. Der Aufwand kann jedoch grofier sein als iiber die Blendenbilder in einem Zwischenbildraum. Abb. 4.96 zeigt ein optisches System aus zwei Linsen. In Abb. 4 . 9 6 ~wurde der geringe Unterschied zwischen B, und dem davon durch die Linse 1 erzeugten Bild vernachlbsigt. Dasselbe gilt fiir B, und das durch die Linse 2 davon erzeugte Bild. c
Abb. 4.% Offnungsbegrenzung bei zwei Linsen. Bestimmung der Offnungsblende a) Ausgangsschema, b) Bestimmung uber die Blendenbilder im Objektraum bzw.
im Bildraum, c) Bestimmung im Zwischenbildraum
272
4 Abbildende optische Funktionselemente
Tabelle 4.24 Schema zur Bestimmung der Offnungsblende
I
Zwischenbildraum?
Bilde sslmtliche Blenden in den bevorzugten Zwischenbildraum ab!
Suche das Blendenbild, das vom Achsenpunkt des Zwischenbildes aus unter dem kleinsten Winkel erscheint! B,B, := AP,
Suche das Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser ! B,B, := AP,
nein Die Blende, die AP, zugeordnet ist, ist die Offnungsblende.
Ap, ist die Offnungsblende
B, := OB
AP, : = OB
I
Bilde die Offnungsblende bildseitig ab! objektseitig
Bij,:= AP t
BB,:= EP I
213
4.2 Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
nein
Bilde Wtliche Blenden Objektraum ab! in den Bildraum
I
I nein Suche das Blendenbild, das vom Achsenpunkt des ObJektes aus unter dem Bildes kleinsten Winkel erscheint! BB,:=EP, AP
Suche das Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser! BB,:=EP
a,:= I
1st die
I
I
I
I
I
I
EP Vorderblende?
nein Die Blende, die dem Blendenbild zugeordnet is4 ist die Offnungsblende.
I
B, := i)B I
Bilde die Offnungsblende bildseitig ab! objektseitig
a":= AP
=,:= EP
I
I
I
i
Vorderblende ist die Die Hinterblende i)ffnungsblende. EP := b B AP:= OB 1
1
274 4.2.2
4 Abbildende optische Funktionselemente Scharfe Feldbegrenzung
Die Offnungsblende begrenzt das Strahlenbundel, &as von einem Achsenpunkt ausgeht. Fiir Strahlenbundel, die in auI3erhalb der optischen Achse liegenden Objektpunkten konvergieren, haben wir die Blendenwirkung noch zu untersuchen. Die von auDeraxialen Punkten ausgestrahlten Lichtbundel werden nicht nur von der Offnungsblende begrenzt, sondern auch noch durch andere Blenden des optischen Systems. Einmal kann die Offnung des Bundels, das von einem auseraxialen Punkt ausgeht, zusatzlich e i n g e s c h r w werden, zum anderen wird der Ausschnitt der Objektebene begrenzt, dessen Objektpunkte abgebildet werden. Es wird also im allgemeinen durch Blenden, die keine Offnungsblenden sind, die Leuchtdichte- bzw. Beleuchtungsstiirkeverteilungim Bild zusatzlich beeinfluat und der abgebildete Teil der Objektebene, das Objektfeld, festgelegt. Die mit der Feldbegrenzung verbundenen Begriffe und Definitionen erlautern wir an ausgesuchten Beispielen. Abb. 4.97 enthiilt eine Linse und eine in der Objektebene angebrachte Blende B1. Der Rand von B, erscheint vom Mittelpunkt der Eintrittspupille aus unter einem kleineren Winkel als die Linsenfassung B3. Die freie Flache der Blende B, stellt den Teil der Objektebene dar, der abgebildet wird. Die Blende B, begrenzt also den Durchmesser 2y des Objektfeldes und damit auch den Durchmesser 2y’ des Bildfeldes.
Abb. 4.97
Feldblende in der Objektebene
Die Begrenzung des Feldes kann auch durch die Angabe des Winkels 2w, unter dem das Objektfeld vom Achsenpunkt der Eintrittspupille aus erscheint, oder des Winkels 2w‘, unter dem das Bildfeld vom Achsenpunkt der Austrittspupille aus erscheint, ausgedriickt werden. Es gelten folgende Definitionen: I
objektseitige Feldwinkel 2w, kurz Objektwinkel genannt, ist der Winkel, unter bildseitige Feldwinkel 2w’, kurz Bildwinkel Eintrittspupille dem das ObJektfeld vom Achsenpunkt der aus erscheint. Bildfeld Austrittspupille Der Durchmesser eines im Endlichen liegenden Objektfeldes 2y ist die Feldzahl. (Die Feldzahl wird im allgemeinen in Millimeter gemessen.) Die Blende, die bei einer im Endlichen liegenden Eintrittspupille den Objektwinkel 2w, bei einer im Unendlichen liegenden Eintrittspupille die Feldzahl festlegt, ist die Feldblende FB . Der
275
4.2 Biindelbewenzende optische Funktionselemente ~
m,
In Abb. 4.97 ist auch das bildseitige Bild der Feldblende eingetragen. Die Kenntnis dieses Blendenbildes erlaubt die Beurteilung der Feldbegrenzung im Bildraum. Die Feldblende und ihr Bild sind fiir die Feldbegrenzung gleichwertig.
I
Das bildseitige Bild der Feldblende FB ist die Austrittsluke AL.
Abb. 4.98 unterscheidet sich von Abb. 4.97 nur dadurch, daO die feldbegrenzende Blende in der Bildebene liegt. An den Verhtiltnissen 3ndert sich dadurch nichts. Das objektseitige Bild der Feldblende &, gestattet die Beurteilung der Feldbegrenzung im Objektraum.
I
Das objektseitige Bild der Feldblende FB ist die Eintrittsluke EL.
In Abb. 4.97 ist die Feldblende wegen ihrer Lage im Objektraum zugleich Eintrittsluke, in Abb. 4.98 ist sie wegen ihrer Lage im Bildraum zugleich Austrittsluke.
Abb. 4.98 Feldblende in der Bildebene
In Abb. 4.99 steht die Offnungsblende in der bildseitigen Brennebene der Linse, so d d sich die Eintrittspupille im Unendlichen befindet. In diesem Fall kann objektseitig nur die Feldzahl. nicht der Objektwinkel angegeben werden. Abb. 4.100 enthat den h2ufig auftretenden Fall des unendlich fernen Objekts, dessen Feldgr6Se objektseitig nur durch den Objektwinkel festgelegt ist. Die Definitionen der Luken lassen sich auch folgendermden angeben:
I
I I
Eintrittspupille EintrittslukeEL ist bei einer im Endlichen liegenden das AL Austritts pupille Austrittsluke Die objektseitige Blendenbild, das von deren Achsenpunkt aus unter dem kleinsten Winbildseitige Eintrittspupille objektseitige kel erscheint, bei einer im Unendlichen liegenden das Austrittspupille bildseitige Vorderblenden sind wie objektseitige Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser. ( Hinterblenden bildseitige Blendenbilder zu behandeln.)
In den bisherigen Beispielen ist das Bildfeld scharf begrenzt, d. k,an seinem Rand springt die Leuchtdichte von einem endlichen Wert auf 0, weil die Eintrittsluke mit der Objektebene zusammefllt. AuBerdem geht das gesamte von einem Punkt des Objektfeldes, also auch von dessen Randpunkten, kommende und durch die Eintrittspupille ausgeblendete Bundel auch durch die Linse. Sibntliche Punkte des Objektfeldes werden mit Lichtbundeln, die die Eintrittspupille vollst3ndig ausfillen, abgebildet; es wird kein Teil der Bundel durch weitere Blenden abgeschnitten.
276
4 Abbildende optische Funktionselemente
Das Objekt- und das Bildfeld sind scharf begrenzt, wenn die Feldblende in der Objektebene oder in einer zur Objektebene konjugierten Ebene steht.
I
Der Strahl, der von einem Objektpunkt aus durch die Mitte der Eintrittspupille geht, spielt eine besondere Rolle als Bezugsstrahl. Er wird deshalb Hauptstrahl genannt. 82
HH’
h
N
-
EP im Unendlichen
Abb. 4.99 Feldblende in der Objektebene, Eintrittspupilleim Unendlichen 8, H H ’ R,=FP
8,= F0
G ~ E t
Z,=AP
Oblekt und EL im Unendlicheii
Abb. 4.100 Feldblende in der Brennebene, Objekt im Unendlichen
In den bisher dargestellten Faillen sind die Hauptstrahlen Symmetriestrahlen der abbildenden Bundel. Der Begriff “Symmetriestrahl” wird hier in dem Sinne verwendet, daR dieser Strahl durch den Schwerpunkt der FlPche geht, die den Schnitt des Bundels mit einer achssenkrechten Ebene darstellt. Die Hauptstrahlen zu den beiden in einer Ebene liegenden Randpunkten des Feldes schlieBen objektseitig den Objektwinkel 2w, bildseitig den Bildwinkel 2w‘ ein. Der Strahl, der von einem Objektpunkt aus objektseitig durch die Mitte der Eintrittspupille, bildseitig durch die Mitte der Austrittspupille geht, wird Hauptstrahl genannt. Bei scharfer Feldbegrenzung ohne Abschattung ist der Hauptstrahl Symmetriestrahl des abbildenden Bundels.
4.2.3
Randabschattung
Abschattung durch Abschattblenden. Das optische System in Abb. 4. lOla unterscheidet sich von demjenigen der Abb. 4.97 in der GroRe der Feldblende, die zugleich Eintrittsluke ist. Durch das vergroSerte Objekffeld wird fiir einen Teil der Objektpunkte die Linsenfassung B, zusatzlich zur Offnungsblende bundelbegrenzend wirksam. Der innere Bereich der Objektebene wird mit voller Eintrittspupille abgebildet (in Abb. 4.101a durch die strichpunktierten Strecken begrenzt).
4.2 Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
277
B e den Objektpunkten dieses Bereichs zugeordneten Hauptstrahlen sind Symmetriestrahlen der abbildenden Bundel. Die Punkte des ringf6rmigen auSeren Bereichs werden nicht mit der vollen Eintrittspupille abgebildet, weil die Linsenfassung B, einen Teil des einen Punkt abbildenden Bundels wegschneidet. Fiir einen Randpunkt des Objektfeldes in der Abb. 4. lOla ist das der nichtgetonte und durch eine unterbrochene Linie begrenzte Teil des Bundels. Die perspektivische Darstellung (Abb. 4.101b) 1 s t erkennen, dal3 das Bundel in der Eintrittspupille ein Kreiszweieck ausfiillt.
Abb. 4.101a Randabschattung durch die Linsenfassung
Abb. 4.101b Perspektivische Darstellung zu Abb. 4. lOla
Eine Blende, die weder Offnungs- noch Feldblende ist und die trotzdem in das abbildende Bundel hineinragt, stellt eine Abschattblende AE3 dar. Sie erzeugt Randabschattung oder kiinstliche Vignettierung. Die Bilder von Abschattblenden werden Abschattluken ASL genannt. Bei Randabschattung sinkt die Leuchtdichte in der ringf6rmigen AuBenzone des Bildfeldes nach dem Rande zu staker als ohne Randabschattung, aber stetig ab. Liegt die Eintrittsluke in der Objektebene wie in der Abb. 4. lola, dann bleibt eine scharfe Begrenzung des Bildfeldes erhalten. Die Leuchtdichte springt am Feldrand von einem endlichen Wert auf 0. Die Randstrahlen eines abgeschatteten Bundels liegen nicht symmetrisch zum Hauptstrahl, sondern zu dem durch den Schwerpunkt des Kreiszweiecks gehenden Schwerstrahl. Abschattung durch die Feldblende. In Abb. 4.102a fallen Objektebene und Feldblende, die zugleich Eintrittsluke ist, nicht zusammen. Die perspektivische Darstellung (Abb. 4.102b)
278
4 Abbildende ovtische Funktionselemente
zeigt besonders, dal3 hier auch ohne Abschattblende, also bereits durch die Feldblende, Randabschattung auftritt. Im Unterschied zur Randabschattung durch Abschattblenden gliedern sich die Objekt- und die Bildebene in drei Bereiche. Der innere Bereich wird mit voller Eintrittspupille abgebildet, die Hauptstrahlen sind Schwerstrahlen. Fiir den Rand dieses Bereichs ist in Abb. 4.102a das abbildende Bundel unterbrochen begrenzt. Im Bild des ringfonnigen mittleren Bereichs sinkt die Leuchtdichte stiirker ab als ohne Abschattung. Die Hauptstrahlen sind in den abbildenden Bundeln enthalten, aber nicht mehr mit den Schwerstrahlen identisch. Fiir den aderen Rand dieses Bereichs ist in Abb. 4 . 1 0 2 ~das abbildende Bundel eingetragen. Es fullt in meridionaler Richtung nur noch die halbe Eintrittspupille aus. Der innere und der mittlere Bereich stellen das Objektfeld dar, denn nur sie werden vom Objektwinkel 2w erfal3t. Im Bild der auJ3eren Ringzone sinkt die Leuchtdichte stetig auf 0 ab. Fiir keinen Punkt dieser Zone existiert der Hauptsuahl. Die Grenze des aul3eren Bereichs ist in Abb. 4.102a strichpunktiert gezeichnet.
I
Liegt die Feldblende nicht in der Objektebene oder in einer zur Objektebene konjugierten Ebene, dann sind Objekt- und Bildfeld nicht scharf begrenzt. Objektwinkel2w Das ObJektfeld ist definitionsgemU3durch den festgelegt und zeigt Bildfeld Bildwinkel 2w' Randabschattung durch die Feldblende. Aderhalb des Objektfeldes besteht eine Ringzone, deren Punkte noch abgebildet werden, fiir die aber im Bildfeld die Leuchtdichte nach dem Rand zu stetig auf 0 zuriickgeht.
Abschattblenden, die in Abb. 4.102a bis 4 . 1 0 2 ~vermieden sind, wiirden eine weitere Randabschattung bewirken.
Abb. 4.102a Randabschattung durch die Feldblende
Abb. 4.102b Perspektivische Darstellung zu Abb. 4.102a
4.2 Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
279
B3
Abb. 4.102~ Randabschattung durch die Feldblende (schematisch)
Bestimmung der Feldblende. Das FluRbild zum Algorithmus “Bestimmung der Feldbegrenzung” ist in Tab. 4.25 enthalten. Sollten die Eintrittspupille, die Austrittspupille oder die Offnungsblende nicht bekannt sein, d m muR erst das “Unterprogramm” Bestimmung der Offnungsblende (Tab. 4.25) abgearbeitet werden. In das Schnittbild des optischen Systems sollten noch der Hauptstrahl und die Randstrahlen eingezeichnet werden. Auf diese Weise ist auch die eventuell vorliegende Randabschattung zu erkennen. Abb. 4.103 zeigt dasselbe optische System aus zwei Linsen wie Abb. 4.96. Es ist eine Blende hinzugefiigt worden. -
Unkdlichen
Abb. 4.103 Bestimmung der Feldblende im zweilinsigen optischen System, a) Ausgangsschema, b) Bestimmung von der Ein- bzw. Austrittspupille aus, c) Bestimmung von der Offnungsblende aus
280
4 Abbildende optische Funktionselemente
Tabelle 4.25 Schema zur Bestimmung der Feldblende
EPp r bekann t?
ja I
L
I nein
14 I
Zwischenbildraum?
-
Bestimmung der OB
objektseitigen bildseitigen Blendenbilder bekannt? Bilde slimtliche Blenden in Objektraum den ab! Bildraum
J
I]
I ja
Sind die
I
- 1
I
1 nein Suche das Blendenbild, das vom Achsenpunkt EP der - aus unter dem kleinsten Winkel erscheint!
Suche das Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser!
AP BB, := EL
BB, := EL
mv:=AL
a,:= AL I
1st die
EL Vorderblende?
ja
AL Hinterblende?
I nein
I
EL Die Blende, die der - zugeordnet ist,
I ist die Feldblende. B, := FB
AL
I
bildseitig Bilde die Feldblende objektseitig ab!
a”:= AL a,:= EL
I
I
Die ‘Orderblende ist die Feldblende. Hinterblende EL:= FB
I I AL:=FB
I
28 1
4.2 Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
Sind die Blendenbilder im bevorzugten Zwischenbildraum
ja
Bilde s;imtliche Blenden in den bevonugten Zwischenbildraum ab ! t
Suche das Blendenbild mit dem kleinsten Durchmesser!
Suche das Blendenbild, das vom Achsenpunkt der APk aus unter dem kleinsten Winkel erscheint!
I I
B,B,:= AL,
1 1st die AL materielle Blende? nein
J
ja
I
Die Blende, die der A L k zugeordnet ist, ist die Feldblende. B, := FF3
Bilde die Feldblende
m,:= AL
m,:= EL
bildseitig ab! objektseitig
BkBv:= AL,
1
I
II II
ALk ist die Feldblende.
A L k : = FB
282
4 Abbildende optische Funktionselemente
Vergleich rnit Festlegungen irn Standard. Die in 4.2 verwendeten Definitionen weichen von denen ab, die in der DIN 1335 fiir die Begrenzung des Feldes vorgegeben werden. Wir nennen in Tab. 4.26 stichpunktartig die Unterschiede. Der wesentliche Unterschied zwischen den Festlegungen in der DIN 1335 und den in 4.2 verwendeten besteht also in der Definition der Feldblende. Wir sind jedoch der Meinung, die Definition sollte so ausgelegt sein, dal3 in jedem optischen System eine Feldblende enthalten ist. Die Feldbegrenzung ist immer vorhanden, es ist deshalb unbefriedigend, wenn diese nicht durch eine Feldblende, sondern durch eine Abschattblende bewirkt werden soll. AuRerdem unterscheiden sich die Randabschattungen durch eine Abschattblende (keine Abschattung uber den Hauptstrahl hinaus) und durch die Feldblende (Abschattung bis uber den Hauptstrahl hinaus). Nach der Definition in DIN 1335 hat z. B. das hollihdische Fernrohr keine Feldblende eine Darstellungsweise, die wir fiir unbefriedigend halten. Tabelle 4.26 Unterschiede zwischen DIN 1335 und Abschnitt 4.2 DIN 1335
Abschnitt 4.2
Unter einer Feldblende wird eine Blende nur dann verstanden, wenn sie scharfe Feldbegrenzung hervormft. Die Feldblende mu8 demnach in der Objektebene oder in einer dazu konjugierten Ebene stehen. Objektebene steht, Eine Feldblende, die in der Bildebene Objektfeldblende genannt. wird Bildfeldblende Die Bilder der Feldblende heisen Sichtfelder.
Als Feldblende wird jede Blende aufgefdt, die das abgebildete Objektfeld begrenzt, auch wenn sie zugleich abschattend wirkt. Die Feldblende kann beliebige Lage haben. Die Begriffe “Objektfeldblende” und “Bildfeldblende” werden nicht verwendet.
Die Bilder der Feldblende werden Luken genannt. ~
Objektraum Das Bild der Feldblende im wird Bildraum Eintrittsfeld (Objektfeld) genannt, Austrittsfeld (Bildfeld)
Die Feldzahl wird auch f i b Bild- und Zwischenbildfelder definiert.
Objektraum Das Bild der Feldblende im Bildraum Eintrittsluke heiBt Austrittsluke ‘ Objektfeld ist der vom Objektwinkel Das Bildfeld Bildwinkel Objektebene festgelegte Teil der Bildebene Die Feldzahl wird nur fiir Objektfelder definiert.
Objekt- und Bildwinkel werden nur bei unendlich femem Objekt- bzw. Bildfeld definiert.
Objekt- und Bildwinkel werden unabhugig von Objekt- und Bildlage angegeben.
Zu den Abschattblenden wird auch die feldbegrenzende Blende gezalt, wenn diese zugleich Randabschattung hervormft.
Abschattblenden sind alle Blenden, die Randabschattung hervormfen, a u k r der Offnungs- und der Feldblende.
Luken sind nur die paraxialen Bilder der Abschattblenden.
Bilder der Feldblende heiBen auch Luken. Die Bilder der Abschattblenden werden Abschattluken genannt.
~
~~
4.2 Biindelbenrenzende oDtische Funktionselemente _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~
4.2.4
283
Begrenzung des Zerstreuungskreises
Sehwinkel und Perspektive. Wir beschreiben die Verhdtnisse beim Betrachten von Gegensthden, die in der Tiefe gestaffelt sind, oder von riiumlichen Strukturen. Wir nehmen an, daO mit einem ruhenden Auge beobachtet wird. Von den einzelnen Objektpunkten gehen Strahlenbundel aus. Der von einem Objektpunkt aus durch die Mitte der Eintrittspupille des Auges verlaufende Lichtstrahl, also der Hauptstrahl fiir direkte Beobachtung, heist Sehstrahl.
I
Der Winkel w, zwischen den 2uReren Sehstrahlen eines Gegenstandes oder eines seiner Strukturelemente ist der Sehwinkel.
Die GroRe des Netzhautbildes ist im wesentlichen vom Sehwinkel des zugeordneten Gegenstandes abhfingig. Es gilt also:
I
Gegenstiinde, die unter dem gleichen Sehwinkel gesehen werden, erscheinen dem Auge gleich groR.
Der Sehwinkel w, ist ein Ma13 fiir die scheinbare GrtiRe eines Gegenstandes. Es ist jedoch rechnerisch gunstiger, mit dem Tangens des Sehwinkels zu arbeiten. Da die Sehwinkel meistem klein sind. ist praktisch kein Unterschied zwischen dem Sehwinkel und seinem Tangens zu bemerken. Wir definieren deshalb:
I
Die scheinbare GroRe eines Gegenstands oder eines Strukturelements ist der Tangens seines Sehwinkels, also der Ausdruck tan w,.
Messen wir die Sehweite p , von der Eintrittspupille des Auges aus. dann gilt nach Abb. 4.104 tan w, = - -.Y
(4.248)
PS
-P S
Abb. 4.104 Sehweite, Sehwinkel
Bei der Betrachtung riiumlicher Strulcturen haben wir einen perspektivischen Eindruck. Dieser hsingt von den GroRenverhdtnissen hintereinander liegender Strukturelemente ab. Wir koMm den Objekten eine Perspektive zuordnen, die folgendermden zu definieren ist:
I
Die Perspektive eines Gegenstands bzw. einer Struktur ist seine beim einaugigen Sehen vorhandene rtiumliche Erscheinungsform, die durch die Verhiiltnisse der scheinbaren GroRen hintereinander liegender Strukturelemente bestimmt wird.
Die Perspektive einer StruMur h b g t also vom Verhdtnis der Sehwinkel ab, deren Scheitel im Schnittpunkt shtlicher Sehstrahlen liegen. Dieser hat demnach fiir die Beurteilung der Perspektive eine besondere Bedeutung.
I
Der Schnittpunkt der Sehstrahlen ist das Perspektivitatszentrum.
284
4 Abbildende optische Funktionselemente
Beim direkten Sehen mit einern ruhenden Auge ist die Mitte der Augenpupille das Perspektivitatszentm. Beim Blicken mit bewegtem Auge tritt der Augendrehpunkt an die Stelle der Eintrittspupille. Optische Systeme koMen durch Abbilden das Perspektivitatszentm verlagem. Es gibt hinsichtlich der Lage des Perspektivitatszentms relativ zu Auge und Gegenstand drei Moglichkeiten. - Bei der entozentrischen Perspektive liegt das Perspektivitatszentrum in Lichtrichtung gesehen hinter dem Gegenstand. Die dem Auge abgewandten Strecken des Gegenstandes erscheinen bei gleicher L h g e unter kleineren Sehwinkeln als die n3heren (Abb. 4.105). Die entozentrische Perspekbve tritt beim direkten Sehen und beim Fernrohr auf (Abb. 4.106). - Bei der telezentrischen Perspektive liegt das Perspektivitatszentrum im Unendlichen. Siimtliche Strecken erscheinen gleich lang. Die telezentrische Perspektive kommt beim Mikroskop mit objektseitig telezentrischem Strahlengang vor (Abb. 4.107 und 4.108).
Abb. 4.105 Entozentrische Perspektive
H-HA, (-0bJekt
Augenpupille
IrnUnendlichen
Abb. 4.106 Entozentrische Perspektive beim Fernroh
j :=pEf
r
Abb. 4.107 Telezenmsche Perspekuve H=H& PersDeMivitatszentrum irn Unendlichen I
Abb. 4.108 Telezentrische Perspektive beim Mikroskop
H-HA,
I
Augenpupille
4.2 Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
285
- Bei der hyperzenu-ischen Perspektive liegt das ZenUum in Lichtrichtung gesehen vor dem Gegenstand. Der perspektivische Eindruck ist ungewohnt, weil die weiter entfernten Strecken unter groseren Sehwinkeln erscheinen als die n&eren (Abb. 4.109). Hyperzentrische Perspektive kann bei der Beobachtung mit der Lupe auftreten (Abb. 4.1 10).
Abb. 4.109 Hyperzentrische Perspektive Augenpupille
Perspektivitatszentrum Abb. 4.110 Hyperzentrische Perspektive bei der Lupe
BildauRang und perspektivische Darstellung. Zentrierte optische Systeme bilden paraxial ein achssenkrechtes Flachenelement in ein achssenkrechtes Flachenelement ab. Das Bild kann virtuell sein, so dal3 es nicht auf einer Flache auffangbar ist. Ein reelles Bild entsteht zuniichst als Struktur aus Strahlschnittpunkten im Raum und wird dann Luftbild genannt. Sowohl ein virtuelles Bild wie auch ein Luftbild ist direkt mit dem Auge beobachtbar. Als Auffangflache dient dann die gewolbte Netzhaut. Diese Faille kommen in den subjektiven optischen Instrumenten vor, zu denen das Mikroskop und das Fernrohr gehliren. Bei objektiven optischen Instrumenten, wie z. B. bei Foto- und Projektionsobjektiven. wird das reelle Bild auf einer Flache aufgefangen. Die Form der Auffangflache hiingt vom jeweiligen optischen System und von der Aufgabenstellung ab. Bei bestimmten Astrokameras ist die Auffangflkhe, in die der Film gebracht werden m a , eine Kugelflache. Bei manchen Rontgenschirmbildkameraswerden torische Auffangflachen verwendet. In vielen Fdlen wird das Bild auf einer ebenen Flache aufgefangen. Bei der fotografischen Bildaufnahme ist dadurch eine einfache und genaue Filmfiihmng mdglich.
I
Eine ebene Auffangflache nennen wir Filmebene oder Mattscheibenebene. Die ihr paraxial zugeordnete Objektebene ist die Einstellebene.
Da wir die Verhdtnisse im paraxialen Gebiet bzw. bei einer kollinearen Abbildung betrachten, gilt, das Strukturen, die in der Einstellebene liegen, punktformig in die Auffangebene abgebildet werden. Von Strukturen, die sich vor oder hinter der Einstellebene befinden, entsteht beim Fehlen von Randabschattung in der Einstellebene und in der Auffangebeneeine Struktur aus Zerstreuungskreisen, deren Durchmesser von der GrMe der Eintrittspupille des Systems abhiingt.
4 Abbildende optische Funktionselemente
286
Abb. 4.111 Zur Schiirfen- und Abbildungstiefe
In Abb. 4.11 1 ist diese Tatsache fiir einen Punkt A vor der Einstellebene veranschaulicht. Das vom Punkt A ausgesendete Strahlenbundel, dessen Offnungswinkel durch die Eintrittspupille festgelegt wird, durchsetzt die Einstellebene EE in einer Zerstreuungsfigur. Diese ist beim Fehlen von Randabschattung kreisformig, sonst ein Kreiszweieck oder -meheck. Die GroBe der Zerstreuungsfigur hiingt vom Durchmesser der Eintrittspupille wesentlich ab. Bildseitig erzeugt das Strahlenbundel in der Filmebene FE eine Zerstreuungsfigur, die der objektseitigen konjugiert ist. Allgemein gilt: Die Gesamtheit der von siimtlichen Punkten des Objektraumes ausgehenden Strahlenbundel ergibt in der Einstellebene die objektseitige Projektionsfigur. Diese ist die Summe der Projektionen der Eintrittspupille von den Raumpunkten aus. Die objektseitige Projektionsfigur wird in die ihr paraxial zugeordnete bildseitige abgebildet. Diese liegt in der Filmebene. Eine Zerstreuungsfigur in der Filmebene wird nicht aufgelost, wenn sie eine bestimmte, dem speziellen Empfiinger zugeordnete GroSe nicht iiberschreitet. Sie erscheint dann dem Empfhger als Punkt. Am deutlichsten erkennen wir diesen Umstand am Beispiel der Netzhaut. Die Struktur der Netzhaut IUt die Auflosung zweier Punkte, die einen kleineren Winkelabstand als eine Minute haben, nicht zu. Folglich sehen wir einen Zerstreuungskreis, dessen Rginder weniger als eine Minute Winkelabstand haben, als Punkt. In 250 mm Entfernung entspricht einer Minute ein Durchmesser von 0,07 mm. In 3hnlicher Weise haben auch fotografische Schichten und lichtelektrische Empfhger ein begrenztes Auflosungsvermogen. Die Anordnung aus Zerstreuungsfiguren, die in der Filmebene von aderhalb der Einstellebene liegenden Strukturen entsteht, erscheint demnach als System von Bildpunkten, wenn die einzelnen Zerstreuungsfiguren nicht aufgelost werden. DardUS folgt: Durch die Begrenzung der Offnung, durch die auch die Grofie der Zerstreuungsfiguren begrenzt ist, und durch das endliche Auflosungsvermogen der Empfanger ist es moglich, nicht nur von der Einstellebene, sondern auch von gewissen Raumbereichen vor und hinter ihr eine perspektivische Darstellung in der Filmebene zu erhalten. Die Offnungsblende hat eine Tiefenwirkung fiir die Abbildung. Die perspektivische Darstellung 1 s t sich folgendermaI3en definieren: Die perspektivische Darstellung ist die Uberlagerung der nichtaufgelosten Zerstreuungsfiguren, die in der Filmebene von Punkten eines vor und hinter der Einstellebene liegenden Bereiches des Objektraums erzeugt werden. Die perspektivische Darstellung stellt die in die Ebene projizierten Verhdtnisse der scheinbaren GroBen von hintereinander liegenden Strukturelementen dar.
287
4.2 Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
(Der gesamte Bildeinclruck wird in gewissem Umfang auch von aufgelosten Zerstreuungsfigu-
ren beeinflat.) Abbildungs- und Scharfentiefe. Im Bildraum wird der Bereich, dessen Projektionsfigur in der Filmebene scharf erscheint, durch den Feldkegel und zwei achssenkrechte Ebenen begrenzt. Abb. 4.112 enthat die Groaen, die bei der folgenden Rechnung auftreten werden. Die Entfernung b; und b: der beiden Ebenen von der Filmebene werden durch den maximal zulaissigen Zerstreuungskreisdurchmesser 2p’ bestimmt; b; erkliiren wir als linke, 6: als rechte Abbildungstiefe. Die Summe b’ = b: (- b;) ist die gesamte Abbildungstiefe. Die Abstiinde b, und br der objektseitig zugeordneten Ebenen von der Einstellebene sind die linke bzw. rechte Schiirfentiefe. Die Bezeichnungen “links” und “rechts” bilden wir im Objektraum. Damit gilt:
+
Die Abbildungstiefe ist der achsparallele Abstand der beiden Ebenen im Bildraum, deren Punkte mit dem maximal zulbsigen Zerstreuungskreisdurchmesser in die Filmebene projiziert werden. Die Schiirfentiefe ist der zur Abbildungstiefe konjugierte Bereich des Objektraumes. Wir berechnen die Schwentiefenbereiche anhand der Abb. 4.112. Nach dem Strahlensatz gilt (4.249) FE I
Abb. 4.112 Zur Berecbnung der Schtirfentiefe
Aufltisen nach bl bzw. b, ergibt
P , br = bl = -PP -1 P
--.
P -P+P 1
P
Statt pp fiihren wir Blendenzahl k durch PP
=
f’ 2k
und statt p den bildseitigen Zerstreuungskreisradius
P’ = IP’lP
(4.250)
288
4 Abbildende optische Funktionselemente
ein. Wir erhalten bl =
br = -
?*
~-
2kp’
*.
(4.25 1)
2kp’
Wir koMen auch die numerische Apertur A = pp/lpI venvenden, womit 61 =
P , b,=P IPIAIP’I -1 IPlAIP’I +1
P’
P’ entsteht. Fur IpAP’/p’I
(4.252)
S
1 ist (4.253)
Die G1. (4.250), (4.252) und (4.253) spiegeln den EinfluR der EintrittspupillengroBe auf die Schirfentiefenbereiche wider. Es kommt darin der anschauliche Sachverhalt zum Ausdruck, da13 die Schiirfentiefe mit kleiner werdendem Durchmesser der Eintrittspupille wachst. Die Diskussion der Gleichung khren wir an dieser Stelle nicht im einzelnen durch, weil dies besser bei der Behandlung der optischen Instrumente erfolgt. Abb. 4.1 13 demonstriert die Abh’dngigkeit der Schiirfentiefe von der Blendenzahl bei einer fotografischen Aufnahme.
Abb. 4.113a
Abb. 4.113b Abb. 4.113 Abhiingigkeit der Schsentiefe von der Blendenzahl a) GroBe, b) kleine Blendenzahl
4.2 Biindelbegrenzende optische Funktionselemente
289
Perspektivischer Eindruck. Wir legen ein optisches System zugrunde. durch das die Einstellebene in die Filmebene abgebildet wird. Nach den bisher erlauterten Verhdtnissen bei der Abbildung von r'dumlichen Smkturen entsteht in der Filmebene eine perspektivische Darstellung. Die Eintrittspupille des optischen Systems veruin beim Bildauffang die Augenpupille und stellt das Perspektivitatszenmm dar. Die perspektivische Darstellung kann direkt oder durch eine Lupe vergroOert auf einer Manscheibe betrachtet werden (z. B. bei Plattenkameras oder im Sucher einer Spiegelreflexkamera). Auch bei der Fixierung auf einer fotogrdischen Schicht wird eine NachvergroRerung haufig angewendet.
I
Der Betrachter projiziert subjektiv die perspektivische Darstellung aufgrund seiner Erfahrung in den Raum und hat einen perspektivischen Eindruck.
Ein natiirlicher perspektivischer Eindruck kann nur dann entstehen, wenn d;is Perspektivitatszenmm des optischen Systems mit dem Perspektivitiitszenmm identisch ist, das der Beobachter beim direkten Betrachten des Objekts w m e n wiirde. AuUerdem mussen siimtliche Sehwinkel w, beim direkten Sehen des Objekts und beim Betrachten der perspektivischen Darstellung w,' gleich sein. Der perspektivische Eindruck h> demnach vom Wen des Quotienten y: = tanw;/tanw, ab. Es gilt: > 1: tiefenverkiirzter perspektivischer Eindruck,
1
y; = 1: tiefenrichtiger (natiirlicher) perspektivischer Eindruck, < I: tiefenverlhgener perspektivischer Eindruck , Zur Berechnung von y: setzen wir vordus, daB die Perspektivitatszentren bei der Aufnahme der Darstellung und beim direkten Sehen keine Htihen- und Seitenverschiebung haben. Eine ungleiche Entfernung vom Objekt lassen wir zu. Die urspriingliche Darstellung sei um den Faktor v niichvergrol3ert. Bei direkter Betrachtung des Objekts ist (Abb. 4.1 14) tanw, =
--.Y
(4.254)
P*
Das auf vy' nachvergrtikrte Bild wird aus der Sehweite p: betrachtet. Analog zu Abb. 4.104 ist (4.255)
Augenpupille beirn
Abb. 4.1 14 Zur Berechnung des Sehwinkelverh%ltnisses
290
4 Abbildende ovtische Funktionselemente
Division von G1. (4.255) durch G1. (4.254) ergibt tan w: - y’p,v tanw, yp;
(4.256) ’
Weiter gilt (Abb. 4.114) -ps = -a+a,+Ap
(4.257)
und nach G1. (4.56)
Einsetzen in GI. (4.257) fiihrt auf
(;/---
ps = f’
;;j-AP.
Wir verwenden p’= y’/y und erhalten aus Cil. (4.256)
(4.258) Bei A p = 0 (zusammenfallende Perspektivitatszentren) betragt also die Betrachtungsentfernung mit natiirlichem perspektivischen Eindruck wegen 7: = 1 (4.259)
ps’ = vf’(l-$).
Die Gleichungen (4.258) und (4.259) sind besonders bei der fotografischen Aufnahme anzuwenden. Hier soll nur ein einfaches Beispiel angegeben werden. Beispiel. Eine Fernaufnahme ( a = --) auf Kleinbildformat (24 mm x 36 mm) mit einem Objektiv der BreMWeite f’=50mm soll so nachvergrofiert werden, da13 sie aus p,’ = -375 mm Sehweite einen natiirlichen perspektivischen Eindruck vermittelt.
&sung. Bei u =
p’=
--
wird
0
und nach G1.(4.259)
Das Bildformat mu13 18 ern x 24 ern betrdgen. Die Abb. 4.115a, b, c sollen die drei Arten von perspektivischen Eindriicken vermitteln. Sie sind auf 24 ern x 36 ern aufgenommen und so nachvergroflert, dalj sie aus der Sehweite p: = -400 mm betrachtet werden mussen.
29 1
4.2 Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
Abb. 4.115a
Abb. 4.115b
Abb. 4.115 Sehwinkel beim Betrachten der nachvergrtikrten Aufnahme (Brennweite von oben nach unten wachsend): a) tiefenverlthgert, b) richtig, c) verkiirzt
292
4 Abbildende optische Funktionselemente
Telezentrischer Strahlenverlauf. Bei der kollinearen Abbildung ohne Randabschattung ist das abbildende Biindel symmetrisch zum Hauptstrahl. In der Gaul3schen Bildebene wird der Bildpunkt durch den DurchstoRpunkt des Hauptstrahls reprkentiert. In jeder anderen achssenkrechten Auffangebene ergibt sich statt des Bildpunktes ein Zerstreuungskreis, dessen Mittelpunkt der DurchstoDpunkt des Hauptstrahls ist (Abb. 4.116). Die paraxiale BildgroDe
EP
Abb. 4.116 Zur Berechnung des AbbildungsmaBstabes fiir eine Auffangebene
y;, in einer um b’ aus der GauRschen Bildebene verschobenen Auffangebene ist also durch den Abstand des Hauptstrahl-DurchstoDpunktesvon der optischen Achse gegeben. (Durch den Querstrich wird darauf hingewiesen, daB TLb’.nicht zu y konjugiert ist.) Wir definieren den AbbildungsmaBstab fix die Auffangebene durch (4.260) In einem optischen System ohne Randabschattung ist die paraxiale BildgroRe in einer Auffangebene nur von der DurchstoBhohe des Hauptstrahls abhiingig. In Auffangebenen, die parallel zur GauDschen Bildebene liegen, entstehen Zerstreuungskreise um die DurchstoRpunkte der Hauptstrahlen. Werden die Zerstreuungskreise vom E m p f ~ g e rnicht aufgelost, dann erscheint das Bild in der Auffangebene punktfiinnig, und der AbbildungsmaBstab BLT,’. ist unabhiingig von Verschiebungen der Auffangebene, wenn die DurchstoRhohen der Hauptstrahlen erhalten bleiben. Wir leiten nun den Zusammenhang zwischen dem AbbildungsmaBstab s,’,und der Enffernung zp der Eintrittspupille vom objektseitigen Brennpunkt des optischen Systems ab. Nach Abb. 4.116 ist (4.261 a) (4.261b)
also -
FLb’.tan w’
p b , = -.p
tanw
(4.262)
4.2 Biindelbeuenzendeovtische Funktionselemente
293
Nach Tab. 4.6 gilt fiir das Winkelverhiibis der Pupillenabbildung
’ tanw’ y p = - tanw =-
ZP
f’
-
f
-
z;
(4.263)
und nach Abb. 4.116
p = z-zp.
(4.264)
Mit GI. (4.263)und G1. (4.264) geht G1. (4.262)uber in (4.265) ZP
Wir verbinden die Auffangebene fest mit dem optischen System, so daB
& = const ist. Die Entfernung z des Objekts variieren wir, wobei auch p’ variiert. Fiir p‘ = & fdlt die Auffangebene mit der GauRschen Bildebene zusammen. Es gilt
ZP
Bei einer hderung des Abstandes zwischen Objekt und Eintrittspupille riickt das Bild aus der GauDschen Bildebene heraus, und es gilt im allgemeinen
Nur m
zp =
O0
gilt unabhiingig von z -
Pb,
=
-7
(zp =
m).
(4.266)
Die Eintrittspupille liegt dann im Unendlichen. Die Hauptstrahlen verlaufen objektseitig achsparallel, was als objektseitig telezentrischer Strahlenverlauf bezeichnet wird (Abb. 4.117). Analoge Verhiiltnisse liegen bei bildseitig telezenuischem Strahlenverlauf vor (Abb. 4.118). ObJektseitig telezentrischer Strahlenverlaufliegt vor, wenn bildseitig die Bildseitig Eintrittspupille EP . Austrittspupille in cler bildseitigen im Unendlichen, also die Ausuittspupille AP Einuittspupille objektseitigen Brennebene des optischen Systems liegt.
294
I
I
I
4 Abbildende optische Funktionselemente
Der paraxiale AbbildungsmaRstab
p:,
fest mit dem optischen System
fiu eine
ist beim Fehlen von Randabschattung unabhtingig von
verbundene Objektebene
ObJektweite. Das Bild besteht aus Zerstreuungskreisen, in dessen Mittelpunkten Bildweite die DurchstoSpunkte der Hauptstrahlen liegen
Aus G1. (4.262) erhalten wir mit G1. (4.263) und dungsmaRstab
= FL,-zi (Abb. 4.116) fiir den Abbil-
p:,
(4.267) Mit p = const ergibt sich bei bildseitigem telezentrischen Strahlenverlauf
fib'' = - f-
(4.268)
H
H'
Abb. 4.117 Objekwitig telezentrischer Strahlenverlauf
EP
H
H'
Auffangebene
I
Abb. 4.1 18 Bildseitig telezentrischer Suahlenverlauf
Objektseitig telezentrischer Strahlenverlauf ist bei MeSmikroskopen wichtig, bei denen eine Teilung (Okularmikrometer) in der Auffangebene angebracht ist, die vor der Messung mit einer Teilung in der Objektebene (Objektmikrometer) kalibriert wird. Jede Abweichung der La-
4.2 Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
295
ge des auszumessenden Objekts von der Ebene. fUr die kalibriert wurde, wiirde einen MeBfehler verursachen, wenn nicht objektseitig telezentrischer Strahlenverlauf eingehalten wiirde.
4.2.5
Begrenzung des Lichtstroms
Begrenzung des Lichtstroms fur achsnahe Flachenelemente. Ein ideales zentriertes optisches System bildet einen Ausschnitt der achssenkrechten Einstellebene in einen Ausschnitt der GauSschen Bildebene ab. Wir greifen zunachst ein symmetrisch zur optischen Ache liegendes Flachenelement h e m s und untersuchen den Verlauf des Lichtstroms durch das optische System. (Die folgenden Ableitungen gelten bis auf die Einheiten und die Zahlenwertgleichungen sowohl fiir die lichttechnischen wie auch fiu die strahlungsphysikalischen GrtiBen. Wir beschriinken die Ausfiihrungen auf die lichttechnischen GrijSen, weil dafiir teilweise Besonderheiten in den Einheiten zu beachten sind.) Das Flachenelement dq der Objektebene habe die Leuchtdichte L. Es sei ein LambertStrahler mit der LichtsWke d l = dl, cos 29 (Abb. 4.119). Nach G1. (3.33) strahlt das Flachenelement in ein Raumwinkelelementden Lichtstrom
dz@ = dlocos29dR.
(4.269)
In Polarkoordinaten gilt
ds2 = Rosin29d29dq. Objektseitig begrenzt die Eintrittspupille den Offnungswinkel 2u und damit den vom optischen System erfaten Lichtstrom. Dieser ergibt sich aus G1. (4.269) durch Integration Uber den Raumwinkel: Zr
u
d@ = d I o . R o~ d q ~ s i n 6 c o s 8 d 2 9 . 0
(4.270)
0
Die Integration ergibt d@ = dl, . R, nsin’u, so da13 wir mit dl, = Ldq fUr den vom Flkhenelement dq ausgehenden und vom optischen System aufgenommenen Lichtstrom d o = nRoLsin2u.dq
(4.271)
erhalten. EP
H
H’ ohne Immersion .-
m i t homogener Immersion
Zur Berechnung des Lichtstroms durch ein optisches System
Abb. 4.119
Brechung des Lichtes an der Frontlinse
Abb. 4.120
296
4 Abbildende ovtische Funktionselemente
Grenzt an die Vorderflache des optischen Systems ein Stoff mit von Luft verschiedener Brechzahl an, dann werden die vom Objekt ausgehenden Lichtstrahlen gebrochen (Abb. 4.120). Das optische System mit dem Offnungswinkel 2u e r f a t den Lichtstrom, den das Objelct in den Winkel 2U strahlt. Wegen des Brechungsgesetzes gilt sinii = nsinu. Die obere Grenze von 29 im Integral (4.270) ist der Winkel U , sonst bleibt die Rechnung dieselbe. G1. (4.271) geht uber in d@ = x R o L n 2sin2udq
(4.272)
bzw. mit der numerischen Apertur A = n sinu d@ = nRoLA2dq, [d@] = lm = sr.sb.cm2.
(4.273)
(Einigen Beziehungen fiigen wir ein Einheitenbeispiel bei.) Der optische Flu13 betriigt demnach dG = xRoA2dq.
(4.274)
Abgesehen von Verlusten im optischen System mu13 wegen des Energieerhaltungssatzes der Lichtstrom objekt- und bildseitig gleich sein: d@ = do’.
(4.275)
Wir wiederholen d e Ableitung bis zur G1. (4.272) mit den bildseitigen GroBen und erhalten d0‘ = x RoL’nf2sin2u’ dq’.
(4.276)
L’ ist die Leuchtdichte, die im Luftbild vorhanden ist. Nach G1. (4.275) gilt L n2 sin2udq = L’ nr2sin2u’ dq’.
(4.277)
Die Leuchtdichten sind im Objekt und im Bild gleich, d. k,es is1 L = L‘,
(4.278)
n2 sin2u dq = nr2sin2u’ dq’
(4.279)
wenn
gilt. Bei quadratischen Flachenelementen koMen wir dq = (dy)2, dq’ = (dy’)’ setzen. Gleichung (4.279) geht dann in n sinu dy = n’sinu’dy’
(4.280)
uber. Fiir kleine Objekt- und Bildhohen schreiben wir dafiir nysinu = n’y’sinu’.
(4.281)
4.2 Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
297
Das ist die Abbesche Sinusbedingung, die in einem optischen System erfiillt sein m a , wenn bei der punktformigen Abbildung eines Achsenpunktes gleichzeitig ein achssenkrechtes Flachenelement in ein achssenkrechtes Fliichenelement transfonniert werden soll. In einem optischen System, bei dem die Sinusbedingung erfiillt ist, bleibt die Leuchtdichte in zueinander konjugierten achsnahen Flachenelementen konstant. (Von Verlusten, z. B. durch Absorption, Reflexion und Streuung, muD abgesehen werden.)
1
Bei n = n’ ist nach G1. (4.281) y sinu = y’ sinu’. Die Punkte, fiir die y = y’ (p’ = 1) ist, also die Hauptpunkte, fallen wegen u = u’ rnit den Knotenpunkten zusammen. Der bildseitige Verlauf stimtlicher von einem Achsenpunkt ausgehenden Lichtstrahlen wird richtig wiedergegeben, wenn sie an den Hauptkugeln geknickt werden (Abb. 4.121). Zum Beweis bilden wir
Es ist also a sinu = a’sinu’ und ysinu = y’ sinu’. Die Pupillenflachen mussen gems der Ableitung des Lichtstroms ebenfalls als Kugelfl8chen angenommen werden (in Abb. 4.119 bereits beriicksichtigt).
Abb. 4.121 Abbildung mit Hilfe der Hauptkugeln
Die Beleuchtungsstiirke in der GauRschen Ebene folgt aus E = & dq‘
’
Wegen d@’ = d@ und
ergibt sich aus G1. (4.273) (4.282)
298
4 Abbildende optische Funktionselemente
Wir nehmen fiir die weitere Rechnung die Gultigkeit der Sinusbedingung G1. (4.281) fiir den Fall n = 1 an. Nach Abb. 4.119 ist PP
smu =-.
(4.283a)
a-up
Nach GI. (4.56)gilt a =
f'(8-1)
'[iP 1
und up = f 7-1
also
,
(4.283b) Einsetzen von G1. (4.283)in GI. (4.282)ergibt
(4.284)
Statt pp m e n wir die Blendenzahl k = - f'
2PP ein und erhalten
(4.285)
Sol1 E in Lux herauskommen, wenn L in Stilb eingesetzt wird, dann mussen wir Gl. (4.285) in eine Zahlenwertgleichung umwandeln. Sie lautet 1047cR,L/sb E/lx =
2'
(4.286)
4kz(1-g) Unter Verwendung von lo47c asb = 1sb gilt
E/lx =
.R, Llasb 2 '
(4.287)
4k2[1-$) Begrenzung des Lichtstroms fur aufieraxiale Flachenelemente. Das lichtaussendende Flachenelement der Objektebene dq, befinde sich auRerhalb der optischen Achse des zentrierten optischen Systems. Wir berechnen den Lichtstrom, der durch das Flachenelement dq, der
4.2 Bundelbegrenzende optische Funktionselemente
299
Eintrittspupille aufgenommen wird, durch dessen Mittelpunkt die optische Achse geht (Abb. 4.122). Im fotometrischen Enffernungsgesetz G143.52) L E, cos E~ dq,dq, dz@ = -fiocos tZ
ist E,
=
E~
P = w und r = -
cos w
zu setzen. Damit erhalten wir d2@= 7 L fio C O S w ~ dq, dq,.
(4.288) P Das kreisformige Flachenelement dq, der Eintrittspupille habe den Radius dp, und erscheine vom Achsenpunkt des Objekts aus unter dem Winkel du . Sein Flacheninhalt ergibt sich zu dq, = x(dp,)’ = x p 2 ( ~ ) z .
(4.289)
Aus G1. (4.288) folgt mit G1. (4.289) d2@ = x R o L ( d u ) 2 d q l ~ s 4 w .
(4.290)
Abb. 4.122 Zur Berechnung des Lichtstroms von aukraxialen Fliichenelementen
Im Bereich kleiner Offnungswinkel, fiir die der Winkel durch den Sinus des Winkels ersetzbar ist, 1Mt sich fiir G1. (4.290) d@ = ~ R ~ L s i n ~ u d q , c o s ~ w
(4.291)
schreiben. Mit dq, = dq,”P” und d@’= d@ gilt fiir die Beleuchtungsst2rkein der GauSschen Bildebene x 0, Lsin2u E = COs4w. (4.292)
P’,
Wir setzen (4.293) und schreiben G1. (4.292) um in E, = E,COS~W. Fiir Eo kOMen wir shtliche dafiir abgeleiteten Beziehungen einsetzen.
(4.294)
4 Abbildende oDtische Funktionselemente
300
Bei der Abbildung auDeraxialer Flachenelemente der Objektebene, die als LambertStrahler betrachtet werden kann, nimmt die Beleuchtungsstiirke in der GauSschen Bildebene mit der vierten Potenz des Kosinus des halben Feldwinkels ab. Der optische Flub betragt dG = R SZ, sin2u cos4wdq, . (4.295) Die Ableitung bringt deutlich zum Ausdruck, daR G1. (4.294) strenggenommen nur eine Naherungsformel darstellt. Sie gilt insbesondere nur bei kleinen Offnungswinkeln (Objekt im Endlichen) bzw. groljen Blendenzahlen (Objekt im Unendlichen). Allgemein muB festgestellt werden, daR eine hohe Genduigkeit der Rechnung nicht angestrebt zu werden braucht. Einflusse, die bei der Ableitung unberiicksichtigt bleiben miissen (z. B. Randabschattung, Reflexions- und Absorptionsverluste, EinfluS von Abbildungsfeldern bei der Objekt- und Offnungsblenden-Abbildung), bringen ohnehin quantitative Abweichungen von den qualitativ richtigen Ergebnissen mit sich.
I
4.3 Abbildungsfehler 4.3.1
Klassifikation der Abbildungsfehler
Wir beschmgen uns nochmals mit der optischen Abbildung. Zunachst wiederholen wir die bisher behandelten Gesichtspunkte. Die ideale geometrisch-optische Abbildung ordnet jedem Punkt des Objektraumes umkehrbar eindeutig einen Bildpunkt zu und transformiert geometrische Figuren in W i c h e Figuren. Eine punktformige Abbildung liegt vor, wenn homozentrische Bundel in homozentrische Bundel ubergefiihrt werden. Die ideale geometrisch-optische Abbildung ist nur mit ebenen Oberflachenspiegeln weitgehend anzuniihern. Die wichtigsten geometrisch-optisch abbildenden Funktionselemente, die zentrierten spharischen Spiegel und Linsen, bilden im allgemeinen nicht punktformig und m l i c h ab. Asphiirische Spiegel und Linsen koMm so berechnet werden, daR sie einen Achsenpunkt mit weitgeoffneten Bundeln in einen Achsenpunkt abbilden. Allgemein l a t sich in einem optischen System durch asphiirische Flachen die Anniiherung an die ideale geometrischoptische Abbildung verbessern. Asphiirische Flachen werden jedoch aus okonomischen und technologischen Griinden oft vermieden. In der Praxis geniigt es, eine geometrisch-optische Abbildung anzustreben, bei der nur Punkte eines begrenzten Teils des Objektraumes in ausreichend kleine Zerstreuungsfiguren abzubilden sind. Im paraxialen Gebiet, d. h mit flach und achsnahe verlaufenden Lichtstrahlen, bilden Zentrierte optische Systeme mit monochromatischem Licht punktformig und m i c h ab. Abbildungsfehler. Mit Strahlen, die auBerhalb des paraxialen Gebiets verlaufen, also bei der Abbildung von ausgedehnten Objektfeldern mit weitgeoffneten Bundeln, ergeben sich im all-
4.3 Abbildungsfehler
301
gemeinen Abweichungen von der punktfodgen iihnlichen Abbildung. Bereits im paraxialen Gebiet, aber auch im auDeraxialen Gebiet, entstehen bei brechenden Flachen Abweichungen von der idealen geometrisch-optischen Abbildung, wenn mit polychromatischem Licht gearbeitet wird. Die Abweichungen von der idealen geometrisch-optischen Abbildung werden Abbildungsfehler oder Aberrationen genannt. Die Abbildungsfehler, die bei der Abbildung mit monochromatischem Licht auftreten. werden geometrische Fehler genannt. Die Abbildungsfehler, die durch die Dispersion der optischen Werkstoffe entstehen, werden Farbfehler oder chromatischeFehler genannt.
Strahlaberrationen.Die durch die Abbildungsfehler hervorgerufenen Abweichungen mussen quantitativ erfast werden. Im Rahmen der geometrischen Optik konnen dazu nur GroBen dienen, die in Verbindung mit dem Verlauf der Lichtstrahlen stehen. Im allgemeinen verwendet man die Abweichungen der Strahlkoordinaten von den Koordinaten eines Bezugsstrahls und erhiilt so die Strahlaberrationen. Wir unterscheiden zwei Gruppen von Strahlaberrationen: die Querabweichungen und die Liingsabweichungen. Die Querabweichungen sind die in einer achssenkrechten Ebene gemessenen Abweichungen der Strahl-Durchstoflkoordinaten2’. if von den Koordinaten eines Bezugsstrahls x’ , y‘ . Bei der Anwendung von kartesischen Koordinaten legen wir die Meridionalebene in die y-zEbene. Wir erhalten dann (Abb. 4.123) Ax’ = 2 - x ’ die sagittale Querabweichung Ay’ = j ’ - y ’ . und die meridionale Querabweichung Als Auffangebene wird oftmals die GauBsche Bildebene angenommen, als Bezugskoordinaten werden bevorzugt die Koordinaten des GauDschen Bildpunldes verwendet. Die Liingsabweichungen von Strahlschnittpunkten werden entweder von einem auf dem Bezugsstrahl liegenden Bezugspunkt oder von einer achssenkrechten Bezugsebene - z. B. der Gaufischen Bildebene - aus gemessen (Abb. 4.124).
.Y’t
Abb. 4.123 Sagittale und meridionale
Abb. 4.124 LAngsabweichungenim
Querabweichung
Meridionalschnitt
4 Abbildende optische Funktionselemente
302
Fur die Abbildung von Achsenpunkten ist die optische Achse der Bezugsstrahl. In diesem Fall wird die Schnittweitenabweichung angegeben. Diese lautet also
As’ =
;I--’.
Im allgemeinen wird fiir s’ die paraxiale Schnittweite eingesetzt. Die Abweichungen hangen von den Systemparametern und von den unabhiingigen Strahlkoordinaten ah. Die graphischen Darstellungen der Abweichungen als Funktionen der unabhangigen Strahlkoordinaten werden Korrektionsdarstellungen genannt. Offnungsfehler oder spharische Aberration. Bei der Abbildung von Punkten der optischen Achse mit weit geoffneten Bundeln hiingt die bildseitige Schnittweite der Strahlen vom objektseitigen Schnittwinkel 6 bzw. von der Einfallshohe h ab (Abb. 4.125). Damit verbunden sind die sphiirische Lhgsabweichung As‘ und die sphiirische Querabweichung Ay’. Das bildseitige Strahlenbundel liegt symmetrisch zur optischen Achse. Fur die Abbildung von Achsenpunkten ist der Offnungsfehler der einzige geometrische Fehler.
Abb. 4.126 Meridionale Koma bei einer brechenden Flache
Abb. 4.125 Offnungsfehler
bei einer Sammellinse
Koma oder Asymmetriefehler. Bei der Abbildung von auoeraxialen Punkten mit weit geoffneten Bundeln uberlagert sich dem Offnungsfehler die Koma. Als Bezugsstrahl fiir die Abbildung aufleraxialer Punkte dient meistens der Hauptstrahl. Die Koma Puflert sich in bildseitig unsymmettlsch zum Hauptstrahl liegenden Strahlenbundeln. Zwei objektseitig symmetrisch zum Hauptstrahl verlaufende Meridionalstrahlen haben bildseitig ungleiche Liingsabweichungen AL’ (Abb. 4.126). Ein beliebiger Komastrahl hat in der GauSschen Bildebene eine meridionale und eine sagittale Querabweichung. Astigmatismus oder Zweischalenfehler. In Analogie zur Abbildung von Achsenpunkten mit ParaxialstrahJen koMen bei der Abbildung von aaeraxialen Punkten hauptstrahlnahe Strahlen untersucht werden. Da jedoch die Flachen des optischen Systems im allgemeinen nicht rotationssymmetrisch zum Hauptstrahl liegen, ist im allgemeinen bildseitig auch keine Kota-
Abb. 4.127
b)
0
-0 I 0
a) Astigmatismus bei einer Sammellinse, b) Bundelquerschnitt in verschiedenen Ebenen
4.3 Abbildungsfehler
303
tionssymmetrie im hauptstrahlnahen Bundel vorhanden. Die beiden ausgezeichneten Buschel, das meridionale und das sagittale Buschel, haben deshalb unterschiedliche bildseitige Schnittpunkte auf dem Hauptstrahl (Abb. 4.127). Bei der Abbildung von aderaxialen Punkten mit hauptstrahlnahen Bundeln wird einem Objektpunkt durch das meridionale Buschel ein meridionaler und durch das sagittale Buschel ein sagittaler Bildort zugeordnet. Die damit verbundene Abweichung von der Punktformigkeit wird Astigmatismus genannt. Bildfeldwolbung. Sowohl der meridionale als auch der sagittale Bildort fallen im allgemeinen nicht mit dem DurchstoDpunkt des Hauptstrahls in der GauRschen Bildebene zusammen. Die Abweichungen iindern sich mit der Hauptstrahlneigung. Die Folge davon ist, daB eine in der Meridionalebene liegende gerade Strecke durch die meridionalen und durch die sagittalen hauptstrahlnahen Buschel in je eine gekriimmte Strecke abgebildet werden. Einem ebenen Objekt werden zwei gekriimmte Bildflachen zugeordnet (Abb. 4.128). Das Vorliegen von gekriimmten Bildschalen wird Bildfeldwijlbung, das Auseinanderfallen der meridionalen und der sagittalen Bildschale Astigmatismus genannt.
Abb. 4.128 Bildschalen an einer Sammellinse
Abb. 4.129 Bild eines Quadrats bei kissenfiirmiger Veaeichnung
Verzeichnung. Bei der Abbildung aderaxialer Punkte fdlt der DurchstoSpunkt des Hauptstrahls in der GauSschen Bildebene nicht mit dem GauRschen Bildpunkt zusammen. Betrachten wir den DurchstoSpunkt des Hauptstrahls als den aderaxialen Bildort, d a m weicht die BildgrMe von der paraxial berechneten Bildgrofje ab (Abb. 4.129). Die Abweichung ist von der Hauptstrahlneigung abhiingig, so daD dadurch die h i c h k e i t zwischen Bild und Objekt beeintrachtigt wird. Der damit verbundene Abbildungsfehler heifit Verzeichnung . Farblangsfehler. Die paraxiale Schnittweite eines Systems aus brechenden Flachen hiingt von der Brechzahl und damit von der Wellenl&ge ab. Die paraxiale Schnittweitenabweichung von der Schnittweite fiir eine Bezugsfarbe kennzeichnet den Farbliingsfehler (Abb. 4.130).
H IH'
Abb. 4.130 Farblllngsfehler bei einer G
$22
i
dunnen Sammellinse
304
4 Abbildende optische Funktionselemente
Farbfehler des Hauptstrahls. Auch die Schnittweite des Hauptstrahls hiingt von der Wellenl u g e ab. Die Folge davon ist eine h d e r u n g der paraxial berechneten BildgroDe mit der Wellenliinge. Es tritt der Farbfehler des Hauptstrahls auf (Abb. 4.131).
Abb. 4.131 Farbfehler des Hauptstrahls bei einer dunnen Sammellinse mit Vorderblende
Fdrbige Variationen der geometrischen Abbildungsfehler. Bei Strahlenbundeln mit endlichen Offnungen und bei endlichen Feldern treten siimtliche Abbildungsfehler auf. Wird auRerdem mit polychromatischem Licht abgebildet, dann hiingen die Abweichungen von der Wellenliinge ab. Es ergeben sich die farbigen Variationen der geometrischen Abbildungsfehler. Abbildungsfehler dritter Ordnung. Fiir ein vorgegebenes optisches System sind die Querabweichungen in der GauRschen Bildebene Funktionen der StrahldurchstoSkoordinatenin der Objekt- und Eintrittspupillenebene. Die ObjektgroDe hiingt mit dem Objektwinkel 2w, die PupillengroDe mit dem Offnungswinkel 2u zusammen. Eine Reihenentwicklung der Querabweichungen nach Potenzen des Objekt- und des Offnungswinkels ergibt, daO die erste Niiherung aus Summanden besteht, die die Faktoren urnW" mit rn + n = 3 enthalten. In erster Niiherung gilt also
AyT =
urnw"B,,,,,. m+n=3
Tab. 4.27 enthHt &e den einzelnen Summanden zugeordneten Abbildungsfehler, die in dieser Niiherung Abbildungsfehler dritter Ordnung genannt werden. Der Gultigkeitsbereich der Reihenentwicklung bis zur dritten Ordnung ist das Seidelsche Gebiet. Tabelle 4.27 Abbildungsfehler dntter Ordnung
Offnungsfehler Koma Astigmatismus Bildfeldwolbung Verzeichnung
m
n
Koeffizient
3 2
0
B30
1
B2,
1
2 2 3
B12
1 0
g2 &I3
4.3Abbildungsfehler
305
Die vom Offnungswinkel 2u abhhgigen Fehler - Offnungsfehler, Koma, Astigmatismus und Bildfeldwolbung - m e n zu Zerstreuungsfiguren in der GauRschen Bildebene. Die Verzeichnung hat keinen EinfluR auf die GroRe der Zerstreuungsfigur, sie verschiebt den Bildort innerhalb der Gadschen Bildebene. Der Tab. 4.27 ist zu entnehmen: Der Offnungsfehler und die Koma treten bereits bei der Abbildung kleiner Objekte mit weit geoffneten Bundeln stark in Erscheinung. Bei der Abbildung groRer Fehler mit sehr engen Biindeln storen besonders die Verzeichnung, der Astigmatismus und die Bildfeldwolbung.
k
Abb. 4.132 Sphwsche Abweichungen beim Hohlspiegel
Als ein spezielles Beispiel fiir die Reihenentwicklung des Offnungsfehlers w w e n wir einen sphiirischen Hohlspiegel mit unendlicher Objektweite (Abb. 4.132). Die sphiirische Liingsabweichung betrPgt r
1
(4.296)
Durch Reihenentwicklung folgt daraus (4.297)
Irn Seidelschen Gebiet gilt angen&ert fiir s = - m Ay' = AS .-,2h r
(4.298)
so daR die Querabweichung durch Offnungsfehler dritter Ordnung (4.299)
betragt. Die Korrektionsdarstellung As'
f
306
4 Abbildende optische Funktionselemente
mit den exakten Werten und nach Abbrechen der Reihe (4.297) mit verschiedenen Summanden ist in Abb. 4.133 enthalten. Abb. 4.134 demonstriert den relativen Fehler der Schnittweitendifferenz dritter Ordnung in Abhiingigkeit von h / r .
0
O,25
0,SO
_&’ f
Abb. 4.133 Zur Gultigkeit der Reihenentwicklung der sph&ischen Liingsabweichung
4.3.2
Abb. 4.134 Relativer Fehler fiir den Offnungsfehler dritter Ordnung
Abbildungsfehler im paraxialen Gebiet
Farblangsfehler. Im paraxialen Gebiet ist die Abbildung mit monochromatischem Licht punktf6rmig und W i c h . Die Punkte der Objektebene werden in Punkte der Gadschen Bildebene abgebildet. Fiir eine brechende Rotationsflache betragt die Entfernung der GauBschen Bildebene vom Flachenscheitel nach der Abbeschen Invarianten , n‘ s = n I n’-n s r Nur in Spezialfiilllen wird mit quasimonochromatischem Licht abgebildet; im allgemeinen 1st das Licht polychromatisch. Die paraxiale Schnittweite ist dam von der Wellenlhge des Lichtes abhiingig, weil dwch die Dispersion die Brechzahlen von der Wellenlhge abhiingen. Die Gauljschen Bildebenen fir die einzelnen Wellenliingen fallen auseinander. Es gilt also: Beim Abbilden mit polychromatischem Licht ist die paraxiale Schnittweite brechender Flachen von der Wellenliinge des Lichtes abhhgig. Der dadurch entstehende Abbildungsfehler heiat Farbliingsfehler.
4.3 Abbildungsfehler
Samrnellinse
307
Zerstreungslinse
1
*A.-;.
Abb. 4.135 Chromatische Liingsabweichung von Linsen
Zur Darstellung des Farbliingsfehlers wird die Schnittweitendifferenzf& zwei Wellenliingen verwendet. Die Funktion A ~ S '=
s;~ - s ; ~ =
f(a) (a, < a2)
(4.300)
ist in Abb. 4.135 dargestellt. Bei der Sammellinse ist Aks' < 0 ; man spricht vom unterkomgierten Farbliingsfehler (Abb. 4.136). Bei der Zerstreuungslinse ist AAs' > 0; man spricht dann vom iiberkomgierten Farbliingsfehler (Abb. 4.137). H-H'
Abb. 4.136 Unterkomektion
bei der dunnen Sainmellinse
H-H'
Abb. 4.137 ijberkorrektion bei der dunnen Zerstreuungslinse
Dichromasiebedingung. Haufig wird die Schnittweitendifferenzauf die BreMweite des optischen Systems normiert. Der negative Kehrwert dieser GrtlDe wird iiquivalente Abbesche Zahl genannt: _1 -- --AAs' V
f'
(4.301)
*
Fiir ein optisches System aus n dUMm zusammenfallenden Linsen (d = 0 ) gilt (4.302)
G1. (4.302) wird Dichromasiebedingung genannt. (In der Literatur findet man im allgemeinen die BeneMung Achromasiebedingung.) Die Berechnung eines optischen Systems mit einem
308
4 Abbildende ovtische Funktionselemente
groaen “aquivalenten v ” fiihrt zu einem kleinen Farbliingsfehler, weil dadurch die paraxiale Schnittweite fiir jeweils zwei Farben gleich wird (Abb. 4.138).
I
Ein optisches System, bei dem durch die Erfiillung einer Dichromasiebedingung die paraxiale Schnittweite fiir jeweils zwei Farben gleich ist, nennen wir Dichromat.
Die beim Dichromaten noch vorhandenen Schnittweitenabweichungen SuRern sich in farbigen Riindern der Bilder. Diese Restfehler des Dichromaten werden sekundkes Spektrum genannt. Bei zwei diinnen zusammenfallenden Linsen mit v = m geht G1. (4.302) iiber in (4.303) Daraus folgt, dab ein zweilinsiger Dichromat aus einer Sammellinse und einer Zerstreuungslinse bestehen r n d . Bei vorgegebener positiver Gesamtbrechkraft ist die Sammellinse diejenige aus dem Glas hoherer Abbescher Zahl. Trichromasie. Das sekundke Spektmm wird vermieden, wenn die paraxialen Schnittweiten fiir drei Farben zusammengelegt werden. Ein optisches System mit dieser Eigenschaft nennen wir einen Trichromaten. Abb. 4.139 enthdt die Korrektionsdarstellung, aus der zu erkennen
Abb. 4.138 Chromatische
Lagsabweichung eines Dichromaten
Abb. 4.139 Chromatische Lagsabweichung eines Trichromaten
Abb. 4.140 Chromatische Lagsabweichung eines Polychromaten
ist, dab beim Trichromaten zwei Dichromasiebedingungen fur aneinander angrenzende Wellenliingenbereiche zu erfiillen sind.
I
Ein optisches System, bei dem durch die Erfiillung zweier Dichromasiebedingungen die paraxiale Schnittweite ftir jeweils drei Farben gleich ist, heil3t Trichromat.
Der Aufbau eines Trichromaten aus zwei Linsen ist ungunstig. Im allgemeinen stellen Trichromate dreilinsige Systeme dar. Polychromasie. Es koMte der Eindruck entstehen, da13 das sekundke Spektrum durch schrittweises Hinzunehmen weiterer Dichromasiebedingungen stetig zu vermindern ist. Es l a t sich jedoch zeigen, dab durch die Erfiillung dreier Dichromasiebedingungen die paraxiale Schnittweite fiir eine groRere Anzahl von Farben gleich ist. Wir sprechen deshalb von einem Polychromaten. Die Korrektionsdarstellung fiir ein Beispiel zeigt Abb. 4.140. Farbfehler des Hauptstrahls. Der Farbliingsfehler auRert sich in einer Abhiingigkeit der paraxialen Schnittweite von der Wellenliinge. Dadurch liegt die GauRsche Bildebene fiir die einzelnen Farben an verschiedenen Stellen.
4.3 Abbildungsfehler
309
Wir wollen jetzt annehmen, daJ3 wir einen idealen Polychromaten berechnet haben, bei dem die GauRschen Bildebenen fiir alle Farben zusammenfallen. Die paraxialen Bilder der Offnungsblende liegen d a m trotzdem im allgemeinen an Stellen, die von der Wellenlhge abhibgen. Bei einer Mittelblende liegen die Achsenpunkte der Eintritts- und der Austrittspupille an verschiedenen Orten. Dadurch ist auch der Verlauf des Hauptstrahls im paraxialen Gebiet ftir die einzelnen Farben unterschiedlich (Abb. 4.141).
Abb. 4.141 Farbfehler des Hauptstrahls einer diinnen Linse mit Vorderblende
Da wir ohne Randabschattung den Durchstolipunkt des Hauptstrahls in der GauRschen Bildebene als Bildpunkt ansehen konnen, ist die BildgroBe wellenlibgenabhibgig . Diese auf Grund des Farbfehlers des Hauptstrahls vorhandene Abweichung von der idealen Abbildung heiRt deshalb auch FarbvergroRerungsfehler. Fiir den Abstand des DurchstoSpunktes des Hauptstrahls fiir eine Wellenliinge vom DurchstoRpunkt des Hauptstrahls fiir die Bezugswellenlibge wird auch der Begriff “Chromatische VergroRerungsdifferenz” (CVD) verwendet. Der Farbfehler des Hauptstrahls entsteht, weil die paraxiale Abbildung der Offnungsblende mit Farblhgsfehler behaftet ist. Die hpillenlage und damit der Hauptstrahlenverlauf hiingen von der Wellenliinge ab. Dadurch ist bei vorgegebener ObjektgroSe die paraxiale BildgroBe von der Farbe des Lichtes abhiingig. Beim gleichzeitigen Vorliegen von Farblibgsfehler muR die BildgroRe in der GauRschen Bildebene der Bezugswellenliinge gemessen werden. Folgende Hinweise sind wesentlich: - Die Einzellinse ohne zusatzliche Offnungsblende ist frei vom Farbfehler des Hauptstrahls. Dasselbe gilt praktisch fiir duMe Systeme, bei denen ein Linsenrand als Offnungsblende wirkt. - Die Einzellinse mit zusatzlicher Offnungsblende fiihrt stets Farbfehler des Hauptstrahls ein. - Ein symmetrisch zur Offnungsblende aufgebautes System hat f k den AbbildungsmaDstab p‘ = - 1 keinen Farbfehler des Hauptstrahls (Abb. 4.142).
3 Abb. 4,142 Verschwinden des Hauptsrrahlfarbfehlers
im symmetrischen optischen System
310 4.3.3
4 Abbildende optische Funktionselemente
Offnungsfehler
Definition. Bei der Abbildung von Punkten der optischen Achse mit monochromatischem Licht tritt nur der Offnungsfehler auf. Fiir die Abbildung von Achsenpunkten stellt jede Ebene, die die optische Achse enthat, eine Meridionalebene dar. Zur rechnerischen Bestimmung des Offnungsfehlers sind deshalb nur Meridionalstrahlen durchzurechnen. Wir betrachten den Strahlenverlauf an einer sphihischen brechenden Flache (Abb. 4.143 und Abb. 4.144). Die bildseitige Schnittweite s*’ der Strahlen hiingt in Abb. 4.143 von der
Abb. 4.143 Offnungsfehler bei unendlicher Objektweite GBE
Abb. 4.144 Offnungsfehler bei endlicher Objektweite
Einfallshohe, in Abb. 4.144 vom objektseitigen Schnittwinkel 6 und damit ebenfalls von der Einfallshohe ab. Die Strahlen eines von einem Objektpunkt ausgehenden Bundels endlicher Offnung werden nicht in einem Punlct vereinigt. In jeder achssenkrechten Auffangebene, speziell auch in der GauBschen Bildebene, entsteht wegen der Rotationssymmetrie um die optische Achse ein Zerstreuungskreis.
l
Die Abweichung von der hnktformigkeit des Bildes, die bei der Abbildung von Achsenpunkten durch die Abhiingigkeit der bildseitigen Schnittweite von der Einfallshohe hervorgerufen wird, ist der Offnungsfehler, auch s p h ~ s c h eAberration genannt.
4.3 Abbildungsfehler
31 1
Das Lichtbundel schniirt sich beim Vorliegen von Offnungsfehler bildseitig nur ein, es ist nicht homozentrisch. Die Einhullende des bildseitigen Strahlenbundels, das aus den Strahlen bis zu ihrem Schnittpunkt mit der optischen Achse besteht, w&e beim offnungsfehlerfreien System ein Kegel, dessen Spitze im Gaaschen Bildpunkt lage. Allgemein gilt:
I
Die Einhullende des bildseitig einer brechenden Flache verlaufenden Strahlenbundels hei5t Kaustik. Die Spitze der Kaustik liegt bei der Abbildung von Achsenpunkten im GauSschen Bildpunkt (Abb. 4.145). GBE
Abb. 4.145 Kaustik
Darstellung. Quantitativ wird der Offnungsfehler durch die sphiirische Lgingsabweichung As’ = s^’ s’ oder die meridionale Querabweichung in der GauBschen Bildebene erfal3t (Abb. 4.143). Nach Abb. 4.143 besteht der Zusammenhang
-
A y ’ = As’tan&‘.
Bei negativer Lgingsabweichung spricht man von Unterkorrektion, bei positiver Lgingsabweichung von herkorrektion. Eine einzelne spMsche Sammellinse ist im allgemeinen unterkorrigiert, eine Zerstreuungslinseiiberkomgiert. In den Korrektionsdarstellungen des Offnungsfehlers wird die sphWsche Lbgsabweichung auf der Abszissenachse abgetragen. Als Ordinate dient bei s = --m die Einfallshohe, bei s # --m der Schnittwinkel 6 oder die numerische A p e m A = n sin&. Abb. 4.146 enthat die Darstellung der sphMschen Ltingsabweichung fiir die brechende Riiche aus Abb. 4.143. Abb. 4.147 zeigt das Schnittbild eines hinsichtlich Offnungsfehler komgierkn optischen Systems, Abb. 4.148 die dazugehorige typische Korrektionsdarstellung.
i.
-1-03 q5 1
As’
mm
mm
Abb. 4.146 Sphtirische Lglngs-
abweichung einer sph&-ischen Flache
ds’
Abb. 4.147 Tessar
Abb. 4.148 Korrektionsdarstellung
des Offnungsfehlers fiir ein Tessar
312
4 Abbildende optische Funktionselemente
In einem beziiglich Offnungsfehler korrigierten optischen System gibt es im allgemeinen eine Einfallshohe ho = 0 , fir die die Schnittweite s^’ gleich der paraxialen Schnittweite ist, so daR die sphiirische Liingsabweichung As’(h,) verschwindet. Die maximale sphiirische Langsabweichung Ash( h,) wird Zonenfehler genannt (Abb. 4.148). Die sphiirische Querabweichung in der Gaulischen Bildebene Ay’ wird auf der Ordinatenachse abgetragen. Es ist vorteilhaft, als unabhiingige Variable tan ir‘ zu verwenden. Die den Abb. 4.143 und 4.146 zugeordnete Korrektionsdarstellung der Querabweichung ist in Abb. 4.149 und die den Abb. 4.147 und 4.148 zugeordnete Korrektionsdarstellung der Querabweichung in Abb. 4.150 enthalten. In einer zur Gauljschen Bildebene parallelen Auffangebene, die den Abstand b‘ von der GauDschen Bildebene hat, betragt die sphwsche Querabweichung (AY’)~,eines Lichtstrahls nach Abb. 4.15 1 (AY‘)~,= Ay’ - b’ tan ir‘.
(4.304)
Abb. 4.149 Sphiirische Querabweichung fur eine brechende Flache
In der Korrektionsdarstellung beschreibt die Kurve Ay’(tan ir‘) den Verlauf der sphiirischen Querabweichung in der GauRschen Bildebene. Der Subtrahend b’tan ir‘ h h g t linear von tan 3 ab und ergibt deshalb in der Korrektionsdarstellung eine Gerade. Es gilt also: Der Zerstreuungskreis in der Auffangebene, die die Entfernung b’ von der Gauljschen Bildebene hat, ergibt sich aus der maximalen Ordinatendifferenz zwischen der Kurve Ay’(tan 3)und der Geraden b’tan ir‘ (Abb. 4.149).
AP
Abb. 4.150 Sphiirische Querabweichung fiir ein korrigiertes System
Auffa ng GBE ebene
Abb. 4.151 Querabweichung in einer Auffangebene
4.3 Abbildungsfehler
313
Bestimmung von “besten Auffangebenen”. Zwei Auffangebenen sind besonders ausgezeichnet, - die Auffangebene, in der der kleinste Zerstreuungskreisentsteht, und
- die Auffangebene mit dem hellsten Bildkern. Den kleinsten Zerstreuungskreis erhalten wir in einer Auffangebene, deren Abstand b’ von der Gaul3schen Bildebene folgendermaOen bestimmt wird: In die Darstellung Ay’(tan3) zeichnen wir von allen Geraden, die durch den Ursprung gehen, diejenige ein, fiir die die maximale Ordinatendifferenz zwischen der Kurve Ay‘(tan 3) und der Geraden b’tan a betragsmaig den kleinsten Wert hat. In Abb. 4.149 ist das Verfahren fiir eine Einzelflache dargestellt. Es ist b’ = -30 mm und IAy‘lMax= 2 mm. Der Lichtstrom verteilt sich nahezu gleichmaig iiber den gesamten Zerstreuungskreis, so daS die schematische Lichtverteilung nach Abb. 4.152 entsteht. Ein kleiner heller Bildkern mit schwacher Umstrahlung, wie es in Abb. 4.153 schematisch dargestellt ist, entsteht in einer Auffangebene, in der der Hauptanteil an Strahlen in einem kleinen Bereich des gesamten Zerstreuungskreises liegt. In einem unkorrigierten optischen System kann die Lage der Geraden b’tan 2,deren Steigung den Abstand der Ebene mit dem hellsten Bildkern von der GauBschen Bildebene angibt, nur geschatzt werden. Das Ergebnis nach Abb. 4.149 lautet b‘ = -20 mm, JAy’JMax = 4 mm. Fiir ein korrigiertes optisches System legt man die Gerade b’tana parallel zu der Geraden, die die Kurve Ay’(tan&‘) zweimal tangiert. In Abb. 4.150 lesen wir b’ = -0.2 mm ab. In der Ebene des kleinsten Zerstreuungskreises sind die Gebiete wesentlicher Intensitiit im Bild eines Punktes groBer als in der Ebene des hellsten Bildkerns, aber das Streulicht ist schwacher. Deshalb ist in der Ebene des kleinsten Zerstreuungskreisesdas Auflosungsvermogen geringer, der KonUast fiir grobe Strukturen groI3er als in der Ebene des hellsten Bildkerns.
h Y‘
Abb. 4.152 Intensitiit bei kleinstem Zerstreuungskreis (schematisch)
Abb. 4.153 Intensitiit bei hellstem
Bildkern (schematisch)
Hohlspiegel. Entsprechend den Ausfiihrungen in 4.1.9 wird der unendlich ferne Achsenpunkt durch einen Parabolspiegel Offnungsfehlerfrei abgebildet. Ein im Endlichen liegender Objektpunkt wird durch einen elliptischen Spiegel in einen reellen Bildpunkt, durch einen hyperbolischen Spiegel in einen virtuellen Bildpunkt ohne Offnungsfehler abgebildet. Von einem Kugelspiegel wird nur der Scheitel in sich selbst (AbbildungsmaSstab p’ = 1) und der Kriimmungsmittelpunkt in sich selbst (AbbildungsmaSstab j3‘ = - 1) Offnungsfehlerfiei abgebildet. Brechende Flache. Eine einzelne asphsirische Rotationsflkhe l a t sich stets so bestimmen, daS sie offnungsfehlerfrei ist. (Ein Beipiel wurde in 4.1.9 angegeben.) Die sphsirische Hiiche bildet den unendlich fernen Achsenpunkt mit Offnungsfehler ab.
3 14
4 Abbildende optische Funktionselemente
Im Endlichen gibt es drei Punktepaare, die sich ohne Offnungsfehler aufeinander abbilden: Es ist trivial, daI3 der Hachenscheitel fehlerfrei in sich selbst abgebildet wird.
Strahlen, die vom Kriimmungsmittelpunkt ausgehen oder auf ihn hinzielen, werden nicht gebrochen. Deshalb wird der Krummungsmittelpunkt ohne Offnungsfehler in sich abgebildet. Das dritte offnungsfehlerfreie Punktepaar finden wir, wenn wir untersuchen, fiir welche objektseitige Schnittweite die bildseitige Schnittweite s = r - r - sin E’ sin 6‘ I
unabhiingig vom Winkel ? ist. Es mu13 also -sin- E’ sin# sin E’ sein ( m= konstant). Das Brechungsgesetz -= % zeigt, da13 fiir sin& n
m =
--
n’
und - s i n 3 = sin&
die gestellte Forderung zu erfiillen ist. Der h n k t , fiir den ;=-& ist, wird also ohne Offnungsfehler in den Punkt mit der Schnittweite (4.305) s = s =r+%r *I
I
n
bzw . s = r -n+n’ n’ abgebildet. Aus der Abbildungsgleichung folgt die konjugierte objektseitige Schnittweite 1
(4.306) n Bei r =50mm, n = 1 und n ’ = 1,5182 ergeben sich die Schnittweiten s = 125,91 mm und s’ = 82,93 mm. Es handelt sich um die Abbildung eines virtuellen Objektpunktes in einen reellen Bildpunkt. s = r-. n+n’
Einzelne Samrnellinse. Bei der Abbildung des unendlich fernen Achsenpunktes fiihrt eine dunne sphiirische Einzellinse stets Offnungsfehler ein. Die Sammellinse ist unterkorrigiert (As‘ < 0), die Zerstreuungslinse uberkomgiert (As’> 0). Die Korrektion des Offnungsfehlers ist deshalb mit einer geeigneten Kombination aus Sammel- und Zerstreuungslinsen moglich. Fiir dunne Linsen gilt allgemein die Regel:
I
Wenn der Offnungsfehler klein bleiben soll, dann ist die Linse so in den Strahlengang zu stellen, dial3 die st5rker gekriimmte Seite der groReren Schnittweite zugekehrt ist.
Aus der Theorie der Abbildungsfehler dritter Ordnung folgt, dal3 der Offnungsfehler im Seidelschen Gebiet ein Minimum hat, wenn die Durchbiegung der Linse (4.307)
4.3 Abbildungsfehler
315
betragt. Fiir s = - m folgt daraus fin die dunne Linse mit dem Offnungsfehler-Minimumdas Radienverhatnis
- _r,
2n2-n-4
n(2n+l)
(4.308) '
Bei n = 1 3 ist
L = -1-
r,
6'
Von Bedeutung ist die Moglichkeit, den Offnungsfehler durch Aufspalten einer Linse in zwei Linsen zu vemngern. Gaul$-Fehler. Die Abweichungen durch Offnungsfehler sind bei brechenden Flachen auch von der Wellenlage des Lichtes abhiingig.
I
Die farbige Variation des Offnungsfehlersheil3t GauI3-Fehler.
(Der Name erklM sich daraus, daB G a d ein Fernrohrobjektiv mit einem kleinen solchen Fehler berech.net hatte.)
Abb. 4.154 Korrektionsdarstellung fiir ein System mit
GauO-Fehler
Abb. 4.155 Korrektionsdarstellung fiir ein System mit vermindertem GauO-Fehler
Abb. 4.156 Korrektionsdarstellung fiir einen
Apochromaten
Abb. 4.154 enthat die Korrektionsdarstellung des Offnungsfehlers fiir ein Fernrohrobjektiv mit Gad-Fehler. Die Vemngerung des GauI3-Fehlers eines Dichromaten l%t sich erreichen, wenn der Farblagsfehler unterkonigiert wird. Die Offnungsfehlerkurven fur zwei Farben schneiden sich dann bei einer mittleren Einfallshtihe (Abb. 4.155). Bei einem Trichromaten wird im allgemeinen der Gad-Fehler fiir zwei Farben behoben. Es ergibt sich ein Apochromat. In Abb. 4.156 ist die Korrektionsdarstellung fiir ein apochromatisches Fernrohrobjektiv angegeben.
4.3.4
Koma. Bildfeldwolbung. Astigmatismus
Offnungsfehler im schragen Bundel. Wir betrachten zunachst eine brechende Flache, bei der die Offnungsblende in der Ebene des Knimmungsmittelpunktessteht.
316
4 Abbildende optische Funktionselemente
Der Objektpunkt befinde sich im Unendlichen (Abb. 4.157). Bezugsstrahl sei der Hauptstrahl. Dieser geht ungebrochen durch die Flache hindurch. Die Folge davon ist, daR der
Hauptstrahl der optischen Achse gleichwertig ist. Das Strahlenbundel verlauiuft bildseitig rotationssymmetrisch zum Hauptstrahl. Die Strahlen verschiedener Durchstofihohe in der Eintrittspupille schneiden den Hauptstrahl in verschiedenen Punkten. Es liegt Offnungsfehler des schragen Bundels vor.
I
Auch im schragen Bundel kann Offnungsfehler im weiteren Sinne vorhanden sein. Das Strahlenbundel 1st daM rotationssymmetrisch zum Hauptstrahl.
Meridionale Koma. Wir riicken die Offnungsblende aus der Ebene des Kriimmungsmittelpunktes heraus. Dadurch wird ein anderer als der durch den Kriimmungsmittelpunkt gehende Strahl zum Bezugsstrahl (Abb. 4.158). Der Schnitt der Kaustik mit der Meridionalebene zeigt
Abb. 4.157 Offnungsfehler im schragen Bundel
Abb. 4.158 Meridionale Koma einer brechenden Fkche
nun keine Symmetrie mehr zum Hauptstrahl. Diese unsymmetrische Strahlenvereinigung im Meridionalschnitt heiBt meridionale Koma oder Asymmetriefehler. Die meridionale Koma wird oft schlechthin als Koma bezeichnet. Fiir sie gilt also: Die mericllonale Koma ist die Abweichung von der Punktformigkeit, clle bei der Abbildung auReraxialer Punkte mit einem weitgeoffneten Meridionalbiischel auftritt und die sich in einer unsymmetrisch zum Bezugsstrahl liegenden Strahlenvereinigung auBert. Zur quantitativen Behandlung der meridionalen Koma sind Meridionalstrahlen verschiedener Schnittweite durchzurechnen.
Darstellung als Querkoma. In der GauBschen Bildebene fallen die DurchstoSpunkte der Meridionalstrahlen nicht mit dem GauBschen Bildpunkt zusammen. Es entsteht eine Querabweichung Ay’, die ebenfalls zur Darstellung der meridionalen Koma verwendet wird. Es ist gunstig, die Querabweichung als Funktion von tan d -tan darzustellen, weil d a m die beste Auffangebene so ennittelt werden kann, wie es fiir den Offnungsfehler in 4.3.3 beschrieben w d e (Abb. 4.159).
ap
Sagittale Koma. Die meridionale Koma gibt noch keinen vollsthdigen Eindruck von der Strahlenvereinigung schrager Bundel. Wir mussen auch den Verlauf der windschiefen Strahlen beachten.
I
Die Abweichung von der Punktfonnigkeit, die bei der Abbildung auBeraxialer Punkte mit windschiefen Strahlen entsteht, heifit sagittale Koma.
4.3Abbildunasfehler
317 *Y”’ f‘=85mm
--0J
---0,3
-44
Abb. 4.159 Meridionale Querabweichung fiir ein schrages Bundel
Wir betrachten zunachst nur Strahlen, die objektseitig im Sagittalschnitt verlaufen. Zwei Strahlen, die objektseitig symmetrisch zum Meridionalschnitt liegen. bleiben auch bildseitig symmetrisch zum Meridionalschnitt. Die Ebene, die beide Strahlen bildseitig aufspannen, enthat jedoch nicht den Hauptstrahl. Die Ebenen, die Strahlenpaare mit verschiedener Entfernung vom Hauptstrahl aufspannen, fallen nicht zusammen. Sie fachern sich also im Bildraum so auf, daB sie unterschiedliche Neigung zur bildseitigen Sagittalebene haben (Abb. 4.160).
Abb. 4.160 Zur sagittalen Koma
Abb. 4.161 Zerstreuungsfigur der Koma
Die objektseitig im Sagittalschnitt verlaufenden Strahlen haben in der Gaaschen Bildebene sowohl eine meridionale als auch eine sagittale Querabweichung (Abb. 4.160). Die DurchstoSpunkte shtlicher Sagittalstrahlen bilden eine “Rinne”. (Die sagittale Koma der reinen Sagittalstrahlen wird deshalb auch Rinnenfehler genannt.) Die Zerstreuungsfigur, die von shtlichen windschiefen Strahlen erzeugt wird, hat ein schweiffomges, also ein “komaformiges” Aussehen (Abb. 4.161). Diese Unsymmetrie der Zerstreuungsfigur bewirkt, daB die Koma besonders storend wirkt. Wir weisen noch darauf hin, dal3 die von uns dargestellte Auswirkung der Koma strenggenommen durch das Zusammenwirken von Offnungsfehler im schragen Bundel und Koma entsteht. Im Seidelschen Gebiet sind diese Fehler additiv, wobei die sagittale Querabweichung der reinen Sagittalstrahlendurch den Offnungsfehler entsteht.
Die Sinusbedingung. Wir gehen von einer brechenden Flache aus, die offnungsfehlerfrei abbildet. Es konnte sich also um eine asphMsche Flache oder um eine sphiirische Flache mit einer der in 4.3.3 abgeleiteten speziellen Objektlage handeln. Shtliche Strahlen, die vom Achsenpunkt des Objekts ausgehen, sollen also durch den Achsenpunkt des Bildes gehen.
318
4 Abbildende optische Funktionselemente
Wir wollen angeben, welche Bedingung erfiillt sein mul3, damit ein kleines achssenkrechtes Flachenelement, durch dessen Mitte die optische Achse geht, mit weit geoffneten Bundeln in ein kleines achssenkrechtes Flachenelement abgebildet wird. Bei der Abbildung von Punkten, die in der N3he der optischen Achse liegen, tritt in erster Ngiherung nur Koma auf. Die gestellte Forderung lauft also darauf hinaus, daf3 die offnungsfehlerfreie Flache ein kleines achssenkrechtes Flachenelement komafrei abbilden soll. Die Ableitung mit Hilfe der Satze von Fermat und Malus, die hier nicht angegeben werden soll, fiihrt auf die Abbesche Sinusbedingung (4.281), die wir in 4.2.5 aus lichttechnischen Betrachtungen abgeleitet haben: ny sin6 = n’y‘ sin?.
(4.309a)
Die Abbesche Sinusbedingung ist auch auf ein Hachensystem anwendbar. Ein optisches System, bei dem die Sinusbedingung erfiillt ist, wird aplanatisch genannt. Bei der Abbildung eines unendlich fernen Flachenelements ist 6 = 0. Die Sinusbedingung geht in die Forderung
j f = f’
(4.309b) uber. Die fiir achsferne Strahlen verallgemeinerte Brennweite eines aplanatischen Systems ist aus f =- h (4.309c) sin &‘ zu berechnen. Die objektseitige Hauptflache ist eben (Abb. 4.162).
Aplanatische Punkte. Die in 4.3.3 angegebenen Punktepaare, die sich offnungsfehlerfrei aufeinander abbilden, werden aplanatische Punkte genannt. Kleine Flachenelemente am Ort dieser Punkte werden zusatzlich komafrei abgebildet, weil die Sinusbedingung erfullt ist. Die Kombination zweier Flachen, die aplanatische Objektpunkte abbilden, ergibt aplanatische Linsen. Von diesen hat der sammelnde aplanatische Meniskus besondere praktische Bedeutung (Abb. 4.163). Die erste Flache liegt konzentrisch zum Objektpunkt. Fur sie gilt Sl = r,, Sl = r,. (4.310) I
Die iibergangsbedingung zur zweiten Flache lautet s2 = s l - d bzw. s2 = r, - d .
(4.3
Der Radius der zweiten Flache folgt nach GI. (4.306) aus r2 = -. n2 s2
ni +n2
(4.3
4.3 Abbildunesfehler
319
Mit n2 = n, n; = 1 und (4.31 1) erhalten wir (4.313) Aus G1. (4.305) ergibt sich mit G1. (4.312) s; = n ( s , - d ) .
(4.314)
Ein reeller Objektpunkt (s, < 0) wird also stets in einen virtuellen Bildpunkt (sl c 0) abgebildet. Positive Brechkraft hat der Meniskus, wenn die Bedingung d < -nrl (q < O!) erfiillt ist. Der sphdrische Hohlspiegel ist unabhiingig von der Objektlage komafrei, wenn sich die Offnungsblende in der Ebene des Kriimmungsmittelpunktes befindet. Der Hauptstrahl ist dann auch im Bildraum Symmetriestrahldes abbildenden Bundels. Bei dieser speziellen Lage wird die Offnungsblende “natiirliche” Blende genannt. Der Hohlspiegel mit natiirlicher Blende bildet zwar komafrei, aber nicht offnungsfehlerfrei ab. In diesem Fall spricht man von einer isoplanatischen Abbildung.
Ein aptisches System, das symmetrisch zur Offnungsblende aufgebaut ist, bildet fiir den Abbildungsmabtab p’ = -1 isoplanatisch ab (Objekt- und Bildweite gleich). Bildfddwolbung. Wir gehen von einem Hohlspiegel mit natiirlicher Blende aus. Die Objektweite sei unendlich. Der Hohlspiegel hat dann Offnungsfehler des schragen Bundels (Abb. 4.164).
Wir verringern den Durchmesser der Offnungsblende, so daO schliefilich nur noch das hauptstrahlnahe Bundel iibrigbleibt. Der Zerstreuungskreis in der senkrecht zum Hauptstrahl
4 Abbildende optische Funktionselemente
320
stehenden Ebene, die vom Spiegel um die Brennweite entfernt ist, wird dabei stetig verkleinert. Der Hauptstrahl ist beim Hohlspiegel mit natiirlicher Blende der optischen Achse vollig gleichwertig, so daR sich die hauptstrahlnahen Bundel so verhalten wie die Paraxialstrahlen. Die Bildpunkte, die durch die hauptstrahlnahen Bundel von Punkten einer im Unendlichen liegenden Objektebene zugeordnet werden, haben s-tlich &e Entfernung f ’ vom Spiegel. Die Bildflache stellt eine Kugel mit dem Radius f ’ = r / 2 dar, das Bildfeld ist gewolbt. Bleibt bei der Abbildung aufleraxialer Punkte mit hauptstrahlnahen Bundeln die Rotationssymmetrie um den Hauptstrahl im Bildraum erhalten, dann liegt im allgemeinen Bildfeldwolbung vor. Die Bildpunkte, die einer objektseitig achssenkrechten Ebene zugeordnet sind, bilden eine gekriimmte Flache, die Petzval-Schale genannt wird. Petzval-Bedingung. Bei einer sphiirischen brechenden Flache hat die Petzval-Schale fiir die Abbildung einer unendlich fernen Ebene die Kriimmung 1 =-
1 r-f’.
rp Setzt man f‘
=
‘ n -n
,
g l =&l (n)
n
n’
d m gilt
Im Rahmen der Theorie der Abbildungsfehler dritter Ordnung l%t sich zeigen, daR die Kriimmung der Petzval-Schale bei einem optischen System aus n Flachen = -n:$$s(*)]
(4.315)
betragt. Die Summe heil3t Petzval-Summe. Der Ansatz eines optischen Systems mit einer kleinen Petzval-Summe schafft giinstige Voraussetzungen fiir ein ebenes Bildfeld. Astigmatismus. Wir riicken die Offnungsblende des Hohlspiegels aus der Ebene heraus, die durch den Krtimmungsmittelpunkt geht. Sie bleibt dabei die Eintrittspupille, aber sie ist nicht die Austrittspupille (Abb. 4.165). Durch die Reflexion der Hauptstrahlen in eine andere als die
4.3 Abbildungsfehler
321
Lichteinfallsrichtung geht die Rotationssymmetrie um die Hauptstrahlen verloren. Es besteht nur noch Symmetrie in der Meridional- und in der Sagittalebene fiir das hauptstrahlnahe Gebiet. Zwei hauptstrahlnahe Meridionalstrahlen, die objektseitig symmetrisch zum Hauptstrahl verlaufen, bleiben bildseitig symmetrisch zum Hauptstrahl. Die entsprechende Aussage gilt flir hauptstrahlnahe Sagittalstrahlen.
I
Der bildseitige Schnittpunkt der Strahlen des hauptstrahlnahen
meridionalen Biisagittalen
schels mit dem Hauptstrahl ist der meridionale Bildpunkt (Abb. 4.127). sagittale
1st bei der Abbildung aaeraxialer Punkte mit hauptstrahlnahen Bundeln im Bildraum keine Symmetrie urn den Hauptstrahl vorhanden, dann treten Astigmatismus und Bildfeldwolbung auf. Eine achssenkrechte Ebene wird auf zwei gekriimmte Bildschalen abgebildet. Das Auseinanderfallen von sagittaler und meridionaler Bildschale wird Astigmatismus genannt.
Sagittaler Bildort. In Abb. 4.166a ist fiir die brechende Kugelflache der zum Objektpunkt gehorige Hauptstrahl eingezeichnet. Die Gerade durch den Objektpunkt und den Kriimmungsmittelpunkt C ist der optischen Achse gleichwertig. Deshalb mussen sich bildseitig
Abb. 4.166a Zur Bestimmung des sagittalen Bildortes
stimtliche Strahlen, die den gleichen Winkel q wie der Hauptstrahl mit der Geraden AC einschliekn, in ein und demselben Punkt schneiden. Mit anderen Worten: Strahlen, die objektseitig auf einem Kreiskegel liegen, dessen Spitze der Objektpunkt ist, liegen bildseitig auf einem Kreiskegel, in dessen SpirZe sie sich schneiden. Die dem H a u p t s W infinitesimal benachbarten Sagittalstrahlen konnen als Bestandteil des betrachteten Strahlenkegels angesehen werden. weil sie innerhalb eines infinitesimalen Ausschnitts einer Tangentialebene an den Kegel liegen.
I
Der sagittale Bildort ftillt mit dem Punkt zusammen, in dem sich der Hauptstrahl und der Strahl, der durch den Kriimmungsmittelpunkt geht, schneiden.
Meridionaler Bildort. Die hauptstrahlnahen Strahlen des meridionalen Buschels haben andere Einfallswinkel als der Hauptstrahl. Die oberhalb des Hauptstrahls verlaufenden Strahlen werden schwacher abgelenkt als dieser. Die Folge davon ist, dal3 der meridionale Bildort niiher an der brechenden Flache liegt als der sagittale Bildort.
322
I
4 Abbildende opusche Funktionselemente
Der meridionale Bildort km ist der Schnittpunkt der Strahlen, die die Einfallswinkel E, fde, haben, mit dem Hauptstrahl (Abb. 4.166b).
Abb. 4.166b Zur Bestimmung des meridionden Bildortes
Nach [ 191 gilt 1,'
18
~
den sagittalen Bildort an der brechenden Kugelflache = A
n' cos E; - n cos E,
mitA=
r
(4.316a, b)
Fiir den meridionalen Bildort gilt n' COS'
1:
EL - n cos2e, -- A . 1,
(4.3 16c)
Fiir die astigmatische Strahldurchrechnung benotigt man noch die schiefe D i c k [ 191 t
k!L
=
rk s i n q p k
-rk+l
sinqk+l
sin Ypk
(4.317)
und die SchluSgleichungen (Abb. 4.167) a*,,-s;,
(4.3 18)
cos a*,,, - s;.
(4.319)
b,*= 2rnsin2 -+ccos VPn 2 bk = 2rnsin2% 2
+ I,!
j!FI.-I-ry Abb. 4.167 Zur Ableitung der achsparallelen Absmde der Bildorte
4.3Abbildungsfehler
323
Darstellung. Zur Darstellung von Astigmatismus und Bildfeldwolbung tragen wir auf der Abszisse die achsparallelen Abstbde der sagittalen und der meridionalen Bildpunkte von der GauRschen Bildebene ab. Als unabhbgige Variable verwenden wir den objektseitigen Schnittwinkel hP des Hauptstrahls mit der Achse oder die paraxiale BildgroRe y’. Abb. 4.168a zeigt die Korrektionsdarstellung fiir eine Sammellinse, Abb. 4.168b fir ein korrigiertes optisches System. Ein optisches System, bei dem die meridionale Bildschale links von der sagittalen Bildschale liegt, heiRt unterkorrigiert. Ejne duMe sammelnde Einzellinse ohne zusatzliche Offnungsblende ist stets unterkorrigiert. Ein Anastigmat ist ein optisches System, das hinsichtlich Astigmatismus und Bildfeldwolbung korrigiert ist.
m
y;
Yfb I0
b; -6
-3
0
6~j102 mm
b& -2
I
--
Omml
b)
‘1)
Abb. 4.168 Korrektionsdarstellungdes Astigmatismus a) fiir eine Sammellinse, b) fiir ein Tessar
4.3.5
Veneichnung
Definition. Wir bilden eine Objektstruktur ab, die in einer achssenkrechten Ebene liegt. Zur Erzeugung einer Bildstruktur, die der Objektstruktur geometrisch gihnlich ist, mul3 der Abbildungsmdstab innerhalb der Auffangebene konstant sein. Er darf also nicht von den Objektkoordinaten x und y abhagen. Diese Fordemng war neben der Punktfiirmigkeit Voraussetzung fiir die ideale geometrisch-optischeAbbildung. Weil die konkreten optischen Funktionselemente nicht ideal abbilden, ist das Bild im allgemeinen nicht dem Objekt ihlich. Der Abbildungsfehler, der die Abweichung von der h i c h k e i t zwischen Objekt und Bild erfdt, wird Verzeichnung genannt. Die Verzeichnung auRert sich bei zentrierten optischen Systemen mit endlicher Objektweite darin. daP~der Abbildungsmdstab eine Funktion der ObjektgroRe ist. Bei unendlicher Objelctweite ist die BildgrGRe nicht der scheinbaren ObjektgroRe proportional. (Der Proportionalitatsfalctor ist im paraxialen Gebiet die objektseitige Brennweite.) Das Strahlenbundel, das einen aderaxiden Objektpunkt abbildet, hat bei einem abschattungsfreien optischen System den Hauptstrahl als Schwerstrahl. Deshalb bestimmt der Durchstoflpunkt des Hauptstrahls in der Auffangebene den Bildort und damit die BildgrtiRe. Es genugt
324
4 Abbildende omische Funktionselemente
also zur Untersuchung der Verzeichnung, den Verlauf der Hauptstrahlen zu berechnen. Die Verzeichnung ist ohne Beimischung anderer Abbildungsfehler zu beobachten, wenn die Objektebene punktformig in die Bildebene abgebildet wird. Die Verzeichnung ist ein Abbildungsfehler, der keine Zerstreuungsfigur, sondem eine radiale Verschiebung des Bildpunktes innerhalb der Auffiigebene hervormft. Darstellung. Als Ma13 fiir die Verzeichnung kann die Differenz aus der DurchstoUhGhe des Hauptstrahls i’ und der paraxial berechneten BildgroRe y’ in der GauBschen Bildebene dienen. Im allgemeinen gibt man die relative Verzeichnung (4.320) an. Fiir eine endliche Objektweite kann nach Division von ZWer und Nenner durch y in G1. (4.320) (4.321) geschrieben werden. Fiir Ay’/y’ < 0 ist die BildgroRe zu klein; das optische System hat tonnenfonnige Verzeichnung (Abb. 4.169 und 4.170). Fur Ay’/y’ > 0 ist die BildgroBe zu groR; das optische System hat kissenformige Verzeichnung (Abb. 4.171 und Abb. 4.172).
8
lOOo$!’
--“t F i 4 - 20 OIOO
Abb. 4.169 Bild eines Quadrats bei
Abb. 4.170 Korrektionsdarstellung fiir
tonnenformiger Veneichnung
tonnenformige Verzeichnung
””4 40
Abb. 4.171 Bild eines Quadrats bei kissenformiger Verzeichnung
Abb. 4.172 Korrektionsdarstellung fiir
kissenformige Veneichnung
Bei Fotoobjektiven liegt die relative Querabweichung normalenveise unter 5%0 bei Luftbildobjektiven unter 1%0
Tangensbedingung. Wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen ein optisches System verzeichnungsfrei ist. Die Abb. 4.173 zeigt ein optisches System, bei dem die Abbildung der
325
4.3 Abbildungsfehler
Offnungsblende mit Offnungsfehler behaftet ist. Die Orte der Eintritts- und der Austrittspupille sind dadurch von der HauptstraNneigung im Achsenpunkt der Offnungsblende abhiingig. Das ist im allgemeinen auch im hinsichtlich Offnungsfehler korrigierten System so, weil die Korrektion fiir die Objektebene, aber nicht fiir die Abbildung der Offnungsblende durchgefiihrt wird. Dieser Offnungsfehler der Pupillen, auch Pupillenaberration genannt, ist die Hauptursache der Verzeichnung. Nach Abb. 4.173 ist tan
=
4, PI
tan&,, = --i 2 i 2
'
(4.322) (4.323)
Daraus folgt fiir die Abbildungsmahtabe (4.324)
Abb. 4.173 Zur Ableitung der Tangensbedingung
Die Verzeichnung verschwindet, wenn der Abbildungsmahtab unabhiingig von der ObjektgrtiDe ist. Wir fordern also
j: = j;.
(4.325)
Wir setzen G1. (4.324) in G1. (4.325) ein und erhalten (4.326)
G1. (4.326) ist die Bedingung, deren Einhaltung garantiert, daO ein optisches System verzeichnungsfrei ist. Wenn (4.327)
326
4 Abbildende optische Funktionselemente
gilt, dann geht (31. (4.326) in
&L1
- tan iiL2 tan -tan b,, tan &,*
(4.328)
uber; GI. (4.328) ist gleichbedeutend mit tan&’, - const. tan iiP
(4.329)
GI. (4.329) heifit Tangensbedingung. Sie ist z. B. erfiillt, wenn unabhbgig von y
<
=
GP
(4.330)
ist. Die Tangensbedingung ist ein Kriterium fiir die Verzeichnungsfreiheit eines optischen Systems. Sie ist jedoch kein hinreichendes Kriterium, weil aul3erdern G1. (4.327) gelten mu13. Wir koMen die in G1. (4.327) enthaltene Forderung f i r praktische Zwecke in zwei Eiruelfordemngen aufieilen. -
G1. (4.327) wird eingehalten, wenn
jl =
b2
und
ji = ji
(4.331)
ist. Ein optisches System ist also verzeichnungsfrei, wenn die Eintritts- und die Austrittspupille dffnungsfehlerfrei sind und die Tangensbedingung erfiillt ist. -
G1. (4.327) wird ebenfalls eingehalten, wenn
j,
=
kbi
und
i2= &$;
(4.332)
ist. Ein optisches System ist also verzeichnungsfrei, wenn f i r jeden Objektpunkt der Betrag der sphsjischen Lwgsabweichung der Pupillenabbildung im Objekt- und irn Bildraum gleich und die Tangensbedingung erfiillt ist.
Abb. 4.174 Verzeichnungsfreies symmetrisches optisches System
Ein optisches System, das symmetrisch zur Offnungsblende aufgebaut ist, ist fiir den Abbildungsmal3stab
p’
= -1
verzeichnungsfrei (Abb. 4.174). Durch den symrnetrischen Aufbau ist G1. (4.332) erfiillt. Wegen p’ = -1 ist auBerdem
6 =bp, so d& auch die Tangensbedingung erfiillt ist.
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
327
Einzellinse. Die duMe Einzellinse ohne zusatzliche Offnungsblende fiihrt keine Verzeichnung ein. Die Pupillen sind Gffhungsfehlerfrei, und der Hauptstrahl geht unabgelenkt durch die Mitte der Linse. Auch optische Systeme aus eng beieinander stehenden diinnen Linsen, bei denen eine Linsenfassung als Offnungsblende wirkt, sind praktisch verzeichnungsfrei. Die duMe Einzellinse mit zusatzlicher Blende bildet stets mit Verzeichnung ab. Dabei gilt:
Die diinne Einzellinse mit Vorderblende hat tonnenformige Verzeichnung; die duMe Einzellinse mit Hinterblende hat kissenformige Verzeichnung. Zwei Beispiele sind in Abb. 4.175a und b enthalten. AP
OBE
H H'
Abb. 4.175a Tonnenfonnige Verzeichnung bei einer Vorderblende H HI
GBE
EP
iP
Abb. 4.175b KissenfGnnige Verzeichnung bei einer Hinterblende
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente 4.4.1
Intensitslt in der Bildebene
Begriff "wellenoptisch abbildend". In 4.1 w d e die optische Abbildung mit dem Strahlenmodell behandelt. Mit diesem erfassen wir jedoch nur diejenigen geometrischen Eigenschaften des Bildes, die mit der durch Brechungen und Reflexionen moglichen Konzentration von Lichtstrahlen in begrenzten Gebieten des Bildraumes zusammenhiingen. Die bei der Ausbreitung wesentliche Seite des Lichtes ist sein Wellencharakter. Es ist demnach zu erwarten, daB die optische Abbildung mit dem Wellenmodell zu behandeln ist und sich dabei gegeniiber der
4 Abbildende optische Funktionselemente
328
geometrisch-optischen Abbildung weitere Gesichtspunkte ergeben. Drei Problemkreise mussen wellenoptisch behandelt werden: der EinLluB der Beugung des Lichtes, - die Berechnung der Intensitatsverteilung im Bildraum, - die Wirkung von EingrilTen in das bildseitige Lichtbundel.
-
Es gibt auch spezielle abbildende Funktionselemente, bei denen das Bild durch Beugung ohne eine wesentliche Mitwirkung von Reflexionen und Brechungen entsteht (Zonenplatten, Hologramme). Ein wellenoptisch abbildendes Funktionselement erzeugt ein optisches Bild, dessen Eigenschaften und Entstehung nur mit dem Wellenmodell des Lichtes beschrieben werden ktinnen. Intensitit in der Gaunschen Biidebene. Wir gehen von der konkreten Abbildung eines Objelctpunktes aus. Eine asphthische Linse, wie sie in 4.1.9 (Abb. 4.61 und Abb. 4.62) berechnet wurde, bildet den unendlich fernen Achsenpunkt geometrisch-optisch in den Brennpunkt ab. Wir setzen vor die Linse eine Vorderblende, die Offnungsblende und Eintrittspupille sein sol1 (Abb. 4.176). Objektseitig geht vom unendlich fernen Achsenpunkt eine ebene Welle aus.
Abb. 4.176 Asph2rische Linse mit Vorderblende
Ohne Beugung wiirde die Linse die ebene Welle in eine Kugelwelle umwandeln, die im Brennpunkt konvergiert. Es ist aber ausgeschlossen, da13 die Energie der Welle in einem Punkt konzentriert wird. Die geometrisch-optische Behandlung kann in unserem Beispiel keine ausreichende Niihenmg darstellen. In Wirklichkeit wird das Licht an der Offnungsblende gebeugt, und die Linse bildet das Beugungsbild ab, indem die gebeugten Bundel zusatzlich gebrochen werden. Das direkte Licht hat die grol3te Intensitat, so dal3 die maximale Intensitat im BreMpUnkt vorhanden ist.
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
329
In der Gauaschen Bildebene besteht das Bild aus hellen und dunklen Ringen, fUr die nach GI. (2.300) (4.333)
gilt. Nach G1. (2.297) ist (4.334)
Der erste dunkle Ring hat den Radius r’ = 0,61-Af‘ PP
(4.335)
(vgl. Tab. 2.21). Als nkhstes nehmen wir an, daB die Offnungsblende der asphiirischen Lime eine Hinterblende ist (Abb. 4.177). Die vom Objektpunkt ausgehende ebene Welle wird durch die Linse in eine konvergente Welle umgewandelt, und auBerdem tritt zunachst die Beugung
Abb. 4.177 Asphthische Linse mit Hinterblende
an der Linsenfassung auf. Das an der Linsenfassung gebeugte Licht wird an der Offnungsblende, die zugleich Austrittspupille ist, nochmals gebeugt. Diese zweite Beugungserscheinung ist wegen des konvergenten Lichtes vom Fresnelschen Typ. Die genaue Untersuchung der Intensitatsverteilungfiir die Linse mit Hinterblende ist kompliziert. Bei den meisten praktisch bedeutenden Aufgaben erhalten wir eine ausreichende Naherung fiir die Lichtverteilung im Bildraum, wenn wir folgende Annahmen treffen: -
Ah beugende Offnung wird die Austrittspupille angenommen.
-
Die Lichtamplitude in der Austrittspupille wird nicht durch vorangehende beugende Offnungen beeinfluBt.
Fiir g r o k Objektweiten, kleine Offnungsverhtiltnissebzw. Offnungswinkel, fiir kleine Felder und fiir Aufpunkte in der Umgebung des GauBschen Bildpunktes laBt sich die Intensiut mit der Annahme berechnen, daR an der Austrittspupille Fraunhofersche Beugung auftritt. Diese
330
4 Abbildende ODtiSChe Funktionselemente
uberlagert sich der geometrisch-optischenAbbildung. Das heiRt, die Lichtintensitat ist wie bei der Linse mit Vorderblende zu berechnen, aber statt f ’ 1st p f und statt pp ist &, in die G1. (4.334) einzusetzen. Wir erhalten v=-
27cp;r’
APf
(4.336)
und fiir den Radius der ersten Nullstelle der Intensitat rf =
0 , 6 AP’ 17.
(4.337)
PP
Auflosung zweier inkoharent strahlender Punkte. Bei einer Lime mit zwei asphtirischen Flachen lassen sich diese so berechnen, dalj zwei Punkte, die in der Umgebung der optischen Achse liegen, geometrisch-optisch punktformig abgebildet werden konnen. Durch die Beugung entstehen aber in der Gaaschen Bildebene zwei ringformige Intensitatsverteilungen, die sich bei inkohiirent strahlenden Objektpunkten addieren (Abb. 4.178).
I I0
1
0,73
0,37
Abb. 4.178 Addition der Beugungsintensitiiten a) Zwei inkohiirent strablende Punkte, Definition des AuflosungsvermSgens, b) sichere Auflosung, c) Unterschreitung der Auflosungsgrenze, keine sichere Auflosung mehr
Die beiden Hauptmaxima und das dazwischenliegendeMinimum mussen einen vom Empfhger abhwgigen Mindestabstand haben, wenn die Intensitatsverteilung als zu zwei Objektpunkten gehorend registxiert werden soll. Unterhalb eines bestimmten Abstands werden die Objektpunkte also nur wie ein einziger Objektpunkt wahrgenommen, d. k,sie werden nicht aufgelost. Im allgemeinen nimmt man an, dal3 zwei inkohiirent strahlende Objektpunkte bei
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
33 1
einer geometrisch-optisch punktformigen Abbildung aufgelost werden, wenn die erste Nullstelle des Beugungsbildes des einen Punktes mit dem Haupmaximum &s anderen Punktes hljchstens zusammenfallt. Daraus ergibt sich fiir den bildseitig auflosbaren Punktabstand r; = 0,61-.AP’ Pi
(4.338)
Die abgeleiteten Beziehungen sind auch auf die Abbildung mit optischen Systemen anwendbar. Bei Fotoobjektiven ist ofl mit ausreichender Genauigkeit p’ = f’, p’p = pp und damit
zu setzen (k Blendenzahl). Gleichung (4.338) geht iiber in r’ = 1.22Ak.
(4.339)
Fiir A = 500 nm ist in Abb. 4.179 r’ als Funktion von k dargestellt. Als Faustregel gilt r ’ / p = 0,61k.
Es sei nochmals hervorgehoben, daR die Anwendbarkeit von G1. (4.339) neben der Gultigkeit der eingangs angegebenen Ntiherungen ein geometrisch-optischpunktformig abbildendes optisches System voraussetzt. Das ist bei Fotoobjektiven im allgemeinen nur der Fall, wenn sie stark abgeblendet werden. 15
-
r Ypm
10 -
5-
R = 500 nrn I
I
1
I *
Abb. 4.179 Aufltjsungsvermtigen als
Das reale AuflBsungsvermogen geht also mit wachsender Blendenzahl in das nach G1. (4.339) berechnete iiber. Als Kriterium fiir die Auflosung koMte auch bei nicht beugungsbegrenzten Systemen die Forderung nach dem Uberschneiden der beiden Intensitatskurven bei I l l o = 0,37 verwendet werden.
4.4.2
Intensitiit in Achsenpunkten
Durch die Beugung an der Offnungsblende wird das Licht so abgelenkt. daR es theoretisch den gesamten Bildraum ausfiillt. Praldisch ist jedoch die Lichtenergie vorwiegend in einem gewissen Gebiet um den GauSschen Bildpunkt konzentriert. In Auffangebenen, die parallel
4 Abbildende optische Funktionselemente
332
zur GauDschen Bildebene stehen, ergibt sich bei der Abbildung von Achsenpunkten eine zur Achse konzentrische Lichtverteilung, die aber von derjenigen in der Gaul3schen Bildebene verschieden ist. Abb. 4.180 gibt einen Eindruck von der Lichtverteilung im Bildraum eines aberrationsfreien optischen Systems. (Optische Systeme, die geometrisch-optisch punktformig abbilden, werden auch beugungsbegrenzte optische Systeme genannt.) Von besonderem Interesse ist neben der Intensitatsverteilung in achssenkrechten Ebenen die Intensitat in deren Achsenpunkten, also die Lichtverteilung Ibgs der optischen Achse. Wir berechnen diese unter Beriicksichtigung der in 4.4.1 angegebenen Naerungen.
Abb. 4.180 Intensit& im Bildraum eines beugungsbegrenzten Systems
Berechnung der Phasendifferenzen. Fur die Interferenz des Lichtes im Bildraum sind die Phasendifferenzen bestimmend, die die Elementarwellen haben, welche von den Punkten einer Wellenflache ausgehen und sich im Aufpunkt uberlagern. In der Austrittspupille liegt eine Kugelwelle vor. Wir verwenden die Wellenflache als Bezugsflache, die von der Austrittspupille tangiert wird (Abb. 4.181). Die Phasendifferenzen werden gegenuber der Phase des Lichtes gemessen, das sich I h g s der optischen Achse ausbreitet. Um den Aufpunkt schlagen wir eine Kugel, die ebenfalls von der Austrittspupille tangiert werden soll.
Von P,' bis zum Kreisbogen ATB hat die von Pi ausgehende Elementanvelle denselben Lichtweg wie die von Q ausgehende Welle bis zum Gaul3schen Bildpunkt A;. Die optische Wegdifferenz im Punkt A' zwischen der I h g s der optischen Achse und der liings POA' laufenden Welle betragt demnach - -
A L = BA'- A',A'.
-
Bei kleinem b' sind
- der Kreisbogen A',B durch seine Tangente in B, -
der Winkel 2r' durch & und der Achsenabschnitt der Tangente durch b' ersetzbar
Die Strecke BA' kann niiherungsweise aus
-
BA' = b' cos &;
4.4 Wellenovtisch abbildende Funktionselemente
333 ~~
berecl-metwerden. Damit gilt
AL = b’(cos & -1).
(4.340)
Wir leiten zwei Hilfsformeln ab. Nach Abb. 4.18 1 gilt g = p’(l-cos~).
(4.341)
Abb. 4.181 Zur Berechnung &r Phasendifferenzen fiir einen Punkt der optischen Achse (Ah
GauBscher Bildpunkt, A’ Aufpunkt)
Weiter ist p” = (p‘ - g ) 2 + r;2. Diese quadratische Gleichung fiir g ergibt die L&ung g = p - p
‘
1--. I;
Fiir nicht zu groOe Offnungswinkel ist r;2 4 p”. Die Wurzel entwickeln wir in eine binomische Reihe, so daO wir (4.342)
erhalten. Mit G1. (4.341) folgt aus G1. (4.340) (4.343)
oder mit G1. (4.342)
(4.344) Die Phasendifferenzim Punkt A’ betragt (4.345)
334
4 Abbildende optische Funktionselemente
Berechnung der normierten Intensit& Die Phasendifferenz nach G1. (4.345) fiihren wir in die mathematische Fassung des Huygensschen Prinzips (2.264) ein. Dabei ist zu beachten, dal3 im Bildpunkt eine Kugelwelle konvergiert. Die komplexe Amplitude ist dann in der Form -
zu schreiben ( r = P'A'), weil ihr Betrag bei der Kugelwelle wie 1/r abnimmt. Wegen der geringen Unterschiede von r uber die Austrittspupille hinweg setzen wir jedoch den Faktor A,/r = A als konstant an (bei kleinen Offnungen und Feldern sowie Aufpunkten, die nicht zu weit vom Gauljschen Bildpunkt entfernt sind). Nur unter dieser Voraussetzung ist die G1. (2.264), die fiir die Beugung von ebenen Wellen abgeleitet ist, auch auf das vorliegende Problem anwendbar. Die Lichterregung folgt aus (4.346) 0 0
Das Integral uber dq', ergibt 271. Mit der neuen Variablen nb'r,'2 = x, dp'2
2nb'r;dr; dp'2
-
- dx,
x 3 b'p'2
= x,
geht G1. (4.346) uber in (4.347)
Integration und Einsetzen der Grenzen fiihrt auf (4.348) L
Im GauDschen Bildpunkt ist b' = 0, und G1. (4.346) ergibt unmittelbar
a, = A ~ p k ' .
(4.349)
In einern Achsenpunkt betragt die normierte Intensitat (4.350)
mit (4.35 1)
Die Funktion nach G1. (4.350) haben wir bereits diskutiert (Abb. 2.96). Fiir v = f x , d. h fiir
liegt die erste Nullstelle vor. Bei A =500nm, p' = 100 mm und p', = 12.5 rnm wird beispielsweise b' = & 6,4.10-* mm. Abb. 4.182a, b zeigt das Beugungsbild in zwei Auffangebenen.
4.4 WellenoDtisch abbildende Funktionselemente
Abb. 4.182a IntensitWmaximum
335
Abb. 4.182b Nullstelle der Intensiat
auf der optischen Achse Wellenoptische Abbildungstiefe. Vom geometrisch-optischen Bildpunkt aus nimmt die Intensitat l h g s der Achse nach GI. (4.350) ab. Es ist ublich, einen 20%igen Lichtabfall als tragbar anzusehen. Die Auffangebene kann also nur mit einer daraus resultierenden Unsicherheit in die GauRsche Bildebene gebracht werden. Der achsparallele Bereich, in dem die normierte Intensitiit auf 0,8 abnimmt, ist die wellenoptische Abbildungstiefe. Bei der Anwendung auf Fotoobjektive fiihren wir die Blendenzahl k = p'/(2p',) ein. Damit geht GI. (4.351) in v = - xb' (4.352) 8Lk2 iiber. Wir fordern nun
(y) 2
1 0,8.
(4.353)
Die numerische LOsung von G1. (4.353) ergibt mit ausreichender Genauigkeit -0,8 Iv I 0,8. Fiir die Abbildungstiefe gelten die Gleichheitszeichen,und es ist nach G1. (4.352)
b' = f - 4 A k 2 = f2,038ak2. R
(4.354) (4.355)
Wir setzen angeniiheft b' = &2Ak2. (4.356) GI. (4.356) gibt die Grenzen der wellenoptischen Abbildungstiefe eines Fotoobjektivs an, wenn ein 20%iger Lichtabfall zugelassen wird. Abb. 4.183 enthat b' als Funktion von k fiir
a=5500nm. 400 300 200
1=500nm
-
100 -
Abb. 4.183 Wellenoptische Abbildungs-
336
4 Abbildende ovtische Funktionselemente
-
Fur ein Fotoobjektiv zeigt Abb. 4.184 die normierte Intensitatsverteilung Iangs der optischen Achse. Bei der Anwendung von G1. (4.354) auf Mikroobjektive ist b' von der Zwischenbildebene p' diirfen wir in G1. (4.351) des Mikroskops aus zu messen. Wegen der Voraussetzung p',
*
P'p sinu = I P I
I
(4.357)
I
- 0,l
- 0,05 b'/mm
1 0
-----)
Abb. 4.184 Normierte Intensitiit l h g s der optischen Ache fiir ein konkretes
Fotoobjektiv
setzen und erhalten mit x = 3,2 fiir die wellenoptische Abbildungstiefe (4.358)
Nach der Sinusbedingung ist mit n' = 1 p'sinu' = n sinu = A
(4.359)
(A numerische Apertur des Mikroobjektivs). Fiir den TiefenmaUstab gilt bei einem Flachensystem analog zu G1. (4.24) mit f'/f = -n'/n
Die wellenoptische Schiirfentiefe betragt mit n' = 1 (4.360)
4.4.3
Wellenaberrationen
Definition. Die Lichtwegunterschiede, die zwischen einer Bezugskugel und einer Wellenflache vorhanden sind, werden Wellenaberrationen genannt. Wellenaberrationen setzen im allgemeinen infolge der kontinuierlich iiber die Austrittspupille verteilten Phasendifferenzen die Intensitat im Gadschen Bildpunkt herab. Auaerdem ist die maximale Intensitat nicht im GauRschen Bildpunkt vorhanden.
4.4WekTIODtiSCh abbildende Funktionselemente
337
Die exakte Definition der Wellenaberration lautet: Die l u g s der Normalen zur Bezugskugel um den GauSschen Bildpunkt gemessene Entfernung einer Wellenflkhe von der Bezugskugel um den Aufpunkt wird Wellenaberration genannt und mit 1 bezeichnet. Im Fall der geometrisch-optisch punktformigen Abbildung ist die Wellenflache eine Kugelflkhe mit dem Mittelpunkt im GauRschen Bildpunkt, so daB sie mit der Bezugskugel um den GauSschen Bildpunkt zusammenfalt. In Abb. 4.181 ist deshalb die Wellenaberration durch die Strecke p,‘p: gegeben. Wegen der vorausgesetzten Niiherungen darf
-
-
Pip; = Pip;
gesetzt werden. Nach Abb. 4.181 gilt -
- -
Pip; = P;A‘-P;A’
- -
- - -
mit Pi A’ = QA‘ und Pi A’ = QA;
+ BA’. Damit ist
- - - pip,’ = QA’ - QA; - BA’, also wegen
QA’ = p’+b’,
= p’ und
BA‘ = b ’ c o s 6
= b‘-- b’g
P’
schlieI3lich
gb’ Pip,’ = P‘ . Die Wellenaberration 1 =
(4.361) betragt (4.362)
Damit ist fiir die geometrisch-optisch punktfonnige Abbildung besttitigt, dal3 die Wellenaberrationen unmittelbar die zu den Phasendifferenzen fiihrenden Lichtwegdifferenzendarstellen. Wirkung der Abbildungsfehler. Bisher setzten wir geometrisch-optisch punktfomige Abbildungen voraus. Sie werden von optischen Systemen realisiert, die frei von Abbildungsfehlern sind. Aber auch optische Systeme, die nur Bildfeldwolbung und Verzeichnung einfiihren, bilden geometrisch-optischpunktfomig ab. Durch die Bildfeldw6lbung riickt der Bildpunkt aus der GauSschen Bildebene heraus, in ihm konvergiert eine Kugelwelle. Die Maxima der Intensitat liegen auf der gewolbten Bildschale. Durch die Verzeichnung verschiebt sich der Bildpunkt innerhalb der GauRschen Bildebene. Im radial verschobenen Bildpunkt konvergiert eine Kugelwelle, so daB die Intensitiitsmaxima nur verschoben sind. Der Offnungsfehler, die Koma und der Astigmatismus erzeugen in der GauSschen Bildebene Zerstreuungsfiguren. Die Wellenflachen, die aus einem optischen System mit diesen Abbildungsfehlern austreten, sind keine Kugelflachen. Das wirkt sich auf die Lichtwege zu den einzelnen Punkten des Bildraums und damit auf die Phasendifferenzen in diesen aus.
338
4 Abbildende optische Funktionselemente
Wir erlautern die Verhdtnisse am Beispiel des Offnungsfehlers genauer. Im Gaul3schen Bildpunkt wiirde eine Kugelwelle die nonnierte Intensitat 1 ergeben. Durch die asphiirische Form der Wellenflache haben die von den einzelnen Punkten der Austrittspupille ausgehenden Elementarwellen zusatzliche Lichtwege zuriickzulegen, wodurch Phasendifferenzen entstehen. Da diese Phasendfferenz eine stetige Funktion der DurchstoSkoordinaten in der Austrittspupille ist, mulj die Intensitat im Gaul3schen Bildpunkt herabgesetzt werden. Das Maximum der Intensitat liegt aMerhalb des Gaul3schen Bildpunktes. Die zu den Phasendifferenzen fiihrenden Lichtwegunterschiede sind auch in diesem Fall die Wellenaberrationen. In Abb. 4.185 ist nochmals die exakte Definition beim Vorliegen von Offnungsfehler veranschaulicht.
-
P’ I-
b’
I
AS‘
I
Abb. 4.185 Wellenaberrationen beim Vorliegen von Offnungsfehler
Berechnung der Wellenaberrationen des Offnungsfehlers. Die Wellenaberrationen, die durch Offnungsfehler eingefiihrt werden, konnen aus der sphMschen Ltingsabweichung berechnet werden. Nach Abb. 4.185 hat die Tangente an die Wellenflache im Punkt Pi die Steigung dr’ (4.363) tan(90”-?) = Cot&‘ = J . dg Weiter gilt AS‘ + p’ - g (4.364) cot 2 = r; Aus den Gleichungen (4.363) und (4.364) folgt
,dr’ As’ = r J-(p’-g). dg
Diesen Ausdruck schreiben wir in der Form AS‘ =
--[r,’2+(p’-g)2]. 1 d 2 dg
(4.365)
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
339
Der Abb. 4.185 ist zu entnehmen, daR
(4.366) ist. Einsetzen von G1. (4.366) in G1. (4.365) ergibt AS' = -I d ( p/ + I + 2 dg
71 .
(4.367)
Durch Differenzieren erhalten wir
As' = ( p ' + l + y ) ( $ + $ ) . Es gilt
also dl AS' = p -+b'. dg
(4.368)
Integration iiber dg fiihrt auf I
8
8
IAs'dg = p'jdl+b'Jdg 0
0
0
bzw.
(4.369) Statt der sphtirischen Lghgsabweichung kann auch die sphtirische Querabweichung eingesetzt '. G1. (4.342) und G1. (4.363) folgt aus G1. (4.369) werden. Mit As' = Ay'. cot 6
(4.370)
iibergang zur reduzierten Koordinate gibt 1 =
c' = (/pi
'; u'j Ay'd<'-~~'2b'$2. 2
und Anwenden der Niiherung u' = pi /p' er-
(4.371)
0
Diese Gleichung lU3t sich umkehren in
Allgemein gilt fiir die Wellenaberration im Gaul3schen Bildpunkt bei aaeraxialen Objekt-
4 Abbildende optische Funktionselemente
340
punkten(b‘=O, 1 = l 0 ; vgl. etwa [19]) (4.372a) (4.372b) Die GroRe q’, ist der Zentriwinkel in der Austrittspupillenebene. Multiplikation der G1. (4.372~1)mit sin q’,, der G1. (4.372b) mit cos (p;, Addition beider Gleichungen und Integration uber dc‘ fiihrt auf -, ro
1, = u’j(Ax’ sincp’, + Ay‘coscp’,)dT;.
(4.373)
0 ’
I
Wenn der Aufpunkt um Ax; = xA - xo, Ayi = yk - y ; , b’ aus dem GauBschen Bildpunkt heraus verschoben wird ( x i , y: , 6’ Koordinaten des Aufpunktes), dann sind anstelle von Ax’, A y’ die GroBen Ax’ -Ax;, Ayf - A y i einzusetzen. Da Ax: und Ay; unabhjingig von G’ sind, erhiilt man
+ Ayi coscpi). (4.374) 2 Die Berechnung der Wellenaberrationen fir ein konkretes optisches System setzt die Strahldurchrechnung voraus. Die Wellenaberrationen ergeben sich nach einem der folgenden Verfahren: 1. Die Wellenflachen, die von einem Objekt ausgehen, stellen Flachen konstanter Phase dar. Der Lichtweg vom Objektpunkt bis zu jedem Punkt einer Wellentlache ist also konstant. Daraus ergibt sich, da13 die Wellenflache punktweise ermittelt werden kann. Dazu ist die Differenz zu bilden aus - der optischen Wegliinge der konkreten Lichtstrahlen bis zur Bezugskugel um den Aufpunkt und - der optischen Wegliinge des Bezugsstrahls bis zur Bezugskugel. Als Bezugsstrahl dient bei der Abbildung von Achsenpunkten die optische Achse, bei der Abbildung au13eraxialer Punkte z. B. der Hauptstrahl. 2. Aus der Strahldurchrechnung werden die Querabweichungen bestimmt. Die Wellenaberrationen l o folgen aus G1. (4.373). Die Integration mu13 im allgemeinen numerisch ausgefiihrt werden. 3. Die Wellenaberrationen und die Querabweichungen werden zweckmUig durch Polynome dargestellt, die in der Austrittspupille orthogonal sind. In reduzierten Koordinaten bedeutet dies orthogonal im Einheitskreis. Besonders geeignet sind die Zernike-Polynome. Fiir die Wellenaberrationen lautet die Polynomdarstellung 1 = l o - 1u‘2b’$’2- u’G’( Ax; sinq;
(4.375) n=l m=O
mit n L m , n - m gerade; E,, = &/2 fiir m = 0, n # 0; E,, = 1 fiir m # 0. Die Radialpolynome der Zernike-Entwicklung fiir die niedrigen Kombinationen der Indizes n und m sind in
4.4WellenoDtisch abbildende Funktionselemente
34 1
Tab. 4.28 enthalten. Aus den berechneten Querabweichungen, den Gleichungen (4.372a, b) und G1. (4.374) folgen die Wellenaberrationen ebenfalls. Weitere Hinweise sind [ 191 zu entnehmen. Tabelle 4.28 Radialplynome der Zernike-Entwicklung m
\“I
O
0
1
1
2
4 ~
1
<’
25’2 - 1
67p’4-6<’* +1 37;’ - 2<’
5’2
2
3 4
3
45)4 - 35’2 q’3
1
4.4.4
hnktbildfunktion. Defnitionshelligkeit
Punktbildfunktion. In 4.4.1 bis 4.4.3 wurde die Abbildung eines Objektpunktes durch ein optisches System mit dem Wellenmodell des Lichtes untersucht. Die Beugung des Lichtes bewirkt, daS auch aaerhalb des geometrisch-optischen Strahlenbundels Licht vorhanden ist. Die normierte Intensit&sverteilung im Bildraum wird durch die Punktbildfunktion beschrieben (fiir ein beugungsbegrenztes optisches System in Abb. 4.180 enthalten). Es gilt:
I
Die Punktbildfunktion ist die auf die Intensitat im GauBschen Bildpunkt normierte Intensitlit im Bildraum eines optischen Systems.
Im allgemeinen interessiert die Intensitatsverteilung in einer achssenkrechten Ebene. Deshalb wird manchmal unter der Punktbildfunktion die Intensitatsverteilung in der Auffangebene verstanden. Damit ist die bisher verwendete normierte Intensitlit identisch mit der Punktbildfunktion, die wir mit G(r’) bzw. G(x’,y’) bezeichnen wollen. Ein aberrationskeies optisches System, fiir das die in 4.4.1 formulierten Niiherungen gelten, erzeugt bei der Abbildung eines Achsenpunktes in der GauBschen Bildebene die Punktbildfunktion
G(r’) =
(4.376a)
In kartesischen Koordinaten gilt
(4.376b)
342
4 Abbildende optische Funktionselemente
Etwas allgerneiner l a t sich die Punktbildfunktion mit der rnathernatischen Fassung des Huygensschen Prinzips, wie sie in 2.6.4 fiir die ebene Struktur angegeben wurde, berechnen. Die Austrittspupille wird dabei als eine beugende Struktur betrachtet, in der irn allgerneinen der Betrag und die Phase der Lichtwelle veriindert werden. Die Phaseniinderung kaM durch Wellenabemationen hervorgerufen sein. Nach G1. (2.308) gilt fur die komplexe Amplitude bei der Beugung an einer ebenen Struktur 2rrj
--[{(a,-a)+ v ( P a - ~ ]
jjAf(t,v).e A
a =
(4.377)
d5dq.
SrrukNr
Die Richtungskosinus rechnen wir in d e Koordinaten der Bildebene urn (vgl. 2.6.2): ”
a,-a
xo - x = 9
Po-P
=
Y; - Y‘ 7 .
P‘ Die Koordinaten 5 , q in der Austrittspupille ersetzen wir durch x i und y i . Weiter m e n wir reduzierte Koordinaten mittels (4.378a, b) (4.379a. b) ein. Die Strukturfunktion Af(5.q) nennen wir hier Pupillenfunktion und bezeichnen sie mit P ( Ti, 7; ) . Fur diese gilt P(?;,y;,i) = A (Ti, yi ) . e
2Kj -~ I w;,j$)
lo
innerhalb der Pupille , aul3erhalb der Pupille .
(4.380)
Insgesamt 1Ut sich G1. (4.377) urnschreiben in (4.381) -ca
(Formal kann iiber die gesamte Austrittspupillenebene integriert werden, weil amerhalb der OfTnung P = 0 ist; die Konstante C brauchen wir nicht explizit aufiuschreiben.) Die Punktbildfunktion, die durch *
aa’
G(Y’,y’) = -
%d
definiert ist, ergibt sich zu
(4.382)
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
343
Daraus folgt:
I
Die Punktbildfunktion ist das Absolutquadrat der nonnierten Fourier-Transfonnierten der Pupillenfunktion.
Die Berechnung der Punktbildfunktion setzt die Kenntnis der Pupillenfunktion nach G1. (4.380) voraus. Es mussen also die Amplitudenverteilung und die Wellenabenationen in der Austrittspupille vorgegeben sein. Abb. 4.186 enthat eine Punktbildfunktion fiir ein Fotoobjektiv.
Abb. 4.186 Punktbildfunktion eines Fotoobjektivs
Definitionshelligkeit. Die Punktbildfunktion erfal3t die hderung der Intensitat im Aufpunkt, die durch die Wellenaberrationen und die Beugung eintritt. Der EinfluS der Beugung l a t sich nicht vermeiden, so dal3 zur Bewertung der Bildgute nur die Abwandlung der Punktbildfunktion durch die Wellenabenationen interessiert. Man fiihrt deshalb das Gutekritierium Definitionshelligkeit ein.
I
Die Definitionshelligkeit stellt die nonnierte Intensittit im Bildraum eines optischen Systems dar. Nonniert wird auf die Intensittit, die eine Kugelwelle im Aufpunkt erzeugen wiirde.
Eine gleichwertige Definition ist:
I
Die Definitionshelligkeit ist das VerMtnis aus der Punktbildfunktion der konkreten Welle G und der Punlctbildfunktion der im gleichen Punkt konvergierenden Kugelwelle Go.(Beide Punktbildfunktionen mussen wie in G1. (4.382) auf den Betrag im GauSschen Bildpunkt nonniert werden.)
Es gilt also V =
G (Z’, F’) Go(Z’,Y’)’
(4.383)
344
4 Abbildende optische Funktionselemente
Wird h e h d e r u n g der Wellenaberration beim Verschieben des Aufpunktes aus dem G a d schen Bildpunkt heraus gems GI. (4.374) in der Wellenaberration erfaljt, dann wird in G1. (4.382) die Exponentialfunktiongleich 1. Es gilt
G(T’,y’) =
(4.384a)
und 2
r’
Go (T’, ) =
(4.384b) -m
Es ist bei konstanter Amplitudentransparenz der Austrittspupille ( A o= const) und innerhalb der Austrittspupille (au8erhalb der Austrittspupille sind alle P = 0, so dal3 nicht mehr von -m bis m integriert werden darf) (4.385) Die Definitionshelligkeit folgt aus
(4.386)
In reduzierten Zylinderkoordinaten wird das NeMerintegral gleich TI,und es gilt (4.387) Das 12Bt sich umformen in (4.388) Die Integrale mussen im allgemeinen numerisch berechnet werden. Eine geschlossene Losung ist fiir reine Defokussierung moglich. Mit 1 aus G1. (4.370) bei Ay’ = 0 ergibt sich das Integral der G1. (4.346). Faktoren kiirzen sich bei der Normierung, so dal3 in G1. (4.350) i = V ist. Die Definitionshelligkeit wird bei Defokussierung durch eine sinc-Funktion beschrieben. Abb. 4.187 enthat die Definitionshelligkeitl h g s der optischen Achse eines Fotoobjektivs, Abb. 4.188 die fiir zwei Mikroobjektive.
