Kategorien und Topostheorie 001

Kategorien- und Topostheorie Vorlesung Sommersemester 2005 Andreas D¨oring IAMPh, Fachbereich Mathematik Johann Wolfgang Goethe-Universit¨at Raum 807, Robert-Mayer-Straße 10 [email protected]

28. Juli 2005

Inhaltsverzeichnis

1 Universelle Konstruktionen und Limites 1.1 Universelle Morphismen und Elemente . . . . . 1.2 Darstellbare Funktoren und das Yoneda-Lemma 1.3 Kolimites und Koprodukte . . . . . . . . . . . . 1.4 Limites und Produkte . . . . . . . . . . . . . .

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3 . 3 . 5 . 9 . 14

2 Subobject classifier 19 op 2.1 Der subobject classifier in der Pr¨agarbenkategorie SetC . . . . . . 22 3 Adjunktionen 3.1 Exponentiale . . . . . . . 3.2 Logik und Verb¨ande . . . 3.2.1 Heyting-Algebren . 3.3 Quantoren als Adjungierte 4 Das 4.1 4.2 4.3

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26 30 32 34 39

Kochen-Specker-Theorem und Topostheorie 42 Bewertungen und das Kochen-Specker-Theorem . . . . . . . . . . . 42 Pr¨agarbenformulierung des Kochen-Specker-Theorems . . . . . . . . 45 Verallgemeinerte Bewertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

¨ 5 Ubungen

51

Dieses Skript wird fortlaufend erg¨anzt (und verbessert, wo n¨otig). Anregungen, Kommentare und Kritik bitte an [email protected] − frankfurt.de

2

1 Universelle Konstruktionen und Limites Vorausgesetzt werden Grundlagen der Kategorientheorie, wie sie etwa in den Kapiteln I und II von [ML98] dargestellt sind. In diesem Kapitel folgen wir zun¨achst Kapitel III von [ML98], sp¨ater wird auch [MLM92] einbezogen. Das Buch von Goldblatt [Gol79] ist eine gute Erg¨anzung. Randnotizen beinhalten einfache Fragen und Aufgaben, die man sich klarmachen sollte.

1.1 Universelle Morphismen und Elemente Definition 1 Seien S : D → C ein Funktor und c ein Objekt von C. Ein universeller Morphismus von c nach S ist ein Paar hr, ui, bestehend aus einem Objekt r von D und einem Morphismus u : c → Sr von C, so dass es zu jedem Paar hd, f i mit d einem Objekt von D und f : c → Sd einem Morphismus von C einen eindeutigen Morphismus f 0 : r → d von D gibt mit Sf 0 ◦ u = f . Anders gesagt: jeder Morphismus f nach S faktorisiert eindeutig durch den universellen Morphismus u, wie in folgendem kommutativen Diagramm angegeben: r

Sr u  Sf 0

c

f0

f@@

R ? @

?

d

Sd

.

Wie man sich durch Einsetzen in die Definitionen klar macht, ist u : c → Sr universell von c nach S genau dann, wenn das Paar hr, ui ein initiales Objekt in der Kommakategorie (c ↓ S) ist, deren Objekte bekanntlich Morphismen c → Sd sind. Es folgt wie u ur initiale Objekte, dass hr, ui eindeutig bis auf Isomorphie in ¨blich f¨ (c ↓ S) ist, d.h. insbesondere, r ist eindeutig bis auf Isomorphie in D. Beispiel 2 Sei VctK die Kategorie der Vektorr¨aume u ¨ber einem fest gew¨ahlten K¨orper K, mit linearen Transformationen als Morphismen, und sei U : VctK →

3

Set der Vergissfunktor, der jeden Vektorraum auf die Menge seiner Elemente abbildet. Zu jeder Menge X gibt es in bekannter Weise den Vektorraum VX mit X als Basis, bestehend aus allen formalen K-Linearkombinationen der Elemente von X. Die Funktion, die jedes x ∈ X auf dasselbe x, aufgefasst als Vektor von VX , abbildet, ist ein Morphismus j : X → U (VX ). F¨ ur jeden anderen Vektorraum W kann man eine beliebige Funktion f : X → U (W ) eindeutig zu einer linearen Transformation f 0 : VX → W fortsetzen, so dass gilt U f 0 ◦ j = f . Das bedeutet gerade, dass hVX , ji universeller Morphismus von X nach U ist. Eine weitere M¨oglichkeit, Universalit¨at auszudr¨ ucken, geben die universellen Elemente (die Beziehungen zwischen den verschiedenen Arten der Universalit¨at werden unten gekl¨art): Definition 3 Sei D eine Kategorie, H : D → Set ein Funktor. Ein universelles Element von H ist ein Paar hr, ei, bestehend aus einem Objekt r ∈ D und einem Element e ∈ Hr, so dass es zu jedem Paar hd, xi mit x ∈ Hd einen eindeutigen Morphismus f : r → d von D gibt mit (Hf )e = x. Beispiel 4 Seien V, V 0 Vektorr¨aume u ¨ber einem K¨orper K. Die Funktion H, die jedem Vektorraum W die Menge HW = Bilin(V, V 0 ; W ) aller bilinearen Funktionen V × V 0 → W zuweist, ist die Objektfunktion eines Funktors H : VctK → Set,∗ und die u ¨bliche Konstruktion des Tensorprodukts liefert sowohl einen Vektorraum V ⊗ V 0 als auch eine bilineare Funktion ⊗ : V × V 0 → V ⊗ V 0 , notiert als hv, v 0 i 7→ v ⊗ v 0 , so dass das Paar hV ⊗ V 0 , ⊗i ein universelles Element f¨ ur den 0 Funktor H = Bilin(V, V ; ) ist. Das funktioniert genauso, wenn K ein kommutativer Ring ist (und man K-Moduln statt Vektorr¨aume betrachtet). Der Begriff des universellen Elements ist ein Spezialfall des Begriffs des universellen Morphismus. Sei n¨amlich ∗ die Menge mit einem Element, dann kann jedes Element e ∈ Hr als ein Morphismus e : ∗ → Hr in Ens aufgefasst werden. Daher ist ein universelles Element hr, ei von H gerade ein universeller Morphismus von ∗ nach H. Hat umgekehrt C kleine Hom-Mengen, so ist der Begriff des universellen Morphismus ein Spezialfall des Begriffs des universellen Elements: seien S : D → C ein Funktor und c ∈ C ein Objekt, dann ist hr, u : c → Sri ein universeller Morphismus von c nach S genau dann, wenn hr, u ∈ C(s, Sr)i ein universelles Element des Funktors H = C(c, S ) ist. Dieser Funktor wirkt auf Objekten d und Morphismen h von D durch d 7−→ C(c, Sd), h 7−→ C(C, Sh) (sei h : d → d0 , dann ist C(c, Sh) : C(c, Sd) → C(c, Sd0 ), (f : c → Sd) 7→ (Sh ◦ f : c → Sd0 )).

4

∗

Wie wirkt H auf Morphismen?

Bemerkung 5 Wichtig ist, dass universelle Morphismen und universelle Elemente immer nur eindeutig bis auf Isomorphie bestimmt sind. Wie u ¨blich gibt es nicht nur universelle Morphismen von einem Element c nach einem Funktor S, sondern auch die duale Konstruktion: Definition 6 Sei S : D → C ein Funktor, c ein Objekt von C. Ein universeller Morphismus von S nach c ist ein Paar hr, vi aus einem Objekt r ∈ D und einem Morphismus v : Sr → c, so dass es zu jedem Paar hd, f i mit f : Sd → c ein eindeutiges f 0 : d → r gibt mit f = v ◦ Sf 0 , im Diagramm d

Sd f @ R @

@

Sf 0

f0

c

 v ?

?

r

Sr

.

Beispiel 7 Die Projektionen p : a × b → a, q : a × b → b eines Produkts in C (C = Grp, Set, Cat, ...): seien f : c → a, g : c → b Morphismen nach a bzw. b, dann gibt es ein eindeutiges h : c → a × b mit ph = f , qh = g. Wir betrachten den Diagonalfunktor ∆ : C → C × C mit ∆c = hc, ci. Das Paar f, g wird zu einem Morphismus hf, gi : ∆c → ha, bi in C × C und hp, qi ist universeller Morphismus von ∆ nach ha, bi.

1.2 Darstellbare Funktoren und das Yoneda-Lemma Universalit¨at kann mittels der Hom-Mengen formuliert werden: Proposition 8 F¨ ur einen Funktor S : D → C ist ein Paar hr, u : c → Sri universell von c nach S genau dann, wenn die Funktion, die jedes f 0 : r → d auf Sf 0 ◦ u : c → Sd abbildet, eine Bijektion der Hom-Mengen D(r, d) ' C(c, Sd)

(1)

ist. Diese Bijektion ist nat¨ urlich in d. Sind umgekehrt r und c gegeben, so ist jeder nat¨ urliche Isomorphismus (1) auf diese Weise durch einen eindeutigen Morphismus u : c → Sr festgelegt, wobei hr, ui universell von c nach S ist. Beweis. Die Aussage, dass hr, ui universell ist, ist genau die Aussage, dass f 0 7→ Sf 0 ◦u = f eine Bijektion ist. Diese Bijektion ist nat¨ urlich in d, denn sei g 0 : d → d0 ein Morphismus, dann gilt S(g 0 f 0 ) ◦ u = Sg 0 ◦ (Sf 0 ◦ u).∗

5

∗

Umgekehrt liefert ein nat¨ urlicher Isomorphismus (1) f¨ ur jedes Objekt d von D eine Bijektion ϕd : D(r, d) → C(c, Sd). W¨ahle insbesondere d als r, dann wird die Identit¨at 1r ∈ D(r, r) durch ϕr auf einen Morphismus u : c → Sr in C abgebildet. F¨ ur jedes f 0 : r → d kommutiert das Diagramm D(r, r)

ϕr

- C(c, Sr)

D(r, f 0 )

C(c, Sf 0 ) ?

D(r, d)

ϕd

? - C(c, Sd)

,

weil ϕ nat¨ urlich ist. In diesem Diagramm wird nun 1r ∈ D(r, r) auf Sf 0 ◦ u abgebildet (Weg oben und rechts) sowie auf ϕd (f 0 ) (Weg links und unten). Weil ϕd eine Bijektion ist, bedeutet dies gerade, dass jedes f : c → Sd von der Form f = Sf 0 ◦ u ist f¨ ur ein eindeutiges f 0 : r → d. Das bedeutet genau, dass hr, ui universell ist. Wenn C und D kleine Hom-Mengen haben, ist die eben bewiesene Aussage geraurlich isomorph zu einem kovarianten de die, dass der Funktor C(c, S ) nach Set nat¨ Hom-Funktor D(r, ) ist. Solche Isomorphismen heißen Darstellungen: Definition 9 D habe kleine Hom-Mengen. Eine Darstellung eines Funktors K : D → Set ist ein Paar hr, ψi, wobei r ein Objekt von D ist und ψ : D(r, ) ' K

(2)

ein nat¨ urlicher Isomorphismus. Das Objekt r heißt das darstellende Objekt. Der Funktor K heißt darstellbar, wenn es eine solche Darstellung gibt. Bis auf Isomorphie ist ein darstellbarer Funktor einfach ein kovarianter HomFunktor D(r, ). Dieser Begriff steht mit universellen Morphismen in folgender Beziehung: Proposition 10 Sei ∗ eine einelementige Menge und habe D kleine Hom-Mengen. Wenn hr, u : ∗ → Kri ein universeller Morphismus von ∗ nach K : D → Set ist, dann ist die Funktion ψ, die f¨ ur jedes Objekt d von D den Morphismus f 0 : r → d auf K(f 0 )(u∗) ∈ Kd abbildet, eine Darstellung von K. Jede Darstellung von K kommt in dieser Weise von genau einem solchen universellen Morphismus her.

6

Man zeichne das Diagramm! Wie genau sieht die nat¨ urliche Transformation aus, die hier drinsteckt?

Beweis. F¨ ur jede Menge X ist eine Funktion f : ∗ → X durch das Element • f (∗) ∈ X festgelegt. Diese Entsprechung f 7→ f (∗) ist eine Bijektion Set(∗, X) → X, nat¨ urlich in X ∈ Set. Zusammensetzung mit K liefert einen nat¨ urlichen Iso• morphismus Set(∗, K ) → K. Dies und die Darstellung ψ aus (2) gibt Set(∗, K ) ' K ' D(r, ). Somit entspricht eine Darstellung von K einem nat¨ urlichen Isomorphismus Set(∗, K ) ' D(r, ). Die Aussage der Proposition folgt also aus der vorherigen Proposition. Auch ein direkter Beweis ist leicht m¨oglich: gegeben einen universeller Morphismus u, ist die Entsprechung f 0 7→ K(f 0 )(u∗) eine Darstellung; gegeben eine Darstellung ψ wie in (2), bildet ψr den Identit¨ats-Morphismus 1 : r → r auf ein Element von Kr ab, das ein universelles Element ist, also auch ein universeller Morphismus ∗ → Kr. Man beachte, dass jeder der drei Begriffe universeller Morphismus, universelles Element und darstellbarer Funktor die beiden anderen umschließt (vorausgesetzt, man hat kleine Hom-Mengen). Ein universeller Morphismus von c nach S : D → C entspricht (nach Prop. 8) einem nat¨ urlichen Isomorphismus D(r, d) ' C(c, Sd) und damit einer Darstellung des Funktors C(c, S ) : D → Set und ebenso einem universellen Element dieses Funktors (siehe Prop. 10). Das in Prop. 8 gef¨ uhrte Argument beruht auf der Beobachtung, dass jede nat¨ urli• che Transformation ϕ : D(r, ) → K vollst¨andig festgelegt ist durch das Bild der Identit¨at 1 : r → r unter ϕr . Diese Tatsache kann man folgendermaßen ausdr¨ ucken: Lemma 11 (Yoneda 1954) Sei K : D → Set ein Funktor von D und r ein Objekt in D (wobei D eine Kategorie mit kleinen Hom-Mengen ist). Dann gibt es eine Bijektion (3) y : Nat(D(r, ), K) ' Kr, •

die jede nat¨ urliche Transformation α : D(r, ) → K auf αr 1r abbildet, das Bild der Identit¨at 1r : r → r. Der Beweis wird durch folgendes Diagramm angedeutet (es geht wie in Prop. 8): αr - K(r) r D(r, r)

f∗ = D(r, f )

K(f ) ?

