Matematica e cultura 2010

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Matematica e cultura

Matematica e cultura

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2010

a cura di Michele Emmer

Michele Emmer Dipartimento di Matematica “G. Castelnuovo” Università degli Studi “La Sapienza”, Roma

ISBN 978-88-470-1593-7

e-ISBN 978-88-470-1594-4

DOI 10.1007/978-88-470-1594-4 © Springer-Verlag Italia 2010 (© Copyright del capitolo “Le perle veneziane: un tesoro da scoprire”: Giovanni Sarpellon) Quest’opera è protetta dalla legge sul diritto d’autore, e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e-mail [email protected] e sito web www.aidro.org. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L’utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. L’editore è a disposizione degli aventi diritto per quanto riguarda le fonti che non è riuscito a contattare. Traduzioni: Massimo Caregnato per gli articoli di C. Antonova, M. Fornasier, F. Grond; Federica Corradi Dell’Acqua per l’articolo di M. Rottmann Coordinamento editoriale: Barbara Amorese In copertina: incisione di Matteo Emmer tratta da “La Venezia perfetta”, Centro Internazionale della Grafica, Venezia, 1993 Occhielli: incisioni di Matteo Emmer, op. cit. Layout di copertina: Ikona s.r.l. Impaginazione: Ikona s.r.l. Stampa: Grafiche Porpora, Segrate, Milano Il congresso è stato realizzato grazie alla collaborazione di: Dipartimento di Matematica Applicata, Università di Ca’ Foscari, Venezia; Dipartimento di Matematica “G. Castelnuovo”, Università di Roma “La Sapienza”; Dipartimento di Matematica, Università di Bologna; Dipartimento di Scienze per l’Architettura dell'Università di Genova; Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano; Dipartimento di Matematica “F. Enriques”, Università di Milano; Dipartimento di Matematica, Università di Pisa; Dipartimento di Matematica, Università di Trento; Galileo - Giornale di scienza e problemi globali; Liceo Scientifico U. Morin di Venezia-Mestre; Liceo Marco Polo, Venezia; S. P. “Matematica: Scienza senza Frontiere”, Università di Lecce; UMI - Unione Matematica Italiana. Il congresso si è svolto nell’ambito del progetto PRIN 2007 “Matematica, arte, cultura: possibili connessioni” Stampato in Italia

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Nel lontano West

Il colonnello Kirby Yorke torna da una missione contro gli Apache, siamo alla frontiera tra USA e Messico, nel territorio del Rio Grande. Torna al suo forte sulla frontiera e incontra il generale inviato a parlare con lui. Si lamenta il colonnello: “Il caffé non è buono come quello di una volta”. “Ne prenderò nota – commenta con aria allusiva il generale – ma forse un giorno sarà migliore e più forte.” “Bevo a quel giorno”. “Peccato per vostro figlio” – aggiunge il generale. “Non so nulla”. “Mi dispiace Kirby, credevo sapeste. Bocciato in matematica a West Point, lo hanno allontanato dalla Accademia Militare”. “Davvero!” “Non è una vergogna cadere in matematica. A me pure non mi bocciarono per un pelo”.

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Nel lontano West

Dialogo delle scene iniziali del film Rio Grande (in italiano il titolo suona Rio Bravo, il che pose qualche problema quando nel 1959 Howard Hawks realizzò Rio Bravo con John Wayne e Dean Martin. In italiano questo film si chiamò Un dollaro d’onore), terzo film della trilogia di John Ford dedicata alla cavalleria Nordamericana. Film del 1950 con John Wayne nella parte del colonnello Yorke, e con Maureen O’Hara, Ben Johnson e Victor McLaglen. Morale: neppure nei territori di frontiera in lotta con gli Apache si possono trascurare gli studi di matematica! Michele Emmer

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Matematica e religione. Omaggio a Florenskij Spazio iconico, geometria non euclidea e cultura nella visione del mondo di Pavel Florenskij Clemena Antonova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pavel Florenskij, tra matematica e religione Michele Emmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curve di riempimento dello spazio nella new media art ispirata a Pavel Florenskij Florian Grond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Florenskij, l’infinito, la teologia Giorgio Israel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematica e arte Superfici di seta: la geometria negli abiti di Capucci Isabeau Birindelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pop Numbers Marco Pierini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forme matematiche: dalla formula alla forma nello spazio Michael Rottmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematica e immagini Da King Kong a Ratatouille: nuove sfide matematiche per i personaggi digitali Luca Fascione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _zur form Florian Grond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M.C. Escher e il piano iperbolico Gian Marco Todesco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matematica e cinema: novità Michele Emmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Matematica e applicazioni Pile di sabbia e dune del deserto: materia granulare e matematica Stefano Finzi Vita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 La matematica dentro l’immagine Massimo Fornasier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 La fisica degli stormi di storni in volo Fabio Stefanini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Matematica e… Prezzi nel caos Marco Abate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Matematica e sincerità Marco Li Calzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Matematica e letteratura Percorsi Michele Emmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Matematica: passione giovanile di Stendhal Michele Emmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Conti e racconti: la scienza come laboratorio creativo Robert Ghattas, Daniele Gouthier, Stefano Sandrelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Matematica e musica Dianaballo Davide Amodio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Matematica e danza Incontrare la scienza a passo di danza: flamenco Samuela Caliari, Silvia Rensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Venezia Le perle veneziane: un tesoro da scoprire Giovanni Sarpellon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Matematica e religione. Omaggio a Florenskij

Spazio iconico, geometria non euclidea e cultura nella visione del mondo di Pavel Florenskij C. Antonova Pavel Florenskij, tra matematica e religione M. Emmer Curve di riempimento dello spazio nella new media art ispirata a Pavel Florenskij F. Grond Florenskij, l’infinito, la teologia G. Israel

Spazio iconico, geometria non euclidea e cultura nella visione del mondo di Pavel Florenskij di Clemena Antonova

La costruzione dello spazio pittorico nelle icone medievali, o la cosiddetta “prospettiva rovesciata”, è per molti aspetti un problema intellettuale tipicamente russo. Sebbene l’espressione “prospettiva rovesciata” sia stata originariamente coniata in tedesco da Oscar Wulff in un articolo del 1907 [1], la questione dello spazio nell’arte delle icone, nel mondo occidentale, non è mai stata assurta a interesse accademico sistematico. È interessante rilevare che l’unica obiezione seria alla posizione di Wulff fu quella di Karl Doehlemann nel 1910 [2], mentre Panofsky fece menzione della disputa Wulff-Doehlemann in una breve nota a piè di pagina nel suo testo Perspective as a Symbolic Form [3]. A parte questo episodio, l’espressione “prospettiva rovesciata” è entrata nell’uso comune senza grandi opposizioni ed è sempre stata intesa nell’ottica di Wulff, vale a dire riferendosi al principio di costruzione spaziale tipica dell’arte bizantina, per cui le linee parallele vengono rappresentate come divergenti piuttosto che convergenti, come avviene in lontananza nel normale spazio lineare1. La situazione all’interno dell’ambiente accademico russo era molto diversa. Mentre Wulff, che proveniva da una famiglia tedesca di San Pietroburgo, dove studiò prima di trasferirsi in Germania, era molto noto e le sue opinioni erano ampiamente accettate, l’intera questione della “prospettiva rovesciata” divenne un problema tale da mobilitare filosofi religiosi, semiologi culturali, ma anche matematici. Nel contempo, la teoria di Wulff veniva ulteriormente elaborata e arricchita, in molti casi tanto da non essere più riconoscibile. Probabilmente nessuna nozione appare più entusiasmante e allo stesso tempo problematica dell’idea che lo spazio delle icone può essere inteso come analogo alla geometria non euclidea. L’idea fu avanzata per la prima volta da Pavel Florenskij (1882-1937), filosofo religioso e sacerdote che aveva studiato matematica e fisica. Il pensatore russo concentrò l’attenzione su una carat-

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Abbiamo messo in discussione tale punto di vista in [4] e l’ho ulteriormente contestato in [5].

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teristica comune dello spazio nelle icone e cioè la frequente rappresentazione delle linee rette come curve. Questo trattamento delle linee, secondo Florenskij, origina una curvatura generale dello spazio iconico, che presenta analogie con lo spazio ricurvo della geometria non euclidea. Se questa ipotesi viene vista nel contesto della filosofia dell’icona di Florenskij, che egli espose in una serie di opere, ciò che traspare, credo, è il contrasto tra lo spazio euclideo e quello non euclideo, in cui quest’ultimo può essere interpretato come una proposta di modello opposto al primo, che sostiene una visione del mondo moderna, secolare, kantiana. Nel presente lavoro analizzerò la proposta di Florenskij sulla base delle reazioni alla geometria non euclidea registratesi in Russia. Mostrerò come il problema matematico e scientifico della geometria non euclidea sia stato raccolto da scrittori, poeti e artisti russi e trasformato in una metafora. Il punto di vista di Florenskij su questo tema nel contesto della sua critica sull’arte delle icone non ha stimolato, per quanto ne sappia, nessun interesse di tipo accademico. Allo stesso tempo è importante, in quanto suggerisce, da un lato, una spiegazione fondamentalmente nuova della “prospettiva rovesciata” mentre, dall’altro lato, è indicativo della dimensione tipicamente russa della metafora della geometria non euclidea. L’appropriatezza dell’applicazione del concetto ottocentesco di geometria non euclidea a una pratica artistica medievale è, naturalmente, discutibile. Allo stesso tempo, l’ipotesi di uno spazio curvo/concavo può potenzialmente contribuire alla spiegazione dello spazio iconico, il quale non ha ancora ricevuto la dovuta attenzione.