4.4Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
345
t” 45
t ,-“
k=8
a = w , 6 nrn I
.-c
=-
I
En twicklung der Wellenaberrationen. Fiir kleine Wellenaberrationen kann die Reihenentwicklung
mit dem quadratischen Glied abgebrochen werden. Aus G1. (4.387) folgt dam
(4.389) Darin sind die Mittelwerte von 1 bzw. Z2 iiber die Pupille enthalten: (4.390a, b) Ausrechnen von G1. (4.389) ergibt 2
v
[(P}-(L)Z].
= 1-(?)
(4.391)
Die GroBe (I2) - (1)’ = ((I - (I))’) = A stellt die mittlere quadratische Deformation der Wellenflache dar. Es ist
v
2
= 1-(?)
A.
(4.392)
Es gilt also:
I
Bei kleinen Wellenaberrationen hiingt die Definitionshelligkeit nur von der mittleren quadratischen Deformation der Wellenflache ab.
Die Definitionshelligkeitstellt ein Gutekriterium dar, mit dem aus der Gutefunktion Punktbildfunktion GutezaNen abgeleitet werden klinnen. AuRerdem ist in bestimmten Anwendun-
346
4 Abbildende ovtische Funktionselemente
gen die Ebene maximaler Definitionshelligkeit als “beste Auffangebene” anzusehen. Das Gutekriterium Definitionshelligkeit stellt auch die Grundlage fiir die Bewertung optischer Systeme bei einigen Verfahren zur Synthese optischer Systeme dar (“automatische Korrektionsverfahren” bzw. Optimierungsverfahren; vgl. etwa [ZO]). Bei diesen Verfahren wird aus rechentechnischen Griinden h e mittlere quadratische Deformation der Wellenflache als Gutekriterium zugrunde gelegt. Bei der Entwicklung der Wellenaberrationen nich ZernikePolynomen nach GI. (4.375) lassen sich die Mittelwerte analytmh berechnen. Die Definitionshelligkeit in der N&erung fiir kleine Wellenaberrationen lautet dam (4.393) Linienbildfunktion. Wir bilden eine Linie ab, fiir die folgende Voraussetzungen erftillt sein sollen: - Die Linie liegt in einer achssenkrechten Objektebene. - Die einzelnen Punkte der Linie strahlen inkohaent zueinander. - Die Punktbildfunktion ist fiir alle h n k t e der Linie gleich. (Die Bereiche der Objektebene, fiir die diese Forderung mit ausreichender Genauigkeit gilt, heil3en Isoplanasiegebiete.) - Die Leuchtdichten in zueinander konjugierten Flachenelementen sind proportional. Fur eine parallel zum Meridionalschnitt bei x,!, liegende Linie berechnet sich die unnormierte Linienbildfunktion L, aus der Punktbildfunktion mittels (Abb. 4.189) (4.394) (Die Integrationsgrenzen sind zul&sig, wenn G schnell genug abnimmt.) Wir fiihren die reduzierten Koordinaten ein und erhalten (4.395) Die Linienbildfunktion normieren wir so, daL3 L(0) = 1
(4.396)
wird. Wegen (4.397)
u x; x ’
Abb. 4.189 Zur Berechnung der Linienbildfunktion
4.4 WellenoDtisch abbildende Funktionselemente
347
ergibt sich fiir (4.398)
L(X’) =
der Ausdruck (4.399)
L(X’)=
I
Die normierte Intensitat im Bild einer inkohaent strahlenden Linie heiDt Linienbildfunktion.
Wir ktjnnen die Koordinaten im Bild so mit dem AbbildungsmaRstab normieren, daR x: = x und y; = y wird. Die Bildleuchtdichte im Luftbild des paraxialen Bildortes B’(xi) ist dann gleich der Objektleuchtdichte B ( x ) . Die Linienbildfunktionkann auch durch (4.400,4.401) definiert werden. Fiir ein beugungsbegrenztes optisches System, fiir das die in 4.4.1 fonnulierten Nmerungen gelten, folgt die Linienbildfunktion einer in der Umgebung der optischen Achse liegenden Linie aus
(4.402)
--
L
Diese Funktion ist in Abb. 4.190 grafisch dargestellt. Abb. 4.191 enthslt Linienbildfunktionen fiir ein Fotoobjektiv.
I
1-
Blendenzahl16 Rechenwerte
I
I
1
I
348
4 Abbildende optische Funktionselemente
Abb. 4.191 Linienbildfunktion fur ein reales Fotoobjektiv
Die Leuchtdichte im Bild einer eindimensionalen Struktur, die innerhalb des isoplanatischen Gebietes liegt, la;13t sich als Uberlagemng von parallel zueinander verschobenen Linienbildfunktionen auffassen. Eine Objektlinie der Breite dx = dxh erzeugt am Ort x’ der Bildebene die Leuchtdichte im Lufibild (Abb. 4.192) dB’(x’) = C.L(X’)B(x;)dxA.
(4.403)
Der Faktor C hat den Betrag 1 und die Dimension (L%nge)-’. Die gesamte Leuchtdichteverteilung folgt daraus zu m
L(X’)B(x;)dx,!,.
B’(x’) = C
(4.404)
-m
Die Integrationsgrenzen sind zulksig, wenn L (X’) innerhalb eines Isoplanasiegebietes schnell genug abnirnmt. Wegen G1. (4.378a) ist B(xi)L(x’-x,!,)dxi.
B’(x’) = C
(4.405)
-ca
Abb. 4.192 Zur Leuchtdichte im Bild eines eindimensionalen Objekts
349
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
Die Beleuchtungssttirke in der Bildebene betragt (4.406)
Die Konstante C, h a g t im wesentlichen von der Geometrie des optischen Systems ab. Daraus folgt: Die Beleuchtungsstiirke ergibt sich bis auf einen konstanten Faktor durch die Faltung der Objektleuchtdichtemit der Linienbildfunktion.
I
Relative Gipfelhohe. Analog zur Ableitung der Definitionshelligkeit aus dem Maximalwert der Punktbildfunktion 1Mt sich aus der Linienbildfunktion die relative Gipfelhohe gewinnen.
Die relative Gipfelhohe W ist der normierte Maximalwert der Linienbildfunktion.
I
Es gilt also
Beachten wir die Normierungsbedingung G1. (4.396), dann ist die relative Gipfelhohe der Maximalwert der normierten LinienbildfUnktion. Die relative Gipfelhohe ist ein Gutekriterium fiir optische Systeme. Die damit aus der Gutefunktion “Linienbildfunktion”berechneten Zahlenwerte stellen Kennzahlen fiir die Bildgute, also Gutezahlen dar. Abb. 4.193 zeigt die relative Gipfelhohe fiir ein Fotoobjektiv.
relative Gipfelhohe Modulationsuberlmgungswert fur A-30rnm-I
I 0
I
I
I
5
10
15
k
Abb. 4.193 Relative Gipfelhlihe fiir ein konkretes Fotoobjektiv als Funktion der Blendenzahl
(die Bedeutung der weiteren Kurven wird in 4.4.5 erlautert)
350
4.4.5
4 Abbildende optische Funktionselemente
Modulationsubertragungsfunktion
Wir beschriinken unsere Uberlegungen auf eindmensionale Objektstmkturen, weil daftir die Gleichungen kiirzer werden. Die optische Abbildung sol1 dieselben Forderungen erfiillen, die fiir die Definition der Linienbildfunktion notwendig sind. Die Leuchtdichte im Objekt 1B;Bt sich als Uberlagerung von sinusfonnigen Leuchtdichteverteilungen eines bestimmten Ortsfrequenzintervalls darstellen.
I
Die Ortsfrequenz R ist der Kehrwert der Periodenliinge einer raumlichen Sinusverteilung, also die Anzahl der Perioden je L h g e (Abb. 4.194).
5,
Da die Leuchtdichte im allgemeinen eine nichtperiodische Funktion des Ortes ist, mu8 sie als Fourier-Integral dargestellt werden: b(R) = C
j B(~).e-~"J~~dx.
(4.407)
-m
B(x) ist nur irn isoplanatischen Gebiet ungleich 0 anzunehmen. Wegen der Normierung der Koordinaten, wie sie fiir G1. (4.400) und G1. (4.401) vorausgesetzt wurde, ist n = nh zu setzen. Die Leuchtdichteverteilung in der GauDschen Bildebene ist ebenfalls als Fourier-Integral (4.408) (4.408) mittels der Fourier-Transformation lauten (4.409)
(4.410)
Die Leuchtdichten nach GI. (4.409) und G1. (4.410) setzen wir in GI. (4.404) ein:
b'(R).ezxjux'dR=
C
rj &R). e2"jRxAL(T')dRdxi.
Wir formen die Exponentialfunktion im Integranden des rechts stehenden Integrals um, eZujRr&
=
e-2Kj(x'-x&)R,
eZrjx'R
(4.411)
4.4Wellenontisch abbildende Funktionselemente
35 1
und erhalten
Das Integral
c
, r ( ~ ’ ) .e-2rj(x’-4)R
(4.413)
dx;
-_
ist wegen X’ = (x’- d)p’,/(Ap’) die Fourier-Transfomierte geht damit iiber in Gleichung (4.412)
L(R)
der Linienbildfunktion.
-
B(R). elUjRx’dR= jB(R)L(R). elKjRx’dR.
(4.414)
In beiden Integralen wird iiber den gleichen Integrationsbereich integriert, so daO die Integranden gleich sein miissen. Es ist also E’(R) = b(R)L(R).
(4.415)
Das heifit:
I
Die Fourier-Transformierte der Bildleuchtdichte ergibt sich als Produkt aus den Fourier-Transformieften der Objektleuchtdichte und der Linienbildfunktion.
Wir m e n wieder reduzierte Koordinaten ein und erhalten aus G1. (4.413)
(4.416) Es ist demnach zweckmiiBig, auch reduzierte Ortsfrequenzen zu verwenden, indem
(4.417) gesetzt wird. Mit den Nilherungen pi / p ’ = u’ und p‘/pi = f ’/pp = 2k (kBlendenzahl) kann dafUrauch(bei n’=l,p’=l)
-R = aT R ,
R = 2AkR,
U
x = -AAR
(4.418)
geschrieben werden. Damit ergibt sich
(4.419) Fiir
= 0 ist
L(0) =
AP’7 C L(ST’)dx’.
PP
-m
(4.420)
4 Abbildende optische Funktionselemente
352
Wir definieren d e nonnierte optische Ubertragungsfunktion durch
(4.421)
Es ist also D ( 0 )= 1. Setzen wir L ( 0 ) = Do,
(4.422)
L(R)= Do D(R),und nach GI. (4.415)ist i ' ( K ) = i ( R )Do D ( R ) .
(4.423)
d a m gilt
Die optische Ubertragungsfunktion ist die Fourier-Transfonnierte der normierten Linienbildfunktion. Bei inkohiirenter Beleuchtung wird die Leuchtdichte linear iibertragen. Die optische Ubertragungsfunktion ist im allgemeinen komplex. Deshalb kann sie in die Form
D(R)=
~(R).ej@(p)
(4.424)
gebracht werden. Die reelle Funktion T ( R ) heil3t Modulationsiibertragungsfnktion (MW);die reelle Funktion O ( R )heiBt Phaseniibertragungsfuunktion (P-). (Engl.: modulation transfer function, MTF; phase transfer function, PTF.)
Abbildung periodischer Objektstrukturen. Periodische Objektstrukturen werden beschrieben, indem die Leuchtdichten als Fourier-Keihen dargestellt werden. Dieselbe Aussage gilt fiir die Bildleuchtdichten, so d& ( x = x ; )
(4.425) (4.426) gilt. Einsetzen von G1. (4.425)und GI. (4.426)in GI. (4.404)ergibt (Faltung der Objektleuchtdichte mit der Linienbildfunktion)
(4.427) oder
(4.428)
353
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
Das Integral stellt nach G1. (4.413) und G1. (4.421)die mit Do multiplizierte optische Ubertragungsfunktion dar. Es ist also
c
B:eznjnRx’ = Do
BneZUjnRx’D(nR).
(4.429)
Koeffizientenvergleich ergibt BL = DoBnD(nR),
also
(4.430)
2
B’(x’) = ~ B n D , D ( n R ) ~ e z U j n=R x ‘ BnT(nR)Do.ej[2rnRx’+ Q ( n R ) ]
(4.431)
Sinusgitter. Ein Sinusgitter beschreiben wir durch (Abb. 4.195)
B ( x ; ) = A,
+ A,COS (2xRx;)
(4.432)
bzw. = A 0 +lAl(ez”jRX; + e-2xjRxA).
(4.433)
Daraus folgt durch Vergleich mit G1. (4.425) A, = B,,
Bl = -LAl, B-, = L A 2 2 l.
(4.434)
Fiir die Bildleuchtdichte gilt nach G1. (4.431)mit O(0)= 0
B’( x’) = Do{BoT ( 0 )+ B, T(R)e j[ZxRx’+ Q(R)] + B-, T(-R)e -j[ZxRx’-
B(-R)]
(4.435)
Es ist T ( 0 ) = 1, T(-R) = T(R), O(-R) = -@(It),
(4.436)
B’(x‘) = Do{&, +A,T(K)~cos[2xRx’+ @(It)]}.
(4.437)
also
Das im Objekt bei x i = 0 liegende Maximum ist im Bild um t
XQ
@(R) =2xR
Brtlich phasenverschoben (Abb. 4.195). ObjeM
Abb. 4.195 Objekt- und Bildleuchtdichte fiir ein Sinusgitter
(4.438)
354
4 Abbildende optische Funktionselemente
Der Objektkontrast betragt wegen BMax= A,
+ A, und BMin= A,
-A,
(4.439) Der Bildkontrast betragt wegen (A, = B, beachten) (4.440)
= D , [ A , + A , T ( K ) ] und Bhin = D,[A, - A , T ( R ) ]
nun K’ = -A, T(R).
(4.441)
A0
Es gilt also
(4.442) T ( R ) = -.K’ K Damit ist eine anschauliche Deutung der optischen Ubertragungsfunktion gefunden worden. Die Modulationsubertragungsfunktion gibt bei der Abbildung eines Sinusgitters das Verhdtnis aus Bild- und Objektkontrast als Funktion der Ortsfrequenz an. Die Phasenubertragungsfnktionbeschreibt die ortliche Phasenverschiebung zwischen Bild- und Objektgitter als Funktion der Ortsfrequenz. 1
r
-
100
50 R in mm-’
Abb. 4.196a Modulationsiibertragungsfunktionenfiir ein Fotoobjektiv
0
10
20
30
LO 50
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
LO 5 0
R’in mrn-l-
Abb. 4.196b Modulationsiibertragungsfunktionen des Flektogon 2,8/20 bei voller Blendenoffnung, tangentiale Linien, - - - - radiale Linien) Objektweite unendlich (-
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
355
Die optische Ubertragungsfunktion ist eine Gutefunktion, mit der die Abbildungsleistung optischer Systeme bewertet werden kann. So ist z.B. daraus mit dem Gutekriterium “Fliiche unter der Modulationsubertragungsfunktion bis zu einer vorgegebenen Ortsfrequenz” eine Giitezahl abzuleiten. Auch das in 4.4.4 behandelte Gutekriterium “relative Gipfelhohe” 1 s t sich durch die optische Ubertragungsfunktion ausdriicken. Ohne Beweis sei angegeben, dal3 die relative Gipfelhohe fiir die Abbildung von Achsenpunkten auch aus
W =
3
--
D(R)dR
(4.443)
berechnet werden kann. Abb. 4.196a enthsilt Modulationsubertragungsfunktionen fiir ein konkretes Fotoobjektiv; Abb. 4.193 zeigt den Verlauf des Kontrastes in Abhiingigkeit von der Blendenzahl fiir die Ortsfrequenz R’ = 30 mm-1 . Der Abb. 4.196b ist der Verlauf der Modulationsiibertragungsfunktionenfiir ein Fotoobjektiv Flektogon 2,8/20 bei drei Bildhohen zu entnehmen. Legt man die Ortsfrequenz R’ = 30 mm-’ zugrunde, dann werden Sinusgitter auf der Achse mit dem Kontrast T(30) = 0,69 (ca. 92 76 des Kontrastes bei reiner Beugung), bei y’ = 17,7 mm mit den Kontrasten (30) = 0,28 (radiale Gitter) bzw. T,(30) = 0,36 (tangentiale Gitter) abgebildet. Beim Flektogon entsprechen R’ = 30 mm-I etwa 17 mm Gitterkonstantein 10 m Entfernung. Die Modulationsiibertragungsfunktionauf der Achse eines beugungsbegrenzten optischen Systems ist in Abb. 4.198 enthalten.
Duffieux-Integral. Nach einern Satz uber Faltungsintegrale gilt fiir zwei Funktionen g(X’) und f(Ti), die durch die Fourier-Transformation verknupft sind,
(4.444) Die entsprechende Beziehung ist auch bei Funktionen, die von zwei Variablen abhiingen, anwendbar. Nach G1. (4.381) sind die komplexe Amplitude a(T’,v’) und die Pupillenfunlction P(Ti,j$) Fourier-Transformierte. Es ist also
--
-w
(4.445) oder wegen G1. (4.382) unter vorlaufiger Vernachlksigung der Normierung
-
j j G(z’,y’), -04
w
e-?.Kj(f’p
+-’E)d-! 7 x dy -t = j j P ( s , j $ ) P*(Xi -Ex,j$ -Ey)dXid$. -w
(4.446) So, wie im eindimensionalen Fall die optische hertragungsfunlction als Fourier-Transformierte der Linienbildfunktion auftritt, ist sie im zweidimensionalenFall durch das Integral der linken Seite von G1. (4.446) gegeben. Es gilt also (4.447)
356
4 Abbildende optische Funktionselemente
Der Integrand wird symmetrisch, wenn wir mittels -
q+x;+-,RX
-
j$'y;+T
4
2 neue Variable einfiihren. Die Nonnierung erfordert, dal3 (4.448) wird. Damit ergibt sich (UG Uberdeckungsgebiet)
Der Integrand des Ziihlers ist nur in dem Gebiet von 0 verschieden, in dem sich die zueinander urn Fxbzw. Ey verschobenen Pupillen iiberdecken (Abb. 4.197). -
Abb. 4.197 Integrationsgebiet des Duffieux-Integrals
Bezeichnen wir die Wellenaberrationsdifferenzfunktionmit (4.450) und setzen wir in der Pupillenfunktion (innerhalb der Pupille)P($,j$,l) den Betrag der Amplitude A als konstant an, dann gilt
= A(Zi,j$).
e-2nj'/A
(4.45 1) AP
Fiir ein aberrationsfreies optisches System mit A1 = 0 folgt also die optische Uberuagungsfunlcrion aus der Flache des Kreiszweiecks, das das Uberdeckungsgebiet der Pupillen bildet.
357
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
Ausrechnen der Flache fiir die eindimensionale Verschiebung ergibt die beugungsbedingte optische ijbertragungsfunktion r
"dl-(n'1. -I
D(R) = 21 arccos R -2
?T
(4.452)
2
L
J
Betrachten wir die Verschiebung der Pupillen in einer Koordinatenrichtung, dann ergibt sich die maximal ubertragbare Ortsfrequenz, die Grenzfrequenz R,, aus der maximal moglichen Verschiebung R, = (2QMax. (4.453) Wegen TiMan= 1 gilt R = 2P' * aP
x, = 2. Mit E, nach G1. (4.417) bzw. G1. (4.418) folgt daraus 2 ut oder R, = 1 bzw. R, = -
a
Ak'
(4.454)
Bei einem beugungsbegrenzten Fotoobjektiv ist also das Auflosungsvermogen fiir T ( R )= 0 (4.455) Fiir T ( R )= 0,l ist die auflosbare Ortsfrequenz bei einem konkreten Fotoobjektiv als Funktion der Blendenzahl in Abb. 4.193 eingetragen.
4.4.6
Inkoharente Ortsfrequenzfilterung
Wir setzen die inkohiirente Abbildung des Objekts und ein optisches System mit einer einstufigen Abbildung voraus. Das optische System erzeugt in der Austrittspupille eine Verteilung der komplexen Amplitude, die durch die Pupillenfunktion G1. (4.380) beschrieben wird. Die begrenzte numerische Apertur. die sich im endlichen Durchmesser der Austrittspupille ausdriickt, stellt einen Eingriff in die bildseitige Lichtwelle dar. Bei einem beugungsbegrenzten optischen System mit vollig durchlbsiger Austrittspupille ist die Wellenaberration I identisch 0 und der Betrag der Amplitude A konstant, so daD der Eingriff nur aderhalb der Austrittspupille vorliegt. Dadurch wird das Auflosungsvermogen festgelegt. In der Sprechweise der brtragungtheorie konnen wir das auch so ausdriicken, daR der Eingriff in der Pupillenebene das ubertragene Ortsfrequenzspektrum begrenzt. Die oberhalb der Grenzfrequenz R, liegenden Ortsfrequenzen werden durch den Eingriff herausgefiltert (Abb. 4.198). In Abb. 4.198 wird angenommen, dal3 der erforderliche Mindestkontrast K' = 0,l betrlgt.
4 Abbildende optische Funktionselemente
358
Abbildungsfehler konnen Wellenaberrationen I ( Ti, Ji) mit sich bringen, die eine zusatzliche Frequenzfilterung bewirken. Die Wellenaberrationen setzen im allgemeinen die Grenzfrequenz herab und hdern die Ubemagungswerte der iibertragenen Ortsfrequenzen (Abb. 4.199).
‘t
Abb. 4.199 Ortsfrequenzfilterungdurch Beugung und Abbildungsfehler
Es muR nun allgemein moglich sein, das ubertragene Ortsfrequenzspekmm und damit das Bild mittels eines Eingriffs in der Pupillenebene zu beeidussen. Daftk gilt:
I
Ortsfrequenzfilterung stellt einen Eingriff in die Lichtwelle dar, der die Pupillenfunktion so abwandelt, da13 das ubertragene Ortfrequenzspektxum verhdert wird. Durch die Ortsfrequenzfilterung konnen Objekteigenschaften im Bild unterdriickt, abgeschwacht oder hervorgehoben werden.
In den Gleichungen, die die Pupillenfunktion enthalten, wird der Einf3ul3 eines Ortsfrequenzfilters erfdt, wenn der ijbergang
p(%i7; ) v
p(yi
9
7;
PI (Ti * 7; )
(4.45 6)
vorgenommen wird. Darin ist PF(Ti,?;) die Filterfunktion. Wir erlautern noch einige konkrete Beispiele. Ringormige Pupille. Eine Zentralabschattung in der Austrittspupille, wie sie z. B. bei Spiegelsystemen vorkommen kann,fiihrt auf die Pupillenfunktion (Abb. 4.200) 0 innerhalb -’ -’ pF ( x p yp = des Abschattungsgebietes. 1 auDerhalb I
1
Abb. 4.200
Zentralabschattung
4.4 Wellenovtisch abbildende Funktionselemente
359
Die gesamte Pupillenfunktion lautet: 0 1 0
innerhalb des Abschattungsgebietes , im ringformigen DurchlLsigkeitsgebiet , aderhalb der Austrittspupille .
Die Punktbildfunktion eines beugungsbegrenzten optischen Systems nach G1. (4.376) wird abgewandelt. Sie laOt sich aus G1. (4.382) berechnen, indem die neue Pupillenfunktion eingesetzt wird. Das Ausrechnen des Integrals (4.382)ergibt
(4.457)
mit
(4.458)
Der Radius der ersten Nullstelle von G(r') ist kleiner als im abschattungsfreien Fall (Abb. 4.201; hier wurde pp, = 2pp2angenommen, wobei fiir die erste Nullstelle r'/ f' = A/(2pP,) gilt).
GI
Abb. 4.201
Punktbildfunktion bei Zentralabschattung (gestrichelt)
Der Eingriff "Zentralabschattung" verbessert das Auflosungsvermbgen. Dafiir wird der Kontrast bei mittleren Ortsfrequenzen herabgesetzt (Abb. 4.202). Schmidt-Platte. Die Schmidt-Platte wird bei Femrohren mit sphiirischem Hauptspiegel verwendet, um den Offnungsfehler zu kompensieren. Sie stellt eine Glasplatte mit sphiirischer Oberflliche dar (Abb. 4.203). Im geometrisch-optischen Modell bricht die Schmidt-Platte das Licht so, da6 die Schnittweite der inneren Strahlen verkiirzt, die der aderen Strahlen verliingen wird.
360
4 Abbildende optische Funktionselemente
ohne
‘o
/ Zentrulobschuttuna
Abb. 4.202 Modulationsiibertragungsfunktion bei Zentralabschattung
k
Wellenoberrution
Abb. 4.203 Schmidt-Platte als Phasenfilter
-1
0
I x
Abb. 4.204 Apodisationsfilter mit gauBfoxmiger Filterfunktion
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
36 1
Im wellenoptischen Modell ist die Schmidt-Platte als ein Ortsfrequenzfilter aufzufassen, der die Phase des Lichtes infolge unterschiedlicher optischer Lichtwege als Funktion des Ra&us in der Austrittspupille iindert. Die ijbertragungswerte werden so angehoben, daO nahezu die beugungsbegrenzte Modulationsubertragungsfunktionentsteht. Apodisation. Mit einem Frequenzfilter, der den Betrag der komplexen Amplitude radial in der Austrittspupille iindert, lassen sich die Nebenmaxima der Punktbildfunktion ebenfalls beeinflussen. Ausgezeichnet sind gaul3formige Filterfunktionen (Abb. 4.204) F(X -# p , Y - pt )
(--’r, -
-
Aoe-m(+i)2
, OS<’11
(4.459)
$/& ; u’ halber bildseitiger Offnungswinkel). Fiir mu”
= 4 verschwinden die Nebenmaxima der Punktbildfunktion (Abb. 4.205a). Davon kommt der Begriff “Awsation”, der “FuRlosigkeit” bedeutet. Damit kann der Kontrast im Bereich mittlerer Ortsfrequenzen geringfiigig angehoben werden (Abb. 4.205b).
Abb. 4.205 Punktbildfunlction (a) und Modulationsubertragungsfunktion(b) bei Apodisation
TiefpaWWer. Ein Filter, der eine groRere Anzahl kleiner Bereiche enthdt, die einen optischen Wegunterschied von d/2 hervorrufen, wirkt als TiefpaI3 (Abb. 4.206a); die niedrigen Ortsfrequenzen werden hindurchgelassen,die hohen Ortsfrequenzen werden unterdriickt (Abb. 4.206b). Mit einem TiefpaBfilter gelingt es, z. B. bei der Reproduktion einer gerasterten Fotografie, die Rasterung zu unterdriicken (Abb. 4.207).
Bereiche
rnitN.2 optischem Wegunterscttied
Abb. 4.206 a) TiefpaS, b) Wirkung des Tiefpasses auf die Modulationsubertragungsfunlction
4 Abbildende oDtische Funktionselemente
362
Abb. 4.207 Reproduktion eines gedruckten Bildes a) ohne, b) mit TiefpaDfiiter
4.4.7
Zonenplatte
Die Zonenplatte stellt ein abbildendes optisches Funktionselement dar, das ausschlieRlich auf der Fresnelschen Beugung beruht. Wir gehen zunachst von einer kreisformigen Offnung aus, die durch eine punktformige Quelle beleuchtet wird (Abb. 4.208). An der Offnung wird das Licht gebeugt. Das von der Quelle A aus iiber den Punkt P zu einem hinter der Offnung liegenden Achsenpunkt A‘ gebeugte Licht hat gegenuber dem liings der Achse verlaufenden Licht die optische Wegdifferenz A L = -l+l’-(-lo+l;)
= -l+lo+l’-l;.
(4.460)
Nach dem Pythagoreischen Lehrsatz ist 1 = 1,
/T l+y,
1 = lo 1 + 7 .
’
Durch Reihenentwicklung erhalten wir unter der Voraussetzung p2 -e1; und p2 G 1;’ 1-1
1P‘ - --, 0-21,
1 -1,
1P‘ = -2 1;
(4.46 1) a
Nach G1. (4.460) gilt also
Wir setzen 1/CJ -
= l/f’,
P2 AL = 7 2f
SO
da13 (4.462)
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
363
bzw. RP2
(4.463)
A6 = n f '
wird. Die komplexe Amplitude der in A' interferierenden Teilwellen betrjdgt bei angenaert konstantem Amplitudenbetrag uber die Offnung hinweg (-lo +Z; = ro gesetzt) j
a , = - eA
d
T.
(4.464)
r0
Die gesamte komplexe Amplitude erhalten wir durch Integration uber die Offnung: ap = -Aj pm.2x je
Fpdp dq.
(4.465)
0 0
Die Integration uber d q ergibt 271.Zur Integration uber dp fiihren wir die Variable x = - 71P2
(4.466)
J-f'
ein. Dann ist (4.467) (4.468)
Abb. 4.208 Zur Fresnelschen Beugung an einer kreisf6rmigen Offnung
Die Integration ergibt (4.469)
Wir nehmen an, dal3 fiir den Rand der Offnung die optische Wegdifferenz genau ein m-faches von A/2 ist. Nach G1. (4.462)gilt dann p i = ma f'. Wegen -1
( m ungerade )
ist
a =
2Anf'
(rn gerade)
(4.470)
(rn ungerade).
(4.471)
364
4 Abbildende optische Funktionselemente
Die Kreisringe, in denen sich jeweils die optische Wegliinge radial um A/2 iindert, nennen wir Fresnelsche Zonen. Wir erhalten d e fiir zwei feste Punkte A und A' gultige Aussage:
I
Hat die Offnung eine gerade Anzahl an Fresnelschen Zonen, dann ist die Intensitat im Punkt A' gleich 0. Bei einer ungeraden Anzahl an Fresnelschen Zonen hat die Intensitat im Punkt A' ein Maximum.
Wir verifizieren das Ergebnis, indem wir die Integration uber die einzelnen Fresnelschen Zonen erstrecken. Gleichung (4.465) formen wir um in ( p = bedeutet x = k n ) (4.472) Es ist
i
eJXdX
(k-l)K
=
(k gerade)
(4.473a)
(k ungerade >.
(4.473b)
l [ e j k x -ej(k-l)K
I
Daraus folgt (4.474) woraus sich wieder die Aussage der G1. (4.471) ergibt. Fresnel-Zahl. Wir setzen fiir den Radius der Offnung, der nicht gerade ein Vielfaches von A/2 ist,
pm =
JNhJ;.
(4.475)
Die GroBe N heiat Fresnel-ZahL Fiir N < 1 enthiilt die Offnung keine Fresnelsche Zone. Wegen
trim dieser Fall fiir Abstiinde 1; und lo ein, die sehr groR gegenuber dem Radius der Offnung sind. Es liegt dann die Ngiherung der Fraunhoferschen Beugung vor. Fiir N > 1 sind die Absthde 1; und 1, nicht groR gegenuber dem Radius der Offnung. Es
handelt sich um Fresnelsche Beugung. Fiir N P 1, aber 1Z;I % A , ( l o ( A , mu8 der Radius der Offnung so groB sein, daB die geometrisch-optische Ngiherung anwendbar ist. Man kann annehmen, daR dam die FresnelZahl mindestens in der GroRenordnung von 50 liegen m a . (Bei I, = - l ; = 1 0 o O mm, 1 = 500 nm ist pm= 3,5 mm fiir N = 50.) Bei 1 0 1 Zonen ist die Intensitat in den Maxima nur noch 1,2% derjenigen ftir 1 1 Zonen. Bei der Fresnel-Zahl fiir Laserresonatoren g e m a G1. (2.196) wurde beriicksichtigt, daB bei der Brechzahl n = 1 im betrachteten Gebiet die Fresnel-Zahl wegen G1. (4.460) durch n zu dividieren ist.
*
365
4.4 Wellenoptisch abbildendc Funktionselemente
Zonenplatte. Aus G1. (4.474) ist ersichtlich, daD sich die Amplitudenteile benachbarter Zonen gegenseitig aufheben, so daD auch bei einer ungeraden Anzahl an Zonen nur eine kleine Lichtintensitat in A’ vorhanden 1st. Sie ist gerade so gro8, wie sie auch bereits bei einer Offnung auftreten wiirde, die den Durchmesser der innersten Zone hatte. Wir schwkirzen nun jede zweite Zone, um deren Wirkung auf die Amplitude im Punkt A’ aufzuheben. Dadurch betragt die komplexe Amplitude fiir ungerade m a = - (m+ 1) A f ‘A
(4.476)
j ro Die Intensitat ist proportional zu
3
2
m + 1) If’ A uu* = “ ro .
(4.477)
Gegeniiber der Offnung, die vollig transparent ist, ergibt sich mit 19 Zonen die l00fache Intensitiit (4 :400). Die Zonenplatte wirlrt wie eine Lime mit der Brennweite f ’. Diese folgt aus dem Radius pm der Zonenplatte, wenn in der G1. (4.462) (AL),,, = p i / 2 f’= mA/2 gesetzt wird, zu f’ =
mA
( m ungerade).
(4.478)
Damit ist (4.479)
als Abbildungsgleichung anzusehen. Wegen G1. (4.478) hat die Zonenplatte mehrere Brennpunkte und damit auch Bildpunkte. Der Nachteil einer Mehrzahl an Bildpunkten 1 a t sich vermeiden, wenn die Zonenplatte stetig verlaufendes Durchlksigkeitsprofil hat. So erhiilt man ftn (4.480)
nur zwei Bildpunkte (negative up bedeuten einen Phasenfaktor von K). Mit den Integralen TCOSX.ejxdx = 2
(4.48 1)
(k-l)n
wird die komplexe Amplitude a =
mxAAf’ 2ro
(4.482) ’
Bei 19 Zonen erhoht sich die Intensitat gegenuber der “kastenf6nnigen” Zonenplatte ungefaihr urn den Faktor 302:20’ = 2,25. In Abb. 4.209 sind die Konstruktion der Fresnelschen Zonenplatte und die Transparenz der Zonenplatte nach der Funktion cos (np2/df’) grafisch dargestellt. Zonenplatten eignen sich vor allem zur Abbildung im Ultravioletten und im Bereich der RBntgenstrahlen. Neben den Problemen bei der Herstellung, vor allem fiir die kurzwelligen
366
4 Abbildende oDtische Funktionselemente
Spektralbereiche, sind der Farbfehler, die Schwierigkeiten bei der Abbildung ausgedehnter Felder und die geringe Intensitat des gebeugten Lichtes als gegenwiirtige Hinderungsgriinde fiir die umfangreichere Anwendung der Zonenplatten anzusehen.
0
P
Abb. 4.209 Zur Konstrukion der Zonenplatte mit vollig undurchlassigen Kreisringen bzw. rnit der kosinusformigen Transparenzfunktion
4.4.8
Hologramme
Hologramme sind wellenoptisch abbildende Funktionselemente, die aus beugenden Strukturen bestehen. Der Unterschied zu den bisher behandelten beugenden SUukturen, z. B. den Zonenplatten, besteht lediglich darin, dal3 die Amplituden- und Phasenverteilung im Hologramm interferenzoptisch erzeugt und gespeichert wird (experimentelle Hologramme). Die Interferenz kann auch mathematisch modelliert werden. Wesentliche Eigenschaften des Wellenfeldes werden im Hologramm aufgezeichnet (synthetische Hologramme). Den theoretisch einfachsten Fall stellen die holografischen Liniengitter dar, die heute bereits in Geraten verwendet werden. Auf eine ebene lichtempfindliche Schicht treffe eine ebene Welle senkrecht, eine zweite ebene Welle unter dem Winkel h0 auf (Abb. 4.210). Die Phasendifferenz an einer Stelle 5 der Schicht betragt (ao= cos (x,)
A 6 = -55010. 2n
a
(4.483)
4.4 Wellenoptisch abbildendc Funktionselemente
367
Die beiden Wellen sollen kohiirent zueinander sein, sie interferieren also miteinander. Die senkrecht zur Einfallsebene schwingenden Wellen ergeben nach G1. (2.120a) die Intensitat (es ist fiir die dort verwendeten Winkel a = 90"-&,, p = &, /2 + 45" und 6,,= 0 zu setzen) I , = I , + I 2 + 2 $ p O S T ,2n5a0
(4.484)
wiihrend die parallel zur Einfallsebene schwingenden Wellen nach G1. (2.120b) die Intensitat
ergeben. Es entsteht eine kosinusfonnige Intensitatsverteilung mit der Gitterkonstanten g = A/ao.Das entspricht der Ortsfrequenz R = @,/a (bei &, = 60" ist a!, = 0 , 5 , und mit A. = 480 nm ist g = 0,96 pn, R = 1042 rnrn-' ; es sind also hochauflosende Aufzeichnungsschichten erforderlich). Nur die senkrecht schwingenden Wellen ergeben bei I, = I2 den Kontrast 1 irn Interferenzbild. Die parallel schwingenden Wellen erzeugen den Kontrast sin ii, =
./=,
der bei 6, = 90" gleich 1 ist und bei 6 , = 53,13" auf 0,8 absinkt. Wir vernachliissigen diesen EinfluB.
Wir nehmen nun an, daB die lichtempfindliche Schicht in dem Sinne linear ist, daB ihre Amplitudentransparenz der Intensitat proportional ist, und setzen I, = I , an. Die Stnrkturfunktion des entstehenden Liniengitters lautet
oder mit der Variablen K nach G1. (2.317) f(K)
= L(1+COS27CK). 2
(4.485 )
Wic konnen &e scmg einfallende Welle als Signalwelle ansehen, deren Richtung die Information darstellt, die registriert werden SOIL Sie driickt sich in der Phasenverteilung auf der
368
4 Abbildende optische Funktionselemente
registrierenden Schicht aus. Die lichtempfindlichen Schichten sind aber sogenannte quadratische Empfhger, d. h, die Anzeige ist nur vom Absolutquadrat der komplexen Amplitude abhiingig. Deshalb wurde ohne die senkrecht auftreffende Welle, die wir Referenzwelle nennen, eine gleichmiibge Intensitatsverteilung registriert (u2u; ). Die Hologramme zeichnen sich also dadurch aus, dal3 Betrag und Phase der komplexen Amplitudenverteilung eines Wellenfeldes registriert werden. Wir lassen eine ebene Welle mit der Wellenliinge A' unter dem Winkel 6; auf das Hologramm auftreffen. Die komplexen Amplituden in der Beugungsordnung ergeben sich nach G1. (2.338) und G1. (2.339) zu
und mit cos 2 n =~0,s[exp(2nj K) + exp(- 2nj K)]
1;
Daraus folgt
*
1
firm=^,
&am = -
16 10
(4.486)
firm=fl,
fiir Irnl>l.
Es entsteht die nullte Ordnung, die in der Richtung a = ah liegt. Fiir die Richtungen der beiden anderen Beugungsordnungen gilt
a-a,
1
= f-A' - f -A'a g
A
(4.487)
O.
Mit einer ebenen Rekonsmktionswelle, bei der a; = 0 und
a
A' = A ist, erhalten wir
= fa,.
Die Signalwelle ( a = ao)und die dazu konjugierte Welle ( a = -a,) werden also rekonstruiert (Abb. 4.21 la). Hologramm
Hologramm
--
Abb. 4.211 a) Rekonstruktion der Signalwelle mit der Referenzwelle, b) Rekonstruktion der Referenzwelle mit der Signalwelle
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
369
Die Intensitat in den Beugungsordnungen ist allerdings 1/16 der einfallenden Intensitat. Man spricht davon, daR die Beugungseffektivitat 1/16 = 0,0625 ist. Sie kann erhoht werden, wenn statt des Amplitudenhologramms ein Phasenhologramm verwendet wird. Dieses entsteht z. B., indem durch Bleichvorgiinge die urspriingliche Amplitudenstruktur in eine Phasenstruktur umgewandelt wird. Mit einer ebenen Rekonstruktionswelle, ftir die ah = a, und A‘ = A gilt, ist a = f % + a o= 0 bzw. 2%. Die Referenzwelle und die dazu konjugierte Welle werden rekonstruiert (Abb. 4.21 lb). Die Rekonstruktion ist also komplementiir, d. h., Einstrahlen der Referenzwelle ergibt die Signalwelle und umgekehrt. Mit einer stetigen Variation der Rekonstruktionswellenliinge 1Ut sich die Richtung der gebeugten Welle stetig im VerhBiltnis A’/A variieren. Holoqmmm -
In analoger Weise wie das Liniengitter 1Ut sich eine Zonenplatte holografisch erzeugen. Wir bringen zu diesem Zweck eine ebene Referenzwelle und eine Kugelwelle, die von einem Objektpunkt ausgeht, zur Interferenz (Abb. 4.212). Fiir den optischen Wegunterschied gilt
A L = r-ro = J p 2 + r ; -ro.
(4.488)
Fur p G lrol entsteht durch Reihenentwicklung (4.489) Die Intensit& in der Hologrammebene ist proportional (4.490)
Es entsteht die Radialabhiingigkeit der Intensitat wie in Abb. 4.210, aber die Maxima betragen (aa*),,, = ( A , + A 2 / r 0 ) ’ , die Minima betragen (uu*),, = ( A , - A 2 / r 0 ) ’ . Der Kontrast der Zonenplatte, den wir auch Modulationsgrad nennen koMen, betriigt (4.491) K = 2A1‘42ro A:rt + A ; ‘ Nur fiir A , = A2/ro wird K = 1.
4 Abbildende optische Funktionselemente
370
Es gelten dieselben Kekonstruktionsbedingungenwie beim Liniengitter. Es entsteht beim Einstrahlen der Referenzwelle ein reelles und ein virtuelles Bild des Objektpunktes. Wegen der Lage der beiden Bildpunkte auf einer Geraden, die senkrecht auf den Wellenflachen der Rekonstruktionswelle steht, spricht man von Geradeausholografie. Reelles und virtuelles Bild lassen sich trennen, wenn bei der Aufzeichnung die Referenzwelle schrag auf das Hologramm uifft (Abb. 4.213). Holoqramm
A; ,
Abb. 4.213 Kekonstruktion eines Hologramms, bei dem mit einer schrag einfallenden Referenz-
welle aufgenommen wurde Bisher sind wir von der Aufzeichnung eines Objektpunktes ausgegangen. Da jedes Objekt als Gesamtheit von Objektpunkten aufgefal3t werden kann, lassen sich auch ausgedehnte Objekte holografisch abbilden. Bei der Aufzeichnung ist es notwendig, daR die Signal- und die Referenzwelle koh’drent zueinander sind. Sie werden deshalb im allgemeinen durch Teilung eines Laserbundels erzeugt, mit dem die groBe Koh’drenzl’dnge erreichbar ist (Abb. 4.214). Die Information uber jedes Element des Objekts ist im gesamten Hologramm gespeichert, so daR auch mit Teilen des Hologramms die Rekonsmktion moglich ist (redundante Speicherung). Fiir zeitlich periodische Wellen (groRe Koh’drenzltinge) genugt es, mit den komplexen Amplibden zu rechnen. Die Signalwelle hat die komplexe Amplitude a, = A,ej”, die Refe~
Urnlenksplegel
%
Kohorentes Licht
Korper
Abb. 4.214
Aufnahmebedingungen bei einem Hologramm von einem ausgedehnten Objekt
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
37 1
renzwelle die komplexe Amplitude aR= ARej6R.Die Amplitudenbetrage und die Phasen sind ortsabhiingig. Die iiberlagerung in der Hologrammebene ergibt wegen der zeitlichen Koharenz die komplexe Amplitude a = aR+as, woraus sich bei einem quadratischen Empfdnger (registriert den Mittelwert der Energiestromdichte), die der Intensitat proportionale Grol3e aa* = (aR+a,) (a: +at) bzw. aa+ = aRai+a&
* + aRa, * + aRaS
(4.492)
ergibt. Das Ausrechnen der Produkte fidut auf das bekannte Ergebnis aa* = A;
+ A; + 2 ARA, cos (6s- 6 R ).
Im Hologramm sind die Betrage der Amplituden und die Phasen gespeichert. Die Registrierung in einer fotografschen Schicht im linearen Bereich der Kennlinie fiihrt auf die Amplitudentransparenz z
- aa*.
Die Rekonstruktion mit der Referenzwelle ergibt zuniichst die komplexe Amplitude hinter dem Hologramm
(4.493)
Neben dem Storlicht (erster Summand) entstehen die Signalwelle (dritter Summand) und ihre konjugiert Komplexe (zweiter Summand). Die Rekonstruktion mit der Signalwelle fiihrt auf a,z
- n,(A~+Ai)+A;a,+A~a~.
(4.494)
Wir erhalten die Referenzwelle und ihre konjugiert Komplexe. Es besteht allgemein Reziprozitat zwischen Signal- und Referenzwelle, analog zu den bereits beim holografischen Gitter festgestellten Bedingungen. Die Klassifizierung der Hologramme kann nach verschiedenen Gesichtspunkten vorgenommen werden. Dazu gehoren: Beeinflussung der komplexen Amplitude . Amplituden-Hologramm . Phasenhologramm - geometrische Struktur des Tragers . Flachenhologramm (z. B. bei Gittern auch gekriimmt moglich) . Volumenhologramm (Beugung am Raumgitter) - Entfernung vom Hologramm von Objekt bzw. Bild . Bildfeldhologramm (Objekt nahe) . Fraunhofer-Hologramm (Objekt weit entfernt) . Fourier-Hologramm (Objekt im Unendlichen, im Hologramm ist die Fourier-Transformierte der Objektfunktion registriert)
-
372 -
4 Abhildende optisclie Funktionselemente
Herstellungsverfahren . experimentelle Hologramme . synthetische Hologramme
Das rekonstruierte Bild ist dem Objekt raumlich iihnlich, wodurch die holografische Abbildung in weiten Bereichcn ohne die Begrenzung durch die Schikfentiefe arbeitet. Das wird z. €3. bei der Kombination von Holografie und Mikroskopie genutzt. Auch f i r die Hologramme lassen sich analog wie fiir Zonenplatten Abbildungsgleichungen ableitcn. Es ist auch eine Theorie der Abbildungsfehler ausgearbeitet worden. Bei den synthetischen Hologrammen wird die komplexe Amplitude fiir das modellmiil3ig vorgegebene Objekt im Hologramm berechnet. Betrag und Phase sind in einer geeigneten Kodierung aufzuzeichnen. Es werden meistens binike Hologramme verwendet. Ein Beispiel stellt die Zonenplatte dar,die die Information nur durch “helle” und “dunkle” Kinge geeigneter Breite und Lage gespeichert enthiilt. Rotationssymmetrische synthetische Hologramme, die mit der Wellenaberration von optischen Fliichen odcr optischen Systemen moduliert sind, eignen sich als Korrektionselemente f i r die Abbildungsfehler (Ortsfrequenzfilter) und als Priifnormal in Interferometern (z. B. bei der i nterferometrischen Asphiirenpriifung). Hologrdmm-Interferometrie. Resondere Bedeutung hat die Hologramm-Interferomel~eerlangt. Mit dieser kiinnen zeitliche Zustandsanderungen eines Objekts registriert werden. Es gibt clrei grundsiitzliche Verfahren: DoppelbeliclirunRsfedinik. Das Objekt wird zu zwei Zeitpunkten belichtet, clie Signalwelle aber im gleichen Hologramm registriert, d. h., beide Signalwellen uberlagern sich vor der
Abb. 4.215 Rekonstruktion eines Doppelbelichtungsliologrrunlns vom elektronischen Feinzeiger MWA 4072 mit MeOstiinder. Veriinderung der Geriitetempemturzwischen den Belichtungeo uui 10 K Zeit zwischen den Belichtungen: 10 Minuten Lichtquelle: Rubin-Impulslaser
4.4 Wellenoptisch abbildende Funktionselemente
373
Entwicklung der holografischen Schicht. Bei der Rekonstrukrion ist das Bild von Interferenzstreifen durchzogen, aus denen auf die Verwderung des Objekts zwischen den Belichtungszeitpunkten geschlossen werden kann (z. B. auf Deformationen, Abb. 4.215). ~if-Miffelungsfechnik. Sie eignet sich zur Untersuchung der Eigenschwingungen von Korpern. Voraussetzung sind kleine Amplituden und weitgehend stationiire Lage der Schwingungsknoten und -bauche, denn es wird der zeitliche Mittelwert des Interferenzanteils ~ A S A R C O S ( & -6s) aufgezeichnet. Die Schwiirzungsverteilung im Hologramm zeigt die Lage der Schwingungsknoten an. Die Zeit-Mittelungstechnikeignet sich nicht zur Echtzeitmessung. Echtzeiffechnik.Langsam vertinderliche Vorgiinge lassen sich in Echtzeit verfolgen. Dazu wird vom Zustand zu einer bestimmten Zeit ein Hologramm erzeugt. Nach exakt genauer Positionierung des Hologramms an die gleiche Stelle wie bei der Aufnahme (oder Entwicklung ohne Entfernung vom Aufnahmeort) sind die Vetjdnderungen des Objekts an den sich kontinuierlich verformenden Interferenzstreifen zu erkennen.
5
Nichtabbildende optische Funktionselemente
5.1
Lichtleitende Funktionselemente
5.1.1
Linsenfolgen
Ein lichtleitendes Funktionselement biindelt den Lichtstrom und leitet ihn uber merkliche Strecken weiter, ohne da13 damit prim& eine optische Abbildung angestrebt wird. Im Grunde genommen ubertragt jedes optische System den Lichtstrom, aber zum Zweck der optischen Abbildung. Der Einfla der geometrischen Verhaltnisse des optischen Systems auf den ubertragenen Lichtstrom wird durch den Lichtleitwert erfal3t. Dieser folgt fir ein Flachenelement dq, der Quelle aus dG = n A 2 ~ ~ ~ 4 ~ . d q l . Auch optische Folgen, die nur den Lichtstrom leiten sollen, konnen abbildende Elemente enthalten. Im allgemeinen wird aber die Lichtquelle oder eine ausgeleuchtete Pupille ohne das Ziel der Informationsubertragung abgebildet. Das hat oftmals zur Folge, dalj an die Bildgute nicht so hohe Anforderungen gestellt werden. So koMen z. B. die Beleuchtungssysteme in optischen Instrumenten durchweg als lichtleitende Funktionsgruppen betrachtet werden. Sie werden zweckmaig im Zusammenhang mit dem gesamten optischen Instrument behandelt und in diesem Abschnitt ausgeklammert. Eine Linsenfolge zur Lichtleitung l%t sich bis auf eventuelle Eingangs- und Ausgangselemente durch periodische Wiederholung einer Elementarzelle aus zwei Linsen bilden. In Mauixschreibweise stellen wir die Abbildung durch die Elementarzelle aus dunnen Linsen in der Gestalt
):[
=
i-b;
;)[;
q-:; A(); T)(-b; ;)(;)
(5.1)
dar (Abb. 5.1). Ausrechnen der Ubertragungsmatrix ergibt mit F,'+ F; -e;F,'F;
= F'
und e; +e;+e; = Lopr
die Beziehung
d 1 - eh F' - e; F,' ( h ' ) = [-L,,,+eie;F'+e:(ehF,'+e;F;)
F' l-e:F,'-e;F')(i)'
(5.2)
Eine stabile Lichtleitung ohne Lichtstromverluste uber mehrere Elementarzellen 1st gesichert, wenn sich das Bundel nicht sthdig aufweitet und sich die leuchtende Rache nicht sthdig vergroDert (es tritt keine Randabschattung ein). Das ist z.B. gewiihrleistet, wenn sich die Ubertragungsmatrix auf die Form
375
5.1 Lichtleitende Funktionselemente
d nicht von h, h' d = -0.
nicht von cf abhiingig, und es gilt
spezialisiert. Dann ist h'= -h,
(5.4)
Der ebenfalls denkbare Fall, dal3 die Diagonalelemente die Werte +1 annehmen, fiihrt bei Linsen zu keinem brauchbaren Ergebnis. Aus G1. (5.2) und G1. (5.3)folgt
F' = 0,
(5.5)
- L , , , + e ~ ( e ~ F , ' + e ~ F ,= ') 0,
(5.6)
1-e:Fi = -1,
(5.7)
l-e;F,' = -1.
(5.8)
Es mu13 also
el = 2h' = 2 f i
(5.9)
gelten. Damit die periodische Wiederholung moglich ist, mu13 e; = 0 sein. Aus G1. (5.6) ergibt sich mit G1. (5.9) und Lopr= ei +e; eh =
2h'.
(5.10)
ZusammengefaSt gilt also eh =
el =
2f,',
f; = H,=H;
A', e;
= 0,
F' = 0.
H,-H;
Abb. 5.1 Elementanellen aus zwei dunnen Linsen
-h '
e;=O
Abb. 5.2 Linsenfolge zur Lichtleitung
Abb. 5.2 zeigt anschaulich, daR die Folge aus Elementarzellendie Eigenschaft hat, sowohl das Lichtbundel stwdig zu folcussieren als auch die Hauptstrahlen in einem Gebiet um die optische Achse zu fiihren. Die Anordnung entspricht einer Folge von abbildenden Linsen und Feldlinsen. Ein Parallelbundel ist uber eine Linse mit der Brennweite f l = 2f; einzukoppeln. Entsprechend wiire durch eine Linse mit der BreMWeite fn' = 2A' auszukoppeln, falls ein Parallelbundel benotigt wird.
376
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Laserresonatoren. In 2.4.5 sind wir bereits auf den konfokalen Laserresonator eingegangen, der aus zwei Kugelspiegeln mit zusammenfallenden Brennpunkten besteht. Im Grundmodus bildet sich ein GauRsches Bundel aus. Die im Resonator hin- und herlaufende Welle bildet eine stabile stehende Welle. Resonatoren aus Kugelspiegeln (Abb. 5.3a) bilden ein Beispiel fir die zweckmaige Anwendung der Matrixdarstellung der optischen Abbildung. Wir denken uns den Resonator aus einer periodischen Folge von Elementarzellen aufgebaut. Jede Elementarzelle besteht aus einem Eingangselement und einem Ausgangselement, die jeweils die halbe Brechkraft des ersten Spiegels haben, und einem Zwischenelement mit der Brechkrafl des zweiten Spiegels (Abb. 5.3b).
Abb. 5.3 Laserresonator aus Kugelspiegeln a) Spiegelsystem,b) Elementanelle
Fiir die aufgespaltete Spiegelflache gilt entsprechend G1. (4.148)mit n = n' = 1 (5.11)
Die Ubertragungsmatrix lautet nach G1. (4.150)
(-:) ;)-
(5.12)
Fiir die Elementarzelle gems Abb. 5.3b ist mit e' = 1
(5.13)
Das Ausrechnen des Matrizenprodukts ergibt (5.14)
mit g, = 1--,IF,' 2
g2 = 1-21F;
bzw. g1 = I - &
r,
g2 = 1---.1 r2
(5.15a, b)
377
5.1 Lichtleitende Funktionselemente
Nach dem Theorem von Sylvester [6]ist A sinn@-sin[(n - 1)0] Bsin 0 DsinnO-sin[(n -I>@]
(5.16)
wobei A+D cos 0 = 2 gilt. Nach G1. (5.14) ist cos 0 = 2g,g, -1. Wegen - 1I cos 0 5 1 mu13
(5.17)
(5.18) (5.19)
0 5 g1g2 2 1
sein. Nur fiir Resonatoren, die die Bedingung (5.19) erflillen, sind stabile Eigenschwingungen mbglich. Deshalb heiRt die Beziehung (5.19) Stabilitatsbedingung. In der grafischen Darstellung g, = f(g,) liegen die stabilen Resonatoren in dem Gebiet, das durch die Geraden g, = 0 und g, = 0 sowie die Hyperbel g, = I/gl begrenzt ist (Abb. 5.4). Tab. 5.1 enthat fiir einige spezielle Resonatorkonfigurationendie GroRen g, , g, A, B, C, D. 92t
plonpomllel
-7-*
)kol -2
-3-
-4
To
konze
2
1
-i-
3
91
- - - --
I I I I
Abb. 5.4 Stabilitiitsdiagramm
Tabelle 5.1 Matrixelemente von sDh,h;irischenLaserresonatoren konfokal konzentrisch
1 = 1, = 1, 1 = 24 = 2r,
g1
g,
0 -1
0 -1
A=D
B
C
-1
0 0
0 21
1
0
1
plan-sph&iSch (Mittelpunkt auf Planflkhe)
r, = m
1
0
-1
plan-plan
r, = r, = 00
1
1
1
0
-21
378
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Erzeugung eines Lichtbundels konshnten Durchmessers. Wir zeigen noch, dal3 zwischen zwei Blenden B, und B, auch mit einer klassischen Lichtquelle ein Lichtbundel konstanten Durchmessers erzeugt werden kann.Nach Abb. 5.5a gilt pB = -y’ = -p’y,
h’ = 2y
(5.20a, b)
H-H’ I
f’
Z‘
Abb. 5.5a Parallelbundel zwischen zwei Blenden
und
h = pB + h’,
also mit G1. (5.20a) und G1. (5.20b) h = -pIy+2y
bzw. h = y(2-P’);
(5.21)
h nach G1. (5.21) ist der erforderliche Linsenradius, bei dem l a g s der Strecke z’ = -p’f‘ das
Lichtbundel konstanten Durchmesser hat. Mit einem Spiegel oder einem Linsensystem ohne zusatzliche Blende kann, abgesehen von Abbildungsfehlern, eine zylindrische Lichtrohre erzielt werden, wenn die Lichtquelle in die fotometrische Grenzentfernung abgebildet wird. Diese ergibt sich aus der Forderung, dal3 die Durchmesser der freien Offnung (Eintrittspupille) und des Lichtquellenbildes gleich sind (Abb. 5.5b). FUr den Abstand der Lichtquelle vom objektseitigen Brennpunkt gilt (5.22)
Abb. 5.5b Parallelbundel innerhalb der fotometrischen Grenzentfemung
379
5.1 Lichtleitende Funktionselemente
5.1.2
Licht- und Bildleitkabel
Licht- und Bildleitkabel stellen biegsame optische Funktionselemente dar, die den Lichtstrom von ihrer Eintrittsflache zu ihrer Austrittsflaiche ubemagen. Sie bestehen aus Anordnungen dunner Fasern aus hochtransparenten Werkstoffen (Glas, Quatz, Plaste), weshalb man auch von Faseroptik oder Fiberoptik spricht. Der Faserkern mit der Brechzahl nK ist von einem dunnen Mantel mit der Brechzahl nM umgeben, wobei stets nM < nK gilt. Bei den Lichtleitkabeln haben die Faserenden an der Eintrittsflaiche des Kabels eine vollig andere gegenseitige Anordnung als die Faserenden an der Austrittsflache des Kabels (ungeordnete Fasern). Lichtleitkabel dienen deshalb ausschlieSlich der Ubertragung des Lichtstroms. Bei den Bildleitkabeln besteht zwischen den Faserenden an der Austrittsflache des Kabels dieselbe fiumliche Anordnung wie zwischen den Faserenden an der Eintrittsfltiche. Dadurch erscheint ein auf der Eintrittsflkhe erteugtes Bild auf der Austrittsflache gerastert wieder. Bildleitkabel gehi5ren n u bedingt zu den abbildenden Funktionselementen; sie leiten aber das Bild von einer Flkhe zuf anderen weiter. Wir betrachten nur zylindrische Fasem, deren Kerndurchmesser wesentlich gro6er als die Dicke der umhiillenden Schicht und als die Wellenliinge des Lichtes ist. In diesem Fall sind die grundlegenden Eigenschaften geometrisch-optisch zu verstehen. Die Eindringtiefe des Lichtes in den Mantel ist klein. Sehr duMe Fasern mit dicker Umhiillung stellen Wellenleiter dar, die nur wellenoptisch behandelt werden konnen. Bei ihnen verlauft die Welle mit einer merklichen Amplitude auch im Mantel. Die Lichtleitung durch ein Bundel erfolgt durch fortgesetzte Totalreflexion innerhalb der Glasfasern. Damit die Totalreflexion nicht durch die Beriihrung der einzelnen Glasfasern gestort wird, iiberzieht man den Kern mit einem Mantel aus Glas niedrigerer Brechzahl. Die Endflachen der Faserbundel sind poliert. Ein unter dem Einfallswinkel E auf die Faser treffender Lichtstrahl wird an dieser gebrochen und trim auf die Grenzschicht Kern-Mantel. An dieser wird er bei Einhaltung des Grenzwinkels der Totalreflexion E ~ der , sich aus nM sin&G= -
(5.23)
nK
ergibt, gerade noch totalreflektiert. Da der Strahl auf die ntichste Kern-Mantel-Grenzschicht unter dem gleichen Winkel auftrifft. wird er an dieser ebenfalls totalreflektiert. Das wiederholt sich, bis der Strahl die Faser verliif3t. Es sol1 die maximale numerische Apertur des Lichtbundels berechnet werden, das durch Totalreflexion im Meridionalschnitt der Glasfaser weitergeleitet wird. Aus dem Brechungsgesetz sin E' = (sin &)/nK folgt mit dem groDten moglichen Brechungswinkel &' = go"+&, die Gleichung (Abb. 5.6) sin E sin(90"+eG) = C O S E ~= -. (5.24) nK
Der Grenzwinkel der Totalreflexion ergibt sich aus GI. (5.23), so da6 (5.25)
5 Nichtabbildende oDtische Funktionselemente
380
und A = sine =
-/,
(5.26)
ist. Bei nK = 1,7 und nM = 1,5 wird A = 0,8. Fur die Anwendung der Licht- und Bildleitkabel ist die Lichtdurchlassigkeit wichtig. Diese ist irn wesentlichen von der Durchlassigkeit der einzelnen Fasern, von der fiir den Lichttransport nicht genutzten Flache des Mantels und vorn Packungsfaktor abhiingig. Der Transmissionsgrad einer Faser wird durch die Fresnelschen Reflexionsverluste. durch Verluste infolge der vielfachen Totalreflexion und durch die Absorptionsverluste irn Glas bestimrnt. Der Reflexionsgrad ist bei einer einmaligen Totalreflexion theoretisch gleich 1. Praktisch W e n jedoch Storungen in der Kern-Mantel-Grenzschicht und sehr geringe Absorption im c
1
1
L
b‘:
I
I 1
I
t
Abb. 5.6 Meridionalschnitt einer Lichtleitfaser
Mantel zu geringen Reflexionsverlusten von Bruchteilen eines Promille. Durch den kleinen Faserdurchrnesser wird das Licht sehr viele Male reflekuert. Aus Abb. 5.6 ergibt sich fiir die Anzahl der Totalreflexionen auf der Lange 1 (5.27)
Bei einern Faserdurchmesser von 30 pm und der Liinge 1 m sind bei hoher Apertur einige lo4 Reflexionen rnoglich. Infolge dieser groSen Anzahl an Totalreflexionen wirken sich auch die geringen Verluste einer Reflexion auf den Transmissionsgrad der Faser rnerklich aus. Fiir die Absorptionsverluste ist der Glasweg (5.28)
groaer als die Faserliinge anzusetzen. Die Anordnung von zylindrischen Fasern in einem Bundel kann durch eine Quaclratpackung oder die dichteste Dreieckpackung vorgenomrnen werden. Fur die Quadratpackung
@
a)
b)
Abb.5.7 Packungsarten a) Quadratpackung, b) Dreieckpackung
5.1 Lichtleitende Funktionselemente
38 1
ist (Abb. 5.7a)
tl=-=-AQuadrat
nr2 49
- 0,785
(A ist hier der Flacheninhalt). Fiir die Dreieckpackung ist (Abb. 5.7b)
Die GroDe 9 ist der Fullfaktor. Das Verhdtnis des Flacheninhalts des Faserkerns mit dem Durchmesser dK zur Flache der gesamten Faser mit dem Aul3endurchmesser d , multipliziert mit dem Fullfaktor, ergibt den Packungsfaktor up = (dK/d)’ 9. Fiir einen hohen Packungsfaktor und damit geringe Lichtverluste im Lichtleitkabel ist ein geringer Manteldurchmesser der Fasern gunstig. Andererseits ist jedoch eine Eindringtiefe von einigen Wellenlgingen in den Mantel fiir die Totalreflexion erforderlich. Bei handelsublichen Fasern betragt z. B. die BrechzaN nM = 1,52, die Brechzahl nK = 1,60. Nach GI. (5.26) wird ein Bundel mit der maximalen numerischen Apertur A = 0,5 ubertragen. Die Fasern haben einen Durchmesser von d = 30 pm. Es werden Kabel mit Lgingen bis zu 2 m und Durchmesser bis zu 10 mm angeboten. Der Transmissionsgrad betriigt unter bestimmten Bedingungen (mirtlere Apertur, Normlichtart A) Z= 0,5 bei der L a g e 250 mm, Z= 0,3 bei der Lginge 2 m. Mit flexiblen Lichtleitkabeln laBt sich Licht auf gekriimmten Bahnen weiterleiten. Dadurch wird eine Moglichkeit eroffnet, hochfrequente Feldenergie in der gleichen Weise zu bundeln wie niederfrequente Wechselstrome in Drtihten. Die Flexibilitat ist z. B. bei der Beleuchtung von Korperhohlen vorteilhaft, in die abbildende optische Systeme zur Beobachtung eingefiihrt werden. In optischen Gedten koMen z. B. uber Faserbundel mehrere Skalen durch eine zenwale Lichtquelle beleuchtet werden. Ein Teil der Planspiegel und der Reflexionsprismen l U t sich somit einsparen. Eventuell damit verbundene Platz- und Justierprobleme fallen also weg. Bildleitkabel. Ein Faserbundel kann als abbildendes Funktionselement im obengenannten e i n g e s c h r W n S h e verwendet werden. Dazu ist es erforderlich, dal3 die Fasern geordnet sind. Bei der Herstellung solcher Bundel wird der Glasfaden auf eine Trommel gewickelt. Der entstandene Faserring wird nach der Fixierung zerschnitten. Zur Bildubertragung muS auf der Eintrittsflache ein Bild erzeugt werden (Abb. 5.8). Das Auflosungsvermogen h a g t auf3er von dem der Eintrittsflgche aufgepragten Auflosungsvermogen noch vom Faserdurchmesser und vom Packungsfaktor sowie von der Ordnung der Fasern ab. Sehr duMe Fasern, die ein hohes Auflosungsvermogen haben, weisen groRere
Abb. 5.8 hertragung durch ein Bildleitkabel
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
382
Transmissionsverluste auf als dickere Fasern. Bei Duchmessern von 1 bis 100 pm und hohen numerischen Aperturen ist das erreichbare Auflosungsvermogen gut. Eine Kontrastminderung gegenuber dem aufgepragten Bild durch das Bildleitkabel kann durch zu geringe Schichtdicken des Fasermantels hervorgerufen werden. 1st die in den Mantel eindringende Welle nicht genugend abgeklungen, so dringt Energie in den Mantel der Nachbarfaser ein. Ferner koMen Inhomogenitaten im Faserkern bewirken, dal3 Strahlen so aus ihrer Richtung abgelenkt werden, daB sie in den Mantel eindringen. Bildleitkabel mit ebenen Endflachen ubertragen die Bilder aberrationsfrei. Durch eine entsprechende Form der Endflache der Kabel kann die Bildflache von der Ebene abweichend gestaltet werden. So ist z. B. die Bildfeldwolbung des vorangehenden Systems ausgleichbar. Durch konische Faserbundel kann auch der AbbildungsmaBstab in gewissen Grenzen beeinf l a t werden.
5.2 Dispergierende Funktionselemente 5.2.1
Dispersionsprisrnen
Ein dispergierendes Funktionselement zerlegt das Licht spektral. Hauptanwendungsgebiete der dispergierenden Funktionselemente sind -
die Spektroskopie (funktionsbestimmendes Element der Spektrografen); die Ausfilterung von quasimonochromatischem Licht aus polychromatischem Licht (funktionsbestimmendes Element der Monochromatoren).
Die wichtigsten dispergierenden Funktionselemente sind: - Dispersionsprismen (Brechung des Lichtes), - Beugungsgitter (Beugung des Lichtes), - Etalons und Keile (Interferenz des Lichtes). Wir behandeln zunachst die Dispersionsprismen. In der Mathematik wird unter einem Prisma ein Korper verstanden, dessen Grund- und Deckflache kongruente Vielecke darstellen und dessen Seitenflachen Parallelogramme sind. Fur die Zwecke der technischen Optik ist diese Definition um einen funktionellen Gesichtspunkt zu erweitern. Wir definieren:
I
Ein Prisma ist ein Korper aus einem lichtdurchljissigen Stoff, der mindestens zwei ebene und nichtparallele optisch wirksame Flachen hat.
Die optische Wirkung besteht im allgemeinen aus Reflexionen und Brechungen. Im Gegensatz zur Definition der Mathematik sind fiir ein Prisma in der technischen Optik die Form und die Beschaffenheit der optisch nicht wirksamen Flachen fiir die Funktion unwesentlich.
I
Ein Dispersionsprisma ist ein Prisma mit mindestens zwei brechenden Flachen. Der Winkel zwischen zwei brechenden Flachen ist ein brechender Winkel y . Ein Dispersionsprisma zerlegt das Licht spektral.
5.2 Dispergierende Funktionselemente
383
(Eine Grenzflache, durch die das Licht senkrecht hindurchgeht, betrachten wir hier als brechende Flache.) Die spektrale Zerlegung des Lichtes durch ein Prisma kann bewuDt genutzt werden. Sie kann aber auch unerwiinscht sein. Das ist der Fall, wenn das Licht vom Prisma nur abgelenkt werden soll. Wir sprechen d m nicht von einem Dispersionsprisma. Die Dispersion des Lichtes kann nicht geometrisch-optisch, sondern nur wellenoptisch verstanden werden. Deshalb gilt: Ein Dispersionsprisma ist ein wellenoptisches Funktionselement. Seine Hauptfunktion ist die spektrale Zerlegung des Lichtes. Die Ablenkung des Lichtes stellt eine Nebenfunktion dar. Da die Hauptfunktion auf der Brechung des Lichtes beruht. kann das Dispersionsprisma auch wie ein geometrisch-optischesFunktionselement behandelt werden. Die Aufgabe besteht zunichst darin, die Ablenkung 6 eines Lichtstrahls zu berechnen. Fiir einen Lichtstrahl beliebiger Richtung ist diese Aufgabe schwierig zu losen. Wir besc-en uns auf die Berechnung der Ablenkung eines Lichtstrahls, der im Hauptschnitt verlauft. Der Hauptschnitt zweier brechender Prismenflkhen steht senkrecht auf der brechenden Kante. Diese ist die Schnittgerade der brechenden Flachen. Ein Lichtstrahl, der im Hauptschnitt einfdlt, bleibt im Hauptschnitt.
I
Wir haben also den Vorteil, daR wir den Strahlverlauf in einer Ebene behandeln koMen. Eine geschlossene Formel fiir die Ablenkung 6 wiire aber trotzdem unhandlich. Wir leiten deshalb einen Formelsatz ab, mit dem die einzelnen GroRen schrittweise zu berechnen sind. Wir nehmen an, daR das Prisma beiderseits an den gleichen Stoff angrenzt. Die relative Brechzahl fiir den ijbergang in das Prisma sei n. Die Ableitung der Beziehungen ist in Tab. 5.2 enthalten. Die benotigten GroRen entnehmen Tabelle 5.2 Ableitung der Gleichungen fiir das Dispersionsprisma . . Gegeben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . Brechung . . . . . . an . .der . . ersten . . . .Flache . . . . . . . . . .
Anwenden &s Brechungsgesetzes sin E ; = Lsin E , hergang zur zweiten Flache
v
n
u
n
g
Auknwinkelsatz im Dreieck DFE
Winkelsumme im Dreieck DEG 180" = 180"-
Y-E;+E~
Urnformen E2
= y+E;
. . Brechung . . . . . . an . .der . .zweiten . . . . .Flache . . . . . . . . .
Anwenden des Brechungsgesetzes sine; = nsinE2
Einsetzen 6=-E,+&;-y
I
384
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
wir der Abb. 5.9. Das Ergebnis ist folgender Satz von Formeln: sin E; = -sin 1 . E,, n € 2 = y+E;, sin&; = n sinE2,
6
= -El+&;-
(5.29) (5.30) (5.31) (5.32)
y.
Die Anwendung von Formelsatzen zur schrittweisen numerischen Berechnung der GriiBen ist fir die geometrische Optik typisch. (Vgl. die Strahldurchrechnung durch Flachenfolgen.) Sie fiihrt im allgemeinen zu weniger Rechenfehlern als das Einsetzen von Zahlen in lange, unubersichtliche Formeln. AuSerdem kommt sie der Algorithmierung des Rechenprozesses entgegen und ist damit dle Arbeitsweise, die auf Rechenanlagen direkt ubertragbar ist.
Abb. 5.9 Meridionalschnitt (Hauptschnitt)
eines Dispersionsprismas
10 20 30 LO 50 60 70 80 90°
-El
Abb. 5.10 Ablenkung am Prisma als Funktion des Einfallswinkels
10 20 30 40 50 60 70 80 90"
-Lf
Abb. 5.11 Bestimmung der Brechungswinkel
bei Minimalablenkung
In Abb. 5.10 ist fiir ein Prisma mit der Brechzahl n = 1,5028 und mit dem brechenden Winkel y = 60' die Ablenkung 6 als Funktion des Einfdlswinkels E , grafisch dargestellt. Die Kurve beginnt bei - E , = 28'6', weil fiir betragsmaig kleinere Einfallswinkel an der zweiten = 37'24' bei eiFlache Totalreflexion eintritt. Die Ablenkung hat ein Minimum aMin nem Einfallswinkel von - E , = 48'52'. In Abb. 5.11 sind die Funktion &; = f ( - & , ) und die ) die Gerade schneiden sich bei Gerade E; = - E , angegeben. Die Kurve &; = f ( - ~ ~und - E , = 48'52'. Daraus folgt fir das spezielle Beispiel, da8 die Minimalablenkung bei E;
=
-&,
(5.33)
385
5.2 Dispergierende Funktionselemente vorliegt. Aus G1. (5.33) folgt sin E; = -sinEl, wegen G1. (5.29) und G1. (5.31) ist n sin &* =
- n sin &I, also auch (5.34)
E, = -&:.
Die Gleichungen (5.33) und (5.34) leiten wir in der Tab. 5.3 allgemein ab. Es gilt also: Die Ablenkung 6 hat ihren kleinsten Wert, d. h, es liegt die Minimalablenkung vor, wenn das Licht im Hauptschnitt symmetrisch verlauft (Abb. 5.12).
I
Zwischen der Minimalablenkung 6, und dem brechenden Winkel 1 a t sich ein direkter Zusammenhang finden. Dieser wird in der Tab. 5.4 hergestellt und fiihrt auf sin"- 8 +Y = nsin--. Y
(5.35)
2
2
Tabelle 5.3 Ableitung der Winkelbeziehungen fiir die Minimalablenkung hderung der Ablenkung mit E; Ableiten von 6 = - E , + E; - y
Ableiten von
E,
= arcsin ( n sin &;)
n cos E;
d&
&=Jw
b
Ableiten von &; = arcsin ( n sin n cos E , d4 = dE2
b
Ableiten von .z2=
b
JE
d&2 = d&i
y+E;
1
w Bedingung fiir einen Extremwert n cos E; n cos &2 -d6 =-
I
Urnformen
Anwenden der Vorzeichenregel E ; = -&2
I
386
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Diese Gleichung stellt d e Grundlage fir die Messung der Brechzahl des Prismenwerkstoffs dar. Der brechende Winkel und die Minimalablenkung 6, konnen mit einem Goniometer gemessen werden.
Abb. 5.12 Symmetrischer Strahlenverlauf im Dispersionsprisma Tabelle 5.4 Ableitung der Gleichung fiir die Minimalablenkung
1
Anwenden von I
Einsetzen von €2
E, = - E ;
in
= y+E:
y = -24
Einsetzen von E; = 6 = -&,+E;-y 6, = -2E,
-
-E,
in
y
Y -- -1 sin &+Y sin 2 n 2 Prismen-Anordnungen. Im einfachsten Fall besteht das Optik-Schema eines Monochromators aus einem Beleuchtungsspalt, der mittels eines Kollimators ins Unendliche abgebildet wird, dem Dispersionsprisma und einem Fernrohrobjektiv, das den Eintrittsspalt in den Austrittsspalt abbildet. Das gewiinschte Wellenltingenintervall wird durch das Drehen des Prismas eingestelit (Abb. 5.13). Ohne besondere Manahmen ld3t sich nicht erreichen, dal3 nach dem Justieren auf Minimalablenkung fiir eine Wellenltinge auch die anderen Wellenliingen in Minimalablenkung auf den Austrittsspalt fokussiert werden.
had
Beleuateter Spolt
H-HA,
H=Hbb
spolt
./'
/d/
Abb. 5.13 Optikschema des Prismenmonochromators
5.2 Diswraierende Funktionselemente
387
Es w d e n deshalb Prismenformen sowie Baugruppen aus Dispersionsprismen und Spiegelflachen entwickelt, deren Gesamtablenkung unabhiingig von der Wellenliinge ist. Bei ihnen ist dann nur die Minimalablenkung fiir eine Wellenlbge einzujustieren, um &e Minimumbedingung fiir alle Wellenlhgen zu efillen.
Wadsworth-Anordnung. Abb. 5.14 zeigt die Kombination aus Dispersionsprisma und Planspiegel. Die Ziffern bei den Winkeln geben die Reihenfolge der Winkelbestimmung an, Das Ergebnis fiir die Gesamtablenkung durch Prisma und Spiegel ist Sp+s = 180”- 2p. (5.36)
Abb. 5.14 Kombination aus Prisma und Planspiegel
Die Ablenkung ist SOWON vom Einfallswinkel als auch von der Wellenliinge 2 unabhiingig. Eine Drehung des Gesamtsystems iindert die Ablenkung nicht. Fiir = 90” wird =0 (Abb. 5.15). Diese Anordnung des Planspiegels, bei der das Licht nicht abgelenkt wird, wird Wadsworth zugeschrieben. SP+S
Einprisma konstanter Ablenkung. Der Planspiegel kann wegen der Umkehrbarkeit des Strahlengangs auch vor dem Dispersionsprisma stehen. Der Spiegel lsist sich auch zwischen zwei Teilprismen anordnen. Die Abb. 5.16a. b, c zeigen den iibergang vom Einzelprisma zur Baugmppe aus zwei Teilprismen und einem Planspiegel. Es gilt ebenfalls Sp+s = 180”- 2p. Durch Anschleifen der beiden brechenden Flachen und der Spiegelflache an einen Glaskorper (gestrichelt gekennzeichnet) entsteht ein sogenanntes “Einprisma” mit konstanter Ablenkung.
388
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Abb. 5.16 a) Prisma mit Minimalablenkung. b) Aufspaltung des Prismas aus a) in zwei Teilprismen,
c) hergang zum Einprisma konstanter Ablenkung Das Autokollimationsprisma (Abb. 5.17) ist der Spezialfall des Einprismas mit 6p+s= 180'.
/
/
Abb. 5.17 Autokollimationsprisma (Lituow-Prisma)
p =O
und
Abb. 5.18
Abbe-Prisma
Das Abbe-Prisma (Abb. 5.18) ist der Spezialfall des Einprismas mit p = 45' und 6p+s= 90°, bei dem y = 60' gewiihlt ist. An der Spiegelflache betragt der Einfallswinkel 45', so dal3 sie totalreflektierend sein kann. Wird das Abbe-Prisma, wie in Abb. 5.18 angegeben, aus drei Teilprismen zusammengesetzt, so ist es moglich, die Dispersionsprismen aus Flintglas und den totalreflektierenden Halbwiirfel zur Verringerung der Absorption im kurzwelligen Bereich aus Kronglas zu fertigen. Bei Herstellung aus einem Glaskorper ist es fertigungstechnisch gunstiger, das Prisma um den in Abb. 5.18 gestrichelt gezeichneten Teil zu vergroaern. Baugruppen mit mehrfacher Dispersion entstehen, wenn ein Prisma doppelt durchsetzt oder mehr als ein Prisma verwendet wird. Abb. 5.19 zeigt ein Beispiel aus einem doppelt durchsetzten Abbe-Prisma, einem Autokollimationsprisma und einem Planspiegel (bei gleichen brechenden Winkeln der Prismen dreifache Dispersion). Konstante Ablenkung erfordert die Drehung der beiden Prismen um eine gemeinsame Achse bei feststehendem Spiegel.
5.2 Dispergierende Funktionselemente
389
\
Abb. 5.19 Kombination aus Abbe-Prisma,
Abb. 530 Flirsterlingscher Dreiprismensatz
Planspiegel und Autokollimationsprisma Abb. 5.20 enthat den Fijrsterlingschen Dreiprismensatz. Da sich die Ablenkungen der beiden einfachen Dispersionsprismenaufheben, bleibt nur die 90"-Ablenkung des Abbe-Prismas ubrig. Prismenkombinationen ohne Spiegelflache lassen sich ebenfalls mit konstanter Ablenkung ausbilden. Dazu ist es erforderlich, daB sie entgegengesetzt zueinander verdreht werden. Kollimator und Fernrohrobjektiv mussen mitgedreht werden. Im Beispiel der Abb. 5.21 sind der Kollimator mit dem ersten, das Objektiv mit dem zweiten Prisma starr zu verbinden.
Die Prismen werden nicht nur von Strahlen durchsetzt, die im Hauptschnitt verlaufen, sondern auch von windschiefen Strahlen. Das hat ZW Folge, daR das Fernrohrobjektiv eines Spektografen oder Monochromators ein gekriimmtes Bild des geradlinigen Eintrittsspaltes erzeugt. Es tritt eine Kriimmung der Spektrallinien auf. Deshalb koMen Monochromatoren und Spektografen zur optimalen Lichtnutzung mit geknimmtem Austrittsspalt ausgeriistet sein. Der Radius der Spektrallinien in der Bildebene eines Femrohmbjektivs mit der BreMweite f betrsgt bei symmetrischem Strahlenverlauf in einem Prisma (Minimalablenkung)
fsp
=
d-
1 n2sin*1 2 Y ( n 2 - 1) sin 2
2nfl
(Bei y = 60°, n = 1,7200 und f' = 100 mm ergibt sich fsp = 179mm.)
(5.37)
390
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Geradsichtprisrnen. Die bei Dispersionsprismen mit der Farbaufspaltung verbundene Ablenkung des Lichtes ist fiir Laborgerate im allgemeinen unerheblich. Fiir transportable Gerate, z. B. fiir Handspektroskope, ist ein fluchtender Strahlenverlauf vorzuziehen. Sowohl eine einfache Be&enung als auch eine zweckmtd3ige Formgestaltung sind mit der gestreckten Anordnung der B augruppen giinstiger zu verwirklichen. Geradsichtprismen lenken das Licht einer mittleren Wellenlbge nicht ab. Die Farbaufspaltung ist gering, so daB sie nur fiir Handspektroskope geeignet sind. Das Amici-Prisma (Abb. 5.22) besteht aus Kron- und Flintglasprismen, deren Ablenkung sich fiir die mittlere Wellenlhge aufhebt. Das Licht der Hauptfarbe muD d a m die Baugruppe symmetrisch durchsetzen. Das bedeutet beim Amici-Prisma aus drei Teilprismen symmetrischen Strahlengang am mittleren Prisma, gleiche brechende Winkel und verschwindende Ablenkung an den beiden aaeren Prismen (vorausgesetzt sind gleiche Glastypen in den au5eren Prismen).
Abb. 5.22 Amici-Prima aus a) drei bzw. b) fiinf Teilprismen
Aus der Forderung nach verschwindender Ablenkung, 6 = - E, + &; - y1= 0, am ersten Prisma folgt mit &; = - y2/2 (wegen der umgekehrten Lage nehmen wir den brechenden Winkel y2 negativ an)
Aul3erdem gilt €2
=&I + y1.
Anwenden des Brechungsgesetzes an den beiden Grenzflachen des ersten Prismas ergibt nach dem Umformen (5.38)
Abb. 5.23 enthat die Abhhgigkeit n; =f(n;) mit - y 2 als Parameter bei y1 = - y2. Die Grenzgerade fiir y2 = 0 mit der Gleichung n; = 2 4 - gilt fiir drei Keile, die aber wegen der unzureichenden Dispersion nicht geeignet sind. Abb. 5.24 gibt fiir den Einsatz von B K 7 (n, = 1,5 1859, v, = 63,87) in den beiden auDeren Prismen und y, = - yz die erforderliche Brechzahl des mittleren Prismas an. Bei der Kombination mit SF21 (n, = 1,93322, v, = 20,78 ) gilt yz = - 80,34O. Die Divergenz zwischen der h- und der C-Linie bemgt 11". Bei einem Prismensatz, dessen auRere Prismen den brechenden Winkel y1= 70" haben und aus BK7 gefertigt sind, mu13 das mittlere Prisma mit yz = -90" aus Glas mit der
5.2 Dispergierende Funktionselemente
39 1
Brechzahl n, = 1,73395 bestehen. Dafiir wiirde sich evtl. SF 10 (n, = 1,73430, v, = 28,12) eignen, mit dem aber das Licht der e-Linie um 0,05O abgelenkt wird. Die Dispersion zwischen der h- und der C-Linie betragt 4,88O.
1,L
15,
1,6
1,7
* n;
60
I
I
70
60
I
-
90 1w d; in Grod
Abb. 5.23 Brechzahl des Mittelprismas als
Abb. 5.24 Brechzahl des Mittelprismas
Funktion der Brechzahl der aukren prismen bei verschiedenen brecbenden Winkeln
als Funktion des brecbenden Winkels bei n;= n; = 1,51859
110
Geringere Reflexionsverluste an den Grenzflachen erhiilt man, wenn diese senkrecht zur Richtung des Lichtes der mittleren Wellenliinge orientiert werden. Ein Beispiel dafilr ist das Wernicke-F'risma (Abb. 5.25). Die drei Teilprismen miissen aus unterschiedlichen Glastypen hergestellt werden. Es ist yl = - y2/2 und &2 = - E; = yl, so da6 das zweimalige Anwenden des Brechungsgesetzes mit der ijbergangsbeziehung & j = E; + y2auf
+
n; = -nl cos 2y1 2 cos yl Jni2 - n;' sin2y1
(5.39a)
oder (5.39b) fiihrt. Bei y, =45" ist z.B. die Brechzahlkombination SFlO (n, =1,73430, v, =28,12), BaF 13 (n, = 1,62250, v, = 49,09), K 11 (n, = 1,50207. v, = 61.37) geeignet. Die Aufspaltung zwischen der h- und der C-Linie betragt allerdings nur 0,96O. Bei y1 = 30" ist die Brechzahl im dritten Prisma auf n, = 1,52749 abzuadern.
5 Nichtabbildende omische Funktionselemente
392 5.2.2
Beugungsgitter
Die Beugungsgitter lassen sich nach verschiedenen Gesichtspunkten einteilen. Wir beschrkken uns auf Liniengitter und unterscheiden nach den beiden Moglichkeiten, die komplexe Amplitude des Lichtes zu beeinflussen, Amplituden- und Phasengitter, - nach der Form der Gitterflache Plan- und Konkavgitter, - nach der Beobachtungsart Transmissions- und Reflexionsgitter. -
Wir greifen aus den Kombinationen der drei angefiihrten Merkmale die praktisch wichtigsten heraus und gehen niiher darauf ein. Ein planes Transmissionsgitter entsteht, wenn auf einen ebenen Gitterrohling, z. B. aus POliertem Glas, mit einem Diamanten in gleichmaigen Abstiinden SUiche geritzt werden. Dazu dienen die Gitterteilmaschinen. Bei diesen wird entweder der Gitterrohling oder das ReiDwerk, das den Diamanten tragt, mittels Priizisionsschrauben jeweils um die Gitterkonstante verschoben. Im ersten Fall bewegt sich der Diamant, im zweiten das Gitter lwgs einer Furche. Der gesamte Aufbau der Gitterteilmaschine mu13 sehr stabil sein. Fiir geringere Anspriiche an &e Gleichmal3igkeit der Teilung werden Gitterkopien verwendet. Auf ein Glasgitter wird mehrere Male eine Kollodiumlosung gegossen. Nach dem Eintrocknen l26t sich ein dunner Film abziehen, der die Gitterstrukhu-besitzt. Auch andere Stoffe eignen sich fiir eine Kopie des Gitters. Beim planen Transmissionsgitter liegen die Ordnungen nach G1. (2.329) in den Richtungen 010-01
=g
m=0,+1,+2,+3 ,...
Die Intensitat in den Ordnungen h k g t von der Furchenform ab und ist nicht in jedem Fall im voraus festzulegen. Bei planen Reflexionsgirtern wird die Teilung in eine Metalloberflache geritzt. Meistens ist das Spiegelmetall auf einen Glastrager aufgedampft. Welches Metal1 verwendet wird, richtet sich auch nach dem vorgesehenen Spektralbereich. Im Ultravioletten eignet sich z. B. Aluminium, Bei Reflexionsgittern 1 a t sich mit entsprechend geformten Diamanten im allgemeinen eine vorgeschriebene Furchenform gut annaern. Das gilt besonders fiir Gitter, die im langwelligen Spektralbereich (Infrarot) eingesetzt werden, weil dam die Gitterkonstante groDer sein kann.Reflexionsgitter sind im wesentlichen Phasengitter, d. h,die Phase ist eine periodische Funktion des Ortes. Die Ordnungen liegen auch beim Reflexionsgitter in den aus (5.40)
berechneten Richtungen. Der Richtungskosinus a: gibt die Richtung des reflektierten Lichtes an. Nach Abb. 5.26 ist
a0 = -/
180"-&,,
also a; =
-01,.
(5.41)
Auf die Richtung des einfallenden Lichtes bezogen gilt demnach
a0+a = --.mA g
(5.42)
5.2 Dispergierende Funktionselemente
393
Fiir das ungebeugte Licht der nullten Ordnung gilt behandeln wir zwei Spezialfdle. h
01
= -ao.Hinsichtlich der Furchenfonn
gebeugtes Licht
Abb. 5.26 Beugungswinkel bei Reflexionsgittem
Das Laminargitter besitzt “kastenformige” Furchen (Abb. 5.27). Wir untersuchen die Beugung fiir senkrechten Lichteinfall und fiir niedrige Ordnungen. Bei der Stufenhdhe h haben die in den Vertiefungen reflektierten Biindel gegeniiber den auf den Erhohungen reflektierten Biindeln den lbgeren Lichtweg 2h. Die Phasendifferenz betriigt
a = -47th
(5.43)
A ‘
Fiir die Strukturfunktion gilt
1
oI
ej’, f ( ~= ) ej”’. 1,
K
<
K ~ ,
K = K ~ , KO
<
K
5 1;
8 h b g t nicht von K ab. Wir erhalten nach G1. (2.339) KO
1
a, = ejbjdK+ j d K = I + 0
Ko(ejS
- 1)
(5.45)
KO
und nach GI. (2.338)
Wegen exp (2x j rn) = 1 gilt 4,’-
1
2~ jm
(e2KjmKo - 1) (eja - 1).
(5.46)
Die Intensittit des direkt reflektierten Lichtes ist proportional zu
a,d =
8i n 1 + 4 ~ ~ ( ~ , - 1 )2s-. 2
(5.47)
394
5 Nichtabbildende omische Funktionselemente
~
Die Intensitat in der rn-ten Ordnung ist proportional zu (5.48) Am haufigsten werden Laminargitter venvendet, f i die ~ tc0 =0,5 ist. Die G1. (5.47) und
(5.48) spezialisieren sich in
a,& = 1-sin 26 -,
(5.49)
2
(5.50)
Die geraden Ordnungen fallen aus. Fiir die ungeraden Ordnungen gilt am a*m =
-.
n2m2
sin2& (rn ungerade). 2
(5.5 1 )
Wiihlen wir h = A/4, dann wird nach G1. (5.43) 6 = TC.Es ist
a& = 0,
(rn ungerade).
(5.5 2a, b)
Die nullte Ordnung, die wegen der fehlenden Dispersion bedeutungslos ist, wird unterdriickt. Die gesamte Energie ist in den Spektren enthalten. Die grol3te lntensitat hat eine Linie mit dcr Wellenliinge A.= 4h, welche “blaze-Wellenlsjlge” des Gitters genannt wird, in der ersten Ord-
Abb. 5.27 Laminargitter
Abb. 5.28 Echelettegitter
nung. Ein Vergleich von G1. (5.52b) mit dem nach G1. (2.343) gebildeten Wert ama: =1/n2m2 ( tc0 = 0 , 5 ; m ungerade) zeigt, daB die Spektren des Laminargitters die vierfache Intensitat der Spektren eines “kastenformigen” Transmissionsgitters haben. Das Echelettegitter hat “sagezahnformige” Furchen (Abb. 5.28). Die Furchenform dient wie beim Laminargitter zur Verstiirkung der Intensitat in den hoheren Ordnungen. Das Echelettegitter hat den Vorteil, daI3 das Hauptmaximum in jede beliebige Ordnung gelegt werden kann. Die Flanken einer Furche sollen einen rechten Winkel miteinander bilden. Das Lichtbundel treffe senkrecht auf die lange Flanke auf (Abb. 5.28). Es gilt A L = 2tcga0, also 6 =
4xKgCXo
A . .
(5.53)
Wir fiihren die Abkiirzung 2nga0/A= c ein. Die Strukturfunktion lautet f ( ~= j
e2Jcx.
(5.54)
5.2 Diswrnierende Funktionselemente
395
Nach G1. (2.338) und G1. (2.339) erhalten wir die Fourier-Koeffizienten durch (5.55)
und (5.56) Die Intensitaten sind proportional zu 2
(5.57)
bzw. zu sin (c+ m x)
(5.58)
Wenn wir verlangen, daR die m-te Ordnung in Richtung des einfallenden Lichtes reflektiert wird, dann muB a = a, und nach G1. (5.42)
ml
2a0 = --
g
(5.59)
sein. Mit G1. (5.59) ergibt sich c = - m n sowie aus G1. (5.57) und G1. (5.58)
44 = 0 ,
a,a: = 1.
(5.60a, b)
Die aus G1. (5.59) folgende Wellenlahge A = - 2@g/m ist die blaze-Wellenlhge des Gitters. Die nullte Ordnung fdlt weg, und die m-te hat eine besonders hohe Intensittit. Echelettegitter werden besonders fiir Untersuchungen im infraroten Bereich eingesetzt. Die geringe Intensittit der Strahlungsquellen erfordert eine gute Ausnutzung der Energie in diesem Spektralbereich. Konkave Reflexionsgitter. Die Plangitter haben den Nachteil, daR sie nur in Verbindung mit abbildenden Optiken verwendbar sind. Werden dazu Linsen benutzt, dam kann deren Farbfehler stiiren. Bei Linsen und bei Spiegeln setzt die WellenlhgenabMgigkeit der Durchlksigkeit bzw. der Reflexion die LichtsWke herab. Die maximalen Beugungswinkel sind durch &e Fassungen begrenzt. Diese Nachteile lassen sich teilweise beheben, wenn das Gitter die Abbildung selbst ubernimmt, was bei den Konkavgittern der Fall ist. Konkave Reflexionsgitter stellen Hohlspiegel dar, deren zu den Gitterstrichen senkrechte Sehne gleichm5Big geteilt ist (Abb. 5.29). Konkavgitter eignen sich fiir den gesamten optischen Spektralbereich, besonders aber fix den ultravioletten Bereich. Konkave Reflexionsgitter werden von unserer Theorie der Beugungsgitter nicht erfaRt, weil wir stets uber eine ebene Flache integriert und Parallelbundel vorausgesetzt haben. Wir entwickeln daher eine vereinfachte Theorie des Konkavgitters, bei der nur die Lage der Beugungsmaxima bestimmt wird. Der EinLluB der Suu‘on bleibt unberiicksichtigt, so d& wir keine Beziehung fiir die IntensitPtsverteilunggewinnen.
396
5 Nichrabbildende optische Funktionselemente
In Abb. 5.29 sei S der Beleuchtungsspalt, S‘ der Ort der Registriereinrichtung (2.B. des Films). Die Gitterstriche stehen senkrecht auf der Zeichenebene. S und S’ sollen so gelegt werden, dal3 das Spekuum in S’ scharf abgebildet wird. Durch die Beugung am Gitter kommt von jeder Furche ein schmales Bundel, das wegen der kleinen Gitterkonstanten in sich keine nennenswerten Phasendifferenzen besitzt, zum Punkt S‘. Damit in S’ die m-te Ordnung der Wellenliinge A abgebildet wird, muR fiir jede Furche l+l‘ = l O + l i + k . m d
(5.61)
gelten; k ist die von der Mitte aus geziihlte Nummer der Furche. Gleichmsige Teilung der Sehne bedeutet gleichmiU3ige Teilung der y-Achse, also
Y = k.g.
(5.62)
Mit G1. (5.62) eliminieren wir k aus G1. (5.61):
+-.mYd
1 +1’ = lo +1;
(5.63)
g
Wir berechnen 1. Es ist nach Abb. 5.29
l2 =
(5.64a)
+(yo - y Y ,
(Z-Sl2
1; = s2+y;,
(5.64b)
r2 = ( z - r ) ’ + y 2 .
(5.M)
Wir setzen z aus G1. ( 5 . 6 4 ~in ) G1. (5.64a) ein, vernachlksigen z 2 gegenuber y2 und erhalten 1 = 1,
J
1+, ;02[
1--
s) --2;T*
(5.65)
Die Reihe (5.66) brechen wir mit dem in y quadrdtischen Glied ab und eliminieren y; mit Hilfe von GI. (5.64b). Es ergibt sich 2
1 = l o + - [Y s
s 2 ’ lo 1;
1
YYO 10
(5.67)
5.2 DismreierendeFunktionszlemente
397
Die Berechnung von I' verlauft nach dem gleichen Schema. Wir setzen 1 und 1' in G1. (5.63) ein. Die Gleichung (5.68)
muB fiir smtliche aus GI. (5.62) folgenden y-Werte erfiillt sein. Dies ist nur moglich, wenn die Koefizienten der Potenzen von y einzeln verschwinden. Aus Yo +-YI, = 10
G
--mk
(5.69)
g
folgt mit (Abb. 5.29)
die Beziehung a0
+a =
--. mA
(5.70)
g
G1. (5.42) fiir die Richtung der Maxima gilt auch beim Konkavgitter. Die Gleichung (5.71) ist am einfachsten zu erfiillen, wenn
sr = I:,
s'r = 1L2
s 1 s ' 1 = -, ,2 = - oder 1, r 1, r
(5.72a, b)
gesetzt wird. In G1. (5.72a, b) driickt sich der Satz von Euklid beziiglich zweier rechtwinkliger Dreiecke aus, deren Hypotenuse der Durchmesser eines Kreises mit dem Radius r/2 ist (Abb. 5.30).
Bei einem Konkavgitter mussen Beleuchtungsspalt und Empfhger auf einem Kreis mit dem Radius r/2, dem sogenannten Ruwlund-Kreis,liegen. Bei einem Konkavgitter wird mit schragen Biindeln abgebildet. Deshalb liefert es astigmatische Bilder. Es gibt verschiedene Anordnungen, bei denen der Fehler gering ist (vgl. [8]). h e r konsmktive Liisungen zur zwangsweisen Fiihrung von Spalt und Bild auf dem Rowland-Kreis lese man ebenfalls in [S] nach.
398
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Teilungsfehler lassen sich bei der Gitterherstellung nicht vermeiden. Sie werden nach ihren Auswirkungen eingeteilt. Periodische TeilungsfeNer werden durch die F’rkzisionsschrauben, die dem Verschieben um die Gitterkonstante dienen, und durch den Antrieb der Teilmaschine hervorgerufen. Im Spektrum auiuaern sie sich in falschen Linien, die symmetrisch zur Mutterlinie liegen und Gittergeister genannt werden. Statistische Teilungsfehler driicken sich in zufaligen Schwankungen der Furchenlage und der Furchenform aus. Sie erzeugen Streulicht und heben damit den Untergrund des Spektrums an. Fortschreitende Teilungsfehler, wie z. B. ein gleichmal3iges Anwachsen der Gitterkonstanten in einer Richtung, rufen bei Plangittern fokale Eigenschaften hervor. Bei Konkavgittern fiihren sie zu einer scheinbaren hderung des Kriimmungsradius. Ntihere Ausfiihrungen uber Teilungsfehler sind in [8] enthalten. Holografische Gitter sind frei von Teilungsfehlern. Sie werden durch das Uberlagern zweier Teilbundel eines Lasers innerhalb einer Fotolackschicht erzeugt (im allgemeinen mit UVStrahlung). Bei entsprechender Behandlung des Fotolacks ergibt sich eine kosinusformige Dickenverteilung (siehe 4.4.8). Nach einer Bedampfung mit Metal1 lassen sich daraus Reflexionsgitter herstellen. Auch die bisher behandelten Strukturfunktionen sind holografisch zu realisieren. Urn im linearen Bereich der Empfindlichkeit der Empfagerschichten zu bleiben, ist es gunstig, wenn die Intensitat der Signalwelle und der Referenzwelle verschieden sind. Statt G1. (4.485) gilt dam
(5.73) mit dem Kontrast (5.74) Das hat beim Transmissionsgitter die Konsequenz, daR die Beugungseffektivitat auf K2/16 herabgesetzt ist (bei I, = 91, ist K = 0,6, und die Beugungseffektivitat betragt 0,0225). Das Phasengitter mit der Smkturfunktion f(K)
=
ejbcosznK
(5.75)
erzeugt in den Beugungsordnungen nach [ 191 die zu a,a;
=
J36,)
(5.76)
proportionale Intensitat. Das Maximum liegt in den k 1. Ordnungen (abgesehen von der 0. Ordnung). Aus (5.77) folgt fiir das Maximum J , / 6 , = J,. Die Losung dieser Gleichung lautet 6, = 1,841, womit sich J: = 0,339 ergibt. Die Beugungseffektivitat des kosinusformigen Phasengitters betragt also 0,339 und ist damit bedeutend grofler als beim kosinusformigen Amplitudengitter. Da die Modulationstiefe
5.2 Dispergierende Funktimseiemente
399
2a0 beuagt, ergibt sich die gunstigste Profiltiefe aus 26, = ( 2 x A L / A )zu AL =(Afi0)/n (bei 6, = 1,841 ist A L = 0,6A, also bei A=500nm etwa AL=300nm).
5.2.3
Etalons
Etalons sind dispergierende Funktionselemente, deren Hauptfunktion auf der Interferenz des Lichtes beruht. Etalons im engeren Sinne stellen planparallele Platten mit ortlich konstanter optischer Dicke dar, deren Oberflachen stark reflektieren. Etalons dienen der Erzeugung von Mehrfachbundeln, die so miteinander interferieren, daB Haidingersche Ringe entstehen (vgl. 2.5.3). Die optische Dicke nd mul3 bis auf Abweichungen von 10 nm konstant sein. Das Reflexionsvermogen der OberEichen ist entweder durch je eine Metallschicht oder durch dielektrische Mehrfachschichten angehoben (die Wirkungsweise wird in 5.3.2 erlautert).
Quelle
piezoelektrischer Einstellunn
chromator
Abb. 5.31 Optik-Schema des Fabry-Perot-Interferometers
Etalons werden z. B. im Fabry-Perot-Interferometer eingesetzt, dessen Optik-Schema in Abb. 5.31 angegeben ist. Nach G1. (2.242)entsteht der helle Ring maximaler Ordnung in der Nme von E = 0. Seine Ordnung folgt bei n = 1 aus (5.78)
Die Brechzahl n” des Etalons ist nicht so genau meSbar, wie es fiir absolute Wellenlhgenbestimmungen notwendig wiire. Deshalb dienen Etalons zur Bestimmung kleiner Wellenlhgendifferenzen. Etalons aus Rubin, Neodymglas u. a. werden als Laserresonatoren eingesetzt.
Lummer-Gehrcke-Plattenkonnen als Etalons mit nahezu streifendem Lichtaustritt aufgefdt werden (Abb. 5.32). Der hohe Reflexionsgrad, der zur Erzeugung von Mehrfachbundeln erforderlich ist, wird nicht durch Verspiegelung, sondern durch den groaen Austrittswinkel erreicht.
-Q
Abb. 5.32 Lummer-Gehrcke-Platte
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
400
Das Licht wird uber ein Reflexionsprisma in das Etalon geleitet. Dadurch tritt das direkt reflektierte Licht nicht auf, und die Streifensysteme durch die Interferenz der auf beiden Seiten der Platte austretenden Bundel sind nahezu gleich. Die maximale Ordnung betragt nach GI. (2.217a) mit 6 = 2kx kMax
- 2n”d cos -I
(5.79)
Die Bundelanzahl folgt aus p = l / x (vgl. Abb. 5.32). Mit x = 2d. tan E” erhalten wir 1 = 2dtanE”’
(5.80)
Es werden im allgemeinen Platten mit folgenden Abmessungen verwendet:
Lsinge 100.. .300 mm, Breite 20.. .50 mm, Dicke 3 . . .10 mm. Bei der Lsinge 1 = 200 mm, der Dicke d = 10 mm und der Brechzahl n’’ = 1,52 ergibt sich E” = 41, lo, kMax= 38 800 und p = 11. Durch den streifenden Lichtaustritt sind die Anforderungen an die Ebenheit der Flache hoch. Abweichungen bringen falsche Linien mit sich, die “Geister” genannt werden. Diese sind erkennbar, wenn zwei Lummer-Gehrcke-Platten gekreuzt hintereinander angeordnet werden. Als Etalons irn weiteren Sinne konnen auch planparallele Luftplatten zwischen verspiegelten Oberflachen von Glas- oder Quarzplatten aufgefdt werden (Abb. 5.33). Die Glasplatten werden schwach keilforrnig ausgebildet, damit storende Reflexe unterdriickt werden (Keilwin-
Abb. 5.33
Luftplatten-Etalon
kel bis zu 20’). Die Luftplattendicke kann mikrometrisch, pneumatisch oder magnetostriktiv verstellbar sein. Meistens werden jedoch feste Etalons verwendet, bei denen Distanzstucke aus Invar eine bis zu 1 I r n konstante Dicke der Luftplatte garantieren. Der LbgenausdehnungsK-’ stimmt fast mit der relativen Wellenliingensinderung koefizient des Invars von 9. mit der Temperatur bei I = 590 nm in Luft uberein (9,3 K-l). Es bleibt nur die Druckabhiingigkeit der Wellenliinge zu beriicksichtigen. Luftetalons in Fabry-Perot-Interferometerndienen vorwiegend spektroskopischen Untersuchungen, z. B. der Feinstruktur von Spektrallinien.
5.2.4
Auflosungsvermogen. Dispersionsgebiet
Dispersionsprismen, Beugungsgitter und Etalons haben die Aufgabe, das Licht spektral zu zerlegen. h e Leitungsftihigkeit wird vor allem durch die Kennzahlen Auflosungsverrnogen
5.2 Dispergierende Funktionselemente
401
und Dispersionsgebiet beschrieben. Wir beschiiftigen uns zunachst mit dem Auflosungsvermogen.
l
Das Auflosungsvermogen ist der Kehrwert des gerade noch trennbaren relativen Wellenliingenintervalls.
Da nur der Betrag der Wellenliingendifferenz von Bedeutung ist, definieren wir das Auflosungsvermdgen durch A =
l&l,
(5.81)
Die Berechnung des Auflosungsvermogens im konkreten Fall ist eine Frage der Vereinbarung. Als Giitefunktion wird die durch Interferenz oder Beugung entstehende Intensitiitsverteilung verwendet. Durch ein Gutekriterium, das einer Aussage uber die notwendige Einsattlung der durch die Addition der Intensitatsverteilungen f i r die Wellenliinge 1+ dA entstehenden Gesamtintensitat entspricht, wird die Gutezahl Auflosungsvermogen abgeleitet (Abb. 5.34).
Beim Etalon mit endlicher Bundelanzahl besteht das Interferenzbild aus Hauptmaxima, zwischen denen Minima und Nebenmaxima liegen. In diesem Fall legen wir fest:
I
Das Wellenliingenintervall dA wird aufgelost, wenn das Hauptmaximum der Wellenliinge A mit dem ersten Minimum der Wellenliinge 1+ dA zusammenfiilt.
Fiir die Phasendifferenz gilt allgemein
6 = -2n AL.
a
(5.82)
Differentiation nach 1 ergibt d6=
--2* ALdl. A*
Division von G1. (5.83) durch G1. (5.82) fiihrt auf d6 - --d3L
A’
6
(5.83)
(5.84)
Bei der Interferenz endlich vieler Bundel erhalten wir nach G1. (2.236) Hauptmaxima fiir 6 = 2kn, k = 0 , 1 , 2,...
Das erste Minimum liegt nach G1. (2.239) um d6 =
a P
402
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
vom Hauptmaximum entfernt. Damit folgt aus G1. (5.84) (5.85)
Das Auflosungsvermogen ist der Bundelanzahl und der Ordnung der Interferenzstreifen proportional. Beim Etalon mit unendlicher Bundelanzahl sind keine Nebenmaxima der Intensitat vorhanden (Abb. 2.73). Die “Schiitfe” der Hauptmaxima wird durch deren Halbwertsbreite charakterisiert. Wir vereinbaren deshalb als Kriterium zur Ableitung des Auflosungsvermogens:
I
Zwei Intensitatsverteilungen sind auflosbar, wenn ihre Hauptmaxima um die Halbwertsbreite auseinanderliegen (Abb. 5.35).
Abb. 5.35 Halbwertsbreite bei der Interferenz unendlich vieler Bundel
Nach G1. (2.229) erhalten wir die Phasendifferenz 6 =,,a, nahme der maximalen Intensitat auf I ” / I = 0,5 fiihrt, aus 1
I” = I
1 + x s i n 2 ( A 60 . +5 2~ k n (l-R)*
)
= 0,5
+ A&
= 2 k TC
+ AS,=,, die zur Ab(5.86)
oder (5.87) 2 )AaO5/2 gesetzt werden A6,,/2 wird als kleine Grol3e angenommen, so da13 ~ i n ( A 6 , , ~ / = kann (gilt etwa fiir R 2 0 , 8 ; bei R = 0,8 ist der exakte Wert = 0,2241, der Niiherungswert AS,,5 = 0,2236). Es ergibt sich fiir die gesamte Halbwertsbreite 2A6,,5 =
2(1- R) ~
a
(5.88)
und fiir die relative Halbwertsbreite (5.89)
5.2 Dispergierende Funktionselemente
403
Einsetzen von GI. (5.89) in GI. (5.84) fiihrt auf
Wir nennen die GroBe nJii 1-R
(5.91)
Pe = -
“effektive Biindelzahl” und erhalten analog zu G1. (5.85) (5.92)
Bei R = 0.81 ist pe = 15; bei R = 0,9 ist pc = 30. Die effektive Biindelanzahl steigt stark mit dem Reflexionsvermogen an. Beim Beugungsgitter besteht das Beugungsbild aus Hauptmaxima, Nebenmaxima und Nullstellen der Intensitiit. Das Kriterium der Auflosung ist dem fiir Etalons mit endlicher Biindelanzahl analog:
I
Das Wellenliingenintervall dil wird aufgelost, wenn das Hauptmaximum der Wellenliinge A mit der ersten Nullstelle der Wellenliinge A + dil zusammenfiilt.
Ein Hauptmaximum liegt in der Richtung
a,-a = -.m A
(5.93)
d(a0 -a) =
(5.94)
g Differenzieren ergibt
g
Division fiihrt auf (5.95)
Wir setzen nach GI. (2.329) und GI. (2.331) (5.96a, b)
und erhalten (5.97)
Das Auflosungsvermogen hiingt nicht unmittelbar von der Gitterkonstanten ab. Diese wirkt sich nur indirekt aus, weil die Gesamtlinienanzahl N bei vorgegebener Gitterbreite der Gitterkonstanten umgekehrt proportional ist. Das Auflosungsvermogen ist in hoheren Ordnungen besser. Die maximale Ordnung der Gitterspektren ist jedoch begrenzt. Da a und a, Richtungskosinus sind, mul3 fiir eine beliebige Lichteinfallsrichtung
a,-1 I a,-a I a,+1
(5.98)
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
404
sein. Mit G1. (5.93) folgt daraus g -(aO-l) 5 m I -g( a o + l ) .
Bei senkrechtem Lichteinfall ist
-xg
(5.99)
a
A
01, = 0, also
I rn I -.g
(5.100)
a
Die Spektren liegen, wie zu emarten war, symmetrisch zum ungebeugten Licht. Bei streifendem Einfall wird clo= 1 und nach G1. (5.99) O I m I - 28 .
(5.101)
a
Wir erhalten nur die eine Hafie der Spektren, und dadurch ist die maximale Ordnung doppelt so grolj wie bei senkrechtem Lichteinfall. Aus G1. (5.100) lesen wir ab, dal3 die Gitterkonstante mindestens der Wellenliinge gleich sein mu& wenn noch die erste Ordnung auftreten soll.
Dispersionsprisma. Wir berechnen das Auflosungsvermogen des Dispersionsprismas fiir Parallelbundel. Es ist dann E , konstant, und fiir das sogenannte Dispersionsvermogen (6 ist hier die Ablenkung, nicht die Phasendifferenz) finden wir d 6 - d 6 dn (5.102) dh dn d h ’ Wenn 6 = - q
+&;
- y und .c2= & ; + y ist, gilt
(5.103a, b) Die Berechnung von d&;/dn aus den Prismendaten wird in Tab. 5.5 ausgefiihrt (Abb. 5.36). Es ergibt sich mit G1. (5.102) (5.104) A
Abb. 5.36 Zur Ableitung des Auflosungsvermogens des Prismas
Weiter wird in Tab. 5.5 abgeleitet, da13 fiir die Mnimalablenkung (b’ = b, 1 = lB gesetzt) sin y
cos E; cos E;
- -1,
b
(5.105)
gilt. Darin ist lB die Basisliinge des Prismas, b die Breite des einfallenden Parallelbundels.
405
5.2 Dispergierende Funktionselemente
Aus GI. (5.104) und GI.(5.105)folgt (5.106)
Das Auflosungsvermogen wird durch &e Beugung des Lichtes am Spalt n i t der Breite b begrenzt. (Die Tatsache, da6 eigentlich ein Rechteck der Breite b und der Prismenlhge 1 gebeugt wird, hat fiir die Auflosung keine Bedeutung.) Die erste Nullstelle der Wellenliinge Tabelle 5.5 Ableitung des AuflosungsvermBgens fiir das Dispersionsprisma Brechungsgesetz ( 1. Flache) nsinei-siniq = O
Brechungsgesetz (2. Flache) sine; -nsine2 = 0
Differentiation nach n de’ ncose;‘+sine; = 0 dn
Differentiation nach n
Urnformen - - -- de2 = dn dn
&:
I
c o ~ ede‘ ; ~ - s i n e ~ - n c o s e2 de, = 0 dn dn
1
I
Urnformen
1 sine; n cose:
Einsetzen dE;=--sine, COSE; dn
COSE,
sine;
COSE~COSE~
Haupmenner, Additionstheoreme d&; - - sin(&,-&:) dn cose; C O S E ~ Anwenden von E , - &I = y und d&;ldn = d6/dn
I
I
Anwenden des Sinussatzes im Dreieck ABC
Urnformen
x = I-
I
Gleichsetzen
*
COSE:
sin 7
Anwenden der Winkelfunktionen im Dreieck AEB sin(9W-E;) = 1 b’ Umformen x = - b’ cos E;
I
1 Gleichsetzen 1 sin y b’ - cose; COSE;
t
I
I
406
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
A+dA, die hijchstens mit dem Hauptmaximum der Wellenlhge hort zur Ablenkung
A
zusammenfallen darf, ge-
d 6 = -.A b
(5.107)
Gleichsetzen von d6 nach G1. (5.106) und G1. (5.107) ergibt fir das Auflosungsvermogen (5.108) Das Auflosungsvermogen des Dispersionsprismas mit Minimalablenkung ist seiner Basisliinge und der Dispersion des Prismenwerkstoffs proportional. Die Funktion n = n ( A )ist ftir die Glaser SF 644/344 und SK 622/600 in Abb. 2.39 dargestellt. Die Tangente an die dort dargestellten Kurven ergibt die Dispersion dn/dk Es ist zu erkennen, daR die Dispersion und damit das Auflosungsvermogen nach dem kurzwelligen Bereich hin zunimmt. Dispersionsgebiet, Zwischen der Intensitatsverteilung eines dispergierenden Funktionselements und der Wellenliinge l a t sich nur dann ein eindeutiger Zusammenhang herstellen, wenn jedem MeSpunkt der Intensitat eine Wellenliinge zugeordnet ist. Es kommt jedoch vor, daR sich in bestimmten Gebieten die Interferenzmaxima verschiedener Ordnung uberlagern.
I
Das Dispersionsgebiet ist der Wellenliingenbereich, in dem zwischen dem Ort und der Wellenlange ein eindeutiger Zusammenhang besteht.
*
Spektrurn m-ter Ordnung
,r
-----
I
I
I
I
.---------
I
Dispersionsgebiet d e n
-
Dispersionsgebiets
Abb. 5.37 demonstriert das Dispersionsgebiet fiir die Spelctren eines Beugungsgitters. Die Ablenkung des Lichtes fur die eine Grenze des Dispersionsgebiets der m-ten Ordnung l u t sich folgendermaBen ausdriicken: (5.109)
Daraus folgt fiir das Dispersionsgebiet
A,-&
A.
= 1.
m
(5.110)
Allgemein formuliert gilt also (5.11 1)
5.3 Filternde Funktionselemente
407
Die analoge ijberlegung fiir Etalons fiihrt auf das Dispersionsgebiet in der Schreibweise
AA =
-.Ak
(5.112)
Das Dispersionsprisma erzeugt nur ein Spektrum, so daB der Begriff des Dispersionsgebiets gegenstandslos ist. Das ausnutzbare Wellenlshgenintervall ist in erster Linie durch die Absorption des Prismenwerkstoffsbestimmt. Bei Beugungsgittern ist die Ordnung wesentlich kleiner als bei Etalons, so daR bei ihnen das Dispersionsgebiet groSer ist. Bei Etalons ist im allgemeinen eine Vordispersion mit einem Gitter oder einem Prisma erforderlich, damit nur Licht des Dispersionsgebiets aufgespalten wird. Tab. 5.6 enthat eine Ubersicht uber das Auflosungsvermogen und das Dispersionsgebiet der drei behandelten Gruppen von dispergierendenFunlctionselementen. Tabelle 5.6 Aufldsungsverrnogen und Dispersionsgebiet bei A = 500nm
Daten
Ordnung
Auflosungsvennbgen
Dispersionsgebiet in nm
~~
Flintglas-Prima Liniengitter Etalon
b = l00mm N = 100000 Pe = 60
-
m = 2 k = 8OOoo
5.3
Filternde Funktionselemente
5.3.1
Absorptionsfilter
10 000 200 000 4800000
250 0,00625
Die filternden Funktronselemente im Sinne dieses Abschnitts konnten vollstiindig als Zeitfrequenzfilter bezeichnet werden.
I
Filternde Funktionselemente veribdern die spektrale Zusammensetzung des Lichtes. Farbfilter haben einen eingeschrWen spektralen Durchlasigkeitsbereich, Kantenfilter eine kurz- oder langwellige Grenze. Monochromat- oder Linienfilter erzeugen quasimonochromatischesLicht.
Filter betrachten wir als Funktionselemente. Die hderung der spektralen Zusammensetzung des Lichtes ist auch mit Geraten Itisbar, bei denen dispergierende oder filternde Funktionselemente eingesetzt sind (Monochromatoren). AuRerdem konnen optisch wirksame Flkhen eines optischen Systems so behandelt werden, daR dem Gesamtsystem eine Filterwirkung zukommt. Wir rechnen die Reflexionsshderung von Oberfltichen, die ebenfalls wellenliingenabhshgig ist, zu den Filterwirkungen. Die mtiglicherweise mit der Reflexion verbundene Richtungsshderung des Lichtbiindels uberlagert sich der Filterung als Nebenfunktion. Tab. 5.7 erhiilt eine Ubersicht iiber physikalische Effekte, die einzelnen Filtertypen oder Geriiten zugrunde liegen.
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
408
Tabelle 5.7 Physikalische Effekte, filternde Funktionselemente und Gerate ~
~
~
~~
~~
Effekt
Funktionselement
Geriit
Totalreflexion
Turner- Filter
-
Absorption
Farbgllser
-
Dispersion Interferenz Beugung
-
Prismenmonochromator Interferenzfilter- Monochromator Gittermonochromator
Interferenzfilter -
Absorptionsfilter beruhen auf der wellenliingenabhiingigen Absorption von optisch durchIksigen Stoffen. Planparallel geschliffene Farbglker stellen die hochwertigsten Absorptionsfilter fiir optische Gerate dar. Sie sind besonders bekannt als Filter fiir fotografische Aufnahmen. Gelegentlich werden auch mit organischen Farbstoffen eingefiirbte Gelatine- oder Folienfilter verwendet. Die fiir Absorptionsfilter charakteristischen Kennzahlen w d e n bereits in 2.3.1 abgeleitet. Anstelle der dort verwendeten spektralen Intensitat kann in die Gleichungen auch der spekkale Strahlungsflul3 eingesetzt werden (analog zu den Ausfiihrungen in Kapitel 3). So gilt z. B. fiir den spektralen Transmissionsgrad (5.113) Der visuelle Helligkeitseindruck eines Filterglases wird durch den Lichttransmissionsgrad
78pk T,",d*
T" =
360 om 780 nrn
(5.1 14)
j@e,hvLda 360 nm
bestimmt. Der Glaskatalog enthat adjerdem noch Angaben zu den Farbwertanteilen x, y und den Helmholtz-MaJ3zahlen aftpe fiir verschiedene Normlichtarten. In Tab. 5.8a, b findet man einen Uberblick uber die Einteilung der Farbglaser, die im Katalog des Jenaer Glaswerkes angewendet wird. Die Kombination der Merkmale kennzeichnet ein Filterglas. So bedeutet z. B. IK einen Kantenfilter, der fiir IR-Strahlung durchltissig ist. WeiOglker sperren UV-Strahlung, sind aber im VIS- und IR-Bereich transparent. Farbtemperatur2ndernde Gliiser ermoglichen die hderung der Farbtemperatur eines Strahlers auch nach hoheren Werten hin. Die daraus hergestellten Konversionsfilter sind durch die "Mired-KenngroRe" gekennzeichnet (micro reciprocal degree). Diese folgt aus dem Wienschen Strahlungsgesetz 1221 zu
1-1 = 10-6AM 62 61
(5.115)
(T,,, Tf2 Farbtemperaturen, JAM1= 15,30,60,120 prd bei den handelsublichen Konversionsfiltern des Jenaer Glaswerkes). Umwandlung in eine hohere Farbtemperatur erfordert AM < 0, die Filter sehen blaulich aus; Umwandlung in eine niedrigere Farbtemperatur ist bei AM > 0 gegeben, die Filter sehen braunlich-rot aus. Abb. 5.38 enthiilt fiir einige Beispiele die Reintransmissionsgrade fiir die Einheitsdicke als Funktion der Wellenlhge.
409
5.3 Filternde Funktionselemente Tabelle 5.8a Einteilung der Farbgliker nach dem spektralen Transmissionsbereich U(V)-Glber Blauglber Griingliker Gelbgriinglber Gelbglwr OrangeglWr Rotgl-r
U B V GV G 0 R
I(R)-Gliker WeiDglkr Bandengiber Neutralglber Wmeschutzg1;iser Farbtemperaturiindernde Glslser
I W M N C FB FR
Tabelle 5.8b Einteilung der Farbglkr nach dem charakteristischen spektralen Transmissionsverlauf Kantenglber Anlaufglber Einmaximumglber
K A E
Doppelmaximumglslser Bandenglber
D (300.. .800 nm)
I I
I I I
X i n nm
-
t
1000
ILOO
-
1800 2200 kin n m
' 2600
3000
Abb. 5.38 Reintransmissionsgrad von Farbfiltern als Funktion der Wellenlslnge
Code-Nr. 726 (WeiOglas WG 10). 671 (Griinglas VG 12), 771 (IR-KantenglasUG7)
5.3.2
Interferenzflter mit Absorption
Die Herstellung von Interferenzfiltern wurde moglich, nachdem die Technologie dunner Schichten industriell beherrscht wurde.
I
Interferenzfilter enthalten Systeme aus diinnen Schichten, in denen das Licht so interferiert, dai3 der spektrale Transmissionsgrad oder der spektrale Reflexionsgrad an einen vorgegeben Verlauf weitgehend angeniihert wird.
Entsprechend dieser Begriffsbestimmung unterscheiden wir Interferenztransmissions- und Interferenzreflexionsfilter. Ein Teil der diinnen Schichten muS geniigend durchsichtig sein. Wegen der geringen Schichtdicken konnen wir die Absorption in Nichtleitern vernachlbsigen. Wir bezeichnen
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
410
deshalb ein System aus nichtleitenden Schichten als lnterferenzfilter ohne Absorption. Interferenzfilter mit Absorption enthalten duMe und damit teildurchlassige Metallschichten. Wir behandeln zuniichst den theoretisch einfachen Fall der nichtleitenden Einfachschicht zwischen teildurchliissigen Metallschichten (Abb. 5.39).
n.1 "2
n3
zwischen Metallschichten
Interferenzflter mit Absorption (Einfachschicht). Die Anordnung nach Abb. 5.39 ist dem Fabry-Perot-Etalon analog. Die Metallschichten haben zwei wesentliche Wirkungen: Erhohung des Reflexionsgrades an den Oberflachen der nichtleitenden Schicht; - hderung der Phase des Lichtes (Phasenspnmg). -
Die Reflexion an den Adenflachen der Trager ist fir die Interferenz unwesentlich; sie geht in den Transmissionsgrad des Filters ein. Wir berechnen den Reintransmissionsgrad eines Filters, auf den eine ebene Welle trim. Innerhalb der nichtleitenden Schicht treten Mehrfachreflexionen auf. Shtliche im hindurchgehenden Licht enthaltenen Bundel mussen durch beide Metallschichten gehen, wobei die komplexen Amplituden um die Faktoren tl und t2 geschwacht und in der Phase um exp j ( 6 d l + a d 2 ) geiindert werden. Die Groaen t,, t 2 , a d , , 6 d 2 folgen aus den Formeln fiir die Metallreflexion. Gegenuber dem direkt hindurchgelasenen Licht haben die ubrigen Bundel je zwei zusatzliche Metallreflexionen mit dem Reflexionsfaktor r, r2 und der Phaseniindenmg 6,, + ar,erfahren. Zwei aufeinanderfolgende Bundel haben die Phasendifferenz 6 durch den Wegunterschied in der Schicht. Die komplexe Amplitude eines beliebigen Biindels lautet also = at1 2 . e j ( b , + & 2 ) ( 1
2 1L-l. e j W - l ) ( 4 , + & 2 ) ,
ej(k-1)6.
(5.1 16)
Wir nehmen an, daD beide Metallschichten gleich sind. Ferner verwenden wir den Energiesatz in der Form R+T+A = 1 (R Reflexionsgrad, T Transmissionsgrad, A Absorptionsgrad). AuRerdem ist analog zu G1.
(2.201) und G1. (2.202)
qr2 = q2 = R
(5.117)
= 1-R-A
(5.118)
und tit2
zu setzen.
5.3 Filternde Funktionselemente
Wegen der gleichen Einfallswinkel an den Metallschichten ist (5.117)undGl. (5.118)gehtGl. (5.116)iiberin a;( = a ( l - ~ - ~ ) . e j ( s " l + " " 2 ~ k - l . eZj(k-1)6,.ej(k-l)s
41 1
Sr,= Sr, = Sr . h4it G1. (5.1 19)
Die durch Interferenz der Teilbiindel entstehende Amplitude betragt (5.120) Die Summation wird mit der Formel fiir die Summe der unendlichen geometrischen Reihe ausgefiihrt. Wir erhalten (5.121)
-
(1- R A)'
1" =
(5.122)
Fiir die Maxima gilt 1-R-A
(5.123)
1-R
A+Sr = kn.
(5.124)
2
Der Transmissionsgrad hiingt vom Absorptionsgrad der Metallschichten ab und sinkt erwartungsgemS3 mit wachsender Dicke der Verspiegelung. Aus G1. (5.124) ergibt sich unter Vetwendung von G1. (2.217a)
2x n, d cos E" A0
+a, = kn.
(5.125)
Die erforderliche Schichtdicke betriigt d =
*O
2n n2 cos E"
(kn-5,).
(5.126)
Nach dem Vorbild der Ableitung von G1. (5.90) erhalten wir fiir die relative Halbwertsbreite der Durchliissigkeitsmaxima
' '
(5.127) xfi(k-$)
Analog lS3t sich auch die relative Zehntelwertsbreite berechnen. Es ergibt sich
1- A i o
1
=
3(1- R)
(5.128)
412
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Fur Interferenzfilter mit Einfachschichten gilt also allgemein A&,, = 3AAO3.
(5.129)
Wir diskutieren die Gleichungen (5.123), (5.124), (5.127) fiir senkrechten Lichtdurchgang und n, = n3.Die Ergebnisse sind dann unabh8;ngig von der Schwingungsebene des einfallenden Lichtes. Aus G1. (5.126) folgt (5.130) Fik Silberschichten gilt bei
&=0
praktisch unabhigig von der Schichtdicke angeniihert
6, = 0 , 2 5 ~ .
(5.131)
Bei Lo = 552 nm und n2 = 1,5 ergibt sich flir k = 1 eine Dicke von d = 138nm. In den hoheren Ordnungen ist d um Vielfache von Ao/2nz = 184 nm zu vergroDern. Die Eigenschaften zweier Filter, die sich in der Dicke der Silberschichten unterscheiden, sind in Tab. 5.9 zusammengestellt. Folgende allgemeingultigen Ergebnisse sind abzulesen: Ein hoherer Reflexionsgrdd setzt den Transmissionsgrad stark herab. - Ein Filter 1. Ordnung l a t auch Licht mit kleinerer Wellenliinge hindurch. - Ein Filter hoherer Ordnung l a t auch Licht hoherer und niedrigerer Wellenliinge hindurch. - Filter hoherer Ordnung haben geringere Halbwertsbreiten. -
Tabelle 5.9 Vergleich von vier Interferenzfiltern
1
Filter I
Filter I1
R
0,86
A
0,02 0,12 0,734
0,945 0,025
I. Ordnung d (in nm)
0,03
AM,
0,298
6.4%
2.4%
T I;, /I
Filter I und Filter I1
(innm)
138 552 236,57 1503
1. Ordnung
4. Ordnung d (in run)
A,, 4. Ordnung
0,48W
(in nm)
690 2760 1182 752,73
552 435,74
Sol1 ein Filter nur eine Ordnung hindurchlassen, also ein Linienfilter sein, d a m miissen wir ihn mit einem zweiten Filter koppeln, der die ubrigen Ordnungen unterdriickt. Das kann durch ein Farbglas erreicht werden. Handelsubliche Interferenzfilter enthalten deshalb eingekittete Farbglaser. Bei der Anwendung eines Interferenzfilters mussen wir darauf achten, &a13 er vom Parallel-
5.3 Filtemde Funktionselemente _ _
~
413
~
~~
~
__
biindel senkrecht durchsetzt wird. Bei kleinen Neigungen verschiebt sich sein Transmissionsgrad-Maximum nach kleineren Wellenliingen. Aus GI. (5.126) folgt (5.132) Fiir kleine Winkel gilt (5.133)
Es handelt sich um einen quadratischen Effekt, so L-LD kleine Abweic.-ungen von E” = 0 in Kauf genommen werden koMen. Abweichungen von der Parallelltiit innerhalb des Lichtbundels bewirken eine Abnahme der Wellenlhge des Lichtes nach dem Ran& zu. Bei einem Bundel mit dem Offnungswinkel2u innerhalb der Schicht ergibt sich ao(En=o)-a0(Ett=U)
= ) ~ , - a , c 0= ~ ~ 2,(i-cosu).
(5.134)
Bei u = 60’ ist also z. B.
a,(&” = 600)
=
1 A,(E” 2
= 01.
(5.135)
SchlieBlich ist zu beachten, da6 das Licht bei schrlgem Durchgang durch den Filter polarisiert wird. Die Beziehungen sind dann fiir R,, und R,, T, getrennt anzuwenden (vgl. 5.4.5). Die Intensitat in den Maxima wird auch verhdert, weil die Metallschichten wellenliingenabMgig absorbieren. Dadurch wird u. a. der Einsatz von Interferenzfiltern im Ultravioletten und Infraroten beeintrachtigt. Filterkombinationen ohne Kopplung. Interferenzfilter k0Mm miteinander kombiniert werden. Sie wirken dann so wie Anordnungen aus Farbglbern. Die Transmissionsgrade der einzelnen Filter sind miteinander zu multiplizieren, weil zwischen den wirksamen Schichten verschiedener Filter keine Interferenz des Lichtes eintritt. Wir sprechen deshalb auch von Filterkombinationen ohne Kopplung bzw. von hppelinterferenzfiltern. Durch die Reflexionen an den Filteroberflachen wird der Transmissionsgrad herabgesetzt. AuDerdem konnen bei parallelen Filtern storende Nebenbilder entstehen. Die Filter werden deshalb manchmal gegen die optische Achse geneigt. Dabei mu6 auf die veriinderte Lage des Maximums geachtet werden. Mehrfachschichten mit Kopplung. Wir sparen gegenuber den ungekoppelten Interferenzfiltern Metallschichten ein, vermindern also die Absorptionsverluste, wenn wir abwechselnd nichtleitende und leitende Schichten aufdampfen. Der Transmissionsgrad des Filters ist dann nicht mehr das Rodukt aus den Transmissionsgraden der Einzelschichten. Wegen der Interferenz siimtlicher durch das Schichtsystem hindurchgehenden Bundel mussen erst die komplexen Amplituden addiert werden, bevor daraus die Gesamtintensitiitgebildet werden kann. Die Schichten sind miteinander gekoppelt. Je weniger durchltissig die Metallschichten sind, desto geringer ist die Kopplung. Formal bestehen Analogien zu den gekoppelten elektrischen Schwingkreisen, wie sie in den Bandfiltern vorkommen. Die Transmissionsgradkurven entsprechen daher mit wachsender Kopplung - also mit steigendem Transmissionsgrad der Metallschichten - immer mehr den typischen Bandfilterkurven mit einer Einsattelung des Maximums (Abb. 5.40 a, b, c). Wir beschrwen uns auf ein Beispiel aus [ 5 ] . Es handelt sich um
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
414
einen Zweifachflter, bei dem samtliche Nichtleiter gleiche Brechzahl haben und die drei Metallschichten gleich sind. Die Daten der Metallschichten sind: Abb. 5.40a Abb. 5.40b Abb. 5.40~
Dicke d = 30 nm , Transmissionsgrad T = 0,164 ; Dicke d = 20 nm , Transmissionsgrad T = 0,30; Dicke d = 15 nm, Transmissionsgrad T = 0,40.
0)
b)
c)
Abb. 5.40 Transmissionsgrade bei gekoppelten Interferenzschichten a) Schwache, b) mittlere, c ) starke Kopplung
Tab. 5.10 enthdt industriell gefertigte Typen von Interferenzfiltern mit Absorption. Die Spezialfilter sind enger toleriert, so daR das Transmissionsgrad-Maximum genauer garantiert wird. Bei den Doppel- und Kopplungsfiltern sind zwei Filter mit unterschiedlicher Ordnung der Maxima miteinander kombiniert. Die Resonanzfilter enthalten Zweifachschichten mit Kopplung, bei denen AAOJ = 1,7A& gilt. Es handelt sich um Interferenzfilter mit einer groaeren Flankensteilheit der Maxima. Tab. 5.1 1 enthalt die Daten von jeweils einem Beispiel fiir jeden Filtertyp. Tabelle 5.10 Industriell gefertigte Typen von Interferenzfiltern mit Absorption
Bezeichnung
Abkiirzung
W -1nterferenzfilter Interferenzfilter IR-Interferenzfilter
WIF IF
W-Spezialinterferenzfilter Spezialinterferenzfilter IR-Spezialinterferenzfilter
WSIF SIF
W-Kopplungsinterferenzfilter Doppelinterferenzfil ter W-Kopplungsspezialinterferenzfilter
Doppelspezialinterferenzfilter
WKIF DIF WKSIF DSIF
Resonanzinterferenzfi lter Resonanzspezialinterferenzfilter Doppelresonanzsinterferenzfilter Doppelresonanzspezialinterferenzfilter
RIF RSIF DRIF DRSIF
IRIF
IRSIF
5.3 Filternde Funktionselemente
415
Tabelle 5.11 Beispiele von industriell gefertigten Interferenzfiltem mit Absorption ( 7 Transmissionsgrad bei der Wellenluge A , AA Toleranz der Wellenltinge kn DurchlaSmaximum, AAo.s Halbwertsbreite)
TYP
7 in %
AJnm
AA/m
AA,,/nm
100AAo,5/Ain %
WIF IF
25...30 25...35 20...30
333 546 2000
+5
f5 f 30
10...20 7...11 5 70
3...6 1,3...2 53 s
25...30 25...35 20...30
546
f 2 f 3 +12,-4
10...20 7...11 < 70
3...6 1,3...2 5 3.5 2,7.. .6,7 0,92.. ./6 2,7.. .6.7 0,92. . . / 6
2.7 ...4,6 2,7...4.6 1,8...3,7 1,8.. .3,7
IRIF
WSIF SIF
IRSIF
333 2000
DIF WKSIF DSIF
15...20 8...15 15...20 8.. .15
225 546 225
f4 f 5
546
f 3
6...15 5 . .9 6...15 5 . .9
RIF RSIF DRIF DRSIF
40...60 40...60 20...30 20.. .30
546
f5 f 3 f5 +3
15...25 15.. .25 10...20 10...20
WKIF
5.3.3
546
546 546
f2
Dielektrische Mehrfachschichten
Einfachschicht. Eine diinne nichtleitende Schicht zwischen gleichen Tfigerplatten mit einer anderen Brechzahl erzeugt wegen des geringen Reflexionsgrades der Grenzflachen nur zwei Bundel wesentlicher Intensitat. Der Transmissionsgrad h> kosinusformig von der Wellenliinge ab. Die Einfachschicht ist als Filter wenig geeignet. Die Metallschichten in den Interferenzfiltern mit Absorption dienen der Erzeugung vieler interferierender Bundel. Ihr Nachteil ist die Absorption, die bei kleinen Halbwertsbreiten nur geringe Transmissionsgrade ennoglicht. Die absorbierte Energie wird in W W e umgewandelt. so dao bei hohen Intensitaten Ver2nderungen im Filter auftreten kijnnen. Mehrfachbundel miissen aber auch entstehen, wenn nichtleitende Schichten mit abwechselnd hoher und niedriger Brechzahl verwendet werden (damit der Reflexionsgrad der Grenzflachen merklich ist). Deshalb eignen sich auch Schichtsysteme, die nur nichtleitende Schichten enthalten, als Interferenzfilter. Die Transmissionsgradkurven solcher Filter haben wegen der starken Kopplung der Schichten den Charakter von Bandfilterkurven. Behandlung von Schichtsystemen. Wir gehen von den Gleichungen (2.47a, b) und (2.48a, b) aus, die fiir eine Grenzflache gelten. Sie haben sich unmittelbar aus der Forderung ergeben, dal3 die Tangentialkomponenten der elektrischen und der magnetischen Feldsttirke an der Grenzflache stetig sind. Bei zwei Grenzflachen ist im Inneren der Schicht an der ersten Grenzfliiche noch der Anteil al” zu addieren, der durch die Reflexion an der zweiten Grenzflache zuriicklauft (Abb.
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
416
5.41). Wir beschriinken uns zunachst auf den Fall der senkrecht zur Einfallsebene schwingenden elekuischen Feldstake. Den Index s in den Gleichungen lassen wir vorlaufig weg.
Aus G1. (2.47b) folgt fiir die komplexe Amplitude an der ersten Grenzflache a, +a; = a;+al”.
(5.136)
An der zweiten Grenzflache gilt
(5.137)
a2 +a; = a;.
Fur die komplexen Amplituden der magnetischen Feldstiirke ergeben sich aus G1. (2.48a) bis auf den Faktor der sich ohnehin herauskiirzt,
,/=,
n, (a, - a;) cos E , = n1”
(5.138)
und
cos &;I.
n, (a, -a; ) cos E, =
(5.139)
Bei nichtabsorbierenden Schichten gindert sich der Anteil a: bis zur zweiten Fliiche nur um den Phasenfaktor 6 , der aus G1. (2.217a) folgt. Analoges gilt fiir a r , nur mit entgegengesetztem Vorzeichen von 6. Wir erhalten a, = a[‘e-js und
4
= a;“ejs.
(5.140a, b)
Wir setzen die Gleichungen (5.140a, b) in die G1. (5.137) und (5.139) ein und fiihren die GroBen y,“ = nycos&r = n,cosE2,
yl = n;cosEy
(5.141, 5.142)
ein (“oben s” steht fiir “senkrecht schwingende Komponente”). Das ergibt fiir G1. (5.137) u;e-js+
=
4
(5.143)
und fiir GI. (5.139) y;(aye-js - a;”eja> =
(5.144)
Auflosen der Gleichungen (5.143) und (5.144) nach den komplexen Amplituden a; und a?
5.3 Filternde Funktionselemente
417
liefert (5.145a, b) Einsetzen von a: und u;" in G1. (5.136) sowie Anwenden der Eulerschen Formel fiihrt auf (5.146) Einsetzen von a; und a;" in G1. (5.138) sowie Anwenden der Eulerschen Formel ergibt (5.147) mit
y: =
no cos tz0 = n, COSE~
(5.148)
(no, E~ GrMen vor der Schicht).
G1. (5.146) und G1. (5.147) stellen ein lineares Gleichungssystem dar, das in Matrixschreibweise (5.149) lautet. Die Matrix (5.150) enthat die charakteristischen Daten der Schicht fiir die senkrecht schwingende Welle. Die analoge Ableitung ftir eine Welle, bei der die elektrische Feldsttirke parallel zur Einfallsebene schwingt, hat von den Gleichungen (2.47a) und (2.48b) auszugehen. Sie lauten unweggelassen) ter Einbeziehung des an der zweiten Grenzflache reflektierten Anteils (*/, (al - a ~ ) c o s ~=, (a;-ay) cose;l,
n,(al +a;) = n;(ay+a;")
(5.151, 5.152)
und (a2- a ~ ) c o s=~g~c o s ~ y , n2(a2+ a ; )
= n;u;.
(5.153, 5.154)
Mit den Gleichungen (5.140a, b) und den Abkiirzungen
kBnnen wir nun die fiir die "s-Komponente" abgeleiteten Gleichungen iibemehmen. Fiir die
418
5 Nichtabbildende oDtische Funktionselemente ~
~
~
~~
_
_
“p-Komponente” gilt (5.156) (jypsina cos6 Es kann also unabhiingig von der Schwingungsrichtung (5.157) geschrieben werden, nur ist jeweils das entsprechende y einzusetzen. Die Kopplung der zweiten und dritten Schicht wird durch (5.158)
beschrieben. Multiplikation mit M I von links ergibt (5.159) Nach dem Ausmultiplizieren der linken Seite von G1. (5.159) IiiBt sich mit den Gleichungen (5.136), (5.138), (5.140a, b), (5.141) und (5.148) zeigen, daO (5.160) ist. Es gilt also fiir k Schichten
(5.161) (a: komplexe Amplitude hinter dem System aus k Schichten) mit
(5.162) Explizit gilt
a, +a[ = m , 1 ~ + m ,y,ar, 2
(5.163)
Yo(a1-a:) = m 2 1 d + m a 2 r s 4 .
(5.164)
Setzen wir fiir den Reflexionsfaktor r = .:/a1 und den Transmissionsfaktor t = a,”/al, so ist l+r
(5.165)
1-r
(5.166)
r =
(5.167)
woraus
5.3 Filtemde Funktionselemente
419
und t =
2 yo
romll + rorsm12 +Q, + ‘Y,Q,
(5.168)
folgt. Dabei ist entsprechend den Gleichungen (5.142), (5.148). (5.155b) und (5.155~)
yi
= nocosEo,
y: = n,cosc,
r,’
=
* --
”/,
no G~
cosg‘
(5.169.5.170) (5.171, 5.172)
Der Reflexionsgrad ergibt sich aus p = \I-(’,der Transmissionsgrad aus T = 1- p. Doppelschichten. Wir untersuchen die Wirkung eines Schichtsystems, das auf einen Trager der Brechzahl n, aufgetragen ist und auf das das Licht senkrecht auftrifft. Vor der Schicht ist die Brechzahl no vorhanden. Es gilt dam P y: = ym, yo = no, ys = n,.