D(r, d)

αd

7

? - K(d)

f ?

d .

(4)

•

Korollar 12 F¨ ur Objekte r, s ∈ D ist jede nat¨ urliche Transformation D(r, ) → D(s, ) festgelegt durch einen eindeutigen Morphismus h : s → r. Wir f¨ uhren jetzt eine wichtige Kategorie ein, die sich sp¨ater auch als ein Topos herausstellen wird: Beispiel 13 Sei C eine fest gew¨ahlte kleine Kategorie, C op die entgegengesetzop te Kategorie. Die Funktorkategorie SetC hat als Objekte alle Funktoren P : C op → Set und als Morphismen P → P 0 alle nat¨ urlichen Transformationen op 0 θ : P → P zwischen solchen Funktoren. Ein Objekt P von SetC ist ein mengenwertiger kontravarianter Funktor auf C und wird eine Pr¨ agarbe auf C genannt. Als Notation ist in der franz¨osischen Schule auch op b SetC = C u ur ¨blich. Ist P eine Pr¨agarbe auf C und x ∈ P (C), so wird der Wert P (f )(x) f¨ einen Morphismus f : d → c von C die Einschr¨ ankung von x entlang f genannt und oft notiert folgendermaßen notiert: P (f )(x) = x|f = x · f. Dabei wird f nach x notiert, angepasst an den kontravarianten Charakter von P , was bei einer Komposition f ◦ g deutlich wird: x · (f ◦ g) = (x · f ) · g. Jedes Objekt c von C erzeugt eine Pr¨agarbe y(c) auf C, definiert auf einem Objekt d von C durch y(c)(d) = C(d, c) = HomC (d, c) 0

α

und auf einem Morphismus d −→ d f¨ ur u : d → c durch y(c)(α) : HomC (d, c) −→ HomC (d0 , c),

y(c)(α)(u) = u ◦ α.

Kurz gesagt ist y(c) = HomC ( , c) der kontravariante Hom-Funktor. Pr¨agarben, die bis auf einen Isomorphismus von dieser Form sind, heißen darstellbare Pr¨ agarben. Wenn f : c1 → c2 ein Morphismus in C ist, dann gibt es eine nat¨ urliche Transformation y(c1 ) → y(c2 ), gegeben durch Komposition mit f . Dadurch wird y zu einem Funktor op y : C → SetC , c 7−→ HomC ( , c) von C in die kontravarianten Funktoren auf C. y heißt Yoneda-Einbettung und ist ein voller und treuer Funktor. Dies ist ein Spezialfall des Yoneda-Lemmas, das aussagt, dass es f¨ ur eine beliebige Pr¨agarbe P auf C eine Bijektion zwischen der Menge der nat¨ urlichen Transformationen y(c) → P und der Menge P (c) gibt: ∼

θ : HomCb (y(c), P ) −→ P (c), f¨ ur α : y(c) → P gegeben durch θ(α) = αc (1c ) (vgl. oben).

8

1.3 Kolimites und Koprodukte Wir f¨ uhren gleich die allgemeine Konstruktion eines Kolimes ein und betrachten anschließend die verschiedenen wichtigen Spezialf¨alle. Seien C und J Kategorien, wobei J als Indexkategorie dient und in der Regel klein oder sogar endlich ist. Wir erinnern uns, dass C J die Funktorkategorie der (kovarianten) Funktoren von J nach C bezeichnet, mit nat¨ urlichen Transformationen zwischen diesen Funktoren als Morphismen. Der Diagonalfunktor ∆ : C → CJ schickt jedes Objekt c von C auf den konstanten Funktor ∆c, der jedem Objekt i ∈ J das Element c ∈ C zuweist und jedem Morphismus von J die Identit¨at 1c . Ist f : c → c0 ein Morphismus von C, so ist ∆f ist die nat¨ urliche Transformation • ∆f : ∆c → ∆c0 , die denselben Wert f an jedem Objekt i von J hat. Jeder Funktor F : J → C ist ein Objekt von C J . Definition 14 Ein universeller Morphismus hr, ui von F nach ∆ heißt ein Kolimes- (direkter Limes-, induktiver Limes-)Diagramm f¨ ur den Funktor F . Er besteht aus einem Objekt r von C, u ¨blicherweise geschrieben als r = Lim −−→F oder •

r = Colim F , und einer nat¨ urlichen Transformation u : F → ∆r, die universell • ist unter den nat¨ urlichen Transformationen τ : F → ∆c. Da ∆c der konstante Funktor ist, besteht die nat¨ urliche Transformation τ aus Morphismen τi : Fi → c von C, einer je Objekt i von J, mit τj ◦ F u = τi f¨ ur jeden Morphismus u : i → j von J. Um dies im Diagramm zu veranschaulichen, identifiziert man all die gleichen c in ∆c wieder, notiert die nat¨ urliche Transformation • τ : F → c und bildet Fu - F Fv - Fk F i

j

@ @

τj

τ@ i @

τk

@ @ R ? @

c

(wobei alle Dreiecke vertauschen). In dieser Ausdrucksweise besteht ein Kolimes • von F : J → C aus einem Objekt Lim −−→F ∈ C und einem Kegel µ : F → ∆(Lim −−→F ) •

von der Basis F zum Vertex Lim ur jeden Kegel τ : F → −−→F , der universell ist: f¨ ∆c von der Basis F gibt es einen eindeutigen Morphismus t0 : Lim −−→F → c, so dass 0 τi = t µi gilt f¨ ur alle i ∈ J. µ heißt der limitierende Kegel (universelle Kegel) von F .

9

Beispiel 15 Sei J = ω = {0 → 1 → 2 → 3 → ...}. Wir betrachten einen Funktor ω → Set, der jeden Morphismus von ω auf eine Inklusion (einer Untermenge in eine Menge) abbildet. Ein solcher Funktor F ist einfach eine geschachtelte Folge von Mengen F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ .... Die Vereinigung U aller Mengen Fn , mit dem durch die Inklusionsabbildungen gegebenen Kegel Fn → U ist Lim −−→F . Dieselbe Interpretation von Vereinigungen als spezielle Kolimites gibt es in Grp, Ab und anderen Kategorien. Es gilt (und wird ggf. sp¨ater gezeigt): f¨ ur eine kleine Kategorie J hat jeder Funktor F : J → Set einen Kolimes. Koprodukte. Die erste wichtige Spezialisierung des Kolimes-Begriffs sind Koprodukte: Sei C eine Kategorie. Wir betrachten den simplen Diagonalfunktor ∆ : C → C × C, der auf Objekten gegeben ist durch ∆(c) = hc, ci und auf Morphismen durch ∆(f ) = hf, f i.∗ Ein universeller Morphismus von einem Objekt ha, bi von C ×`C nach ∆ heißt ein Koprodukt-Diagramm. Es besteht aus einem Objekt c = a b (andere Notation: c = a+b) und einem`Morphismus` ha, bi → hc, ci von C × C, d.h. einem Paar von Morphismen i : a → a b, j : b → a b, so`dass es zu jedem Paar von Morphismen `f : a → d, g : b → d ein eindeutiges h : a b → d gibt mit f = h`◦ i, g = h ◦ j. a b heißt Koprodukt-Objekt, i und j die Injektionen von a b (obschon sie i. Allg. nicht injektiv als Funktionen sein m¨ ussen). Im Diagramm: j i - a`b a b

∗

Inwiefern ist C × C eine Funktorkategorie? (C × C = C ?)

@ @ @

f @

h

g

@ @ R ? @

. d Das bedeutet, dass die Abbildung hf, gi 7→ h eine Bijektion ` C(a, d) × C(b, d) ' C(a b, d) ist, nat¨ urlich in d, mit Inverser h 7→ hhi, hji. Hat jedes Paar von Objekten a, b von C ein Koprodukt, dann ist –w¨ahlt man ein Koprodukt-Diagramm je Paar aus– das ` ` Koprodukt : C × C → C ein Bifunktor, ` wobei ` h k f¨ ur ` Morphismen h : a → a0 , 0 0 k : b →`b als der eindeutige Morphismus h k : a b → a b0 definiert ist, f¨ ur den ` 0 0 ∗ gilt (h k)i = i h, (h k)j = j k. Koprodukte existieren in vielen Kategorien und haben dort oft eigene Bezeichnungen (anders gesagt, fasst der Koproduktbegriff eine Reihe bekannter Konstruktionen zusammen):

10

∗

Man zeichne das Diagramm!

Set Top Top∗ Ab, R-Mod Grp CRng

disjunkte Vereinigung von Mengen disjunkte Vereinigung von R¨aumen wedge product (verklebe die R¨aume am Basispunkt) direkte Summe A ⊕ B freies Produkt Tensorprodukt R ⊗ S

In einer pr¨ageordneten Menge P ist eine kleinste obere Schranke a ∪ b zweier Elemente a, b ein Element mit (i) a ≤ a ∪ b, b ≤ a ∪ b und (ii) wenn gilt a ≤ c und b ≤ c, dann ist a ∪ b ≤ c. Das heißt, a ∪ b ist ein Koprodukt von a und b in der Kategorie P . Unendliche Koprodukte. Statt Koprodukte zweier Objekte kann man auch solche beliebig vieler Objekte betrachten. Dazu ersetzt man in der obigen Beschreibung C × C = C 2 durch C X , wobei X eine beliebige Menge ist. Hier wird X als diskrete Kategorie angesehen, also hat die Funktorkategorie C X die X-indizierten Familien a = {ax | x ∈ X} als Objekte. Der zugeh¨orige Diagonalfunktor ∆ : C → C X schickt jedes c auf die konstante Familie (alle cx = c). Ein universeller Morphismus von a nach ∆ ist ` ein X-faches Koprodukt-Diagramm. Es besteht aus einem Koprodukt-Objekt x ax von C und Morphismen (Koprodukt-Injektionen) ` ix : ax → x ax in C mit der entsprechenden universellen Eigenschaft: die Zuweisung f 7→ {f ix | x ∈ X} ist eine Bijektion Y ` C( x ax , c) ' C(ax , c), x∈X

nat¨ urlich in c. In Set ist ein solches Koprodukt eine X-fache disjunkte Vereinigung. Kopotenzen. Wenn alle Faktoren in einem Koprodukt gleich sind (ax = b f¨ ur ` alle x ∈ X), dann heißt das Koprodukt x b eine Kopotenz und wird notiert als X · b, damit erh¨alt man C(X · b, c) ' C(b, c)X , nat¨ urlich in c. In Set z.B., mit einer Menge b = Y , ist die Kopotenz X · Y = X × Y das kartesische Produkt der Mengen X und Y . Kokerne. Nehmen wir an, dass C ein Nullobjekt z besitzt, so dass es zu je zwei Objekten b, c ∈ C einen Nullmorphismus 0 : b → z → c gibt. Der Kokern von f : a → b ist dann ein Morphismus u : b → e, so dass gilt (i) uf = 0 : a → e und (ii) wenn f¨ ur h : b → c gilt hf = 0, dann ist h = h0 u f¨ ur einen eindeutigen

11

Morphismus h0 : e → c. Als Diagramm: a

f

u

-b

uf = 0,

-e

@ @

h0

@

h@ @

@ R ? @

c

,

hf = 0.

In Ab ist der Kokern von f : a → b die Projektion B → B/f A auf die Quotientengruppe von B, und in vielen vergleichbaren Kategorien ist der Kokern ein geeigneter Quotient. In Kategorien ohne Nullobjekt jedoch steht kein Kokern zur Verf¨ ugung und wir betrachten allgemeiner Koequalizer: Koequalizer. Sei in C ein Paar f, g : a → b von Morphismen mit gleicher Quelle a und gleichem Ziel b gegeben. Ein Koequalizer von hf, gi ist ein Morphismus u : b → e (oder ein Paar he, ui), so dass gilt (i) uf = ug und (ii) wenn f¨ ur h : b → c gilt hf = hg, dann ist h = h0 u f¨ ur einen eindeutigen Morphismus h0 : e → c. Das Diagramm ist f u -e -b uf = ug, a g @ @

h0

@

h@ @

@ R ? @

, hf = hg. c Sei  die Kategorie mit zwei Objekten und zwei nicht-trivialen Morphismen vom ersten zum zweiten Objekt (anschaulich ist dies die Kategorie • ⇒ •). Ein Objekt der Funktorkategorie C  ist ein Paar hf, gi : a → b paralleler Morphismen in C. Es gibt einen Diagonalfunktor ∆ : C → C  , der auf Objekten wirkt durch ∆(c) = h1c , 1c i und auf Morphismen r : c → c0 durch ∆(r) = hr, ri. Sei (wie gehabt) hf, gi : a → b ein Paar von Morphismen von C. Der Koequalizer he, ui von hf, gi ist ein universeller Morphismus von hf, gi nach ∆.∗ Koequalizer einer beliebigen Menge von Morphismen von a nach b sind in analoger Weise definiert. In Ab ist der Koequalizer zweier Homomorphismen f, g : A → B die Projektion B → B/(f − g)A auf die Quotientengruppe von B (bez¨ uglich des Bildes des Differenzhomomorphismus). In Set ist der Koequalizer zweier Funktionen f, g : X → Y ¨ die Projektion p : Y → Y /E auf den Quotienten von Y nach der kleinsten Aquivalenzrelation E ⊂ Y × Y , die alle Paare hf x, gxi f¨ ur alle x ∈ X enth¨alt. Dieselbe Konstruktion liefert unter Benutzung der Quotiententopologie Koequalizer in Top.

12

∗

Man mache sich das klar (Diagramm)!

Pushouts. Sind in C ein Paar f : a → b, g : a → c von Morphismen mit gemeinsamer Quelle a gegeben, so ist ein Pushout von hf, gi ein kommutatives Quadrat der Form f -b a g

u ?

? -r ,

c

(1)

v so dass es zu jedem anderen kommutativen Quadrat zu f und g f

a

-b

g

h ?

? -s

(2) k einen eindeutigen Morphismus t : r → s gibt, so dass gilt tu = h und tv = k. Anders gesagt, ist ein Pushout die universelle M¨oglichkeit, ein kommutatives Quadrat mit den Seiten f und g auszuf¨ ullen. Dies l¨asst sich als universeller Morphismus interpretieren: Sei • ← • → • die graphisch angedeutete Kategorie. Ein Objekt von C •←•→• ist dann ein Paar hf, gi von Morphismen in C mit gemeinsamer Quelle, w¨ahrend ∆(c) = h1c , 1c i die Objektfunktion des offensichtlichen Diagonalfunk” tors” ∆ : C → C •←•→• ist. Ein kommutatives Quadrat hf = kg wie in (2) kann dann als ein Morphismus c

< f, g >

b

f

hf = kg

h ?