La geometria non euclidea in Russia: dalla scienza alla metafora Il contributo russo alla storia della geometria non euclidea è ben noto. Il primo sistema di geometria non euclidea fu elaborato all’inizio del XIX secolo da Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792-1856), professore all’università di Kazan in Russia, in maniera indipendente dall’ungherese Janos Bolyai (1802-1860). Una seconda variante fu proposta più tardi dal matematico tedesco Riemann (1826-1866). In parole semplici, le geometrie non euclidee negano il quinto postulato di Euclide, o postulato delle parallele, l’implicazione del quale è che, per un punto non appartenente a una data linea retta, è possibile tracciare una e una sola retta parallela alla retta data. Per Lobačevskij, Riemann e altri si può tracciare più di una retta parallela per tale punto, ma soprattutto – e fatto ancora più importante per altri scopi – entrambi i tipi di geometrie suggeriscono la possibilità di uno spazio curvo. L’idea di spazio curvo tornò alla ribalta negli anni Venti del Novecento con la teoria della Relatività Generale di Einstein, avanzata nel 1916 (l’idea della curvatura del continuum spaziotemporale non era presente nella teoria della Relatività Speciale del 1905). È facile capire perché le avanguardie russe degli anni Venti, ma anche altrove, fossero attirate dall’idea di spazio curvo. In termini artistici, lo spazio curvo mette

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in discussione le premesse stesse su cui si basa la costruzione della prospettiva lineare, e l’arte modernista si caratterizzava per una appassionata rivolta contro la prospettiva classica. In termini filosofici, è una sfida alla filosofia di Kant che presuppone che gli assiomi della geometria siano a priori, cioè non possano essere appresi con l’esperienza e siano insiti in noi. La possibilità stessa di immaginare altre geometrie mette in questione questa posizione e, per implicazione, insidia la visione del mondo kantiana. Entrambe queste idee – la sfida alla prospettiva lineare classica nell’arte e alla filosofia kantiana – trovarono ampia risonanza in Russia, ma furono anche colorite dagli sviluppi intellettuali locali. L’insoddisfazione sulla prospettiva come veniva praticata nell’arte occidentale sin dal Rinascimento faceva parte anche di un movimento più ampio di riscoperta dell’icona russa medievale, che aveva radici nella seconda metà dell’Ottocento. La posizione anti-kantiana, d’altra parte, era aspetto integrante della filosofia religiosa russa e tema ricorrente associato a quest’area del pensiero filosofico. L’interesse di alcune figure di spicco dell’avanguardia russa per la geometria non euclidea negli anni venti va interpretata sullo sfondo di questo contesto. Negli anni precedenti era apparsa una serie di pubblicazioni sull’argomento. Già nel 1893, in occasione del centenario della nascita di Lobačevskij, furono messe in circolazione traduzioni in russo delle opere di Riemann, Hermann von Helmholtz (a cui si deve in gran parte la disseminazione della geometria non euclidea presso un pubblico profano) e altri. A.V. Vasiliev dell’università di Kazan curò un libro, intitolato Noviie idei v matematike (Nuove idee in matematica) (1913), che comprendeva una serie di testi sull’argomento, tra cui uno scritto di Ernst Mach sulla percezione del senso. Un altro laureato in matematica a Kazan e uno dei più importanti poeti futuristi, Velimir Khlebnikov (1885-1922), rivelò un interesse costante per la geometria non euclidea, che per lui come per gli altri, divenne un simbolo di libertà. In una poesia dedicata al ribelle cosacco Stepan Razin, Khlebnikov si definisce “un Razin sotto il nome di Lobačevskij”. El Lissitzky, così come Matyushin, rivelarono nella loro arte e nei loro scritti una preoccupazione rispetto allo spazio curvo e anche presso di loro è il concetto di libertà a essere fondamentale. Il caso di Khlebnikov è interessante in quanto, per qualcuno che avesse familiarità con il lato matematico e scientifico della questione, egli scelse intenzionalmente di trasformare la geometria non euclidea in metafora. In questo senso, Khlebnikov assomiglia a Florenskij, che, similmente, era un matematico e, similmente, si riferiva alla geometria non euclidea in maniera metaforica. L’approccio di Florenskij, tuttavia, trova un precursore più immediato e diretto in Dostoevskij, in quanto entrambi usarono la geometria non euclidea come mezzo per problematizzare e andare dritto al cuore di una visione del mondo profondamente cristiana. In definitiva, l’ipotesi di Florenskij su cui ci stiamo concentrando appartiene nello spirito al problema sollevato dal personaggio di Dostoevskij Ivan Karamazov in quello che probabilmente è uno dei passaggi più noti della letteratura russa [6]:

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Posto che Dio esista, e che abbia realmente creato la terra, questa, come tutti sappiamo, è stata creata secondo la geometria euclidea, e l’intelletto umano è stato creato idoneo a concepire soltanto uno spazio a tre dimensioni. Vi sono stati, invece, e vi sono anche ora, geometri e filosofi, e anzi fra i più grandi, i quali dubitano che tutta la natura, o più ampiamente, tutto l’universo, sia stato creato secondo la geometria euclidea [...]. Umilmente riconosco che in me non c’è nessuna capacità di risolvere problemi simili: in me c’è una mente euclidea, terrestre, e come potrei pretendere di ragionare su ciò che non è di questo mondo?

Come ho già osservato precedentemente (si veda [7]), la preoccupazione costante di Florenskij sull’icona non riguarda affatto semplicemente la storia dell’arte, dal momento che l’immagine sacra fornisce un contesto per giudizi su quelli che per l’autore russo erano i problemi più importanti e urgenti della cultura moderna. Tracciare un collegamento tra la geometria non euclidea e lo spazio iconico è più che un concetto intrigante, in quanto sostanzialmente si riduce all’implicita asserzione che l’icona, nella sua contestualizzazione in una visione del mondo religiosa – presumibilmente, è l’icona russa che Florenskij ha in mente – può offrire un modello alternativo di visualizzazione rispetto a quello dominante dal Rinascimento e in particolare dall’Illuminismo.

Lo spazio curvo delle icone Probabilmente il contributo più importante degli scritti russi sulla “prospettiva rovesciata” è la dimostrazione che lo spazio dell’icona è altamente complesso, molto più di quanto qualsiasi altra caratteristica osservata da autori vari possa suggerire. Chiaramente nello spazio iconico vi è molto di più che una semplice rappresentazione di linee parallele come divergenti in lontananza (come suggerì Wulff) o la concezione gerarchica della dimensione delle figure, per cui i personaggi più importanti sono raffigurati in dimensioni maggiori di quelli meno importanti (come sostenne Doehlemann). Fu Florenskij a notare per primo l’interessantissimo fenomeno dei “piani supplementari” dell’icona, cioè la frequente rappresentazione di diversi lati di un oggetto, che non potevano essere visti da una posizione fissa allo stesso momento. Pertanto, gli edifici possono essere raffigurati con i piani laterali uniti al prospetto, le facce dei santi presentano vedute di profilo unite al viso, ecc.2. L’attenzione posta sulla curvatura dello spazio iconico è un’ulteriore preziosa deduzione. D’altra parte, però, si può osservare che gli autori russi non sono riusciti a produrre una teoria convincente sullo spazio iconico, come si evince chiaramente dalle 2

Parlo più dettagliatamente della nozione di Florenskij di “piani supplementari” nel mio prossimo libro [5], in cui fornisco anche degli esempi di immagini.

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tante contraddizioni che si riscontrano nelle opere russe, a partire da Florenskij. Colpisce il fatto che Florenskij sembrasse non capire che mentre i “piani supplementari” dell’icona funzionano bene insieme entro un sistema di spazio curvo, sia i “piani supplementari”, sia lo spazio curvo screditano la posizione di Wulff, che l’autore russo e i suoi seguaci accettano implicitamente. L’idea di Wulff che la “prospettiva rovesciata” ribaltasse le leggi della prospettiva classica presuppone comunque (come la prospettiva classica) uno spazio lineare. L’idea di Florenskij di spazio curvo è entusiasmante proprio perché presuppone che la natura stessa dello spazio iconico sia fondamentalmente differente da quella di spazio lineare. Florenskij fa riferimento alla geometria non euclidea in molti dei suoi testi che affrontano il problema dell’icona. Considererò qui, in particolare, il suo classico saggio Reverse Perspective, scritto nel 1919 e presentato l’anno seguente al Dipartimento Bizantino dell’Istituto di Ricerca Artistica e Storica e Museologia di Mosca. Quest’opera non solo influenzò enormemente autori russi successivi come Lev Zhegin e Boris Uspensky3, ma rivelò anche la coesistenza di idee in mutua esclusione, come detto in precedenza. Annunciandosi promettente, il testo di Florenskij comincia con un breve paragrafo sui “piani supplementari”, un concetto più tardi abbandonato in favore della discussione poco proficua sul fatto che la “prospettiva rovesciata” ribalti le regole della prospettiva lineare. Ed è nel contesto dell’opposizione tra la prospettiva “rovesciata” e quella lineare che viene citato Euclide. Florenskij delinea sei presupposti per la prospettiva lineare, che ritiene essere falsi, un’opinione giustificata da ricerche scientifiche ottocentesche, svolte in particolare in Germania e in Austria. La “prospettiva rovesciata” non condivide tali presupposti ed è pertanto definita attraverso la loro negazione. Ci concentreremo qui sul primo e fondamentale presupposto, dal quale derivano tutti gli altri, e cioè quello dello spazio euclideo. La prospettiva lineare si basa sulla nozione per cui viviamo in uno spazio euclideo tridimensionale, del quale la nostra visione ci offre degli esempi, ai quali la prospettiva pittorica fornisce una forma visiva permanente. Tuttavia, come osservato da Ernst Mach, vi sono tre livelli differenti che devono essere distinti nel problema dello spazio, del quale lo spazio geometrico astratto è solo un caso particolare. Per quanto riguarda lo spazio fisico, non c’è ragione per sostenere che sia euclideo [8], [9]. E nemmeno lo spazio fisiologico è euclideo e, secondo Mach [10]4, se accettiamo che lo spazio fisiologico sia innato in noi, esso presenta troppe poche somiglianze con lo spazio geometrico per permetterci di vedere in esso una base sufficiente per una geometria avanzata a priori (in senso kantiano).

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Sul trio Florenskij-Zhegin-Uspensky, si veda l’articolo [4]. La fonte originale di Mach è andata persa.

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E ancora [10]5: Lo spazio geometrico è della stessa natura in ogni luogo e in tutte le direzioni; è sconfinato e, usando l’accezione di Riemann, infinito. Lo spazio visivo è circoscritto e finito e, oltretutto, la sua estensione è diversa in direzioni diverse, come un rapido sguardo alla “volta del cielo” appiattita ci insegna.

