Derivierte Kategorien 001

Skript zur Vorlesung Derivierte Kategorien“ ” Marc A. Nieper-Wißkirchen Sommersemester 2004

Inhaltsverzeichnis 1 Einf¨ uhrung 1.1 Eine partielle Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Berechnung der de Rham-Kohomologie f¨ ur zusammenziehbare U . . . . . 1.3 Weitere Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Kategorien 2.1 Universen . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Lokal-kleine und kleine Kategorien . . 2.4 Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Die Kategorie aller kleinen Kategorien 2.6 Eigenschaften von Morphismen . . . . ¨ 2.7 Isomorphismen und Aquivalenzen . . . 2.8 Repr¨asentierbare Funktoren . . . . . . 2.9 (Ko-)Limiten . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Adjungierte Paare von Funktoren . . . 2.11 Einschub: Monoidale Kategorien . . . 2.0 Weitere Aufgaben . . . . . . . . . . . .

2 2 4 6

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7 8 8 11 11 13 14 16 18 19 21 22 24

3 Abelsche Kategorien 3.1 Additive Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Unter- und Quotientenobjekte . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Abelsche Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Bilder, Kobilder und exakte Sequenzen . . . . . . . . . . . . 3.5 Kartesische und kokartesische Diagramme . . . . . . . . . . 3.6 Additive Funktoren und Exaktheit von Funktoren . . . . . 3.7 Projektive und Injektive Objekte, Erzeuger und Koerzeuger 3.8 Kategorien additiver Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.0

Grothendiecksche Kategorien Erweiterungen . . . . . . . . Einschub: Injektive Moduln . Injektive H¨ ullen . . . . . . . . Erster Einbettungssatz . . . . Monoobjekte . . . . . . . . . Zweiter Einbettungssatz . . . Weitere Aufgaben . . . . . . .

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38 38 40 41 43 44 48 50

4 Derivierte Kategorien 4.1 Komplexe in abelschen Kategorien . . 4.2 Die lange exakte Kohomologiesequenz 4.3 Kegel und Zylinder . . . . . . . . . . . 4.4 Die Homotopiekategorie . . . . . . . . 4.5 Triangulierte Kategorien . . . . . . . . 4.6 Lokalisierungen von Kategorien . . . . 4.0 Weitere Aufgaben . . . . . . . . . . . .

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1 Einf¨ uhrung 1.1 Eine partielle Differentialgleichung Die Gleichung. Sei U ⊂ Rn eine offene Teilmenge und g1 , . . . , gn : U → R beliebig oft differenzierbare Funktionen. Frage 1. Besitzt das partielle Differentialgleichungssystem ∂f = g1 ∂x1 .. .

(1)

∂f = gn ∂xn eine beliebig oft differenzierbare L¨ osung f : U → R? Notwendige Bedingung. Falls eine L¨osung f : U → Rn existiert, folgt nach dem Schwarzschen Vertauschungssatz ∂2f ∂ ∂ ∂2f g = = = gi , j i i j j i ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xj

(2)

d.h. notwendige Bedingung f¨ ur eine L¨osung ist ∂ ∂ gj − j gi = 0 ∂xi ∂x f¨ ur alle 1 ≤ i, j ≤ n.

2

(3)

Umformulierung in eine Gleichung u ¨ber Pfaffsche Formen. Wir setzen ω :=

n X

gi dxi : U → (Rn )∨ .

(4)

i=1

F¨ ur diese 1-Form gilt nach Definition der Cartanschen Ableitung n X n X ∂gi j dx ∧ dxi , dω = ∂xj

(5)

j=1 i=1

daß dω = 0

⇐⇒

(3) ist erf¨ ullt.

(6)

Außerdem gilt: f l¨ost (1)

⇐⇒

df = ω.

(7)

In dieser Form k¨onnen wir die notwendige Bedingung dω = 0 wegen d2 = 0 sofort ablesen. Verallgemeinerung auf Formen beliebigen Grades. Mit Ak (U ), k ∈ N0 , wollen den R-Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren k-Formen u ¨ber U bezeichnen. (Insbe0 ∞ sondere ist A (U ) = C (U ) der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen u ¨ber U .) Sei ω ∈ Ak (U ), k ≥ 1 gegeben. Wir erweitern unsere Frage 1 zu der folgenden Frage: Frage 2. Was sind notwendige und hinreichende Bedingungen daf¨ ur, daß die Gleichung dη = ω

(8)

eine L¨osung η ∈ Ak−1 (U ) besitzt? Der bisher behandelte Fall ist der Fall k = 1. Wieder ist dω = 0 eine notwendige Bedingung daf¨ ur, daß die Gleichung (8) eine L¨osung besitzt. Wir wollen zeigen, daß f¨ ur gewisse U diese notwendige Bedingung auch hinreichend ist. Komplexe von R-Vektorr¨ aumen. Dazu betrachten wir folgendes System von R-Vektorr¨aumen und R-linearen Abbildungen d0

d1

d2

A0 (U ) −−−−→ A1 (U ) −−−−→ A2 (U ) −−−−→ . . . ,

(9)

wobei wir di statt d schreiben, wenn wir hervorheben wollen, daß wir u ¨ber die Einschr¨ankung von d auf Ai (U ) mit Bild Ai+1 (U ) sprechen. Bemerkung 1. Sind V i Vektorr¨aume (¨ uber R), i ∈ Z, und di : V i → V i+1 lineare Abbildungen mit di+1 ◦ di = 0, i ∈ Z, so heißt (V i , di )i∈Z ein (Koketten-)Komplex (von R-Vektorr¨ aumen). Ein solcher Komplex heißt im Grad i ∈ Z exakt, falls im di−1 = ker di . (In jedem Fall gilt im di−1 ⊂ ker d.)

3

Der Komplex (9) heißt der de Rham-Komplex von U . Offensichtlich ist dω = 0 genau dann eine hinreichende Bedingung f¨ ur die L¨osbarkeit von (8), falls der de Rham-Komplex von U im Grad k exakt ist. Die Abweichung von der Exaktheit wird durch die de Rhamsche Kohomologie gemessen: Definition 1. Sei k ∈ N0 . Der Vektorraum Hk (U ) := ker dk / im dk−1 heißt der k. de Rhamsche Kohomologievektorraum. Damit ist der de Rhamsche Komplex im Grade k genau dann exakt, wenn Hk (U ) = 0. Beispiel 1. Sei π0 (U ) die Menge der Zusammenhangskomponenten von U . Dann gilt H0 (U ) = Rπ0 (U ) ,

(10)

da die Elemente in H0 (U ) genau den lokal-konstanten Funktionen entsprechen.

1.2 Berechnung der de Rham-Kohomologie f¨ ur zusammenziehbare U In diesem Abschnitt wollen wir die de Rham-Kohomologie f¨ ur gewisse offene Teilmengen U berechnen. uckziehen als Komplexabbildung. Dazu zun¨achst einige Bemerkungen: Sei V ⊂ Zur¨ m R eine weitere offene Menge und f : V → U eine beliebig oft differenzierbare Abbildung. Durch Zur¨ uckziehen von Differentialformen werden durch f Abbildungen f i : Ai (U ) → Ai (V ),

i∈Z

(11)

induziert. Die induzierten Abbildungen sind vertr¨aglich mit der Cartanschen Ableitung, d.h. folgendes Diagramm kommutiert: d0

d1

d2

A0 (U ) −−−−→ A1 (U ) −−−−→ A2 (U ) −−−−→ . . .     0  1  2 yf yf yf d0

d1

(12)

d2

A0 (V ) −−−−→ A1 (V ) −−−−→ A2 (V ) −−−−→ . . . . Damit heißt die Familie (f i )i∈Z eine Komplexabbildung. Bemerkung 1. Aufgrund der Kommutativit¨at des Diagrammes werden Abbildungen Hi f ∗ = [f i ] : Hi (U ) → Hi (V ) induziert. Definition 1. Sei g : V → U eine weitere beliebig oft differenzierbare Abbildung. Dann heißen f und g (differenzierbar) homotop zueinander, falls eine beliebig oft differenzierbare Abbildung H : [0, 1] × V → U existiert mit H0 = f

und H1 = g,

(13)

Ht : V → U, v 7→ H(t, v)

(14)

wobei

f¨ ur t ∈ [0, 1]. Eine solche Abbildung H heißt (differenzierbare) Homotopie.

4

Satz 1. Seien f, g : V → U zueinander homotope Abbildungen. Dann existieren Abbildungen hi : Ai (U ) → Ai−1 (V ) mit g i − f i = di−1 ◦ hi + hi+1 ◦ di

(15)

f¨ ur alle i ∈ Z. Diese Bedingung schreiben wir auch als g ∗ − f ∗ = [d, h].

(16)

Man nennt h eine (Koketten-)Homotopie zwischen den Komplexabbildungen (f ∗ ) und (g ∗ ). Beweis. Wir konstruieren die Homotopie zwischen f ∗ und g ∗ explizit aus einer gegebenen Homotopie H : [0, 1] × V → U zwischen f und g: Wir setzen Z t ∗ ∗−1 ι ∂ (Hτ∗ α)dτ (17) ht : A (U ) → A (V ), α 7→ 0

∂τ

f¨ ur t ∈ [0, 1]. Wir behaupten: g ∗ − f ∗ = [d, h1 ]. Dazu betrachten wir Ht∗ − f∗ und stellen ∗ d t (Ht∗ − f ∗ )α = ∂H fest, daß H0∗ − f∗ = 0 (trivialerweise) und daß dt ∂t α. Auf der anderen Seite ist [d, h0 ] = 0 und d [d, ht ] = dι ∂ Ht∗ α − ι ∂ dHt∗ α = L ∂ Ht∗ α. ∂t ∂t ∂t dt

(18)

Das Bedeutsame an Kokettenhomotopien ist nun, daß durch sie Isomorphismen auf der Kohomologie induziert werden: Satz 2. Seien f ∗ , g ∗ : A∗ (U ) → A∗ (V ) zwei homotope Komplexabbildungen. Dann gilt f¨ ur die induzierten Abbildungen [f ∗ ] = [g ∗ ] : H∗ (U ) → H∗ (V ).

(19)

Beweis. Sei hi : Ai (U ) → Ai−1 , i ∈ Z, ein System von Abbildungen. Es reicht zu zeigen, daß die Komplexabbildung (!) n∗ := [d, h] : A∗ (U ) → A∗ (V ), α 7→ (d∗−1 h∗ + h∗+1 d∗ )α

(20)

die Nullabbildung auf der Kohomologie induziert. Das folgt aber sofort aus der Tatsache, daß n∗ (ker d∗ ) ⊂ im d∗−1 . Definition 2. Die zwei offenen Mengen U und V heißen zueinander (differenzierbar) homotop, falls es beliebig oft differenzierbare Abbildungen f : V → U und g : U → V gibt, so daß f g homotop zur Identit¨at auf U und gf homotop zur Identit¨at auf V ist.

5

Satz 3. Seien U und V homotop. Dann gilt H∗ (U ) = H∗ (V ).

(21)

Beweis. Die Abbildung [f ∗ ] : H∗ (U ) → H∗ (V ) ist invers zu [g ∗ ] : H∗ (V ) → H∗ (U ), da gilt [g ∗ ][f ∗ ] = [(f ◦ g)∗ ] = id∗U = idH∗ (U ) . Analoges f¨ ur [f ∗ ][g ∗ ]. Folgerung 1. Ist U zusammenziehbar (d.h. homotop zu einem Punkt), so ist ( R f¨ ur ∗ = 0 H∗ (U ) = 0 sonst. Folgerung 2 (Poincar´ esches Lemma). Es gilt ( R f¨ ur ∗ = 0 H∗ (Rn ) = 0 sonst.

(22)

(23)

Beweis. Die kanonischen Abbildungen f : Rn → {0} und g : {0} → Rn vermitteln eine ¨ Homotopie zwischen Rn und {0}. Das wird in einer Ubungsaufgabe nachgerechnet. Damit ist die Bedingung dω = 0 hinreichend zur L¨osung von (8), falls U zusammenziehbar ist. Damit h¨angt die L¨osbarkeit der Differentialgleichung offensichtlich von der Topologie des Raumes U ab. Im Laufe der Vorlesungen werden insbesondere Methoden entwickelt, die de Rhamschen Kohomologiegruppen aus der Topologie der R¨aume U und V zu berechnen.

1.3 Weitere Aufgaben Aufgabe 1. Betrachten Sie, inwieweit sich die bisher f¨ ur offene Mengen der euklidischen ∞ R¨aume definierten Begriffe auf C -Mannigfaltigkeiten ausdehnen lassen. Zeigen Sie, daß f¨ ur eine orientierbare, zusammenh¨angende, kompakte, n-dimensionale Mannigfaltigkeit X gilt: dim Hn (X) ≥ 1.

(24)

Aufgabe 2. Zeigen Sie, daß Rn , n ∈ N0 zusammenziehbar ist. Zeigen Sie allgemeiner, daß jede sternf¨ormige Menge zusammenziehbar ist. Geben Sie einen nicht zusammenziehbaren topologischen Raum an. ∂ Aufgabe 3. Sei X eine C ∞ -Mannigfaltigkeit und α ∈ Ak ([0, 1] × X), k ∈ N0 . Sei ∂t das Vektorfeld auf [0, 1] × X, welches an einem Punkt (t, x) ∈ X durch (1, 0) ∈ T(t,x) ([0, 1] × X) = R × Tx X gegeben ist. Zeigen Sie, daß

L∂ α= ∂t

∂α ∂t

Hierbei bezeichnet L die Liesche Ableitung einer Differentialform.

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(25)

2 Kategorien Einf¨ uhrung. Die im letzten Abschnitt definierten Begriffe wie z.B. Komplexabbildung machen sicherlich nicht nur f¨ ur die de Rhamschen Komplexe Sinn, sondern f¨ ur beliebige Komplexe von Vektorr¨aumen. Jetzt kann der Begriff eines Komplexes auch auf andere mathematische Objekte und “strukturerhaltenden Abbildungen” zwischen ihnen ausgeweitet werden. Zum Beispiel macht es auch Sinn, von Komplexen von abelschen Gruppen zu reden. Und von Komplexabbildungen zwischen Komplexen abelscher Gruppen. Um das zu formalisieren, bietet sich der zentrale Begriff der Kategorie an. In vielen Gebieten in der Mathematik betrachten wir gewisse Klassen von Objekten zusammen mit bestimmten Abbildungen (“Morphismen”) zwischen diesen Objekten. Die folgende Tabelle gibt einige Beispiele an. Objekte Mengen Gruppen Abelsche Gruppen Topologische R¨aume C ∞ -Mannigfaltigkeiten

Morphismen Abbildungen Gruppenhomomorphismen Gruppenhomomorphismen stetige Abbildungen C ∞ -Abbildungen

Alle diese Theorien“ haben folgende Gemeinsamkeiten: ” • Es gibt eine Klasse Ob der Objekte und eine Klasse Mor der Morphismen. Bemerkung 1. Im allgemeinen sind diese Klassen keine Mengen, z.B. existiert keine Menge aller Mengen. Klassen im Sinne dieser Vorlesung sind Klassen im Bernay–G¨odel– von Neumannschen Sinne. Mengen sind genau die Klassen, welche in anderen Klassen enthalten sind. • Jedem Morphismus f k¨onnen zwei Objekte zugeordnet werden, seinen Definitionsbereich dom f (“Quelle” von f ) und seinen Wertebereich cod f (“Ziel” von f ). Wir schreiben f : A → B f¨ ur die Aussage, daß A und B Objekte und f ein Morphismus mit Quelle A und Ziel B ist. • Je zwei Morphismen f : A → B und g : B → C k¨onnen wir einen dritten Morphismus g ◦ f : A → C, die Komposition, zuordnen. • Jedem Objekt A k¨onnen wir die Identit¨at idA : A → A zuordnen. • Ist f : A → B, so gilt idB ◦ f = f = f ◦ idA . • Ist f : A → B, g : B → C und h : C → D, so gilt (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ). Die Abstraktion dieser Gemeinsamkeiten f¨ uhrt zum Begriff der Kategorie.

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2.1 Universen Um sp¨ater auch u ¨ber die Kategorie der Kategorien und a¨hnliche Konstruktionen reden zu k¨onnen, brauchen wir vorher noch den Begriff des Universums Definition 1. Ein Universum U ist eine Klasse U mit folgenden Eigenschaften: • Ist X ∈ U und x ∈ X, so gilt auch x ∈ X. • Sind X, Y ∈ U, so sind auch X × Y ∈ U. S • Ist X ∈ U, so gilt auch X ∈ U. • Ist X ∈ U, so gilt auch 2X ∈ U. (Hier bezeichnet 2X die Potenzmenge von U .) • Es ist N0 ∈ U. • Ist f : X → Y eine surjektive Abbildung mit X ∈ U und Y ⊂ U, so folgt Y ∈ U. Beispiel 1. Die Klasse U aller Mengen ist ein Universum. Bemerkung 1. Im allgemeinen wird zus¨atzlich gefordert, daß ein Universum selbst eine Menge ist. Das ist f¨ ur unsere Zwecke aber nicht n¨otig. Außerdem k¨onnen wir so von der Existenz wenigstens eines Universums ausgehen.

2.2 Kategorien Wir fixieren ein Universum U. Definition 1. Eine Kategorie C (im Universum U) besteht aus • einer Klasse Ob C ⊂ U von Objekten von C, • einer Klasse Mor C ⊂ U von Morphismen von C, • zwei Abbildungen dom, cod : Mor C → Ob C, Quelle“ und Ziel“, ” ” • einer Abbildung id : Ob C → Mor C, A 7→ idA , Identit¨at“, ” • und einer Abbildung comp : Mor C ×Ob C Mor C = {(f, g) ∈ Mor C × Mor C : cod f = dom g} → Mor C, (f, g) 7→ gf, Komposition“, so daß Folgendes gilt: ” • F¨ ur alle A ∈ Ob C haben wir dom id(A) = A = cod id(A).

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(26)

• F¨ ur alle f, g ∈ Mor C mit dom g = cod f gilt dom(gf ) = dom f

und

cod(gf ) = cod f.

(27)

• F¨ ur alle f ∈ Mor C gilt f iddom f = f = idcod f f . • F¨ ur alle f, g, h ∈ Mor C mit cod f = dom g und cod g = dom h gilt (hg)f = h(gf ).

(28)

Bemerkung 1. Wir nennen idA auch die Identit¨ at von A und gf die Komposition des Morphismus f mit dem Morphismus g. F¨ ur gf schreiben wir auch g ◦ f oder f ; g. Wir schreiben f : A → B f¨ ur die Aussage, daß A, B Objekte einer (fixierten) Kategorie und f ein Morphismus mit dom f = A und cod f = B ist. Beispiel 1. Sei U ein Universum. Die Kategorie SetU der Mengen (in U) ist diejenige Kategorie im Universum U, f¨ ur die • Ob SetU = U, • Mor SetU = {(A, B, f ) : A, B ∈ U, f ∈ B A }, • dom(A, B, f ) = A und cod(A, B, f ) = B f¨ ur (A, B, f ) ∈ Mor SetU , • idA = (A, A, A → A, x 7→ x) f¨ ur A ∈ U und • (B, C, g)(A, B, f ) = (A, C, g ◦ f ) f¨ ur (A, B, f ), (B, C, g) ∈ Mor SetU , gilt. Bemerkung 2. H¨aufig arbeiten wir mit einem fixierten Universum U (z.B. dem aller Mengen) und lassen dann alle Bez¨ uge auf U in den Bezeichnungen weg, so daß wir dann z.B. von der Kategorie Set der Mengen reden. Beispiel 2. Sei C ein Kategorie und seien O ⊂ Ob C und M ⊂ Mor C gegeben, so daß dom(M) ⊂ O, cod(M) ⊂ O, id(O) ⊂ M und comp(M ×O M) ⊂ M. Dann wird durch Einschr¨ankung eine Kategorie induziert, deren Objekte O und deren Morphismen M sind. Eine solche Kategorie heißt Unterkategorie von C. Beispiel 3. Alle in der Einleitung angegebenen Beispiele wie folgt als Kategorien angesehen werden: die Klasse Ihrer Objekte bildet auf die Klasse der Mengen ab. Die Morphismen sind bestimmte Morphismen zwischen den Mengen, die den Objekten entsprechen. Wir vergebenen die Bezeichnungen • GrpU f¨ ur die Kategorie der Gruppen (im Universum U), • k-VU f¨ ur die Kategorie der k-Vektorr¨ aume (im Universum U), k ein K¨orper im Universum U,

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• TopU f¨ ur die Kategorie der topologischen R¨ aume (im Universum U) und • ManU f¨ ur die Kategorie der C ∞ -Mannigfaltigkeiten (im Universum U). Den Index U werden wir h¨aufig weglassen. Beispiel 4. Sei X ein topologischer Raum. Mit X bezeichnen wir dann die Unterkategorie von Set, deren Objekte die offenen Teilmengen U ⊂ X und deren Morphismen Inklusionsabbildungen U ,→ V zwischen offenen Teilmengen U ⊂ V ⊂ X von X sind. Definition 2. Eine Kategorie, in der alle Morphismen Identit¨aten sind, heißt diskrete Kategorie. Beispiel 5. F¨ ur jede Menge X ∈ U gibt es eine diskrete Kategorie (im Univerum U) X, deren Objekte die Menge X bilden. F¨ ur eine nat¨ urliche Zahl n ∈ N0 schreiben wir n = {0, . . . , n − 1}. Beispiel 6. Sei G ein Monoid in U, d.h. eine Menge in U zusammen mit einer Verkn¨ upfung G × G → G, (g, h) 7→ g · h, welche assoziativ ist und ein neutrales Element e ∈ G besitzt (d.h. e · g = g = g · e f¨ ur alle g ∈ G). Dann gibt es eine Kategorie G, die genau ein Objekt ∗ besitzt und deren Morphismen genau die Elemente von G sind. Die Komposition der Morphismen ist durch die Verkn¨ upfung des Monoids gegeben. Die Identit¨at wird offensichtlich durch das neutrale Element gegeben. Die letzten Beispiele zeigen, daß Morphismen in Kategorien nicht notwendigerweise Morphismen der Kategorie der Mengen sein m¨ ussen. Der Kategorienbegriff ist so flexibel, daß Morphismen nicht unbedingt durch Abbildungen zwischen Mengen dargestellt werden. Dies zeigt auch das n¨achste Beispiel: Beispiel 7. Zwei stetige Abbildungen f, g : X → Y zwischen den topologischen R¨aumen X und Y heißen zueinander homotop, falls es eine stetige Abbildung H : [0, 1] × X → Y mit H0 = f und H1 = g gibt. Eine solche Abbildung heißt eine Homotopie zwischen f ¨ und g. Es ist zueinander homotop“ eine Aquivalenzrelation. Diese Relation ist ebenfalls ” mit Kompositionen vertr¨aglich. Damit k¨onnen wir die Homotopiekategorie hTop topologischer R¨ aume definieren, de¨ ren Objekte dieselben wie die der Kategorie Top sind, deren Morphismen aber Aquivalenzklassen zueinander homotoper Abbildungen sind. Definition 3. Sei C eine Kategorie. Die duale Kategorie C ◦ von C ist die Kategorie mit denselben Objekten und Morphismen wie C, in der aber alle Pfeile umgedreht sind. Damit ist folgendes gemeint: die Objekte {X} von C stehen ins Bijektion X 7→ X ◦ mit den Objekten {X ◦ } von C ◦ . Ebenso gibt es eine Bijektion f 7→ f ◦ zwischen den Morphismen. Allerdings gilt dom f ◦ = cod f und cod f ◦ = dom f und f ◦ g ◦ = gf , wann immer die Komposition gf definiert ist. Dabei sind f, g zwei Morphismen in C.