Fiir ein System aus zwei Schichten der Dick d0/4n mit hoher bzw. niedriger Brechzahl 1st
also cos 6,= cos a2= 0, sin 6l = sin 6, = 1 zu setzen. Es ist
(5.174)
Wegen y1= n;, y2 = n: gilt
(5.175)
Fiir den Reflexionsfaktor ergibt G1. (5.167) mit y 5 / y o= n,/no
(5.176)
F& nN-- n” erhalten wir die Matrix einer Ao/2n-Schicht: -1 = (0
0 -1).
(5.177)
420
5 Nichtabbildende optische Funktionselemenie
Periodische Schichtsysteme. Fiir ein periodisches System aus einer geraden Anzahl k von Lo/4n -Schichten abwechselnd hoher und niedriger Brechzahl gilt
(5.178)
und damit nach G1. (5.167)
(5.179)
Wird die Lo/4n-Schicht mit hoher Brechzahl (nH) symbolisch mit H (in der englischen Literatur ebenfalls H), die A0/4n-Schicht mit niedriger Brechzahl (n,) mit N (in der englischen Literatur mit L) bezeichnet, so ist das periodische System (0P no, s P ns) k
k
o ( H N ) ~ s oder o ( N H ) ~ s zu kennzeichnen. Das Hinzufiigen einer Schicht, so daS insgesamt k (ungerade) Schichten vorhanden sind, fiihrt auf k-1
0 (5.180) IYZ
(n$-
0
(das negative Vorzeichen bei n;'/n;' l a t sich durch Ausklammern des Faktors -1 und Vorziehen vor die Matrizen beseitigen). k-1
Fiir die Anordnung ON(HN)'
s lautet der Reflexionsfaktor
(5.181)
k-1
Fiir die Anordnung o ( H N ) Hs ~ sind die Matrizen folgendermaen zu multiplizieren:
M =
5.3 Filternde Funktionselemente
42 1
~~
Fiir den Reflexionsfaktor gilt
(5.183)
Dielektrische Spiegel. Periodische ho/4n -Schichtsysteme eignen sich als dielektrische Spiegel. Diese werden z. B. in Laserresonatoren und als Ersatz fiir die Metallschichten in Interferenzfiltern eingesetzt. Als Beispiel nehmen wir an, daS die Schichten auf einen Glastriiger aufgedampft sind (no = 1, n, = 1.52). Die Schichten sollen aus Titandioxid (n" = 2,4 A H) und Magnesiumfluorid (n" = 1,384 N ) bestehen. Tab. 5.12 e n w t die mit den Gleichungen (5.179), (5.181) und (5.183) berechneten Werte des Reflexionsgrades. Sie weist aus, daR bei einer ungeraden Ank-1
zahl von Schichten die Anordnung o ( H N ) ~ H svorzuziehen ist. Die Werte der Tab. 5.12 gelten naturgema nur flir die Wellenlhge, fiir die die Schichtdicken dimensioniert sind. Den spektralen Reflexionsgrad fiir einige Schichtanordnungen zeigt Abb. 5.42. Geeignete Werkstoffe fiir Schichtsysteme sind in Tab. 5.13 enthalten.
k-l
k
k
pfiir (HN)'
2
0,4131 0,7496 0,969 0.9966
4 8
12
k 3 5 9 13
k-1
pfiirN(HN)'
p fiir (HN)'H
0,1716 0,5762 0,9419 0,9935
0,7048 0.8910 0,9875 0,9999997
Tabelle 5.13 Werkstoffe fiir dunne Schichten (nach [22]) n ( A= 550 nm)
Kryolith Magnesiumfluorid Cerfluorid Zirkoniumoxid Zinksulfid Titandioxid Bleitellurid
(Na,ALF,) (MgF,) (CeF, 1
Transmissions bereich in p
lo00 1266
1850 1775 904
1415 958
(TiO, )
(PbTe)
5,O
0.39.. .14 0.4 ...12 4.. -20
Silizium
(Si)
Germanium
(Gel
3,46 4,12
1,2.. .15 1,8...23
(ZnS)
Schmelz punkt in "C
0.2 ...14 0,12. .8 0.3.. .5
1,35 1,38 1.63 2910 2 32 24
(zro,)
-
1460
422
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente 100 -
t
80-
.-
or
6040 -
20 -
Abb. 5.42 SpektralerReflexionsgradvon dielektrischen Spiegeln mit verschiedenen Mehrfachschichten (nach [21])
InterferenztXter ohne Absorption. Bei einem Interferenzfilter sind die Schichten zwischen Glastragern angeordnet. Zwischen den beiden dielektrischen Spiegeln liegt die lo /2nSchicht, die das Maximum des Transmissionsgrades bestimmt. Das fiihrt zu Anordnungen, die durch k
k-1
k-1
s(HN)THooH(NH)Ts
k
oder s(HN)?oo(NH)?s
(5.184)
zu beschreiben sind (00 steht fiir eine A. /2n0 -Schicht). Das Ausmultiplizieren der zugeordneten Matrizen ergibt die Einheitsmatrix, so da6 nach G1. (5.167)
P =
(-),
2
2 =
(5.185)
I-p
wird. Die Etalons ohne Absorption haben also eine hohe Transmission. Abgesehen von den Reflexionen an den Aul3enflachen der Tragerplatten ist ihr Reflexionsgrad nur so groS wie bei einer Grenzflache, an der sich die BrechzaN um n, -no iindert. Bei einer groflen Anzahl an Schichten kljnnen allerdings die geringe Absorption in der Einzelschicht und die Streuung den Transmissionsgrad auf Werte urn 0,5 herabsetzen. Abb. 5.43 zeigt den Aufbau eines Interferenzfilters ohne Absorption. Als Beispiel wiihlen wir n, = 1,52, ny= 2,4 (Titanoxid), n y = 1,38 (Magnesiumfluorid) und fiir die A0/2noSchicht no = 1,63 (Cerfluorid). Damit ergibt sich bei acht Schichten beiderseits der A. /2n0 -Schicht
lAFI
p8 = 0,95 und fiir die erste Ordnung 100 - = 1,63%,
bei neun Schichten
psi
p9 = 0,9796 und fiir die erste Ordnung 100 - = 0,656%, bei 13 Schichten
lA4
pI3 = 0,998 und fiir die erste Ordnung 100 - = 0,07%.
Bei 13 Schichten wiirde also die Halbwertsbreite eines Filters mit dem DurcNiissigkeitsmaximum A = 546 nm nur AAo5 = 0,38 nm betragen.
5.3 Filternde Funktionselemente
423
Ein System aus dielektrischen Spiegeln und einer Ao/2n-Schicht wird Cavity genannt. Die Kopplung mehrerer Cavity verbessert die Flankensteilheit. So ist bei einem System nach G1. (5.129) AAoJ/AAo,s = 3, bei zwei Systemen AAoJ/AAOs = 1.7 und bei drei Systemen AAo.l/AAos = 1,3.
Abb. 5.43 Aufbau eines Interferenzfilters ohne Absorption
mit der Anordnung s(HN)~HooH(NH)~s (AoSchwerpunktwellenl&-tge) Es sei noch darauf hingewiesen, daB mit dem behandelten Formalismus auch absorbierende Schichten untersucht werden koMen, wenn mit der komplexen Brechzahl gearbeitet wird [ 151.
5.3.4
Reflexionsanderung
Bei den Transmissions-Interferenzfilkrnwird das hindurchgelassene Licht ausgenutzt. Bei ihnen kommt es also auf den Verlauf des spektralen Transmissionsgrades an. Durch die Interferenz an duMen Schichten wird aber ebenfalls der Reflexionsgrad beeinflat. Sowohl die Erhohung des Reflexionsgrades von Spiegeln als auch die Unterdriickung der Reflexion an Oberfliichen haben praktische Bedeutung. Entspiegdung mit Einfachschicht. Unter der “Entspiegelung” versteht man das Bedampfen von Linsen-, Prismen- und Plattenflschen mit duMen, wenig absorbierenden Schichten zum Zwecke der Reflexionsminderung durch Interferenz. Bei den Erzeugnissen von Carl Zeiss Jena wurde fUr Einzelschichten die Handelsbezeichnung ‘T-Belag” bzw. bei mehreren Schichten “MC-Belag” eingefiihrt. Die Entspiegelung von Flkhen an Linsen. Prismen und Planplatten, die das Licht nicht reflektieren sollen, hat drei wesentliche Vorteile: Da bei der Interferenz an praktisch nichtabsorbierenden Schichten der Energierhaltungssatz erfiillt ist. ist der nichtreflektierte Lichtstrom im hindurchgelassenen Licht enthalten. E n System, dessen Elemente entspiegelt sind, ist also “lichtsttirker” als ein sonst gleiches, nichtentspiegeltes System. Das unkontrolliett reflektierte Licht ruft sttirende Nebenbilder und Reflexe hervor, die durch eine Entspiegelung weitgehend vermieden werden. Zwischen den Linsenfliichen eines Systems treten Mehrfachreflexionen auf. Dadurch entsteht Streulicht, das den Kontrast des Bildes herabsetzt. Entspiegelte Systeme erzeugen kontrastreichere Bilder als nichtentspiegelte Systeme.
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
424
Das Beispiel einer nichtabsorbierenden Einfachschicht, die auf eine Planplatte aufgedampft ist, wollen wir quantitativ behandeln. Als Planplatte sol1 auch eine polierte Metallplatte zugelassen werden. (Abb. 5.44). Die an der nichtabsorbierenden Schicht reflektierte Welle hat die
Amplitude a; = - r, A (das Minuszeichen reprsentiert den Phasensprung). Die nachste Welle, die die Schicht verlut, ist am Metall reflektiert (Faktor r2)und durch die erste Flache zweimal hindurchgelassen worden (in verschiedenen Richtungen, Faktor tltl). Sie hat gegenuber der direkt reflektierten Welle mit der Amplitude u[ auf Grund des Weges in der Schicht die Phasendifferenz 6 und infolge des bei der Metallreflexion aufuetenden Phasensprunges die Phasendifferenz 6,.Die komplexe Amplitude dieser Welle betragt
4 = r 1f1r2 A . ej(6+4), Jede weitere im austretenden Licht enthaltene Welle ist je einmal zusatzlich am Metall und von innen an der Schichtoberflache reflektiert worden. Die durch Interferenz entstehende Gesamtamplitude a' = x u ; betragt also a' = -r,A+r 1 t'r A.ej(s+6c)+t t'rr2A.e2j(8+6r)+... 1 2 1 1 1 2
oder (5.186) Nach G1. (2.201) und GI. (2.202) bestehen die Zusammenhiinge r,=&,r2=a
und t l t ; = l - K l .
Damit geht GI. (5.186) uber in (5.187) m=O
Die unendliche geometrische Reihe summieren wir. Das ergibt (5.188) Den gesamten Reflexionsgrad berechnen wir aus p = -da'* A2
(5.189) '
5.3 Filtemde Funktionselemente
425
Wir setzen G1. (5.188) in G1. (5.189) ein und formen so urn, dal3 der Ausdruck Rl + R,
-2
a cos(6+ 6, ) = 1+R,R2- 2 ~ c o s ( 6 + 6 , )
(5.190)
entsteht. Mit cos a = 1- 2 sin2(a/2) erhalten wir
o=
L
(5.191)
Wir dishtieren zunachst die Entspiegelung einer nichtabsorbierenden Platte. Je nachdem, ob die Brechzahl der aufgedampften Schicht grol3er oder kleiner als die Brechzahl des TrQers ist, ist 6, = O oder 6, = x . Die Annahme 6, = O fiihrt auf einen Widerspmch. (Das sol1 jedoch hier nicht niiher untersucht werden.) Wir setzen deshalb 6, = x , so daO (~-&)’+4~.C0sz{ P =
L
(1 - G ) ’ + 4 a .
(5.192)
COS’$
ist. Wir konnen den Reflexionsgrad zurn Verschwinden bringen, wenn wir die beiden Bedin-
gungen cos’:
f i = fi
= 0 und
(5.193, 5.194)
erfiillen. Die G1. (5.193) legt die Schichtdicke fest. Sie garantiert die richtigen Phasendifferenzen zwischen den Teilwellen und wird deshalb Phasenbedingung genannt. Die G1. (5.194) enthat eine Aussage iiber die Brechzahl der aufgedampften Schicht. Durch ihre Erfiillung sind die Amplitudenverhiiltnisseso festgelegt, daB sich die Teilwellen gegenseitig ausloschen. G1. (5.194) wird Amplitudenbedingung genannt. Die Phasenbedingung (5.193) verlangt, daB die Beziehung 6 = (22+1)x erfiillt ist. Die optische Weglhge, die der Phasendifferenz zugeordnet ist, betragt AL = 2nd (n bezeichnet die Brechzahl, d die Dicke der aufgedampften Schicht). Wir erhalten mit 6 = (27t A L / A , ) d = -2z+1a0, 4 n
z = 0 , 1 , 2 , 3,...
(5.195)
Die Amplitudenbedingung (5.194) formen wir fiir den Fall einer nahezu senkrecht einfallenden Welle urn. Es ist dann nach GI. (2.54)
fi=e und
n+n,
no+n
(n, Brechzahl des Tragers) zu setzen. Die Amplitudenbedingung fiihrt auf n =
6 bzw.
n =
(bein,=I).
(5.196)
Bei der Entspiegelung einer nichtabsorbierenden Platte fiir senkrecht auftreffendes Licht mit einer Einfachschicht muD die Schichtdicke ein ungeradzahliges Vielfaches von A0/4n, die Brechzahl der Schicht gleich der Wurzel aus der Brechzahl des Tragers sein.
426
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Mit einer Einfachschicht kann der Reflexionsgrad nur fiir eine Wellenliinge zum Verschwinden gebracht werden (Abb. 5.45). Das hat zwei Ursachen. Einmal l@t sich nach G1. (5.195) die Schichtdicke nur fir eine Wellenltinge richtig bemessen, und zum anderen ist wegen des unterschiedlichen Verlaufs der Funktionen n = n ( A ) und n, = n,(A) (verschiedene Dispersionskurven) die Amplitudenbedingung (5.196) nur fir eine Wellenliinge exakt zu erfiillen.
Abb. 5.45 Kurve 1: d Kurve 2: d Kurve 3: d
Entspiegelung einer Glasplatte der Brechzahl n, = 1,52 (no = 1) mit einer Einfachschicht = Ao/4n. n = 1,2329 = 3A0/4n, n = 1,2329 = A0/4n, n = 1,38
An der Farbe des reflektierten Lichtes ist zu erkennen, fiir welche Farbe entspiegelt wurde. Wird die Reflexion z. B. von gelbem Licht unterdriickt, so erscheint die Schicht blau, also in der KornplementWarbe zu Gelb. Ein Purpurfarbton zeigt Entspiegelung fiir den gelbgriinen Spektralbereich an. Fiir die Wirkungsweise der Entspiegelung im gesamten ausgenutzten Wellenliingenintervall ist auch die Schichtdicke wesentlich. Die Schicht mit der kleinstmoglichen Dicke d = A0/4n ( z = 0) ist am giinstigsten. In Abb. 5.45 sind die Funktionen p = p ( A ) fiir eine Schicht mit dieser Dicke (Kurve 1) und fur eine Schicht mit der Dicke d = 3A/4n (Kurve 2) gegenubergestellt. Fiir die Entspiegelung optischer Gliiser, deren Brechzahl zwischen 1,4 und 2.1 liegt, muB die Brechzahl der Schicht nach G1. (5.196) zwischen 1,18 und 1.45 betragen. Kryolith ( n = 1,35) und Magnesiumfluorid ( n = 1,38) sind die giingigen niedrigbrechenden Schichtstoffe. Damit konnte die Amplitudenbedingung nur fiir Glber mit n = 1,82 bzw. n = 1.9 erfiillt werden. Deshalb bleibt bei niedrigbrechenden Gliisern im gesamten Wellenliingenbereich eine Restreflexion ubrig (Abb. 5.45, Kurve 3).
Entspiegelung mit Mehrfachschichten. Mit Mehrfachschichten ist die Auswahl der Schichtbrechzahlen gunstiger zu losen. AuSerdem kann der Reflexionsgrad in einem groSeren Wellenliingenbereich herabgesetzt werden.
Fiir zwei A0/4n-Schichten betragt der Reflexionsgrad nach G1. (5.179) 2
5.3 Filtemde Funktionselemente
427
Er verschwindet fiir (5.197) = 1,2329, zu wiihlen, es muD n;> nr sein. Bei n, = 1 5 2 , Bei no = 1 ist also 4 / n r = & n; = 1.7 ist nr= 1.38. In Abb. 5.46 ist die Funktion p(A) fiir eine Doppelschicht dargestellt.
Abb. 5.46 Entspiegelung einer Glasplatte der Brechzahl n, = 1,52 (no = 1) mit einer Doppelschicht, d, = A0/4n; (&"= 1,381, d, = A,/44 (n;= L70) (nach [4])
Fiir eine Dreifachschicht mit Ao/4n, A 0 / 2 n , 3&/4fl gilt (5.198) (weil die Ao/2n-Schicht auf den Reflexionsgrad fiir die ausgewmte Wellenlage keinen Einflu6 hat). In Abb. 5.47 ist der Reflexionsgrad Kir ein Schichtsystem dargestellt. Fiir eine Dreifachschicht mit A0/4n, A0/2n, A0/4n gilt G1. (5.198) ebenfalls. Abb. 5.48 enthdt zwei Beispiele. Die Festlegung der Schichtdicke s c h r W von vornherein die Liisungsmannigfaltigkeit ein. Das allgemeine Problem fiihrt z. B. bei zwei Schichten auf das Lijsen der Gleichung r = 0 mit
M = [ c o s ~ , -sina2)[ r2 j j y2 sin 6, cos 6,
c o s ~ , +sinS,) j ylsin 6,
(5.199)
cos 6,
Abb. 5.49a e n W t ein Beispiel fiir zwei Schichten (no = 1, nr= 1,38, dl =97,8 nm,n;'=2,15, dz = 238 11111, n, = 1,52). Es kiinnen auch zwei Nullstellen des Reflexionsgrades erzeugt wer2, dz =A0/2n;, n, = l,66. den. Abb. 5.49b gilt fiir no = 1, n;= 1.38, dl = &/4 nr, .I;= Weitere Hinweise sind [4] oder [ 151 zu entnehmen.
Abb. 5.47 Entspiegelung einer Glasplatte der Brechzahl n, = 1,52 (no = 1) mit einer Dreifachschicht, d, = A0/4n; (q"=1,38), d2 = A,,/24' (n;= 2.03), d3 = 3A0/44' (n;= 1,707) (nach [4])
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
428
I t l Qr
2
\
0
LOO
.’ /
*\
500
600
700
800 Xin nm c
Abb. 5.48 Entspiegelung einer Glasplatte der Brechzahl n, = 1,52 (no= 1) mit einer Dreifachschicht, d, = A0/4nY,d2 = A0/2ny, d3 = A0/4n; Kurve 1: n;’= 1,38, ny= 2,12, n;= 1,63, Kurve 2: n;’=1.38, n:=2.42, n;=1,712 (nach [4])
4
a) 0
\
400
6
500
6 00
700
800 2.
In
nm
Abb. 5.49 Entspiegelung einer Glasplatte mit einer Doppelschicht (Daten im Text, nach [4])
Die bisherigen Ableitungen gelten fiir nahezu senkrecht auf eine Plantlache auftreffende Wellen. Fiir schragen Lichteinfall ist die Ableitung bis zur G1. (5.194) gultig. Wir miissen aber beachten, daR der Reflexionsgrad von der Lage der Schwingungsebene des Lichtes gegeniiber der Einfallsebene abhkgt. Die G1. (5.194) ist deshalb fUr zwei Beziehungen zu formulieren, fiir R, und fiir R,. Beide Grol3en lassen sich im allgemeinen nicht zu Null machen, so daR eine vollsttindige Entspiegelung fiir schragen Lichteinfall nicht moglich ist. Beim Einfall von natiirlichem Licht ist das reflektierte Licht linear polarisiert, wenn R, = 0 oder R , = 0 ist; sonst ist es partiell linear polarisiert (vgl. 5.4.5). An Linsenflachen kommen im allgemeinen Einfallswinkel eines groBeren Bereiches vor. Es genugt aber in den meisten praMischen Fdlen, die Schichtdicke und die Brechzahl fiir senkrecht auftreffendes Licht zu bemessen. Von 0 verschiedene Einfallswinkel bewirken eine geringe Verschiebung der Nullstelle des Reflexionsgrades zu einer anderen Wellenliinge. Bei sehr groRen Offnungswinkeln der Bundel und damit stark variierendem Einfallswinkel innerhalb der Biindel ist eine Entspiegelung mit inhomogenen Schichten moglich.
5.3 Filternde Funktionselemente
429
Als Beispiel aus [4] sei der Reflexionsgrad fiir die Grenzschicht zwischen einem Stoff mit der Brechzahl no = 1,52 und einem Stoff mit der Brechzahl n, = 2.5 angegeben. Ohne Zwischenschicht betriigt der Reflexionsgrad p = 0,06. Fiir eine Zwischenschicht mit linearem Brechzahlanstieg iiber verschiedene Dicken hinweg ist der Reflexionsgrad in Abb. 5.50 angegeben. Bereits bei der optischen Dicke nd = k 0 / 2 (n mittlere Brechzahl der inhomogenen Schicht) zeigt sich ein deutlicher Entspiegelungseffekt.
t
-
s
lineorer Brechzohlonstieg von n-1,52 oufn=z,5
optische Dicke
.t 2Q
a 0
Die “Kaltlichtspiegel” stellen einen Spezialfall des entspiegelten Tragers dar. Sie werden als Beleuchtungsspiegel in Kinoprojektoren eingesetzt. Durch zwei Mehrfachschichten ( 2 . B. aus je zehn Schichten) auf einem Hohlspiegel ohne Metallbelag wird der Reflexionsgrad in einem breiten Band herabgedriickt (Bandfilterwirkung). Dieses Band wird in den infraroten Spektralbereich gelegt. so dal3 der infrarote Anteil des vom Lichtbogen kommenden Lichtes durch den Spiegel hindurchgeht, ohne diesen zu erwhnen. Die Wiinnebelastung des Filmes wird herabgesetzt. Im sichtbaren Gebiet muI3 ein Reflexionsband mit moglichst hohem Reflexionsgrad liegen (Abb. 5.51).
40
60
80 100
Abb. 5.51 Reflexionsgrad und TransmissionsAlnm
grad eines Kaltlichtspiegels
Die Reflexionserhohung durch Interferenz an aufgedampften Schichten wird besonders bei Metallspiegeln angewendet. Wir setzen wieder senkrecht auftreffende ebene Wellen voraus. Der Trager besteht aus Metal1 und ist damit ein absorbierender Stoff. Der Wert der Phasendifferenz 6, in der GI. (5.191) ist von der Metallart abhiingig. Wir erhalten einen maximalen
430
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Reflexionsgrad, wenn 6+ 6, sin2= 1 2 ist. Daraus folgt die Bedingung -6+- 6, - (2z+l)”. 2 2 Die Schicht muR die Dicke
(5.200)
(5.20 1) haben. Der Reflexionsgrad betragt nach den Gleichungen (5.191) und (5.200) (5.202) Abb. 5.52 enthiilt die Darstellung der Funktion p = p(RJ mit R2 als Parameter. Es ist zu erkennen, da5 sich nur im Bereich relativ geringen Reflexionsgrades des Tragers ein merklicher Effekt erzielen la&. Dazu wiiren aber sehr hochbrechende Schichten notwendig. Deshalb hat
u Metoll
Abb. 5.52 Reflexionsgrad eines Metallspiegels mit Einfachschicht (die K w e n beginnen fiir R,= 0 bei den R 2-Parametem)
Abb. 5.53 Doppelschicht auf einem Metallspiegel
die Methode z. B. bei Aluminiumspiegeln im fernen Ultraviolett praktische Bedeutung. Die gleiche Wirkung wie eine aufgedampfte Einfachschicht hat nach Messner eine Anordnung nach Abb. 5.53. Bei geeigneter Wahl der D i c k d, und bei einer Dicke d2 = &/4n gilt bei der Doppelschicht ebenfalls die G1. (5.202) fiir den gesamten Reflexionsgrad. Abb. 5.52 veranschaulicht auch die Wirkung der Doppelschicht. Eine weitere Erhohung des Reflexionsgrades in breiten Spektralbandern I%t sich durch Mehrfachschichten mit abwechselnd hoher und niedriger Brechzahl erreichen. Abb. 5.54 zeigt die Wirkung einer Schicht aus Cerdioxid, Magnesiumfluorit und Cerdioxid auf einem Aluminiumspiegel. Aul3erdem ist der EinfluB einer SO-Schicht angegeben, die nur dem Schutz der Spiegeloberflache dient (nach [9]).
5.4 Polarisierende Funktionselemente
200 400 600 800 1000
431
1500 A/nm
Abb. 5.54 Retlexionsgrad eines Aluminiumspiegels a) mit SiO-Schicht, b) ohne Belag, c) mit Mehrfachschicht
5.4
Polarisierende Funktionselemente
5.4.1
Polarisationsprismen
Polarisierende Funktionselemente iindern den Polarisationszustand des Lichtes. Sie werden entweder Polarisatoren genannt, wenn sie Licht mit geiindertem Polarisationszustand bereitstellen, oder Analysatoren, wenn sie dem Nachweis oder der Untersuchung von polarisiertem Licht dienen sollen. Bei ihnen kommt es im allgemeinen darauf an, dal3 ihre Drehung um die Lichtrichtung genau gemessen werden kann. Bei Polarisatoren ist anzustreben, das der Polarisationszustand im gesamten Feld gleich ist. Sie werden vorwiegend zur linearen Polarisation des Lichtes eingesetzt. Polarisatoren fiir zirkular und elliptisch polarisiertes Licht heiOen Phasenplatten. Analysatoren konnen ebenfalls uber das gesamte Feld einheitliche Polarisationseigenschaften aufweisen. Zur Verbesserung der Nachweisempfindlicht der Drehung werden sie aber auch mit geteiltem Feld hergestellt. Hinter den beiden Feldteilen stehen die Schwingungsebenen entweder senkrecht, oder sie bilden einen kleinen Winkel miteinander (Halbschattenpolarisatoren). Es gibt fiinf Ausf&rungsfmen von polarisierenden Funktionselementen: - Polarisationsprismen (doppelbrechende Kristalle), - Polarisationsfilter(dichroitische Stoffe), - Interferenzpolarisatoren (Systeme aus duMm Schichten), - Reflexionspolarisatoren (reflektierende oder durchlilssige Grenzflachen), - Phasenplatten (doppelbrechende planparalle Platten). Polarisationsprismen beruhen vorwiegend auf der Doppelbrechung des Lichtes an schwach absorbierenden Kristallen. (Eine Ausnahme werden wir am SchluB dieses Abschnitts behandeln.) Bevorzugt werden Kalkspat, Quan und synthetische Kristalle wie etwa ADP- und KDP-Einkristalle, die optisch einachsig sind. Die Brechzahlen sind in Tab. 5.14 enthalten. Kalkspat (CaCO,) ist sehr stark doppelbrechend, kann aber nicht gezuchtet werden. Besonders hochwertig ist der isliindische Doppelspat. Quarz (Si02) hat eine geringe Doppelbrechung und dreht aaerdem die Schwingungsebene des Lichtes, er ist also optisch aktiv. Quan
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
432
hat aber auch auflerhalb des sichtbaren Gebiets einen gunstigen Reintransmissionsgrad. ADPEinkristalle werden aus einer wtiljrigen Losung von Ammoniumdihydrogenphosphat geziichtet. Es sind relativ grol3e Einkristalle mit sehr homogenen optischen Eigenschaften moglich. Der Reintransmissionsgrad ist von 250 nm bis 1076 nm ausreichend groK Die optische Achse liegt gunstig gegenuber den aufleren Begrenzungsflachen der Kristalle. KDP ist Kaliumdihydrogenphosphat. Tabelle 5.14 Hauptbrechzahlen von optisch einachsigen Kristallen
n,
na
hlnm
Kalkspat
1,64996 1,65838 1,66786 1,68318
1,48269 1,48643 1,49080 1,49774
760,82 589,298 486,1353 396,8496
Qun
1,539 190 1,544220 1,549662 1,558116
1,548 10 1,55332 1,55896 1,56769
760,82 589,298 486,1353 396,8496
ADP
1,62598 1,54592 1,50364
1,56738 1,49698 1,46666
2 13,856 366,2878 1152,276
KDP
1.60 177 1,52909 1,49135
1,54615 1,48409 1,45893
2 13,856 366,2878 1152.276
Lithiumniobat LiNbO,
2,4144 2,2407 2,1193
2,3638 2,1580 2,0564
420 1200 4200
Beryl1 Be,Al,(SiO, ) 6 Eis (0°C) Natronsalpeter NaNO,
1,5841
1,5772
589,298
1,3091
1,3105
589,298
1,5854
1,3369
589,298
Turmalin
1,6367
1,6193
589,298
Das Nicolsche Prisma besteht aus Kalkspat. Die Kristalle des Kalkspats gehoren dem hexagonalen System an. Sie bilden im natiirlichen Zustand ein Rhomboeder aus sechs Rhomben. Die Winkel zwischen den Kanten betragen 105'5' und 74'55'. Die kristallografische Haupta c h e und damit die optische Achse des Kristalls geht durch die Punkte, in denen die Kanten drei stumpfe Winkel miteinander bilden (Abb. 5.55a und b). In Abb. 5.56 ist der Kristall so gedreht, dal3 die optische Achse in Zeichenebene liegt. Der spitze Winkel der Kanten betragt in diesem Schnitt 70'52'. Dieser Winkel wird auf 68" abgeschliffen, der Kristall geteilt und die Haften mit Kanadabalsam verkittet (Abb. 5.57). Fiir Licht der Na-D-Linie betragen die Brechzahlen n, =1,65838, n (Kanadabalsam) = 1,542, n, = 1,48643. Eine ebene Welle, die parallel zu den Seitenkanten des Prismas ein
433
5.4 Polarisierende Funktionselemente
I optische Achse
Abb. 5.55b Rhomboeder der Kristallstruktur innerhalb eines Kallrspatkristalls
Abb. 5.55a Kallrspatkristall
Mlt, hat den Einfallswinkel E, = 22". Durch Doppelbrechung wird das Licht aufgespalten. Die Schwingungsebene des ordentlichen Strahles steht senkrecht zum Hauptschnitt; die Schwingungsebene des aukierordentlichen Strahles liegt parallel zum Hauptschnitt. Der ordentliche Strahl hat den Brechungswinkel &: = 13'3' und damit den Einfallswinkel c2 = 76"87' an der Kanadabalsamschicht. Dort betragt der Grenzwinkel der Totalreflexion fiir den ordentlichen Strahl e, = 68'24'. Der ordentliche Strahl wird also totalreflektiert und von der Fassung des Prismas absorbiert.
Abb. 5.56 Schnitt durch einen Kallrspatkristall, der die optische Achse e n W t
Abb. 5.57 Nicolsches Prisma 0
Der aufierordentliche Strahl wird schwiicher gebrochen. Fiir ihn ist die Kanadabalsamschicht ein optisch dichterer Stoff.Er geht durch das Prisma hindurch, so daB aus diesem linear polarisiertes Licht austritt. Fiir ein konvergentes Bundel wird der Grenzwinkel der Totalreflexion an der Kanadabalsamschicht vom ordentlichen Strahl unterschritten, wenn der Konvergenzwinkel gr6Rer als 3 1" ist. Bei weiRem Licht zeigen sich durch die Dispersion farbige Riinder des Biindels.
Das Foucaultsche Prisma (Abb. 5.58) unterscheidet sich vom Nicolschen Prisma dadurch, daf3 statt des Kanadabalsams eine Luftschicht vorhanden ist und die Endflachen nahezu senkrecht zu den Seitenkanten stehen. Luftspalt I
Abb. 5.58 Foucaultsches Prisma
434
5 Nichtabbildende ovtische Funktionselemente
Der Transmissionsgrad fir ultraviolettes Licht ist grol3er als beim Nicolschen Prisma. Nachteile sind der geringe zulassige Konvergenzwinkel von 8 O , die schwierigere Fassung und die Mehrfachreflexionen in der Luftschicht. Das Glan-Thompsonsche Prisma hat senkrecht zu den Seitenkanten geschliffene rechteckige oder quadratische Endflachen. Die optische Achse liegt in beiden Teilprismen parallel zu den Endflachen (Abb. 5.59). Fiir Untersuchungen im sichtbaren Gebiet konnen die Teilprismen mit Kanadabalsam gekittet werden; im Ultravioletten verwendet man z. B. Glyzerin, Rizinusol, oder man belut eine Luftschicht. In diesen Fillillen koMen Konvergenzwinkel bis
42" erreicht werden. Eine senkrecht auf die Eintrittsflache treffende Welle wird nicht gebrochen, aber in zwei senkrecht zueinander schwingende Wellen aufgespalten. Der ordentliche Strahl wird an der Trennschicht totalreflektiert, der aaerordentliche Strahl trim aus. Das Glan-Thompson-Prisma wird in den Geraten wegen seiner giinstigen Eigenschaften bevorzugt angewendet. Es ist gut aus ADP herstellbar, allerdlngs bei grol3erer Baulkge und kleinerem Konvergenzwinkel als bei Kalkspat. Die Prismen von Rochon (Abb. 5.60), S6narmont (Abb. 5.61) und Wollaston (Abb. 5.62, 5.63) bestehen aus zwei an der Hypotenusenflache zusammengesetzten Halbwiirfeln aus optisch einachsigen Kristallen. Die Bilder gelten fiir Kalkspat oder ADP. Die Prismen liefern zwei senkrecht zueinander schwingende Wellen, wobei die beiden Wellen divergieren. Dadurch ist nach einer gewissen Strecke die Trennung vorhanden. Die drei genannten Prismen unterscheiden sich durch die Lage der optischen Achsen in den Teilprismen.
Abb. 5.60 Rochon-Pnsma
Abb. 5.61 SCnamont-Prisma
Abb. 5.62 Wollaston-Prisma
Abb. 5.63 Wollaston-Prisma. Konstruktion des Bundelverlaufs a) fiir die aukrordentliche Welle im zweiten Teilbundel, b) fiir die ordentliche Welle im zweiten Teilbundel
435
5.4 Polarisierende Funktionselemente
Beim Rochon- und beim Senarmont-Prisma mit senkrecht auftreffendem Licht wird der ordentliche Strahl nicht abgelenkt und zeigt keine Dispersion. Beim Wollaston-Prisma ist die Divergenz der austretenden Bundel grokr als bei den beiden anderen Prismen, aber bei beiden Biindeln tritt Dispersion auf. Beim Wollaston-Prisma aus Kalkspat betrjdgt die Divergenz 20". Das Dove-Prisma (Abb. 5.64) ist ein Halbwiirfel aus einem optisch einachsigen Stoff, so daS das Licht um 90" abgelenkt wird. Die einseitige Vertauschung durch die Spiegelflache kann storend sein.
optische Achse
Abb. 5.64 Konstruktion des Bundelverlaufs am Dove-Prima
Bei den doppelbrechenden Polarisationsprismen wird der Lichtstrom fast um 50% ausgenutzt. Es treten nur geringe Reflexions- und Absorptionsverlusteauf. Die verfiigbaren Einkristalle mit homogenen optischen Eigenschaften ermoglichen nur relativ geringe Durchmesser. Die Kristalle, vor allem d e natiirlichen Kristalle, sind teuer. Der maximale Konvergenzwinkel ist begrenzt. Die erforderliche Liinge der Prismen bringt unter Umstiinden Platzschwierigkeitenfiir den Einbau in Gerate mit sich.
Das Fresnelsche Parallelepiped (Abb. 5.65) besteht aus Glas. Seine Funktion, die E m u gung von zirkular polarisiertem Licht, beruht nicht auf der Doppelbrechung, sondern auf der Totalreflexion. In 2.2.4 wurde angegeben, daB zwischen der senkrecht und der parallel zur Einfallsebene schwingenden Welle bei der Totalreflexion die Phasendifferenz 6 eingefiihrt wird, die aus tan4 = 2
4
-
cos E sin2E sin2E~ sin2E
(5.203)
; Abb. 5.65 Fresnelsches Parallelepiped
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
436
folgt. Die zur Erzeugung von zirkular polarisiertem Licht erforderliche Phasendifferenz von 90" wird z. B. durch zweimalige Totalreflexion eingefiihrt, wenn bei n = 1,5 der Einfallswinkel &=53" betragt. Das Fresnelsche Parallelepiped ist also ein Funktionselement, das weniger zu den Polarisationsprismen als zu den Phasenplatten in Beziehung steht. Mit zwei Prismen kann auch die Phasendifferenz 180" erzeugt werden.
5.4.2
Flachenpolarisatoren
Flachenpolarisatoren beruhen auf der Richtungsabhtingigkeitder Absorption, die in Kristallen und anderen optisch anisotropen Stoffen aufueten kann. Bei Kristallen 1 s t sich analog zum Indexellipsoid, dessen halbe Hauptachsen den Hauptbrechzahlen n, , n 2 , n3 gleich sind, ein Absorptionsellipsoid einfiihren. Dessen Halbachsen sind durch die GroRen
gegeben, wobei die ki die Hauptabsorptionskoeffizientendarstellen. Bei den kubischen Kristallen, die optisch isotrop sind, ist auch die Absorption richtungsunabhibgig. Die optisch einachsigen Kristalle werden durch ein Absorptionsellipsoid beschrieben, das ein Rotationsellipsoid darstellt. Die Absorption der ordentlichen Welle ist richtungsunabhtingig; die Absorption der auSerordentlichen Welle unterscheidet sich senkrecht zur optischen Achse am st&ksten von der Absorption der ordentlichen Welle. Die Absorption ist wellenlibgenabhtingig. Bei den optisch einachsigen Kristallen wird die unterschiedliche Absorption fiir die beiden ausgezeichneten Richtungen (parallel und senkrecht zur optischen Achse) Dichroismus genannt. Die optisch zweiachsigen Kristalle werden durch ein dreiachsiges Rotationsellipsoid beschrieben. Es wird dann von Trichroismus gesprochen. Der Dichroismus wird bei den Flachenpolarisatoren (auch Polarisationsfilter genannt) ausgenutzt.
I
Flachenpolariatoren sind planparallele Platten aus dichroitischen Stoffen, bei denen zwischen der ordentlichen Welle und der aderordentlichen Welle ein groDer Unterschied des Absorptionskoeffizienten besteht.
Die Vorteile der Flachenpolarisatoren sind ihre geringe Baultinge und damit das geringe Gewicht, die fluchtende optische Achse und die Moglichkeit, Polarisatoren mit grol3em Durchmesser herzustellen. Nachteile der Fachenpolarisatoren sind die Fgibung des Lichtes, der unter 1 liegende Polarisationsgrad, die hderung des Polarisationsgrades bei einer Neigung um die optische Achse und ferner die Schwierigkeiten, bei groRen Filtern optisch einwandfrei ebene Oberflachen zu enielen. Turmalin. Der klassische Vertreter des dichroitischen Polarisators ist die Turmalinzange (Polarisator und Analysator im gemeinsamen Metallbugel). Turmalin ist ein optisch einachsiger Kristall des trigonalen Systems (Brechzahlen in Tab. 5.14). fine Kristallplatte, die parallel
5.4 Polarisierende Funktionselemente
437
zur optischen Achse geschnitten ist, absorbiert bereits bei Dicken von 1 mm den ordentlichen Strahl fast vollstiindig. Die aus dem Kristall austretende, linear polarisierte auRerordentliche Welle fiihrt infolge der wellenliingenabhiingigen Absorption im Kristall zu griin gefaibtem Licht. Der nutzbare Durchmesser der Polarisatoren ist durch die GroBe der natiirlich vorkommenden Kristalle begrenzt.
Herapathit ist ein Periodid des Chininsulfats. Aus ihm lassen sich grol3e graugriine, hygroskopische Kristalle kiinstlich herstellen. Die mechanischen Eigenschaften der Kristalle bereiten Schwierigkeiten bei der Verwendung in Polarisationsfiltern. Durch Einkitten in Planglasplatten kOMten jedoch 1935 die ersten Flachenpolarisatoren, die bei Carl Zeiss Jena Herotare genannt wurden, in den Handel gebracht werden. Gunstige mechanische Eigenschaften haben Polarisationsfilter, bei denen viele dichroitische Einluistalle in eine isotrope Folie eingebettet sind. So werden z. B. Herapathit-Mikrokristalle mit ca. 1pm L h g e und ca. 0,05 pm.. .O, l p Dicke in einer Schicht mit 25pm.. .lOOpn Dicke so eingebracht, daB siimtliche optische Achsen gleiche Richtung haben. Hohere Schichtdicken bringen einen hoheren Polarisationsgrad, aber auch st2rkere Absorption mit sich. Ein Nachteil der Polarisationsfilter mit Mikrokristallen ist die leichte Triibung durch die Streuung an den kleinen Teilchen. Hochpolymere. Heute werden Flkhenpolarisatoren vorwiegend aus besonders behandelten hochpolymeren Stoffen hergestellt. Ausgangsstoffe sind Stoffe mit Kettenmolekiilen von Polyvinylalkohol, -ketal,-acetal usw. Eine mechanische Deformation der Folien, z. B. eine Dehnung, richtet die Kettenmolekiile so aus, daB die Folien doppelbrechend werden. Die so behandelten Folien werden mit einem dichroitischen Farbstoff, z.B. mit Iod, eingef&bt. Das parallel zur Dehnungsrichtung schwingende Licht und das senkrecht dazu schwingende Licht werden verschieden stark absorbiert. Durch geeignete Kombination aus Folie und Farbstoff sind Polarisationsgrade uber 99% im sichtbaren Gebiet erreichbar. Der Transmissionsgrad betragt fiir weiBes Licht etwa 30%. Wegen der Hygroskopizitat ist das Einkitten der Folien in Deckglker notwendig. Filter, die im Spektralbereich von 600 nm ...2400mn den Transmissionsgrad 20% und den Polarisationsgrad uber 99% ermdglichen, entstehen bei besonderer Behandlung der gedehnten Folien (erhohte Trocknungstemperatur, verjdnderte Iodkonzentration, Zusatz eines Dehydrationsmittels). Mit Iod eingefabte Folien haben Absorptionsmaxima bei 290 nm und 360 nm . Der Transmissionsgrad 1 s t sich durch spezielle FMxmethoden anheben, so daB auch UV-Polarisationsfilter hergestellt werden kljnnen. Diese sind auch ohne Deckglgiser einsetzbar.
Transmissions- und Polarisationsgrad. Die Schwingungsrichtung hoher Transmission wird Polarisationsrichtung, die geringer Transmission Sperrichtung genannt. Trim eine linear polarisierte Welle unter dem Azimut w senkrecht auf einen Polarisator, dann wird die Amplitude vektoriell zerlegt. Wegen der quadratischen Abhiingigkeit der Intensitat von der Amplitude gilt (Abb. 5.66a) I, =
I.COS'W,
I, = ~.sin'w.
Mit den Transmissionsgraden fUr die Polarisationsrichtung z, und die Spemchtung 2, erhalten wir nach Austritt des Lichtes aus dem Polarisator I: = z p ~ . c o s 2 w , I: = zsI.sin2ty.
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
438
Der gesamte Transmissionsgrad folgt aus T = ( I ; + Z l ) / I zu T = 7, cos’
w+ z, sin2y.
(5.204)
Fiir z, G 7p kaM d& T = 2,cos’ I# geschrieben werden. Fiir unpolarisiert auftreffendes Licht teilt sich die Intensitat je zur Halfte auf die Polarisations- und die Spemchtung auf. Die Gleichungen lassen sich formal aus denen fiir linear polarisiertes Licht mit w= 45’ herleiten. Es gilt 7 =
1 -(?,+rS)
2
bzw.
1 z = -7, 2
(bei rS G 7,)
(5.205a, b)
Als Polarisationsgrad definieren wir in Analogie zu 2.2.3
a,= -.7, - 7s
(5.206)
7, + 7s
P
Abb. 5.66 Zerlegung der Amplitude
a) im Polarisator, b) am Analysator
a1
Polarisator und Analysator. Bei zwei gleichen Bauelementen, von denen das erste als Polarisator, das zweite als Analysator dient, wird der Transmissionsgrad folgenderrnaDen berechnet: Am Eingang des Analysators betragen die Intensitaten bei linear polarisiertem Licht vor dem Polarisator (Abb. 5.66b) I, = T ~ Icos2 . y .cos2rp+ r S I sin2 . y .sin’cp, I, =
T s f . sin’
y . cos2~
p +7,
I . cos’ y . sin’ 9.
Hinter dern Analysator ergibt sich die Intensitat I“ = z p f ,+ 7, I, und damit fiir den Transmissionsgrad Z
=
(6- 2’) COS2 ljf.COS’ Cp+
Cp + Z p 7s (1 - COS’ Cp)
(5.207a)
bzw. z = z”p cos’ y .cos’cp
(bei z, G T ~ ) .
(5.207b)
Fiir einfallendes unpolarisiertes Licht kann wieder formal y = 45” gesetzt werden, womit 7 =
2,z, +-(7p-7s)2cos2Cp 1
T =
6 cos2~p (bei z, 4 z,)
2
bzw .
entsteht.
2
(5.208a)
(5.208b)
5.4 Polarisierende Funktionselemente
439
Bei handelsublichen Polarisationsfiltern aus Plastfolien gelten fiir monochromatisches . Licht etwa folgende Werte: rp= 0,4.. .0,8; rs J
5.4.3
Phasenplatten
In einer doppelbrechenden Kristallplatte wird das Licht im allgemeinen in zwei senkrecht zueinander schwingende Wellen unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit aufgespalten. Daraus folgt, daR die beiden Teilwellen nach dem Verlassen der Kristallplatte eine Phasendifferenz haben. Doppelbrechende planparallele Platten zur Erzeugung einer Phasendifferenz zwischen senkrecht zueinander schwingenden Wellen werden Phasenplatten genannt. In 2.1.2 w d e gezeigt, daB aus senkrecht zueinander schwingenden Wellen mit geeigneten Phasendifferenzen jeder beliebige Polarisationszustand des Lichtes erzeugt werden kann. Phasenplatten eignen sich deshalb zur Analyse und Synthese der Polarisationszust. Wir behandeln nun die Wirkung von Phasenplatten aus einigen praktisch bedeutenden Kristallen.
Kalkspat. Optisch einachsige Kristalle, wie Kalkspat, werden parallel zur optischen Ache geschnitten und poliert. Das Licht trim senlcrecht auf die Platte auf und e f i m k i n e Ablenkung. Die Phasendifferenz zwischen dem ordentlichen und dem aderordentlichen StraN betragt (5.209) mit
AL = (n,-n,)d = d . A n .
(5.210)
Es gilt also
a = -2 x d
An.
(5.21 1)
a0
Ein sogenanntes A/4-Plattchen eneugt die Phasendifferenz 6 = n/2. Sorgt man fiir gleiche AmplitudenbeMge der beiden Teilwellen, indem man linear polarisiertes Licht auftreffen IMt, dessen Schwingungsebene mit den beiden im Kristall mdglichen einen Winkel von 45" bildet, dann verlut zirkular polarisiertes Licht die Phasenplatte (Abb. 5.67).
eintretenden Linear polorisierten
Welle
Abb. 5.67 Entstehung von zirkular polarisiertem Licht durch die A/4-Platte
440
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Das A/4-Plattchen miiljte die Dicke d=-
A0
(5.2 12)
4An
haben. Bei Kalkspat betrYgt die Brechzahldifferenz An = 0,172 (iiir Licht der Natrium-D-Linie). Es ergibt sich d = 8,57.
mm.
Kalkspatplatten lassen sich aber nur bis zu 0 5 mm Dicke herab herstellen. Deshalb w m t man d =k A + An 4An’
kganzezahl.
(5.2 13)
So wird z. B. mit k = 170 die Dicke d = 0,5833 mm. In analoger Weise spricht man von A/2-Plattchen (6 = x ) und A-Plattchen (6 = 211). Quarz eignet sich besonders fiir Arbeiten im Ultravioletten. Quarz ist optisch aktiv, d. h,er dreht die Schwingungsebene des Lichtes. Die Phasenplatten werden aus einer Rechts- und einer Linksquarzplatte zusammengesetzt. Der ordentliche Strahl der einen Platte wird in der anderen Platte zum aukrordentlichen Strahl und umgekehrt (Abb. 5.68). Der optische Wegunterschied zwischen den senkrecht schwingenden Wellen betragt AL = (n,-n,)d,-(n,-n,)d2
= An.Ad,
(5.2 14)
Rechts-Li nks -
Abb. 5.68 Phasenplatte aus Kechts- und Linksquarz
Quorz
die Phasendifferenz folgt aus 2x 6 = -An.Ad.
4-J
(5.2 15)
Fiir Licht der Natrium-D-Linie ist An = 0,0091, ein A/4-Plattchen ergibt sich z. B. mit der Dickendifferenz Ad = 0,0162 mm .
Glimmer gehort zum monoklinen hstallsystem und ist optisch zweiachsig. Glimmer ist nur in bestimmten Ebenen leicht spaltbar. Die Hauptbrechzahlen betragen fiir Licht der NatriumD-Linie n, = 1,5993, n2 = 1,5944, n3 = 1,5612 (Tab. 5.15).
441
5.4 Polarisierende Funktionselemente
Tabelle 5.15 Hauptbrechzahlen von optisch zweiachsigen Kristallen
Aragonit Rohrzucker Tobas, sib. Glimmer Gips CaSO, . 2H20
n1
n2
n3
u./nm
1,6862 1,5710 1,6379 1.5993 1,5298 1,5400 1,5325 1,5270
1,6810 1,5658 1,6308 1.5944 1,5228
1,5309 1,5382 1,6293 1,5612 1,5208 1.5303 1.5231 1,5178
589,298 589,298 589,298 589,298 589.298 434 535 670,8
Die Oberfliiche der Kristallplattchen steht nahezu senkrecht zur Schwingungsrichtung der Welle, fiir deren Ausbreitung die Hauptbrechzahl n3 gilt. Weiter sind folgende ZusammeWge wichtig (Abb. 5.69): Fiir die Welle, die parallel zur Ebene der optischen Achsen schwingt, gilt die Hauptbrechzahl n,. Fiir die Welle, die senkrecht zur Ebene der optischen Achsen schwingt, gilt die Hauptbrechzahl n2. Die wirksame Brechzahldifferenz fiir senkrecht durch die Platte gehendes Licht betragt demnach
An = n , - n , = 0,00487. Die Mindestdicke eines A/4-Plattchens ergibt sich zu d = 0,0303 mm. Glimmer ist bis zu A = 300 nm herab verwendbar, aber mit dem Nachteil einer ungleichm&OigenAbsorption.
optische Achsen
oflische Achsen
Abb. 5.69 Wellen in einem Glierkristall
Abb. 5.70 Wellen in einem Gipskristall
a) in Lichtrichtung. b) senkrecht zur Lichttichtung
a) in Lichttichtung, b) senkrecht zur Lichtrichtung
442
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Gips ist parallel zur Ebene der optischen Achsen gut schleifbar (Abb. 5.70). Es handelt sich um einen optisch zweiachsigen Kristall mit den Hauptbrechzahlen (Na-D-Linie) n, = 1,5298, n2 = 1,5228, n3 = 1,5208 (Tab. 5.15). Wirksame Brechzahldifferenz ist An = n, - n3 = 0,009. Zur Erzeugung von zirkular polarisiertem Licht wird wegen der besseren Herstellbarkeit ein 1,251L-Plattchenverwendet. Die Platte “Rot I. Ordnung” besteht ebenfalls aus Gips. Der Polarisator wird so eingestellt, daO die Schwingungsebene des linear polarisierten Lichtes unter 45’ zu den moglichen Schwingungsebenen in der Gipsplatte steht (Abb. 5.71). Hinter der Gipsplatte befindet sich ein Analysator, dessen Schwingungsebenezu der des Polarisators senkrecht steht. (Einfachere Formulierung: Die Gipsplatte befindet sich in Diagonalstellung zwischen gekreuzten Polarisatoren.) Die beiden senkrecht zueinander schwingenden Wellen erhalten in der Gipsplatte eine Wellenlbge Wegunterschied fiir griines Licht. Dadurch loschen sich die beiden vom Analysator hindurchgelassenen Anteile durch Interferenz aus (Abb. 5.71). Die Komplementmarbe “Violett-Rot” (Rot I. Ordnung) wird sichtbar. Das “Rot I. Ordnung” ist also eine Mischfarbe, die bei der Interferenz von weiBem Licht auftritt, und zwar bei der Ausloschung von griinem Licht in der I. Ordnung. Die Platte “Rot I. Ordnung” dient z. B. als Vergleichsobjekt bei Untersuchungen irn Polarisationsmikroskop.
Pl o t t e
.Rot LOrdnung” .diagona 1’ (1-Plotte ~r Grin 1 Ausgong des Po lor i s oto r s ,vertikal“
5.4.4
Abb. 5.71 Wirkung der Platte “Rot I. Ordnung”
Halbschattenpolarisatoren
Bei Messungen mit polarisiertem Licht sind haufig die Schwingungsrichtungenvon Polarisator und Analysator senkrecht oder parallel zu stellen. Die Einstellung auf Dunkelheit oder maximale Helligkeit des gesamten Feldes ist sehr unsicher. Die fotometrische Genauigkeit l a t sich durch Halbschattenpolarisatorenerhohen, und zwar im giinstigsten Fall bis auf 5,4“.
I
Halbschattenpolarisatorenerhohen die fotometrische Genauigkeit der Einstellung des Analysators. Sie stellen polarisierende Funktionselemente dar, bei denen zwei Feldteile vorhanden sind, in denen die Schwingungsrichtungen des Lichtes einen kleinen Winkel miteinander bilden. Der Winkel zwischen den Schwingungsrichtungen der beiden Feldteile heiRt Halbschatten (Abb. 5.72). Bei der Messung wird ein Femrohr auf die Trennlinie der Feldteile eingestellt
5.4 Polarisierende Funktionselemente
443
und auf gleiche Helligkeit bzw. Farbe der Feldteile abgeglichen. Die Schwingungsrichtung des Analysators bildet dann mit den Schwingungsrichtungenim Halbschattenpolarisator nahezu den gleichen Winkel (Abb. 5.72). Wir erlautern einige Ausfiihrungsarten. Das Cornusche Prisma entsteht, indem ein Nicolsches Prisma geteilt, an beiden Teilen der halbe Halbschatten angeschliffen und die Htililften wieder verkittet werden (Abb. 5.73). Das Cornusche Prisma ist ein Polarisator mit festem Halbschatten. Regelbarer Halbschatten nach Lippich. Ein sogenanntes Halbprisma bedeck nur das halbe Feld eines Polarisators (Abb. 5.74). Durch eine Drehung des Prismas wird der Halbschatten so geiindert, daR die Helligkeit der Feldteile den Versuchsbedingungen angepaDt ist. Die Winkel 86'10' und 94" des Prismas bewirken eine schiirfere Trennlinie, weil Mehrfachreflexionen vennindert werden. Holbschotten
a bzuschleifender Halbschatten
AnaLysotorstellung ibr gleiche Intensitat in den Feldhalften
Abb. 5.72 Halbschatten
P
g
Abb. 5.73 Cornu-Halbschattenprisma
4
O
Abb. 5.74 Regelbarer Halbschatten nach Lippich
Abb. 5.75a Laurentsche
Abb. 5.7513 Zur Wirkung der Laurentschen
Halbschattenplatte
Halbschattenplatte
Laurentsche Halbschattenplatte. Eine Kristallplatte erhfilt eine kreisformige Offnung von z. B. 2 mm Durchmesser (Abb. 5.75a). Die Plattendicke wird so gewtihlt, daR hinter ihr zwischen den senkrecht zueinander schwingenden Wellen eine Phasendifferenz von (0.009.. .0,08). 27c erzeugt wird. Es entsteht schwach elliptisch polarisiertes Licht mit einem kleinen Winkel zwischen der gro0en Halbachse der Ellipse und dem linear polarisierten Licht,
444
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
das durch die Offnung unveriindert hindurchgeht (Abb. 5.75b). Damit eine scharfe Trennlinie erreicht wird, ist es notwendig, (la13 das reflektierte Licht in beiden Feldteilen etwa gleich ist. Deshalb wird die Kristallplatte zwischen achromatische Keilpwe eingekittet (Abb. 5.75a).
Soleilsche Doppelplatte. Eine Platte aus Linksquarz und eine Platte aus Rechtsquarz werden nebeneinander gekittet. Die Dicke wird so festgelegt, da13 die Schwingungsebene des Lichtes der Natrium-D-Linie um 90' gedreht wird (Abb. 5.76). Bei Parallelstellung von Polarisator 0 in beiden H o l f t e n ausoeloscht(AnaLvsator parallell linke H a l f t e E ousgeioscht rechte H o l f t e C ausgeloscht (A nochrechts verdreht) linke Holfte C ousgeloscht .nach l i n k s verdreht) (A r a h t e H o l f t e E ausgeloscht
1/ Polarisator T
Abb. 5.76 Soleilsche Doppelplatte
und Analysator wird das gelbgriine Licht der Natrium-D-Linie ausgeloscht. Beide Feldhdften erscheinen in der Komplementiirfarbe Rotviolett. Bei einer Abweichung von der Parallelstellung &ndert sich die Farbe in der einen Feldhiilfte nach Blau, in der anderen Feldhiilfte nach Purpur (Abb. 5.76). Dieser Farbunterschied ist ein sehr empfindliches Einstellkriterium. Bei 20°C gelten fiir Quarz die Drehwinkel der Tab. 5.16. Tabelle 5.16 Drehwinkel und Brechzahldifferenz I h g s der optischen Achse von QIMR
Alnm
Linie
Drehwinkel in Grad/mm
A % . 105
760,62 686,72 656,28 589,30 527,00 486,14 434,05 430,78 396,85
A
12,704 15,742 17,314 21,724 27,552 32,766 41,927 42,630 51,119
5,3697 6,0057 6,3126 7,1122 8,0666 8,8494 10.1102 10,2023 11,2703
B C D E F G' G H
Die Drehung der Schwingungsebene (optische Aktivitiit) ist praktisch nur bei der Lichtausbreitung in Richtung der optischen Achse des Kristalls beobachtbar. In den anderen Richtungen, speziell senkrecht zur optischen Achse, wird sie von der normalen Aufspaltung in die linear polarisierte ordentliche und aul3erordentliche Welle iiberdeckt. Deshalb spielt sie bei den Phasenplatten mit den geringen Dickenunterschieden keine Rolle. Die Theorie ergibt, daR die
5.4 Polarisierende Funktionselemente
445
optische Aktivitat ltings der optischen Achse erkl&rt werden kann, wenn von einer Aufspaltung der linear polarisierten Welle in zwei entgegengesetzt zirkular polarisierte Wellen mit gleicher Ausbreitungsrichtung, Frequenz und Amplitude, aber etwas unterschiedlicher Wellenltingen und damit Normalengeschwindigkeiten ausgegangen wird. Beim Austritt aus dem Kristall setzen sich beide Wellen zu linear polarisiertem Licht zusammen, dessen Schwingungsebene aufgrund der Phasendifferenz gegenuber derjenigen im einfallenden Licht gedreht ist. Die Differenz der Normalengeschwindigkeit fiihrt auf die zusatzliche Doppelbrechung l a g s der optischen Achse, aber von zirkular polarisierten Wellen, die sich in einer Brechzahldifferenz An, ausdriickt. Zwischen der Brechzahldifferenz A&, der Dicke d, der Wellenltinge ildes einfallenden Lichtes und dem Drehwinkel a in Grad besteht der Zusammenhang
a = 180d'Anz
a
(inGrad).
(5.216)
Das bedeutet auch, daO die beiden Teile der Strahlenflache in Richtung der optischen Achse auseinanderriickenund leicht deformiert sind (Abb. 5.77).
Richtung der optischen Achse
v
Abb. 5.77 Strahlenflachebei optischer Aktivitiit
Bei Quarz betragt die Brechzahldifferenz ltings der optischen Achse fiir Licht der Na-DLinie (A=589,3nm) An, =7,1122.10-5, woraus der in Tab. 5.16 angegebene Drehwinkel folgt. Die Brechzahlen nL , nR fiir kleine Winkel zwischen der Wellennormalen und der optischen Achse wurden gemessen und mit den Brechzahlen verglichen, die ein nichtaktiver Kristall haben wiirde (n, und n, = 1,5442243).Die Differenzen nehmen von n, - nL = 3.56.10-5, t~,-n,=-3,57.10-~ bei 0'27' auf die Werte n,-nL=1,55.10-5, n,-n,=-0,93.10-5 bei 5"4,8' ab. Abgesehen von der Dispersion der Brechzahldifferenz An, (Tab. 5.16) ist g e m u G1. (5.216) die Drehung umgekehrt proportional zur Wellenlainge (normale Rotationsdispersion).
5.4.5
Interferenzpolarisatren
Reflexionspolarisatoren. Das an einer Grenzflache reflektierte Licht ist linear polarisiert, wenn der Einfallswinkel gleich dem Polarisationswinkel &, ist. Bei n = 1 und 'n = 1.5 wird nach 2.2.3 der Reflexionsgrad jedoch nur &(& = E , ) = 0.1479 (Schwingungsebene der reflektierten Welle liegt senkrecht zur Einfallsebene). Bei unpolarisiert einfallendem Licht entfallen nur 50% der Intensitat auf die senkrecht zur Einfallsebene schwingende Welle, so daR ca. 7,4% der Intensitat reflektiert werden. Reflexionspolarisatoren oder Glasplattensatze in Transmission sind heute fiir sichtbares Licht kaum noch im Einsatz. Wegen der grokn Brechzahl einiger Stoffe bei grol3en Wellen-
5 Nichtabbildende omkche Funktionselemente
446
lagen eignen sich Reflexionspolarisatoren im infraroten Sprektralbereich (Silizium n = 3,4179, Germanium n = 4,0032, Galliumarsenid n = 3,2774 bei A = 10 pm).
Interferenzpolarisatoren aus dielektrischen Schichten. Interferenzpolarisatoren koMen als Schichtsystem mit Schichten abwechselnd hoher und niedriger Brechzahl aufgebaut werden, die zwischen Stoffen gleicher Brechzahl angeordnet sind. Der Einfallswinkel an der ersten Schicht mu0 gleich dem Polarisationswinkel sein. Es werden A/4 -Schichten verwendet, die die Dicken (5.2 17) k-1
haben. Bei der Anordnung o ( H N ) ~ H sgilt analog zur Gleichung (5.183) mit den entsprechenden y-Werten fiir nichtsenkrechten Lichteinfall fiir den Reflexionsfaktor (der Index s bedeutet bei r, p und K senkrecht schwingend, bei n “Substrat”)
(5.218)
Bei no = n, = ny und damit &o = E, = E; wird daraus
n, cos E, nycos E;
~~
< =
[
k
n;cos E ; ) nycos E: k
‘
(5.219)
n,cos E, ( n y cos E ; ) +1 nrcos E: nycos &I) Bei no = 1,52, n;’= 2,4 ergibt sich Eo =57,67”, E:= 32,35O und 2
ps = 151 = 0,9835 2
ps = (r,( = 0,997
(fiinfschichten), (sieben Schichten).
Das reflektierte Licht ist senkrecht zur Einfallsebene polarisiert, das hindurchgehende Licht parallel zur Einfallsebene. Der Polarisationsgrad betragt im reflektierten Licht
im hindurchgehenden Licht z -zs a”I -- P= 0,994
(bei sieben Schichten).
7, + TS
Nach [4] erhiilt man dasselbe numerische Ergebnis mit der Gleichung (5.220) wobei
1 6 1=0,428, artanh (&) = 0,4579 ist.
5.4 Polarisierende Funktionselemente
447
Oft werden die Interferenzpolarisatoren so angewendet, dal3 die Schichten auf die Hypotenusenilache eines Halbwhfelprismas aufgebracht werden. Zwei dieser Halbwi.irfe1 werden aufeinandergekittet.Die Brechzahl des Glases, aus dem die Prismen hergestellt sind, mu6 moglichst so gewiihlt werden, da8 der Polarisationswinkel an der Grenzflache zwischen der hochbrechenden und der niedrigbrechenden Schicht eingehalten wird. An den Grenzflachen Glas - Schicht und Schicht - Kitt ist der Polarisationswinkel nicht eingehalten, so dal3 der Polarisationsgrad etwas herabgesetzt wird. Bei zwei derartig verkitteten Prismen sind das reflektierte und das hindurchgehende Licht linear polarisiert. Sie eignen sich also als Bundelteiler bei gleichzeitiger Polarisation.
Es ist auch mdglich, das reflektierte und das hindurchgehende Licht zu nutzen. Dazu werden auf eine Spiegelflache oder eine totalreflektierende Flache ein A/4-Plattchen und das Schichtsystem aufgebracht. Durch die Phasenplatte wird die Schwingungsebene der durch das Schichtsystem hindurchgelassenen Komponente beim zweimaligen Durchgang um 90" gedreht. Interferenzpolarisator mit Einfachschicht. Eine weitere Moglichkeit, einen Interferenzpolarisator aufzubauen, besteht darin, eine dunne Schicht auf einen Glastriiger aufzubringen (Abb. 5.78). Die charakteristische Matrix lautet nach G1. (5.150)
Srhicht Tmger
bei schragem Lichteinfall
Fiir eine A/4-Schicht gilt 6 = n/2, und die Dicke mu6 d =
(22 + 1)A, 4n:c~s ET
betragen. Der Reflexionsfaktor lautet nach GI. (5.167)
(5.221)
S Nichtabbildende optische Funktionselemente
448
Einsetzen von y o , ys und y, nach den Gleichungen (5.M a , b c) und von n;)= n (Brechzahl der Schicht) fiihrt auf
rP =
cos Eg cos E, '
_ _ _n2 _ cos2 &; I
+-IL
nOns
cos E o . cos E,
r,=
.
nOnscos E~ . cos E, nOnscos E~ cos E,
- n2cos' &;I .
+ n2cos2&;I
cos2 E;
Aus rp = 0 folgt nach dem Umrechnen der Winkel auf
E~
die Gleichung
sin4&,+Ash2&,+ B = 0 mit(beino=l)A =
(5.222a, b)
nz[n6(1+ni)-2n2] n,'
- n8
(5.223)
, B =
n4ni(n: -n4) n," - n 8
. Auflosen ergibt (5.224)
22,68O, E, = 39,98" Mit no = 1, n = 2,5 (Titanoxid), n, = 1,s ergibt sich E~ = 74,53", &;I= und d = 0,1084hg (bei z = 0). Der Reflexionsgrad der senkrecht schwingenden Welle lautet
Ps
=
[
q,n,cos E ~ cos ' E, - n2cos2E; q,nscos eo.cos E, + n2cos2E;'
(5.225)
Mit den Zahlenwerten gilt p , = 0,794. Da bei unpolarisiert einfallendem Licht die Hafte der Intensitat auf die senkrecht schwingende Komponente entfdlt, werden 39,7% der einfallenden Intensitat reflektiert. Der Polarisationsgrad ist aber theoretisch gleich 1. Der groRe Einfallswinkel ist ein Nachteil derartiger Interferenzpolarisatoren.
Interferenzpolarisatoren sind hinsichtlich des erreichbaren Polarisationsgrades mit den anderen Polarisatoren vergleichbar. In der Lichtausbeute sind sie wegen ihrer praktisch vollkommenen Absorptionsfreiheit und durch die Moglichkeit, h i d e Teilbundel zu nutzen, teilweise anderen Polarisatoren uberlegen.
5.4.6
Matrizenbeschreibung
Fiir aufeinanderfolgende polarisationsoptische Funktionselemente kann die Gesamtwirkung durch Anwenden von Polarisationsmatrizen giinstig ennittell werden. Dafiir sind verschiedene
Methoden entwickelt worden, die entweder von den komplexen Amplituden cder von den Intensitiiten ausgehen. Wir nehmen monochromatische und zeitlich stationiire Wellen an, deren Polarisationszustiindemit Hilfe der komplexen Amplituden zu besctireiben sind. Diese stellen wir als Matrix dar (die Bezeichnungen w a e n wir wie in 2.1.2): (5.226)
5.4 PolarisierendeFunktionselemente
Mit
449
= S+ 6: erhalten wir
(5.227) Durch Multiplikation mit a* I%t sich zeigen, da13 a*= A," +A,' ist. Darin driickt sich aus, dal3 senkrecht zueinander schwingende Wellen nicht miteinander interferieren. Wir fiihren die reduzierte komplexe Amplitude mittels (5.228) ein. Sie geht bei A, = Ay Uber in (5.229) Fiir linear polarisiertes Ljcht, das in x-Richtung schwingt, gilt A, = 0, 6: = 6; = 0, und fiir linear polarisiertes Licht, das in y-Richtung schwingt, A, = 0, 6: = = 0. Es ist also
ii, =
(3. a, = [;j.
(5.230a, b)
Analog ergeben sich (5.23Oc, d) (Letzteres wegen 6 = x , damit stets trotz positiver Werte A, und A, die momentanen Amplituden entgegengesetztes Vorzeichen haben.) Fiir linkszirkular polarisiertes Licht ist A, = Ay , 6 = x/2 zu setzen, fiir rechtszirkular polarisiertes Licht A, = A,, 6 = - x / 2 . Es ist also (5.23 1a, b) Die so berechneten reduzierten komplexen Amplituden werden Jones-Vektoren genannt. Die Funktion der polarisationsoptischen Elemente kann nun durch Anwenden einer JonesMatrix auf einen Jones-Vektor berechnet werden. Das austretende Licht wird hinsichtlich seines Polarisationszustandes wieder durch den Jones-Vektor beschrieben. Es gilt
(Z) ("' =
a21
42)($). a22
(5.232)
Einem Polarisationsfiltermit der DurchlaSrichtungin x-Richtung ist z. B. die Jones-Matrix (5.233a)
450
5 Nichtabbildende ODtische Funktionselemente
zugeordnet, denn es murj
gelten. Analog ist fiir die DurchlaRrichtung in y-Richtung (5.23 3b) zu setzen. Weitere Jones-Matrizen sind: 1 1
p45
= 2(1
1 1)
Linearer Polarisator (+45"),
-( 1
= 1
;l) 2 -1 Linearer Polarisator (-45'), P-45
(5.234a,b)
(5.235a, b) A/4 -Platte (hohere Phasengeschwindigkeit in x-Richtung),
A/4 -Platte (hohere Phasengeschwindigkeit in y-Richtung), (5.236a, b)
Rechts-zirkularer Polarisator.
Links-zirkularer Polarisator.
Zwei Beispiele sollen die Anwendung der Matrizen dernonstrieren. B e i s p i e 1 1 . Irn Strahlenbundel sollen sich ein Polarisationsfilter in 45"-Stellung, ein rechts-zirkularer Polarisator und ein Polarisationsfilter in -45" -Stellung befinden. Das einfallende Licht sei linear polarisiert und schwinge in x-Richtung. Zu bilden ist das Matrizenprodukt P-4@RP45aiix. Das ergibt
woraus zu entnehmen ist, daR linear polarisiertes Licht mit der Schwingungsebene in -45"Lage entsteht, das gegeniiber dem einfallenden Licht die Phasendifferenz n/2 hat und dessen Amplitude f i / 4 ist. (Der Fakitor 4 = fifififi teilt sich auf in einen Faktor bei if-450und die drei Faktoren f i ,die durch das dreirnalige Zerlegen der Amplitude in Kornponenten entstehen.) B e i s p i e 1 2 . Das einfallende Licht schwinge in y-Richtung. In den Strahlengang seien ein linearer Polarisator in -45"-Stellung, eine -A/4-Platte und ein linearer Polarisator in 45" -Stellung eingeschaltet. Die Losung erfordert die Matrizenmultiplikation P4@-A&&iy. Das Ergebnis lautet
Das austretende Licht hat gegenuber dern einfallenden Licht die Phasendifferenz -90" und schwingt in 45"-Richtung.
5.4 Polarisierende Funktionselemente
45 1
Stokes-Vektoren. Die Intensitiiten im polarisierten Licht lassen sich mittels der von Stokes eingefuhrten Vektoren beschreiben. Fiir quasimonochromatisches Licht, das durch die Feldstiirkevektoren (analog zu 2.1.2) EJr) = A,(t)e,sin(-wt+K), Ey(r) = 4(t)eysin(-wt+i$)
beschrieben wird, lauten die Stokes-Parameter (6 = 6; - 6)
so = ( A ~ ) + ( A : ) , S, = (A:)-(A;), S, = ( ~ A , A , C O S ~ ) , S, = (2A,Aysin6).
Im allgemeinen werden die auf So normierten Stokes-Parameter verwendet. Fiir unpolarisier_ tes Licht ist (A:) = , (cos 6)= 0, (sin 6)= 0 zu setzen, so da6 go= So/So = 1 und S, = S, = S, = 0 ist. In Matrizendarstellung ist also fiir natiirliches Licht (Querstrich weggelassen)
(4)
(5.237)
zu schreiben. Fiir linear polarisiertes Licht, das in x-Richtung schwingt, ist Ay = 0; fiir linear polarisiertes Licht, das in y-Richtung schwingt, ist A, = 0; f5.r linear polarisiertes Licht, das unter 45" gegenuber der x-Achse schwingt, ist A, = Ay und 6 = 0; fiir linear polarisiertes Licht, das unter -45" gegenuber der x-Achse schwingt, ist A, = Ay und 6 = x. Die normierten Stokes-Vektoren lauten
Rechts-zirkular polarisiertes Licht ist durch A, = Ay , 6 = n/2, links-zirkular polarisiertes Licht ist durch A, = Ay , 6 = - n/2 charakterisiert. Als Matrizen ergeben sich daraus
(5.239a, b)
Bei inkohiirenten Wellen konnen die Stokes-Matrizen addiert werden. So gilt z. B. S,+ S, = 2S, (linear polarisiertes Licht doppelter Intensitat), Sx+ Sy = 2SN (natiirliches Licht doppelter Intensitiit).
452
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Muller-Matrizen. Die Wirkung polarisationsoptischer Funktionselemente wird durch MiillerMatrizen beschrieben. Fiir einen linearen Polarisator, dessen DurcMaBrichtung die x-Achse ist, lautet die Miiller-Matrix (1
1 0 0)
Lo o o
OJ
Ein Beispiel fiir ihre Anwendung ist MxSx=Sx.
(Der lineare Polarisator wandelt linear polarisiertes Licht in linear polarisiertes Licht urn, d. h,er 1Ut es vollstiindig hindurch.) Ein weiteres Beispiel ist
MxSN=0,5Sx. (Der lineare Polarisator wandelt natiirliches Licht in linear polarisiertes Licht mit der halben Intensitat urn.) Miiller-MaUizen fiir die giingigsten polarisationsoptischen Funktionselemente sind
M x
oj?
( I 1 0 0) = 1 1 01 0 0 0 0 0 0 (1
(1 My = 1 1 - 1 2 0 0
0 0 0 0 0 0
-1 1
j
0) 0
f 1 0 -1
0 1 0)
(5.240a, b)
0 ’ 0 0)
(5.24 1a, b)
(0 0 0 0) (1 0 0
0)
(1
(0
0
0
0
0
0)
0)
(5.242a, b)
M R =
[
1 0 0 1 0 0 0 Z O 0 0 (1 0 0
1,
1 0 0 1)
1 0 0 - 1
ML=+ 2
0 (-1
O O 0 0 0 0
01 0 . 1)
(5.243a, b)
Die Anwendung der aufgefiihrten Miiller-Matrizen auf den Stokes-Vektor fiir natiirliches Licht ergibt, wie auch anschaulich zu erwarten ist,
Mx& = 0,5sx,
M-450&
My& = 0,5sy, M&&
=
S-450,
= S4y,
M-~14& = &, Mw4& = &,
MR& = 0,5&,
ML& = 0,5&.
5.5 Ablenkende Funktionselemente
453
5.5
Ablenkende Funktionselemente
5.5.1
Planspiegel
Abbildung am Planspiegel. Unter einem Planspiegel verstehen wir eine ebene reflektierende HEhe. Im allgemeinen besteht ein Planspiegel aus einer oberflachenverspiegelten polierten Glasplatte. Diese kann aber auch teildurchliissig sein oder gar nicht verspiegelt. Damit bei der Fassung des Spiegels keine Durchbiegung auftritt, muS dieser eine bestimmte Mndestdicke haben. Fiir hohe Anspriiche rechnet man mit einem notwendigen Verhiiltnis aus Dicke und Diagonale von 1:10 ’..1:5 . Die Spiegelschicht kann aus Metal1 oder aus nichtleitenden Mehrfachschichten bestehen. mit denen eine hohe Reflexion durch Interferenz des Lichtes erreicht werden kann. Ein Planspiegel bildet vom geometrisch-optischen Standpunkt aus den gesamten Raum kollinear ab. Der AbbildungsmaSstab betriigt fl’ = 1. Ein einwandfreier Planspiegel innerhalb eines optischen Systems beeinfluBt dessen Abbildungsqualitst nicht, wenn die Beugung an seiner Fassung vernachlksigt werden kann. In Abb. 5.79 ist zu erkeMen, dal3 auf die Richtung des einfallenden Lichtes bezogen ein aufrechtes und seitemichtiges Bild entsteht. (Wir brauchen nur in einen ebenen Spiegel zu sehen, um festzustellen, daO unser Kopf auch im Spiegelbild oben und unser linker Arm links bleibt.) Der Spiegel vertauscht aber gewissermaBen “vorn und hinten”. Wir bringen mit dieser Formulierung zum Ausdruck, daJ3 die 2’- und die z-Achse entgegengesetzt sind, wiihrend die x’- und die x-Achse sowie die y’- und die y-Ache gleich gerichtet sind. Duch das Vertauschen einer Achsenrichtung des Koordinatensystems entsteht aus einem Rechtssystem {x, y, z} ein Linksssystem {x’, y’, z‘} . Diese mathematische Transformation umschreiben wir in der ijbertragung auf die optische Abbildung mit der Formulierung “das Bild ist spiegelverkew.
Abb. 5.79 Reflexion am Planspiegel
Abb. 5.80 Planspiegel zur Ablenkung der optischen Achse
Ablenkung mit Planspiegeln. Die hauptstichliche Anwendung der Planspiegel besteht darin, die optische Achse und damit die abbildenden Bundel abzulenken.
I
Planspiegel sind Bauelemente, mit denen die Elementarfunktion “Ablenken” realisiert wird. Die Ablenkung kann mit einer hderung der Bildlage verbunden sein.
Abb. 5.80 zeigt die Anwendung eines Planspiegels zur Ablenkung der optischen Achse eines astronomischen Fernrohrs um 90”. Beim Einsatz von Planspiegeln in optischen Systemen ist es notwendig, die Orientierung
454
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
des Bildes im Raum (wir bezeichnen sie kurz als Bildlage) auf die durchghgige Lichtrichtung, also auf die Richtung des reflektierten Lichtes, zu beziehen. Das ist nach unseren Vereinbarungen stets die z’-Richtung. Abb. 5.79 macht deutlich, dal3, in 2’-Richtung gesehen, das Bild einseitig vertauscht ist. (Auch diesen Umstand beobachten wir, wenn wir in einen ebenen Spiegel schauen. Versetzen wir uns in die Lage unseres Spiegelbildes, d m ist dessen rechter Arm das Bild unseres linken Armes.) Wir wollen in der Anwendung auf optische Systeme die Begriffe “links und rechts” sowie “oben und unten” zur Kennzeichnung der Bildlage vermeiden, weil diese relativ sind. Wir sprechen statt dessen von einseitiger Vertauschung, wenn eine Querrichtung erhalten bleibt, und von zweiseitiger Vertauschung, wenn sich beide Querrichtungen hdern ( n u in diesem Fall sprechen wir auch von Hohen- und Seitenvertauschung). Aufgespaltete Planspiegel. Nach 4.1.6 gilt fiir die aufgespaltetePlanspiegelflache * s = s, A’
2 = 6.
Objekt und Bild fallen zusammen, und die Lichtstrahlen behalten ihre Richtung bei (Abb. 5.81). Der Winkel, den der Spiegel mit der optischen Achse eines zentrierten Systems bildet, kann dabei beliebig sein.
&cy =e’
Abb. 5.81 Aufgespalteter Planspiegel
Oblekti v
Okular
Abb. 5.82 Aufgespalteter Planspiegel im Opt&-Schema nach Abb. 5.80
Die aufgespaltete Planspiegelflache hat also den Nachteil, dal3 nicht zu erkennen ist, wie das Licht abgelenkt wird und wie sich die Bildlage verhdert. Andererseits 1st die ungeknickte optische Achse von Vorteil, wenn die Abbildung durch das iibrige optische System zu untersuchen ist (Abb. 5.82). Daraus folgt fiir das methodische Vorgehen: Die einfache Spiegelflache ist zu verwenden, wenn der konkrete Verlauf der optischen Ache und die Bildlage zu untersuchen sind ( h r g a n g von einem Rechts- in ein Linkssystem, ein- oder zweiseitige Vertauschung). Die aufgespaltete Spiegelflache ist zu verwenden, wenn die Abbildung des optischen Systems unabhhgig von den Knickungen der optischen Achse zu untersuchen ist. Die aufgespalteten Planspiegel haben darauf keinen EinfluO. Allgemeine Behandlung von Planspiegeln. Wir gehen von einer Spiegelung aus (Abb. 5.83). In den Objektraum legen wir ein rechtwinkliges Rechtssystem mit den Einheitsvektoren e,, e,, e,. Mit dem vektoriellen Reflexionsgesetz, das auch auf die Abbildung beliebiger Vektoren anwendbar ist, bestimmen wir die Komponenten der Einheitsvektoren e:, e l , e: des bildseitigen Koordinatensystems. Der Einheitsvektor e, sol1 in Richtung der optischen Achse
455
5.5 Ablenkende Funktionselemente
weisen. Der Normaleinheitsvektor des Spiegels hat &e Komponenten
n = {~,sina,cosaj. (Da wir hier offenlassen koMen, ob der Vektor eine Zeilen- oder eine Spaltenmatrix ist, verwenden wir die Schreibweise mit der geschweiften Klammer.)
% \ e;
Abb. 5.83 Dreibein am Planspiegel
Die Einheitsvektoren des Objektraumes haben die Komponenten ex = {I,o,o},
e, =
{o,~,o},
ez = {o,o,I}.
Die drei Rechenschemata des vektoriellen Reflexionsgesetzessind in Tab. 5.17 enthalten. Das Ergebnis lautet e: = {I.O,O},
e: = {0,-sin2a,-cos2a}.
e i = {0,cos2a,-sin2a},
Die Komponenten von e:, et und e: sind die Richtungskosinus der Achsen des bildseitigen Koordinatensystems. Die Skalarprodukte zusammengehoriger Einheitsvektoren sind den Kosinus zwischen ihnen gleich. Sie betragen exe: = 1,
eye; = cos 201,
e,e: = -cos 2a = cos(180°+2a).
Tabelle 5.17 Rechenschemata des vektoriellen Reflexionsgesetzes filr ein Dreibein
0 0
0 0
0
1 1
0 0 sina 0 sina
;
0 0 0 0
111 0
sin a 0 0 0 sin a -2sin’a 1 1-2sin*a cos 2 a sin a -2sinacosa
cos a cosa
0 0
-2sinacosa
-sin2a
cos 01 0 0 0 cos a -2sinacosa 0 -2sin a cos a -sin 2 a
e:
~
I
el
;a -2cos2a 1- 2c0s2a -cos 2a
e:
456
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Daraus folgt: Die K' -Achse und die x-Achse sind zueinander parallel. - Die y'-Achse ist gegeniiber der y-Achse um den Winkel 2a gedreht. - Die z'-Achse ist gegenuber der z-Achse um 180"+ 2a gedreht, was auch als Umkehr der Achse und Drehung um den Winkel 2a gedeutet werden kann. Die Reflexion an einem Planspiegel stellt eine Drehung und Spiegelung des Koordinatensystems, also eine orthogonale Transformation dar. Die Transformationsdeterminante, deren Elemente die Richtungskosinus des bildseitigen Koordinatensystems sind, lautet -
Die Transformationsdeterminante hat bei einer reinen Drehung den Wert A = + 1, bei einer Spiegelung den Wert A = -1. (Im iibrigen stellt die Determinante das Spatprodukt [e:ei]e: = [elele:] der drei Einheitsvektoren dar.) Bei der Erhaltung des Symmetriecharakters des Koordinatensystems ist A = + I (ein Rechtssystem geht in ein Rechtssystem uber). Ein Wechsel der Symmetrie fuhrt auf A = -1 (ein Rechtssystem geht in ein Linkssystem iiber). Durch wiederholte Anwendung der Transformation ergibt sich, dal3 beliebig viele Drehungen keine Symmetrietinderung zur Folge haben. Dasselbe gilt fiir eine gerade Anzahl von Spiegelungen. Eine ungerade Anzahl von Spiegelungen vertauscht den Charakter des Koordinatensystems. Bei s Spiegelungen gilt
d" = (5.245) Wir fassen zusammen: - Wir legen ein rechtshtindiges Koordinatensystem so, dal3 die z-Achse in Richtung der optischen Achse weist. Durch Zeichnen oder Anwenden des vektoriellen Reflexionsgesetzes ermitteln wir die Lage des bildseitigen Dreibeins e:, eb ,el. - Bei beliebig vielen Drehungen und s Spiegelungen hat die Transformationsdeterminante den Wert A = (-1)'. Fiir A = 1 liegt bildseitig ein Rechtssystem, fir A = -1 ein Linkssystem vor. - An den Skalarprodukten e,e:, eye;, e,el ist h e gegenseitige Lage zusammengehoriger Einheitsvektoren abzulesen. Die Richtungstinderungen der optischen Achse sind in der Tab. 5.18, die Spezialfdle fiir Bildlagentinderungen bei e,e: = 1 in der Tab. 5.19 zusammengestellt. Tabelle 5.18 Richtungsiinderungen der optischen Achse ~
eze:
1
0 -1 cos 6
Deutung fluchtende oder parallel versetzte optische Achse ohne Umkehr rechtwinklige Knickung der optischen Achse fluchtende oder parallel versetzte optiscbe Achse mit Umkehr Knickung der optischen Achse urn den Winkel 6
5.SAblenkende Funktionselemente
457
~
~~
Tabelle 5.19 Bi1dlagen;indemngen an Planspiegelfolgen (e,e: = 1 vorausgesetzt) e,e:
Deutung
eye; ~
keine Vertauschung einseitige Vertauschung zweiseitige Vertauschung
1
1 +1 -1
71
-1
Zwei komplanare Spiegel. Wir untersuchen die Reflexion an zwei komplanaren Planspiegeln.
I
Komplanare Planspiegel haben Normaleneinheitsvektoren,die durch eine Parallelverschiebung in eine Ebene gebracht werden k6nnen (es sind dann komplanare Vektoren).
Der Lichtstrahl falle im Hauptschnitt ein. Dieser steht senkrecht auf den Spiegeln (Abb. 5.84). Die Normale des ersten Spiegels bilde mit der objektseitigen Lichtrichtung den Winkel a,, die Normale des zweiten Spiegels den Winkel a2. Die bildseitig des ersten Spiegels vorliegenden Komponenten der Einheitsvektoren sind der Tab. 5.17 zu entnehmen. Die Komponenten von ex bleiben auch am zweiten Spiegel unvemdert, weil e: senkrecht auf der Einfallsebene steht. Die Rechenschemata fiir e: und e: findet man in Tab. 5.20.
Abb. 5.84 Zwei komplanare Planspiegel
Die Ablenkung an den zwei komplanaren Planspiegeln betragt
6 = 6,+6, = 2a,-2a2 = 2(a1-a2). Bildseitig des zweiten Spiegels haben die Einheitsvektoren die Komponenten e: = {I,o,o},
e i = {o,cos 6,sin6},
e: = (0, -sina,cos
a}.
Weil zwei Spiegelungen vorliegen, ist A = 1. Die Skalarproduktebetragen e,e:
I
= 1,
eye; = cos 6,
e,e;
= cos 6.
(5.246)
Zwei komplanare Planspiegel drehen das Koordinatensystern urn den Winkel 6. Die Ablenkung eines im Hauptschnitt einfallenden Lichtstmhles M g t nur vom Winkel a,-a, ab. Sie bleibt unveriindert, wenn der Spiegel als Games urn eine auf dem Hauptschnitt senkrecht stehende Achse gedreht wird.
45 8
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Tabelle 5.20 Durchrechnung eines Dreibeins am zweiten Spiegel zweier komplanarer Planspiegel
-sin2al.cosa, -sin(2al - a 2 )
0 0
cosZa, cos2(al -a2)
-sin2al sin2(al -a,) sin 6
-sin 6
cos s
Winkelspiegel. Folgende Spezialfdle seien hervorgehoben:
- Bei a,- a,= 90" (Winkel zwischen den Spiegelspuren 90"; Abb. 5.85) ist e,e: = 1,
eye; = -1,
e,e: = -1.
Die Lichtrichtung wird umgekehrt. - Bei
a,- a2= 135" (Winkel zwischen den Spiegelspuren 45'; Abb. 5.86) ist e,e: = 1,
eye: = 0,
e,e: = 0.
Der 45"-Winkelspiegel lenkt urn 90" ab.
- Bei a,- a2= 180" (Winkel zwischen den Spiegelspuren 0" ; Abb. 5.87) ist e,e: = 1,
eye; = 1,
e,e: = 1.
Der 0" -Winkelspiegel, auch Spiegeltreppe genannt, versetzt die optische Achse parallel. Das Bild ist unvertauscht.
Abb. 5.85
Abb. 5.86
Abb. 5.87
90' -Winkelspiegel
45' -Winkelspiegel
Spiegeltreppe
Beliebig viele komplanare Planspiegel. Die Anwendung des vektoriellen Reflexionsgesetzes ergibt bei s Spiegelungen e: = {I,o,o},
e l = {0,cos6,(-1)"sin6),
e: = { ~ , - s i n ~ , ( - l ) s c o s ~ ]
5.5 Ablenkende Funktionselemente
459
Die Ablenkung folgt aus 5
6= 2 c (-l)v-lav.
(5.247)
v=l
Der Winkel 6 kann um +360' abgewandelt werden. Es ist = 1,
e,e:
eye; = cos 6,
ezei = (-1)'cos 6.
(5.248)
Bei ungeradem s gilt A = - 1, das Spiegelsystem ist drehempfindlich. Tripelspiegel. Ein Tripelspiegel besteht aus drei Planspiegeln, die senkrecht aufeinanderstehen. Die drei Spiegel bilden eine Wiirfelecke, und nur jeweils zwei davon sind komplanar (Abb. 5.88). Bei der in der Abb. 5.88 angenommenen Lage des Koordinatensystems sind die Komponenten der Normaleneinheitsvektoren durch '21
= {O,l.O},
n, = { l , O , O } .
n, = {0,0,-1}
gegeben. Die Richtungskosinus des einfallenden Lichtstrahls betragen s1
= {cosy,,cosy,,cosy,}.
Das Rechenschema der Tab. 5.21 ergibt
s; = {-cosy,,-cosy,,-cosy,}, also s; =
-s1.
Abb. 5.88 Tripelspiegel
I
Der Tripelspiegel lenkt einen Lichtstrahl beliebiger Einfallsrichtung urn 180' ab. Er reflektiert das Licht unabhhgig vom Einfallswinkel entgegen der Einfallsrichtung.
Der Tripelspiegel findet z. B. in Interferometern und in den Elementen der Ruckstrahler Verwendung. Es konnte der Eindruck entstehen, da.6 ein 9O0-Winkelspiegeldieselbe Funktion erfiillen
5 Nichtabbildende omische Funktionselemente
460
wiirde. Der 90°-Winkelspiegel reflektiert jedoch nur die Strahlen entgegen der Einfallsrichtung, die im Hauptschnitt verlaufen. Die Hachen 1 und 2 des Tripelspiegels stellen einen 90"Winkelspiegel dar. Der Strahlvektor sa hat nach Tab. 5.21 die Kornponenten s; = {-cos yl, -cos y * , cos y3}. Die x- und die y-Komponente sind zwar entgegengesetzt, aber die r-Komponente nicht. Der Strahl ist gewissermaen verkantet. Nur bei y3 =90", also fiir einen senkrecht zur z-Achse einfallenden Lichtstrahl, ist s; = {-cos yl, -cos yz, 0 ) und damit s; = -s1. Tabelle 5.21 Durchrechnung eines Strahls am Tripelspiegel
~~
~
cos Yl 0 0
cos YI 0 0
-cos y3 -cos y,
5.5.2
~
1 -2cos yI
0 0
0 0
cos Y1 -cos */I
-cos yz -cos yz
cos Y3 cos Y 3
0 0 -cos yI -cos y,
0 0 -cos yz -cos y*
-1
-2cos y3 -cos y3 -cos y3
Planparallele Platten
Eine planparallele Platte, wie sie z. B. in der Mikroskopie als Deckglas oder in der Fotografie als Filter vorkommt, beeinflat die abbildenden Strahlenbundel. Die planparallele Platte grenze beiderseits an den gleichen Stoff an (Abb. 5.89). Ein Lichtstrahl wird zweimal gebrochen. Aus Symmetriegriinden wird er dabei um die Strecke v parallel zu sich versetzt. Damit ist die Schnittweiteniinderung
AS =
SZ -SI
verbunden. Nach Tab. 5.22 betragt die Versetzung
c
1 (5.249)
46 1
5.5 Ablenkende Funktionselemente
Tabelle 5.22 Ableitung der Gleichungen fiir die planparallele Platte
Anwenden der Winkelfunktion
im Dreieck CEF sin(€-&’) = --V I Anwenden der Winkelfunktion im Dreieck CDF * d COSE = 1
v cos E’
sin(€-&’) = -Additionstheoreme
COSE sine’ sin E cos E’
Anwenden des Brechungsgesetzes COSE’
=
1-
7
Anwenden der Winkelfunktion im Dreieck ABG sine = --V As
v
1
462
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
und die Schttweiteniinderung
(5.250)
Die Schnittweiteniinderungist eine Funktion des Einfallswinkels. Eine planparallele Platte erzeugt kein punktformiges Bild. Fur sehr kleine Einfallswinkel, also im paraxialen Gebiet, gilt bei der senkrecht zur optischen Achse stehenden Platte die Niiherungsformel
n' --1
AS = d
n' -
(5.251)
n '
n
Bei n = 1, n' = 1,5 ergibt sich z. B. As = d / 3 . Auf &e Schnittweiten'bnderung muO beim Einbau einer planparallelen Platte in ein optisches System besonders geachtet werden. Wenn nur die Abbildung durch das zentrierte optische System untersucht werden soll, kann die reduzierte Plattendicke eingefiihrt werden. Die reduzierte Plattendicke ist die Dicke, bei der die Platte in einem abbildenden Strahlenbundel formal keine Schnittweiteniinderung und keine Parallelversetzung ein-
m.
Nach Abb. 5.90 ist
d = d-As also mit G1. (5.250) d cos E
=
/(gy.
(5.252)
Fiir kleine Einfallswinkel gilt
d = +d.
n
(5.253)
5.5 Ablenkende Funktionselemente
463
Mit der reduzierten Plattendicke kann die Schnittweitenhderung durch
AS
= d-d
(5.254)
ausgedriiclct werden.
I
Die Schnittweitenhderung ist die Differenz aus der Plattendicke und der reduzierten Plattendicke.
Eine planparallele Platte, die um eine senkrecht zum Meridionalschnitt stehende Achse drehbar ist, erlaubt kleine Strahlversetzungen. Sie wirkt damit als optisches Mikrometer (Abb. 5.91). Die Empfindlichkeit ist durch den Differentialquotienten dv d& gegeben. Aus G1. (5.249) und G1. (5.252) folgt zunachst v = (2-d)sin&.
(5.255)
Durch Differenzieren erhalten wir dv - -sin&+(d-d)cos&. dd _ de d& Weiter gilt dd
. .
also
(5.256)
V
Abb. 5.91 Planplatten-Mikrometer
Tab. 5.23 enthat fiir n’/n = 1,5 Zahlenwerte, die rnit G1. (5.256) berechnet worden sind. Bei einer Platte, die um 45O geneigt im Strahlengang steht und die 5 mm dick ist, !indert eine Drehung urn 1’ die Versetzung um 0,0525 mm.
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
464
Tabelle 5.23 Empfindlichkeit des Planplattenmikrometers +&
-dV Id&
0" 30"
0,333d 0,446d
45"
0,599d 0,806d 0,894d
60" 90"
5.5.3
Planspiegelplatten
Es gibt Anwendungen von Spiegelflachen, bei denen der Schutz der Metallschicht erwiinscht ist. Das Spiegelmetall wird auf die Ruckseite der planparallelen Platte aufgedampft und durch eine Lackschicht geschutzt. Auch teildurchlbsige Platten bestehen aus einseitig teilverspiegelten Glasplatten. Ruckverspiegelte Platten sind das Analogon zu Spiegellinsen, bei denen eine Flache brechend, eine Fli4che reflektierend 1st. Wir bezeichnen einseitig verspiegelte planparallele Platten als Planspiegelplatten. An diesen wird das Licht zweimal gebrochen und einmal reflektiert (Abb. 5.92). Der Einfallswinkel fiir die erste Brechung ist gleich dem Brechungswinkel bei der zweiten Brechung. Ein Licht-
5.92
Planspiegelplatte
suahl wird also so abgelenkt, als wiirde das Reflexionsgesetz fiir die Planspiegelplatte als Ganzes gelten, allerdings mit einer seitlichen Versetzung des Lichtstrahls. Das Licht wird scheinbar an einer innerhalb der Platte liegenden Ebene reflektiert (in Abb. 5.92 gestrichelt eingezeichnet). Die scheinbare Plattendicke 2 ist gleich der reduzierten Plattendicke einer planparallelen Platte, wie sie in G1. (5.252) angegeben ist. Beim Einbau der Planspiegelplatte in ein zentriertes optisches System muD auf die SchnittweitenCinderung geachtet werden. Wir erlautern dies am Beispiel der Abb. 5.93, das dasselbe Fernrohr wie Abb. 5.80 enthdt. In Abb. 5.94 ist die Planspiegelplatte mit der aufgespalteten Spiegelflache dargestellt. (Die Platte ist in den Beispielen der Deutlichkeit halber sehr dick gewiihlt worden.)
5.5 Ablenkende Funktionselemente
465
Die Planspiegelplatte wirkt wie eine schrtigstehende planparallele Platte mit der Plattendicke 2 d . Wir koMen G1. (5.250) fiir die Schnittweiteniinderung an der senkrecht zur optischen Achse stehenden Planparallelplatte anwenden. Wir mussen aber die Schnittweiteniinderung senkrecht zur Platte messen und diirfen sie nur fiir Strahlen angeben, die in der Umgebung der optischen Achse bleiben. Es gilt dann nach G1. (5.254) AS = 2 ( d - d )
(5.257)
bzw. mit GI. (5.252)
1 (5.258)
( E Einfallswinkel der E = 45' diene
optischen Achse). Als Faustregel fiir den haufig vorkommenden Fall
AS = d (bei n = 1, n'= 1.58 erfiillt). SchlieDlich konnen wir bei der Untersuchung der Abbildung durch das zentrierte System die Planspiegelplatte mit aufgespalteter Spiegelflache und reduzierter Dicke zeichnen. Damit fallen sowohl die Brechung wie auch die Schnittweiteniinderung formal weg (Abb. 5.95).
Abb. 5.93 Planspiegelplatte zur
Ablenkung der optiscben Achse
Abb. 5.94 Planspiegelplatte mit aufgespalteter Spiegelfkhe
Abb. 5.95 Planspiegelplatte mit aufgespalteter SpiegelflLbe und
reduzierter Dicke Planspiegelplattenhaben im wesentlichen folgende Nachteile:
- Ein Teil des Lichtes wird auch an der Vorderfliiche reflelctiert. Es entstehen ein Vorderreflex und durch Mehrfachreflexionen innerhalb der Platte Nebenreflexe. Die Planspiegelplatte liefert Nebenbilder.
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
466 -
Mit der zweimaligen Brechung der optischen Achse ist infolge der Dispersion eine Farbaufspaltung verbunden.
-
Die Planspiegelplatte verschlechtert die Strahlenvereinigung(Astigmatismus).
-
Bei einer metallischen Spiegelflache h h g t der Reflexionsgrad von der Wellenlhge ab. Die Besthdigkeit kann durch Blbchenbildung und Triibungen vermindert werden.
5.5.4
Reflexionsprismen
Eigenschaften von Reflexionsprismen. Die in 5.5.3 genannten Nachteile der Planspiegelplatten lassen sich teilweise vermeiden, wenn zur Ablenkung des Lichtes Reflexionsprismen verwendet werden.
I
Ein Reflexionsprisma ist ein Prisma mit mindestens einer Spiegelflache. Reflexionsprismen stellen ablenkende optische Bauelemente dar. Mit der Ablenkung kann eine hderung der Bildlage verbunden sein.
Abb. 5.96 demonstriert schematisch den ijbergang von der Planspiegelplatte zum Reflexionsprisma. Die Endflachen des F’rismas stehen senkrecht zur optischen Achse. Die an der Planspiegelplatte auftretende Brechung der optischen Achse und die damit verbundenen Nachteile fallen beim Prisma weg.
Abb. 5.96 hergang von der Planspiegelplatte zum Reflexionsprisma
Die Einfallswinkel an der reflektierenden Flache sind beim Prisma kleiner als bei der Planspiegelplatte. Dadurch l a t sich die Spiegelflache fiir Bundel mit nicht zu groSem Offnungswinkel als totalreflektierende Flliche ausbilden. Die metallische Verspiegelung mit ihren Nachteilen entfdlt. Wegen der im allgemeinen bei Reflexionsprismen vorhandenen totalreflektierenden Flachen wird manchmal auch von totalreflektierenden Prismen gesprochen, obwohl das nicht fiir alle Reflexionsprismenzutreffend ist. Reflexionsprismen haben im wesentlichen folgende Vorteile gegenuber Planspiegeln und Planspiegelplatten: - Reflexionsprismen haben oft weniger Spiegelmetallflachen als Spiegel, weil die Totalreflexion genutzt wird. Das bringt bei hochtranspixenten Prismenwerkstoffen hohere Lichtdurchlgissigkeit im gesamten Spektrum, groRere Haltbarkeit und einfachere Fertigung der reflektierenden Flachen mit sich. - Die Eintritts- und die Austrittsflache lassen sich im allgemeinen so zur optischen Achse orientieren, dal3 kleine Brechungswinkel und damit geringe Farbaufspaltung auftreten. Sgimtliche Nebenreflexe werden weitgehend herabgesetzt.
5.5 Ablenkende Funktionselemente
467
- Mehrere Spiegelflachen sind beim Reflexionsprisma starr miteinander verbunden. Die Prismenwinkel kilnnen so toleriert werden, daS die Ablenkung des Lichtes mit einer entsprechenden Genauigkeit garantiert ist. Das Reflexionspnsma wird als Ganzes justiert, nicht die Einzelflachen zueinander. Reflexionsprismen haben gegeniiber Planspiegeln auch Nachteile, die besonders bei groRen Biindeldurchmessern in Erscheinung treten. Die wesentlichen Nachteile sind:
- Reflexionsprismen haben ein gr6Reres Gewicht als Planspiegelplatten. Es ist deshalb wichtig, das fiir eine bestimmte Aufgabe kleinste Prisma auszuwtihlen und dessen Mindestabmessungen zu bestimmen.
- GroSe Prismen sind mit groRen Glaswegen des Lichtes verbunden. (Zur abgekiirzten Sprechweise verwenden wir sthdig den Begriff “Glasweg”, obwohl die Prismen auch aus anderen optischen Werkstoffen bestehen konnen.) Bei groRen Glaswegen koMen Inhomogenittiten des Glases storen. Die Absorption des Lichtes im Glas setzt die spektrale DurchlgSsigkeit herab, so dat3 der diesbezugliche Vorteil der Totalreflexion nicht zum Tragen kommt. Wir beschmgen uns nun mit den Problemen, die bei der Berechnung eines Reflexionsprismas zu liisen sind. Wir nehmen an, daI3 das Prisma Bestandteil eines zentrierten optischen Systems sein soll. Es sei bereits so ausgewmt, daI3 es die geforderte Lichtablenkung realisiert. Fiir ein Reflexionsprisma sind -
-
-
die paraxiale Schnittweitentinderung des Lichtbundels, die MindestgroRe, die maximale Strahlneigung, die ohne Verspiegelung moglich ist, der EinfluS auf die Bildlage, der EinfluS auf die Bildgiite
zu ennitteln. Der EinfluS auf die Bildgiite wird hier nicht behandelt. Die ubrigen GroSen bestimmen wir zunachst, indem wir den Strahlenverlauf im zugrunde gelegten optischen System mit den Beziehungen des paraxialen Gebietes berechnen oder zeichnen. Die Methodik erliiutern wir am Beispiel eines Halbwiirfelprismas (Abb. 5.97).
Die paraxiale Schnittweitenanderung des Bundels tritt ein, weil das Reflexionsprisma wie eine planparallele Platte wirkt. Wir erkennen dies, wenn wir die Spiegelflkhe aufspalten (Abb. 5.98). Die Dicke der planparallelen Platte h b g t vom Glasweg der optischen Achse ab. Dieser ist durch die G r o k des Prismas festgelegt. Zur Bestimmung des Glasweges gehen wir davon aus, dat3 die GroSe des Prismas nur durch die Lichtbundel festgelegt ist. Fassungszugaben beriicksichtigen wir nicht. Der in Abb. 5.97 gestrichelt eingezeichnete Strahl hat denselben Glasweg wie die optische Achse. Bei ihm ist einfach abzulesen, dat3 d = D ist. Die paraxiale Schnittweitentinderungbetriigt nach G1. (5.251) (5.259)
468
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
(In diesem Abschnitt bezeichnen wir mit n die relative Brechzahl der Prismen gegen Luft. Es gilt d a m in G1. (5.251) der Ubergang n’/n + n . ) Die Mindestgrofie bestimmen wir im allgemeinen zeichnerisch. Dazu wird das Prisma mit aufgespalteter Spiegelflache und reduzierter Dicke d gezeichnet. Wegen
AS
= d-d
(5.260)
gehen d a m siimtliche Lichtstrahlen ungebrochen durch das Prisma hindurch (Abb. 5.99). Da jedoch nach G1. (5.252) fir einen beliebigen Lichtstrahl d cos E
-
Abb. 5.97
Abb. 5.98 Halbwlirfel
Halbwiirfel mit einer Reflexion
mit aufgespalteter Spiegelflache
Abb. 5.99 Halbwiirfel als Planparallelplatte
mit reduzierter Dicke
ist, m u t e die reduzierte Dicke fiir jeden Lichtstrahl anders eingezeichnet werden. Die Mindestgrofie wird jedoch fiir nicht zu gro6e Einfallswinkel ausreichend genau bestimmt, wenn wir mit der reduzierten Dicke fiir die optische Achse rechnen. Im Fall des Halbwiirfels mit E~ = 0 gilt also
Die Lichteintrittsflache des Prismas bleibt beim Ubergang zur reduzierten Dicke an derselben Stelle.
Abb. 5.100 Planplattenwirkung im konvergenten Biindel
Abb. 5.101 Planplattenwirkung im
divergenten Bundel
469
5.5 Ablenkende Funktionselemente
Nach Abb. 5.100 ist diese Feststellung trivial, wenn das Prisma im konvergenten Strahlengang steht. Bei divergentem Strahlengang (Abb. 5.101) gilt nach Abb. 5.102 fiir die Quivalente planparalle Platte h, = hl - d tan &’, woraus mit dem Brechungsgesetz und der Definition der reduzierten Dicke (tan & = sin& vorausgesetzt) = h,-citan& hervorgeht.
Fiir die Platte mit der reduzierten D i c k ergibt sich nach Abb. 5.102 fiir den durchgehenden Strahlenverlauf ebenfalls = h,-citan&.
Die DurchstoShohe in der Austrittsflache der Platte mit der reduzierten Dicke ist also dieselbe wie bei der Platte mit der Dicke d. Damit ist die Behauptung, daE die Lichteintrittsflkhe an derselben Stelle bleiben m a , auch fiir divergenten Strahlengang bewiesen. Stehen die Endflachen senkrecht zur optischen Achse, dann gilt angentihert
Bei der Bestimmung der MindestgrijSe des Prismas mussen auch die schragen Bundel beriicksichtigt werden. In Abb. 5.103 wiirde der mittlere Teil der Platte nur das Biindel vollstiindig hindurchlassen, das den Achsenpunkt abbildet. Die Vergrokmng der Platte bis zum HauptsUahl garantiert, daf3 der Rand des Feldes mit einem Biindel abgebildet wird, das den Hauptstrahl enthat. Die Hinzunahme des gesamten getonten Teils ergibt ein Prisma, das nicht bundelbegrenzend wirkt. Dieser Fall ist manchmal nur mit einem wesentlich groaeren Prisma erreichbar als der Fall der Abschattung bis zum halben meridionalen Bundeldurchmesser fiir den Feldrand.
ObieMiv
Okular
Abb. 5.103 Zur Bestimmung
der Mindestgrtik
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
470
Deshalb wird gelegentlich die Wirkung des Prismas als Abschattblende in Kauf genommen, um an Gewicht zu sparen. Rechnerische Bestimmung der Mindestgrofie. Die Entfernung e’ von Zwischenbild zur nachstgelegenen Prismenflache wtihlen wir stets positiv.
Abb. 5.104 Zur Berechnung der Mindest-
g r o k (divergentes Bundel)
In Abb. 5.104 bestimmt die dem Zwischenbild abgewandte Prismenflache die PrismengroBe. In den iihnlichen Dreiecken, die in Abb. 5.104 hervorgehoben sind, gilt
,-Pi D P;+P;.
-
e’+d P’ .
(5.261)
Die reduzierte Dicke des Prismas ist dem Durchmesser der Austrittsflache proportional. AuBerdem kann sie durch weitere Glaswege im Prisma vergrol3ert sein. So ist z. B. beim Halbwiirfel
beim Rhomboidprisma
Allgemein setzen wir d = c,D+c,,
(5.262)
wobei die Konstanten c, und c, vom Prismentyp und vom Msmenwerkstoff abhiingen. Einsetzen von d in G1. (5.261) und Auflosen nach D ergibt (5.263)
Bei Randabschattung bis zum Hauptstrahl (halbes meridionales Biischel abgeblendet) ist formal pi = 0 zu setzen, so daR (5.264)
wird.
5.5 Ablenkende Funktionselernente
47 1
In Abb. 5.105 wird die Prismengroae durch den Bundeldurchmesser in der dem Zwischenbild zugewandten Prismenflache bestimmt. In den in Abb. 5.105 hervorgehobenen g;hnlichen Dreiecken ist (5.265)
Ql-J
.A
a.
Daraus folgt (5.266) Bei Randabschattung bis zum Hauptstrahl (pi = 0) gilt
D = 2p;(l-$).
(5.267)
Zu beachten ist, daD beim Einfiihren von Randabschattung ein Wechsel der die Grtise bestimmenden Flache eintreten kann. War es ohne Randabschattung die dem Zwischenbild abgewandte Fltiche, dam kann es mit Randabschattung die zugewandte Flache werden. Beispiel. Ein Fernrohr mit der Objektbrennweite f& = 840 mm und der Okularbrennweite
fAk = 50 mm soll mit einem Zenitprisma ausgeriistet werden. Dieses hat die Aufgabe, die op-
tische Achse urn 90" zu knicken, damit hochstehende Sterne bequemer beobachtet werden konnen. Die Austrittspupille des Objektivs fdlt mit der Hauptblende H' des Objektivs zusammen und hat den Durchmesser 2pL = 63 mm. Die Feldblende steht in der bildseitigen Brennebene des Objektivs und hat den Durchmesser 2pt = 20 mm. Die Aufgabe ist mit einern Halbwiirfelprisma zu losen. Es hat von den um 90" ablenkenden Prismen die kleinsten Abmessungen und ist relativ leicht zu fertigen. Andererseits braucht der Ablenkungswinkel von 90" nicht so genau eingehalten zu werden, so daB ein drehunempfindliches Prisrna, wie z. B. das Pentaprisrna, nicht notwendig ist. Das Prisrna soll aus Glas mit der Brechzahl n = 1,516 hergestellt werden. Seine Austrittsflache liegt 20 mm vor dem Zwischenbild (Abb. 5.106).
-
Randabschattung bis zum Hauptstrahl. In diesem Fall bestimmt die Austrittsflache des Prismas dessen Durchmesser. Es ist p f =840mm, e'= 20 mm, also nach GI. (5.267)
472
5 Nicbtabbildende optiscbe Funktionselemente
D = 19,52 mm. Die Schnittweiten2inderung folgt aus A s = d - d mit d = d/n und d = D. Sie betragt A s = 6,64mm. -
Ohne Randabschattung. In diesem Fall bestimmt die Eintrittsflache des Prismas dessen Durchmesser. Fiir den Halbwiirfel 1st c1 = 1/n, c, = 0, also nach G1. (5.263) D=21,76mm. Die Schnittweiteniinderung betragt As = 7,41mm. 0bJektlV EP
FB
Okulor
Abb. 5.106 Zum Zablenbeispiel
Sicherung der Totalreflexion. Die Forderung nach einer totalreflektierenden Flache im Prisma begrenzt die maximal zulasige Strahlneigung an der Eintrittsflache. Nach Abb. 5.107 gilt E l = 0,
p
=
&;-€*.
1 1
Wir s e w n fiir c2 den zul8;ssigen Maximalwen ein, E~
= -E,
( E positiv ~
angenommen),
und erhalten aus dem Brechungsgesetz sino, = nsin(p-EG).
(5.268)
Fiir p = 45' (Halbwiirfel) gilt z. B. 0, = 0 ,
5,3"
= 15,4'
bei n=1,51, bei n = l , 7 .
Abb. 5.107 Sicherung der Totalreflexion
5.5 Ablenkende Funktionselemente
473
Bildlage. Fiir die Bildlage gelten bei Reflexionsprismen dieselben Regeln wie bei Planspiegelfolgen. Bei den meisten Reflexionsprismen stehen die Eintritts- und die Austrittsflache senkrecht zur optischen Achse, so da6 diese Flachen die Bildlage nicht beeinflussen. Aber auch Brechungen der optischen Ache bewirken nur eine Drehung des Koordinatensystems, so daR keine Seitenvertauschungim Bild entsteht. Fiir Brechungen ist stets A = 1. Der Halbwiirfel wirkt wie ein Planspiegel. Es ist A = -1, e,e: = 1, eye; = 0, eze: = 0, das Bild einseitig vertauscht. Zur Ubersicht ordnen wir jedem Prisma ein Symbol zu. Es enthat in spitzen Klammern die Anzahl der Reflexionen s sowie das Zahlentripel e,e:, eye;, eze:. Es lautet also
Bei e,e: = +l kann die optische Achse fluchtend oder parallel versetzt sein. Bei parallelem Austritt der optischen Achse schreiben wir e,e; = ki.Der Halbwiirfel mit einer Reflexion hat das Symbol (lp.o,o>. Einfache Reflexionsprismen. Wir geben einen Uberblick uber die wichtigsten einfachen Reflexionsprismen. Darunter verstehen wir Prismen, die aus einem Stiick gefertigt werden und bei denen in jedem Punkt der reflektierenden Flachen von jedem abbildenden Biindel nur ein Lichtstrahl auftrifft. Die angegebenen Abmessungen sind die optische MindestgroSe filr achsparallele Bundel. Bei konvergenten oder divergenten Biindeln sind im allgemeinen noch unbenutzte Teile abzuschleifen. Fassungszugaben d e r andere konstruktiv bedingte hderungen sind von Fall zu Fall verschieden oder konnen nicht generell beriicksichtigt werden. Halbwurfel mit einer Reflexion (Abb. 5.108), (11 1,0,0). Der Halbwiirfel wurde bereits den vorangehenden Ausfhhmngen zugrunde gelegt. Die Kantenlhge ist gleich dem Biindeldurchmesser D,ebenso der Glasweg. Das Biindel wird einmal reflektiert und um 90" abgelenkt. Das Bild ist einseitig vertauscht. Der Halbwiirfel mit einer Reflexion entspricht einem Planspiegel.
Abb. 5.108 Halbwiirfel mit einer Reflexion
Abb. 5.109 Halbwiirfel mit zwei Reflexionen
Halbwiirfel mit zwei Reflexionen (Abb. 5.109), (211,-1,-i). Wenn wir die halbe Hypotenusenfliiche des Halbwiirfels als Lichteinfallsflache benutzen, dam wird das Bundel durch zwei Reflexionen urn 180" abgelenkt. Die Hypotenuse muD doppelt so lang sein wie der Durchmesser des Biindels. Der Glasweg betragt d = 20. Der Halbwiirfel mit zwei Reflexionen entspricht einem 90"-Winkelspiegel.
474
5 Nichtabbildende optische Funkdonselemente
Zwei Halbwurfel zur Seitenversetzung (Abb. 5.1 lo), (211,1,i). Mit zwei HalbwWeln in der Anordnung nach Abb. 5.110 wird eine Spiegeltreppe realisiert. Die Achse des Bundels wird um den Betrag v versetzt. Es tritt keine Seitenvertauschung ein. Der Glasweg betragt d = 2 0 . 0
4
t-
Abb. 5.110 Zwei Halbwiirfel zur Versetzung der Achse
Abb. 5.111 Rhomboidprisrna
Rhomboidprisma (Abb. 5.11l), (21 l , l , i ) . Fur nicht zu grooe Versetzungen v ist es hinsichtlich der Justierung und der Reflexe gunstiger, die zwei Halbwiirfel mit einem Glasstiick zu verbinden. Es entsteht ein Rhomboidprisma mit dem Glasweg d = D + v . Umkehrprisma (Abb. 5.1 12), (11 1,-cos G,cos 6). Der Halbwiirfel kann so abgewandelt werden, daB ein Prisma entsteht, bei dem die Basis und eine Seitenflache einen beliebigen Winkel miteinander bilden. Es gilt
6 d = Dcot--, 2
L =sin 6 '
6 = 180°-2p.
(5.269)
Es mul3 aber 6 1 90" sein. Die Seitenvertauschung des Halbwiirfels bleibt erhalten, wir sprechen deshalb von einem Umkehrprisma. Der Halbwiirfel ist der Spezialfall mit p = 45", 6=90". Pentaprisma (Abb. 5.1 13), (21 1,0,0). Dds Pentaprisma ersetzt einen 45"-Winkelspiegel, lenkt also um 90" ab. Es hat den Vorteil des Winkelspiegels, dal3 eine kleine Drehung um
Abb. 5.113 Pentaprisma a) Schnittbild, b) perspektivische Darstellung
5.5 Ablenkende Funktionselemente
475
eine zum Hauptschnitt senkrechte Achse k i n e hderung des Ablenkungswinkels bewirkt. Die gegenseitige Justierung der Spiegelflachenfdlt jedoch weg. Der Glasweg betragt d = 2 0 + D & = 3,410.
Der Einfallswinkel eines Achsenstrahles an den reflektierenden Flkhen von 22.5" erfordert eine Verspiegelung. Seitenvertauschung tritt nicht ein. Abb. 5.114 zeigt das Pentaprisma mit aufgespalteten Spiegelflachen.Es ist die Quivalente planparallele Platte zu erkennen.
Bauernfeind-Prhma (Abb. 5.1 15), (2 I 1, cos 45", cos 45"). Das Bauernfeind-Prima dient z. B. dazu, die senkrechte Lichuichtung im Mikroskop urn 45" abzulenken, damit man im Sitzen bequemer beobachten kann. Der Glasweg betriigt d = 1,710. Das Stiick 0,710 der Austrittsflkhe ist nicht genutzt und kann abgeschliffen werden. Der Einfallswinkel der optischen Achse an der zweiten reflektierenden Flache bet@$ 22,5", Verspiegelung ist demnach notwendig. Die Abb. 5.1 16 enthat das Bauernfeind-Prismamit aufgespalteten Spiegelflkhen.
Abb. 5.115 Bauemfeind-Prisma
a) Schnittbild, b) perspektivische Darstellung
Dovesches Umkehrprisma (Abb. 5.1 17), (1 I 1, - 1,l). Beim Doveschen Umkehrprisma wird die optische Achse an der Eintritts- und an der Austrittsflache so gebrochen, daR sie das Prisma fluchtend verlat. Die Luge L der Basisflache und der Glasweg 1 hugen von der Brech-
476
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
zaN ab: cos E' sin E' + cos E' '
L = 2 D .
l = & D .
sin E' + cos E'
(5.270a, b)
Bei n = l , S i s t &'=-28,1", L=4,29Dund1=3,44D;bein=1,581 ist &'=-26,6", L = 4 D und 1 = 3,160. Die optische Achse steht nicht senkrecht auf der Ein- und Austrittsflache. Das Dovesche Umkehrprisma wirkt wie eine schrag im Strahlengang stehende planparallele Plane (Abb. 5.1 18). Darauf mussen wir besonders bei der Berechnung der Schnittweiteniinderung und der reduzierten Dicke (Abb. 5.119) achten. Die aquivalente Plattendicke ist nicht mit dem Glasweg identisch. Sie folgt aus d = U L . 2
(5.271)
0)
Abb. 5.117 Dovesches Umkehrprisma a) Schnitt, b) perspektivische Darstellung
Abb. 5.118 Dovesches Umkehrprisma mit
Abb. 5.119 Dovesches Umkehrprisma mit
aufgespalteter Spiegelflache
reduzierter Dicke
Weiter gilt nach G1. (5.250) und G1. (5.252) cos 450
d cos 45"
(5.272a, b)
Bei n = 1,s erhalten wir d = 3,05D, A s = 0,46d und d = 0,54d gegeniiber A s = 0,33d und d=O,67d bei E , = O o . Bei n=1,581 ist d = 2 , 8 3 D , A s = 0 , 5 d und d=0,5d. Die schragstehende Planparallelplatte verschlechtert die Bildschwe (Astigmatismus), wenn sie im konvergenten oder divergenten Bundel steht. Das Dovesche Umkehrprisma mu13 moglichst bei parallelen Strahlenbundeln verwendet werden.
Tripelprisma (Abb. 5.120), ( 3 1-1, - 1, -1). Die drei Fltichen des Tripelspiegels konnen an ein Prisma angeschliffen werden. Es entsteht ein Tripelprisma, das manchmal auch als Tripelstreifen ausgebildet wird.
5.5 Ablenkende Funktionselemente
477
Dachkante. Eine Dachkante entsteht durch Falten einer reflektierenden Prismenflache, so d& daraus ein 90°-Winkelspiegel entsteht. Im allgemeinen wird aber der Winkelspiegel nicht im Hauptschnitt verwendet. Abb. 5.121 demonstriert den Ubergang von der einfachen reflektierenden Prismenflache zur Dachkante. Jede Hafte der Dachkante wird doppelt genutzt; in jedem Punkt, a a e r der Kante selbst, werden aus jedem Biindel zwei Strahlen reflektiert. Ein Lichtbundel wird von der Dachkante in zwei Haften aufgeteilt, die sich in der Reihenfolge der Reflexionen an beiden Dachkantflachen unterscheiden. Durch die zweimalige Reflexion an senkrecht zueinander stehenden Flachen vertauscht die Dachkante zweiseitig. Wir erreichen also eine Hohen- und Seitenvertauschungmit einer Prismenflache der Grundfonn (Abb. 5.122).
Abb. 5.120
Abb. 5.121 Dachkante aus zwei
Tripelprisma
Planspiegeln
Abb. 5.122 Halbwiirfel mit Dachkante
Durchrechnung eines Dreibeins. Wir legen einen Halbwiirfel mit Dachkante zugrunde (Abb. 5.123). Zunachst sind die Komponenten der Normaleneinheitsvektoren der Dachkantflachen zu bestimmen. In Abb. 5.123a weisen die Normaleneinheitsvektoren unter 45' zur Zeichenebene; der eine nach vorn, der andere nach hinten. Im Schnittbild Abb. 5 . 1 2 3 ~ist zu erkennen, daR n,, = cos 450 = 1Jz, nx2 = -cos 450 = -1 2 2
Jz
ist. Die Projektion der Einheitsvektoren auf die y-z-Ebene hat die Liinge cos 45'=1&.
Durch 2 nochmalige Zerlegung dieser Projektion (Abb. 5.123a) ergeben sich die y-Komponenten
und die z-Komponenten 1 2 2' Die Normaleneinheitsvektoren lauten also n,, = nz2 = - I ~ z c o s 4 5 0= -
n, =
{+&,-+.+}.
n, =
I
{ - 2~ J S , -2 L ' 21 .
(5.273a. b)
Die bildseitigen Einheitsvektoren eines objektseitigen Dreibeins werden in Tab. 5.24 berechnet. Wir erhalten
el = {-I,o,o},
e l = {o,o,I},
e: =
{o,I,o}
(5.274)
478
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
und e,e:
eye; = 0,
= -1,
e,e: = 0,
A = 1.
(5.275)
Da e,e: = -1 ist und e: in Lichtrichtung bleibt, muD bei A = 1 auch e l gegenuber e, vertauscht sein. Wir erhalten also zweiseitige Vertauschung.
L
Bestimmung der Kantenlange des Halbwurfels. Wurden wir an einen vorgegebenen Halbwiirfel die Dachkante anschleifen, dann konnte der urspriinglich mogliche Bundeldurchmesser nicht mehr realisiert werden. Es fiele ja ein Teil der Eintrittsflache weg (Abb. 5.123b). Der H a l b m e l mit Dachkante muD also eine groRere Eintrittsflache haben als der einfache Halbwiirfel, fiir den d = D gilt. Wir berechnen die Kantenliinge b anhand der Abb. 5.123b. Es ist
cot7 =
A.
T = 35'16'.
(5.276)
Weiter gilt sin ? = (D/2)/(b/2), also
b = -D sin z '
(5.277)
Unter Verwendung von
und Gi. (5.276) erhalten wir
b = &D
= 1,730.
(5.278)
Der Abb. 5.123b entnehmen wir auBerdem, welche unbenutzten Teile des Halbwiirfels zur Gewichtsverringerung weggelassen werden konnen.
5.5 Ablenkende Funktionselemente
479
Tabelle 5.24 Durchrechnung eines Dreibeins an der Dachkante
1 -
0
2
-1Jz
1
2
2
0
1
r2
1 4
1 -
-1
2
2
-'Jz2
r2
-1
0
1
0
2
e:
Dachkante mit Winkelfehler. Der rechte Winkel zwischen den beiden Teilflachen der Dachkante muS sehr genau eingehalten werden, sonst ergeben die Prismen Doppelbilder. Wir rechnen zunachst einen Strahleinheitsvektor durch ein Umkehrprisma mit Dachkante durch (Abb. 5.124). Die Dachkante habe den Winkelfehler 2Ay, der so klein sein soll, dal3 sin Ay = Ay und cos A y = 1 gesetzt werden kann. Im Schnittbild Abb. 5 . 1 2 4 lesen wir die xKomponenten der Normaleneinheitsvektorenab:
n,, = cos(45O-Ay) = $&(l+Ay), nx3 = -cos(45"-Ay)
= -'&(l+Ay).
2 Die zweite Komponente der Normaleneinheitsvektoren im Schnittbild Abb. 5.124, die die Lginge &(l- Ay) hat, stellt die Projektion in die y-z-Ebene dar. Ihre weitere Zerlegung er-
4
gibt die y- und die z-Komponenten (Abb. 5.124a). Die Komponentendarstellung &r Normaleneinheitsvektorenlautet ( n , und n, sind der Abb. 5.124a unmittelbar zu entnehmen): n, = {O,OJ},
(5.279) (5.280)
(5.28 1) n4 = ( 0 ,sin 2p, cos 2p).
(5.282)
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
480
Abb. 5.124 Umkehrprisma mit Dachkante a) Seitenansicht,b) Vorderansicht, c) Schnitt
An der ersten Flache ist s1 = s; = { O , O , 1). (5.283) Das Rechenschema fiir s; und s; findet man in Tab. 5.25. (Quadratische Glieder in Ay sind
bereits vernachlksigt worden. Das obere Vomichen gilt fiir einen Lichtstrahl, der erst auf die Flgche 2, d m auf die Flache 3 trifft; das untere Vomeichen gilt fur den umgekehrten Verlauf.) Die Brechung an der vierten Flache kann ohne vektorielle Schreibweise direkt mit dem Brechungsgesetz behandelt werden. Beide StraNen, die durch die Aufspaltung an der fehlerbehafteten Dachkante entstehen, bleiben in einer Ebene (Abb. 5.125). Mit dem Brechungsgesetz fiir kleine Winkel n & = E' ergibt sich mit sX4 nach Tab. 5.25: 2.8 = 8 n c o s p , By.
(5.284)
Fiir die fehlerfreie Dachkante ist Ay=O zu setzen. So ergibt sich nach GI. (5.280)und G1.
(5.281) (5.285a) n3 = { - -1 f i , - y 1~ ~ s i n f i , - ~ ~ c o s .p 2 l 2l
2-33-2
Abb. 5.125 Doppelbildfehler bei der Dachkante
(5.285b)
5.5 Ablenkende Funktionselemente
48 1
Tabelle 535 Durchrechnung eines Dreibeins an der Dachkante mit Winkelfehler
-L2 Jz sin j(1- A y)
2 J_ficosfl(1-A7)
Tcosj
4Jz cos j(1- A y)
sinp cosp(1- 2 ~ 7 )
-COs2fl(1-2Ay)
0
0
1
1f i cos b(1- A y)
7 cos p
sinP cosb(1- 2Ay)
1- cos’fl(1- 2Ay)
T;A(l+Ay)
-1 2 f i sin p(1- A 7)
2 f i cos p( 1- A y )
f cos p(l+ 44 y)
sinj cosp(l+ 2 ~ 7 )
-COS~~~(~+~AY)
T cosp
S h p co~p(l-2A7)
1- CosZfl(1-2Ay)
f 4 cos j.A?
2 sinj cosj
1-2coszfl
0
k
0
J_
2
f i cos p(1- A y )
-rJZsin2pcosp 2 x (1- 3Ay) J_
2
Jz cosj [ s i n 2 p
h(1+ A y )
-Ay(l- 3cos2B)]
f i cos j(1+ 367)
f 4 cos 8 . A Y
Ferner ist (5.286) (Abb. 5.124b). Nach G1. (5.277) betrjdgt also die Kantenliinge des Umkehrpnsmas (5.287)
Die Forderung nach Einhaltung des rechten Winkels zwischen den Dachkantflkhen ist sehr streng zu befolgen. Sol1 z.B. bei einem Halbwiirfel 2.5’ unterhalb des physiologischen Grenzwinkels bleiben. dann ergibt sich nach G1. (5.284) tiir n = 1,5 die Aussage A y c 6.8”. Der Winkel der Dachkante darf h6chsten.s um k2Ay = k13,6” von 90”abweichen. Eine nachfolgende winkelmiU3ige VergrtiSerung, z. B. durch ein Okular,verringert die Toleranz w c h um den Faktor l/P (r’=Vergro&rung). Bei totalreflektierenden DachkanfflPchen tritt als Folge der in beiden Teilbilndeln untexschiedlichen elliptischen Polarisation eine venninderte Bildgiite auf. Dieser Effekt wurde 1943 von Joos beschrieben. Die Dachkante kilt das Biindel in zwei Teile. in denen das Licht wegen der entgegengesetzten Reihenfolge der Reflexionen an den Dachkantfliichen verschieden polarisiert ist. Die ijberlagerung beider Teilbiindel fiihrt zu Interferenzerscheinungen,durch die die BildschWe leidet. Diese Erscheinung wird in der Praxis dadurch vermindert, das die Dachkante auch verspiegelt ist, wenn die Einfallswinkel groEer als der Grenzwinkel der Totalreflexion sind. oder die Polarisation wird mit dielektrischen Schichten beeinflu&. Einfache Prismen d t Dachkante. Grundstitzlich Unnte jede reflektierende FlSiche eines Prismas als Dachkante ausgebildet werden. Fiir einige Prismen, bei denen Dachkanten sehr mufig vorkommen, stellen wir hier die Daten zusammen. Im Prismensymbol kennzeichnen
482
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
wir die Dachkante durch ein Hikchen uber der Anzahl der Reflexionen. Bei dem Prisma mit dem Symbol (4 I - 1, - 1,l) erfolgen also von den sechs Reflexionen zwei an einer Dachkante.
Halbwurfel mit einer Reflexion (Abb. 5.122, Abb. S.123), w d e bereits ausfiihrlich behandelt.
(21 -1,0,0).
Dieses Prisma
Amici-Prismd (Abb. 5.124, Abb. 5.126, Abb. 5.127), (il -1, -cos6, cos6). Das AmiciPrisma ist ein Umkehrprisma mit Dachkante. Hinsichtlich der Abmessungen mussen wir die
FNe sinp 2
I & 2
und
sinp I
2
unterscheiden.
j3 2 3525". Abb. 5.126 zeigt ein Amici-Prisma, bei dem die Forderung j3= 35,25" erfiillt ist. Die Kantenlhge b der Eintrittsflache des Prismas richtet sich nur danach, dal3 die Dachkante das Bundel nicht beschneidet. Wir erhalten nach G1. (5.287)
und nach Abb. 5.126
L = - b
(5.288)
COSB'
+
L
I
Abb. 5.126 Amici-hsma,
H
t p 2 3525"
I
L
I
-1
Abb. 5.127 Amici-Prisma, fl I35.25"
Die Teile b - 1(b-D) A - 2
und
LA = ' ( b - D ) c o s p
2
(5.289a, b)
sind ungenutzt. Der Glasweg betragt d = btanp.
(5.290)
Die Ablenkung ergibt sich nach G1. (5.269) aus 6 = 180"- 2p.
p I35,2S0. Bei p = 35,2S0 wird das Licht gerade so abgelenkt, dal3 sich ein- und austretendes Bundel am oberen Rand des Prismas beriihren. Bei Winkeln p < 35,25" sind die Mindestabmessungen ausschliefilich durch die Forderung festgelegt, daR sich ein- und austretendes Bundel nicht uberschneiden. Anhand der Abb. 5.127 leiten wir (5.291a, b, c)
483
5.5 Ablenkende Funktionselemente
und
d = bsin20
(5.291d)
ab. Durch die Dachkante vertauscht das Amici-Prisma zweiseitig
Dove-Prisma mit Dachkante (Abb. 5.128). (? 1 -1, - 1,l). Mit dem Doveschen Umkehrprisma erhalten wir durch eine Dachkante zweiseitige Vertauschung bei fluchtender optischer Achse. Wegen der zur Dachkante parallelen optischen Achse des einfallenden Bundels erhalten wir die Hohe des Prismas aus G1. (5.287) mit p = 90" zu h
=AD.
(5.292)
Die ubrigen GroBen leiten sich daraus ab: L =2 A D
b=2D,
1 =A D
'OSd
sin E'
+ cos E'
'
1
sin E'
+ cos E'
'
d = i f i L ,
(5.293a. b) (5.294a, b)
bA = L A = 0,210.
(5.295)
Abb. 5.128 Dove-Prisma mit Dachkante
Pentaprismtl rnit Dachkante (Abb. 5.129), ( 5 1 - 1,0 , O) . Eine der beiden reflektierenden Flachen des Pentaprismas sol1 als Dachkante ausgebildet werden. Der Winkel zwischen der Dachkante und der Eintrittsflache betragt p = 112,5', so daR aus GI. (5.287) b = 1,470 (5.296) folgt. Davon kann das Stiick bA = 0,240 abgeschnitten werden. Der Glasweg betriigt dann
d = 4,220. Es liegen drei Reflexionen vor, es ist A = -1, che Abbildung wird linkswendig.
(5.297)
Abb. 5.129 Pentaprisma mit Dachkante a) Schnittbild, b) perspektivische Darstellung
Einfaches SchmidbPrisma (Abb. 5.130), (4 I - 1, - cos 4 9 , cos 45'). Die Abmessungen des Schmidt-Prismas sind der Abb. 5.130 zu entnehmen. Der Glasweg beuagt d = 3,660.
484
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Leman-Prisma (Abb. 5.131), (21 - l , - l , i ) . Mit dem Leman-Prisma wird die optische Achse um v = 2,620 parallel versetzt. Die Abmessungen sind in die Abb. 5.13 1 eingetragen.
I
Huet-Prisma (Abb. 5.132), (6 - 1, - 1, i). Es hat denselben Aufbau wie das Leman-Prisma. Die Parallelversetzung der optischen Achse wird jedoch durch das Zwischenschalten von zwei Reflexionen auf v = 5,860 erhoht. Der Glasweg vergroDert sich auf d = 8,290.
Abb. 5.130 Einfaches Schmidt-Prisma
Abb. 5.131 Leman-Prima
D
Abb. 5.132 Huet-Prism
Zusammengesetzte Prismen gibt es mit und ohne Dachkante. Wir greifen aus der Fulle der moglichen Kombinationen einige heraus. Porro-Prismen 1. Art (Abb. 5.133), (4 1 -1, - 1, i).Beim Porroschen Prismensatz handelt es sich um zwei Halbwiirfel mit je zwei Reflexionen, die um 90" verdreht zueinander angeordnet sind. Beide Prismen koMen miteinander verkittet sein. Die Porro-Prismen dienen bevorzugt in Feldstechern der Hohen- und Seitenvertauschung des vom Keplerschen Fernrohr erzeugten
Abb. 5.133 a) Porno-Pnsma 1. Art, b) rechtsversetzt,c) linksversetzt
485
5.5 Ablenkende Funktionselemente
Bildes. Dies wird ohne Dachkante erreicht, so dal3 die Gefahr der Doppelbilder nicht besteht. Die Lichtstrahlen sind auf einem Teilstiick des Weges riicklaufig, die Baullinge wird dadurch herabgesetzt. Die Schnittweiteniindemng, wegen des Glasweges d = 4 0 vom Betrag
AS = 4D-,n-1 n vergroflert allerdings den Abstand ObjekUv-Okular wieder. Die optische Achse wird um v = 2 0 parallel versetzt.
1
Porro-Primen 2. Art (Abb. 5.134),(4 -1, - 1,i).Die gleiche Wirkung wie bei den PorroPrismen 1. Art erhalten wir, wenn wir zwei Halbwiirfel auf die Hypotenusenflacheeines dritten Halbwiirfels aufkitten. Mit dem Porro-Prismensatz 2. Art wird die optische Achse um v = 0 versetzt.
I
Daubresse-Prisma 1. Art (Abb. 5 . 1 3 3 , (4 -1, .)',1 Das Daubresse-Prisma 1. Art ist aus einem Pentaprisma mit Dachkante und einem Halbwiirfel zusammengesetzt. Nachdem unbenutzte Teile weggelassen sind, betragt der Glasweg d = 5,220. Die optische Achse wird um v = 0 parallel versetzt. Daubresse-Prisma 2. Art (Abb. 5.1361, Dachkante an den H a l b W e l versetzung v = 1,370.
I -1, - 1, i). Beim Daubresse-Prisma 2. Art ist die Der Glasweg bemgt d =5,140, die Achsen-
'1
Abb. 5.135 Daubresse-Prim 1. Art
Abb. 5.136 Daubresse-Prima2. Art
1
Konig-, Abbe- und Dialytprisma (Abb. 5.137 bis Abb. 5.139), (41 -1,-1.1 . Kcinig-, Abbe- und Dialytprisma haben gleiche Wirkung. Sie unterscheiden sich nur in r Art der Zusammensetzung. Die Prismen werden in Feldstechern zur Hcihen- und Seitenvertauschung eingesetzt. Jhr Vorteil ist die fluchtende optische Achse. Der Glasweg betragt d = 5,2D.
486
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
bl
a)
Abb. 5.137 Konig-Prisma a) Schnittbild, b) perspektivische Darstellung
Abb. 5.138 Abbe-Prisma
Abb. 5.139 Dialytprisma
Abb. 5.140 Schmidt-Prisma
Schmidt-Prisma (Abb. 5.140), (61 -1, -1,l). Das zusammengesetzte Schmidt-Prisma besteht aus einem einfachen Schmidt-Prisma und einem Bauernfeind-Prisma. Zwischen beiden Prismen befindet sich ein feiner Luftspalt, durch den die Totalreflexion gesichert ist. Es wird eine fluchtende optische Achse bei kurzer Bauliinge erreicht. Der Glasweg betragt d = 5,270. In Tab. 5.26 sind die behandelten Reflexionsprismen mit ihren wesentlichen Merkmalen enthalten. Tabelle 5.26 ijbersicht uber die behandelten Reflexionsprismen
Pnsma
Symbol
Glasweg
Abbildung
(11LO, 0) (21 1, -1, -i)
D 20
5.108 5.109
D+v
5.111
Pentaprisma Bauernfeind-Prisma Umkehrprisma
(21 1,l. i) (21 1,0,0) (2~1,c0s45".c0s45") (11 1, -cos 6, cos 6)
3,410 1,710 D cot 612
5.113 5.115 5.112
Dove-Prisma
(lp.-l,l)
20 cos E'+ sin E'
5.117
Tripelprisma
(31-1, -1,
je nach Lunge
5.120
Einfache Reflexionsprismen Halbwiirfel Halbwiirfel, zwei Reflexionen Rhomboidprisma
-i)
487
5.5 Ablenkende Funktionselemente Tabelle 5.26 Fortsetzung
Svmbol
Prisma
Glaswer!
Abbildunn
Prismen mit Dachkante Halbwiirfel
(21- 1,0,0)
1,1 3 0
5.122
Pentaprisma Amici-Prima p 2 35,25" Amici-Prisma fl I 35,25"
(iI-l,O, 0)
4,220
5.129
(21-1, -cos 6, cos 6)
b tanp
5.126
(51-1. -cos 6.cos 6)
b sin2p
5.127
Dove-Prima
20 cos d+sin e' - 1, -cos 45", cos 45') 3,660
5.128
Schmidt-Prima
(iI
Leman-Prisma
(+I,
1.i)
4,530
5.131
Huet-Prim
(61 -I,
- 1, -i)
8,290
5.132
40
5.133, 5.134
5,220
5.135
( i ~ - ~ , i)
5,140
5.136
5.130
Zusammengesetzte Prismen
i} (y -1, -1, 1)
Porn-Prima Daubresse-Prisma 1. Art Daubresse-Prisma 2. Art Schmidt-Prisma
(41-1, -1,
(61-1,-1,1)
5,270
5.140
Konig-, Abbeund DialytDrisma
(+1,-1,1)
5.20
5.137 bis 5.139
5.5.5
Keile. Krjstallplatten und -prismen
Keile. Ein Prisma mit zwei brechenden Flkhen und kleinem brechenden Winkel y heiSt Keil (Abb. 5.141). Mit einem Keil lU3t sich eine kleine Ablenkung 6 realisieren. Nach G1. (5.32) gilt fiir die Ablenkung durch ein Dispersionsprisma
s = -E,+E;-Y. Das Brechungsgesetz fiir die zweite Flkhe lautet bei kleinen Winkeln mit G1. (5.30) und E , = E;
=
fly+&,.
(5.298) E;
= n&, . Daraus folgt (5.299)
Einsetzen von G1. (5.299) in G1. (5.298) ergibt
s = (n-l)y.
(5.300)
488
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Ein Anwendungsbeispiel zeigt Abb. 5.142. Durch das Ansprengen eines Keils wird die Ablenkung des Halbwiirfels von 90" um einen kleinen Winkel 6 geiindert. Es ist also nicht notwendig, ein nicht standardisiertes Prisma einzusetzen.