Come già detto, le premesse della prospettiva lineare non sono valide nel caso della prospettiva rovesciata. Lo spazio dell’icona non segue le leggi euclidee. Florenskij non approfondisce questo punto, ma la sua argomentazione tende evidentemente verso la teoria, esposta in un altro testo, che lo spazio pittorico dell’icona ci fornisca degli esempi visivi di geometria non euclidea. È interessante notare quali fossero i riferimenti di Florenskij. L’autore russo non cita Riemann direttamente, ma attraverso Ernst Mach, che era noto per l’accessibilità dei suoi scritti. Riemann, come si è già avuto modo di ricordare, sviluppò il secondo, successivo esempio di geometria non euclidea. Come ha osservato Linda Henderson, egli costituì un interesse particolare per i Cubisti, con le sue idee della curvatura variabile delle superfici o degli spazi, da cui deriva il fatto che le figure possano “torcersi” quando vengono spostate [13]. Ciò che è meno noto è che Riemann rappresentò un’ispirazione per la critica russa sull’immagine medievale. L’idea di uno spazio che sia non solo curvo, ma che abbia anche una curvatura variabile, ed entro il quale il profilo degli oggetti possa mutare a seconda della curvatura, può di fatto aiutare a comprendere la natura complessa dello spazio iconico. Tuttavia, Florenskij tralascia un’analisi visiva concreta di queste posizioni fondamentalmente teoriche. Se vogliamo vedere come la curvatura dello spazio iconico funziona in termini visivi dobbiamo rivolgerci altrove. Lev Zhegin, artista e amico di Florenskij, offre nel suo testo Iazik zhivopisnogo proizvedeniia (Il linguaggio dell’opera d’arte) (1970) il commentario più completo, con dovizia di materiali visivi, su idee che derivano per lo più da Florenskij. Soprattutto, egli sembra aver compreso l’importanza dei riferimenti frammentari di Florenskij alla geometria non euclidea e usa costantemente il termine “sistema di concavità” (sistema vognutosti) come sinonimo di “prospettiva rovesciata”, che è “diverso dal sistema di Euclide” [14]. In questo sistema, la linea dell’orizzonte diventa arcuata, mentre gli oggetti e le figure si incurvano (vigibaetsia). Questo fenomeno sta alla base di molte “deformazioni” dal punto della prospettiva classica delle forme e delle figure nella “prospettiva rovesciata”. Le forme rettangolari vengono spesso trattate come se fossero disegnate su una superficie concava. Ciò si palesa chiaramente nelle forme geometriche semplici, per esempio l’edificio dipinto in un

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Tratto da [11] e [12].

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Fig. 1. “Maria riceve l’abito viola”, particolare, Kahriye Camii, Costantinopoli, c. 1304, nartece interno, spicchio di volta 3, Ovest, lunetta del muro

affresco della Kahriye Camii a Istanbul (Fig. 1). Mentre la struttura sulla destra mantiene la sua forma rettangolare, quella sulla sinistra presenta una forma curva piuttosto inusuale, che può essere interpretata come il risultato della curvatura della forma originariamente rettangolare su di una superficie concava. Una delle forme più caratteristiche della “prospettiva rovesciata”, secondo Zhegin, è la forma cosiddetta “a barile”, per cui le linee che si possono ritenere essere oggettivamente rette e parallele vengono rappresentate come arcuate. Nell’interpretazione molto comune del trono nelle composizioni del Cristo seduto o della Vergine con Bambino, i lati obiettivamente dritti del trono sono rappresentati come curvi (Fig. 2). Alle volte, soltanto una delle linee appare arcuata, mentre le altre rimangono rette, come per esempio nelle rappresentazioni della tavola nell’Ultima Cena o nella Trinità del Vecchio Testamento. Così, nell’affresco di Teofane il Greco a

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Fig. 2. Deformazioni “a barile”: (a sinistra in alto) Scuola di Novgorod, XIII sec.; (a sinistra in basso) particolare di icona, XII sec.; (a destra) particolare di miniatura Italia, XIII sec.; particolare di icona

Velikij Novgorod (Fig. 3) il tavolo attorno al quale i tre angeli sono seduti presenta il lato inferiore dritto e il lato superiore ricurvo. Succede la stessa cosa con il tavolo nell’opera di Dionisio (Fig. 4). L’elenco degli esempi potrebbe continuare e alcuni tra di essi sono molto più complicati. Per esempio, in alcuni casi le figure mostrano una fessura (nadlom) nel mezzo, come nel rilievo su cui si concentra Zhegin (Fig. 5). Nessun altro caso, tuttavia, è intrigante come il fenomeno delle “piccole colline iconiche” (ikonnie gorki) (Fig. 6). Lo strano aspetto del tipico paesaggio nelle icone è dovuto al trattamento delle forme cubiche nel sistema di concavità, spiega Zhegin. Ritroviamo una serie di molte altre “piccole colline iconiche” nell’arte bizantina e russa, ma anche nell’arte italiana del Duecento e del Trecento.

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Fig. 3.Teofane il Greco, La sacra famiglia, 1378, Cattedrale della Trasfigurazione, Velikij Novgorod, Russia; affresco Fig. 4. Dionisio, Le nozze di Cana, 1500-1502; particolare di affresco

Fig. 5. (a sinistra) Fessura al centro della forma (al centro della fronte), Tavola V in Zhegin: San Nicola, Scuola di Novgorod, XVI sec.; (a destra) particolare di icona Chiesa di San Giorgio, Yurievo-Polsko, Russia, 1230-1234; particolare di un rilievo

Conclusioni Abbiamo qui illustrato l’applicazione delle idee derivanti dalla geometria non euclidea nell’opera del matematico e filosofo russo Pavel Florenskij. Il fatto che la geometria non euclidea abbia attratto l’attenzione di vari artisti d’avanguardia nell’Europa occidentale e nella Russia è risaputo. È pratica comune ricercare un’eco di queste idee in un contesto che va oltre i grandi nomi delle avanguardie. L’uso di Florenskij della geometria non euclidea per sostenere una visione del mondo

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Fig. 6. Mosè riceve le tavole della legge, foglio 155v, Bibbia del Patrizio Leone, ca. 930-940, 41x27 cm, Biblioteca Vaticana Roma

Spazio iconico, geometria non euclidea e cultura nella visione del mondo di Pavel Florenskij 13

cristiana di cui l’icona diviene l’espressione visiva può sembrare sorprendente. In realtà, il suo approccio rientra comunque in un’appropriazione tipicamente russa delle nozioni scientifiche. Allo stesso tempo, però, Florenskij avanza un’interpretazione del tutto originale dello spazio iconico. Purtroppo, la sua ipotesi è stata lasciata in forma frammentaria. Il presente lavoro rappresenta un tentativo di compiere il primo passo nella direzione della ricostituzione delle parti mancanti.

Bibliografia [1] O. Wulff (1907) Die umgekehrten Perspektive und die Niedersicht. Eine Raumanschaungsform der altbyzantischen Kunst und ihre Fortbildung in der Renaissance, in: Kunstwissenschaftliche Beiträge A.Schmarsow gewidmet, Leipzig [2] K. Doehlemann (1910) Zur Frage der sog.’umgekehrten Perspektive, Repertorium fur Kunstwissenschaft, Berlino, Germania [3] E. Panofsky (1991) Perspective as a Symbolic Form, Zone Book, New York, USA [4] M. Kemp, C. Antonova (2005) “Reverse Perspective”: Historical Fallacies and an Alternative View, in: M. Emmer (a cura di) (2005) The Visual Mind II, Cambridge, Mass., pp. 399-433 [5] C. Antonova (2009) Space, Time, and Presence in the Icon, Ashgate Publishers, U.K. [6] F. Dostoevskij (1993) I fratelli Karamazov, Einaudi, Torino, p. 314 [7] C. Antonova (April 2008) “Beauty Will Save the World”: The Revival of Romantic Theories of the Symbol, in: P. Florensky’s Works, Slavonica, vol.14, number 1, pp. 44-56 [8] P. Florenskij (2001) Obratnaia perspektiva, in: P. Florenskij (a cura di) (2001) Khristianstvo i kul’tura, A. Filolenko, Mosca, p. 88 [9] P. Florenskij (2002) Reverse Perspective, in: P. Florensky (a cura di) (2002) Beyond Vision: Essays on the Perception of Art, N. Misler, London, p. 265 [10] P. Florenskij (2002) op. citata, p. 89; p. 267 [11] E. Makh (1908) Analiz oshchushenii, Mosca, p. 354 [12] E. Mach (1959) The Analysis of Sensations and the Relation of the Psychical to the Physical, Dover Publication, New York, p. 181 [13] L. Henderson (1983) The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art, Princeton University Press, Princeton, 2nd Edition MIT Press, Cambridge (2010), p. 6 [14] Zhegin (1970) Iazik zhivopisnogo proizvedeniia, Mosca, p. 66

Pavel Florenskij, tra matematica e religione di Michele Emmer

Pavel Florenskij nasce a Evlach (Azerbaigian) il 9 gennaio 1882. Infanzia a Tbilisi dove va a scuola sino al Liceo. Nel 1897, viaggio in Germania. Interessi verso le scienze naturali, la botanica, la matematica e la fisica. Nel 1900 si iscrive alla facoltà di fisica e matematica dell’Università di Mosca. Partecipa anche alle lezioni di filosofia antica e di psicologia alla facoltà di Storia e filosofia. Nel 1904 si laurea in matematica con una tesi sul Principio di discontinuità applicato alle rette geometriche, la particolarità delle curve piane come luoghi di violazione della discontinuità. Entra in contatto con l’opera di Cantor e la teoria degli insiemi. Gli viene offerto di restare all’università, ma si iscrive alla Accademia Teologica di Mosca che frequenta sino al 1908. In particolare, oltre agli scritti di teologia scrive i primi saggi filosofico-scientifici, tra cui nel 1904 I simboli dell’infinito. Saggio sulle idée di G. Cantor.