∆s

g

a

?

?

s

s

-c

k ? -s

1 1 in C von hf, gi nach ∆s angesehen werden. Der Pushout ist universell unter solchen Morphismen. Sein Vertex r, der bis auf einen (eindeutigen) Isomorphismus definiert ist, wird oft als ein Koprodukt u ¨ber a” geschrieben, ` ” ` r = b a c = b hf,gi c, •←•→•

13

und Fasersumme oder Vertex eines kokartesischen Quadrats genannt. `In Set existiert der Pushout von hf, gi immer: er ist die disjunkte Vereinigung b c, wobei die Elemente f x und gx f¨ ur jedes x ∈ a identifiziert werden. Eine ¨ahnliche Konstruktion liefert Pushouts in Top. In Grp exisitieren ebenfalls Pushouts, sind f und g Monos in Grp, dann sind die Morphismen u und v des Pushout-Quadrats ebenfalls Monos und der Vertex r heißt das amalgamierte Produkt von b mit c.∗ Kokern-Paar. Ist f : a → b ein Morphismus in C, so heißt der Pushout von f mit sich selbst das Kokern-Paar von f . Das Kokern-Paar von f besteht somit aus einem Objekt r und einem Paar paralleler Morphismen u, v : b → r mit Quelle b mit uf = vf , so dass es zu jedem Paar paralleler Morphismen h, k : b → s mit hf = kf ein eindeutiges t : r → s gibt mit tu = h und tv = k.∗

1.4 Limites und Produkte Dual zum Begriff des Kolimes ist der des Limes. Definition 16 Seien Kategorien C und J und der Diagonalfunktor ∆ : C → C J gegeben. Ein Limes eines Funktors F : J → C ist ein universeller Morphismus hr, vi von ∆ nach F . Er besteht aus einem Objekt r von C, u ¨blicherweise geschrieben als r = Lim F oder Lim F , dem Limes-Objekt (inversen, projektiven ←−− •

Limes) von F , und einer nat¨ urlichen Transformation v : ∆r → F , die universell • ist unter den nat¨ urlichen Transformationen τ : ∆c → F f¨ ur Objekte c von C. Da ∆c : J → C der Funktor ist, der konstant c ist, besteht eine nat¨ urliche Transformation τ aus einem Morphismus τi : c → Fi von C je Objekt i von J, so dass f¨ ur jeden Morphismus u : i → j von J gilt τj = F u ◦ τi . Man nennt • τ : c → F einen Kegel vom Vertex c zur Basis F (auch: Kokegel). Die universelle Eigenschaft des Kegels v ist die folgende: man hat einen Kegel vom Vertex Lim ←−−F zur Basis F , so dass es zu jedem Kegel τ von einem Vertex c zur Basis F einen eindeutigen Morphismus t : c → Lim ur alle i ←−−F gibt mit τi = vi t f¨ aus J, t - LimF c ←−− @ @

τ@ v j @ i

τi

vj

@ ?

Fi

Fu

14

@ R ? @ - Fj .

∗

Wer Interesse hat: Details?

∗

Wie sieht das Diagramm aus?

Wie alle universellen Konstruktionen sind das Limes-Objekt Lim ←−−F und der limitierende (universelle) Kegel v : ← Lim F → F durch den Funktor F eindeutig −− festgelegt bis auf Isomorphie in C. Wir betrachten wiederum verschiedene Spezialisierungen des allgemeinen Begriffs: Produkte. Wenn J die diskrete Kategorie {1, 2} ist, dann ist ein Funktor F : {1, 2} → C ein Paar von Objekten ha, bi von C. DasQ Limes-Objekt heißt ein Produkt von a und b und wird notiert als a × b oder a b. Das Limes-Diagramm besteht aus a × b und zwei Morphismen p, q, p

q

a ←− a × b −→ b, genannt die Projektionen des Produkts a × b. Diese bilden einen Kegel vom Vertex a × b, also gibt es nach obiger Definition des Limes eine Bijektion der Mengen C(c, a × b) ' C(c, a) × C(c, b), nat¨ urlich in c, die jedes h : c → a × b auf das Paar hph, qhi abbildet. Hat man umgekehrt Morphismen f : c → a und g : c → b gegeben, so gibt es ein eindeutiges h : c → a × b mit ph = f und qh = g. Wir schreiben h = (f, g) : c −→ a × b und nennen h den Morphismus mit Komponenten f und g. Man sieht leicht, dass in den Kategorien Cat, Grp, Top und Mon das Produkt von je zwei Objekten existiert. Diese Produkte heißen direkte Produkte. In einer pr¨ageordneten Menge ist ein Produkt eine gr¨oßte untere Schranke. Unendliche Produkte. Wenn J eine Menge ist (d.h. eine diskrete Kategorie, eine Kategorie, in der alle Morphismen Identit¨aten sind), dann ist ein Funktor F : J → C einfach eine J-indizierte Familie von Objekten aj ∈ C, und ein Kegel mit Vertex c ist einfach fj : c → aj . Ein universeller Qeine J-indizierte Familie von MorphismenQ Kegel pj : j aj → aj besteht somit aus einem Objekt j aj , genannt das Produkt der Faktoren aj , und Morphismen pj , genannt die Projektionen des Produkts, mit folgender universeller Eigenschaft: Zu jeder J-indizierten Familie (d.h. jedem Q Kegel) fj : c → aj gibt es ein eindeutiges f : c → j aj mit pj f = fj f¨ ur alle j ∈ J. Der durch diese Eigenschaft eindeutig festgelegte Morphismus f heißt die Abbildung (ins Produkt) mit Komponenten fj , j ∈ J. Ebenso hat man durch {fj | j ∈ J} 7→ f eine Bijektion Q Q j C(c, aj ) ' C(c, j aj ),

15

die nat¨ urlich in c ist. Hierbei ist auf der rechten Seite das Produkt in C gemeint, auf der linken Seite das in Set (wobei angenommen wird, dass C kleine HomMengen hat). Wir bemerken schon hier, dass der Hom-Funktor C(c, ) Produkte in C in Produkte in Set u uhrt. Dies ist also ein Beispiel f¨ ur einen Funktor, der ¨berf¨ (zumindest gewisse) Limites erh¨alt. In Set, Top und Grp existieren Produkte u ¨ber jede kleine Menge J, es handelt sich jeweils um die vertrauten kartesischen Produkte. Potenzen. Sind die Faktoren in alle gleich (aj = b ∈ C f¨ ur alle Q einem Produkt Q j ∈ J), so heißt das Produkt j aj = j b eine Potenz und wird notiert als Q J alt man j b = b ; damit erh¨ C(c, b)J ' C(c, bJ ), nat¨ urlich in c. Die Potenz auf der linken Seite ist die in Set, wo jede kleine Potenz J X existiert und die Menge der Funktionen von J nach X ist. Equalizer. Sei J =. Ein Funktor F :→ C ist ein Paar f, g : b → a paralleler Morphismen von C. Existiert ein Limes-Objekt d von F , so heißt es ein Equalizer (Differenz-Kern) von f und g. Das Limes-Diagram ist f

−→ d −→ b a, −→ e

f e = ge.

g

Der Morphismus e ist dabei ein Kegel f ← d → g vom Vertex d und wird oft ebenfalls der Equalizer von f und g genannt. Die universelle Eigenschaft lautet: zu jedem h : c → b mit f h = gh gibt es ein eindeutiges h0 : c → d mit eh0 = h. Equalizer einer beliebigen Menge von Morphismen werden analog definiert. Ein Equalizer ist notwendigerweise ein Mono. In Set gibt es immer Equalizer: d ist die Menge {x ∈ b | f x = gx} und e : d → b ist die Injektion dieser Untermenge von b nach b. In Top gilt dasselbe, wobei d die Unterraum-Topologie hat. In Ab ist der Equalizer d von f und g der gew¨ohnliche Kern des Differenz-Homomorphismus f − g : b → a. Pullbacks. Ist J = (→ • ←), so ist ein Funktor F : (→ • ←) → C ein Paar f

g

von Morphismen b −→ a ←− d von C mit gemeinsamem Ziel a. Ein Kegel u ¨ber einem solchen Funktor ist ein Paar von Morphismen von einem Vertex c, so dass

16

folgendes Quadrat vertauscht: k

c

-d

g

h ?

b

? -a

f

.

Ein universeller Kegel ist dann ein kommutatives Quadrat dieser Form, mit dem neuen Vertex notiert als b ×a d und Morphismen p, q, q

b ×a d p

-d

g ?

b

f

? -a ,

so dass es zu jedem Quadrat mit Vertex c ein eindeutiges r : c → b ×a d gibt mit k = qr, h = pr. Das zu diesem universellen Kegel geh¨orige Quadrat heißt Pullback-Quadrat (kartesisches Quadrat) und der Vertex b ×a d heißt ein Pullback, gefasertes Produkt oder ein Produkt u ¨ ber a. Bei obigem Diagramm spricht man auch davon, dass p der Pullback von g entlang f ist. Diese in vielen Kategorien m¨ogliche Konstruktion gewann zun¨achst in Top Beachtung. Ist g : b → a eine Faserabbildung” (geeigneten Typs) mit Basis” a und ” ” ist f eine stetige Abbildung in die Basis, so ist die Projektion p die induzierte ” Faserabbildung” (des betrachteten Typs). Ein endlicher Limes in einer Kategorie C ist der Limes eines Funktors J → C, wobei J eine endliche Kategorie ist. Wir zitieren ohne Beweis: Satz 17 In einer Kategorie, in der alle Pullbacks exisitieren und die ein terminales Objekt hat, existieren alle endlichen Limites. Kern-Paar. Der Pullback zweier gleicher Morphismen f : b → a ← b : f heißt, sofern er existiert, ein Kern-Paar von f . Es besteht aus einem Objekt d und

17

einem Paar p, q : d → b von Morphismen mit f p = f q : d → a, so dass es zu jedem Paar h, k : c → a mit f h = f k ein eindeutiges r : c → d gibt mit h = pr, k = qr.∗

Beispiel 18 (ein bisschen pathologisch, aber wichtig:) Ist J = 0 die leere Kategorie, so gibt es genau einen Funktor 0 → C, n¨amlich den leeren Funktor. Ein Kegel u ¨ber diesem Funktor ist einfach ein Objekt c ∈ C, d.h. ein Vertex. Somit ist ein universeller Kegel u ¨ber 0 ein Objekt t von C, so dass es zu jedem Objekt c ∈ C einen eindeutigen Morphismus c → t gibt. Anders gesagt, ist ein Limes-Objekt des leeren Funktors nach C ein terminales Objekt von C.

18

∗

Diagramm?

2 Subobject classifier In Set l¨asst sich eine Untermenge S ⊂ X auf zwei verschiedene Arten beschreiben: zum einen als die Inklusion S  X, eine Funktion, die ein Mono ist, zum anderen durch eine charakteristische Funktion φS , die f¨ ur x ∈ X definiert ist durch  0, falls x ∈ S, φS (x) = 1, falls x ∈ /S (man beachte die eher un¨ ubliche Konvention). φS nimmt Werte in der zweielementigen Menge {0, 1} an, der Menge der Wahrheitswerte”. Dabei wird 0 als der ” Wert wahr” interpretiert. Ist 1 = {0} und 2 = {0, 1}, so kann man wahr als das ” folgende Unterobjekt (s.u., hier ist ein Mono gemeint) von 1 nach 2 betrachten: wahr : 1 = {0} −→ 2 = {0, 1},

0 7−→ 0.

(1)

¨ Mit dieser Notation l¨asst sich jede Untermenge S bis auf Aquivalenz aus ihrer charakteristischen Funktion φS als der Pullback von wahr entlang φS auffassen: S

-1 ?

?

m

wahr ?

X

φS

? -2

.

(2)

Dabei ist S  1 die eindeutige Funktion von S nach dem terminalen Objekt 1 und 1 → 2 ist der in (1) definierte Mono. Gegeben den Mono m, gibt es ein eindeutiges φS , so dass obiges Diagramm ein Pullback ist. Sei C eine Kategorie. Zwei Monos f : A  X, g : B  X mit gemeinsamem ∼ Ziel X heißen ¨ aquivalent, wenn es einen Isomorphismus h : A −→ B gibt mit ¨ gh = f . Ein Unterobjekt eines Objekts X von C ist eine Aquivalenzklasse von Monos m : S  X nach X. Die Kollektion SubC X der Unterobjekte von X tr¨agt eine nat¨ urliche Halbordnung, wobei [f ] ≤ [g] genau dann gilt, wenn es ein ¨ h : A → B gibt mit f = gh ([f ] und [g] sind die Aquivalenzklassen von f : A  X und g : B  X.)

19

Wir werden bald sehen, dass die Unterobjekte in den f¨ ur uns interessanten Kategorien ¨ahnliche charakteristische Funktionen wie die Unterobjekte in Set haben. Diese charakteristischen Funktionen nehmen ihre Werte aber i. Allg. nicht in 2 an, sondern in einem passenden Objekt Ω von Wahrheitswerten”. ” Definition 19 In einer Kategorie C mit endlichen Limites ist ein subobject classifier ein Mono wahr : 1 −→ Ω, so dass es zu jedem Mono S  X in C einen eindeutigen Morphismus φ gibt, der mit dem gegebenen Mono ein PullbackDiagramm bildet: -1 S ?

?

m

wahr ?

X

φ

? -Ω

.