Abb. 5.141 Keil
Abb. 5.142 Halbwiirfel mit angesprengtem Keil
Drehkeilpaar. Bei zwei gleichen Keilen hebt sich die Ablenkung in entgegengesetzter Stellung auf (Abb. 5.143a), in gleicher Stellung wird die Ablenkung verdoppelt (Abb. 5.143b). Mit zwei Keilen, die kontinuierlich zueinander verdreht werden koMen, ist damit die Ablenkung zwischen 6 = 0" und 6 = 2(n - 1)y stufenlos einstellbar (Abb. 5.143~).Bei der Verdrehung jedes Keils um den Winkel a aus der Stellung mit 6 = 0 heraus betragt die Ablenkung 6 = 2(n-l)y.sina. (5.301)
Abb. 5.143 Drehkeilpaar a) Entgegengesetzte Stellung, b) gleiche Stellung, c) allgemeine Stellung
Dichromatischer Keil. Wegen der Brechung des Lichtes ist die Ablenkung des Keils wellenliingenabhiingig, Ein dichromatischer Keil l a t sich herstellen, wenn dieser aus zwei Keilen unterschiedlichen Dispersionsverhaltens zusammengesetzt wird (Abb. 5.144a). Fiir die Ablenkung gilt (5.302) 6 = 61 = ( n , -l)yl +(n2 -l)y2.
+a2
Sie ist fiir die Spektrallinien F' und C' gleich, wenn
aF, = also (nF;
- 1) y1+ ( n ~ -; 1) y2 = (nc; - 1) 71 +(nc; - 1) YZ
ist. Aus GI. (5.303) folgt mit der Abbeschen Zahl v=- n - 1 nF'
- nC'
(5.303)
5.5 Ablenkende Funktionselemente
489
die Beziehung n, -1 -yl
n -12 =Y2.
(5.304)
v2
Vl
Einsetzen von y2 aus G1. (5.304) in die G1. (5.302) und Auflosen nach y1 ergibt (5.305a) Analog erhiilt man (5.305b)
Die beiden Keile mussen aus Glkem hergestellt werden, die moglichst stark unterschiedliche Abbesche Zahlen haben. Es ist also ein Keil aus Flintglas mit einem Keil aus Kronglas zu paaren.
Abb. 5.144 a) Dichromatischer Keil. b) reflexarmer dicbromatischer Keil
Sol1 der dichromatische Keil zusatzlich reflexarm sein, dann muD das Licht beide GlasLuft-Flachen moglichst senkrecht durchsetzen (Abb. 5.144b). An der Grenzflache zwischen den beiden Keilen ist & = y,, E' = - y2, und nach dem Brechungsgesetz fiir kleine Winkel gilt n,y, = -Q y2. Mit y1 und y2 aus G1. (5.305) folgt daraus die Zusatzforderung
- -n el "Fi-nCi
-
nez
(5.306)
"Pi -"Ci
Tabelle 5.27 Glastypen fiir reflexarme dichroitische Keilpaare Glastyp LLF 3 BaF 5 LaK 7% SK 19 KF8 SF 3 LaSF 81 LaSK 1 BaF 8
ve
1.56296 1,61022 1,69649 1,61597 L51354 474618 1,83470 1,75638 1.62690
46.76 49.0 1 53.29 57,03 50,64 27,94 29,87 52,89 46.71
n, / ( n p - n c ) 129,813 129,334 129,800 149,626 149,264 65,400 65,673 122,823 121.229
490
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Tab. 5.27 enthiilt den Quotienten n,/(n,. - nc,) fiir einige geeignete Glastypen. Ein giinstiges Beispiel ergibt sich mit der Paarung LLF 3/LaK 75n ( y1 = -12,7208, y2 = 11,7176, also Iy2/yll = nl/nz= 0,921). Die relative Abweichung der Ablenkung (6, -&)/6, betragt bei 643,85nm (C') 0 3 8 %o, bei 546,07nrn (e) null, bei 479,99nm (F') 0.59 , bei 435,83 nm (8) 2,23 %o. Kristallplatten. Wir beschrWen unsere Beispiele auf optisch einachsige Kristalle. Deren Eigenschaften wurden in 2.2.5 behandelt. Eine planparallele Kristallplatte, bei der die optische Achse schrag zu den Endflachen steht, versetzt das aderordentliche Bundel parallel zu sich selbst. Das ordentliche Bundel geht unabgelenkt durch die Platte hindurch (Abb. 5.145). LUt man linear polarisiertes Licht auftreffen, dam hugen die Amplituden in beiden Teilbundeln von der Lage der Schwingungsebene gegenuber dem Hauptschnitt des Kristalls ab. Daraus ergeben sich zwei Anwendungsfale: -
Die Drehung der Ktlstallplatte um das einfallende Strahlenbundel ermoglicht die Erzeugung zweier parallel versetzter Bundel mit variablen Amplitudenverhslltnissen.
-
Senkrecht und parallel zum Hauptschnitt schwingende Wellen lassen sich trennen und zu unterschiedlichen Positionen fiihren.
Abb. 5.145 Parallelversetzende Planplatte
Abb. 5.146 Ablenkendes Prisrna (Wollaston-Prisma)
Wollaston-Prismen haben wir als polarisierende Funktionselemente kennengelernt. Sie sind aber auch 2hnlich wie die planparallele Platte zur Ablenkung des Lichtes geeignet. Der Unterschied zur planparallelen Kristallplatte besteht lediglich in der winkelm%l3igen Aufspaltung (Abb. 5.146). Elektrooptische Schalter koMen auf der Basis des Pockels-Effekts aufgebaut werden. Der Pockels-Effekt stellt einen linearen elektrooptischen Effekt dar, bei dem das in einem optisch einachsigen Kristall eneugte elektrische Feld zur hderung der Doppelbrechung fiihrt. Die elektrischen Feldlinien ktjnnen senkrecht zur Lichtausbreitungsrichtung (transversaler Effekt) oder in Lichtrichtung verlaufen (longitudinaler Effekt). Der transversale Effekt ist dem KerrEffekt [ 141 analog, bei dem aber die im isotropen Stoff erzeugte Doppelbrechung proportional dem Quadrat der elektrischen Feldstake ist. Der transversale Pockels-Effekt wird vorwiegend in der integrierten Optik angewendet. Zur Erzeugung des longitudinalenPockels-Effekts werden die Endflachen eines planparallel geschliffenen einachsigen Kristalls entweder mit ringfijrmigen oder teildurchl'bssigen Elektroden belegt. Die Endflachen stehen senkrecht zur optischen Achse. Beim Anlegen der Spannung U an die Elektroden riicken die beiden Teile der Strahlenflache (Kugel und Rotations-
5.5 Ablenkende Funktionselemente
49 1
ellipsoid) auseinander, sie beriihren sich nicht mehr in den Durchstofipunkten der optischen Achse (Abb. 5.147). Dadurch wird eine l u g s der optischen Achse verlaufende Welle in zwei
I
L
I
I
Abb. 5.147 Elektrooptischer Schalter a) ohne Spannung, b) mit angelegter Halbwellenspannung
senkrecht zueinander schwingende Wellen mit der Brechzahldifferenz An aufgespalten. Diese betrjdgt
An = K p E A o .
(5.307)
Die optische Wegdifferenz am Ende des Kristalls der Dicke d ergibt sich aus An.d , die Phasendifferenz mit E = U / d
6 = 2RKpU.
(5.308)
Die Spannung, bei der die Phasendifferenz R ( A L= A / 2 ) erreicht wird. heiRt Halbwellenspannung. Es gilt WO3= 1 / ( 2 K p ) ,also
6 = -R. U
(5.309)
w05
Befindet sich die Pockels-Zelle zwischen gekreuztem Polarisator und Analysator, dann spent sie ohne angelegte Spannung das Licht. Mit angelegter Halbwellenspannung klappt sie die Schwingungsebene urn 90" um, so das die Pockels-Zelle das Licht passieren lMt (Abb. 5.147). Sie stellt deshalb einen sehr tragheitsarmen optischen Schalter dar (Anstiegszeiten s). Fiir beliebige Spannungen betriigt der Transmissionsgrad bei gekreuztem Polarisator und Analysator
. [ (15)] -
r = rosin2
(5.310)
2
Die Pockels-Zelle kann dazu dienen, das Licht mit der Spannung U zu modulieren (Intensitiitsmodulation). Es sind Modulationsfrequenzen in der GriiSenordnung von GHz m6glich. Tab. 5.28 enthiilt eine Auswahl an Kristallen flir Pockels-Zellen. AuSerdem sind K , und die Tabelle 5.28 Pockels-Konstanten K p und p fiir einige Kristalle ( A , = 546,l MI, T = 20°C)
ADP KDP KD*P
LiNbOJ
5,466
6,683 14,984 67,75
2,985 3,650 8.183 36,998
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
492
aus A n . d = pU folgende Konstante p angegeben. Im infraroten Bereich werden auch Galliumarsenid und Cadmiumtellurid verwendet. Die Kombination von elektrooptischen Schaltern mit planparallelen Kristallplatten oder Wollaston-Prismen ermoglicht das Ansteuern unterschiedlicher Positionen. Abb. 5.148 zeigt dies fiir eine Einheit eines Ablenkelements. Anordnungen aus optischen Ablenkeinheiten sind von Bedeutung fir die Entwicklung von digitalen optischen Speichern.
-
: : : mitspannung ohne Spannung
Abb. 5.148 Ablenkende Einheit zur
Ansteuemng von zwei Positionen
5.6
Apertur- und lichtstromandernde Funktionselemente
5.6.1
Neutralfilter
Gelegentlich besteht die Aufgabe, den Lichtstrom fur alle interessierenden Wellenlsjlgen gleich stark zu schwachen. Dazu dienen die Neutralfilter.
I
Neutralfilter verringern den Lichtstrom in einem breiten Wellenlsjlgenintervall unabh2ngig von der Wellenlsjlge.
Im weiteren Sinne konnten zu den Neutralfiltern auch Einrichtungen geziihlt werden, die den Lichtstrom nicht durch Absorption schwachen. Dazu gehoren rotierende Sektorenscheiben und einstellbare Blenden. Sie wirken sich allerdings auch auf die geometrischen Verhidtnisse im Strahlengang aus. Neutralfilter bestehen entweder aus gleichmiiRig absorbierenden Glkern (Rauchglker) d e r aus Glas- bzw. Quarzplatten, auf die duMe Metallschichten aufgedampft sind. Als Metall kommt z. B. bei hochwertigen Filtern Platin in Frage. Fiir bestimmte Fgille sind auch Interferenzfilter entwickelt worden. Wir unterscheiden: - Graufilter mit konstanter Durchlksigkeit uber die gesamte Filterflache hinweg, - Graukeile mit linearer, logarithmischer oder stufenformiger hderung der DurcNksigkeit entweder in einer Richtung (gerader Keil) oder radial (Kreiskeil). Unter der Keilkonstanten wird die hderung der Intensitat je Querkoordinateniinderng verstanden. Eine spezielle Ausfiihrungsform ist der Goldberg-Keil, bei dem sich ein homogener grduer Stoff zwischen zwei Platten befindet, deren Keilwinkel einstellbar ist. Von siimtlichen Graukeilen lassen sich fiir geringere Anspriiche fotografische Kopien herstellen. Neutralfilter mit konstanter Durchlbsigkeit fiir alle vorkommenden Wellenliingen sind nicht immer geeignet, bei visuellen Untersuchungen den neutral grduen Eindmck zu vennitteln. Bei Sonnenschutzglasern wirken z. B. Neutralfilter blaustichig und konstrastmindernd. Bei ihnen ist ein Anstieg der Durchlksigkeit nach dem langwelligen Gebiet hin vorteilhaft.
5.6 A~ertur-und lichtstromilndemdeFunktionselemente
493
Neutralfilter werden z. B. angewendet
- in der Spektralanalyse mittels fotografischer Registrierung der Spektren zur Schwkhung sehr heller Linien neben schwachen Linien, Lichtschwachung in der Mikroskopie ohne hderung des Farbortes und der numerischen Apertur der Beleuchtung, - zur Bestimmung der Empfindlichkeitskurve von fotografischen Schichten durch Aufbelichten von Graukeilen und bei der objektiven Fotometrie. - zur
Beispiele ftu industriel1 gefertigte Neutralgliber (GrauglLer) sind die Glastypen 779 bis 785 des Jenaer Glaswerkes. Sie sind im VIS- und IR-Gebiet verwendbar. Abb. 5.149 enthtdt die Wellenlhgenabhiingigkeit des Reintransmissionsgrades fiir die Glastypen mit der CodeNr. 780 und 783. Tab. 5.29 gibt eine ubersicht iiber Daten der NeutralglsSer.
'il ,L_r I%--+ 0,i
2 qz
ow Opl
783
10-b
300
LOO
500
600
1 in nrn
700
800
1000
1100
1800
2200
1 in nrn
__L
2600
3000
__c
Abb. 5.149 Reintranmissionsgradder Neutralfilter Code-Nr. 780 und 783 als Funktion der Wel1enl;inge
Tabelle 5.29 Daten von indusViell gefertigten Neutralglbem
(NonnlichtartA)
Code-Nr.
d/mm
2,~(550nm)
2,~(2000nm) R , ( d )
7"
779 780 78 1 782 783 784 785
1
0.8 10 0,770 0,810 0,600 0,450 0,925 0,900
0,79 0,69 0,54 0.29
0-1 0.1
0,860 0,748 0,595 0,320 0,100 0,620 0,410
5.6.2
Bundelteilung
1 1 1 1
0,923 0,923 0,922 0,922 0,921 0,919 0,918
0,09
0.58 0,37
Bei den Funktionselementen zur Bundelteilung tritt die ApemU- oder Lichtstromhderung als Nebenfunktion auf. Wir geben zunachst zwei Beispiele an.
- Im Mikroskop mit binokularem Tubus sol1 das Bild beiden Augen dargeboten werden, obwoN nur ein Objektiv benutzt wird. Das Bundel ist in zwei Teilbundel aufzuspalten, so daf3 durch zwei Okulare beobachtet werden kann (Abb. S.15Oa). - In Mikroskopen fiir Auflichtbeobachhmg wird das ObjeM durch das Objektiv hindurch
494
5 Nichtabbildende oDtische Funktionselemente
beleuchtet. Eine Teilerplatte vereinigt den Beleuchtungs- und den Abbildungsstrahlengang. Hierbei wird jeweils nur ein Teilbundel genutzt (Abb. 5.150b).
Abb. 5.15Oa Binokularer Tubus
Abb. 5.15Ob Vereinigung zweier Teilbundel
Damit ist fiir die beiden Grundaufgaben der Bundelteilung je ein Beispiel gegeben. Es gilt:
I
Bundelteilung wird zur Aufteilung von Strahlenbundeln oder zum Uberlagern von Strahlengiingen angewendet.
Wir unterscheiden physikalische und geometrische Bundelteilung.
Physikalische Riindelteilung. Sie wird mit teildurchlassigen Flachen ausgefiihrt.
I
Bei der physikalischen Bundelteilung bleibt der Bundelquerschnitt und damit der Lichtleitwert in beiden Teilbiindeln so grol3 wie im einfallenden Biindel. Der Lichtstrom wird aufgeteilt, wodurch sich auch die Leuchtdichte andert.
Planparallele Platten reflektieren auch ohne besondere Behandlung einen Teil des Lichtes. Bei n = 1,5 werden bei senkrechtem Lichtdurchgang ca. 8% des Lichtstromes reflektiert, 92% hindurchgelassen. Fiir einen Einfallswinkel von & = 45" ist zu beachten, dal3 die Werte von der Schwingungsrichtung des Lichtes abhangen. Es ist bei n = 1,5, K,= 0,092, K, = 0,008 und damit fiir eiddlendes naturliches Licht R = 0,05, T = 0,95. Als Nachteil ergibt sich der seitlich versetzte Nebenreflex, dessen IntensitPt nahezu mil dem Hauptreflex gleich ist. Fur Silberschichten auf Glas mit verschiedenen nichtabsorbierenden Schichten gibt Anders 141 fiir A, = 550 nm und senkrechten Lichteinfiall die MeNwerte der Tab. 5.30 an. Tabelle 5.30 Reflexionsgrad und Transmissionsgrad von Silberschichten und bedamDften Silberschichten
unbelegte Silberschicht geschiitzt mit h/2 - Schicht niednger Brechzahl reflexionserhoht mit h/4 - Schicht niedriger Brechzahl und h/4 - Schicht hoher Brechzahl reflexionserhoht mit zwei weiteren A/4- Schichten
0,915 0,925
0,06 0,055
0,97 1 0,985
0,021 0,008
Mit ausschliefllich absorptionsfreien Schichten lassen sich noch hohere Reflexionsgrade erzielen. Mit acht hochbrechenden und sieben niedrigbrechenden Schichten ergibt sich zum Beispiel R = 0,992 und T = 0,003, wobei die Werte zwischen A = 650 nm und A = 750 nm nahezu konstant sind [4]. Solche Teilerplatten eignen sich z. B. fiir Laser-Resonatoren.
5.6 Apertur- und lichtstromiindernde Funktionselemente
495
Bei Einfallswinkeln von 45" sind die unterschiedlichen Werte fur senkrecht und parallel zur Einfallsebene schwingendes Licht zu beachten. Fiir eine Anordnung nach Abb. 5.151
vergleicht Anders [4] die Werte bei drei verschiedenen Teilerschichten: A, /4 -Schicht; absorptionsfreie Schicht mit T = R und R,= 3Rp; Chromschicht mit T, = 0,25, Tp= 0,40, R, = 0,4, R p = 0,2 (Ubergang Luft-Schicht) bzw. R, = 0,2, RP= 0,l (Ubergang Schicht-Luft).
R=l
Abb. 5.151 Teilerplatte (Auflichtbeleuchtung)
Tabelle 5.31 Transmissionsgrad von Teilerschichten
A14-Schicht absorptionsfreie Schicht Chromschicht
0,196 0,188 0.08
0,0056 0,0063 0,00074
35,O 29,8 lO&O
In Tab. 5.31 sind der gesamte Transmissionsgrad T fiir unpolarisiert einfallendes Licht und die relative Intensitat des ersten Nebenreflexes TN angegeben. Ein weiteres Beispiel stellt die Teilerplatte eines Michelson-Interferometersdar, bei der beide Teilbundel fiir beide Schwingungsrichtungen gleiche Intensitat haben sollen (Abb. 5.152). Hierbei ergibt sich mit einer A/4 -Schicht I, = 0,25 und I, = 0,141, wiihrend mit einer Chromschicht die Aufgabe nicht losbar ist, weil 1,1= I,, = 0,08, Is2 = IP2 = 0,04 ist.
t
Abb. 5.152 Teilerplatte (Michelson-Interferometer)
496
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Beim Einbau einer Teilerplatte in ein optisches System sind die geometrisch-optischen Gesichtspunkte zu beachten, dle bei den planparallelen Platten und Planspiegelplatten behandelt wurden (2.B. Schnittweiteniinderung, Bildlage usw.). Der Teilerwiirfel wird besonders haufig angewendet. Er besteht aus zwei Halbwiirfeln, die mit den Hypotenusenflachen aufeinandergekittet sind (Abb. 5.153). Dazwischen befindet sich eine teildurchlasige Schicht. Beide Teilbundel haben den gleichen Glasweg, und die Schicht
ist geschutzt. Die optische Achse durchsetzt d e Glasoberflachen senkrecht, so daD Reflexe weitgehend vennieden werden. Im Suahlengang ist der TeileMnirfel wie der H a l b W e l zu behandeln. Auch bei Teilerwiirfeln hiingt die Durchlhsigkeit von der Schwingungsrichtung des Lichtes ab. Fiir unpolarisiert einfallendes Licht kann z.B. bei Chrom der reflektierte Anteil R = 0,25, der hindurchgelassene Anteil T = 0,2O betragen; bei Silber koMen die Werte R = 0,40, T = 0,47 erzielt werden. Wegen der wellenlhgenabhhgigen Absorption in den Metallschichten erscheint oft das Licht gefkbt. Anstelle der Metallschichten koMen nichtleitende Schichten mit abwechselnd hoher und niednger Brechzahl verwendet werden. Anders [41 gibt ein Beispiel mit fiinf Schichten an, bei dem R = T = 0,45 ist.
Abb. 5.154 Geometrische Bundelteilung ohne Abschattung
Abb. 5.155 Geometrische Biindelteilung mit Abschattung
Geometrische Bundelteilung. Zur geometrischen Bundelteilung wird ein Teil des Bundels mit einem Spiegel oder einem Prisma abgezweigt. Bei der geometrischen Bundelteilung bleibt die Leuchtdichte konstant, aber der Lichtleitwert hdert sich. Damit das gesamte Feld in beiden Teilbundeln gleichm2Rig ausgeleuchtet ist, muS die Teilerflache dicht bei der Offnungsblende oder einer ihr konjugierten Ebene stehen (Abb. 5.154). Bei jeder anderen Lage schattet die Teilerflache das Feld ab (Abb. 5.155).
5.6 Apertur- und IichtstromAndemde Funktionselemente
5.6.3
497
Mattscheiben. Bildschirme
Mattscheiben werden in optischen Geraten zum Auffangen reeller Bilder, zur Erzeugung diffusen oder inkohiirenten Lichtes verwendet. Mattscheiben unterbrechen den reguliiren Strahlenverlauf, so daB hinter ihnen die Apertur der Bundel vergroaert ist. Im Gesamtstrahlengang bleibt die Leuchtdichte nicht erhalten. Mattscheiben sind schwach absorbierende Platten, deren Oberflache das Licht streut.
I
Im allgemeinen werden planparallele Glasplatten venvendet, deren Obemache aufgerauht ist. Die Mattierung kann mechanisch durch Schleifen, chemisch durch Atzen mit FluOsaure oder durch die Kombination beider Verfahren vorgenommen werden. Die KorngroRe des Schleifmittels bestimmt im wesentlichen die Rauhtiefe der Mattscheibe. Ein sehr feiner Schliff erzeugt eine Oberflachensttuktur, die wie eine Anordnung aus Linsen unterschiedlichen Durchmessers und gleicher Kriimmungsradien wirkt. Die mit der Rauhtiefe verbundene Kornigkeit der Mattscheibe kann sich auf das Aufl6sungsvermogen des Bildes auswirken. An den verschieden geneigten Teilen der aufgerauhten Oberflache wird das Licht teilweise reflektiert, teilweise gebrochen und dadurch gestreut. Die Streuung wachst mit dem Grad der Mattierung, bleibt aber bei Mattscheiben insgesamt gering.
Lc ‘Max
I
0
5
10
)
150E
Eh Abb. 5.156a Zur Halbwertsbreite
Abb. 5.156b Leuchtdichteindikatrix
einer Mattscheibe
einer Mattscheibe
Stoffe mit geringer Streuung werden durch den Halbwertswinkel E,, charakterisiert. Bis zu diesem sinkt die Leuchtdichte der Mattscheibe auf die Htilfte des Maximalwertes (Abb. 5.156a). Bei Mattscheiben erreicht E,, nur einige Grad. Abb. 5.156b zeigt die Leuchtdichteindikatrix einer Mattscheibe. Infolge der geringen Streuung sind die lichttechnischen Griisen hinter der Mattscheibe stark richtungsabhiingig. Ein Mattscheibenbild erscheint deshalb am Rande dunkler als in der Mine (Abb. 5.156b). Die Transmission der Mattscheiben ublicher D i c k 1.8.. .3,1 mm schwankt zwischen 63% und 89%, die Absorption zwischen 3% und 17%. Neuerdings sind auch mattierte Plastfolien im Gebrauch. Auch Oberfliichen von optischen Bauelementen, wie z. B. die Planflkhe einer Plankonvexlinse, koMen mattiert sein. Die Linse wirkt dam als Feldlinse, die die Austritts-
498
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
pupille des vorgelagerten abbildenden Systems in die Augenpupille abbildet (Projektionsobjektiv bei Ruckprojektion oder Fotoobjektiv bei einem Sucher).
Bildschirme dienen ebenfalls dem Auffangen reeller Bilder, wobei der regulke Strahlenverlauf unterbrochen wird. Sie streuen das Licht diffus und wirken als Sekundkstrahler. Bei Durchlicht entsprechen sie den Mattscheiben. In Auflicht ist die wesentliche KenngrOSe die Winkelverteilung der remittierten Leuchtdichte. Remittierte Leuchtdichte. Die BeleuchtungsstPke betragt unter den Voraussetzungen p’, = 1, Ip’I 1 nach G1. (4.285) (5.31 1) ( z Transmissionsgrad des Projektionsgegenstands). Der Lichtstrom betragt
@=
z7I R,Lq’ - z7I R, Lq 4pt2k2 4k2
(5.312)
( L Leuchtdichte der Quelle, q Objektflache, q’ Bildflache, k Blendenzahl des Objektivs). Der von einem Lambert-Strahler in den Raumwinkel d R remittierte Lichtstrom ergibt sich wegen G1. (3.33), G1. (3.48) und d R = R o s i n d d 6 d q zu
dQp = I d a = Iosin29cos29dtYdfp.~o I..
Abb. 5.157 Zur Ableitung der remittierten Leuchtdichte
beim Lambert-Strabler R
~
2r
2
1 auf (Abb. 5.157). Integration fiihrt mit f d q = 271, lsint9cos29dd = 2 0 0 = Tc1,no. Der Remissionsgrad wird als ajP
PP
=
@P
definiert, woraus mit G1. (5.311) bis G1. (5.313) 10 0 0 P P = Eq’
(5.313)
(5.314)
(5.315)
folgt. Die remittierte Leuchtdichte wird zu (5.3 16)
5.7 Energiewandelnde Funktionselemente
499
G1. (5.3 16) wird zweckm26ig als Zahlenwertgleichunggeschrieben, z. B. in der Form (5.317) Fiir die Projektion auf Lambert-Strahler kann man etwa remittierte Leuchtdichten zwischen lo-’ sb und sb ansetzen. Bei der Ruckprojektion ist anstelle des Reflexionsgrades der Transmissionsgrad des Bildschirms einzusetzen. In Abhiingigkeit vom Herstellungsverfahren fiir verschiedene Anwendungsfdle weichen die remittierten Leuchtdichten der Bildschirme von denjenigen des Lambert-Strahlers ab und erhalten einen gerichteten Anteil der Reflexion. Am nachsten kommen dem Lambert-Strahler die mattweisen Bil’dschirme (Abb. 5.158a). Sie bestehen aus Textilien, die plastbeschichtet und mit einem weisen Pigment (z. B. TiO,) uberdeckt sind. Perlwiinde rragen in dichter Anordnung (= lo7 m-2) kleine Glaskugeln, die das Licht an der Ruckseite reflektieren. Es entsteht eine teilweise gerichtete Reflexion entgegen der Lichteinfallsrichtung (Abb. 5.158b). Schirm
,,,
Schirm
Schirm
Abb. 5.158 Indikatrix der remittierten Leuchtdichte fiir Bildschme (--- Lambert-Strahler, (1) Lichteinfallsrichtung, (2) Beobachtungsrichtung) a) Mattweikr Schirm, b) Perlwand, c) metallisierteWand
Die teilweise gerichtete Reflexion in Richtung der reguliiren Reflexion ergibt sich bei metallisierten Bildwlinden, z. B. aus einem “Aluminiumanstrich”.Die ungeordnet verteilten kleinen Aluminiumblattchen auf dem Plast- oder Textilschirm bewirken die Streuung (Abb. 5.158~). Die Bildschirme koMen auch von der Planflache abweichen, wodurch eine weitere Beeinflussung der Leuchtdichteindikx erreicht wird.
5.7
Energiewandelnde Funktionselemente
5.7.1
Strahlungsquellen
Quellen fiir optische Strahlung wandeln verschiedene Energiearten in elektromagnetische Strahlungsenergie um. Bei den technischen Strahlungsquellen ist die Primiirenenergie im allgemeinen elektrische Energie, bevorzugt umgesetzt iiber einen elektrischen Strom. Die unmittelbare Nutzung von gespeicherter chemischer Energie in Flammen stellt die Ausnahme dar.
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
500
Die rneisten Strahlungsquellen beruhen auf der spontanen Emission, so z. B. die Temperaturstrahler, die Gasentladungslampen und die Lumineszenzdioden. Die induzierte Emission stellt die Grundlage der Laser dar. Wir wollen in diesem Abschnitt lediglich einen Uberblick uber die Strahlungsquellen geben. Die physikalischen Grundlagen bleiben weitgehend unberiicksichtigt. Temperaturstrahler. Die wichtigsten Temperaturstrahler sind die Gltihlampen, in denen eine Drahtwendel, die im allgemeinen aus Wolfram ist (Schmelztemperatur 3653 K), durch einen elektrischen Strom erhitzt wird. Die Drahtwendel befinden sich in einem Glas- oder Kieselglaskolben, der entweder evakuiert ist oder ein Gas enthat (Stickstoff, Edelgase wie Argon, Krypton oder Xenon, Drahttemperatur 2600 K.. .3000 K). Bei Halogenlampen ist Ioddampf zugesetzt. Das verdampfte Wolfram des Drahtes verbindet sich mit dem Iod zu Wolframiodid, das sich am Gliihdraht wieder in Wolfram und Iod aufspaltet. Die Kolbentemperatur muR iiber 250°C liegen (bis 6Oo0C), damit sich das Wolframiodid nicht an der Kolbeninnenwand niederschlagt. Deshalb haben Halogenlampen Kolben aus Kieselglas (Drahttemperatur 3000 K.. .3400 K). Vakuumlampen sind nur noch als Klein- und Eichlampen im Gebrauch. Niedervoltlarnpen benotigen fiir die gleiche Leistung hohere Stromstiirken als Normalspannungslampen. Sie haben deshalb dickere Driihte. Die Wendel bilden eine kleinere Gesamtflache, woraus sich eine hohe Leuchtdichte ergibt. Niedervoltlampen werden z. B. in Projektoren und Experimentalleuchten eingesetzt. Die Betriebsdaten der Gliihlampe hugen von der angelegten Spannung ab. Die Erhohung der S pmung urn 10% gegenuber der Betriebsspannung vergrofiert den Lichtstrom etwa auf das 1,4fache (je nach Typ etwas variabel), verringert aber die mittlere Lebensdauer auf etwa 1/4. Die Verminderung der Spannung um 10% verringert den Lichtstrom auf etwa 70%, erhoht aber die mittlere Lebensdauer auf das 3- bis 4fache. Eine Kennzahl fiir Gliihlampen ist die Lichtausbeute, die mittels lm 4 (5.3 18) 77L
=
p’
[VL]
=
q
( 4Lichtstrom, P elektrische Leistung) definiert ist. Fiir den schwarzen Korper liegt das Maximum der Lichtausbeute bei qL = 941m. w-’ fiir T = 6000K, AMax= 555 nm . Abb. 5.159 zeigt die Abhihgigkeit der Lichtausbeute des schwarzen Strahlers von der Temperatur. Fiir Gliihlampen liegt die Lichtausbeute bei q L = 16.. .34 lm . W-l, je nach Drahttemperatur.
~ - 1 in 0 K~
-
Abb. 5.159 Maximale Lichtausbeute q L und optischer Wirkungsgrad des schwarzen Korpers als Funktion der Temperatur
77
5.7 Enereiewandelnde Funktionselemente
501
Der Maximalwert der Lichtausbeute q L = 683 lm . W-' liel3e sich mit einer Lichtquelle erzielen, die monochromatische Strahlung mit A=555nm aussenden wiirde (qL = Km,V, = 1). Man fiihrt deshalb auch den optischen Wirkungsgrad uber 77L 17 = --.loo%
Km
(5.319)
ein (Abb. 5.159). Der schwarze Korper hat bei T=6000K den optischen Wirkungsgrad 4 = 14%.Fiir Gliihlampen gilt q = 2.. .4%. Als Temperaturstrahlerfiir den infraroten Spektralbereich werden der Nernststift aus Th-YZr-Oxidkeramik (T = 2000 K) und der Globarstrahler aus Sic (T = 10o0K) eingesetzt. Gasentladungslampen. In Gasentladungslampen werden Gase oder Metalldiimpfe durch den elektrischen Sworn zur Strahlung angeregt. Die Eigenschaften werden entscheidend durch den Gasdruck beeinflu&. Deshalb unterscheidet man zwischen Niederdruck-, Hochdruck- und Hiichstdrucklampen. Durch die StoRverbreiterung der Spektrallinien nimmt mit dem Druck die spektrale Kontinuitat der Strahlung zu. Bei kleinen Entladungsstrecken (kleine Elektrodenabsthde) wird mit Hljchstdrucklampen eine groRe Leucht- bzw. Strahldichte erreicht (z. B. mit Quecksilber-Hijchstdrucklampen bis L = 10' cd. m-'). Der Kolben, der auch zylinderformig sein kann, 1Mt sich innen mit Leuchtstoffen belegen, die kurzwellige Strahlung in das sichtbare Gebiet transformieren. Diese Leuchtstofflampen erreichen eine Lichtausbeute zwischen 50 und 100 lm . W-'. Die hohen Werte ergeben sich bei der Beschichtung mit Dreibandenleuchtstoffen, die in drei schmalen Wellenlbgenbereichen wirken. Beispiele fiir Gasentladungslampen sind:
- Niederdrucklampen . Natriumdampflampe (Natriumdampf mit Edelgasen), k = 589,0/589,6 nm , Lichtausbeute q L = 180 lm . W-' , schlechte Farbwiedergabe . Quecksilberdampflampe, A = 184,9nm und A = 253,7 nm ,mit Leuchtstoffen auch k = 320 nm und A = 480 nm (UV-Strahler) . Leuchtstofflampe (Quecksilberdampf mit Edelgasen und Leuchtstoffe aus Calcium-, Strontium- und Bariumphosphaten bzw. -halogeniden)
- Hochdrucklampen . Quecksilberdampflampe,Lichtausbeute ca. 50 lm . W-' '
Natriumdampflampe (Natriumdampf, Quecksilber und Edelgase), Kolben aus durchscheinender Sinterkeramik, Lichtausbeute bis 120 lm . W-'
- Hiichstdrucklampen . Quecksilberdampflampe, Lichtausbeute bis 60 Im W-'
. Xenondampflampe, spekuale Ausstrahlung entspricht dem sonnenlicht (gute Farbwiedergabel. Lumineszenzdioden. Ein Halbleiterkristall mit einem p-n-Ubergang in DurcNaBrichtung stellt die Grundlage fiir eine Lumineszenzdiode dar. Diese hat eine kleine strahlende Fliiche und eine geringe Lichtausbeute ( qL = 0,2.. .0,5 lm . W-1). Ein p-Halbleiter entsteht u. a. beim Dotieren eines vierwertigen Elements (z. B. Si) mit einem dreiwertigen Element (Akzeptor, z. B. Al).An den Stellen, an denen die Akzeptoren ein-
502
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
gelagert sind, fehlt ein Elektron. Die Fehlstellen wirken wie eine positive freie Ladung (Defektelektron, Locherleitung). Ein n-Halbleiter entsteht u. a. beim Dotieren des vierwertigen Elements (z. B. Si) mit einem fiinfwertigen Element (Donator, z. B. Sb). An den Stellen, an denen die Donatoren eingelagert sind, ist ein ElektronenuberschuI3vorhanden. An der Grenzschicht zwischen einem p- und einem n-Halbleiter Uitt die Diffbsion der Ladungstrager in die jeweils andere Schicht ein (vom Leitungsband des n-Halbleiters gehen Elektronen in das Valenzband des p-Halbleiters). Legt man eine Spannung so an, daO der Pluspol am p-Halbleiter liegt, dann ist in Durchlahichtung gepolt. Die rekombinierenden Elektronen- und Defektelektronen setzen Energie frei, die in Form von StraNung ausgesendet werden kann. Es entsteht eine Lumineszenzdiode. Vom Gmndmaterial und der Dotiemng h2ngen die Eigenschaften der Lumineszenzdiode ab, insbesondere der Spektralbereich der Strahlung. Es entsteht spektral schmale Strahlung (30 nm im VIS). Verfiigbar sind Dioden fiir den sichtbaren Bereich (LED) von Blau bis Rot und fir den infraroten Bereich (IRED). Tab. 5.32 enthdt einige Beispiele. Die Lebensdauer der Dioden liegt mit lo' Stunden hoch. Durch die Verkappung der Austrittsflache 1 a t sich die Lichtsttirkeindikatrix verwdern. Tabelle 5.32 Ausgewiihlte Daten von Lumineszenzdioden
GaAs Gap
GaAs,P, Sic GaP
Sic
Farbe
Wellenlihge in nm
Halbwertsbreite in nm
rR
900
Rot Rot
690
90
650,7
40
Gelb
590 560
Griin Blau
Leuchtdichte in cd.rn-*
40
120
2569 137
40
1028
480
Laser. Zu den prinzipiellen Grundlagen der Laser und den Eigenschaften der Laserstrahlung haben wir bereits in 2.4.5, 4.1.11 und 5.1.1 Beitrage geleistet. Hier sol1 nur noch auf Beispiele fiu die wichtigsten Laser eingegangen werden, die groBtenteils auch kommerziell verfiigbar sind. Allgemein unterscheidet man nach den Lasermaterialien Festkijrperlaser Gaslaser Farbstofflaser Halbleiterlaser (Laserdioden) spezielle Laser (Laser mit freien Elektronen, chemische Laser u. a. ) nach der Strahlungsart kontinuierliche Laser (cw-Laser, von engl. continuous wave) Impulslaser nach den Schwingungszust2nden Einmodenlaser Mehrmodenlaser
5.7 EnergiewandelndeFunktionselemente
503
- nach der Anregungsart . optisch gepumpte Laser . chemisch gepumpte Laser . StoSanregung
. . .
p-n-hrgang mit Stromanregung nach der Resonatorart geschlossene Resonatoren offene Resonatoren.
Festkorperlaser. Das aktive Element besteht bei Festkorperlasern aus Kristallen oder GlPsern, die mit Metallionen oder Ionen der seltenen Erden dotiert sind. Die Laserstabe k6Men durch Verspiegeln der polierten Endfliichen direkt als Resonator ausgebildet werden. Praktische Bedeutung haben vor allem der Rubinlaser (Abb. 2.64). bei dem Rubin mit Cr3+-Ionen dotiert ist, der Nd : YAG-Laser (Yttrium-Aluminium-Granat Y3Al5Ol2mit Nd3+-Ionendotiert und der Nd : Glaslaser (Silicat-, Phosphat- oder Bariumglas mit Nd”-Ionen dotiert). Die Dotierung ist auch mit anderen Elementen moglich (z. B. Erbium- oder Holonium-Ionen). Festkoqxrlaser werden optisch gepumpt. Dazu dienen vor allem Xenon-, Krypton- oder Quecksilber-Hochdrucklampen. Sie werden entweder spiralformig um den Laserstab angeordnet oder mittels Spiegelanordnungen in den Laserstab abgebildet (elliptische zylindrische Spiegel). Hohere Effektivitiit verspricht man sich mit Laserdioden-Arrays als Pumpstrahlungsquelle. Festkorperlaser konnen sowohl im Impulsbetrieb wie auch im cw-Betrieb arbeiten. Sie uberstreichen mit den verschiedenen Typen den Wellenlhgenbereich 0’3.. .3 pm. Die Koharenzlbge liegt unter 1 m. Auch die Amplitudenkonstanzund die Gleichmaigkeit der Intensitatsverteilung im Bundel sind weniger gut als bei anderen Lasern. Die Anwendungsgebiete sind die Materialbearbeitung, die Mefltechnik, die nichtlineare Optik und die lasergesteuerte Kernfusion. Auch in der Medizin werden sie angewendet. Die Eigenschaften ausgewmter Impulslaser enthsilt Tab. 5.33. Tabelle 5.33 Ausgew<e Daten fiir Festkorperlaser
TYP
Rubin
Nd :YAG
Nd :Glas
Wellenluge in pm Berieb Leistung in kW Divergenz in mad Linienbreite in mn Koh$irenzl;ingein m
0,6943 Impuls 10.. .40 1...20 10-2 0,s
1,0641
1,0624 Impuls
Impuls 102...105 8.10-2
103
3...20
Im kontinuierlichen Betrieb liefert der Rubinlaser einige 100 W, der Nd :YAG-Laser 500 W. Mit einem fokussierten Nd :Glaslaser ist die Bestrahlungsstiirke 1015W . cmV2auf Fliichen mit einigen Wellenlagen Durchmesser moglich.
Gaslaser sind die fiir die Interferometrie, LhgenmeStechnik und Holografie wichtigsten Laser, weil sie besonders bei Stabilisimng der Resonatorlhge die hcichste zeitliche und raumliche Kohiirenz garantieren. Aber auch fiir die Materialbexbeitung sind Gaslaser verbreitet im Einsatz. Die aktiven Stoffe bestehen aus atomaren oder molekularen Gasen und Diimp-
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
504
fen, wobei haufig Gasgemische aus verschiedenen Stoffen notwendig sind. Gepumpt wird im allgemeinen mittels des elektrischen Stromflusses durch das Gas, seltener optisch oder chemisch. Der Resonator kann aus Spiegeln bestehen, die das Laserrohr unmittelbar abschlieoen (Innenspiegelresonator). Das bringt geringe Resonatorverluste mit sich. Die Auskoppelung erfordert, dal3 ein Laserspiegel teildurchlssig ist. Das Laserrohr kann aber auch mit BrewsterFenstern versehen sein (unter dem Brewster-Winkel zur Strahlungsrichtung stehende planparallele Platten), so dal3 linear polarisiertes Licht austfitt. Die Resonatorspiegel werden auDerhalb angebracht (AuRenspiegelresonator). Die Auskoppelung ist dann auch mittels Beugung am Spiegelrand oder einem Loch im Spiegel moglich. Besondere Bedeutung haben der Helium-Neon-Laser (Abb. 2.65), der Argon- oder Kryptonlaser, der Kohlendioxidlaser und der Excimerlases (aktives Gas z. B. aus angeregten Edelgas- oder Edelgas-Halogeniden) und im ultravioletten Gebiet der Wasserstofflaser. Die kleinste bisher erreichte Wellenliinge A = 116 nm erzeugt der Wasserstofflaser, die grol3te bisher erreichte Lasenvellenliinge A = 1,96534 mm mit 1 mW Impulsleistung erzeugt der CH,Br -Laser. Grol3e zeitliche Kohi4renz und Frequenzstabilitat erfordern hohe Konstanz der ResonatorIiinge. Das kann z. B. durch die Regelung iiber piezoelekbische Elemente gesichert werden. Eine Ubersicht iiber Gaslaser enthat Tab. 5.34. Tabelle 5.34 Ausgewalte Daten von Gaslasem
TYP
He-Ne
Ar-Ionen Kr-Ionen
Wellenliinge in nm
Leistung
Divergenz
Strahldurchmesser
in W
in mad
in mm
543 633 1150
0.2 0,l..S O
0.75
1...1s
0,92 0,5...6 0,8...2
330...530
15...4.104
0.5.. .1,5
0,7.. .1,6
337...860
250...7 , 1 0 3
0,5...1,3
1...2
~ 0 6lo4 -
10.. ,105 105...lo6 106... 2.107
1.. .10
1.. .5 i..s
1,4...10 5.. .25 10.. .75
03.. .15 0,8...2
Impulsenergie in W.s Ar-Ionen (Impuls) co, (Impuls)
458
5.10-8
0,7.. .5
1,2..2 5
1.06. lo4
103...1 0 4
0,3...0,5
200...350
Farbstofflaser. Als abstimmbare Laser, die sowohl im kontinuierlichen wie auch im Impulsbetrieb arbeiten konnen, sind die Farbstofflaser anzusehen. Als laseraktive Stoffe kommen vielatomige Farbstoffmolekule in Betracht. Sie konnen in Festkorper, in Fliissigkeiten und in Gase eingelagert sein. Bevorzugt sind die Fliissigkeitslaser, weil ihre Eigenschaften in weiten Grenzen mittels der Farbstoffkonzentration variiert werden konnen. Mit einem Farbstoff wird maximal der Abstimmbereich 170 nm durchlaufen. Zur abgestimmten Wellenliingenselektion
5.7 EnergiewandelndeFunktionselemente
505
dienen entweder in den Resonator eingesetzte Gitter, Prismen, Fabry-Perot-Etalons und Polarisationsfilter, oder die Anregung erfolgt selektiv (Abb. 5.160). Auf weitungs-
Purnpstrahlung
I
system Reflexions-
A
*
a bst irnmbare Laserstrohlung
Farbstoff kiivette
Au skoppelspiegel
Abb. 5.160 Schema eines abstimmbaren Farbstofflasers Tabelle 5.35 Ausgewalte Daten von kommerziellen Farbstofflasern aus den USA (nach [29])
cw-Laser Wellenlslnge in nrn Linienbreite in M H z Pumpleistung in W Pumpenergie in W .s Ausgangsleistung bei 590 nm bei6OOnm Impulslslnge in ns optischer Wirkungsgrad in % elektrischer Wirkungsgrad in %
435...955 6.104 4
0-6
15
Blitzlampen-Laser 450...850 -
435...730 lo4
375.. .800
15
625
6Ooo lo00
300
0,M
0,24
104
6
1 5.106
17
Als Pumpquelle verwendet man bevorzugt Blitzlampen oder Gasentladungslampen. Es werden aber auch Festkorper- und Gaslaser dafur eingesetzt. Mit den verschiedenen Farbstoffen sind Laser im Bereich 0,32 pm.. .l,28 pm realisierbar. Tab. 5.35 enthat Beispiele. Halbleiterlaser. Der Halbleiter- oder Injektionslaser ist hhnlich wie die Lumineszenzdiode aufgebaut. Zwischen dem Valenz- und dem Leitungsband wird die Besetzungsinversion erzeugt, indem eine Spannung angelegt wird. Die Besetzungsinversion wachst mit der Stromdichte an, die zunachst uber der Schwellenstromdichte liegen m u . Diese l a t sich herabsetZen, indem Doppel- bzw. Mehrfachheterostrukn angewendet werden. Diese bestehen aus diinnen Schichten, die zwischen dem n- und dem p-Halbleiter liegen (Schichtdicken zwischen 0,l und 5 pm). Bei einem Homostrukturlaser konnte das Grundmatenal aus Galliumarsenit bestehen, das mit Tellur als Donator und Zink als Akzeptor dotiert ist. Dieser Laser strahlt bei A. = 840 nm . Ein Mehrfachheterolaser enthat z. B. anschlieDend an das n-leitende GaAs eine Heterodick), eine Grenzschicht p - Al,Gal-,As mit schicht aus n - Al,Ga,-,As mit Te dotiert (3 Ge dotiert (0,2 pm dick), eine Heteroschicht aus p - Al,Ga,,As mit Ge dotiert (3 pm dick) und einem pHalbleiter aus GaAs mit Ge dotiert ( 5 pn dick). Der gesamte Querschnitt der strahlenden Flache betragt 0.4 pm x 0.2 pm .
5 06
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Halbleiterlaser sind im Wellenl2ngenintervall 330 nm bis 34 pm verfiigbar. Das Licht der Laserdioden hat Kohkenzliingen in der GroBenordnung von Millimetern, entsprechend Halbwertsbreiten von einigen Nanometern. Die Divergenz der Strahlung ist durch dle Beugung bei der Auskoppelung bedngt relativ groD (z. B. einige Zehngrad). Laserdioden liefem Leistungen bis zu 200 mW im cw-Betrieb und bis zu 100 W im Impulsbetrieb. Wegen der giinstigen Modulierbarkeit eignen sie sich ganz besonders fiir die optische Nachrichteniibertragung. In Tab. 5.36a, b sind einige Halbleiterlaser eingetragen. Tabelle 5.36a Ausgewilhlte Daten von GaAs-Injektionslasern (nach [29])
Tabelle 5.36b Wellenlage ausgeWalter Halbleiterlaser
Einfachheterostruktur Betriebsart Impuls Impulsbreite in ns 200 Wellenlwge in pm 0,905 Linienbreite in nm 4,s Schwellenstrom10 stiirke in A StromsWke in A 40 Spannung in V 12 Ausgangsleistung 12 in W
Doppelheterostruktur cw Impuls 3.50 0,82 0,85 2 4s 0,2.5 0S
Lasermaterial
Wellenlage in nm
CdS AlGaAs ZnSe InGaP InP
490 620...900 460 590...900 890...910
0.40 2 0,0 1
CdHgTe PbS PbSnSe
5.7.2
1.3
3.5 0,2
3800...41OO 4 300
8500.. .32OoO
KenngroDen von Strahlungsempfingern
Empfindlichkeit. Jeder Strahlungsempflnger reagiert auf ein Eingangssignal X, fiir das er empfindlich ist, mit einem Ausgangssignal Y. Der Zusammenhang zwischen Ausgangs- und Eingangssignal wird mittels Kennlinien dargestellt (Abb. 5.161). Unter der absoluten Empfindlichkeit ist die GroBe
X
-),
A V z . ~ [s] . = - oder [s] = W W
XA
X
Abb. 5.161 Kennlinie eines Smahlungsempfhgers
(5.320a)
5.7 Energiewandelnde Funktionselemente
507
unter der absoluten differentiellenEmpfindlichkeit die GroRe Sd
-- dY
(5.320b)
dx
zu verstehen. Beide GroRen hiingen im allgemeinen von X ab. Der hnkt X = XA der K ~ M linie, in dessen Umgebung das aktuelle Eingangssignal liegt, ist der Arbeitspunkt. Nur im linearen Teil einer Kennlinie ist die absolute Empfindlichkeit konstant, und es gilt s = sd.
Spektrale Empfindlichkeit. Fiir Strahlungsempmger ist besonders die Abhshgigkeit der Empfindlichkeit von der Wellenliinge zu beachten. Wir definieren dann (siehe auch Kapitel 3) die spekt.de strahlungsphysikalischeEingangsgroRe durch dA
z. B.
= 3 dA )
(5.321)
und setzen additives Verhalten der AusgangsgroRe voraus, d. h , wir fordern (5.322) Die absolute spektrale Empfindlichkeit betragt (5.323) Die relative spektrale Empfindlichkeit ergibt sich durch Normierung auf die absolute spektrale Empfindlichkeit fiir eine Bezugswellenliinge: (5.324) Wgihlt man A. so, das s k 0 der Maximalwert von s, ist, dann gilt srA51, und wir sprechen vom spektralen Empfindlichkeitsgrad. Das Ausgangssignal fiir Strahlung des Wellenlshgenintervalls A , bis A2 ergibt sich aus G1. (5.321) und GI. (5.323) zu A2
Y = jX,,S,dA
(5.325a)
,I
oder mit G1. (5.324) zu (5.325b) Fiir das Auge haben wir die angegebenen Gleichungen bereits in Kapitel3 angewendet. Es ist mit dem spektralen Hellempfindlichkeitsgrad srA= V,, she= K,,, = 683 lm. W-l, A. = 555 nm. Y = @, X, = @ ,, also (siehe auch G1. (3.31)) 780 nm
@ =
K,,,j@,AVAdn.
(5.325~)
380 om
Die Grol3e K,VA = K A ist in diesem Fall die absolute spektrale Empfindlichkeit s, (fotometrisches Strahlungsaquivalentder Gesamtstrahlung, GI.(3.37)).
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
508
Die Empfindlichkeit eines StrahlungsmeSgerates h h g t nicht nur von der Wellenlhge der Strahlung ab. Bei zeitlich veriderlichen Signalen kommt es im allgemeinen auf deren Effektivwert an. Die Empfhger zeigen einen Frequenzgang, der sich durch die Gleichung Sf = So
=
&7
(5.326)
beschreiben l a t (da f nicht die Frequenz der Strahlung ist, haben wir dafiir nicht v geschrieben); z stellt eine charakteristische Zeit dar. Als Grenzfrequenz gilt die Frequenz, bei der die Empfindlichkeit auf 1 / f i abgeklungen ist. Sie folgt aus fG = 1/( 2 m ) . Die zu messende Strahlung kann durch Storstrahlung verfiilscht sein. Dazu gehoren auch die Hintergrundstrahlung (besonders im IR-Gebiet) und das Quantenrauschen (stdtistische Photonenverteilung). Der Empfhger selbst hat einen Dunkelstrom und evtl. weitere Quanteneffekte. SchlieDlich bringt auch die weitere Signalverarbeitung Schwankungen des Signals mit sich (z. B. Verstkkerrauschen, Quantifizierungsrauschenbei Umwandlung analoger in digitale Signale). Sgmtliche statistische Einflusse auf das Ausgangssignal werden im Signal-Rausch-VerhBtnis erfdt, Signalleistung (5.327) SNR = Rauschleistung ' und mit der rauschaquivalenten Strahlungsleistung NEP quantifiziert. Diese stellt die Eingangsleistung dar, die am Empfager die gleiche Ausgangsleistung wie das Rauschen erzeugen wiirde. Oft h h g t die Rauschspannung an einem Adenwiderstand von der Bandbreite AvB des Nachweissystems und der Fl2che des Empfhgers A ab. Es wird deshalb als MaB fiir die Nachweisfa;higkeit die Detektivitat D* eingefiihrt: (5.328) ( I , Signalstrom, IRRauschstrom). Der Vergleich zweier Empfhger uber die Detektivitat ist nur beim Vorliegen gleicher MeSbedingungen moglich. Die rauschaquivalente Strahlungsleistung ist aus NEP = n / D * zu berechnen.
5.7.3
Strahlungsempfiinger
In den Strahlungsempfhgern werden Effekte genutzt, die bei der Wechselwirkung zwischen Strahlung und Stoffen auftreten. Bevorzugt sind thermische, fotoelektrische und fotochemische Effekte. Thermische Empfanger. Im infraroten Spektralbereich und bei groRen BestrahlungsstPken eignen sich die therrnischen EmpfAnger, bei denen vor allem Temperdturiinderungen eneugt und gemessen werden. Thermoelemente bestehen aus zwei Metallen, deren Lotstelle erwiirmt wird, wodurch eine Thermospannung auftritt. Die Metalldriihte konnen z. B. aus Wismut und Antimon bestehen. Zur Erhohung der Thermospannung koMen mehrere Thermoelemente zu einer Thermosaule zusammengefaBt werden.
5.7 Energiewandelnde Funktionselemente
509
Die Widerstandstindemng eines geschwhten Metalldrahtes (z. B. Platin) wird beim Bolometer mittels einer Briickenschaltung gemessen. Beim Thermistor erzielt man mit einem Halbleiter anstelle des Metalls eine bis zu zehnfache Empfindlichkeit. In den Kalorimetern wird die Temperaturhderung eines thermisch gut isolierten Absorbers gemessen. Die bisher genannten thermischen Empfhger haben grol3e Zeitkonstanten, sie sind also trage. Sie uberstreichen jedoch einen groSen Spektralbereich (z. B. Thermoelement 0,2... ...lo0 p). Zeitkonstanten von ms bis s weisen die pyroelektrischen Empfhger auf. Sie reagieren aber nur auf zeitliche Tempera-derungen, weshalb sie nur in Verbindung mit Choppem zu verwenden sind. Als Absorber kommen z. B. Triglyzinsulfat oder Lithiumtantalat infrage. Fotoelektrische Empfanger. In fotoelektrischenEmpfhgern wird der adere lichtelektrische Effekt (Fotozelle, SekundtirelektronenvervielfacherSEV), der innere Fotoeffekt (Fotoelement) oder der Sperrschichtfotoeffekt(Halbleiterempfhger) genutzt. Die Vakuumfotozelle besteht aus einer evakuierten Rohre, in der sich die Katode und die Anode befinden. Die Photonen lijsen entsprechend dem aderen Fotoeffekt freie Elektronen aus der Katode aus, die durch die angelegte Spannung beschleunigt werden und auf die Anode auftreffen. Bereits bei relativ geringen Spannungen tritt Sattigung des elektrischen Stromes ein. Der Sattigungsstrom ist proportional der Bestrahlungsstiirke. Der Fotovervielfacher stellt eine Vakuumfotozelle dar, bei der zwischen Katode und Anode die sogenannten Dynoden wirksam sind. Diese Zwischenelektroden, aus denen jeweils ein Primtirelektron mehrere Sekundtireleksronenauslost, sorgen fiir die Verstiirkung. Diese betragt gegeniiber der Fotozelle lo3...lo6.Mit SEV lassen sich tragheitsarme breitbandige Messungen ausfiihren. Fotoelemente sind Halbleiterbauelemente mit p-n-Sperrschicht. Bei Bestrahlung entsteht eine Fotospannung, die im Leerlauf logarithmisch von der Bestrahlungsstiirke abhhgt. Bei niedrigem Adenwiderstand (Kurzschldbetrieb) ist der Fotostrom proportional der Besuahlungssttirke. Die spektrale Empfindlichkeit ist bei den einzelnen Gmndmaterialien unterschiedlich. Die obere Grenze liegt z. B. fiir Silicium bei 1100 nm, fiir Selen bei 660 nm und fiir Cadmium-Selenid bei 700 nm. Fotodioden bestehen aus Halbleitern mit einer p-n-Sperrschicht, an die eine Vorspannung angelegt ist. Es fliel3t zunkhst der geringe Dunkelstrom. Bei Besuahlung erhoht sich der Sperrstrom proportional zur Besuahlungsstkke. Die Silicium-Avalanche-Fotodiodeerreicht durch eine innere Versttirkung um Zehnerpotenzen hohere Stromempfindlichkeit. Das uifft auch auf den Fototransistor zu, der zwei Grenzschichten enthdt. Fotowiderstiinde sind sehr empfindlich und beruhen auf der belichtungsabhhgigen Fotoleitung. Sie bentitigen deshalb eine Fremdspannungsquelle. Die Erhohung der Leitwgkeit entsteht durch den ijbergang der Elektronen vom Valenzband in das Leitungsband. Als Leitermaterialien dienen Mischkristalle (z. B. Cadmiumsulfid, Indiumantimonid, Bleisulfid), bei denen Storatome den Abstand zwischen Valenz- und Leitungsband herabsetzen. Fotowidersthde gehoren zu den tragen Strahlungsempfhgern. Die Fotodioden ktinnen fiir MeSzwecke oder fiir den bilderfassenden Nachweis zu Kombinationen zusammengefaklt sein. So gibt es Quadrantenfotodioden (vier gleich g r o k aneinandergrenzende Fotodioden), ljneare oder matrizenartige Arrays aus mehreren Elementen. Eine besondere Qualitat brachten die ladungsgekoppelten Elemente mit sich (z. B. CCDElemente, engl. charge coupled device). Es w d e n zuniichst Zeilensensoren, spater Matrix-
510
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
sensoren entwickelt. Sie ermoglichen das serielle Auslesen der Fotoelektronen der einzelnen Bildelemente (Pixel). Jeder Fotodiode ist eine Transferelektrode benachbart. Die wiihrend der Integrationszeit r erzeugten Elektronen (Anzahl proportional aef)werden durch die zeitlich wenig verschobene Spannungsiinderung in das Transportregister verlagert. Die von den einzelnen Fotodioden stammenden Elektronenpakete schieben sich durch getaktete Spannungshderung an den Transportelektroden weiter und konnen so seriell verarbeitet werden. Die Zeilenempfhger bestehen aus Elementen mit 13 x 17 pm2 Flache. Es sind Anordnungen aus 256, 1024 und 2048 Elementen giingig. Die CCD-Matrizen sind z. B. mit 488 x 380 Elementen ausgestattet. Der horizontale Abstand der Elemente betragt 12 p,der vertikale Abstand 30 pm. Es w d e n aber bereits 1024 x 1024 Punkte auf 18,7 mm x 18,7 mm und auf noch kleinerer Flache erreicht. Fotochemische Empfhger sind die Halogenfotoschichten der klassischen Fotografie, die Fotolacke und die lichtempfindlichen Thermoplaste (reversibel). Dazu venveisen wir auf die Spezialliteratur [43].
5.8 Nichtlineare Funktionselemente 5.8.1
Grundzuge der nichtlinearen Optik
In 2.3.2 haben wir als Ursache f& die Dispersion das frequenzabhjingige Wtschwingen von gebundenen Ladungen (in Atomen und Molekiilen) und von Dipolen beim Durchgang der elektromagnetischen Welle durch einen Stoff angenommen. Die Schwingungsgleichung ftir die elektrische Polarisation (2.90) wurde unter der Voraussetzung geliist, daO eine ebene, zeitlich periodische und linear polarisierte Welle einfAlt, die ein schwaches Feld erzeugt. “Schwach” bedeutet in diesem Zusammenhang, daB die Amplitude der elektrischen Feldstiirke sehr klein ist gegenuber den Amplituden der elektrischen Feldstiirken, die durch die atomaren Ladungen im Bereich der Atome, Molehle und Dipole erzeugt werden. Die betrachteten Stoffe sollten homogen und isotrop sein. Es lieR sich dann Proportionalitat zwischen der elektrischen Polarisation und der elektrischen Feldstiirke ansetzen: P = E o aE (a= E, - 1 elektrische Suszeptibilitat). Fiir anisotrope Stoffe (Kristalle) sind a bzw. E , Tensoren, die als symmetrische Matrizen geschrieben werden konnen (Gl. (2.69)). Wenn wir in G1. (2.90) das Glied 2 p P weglassen, also keine Diimpfung der Schwingungen der Dipole beriicksichtigen, stellt das Glied w ~ die P Wirkung einer riicktreibenden Quasikraft F = - m o i x = -D,x Oar. Die momentane Koordinate der Schwingung bei N Teilchen mit dem Dipolmoment p = -ex l u t sich aus x = - P / ( N e ) berechnen, so daJ3 F = - D I P / ( N e ) wird. Die potentielle Bindungsenergie betragt bis auf eine unwesentliche additive Konstante
Die Gleichung fiir die elektrische Polarisation lautet nach G1. (2.90) @ + W i P = EokE.
Der Faktor k hiingt von der Art der schwingenden Dipole ab.
(5.329)
511
5.8 Nichtlineare Funktionselemente
Mit Lasern lassen sich elektrische Feldstiirken eneugen, die zu denen, die innerhalb der Atome wirken, einen vergleichbaren Betrag haben (z. B. E = 1O'OV. m-'). Das Mitschwingen der Ladungen in den Atomen bzw. Dipolen erreicht so grok Amplituden, dal3 sie nicht mehr als linear anzusehen sind. Die Schwingungen sind anharmonisch, und die elektrische Polarisation ist der elektrischen Feldstiirke nicht proportional. Die potentielle Energie hshgt auch von hoheren Potenzen der elektrischen Polarisation ab. harrnonisch
0
Abb. 5.162 Symmetrische Potentiallcurve
X
Bei Stoffen mit Inversionssymmetrie bezuglich der Dipolanordnung ist die potentielle Energie symmetrisch bezuglich der Koordinate bzw. der Polarisation (Abb. 5.162). Die nachste Nmerung zur Gleichung fiir die potentielle Energie lautet
w,
= - -14 x 2 + - 414 x 4 2 4
(5.330)
Fiir die Krafl gilt
F = -dWp -
dx
- -4x+44x3
= -Qx(1-D$)
mit D,xz 9 1 oder (5.331)
Die Schwingungsgleichungfiir P wird zu
+ mg P ( l - mlP2) = &,kE
(5.332)
mit u 3 m1 = N2e2'
k = -Ne2 bei Elektronenschwingungen, somt allgemeine Konstante. &Om
Der Zusammenhang zwischen der elektrischen Polarisation und der elektrischen Feldstiirke muS nun ebenfalls nichtlinear angesetzt werden. Wir gehen von P =E ~ ( ~ ~ E + ~ , E ~ )
(5.333)
aus. Mit E = E,coswt
und
cos3mt = -(3cosot+cos3wt) 1 4
512
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
erhalten wir
(5.334) Mit diesem Ansatz gehen wir in die Schwingungsgleichung ein. Dabei beachten wir, da13 p3 < & ist. Wir erhalten cos3wt = EokE0coswr, woraus = 0 (w;- m 2 ) & - ~ m 1 0 ~ 4= 3EokEo, ( w : - - O W ~ ) P-qm,wiP,3 ~1
folgt (weil die Gleichung fiir beliebige ? gelten mu@. Den Summanden mit gen wir gegenuber demjenigen mit 6, so dal3
e3vemachlassi(5.335a, b)
wird. Daraus ergibt sich fiir die elektrischen SuszeptibilitPten
(5.336a, b) Wie spater ausgefiihrt wird, beinhaltet bei mi > w2 der Anteil a, eine Welle mit der eingestrahlten Frequenz w und normaler Dispersion sowie wegen des Faktors E; eine intensitatsabhiingige Brechzahl. Der Anteil a3weist auf eine Welle mit der Kreisfrequenz 3 0 hin.
I
't 0
harrnonisch
anharmonischer
X
Bei Stoffen ohne Inversionssyrnmetrie braucht die potentielle Energie nicht symmetrisch bezuglich der Koordinate zu sein (Abb. 5.163). Sie ist durch W, = -1D l x 2+-1 D 1 4 x 3 (5.337) 2 3
5.8 Nichtlineare Funktionselemente
513
anzunuern, woraus
F = -d-WP dx
-
-D1x+ DlD2x2= -DLx(l - D2x)
(5.338)
mit D,lx\ 1 folgt. Der iibergang zur elektrischen Polarisation fiihrt mit der Ablriirzung m, = D2/ ( t i e )auf die Differentialgleichung (5.339)
i + m ; P ( l + q P ) = EokE.
Fiir den Zusammenhang zwischen der elektrischen Polarisation und der elektrischen Feldstake setzen wir P =E~(OL~+~,E+~~~E*).
(5.340a)
1 (l+cos 2mr) ergibt sich daraus der Ansatz Mit E = Eo cos m f , coszUf = 2 P = Po+P,cosot+P,cos2wt
(5.340b)
mit
Aus der G1. (5.339) folgt dann p = --1 G%k2Ei 0 2(m;-m2)2’
P
,
E =kEoL
a;-&I2’
1 p, = -2
i$kZ~miEi
(a; - 403) (mi -
*
(5.341a, b, c) Fiir die Suszeptibilitaten ergibt sich
(5.342a, b) (5.342~)
a, fiihrt auf eine frequenz- und intensitatsabhiingige Gleichplarisation, a,ist bei mi > m2 ein Term, der normale Dispersion der eingestrahlten Welle bedingt, und a, kemeich.net eine Welle mit der doppelten Kreisfrequenz, die fiir of> 4m2 nomale Dispersion zeigt. Mit dem gleichen Modell l a t sich das Einstrahlen von zwei Wellen unterschiedlicher Kreisfrequenz behandeln. Es ist E = Eo1 cos W1 t + Eo2 cos W2 t
(5.343)
zu setzen. Bei einem quadratischen nichtlinearen Stoff mit der Polarisation nach G1. (5.340a)
tritt der Term 2 a 2Eo1Eozcos W ,f . cos m2 t = a2 &I
( C o s [ ( m ~- 02
)t]
+ cos [(a1+ a,)[]}(5.344)
auf. Daraus ist zu schliefien, daB die Summen- und Differenzfrequenzen erzeugt werden konnen.
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
5 14
SchlieUlich ist in kubischen nichtlinearen Stoffen auch die Vierwellenmischung moglich, bei der dle Kreisfrequenzen w, = w , + q + w 3 , w, = w , + w 2 - w 3 , w, = o * - w 2 - w 3 entstehen. Fraktisch wichtige Spezialfdle sind die dritte Harmonische (w,= w, = w j , w, = 3w1) und die “degenerated four-wave mixing”, bei der alle vier Wellen gleiche Frequenz haben (w, = w 3 , w4= w1). Die Ausfuhrungen dieses Abschnitts sollten nur das prinzipielle Verstandnis fir das Auftreten nichtlinearer Effekte wecken. Die Vereinfachungen sind teilweise sehr einschneidend. AuBerdem sind auch nicht alle Effekte der nichtlinearen Optik iiber die Dispersionstheorie zu behandeln. Bereits die Beschreibung der elektrischen Polarisation ist wesentlich komplizierter. Es gilt ~ ( r , t=) ~ ~ ( r , t ) + ~ ~ ( r , t ) . (5.345) Die nichtlineare Polarisation setzt sich additiv aus Gliedern zusammen, die aus Produkten von Susxptibilitatstensoren ( n + 1)-ter Stufe mit Produkten der elektrischen Feldstiirke bestehen: P N L ( r , t )= € , [ a 2 : E E + a 3 : E E E (5.346a) +a*.].
In Komponenten bedeutet das
yNL=
E g x f f 2 , j k E j E k4- € g z f f 3 i j k l E j E k E l+*... j,k
(5.346b)
j.k.1
Die Tensoren der nichtlinearen Suszeptibilitaten fiir Kristalle werden durch Matrizen beschrieben, deren Struktur von der Kristallklasse abhiingt [29]. Die konsequente Behandlung der nichtlinearen Optik erfordert auBerdem die Anwendung der Maxwellschen Gleichungen bzw. der Quantentheorie. Dazu existiert umfangreiche Spezialliteratur (z. B. [GI und [451).
5.8.2
Funktionselemente
Eneugung der zweiten Harmonischen (SHG, engl. second harmonic generation). Die modellmaigen Untersuchungen in 5.8.1 m e n zu der Aussage, dii in quadratisch nichtlinearen Stoffen die Frequenz des eingestrahlten Lichtes verdoppelt werden kann. Diese Erzeugung der zweiten Hannonischen hat besondere Bedeutung fiir die Umwandlung von Licht in ultraviolette Strahlung, wobei auch die zweimalige Verdoppelung der Frequenz mit zwei Bauelementen moglich ist. (Die Strahlung des Nd :YAG-Lasers bei der Wellenliinge 1,06 p,m geht dabei iiber in Strahlung der Wellenliinge 0,265 pm.)Die Frequenzverdoppelung der Strahlung von durchstimmbaren Lasern bringt abstimmbare kurzwellige Strahhng mit sich. Phasenanpassung. Wird die zweite Harmonische in einem nichtlinearen Stoff erzeugt, d a m ist zu beachten, daB die unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten zwischen der Grundwelle (Kreisfrequenz w ) und der Oberwelle (Kreisfrequenz w2 = 2 w ) die optimale Umwandlung behindern. Wir zeigen das anhand einer einfachen Modellrechnung. Die einfallende Welle habe die elektrische Feldstiirke E = E, cos 0 1 bei z = 0 und E, = E, cos [ W ( t - z/c>]bei z = z . Die zweite Harrnonische habe dle Phasengeschwindigkeit c2 und die Brechzahl n 2 . Es gilt also fiir die Grundwelle w / c = 2nn/&, fiir die zweite Harmonische w2/c2= 4n nz/Ao.
5.8 Nichtlineare Funktionselemente
5 15
Die zweite Hannonische werde in einer dunnen Schicht an der Stelle z erzeugt (Abb. 5.164). Am Ende des Kristalls, also an der Stelle I, betrjdgt die elektrische Feldstkke
[
dE2 = Eo2cos 2 4 t -
2
- f)]dz.
Esisto/cz=2rcn2/Ao, o/c=2rcn/Ao und A n = n , - n , a l s o (5.347)
Integration uber alle Schichtelementeergibt die elektrische Feldstkke am Ende der Schicht: E2 = Durch Ausrechnen des Integrals erhalten wir (5.348)
oder nach Anwenden eines Additionstheorems und Einfiihren der Abkiirzung Iph
A0 =2An
(5.349)
folgt RI
1.sinEz = E02
'" [
cos 2ot--(n+n,)]. 2R A0
(5.350)
Abb. 5.164 Zur Ableitung der
Phasenanpassungsbedingung
Es zeigt sich, daR in Abstiinden der Kohkenzliinge I = I p h die elektrische Feldstkke E2 verschwindet. Die Intensitat ist dem Mittelwert des Quadrates der elektrischen Feldst&ke proportional:
(E:)
= 1E&Izsinc2
2
(5.351)
Genauere Rechnungen erlauben Aussagen uber die Amplitude, wobei (5.352)
fiir kleine Umwandlungsraten erhalten wird ( P Leistung der eingestrahlten Welle, A Bundelquerschnitt, deff effektive Nichtlinearitat, die von der Stoffart, von der Polarisation und der Ausbreitungsrichtung der Welle abhiingt [29];entspricht a2).
5 16
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
-
Die maximale Intensitat der zweiten Harmonischen wird erhalten, wenn nI/Ih = 0 , also + ist. Das erfordert die Einhaltung der Phasenanpassungsbedingung An = n 2 - n = 0. (5.35 3) Es gibt verschiedene Methoden zur Phasenanpassung. In optisch einachsigen Kristallen 1 s t sich die unterschiedliche Brechzahl fiir die ordentlichen und die aaerordentlichen Wellen der beiden Frequenzen nutzen. Bei der Phasenanpassung vom Typ I gilt (Abb. 5.165) I,
(5.354a) (5.354b) (5.355 a)
(5.355b) Bei Flussigkeiten, Gasen und Diimpfen ist Phasenanpassung in der Umgebung von FrequenZen moglich, fiir welche anomale Dispersion auftritt (Abb. 5 . 1 6 5 ~ ) .
R'ch+ung@
der Phasenan passung
\
I
h(w1
,-,
--u,
nI2~1 a)
n'co'
Richtung der Phasenanpassung d 2 W )
b)
Abb. 5.165 Phasenanpassung a) bei LiNbO,, b) bei KDP, c) im Gebiet anomaler Dispersion
Bauelemente zur Frequenzverdoppelung sind handelsublich. Sie bestehen o f f aus einem ADP-, KDP- oder KD*P-Kristall, wobei in dieser Reihenfolge die Umwandlungsrate gunsti-
ger, der Preis hoher wird. Die Kristalle sind plan poliert, mit UV-durchlbsigen Fenstern abgeschlossen und in Immersionsflussigkeit eingebettet. ijbliche M a e der Kristalle sind 3 7 3 mm L u g e und 18 mm Durchmesser. Die Einhaltung der Lage der optischen Achse zur Oberflache (Phasenanpassung) wird auf 10' genau garantiert. Die Frequenzverdoppler sind vorwiegend fiir Rubin- oder Neodym-Laser ausgelegt. Erzeugung hoherer Harmonischer. In kubisch nichtlinearen Stoffen tritt die dritte Harmonische auf. Auch in diesem Fall ist Phasenanpassung erforderlich. Bei Kristallen gelten analoge Bedingungen wie bei der Frequenzverdoppelung. Bei Gasen und besonders geeigneten Metalld-pfen (Alkalimetalldiimpfe) ist die Phasenanpassung mittels anomaler Dispersion anzuwenden. Fiir die Intensitat gilt bei Phasenanpassung
1(3w) - 9W21a3cff12P2(w)E2. I(w) 16&ic4n3 n3A2 ' a3cff ist die effektive Nichtlinearitat.
(5.356)
5.8 Nichtlineare Funktionselernente
517
Auch fiir die dritte Harmonische werden kommerzielle Bauelemente angeboten. Sie beruhen auf denselben Kristallen wie die Frequenzverdoppler. Bevorzugt ist aber in diesem Fall besonders KD*P. Zur Emugung kurzwelliger ultravioletter Laserstrahlung gibt es auch Bauelemente mit Frequenzvervierfachung aus ADP. Im Labor w d e bisher die Frequenzvervielfachungin Gasen bis zur siebenten Harmonischen realisiert. Die kurzwelligste damit erteugte kohiirente Strahlung hat die Wellenl2nge A = 353 nm . Weitere praktisch genutzte F'rozesse, die zur Frequenziinderung fiihren, sind die bereits genannten Summen- und Differenzbildungen. Auch dafiir ist es erforderlich, Phasenanpassungsbedingungen einzuhalten. Intensitiitsabhangige Brechzahl. In kubisch nichtlinearen Stoffen betrtigt nach G1. (5.336a) ein Anteil der Suszeptibilit2t
Wir fiihren mittels a1+ 1= &r = n2 die Brechzahl ein. Wir erhalten n2 = I
+
k
~
wg - w 2
-
m,&iw;k3Ei 4 (w;- 9w2) (a;- w2)3 .
3
-
(5.357)
Der Anteil n; = 1+-
k
w; - w 2
ist der lineare Anteil der Brechzahl. AuSerdem setzen wir Ei =2I/(&,n:c) (n kann hier durch n ersetzt werden). Weiter verwenden wir die Ntiherung n2 n l = ( n - n,) (n + n,) = 2 n LA n . Es ist also
-
An=
--3 mlEOw;(n2, - i)3I 4 (w;-9w2)n;c
(5.358) '
Als nichtlineare Brechzahl n, wird im allgemeinen die Gr65e
eingefiihrt (die ubliche Bezeichnung n2 ist irrefiihrend). Mit diesen Ableitungen sol1 nur prinzipiell das Auftreten der intensitiitsabh2ngigen Brechzahl erkliirt werden. Quantitativ k0Mm sie nicht zu richtigen Ergebnissen fiihren. Das gilt schon deshalb nicht, well die effektive nichtlineare Polarisation von der Umgebung der schwingenden Dipole mitbestimmt wird. Wenn man P = PL+ PNLsetzt, dann ergibt sich bereits nach der Gleichung von Clausius-Mossotti fiir die molekulare Polarisierbarkeit, da6 flir die effektive Polarisation
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
518
wird und D = E , & ~E + P E zu setzen ist. Wir koMen die genaue Rechnung nicht w e i t e m ren und geben nur die Ergebnisse an. Die Brechzahlanderung betragt ~NLI An = , n = nL+An. n LC &o
(5.359)
Im allgemeinen ist An positiv, also n > nL. Es gilt z. B. nNL= m2.V 2in H" ussigkeiten, nNL=10-22...10-24m2.V-2in Glasern, nNL=2'10-20m2'V-2 in CS2. Bei einem Laserbiindel, in dem (wie z. B. beim GauBschen Bundel) d e Intensitat radial abnimmt, nimmt auch die Brechzahl nach auBen ab. Es entsteht ein inhomogener Stoff, der das Laserbundel fokussiert (Selbsgukussierung).Die Laserleistung muB dazu oberhalb der kritischen Leistung
liegen. Von der Flache, an der &as Laserbundel in den nichtlinearen Stoff eintritt, bis zum Fokus liegt die Strecke (Abb. 5.166)
Laserbundel
\
Flu ssig keitszelle 1_ _ - _ _ ; - - _ _ I
w
Abb. 5.166
Selbstfokussierung
Nichtlineare Phasenkonjugation. Unter Nutzung von nichtlinearen optischen Effekten lassen sich Bauelemente realisieren, die die Strahlung unter Umkehr der Phasendifferenzen reflektieren. Streng genommen handelt es sich um Streuprozesse, bei denen die Frequenz- und Phasenbedingungen der nichtlinearen Wechselwirkung geeignet eingestellt werden konnen. Die nichtlinearen Spiegel reflektieren nicht nach dem geometrisch-optischen Reflexionsgesetz, sondern in Richtungen, die von der nichtlinearen Wechselwirkung zwischen den Atomen bzw. Molekiilen und der Strahlung bestimmt sind. Die wichtigsten Prozesse zur Phasenkonjugation sind die entartete Vierwellenmischung, bei der alle vier Frequenzen gleich sind (durch entsprechende Phasenanpassung zu erreichen), die induziette Ramanstreuung, bei der die Strahlung in Wechselwirkung mit molekularen Schwingungen tritt, und die Brillouinstreuung, bei der die Strahlung in Wechselwirkung mit akustischen Schwingungen tritt. Dazu koMen wir hier keine weiteren Einzelheiten darstellen. In allen Fgillen bewirkt die Sueuung die phasenkonjugierte Spiegelwirkung. Abb. 5.167 demonstriert den Unterschied zwischen reguliirer Reflexion und nichtlinearer Phasenkonjugation. Die nichtlineare Phasenkonjugation ist ein Mittel zur nichtlinearen adaptiven Optik in Echtzeit. Unter der adaptiven Optik versteht man die Methoden oder optischen Systeme, mit denen zufdlige (statistische) Verihderungen der Strahlung mit Hilfe eines Regelsystems aus-
5.8 Nichtlineare Funktionselemente
5 19
geglichen werden. Im allgemeinen geht es dabei um Storungen der Wellentlache, die wieder riickgmgig zu machen sind. Bei der linearen adaptiven Optik sind dazu die Messung der Wellenflache, die Ableitung von Steuerbefehlen f%r die Stelleinheiten im optischen System und die Abwandlung des optischen Systems erforderlich. doppelt ebene deformierte deformierte Wellenflache Wellenflache Wellenflachen
a)
ebene Wellenflache
korrigierte Wellenflache
deforrnierte Wellenflachen (phasenkonjugierenderl
bl
Abb. 5.167 Unterschied zwischen regukrer Reflexion (a) und phasenkonjugierter Reflexion (b)
an einem nichtlinearen “Spiegel”
a)
bJ
Abb. 5.168 Korrektur der Verzermng eines Laserbundels mittels nichtlinearer adaptiver Optik a) Unterkorrigiertes, b) korrigiertes Bundel
Die nichtlineare Phasenkonjugation erledigt das Anliegen der adaptiven Optik ohne Messung und hderung des optischen Systems. Dafi,ir ist sie nur eingeschrw anwendbar, weil die Leistungsdichten ausreichend groS sein mussen. Der Ausgleich von ortlichen Stijrungen von Laserbundeln und ihre stabile Fokussierung sowie die stabile Konzentration der Strahlung auf Spalte von Spektrografen sind besonders hervorzuheben (Abb. 5.168).
520
5 Nichtabbildende optische Funktionselemente
Weitere Effekte der nichtlinearen Optik fiir Bauelemente zur Informationsverarbeitung beruhen auf der optischen Bistabilitat [47]. Ein weites Feld iiberstreichen die spektroskopischen Anwendungen, u. a. die Uluakurzzeitspektroskopie.
Nichtlineare Stoffe. Stoffe, die sich fiir die Realisierung der nichtlinearen Effekte eignen, werden nichtlineare Stoffe genannt. Gegenwmg sind bereits eine Vielzahl an derartigen Stoffen bekannt. Sie gliedern sich in Halbleiter (z.B. GaAs, InP, CdGeAh), anorganische Kristalle [z.B. LiNbO,, KNbQ, KDP, KD*P, ADP, CDA (CsH,AsO,), RDA (RbH,AsO,)], organische Kristalle [ z. B. COANP (2-Cyclooctylamino-5-Nitropyridin),DAN (4. (N,N-Dimethylamino)-3-Acetamidonitrobenzol),MNA (2-Methyl4-Nitroanilin)], Polymere, Flussigkristalle und Langmuir-Blodgett-Duinnfilme (2-Docosylamino-5-Niuopyridin).Die organischen nichtlinearen Stoffe haben teilweise groae nichtlineare Effektivitat. Die Dunnfilme sind vor allem fiir die integrierte Optik von Interesse. Aktuell sind die fotorefraktiven Stoffe. In ihnen sind Raumladungsfelder mittels Besuahlung zu erzeugen, die zu einer raumlich verteilten Brechzahliinderung m e n . Es konnen z. B. auf diesem Wege loschbare holografkche Speicher erzeugt werden [46].
6
Optische Instrumente und Systeme
6.1
Grundbegriffe
6.1.1
Auge
Bei vielen Anwendungen werden die mit optischen Systemen erzeugten Bilder visuell ausgewertet. Teilweise ist das menschliche Auge direkt in den Strahlengang einbezogen, teilweise werden die Bilder auf Schirmen aufgefangen, oft gespeichert, und d m betrachtet (siehe 6.1.5). In diesen Faillen ist es wichtig, die grundlegenden Daten und Eigenschaften des menschlichen Gesichtssinnes zu keMen. Anatomie des Auges (Abb. 6.1). Das Auge besteht aus dem Augapfel, den auBeren Augenmuskeln und Schutzelementen (Traendriisen, Lider u. a. ). Der Augapfel wird durch drei H h t e umhullt. Die tidere Haut wird auf der Ruckseite durch die weioe Lederhaut L gebildet, die auf der Vorderseite in die durchsichtige Hornhaut H ubergeht. Die mittlere Haut besteht aus der Aderhaut A, dem Ziliarkorper Z und der Regenbogenhaut J (Iris), die die Augenpupille enthat. Die innere Haut tragt innen die Netzhaut N, a d e n ein Pigmentepithel. Die Netzhaut e n W t die lichtempfindlichen Stabchen (ca. 1.3. lo'), mit denen keine Farben wahrgenommen werden, und die Zapfen (ca. 7 . lo6),die die Farbwahmehmung ermoglichen. Die Stelle der Netzhaut, die der Pupille gegenuberliegt, ist der gelbe Fleck, dessen Zenm m , die Netzhautgrube Ng, die grofite Anzahl Zapfen tragt. Vom gelben Fleck aus, der Nase zugekehrt, befindet sich der lichtunempfindliche blinde Fleck bF, der die Eintrittsfliiche des Sehnervs S darstellt.
Das abbildende System des Auges wird auch dioptrisches System genannt. Es besteht aus der Hornhaut H mit der Brechzahl n = 1,376 und den Radien r, = 7,7 mm, rz = 6,8 mm, der vorderen Augenkammer vA mit dem Kammerwasser der Brechzahl n = 1,336. der Linse K und dem Glaskotper Gk mit der Brechzahl n = 1,336. Die Brechzahl der Lime nimmt von au13en ( n = 1,386) nach innen ( n = 1,406) zu. Die Linse ist asph&isch, und ihre Scheitelkriim-
522
6 Optische Instrumente und Svsteme
mungen konnen durch die Ziliarmuskeln ge2ndert werden. Beim Sehen in die Feme betragen sie r, = 10 mm, r2 = -6 mm, beim Sehen in der Niihe r, = -rz = 5,33 mm. Die Linsendicke iindert sich von d = 3,6 mm auf d = 4 mm. Schematisches und reduziertes Auge. Gullstrand hat zur vereinfachlen Darstellung der grundlegenden Daten des Auges, die fiir die Kombination mit Brillen und optischen Instrumenten wesentlich sind, das sogenannte schematische Auge eingefiihrt. Die Daten sind in Tab. 6.1 enthalten. Tabelle 6.1 Abstiinde vom vorderen Hornhautscheitel beim schematischen Auge in mm
Einstellung auf [Jnendlich 15.71 1,35
objektseitiger Brennpunkt F objektseitiger Hauptpunkt H bildseitiger Hauptpunkt H’ Eintrittspupille EP Iris objektseitiger Knotenpunkt N bildseitiger Knotenpunkt N‘ Augendrehpunkt Netzhautgrube bildseitiger Brennpunkt F’
1,6
3 3.6 7,08 7,33 13,5 24 24,39
Nahpunkt 12.40 1.77 2,09 2,7 3.2 6,35 6,84 13,5 24 24,39
Die objekt- und die bildseitigen Haupt- bzw. Knotenpunkte haben einen geringen Abstand. Aus diesem Grunde hat Listing mit dem sogenannten reduzierten Auge eine weitere Schematisierung eingefiihrt. Das reduzierte Auge besteht aus einer brechenden Flache, die 1,44 mm hinter der vorderen Hornhautflache liegt, mit n = 1, n‘ = 1,336, r = 5,76 mm beim entspannten Auge. Die BreMWeiten betragen f = -17,14 mm, f’ = 22,9 mm. Die Bildkonstruktion kann mit ausgezeichneten Strahlen vorgenommen werden.
Akkommodation. Die Einstellung des Auges auf die scharfe Abbildung von Objekten, die nicht im Unendlichen liegen, vorwiegend durch die h d e r u n g der Linsenkriimmungen und -dicke iiber die Ziliarmuskeln, wird Akkommodation genannt. Sie wird unterstutzt, indem die inneren Bereiche der Linse, die eine groUere Brechzahl haben, verdickt werden. Tabelle 6.2 Abhugigkeit der Nahpunktweite und der Akkommodationsbreite vom Alter
Alter in Jahren 10 20 30 40 50 60 70 80
Nahpunktweite in cm
- 6,5 ... - 88 - 7,4 ... - 10.9 -
9,2 ... - 15.2
- 12,8 ... - 28,6 - 31,3 ... - 90.9 - 52,6 ... - 167 55,6 ... - 167 - 55.6 ... - 167
-
Akkommodationsbreite in dpt 15.4 13,5 10,9 7,8 3,2 1,9 1,8 1,8
... 11,3 ... 9.2 ... 6,6 ... ... ... ... ...
3.5 1,l 0,6 0.6 0.6
6.1 Grundbenriffe
523
Das normalsichtige Auge bildet ohne Akkommodation unendlich ferne Objekte scharf auf der Netzhaut ab. Der Fempunkt ist also der unendlich ferne Punkt. Der nachstgelegene Punkt, der durch Akkommodation scharf abgebildet wird, heiRt Nahpunkt. Die Nahpunktweite nimmt mit dem Alter betragsmaig zu (Tab. 6.2). Die Akkommodationsbreite l/aR- l/up (aR Objektweite des Fempunktes, up Objektweite des Nahpunktes) niihert sich bis auf den im sechzigsten Lebensjahr erreichten Wert von 1 dpt (Tab. 6.2). Adaptation. Die Anpassung des Auges an die Leuchtdichte des Objekts wird Adaptation genannt. Dazu dienen zwei Effekte. Zum einen iindert sich der Pupillendurchmesser (2 mm bis 8 mm, der obere Wert bis zum Alter von 30 Jahren), zum anderen wirkt ein Netzhautregelsystem, das die Empfindlichkeitsschwelle der Netzhaut beeinfluat. Schnellen Leuchtdichtebderungen wird vorwiegend mit der Pupilleniinderung, langsamen mit dem Netzhautregelsystem begegnet. Es werden drei Leuchtdichtebereicheunterschieden: - Im skotopischen Bereich (Nachtsehen, Leuchtdichte L < cd.m-*) liegt ausschlieRliches Stabchensehen vor. Die Anpassung an so geringe Leuchtdichten dauert im allgemeinen 45 bis 60 Minuten. - Im photopischen Bereich (Tagsehen, Leuchtdichte L > 10 cd . m-*)liegt Zapfensehen vor. Die Anpassung an groRe Leuchtdichten geht schnell vor sich. Bei Blendung (L> 104cd.m-’) sinkt die Empfindlichkeit kurzzeitig auf das 10-6-fache. - Der mesoptische Bereich (Dtimmerungssehen) stellt das hergangsgebiet dar.
Sehscharfe. Das menschliche Auge hat infolge der Netzhautstruktur ein begrenztes Auflosungsvermogen. Dieses hiingt von der Leuchtdichte und der Objektform ab. Bei angestrengtem Tagsehen werden zwei Objektpunkte getrennt wahrgenommen, wenn ihr Winkelabstand mindestens w, = 1’ P O,OoO29 rad bett3dgt. Etwa der doppelte Wert wird bei “bequemem” Sehen aufgelost. Der Winkel w, heist physiologischer Grenzwinkel. Die Sehschsirfe W, ist der Kehrwert des in Winkelminuten gemessenen aufltjsbaren Sehwinkels w,. Es gilt also W, = l’/(wA in Minuten). Die Sehschsirfe 1 ist demnach dem physiologischen Grenzwinkel zugeordnet. Kurz unterhalb der zur Blendung fiihrenden Leuchtdichte L = 3.103 cd . m-’ k a die ~ Sehschsirfe den Wert W, = 2 erreichen; bei Nachtsehen geht sie bis auf W, = 0,02 zuriick. Fiir Strichanordnungen ist die SehschMe grijRer als fiir Punktepaare. Sie betragt z. B. bei der Einstellung eines Striches auf einen schmalen Spalt oder in einen Doppelstrich sowie auf die Winkelhalbierende zweier Striche W, = 10, bei der Einstellung eines Einfachstriches auf die Verliingerung eines Einfachstriches W, = 6 (NoniussehschMe, WN = 10” 4 5 . rad;
Abb. 6.2). Wichtig ist noch, daR die volle SehschMe nur bei der Abbildung in die Netzhautgrube erreicht wird (direktes Sehen, Feldwinkel etwa 2w = 4’). Beiaugiges Sehen ist fiir das raumliche Sehen und damit sowohl fiir die Perspektive wie
524
6 Optische Instnunente und Systeme
fiir die Entfernungsschatzung verantwortlich. In Verbindung mit optischen Geraten und mit Brillen 1st die Kenntnis der Pupillendistam notwendig (PD-Wert, Tab. 6.3). Tabelle 6.3 Haufigkeit der Pupillendistanz 56 0 1
58 1 3
60 3 10
62 8
64 13
65 14
66
14
12
10
7
13
68 8 2,5
70 3 0.5
72 1 0
(inmm) (in 'lo) Manner (in 8) Frauen
Spektrale Empfindlichkeit. Wie wir bereits in 1.1.1 angegeben haben, liegt das Maximum des spektralen Hellempfindlichkeitsgrades V, bei A = 555 nm (photopisches Sehen). Im Wellenltingenbereich 380 nm I A I780 nm ist der spektrale Hellempfindlichkeitsgrad ungleich 0 (sichtbares Spektralgebiet, VIS; Abb. 1.6). Fiir skotopisches Sehen liegt das Maximum des spektralen Dunkelempfindlichkeitsgrades V; bei A = 507 nm . V,l hat bei A = 380 nm noch den geringen Wert 0,0006, ist aber bereits bei A = 690 nm gleich 0. Fdrbsehen. Die Netzhaut besteht aus verschiedenartigen miteinander gekoppelten Elementen (Abb. 6.3). Die Zapfen und Stahhen stellen die lichtempfindlichen Elemente dar, wiihrend die weiteren Zellen (bipolare, Horizontal-, amakrine und Ganglienzellen) bereits eine Vorverarbeitung der Information vornehmen. Sie sorgen z.B. dafiir, dal3 beim Dunkelsehen mehrere Stabchen den Reiz auf eine Nervenfdser wirken lassen.
1 1 Gonglien-
zellen
/ Membronscheibchen
mit Sehforbstoff Synopsenzone
Abb. 6.3 Schnitt durch die Netzhaut des Auges
6.1 Grundbegriffe
525
Fiir das Farbsehen sind ausschlieSlich die Zapfen der Netzhaut wirksam. Die Stabchen sind nur fiir Helligkeitsunterschiede empfindlich. Die Zapfen enthalten Pigmente, die rot-, griinund blauempfindlich sind. In dem Teil der Netzhaut, der die Bipolar- und Ganglienzellen enthat, sind chromatische Einheiten vorhanden, die die Farbreize subtraktiv verarbeiten. Es gibt eine Rot-Griin-Einheit, eine Blau-Gelb-Einheit und eine additiv wirkende Helligkeitseinheit. Die Rot-Griin-Einheit leitet entweder den Reiz Rot oder Griin, die Blau-Gelb-Einheit entweder den Reiz Blau oder Gelb weiter. Die Helligkeitseinheit steuert die Grautone bei. Die Zapfen arbeiten demnach entsprechend einer Dreifarbentheorie, die chromatischen Einheiten nach einer Gegenfarbentheorie. Diese Synthese aus der Dreifarbentheorieund der Gegenfarbentheorie wird Zonentheorie genannt (Abb. 6.4). Ebene der Zapfchen IP Pigment)
Ebene der bipolaren Zellen (R Reizl
Ausgangssignak
Abb. 6.4 Grundschema der Zonentheorie
Ein Farbeindruck kann durch Mischen dreier Grundfarben erzeugt werden. Als Grundfarben werden im allgemeinen Rot, Griin und Blau verwendet. Man unterscheidet die additive und die subtraktive (multiplikative) Farbmischung. Additive Farbmischung trim ein, wenn die Grundfarben fiumlich oder zeitlich geuennt sind, aber so dargeboten werden, daB die Einzelfarben nicht aufzulosen sind. Beim Farbfernsehen sind z. B. in einer Bildzelle drei Punkte oder Segmente mit den Grundfarben dicht nebeneinander angeordnet. Beim sich drehenden Farblcreisel koMen die Grundfarben zeitlich nacheinander wirken. Additive Farbmischung tritt auch auf, wenn die Bilder der Grundfarben derselben Szene iibereinander projiziert werden (Abb. 6.5. Farbtafel I). Die subtraktive Farbmischung stellt eigentlich eine multiplikative Farbmischung dar. Sie kann z. B. durch das Hintereinanderschalten von drei Filtern vorgenommen werden, die je eine Grundfarbe hindurchlassen. Die Filter haben die Transmissionsgrade 2,. 7, und 7,. Die Kombination fiihrt zum Transmissionsgrad 2 = rRT~ r,, und der resultierende Farbeindruck h h g t von den Einzelwerten der Transmissionsgrade ab (Abb. 6.6, Farbtafel I). Vorausgesetzt ist dabei, daR weifies Licht im Sinne des energiegleichen Spektrums einfilt. Auch bei reflektierenden Stoffen ist die subtraktive Farbmischung moglich. Es multiplizieren sich dam die Reflexionsgrade. Farbwerte, Farbvalenzen. Fiir die additive Farbmischung konnen normierte Farbwerte eing e m werden, um die Anteile der Grundfarben Rot, Griin und Blau quantitativ zu erfassen. Die Normierung erfolgt so, daB fiir das energiegleiche Spektrum (WeiS) R = G = B = 1 ist. Die Farbwerte haben fiir einige Beispiele folgende GroSen (Reihenfolge Rot, Griin, Blau): WeiS (1 111, Gelb (1 lo), Cyan (0 111, Griin (0 lo), Purpur (10 l), Rot (10 0), Blau (00 l), Schwan (0 0 0). Andere Farben sind mit Farbwerten zwischen 0 und 1 zu ermischen.
6 Optische Insmmente und Systeme
5 26
Die drei Farbwerte legen &e Farbvalenz (F) fest. Die Primtirvalenzen (R), (C), (B) sind dadurch ausgezeichnet, da8 nur ein Farbwert ungleich 0 ist. Fiir die additive Farbmischung wird nun d e Farbvalenz als Summe aus den Produkten “Farbwert x Primiir-Valenz” dargestellt: (F) = R(R) + G(G) + B(B). Fiir weiBes Licht ist R = G = B = 1. Grau ist ein “WeiR” mit verringerter Helligkeit. Es wird durch R = G = B c 1 beschrieben. Venninderung eines Farbwertes erzeugt farbiges Licht. So sind z. B. fiir (F) = 1(R) + I( G) + 0,5 (B) = 0,5[(R) + (G) + (B)] + 0,5 [(R) + (G)]
Grau und Gelb uberlagert, d. k,d e Sattigung der gelben Farbe ist gegenuber derjenigen mit R = G = l , B=O geringer. Durch h d e r n der Farbwerte kann ein anderer Farbton erzeugt werden. Daraus ergibt sich, da13 eine Farbe auch durch die drei GroRen Farbton 4 Qualitat, Sattigung A WeiDlichkeit , Helligkeit 4 Quantitat gekennzeichnet werden kann. Die Helligkeit stellt die fotometrische Groae dar, die nicht unmittelbar mit der Farbigkeit verbunden ist. Deshalb wird die Farbart durch den Farbton und die Sattigung beschrieben und l a t sich als Ort in eine Farbtafel eintragen. Als Farbwertanteile werden die GroBen r =
R R+G+B’
G B , b= = R+G+B R+G+B
mit r+g+b = 1
eingefiihrt. Die Farbwertanteile bestimmen die Farbart. Normfarbtafel. Die quantitative Beschreibung der im Grunde genommen subjektiven Farbwahrnehmung als Aufgabe der Farbmetrik muR unabhiingig vom Einzelbeobachter moglich sein. Deshalb wurde der Begriff des fotometrischen Normalbeobachters eingefiihrt, dessen Eigenschaften durch eine Vielzahl an Messungen ermittelt wurde. Die Versuchspersonen m a ten normalsichtige Augen haben. Gemessen wurde bei Helladaptation und 2’ MeBfeld. Als Farbwerte der Spektralfarben fir den fotometrischen Normalbeobachter ergeben sich die Normspektralwertfunktionen X ( A ) , ?(A) und 1 ( A ) (Abb. 6.7). Dabei wird festgelegt, daR diese Funktionen positiv sind und F(A)= V,(A) ist.
Ainnrn-
Abb. 6.7 Normspektralwertfunktionen
6.1 Grundbegriffe
5 27
Die Farbvalenz ergibt sich mit der Farbreizfunktion cp(A) (relativer spektraler StrahlungsfluS, z. B. QZc,i/QZe,imx ) aus den Komponenten (Normfarbwerte)
x
=
kjcp(a)x(a)da,
Y
= kjcp(a)jqi)da,
z
=
kjcp(a)z(a)da.
Die Integration ist von 380 nm bis 780 nm vorzunehmen. Die Konstante k folgt aus der Forderung, daO fiir WeiB (Unbunt) Xu= Y, = Z, = 100 sein sol1 und 5 nm breite Intervalle der Spektralfarben betrachtet werden, zu k = 0,9358 nm-’. Mit den Normfarbwerten ist jeder Farbvalenz ein Punkt im Fubenraum zugeordnet. Zur Darstellung in der ebenen Normfarbtafel werden die Normfarbwertanteile X Y Z x = z = X+Y+Z’ = X+Y+Z’ X+Y+Z verwendet (Abb. 6.8, Farbtafel I). Das rechtwinklige Farbdreieck y = f ( x ) hulk den Spekualfarbenzug, der mit der Purpurgeraden abgeschlossen ist, vollstilndig ein. Wegen x + y + z = 1 und xu = y, = z, fur den Unbuntpunkt liegt dieser in der Normfarbtafel bei xu= y, = 0,33.
6.1.2
Grundzuge der Brillenoptik
Werden unendlich ferne Objekte nicht scharf auf der Netzhaut abgebildet, dam spricht man von Fehlsichtigkeit (Ametropie). Ursachen daf& konnen eine falsche L a g e des Augapfels, fehlerhafte Form von Hornhaut oder Augenlinse und altersbedingte Veruderungen des abbildenden Systems des Auges sein. Kurzsichtigkeit (Myopie). Beim myopen Auge entsteht das Bild eines unendlich fernen Objekts vor der Netzhaut (Abb. 6.9). Auf der Netzhaut entstehen Zerstreuungsfiguren, also ein unscharfes Bild. Ursachen koMen ein zu langer Augapfel oder eine zu groBe Brechkraft von Hornhaut und Augenlinse sein. Der Fernpunkt liegt im Endlichen, der Nahpunkt niiher am Auge als bei Normalsichtigkeit. Kurzsichtige konnen sich also einem Gegenstand stiirker nYhem als Normalsichtige. Fiir das scharfe Sehen von unendlich fernen Gegenstiinden benotigt der Kurzsichtige eine Sehhilfe (Brille) mit zerstreuenden Linsen (Abb. 6.9).
n
Abb. 6.9 Kurzsichtiges Auge und Korrektur mit zerstreuendem Brillenglas
Abb. 6.10 Weitsichtiges Auge und Korrektur mit sammelndem Brillenglas
Ubersichtigkeit (Hypermetropie, auch Hyperopie, Weitsichtigkeit). Beim hypermetropen Auge wiirde das Bild eines im Unendlichen liegenden Objekts hinter der Netzhaut entstehen, wenn diese den Strahlengang nicht unterbrechen wiirde (Abb. 6.10). Auf der Netzhaut ist das
6 Optische Instrumente und Svsteme
528
Bild unscharf, es besteht aus Zerstreuungsfiguren. Ursachen konnen ein zu kurzer Augapfel oder eine zu kleine Brechkraft von Hornhaut und Augenlinse sein. Der Fernpunkt ist virtuell und liegt hinter dem Auge. Der hrsichtige kann zwar durch Akkommodation den Fernpunkt ins Unendliche riicken, aber beim beidaugigen Sehen treten Probleme bezuglich der Fusion beider Bilder auf. Deshalb benotigt der Ubersichtige fiir das scharfe Sehen von unendlich fernen Objekten eine Sehhilfe mit sammelnden Linsen (Abb. 6.10). Alterssichtigkeit (Presbyopie). Das presbyopische Auge enthat eine altersbedingt weniger elastische Augenlinse, wodurch die Akkommodationsbreite herabgesetzt und der Nahpunkt vom Auge weggeriickt wird (Tab. 6.2). Presbyopie setzt im allgemeinen mit 40 Jahren ein und bleibt ab dem 60. Lebensjahr konstant (Akkommodationsbreiteca. 1 dpt, Tab. 6.2). Der Nahpunkt liegt zunehmend aul3erhalb der deutlichen Sehweite, so da13 beim Lesen "der Arm zu kurz wird. Lesen und Arbeiten in der N&e erfordern eine Brille mit Sammellinsen. Astigmatismus. Der Astigmatismus des Auges tritt bereits bei der Abbildung von Punkten auf, die auf der optischen Achse liegen. Die Ursache ist die Abweichung entweder der Hornhaut oder der Augenlinse von der Rotationssymmetrie. Im Normalfall stehen der Hauptschnitt mit der groRten astigmatischen Brechkraft und der Hauptschnitt mit der kleinsten astigmatischen Brechkraft senkrecht aufeinander. Im Bildraum ergeben sich die beiden Bildlinien, zwischen denen der mittlere Zerstreuungskreis liegt, analog zum Abbildungsfehler Astigmatismus (der aber nur bei au13eraxialen Objektpunkten auftritt). Der Astigmatismus mu13 mit Brillenglasern korrigiert werden, die nicht rotationssymmetrisch sind. Dazu eignen sich Glaser mit einer torischen Flache und Glker mit Zylinderflachen. Die Kombination einer sphikischen und einer zylindrischen Flache wird sphiirozylindrische Linse genannt. 1st das Auge nur in einem Hauptschnitt fehlsichtig (kurz- oder weitsichtig, einfacher Astigmatismus), im anderen normalsichtig, dann genugt ein zylindrisches Brillenglas. Bei grol3em Blickwinkel kann aber dessen Abbildungsfehler Astigmatismus storend sein. 1st das Auge in beiden Hauptschnitten fehlsichtig (zusammengesetzt kurz- oder weitsichtig), dann ist ein torisches Brillenglas erforderlich. Brillenglher. Die Vorlaufer der heutigen Brillenglaser stellen Bikonkav-, Plankonkav-, Bikonvex- und Plankonvexlinsen dar. Sie sind nicht an das blickende Auge angepdt und haben im allgemeinen starken Astigmatismus (Tab. 6.4). Spater wurden schwach meniskenformige periskopische Glker eingesetzt. Bei den sammelnden Glkern hatte die IMenflaChe 1,25 dpt Brechkraft, bei den zerstreuenden Glasern die AuBenflache - 1,25 dpt Brechkraft (Betrag des Radius 418 mm bei n = 1,523). Der Astigmatismus ist nur bei den Glasern mit -14 dpt null. Tabelle 6.4 Astigmatismus von Brillengliisem mit 4 dpt Scheitelbrechkraft bei 35" Blickwinkel
Scheibenfonn bikonvex plankonvex periskopisch Halbmuschel-
astigmatische Differenz in dpt
Punktal las nach v .%oh
-0,Ol
2,75 1-60 1.11 0,09
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5 29
6.1 Grundbegriffe
Die VergriSDerung der Brechkraft einer Flache auf 6 dpt bei Zerstreuungslinsen und -6 dpt bei Sammellinsen (Betrag des Radius 87 mm bei n=1,523) fiihrt auf die stiirker durchgebogenen Halbmuschel- oder Meniskengliiser. Der Astigmatismus ist bei den Glkern mit -4,5 dpt null, aber insgesamt gegenuber den periskopischen Gliisern verringert. Bei der Berechnung der ersten punktuell abbildenden BrillenglLer (v. Rohr 1912) wurde beriicksichtigt, dal3 beim blickenden Auge der Augendrehpunkt 25 mm hinter dem Brillenglasscheitel liegt. Der Astigmatismus sollte fiir die Abbildung des unendlich fernen Punktes klein sein. Als maximale Scheibendurchmesserwaren 28.. .35 mm vorgesehen (Blickwinkel ca. 30" bei zerstreuenden, ca. 35" bei sammelnden Linsen). Die Erweiterung auf 50 mm Scheibendurchmesser sowie die praktische Korrektion des Astigmatismus fir die Objektweiten Unendlich und 1 m wurde von Roos 1951 vorgenommen. Bei der Objektweite 0,25 m ist der Astigmatismus ebenfalls noch gering. Abb. 6.11 enthiilt Korrektionsdarstellungen fiir zwei Beispiele mit 4 dpt Scheitelbrechkraft. In Tab. 6.4 sind die astigmatischen Differemen fiir Brillenglker mit 4 dpt Scheitelbrechkraft bei 35" Blickwinkel gegeniibergestellt. Sammellinsen mit B r e c m e n oberhalb 8.5 dpt miissen mit einer asphiirischen Flache versehen sein, wenn der Astigmatismus klein sein sol1 (KatralglLer). Bezuglich der Ausfiihrungsformen mussen wir auf die Spezialliteratur verweisen (Mehrstiirkenglber, Glker mit gleitendem Brechkraftiibergang, Haftglker u. a. ). n-1 $= 2'
4;5.6 d p t
$=
C
c v
20
01
4,1 d p t
-
Abb. 6.11 Korrektionsda~stellungder astigmatischen Differenz als Funktion des Scheibendurchmessersbei -0.2 0 0,4 0,8 0 2 0 Oak 0.8 zwei Durchbiegungen (Objektweiten 0 0 , 1 m, 0,25 m; + 3 Scheitelbrechkraft 4 dpt) astigmatische Oifferenz in d p t
6.1.3
VergroRerung
Scheinbare GroRe. Die scheinbare GrORe eines mit dem menschlichen Auge betrachteten Gegenstandes hiingt ausschlieBlich von der BildgroBe auf der Netzhaut ab.
I
Gegenstiinde, deren Netzhautbilder gleich groB sind, werden als gleich groS empfunden.
In Abb. 6.12 ist w, der Sehwinkel und a, die Sehweite. Bei den praktisch vorkommenden Sehwinkeln kann tan w, = w, gesetzt werden. Es gilt dann nach Abb. 6.12
6 Optische Instrumente und Systeme
530
beziehungsweise
y^’ = u;- Y = -a; tan ws. US
_-
__
-
Abb. 6.12 Zur scheinbaren G r d k (N und N’ sind die Knotenpunkte des Auges)
Der Abstand a; des Knotenpunktes N’ von der Netzhaut wird im allgemeinen als konstante GroRe angenommen. Es gilt deshalb:
I
Gegensthde, fiir die der Tangens des Sehwinkels den gleichen Wert hat, werden gleich groB wahrgenommen.
Der Ausdruck tanw, = --Y
(6.3)
US
ist die scheinbare GroBe eines Gegenstandes. Deutliche Sehweite. Die scheinbare GroBe eines vorgegebenen Gegenstandes hat den groliten Wert, wenn die Sehweite u, so klein wie moglich gewiihlt wird. Fiir a, gibt es jedoch eine vom Alter des Menschen abhhgige Grenze. Unterhalb dieser Grenze reicht die maximale Akkommodation des Auges nicht aus, um ein scharfes Bild zu erzeugen. Die jeweils kleinstmogliche Sehweite ist durch den Nahpunkt des Auges gegeben. Stadige maximale Akkommodation ist jedoch so ermiidend, daB ein Gegenstand vom Auge weiter entfernt als im Nahpunkt betrachtet werden sollte. Aus diesen Griinden ist man ubereingekommen, eine deutliche Sehweite festzulegen, bei der ein Gegenstand im Durchschnitt von normalsichtigen Menschen ohne anstrengende Akkommodation mit der maximal moglichen scheinbaren GroRe wahrgenommen wird.
I
Als deutliche Sehweite gilt a, = - 250 mm.
(6.4)
Die deutliche Sehweite ist eine konventionell vorgegebene BezugsgroRe. Diejenige Sehweite, in der ohne anstrengende Akkommodation die maximal mogliche scheinbare GroUe faktisch erreicht wird, kann im Einzelfall davon abweichen. Vergrolierung. Die VergroRerung der scheinbaren GroRe einer Struktur mit optischen Hilfsmitteln ist notwendig, wenn der physiologische Grenzwinkel beim direkten Sehen nicht erreicht wird. Wir definieren:
Die Vergroljerung r‘ eines mit dem Auge gemeinsam benutzten optischen Systems ist das Verhatnis der scheinbaren GroRe tan w,’des von ihm entworfenen Bildes zur scheinbaren Grol3e tan w, , die der Gegenstand in einer vorgegebenen Entfernung hat.
53 1
6.1 Grundbenriffe
Allgemein gilt also fiir die VergroRerung
r’= -.tan w,‘ tan w,
Der physiologische Grenzwinkel k a beim ~ direkten Sehen durch zwei grundsatzlich verschiedene Ursachen unterschritten werden. - Der physiologische Grenzwinkel wird unterschritten, wenn die Objektstruktur eine so geringe lineare GroRe hat, d d sie trotz Anniiherung des Gegenstandes auf die deutliche Sehweite nicht aufgelost wird. Das trim zum Beispiel bei den Bakterien oder Viren zu. In diesem Fall ist ein optisches System notwendig, eine Lupe oder ein Mikroskop, das ein vergro6ertes Bild erzeugt. Die scheinbare G r o k tan w,’beim Beobachten der Objektstruktur mit dem optischen System muD groRer sein als die scheinbare GrBRe der Objektstruktur tan w, in der deutlichen Sehweite. Die Sehweite mit dem optischen System kann gleich der deutlichen Sehweite oder betragsmMig grBRer als diese sein. Fiir ein im Endlichen liegendes Bild betragt die VergrOBerung (Abb. 6.13)
oder
-0;
r’ = -p’-
--
250 a:/mm
Eine Vergrijkrung
I
- 0,
Abb. 6.13 Zur Berechnung c
der Vergr6Berung
(6.7) *
1 tritt nur ein, wenn
ist. Die Abbildung des Gegenstandes ins Unendliche ergibt die VergroDerung
r’= --tmw: ad Y beziehungsweise
-
(6.8)
Der physiologische Grenzwinkel wird unterschritten, wenn die Objektstruktur nicht zugiinglich ist - also nicht in die deutliche Sehweite gebracht werden k a -~und eine so gro6e Entfernung vom Beobachter hat, daJ3 sie nicht auflBsbar ist. Das ist z.B. bei den Oberflachenstrukturen der Planeten der Fall. Die Saturnringe beispielsweise sind zwar gro-
6 Optische Instrumente und Systeme
532
De Objekte, aber ihre Entfernung verhindert die Auflasung ihrer Struktur beim direkten Sehen. Das anzuwendende optische System, ein Fernrohr, muR ein Bild der Objektstruktur erzeugen, dessen scheinbare GroOe tan w: groaer ist als die scheinbare GroBe tan w, des Gegenstandes in der richtigen Sehweite. Die lineare Bildgrofle y’ kann kleiner sein als die ObjektgroBe y, sobald a: entsprechend kleiner ist als a,. Bei unendlichen Sehweiten fur Objekt und Bild ist die allgemeine G1. (6.5) zur Berechnung der Vergrokrung zu vetwenden. Liegen Objekt und Bild im Endlichen, d m gilt
(Abb. 6.13 mit -a, anstelle von -ad) oder (6.10)
Entsprechend gilt bei unendlicher Objektweite und endlicher Bildweite
r’= -L
(6.1 1)
a: tan w,
bzw. bei endlicher Objektweite und unendlicher Bildweite (6.12) Y Die hier angegebenen Beziehungen sind in der Tab. 6.5 ubersichtlich zusammengefal3t worden. Tabelle 6.5 Spezialfalle der Gleichung fiir die Vergrbkrung
Objektweite
Bildweite endlich
unendlich
endlich
Mikroskop
r’ = - 250 P’
r‘= 250mw:
unendlich
Mikroskop
entfdlt
entfdlt
Fernrohr
r’=
a:/=
1 Y’ tan w. a:
Yi-
r=-
tanw:
tan w,
Einfaches Mikroskop. Eine einzelne Sammellinse werde dicht vor das Auge gehalten und habe eine so kleine freie Offnung, daB diese als Offnungsblende wirkt. Diese Anordnung heiDt einfaches Mikroskop. Die Linse bildet den Gegenstand ins Unendliche ab, wenn dieser in der Brennebene liegt (Abb. 6.14). Nach G1. (6.9) gilt n i t (6.13)
r;
= 250
f /mm
( a : = = , a,=-250mm).
(6.14)
533
6.1 GNndbegriffe
H
H‘
Abb. 6.14 Sammellinse als einfaches Mikroskop (a: = m)
Das Bild kann hijchstens auf die deutliche Sehweite angentihert werden, wobei sich die VergroBerung nach G1. (6.7) mit a: = -250 mm auf (6.15)
(Abb. 6.15) bzw. auf
r’= =+1
(a:=-250mm, as=-250mm)
f ’/mm
(6.16)
erhijht.
Abb. 6.15 Saamellinse als einfaches Mikroskop (a: = - 250 IWII) .~
Tabelle 6.6 Eigenschaften von Lupe, Leseglas und einfachem Mikroskop
Lupe
Ort des Auges Bewegung des Auges
Leseglas
-
einfaches Mikroskop
nahe des Systems starres Auge
weit weg vom System dicht hinter dem System blickendes Auge schauendes Auge (Bewegung des Kopfes) Offnungsbegrenzung Augenpupille Augenpupille freie offnung des Systems PAP PAP P EP Feldbegrenzung freie Offnung freie Offnung Augenpupille P EL (1) P EL (2) e AL. (3) (1) Voraussetzung: Sehfeld des Auges gr66er als das Bildfeld der Lupe (Full- oder Sehfeldperspektive) (2) Blickfeld des Auges mitbestimmend fiir das Feld (Hauptperspektive oder Blickfeldperspektive) (3) “Schliisselloch-Beobachtung”(Schlusselloch-Perspektive)
In Tab. 6.6 sind zwei weitere einstufig vergrofiernde optische Instrumente fiir die VergroDerung naher Objekte geringer linearer GroBe aufgefiihrt. Lupe, Leseglas und einfaches Mikroskop unterscheiden sich durch den Gebrauch bzw. durch die Offnungs- und Feldbegren-
5 34
6 Optische Instrumente und Systeme
zung. Fur den Fall a: = m und a: = -250 mm gilt fiir Lupe, Leseglas und einfaches Mikroskop die gleiche Vergroflemngsbeziehung G1. (6.14). Einfaches Fernrohr. Bei der Anwendung einer Sammellinse als einfaches Fernrohr ist die Objektschnittweite grol3 gegenuber der Brennweite, so dall ein reelles Bild entsteht. Dieses Luftbild wird mit dem Auge betrachtet. Die scheinbare GroDe des Gegenstandes sol1 vom Hauptpunkt H der Linse aus beurteilt werden. Das Bild liegt in der Entfernung der deutlichen Sehweite. Bei unendlich fernem Gegenstand ist (nach Abb. 6.16a) tan w,= -y'/f' und a: = ad zu setzen, womit aus G1. (6.11)
f' f'!mm r'N -- - -~ ad
(a: = -00, a: endlich)
250
(6.17)
hervorgeht. Das negative Vorzeichen zeigt an,daB das Bild zweiseitig vertauscht ist. FW die Beobachtung eines im Endlichen liegenden Gegenstandes gilt nach G1. (6.10)
Es ist a: = a d , a, = a und p'=
a' a (Abb. 6.16b), also
r'=-.a'
(6.18)
ad H
H'
H
H'
Abb. 6.16 Sammellinse als einfaches Femrohr a) a, = m, b) a, endlich
6.1 Grundbegriffe
535
Anwenden der Abbildungsgleichung ergibt r’
(6.19)
Bei la1
%
f’ ist angeniihert
r’ = - f‘/mm (1 250 Wegen a c 0 und Ia1
%-
-5)
(a, und a: endlich).
(6.20)
f’ ist I T’l geringftigig gr6Ber als I ri I .
Wir erkennen beim Vergleich der GI. (6.14) mit G1. (6.17) einen wesentlichen Unterschied zwischen einfachem Mikroskop und einfachem Fernrohr. Die NormalvergroRerung des einfachen Mikroskops ist dessen Brennweite urngekehrt proportional. Die NormalvergroRerungdes einfachen Fernrohrs ist dessen Brennweite proportional.
I
Tab. 6.7 enthailt die Formeln fUr die Vergrofierungen des einfachen Mikroskops und des einfachen Fernrohrs. Tabelle 6.7 Vergrokrung einfacher optischer Instrumente
Objektweite endlich
unendlich
6.1.4
Bildweite endlich
unendlich
einfaches Mikroskop
r’=250+ 1
r’-- 250
einfaches Femrohr
r’=-f’lmm(1
einfaches Mikroskop
encdlt
einfaches F e m h r
r;=--f ’/m
f’lm
250
-6)
- f’/m
enfdlt
entMlt 250
enfdlt
AbbildungsmaBstab
Bei optischen Systemen, die nicht unmittelbar mit dem Auge zusammen benutzt werden, bestimmt der Abbildungsmdstab
p y ’ Y
(6.21)
das GroRenverhUtnis zwischen Bild und Objekt. Im folgenden sol1 stets f = -f’ angenommen werden. Bei zentrierten optischen Systemen gilt irn paraxialen Gebiet fiir das Brennpunktkoordinatensystem (6.22)
6 Optische Instrumente und Systeme
536 und fiir das Hauptpunktkoordinatensystem
pt
= -a’ .
(6.23)
U
Fiir u = -m wird p’ = 0 und y = 00. Die ObjektgroBe 1 s t sich nur im WinkelmaS ausdriicken. Es ist (6.24) y’ = f tan w,. Die Brennweite tritt hier als Mal3 fiir das Verhiiltnis aus der linearen BildgrGBe und der scheinbaren ObjektgroRe auf. Fiir u’ = --m ist p’ = m, so daD die GroRenbeziehungen zwischen Objekt und Bild mittels
y = f’tanwi
(6.25)
darzustellen ist. Bei unendlich fernem Gegenstand ist die BildgroRe der scheinbaren ObjektgroRe proportional. Bei unendlich fernem Bild ist die scheinbare BildgroRe der ObjektgroRe proportional. Der Proportionalitatsfaktor ist im ersten Fall die objektseitige, im zweiten Fall die bildseitige Brennweite. Bei erfiillter Sinusbedingung ist der MaDstab ftir die Abbildung achsnaher Flachenelemente mit weit geoffneten Bundeln aus
p’
n sin6 = -
(6.26)
n’ sin d’
zu berechnen. Bei der Projektion werden die Bilder auf einem Schirm aufgefangen, und erst das Schirmbild wird betrachtet. Die scheinbare GroBe des Schirmbildes betragt nach G1. (6.3) (6.27) wobei y’ = yo’ die lineare GroBe des Projektionsbildes und a: die Betrachtungsentfernung ist. Gleichung (6.27) kann in der Gestalt (6.28) geschrieben werden. Auch die Mattscheibe im Sucher einer Spiegelreflexkamera oder in einer Plattenkamera unterbricht die objektive Abbildung. Eine visuelle Beobachtung des Mattscheibenbildes schlieBt sich an. Dieses hat bei der Betrachtung aus der deutlichen Sehweite die scheinbare GroRe (6.29)
Das auf “unendlich eingestellte” Fotoobjektiv ergibt nach G1. (6.29) mit G1. (6.24) die scheinbare ManscheibenbildgroBe f ’/mm
tanw,‘ = --
250
tan w,.
(6.30a)
6.1 Grundbegriffe
537
Das Fotoobjektiv, als Sucher benutzt, wirkt wie ein einfaches Femrohr mit der Vergrokrung (6.30b)
Erst bei Objektivbrennweiten f’ > 250 mm ist eine VergroRerung I I-’\> 1 zu bemerken.
6.1.5
Optische Instrumente und Gerate
Optisches Instrument. Der Begriff des optischen Instruments ist historisch entstanden. Es gibt Meinungen, nach denen er heute ubemussig wiire. Wir verwenden ihn als einen Begriff, der eine bestimmte Kategorie von optischen Systemen kennzeichnet. Wir definieren:
I
Ejn optisches Instrument ist eine Anordnung aus optischen Funktionselementen und -gruppen, mit der auf lichtoptischem Wege ein Bild erzeugt wird. Optische Instrumente erweitern mit optischen Mitteln die Leistungsf2higkeitdes menschlichen Auges.
Die Einteilung der optischen Instrumente richtet sich danach, ob das Auge in die Abbildungsfolge unmittelbar einbezogen ist oder ob die Abbildung vor dem Betrachten des Bildes unterbrochen wird. Bei subjektiven optischen Instrumenten gehort das Auge direkt dem Strahlengang des optischen Systems an. Insbesondere wird das Bild nicht aufgefangen, bevor es dem Auge dargeboten wird. Entscheidend fiir die Wirkungsweise ist die Beschaffenheit des reellen Endbildes auf der Netzhaut. Subjektive Instrumente dienen der VergrWerung des Sehwinkels. Sie erweitern also die Leistungsfmgkeit des Auges in der Richtung, daR das Auflosungsvermogen erhilht wird, bzw. hinsichtlich eines deutlichen Sehens. Deshalb wwde friiher fiir solche Instrumente der Begriff des “verdeutlichenden Instruments” benutzt. Die unmittelbare Bindung des Instruments an das menschliche Auge schlieDt eine wiederholte Beobachtung ohne das gleiche Objekt aus. Die subjekuven optischen Instrumente sind z. B. die Lupe, das visuell benutzte Mikroskop und das visuell benutzte Femrohr. Objektive optische Znstrumente entwerfen zunikhst unabhagig vom menschlichen Auge ein Bild des Gegenstands. Dieses Bild wird zum Beispiel auf einem Schirm, einer Mattscheibe oder einer konservierenden Schicht aufgefangen. Erst nachtraglich scNieDt sich die Betrachtung an. Zwischen der Abbildung und der Betrachtung liegen teilweise Ifingere h e r tragungsketten oder -xiten, die den Informationsgehalt des Bildes findern. Man denke zum Beispiel an den ProzeD vom Belichten des Films bis zur Vorfiihrung der fertigen Kopie, bei dem weitere optische Systeme mitwirken, oder an den Weg einer Fernsehaufnahme bis zum Beobachten auf dem Bildschirm. Haufig ist das von objektiven Instrumenten erzeugte Bild konserviert, so daR es wiederholt angesehen werden kann.Die Informationen uber das Objekt sind dam gespeichert. Deshalb ist auch der Begriff des “reproduzierenden Instruments” im Gebrauch. Die Erweiterung der Leistung des Auges liegt vor allem darin, daR objektive optische Instrumente ein Bild erzeugen, das ohne sofortiges Einbeziehen des Auges in den Abbildungsvorgang, also zu einer anderen Zeit oder an einem anderen Ort auswertbar ist. GroRenbeziehungen zwischen Objekt und Bild werden zunachst durch den AbbildungsmaRstab oder die linearen Abmessungen und die scheinbare GroRe vermittelt.
6 Optische Instrumente und Systeme
538
Objektive optische Instrumente sind z.B. Fotoobjektive, Projektionssysteme, Scheinwerferoptiken, aber auch optische Anordnungen zur Mikrofotografie, MWoprojektion und Astrofotografie. Optisches Gerat. Ein optisches Gerat stellt ein komplexes techniaches Gebilde dar, in dem Baugruppen verschiedener technischer Disziplinen vereint sind. Die Hauptfunktion des Gerates beruht auf den Gesetzen der Optik. Mit einem optischen Gerat werden Informationen aufgenommen, ubertragen, gewandelt und ausgewertet, wobei das Licht als EnergietrBger dient. Die Gesamtheit der optischen Funktionselemente, die teilweise oder vollst’dndg zu optischen Systemen und Instrumenten zusammengefat sein koMen, bilden das Optik-Schema des optischen Gerates. Die klassischen optischen Gerate, wie z. B. die Mikroskope, sind vorwiegend feinmechanisch-optische Gerate. Sie bestehen aus einem optischen Instument, weiteren optischen Funktionselementen und feinmechanischen Funktionsgruppen. In dieser Beziehung verstehen wir unter einem Mikroskop einerseits ein optisches Instrument, wenn nur die fiir die Hauptfunktion notwendigen optischen Systeme und Funktionselemente gemeint sind, und andererseits ein optisches Gerat, wenn shtliche Funktionsgruppen betrachtet werden, also zum Beispiel auch die Triebe, Tische, Stative und so weiter. In den modemen optischen Geraten koMen mehr oder weniger shtliche technische Disziplinen angewendet sein. In besonders starkem M a e tritt die Elektrotechnik, speziell die Elektronik und die Mikroprozessortechnik, an die Seite der Optik. Die elektronischen Baugruppen ersetzen aber nicht die optischen Funktionselemente, deren Umfang weitgehend erhalten bleibt. Sie erweitern und e r g h e n &e optischen Gerate hinsichtlich ihrer Leistungsf~gkeit,indem sie das optische Signal umwandeln, steuem, registrieren und auswerten. Andererseits wird die Optik in Bereiche eindringen, die bisher nur der Elektronik vorbehalten waren. Das trim zum Beispiel fiir bestimmte Funktionen in Datenverarbeitungsanlagen zu. Tab. 6.8 enthat eine schematische Einteilung technisch-optischer Gebilde. Das Optik-Schema kann aus optischen Instrumenten, optischen Systemen und optischen Funktionselementen nebeneinander oder in einem Strahlengang bestehen. Ein optisches Instrument enthiilt entweder nur optische Funktionselemente oder auch zu optischen Systemen zusammengefaljte Funktionselemente. Tabelle 6.8 Schematische Einteilung technisch-optischer Gebilde optisches Gerat
subjektives optisches Instrument
I
nichtoptische Baugruppen
I
~
~
~~
~
geometrisch-optisch abbildend wellenoptisch abbildend
Optik-Schema
bundelbegrenzend
ablenkend lichtleitend
dispergierend
optisches System
Instrument
I
optisches Funktionselement
I
polarisierend filtemd apertur- und lichtstrom&ndemd quantenoptisch emittierend quantenoDtisch absorbierend
6.2 Lupe und Mikroskop
5 39
6.2
Lupe und Mikroskop
6.2.1
Lupe
In Tab. 6.6 wurden einige Eigenschaften von Lupe, Leseglas und einfachem Mikroskop gegenubergestellt. Die beim einfachen Mikroskop mit unendlicher Bildweite geltende Nomalvergr6Rerung und die VergroRerung fiir ein in der deutlichen Sehweite entstehendes Bild wurden in 6.1.3 berechnet. Fiir eine Lupe, die dicht vor ein normalsichtiges Auge gehalten wird, gelten dieselben Gleichungen wie fiir das einfache Mikroskop. Die NormalvergroRerung der Lupe betrPgt also nach G1. (6.14) (a:=m, u, =-250mm).
(6.31)
Nach der Akkommodation auf die deutliche Sehweite gilt nach G1. (6.16)
r‘=r;+l
(a:=-250mm, a, =-250mm).
(6.32)
Bundelbegrenzung und Perspektive. Bei der Lupenbeobachtung wirkt die Augenpupille als Austrittspupille. Die Eintrittspupille hat die Entfemung
f r2
(6.33) z’p vom objektseitigen Brennpunkt der Lupe (Abb. 6.17). Die gegenseitige Lage von Eintrittspupille und Objekt bestimmt die Perspektive. Fiir ein in der objektseitigen Brennebene stehendes Objekt gilt: ZP
=
Bei
--
zi = 0 ist z , =
bei zk < 0 ist
OQ,
es liegt telezentrische Perspektive vor;
zp > 0, es liegt entozentrische Perspektive vor;
bei Z; > 0 ist z , < 0, es liegt hyperzentrische Perspektive vor. H-H’
EP
AP
Abb. 6.17 Zur Pupillenabbildung bei der Lupe
Wir berechnen die Austrittspupillen-Entfemungvon der Lupe a; fiir natiirliche Perspektive (also im wesentlichen den Augenort). Mit 4 = z‘,+f’ (6.34)
540
6 Optische Instrumente und Systeme
und GI. (6.31), (6.33) erhalten wir 250 62500 4 / m m = -ri rL2zp/mm'
(6.35)
Die natiirliche Perspektive ist diejenige, die beim direkten Sehen des Objekts aus der deutlichen Sehweite heraus vorliegt. Es m d also auch bei der Lupenbeobachtung zp = 250 mm gesetzt werden, womit sich aus G1. (6.35) (6.36) ergibt. Abb. 6.18 enthdt a; als Funktion von rh. Bei hohen VergrtiDerungen erfordert die natiirliche Perspektive einen relativ geringen Abstand des Auges von der Lupe. 130r
t
\
70 60 -
50 -
LO
-
30 20
-
Abb. 6.18 Austrittspupillenlage 2
0
L
6
8
+
10
als Funktion der Normalvergrollerung bei natiirlicher Perspektive; Brennweite der Lupe
Die freie Linsenoffnung wirkt als Feldblende. Da sie nicht mit der Objektebene zusammenfilt, liegt Kandabschattung durch die Feldblende vor.
VergroBerung bei akkommodiertem oder fehlsichtigem Auge. Bei einer Lupe, die mit einem fehlsichtigen d e r mit einem akkommodierenden Auge benutzt wird, h b g t die VergroDerung auch von der Entfernung Auge - Lupe ab. Wir gehen davon aus, da13 dle lineare GroDe des Netzhautbildes dle scheinbare Grolje des Objekts bestimmt. Fiir die Anderung der Vergrijaerung gegenuber der NormalvergroDerung ist deshalb die h d e r u n g der BildgroRe auf der Netzhaut entscheidend. Der Abbildungsmdstab von Lupen- und Augenabbildung betrage beim fehlsichtigen Auge P', beim normalsichtigen und entspannten Auge Ph. Die VergroDerung ergibt sich dann aus
r'
=
rh7. P'
(6.37)
PN
Der Abbildungsmdstab l U t sich zusammensetzen aus demjenigen der Lupe und demjenigen
54 1
6.2 Lupe und Mikroskop
des Auges:
P;. = -ft. Zt
(6.38)
Nach Abb. 6.19 ist z; = a:
z;.
- ft und at
=
UA
+e’, also
ft
= u,+e’-
(6.39)
und
P‘L =
f; -e’-u,
L f
Entsprechend folgt aus p i = -fA/ZA mit zA = a, - fA ftu den Abbildungsmdstab des Auges
(6.41)
-
-=AH; I
;
-2
4
--
*
+-
- -
-a[
4
-
12 1,3
l l - HA
f
b
F;
FL
-6
_ - fi
Ort des inneren Brillenglassheitels
-
e’
-%
Abb. 6.19 Vom Auge weg-
Insgesamt betragt der Abbildungsmdstab
(6.42) Bei a, = -00 (entspanntes normalsichtigesAuge) gilt
P”
=
R‘ fA
(6.43)
Mit fL’mm = 250/rA sowie G1. (6.37), (6.42), (6.43) ergibt sich die VergrZjflerung
~250 e’/mm - a
r’ = -r; G
aA
A / m
(6.44)
/mm - f A jmrn
Wir setzen (Abb. 6.19)
e’ =
(6.45)
-fA - z A H ~
und erhalten
250
+
fA/mm- uA/mm fA/mm- uA/mm
(6.46)
542
6 Optische Instrumente und Systeme
Die Entfernung, auf die ein fehlsichtiges oder akkommodiertes Auge eingestellt ist, wird von dem 13,3 mm vor dem objektseitigen Hauptpunkt liegenden Punkt aus gemessen. Sie ist gleich der Brennweite, die der in Dioptrien angegebenen Fehlsichtigkeit zugeordnet ist. Es wird also
a,/mm =
lo00 -
DbPt
und
aA/mm = -'0°0
DIdPt
13,3.
(6.47,6.48)
(Der Ziihler loo0 entsteht durch die Umrechnung von 1 dpt = 1 m-' in mm-'. Der genannte Bezugspunkt liegt 12 mm vor dem vorderen Scheitel der Hornhaut und wird als Ort des innefen Scheitels eines Brillenglases angenommen.) Akkommodation und Kurzsichtigkeit liegen bei D < 0, Weitsichtigkeit liegt bei D > 0 vor. Da die Brennweite des entspannten Auges f A = -17,l mm betragt, gilt fA-aA =
---'O0O
3,8.
(6.49)
DbPt Damit ergibt sich aus G1. (6.46) f
(6.50)
Praktisch ist stets
so da13 mit ausreichender Nmerung (6.51) gesetzt werden kann.
Akkommodation auf die deutliche Sehweite. Akkornmodation auf aD = ad= -250 mm entspricht einer zusatzlichen Brechkraft D = -4 dpt . Die VergroDerung betragt (6.52)
k + 1. Dazu muO also die LuBei Z M L = 0 ergibt sich die bereits abgeleitete G1. (6.32): I-'= r pe so dicht vor das Auge gehalten werden, daI3 ihr bildseitiger Hauptpunkt mit dem objektseitigen BreMpUnkt des Auges zusammenf2llt. Die Vergrofierung nimmt ab, wenn die Lupe weiter vom Auge entfernt gehalten wird. So ist z. B. bei Z A H ~= - 125 mm
r'
1 = -r;+i. 2
(Bei I-; = 8 ist also nur noch I-'= 5 ) . Abb. 6.20 enthat die Abhiingigkeit der VergroDerung
6.2 Lum und MikroskoD
543
von zAHi fiir eine Lupe mit r -= 5, f: = 50 mm bei Akkommodation mit D = -4 dpt und bei Weitsichtigkeit mit D = 4 dpt .
0
50
100 -ZAH'
L
Abb. 6.20 VergriUerung der Lupe als Funktion des Abstandes Auge - Lupe
Ausfiihrungsformen. Bei Lupen mit schwacher Vergroflerung kann wegen der kleinen Austrittspupille die Korreldion des Offnungsfehlers und die Erfiillung der Sinusbedingung untergeordnete Bedeutung haben. Das gro6e Feld erfordert die Korrektion der Koma, des Astigmatismus, der Verzeichnung und des Farbfehlers des Hauptstrahls. Die Bildfeldwolbung kann teilweise durch die Akkommodation auf die geluiimmte Bildschale ausgeglichen werden.
Abb. 6.21 a) Plankonvexlinse als Lupe, b) Verantlupe, c) aplanatische Lupe, d) auastigmatische Lupe
Abb. 6.21 enthat einige Ausfiihrungsformen von Lupen. Fiir geringe Anspriiche genugt bis zu r'=6 eine Plankonvexlinse, deren Planflache dem Auge zuzukehren ist (geringer Astigmatismus, Abb. 6.21a). Die Verantlupe erfiillt htihere Anspriiche hinsichtlich der Bildqualitiit bis zu Vergroflerungen r'=4, weil bei ihr der Astigmatismus, die Bildfeldwolbung, die Verzeichnung und der Farbfehler des Hauptstrahls korrigiert sind (Abb. 6.21b). Bei hoheren VergrODerungen miissen auch der Offnungsfehler korrigiert und die Sinusbedingung erfiillt sein (aplanatische Lupe, r'=6.. .15, Abb. 6.21~).SchlieDlich lassen sich mit erhohtem Aufwand fiir stkkere Vergrokrungen anastigmatische Lupen berechnen, bei denen alle Abbildungsfehler ausreichend korrigiert sind (Abb. 6.21d).
6.2.2
Optikschema des zusammengesetzten Mikroskops
Das Optikschema des zusammengesetzten Mikroskops enthat das Objektiv und das Okular. so dal3 eine zweistufige Abbildung realisiert wird. Das Objektiv erzeugt das reelle Zwischenbild, das mit dem Okular wie mit einer Lupe betrachtet wird. Im Normalfall befindet sich das Endbild im Unendlichen, das Okular wird mit der Normalvergr6Serung benutzt. Abb. 6.22a enthat fiir diesen Fall den Abbildungsstrahlengang. Das Endbild kann bis auf maximal ad = -250 mm an das Auge herangefiihrt werden, wobei die
544
6 Optische Instrumente und Systeme H=H1,,
Zwischenbild
Objek
Abb. 6.22 Abbildung im zusammengesetzten Mikroskop a) Bildweite unendlich, b) Bild in der deutlichen Sehweite
VergroRerung geringfiigig anwachst (Abb. 6.22b). Wir nennen die Vorteile des zusammengesemen Mikroskops gegenuber dem einfachen Mikroskop: 1. Die zweistufige Abbildung ermoglicht eine kleine Gesamtbrennweite des Mikroskops bei groReren Einzelbrennweiten von Objektiv und Okular. Dadurch sind hohere Vergrofierungen zu erreichen. Aus f
=
f6bf6k
(6.53)
t
folgt mit einer entsprechend groRen optischen Tubusliinge t eine kleine Gesamtbrennweite. Abb. 6.23 zeigt ein Beispiel, bei dem f6b=4mm, fik=20mm, t =160mm, ft=-0,5mm, r'=-500 ist.
'
'bb
-
FO k
t
T
1 -
'bk -fOk
Fdk
fdk
Abb. 6.23 Grundpunkte des Mikro-
skops (objektseitigLuft)
2. Zwei Forderungen sind mit dem optischen System des Mikroskops zu erfiillen: Das Objektfeld sol1 einen gegenuber der Gesamtbrennweite groOen Durchmesser haben. - Die numerische Apertur sol1 moglichst groR sein, damit das Auflosungsvermogen gewiihrleistet ist. -
Mit einer einstufigen Abbildung sind beide Forderungen kaum zu realisieren, weil die Korrektion optischer Systeme fiir groRe Felder und groRe Offnungen schwierig ist. Beim zusam-
6.2 Lupe und Mikroskop
545
mengesetzten Mikroskop ist jedoch die Abbildung so auf Objektiv und Okular aufgeteilt, da0 diese je eine der Forderungen erfiillen. Das Objektiv bildet ein gegenuber seiner Brennweite kleines Objektfeld mit weit getiffneten Bundeln, also mit groRer numerischer Apertur, ab. Bei einem Mikrmbjektiv ist die Sinusbedingung erfiillt. Diese lautet mit n‘ = 1, P‘ = y’/y , A = n sinu A sinu’ = 7 .
P
(6.54)
Da im allgemeinen bei Mikroobjektiven mit gr6Derem AbbildungsmaRstab auch eine grtiRere numerische Apertur vorliegt, gilt fiir alle Objektive angen2hert u’ = 1”...3”. Fiir das Okular ist demnach die numerische Apertur sehr klein. Es bildet ein groRes Objektfeld mit engen Bundeln ab.
3. Im allgemeinen ist es gunstig, objektseitig telezentrischen Strahlengang vorzusehen. Die Offnungsblende liegt dann in der bildseitigen Brennebene des Objektivs oder in einer dazu konjugierten Ebene.
Abb. 6.24 Hauptstrahlenverlauf im zusammengesetzten Mikroskop
Die optimale Verknupfung der Strahlenbundel zwischen Mikroskop und Auge wird erreicht, wenn die Augenpupille am Ort der Austrittspupille des Gesamtsystems steht. Diese muR also dem Auge zugiinglich sein. Das Okular hat deshalb unabhhgig von seiner VergrtiBerung die Aufgabe, die Offnungsblende reel1 abzubilden und damit bildseitig konvergenten Hauptstrahlenverlauf zu verwirklichen (Abb. 6.24). 4. Gegenuber dem einfachen Mikroskop hat das zusammengesetzte Mikroskop die Vorteile eines groReren freien Arbeitsabstandes, einer gr6Beren Entfernung Objekt - Auge und des einfachen VergroRerungswechsels.
5. Betrachtet man das Objekt als eine beugende Struktur, die mit Parallelbundeln beleuchtet wird, dam eneugt das Objektiv in seiner bildseitigen Brennebene ein Beugungsbild. In dieses lassen sich Eingriffe vornehmen, die zu verschiedenen Mikroskopierverfahren fiihren. Dieser Vorteil ist nur beim zusammengesetzten Mikroskop gegeben.