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2.3 Lokal-kleine und kleine Kategorien Kategorien k¨onnen sehr unterschiedlich groß“ sein. Hier werden diese Begriffe pr¨azisiert. ” Dabei ist zu beachten, daß diese Begriffe immer nur relativ zu einem festen Universum definiert sind. Definition 1. Sei C eine Kategorie im Universum U. F¨ ur je zwei Objekte A, B ∈ Ob C setzen wir hom(A, B) := {f ∈ Mor C : dom f = A, cod f = B} ⊂ U

(29)

f¨ ur die Klasse der Morphismen von A nach B. Die Kategorie C heißt lokal-klein, falls f¨ ur alle A, B ∈ Ob C gilt, daß hom(A, B) ∈ U. Die Kategorie C heißt klein, falls Mor C ∈ U. Bemerkung 1. Eine kleine Kategorie C ist auch lokal-klein, und es gilt Ob C ∈ U. Beispiel 1. Die Kategorien Set, Grp, k-V, Top, hTop und Man sind lokal-klein, aber nicht klein. Beispiel 2. Seien V ∈ U zwei Universen. Jede Kategorie im Universum V ist klein, wenn sie als Kategorie im Universum U aufgefaßt wird. Beispiel 3. F¨ ur alle Mengen X ∈ U ist X eine kleine Kategorie. F¨ ur alle Monoide G im Universum X ist G eine kleine Kategorie. F¨ ur alle topologischen R¨aume X im Universum U ist X eine kleine Kategorie. Beispiel 4. Ist C eine lokal-kleine (bzw. kleine) Kategorie, so gilt dies auch f¨ ur C ◦ .

2.4 Funktoren Funktoren sind so etwas wie Morphismen zwischen Kategorien. Sp¨ater werden wir die Kategorie der Kategorien bilden und die Morphismen in dieser Kategorie werden genau die Funktoren sein. Definition 1. Seien C und D zwei Kategorien. Ein Funktor F : C → D ist durch eine Abbildung Ob C → Ob D, A 7→ F (A) und durch eine Abbildung Mor C → Mor D, f 7→ F (f ) gegeben, so daß folgendes gilt: • Ist f : A → B ein Morphismus ist C, so gilt F (f ) : F (A) → F (B). • F¨ ur jedes A ∈ Ob C gilt F (idA ) = idF (A) . • Sind f : A → B und g : B → C Morphismen in C, so gilt F (gf ) = F (g)F (f ). Mit idC : C → C bezeichnen wir den Funktor, der alle Morphismen auf sich selbst abbildet. Bemerkung 1. Seien C, D and E drei Kategorien und F : C → D und G : D → E zwei Funktoren. Dann k¨onnen wir in offensichtlicher Weise die Komposition G ◦ F : C → E der Funktoren F und G definieren.

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Beispiel 1. Es existieren Funktoren Grp → Set, k-V → Set, Top → Set, Man → Set, welche eine Gruppe (bzw. einen k-Vektorraum, einen topologischen Raum oder eine Mannigfaltigkeit) einfach auf die zugrundeliegende Menge abbilden und auf den Morphismen die Inklusion sind. Solche Funktoren heißen Vergißfunktoren. Beispiel 2. Es existiert ein Funktor Top → hTop, welcher die Identit¨at auf den Ob¨ jekten und die Aquivalenzklassenbildung auf den Morphismen ist. Definition 2. Ein kontravarianter Funktor zwischen den Kategorien C und D ist ein gew¨ohnlicher ( kovarianter“) Funktor von der Kategorie C ◦ in die Kategorie D. ” Ein kontravarianter Funktor von C nach D heißt auch Pr¨ agarbe auf C mit Werten in D. Eine Pr¨agarbe auf X, X ein topologischer Raum, mit Werten in D heißt auch Pr¨ agarbe auf X mit Werten in D. Aufgabe 1. Geben Sie m¨oglichst einfache Daten an, durch die eine Pr¨agarbe auf einem topologischen Raum gegeben ist. Beispiel 3. Durch X 7→ A∗ (X) wird ein kontravarianter Funktor von der Kategorie Man in die Kategorie der (Komplexe von) R-Vektorr¨aume(n) definiert. Ein Morphismus f : X → Y wird dabei auf f ∗ : A∗ (Y ) → A∗ (X) abgebildet. Definition 3. Seien F, G : C → D zwei Funktoren von einer Kategorie C in eine Kategorie D. Eine nat¨ urliche Transformation η : F ⇒ G ist eine Abbildung Ob C → Mor D, A 7→ η(A), so daß gilt: • η(A) : F (A) → G(A) f¨ ur alle A ∈ Ob C. • F¨ ur alle Morphismen f : A → B in C kommutiert das Diagramm η(A)

F (A) −−−−→ G(A)    G(f ) F (f )y y

(30)

F (B) −−−−→ G(B). η(B)

Die nat¨ urliche Transformation von F nach F , die jedes Objekt A auf die Identit¨at idF (A) abbildet, heißt Identit¨ at idF von F . Die Klasse der nat¨ urlichen Transformationen von F nach G wird auch mit nat(F, G) bezeichnet. Bemerkung 2. Seien C, D zwei Kategorien, F, G, H : C → D drei Funktoren und η : F ⇒ G und ζ : G ⇒ H zwei nat¨ urliche Transformationen. Dann k¨onnen wir in offensichtlicher Weise die vertikale Komposition ζ · η : F ⇒ H der nat¨ urlichen Transformationen η und ζ definieren. Beispiel 4. Sei Field die Kategorie der K¨orper. Dann gibt es f¨ ur jedes n ∈ N0 einen Funktor GLn : Field → Grp, k 7→ GLn (k), der jeden k-Vektorraum auf die Gruppe der

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invertierbaren n × n-Matrizen. (Was sind die Morphismen in der Kategorie Field? Wie wirkt GLn auf die Morphismen?) Es gibt einen weiteren Funktor von Field nach Grp, n¨amlich ()× , der einen K¨orper auf die Gruppe seiner Einheiten abbildet. Die Determinante ist dann eine nat¨ urliche Transformation det : GLn ⇒ ()× . Definition 4. Sei C eine kleine Kategorie und D eine Kategorie. Dann k¨onnen wir auf offensichtliche Art und Weise die Funktorkategorie DC der Funktoren von C nach D definieren, deren Objekte die Funktoren zwischen den beiden Kategorien und deren Morphismen die nat¨ urlichen Transformationen zwischen den Funktoren sind. Beispiel 5. Sei C eine lokal-kleine Kategorie und Y ein Objekt in C. Dann wird durch X 7→ hom(X, Y ) ein Funktor hom(·, Y ) : C → Set definiert. (Wie wirkt der Funktor auf Morphismen?) Weiter gilt: die Abbildung Y 7→ hom(·, Y ) definiert einen Funktor von ◦ der Kategorie C in die Funktorkategorie SetC .

2.5 Die Kategorie aller kleinen Kategorien Definition 1. Sei U ein Universum. Die Kategorie CatU der kleinen Kategorien im Universum U ist die Kategorie deren Objekte alle kleinen Kategorien in U und deren Morphismen die Funktoren zwischen den kleinen Kategorien sind. Die Komposition ist die Komposition von Funktoren. Die Kategorie der kleinen Kategorien hat noch eine weiterreichende Struktur: zwischen den Morphismen existieren ja noch die nat¨ urlichen Transformationen. Zun¨achst stellen wir folgendes fest: Satz 1. Seien A, B und C drei Kategorien, F, F 0 : A → B und G, G0 : B → C Funktoren und η : F ⇒ F 0 und ζ : G ⇒ G0 zwei nat¨ urliche Transformationen. Dann k¨ onnen wir die nat¨ urliche Transformation ζ ◦ η : G ◦ F ⇒ G0 ◦ F 0 , die horizontale Komposition von η und ζ definieren, indem wir ein Objekt A aus A auf die Diagonale der kommutierenden (!) Quadrates ζ(F (A))

GF A −−−−−→ G0 F A    G0 (η(A)) G(η(A))y y

(31)

GF 0 A −−−−→ G0 F 0 A ζF 0 (A)

abbilden. Beweis. Zun¨achst gilt G0 (ηA) ◦ ζ(F A) = ζ(F 0 A) ◦ G(ηA), nach der Nat¨ urlichkeit von ζ. Sei f : X → Y ein Morphismus in der Kategorie A. Wir m¨ ussen zeigen, daß das ¨außere Rechteck des folgenden Diagrammes kommutiert: ζ(F 0 X)

Gη(X)

GF X −−−−→ GF 0 X −−−−→ G0 F 0 X       0 0 GF f y GF 0 f y yG F f Gη(Y )

GF Y −−−−→ GF 0 Y −−−−→ G0 F 0 Y. ζ(F 0 Y )

13

(32)

Nun kommutiert das linke Quadrat, da G ein Funktor und η : F ⇒ F 0 und das rechte Quadrat, da ζ : G ⇒ G0 . Bemerkung 1. Es ist leicht gezeigt, daß die horizontale Komposition assoziativ ist und daß f¨ ur jedes Objekt A der Kategorie A die nat¨ urliche Transformation ididA eine Identit¨at bez¨ uglich der horizontalen Komposition darstellt. Damit k¨onnen wir eine Kategorie formen, deren Objekte alle (kleinen) Kategorien und deren Morphismen zwischen zwei Objekten (d.h. kleinen Kategorien) A und B nat¨ urliche Transformationen zwischen Funktoren von A nach B sind. Bemerkung 2. Die Identit¨at der horizontalen Komposition ididA ist auch eine Identit¨at f¨ ur die vertikale Komposition · von Funktoren. Satz 2. Seien A, B und C drei Kategorien, F, F 0 , F 00 : A → B und G, G0 , G00 : B → C Funktoren und η : F ⇒ F 0 , η 0 : F 0 ⇒ F 00 , ζ : G ⇒ G0 und zeta0 : G0 ⇒ G00 vier nat¨ urliche Transformationen. Dann gilt das folgende Vertauschungsgesetz (ζ 0 · ζ) ◦ (η 0 · η) = (ζ 0 ◦ η 0 ) · (ζ ◦ η),

(33)

wann immer beide Seiten definiert sind. Zusammenfassend k¨onnen wir damit sagen, daß die Kategorie der kleinen Kategorien die Struktur einer 2-Kategorie hat. Dabei definieren wir: Definition 2. Eine 2-Kategorie besteht aus zwei Kategorien C1 und C2 mit Mor C1 = Mor C2 , so daß f¨ ur alle Objekte A ∈ Ob C1 gilt, daß die Identit¨at von A auch eine Identit¨at in der Kategorie C2 ist. Weiterhin soll f¨ ur die Kompositionen (g 0 ◦2 g) ◦1 (f 0 ◦2 f ) = (g 0 ◦1 f 0 ) ◦2 (g ◦1 f )

(34)

gelten, wann immer beide Seiten definiert sind.

2.6 Eigenschaften von Morphismen Seien C, D, E, . . . Kategorien. Definition 1. Seien f : A → B und g : B → A Morphismen in C. g heißt Linksinverses oder Retraktion von f : A → B, falls gf = idA . Der duale Begriff ist Rechtsinverses oder Schnitt, d.h. f ist Rechtsinverses von g, falls ◦ f Linksinverses von g ◦ in C ◦ ist. g heißt invers zu f , falls g linksinvers zu f und f rechtsinvers zu g. Lemma 1. Sind g, g 0 : B → A invers zu f : A → B in C ◦ , so ist g = g 0 . Wir nennen f −1 := g das Inverse zu f . Definition 2. Ein Morphismus f ∈ Mor C heißt Isomorphismus, falls er ein Inverses f −1 besitzt. Sind alle Morphismen in C Isomorphismen, so heißt C ein Gruppoid.

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Beispiel 1. In den Kategorien Set, Grp und Top sind die Isomorphismen genau die bijektiven Abbildungen (bzw. bijektiven Gruppenhomomorphismen, bzw. Hom¨oomorphismen). Beispiel 2. F¨ ur ein Monoid G gilt, daß G genau dann eine Gruppe ist, wenn G ein Gruppoid ist. Beispiel 3. Das Fundamentalgruppoid ist ein Gruppoid. Aufgabe 1. Sei F : C → D ein Funktor und f ∈ Mor C ein Isomorphismus. Dann ist F (f ) ein Isomorphismus mit F (f )−1 = F (f −1 ). Aufgabe 2. Sind f : A → B und g : B → C Isomorphismen in C, so ist gf : A → C ein Isomorphismus. Definition 3. Zwei Objekte A und B in der Kategorie C heißen isomorph, falls es einen Isomorphismus f : A → B gibt. Sie heißen eindeutig isomorph, falls es genau einen Isomorphismus f : A → B gibt. Definition 4. F¨ ur jedes Objekt A einer lokal-kleinen Kategorie definieren wir die Automorphismengruppe von A durch Aut(A) := {f : A → A : f ist ein Isomorphismus}. Definition 5. Ein Morphismus f : A → B in C heißt Monomorphismus, falls f¨ ur alle g, h : Z → A mit f g = f h folgt, daß g = h. Der duale Begriff heißt Epimorphismus. Beispiel 4. In Set und Grp sind die Mono- bzw. Epimorphismen genau die injektiven bzw. surjektiven Abbildungen. Bemerkung 1. Besitzt f ein Rechtsinverses, so ist f ein Epimorphismus. Dual: besitzt f ein Linksinverses, so ist f ein Monomorphismus. Damit sind Isomorphismen Mono- und Epimorphismen in einem. Im allgemeinen sind Morphismen, welche Mono- und Epimorphismen in einem sind, keine Isomorphismen. Kategorien, in denen dies gilt, heißen balanciert. Definition 6. Ein Objekt A in C heißt initiales Objekt oder Anfangsobjekt von C, falls f¨ ur alle weiteren Objekte X genau ein Morphismus f : A → X existiert. Der duale Begriff ist terminales Objekt oder Endobjekt. Ein Objekt, welches initial und terminal zugleich ist, heißt Nullobjekt. Bemerkung 2. Je zwei Anfangsobjekte (Endobjekte) sind eindeutig isomorph. Daher reden wir h¨aufig von dem Anfangsobjekt“ ( dem Endobjekt“). ” ” Beispiel 5. In Set ist ∅ ein initiales Objekt und {?} ein terminales. In Grp ist {e} ein Nullobjekt. In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Eins ist Z ein initiales Objekt, aber es gibt kein terminales Objekt. Definition 7. Sei C eine Kategorie mit einem terminalen Objekt ?. Sei A ein Objekt von C. Ein globaler Punkt von A ist ein Morphismus von ? nach A.

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¨ 2.7 Isomorphismen und Aquivalenzen Seien C, D, E, . . . Kategorien. Definition 1. Zwei Funktoren F, G : C → D heißen isomorph, falls sie, im Falle, daß C klein ist, isomorphe Objekte in der Funktorkategorie DC darstellen. Im allgemeinen nennt man sie isomorph, falls nat¨ urliche Transformationen η : F ⇒ G und ζ : G ⇒ F mit ζ · η = idF und η · ζ = idG existieren. Lemma 1. Die Funktoren F, G sind genau dann isomorph, falls eine nat¨ urliche Transformation η : F ⇒ G existiert, so daß f¨ ur alle Objekte A von C der Morphismus η(A) : F (A) → G(A) ein Isomorphismus ist. Beweis. Wir setzen ζ(A) := η(A)−1 . Beispiel 1. Sei V die Kategorie der endlich-dimensionalen Vektorr¨aume u ¨ber einem K¨orper k. Sei ∗ : V ◦ → V der Dualisierungsfunktor. Die Komposition ∗ ◦ ∗◦ : V → V ist die doppelte Dualisierung. Es gibt einen Morphismus idV ⇒ ∗ ◦ ∗◦ von Funktoren, der jeden Vektorraum V auf die kanonische Abbildung V → (V ∨ )∨ abbildet. Dieser Morphismus ist ein Isomorphismus von Funktoren. Bemerkung 1. Zwei kleine Kategorien C und D sind nach Definition isomorph, wenn es zwei Funktoren F : C → D und G : D → C gibt mit der Eigenschaft, daß GF = idC und F G = idD . Diese Bedingung ist f¨ ur gew¨ohnlich viel zu stark. Wir bekommen aber eine abgeschw¨achte Bedingung durch folgende Definition: ¨ Definition 2. Ein Funktor F : C → D heißt eine Aquivalenz von Kategorien, falls ein Funktor G : D → C mit der Eigenschaft existiert, daß GF isomorph zu idC und F G isomorph zu idD ist. In diesem Fall heißt G ein Quasiinverses zu F . ¨ Zwei Kategorien heißen ¨ aquivalent, falls es eine Aquivalenz zwischen ihnen gibt. Beispiel 2. Eine kleine Kategorie n-dimensionaler k-Vektorr¨aume ist zu ihrer vollen Unterkategorie mit dem einzigen Objekt k n ¨aquivalent. Beispiel 3. Die Kategorie der endlichen Mengen in einem kleinen Universum ist ¨aquivalent zu ihrer vollen Unterkategorie der endlichen Ordinalzahlen, deren Objekte aus Mengen {0, . . . , n − 1} bestehen. Dabei heißt ein Universum klein, wenn es selbst eine Menge ist. ¨ Satz 1. Ein Funktor F : C → D ist eine Aquivalenz von Kategorien genau dann, wenn folgendes gilt: • F ist volltreu, d.h. F bildet f¨ ur alle A, B ∈ C die Klasse hom(A, B) bijektiv auf hom(F (A), F (B)) ab. • Es existiert eine Abbildung, die jedes Objekt X in D auf ein Objekt A ∈ C und einen Isomorphismus zwischen X und F (A).

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¨ Beweis. Sei F eine Aquivalenz und G ein Quasiinverses. Seien η : GF ⇒ idC und ζ : F G ⇒ idD Isomorphismen von Funktoren. Zun¨achst folgt, daß jedes Objekt X ∈ D isomorph zu dem Objekt F (G(X)) ist. Weiterhin ist f¨ ur jedes f ∈ hom(A, B) das Diagramm η(A)

GF A −−−−→   GF (f )y

A  f y

(35)

GF B −−−−→ B η(B)

kommutativ. Damit kann f aus F (f ) rekonstruiert werden. Der Funktor F ist also treu. Analog ist G ein treuer Funktor. Sei jetzt g ∈ hom(F A, F B) ein beliebiger Morphismus. Wir setzen f := η(B)G(g)η(A)−1 . Es folgt wie oben, daß f = η(B)GF (f )η(A)−1 , also G(g) = GF (f ). Da G treu, haben wir g = F (f ). Um die umgekehrte Richtung zu zeigen, nehmen wir an, F sei volltreu und zu jedem Objekt X in D gibt es Objekt AX in C und einen Isomorphismus gX : F (AX ) → X. Wir wollen ein Quasiinverses G : D → C zu F konstruieren. Dazu setzen wir G(X) = AX f¨ ur alle X ∈ Ob D und G(g) = gY−1 ◦ g ◦ gX f¨ ur alle g : X → Y in D. Nachrechnen ergibt, daß G ein Funktor ist. Weiter ist F G ⇒ idD , X 7→ gX ein Isomorphismus von Funktoren. Damit ist auch gF (A) : F GF A → F A ein Isomorphismus f¨ ur jedes A ∈ Ob A. Da F volltreu ist, gibt es damit einen eindeutigen Isomorphismus fA : GF A → A mit gF A = F (fA ). Schließlich ist GF ⇒ idC , A 7→ fA ein Isomorphismus von Funktoren. G ist damit quasiinvers zu F . Beispiel 4. Sei CBan die Kategorie der kommutativen Banachalgebren mit Involutionen, deren Objekte kommutative C-Algebren mit Norm und Involution sind, so daß der Raum vollst¨andig, die Multiplikation stetig, die Involution von Norm eins ist und das Normquadrat eines Elementes x durch kxx∗ k berechnet werden kann. Wir definieren einen Funktor F : CBan◦ → CHaus, CHaus die Kategorie der kompakten Hausdorffr¨aume, welcher jeder Banachalgebra ihr kompaktes Spektrum zuordnet. Ein weiterer Funktor G : CHaus◦ → CBan ordnet jedem kompakten Hausdorffraum seine Banachalgebra der stetigen C-wertigen Funktionen zu. Aufgabe 1. Eine volle Unterkategorie C von D ist eine Kategorie, f¨ ur die Mor C = {f ∈ Mor D : dom f, cod f ∈ Ob C} gilt. Zeigen Sie, daß jeder volltreue Funktor F zwischen zwei beliebigen Kategorien C und ¨ D eine Aquivalent zwischen C und einer vollen Unterkategorie von D definiert. Aufgabe 2. Sei C eine lokal-kleine Kategorie und f¨ ur je zwei Objekte A, B ∈ Ob C sei eine ¨ Aquivalenzrelation ∼AB auf hom(A, B) gegeben. Zeigen Sie, daß dann eine Kategorie D/ ∼ und ein Funktor Q : C → D existieren, so daß folgendes gilt: • Ist f ∼ f 0 in C, so ist Qf = Qf 0 in D. • Ist F : C → D0 ein Funktor mit der Eigenschaft, daß aus f ∼ f 0 in C schon F f = F f 0 in D0 folgt, so existiert genau ein Funktor G : D → D0 mit der Eigenschaft F = G ◦ Q.