Fig. 1. Pavel Florenskij nel 1911

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Nel 1908 si laurea in teologia con la tesi Sulla verità religiosa. E gli viene assegnata la cattedra di storia della filosofia dell’Accademia Teologica. Nel 1911 diventa prete ortodosso. Dopo la rivoluzione del 1917, dopo la chiusura dell’Accademia Teologica, Florenskij accetta di essere responsabile della Commissione per la salvaguardia dei monumenti della Lavra di San Sergio, in russo Troïtsé Serghiéva Làvra, ove Troïtsé significa Santa Trinità e Làvra insieme importante di monasteri. Insomma il Monastero della Santa Trinità e di San Sergio. La struttura è composta di dodici chiese e di due dozzine di costruzioni circondate da un alto muro bianco di fortificazione munito di imponenti torri. Il monastero fu fondato nel 1345 da uno dei più venerati santi russi, Sergio di Radonež, che, insieme al fratello Stefano Radonež, costruì una chiesa di legno in onore della Santa Trinità all’interno dei boschi presso la collina Makovets, a pochi chilometri dalla città di Radonež. Nel 1921 a Florenskij viene assegnata la cattedra ai Laboratori tecnico-artistici superiori di Stato (VChUTEMAS) in russo Вхутемас, acronimo di Высшие художественно-технические мастерские (Vysshie CHUdozhestvenno-TEchnitchesskie MASterske, Atelier superiore d’arte e tecnica) a Mosca. In particolare l’insegnamento ai Laboratori, e le ricerche scientifiche sulla geometria e sulle teorie dello spazio lo spingono a pubblicare Gli immaginari in geometria [1], subito censurata dal regime Sovietico per alcune tesi legate alla

Fig. 2. Monastero della Santa Trinità e di San Sergio negli anni venti

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concezione metafisica dello spazio nella Divina Commedia (1922) e Analisi della spazialità e del tempo nelle opere d’arte figurative (1924-25) [2].

Fig. 3. L’architettura al VChUTEMAS, copertina libro di El Lissitzky, 1927

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Scrive Valentini1: Malgrado la notevole varietà dei temi trattati, questa fase di attività si caratterizza per un ardito ripensamento del concetto di forma, per una compiuta interpretazione simbolica della realtà e per l’individuazione dei profondi nessi ontologici tra l’uomo e ogni espressione della sua attività, fisica, intellettuale e spirituale, nessi che fanno parte dell’infinita rete di rapporti tra le persone e le cose dell’universo, concepito come un unico organismo.

Nel 1927 Florenskij è nominato coredattore della Enciclopedia Tecnica, cura centoventisette voci. Nel 1928 viene arrestato e rilasciato per intercessione della moglie di Maxim Gorkij. Nel 1930 è vicedirettore dell’Isituto Elettrotecnico K. A. Krug e nel 1931 membro della direzione centrale per lo studio del materiale elettroisolante. Il 26 febbraio 1933 è arrestato di nuovo, con la falsa accusa di fare parte di un’organizzazione controrivoluzionaria. Aveva in realtà continuato l’attività di prete ortodosso insieme a quella di scienziato al servizio del governo Sovietico. Il 26 luglio 1933 è condannato a 10 anni di lavori forzati con l’imposizione di proseguire nei lavori scientifici. In base a un’accusa costruita dal KGB (gli atti sono stati consegnati alla famiglia solo negli anni Novanta) viene condannato e condotto nel lager di Skovorodino nella Siberia occidentale. Il 1° settembre 1934 viene trasferito nel lager delle isole Solovki nel Mar Bianco. Dove continua la sua attività di scienziato in diversi campi, dall’estrazione dello iodio e dell’agar dalle alghe marine, dalla chimica alla botanica. Il 25 novembre 1937 Florenskij è condannato a morte, viene trasferito dalle isole Solovki a Leningrado e fucilato l’8 dicembre 1937 in un bosco vicino alla città. Luogo sconosciuto.

L’interesse per la matematica Florenskij si laurea in matematica sotto la direzione di Nikolaj Vasil’evic Bugaev (1837-1903), tra l’altro il fondatore della Società Matematica di Mosca. Scrive Valentini2: Il giovane Florenskij ne resta fortemente attratto, soprattutto per la particolare rilevanza filosofica che viene ad assumere la prospettiva matematica proposta dal maestro e per le sue molteplici implicazioni gnoseologiche… Il matematico

1 2

P.A. Florenskij (2007) op. citata, p. LXIX. P.A. Florenskij (2007) op. citata, p. XXXII.

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Bugaev è tra i primi a riconoscere l’importanza dello studio delle funzioni discontinue, grazie alle teorie elaborate dai matematici francesi Emile Borel, Renè-Louis Baire ed Henri Lebesgue, ma è soprattutto con l’apporto decisivo della teoria degli insiemi elaborata da George Cantor che la teoria delle funzioni discontinue assume una sua elaborazione compiuta. All’inizio del XX secolo la scuola di Mosca, grazie alla svolta compiuta da Bugaev e portata a maturazione da alcuni suoi discepoli ed eminenti matematici quali Dmitrij F. Egorov e Nikolaj N. Luzin divenne una delle scuole di rilevanza mondiale.

Florenskij è molto stimolato dall’ambiente che lo spinge ad approfondire e a cogliere le connessioni più profonde fra alcune prospettive matematiche e altre filosofiche e teologiche. Nella nota autobiografica che Florenskij scrisse quando entrò nella redazione del Dizionario Enciclopedico dell’Istituto Bibliografico Granat si legge tra l’altro3: All’università si trova a lavorare in un’atmosfera impregnata dalle idée sulla teoria delle funzioni di variabile reale e dalla personalità di N. V. Bugaev.

Nell’estate del 1903 Bugaev muore, mentre Florenskij sta elaborando la tesi di dottorato. La tesi di Florenskij è discussa l’anno successivo. Molto citati nel lavoro, oltre a Cantor, Peano e Borel. Tuttavia nonostante l’interesse suscitato per le sue tesi, e malgrado l’offerta di restare all’università con concrete possibilità di inserimento, Florenskij decide di lasciare e si iscrive alla Accademia Teologica di Mosca, anche se le sue ricerche degli anni giovanili non verranno mai abbandonate. Scrive molti anni dopo S.S. Demidov4 che: egli fu in grado di lasciare una traccia indelebile nella storia della matematica di Mosca, e questo è un caso davvero unico

visto che la sua presenza fu limitata ai quattro anni di studio. Aggiunge Valentini5 che: la matematica, la cui purezza di pensiero è colta chiaramente già all’inizio della sua formazione, resterà una costante del suo periodo di ricerca, al punto di considerarla una tappa essenziale per la conoscenza dei fenomeni concreti che sono alla base della visione del mondo. Il che lo porterà a raccomandarne ai figli lo studio con la motivazione: La matematica è la più importante delle

3 4 5

P.A. Florenskij (2007) op. citata, p. 4. P.A. Florenskij (2007) op. citata, p. XXIV. P.A. Florenskij (2007) op. citata, pp. XXXV-XXXVI.

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scienze che formano il pensiero: essa approfondisce, precisa, generalizza e lega in un unico modo la visione del mondo, educa e sviluppa, dà un approccio filosofico alla natura.

In una lettera dal lager delle Solovki aggiunge, a proposito dello studio della matematica, “da noi invece la presentano come una disciplina morta che non serve a nessuno terrorizzando gli studenti”. Dallo studio della teoria degli insiemi Florenskij indaga su un ripensamento del concetto di infinito [3]. Scrive ancora Valentini6 che: la matematica per Florenskij riguarda non tanto i numeri in senso stretto, quanto le strutture necessarie del pensiero, le quali corrispondono alle strutture ontologiche del mondo. A conferma cita il pensatore russo Alexej Fëdorovic Losev (1893-1988) che poco prima di morire così scrisse a proposito della stretta identità tra filosofia e matematica: Di solito le cose stanno così: la filosofia parla dell’infinito, ma non parla di matematica. La matematica è farcita di teorie dell’infinito ma non dice una parola oltre i confini delle sue sfere, non parla di filosofia. In Florenskij abbiamo un approccio globale. Per lui l’infinito non è un concetto nè ideale nè materiale, ma è vivo e per questo motivo viene percepito in maniera sensibile.

Conclude Valentini7 che: Qualsiasi affermazione matematica non solo ha un significato filosofico ma risulta essere una affermazione filosofica. Proprio a questo aspetto della matematica era rivolta la sua attenzione. La matematica come pura tecnica o perfetto esercizio della logica formale lo interessava poco. Ciò che più lo attraeva era invece la matematica come scienza dell’infinito percepibile dell’esistenza.

Aggiunge Florenskij nella autobiografia8: Egli vede nella matematica il primo ed indispensabile presupposto della concezione del mondo, ma è proprio nell’autoreferenzialità della matematica che individua la causa della sua sterilità culturale: gli impulsi che spingono la matematica vanno attinti – da un lato – dalla concezione del mondo, e dall’altro da uno studio sperimentale del mondo e della tecnica. 6 7 8

P.A. Florenskij (2007) op. citata, p. XXXVIII. P.A. Florenskij (2007) op. citata, p. XXXVIII. P.A. Florenskij (2007) op. citata, p. 10.

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Fig. 4. La sede del VChUTEMAS

L’insegnamento ai Laboratori e le ricerche scientifiche sulla geometria e sulle teorie dello spazio La storica dell’arte Ekaterina Nekrasova (1905-1989) ricordava Pavel Florenskij durante gli anni della sua attività presso l’Accademia Russa di scienze artistiche (RAKhN, Rossiiskaia Akademiia Khudozestvennykh Nau), nella prima metà degli anni Venti, seduto a una scrivania sistemata in un corridoio di passaggio nella sede dell’Accademia in via Kropotkinskaja 32. È proprio in questi anni e forse da quella scrivania che Florenskij, appartato e insieme partecipe, testimone e insieme imputato del suo tempo, è impegnato a elaborare la sua teoria dello spazio e del tempo. L’Accademia fu fondata nell’ottobre 1921 sotto gli auspici di A.V. Lunacarskij9 ed era divisa in tre dipartimenti: psicofisiologico, diretto da V.V. Kandinskij, filosofico, diretto da G.G. Spet, sociologico, diretto da V.M. Frice, all’interno del quale esistevano le sezioni di arte figurativa, letteraria, musicale, teatrale e dei laboratori.

Così scrive Nicoletta Misler nella postfazione alla prima pubblicazione in italiano di Analisi della spazialità e del tempo nelle opere di arte figurative nonché delle lezioni sullo stesso argomento tenute agli Atelier superiori tecnico-artistici di stato di Mosca (VChUTEMAS). Molti dei membri del RAChN insegnavano al VChUTEMAS [2]. 9

Anatolij Vasil’evic Lunacarskij (1875-1933) partecipò alla rivoluzione russa del 1905. Fu commissario del popolo per l’istruzione (1917-1929). Si veda [2], p. 370.