Abgleich. Der Mikroskoptubus ist ein Rohr zur Aufnahme des Objektivs, des Okulars, von Reflexionsprismen oder Spiegeln und weiterer Bauelemente, die die Strahlenbundel beeinflussen. Das Objektiv wird entweder direkt an den Tubus oder an einen Objektivrevolver angeschraubt. Das Okular wird in den Tubus eingesteckt. Objektiv und Okular werden “abgeglichen”. d. h,ein Objektiv- und Okularwechsel erfordert keine Verstellung des Tubus. Dazu ist es notwendig. daR die Bildweite des Objektivs und
546
6 Optische Instrumente und Svsteme
die Objektweite des Okulars konstant bleiben. Die mechanische Tubusliinge war bei den Herstellern verschieden. Tab. 6.9 enthat Beispiele sowie die Abgleichlslngen nach DIN 58887 (Abb. 6.25). Tabelle 6.9 Abgleichlhgen beim Mikroskop ~
Abstand Objekt Zwischenbild
Anwendung
192
Durchlicht Auflicht grokr Arbeits abstand
Hersteller
mechanische Tubusliinge
Abgleichlhge Objektiv Okular
Carl Zeiss Jena
160
45 45
13 13
75
13
45 33 45 37
10 10 18 18
192
45
10
195
Carl Zeiss 160 Oberkochen 170 Leitz DIN
160
183
197
Durchlicht Durchlicht
1x9
- - - - - - - - - - - - -- -
Objekt
'
Fbb
_ _ ~ - _ _
_-___-___
----~
Abgleichlange Objektlv
-c
-
k
t
Abglachlange
Okula
'
rnechanische Tubuslange F
h
Abb. 6.25 Abgleichliingen am Mikroskoptubus
Folgende Gesichtspunkte bestimmen die Abgleichltingen: - Tubusltinge. Der Abbildungsmahtab des Objektivs wachst bei konstanter Objektivbrenn-
weite mit der Tubusltinge. Andererseits darf das Mikroskop insgesamt nicht zu hoch werden. - Objektiv. Die gesamte Objektivpalette unterschiedlicher Ltinge m a abgleichbar sein. Zu grol3e Abgleichlslngen bringen Probleme bei der Zentrierung mit sich. - Okular. Starke Okulare haben eine kleine Brennweite, deshalb sollte die Abgleichltinge der Okulare moglichst klein sein. Fiir die Entfernung vom Objekt bis zum Zwischenbild gilt: Entfernung Objekt bis Zwischenbild = (mechanische Tubusliinge ) + (Abgleichliinge Objektiv) - (Abgleichliinge Okular ) .
Fiir die optische Tubusltinge gilt (Abb. 6.25):
r/mm = (mechanische Tubusltinge) /mm - (Abgleichliinge Okular) /mm + c/mm. Bei schwachen Objektiven ist c klein; bei starken Objektiven ist c u n g e f ~gleich der Abgleichlange Okular.
6.2 Lupe und Mikroskop
6.2.3
547
Vergroflerung und Auflosungsvermogen
Vergroflerung. Wir legen ein Mikroskop zugrunde, bei dem die Bildweite unendlich ist. Nach GI. (6.8) gilt fiir die VergrljDerung bei unendlicher Bildweite und bei der deutlichen Sehweite als Bezugsentfernung ad r‘ = --tan
Y
w,’.
In Tab. 6.10 wird diese Beziehung auf die spezifischen Verhdtnisse des zusammengesetzten Mikroskops angewendet (Abb. 6.26). Das Ergebnis lautet r’ = p b b r & (6.55) und (6.56) In Worten: Die VergrijBerung des Mikroskops ist das Produkt aus dem Abbildungsmalhtab des Objektivs und der VergroRerung des Okulars. - Die Vergroserung des Mikroskops l a t sich mit der Formel fiir die Vergrofierung der Lupe berechnen, wenn in diese die Gesamtbrennweite des Mikroskops eingesetzt wird. -
Abb. 6.26 Zur Ableitung der Vergrokmng
Objektive mit unendlicher Bildweite. In der Mikroskopie werden auch Objektive mit unendlicher Bildweite eingesetzt. Diese beruhen auf der Abbeschen Zerlegung der mikroskopischen Abbildung, die wir zunachst erlautem (Abb. 6.27a). Das Objektiv wird durch eine duMe Zerstreuungslinse e r g b t , die in der bildseitigen Brennebene steht und das Zwischenbild ins Unendliche verlegt. Sie muR demnach die BRMweite f,= - t haben. Objektiv und Zerstreuungslinse wirken wie eine Lupe mit der BreMweite (6.57) und der Vergrijfierung (6.58) Die Wirkung der Zerstreuungslinse wird mittels einer duMen Sammellinse der BreMweite fs’=t kompensiert, die ebenfalls in der bildseitigen Brennebene des Objektivs steht.
548
6 Optische Instrumente und Systeme
1 v1
>
'3 24 W
b"
0
6.2 Luue und Mikroskov
H=Hb,
H = H ~H-H!~
H-Hbb
549
H-H,;
H-Hb,
Abb. 6.27 a) Abbesche Zerlegung der mikroskopischen Abbildung, b) Mikroskop mit Objektiv unendlicher Bildweite
Sammellinse und Okular stellen ein astronomisches Femrohr mit der Vergroflerung (6.59) dar. Die MikroskopvergrijSerung 1 s t sich in folgender Form darstellen:
r'
=
r;r;.
(6.60)
Die Abbesche Zerlegung wird bei der Femhrlupe genutzt. Diese Kombination aus Lupe und Fernrohr hat den Vorteil eines groSen Arbeitsabstands. Die Objektive mit unendlicher Bildweite wirken wie die Kombination aus Objektiv mit endlicher Bildweite und Zerstreuungslinse. Es ist nur noch die Sammellinse hinzuzusetzen. Die Sammellinse wird Tubuslinse genannt. Diese stellt aber in Wirklichkeit ein hinsichtlich Farblbgsfehler komgiertes optisches System dar (Abb. 6.27b). Die Gesamtvergroflerung betragt
r'
=
r6bfiub
f6k
(6.61a)
(6.61b) Die Brennweiten der Tubuslinsen sind so abgestuft, daS man ein einfaches Verhsltnis zu 250 mm erhslt. Vorteile der Objektive rnit unendlicher Bildweite sind: - Es ist keine feste Tubuslfinge notwendig; - Planplatten, Filter, Polarisationsfilterauf der Bildseite des Objektivs, wie sie z. B. in Polarisationsmikroskopen vorkommen, fiihren keinen Astigmatismus ein.
6 Optische Instrumente und Systeme
550
Tabelle 6.1 1 Zur Berechnung des Austrittspupillen-Durchmessers
Anwenden der Sinusbedingung fur unendliche Bildweite mit h = PI, Definition der numerischen Apertur
I
7
A = nsinu
I
VergroOerung des M
also f =
1
ad
7
r
Einsetzen 2adA 2p; = r ' Konvention uber die deutliche Sehweite ad = -250mm
-
Einsetzen
2p,/mm
=
500A 7
Normalvergrofierung. Der Austrittspupillen-Durchmesser des Mikroskops hMgt von der VergroRerung ab. In Tab. 6.1 1 (Abb. 6.28) wird abgeleitet, daO 500 A (6.62) 2pk/mm = --
r'
ist. Bei dem Austrittspupillen-Dhmesser 2pi = 1 mm spricht man von der NormalvergroRerung des Mikroskops. Diese betragt also
ri
= -500A.
(6.63)
A
H -n
a
Abb. 6.28 Zur Ableitung des Austrittspupillen-Duhmessers
Ablesevergrofierung. Bei der Definition der VergroRerung fiir die Lupe und fiir das Mikroskop wird der Sehwinkel ohne Instrument w, auf die deutliche Sehweite ad= - 250 rnm bezogen. Die wirksame VergroRerung beirn Ablesen von Marken oder Teilungen mit der Lupe oder mit dem Mikroskop ergibt sich aber als Verhutnis der scheinbaren GroSe mit Instrument und der scheinbaren GroSe ohne Instrument bei unveriinderter Entfernung a, der Augenpupille vom Objekt.
6.2 Lupe und Mikroskop
Die AblesevergrOfierung
r;
=
55 1
ri folgt damit aus der Vergrijljerung durch
a /mm -rJ+.
Liegt die Skale in der objektseitigen Brennebene einer Lupe, dam betragt die Ablesevergrofierung
(6.65)
Abb. 6.29 Zur Ableitung der Ablesevergrtikmng
Fiir die MikroskopvergrO13ernggilt r'= r d k g b bzw. mit
r'
=
rdk
= 250/( fAk/rnm), fibb = f&/z
f 6 b 250 f d k tirnrn'
(6.66)
Aus G1. (6.64) ergibt sich mit GI. (6.65) und G1. (6.66) (6.67) Mit f6b=16mm, fdk=50mm, z=-1,6mm erhalten wir z.B. r'=-62, vergroSerung wiirde in diesem Fall r'= -50 sein.
die Mkroskop
Aufliisungsvermogen. Nach GI. (4.337) hat die erste Nullstelle der Beugungsfigur, die sich bei der Abbildung eines Punktes ergibt, in der Bildebene den Radius
r' = 0,61-.A P'
PP
(6.68)
Vorausgesetzt ist eine kreisformige Offnungsblende. Zwei inkohiirent zueinander strahlende Objektpunkte gelten als auflosbar, wenn die erste Nullstelle der einen Beugungsfigur mit dem Hauptmaximum der anderen Beugungsfigur
552
6 Optische Instrumente und Systeme
hiichstens zusammenfiillt. In der Mitte zwischen den beiden Maxima ist dann die Intensitat um 37% geringer als in den Maxima. Der Kontrast betragt 0,16. Die G1. (6.68) gibt also zugleich den auflosbaren Abstand zweier Punktbilder in der Zwischenbildebene des Mikroskops an. Da der bildseitige Offnungswinkel u' des Mikroobjektivs klein ist, gilt tan u' = sinu'
P; = 7
P
und r' = 0,61-
A sin u"
(6.69a)
Die Sinusbedingung nrsinu = n'r'sinu' ergibt mit n' = 1, n sinu = A Ar r' = sin u' '
(6.69b)
Der in der Objektebene auflosbare Abstand betragt nach GI. (6.69a, b) rA
A
= 0,61-. A
(6.70)
Inkohiirent strahlende Objektpunkte liegen vor, wenn das Objekt selbst leuchtet oder mit grol3er Apertur beleuchtet wird. (Bei selbstleuchtenden Objekten wird das Licht nur an der Offnungsblende des Mikroobjektivs gebeugt. Bei beleuchteten Objekten tritt zusatzlich Beugung am Objekt auf.) Man bezeichnet das Verhdtnis aus der Beleuchtungsapertur Ak und der numerischen Apertur des Mikroobjektivs A als Kohiirenzparameter
s = -.Ak A
(6.71)
Kohiirente Beleuchtung ist durch S = 0, inkohiirente Beleuchtung durch S -) m gekennzeichnet. Fiir 0 < S < m liegt partiell-kohiirente Beleuchtung vor. Allerdings ist Licht mit S = 1 bereits weitgehend inkohiirent. Fiir partiell-kohiirente Beleuchtung geht G1. (6.70) uber in
A
rA
=
mAx.
(6.72)
Der Faktor mA wird in 6.2.8 bermhnet und ist in Abb. 6.30 ah Funlrtion von S dargestellt. Das Auflosungsvermogen beleuchteter Objekte h h g t nicht nur vom Kohiirenzparameter, sondern auch von der Objektform und der Beleuchtungsart ab. So ist z.B. fiir ein Liniengitter
553
6.2 Lupe und Mikroskop
mA=1, wenn kohiirente Beleuchtung mit achsparallelem Licht angewendet wird, und mA=0,5 fiir koharente Beleuchtung mil einem schrtigen Parallelbundel. Nutzllche Vergrollerung. Bisher haben wir nur die Eigenschaft des Auges beriicksichtigt, zur Auflosung zweier Intensitatsverteilungeneinen Mindestkontrast zu benotigen. Die daraus resultierende aufltisbare Strecke m d aber wegen des Auflosungsvermogens des Auges a d e r dem einen winkelmii6igen Mindestabstand haben. Beim Mkroskop ist das insofern deutlich, als j a die in der Zwischenbildebene entstehende Beugungsfigur durch das Okular wie mit einer Lupe betrachtet wird. Dadurch m d der Abstand r' auch vom Auge aufgelost werden. In Tab. 6.12 wird abgeleitet, wie hoch die MikroskopvergrMerung sein m d , damit die auflosbare Strecke mit der scheinbaren Grol3e tan w,'wahrgenommen wird. Es ergibt sich G' = 250 A tan w,' (6.73) mAA/mm ' Tabelle 6.12 Zur Ableitung der forderlichen Vergrokrung
I
Scheinbare Grok der im Zwischenbild aufgelosten Strecke
I
Im Objekt auflosbare Strecke 1,
A
= mA 2
Umrechnung auf das Zwischenbild
I
Einsetzen
Vergrokrung des Mikroskops
G' r; = rAkp;,,bzw. p b = r&
I
.
. I
v
I
NormalvergrdBerung des Okulm
I
I
Einsetzen
tanw;= - m, r;A/m 250 A
6 Optische Instrumente und Svsteme
554
Tab. 6.13 enthat ftir einige Werte von mA und w: die GroRen 2p; und -&'/A
bei
A = 500 mm. Man nennt den Bereich, in dem das Auflosungsvermogen des Objektivs und das des Auges gunstig angepaM sind, den Bereich der nutzlichen VergoRerung. Fur ihn gilt etwa 500A I
(r'(I l O A ,
l m m L 2pi 2 0,5mm.
(6.74a, b)
Die untere Grenze wird entspechend G1. (6.74) als NormalvergroDerung
ri
= -500A,
2pi = l m m ,
(6.75)
die obere Grenze als forderliche Vergrofierung
c'= - 1 0 0 0 A ,
2 4 = 0,5mm
(6.76)
aufgefat. Die numerische Apertur der Mikroobjektive ist bei etwa 1,7 begrenzt. so daR die ftirderliche Vergrokrung maximal I r; = 1700 betragt. Hijhere VergroRerungen als Ir'l=2000 sind also nicht sinnvoll. In MeRmikroskopen, in denen es auf die NoniussehschWe ankommt, ist die auflosbare Versetzung von Teilstrichen etwa 1/6 derjenigen fiir punktfonnige Objekte. Deshalb ist bei dieser speziellen Anwendung ein hoherer Betrag der Vergroflerung als 2000 noch vertretbar.
I
Tabelle 6.13 Werte fiir 2pL und -I''/A
w:
fiir das Mikroskop
mA = 0,50
mA = 0,151
rnA
-rd
-G
--G
2p;/mm
210
145
1,05 0,53
290 580
3.44 1,72
A
2p;/mm
2'
290 580
0.86
4'
1160
0.43
I'
1.72
A
238 475 951
2p;/mln
A
= 1,oo
0,86
Menunsicherheit beim MeBmikroskop. Im MeRmikroskop wird das Objekt mittels eines in der Zwischenbildebene angebrachten Okulannikrometers ausgemessen. Der linearen Zwischenbildgrofie y&, entspricht die scheinbare GroRe tan w.' = y&/f&. Mit y = y&/&, ergibt sich
Aus der NormalvergroDerung des Okulars folgt &/mm = 250/rdk, also
y/mm =
250 tan w,' r6k %b
oder mit tan w,'=w,' 250 w: y/mm = -
r'*
Die MeRunsicherheit im Objekt betragt bei der subjektiv gegebenen Unsicherheit A w.' des Sehwinkels 250 Ay/mm = -Aw,'. (6.77a)
r
sss
6.2 LULX und Mikroskor,
Die empirisch ermittelte subjektive Unsicherheit A w.' h h g t vom Austrittspupillenradius des Mikroskops ab und ist der Tab. 6.14 zu entnehmen. Tabelle 6.14 Unsicherheit des Sehwinkels in Abhmgigkeit von der Grok des Austrittspupillendurchmessers des Mikroskops 2p;/-
0.5
A w:
58'
0,6 2,s
098
1
,o
2.0
38
22'
20'
1.8'
1,7'
Ein Mikroskop, das mit der forderlichen VergroBerung'-I = - 1000A benutzt wird, hat den Austxittspupillendurchmesser2p'p = 0.5 mm. Dafiir ist nach Tab. 6.14
~ w =;2 , t ~4 8.10-~rad. Aus G1. (6.77a) folgt die MeRunsicherheit Ay/mm = 2'10-4 bzw. A
Ay/pm = -.1 5A
Mit einem Objektiv der numerischen A p e m A = 0.4 ist also Ay = 0.5pm. Die G1. (6.77a) gilt auch f5r die Lupe mit NonnalvergroRerung:
Ay/mm =
250 A w,'
,-
(6.77b)
G
Die Augenpupille als Austrittspupille ist bei den ublichen Leuchtdichten grokr als 3 mm, so rad gerechnet werden kann. Es ist also dal3 mit A w: = 1,7' 4 5 . Ay/mm =
1 8fi.
(6.78a)
Auf einem Teilkreis mit dem Radius R entspricht das einer Unsicherheit des Winkels von =
bzw. mit 1" 4 5 .
AY
7=
1 gr{R/mm
rad
A a/Winkelsekunden = 0,25.16
1
(6.78b)
Bei f - = 8 und R = 160 mrn e m i t man z. B. die Unsicherheit A a = 19.5".
6.2.4
Scharfentiefe
Die SchSrfentiefe des Mikroskops ergibt sich aus dem begrenzten Auflosungsvermogen des Auges und aus der beugungsbedingten axialen Verbreiterung der Intensit&tsverteilungin der Umgebung der Zwischenbildebene (vgl. 4.2.4 und 4.4.2). Durch Akkommodation des Auges ist eine Erhcihung der Schiirfentiefemoglich.
6 Optische Instrumente und Systeme
556
Geometrisch-optische Scharfentiefe. Das begrenzte Auflosungsvermogen des Auges bringt es mit sich, daB ein geornetrisch-optisch entstehender Zerstreuungskreis als Punkt wahrgenommen wird. Abb. 6.3 1 zeigt die irn Zwischenbildraurn vorhandenen Abbildungstiefenbereiche, die dern zulksigen Zerstreuungskreisdurchmesser zugeordnet sind. Es gilt nach dem Strahlensatz
PI, = -
P’
P ’+b: , PI, - P’+ b: . P’
-b;
(6.79a, b)
b: Zwischenbild
*‘Ob
P’ b;.
Abb. 6.31 Abbildungstiefe
Wegen p’
%- b:, b:
folgt daraus
b’1 -- -&p’
, b,’ = d p ’
PI,
Pi
(6.80a, b)
oder mitsin u’ = pi/p’ bJ =
--!?-sin u”
P’ b: = sin u’ ’
(6.81a, b)
Anwenden der Sinusbedingung ergibt b’I --
___ P’IP’I A ,
b:=- P’IP‘I A ’
(6.82a, b)
Die Abbildungstiefe kann mit der Beziehung fiir den Tiefenmastab cd in die SchWentiefe umgerechnet werden: b: = -b; = db,.
Es ist a‘ = (n”’’)/n, also mit n’ = 1 (6.83) Der Durchmesser 2p’ des Zerstreuungskreises in der Zwischenbildebene erscheint bei der Betrachtung mit dern Okular, das mit der NormalvergroBerung benutzt wird, unter dern Sehwinkel 2P’ w: = tanw; = 7. fOk
Damit gilt (6.84)
557
6.2 Lupe und Mikroskop
Mit 250
fdk/mm = - und
Ifl'Ir,k
r&k
=
Ir'l
erhalten wir (6.85) Gesamte Scharfentiefe Nach G1. (4.360) folgt die wellenoptische Schiirfentiefe des Mikro-
skops aus
Die gesamte Schaifentiefe betr2gt also 125nw,' nA/mm b,/rnm = -b,/mm = A(P( +F'
(6.86)
(6.87)
Bei der Normalvergrokrung
1 r$l= 500A geht daraus
hervor. In Abb. 6.32 ist der wellenoptische Anteil von b,/n als Funktion der numerischen Apertur fiu A =300 nm , 500 nm und 700 nm grafisch dargestellt. Der geometrisch-optischeAnteil, der von der Vernroflerung abhtingt, ist in Abb. 6.33 f%r w,' = 2' zum wellenoptischen Ante rden. 500lllfl 1°"11"1
Grsarntwerl der rcrhthten chnrferrtiefe d a Mikrnskops
-
~
- wcllen
opiisrherAnteil
Pornmeter Wellenlonge)
10
Abb. 6.32 Wellenoptische SchWentiefe
Abb. 6.33 Gesamte ScWentiefe
558
6 Ovtische Instrumente und Svsteme
Zur Abschatzung der rechten SchMentiefe bei einer anderen Wellenltinge ist der Unterschied zum Wert fiir A = 500 nm der Abb. 6.32 zu entnehmen und zum Gesamtwert nach Abb. 6.33 zu addieren bzw. davon zu subtrahieren. Bei der Annahme eines anderen zulbsigen Sehwinkels K’ f%r den Zerstreuungskreisdurchmesser ist in Abb. 6.33 der Unterschied zwischen der gestrichelten Kurve (wellenoptischer Anteil) und der ausgezogenen Kurve im Verhdtnis %’/2’ zu vertindern. Fokussierfehler im Mefimikroskop. In optischen Mefigeraten werden Lupen, Mikroskope oder Fernrohre eingesetzt, mit denen auf optische Objekte, Bilder, Strichmarken usw. “scharf eingestellt” werden mufi. Kommt es darauf an, entweder die Entfernung Objekt - Bild auszumessen oder das Bild moglichst genau in der Ebene einer Vergleichsmarke zu entwerfen, dann gehen die Fokussierfehler in &as MeRergebnis ein. Diese entstehen durch die S c M e n - bzw. Abbildungstiefe. Von der Akkommodation des Auges wird in den folgenden ijberlegungen abgesehen. Aaerdem sol1 als Kriterium des Fokussierfehlers die geometrisch-optische Abbildungstiefe fiir verschiedene Einstellhilfen verwendet werden. Die wellenoptische Abbildungstiefe spielt bei der Einstellung auf Strichmarken eine untergeordnete Rolle. Beim MeRmikroskop betragt der geometrisch-optische Anteil des Fokussierfehlers nach GI. (6.85)
125nw,‘ b,/mm = kAIT’I
(6.88)
’
Fur Punktepaare und Parallelstriche gilt erfahrungsgema w,’ = 2’ P 6 . rad , fiir versetzte rad und fur einen Mittelstrich, der mit Doppelstrichen einStriche w,’= 0,25‘ 4 0,75. rad . gefangen wird, w,‘ = 0,l B 3 . Fiir die NormalvergroRerung I r’l= 5 0 0 A , n = 1 und A = 500 nm ergibt sich bF/pm = +500w,‘/A2. Daraus folgt: Punktepaare
A2bF = fO,3pm,
Doppelstriche
A2bF = k0,3pm,
versetzte Striche
A2bF = kO,0375 km,
Stricheinfang
A2bF= f0,015pm.
Der wellenoptische Anteil wiirde in allen Faillen bei 2 = 500 nm den Wert A’ bFw= k0,25 pm annehmen, so daU er die gunstigen Einstellhilfen unwirksam werden liefie. Fiir die Lupe gilt bei w,‘ = 1’ b/mm =
+
r‘2 N
18 75
; PP /mm ’
(6.89)
Danach m a t e die VergroRerung der Lupe moglichst grofl, die Leuchtdichte moglichst klein sein. Letzteres gilt, weil die Grol3e der Augenpupille mit der Leuchtdichte abnimmt. Bei einer Lupe mit Ti = 4 und PI, = 2 mm ist b=+_0,58mm und
f‘=62,5mm.
Die Fokussierung ist also auf knapp k 1%moglich.
6.2 Lupe und Mikroskop
6.2.5
559
Beleuchtung
Allgemeines. Im zusammengesetzten Mikroskop ist im allgemeinen die Beleuchtung des Objekts mit optischen Hilfsmitteln erforderlich. Bei schwachen Vergr6krungen kann es ausreichend sein, das Himmelslicht oder das Licht einer Leuchte uber einen Spiegel in den Abbildungsstrahlengang zu lenken. Bei stiirkeren Vergr6Eerungen sind jedoch besondere Beleuchtungssysteme mit optimaler Koppelung an den Abbildungsstrahlengang notwendig. Damit sind auch spezielle Mikroskopierverfahren anwendbar, die auf Eingriffen in das abbildende Bundel beruhen. Grundsatzlich sind zunachst die Hellfeld- und die Dunkelfeldbeleuchtung zu unterscheiden. Bei Hellfeldbeleuchtung erscheint das objektfreie Feld hell ausgeleuchtet. Das Objekt veriindert die Leuchtdichteverteilung im Feld. Bei Dunkelfeldbeleuchtung ist das objektfreie Feld dunkel. Das am Objekt gebeugte und gestreute Licht hellt das Bildfeld entsprechend der Objektstruktur auf. Durchsichtige Objekte werden im allgemeinen durchstrahlt, sie werden mit Hellfeldbeleuchtung abgebildet. Fiir undurchsichtige Objekte ist die Auflichtbeleuchtung anzuwenden, bei der das am Objekt reguliir oder diffus reflektierte sowie das gebeugte Licht abbildet. Abb. 6.34 stellt die Beleuchtungsarten gegenuber, indem die Lage der Beleuchtungsaperhu zum Objekt angegeben wird. Das Objekt kann auch schrag beleuchtet werden. Die Einfallsrichtung des Lichtes stellt das Azimut der Beleuchtung dar (Abb. 6.35). Schrage Beleuchtung fiihrt leicht zu einer ungleichmiil3igen Ausleuchtung des Objektfeldes, die wir Azimuteffekt nennen.
Abb. 6.34 Beleuchtungsarten
Abb. 6.35 Azimut der Beleuchtung
Nach G1. (4.282) betragt die Beleuchtungsstiirkein der Objektebene do
E = -= ~~R,,LA'~, (6.90) d9 wobei L die Leuchtdichte der Quelle und A' die Beleuchtungsaperhu ist. Fiir die Helligkeit des Netzhautbildes ist die Lichtstiirke in der Austrittspupille des Mikroskops entscheidend. Dafiir gilt bei erfiillter Sinusbedingung der Gesamtabbildung ( 7 Transmissionsfaktor des optischen Systems) I' = 7L.(Flsche der AP),
560
6 Optische Instrumente und Svsteme
also 1 I' = -XZL(~P;)', [1'] = Cd, 4 oder mit G1. (6.62) (Umrechnung von 2pi/mm auf 2&/m notwendig!) 0,SA
(6.91)
(6.92)
Daraus folgt I'fcd =
A* 0 , 0 6 2 5 zL/(cd/m*). ~ r'2
(6.93)
Beleuchtung uber Spiegel. Auch bei Mikroskopen ohne eingebautes Beleuchtungssystem ist es notwendig, das Licht iiber Spiegel umzulenken, weil der Tubus meistens senkrecht oder schrag steht. Ein ebener Spiegel lenkt das Licht nur ab. Bei kunstlichen Lichtquellen hat er keinen Einflu0 auf die Bundelbegrenzung. Bei der Mikroskopie mit Himmelslicht wirkt die Spiegelfassung als Eintrittspupille. ~ Eintrittspupille wirken. Mit dem Ein Hohlspiegel vergrol3ert die Lichtquelle. Er k a als Hohlspiegel ist bei relativ kleiner Lichtquelle eine relativ grol3e Beleuchtungsapertur moglich (Abb. 6.36).
Bild dkr Quelle
Abb. 6.36 Beleuchtung uber einen Hohlspiegel
Kohlersche Beleuchtung. Die 1893 von Kohler erfundene Mikroskopbeleuchtung erfiillt alle Forderungen, die an das Beleuchtungssystem des Mikroskops zu stellen sind. Wir formulieren zunachst die Forderungen: -
Die maximal auszuleuchtende Apertur ist von der grol3ten Abbildungsapertur abhhgig. Es gilt (6.94a) (6.9413)
angesetzt wird. Die Beleuchtungsapertur mul3 mit nicht zu grol3en Lichtquellen erreicht werden, weil sonst keine ausreichenden Leuchtdichten moglich sind. - Das Objekt sol1 g1eichms;flig ausgeleuchtet sein. Das ist gewiihrleistet, wenn die Beleuchtungsapertur fiir shtliche Punkte des Objektfeldes gleich ist.
6.2 L u x und Mikroskov
561
- Die Beleuchtungsapertur muS an die Abbildungsapertur angepaJ3t werden koMen. Dazu ist -
die Apemrblende einstellbar zu gestalten. Die GrtiSe des beleuchteten Feldes ist auf das abzubildende Objektdetail zu beschrwen, weil sonst unntitiges Streulicht auftritt.
Das Kohlersche Beleuchtungssystem erfiillt smtliche Fordemngen mit einer Anordnung aus zwei sammelnden optischen Systemen, dem Kollektor und dem Kondensor sowie den entsprechenden Blenden. Die Wirkung der einzelnen Elemente entwickeln wir schrittweise.
Der Kondensor ist ein sammelndes optisches System, mit dem die Lichtquelle oder ein davon erzeugtes Bild so vergrokfi wird, d& die Beleuchtungsapertur erhijht wird (Abb. 6.37a). Wir ktinnen diesen Sachverhalt auch so deuten, daB durch den Kondensor mit kleinerer Lichtquelle die gleiche Apertur ausgeleuchtet wird (Abb. 6.37b). Es wird bereits hier deutlich. da0 die GroDe des beleuchteten Objektfeldes von der LichquellengroDe abhiingt. Mit dem Kondensor 1Mt sich also die erste Forderung an die Mikroskopbeleuchtung erfiillen.
e abjekt
Quelle
b)
Abb. 6.37 Wirkung des Kondensors a) Lichquelle konstanter GrUk, b) Apertur konstanter GrtiEe
Auch die zweite Forderung ist mit bem Kondensor zu verwirklichen. Dazu muB die Lichtquelle in der objektseitigen Brennebene des Kondensors stehen. Wir erhalten bildseitig des Kondensors telezentrischen Strahlenverlauf und damit die gleiche Beleuchtungsapertur fiir alle Punkte des Objektfeldes (Abb. 6.38). KolleMor H=Hi,/
/
"=~im
Quelle
'/ Abb. 6.38 Lichtquelle in der Brennebene des Kondensors
Abb. 6.39 Kollektor
Omungs-Kondensor blende
H-Hk
6 Optische Instrumente und Systeme
562
Der Kollektor. Die Lichtquelle kann oftmals nicht in der objektseitigen Brennebene des Kondensors angeordnet werden. Einerseits ist die Brennebene nicht immer ZugZnglich, andererseits koMte sich der Kondensor unzulbsig e r w i e n . Die Kondensorwirkung bleibt jedoch vollstiindig erhalten, wenn die Lichtquelle in die objektseitige Brennebene des Kondensors abgebildet wird. Diese Aufgabe iibernimmt der Kollektor, der ebenfalls ein sammelndes optisches System darstellt (Abb. 6.39). In der Kondensorbrennebene ist dadurch der Einsatz einer Irisblende moglich, die als Aperturblende wirkt und mit der die dritte Forderung an die Mikroskopbeleuchtung realisiert wird (einstellbare Beleuchtungsapertur). Die Leuchgeldblende vervollstiindigt das Kohlersche Beleuchtungssystem. Sie steht dicht hinter dem Kollektor und wird vom Kondensor in die Objektebene abgebildet. Durch das Einstellen der Irisblende wird der Durchmesser des beleuchteten Feldes festgelegt und damit noch die vierte Forderung erfiillt (Abb. 6.40). Der Kollektor und die Leuchtfeldblende sind entweder im Mikroskop oder in der Mikroskopierleuchte eingebaut. H = H + ,F6
08
H=HL
Abb. 6.40 Vollsmdiges Kijhlersches Beleuchtungssystem i K
Abb. 6.41 Zur Ableitung des Strahlungsflusses
Strahlenflufi. Die Sinusbedingung fiir die Abbildung der Lichtquelle durch den Kollektor lautet PLAKo = PpA’,,. (6.95)
Nach Abb. 6.41 ist angeniihert (6.96a. b) also
(6.97)
6.2 Luue und Mikroskop
563
Einsetzen von G1. (6.97) in G1. (6.95) ergibt PLAKa =
blAk.
(6.98)
Die GroBe 2pLAKa
ist der StrahlenfluDder Beleuchtung. Je nach der VergroSerung ist ein StrahlenfluR 0,l bis 0,8 erforderlich. Es ist ersichtlich: Bei konstantem StrahlenfluD erfordert eine kleinere Lichtquelle eine groDere Kollektorapertur (z. B. bei StrahlenfluD =0,8, 2 p =~5 mm, A&= 0,16), und das ausleuchtbare Objektfeld hiingt von der Kondensorapertur ab. Folgerungen a w dem Strahlenflun. Die bildseitige Apertur des Kondensors muD an die Abbildungsapertur angepaBt werden. Im theoretischen Grenzfall sollten beide numerischen Aperturen gleich sein. Bei Immersionsobjekten werden Aperturen von AOb= 1,66 erreicht. Sol1 in diesem Fall die volle Aufliisung erzielt werden, dann ist auch bildseitig des Kondensors Olimmersion zu verwenden. Im allgemeinen genugt es jedoch, fiir die Kondensorapertur A; = 0,75AOb
anzusetzen. Durch Licht, das am Objekt gebeugt und gestreut wird. ist trotzdem die volle Objektapertur teilweise ausgenutzt. AuDerdem deutet die Untersuchung der partiell-kohtirenten Abbildung darauf hin, daB Kohtirenzparameter
gunstig sind. Um die Anwendung von Olimmersionen zu vermeiden, wird oft die groBte Kondensorapertur auf A; =0,95 festgelegt. Objektive unterschiedlicher Apertur haben auch unterschiedliche Objektfelddurchmesser. Zur optimalen Ausnutzung der Lichtquelle m u t e deshalb bei jedem Objektivwechsel auch der Kondensor gewechselt werden. Das ist jedoch zu aufivendig. Es wird die Beleuchtungsapertur mit der Aperturblende und das ausgeleuchtete Feld mit der Leuchtfeldblende eingestellt. Bei kleinen Objektfeldern ist die Apertur des Kollektors, bei groSen Objektfeldern die Flache der Lichtquelle nicht voll ausgenutzt. Sehr groDe Objektfelder, wie sie bei schwachen Objektiven (Ifl’I c 10) vorkommen, lassen sich auf diesem Wege mit einem Kondensor hoher Apertur nicht ausleuchten. Die freien Durchmesser des Kondensors und der Leuchtfeldblende sind aus mechanischen Griinden auf etwa 20 mm bis 30 mm begrenzt. Die Brennweite eines Kondensors hoher Apertur liegt deshalb bei fi = 10 mm. Damit l%t sich auch bei maximal geoffneter Leuchtfeldblende nur ein relativ kleines Objektfeld ausleuchten. Zur Behebung dieser Schwierigkeiten sind im wesenlichen folgende Wege ublich:
- Durch Abschrauben oder Ausschwenken einzelner Linsen wird die Brennweite des Kondensors vergr66ert. Danach muD durch Verstellen des Kondensors das Bild der Leuchtfeldblende wieder in die Objektebene gebracht werden. -
Es wird eine Zusatzlinse oder ein Zusatzsystem vor den Kondensor geklappt. Die Leuchtfeldblende wird dadurch nicht mehr in die Objektebene abgebildet, so daB mit ihr das beleuchtete Feld nicht geregelt werden kann.
6 Optische Instrumente und Systeme
564
beweo liche
far
pan krutisches System
Abb. 6.42 Pankrati-
scher Kondensor
- Eine nahezu optimale Beleuchtung mit konstant bleibendem Produkt aus Kondensorapertur
AK und beleuchtetem Objektfelddurchmesser 2y ermoglicht der pankratische Kondensor (Richter 1936). Abb. 6.42 zeigt den prinzipiellen Aufbau. Die Aperturblende wird durch ein System mit veraderlicher Brennweite in die Brennebene des Kondensors abgebildet. Der Betrag des AbbildungsmaRstabes dieser Abbildung liiI3t sich stetig zwischen l/3 und 3 adern. Das entspricht einer Aperturiinderung im Bereich Ak = 0,16 bis 1.4. Die Leuchtfeldblende wird durch die erste Hilfslinse in die Zerstreuungslinse des pankratischen Systems, durch die zweite Hilfslinse und den Kondensor in die Objektebene abgebildet. Dabei bleibt das Produkt 2yAk, also der StrahlenfluB, konstant. Die Hilfslinien beeinflussen die Lichtquellenabbildung praktisch nicht, weil sie in der Niihe von Zwischenbildern stehen (Feldlinsen). - Eine weitere Moglichkeit, durch Einklappen einer Zusatzlinse und einer Zusatzblende einen Kondensator fiir groRe Objektfelder brauchbar zu machen, wurde von Riesenberg angegeben (Patentschrift 58606, Kl. 42h, 3/02, Ausgabetag 5. 11. 1967).
Auflichtbeleuchtung. Die Oberflache eines undurchsichtigen Objekts muR mit Auflichtbeleuchtung betrachtet werden. Bei dieser wird das Beleuchtungssystem seitlich an den Tubus angebracht und durch das Objektiv hindurch beleuchtet. Das Objektiv wirkt dabei gleichzeitig als Kondensor.
Abb. 6.43 Auflichtbeleuchtung a) Planspiegelplatte,b) Teilungswiirfel, c) Prrsma
565
6.2 Lupe und Mikroskop
Abbildungs- und Beleuchtungsstrahlengang konnen mit einer Planspiegelplatte (Abb. 6.43a). einem Teilungswiirfel (Abb. 6.43b) oder einem Prisma (Abb. 6.43c), das den halben Bundeldurchmesser einnimmt, vereinigt werden. Vor- und Nachteile der drei Anordnungen sind in Tab. 6.15 zusammengestellt. Tabelle 6.15 Vergleich verschiedener ablenkender Funktionselemente zur Auflichtbeleuchtung Platte
Wiirfel
Prisma
Auflosungsvennogen
unveriindert
unveriindert
Lichtausbeute Beleuchtungsart Linsenreflexe GleichmUigkei t
gering gerade vorhanden gut
gering gerade gering gut
Abbildungsfehler
wie schragstehende Planplatte
wie schragstehende Planplatte
senkrecht zur Prismenkante halb so gro8 wie parallel gut schrag gering bei starken Objektiven nicht immer gut wie geradestehende Planplatte
Die Abbildungsfehler der ablenkenden Funktionselemente lassen sich vermeiden, wenn sie im parallelen Strahlengang stehen. Dam eignen sich Mikroskope, die mit Objektiven mit unendlicher Bildweite ausgeriistet sind. Das ablenkende Funktionselement muB zwischen Objektiv und Tubuslinse angebracht sein. Das Kohlersche Beleuchtungssystem ist durch eine der Tubuslinse gquivalente Lime zu ergmen (Abb. 6.44). Als Aperturblende wirkt die Blende, die in der bildseitigen BreMebene des Objektivs steht. Es ist aber miiglich, durch Hilfslinsen eine im Beleuchtungssystem eingebaute Msblende dorthin abzubilden. Gegenuber der Durchlichtbeleuchtung erfrihrt dadurch das Kohlersche Beleuchtungssystemeinige Abwandlungen (Abb. 6.45).
eki
Q
FLi
Abb. 6.44 Optikschema einer Kohlerschen
Beleuchtung fiir Auflicht Hilfslinse
OB
II
tung fiir Auflicht
566
6 Optische Instrumente und Systeme
Dunkelfeldbeleuchtung. Bei Dunkelfeldbeleuchtung darf kein direktes Licht in das Objektiv gelangen. Das gelingt mit einem ringfoegen Beleuchtungsbundel, das die Objektivapertur ausspart. Dazu dient z. B. der Kardioidkondensor. Theoretisch besteht dieser aus einem Ausschnitt einer Rotationskardioide mit der Gleichung der Schnittkurve in einer Ebene in Polarkoordinaten, r = p(l+coscp), und einer Kugel mit dem Durchmesser d = 2p, dessen Mittelpunkt auf der Rotationsachse der Kardioide liegt und die Koordinate
hat. Shtliche Suahlen, die achsparallel einfallen und sowohl am Kugel- als auch am Kardioidausschnitt reflektiert werden, gehen durch den Koordinatenursprung (Abb. 6.46). Diese Abbildung des unendlich fernen Achsenpunktes ist aplanatisch.
Abb. 6.46 Theoretische Anordnung aus Rotationskardioideund Kugel
Abb. 6.47 Praktische Ausfiihrung des
Kardioidkondensors
Praktisch ersetzt man die Kardioide durch eine Kugelflache und schleift die reflektierenden Flachen an Glaskorper an (Abb. 6.47). Das Kohlersche Beleuchtungssystem ist in Verbindung mit dem Kardoidkondensor so abzuwandeln, daD eine Hilfslinse achsparalleles Licht erzeugt und die Aperturblende ringfonnig ist. Damit Totalreflexion an der oberen Grenzflache vermieden wird, ist Olimmersion zwischen dem Kondensor und dem Objekt erforderlich.
6.2.6
Fourier-Theorie der koharenten Abbildung
Wir behandeln die Abbildung im Mikroskop vom Standpunkt der Wellenoptik aus. Die grundsatzlichen Untersuchungen dazu stammen von Ernst Abbe, weshalb man auch von der “Abbeschen Theorie der Abbildung im Mikroskop” spricht. Wir unterscheiden zwischen der Abbildung beleuchteter Objekte (Nichtselbstleuchter) und
6.2 Lupe und Mikroskop
567
der Abbildung von Objekten, die selbst Licht ausstrahlen (Selbstleuchter). Im ersten Fall ist das Licht im allgemeinen partiell-kohiirent,im zweiten Fall inkohiirent. Bei Selbstleuchtern 1st die hrtragungstheorie der inkohiirenten Abbildung anzuwenden (vgl. 4.4.5). Objektfunktion. Fiir den Grenzfall der kohtirenten Beleuchtung, wie sie bei der Beleuchtung des Objekts mit einer punktformigen Lichtquelle vorkhe. wollen wir die 'Iheorie entwickeln. Wir legen Ktihlersche Beleuchtung zugrunde und nehmen eine punktformige Lichtquelle an (Abb. 6.48). Das Objekt bestehe aus einer ebenen Struktur. Diese veriindert die komplexe
Abb. 6.48
Kohlersche Beleuchtung
mit punktfomiger Lichtquelle
Amplitude der Lichtwelle. Die komplexe Amplitude vor dem Objekt ao(x,y)wird durch die Objektfunktion f ( x , y )in die komplexe Amplitude a ( x , y ) abgewandelt. Es ist a(x,y) = a,(x,y)f(x,y). (6.99) (Vgl. die Beugung am Gitter, bei der wir die zur Objektfunktion analoge Strukhufunktion verwendet haben.) Die Objektfunktion wirkt iin allgemeinen auf den Betrag und die Phase der komplexen Amplitude, so da6 sie folgenderma6en zerlegt werden kann: f(x, y ) =
CJ(X,y)
. ejg(xy).
Ein reines Amplitudenobjekt ist durch 6 = 0, ein reines Phasenobjekt durch siert.
(6.100) CJ = 1
charakteri-
Beugungsfunktion. Am Objekt wird das Licht gebeugt. Das Mikroobjektiv fokussiert die Parallelbundel verschiedener Richtung in der bildseitigen Brennebene, so dal3 in dieser ein Beugungsbild entsteht.
I
Das Beugungsbild in der bildseitigen Brennebene des Mikrcmbjektivs ist vollsttindig durch die Objektfunktion bestimmt. Es enthat also in latenter Form shtliche Eigenschaften des Objekts, die das Licht vertindern, und ist bestimmend fiir das Zwischenbild.
Das Beugungsbild wird auch primiires Bild genannt. Zu seiner Berechnung ist die Fraunhofersche Beugung an einer ebenen Strulctur zu betrachten. Wir gehen deshalb von der G1. (2.308) aus und erhalten fiir die Richtungsverteilung der komplexen Amplitude im Beugungsbild
Die Integration erstreckt sich eigentlich uber die Flache des Objekts. Es bringt jedoch Vorteile fiir die theoretische Behandlung mit sich, wenn wir von -0 bis +- integrieren. Weil a d e r -
568
6 Optische Instrumente und Systeme
halb der Flache des Objekts die Funktion f ( x ,y ) verschwindet, entsteht dadurch kein FeNer.
Wir fiihren die Richtungsvariablen
v = - a- a, , p = - P-Po a
(6.102a, b)
ein und erhalten fiir die Beugungsfunktion m
a(v,p) =
A j j f ( ~ , y ) . e - * ~ j ( ~ ~ ’Y~. ~ ) d r d
(6.103)
-_
Wenn wir das gesamte gebeugte Licht durch das Mikroobjektiv erfassen, gelangt das von einem Objekt ausgehende Licht vollstiindig in einen Punkt der Zwischenbildebene. Diese ist der Objektebene optisch konjugiert. Zwischen den Teilbundeln bestehen keine Phasendifferenzen. Es gilt: In einem Punkt des Zwischenbildes interferieren die von einem Objektpunkt ausgehenden gebeugten Teilbundel zur maximalen Intensitat, Ein hinsichtlich der Leuchtdichte-Verteilung dem Objekt 2hnliches Bild entsteht, wenn das gesamte von den Objektpunkten ausgehende Licht zum Bildaufbau beitragt. Das Zwischenbild wird auch sekundiires Bild genannt. Dieses wird durch das Okular abgebildet, das wie eine Lupe wirkt. Wellenoptisch treten keine Besonderheiten auf. Wir untersuchen deshalb stets das primke und das sekundiire Bild. Der geometrisch-optische AbbildungsmaOstab des Mikroobjektivs ist fiir die wellenoptische Theorie ebenfalls unwichtig. Es kommt nur auf die Intensitatsverhdtnisse im Bild an, an denen sich bei W i c h e r VergroDerung nichts iindert. Wir transformieren das Koordinatensystem in der Zwischenbildebene so, dal3 der AbbildungsmaRstabgleich 1 ist. Bildfunktion. Die komplexe Amplitude im Zwischenbild b(x‘,y’) , die wir Bildfunktion nennen, mul3 unter den Voraussetzungen - das gesamte Licht kommt zum Zwischenbild, - AbbildungsmaSstab auf 1 normiert
gleich der Objektfunktion sein. Wir erhalten aus G1. (6.103) (6.104) -_
x’ und y’ sind die normierten Koordinaten im Zwischenbild. G1. (6.104) gestattet bei KeMtnis der Bildfunktion die Berechnung der Beugungsfunktion. Es mul3 aber auch moglich sein,
die Bildfunktion aus der Beugungsfunktion zu berechnen. Dieses Problem ist losbar, weil G1. (6.104) ein Fourier-Integral enthat. Die Fourier-Transformation ermoglicht die Umkehrung in
-m
Es gilt also Die Beugungsfunktion a( v, p ) und die Bildfunktion b(x‘,y’) sind Fourier-Transformierte.
I
Aus diesem Grunde sprechen wir hier von der Fourier-Theorie der kohiirenten Abbildung.
569
6.2 Lure und Mikroskop
Eingriffsfunktion. Bei der realen Abbildung tragt niemals das gesamte von einem Objektpunkt ausgehende Ucht unveriindert zum Bildaufbau bei. Bereits durch die begrenzte numerische Apertur des Mikroobjektivs wird ein Teil des Lichtes abgeblendet. Es gibt aber auch Mikroskopierverfahren (z. B. das Dunkelfeldverfahren), bei denen Eingriffe in das Lichtbundel vorgenommen werden. Die Einwirkungen auf die komplexen Amplituden des Beugungsbildes, also auf die Beugungsfunktion a( v, p ) , erfassen wir mit der Eingriffsfunktion c,, ( V,p ) . ej@(vv’’)innerhalb des durch die Austrittspupille
moglichen Lichtbundels , (6.106) lo sonst. Sgimtliche Eingriffe wirken sich auf das primtire Bild aus und kOMa als iiquivalenter Eingriff in dieses gedeutet werden. Mit Eingriff kann die Bildfunktion auch auBerhalb des GauSschen Bildpunktes mit den Koordinaten 4,yh verschieden von 0 sein. In einem isoplanatischen Gebiet hiingt sie jedoch nur von x’ - &, y’ - yh ab. Aus GI. (6.104) geht bei einem Eingriff c(v,p) =
-
a(v, p ) . c(v, p ) = A jJ’b(xf,yf).e - 2 n j l v ( r ’ - r ~ ) + r ( Y ‘ - YY’ ~)l~d
(6.107)
-ca
hervor. Die Umkehrung mittels der Fourier-Transformation lautet b(y, y’) =
L A
p ) . ,-(,,
p ) . eZxj[v(x’-&)+fi(y’-y’
dvdp .
(6.108)
-_
Bezeichnen wir mit d( v, p ) die Fourier-Transformierteder Bildfunktion, dann gilt
&(v,p)= a(v,fi).c(v,p) bzw. b(v,p) = j ( v , p ) . c ( V , p ) .
I
(6.109)
Bei der kohiirenten optischen Abbildung ergibt sich die Fourier-Transformierte der Bildfunktion als Produkt von Beugungs- und Eingriffsfunktion.
Wir m e n mittels g(x‘, y’) =
jjc(v, p ) . ezxi[v(x’-&)+rc(Y’-Y~)ld VdP m
(6.110)
-_
die Fourier-Transformierte der Eingriffsfunktion ein. Sie beschreibt den EinfluS des Eingriffs auf die komplexen Amplituden in der Zwischenbildebene. Analog zur Punktbildfunktion G1. (4.382) k6nnen wir g(x‘,y’) als Punktbildamplitudenfunktionbezeichnen. Wegen G1. (6.103) gilt gems G1. (6.109) und G1. (6.110): Bei der kohtirenten Abbildung ist die Fourier-Transformierte der Bildfunktion gleich dem Produkt aus der Fourier-Transformierten der Objektfunktion und der Punktamplitudenfunktion. Analog zur Ableitung, die zu G1. (4.406) fiihrte, l a t sich der Zusammenhang zwischen den komplexen Amplituden und der Punktbildamplitudenfunktionauch durch das Faltungsintegral
I
(6.11 1)
570
6 Optische Instnunente und Systeme
Die Richtungsvariablen konnen unmittelbar in reduzierte Pupillenkmrdinaten ZL = xb/pb und j$ = yk/pb mittels
umgerechnet werden. Die reduzierten Ortskoordinaten lauten
Damit ergeben sich die Schreibweisen (6.1 12a) -m
bzw. (6.112b) Die Eingriffsfunktion (6.113) erweist sich damit unmittelbar als Pupillenfunktion
y;) = WP,Y,). --I
CG;,
--I
Damit liiI3t sich G1. (6.109) umformen in
&xi, y;)
= a(x;, $1
&z;, y;)
=
P(z;>y;)
(6.114a)
bzw.
j ( q ,y;) P
g , y;).
(6.114b)
In Worten: Die Fourier-Transformierte der Bildfunktion ist gleich der Fourier-Transformierten der Objektfunktion multipliziert mit der Pupillenfunktion. Die Pupillenfunktion ist die Ubertragungsfunktion der kowenten optischen Abbildung. Es werden also die komplexen Amplituden linear ubertragen.
6.2.7
Mikroskopische Abbildung von Liniengittern
Besonders ubersichtlich ist die koh5rente Abbildung eines Liniengitters zu behandeln. Die Objektfunktion h a g t rlur von einer Variablen ab und ist periodisch mit der Gitterkonstanten g. Sie lautet f(x+kg) = f(x),
k = 0 , 1 , 2 ....
(6.115)
571
6.2 Lupe und Mikroskop
Die Beugungsfunktion wurde in 2.6.4 berechnet. Es gilt: -
Die Beugungsfunktion hat nur fiir die diskreten Richtungsvariablen
v,=-, m
m = O , f l , f 2 ,...,
g
(6.116)
wesentlich von 0 verschiedene Werte.
- Die komplexe Amplitude in der m-ten Ordnung ist der Fourier-Koeffizient der Reihenentwicklung der Objektfunktion f ( K), also der Ausdruck U,,,(V,)
= jf(K).eZKjmKdK.
(6.117)
0
Die Variable K ist durch X = (k+K).g, OsKSl, definiert. Die Aperturblende, die sich in der objektseitigen BreMebene des Kondensors befindet, sei ein parallel zu den Gitterstrichen liegender infinitesimal schmaler Spalt. Das Beugungsbild besteht aus Linien, die den Ordnungen des Beugungsspektrums entsprechen. Amplitudengitter. Gegeben sei ein reines Amplitudengitter mit “kastenformiger” Objektfunktion. Diese lautet
i
1,
f(K)
=
0,5,
0,
OSK
(6.118)
Die Fourier-Koefizienten entnehmen wir G1. (6.1 16) und GI. (6.117): (6.119a, b) Wir fiihren die Abkiirzung v, = nmK0
(6.120)
ein und erhalten
Wir formen mittels Trennung in Real- und Imaginweil urn in sinv,
a, = KO--e’”.
(6.122a. b)
Vm
Die Bildfunktion b( K’) ist ohne Eingriff gleich der Objektfunktion f ( K). Sie lautet, als Fourier-Reihe dargestellt (6.123)
572
6 Optische Instrumente und Systeme
Beriicksichtigen wir die Beziehungen v-,
v, = mv,,
= -v,,
so folgt aus G1. (6.123) sinmv,
-[e-jm(2xK'-Y1)+ej"(zxK'-"1)
oder (6.124) Wir diskutieren nun die Beugungs- und die Bildfunktion.
Die Beugungsfunktion, also die komplexe Amplitude im Beugungsbild, stellen wir fiir jede Ordnung getrennt in der GauDschen Zahlenebene dar. Der Betrag der komplexen Amplitude nimmt gemiil3 G1. (6.122) von Ordnung zu Ordnung ab. Die Phase wird von Ordnung zu Ordnung um den gleichen Winkel v, gedreht. Abb. 6.49 und Tab. 6.16 gelten W KO =
-4
/
-3
1 G,
m also v, = -.
-1
-2
\
2
0
1
2
t
5 -
3
4
m
Abb. 6.49 Komplexe Amplituden im Beugungsbild des Amplitudengitters
Tabelle 6.16 Betrag und Phase der Beugungsfunktion des Amplitudengitters rn
0
fl
I 4
0,1592 0
0.1526 f28" 39'
Vm
*2 0,1340 f57"lX'
+3 0,1059 +85O56'
f4 0.07236 114' 35'
*
Die Bildfunktion wird nach G1. (6.124) additiv aus den einzelnen Ordnungen aufgebaut. Jeder Summand - auDer dem konstanten Glied K, - stellt wegen des Faktors cos[m(27t K' - vl)] eine um v1 phasenverschobene kosinusformige Funktion mit der Ortsfrequenz m und der Amplitude sinmv, 2 KO-
m V1
dar. Die ersten Summanden sind in Abb. 6.50 grafisch dargestellt. Die Addition siimtlicher Summanden der Fourier-Reihe mu13 die Bildfunktion 1,
01 K'<
0,
K;< ~ ' 1 1 ,
K;,
(6.125)
573
6.2 Lupe und Mikroskop
-
ergeben. Der Kontrast im Zwischenbild wird wegen I bb* aus (6.126)
Abb. 6.50 Erste Summanden der Fourier-Reihendarstellungder Bildfunktion
Autliisungsvermogen. Die Ofiungsblende des Mikroobjektivs schneidet die Beugungsmaxima von einer bestimmten Ordnung an aus dem gebeugten Licht aus. Die Auswirkung auf das Zwischenbild ist in Abb. 6.51 bis 6.54 zu erkennen.
r-
rI
I
I I
I
I
I
I
i 0
i
II
I
1 23r
I
45
1
t
x'
Abb. 6.51 Objektfunktion und Bildfunktion bei Aperturbegrenzung (nur nullte Ordnung hindurchgelassen)
Abb. 6.52 Objektfunktion und Bildfunktion bei Aperturbegrenzung (die nullte und die beiden ersten Ordnungen hindurchgelassen)
Abb. 6.53 Objektfunktion und Bildfunktion bei Aperturbegrenzung (die nullte, die ersten und die zweiten Ordnungen hindurchgelassen)
Abb. 6.54 Objektfunktion und Bildfunktion bei Aperturbegrenzung (die nullte, die ersten, die zweiten und die dritten Ordnungen hindurchgelassen)
574
6 Optische Instrumente und Systeme
L a t das Objektiv nur die nullte Ordnung hindurch, d a m ist das Bildfeld gleichmd3ig hell. Das Gitter wird nicht aufgelost. In Abb. 6.52 sind die nullte und die beiden ersten Ordnungen (rn = f 1) uberlagert. Im Zwischenbild ist eine Struktur zu erkennen, dre dieselbe Gitterkonstante wie das Objekt hat. Das Bild ist jedoch dem Objekt nicht M i c h . Es gilt also:
I
Damit ein Objekt bei gerader Hellfeldbeleuchtung aufgelost wird, mussen mindestens die beiden ersten Ordnungen im Beugungsbild vorhanden sein. Die Abbildung ist nicht objekttreu.
Nach Abb. 6.55 ist &o = 90°,
cos&, =
a,
= 0,
a = cos& = sin(90°+u) = - s i n k
Allgemein konnen wir -a = A (numerische Apertur) setzen. Fiir die erste Ordnung gilt --[x
= -.a g
Die aufgeloste Strecke betragt bei gerader Hellfeldbeleuchtung g =
-.A
(6.127)
A 0. Ordnung
1.Ordnung
J
/
\
- 1.Ordnung
Abb. 6.55 Auflosbarer Winkel bei
Abb. 6.56 Aufliisbarer Winkel bei
gerader Hellfeldbeleuchtung (grau: gebeugtes Licht)
schrager Hellfeldbeleuchtung (grau: gebeugtes Licht)
Bei schrager Hellfeldbeleuchtung wird das Gitter aufgelost, wenn die nullte und die erste Ordnung vom Objektiv erfal3t werden. Es gilt (Abb. 6.56)
a, = COS(~O"-U)= A,
a=
cOS(~OO+U)
= -A,
also
~ r , - a = 2A = -.A g
Die auflosbare Strecke betragt
g = -.A
2A
(6.128)
In Abb. 6.53 und 6.54 sind weitere Ordnungen im Bild wirksam. Das Auflosungsvermogen &ndert sich dadurch nicht, aber das Bild wird in steigendem MaI3e dem Objekt 'dhnlicher.
575
6.2 Lupe und Mikroskop
Die Faktoren, die in den G1. (6.127) und (6.128) bei A/A stehen, w d e n in Tab. 6.13 verwendet und mit mA bezeichnet (mA= 1 bzw. 05).
Phasengitter. Als Model1 fiir ein Phasenobjekt verwenden wir ein reines Phasengitter mit stiickweise konstanter Phase. Die Objektfunktionist also ejs, 0 I K < K ~ , f ( ~= )
e'T, 11;
K = K ~ ,
(6.129)
Ko
Fiir ein derartiges Liniengitter w d e n die Fourier-Koeffizienten in 5.2.2 berechnet (Laminar-
gitter). Sie lauten
(6.130a b) Eine ubersichtliche Diskussion ist nur moglich, wenn 6 klein ist. Wir entwickeln exp(j6) in eine Reihe, die wir mit dem linearen Glied abbrechen. Aus G1. (6.130) geht a. = l + J 6 K o ,
4 = sl(o(e2j'm - 1)
2Vm
(6.131a, b)
hervor. Durch Trennung von Real- und Imagintirteil bzw. Anwenden der Ngiherung 1+ j6 K,, = exp( j6 K ~ ergibt ) sich (6.132a, b) Die Fourier-Reihendarstellung der Objektfunktion und damit ohne Eingriff auch der Bildfunktion lautet (6.133) Der Strich am Summenzeichen deutet an, dal3 das Glied mit m = 0 nicht in der Summe enthalten ist. Wegen exp( jz/2) = j gilt auch (6.134)
Der Vergleich mit den Beziehungen fiir das Amplitudengitter ergibt ftir Phasengitter mit kleiner Phaseniinderung: - In der nullten Ordnung ist der Betrag der komplexen Amplitude beim Phasengitter nahezu gleich 1. - Da 6 als klein vorausgesetzt ist, stellt 6r0 einen sehr kleinen Winkel dar. Die Phasenlage in der nullten Ordnung ist deshalb beim Phasen- und beim Amplitudengitter fast die gleiche.
576
6 Optische Instrumente und Systeme
Die hoheren Ordnungen des Phasengitters sind wegen des Faktors 6 in G1. (6.132b) sehr lichtschwach. In der GauSschen Bildebene sind die Amplitudenvektoren der hoheren Ordnungen beim Phasengitter um 90" gegenuber denen beim Amplitudengitter gedreht; das ist besonders deutlich an G1. (6.132b) zu erkennen. Da die Amplitudenvektoren der nullten Ordnung fast gleichgerichtet sind, ist die beim Phasengitter zusatzlich vorhandene Phasendifferenz von 90" zwischen der nullten und den hoheren Ordnungen der wichtigste Unterschied zwischen den Beugungsbildern beider Gitterarten. Die Bildfunktion ist ohne Eingriff der Objektfunktion gleich. Beim Phasengitter lautet sie ej6,
0 I K' < &, (6.135)
Der Bildkontrast betragt (6.136) Das Phasengitter ist ohne Eingriff nicht wahrzunehmen, weil der Kontrast verschwindet. Diese Aussage ist nicht auf Gitter mit kleiner Phasenaderung beschrbkt. Fiir ein Phasengitter mit und
KO =
6 = 0,l A 6"
sind die Daten der komplexen Amplituden in Tab. 6.17 enthalten. Abb. 6.57 demonstriert die Richtungen der Amplitudenvektoren in der GauRschen Zahlenebene. Man vergleiche damit Abb. 6.49 fiir das Amplitudengitter. Tabelle 6.17 Betrag und Phase der Beugungsfunktion des Phasengitters m
0
f l
f 2
f 3
f4
lam1
1 54'43"
0,01526 k 28"39'
0,01340 +57"18' + 90"
0,01059
0,007236 k 114'35'
v,
+4 2
+ 90"
k 85'56'
+ 90"
+ 90"
Abb. 6.57 Richtung der komplexen Amplituden b.n Beugungsbild
des Phasengitters
Dunkelfeldverfahren. Die Mikroskopie mit dem Dunkelfeldverfahren 1st dadurch gekennzeichnet, daf3 das direkte Licht nicht am Bildaufbau beteiligt ist. Nur das am Objekt gebeugte und gestreute Licht wird vom Objektiv erfdt. Wir bilden ideale Gitter ab, so daf3 n u gebeugtes Licht zum Zwischenbild gelangt.
6.2Lupe und Mikroskop
577
Das Ausblenden des ungebeugten Lichtes kann durch einen Quivalenten Eingriff in das primiire Bild gedeutet werden. Bei einem Beugungsgitter ergibt das direkte Licht die nullte Ordnung des Spektrums. Es mu6 also zum Verschwinden gebracht werden, etwa durch ein undurchsichtiges Pliittchen in der bildseitigen BreMebene des Objektivs. Da wir sowohl die positiven als auch die negativen Ordnungen zur Abbildung verwenden, gilt unsere Darstellung fiir das sogenannte symmetrische Dunkelfeldverfahren. Die Eingriffsfunktion lautet c(v) =
0, m = 0, 1, m # 0.
(6.137)
Wir untersuchen die Abbildung eines Amplituden- und eines Phasengitters getrennt. Das Amplitudengitter hat nach G1. (6.123)die Bildfunktion (6.138) Der Suich am Summenzeichen deutet das Fehlen des Gliedes mit m = O an. Da wir G1. (6.138)auch in der Gestalt (6.139) schreiben k6Men und der erste Teil die Bildfunktion G1. (6.123)fiir das Hellfeldbild des Amplitudengitters ist, gilt (6.140)
(6.141)
-1
Abb. 6.58 Kontrast beim Dunkelfeldverfahren
Abb. 6.58 veranschaulicht die Abhiingigkeit des Kontrastes von K ~ Wir . lesen folgende Eigenschaften des Dunkelfeldverfahrensfiir Amplitudengitter ab: - Der Kontrast im sekund81-en Bild ist gegenuber dem im Hellfeldbild verringert. - Gitter, bei denen K, = 0.5 ist, sind unsichtbar, weil der Kontrast verschwindet. - Gitter, fiir die ;rc0 > 0,5 ist, werden mit negativem Kontrast abgebildet. Die dunklen Objektstreifen erscheinen heller als die durchlksigen Objektstreifen.
578
6 Optische Instrumente und Systeme
Das Phasengitter hat nach G1. (6.133) die Bildfunktion m
b ( d ) = j6Ko
'sinvIn ejv,,,e-21CjmC'
(6.142)
Diese Bildfunktion unterscheidet sich von der Bildfunktion G1. (6.138) des Amplitudengitters nur um den Faktor j 6. Deshalb gilt unter Verwendung von G1. (6.140) (6.143)
I
Bei der Berechnung des Kontrastes kurzt sich der Faktor j 612 , so daR beim Phasengitter ebenfalls 1-2K0 K = (6.144) 4- .', (1gilt. Die Funktion K( K Phasengitter:
~ wird )
auch beim Phasengitter durch Abb. 6.58 dargestellt. Es gilt fiir
Der Kontrast im sekundken Bild ist gegeniiber dem im Hellfeldbild vergronert. Phasengitter werden im Dunkelfeld sichtbar. - Gitter, bei denen K~ = 0,5 ist, sind unsichtbar. - Gitter, fur die K~ > 0,5 ist, werden mit negativem Kontrast abgebildet. Beim Phasengitter bedeutet dies, daR die Bereiche des Gitters, in denen das Licht eine groDere optische Weglsbge nd hat, heller erscheinen als die Bereiche mit kleinerer optischer Weglsbge. -
111I
x x,:
-
1
1
xo=
schrnole Streifen optisb dichter schmole Streifen optisch dunner
'
schrnole Stwen optisch dunner schrnole Streifen optisch dicker
Abb. 6.59 Deutungsmoglichkeiten beim symmetrischen Dunkelfeldverfahren
Es ist zu beachten, daR in unserem Fall der Objektbereich K~ IK I1 derjenige mit der grijBeren optischen Dicke ist. Fiir ein positives 6 eilt die Phase im Gebiet 0 IK IK~ der Phase in dem ubrigen Gebiet voraus. Bei der Betrachtung eines Phasengitters mit dem Dunkelfeldverfahren konnen wir allerdings nicht unterscheiden, ob der schmale oder der breite Objektbereich einer Periode der kleineren optischen Dicke zugeordnet ist (Abb. 6.59). Es l U t sich also mit dem symmetrischen Dunkelfeldverfahren nicht entscheiden, welcher Objektbereich der optisch diinnere ist.
Phasenkontrastverfahren. Das Dunkelfeldverfahren stellt eine Mikroskopiermethode dar, mit der Phasengitter sichtbar gemacht werden. Ein weiteres Verfahren, mit dem von Phasengittern kontrastreiche Bilder erzeugt werden konnen, ist das Phasenkontrastverfahren. Es liefert bei ausreichend groDer Apertur objektiihnliche Bilder. Das Phasenkontrastverfahren wurde von Zernike vorgeschlagen. Wir gehen vom Vergleich der komplexen Amplituden im primaren Bild des Amplitudengitters (Abb. 6.49) mit den komplexen Amplituden im primiiren Bild
6.2 Lupe und Mikroskop
579
des Phasengitters mit kleiner Phasenbderung (Abb. 6.57) aus. Das primiire Bild des Phasengitters muB danach in das primiire Bild des Amplitudengitters ubergefiihrt werden koMen, wenn beim Phasengitter der zusatzliche Phasenunterschied von nahezu 90” zwischen der nullten und den hoheren Ordnungen aufgehoben wird. Zu diesem Zweck brauchen wir nur am Ort der nullten Ordnung in der hinteren BreMebene des Mikrmbjektivs ein sogenanntes Phasenplsttchen anzubringen. Dieses erzeugt die gewiinschte Phaseniinderung und schwiicht das Licht durch Absorption. Wir stellen die Bildfunktionen von Amplituden- und Phasengitter nach G1. (6.123) und GI. (6.133) gegeniiber. Amplitudengitter: Phasengitter: Der Vergleich zeigt, daO wir bei einer Eingriffsfunktion (6.145)
fiir die Bildfunktion des Phasengitters (es ist uo= 1+ j S K , )
(das Glied mit 6’ ist vernachlgissigt worden) oder (6.146) erhalten. GI. (6.146) ist bis auf den Faktor j S mit der Bildfunktion des Amplitudengitters identisch. Es ergibt sich unter Verwendung von G1. (6.125) (6.147) und K = 1. Die Bereiche mit grtil3erer optischer Weglhge erscheinen dunkler als die ubrigen Bereiche (positiver Phasenkontrast).
I
Bei dem “positiven Phasenkontrastverfahren” erscheinen die Objektbereiche mit grtiBerer optischer Weglbge im Bild dunkler als die Objektbereiche mit kleinerer optischer Wegliinge. Bei dem “negativen Phasenkontrastverfahren”ist es umgekehrt.
Aus couo=
J6KoUo
= jS~o(l+jSrco>
(6.148)
folgt unter VernachlsSsigung der Glieder mit 6’ .E
coa, = 6Koe’?.
(6.149)
6 Optische Instrumente und Systeme
580
Nach G1. (6.132a) und G1. (6.149) mu8 der Phasenstreifen die Phase urn (6.150)
iindern und den Betrag der komplexen Amplitude urn 1- 6 K 0 .
(6.151)
Wegen des als klein vorausgesetzten Wertes von 6 wird das Bild lichtschwach. Die Phasen= n/2, die ein Voreilen der Phase in der nullten Ordnung erfordert, l U t sich inUderung direkt realisieren, indem die Phase in den Ordnungen m # 0 um 6 = -n/2 (Nacheilen der Phase in diesen Ordnungen) geiindert wird. Das hier behandelte positive Phasenkontrastverfahren mit kleiner Phaseniinderung ergibt den Maximalkontrast K = 1, weshalb wir auch von einem “optimalen Phasenkontrastverfahren”sprechen konnen. Der Nachteil besteht aber darin, dao ein stark absorbierender Phasenstreifen erforderlich ist. Es ist aber praktisch nicht notwendig, den Maximalkontrast anzustreben. Mit einem Phasenstreifen geringerer Absorption 1Ut sich bei nicht zu geringer Bildintensitat ein ausreichender Kontrast emielen. Auf die Vielfalt an Mikroskopierverfahren und Spezialmikroskopen kann nicht eingegangen werden. Wir verweisen auf [ 5 ] und [751. Auch neuere Entwicklungen wie z. B. die allgemeinen Scanning-Mikroskope oder die konfokalen Laserscan-Mikroskope [74] erfordern umfassende Darstellungen in Monografien.
6.2.8
Partiell-koharenteAbbildung
Die kohiirente Abbildung von mikroskopischen Objekten ist ein Grenzfall fiir verschwindende Beleuchtungsapertur oder Beleuchtung mit raumlich kohiirenter Laserstrahlung. Im allgemeinen ist das Licht partiell-kohiirent. Auch bei der Fotolithografie zur Ubertragung von mikroelektronischen Strulcturen bilden die Objektive mit partiell-kohiirentem Licht ab. Das von einem Lichtquellenpunkt ausgehende Licht, das bei der Kohlerschen Beleuchtung hinter dem Kondensor eine Richtung hat, uberlagert sich nach der Beugung am Objekt und an der Offnungsblende in der Zwischenbildebene kohiirent, d . h , es interferiert. Die yon verschiedenen Lichtquellenpunkten stammenden Anteile sind inkohiirent zueinander und iiberlagem sich in der Zwischenbildebene inkohiirent, d . h , es addieren sich die Intensitaten. Der Vorgang ist analog zur rtiumlichen Kohiirenz beim Youngschen Interferometer. Wir betrachten zunachst zwei feine Offnungen in der Objektebene, die zwei punktfonnige Objekte annfiem. Beleuchtet wird mit einer ausgedehnten kreisformigen Lichtquelle konstanter Leuchtdichte. (Es 1Ut sich zeigen, daR zwischen direkter Beleuchtung ohne optische Hilfsmittel und der Kohlerschen Beleuchtung kein Unterschied in der Sttukturierung des Bildes besteht.) Aufgrund von GI. (2.183) betragt die Interferemintensitat nach der Beugung an den beiden Offnungen in der GauDschen Zwischenbildebene I = 1, + I 2 + 2 J - K
I r,*(O)Icos
(a12
+ 61,).
(6.152)
Wir nehmen an, daO beide Offnungen gleich groI.3 sind und ferner die Offnungen und die Lichtquelle syrnmetrisch zur optischen Achse liegen ( x , = - x 2 = p/2, y1= -yz = p/2,
6.2 Lupe und Mikroskop
581
d / R = sin u k , a12 = a,, = 0; Abb. 6.60). Den AbbildungsmaDstab nonnieren wir auf Es ist dann auch p = p'. Die Beleuchtungsapertur folgt aus (Abb. 6.60) d / R = sin uk.
PObj = 1.
4
Quelle
ObieM
Objektiv
Bild
A;(- .>
Abb. 6.60 Abbildung von zwei Objektpunkten a) Meridionalebene, b) GauBsche Bildebene
Wir fiihren den Kohilrenzparametergems G1. (6.71),
s = - -sin& - -Ak sinu
A '
ein (u halber Offnungswinkel des Objektivs, A, Af numerische Apemen). Vor dem Objekt betragt nach G1. (2.187) der nonnierte KohSrenzgrad (6.153) mit v12
nad
- 2xpslnu; = A
=AR -
2npSsinu =
A
sv
(6.154)
(p' = x2 + y2). Die Beugungsbilder in der Gadschen Bildebene haben die Intensitat (6.155a, b) mit
2 n sinu ( x ' - x ) 2 + ( y ' - y ) 2 , v1 = -
vz = 2RSinu , / ( x ' + ~ ) ~ + ( y ' + y ) ~(6.156a. . b)
A
Mit den Gleichungen (6.153) und (6.155) folgt aus G1. (6.152) fiir die Intensitat im Aufpunkt A' der Bildebene
Liegt der Aufpunkt im Koordinatenursprung, d m ist x' = y' = 0 und
v, =
v2
=
-=v
n
,/m
= p , so dal3
582
6 ODtische Instrumente und Svsteme
wird. Es gilt
Im Gaul3schen Bildpunkt A; gilt x’ = x, y’ = y und damit v1 = 0, v2 = 2 v . Die Intensitfit betragt
I ( x , y , S ) = I O { l + [ ~ ] 2 t 22J ,2Sv (2Sv) 2J1(2v) Die Grenzfalle kohaente Beleuchtung ( S = 0) und inkohaente Beleuchtung (S + W ) ergeben 2
I(O,O,O) = 410[*]
i
2
, I ( x , y , O ) = I , I+2Jfv2v)i
bzw.
Verwenden wir als Giitekriterium fir das Auflosungsvermogen der Punkte die Vorschrift I(O,O,S)/I(x,y,S)=0,73, da m erhalten wir nach numerischer Auswertung fiir S = 0 (kohaente Beleuchtung)
p = 0,811,
fiir S 4
-
A
(6.158a)
(inkohiirente Beleuchtung)
p = 0,61&
A‘
(6.158b)
Bei beliebigem Kohiirenzparameter gelten die Werte der Abb. 6.30. Das Minimum des Auflosungsvermogens (beste Auflosung) ergibt sich bei S = 1,46 und betragt
p = 0,57$.
(6.159)
Dieselbe Auflosung wie bei S + m liegt fiir S = 1 vor. Bei diesem Kohiirenzparameter koMen wir also diesbezuglich von quasiinkohiirentem Licht sprechen. Fiir ausgedehnte Objekte ist die Berechnung der Intensitat in der Bildebene aufwendig. Beispiele sind z. B. in [ 191 enthalten. Beziiglich des Auflosungsvermogens von Sinusgittern bestfitigen sich die Werte der Tab. 6.13. Es folgt (6.160) wobei S I1 sein mulj und S = 1 den inkohiirenten Fall darstellt. Es ist also mA
1
= l+S
zu setzen (koh&ent rnA= 1, inkohiirent mA = 0,5, bei S = 0,5 ist mA = 0,66).
583
6.3 Femohr
6.3
Fernrohr
6.3.1
Afokale Systeme
Begriff. In ihrer Grundfunktion sind die Fernrohre afokale Systeme. In diesem Abschnitt behandeln wir nur zentrierte afokale Systeme. Es gilt:
I
Afokale optische Systeme transformieren ein paralleles Strahlenbundel in ein Parallelbundel. Sie haben die Gesamtbrechkraft F' = 0.
Fiir die einzelne dicke Linse ergibt sich aus der Brechkraftbeziehung (GI. (4.62))
mit F' = 0, dal3 entweder r, = r2 = sein mu8 (trivialer Fall der planparallelen Platte ohne &&rung des Bundeldurchmessers) oder
zu wiihlen ist (vgl. 4.1.5, symmetrische Bikonvexlinse). Das Verhiiltnis der Bundeldurchmesser folgt aus G1. (4.47) zu
Der bildseitige Brennpunkt der ersten Flache und der objektseitige Brennpunkt der zweiten Flache fallen zusammen. Eine dicke Linse eignet sich zwar theoretisch als afokales Funktionselement, praktisch storen jedoch die erforderliche grol3e Glasdicke sowie die Abbildungsfehler. Zwei optische Systeme haben nach G1. (4.40) die aquivalente Brechkraft
Das optische Intervall t folgt fiir Systeme mit fi'= t = el - f i t -
-fi
und fi* = -f2 nach G1. (4.38) aus
fl.
Auch aus zwei optischen Systemen entsteht ein afokales System, wenn das optische Interval1 gleich 0 ist. Daraus ergibt sich
el = A'+ &'.
(6.16 la)
(Den trivialen Fall f'= f;= = scheiden wir aus.) Zwei Fale sind von praktischer Bedeutung:
fi'
> 0.f; > 0
(zwei sammelnde Systeme); der Abstand der Systeme ist gleich der Summe ihrer bildseitigen Brennweiten.
5 84
A’
’0 ,A’ < 0
6 Optische Instrumente und Systeme (sammelndes und zerstreuendes System); der Abstand der Systeme ist gleich der Differenz der bildseitigen Brennweitenbetrage:
e; =
fi’-lfiI.
(6.16 1b)
Beide Fdle sollen genauer untersucht werden.
Sammelndes Objektiv und sammelndes Okular sind charakteristisch fiu das astronomische Fernrohr, das auch Keplersches Fernrohr genannt wird. Abb. 6.61 zeigt den Suahlengang fiir die Abbildung des unendlich fernen Achsenpunktes und fiir die Abbildung eines aderaxialen Punktes. Es zeigt sich, dal3 ein Parallelbundel, welches von oberhalb der optischen Achse einH-H’,
H=Hbk
Abb. 6.61 Strahlenverlauf im
astronomischen Fernrohr fdlt, dem Beobachter von unterhalb der optischen Achse zu kommen scheint. Abb. 6.61 1 s t folgende Eigenschaften des astronomischen Fernrohrs erkennen:
die Summe der bildseitigen Brennweiten von Objektiv und Okular bestimmt. - Das Bild ist hohen- und seitenvertauscht. - In der bildseitigen Brennebene des Objektivs entsteht ein reelles Zwischenbild.
- Die Bauliinge wird im wesentlichen durch
Bundelbegrenzung. Die freie Objektivoffnung des astronomischen Fernrohres wirkt im allgemeinen als Offnungsblende und damit praktisch auch als Eintrittspupille. Die Austrittspupille ist das durch das Okular erzeugte Bild der freien Objektivoffnung. Wegen
liegt sie um (6.162) hinter der bildseitigen Hauptebene des Okulars und ist dem Auge zug2nglich. Abb. 6.62 enth a t den Hauptstrahlenverlauf im astronomischen Femrohr. Bei Okularen mit relativ grol3en Brennweiten enffernen sich die Hauptstrahlen vom Zwischenbild bis zum Okular weit von der optischen Achse. Es ist dann erforderlich, das Okular aus Feld- und Augenlinse zusammenzusetzen. Die Feldlinse im Zwischenbild oder in dessen Niihe wirkt vorrangig auf den Hauptstrahlenverlauf und hat wenig EinfluR auf den Abbildungsstrahlengang (Abb. 6.63).
V
-
-
AP
FB
~
/
I
-
/
/ r ’
Abb. 6.62 Hauptstrahlenverlauf
A
V
im astronomiscben Femrohr
FB
AP
-
/
/ -
Abb. 6.63 Feldlinse in der
Zwischenbildebene
4
In der bildseitigen BreMebene des Objektivs entsteht das reelle Zwischenbild. An dieser Stelle muB die Feldblende angebracht werden, wenn das Feld scharf begrenzt sein sol1 (Abb. 6.62). Aus- und Eintrittsluke liegen im Unendlichen. Das astronomische Fernrohr eignet sich gut als Me& und Zielfernrohr, weil in der reellen Zwischenbildebene Marken und Teilungen angebracht werden konnen, die gemeinsam mit dem Bild scharf gesehen werden. Astronomische Fernrohre. bei denen das Objektiv nur aus Linsen besteht, werden Refraktoren genannt. Bei Reflektoren oder Spiegelfernrohrenist das Hauptelement des Objektivs ein Hohlspiegel. Astronomische Fernrohre mit hohen- und seitenrichtigem Bild. Fiir Beobachtungen von natiirlichen Objekten auf der Erde und in einem Teil der Geriite start die Hohen- und Seitenvertauschung bei der Abbildung im astronomischen Femrohr. Sie kann vermieden werden, wenn durch Linsensysteme (terrestrisches Fernrohr) oder Reflexionsprismen (Prismenfernrohr) die Umkehr des Bildes aufgehoben wird.
_r
Abb. 6.64 Terrestrisches
Fernoh Terrestrische Fernrohre enthalten im allgemeinen ein Umkehrsystem aus Linsen, das mit dem MaOstab p’= - 1 abbildet. Der bildseitige BreMpunkt des Objektivs und der objektseitige BreMpunkt des Okulars mussen jeweils um die doppelte BreMweite des Umkehrsystems von den zugeordneten Hauptpunkten entfernt sein (Abb. 6.64). Bei terrestrischen Fernrohren
586
6 Optische Instrurnente und Systeme
sind zwei Feldlinsen erforderlich (Abb. 6.65). Ein wesentlicher Nachteil der terrestrischen Fernrohre ist ihre grofie Baulhge.
Prismenfernrohre werden mono- und binokular hergestellt. Die Prismensatze zur Hohenund Seitenvertauschung d&fen nicht nur komplanare Spiegelflachen haben. Ihnen muS das Prismensymbol (n 1 - 1, - 1,1 oder 1)zugeordnet sein. Bevorzugt werden die Porroschen Prismensatze 1. und 2. Art sowie das Konig-, Dialyt- und Abbe-Prisma, aber auch das zusammengesetzte Schmidt-Prisma 1st geeignet (Abb. 6.66). Die Porroprismen haben den Vorteil des teilweise riicklaufigen Strahlengangs, der die Bauliinge verkiirzt. Die seitliche Versetzung der optischen Achse ermoglicht bei Doppelfernrohren eine vergroaerte objektseitige Pupillendistanz. Bei den ubrigen Prismensatzen fluchtet die optische Achse. Zwei Reflexionen finden an einer Dachkante statt, so daI3 der Doppelbildfehler durch sehr enge Toleranzen vennieden werden m a .
Abb. 6.66 Prismenfemrohr
Abb. 6.67 Strahlenverlauf im hol1;indischen Fernrohr
Sammelndes Objektiv und zerstreuendes Okular liegen beim hollhdischen Fernrohr vor, das auch Galileisches Femrohr genannt wird. In Abb. 6.67 ist der Strahlengang dargestellt. Folgende Eigenschaften sind abzulesen: - Die Baulbge wird im wesentlichen durch die Differenz der bildseitigen Brennweitenbetrage von Objektiv und Okular bestimmt.
587
6.3 Femrohr
- Das Bild ist hohen- und seitenrichtig. - Das Zwischenbild ist virtuell, so daS an seinem Ort keine Marken angebracht werden konnen. Als Me& und Zielfernrohr ist das hollhdische Fernrohr nur geeignet, wenn die Marken mittels optischer Elemente in den Strahlengang eingeblendet werden. Biindelbegrenzung. Die Offnung wird durch die Augenpupille begrenzt, die damit zugleich Austrittspupille ist. Ihr objektseitiges Bild, die Eintrittspupille, liegt weit hinter dem Fernrohr und ist relativ klein (Abb. 6.68). H-Hb,
H=Hb,
FB
AP
v \
-
+Abb. 6.68 Hauptstrahlenverlauf im holl;indjscben Femrohr
4
In der virtuellen Zwischenbildebene kann keine Feldblende angebracht werden. Als Feldblende und Eintrittsluke wirkt die freie Offnung des Objektivs, so daR Randabschattung durch die Feldblende eintritt.
Beim Einbau eines afokalen Systems vom Typ des hollhdischen Fernrohrs in ein OptikSchema ohne direkte Koppelung an das Auge ist die freie Objektivoffnung Eintrittspupille und Offnungsblende; die Austrittspupille ist virtuell und liegt zwischen Objektiv und Okular. Als Feldblende und Austrittsluke wirkt der fi-eie Okulardurchmesser (Abb. 6.69).
6.3.2
VergroBerung und Auflosungsvermogen
Afokales System, unendliche Objektweite. Die allgemeine VergriiSerungsformel G1. (6.5), die die scheinbare GroSe tan w,' des Bildes und die scheinbare GroOe tan w, des Objekts mit
6 Optische Instrumente und Systeme
588 Hilfe der Beziehung
r*,=-
tan w: tan w,
verkniipft, l a t sich fiir das afokale astronomische Fernrohr mit unendlicher Objektweite (durch den Index gekennzeichnet) spezialisieren. Nach Abb. 6.70 ist tan w, =
Ydb
-7 tanw: ,= fob
Ybb -,
f&k
’
0
0
0 \
-__
*
b F,
ws ‘db
t
= FO
k
Yip0 Abb. 6.70 Zur Ableitung der Vergr6Serung eines afokalen Systems
also (6.163) Die gleiche Beziehung gilt auch fiir das holl2indische Fernrohr.
Afokales System, endliche Objektweite. Beim astronomischen Fernrohr als afokales System mit endlicher Objektweite entsteht auch das Endbild im Endlichen (Abb. 6.71). Nach der
I
IYYdk
Abb. 6.71 Zur Ableitung der Ver-
grokrung eines afokalen Systems bei endlicher Objektweite
Newtonschen Abbildungsgleichung gilt fiir den Ort des Zwischenbildes (6.164)
fiir den Ort des Endbildes (6.165)
6.3 Femohr
589
Es ist (GroBen ohne Index gelten fiir das Fernrohr insgesamt) ZOb
= 21
also
z& = ZOk,
zbk
= z’,
(9) 2
z’ =
z
oder
z’ = -z.1
(6.166)
r : 2
Die Bildweite Iz’l sollte nicht kleiner als die deutliche Sehweite sein. Daraus folgt als kleinste mogliche Entfernung des Objekts
z/m = -0.25r:~.
(6.167a)
r:
= -20 ist z. B. z = -100 m. Bei Das Intervall z2 - z1 im Objektraum wird auf das Intervall des Bildraumes
(6.167b) gestaucht. Im Fernrohr entsteht ein tiefenverkiirzter perspektivischer Eindruck.
Fokussiertes System auf unendliche Bildweite bei endlicher Objektweite. Das Endbild entsteht auch bei einem im Endlichen liegenden Objekt im Unendlichen, wenn das optische Intervall so geiindert wird, dal3 das Zwischenbild in der objektseitigen Brennebene des Okulars bleibt (Abb. 6.72). Das optische Intervall m a den Betrag
haben.
f bb 4
\ -
4 w,
-
f
-
..3
Fbb
Abb. 6.72 Fernrohr mit endlicher Objektweite und unendlicber Bildweite
Die VergroBerung ist damit neu zu berechnen. Es ist (6.169a. b) also (6.170)
590
6 Optische Instnrmente und Systeme
bzw. (6.171)
Nur,wenn nicht mehr IzI
+ f&gilt, weicht die VergroSerung merklich von r:
ab.
VergroBerung und Pupillenabbildungsmas~b. Nach Abb. 6.73 betragt fiir z =m der Abbildungsmahtab der Pupillen (6.172a)
und nach Abb. 6.74 fiir z f -, aber z’ = w ,
p’
=
-A= 1 f&+t
(6.172b)
7’
Abb. 6.73 Zur Ableitung des Pupillenmdstabs fiir unendliche Objektweite
Abb. 6.74 Zur Ableitung des PupillenmaSstabs fur endliche Objektweite
Es wird in beiden Fgillen
r’p; = 1.
(6.173)
Diese Beziehung stellt die Grundlage fiir ein Verfahren zur Messung der VergroUerung dar. Sie gilt nicht fiir das holliindische Fernrohr mit visuellem Gebrauch. Sie ist aber statt dessen anwendbar fiir die Lukenabbildung, wenn die Eintrittsluke mit der freien Objektivoffnung ubereinstimmt:
r’p; = 1.
(6.174)
Bei einem binokularen holliindischen Fernrohr ist wegen der Pupillendistanz der Augen der Objektivdurclunesser auf etwa 50 m m . 4 0 mm begrenzt. Die Austrittsluke hat den Durch-
messer 2PL 2p; = 7.
(6.175)
r
Bei hohen VergroSerungen wiirde die Austrittsluke sehr klein. Deshalb sollte die VergroUe7 sein. Es ist z. B. mit 2pL =56 mm rung des binokularen Fernrohrs nicht groRer als etwa und r‘=7 nur 2 p i = 8 mm.
r’=
59 1
6.3 Fernrohr
Ausgleich von Fehlsichtigkeit. Nach G1. (6.48) betragt die Entfernung, auf die ein um D Dioptrien fehlsichtiges oder akkommodiertes Auge eingestellt ist, (6.176)
Abb. 6.75 Zur Berechnung des optischen Intervalls bei Fehlsichtigkeit und bei Akkommodation
Das Okular ist bei der Verwendung des Fernrohrs mit einem fehlsichtigen Auge so zu verschieben, daR sein Endbild mit der Einstellentfernung des Auges zusammenfidlt. Daraus folgt (Abb. 6.75) -z&k+zL
= -aA.
(6.177)
(Dabei haben wir niiherungsweise angenommen, daR die Austrittspupille des Fernrohrs am Ort der objektseitigen Hauptebene des Auges liegt.) Mit
folgt daraus (6.178) Praktisch kann
angenommen werden, so daB t/mm = 0,001(f~~/mm2)(D/dpt)
(6.179)
ist. Die Dioptrieneinstellungdes Okulars kann linear in Dioptrien Fehlsichtigkeit geteilt werden. Akkommodation und Kurzsichtigkeit erfordern ein negatives, Weitsichtigkeit erfordert ein positives optisches Intervall.
592
6 Optische Instrumente und Systeme
Akkommodation auf die deutliche Sehweite bedeutet D = -4 dpt. Bei einem Okular mit
fdk = 25 mm betragt das erforderliche optische Interval1 t = - 2,5 mm. Auflosungsvermogen. Beim astronomischen Fernrohr wird das Auflosungsvermogen durch den objektseitigen Winkel d charakterisiert, unter dem zwei auflosbare Punkte erscheinen mussen. In der Zwischenbildebene erhalten wir von beiden Punkten ein Beugungsbild. Da die Lichtbundel inkohiirent zueinander sind, uberlagern sich die Intensitaten der Beugungsbilder. Nach Abb. 6.76 und G1. (4.339) wird im Zwischenbild des Fernrohrs die Strecke r; = 1,22Ak aufgelost. Es ist (Abb. 6.76) r‘ 1 d = tan d = -, k = - (K Offnungsverhilltnis), fAb K also d =
1,22-
a
fhb
(6.180a, b) (6.181)
’
H-H bk
1
Abb. 6.76
Auflosbarer Winkel
GroRes Offnungsverhilltnis und groRe Objektivbrennweite sind gunstig fiir ein gutes Auflosungsvermogen. Wegen der Kleinheit der auflosbaren Winkel ist Mit d nach G1. (6.181) und K = 2pp/fAb ergibt sich (6.182) Bei A = 500 nm und 1’ I16’154’ ist 0,96pp/mm I IG’l I 3,84pp/mm.
(6.183)
AuRerdem gilt mit den gleichen Werten nach G1. (6.173) 1 mm 2 pk 2 0,26 mm.
(6.184)
(pi ist der Radius der Austrittspupille des gesamten Fernrohrs.) [GIist die forderliche VergroRerung, bei der das Auflosungsvermogen des Fernrohrs und des Auges gunstig angepal3t sind.
593
6.3 Femrohr
Bei o’=1’ gilt niiherungsweise
I&’[
= pp/mm
und
pb = 1 mm.
Es liegt daM die forderliche VergroBerung im engeren Sinne vor. Von der NormalvergroDerung spricht man beim astronomischen Femrohr, wenn dessen Austrittspupille und die Augenpupille gleichen Durchmesser haben. Bei einem friiheren Schulfemrohr von Carl Zeiss Jena liegt die VergroBerung bei r’=-21 bis -140, die forderliche VergroBerung betragt I G’l= 30.. .120. Es ist mit einem Objektiv ausgeriistet, dessen Eintrittspupille den Durchmesser 2p, = 63 mm hat. Bei A = 516,4 nm folgt aus G1. (6.181) fiir den auflosbaren Winkel o = lo-’ P 2”. Dieser Wert stellt den theoretischen Grenzfall dar. Abbildungsfehler, Zentrierfehler, Luftunruhe u. a. setzen praktisch das Auflosungsvermogen herab. Zum Vergleich seien einige Zahlen angegeben. So betragt der groDte scheinbare Aquatordurchmesser der Sonne 32‘36”, des Mars 25,l” und des Neptun 2,4”. Das Spiegelfemrohr des Mt. Palomar mit 2p, = 5 m hat die forderliche VergroDerung I GI=2400.. .9600. Es lost bei A = 500 nm theoretisch den Winkel d = 1,22. lo-’ P 0,025” auf. Unter diesem Winkel wiirden die Endpunkte eines Stabes mit 1 m L u g e in ca. 8200 km Entfernung erscheinen. Der Einflul3 der Erdatmosphiire begrenzt das Auflosungsvermogen auf ca. 1”. Auswege, diesen Einflul3 zu vermindern, stellen die Installierung der Femrohre auf Berggipfeln oder die extraterrestrische Astronomie dar. Technische Moglichkeiten zur Anniiherung an das beugungsbegrenzte Auflosungsvermogen sind Verfahren zur Bildverarbeitung (Speckle-Interferometrie und -Holografie) sowie die Anwendung der aktiven und der adaptiven Optik. Unter Speckle versteht man die fleckenartigen Intensitatsverteilungen, die durch die statistische Uberlagerung sehr kleiner Lichtkonzentrationen entstehen. Die Flecke konnen durch die Streuung von kohiirentem Licht an feinen Teilchen auftreten (z. B. an Staub auf Oberflachen bei der Laserabbildung: Laserspeckle). Dabei spielt die Bundelbegrenzung eine Rolle, durch die hohe Ortsfrequenzen herausgefiltert werden. Speckle-Verteilungen erhalt man aber auch aufgrund der Luftunruhe bei der Abbildung von Sternen. Diese Speckle-Muster sind groDer als das beugungsbegrenzte Punktbild. Bei der Speckle-Interferometrie wird die digitale Fourier-Analyse einer grol3en Anzahl von fotografischen Aufnahmen kurzer Belichtungszeit vorgenommen. Dadurch wird die Autokorrelationsfunktion des astronomischen Objekts erhalten. Aus dieser sind die Sternorte zu ermitteln. Die Speckle-Holografie hat den Vorteil, dal3 vor der digitalen Fouriertransformation die Datenreduzierung mittels einer optischen Fouriertransformation vorgenommen wird. Diesem Zweck dienen die Speckle-Interferogramme eines Nachbarsterns, der als Punktlichtquelle anzusehen ist. Die kohiirente Uberlagerung der Bilder, die von den Paaren der Speckle-Interferogramme erzeugt werden, ergibt eine mittlere Intensitatsverteilung, die digital weiterverarbeitet werden kann. Sowohl bei der Speckle-Interferometrie wie auch bei der Speckle-Holografie erhalt man das beugungsbegrenzte Auflosungsvermogen des Femrohrs. Es werden also die Einflusse der Atmosphiire und der Abbildungsfehler auf das Bild eliminiert. Weigelt [48] erhielt z. B. bei der Speckle-Holografie an Aufnahmen mit dem vor 14 Jahren installierten 3,6-m-Spiegelteleskop der ESO (European Southern Observatory) 0,03” Auflosungsvermogen bei einem Doppelstern. Das ESO hat am 6. Februar 1990 ein weiteres 3,6-m-Spiegelteleskop eingeweiht, das als New Technology Telescope bezeichnet wird und ebenfalls in La Silla, Chile, stationiert ist. Die “neue Technologie” besteht darin, dal3 der Hauptspiegel nur halb so dick wie sonst ublich
6 Optische Instrumente und Systeme
594
ist (240 mm), wodurch die Kosten des Teleskops n u ein Drittel derjenigen des Vorgtingers betragen (25 Mi0 DM). Dafur ist mit 78 an den Spiegel angreifende Kolben die elekrronischmechanische Regelung seiner genauen Form bei jeder Teleskopstellung erforderlich. Bei der Erprobung des Systems w d e 0,33” Aufliisungsvermogen erzielt. In Vorbereitung befindet sich das Very Large Telescope (VLT) der ESO, das aus vier Teleskopen mit 175 mm dicken 8-m-Spiegeln bestehen soll. Die elektronisch geregelte Optik wird aktive Optik genannt; sie ist die Vorstufe zur adaptiven Optik. Die adaptive Optik stellt die Moglichkeit dar, atmosph~scheEinflusse zu kompensieren (fiir die Luftumhe wird auch der englische Begriff “seeing” verwendet). Im Gegensatz zur nichtlinearen adaptiven Optik, bei der die Welle selbst ihre Phasenkonjugation erzeugt, muU bei der linearen adaptiven Optik die Phase durch Stellelemente getindert werden. Die gestorte Wellenflache wird ausgemessen, und daraus werden die Steuersignale fiir die Korrektur abgeleitet. Diese ist moglich, wenn entweder der Hauptspiegel segmentiert ist und die Segmente schnell variiert werden koMen oder ein zusatzlicher Spiegel deformiert wird. Letzteres ist besonders bei grol3en Teleskopen angebracht. Die lineare adaptive Optik erfordert also im wesentlichen folgende Schritte: Die bildseitige Wellenflache ist in diskreten Punkten auszumessen, d. h,ihre Abweichung von der idealen Wellenflache ist zu ennitteln (Messung der Wellenaberrationen mit einem geeigneten Sensor). Die Koeffizienten einer Pol ynomdarstellung der Wellenaberrationen sind zu berechnen (z. B. Zernike-Polynomkoeffizienten). Ort und GroRe der Verstellung der Korrekturelemente werden mit Hilfe von leistungsf‘dhigen (vor allem schnellen) Computern errechnet und daraus die Regelsignale die Stellglieder bestimmt. Die Stellglieder (Aktuatoren) veriindern das optische System so, daB die Abweichungen der Wellenflache von der Sollform komgiert werden. Aus dieser Darstellung folgt bereits, daD die Regelung in Echtzeit zu erfolgen hat und damit hohe Anforderungen an die Geschwindigkeit der Informationsverarbeitung gestellt werden. Daraus ergeben sich bei groUen Teleskopen zur Zeit noch Einschriinkungen hinsichtlich der raumlichen Auflosung (Anzahl der moglichen Meastellen und Aktuatoren) sowie des Wellenlhgenbereichs. Gunstige Bedingungen liegen im inffaroten Gebiet vor. Probleme und Ergebnisse zur adaptiven Optik bei groDen Teleskopen gibt Merkle an [49]. Das grundsatzliche Schema der Anordnung zeigt Abb. 6.77. deformierbarer
I n f o r m o t inns-
Wellenflache
u n d SteuerWellenf lache
Abb. 6.77 Prinzip der adaptiven Opt& fiir Spiegelteleskope
6.3 Fernrohr
595
~
Der Detektion der Wellenflache dient ein Shak-Hartmann-Sensor. Die Wellenflache wird mittels eines Linsenarrays aus 1600 Linsen mit je 170 mm Brennweite aufgeteilt. Jede Linse nimmt die Flache von 1x 1mm2 ein. Als Empfager dient eine Anordnung aus einem zweistufigen Nahfokus-Bildverstiirker mit Mikrokanalplatte und einer iiber eine Faserplatte angekoppelten 100x 100 Elemente umfassenden Diodenmatrix. Es konnen wahlweise 25 Unteraperturen mit je 400 Elementen oder 100 Unteraperturen mit je 100 Elementen gebildet werden. Zur Kalibrierung des Sensors dient eine ebene Welle, die von einem Laser eneugt und iiber einen Teiler in den Strahlengang eingeleitet werden kann. Die piezoelektrischen Aktuatoren greifen an einen deformierbaren Zusatzspiegel an, der aus einer 130 mm groRen, 0,7 mm dicken versilberten Quarzplatte besteht. Die 19 Alrtuatoren befinden sich auf einer sechseckigen Flache mit dem aktiven Durchmesser 70 mm. Bei Spannungen U = f 1500 V betriigt der Hub +7,5 pm. Die eingesetzte Rechentechnik verarbeitet 2 . lo6 Pixel/s, womit die Wellenflache bis zu 200 Mal je Sekunde analysiert und konigiert werden kann. FW die beugungsgegrenzte Korrektur ist die Rechnerkapazitat fiir Wellenliingen oberhalb 2,2 pm ausreichend. Ein Problem der adaptiven Optik fiir Fernrohre stellt die geringe Intensitat vieler astronomischer Objekte dar. Deshalb ist im allgemeinen ein heller Stern zur Wellenflachenanalyse notwendig, der in der Umgebung des zu untersuchenden Objekts liegen m a . Es wird angestrebt, die Wellenflache mittels der Auswertung von in der Atmosphaire gestreuter Strahlung eines Lasers im Wellenflachensensor zu messen. Die bei der ESO eingesetzte adaptive Optik w d e zunachst Ende 1989 am 1,52-m-Teleskop des Observatoire de Haute Provence in Frankreich erfolgreich getestet. (An der Entwicklung waren das Observatorium Paris-Meudon, das Office National d’Etudes et de Recherches Aerospatiales (ONERA) und LASERDOT beteiligt.) Die Erprobung am 3,6-m-Teleskop der ESO in La Silla, Chile, fand im April 1990 statt [67]. Abb. 6.78a-f (Farbtafel 11) demonstriert die Leistungsf~gkeitder adaptiven Optik. Wihrend in La Silla durch die Luftunruhe ohne adaptive Optik nur selten ein Auflosungsvermogen unter 0,5” erreicht wird, erhiilt man mit der adaptiven Optik praktisch beugungsbegrenztes Auflosungsvermogen im Infraroten iiber A = 3 pm (die Aufnahmen wwden fur A = 3 3 pm angefertigt). Unterhalb A = 3 pm kann eine teilweise Korrektur der Lufturuuhe erreicht werden. Abb. 6.788 enthiilt die berechnete Modulationsiibertragungsfunktion fiir die Abbildung mit einem 2.2-m-Teleskop (nach [49]). Die Wirkung der adaptiven Optik ist deutlich erkennbar. Bei dem geplanten VLT-Teleskop wird die Kopplung von aktiver und adaptiver Optik angestrebt. Die Bildverarbeitung in Verbindung mit der Speckle-Holografie koMte sich anschlieDen. Die extratemestrische Astronomie ist gegeniiber den optischen und rechentechnischen Methoden zur Ausschaltung der atmosphtirischen Einfliisse aderordentlich aufwendig und kostspielig. Sie liefert aber auch Ergebnisse, die von der Erde aus nicht zu gewinnen sind. Dazu gehoren die Untersuchungen im gesamten Wellenliingenbereich des elektromagnetischen Spektrums und die Registriemng von extrem lichtschwachen Objekten, die wegen des Wegfalls von Hintergrundstrahlung moglich ist. Insgesamt gibt es ein umfangreiches Programm, das nur mit der extraterresuischen Astronomie abgewickelt werden koMte. Darauf konnen wir jedoch nicht eingehen und vetweisen auf [50]. Im Jahr 1990 wurden zwei extraterrestrische Teleskope gestartet. Der Rontgensatellit ROSAT arbeitet im Rontgengebiet und im daran anschlieaenden Bereich des Vakuumultraviolett. Das Projekt “Space Telescope Hubble” hatte sich nach Beginn der Planung ca. 1970 lange Zeit veaogert (es war fiir 1984 angekiindigt). Die Kosten betragen ca. 2 Mrd Dollar.
596
6 ODtische Instrumente und Svsteme
Im Friihjahr 1990 erfolgte der Start in den Weltraum (Umlaufbahn in rund 500 km Hohe). Der Primaspiegel des Hubble-Teleskops hat den Durchmesser 2,4 m, womit 0,06” Auflosungsvermogen envartet wurde. Dazu ist die Nachfiihrung des Teleskops mit der Genauigkeit 0,007” erforderlich. Mittels fiinf Detektoren koMen Untersuchungen im Spektralbereich von 115 nm bis 1OOOnm durchgefiihrt werden. Fiir Sterne bis zur GroBenklasse 17 w a e die Spektroskopie mit dem Auflosungsvermogen A/AA= lo2...lo3, fiir Sterne bis zur 26. GroDenklasse mit dem Auflosungsvermogen A/AA= lo3...los moglich. Neben einer Weitwinkelund einer Planetenkamera ist auch eine Kamera fiir Objekte grol3er GroBenklasse (schwache Objekte) eingebaut, so daB Sterne bis zur 27. GroBenklasse zu registrieren wiiren. Aufgrund der Miingel eines Teilspiegels im Teleskop, die sich nach dem Start herausstellten, entsprachen viele der bisher vom Hubble-Teleskop gelieferten Aufnahmen nicht den Erwartungen. Durch die erfolgreiche Reparatur des Teleskops unmittelbar im Weltraum Ende 1993 wurde die volle Leistungsfigkeit hergestellt.
6.3.3
Fernrohrleistung
Begriffe. Die VergroBerung und das Auflosungsvermogen kennzeichnen die visuelle Leistungsfiihigkeit des Fernrohrs noch nicht ausreichend. Das liegt besonders daran, daB die Benutzungsart, die Objektleuchtdichte und -farbe sowie das Zusammenspiel mit den physiologisch-optischen Eigenschaften des Auges stark wechselnden Bedingungen unterworfen sind.
I
Als weitere Kennzahl wurde in 6.1.1 die Sehschiirfe eingefiihrt. Die Sehschiirfe WA ist der Kehrwert des visuell auflosbaren Sehwinkels wA.
(6.185) Als Fernrohrleistung wird definiert:
I
Die Fernrohrleistung A ist das Verhiiltnis aus der Sehschiirfe mit Fernrohr und der Sehschiirfe ohne Fernrohr. (6.186)
Beim Tagessehen ist die Austrittspupille des Fernrohrs im allgemeinen grokler als die Augenpupille, deren Durchmesser bei grorjen Objektleuchtdichten etwa 2 mm betragt. Die Fernrohrleistung ist dann der VergroBerung proportional, d. h., es ist
A = q I r’l
( q Nutzungsgrad des Fernrohrs).
(6.187)
Tabelle 6.18 Fernrohrleistung und Nutzungsgrad von Feldstechern
Irl x 2 P p
A
q (aufgelegt)
6x30 8x30 7x50 10 x 50 15x60
5,02 6,40 6,48 9,12 11,75
A
q (freihslndig)
0,84
3,95
0,80
5,oo
0,93 0,91 0,78
435 5,62 6,48
0,66 0,62 0,65 0,56 0,43
597
6.3 Femrohr
Messungen an unverguteten Feldstechern ergaben z. B. die Werte der Tab. 6.18 (nach [9]). Die VergroRerung I r’I=8 ist ungefjhr die Grenze fiir freihtindiges Beobachten.
Beim Diimmerungssehen bzw. Nachtsehen (Umfeldleuchtdichte unter 10 cd . m-’ ) ist die Austrittspupille des Fernrohrs kleiner als die Augenpupille. Es gilt: Augenpupillendurchmesser > 2pi > 2 mm. Durch experimentelle und theoretische Untersuchungen auf der Grundlage der physiologischen Optik wurde fiir die Femrohrleistung
A = W P , )
zm
Irt I
1-2m
(6.188)
gefunden. Die empirischen Konstanten q und m haben folgende Werte: L > 10 cd. m-’ 0,l cd . m-’ c L < 10cd . m-’ L< cd m-’
(Tagessehen. photopisches Sehen ) m=O (mittlere Dammerung , mesoptisches Sehen) m = 0,25, q = 0,3 (Dunkelsehen, skotopisches Sehen ) m =0,5.
Im Bereich der mittleren Dhmerung gilt damit A =0 , 3 , / m .
(6.189)
Die GroRe
z = J m
(6.190)
ist die Diimmerungszahl des Femrohrs. Ein Fernrohr mit 2 p , = 30mm und I PI=6 hat die Dtimmerungszahl Z = 13,4 und die Fernrohrleistung A = 4. Beim Dunkelsehen htingt die Fernrohrleistung nicht von der VergroRerung. aber linear vom Durchmesser der Eintrittspupille ab.
Lichtstiirke bei ausgedehnten Objekten. Fiir die Beleuchtungssttirke auf der Netzhaut ist die Lichtstiirke in der Austrittspupille bestimmend. Diese betragt (L‘ Leuchtdichte in der Austrittspupille)
I’ = L’ (Flache der Austrittspupille), also 1 I’ = -??L‘(2p$ 4
(6.191)
Die GrORe (2p’p)’ wurde friiher geometrische Fernrohrlichtsttirke genannt. Davon sollte jedoch Abstand genommen werden, weil es sich um eine rein geometrische Gr6Re handelt. Ohne Lichtstromverluste im Femrohr ist die Leuchtdichte in der Eintrittspupille gleich der Objektleuchtdichte. Die Verluste konnen durch den wellenltingenabhiingigen Transmissionsgrad z erfaEt werden. Es gilt dann I’ = 2 7 L ( 2 p i ) 2 . 4
(6.192)
Fiir den Ausdruck ~ ( 2 p ’ , findet ) ~ man in der Literatur den Namen “physikalische Femrohrlichtstiirke”.
6 Optische Instrumente und Systeme
598
Kleine Objekte hoher Lichtstiirke stellen z. B. die Fixsterne dar. Ihr geometrisch-optisches Bild ist wesentlich kleiner als der zentrale Teil ihres Beugungsbildes in der Zwischenbildebene. Fiir solche Objekte gilt der Riccosche Satz:
I
Kleine Objekte hoher Lichstiirke werden erkannt, wenn der ins Auge gelangende Lichtstrom uber dem Schwellenwert a,, liegt.
Der Lichtstrom, den das Fernrohr von einem Stern aufnimmt und der die Beleuchtungsstiirke E in der Eintrittspupille erzeugt, betriigt
(6.193)
@ = REP;.
Fixsterne werden also wahrgenommen, wenn die von ihnen hervorgerufene Beleuchtungsstiirke die Bedingung E2-
(6.194)
4 0
RP’p
erfiillt. In erster Linie ist also der Eintrittspupillenradius fur die Sichtbarkeit der Fixsterne bestimmend. Da jedoch der Schwellenwert des Lichtstroms mit der Umfeldleuchtdichte wachst, wirkt sich auch eine hohere VergroRerung gunstig aus. Die Umfeldleuchtdichte sinkt mit der VergroBerung. Auch mit dem Fernrohr werden die Fixsterne als punktformige Objekte nicht linear vergroRert abgebildet; es wird lediglich ihre scheinbare Helligkeit erhoht. AuRerdem ist verstiindlich, daB z. B. am Tage bei groRen Umfeldleuchtdichten der Schwellenwert @, stark heraufgesetzt ist.
6.3.4
Spezielle Fernrohre
Wir wollen noch ausgewmte Beispiele fiir den Einsatz der Fernrohre in der MeRtechnik angeben.
Kollimator. Der Kollimator ist hinsichtlich seiner Funktion kein Fernrohr, aber sein optisches System besteht im allgemeinen aus einem Fernrohrobjektiv. Mit dem Kollimator wird durch optische Abbildung ein unendlich fernes Objekt erzeugt. Das Optik-Schema besteht aus dem Objekt, das eine Lochblende, eine Spaltblende, ein Fadenkreuz, eine Teilung u. a. darstellen kann und dem Objektiv, in dessen Brennebene das Objekt steht (Abb. 6.79). Die Abweichung von der Achsparallelitat des Bundels beuagt (tan w = w) (6.195) H-H’
Abb. 6.79 Kollimator
599
6.3 Femolu
Der Kollimator wird oft mit einer Lupe verglichen, weil diese ebenfalls das Objekt ins Unendliche abbildet. Es ist aber zu bedenken, daB der Kollimator ein kleines Feld abbildet und die LupenvergrtiOerung wegen der groOen Objektivbrennweite wesentlich unter 1 liegen wiirde.
Ablesefernrohr. Zur Ablesung von Marken und Teilungen dient das Ablesefernrohr. Es wird mit endlicher Objektweite angewendet. Die Einstellung sol1 so vorgenommen werden, dal3 das Zwischenbild immer in der objektseitigen BreMebene des Okulars entsteht. Dazu dient entweder die Okularverstellung, wobei a' = f&,+ t (t optische Tubuslhge) ist, oder die Brennweite des Objektivs wird durch eine Linsenverschiebung stetig getindert (Innenfokussierung), SOW a'=&,+i wird. Die Fernrohrvergrbpeng fiir die endliche Objektweite ist nach G1. (6.171)
r'
= r:(i+fi).
(6.196)
In diesem Fall ist die Bezugssehweite ohne Fernrohr von dessen Eintrittspupille aus gemessen (a, = a ) . Unter der AblesevergroOerung versteht man wie beim Mikroskop die VergrijOerung, bei der die Bezugssehweite ohne Femrohr von dessen Austrittspupille aus gemessen wird. Die Offnungsblende stimmt mit der fteien Objektivoffnung iiberein, und das Objektiv hat eine groSere Brennweite als das Okular. Es entsteht dam eine Fernrohrlupe. Diese hat den Vorteil, auch weiter entfernte Marken ablesen zu koMen. Der letzte Summand in G1. (6.65) ist (wegen zp = f&+ t ) abzuwandeln in
so daf3 G1. (6.67) in (6.197) iibergeht. Mit f&= 80 mm, f&= 20 mm, z = -40 mrn ergibt sich z. B. rL = -40,3, die MikroskopvergroOerung wiirde in diesem Fall r' = 25 sein. Die Ablesevergrijaerung geht bei z + 00, also bei hderung der optischen Tubuslhge auf t = 0, in die FernrohrvergrijOerung r = - 4 iiber.
-
Fokussierfehler. SchlieDlich berechnen wir noch den Fokussierfehler des Ablesefernrohn, der durch die geometrisch-optische Abbildungstiefe entsteht. Der Abb. 6.80 ist die Beziehung (6.198) zu entnehmen. Daraus folgt mit
r'
aus G1. (6.170) (6.199)
6 Optische Instrumente und Systeme
600 EP H-Hb,
Zwischen bl I d ehcne H-Hb,
,
Abb. 6.80 Zur Ableitung des Fokussierfehlers beim Fernrohr
(6.200) /
an und erhalten (6.20 1) Im Objektraum gilt (Abb.
also mit b’ aus G1. (6.201) (6.202)
Bei Vernachlksigung von I ws‘zl gegenuber p; rL2ergibt die Umformung (6.203) Der Fokussierfehler betragt
bF --W’Z2 &A
c2
P’P
M t w,’= 1’A 3.10-4 rad,
PI,= 1 mm,
(6.204) I r L l = 5 , z = -lo00 mm ergibt sich 2.B. bF = & 12 mm.
Richtungsmessung. Zur Messung der Winkel, die zwei Achsen miteinander bilden, verwendet man die Kombination aus Kollimator und Fernrohr (Abb. 6.81). Die Marke des Kollimators wird beleuchtet. Bei den kleinen Winkeln gilt fiir die Markenversetzung y& = - wf&. Eine Parallelverschiebung des Fernrohrs ergibt keinen MeBfehler, sondern lediglich eine Randabschattung.
6.3 Fernrohr
601 H-Hb,
Abb. 6.81 Richtungsmesssung mit Kollimator und Fernrohr
Fluchtungsmessung. Zur Messung der seitlichen Versetzung zweier Achsen in einer vorgegebenen Ebene beleuchtet der Kollimator lediglich eine vor seinem Objektiv angebrachte Strichmarke. Es ist ein Ablesefernrohr zu verwenden, das auf die Strichmarke eingestellt wird (Abb. 6.82). H-nbb
_FKoIl/ -+t
Abb. 6.82 Fluchtungsmesssung mit Kollimator und Fernrohr
platte
Das Autokollimationsfernrohr vereinigt Kollimator und Fernrohr in einem Get%&(Abb. 6.83). Das Fernrohrobjektiv dient gleichzeitig als Kollimatorobjektiv. Die relative Lage eines Planspiegels gegeniiber der optischen Ache laiat sich genau messen. Wegen der Reflexion gilt y& = -f&.2w.
(6.205)
Strich-
Strichmarke des Okulors
Abb. 6.83 Autokollimations-
fernrohr
Das Zielfernrohr, wie es z. B. bei Gewehren angewendet wird, zeichnet sich durch ein Umkehrsystem und die g r o k Entfernung der Austrittspupille aus (Abb. 6.84). In der Feldblende befindet sich das sogenannte Abkommen zum Zielen. Die Fokussierung auf die endliche Objektweite wird mittels Verschieben des Umkehrsystems vorgenommen. Gewehrzielfernrohre haben Vergrijserungen zwischen r’=2 und 8, die Austrittspupille hat 6 bis 8 mm Durchmesser und ist vom Okular etwa 80 bis 100 mm entfernt.
602
6 Optische Instrumente und Systeme
[ A bkornrnen ---,I
H-H;,
Umkehrsyslem
H,-H;
H,=H,
Abb. 6.84
6.4
Fotografie
6.4.1
Abbildungsarten
Zielfemrohr
Die fotografischen Objektive gehoren zu den objektiven optischen Instrumenten, weil das von ihnen erzeugte Bild im allgemeinen nicht unmittelbar betrachtet wird. Die Aufgabe der Fotoobjektive besteht darin, einen Ausschnitt der Einstellebene so in die Auffangflache reel1 abzubilden, daR das Bild die fiir den jeweiligen Anwendungszweck erforderliche Bildgiite aufweist. In den meisten Fdlen ist die Auffangflache eben. In diesem Abschnitt behandeln wir ein Fotoobjektiv als ein sammelndes optisches System, das ideal abbildet. Das Bild eines Objekts, das sich in der unendlich fernen Einstellebene befindet, liegt in der Brennebene. Der Abbildungsmdstab betriigt p’ = 0. Ein im Endlichen liegender Gegenstand wird mit dem Mastab
p ‘ = , L’ = _ _f f’ 2 abgebildet; p‘ ist stets negativ, das Bild also umgekehrt. Die Entfernung z’ =
-py
der Auffangebene von der Brennebene wird optische Kameraliinge genannt. Je nach dem Abbildungsmal3stab beziehungsweise der optischen Kameraliinge unterscheidet man verschiedene Aufnahmearten.
Makroaufnahmen. Bei einer Makroaufnahme ist der Betrag des AbbildungsmaRstabes
Ip’I
I 1.
Wir unterteilen weiter: - Bei Fernaufnahmen gilt p‘ = 0 und z’=O.
603
6.4 Fotografie
Die Abbildung ist einstufig, d. h,sie wird durch ein optisches System vermittelt. - Bei Normalaufnahmen gilt 0<
Ij’I
I0,l
und
0<
2’ I
0,lf’.
Die Abbildung ist einstufig. Die normale Entfernungseinstellung der Kamera ist ausreichend. - Bei Nahaufnahmen gilt 0,l < Ip’I S 1 und
0,lf’ < z’ S f’.
Die Abbildung ist einstufig. Die Kamera muf3 entweder mit einem Objektiv kurzer Brennweite ausgestattet sein, oder die optische Kameraliinge ist iiber den normalen Auszug hinaus zu vergrosern. Das kann z. B. durch einen sogenannten doppelten Auszug oder durch Zwischenringe erreicht werden. Mikroaufnahmen. Bei einer Mikroaufnahme ist der Betrag des Abbildungsmdstabs grtiaer als 1. Wir unterteilen weiter: - Bei Lupenaufnahmen gilt 1 < Ip’I I100 und f’ <
-
z’
I l00f’.
Zur Aufnahme dient die einstufige Lupenkamera mit stark verhderlichem Auszug und mit einem kurzbrennweitigen mikrofotografischen Objektiv. Dieses ist fiir die geringe Objektweite komgiert. Bei Mikroskopaufnahmen gilt im allgemeinen 20 IIS’\i 2000 und
20f‘ I z’ I 2000f’.
(In Ausnahmefalen, 2.B. beim “Doppelmikroskop” nach Lau, kann Ip*l> 2000 sein.) Zur Aufnahme wird die zweistufig abbildende Mikrokamera verwendet. Diese besteht aus einem zusammengesetzten Mikroskop und einer speziellen Kamera.
6.4.2
Bundelbegrenzung
Begrenzung der Offnung. Die Offnungsblende befindet sich stets im optischen System des Fotoobjektivs oder in seiner unmittelbaren Nme. Bei einfachen Kameras k6Men klappbare oder drehbare Lochblenden vorkommen. Im allgemeinen werden Irisblenden verwendet. mit denen die stufenlose Einstellung des Durchmessers rndglich ist. Wegen der geringen Entfernung der Offnungsblende von den Linsengruppen des optischen Systems ist im allgemeinen bei einer Vorderblende die Austrittspupille und bei einer Hinterblende die Eintrittspupille virtuell. Bei einer Mittelblende sind die Eintritts- und die Austrittspupille virtuelle Bilder, die in der Nme der Hauptflkhen des Objektivs liegen. Dadurch weicht der Abbildungsmdstab der Pupillenabbildung
im allgemeinen wenig von 1 ab.
6 Optische Instrumente und Systeme
604
Tab. 6.19 enthiilt einige Beispiele fiir pi. A s MeSgrtiBe fix die Offnung dent bei Fotoobjektiven die Blendenzahl k =
-.f' 2PP
Diese wird als Systemkonstante angegeben, obwohl sie nur bei unendlicher Objektweite die wirksame Offnung bestimmt. Tabelle 6.19 Abbildungsmdstab der Pupillen Objektivtyp
Objektivtyp
0,92
Biotessar Biota Sonnar symmetrische Objektive
Fisheye -0bjektiv (Distagon) Weitwinkelobjektiv (Distagon) Normalobjektiv (Planar ) Femobjektiv (Tele - Tessar)
1-4
0.63 1.0
4,3 2,27
44 4 44
(Es sei darauf hingewiesen, dal3 bei der Berechnung des Eintrittspupillendurcrchmessers fiir ausgefiihrte Objektive wegen der zulbsigen Toleranz der BreMweite nicht die aufgedruckten Werte fix k und f' verwendet werden diirfen. Die Berechnung von k setzt die Messung von p p und f' voraus.) Fiir endliche Objektweiten wird die wirksame Offnung durch die numerische A p e m A = sinu (fiir n = 1) beschrieben. Nach Abb. 6.85 ist tan u = - p p / p . Daraus folgt (6.206)
EP
H H'
AP
V F'
- -.
0;
/
A
P' f'
c. c
Abb. 6.85 Zur Berechnung der numerischen Apertur und des Feldwinkels eines Fotoobjektivs
Fiir ppG p gilt angeniihert
sinu =
--PP P
(6.207)
(6.208)
6.4 Fotografie
605
Weiter ist
1.
und ap = f' - 1
a = f'(i-1)
(;I,-
Damit geht G1. (6.208)iiber in
P'
sinu = 2k(
g
(6.209)
- 1)
Der Zusammenhang zwischen der numerischen Apertur und dem Abbildungsmaktab ist in Abb. 6.86 fiir PI, = 1 grafisch dargestellt. k sin u
t
43. 92
03
0
95
0?5
q75
1
-
14'1
Abb.6.86 Zusammenhang zwischen numerischer Apertur und Abbildungs-
maBstab
Begrenzung des Feldes. Beim Einsatz des Fotoobjektivs in der Kamera stellt die in deren Filmbiihne befindliche rechteckige oder quadratische Make die Feldblende dar. Diese ist damit auch Austrittsluke, und das Feld ist scharf begrenzt. Die Eintrinsluke fdlt in die Einstellebene. In den meisten Fiillen sind eine oder mehrere Linsenfassungen zusatzlich fiir die schriigen Biindel begrenzend wirksam. Es liegt dann Randabschattung vor.
Abb. 6.87 zeigt fiir ein Beispiel, welche Form die wirksame Eintrittspupillenflachebei verschiedenen Feldwinkeln haben kann. Bei einem im Unendlichen liegenden Gegenstand gilt fiir den Tangens des halben Bildwinkels tanw' = --Y'
P'
(6.210) *
606
6 Optische Instrumente und Systeme ~~~
Fur das Winkelverhiiltnis ergibt sich (6.21 1)
Daraus folgt mit GI. (6.210) fiir den Tangens des hdben Objektwinkels tanw = --.Y’
(6.212)
f’
Abb. 6.88 enthdt den Zusammenhang zwischen Objektwinkel und Bildfelddiagonale sowie die zugeordneten Brennweiten fiir einige wichtige Bildformate. Bei Objektiven, deren Pupillen mil den Hauptebenen zusammenfallen, sind Objekt- und Bildwinkel gleich (Definition der Knotenpunkte). Allgemein gilt tan w =
pc, tan w’.
(6.213)
bei KinoobJektiven bet Fotoobjektiven
0
0,5
/
1.0 5,5
11,O 2394
1197
51,68
2584
56,oo
2400
l06,SS 6i,a 86,6 169,6 216,2
5 3 9
2p 2,75 5,99 12,92 14.00 26,67
333 433
1695
84,8 l08,l
42,4
21,65 54,05
9
4P 3,0
f’bei Brnm Film f ’ b e i 16mm Film f’ bei Normalfilm f’ bei Breitwandfilm f’ba 70 m m Film f‘ beim brmcrt24x24 f’beirn Format 24x36 f‘beim Formot 60x60 f‘beim Formc1t60~90
Abb. 6.88 Zusammenhang zwischen Objektwinkel und Bildfelddiagonale
Normalobjektive. Unter einem Normalobjektiv verstehen wir ein Objektiv, dessen BreMweite etwa in dem Bereich ( 2 =~ 40”*.*55”) 1,92&,, I f’ I 2,75&,,
liegt. Die Brennweite hat also ungefm die GroSe der Bildfelddiagonale.
607
6.4 Fotografie
Die BreMweite der Objektive mit langer Brennweite, der Fernobjektive und der Teleobjektive ist merklich grol3er als die Bildfelddiagonale: f ' > 2,7yh,,
(2w < 40').
Fernobjektive. Unter einem Fernobjektiv verstehen wir ein System, das ebenso aufgebaut ist wie ein Normalobjektiv. Die bildseitige Hauptebene liegt normalenveise im Objektiv, so daS die optische Baul2nge groI3er als die Brennweite ist. Fernobjektive haben infolgedessen relativ grok Baultingen. Teleobjektive. Ein Teleobjektiv ist ein System aus einem sammelnden und einem zerstreuenden Glied. Der Abstand beider Glieder liegt in der GroSenordnung ihrer Brennweiten. Durch diesen Aufbau entsteht ein System, bei dem die optische Baultinge kleiner als die BreMweite ist. Die optische Baultinge eines zweigliedrigen Systems betr2gt (Abb. 6.89) (6.2 14)
LoPC = e:+a;v. Vordemlied u H'
Hintemlied H,=H;
H,=H;
.-.
Abb. 6.89 Optisc-i Bauliinge eines Telec,jektivs
Mit a;F, =
(6.215)
0, f',
e; = ( l - 0 2 ) A '
und
ergibt sich Lop,= -
f'
Wegen &'>O,
l + Jf'w 2 ( l - 0 2 ) .
f;
(6.216)
A' < O und O < w , < 1 ist
% < 1. f' Lopt/f' hat den kleinsten Wert bei w, = 0 3 . Die Brennweiten der Objelctive mit langer Schnittweite und der Weitwinkelobjektive sind kleiner als die Bildfelddiagonalen: f ' < 1,92yh,,
(2w > 55').
Weitwinkelobjektive. Bei einem Weitwinkelobjektiv ist die bildseitige Schnittweite im allgemeinen sehr klein. Das kann zu Platzmangel beim Einbau von optischen Bauelementen zwi-
6 Outiscbe Instrumente und Svsteme
608
schen Objektiv und Bildebene fiihren. Dieses Problem tritt z. B. bei Spiegelreflexkameras auf, bei denen der klappbare Spiegel eine bestimmte Mindestschnittweite des Objelctivs erfordert. Es werden deshalb auch kurzbrennweitige Objektive mit langer Schnittweite benotigt, die also im Prinzip einen besonderen Typ des Weitwinkelobjektivs darstellen (Retrofokusobjektive). Objektive mit langer Schnittweite sind dadurch charakterisiert, daR sie aus einer zerstreuenden Frontlinse und einem sammelnden Glied bestehen. Nach G1. (6.215) gilt fiir ein zwei= w 2f'. Mit einem entsprechenden Wert fiir o2l a t sich erreichen, daU gliedriges System a;F wesentlich groBer als die BreMweite ist (Abb. 6.90). Die Einfallshohe des Randstrahls wird wegen o,> 1 am sammelnden Glied besonders groR. Deshalb ist dieses unter anderem fiir die Korrektion des Offnungsfehlers mehrlinsig auszufiihren. Bei 2w 2 83" wird auch von Superweitwinkelobjektiven,bei 2w 2 180" von Fisheye-Objektiven gesprochen. Zerstreu ungslinse H,=H;
so rn me1ndes System "2
H;
_.
Abb. 6.90 Zur Realisierung
langer Schnittweiten
6.4.3
Perspektive und Scharfentiefe
Perspek tive Die gmndlegenden, die Perspektive sowie die Schmentiefe betreffenden Definitionen und Beziehungen w d e n bereits in 4.2.4behandelt. Deshalb beschrmen wir uns hier auf eine Zusammenfassung und auf die Anwendung bei Fotoobjektiven. Wir fiihren die Ergebnisse nochmals an. -
Durch die Begrenzung der Offnung und das endliche Auflosungsvermogen der Empfhger ist es moglich, nicht nur von der Einstellebene, sondern von gewissen Raumbereichen vor und hinter ihr eine perspektivische Darstellung in der Filmebene zu erhalten. Die Offnungsblende hat eine Tiefenwirkung fiir die Abbildung.
-
Die Gesamtheit der von den Punkten des Objektfeldes ausgehenden Strahlenbundel ergibt in der Einstellebene die objektseitige Projektionsfigur, welche die Summe der von den Objektpunkten ausgehenden Projektionen der Eintrittspupille ist. Die objektseitige Projektionsfigur wird in die zugeordnete bildseitige Projektionsfigur abgebildet. Die letztere liegt in der Filmebene und ist die bei der fotografrschen Aufnahme erhaltene perspektivische Darstellung.
-
Der Betrachter projiziert auf Grund seiner Erfahrung die perspektivische Darstellung in den Raum und hat einen perspektivischen Eindruck. Dieser h a g t vom Verhdtnis des Sehwinkels beim Betrachten des Objekts w, und beim Betrachten der perspelctivischen Darstellung w,' ab.
609
6.4 Fotografie
Nach G1. (4.258) gilt
y,’ = Y’
V
p’ AP p,’
‘( g)
vf 1 - vp‘Ap tanw; -tan w, P,‘ tanw, Pi 1 tiefenverkiirzter perspektivischer Eindruck, 1 tiefenrichtiger perspektivischer Eindruck, 1 tiefenverliingerterperspektivischerEindruck;
(6.217)
y,’ > y,‘ = 7,‘ < Nachvergrofierung der perspektivischen Darstellung, f‘ und /3‘p Konstanten des Aufnahmeobjektivs, AbbildungsmaSstab der Aufnahme, Entfernung der Eintrittspupille des Aufnahmeobjektivs von der Eintrittspupille des Auges bei direkter Betrachtung des Aufnahmegegenstandes, Betrachtungsentfernung der perspektivischen Darstellung.
Wir diskutieren die G1. (6.217). -
Fernaufnahmen. Bei p’ = 0 ist (6.218) A p und /3’p haben keinen Einfla auf den perspektivischen Eindruck. Die Proportionalitat zwischen yL und f’ fiihrt dazu, daf3 ys’ bei Tele- und bei Fernobjektiven grofier, bei Weitwinkelobjektiven kleiner als bei Normalobjektiven ist. Aufnahmen mit Fernobjektiven zeigen oft einen tiefenverkiirzten perspelctivischen Eindruck (z. B. : Faballtor erscheint, seitlich aufgenommen, weniger breit als bei der Betrachtung mit unbewaffnetem Auge).
-
Normalaufnahmen. Mit GI. (6.217) 1 s t sich ausrechnen, aus welcher - liings der optischen Achse des Aufnahmeobjektivs gemessenen - Entfernung vom Aufnahmeort A p der Gegenstand betrachtet werden miiste, damit er mit der gleichen Perspektive erscheint wie die (eventuell nachvergrtifierte) Aufnahme. Eine andere Bedeutung hat A p nicht. Wir setzen im weiteren A p = 0 .
Der MaSstab der Pupillenabbildung B’p hat folgenden EinflUa: Wegen p’< 0, p’,>O wird y: bei pb < 1 vergroDert (tiefenverliingerndeWirkung), bei > 1 verkleinert (tiefenverkiirzende Wirkung). Bei Fernobjektiven mit < 1, wie es bei den Sonnaren vorkommt ( 2 . B. p’p = 0,63), wird also der tiefenverkiirzende Eindruck nicht so stark sein wie bei Fernobjektiven mit /3; = 1, Da meistens p;, 1 ist, reicht im allgemeinen die NUerung
r,‘ =
vf ‘(1 - p’) P,’
(6.219)
aus. Bei Normalaufnahmen mit 0 < Ip’I < 0,l gilt
vf ’
- < y,’ =
P,‘
1,l.vf’ P,’
-,
(6.220)
6 Optische Instrumente und Systeme
610
Der endliche AbbildungsmaBstab bewirlct also eine geringe Tiefenverkiirzung gegenuber der Fernaufnahme. Beispiel: Bei einer auf 60 mm x 90 m m vergroaerten Kleinbildaufnahme ist v = -2,5. Mit f’ = 50 mm (Normalobjektiv), p’ = -0,l und pi = - 250 mm erhalten wir ys’ = 0 , 5 5 . Die
Aufnahme ist tiefenverltingert. Das stort besonders bei Portrataufnahmen (“lange Nase”). Verwenden wir ein Fernobjektiv mit f‘ = 100 mm, dam wird y: = 1, , Fiir Portrataufnahmen sind also grokre BreMWeiten als beim Normalobjektiv vorteilhaft. -
Diaprojektion. Die G1. (6.217) gilt auch bei der Diaprojektion. Ein Beispiel dafiir moge genugen. Eine Aufnahme mit einem Kleinbildobjektiv f’ = 5 8 mm, p’p= 1,4 sol1 auf 1800 mm Breite projiziert werden (v = -50). Fiir eine Fernaufnahme betriigt die Betrachtungsentfernung mit natiirlichem perspektivischem Eindruck pi = -2,9 m; bei einer Normalaufnahmemitp’=-O,O5 ist p : = - 3 m .
Scharfentiefe. In Abb. 6.91 sind die Entfernungen der Grenzen des Schikfentiefenbereichs von der Einstellebene bl und 6, eingetragen. Nach Abb. 6.91 gilt (6.221)
In den NeMern von G1. (6.221) kann bei Fotoobjektiven ap gegenuber al und a, vernachlasigt werden. EE
EP
H
Aus G1. (6.221) folgt nach entsprechender Umformung
(6.222) Mittels (6.223) m e n wir die Bezugsentfernung u,, ein und setzen (6.224)
61 1
6.4 Fotografie
Mit G1. (6.224) erhalten wir aus G1. (6.222) und (6.223) durch Addition bzw. Subtraktion a, =
a, = - und
m-1
(6.225a. b)
m+l’
Fiir m = 1 ergibt sich a
q =
0 ,
a, = 2 und a, = a.
(6.226)
2
Daraus folgt die Bedeutung der Bezugsentfernung a, : Von der Objektentfernung a = a. ab reicht der linke Schiirfentiefenbereichbis ins Unendliche. Die Einstellung auf die Objektweite a, wird deshalb “Naheinstellung auf Unendlich” oder “Fixfokuseinstellung” genannt.
*-
Zur Berechnung von a. benotigen wir die Grijf3en a, und a , , Nach G1. (4.25 1) haben die Grenzen des SchWentiefenbereichsdie Entfernungen =
bl
bzw.
b, =
-
P
f’lP’I
;1
(6.227a, b)
2kp’
2kp‘
von der Einstellebene; p’ ist der zuliissige Zerstreuungskreisradius.Nach Abb. 6.91 ist p = a-ap, b, = a , - a
und
b, = a , - a .
(6.228)
Mit den G1. (6.228) gehen die G1. (6.227) iiber in
(6.229a. b)
Es wird nach G1. (6.223) und G1. (6.229)
_1
-@-%I f’lp’l
-
2k4
2
.
a,
Im Nenner kann a: vernachliissigt werden. Wir erhalten a , = - f’lP’I, -
2k4
a2 a-%.
Unter Verwendung von G1. (4.56b) l%t sich a’ a
- ap
’(+ - 1)
-- 8’f
8’ 1-K
2
(6.230)
612
6 Optische Instrumente und Systeme
schreiben. Es gilt also (6.231)
Wenn die Aufnahme um den Faktor v nachvergrofiert wird, erscheint der Zerstreuungskreisdurchmesser bei der Betrachtung aus der Entfernung p; unter dem Winkel
x’
= -,2vp’ PS
(6.232)
Mit Hilfe von G1. (6.232) eliminieren wir p‘ aus G1. (6.231), so dal3 Y f’(
a, =
-
1-
4) P,
Ps‘
2
1-p’
f’
’kXI
(6.233)
entsteht. Unter Beriicksichtigung von Ap = 0 und G1. (6.217) wird
r
1’ (6.234)
Fiir praktische Zwecke genugt es, die Klammer durch 1 zu ersetzen. So erhalten wir schlieB lich a0
=.,sy-
f’
I
kX
(6.235)
x‘ koMen unterschiedliche Fordemngen gestellt werden. Wir geben zwei davon an. Fiir x’ wird der physiologische Grenzwinkel (etwa 1’ ) zu
Fiir die Konstanten y: und
angesetzt und natiirlicher perspektivischer Eindruck geforden ( y : = 1). Damit wird 3f’/mm k -
ao/m = -~
(6.236)
Es genugt im allgemeinen, die Anspriiche zu reduzieren und mit x’=1/1500 sowie mit yl= 0,8 zu rechnen. So wird oft bei Kleinbildobjektiven verfahren, wie z. B. beim Tessar 2,8/50. Dann gilt
ao/m = -
1,2f’/mm k ’
(6.237)
Mit f’ = 50 m m und k = 4 ergibt sich 2.B. aus G1. (6.237) a, = -15 m. Zur Berechnung einer Schiirfentiefentabellek6Mm wir auch von G1. (6.23 1) ausgehen und
6.4 Fotogrdie
613
einen zulasigen Zerstreuungskceisdurchmesservorgeben. Als Richtwert gilt 2p’ =
Formatdiagonale 1500
Die Werte nach Tab. 6.20 weichen bei den kleinen Formaten vom Richtwert ab, weil die Forderungen sonst nur schwer realisierbar wiicen. Tabelle 6.20 Durchmesser des zulhsigen Zerstreuungskreises fiir Schikfentiefetabellen
(1) bedeutet 16-mm-Schmalfilm. (2) bedeutet 8-mm-Schmalfilm Format /mm2
90x120
0,loo
60x90 60x90 45x60
0,075 0,060 0,050
24x36 24x24 18x24 7.5 x 103 (1) 3.6 x 4 3 (2)
0,033 0,033 0,025 0,015 0.010
Wir mussen das Problem der Schiirfentiefe, das wir bisher nur geometrisch-optisch betrachtet haben, durch einige wellenoptische Aspekte ergwen. Die Intensitiitsverteilung im Bildraum des Objektivs wird durch die Beugung an der Offnungsblende bestimmt. In 4.4.2 wurde abgeleitet, da6 bei der Abbildung von Achsenpunkten in den Entfemungen b: (wellenoptisch) = b;(wellenoptisch) = 22k2
(6.238)
von der GauSschen Bildebene noch 80% der Intensit& vorhanden sind, die im geometrischoptischen Bildpunkt vorliegt. Diese Intensitiit reicht zur BilddeEnition aus. Es ist demnach nicht notwendig. die Auffangebene in die GauSsche Bildebene zu stellen. Es besteht wellenoptisch ein Bereich der bildseitigen Einstelltiefe, der auch wellenoptische Abbildungstiefe genannt wird.
Abb. 6.92 Zur Kombination von geometrisch-optischer und wellenoptischer Abbildungstiefe
Die geometrisch-optische Abbildungstiefe ist von der um f2A.k’ aus der Gadkchen Bildebene verschobenen Auffangebene aus zu ziihlen (Abb. 6.92). Die geometrisch-optische Abbildungstiefe folgt aus
b: (geom-opt.) = bi(geom.-opt.) =
f” rs’
’
(6.239)
614
6 Optische Instrumente und Systeme
Die gesamte Abbildungstiefe betragt
x’
b’ = -b’ I -- ’k + 2Ak2.
Y:
1 Hieraus geht fir ys’ = 0,8, x’ = -und 1500
(6.240)
A = 500 nm
b:/mm = -b;/mm = 0,83.10-3f‘/mm.k+10-3k2
(6.241)
hervor. Bei kleinen Blendenzahlen ist die wellenoptische Abbildungstiefe gegenuber der geometrisch-optischen zu vernachlbsigen. Abb. 6.93 enthat die Funktion b: = f(k) f i r ein Kleinbildobjektiv mit der BreMweite f’= 50 mm (y: = 0,8, x’ = l/1500).
0
5
10
15
20
25
30 k
Abb. 6.93 Abbildungstiefe eines Kleinbildobjektivs
Die Gleichung (6.240)l a t sich nur bis zu einer bestimmten Blendenzahl anwenden. Der Radius des durch Beugung in der Gauhchen Bildebene erzeugten Zerstreuungskreises kann nach GI. (4.339)mit
r‘ = 1,22Ak abgeschatzt werden (Radius des ersten dunklen Ringes der Beugungsfigur). Bei wird r’/mm = 0,61.10-3k.
(6.242)
A = 500 nm (6.243)
Nach GI. (6.218)und G1. (6.232)betragt der Radius des geometrisch-optischen Zerstreuungskreises
(6.244) 1 und yi = 0,8 woraus mit X I = 1500
pf =
10-~f’
(6.245)
folgt. Wenn r’ nach G1. (6.243)groBer wird als p’ nach GI. (6.245),dann ist der beugungsbedingte Zerstreuungskreis grol3er als der geometrisch-optisch zulksige Zerstreuungskreis. Das
615
6.4 Fotografie
ist ab der Blendenzahl k = 0,69f'/mm
(6.246)
der Fall. Bei f ' = 50 mm ist p' = 0.02 mm und k = 343. Fiir groflere Blendenzahlen, als sie durch GI. (6.246) gegeben sind, hat es keinen Sinn, den geometrisch-optischenZerstreuungskreis kleiner als den Radius des Beugungsscheibchens zu fordern. Aus
ergibt sich mit GI. (6.242) und nach Addition von G1. (6.238) b: = -b; = 2,44dk2+2Ak2 = 4,44Ak2
(6.247)
bzw. bei A=500nm b:/mm = -b;/mm = 2,22.10-3k2.
(6.248)
Allerdings ist dann nach G1. (6.246) notwendig, daR fiir die Brennweite des Objektivs f' 2 1,45k (6.249) gilt (A = 500 MI 1. Sonst erscheint der Zerstreuungskreis bei der Betrachtung des - eventuell nachvergriiserten (yl= 0,8) - Positivs unter einem Winkel x' > l/1500. Der EinfluS der Beugung ist bei grokn Blendenzahlen zu beriicksichtigen. Die Abemtionen der optischen Systeme sind dann praktisch zu vernachlhsigen, so dal3 die angegebenen Formeln auch bei der Abbildung von Achsenpunkten mit konkreten Fotoobjektiven anwendbar sind. Beispiel:Eine Kleinbildaufnahme mit der Objektivbrennweite f' = 100 mm w d e mit der extrem grokn Blendenzahl k = 60 ausgefiihrt. 1. Wir berechnen unter obigen Annahmen die Nachvergrokrung fiir den Perspektivefalrtor y.' = 0,s und die Betrachtungsentfemung p: = - 250 mm. 2. Wie groR sind der Radius des Zerstreuungskreises in &r GauDschen Bildebene und die Abbildungstiefe? 3. Wie grofl ist a, bei p'= O?