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2.8 Repr¨ asentierbare Funktoren Sei C eine lokal-kleine Kategorie. Definition 1. Ein Funktor F : C ◦ → Set heißt repr¨ asentierbar, falls ein Objekt B in C mit F isomorph zu hom(·, B) existiert. In diesem Fall repr¨ asentiert B den Funktor F . Der duale Begriff ist korepr¨ asentierbar. Beispiel 1. Ein terminales Objekt repr¨asentiert den Funktor, der jedes Objekt auf das terminale Objekt in Set abbildet. Beispiel 2. In der Kategorie der Vektorr¨aume korepr¨asentiert f¨ ur zwei Vektorr¨aume X und Y der Vektorraum X ⊗ Y den (kovarianten) Funktor, der jeden Vektorraum V auf die Menge der bilinearen Abbildungen X × Y → V abbildet. Satz 1. Seien B und B 0 zwei Objekte in C. Dann ist die Abbildung φ(B, B 0 ) : hom(B, B 0 ) → nat(hom(·, B), hom(·, B 0 )), f 7→ (ηf : Ob C → Mor Set, A 7→ (ηf (A) : hom(A, B) → hom(A, B 0 ), g 7→ f g)) (36) eine Bijektion. Weiterhin ist φ(B, B 0 ) nat¨ urlich in B und B 0 . Beweis. Folgerung 1. Repr¨ asentieren B und B 0 beide den Funktor F . Dann existiert genau ein Isomorphismus B → B 0 , welcher den durch die Isomorphismen hom(·, B) → F und hom(·, B 0 ) ' F gegebenen Isomorphismus hom(·, B) → hom(·, B 0 ) induziert. ◦

Satz 2. Sei C eine kleine Kategorie. Dann ist y : C 7→ SetC mit y(A) = hom(·, A) eine Einbettung von Kategorien, die Yoneda-Einbettung. Definition 2. Sei F : C → D ein Funktor und X ein Objekt in D. Die Kategorie (X ↓ F ) ist definiert als diejenige Kategorie, deren Objekte Paare (A, f ) mit A ∈ Ob C und f : X → F (A) sind. Morphismen von (A, f ) nach (B, g) sind solche Morphismen h : A → B, f¨ ur die g = F (h)f gilt. Die Kategorie (X ↓ F ) heißt die Kategorie der Objekte F -unter X. Analog ist die Kategorie (F ↓ X) definiert. Hier sind die Objekte Paare (A, f ) mit A ∈ Ob C und f : F (A) → X. Die Kategorie (F ↓ X) heißt die Kategorie der Objekte F -¨ uber X. Beispiel 3. Habe D ein initiales Objekt 0. Dann ist (0 ↓ F ) isomorph zu C. Hat D ein terminales Objekt 1, so ist (F ↓ 1) isomorph zu C. Aufgabe 1. Sei F : C ◦ → Set ein Funktor und sei C klein. Was ist die Kategorie (y ↓ F ) der Objekte y-¨ uber F ? Was ist die Kategorie (1 ↓ F ) der Objekte F -unter 1, wobei 1 ein terminales Objekt in der Kategorie Set ist? Zeigen Sie, daß ein Isomorphismus (y ↓ F ) → (1 ↓ F ), welcher nat¨ urlich in F ist, existiert. Wiederholen Sie, daß die terminalen Objekte in (1 ↓ F ) genau den Paaren (B, η) ∈ Ob(y ↓ F ) mit η ein Isomorphismus von

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Funktoren entsprechen. Sei (B, η) ein darstellendes Objekt f¨ ur F . Sei (B, Y ) das Bild dieses Objektes unter dem Isomorphismus. Wir nennen Y das universelle Element u ¨ber B. Wie l¨aßt sich die bewiesene Aussage auf beliebige lokal-kleine Kategorien C u ¨bertragen? Folgerung 2. Stellt B den Funktor F via dem Funktorisomorphismus η : hom(·, B) ⇒ F dar, so ist η eindeutig durch das universelle Element Y u ¨ber B bestimmt. Beispiel 4. Seien X, Y ∈ Ob C, C lokal-klein. Ein Produkt X × Y von X und Y ist ein Objekt X × Y in C zusammen mit einem Funktorisomorphismus η : hom(·, X × Y ) ⇒ F , wobei F der Funktor ist, der jedes Objekt A auf die Menge hom(A, X) × hom(A, Y ) abbildet. Mit anderen Worten (X × Y, η) ist bis auf eindeutige Isomorphie festgelegt, wenn es existiert. Nach der letzten Folgerung k¨onnen ist η schon durch ein universelles Objekt (p, q) ∈ hom(X × Y, X) × hom(X × Y, Y ) gegeben. Damit ist das Produkt durch folgende universelle Eigenschaft bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig festgelegt: F¨ ur jedes Objekt A in C zusammen mit zwei Morphismen f : A → X und g : B → Y existiert genau ein Morphismus z : A → X × Y mit der Eigenschaft f = pz und g = qz. Diagrammatisch schreiben wir das als: 2X w; ww w w ww p ww A _ _ _/ X × YG GG q GG GG GG g #, f

Y. Der duale Begriff ist der des Koprodukts X q Y von X und Y . Wenn wir in Zukunft Objekte durch den durch sie repr¨asentierten Funktor definieren, werden wir die explizite Angabe des dazu geh¨orenden Funktorisomorphismus’ bzw. des universellen Elementes unterschlagen. Es ist aber wichtig zu bemerken, daß dieser Isomorphismus bzw. dieses universelle Element mit zur Definition dazu geh¨oren. Aufgabe 2. Geben Sie Definitionen f¨ ur das (Ko-)Produkt mit mehreren Faktoren an.

2.9 (Ko-)Limiten Sei I eine kleine Kategorie und C eine weitere. Der Funktor ∆I : C → C I ordnet jedem Objekt A in C den konstanten Funktor A : I → C zu, der jedes i ∈ Ob I auf A und jeden Morphismus j ∈ Mor I auf idA abbildet. (Inwiefern ist ∆I eine nat¨ urliche Transformation vom Funktoren?) Definition 1. Ein den Funktor A 7→ nat(∆I (A), F ) darstellendes Objekt lim F heißt ←− Limes des Funktors F . Der duale Begriff ist der des Kolimes. Bemerkung 1. Eine nat¨ urliche Transformation η von ∆I (A) nach F ist durch eine Familie η(i) : A → F (i), i ∈ Ob I von Morphismen gegeben, so daß f¨ ur alle j : i → i0 in Mor I

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die Bedingung η(i0 ) = F (j)η(i) erf¨ ullt ist. Das universelle Element von lim F ist damit ←− eine Familie von Morphismen lim F → F (i). Die universelle Eigenschaft schreiben wir ←− diagrammatisch als 3 F (i) w; ww w w ww ww

F F (j) A _ _ _/ lim ←− GG GG GG GG G#  + F (i0 ). Beispiel 1. Der Limes eines Funktors F : 2 → C ist das Produkt F (0) × F (1). Analoges gilt f¨ ur den Kolimes und das Koprodukt. Definition 2. Sei I die Kategorie {0 ⇒ 1}, die aus zwei Objekten und — abgesehen von den Identit¨aten — aus zwei Morphismen besteht. Der Limes eines Funktors F : I → C heißt ein Differenzkern. Der Kolimes eines solchen Funktors heißt Differenzkokern. Bemerkung 2. Ein Funktor F : I → C ist durch zwei Objekte X, Y ∈ Ob C und zwei Morphismen f, g : X → Y gegeben. Ein Differenzkern von f, g (d.h. ein Differenzkern von F ) ist ein Objekt ker(f, g) und ein Morphismus k : ker(f, g) → Y mit folgender universeller Eigenschaft: k5 X kkk v: kkkvvvv k k k kkk vv kkk vv k k k k k f A _SSS_S_/ ker(f, g) GG SSS GG SSS SSS GG SSS GG SSS G#   S)

g

Y, d.h. k ist universell unter der Bedingung f k = gk. Ein Differenzkokern der beiden Morphismen f und g wird coker(f, g) geschrieben. Satz 1. Besitze die Kategorie C alle (endlichen) Produkte und beliebige Differenzkerne. Dann besitzt C alle Limiten u ¨ber kleine (endliche) Indexkategorien. Q Beweis. Sei ein Funktor F : I → C gegeben. Wir setzen P := i∈Ob I F (i). Seien pri : P → F (i), i ∈ I die Strukturmorphismen des Produktes. F¨ ur jeden Morphismus j : i → i0 in I definieren wir φj := F (j) ◦ pri : P → F (i0 ) und ψj := pri0 . Nach der universellen EigenschaftQdes Produktes induziert die Familie der φj , j ∈ Mor I einen Morphismus Q φ : P → j∈Mor I F (cod j). Analog induzieren die ψj einen Morphismus ψ : P → j∈Mor I F (cod j). Wir behaupten, daß der Differenzkern ker(φ, ψ) von φ und ψ genau lim F ist. Der Leser m¨oge sich u ¨berlegen, wie dies aus den Eigenschaften des ←− Produktes und der Differenzkerns folgt. Bemerkung 3. Eine Kategorie mit allen kleinen Limiten heißt vollst¨ andig. Der duale Begriff ist kovollst¨ andig. Beispiel 2. Die Kategorie der Mengen und die Kategorie der topologischen R¨aume sind vollst¨andig.

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2.10 Adjungierte Paare von Funktoren Seien C und D wieder zwei Kategorien. Definition 1. Seien F : C → D zwei Funktoren und η : hom(F (·), ·) ⇒ hom(·, G(·))

(37)

eine nat¨ urliche Transformation. Die Funktoren F und G heißen (bzgl. η) adjungiert, falls η ein Isomorphismus von Funktoren ist. Der Funktor F heißt linksadjungierter Funktor zu G. Analog heißt G rechtsadjungierter Funktor zu F . Aufgabe 1. Ein Funktor G : D → C besitzt genau dann einen linksadjungierten Funktor, falls hom(X, G(·)) f¨ ur alle X ∈ Ob D kodarstellbar ist. Aufgabe 2. Geben Sie der folgenden Aussage eine Bedeutung und formulieren Sie sie: Je zwei Linksadjungierte eines Funktors G sind zueinander eindeutig isomorph. Beispiel 1. H¨aufig erhalten wir interessante Beispiele durch Links- und Rechtsadjungierte der diversen Vergißfunktoren. So ist z.B. der Funktor, der jede Menge mit der diskreten Topologie versieht, linksadjungiert zum Vergißfunktor Top → Set. Auf der anderen Seite ist der Funktor, der jede Menge mit der trivialen Topologie versieht, rechtsadjungiert zum Vergißfunktor. Der Vergißfunktor Ab → Set hat einen linksadjungierten Funktor: jeder Menge wird die freie abelsche Gruppe u ¨ber ihren Elementen zugeordnet. Aufgabe 3. Finden Sie weitere Beispiele f¨ ur Paare adjungierter Funktoren. Lemma 1. Besitze ein Funktor G : D → C einen linksadjungierten Funktor. Dann gilt f¨ ur alle Funktoren F : I → C mit I einer kleinen Kategorie, daß lim(GF ) existiert, wenn ←− lim F existiert und gleich G(lim F ) ist. ←− ←− Definition 2. Sei I : C → D eine Einbettung von Kategorien, d.h. ein voll-treuer Funktor. Ein Objekt A ∈ Ob C heißt eine Reflexion eines Objektes X ∈ Ob D, falls der Funktor hom(X, I(·)) durch A kodargestellt wird. Der duale Begriff heißt Koreflexion. Bemerkung 1. Eine Reflexion von X ∈ Ob D ist also durch ein A ∈ C und einen Morphismus X → IA gegeben, so daß f¨ ur alle A0 ∈ Ob mathcalC und Morphismen X → IA0 0 genau ein A → A existiert, f¨ ur das das Diagramm X / IA CC CC CC CC ! 

IA0

kommutiert. Man sagt auch, A approximiere das Objekt X am besten. Definition 3. Falls jedes Objekt von D eine Reflexion in C besitzt, der Funktor I also ein Linksadjungiertes besitzt, so heißt C reflexiv in D. Der duale Begriff ist der, daß C koreflexiv in D ist.

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Beispiel 2. Folgende Beispiele seien f¨ ur Reflexivit¨at und Koreflexivit¨at genannt. • Die Kategorie Ab ist reflexiv in Grp. Eine Gruppe G wird am besten durch G/[G, G] approximiert. • Die torsionsfreien abelschen Gruppen sind reflexiv in Ab. Jede abelsche Gruppe wird durch ihren maximalen torsionsfreien Quotienten am besten approximiert. • Die Torsionsgruppen sind koreflexiv in Ab. Jede abelsche Gruppe wird durch ihre Torsionsuntergruppe am besten koapproximiert.

2.11 Einschub: Monoidale Kategorien Definition 1. Eine monoidale Kategorie ist gegeben durch • eine Kategorie C, • Funktoren K

: C I → C, (Xi )i∈I → ⊗i∈I Xi

(38)

I

f¨ ur jede endliche angeordnete Menge I und • Isomorphismen von Funktoren χ(α) :

K

Xi →

K K

Xi ,

(39)

j∈J i∈α−1 (j)

i∈I

nat¨ urlich in (Xi )i∈I f¨ ur alle monotonen Abbildungen α : I → J zwischen endlichen Mengen, so daß folgendes gilt: • F¨ ur einelementiges I ist

J

I

: C → C der Identit¨atsfunktor.

• Ist α : I → I die Identit¨at auf der endlichen Menge I, so ist χ(α) die Identit¨atsautomorphismus von Funktoren. • Sind α : I → J und β : J → K zwei monotone Abbildungen endlicher Mengen, so kommutiert folgendes durch die χ(·) gegebenes Diagramm J

J

k∈K

J

i∈I

/

Xi

 i∈α−1 (β −1 ({k}))

Xi

/

J

k∈K

nat¨ urlich in den (Xi )i∈I .

22

J

J

j∈J

J

i∈α1 ({−j}) Xi

j∈β −1 ({k})

 J

i∈α−1 (β −1 ({k}) Xi ,

(40)

Ist (C, ) eine monoidale Kategorie, so J schreiben wir 1 := ∅ (), wobei () das einzige ∅ Objekt in C und X1 X2 · · · Xn := i∈{1,...,n} Xi . Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß nat¨ urliche Isomorphismen von Funktoren 1 · ⇒ idC ⇒ · 1 existieren. Aufgabe 2. Setzen Sie die hier gegebene Definition einer monoidalen Kategorie mit der in der Vorlesung gegebenen in Beziehung. Wo findet sich hier das F¨ unfecksaxiom wieder. Warum hat die hier gegebene Definition Vorteile? Beispiel 1. Ist C eine Kategorie mit endlichen Produkten, so ist C zusammen mit dem Produktfunktor × in nat¨ urlicher Weise eine monoidale Kategorie. So wollen wir Set immer in dieser Weise als monoidale Kategorie verstehen. Beispiel 2. Ist R ein Ring mit Eins, so wird die Kategorie der R-Bimoduln durch das Tensorprodukt auf nat¨ urliche Weise zu einer monoidalen Kategorie. Das Objekt 1 ist der Ring selbst. Sei D zusammen mit eine monoidale Kategorie. Definition 2. Eine D-Kategorie C besteht aus • einer Klasse Ob C ⊂ U, den Objekten von C, • Objekten hom(A, B) ∈ Ob D f¨ ur jedes Paar A, B ∈ Ob C, so daß hom(A, B) 6= 0 0 hom(A , B ) genau dann, wenn (A, B) 6= (A0 , B 0 ), • einem Morphismus idA : 1 → hom(A, A) in D f¨ ur jedes A ∈ Ob C und • Morphismen comp : hom(A, B) hom(B, C) → hom(A, C) f¨ ur jedes Tripel A, B, C ∈ Ob C mit folgenden Eigenschaften: • Die Diagramme

hom(A, B)

hom(A, B) O

comp



/ hom(A, A) hom(A, B)

1 hom(A, B)

idA idhom(A,B)

und

hom(A, B)

hom(A, B) O

comp



hom(A, B) 1

/ hom(A, B) hom(B, B)

idhom(A,B) idB

kommutieren f¨ ur alle A, B ∈ Ob C. comp id

• Das Diagramm hom(A, B) hom(B, C) hom(C, D)hom(C,D)/ hom(A, C) hom(C, D) idhom(A,B) comp

comp



hom(A, B) hom(B, D) kommutiert f¨ ur alle A, B, C, D ∈ Ob C.

23



comp

/ hom(A, D)

¨ Aufgabe 3. Uberlegen Sie sich, daß die Set-Kategorien genau die lokal-kleinen Kategorien sind. Beispiel 3. Ist k ein Vektorraum, so heißt eine k-V-Kategorie auch k-lineare Kategorie. Beispiel 4. Eine Ab−Kategorie ist eine lokal-kleine Kategorie, in der jede hom-Menge die Struktur einer abelschen Gruppe hat und bzgl. der die Kompositionen bilinear sind. Aufgabe 4. Sei C eine kleine Kategorie und D eine Ab-Kategorie. Zeigen Sie, daß die Kategorie der Pr¨agarben auf C mit Werten in D in nat¨ urlicher Weise eine Ab-Kategorie ist. Aufgabe 5. Definieren Sie den Begriff des Funktors zwischen D-Kategorien, D eine monoidale Kategorie. Was ist ein Funktor zwischen Ab-Kategorien?

2.0 Weitere Aufgaben Aufgabe 1. Sei C eine Kategorie. Zeigen Sie, daß f¨ ur jedes Objekt A ∈ Ob C nur genau i : A → A (n¨amlich idA mit if = f = f i f¨ ur alle f : A → A existiert. ¨ Aufgabe 2. Uberlegen Sie, wie die Differentialformen auf einer C ∞ -Mannigfaltigkeit X eine Pr¨agarbe auf X mit Werten in der Kategorie R-V der R-Vektorr¨aume bilden. Aufgabe 3. Seien G und H zwei Monoide. Wodurch wird ein Funktor F : G → H gegeben? Was ist eine nat¨ urliche Transformation η : F ⇒ G zwischen dem Funktor F und einem weiteren Funktor G : G → H. Aufgabe 4. F¨ ur jede Gruppe G sei π(G) : G → G/[G, G] die Projektion der Gruppe auf ihren maximalen abelschen Quotienten. Zeigen Sie, daß π eine nat¨ urliche Transformation vom Identit¨atsfunktor auf Grp zum Funktor, der eine Gruppe auf ihren maximalen abelschen Quotienten abbildet, ist. ¨ Aufgabe 5. Zeigen Sie, daß durch den Homotopiebegriff zwischen Abbildungen eine Aquivalenzrelation definiert wird. Zeigen Sie, daß wenn f1 , f2 : X → Y zueinander homotop sind und g1 , g2 : Y → Z zueinander homotop sind, X, Y, Z topologische R¨aume, auch g1 ◦ f1 , g2 ◦ f2 : X → Z zueinander homotop sind. Aufgabe 6. Sei C eine Kategorie und Z diejenige kleine Kategorie, deren Objekte die ganzen Zahlen und f¨ ur die ( 1 f¨ ur n ≤ m # hom(n, m) = (41) 0 sonst gilt. Beschreiben Sie die Kategorie C Z . Aufgabe 7. Jedem topologischen X k¨onnen wir eine Kategorie π1 (X), das Fundamentalgruppoid von X, zuordnen, deren Objekte genau die Punkte von X und deren Mor¨ phismen zwischen zwei Punkten x und y genau die Aquivalenzklassen von stetigen Abbildungen f : [0, 1] → X mit f (0) = x und f (1) = y. Dabei seien f, g : [0, 1] → X ¨aquivalent, falls eine Homotopie H : [0, 1] × [0, 1] → X zwischen f und g existiert, so

24

¨ daß H(·, 0) und H(·, 1) konstant sind. Die Aquivalenzklasse von f bezeichen wir als [f ]. Die Komposition von [f ] : x → y und [g] : y → z wird durch ( f (2t) falls t ∈ [0, 12 ] [g][f ] = t 7→ (42) g(2t − 1) falls t ∈ [ 12 , 1] ¨ definiert. Zeigen Sie, daß dadurch in der Tat eine Kategorie π1 (X) definiert wird. Uberlegen Sie, wie die Zuordnung Ob Top → Ob Cat, X 7→ π1 (X) zu einem Funktor π1 : Top → Cat erweitert werden kann. Aufgabe 8. Zeigen Sie, daß das Vertauschungsgesetz f¨ ur die horizontale und vertikale Komposition von nat¨ urlichen Transformationen gilt. Aufgabe 9. Untersuchen Sie 2-Kategorien, deren Objektklassen einelementig sind. Aufgabe 10. Sei G eine topologische Gruppe (d.h. G ist eine Gruppe und ein topologischer Raum und die Gruppenoperation und Inversenbildung ist stetig). Machen Sie das Fundamentalgruppoid π1 (X) von G zu einer 2-Kategorie. Zeigen Sie, daß f¨ ur alle x ∈ X die Fundamentalgruppe π1 (X, x) := hom(x, x) abelsch ist. Geben Sie (ohne Beweis) einen zusammenh¨angenden topologischen Raum an, dessen Fundamentalgruppe (an einem beliebigen Punkt) nicht abelsch ist. Aufgabe 11. Seien f : A → B und g : B → C zwei Morphismen und g ◦ f ein Monomorphismus. Zeigen Sie, daß f ein Monomorphismus ist. Formulieren Sie die duale Aussage f¨ ur Epimorphismen und beweisen Sie diese. Aufgabe 12. Bestimmen Sie die Mono- und Epimorphismen in der Kategorie der Mengen und der Gruppen. Aufgabe 13. Bestimmen Sie die Mono- und Epimorphismen in der Kategorie Haus der Hausdorffr¨aume. Aufgabe 14. Zeigen Sie, daß Z → Q ein Epimorphismus in der Kategorie der kommutativen Ringe mit Eins ist. Aufgabe 15. Sei F : C → D ein treuer Funktor (d.h. , F ist jeweils injektiv auf den Klassen der Morphismen zwischen je zwei Objekten). Zeigen Sie, daß f¨ ur jeden Morphismus f ∈ Mor C gilt: Ist F (f ) ein Monomorphismus, so ist auch f ein Monomorphismus. ¨ Aufgabe 16. Sei X ein topologischer Raum und ∼ eine Aquivalenzrelation auf X. Zeigen Sie, daß der Funktor von Top nach Set, der einen topologischen Raum Y auf die Menge der stetigen Abbildungen f : X → Y mit f (x) = f (x0 ) f¨ ur x ∼ x0 , x, x0 ∈ X abbildet korepr¨asentierbar ist. Aufgabe 17. Finden Sie Beispiele von (ko-)repr¨asentierbaren Funktoren aus Ihrem mathematischen Alltag. Aufgabe 18. Seien V ∈ U zwei Universen. Zeigen Sie folgende Aussage: Die Yone◦ daeinbettung y(C) : C → (SetV )C ist ein nat¨ urliche Transformation von der Inklusion ◦ CatV → CatU zum Funktor CatV → CatU , C 7→ (SetV )C .