(3)

Anders gesagt, ist jedes Unterobjekt der eindeutige Pullback eines universellen” ” Monos wahr. Wir zeigen nun, dass das gerade bedeutet, dass der Unterobjekt-Funktor darstellbar ist. Sei [m] ein Unterobjekt eines Objekts X aus C (m : S  X). Wie u ¨blich sprechen wir davon, dass S bzw. m das Unterobjekt ist, wobei immer die ¨ Aquivalenzklasse von m gemeint ist. Die Kategorie C heißt wohlpotenziert, wenn SubC X isomorph zu einer kleinen Menge ist f¨ ur alle X. (Dies ist der Fall f¨ ur die f¨ ur uns interessanten Kategorien.) Sei ein Morphismus f : Y → X in C gegeben. Der Pullback eines beliebigen Monos m : S  X entlang f ist ein Mono m0 : S 0  Y und die Zuweisung m 7→ m0 definiert eine Funktion SubC f : SubC X → SubC Y . Wenn C wohlpotenziert ist, dann ist SubC : C op → Set ein Funktor nach Set. Kurz gesagt, ist Sub ein Funktor durch Pullback”. ” Proposition 20 Eine Kategorie C mit endlichen Limites und kleinen Hom-Mengen hat genau dann einen subobject classifier, wenn es ein Objekt Ω und einen Isomorphismus θX : SubC X ' HomC (X, Ω) (4) gibt, der nat¨ urlich in X ∈ C ist. Wenn dies gilt, dann ist C wohlpotenziert. Beweis. Hat man einen subobject classifier wie in (3), so ist die Abbildung θX , die ¨ die Aquivalenzklasse jedes Monos S  X auf ihre eindeutige charakteristische” ” Funktion φ : X → Ω schickt, eine Bijektion f¨ ur jedes X, wie f¨ ur (4) verlangt.

20

SubC (X) ist ein kontravarianter Funktor von X per Pullback (d.h. Urbild); um zu zeigen, dass diese Bijektion nat¨ urlich ist, m¨ ussen wir zeigen, dass der Pullback entlang f : Y → X in SubC ( ) der Zusammensetzung mit f in HomC ( , Ω) entspricht. Dies aber folgt unmittelbar aus der einfachen Tatsache, dass das Nebeneinanderlegen zweier Pullback-Quadrate wie in S0

-1 ?

-S ?

?

wahr ?

? -X

Y

? -Ω

f ein Pullback-Rechteck liefert. Da die Hom-Mengen alle klein sind, zeigt die Bijektion (4) auch, dass C wohlpotenziert ist. Nehmen wir umgekehrt an, (4) ist eine Bijektion, nat¨ urlich in X. Das bedeutet, op dass SubC : C → Set nat¨ urlich isomorph zu HomC ( , Ω) ist, d.h. der Funktor SubC ist darstellbar mit darstellendem Objekt Ω. Wie bei jeder solchen Darstellung entspricht ein Unterobjekt t0 : Ω0  Ω von Ω der Identit¨at 1 : Ω → Ω, w¨ahrend jedes Unterobjekt S  X von X einem Morphismus φ : X → Ω entspricht. Wegen der Nat¨ urlichkeit von θ muss das Diagramm Sub(Ω)

'- Hom(Ω, Ω)

Ω0 ?

Sub(φ)

-1 ?

Hom(φ, Ω) ?

Sub(X)

? - Hom(X, Ω) '

?

S

? -φ

vertauschen. Das heißt, dass S = Sub(φ)Ω0 ist, und somit ist jedes Unterobjekt S der Pullback von Ω0 entlang einer eindeutigen charakteristischen” Funktion φ ” wie in 0 φ - Ω0 S ?

?

t0 ?

? -Ω

. (5) φ Dieses Diagramm sieht aus wie das in der Definition des subobject classifiers (3), aber es bleibt zu zeigen, dass Ω0 tats¨achlich ein terminales Objekt in C ist: w¨ahlt X

21

man S → X in (5) als die Identit¨at X → X, so erh¨alt man eine Abbildung φ0 : X → Ω0 . Gibt es zwei Abbildungen φ0 , φ00 : X → Ω0 , so sind, da t0 Mono ist, beide Diagramme φ0 φ00 X Ω0 X Ω0 =

=

t0 ?

X

0

? -Ω

t0 ?

X

00

? -Ω

t0 φ t0 φ Pullbacks. Wegen der Eindeutigkeit von φ in (5) gilt t0 φ0 = t0 φ00 , und da t0 Mono ist auch φ0 = φ00 . Somit hat jedes Objekt X eine eindeutige Abbildung φ0 : X → Ω0 , d.h. Ω0 ist terminal. Das Konzept des subobject classifiers ist stark inspiriert von anderen klassifi” zierenden” Konzepten in der Topologie. Ein zentrales Beispiel ist das eines klassifizierenden B¨ undels einer Lie-Gruppe G (siehe [MLM92], S. 34).

2.1 Der subobject classifier in der op Pr¨ agarbenkategorie SetC Zur Notation: ab jetzt werden Kategorien mit fetten Buchstaben (C, D, ...) notiert. Definition 21 Sei C eine kleine Kategorie. Ein Unterfunktor eines Funktors P : Cop → Set ist ein Funktor Q : Cop → Set, so dass QC ⊆ P C ist f¨ ur alle Objekte C von C und Qf : QD → QC die Einschr¨ankung von P f ist f¨ ur alle Morphismen f : C → D. (Wir erinnern uns, dass Funktoren Cop → Set Pr¨agarben auf C genannt werop den.) Die Inklusion Q → P ist dann ein Mono in SetC , also ist jeder Unterfunktor ein Unterobjekt. Umgekehrt ist jedes Unterobjekt durch einen Unterfunktor geop geben: ist eine nat¨ urliche Transformation θ : R  P ein Mono in SetC , so ist jede Funktion θC : RC → P C eine Injektion (Monos sind wie Limites in der op Pr¨agarbenkategorie SetC punktweise bestimmt.) F¨ ur jedes C sei QC das Bild von RC  P C, somit ist Q manifest ein Unterfunktor von P und das gegebene R ist (als Unterobjekt) ¨aquivalent zu Q. b = Wir wollen jetzt untersuchen, ob es in einer beliebigen Pr¨agarbenkategorie C Cop Set einen subobject classifier Ω gibt und wie dieser aussieht.

22

op

Ansatz: Existiert ein subobject classifier in SetC , so muss dieser insbesondere die Unterobjekte jeder darstellbaren Pr¨agarbe yC = HomC ( , C) : Cop → Set klassifizieren. Daher gilt SubCb (HomC ( , C)) ' HomCb (HomC ( , C), Ω) ' Nat(HomC ( , C), Ω).

(1)

Nach dem Yoneda-Lemma ist Nat(HomC ( , C), Ω) isomorph zu Ω(C). Daher muss der subobject classifier Ω, falls er existiert, der Funktor Cop → Set mit der Objektfunktion Ω(C) = SubCb (HomC ( , C)) = {S | S ist Unterfunktor von HomC ( , C)}

(2)

sein, mit einer geeigneten Objektfunktion. Um dies durchsichtiger zu machen, f¨ uhren wir eine alternative Betrachtungsweise f¨ ur Unterfunktoren eines darstellbaren Funktors HomC ( , C) ein. Definition 22 Sei C ein Objekt in einer Kategorie C. Ein Sieb auf C (franz. crible) ist eine Menge S von Morphismen mit Ziel C, so dass gilt f ∈ S, Zusammensetzung f h ist definiert =⇒ f h ∈ S. Ein Sieb ist anschaulich eine Familie von erlaubten Pfaden nach C”, so dass ” man jedem erlaubten Pfad von B nach C einen beliebigen Pfad vorschalten kann. Beispiel 23 Ist C ein Monoid M , so ist ein Sieb ein Rechtsideal in M . Beispiel 24 Ist C eine halbgeordnete Menge, so ist ein Sieb auf C ∈ C eine Menge S von Elementen B ≤ C (man beachte die Identifikation von B mit dem eindeutigen Morphismus B → C), so dass aus A ≤ B ≤ C folgt A ∈ S; wenn B durchs Sieb geht”, dann auch alles Kleinere, ein Sieb ist eine nach unten ” ” abgeschlossene” Untermenge. Ist nun Q ⊂ HomC ( , C) ein Unterfunktor, so ist S := {f | f¨ ur ein geeignetes Objekt A ist f : A → C und f ∈ QA} ein Sieb auf C. Hat man umgekehrt ein Sieb S auf C gegeben, so liefert QA := {f | f : A → C und f ∈ S} ⊆ HomC (A, C)

23

einen Funktor Q : Cop → Set, der ein Unterfunktor des Hom-Funktors HomC ( , C) ist. ¨ Die Uberg¨ ange von S nach Q und von Q nach S sind invers zueinander, daher k¨onnen wir Siebe und Unterfunktoren von Hom-Funktoren in jeder Kategorie mit kleinen Hom-Mengen identifizieren, Sieb auf C = Unterfunktor von HomC ( , C).

(3)

Außerdem bestimmt f¨ ur jeden Morphismus g : B → C ein Unterobjekt Q von HomC ( , C) ein Unterobjekt von HomC ( , B) per Pullback entlang g, und in a¨hnlicher Weise bestimmt jedes Sieb S auf C folgendes Sieb auf B: S · g := {h | g ◦ h ∈ S}. Mit dieser Motivation ist der oben vorgeschlagene subobject classifier auf Objekten definiert durch Ω(C) := {S | S ist Sieb auf dem Objekt C von C}

(4)

und auf Morphismen g : C 0 → C durch ( ) · g : Ω(C) −→ Ω(C 0 ), S · g := {h | g ◦ h ∈ S}.

(5)

F¨ ur ein Objekt C von C ist die Menge t(C) aller Morphismen mit Ziel C ein Sieb, genannt das maximale Sieb auf C. Diese maximalen Siebe f¨ ugen sich zu Cop einer nat¨ urlichen Transformation (einem Morphismus in Set ) wahr : 1 −→ Ω

(6)

zusammen. Dabei ist 1 : Cop → Set die triviale Pr¨agarbe; f¨ ur alle Objekte C von C ist 1C = {∗}, die einelementige Menge, und f¨ ur alle Morphismen f : C 0 → C ist 1f = id{∗} . op

Um zu sehen, dass damit tats¨achlich ein subobject classifier in SetC definiert ist, betrachten wir einen beliebigen Unterfunktor Q eines gegebenen Funktors P : Cop → Set. Jeder Morphismus f : A → C in C definiert eine Funktion P f : P C → P A in Set, die ein gegebenes x ∈ P C entweder nach QA ⊆ P A abbildet oder nicht. F¨ ur ein gegebenes x ∈ P C definieren wir φC (x) := {f | x · f ∈ Q(dom(f ))},

24

(7)

wobei f alle Morphismen in C mit Ziel C durchl¨auft. (Dabei ist, wie fr¨ uher definiert, x · f = P f (x)). Dann ist φC (x) ein Sieb auf C und φ : P → Ω ist nat¨ urlich. Außerdem ist φC (x) genau dann das maximale Sieb t(C), wenn x ∈ Q(C) ist, also ist der gegebene Unterfunktor Q ⊆ P der Pullback von wahr entlang φ, Q

-1 ?

?

wahr ?

P

φ

? -Ω

.

(8)

Dies zeigt, dass φ tats¨achlich eine m¨ogliche charakteristische Funktion f¨ ur den Unterfunktor Q ist. φ ist auch die eindeutige nat¨ urliche Transformation θ : P → Ω, die dieses Diagramm zu einem Pullback macht: seien x ∈ P C und f : A → C gegeben, dann bedeutet die Pullback-Bedingung gerade, dass x · f ∈ QA ist genau dann, wenn θA (x·f ) = wahrA ist. Wegen der Nat¨ urlichkeit von θ ist dies ¨aquivalent zu θC (x) · f = wahrA und das wiederum bedeutet nach Definition (5), dass f ∈ θC (x) ist. Die Elemente f von θC (x) sind gerade die f mit x · f ∈ QA wie in (7) definiert. Daher ist Definition (7) zwingend, wenn (8) ein Pullback-Diagramm sein soll. Damit ist gezeigt, dass der in (6) definierte Mono wahr : 1 → Ω tats¨achlich b = SetCop ist. ein subobject classifier f¨ ur die Pr¨agarbenkategorie C

25

3 Adjunktionen Zum Einstieg pr¨asentieren wir ein Beispiel (unter vielen m¨oglichen), das als Motivation f¨ ur die anschließende Definition einer Adjunktion dient: In der Kategorie Set der kleinen Mengen entspricht jede Funktion g : S × T → R von zwei Variablen einer Funktion ϕg : S → Hom(T, R) in einer Variablen (n¨amlich S), deren Werte Funktionen einer zweiten Variable sind (n¨amlich T ), explizit hat man [(ϕg)s]t = g(s, t) f¨ ur s ∈ S, t ∈ T . Damit ist eine Bijektion ϕ : Hom(S × R, R) ' Hom(S, Hom(T, R)) beschrieben. Diese Bijektion ist nat¨ urlich in S, T und R. Halten wir die Menge T fest und definieren Funktoren F, G : Set → Set durch F (S) := S × T und G(R) := Hom(T, R), so nimmt die Bijektion die Form Hom(F (S), R) ' Hom(S, G(R)) an, die nat¨ urlich in S und R ist. Die aus diesem und anderen Beispielen abstrahierte Definition lautet: Definition 25 Seien A und X Kategorien. Eine Adjunktion von X nach A ist ein Tripel hF, G, ϕi :X→ A, wobei F und G Funktoren sind, F

X  A, G

und ϕ eine Funktion, die jedem Paar von Objekten x ∈ X, a ∈ A eine Bijektion von Mengen ϕ = ϕx,a : A(F x, a) ' X(x, Ga) (1) zuweist, die nat¨ urlich in x und a ist. Dabei ist die linke Seite A(F x, a) der Bifunktor F op ×Id

Hom

Xop × A −→ Aop × A −→ Set, der jedes Paar von Objekten hx, ai auf die Hom-Menge A(F x, a) abbildet, und die rechte Seite ist ein ¨ahnlicher Bifunktor Xop × A → Set. Daher bedeutet die

26

Nat¨ urlichkeit der Bijektion ϕ, dass f¨ ur alle k : a → a0 und h : x0 → x folgende beide Diagramme vertauschen: ϕϕA(F x, a) X(x, Ga) A(F x, a) X(x, Ga) (F h)∗

(Gk)∗

k∗ ?

? - X(x, Ga0 ) ϕ

h∗ ?

?