Liisung: 1. Aus G1. (6.218) folgt
2. Aus GI. (6.244) oder aus GI. (6.243) ergibt sich r'= p'= 0,04 mm. Aus G1. (6.248) erhalten wir wegen k > 0,69f '
b: = -b;= 8mm. 3. Die Abbildungsgleichung f'2
=
-7 =
-2
b: ergibt t , = -1250 mm. Also ist a, = zr - f ' = -1 350 mm. zf
6 Optische Instrumente und Systeme
616 6.4.4
Fotometrie
Bei Fotoobjektiven verwendet man stan der auf die relative Augenempfindlichkeit bezogenen (“V,-bewerteten”) lichttechnischen CiroOen vorteilhafter die aquivalenten in physikalischen Einheiten gemessenen strahlungsphysikalischen Gr66en. Die hier benotigten Beziehungen wurden in 4.2.5 abgeleitet. Die Bestrahlungsstiirke in Flachenelernenten, die der optischen Achse benachbart sind, betriigt nach G1. (4.285) ohne Beriicksichtigung der Reflexions- und Absorptionsverluste 1
E, = A Q L ,
g]
2 ’
4k2[ 1 -
(6.250)
Die Schwhung der fotografischen Schicht ist im lineruen Teil der Schwhungskurve proportional der Bestrahlungsstiirke und der Belichtungszeit. Fiir gleiche Schwiirzung gilt also E,,fI = Eat2.
(6.251)
Bei gleichem Aufnahmezustand ( L , = konstant) und gleicher Einstellung (p’ = konstant) ist nach G1. (6.250) (6.252) Fiir t, = 2f2 erhalten wir
k, =
Ak,.
(6.253)
Eine VergroOerung der Blendenzahl auf das A f a c h e erfordert bei gleicher Schwhung eine Verdopplung der Belichtungszeit. Die Blendenzahlreihe ist deshalb so aufgebaut, daR sich benachbarte Werte urn den Faktor f i unterscheiden. Sie lautet: 0,7; 1,O; 1,4; 2,O; 2,8; 4,O;5,6; 8,O; 11,O; 16,O USW.
Bei einer Fernaufnahme ist 1 E, = xl&L,4k2
(6.254)
Eine Normal- und Nahaufnahme mit Fp= 1, der gleichen S M d i c h t e und Blendenzahl gilt 1 4k2(1 - p’>z
E, = A Q L ,
(6.255)
’
Gleiche Schwikzung erhalten wir f i r t
= L,(l-p’)2.
(6.256)
Wegen p* < 0 erfordern Aufnahmen mit nichtverschwindendern AbbildungsmaRstab unter sonst gleichen Bedingungen eine lhgere Belichtungszeit als Fernaufnahmen. Abb. 6.94 enthat die Auswertung der G1. (6.256). Bei einer Lupenaufnahme mit = -10 ergibt sich f/r, = 12 .
6.4 Fotonrafie
617
Fiir die Bestrahlungsstake in auReraxialen Flachenelementen gilt nach G1. (4.294) unter der Annahme, dat3 keine Randabschattung, keine Reflexions- und Absorptionsverluste sowie keine Aberrationen auflreten, E , = E,,cos~w.
(6.257)
E,, ist die Bestrahlungsstake in axialen Flachenelementen, w ist der Winkel, den der Hauptstrahl mit der optischen Achse einschliest.
Die nach dem “cos4w-Gesetz”vorhandene Abnahme der BestrahlungsstWce im Bildfeld wird “natiirliche Vignettiemng” oder “natiirliche Abnahme” der Bestrahlungsstake genannt.
I
In Abb. 6.95 ist die Funktion E,/E,, = f(w) graiisch dargestellt. Die natiirliche Vignettierung kann bei Weitwinkelobjektiven, besonders bei solchen mit sehr groRem Objektwinkel, untragbare Werte annehmen. Es wurden deshalb verschiedene Mdnahmen getroffen, durch die die Bestrahlungsstiirke bei Weitwinkelobjektiven nicht nach dem “cos4w -Gesetz” abnimmt.
0
2
4
6
8
10
Ip*l
Abb. 6.94 VerlUgemngsfaktor der Belichtungszeit @‘ f 0)
0
100
200
W
Abb. 6.95 Natiirliche Vignettierung und Abnahme der Bestrahluagsstilrke bei einem Objektiv (Kreise)
Die einfachste Moglichkeit besteht darin, die Bestrahlungsstake in der Umgebung der optischen Achse durch eine rotierende Sternblende, durch Grauglasscheiben oder durch teildurchlLsig verspiegelte Scheiben zu schwkhen. Damit ist ein Verlust an GesamtstrahlungsfluR verbunden. Bei einem Objektiv mit tonnenformiger Verzeichnung sinkt die Bestrahlungsstiirke mit dem Objektwinkel langsamer als nach dem “cos4w -Gesetz”. Einen Beweis dafiir findet sich bei Wandersleb. Die extremen Weitwinkelobjektive mit Objektwinkeln in der Niihe von 2w = 180” haben starke tonnenformige Verzeichnung, da sonst entsprechend Abb. 6.95 kaum Licht in die Bildecken M e . Bei Objektiven mit geeigneten Abweichungen von der idealen Pupillenabbildung, also mit gunstigen Pupillenaberrationen, nimmt die Bestrahlungsstake angenshert nach einem “cos”Gesetz” mit n < 4 ab. Ein solches Objektiv ist z. B. das Flektogon. (Beim Flektogon mit f’= 20 mm betragt bei k = 2,8 der Wert n = 3,6 ; beim Abblenden iindert er sich stetig bis auf n = 1,2.)
618
6 Optische Instrumente und Systeme
Weitere Einfliisse auf die Bestrahlungsstiirke. Bei realen Fotoobjektiven ist die BestrahIungssWke in der Filmebene geringer, als wir sie mit GI. (6.250) ausrechnen. Die Ursache dafin sind Absorptionsverluste in den Glkern, Reflexionsverluste an den Oberflachen der Linsen und Reste von Abbildungsfehlern, &e die Strahlenvereinigung in einem Punkt verhindern. Bei der Abbildung aderaxialer Flachenelemente wird im allgemeinen die nach GI. (6.257) berechnete Bestrahlungsstiirke zusatzlich durch Randabschattung herabgesetzt. Da diese Einflusse quantitativ nur schwer voneinander zu trennen sind, beriicksichtigen wir sie durch einen empirischen Transmissionsfaktor z , indem wir E, (reales Objektiv) = TE, (idealisiertes Objektiv) (6.258) setzen. Die Groae der Absorptionsverluste in den Linsen wird von den Glasarten und von der L b g e des Glasweges bestimmt. Die Wellenliingenabhhgigkeit der Absorption kann zu einer Verf%rbung des Lichtes fiihren. Viele optische Glaser, z. B. stimtliche Schwerflinte, erscheinen in der Durchsicht gelb, absorbieren also blaues Licht am stiirksten. Der “Farbort des Objektivs” (im Farbendreieck) lut sich jedoch mittels Entspiegelung der Linsenoberflachen verbdern, bei der die Reflexion der von den GlLern bevorzugt absorbierten Farbe unterdriickt wird. Die Linsenoberflache erscheint in dieser Farbe. Gelbstich durch Absorption wird also durch eine gelb (oder braunlich) reflektierende duMe Interferenzschicht teilweise ausgeglichen. Die Reflexionsverluste wachsen vor allem mit der AnzaN der Glas-Luft-Flachen in den Objektiven. Der Einsatz von hochbrechenden Glasern erhoht die Reflexionsverluste. Durch &e Entspiegelung lassen sie sich auf so kleine Betrage vemngern, dal3 auch die Konstruktion von Objektiven mit relativ vielen Linsen ermoglicht wird. Bei alteren Objektiven ohne Entspiegelung liegen die Verluste durch Absorption und Reflexion je nach der Linsenzahl zwischen 30% und 60%. Die Randabschattung oder kunstliche Vignettiemng wird bei Fotoobjektiven im allgemeinen absichtlich eingefihrt, um die Abweichungen durch Koma in zuliissigen Grenzen zu halten. Die Randabschattung bewirkt eine stkkere Abnahme der Bestrahlungsstkke mit dem Feldwinkel, als sie nach dem “cos4w-Gesetz” zu erwarten ist. Abb. 6.95 enthat auch Werte fiir die Abnahme der Bestrahlungsstkke mit dem Feldwinkel, wie sie an einem realen Objektiv gemessen werden. Darin spiegelt sich der EinfluD shtlicher behandelten Faktoren wider.
6.5
Optische Systeme
6.5.1
Beleuchtungssysteme
Optische Systeme zur Beleuchtung, also zur Bundelung des Lichtstroms in optischen Geraten und zur gleichmaigen Ausleuchtung von Flachen oder abzubildenden Objekten, sind bei der Projektion, im Mikroskop sowie bei speziellen Aufgaben innerhalb optischer Gerate erforderlich. Die Diaprojektion ist ein Beispiel fir die gleichmiU3ige Ausleuchtung eines durchstrahlten Objekts. Die Grundaufgabe besteht zunachst in der einstufigen Abbildung des Objektfeldes mittels des Projektionsobjektivs. Innerhalb des Objektivs liegt dessen Eintrittspupille. Wir
619
6.5 Optische Systeme
symbolisieren das Objektiv durch zusammenfallende Hauptebenen, an deren Ort auch die Offnungsblende angenommen werden soll. Abb. 6.96a zeigt die direkte Beleuchtung mit einer punktforrnigen Lichtquelle, dem Grenzfall der sehr kleinen Lichtquelle. Durch jeden Objektpunkt geht von der Lichtquelle aus nur ein Lichktrahl. Eine sehr kleine Lichtquelle hat also den Nachteil, daO die Beleuchtungsapertur sehr klein ist. Dafiir ist eine hohe Leuchtdichte moglich. Abb. 6.96b zeigt die direkte Beleuchtung mit einer so groBen Lichtquelle, da6 flir jeden Objektpunld die Beleuchtungs- und die Abbildungsapertur gleich sind. Es wird eine so gro0.e Lichtquelle benotigt, dai3 im allgemeinen eine geringe Leuchtdichte erreicht wird.
Lichtsuelle
\I
Abb. 6.96 Beleuchtung bei der Projektion a) PunktfOrmige Lichtquelle, b) grok Lichtquelle, c) mit Kondensor
620
6 Optische Instrumente und Systeme
Abb. 6 . 9 6 ~demonstriert, da13 die Abbildung der Lichtquelle in die Eintrittspupille des Objektivs die maximal mogliche Beleuchtungsapertur bei nicht zu grofier Lichtquelle ermoglicht. Das Beleuchtungssytem wird auch hier Kondensor genannt. Nach Abb. 6.97 gilt bei erfiillter Sinusbedingung sinuK = -,h
(6.259)
aK
h sin& = a; '
(6.260) (6.261)
Division von G1. (6.259) durch G1. (6.260) und Einsetzen von uZ/aK nach G1. (6.261) ergibt mit den numerischen A p e m e n A K = sin uK, A; = sin uk (6.262) Die Bildweite bei der Projektion ist groB, so da13 das Objekt nahezu in der Brennebene des Objektivs steht. Es gilt angeniihert sinu;
=
-.Y
(6.263)
f6b
Aus G1. (6.262) und G1. (6.263) folgt
2yLAK = Y
(6.264)
worin k =f6b/2pp die Blendenzahl des Objektivs ist.
I
Das Produkt aus der Lichtquellengrofie und der Kondensorapertur ist bei vorgegebenem Format und vorgegebenem Objektiv konstant.
Beim Kleinbildformat 24 mm x 36 mm ist z. B. y = 21 mm, so daD mit einem Objektiv k = 3 2yLAK
7
sein mu13 (z. B. AK = 0,25, 2yL = 28 mm und
AK
= 0,7, 2yL = 10 mm).
6.5 Optische Systeme
62 1
Der Kondensor bildet ein relativ kleines Feld mit relativ grofien Apemen ab. Daraus ergibt sich, daR besonders
- der Offnungsfehler klein gehalten und -
die Sinusbedingung beachtet
werden mussen. Da es sich n u um die Abbildung der Lichtquelle in die Eintrittspupille handelt, sind die Forderungen im allgemeinen nicht so streng zu erfiillen. Hinsichtlich des Offnungsfehlers gilt die Korrektion als ausreichend, wenn die vom Achsenpunkt der Eintrittspupille aus zuriickverfolgten Strahlen die Lichtquelle ueffen (Abb. 6.98). Es ist im allgemeinen ZweckmhBig, die Lichtquelle aus ihrem paraxialen Ort herauszuriicken (Abb. 6.98). Ein vollstshdiger h r b l i c k wird erzielt, wenn zusStzlich die Bundel, die vom Rand der Eintrittspupille ausgehen, zuriickverfolgt werden. Es 1 s t sich eine Regel ablesen: Kleine Lichtquellen ermoglichen hohe Leuchtdichten, sie erfordern hohe Beleuchtungsapemen und gut korrigierte Kondensoren. Die Gleichmsigkeit der Ausleuchtung ist schwierig zu erreichen.
Abb. 6.98 Strahlenverlauf im Objektraum bei RuckwiWsrechnung
GroDe Lichtquellen stellen geringere Anforderungen aa das Beleuchtungssystem. Es sind nicht so hohe Leuchtdichten, aber leichter eine gleichmSige Ausleuchtung zu realisieren. Einzellinse. Bei nicht zu groRen Aperturen geniigt eine Einzellinse als Kondensor. Sie kann als Linse mit kleinem Offnungsfehler ausgebildet werden. Bei der duMm Einzellinse ( d = 0) muO die Durchbiegung Q
= Ln +( 2J +s F ’ )
(6.265)
betragen. Mit (6.266)
622
6 Optische Instrumente und Systeme
und s’ = a; =
f;(l-pK)
(6.267)
gilt (6.268) bzw. (6.269)
Oft lU3t sich auch eine Plankonvexlinse verwenden, deren konvexe Flache der groReren Schnittweite zugekehrt sein mul3. Mit einer geeigneten Brechzahl stellt die Plankonvexlinse zugleich die Linse minimalen Offnungsfehlers dar. Dabei kann es aber vorkommen, dal3 die erforderliche Brechzahl praktisch nicht zu realisieren ist. Zwei Linsen. Hohere Anforderungen lassen sich mit zweilinsigen Kondensoren erfiillen. Werden zwei duMe Linsen bei verschwindendem Abstand mit dem kleinsten Offnungsfehler verwendet, dann miissen beide gleiche Brechkraft haben:
(6.270)
Hodam hat fiir dicke Linsen durch trigonometrische Rechnung festgestellt, dal3 sich mit wachsendem Betrag des Abbildungsmdstabs das Brechkraftverhatnis 474’ geringfigig erhoht, und zwar bei Ip’I = 00 auf etwa 1,4, bei lpl=2 auf etwa 1,2 (Abb. 6.99). Fiir die bei Kon-
Abb. 6.99 Brechkraftverhdtnis als Funktion
Abb. 6.100 Kondensoren fiir verschiedene
des AbbildungsmaDstabs
AbbildungsmaOstabe
densoren im allgemeinen ublichen Abbildungsmal3stabe und bei Beriicksichtigung der durch die Dickeneinfiihrung entstehenden Veriinderungen ist das im Ansatz unwesentlich (Beispiele Abb. 6.100). Zwei zusammenfallende dunne Plankonvexlinsen bilden mit dem kleinsten Offnungsfehler ab, wenn ihre Brechkriifte so aufgeteilt werden, dal3 n + 2 4f’ n 2 - 1
F;=l F’
2
n
s 2n+l
n
(6.271)
623
6.5 Optische Systeme
bzw. (6.272) und (6.273) ist (Abb. 6.101a). Es ist z. B. fiir - f ' / s = 0,8
fiir - f ' / s = 0.5
und und
n=1,6: n=1,6:
&',IF' = 0,64; &',IF' = 0,5.
Abb.6.lOlb enthat den Fall der Abbildung ins Unendliche. G1. (6.272) gilt auch fiw dicke Linsen, bei denen H;und H2 zusammenfallen [20]. L
s
'J aJ
-
I
2,o n
s bi
Abb. 6.101 Brechkraftder erslen Plankonvexlinse a) als Funktion des AbbildungsmaDstabsund der ;3rechzahl, b) a l s Funktion der Brechzahl bei Abbildung ins Unendliche
Drei Linsen. Die Apertur kann zunikhst verringert werden, wenn vor die beiden Linsen eine dritte Linse gesetzt wird. Diese koMte plankonvex sein. Es 1iiRt sich aber auch ein aplanatischer Meniskus verwenden. Dieser hat die Radien (6.274). (6.275) AnschlieSend sind zwei Plankonvexlinsen moglich, deren Brechkraftverhilltnis wie bejm zweilinsigen Kondensor berechnet ist (Abb. 6.102).
6 Optische Instrumente und Systeme
624
Aspharische Linsen. Der Einsatz von asphiirischen Flachen ennoglicht es, Kondensoren ausreichender Bildgiite aus wenigen Linsen zu berechnen. Wegen des hoheren Fertigungsaufwandes wird das Bestreben dahin gehen, mit einer asph’drschen Flache auszukommen. Bereits mit einem Paraboloid, dessen Koordinaten durch den Scheitelradms bestimmt sind, lassen sich oftmals gute Strahlenvereinigungen erzielen. Abb. 6.103 enthiilt ein Beispiel fiir die Suahlenvereinigung bei einem dreilinsigen Kondensor mit einer Plan-Paraboloid-Linse, das Hodam angegeben hat [lo]. (Das Ausgangssystem mit sphiirischen Flachen ergab den Strahlenverlauf nach Abb. 6.98.) Weitere Variationsmoglichkeiten bieten Ellipsoid- oder Hyperboloidflachen. bei denen zwei Parameter variiert werden koMen.
LlhtWellenort
Abb. 6.103 Kondensor mit einer asphiirischen Flache (Riickwiirtsrechnung durch einen Kondensor nach Abb. 6.102, bei dem die vierte Flache ein Rotationsparaboloid ist)
Aus zwei asphiirkhen Linsen lassen sich ebenfalls Kondensoren aufbauen. Geht man vom Spezialfall achsparallelen Lichtes zwischen den Linsen aus, dann gilt fiir kleinen Offnungsfehler: Die Plan-Paraboloid-Linsen sollten aus Glas mit moglichst groRer Brechzahl bestehen (theoretisch n = 2) (Abb. 6.104a). Bei Ellipsddflachen an Plankonvexlinsen mit der Brechzahl n = 1,5 ist die groBe Halbachse 1,2f’, die kleine Halbachse 0,77 f’ zu wiihlen (Abb. 6.104b). (Die angegebenen Regeln wurden f i r dzs Seidelsche Gebiet dunner Linsen abgeleitet.) Die Korrektion von Offnungsfehler und Koma erfordern den Einsatz von zwei geeignet berechneten asph’drschen Flachen.
Wabenkondensor (Abb. 6.1%). Zur gleichmUigen Ausleuchtung mit kleinen, stark strukturierten Lichtquellen kann die Kombination eines iiblichen Kondensors mit einem Wabenkondensor verwendet werden. Der Kondensor bildet die Lichtquelle in die Eintrittspupille des Projektionsobjektivs ab. Hinter dem Kondensor steht eine Wabenlinse, die kleine kreisforrnige Bereiche tragt. Eine daran angepate Plane tragt ebenfalls eine groRere Anzahl von kleinen Linsen (es wird auch der Begriff der “Fliegenaugenlinse” verwendet). Jede dieser Linsen bildet ein Element der ersten Wabenlinse in die gesamte Eintrittspupille des Objektivs ab. Damit
6.5 Optische Systeme
625
wird erreicht, da6 das Licht von jedem Lichtquellenelement auf die gesamte Eintrittspupille verteilt wird.
Wobenl insen (StruMur schernatisch)
c c
Abb. 6.104 Zweilinsiger Kondensor a) Zwei Paraboloidflkhen,b) zwei EllipsoidWhen,
c) gIeichm2.BigeAusleuchtung bei einer kleinen Lichtquelle mit Wabenkondensor Zur Ausleuchtung eines rechteckigen Feldes muD die erste Wabenlinse rechteckige Elemente tragen. Die Fliegenaugenlinsen k0Mm auch aus einer Struktur von gekreuzten Zylinderlinsen bestehen, die wie in der Abb. 4.77 in zwei senkrechten Schnitten deselbe Bildweite haben. Damit wlire z. B. bei einem quadratischen Raster in der ersten Linse ein rechteckiges Feld auszuleuchten. Beleuchtung in fotolithogdischen Geriiten. Bei der Erzeugung feiner Strukturen mittels Projektionsfotolithografie werden sehr hohe Anforderungen an das Beleuchtungssystem gestellt. Die wesentlichen sind [%I: Beleuchtung mit schmalbandigem Licht ( A n = 20 nm) im kurzwelligen Spektralbereich ( 2 . B. A = 436 nm); Gleichmiif3igkeit der Beleuchtungsst&ke in Bildfeldern bis 150 mm Durchmesser f 2,5% genau; grol3e Beleuchtungsstiirke, damit trotz geringer Empfindlichkeit der lichtempfindlichen Fotolacke eine kleine Belichtungszeit moglich ist; Einstellbarkeit des Kohlirenzparametersim Bereich S = 0,65.. .0,8. Als gunstigste Strahlungsquelle hat sich die Quecksilberhiichstdrucklampe in Verbindung mit dielektrischen Umlenkspiegeln erwiesen, die das gewiinschte Wellenlhgengebiet bevorzugt reflektieren. Die geometrischen und stmhlungstechnischen Eigenschaften der Quecksilberhtichstdrucklampe (geringe zeitliche und raumliche Konstanz) legen es nahe, sie zur Beleuchtung mit einem Wabenkondensor abzubilden. Die grundlegende Anordnung enspricht derjenigen in der Abb. 6.104c.
626
6 Optische Instrumente und Systeme
Eine Variante zur besseren Ausnutzung des Lichtstroms der L a m p wird in [56] angegeben (Abb. 6.105). Sie ermoglicht die weitere Verringerung der Belichtungszeit. An dle Stelle des einfachen Hohlspiegels, der die Quelle angeniihert in sich abbildet, trin eine Anordnung aus zwei elliptischen Spiegeln El und E l , einem Ringspiegel R sowie einem Kegelspiegel K. Der Spiegel E l bildet den Bogen der Lampe in die Ebene bei A; ab, wobei kleine Offnungswinkel n
Abb. 6.105 Anordnung zur Erhiihung des nutzbaren Lichtstroms einer Quecksilber-
hijchstdrucklampe mit elliptischen Spiegeln (Erlluterung der Buchstaben im Text, nach [56]) nicht zum Tragen kommen, weil die Leuchtdichte-Indikatrix und die konstruktive Anordnung der Lampe dies verhindern. Dieser Mangel wird dadurch ausgeglichen, daO der Spiegel E 2 in A$ ein virtuelles Bild des Bogens erzeugt, das uber den Ringspiegel R und den Kegelspiegel K in die Ebene von A', abgebildet wird. Diese Ebene enthiilt damit die sekundiire Lichtquelle, die wie bei der Anordnung nach Abb. 6 . 1 0 4 ~mit Hilfe des Wabenkondensors in die Eintrittspupille des Objektivs transfonniert wird. A,, A,, A', und A; sind die geometrischen Brennpunkte der Ellipsen. Die nutzbaren Winkelbereiche betragen = 45", 0,= 25", 0, = 20". In [56] wird angegeben, daB gegenuber der urspriinglichen Anordnung mit einfachem Hohlspiegel der StrahlungsfluR um den Faktor 1,5 bis 2 erhtiht ist, je nach Alterung der Lampe. Scheinwerfer. Zur Beleuchtung weit entfernter Gegenstiinde oder fiir Signalzwecke werden Scheinwerfer verwendet. Sie stellen eine Leuchte dar, bei der mit optischen Bauelementen der von der Lichtquelle ausgesendete Lichtsuom in einen begrenzten Kaumwinkel konzentriert wird. Ab der fotometrischen Grenzentfernung, die sich aus GI. (5.22) zu Ppf' z' = -
YL
ergibt, erscheint bei erfiillter Sinusbedingung die Offnung des Scheinwerfers vollstiindig mit Licht ausgefiillt. Er stellt dann eine Leuchte dar, die die GroI3e der Freien Offnung des Scheinwerfers und die Leuchtdichte der Quelle hat. Auf der optischen Achse wird die Leuchtstiirke I = pnp2,L (6.276) erzeugt ( p Reflexionsgrad des Spiegels, bei Linsenoptik durch den Transmissionsgrad z zu ersetzen).
627
6.5 Optische Systeme
Die Lichtquelle sol1 moglichst klein sein, damit die Koma gering bleibt. Trotzdem ergibt sich eine natiirliche Streuung in den Winkel 2w, der von der Lichtquellengrok y, abhbgt und aus w=yL/f’ folgt. Das gilt aber nur bei erfiillter Sinusbedingung. Allgemein zeigt Scheinwerferoptik eine vom Winkel abhhgige Zonenstreuung 6 , = 2y,/ fl (fl“ZOnenbreMweite”, Abb. 6.106).
Abb. 6.106 Grtikn am Scheinwerferspiegel
Fiir groJ3e freie Offnungen werden Spiegel als abbildende Elemente genutzt. Fiir nicht zu hohe Anspriiche, z. B. fiir Handleuchten und Fahrzeugleuchten, koMen Metallspiegel eingesetzt werden. Ihren Nachteilen, wie geringe Genauigkeit und geringer Reflexionsgrad, stehen die Vorteile des niedrigen Preises und das Fehlen von Nebenreflexen gegenuber. Oberflachenspiegel eignen sich wegen des fehlenden Schutzes der reflektierenden Schicht weniger gut fiir Scheinwerfer. Deshalb sind Spiegellinsen bevorzugt (siehe 4.1.9). Dabei ist neben der Offnungsfehler- und Komakomektion auf das Zusammenfallen von Hauptreflex und Doppelreflex sowie evtl. noch hoherer Nebenreflexe zu achten. Der Manginspiegel (Abb. 4.66) hat keinen Vorderreflex, aber den Nachteil der groDen Randdicke, die zu chromatischen Abemtionen, groaem Gewicht und Temperaturspannungen fiihrt.Es sind deshalb Spiegellinsen mit deformierten Kugel- und Paraboloidflachen entwikkelt worden [58]. Beim Sphaoidspiegel ist die sphMsche Vorderflache so abgewandelt. daR die Rmddicke verringert ist. Er ist relativ billig, hat aber stiirende Nebenreflexe. Der gunstigste Scheinwerferspiegel (R-Spiegel von Zeiss), bei dem der Offnungsfehler korrigiert ist und smtliche Nebenreflexe mit dem Hauptreflex zusammenfallen, besteht aus einer parabolischen Vorderfltiche und einer defonnierten parabolischen Spiegelflkhe. Bei nicht zu groDem Offnungsverhiiltnisfiir Signalzwecke und Biihnenscheinwerfer eignen sich sphikisch und evtl. chromatisch korrigierte Linsensysteme. Der nutzbare Offnungswinkel betragt beim einfachen Achromaten 2u = 30” (Abb. 6.107a), beim Zusatz eines Meniskus 2u = 60” (Abb. 6.107b), bei der Kombination aus Meniskus und asphMscher Linse 2u = 90” (Abb. 6.107~).
a)
b)
C)
Abb. 6.107 Linsenobjektive fiir Scheinwerfer a) Achromat, b) Achromat mit Meniskus, c) Meniskus mit asph;irischer Lime
628
6 Optische Insrrumente und Svsteme
Fiir diffuse Biihnenbeleuchtung koMen Streuscheiben oder defokussierte Lmpen verwendet werden. Die Beleuchtung einer kleinen Szene mit scharf begrenztem Rand entspricht der Projektion einer kreisformigen Blende auf grol3e Enffernungen. Dazu kann ein abgewandeltes Cassegrain-Objektiv aus einem Manginspiegel als Hauptspiegel und anstelle des hyperbolischen Fangspiegels einem “zerstreuenden Manginspiegel” denen (Abb. 6.108).
Abb. 6.108 Projektionsobjektiv aus zwei Manginspiegeln
6.5.2
Achromatische Fotoobjektive
Die dunne Einzellinse. Wir untersuchen die Eigenschaften der duMm Einzellinse, weil das Bestreben stets darauf gerichtet ist, die gestellte Aufgabe mit einem moglichst geringen Aufwand zu losen. Aul3erdem stellt die Einzellinse das Funktionselement fiir mehrlinsige Fotoobjektive dar, so dal3 die Kenntnis ihrer Eigenschaften auch fiir das VersWdnis der Wirkung komplizierter Systeme nutzlich ist. In Abb. 6.109 sind fiir eine duMe Einzellinse (d = 0) mit ~ = - m , n = 1,5 und F’ = 1 mm-’ folgende fiir das Seidelsche Gebiet giiltige GroSen als Funktionen der normierten Durchbiegung Q, = Q/F’ dargestellt:
Fiir die Gebiete Q, I- 3 und Q, 2 6 ist die Entfernung der Eintrittspupille von der Linse angegeben, bei der der Astigmatismus verschwindet. Im Interval1 -3 < Q, < 6 gibt es keine “astigmatismusfreie Eintrittspupille”. Fiir diesen Bereich ist die Enffernung der Eintrittspupille eingetragen, bei der der Astigmatismus ein Minimum hat. - Fiir die Linse mit der astigmatismusfkeien Eintrittspupille mit der kleineren Schnittweite sPo sind der Astigmatismuskoeffizient C,, der KomakoeKizient K O und der Veneichnungskoeffizient E, dargestellt. Der Index “Null” deutet an, daB s-tliche Koeffizienten auf die Brechkraft 1 norrniert sind. C, K Ound Eo sind ein MaO fiir die Grol3e der Abweichungen, die durch die einzelnen Abbildungsfehler im Seidelschen Gebiet hervorgerufen werden. - Der Offnungsfehlerkoeffizent B,, der unabhhgig von der Eintrittspupillenlage ist, ist ebenfalls in der Abb. 6.109 enthalten. -
Der Abb. 6.109 ist zu entnehmen: Die duMe Einzellinse mit dem Offnungsfehlerminimum hat starken Astigmatismus. Die Gleichmaigkeit der Korrektion fiir das gesamte Bildfeld erfordert einen Kompromil3 zwischen der Korrektion des Offnungsfehlersund des Astigmatismus. Es ist also notwendig, die Durchbiegung der Linse so zu wiihlen, dal3 der Offnungsfehler nicht minimal ist. Das ist aber in der Umgebung des Minimums nicht so kritisch.
6.5 ODtische Svsteme
Abb. 6.109 Grlikn fiir die diinne Linse im Seidelschen Gebiet
629
630
6 Optische Instrumente und Systeme
Aus Abb. 6.109 folgen zwei Formen dunner Linsen, die fiir die fotografische Abbildung gunstig sind. Astigmatismus- und komafrei bei nicht zu grol3em Offnungsfehler sind die dunne Linse mit der Durchbiegung Q,=-3 und dem Abstand der Eintrittspupille sPo= -0,33 sowie die dunne Linse mit der Durchbiegung Q, = 6 und dem Abstand der Eintrittspupille sPo= 0,22. Die zuerst genannte Linse ist plankonvex und hat eine Vorderblende, die zweite Linse ist ein nach der Bildseite konkaver Meniskus mit Hinterblende. Wir untersuchen die Linse mit der Durchbiegung Qo= - 3 und dem Abstand der Eintrittspupille sPo= -0,33 genauer. Auf die Brennweite f' = 100 mm umgerechnet erhalten wir Q = 3 lo-' mm-' und sp= -33 mm. Der auf die Brechkraft 1 bezogene Offnungsfehlerkoeffizient betragt nach Abb. 6.109 Bo = 9. Ohne Beweis geben wir an, daR die Querabweichung in der GauSschen Bildebene bei Offnungsfehler dritter Ordnung und s = --oo aus (6.277) folgt. Daraus erhalten wir mit f' = 100 mm, k = 12,5 und Bo = 9 die Querabweichung Ay' = 0,0288 mm. Der Zerstreuungskreis hat den Durchmesser 21 Ay'/= 0,0576 mm. In der um 6' = -0,36 mm vor der Gaaschen Bildebene liegenden Auffangebene betragt der Zerstreuungskreisdurchmesser 21( Ay')b" = 0,0144 mm. Die auSeraxialen Bildpunkte liegen wegen der Astigmatismusfreiheit auf der Petzval-Schale. Deren Kriimmung betragt (6.278) woraus r, = -150 mm folgt. Ohne Beweis sei fiir diesen Fall die Formel fiir die Querabweichung in der GauDschen Bildebene angefiihrt: (6.279) Daraus ergibt sich, daR der Zerstreuungskreis in den Ecken des Formats doppelt so groR wie auf der optischen Achse ist [Ay' nach GI. (6.279) gleich Ay' nach GI. (6.277), die Querabweichungen addieren sich im Seidelschen Gebiet], wenn wir y' I14,7 mm wiihlen. Der ausnutzbare Objektwinkel ergibt sich daraus zu 2w = 17". Die relative Querabweichung durch Verzeichnung dritter Ordnung (s = - 00 )
Lsy' = Y'
1 Y'2 Eo 2 f'2
(6.280)
hat bei y' = 14.7 mm den Wert 100,Ay'/y' = - 1,08%, es liegt tonnenformige Verzeichnung vor (der Abb. 6.109 entnehmen wir Eo =0,56). Mit einem Kronglas der Abbeschen Zahl v=60 fihrt der Farblhgsfehler zu einer Schnittweitendifferenzzwischen C' und F' von ALs' = s;. - s& = -1,7 mm. Mit einer Linse aus hoherbrechendem Glas sind noch etwas gunstigere Werte als in unserem Beispiel moglich. Die geringen Linsendicken, die bei den kleinen in Frage kommenden Offnungsverhiiltnissen notwendig sind, iindern das Ergebnis nicht grundlegend ab. Wir fassen zusammen:
6.5 Optische Systeme
I
63 1
Mit einer duMm Einzellinse geeigneter Durchbiegung und Blendenlage ist eine brauchbare Abbildung zu erzielen, wenn das Offnungsverhiiltnis etwa auf 1:10 und der Objektwinkel etwa auf 25" begrenzt bleiben.
Dicke Einzellinsen. Linsen mit gro6er Dicke kommen als Einzellinsen zur fotografischen Abbildung im allgemeinen nicht vor. Sie sind aber oft wesentliche Grundelemente in mehrlinsigen Systemen. Zwei Formen sind besonders ausgezeichnet. Der Hoeghsche Meniskus hat verschwindende Petzval-Summe. Er stellt eine dicke Lime dar, bei der beide Flachen gleichen Radius haben. In bestimmten Fiillen l a t sich der Hoeghsche Meniskus mit einer geeigneten Lage der Offnungsblende als anastigmatische Einzellinse ausbilden. Die ubrigen Abbildungsfehler sind jedoch vorhanden, so daf3 der Hoeghsche Meniskus als Einzellinse nicht gut verwendbar ist. Der konzentrische Meniskus. Eine Linse, d e m Flachen konzentrisch zur Offnungsblende liegen, ist koma-, astigmatismus- und verzeichnungsfrei. Die Petzval-Schale liegt ebenfalls konzentrisch zur Offnungsblende. Die Brechkraft betragt
(6.28 1) Fiir rj < 0 und fiir r, > 0 bei d < q erhalten wir eine Zerstreuungslinse, die wegen ihrer negativen Petzval-Summe in mehrlinsigen Systemen venvendet wird, wenn auch meistens in etwas abgehderter Form.
Achromate. Der Farbltingsfehler 1 s t sich mit zwei verkitteten Linsen korrigieren. Wenn die beiden Linsen gleiche Brechzahl haben, bleiben die ubrigen Abbildungsfehler der Einzellinse in ihrer Grol3e erhalten. Die Maf3stabsbedingung fiir zwei duMe zusammenfallende Linsen
F' = F,'+F;
(6.282)
und die Dichromasiebedingung (6.283) legen die Brechkrtifk eindeutig fest. Aus G1. (6.282) und G1. (6.283) folgt
v, (6.284a. b)
(6.285a, b) Fiir v2 > v, ergibt sich die Anordnung Zerstreuungslinse - Sammellinse, iiir v2 < v, die um-
gekehrte Anordnung. Es gilt:
I
Kleine Einzelbrechkrtifk und damit kleine Krtimmungen erfordern ein v2/v1-VerMtnis, das moglichst stark verschieden von 1 ist.
6 Optische Instrutnente und Systeme
632
Die Efillung der Dichromasiebedingung gewiihrleistet, dal3 die paraxiale Schnittweite fiir jeweils zwei Farben gleich ist. Wegen der hohen Empfindlichkeit der Fotoschichten im kurzwelligen Spektralbereich legt man die Schnittweite fiir d und g zusamrnen. Diese Dichromatisiemng reicht fur Fotoobjektive im allgemeinen aus. Die Auswahl von Glkern mit gleicher Brechzahl und sehr verschiedener Abbeschen Zahl ist schwierig. Im allgemeinen haben die Glker mit einer grol3en Abbeschen Zahl eine kleine Brechzahl und umgekehrt. Es ist deshalb in einem Dichromaten normalerweise notwendig, daR die Sammellinse eine niedrigere Brechzahl hat als die Zerstreuungslinse. Damit ist auch eine hderung der geometrischen Abbildungsfehler gegeniiber der Einzellinse verbunden. Der Meniskus mit Hinterblende enthat eine konkave Kittflache. Wegen n, c n2 wirkt diese zerstreuend. Sie verbessert damit &e Offnungsfehlerkorrektion.Wir koMen also auch absichtlich unterschiedliche Brechzahlen einfiihren und den Offnungsfehler korrigieren. Dann darf v2/v, nicht extrem stark von 1 abweichen, weil sonst die Zerstreuungslinse eine zu kleine Brechhafterhat und den Offnungsfehler der Sammellinse nicht ausgleichen kann. Da es bereits vor der Eroffnung der Jender Glashutte Gliiser gab, bei denen eine kleine Brechzahl mit einer groDen Abbeschen Zahl und umgekehrt gekoppelt waren, nennt man einen hinsichtlich Offnungsfehler und Koma korrigierten Dichromaten einen Altachromaten.
I
Eine zerstreuende Kittflache ist ein Mittel zur Offnungsfehlerkorrektion. Ein Altachromat ist ein Dichromat, dessen Offnungsfehler unter Zuhilfenahme einer zerstreuenden Kittflkhe korrigiert wurde.
Die Kittflache verschlechtert allerdings die Abweichungen, die durch die Feldfehler hervorgerufen werden. Die Petzval-Summe fiir das System aus dunnen Linsen betragt (6.286) Mit G1. (6.282) eliminieren wir F;:
(6.287)
Die Petzval-Summe ist also bei einem Dichromaten mit n, > n, groRer als bei einer Einzellinse mit der Brechzahl n 2 . Ein achromatisches Objektiv, bei dem aber wegen des geringen Brechzahlunterschieds
der Linsen der Offnungsfehler nicht auskorrigiert war, stellte das Frontar dar. Es hatte ein Offnungsverhiiltnis K = 1 : 9 und w d e mit dem Objektwinkel 2w=34" benutzt (Abb. 6.110).
633
6.5 Optische Systeme
6.5.3
Aplanatische Fotoobjektive
Bereits den Ausfiihrungen in 6.5.2 ist zu entnehmen, daD es mit alten Glhern schwierig ist, die Petzval-Summe der Objektive klein zu halten. Die Bildfeldw6lbung der Objektive kann also nicht durch eine geeignete Auswahl dieser Glher behoben werden. Obwohl es andere Mtiglichkeiten gabe, auch mit alten Glhern eine kleine Petzval-Summe zu erreichen, wurden Objektive ohne Bildfeldwolbung vie1 verwendet. Ein System, dessen Offnungsfehlerund Koma korrigiert ist, das aber Bildfeldwolbung hat, nennen wir einen Aplanaten.
I
Wir behandeln drei Grundformen der Aplanate. Simplet. Aplanatische Simplets. die gleichzeitig auch Achromate sind, haben wir im Prinzip bereits in 6.5.2 untersucht. Sie eignen sich wegen der starken Bildfeldwolbung und wegen des Astigmatismus schlecht als “Landschaftslinsen”. Fiir Fernobjektive sehr langer Brennweite. bei denen der Objektwinkel klein ist, werden sie gelegentlich eingesetzt. Sie haben dann ein relativ kleines Offnungsverhiiltnis. Das Petzval-Objektiv ist ein Aplanat vom Dublettyp. Es besteht aus zwei Dichromaten. die einen grofleren Abstand voneinander haben. Der objektseitige Dichromat hat eine Kittflache, der bildseitige nicht (Abb. 6.11 1). Das Objektiv ist bemerkenswert, weil es bereits 1840 von
.-.#
Abb. 6.111 Petzval-Objektiv
Petzval mit der Theorie der Abbildungsfehler dritter Ordnung berechnet wurde. Es hatte das bis dahin noch nicht erreichte OffnungsverMtnis K = 1: 3.4. Die beiden Glieder des PetzvalObjektivs sind sammelnd. Es ergibt sich eine Brechkraftaufteilung auf Vorder- und Hinterglied, so daS das Offnungsverhiiltnis fiir das Vorderglied kleiner 1st als fiir das gesamte System. Vorder- und mnterglied sind einzeln im Offnungsfehler korrigiert. Das Hinterglied kompensiert die Koma und den Astigmatismus des Vordergliedes. Beide Glieder bestehen aus Altdichromaten, deren Petzval-Summe nicht verschwindet. Die Petzval-Summen der Glieder addieren sich wegen deren positiver Brechkraft. Das Petzval-Objektiv hat deshalb eine stiirkere Bildfeldwolbung als eine Einzellinse, so daL3 das ausnutzbare Bildfeld klein ist. Auch die grab Bauliinge scden Bildwinkel ein, weil Randabschattung eintritt. Durch das kleine Bildfeld und das relativ gro6e Offnungsverhiiltnis bei sehr guter Korrektion des Offnungsfehlers eignete sich das Petzval-Objektiv als “Porb-iitobjektiv”. In Abwandungen ist die Bildfeldwillbung etwas verbessert worden, so da6 auch Ausfiihrungsformen mit gegenuber dem Original vergrijflertem Bildfeld existieren. Doppelaplanate. Bei der Behandlung der Abbildungsfehler hatte sich folgendes ergeben:
Ein System, das symmetrisch zur Offnungsblende aufgebaut 1st und mit dem MaBstab = - 1 abbildet, ist frei von Koma, Verzeichnung und Farbfehler des Hauptstrahls. Der Astigmatismus laiDt sich bei geeigneter Wahl der Systemhaften durch die Lage der Offnungsblende beheben.
,
6 Ovtische Instrumente und Svsleme
634
Bei der Benutzung des symmetrischen Systems fiir einen anderen AbbildungsmaSstab als p’ = - 1 (z. B. p’ = 0) treten Koma, Verzeichnung und Farbfehler des Hauptstrahls in Erscheinung. Aber bei nicht zu grol3em Offnungsverhdtnis bleibt eine befriedigende Korrektion erhalten.
Abb. 6.112 a) Periskop von Steinheil, b) Landschaftsaplanat von Steinheil
Eines der ersten Fotoobjektive auf der Basis der symmetrischen Systeme stellte das Periskop von Steinheil dar (Abb. 6.112a). Es besteht aus zwei symmetrisch zur Blende stehenden Menisken. Offnungsfehler und Farblhgsfehler sind nicht korrigiert, es handelt sich also weder um einen Aplanaten noch um einen Dichromaten. Der Astigmatismus ist durch die Blendenlage so beeinflat worden (uberkorrigiert worden), daR die mittlere Bildschale nur schwach gewolbt ist.
I
Die Ebnung der mittleren Bildschale in einem System, das Astigmatismus besitzt, wird “Bildfeldebnung im ubertragenen Sinne” genannt.
Das Periskop konnte zwar nur mit dem Offnungsverhdtnis 1:40, aber mit dem fiir die damalige Zeit (1865) groRen Objektwinkel 2w = 90” benutzt werden. In einem symmetnschen Dublet ist der Farblhgsfehler korrigiert, wenn beide Glieder aus Dichromaten bestehen. Die Korrektion des Offnungsfehlers in den Gliedern ermoglicht ein groSeres Offnungsverhdtnis, auch bei AbbildungsmaOstaben p’ # - 1. Die dazu notwendlge zerstreuende Kittflache beeintluWt jedoch die Astigmatismuskorrektion ungunstig. Es ist deshalb ublich gewesen, Portratobjektive mit verbesserter Offnungsfehlerkorrektion und Landschaftsobjektive mit verbesserter Astigmatismuskorrektion bei nicht so grol3em Offnungsverhdtnis zu entwickeln. Ein Beispiel ist der Landschaftsaplanat 1: 1 0 3 , 2w = 60” von Steinheil (Abb. 6.1 12b). Die Kittflache wirkt nur schwach zerstreuend, weil an ihr die Brechzahldifferenz klein ist (An = 0,0356). Der wenig von 1 abweichende Quotient v2/v1= 0,87 der beiden Gliiser eines Gliedes bedlngt groRe Brechkrilfte. Durch die Korrektion der Glieder eines symmetrischen Dublets konnen diese auch ganz gut fiir sich allein benutzt werden. Es besteht die Moglichkeit, verschiedene Brennweiten anzuwenden (Satzobjektive).
6.5.4
Anastigmatische Fotoobjektive
Die bisher behandelten optischen Systeme haben merkliche Bildfeldwolbung, weil bei ihnen die Petzval-Bedingung nicht erfiillt ist. Wir wollen nun die Bedingungen untersuchen, die im Ansatz eines Anastigmaten aus zwei dunnen zusammenfallenden Linsen zu verwenden sind.
6.5 ODtische Svsteme
635
Grundsatzlich gilt: Bei einem Anastigmaten, also bei einem System, bei dem Astigmatismus und Bildfeldwtilbung korrigiert sind, muI3 bereits im Ansatz die Petzval-Bedingung beriicksichtigt werden.
I
Fiir ein anastigmatisches Simplet aus zwei dunnen Linsen, das au5erdem dichromatisiert ist, gelten die Ansatzbedingungen F' = F;'+F;
(MaRstabsbedingung),
(6.288)
(Dichromasiebedingung),
(6.289)
(Petzval-Bedingung).
(6.290)
Die Aquivalentwerte n und v mussen ausreichende Groae haben (beispielsweise l / n = 0,3, l/ v = 0,003). Die drei Gleichungen fiir die Brechkriifte der beiden Linsen haben nur dann eine nichttriviale Losung, wenn
=o
(6.291)
ist. Die Aufltisung von G1. (6.291) ergibt
---
1 1 1 nl n2 1 - = -1 V n _1 - _ VI
+
-1
-1
n2v1
n1v2
vz
1
1
Vl
v2
~ '
(6.292)
Aus G1. (6.292) ist abzulesen:
I 1,443 0,7
In einem l/n-l/v-Diagramm liegen die PUnMe mit den Koordinaten ( l / n l , l/v,), ( l / n z , l/v2) und ( l / n , l/v) auf einer Geraden (Abb. 6.113). Im Feld der K llegt auch BaLK, i m Feld derKF, BaF, BaLF und BaSF liegen KzF und KzFS,
2,0 0,s
Abb. 6.113 l/n-l/v-Diagramm der optischen G l k r
636
6 Optische Instrumente und Systeme
Schwenkt man im l / n - 1/ v-Diagramm ein Lineal um den Punkt mit den vorgegebenen Koordinaten (l/n , l/v), dam ergeben siimtliche auf den dadurch festgelegten Geraden liegende Glaser diese Aquivalentwerte. Fiir l/n = l/v= 0 geht GI. (6.292) in (6.293) iiber. In diesem Fall mu13 die Gerade im l/n - 1/ v-Diagramm, auf der die Glker liegen, durch den Ursprung gehen. Die Brechkrafte folgen, wenn GI. (6.292) erfiillt ist, aus G1. (6.288) und G1. (6.289). Wir erhalten (6.294a, b) Ein Wert v < 00 verringert die Brechkriifte gegeniiber denjenigen fiir v = 00. Solange v B v, und v >> v, gilt, bleibt jedoch im wesentlichen der Quotient vz/vI bestimmend fur die Brechkriifte. Es ist schwierig, kleine Brechkriifte zu erreichen, weil die durch GI. (6.202) bestimmte Gerade sehr steil ist und quer zum schmalen Bereich der optischen Glber im l/n-l/v-Diagramm verlauft. Im allgemeinen sind d e realisierbaren Quotienten v 2 /v, nicht sehr verschieden von 1. Es sind Glker notwendig, die bei einer grol3en Brechzahl eine groRe Abbesche Zahl haben, und Glker, die bei einer kleinen Brechzahl eine kleine Abbesche Zahl haben. Derartige Glker wurden erstmalig von Schott auf Anregung von Abbe erschmolzen. Sie werden “neue Glaser” genannt, wobei sich dies auf die Situation Anfang unseres Jahrhunderts bezieht. Insbesondere eignen sich Schwerkrone und Leichtflinte. Heute sind die Lanthankrone, Lanthanflinte und Tiefflinte besonders geeignet. Ein dichromatisches Simplet mit kleiner Petzval-Summe hat au13er dem Nachteil relativ grol3er Brechkriifte noch den Nachteil einer sammelnden Kittflache. Dadurch wird die Offnungsfehler-Korrektion erschwert. Sie ist im Seidelschen Gebiet nur fir bestimmte Parameter moglich.
I
Ein Dichromat aus “neuen Glasern”, dessen Offnungsfehler trotz der sammelnden Kittflache korrigiert ist, ist ein Neuachromat.
Ein anastigmatisches Simplet entsteht, wenn der Astigmatismus minels einer geeigneten Lage der Offnungsblende beseitigt wird. Ein solches System l a t sich jedoch nicht gleichzeitig hinsichtlich Offnungsfehler und Koma korrigieren. Es sind im allgemeinen alte und neue Gliiser miteinander zu kombinieren. Andstigmate vom symmetrischen Dublettyp. Es liegt nahe, die gunstigen Eigenschaften, die ein Doppelaplanat hat, fiir den Aufbau eines Anastigmaten zu nutzen. Dazu ist es notwendig, die Petzval-Summe der symmetrisch zur Offnungsblende angeordneten Systemhdften klein zu halten. Damit ist das Prinzip der symmetrischen Anastigmaten gegeben:
I
Im symmetrischen Anastigmaten sind die Koma, die Verzeichnung und der Farbfehler des Hauptstrahls fiir den Abbildungsmdstab p’ = - 1 durch den symmetrischen Aufbau korrigiert.
6.5 Optische Systeme
I
637
Die Petzval-Summe der beiden Glieder ist klein, und der Astigmatismus ist mittels eines geeigneten Abstandes der Glieder von der Offnungsblende komgiert.
Beim Hoeghschen Meniskus ist die Petzval-Summe gleich 0. Zwei Hoeghsche Menisken, die mit ihren konkaven Hachen der Blende zugekehrt sind (wegen der Astigmatismuskorrektion), ergeben also einen symmetrischen Anastigmaten. Ein derartiges System stellt das im Jahre 1900 von Hoegh angegebene Hypergon dar (Abb. 6.114a). Offnungsfehler und Farblugsfehler sind nicht komgiert, so daD das OffnungsverhNtnis auf 1 : 4 0 beschrshkt bleibt. Die gute Korrektion der “Feldfehler” erlaubt Objektwinkel 2w=140°; es handelt sich also um ein Weitwinkelobjektiv. Zur Korrektion des Offnungsfehlers und des Farblugsfehlers miissen die HNften des symmetrischen Anastigmaten mindestens aus zwei Linsen bestehen. Der Einsatz zweier Neuachromate mit Kittflache ist wegen der geschilderten Nachteile hinsichtlich der Offnungsfehlerkorrektion schwierig. Unverkittete zweilinsige Glieder sind jedoch moglich. So entsteht z. B. der Doppelanastigmat von Hoegh (1898). der fiir K = 1 :7,6 und 2w = 60” ausgelegt war (Abb. 6.1 14b).
Abb. 6.114 a) Hypergon, b) hppelanastigmat, c) Omnar, d) Dagor
Aber auch mit alten Gliisern ist ein Anastigmat aufzubauen, wenn die beiden Linsen jedes Gliedes einen merklichen Abstand voneinander haben. Strenggenommen liegt dann kein Dublettyp, sondern ein Quadruplettyp vor. Fiir ein Glied gelten (bei n = v = =) die Ansatzbedingungen 4’ = 4; +w&, (6.295) (6.296)
4; 4; 0 = -+-, n12
(6.297)
n12
woraus (6.298)
6 Outische Instrumente und Svsteme
638
folgt. Stan G1. (6.293) ist also die weniger strenge Forderung o2
Vll
12
v12
= n,l
(6.299)
n12
mit Hilfe einer geeigneten Glasauswahl zu erfiillen. Bei vlI = 1,5Vl2ist mit wI2= 1 die Relation n l l = 1,5n1, notwendig, bei w12= 0,8 dagegen nur rill = 0,96n12,was mit alten Glhern moglich ist. Ein Beispiel fiir diese Ausfhhmng des symmetrischen Anastigmaten ist das Omnar von Busch mit K = 1 :4,5, bei dem v,,/v12 = 1,76, tlll/nl2= 0,93 ist (Abb. 6.1 14c). In iilteren Formen des symmetrischen Anastigmaten sind die Glieder dreilinsig mit einer sammelnden und einer zerstreuenden Kittflache (Kopplung von Alt- und Neuachromatenj. Die Kittflachen waren notwendig, weil die Entspiegelung noch nicht bekannt war und deshalb Glas-Luft-Flachen unerwunschte Reflexe mit sich bringen konnten. Die Abb. 6.1 14d zeigt als Beispiel das Dagor von Hoegh (1892), das fir K = 1: 13 und 2w = 70" verwendbar war. Die Vorrechnung eines zweilinsigen Simplets ergibt zwei Losungen, deren prinzipielle Linsenanordnung in Abb. 6.115a und Abb. 6.115b enthalten sind. Abb. 6.115a stellt ein System dar, wie es von Fraunhofer als Fernrohrobjektiv eingesetzt wurde. Das System nach Abb. 6.115b ist von Gaul3 als Femrohrobjektiv angegeben worden. Es hat den Vorteil eines kleinen GasFehlers. Wegen der starken Kriimmungen ist es jedoch schwer zu fertigen, insbesondere zu zentrieren. Die Komakorrektion bereitet Schwierigkeiten.
Zwei symmetrisch zur Offnungsblende angeordnete GauBsche Femohrobjektive ergeben das Grundsystem fiir die Anastigmate vom Gad-Typ. Bei diesem ist allerdings die Dicke der Menisken, die der Blende benachbart sind, oft wesentlich groDer als beim Fernrohrobjektiv. Dadurch ist die Beseitigung der Petzval-Wolbung in den Gliedern leichter miiglich (es sind die giinstigen Eigenschaften des konzentrischen Meniskus angeniihert iibertragen). Ein Beispiel fiir das symmetrische Gad-Objektiv ist das Omnar (Abb. 114c). Anastigmate vom unsymmetrischen Dublettyp. Bei groDen Offnungsverhtdtnissen ist der symmetrische Aufbau ungunstig, wenn der AbbildungsmaRstab stark von p' = 1 abweicht. Deshalb sind unsymmetrische Dublets entwickelt worden, die in der Grundtendenz noch wesentliche Zuge des symmetrischen Anastigmaten besitzen. Besonders deutlich zeigt sich dies beim Topogon von Zeiss (Abb. 6.116aj, bei dem die erste und die letzte Linse geringfugig verschiedene Radien und Dicken haben. Es handelt sich um ein Weitwinkelobjektiv mit korrigiertem Offnungs- und Farbltingsfehler. Das Topogon w d e wegen seiner kleinen Verzeichnung auch als Luftbildobjektiv verwendet. Es gab z.B. eine Ausfiihrungsform mit
-
6.5 Optische Systeme
639
K = 1:6,3 und 2w = 100" sowie eine Ausfiihrung flir Kleinbildaufnahmen mit K = 1:4, 2w = 82" und f' = 25 mm. Auch das Orthometar von Merte (1926) hat etwas verschiedene dreilinsige Glieder mit einer Kittfltiche (K = 1:4 3 , 2w = 70"). Vom symmetrischen GauR-Typ leitet sich das Planar K =1:3,3, 2w=50° ab (Abb. 6.116b), bei dem nur die letzte und die erste Fltiche etwas verschiedene Radien haben. Das Planar kann als das Ausgangssystem der unsymmetrischen Anastigmate vom GauS-Typ angesehen werden. Es besitzt die typischen dicken Menisken, die ihre konkave Flache der Blende zukehren und im allgemeinen eine Kittflache haben. Dazu kommen die beiden objekt- bzw. bildseitigen Sammellinsen, die oft wenig von der plankonvexen Form abweichen. Fiir groSe Offnungsverhiiltnisse ist der GauR-Typ besonders ausgezeichnet. Die abbildenden Strahlen werden an vielen Fltichen gebrochen, wobei die Einfallswinkel an den meisten Flachen klein bleiben. Der Offnungsfehler ist deshalb mit kleinem Zonenfehler korrigierbar. Auch der Hauptstrahl hat an den einzelnen Flachen kleine Einfallswinkel, was gunstig fiir die Astigmatismuskomktion ist. Die Symmetrie geht bei groDen Offnungsverhiiltnissen und p' # - 1 vollig verloren. so daR die Voraussetzungen fiir die Komakorrektion ungunstiger als bei symmetrischen Systemen sind. Ein bekanntes Objektiv vom Gad-Typ war das Biotar, z.B. mit K = 1: 1,4, 2w = 35' von Zeiss, das allerdings nicht mehr gefertigt wird (Abb. 6.116~). Eine Weiterentwicklung des GauS-Typs in Richtung von Systemen mit extremem Offnungsverhiiltnis ist z. B. das R-Biotar K = 1:0,85, 2w = 32" (Abb. 6.116d), das fiir Oszillografen- und Rontgenbildschirmaufnahmen verwendet wird. Die Bildfeldebnung wird durch eine Smyth-Linse unterstiitzt. Diese stellt eine Zerstreuungslinse dar, die direkt vor der Bildebene steht und deren Petzval-Summe etwa entgegengesetzt gleich der Petzval-Summe des ubrigen Objektivs ist. Die Smyth-Linse wirkt sich nur in einer Verringerung der Petzval-WB1bung aus, weil bei ihr wk = 0 ist und in s-tlichen Ansatz- und Vorrechnungsbedingungen, auRer in der Petzval-Bedingung, der ihr zugeordnete Summand verschwindet. Da die SmythLinse mindestens den Durchmesser des Bildfeldes haben muB, ist sie schwer und konstruktiv ungunstig. Die Lage in der Bildebene bringt den Nachteil mit sich, daR Blasen in der Linse und Staub auf der Oberfltiche im Bild zu sehen sind. Bei den Flektogonen von Carl Zeiss Jena ist vor eine Gad-Variante in groaerem Abstand ein zerstreuender Meniskus gesetzt. Es entsteht ein Objektiv mit langer Schnittweite. Als Beispiel diene das Flektogon K = 1 :2.8. 2w = 63". f' = 35 mm (Abb. 6.1 16e). Auch das Petzval-Objektiv 1B;Bt sich zu einem unsymmetrischen Anastigmaten vom Dublettyp ausbauen. Es muB dann aus Gliedern mit kleiner Petzval-Summe zusammengesetzt werden, indem in diesen moderne Glber oder auch mehr als zwei Linsen zur Anwendung kommen. Ein weiteres Beispiel fiir die unsymmetrischen anastigmatischen Dublets ist das Teleobjektiv. Durch den Aufbau aus einem sammelnden und einem zerstreuenden Glied hat es gunstige Voraussetzungen fiir die Erfiillung der Petzval-Summe, ohne deren Korrektion in den Gliedern zu erfordern. Eines der ersten Teleobjektive war das Bistelar von Busch (K = 1 : 11, 2w = 36"), fiir das = 0,625.5' gilt (Abb. 6.1 160. Heute werden Teleobjektive fiir fotografische Zwecke nur noch selten gefertigt, weil die Verkiirzung der Schnittweite nicht so erheblich ist und sowohl die Offnungsfehler- als auch die Verzeichnungskorrektion schwierig ist. Bei Offnungsverhliltnissen K = 1:5 reicht der einfache Aufbau aus zweilinsigen Gliedern nicht aus. Fiir Kleinbildaufnahmen mit Brennweiten f' < 500 mm sind Fernobjektive auf der Basis der noch zu behandelnden Sonnare geeignet. Etwa ab Brennweite f' = 500 mm sind Spiegelobjektive vorteilhafter.
640
6 Optische Instrumente und Systeme
Abb. 6.116 a) Topogon, b) Planar,c) Biotor, d) R-Biotor, e) Flektogon, f) Bistelar, g) Prakticar 1,4/50, h) Prakticar 2,4/28, i) Canon-Fischaugenobjektiv 5,6/7,5, j) Canon-Superweitwinkelobjektiv4/17
6.5 Ootiscbe Svsteme
641 ~
~~
Die Anastigmate fiir die Kleinbildfotografie sind sthdig weiterentwickelt worden. Teilweise sind neue hochbrechende Glher eingesetzt worden, teilweise errnaglichen die rechnergestiitzten Methoden der Optik-Konstruktion bessere Parameter. Beispiele sind die Prakticare von Carl Zeiss Jena, von denen Abb. 6.116g und 6.116h zwei Beispiele zeigen. Im Prakticar 1,4/50 ist z. B. in der fiinflen und sechsten Linse hochbrechendes Kronglas, in der siebenten Linse Lanthanflint enthalten. Fiir spezielle Fiille sind die Objektive mit Innenfokussierung (Einstellen auf endliche Entfernung durch Verschieben einer Linse oder Linsengruppe) oder mit der Einstellung der Bildgute auf die Abbildung naher Objekte durch die Verschiebung von Linsengruppen ausgeriistet (Floatingobjektive). Fischaugenobjektive (Fisheye-Objektive) bilden den gesamten Halbraum ab. Sie erfassen demnach den Objektwinkel 2w = 180". Damit stellen sie extreme Weitwinkelobjektive dar, die bei der Verwendung an Spiegelreflexkameras als Retrofokussysteme aufgebaut sein mussen. Der Bildwinkel md3 naturgema wesentlich kleiner als 180" sein, denn das Bildformat ist begrenzt. Deshalb kdMen Fischaugenobjektive nicht U i c h abbilden. Es gibt zwei praktisch realisierbare Fiille: Das Bild wird in aquidistanter Projektion innerhalb einer Kreisflache erzeugt. Ein Beispiel ist das Objektiv 5,6/7,5 von Canon, bei dem das Verhtiltnis aus Schnittweite und Brennweite 5,6: 1 ist (Abb. 6.116i). Das Bild ist flachentreu, wobei die durch die Bildmitte verlaufenden Linien gerade bleiben, alle anderen Linien gekriimmt sind. Diese Eigenschaft hat das Canon-Fischaugenobjektiv 2,8/15. Unverzeichnete Bilder bei grol3en Objektwinkeln sind mit Superweitwinkelobjektiven mdglich (Canon-Objektiv 4/17, Abb. 6.116j). Spezielle Objektive sind diejenigen fiir sehr groDe Offnungsverhtiltnisse, mit apochromatischer Korrektion und mit Ausgleich von perspelctivischer Verzerrung. Sehr groae Offnungsverhtiltnissesind bei Objektiven mit einer asphiirischen Flsche zu erzielen (z. B. Canon 1,4/24 und 1,2/55). Apochromatische Korrektion ist besonders bei langbrennweitigen Objektiven von Vorteil. Sie ist mit Linsen aus Calciumfluorid moglich (z. B. Canon 2,8/300). Objektive zum Ausgleich von perspektivischen Verzerrungen erfordern die parallele Verschiebung der optischen Achse (Shift-Objektiv) und die Kippung der optischen Achse (TiltObjektiv). Canon hat ein derartiges Objektiv auf den Markt gebracht (2,4 35). Anastigmate vom Triplettyp. Das einfache Triplet ist ein System aus drei Einzellinsen, die nicht vernachlksigbare Absthde voneinander haben. Bei einer Anordnung SammellinseZerstreuungslinse-SammellinselUt sich das einfache Triplet als Anastigmat ausbilden. Die Petzval-Summe wird durch eine geeignete Brechkraftaufteilung auf die Einzellinsen genugend klein, so dal3 auch tiltere Glher verwendbar sind. Die Offnungsfehlerkorrektion ist mit den zur Zeit verfiigbaren Glhern bis zu dem OffnungsverhUtnis K = 1 :2,8 gut mdglich. Weil jedoch die dritte Flache konkav und die zerstreuende Wirkung der Mittellinse, die eine relativ hohe Brechkraft besitzt, besonders fiir die Randstrahlen wirksam ist, haben Triplets eine g r o k zone des Offnungsfehlers. Zu den ersten Triplets gehort die "Cooke lens" K = 1 :5,6, 2w = 68' der englischen Firma Taylor, Taylor and Hobson (Abb. 6.117a). Durch das Einfiihren von Kittfltichen oder das Aufspalten der Einzellinsen leitet sich aus dem einfachen Triplet eine ganze Reihe weiterer unsymmetrischer Anastigmate ab. die also als Tripletvarianten aufgefdt werden konnen.
642
6 Optische Instrumente und Systeme
Besonders bekannt sind die Tessare; sie stellen Tripletvarianten mit verkittetem Hinterglied dar (Abb. 6.117b). Im allgemeinen ist die Kittflache sammelnd, so dalj das Hinterglied mit einem Neuachromaten verwandt ist. Der Zonenfehler wird gegenuber demjenigen des einfachen Triplets verringert. Die Tessare zeichnen sich durch eine fiir den einfachen Aufbau sehr gute Bildschme aus, allerdings bei manchen Systemen erst nach einer gewissen Abblendung.
Abb. 6.117 a) Cooke lens, b) Tessar, c) Sonnar, d) Olympia-Sonnar
Auch die Gmppe der Sonnare geht aus dem einfachen Triplet hervor. Die Sonnare lassen sich als Tripletvarianten mit dreilinsigem Mittelglied und teilweise auch mit zweilinsigem Hinterglied auffassen. Als Beispiele seien das SOMU K = 1:2, 2w = 45’ (Abb. 6.1 17c), das SOMN K = 1: 2,8, 2w = 14O, f’ = 108 mm, das sogenannte “Olympia-Sonnar” (Abb. 6.1 17d) und das Sonnar K = 1:4, 2w = go, f’ = 300 mm genannt. Sonnare eignen sich wegen der guten Korrektion und der kleinen Baultinge als Fernobjektive. So hat z. B. das Sonnar K = 1:4, f’ = 135 mm die Schnittweite s‘ = 87,8 mm, das Triotar (einfaches Triplet) mit sonst gleichen Daten die Schnittweite 8’ = 134,2 mm. Mit dem Sonnar lassen sich bei einfacherem Aufbau die gleichen Offnungsverhiiltnisse erzielen wie mit GauR-Varianten. Allerdmgs ist die Korrektion der Feldfehler nicht so gut wie bei diesen. Weitere Tripletvarianten, bei denen jedes Glied mehrlinsig sein kann, gibt es in vielen Ausfiihrungen. Wir konnen aber hier nicht weiter darauf eingehen.
6.5.5
Objektive mit veranderlicher Brennweite
In der Fotografie, besonders jedoch in der Kinematografie und Fernsehtechnik, besteht oft der Wunsch, den Objektwinkel an das Motiv anpassen zu konnen. Das ist mit einer hderung der Brennweite des Aufnahmeobjektivs verbunden. Eine unstetige Brennweiteniinderung ist bei den modernen Kameras mit SchlitzverschluS auf einfache Weise durch den Wechsel der Objektive mdglich. Der hohe Aufwand (es werden im allgemeinen neben dem Normalobjektiv ein kurz- und ein langbrennweitiges Objektiv benotigt) erscheint dadurch gerechtfertigt, daS
643
6.5 Optische Systeme
jedes System optimal konigiert werden kann. Gegeniiber dem Austausch des vollstiindigen Objektivs ist die Verwendung von Satzobjektiven preisgunstiger. Verschiedene Brennweiten lassen sich dadurch erzielen, daS die Teilglieder getrennt benutzt werden konnen bzw. einzelne Glieder auswechselbar sind. Sie sind auch in Kameras zu verwenden, bei denen der Verschlu6 innerhalb des Objektivs liegt. Das Hinterglied mit dem Verschla muS fest mit der Kamera verbunden bleiben. Die selbstmdige Benutzung der Teilglieder ist bei der Berechnung des Objektivs von vornherein zu beriicksichtigen, um die Abbildungsfehler in Grenzen zu halten. Die Anfordemngen an die Bildqualitat sind aber durch die Kleinbildfotografie so gewachsen, daO der Korrektionszustand von Teilgliedern heute nicht mehr befriedigen kann. Eine weitere Moglichkeit, die Brennweite unstetig zu verhdern, ist durch das Vorschalten eiFernrohr *
Hauptsystern A IH:
nes afokalen Vorsatzes, der im Prinzip ein holliindisches Fernrohr darstellt, vor das eigentliche Aufnahmeobjektiv gegeben. Die Abb. 6.118 zeigt den Aufbau eines solchen Systems. Die Gesamtbrechkraft von Fernrohr und Hauptsystem erhalten wir aus F' = ~ ' + ~ o ~ F ~ + ~ O ~ & ' .
(6.300)
Nach Abb. 6.118 ist w* = wg =
4fi =-x F;'
(6.301)
Aus G1. (6.300) folgt mit G1. (6,301) F' = &F;.
(6.302)
Fiir die Gesamtbrennweite des Systems ist der Faktor o2bestimmend, der je nach Stellung des Vorsatzes im Strahlengang groBer als 1 werden kann. Ftir o2> 1 wird die Gesamtbrennweite gegenuber derjenigen des Hauptsystems vergroBert (Abb. 6.1 18 oben), fiir wp = l/w2 < 1 dagegen verkleinert (Abb. 6.118 unten). Da das Hauptsystem auch ohne Vorsatz verwendet werden kann. stehen insgesamt drei Brennweiten zur Verfiigung.
6 Optische Instrumente und Systeme
644
GroBere praktische Bedeutung besitzen variofokale oder pankratische Systeme (auch Zoom-Objektive genannt), die eine stetige Brennweiteniinderung erlauben. Sie werden besonders in Film- und Fernsehkameras zur Erzielung sogenannter “Fahreffekte” eingesetzt. Bei der Anwendung in der Fotografie mussen fiir pankratische Systeme beim Durchfahren des Brennweitenbereichs folgende Fordemngen erfiillt sein: Die Auffangebene muD ihre Lage unveriindert beibehalten. - Das Offnungsverh<nis darf sich im allgemeinen nicht iindern. - Die Bildgute des Objektivs mulj innerhalb gewisser Grenzen erhalten bleiben. -
Um bei einer Andemng der Brennweite die Lage der Bildebene konstant zu halten, mu13 das optische System aus mindestens zwei Gliedern bestehen, die sich in axialer Richtung verschieben lassen. Die Verhdtnisse bei der Abbildung der unendlich fernen Objektebene durch ein pankratisches System zeigt Abb. 6.119.
-
_I
Abb. 6.119
Pankratisches System
pus zwei Linsen
Fiir die BreMWelte eines zw igliedrigen Systems gilt die Beziehung
(6.303)
Bei konstanten Einzelbrennweiten kann die Gesamtbrennweite durch h d e n m g der optischen Tubusliinge stetig variiert werden. Wird die dazu notwendige Verschiebung n u von einem Teilglied, z. B. dem Vorderglied, ausgefiihrt, so verlagert sich auch die Bildebene. Das wird verhindert, wenn t in entsprechender Weise auf beide Glieder aufgeteilt wird. Aus G1. (6.303) folgt f;tI = fr;tn. (6.304) Mit fn = t I - A t
= tI+A,-A,
645
6.5 Optische Systeme
ergibt sich aus G1. (6.304) (6.305) Die Bildebene bleibt an ihrem Ort,wenn (Abb. 6.1 19)
ain = a;, - A
(6.306)
gilt. Uber die Beziehungen (6.307) und G1. (6.303) erh2lt man A 2 zu
f;
A2 = - ( f i - A ’ )
A’
,;f
(6.308)
= - f’.
A’
Durch Einsetzen von G1. (6.308) in GI. (6.305) kann A l berechnet werden: (6.309)
Wie sich aus den Bestimmungsgleichungenfiir A l und A 2 ablesen l u t , ist bei einer Ver‘dnderung der Brennweite f ’ um A f ’ die Verschiebung A 2 des Hintergliedes linear, die Verschiebung A des Vordergliedes nichtlinear. Beide Bewegungen mussen durch ein kompliziertes Getriebe gekoppelt werden. Derartige pankratische Systeme werden in der Literatur Systeme mit mechanischem Ausgleich genannt. fL45
fc25u.80
F‘
-d
Abb. 6.120 Vario-Glaukar
Die Korreldon der pankratischen Systeme Uber den gesamten Brennweitenbereich ist mit Schwierigkeiten verbunden. Es wird deshalb der Varioteil so angelegt, daR er ein virtuelles Bild in grol3er Entfernung liefert und zusammen mit einem Grundobjektiv verwendet werden kann. Trotzdem 1Mt sich das Gesamtsystem nur fiir eine mittlere Brennweite konigieren. Bei jeder anderen Einstellung treten Bildverschlechterungenauf. Als Beispiel fiir ein Variosystem mit mechanischem Ausgleich wird in Abb. 6.120 das VarieGlaukar (1 :2.8. f’ = 25 mm.. . ..A0mm) gezeigt. Aus Abb. 6.120 ist zu erkennen, daR sich die Offnungsblende hinter dem eigentlichen pankratischen System befindet. Das ist notwendg, um die Forderung nach einem konstanten Offnungsverh2ltniszu erfiillen.
646
6 Optische Instrumente und Systeme
Abb. 6.121 Zur Ableitung der Konstanz
des Offnungsverhdtnisses Zum Beweis dieser Aussage dient Abb. 6.121. Die relative Offnung ist definiert durch (6.310) Daraus folgt mit 0; = p’,/p, = -zb/f‘ die Beziehung
K =
--2P; I
(6.311)
.
CP
Fiir al = - m fdlt die ortsfeste Bildebene des pankratischen Systems mit der Brennebene zusammen. Der Abstand - z’p zwischen Brennebene und Offnungsblende (Austrittspupille) bleibt stets der gleiche, so dal3 das Offnungsverhiiltnis unabhagig von der Brennweite einen konstanten Wert behat. Bei den pankratischen Systemen mit mechanischem Ausgleich ist die Koppelung zwischen den ungleich bewegten Stellgliedern nur mit hohem konstruktivem Aufwand zu verwirklichen. Daher hat man nach Losungen gesucht, die eine gemeinsame Verschiebung zweier fest miteinander verbundener Glieder gestatten. Abb. 6.122a zeigt ein optisches System aus drei Gliedern. Seine Brennweite ergibt sich mit a2=
--t 1 2 + h!’ A‘
und
zu f‘ =
X’fi’f; - h” .
(6.312)
t12t23
Werden das erste und das dritte Glied gemeinsam in Lichtrichtung urn + v gegeniiber dem zweiten Glied verschoben, so iindem sich in G1. (6.312) die optischen Tubuslsingen und damit die Gesamtbrennweite des Systems: (6.313) Der Ort der Bildebene (Brennebene) bleibt konstant, wenn die Bedingung
Al‘ = l\-l‘
= v-z;+z;, = v+Az; = 0
(6.314)
fiir alle Werte v erfiillt ist. Durch Anwendung der Newtonschen Abbildungsgleichung konnen
6.5 Optische Systeme
647
z; und z;, bestimmt werden, und man erhat
(6.315) Die G1. (6.315) ist 3. Grades in v. Daraus folgt, dal3 sich der Ort der Bildebene mit der Verschiebung v iindert, aber dreimal gleich ist (fiir die drei Nullstellen der G1. (6.315)). Die Abb. 6.122b zeigt an einem Beispiel den Gang der Brennweitentinderung A f' und die Abweichungen von der Konstanz der Bildebenenlage Al' als Funktion der Verschiebung v. Wird der Varioteil zusammen mit einem Grundsystem benutzt, dann lassen sich bei geeigneter Wahl seiner Parameter nach G1. (6.315) Werte fiir Al' erzielen, die innerhalb der ScWfentiefe des Grundsystems liegen und dadurch zu vernachlidssigensind. Da die Auswanderung der Bildebene dieser Systeme durch optische Mittel ausgeglichen wird, hat sich fiir sie die Bezeichnung Systeme mit optischem Ausgleich eingebiirgert. Ein solches System war das Voigtliinder-Zoomar (1 :2,8, f' = 36 mm.. -82mm). Heute haben Varioobjelcte mit optischem Ausgleich weitgehend an Bedeutung verloren. Die Varioobjelcte mit mechanischem Ausgleich fiir die Kleinbildfotografie werden nach zwei grundlegenden Konstruktionsprinzipienaufgebaut. HH;
HH:
HH; H '
Abb. 6.122 a) Pankratisches System aus drei Gliedern, b) Brennweiteniinderung im System nach a)
648
6 Optische Instrumente und Systeme
Viergruppenbauweise. Fiir Brennweiten f‘ > 40 mm und grolje Variofaktoren werden die Funktionen auf vier Linsengruppen verteilt. Das sammelnde Frontglied ubernimmt die Entfernungseinstellung. Mit der Verschiebung des zerstreuenden Variators wird die Brennweite geiindert. Der sammelnde oder der zerstreuende Kompensator sorgt dafiir, da13 die Bildebene erhalten bleibt. Das feststehende sammelnde Grundobjektiv enthdt die Offnungsblende, so daS das Offnungsverhdtnis bei der Brennweiteniinderung konstant bleibt. Aus der Lage der Offnungsblende leitet sich der Nachteil des relativ groI3en Frontgliedes ab. AuSerdem neigen diese Varioobjektive zur unvollstiindigen Verzeichnungskorrektion (bei der kleinen Brennweite tonnenformig, bei der groljen Brennweite kissenformig). Ein Beispiel ist das Prakticar 4/80.. .200 von Carl Zeiss Jena, bei dem das Grundobjektiv als Teleobjektiv ausgebildet ist (Abb. 6.123). Zur besseren Korrektion sind in mehreren Linsen hochbrechende Krongliiser eingesetzt (LaK und LaSK). Auch von der japanischen Firma Canon werden die langbrennweitigen Varioobjektive in Viergruppenbauweise hergestellt (z. B. 4,5/85.. .300).
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I
\
\
I I I
I
I
\ \
I
I
f’=200
Abb. 6.123 Schnittbild und
Verstellbereich fur das Zeus-Prakbcar 4/80.. .200 Zweigruppenbauweise. Fur kleine Brennweiten, also auch fir den Bereich der Weitwinkelobjektive, hat sich die Zweigruppenbauweise durchgesetzt. Mit der Verstellung des Vordergliedes werden die Brennweite und die Entfernung eingestellt (Variator). Die Verschiebung des Hintergliedes (Kompensator) ennoglicht die Einhaltung der Bildebene. Daraus folgt, daa sich mit der Brennweite auch das Offnungsverhatnis iindert. Es wird im allgemeinen mit wachsender Brennweite kleiner (groljere Blendenzahl). Bei Kameras mit Messung der Belichtungszeit mittels des vom Objektiv erfaSten Lichtes (TTL-Messung, Abk. fir “through the lens”, d. k “durch das Objektiv”) ist das problemlos. Auch der Brennweitenbereich ist etwa
649
6.5 Optische Systeme
auf 2 bis 2.5 begrenzt. Dafiu ist das Frontglied klein, und die Verzeichnungskonektion ist besser moglich. Die Zweigruppenbauweise wurde zuerst von der Firma Canon eingefiihrt (2.B. Objektiv 2,8...3,5/35.. .70). Nach dem gleichen Prinzip ist das Zeiss-Prakticar 2,7.. .3,5/35.. .70 konstruiert (Abb. 6.124).Die Abbildung enthtilt auch die Macrostellung, bei der die Bildgiite fiir nahe Objekte gut ist. Die planparallele Glasplatte begiinstigt neben ihrer Schutzwirkung die
' I
' I !,
f"- 70
Abb. 6.124 Schnittbild und Verstellbereich fiir das Zeiss-Practicar Z7.. .3,5/35...70
Bildfeldebnung. Die Korrektionsdarstellungen fiu den Offnungsfehler und seine Variationen in Abb. 6.125 lassen erkennen, dat3 bei der oberen Brennweite ein s*keres Abblenden vorteilhafl sein wird. Die aus dem unterschiedlichen Verlauf des Offnungsfehlers resultierende Verlagemng der besten Auffangebene w d e bei den Steuerkurven beriicksichtigt. Fiir die Film- und Fernsehtechnik sowie fiir das technische Fernsehen sind Varioobjektive mit groDen Variofaktoren realisiert worden. Bei Carl Zeiss Jena waren z. B. fiir das technische Fernsehen die Vario-Tevidone fiir den Brennweitenbereich f' = 15 mm.. .150 mm im Programm. Beim Schneider-TV-Variogon 2,l...6,3/20.. .600 ermBglicht das nacheinander ausgefiihrte Verschieben von Paaren an Linsengruppen den groI3en Variofaktor. Die Offnungsblende ist zwischen dem ersten und dem zweiten Paar an Linsengruppen angeordnet, wodurch das Frontglied keinen zu grolkn Durchmesser annimmt. Damit ergibt sich das konstante Offnungsverhtiltnis 1 :2,l beim Variieren der Brennweite von 20 mm auf 200 mm rnit den ersten
650
6 ODtische Instrumente und Svsteme
Linsengruppen. Beim Verschieben der zweiten Linsengmppen nimmt die Blendenzahl linear auf k = 6.3 zu. Das Objektiv besteht aus 30 Linsen, so dal3 es vor der Einfiihrung der reflexmindernden Schichten nicht realisierbar gewesen wke. f ' = 35
I
!0,175 /
1
-0.10
$1
f'=50
0.05
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0.10 -
0.05 -0.175
--.--.-'tw - 0.05 -
-0.10
6.5.6
-
6'
Abb. 6.125 Querabweichungendes Offnungsfehlers und seiner farbigen Variation fiir das Objektiv aus Abb. 6.124 (Hauptfarbe, - - - - blau, -. -. -
Spiegelobjektive
Um weit entfernte Objekte formatfillend abbilden zu konnen, z. €3. bei Sportaufnahmen, sind groSe Objektivbrennweiten erforderlich. Damit ist, selbst bei Teleobjektiven, eine groRe Baul u g e verbunden. Durch den Einsatz von Spiegelflachen kann die Bauliinge klein gehalten werden. Spiegelsysteme haben gegeniiber Linsensystemen drei weitere Vorteile: Bei der Reflexion treten keine chromatischen Abbildungsfehler auf. Daher bilden Spiegelsysteme vollig farbfehlerfrei ah. Die Querabweichung des Offnungsfehlers eines sphtirischen Hohlspiegels ist im Seidelschen Gebiet fir s=--m etwa 1/7 derjenigen einer Linse gleicher Brennweite, deren Durchbiegung so bestimmt worden ist, dal3 der OffnungsfeNer seinen kleinsten Wert hat.
6.5 Optische Systeme
65 1
Deshalb lassen sich Spiegelobjektiveim allgemeinen bei gleichem Offnungsverhatnis mit kleinerem Zonenfehler komgieren als Linsensysteme. - Ein sph2rischer Hohlspiegel ist frei von Astigmatismus und Koma, wenn er mit einer Offnungsblende in der Ebene seines Kriimmungsmittelpunktes benutzt wird (“natiirliche Blende”). Aderaxiale Punkte werden dann nur mit Offnungsfehler und anastigmatischer Bildfeldwolbung abgebildet. Fiir die Korrektion des Offnungsfehlers bestehen mehrere Moglichkeiten. Mit einer parabolischen Spiegelfliiche wird der unendlich ferne Achspunkt offnungsfehlerfrei abgebildet. Bei der Abbildung von Punkten, die sich aderhalb der optischen Achse befinden, wirken sich d a m jedoch Koma und Astigmatismus sehr st6rend auf das Bild aus. Mit Hilfe einer Spiegellinse nach Mangin (Abb. 4.66) kann der Offnungsfehler durch die zweimalige Brechung an der Vorderfliiche der Linse korrigiert werden. Von Nachteil sind u. a. die dabei entstehenden aderaxialen Abbildungsfehler sowie der Farbfehler. Eine wesentliche Verbesserung der Spiegelsysteme hinsichtlich der Korrektion des Offnungsfehlers wurde durch die Erfindungen von B. Schmidt (1931) und D.D. Maksutow (1941) erreicht. Schmidt beseitigte die spWsche Unterkorrektion durch eine Korrektionsplatte in der Ebene des Kriimmungsmittelpunktesdes
L a /---
C
1 2
3
Abb. 6.126 a) Schmidt-Spiegel, b) Maksutow-System, c) Spiegelsystem von Zeiss, d) Korrektionsdarstellungen zu c)
Hohlspiegels. deren eine Flache in der Mitte konvex und am Rande konkav ausgebildet ist (Abb. 6.126a). Dadurch werden nahezu alle Strahlen eines achsparallelen Biindels im Spiegelbrennpunkt einer mittleren Zone vereinigt. Schmidt-Systeme sind aderdem weitgehend frei von Koma, Astigmatismus und Farbfehler. Maksutow benutzte einen zum Kriirnmungsmittelpunkt des sphtirischen Hohlspiegels konzentrischen Meniskus, der weder Koma noch Astigmatismus einfiihrt (Abb. 6.126b). Der Offnungsfehler des Hohlspiegels wird durch eine entsprechend gewaihlte Dicke des Meniskus korrigiert. Der Farbfehler kann durch Achromatisierung der Korrektionslinse beseitigt werden.
6 ODtische Instrumente und Svsteme
65 2
Eine ausreichende Korrektion des Offnungsfehlers ist auch mit Linsensystemen moglich, die vor dem sphiirischen Hohlspiegel angeordnet sind (Abb. 6.126~).Werden beide Linsen aus dem gleichen Glas hergestellt und besitzen sie entgegengesetzt gleiche Brechkriifte, dam bilden sie ein nahezu afokales und farbfehlerfreies System. Die Korrektion der Bildfeldwolbung kann durch einen sammelnden Achromaten in der NShe der Auffangebene erreicht werden (Smyth-Linse). Dadurch verlagert sich die “natiirliche” Blende vom ~mmungsmillelpunktin Richtung auf den Spiegel, was zu einer wesentlichen Verkiirzung der Bauliinge fuM. Neben Vorteilen besitzen Spiegelsysteme jedoch auch Nachteile. Durch die Umkehrung der Lichtrichtung am Spiegel mu13 sich die Auffangebene vor dem Spiegel befinden. Das ist nur bei speziellen Anwendungszwecken moglich. Meistens werden mit einem zweiten Spiegel (Hilfsspiegel) die Strahlen wieder in ihre urspriingliche Richtung reflektiert. Der Hauptspiegel ist durchbohrt, um dem abbildenden Biindel den Durchtritt zu gestatten. In beiden Fdlen wird der mittlere Teil des Biindels abgeschattet. Als MaB fiir die Abschattung kann das Verhdtnis der abgeschatteten Pupillenfllche A, zur Flache der Eintrittspupille ohne Zentralabschattung A. benutzt werden; Spiegelsysteme mit Hilfsspiegel besitzen eine ringformige Eintrittspupille, so daB
(2) 2
7=
(6.316)
gilt. Die wirksame relative Offnung K , ist d a m durch
K, =
2f p ” C
(6.317)
gegeben. Eine ringformige Eintrittspupille verandert auch die Intensitatsverteilungim Beugungsbild. Abb. 4.201 zeigt die Intensitatsverteilung in der Bildebene bei der Abbildung eines leuchtenden Punktes mit voller und ringformiger Eintrittspupille. Durch das Ausblenden des zentralen Biindelteils verlagert sich die Intensitat vom Hauptmaximum auf die Nebenmaxima. Das ist mit einer Abnahme des Bildkontrastes verbunden. Das Auflosungsvermogen ist verbessert, weil die erste Nullstelle nsiher am Hauptmaximum liegt als bei voller Offnung. Fiir normale fotografische Zwecke ist jedoch die Steigerung des Kontrastes vorteilhafter als die des Auflosungsvermogens. AuDerdem kann durch Fremdlicht, &as seitlich am Hilfsspiegel vorbei unmittelbar in die zentrale DurchlaRoffnung des Hauptspiegels fdlt, der Bildkontrast wesentlich verschlechtert werden. Deshalb miissen in das System Blenden eingebaut werden, die das schrag einfallende Fremdlicht abfangen. Ein weiterer Nachteil der Spiegelsysteme ist die Empfindlichkeit der Spiegelflachen gegeniiber Falschlagen. Die vorzusehenden Justierstellen und die Justierung selbst bedeuten einen hohen konstruktiven und fertigungstechnischenAufwand. Abb. 6 . 1 2 6 ~zeigt als Beispiel das Zeiss-Spiegelobjektiv 4/500.AuDer Haupt- und Hilfsspiegel, den beiden Frontlinsen zur Korrektion des Offnungsfehlers und dem Achromaten vor der Auffangebene (Smyth-Linse) befindet sich im Suahlengang ein Filterrevolver. Hier koMen neben Farbfiltern auch Graufilter zur Schwachung des Lichtstroms eingesetzt werden, da das Objektiv keine veriinderliche Offnungsblende besitzt. Die ausgezeichnete Farb- und Offnungsfehlerkorrektion ist in Abb. 6.126d zu erkennen.
653
6.5 Optische Systeme
6.5.7
Fernrohrobjektive
Bei Femrohrobjektiven miissen wir zwischen Objektiven fiir den visuellen Gebrauch und Objektiven fiir die Astrofotografie unterscheiden. Letztere sind im eigentlichen Sinne keine Fernrohr-, sondern Fotoobjektive, so da6 wir sie zunachst ausklammern wollen. Fernrohrobjektive haben die Aufgabe, ein kleines Feld mit groBer Offnung und polychromatischem Licht abzubilden. Daraus folgt, dal3
- der Offnungsfehler, - die Koma fiir kleine Flachen (Erfiillung der Sinusbedingung), -
der Farbliingsfehler
korrigiert sein miissen. GroRen EinfluR auf die Bildqualitat hat die Korrektion der Farbfehler. Trichromatische Korrektion mit beseitigtem Gad-Fehler ist deshalb bei Hochleistungsobjektiven anzustreben. Zweilinsige Achromate. Es bereitet keine Schwierigkeiten, aus einer Sammel- und einer Zerstreuungslinse einen Achromaten herzustellen. Bei Gerateoptik und nicht zu groRen Linsendurchmessern lassen sich beide Linsen verkitten oder ansprengen (Abb. 6.127a). Das Offnungsverhiiltnis kann etwa bis zu 1 :3,5 betragen.
Abb. 6.127 a) Zweilinsiger Achromat, a)
b)
C)
b) E-Objektiv von Zeiss, c) AS-Objektiv von Zeiss
Die fiir astronomische Zwecke verwendeten Objektive haben Offnungsverhiiltnisse um 1 :10 herum. Bei groReren Durchmessern (etwa ab 60 mm) w&e eine Verkittung nicht stabil. AuRerdem ist bei nichtverkitteten Linsen ein weiterer Radius fiir Korrektionszwecke frei. Abb. 6.127b zeigt das E-Objektiv von Carl Zeiss Jena. Zweilinsige Halbapochromate. Durch den Einsatz von Kurzflint in der Zerstreuungslinse kann das sekundiire Spektrum vemngert werden. Das Offnungsverhiiltnis m a auf etwa 1 : 11 begrenzt bleiben. Ein derartiger Halbapochromat ist das AS-Objektiv (Abb. 6.127~). Zweilinsige Apochromate. h4it dem Einsatz von Calciumfluorid (CaF2) in der Frontlinse ist es moglich, einen zweilinsigen Apochromaten herzustellen. Ein Beispiel, bei dem Calciumfluorid mit Borkron 7 kombiniert ist, wird in [531 und [54] beschrieben (APQ-Objektiv). In Abb. 6.128 ist der Farbliingsfehler des Apochromaten mit dem freien Wchmesser 100 mm (Offnungsverhiiltnis 1 : 10) und der Brennweite lo00 mm dem Farblagsfehler des AS-Objektivs mit den gleichen Daten gegeniibergestellt. Bei dem APQ-Objektiv liegt der Durchmesser des geometrisch-optischen Zerstreuungskreises fiir h = 546 nm und h = 644 nm weit unter dem beugungsgedingten Zerstreuungskreisdurchmesser. Fiir h = 480 nm sind der geometrisch-optischeund der beugungsbedingte Zerstreuungskreis gleich groB. Das bedeutet, dal3 das APQ-Objektiv beugungsbegrenzt abbildet (Definitionshelligkeit alle Farben V > 0,95). Seine chromatische und sphtirische Korrektion ist im gesamten sichtbaren Spektralbereich gegeben. Dadurch wird ein weiRer Stern als weil3er Stem abgebildet, und das Bild
654
6 Optische Instrumente und Systeme
ist kontrastreich. Der Einsatz von Calciumfluorid bringt eine hohe Transparenz im gesamten Spektrum mit sich.
-
q . 1 p5 f
10
Abb. 6.128 Relative Brennweitenabweichung durch Farbliingsfehler fiir das AS-Objektiv und das APQ-Objektiv
Das AS-Objektiv hat nur fiir die Hauptfarbe (k.=546nm) die Definitionshelligkeit V = 0,95, weil dafik der geometrisch-optische angeniihert so groB wie der wellenoptische Zersueuungskreisdurchmesserist. Fiir k. = 480 nm ist er etwa viermal, fiir A, = 644nm knapp zweimal so grol3.
Dreilinsige Achromate. Fiir groSere Offnungsverhaltnisse und hohere Anspriiche an die Bildqualitat miissen die Fernrohrobjektive dreilinsig sein. Es sind sowohl Systeme mit verkitteten Linsen (Abb. 6.129a) wie auch mit einem Luftabstand in Gebrauch (Abb. 6.129b).
Abb. 6.129 a) Dreilinsiger Achromat, b) dreilinsiger Achromat mit Luftlinse, c) B-Objektiv von Zeiss, d) F-Objektiv von Zeiss
Dreilinsige Apochromate. Trichromate mit komgiertem GauB-Fehler beruhen vorwiegend auf dem Einsatz von Glasern mit ungewohnlichem Dispersionsverlauf. Zwei Glasarten sind ausgezeichnet, die Kurzflinte und die Schwerflinte. Entsprechend gibt es Kurzflint- und Schwerflintapochromate. Die Kwflintapochromate (Abb. 6.129~. B-Objektiv 1 : 15) enthalten Linsen stkkerer Kriimmung ; das erreichbare Offnungsverhiiltnis ist eingesc-, und die Linsen sind empfindlich gegen Dezentrierung. Schwerflintapochromate haben etwas gunstigere Kriimmungen. Sie werden verkittet (mit Offnungsverh2ltnissen bis 1 : 3 bei Gerateoptik), unverkittet (als Fernrohrobjektive wie z. B. das F-Objektiv 1 : 11, Abb. 6.1296) und mit einem groBeren Luftabstand zwischen zwei Linsen hergestellt. Hemiplanare. Diese Objektive enthalten einen Meniskus auf der Objektseite (Abb. 6.130a) oder auf der Bildseite (Abb. 6.130b). mit dem der Astigmatismus und die Bildfeldwolbung gunstig zu beeinflussen sind. Sie werden eingesetzt, wenn etwas grol3ere Felder benotigt werden (bis etwa 2w = 20").
6.5 Optische Systeme
655
Abb. 6.130 a) und b) Hemiplanare, c) und d) Teleobjektive
Teleobjektive konnen auch als Fernrohrobjektive ausgebildet werden. Mit ihnen sind besonders Fernrohre in geodatischen Geriiten ausgeriistet. Die Einstellung eines Fernrohres mit Teleobjektiv auf eine endliche Objektweite wird oftmals nicht durch das Verschieben des Okulars. sondern durch das Verschieben des zerstreuenden Gliedes im Teleobjektiv vorgenommen (Innenfokussierung). Normale Teleobjektive konnen bis zu einem Feldwinkel 2w = 38" und dem Offnungsverhiiltnis 1:5,6 venvendet werden (Abb. 6.130~).Der Gaul3-Fehler ist zu verringern, wenn das sammelnde Glied als Schwerflintaphromat ausgebildet wird (Abb. 6.13Od).
Astrofotograf'ie. Objektive fiir Astrokameras benotigen im allgemeinen bei guter Korrektion in der Umgebung der optischen Achse und fiir polychromatisches Licht auch die KorreMion fiir ein groI3eres Feld als die visuell benutzten Syteme. Sie sind deshalb aus den Grundtypen der Fotoobjektive abzuleiten. Es gibt z. B. den Femrohraplanaten (Grundtyp Petzval-Objektiv), Triplets, auf die auch der Astrovierlinser von Sonnefeld zuriickzufiihren ist (in Abb. 4.59 als Beispiel fiir ein System mit einer deformierten Flkhe angegeben), Tessare, Sonnare und Planare. Dabei ist zu beachten, daO alle diese Systeme bei grokn Brennweiten nur fiir geringere Feldwinkel als bei den normalen Fotoobjektiven korrigierbar sind. Spiegelobjektive.In der historischen Entwicklung der Fernrohre und bei Fernrohren mit sehr grof3er Eintrittspupille spielen die Spiegelobjektive eine hervorragende Rolle. Die historische Bedeutung resultiert einmal daraus, daB Newton es als unmoglich ansah, den Farbfehler von Linsen zu beseitigen, zum anderen auch daraus, da6 selbst nach dem Erkennen von Newtons Irrtum die praktische Realisierung von Achromaten nicht losbar war. Heute sprechen fiir die Spiegelobjektive die vollige Farbfehlerfreiheit der Oberflachenspiegel, die giinstige Offnungsfehlerkorrekon bei Parabolspiegeln oder bei Kugelspiegeln mit Hilfslinsen und das relativ geringe Gewicht bei groSen Durchmessern. Der Nachteil der Spiegel sind die geringeren zulbsigen Fertigungstoleranzen der Oberflache. iiber 1 m Durchmesser sind Linsenobjektive praktisch nicht venvendbar. Die grot3e Glasmasse und Linsendicke bringen es mit sich, daB Glasfehler schwierig zu vermeiden sind und das Glas als amorpher Stoff zeitlich instabil ist. Die Linse kann regelrecht flieaen. Ein Problem bei den Spiegelobjektiven stellt die Rucklaufigkeit des Lichtes dar. Es sind MaBnahmen notwendig, mit denen das bildseitige Biindel aus dem objektseitigen ausgekop-
656
6 Optische Instrumente und Systeme
pelt wird. Dazu dienen vor allem Fangspiegel und Bohmngen im Hauptspiegel. Diese fiihren jedoch leicht zu Spannungen im Spiegelmaterial. Die Spiegelfernrohre von Gregory, Cassegrain und Newton enthalten einen parabolischen Hauptspiegel. Bei der Variante von Gregory ist der Hauptspiegel durchbohrt, der Fangspiegel ist elliptisch (Abb. 6.131a). Der bildseitige Brennpunkt des Objektivs und der objektseitige Brennpunlct des Okulars liegen in je einem geometrischen Brennpunkt des Ellipsoids. Das Bild ist aufrecht, die Bauliinge groR. Bei der Cassegrainschen Ausfiihrung ist der Hauptspiegel ebenfalls durchbohrt. Der Fangspiegel ist hyperbolisch, das Bild hohen- und seitenvertauscht, die Baul'dnge gegenuber dem Gregoryschen System kleiner (Abb. 6.131b). Porabolspiegel
Porn bol y l i e y l
Parabolspiegel
elliptischer Spie
b)
0)
CI
Abb. 6.131 a) Gregory-Spiegel, b) Cassegrainscher Spiegel, c) Newtonscher Spiegel
Newton vermeidet das Durchbohren des Hauptspiegels, indem er da9 Licht mittels eines Planspiegels seitlich herausfiihrt (Abb. 6.131~). Schmidt erfand 1930 in Hamburg-Bergedorf das nach ihm benannte Spiegelsystem. Seine Idee, die Koma, den Astigmatismus und die Verzeichnung durch die Anordnung der Offnungsblende in der Ebene des Kriimmungsmittelpunlctes, den Offnungsfehler mittels einer asphiirkhen Korrektionsplatte zu beseitigen, wurde bereits bei den Fotoobjektiven behandelt (Abb. 6.126a). Dort ist auch das Maksutow-System angegeben, bei dem die Schmidt-Platte durch einen sphaschen Meniskus ersetzt wird (Abb. 6.126b). Moore hat vorgeschlagen, die konventionelle Schmidt-Platte durch eine Platte mit inhomogener Brechzahl zu ersetzen, die sphiirisch gekriimmt ist (gradient-index corrector plate [41]). Es ist jedoch fraglich, ob der technologische Aufwand fiir eine Platte aus einem inhomogenen Stoff gerechtfertigt ist. Auf die Bedeutung von segmentierten Spiegeln oder deformierbaren Spiegeln im Rahmen der aktiven und adaptiven Optik sind wir bereits in 6.3.2 eingegangen.
6.5.8
Mikroobjektive
Mikroobjektive (Mikroskopobjektive) sind im allgemeinen kurzbrennweitige optische Systeme, die ein kleines Feld mit groDer objektseitiger numerischer Apertur abbilden. Ausnahmen davon stellen nur die schwachen Mikroobjektive fur kleine Abbildungsmdstabe dar. Nach 6.2.3 sind die Objektive fiir endliche Bildweite (z.B. fiir die mechanische Tubusliinge 160 mm bzw. fiir die Objekt-Bild-Entfernung 195 mm) und die Objektive mit unendlicher Bildweite zu unterscheiden. Letztere erfordern eine zusatzliche Tubuslinse. Sie werden aber in neuerer Zeit bevorzugt angewendet.
6.5 ODtische Svsteme
657
Die Offnungsblende befindet sich in der bildseitigen Brennebene des Objektivs, so daJ3 objektseitig telezentrischer Strahlenverlauf vorliegt. Spezialausfiihrungen gibt es fiir verschiedene Mikroskopierverfahren. In den Objektiven fiu die Polarisationsmikroskopie sind &e Linsen besonders spannungsarm gefaRt. Objektive fiir das Phasenkontrastverfahren enthalten die Phasenplatte zur Ortsfrequenzfilterung im primaen Bild. Immersionsobjektivesind so korrigiert, dal3 die volle Bildleistung nur bei Anwendung der Olimmersion erreicht wird. Da bereits das Deckglas, mit dem die mikroskopischen Praparate abgedeckt werden, Abbildungsfehler einfiihrt, sind die stakeren Objektive meistens ftir die standardisierte Deckglasdicke 0.17 mm korrigiert. Es gibt aber auch Objektive, die ohne abgedecktes Praparat zu benutzen sind. Objektive mit Korrektionsfassung lassen sich auf Deckglasdicken zwischen 0,12 und 0,20 mm einstellen. Die Normalfeldobjektive sind fiir den Bildfelddurchmesser 20 mm, die Groafeldobjektive fiir den Bildfelddurchmesser 28 mm bzw. 32 mm berechnet. Bei Mikroobjektiven sind
- der Offnungsfehler und - die Farbfehler zu korrigieren sowie - die Sinusbedingung zu erfiillen. Bei den Planobjelctiven kommt die anastigmatische Korrektion hinzu.
Achromate sind Dichromate, deren Offnungsfehler komgiert ist und bei denen die Sinusbedingung erfiillt ist. Astigmatismus und Koma sind gering. Achromate haben Bildfeldwolbung und ein sekundiires Spektmm. Die Bildfeldwolbung ist bei visuellem Gebrauch wegen der Moglichkeit der Akkommodation nicht besonders storend. Die Struktur der Achromate ist je nach der numerischen Apertur verschieden, weil naturg e m s der Aufwand mit der Aperhu ansteigt. Abb. 6.132 enthat einige Beispiele. Bei den swkeren Objektiven wird oftmals die Amicische Frontlinse verwendet. Diese stellt eine dicke Plankonvexlinse dar, die nahezu aplanatisch ist.
Abb. 6.132 Achromatische Mikroobjektive (numerische Apenur von a) bis d) wachsend)
Apochromate haben gegenuber den Achromaten ein wesentlich vemngertes sekundiices Spektmm (trichromatische Korrektion), und der GauD-Fehler ist komgiert. Unkomgiert ist die Bildfeldwolbung. Der Farbfehler des Hauptstrahls 1 s t sich ebenfalls schwierig beseitigen. Deshalb verwendet man Apochromate zusammen mit Kompensationsokularen, die den Farbfehler des Hauptstrahls der Objektive kompensieren.
65 8
6 Optische Instrumente und Systeme
Bereits Abbe fand durch Rechnungen und Experimente, daD eine wesentliche Verbesserung der Achromate durch die Korrektion des GauD-Fehlers moglich ist. Man muSte dazu eine Flache einfiihren, die den Offnungsfehler unterkorrigiert, den Farblagsfehler aber uberkorrigiert. Das erforderte den Einsatz von Glkern, &e wir als neue Glaser im Eriiher behandelten Sinne anzusehen haben. Abbe standen anfangs diese Glker nicht zur Verfiigung, deshalb venvendete er Flussigkeitsmenisken zwischen Linsen. Die Zusammenarbeit mit Schott ermoglichte es, bereits 1884 die ersten Apochromate herauszubringen.
Abb. 6.133 Apochromatische Mikroobjektive (numerische Apertur von a) bis d) wachsend)
Zur apochromatischen Korrektion ist der Einsatz von Kristallen vorteilhaft (Fluuspat, Lithiumfluorid, Thalliumfluorid). Heute stehen jedoch auch optische Glker z w Verfiigung, die die Kristalle ersetzen koMen (z. B. Berylliumglker). In Abb. 6.133 sind einige Schnittbilder von Apochromaten angegeben. Halbapochromate sind Achromate mit vennindertem GauD-Fehler. Das wird durch den Einsatz von FluRspat erreicht (Fluoritobjektive). Das sekundiire Spektrum ist grokr als bei den Apochromaten. Der einfachere Aufbau kann jedoch zu kontrastreicheren Bildern fiihren. Plunachrornate und Ylanapochromate sind Objektive mit geebnetem Bildfeld. Bei den Achromaten und Apochrornaten ist das Bildfeld nach der Objektseite zu gewolbt. Das gekriimmte Bildfeld ist besonders fiir die Mikrofotografie ungunstig, weil entweder nur die Mitte oder nur der Rand scharf abgebildet wird. Die Ebnung des Bildfeldes erfordert die Erfiillung der Petzval-Bedingung, Das gelang erstmals Boegehold 1938 bei Carl Zeiss Jena.
Abb. 6.134 Planobjektive (numerische Apertur von a) bis d) wachsend)
6.5 Optische Systeme
659
Fiir sehr kleinen Betrag des AbbildungsmaRstabes kann ein optisches System verwendet werden, das einem umgekehrten Teleobjektiv W e l t . Sonst sind fiir die Planobjektive dicke Menisken charakteristisch. Diese k6Men bei positiver Brennweite eine negative PetzvalSumme haben, so daI3 sie besonders zur Korrektion der Bildfeldwolbung geeignet sind. Die meisten Planobjektive mussen mit Plan-Kompensationsoklaren zusammen benutzt werden. Es gibt aber auch Planobjektive mit korrigiertem Farbfehler des Hauptstrahls. Abb. 6.134 enthailt einige Beispiele fiir Planobjektive.
Monochromate sind Mikroobjektive, die nur fiir eine Wellenlilnge korrigiert sind. Sie sind fiir das Arbeiten im Ultravioletten gedacht (z. B. Wellenl&gen 275 nm oder 257 nm). Monochromate bestehen aus aplanatischen Menisken und einer Zerstreuungslinse. Als Werkstoff dient geschmolzener Quarz (Kieselglas). In Tab. 6.21 sind fiir eine Auswahl an Mikroobjektiven die optischen Daten zusammengestellt. Tabelle 6.21 h r s i c h t uber eine Auswahl an Mikroobjektiven mit endlicher Bildweite
Objekttyp
IP’I
Achromate
2,s 8 20 40
Apochromate
90 10 20
40 60 90
Planachromate
GroDfeldachromate GroDfeldapochromate
2,s 10 40 100
A
f’/mm
freier Objektabstand
0,08
56,3 18 83 4,4 2 16,2 8,3 4,3
975 9 1.6 035 0,ll
29
0,22 0,11
0,20 0,40 0,65 1.25 0,3 0.65 0,95
1 1,3 0,07 0,25
0,65 1,25
25
0,65
40 100
0.65 1,25 0,30
10
25 63 100
0.65
0.90 1,32
2 30.4 14,7 4,38 1,72
5 0.7
0.12
8.6 5,1 1 0.03
0,12 0,22 0,08 48 0,25 0,lO 0.09
Grofifeldobjektive. Die Normalfeldobjektive sind fiir den Zwischenbilddurchmesser 20 mm, die GroRfeldobjektive fiir den Zwischenbilddurchmesser 28 mm bzw. 32 mm berechnet. Die weitere Entwicklung ist in Richtung der GroRfeldplanobjektive mit korrigiertem Farbvergrijserungsfehler gegangen (CVD-frei A Korrektion der chromatischen VergroRerungsdifferenz). Dazu hat wesentlich der Einsatz von synthetisch gezuchteten FluSspat mit groRer Homogenitat beigetragen. Die Verwendung der Planobjektive ohne CVD-Korrektion zusammen mit Kompensations-
660
6 ODtische Instrumente und Svsteme
okularen fiihrt noch zu Farbsaumen irn Bild. Als CVD-Wen wird die GroUe CVD = 7.100 AY;
(in %)
mit Ay; = y;.-y’,
Ye
verwendet. Bei einem Mikroobjektiv und einer Tubuslinse ohne CVD-Korrektion ist die CVD nahezu konstant, Ay; also yb proportional. Bei Kompensationsokularen besteht dagegen zwischen Ay; und y: ein nichtlinearer Zusammenhang. Deshalb ist die Kompensation des Farbvergrofierungsfehlers nicht uber das gesamte Bildfeld vollst2ndig. Abb. 6.135 demonstriert den Sachverhalt am Beispiel zweier Objektiv-Okular-Kombinationen.
I
0.d
T-o0.4 ’
lEEzGz5 10
20
30
+ydb in m m a1
Abb. 6.135 a) Lateraler Farbfehler bei der Kombination von Objektiv und Okular, b) Farbquerfehler in der Zwischenbildebene, Farben wie bei a) (nach [ 5 2 ] ) ( 1 ) CVD des Objektivs 1.5% und Kompensationsokular, (2) CVD-freies Objektiv und Okular Tabelle 6.22 GroBfeld-Planachromate,Bildweite unendlich, AbgleichlUge 45 mm, Korrektion der CVD Vergrokrung
numerische ApertW
Brennweite freier Arbeitsabstand in mm
in mm
~~~
3,2 6,3
0.06
12,5
0,25 950 0,65 0,80 0.90 1,30
25
40 50 100 100
0.12
78 39,5 20 10
6,3 5 2,5 2,5
maximaler Objektfelddurchmesser in mm
~~
4,7 15,7 a0 1.95
0,53 0.40 0,25 0,20
10 5
2.6 1.3 0,80 0,64 0,32 0.32
Tab. 6.22 enthat eine Auswahl an Grofifeldplanobjektiven fiir 32 mm Zwischenbilddurchmesser mit CVD-Korrektion. Die Bezeichnung dafiir ist z. B. “GF-Planachromat 50x/0,80-/0,17A”, wobei das “A” d e CVD-Korrektion kennzeichnet und 0,17 mm die Deckglasdicke ist. (Ohne CVD-Korrektion wird die Bezeichnung “C” verwendet.)
Fiir nicht so groBe Anspriiche an d e FeldgroUe sind auch Planachromate ftu die Zwischenbildgrone 20 mm und Apochrornate fiir die ZwischenbildgroBe 19 mm mit CVD-Korrektion entwickelt worden (bei biologischen Praparaten sind beide Objektivreihen noch bis 25 mm Zwischenbilddurchmesser verwendbar). In Tab. 6.23 und Tab. 6.24 sind Beispiele angegeben.
66 1
6.5 Optische Systeme
Abb. 6.136 zeigt das Schnittbild und die Definitionshelligkeit fiir ein GroRfeldobjektiv. Eine Besonderheit stellen die Mikroobjektive mit groRem Arbeitsabstand dar, die wegen ihrer Anwendungsmoglichkeit in Kammern mit “K” gekennzeichnet sind. Sie k6Men mit und ohne eine Planplatte aus Glas bzw. Kieselglas verwendet werden (Abb. 6.137). 1
b
t 95 0 b)
-
20 25 32 Bildfelddurchmesser in mrn
Abb. 6.136 a) GF-Planachromat 25x/0,65 -/O, 17A (CVD-Korrektion,die grauen Linsen sind aus FluDspat), b) Definitionshelligkeit als Funktion des Zwischenbilddurchmesrs; (1) Scharfstellung auf die Bildmitte, (2) optimale Scharfstellung
Abb. 6.137 Mikroobjektiv mit grokm Arbeitsabstand K 8x/0,10 (f’= 3 1,3 mm, freier Arbeitsabstand ohne Frontplatte 39.5 mm)
Tabelle 6.23 Planachromate, Bildweite unendlich, Korrektion der CVD Vergrokmng
numerische Apertur
Brennweite freier Arbeitsabstand in mm in mm
maximaler Objektfelddurchmesser in mm
5 10 20 50 100
0,lO 0,zo 0.40 480
50 25 125 5
4
130
2, s
12,8 14,l 26 0,38
0,17
2
1 0,4 0.2
Tabelle 6.24 Apochromate, Bildweite unendlich. Korrektion der CVD Vergrokrung
numerische Apettur
Brennweite freier Arbeitsabstand in mm in mm
maximaler Objektfelddurchmesser in nun
39,6 20
6.6 1.4 0.3
3
25
0.17 0,35 0,65
50 100
0,95 1,40
5 2.5
0,17
0.38 0,19
63
12,5
10
0,09
1,5 476
662 6.5.9
6 Optische Instrumente und Systeme
Okulare
Die Mikroskop- und die Fernrohrokulare bilden das Zwischenbild wie Lupen ab. Im Normalfall befindet sich das Zwischenbild in der objektseitigen Brennebene des Okulars, das Endbild entsteht demnach im Unendlichen. Die Austrittspupille des Objektivs ist die Eintrittspupille des Okulars. Diese liegt damit im allgemeinen weit vor dem Okular, so daO der Hauptstrahlenverlauf wenig vom telezentrischen Strahlenverlauf abweicht. Als Kennzahlen werden die NormalvergroDerung r’=250/(f’/mm) und die Feldzahl 2yo,/mm angegeben. Der halbe Bildwinkel w’ und h e Feldzahl sind durch 2y = 2f;ktanw’ bzw. 2r&.y/mm = 500tanw’
(6.318)
miteinander verknupft. Bei einem Feldwinkel 2w‘= 36” ist noch keine zu starke Augenbewegung notwendig. Legt man diesen als maximalen Bildwinkel fest, dann gilt wegen tanl8’= 0,32 (6.319a) 2r;,.y/rnm = 160. Wegen des normalen Steckdurchmessers 23,2 mm mu13 die Feldzahl der schwachen Okulare (bis r’=8) auf 20 mm begrenzt werden. Bei den stiirkeren Okularen nimmt die Feldzahl mit der VergroRerung ab. Bei Okularen mit erweitertem Feld betragt der Steckdurchmesser 30 mm. Es wird (6.3 19b) 2r;,.y/mm = 200 gewmt, so da8 2w’= 46” ist. Die objektseitige Feldzahl des Mikroskops folgt aus (6.320) Sie betragt also 2y,,/mm
160 bzw. = I
Ir I
200 2yob/mm = -
Ir‘r
(6.32 1a, b)
Bei Objektiven mit unendlicher Bildweite ist von G1. (6.320) auszugehen. Fiir den Zwischenbilddurchmesser 32 mm und den Tubusfaktor 0,8 erhat man bei Okularen mit der Feldzahl25 250 (6.32 1c) 2YOb = IT’I’ Im allgemeinen bilden also die Okulare ein grofies Feld mit kleiner Offnung ab. Daraus ergibt sich, daI.3 vorrangig die Abbildungsfehler - Farbfehler des Hauptstrahls - Astigmatismus und - Verzeichnung zu korrigieren sind. Es kann aber auch notwendig sein, die Bildfeldwolbung zu beriicksichti-
6.5 ODtische Svsteme
663
gen (Planokulare). Spezialfdle sind z. B. die Kompensationsokulare und die Feldstecherokulare, bei denen ein Anteil an Verzeichnung vorgegeben wird, weil dies fiir die Beobachtung bewegter Objekte gunstig ist.
Plankonvexlinse. Eine Plankonvexlinse eignet sich als Okular mit kleiner VergroRerung und nicht zu groSem Feld. Die Plantlache ist dem Auge zuzukehren, damit der Astigmatismus und die Verzeichnung klein sind. Monozentrisches Okular (Abb. 6.138a). Ein Femrohrokular aus drei miteinander verkitteten Linsen ist das monozentrische Okular. Es hat wie die Einzellinse nur zwei Glas-Luft-Fliichen, so da13 es reflexarm ist. Der Aufbau aus zwei Zerstreuungslinsen (Flintglas) und einer Sammellinse (Kronglas) ennoglicht die Korrektion des Astigmatismus fiir eine nicht zu groRe Feldzahl. Ramsden-Okular. Bei kleinen und mittleren VergroDerungenhaben die Okulare relativ groSe Brennweiten. Die Entfernung vom Zwischenbild bis zu der Augenlinse ist so groa, daD sich die divergenten Hauptstrahlen weit von der optischen Achse entfernen. Das gilt besonders fiir groRe Felder. Die Okulare werden dann zweckmaiaig aus einer Feldlinse und einer Augenlinse zusammengesetzt. Dabei verkiixzt sich allerdings die Schnittweite der Austrittspupille. Beim Ramsden-Okular (Abb. 6.138b) steht die Feldlinse in der Zwischenbildebene. Feldund Augenlinse haben dieselbe Brechzahl. Ihre Brennweiten sind gleich der Brennweite des Okulars. Es gilt (6.322) Dadurch ist die Brennweite des Okulars fiir zwei Farben gleich und der Farbfehler des Hauptstrahls klein. Wegen der groRen Enffernung der Eintrittspupille fdlt die Austrittspupille fast mit der Augenlinse zusammen. Das ist ein wesentlicher Nachteil des Ramsden-Okulars. Ein weiterer Nachteil ist das Zusammenfallen von Zwischenbild und Feldlinse, wodurch Schmutz und Blasen in der Feldlinse im Bild zu sehen sind. Das Ramsden-Okular ist bis zu einem Feldwinkel von 25" korrigierbar, wobei jedoch die Verzeichnung nicht klein ist.
Kellner-Okular (Abb. 6.138~).Die Nachteile des Ramsden-Okulars lassen sich vermeiden, wenn die Augenlinse aus Sammellinse (Kronglas) und Zerstreuungslinse (Flintglas) zusammengesetzt wird. Es entsteht ein Kellner-Okular, bei dem die Zwischenbildebene vor der Feldlinse liegt und die Austrittspupille bei nicht zu starken Vergroaerungen dem Auge gut zughglich ist. Huygens-Okular (Abb. 6.138d). Ramsden- und Kellner-Okular haben den Vorteil, daS die Zwischenbildebene vor dem Okular liegt. Strichmarken und Teilungen lassen sich im Tubus anbringen und bleiben bei einem Okularwechsel erhalten. Wenn dieser Vorteil nicht benotigt wird, dann lassen sich die Nachteile des Ramsden-Okulars auch mit einer einfachen Feld- und Augenlinse aus gleichen Glbern vermeiden. Das Zwischenbild muR zwischen Feld- und Augenlinse liegen. Bei dem so entstehenden Huygensschen Okular ist die Brennweite fiir zwei Farben gleich, wenn fiir den Linsenabstand (6.323a) gilt.
664
6 Optische Instrumente und Systeme
Fur den Abstand der Austrittspupille von der als dunn angenommenen Augenlinse sl,, gilt angeniihert (6.323b)
Da s’,2 > 0 gelten muD, ist FL > Fk zu w M e n (bzw. gibt z.B. s’,Z/f’=0,165. Das Zwischenbild liegt um
fi > f;).
Das Verhiiltnis
f;/fL
= 1,5 er-
(6.323~)
von der als dunn angenommenen Feldlinse entfernt, also wegen FL > F; zwischen Feld- und Augenlinse (bei f;/ fL = 1,5 gilt sl/ f‘ = 0,25). Zw:B.
AP
Zw.-B.
zw.-B.
t.
9)
AP
i
Abb. 6.138 Okulare (Zw.-B. Zwischenbild 4 Feldblende) a) Monozentrisches Okular, b) Ramsden-Okular, c) Kellner-Okular, d) Huygenssches Okular, e) Konig-Okular, f) Orthoskopisches Okular, g) Eme-Okular, h) Feldstecher-Okular
Konig-Okular und orthoskopisches Okular. Bei stiirkerer VergrtiDerung ist die Brennweite der Okulare so klein, da8 eine Feldlinse nicht erforderlich ist. Andererseits ist eine kleinere Bauliinge notwendig, damit das Zwischenbild vor dem Okular liegt. Ein Okular dieser Art aus drei Linsen stellt das Konig-Okular dar (Abb. 6.138e).
6.5 Optische Systeme
665
Eine bessere Verzeichnungskorrektion ist mit dem vierlinsigen orthoskopischen Okular moglich (Abb. 6.1380.
GroBfeldokulare. Gelegentlich wird vom scheinbaren Bildfelddurchmesser ausgegangen. Dieser stellt die BildgroBe dar, wie sie dem Beobachter in 250 mm Entfernung von der Austrittspupille aus erscheint. Es gilt: scheinbarer Bildfelddurchmesser = Feldzahl X Okularvergr6Serung
(die GriiSe in den G1. (6.319a, b) und (6.321~)).Okulare mit scheinbaren Bildfelddurchmessern uber 175 mm werden GroSfeldokulare genannt. Die Objektive mit CVD-Korrektion sind naturgema auch mit Okularen zu benutzen, die CVD-Korrektion haben. Zu den GroSfeldobjektiven passen GroSfeldokulare, die entweder mit 23,2 mm (P-Okulare) oder mit 30 mm Steckdurchmesser (Pw-Okulare) angeboten werden (Tab.6.25). Tabelle 6.25 P-Okulare (23,2 mm Steckdurchmesser) und Pw-Okulare (30 mm Steckdurchmesser), Korrektion der CVD
TYP
Vergrokrung Feldzahl ~~
P
GF-P GF-P GF-P GF-P
Pw GF -pW GF-Pw
~~
~
63 10 10
19 20 18
12s
16 1z5
16 6.3 10
16
25 25 16
Bildfelddurchmesser in mm 120 200 180 200 200 158 250 256
Brennweite in mm 39,7 25 25 20 156 39,5 25.7 15,7
mittlere Pupillenhdhe in mm 20 oder 10 20 oder 10 20 oder 10 10
10 12 21 12
Blendentyp Mittelblende Mittelblende Vorderblende Vorderblende Vorderblende Mittelblende Mittelblende Mittelblende
Feldstecher-Okulare. Fiir Feldstecher werden Okulare mit groSem Feldwinkel benotigt. Es ist dann gunstig, bei der Korrektion auch die Bildfeldwolbung zu beriicksichtigen. Zwei Beispiele sind das Erfle-Okular (Abb. 6.138g) und ein Feldstecher-Okular von Carl Zeiss Jena (Abb. 6.13811). Bei letzterem sind die dicken Menisken geeignet. die Bildfeldebnung zu erleichtern.
6.5.10 Spezielle optische Systeme
In diesem Abschnitt sollen Beispiele fiir optische Systeme mit speziellen Anwendungen zusammengestellt werden. Es handelt sich um die kurz gefaRte ijbersicht uber einige in der Literatur zu findende Angaben. Fotolithografische Objektive. Die Mikrostrukturierung erfordert die Abbildung von Schablonen mit feinen Strukturelementen auf eine Fotolackschicht. Der Fotolack benotigt einen hohen Kontrast des Bildes (= 03). In der Mikroelektronik wurde auSerdem der Durchmesser
666
6 Optische Instrumente und Systeme
der zu srrukturierenden Siliciumscheiben stlindig vergroRert. Daraus ergibt sich, &a13 die Objektive fir die Projektionsfotolithografiequasibeugungsbegrenzt fir grol3e Offnungen und grorje Felder sein mussen und nur geringe Verzeichnung haben durfen. Sie brauchen jedoch nur fiir schmale Wellenliingenbereiche korrigiert zu werden (ca. 10 nm). Die VergroRerung des Auflosungsvermogens hat weiter die Tendenz mit sich gebracht, die Arbeitswellenllinge zu verkleinern. Die Objektive sind stiindig komplizierter und ihre Baulange groRer geworden. Der Preis ist entsprechend hoch, so daR ihre Nutzung aurjerhalb der lithografischen Gerate nicht veruetbar ist. Die Forderungen an die Werkstoffe und an die Zentrierung sind extrem groR, so daR neue Priifverfahren, neue Fassungsmethoden und rechnergestutzte Methoden der Montage eingefiihrt werden m d t e n [60]. Bei der Priifung der Bildgute ist zu beachten, daD in der Projektionsfotolithografie mit partiell-kohiirentem Licht gearbeitet wird. BiLde bene
I
+-#-I
a)
t
500 mm
_.
I
500 mm
Abb. 6.139 Objektive fur die Fotolithografie a) UM 1: 4/0,25, b) UM-Am1: 5/0,25.. .0,40 (grau: Lanthanflinte),c) fiir W korrigiert
Abb. 6.139 demonstriert die Entwicklung der fotolithografischen Objektive an drei Beispielen. Abb. 6.139a zeigt ein Objektiv der Anfangsphase bei Carl Zeiss Jena (1967). Die
6.5 Optische Systeme
667
Ahnlichkeit mit einem Mikroobjektiv ist noch deutlich erkennbar. Es lost auf einem Feld von 2 mm x 2 mm Strukhnen mit 3 pm Breite auf. Mit dem Objektiv nach Abb. 6.139b w d e n unter praxisnahen Bedingungen bei definierten Parametern der Schicht mit der numerischen Apertur 0,25 bei 20 mm x 20 mm FeldgroBe 1,44 pm und mit der numerischen Apertur 0,4 bei 8 mm x 8 mm Feldgrdfle 0,83 pm aufgeldst. Die Vemichnung liegt unter 150 nm. Der Vorstol3 in den ultravioletten Bereich bringt neue Komplikationen mit sich, denn die kleinen Wellenliingen bis zu 200 nm herab engen die Toleranzen weiter ein. AuRerdem ist die Werkstoffauswahl begrenzt auf Fluoride und Kieselglas. Abb. 6.139~zeigt das Schnittbild eines Versuchsobjektivs [59]. Lasersysteme. Die theoretischen Grundlagen fiir optische Systeme zur Laserfokussierung und zur Laserbiindelaufweitunghaben wir bereits in 4.1.12 behandelt. Kommerziell sind Aufweitungssysteme sowohl vom Galileityp (Abb. 6. M a ) wie auch vom Keplertyp (Abb. 6.14Ob) verfiigbar. Fiir die Interferometrie und die Holografie sind groOe Aufweitungsfaktoren bei geringen Wellenaberrationen anzustreben. Das System nach Abb. 6.140~enthiilt ZUT Sicherung der KoMenz eine 20 pm groBe Modenblende.
Abb. 6.140 Kommerzielle Laseraufweitungssysteme a) Galilei-Typ4x oder 7x, b) Kepler-Typ 15x. c) Kepler-Typ 5Ox rnit Modenblende fiir die
Interferometrie und Hologrdie (Wellenaberrationenbei A = 632.8 nm kleiner als A )
Abb. 6.141 Laserfokussiersysteme a) Monochromat mit sphiirischer Korrektion, z. B. mit f’(780 nm) = 20 mm, b) Monoctuomat f’= 10 mm, numerische Apertur A’ = 0,3
Die Laserfokussierung ist mit Monochromaten moglich, die hinsichtlich Offnungsfehler konigiert oder aplanatisch sind. Fiir hohe Leistungsdichten sind Kittflachen zu vermeiden. Abb. 6.141 zeigt zwei Beispiele. Abbildung auf CCD-Matrizen. Spezifische Forderungen werden an Objektive gestellt, die in Verbindung mit CCD-Matrizen verwendet werden. Nach [61] sind fiir hohe MeSgenauigkeiten folgende Bedingungen zu nennen: - Sehr geringe Verzeichnung (unter 1pm), - konstante Kaustik im gesamten Bildfeld mit dem Punktbilddurchmesser von ungefsihr 0,05 mrn, - k i n e Unsymmetrien des Punktbildes, also extreme Korrektion der Koma und der Farbkoma sowie des Farbfehlers des Hauptstrahls,
668
6 Optische Instrumente und Systeme
- keine Randabschattung, - minimales Streulicht.
Ein Beispiel ist das in Abb. 6.142a enthaltene Intensar 1,4/100. Dieses Objektiv ist fur den Einsatz in Sternsensoren, evtl. auch im kosmischen Bereich, vorgesehen. Daraus ergeben sich zusatzlich die Forderungen nach geringer Masse und thermischer Stabilitiit (durch Titanfassung unterstiitzt) sowie der Lage der Eintrittspupille nahe der Frontlinse (PupillenabbildungsmaRstab pp= 0,78). Beriicksichtigt wurden aul3erdem eine planparallele Kieselglasplatte vor dem Objektiv und eine planparallele Abdeckplatte des Empf'dngers (2,5 mm.. .3 mm dick, bildseitige Schnittweite ohne Glasweg s' = 10,7 mm). -
0.06 "'
/ b)
I
y'=0 w
z
oo
t
Abb. 6.142 a) Schnittbild des Intensars 1,4/100, 2w = lo", fiir Sternsensoren (CCD-Matrizen), b) Korrektionsdarstellung fiir die Bildmitte, c) Korrektionsdarstellung fiir den Bildrand (Schwerpunktwellenliinge, - untere Grenzwellenliinge, -.-.- obere Grenzwellenliinge)
6.5 Optische Systeme
669
Es wurde je eine Variante fiir die Wellenliingenbereiche 440 nm.. .650 nm und 540 nm.. . ...85Onm berechnet. Die Verzeichnung ist kleiner als 1pm, der Farbquerfehler maximal 4 pm und die relative Abweichung der Isoplanasie unter 0,l %O . In der Bildmitte hat der geometrisch-optische Zerstreuungskreis 0,04 mm, am Feldrand 0,055 mm Durchmesser. Abb. 6.142b und c lassen die GleichmUigkeit des Korrektionszustands erkeMen.
Laserscanner. Fiir die Lasergraw oder die zeilenweise Bestrahlung mit Laserbundeln (Scanningverfahren) sind optische Systeme erforderlich, die eine angepaRte Punktauflosung mit bestimmten iihnlichkeitsforderungenim Feld verbinden. Die Situation W e l t derjenigen fiir o p tische Systeme, die in Verbindung mit CCD-Matrizen benutzt werden. Die Laserbundel werden mit drehbaren Spiegeln oder mit Polygonspiegeln in zwei Richtungen abgelenkt. Wenn x’ und y’ die Bildpunktkoordinatenund d der Winkel zwischen Parallelbundel vor dem Objektiv und der optischen Achse sind, so gibt es zwei Varianten fiir die Korrektion der Objektive. Bei Verzeichnungsfreiheit gilt [66]
+
x’2 y’2 = (f’tan
0)2
,
(6.324a)
bei der sogenannten Tangensentzermng (auch “F-theta-Komktion” genannt) gilt x‘Z+y‘Z
=
(f’0)Z.
(6.324b)
Die getrennte Ablenkung in x’- und in y’-Richtung durch je eine Spiegelverstellung um (pl bzw. ‘pz ergibt !Tir Tangensentzermng in der ersten Nmerung (Glieder 3. Ordnung vernachlksigt) X‘ = 2f’(p,, y’ = 2f’(pz. (6.325) (Fiir Verzeichnungsfreiheit wiirde x’ = f’ tan 2q,, y’ = f’ tan 2(p2 sein.) Deshalb werden Objektive fiir Laserscanner im allgemeinen mit Tangensentzerrung ausgefiihrt. Abb. 6.143a e n W t ein Beispiel fiir ein Laserscannersystem mit der Brennweite f‘ = 100 mm, bei dem der Feldwinkel 60” und das Offnungsverhiiltnis 1 : 23,8 betragen. Die Tangensentzerrung wird uber die gesamte Liinge auf 0.2% genau eingehalten. Das System nach Abb. 6.143b arbeitet bei der Wellenliinge 4,416 prn und hat die Brennweite f’= 48 mm 1331.
Abb. 6.143 a) Weitwinkel-Scannersystem mit “F-theta-Korrektion” und 3000
Punkten iiber die ScanUnge 106.6 mm, b) telezentrisches Scannersystem mit “F-theta-Korrektion” und 6667 Punkten iiber die Scanliinge
Beugungsbegrenzter Aplanat. Fiir den Einsatz in Interferometern, fiir weitere meDtechnische Aufgaben und als Abtastsystem ist bei Carl Zeiss Jena ein beugungsbegrenzter Aplanat hoher numerischer Apertur entwickelt worden, der Vorbild fiir weitere derartige Systeme sein konnte. Die Wellenaberrationen liegen unter 0,004A. so d& beim konkreten System
6 Optische Instrumente und Systeme
670
V > 0,9995, beim realen System V > 0,985 erreicht wird (V Definitionshelligkeit). Die a d e r e Meniskuslinse l a t sich um 4’ kippen, womit z. B. Reflexlicht ausgekoppelt wird. Abb. 6.144 enth‘dlt das Schnittbild [62]. Fiir die Abtastung von compact disc (CD) und anderen optischen Speichern sind sehr leichte und damit miniaturisierte optische Systeme wiinschenswert. Die Einfiihrung von Grddientenlinsen und asphtirischen Linsen erscheint aussichtsreich. Eine vierlinsige Variante ist in Abb. 6.145 enthalten.
100 rnm
,
Abb. 6.144 Beugungsbegrenzter Aplanat hoher numerischer Apertur
I
10 rnm
I
Abb. 6.145 MiniaturisiertesAbtastobjektiv fiir Digitalschallplatten
Fouriertransformationsoptik. Fiir die optische Fouriertransformation, d. h fiir Aufgaben der Ortsfrequenzfilterung und der Zeichenerkennung, werden Objektive benotigt, die aus zwei identischen Gliedern bestehen. Der bildseitige Brennpunkt des ersten Gliedes und der objektseitige BreMpUnkt des zweiten Gliedes fallen zusammen. Das in der objektseitigen Brennebene des ersten Gliedes stehende Objekt wird mit im allgemeinen zeitlich und raumlich kohiirenten Parallelbiindeln beleuchtet und in die bildseitige Brennebene des zweiten Gliedes abgebildet (Abb. 6.146). Filterebene H,- H,’
Beugungsbild
H2- H;
(Fouriertransfw-
Abb. 6.146 Grundaufbau eines Fouriertransformationsobjektivs
Die Fouriertransformierte der Objektfunktion wird in der gemeinsamen Brennebene erzeugt (Beugungsfunktion, analog zum primaen Bild der Abbeschen Mikroskoptheorie). An dieser Stelle konnen mit Ortsfrequenzfiltern Eingriffe vorgenommen werden. In der Ebene durch F; entsteht d m die Fouriertransformierte des Produkts aus Beugungs- und Eingriffsfunktion. Jedes der beiden Glieder muI3 fiir zwei Ebenen korrigiert sein, und zwar fiir die unendlich ferne und die objektseitige BreMebene. Beziiglich spezieller Fouriertransformationsobjektive, die in Verbindung mit CCD-Matrizen arbeiten, verweisen wir auf [63].
6.5 Optische Systeme
67 1
Objektive fur die Infrarottechnik. Fiir die Infrarottechnik, besonders fiir d e Thermografie und fiir Erkennungsaufgaben an Objekten, die durch die Erdatmosphue hindurch zu beobachten sind, werden optische Systeme benotigt, die in den beiden optischen Fenstern (2 pm.. . ...5 pm und 8 pm.. .14 pm) transparent sind. Als Linsenwerkstoffe kommen entsprechend 2.3.3 vor allem Germanium, Silicium, GaAs, As& und Chalkogenidgliiser in Frage. Im allgemeinen sind d e Objektive nur fir ein optisches Fenster komgiert. Beispiele stellen die Objektive aus Abb. 6.147 dar. Triplets auf Germaniumbasis sind in Kiew (Ukraine) fir den Wellenlbgenbereich 8 pm.. . ...14 pm entwickelt worden. Das Objektiv Pion 1 hat die Brennweite f ' = 60 mm und das Offnungsverhiiltnis 1 : 1. Auf der Achse sinkt der Kontrast bei 34 Linien je Millimeter, im auReren Feldpunkt bei 10 Linien je Millimeter auf 0,5 ab. Das Objektiv Pion 2 mit der Brennweite f' = 120 mm und dem OffnungsverhNtnis 1:0,85 lost beim gleichen Kontrast auf der Achse 24 Linien je Millimeter, am Feldrand 10 Linien je Millimeter auf. Der Transmissionsgrad liegt fiir beide Objektive bei 70% .
Abb. 6.147 Objektive fiir die Infrarottechnik a) Servo-Corporation 2/50, A = 0,5 pm...2,6pm, optisches Glas und b) Servo-Corporation 0,78/25, A = 8 pm.. .13pm, Ge,
CaF2,
c) Carl Zeiss Jena 1,4/18, ChaJkogenidglWrund GaAs, d) Carl Zeiss Jena 1,4/30
Bei Carl Zeiss Jena sind Objektive entstanden, die in beiden optischen Fenstern verwendbar sind. Die in Abb. 6.147 gezeigten Objektive sind auRerdem thennisch stabilisiert [64]. Sie losen bei 50% Kontrast 10 Linien je Millimeter auf. Korrektion optischer Systeme. Wir wollen diesen Abschnitt mit einigen kurzgefaRten Bemerkungen zur Korrektion optischer Systeme abschlief3en. In 6.5 sind Hinweise fiir den Ansatz optischer Systeme gegeben worden. Mit Hilfe der Gleichungen fiir das paraxiale Gebiet und der Ansatzbedingungen lassen sich gunstige Ausgangssysteme. d. k Startsysteme fiir die weitere Optimierung bereitstellen. Hgufig dienen dazu aber auch Vorbildsysteme, die in die Optimiemngsprogramme integriert sind. Die Aufgabe, ein optisches System ausreichender Bildgute zu entwickeln, obliegt dem KorrektionsprozeR. Die Korrektion optischer Systeme beruht auf der gegenseitigen Kompensation der Abbildungsfehler der daxin enthaltenen abbildenden Funktionselemente,indem die Suukturparameter (Radien. Dicken, Absttinde, Werkstoffdaten) schrittweise abgewandelt werden. Zur Kontrolle der jeweils erreichten Bildgiite ist die wiederholte Bewertung des Systems notwendig. Heute existieren betriebsinterne und kommerzielle Rechenprogramme zur sogenannten automatischen Korrektion optischer Systeme. Sie beruhen auf der Strahldurchrechnung, den daraus abgeleiteten Gutekriterien und den mathematischen Methoden der iterativen nicht-
672
6 Optische Instrumente und Systeme
linearen Optimierung. Die automatische Korrektion (computer-aided lens design) ist eine spezielle Form der rechnergestiitzten Konstruktion (computer aided design, abgekunt CAD). Mit der automatischen Korrektion werden kiirzere Entwicklungszeiten erreicht, und es ist die Entwicklung von komplexeren optischen Systemen moglich. Routineprozesse werden vorwiegend automatisiert, so dd3 die Produktivitat des Optik-Konstrukteurs grofier ist.
7
Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
7.1
Einleitung
7.1.1
Vorbemerkungen
Um die Weiterentwicklung seit dem Erscheinen der 3. Auflage im Jahre 1994 bei vertretbarem okonomischen Aufwand in der 4. Auflage beriicksichtigen zu konnen, werden in diesem Kapitel einige Erganzungen aufgenommen. Dabei ist aber die Beschriinkung auf wesentliche Hinweise in knapper Form angemessen, weil die Vielfalt an neuen Aspekten fur eine umfassende Behandlung zu grol3 ist. Zunachst sei darauf hingewiesen, dal3 die Bereitstellung an kommerziellen Bauelementen, Verfahren und Geraten seitens der optischen Industrie einen so groBen Umfang angenommen hat, daB selbst eine Auswahl an Beispielen den Rahmen des Buches sprengen wurde. Es liegen von allen Herstellern umfangreiche Kataloge vor, die teilweise auch eine kurze Darstellung der Begriffe der Optik und der Eigenschaften von Bauelementen enthalten. Allein in der Zeitschrift der Physikalischen Gesellschaft [77] sind monatlich umfassende Angebote vorhanden, von denen ein groBer Teil auf Grund der weiter wachsenden Bedeutung optischer Methoden optischer Natur ist. Auch den Fachorganen der Wissenschaftlichen Gesellschaft Lasertechnik ,,LaserOpto" und der Deutschen Gesellschaft fur angewandte Optik ,,Photonik" [79] sind kommerzielle Angebote zu entnehmen. In diesem Zusammenhang sei auch auf die von einem Gremium aus Fachleuten erarbeitete Agenda ,,Optkche Technologien fur das 2 1. Jahrhundert" [78] verwiesen, in der auf die Erfordernisse bei der Weiterentwicklung optischer Methoden in Industrie und Forschung auf verschiedenen Gebieten eingegangen wird. Die Entwicklung der Optik ist in den letzten Jahrzehnten stets eng mit der Entwicklung der Rechentechnik verbunden gewesen. Die Fortschritte hinsichtlich der Rechengeschwindigkeit, des Speicherumfangs, der Moglichkeiten, direkt mit dem Rechner zu kommunizieren, haben sich stets auch in einer neuen Qualitat der Methoden zur Entwicklung optischer Systeme und Baugruppen sowie der digitalen optischen Bildverarbeitung niedergeschlagen. Die Nutzung groBer Rechenanlagen wird im allgemeinen der Industrie vorbehalten bleiben, in der auch die umfassende Software existiert. Nur dadurch war die Entwicklung von Hochleistungsoptik fur die verschiedenen Spektralbereiche moglich. Dagegen sind die PC durch ihre direkte Verfugbarkeit am Arbeitsplatz tagliches ,,Handwerkszeug" vieler Entwickler. Die dafur handelsubliche Software (2.B. in [33] und einigen Firmenkatalogen angegeben) ist oft so anwenderfreundlich, daB selbst bei geringen Optik-Vorkenntnissen bemerkenswerte Ergebnisse erzielt werden konnen. Diese Methode sollte allerdings nicht zur Regel werden. SchlieBlich sei auf die Fortschritte in der MeBtechnik verwiesen, die eng mit der kommerziellen Verfugbarkeit der verschiedenen Lasertypen und der Einfuhrung der verschiedenen Varianten der Laserspektroskopie verbunden sind. Mit der Festlegung der Lichtgeschwindigkeit auf den Wert c = 299 792 458 m . s-l ist auch die Meterdefinition an eine Eigenschaft des Lichtes gebunden, und als Vergleichsnormal fur mit Langenmessungen verbundene MeBaufgaben dient die Wellenlange der optischen Strahlung.
674
7 Weitefihrende und aktuelle Erganzungen
Durch den Einsatz der Faseroptik mit geringer Dampfung konnte die optische Nachrichtenubertragung einen regelrechten Siegeszug antreten. Dazu existiert umfangreiche Spezialliteratur, die auch den systemtechnischen und den informationstechnischen Aspekt beriicksichtigt. Grundlegende Ausfuhrungen dazu sind in [76] enthalten.