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Aufgabe 19. Seien C, D, D0 drei Kategorien und J : D → D0 eine volltreue Einbettung. Zeigen Sie, daß f¨ ur je zwei Funktoren F, G eine nat¨ urliche Bijektion nat(F, G) → nat(JF, JG) existieren. Was heißt hier nat¨ urlich“? ” Aufgabe 20. Sei 1 das terminale Objekt in der Kategorie der topologischen R¨aume. Beschreiben Sie die Kategorie (1 ↓ idTop ) und beschreiben Sie die Produkte und Koprodukte in dieser Kategorie. Aufgabe 21. Beschreiben Sie das Produkt und das Koprodukt in der Kategorie der kommutativen Ringe mit Eins. Aufgabe 22. Zeigen Sie, daß die Kategorie Cat der kleinen Kategorien beliebige Produkte besitzt. Wie sollte man das Produkt von beliebigen Kategorien definieren? K¨onnen Sie damit hom(·, ·) als Funktor betrachten? Aufgabe 23. Seien I und I 0 zwei kleine Kategorien und L : I → I 0 ein initialer Funktor, d.h. f¨ ur alle Objekte i0 in I 0 ist (L ↓ i0 ) eine nicht-leere zusammenh¨angende Kategorie (was heißt wohl zusammenh¨angend f¨ ur eine Kategorie?). Beweisen Sie folgende Aussage: Ist F : I 0 → C ein Funktor, so daß lim(F L) existiert, so existiert auch lim F und der ←− ←− kanonische Morphismus (?) lim F → lim(F L) ist ein Isomorphismus. ←− ←− Aufgabe 24. Sei D eine monoidale Kategorie mit dem Produkt . Wir nehmen an, daß D ein inneres hom“ besitzt. Damit ist gemeint, daß ein Funktor hom : D◦ × D → D ” und Isomorphismen hom(A B, C) → hom(A, hom(B, C)), nat¨ urlich in A, B, C ∈ Ob D, existieren. Finden Sie Beispiele von solchen Kategorien. Zeigen Sie, daß eine solche Kategorie D auch immer als D-Kategorie aufgefaßt werden kann.

3 Abelsche Kategorien 3.1 Additive Kategorien Definition 1. Eine additive Kategorie ist eine Ab-Kategorie, in der es ein endliche Produkte gibt. Das terminale Objekt ( leeres Produkt“) wird in der Regel mit 0 bezeichnet. ” Ein additiver Funktor zwischen additiven Kategorien ist ein Funktor zwischen AbKategorien. Beispiel 1. Die Kategorie der R-Links- bzw. der R-Rechtsmoduln f¨ ur einen festen Ring mit Eins ist additiv. Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß in einer additiven Kategorie das terminale Objekt auch initial ist, also ein Nullobjekt ist. Aufgabe 2. Sei C eine kleine Kategorie und D eine additive Kategorie. Zeigen Sie, daß die Kategorie der Pr¨agarben auf C mit Werten in D in nat¨ urlicher Weise eine additive Kategorie ist. Lemma 1. Eine additive`Kategorie A besitzt endliche Summen, genauer: sind X, Y ∈ Ob A, so ist X × Y = X Y und wird mit X ⊕ Y notiert. Wir nennen X ⊕ Y auch ein Biprodukt.

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Beweis. Wir definieren i : X → X × Y u ¨ber das folgende Diagramm: ;2 X ww w ww ww p ww

idX

(43)

i A _ _ _/ X × YG GG q GG GG GG # 0

, Y.

Analog sei j : Y → X × Y . Wir notieren folgende Eigenschaften: pi = idX , qi = 0, pj = 0 und qj = idY . Außerdem gilt ip + jq = idX×Y , da folgendes Diagramm kommutiert: 1X w; w w ww ww p w w ip+jq /X ×Y X ×Y GG GG q GG GG G# q p

(44)

Y.

F¨ ur beliebiges Z ∈ Ob C mit f : X → Z und g : Y → Z folgt dann, daß X GG f GG i GG GG G# & X; × Y _ _ _/9 Z Y

w ww ww w w j ww

(45)

g

genau dann kommutiert, falls der gestrichelte Pfeil durch den Morphismus f p+gq ersetzt wird. Damit ist X × Y zusammen mit den Morphismen i und j ein Koprodukt von X und Y .

3.2 Unter- und Quotientenobjekte Seien A, B zwei additive Kategorien. Vieles von dem, was in diesem Abschnitt definiert wird, funktioniert auch in allgemeineren Kategorien, wir wollen uns aber auf additive beschr¨anken. Definition 1. Ist f : A → B ein Monomorphismus in A, so heißt A (zusammen mit f ) auch ein Unterobjekt von B. Ist g : X → Y ein Epimorphismus in A, so heißt Y (zusammen mit g auch ein Quotientenobjekt von X. Auf der Klasse aller Unterobjekte eines Objektes B ∈ A ist eine Teilordnung definiert: wir schreiben A0 . A f¨ ur zwei 0 0 0 Unterobjekte f : A → B und f : A → B, falls ein Morphismus i : A → A mit f 0 = f i existiert. Wir schreiben A0 h A, falls A0 . A und A . A0 . Analog f¨ uhren wir eine

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Teilordnung auf der Klasse aller Quotientenobjekte ein: sind X → Y und X → Y 0 zwei Quotienten von X, so schreiben wir Y & Y 0 , falls X → Y 0 u ¨ber X → Y faktorisiert. Ist (A ) eine Familie von Unterobjekten von B, so schreiben wir im Falle i i∈I T S der Existenz i∈I Ai f¨ ur das gr¨oßte Unterobjekt A von B mit A . Ai , i ∈ I und i∈I Ai f¨ ur das kleinste Unterobjekt A von B mit Ai . A, i ∈ I. Analoge Definitionen machen wir f¨ ur Familien von Quotientenobjekten. Bemerkung 1. Der Morphismus i in der obigen Definition ist notwendigerweise eindeutig, da f ein Monomorphismus ist. Beispiel 1. In der Kategorie der abelschen Gruppen sind Untergruppen kanonisch Unterobjekte und Quotientengruppen kanonisch Quotientenobjekte. Definition 2. Sei f : A → B ein Morphismus in A. Im Falle der Existenz heißt der Differenzkern von f und 0 : A → B der Kern ker f von f . Der duale Begriff ist der des Kokerns coker f . Wir sagen, die Kategorie A hat Kerne (bzw. Kokerne), falls zu jedem Morphismus in A ein Kern (bzw. ein Kokern) existiert. Beispiel 2. Die Kategorie der abelschen Gruppen besitzt Kerne und Kokerne. Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß Kerne Unter- und Kokerne Quotientenobjekte sind. Zeigen Sie, daß der Kern eines Morphismus f : A → B das gr¨oßte Unterobjekt von A unter den Unterobjekten K ist, f¨ ur die jeder Morphismus z : Z → A mit f z = 0 u ¨ber K → A faktorisiert. Formulieren Sie die duale Aussage f¨ ur Kokerne. Definition 3. Ein Unterobjekt heißt normal, falls es Kern es Morphismus ist. Der duale Begriff f¨ ur Quotientenobjekte ist konormal. Beispiel 3. In der Kategorie der abelschen Gruppen sind alle Unterobjekte normal und alle Quotientenobjekte konormal. In der Kategorie der torsionsfreien abelschen Gruppen gibt es Unterobjekte, welche nicht normal sind, so zum Beispiel das Unterobjekt Z → Z, n 7→ 2n.

3.3 Abelsche Kategorien Definition 1. Eine abelsche Kategorie ist eine additive Kategorie mit Kernen und Kokernen, so daß jedes Unterobjekt normal und jedes Quotientenobjekt konormal ist. Beispiel 1. Ist A eine abelsche Kategorie, so ist auch A◦ eine abelsche Kategorie. Mit anderen Worten: die Axiome einer abelschen Kategorie sind selbstdual. Beispiel 2. Ist R ein Ring mit Eins, so ist die Kategorie der R-Moduln eine abelsche Kategorie. Sei ab sofort A eine abelsche Kategorie.

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Beispiel 3. Zeigen Sie, daß in einer abelschen Kategorie alle Differenzkerne und Differenzkokerne existieren. Genauer: sind f, g : A ⇒ B zwei Morphismen in A, so gilt ker(f, g) = ker(f − g) und coker(f, g) = coker(f − g). Folgern Sie daraus, daß in A beliebige endliche Produkte und Koprodukte existieren. Satz 1. In einer abelschen Kategorie sind ker und coker inverse Funktionen zwischen der Klasse der Quotienten- und Unterobjekte. Damit ist folgendes gemeint: Ist f : A → B ein Unterobjekt in A, so ist ker(coker f ) h A und ist g : X → Y ein Quotientenobjekt, ist coker(ker g) h Y . Beweis. Aus Dualit¨atsgr¨ unden reicht es, eine Aussage nachzuweisen: Sei f : A → B ein Unterobjekt. Da f : A → B normal ist, ist f der Kern eines Morphismus g : B → C. Wir betrachten folgendes Diagramm: A0 B

BB BB BB B  /C /B AB BB |> | BB | BB || B  |||

(46)

C 0.

Der Morphismus B → C 0 sei hier der Kokern von von A → B und A0 → B sei der Kern von B → C 0 . Der Morphismus C 0 → C sei derjenige, so daß das Dreieck unten rechts kommutiert, seine Existenz verdankt er der universellen Eigenschaft des Kokernes B → C 0 . Die Morphismen A0 → C, A → C 0 und C 0 → C seien jeweils die Nullmorphismen. Das Dreieck unten links kommutiert, da B → C 0 der Kokern von A → B ist. Das Dreieck oben rechts kommutiert, da A0 → B → C 0 der Nullmorphismus ist und das Dreieck unten rechts kommutiert. Damit kommutiert das ganze Diagramm. Nach Definition des Kerns gibt es damit eindeutige Morphismen A → A0 und A0 → A, so daß jeweils das obere rechte Dreieck kommutiert. Damit ist A h A0 gezeigt. Satz 2. Jede abelsche Kategorie ist balanciert, d.h. ist f : A → B ein Mono- und ein Epimorphismus in A, so ist f ein Isomorphismus. Beweis. Da f : A → B ein Epimorphismus ist, ist B → 0 sein Kokern. Nach dem vorherigen Satz ist A → B als Monomorphismus (und damit als Kern!) der Kern seines Kokerns, also der Kern von B → 0. Damit faktorisiert die Identit¨at B → B u ¨ber A → B, der Morphismus f besitzt also ein Rechtsinverses. Dual zeigt man, daß f auch ein Linksinverses besitzt. Satz 3. Seien f1 : A1 → A und f2 : A2 → A zwei Unterobjekte eines Objektes A in A. Dann existieren die Unterobjekte A1 ∩ A2 und A1 ∪ A2 von A. Beweis. Zun¨achst rechnet man nach, daß das Faserprodukt A1 ×A A2 von A1 und A2 u ¨ber A zusammen mit dem nat¨ urlichen Morphismus A1 ×A A2 → A den Schnitt A1 ∩ A2 → A darstellt, womit der erste Teil des Satzes bewiesen ist. Aus Dualit¨atsgr¨ unden existiert

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damit f¨ ur die zwei Quotientenobjekte coker f1 und coker f2 das gr¨oßte Unterobjekt A → B von A mit coker f1 & B und coker f2 & B. Daraus folgt, daß der Kern von A → B genau A1 ∪ A2 ist.

3.4 Bilder, Kobilder und exakte Sequenzen Es sei A wieder eine abelsche Kategorie. Definition 1. Sei f : A → B ein Morphismus in A. Ein Unterobjekt I → B von B heißt Bild von f , falls I das kleinste Unterobjekt ist, u ¨ber welches f faktorisiert. Dual heißt das kleinste Quotientenobjekt A → C von A u ¨ber welches f faktorisiert Kobild von f . Satz 1. Jeder Morphismus f in A hat ein Bild im f , n¨ amlich ker coker f . Beweis. Der Morphismus f faktorisiert u ¨ber ein Unterobjekt I → B genau dann, wenn f komponiert mit dem Kokern von I → B der Nullmorphismus ist. Der der Kokern von f das gr¨oßte Quotientenobjekt von B darstellt, so daß die Komposition mit f noch der Nullmorphismus ist, folgt daraus daß der Kern des Kokerns das kleinste Unterobjekt von B ist, u ¨ber das f faktorisiert. Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß das Bild im f eines Morphismus f in kanonischer Weise auch sein Kobild coim f ist. Aufgabe 2. Sei f : A → B ein Morphismus in A. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen ¨aquivalent sind: • f ist epimorph. • im f h B. • coker f = 0. Zeigen Sie, daß der nat¨ ulriche Morphismus A → im f ein Epimorphismus ist. f

g

Satz 2. Sei A → B → C eine Sequenz von Morphismen in A. Folgende Bedingungen sind ¨ aquivalent: • im f h ker g. • coim g h coker f . • A → B → C und ker g → B → coker f sind jeweils Nullmorphismen. Treten diese Bedinungen ein, heißt die Sequenz exakt. Beweis. Zun¨achst zeigen wir, daß aus dem ersten der dritte Punkt folgt. Sei also das Bild von f gleich dem Kern von g. Damit faktorisiert A → B also u ¨ber den Kern von g, womit A → B → C der Nullmorphismus ist. Nun gilt weiter ker g h im f h ker coker f , womit gezeigt ist, daß ker g → B → coker f der Nullmorphismus ist.

30

Jetzt zeigen wir, daß aus dem dritten der erste Punkt folgt. Aus ker g → B → coker f der Nullmorphismus, folgt, daß ker g . im f . Aus A → B → C der Nullmorphismus folgt dagegen, daß im f . ker g, zusammen also im f h ker g. ¨ Die Aquivalenz des zweiten zum dritten Punkt zeigt man durch Dualisieren. Definition 2. Eine Sequenz . . . Ai → Ai+1 → . . . , i ∈ Z, von Morphismen in A heißt exakt, falls sie an jeder Stelle exakt ist, d.h., falls Ai−1 → Ai → Ai+1 f¨ ur jedes i ∈ Z exakt ist. Eine exakte Sequenz der Form 0 → A00 → A → A0 → 0 heißt kurze exakte Sequenz. (Um die im ersten Absatz gegebene Definition anwenden zu k¨onnen, ist links und rechts noch mit Nullen aufzuf¨ ullen.) Aufgabe 3. Zeigen Sie folgende Aussagen, wobei alle Sequenzen Sequenzen in A sein sollen: • 0 → K → A ist genau dann exakt, wenn K → A ein Monomorphismus ist. • 0 → K → A → B ist genau dann exakt, wenn K → A der Kern von A → B ist. • B → C → 0 ist genau dann exakt, wenn B → C ein Epimorphismus ist. • A → B → C → 0 ist genau dann exakt, wenn B → C der Kokern von A → B ist. • 0 → A → B → 0 ist genau dann exakt, wenn A → B ein Isomorphismus ist. id

• A → B →B B ist genau dann exakt, wenn A → B der Nullmorphismus ist. id

• A →A A → B ist genau dann exakt, wenn A → B der Nullmorphismus ist. • 0 → A → B → C → 0 ist genau dann exakt, wenn A → B ein Monorphismus und B → C der Kokern von A → B ist, oder wenn B → C ein Epimorphismus und A → B der Kern von B → C ist.

3.5 Kartesische und kokartesische Diagramme Sei A eine abelsche Kategorie. Definition 1. Ein Diagramm der Form P

/B



 /C

A

(47)

in A heißt kartesisch, falls P das Faserprodukt von A und B u ¨ber C ist. Es heißt kokartesisch, falls C das Kofaserprodukt von A und B unter P ist. Und es heißt bikartesisch, falls es kartesisch und kokartesisch ist.

31

Satz 1. Sei P

/B



 /C

A

(48)

ein kartesisches Diagramm. Falls K → P der Kern von P → B ist, so ist K → P → A der Kern von A → C. F¨ ur kokartesische Diagramme gilt eine entsprechende Aussage f¨ ur Kokerne. Beweis. Sei Z → A ein Morphismus, so daß Z → A → C der Nullmorphismus ist. Da das Diagramm ein kartesisches ist, existiert genau ein Morphismus Z → P , so daß Z → P → A der vorgegebene und Z → P → B der Nullmorphismus ist. Der Morphismus Z → P faktorisiert als Z → K eindeutig u ¨ber K → P , da K der Kern von P → B ist. Es folgt Z → K → A ist der vorgegebene Morphismus Z → A. Damit ist K → A der Kern von A → C. Folgerung 1. In einem kartesischen Diagramm ist eine Seite ein Monomorphismus genau dann, wenn die gegen¨ uberliegende Seite ein Monomorphismus ist. In einem kokartesischen Diagramm ist eine Seite ein Epimorphismus genau dann, wenn die gegen¨ uberliegende Seite ein Epimorphismus ist. Lemma 1. Sei ein Diagramm der Form C

f

/A

g



B



f˜

(49)

g˜

/P

in A gegeben. Wir betrachten die Sequenz (−g˜f˜) (f,g) C → A ⊕ B → P.

(50)

Es gilt dann: • C → A ⊕ B → P ist der Nullmorphismus genau dann, wenn das Diagramm kommutiert. • 0 → C → A ⊕ B → P ist genau dann exakt, wenn das Diagramm ein kartesisches ist. • C → A⊕B → P → 0 ist genau dann exakt, wenn das Diagramm ein kokartesisches ist. • 0 → C → A ⊕ B → P → 0 ist genau dann exakt, wenn das Diagramm ein bikartesiches ist.

32

Beweis. Zun¨achst ist C → A ⊕ B → P gleich dem Morphismus g˜f − f˜g, was den ersten Punkt zeigt. Dann u ¨berlegt man sich, daß das Diagramm genau dann kartesisch ist, ˜ (g0˜) (f0) wenn C der Differenzkern von A ⊕ B → P und A ⊕ B → P ist. Damit zeigt man leicht den zweiten Punkt. Der dritte und vierte wird durch Dualisieren bewiesen. Satz 2. Sei C

f

/A

g



B



f˜

(51)

g˜

/P

ein kokartesisches Diagramm in A. Ist C → A ein Monomorphismus, so ist B → P ein Monomorphismus. Eine duale Aussage gilt f¨ ur kartesiche Diagramme und Epimorphismen. Beweis. Nach dem vorherigen Lemma ist C → A⊕B → P → 0 exakt, da das Diagramm kokartesisch ist. Nun ist C → A ⊕ B ein Monorphismus, da C → A als Monomorphismus dar¨ uber faktorisiert. Es folgt nach dem letzten Punkt des obigen Lemmas, daß das Diagramm sogar ein bikartesisches ist. Schließlich wendet man den letzte Folgerung f¨ ur kartesische Diagramme an.

3.6 Additive Funktoren und Exaktheit von Funktoren Wir erinnern an die Definition eines additiven Funktors. Von nun an seien alle unsere Funktoren zwischen abelschen Kategorien additiv. Seien A und B zwei solcher additiven Kategorien. Definition 1. Ein additiver Funktor F : A → B heißt linksexakt, falls jede exakte Sequenz in A der Form 0 → A0 → A → A00 durch F in eine exakte 0 → F A0 → F A → F A00 in B u uhrt wird. Der duale Begriff ist rechtsexakt. Ein Funktor heißt exakt, ¨berf¨ wenn er links- und rechtsexakt ist, wenn er also kurze exakte Sequenzen in kurze exakte Sequenzen u uhrt. ¨berf¨ Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß ein linksexakter Funktor genau ein additiver Funktor ist, welche alle endlichen Limiten erh¨alt. Formulieren Sie die duale Aussage. Beispiel 1. Sei A ein Objekt in A. Der Funktor hom(A, ·) : A → Ab ist linksexakt. Aufgabe 2. Welche Exaktheitsbedingung erf¨ ullt der Funktor hom(·, B) : A◦ → Ab f¨ ur ein Objekt B ∈ A? Satz 1. Sei F : A → B ein additiver Funktor. Folgende Aussagen sind ¨ aquivalent: • F ist treu. • F bildet nicht-kommutative Diagramme in nicht-kommutative ab.

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• F bildet nicht-exakte Sequenzen in nicht-exakte ab. ¨ Beweis. Die Aquivalenz zwischen dem ersten und dem zweiten Punkt ist trivialer Natur. Wir zeigen jetzt, wie aus dem dritten der erste folgt. Sei f : A → B ein Morphismus in A, welcher nicht der Nullmorphismus ist. Wir m¨ ussen zeigen, daß F f : F A → F B nicht idB idF B der Nullmorphismus ist. Nun ist A → B → B nicht exakt, das Bild F A → F B → FB unter F auch nicht, wenn F nicht-exakte Sequenzen in nicht-exakte u uhrt. Damit ¨berf¨ kann F A → F B nicht der Nullmorphismus sein. Der Beweis, daß aus dem ersten der dritte Punkt folgt, ist ein wenig aufwendiger: Sei f

g

A0 → A → A00 nicht exakt. Daraus folgt, daß A0 → A → A00 nicht der Nullmorphismus ist, oder daß ker g → A → coker f nicht der Nullmorphismus ist. Ist A0 → A → A00 nicht der Nullmorphismus, so ist F A0 → F A → F A00 auch nicht der Nullmorphismus, F A0 → F A → F A00 also nicht exakt. Betrachten wir jetzt den Fall, daß ker g → A → coker f nicht der Nullmorphismus, aber mit A0 → A → A00 auch F A0 → F A → F A00 der Nullmorphismus ist. faktorisiert F (ker g) u ¨ber ker(F g) und F (coker f ) u ¨ber coker(F f ). W¨are ker(F g) → F A → coker(F f ) der 0 Nullmorphismus (also F A → F A → F A00 exakt), w¨are auch F (ker g) → A → F (coker f ) der Nullmorphismus, was ein Widerspruch zu der Aussage ist, daß F treu ist.

3.7 Projektive und Injektive Objekte, Erzeuger und Koerzeuger Wieder sei A eine abelsche Kategorie. Definition 1. Ein Objekt P in A heißt projektiv, falls der Funktor hom(P, ·) : A → Ab exakt ist. (Das ist gleichbedeutend zu seiner Rechtsexaktheit.) Ein Objekt I in A heißt injektiv, falls hom(·, I) : A◦ → Ab exakt ist. dann projektiv, wenn f¨ ur jeden Epimorphismus A → 00 (wenn auch nicht unbedingt eindeutig) u ber A → A ¨ Aussage f¨ ur injektive Objekte? L Lemma 1. Ist (Pi )i∈I eine Familie projektiver Objekte, so ist die Summe i∈I Pi — im Falle ihrer Existenz — wieder projektiv. Analog ist das Produkt injektiver Objekte wieder injektiv. L Beweis. Sei A → A00 ein Epimorphismus in A und sei i∈I Pi → A00 ein Morphismus, welche durch seine Komponenten fi : Pi → A00 gegeben ist. Sind die Pi projektiv, so existieren Morphismen Pi → A, so daß Pi → AL→ A00 durch fi gegeben ist. Damit existiert aber auch ein gew¨ unschter Morphismus i∈I Pi → A. Ein Objekt P ist also genau A00 jeder Morphismus P → A00 faktorisiert. Was ist die analoge

Definition 2. Ein Objekt G in A heißt ein Erzeuger, falls hom(G, ·) : A → Ab eine Einbettung, also ein treuer Funktor ist. Der duale Begriff ist der des Koerzeugers. Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen a¨quivalent sind: • G ist ein Erzeuger.