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Aggiunge la Misler10: Da quella scrivania sistemata in un corridoio della RAChN, da quel cantuccio di mondo che egli si è ritagliato con grande incisività della cultura sovietica di quegli anni, Florenskij poteva spaziare dalle geometrie non euclidee alla teoria degli insiemi, a quella della relatività, dalla topologia alla indagine letterarie e musicale, costruendo intorno all’opera d’arte una rete inestricabile di significati interpretative.

Il VChUTEMAS concentrando in sé tutte le precedenti istituzioni pedagogiche in campo artistico, si presentava come laboratorio di quella didattica artistica postrivoluzionaria che, avocando a sé tutte le funzioni suddivise fra le accademie d’arte e gli istituti di arte applicata, avrebbe dovuto annullare le distinzioni ottocentesche, sia disciplinari che gerarchiche (arte applicata alternativa ad arte pura, ingegneria alternativa ad architettura) e preparare una nuova figura professionale adeguata ai diversi compiti progettuali della produzione industriale. La RAChN invece limitava le sue attività a ricerche teorico-analitiche e non pratico-pedagogiche e rifiutava interpretazioni e soprattutto utilizzazioni direttamente produttiviste dell’oggetto artistico. Il corso tenuto da Florenskij al VChUTEMAS iniziò nell’ottobre del 1921 e cambiò nome nel corso degli anni da Prospettiva a Analisi della prospettiva, Analisi dello spazio, Analisi delle forme spaziali. Il corso durò sino al 1924. Le sue lezioni, accuratamente preparate, come dimostrano gli appunti manoscritti, avevano un carattere didascalico, rivolte a un pubblico non specialistico di studenti di arte e di architettura. Scrive la Misler11: Florenskij evita volutamente spiegazioni matematiche troppo formalizzate, ma si rivolge piuttosto, attraverso esempi concreti, all’esperienza quotidiana degli studenti, sollecitandone la comprensione anche attraverso l’uso di schemi sommari, grafici e schizzi con i quali visualizza le sue spiegazioni.

Nella facoltà poligrafica, parte del VChUTEMAS, di cui Florenskij fu prima segretario, poi direttore del dipartimento di xilografia e infine direttore sino al 1926, coabitavano da un lato l’applicazione tecnica e la verifica speimentale e dall’altro una ricerca puramente teorica di alto livello. Scrive la Misler che il secondo aspetto lo si ritrova nei numerosi riferimenti alla filosofia della matematica contenuti nelle lezioni di Florenskij.

10 11

P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 370. P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 377.

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Nella prima lezione del corso del 1923 Florenskij inizia così12: Se ci avvicinassimo alla questione della prospettiva solo da un punto di vista matematico, il corso stesso che dobbiamo svolgere diverrebbe senza dubbio troppo vasto o troppo ristretto. Sarebbe troppo vasto nel caso in cui ci attenessimo alle ben fondate premesse della matematica, nel caso specifico della geometria, e guardassimo alla prospettiva come a una branca del sistema matematico formale. Al contrario, se riflettiamo più attentamente sulle premesse della matematica, cominciamo a vedervi un gran numero di contraddizioni e punti oscuri… Non appena cerchiamo di applicare queste premesse matematiche a una rappresentazione del mondo reale ponendoci una serie di esigenze di tipo artistico, non possiamo evitare di apportare un’intera serie di nuovi presupposti, che sono poco chiari e molto discutubili… In primo luogo, la questione del mondo in sé. Sino a che punto possono essere applicati al mondo quei principi astratti che ci presentano, in generale, la matematica, e, in particolare, la geometria?

Nella terza lezione a proposito dello spazio scrive13: Esiste uno spazio non percepibile attraverso i sensi, ma mentalmente: lo spazio della fisica che non ha niente in comune con lo spazio della visione. E infine esiste uno spazio astratto. Questo è lo spazio che costruiamo nella geometria, nel cui ambito la geometria euclidea non è che un ramo insignificante. Nella geometria abbiamo a che fare non con un solo spazio ma con una quantità infinita di spazi diversi. Infinite sono le varietà di spazio geometrico e infinite sono quindi le possibili variazioni delle sue proprietà caratteristiche: e se parliamo dell’unicità dello spazio, sino a tempi recenti sembrava che lo spazio fisico fosse l’unico. Ma analisi di diverso genere sia geometriche che fisiche hanno dimostrato che anche questa supposizione non regge alle critiche e proprietà di questo spazio dipendono dai processi che avvengono in esso. Non è quindi possibile parlare della sua unicità. Tutti i tipi fondamentali di spazio costituiscono delle varietà e di conseguenza, sia in una costruzione teorica, vale a dire, scientificamente astratta, sia in quel quadro del mondo che può essere dato visivamente nell’arte figurativa, sono possibili infinite variazioni delle loro proprietà. A questo punto si presenta la questione dei diversi modi d’interpretazione della rappresentazione dello spazio, uno dei quali è la prospettiva.

12 13

P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 243. P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 273.

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Ed ecco che affronta il problema dal punto di vista dell’arte14: Il compito dell’artista è quello di organizzare un certo intero, un certo tutto chiuso in sé, e la base di questa interezza è lo spazio. Da questo deriva immediatamente la conclusione che lo spazio dell’opera d’arte deve necessariamente essere uno spazio chiuso in sé. Se lo spazio dell’opera d’arte esce dai propri confini, l’opera diventa un frammento di qualcos’altro, diventa cioè non intera, non artistica. Lo spazio che l’artista organizza sulla carta, sulla tela, non ha niente in comune o molto poco in comune con lo spazio euclideo. Le proprietà dello spazio euclideo sono le seguenti: è infinito ed illimitato, continuo, isotropo e omogeneo. Dal momento che lo spazio di un’opera d’arte respinge parzialmente o tutte insieme queste proprietà e, se non le rifiutasse, non potrebbe essere uno spazio artistico, l’artista in quanto tale in linea di principio rifiuta lo spazio euclideo, l’infinito euclideo, il concetto stesso di infinito. Fig. 5. Appunti utilizzati per le lezioni, da [2], immagine XV

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P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 286.

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Fig. 6. Da [2]. Schema p. 272

Parallelamente a ciò la geometria contemporanea distingue fra spazio infinito e spazio illimitato. Per illimitato si intende la possibilità di muoversi nello spazio senza incontrare alcun ostacolo, ma questo non significa che le grandezze che riuscirete a cogliere siano infinitamente grandi. Se prendiamo una retta, diciamo che è infinita e illimitata.

All’inizio della sesta lezione precisa15: La struttura dello spazio è caratterizzata dalla sua curvatura. Mi sento molto in colpa per il fatto di annoiarvi con concetti matematici, ma non vedo altra strada per avvicinarmi ai problemi estetici. Quello che sto elaborato dalla matematica contemporanea può essere pienamente trasferito nel campo dell’estetica, ma, purtroppo, non posso limitarmi a concetti propri dell’estetica. Il concetto di curvatura mi obbliga perciò a importunarvi ancora con la matematica.

Florenskij parte dalla curvatura per le linee nello spazio unidimensionale, quindi passa allo spazio bidimensionale, alle superfici. Considera il caso dei raggi di curvatura, per esempio di un ellissoide, e definisce la curvatura di Gauss della superficie che cambia in ogni punto, con R1 e R2 i due raggi: K2 = 1/R1 . R2.

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P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 291.

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Considera poi un triangolo su una sfera e vuol spiegare come varia l’area in rapporto alla curvatura citando il teorema di Gauss

∫s K2 dσ2 = p2 - π ove dσ2 è un piccolissimo pezzo della superficie del triangolo, K2 è il grado di curvatura. Si ottiene una differenza che è uguale alla somma degli angoli sulla sfera p2 del triangolo meno π. Che cosa significa? Si chiede Florenskij. L’eccesso sferico, cioè la variazione fra la somma degli angoli del triangolo sulla sfera e la somma degli angoli sul piano, si accumula su ogni elemento della sua superficie.16

Lo spazio è la principale preoccupazione della lezione17: Lo spazio è quell’ambiente nel quale si distribuiscono non soltanto i pesi e i volumi, i corpi liquidi e quelli solidi, ma anche le altre proprietà fisiche: le temperature, gli stati elettrici e magnetici ecc. E inoltre nello spazio si distribuiscono tutti i nostri stati emozionali in rapporto alla realtà, cioè quello di cui abbiamo parlato accennando a spazi specifici per le singole sensazioni. Alla fin fine, tutto il senso dell’arte si riduce all’organizzazione dello spazio, alla curvatura consapevole dello spazio in conformità a uno schema o a un altro. In certi casi si tratta della vista, come nella scultura, nell’architettura, nella pittura; in altri si tratta del suono, come nella poesia e nella musica; e infine in altri casi ancora sensazioni di diverso genere agiscono simultaneamente in uno schema che è lo stesso per tutte le arti.

La distinzione tra spazio geometrico e spazio artistico deve essere ulteriormente precisata18: Sorge qui una questione fondamentale. Per una geometria astratta non esiste la superiorità di una linea sull’altra, perché le linee sono tutte eguali. Ma que-

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17 18

Il risultato è una conseguenza del teorema egregium dimostrato da Gauss nel 1828, cioè che la curvatura gaussiana dipende solo dalla sua prima forma fondamentale, cioè dal suo tensore metrico. La curvatura gaussiana è quindi invariante per isometrie della superficie: si tratta cioè di una proprietà intrinseca della superficie. Da questo risultato ne risultava che la curvatura totale di un triangolo infinitesimo formato dalle geodetiche congiungenti tre punti della superficie, era eguale all’eccesso della somma degli angoli del triangolo tolto π. P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 294. P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 302.

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sto perché la geometria astrae dal fruitore, mentre esiste in noi un asse ben definito a cui corrisponde la nostra misura dello spazio. Per noi, infatti, la verticale e l’orizzontale e il movimento da destra a sinistra, avanti e indietro, non sono neutrali, e nella composizione queste differenze emergono.