(2) A(F x0 , a) ϕ- X(x0 , Ga). Dabei steht k∗ kurz f¨ ur A(F x, k), die Operation setze zusammen mit k”, und ” ∗ h = X(h, Ga). A(F x, a0 )

In dieser Diskussion wird angenommen, dass alle Hom-Mengen von X und A klein sind. Ist das nicht der Fall, so ersetzt man einfach Set durch eine geeignete gr¨oßere Kategorie Ens von Mengen. Eine Adjunktion kann auch direkt auf der Ebene der Morphismen beschrieben werden, ohne R¨ uckgriff auf Hom-Mengen. Es handelt sich dabei um eine Bijektion, die jedem Morphismus f : F x → a einen Morphismus ϕf =radf : x → Ga zuweist, das Rechts-Adjunkt von f , so dass die Nat¨ urlichkeitsbedingungen aus (2), ϕ(k ◦ f ) = Gk ◦ ϕf,

ϕ(f ◦ F h) = ϕf ◦ h,

(3)

¨ f¨ ur alle f und f¨ ur alle Morphismen h : x0 → x und k : a → a0 gelten. Aquivalent −1 dazu ist die Forderung, dass ϕ nat¨ urlich ist, d.h. f¨ ur alle h, k und g : x → Ga gilt ϕ−1 (gh) = ϕ−1 g ◦ F h, ϕ−1 (Gk ◦ g) = k ◦ ϕ−1 g. (4) Hat man eine solche Adjunktion, so heißt der Funktor F eine Links-Adjungierte von G, w¨ahrend G eine Rechts-Adjungierte von F genannt wird. (Es gibt die Notation F a G und die Bezeichnungen, dass F die Adjungierte von G sei und G Koadjungierte von F , aber bei anderen Autoren auch die umgekehrte Konvention.) Jede Adjunktion induziert einen universellen Morphismus: sei in (1) a = F x. Die Hom-Menge auf der linken Seite von (1) enth¨alt dann die Identit¨at 1 : F x → F x, ihr Bild unter ϕ wird mit ηx bezeichnet. Nach Prop. 8 von Yoneda ist dieses ηx ein universeller Morphismus ηx : x → GF x,

ηx = ϕ(1Fx )

von x nach G. Die Adjunktion liefert einen solchen universellen Morphismus ηx f¨ ur jedes Objekt x. Außerdem ist die Funktion x 7→ ηx eine nat¨ urliche Transformation

27

•

IX → GF , weil jedes Diagramm η x0

x0

- GF x0

h

GF h ?

x

ηx

? - GF x

kommutativ ist: aus (3) folgt GF h ◦ ϕ(1F x0 ) = ϕ(F h ◦ 1F x0 ) = ϕ(1F x ◦ F h) = ϕ(1F x ) ◦ h. Die Bijektion ϕ kann mittels der Morphismen ηx ausgedr¨ uckt werden als f¨ ur f : F x → a,

ϕ(f ) = G(f )ηx

(5)

denn aus der Nat¨ urlichkeit (3) von ϕ folgt ϕ(f ) = ϕ(f ◦ 1F x ) = Gf ◦ ϕ1F x = Gf ◦ ηx . Dual dazu liefert eine Adjunktion einen universellen Morphismus von F : Man setzt x = Ga in (1). Die Identit¨at 1 : Ga → Ga ist dann in der rechten Hom-Menge enthalten, ihr Bild unter ϕ−1 wird εa genannt, εa : F Ga → a,

εa = ϕ−1 (1Ga ),

a ∈ A,

und ist ein universeller Morphismus von F nach a. Analog zu vorher ist ε eine • nat¨ urliche Transformation ε : F G → IA und ϕ−1 (g) = εa ◦ F g

f¨ ur g : x → Ga.

Schließlich gilt mit x = Ga nach (5) 1Ga = ϕ(εa ) = G(εa ) ◦ ηGa . Das bedeutet, dass die zusammengesetzte nat¨ urliche Transformation ηG

Gε

G −→ GF G −→ G die identische Transformation ist. Zusammenfassend haben wir gezeigt:

28

Satz 26 Eine Adjunktion hF, G, ϕi : X → A bestimmt •

(i) Eine nat¨ urliche Transformation η : IX → GF , so dass f¨ ur jedes Objekt x der Morphismus ηx universell von x nach G ist, w¨ahrend das Rechts-Adjunkt jedes Morphismus f : F x → a gegeben ist durch ϕf = Gf ◦ ηx : x −→ Ga,

(6)

•

(ii) eine nat¨ urliche Transformation ε : F G → IA , so dass jeder Morphismus εa universell von F nach a ist, w¨ahrend jedes g : x → Ga folgendes LinksAdjunkt hat: ϕ−1 g = εa ◦ F g : F x −→ a. (7) Außerdem sind die beiden folgenden Zusammensetzungen die identischen nat¨ urlichen Transformationen (von G bzw. F ): ηG

Gε

Fη

εF

G −→ GF G −→ G,

(8)

F −→ F GF −→ F. η heißt die Einheit und ε die Koeinheit der Adjunktion. Satz 27 Jede Adjunktion hF, G, ϕi : X → A ist bestimmt durch die Data in einer der folgenden Auflistungen: •

(i) Funktoren F, G und eine nat¨ urliche Transformation η : 1X → GF , so dass jedes ηx : x → GF x universell von x nach G ist. Dann ist ϕ durch (6) definiert. (ii) Den Funktor G : A → X und f¨ ur jedes x ∈ X ein Objekt F0 x ∈ A und einen universellen Morphismus ηx : x → GF0 x von x nach G. Dann hat der Funktor F die Objektfunktion F0 und ist auf Morphismen h : x → x0 definiert durch GF h ◦ ηx = ηx0 ◦ h. •

(iii) Funktoren F, G und eine nat¨ urliche Transformation ε : F G → IA , so dass jedes εa : F Ga → a universell von F nach a ist. Hier ist ϕ−1 durch (7) definiert. (iv) Den Funktor F : X → A und f¨ ur jedes a ∈ A ein Objekt G0 a ∈ X und einen Morphismus εa : F G0 a → a, der universell von F nach a ist. •

(v) Funktoren F, G und nat¨ urliche Transformationen η : IX → GF und ε : • F G → IA , so dass beide Zusammensetzungen (8) die identische Transformation sind. Dabei wird ϕ durch (6) und ϕ−1 durch (7) definiert.

29

Beweis. Siehe [ML98], S. 83f. Wegen (v) wird eine Adjunktion hF, G, ϕi : X → A oft notiert als hF, G, η, εi. Korollar 28 Zwei Links-Adjungierte F und F 0 eines Funktors G : A → X sind nat¨ urlich isomorph. Beweis. Wir wenden an, dass ein universeller Morphismus eindeutig bis auf Isomorphie ist: Adjunktionen hF, G, ϕi und hF 0 , G, ϕ0 i geben f¨ ur jedes x ∈ X zwei universelle Morphsimen x → GF x und x → GF 0 x, also gibt es einen eindeutigen • urlichkeit von θ : F → F 0 Isomorphismus θx : F x → F 0 x mit Gθx ◦ηx = ηx0 . Die Nat¨ sieht man leicht. Korollar 29 Ein Funktor G : A → X hat genau dann eine Links-Adjungierte, wenn f¨ ur jedes x ∈ X der Funktor X(x, Ga) darstellbar ist als Funktor von a ∈ A. Ist ϕ : A(F0 x, a) ' X(x, Ga) eine Darstellung dieses Funktors, dann ist F0 die Objektfunktion einer Links-Adjungierten von G, f¨ ur die die Bijektion ϕ nat¨ urlich in a ist und die Adjunktion liefert. Beweis. Die Behauptung ist nur eine Umformulierung von (ii) des vorherigen Satzes.

3.1 Exponentiale Die grundlegenden arithmetischen Operationen auf Zahlen und Mengen sind Addition, Multiplikation und Exponentiation. Wir hatten die Addition + bereits kategorientheoretisch als Koprodukt und die Multiplikation als Produkt beschrieben, jetzt geht es um eine kategorientheoretische Beschreibung der Exponentiation RT . Wir kehren noch einmal zur¨ uck zu dem Beispiel am Beginn von Kapitel 3, der Bijektion ϕ : Hom(S × T, R) ' Hom(S, Hom(T, R)) = Hom(S, RT )

(9)

in Set. ϕ ist nat¨ urlich in S, T und R. Das bedeutet, dass der Funktor ( )T die Rechts-Adjungierte des Funktors × T ist. Hierbei spielt T die Rolle eines Parameters. Um die Konstruktion eines Exponentials ( )T als Rechts-Adjungierte eines Produkts auf andere Kategorien verallgemeinern zu k¨onnen und die (harmlose) Abh¨angigkeit vom Parameter T in den Griff zu bekommen, brauchen wir noch:

30

Satz 30 (Adjunktionen mit einem Parameter) Sei F : X × P → A ein Bifunktor. Wir nehmen an, dass f¨ ur jedes Objekt p ∈ P der Funktor F ( , p) : X → A eine Rechts-Adjungierte G(p, ) : A → X hat u ¨ber eine Adjunktion Hom(F (x, p), a) ' Hom(x, G(p, a)),

(10)

die nat¨ urlich in x und a ist. Dann kann jedem Morphismus h : p → p0 von P und jedem Objekt a ∈ A eindeutig ein Morphismus G(p0 , a) → G(p, a) von X zugewiesen werden, so dass G ein Bifunktor Pop × A → X wird, f¨ ur den die Bijektion (10) nat¨ urlich in allen drei Variablen x, p und a ist. Beweis. Siehe [ML98], S. 102.

Definition 31 Sei C eine Kategorie mit endlichen Produkten. Dann bestimmt f¨ ur das Objekt T ∈ C die Zuweisung S 7→ S × T einen Funktor × T : C → C, genannt das Produkt mit T . Wenn dieser Funktor eine Rechts-Adjungierte hat, notiert als R 7→ RT , dann sagen wir, dass C ein Exponential fu ¨r T besitzt. Das bedeutet, dass es eine Bijektion der Form (9) gibt, die nat¨ urlich in S und R ist. Gilt dies f¨ ur alle Objekte T , dann ist nach obigem Parameter-Satz f¨ ur Adjunktionen hT, Ri 7→ RT ein Bifunktor Cop × C → C, genannt das Exponential der Kategorie C. −1 T Sei S = RT in

(9) undT sei e := ϕ (1T T ), e : R × T → R die Koeinheit der Adjunktion × T, ( ) , ϕ : C → C. e heißt die Evaluation, in Set ist das tats¨achlich die Evaluation e(h, t) = h(t) der Funktion h : T → R an t ∈ T .

Definition 32 Eine Kategorie C heißt kartesisch abgeschlossen, wenn sie ein terminales Objekt 1 hat, bin¨are Produkte S ×T und Exponentiale S T (mit zugeh¨origen Evaluationen) f¨ ur alle Paare S, T von Objekten. In jeder kartesisch abgeschlossenen Kategorie gibt es nat¨ urliche Isomorphismen 1S ' 1,

S 1 ' S,

(T × R)S ' T S × RS ,

S (T ×R) ' (S T )R .

Wir haben endlich alle Zutaten beisammen, um einen elementaren Topos definieren zu k¨onnen: Definition 33 Ein elementarer Topos E ist eine Kategorie mit folgenden Eigenschaften:

31

(i) E hat alle endlichen Limites und Kolimites, (ii) E hat Exponentiale, (iii) E hat einen subobject classifier 1 → Ω. Ein elementarer Topos, kurz Topos, ist insbesondere kartesisch abgeschlossen.

3.2 Logik und Verb¨ ande Ein Propositionen-Kalku ¨ l besteht aus Propositionen” p, q, r, ... und deren Ver” kn¨ upfungen unter den Operationen und”, oder”, impliziert” und nicht”, oft ” ” ” ” notiert als p ∧ q, p ∨ q, p ⇒ q und ¬p. Sind P, Q, R, ...Untermengen einer festen Menge U , so l¨asst sich im klassischen” Fall eine Proposition p durch einen ” Ausdruck der Form u ∈ P f¨ ur eine Untermenge P ⊂ U darstellen, die Operationen sind dann Operationen auf Untermengen: ∧ Durchschnitt, ∨ Vereinigung, ¬ Komplement in U und Implikation P ⇒ Q ist ¬P ∨ Q. Dadurch werden die Untermengen von U zu einer Booleschen Algebra (f¨ ur exakte Definition siehe unten), der algebraischen Ensprechung des klassischen Propositionen-Kalk¨ uls. Heyting hat in ¨ahnlicher Weise den intuitionistischen Propositionen-Kalk¨ ul formalisiert, man erh¨alt ein anderes algebraisches System mit Operationen ∧, ∨, ¬ und ⇒, eine Heyting-Algebra (s.u.). Ein Modell sind die offenen Untermengen eines topologischen Raums X. Dabei entsprechen ∧ und ∨ ebenfalls dem Durchschnitt und der Vereinigung, aber ¬ und ⇒ m¨ ussen anders gefasst werden. Insbesondere ist ¬P := int(X\P ), das Innere des Komplements von P , d.h. die gr¨oßte offene Menge diskunkt von P . Im Allgemeinen ist ¬¬P ⊇ P .∗ Die gemeinsame zugrunde liegende Struktur ist die eines Verbandes. Ein Verband L ist halbgeordnete Menge, die als Kategorie betrachtet alle bin¨aren Produkte und Koprodukte besitzt. Seien x, y ∈ L,dann ist x ≤ y genau dann, wenn es einen eindeutigen Morphismus x → y gibt. Das Koprodukt von x und y ist die kleinste obere Schranke x ∨ y und das Produkt ist die gr¨oßte untere Schranke x ∧ y. Hat ein Verband Elemente 0 und 1, so dass f¨ ur alle x ∈ L gilt 0 ≤ x ≤ 1, so sind 0 und 1 das eindeutige initiale und terminale Objekt von L. Es folgt (wir haben das nicht bewiesen), dass ein Verband mit 0 und 1 eine halbgeordnete Menge ist, die als Kategorie gesehen alle endlichen Limites und Kolimites hat.

32

∗

Man mache sich das klar.

Eine alternative Definition ist die folgende: Ein Verband L mit 0 und 1 ist eine Menge mit zwei ausgezeichneten Elementen 0, 1 und zwei kommutativen, assoziativen bin¨aren Operationen ∧, ∨, so dass gilt x ∧ x = x, x ∨ x = x, 1 ∧ x = x, 0 ∨ x = x, x ∧ (y ∨ x) = x = (x ∧ y) ∨ x.

(1)

Diese Gleichungen f¨ ur die Operationen ∧ : L × L → L, ∨ : L × L → L und 0, 1 : 1 → L k¨onnen benutzt werden, um in jeder Kategorie C mit endlichen Produkten ein Verbandsobjekt” L zu definieren. Aus ∧ und ∨ l¨asst sich die Halbordnung auf ” L bestimmen, denn (x ≤ y) ⇐⇒ (x = x ∧ y) (oder ¨aquivalent y = x ∨ y). Ein Verband heißt vollst¨ andig, wenn die gr¨oßte untere Schranke und die kleinste obere Schranke jeder beliebigen Familie von Elementen des Verbandes exisitieren und Elemente des Verbands sind. Ein distributiver Verband L ist ein Verband, so dass f¨ ur alle x, y, z ∈ L gilt x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).