7.1.2
Aspekte der Entwicklung des Arbeitsgebietes
In der modemen Geratetechnik ist die Integration von Prazisionsmechanik, Optik und Mikroelektronik, speziell der Mikrorechentechnik zu beobachten. Das gilt sowohl fur die klassischen feinmechanisch-optischen Gerate wie auch fur Gerate der MeB- und Automatisierungstechnik sowie zur Laborautomatisierung. Diese Tendenz ist auch in Gebieten vorhanden, die sich bisher ausschlieBlich elektrischer Prinzipien bedienten, wie z. B. die Messung von Spannung, Stromstarke oder magnetischen GroBen und die Nachrichtenubertragung sowie die Rechentechnik. In der Automatisierungstechnik sind besonders die optoelektronischen Sensoren mit den daran angepal3ten Beleuchtungs- und Abbildungssystemen sowie die Signalubertragung bestimmend fur den wachsenden Anteil an optischen Prinzipien. Es ist aber auch verstkkt das Eindringen von elektronischen Losungen in Geraten zu beobachten, bei denen bisher nur feinmechanisch-optische Bauelemente verwendet wurden. Einige Entwicklungen, die zu dem genannten Trend beigetragen haben, sind: -
Strahlungsquellen, wie z. B. die Lumineszenzdioden und die Laser, vor allem die Halbleiterlaser wegen ihrer geringen Abmessungen und ihrer hohen Lebensdauer,
- Struhlungsernpfunger, teilweise mit Informationsvorverarbeitung, wie z. und -Matrizen [ 1011,
B. die CCD-Zeilen
-
Signalubertragungsstrecken auf der Basis der Lichtwellenleiter,
-
k m p l e x e und schnelle Infot-mationsverarbeitungmit Mikrorechnern und die damit verbundenen Steuerfunktionen bei optischen Systernen,
- optische Buuelemente, wie z. B. die Variooptik, die Gradientenoptik, die aspharische Optik
und die Fresnellinsen, - optische Vegahren, wie z. B. die Holografie, die Bildverarbeitung, einschlieljlich der opti-
schen Filterung, die Scannverfahren (Scanning, engl. Abtastung, Abrasterung des Objektes mit abgelenkten Lichtbundeln) und die integrierte Optik (Kopplung miniaturisierter Bauelemente in einem Wellenleiter). Folgende Grunduufguben fur optoelektronische Gerate konnen unterschieden werden: - Bewertung von Fremdstrahlung mittels optoelektronischer Empfanger (z. B. Belichtungsmesser,
Dammerungsschalter). - Bewertung der vom Gerat ausgehenden Strahlung nach ihrer Veranderung wiihrend der Aus-
breitung
(2.
B. Lichtschranken und -taster).
- Modulation, Ubertragung und Empfang von Signalen (z. B. optische Nachrichtenubertragung,
Fernsteuerung mittels Infrarotstrahlung).
7.IEinleitung
675
- Fokussierung und Steuerung von optischen Systemen. - Wandlung bildmaoiger Informationen in elektrische Signale (z. B. Aufnahrnerohren, opto-
elektronische Kameras, Bildverarbeitung, wofiir auch neue Verfahren der Auflichtbeleuchtung entwickelt wurden [91]). In einem optoelektronischen Gerat werden i. allgem. die optische Strahlung zur Inforrnationsubertragung, ein optoelektronischer Empfanger zur Signalwandlung (gelegentlich auch andere optische Empfanger, wie z. B. thermische) und mikroelektronische Baugruppen zur Informationsverarbeitung eingesetzt.
Photonik. In Anlehnung an das Gebiet ,,Elektronik", das urspriinglich die Wechselwirkung zwischen Elektronen und auI3eren Feldern erfaBt hat, wobei nur in Ausnahmefallen Photonen beteiligt waren (z. B. beim Photoeffekt), wurde in den letzten Jahren der Begriff ,, Phutunik" (engl. Photonics) eingefuhrt. Die inhaltliche Definition der Photonik wird aber wie bei jedem neuen Begriff sehr unterschiedlich gesehen. Im Vordergrund steht leider oftmals nur das Bestreben, sich modern darzustellen. Das komrnt bereits darin zum Ausdruck, daR manche Autoren den Begriff Photonik als Ersatz fur den Begriff Optik verwenden, indern sie darin samtliche Teilgebiete der Optik einordnen. Auch die optische Industrie benutzt ihn zu Werbezwecken. Im Grunde genommen beschreibt bereits die Optoelektronik die Wechselwirkung zwischen Photonen, Elektronen und auBeren Feldern. Eine neue Qualitat der Verbindung von Elektronik und Optik ist dadurch entstanden, daB die Entwicklung der Halbleitertechnik und der integrierten Optik viele neue Effekte des aktiven Zusamrnenwirkens von Photonen und Elektronen oder Defektelektronen hervorgebracht hat. Deshalb sollte der eigentlich nicht erforderliche Begriff Photonik auf die Vorgange beschrankt bleiben, bei denen der Photonencharakter der optischen Strahlung unmittelbar zur Erklihng der Funktion von optoelektronischen Bauelementen benotigt wird, oder optische und elektronische Funktionen in einem Halbleiter integriert sind. Beziiglich der Entwicklung der Optik steht weiterhin die Erforschung der physikalischen Grundlagen auf der Tagesordnung. Die Erzeugung spezieller Photonen und ihrer Eigenschaften stehen im Vordergrund, vor allem ihr statistisches Verhalten ([84], [88], [97]). Die Erwartungen fur die mefitechnische Umsetzung der Eigenschaften der ,,gequetschten" Photonen (squeezing states) sind bisher nur bedingt erfullt worden. Neue geratetechnische Losungen, bei denen wesentlich optische Prinzipien und Bauelemente genutzt werden, sind zu erwarten. Physik und Technik bedingen sich aber gegenseitig, so daI3 die Ubergange flieI3end sind und von der reinen Grundlagenforschung bis zur angewandten Forschung, bzw. der konstruktiven und technologischen Umsetzung reichen. Diese Tendenz zeigt sich besonders bei der Weiterentwicklung der Laser und der nichtlinearen Optik. Die analoge Fotogra3e hat sich zunachst in Richtung der Automatisierung einzelner Funktionen entwickelt (Belichtungsrnessung, automatische Fokussierung, automatische Anpassung der Belichtung an die Filmempfindlichkeit). Fur die Amateurfotografie mit Kleinbildfilrnen stehen Varioobjektive rnit guter Bildqualitat in vielfaltiger Auswahl an Brennweitenbereichen zur Verfiigung (siehe auch Abschn. 6.5.5 und 7.6.3). Fur starke NachvergroRerungen oder die professionelle Fotografie bleiben die festbrennweitigen Objektive hoher Bildgute sowie die groaformatigen Kameras unverzichtbar. Irn Vormarsch ist die digitale Fotugrafie, die in erster Linie durch den Ersatz des Films durch CCD-Matrizen und die digitale Speicherung der Bilddaten ausgezeichnet ist. Die Bilder lassen
676
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
sich sofort betrachten und im Computer bearbeiten. Einzelheiten sollen hier nicht behandelt werden. Die optischen Zusammenhange sind z. B. in [96] und [98] dargelegt worden. Die Nuhfeld-Mikroskopie hat eine groBe Vielfalt an Methoden und Geratelosungen mit sich gebracht, die sich betrachtlich von der klassischen Mikroskopie unterscheiden. Deshalb wird im Abschn. 7.6.1 naher darauf eingegangen. Es existiert bereits eine grolje Anzahl an Veroffentlichungen uber die Anwendungen. Das wird auch dadurch gefordert, daB inzwischen viele Firmen ausgereifte kommerzielle Gerate in ihren Katalogen sowie in Fachzeitschriften anbieten (z. B. in [77]). Bei den astronomischen Fernrohren sind immer komplexere Losungen mit hohem technischen und materiellen Aufwand in Angriff genommen worden, wobei zwischen der ersten Konzeption und der Inbetriebnahme lange Entwicklungszeiten liegen. Nahere Ausfiihrungen enthalten die Abschnitte 6.3.2 und 7.6.2. Fur optische Experimentalaufbauten oder fur die Kombination von Einzelelementen zu speziellen MeBgeraten stehen heute fur fast alle optischen Funktionen industriell gefertigte Bauelemente und Baugruppen zur Verfugung, wobei haufig auch Kundenspezifikationen beriicksichtigt werden kiinnen. Die Mikrostrukturierung fur die Mikroelektronik erlaubt immer feinere Strukturen durch den Ubergang zu kleinen Wellenlangen. Davon profitiert auch die integrierte Optik (Abschn. 7.5. l), s o daU von Mikro- und Nanooptik gesprochen wird [991, [ 1001. Dabei spielen die Mikrolinsenraster, die auf Brechung beruhen und Bezug zum Wabenkondensor haben (Abschn. 6.5.1, [93]) sowie die diffraktiven optischen Elemente (abgek. DOE), die auf Beugung beruhen, eine wichtige Rolle. Die vielfaltigen Einsatzmoglichkeiten und die Grenzen der diffraktiven optischen Elemente werden in [94] aufgezeigt. Eine spezielle Anwendung zur Strahlformung wird in [92] dargestellt. Bei den Strahlungsquellen sind besonders zwei Richtungen zu enviihnen. Das Bestreben, die hohe Lebensdaucr der LED fur Beleuchtungszwecke zu nutzen, fuhrt zu den ,,weiU" strahlenden LED (Abschn. 7.5.3). Die Entwicklung von Strahlungsquellen hoher Leuchtdichte, u. a. fur das Projektionsfemsehen, wurde durch die Kopplung einer Quecksilber-Hochstdruckentladung mit einem Halogen-KreisprozeB eingeleitet (UHP-Lampe, [90]). Wir wollen noch kurz auf den Dualismus zwischen Wellen- und Teilchencharakter eingehen, der grundsatzlich bei samtlicher Materie vorhanden ist. Der Dualismus driickt sich offenbar in einer Wechselbeziehung von Kontinuitat (Welle) und Diskretisierung (Teilchen) aus. Wir haben z. B. beim Photon bewuBt die Formulierung gewlhlt, daU eine wesentliche Seite der Charakter als elektromagnetische Welle und eine wesentliche Seite der Charakter als Elementarteilchen in Form eines Quantes darstellt. Keineswegs kann davon gesprochen werden, daB das elektromagnetische Feld keine Materie ist. Auch das Elektron zeigt je nach Versuchsanordnung die beiden wesentlichen Seiten Teilchen und Welle. Im Unterschied zum Photon hat es aber Ruhemasse, so dab es stoffliche Materie darstellt. Die Welle ist nicht elektromagnetisch. Die dem Elektron zugeordnete sogen. Materiewelle ist im eigentlichen Sinne eine ,,Stoffwelle". Obwohl die mit diesen Problemen verbundenen Fragen starker in die Philosophie einzuordnen sind, sollten sie hier noch kurz angesprochen werden. Auf alle Falle konnen die oft vorzufindenden Meinungen, das Photon sei weder Teilchen noch Welle oder die Photonen verhalten sich manchmal wie Teilchen, manchmal wie Wellen, den physikalischen Sachverhalt nicht befriedigend beschreiben. SchlieBlich ist der Dualismus kein theoretisches und schon gar kein subjektiv auslegbares Phanomen. sondern eine experimentell nachweisbare Realitat. Bemerkenswerte Ausfiihrungen dazu sind z. B. [88] und [97] zu entnehmen.
7.2 Physikalische Grundlagen
7.2 7.2.1
677
Physikalische Grundlagen Dipolstrahlung
Wir wollen die Entstehung Hertzscher Wellen durch schwingende elektrische Dipole behandeln. Allgemein gilt, daB eine bewegte elektrische Ladung ein Magnetfeld erzeugt, dessen Starke der Geschwindigkeit der Ladung proportional ist. Eine beschleunigte Ladung und damit auch eine auf einer geschlossenen Bahn umlaufende Ladung ist mit einem zeitlich veranderlichen Magnetfeld verbunden. Sie bewirkt die Abstrahlung einer elektromagnetischen Welle. Der schwingende elektrische Dipol mit dem Dipolmoment p = Q 1 (Q elektrische Ladung) erzeugt in groBeren Entfemungen (r >> h) den Betrag der elektrischen Feldstkke
E =
o2p s i n 6 4 n; E~ cg r
jwr
-
e c
(7.1 a)
und den Betrag der magnetischen Fe1dst;irke
H = -co' Eo 2 .
(7.1 b)
o2
Die Intensitut, also der Betrag des Zeitmittelwertes des Poyntingvektors S, betragt fur den sinusformig schwingenden Dipol der Amplitude po (7.2)
In Abb. 7.1 ist (S)in einem Polardiagramm dargestellt. (Bei grol3en Ladungsgeschwindigkeiten entsteht als relativistischer Effekt eine Verlagerung des Maximums von 6 = 90" weg nach kleineren Winkeln.) Die gesamte je Zeit ausgestrahlte Energie, die Strahlungsleistung, ergibt sich zu
(1 ist die Lange des Dipols, I,, die der schwingenden Ladung zugeordnete Amplitude der Stromstake).
Dipol
Abb. 7.1 Ausstrahlung des schwingenden Dipols
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
67x
\
I
/
Abb. 7.2 Zur Polarisation des reflekticrten Lichtes
Die klassische Theorie drr Lichtuusstrahlung geht von den gleichen GesetzmiilJigkeiten aus. Die ausgestrahlte Wellenlange des schwingenden Dipols hangt mit seiner Lange zusammen (bei der Grundschwingung ist 1 = A&). Deshalb mussen infolge der kleinen Wellenlangen im optischen Bereich atomare Dipole angenommen werden. Betrachtet man ein mit konstanter Winkelgeschwindigkeit o auf einer Kreisbahn urn den Kern umlaufendes Elektron, so ist diese Bewegung zwei senkrecht aufeinander stehenden Dipolschwingungen aquivalent. Die Winkelgeschwindigkeit entspricht der Kreisfrequenz der ausgestrahlten Lichtwelle, die wegen o = v / r von dem Bahnradius abhangt. Das Model1 des schwingenden elektrischen Dipols erklart qualitativ die lineare Polarisation des an einer Grenzflache reflektierten Lichtes (Abschn. 2.2.3). Das elektrische Feld der Welle intluenziert im Stoff Dipole, die in ihrer Schwingungsrichtung nicht strahlen. Deshalb fehlt der reflektierte Anteil der Welle, wenn der reflektierte Strahl mit dem gebrochenen einen rechten Winkel bildet (Abb. 7.2). Fur die rechtwinklig zur Einfallsebene schwingende Komponente tritt diese Erscheinung nicht auf. Die Annahme von schwingenden elektrischen Dipolen fur die Lichtausstrahlung aus atomaren Systemen erklart auch die natiirliche spektrale Verbreiterung der Spektrallinien. Da die Anzahl an Dipolen je Volumen die elektrische Polarisation ergibt, gilt eine zu G1. (2.90) analoge Gleichung auch fur die Lichtausstrahlung. Die Dampfung der Schwingung geht in Form einer fiktiven Strahlungsreibung ein. Die Losung der Differentialgleichung ergibt fur die Ausstrahlung des gedampften Dipols den StrahlungsfluR
(7.4) Die spektrale Strahlungsleistung betragt
(7.5)
7.2 Phvsikalische Grundlagen
679
Daraus ergibt sich die volle Halbwertsbreite zu
Mit z = 4,0422274 . lo2' (1 / v i ) erhalt man bei h,= 500 nm A& = 1,1803752 . nm. Diese naturliche Linienbreite ist mit klassischen spektroskopischen Methoden kaum auflosbar; sie wird auch durch andere Effekte uberdeckt. Die spektrale Breite bestimmt die Koharenzlange, deren GroBe fur naturliche Dampfung und fur Doppler-Dampfung in den Gln. (2.156) und (2.157), bzw. unter EinschluB weiterer Einfliisse in G1. (2.158) angegeben ist. Die Anwendung der klassischen Elektrodynamik auf die Lichtausstrahlung durch Atome und atomare Systeme muB unvollstandig bleiben. Einmal ist sie abhangig von einem geeigneten Atommodell und zum anderen beriicksichtigt sie nicht den Quantencharakter des Lichtes. Als erfolgreich hat sich die Kombination der Elektrodynarnik rnit der Quantentheorie erwiesen. Damit lassen sich die experimentellen Ergebnisse bei der Lichtausstrahlung theoretisch deuten. Der unmittelbare Vorgang der Entstehung der Lichtquanten aus anderen Erscheinungsformen der Materie oder der ,,Vemichtung" von Lichtquanten ist allerdings auf diesem Wege nicht zu verstehen. Ansatze dam werden in der Quantenfeldtheorie bereitgestellt.
7.2.2
Interferometer
In den Abschn. 2.4.3,2.5.5 und 5.2.3 sind wir auf einige Beispiele von Interferometem eingegangen. Es handelte sich um: - Interferometer mit zwei interferierenden Bundeln
. . . .
Mach-Zehnder-Interferometer (Abb. 2.52, Abb. 2.89) Jaminsches Interferometer (Abb. 2.88) Dreieck-Interferometer (Abb. 2.90) Youngsches Interferometer (Abb. 2.53) und - Interferometer mit Mehrfachbundeln . Fabry-Perot-Interferometer (Abb. 5.3 1, Abb. 5.33) . Lummer-Gehrcke-Platte (Abb. 5.32). Diese Beispiele waren in die theoretischen Grundlagen der Interferenz eingeordnet und nicht systematisch behandelt worden. Deshalb sollen hier einige Erganzungen folgen. Interferometer dienen bevorzugt zu: -
Langenmessungen (Interferenzkomparator) Brechzahlmessungen (Interferenz-Refraktometer) Winkelmessungen (Stern-Interferometer) Spektroskopischen Messungen (Interferenz-Spektroskopeund -Spektrometer) Wellenflachenmessungen und Messungen von Giitefunktionen der Abbildung.
Drei Interferometer-Anordnungen, die bisher im Text zu wenig Beachtung fanden. sollen etwas detaillierter betrachtet werden : Michelson-Interferometer, Fouriertransformations-Interferometerund Sagnac-Interferometer.
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
680
Q
t
_ ._ ._ .
.
I
T Zur Beobachtungseinrichtung
Abb. 7.3 Michelson-Interferometer
Michelson-Interferometer. Im klassischen Michelson-Interferometer interferieren zwei Teilbundel, die an einern Bundelteiler erzeugt und an zwei Spiegeln reflektiert wurden. Die Interferenz-Erscheinung kann mit einern Fernrohr betrachtet werden (Abb. 7.3). Es gelten die G1. (2.1 I la), bzw. bei entsprechender Symrnetrie der Anordnung GI. (2.1 1 Ib). Sind die Abstande der beiden Spiegel von der Glasplatte einander gleich, so haben die beiden Lichtbundel 1 und 2 gleiche Wege zuriickgelegt, da in den Weg des Bundels 2 eine Platte eingeschaltet wird, die die gleiche Dicke wie die Teilerplatte hat. Die sich uberlagernden Biindel 1 und 2 haben also keine Phasendifferenz und verstarken sich. Eine Verstarkung tritt auch dann ein, wenn sich die Abstande der Spiegel von der Glasplatte um ein geradzahliges Vielfaches von W4, die optischen Wegunterschiede der Lichtwellen also um ein geradzahliges Vielfaches von h12 voneinander unterscheiden. Dagegen loschen sich die beiden Bundel aus, wenn der Unterschied der Abstande der beiden Spiegel von der Teilerplatte ein ungeradzahliges Vielfaches von W4 ist. Einem (nahezu) auf Unendlich eingestellten Auge, das von den Lichtbundeln 1 und 2 getroffen wird, erscheint demnach das Gesichtsfeld abwechselnd hell und dunkel, wenn einer der beiden Spiegel verschoben wird. Der Wechsel erfolgt bei der Verschiebung eines Spiegels urn W4. Das Gesichtsfeld erscheint nicht gleichmaflig hell oder dunkel, sondern zeigt bei genau zentrischer Aufstellung des Interferometers konzentrische Kreise. Da die Lichtquelle ausgedehnt ist, fallen viele parallele Strahlenbundel unter verschiedenen Neigungen auf die Teilerplatte. Es entstehen demnach Kreise gleicher Neigung. Man kann sich die Wirkungsweise des Interferometers am besten so veranschaulichen, dal3 man sich den einen Arm in die Richtung des anderen gedreht denkt (in Abb. 7.4 S , nach S ; ). Stehen die beiden Spiegelebenen parallel, dann kann man die oben beschriebenen Interferenzerscheinungen ohne weiteres als die einer planparallelen Platte erkennen. Der Abstand zwischen den beiden parallelen Flachen S , und S 2 ist gleich d. Blickt man unter dem Winkel E, so sind die beiden Spiegelbilder der Lichtquelle urn 2d voneinander entfernt (Abb. 7.5). Verstarkung tritt ein, wenn die Beziehung 2 d cos E = m h gilt (rn ganzzahlig).
7.2 Physikalische Grundlagen
68 1
TP
s,
Abb. 7.4 Ersatzschema des Michelson-Interferometers
Abb. 7.5 Wirkungsweise des Michelson-Interferometers
Wird S, bewegt, wahrend S I bei feststehender Lichtquelle unverandert bleibt, so erscheinen neue Interferenzstreifen fur eine Verschiebung As von U2. Erscheinen somit N neue Streifen, dann gilt AS
h=2--. N
Hieraus folgt, dal3 man mit dieser Versuchsanordnung die absolute Messung einer Wellenlange vornehmen kann, indem man z. B. den Spiegel S, mittels einer Mikrometerschraube parallel zu
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
682
sich selbst um einen merjbaren Betrag verschiebt und gleichzeitig die Anzahl der Helligkeitswechsel des Gesichtsfeldes beobachtet. Gewohnlich werden die verwandten Spiegel urn einen geringen Winkel geneigt. Wiederum gilt dann die obige Beziehung fur eine kleine Anderung der Neigung, namlich h = 2 ASIN.SchlieSt die eine Spiegelebene mit der anderen (wenn man sich die Arme zusammenfallend denkt) einen Winkel ein, so erscheinen die Interferenzen einer keilformigen Platte. 1st z. B. die eine Platte gegen die andere um eine lotrechte Achse etwas verdreht (Abb. 7.6), so erhalt man eine Schar von oben nach unten verlaufender gerader Interferenzstreifen, deren Abstand um so kleiner ist, je starker die Platten gegeneinander geneigt sind. 1st hierbei z. B. der Abstand der Spiegelmitten von der Teilerplatte gleich, so herrscht dort der optische Wegunterschied Null, man sieht im weil3en Licht den zentralen Interferenzstreifen, urn den sich (nahezu) symmetrisch die Farbenerscheinungen gruppieren. Wird nun der eine Arm durch irgendeine Ursache etwas verlangert oder verkurzt, so ist die Stelle gleicher Armlange nicht mehr in der Mitte der Spiegel, sondern rechts oder links davon. In der Abb. 7.6 ist die neue Stellung punktiert angegeben. Jetzt erscheint der zentrale Streifen an einer anderen Stelle des Spiegels. 1st die Neigung der beiden Spiegelebenen so, daB etwa je 3 Streifen auf beiden Seiten des zentralen Streifens zu sehen sind (daB also nach gedachtem Zuruckdrehen des einen Armes in die Richtung des anderen das linke Ende des einen Spiegels um 6 Wellenlangen naher ist als das rechte), so bedeutet die Verschiebung des zentralen Streifens um eine Streifenbreite, daB der eine Arm seine Lange um eine Lichtwellenlange geandert hat. Da es nicht schwierig ist, eine Streifenbreite von etwa 5 mm zu erzielen, so bedeutet dies eine vergrorjerte Aufzeichnung der Langenanderung um das 104-fache. Durch Beobachtung mit einem Femrohr, besonders aber durch fotografische Registrierung kann man noch Verschiebungen von Tausendstel Streifenbreiten, also Langenanderungen von 10-7 cm feststellen (und dies unter Umstanden auf eine Lange von mehreren Metern entsprechend relativen Langenanderungen von lo-"). Eine Anwendung dieser Methode stellt der zur Uberpriifung der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in bewegten Koordinatensystemen venvendete Michelsonsche Interferenzversuch dar. 1st bei der letzten Anordnung die Lichtquelle nicht monochromatisch, so fallen die Interferenzstreifen der einen Wellenlange zwischen die der anderen. Nachdem der Wegunterschied um einen gewissen Betrag vergroBert worden ist, fallen sie jedoch wieder zusammen. Man erhalt also, wenn man das Verhaltnis der Unterschiede von maximaler und minimaler Intensitat in Abhan-
s,
TP
Abb. 7.6 Geneigte Spiegel beim Michelson-Interferometer
7.2 Physikalische Grundlagen
683
Frequenz
Abb. 7.7 Intensitat der Ha-Linie nach MICHELSON
gigkeit von der Verschiebung der Platten auftragt. z. B. Abb. 7.7. Diese stellt den Intensitatsverlauf der Linie Hanach Messungen von MICHELSON dar. Aus dem Kurvenverlauf erkennt man, dal3 diese Linie zusammengesetzt ist, sie ist ein Dublett.
Twyman-Interferometer.Ein abgewandeltes Michelson-Interferometer zur Priifung von optischen Bauelementen und Systemen stellt das Twyman-Interferometer dar. Beleuchtet wird mit Parallelbundeln, die mittels eines optischen Systems erzeugt werden (Kollimator). Das zu priifende Element wird in den einen Interferometerarm gebracht. Der in diesem Arm befindliche Spiegel wird so ausgebildet und angeordnet, dal3 das auf dem Ruckweg aus einem fehlerfreien Element austretende Lichtbiindel iiber den gesamten Querschnitt konstante Phase hat. Das Feld im Beobachtungsfernrohr - oder in der Filmebene einer Kamera - ist gleichmaBig hell. Fehler des zu prufenden Elements sind an dunklen Stellen im Interferenzbild zu erkennen. Bei einem optischen System, das eine Kugelwelle erzeugen soll, die im Brennpunkt konvergiert, muB der Interferometerspiegel sphiirisch sein. Sein Kriimmungsmittelpunkt mul3 mit dem Brennpunkt des optischen Systems zusammenfallen (Abb. 7.8).
Interferenzspektroskopiemit Fourier-Transformation.Eine Methode zur Untersuchung des Spektrums einer Strahlungsquelle, die f i r grol3ere Spektralbereiche anwendbar und besonders fur Infrarot geeignet ist, stellt die Interferenzspektroskopie mittels Fourier-Transformation dar. Diese beruht auf der Interferenz zweier Bundel mit zeitlich langsam veranderlicher optischer Wegdifferenz AL. So kann z. B. der StrahlungsfluB QJAL.) am Ausgang eines Michelson-Interferometers fotometrisch registriert werden. Aus GI. (2.1 1 1 b) ergibt sich mit der Kreiswellenzahl k = ( 2 7 c ) A und damit 6 , , = 2 7c AL.I h = k M , sowie 2 I,, = @,(k), i = @e,k = @e,k @,(k,AL) = @,(k)
+ @ , ( k ) cos(kAL).
Integration uber das gesamte Kreisfrequenz-Interval1 fiihrt auf m
@,(AL.) = j@,(k)dk 0
m
+ /@,(k)cos(kAL.)dk. 0
684
7 Weiterfihrende und aktuelle Erpanzuneen ~
~~
Planspiegel
Prufling Konkavspiegel Blende Kondensor
Fernrohrobjektiv
\I/
2
Zwischenbildebene
Abb. 7.8 Aufbau eines Twyman-Interferometers zur Priifung eines Objektivs hinsichtlich Offnungsfehler
Das erste Integral ist eine Konstante und damit ohne Belang fur die Spektroskopie. Das zweite Intregral ist ein Fourier-Integral. Demnach ist der spektrale StrahlungsfluS (De(AL)in Abhangigkeit von der optischen Weglange die Fourier-Transformierte des spektralen Strahlungsflusses Qe(k). Die Umkehr der Fourier-Transformation lautet m
Q . , ( k ) = J(D,(AL)cos(kAL.) d(AL)
(7.9)
0
Miljt man bei langsam veranderlicher optischer Wegdifferenz AL den StrahlungsfluB a e ( A L ) , dann erhalt man durch die Fourier-Transformation den spektralen StrahlungsfluB Oe(k).
Interferometer von SAGNAC. Mit seiner Interferometer-Anordnung verfolgte SAGNAC das Ziel, den Einflulj auf die Zeit zu messen, die ein Lichtbundel zum Zuriicklegen eines geschlossenen Weges benotigt. Die Drehung eines geschlossenen Polygons, in dem sich das Licht ausbreitet, muljte eine Geschwindigkeitsdifferenz zwischen dem in Drehrichtung und dem entgegen der Drehrichtung verlaufenden Lichtes bewirken. In der Abb. 7.9 ist das Prinzip dargestellt. Das Licht der Lichtquelle L wird im Raum zwischen den beiden Glasplatten G I und G2 an einer halbversilberten Flache bei a in zwei Teile zerlegt. Ein Teil kehrt uber die Spiegel S,, S,, S,, S, zu diesem Punkt zuriick, wahrend der andere in der entgegengesetzten Richtung lauft. Die wieder vereinigten Strahlenbundel treffen auf die
7.2 Physikalische Grundlagen
685
Abb. 7.9 Interferometer von SAGNAC
fotografische Platte P, auf der die Interferenzen aufgezeichnet werden. Es sei 1 ein in der Drehrichtung liegendes Strahlenstuck in der Entfernung r vom Mittelpunkt, bei dem die Lineargeschwindigkeit der Drehung v ist. Dann wird fur das in der Drehrichtung laufende Licht die Zeit zum Durchlaufen dieser Strecke tl = 1/ (c - v), fur das entgegengesetzt laufende Strahlenbundel aber t2 = I / (c + v). Der Zeitunterschied, der in Ruhe Null ist, wird also bei der Drehung (7.10) (bei v
686
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganrungen
Teiler Detektor
Abb. 7.10 Ringlaser zur Messung der Winkelgeschwindigkeit
Die Winkelgeschwindigkeir kann mit einem Ringlaser gemessen werden, der in seiner Wirkung dem Versuch von SAGNAC [ 141 entspricht (Abb. 7.10). Zwischen den beiden den Ringlaser entgegengesetzt durchlaufenden Wellen entsteht die Zeitdifferenz nach G1. (7.10). Die daraus resultierende Phasendifferenz fiihrt zu einer Streifenverschiebung des Tnterferenzbildes, die der Frequenzdifferenz
zugeordnet ist (1 Resonatorlange, o Winkelgeschwindigkeit, A Flache des Ringlasers). Geeignet als Ringlaser ist z. B. ein Helium-Neon-Laser wegen der guten Frequenzstabilitat.
7.2.3
Beugung an Raumgittern
Raumgitter. In1 Beugungsgitter haben wir eine beugende Struktur - es sol1 dies eine allgemeine Bezeichnung fur beugende Locher, Schirme u. a. sein - kennengelernt, in der sich die komplexe Amplitude linear bzw. eindimensional andert. Eine zweidimensionale Anordnung erhalten wir, wenn wir zwei Liniengitter gekreuzt aufeinander legen. Nach unseren bisherigen Uberlegungen ist zu erwarten, dalJ eine regelmafiige raumliche Beugungsstruktur ahnlich zu behandeln ist. In der Lichtoptik spielen Raumgitter eine Rolle in der Holografie. Sie sind auch sowohl in der Erforschung der Rontgenstrahlung als auch in der Untersuchung von Kristallstrukturen von Bedeutung. Fur die Maxima der Beugungserscheinung gilt nach G1. (2.329) bei schragem Lichteinfall auf ein Liniengitter g (a() - a)= nz h
m = 0, +1, +2, 23, ...
7.2 Physikalische Grundlagen
687
Haben wir eine zweidimensionale Beugungsstruktur (Kreuzgitter), so kann man dieses im einfachsten Fall aus einer periodischen Wiederholung eines Punktgitters in der Ebene hergestellt denken. Wir lassen schrag auf das Flachengitter eine Welle auftreffen. Hinter der Gitterebene wird an denjenigen Punkten Verstiirkung eintreten, an denen die Wegdifferenz von allen Offnungen ein ganzzahliges Vielfaches einer Wellenlange betragt. Es gilt also, wenn a,und a die auf die Normalen zur Gitterspur der x-Achse bezogenen Richtungskosinus, Po und p die entsprechenden Richtungskosinus gegen die Normalen zur Spur der y-Achse bedeuten und bei gleicher Gitterkonstante g in der x- und y-Richtung
g(oc,-a)=m,
A 7
s(Po-P)=mJ.
Die Kombination dieser beiden Gleichungen liefert eine zweifache Mannigfaltigkeit von Spektren. 1st h = const, das Licht also monochromatisch, so bekommt man im Beugungsbild Punkte. Wir betrachten eine raurnliche Anordnung von Streuzentren (Gitterpunkten, Abb. 7.1 l), wobei wir uns auf den Fall beschranken, daB der Gitterabstand in allen drei Dimensionen den gleichen Wert g hat. Wir erhalten fur die Interferenzmaxima drei Gleichungen: g
(ao- a)= m, h, (7.1 1)
Abb. 7.11 Beugung von Rontgenstrahlung am Raumgitter
688
7 Weiterfuhrende und aktuelle Ergiinzungen
Quadriert man und beriicksichtigt, daB a2+ p2 + J = 1 und a,2 ipi7 + yo2 = 1 ist, ersetzt man ferner die Beugungswinkel durch die Eintrittswinkel (es gilt z. B. a = a,, - ml h / g), so ergibt die Addition (7.12a)
Es ist also (7.12b) Da m , , m2,m3 kleine ganze Zahlen sind (denn die Spektren hoherer Ordnung sind schwach), so sieht man, daB die Wellenlange fur einen gegebenen Einfallswinkel einen oder wenige bestimmte Werte haben mu& wenn ein Interferenzmaximum eintreten soll. Das vom Raumgitter gebeugte Licht enthalt also nicht alle Wellenlangen nebeneinander, sondern nur ganz bestimmte Wellenlangen. Das bei gegebenem Einfallswinkel in eine bestimmte Richtung gebeugte Licht hat eine ganz bestimmte Wellenlange. 1st 2 6 der Winkel zwischen einfallendem und gebeugten Biindel, so gilt (Skalarprodukt der Einheitsvektoren in Strahlrichtung) cos 2 79 = cr, a
+ p" p +'yay,
und daraus folgt mit Hilfe der G1. (7.12b) und cos 2 6 = 1 - 2 sin' 19
I
Die Richtungen 6 der Interferenzmaxima bei der Beugung an einem Raumgitter hangen von den Kantenlangen a , h, c und den drei Richtungskosinus der Gitterachsen ab.
Die an bestimmten Stellen auftretenden Maxima entsprechen demnach im allgemeinen verschiedenen Wellenlangen. Benutzt man weiBes Licht, so werden aus diesem ganz bestimmte schmale Wellenlangenbereiche im Beugungsbild ausgewihlt. Die Abb. 7.12 zeigt ein Bild, das mit Rontgenstrahlung bei der Beugung an einem Kristallgitter erhalten wurde (Laue-Diagramme).
Abb. 7.12 lnterferenzbilder rnit Rontgenstrahlung (a) Quarz, h) Sylvin; kubisches Gitter, Durchstrahlung in Richtung der Hauptachse)
7.2 Physikalische Grundlagen
689
Abb. 7.13 Reflexion am Raumgitter
Die sogen. Reflexion von Rontgenstrahlung. Das Raumgitter kann auch als Aufeinanderfolge von Ebenen, die mit Gitterpunkten besetzt sind, aufgefaBt werden. Auf eine Folge von Ebenen des Abstandes d (Abb. 7.13) fallt ein paralleles einfarbiges Lichtbundel unter dem Neigungswinkel aEgegen die Ebenen auf. Dann wird es an den eingelagerten Punkten der Ebenen gebeugt. Die stkkste Lichtwirkung einer einzelnen Ebene liegt in der Richtung des nach dem Reflexionsgesetz abgelenkten Strahls. Fassen wir zwei aufeinander folgende Ebenen ins Auge, die von zwei Strahlen in den Endpunkten des Abstandes A,A, = d getroffen werden, so erleiden beide Strahlen diese Reflexion. In dem gesamten Bundel, das aus den Ebenen austritt, hat (unter der Voraussetzung, daO die Brechzahl gleich Eins ist) der zweite Strahl gegen den ersten eine optische Wegdifferenz BA, + A , C = 2A,C = 2@,
sin aE=2 d sin aE.
Die Wellen storen sich also durch Interferenz nur dann nicht, wenn diese Wegdifferenz ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlange ist. Die Reflexion der Schichtenfolge muB somit bevorzugte Neigungswinkel aufweisen, unter denen mit besonderer Starke ein einfallendes Bundel regelmaaig reflektiert wird. Fur diese Winkel gilt die Bruggsche Reflexionsbedingung
I
2dsinaE=kh,
k = l , 2 , 3 ,....
(7.14)
Je groBer die Zahl der Schichten ist, desto ,,monochromatischer" ist das reflektierte Licht, indem bereits Wellen sehr benachbarter Wellenlangen durch Interferenz ausgeloscht werden, ahnlich wie auch ein ebenes Gitter umso schwere Linien gibt, je mehr Striche es hat. Beim Auftreffen weiBen Lichtes auf ein Raumgitter (bzw. eine regelmaoige Folge paralleler Schichten) wird bei einem gegebenen Einfallswinkel nur eine bestimmte Farbe der nach GI. (7.14) bestimmten Wellenlange reflektiert. LPl3t man einfarbiges Licht auffallen, so erhalt man die Reflexion nur bei einem bestimmten Winkel, dem Glunzwinkel. Sie tritt bei Rontgenstrahlung infolge ihres Eindringvermogens in das Innere der Stoffe bei jeder Reflexion an Kristallflachen ein. Es laOt sich nachweisen, daO die Bedingung dafur identisch ist mit der Braggschen Reflexionsbedingung. Es bildet namlich immer eine Netzebene des Kristalls die Mittelebene zwischen dem einfallenden und dem moglichen gebeugten Bundel.
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erranzuneen
690
7.2.4
Streuung
Tyndall-Effekt. Geht Licht durch ein trubes Mittel (verdunnte Milch, eine mit Wasser verdunnte alkoholische Losung von Mastix, feiner Rauch), so wird es seitlich gebeugt und gestreut. Dadurch wird der Weg des Lichtes sichtbar (Abb. 1 1, Tvndull-Phiinomen). Allgemein kann davon ausgegangen werden, da13 in durchsichtigen Stoffen stets Inhomogenitaten vorhanden sind, an denen das Licht in kleinen Bereichen aus seiner ursprunglichen Richtung abgelenkt wird. Ursachen sind z. B. kleine Teilchen, geringe Brechzahlschwankungen oder die Molekularbewegung. Ein Teil des gerichtet einfallenden Lichtes wird dadurch gestreut. Bleiben Frequenz und Phase des Lichtes bei der Streuung unverandert, so spricht man von elastischer Streuung (auch von koharenter Streuung). Bei der inelustischen Streuung (inkoharenten Streuung) andern sich Frequenz und Phase des Lichtes wie z. B. beim Compton-Effekt oder beim Raman-Effekt. Sie sind nicht Gegenstand dieses Abschnitts (siehe z. B . [29]). Die Richtungsverteilung der Streustrahlung wird im Streudiagramm veranschaulicht. Die Streuung in festen, flussigen und gasformigen Stoffen stellt eine Volumenstreuung dar. Die theoretische Behandlung und die daraus folgenden Eigenschaften der Streustrahlung hangen vom Durchmesser D der Streuzentren ab. I
<< h wurde zuerst von RAYLEIGH auf der Grundlage der Maxwellschen Gleichungen behandelt (Ravleigh-SrreuunR).
- Der Fall D
h ist theoretisch komplizierter, wobei besonders die Beugung an den Streuzentren zu berucksichtigen ist. Die Theorie wurde erstmals von MIE 1908 aufgestellt, weshalb der Effekt als Mie-Streuung bezeichnet wird.
- Der Fall D =
-
Der Fall D >> h mu0 nicht wellenoptisch, sondern er kann mit der skalaren Beugungstheorie behandelt werden. Es wird von geometrischrr Streuung gesprochen.
Die Ruyleigh-Streuung wurde zunachst auf die Streuung des Lichtes in der Luft angewendet.
RAYLEIGH wollte auf der Basis des Tyndall-Effektes die blaue Farbe des Himmelslichtes erklaren. Die Ruyleighsche Streufiinktion 0(6),der die Intensitat des gestreuten Lichtes proportional ist, lautet fur naturliches Licht (6Streuwinkel, C Konstante, die von der Brechzahl der Luft und der Anzahl der Luftmolekule je Volumeneinheit abhangt, 3L Wellenlange des Lichtes)
I
C o(19)= +I h
+ cos? 6)
(7.15)
(Da die Konstante C schwach von der Wellenlange abhiingt, ergibt sich praktisch angenahert der Faktor
I
Die Intensitat des gestreuten Lichtes ist umgekehrt proportional der vierten Potenz der Wellenllnge h, wenn die streuenden Teilchen klein gegen h sind.
GI. (7.15) gilt auch fur kleine feste, tlussige und gasformige Teilchen. Das gestreute Licht ist polarisiert. Betindet sich eine trube Flussigkeit in einem Trog, dann ist das Licht senkrecht zum einfallenden weiljen Licht blaulich, in Lichtrichtung rotlich gefarbt. Beobachtet man das ge-
7.2 Physikalische Grundlagen
69 1
Abb. 7.14 Polarisation beirn Tyndall-Effekt, seitlich durch einen Analysator betrachtet (mit Mastixteilchen getriibtes Wasser)
150"
120"
Lichtrichtung ___)
90"
60"
30"
x. 0"
Abb. 7.15 Streudiagrarnm fur die Rayleigh-Streuung
streute Licht mit einem Analysator, so ist es in der durch einen Strahl und die Beobachtungsrichtung gelegten Ebene fast vollstandig polarisiert (Abb. 7.14). Bei triiben Stoffen mit eingebetteten isolierenden Teilchen liegt das Maximum der Polarisation bei 90" zur Strahlrichtung, bei triiben Stoffen mit metallischen Teilchen (Ag, Au, Pt) jedoch bei 1 10" bis 120". Unter Beriicksichtigung der Polarisation gilt ~ ( 6 = 0,(6) ) + 02(6),wobei 0,unabhangig von 6 ist, wahrend o2proportional zu cos2 6 ist (Abb. 7.15). Fur 6 = 0" und 6 = 180" ist das Streulicht unpolarisiert, fur 6 = 90", also senkrecht zur Lichteinfallsrichtung, liegt vollstandige lineare Polarisation vor.
Mie-Streuung. Die Streuung an kugelformigen Teilchen, deren Durchmesser in der GroBenordnung der Lichtwellenlange liegt, folgt den von G . MIE abgeleiteten Gleichungen. Auch die theoretischen Untersuchungen von MIE basieren auf den Maxwellschen Gleichungen. Als fundamentaler Parameter geht der Miesche Streuparameter in die Intensitatsgleichungen ein. Er lautet (DDurchmesser, n D also Umfang der streuenden Kugeln):
7 Weiterfuhrende und aktuelle Ergiinzungen
692
a=-
TcD
(7.16aj
h
Der Streukoeftizient der Mie-Streuung folgt aus d, = Tc
2 K(a)
(7.16b)
K ( a ) ist der Streuquerschnitt, der Abb. 7.16 entnommen werden kann. Bei der Mie-Streuung tritt eine mit wachsendem Teilchendurchmesser zunehmende Bevorzugung der Vorwartsstreuung auf (Abb. 7.17). Allgemein gilt fur die Mie-Streuung eine analoge Darstellung der Streustrahlung wie fiir die Rayleigh-Streuung, nach der sich die Gesamtstreuung aus zwei senkrecht zueinander polarisierten Anteilen zusammensetzen 1 a k
z 4
v
Y
1: 1 0
/
1 I
10
20
30
40
50
-a Abb. 7.16 Streuquerschnitt von Wassertriipfchen (n = 1 3 ) als Funktion des Streuparameters
30"
Lichtrichtung
0"
w
unpolarisierter Anteil Gesamtintensitat Abb. 7.17 Streudiagramm fiir Goldkugelchen bei r = 0,08 pm
7.2 Phvsikalische Grundlaeen
693
Oberflachenstreuung. Fur optische Bauelemente hat die Streuung des Lichtes an Obefflachen besondere Bedeutung. Gezielt eingesetzt wird sie z. B. bei Mattscheiben, die aus Glas oder Plaste rnit aufgerauhter Obefflache bestehen. Im allgemeinen stort die Streuung jedoch den regul5ren Strahlenverlauf, bzw. die optische Abbildung. Bei der Reflexion an einer Obefflache setzt sich das reflektierte Licht aus einem regularen (dem Reflexionsgesetz folgenden) und einem diffusen (gestreuten) Anteil zusammen. Das Verhaltnis aus regular und diffus reflektierter Intensitat wird durch die Gute der Politur der Oberflache bestimmt, d. h. durch ihre Rauhigkeit. Die analogen Aussagen gelten fur das durch die Grenzflache hindurchgehende, also das im allgemeinen gebrochene Licht. In optischen Systemen aus einer Folge von brechenden Flachen wird das Streulicht innerhalb der Bauelemente mehrfach hin- und herreflektiert, so daB es weitere Streulichtanteile erzeugen kann. Diese Aussage trifft naturgema auch fur die dielektrischen Schichten zur Entspiegelung der Obefflachen zu, zumal oftmals Mehrfachschichten verwendet werden. Streulicht tritt auch an Wandungen, Fassungsteilen, Blendenrandern, Schlieren, Blasen und Staubteilchen auf. Zur Vermeidung dieser Anteile dienen eine sorgfaltige Auswahl der Werkstoffe und geeignete konstruktive MaBnahmen (z. B. Schwarzung der Fassungen und Abfangkulissen). Moderne Hochleistungssysteme erfordern extrem geringe Mikrorauhigkeiten der Linsenoberflachen, damit die Streulichtanteile weitgehend vermieden werden. Die Forderungen an die Fertigung hinsichtlich der Politur der Obefflachen sind entsprechend hoch. Fur die quantitative Erfassung der Obefflachenstreuung eignet sich die iiber den gesamten Halbraum integrierte Streustrahlung, die auch als TIS bezeichnet wird (engl. total integrated scatter). Es gilt:
I
Das Verhaltnis aus dem gestreuten Lichtstrom, der sich aus der Differenz zwischen dem insgesamt reflektierten und dem regul5r reflektierten Lichtstrom ergibt, und dem insgesamt reflektierten Lichtstrom ist der Wert des TIS.
Bezeichnen wir den gestreuten Lichtstrom mit as, den insgesamt reflektierten Lichtstrom mit ar und den regular reflektierten Lichtstrom mit am, dann erhalten wir (7.17) 1st 6 der quadratische Mittelwert der Mikrorauhigkeit, so gilt angenahert fur kleine 6 und bis in das nahe Infrarot hinein TIS =
(
4 It 6 COSE
]
2
(7.18)
Die kleinste erreichbare Mikrorauhigkeit hangt vom Werkstoff und vom Fertigungsverfahren ab. Das Problem bei der Fertigung optischer Oberflachen liegt darin, daB bei der Politur der Flachenradius im Rahmen der vorgeschriebenen Toleranz eingehalten werden muB. Bei a s p h h c h e n Flachen darf die Politur die vorgefraste Kurvenform nicht verandern. Metalle und Kristalle erlauben mit vertretbarem Aufwand nur Mikrorauhigkeiten bis zu ca. 6 = 6 nm, Glaser bis zu 6 = 2,5 nm. Mit hohem Aufwand I a t sich bei Glkern der Wert 6 = 0,8 nm erreichen. Abb. 7.18 enthdt die Abh2ngigkeit des TIS von der Wellenlhge und der Mikrorauhigkeit 6 (nach [ 2 2 ] ) .
694
7 Weiterfiihrende und aktuelle Ereiinzungen
SuperPolitur
normale Politur (Glas)
normale Politur (Metall)
I
10 5
5. .-c
x
1o-6 2
l1
/
/ /'
0.5
10' 0.2
0.2
0.5
1,0
2,O
-
5-0
I
I
10
20
6 innm
Abb. 7.18 Streuanteil TIS irn Wellenlangen-Rauhigkeitsdiagramm
Fur E = 0, h = 500 nm und 6 = 2.5 nm ergibt sich TIS -- 3,95 . der Streulichtanteil betragt also ca. 4 %o. Fur E = 0, h = 500 nm und 6 = 0,snm ergibt sich TIS = 4 . lo4, der Streulichtanteil betragt ca. 0,4 c'/. Allgemein bekannt ist die Bedeutung der Lichtstreuung in der Atmosphare. Wegen der starken Abhlngigkeit der Streuung von der Wellenlange fuhrt sie aufdas blaue Himmelslicht und die oftmalige Rotfarbung der Sonne beim Auf- oder -Untergang. Eine wichtige Rolle spielt die Streuung in der Sichttheorie, die sich mit der Sichtbarkeit von Objekten an der Erdoberflache in Abhangigkeit vom Zustand der Atmosphlre befast. Sie ist damit auch eine Grundlage fur den meteorologischen Dienst und fur die Bewertung von Tarnmethoden im Gelande. Eine bestimmende GroBe ist die Sichtweite, die die Entfernung eines Zieles angibt, in der es gerade noch visuell sichtbar ist. Zur Untersuchung von Rauhigkeiten an optischen Oberflachen oder an Mikrorauhigkeiten bei Mikrostrukturen wurden in letzter Zeit vielfaltige Meljgerate entwickelt und die theoretischen Hilfsmittel zur Auswertung der MerJergebnisse weiter ausgearbeitet. Beispiele sind in [80] und [8 11 enthalten.
7.3 Strahlungsphysik und Lichttechnik
7.3
Strahlungsphysik und Lichttechnik
7.3.1
Licht- und Beleuchtungstechnik
695
Die Lichttechnik ist eine physikalisch-technische Disziplin, in der die abgeleiteten Beziehungen fur die energetischen GroBen der optischen Strahlung angewendet werden. Die Lichttechnik beschaftigt sich vorwiegend mit den Strahlungsquellen und ihren Eigenschaften, rnit der Fotometrie, also der Licht- und StrahlungsmeBtechnik sowie der Anwendung optischer Strahlung fur die Beleuchtung und fur technologische Verfahren. Das Teilgebiet der Lichttechnik, das sich rnit der Berechnung, Projektierung, dem Bau und dem Betrieb der Beleuchtungsanlagen befaRt, ist die Beleuchtungstechnik. In diesem Abschnitt sollen noch einige Grundlagen zur Berechnung von lichttechnischen GroBen behandelt werden, wobei Aufgaben der Beleuchtungstechnik im Vordergrund stehen. Die Lichrverteifung der Lichtquellen ist nach Richtungen verschieden. Will man die Strahlung einer Lichtquelle vollstandig beschreiben, so muB man ihre Lichtstkke nach den verschiedenen Richtungen gesondert untersuchen. Viele Lichtquellen sind Umdrehungskorper, und wir konnen uns rnit der Untersuchung der Lichtverteilung in einem Meridian begnugen. Um eine anschauliche Ubersicht uber die Lichtverteilung zu erhalten, tragt man die in den verschiedenen Richtungen gemessenen Lichtstkken als Radien eines Polarkoordinatensystems ab und verbindet die Eckpunkte durch eine Kurve. Abb. 7.19 zeigt die Lichtverteilung einer Gluhlampe. Aus einer solchen Verteilungskurve kann der gesamte Lichtstrom einer Lichtquelle berechnet werden. 1st die Lichtquelle L der Mittelpunkt der Einheitskugel (Abb. 7.20), so kann man diese durch Meridiane und Breitenkreise in Flachenelemente zerlegen, die betragsmasig dem zugehorigen raumlichen Winkel dQ gleich sind. Der Lichtstrom auf dieses Flachenelement wird nach G1. (3.33) durch das Produkt aus der GroBe der Flache mit der Lichtstarke I gefunden. Bildet man dieses Produkt f d R fur alle Elemente des raumlichen Winkels, so erhalt man den Gesamtlichtstrom @ der Lichtquelle durch Addition aller einzelnen Lichtstrome. Es ist demnach @ = I dR. Dividiert man diesen Ausdruck durch 4 x,so erhalt man die mittlere raumliche oder mittlere spharische Lichtstkke der Lichtquelle. Man berechnet auch den Lichtstrom nur fur die obere oder untere Halfte des vollen raumlichen Winkels und findet dann nach Division durch 2 7[: die mittlere obere oder untere hemispharische Lichtstarke. Die Kurve in der Abb. 7.19 heiBt auch Lichtstiirke-fndikutrix. Fur einen Lambertstrahler ist sie ein Kreis, der die leuchtende Flache tangiert. Entsprechend kann auch eine LeuchtdichfeZndikutrix angegeben werden, die beim Lambertstrahler einen Halbkreis darstellt, dessen Durchmesser in der leuchtenden Flache liegt. Die Berechnung des Lichtstroms ist rnit Hilfe des Ruusseuu-Diagrammsmoglich. Das Raumwinkelelement betragt in sphiirischen Polarkoordinaten dQ = R, sin el de, dq, der Lichtstrom also 2r
@=
5
R, f,sinE, dEl d q . 0
Da wir IEals unabhangig von cp angenommen haben, fuhrt die Integration uber d q auf den Wert 2 x. Damit ergibt sich
696
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
+
0" 15" 0"
Lichtstarke in cd
30" 45" 1.5"
~
Abb. 7.19 a) Lichtstiirkeverteilung einer Gluhlampe. b) Rousseau-Diagramm
Abb. 7.20 Integraler Lichtstrom
-
Lichtstarke in cc ~
7.3 Strahlungsphysik und Lichttechnik
697
7t
@ = 2 IC Q,,JfE sin&,d q .
(7.19)
n Um das Lichtstarke-Diagramm wird ein Hilfskreis rnit dern Radius r gezogen. Man ubertragt die Lichtstarke in Richtung des Winkels E, vom DurchstoBpunkt des Radius mit dem Hilfskreis aus horizontal in das Rousseau-Diagramm (Abb. 7.2 1). Das Flachenelement in diesem Diagramm, das symrnetrisch zu f, liegt, habe die Breite db,aus Abb, 7.21 ist abzulesen, daB sin = db / ( r . dEl) und damit db = r . sin El ist. Der Flacheninhalt des Elementes betragt dA, = I, db = IEr . sin d q , der gesamte Flacheninhalt irn Rousseau-Diagramm n
r A, = - J f E s i n q d e , ,
2
[AR] = cm ,
m O
also (m ist ein MaBstabsfaktor fur f, rnit der Einheit cd . cm-I). Der Vergleich rnit G1. (7.19) zeigt, daB @=
27cQ,,m A,, r
[Q]=cd.sr=Im
(7.20)
ist. Im Beispiel der Abb. 7.21 erhalten wir @ = 360 Im.
Abb. 7.21 a) Lichtstarke-Indikatrix, b) Berechnung des Lichtstroms mit dem Rousseau-Diagramm fur eine Gliihlampe rnit der Lichtstiirke-Indikatrix nach a)
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
698
Die Flache 1aBt sich durch numerische Integration berechnen, z. B. mit der Rechteckregel oder der Trapezregel. Dazu ist es gunstig, die Hohen db im Rousseau-Diagramm gleich zu wahlen und fur die dazu festgelegten Richtungen die Lichtstarke abzumessen. Mit Hilfe des Rousseau-Diagramms sind fur eine Reihe von vollig diffus strahlenden Lichtquellen (Lambert-Strahlern) mit praktischer Bedeutung die Zusammenhange zwischen Lichtstrom und Lichtstarke analytisch zu berechnen. In der Abb. 7.22 ist fur die Scheibe, die Kugelflache, die Halbkugelflache und die Zylindedlache die Lichtstarke-Indikatrix dargestellt. Daraus leiten sich folgende Gleichungen ab: Scheibe
I, =
Halbkugelflache
I , = I,,
Kugelflache
I, = I,
Zylinderflache
I , = I , sin E , ,
I,COS&,,
Q,
=XI,,
0 = 4 TC I , , 1 + COSE, , Q=2XIo, 2 Q, =
n2 I ,
(7.2 1 a, b) (7.22a, b)
(7.23a, b) (7.24a, b)
Viele Lichtquellen lassen sich naherungsweise durch die angegebenen Grundformen darstellen. Bei bekanntem Lichtstrom kann aus den Gleichungen (3.43) und (3.44) die Beleuchtungsstarke berechnet werden.
Abb. 7.22 Lichtstiirke-Indikatrix fur einige Lambert-Strahler, a) Scheibe, b) Kugelflkhe, c) Halbkugelflache, d) Zylinderflache
7.3 StrahlunesDhvsik und Lichttechnik
699
'"
'
'/I
Abb. 7.23 Zur Ableitung der Beleuchtungsstiirkeauf einer Flache, die durch eine linienformige Lichtquelle beleuchtet wird
Eine Leuchtstofflampe in groaerer Entfernung von der beleuchteten Flache wird als zylinderformiger Lambert-Strahler mit der Lichtstirke je Lange IL= @ / (n2L) betrachtet. Ein Langenelement der Lichtquelle erzeugt im Punkt P die Lichtstiirke (Abb. 7.23)
dI = I L s i n & , . d L =I,sin(90"-a)dL=ZLcosa.dL. Fur die Beleuchtungsstiirke gilt nach GI. (3.50)
dl
dE = ? c o s ~ ~ r
I,
-7dL.cos&, . c o s a . -
An Hand von Abb. 7.23 ist abzulesen, daR
a r=, cosa
COSE2 =
h r
-=-
h.cosa r a , dL=da = a cos 01 cos2 a
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
700
ist. Damit erhalten wir
(7.25) bzw.
I
E = !d![
2 (I2
Fur L = 0,s ni.
CI
a , + a2 + ___
2
2
= 0.5 m. h = 0,3 m,
= 3400 Im ergibt sich tan
(7.26)
a , = tan a?= L/(2a)= 0.5,
a , = CI? = 0,4636 und E = 714 Ix. Die Berechnung der mittleren Lichtstirke auf dem angegebenen Weg ist zeitraubend. Der gesamte Lichtstrom kann aber auch gemessen werden. Das ist durch die Anwendung des Kugelfotometers von ULBRICHT moglich. Dieses besteht aus einer grol3en Hohlkugel von 1 his 5 m Durchmesser, die innen matt und reinweil3 angestrichen ist. Bringt man in eine solche Kugel die zu messende Lichtquelle, so wird das nach allen Seiten ausgestrahlte Licht vielfach zerstreut reflektiert. und jedes Flachenelement der inneren Kugelflache wird gleich stark beleuchtet. Man braucht dann nur die Leuchtdichte eines kleinen Beobachtungsfensters, das gegen die direkte Beleuchtung durch den Schirm geschutzt ist, zu messen und kann hieraus einen Schlul3 auf den gesamten Lichtstrom ziehen. Das Kugelfotometer integriert gewissermaBen alle einzelnen Lichtstriime selbstandig, daher ist es ein Integralfotorneter. Von grol3er praktischer Bedeutung ist die Messung der von einer Lichtquelle erzeugten Beleuchtung einer gegebenen Flache. Man kann die Beleuchtungsstarke entweder unmittelbar rnit einem Fliichenfotometer messen oder aus der Lichtverteilung nach dem Lambertschen Gesetz berechnen, wenn man Hiihe und Entfernung der Lichtquelle sowie den Winkel kennt, unter dem die Lichtstrahlen die Flache treffen. Beleuchtungsmesser, die den auf eine bestimmte Flache auffallenden Lichtatrom durch die von ihm erzeugte elektrische Stromstarke messen, sind heute allgeniein ublich.
7.4
Abbildende Funktionselemente
7.4.1
Inhomogene Funktionselemente
Punkteikonal. Die Gleichung einer Wellenflache laute in kartesischen Koordinaten H(x,p,-j = const. Der Lichtweg zwischen zwei Punkten P,(x,,y, ,:) und P,(xz,y2,z2)auf verschiedenen Wellenflachen kann als Differenz der Lichtwege vom Ursprung bis zu diesen Punkten dargestellt werden (Abb. 7.24). Nach dem Fermatwhen Prinzip gilt
(7.27)
7.4 Abbildende Funktionselemente
/
701
f
z
Abb. 7.24 Lichtweg als Funktion der Koordinaten x(l), y ( l ) , z(l) oder der Koordinaten x(:),y(:)
Da der Gradient von H einen Vektor darstellt, der senkrecht auf der Wellenflache steht, gilt auch y n d l = ylgrad Hldl 9 PI
.
Daraus folgt (grad H)* = n2.
(7.28)
Das ist die Gleichung des Punkteikonals H , aus der die Gesetze der geometrischen Optik ebenfalls abgeleitet werden konnen. H wird auch Humiltonsche charukteristische Funktion genannt.
Inhomogene Stoffe. Im Abschn. 4.1.11 wurde die Gleichung fur den Verlauf von Lichtstrahlen in inhomogenen Stoffen aus dem Brechungsgesetz an dunnen Schichten abgeleitet. Konsequenter ist die Ableitung aus dem Fermatschen Prinzip GI. (2.25). Wir fuhren einen Ortsvektor r(s) ein, dessen Komponenten die kartesischen Koordinaten des Strahls x ( s ) ,y ( s ) , ~ ( s )darstellen. Nach der Variationsrechnung ergibt sich aus dem Fermatschen Prinzip, daS (n:)
(7.29)
= grad n
gelten mu& Diese Gleichung wird als Strahlengleichung bezeichnet. Mit Hilfe von
laRt sich die auf dem Strahl gemessene Koordinate (Bogenlange) aus der Strahlengleichung so eliminieren, daS nur noch die Querkoordinaten x(z), y(z) vorkommen. Die allgerneine Losung brauchen wir fur die zu behandelnden Beispiele nicht anzugeben. Wir konnen uns auf den Fall beschranken, daR die Strahlen fast parallel zur z-Richtung verlaufen, d. h. irn sogen. paraxialen Gebiet. Es ist dann
($7 (2) 2
<< 1,
<< 1, und ds = dz.
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
702
Die paraxiale Struhlengleichung lautet in Komponenten (7.30a, b)
Inhomogene Platte. Fur eine Platte, bei der die Brechzahl nur von y abhangt, fur die also n = n(y) gilt, reduziert sich die paraxiale Strahlengleichung wegen dnldz = 0 auf (7.31) Diese Gleichung ist fury = r identisch rnit der G1. (4.208). Aus G1. (7.3 1) folgt die Bahngleichung z = 0 gegeben sind. Praktisch realisiert sind Platten mit [entsprechend GI. (4.21 1) mit nA = no und a = a]
y(z), wenn n(y) und dyldz bei
Im allgemeinen ist a2y’ << 1, so daR (7.33) gesetzt werden kann (parabolische Abhangigkeit der Brechzahl mit no bei y = 0). Aus GI. (7.31) folgt
L
also wegen a’ y2 << 1
(7.34) Mit den Randbedingungen y ( 0 ) = yo, (c-:/dz),,o = (so lautet die Losung von GI. (7.34) y ( z ) = y,, cosrx z
0 + -0 m a ’
a
z
.
(7.35)
Daraus ergibt sich fur den Schnittwinkel (s dy = o ( z ) = - y o a s i n a z + O , c o s a z .
dz AUS~ ( z=)0 folgt
(7.36)
7.4 Abbildende Funktionselemente
703
Abb. 7.25 Verlauf von Meridionalstrahlen im inhomogenen Stoff
Einsetzen in G1. (7.35) ergibt nach Umformung
(7.37) do/& = 0 fiihrt auf t a n a t = --Yo
a.
GO
Einsetzen in G1. (7.35) und Umformen ergibt OMax
= a YMurax.
(7.38)
Gilt fur die Dicke d der Platte d > 2 yMax,dann bleibt das Licht innerhalb der Platte. Es beschreibt Bahnen, bei denen sich die Strahlen in Abstanden d a in einem Punkt schneiden (Abb. 7.25, analog zu Abb. 4.83).
7.4.2
Hologramm-"pen
Die HoZografie stellt nach Abschn. 4.4.8 ein wellenoptisches Abbildungsverfahren dar. Fotografische Schichten, das Auge und andere Empfanger registrieren von optischen Wellenfeldern nur die Intensitiit, Weil diese vom Absolutquadrat der komplexen Amplitude abhangt, sind es sog. ,,quadratische" Empfanger. Die Information uber die Phasenbeziehungen der Wellen geht dabei verloren. Der vollstiindige RuckschluB aus einem Bild auf das Objekt, die ,,Rekonsrruktion"des Objektes, erfordert jedoch die Kenntnis der Amplituden- und Phasenverteilung. Die Losung des Problems ist mit der HolograJie moglich.
I
Die Hologra$e ist ein Verfahren, mit dem Informationen, die ein Wellenfeld tragt, interferenzoptisch in einer Beugungsstruktur, dem Hologramm, gespeichert und durch Beugung am Hologramm rekonstruiert werden kann.
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
704
Das Hologramm kann auch berechnet und synthetisch hergestellt werden. Die Grundaufgabe der Holografie IaRt sich ubersichtlich am Beispiel des holografischen Gitters erlautern, worauf wir bereits im Abschn. 4.4.8 ausfuhrlich eingegegangen sind.
Tragerfrequenz-Holografie. Das holografische Sinusgitter entstand durch das Einstrahlen einer ebenen Welle konstanter Amplitude (leeres Objekt). Enthiilt die Signalwelle zusatzliche Amplituden- und Phaseninforniationen, dann ist das Sinusgitter entsprechend moduliert. Deshalb wird von T r i i g e r f r e q u e r z ~ - H ~ l ~gesprochen. ~ ~ r ( i ~ e Die Signalwelle wird in diesem Fall auch 0bjektu.rlle genannt. Durch die Interferenz einer Referenzwelle mit der an einem beliebigen Objekt reflektierten und gestreuten Signalwelle und der Aufzeichnung des Interferenzbildes llSt sich das Hologramm des Objektes erzeugen (Abb. 7.26). Nehmen wir eine sehr grol3e Koharenzliinge und stationare Bedingungen an. dann konnen wir die Wellen mittels der komplexen Amplituden beschreiben. Es gilt fur die Signalwelle, bzw. die Referenzwelle as = A,
6,.
(I,
(7.39a, b)
= A, ei 6~ ,
wobei A,. A,, 6, und 6, ortsabhangig sind. Die Wellen uberlagern sich in der Aufzeichnungsebene und ergeben die komplexe Amplitude u = a, +us. Ein quadratischer Empfanger registriert den zeitlichen Mittelwert der Energiestromdichte, der sich aus * * * N a* = (uR + L I ~ ()L r , + as ) + as a: + a R (is + CI,* (7.40) ergibt. Mit GI. (7.39) folgt daraus (i (I*
= A:
+ A: + 2 A,
A, cos (6,
-
6,).
(7.41)
Im linearen Bereich des Empfangers betragt die Amplituden-Transparenz 7 - u u*. Bei der Rekonstruktion kann die Referenzwelle eingestrahlt werden. Die komplexe Amplitude hinter dem Hologramrn betriigt dann tiK T
-
C I (~N R
+ C Iu ;,) + A;
0;
+ A:
as
Spiegel Licht
Abb. 7.26 Aufnahme eines Hologramins von einem beliebigen Objekt
(7.42)
7.4 Abbildende Funktionselemente
705
bzw.
(7.43) Der erste Summand enthalt keine Informationen uber das Objekt, er stellt einen Storterm dar. Der dritte Summand enthalt die komplexe Amplitude der Signalwelle, die also rekonstruiert wird. Der zweite Summand stellt die konjugiert Komplexe der Signalwelle dar, die also ebenfalls bei der Rekonstruktion mit der Referenzwelle auftritt. Analog entstehen bei der Einstrahlung der Signalwelle neben dem Storlicht die Referenzwelle und ihre konjugiert Komplexe. Die Bildspeicherung im Hologramrn wird als redundant bezeichnet. Die Information ist in der gesamten Hologrammflache verteilt, so da5 die Rekonstruktion auch mit Teilen des Hologramms moglich ist.
Hologrammtypen. Eine Einteilung der Beugungserscheinungen laBt sich rnit Hilfe der FresnefZahl F vornehmen. 1st p ein MaB fur die GroSe der Beugungsstruktur, 1 der Abstand der Lichtquelle und 1' der Abstand des Aufpunktes von der Beugungsstruktur, dann betragt die FresnelZahl (7.44) Fur F > 1 liegt Fresnelsche Beugung, bei F < 1 liegt Fraunhofersche Beugung vor. Bei 1 + m, 1' + 03 gilt F + 0, so daR Lichtquelle und Bild im Unendlichen liegen. Entsprechend unterscheidet man je nach Objektentfernung - Fresnel- bzw. Nahfeld- oder Bildfeld-Hologramme bei F - Fraunhofer- bzw. Fernfeld-Hologramme bei F < 1, - Fourier-Hologramme bei F = 0.
> 1,
Die Flachenhologramme sind oftrnals Transmissions-Hofogramme,die also bei der Rekonstruktion durchstrahlt werden. Sie stellen im allgem. Amplituden-Hologramme dar, die einen ortsabhangigen Transmissionsgrad zeigen. Durch Ausbleichen entstehen Strukturen, die durch Dickenschwankungen und ortliche Brechzahlanderungen nur die Phase des Lichtes beejn flussen. Sie werden als Phasen-Hologramme bezeichnet. Es lassen sich aber auch Reflexions-Hologramme erzeugen, indem auf Metallflachen Fotoresist aufgetragen wird, der nach dem Entwickeln das Beugungsprofil enthalt.
Beugungseffektivitat (Beugungswirkungsgrad). Das Verhaltnis aus der Intensitat in einer Beugungsordnung und des einfallenden Lichtes wird als Beugungseffektivitat bezeichnet. Beim Amplituden-Hologramm betragt die maxirnale Beugungseffektivitat 6,25 %. Mit Phasen-Hologrammen sind maximal 33,9 % erreichbar. Werte von 100 % sind mit den noch zu behandelnden Volurnen-Hologrammen moglich.
Fouriertransformations-Holografie.Befindet sich eine beugende Struktur in der objektseitigen Brennebene einer Sammellinse (bzw. eines sammelnden Linsensystems), dann wird sie ins Unendliche abgebildet, w a r e n d in der bildseitigen Brennebene das Beugungsbild entsteht. Bei Beleuchtung der beugenden Struktur mit einer ebenen Welle handelt es sich um Fraunhofersche
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
706
Hologramm
Objektiv a)
\ B‘
Objektiv Hologramm S,, ./
Abb. 7.27 Fouriertransformations-Hologramm, a) Aufnahme, b) Rekonstruktion (Einheitsvektoren: so ungebeugtes Licht, s,? reelle, ss3virtuelle Signalwelle)
Beugung. Die komplexen Amplituden u p ( $ , y b ) im Beugungsbild ( x i , $ Koordinaten in der bildseitigen Brennebene der Linse) sind der Fourier-Transformierten der Objektfunktion Ax,y) proportional: (7.45) m -m
Die Beugungsfunktion op(.xi, $,) ist als komplexe Funktion nqht direkt aufzuzeichnen, weil die lichtempfindlichen Schichten das Absolutquadrat ( a p ( x i , y i ) ( registrieren. Es kann aber mit einer koharenten Referenzwelle zur Interferenz gebracht werden. Die komplexe Amplitude betragt in der Brennebene up(x,!,,yi) + a,(.x;,yL) (Abb. 7.27~1). Bei der Rekonstruktion mit der Referenzwelle muR eine identische Sammellinse nachgeschaltet werden, in deren Brennebene die Objektfunktion entsteht. Zusatzlich ergibt sich noch die konjugierte Welle, die aber eine andere Richtung hat (Abb. 7.27b). Synthetische Hologramme. Die experimentelle Aufnahme des Hologramms hat den Nachteil, dal3 Referenz- und Signalwelle koharent zueinander sein mussen. Deshalb konnte sie erst nach der Entwicklung der Laser effektiv durchgefuhrt werden. Hologramme von relativ einfachen Strukturen lassen sich aber mit Rechenanlagen modellieren. Dazu werden die Amplituden- und Phasenverteilung in der Hologrammebene berechnet. Die Aufzeichnung erfolgt meistens in Form
7.4 Abbildende Funktionselemente
707
Abb. 7.28 a) binares synthetisches Hologramm, b) Rekonstruktion mit dem Hologramm nach a)
der binaren Hologrumme, bei denen z. B. durch Plotter Schwarz-WeiB-Verteilungenin die fotoempfindliche Schicht eingeschrieben werden. Das Hologramm besteht aus einer Matrix aus Elementarzellen (Abb. 7.28a). Jede Zelle enthalt eine Offnung, deren GroBe ein MaB fur den Amplitudenbetrag und deren Lage ein MaB fur die Phase ist. Bei der Rekonstruktion entstehen die nullte Ordnung und mehrere Beugungsordnungen (Abb. 7.28b). Auch synthetische Phasenhologramme sind moglich, womit z. B. die Intensitat in den Ordnungen beeinfluBbar ist, bzw. die Beugungseffektivitat erhoht wird. Volurnen-Holografie. Bisher sind wir davon ausgegangen, daB das holografische Beugungsmuster in einer dunnen Schicht aufgezeichnet ist. Das Interferenzfeld von zwei Wellen hat jedoch eine raumliche Ausdehnung, so daB es auch in einer dicken lichtempfindlichen Schicht gespeichert werden kann. Die so entstehende raumliche Beugungsstruktur stellt ein VolumenHologramm dar. Die Grundlagen der Volumen-Holografie lassen sich mit der Interferenz zweier ebener Wellen verstehen. Nach G1. (2.6) gilt fur die elektrischen Feldswken zweier ebener Wellen mit den Normalen-Einheitsvektoren ss (Signalwelle, bzw. Objektwelle) bzw. sR(Referenzwelle)
Es = as e
3( r s s ) - j o t
2aj ~
, ER=aReA
( r s~ )- j w f
(7.46a, b)
Die Addition ergibt fur kohiirente Wellen gleicher Schwingungsrichtung (7.47) Die Intensitat ist dem Zeitmittelwert (EE*) = ([El’ )proportional, wobei die Zeitabhangigkeit herausfallt. Es bleibt
(7.48)
708
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
Die Anfangsphasen der beiden Wellen konnen vernachlassigt werden, indem 6, = 6 , = 0 gesetzt wird. Ausrechnen des Absolutquadrates ergibt, da der Proportionalitatsfaktor bei den Amplituden gleich ist und die Intensitaten den Amplitudenquadraten proportional sind,
I = I , +I, + 2 m c o s ( y r n )
(7.49)
mit dern Gittervektor n = ss - sK+ Es entsteht ein riiumliches sinusformiges Interferenzmuster, bei dem die Maxima senkrecht zu dem Gittervektor n angeordnet sind. Fur die Maxima gilt 211.
-rn=2kx, 1,
k = 1 , 2 , 3 ,...,
bzw. Irllnlcos(r,n) = k h
(7.50)
Nach Abb. 7.29 ist cos (r,n) = h/r. also h = k U l n . Der Abstand zweier aufeinander folgender Maxima betragt g = h,,, - h, = Wlnl. g ist die Gitterkonstante des Sinusgitters. Mit dem Winkel 2 a zwischen ss und S, ergibt sich (nl = 2 sin a, bzw.
h
(7.51)
Bei der Rekonstruktion rnit einer ebenen Welle, die die Richtung der Referenzwelle hat, wird die Signalwelle (Objektwelle) erzeupt, wenn die Braggsche Reflexionsbedingung (7.14) erfullt ist. Der dort eingefiihrte Netzebenen-Abstand d ist hier mit der Gitterkonstanten g identisch, und es gilt a = aB,so daB GI. (7.5 I ) mit der Braggschen Retlexionsbedingung (7.14) ubereinstirnmt. Voraussetzung fur die Rekonstruktion ist aul3erdem die Einstrahlung der korrekten Wellenlange h. Stellt die eingestrahlte Welle polychromatisches (weil3es) Licht dar, dann wird nur die
7.4 Abbildende Funktionselemente
Abb. 7.30 a) Beispiel fur die Erzeugung eines Volumenhologramms,b) Rekonstruktion des Hologramms nach a) mit der inversen Referenzwelle, wobei die konjugierte Welle entsteht, c) Beispiel fur die Erzeugung des Volumenhologramms,d) Rekonstruktion des Hologramms nach c) mit der Referenzwelle, wobei die Signalwelle reflektiert wird
709
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganxungen
710
Welle mit der Wellenlange rekonstruiert, die die Bragg-Bedingung erfullt. Die Rekonstruktionswelle ist also einfarbig. Abb. 7.30 demonstriert fur zwei Beispiele die Aufnahme und die Rekonstruktion von Volumenhologrammen. Holografie ist auch mit nichtoptisthen Wellen moglich. Sie stellt sogar den Ausgangspunkt der Entwicklung der Holografie dar. Um 1948 herum hatte sich GABOR die Aufgabe gestellt, die Auflosung elektronenmikroskopischer Aufnahmen zu erhohen. Er wollte ein Beugungsbild der Elektronenbundel, in dern die Amplituden und Phasen der Materiewellen gespeichert waren, als beugende Struktur fur Lichtwellen verwenden und so das Objektwellenfeld mit einem veranderten Maljstab rekonstruieren. GABOR erhielt 197 I fur seine Arbeiten zur Holografie den Nobelpreis. Erst nach der Erfindung der Laser konnten 1962 LEITH und UPATNIEKS an der Universitat Michigan die Ideen GABORS zu praktisch brauchbaren Ergebnissen fuhren. Die Entwicklung der synthetischen Holografie setzt die Entwicklung leistungsfahiger Rechenanlagen und des Algorithmus zur schnellen Fouriertransformation voraus. AuBerdem erfordert sie Plotter mit entsprechender Auflosung.
7.4.3
Anwendungen der Holografie
Holgrrifisc~h-r)i~tisc.hr Btrirrlrrriente (HOE) stellen Hologramme dar, deren Rekonstruktion die
Funktion von optischen Bauelementen nachbildet. Abbildende Hologramme sind wellenoptisch abbildende Bauelemente auf der Basis der Beugung des Lichtes an Interferenzstrukturen. Entscheidend ist die Rekonstruktion durch Beugung. Die Interferenzstrukturen konnen analog mittels der lnterferenz koharenter Wellen erzeugt oder digital berechnet und aufgezeichnet werden (Computer-Hologramm. synthetisches Hologramm).
Beugungsgitter. Die Erzeugung holografischer Beugungsgitter durch die Interferenz von zwei ebenen Wellen haben wir im Abschn. 4.4.8 behandelt. Holografische Amplituden- und Phasengitter sind billiger als die geritzten Gitter. Bei einer ausreichend ebenen Gitterflache (Abweichungen von der Ebene kleiner als U20)treten im Spektrometer keine falschen Linien (,,Gittergeister") auf. Gitterkonstanten his zu 200 nm herab lassen sich bei groller Beugungseffektivitat (2 90 5%) und geringem Streulichtanteil (lo3 der Signalintensitat) realisieren. Auch Konkavgitter sind auf holografischem Wege herstellbar. Hologrc!fi.sckrZorren~~lrrttrn entstehen bei der Uberlagerung zweier koharenter Wellen innerhalb der Speicherschicht. 1st eine der beiden Wellen eben, dann erhalten wir eine Fre.snrl.sche Z~nrnplnttr.Dazu mu8 aber auljerdem die ebene Welle senkrecht auf die Speicherflache treffen und der Ausgangspunkt C,, der Kugelwelle auf der Mittelsenkrechten liegen (in-line Hologmmm, Grrrirlrcrus-Holo,yrmiin j. Nach Abb. 7.31a betrigt der Lichtweg vom Punkt C,, bis zur Hologrammebene in der Entfernung p vom Mittelpunkt I
7.4 Abbildende Funktionselemente
71 1
Hologramm
Abb. 7.31 a) Zur Aufnahrne einer holografischen Zonenplatte, b) Rekonstruktion bei der Zonenplatte, c) Profil der nach a) aufgenommenen Zonenplatte, d) Rekonstruktion bei der off-axis Zonenplatte
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erginzungen
712
Reihenentwicklung und Abbrechen mit dem quadratischen Glied (p’ << qf ) ergibt fur die Phasendifferenz zwischen der Kugelwelle und der ebenen Welle mit dem Lichtweg ro
(7.52) Die Intensitat betragt nach GI. (2.1 1 b) bei I , = I?
(7.53) Die Intensitatsverteilung ist kosinusfiirmig von p3abhangig. Es gilt (Abb. 7.3 Ic):
(7S4a-d)
Die Rekonstruktion mit einer ebenen Welle liefert ein reelles und ein virtuelles Bild des Punktes (Abb. 7.3 1 b). Es lassen sich so auch Hologramme von raumlichen Strukturen mit mehreren Signalwellen erzeugen, deren Rekonstruktion ein echt raumliches Bild der Struktur ergibt. Das reelle und das virtuelle Bild, die beim Geradeaus-Hologramm in gleicher Richtung liegen, lassen sich trennen. wenn die Referenzwelle schrag auf die Hologrammebene trifft (off-axis Hologramm, Abb. 7.3 Id). Ein Phnsenholo~rcimmmit maximal 33,9 % Beugungseffektivitat laBt sich durch Bleichverfahren herstellen. Bei der Rekonstruktion treten auch hohere Beugungsordnungen auf, die aber im allgem. lichtschwach sind. Die Kinuformlinsr ist ein synthetisches Phasenhologramm mit theoretisch 100 5% Beugungseffektivitat. Sie stellt eine rotationssymmetrische Fresnelsche Zonenplatte dar, bei der die Phasenanderung innerhalb von zwei Fresnelschen Zonen so berechnet ist, dalj das gesamte gebeugte Licht im Bildpunkt zur maximalen Intensitat interferiert. In einem Ring aus zwei Fresnelschen Zonen innerhalb des Radienbereichs
d(
2 k -
i)
h ,f ’ Ip I -/,
,
k = I , 2 , 3 , .. .
mu8 die Phasenanderung nach der Funktion
6, = 2 n k - -
Tc p2
.f’
verlaufen (Abb. 7.32).Dadurch andert sich die Phase in jedem Ring von 2 7c bis 0. Das berechnete Prolil ist experimentell schwer zu realisieren. Es wird deshalb als eine Struktur von Graustufen konstanter Breite angenahert, aus denen sich durch Ausbleichen die Phasenstruktur in Form eines Hiihenprofils ergibt. Das Profil kann aber auch in Fotolack erzeugt und als Reflexionshologramm gestaltet werden.
7.4 Abbildende Funktionselemente
6, 10 n 871
671
t
713
I
-------------- - _ _
- - - - - - - - - - - -- - _ _
4n 2n
-P
$57
Abb. 7.32 Profil der Kinofomlinse
Unter Wezplicht-Holugrclfieversteht man die Rekonstruktion eines Volumenhologramms rnit polychromatischem Licht (,,weilJem" Licht) ausreichender raumlicher Koharenz. Als Lichtquelle konnen die Sonne, aber auch eine Gluhlampe mit kleiner Wendel (z. B. Niedervoltlampe) dienen. Die vorgesehene Lage der Lichtquelle ist bereits bei der Hologrammaufnahme zu beriicksichtigen. Ein Volumenhologramm reflektiert nach GI. (7.51) in die durch die Bragg-Bedingung festgelegte Richtung nur ein schmales Wellenlangenband rnit der Aufnahmewellenlange als Schwerpunkt. Es entsteht der Eindruck, als w5ire das Hologramm rnit einfarbigem Licht rekonstruiert worden. Die unterschiedlichen Farben liegen in verschiedenen Richtungen. Die Selektion eines schmalen Wellenlangenbandes bedingt trotz der Reflexion an dem riickseitig geschwarzten Hologramm eine schlechte Lichtausbeute. Deshalb hat die WeiBlicht-Holografie vorwiegend methodisches Interesse.
Farbholografie. Zur Aufnahme von farbigen Volumenhologrammen wird das Aufzeichnungsmaterial mit den drei Grundfarben Rot, Griin und Blau unter dem gleichen Winkel belichtet. Bei der Rekonstruktion sind ebenfalls die drei Grundfarben zu verwenden. Es kann aber auch mit weil3em Licht rekonstruiert werden, wobei allerdings eine Farbverfalschung durch gegenuber der Aufnahme veranderte Intensitatsverhaltnisse der Grundfarben eintritt. Zur einwandfreien Realisierung der Farbholografie sind fur die Aufnahme wie auch fur die Rekonstruktion geeignete Laser erforderlich, wodurch das Verfahren aufwendig ist. Regenbogen-Hologramme oder Benton-Hologramme (engl. Rainbow holograms) stellen Hologramme von farbigen Objekten dar, die mit weiDem Licht rekonstruiert werden konnen. Bei ihnen wird die perspektivische Darstellung fur eine Richtung zugunsten der Speicherung der Farbinformation geopfert. Regenbogen-Hologramme in Reflexion sind verbreitet in kommerziellen Anwendungen zu finden, weil sie lichtstark und farbenprachtig sind (Postkarten, Etiketts auf CD, Aufklebemarken). Die Aufnahrne der Hologramme ist ein Zweischrittverfahren: - Drei normale Flachenhologramme werden in den drei Grundfarben Rot, Griin und Blau auf je
einen schmalen Streifen des lichtempfindlichen Materials aufgenommen. Diese Hologramme stellen sogen. Masterhologramme dar.
7 I4
- Die Master belichtet man
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
mit den ihnen zugeordneten Farben. Die reellen Bilder der Master
sind im Regenbogen-Hologramm aufgezeichnet. Zusatzlich zur Masterstrahlung mu8 eine Referenzwelle aufbelichtet werden, durch die im Hologramm ein Beugungsgitter entsteht. Dessen Linien liegen parallel zu den Masterstreifen. Die Gitterkonstante enthalt die Farbinformation. Die Rekonstruktion wurde am besten gelingen, wenn rnit den drei Aufnahmefxben abgebildet wurde, wobei die drei Hologrammkopien ubereinander liegen. Es kann aber auch rnit weil3em Licht rekonstruiert werden, was lediglich einen Licht- und Farbkontrastverlust rnit sich bringt. In einfachen Fallen ist sowohl die Aufnahme der Master wie auch ihre Kopie rnit einer Wellenlange miiglich, wenn die Richtungsabhlngigkeit der Farbinformation genutzt wird. Eine Anwendung der Holografie in der MeBtechnik ist die Hologramm-Inte$erometrie.Beispiele sind: -
Vom Objekt wird ein Hologramm aufgenommen, aber zunachst nicht entwickelt. Nach einer kleinen Deformation oder Verlagerung des Objektes wird nochmals das Hologramm belichtet. Bei der Rekonstruktion erscheint das Objekt mit Interferenzstreifen bedeckt, aus denen auf die Veranderung des Objektes zwischen den beiden Aufnahmen geschlossen werden kann.
-
Das Hologramm kann auch nach der ersten Belichtung entwickelt und wieder an die gleiche Stelle gebracht werden. Die Veranderungen des Objektes sind dann standig durch die variable Verlagerung der lnterferenzstreifen zu beobachten.
-
Das Hologramm ist geeignet, als Vergleichsflache fur interferometrische Prufverfahren eingesetzt zu werden. So ist es z. B. moglich, rnit einer Abwandlung des Michelson-Interferometers eine asphlrische Linsenflache. die als ein Interferometerspiegel dient, mit einem anstelle des zweiten Spiegels wirkenden synthetischen Hologramm zu vergleichen, das also das berechnete Normal bildet.
Zwei- WellenliinRen-H~lo~rqfie ist ein Verfahren, rnit dem das Tiefenprofil von Hologrammen
ausgemessen werden kann. Mittels zweier dicht beieinander liegender Wellenlangen werden in einer Schicht zwei Hologramme aufgenommen. Das rekonstruierte Bild 1st von lnterferenzstreifen durchzogen, deren Abstand ein MaB fur die Tiefenstrukturierung des Objektes ist.
Nichtlineare Phasenkonjugation.Eine spezielle Anwendung der ,,real-time" Volumenholografie ergibt sich aus der Analogie zur enturreten "erwellenmischung. Diese stellt einen Effekt der nichtlinearen Optik dar, bei dem in einem nichtlinearen Stoff vier Lichtwellen gleicher Frequenz miteinander gemischt werden. Ein nichtlinearer Kristall wird gleichzeitig senkrecht rnit den Referenzwellen 3 und 4 sowie der Signalwelle 1 unter dem Bragg-Winkel belichtet (Abb. 7.33a). Dadurch wird die Phasenanpassung erreicht. An dem durch die Interferenz der Wellen entstehendem Volmenhologramm wird die Signalwelle in sich selbst unter Phasenumkehr reflektiert (konjugierte Welle 2). Das Volumenhologramm wirkt wie ein Spiegel, an dem das Reflexionsgesetz der geometrischen Optik nicht gilt, weil jedes Lichtbundel in die Ausgangsrichtung reflektiert wird. Wahrend bei der Reflexion an einem ,,linearen" Spiegel das Phasenprofil einer Wellenflache umgekehrt wird, bleibt sie bei der Refexion an einem ,,nichtlinearen" phasenkonjugierenden Spiegel erhalten (Abb. 7.33b). Die nichtlineare Phasenkonjugation wird z. B. in der nichtlinearen udcrptiven Oprik zur Korrektion deformierter Wellenflachen angewendet (Abschn. 5.8.2).
7.4 Abbildende Funktionselemente
715
a) Welle 1 (Signalwelle)
nichtlinearer Spiegel
\\\
-'..
Wellenflachen
Abb. 7.33 a) entartete Vierwellenmischung an einem nichtlinearen phasenkonjugierenden Volumenhologramm (phasenkonjugierender Spiegel), b) Reflexion einer Wellenflache am linearen und am nichtlinearen Spiegel
7.4.4
Koharente Bildverarbeitung
Das von einem optischen System entworfene Bild von natiirlichen Objekten enthalt eine groRe Vielfalt an Informationen. Ein Teil davon ist fur die Auswertung nicht erforderlich, sie ist redundant. Es ist dann manchmal wunschenswert, diesen Teil zu unterdriicken (leere Redundanz)oder zum Ausgleich von Bildstorungen zu nutzen (fiirderliche Redundanz). Ein Beispiel fur die forderliche Redundanz haben wir beim Hologramm kennengelernt, bei dem eine Storung der Struktur keinen EinfluR auf das rekonstruierte Bild hat. Ein Beispiel fur leere Redundanz ist der strukturierte Untergrund eines mikroskopischen Bildes, der die Erkennbarkeit der interessierenden Objekte verschlechtert. Da die optische Abbildung durch die Beugung und durch Reste an Abbil-
7 Wciterfiihrende und aktuelle Ergiinzungen
716
dungsfehlem nicht objekttreu sein kann, ist es gunstig, die wesentlichen Eigenschaften des Objektes hervorzuheben. Sind z. B. Kanten besonders wichtig. so ware eine Differentiation des Bildes geeignet. Ein analoges Beispiel ist die Abbildung von Phasenobjekten, die nur durch spezielle Eingriffe in den Strahlengang sichtbar werden. Das Auge ist fur Farbunterschiede vie1 empfindlicher als fur Helligkeitsunterschiede. Deshalb kann es zur Bildauswertung zweckmaljig sein. Grautone in Farbunterschiede zu verwandeln (Pseudokolorierung).In manchen Fallen storen Details mit hohen Ortsfrequenzen die Erkennbarkeit der wesentlichen Bildstruktur, so dal3 sie unterdruckt werden sollten (inkoharente O r t . ~ f r e y u e n ~ l t e r u nAbschn. g, 4.4.6, Abb. 4.207). Aufgaben der Zeichenerkennung (2.B. von bestimmten Zahlen im Text) erfordem einen Eingriff in den Abbildungsstrahlengang. Alle genannten Beispiele umfassen den Problemkreis der Bildvc~rrrrbeitun~. Wir unterscheiden: - Die optische Bildverarbeitung, bzw. Bildvor~~erurbeitung, die in Eingriffen in den Strahlen-
gang oder in das Ortsfrequenzspektrum besteht. Sie ist im allgem. analog, d. h. sie wirkt im gesamten Bildfeld. -
Die elektronische Bildverczrbeitung, bei der die Bildinformation nach einer optoelektronischen
Wandlung verandert wird. Sie ist im allgem. digital, d. h. die einzelnen Bildelemente (Pixel) werden getrennt bearbeitet, und danach werden die veranderten Bildeigenschaften entweder bildmaaig oder in Form von numerisehen Tabellen ausgegeben. Die digitale elektronische Bildverarbeitung ist im Grunde genommen kein optisches Verfahren, sondern ein rechentechnisches, das leistungsfahige Computer erfordert. Die Bildeingabe- und Bildausgabe-Gerate beruhen aber auf optischen Prinzipien. Im wesentlichen sind folgende MOglichkeiten gegeben: -
Bildkorrrktur: Es werden zufdlige und systematische Fehler der Abbildungskette beeinflufit. So kann das Bild entzerrt oder es kiinnen Rauscheinflusse unterdruckt werden (z. B. die Kornigkeit von Filmen).
-
Bildvrrstiirkung: Die wichtigen Bildeigenschaften werden hervorgehoben. Dam gehBren auch die Pseudokolorierung, die Kontrastverstkkung und die ErhBhung der Kantensteilheit.
-
Bi/drejerrn:: Verschiedene Bildelemente werden verglichen oder einander zugeordnet.
- Bildsegmentierung z4nd -trhsrruktion: Die Auswertung zielt auf das Erkennen bestimmter cha-
rakteristischer Details hin (z. B. charakteristische Merkmale einer Handschrift). Die optische Bildverarbeitung wird in kohurentr und inkohurente Verfahren eingeteilt. Kuhiirente VerfLlhren arbeiten mit koharentern Licht und beruhen auf einer optischen Ortsfrequenzfilterung. Es werden Fouriertransformationsobjektive eingesetzt, die sowohl das Objekt wie auch das an ihm gebeugte Licht rnit der notwendigen Cute abbilden. Beispiele zur inkoharenten Ortsfrequenzfilterung wurden bereits im Abschn. 4.4.6 behandelt. Eine Anordnung zur kohlrenten Ortsfrequenzfilterung zeigt die Abb. 6.146. Beleuchtet wird die Objektebene mit Hilfe eines Lasers, dessen Bundel aufgeweitet ist. Die Objektfunktion, die die Veranderung von Amplitude und Phase der Welle im Objekt als Funktion des Ortes beschreibt, sei f(.w,y). Am Objekt tritt Fraunhofersche Beugung auf. Das erste optische Teilsystem fokussiert das gebeugte Licht in seiner Brennebene. Die komplexe Amplitude, die den Betrag A und die Phase 6 der Welle mittels LI = A e' zusammenfaljt, sei in der Brennebene uP(v,p),wobei fur senkrecht auf das Objekt fallendes Licht
'
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
717
(7.55) ist (a, p Richtungskosinus des gebeugten Lichtes gegeniiber der Objektebene, xb, y i Koordinaten in der Brennebene, wobei kleine Beugungswinkel vorausgesetzt sind). Die GroSen v und p sind Ortsfrequenzen, weshalb die Brennebene auch als Frequenzebene bezeichnet wird. In der Frequenzebene wird ein Ortsfrequenzfilter angebracht, der ein synthetisches Hologramm sein kann. Er beeinfluBt Amplitude und Phase des gebeugten Lichtes nach der Filterfunktiun (Pupillenfunkrim) P(v,p),so daB die komplexe Amplitude a,(v,p) P(v,p)entsteht. Das zweite optische Teilsystem bildet davon die Fouriertransformierte. In seiner Brennebene betragt die komplexe Bildamplitude bis auf einen Proportionalitatsfaktor
(7.56) Die koharente Ortsfrequenzfilterung ermoglicht also Eingriffe in die Amplitude und die Phase des Lichtes. Nachteile sind besonders das kohsjente Rauschen (Interferenzen in Mikrobereichen) sowie die hohen Anforderungen an die optischen Systeme und die Positioniergenauigkeit der Filter. Sie lassen sich teilweise vermeiden, wenn inkohiirentes Licht verwendet wird, wobei die Intensitaten transformiert werden.
7.5
Nichtabbildende Funktionselemente
7.5.1
Integrierte Optik
Die integrierte Optik beruht auf der Kopplung von optischen und optoelektronischen Bauelementen in einem Chip mit dem Ziel der Miniaturisierung. Die Kopplung innerhalb des Chips und eventuell verschiedener Chips wird i. allgem. durch optische Wellenleiter gewahrleistet. Bei der integrierten Optik handelt es sich also urn eine der Mikroelektronik aquivalente Mikruuptik. Die auf dem Chip angeordneten Bauelemente dienen der Erzeugung von optischer Strahlung, der Fokussierung, Teilung, Kombination, Isolation, Polarisation, Kopplung, Schaltung, Modulation, der Ausfuhrung logischer Operationen und dem Empfang optischer Strahlung. Entsprechend liegen die Anwendungen der integrierten Optik bei der optischen Nachrichteniibertragung, bei der Datenverarbeitung, einschliel3lich der optischen Computer, in der komplexen Realisierung von MeB- und Steuerfunktionen sowie bei der Messung von Grenzflachen-Eigenschaften. Optische Wellenleiter.Allgemein besteht ein Wellenleiter aus einem Substrat, in das die wellenleitende Schicht eingebettet ist, und einem dariiber liegenden Superstrat. Substrat und Superstrat miissen eine kleinere Brechzahl haben als die wellenleitende Schicht. Je nach Geometrie und Art der Einbettung sind verschiedene Anordnungen moglich. Abb. 7.34 zeigt einige Beispiele.
718
7 Weitcrfuhrende und aktuelle Erganzungen
/"
--
Abb. 7.34 Grundstrukturen von Wellenleitern, a) Planar, b) aufgesetzter gerader Streifen, c ) eingebetteter gerader Streifen. d) Rippe, e) Faser
Ebener dielektrischer Wellenleiter (Abb. 7.35). Die grundlegenden Verhaltnisse wollen wir am symmetrischen ebenen dielektrischen Wellenleiter erlautern, bei dem Substrat und Superstrat gleiche Brechzahl haben. Wir gehen von der geometrisch-optischen Behandlung aus. Totalreflexion ist gewahrleistet, wenn E
E ~ = ;
2
arcsin'
n
n
gilt (E Einfallswinkel, E~ Grenzwinkel der Totalreflexion, n, Brechzahl des Substrates, n Brechzahl der wellenleitenden Schicht). Zwischen dem zweimal reflektierten Anteil und dem einfallenden Licht besteht analog zur Ableitung von G1. (2.21 7a) die Phasendifferenz aufgrund des optischen Wegunterschieds
6,
=
2.-
2nd h
.
COSE
(7.57)
Dazu kommt noch die Phasenanderung 2 6, bei zweimaliger Totalreflexion hinzu, so da13 die Phasendifferenz 4nd
6=-
h
COSE
-2
6,
(7.58)
betragt. Die Phasendifferenz 6, folgt aus der wellenoptischen Behandlung der Totalreflexion und lautet nach GI. (2.66a)
s,, - Jsin'
tan-
-
2
E-
sin 2 E~
(7.59)
COSE
Abb. 7.35 Ebener Wellenleiter ( F,.F:
Einfalls- b7w. Brechungswinkel am Eingang)
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
719
fur die TE-Mode (elektrische Feldstarke schwingt in x-Richtung), bzw. nach G1. (2.66b)
(7.60) fur die TM-Mode (magnetische Feldsttirke schwingt in x-Richtung). Eine stabile Wellenleitung ist nur moglich, wenn die Bedingung 4xd
= 2 m x , m = l , 2 , 3 ,...
- C O S E - ~ ~ ~
h
(7.61)
erfullt ist. G1. (7.61) laBt sich mit GI. (7.59) auch in die Form
ndcos&
mx
=J
(7.62)
cos &
bringen. Das ist die Konsistenz-Bedingung~rTE-Moden. G1. (7.62) ist als Bestimmungsgleichung fur den einer Mode zugeordneten Einfallswinkel E, anzusehen. Die Losung- kann grafisch gewonnen werden (Abb. 7.36). Wesentlich ist, daB wegen E 2 E~ der Maximalwert mmax = M aus MA 2dCOSE~
(7.63)
h
,
Im=* I m=3
h
~
2d
h
2 . -2d
h
3 . 2d ~
h
4 . - 2d
h
5 2d
Abb. 7.36 Grafische Losung der Konsistenzbedingung
m=4
1 1 m=5
h
6 . - 2d
m=6
-
cos &
720
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
folgt (~ bedeutet. dalj die nachstliegende ganze Zahl zu verwenden ist). Mittels h = d v kann anstelle der Wellenliinge die Frequenz der Lichtwelle eingefuhrt werden (c. = c&). Wir erhalten (7.64) Wegen COSEti
=
Jn' JG& =
-
n: - _A -
n
I2
hangt die Anzahl der Moden von der numerischen Apertur A des Wellenleiters ab. Sie betriigt unter Berucksichtigung der nullten Mode bei rn = 0 insgesamt m,,, + 1
Einmoden-Wellenleiter. Fur 2 n COSEG
h
< I
kann sich nur die nullte Mode ausbilden, es liegt ein Einmoden- Wellenleiter vor (Single-ModeWellenleiter). Dieser Fall tritt entweder bei sehr geringer Dicke des Wellenleiters oder bei grol3er Wellenllnge ein. Fur den Einfallswinkel muate E,,, = 90" gelten, das Strahlenbundel durfte sich nur langs der GrenztlSchen ausbreiten. Eine derartige Lichtausbreitung ist physikalisch nicht realistisch. Deshalb mussen Einmoden-Wellenleiter wellenoptisch behandelt werden, wobei eine elektromagnetische Welle anzusetzen ist. Das Ergebnis, das wir hier nicht ableiten konnen, fiihrt auf eine innerhalb des Wellenleiters verlaufende Welle mit von der Mitte aus abnehmender Amplitude und eine sogen. evaneszente Welle im Substrat, bzw. Superstrat mit abnehmender Amplitude, die sich llngs der Grenztlachen zwischen Wellenleiter und Substrat, bzw. Superstrat ausbreiten (Abb. 7.37).
m=l
m=2
I I t
m=6
. Ex
~
Abb. 7.37 Moden im Wellenleiter
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
72 1
Die wellenoptische Behandlung schlieSt selbstverstandlich auch die Mehrmoden- Wellenleiter ein. Das Ergebnis ist, daS vor allem die Feldverteilung im Inneren des Wellenleiters fur die einzelnen Moden verschieden ist, wobei die Welle mit wachsender Modenzahl starker im Wellenleiter konzentriert 1st (Abb. 7.37). Realisierung. Der ebene dielektrische Wellenleiter ist ein Spezialfall, der theoretisch einfach zu behandeln ist. Auch die Erweiterung der Theorie auf zweidimensionale Wellenleiter birgt keine groBeren Probleme in sich. Praktisch lassen sich vielfaltige Strukturen realisieren. Bevorzugt werden dabei Methoden der Mikrostrukturierung, die auch bei der Herstellung von mikroelektronischen Bauelementen eingesetzt sind (z. B. Fotolithografie). Als Werkstoffe konnen Glaser, Plaste und Halbleiter verwendet werden. Da bevorzugt im infraroten Spektralbereich gearbeitet wird ( h= 0,85 pm, h = 1,3 pm, h = 1,55 ym), sind Halbleiter geeignet. So kann z. B. das Substrat aus GaAs, der Wellenleiter aus GaAs oder GaAsP auf InP-Substrat bestehen. Streifen lassen sich im Substrat aus LiNbO, durch Diffusion von Ti herstellen (Wellenleiter aus Ti:LiNbO,).
Einkopplung der Strahlung. Die optische Strahlung mu13 entweder durch Integration von Strahlungsquellen (LED, Halbleiterlaser) in die Anordnung aus Wellenleitern oder durch Einkoppeln von auBen bereitgestellt werden. Letzteres ist z. B. durch Fokussierung auf die Eintrittsflache des Wellenleiters. durch das direkte Vorsetzen der Strahlungsquelle oder analog zur LummerGehrcke-Platte mit dem Prismen-Koppler (analog zu Abb. 5.32) moglich (Abb. 7.38).
LED
/
I
"s
Abb. 7.38 Einkopplung von optischer Strahlung in Wellenleiter, a) Fokussierung in einen Multimode-Wellenleiter, b) direkte Einkopplung der Strahlungsquelle, c) Prismenkoppler
I22
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erpanzungen
Abb. 7.39 Wellenleiterfornien. a ) S-Biegung. b) Y-Zweig, c) Mach-Zehnder-Anordnung, d ) Richtkoppler. ej Uberschneidung, f j Linsen
Grundformen von Wellenleitern. Mit der Ausgestaltung von Wellenleiter-Formen lassen sich verschiedene Grundeffekte erzielen. Die in der Abb. 7.39 gezeigten Konfigurationen ermoglichen folgende Funktionen: a) Versetzung der Ausbreitungsrichtung, b) Strahlungsteiler oder -vereiniger, c ) Mach-Zehnder-Interferometer, f) Abbildung oder Fokussierung. Im Fall f) sind besonders Gradientenlinsen (Abschn. 4. I . I 1 ), Gradienten-Zonenplatten oder beugende Gitter variabler Gitterkonstanten geeignet. Auch die Luneburg-Linse hat gunstige Eigenschaften. Dabei ist noch zu beachten. daB bei Wellenleitern die Lichtgeschwindigkeit mit abnehmender Schichtdicke anwachst. so daR die sogen. effektive Brechzahl neff = C"/(.Schicht abnimmt. Kopplung von Wellenleitern. Fur die Anwendung als optische Koppler und optische Schalter ist die Kopplung zwischen Wellenleitern erforderlich. Da gemll3 Abb. 7.37 das Feld der Welle uber den Wellenleiter hinausreicht, kann die Welle von einem Wellenleiter in einen benachbarten Wellenleiter ubergehen. Abb. 7.40a veranschaulicht diesen Vorgang fur zwei ebene dielektrische Wellenleiter. Bei grol3eren Strecken wechselt die Strahlungsleistung zwischen den Wellenleitern periodisch mit der Ubergangsstrecke L,,, die dem Kopplungs-Koeffizienten umgekehrt proportional ist. Auf dieser Basis arbeiten optische Koppler, die entweder einen Austausch oder eine Aufteilung der Strahlungsleistung ermoglichen (Abb. 7.40b). Innerhalb von Schichthystemen lassen sich Halbleiterlaser und -empfanger, Lichtrnodulatoren, Lichtkoppler, Schalter. nichtlineare Bauelemente u. a. integrieren. Damit sind eine Vielzahl von optoelektronischen und optischen Funktionen auf kleinstem Raum zu realisieren und z. B. auch logische Operationen moglich.
7.5.2
Modulatoren. Schalter. Speicher
Modulatoren. Schalter. Unter Modulation ist die zeitliche Beeinflussung von Intensitat, Phase, Polarisationsebene oder Frequenz sowie der raumlichen Ablenkung zu verstehen. Da ein Schalter dieselben Funktionen wie der Modulator haben kann, lediglich mit einer anderen zeitlichen Abhiingigkeit, sind grundsatzlich die gleichen aktiven Bauelemente fur beide geeignet. Auch die gerasterte Ablenkung und Abtastung ordnet sich in diesen Problemkreis ein. Sie wird niit Sc~irznrrnausgefuhrt. Das Licht kann -
mechanisch, z. B. durch Chopper, Drehspiegel und Schwingspiegel;
- magnetooptisch, z. B. durch Anwenden des Faraday-Effekts; -
akustooptisch, z. B. durch Beugung an einem durch Ultraschall erzeugten Raumgitter;
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
723
Abb. 7.40 a) Kopplung zwischen zwei parallelen Plan-Wellenleitern, b) optischer Koppler, in Klammem: GroRen bei Aufteilung der Strahlungsleistung
- elektrooptisch, z. B. durch Anwenden von Kerr- oder Pockels-Effekt; - durch nichtlineare Effekte, z. B. mit sattigbaren Absorbern; - durch selektiv fotoleitende Schichten, z. B. mit Wismut-Silcium-Oxid (Bil2SiO2,,, abgek.BS0
= bismuth silicon oxide), moduliert und geschaltet werden.
Zu sattigbaren Absorbern folgen Ausfuhrungen im Abschn. 7.5.3 im Zusammenhang mit den giitegesteuerten Lasern. Magnetooptische Modulatoren behandeln wir nicht. Zunachst wenden wir uns dem Kerr- und dem Pockels-Effekt zu, die sich auch gunstig in integriert-optischen Bauelementen einsetzen lassen.
Elektrische Doppelbrechung (elektrooptischer Kerr-Effekt). Legt man an die Platten eines Plattenkondensators, der mit Nitrobenzen gefullt ist, eine Spannung an, dann wird das Nitrobenzen doppelbrechend. Man erkl8j-t diese elektrische Doppelbrechung so, daB durch das elektrische Feld eine elektrische Polarisation entsteht, indem entweder die bereits vorhandenen elektrischen Dipole des Stoffes ausgerichtet werden oder das elektrische Feld induzierend auf neutrale Molekule wirkt.
7 Weiterfuhrende und aktuelle Ergiinzunpen
724
Vor den Kondensator stellen wir einen Polarisator in Diagonalstellung zur Richtung der elektrischen Feldstarke. Im Kondensator wird die linear polarisierte Welle, die sich senkrecht zur elektrischen Feldstiirke ausbreiten soll, in eine Komponente, die parallel zur Feldrichtung schwingt und eine Komponente, die senkrecht zur Feldrichtung schwingt, zerlegt. Beide Komponenten haben unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten und Brechzahlen n,,n,, aber gleiche Amplitudenbetrage. Es entsteht nach Durchlaufen der Kondensatorlange d die optische Wegdifferenz AL = (n,- 1 1 , ) d = AIZ. d, also die Phasendifferenz 6 = ( 2 7[: AL)/h). Das austretende Licht 1st i. allgem. elliptisch polarisiert. Die optische Wegdifferenz betragt nach KERR
AL = K cl ?I &.
(7.65)
((1 Schichtdicke in m, E elektrische Feldstarke in V . m-', und Kin m . V' ist eine fur den betreffenden Stoff charakteristische Konstante. Bei der in der Literatur auch ublichen Schreibweise At? = B E' h,, ist zu beachten, daB B = 2 TC K zu setzen ist.) Der Kerr-Effekt ist ein qirudrcrtischer E'ekt, bei dem die optische Wegdifferenz quadratisch von der an die Kondensatorplatten angelegten Spannung U = El (I Plattenabstand) abhangt. Die optische Wegdifferenz kann auch in der Form ilL = m & geschrieben werden, so dal.3
(7.66) entsteht (m im allgemeinen nicht gannahlig). Ordnen wir hinter dem Kondensator. der eigentlichen Kerr-Zelle, in gekreuzter Stellung zum Polarisator einen Analysator an (Abb. 7.41), so ist bei U = 0 Ausloschung vorhanden. Bei m = 0,5 wirkt die Kerr-Zelle wie ein h/2-Plittchen. Die Schwingungsebene ist um 90" gedreht, und hinter dem Analysator herrscht maximale Helligkeit. Die d a m erforderliche Spannung = 1/ heifit Hulbwellenspannung. Allgemein betragt der Transmissionsgrad der Kerr-Zelle mit gekreuztem Polarisator und Analysator
,/m
4 I
/
Analysator
EL
35
Kerr-Zelle
I ohne Spannung
Polarisator
Abb. 7.41 Ken-Zelle zwischen zwei gekreuzten Polarisatoren
rnit Halbwellenspannung
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
725
(7.67)
Da die Kerr-Zelle bis zu Frequenzen von etwa lo8 Hz praktisch tragheitslos arbeitet, hat sie zur Untersuchung sehr schnell veranderlicher Vorgange vielfach praktische Anwendung gefunden (z. B. zur Messung der Lichtgeschwindigkeit, Bestirnmung der Abklingdauer leuchtender Atome oder lumineszierender Stoffe, bei Zeitschreibern fur Messungen sehr hoher Geschwindigkeiten u. a.). Nach GI. (7.67) ist der Transmissionsgrad von der Spannung abhangig. So bietet sich die Moglichkeit, Schwankungen des Feldes praktisch tragheitslos in Lichtschwankungen zu ubersetzen (elektrooptischer Modulator). Es lassen sich Modulationsfrequenzen bis 100 MHz erreichen. Kerr-Zellen haben bei der Entwicklung des Bildfunks und des Fernsehens technische Bedeutung erlangt (KAROLUS). In Kerr-Zellen findet besonders Nitrobenzen Verwendung, weil dieses eine grol3e Kerr-Konstante hat (K = 2,44 . m . V2 fur h, = 589,3 nrn bei 20 "C).Es eignet sich auch Nitrotoluol ( K = 1,37 . lo-'' m . V').
Pockels-Effekt. Zum Pockels-Effekt haben wir bereits einiges im Abschn. 5.5.5 ausgefuhrt. Hier sollen dam weitere Aspekte dargestellt werden. Der Pockels-Effekt ist ein elektrooptischer Effekt, der sowohl als transversaler Effekt (Feldlinien senkrecht zur Lichtausbreitung) wie auch als longitudinaler Effekt (Feldlinien parallel zur Lichtausbreitung) auftreten kann. Er beruht wie der Kerr-Effekt auf der Anderung der Doppelbrechung von Stoffen im elektrischen Feld. Irn Gegensatz zum Kerr-Effekt ist er aber ein linearer ESfekt, bei dem die optische Wegdifferenz proportional zur elektrischen Feldstarke ist (siehe auch Abschn. 5.5.5). Fur den transversalen Pockels-Effekt sind die Erscheinungen vollig analog zum Kerr-Effekt, nur ist in GI. (7.65) die Pockels-Konsfante K p einzusetzen, und statt E2 ist E zu schreiben. Der transversale Pockels-Effekt ist vor allem fur die integrierte Optik interessant. Der longitudinale Pockels-Efekt wird in einachsigen optischen Kristallen ohne Inversionszentrum erzeugt, deren optische Achse parallel zur Feld- und Lichtrichtung steht. Die Endflachen der Kristalle mussen die Elekuoden tragen, an die die Spannung angelegt wird. Es konnen ringformige oder teildurchlassige Elektroden verwendet werden. Das Anlegen der Spannung bewirkt im Kristall das Auseinanderriicken der beiden Teile der Strahlenflache (Kugel und Ellipsoid), die sich also nicht mehr im DurchstoBpunkt der optischen Achse beriihren. Die Erscheinung ist ahnlich der optischen Aktivitat, die bei der Lichtausbreitung in Richtung der optischen Achse zur Drehung der Schwingungsebene fuhrt. Beim Pockels-Effekt entstehen zwei senkrecht zueinander schwingende Wellen mit unterschiedlicher Phasengeschwindigkeit. Der Kristall wird beim Anlegen der Spannung optisch zweiachsig. Es gilt analog zu GI. (7.66) m
&,=
K pE & d .
(7.68)
Weil die Kondensatorlange d gleich dem Plattenabstand 1 und El = U ist, gilt auch
I
m&=KpU&.
(7.69)
Die Hulbwellenspannung betragt Uo,5= 1/(2 Kp). Beim Anlegen der Spannung Uo,5wirkt die Pockels-Zelle wie ein h/2-Plattchen, oder auch wie zwei gleichgerichtete aufeinander folgende
726
7 Weiterfiihrende und aktuelle Ergiinzungen
!
*
1
LFK*r loE
I
I
I
X
I
I
Y
Abb. 7.42 Abwandlung des Indexellipsoids beim Pockels-Effekt in Kristallen. a) trigonale Kristalle. b) isotrope (kubische) Kristalle, c ) tetragonale Kristalle
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
127
U4-Plattchen. Deshalb kann die Pockels-Zelle auch als U4-Plattchen ausgebildet ( U = 0,5 U,,5, also geringere Spannung erforderlich) sowie davor oder danach ein festes U4-Plattchen angeordnet werden. Wird die Zelle zwischen Polarisator und Analysator in gekreuzter Stellung gebracht, dann fuhrt Anlegen der Spannung Uoq5auf z = zo, Anlegen der Spannung -Uo,s auf T = 0 (die Phasenanderungen der beiden U4-Plattchen +n/2 und 4 2 heben sich auf). Pockels-Zellen eignen sich als tragheitsarme optische Schalter mit Anstiegszeiten in der GroEenordnung von s. Beim Einsatz zur Modulation des Lichtes erreicht man Frequenzen bis in den GHz-Bereich hinein (2.B. 30 GHz). Als Kristalle fur Pockels-Zellen verwendet man (siehe auch Tabelle 5.28) ADP ( K p = 5,466 . V-'), KDP ( K p = 6,683 . lo-' TI)und besonders KD*P (H2 in KDP durch D, ersetzt, K p= 14,984 . V-'). Im infraroten Bereich kommen Galliumarsenid und Cadmiumtellurid in Frage. Auch Lithiumniobat (LiNbO,, Kp = 6,775 . lo4 V-I) und Lithiumtantalat (LiTaO,) haben gunstige Pockels-Konstanten. (Samtliche Konstanten gelten fur die Wellenlange h, = 546,l nm und 20 "C. Bei der in der Literatur auch verwendeten Schreibweise An . d = p U ist p = & K p zu setzen.) Die theoretische Behandlung des Pockels- und des Kerr-Effektes zeigt zunachst, daE isotrope Stoffe doppelbrechend werden. Bei kristallinen Stoffen wird das Indexellipsoid, dessen halbe Hauptachsen gleich den Hauptbrechzahlen sind, abgewandelt. Die Hauptbrechzahlen andern sich in Abhangigkeit von Betrag und Richtung der elektrischen Feldstiirke. Die Koeffizienten fur den Zusammenhang zwischen den Hauptbrechzahlen und der elektrischen Feldstarke sind durch die Kristallsymmetrie bestimmt. Beim Kerr-Effekt in isotropen Stoffen entsteht ein optisch einachsiger Stoff mit den Brechzahlen n,(E) = n - K , E 2 , n,(E) = n - K , E 2 .
(7.70)
Die optische Wegdifferenz zwischen den senkrecht zueinander schwingenden Wellen betragt
A L = [ n , ( E ) - n,(E)] d = K E 2 h, d mit K, - K, = K &. Nach G1. (7.66) kann fur AL auch m h, gesetzt werden. Der Pockels-Effekt in isotropen Stoffen fuhrt ebenfalls zu optisch einachsigen Stoffen. Isotrope kubische Kristalle werden optisch einachsig (Beispiele sind GaAs, CdTe und InAs). Die Brechzahlen betragen 1
h, E, 2 1 n 2 ( E ) = n + - K , h, E , 2 n,(E) = n. n l ( E )=
12
--K,
(7.71)
Einachsige Kristalle bleiben entweder optisch einachsig oder werden durch das elektrische Feld zu optisch zweiachsigen Kristallen, wobei die Kristallsymmetrie eine Rolle spielt. Die trigonalen Kristalle von LiNbO, und LiTaO, bleiben einachsig, aber die Hauptbrechzahlen andern sich in
728
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
I 2
n , ( E )= n , ( E ) I Z ~ ( E= )17,
= 11, - - K,,
I --
2
hi, E . (7.72)
K,, hi, E .
Die optisch einachsigen tetragonalen Kristalle achsig mit den Hauptbrechzahlen
I I , ( E )=
11,
I 2
(2.
B. KDP, ADP, KD*P) werden optisch zwei-
h, E ,
- -K,
(7.73)
Die :-Richtung 1st die Ausbreitungsrichtung. Senkrecht dazu betragt die Brechzahldifferenz n2 bzw. n3 - n , entsprechend
11,.
172 - 11,
= A I I ( E )= K , hi, E
nach GI. (7.7 I ) oder GI. (7.73). 1
IT?
- n, = A n ( E ) = An - - K ,
2
h, E.
(7.74a-c)
bzw. nach GI. (7.72) mit A n =
i t , - 17,.
K , = K,, - K,,.
Die Abwandlung des Indexellipsoids fur die drei dargestellten Falle zeigt die Abb. (7.42).
Phasenmodulation (Abb. 7.43). Hinter einer transversalen Pockels-Zelle mit der Lange d, an die die elektrische Spannung U = El ( I Plattenabstand) angelegt ist, betragt die Phase des in x-Richtung schwingenden Lichtes nach G1. (7.7 I)oder mit n = n,nach GI. (7.73) 6 = 2 7c n(E) dh,. Einsetzen von n ( E ) aus GI. (7.74a) ergibt (mit 6, = 2 7c n d ' & )
,u
U
'I )-.-.-.-.-.-.-.-.---.
'
-*-.-.-*--.)
\, !
Wellenleiter
\ \
hO
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
729
(7.75) mit der Halbwellenspannung
u;,5=
1 -
1
-.
(7.76)
KP
Amplitudenmodulation (Intensitlitsmodulation).Zwischen den zwei senkrecht zueinander linear polarisierten Wellen wird innerhalb der transversalen Pockels-Zelle die Phasendifferenz A6 = 2 7c h ( E ) d/h,eingefuhrt. Mit G1. (7.74b,c) ergibt sich
A6=A6o-n-
U
(7.77)
u0.5
mit der Halbwellenspannung (7.78)
Pockels-Zellezwischen gekreuzten Polarisatoren (Abb. 7.44a). Vor der Pockels-Zelle wird ein Polarisator angeordnet, dessen DurchlaBrichtung mit den beiden in der Zelle moglichen Schwingungsrichtungen den Winkel 45" bildet. In der Pockels-Zelle entstehen zwei Schwingungen mit gleichen Amplitudenbetragen und der Phasendifferenz nach G1. (7.77). Ohne elektrische Spannung betragt die Phasendifferenz die gleich einem ganzzahligen Vielfachen von 2 x sein SOH, damit die Schwingungsrichtung erhalten bleibt. Dazu ist die Kristallange d = k ( k = 1, 2, 3 ...) erforderlich.
who
Abb. 7.44 a) Optischer Amplitudenmodulator mit einer Pockels-Zelle zwischen gekreuzten Polarisatoren, b j Kennlinie des Amplitudenmodulators
7 Weiterfuhrende und aktuelle Ereanzunren
730
Hinter der Pockels-Zelle steht ein zum Polarisator gekreuzter Analysator, der das Licht sperrt. Beim Anlegen der Halbwellenspannung an die Pockels-Zelle wird die Schwingungsrichtung urn 90" gedreht und der Analysator larjt das Licht ungehindert hindurch. Allgemein betragt der Transmissionsgrad der Gesamtanordnung (7.79a) Beim sprunghaften Andern der Spannung von U = 0 in U = U,, wirkt die Anordnung als Schalter. Der Transmissionsgrad ist uber die angelegte Spannung moduliert, wenn sich die Spannung stetig verandert. In der Umgebung von t = 0,5 zOkann bei 66, = rc/2 und U << Uu,5die Transmissionskurve durch (7.79b) angenahert werden, so dal3 die Kennlinie in der Umgebung von t = 0,5 Z, linear ist (Abb. 7.44b).
Pockels-Zelle in einem Mach-Zehnder-Interferometer(Abb. 7.45). Die Pockels-Zelle kann in den einen Zweig des Mach-Zehnder-Interferometerseingesetzt werden. Wenn die beiden Bundel am ersten Strahlteiler gleiche Intensitat haben, dann betragt die Intensitat am Ausgang I, 1 7 6 I = - + cos6 = I , cos-2 2 2 bzw. der Transmissionsgrad (7.79c) Fur 6, = n/2 kann in der Umgebung von Z/Z, = 0.5 (Abb. 7.44b), in der die Kennlinie angenahert linear ist, die Anordnung als Intensitats- bzw. Amplitudenmodulator dienen. Wenn 6, ein Vielfa-
Abb. 7.45 Phasenmodulator in einem Zweig des Mach-Zehnder-Interferometersals
Amplitudenmodulator oder optischer Schalter
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
I
73 1
1
1
0 Abb. 7.46 Integriert-optischer Amplitudenrnodulator oder optischer Schalter
ches von 2 TC ist und sich die Spannung sprunghaft von U = 0 auf U = Uo,5andert, schaltet die Pockels-Zelle von Z/Z, = 1 auf d'co = 0. Sie dient als optischer Schalter. Abb. 7.46 enthalt eine integriert-optische Variante.
OrtsabhangigeLichtmodulationund -speicherung.Die optischen Informationen konnen ortsabhangig in einer diinnen Schicht gespeichert und ausgelesen werden. Dieser Vorgang 1aBt sich auch als raumliche Lichtmodulation auffassen. Allgemein wird die ortsabhiingige Lichtintensitat dazu genutzt, um den Transmissions- oder Reflexionsgrad eines ebenen Bauelements ortsabhangig zu verandern. Beim Bestrahlen mit Licht wird dieses intensitatsmaflig rnoduliert und so die Information ausgelesen. Wunschenswert sind loschbare Speicher, in die immer wieder erneut eingeschneben werden kann. Optischer Pockels-Auslesemodulator(auch PROM genannt, von engl. Pockels Readout Modulator, Abb. 7.47). Aus den Beispielen zur praktischen Realisierung greifen wir ein besonders dichroitischer Spiegel
f u r Rot
polarisierender Bundelteiler
-
Schreiblicht (blau)
moduliertes Licht
\
transparente Elektroden
/
Abb. 7.47 Optischer Pockels-Schreib-Lese-Modulatormit BSO
732
7 Weiterfiihrende und aktuelle Ereanzungen
bemerkenswertes heraus, den PROM. Kernstuck ist eine Schicht aus Wismut-Silicium-Oxid (Bi,,SiOzo: BSO) zwischen zwei transparenten Elektroden. AuBerdem betindet sich zwischen den Elektroden ein dichroitischer Spiegel, der rotes Licht reflektiert, aber blaues Licht hindurchlabt. BSO hat aufiergewohnliche Eigenschaften, weil en - beim Anlegen einer Spannung den Pockels-Effekt annimmt, -
fur blaues Licht fotoleitend ist, fur rotes Licht aber nicht, im Dunklen einen guten Isolator darstellt.
Der Lichtweg ist Abb. 7.47 zu entnehmen. Der vorgeschaltete Bundelteiler hat zusatzlich die Funktion von gekreuzten Polarisatoren. Folgende Arbeitsphasen laufen ab: -
Vor6ereiten: An die Elektroden wird eine Spannung von ca. 4 kV angelegt. Zwischen den Elektroden entsteht ein stabiles elektrisches Feld, weil der Kristall im Dunklen isoliert.
- Schreihcvz: Der Kristall wird mit blauem Licht der Intensitat Is(x,y) bestrahlt. Es entsteht eine
raumliche Verteilung der Leitfahigkeit. die der Intensitat proportional ist. Quer zum Kristall nimmt ortsabhangig die Spannung ab, wodurch die elektrische Feldstarke an diesen Stellen herabgesetzt wird. Es gilt E(x,y) - 1 /Is(x,y).Das Ergebnis ist die ortliche Brechzahlanderung An - l/Is(x,v),die durch den Pockels-Effekt entsteht und die im Kristall gespeichert ist. -
Leserz: GleichmaBiges rotes Licht dient dem Auslesen der Brechzahldifferenz An(x,y), wobei die Anordnung wie der optische Intensitatsmodulator nach Abb. 7.44 wirkt.
-
Liiwhm: GleichmBDiges blaues Licht loscht das Brechzahldifferenzmuster, und das Einschreiben kann nach Anlegen von 4 kV an die Elektroden von vorn begonnen werden.
Strahlablenkende Speicher. Die Fokussierung von Laserbundeln auf kleine Bereiche in der GroBenordnung von 1 pin ernioglicht die Entwicklung von optischen Speichern mit grof3er Informationsdichte und geringer Zugriffszeit. Die linear polarisierte Laserstrahlung wird mittels einer Pockels-Zelle moduliert, bzw. so geschaltet, dal3 beim Anlegen der Spannung die Schwingungsebene um 90" gedreht wird (Wirkung als U2-Platte). Die Speicherpositionen werden entweder uber Systeme aus parallelversetzenden Planparallelplatten (Abb. 7.48) oder uber winkelversetzende Wollastonprismen angesteuert (Abb. 7.49).
7.5.3 Strahlungsquellen Lumineszenzdioden (LED). In der Tab. 5.32 ist das Beispiel einer blau strahlenden LED enthalten, die Licht der Wellenllnge h = 480 nm ausstrahlt. Inzwischen sind Verbindungen der IIINitride (z. B. GaN) fur blau bis violett strahlende LED einsetzbar. Damit ist es moglich, weiB strahlende Quellen aus Kombinationen von verschieden farbigen LED oder auch Filterstoffen herzustellen. Damit erhofft man sich fur bestimmte Anwendungen, die grol3e Lebensdauer der Dioden nutzen zu konnen. Weil3 strahlende LED sind bereits in Taschenlampen zu finden. Drei Varianten sind in der Erprobung baw. Fertigung. - Eine blau strahlende LED enthalt an der Oberflache einen Leuchtstoff, der einen Teil des
blauen Lichtes in gelbes Licht umwandelt. Die Mischung ergibt weiljes Licht. Da aber grune und rote Farbanteile fehlen, erscheinen angestrahlte Objekte nicht in der natiirlichen Farbe.
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
733
1. Position Pockelszelle
Ablenkelernent
ohne Spannung 2. Position
mit Spannung Abb. 7.48 Prinzip des optischen Speichers mit Parallelversetzung 1. Position
Pockelszelle
Ablenkelement
/ ,
ohne Spannung
rnit Spannung
2. Position
Abb. 7.49 Prinzip des optischen Speichers mit Winkelablenkung - Die Strahlung einer violetten oder ultravioletten LED dient der Anregung von drei Farbstof-
fen. Die drei Farben uberlagern sich zu WeiR. Dadurch ist die naturliche Farbgebung angestrahlter Objekte gewiihrleistet. Die Energieausbeute ist aber ungunstig, und Gehauseteile werden durch die kurzwellige Strahlung in Mitleidenschaft gezogen. Damit wird der Hauptvorteil der weil3en LED, die lange Lebensdauer, teilweise aufgehoben.
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
734 -
Mit der Anordnung einer roten, einer grunen und einer blauen LED nebeneinander werden die hohe Lichtausbeute und die groBe Lebensdauer vollstandig realisiert. Dieser Vorteil wird jedoch rnit der getrennten Ansteuerung und Regelung der Einzeldioden erkauft, wodurch die Kosten hoher als bei den anderen Varianten sind.
Insgesamt ist festzustellen, daR bis zu dem umfassenden Einsatz weiRer Leuchtdioden noch weitere Entwicklungsarbeit erforderlich ist. LASER sind Strahlungsquellen im Bereich der optischen Strahlung auf der Basis der induzierten Emission. Sie unterscheiden sich in mehreren Punkten von den auf spontaner Emission beruhenden Strahlungsquellen. Die besonderen Eigenschaften der Laserstrahlung wurden bereits in den Abschn. 2.4.5 und 5.7.1 erlautert. Man unterscheidet nach dem aktiven Stoff, in dem die Besetzungsinversion erzeugt wird (siehe auch Abschn. 5.7. I), Festkorper-, Farbstoff-(Flussigkeits-), Halbleiter- und Gaslaser. Dariiber hinaus gibt es spezielle Typen: Bei chemischen Lasern werden die Besetzungsinversion und die Laserstrahlung durch eine chemische Reaktion hervorgerufen. Der ,,Freie-Elektronen-Laser" (free-electron-laser) hat Ahnlichkeit rnit einem Synchrotron. Die Strahlung wird von Elektronen hoher Geschwindigkeit erzeugt, die sich im periodischen Magnetfeld wellenformig bewegen. Mit dem Plasma-Laser sol1 bis in den Rontgenbereich vorgestol3en werden. Laser, bei denen die Resonatorspiegel durch periodische Strukturen ersetzt werden, wie z. B. beziiglich der Brechzahl oder der Verstarkung, werden als Laser mit verteilter Riickkopplung (engl. distributed feetback, abgek. DFB) bezeichnet. Beziiglich der Einzelheiten miissen wir auf die Spezialliteratur verweisen, z. B. auf [76] oder ~91.
Laserresonatoren. Die Verstarkung der Laserstrahlung durch fortgesetzte induzierte Emission erfordert einen Resonator, durch den die Strahlung moglichst vielfach den aktiven Stoff durchsetzt (Abschn. 2.4.5 und Abschn. 5.1.1). Als Laserresonatoren eignen sich Spiegelanordnungen. Praktisch realisiert sind - der Resonator aus zwei parallelen Planspiegeln, - der Resonator aus zwei spharischen Spiegeln mit gemeinsamer optischer Achse, - der Resonator aus optischen Fasern und -
der Ringresonator.
Der Planspiegel-Resonator stellt ein Fabry-Perot-Etalon rnit grol3em Reflexionsgrad der Planspiegel dar. Zwischen den Planspiegeln bildet sich eine stehende Welle aus, deren Schwingungsknoten bei z = 0 und z = d liegen (Abb. 7.50a). Die Gleichung der Welle lautet rnit der konstanten Amplitude A
2nz
E ( i ) = Asiny.
2nd -=mn h
7 .S Nichtabbildende Funktionselemente
73s
d = k ,h/2
Abb. 7.50 a) Stehende Welle im Planspiegel-Resonator, b) Eigenschwingung im Resonator
sein rnul3. Daraus folgt fur die Resonanz-Wellenlangen, bzw. Resonanz-Frequenzen (c Lichtgeschwindigkeit im Resonator) 2d hrn =-,m
bzw. v
rn
mc =---=mv R . 2d
Der Frequenzabstand der Maxima betragt vR = 4 2 d). Die Intensitat im Resonator ergibt sich analog zur Ableitung der GI. (2.229) zu
I
1 = 'Max
(7.80a)
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzunpen
736
rnit der Finesse [in GI. (5.91) als effektive Bundelzahl bezeichnet, R Reflexionsgrad der Spiegel] -
( 7.80b)
Die relative Halbwertsbreite der Linien betragt gema13 GI. (5.92) nach Umrechnung auf die Frequenz
Die bisher beschriebenen Verhaltnisse gelten fur den ptrssiven Rrsanuror, der keinen aktiven Stoff enthilt. Bei einein aktiven Rewnator bleibt die Lage der Resonanz-Frequenzen erhalten, aber die relative Linienbreite wird durch die Cute Q = 2 n d / (c K ~ ~des , ) Resonators bestimmt. Es gilt 11
(7.8 1b) nm. Bei = 0, I und h = SO0 nm ist I/Q = 1,592 . lo-' und A&,,5 = 7.96 . 1 Bei Q ~=,0,02 und h = 500 nm ist I/Q = 3,185 lo-' und Ah,,,, = 1.59 . lo4 nm (Abb. 7.50b). Gehen wir von G1. (2.156) fur die Kohgrenzliinge L , Bus, dann ergeben sich die Werte L , = 16 m, bzw. L , = X I m. Die Ausfuhrungen bezogen sich auf Planspiegelresonatoren, bei denen die Spiegel unendlich ausgedehnt sind. Bei kreisformig begrenzten Spiegeln sind sowohl bei der Gleichung fur die ResonanzliequenZen wie auch bei der Gleichung fur die Halbwertsbreite Korrekturen anzubringen, auf die wir aber nicht eingehen konnen. Wir verweisen auf die Literaturstelle [29]. Rewn~irowrtaus :w,ei sphiirischrn Spiegeln mir gemeinsamer optischur Achse stellen ein Beispiel fur ein optisches System aus periodisch angeordneten optischen Bauelementen dar, die deshalb im Abschn. 5. I. I behandelt wurden. Festkiirprlmrr enthalten mit Metallionen dotierte Kristalle oder Glaser. Der erste beschriebene Laser war ein Ruhinlaser (Abschn. 2.4.5). Weitere praktisch wichtige Festkorperlaser enthalten Neodymglas (Borsilikatglas rnit Ne'+-Ionen) oder Yttrium-Aluminium-Granat ( Y 3AlsO12) mit Neodym-Ionen (YAG-LASER) u. a. Mit dem Rubinlaser konnen im Impulsbetrieb 10.. .40 kW, im cw-Betrieb einige 100 W Ausgangsleistung erLeugt werden. Die Linienbreite betragt lo-' nm bei der Wellenlange h = 694,3 nni, die Strahldivergenz liegt in der GrGOenordnung einiger mrad. Der Neodyrn-Clasher und der Neodym-YAG-Laser strahlen bei der Wellenlange h = I ,06 pm. Sie konnen als Hochleistungslaser ausgebildet werden, insbesondere mil Gutesteuerung. Giitrgrstmertr Ltrsrr erzeugen sogen. Riesenimpulse. In ihnen wird die Aufenthaltsdauer der Photonen innerhalb des Resonators mittels Guteschalter (Q-switsh, entsprechend der im Abschn. 2.4.5 definierten Cute Q )erhiiht. Das Prinzip besteht darin, wahrend des Aufbaus der Besetzungsinversion den Resonator vollstandig oder teilweise zu sperren, ihn also nicht anschwingen zu lassen, und erst nach der Sattigung der Besetzungsinversion die Ruckkoppelung einzuleiten (Abb. 7.51a-c).
7.5 Nichtabbildende Funktionselernente
737
t
Abb. 7.51 a) zeitlicher Verlauf des Impulses der Purnpstrahlungsquelle,
b) zeitlicher Verlauf der Besetzungsinversion,c ) zeitlicher Verlauf der Intensitat irn Riesenirnpuls
Ein Beispiel ist z. B. in [ 1021 modellrnal3ig durchgerechnet worden. Folgende Daten wurden angenommen: - Aufenthaltsdauer der Photonen irn Resonator T = 50 ns, -
Koeffizient fur die induzierte Emission B,, = 4 . 10-17 m3 * s-', Besetzungsinversion zur Zeit t = 0 N2 - N , = 2 . m-3, Frequenz v = 4,32 . lOl4 Hz, Volumen des Laserkristalls V = 10 cm3.
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
738
Durch den Rieseninipuls werden 98 % der Besetzungsinversion abgebaut. Es entsteht ein gauBformig vorausgesetzter Irnpuls, der innerhalb der Halbwertsbreite von = 137 ns die Strahlungsleistung P = 29 MW transportiert. Rein mechanische Giiteschalter haben sich nicht bewahrt. Drehspiegel oder -prismen, die den einen Resonatorspiegel ersetLen, erlauben Schaltzeiten von ca. 1 p. Akustooptische Schulter beruhen auf dern fotoelastischen Effekt. In einern piezoelektrischen Kristall wird mittels einer Ultraschallwelle ein Phasengitter erzeugt, das einen Teil der Strahlung beugt und damit aus dern Resonator elirniniert. Erst beirn Abschalten der Spannung wird die zurn Anschwingen des Resonators erforderliche Cute erreicht. Die Schaltzeiten liegen bei 50 ns. Elektroopfische Schcilter lashen sich rnittels Kerr- oder Pockelszellen realisieren. Irn Resonator werden ein Polarisator und z. B. eine longitudinale Pockelszelle angeordnet (Abb. 7.52). Die Schwingungsebene der linear polarisierten Strahlung steht unter 45" gegenuber den in der Pockelszelle moglichen Schwingungsrichtungen (Diagonalstellung). Die Strahlung wird in zwei senkrecht zueinander schwingende Wellen rnit gleicher Amplitude aufgespalten. Die Pockelszelle fuhrt zwischen ihnen die Phasendifferenz x/2 ein, so daR zirkular polarisierte Strahlung entsteht. Die am Resonatorspiegel reflektierte Strahlung erfahrt in der Pockelszelle erneut die Aufspaltung und die weitere Phasendifferenz 7d2 zwischen den senkrecht schwingenden Wellen. Diese haben darnit die Phasendifferenz x.Sie setzen sich zu linear polarisierter Strahlung rnit urn 90" urngeklappter Schwingungsebene zusamrnen. Die Pockelszelle wirkt beim zweirnaligen Durchgang wie eine h/2-Platte, und der Polarisator sperrt die Strahlung. Erst nach Abschalten der Spannung an der Pockelszelle kann der Resonator anschwingen. Die Schaltzeiten betragen ca. 10 ns.
s,
P
Laser
I 4
I
- +
i
*
I
Hinweg
i
t
/
i
Ruckweg
Abb. 7.52 Laser mit Guteschaltung
Pockelszelle s2
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
739
SchlieBlich eignen sich siittigbure Absorber als Guteschalter. Der sattigbare Absorber ist ein nichtlineares Bauelement, das als passiver optischer Schalter wirkt. Die Strahlung des Lasers ubernimmt das Umschalten in den Resonatorzustand selbst. Es gibt Stoffe, z. B. Farbstofflosungen oder auch Gase, deren Absorptionsgrad intensitatsabhangig ist. Es gilt fur zwei Niveaus mit homogener Linienverbreiterung
Bei der Intensitat I = I, (Sattigungsintensitat) betragt der Absorptionsgrad die Halfte derjenigen ohne Bestrahlung. Die Sattigungsintensitat la& sich aus
I, =
~
hv 2 z 6(v )
berechnen (z Lebensdauer des oberen Zustandes, 6 Absorptionsquerschnitt). Der sattigbare Absorber wird innerhalb des Resonators angeordnet. Durch die entsprechende Konzentration und Dicke der Farbstofflosung wird dafur gesorgt, dab der Transmissionsgrad wiihrend des Pumpens praktisch Null ist und rnit wachsender Intensitlit uber OL = bei I = I, auf nahezu Eins fur I > I, beim Vorliegen der maximalen Besetzungsinversion ansteigt. Nach der Relaxationszeit z kann der Vorgang wiederholt werden. Als Beispiel seien die Werte fur einen Rubinlaser ( h= 694,3 nm) genannt, der einen sattigbaren Absorber rnit Phthalocyanin enthalt (nach [ 1021): 6 = 10- 19 m2 , T = 0,5 ps, I , = I O9 W . m-2. Die Schaltzeiten der sattigbaren Absorber liegen in der GroBenordnung 1 ns. DurchstimmbareFestkiirperluserermoglichen die kontinuierliche Anderung der Laserfrequenz durch die Variation der Frequenz der Pumpstrahlung. Geeignet sind z. B. der Alexandrit-Laser (Cr3+ : BeAI20,), der im Bereich von 700.. .800 nm durchstimmbar ist und der Saphir-Laser (Ti3+: A1,03), der im Bereich 660.. .1180 nm durchstimmbar ist. Wahrend friiher Festkorperlaser, die optisch gepumpt werden mussen, mit Blitzlampen angeregt wurden, haben sich in wachsendem Umfang die mit Halbleiterlasern gepumpten Festkorperlaser durchgesetzt [82], [ G I , [871. Faser-Laser haben Bedeutung fur die optische Nachrichtenubertragung, besonders fur den Einsatz von Monomode-Fasern. Im einfachsten Fall ist der Faser-Laser wie eine MonomodeFaser aufgebaut, deren Endflachen stark reflektieren, so daB ein Resonator entsteht. Der Kern enthalt den aktiven Stoff. Beim Doppelkern-Faser-Laser besteht der Kern aus dem aktiven Stoff. In einem den Kern umhullenden Zylinder wird die Pumpstrahlung gefuhrt. Damit Totalreflexion an den Grenzen des Mantels auftritt, ist die gesamte Faser noch rnit einem optisch dunneren Mantel umgeben. Die Pumpstrahlung wird nach den Regeln der integrierten Optik in den Kern eingekoppelt (gekoppelte Wellenleiter). Als optisch aktive Stoffe eignen sich Kieselglaser, die rnit seltenen Erden dotiert sind (z. B. rnit Nd, Er, Yb, Pr, Sm, Ho). Weil Faser-Laser in mehreren Wellenlangen schwingen konnen, kommen als Pumpquellen abstimmbare Laser zum Einsatz (Halbleiterlaser, Farbstofflaser, der Ar+-Ionen-Laser und die oben genannten durchstimmbaren Festkorperlaser). Der Er3+ : Kieselglas-Faser-Laser hat u. a. eine Ausstrahlung in der Nahe von h = 13.5 pm. Bei dieser Wellenlange hat die Kieselglas-Faser die geringste Dampfung, so daB sich die Erbium-dotierte Faser gut fur die optische Nachrichtenubertragung eignet.