Nel primo capitolo Il significato della spazialità Florenskij precisa i rapporti tra scienza e arte (18 aprile 1925)19: Lo spazio della creatività artistica può sembrare a prima vista oggetto di un interesse molto specialistico, e in ogni caso non appare come necessario quando ci si vuole avvicinare all’opera d’arte in sé. Non saranno probabilmente in molti a correlare l’analisi della spazialità in un’opera d’arte figurativa in quanto disciplina potenziale, ma di importanza secondaria, alla storia e alla psicologia della matematica, perché lo spazio viene spesso considerato uno degli oggetti di una scienza specialistica. La geometria. La concezione del mondo è concezione dello spazio. Le opere d’arte non possono e non devono essere rinarrate nel linguaggio della scienza e della filosofia; e tuttavia le immagini dell’arte sono formule di comprensione della vita, parallele a quelle della scienza e della filosofia. Le une e le altre sono due mani di un solo corpo e si può sempre indicare una data formula dell’arte accanto alla sua formula gemella nel pensiero astratto: fra l’una e l’altra non vi è eguaglianza ma corrispondenza.

Nel capitolo L’interpretazione gnoseologica della spazialità20 Florenskij parte dal matematico Lobačevskij che: un secolo fa enunciò un pensiero decisamente antikantiano, rimasto allora soltanto un aforisma coraggioso, e cioè che fenomeni diversi del mondo fisico si estendono a spazi diversi, e di conseguenza, si sottomettono alle rispettive leggi di tali spazi.

Nel discutere e mettere in discussione le proprietà dello spazio euclideo, utilizzando la curvatura di Gauss, Florenskij21 cita Riemann [4]: In una varietà discreta il principio delle relazioni metriche è già implicito nel concetto di questa varietà, mentre in una varietà continua deve essere introdotto da qualche altra parte. Quindi o l’elemento reale che sta alla base dello 19 20 21

P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 15. P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 20. P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 42.

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spazio deve formare una varietà discreta, oppure il fondamento delle relazioni metriche deve essere cercato altrove, in forze coesive che agiscono su di esso.

Nel capitolo intitolato L’interpretazione culturologica della spazialità22 Florenskij scrive: Tutta la cultura può essere interpretata come l’attività dell’organizzazione dello spazio. In certi casi si tratta dello spazio delle nostre relazioni vitali, e allora l’attività corrispondente si chiama tecnica. In altri casi si tratta dello spazio mentale, di un modello mentale della realtà e la realtà della sua organizzazione si chiama allora scienza o filosofia. Infine la terza classe di casi si trova fra i primi due. In essi lo spazio, o meglio gli spazi, sono visibili come gli spazi della tecnica, ma allo stesso tempo non ammettono l’ingerenza della vita, come gli spazi della scienza e della filosofia. L’organizzazione di questi ultimi si chiama arte. In ciascuna attività sono contenuti anche i rudimenti, benché subordinati, delle altre attività, e ciascuno spazio non è estraneo in certa misura agli spazi di genere diverso. Così, nella tecnica è presente, per forza una certa artisticità, anche se non indispensabile al fine che la tecnica propone, e vi si trova anche un certo pensiero filosofico e scientifico che arricchisce l’approccio teoretico al mondo. Nella filosofia e nella scienza, d’altra parte, si può sempre scoprire una certa artisticità e una possibilità di applicazione alla vita, cioè un lato tecnico allo stesso modo in cui, esattamente, l’opera d’arte contiene in sé, a diversi livelli, qualcosa che è utile per la vita, qualcosa di tecnico, un qualche rapporto tecnico con la realtà. Non potrebbe essere altrimenti dal momento che la cultura è unica e al servizio di un solo soggetto, e gli spazi, per quanto siano diversi, vengono dominati con una sola parola: spazio.

Nel capitolo Il tempo e lo spazio Florenskij affronta il problema della quarta dimensione che aveva avuto un grande impatto culturale sulla Russia degli inizi del Novecento, ben prima della diffusione delle idee sulla relatività e lo spazio-tempo. Si pensi a Ouspensky, tra gli altri e Malevic. [5-7]. Quando nel 1924 Florenskij ne scrive si è già fatta strada l’idea della quarta dimensione come tempo, come il migliore dei mondi possibili, come immagine spirituale della vera realtà23: Ci riferiamo qui al tempo come quarta coordinata, o quarta dimensione della realtà, ed è chiaro che questa coordinata non deve essere fatta sparire senza lasciar traccia nelle opere di arte figurative. Ma, d’altra parte, questa quarta coordinata non deve essere considerata come indifferentemente analoga alle altre tre.

22 23

P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 220. P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 133.

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Qualsiasi modello della realtà nel momento in cui si percepisce effettivamente o viene effettivamente accettato, possiede la sua linea temporale e ciascun punto della sua sezione astrattamente statica è in effetti un punto-evento. In altre parole, ogni immagine reale possiede quattro dimensioni e rappresenta, se ne parliamo come un tutto intero, una certa configurazione della geometria quadridimensionale […] che ha una sua forma geometrica, altrettanto sostanzialmente lontana e persino non paragonabile a ciò che noi di solito chiamiamo la forma del corpo […] .È necessario sforzarsi in tutti i modi per comprendere l’idea della differenza radicale fra l’immagine della realtà, quadridimensionale, e la sua sezione tridimensionale, che viene di solito presa per la forma di un oggetto […] Queste sezioni tridimensionali, non hanno niente in comune per quanto riguarda la loro forma, con l’immagine dell’oggetto nel suo complesso e non esiste alcun evidente passaggio diretto dalla prima alla seconda. Ma le sezioni offrono senza dubbio del materiale per conclusioni astratte sulla forma dell’intera immagine, e, in tal senso, possono servire come fondamento cognitivo per le nostre conclusioni […]. Per comprendere, seppur astrattamente, l’intera immagine quadridimensionale, è necessario conoscere molte sue sezioni in tempi diversi. Qualsiasi realtà dunque si stende nelle quattro dimensioni e si definisce in un’immagine a quattro dimensioni.

Idee già espresse nella letteratura nel racconto Flatlandia di Abbott [8] e riprese tra gli altri da Ouspensky [9]: Nel capitolo quarto Florenskij considera L’assolutezza della spazialità [31], analizzando lo spazio Euclideo24: La costruzione astrattamente geometrica dello spazio kantiano-euclideo della geometria e la costruzione visiva dello spazio vivo dell’arte sono separate dai loro stessi fini. Non sta né all’artista né al critico rimproverare al costruttore dello spazio astratto la falsità, né, d’altra parte, a quest’ultimo introdurre delle correzioni nello spazio delle opere d’arte. Lo studioso di geometria e l’artista hanno a che fare con lo spazio in due sensi assolutamente diversi, e le linee dei loro movimenti non avrebbero motivo di incrociarsi, se non vi fosse l’indiscreta mediazione dei critici, che non conoscendo e non comprendendo gli scopi della geometria se ne attribuiscono la rappresentanza nell’arte, a loro alquanto estranea, e tendono a legiferare in questo campo. In altre parole nei nostri ragionamenti non si può parlare della geometria o in generale dello spazio geometrico, ma soltanto della opportunità di applicare spazi astratti a determinate immagini visive.

24

P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 221.

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Florenskij enumera e spiega le caratteristiche dello spazio kantiano-euclideo: è infinito, illimitato, omogeneo, isotropo, continuo, connesso, tridimensionale, e ha curvatura costante eguale a zero. Vi è poi lo spazio fisico, lo spazio psicofisiologico, uno spazio finito, non continuo25. Se la struttura biologica e la funzione biologica spiegano il carattere non euclideo dello spazio da noi percepito, è necessario allora pensare questa struttura biologica in uno spazio non euclideo, cioè in quello spazio da noi conosciuto attraverso l’esperienza, e, allora, sarebbe arbitrario, fantastico e persino in contraddizione con l’esperienza, parlare di questa struttura e di queste funzioni come se si trovassero in uno spazio euclideo, spazio che è invece soltanto uno fra gli innumerevoli schemi che si posso astrattamente immaginare.

Così si concludono le riflessioni di Florenskij nel saggio. Florenskij ha compreso a fondo la lezione sulla geometria moderna, cercando di confrontare i mondi spaziali dell’arte e della scienza, divisi ma non separati.

Florenskij tra matematica e religione nella Russia Sovietica [10] Lo storico della matematica Eugene Seneta scrive di come i matematici e la tradizionale matematica pura nella Unione Sovietiva vengano messi sotto attacco negli anni Trenta per i legami di alcuni matematici con la religione e il nazionalismo, nel tentativo di istaurare una sorta di matematica del materialismo dialettico. Punto centrale di questo attacco il XVI congresso dei Sindacati Comunisti del 1930. Leader di questi attacchi il matematico e ideologo marxista-stalinista Ernst Kolman (1892-1979), autore tra l’altro di Karl Marx e la matematica (1968) e Hegel e la matematica (1931). In particolare il libretto Matematica e religione scritto nel 1933 sotto l’influenza di Kolman dalla parte del matematico e attivista politico Mikhail Kh. Orlov (19001936). Accusato di essere Trotzkista quest’ultimo sarà fucilato il 22 ottobre 1936. Seneta si occupa del ruolo che Kolman ha nell’attaccare l’ambiente matematico dal punto di vista religioso (per i legami con la chiesa ortodossa Russa). In particolare il 3 luglio del 1936 tramite una lettera anonima pubblicata sulla Pravda intitolata Sui nemici che si nascondono dietro una maschera Sovietica, Kolman scrive26 “del conflitto nella Società Matematica di Mosca per distruggere i resti della scuola matematico-filosofica reazionaria di Mosca”, quella che aveva fondato Bugaiev, con cui aveva svolto la tesi di dottorato Florenskij. Kolman ce l’a-

25 26

P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 239. E. Seneta (2004) op. citata, p. 339.