34

• F¨ ur alle Morphismen A → B in A, welche nicht der Nullmorphismus sind, existiert ein Morphismus G → A, so daß G → A → B nicht der Nullmorphismus ist. • F¨ ur alle echten Unterobjekte A0 eines Objektes A, existiert ein Morphismus G → A, f¨ ur dessen Bild nicht im(G → A) . A0 gilt. Lemma 2. Sei P projektives Objekt in A. Dann gilt, daß P ein Erzeuger ist genauu dann, wenn hom(P, A) 6= 0 f¨ ur alle Objekte A 6= 0. Beweis. Wir zeigen zun¨achst die Hinrichtung. Sei dazu A 6= 0. Damit ist der Nullmorphismus von A nach A ungleich der Identit¨at von A. Da nach Voraussetzung hom(P, A) treu ist, ist idhom(P,A) ungleich der Null. Also ist hom(P, A) 6= 0. F¨ ur die R¨ uckrichtung betrachten wir einen beliebigen Morphismus A → B, welcher nicht der Nullmorphismus ist. Wir m¨ ussen zeigen, daß ein Morphismus von P → A existiert, so daß P → A → B nicht der Nullmorphismus ist. Wir k¨onnen ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit annehmen, daß A → B ein Epimorphismus ist. Da B nicht trivial ist, existiert ein P → B, welcher nicht Null ist. Da P projektiv, existiert unser gew¨ unschter Morphismus P → A, so daß P → A → B der gegebene Morphismus P → B ist. Satz 1. Besitzt A einen Erzeuger, so ist A wohlfundiert, d.h. es gibt f¨ ur alle Objekte A ∈ A eine Menge Sub A von Unterobjekten von A, so daß f¨ ur jedes Unterobjekt A0 → A 0 von A genau ein B → A in Sub A mit B h A existiert. Beweis. Sei A ein Objekt von A. Wir ordnen jedem Unterobjekt A0 → A die Untergruppe im(hom(G, A0 ) → hom(G, A)) von hom(G, A) zu. Diese Zuordnung ist injektiv im folgenden Sinne: sind A0 und A00 nicht-isomorphe Unterobjekte, so sind die zugeh¨origen Untergruppen nicht dieselben. Damit existiert eine Menge Sub A. Aufgabe 2. Zeigen Sie, warum die Zuordnung der Unterobjekte zu Untergruppen injek” tiv“ ist. Dazu m¨ ussen Sie ausnutzen, daß G ein Erzeuger ist. Lemma 3. Habe A beliebige Produkte. Dann ist ein Objekt G ein Erzeuger, genau dann wenn f¨ ur alle A ∈ Ob A der kanonische Morphismus M G→A (52) g∈hom(G,A)

ein Epimorphismus ist. Ein entsprechende Aussage gilt nat¨ urlich auch f¨ ur Koerzeuger. L Beweis. Es ist f : g∈hom(G,A) G → A ein Epimorphismus genau dann, wenn die davon L induzierten Morphismus hom(A, B) → hom( g∈hom(G,A) G, B) Monomorphismen f¨ ur jedes B sind. Das ist aber gleichbedeutend damit, daß G ein Erzeuger ist. Satz 2. Besitze A beliebige Produkte und habe einen Erzeuger G. Dann sind folgende beide Aussagen ¨ aquivalent:

35

• Jedes Objekt von A kann in ein injektives eingebettet werden. (Man sagt auch, A habe gen¨ ugend viele Injektive“.) ” • A hat einen injektiven Koerzeuger. Beweis. Wir betrachten zun¨achst wieder die Hinrichtung. Sei Quot(G) ein vollst¨andiges Repr¨asentantensystem f¨ ur die Quotientenobjekte von G (und damit bijektiv zu Sub(G) via der ker-coker-Korrespondenz). Es existiert ein injektives Objekt I und ein MonomorQ phismus P := Q∈Quot(G) Q → I. Wir wollen zeigen, daß I ein Koerzeuger ist. Dazu sei ein Morphismus A → B, welcher nicht der Nullmorphismus ist, gegeben. Wir betrachten folgendes Diagramm: AO

/B O

IO

G

/ im(G → B)

/P

(53)

Der Morphismus von G → A sei so gew¨ahlt, daß G → A → B nicht der Nullmorphismus ist. Da im(G → B) ein Quotientenobjekt von G ist, haben wir einen kanonischen Monomorphismus vom Bild von G → B nach P . Jetzt nutzen wir aus, daß I injektiv ist, daß heißt, das ein Morphismus von B → I existiert, der das rechte Quadrat kommutierend schließt. Es zeigt sich, daß A → B → I nicht der Nullmorphismus sein kann. Damit ist I ein Koerzeuger. F¨ ur die R¨ uckrichtung brauchen wir den Erzeuger G nicht: sei C ein injektiver Koerzeuger und A ∈ A ein beliebiges Objekt. Wir wollen dies in ein injektives einbetten. Das geht so: Y A→ C (54) g∈hom(A,C)

Da C ein Koerzeuger ist, ist dieser Morphismus ein Monomorphismus. Außerdem nutzen wir die Tatsache aus, daß Produkte injektiver Objekte wieder injektiv sind.

3.8 Kategorien additiver Funktoren Sei A eine kleine abelsche Kategorie. In Zukunft wollen wir unter AbA die Funktorkategorie der additiven Funktoren von A nach Ab — und nicht mehr die volle Funktorkategorie — verstehen. Satz 1. Die Kategorie AbA ist additiv. Beweis. Daß die nat¨ urlichen Transformationen zwischen Funktoren in eine Ab-Kategorie eine abelsche Gruppe bilden, ist schon bekannt. Daher wird die Funktorkategorie zu einer Ab-Kategorie. Man rechnet nach, daß ein terminales Objekt in dieser Kategorie durch den Nullfunktor, der jedes Objekt auf die triviale Gruppe abbildet, gegeben ist.

36

Ebenso rechnet man nach, daß das Produkt zweier Funktoren F1 und F2 in dieser Kategorie punktweise“ berechnet werden kann, also ” (F1 × F2 )(A) = F1 (A) × F2 (A)

(55)

f¨ ur alle Objekte A von A und analog f¨ ur Morphismen. Bemerkung 1. Offensichtlich h¨atte es f¨ ur den letzten Satz ausgereicht, A als additiv vorauszusetzen. Satz 2. Die Kategorie AbA ist abelsch. Beweis. Man rechnet nach, daß Kerne und Kokerne nat¨ urlicher Transformationen zwischen additiven Funktoren komponentenweise gegeben sind. Wir wollen jetzt kurz skizzieren, wie die Normalit¨at von Monomorphismen nachgerechnet wird: sei η : F 0 ⇒ F ein Monomorphismus in der Funktorkategorie, sein Kern also trivial. Daraus folgt nach Konstruktion der Kerne in der Funktorkategorie, daß die einzelnen Komponenten η(A) : F 0 (A) → F (A), A ∈ Ob A, Monomorphismen, also Kerne ihrer Kokerne sind. Daraus folgt, daß η der Kern seines Kokerns ist. Die Konormalit¨at wird analog gezeigt. Bemerkung 2. Es folgt, daß eine Sequenz F 0 ⇒ F ⇒ F 00 in AbA genau dann exakt ist, wenn f¨ ur alle A ∈ Ob A die Sequenz F 0 (A) → F (A) → F 00 (A) exakt ist. Folgerung 1. F¨ ur alle A ∈ Ob A ist der Auswertungsfunktor AbA → Ab, F 7→ F (A) exakt. Q Folgerung 2. Der Funktor AbA → Ab, welcher jeden Funktor auf die Gruppe A∈A F (A) abbildet, ist eine exakte Einbettung. Aufgabe 1. Die Kategorie AbA hat beliebige Produkte und Koprodukte. Jetzt wollen wir die Ergebnisse f¨ ur die Yonedaeinbettung f¨ ur Funktorkategorien der ◦ Form SetC auf die in diesem Abschnitt betrachteten Funktorkategorien anwenden. Lemma 1. Die Ko-“Yoneda-Einbettung y : A◦ → AbA , welche ein Objekt A ∈ Ob A ” auf hom(A, ·) abbildet, ist linksexakt. Beweis. Sei A0 → A → A00 → 0 eine exakte Sequenz in A. Es ist 0 → hom(A00 , B) → hom(A, B) → hom(A0 , B) f¨ ur alle Objekte B exakt, da hom(·, B) ein linksexakter Funktor ist. Daraus folgt aber die Aussage des Lemmas nach Charakterisierung der Exaktheit in der Funktorkategorie. Wir erinnern an die Ergebnisse u ¨ber die Yoneda-Einbettung. Hier erhalten wir insbesondere, daß f¨ ur jeden Funktor F : A → Ab und jedes Objekt A ∈ Ob A gilt, daß hom(hom(A, ·), F ) ' F (A) (als abelsche Gruppen). Wir nutzen dies, um folgenden Satz zu beweisen.

37

(56)

Satz 3. Es ist

L

A∈Ob A hom(A, ·)

ein projektiver Erzeuger in AbA .

Beweis. Wir haben in der Funktorkategorie M Y hom( hom(A, ·), F ) ' hom(hom(A, ·), F ) ' A∈Ob A

A∈Ob A

Y

F (A).

(57)

A∈Ob A

f¨ ur jeden Funktor F ∈L Ob AbA . Damit folgt, daß hom( A∈Ob A , ·) eines exakte Einbettung ist, der Funktor A∈Ob A hom(A, ·) also ein projektiver Erzeuger. L

Schließlich m¨ochten wir noch daran erinnern, daß die Ko-Yoneda-Einbettung A◦ → AbA volltreu ist.

3.9 Grothendiecksche Kategorien Definition 1. Eine wohlfundierte abelsche Kategorie mit beliebigen Produkten und Koprodukten heißt eine Grothendiecksche Kategorie oder Grothendiecksch, falls f¨ ur jede totalgeordnete Kette von (Gi )i∈I von Unterobjekten eines Objektes A und f¨ ur jedes weitere Unterobjekt H von A gilt, daß [ [ H∩ Gi = (H ∩ Gi ). (58) i∈I

i∈I

Beispiel 1. F¨ ur jeden Ring R mit Eins ist die Kategorie der R-Moduln eine Grothendiecksche Kategorie. Satz 1. F¨ ur jede kleine abelsche Kategorie A ist die Funktorkategorie AbA Grothendiecksch. Beweis. Man rechnet nach, daß in der Funktorkategorie der Schnitt und die Vereinigung von Unterobjekten wieder komponentenweise durch den Schnitt und die Vereinigung der Komponenten gegeben sind. Dann nutzt man aus, daß Ab Grothendiecksch ist.

3.10 Erweiterungen Sei A eine abelsche Kategorie. Definition 1. Ein Monomorphismus A → B heißt auch eine Erweiterung von A. Eine eigentliche Erweiterung ist eine Erweiterung A → B mit A 6h B. Eine triviale Erweiterung ist eine Erweiterung A → B, welche spaltet, d.h. f¨ ur die es einen Morphismus B → A mit A → B → A die Identit¨at auf A gibt. Aufgabe 1. Eine Erweiterung A → B ist genau dann trivial, wenn A ein direkter Summand von B ist. Satz 1. Ein Objekt I in A ist genau dann injektiv, wenn I nur triviale Erweiterungen besitzt.

38

Beweis. Wir zeigen zun¨achst die Hinrichtung. Sei dazu ein Monomorphismus I → J, also eine Erweiterung von I, gegeben. Wir m¨ ussen zeigen, daß wir die Identit¨at auf I u ¨ber J faktorisiert. Das ist aber klar, da I injektiv ist. F¨ ur die R¨ uckrichtung betrachten wir einen beliebigen Monomorphismus A → B. Wir m¨ ussen zeigen, daß ein Monomorphismus A → I u ¨ber A → B faktorisiert. Dazu betrachten wir das Kofaserprodukt P von B und I u ¨ber A, sei also das Diagramm /B

A 

(59)

/P

I

ein kokartesisches. Da A → B ein Monomorphismus ist, folgt, daß auch I → P ein Monomorphismus, also eine (triviale) Erweiterung von I. Damit existiert ein Schnitt P → I von I → P . Es folgt, daß B → P → I der gesuchte Morphismus ist. Definition 2. Sei A ein Objekt der abelschen Kategorie A. Eine wesentliche Erweiterung von A ist eine Erweiterung A → B, so daß f¨ ur jeden Morphismus B → F , f¨ ur den A → B → F eine Erweiterung von A ist, B → F eine Erweiterung von B ist. Aufgabe 2. Zeigen Sie, daß A → B genau dann wesentlich ist, wenn f¨ ur alle nicht-trivialen Unterobjekte B 0 → B von B der Schnitt A ∩ B 0 nicht-trivial ist. (Nicht-trivial heißt f¨ ur Unterobjekte, daß sie nicht das Nullobjekt sind.) Aufgabe 3. Zeigen Sie, daß echte wesentliche Erweiterungen nie trivial sind. (Eine Erweiterung A → B heißt echt, falls A → B kein Isomorphismus ist.) Satz 2. Sei A Grothendiecksch. Dann ist ein Objekt I genau dann injektiv, wenn es keine echten wesentlichen Erweiterungen besitzt. Beweis. Die Hinrichtung ist schnell abgehandelt: ist I injektiv, so hat I nur triviale Erweiterungen, nach der letzten Aufgabe also keine echten wesentlichen. F¨ ur die R¨ uckrichtung ist mehr zu tun: habe I also keine echten wesentlichen Erweiterungen. Nach dem letzten Satz reicht es zu zeigen, daß jede Erweiterung I → B trivial ist. Sei dazu F die teilgeordnete Familie der Unterobjekte A → B von B, f¨ ur welche A ∩ I = 0 das Nullobjekt ist (I wird hier als Unterobjekt von B betrachtet). Man u ¨berlegt sich schnell, daß aus der Tatsache, daß A eine Grothendieck-Kategorie ist, folgt, S 0 0 daß jede Kette F in F ein maximales Objekt, n¨amlich F , besitzt. Nach dem Zornschen Lemma besitzt F somit ein maximales Element B 0 → B. Wir bezeichnen mit F∗ die Familie der Quotientenobjekte B → F , f¨ ur die I → B → F ein Monomorphismus ist. Durch ker und coker wird eine ordnungsumkehrende Bijektion zwischen F und F∗ induziert. Damit besitzt F∗ ein minimales Element B → B 00 . Wir behaupten, daß I → B → B 00 eine wesentliche Erweiterung von I ist. Das zeigen wir wie folgt: sei I → B 00 → F ein Monomorphismus f¨ ur einen beliebigen Morphismus B 00 → F . Aufgrund der Minimalit¨ at von B 00 in F∗ folgt, daß coim(B 00 → F ) h B 00 , also ist B 00 → F ein Monomorphismus. Damit ist I → B 00 wesentlich. Nun hat I aber keine echten wesentlichen Erweiterungen, also ist I → B → B 00 ein Isomorphimus, woraus sich sofort ein Schnitt von I → B konstruieren l¨aßt.

39

3.11 Einschub: Injektive Moduln Sei R ein Ring mit Eins. In diesem Abschnitt wollen wir beweisen, daß die Kategorie der R-(Links-)Moduln gen¨ ugend viele Injektive besitzt. Satz 1. Ein R-Modul M ist genau dann injektiv, wenn f¨ ur jedes Ideal J ⊂ R die Abbildung hom(M, I) → hom(M, R) injektiv ist. Beweis. Die eine Richtung folgt sofort aus der Definition eines injektiven Moduls. F¨ ur die andere Richtung zeigen wir, daß M keine echten wesentlichen Erweiterungen hat. Sei dazu M → N eine echte Erweiterung und x ∈ N \ M . Das Element x definiert einen Morphismus R → N und sei das Ideal J von R so definiert, daß I

/R



 /N

M

(60)

ein kartesisches Diagramm wird. Da der Morphismus I → M sich nach Voraussetzung auf R erweitern l¨aßt, existiert ein y ∈ M , so daß I → M u ¨ber den Morphismus R → M , welcher durch y definiert ist, faktorisiert. Wir betrachten das Element x − y ∈ N . Dies ist nicht trivial und erzeugt einen Untermodul von N , welcher M nur trivial schneidet. Damit kann M → N nicht wesentlich sein. Folgerung 1. Eine injektive abelsche Gruppe ist gerade eine divisible abelsche Gruppe. Beispiel 1. Die Gruppe Q/Z ist divisibel. Lemma 1. Jede abelsche Gruppe A l¨ aßt sich in eine injektive einbetten. Beweis. Sei F eine freie Gruppe, so daß ein Epimorphismus F → hom(A, Q/Z) existiert. Anwenden des Funktors hom(·, Q/Z) liefert die Einbettung 0 → hom(hom(A, Q/Z)) → hom(F, Q/Z). Man zeigt schnell, daß eine nat¨ urliche Einbettung A → hom(hom(A, Q/Z)) existiert und hom(F, Q/Z) injektiv ist. Lemma 2. Falls T eine injektive Gruppe ist, ist f¨ ur jeden R-Modul homZ (R, T ) ein injektiver R-Modul. Beweis. Es ist homR (·, hom(R, T )) = homZ (·, T ), und der Funktor rechts ist exakt, da T injektiv ist. Satz 2. Jeder R-Modul M l¨ aßt sich in einen injektiven R-Modul einbetten. Beweis. Wir k¨onnen jeden Modul M als abelsche Gruppe in eine injektive abelsche Gruppe T einbetten. Dies induziert eine Einbettung M → homZ (R, T ) als R-Moduln.

40

3.12 Injektive H¨ ullen Sei A eine abelsche Kategorie. Definition 1. Sei A ein Objekt in A. Eine injektive H¨ ulle von A ist eine wesentliche Erweiterung von A durch ein injektives Objekt ( eine injektive Erweiterung“). ” Bemerkung 1. Eine injektive H¨ ulle ist also eine maximale injektive Erweiterung. Im folgenden wollen wir injektive H¨ ullen f¨ ur Objekte in Grothendieck-Kategorien konstruieren. Lemma 1. Eine wesentliche Erweiterung einer wesentlichen Erweiterung ist wesentlich. Beweis. Die Transitivit¨at von wesentlich“ folgt sofort aus der Definition. ” Lemma 2. Sei A eine Grothendieck-Kategorie. Sei A → E eine Erweiterung eines Objektes A in A und sei E eine Kette von Unterobjekten vonSE mit A . E 0 f¨ ur alle 0 0 0 E ∈ E. Sind die A → E , E ∈ E wesentlich, so ist auch A → E wesentlich. S Beweis. Sei S → E ein beliebiges Unterobjekt, welches nicht Null ist. Wir wollen A ∩ S 6= 0 zeigen. Nun ist, da A Grothendiecksch ist, S ∩ E 0 6= 0 f¨ ur ein E 0 ∈ E. Es folgt 0 0 A ∩ S = A ∩ (E ∩ S) 6= 0, da A → E wesentliche Erweiterung von A. Lemma 3. Sei A ein Objekt einer Grothendieck-Kategorie und E eine Menge von Erweiterungen A → E von A. Dann gibt es eine Erweiterung A → E0 von A, so daß A → E0 u ¨ber jedes (A → E) ∈ E durch Monomorphismen E → E0 faktorisiert. Beweis. Wir k¨onnen ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit davon ausgehen, da die Erweiterungen in E paarweise nicht isomorph sind und da E nicht-leer ist. Dann ist die Klasse aller Erweiterungen bez¨ uglich der Relation u ur ¨ber“ teilgeordnet. F¨ L”faktorisiert L jedes E ∈ E existiert genau ein Morphismus hE : E→ E, so daß f¨ ur alle E 0 ∈ E die L hE Komposition E 0 → E → E durch E 0 → E gegeben ist, wenn A → E nicht u ¨ber A → E 0 faktorisiert, und durch E 0 → E → E, wenn A →SE als A → E 0 → E faktorisiert. Nun sei L h: E → E0 ein Epimorphismus mit ker h = E∈E ker hE . F¨ ur jedes E ∈ E haben wir einen kanonischen Morphismus E → E0 . Dieser Morphismus ist ein Monomorphismus, denn ker(E → E0 ) = im(E →

M

E) ∩

[

ker hE 0 =

E 0 ∈E

[

im(E →

M

E) ∩ ker hE 0

E 0 ∈E

=

[

ker(E →

M

h

0

E E →

M

E), (61)

E 0 ∈E

und die Kerne auf der rechten Seite sind nach Konstruktion alle trivial. Weiter gibt es genau einen Monomorphismus A → E0 , so daß dieser Monomorphismus u ¨ber jeden Monomorphismus E → E0 durch A → E faktorisiert.

41

Lemma 4. Sei A eine Grothendieck-Kategorie mit einem Erzeuger G. Dann gibt es eine Menge E von wesentlichen Erweiterungen von A, so daß f¨ ur jede wesentliche Erweiterung A → E von A genau eine Erweiterung A → E 0 in E existiert, so daß ein Isomorphismus E → E 0 existiert, so daß das Diagramm /E AA AA AA 

AA

(62)

E0

kommutiert. Beweis. Sei R der Ring der Endomorphismen von G. Wir betrachten den Funktor F : A → R-Mod, A 7→ hom(G, A). Zun¨achst beweisen wir, daß f¨ ur jede wesentliche Erweiterung A → E in A, F (A) → F (E) eine wesentliche Erweiterung in der Kategorie der R-Moduln ist: Dazu sei M ⊂ F (E) ein nicht-trivialer Untermodul. Sei x ∈ M . Wir m¨ ussen ein nicht-triviales Element in M ∩ im(F (A) → F (E)) konstruieren. Dazu betrachten wir das kartesische Diagramm P

/G





(63)

x

/ E.

A

Da A → E wesentlich, ist P 6= 0. Daher existiert ein G → P , so daß y : G → P → G → E nicht der Nullmorphismus ist. Es ist y ∈ M ∩ (im(F (A) → F (E))). In der Kategorie der R-Moduln gibt es gen¨ ugend viele Injektive, daher existiert eine Einbettung F (A) → Q, wobei Q ein injektiver R-Modul ist. Insbesondere gilt f¨ ur jede wesentliche Erweiterung von F (A) der Form F (A) → F (E), daß ein Monomorphismus F (E) → Q existiert, daß F (A) → F (E) → Q die gegebene Einbettung von Q ist. Wir haben also jeder Erweiterung A → E von A ein Unterobjekt F (E) → Q von Q zugewiesen. Nehmen wir jetzt an, es gibt keine Menge E wie in der Aussage des Lemmas. Dann gibt es f¨ ur jede Kardinalit¨at κ eine Erweiterung A → E0 , so daß die Sub(E0 ) mindestens Kardinalit¨at κ hat. Es hat Sub(E0 ) aber eine Kardinalit¨at, welche nicht gr¨oßer als die Kardinalit¨at von F (E0 ) ist. Diese ist aber durch die Kardinalit¨at von Q begrenzt. Widerspruch. Satz 1. Sei A eine Grothendieck-Kategorie mit einem Erzeuger. Dann besitzt jedes Objekt A von A eine injektive H¨ ulle. Beweis. Wir betrachten die Menge E, deren Existenz im letzten Lemma gefordert wird. Nach der Bemerkung m¨ ussen wir die Existenz eines maximalen Elementes in E nachweisen. Aufgrund des Zornschen Lemmas reicht es, obere Schranken f¨ ur beliebige Ketten wesentlicher Erweiterungen von A in E zu finden. Das folgt aber sofort aus dem Lemma 2 unter Zuhilfenahme von Lemma 3.