(2)

Dies ist ¨aquivalent zur dualen Identit¨at x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z).

(3)

Ein Komplement eines Elements x eines Verbands L mit 0 und 1 ist ein Element a ∈ L, so dass gilt x ∧ a = 0, x ∨ a = 1. (4) In einem distributiven Verband ist ein Komplement a, wenn es existiert, eindeutig: Sei b ein weiteres Komplement von x. Dann gilt b = b ∧ 1 = b ∧ (x ∨ a) = (b ∧ x) ∨ (b ∧ a) = (x ∧ a) ∨ (b ∧ a) = (x ∨ b) ∧ a = a. Wenn es existiert, dann wird das eindeutige Komplement a von x, wird notiert als a = ¬x.

33

Eine Boolesche Algebra B ist ein distributiver Verband mit 0 und 1, in dem jedes x ein Komplement ¬x hat, d.h. x ∧ ¬x = 0,

x ∨ ¬x = 1.

(5)

Zus¨atzlich gelten die DeMorganschen Gesetze ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y, ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y

(6)

und das tertium non datur” ” ¬¬x = x.

(7)

Der Satz von Stone (1936) besagt, dass jede Boolesche Algebra isomorph ist zu einer Algebra von Untermengen einer Menge U .

3.2.1 Heyting-Algebren Eine Heyting-Algebra H, auch ein Brouwerscher Verband genannt, ist eine halbgeordnete Menge mit allen endlichen Produkten und Koprodukten, die kartesisch abgeschlossen ist. Das heißt, eine Heyting-Algebra ist ein Verband mit 0 und 1, der zu jedem Paar von Elementen x, y ein Exponential y x besitzt. Dieses Exponential wird notiert als x ⇒ y, per Definition ist es charakterisiert durch die Adjunktion z ≤ (x ⇒ y) ⇐⇒ z ∧ x ≤ y.∗ (1) (Wir verwenden das Zeichen ⇐⇒ wie u ¨blich im Sinne von genau dann, wenn”. ” ⇐⇒ hat nichts mit der Operation ⇒ im Verband zu tun.) Gleichung (1) bedeutet, dass x ⇒ y eine kleinste obere Schrank f¨ ur die Elemente z mit z ∧ x ≤ y ist, insbesondere gilt dann y ≤ (x ⇒ y). Graphisch liegt x ⇒ y also u ¨ber y, x⇒y

•

% y

x

•

• -

,

% •

x∧y

aber nur so weit, dass noch gilt (x ⇒ y) ∧ x = x ∧ y. Sei X ein topologischer Raum mit Topologie T (X). Das Exponential SU ⇒ V zweier offener Mengen U, V ∈ T (X) wird definiert als die Vereinigung Wi aller

34

∗

Man mache sich das klar.

offenen Mengen Wi , f¨ ur die gilt Wi ∩ U ⊂ V (wie durch (1) nahegelegt). Da der Durchschnitt sich distributiv u ¨ber beliebigen Vereinigungen verh¨alt, hat man [ [ ( Wi ) ∩ u = (Wi ∩ U ) ⊂ V, S also ist Wi = (U ⇒ V ) und T (X) mit den Operationen ∩, ∪, ⇒ und ¬ (∀U ∈ T (X) : ¬U := int(X\U )) eine Heyting-Algebra. Lemma 34 In einer Booleschen Algebra gilt f¨ ur alle x, y, z: z ≤ (¬x ∨ y) ⇐⇒ z ∧ x < y. Beweis. Von links nach rechts: z ∧ x ≤ (¬x ∨ y) ∧ x ≤ y ∧ x ≤ y. Von rechts nach links: z = z ∧ 1 = z ∧ (¬x ∨ x) = (z ∧ ¬x) ∨ (z ∧ x) ≤ ¬x ∨ y. Das bedeutet, dass jede Boolesche Algebra Exponentiale hat, die gegeben sind durch (x ⇒ y) = ¬x ∨ y, was der klassischen materiellen Implikation ⇒ (nicht x oder y) entspricht. Also ist jede Boolesche Algebra eine Heyting-Algebra, die Umkehrung gilt nicht. In jeder kartesisch abgeschlossenen Kategorie mit Objekten X, Y sind die Einheit und die Koeinheit der das Exponential definierenden Adjunktion nat¨ urliche Transformationen • • X −→ (X × Y )Y , Y × X Y −→ X. F¨ ur eine Heyting-Algebra wird dies zu x ≤ (y ⇒ (x ∧ y)),

y ∧ (y ⇒ x) ≤ x.

(2)

Die Eigenschaften 1X ' 1 und X 1 ' X des Exponentials werden zu (x ⇒ 1) = 1,

(1 ⇒ x) = x.

(3)

Weil der Funktor x ⇒ eine Rechts-Adjungierte ist, erh¨alt er Produkte (was wir nicht bewiesen haben; Links-Adjungierte erhalten Koprodukte), also gilt (x ⇒ (y ∨ z)) = ((x ⇒ y) ∧ (x ⇒ z)).

(4)

Das Assoziativgesetz f¨ ur Produkte von Objekten impliziert X Y ×Z = (X Y )Z , was zu ((y ∧ z) ⇒ x) = (z ⇒ (y ⇒ x)) (5) wird. Da ∧ y eine Links-Adjungierte ist, erh¨at es Koprodukte, d.h. ((x ∨ z) ∧ y) = ((x ∧ y) ∨ (z ∧ y)),

35

(6)

also ist der einer Heyting-Algebra zugrunde liegende Verband distributiv. In jedem Verband ist die Operation ∧ kommutativ. F¨ ur eine Heyting-Algebra H bedeutet dies, dass f¨ ur alle x, y, z gilt z ≤ (x ⇒ y) ⇐⇒ z ∧ x ≤ y ⇐⇒ x ∧ z ≤ y ⇐⇒ x ≤ (z ⇒ y). Wie jedes Exponential ist ⇒ ein kontravarianter Funktor im Argument . Daher k¨onnen wir ⇒ y auf der rechten Seite als Funktor von H nach H op auffassen und auf der rechten Seite als Funktor von H op nach H (umgekehrt ginge auch). ¨ Obige Aquivalenz bedeutet dann, dass das erste ⇒ y Links-Adjungierte des zweiten ⇒ y ist. Da jede Links-Adjungierte Koprodukte erh¨alt, bildet ⇒ y Koprodukte auf Produkte (gleich Koprodukte in H op ) ab, wie in der Identit¨at ((x ∨ z) ⇒ y) = ((x ⇒ y) ∧ (z ⇒ y)).

(7)

Interpretiert man x, y, z als Propositionen, ∧ als und”, ∨ als oder”, so dr¨ ucken ” ” die Gleichungen (2)-(7) die bekannten Eigenschaften der Implikations-Relation ⇒ f¨ ur Propositionen aus. In einer Heyting-Algebra wird die Negation von x definiert als ¬x := (x ⇒ 0).

(8)

Daher bedeutet nicht x” soviel wie x impliziert falsch” oder x impliziert Ab” ” ” surdit¨at”. Nach der Definition von ⇒ kann man das auch schreiben als y ≤ ¬x ⇐⇒ y ∧ x = 0.

(9)

In einer Heyting-Algebra muss ¬x kein Komplement von x sein, es gilt zwar x ∧ ¬x = 0 (aus (1) und (8)), aber x ∨ ¬x ≤ 1 im Allgemeinen. Proposition 35 In jeder Heyting-Algebra gilt x ≤ ¬¬x,

x ≤ y impliziert ¬y ≤ ¬x,

(10)

¬x = ¬¬¬x,

(11)

¬¬(x ∧ y) = ¬¬x ∧ ¬¬y.

(11’)

Beweis. Wegen x ∧ ¬x = ¬x ∧ x = 0 folgt x ≤ ¬¬x aus (9). Die zweite Aussage von (10) ist, dass ¬ : H → H op ein Funktor ist. Genauer: wenn x ≤ y ist, dann gilt x ∧ ¬y ≤ y ∧ ¬y = 0, also ist ¬y ≤ ¬x, wiederum nach (9). Daraus und aus

36

x ≤ ¬¬x folgt ¬¬¬x ≤ ¬x, und weil x ≤ ¬¬x f¨ ur alle x gilt, so auch f¨ ur ¬x, also ist ¬x ≤ ¬¬¬x. Somit gilt (11). Zweifache Anwendung von (10) auf x ∧ y ≤ x liefert ¬¬(x∧y) ≤ ¬¬x, und analog ¬¬(x∧y) ≤ ¬¬y, daher gilt ¬¬(x∧y) ≤ ¬¬x∧¬¬y. F¨ ur die umgekehrte Relation benutzt man die Kommutativit¨at und Assoziativit¨at von ∧ und (9) und (11): ¬¬x ∧ ¬¬y ≤ ¬¬(x ∧ y) (9)

⇐⇒¬¬x ∧ ¬¬y ∧ ¬(x ∧ y) = 0 (9)

⇐⇒¬¬y ∧ ¬(x ∧ y) ≤ ¬¬¬x (11)

⇐⇒¬¬y ∧ ¬(x ∧ y) ≤ ¬x (9)

⇐⇒¬¬y ∧ ¬(x ∧ y) ∧ x = 0 (9,11)

⇐⇒¬(x ∧ y) ∧ x ≤ ¬¬¬y = ¬y (9)

⇐⇒¬(x ∧ y) ∧ x ∧ y = 0. In einer Heyting-Algebra gilt aber ¬z ∧ z = 0. Proposition 36 Hat in einer Heyting-Algebra ein Element x ein Komplement, so ist dieses Komplement ¬x. Beweis. Angenommen, x hat ein Komplement a, so gass gilt x ∧ a = 0 und x ∨ a = 1. Nach der ersten Gleichung gilt a ≤ ¬x. Aus der zweiten Gleichung und dem Distributivgesetz erh¨alt man ¬x = ¬x ∧ (x ∨ a) = ¬x ∧ a, also ist ¬x ≤ a und damit ¬x = a. ¬x heißt auch das Pseudokomplement von x. Die zweifache Operation ¬¬ kann man als eine Art von Abschluss auffassen, da gilt ¬¬x ≥ x und ¬¬(¬¬x) = ¬¬x. Proposition 37 In einer Heyting-Algebra H erf¨ ullt die Implikation ⇒ folgende Indentit¨aten f¨ ur alle x, y, z ∈ H: (x ⇒ x) = 1, x ∧ (x ⇒ y) = x ∧ y,

y ∧ (x ⇒ y) = y,

x ⇒ (y ∧ z) = (x ⇒ y) ∧ (x ⇒ z).

(12) (13) (14)

Umgekehrt muss in jedem Verband L mit 0 und 1 eine bin¨are Operation ⇒ mit obigen Eigenschaften die Implikation einer Heyting-Algebra-Struktur auf L sein.

37

Beweis. Siehe [MLM92], Kap. I.8, S. 54f. Proposition 38 Eine Heyting-Algebra H ist Boolesch genau dann, wenn ¬¬x = x f¨ ur alle x ∈ H gilt oder ¨aquivalent dazu, wenn x ∨ ¬x = 1 f¨ ur alle x gilt. Beweis. Da das Komplement in einer Booleschen Algebra eindeutig ist, ist x das Komplement von ¬x, also gilt ¬¬x = x in einer Booleschen Algebra. Umgekehrt gilt in einer Heyting-Algebra nach (8) und (7) ¬(x ∨ y) = (x ∨ y) ⇒= = (x ⇒ 0) ∧ (y ⇒ 0) = ¬x ∧ ¬y. Das ist eines der DeMorganschen Gesetze. Hat man nun ¬¬x = x f¨ ur alle x, so gilt x ∨ ¬x = ¬¬(x ∨ ¬x) = ¬(¬x ∧ ¬¬x) = ¬0 = 1. Da x ∧ ¬x = 0 in einer Heyting-Algebra immer gilt, ist damit gezeigt, dass ¬x das Komplement von x ist, also ist H Boolesch. Die analoge Charakterisierung von Booleschen Algebren durch x ∨ ¬x = 1 ist offensichtlich. Die Regel x ∨ ¬x = 1 ist das ber¨ uhmte tertium non datur” der klassischen Logik, das von den Intuitio” nisten und Konstruktivisten in Zweifel gezogen wurde (und wird). Bemerkung 39 Das zweite DeMorgansche Gesetz, ¬(x∧y) = ¬x∨¬y, gilt im Allgemeinen nicht in einer Heyting-Algebra. Als Beispiel betrachte man die HeytingAlgebra der offenen Untermengen des R2 . Insbesondere ist das Komplement ¬x einer offenen Menge x definiert als ¬x := int(R2 \x) (vgl. einleitende Bemerkungen zu Abschnitt 3.2). Man nimmt eine offene Kreisscheibe um den Ursprung und entfernt alle Punkte daraus, die auf der waagerechten Achse liegen. Die obere offene halbe Kreisscheibe sei x, die untere sei y. Dann ist x ∧ y = ∅ und damit ¬(x ∧ y) = int(R2 \∅) = R2 , w¨ahrend z.B. der Ursprung u weder in ¬x = int(R2 \x) noch in ¬y enthalten ist, also auch nicht in ¬x ∨ ¬y.

38

Im topostheoretischen Zusammenhang sind Heyting-Algebren besonders interessant wegen folgender Proposition: b = SetCop die Kategorie der Proposition 40 Sei C eine kleine Kategorie und C Pr¨agarben auf C. F¨ ur jedes Objekt P von C ist die halbgeordnete Menge SubC (P ) der Unterobjekte von P eine HEyting-Algebra. Beweis. Unter den punktweisen Operationen ist die Menge SubC (P ) aller Unterfunktoren von P ein vollst¨andiger Verband, der das unendliche Distributivgesetz erf¨ ullt. Das liegt einfach daran, dass die Operationen im Bild, also in Set, wirken, und die genannten Eigenschaften in Set gelten. Unter folgenden Operationen wird SubC (P ) zu einer Heyting-Algebra: Sind S, T zwei Unterfunktoren von P , so kann man ihre kleinste obere Schranke S ∨ T und die gr¨oßte untere Schranke S ∧ T punktweise definieren durch (S ∨ T )(C) = S(C) ∨ T (C), (S ∧ T )(C) = S(C) ∧ T (C) f¨ ur alle C ∈ C. Die Implikation S ⇒ T ist f¨ ur alle C ∈ C definiert durch (S ⇒ T )(C) = {x ∈ P (C) | ∀f : D → C in C mit x · f ∈ S(D) gilt x · f ∈ T (D)}. (18) Hier ist keine punktweise Definition m¨oglich, da man daraus keinen Unterfunktor erhielte. Der gr¨oßte Unterfunktor von P (und damit das Einselement 1 in SubC (P ), aufgefasst als Heyting-Algebra) ist P selbst, der kleinste Unterfunktor (die 0 in SubC (P )) ist der Nullfunktor 0. Daher l¨asst sich die Negation f¨ ur einen Unterfunktor S beschreiben als (¬S)(C) = {x ∈ P (C) | ∀f : D → C in C ist x · f ∈ / S(D)}.