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veva con Nikolai Nikolaevich Luzin (1883-1950) che continuava a viaggiare all’estero e a pubblicare su riviste straniere. Luzin era amico di Florenskij e gli scriveva nel 1906, mentre entrambi erano alla università di Mosca, in un periodo di crisi dopo la laurea in cui era in dubbio se dedicarsi alla matematica. Il primo maggio 1906 scrive a Florenskij da Parigi dove è stato inviato da Egorov [11]: Mi trovi come un semplice bambino all’università, uno che non sa nulla. Non so come sia successo ma non posso più essere soddisfatto dalle funzioni analitiche e dalle serie di Taylor […] è successo un anno fa […]. Vedere la miseria della popolazione, vedere i tormenti della vita, al ritorno di un incontro di matematica, con le donne che aspettano invano qualcosa da comprare per cena, è una vista insopportabile. È insopportabile, dopo aver visto questo, semplicemente studiare e di fatto divertirsi con la scienza. Dopo tutto questo non posso soltanto studiare matematica e vorrei trasferirmi alla scuola di medicina […]

Dopo il ritorno in Russia Luzin studierà medicina e teologia per poi ritornare a studiare matematica. Sembra che la crisi di Luzin sia stata risolta proprio da Florenskij a cui scrive nel luglio 1908: Due volte sono arrivato vicino al suicidio, poi ho parlato con te e in entrambi i casi ho avuto l’impressione di essere sostenuto da un pilastro […]. Devo il mio interesse alla vita a te.27

Luzin ottiene il dottorato nel 1915 e nel 1927 viene eletto membro corrispondente della Accademia Sovietica delle Scienze e nel 1929 diventa membro effettivo. Dagli anni venti Luzin organizza un famoso seminario di ricerca alla università di Mosca. Tra gli studenti di dottorato Pavel Aleksandrov, Andrey Kolmogorov, Mikhail Lavrentyev, Alexey Lyapunov, Pyotr Novikov e Pavel Urysohn. Il 21 novembre del 1930 un gruppo di ex studenti di Luzin, tra cui Lazar Lyusternik, Lev Shnirelman insieme con Alexander Gelfond e Lev Pontryagin dichiarano che “vi sono attivi controrivoluzionari tra i matematici”. Tra questi il relatore di Luzin, Dimitri Egorov. Nel Settembre 1930, Egorov viene arrestato sulla base della sue convinzioni religiose. Lascia la posizione di direttore della Società Matematica di Mosca che viene assunta da Kolman. Luzin lascia la Società Matematica e la università di Mosca. Egorov muore il 10 settembre 1931, anche in seguito allo sciopero della fame che aveva iniziato per protesta. Dopo gli attacchi sulla Pravda del 1936 Luzin viene giudicato da una Commissione della Accademia delle Scienze ma il procedimento venne fermato e non fu

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Queste notizie si trovano nel sito The MacTutor History of Mathematics archive.

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mai espulso dalla Accademia. Sembra per un ordine dall’alto, scrive Seneta, di Stalin in persona. Sia Egorov che Luzin che Florenskij erano stati tutti studenti di Nikolai V. Bugaiev. Negli anni 1936-1938 il terrore Staliniano raggiunge il suo massimo. Sergej Mironovi Kirov, cognome vero Kostrikov (1886 –1934), dirigente sovietico, responsabile del Partito Comunista a Leningrado, fu ucciso il 1° dicembre 1934 da Leonid Nikolaev, accusato dal governo sovietico di essere un simpatizzante trotskista e seguace di Zinoviev. La sua uccisione diede inizio alle purghe staliniane. Non è chiaro se nell’uccisione di Kirov sia implicata la polizia politica NKVD28 e quindi Stalin stesso. Nel 1936 si arrivò alla condanna e all’esecuzione di Kamenev e Zinoviev, accusati di avere complottato contro Stalin e Kirov. Entrambi erano stati tra i capi della Rivoluzione d’ottobre29. Ruolo fondamentale nell’attacco ai legami ancora presenti nella società Russa con la chiesa ortodossa il libretto di Orlov Matematica e religione, scritto sulla spinta di Kolman. In particolare Orlov nel 1933 descrive Kolman come il primo ad aver rivelato l’utilizzo della matematica come una copertura per la religione. Orlov cita La dialettica della natura di Engel: I matematici di una certa tendenza metafisica continuano in modo arrogante ad affermare la assoluta verità dei risultati del loro lavoro. Ma tra questi risultati sono contenuti anche i numeri immaginari, che quindi acquistano una certa realtà. In effetti, basta dare un senso di realtà a √-1 o alla quarta dimensione, realtà al di là della nostra comprensione, per essere imbaldanziti a fare un passo ancora e dare realtà al mondo dei medium. 28

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Narodnyj Komissariat Vnutrennich Del, in sigla NKVD (НКВД), Commissariato del Popolo degli Affari Interni, noto per il reparto GUGB, Direttorato Principale per la Sicurezza di Stato, organismo successore dell’OGPU, il Direttorato Politico di Stato e della Čeka come agenzia di polizia segreta dell’Unione Sovietica. Lev Borisovič Kamenev (1883-25 agosto 1936) dopo il successo della rivoluzione fu eletto Presidente del Comitato Esecutivo Centrale dal secondo Congresso dei Soviet. Fu anche uno dei primissimi membri del Politburo. Formò nel 1926 l’opposizione di sinistra a Stalin con Trostky e fu espulso dal partito nel 1927. Riammesso e poi espulso di nuovo nel 1932. Due anni dopo fu arrestato e condannato a dieci anni di prigione, con l’accusa di essere tra i responsabili morali dell’assassinio di Sergej Kirov e di aver tramato per assassinare Stalin. Durante il primo dei processi di Mosca nel 1936, Kamenev fu di nuovo processato, con Zinov’ev e altri, questa volta per tradimento dello Stato Sovietico Grigorij Evseevič Zinov’ev (1883-25 agosto 1936), si oppose agli inizi alla rivoluzione bolscevica. Venne espulso dal partito e poi riammesso. Nel 1919 divenne presidente dell’Internazionale comunista. Fu poi espulso una seconda volta e riammesso. Nel 1934, quando venne ucciso a Leningrado Sergej Kirov, Zinov’ev, che aveva diretto l’organizzazione bolscevica della vecchia capitale, e Kamenev vennero indicati come mandanti dell’omicidio e arrestati. Nel 1936, nel corso del primo processo dell’era staliniana, Zinov’ev, Kamenev e tutti gli altri imputati, esponenti della vecchia guardia leninista, vennero condannati a morte e fucilati Zinov’ev, Kamenev e gli altri accusati furono riabilitati solo con la glasnost di Gorbačëv, nel 1988.

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Fig. 7. V.A. Favorskij, copertina per Cislo kak Forma di Florenskij

Riassume Seneta le idée di Orlov30: La religione è il diavolo e deve essere soppressa; e vi è una tendenza tra i matematici ad associare idée mistiche con determinate costruzioni e strumenti matematici che sostengono la religione. Il che lo porta alla facile estrapolazione che la matematica è contaminata da una ideologia antagonista al marxismo e che i matematici devono essere soggetti alla epurazione. Le aree specifiche della matematica che soffrono di più di queste tendenze mistiche sono per Orlov la probabilità e la geometria. I punti salienti sembrano essere, sempre nella presentazione di Orlov, il fatto che la astrazione in matematica ha un ruolo solo nella rivelazione di fenomeni del mondo reale. Nella sua storia la matematica è sempre stata guidata dai bisogni materiali del mondo reale, e non vi è spazio per alcun misticismo in questo. La tendenza ad usare la matematica nella religione deve essere distrutta.

È chiaro che non poteva non essere Pavel Florenskij uno degli obiettivi di questa campagna. Matematico, prete ortodosso, mistico, filosofo, era uno dei bersagli migliori. Orlov riprende in considerazione (siamo nel 1933) Gli immaginari in Geometria: nuove esperienze di ricerca sull’immaginario scritto da Florenskij nel 1922 [1]. Sul frontespizio dell’opera compariva una xilografia di Vladimir A. Favorskij, incisore e grafico con cui Florenskij aveva rapporti al VChUTEMAS, copertina che aveva l’intento di visualizzare le teorie filosofiche–matematiche dell’autore del libro. L’opera originale includeva anche una spiegazione della copertina.

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E. Seneta (2004) op. citata, p. 352.

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Favorskij, come scrive Nicoletta Missler31 intraprese un tentativo di visualizzare sinteticamente il pensiero filosoficomatematico di Florenskij in tre copertine. Florenskij riteneva il libro una particolare forma artistica con la sua intrinseca, organica unità e sottolineava il

Fig. 8. Copertina di V.A. Favorskij per Gli immaginari nella geometria 31

P.A. Florenskij (1995) op. citata, p. 380.

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fatto che la copertina di un libro o di una rivista hanno la funzione di un simbolo, seme dello stesso libro.

Nel volume Pavel Florenskij. La prospettiva rovesciata e altri scritti, a cura sempre di Nicoletta Misler, è pubblicata la spiegazione della copertina di Favorskij per il volume Gli immaginari nella geometria. La spiegazione di Florenskij è molto lunga, occupa otto pagine ed è stata scritta il 29 luglio del 1922 [12]: La copertina di questo libro è una xilografia di Vladimir Andreevic Favorskij. Come è proprio di questo artista in generale, anche in questo caso l’incisione non si limita semplicemente a decorare il libro, ma diviene parte costitutiva del suo contenuto spirituale. Perciò questo lavoro di Favorskij è un’opera d’arte intrisa di pensiero matematico […]

Florenskij affronta in dettaglio la questione del rapporto tra astratto e reale e dei legami con la geometria: La realtà è l’incarnazione di ciò che è astratto, nel materiale oggettivo da cui appunto si era ottenuta l’astrazione; l’immaginario è invece l’incarnazione di questo stesso materiale astratto ma in un materiale oggettivo eterogeneo. Se si vuole, la realtà è l’adeguarsi di astratto e concreto (tautologia), mentre l’immaginario è il simbolico (allegoria). In questo senso è giocoforza parlare dei concetti delle sensazioni come sensazioni immaginarie o sensazioni dell’immaginario […] Questi elementi sensoriali e figure immaginarie che si situano in modo particolare nella coscienza corrispondono in pieno alle figure geometriche immaginarie della superficie. La presenza di percezioni immaginarie, in qualsiasi esperienza concreta, spinge gli studiosi di arte a riflettere sull’immaginario; la teoria delle arti figurative è costretta, di conseguenza, a pronunciarsi in qualche modo sulla interpretazione proposta, in geometria, riguardo agli immaginari […]