42

3.13 Erster Einbettungssatz Sei A eine kleine abelsche Kategorie. Satz 1. Sei I ∈ Ob AbA ein injektives Objekt. Dann ist I als Funktor A → Ab rechtsexakt. Beweis. Sei A0 → A → A00 → 0 eine rechtsexakte Sequenz in A. Dann ist 0 → hom(A00 , ·) → hom(A, ·) → hom(A0 , ·) in AbA nach dem Kriterium f¨ ur Exaktheit in der Funktorkategorie exakt. Nach Definition eines injektiven Objektes ist damit hom(hom(A0 , ·), E) → hom(hom(A, ·), E) → hom(hom(A00 , ·), E) → 0

(64)

in Ab exakt. Nach dem Yonedalemma ist diese Sequenz aber keine andere als E(A0 ) → E(A) → E(A00 ) → 0. Definition 1. Ein Funktor M : A → Ab heißt ein Monofunktor, wenn er Monomorphismen auf Monomorphismen abbildet. Beispiel 1. Linksexakte Funktoren nach Ab sind Monofunktoren. Bemerkung 1. Sei M : A → Ab ein rechtsexakter Monofunktor. Dann ist M exakt. Lemma 1. Sei M → I eine wesentliche Erweiterung in der Funktorkategorie AbA . Ist dann M ein Monofunktor, so auch I. Beweis. Wir f¨ uhren den Beweis per Widerspruch und nehmen an, I sei kein Monofunktor. Dann existiert ein Monomorphismus A0 → A und ein 0 6= x ∈ I(A0 ), so daß (I(A0 ) → I(A))(x) = 0. Sei η : hom(A0 , ·) ⇒ I diejenige nat¨ urliche Transformation, welche idA0 auf x abbildet. Mit F := im η bezeichnen wir das Bild von η, was ein Unterfunktor von I ist. Es gilt: ist B ∈ Ob A, so gilt F (B) = {y ∈ I(B) : ∃A0 → B : (I(A0 ) → I(B))(x) = y}.

(65)

Da x ∈ F (A0 ) ist F nicht der Nullfunktor. Da die Erweiterung M → I wesentlich ist, folgt daß F ∩ M ebenfalls nicht der Nullfunktor ist, d.h. es existieren ein B ∈ Ob A und ein 0 6= y ∈ F (B) ∩ M (B). Nach Definition von F existiert ein A0 → B mit y = (I(A0 ) → I(B))(x). Jetzt w¨ahlen wir ein kokartesisches Diagramm A0

/A



 / P.

B

(66)

Da A0 → A ein Monomorphismus ist, ist B → P ebenfalls ein Monomorphismus. Nun ist M ein Monofunktor, also ist (M (B) → M (P ))(y) 6= 0. Damit haben wir 0 6= (I(B) → I(P ))(y) = (I(B) → I(P ))(I(A0 ) → I(B))(x) = (I(A) → I(P ))(I(A0 ) → I(A))(x) = 0, (67) ein Widerspruch.

43

Folgerung 1. Ein Funktor F : A → Ab kann genau dann in einen exakten Funktor eingebettet werden, wenn F ein Monofunktor ist. Beweis. Die Hinrichtung ist trivial, f¨ ur die R¨ uckrichtung w¨ahlen wir zu einem Monofunktor dessen injektive H¨ ulle. Satz 2. F¨ ur jede kleine abelsche Kategorie A existiert eine exakte Einbettung A → Ab. L Beweis. Wir setzen G := A∈Ob A hom(A, ·) : A → Ab. G ist ein treuer Monofunktor. Jetzt wenden wir die Folgerung an. Bemerkung 2. Wir k¨onnen daraus folgendes Metatheorem folgern: ist eine Aussage u ¨ber die Exaktheit eines kleinen“ Diagramms in einer beliebigen abelschen Kategorie ge” geben, so ist diese in jeder abelschen Kategorie wahr, wenn sie in der Kategorie der abelschen Gruppen wahr ist.

3.14 Monoobjekte Sei A eine Grothendieckkategorie mit gen¨ ugend vielen Injektiven. Im folgenden setzen wir folgende Situation voraus: sei eine volle Unterkategorie M → A gegeben, die in folgendem Sinne abgeschlossen ist: • Ist A0 → A ein Unterobjekt in A und A ∈ Ob M, so ist A0 ∈ Ob M. Q • Ist (Ai )i∈I eine Familie von Objekten in M, so ist auch i∈I Ai ∈ M. • Ist A → B eine wesentliche Erweiterung in A und A ∈ Ob M, so ist auch B ∈ M. Erf¨ ullt eine beliebige volle Unterkategorie diese Axiome, so heißt sie eine Unterkategorie von Monoobjekten. Wir nennen Objekte in M entsprechend Monoobjekte. Beispiel 1. Sei R ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Eins. Die Unterkategorie der torsionsfreien R-Moduln in der Kategorie der R-Moduln ist eine Unterkategorie von Monoobjekten. Beispiel 2. Die Monofunktoren in AbA f¨ ur eine beliebige abelsche Kategorie A bilden eine Unterkategorie von Monoobjekten nach den Ergebnissen des letzten Abschnittes. Satz 1. Es ist M eine reflexive Unterkategorie von A. Beweis. Es sei ein Objekt B ∈ Ob A gegeben. Sei F := {(B → B 00 ) ∈ Quot(B) : B 00 ∈ Ob M}. Dann rechnet man nach, daß Y M (B) := coim(B → B 00 ) (68) (B→B 00 )∈F

eine Reflexion von B in M ist. Bemerkung 1. Damit existiert der linksadjungierte Funktor M : A → M zum Inklusionsfunktor M → A.

44

Definition 1. Ein Objekt T ∈ A heißt Torsionsobjekt, falls f¨ ur alle M ∈ Ob M die Gruppe hom(T, M ) trivial ist. (Diese Bedingung ist gleichbedeutend damit, daß M (T ) = 0.) Satz 2. Sei B ∈ A. Dann ist ker(B → M (B)) das maximale Torsionsunterobjekt von B. Beweis. Es reicht zu zeigen, daß K := ker(B → M (B)) ein Torsionsobjekt ist. Dazu sei ein M ∈ M und ein K → M gegben. Es ist zu zeigen, daß dieser Morphismus der Nullmorphismus ist. Sei I die injektive H¨ ulle von M . Da M ein Monoobjekt ist, gilt dies auch f¨ ur I. Nun betrachten wir folgendes Diagramm, 0

/K

/B

/ M (B) y yy yy y  y| yy



/0

(69)

/ I.

M

wobei wir den Morphismus von B → I so gew¨ahlt haben, daß das linke Quadrat kommutiert und der Morphismus von M (B) → I ist eindeutig, so daß das rechte Dreieck kommutiert. Aus der Kommutativit¨at des gesamten Diagramms ergibt sich, daß K → M der Nullmorphismus ist. Bemerkung 2. Wir k¨onnen insbesondere folgern, daß die volle Unterkategorie der Torsionsobjekte koreflexiv in A liegt. Definition 2. Ein Unterobjekt M 0 → M mit M, M 0 ∈ Ob M heißt rein, falls coker(M 0 → M ) ∈ Ob M. Ein Monoobjekt M heißt absolut rein, falls alle Erweiterungen M → E durch Monoobjekte E rein sind. Beispiel 3. Injektive Monoobjekte sind absolut rein, da injektive Objekte nur triviale Erweiterungen besitzen. Lemma 1. Sei 0 → M 0 → B → M 00 → 0 eine exakte Sequenz in A, in der M 0 und M 00 Monoobjekte sind. Dann ist auch B ein Monoobjekt. Beweis. Wir betten M 0 in seine injektive H¨ ulle I ein. Der Morphismus M 0 → I faktorisiert dann u ¨ber M 0 → B durch einen Morphismus B → I. Es ist damit B → I ⊕ M 00 ein Unterobjekt eines Monoobjektes. Lemma 2. Ein reines Unterobjekt eines absolut reinen Objektes ist absolut rein. Beweis. Sei A absolut rein und P → A eine reine Erweiterung von P . Sei P → M eine beliebige Erweiterung in M. Wir wollen zeigen, daß die Erweiterung rein ist. Dazu w¨ahlen wir ein kokartesisches Diagramm P

/M



 / R.

A

45

(70)

Man beachte, daß alle Morphismen in diesem Diagramm Monomorphismen sind. Im folgenden kommutativen Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten schreiben wir die Kokerne, wie sie in der Kategorie der abelschen Gruppen schrieben: (71)

0

0

0

0

 /P

 /A

 / A/P

/0

0

 /M

 /R

 / R/M

/0

0

 / M/P

 / R/A

 /0

/0





0



0

0.

An diesem Diagramm k¨onnen wir alles ablesen: es ist M ein Monoobjekt und P/A ein Monoobjekt, daher ist R ein Monobjekt. Damit ist auch R/A ein Monobjekt. Es folgt, daß M/P als Unterobjekt ein Monoobjekt ist. Beispiel 4. Ein Funktor M ∈ Ob AbA , A eine beliebige kleine abelsche Kategorie, ist genau dann absolut rein (bzgl. der Unterkategorie der Monofunktoren als Unterkategorie von Monoobjekten), wenn M linksexakt ist. Beweis. Wir betten M in seine injektive H¨ ulle I ein. I ist absolut rein und exakt. Es reicht damit folgens zu zeigen: M ist linksexakt genau dann, wenn f¨ ur die kurze exakte Sequenz 0→M →E→F →0

(72)

gilt, daß F ein Monoobjekt ist. Dazu geben wir uns eine linksexakte Sequenz 0 → A0 → A → A00 in A beliebig vor. Dazu betrachten wir das Diagramm 0

0

0

0

 / M (A0 )

 / M (A)

 / M (A00 )

0

 / I(A0 )

 / I(A)

 / I(A00 )

0

 / F (A0 )

 / F (A)



0,

46

(73)

welches kommutiert, exakte Spalten und eine exakte mittlere Zeile hat. Nach dem ersten Einbettungssatz und Aufgabe 5 ist die erste Zeile damit genau dann exakt, wenn die letzte Zeile exakt ist. Das beweist alles. Mit L wollen wir jetzt die volle Unterkategorie der absolut reinen Objekte in M (und A) bezeichnen. Satz 3. Sei 0 → M → R → T → 0 eine exakte Sequenz in A, so daß M ein Monoobjekt, R ein absolut reines und T ein Torsionsobjekt sind. Dann ist M → R die Reflexion von M in L. Beweis. Sei M → L ein beliebiger Morphismus mit L ∈ Ob L. Es ist zu zeigen, daß M →Lu ¨ber M → R faktorisiert. Dazu betrachten wir das kommutative Diagramm 0

/M

/R

/T

/0

0

 /L

 /I

 /F

/0

(74)

mit exakten Zeilen, wobei I die injektive H¨ ulle von L ist. Der Morphismus von R → I existiert, daß I injektiv ist und der Morphismus von T → F existiert, da T ein Kokern ist. Jetzt ist T aber ein Torsionsobjekt und F als Quotient nach einem absolut reinen ein Monoobjekt, so daß dieser Morphismus der Nullmorphismus sein muß. Daher k¨onnen wir in das Diagramm einen Morphismus R → L einf¨ ugen, daß es weiterhin kommutativ ist. Es bleibt, die Eindeutigkeit des Morphismus R → L zu zeigen. Seien dazu zwei Morphismen R → L gegeben, deren Komposition mit M → R jeweils den vorgegebenen Morphismus M → L geben. Deren Differenz faktorisiert u ¨ber den Epimorphismus R → T als ein Morphismus T → L. Dieser ist der Nullmorphismus, da T ein Torsionsobjekt und L ein Monoobjekt ist. Dieser Satz reicht aus, um zu zeigen, daß L reflexiv in M liegt: Satz 4. Sei M ∈ M gegeben. Wir m¨ ussen eine Reflexion M → R von M in L konstruieren. Dazu betten wir M in seine injektive H¨ ulle I ein. Wir betrachten folgendes

47

kommutatives Diagramm: (75)

0

0

0

0

 /M

 /R

 /T

/0

0

 /M

 /I

 /F

/0

0

 /0

 / M (F )

 / M (F )

/0



0





0

0

Hier ist F als Kokern, T als Kern und R als Kern definiert. Die drei Spalten sind nach Konstruktion exakt, ebenso die mittlere und die letzte Zeile. Damit ist auch die erste Zeile exakt. Nun ist T ein Torsionsobjekt und R als reines Unterobjekt eines absolut reinen Unterobjektes in L. Daher ist R nach dem vorhergehenden Satz die gesuchte Reflexion. Wir wollen mit R : M → L den Reflexionsfunktor bezeichnen. Satz 5. Die Kategorie L ist eine abelsche Kategorie, in der jedes Objekt eine injektive H¨ ulle hat. Beweis. Der Beweis soll nur skizzenhaft erfolgen. Zun¨achst halten wir fest, daß M ∈ M genau dann absolut rein ist, wenn M → R(M ) ein Isomorphismus ist. Damit l¨aßt sich schnell folgern, daß L eine additive Kategorie ist. Als n¨achstes zeigt man, daß Morphismen in L genau dann A-Monomorphismen sind, wenn sie auch L-Monomorphismen sind. Weiterhin liegen A-Kerne von Morphismen in L in L. Das reicht, um zu folgern, daß der A-Kern eines L-Morphismus ein L-Kern ist. Kokerne existieren, da L reflexiv in A liegt. Genauer: ist L0 → L ein Morphismus in L und L → F sein A-Kokern, so ist L → F → R(M (F )) sein L-Kokern. Jetzt sollen die Normalit¨at und Konormalit¨at von L gezeigt werden: Dazu sei ein Monomorphismus L0 → L gegeben. Sei M sein A-Kokern. Dann ist L0 → L der Kern des Morphismus L → M → R(M ). Sei auf der anderen Seite L → L00 ein L-Epimorphismus. Mit M → L00 wollen wir das A-Bild dieses Morphismus bezeichnen. Wir w¨ahlen T so, daß 0 → M → L00 → T → 0 exakt in A ist. Es ist T ein Torsionsobjekt und damit L00 = R(M ). Damit ist L → L00 der L-Kokern L → M → R(M ) von ker(L → M ). Wir schließen den Beweis mit der Bemerkung, daß eine A-injektive H¨ ulle I eines Objektes in L eine injektive H¨ ulle in L ist.

3.15 Zweiter Einbettungssatz Sei A eine kleine abelsche Kategorie.

48

Bemerkung 1. Bezeichnen wir mit L(A) die volle Unterkategorie der absolut reinen Funktoren in AbA (Monoobjekte sind wieder genau die Monofunktoren), so faktorisiert die Einbettung A◦ → AbA u ¨ber L(A). Satz 1. Die abelsche Kategorie L(A) hat beliebige Produkte und Koprodukte und einen injektiven Koerzeuger. Beweis. Produkte und Summen in L sind durch die Produkte und Summen in der ganzen A Funktorkategorie Q Ab gegeben. Weiter ist A∈Ob A hom(A, ·) linksexakt, also ein Objekt in L(A) und ein Erzeuger f¨ ur L(A). Da jedes Objekt in ein injektives eingebettet werden kann, folgern wir daraus, daß der injektive Koerzeuger existiert. Satz 2. Es ist A◦ → L(A), A → hom(A, ·) eine exakte volle Einbettung. Beweis. Nur die Exaktheit ist noch nachzurechnen, der Rest ist schon bewiesen. Sei dazu 0 → A0 → A → A00 → 0 eine exakte Sequenz in A. Wir m¨ ussen zeigen, daß 0 → hom(A00 , ·) → hom(A, ·) → hom(A0 , ·) → 0

(76)

in L(A) exakt ist. Das ist aber genau dann der Fall, wenn f¨ ur einen injektiven Koerzeuger I ∈ Ob L(A) die Sequenz 0 → hom(hom(A0 , ·), ·) → hom(hom(A, ·)) → hom hom(A00 , ·)) → 0

(77)

exakt ist. Nach dem Yonedalemma ist das aber die Sequenz 0 → I(A0 ) → I(A) → I(A00 ) → 0 und diese Sequenz ist exakt, da I als injektiver Monofunktor ein exakter Funktor ist. Folgerung 1. Jede kleine abelsche Kategorie k¨ onnen wir exakt und voll in eine kleine abelsche Kategorie mit projektiven Erzeuger und beliebigen Summen einbetten. Satz 3. Eine kleine abelsche Kategorie mit beliebigen Summen und einem projektiven Erzeuger l¨ aßt sich exakt und voll in eine Kategorie von R-Moduln, R ein gewisser Ring mit Eins, einbetten. Beweis. Sei P˜ ein projektiver Erzeuger. Wir betrachten das projektive Objekt M M P := P˜ .

(78)

A∈Ob A hom(P˜ ,A)

Wie P˜ ist auch P ein Erzeuger, hat aber noch eine weitere Eigenschaft. F¨ ur jedes Objekt A gibt es einen kanonischen Epimorphismus P → A. Wir betrachten den Ring R der Endomorphismen von P und den additiven Funktor F : A → R-Mod, A 7→ hom(P, A). Dieser Funktor definiert eine exakte Einbettung, da P ein projektiver Erzeuger ist. Wir wollen zeigen, daß F sogar voll ist.

49

Dazu sei ein Morphismus Y : F (A) → F (B) in R-Mod gegeben. Seien 0 → K → P → A → 0 und P → B → 0 exakte Sequenzen. In R-Mod k¨onnen wir folgendes kommutatives Diagramm formen: / F (K)

0

/R

/ F (A)





R

/0

(79)

Y

/ F (B)

/ 0.

Der Morphismus R → R existiert, da R projektiv in der Kategorie der R-Moduln ist. Nun wird jeder Morphismus von R nach R durch Rechtsmultiplikation mit einem Element r ∈ R = hom(P, P ) gegeben. Das erlaubt es uns, folgendes kommutatives Diagramm in A hinzuschreiben: 0

/K

/P r

/A

/0

(80)

y



P



/B

/ 0,

wobei der Morphismus A → B existiert, da A der Kokern von K → P ist. Aufgrund der Epimorphie von R → F (A) schließlich muß F (y) = Y gelten.

3.0 Weitere Aufgaben Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß ein additiver Funktor Biprodukte erh¨alt. Aufgabe 2. Bestimmen Sie Schnitt und Vereinigung zweier Untermoduln eines R-Moduls, wobei Schnitt und Vereinigung hier im Sinne der abelschen Kategorie der R-Moduln, R ein Ring mit Eins, aufgefaßt werden. Bestimmen Sie analog das Bild eines Morphismus in dieser Kategorie. Aufgabe 3. Zeigen Sie, daß in der Kategorie R-Mod, R ein Ring mit Eins, ein Modul (I) P Lgenau dann projektiv ist, wenn er direkter Summand eines Moduls der Form R = i∈I R ist. Aufgabe 4. Zeigen Sie, daß in der Kategorie R-Mod, R ein Ring mit Eins, ein Modul G genau L dann ein Erzeuger ist, wenn R direkter Summand eines Moduls der Form (I) G = i∈I G ist. Aufgabe 5. Sei R ein Ring mit Eins. Sei folgendes kommutatives Diagramm von R-

50

Moduln gegeben, in dem die Spalten und die mittlere Zeile exakt sind: 0

0

0

0

 / M11

 / M12

 / M13

0

 / M21

 / M22

 / M23

0

 / M31

 / M32

(81)



0 Zeigen Sie, daß dann die erste Zeile genau dann exakt ist, wenn die letzte Zeile exakt ist. Aufgabe 6. Sei R ein Ring mit Eins. Sei folgendes kommutatives Diagramm von RModuln gegeben, in dem die Spalten und die mittlere Zeile exakt sind: (82)

0

0

0

0

 / M11

 / M12

 / M13

/0

0

 / M21

 / M22

 / M23

/0

0

 / M31

 / M32

 / M33

/0



0



0



0

Zeigen Sie, daß dann die erste Zeile genau dann exakt ist, wenn die letzte Zeile exakt ist.

4 Derivierte Kategorien 4.1 Komplexe in abelschen Kategorien Sei A eine abelsche Kategorie. Definition 1. Ein Nullkomplex A in A ist eine Familie (Ai )i∈Z von Objekten in A. Ein Morphismus f : A → B vom Grad n, n ∈ Z, zwischen zwei Nullkomplexen A

51

und B ist eine Familie (f i )i∈Z von Morphismen f i : Ai → B n+i . Komposition von Morphismen erfolgt komponentenweise. Die so definierte Kategorie wollen wir als die \ 0 A der Nullkomplexe in A bezeichnen. Die Unterkategorie graduierte Kategorie Kom \ von Kom0 (A), die aus allen Morphismen vom Grad Null besteht, wird mit Kom0 (A) bezeichnet und heißt Kategorie der Nullkomplexe in A. Definition 2. Ein Nullkomplex A heißt nach links beschr¨ ankt, wenn Ai = 0 f¨ ur i  0. i A heißt nach rechts beschr¨ ankt, wenn A = 0 f¨ ur i  0. A heißt beschr¨ ankt, wenn A nach links und nach rechts beschr¨ankt ist. Die vollen Unterkategorien der nach links beschr¨ankten, nach rechts beschr¨ankten und + − \ 0 (A) wollen wir mit Kom \ (A), Kom \ (A) und der beschr¨ankten Nullkomplexe in Kom [ \ (A) bezeichnen. Analog werden Kom+ (A), etc. definiert. Kom 0

\ 0 (A) machen ebenso in den vollen Viele der folgenden Definitionen und S¨atze f¨ ur Kom + − [ \ 0 (A), Kom \ 0 (A) und Kom \ 0 (A) Sinn. Wir u Unterkategorien Kom ¨berlassen es dem Leser, die jeweiligen Verallgemeinerungen zu formulieren. \ 0 (A) eine abelsche Kategorie ist, deren Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß die Kategorie Kom Homomorphismengruppen graduiert sind. Kom0 (A) ist eine abelsche Unterkategorie. Wie sehen Biprodukte, Kerne und Kokerne in den Komplexkategorien aus? Bemerkung 1. Wir k¨onnen A exakt und voll in gKom0 (A) einbetten, indem wir ein Objekt A ∈ Ob A auf den Komplex A mit Ai = 0 f¨ ur i 6= 0 und Ai = A f¨ ur i = 0 abbilden. \ 0 (A) → Kom \ 0 (A), inDefinition 3. Wir definieren einen Automorphismus T : Kom i i+1 dem wir einen Nullkomplex A auf den Komplex T A mit (T A) = A abbilden. Ist f : A → B ein Morphismus vom Grad n zwischen zwei Komplexen, so ist (T f )i = (−1)n f i+1 f¨ ur i ∈ Z. \ 0 (A) → Kom \ 0 (A) der Funktor T n = T ◦ . . . ... · · · ◦ T . F¨ F¨ ur n ∈ Z sei ·[n] : Kom | {z } ur n

negatives n sei der Ausdruck als (T −1 )−n zu verstehen. (Der Funktor ·[n] verschiebt also einen Komplex um n Stellen nach links. Definition 4. Wir definieren eine graduierte nat¨ urliche Transformation σ : idKom \

0 (A)

⇒

\ 0 (A) den Morphismus σA : A → T A vom Grad −1 zuordnet, T , welche jedem A ∈ Kom i i wobei σA = idAi : A → (T A)i−1 . Graduiert nat¨ urlich (vom Grade −1) soll hier heißen: F¨ ur alle Objekte A hat σA einen fixen Grad −1 und f¨ ur jeden Morphismus f : A → B von Nullkomplexen vom Grad n kommutiert das Diagramm A f

σA



B

/ TA 

σB

bis auf ein Vorzeichen (−1)n .