(19)

3.3 Quantoren als Adjungierte Wir wollen in ganz knapper Form zeigen, dass sich auch die Quantoren, die in der gew¨ohnlichen Pr¨adikaten-Logik auftauchen, als Adjungierte auffassen lassen. Sei S(x, y) ein Pr¨adiket, aufgefasst als die Untermenge S ⊂ X × Y der Paare hx, yi, so dass S(x, y) wahr ist. Dann kann man (∀x)S(x, y) auffassen als die Untermenge T ⊂ Y , die aus den y besteht, so dass hx, yi ∈ S ist f¨ ur alle x. Schreibt man p : X × Y → Y f¨ ur die kanonische Projektion, so notieren wir T als ∀p S. In ¨ahnlicher Weise ist ∃s S als die zu (∃x)S(x, y) geh¨orige Untermenge von Y definiert.

39

Sei P(Y ) die Boolesche Algebra der Untermengen von Y und sei P(X × Y ) die Boolesche Algebra der Untermengen von X × Y . ∀p und ∃p erhalten die Inklusionsrelation S ⊂ S 0 zwischen Untermengen und k¨onnen daher als Funktoren ∀p , ∃p : P(X × Y ) −→ P(Y )

(1)

aufgefasst werden. Satz 41 F¨ ur die Projektion p : X × Y → Y sind die Funktoren ∃p und ∀p Linksbzw. Rechtsadjungierte des Funktors p∗ : P(Y ) → P(X × Y ), der jede Untermenge T ⊂ Y auf ihr Urbild p∗ T unter p schickt, p∗ T = {hx, yi | y ∈ T }. p∗ T kann man auch auffassen als den Pullback von T  Y entlang p. Beweis. F¨ ur Untermengen S ⊂ X × Y und T ⊂ Y gilt offensichtlich p∗ T ⊂ S ⇐⇒ T ⊂ ∀p S, S ⊂ p∗ T ⇐⇒ ∃p S ⊂ T. Da p∗ T ⊂ S gerade bedeutet, dass Hom(p∗ T, S) in der Kategorie P(X, Y ) nicht¨ leer ist (also genau ein Element, die Inklusion, enth¨alt) usw., geben die Aquivalenzen die behaupteten Adjunktionen. Ein ganz ¨ahnliches Argument gilt, wenn man die Projektion p durch eine beliebige Funktion f ersetzt: Satz 42 F¨ ur jede Funktion f : Z → Y zwischen Mengen Z, Y hat der Urbild∗ Funktor f : P(Y ) → P(Z) zwischen Untermengen eine Links-Adjungierte ∃f und eine Rechts-Adjungierte ∀f . Beweis. Die Links-Adjungierte ∃f weist jedem S ⊂ Z Folgendes zu: ∃f S = {y | es gibt ein z mit f z = y und z ∈ S}. Die Rechts-Adjungierte ∀f weist jedem S Folgendes zu: ∀f S = {y | f¨ ur alle z gilt: wenn f z = y ist, dann ist z ∈ S}. Dass dies Adjungierte sind, folgt analog zum vorigen Satz.

40

Die Notationen ∃f , ∀p sind gew¨ahlt, um die Verbindung zum Fall f = p herzustellen, wo die Adjungierten den gew¨ohnlichen Quantoren entsprechen. Als Resultat aus diesen Betrachtungen erhalten wir das Diagramm P(Z)

Z

6

f∗

∃f

f ?

?

P(Y )

Y

∀f ?

Die Konstruktion liefert Adjungierte zur Pullback-Operation f ∗ von Untermengen einer Menge Y .

41

4 Das Kochen-Specker-Theorem und Topostheorie In diesem Abschnitt werden wir eine Anwendung der Topostheorie auf die Physik darstellen, die von Isham und Butterfield in einer Reihe von Artikeln eingef¨ uhrt wurde [IshBut98, IshBut99, HIB00, IshBut02] (f¨ ur uns ist nur der erste Artikel wichtig). Es geht um das sogenannte Kochen-Specker-Theorem. In diesem Abschnitt werden einige Tatsachen aus der Theorie der von Neumann-Algebren verwendet, siehe [KadRinI97, KadRinII97, TakI79].

4.1 Bewertungen und das Kochen-Specker-Theorem Betrachten wir zun¨achst allgemein ein physikalisches System, das beschrieben ist durch einen Zustand s und eine Menge O von physikalischen Gr¨oßen oder Observablen A ∈ O. In der klassischen Physik ist der Zustand ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Phasenraum S, der ein topologischer Raum ist, in der Regel mit einiger Zusatzstruktur (symplektische Struktur). Im einfachsten Fall ist ein Zustand ein Punktmaß. Das nehmen wir im Folgenden an. Wir identifizieren dann den Zustand mit dem entsprechenden Punkt s ∈ S. Eine Observable A ist eine reellwertige Funktion A : S → R auf dem Phasenraum. Sei das klassische System im Zustand s ∈ S. Jede Observable A hat einen Wert vs (A), der einfach gegeben ist durch vs (A) = A(s). Ist h : R → R eine Funktion, so kann man eine neue Observable h(A) definieren durch die zugeh¨orige Funktion h(A), ∀s ∈ S : h(A)(s) := h(A(s)), d.h. h(A) = h ◦ A : S → R. Der Wert von h(A) im Zustand s ist folglich definiert dadurch, dass man den Wert von A im Zustand s nimmt und darauf h anwendet;

42

die Werte von h(A) und A erf¨ ullen das functional composition principle, kurz FUNC-Prinzip, vs (h(A)) = h(vs (A)) f¨ ur alle Zust¨ande s ∈ S. In der Quantenphysik ist ein Zustand ψ ein normaler Zustand (im mathematischen Sinn, d.h. ein positives lineares Funktional mit Norm 1) einer unitalen von Neumann-Algebra R. Die selbstadjungierten Operatoren A ∈ Rsa sind die Observablen des physikalischen Systems. Wir betrachten hier allgemeine von NeumannAlgebren statt nur L(H), die Algebra aller beschr¨ankten Operatoren auf dem Hilbertraum H, um auch Quantensysteme mit Symmetrien und Superauswahlregeln angemessen beschreiben zu k¨onnen. (Symmetrien werden durch unit¨are Operatoren beschrieben, die mit allen Operatoren der von Neumann-Algebra vertauschen. Gibt es außer der Identit¨at solche unit¨aren Operatoren, so hat die von NeumannAlgebra R eine nicht-triviale Kommutante R0 := {B ∈ L(H) | ∀A ∈ R : [A, B] = AB − BA = 0}. Superauswahlregeln werden beschrieben durch Observablen in R, die mit allen u ¨brigen Observablen vertauschen. Das bedeutet, dass R ein nicht-triviales Zentrum hat.) Anders als im klassischen Fall kann man den quantenphysikalischen Observablen nicht einfach durch Auswertung auf einem Zustand“ einen Wert zuweisen. Es ” erhob sich seit den Anf¨angen der Quantentheorie immer die Frage, ob es analog zum klassischen Fall eine Wertzuweisung in der folgenden Form gibt: Definition 43 Sei R eine unitale von Neumann-Algebra, aufgefasst als die Observablenalgebra eines physikalischen Systems. Eine Bewertungsfunktion v ist eine Abbildung von den selbstadjungierten Operatoren Rsa ⊂ R in die reellen Zahlen, so dass gilt (i) f¨ ur alle A ∈ Rsa ist v(A) ∈ sp A (die Spektrums-Regel), (ii) f¨ ur alle Borelfunktionen h : R → R gilt v(h(A)) = h(v(A)) (das FUNCPrinzip). Dabei benutzt man die Tatsache, dass man Borelfunktionen von Operatoren einer von Neumann-Algebra bilden kann und wiederum Operatoren der selben von Neumann-Algebra erh¨alt [KadRinI97]: ist A ∈ R und h eine Borelfunktion, so ist h(A) ∈ R, und es gilt [A, h(A)] = Ah(A) − h(A)A = 0.

43

Die Existenz solcher Bewertungsfunktionen w¨ urde bedeuten, dass man allen Observablen A ∈ Rsa gleichzeitig einen Wert zuweisen kann. Die Spektrums-Regel besagt, dass man jeder Observablen einen Wert aus dem Spektrum des selbstadjungierten Operators zuweisen muss (was auch sonst?), w¨ahrend das FUNC-Prinzip die Tatsache widerspiegelt, dass die Observablen nicht alle unabh¨angig sind. Die Bewertung soll vertr¨aglich sein mit den funktionalen Relationen zwischen den Operatoren. In ihrem ber¨ uhmten Artikel [KocSpe67] von 1967 betrachten Kochen und Specker ein verwandtes Problem: gibt es eine Beschreibung der Quantentheorie durch ein Phasenraummodell? Gesucht ist ein Phasenraum Ω, dessen Punkte ω ∈ Ω mit den entsprechenden Punktmaßen darauf identifiziert werden und als verallgemeinerte reine Zust¨ande aufgefasst werden, die sogenannten versteckten Zust¨ ande. Außerdem braucht man eine Einbettung Rsa → RΩ der u blichen quantenmechani¨ schen Observablen in die versteckten Variablen, d.h. die Funktionen f : Ω → R. H¨atte man all das gegeben, so h¨atte man viele Bewertungsfunktionen: Seien A, B ∈ Rsa zwei Observablen mit B = h(A) f¨ ur eine Borelfunktion h : R → R. Wir identifizieren A, B mit den zugeh¨origen versteckten Variablen fA , fB . Dann induziert jeder Punkt ω des quantenmechanischen Phasenraums Ω eine Bewertungsfunktion vω : Rsa → R durch vω (A) := A(ω) = fA (ω). Offensichtlich gilt vω (A) ∈ sp A und vω (h(A)) = h(vω (A)). Die Existenz von Bewertungsfunktionen ist also eine notwendige Voraussetzung f¨ ur die Existenz von Phasenraummodellen der Quantentheorie im beschriebenen Sinn. Kochen und Specker haben durch einen kombinatorischen Beweis gezeigt, dass es f¨ ur den Fall H = R3 , R = M3 (R) keine Bewertungsfunktionen gibt. Daraus folgt leicht das Satz 44 (Kochen-Specker, 1967) F¨ ur ein Quantensystem mit einer unitalen von Neumann-Algebra R vom Typ In , n ≥ 3 als Observablenalgebra (d.h. R ' L(H), dim H = n ∈ {3, 4, ...} ∪ {∞}) gibt es keine Bewertungsfunktion und damit kein Phasenraummodell. Allgemeiner gilt [Doe04] Satz 45 Das Kochen-Specker-Theorem gilt f¨ ur alle von Neumann-Algebren R außer solche mit einem Typ-I1 - oder einem Typ-I2 -Summanden. Sind solche Summanden vorhanden, gibt es zwar Bewertungsfunktionen, die aber auf diese Summanden konzentriert sind und auf dem Rest der Algebra identisch verschwinden. Wir nehmen im Folgenden an, dass R keine Summanden der Typen I1 und I2 besitzt.

44

4.2 Pr¨ agarbenformulierung des Kochen-SpeckerTheorems Im Folgenden werden wir darstellen, wie man Pr¨agarben und topostheoretische Argumente benutzen kann, um zu verallgemeinerten Bewertungen von quantentheoretischen Observablen zu gelangen. Dabei folgen wir Isham und Butterfield [IshBut98, IshBut99, HIB00, IshBut02]. Seien wie vorher A, B ∈ Rsa Observablen eines Quantensystems mit Observablenalgebra R, und sei B = h(A) f¨ ur eine Borelfunktion h : R → R. Die erste Beobachtung ist, dass das FUNC-Prinzip eine Darstellung durch kommutative Diagramme hat (wir nehmen an − was im Allgemeinen falsch ist −, dass es eine Bewertungsfunktion v : Rsa → R gibt): A

h

-B

v

v ?

v(A)

h

? - v(B)

Das FUNC-Prinzip f¨ ur die Bewertungsfunktion v ist ¨aquivalent dazu, dass es entsprechende kommutative Diagramme f¨ ur alle Paare C, D ∈ Rsa von Observablen mit C = g(D) gibt (wobei g eine Borelfunktion ist). Solche Diagramme kann man derart interpretieren, dass eine geeignete Pr¨agarbe einen globalen Schnitt besitzt: op

Definition 46 Sei P ∈ SetC eine Pr¨agarbe. Ein globaler Schnitt s von P ist eine Abbildung C → Set, so dass s(a) ∈ P (a) ist f¨ ur alle a ∈ C und derart, dass f¨ ur alle Morphismen ϕ : a → b in C folgendes Diagramm vertauscht: a

ϕ

s

-b

s ?

s(a) 

?

P (ϕ)

45

s(b)

Man beachte, dass wegen der Kontravarianz von P der untere horizontale Morphismus entgegengesetzt” l¨auft. ” In unserer physikalischen Situation betrachten wir die Kategorie C = O, deren Objekte die selbstadjungierten Operatoren Rsa in der Observablenalgebra R sind. Ein Morphismus h0 : B → A existiert genau dann, wenn es eine Borelfunktion h : R → R gibt mit B = h(A). Als Pr¨agarbe w¨ahlt man die sogenannte spektrale op Pr¨ agarbe Σ ∈ SetO , die folgendermaßen definiert ist: (i) Auf Objekten: Σ(A) := sp A, (ii) auf Morphismen: ist h0 : B → A ein Morphismus (d.h. B = h(A)), dann ist Σ(h) : sp A −→ sp B gegeben als Σ(h)(λ) := h(λ),

λ ∈ sp A.

Das verallgemeinerte Kochen-Specker-Theorem ist ¨aquivalent dazu, dass die spektrale Pr¨agarbe Σ keine globalen Schnitte besitzt.