740
7 Weiterf'iihrende und aktuelle Erganzungen
Gaslaser werden i. allg. nicht optisch, sondern durch eine Gasentladung gepumpt. Das Prinzip des am haufigsten angewendeten und besonders griindlich untersuchten Helium-Neon-Lasers wurde im Abschn. 2.4.5 dargestellt. Ein weiterer wichtiger Gaslaser ist der Kohlendioxid-Luser, der C02, N, und He enthalt, im Infraroten arbeitet ( h= 10,6 pm), besonders hohe Leistungen im kontinuierlichen Betrieb errniiglicht (his zum kW-Bereich) und den hochsten Wirkungsgrad hat (bis etwa 30 96). Hohe Leistungen im sichtbaren Gebiet (etwa 1 W ) auf mehreren Wellenlangen sind mit dem Ar~oii-loizen-Lrr.ser(At-+-Laser)zu erreichen. Die intensivste Linie liegt bei h = 488 nrn. Weiter gibt es Metalldampf-Laser, z. B. einen Cd-He-Laser. Mit dem Wassrrstofluser (H,-Laser) ist die Lichtwellenlange h = I16 nm erreicht worden. Die groRte Laserwellenlange h = 1,96534 mm wurde rnit dem CH3Br-Laser erzeugt. Excimer-Lmrr haben eine rasche Entwicklung genommen und werden in vielfiltigen Varianten kommerziell angeboten. Excimere sind Molekiile, die elektronisch angeregt sind. Im Grundzustand konnen sie nicht existieren. Dazu gehiiren vor allem zweiatomige Verbindungen von Edelgasatornen (z. B. Ar,*, der Stern kennzeichnet den angeregten Zustand) und Edelgasatomen rnit Halogenatomen (z. B. ArF*). Praktische Bedeutung haben Excirner-Laser vor allern fur den ultravioletten Spektralbereich, z. B. fur die Anwendung in der Mikrostrukturierung. (Friiher unterschied man Excimer (excited d i m ) als Begriff fur zwei identische Atorne im angeregten Zustand und E.uciples (excited state c o m b ) als Begriff fur angeregte Molekiile aus unterschiedlichen Atomen.) Halhleiter-Laser. In einem Festkorper bestehen die erlaubten Energieniveaus aus Energiebandern. Das sind Bereiche mit einer Vielzahl sehr dicht beieinander liegender Niveaus. Die verschiedenen BPnder sind durch verbotene Bereiche voneinander getrennt. Das obere Energieband ist das Leitungsband, das darunter liegende das Valenzband. 1st das Leitungsband nicht mit Elektronen, das Valenzband aber voll besetzt, dann liegt ein Isolator vor. Durch Dotieren des Nichtleiters rnit Storatomen laBt sich ein Halbleiter herstellen. Geben die Storatome Elektronen an das Leitungsband ab (Donatoren), dann erhalten wir einen n-Halbleiter; nehrnen sie Elektronen aus dem Valenzband auf (Akzeptoren),dann entsteht ein p-Halbleiter (siehe auch Abschn. 5.7. I ) . Die p-n-Diode besteht aus einem p- und einem n-Halbleiter, die sich an einer Flache eng beriihren. An dieser tritt ein Elektronenaustausch zwischen dem Leitungsband des n-Halbleiters und dem Valenzband des p-Halbleiters ein. Beim StrornfluB durch die Diode wachst die Austauschquote gegenuber dem thermischen Gleichgewicht entsprechend der Anzahl an zusatzlich vorhandenen Elektronen an. Die Energiedifferenz beim Ubergang vom Leitungs- in das Valenzband kann in Form von Licht ausgestrahlt werden (Lurnineszenzdiode). Der Injektionslaser geht aus der Lumineszenzdiode hervor, wenn zwischen dem Leitungsund dem Valenzband die Besetzungsinversion erzeugt wird. Dazu ist eine bestirnmte Dotierung notwendig (Abb. 7.53). Der erste GaAs-Injektionslaser wurde 1962 hergestellt. Der GaAs-Laser besteht BUS Gallium-Arsenit als Grundmaterial. Fur die Donatoren wird Tellur, fur die Akzeptoren Zink verwendet. Er strahlt bei h = 840 nm. Der Injektionslaser wandelt unmittelbar elektrische Energie in Laser-Strahlung um, so daB sein Wirkungsgrad sehr gut ist. Die Besetzungsinversion wPchst linear mit der Stromdichte an. Deren Mindestwert, die Schwellenstromdichte, ist stark temperaturabhangig. Bei kontinuierlichem Betrieb ist Kuhlung der Diode erforderlich. Mit Mehrfachschichten kann die Schwellenstromdichte herabgesetzt werden. Es gibt Einfachheterostrukturen, bei denen eine Schicht auf den p-Halbleiter aufge-
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
74 I
I+ Laserstrahlung
Grenzschicht
-y////////////,--,
-
Laserstrahlung
n
I Resonatorlange
Abb. 7.53 Prinzip des Halbleiter-Lasers mit einer Grenzschicht
bracht ist, und Doppel- bzw. Mehrfachheterostruktren, bei denen auch der n-Halbleiter beschichtet ist. Die Schichten haben Dicken zwischen 0,l pm und 5 pm. Zugleich bewirken Heterostrukturen geringere Strahlungsverluste, wenn die Brechzahl der an die p-n-Grenzschicht angebrachten Schichten kleinere Brechzahlen haben und damit ein Wellenleitereffekt eintritt. Ein Beispiel fur eine Heterostruktur enthalt Tab. 7.1. Halbleiterlaser sind mit einer Vielzahl an Halbleitermaterialien herstellbar und uberstreichen dadurch etwa den Wellenlangenbereich 330 nm bis 34 pm. Der GaAs-Laser wurde bereits genannt. Fur den infraroten Bereich bis 34 pm ist besonders der PbSnTe-Laser geeignet, dessen Wellenlange in weiten Grenzen durch das Verhaltnis Pb : Sn geiindert werden kann. Als Grundmaterialien kommen z. B. auch Verbindungen mit Aluminium (G%Al ,-,As), Indium (InP), Phosphor, Antimon (InSb) und Tellur (PbTe) infrage. Die Dotierung wird mit Te, Cd, ~ , auch Tab. 5.36a,b). Wie bereits bei Sb, Zn ausgefuhrt und muB stark sein ( lOI4.. , lOI9 ~ m - siehe den LED erwdmt wurde, konnen durch den Einsatz von Stoffen der Gruppe 111-Nitride auch Laser-Dioden realisiert werden, die im Blauen, Violetten und im Ultravioletten strahlen. Damit werden in Zukunft DVD (s. Abschn. 7.5.4), Laserdrucker u. a. mit wesentlich groBerer Leistungsfahigkeit moglich sein.
Tabelle 7.1 Schichten eines Doppelheterostruktur-Halbleiterlasers, Querabmessungen 400 pm x 200 pm Schicht
I
Dickeinpm
I
Halbleiter
I
Dotierung in cm”
n-GaAs
Substrat (n-Halbleiter) Heteroschicht
3
n-2A’,,,Ga,mAs
T e ( l ...3 ) . 10”
Grenzschicht
02
P-A1,,G%,,*AS
Ge ( I ...3 ) . lo”
Heteroschicht
3
P-A4 36GaO.mAS
Ge ( I ...3 ) . lo”
p-Halbleiter
5
p-GaAs
Ge (20.. .40) . 10”
742
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
Die Halbwertsbreite der Strahlung der Laserdioden ist relativ grol3 (3 nm bei GaAs), damit ist die Koharenzlange gering (im Millimeterbereich). Da die Querabmessung dder strahlenden Schicht klein ist, ist die Divergenz der Strahlung infolge der Beugungsauskoppelung groB. Der Winkel betragt 0 = h/d, woraus sich mit h = 840 nm, ri = I pm die Divergenz 0 = 0,84 & 48" ergibt. Die Leistung von Laserdioden kann his zu 200 mW im kontinuierlichen. bis zu 100 W im Tmpulsbetrieb betragen. Forh.stoflu.ser haben Bedeutung als durchstimmbare Laser erlangt, d. h. als Laser mit in relativ weiten Grenzen einstellbarer Wellenlange. Der aktive Stoff besteht aus organischen Farbstoffen, die Molekule aus vielen Atomgruppen enthalten. Der erste 1966 von SOROKIN und LONKORD entwickelte Farbstofflaser enthalt Chloraluminiumphthalocyanin. Auf das Elektronenschema der Farbstoffmolekiile ist eine groBe Anzahl an Schwingungsniveaus aufgebaut. Durch optisches Pumpen tritt die Besetzungsinversion vor allem zwischen den unteren Schwingungsniveaus des oberen Elektronenniveaus und den oberen Schwingungszustlnden des unteren Elektronenniveaus ein. Bei geniigend starkem Pumpen sind aber auch die anderen Niveaus an dem Vorgang beteiligt (Abb. 7.54). Als Pumplichtquellen werden oftmals Rubinlaser oder Halbleiterlaser verwendet. Ein kontinuierlich durchstimmbarer Resonator wurde von SOFFER und McFERLAND 1967 vorgeschlagen. Die Farbstoffkuvette befindet sich in einem Resonator aus einem Planspiegel und einem schwenkbaren Reflexionsgitter. Dadurch wird die Wellenlange der ersten Beugungsordnung verstarkt. die mit dem Beugungswinkel veranderlich ist. Auch andere frequenzselektive Elemente kiinnen der Durchstimmung dienen. Mit einem Farbstoff sind etwa 170 nm uberstreichbar. Die Farbstofflaser uberdecken den Wellenlangenbereich zwischen 320 nm und 1,28 pm. wobei allerdings auch Pumplichtquellen wie Stickstoff-, Edelgasionen- Excimer-. Nd-YAG- und Edelgaslaser (Ar, Kr) und teilweise die zweite oder hiihere Harmonische ihrer Strahlung zur Anwendung kommen. Beispiele dafur sind in der Tab. 5.35 enthalten.
Abb. 7.54 Prinzip des Farbstoftlaserh (schematisch)
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
7.5.4
743
Anwendungen der Laser
Wir konnen hier nur eine Auswahl an Laser-Anwendungen in ihren Grundzugen behandeln. Es existiert bereits eine groBereAnzah1 an Spezialwerken uber Laser; wir nennen z. B. [ 3) und [ 1051 sowie die dort angegebene Literatur. Im allgemeinen wird bei den einzelnen Anwendungen eine der im Abschn. 2.4.5 genannten Eigenschaften der Laserstrahlung bevorzugt genutzt. Wir gehen in der Reihenfolge zeitliche Koh%renz, hohe Intensitat, raumliche Koharenz vor. Die zeitliche Koharenz ist eine Voraussetzung fur die Holografie (Abschn. 4.4.8,7.4.2,7.4.3). Die Interferometrie ist mit grol3en Gangunterschieden moglich. In Verbindung mit der Holografie ist die Anwendung auf rauhe Oberflachen und auf bewegte Objekte zu realisieren. Bemerkenswert sind die Experimente zur Interferenz von Lichtbundeln, die von zwei voneinander unabhangigen Lasern ausgehen. Die Interferenzfahigkeit von Bundeln, die von zwei Lichtquellen ausgestrahlt werden, hangt vom Entartungsgrad der Wellenfelder ab. Fur 6 << 1 (thermische Quellen) sind die Wellen nicht interferenzfahig, aber fur 6 >> 1, also fur Laserbundel. RADLOFF konnte 197 1 zeigen, daB auch bei sehr geringen Intensitaten das vollstandige Interferenzbild auftritt, also der Wellencharakter des Lichtes nachweisbar ist. Die optische Nachrichteniibertragung gehort zu den praktisch bedeutungsvollsten Anwendungen des Lasers. Eine zeitlich koharente Welle l%t sich besonders gut modulieren und so zur Ubertragung von Informationen verwenden. Fur die Ubertragung eines Kanals, z. B. eines Fernseh- oder Fernsprechkanals, wird eine bestimmte Frequenz-Bandbreite benotigt. Bei den hohen Frequenzen im optischen Bereich sind sehr viele Kanale auf einer Tragerwelle unterzubringen. So sind z. B. ohne weiteres in der GroBenordnung von lo5 Fernseh- oder lo8 Fernsprechkanale mit einem Laserbundel ubertragbar. Bei der Nachrichtenubertragung in der freien Atmosphare wirkt die Streuung des Lichtes begrenzend auf die Reichweite ein. Die gunstigsten Bedingungen sind im Infraroten gegeben. Vorteilhaft fur die Ausbreitung ist die gute Bundelung der Laserstrahlung. Es wird angenommen, daB atmospharische Laser-Ubertragungssysteme fur Entfernungen bis etwa 5 km einsatzfahig sind. Fur groBere Entfernungen sind Ubertragungsstrecken aus Lichtleitkabeln erforderlich. Bei Multimode-Fusem schatzt man die ubertragbare Bandbreite auf 30 MHz. Sie haben die groaten Aussichten, umfassend zum Einsatz zu kommen, besonders in Form der Grudientenfusrm. Die Monomode-Fusern erlauben gegenuber der Mehrmoden-Faser 1O3 bis 104-facheBandbreite. Die Glaser fur Lichtleiter mussen sehr homogen sein und durfen nur eine geringe Absorption aufweisen (geringe Dampfung). Trotzdem ist es nicht zu vermeiden, daB in gewissen Entfernungen Zwischenverstarker eingesetzt werden. Die Dampfung wird in Dezibel je km (dB . km-I) angegeben. Das Dezibel ist der dekadische Logarithmus des Quotienten aus den Leistungen vor und nach der Ubertragungsstrecke: 10 lg (P,IP,) (das Dezibel ist keine eigentliche Mabeinheit). Die Dampfung liegt bei guten Lichtwellenleitern unter 1 dB . km-l.Mit ihnen sind hohe Informationsflusse, bis in den Gbit . S-IBereich mit Monomode-Fasern, ubertragbar. Die theoretische Grenze der Dampfung fur dB . km-I. SiO,:GeO,-Glaser liegt bei lo-' dB . km-I, fur Fluoridglaser bei Fur die Nachrichtenubertragung konnen auch Lumineszenzdioden eingesetzt werden. Bevorzugt sind jedoch Halbleiter-Injektionslaser.Die Dampfung der Lichtwellenleiter ist bei h = 1,3 pm und h = 1 3 5 pm niedrig. Deshalb wurden Halbleiter-Doppelheterostrukturlaserfur diese Wellenlangen entwickelt, die aus GaAlAsSb/GaSb oder InGaAsPAnP bestehen.
7 Weiterfiihrende und aktuelle Ergiinzungen
744
-
Signal
+
Laser
Faser __
Zwischen- ve rsta r ke r
direkte od. indirekte Modulation
Faser
Signal
- Empfanger
b
Demodulation
Abb. 7.55 Schema der optischen Nachrichteniibertragung
Die Modulation der optischen Strahlung wird entweder auBerhalb des Resonators mittels elektrooptischer Bauelemente (Kerr-Zelle, Pockels-Zelle) oder direkt im Halbleiterlaser uber die Veranderung des elektrischen Stroms vorgenommen. Abb. 7.55 stellt das Prinzip einer Ubertragungsstrecke schematisch dar. Es ist noch zu beachten, dal3 bei Laserubertragungsstrecken das stark frequenzabhangige Quantenrauschen begrenzend auf die Signalerkennung einwirkt und die erforderliche Empfangerempfindlichkeit bestimmt. Inzwischen gibt es zahlreiche Versuchssysteme und auch kommerzielle Systeme zur optischen Nachrichtenubertragung mittels Lichtwellenleiter aus Glas- oder Kieselglas-Fasern. Zwischen den USA und Europa wurde z. B. ein 6684 km langes Kabel verlegt, auf dem 40 000 Ferngesprache gleichzeitig ubermittelt werden konnen. Alle 57 km ist ein Verstiirker erforderlich. Auch die nationalen Telefonnetze werden schrittweise auf Lichtleitfaser umgestellt. Weitere aktuelle Beispiele sowie die Systemanforderungen sind in [7h] enthalten. Die grc$e Inrensitur der Laserstrahlung stellt die Basis fur die nichtlineare Optik dar (Abschn. 5.8.1, 5.8.2). In der Biologie und in der Medizin wird sie in Verbindung rnit einer guten Fokussierung zur eng begrenzten Erhitzung von Gewebeteilen genutzt (z. B. Anhaften von abgelosten Netzhautteilen, Schadigung von Geschwulsten u. a.). Dafur eignen sich z. B. der Argonlaser oder der Nd-YAG-Laser als Strahlungsquellen. Auch rnit dem C0,-Laser ist es moglich, chirurgische EingrifTe vorzunehmen (,,Laser-Skalpell"). An der Oberflache von Werkstucken lafit sich rnit einem Laserbundel eine kleine Stoffmenge verdampfen und fur spektroskopische Untersuchungen bereitstellen. Eine weitere Anwendung ist die Materialbearbeitung, bei der unter anderem fokussierte Bundel von C0,-Lasern eingesetzt werden. Es lassen sich kleine Bohrungen einbrennen. Technisch bereits in starkem Mal3e genutzt wird das Trennen von Werkstucken wie z. B. aus Glas, Textilstoffen und Papier. Abb. 7.56 zeigt ein Werkstuck aus Federstahl, das mit einem Laserbundel ausgeschnitten wurde. Auch der Nd-YAG-Laser wird fur die Materialbearbeitung venvendet, dazu noch einige weitere Typen wie z. B. der Nd-Glas-Laser. Neben dem erwahnten Bohren und Schneiden spielen das Laserschweiaen, das Gravieren und die Oberflachenbehandlung eine grol3e Rolle in der Industrie. Die riiurnliche Kohuren:, verbunden rnit der geringen Divergenz, ist die Grundlage fur mefitechnische Anwendungen. Dazu gehort die Entfernungsmessung. Die Entfernung Erde Mond konnte mit Hilfe von an Tripelspiegeln reflektierter Laserstrahlung bestimmt werden (auch mit dem sowjetischen Mondfahrzeug LUNOCHOD auf 1 m genau). Laserstrahlung dient als Hilfsmittel fur Fluchtungsmessungen im Bauwesen und im Maschinenbau.
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
745
Abb. 7.56 Anwendung des Lasers zur Materialbearbeitung (Schneiden von Stahl)
Die Geschwindigkeit von Objekten kann beriihrungslos uber den Doppler-Effekt bei der Reflexion oder Streuung von Laserstrahlung am Objekt gemessen werden. Fur v << c betragt die Frequenzanderung
2vv AV = -cos 6 C
(6Winkel zwischen Lichtrichtung und Richtung der Geschwindigkeit v , c Lichtgeschwindigkeit im Stoff c = cdn). Wird das reflektierte oder gestreute Licht mit einem Referenzbundel des gleichen Lasers uberlagert, so entsteht eine Schwebung mit der Frequenz v + Av - v = Avs, die gemessen wird. Sind 19 und n bekannt, kann v berechnet werden (Abb. 7.57). Die Messung der Winkelgeschwindigkeit mit einem Ringlaser wurde bereits im Abschn. 7.2.2 behandel t . Zur Zeit wird in einem unterirdischen Labor im Bayerischen Wald der groRte bisher realisierte Ringlaser erprobt. In einer 16 m langen Resonatorrohre eines Helium-Neon-Gaslasers laufen die Laserbundel in entgegengesetzter Richtung um. Durch die Erdrotation ist die optische Weglange geringfugig verschieden, wodurch eine Frequenzdifferenz entsteht. Schwankungen der Erdrotation bedingen Frequenzunterschiede, die bei 300 Hz ein Millionstel Herz betragen konnen. Messungen dieser Genauigkeit sind erforderlich fur die Positionsbestimmung, zur Navigation und fur geodatische Messungen.
7 Weiterfiihrende und aktuelle Ergdnzungen
746
] Frequenzrnesser
Detektor Spiegel
Abb. 7.57 Geschwindigkeitsmessung mit einem Laserbundel (schematisch)
Plattenspeicher. Zur optischen Speicherung von Ton- und Bildsignalen werden metallisierte Plastscheiben verwendet. Der Schallaufzeichnung dient die Digitalschallplatte, die Compact Disc (CD), in die mittels Laserdioden Vertiefungen (Pits) unterschiedlicher Lange (minimal 0,83 pm) eingebracht sind. Die Erhlihungen werden Lands genannt. Am Ubergang zwischen Pits und Lands wird die Eins, dazwischen die Null registriert. Es gibt Ausfuhrungsformen, bei denen die 0,4 pm breite Spur 2 4 Tiefe hat und der Abstand der spiralforrnig aufgebrachten Spur 1,6 pm betragt. Abb. 7.58a enthalt das optische System des Lesekopfes fur eine Digitalschallplatte. Zur Trennung der Strahlengange wird die Polarisationsanderung bei der Reflexion und Beugung an den Tonspuren genutzt. Deshalb ist der Teilerwiirfel rnit einer teildurchlassigen Schicht versehen, die fur Lichtwellen mit senkrecht zueinander stehender Schwingungsebene unterschiedlich reflektiert. Antneb und Signalverarbeitung erfordern hohe mechanische Stabilitat und groljen elektronischen Aufwand, einschlieljlich des Einsatzes eines Mikrorechners. Das optische System zur Abbildung des Laserbundels mu13 nahezu beugungsbegrenzt, leicht und damit miniaturisiert sein (gunstig ist die Fokussierung auf hochstens 1 pm2 Flache). Das Bestreben geht dahin, umfassend asphiirische Linsen oder Linsen mit stetig veranderlicher Brechzahl (Gradientenlinsen) einzusetzen. Inzwischen ist mit der DVD (digital versatile Disc, versatile: engl. vielseitig) eine Speicherplatte entwickelt worden, die bis zur 26-fachen Speicherkapazitat der CD hat (17 Gbyte) [83]. Die DVD sind als Ton-. Bild- und Datentrager vielseitig anwendbar - daher der Name - und haben eine kleine Zugriffszeit. ,,Single-Side-Single-Layer-DVD enthalten wie die CD eine reflektierende Schicht aus Metall zwischen zwei Plastschichten (Sustrate). Das Laserbiindel wird auf die metallische Aufzeichnungsschicht mit Pits und Lands fokussiert. Die Abmessungen sind jedoch gegeniiber der CD verringert. Der Spurabstand betragt 0,74 pm und die Pitlange mindestens 0,4 pm. Dadurch mussen Laser im Wellenlangenbereich zwischen 635 nm und 650 nm verwendet werden. besteht aus einer reflektierenden und einer halbdurchDie ,,Single-Side-Dual-Layer-DVD" lassigen Schicht (Abb. 7.5Xb). Der Laser laljt sich auf je eine der beiden Schichten fokussieren. Fruher wurde zur Aufzeichnung von Fernsehbildern z. B. die optische Bildplatte von Philips (1978) verwendet, die 300 mm Durchmesser, 1.5 pm Dicke und 2 x 30 Minuten Laufzeit hatte (auch VLP genannt, von Video Long Play). Durch die Entwicklung der DVD ist diese iiberfliissig
7.5 Nichtabbildende Funktionselemente
147
Platte mit Spuren
optisches System
a
Polarisator
/
' optische Systeme
Gitterplatte
Halbleiterlaser
! !
Substrat
reflektierende Schicht
--\ halbdurchlassige Schicht Substrat
b)
Abb. 7.58 a) Lesekopf fur eine Digitalschallplatte (Compact disc), b) Struktur der Single-Side-Dual-Layer-DVD (schematisch)
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
738
geworden, zumal Fortschritte in der Speicherkapazitat durch den Einsatz kurzwelliger Laser (blaue oder violette Dioden) erwartet werden. Auch losch- und wiederbeschreibbare DVD sind inzwischen miiglich geworden. Weitere optische Speicher wurden bereits im Abschn. 7.5.2 behandelt. Kur,-e irirensive Lnserimpulse bis in den ps-Bereich hinein sind ein Mittel, urn chemische Reaktionen im Einzelmolekul unmittelbar untersuchen oder beeinflussen zu konnen. Allgemein ist eine wesentliche Weiterentwicklung der Kurzzeitspektroskopie zu verzeichnen. Eine Anwendung frequenzstabiler Laser ist die hochauflBsende Spektroskopie. In einem molekularen Gas mit niedrigem Druck wird eine stehende Laserlichtwelle erzeugt. Bei Variation der Laserfrequenz uber die Doppler-Breite einer molekularen Absorptionslinie hinweg erscheinen Intensitatsmaxima mit der naturlichen Linienbreite von weiteren Linien, die bei der herkommlichen Spektroskopie nicht aufzulosen sind. Es konnen z. B. innerhalb der Doppler-Breite uber 1000 weitere Linien mit einem Auflosungsvermogen von 10’ getrennt werden. Es kann festgestellt werden, daB die Entwicklung des Lasers in vielen Teilgebieten neue Moglichkeiten eroffnet hat und neue Gebiete entstehen lie13. An der Ausarbeitung der Einzelheiten wird weiterhin umfassend gearbeitet. Das gilt auch fur die Versuche, eine gesteuerte Kernfusion in Plasmen einzuleiten, die mittels Hochleistungslasern auf hochste Temperaturen erhitzt werden. Eine Aufgabe von besonderer Tragweite fur die okologische Energieerzeugung [89].
7.6
Optische Instrumente und Systeme
7.6.1
Mikroskopierverfahren
Die Miiglichkeiten, in Durchlicht, Auflicht, Hell- und Dunkelfeld zu beobachten, haben wir bereits behandelt. Da die mikroskopischen Objekte bezuglich der Beeinflussung des Lichtes eine gro13e Vielfalt zeigen. sind auch daran angepaate Mikroskopierverfahren zahlreich entwickelt worden. Das Verstandnis der wellenoptisch-mikroskopischenAbbildung wurde besonders durch die Arbeiten von ERNSTABBE gefiirdert, die spater in der koharent-optischen Ubertragungstheorie ihre allgemeine Einordnung fanden (Abschn. 6.2.6 und 6.2.7). Integerenzmikroskopr stellen eine Kombination aus Interferometer und Mikroskop dar. So ist z. B. die Anordnung nach LINNIK (Abb. 7.59) ein MICHELSON-Interferometer mit zwei Mikroobjektiven. Bei der Erzeugung von Intrr&rm,-en gleicher Neigung zeigen sich Hohenunterschiede im Objekt durch Hell-Dunkel- oder Farbkontrast an. Mit einer kleinen Neigung des Vergleichsspiegels sind IntegerenZen gleicher Dicke moglich, die das Bild als Hohenlinien uberdecken. Hiihenunterschiede sind dadurch leicht auszumessen. TOLANSKY konnte mit Hilfe von Interferenzen mit Mehrfachbundeln (ahnlich dem FABRYPEROT-Interferometer) Hohenunterschiede von 2 nm abtasten. P~~lari.sarionstriikr~.sk~~~~e enthalten im Beleuchtungssystem und hinter dem Objektiv Polarisationsfilter. Die Interferew der den Analysator verlassenden senkrecht zueinander polarisierten Lichtwellen im Bild zeigt die Anderung des Polarisationszustandes im Objekt an. In Auflicht werden vor allem Metalloberfllchen, in Durchlicht biologische Objekte, Kristalle oder verspannte Gliiser beobachtet.
749
7.6 Optische Instrumente und Systeme
i"l
Objekt
Abb. 7.59 Schema des Interferenzmikroskops nach LINNIK
Die Holograje hat auch in die mikroskopische Abbildung Einzug gehalten. Bei den rein holografischen Verfahren wird das Objekt bei der Aufnahme des Hologramms und bei der Rekonstruktion mit einer stark divergenten Welle beleuchtet. Durch Abbildungsfehler, die Eigenschaften des Laserlichtes und der Aufzeichnungsstoffe ist jedoch die Auflosung stiirker begrenzt als bei der herkommlichen Mikroskopie. Erfolgreicher sind die Verfahren, bei denen ein Hologramm des Zwischenbildes aufgenommen wird (Fourier-Transformations-Holografie, Abschn. 7.4.2). Damit gelingt es, wesentlich groBere Schiirfentiefen als bei der konventionellen Mikroskopie zu erreichen, so daR die hochauflosende Abbildung mit ausreichender Tiefendarstellung moglich wird.
Fluoreszenzmikroskopie.Viele Stoffe und auch Lebewesen konnen durch Bestrahlung mit kurzwelliger, z. B. ultravioletter Strahlung, zu Fluoreszenzleuchten angeregt werden. Dadurch l a t sich oft ein Einblick in den Feinbau dieser Korper ohne Einfabung gewinnen. Bei nicht fluoreszierenden Korpem kann dieses Verfahren allerdings nur nach Zugabe von fluoreszierender Losung, z. B. von Rhodamin, angewandt werden, wodurch (in stark verdiinnter Losung) zuweilen auch die Feinuntersuchung auRerst kleiner Lebewesen moglich wird. Schlierenverfahren. Gelegentlich wird in der Mikroskopie auch das Schlierenverfahren angewandt, das in seiner urspriinglichen Form von TOEPLER heniihrt. In der Abb. 7.60 ist die Toeplersche Anordnung wiedergegeben. Der leuchtende Gegenstand PP wird durch das Objektiv 0 abgebildet, das reelle Bild wird jedoch durch eine Blende S vollkommen abgefangen. Ein inhomogener Stoff wird einen Teil der Strahlung an der Blende vorbeileiten. Daher wird die Mattscheibe M in der Beobachtungskammer B mehr oder weniger aufgehellt. Auf der Mattscheibe entsteht ein Schlierenbild, d. h. unregelmaBige Aufhellungen wechseln mit Stellen groBerer Dunkelheit ab. Die klassischen optischen Mikroskopierverfahren nutzen das Fernfeld des vom Objekt beeinfluBten Lichtes. Dabei handelt es sich i. allgem. um partiell-kohiirentes Licht, das an der Objektstruktur gebeugt wurde. Im einfachsten Fall liegt Fraunhofersche Beugung vor.
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzunpen
750
o
u K
-”
S
L
A
B
M
Abb. 7.60 Zum Schlierenverfahren, a) Toeplersche Anordnung, b) Schlierenbild einer Flamme
Die mikroskopische Abbildung im Fernfeld ist unabdingbar mit der Abbeschen Theorie verbunden, so dab das AuflosungsvermSgen auf ca. eine halbe Wellenlange des Lichtes begrenzt ist. Wie bereits die Abbesche Theorie zeigt, mu13 zwischen der Auflosbarkeit von Strukturen und der Ahnlichkeit zwischen Bild und Objekt unterschieden werden. Die Auflosung ist bereits bei geringeren numerischen Aperturen moglich als die ahnliche Abbildung, weil diese das Zusammenwirken vieler Beugungsordnungen erfordert. Da das Autltisungsvermogen des Mikroskops nach G1. (6.72) der Wellenlange der Strahlung proportional und der numerischen Apertur umgekehrt proportional ist, war zunachst die Zielrichtung klar. Die numerische Apertur ist nicht zu erhohen, also muljte mit kleineren Wellenlangen gearbeitet werden. Damit verbunden ist die Entwicklung der Rontgunmikmskupie und der Elektronenmikroskopie. Abgesehen von Problemen bei der Wechselwirkung mit der Strahlung, vor allem bei biologischen Objekten, sind abbildende Systeme fur Rontgenstrahlung schwierig zu realisieren und fur Elektronenstrahlung die numerische Apertur der abbildenden Systeme vie1 kleiner als bei optischen Systemen. AuBerdem erfordert die Elektronenrnikroskopie einen grol3en geratetechnischen Aufwand, der auch durch die Notwendigkeit des Arbeitens im Vakuum rnitbedingt wird. Im Zuge der technischen Realisierung und Anwendung von Mikrostrukturen in der Mikroelektronik, -optik und -mechanik wurde nach Verfahren gesucht, mit denen die Auflosungsgrenze
75 I
7.6 Optische Instrumente und Systeme
der klassischen Mikroskopie unterschritten werden kann. Wesentliche Informationen uber das Objekt sind bereits im NuhfeZd, also direkt hinter dem Objekt enthalten, worauf bereits SYNGE 1928 hingewiesen hat. Daraus resultieren die Verfahren der Nahfeldmikroskopie. Die Nuhfeldmikroskopie erfordert das Beleuchten bzw. Abtasten kleinster Bereiche der Objektebene. Ein ausreichendes Objektfeld ist nur moglich, indem die Objektebene geniigend fein und reproduzierbar abgerastert wird. Die Grundlagen wurden zunachst in der Elektronenmikroskopie realisiert. Raster-Elektronenmikroskop(REM). Die Theorie des Raster-Elektronenmikroskops wurde 1937, die praktische Ausfuhrung 1938 erstmalig von MANFRED von ARDENNE in Fachzeitschriften beschrieben. Im Hochvakuum wird ein Elektronenbundel mittels magnetischer Linsen (bis zu drei Linsen) auf einen kleinen Durchmesser fokussiert (Abb. 7.61a). Dieser kann bei einer thermischen Quelle minimal 5 nm.. .I0 nm, bei einer Feldemissionsquelle 0,5 nm.. .2 nm betragen. Der Durchmesser der Elektronensonde bestimmt im wesentlichen das Auflosungsvermogen und wird den jeweiligen Anforderungen angepal3t. Elektronenquelle
Anode
w
Justierspulen
Kondensor
Objektiv
Bildschirrn ,/”
elektronische Ubertragung
m ///-
-
rrCCr**
__,*-_<-<-
Objekt
Abb. 7.61 Rasterelektronenrnikroskop,a) prinzipieller Aufbau, b) Abbildung von Teststrukturen (Kupferfolie, galvanisch abgeschieden, 25 kV Beschleunigungsspannung,Vergoserung 3000; mit Tesla-Mikroskop BS 300)
752
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
Die Elektronensonde wird mit Ablenkspulen so in zwei Querrichtungen abgelenkt, daB das zu untersuchende Objekt rasterformig bestrahlt, also ,.abgerastert*' wird. Die auf das Objekt auftreffenden Elektronen losen Sekundarelektronen aus, die mit einem speziellen Detektor registriert werden. Der heute ubliche Detektor wurde I960 von EVERHART und THORNLEY vorgestellt. Ein Netz, das gegenuber dem Objekt eine positive Spannung hat, nimmt die Sekundarelektronen auf. Dahinter ist ein Szintillatorkristall mit einer Spannung von +10 kV gegeniiber dem Netz angebracht. Die Lichtblitze werden uber Lichtleitkabel zu einem Sekundiirelektronenvervielfacher iibertragen und auf das 106-fache verstarkt. Die im Detektor entstehenden Signale gelangen zu einer Bildrohre und werden dort synchron zur Abrasterung des Objektes und damit zur zeilenweisen Grauwertsteuerung genutzt. Es entsteht ein Bild mit dem AbbildungsmalJstab, der sich aus dem Verhaltnis von SchirmbildgrolJe und GriiBe der abgerasterten Objektflache ergibt und damit leicht variiert werden kann (zwischen 5 : 1 und lo5 : 1). Aufgrund der BuBerst minimalen numerischen Apertur des Elektronenbiindels ergibt sich eine sehr groBe Scharfentiefe (z. B. +50 pm beim AbbildungsmalJstab 1000). Das Objekt wird nur sichtbar, weil die Anzahl der ausgelosten Sekundarelektronen vom Auftreffwinkel der Elektronenstrahlung abhangt. Sie ist bei senkrechtem Auftreffen am kleinsten. Daraus ergibt sich auch ein von der Stellung des Detektors abhangiger plastischer Eindruck (Abb. 7.6 1b).
Rastertunnel-Elektronenmikroskop. Ein Fortschritt bezuglich der Auflosung wurde mit dem Feldelektronen- und Feldionenmikroskop erreicht (MULLER 1937 bzw. 1951). Dazu sind feine Spitzen (Krummungsradius S 1 pm) und hohe Feldstarken erforderlich, so daB nicht beliebige Objekte untersucht werden konnen. Das Rasterelektronenmikroskop fur die Abbildung von Oberflachen ist in seiner Auflosung vor allem durch die Streuung der auftreffenden Elektronen begrenzt (auf ca. 1 nm). Eine Synthese aus dem Prinzip des Feldelektronen-, des Rasterelektronenmikroskops, einem Abtastprinzip fur Oberfllchen von YOUNG (1 977) bei weiter erhohter feinmechanischer Prazision und dem neu einbezogenen Tunneleffekt der Wellenmechanik gelang BINNIG und ROHRER mit dem Rasterfunnel-Elektronenmikroskop(veroffentlicht 1983).(Der Tunneleffekt besagt, daB die Elektronen eine Potentialschwelle mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit durchdringen konnen, deren Energie grofier ist als ihre kinetische Energie, wenn die Schwelle genugend schmal ist.) Dr. G. Binnig, geb. 20.7.1947 in FrankfudMain; Dr. H. Rohrer, geb. 6.6.1933 in Buchs (Schweiz), Promotion am Schweizerischen Bundesinstitut fur Technologie, entwickelten das Rastertunnelrnikroskop am IBM-Forschungslaboratorium in Zurich/Riischlikon. Dafur erhielten sie 1986 den Nobelpreis fur Physik, zu gleichen Teilen wie RUSKA. Das Rastertunnel-Elrktronenmikroskopenthalt weder eine spezielle Elektronenquelle noch elektronenoptische Abbildungselemente. Eine feine Spitze (I1 pm) wird uber die Obertlache des Objektes beruhrungslos rastcrfiirmig gefiihrt. Bei genugend kleinem Abstand zwischen Objekt und Spitze flieBt aufgrund des Tunneleffektes auch bei niedriger Spannung im Vakuum ein elektrischer Strom. Der Tunnelstrom wird konstant gehalten und damit auch der Abstand der Spitze vom Objekt (wobei angenommen ist, dal3 die ubrigen Parameter, die den Tunnelstrom bestimmen, konstant bleiben). Dadurch zeichnet die Spitze die Hohenunterschiede als Funktion des Ortes nach. Die Hohenunterschiede konnen uber die fur den konstanten Tunnelstrom erforderliche Spannung gemessen und z. B. auf einern Bildschirm aufgezeichnet werden. Die Fuhrung der Spitze stellt aufiergewohnliche Forderungen an die rnechanische Prazision und an die Steuerungstechnik. In die feinfuhligen Verstellprozesse wurde der piezoelektrische
753
7.6 Optische Instrumente und Systeme
Effekt einbezogen. Die Auflosung betragt in der Ebene ca. 0,2 nm, in der Tiefe ca. 0,02 nm, so daR atomare Strukturen ,,sichtbar" sind.
Scanning-Nahfeldmikroskopie. Bereits ein Jahr nach der ersten Veroffentlichung zur Rastertunnel-Elektronenmikoskopie erschien die Arbeit von POHL, DENK und LENZ ( 1984) zur Nahfeld-Mikroskopie mit sichtbarem Licht. In der Folge entwickelte sich eine Vielfalt von Abwandlungen, die sich vor allem in der Wechselwirkung einer Sonde mit dem Objekt unterscheiden. Nach amerikanischem Vorbild werden sie mit SMX-Mefhoden bezeichnet, wobei das S das Symbol fur ,,Scanning",das M fur ,,Microscopy" und das Xfiir die spezielle Methode ist. Beispiele sind: S M M : Near field Qptical (optische Nahfeld-Mikroskopie), Sm: Tunneling (optische Raster-Tunnelmikroskopie), Sm: Force (optische Raster-Kraftmikroskopie), S W M : Near field Acustical (optisch-akustische Raster-Mikroskopie), STM: Thermal (optisch-thermische Raster-Mikroskopie) usw. Grundsatzlich bestehen die Nahfeld-Raster-Mikroskopeaus folgenden Hauptgmppen (Abb. 7.62): - mechanisch hochstabiles Stativ, - Strahlungsquelle, die i. allgem. aus einem Laser besteht, - Sonde zur Abtastung undoder Beleuchtung der ,,Rasterpunkte", - Scanner, der entweder das Lichtbiindel rasterformig uber die Probe ablenkt oder die Probe in
zwei Dimensionen rasterformig bewegt, - optoelektronische Empfanger und nachgeschaltete Signalverarbeitung mittels Mikroprozes-
soren.
Bilderkennung
Sonde
Objekt
Scanning-Einheit
Stativ
Abb. 7.62 Komponenten eines optischen Rastersonden-Mikroskops
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
7 54
1-1
Sensor
I n t erferometer I
-
1
Teilerspiegel
Laser
I
I
_.'
!
, \ '
~-
Oblekt (Oberflachenprolil)
mit Kontakl
ohne Kontakt
Scanner Abb. 7.63 Schema eines optischen Rasterkraft-Mikroskops(SFM, AFM)
Optische Raster-Kraftmikroskopie(SFM: sccinningforce tnic~roscop.~ oder AFM: atornir,fi)rce inikrosco111y. Abb. 7.63). Mit dem Raster-Kraftmikroskop wird die Wechselwirkung zwischen
den vorderen Atomen einer MeRspitze und den Atomen der Probenoberflache genutzt, urn das Obertlichenprofil mechanisch abzutasten. Beim K~)ntcikt~~erfihren rastert die MeRspitze die Oberflache unter stiindiger Beruhrung ab, indem sie daruber hinweg gleitet. Die Krafte werden iiber die Ablenkung einer sehr weichen Blattfeder gemessen. und zwar interferometrisch mit einer Genauigkeit von 5 nm. Die Blattfeder kann rnittels Methoden der Mikrostrukturierung aus Si,N, hergestellt werden. Die Tastspitze, z. B. eine Pyramide aus einkristallinem Silicium, laBt sich unniittelbar integrieren. Beim NiL.htkontLikt~,rrfiihreriliegt eine dynamische Messung vor. Die Blattfeder wird parallel zur Oberflache zu Resonanzschwingungen angeregt. Dazu sind steife Blattfedern mit hohen Eigenfrequenzen geeignet. Bei Annaherung der MeRspitze aufunter 10 nm Abstand von der Probe tritt automatisch eine Danipfung und Phasenverschiebung der Schwingung ein. Daraus ergibt sich uber die interferometrisch gemessene Auslenkung der Blattfeder die Oberfliichenstruktur. Die Auslenkung kann aber auch iiber Lichtzeiger oder mit piezoresistiven Sonden. die in die Blattfeder integriert sind. geniessen werden.
Optische Nahfeld-Raster-Mikroskopie (sccinning nearfield opticcil microsco~py,SNOM). Dem R c r , s t ~ ~ r t i r t ~ r i r l - E l ~ ~ t r o t ~ eam t ~ tnichsten ~ ~ i k r o ,steht s ~ ~ ~das ~ optischr Rastertutinrl-Mikroskop (STM: S c t i t t r t i t ~ g - 7 i t t ~ t ~ ~ l i t ~ ~ - M das i ~ r ~auch ~ . s ~als ~ o Photonrn-TLinnel-Mikr~)skop i~~), bezeichnet wird
755
7.6 Optische Instrumente und Systeme
Lichtfaser-Sonde
evaneszente Welle
einfallende Welle
totalreflektierte Welle
lasprisma mit Beleuchtung)
Scanner Abb. 7.64 Schema eines optischen Rastertunnel-Mikroskops (STM. PTM)
(FTM: Photon-Tunneling-Microscopy, Abb. 7.64). Ausgenutzt wird der Coos-Hanchen-Effekt, nach dem bei der Totalreflexion innerhalb des optisch dunnen Stoffes eine Welle Iangs der Grenzflache verlauft (evaneszente Welle). Die Feldstarke der Welle wird senkrecht zur Grenzflache exponentiell gedampft und ist nur innerhalb einer Schicht nachweisbar, die dunner als die Wellenlange des Lichtes ist. Eine Sonde, die in diese Schicht eintaucht, verhindert an ihrer Stelle die Totalreflexion. Sie zapft gewissermaBen die evaneszente Welle an und leitet Licht von der Probenoberflache ab. Die abgeleitete Lichtleistung ist ein MaB fur den Abstand Sonde - Obefflachenprofil. Durch das Scannen wird das Oberflachenprofil zeilenweise abgetastet. Eine weitere Variante der optischen Nahfeld-Rastermikroskopieist die uperturbegrenzte optische Mikmskopie (aperture SNOM, AOM: aperture-limited optical microscopy, Abb. 7.65). Sie zeichnet sich dadurch aus, daB mit einer sehr kleinen Austrittsflache einer Sonde sowohl beleuchtet wie auch abgetastet werden kann. Der Abstand zwischen Sonde und Probe mu8 wesentlich kleiner als die Wellenlange des Lichtes sein (einige nm). Als Sonde besonders geeignet ist eine Glasfaser, die durch Ziehen in erhitztem Zustand zur Spitze geformt wird (Kerndurchmesser 100...150 nm). Die weitere Reduzierung des Durchmessers auf unter 50 nm wird durch das Aufdampfen von Metall erzielt. Im allgem. verwendet man Aluminium mit 100 nm Dicke, weil in Aluminium sichtbares Licht nur 6 nm tief eindringt. Der konstante Abstand Sonde - Objekt von 5 bis 20 nm wird wie beim Nichtkontakt-Kraftmikroskop eingestellt. Die Faserspitze wird parallel zur Oberflache zu Schwingungen angeregt, die durch die Wechselwirkung zwischen Sonde und Probe bei sehr kleinen Abstanden gedampft und phasenverschoben wird.
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
756
Lichtfaser-Sonde
Lichtfaser-Sonde
(Quelle)
(Sensor)
I
_-
y,, Quelle(n)
// '\,
i
\ \ .
A ~
Durchlicht
Sensor(en)
,I
! u \
Durchlicht
Abb. 7.65 Schema eines aperturbegrenzten optischen Rastersonden-Mikroskops (Apertur-SNOM, AOM)
Konfokales Laser-Scanning-Mikroskop (LSM, Abb. 7.66). Beim konfokalen Mikroskop befindet sich in der zur Objektebene konjugierten Ebene eine feine Lochblende (Pinhole). Dadurch wird nur die Information des jeweils fokussierten Einzelelements (,,Objektpunktes") registriert. Beim Abrastern (,,Scannen") der Objektebene erfaljt man nacheinander alle Objektelemente des Feldes. Dieses wird also digital abgebildet, wodurch die computergesteuerte Auswertung erleichtert wird. Kommerziell sind z. B. 512 x 512 Bildelemente (Pixel) mit einem Scanner aus zwei galvanisch angetriebenen Spiegeln realisiert. In der Abb. 7.66 ist ein Auflichtmikroskop dargestellt, das fur reflektierende und selbstleuchtende Objekte geeignet ist. Das konfokale Prinzip ermoglicht selbst bei einem unstrukturierten Objekt (Spiegel, OberflPche einer polierten Glasplatte) eine genaue Lagebestimmung innerhalb der durch G1. (6.87) gegebenen Scharfentiefe. Bei der Lage in der Fokusebene hat die Bildhelligkeit ihr Maximum. Unter den selbstleuchtenden Objekten haben biologische Praparate, die selbst fluoreszieren oder durch gezielte Zusatze zur Fluoreszenz angeregt werden, eine besondere Bedeutung. In diesem inkoharenten Fall wird beim Einsatz eines Groljflachensensors (Detektorarray) das gesamte beugungsbegrenzte Punktbild des Laserfokus mit den gescannten Punktbildern des Objektes gefaltet. Das hat nahezu eine Halbierung des Auflosungsvermogens, also eine Verdoppelung der Auflosung gegenuber dem klassischen Mikroskop. zur Folge (es stort lediglich noch das minimierte Signalrauschen). Die konfokale Blende wirkt als Raumfilter, der die Informationen aus zur Objektebene parallelen Ebenen unterdruckt. Das ermoglicht die Mikroskopie in parallelen Schnitten des Objektes, wobei die Hohenverstellung motorisch erfolgt. Aus einem so gewonnenen Datensatz sind 3DBilder zu berechnen, deren zeitliche Veranderung ebenfalls ausgewertet werden kann.
Abb. 7.66 Schema eines konfokalen Laser-Scanning-Mikroskops (LSM)
(gescannte) Oberflachenstruktur
“paralleles”Laserbundel
fokale Objektlage (maximale Intensitat auf GroOflachensensor
GroOflachen-Sensor
Lochblende (optisch konjugiert zu fokaler Objektlage)
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
758
Beirn konfokalen Durchlichtmikroskop sind samtliche klassischen Verfahren anwendbar (Hellfeld-, Dunkelfeld-, Polarisations-, Phasenkontrast-Mikroskopie).
Rontgenmikroskopie. Direkt abbildende Elernente fur die Rontgenoptik beruhen auf dem Prinzip der Fresnelschen Zonenplatte (Abschn. 4.4.7), der Braggschen Reflexion an Netzebenen (Abschn. 7.2.3) und der Totalreflexion an polierten sowie mit Metall uberzogenen Oberflachen. Zonrnplatren sind deshalb schwierig zu realisieren, weil die Absorption der Rontgenstrahlung in den ,.dunklen" Ringen bei vertretbaren Dicken ungenugend ist. Trotzdem erscheinen abgewandelte Zonenplatten, die z. B. Phasenanderungen nutzen, fur die Zukunft aussichtsreich. Nach GI. (7.14) gilt fur die Beugung am Raumgitter die Braggsche Reflexionsbedingung 2 d . sin a = k h ( k = I , 2, 3. . ..). d ist der Netzebenenabstand, a der Glanzwinkel. Die Gleichung gilt zwar streng genommen nur, wenn die Rontgenstrahlung an der Oberflache nicht gebrochen wird (nre,= l ) . Fur nre, + l ist in die Braggsche Bedingung ein geringfugig abgewandelter, von der Wellenlange abhangiger wirksarner Netzebenenabstand einzusetzen. Nach FANKUCHEN lassen sich mit einem geeignet angeschliffenen Kristall rnonochromatische Spaltbilder rnit einer Intensitatssteigerung durch die Einschnurung des Bundels erreichen. Abb. 7.67 zeigt schematisch das Prinzip ( a Glanzwinkel, q Anschliffwinkel, h und h' Bundelbreiten). Die Abbildung eines Objektpunktes A in einen Bildpunkt A' ist rnoglich, wenn ein ,,gebogener" Kristall verwendet wird, dessen Netzebenen den Radius r haben und an den die Radien r/2
..*.... Abb. 7.67 Reflexion von Rontgenstrahlung an Netzebenen
7.6 Optische Instrumente und Systeme
759
Abb. 7.68 Spiegelanordnung nach TRURNIT und HOPPE
und r, angeschliffen sind. Der Kristall schmiegt sich dann analog wie ein beugendes Konkavgitter dem Rowlandkreis an (Radius d 2 ) . A und A' liegen auf dern Rowlandkreis (p'= 1). Abb. 7.68 enthalt zwei Kristalle, die symmetrisch zur optischen Achse liegen. Die Rontgenstrahlung muB unter dem Glanzwinkel cx auf die Netzebenen treffen. Die direkte Strahlung wird mittels einer Blende unterdriickt. Es bleiben dadurch nur enge, um einen Kegelmantel verteilte Bundel ubrig. Spiegelsysteme von H. TRURNIT und W. HOPPE (Abb. 7.68), die ein ausgedehntes Objekt abbilden, sind deshalb intensitatsschwach. Die Brechzahl fur Rontgenstrahlung der meisten Stoffe gegenuber Luft oder Vakuum weicht sehr wenig von Eins ab. Man gibt im allgem. den Wert fur 1 - n' an, der positiv ist und z. B. fur Quarz bei h = 0,175 nm den Betrag 11,189 . 10" hat. Der Grenzwinkel der Totalreflexion cG liegt in der Nahe von 90". Deshalb gilt folgende Niiherungsgleichung:
Im Beispiel von Quarz ist mit den obigen Daten E~ = 89,7". Das Nutzen der Totalreflexion fur abbildende Spiegelanordnungen erfordert deshalb nahezu streifenden Einfall der Rontgenstrahlung. KIRKPATRIK und BAER benutzten zwei gekreuzte Hohlspiegel, die mit Platin belegt waren. Derartige Spiegelanordnungen haben jedoch einen sehr starken Astigmatismus. Trotzdem erreichte man auf dieser Basis VergroBerungen von 50- bis 100-fach. Die mikroskopische Abbildung kleiner Flachen erfordert neben der Korrektion des Offnungsfehlers die Erfiillung der Sinusbedingung. Theoretische Untersuchungen von SCHWARZSCHILD zeigten, dalj diese Aufgabe mit nur einem Spiegel nicht zu losen ist. H. WOLTER entwickelte deshalb 195 1 in Kiel eine Anordnung aus zwei aneinandergesetzten Spiegeln, von denen der eine ein Paraboloid, der andere ein Hyperboloid darstellt (Abb. 7.69). Die Spiegeloberflache ist mit Metal1 belegt. Mit Rontgenmikroskopen, die Wolter-Spiegelobjektive enthielten, konnte etwa 100-fache VergroBerung erzielt werden. Spater wurden die Spiegel besonders in der Rontgenastronomie angewendet.
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzunpen
760
a)
Abb. 7.69 Spiegelanordnungenfur die Rnntgenoptik
7.6.2
Astronomische Fernrohre
Die Enrwicklung der astronomischen Fernrohre in den letzten Jahren ist vorwiegend durch drei Richtungen bestimmt, wobei die verbesserte Autlosung im Vordergrund stand.
Bei erdgebundenen Spiegelteleskopen la& sich die durch Storungen in der Atmosphare verzerrte Wellenflache mittels adaptiver Optik korrigieren. Darauf sind wir im Abschn. 6.3.2 eingegangen. Der atmospharische Einfluf3 lafit sich ausschalten, wenn das Femrohr auf einen Satelliten montiert ist (rxtratrrrestrirchr Astranornie). Das Paradebeispiel ist das ,, Spuce Telescope Hubble", das am 24.4.1990 in die Umlautbahn in ca. 500 km Hohe um die Erde geschickt wurde (in Abschn. 6.3.2 beschrieben). Spektralgerate und Astrokameras erganzen das Teleskop. Bis jetzt liegen bereits vide ausgezeichnete Aufnahmen vor, die inzwischen auch kommerziell verkauft werden. Der wissenschaftliche Nutzen ist beachtlich, zumal viele neuartige Erkenntnisse gewonnen wurden. Darauf gehen wir hier nicht ein.
7.6 ODtische Instrumente und Svsteme
76 1
Erst im Jahre 2002 konnte das Teleskop erfolgreich einer weiteren Wartung unter Austausch einzelner Baugruppen unterzogen werden. Daraus ist ersichtlich, daR extraterrestrische Teleskope fur lange Zeit funktionsfahig gehalten werden konnen, allerdings rnit betrachtlichem materiellen Aufwand. - Eine spezielle Weiterentwicklung fand die Rontgenastronomie durch den Einsatz von abbil-
denden Spiegelsystemen im extraterrestrischen Raum. Einen Hohepunkt erreichte diese Technik mit dem Start des Rontgensatelliten ROSAT am 1.6.1990. Nach langjahrigen Vorarbeiten gelang es im Betrieb Carl Zeiss asphbische Flachen mit einer Mikrorauhigkeit von 0,3 nm zu polieren. Damit wares moglich, ein Objektiv rnit vier ineinander geschachtelten Wolter-Spiegelsystemen (Abschn. 7.6.1) aus Zerodur und rnit Goldbedampfung herzustellen. Bei Rontgenteleskopen fur 0,5-10 nm Wellenlange wirkt namlich nicht die Beugung, sondern die Mikrorauhigkeit begrenzend auf die Auflosung. Der Rontgensatellit ROSAT enthalt auRerdem ein Wolter-Spiegelsystem rnit 57 cm Offnung fur die Beobachtung im kurzwelligen Ultraviolett (XUV-Teleskop fiir h= 6 nm - 30 nm). Inzwischen wurden mit ROSAT zahlreiche neue wissenschaftliche Erkenntnisse gewonnen. Er stellt auch die Grundlage fur weiterentwickelte Rontgensatelliten dar, die teils in Vorbereitung, teils bereits realisiert sind. Im Abschn. 6.3.2 wurde darauf hingewiesen, daR die ESO mit demVLT (Very Large Telescope) ein weiteres GroBteleskop in Vorbereitung hatte. Die Planungen dafiir begannen bereits 1983. Inzwischen sind die Arbeiten beim Aufbau des Teleskops so weit fortgeschritten, daB die vollstandige Inbetriebnahme aller Komponenten fur das Jahr 2003 zu erwarten ist. Deshalb sol1 in diesem Abschnitt auf einige Aspekte umfassender eingegangen werden [86]. Der Teleskop-Komplex von 100 m x 200 m Flache befindet sich in der chilenischen AtacamaWuste auf dem 2635 m hohen Berg Paranal. Die 4 Spiegel aus Glaskeramik rnit 8,2 m Durchmesser und 17,5 cm Dicke sind bereits montiert und teilweise getestet. 150 axiale und 78 radiale Aktuatoren auf der Ruckseite der Spiegel ermoglichen die Anwendung der aktiven Optik, rnit der die Flachenform zweimal je Minute so korrigiert werden kann, daB sie auf 10 nm genau eingehalten wird. Die Korrektion der durch atmosphikische Storungen beeinfluaten Wellenflachen wird mittels der im Abschn. 6.3.2 beschriebenen adaptiven Optik vorgenommen. Die Schienen, auf denen die fur die interferometrische Bildauswertung notwendigen 3 Hilfsteleskope mit 1,8 m Durchmesser bewegt werden, sind ebenfalls bereits angelegt worden. Abb. 7.70a vermittelt einen Eindruck von der Anordnung, einschlieBlich des InterferometrieGebaudes, in dem sich der gemeinsame Fokus der Spiegel befindet. Das Licht von den groRen Teleskopen, die auch einzeln eingesetzt werden konnen, wird bei gemeinsamer Nutzung uber Spiegel in den Fokus innerhalb des Interferometrie-Gebaudes gelenkt. Das Licht der Hilfsteleskope wird immer im gemeinsamen Fokus vereinigt. Sie konnen gemeinsam mit den groBen Teleskopen oder ohne diese als Interferometersystem eingesetzt werden. Das in allen Einzelheiten exzellent durchdachte Konzept des Teleskops ermoglicht die stark verbesserte Beobachtung lichtschwacher Objekte und eine beugungsbegrenzte hohe Winkelauflosung. Die Flache der Eintrittspupille ist bei punktformigen Objekten gemaB G1. (6.193) bestimmend fur den erfal3ten Lichtstrom. Bei ausgedehnten Objekten gilt diese Aussage ebenfalls. Bereits ein Spiegel mit 8,2 m Durchmesser hat mit 52 m2 Flache gegenuber dem (5 m)-Spiegel vom Mt. Palomar mit 19 m2 Flache das 2,65-fache an aufgenommenem Lichtstrom. Die vier groBen Spie-
762
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen -
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8.2m - TeleskoDe
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Verfahrschienen fur die 1,8m - Hilfsteleskope
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Abb. 7.70 a) Anordnung der Fernrohrspiegel des auf dem Paranal (Chile) installierten VLT-Teleskops, b) Prinzipskizze zur interferometrischen Abbildung
7.6 Optische Instrurnente und Systeme
763
gel haben eine Flache von uber 200 m2, so daB lichtschwache Objekte besser beobachtet werden konnen. Die Winkelauflosung wachst nur linear mit dem Durchmesser der Eintrittspupille. Deshalb ist es fur die Winkelauflosung gunstig, daB die vier groBen Teleskope zusammen mit den Hilfsteleskopen einen groBen Abstand der Randpunkte der Gesamteintrittspupillle ermoglichen. Da die Fernrohre der relativen Himmelsbewegung nachgefuhrt werden mussen, ist es notwendig, die Hilfsteleskope standig so zu verfahren, daB die gunstigste Ausfullung der gesamten moglichen Pupillenflache gewahrleistet ist. Die hochste Winkelauflosung wird erreicht, wenn das Licht aller Teleskope in der gemeinsamen Fokusebene interferiert. Dazu muB das Licht auf dem Empfanger ausreichend kohiirent sein. Die Anwendung der interferometrischen Abbildung und die Auswertung des Interferenzbildes ist eine besondere Leistung der Entwickler. Abb. 7.70b stellt das Schema fur zwei Spiegel dar, mit dem die Funktion e r k l a werden SOIL Es laBt sich sinngemaB auf mehrere Spiegel ubertragen. Das Licht, das von den beiden Spiegeln in die Fokusebene gelangt, ist infolge der unterschiedlichen Weglangen ohne besondere MaBnahmen zeitlich inkohiirent. Die optische Weglange kann zwischen den verschiedenen Spiegeln bis zu ca. 100 m voneinander abweichen. Nach der Kohiirenzbedingung (GI. 2.158) gilt A L << -, Ah,,
Um sie zu erfullen muB mittels der Verzogerungsstrecken (Abb. 7.70b) die optische Weglange angepaBt werden. Dabei ist eine hochprazise Nachstellung der Verzogerungsstrecken notwendig, weil die Objekte am Himmel wandern, wodurch sich die Wegdifferenzen standig andern. Bei einem punktformigen Objekt entsteht durch die Uberlagerung der Punktbildfunktionen ein einfaches Interferenzmuster. Bei einem ausgedehnten Objekt ergibt sich die Bildstrahldichte Bi(x’,y’) aus der Faltung der Objektstrahldichte Be (xi, y i ) mit der Punktbildfunktion C(x‘ - x6,y’ - y i ) . (Analog zur G1. (4.415), die fur eindimensionale Objekte abgeleitet wurde.) Bei zweidimensionalen Objekten gilt
R , und R, sind Ortsfrequenzen entsprechend der Definition in Abschn. 4.4.5. (Nahere Ausfuhrungen dazu sind [ 191 zu entnehmen.) Anstelle der kartesischen Koordinaten konnen die Winkelkoordinaten an der Himmelssphiire venvendet werden. Es ist also moglich, aus der Bildfunktion in der Fokalebene die Objektfunktion zu berechnen und damit die ausgedehnten Objekte abzubilden. Im optischen und im nahen Infrarotbereich ist innerhalb eines Feldes von 1 Bogensekunde eine Winkelauflosung von Bogensekunden zu erreichen. Ebenfalls nach dem Prinzip der interferometrischen Abbildung arbeiten zwei 10 m Teleskope auf dem Vulkanberg Mauna Kea in Hawaii. Dadurch entspricht die Winkelauflosung derjenigen eines 85 m Fernrohrs.
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
764
7.6.3
Optische Systeme
Varioobjektive. Die bei Innenbildmessung der Belichtung wegfallende Bedingung nach Erhalt der Blendenzahl bei der Variation der Brennweite brachte bessere Voraussetzungen fur die Korrektion mit sich. Dadurch ist eine Vielfalt an Objektiven mit relativ groSem Variofaktor und ausreichendem Offnungsverhaltnis entwickelt worden, die die erforderliche Bildgute gewahrleisten. Zu den neueren Kleinbild-Objektiven gehort das von TAMRON entwickelte sogen. MiniMegazoom rnit dem Brennweitenbereich 28 mm - 200 mm und der minimalen Blendenzahl 3,8-5.6, das an einer bestimmten Kamera eine Masse von 354 g und die Lange 75,2 mm 126,2 mm aufweist. Von den 15 darin angeordneten Linsen sind drei asphiirisch und zwei aus speziellen Glasern mit geringer Dispersion (groBer Abbescher Zahl) und relativ geringer Brechzahl. Die aspharischen Linsen bestehen aus einem spharischen Grundkorper aus Glas und einem dunnen aspharischen Plastauftrag aus Polykarbonaten. Es konnte den Vorgangertyp ablosen, der im wesentlichen dieselben optischen Daten, aber eine Masse von 465 g und die minimale Lange 82 mm hat. Die Firma Tamron und weitere Firmen bieten auch Varioobjektive mit dem Brennweitenbereich 28 mm - 300 mm und der minimalen Blendenzahl 3,s-6,3 an, die analog aufgebaut sind. Allgemein ist festzustellen, dal3 eine breite Palette an Varioobjektiven rnit unterschiedlichen Brennweitenbereichen existiert, die eine gute Bildqualitat fur die spezifischen Anwendungsfalle haben. Dazu mu13 auf die Firmenkataloge verwiesen werden. Fotolithografische Objektive. Im Abschn. 6.5.10 wurde bereits darauf hingewiesen, daB die Entwicklung der Fotolithografie zu immer kleineren Strukturbreiten den Ubergang zu kleineren Wellenlangen erfordert. Abb. 6.139~enthalt das Schnittbild eines Versuchsobjektivs fur den ultravioletten Bereich. Die darin gezeigte Linsenanordnung wird wohl auch in Zukunft grundsatzlich weiterverwendet werden. Die gegenwartig gefertigten Objektive fur die Wellenlange h = 248 nm haben eine Masse bis zu 250 kg und eine Lange von ca. 1 m. Das Auflosungsvermogen konnte von der urspriinglich angenommenen Grenze 500 nm auf 130 nm gesenkt werden. Zur Zeit wird die Fotolithografie mit der Wellenlange h = 193 nm vorbereitet. Diese Fortschritte sind eng verbunden rnit der Weiterentwicklung der benotigten Einkristalle aus Calciumfluorid und synthetischem Quarz. Mit einem langsamen Wachstum der Kristalle (z. B. acht Wochen) ist es moglich, Einkristalle rnit etwa 100 kg Masse, 350 mm Scheibendurchmesser und 150 mm Scheibendicke zu zuchten. In Zukunft sol1 die EUV-Lithografie mit Excimer-Lasern bei h = I57 nm zur Anwendung kommen.
7.6.4
Ansatz optischer Systeme
Ansatz optischer Systeme. Bei der Auswahl eines optischen Systems fur eine vorgegebene Abbildung oder fur die Weiter- und Neuentwicklung spielt eine Vielzahl an Gesichtspunkten eine Rolle. Deshalb lassen sich auch keine allgemeingultigen Regeln aufstellen. Fur den Anwender optischer Systeme wird es normalerweise darum gehen, aus einem kommerziellen Angebot ein System auszuwahlen, das die Anforderungen erfullt. Dabei kann es notwendig sein, zwei oder mehrere Systeme miteinander zu kombinieren. Genaue Angaben uber die
765
7.6 Ootische Instrumente und Svsteme
Bildgute sind den Katalogen der Hersteller im allgemeinen nicht zu entnehmen; sie waren aber auch fur den Nichtspezialisten schwer zu interpretieren. Der Anwender mu13 sich darauf verlassen, daR bestimmte Grundtypen Mindestforderungen bezuglich der Bildgute erfullen. AuRerdem ist die experimentelle Erprobung unerld3lich. Bei der Auswahl eines optischen Systems sind zunachst unabhangig von der Bildgute Kennzahlen von Bedeutung, die geometrische Verhaltnisse und lichttechnische Eigenschaften bestimmen. Die Beleuchtungsstiirke in der Bildebene hangt bei unendlicher Objektweite quadratisch vom Kehrwert der Blendenzahl k, bei endlicher Objektweite quadratisch von der bildseitigen (und damit auch von der objektseitigen) numerischen Apertur A’ ab (E’ - l/k2bzw. E‘ - A f 2 ) . Systeme rnit groRer Offnung sind aber nur rnit groRem Aufwand zu korrigieren und bei hohen Forderungen an die Bildgiite aus vielen Linsen aufgebaut. Die obere Grenze der Offnung liegt bei erfullter Sinusbedingung bei der Blendenzahl k = 0,5, bzw. der objektseitigen numerischen Apertur A = 1 (mit Immersion A = 1,6). Da auch die Abbildungstiefe rnit groBerer Offnung abnimmt, ist bei solchen Systemen eine sehr ebene Auffangebene erforderlich. Andererseits wird bei sehr kleinen Offnungen die Bildgute durch die Beugung begrenzt. Die Feldgrojle ist eine zweite Kennzahl der optischen Systeme, die fur den Anwender wichtig ist. Sie wird durch den Objekt- bzw. Bildwinkel oder durch die Feldzahl quantifiziert. Oft interessiert jedoch einfach die mogliche GroRe des Bildfeldes, die sich aus dem Bildwinkel, der Bildweite und der Brennweite ergibt. Auch bezuglich des Feldes gilt, daR extreme Werte hohen Aufwand erfordern. Vor allem sind dann keine verzeichnungsfreien Abbildungen moglich, und die Offnung ist eingeschrankt. Weiter ist zu beachten, daR die Beleuchtungsstarke wegen der naturlichen und kunstlichen Vignettierung (Randabschattung) im Feld nach auRen abnimmt. Die Brennweite ist eine Kennzahl, die neben dem Bildfelddurchmesser (bei gegebenen Bildwinkel) entscheidend fur die paraxiale BildgroBe y ’ (bei unendlicher Objektweite) bzw. den AbbildungsmaRstab p’ ist. Haufig ist die optische Baulange in gewissen Grenzen vorgegeben. Bei unendlicher Objektweite verstehen wir darunter den Abstand der Bildebene von der objektseitigen Hauptebene, bei endlicher Objektweite den Abstand der Bildebene von der Objektebene. Ein wesentlich von Eins abweichendes Verhaltnis aus bildseitiger Schnittweite und Brennweite (zum Platzgewinn hinter dem System bei s’ ~f ’, zur Baulangenverkurzung bei s’ < f ’) 1 s t sich nur rnit zwei- oder mehrgliedrigen Systemen erreichen. Hinweise dazu sind im Abschn. 6.4.2 enthalten.
Paraxialer Ansatz. Einige Beispiele sollen die Vorgehensweise beim paraxialen Ansatz optischer Systeme verdeutlichen. Wir beginnen rnit der eingliedrigen Abbildung, die entweder rnit einer Einzellinse oder einem als nichttrennbare Baugruppe gegebenen optischen System realisierbar ist (z. B. einem Objektiv). Die optische Baulange betragt (Abb. 7.71) Lo, = f ’
+ i ( U = -)
bzw. Lopt =
-U
+ a’ + i ( U
Nach G1. (4.56b, c, d) ist
P ’ = - ,U’U
a=f’
(B
,-I,
1
u’=f’(l-P’).
f *)
(7.82a, b)
766
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erganzungen
H
H'
f'
H
H'
Abb. 7.71 Optische Baulange bei der eingliedrigen optischen Abbildung, a) Objektweite unendlich, b) Objektweite endlich
Damit ergibt sich aus GI. (7.82) (7.83)
1st die Hauptpunktspanne i bekannt (oft ist sie klein gegen LOPt),dann l a b sich aus G1. (7.83) fur ein vorgegebenes p' die Brennweite des optischen Systems berechnen. Abb. 7.72 zeigt, daB die minimale Baulange bei p' = 21 vorliegt und bei vorgegebenem P' eine groRere Brennweite des Systems auch eine groRere optische Baulange mit sich bringt. Eine Einzellinse kann verwendet werden, wenn der Farbfehler nicht stort. AuSerdem ergibt sie je nach Form nur hei Abbildungen mit kleinem Bildfeld oder mit kleiner Offnung ausreichende Bildgute.
767
7.6 Optische Instrumente und Systeme
f’
6
5
4 \ \ \
3
\ \
\
.
Asymptote
2
\
1
‘\2
I I
-5
I
I
-4
-3
I
-2
I
1
3
4
5
I I
I I
I
p’ b
-1 -1
\ \\
\
-2 \
-3
\\
\
\-‘\ \
Abb. 7.72 Optische Baulange LOptals Funktion des Abbildungsmaastabes p’
Kleine Felder. Bei kleinen Feldern ist stets die stkirker gekriimmte Flache einer Sammellinse der groOeren Schnittweite zuzukehren (kleiner Offnungsfehler und kleine Koma, Abschn. 6.5.2.). Das giinstigste Radienverhaltnis bei n = 1,5 und n = 2 ist in Abb. 7.73 als Funktion der reduzierten Dicke angegeben (bei s = -m). Eine Linse der Brennweitef = 100 mm mit dem Offnungsfehler-Minimum ist z. B. ab Blendenzahl k = 5 (also mit ca. 20 mm freiem Durchmesser) bereits gut verwendbar, ab Blendenzahl k = 10 stort fast ausschliefllich die Beugung. Das Bildfeld mufl auf einige Grad eingeschrankt sein. GroBe Felder. Bei groflen Feldern ist es erforderlich, eine zusatzliche Blende vorzusehen, die als Offnungsblende wirkt und die Blendenzahl auf ca. k = 10...15 festlegt. Bei groOer Objektweite (s = eignen sich eine Plankonvexlinse mit Vorderblende und ein Meniskus mit Hinterblende. Tab. 7.2 enthalt je ein Beispiel. 4)
7hX
7 Weiterfiihrende und aktuelle Erpanzuneen
7.5 -
n=2
5.0
-c
~~
+ b in rnrn
Ahh. 7.73 Radienverhaltnis fur minimalen Oll'nungsfehler als Funktion der reduzierten Dicke
ci = d / n
Tahelle 7.2 Daten von Lwei EinLellinsen, die sich fur gr6Rere Felder eignen (alle GroRen in mm)
Daten
./ '
I I
Plankonvexlinse 50
I
Meniskus 100
d
5
10,s
r
m
22.22
25
33,7
3,33
-10,39
0
-15.75
-13,33
-2s
2222
8.84
Achmrncrte sind einzusetzen, wenn die Farbllngsfehler-Korktion benotigt wird. Haufig ist dann auch die Bildgute fur grofiere Offnungen gesichert. Es eignen sich einfache Fotoobjektive und Fernrohrobjektive sowie die rnanchmal als lose Optik angebotenen optischen Systeme aus Geraten (Gerateoptik). Dabei ist zu beachten, daR die volle Bildgute nur fur die vorgesehene Objektweite erreicht wird. Fotoobjektive sind i. allgem. fur groBe Objektfelder korrigiert, Fernrohr- und Mikroobjektive fur kleine Objektfelder. Die Objektebene liegt bei Foto- und Fernrohrobjektiven im allgerneinen im Unendlichen, bei Mikroobjektiven in der Mehrzahl der Falle 45 mm vor der Anschraubflache. Fur den Gebrauch der optischen Systeme ist noch die Kenntnis nutzlich, daR sie auch umgekehrt verwendet werden konnen, wenn z. B. eine unendliche Bildweite benotigt wird. So eignet sich ein Fotoobjektiv in umgekehrter Lage bei grol3er Bildweite als Projektionsobjektiv.
769
7.6 Optische Instrumente und Systeme H'
H,= Hi
H,= H;
H,=H',
C)
H,= H i
H'
I
I
I
I H
H'
H
H'
Abb. 7.74 Zweigliedriges optisches System, a) kurzer Baulange, b) Ausfuhrungsbeispiel (Teleobjektiv), c) grolJer Bildschnittweite, d) Ausfuhrungsbeispiel (Weitwinkelobjektiv), e) Lage von Haupt- und Brennpunkten beim Standardobjektiv zum Vergleich
7 Weiterfihrende und aktuelle Erganzunpen
770
Zweigliedrige Abbildung. Eine zweigliedrige Abbildung mit zwei Einzellinsen oder korrigierten Linsensystemen ist anzuwenden, wenn entweder spezielle Lagen der Haupt- und Brennpunkte gefordert sind oder die Brennweite eines optischen Systems abgewandelt werden soll. Abb. 6.89 und Abb. 6.90 demonstrieren die beiden wichtigsten Beispiele der Verlagerung des bildseitigen Hauptpunktes nach der Objektseite hin (kurze Baulange, trotz grol3er Brennweite, angewendet beim Teleobjektiv) und nach der Bildseite hin (grol3e Bildschnittweite, trotz kleiner Brennweite, angewendet beim Retrofokusobjektiv, bzw. Weitwinkelobjektiv fur Spiegelreflexkameras). Es ist auch moglich, durch Einsetzen eines zweigliedrigen optischen Systems in den Strahlengang eines Gerates den AbbildungsmaBstab bei Erhalt der Bildebene zu andern oder das Bild an eine andere Stelle zu verlagern [20]. Ein Beispiel fur die Vergroserung der Brennweite mittels Zusatzsystem 1st der Konverter, der hinter das Fotoobjektiv gesetzt wird. Der Konverter ist ein zerstreuendes System, so dal.3 die Kombination mil dem sammelnden Fotoobjektiv wie ein Teleobjektiv wirkt [20]. Ansatz fur die Synthese. Der Ansatz eines optischen Systems wird auch als Voraussetzung fur die Neu- und Weiterentwicklung benotigt. In diesem Fall geht es urn die Bereitstellung eines Startsysterns mit gunstigen Voraussetzungen fur die Korrektion, bei der die geforderte Bildgute unter Einhaltung der konstruktiven und technologischen Randbedingungen zu erreichen ist. Der paraxiale Ansatz ist als Vorstufe zum eigentlichen Ansatz des Startsystems anzusehen. Es gibt drei Moglichkeiten des Ansatzes: -
die Auswahl eines Systems aus einem Speicher, in dem bereits bewahrte analoge Systeme enthalten sind (z. B. innerbetriebliches Archiv, Patentschriften, Veroffentlichungen),
-
den Ansatz aus dicken Linsen mit speziellen Eigenschaften, der jedoch nur begrenzt gangbar ist (z. B. Aufbau eines Kondensors aus aplanatischen Menisken und Plankonvexlinsen, spezielle aspharische Linsen),
-
den Ansatz aus dunnen Linsen ( d = O), bei dem Gleichungen fur das paraxiale Gebiet und Nlherungsgleichungen fur einzelne Abbildungsfehler genutzt werden (z. B. Brechkraftgleichungen, Dichromasiebedingung). Naturlich konnen aul3er Linsen auch Spiegel und andere abbildende Elemente einbezogen werden.
Der Einsatz eines Vorbildsystems ist der in der Industrie am meisten beschrittene Weg. Einfache Beispiele fur den Ansatz aus dicken Linsen haben wir bereits mit den Angaben zu Einzellinsen fur kleine und grol3e Felder genannt.
7.6.5
Korrektion optischer Systeme
Irn Abschn. 6.5.10 haben wir bereits einen kurzen Hinweis auf die Korrektion optischer Systeme gegeben. auf die wir noch etwas genauer eingehen wollen. Mit dem Ansatz eines optischen Systems wird eine Grundstruktur ausgewlhlt, die gunstige Voraussetzungen fur die weitere Optimierung bietet. Sie wird deshalb als Stcirtsystem fur den Korrektionsprozelj bezeichnet.
I
Die Korrektion optischer Systeme stellt die schrittweise Abwandlung der Srrukturparameter (Radien, Dicken. Abstande und eventuell der Werkstoffe) dar, mit der die ausreichende Annaherung an die Bildgute gewahrleistet wird (iterativer Prozel3).
7.6 Optische Instrumente und Systeme
77 1
Da kein geeigneter analytischer Zusammenhang zwischen den Bild- und ObjektraumgroBen hergestellt werden kann und sich die Anderung der Strukturparameter ganz unterschiedlich auf die einzelnen Abbildungsfehler auswirkt, ist die Korrektion eines optischen Systems ein langwieriger iterativer ProzeB. Innerhalb dieses Prozesses sind nach jeder Abwandlung die erneute Bewertung des optischen Systems vorzunehmen und daraus die weiteren Korrektionsschritte abzuleiten. Bis zur Einfuhrung leistungsfahiger elektronischer Rechenanlagen wurden die Korrektion und die Bewertung nebeneinander ausgefuhrt. Fur die Bewertung und Korrektion ist in jedem Fall die Durchrechnung von Lichtstrahlen erforderlich (auch ,,ray tracing" genannt), die von den Objektpunkten ausgehen. Bereits diese Aufgabe kann sehr aufwendig sein. Bei einem Fotoobjektiv konnten z. B. fur eine Struktur Paraxialstrahlen fur drei Farben, achsparallele Meridionalstrahlen fur drei Einfallshohen und drei Farben, Hauptstrahlen fur drei Bildhohen, d a m jeweils die hauptstrahlnahen Meridional- und Sagittalstrahlen und je vier parallel dazu verlaufende Meridionalstrahlen sowie eventuell noch je vier windschiefe Strahlen notwendig sein. Fur die Ableitung der nachsten Korrektionsschritte wird jedoch der EinfluB der Parameteranderungen auf den Strahlenverlauf benotigt. Deshalb mussen die Strahlen nach Abwandlung jeweils eines Strukturparameters erneut durchgerechnet werden. Das sind bei einem System aus sechs freistehenden Linsen 12 Radien, 6 Linsendicken, 5 Luftabstande und eventuell noch die Variation der Blendenlage. Insgesamt sind also fur das Anlegen einer Variationstabelle, die den EinfluS der Parameteriinderungen auf den Strahlenverlauf, bzw. die Liings- und Querabweichungen enthalt, uber lo00 Strahlen durchzurechnen. Fruher muBte der Optik-Konstrukteur aufgrund der Variationstabelle entscheiden, wie das optische System abzuwandeln ist. Eine erneute Strahldurchrechnung schloB sich an, um den Erfolg beurteilen zu konnen. Dieser ProzeB setzte sich fort, wobei nach einer Serie von Abwandlungen zunachst erneut eine Variationstabelle anzulegen war. Bewertet wurde vorwiegend nach den Langs- und Querabweichungen der Abbildungsfehler und nur ausnahmsweise nach wellenoptischen Gutekriterien. Es ist verstandlich, daB bei der Anwendung von Logarithmentafeln oder auch noch von elektromechanischen oder elektronischen Tischrechnern viele Optik-Rechner eingesetzt waren und die Entwicklungszeit eines Objektivs Jahre betrug. Die Optik-Entwicklung hat sich deshalb durch den Einsatz von elektronischen Rechenanlagen mit groBer Rechengeschwindigkeit und hoher Speicherkapazitat stark verandert. In vielen Fallen sind bereits Personalcomputer ausreichend, fur die es kommerzielle Rechenprogramme zur Korrektion optischer Systeme gibt. Den Rechenanlagen kann innerhalb grollerer Korrektionsschritte die Strahldurchrechnung und Bewertung des optischen Systems sowie die Entscheidung uber die erforderliche Abwandlung iibertragen werden. In den Programmen zu der sogen. automatischen Korrektion sind die mathematischen Methoden der nichtlinearen Optimierung angewendet worden [20]. Dadurch ist auch die Bewertung nach physikalisch begriindeten wellenoptischen Giitekriterien innerhalb des Korrektionsprozesses moglich geworden. Es werden vorwiegend Naherungsgleichungen fur die Definitionshelligkeit und die optische Ubertragungsfunktion angesetzt [ 191. Sie stellen eine Reihenentwicklung der Variation der Strukturparameter nach gewichteten Quadratsummen der Fehler dar. Der Optik-Konstrukteur kann sich damit stiirker auf die weitere Entwicklung von geeigneten Startsystemen und auf Eingriffe in die automatische Korrektion konzentrieren, wenn die Rechenanlage nicht weiterkommt. Seit einiger Zeit wird dieses Vorgehen noch gefordert durch die Anwendung des Terminal- und Dialogbetriebs mit Arbeitsplatzrechnern. Erst mit der automatischen Korrektion, die eine Form der rechnergestutzten Konstruktion (computer aided design, abge-
772
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
kurzt CAD) darstellt, war die Entwicklung der modernen Hochleistungsoptik moglich (beugungsbegrenzte optische Systeme f i r gr6Bere Felder, z. B. fur die Fotolithografie und die Mikroskopie, viellinsige Variosysteme, Luftbildobjektive hoher Auflosung u. a.). Der Einsatz leistungsfahiger elektronischer Rechenanlagen zur automatischen Korrektion bewirkt im wesentlichen folgende Effekte: -
Die Entwicklungszeit wird verkurzt, es steigt die Produktivitat der geistigen Arbeit.
- Die Korrektion der optischen Systeme ist physisch und psychisch weniger anstrengend. (bes-
sere Arbeitsbedingungen). - Der Automatisierungsgrad von Routineprozessen wird groBer (Zeitgewinn fur schopferische
Arbeit). - Die Qualitat der optischen Systeme kann gesteigert werden, und es sind neue Entwicklungen
moglich. Dadurch ergeben sich neue Forderungen an die Werkstoffe, die Fertigung und an die feinmechanische Konstruktion (z. B. der Fassungen, der Justierung usw.). Diese Probleme sind zwar teilweise Aufgaben der technischen Wissenschaften, sie stellen jedoch auch neue Anspruche an die physikalische Forschung in Teilbereichen. SchlieBlich sei noch darauf hingewiesen, daB heute fur die Entwicklung optischer Systeme der Begriff ,,Optik-Design" gepragt und der Optik-Konstrukteur als ,,Optik-Designer" bezeichnet wird, obwohl es sich bei der Optimierung optischer Systeme nicht nur um die Gestaltung der auBeren Form handelt.
7.6.6
Bewertung optischer Systeme
Die in den optischen Systemen und Geraten eingesetzten optischen Systeme mussen spezifische Forderungen beziiglich ihrer Bildgiite erfiillen. Diese ist bei der Synthese der optischen Systeme theoretisch zu erreichen und bei der Fertigung praktisch zu sichern. Die Synthese wird mittels der elektronischen Rechentechnik vorgenommen. In diesem EntwicklungsprozeB mu8 standig der aktuelle Stand der Bildgiite bestimmt werden. Die gefertigten optischen Systeme werden hinsichtlich der Einhaltung der Bildgute gepriift. In beiden Fallen ist die Analyse der Abbildungseigenschaften und der Vergleich mit geforderten Abbildungseigenschaften erforderlich. Die Losung dieser Aufgabe bezeichnen wir als Bewerturzg oprisdzer Sysreme, die also ein rechen- oder mefltechnischer Prozefl sein kann. Die geforderten Abbildungseigenschaften hangen von der Art der abzubildenden Objekte, vom Empfanger und der Strahlungsquelle ab. Als Beispiel betrachten wir die Abbildung zweier dicht benachbarter Sterne gleicher scheinbarer Lichtstarke (z. B. einen Doppelstern aus zwei gleich hellen Sternen). Das Fernrohrobjektiv sol1 es ermoglichen. die beiden Sterne aufzulosen, also sollen im Zwischenbild (bei Betrachtung durch das Okular) zwei unterscheidbare Bilder der Sterne entstehen. Durch die Beugung an der freien Objektivoffnung ergeben sich aber im Zwischenbild zwei Beugungsfiguren, die sich inkohiirent, also beziiglich ihrer Intensitaten, uberlagem (Abb. 4.178). Im Abschn. 4.4.1. wurde bereits gezeigt, daB die Zentren der Beugungsbilder einen Mindestabstand nach GI. (4.339) haben mussen, wenn die zugehorigen Objektpunkte aufgelost werden sollen. GI. (4.339) gilt nur fur beugungsbegrenzte Systeme. Bei Anwesenheit von Wellenaberrationen wird das AuflfisungsverrnGgen verschlechtert (d. h. der auflosbare Abstand I' vergroBert), so daB
7.6 Optische Instrurnente und Systerne
113
es eine Moglichkeit fur die Bewertung der Bildgute darstellt. Das Auflosungsvermogen ist bestimmend fur die Scharfe eines Bildes, es ist eine Bildqualitat.
I
Grundlage fur die Bestimmung des Auflosungsvermogens ist die normierte beugungsbedingte und durch Wellenaberrationen beeinfluRte Intensitatsverteilung im Bild eines Punktes (Abbn. 2.102, 2.103 fur ein beugungsbegrenztes System, Abb. 4.186 fur ein aberrationsbehaftetes optisches System), die sogen. Punktbildfunktion. Diese ist eine Giitefunktion.
I
Die Vorschrift, die auf die Gutefunktion angewendet wird, um Giitezahlen zu erhalten, nennen wir Giitekriterium.
Durch das Anwenden der Vorschrift ,,die Einsattelung zwischen zwei Punktbildfunktionen sol1 73 % des Maximums betragen" erhalten wir den Zahlenwert fur das Auflosungsvermogen (Giitezahl).
Im allgemeinen sind nicht nur einzelne Objektpunkte abzubilden. Deshalb gibt es noch andere fur die Bildgute bestimmende Bildqualitaten. Die wesentlichen sind auBer dem Auflosungsvermogen die Kontrasttreue und die Abbildungstreue. Die Kontrasttreue hangt mit der Ubereinstimmung von Bild- und Objektkontrast, die Abbildungstreue von der Ubereinstimmung der geometrischen und lichttechnischen Relationen in Bild und Objekt ab. Bei der fotografischen Abbildung hat das Auflosungsvermogen Bezug zur allgemeinen Bildscharfe, die Kontrasttreue zur Brillanz bzw. Flauheit des Bildes sowie die Abbildungstreue zur Scharfe und Form von Kanten. Entsprechend sind zur Erfassung der Bildgute verschiedene Gutefunktionen und kiterien sowie mehrere Gutezahlen erforderlich. Es sei noch vermerkt, daR bei der subjektiven Beurteilung eines Bildes an die Stelle der Bildgute der Bildeindruck tritt. Statt der Gutezahlen sind Eindruckszahlen zu verwenden, die haufig einer Benotung des Bildeindrucks gleichzusetzen sind (Bildscharfe sehr gut, gut, maBig usw.). Der Bewertung optischer Systeme liegt stets ein Modell des Lichtes zugrunde. Praktisch ausgebaut sind die geometrisch-optische und die wellenoptische Bewertung. Die primaren geometrisch-optischen Gutefunktionen sind die Strahluberrutionen, die in Form der Langs- und Querabweichungen bei der Strahldurchrechnung anfallen. Sie konnen in Korrektionsdarstellungen veranschaulicht werden. Die primaren wellenoptischen Gutefunktionen sind die Wellenaberrationen, die aber im allgemeinen in sekundare Gutefunktionen eingehen, die in Beziehung zu Amplituden- oder Intensitatsverteilungen stehen. Die Strahlaberrationen lassen sich nur fur eine ausgewahlte Menge an Strahlen berechnen, die jeweils von diskret gegebenen Objektpunkten ausgehen. Da die Wellenaberrationen auch uber die Strahldurchrechnung (iiber die Strahlaberrationen) ermittelt werden, gilt diese Aussage prinzipiell auch fur sie. Allerdings konnen mit geeigneten orthogonalen Polynomdarstellungen (ZERNIKE) auch analytische Ausdriicke fur die Wellenaberrationen und damit fur die Form der Wellenflache abgeleitet werden. Bei der Abbildung eines Objektpunktes erhalten wir unmittelbar aus der Beugung der bildseitigen Welle an der Austrittspupille die Intensitat im Bildraum. Ihre Normierung auf die Intensitat im GauBschen Bildpunkt ergibt als Gutefunktion die im Abschn. 4.4.4 behandelte Punktbildfunktion. Ein darauf angewendetes Giitekriterium ist die Definitionshelligkeit (Gln. 4.386 und 4.388), bzw. ihre Naherung fur kleine Wellenaberrationen (Gln. 4.392 und 4.393).
774
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
Bei der Abbildung ausgedehnter Objekte hangt die Intensitat im Bildraum von der Koharenzfunktion in der Objektebene ab.
I
Die Kohiirengunktion r(x,,y,,x2,y2) ist ein MaB fur die Interferenzfahigkeit des Lichtes, das in den Punkten A,(x,,y,) und A2(x,,y2)der Objektebene vorhanden ist.
Fur die Abbildung zweier Objektpunkte A,(x,y), A,(-x,-y), die einzeln die Intensitaten I ; = I;(.’ - x,y’ - y) bzw. I; = Z;(x’ + x,y’ + y ) in der Bildebene erzeugen wurden, ergibt sich die Intensitat im Punkt A’(x‘,y’) der Bildebene aus
Die GroBe ist die Koharenzfunktion der Beleuchtung in der Objektebene. (Koharenzparameter S = Verhaltnis aus bildseitig des Kondensors vorhandener numerischer Apertur Abel und objektseitiger Abbildungsapertur A). Als Modellobjekte fur die Bewertung eines optischen Systems werden bevorzugt Kanten, Linien und sinusformige Gitter betrachtet. Die normierte Bildintensitat bei inkoharenter Abbildung einer Linie ist die Linienbildfunktion. Darauf lassen sich verschiedene Gutekriterien aufbauen, die Bezug zum Auflosungsvermogen, zur Kontrasttreue sowie zur Ahnlichkeit zwischen Bild und Objekt haben (z. B. von HERTEL [19]). Von den Hertelschen Gutekriterien, die primar auf die Linienbildfunktion angewendet werden, sol1 nur die relative Gipfelhohe kkgenannt werden. Diese steht in Analogie zur Definitionshelligkeit und kann aus der OUF durch
ermittelt werden (Ursprung des Koordinatensystems so, daB L(Z’)max= L ( 0 ) ist). Bei reellen OUF kann dafur 2
k , = 2jT(R)dR 0
geschrieben werden. Die relative Gipfelhohe ist mit dem maximalen Kantengradienten identisch. Der Kontrast im Bild bei der inkoharenten Abbildung eines Sinusgitters mit dem Kontrast Eins ist die Modulationsubertmgungsfunktion. Auch fur diese gibt es Naherungsgleichungen, die bei kleinen Wellenaberrationen gelten. Fur Einzelheiten mu13 auf die Spezialliteratur verwiesen werden (z. B. [ 191). Eine ubersichtliche Bewertung optischer Systeme auf der Grundlage der optischen Ubertragungsfunktion erfordert die Ableitung weniger Gutezahlen mittels geeigneter Gutekriterien. Das konnen nur Kriterien sein, die im Zusammenhang mit vorgegebenen Ortsfrequenzen, Werten der MUF oder der Flache unter der MUF stehen. Obwohl die MUF nur dann direkt mit dem Kontrast identisch ist, wenn kosinusformige Gitter abgebildet werden, wird sie auch in anderen Fallen als Aussage uber den Kontrast angesehen. Abb. 7.75 enthalt die MUF fur Achromate, deren Daten in Tab. 7.3 enthalten sind.
775
7.6 Optische Instrumente und Systeme
a +
1 0.8 0.6
0.4 0.2
0
-a
300 1.54
0 0
180
240
0.31
0.62
0.92
1.23
0
20
40
60
80
100
0
0.32
0.65
0.97
1.29
1.62
60
120
1
I-
0.8
1
0.6 0.4
0.2 0 ~
-
___)
Rinmm
1
-
R
b)
-
1 a I-
1
0.8 0.6
0.4 0.2
.
0
1
0
20
40
60
0
0.33
0.66
0.98
80
100
1.31
1.64
Rinmm ___)
C)
Abb. 7.75 MUF fur kommerzielle Achromate nach Tab. 7.3 bei h = 546 nm, a) 120/4, b) 1185/14,8, c) 2250/15 (reduzierte Ortsfrequenz (i= 2 h k R )
7 Weiterfuhrende und aktuelle Erganzungen
776
f'/mm
2pJmm
k
dmm
s;./mm
a,,/mm
ak./mm
l/R ( T = 0,l)
120
25,4
4,7
72
11513
0,24
4,90
0,0033
1 I85
80,O
14,s
16.0
1179,75
0,06
10,31
0,0105
2250
I50,O
15,O
26,O
2240,62
3,33
13,20
0,O I05
Grenzkontrast und Auflosung. Strahlungsempfanger erfordern einen bestimmten Grenzkontrast, um Strukturen auflosen zu konnen. Visuell kann etwa von K' = 0,l ausgegangen werden. Fotolacke erfordern K' = 0,5, in neuerer Zeit auch noch darunter. Das Gutekriterium lautet:
I
Bestimme die zum Grenzkontrast gehorige Ortsfrequenz. Deren Kehrwert ist das Auflosungsvermogen fur Gitter.
Beim beugungsbegrenzten optischen System ist T ( R A )= 0,1 fur Gitterkonstante betragt
RA = 1,6. Die auflosbare (7.84)
Die Umkehrung des Guterkriteriums lautet:
1
Bestimme den fur eine vorgegebene Ortsfrequenz vorhandenen Wert der MUF.
Die vorzugebene Ortsfrequenz ist charakteristisch fur den speziellen Anwendungszweck des optischen Systems. Bei Fotoobjektiven geht man oftmals von R = 30 mm-' aus (Absch. 4.4.5, Abb. 4.196b).
Spezielle Kriterien. Anstelle des erforderlichen Wertes der MUF lafit sich besser der Ubertragungsfaktor (7.85) vorgeben, indem z. B. M ( R = 30 mm-') >> 0,8 gefordert wird. Verschiedene Autoren haben Gutekriterien auf die Flache unter der MUF angewendet. Vorzugeben sind die Grenzfrequenz, bis zu der integriert werden sol1 und die Wichtung. Genannt werden sollen: Die Q-Zahl von HAUSER, SCHILLING und ZOLLNER (7.86)
7.6 Optische Instrumente und Systeme
777
mit 1 Tm(R,Opi)= y[T,(R,o,,) + Tt(R,opi)]
(7.87)
opi
(T, tangentiale, T, radiale MUF, Winkel des Hauptstrahls mit der Achse. Die Summation stellt die Mittelung uber die Feldwinkel dar). Die Heynacher Zahl, die der subjektiven Bewertung angepaljt ist. Sie lautet: H =clog
I;" ] -
ID(R)dR .
(7.88)
HEYNACHER verwendet R, = 40 mm-'. Die objektabhangige Konstante c liegt erfahrungsgemafi zwischen 10 und 20. (HEYNACHER nimmt c = 14 an). Fur ein beugungsbegrenztes System mit k = 1,8, h = 548 nm und R, = 40 mm-' ergibt sich z. B. H = -0,15. Eine starkere Wichtung der hoheren Ortsfrequenzen, also der Auflosung, wird erreicht, wenn vom Integral -
I T(R) RdR
Rg
V,
=
R,
_ _ _
(7.89)
0
ausgegangen wird. Mit
Rg = 2
erhalt man die Definitionshelligkeit.
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Literatur und Quellen
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Haferkorn, H.
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[23] [841 [381 [I041
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Bildquellen 2.64. 2.65 nach [ I ] ; 2.70 nach 131; 5.46. 5.47. 5.48, 5.49. 5.50. 5.151. 5.152 nach 141; 2.6, 5.40. 5.54 nach 151; 6.98, 6.99, 6.100, 6.103 nach I 101: 1 . 1 . 2.1. 5.162. 5.163.6.1. 6.4. 6.7 nach [14]; 4.706~1.4.207 nach [ 151; 4.180. 6.30 nach I 161; 2.34a.2.108, 2.I0S).7.110.4.X7,3.XX,h.hOiiach 1191: 5.42 nach [21]; 5.158b. c. d nach [ 2 2 ] ; 4.215, 5.167, 5.168, 6.3. 6.5. 6.6. 6.8, 6.66 nach [30]; 6.143 nach 1331; 6 . 7 8 ~nach 1491: 6.178, 6.136 nach 1511; 6.135 nach 1521; 6.105 nach 1561; 6.123, 6.124, 6.125 nach 1571: 6.139, 6.145 nach [59]: 6.147, nach 1611;
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Namen- und Sachverzeichnis
A Abbe-Prisma 388,485 Abbesche lnvariante 185 - -, Spiegelflache 220, 223 - Sinusbedingung 297,3 I8 - Theorie der Abbildung 566 -Zahl 77 - Zerlegung 549 Abbild 157 Abbildung I56 -, ahnliche 160 -, geometrisch-optische 161 -, - Theorie 159 -, ideale geometrisch-optische 16I -, kollineare 161 -, optische 157 -, periodische Objektstrukturen 570 -, punktformige 159, 186 -, wellenoptische 162 Abbildungsfehler 301 - dritter Ordnung 304 Abbildungsgleichung 193, 204 -, Spiegelflache 22 I , 224 AbbildungsmaBstab 187, 191, 193, 204 -, Flachenfolgen I95 -, Spiegelflache 22 I Abbildungsmatrix 236 -, Spiegelflache 238 Abbildungstiefe 287 -, wellenoptische 335, 336 Abbildungstreue 773 Aberration 301 Abgleichlange 546 Abkommen 601 Ablesefernrohr 599 -, Fokussierfehler 599 Abschattblende 277 Abschattluke 277 absolute spektrale Empfindlichkeit I74 Absorption 64 - eines Lichtquants 85 Absorptionsellipsoid 436 Absorptionsfilter 408
Absorptionskonstante 64 Achromasiebedingung 307 Achromat 63 1, 768 Achsenpunkte, Intensitat 334 Adaptation 523 adaptive Optik 5 18,593 --, lineare 594 - -, nichtlineare 5 18 additive Farbmischung 525 Aderhaut 521 ADP-Einkristall 432 afokales System 583 Akkommodation 522 Akkommodationsbreite 523 aktive Optik 593 aktiver Resonator 736 akustooptischer Schalter 738 Alexandrit-Laser 739 Altachromat 632 Alterssichtigkeit 528 Amici-Prisma 390,482 Amplitudenbedingung 425 Amplitudenfluktuation 1 16 Amplitudengitter, kastenformiges 15I Amplituden-Hologramm 705 Amplitudenmodulation 729 Amplitudenmodulator 729 Amplitudenstabilitat 117 Amplitudenstruktur 147 Amplituden-Transparenz 704 analoge Fotografie 675 Anamorphot 252 Anastigmat 323 Anfangsphase 25 angeregte Zustande 84 anisotrope Lime, Brechkraft 262,263 anisotroper Stoff 57 anomale Dispersion 74 Ansatz fur die Synthese 770 Ansatz optischer Systeme 764 aperturbegrenzte optische Mikroskopie 755 Aplanat, beugungsbegrenzter 669 aplanatische Lupe 543
788 -Punkte 318 aplanatischer Meniskus 3 I9 aplanatischcs System 3 I8 Apochromat 3 I5 Apodisation 36 1 Apostilb 175 Aquivalente Abbesche Zahl 307 Aquivalentlinse 216 Aquivalcntwert 635 Argon-Ionen-Laser 740 aspharische Flache 239 Darstcllung 239 - Rotationsflache. Ahbesche lnvariante 245 - -, paraxiales Gebiet -344 Astigmatismus 301. 32 I - des Auges 528 astigmatismuslreie Eintrittspupille 628 ostronomisches Fernrohr 584 - -, Hauptstrahlenverlauf 5x4 Astrovierlinser 239 Asymmetriefehler 302. 3 16 Auflichtbeleuchtung 564 Autl6sungsverm6gen 33 I , 582 Beugungsgitter 403 Dispersionsprisma 406 -, Interferometer 401 Augapfel 521 Augenlinse 52 1 ausgereichneie Strahlen 189 Auskoppelung I 13 5uBerer lichtelektrischer Effekt 14 aufierordentliche Welle 60 Brechungsgesetr 62 Austrittsfcld 282 Austrittslukc 275 Austrittspupille 268 Autokollimationsfernrohr 601 Autokollimationsprisma 3x7 automatische Korrektion 77 1 Axialgradient 254. 261 Axiome der geometrischen Optik 37 Azimut 53, 71 Azimuteffekt 559
-.
-. -.
-.
B BAER 759 Basow I08 Bauelement I79 Bauernfeind-Prisma 475 Beleuchtungsapertur 560. 620
Namen- und Sachverzeichnis Beleuchtungsstarke 175, 297, 298 Beleuchtungstechnik 695 Belichtung 175 Benton-Hologramme 7 I3 Besetzungsinversion I I0 Besetzungszahlen, mittlere 1 I0 beste Auffangebene 3 13 Bestrahlung 17 I Bestrahlungsstirke I70 Beugung 135 - am Doppelspalt 152 Kreis 143 Beugung am Liniengilier 146 - - Rechteck 138 -Spalt 142 - an der Kante 153 beugungsbegrenztes optisches System 332 Beugungseffekt 7 10 Beugungseffektivitat 369. 398, 705 Beugungsfunktion 567 Beugungsgitter 392 Beugungswirkungsgrad 705 Bewertung optischer Systeme 772 Bezeichnungsrichtlinien I8 Bikonkavlinse 213. 216 Bikonvexlinse 213. 216 Bildabstraktion 7 16 Bildeindruck 773 Bildfeld 274 Bildfeldblende 282 Bildfeldebnung im iibertragenen Sinne 634 Bildfeld-Hologramm 705 Bildfeldwolbung 303, 320 Bildfunktion 568 Bildgute 772 Bildkontrast 573, 576. 577 Bildkorrektur 716 Bildleitkabel 379. 381 Bildpunkt 160 Bildqualitat 773 Bildrauni 160 Bildreferenz 716 Bildschlrfe 773 Bildschirm 497 Bildsegmentierung 7 I6 Bildverstarkung 7 16 Bildvorverarbeitung 7 16 Bildwinkel 274 binares Hologramm 707 BINNIG 752 -
Namen- und Sachverzeichnis blaze Wellenlange 394 Blende 266 Blendenzahl 269 Blendenzahlreihe 616 blinder Fleck 521 Braggsche Reflexionsbedingung 689 Brechkraft 199, 201 Brechungsgesetz 40 -, vektorielles 43 Brechungswinkel 40 -, komplexer 54 Brechzahl, absolute 38,41 -, intensitatsabhangige 5 17 -, komplexe 68, 69 -, relative 41 Brechzahl fur Rontgenstrahlung 759 Brechzahlverteilung 256 Brennpunkte 188 Brennpunkt-Koordinatensystem I89 Brennweiten 189 -, Flachenfolgen 196 -, Spiegelflache 221, 223 Brewstersches Gesetz 51 Brewstersche Streifen 133 Brillanz 773 Brillenglaser 527 BSO 723,732 Biindelbegrenzung 266 Bundelteilung 493 -, geometrische 496 -, physikalische 494
C Candela 173 Cassegrain-Spiegel 656 Cavity 423 chemische Laser 734 Chopper 722 chromatische Einheiten 525 -Fehler 301 - Vergroljerungsdifferenz 309 Codierung 159 Compact Disc 746 computer aided design 771 Computer-Hologramm 7 10 Cooke lens 641 Cornusche Spirale 155 Cornusches Prisma 443 cos'w-Gesetz 300 CVD 309
789
D Dachkante 477 -, Doppelbildfehler 479 -, Winkelfehler 479 Dammemngszahl 597 Dampfungskonstante 69 Daubresse-Prisma 485 Deckglas 657 Definitionshelligkeit 343, 773 -, Berechnung 344 -, Reihenentwicklung 345 Detektivitat 508 deutliche Sehweite 530 Dezibel 743 Diabatie 67 Dialytprisma 485 Diaprojektion 6 19 Dichroismus 436 Dichromasiebedingung 307 Dichromat 307 Dielektrizitatskonstante, relative 26 -,Tensor 58 Differenzfrequenz 5 13 digitale Fotogratie 675 digital versatile Disc 746 Dioptrie 199 Dioptrieneinstellung 591 dioptrisches System 521 Dipolmoment 677 Dispersion 72 Dispersionsformel 75 Dispersionsgebiet 406 Dispersionsprisma 382 -, Hauptschnitt 383 -, Minimalablenkung 385 distributed feethack 789 Doppelanastigmat von Hoegh 637 Doppelaplanat 633 Doppelbelichtungstechnik 372 Doppelbrechung 61 Doppler-Breite 748 Doppelschichten 419 Doppler-Breite der Spektrallinien 96 Doppler-Dampfung 96 Dove-Prisma 435 - mit Dachkante 483 Dovesches Umkehrprisma 475 Drehkeilpaar 488 Drehung der Schwingungsebene 444 Dreieckinterferometer 134
790 Dreieckpackung 380 Dreifarbentheorie 525 Dualismus 676 Duffieux-Integral 356 Dunkelfeldbeleuchtung 559, 566 Dunkelfeldverfahren 576 Durchbiegung 2 I7 durchstimmbarer Festkiirperlaser 739 DVD 746
E ebener dielektrischer Wellenleiter 7 I8 Ebene Welle, Intensitat 27 - -, komplexe Darstellung 25 Echelettegitter 394 effektive Brechzahl 722 effektive Bundelanzahl 403 Eigenschwingungen, stabile 377 Eindruckszahlen 773 einfaches Fernrohr 534 - Mikroskop 532, 533 Einfachheterostrukturen 740 Einfallslot 40, 45 eingliedrige Abbildung 765 EingriWsfunktion 569 Einkopplung 721 Einmodenbetrieb 1 14 Einmoden-Wellenleiter 720 Einprisma 387 Einstein 14 Einstellebene 285 Eintrittsfeld 282 Eintrittsluke 275 Eintrittspupi He 269 -, ringformige 652 elastische Streuung 690 elektrische Doppelbrechung 723 elektrische Feldstarke 23 elektrische Polarisation 678 elektromagnetische Feldenergie 23 13, 23 -Welle ebene 23 elektromagnetisches Spektrum 13 Elektronenmikroskopie 750 Elektronensonde 752 elektronische Bildverarbeitung 7 16 elektrooptischer Modulator 725 elektrooptischer Schalter 490, 738 Elementarfunktion 179 Elementarwelle 34
--.
Namen- und Sachverzeichnis Elementarzelle 374 elliptisch polarisiertes Licht 33 Empfindlichkeit, absolute 506 -, spektrale 507 Energiestromdichte 28 Energiezustande 84 Entartungsparameter 1 15 Entfernungsmessung 744 entozentrische Perspektive 284 Entspiegelung, Einfachschicht 423 -, Mehrfachschicht 426 Erfle-Okular 665 Etalon 399 EUV-Lithogratie 764 evaneszente Welle 755 EVERHART 752 Excimer-Laser 740 Exciplex 740 Extinktion 67 Extinktionsmodul 67 extraterrestrische Astronomie 595. 760
F Fabry-Perot-Interferometer 399 fadenformiger Raum I85 Faltung 349 Faltungsintegral 349, 569 Farbeindruck 525 Farbfehler 301 - des Hauptstrahls 304, 309 Farbfilter 407 Farbglaser 409 Farbholografie 7 I3 Farblangsfehler 303, 306 -, Darstellung 306 -, uberkorrigierter 307 -, unterkorrigierter 307 Farbsehen 524 Farbstofflaser 504, 742 Farbton 526 Farbvalenz 526 FarbvergroBerungsfehler 309 Farbwerte 525 Faser-Laser 739 Faseroptik 379 Feldbegrenzung, scharfe 276 Feldblende 274 -, Abschattung 278 -, Bestimmung 279 Feldlinse 375, 663
79 1
Namen- und Sachverzeichnis Feldstecher-Okular 665 Feldwinkel 274 Feldzahl 274 Fermatsches F’rinzip 38 Fernfeld 749 Fernfeld-Hologramm 705 Fernobjektiv 607 Fernpunkt 523 Fernrohr, Auflosungsvermogen 592 -, Bundelbegrenzung 584, 587 -, Dioptrieneinstellung 591 -, forderliche VergroBerung 592 -, NormalvergroBerung 593 -, Nutzungsgrad 597 -, PupillenabbildungsmaBstab 590 -, terrestrisches 585 -, VergroRerung 588, 590 Fernrohrleistung 596 Fernrohrlichtstake 597 Fernrohrlupe 549 Fernrohrobjektiv, Achromat 653, 654 -, Apochromat 653, 654 Festkorperlaser 503, 736 Fiberoptik 379 Filmebene 285 Filterfunktion 7 17 Filter ohne Kopplung 413 Filterfunktion 358 -, gauaformige 36 1 Finesse 736 Fisheye-Objektiv 608,641 Fixfokuseinstellung 61 1 Flachenfolge, zentrierte 193 Flachenpolarisator 436 Flauheit 773 Flektogon 639 Fliegenaugenlinse 624 Fluchtungsmessung 601 Fluoreszenzmikroskopie 749 FluRspat 79,658 forderliche Redundanz 715 forderliche VergroBerung 554 Formelzeichen 18 Forsterlingscher Dreiprismensatz 389 fotolithografisches Gerat, Beleuchtung 625 - Objektiv 665,764 fotometrische Grenzentfernung 378 fotometrisches Entfernungsgesetz 177 - Grundgesetz 178 - Strahlungsaquivalent 172, 174
Fotoobjektiv, Achromat 63 I -, Anastigmat 635 -, Biindelbegrenzung 603 -, Einzellinse 628 -, Feldbegrenzung 605 -, Fotometrie 616 -, Perspektive 608 -, Schiirfentiefe 6 10 fotorefraktive Stoffe 520 Foucaultsches Prisma 433 Fourier-Hologramm 705 Fourier-Theone der kohiirenten Abbildung 568 Fourier-Transformation 93, 350, 569 Fouriertransformations-Holografie 705 Fouriertransformations-Interferometer 679 Fouriertransformationsoptik 670 Fraunhofer-Hologramm 705 Fraunhofer-Objektiv 638 Fraunhofersche Beugung 135, 138 free-electron-laser 734 Freie-Elektronen-Laser 734 Fresnel-Hologramm 705 Fresnel-Linse 247 Fresnelsche Beugung I38 - Formeln 49,55 - -, Metallreflexion 70 - Integrale 154 -Zonen 364 Fresnelsches Ellipsoid 58 - Parallelepiped 435 Fresnelsche Zonenplatte 710 Fresnel-Zahl 1 15, 364 Frontar 632 F-theta-Korrektion 669 Fullfaktor 38 I Funktionselement I80 -, wellenoptisch abbildendes 327
G GaAs-Injektionslaser 740 GABOR 710 Galileisches Fernrohr 586 Gasentladungslampe 50 1 Gaslaser 503,740 GauR-Fehler 3 15 GauR-Objektiv 638 GauBsche Bildebene I87 - -, Intensitat 328 -, Konstanten 236 GauBscher Raum 185
Gaul.lsche\ Bundcl 1 I3 (ie~enl~irhentheoric525 Gciatcr 398 gelber Fleck 52 I geomerriwhc Abbildung~fehler.fiirbige Variationen 304 Fehler 301 -0ptik 16 gcometriache Streuiing 690 Geradeaushologratie 370 Gerndeau s- Hol ogram m 7 1 0 GerLidsichtprisma 390 Geriit. optisches 538 Gips 442 Gitterkonmnle I48 Glan~Thompsonsclie\Prisrna 434 Glaiirwinkel 689. 759 Glnanrten 77 GI aad iag rain m 79 Glaskiirper 5 2 I Glastypen 77 Gleichpolarisation 5 I3 Glimmer 440 Globnr\trahler 5 0 I Gluhlampe 500 Goldberg-Keil 392 Gordon I 0 8 GI-ndiente 11fa\er 754 -. Ah hiId ting sgle ic hting 25 7 -. A b biId ti ng aiiia13stab 259 -, Brennweite 258 -. numeri\che Aperrur 259 Grndiente 111inse 254. 3-60 Gradienten-Zonenplatten 722 gradient index 254 gratier Strahlcr I 0 8 GI-nLltilter 492 Graukeil 492 Graviercn 744 Gregory-Spiegel 656 Gren/-freqLien/ 357. 776 GRIN-Stab 254. 26 I Cirol3Jcldobjcktiv 059 GroRlcldokular 065 CirenAontraat 776 gro1.k Felder 767 Grundmstand 84 Glirtellinse 3-37 Gutc dcs Kcsonutor\ I 13, 730 Giitelunhtion 355. 773 -
gCitegeateuerter Laser 736 Giitekriterium 345. 349. 713. 774 Giiteahl 773. 774
H HAUSER 776 Hnidingersche Ringe I27 Halbapochrornat 653. 658 Halbleiterlaser 505. 740 Hulbmuschelgl~iser 529 Halbschatten 442 -- nach Lippich 443 Halbscliattenpolarisator 442 Hnlbwellenspnnnuiig 49 I . 724 f. Halbwer~sbrcitc 05. 96. 679 Halbwert\winhel 497 Halbwiirfel 473 mit Dachkante 482 Hamiltonsche charakteriatiache Funktion 701 Hanbury-Brown 1 17 Hauptaimut 72 Hauptbrechzahl 59. 77 Hauptdispersion 7 1 Haupteinldls*inkcl 7 I Hauptkugeln 297. 3 I8 Flauptpunkte 187 -. Spiegeltliiche 27 1. 224 Hatipt pun k t - Koordi naten system 1 93 Hauptschnirt 3x3 Haupts tra h I 176 li~itiptatrnhlnalieBiindel 303 Heliurn-Neon-Gaslaxer 1 I I Hellfelclheletichtiing 559 HeImhoItL-Lagrangesclie Inwriantc I87 - -. Spiegeltliiche 220 Hemiplanar 6.54 heinifphiirische Lichtatlirke 695 Herapathit 1 3 7 Herotar 437 HEKTEL 774 Hertelsche Gtitekritrrien 774 HEYNACHER 777 Heynacher Zahl 777 hoe hati fliisencie S pe kr roa k o p i e 14X Hoeghschcr Meniskus 2 I5 Hiihenverhiiltnis 200 hijhcre Harmoni~che 5 I6 Hohlspiegel 2 I8 holliindischex Fernrohr 586 Holografie 703. 749 -
Namen- und Sachverzeichnis holografisches Gitter 398 366 holografische Zonenplatten 7 10 holografisch-optische Bauelemente (HOE) Hologramm 366, 703 Hologramme, Klassifizierung 37 1 Hologramm-Interferometrie 372, 7 14 HOPPE 759 homzentrisch 159 Hornhaut 521 Hubble-Teleskop 596 Huet-Prisma 484 Huygens-Okular 663 Huygenssches Prinzip 34 - -, mathematische Fassung 137 Hypergon 637 hyperzentrische Perspektive 285
793
- Liniengitter
I ILPADI 238 Immersionsobjektiv 657 Indexellipsoid 58 induzierte Emission 86 inelastische Streuung 690 Informationstechnik 17 Infrarot 16 Infrarot-Objekti; 670 infrarottransparente Stoffe 80 inhomogene Platte 702 inhomogene Schicht 428 - Stoffe 39,254 Injektionslaser 740 inkoharente Ortsfrequenzfilterung 7 16 inkoharentes Licht 92 inkoharente Streuung 690 in-line Hologramm 7 10 Innenfokussierung 599, 655 integrierte Optik 18, 7 I7 integrierte Streustrahlung 693 Intensar 667 Intensitat 27, 29 Intensitatskorrelation 116 Intensitatsmodulation 729 Interferenz am Keil 129 Interferenzanteil der Intensitat 89 Interferenzfarben 127 Interferenzfilter, Halbwertsbreite 41 1 - mit Absorption 410 - ohne Absorption 422 -, Zehntelwertsbreite 41 1
7 10
Interferenzkontrast 101 Interferenzlinienfrlter 414,422 Interferenzmikroskope 748 lnterferenzpolarisator, Einfachschicht 447 -, Mehrfachschichten 446 Interferenzspektroskopie 683 Interferometer 679 Interferometer von SAGNAC 684 interferometrische Bildauswertung 761 Iris 521 Isoplanasiegebiet 346. 569 isoplanatische Abbildung 3 I9
J Jaminsches Interferometer Jones-Matrix 449 Jones-Vektor 449
133
K Kalkspat 431 Kaltlichtspiegel 429 Kameralange, optische 602 Kantenfilter 407 Kantengradient 774 Kardinalelemente I87 -, zwei Flachen 198 Kardinalpunkte I87 Kardioidkondensor 566 kastenformige Spektrallinie 99 Kaustik 31 1 KDP 432 Keil 487 -, dichromatischer 488 -, - reflexfreier 489 Kellner-Okular 663 Keplersches Fernrohr 584 Kerr-Effekt 723 f., 727 Kieselglas 79 Kinoformlinse 7 12 Kirchhoffsche Beugungsformel 137 KIRKPATRIK 759 kleine Felder 767 Knotenpunkte 187 -, Spiegelflache 22 I , 224 Kogelnicksche Formeln 265 koharente Abbildung, Amplitudengitter - -, Auflosungsvermogen 573 - -, Phasengitter 575 koharente Ortsfrequenzfilterung 7 17 koharente Streuung 690
57 I
794 Koharenzbedingung 106, 142,763 Koharenzfunktion 107. 116. 774 -, normierte 107 Koharenzgrad 104, 107 -, komplexer 107 Koharenzintervall 108 Koharenzlange 97, 101, 515, 679 Koharenzparameter 552, 58 I , 774 Kohiirenzvolumen 1 15 Kohlendioxid-Laser 740 Kiihlersche Beleuchtung 5 16, 560 Kollektor 562 Kollimator 598 kollineare Abbildung 161 Koma 302 -, meridionale 3 16 -, sagittale 316 sphlrischer Hohlspiegel 3 19 symmetrisches System 3 I9 komplanare Spiegel 457 komplexe Amplitude 26 - Brechzahl fur Leiter 68 koniplexer Brechungswinkel 54 - KohPrenLgrad 107 Kondensor 56 I , 620 -, aspharischer 624 -, pankratischer 564 -, zweilinsiger 622 knnfokale Brennweiten 264 konfokaler Resonator I 13, 377 konfokales Laser-Scanning-Mikroskop 756 Konig-Okular 664 Konig-Prisma 485 konjugierte Punkte 160 Konkavgitter 395 Konkavkonvexlinse 2 15 Konkavspiegel 2 I8 konkrete Struktur I79 Konsistenz-Bedingung 7 19 Kontrast 100, 123, 354 Kontrasttreue 773 Konverter 770 Konvexkonkavlinse 215 Konvexspiegel 2 18 konzentrischer Meniskus 63 1 Kopplung von Wellenleitern 722 Korrektionsfassung 657 Korrelationsfunktion 1 16 Kreiszweieck 277 Kreuzgitter 687
-. -.
Namen- und Sachverzeichnis Kristallplatte 490 Krummung der Spektrallinien Kugelfotometer 700 Kurzflintapochromat 654 Kurzsichtigkeit 527 Kurzzeitspektroskopie 748
389
L Lambert-Strahler 170. 176, 699 Laminargitter 393 Lands 746 Landschaftsaplanat 634 Liingsabweichung 301 Laser 108, 110, 502, 734 Laserbundel, Divergenziinderung 265 -, Divergenzwinkel 264 Fokussierung 265 Transformationsgleichung 264 Laserbundel-Transformation 263 -, TiefenmaUstab 264 -, Winkelverhaltnis 264 Laser mit vertelter Ruckkopplung 734 Laserresonator 376, 734 -, konfokaler 377 -, spharischer 377 Laserscannersystem 669 Laserschweiaen 744 Laser-Skalpell 744 Lasersysteme 667 Laue-Diagramme 688 Laurentsche Halbschattenplatte 443 LED 732 Lederhaut 521 leere Redundanz 7 15 Leiter, komplexe Brechzahl 68 -, Wellengleichung 68 Leman-Prisma 484 Leseglas 533 Leuchtdichte 175, 296 -, remittierte 498 Leuchtfeldblende 562 Licht 13. 16 -, elektromagnetische Theorie 15 Lichtausbeute 501 Lichtbundel 36 - konstanten Durchmessers 378 lichtelektrischer Effekt, PuRerer 14 Lichterregung 135 Lichtleitkabel 379 Lichtleitung 374
-.
-.
Namen- und Sachverzeichnis Lichtleitwert 178 Lichtquant 14 Lichtstarke 173, 698 Lichtstarke-Indikatrix 695 Lichtstrahl 1 I , 36 -,Kriimmung 255 Lichtstrom 172,295,698 lichttechnische GroSen I72 Lichtverteilung 695 Lichtweg 38 linear polarisiertes Licht 33 Linienbildfunktion 347 Liniengitter, ebenes 147 Linse, Brechkraft 207, 208 -, Hauptebenen 208 -, sphiirische 206 -, zentrierte 206 Linsenformen, Klassifikation 209 Lithiumfluorid 79 Littrow-Prisma 388 longitudinaler Effekt 725 longitudinaler Pockels-Effekt 725 Luftbild 285 Lumen 172 Lumineszenzdiode 50 I , 732, 740 Lummer-Gehrcke-Platte 399 Luneburg-Linse 261 Lupe 539 -, anastigmatische 543 -, aplanatische 543 -, NormalvergroBerung 539 -, Perspektive 539 Lupenaufnahme 603 Lux 175
M Mach-Zehnder-Interferometer 97, 133, 722, 730 Maiman 108 Makroaufnahme 602 Maksutow-System 65 I Malus, Satz von 37 Manginspiegel 247,627 Masterhologramme 7 13 Materialbearbeitung 744 Mattscheibe 497 Mattscheibenebene 285 Maxwell-Kugellinse 261 Maxwellsche Gleichungen 26 mechanischer Ausgleich 647
795
Mehrfachheterostrukturen 741 Mehrfachschichtfilter mit Kopplung 413 Mehrmoden-Wellenleiter 72 1 Meridionalebene 2 I meridionale Koma 3 16 - -, Querabweichung 30 I meridionaler Bildort 303, 322 - Bildpunkt 321 meridionales Biischel 303 Meridionalstrahl 181 -, Spiegel 218, 220 mesoptischer Bereich 523 MeBmikroskop, Fokussierfehler 558 -, MeBunsicherheit 554 Messung der Winkelgeschwindigkeit 686 Metallreflexion 69 Metallspiegel, Reflexionserhohung 429 metastabil 86 Michelson-Interferometer 679 f. Miescher Streuparameter 69 I Miesel 261 Mie-Streuung 690 f. Mikroaufnahme 603 Mikrometer, optisches 463 Mikroobjektiv, Achromat 657 -, Apochromat 657 -, Monochromat 659 -, Planachromat 658 -, Planapochromat 658 Mikrooptik 7 17 Mikrorauhigkeiten 693 Mikroskop, Abbesche Zerlegung 547 -, Ablesevergroaerung 55 I -, Auflosungsvermogen 552 -, Beleuchtung 559 -, NormalvergroBerung 550 - , O k u l ~ 662 -, Schdentiefe 556 -, VergroBerung 547 -, zusammengesetztes 543 Mikroskopierverfahren 748 Mikroskoptubus 545 Mikrostrukturierung 676 Mini-Megazoom 764 Mired-KenngroBe 408 Mode 113 Modulation 159, 722 Modulationsgrad 369 Modulationsubertragungsfunktion 352,356,774 modulation transfer function 352
796 Modulator 722 monochromatisches Licht 76 Monochromator 386 Monomode-Fasern 743 monozentrisches Okular 663 Moore 261 Miiller-Matrix 452 Multimode-Fasern 743
N Naheinstellung auf Unendlich 61 1 Nahfeld-Hologramm 705 Nahfeld-Mikroskopie 75 1, 753 Nahpunkt 523 natiirliche Blende 3 19 - Breite der Spektrallinien 95 -Dampfun& 95 natiirliches Licht 29 Nebenreflex 245 negative absolute Temperatur 1 11 negativ optisch einachsig 61 Neodym-Glaslaser 736 Nernststift 501 Netzhaut 521 Neuachromat 636 neue Glaser 636 Neutralfilter 492 New Technology Telescope 593 Newton 656 Newtonsche Abbildungsgleichung 19 I -Ringe 131 Newtonscher Spiegel 656 nichtlineare Optik 510, 744 -Stoffe 520 nichtlineare Optimierung 771 nichtlineare Phasenkonjugation 7 14 Nichtselbstleuchter 566 Nicolsches Prisma 432 Noniussehscharfe 523 normale Dispersion 74 Normalengeschwindigkeit 60 Normalobjektiv 606 Normalschema 183 Normalspektrum 152 NormalvergroRerung 532 Normfarbtafel 527 Normspektralwertfunktion 526 numerische Apertur 267 --, Faser 380 niitzliche Vergrolierung 554
Namen- und Sachverzeichnis
0 Obefflachenstreuung 693 Objektfeld 274 Objektfeldblende 282 Objektfunktion 567 Objektive mit langer Schnittweite 608 - mit unendlicher Bildweite 547, 656 - mit veranderlicher Brennweite 642 Objektpunkt 160 Objektraum 159 Objektstruktur 158 Objektwelle 707 Objektwinkel 274 off-axis Hologramm 7 12 Offnungsblende 267 -, Bestimmung 270 Offnungsfehler 302,3 10 -, brechende Flache 3 13 -, Hohlspiegel 3 13 -, Korrektionsdarstellung 3 1 1 -, Sammellinse 3 14 - schrager Bundel 3 I6 -, iiberkorrigierter 3 1 1 -, unterkorrigierter 3 1 1 Offnungsverhaltnis 270 Offnungswinkel 267 Offnungszahl 269 Okular 662 Olimmersion 663 Omnar 638 Optik-Design 772 Optik-Schema 538 optisch-akustische Raster-Mikroskopie 753 optisch einachsig 60 - zweiachsig 59 optische Abbildung, abstrakte 158 - -, konkrete 158 --, reale 157 - Ablenkeinheit 492 -Achse 59, 193 - Aktivitat 444 -Dichte 67 - Kristalle 79 - Kunststoffe 80 - Plaste 80 - Strahlung 16 - Tubuslange 198 - Ubertragungsfunktion 352, - -, beugungsbedingte 357 -Weglange 38
Namen- und Sachverzeichnis optische Baulange 765 optische Bildverarbeitung 7 16 optische Nachrichteniibertragung 743 optische Nahfeld-Raster-Mikroskopie 754 optische Raster-Kraftmikroskopie 754 optischer Ausgleich 647 - FluR 178, 300 - Wirkungsgrad SO 1 optische Schalter 722 optisches Gerat 538 -Glas 76 - Instrument 537 - -, objektives 537 - -, subjektives 537 - Interval1 198 -Pumpen 110 - Rauschen 159 -System 157 optische Wellenleiter 717 optisch-thermische Raster-Mikroskopie 753 ordentliche Welle 60 orthogonale Polynomdarstellungen 773 Orthometar 639 orthoskopisches Okular 664 orthotomes Lichtbundel 37 ortsabhangige Lichtmodulation 73 1 ortsabhangige Lichtspeicherung 73 1 Ortsfrequenz 350,367 -, auflosbare 357 Ortsfrequenzfilter 7 17 Ortsfrequenzfilterung 358, 7 16 -, inkoharente 357 Ortsfrequenzspektrum 357 Ortskoordinaten, reduzierte 570
P Packungsfaktor 381 pankratischer Kondensor 564 pankratisches System 644 Parabolspiegel 242 paraxialer Ansatz 765 paraxiales Gebiet 184, 185 - -, Strahldurchrechnung 236, 237 paraxiale Strahlengleichung 702 Paraxialstrahlen 185 partiell-koharente Abbildung 580 partiell-koharentes Licht 106 partiell linear polarisiert 29, 52 Passe 131 passiver Resonator 736
797 Pentaprisma 474 Dachkante 483 Periskop 634 periskopische Glaser 528 Perspektive 283 -, naturliche 540 perspektivische Darstellung 288 perspektivischer Eindruck 283, 288 - -, naturlicher 288 - -, tiefenverkurzter 289 - -, tiefenverlangerter 289 Perspektivitatszentrum 283 Petzval-Bedingung 320 Petzval-Objektiv 633 Petzval-Schale 320 Petzval-Summe 320 Phasenanpassung 5 1 4 , s I6 Phasenbedingung 425 Phasengeschwindigkeit 25 Phasengitter 398 Phasenhologramm 369, 371, 705, 7 12 Phasenkonjugation, nichtlineare 5 18 Phasenkontrastverfahren 578 Phasenmodulation 728 Phasenmodulator 730 Phasenplatte 439 Phasenstruktur 147 Phaseniibertragungsfunktion 352 phase transfer function 352 Photon 15 Photonenanzahl 117 Photonik 675 photopischer Bereich 523 physiologischer Grenzwinkel 523 Pits 746 Planar 639 Planachromat 658 Planapochromat 658 Planck-Konstante 84 Plancksche Strahlungsgleichung 165 Plangitter 392 Plankonkavlinse 215, 216 Plankonvexlinse 214,216 planparallele Platte 460 - -, Amplituden 119 - -, Intensitat 122 - -, Interferenz 132 - -, Phasendifferenz 120 Planplattenmikrometer 463 Planspiegel 453 - mit
798 -, aufgespalteter 454 -, komplanare 457,458 Planspiegelplatte 464 Planspiegel-Resonator 734 Plasma-Laser 734 Platte ,,Rot I. Ordnung" 442 Plattenspeicher 746 Polarisationsgrad 438 Pockels-Auslesemodulator 73 1 Pockels-Effekt 490, 725, 727 Pockels-Konstante 727 Pockels-Zelle 49 1 Polarisation, dielektrische 57 Polarisationsebene 29 Polarisationsfilter 437 Polarisationsgrad 52 Polarisationsmatrizen 448 Polarisationsmikroskope 748 Polarisationsprisma 43 1 Polarisationswinkel 5 1 Polychromat 308 polychromatisches Licht 75 Porro-Prismen I . Art 484 -2.Art 485 positiv optisch einachsig 61 Poynting-Vektor 28, 677 Prakticar 640,648 primiires Bild 567 Prisma, Baulange 467 -, MindestgroBe 468 -, paraxiale Schnittweitenanderung 467 - von Rochon 434 Prismen-Anordnungen 386 Prismenfernrohr 585 Prismen-Koppler 721 Probeglas 131 Prochorow 108 Projektionsfigur 286 Projektionszentrum 283 PROM 731 Pseudokolorierung 7 16 Punktbildamplitudenfunktion 569 Punktbildfunktion 341, 343, 763, 773 punktuell abbildende Glaser 529 punkteikonal 700 f. Pupillendistanz 523 Pupillenfunktion 342, 355, 358, 570 Pupillenkoordinaten, reduzierte 570
Namen- und Sachverzeichnis
0 Quadratpackung 380 Quantencharakter 15 Quantenelektrodynamik 15 Quantenfeldtheorie 15 Quantenmodell 15 Quantenoptik 16 quantentheoretisch koharent 116 Quarz 431 quasimonochromatisches Licht 75,95 Querabweichung 301 Querkoma 316 Q-Zahl 776
R Radialgradient 254,261 Ramsden-Okular 663 Randabschattung 277 Raster-Elektronenmikroskop 75 1 Raster-Kraftmikroskopie 753 Raster-Tunnelmikroskopie 753 Rastertunnel-Elektronenmikroskop 752 Rauchglas 492 Raumgitter 686 raumliche Koharenz 106 rauschaquivalente Strahlungsleistung 508 Rayleighsche Streufunktion 690 Rayleigh-Streuung 690 ray tracing 771 R-Biotar 639 reale Struktur 179 redundant 7 15 redundante Speicherung 370 reduzierte Dicke 207 - Plattendicke 462 reduziertes Auge 522 reeller Punkt 160 Referenzwelle 368, 37 1, 704, 707 Reflex 52 Reflexionserhohung 429 Reflexionsfaktor 67 Reflexionsgesetz 45 -, vektorielles 46 Reflexionsgitter, konkaves 395 -,planes 392 Reflexionsgrad 49 - von Metallen 71 Reflexionshologramm 705 Reflexionspolarisator 445 Reflexionsprisma 466
Namen- und Sachverzeichnis -, einfaches 473 Reflexion von Rontgenstrahlung 689 Refraktor 585 Regenbogenhaut 521 Regenbogen-Hologramme 7 13 Reintransmissionsgrad 65 -, spektraler 65 Rekonstruktion 368, 703 relative Brechzahl 41 - Gipfelhohe 349, 355, 774 -0ffnung 270 - Permeabilitat 26 - spektrale Empfindlichkeit 12 - Teildispersion 78 Remissionsgrad 498 remittierte Leuchtdichte 498 reproduzierendes Instrument 537 Resonator 112 Rhomboidprisma 474 Riccoscher Satz 598 Richtungsmessung 600 Richtungsvariable 569 ringformige Pupille 358 Ringlaser 686, 745 Rinnenfehler 317 Rochon-Prisma 434 Rontgenastronomie 761 Rontgenmikroskopie 750, 758 ROHRER 752 ROSAT 595,761 Rotationsdispersion 445 Rotationsellipsoid 242 Rotationsflache, aspharische 239, 240 -, brechende 180 Rotationshyperboloid 242 Rousseau-Diagramm 695, 697 Rowland-Kreis 397 Ruhinlaser 111 Riickkopplung 112
S Sagittalebene 21 sagittale Koma 3 16 sagittaler Bildort 303, 321 - Bildpunkt 321 sagittales Biischel 303 Sagnac-Interferometer 679 Sammellinse 210 Saphir-Laser 739 sattigbare Absorber 723, 739
799 Sattigung 526 Savartsche Doppelplatte 134 Scanner 722 Scanning-Nahfeldmikroskopie 753 Scharfentiefe, geometrisch-optische 556 -, gesamte 557 -, wellenoptische 336 scheinbare Grolje 283,530 Scheinwerfer 626 Scheitelbrechkraft 209 Scheitelbrennweiten 209 schematisches Auge 522 Schichtsysteme, dielektrische 415 -, periodische 420 -, Reflexionsfaktor 418 schiefe Dicke 322 SCHILLING 776 Schlierenverfahren 749 Schmidt 65 1,656 Schmidt-Platte 359, 65 1 Schmidt-Prisma 483,486 Schnittweite 181 Schnittweitenabweichung 302 Schnittweitenanderung 462, 467 Schwankungsquadrat 117 -, mittleres 117 schwarze Temperatur 168 SCHWARZSCHILD 759 Schwerflintapochromat 654 Schwerstrahl 277 Schwingungsellipse 3 1 Sehscharfe 523 Sehstrahl 283 Sehweite 283, 529 Sehwinkel 283,529 Seidelsches Gebiet 304 sekundares Bild 568 - Spektrum 308 Selbstfokussierung 5 18 SCnarmont-Prisma 434 Shearinginterferometer 134 Shift-Objektiv 641 Sichttheorie 694 Sichtweite 694 Signal-Rausch-Verhaltnis 508 Signalwelle 368, 37 1, 704, 707 Single-Mode-Wellenleiter 720 Single-Side-Single-Layer-DVD 746 skotopischer Bereich 523 SMX-Methoden 753
XOO
Smyth-Linse 639 Snelliux 37 Soleilsche Doppelplatte 344 Sonnar 642 Space Telexcope Hubble 595. 760 Speckle-lnterferornetrie 593 Spcktraldichte 93 spektrale Bandbreite 94 - Energiedichte XS spektraler Hellemptindlichkcitsgrad 12 - StrahlungsfluR 165. 6x4 spektrale Strahlungsleistung 678 s p e d i s c h e Ausstrahlung 165 sphiirische Aberration 3 10 - Liingsahweichung 3I I - Quernbweichung 3I I sphiirischer Gradient 254. 261 Sphiironieterwerte 207 Spiegel. dielektrische 421 Spiegeltliiche, nufgespaltete 7 19 Spiegellinse, paraxiales Gehiet 245 -, mntrierte 245 Spiegelnietnll X I Spiegelobjektiv 650 spontane Emission X6 Stlbchen 521,524 Stabilitiitsbedingung 377 Startsystem 770 Stefaii-Boltzmannsches Gesetz I66 stehende Welle 91 Stilb 175 Stokes-Vektor 45 1 Stiirflanke 248 StoBdlrnpfung 96 Slrahlaberration 30 I strahlablcnkcndc Speicher 732 Strahldichte 169 Stralildurchrechnuiig, asphiirische Fliichen 343 astiginatische 322 S trahla berrat ionen 773 Strahlenbcprenzung 266 Strahlenbundel 37 -. tioniozentrisches I59 Strahlenbiischel 37 Strahlenlllche hl StrahlentluR 561 Strahlengleichung 701 Strahleninodell I I , 35 Strahlkonstruktion. xichnerische 189. 204 Strahlstiirkc 168 -?
Namen- und Sachverxichnis Strahlungsausbeuie 168 Strahlungsempfinger. fotoelektrischer 509 thermischer 508 StrahlungsfluB 164, 678 spektraler 165 Strah~ungsleistung 677 strahlungsphysikalische GriilJen 164 Strahlzahl 58, 60 Streifen gleicher Dicke 130 Neigung I28 Streukoeffiirient 692 Streuquerschnitt 692 Streuwinkel 690 Streuzentren 687 Strukturfunktion 138. 147 Strukturparameter 770 Stufenlinse 247 Substrdt 717 subtralitive Farbniischung 525 Summenfrequeni. 5 I3 Superstrat 7 17 Superweitwinkelobjektiv 608. 641 Suszeptibilitlt 57, 73 Sylvester. Theorem von 377 symrnetrischer Anastigmai 636 synthetisches Hologramm 366. 706. 7 10
-.
-.
- -
T Taille 263 Taillen-Transformationsni~~~stab264 Tangensbedingung 326 technische Optik 17 Teilerplatte 494 Teilerwiirfel 496 Teilung der Amplitude Y7 - - Wellenfront 97 Teilungsfehler 398 Teleobjektiv 607, 639 telezentrische Perspektive 284 telezentrischer Strahlcnverlauf ,793 TE-Mode 71Y Temperaturstrahler 500 terrestrisches Fernrohr 585 Tebsar 3 1 1, 642 THORNLEY 752 Tiefeninahtab 19 I Spiegeltlache 222 Tiefenwirkung 286 TiefpaBfilter 361 Tilt-Objektiv 64 I
-.
Namen- und Sachverzeichnis
80 1
TM-Mode 719 TOLANSKY 748 tonnenformiger Torus 254 Topogon 638 torische Flache 252 Totalreflexion 53 -, Fresnelsche Formeln 55 -, Grenzwinkel 53 -, Polarisation 56 Tragerfrequenz-Holografie 704 Transrnissionsgitter 392 Transrnissionsgrad 49,66,724 Transmissions-Hologramm 705 transversaler Effekt 725 transversale Welle 29 Trichroismus 436 Trichromat 307 Triotar 642 Tripelprisma 476 Tripelspiegel 459 Triplet 641 TRURNIT 759 Tubuslinse 549 Tunneleffekt 752 Turmalinzange 436 m i s s 117 Twyman-Interferometer 683 Tyndall-Effekt 690 Tyndall-Phanornen 690
Very Large Telescope 594,76 1 Verzeichnung 303, 323 -, Darstellung 324 -, Einzellinse 326 -, kissenformige 324 -, relative 324 -, symrnetrisches System 326 -, tonnenformige 324 Verzogerungsstrecken 763 Viergruppenbauweise 648 Vierwellenlangenrnischung 5 14 Vierwellenrnischung 7 14 Vignettierung, kunstliche 277 -, natiirliche 6 I7 virtueller Punkt 160 VIS 16 VLT 761 Volumen-Hologramm 705, 707, 7 13 Vorderreflex 245,465 Vordispersion 407 Vorzeichenregeln 20
W
U Ubergangsbeziehungen 194 Ubergangsmatrix 234,236
Ubergangswahrscheinlichkeit
85
Ubertragungsfaktor 776 Ultraviolett 16 Umkehrprisrna 474 unwirksamer Schnitt 250 UV-Polarisationsfilter 437
V Vario-Glaukar 646 Varioobjektive 764 vektorielle Strahldurchrechnung - -, aspharische Flachen 229 - -, Spiegelflachen 23 1 Verantlupe 543 verdeutlichendes Element 537 VergroBerung 530 Verweilzeit 86
226
Wabenkondensor 624 Wadsworth-Anordnung 387 Wandersleb 6 I7 Wasserstofflaser 740 WeiB hoherer Ordnung 127. 143 WeiBlicht-Holografie 7 13 Weitsichtigkeit 527 Weitwinkelobjektiv 607 Wellenaberrationen 337, 773 -, Berechnung 340 -, Offnungsfehler 339 Wellenaberrationsdifferenzfunktion 356 Wellenflache 23, 35, 332 -, mittlere quadratische Deformation 345 Wellenfront 35 Wellengleichung 26 - fur Leiter 68 Wellenlangenskale 75 Wellenleiter 379 Wellenmechanik 15 Wellenmodell 14 Wellenoptik 16 wellenoptisches Funktionselernent 327 Wernicke-Prisma 391 Wiensches Verschiebungsgesetz 167 windschiefe Strahlen 181, 226 - -, Berechnung in Matrixdarstellung 232
802
Namen- und Sachverzeichnis
Winkelauflosung 76 I Winkelspiegel 458 Winkelverhaltnis 158 Wirkflanke 248 wirksamer Schnitt 250 Wismut-Silicium-Oxid 723, 732 Wolbspiegel 2 I8 Wollaston-Prisma 434,490 WOLTER 759 Wolter-Spiegelobjektive 759 Wolter-Spiegelsystem 76 I wurstformiger Torus 254
Y Young 115 Youngsches Interferometer
Z Zapfen 52 I,524 Zeichenerkennung 7 I6 Zeiger 108 zeitliche Koharenz 101 Zeit-Mittelungstechnik 373 Zentralabschattung 358 -, Punktbildfunktion 35Y
97
Zentrierung 206 ZERNIKE 773 Zernike-Polynome 340, 34 I , 773 Zerstreuungslinse 2 10 Zielfernrohr 601 Ziliarkorper 52 I zirkular polarisiertes Licht 33 ZOLLNER 776 Zonenbrennweite 627 Zonenfehler 3 12 Zonenplatte 362, 365, 369 Zonentheorie 525 Zoomar 647 Zoom-Objektiv 644 zweigliedrige Abbildung 770 Zweigruppenbauweise 648 Zweischalenfehler 302 zweistufige Abbildung 543 zweite Harmonische 514 Zwei-Wellenlangen-Holografie 7 14 Zwischenbildraum 270 -, bevorzugter 271 Zylinderlinsen 250 -, gekreuzte 625