52

Tf

/ TB

(83)

Es sollte noch erw¨ahnt werden, daß σ ein Isomorphismus von Funktoren ist. Bemerkung 2. Es ist T σA + σT A = 0 f¨ ur alle Nullkomplexe A. Definition 5. Ein Differential auf einem Nullkomplex A ist ein Morphismus d : A → A vom Grad Eins, f¨ ur den dd = 0 gilt. Sei dA ein Differential auf dem Nullkomplex A und dB eins auf dem Komplex B. Dann heißt ein Morphismus f von Nullkomplexen vom Grade n vertr¨ aglich mit den Differentialen, wenn dB f − (−1)n dA f = 0. \ Definition 6. Die Kategorie Kom(A) der Komplexe in A sei die Kategorie, deren Objekte Nullkomplexe zusammen mit einem Differential und deren Morphismen Morphismen von Nullkomplexen sind, welche vertr¨aglich mit den Differentialen sind. Ist A ein Komplex, so bezeichnen wir sein Differential h¨aufig mit dA oder auch einfach nur mit d. + \ (A), etc. dem Leser. Außerdem Wir u ¨berlassen die Definintion von Kom(A), Kom die Erweiterungen von T und σ auf diese Kategorie. \ \ 0 (A) bezeichnen wir Bemerkung 3. Den nat¨ urlichen Vergißfunktor“ Kom(A) → Kom ” mit A 7→ A0 . Dies ist ein exakter Funktor zwischen abelschen Kategorien. \ \ Es existiert aber noch ein weiterer wichtiger Funktor von Kom(A) nach Kom(A), n¨amlich der Kohomologiefunktor : Dazu machen wir zun¨achst folgende Bemerkung. Sei f1

A01 

A02

f2

/ A1  / A2

g1

g2

/ A00 1

(84)

 / A00 2

ein kommutatives Diagramm in der Kategorie A. Dann existiert ein nat¨ urlicher Morphismus coker(im f1 → ker g1 ) → coker(im f2 → ker g2 ). \ \ 0 (A) sei der nat¨ Definition 7. Der Kohomologiefunktor H : Kom(A) → Kom urliche Funktor, der einen Komplex A auf den Nullkomplex H(A) mit i−1 → ker diA ) H i (A) := (H(A))i := coker(im dA

(85)

abbildet. Die H i (A) heißen die Kohomologieobjekte von A. Definition 8. Ein Morphismus f zwischen Komplexen heißt ein Quasiisomorphismus, wenn H(f ) ein Isomorphismus ist, wenn f also einen Isomorphismus auf dem Niveau der Kohomologieobjekte induziert. Beispiel 1. Es gibt Quasiisomorphismen, welche keine Isomorphismen sind. In der Kategorie der Komplexe abelscher Gruppen ist ...

0

/ Z/4Z 0

...

·2

0

0

/ ...

0



/ Z/4Z

/ Z/4Z

·2

 / Z/4Z

ein Quasiisomorphismus, aber kein Isomorphismus.

53

·2

/ ...

(86)

Definition 9. Seien A und B zwei Komplexe in A. Eine Homotopie von A nach B ist ein Morphismus von Grad −1 zwischen A0 und B0 . Bemerkung 4. Ist h eine Homotopie zwischen A und B, so ist dB h + hdA : A0 → B0 ein mit den Differentialen vertr¨aglicher Morphismus vom Grad Null, also ein Morphismus von A nach B vom Grad Null. Morphismen dieser Art heißen nullhomotop. Beispiel 2. F¨ ur jeden Komplex A ist σA eine Homotopie vom Komplex A zum Komplex T A. Definition 10. Seien f und g zwei Morphismen vom Grade Null zwischen Komplexen in A. Dann heißen f und g zueinander homotop, wenn g −f ein nullhomotoper Morphismus ist. Ein Morphismus f : A → B zwischen zwei Komplexen heißt eine Homotopie¨ aquivalenz, wenn ein g : B → A existiert, so daß gf homotop zur Identit¨at auf A und f g homotop zur Identit¨at auf B ist. Aufgabe 2. Seien f und g zwei zueinander homotope Morphismen. Dann ist H(f ) = H(g). Eine Homotopie¨aquivalenz ist ein Quasiisomorphismus.

4.2 Die lange exakte Kohomologiesequenz Sei A eine abelsche Kategorie. Wir k¨ onnen die Kategorie der kurzen exakten Sequenzen in A definieren: Objekte sind kurze exakte Sequenzen 0 → A0 → A → A00 → 0 in A und ein Morphismus zwischen zwei kurzen exakten Sequenzen ist durch ein kommutatives Diagramm der Form 0

/ A0

/A

/ A00

/ 0 gegeben.

0

 / B0

 /B

 / B 00

/0

(87)

Außerdem definieren wir die Kategorie der langen exakten Sequenzen in A: Das ist die volle Unterkategorie der exakten Komplexe in Kom(A). Satz 1. Es gibt einen nat¨ urlichen Funktor von der Kategorie der kurzen exakten Sequenzen in Kom(A) in die Kategorie der langen exakten Sequenzen in A, welcher jeder kurzen exakten Sequenz 0 → A0 → A → A00 → 0 von Komplexen in A einen exakten Komplex δ

δ

. . . → Hn (A0 ) → Hn (A) → Hn (A00 ) → Hn+1 (A0 ) → . . .

(88)

in A zuordnet. Beweis. Wir u ¨berlassen dem Leser die Definition der unbezeichneten Morphismen im obigen exakten Komplex zwischen den Kohomologiegruppen. Wir wollen allerdings δ : Hn (A00 ) → Hn+1 (A0 ) definieren. Aufgrund des zweiten Einbettungssatzen k¨onnen wir

54

ohne Einschr¨ankung annehmen, daß A eine Kategorie von R-Moduln ist. Wir haben folgendes kommutatives Diagramm mit exakten Spalten vorliegen: (89)

0

0

...

 / A0n

 / A0n+1

/ ...

...

 / An

 / An+1

/ ...

...

 / A00n

 / A00n+1

/ ...





0

0.

(Dieses Diagramm ist also ein Ausschnitt der kurzen exakten Sequenz 0 → A0 → A → A00 → 0.) Ein Element α00 in Hn (A00 ) wird repr¨asentiert durch ein a00 ∈ A00n , welches durch das Differential von A00 auf Null geschickt wird. Es existiert ein a ∈ An , welches auf a00 abbildet. Das Bild da von a0 unter dem Differential von A wird auf Null unter dem Morphismus An+1 → A00n+1 abgebildet. Daher existiert ein a0 ∈ A0n+1 , welches auf da abbildet. Wie man sich schnell u ¨berlegt, repr¨asentiert a0 ein Element α0 in n+1 0 0 00 H (A ). Dieses α sei das Bild von α unter der zu definieren Abbildung δ. Es sei dem Leser u ¨berlassen, nachzurechnen, daß die Definition unabh¨angig von den eingegangenen Wahlen ist. Schließlich rechnet man nach, daß man dieser Definition der Komplex der Kohomologiegruppen exakt wird und funktoriell in bezug auf Morphismen zwischen kurzen exakten Sequenzen von Komplexen in A wird.

4.3 Kegel und Zylinder Sei A wieder eine abelsche Kategorie. Seien A und B zwei Komplexe in A und sei f : A → B ein Morphismus vom Grade −1 als einen Morphismus von (T A ⊕ B)0 → (T A ⊕ B)0 vom Null. Wir k¨onnen f ◦ σA Grad 1 betrachten, indem wir Inklusion und Projektion vor- bzw. nachschalten (und in −1 der Notation unterdr¨ ucken). Man rechnet schnell nach, daß d := dT A⊕B + f ◦ σA ein Differential auf dem Nullkomplex (T A ⊕ B)0 definiert. Definition 1. Der so definierte Nullkomplex (T A ⊕ B)0 mit dem Differential d heißt der Kegel cone f u ¨ber f . Wir setzen außerdem cone A := cone idA . Bemerkung 1. Wir haben nat¨ urliche Morphismen B → cone f und cone f → T A jeweils vom Grade Null gegeben. Aufgabe 1. Ein Komplex A in A heißt spaltexakt, wenn die Identit¨at von A nullhomotop ist.

55

Zeigen Sie, daß f¨ ur jeden beliebigen Komplex der Kegel cone(A) spaltexakt ist mit der Homotopie σA : (T A)0 → A0 . Aufgabe 2. Sei f : A → B ein Morphismus von Komplexen. Zeigen Sie, daß f genau dann nullhomotop bez¨ uglich der Homotopie h : A0 → B0 ist, wenn sich f zu einem −1 Morphismus hσA + f : cone A → B fortsetzen l¨aßt. Aufgabe 3. Sei f : A → B ein Morphismus von Komplexen vom Grade Null. Dann existiert eine kurze exakte Sequenz 0 → B → cone f → T A → 0

(90)

von Komplexen. In der dazu geh¨origen langen exakten Sequenz . . . Hn−1 (B) → Hn−1 (cone f ) → Hn−1 (T A) → Hn (B) → . . .

(91)

der Kohomologieobjekte stimmt der Morphismus Hn−1 (T A) → Hn (B) mit Hn (f ) : Hn (A) → Hn (B) u urlicher Isomorphismus Hn−1 (T A) → ¨berein. Dazu beachte man, daß ein nat¨ n H (A) existiert. Folgerung 1. Ein Morphismus f : A → B von Komplexen vom Grade Null ist genau dann ein Quasiisomorphismus, wenn der Kegel cone f exakt ist. ¨ Wir k¨ onnen außerdem den Komplex A⊕T A⊕B betrachten. Ahnlich wie oben betrach−1 ten wir f ◦ σA als einen Endomorphismus von (A ⊕ T A ⊕ B)0 vom Grade 1. Außerdem −1 : T A → A als Endmorphismus desselben Nullkomplexes. Man rechbetrachten wir σA −1 −1 ein Differential auf dem Nullkomplex − σA net nach, daß d := dA⊕T A⊕B + f ◦ σA (A ⊕ T A ⊕ B)0 definiert. Definition 2. Der so definierte Nullkomplex (A⊕T A⊕B)0 mit dem Differential d heißt der Zylinder cyl f u ¨ber f . Wir setzen außerdem cyl A := cyl idA . Bemerkung 2. Wir haben nat¨ urliche Morphismen A → cyl f und cyl f → cone f gegeben. Aufgabe 4. Seien f, g : A → B zwei Morphismen zwischen Komplexen. Zeigen Sie, daß f −1 und g genau homotop bez¨ uglich einer Homotopie h : A0 → B0 sind, wenn f + hσA +g : (A ⊕ T A ⊕ A)0 → B0 mit dem Differential auf dem Zylinder von idA und mit dem Differential auf B vertr¨aglich ist. Sei f : A → B ein Morphismus vom Grad Null von Komplexen. Den nat¨ urlichen Morphismus B → cyl f , welcher gegeben ist durch idB , wollen wir mit α bezeichnen. Außerdem haben wir einen nat¨ urlichen Morphismus cyl f → B durch f + idB gegeben. Alle nat¨ urlichen Morphismen zwischen A, B, cone f und cyl f geben folgendes kommutatives Diagramm:

56

Lemma 1. Das Diagramm /B

0

/ cone f

/ TB

/ cone f

/0

/0

(92)

α

0

 / cyl f

/A

β

A

f

/B

kommutiert und hat exakte Zeilen. Außerdem ist βα = idB und αβ nat¨ urlich homotop zu idcyl f , so daß α und β insbesondere Quasiisomorphismen und B und cyl f zueinander kanonisch quasiisomorph sind. Beweis. Die meisten Verifikationen u ¨berlassen wir dem Leser. Wir wollen allerdings noch die Homotopie zwischen αβ und idcyl f beschreiben: es ist αβ − idcyl f = dσA + σA d,

(93)

wobei d das Differential auf dem Zylinder von f ist. Bemerkung 3. Das Diagramm k¨onnen wir noch ein wenig erweitern: sei C ein dritter Komplex und g : B → C ein weiterer Komplexmorphismus und 0 → A → B → C → 0 exakt. Dann haben wir folgendes kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen: Das Diagramm /B

0

/ cone f

/ TB

/ cone f

/0

/0

(94)

α

0

 / cyl f

/A

β

0

/A

f

/B



φ

/C

g

/ 0.

Wie man sich schnell u ¨berlegt, ist der Morphismus φ ein Quasiisomorphismus. Der Kokern eines Komplexmorphismus ist also quasiisomorph zu dessen Kegel. Aufgabe 5. Die letzten beiden Zeilen des letzten kommutativen Diagrammes geben einen Morphismus ...

/ H n (A)

/ H n (cyl f )

/ H n (cone f )

/ H n+1 (A)

/ ...

...

/ H n (A)

 / H n (B)

 / H n (C)

/ H n+1 (A)

...

(95)

von langen exakten Kohomologiesequenzen. Berechnen Sie den Morphismus H n (C) → H n+1 (A) im obigen Diagramm. (Es passen also insbesondere Kegel und Zylinder in jede lange exakte Kohomologiesequenz.)

57

Aufgabe 6. Sei f : A → B ein Morphismus zwischen Komplexen vom Grade Null. Sei g : B → cone f der nat¨ urliche Morphismus. Geben Sie eine nat¨ urliche Homotopie¨aquivalenz zwischen cone g und T A an.

4.4 Die Homotopiekategorie Sei A eine abelsche Kategorie. \ Lemma 1. Die nullhomotopen Morphismen in Kom(A) bilden ein Ideal. Damit ist folgendes gemeint: sind f : A → B und g : B → C zwei Morphismen, so ist gf nullhomotop, wann immer f oder g nullhomotop ist, und die nullhomotopen Morphismen zwischen zwei Komplexen bilden eine Untergruppe in der Morphismengruppe. Beweis. Sei f : A → B nullhomotop, also f = dh + hd f¨ ur eine Homotopie h von A nach B. Dann ist offensichtlich gf = d(gh) + (gh)d, also nullhomotop. Wir u ¨berlassen den Rest des Beweises dem Leser. Wir k¨onnen damit die Quotientenkategorie bilden: b \ Definition 1. Die Quotientenkategorie K(A) von Kom(A), deren Objekte die Ob\ ¨ jekte von Kom(A) sind und deren Morphismen Aquivalenzklassen von Morphismen in \ Kom(A) bez¨ uglich der Homotopie von Morphismen sind, heißt die (graduierte) Homob + (A), . . . . topiekategorie der Komplexe in A). Analog definiert man K(A), K b \ Bemerkung 1. Der Quotientenfunktor Kom(A) → K(A) ist ein additiver Funktor zwischen additven Kategorien. Bemerkung 2. Da zueinander homotope Morphismen denselben Morphismen auf Koho\ \ 0 (A) mologieniveau definieren, faktorisiert der Kohomologiefunktor H : Kom(A) → Kom b \ u → K(A). ¨ber Kom(A) \ Satz 1. Sei B eine Kategorie und F : Kom(A) → B ein Funktor, welcher Homotob pie¨ aquivalenzen auf Isomorphismen abbildet. Dann faktorisiert F eindeutig durch K(A). b \ Definition 2. Die Eindeutigkeit ist klar, da Kom(A) → K(A) ein Quotient ist. Sei A ein Komplex. Wir betrachten den Zylinder cyl A u ¨ber der Identit¨at von A. Der nat¨ urliche Morphismus α : A → cyl A ist eine Homotopie¨aquivalenz, weswegen also F (α) : F (A) → F (cyl A) ein Isomorphismus ist. Inverses ist F (β) : F (cyl A) → F (A) mit dem nat¨ urlichen β : cyl A → A. Wir definieren ein α0 : A → cyl A, welches auf dem Niveau der zugrundeliegenden Nullkomplexe A0 und A0 ⊕ T A0 ⊕ A0 durch die Inklusion in den ersten Summanden gegeben ist. Man rechnet βα0 = idA nach. Damit haben wir F (α0 ) = F (α)F (β)F (α0 ) = F (α)F (βα0 ) = F (α).

(96)

Diese Vorbereitung nutzen wir jetzt in der folgenden Situation: seien f, g : A → B zwei zueinander homotope Morphismen zwischen Komplexen. Daraus k¨onnen wir einen Komplexmorphismus γ : cyl A → B mit γα0 = f und γα = g definieren (Aufgabe 4 aus dem letzten Abschnitt). Damit haben wir F (f ) = F (g) gezeigt.

58

Definition 3. Sei A eine additive Kategorie und T : A → A ein Autofunktor. Dann heißt ein Diagramm der Form A → B → C → TA

(97)

ein Dreieck in A (bez¨ uglich T ). Ein Morphismus von Dreiecken ist ein Diagramm der Form A 

A0

/B

/C

/ TA

 / B0

 / C0

 / T A0 .

(98)

Wir k¨onnen damit die Kategorie T(A, T ) der Dreiecke in A definieren. u Ist ∆ : A → B → C → T A ein Dreieck, so heißt −T u

B → C → TA → C

(99)

die Rotation von ∆. \ \ Bemerkung 3. Der Autofunktor T : Kom(A) → Kom(A) f¨ ur eine abelsche Kategorie b A induziert einen Autofunktor T auf der Quotientenkategorie K(A). u b Damit haben wir den Begriff des Dreiecke in K(A). Wir nennen ein Dreieck A → B → b C → T A in K(A) exakt, wenn es isomorph zu einem Dreieck der Form /B

u

A

/ cone u

/ TA

(100)

mit u einem Morphismus vom Grade Null ist. Bemerkung 4. F¨ ur solche exakten Dreiecke ist die induzierte lange Sequenz ...

/ H iB

/ H iA

/ H iC

/ H i+1 A

/ ...

(101)

exakt. b Beispiel 1. Sei A ∈ Ob K(A). • Es ist A

0

/A

/ A ⊕ TA

/ TA

(102)

ein exaktes Dreieck, da cone(0 : A → A) = A ⊕ T A. • Es ist A

idA

/A

/0

/ TA

(103)

ein exaktes Dreieck, da cone idA = cone A homotopie¨aquivalent zum Nullobjekt ist.

59

u v \ • Sei 0 → A → B → C → 0 exakt in Kom(A), wobei u und v jeweils vom Grade Null seien. Dann ist

/ cyl u

A

/ cone u

/ TA

(104)

b ein exaktes Dreieck in K(A). b Lemma 2. Die Rotation eines exakten Dreiecks in K(A) ist wieder exakt. u

Beweis. Es reicht, die Behauptung f¨ ur ein exaktes Dreieck der Form A → B → cone u → T A zu zeigen. Dazu konstruieren wir die Homotopie¨aquivalenz ψ : T A → cone v im Diagramm B

/ cone u

B

/ cone u

/ TA  ψ  

/ cone v

−T u

/ TB

(105)

/ T B,

welche es kommutativ macht. Wir setzen ψ := idT A − T u auf dem Niveau von Nullkomplexen. Wir u ¨berlassen es dem Leser nachzurechnen, daß dies eine Komplexabbildung ist. \ Mit dieser Definition kommutiert das rechte Quadrat in Kom(A). Das mittlere Quadrat kommutiert bis auf Homotopie, es ist n¨amlich (cone u → cone v)−ψ = [d, σB ], wenn wir σB als Homotopie von cone u nach cone v auffassen. Um zu zeigen, daß ψ eine Homotopie¨aquivalenz ist, geben wir ein Homotopieinverses an: wir setzen φ := idT A aufgefaßt als Morphismus zwischen den Nullkomplexen von cone v und T A. Es gilt dann φψ = idT A und idcone v − ψφ = [d, σB ]. Wir u ¨berlassen es wieder dem Leser, dieses nachzurechnen und daß φ u ¨berhaupt ein Morphismus von Komplexen ist.

4.5 Triangulierte Kategorien Definition 1. Eine triangulierte Kategorie ist eine additive Kategorie K zusammen mit einem Autofunktor T : K → K und einer ausgezeichneten Klasse von Dreiecken in T(K, T ), den exakten Dreiecken, so daß folgende Axiome erf¨ ullt sind: u

• Zu jedem Morphismus u : A → B in K existiert ein exaktes Dreieck A → B → C → T A. id

• Das Dreieck A →A A → 0 → T A ist exakt. • Zu exakten Dreiecken isomorphe Dreiecke sind exakt. • Ein Dreieck ist genau dann exakt, wenn seine Rotation exakt ist.

60

• Sei ein kommutatives Diagramm wie /C   

/B

A 

 / B0

A0

/ C0

/ TA

(106)

 / T A0 .

ohne den gestrichelten Morphismus gegeben, so daß die beiden Zeilen exakte Dreiecke sind. Dann existiert ein Morphismus C → C 0 , der durch den gestrichelten Pfeil repr¨asentiert wird, so daß das Diagramm kommutativ wird. • Jede Pyramide kann zu einem Oktaeder erweitert werden. (Zur Definition dieser Begriffe siehe weiter unten.) Eine Pyramide ist hierbei ein Diagramm der Form A 0 Ao   

A

A

A

? CO ~~ ~ ~~ ~~

(107)

B _@ @@ }} } @@ } } @@  }~ } C 0 _ _ _ _ _ _ _/ A  

wobei die gestrichelten Linien der Form X _ _ _/ Y f¨ ur einen Morphismus X → T Y stehen sollen, mit folgenden Eigenschaften: Die rechte Seitenfl¨ache kommutiert, die obere und untere ist ein exaktes Dreieck, und die linke Seitenfl¨ache kommutiert, wenn der Morphismus z : B → C 0 durch T z : T B → T C 0 ersetzt wird. Ein Oktaeder ist eine Erweiterung einer Pyramide zu einem Diagramm der Form w

A 0 @o

? CO MMMM MMM    MMM @    MMM @  &  0 B _? B  D q ? ~ q ?? ~  ?? ~~ qq ?? q  ~ ~~~ ~ xq q C 0 _ _ _ _ _ _ _/ A @

(108)

mit den selben Konventionen f¨ ur die acht Seitenfl¨achen (man beachte, daß der Außenraum des Diagramms auch eine Seitenfl¨ache darstellt!), wobei die beiden Morphismen B → C → B 0 und B → C 0 → B 0 und die beiden Morphismen B 0 → T A → T B und B 0 → A0 → T B u ¨bereinstimmen sollen. Wir u ur triangu¨berlassen dem Leser die Definition eines passenden Funktorbegriffs f¨ lierte Kategorien. Aufgabe 1. Ist K eine triangulierte Kategorie, so ist auch K◦ in nat¨ urlicher Weise eine triangulierte Kategorie.