4.3 Verallgemeinerte Bewertungen Isham und Butterfield schlagen vor, nach verallgemeinerten Bewertungen quantenmechanischer Observablen zu suchen, die nicht einfach Zuweisungen von reellen Werten zu Observablen sind. Dabei werden Techniken aus der Topostheorie genutzt. Zun¨achst wechselt man die Sichtweise leicht und stellt Propositionen (oder Aussagen) in den Vordergrund: sei A ∈ Rsa eine Observable und ∆ ⊆ sp A eine Borel-Untermenge des Spektrums von A. Die Theorie der von Neumann-Algebren zeigt, dass es eine Projektion E(A ∈ ∆) ∈ R aus der Spektralalgebra von A gibt, die der Aussage A ∈ ∆”, d.h. A hat einen Wert in ∆”, entspricht. ” ” Das Kochen-Specker-Theorem zeigt, dass man nicht jeder Aussage der Form A ∈ ∆” gleichzeitig einen Wahrheitswert wahr oder falsch zuweisen kann, so dass ” diese Zuweisung vertr¨aglich mit dem Borelschen Funktionenkalk¨ ul f¨ ur die Operatoren ist. Denkbar ist allerdings, dass − anschaulich gesprochen − vergr¨oberte Aussagen der Form h(A) ∈ h(∆)” alle gleichzeitig einen Wahrheitswert haben ” k¨onnen, wobei h eine geeignete Menge von Borelfunktionen durchl¨auft. Welche Aussagen (und damit Borelfunktionen) das sind, wird von der jeweiligen Observablen A abh¨angen, weshalb man hier von Kontextualit¨ at spricht, siehe auch

46

Erl¨auterung nach Definition 47. h(A) ∈ h(∆)” ist im Allgemeinen tats¨achlich ” eine gr¨obere Aussage als A ∈ ∆”, weil h nicht injektiv zu sein braucht. ” Ein technisches Problem ist, dass h(∆) keine Borel-Untermenge von sp(h(A)) zu sein braucht, auch wenn ∆ ⊆ sp A eine Borelmenge ist und h eine Borelfunktion. Auf der Ebene der zugeh¨origen Projektionen definiert man daher in naheliegender Weise −1

E(h(A) ∈ h(∆)) :=

{E(h(A) ∈ K | ∆ ∈ h (K)},

inf

(1)

K⊆sp h(A), K Borelmenge −1

wobei h (K) ⊆ sp A das Urbild von K unter h ist. Hat eine vergr¨oberte Aussage h(A) ∈ h(∆)” einen eindeutigen Wahrheitswert, ” so soll auch jede weitere Vergr¨oberung einen eindeutigen Wahrheitswert haben. Das alles f¨ uhrt zu der Idee, einem Operator A ∈ O ein geeignetes Sieb auf A zuzuweisen und dies als den verallgemeinerten Wahrheitswert von A zu betrachten (siehe Abschnitt 2.1). Definition 47 Eine verallgemeinerte Bewertung von quantentheoretischen Propositionen ist eine Abbildung v, die jeder Proposition A ∈ ∆” ein Sieb v(A ∈ ” ∆) auf A in O zuweist. Dieses Sieb muss folgende Eigenschaften haben: (i) FUNC-Prinzip: f¨ ur alle Borelfunktionen h : R → R muss gelten v(h(A) ∈ h(∆)) = h∗O (v(A ∈ ∆)), wobei h∗O der Pullback entlang h0 in O ist, (ii) Nullpropositions-Bedingung: v(A ∈ ∅) = 0A , das leere Sieb auf A, (iii) Monotonie: ∆1 ⊆ ∆2 =⇒ v(A ∈ ∆1 ) ≤ v(A ∈ ∆2 ), wobei ∆1 , ∆2 Borel-Untermengen von sp A sind. Die Halbordnung auf den Sieben auf A ist die durch die Inklusion gegebene. (iv) Exklusivit¨at: Ist ∆1 ∩∆2 = ∅ und v(A ∈ ∆1 ) = wahrA = t(A), das maximale Sieb auf A, so ist v(A ∈ ∆2 ) < wahrA . (Man fordert nicht v(A ∈ ∆2 ) = 0A .)

47

(v) Einheitspropositions-Bedingung: v(A ∈ sp A) = wahrA . Die Interpretation ist die folgende: der partielle” Wahrheitswert einer Propo” sition A ∈ ∆” ist das Sieb derjenigen Vergr¨oberungen h(A) von A, f¨ ur die die ” zugeh¨origen Propositionen h(A) ∈ h(∆)” total wahr sind. Das wird ausgedr¨ uckt ” 0 durch die Tatsache, dass, wenn h : B → A zum Sieb v(A ∈ ∆) geh¨ort, der Pullback h∗O (v(A ∈ ∆)) als Sieb auf h(A) das maximale Sieb ist, also wahrh(A) . Auch wenn die Definition das nicht unmittelbar deutlich macht, liegt die Kraft der ersten Bedingung, des FUNC-Prinzips, darin, dass ein Operator h(A) im Allgemeinen nicht nur als Funktion von A auftaucht, sondern es auch andere Operatoren B geben kann, so dass h(A) = g(B) gilt f¨ ur eine geeignete Borelfunktion g. W¨ahrend A und h(A) f¨ ur alle Borelfunktionen h vertauschen, m¨ ussen die Operatoren (Quantenobservablen) A und B nicht vertauschen. Wegen h(A) = g(B) sind Propositionen h(A) ∈ h(∆)” nicht nur Vergr¨oberun” gen der Proposition A ∈ ∆”, sondern auch Vergr¨oberungen geeigneter Proposi” tionen B ∈ Γ”, Γ ⊆ sp B, u ¨ber die Observable B. In physikalischer Sprechweise: ” Wie beim klassischen Kochen-Specker-Theorem verkn¨ upft das FUNC-Prinzip verschiedene Kontexte. Um noch klarer aufzuzeigen, wie der subobject classifier Ω der Pr¨agarbenop Kategorie SetO ins Spiel kommt, werden wir eine kleine Umformulierung vornehmen. Definition 48 Die Vergr¨ oberungs-Pr¨ agarbe u ¨ber O ist der kontravariante Funktor G : O → Set, der gegeben ist (i) auf Objekten: G(A) = WA , die Spektralalgebra von A, (ii) auf Morphismen: f¨ ur h0 : B → A sei G(h0 ) : WA → WB definiert durch G(h0 )(E(A ∈ ∆)) := E(h(A) ∈ h(∆)), wobei die rechte Seite im Sinne von (1) aufzufassen ist. Definition 49 Eine verallgemeinerte Bewertung auf dem Verband P = P(R) einer Quantentheorie, die durch die Observablenalgebra R beschrieben ist (R ist eine unitale von Neumann-Algebra, P ist nicht-distributiv genau dann, wenn R nicht-abelsch ist) ist eine Familie von Abbildungen vA : WA → Ω(A) von der Spektralalgebra von A in die Heyting-Algebra Ω(A) der Siebe auf A, so dass gilt

48

(i) FUNC-Prinzip: f¨ ur alle Borelfunktionen h : R → R gilt vh(A) (E(h(A) ∈ h(∆))) = h∗ (vA (E(A ∈ ∆))), (ii) Nullpropositions-Bedingung: vA (0) = 0A , (iii) Monotonie: P, Q ∈ WA mit P ≤ Q =⇒ vA (P ) ≤ vA (Q), (iv) Exklusivit¨at: Sind P, Q ∈ WA mit P Q = 0 und ist vA (P ) = wahrA , so ist vA (Q) < wahrA , (v) Einheitspropositions-Bedingung: vA (1) = wahrA . Damit l¨asst sich folgender Satz formulieren: Satz 50 Jeder verallgemeinerten Bewertung v auf P(R) entspricht eine nat¨ urliche • v v Transformation N : G → Ω, gegeben durch Komponenten NA : G(A) → Ω(A), die definiert sind durch NAv (P ) := vA (P ),

P ∈ WA = G(A). op

Beweis. Der subobject classifier Ω in SetO ist bekanntlich definiert (i) auf Objekten durch Ω(A) := {S | S Sieb auf A in O} und (ii) auf Morphismen h0 : B → A durch Ω(h0 ) : Ω(A) → Ω(B), S 7→ h∗O (S) f¨ ur alle Siebe S ∈ Ω(A). v Nat¨ urlichkeit von N bedeutet, dass Ω(h0 )◦NAv (E(A ∈ ∆)) = NBv ◦G(h0 )(E(A ∈ ∆)) gelten muss f¨ ur alle A, B ∈ O mit h0 : B → A (also B = h(A) f¨ ur eine Borelfunktion h). Man hat Ω(h0 ) ◦ NAv (E(A ∈ ∆)) = Ω(h0 )(NAv (E(A ∈ ∆))) = h∗O (vA (E(A ∈ ∆)))

(2)

NBv ◦ G(h0 )(E(A ∈ ∆)) = NBv (E(h(A) ∈ h(∆))) = vh(A) (E(h(A) ∈ h(∆))).

(3)

und

Nach dem FUNC-Prinzip (siehe Def. 49) stimmen die rechten Seiten von (2) und • (3) u urlich. ¨berein, also ist N v : G → Ω nat¨

49

Eine nat¨ urliche Transfomation N v : G → Ω ist ein Morphismus in der Pr¨agarbenop Kategorie SetO und entspricht einem Unterobjekt der Vergr¨oberungs-Pr¨agarbe G (vgl. Abschnitt 2 und insbesondere Unterabschnitt 2.1). Umgekehrt ist jedes Unterobjekt von G mit den in Def. 49 geforderten Eigenschaften eine verallgemeinerte Bewertung von quantentheoretischen Propositionen. Das Kochen-Specker-Theorem zeigt, dass es unm¨oglich ist, allen Quantenobservablen gleichzeitig scharfe Werte, d.h. reelle Zahlen, zuzuweisen. In diesem Sinne gibt es keine realistischen Modelle der Quantentheorie. Isham und Butterfield haben gezeigt, dass Techniken aus der Topostheorie zu verallgemeinerten Bewertungen f¨ uhren, so dass zwar nicht alle quantentheoretischen Propositionen A ∈ ∆” ” wahr oder falsch sind, aber man zu jeder Proposition dieser Form die Menge der Vergr¨oberungen h(A) ∈ h(∆)” angeben kann, die total wahr sind (im topostheo” retischen Sinn). Dies ist ein Schritt hin zu einer neorealistischen Formulierung der Quantentheorie.

Danksagung Ich m¨ochte mich bei meinen interessierten und engagierten H¨orern bedanken. Nur durch sie hat mir meine erste Vorlesung so viel Spaß gemacht!

50

¨ 5 Ubungen ¨ Ubung 51 Monos und Epis. (a) Zeige, dass die Zusammensetzung von Monos einen Mono ergibt und die Zusammensetzung von Epis einen Epi. (b) Ist eine Zusammensetzung g ◦ f ein Mono, so ist f Mono. Gilt das auch f¨ ur g? (c) Sei T : C → B ein voller und treuer Funktor und T f ein Mono. Zeige, dass f ein Mono ist. Welche Voraussetzung ist u ussig? ¨berfl¨ ¨ Ubung 52 Zeige, dass die Tensoralgebra eines Vektorraums als ein universeller Morphismus aufgefasst werden kann. ¨ Ubung 53 Zeige, dass a und b genau dann ein Koprodukt in C haben, wenn folgender Funktor darstellbar ist: C(a, ) × C(b, ) : C → Set, durch c 7→ C(a, c) × C(b, c). ¨ Ubung 54 Pullbacks in Set. Betrachte folgendes Pullback-Diagramm: q -Y P p

g ?

X

f

? -B

.

(a) Sei Y eine Untermenge von B und g : Y → B die Inklusion. Was ist dann der Pullback P ? (Genauer: zu was ist P isomorph?) (b) Seien f und g beide Inklusionen von Untermengen in B. Was ist dann der Pullback P ? ¨ Ubung 55 Produkte in Set. Zeige, dass das gew¨ohnliche kartesische Produkt u ¨ber einer Indexmenge J mit zugeh¨origen Projektionen ein kategorientheoretisches Produkt ist.

51

¨ Ubung 56 Sei

q

b ×a d p

-d

g ?

b

f

? -a

ein Pullback-Diagramm wie oben gehabt. Zeige, dass, wenn f ein Mono ist, auch q ein Mono ist.

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Literaturverzeichnis [Doe04]

A. D¨oring, Kochen-Specker theorem for von Neumann algebras”, ” Int. J. Theor. Phys. 44, vol. 2, 139–160 (2005), siehe auch de.arxiv.org/abs/quant-ph/0408106

[Gol79]

Robert Goldblatt, Topoi, The Categorial Analysis of Logic (NorthHolland, Amsterdam, New York, Oxford 1979) (trotz des be¨anstigenden Titels ein sehr gut zug¨angliches, freundliches Buch)

[HIB00]

J. Hamilton, C. J. Isham, J. Butterfield, A topos perspective on ” the Kochen-Specker theorem: III. Von Neumann algebras as the base category”, Int. J. Theor. Phys. 39 (2000), 1413–1436

[IshBut98]

C. J. Isham, J. Butterfield, A topos perspective on the Kochen” Specker theorem: I. Quantum states as generalised valuations”, Int. J. Theor. Phys. 37 (1998), 2669–2733

[IshBut99]

C. J. Isham, J. Butterfield, A topos perspective on the Kochen” Specker theorem: II. Conceptual aspects, and classical analogues”, Int. J. Theor. Phys. 38 (1999), 827–859

[IshBut02]

C. J. Isham, J. Butterfield, A topos perspective on the Kochen” Specker theorem: IV. Interval valuations”, Int. J. Theor. Phys. 41 (2002), no. 4, 613–639

[KadRinI97] R. V. Kadison, J. R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I (AMS, Providence, Rhode Island 1997) [KadRinII97] R. V. Kadison, J. R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II (AMS, Providence, Rhode Island 1997) [KocSpe67]

S. Kochen, E. P. Specker, The problem of hidden variables in quan” tum mechanics”, Journal of Mathematics and Mechanics 17 (1967), 59–87

53

[ML98]

Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, second edition (Springer, New York, Berlin, Heidelberg 1998) (die erste Ausgabe von 1971 tut’s genauso, die ist auch in der Bibliothek vorhanden)

[MLM92]

Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic, A First Introduction to Topos Theory (Springer, New York, Berlin, Heidelberg 1992) (die Standardreferenz)

[TakI79]

M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1979)

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