61

Sei im folgenden K eine triangulierte Kategorie. Lemma 1. Ist A → B → C → T A ein exaktes Dreieck, so ist A → B → C der Nullmorphismus. Beweis. Im Diagramm A

A

A

 /B

/0    

/ TA

/C

(109)

/ T A.

existiert der gestrichelt eingezeichnete Morphismus. Definition 2. Sei A eine abelsche Kategorie. Ein additiver Funktor H : K → A heißt kohomologisch, wenn f¨ ur jedes exaktes Dreieck A → B → C → T A die induzierte Sequenz · · · → H i A → H i B → H i C → H i+1 A → . . .

(110)

exakt ist, wobei wir H i X := H(T i A) f¨ ur ein Objekt X in K und ein i ∈ Z setzen. Der duale Begriff ist der des kontravarianten kohomologischen Funktors. Lemma 2. Sei U ∈ K ein beliebiges Objekt. Dann ist hom(U, ·) : K → Ab ein kohomologischer Funktor. (Wir u ur den Funktor hom(·, U ) zu for¨berlassen es dem Leser, die duale Aussage f¨ mulieren und beweisen.) Beweis. Aufgrund der Translationsinvarianz“ reicht es aus, die Exaktheit der Sequenz ” hom(U, A) → hom(U, B) → hom(U, C) u

v

(111)

w

f¨ ur ein exaktes Dreieck A → B → C → T A zu zeigen. Nach dem letzten Lemma ist zun¨achst die Komposition der beiden Morphismen der Nullmorphismus in Ab. Sei jetzt f : U → B mit vf = 0 gegeben. Wir suchen ein g : U → A mit ug = f . Dazu nutzen wir aus, daß ein Morphismus g 0 : T U → T A, existiert, so daß das Diagramm U

/0



 /C

B

/ T U −idT U / T U   0 g    / TA / TB −u

kommutiert. Wir setzen dann g = T −1 g 0 . Zwei wichtige Folgerungen aus diesem Lemma formulieren wir als Aufgaben:

62

(112)

Aufgabe 2. Sind in einem Morphismus / C[d]h

/B

A

/ TA

g

f





/ B0

A0

/ C0



(113)

Tf

/ T A0 .

von exakten Dreiecken die Morphismen f und g Isomorphismen, so gilt dies auch f¨ ur den Morphismus h. Diese Aussage heißt auch 5er-Lemma. Aufgabe 3. Ein exaktes Dreieck A → B → C → T A ist bis auf Isomorphie schon durch einen der drei Morphismen eindeutig bestimmt. Definition 3. Sei u : A → B ein Morphismus in K. Ein Kegel von u ist ein Diagramm B → cone u → T A, so daß A → B → cone u → T A ein exaktes Dreieck wird. Bemerkung 1.

• Zu jedem Morphismus existiert ein Kegel.

• Je zwei Kegel eines Morphismus sind isomorph. • Im allgemeinen k¨onnen wir die Zuordnung eines Kegels zu einem Morphismus nicht funktoriell machen. Satz 1. Seien u : A → B und v : B → C zwei Morphismen. Wir definieren w als den Morphismus cone v → T B → T cone u (nach Wahlen von Kegeln). Es gilt dann, daß T −1 cone w ein Kegel von vu ist. Beweis. Wir k¨onnen folgenden Oktaeder konstruieren: v o cone  Fv

CN }> O NNNNN } } F NNN }} F NNN  F# }}} N'  0 w vu B pB C  x `AAA p x x AA p  xx pp u AAA  { xxx p x xp cone u _ _ _ _ _ _ _/ A. 

F

(114)

v

Daran k¨onnen wir ablesen, daß B 0 ein Kegel von vu ist und daß T B 0 ein Kegel von w ist. Bemerkung 2. Es sieht u ¨brigens jeder Oktaeder wie der im Beweis oben aus. Insbesondere ist ein Oktaeder durch die rechte Seitenfl¨ache der oberen Pyramide bis auf Isomorphie bestimmt. Jetzt haben wir zwar schon einige wichtige Aussagen f¨ ur triangulierte Kategorien bewiesen, aber noch kein einziges Beispiel konstruiert. Der folgende Satz schafft dieser Tatsache Abhilfe. b Satz 2. Die Kategorie K(A) ist bez¨ uglich der im letzen Abschnitt gegebenen Definition f¨ ur exakte Dreiecke trianguliert.

63

Beweis. Wir m¨ ussen nur noch die letzten beiden Bedingungen f¨ ur eine triangulierte b Kategorie nachrechnen, da wir die ersten im letzten Abschnitt f¨ ur die Kategorie K(A) schon nachgerechnet haben. Zun¨achst gilt es zu in einem Diagramm der Form /B

u

A 

A0

/ cone u    

 / B0

u0

/ cone u0

/ TA

(115)

 / T A0 .

die Existenz des gestrichelt eingezeichneten Morphismus zu zeigen. Das folgt aber sofort aus der Funktorialit¨at der Kegelkonstruktion auf dem Niveau der Komplexkategorie \ Kom(A). Damit bleibt, das Oktaederaxiom“ zu beweisen: Dazu betrachten wir den Oktaeder ” g

v o cone  Ev

E

 

E



E

? CO QQQQQ QQQ ~~ ~ QQQ ~ ~ QQQ ~ ( ~~

(116)

v

E"

vu cone(vu) B y _@@@ n A y y n @ y  n @ yy u @@@ n n  | yyy n y vn cone u _ _ _ _ _ _ _/ A. w



f

Wir stellen uns vor, zun¨achst sei die allgemeine Pyramide links im Oktaederdiagramm b in K(A) gegeben. Diese m¨ ussen wir zum Oktaeder erg¨anzen. Dazu definieren wir f := idT A + v und g := T u + idC auf dem Niveau von Nullkomplexen. Man rechnet nach, daß diese Morphismen wirklich Komplexmorphismen sind. Es bleibt damit zu zeigen, daß f

g

cone u → cone vu → cone v → T cone u ein exaktes Dreieck ist. Dazu konstruieren wir eine Homotopie¨aquivalenz γ im folgenden Dreieck cone u

cone u

f

f

/ cone vu / cone vu

g

g

/ cone v   γ 

/ cone f

/ T cone u

(117)

/ T cone u.

Wir behaupten, daß ein passendes γ durch idT B +idC auf dem Niveau von Nullkomplexen gegeben ist. Ein Homotopieinverses von γ ist φ : cone f → cone v, auf dem Niveau von Nullkomplexen gegeben durch idT B + T u + idC . Dem Leser sei wieder u ¨berlassen nachzurechnen, daß dadurch Komplexabbildungen definiert werden, daß φγ = idcone v und daß γφ = [d, σT A ].

64

4.6 Lokalisierungen von Kategorien Sei C eine lokal kleine Kategorie. Definition 1. Sei S ⊂ Mor C eine Klasse von Morphismen in C. Eine Lokalisierung von C nach S ist eine lokal kleine Kategorie S−1 C zusammen mit einem Funktor Q : C → S−1 C, welcher Morphismen auf S auf Isomorphismen abbildet, so daß jeder Funktor F : C → D in eine weitere Kategorie D, welcher ebenso Morphismen aus S auf Isomorphismen abbildet, eindeutig u ¨ber Q faktorisiert. b \ Beispiel 1. Ist A eine abelsche Kategorie, so ist K(A) die Lokalisierung von Kom(A) nach der Klasse der Homotopie¨aquivalenzen. F¨ ur gewisse Klassen von Systemen S wollen wir jetzt die Existenz einer Lokalisierung beweisen: Definition 2. Eine Klasse S ⊂ Mor C heißt multiplikativ, falls folgende Bedingungen an S erf¨ ullt sind: • F¨ ur alle Objekte A in C ist idA ∈ S. • F¨ ur s, t ∈ S ist auch st ∈ S. • Sind Morphismen X → Y und Z → Y gegeben, so daß der Morphismus Z → Y aus S ist, so existieren Morphismen W → X und W → Z, so daß der Morphismus W → X aus S ist, und daß das Diagramm W

/Z



 /Y

X

(118)

kommutiert. (Diese Bedingung heißt auch Ore-Bedingung.) • Sind Morphismen Y → X und Y → Z gegeben, so daß der Morphismus Y → Z aus S ist, so existieren Morphismen X → W und Z → W , so daß der Morphismus X → W aus S ist, und daß das Diagramm Y

/Z



 /W

X

(119)

kommutiert. (Diese Bedingung heißt auch Ore-Bedingung.) • Seien f, g : A → B zwei parallele Morphismen. Dann existiert ein s : B → B 0 in S mit sf = sg genau dann, wenn ein t : A0 → A in S mit f t = gt existiert. Sei im folgenden S ein multiplikatives System in C.

65

f

s

Definition 3. Ein Diagramm der Form X ← X 0 → Y mit s ∈ S heißt ein Linksbruch (in C bez¨ uglich S). Wir notieren ihn auch als f s−1 : X → Y . Zwei Linksbr¨ uche X ← X 0 → Y und X ← X 00 → Y heißen ¨ aquivalent, falls ein Linksbruch X ← X 000 → Y und ein kommutatives Diagramm der Form 0

(120)

XO B BB {{ BB { BB {{ { B! { {} /Y 000 X Cao X = CC || CC | | CC | C  ||| X 00

existieren. ¨ ¨ Aquivalenz von Linksbr¨ uchen“ ist eine Aquivalenzrelation. ” Beweis. Reflexivit¨at und Symmetrie sind trivial. Daf¨ ur muß man f¨ ur die Transititivit¨at ein wenig mehr arbeiten: Dazu sei folgendes Diagramm gegeben Lemma 1.

00

0

Z C Z B BB CC {{ || B CC { | B { | B CC | { BB | { C! | { | ! }{ ~ 00 00 f X 0 XXXXXXX X f Q QQQ ffffff X XXXnXnXnn f Q nn XXX fffffQQQ nnn fffffffXfXfXXXXXXX QQQQQ n n XXXXX QQ  f  sfvnnfnfnfffff XXXQ+(

(121)

Y,

X

welches kommutieren soll und in dem X ← X 0 → Y , X ← X 00 → Y , X ← X 000 → Y , X ← Z 0 → Y und X ← Z 00 → Y Linksbr¨ uche sein sollen. Es sind also die Linksbr¨ uche X ← X 0 → Y und X ← X 00 → Y zueinander und die Linksbr¨ uche X ← X 00 → Y ¨ und X ← X 000 → Y zueinander ¨aquivalent. Wir m¨ ussen die Aquivalenz der Linksbr¨ uche 0 000 X ← X → Y und X ← X → Y zeigen. Wir erweitern mit Hilfe der Ore-Bedingung f¨ ur das Diagramm Z 0 → X ← Z 00 das Diagramm zu einem Diagramm der Form W

{ DDD DD {{ { DD {{ D! { {} 0 Z Z 00 C CC { | BBB { | BB CC {{ || B CC | { BB | { C! | { ~| ! }{ 00 00 f X X 0 XXXXXXX f QQQ fff X f XXXnXnXnn f Q f f Q nn XXX fffffQQQ nnn fffffffXfXfXXXXXXX QQQQQ n n XXXXX QQ  f  sfvnnfnfnfffff XXXQ+(

(122)

Y,

X

indem W → Z 0 ein Morphismus aus S ist. Dieses Diagramm ist fast kommutativ: nur das Quadrat mit den Ecken W , Z 0 , Z 00 und X 00 muß nicht kommutieren, w¨ahrend W →

66

Z 0 → X gleich dem Morphismus W → Z 00 → X ist und der Morphismus X 00 → X aus S ist. Damit existiert nach der letzten Bedingung f¨ ur eine multiplikatives System existiert ein Morphismus Z 000 → W aus S, so daß Z 000 → W → Z 0 → X 00 gleich dem Morphismus Z 000 → W → Z 00 → X 00 ist. Wir erhalten damit ein kommutatives Diagramm der Form Z 000

CC CC {{ CC {{ { CC { {} { ! Z 00 C Z0 C CC CC { | { | C CC CC {{ || CC | { CC | { C! | }{{ ! ~| 0 00 X XXXXXXXX X QQQ ff X 00 QfQfQfffffff XXnXnnXnXn XXXXfXffff QQQ nn nnnfffffffff XXXXXXXXXQQQQQ n n XXXXXQQ(   sfvnnfnfffff X+

(123)

Y,

X

in dem X ← Z 000 → Y ein Linksbruch ist. Damit ist alles gezeigt. Definition 4. Seien X ← X 0 → Y und Y ← Y 0 → Z zwei Linksbr¨ uche. Dann heißt ein 00 0 Linksbruch X ← X → Z eine Komposition von X ← X → Y und Y ← Y 0 → Z, falls X ← X 00 → Z ¨aquivalent zu einem Linksbruch X ← X 000 → Z ist, wobei das Diagramm X 000C

X

| || || | | ~|

zz zz z z z} z

CC CC CC C!

DD DD DD D"

zz zz z z z} z

X0 D

Y

(124)

Y0A

AA AA AA

Z

kommutiert. Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß zwei Linksbr¨ uche X ← X 0 → Y und Y ← Y 0 → Z eine Komposition besitzen. ¨ Inwiefern ist die Relation ist Komposition von“ vertr¨aglich mit der Aquivalenz von ” Linksbr¨ uchen? Definition 5. Ein multiplikatives System S heißt linksseitig lokal klein, falls f¨ ur jedes X ∈ Ob C eine Menge SX ⊆ S von Morphismen in S existiert, so daß f¨ ur jeden Morphismus X 0 → X aus S ein Morphismus X 00 → X 0 existiert, so daß X 00 → X 0 → X aus SX ist. Der duale Begriff ist rechtsseitig lokal klein“. ” Lemma 2. Ist S linksseitig lokal klein, so existiert f¨ ur je zwei Objekte X, Y von C eine Menge homS (X, Y ) von Linksbr¨ uchen derart, daß jeder Linksbruch von X nach Y aquivalent zu genau einem Linksbruch in homS (X, Y ) ist. ¨

67

Beweis. Es reicht zu zeigen, daß jeder Linksbruch von X nach Y ¨aquivalent zu einem s Linksbruch der Form X ← X 0 → Y mit einem s ∈ SX ist, denn von solchen Linksbr¨ uchen gibt es es nur mengenviele“. Das folgt aber aus der Definition von linksseitig ” ” ¨ lokal klein“ und der Definition der Aquivalenz von Linksbr¨ uchen. Sei im folgenden S linksseitig lokal klein. Satz 1. Die Lokalisierung Q : C → S−1 C existiert, und zwar k¨ onnen wir S−1 C und Q wie folgt w¨ ahlen: die Objekte von S−1 C sind die Objekte von C und Q ist auf den Objektklassen die Identit¨ at. Die Morphismenmenge zwischen QX und QY f¨ ur X, Y ∈ Ob C ist durch homS (X, Y ) gegeben. Die Komposition von Morphismen ist durch die Relation ist Kom” position von“ auf der Klasse der Linksbr¨ uche gegeben. Der Funktor Q bildet einen Morphismus f : X → Y in C auf den Linksbruch f id−1 : X ← X → Y ab (bzw. genauer auf den zu diesem Linksbruch ¨ aquivalenten in homS (X, Y )). Beweis. Zun¨achst bildet Q Morphismen aus s auf invertierbare ab, und zwar ist Q(s)−1 = idQ(s)−1 in der Linksbruchschreibweise. Wir m¨ ussen nun die universelle Eigenschaft nachrechnen. Sei dazu ein Funktor F : C → D gegeben, so daß die Morphismen aus S auf Isomorphismen in D abgebildet werden. Wir suchen einen Funktor Fˆ : S−1 C → D, so daß F = Fˆ ◦ Q. Es ist klar, wie wir Fˆ auf Objekten definieren m¨ ussen. Weiter setzen wir Fˆ (f s−1 ) = F (f )F (s)−1 f¨ ur ¨ einen Linksbruch. Das ist vertr¨aglich mit der Aquivalenzrelation. Der Leser kann sich leicht u ¨berlegen, daß so zum einen F = Fˆ ◦ Q, zum anderen aber auch, daß Fˆ so und nicht anders definiert werden muß, also eindeutig durch die Faktorisierungsbedingung bestimmt ist. Es bleibt zu zeigen, daß ein so definiertes Fˆ ein Funktor ist, d.h. sind f s−1 : X → Y und gt−1 : Y → Z zwei Linksbr¨ uche, so m¨ ussen wir Fˆ (gt−1 ◦f s−1 ) = F (g)F (t)−1 F (f )F (s)−1 zeigen. Das folgt aber sofort aus der Tatsache, daß wir ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit nach der Ore-Bedingung annehmen k¨onnen, daß f = tf 0 f¨ ur einen geeigneten Morphismus f 0 (man beachte die Definition der Komposition) und der Tatsache, daß gt−1 ◦ (tf 0 )s−1 = (gf 0 )s−1 . Bemerkung 1. Wir h¨atten auch mit Rechtsbr¨ uchen und einem rechtseitig lokal kleinem multiplikativen System arbeiten k¨ onnen. Damit k¨onnen wir Morphismen in der lokalisierten Kategorie sowohl durch Links- als auch durch Rechtsbr¨ uche darstellen. Lemma 3. Seien f, g : X → Y Morphismen in C. Dann gilt Q(f ) = Q(g) in S−1 C genau dann, wenn ein s : X 0 → X in S mit sf = sg existiert, was genau dann der Fall ist, wenn ein t : Y → Y 0 in S existiert, wenn f t = gt. ¨ Beweis. Die zweite Aquivalenz folgt aus der letzten Bedingung f¨ ur ein multiplikatives System. ¨ Die R¨ uckrichtung der ersten Aquivalenz ist trivial, da Q(s) invertierbar ist. Die Hin¨ richtung folgt aus der Definition der Aquivalenz von Rechtsbr¨ uchen.

68

Aufgabe 2. Zeigen Sie die folgende Aussage: Ist 0 ein initiales Objekt in C, so ist Q(0) initial in S−1 C. Zeigen Sie auch die entsprechende Aussage f¨ ur ein terminales Objekt in C. Aufgabe 3. Sei f¨ ur zwei Objekte X und Y von C das Objekt X × Y das Produkt. Zeigen Sie, daß Q(X × Y ) in kanonischer Weise das Produkt von Q(X) und Q(Y ) ist. Satz 2. Sei 0 ein Nullobjekt in C (insbesondere ist also Q(0) Nullobjekt in S−1 C. Dann ist f¨ ur X ∈ Ob C das Objekt Q(X) ein Nullobjekt in S−1 C genau dann, wenn in S ein Nullmorphismus 0X,Y : X → 0 → Y enthalten ist. Beweis. Die Bedingung, daß Q(X) ein Nullobjekt ist, ist gleichbedeutend damit, daß 0Q(X) und idQ(X) gleich sind, nach dem letzten Lemma also gleichbedeutend damit, daß ein s ∈ S, s : X → Y , mit s0 = s, also s = 0 existiert. −1 Aufgabe 4. Seien f1 s−1 uche. Zeigen 1 : QX → QY und f2 s2 : QX → QY zwei Linksbr¨ ¨ Sie, daß wir bis auf Aquivalenz von Linksbr¨ uchen annehmen k¨onnen, daß s1 = s = s2 .

Bemerkung 2. Aus der Aufgabe folgt, daß die Lokalisierung einer Ab-Kategorie in kanonischer Weise wieder eine Ab-Kategorie ist: die Summe der beiden Linksbr¨ uche der Aufgabe wird z.B. durch f1 s−1 + f2 s−1 = (f1 + f2 )s−1 definiert. Außerdem folgt, daß die Lokalisierung einer additiven Kategorie wieder additiv ist. Satz 3. Sei B eine volle Unterkategorie von C, so daß S ∩ B := {(f : B → B 00 ) ∈ S : B, B 00 ∈ B} multiplikativ in B ist. Gilt dann, daß f¨ ur alle C → B aus S mit B ∈ Ob B 0 0 00 ein B → C mit B ∈ Ob B und B → C → B aus S existiert, so ist der nat¨ urliche Funktor S−1 B := (S ∩ B)−1 B → S−1 C

(125)

eine volltreue Einbettung. Existiert zudem noch f¨ ur jedes Objekt C aus C ein C → B aus S mit B ∈ Ob B, so ¨ diese Einbettung eine Aquivalenz von Kategorien. Beweis. Zun¨achst existiert S−1 B, da aus der Voraussetzung schnell folgt, daß S ∩ B linksseitig lokal klein ist. Aus derselben Voraussetzung folgt, daß jeder Linksbruch in S−1 C, dessen Quelle und Ziel jeweils ein Objekt in B ist, zu einem Linksbruch, welche nur aus Morphismen aus B besteht, a¨quivalent. Damit ist der nat¨ urliche Funktor voll. ¨ Wir u uche in ¨berlassen dem Leser die Uberlegung, daß zwei nicht ¨aquivalente Linksbr¨ S−1 B auch in S−1 C nicht ¨aquivalent sein k¨onnen, woraus die Treue des Funktors folgt. Die letzte Behauptung des Satzes folgt daraus, daß unter der Zusatzvoraussetzung jedes Objekt aus S−1 C zu einem Objekt aus S−1 B isomorph ist. Bemerkung 3. Erf¨ ullt eine Unterkategorie B von C die Bedingungen des letzten Satzes, so heißt sie eine lokalisierende Unterkategorie von C.

69

4.0 Weitere Aufgaben Aufgabe 1. Sei A eine abelsche Kategorie und B eine Serresche Unterkategorie von A, das ist eine volle Unterkategorie von A, welche abgeschlossen im folgenden Sinne ist: sind in einer kurzen exakten Sequenz in A die ¨außeren beiden Objekte aus B, so gilt dies auch f¨ ur das mittlere ( Abgeschlossen unter Erweiterungen“) und B ist abgeschlossen ” bez¨ uglich der Bildung von Kernen und Kokernen. Zeigen Sie, daß die Klasse S aller Morphismen s in A mit ker f, coker f ∈ B ein linksund rechtsseitig lokal kleines multiplikatives System ist. Wir schreiben Q : A → A/B := S−1 A und nennen A/B eine Serresche Quotientenkategorie. Zeigen Sie, daß Q(X) mit X ein Objekt in A ein Nullobjekt in A/B genau dann ist, wenn X ∈ Ob B ist. Zeigen Sie, daß Q : A → A/B ein exakter Funktor zwischen abelschen Kategorien ist. Welche universelle Eigenschaft hat Q? Finden Sie ein Beispiel f¨ ur diese Situation.

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