Ecco ora il ruolo specifico di Favorskij: Il primo compito presentatosi all’incisore era quello di conservare e confermare l’integrità del piano principale, perché senza l’integrità del piano principale, non solo non ci sarebbe la possibilità di creare immagini sulla sua facciata e sul rovescio ma anche di distinguerli. Questo primo compito è realizzato dalle iscrizioni che mantengono il piano principale della rappresentazione sul piano della pagina, e anche dall’indicazione dei punti degli assi delle coordinate delle lettere X, O, Y, abbastanza massicce, e con la verticale passante per X. La stabilità della verticale principale è rafforzata dalla maggiore elevazione del cognome dell’autore, che cade sulla verticale, rispetto al suo nome […]

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La pagina come tale, naturalmente non è bianca, bensì incolore: è una possibilità astratta di rappresentazione. In questa pagina sarebbe erroneo vedere un foglio di carta, una materia che, come tale, non è né un piano né qualcos’altro di geometrico; per pagina bisogna intendere uno spazio di rappresentazione infinitamente sottile, una specie di pellicola trasparente sovrapposta al foglio […]

Dopo una accurata spiegazione di tutti gli elementi che compaiono nella xilografia, Florenskij conclude: Ma la copertina non avrebbe raggiunto completamente il suo scopo, se le iscrizioni servissero soltanto al fine della grafica, e la loro grafica fosse estranea al loro significato. È evidente che le caratteristiche grafiche delle iscrizioni non devono soltanto reggere il piano, ma anche rendere lo spazio sonoro dell’intonazione della voce ed esprimere la coordinazione sonora delle parole. Serva ad esempio di come Favorskij risolve il problema, anche la sola posizione del cognome dell’artista al di sopra del nome, con cui si rende il corrispondente accento dell’intonazione. Inoltre nella parola mnimosti viene sottolineata la prima parte, quella accentuata, mentre v geometrii, che ha invece un significato esplicativo ed è pronunciata a mezza voce, cade sulla copertina nella parte apparente, cioè semivisibile del piano, e così via.

Nel volume Florenskij aveva scritto32: È mia opinione che l’esegesi degli immaginari, in relazione ai principi particolari e generali della relatività, getti nuova luce ed argomenti la rappresentazione del mondo aristotelico-tolemaico-dantesca, quanto mai compiutamente cristallizzata nella Divina Commedia […] Ricordiamo il cammino di Dante e Virgilio. Esso ha inizio in Italia. I due poeti discendono le erte dell’imbuto dell’Inferno, che si conclude con l’ultimo e strettissimo cerchio del signore degli Inferi. Ciò facendo entrambi i poeti mantengono per tutto il tempo della discesa la posizione verticale, con la testa rivolta verso il luogo da cui sono scesi. Cioè verso l’Italia, e i piedi verso il centro della terra. Quando, però, i poeti raggiungono indicativamente la cintola di Lucifero, essi si capovolgono all’improvviso, volgendosi con i piedi verso la superficie della Terra per dove sono entrati nel regno degli Inferi, e con il capo nel senso opposto: Quando noi fummo là dove la coscia Si volge, con fatica e con angoscia, Volse la testa ov’elli avea le zanche, 32

P.A. Florenskij (2007) op. citata, pp. 279-281.

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E aggrappossi al pel com’om che sale, Sì che ‘n Inferno I’credeva tornar anche. “Attienti be, ché per cotali scale”, disse ‘l maestro, ansando com’uom lasso, “conviensi di partir da tanto male.” Poi uscì fuor per lo foro d’un sasso E puose me in su l’orlo a sedere; Appresso porse a me l’accorto passo. Io levai li occhi, e credetti vedere Lucifero com’io l’avea lasciato, E vidili le gambe in su tenere; E s’io divenni allora travagliato, La gente grossa il pensi, che non vede Qual è il punto ch’io aveva passato. “lèvati su”, disse ‘l maestro, “in piede…” Inferno, XXXIV Attraversato quel punto (che a tutt’oggi l’euclidea “gente grossa non vede”), compiuto, cioè, il proprio cammino e lasciatosi alle spalle il centro del mondo, i poeti si ritrovano nell’emisfero opposto a quello “in cui fu crocefisso Cristo” e risalgono per un passaggio. Da quel punto il poeta ascende al monte del Purgatorio e sale attraverso le sfere celesti. In quale direzione? […] Avendo proceduto sempre in linea retta ed essendosi capovolto una sola volta lungo il cammino, il poeta giunge al luogo di partenza nella stessa posizione in cui l’aveva lasciato. Di conseguenza, se strada facendo non si fosse capovolto, lungo la retta, egli sarebbe giunto al luogo di partenza a testa in giù. Perciò la superficie su cui Dante si muove è tale che, con un solo capovolgimento di direzione, la retta che vi si trovi porta a un ritorno al punto precedente in posizione eretta, laddove un moto rettilineo senza inversioni riporta al punto di partenza un corpo capovolto. Evidentemente si tratta di una superficie che, primo, in quanto contiene rette chiuse, è un piano di Riemnann, e, secondo, in quanto capovolge la perpendicolare che su di essa si muove, è una superficie unilatera. Tali condizioni sono sufficienti a caratterizzare geometricamente lo spazio di Dante come conformato alla geometria ellittica.

Conclude Florenskij33 che: Così come la scomparsa della figura geometrica non ne determina la distruzione, bensì un mero passaggio all’altro lato della superficie, e, di conseguen33

P.A. Florenskij (2007) op. citata, pp. 288.

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za, l’accessibilità ad esseri che si trovano sull’altro lato della superficie stessa, allo stesso modo l’immaginarietà dei parametri del corpo andrà intesa non quale segno della sua irrealtà, ma come mera testimonianza del suo passaggio a una realtà altra. L’ambito degli immaginari è reale e accessibile, e nella lingua di Dante risponde al nome di Empireo. Potremo, dunque, immaginarci lo spazio come doppio, in quanto costituito dalle superfici reali e da quelle immaginarie con esse coincidenti delle coordinate di Gauss, ma il passaggio dalla superficie reale a quella immaginaria sarà possibile solo attraverso uno squarcio nello spazio e tramite l’estrofia del corpo attraverso se stesso. Per il momento l’unico mezzo che possiamo immaginare per tale processo è l’aumento della velocità, oltre la velocità massima c, ma non abbiamo prove per sostenere l’impossibilità di un qualsivoglia altro procedimento. Squarciando il tempo, dunque, la Divina Commedia finisce inaspettatamente per trovarsi non indietro, ma avanti rispetto alla scienza nostra contemporanea.

La pubblicazione del libro portò a reazioni da parte delle autorità Sovietiche alle quali replicò Florenskij con una lettera ironica34 (13 settembre 1922): La mia intenzione è quella di dimostrare, prendendo le stesse parole di Dante, che egli, in modo simbolico, ha espresso un pensiero geometrico incredibilmente importante, riguardo la natura e lo spazio. Non è forse vero che Euclide è protetto dallo stato come intoccabile? […] Ritengo che l’analisi matematica e l’utilizzazione della geometria di immagini poetiche, in quanto espressione di alcuni fatti psicologici, meritino l’attributo di scientifico e io ho proprio fatto un’analisi di questo tipo.

A proposito del modello Dantesco e della geometria di Riemann ha commentato Robert Osserman [13]: Dante pervenne a una visione dell’universo che presenta somiglianze sorprendenti con quella di Riemann. Dante descrive l’universo come formato da due parti. Una parte ha il suo centro nella terra, circondata dalle sfere mobili sempre più grandi sulle quali sono infissi la Luna, il Sole, i vari pianeti e le stelle fisse. La sfera esterna che delimita l’intero universo visibile, viene detta Primo mobile. Al di là di esso, c’è l’Empireo, che Dante raffigura come un’altra sfera, con vari ordini di angeli che ruotano in sfere concentriche attorno a un centro in cui un punto di luce irraggia con un’intensità quasi accecante. Il poeta viene guidato da Beatrice dalla superficie della terra, attraverso le

34

P.A. Florenskij (2007) op. citata, pp. 288, nota 16.

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Fig. 9. Florenskij nel 1932

varie sfere dell’universo visibile, fino al Primo mobile. Guardando da lassù verso l’esterno, egli si trova a guardare all’interno della sfera dell’Empireo. […] In altri termini dobbiamo pensare l’Empireo come qualcosa che circonda l’universo visibile e che al tempo stesso è adiacente a esso. Se le cose stanno effettivamente in questi termini, l’universo secondo Dante coinciderebbe esattamente con l’universo secondo Riemann. La visione di Riemann è ovviamente più scientifica di quella di Dante, essendo quantitativa oltre che qualitativa. La forma dell’universo di Dante-Riemann è quella che i matematici chiamano spazio sferico o un’ipersfera.

Tornando a Orlov, egli sottolinea l’idea di Florenskij che ci sia una direzione nello spazio a quattro dimensioni attraverso la quale si effettua il viaggio descritto da Dante. A parere di Kolman l’attacco di Orlov è troppo breve e non lo soddisfa a pieno. Allarga lo spettro anche alla chiesa cattolica, richiamando Galileo e l’Inquisizione. Attacca alcune università degli USA: Vi sono decine di università come la Brown University che focalizzano la loro attenzione sulla coerenza tra scienza e religione. Ci sono sempre stati fondi specifici per conferenze di divulgazione che utilizzano la scienza per provare la necessità della religione e la saggezza del Creatore.

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L’attacco di Kolman del 1933 a Florenskij parte dall’articolo di Florenskij del 1932 Fisica al servizio della matematica35 in cui si parla del ruolo dell’intuizione in matematica: L’eventualità di una matematica priva di intuizione non viene proclamata responsabilmente ma l’ampio uso dell’intuizione – e in particolare l’incisività e l’evidenza di tali intuizioni – viene ridotta quanto si può.

Naturalmente Kolman utilizza anche gli scritti più religiosi di Florenskij ma recupera anche Gli immaginari in geometria di 10 anni prima. Il fatto che Florenskij avesse pubblicato su SORENA (Sotsialisticheskaia Rekonstrutsiia i Nauka), rivista fondata con uno speciale decreto dal Comitato Centrale per Partito Comunista, è un indice per Kolman del fatto che i curatori non avevano compreso bene le idee di Florenskij. Arrestato la seconda volta il 26 febbraio 1933, è condannato il 26 luglio a dieci anni di carcere. Condannato a morte il 25 novembre 1937 e fucilato l’8 dicembre 1937. La data dell’arresto di Florenskij nel 1933, sottolinea Seneta, è molto vicina all’attacco iniziale di Orlov e al colpo di grazia di Kolman. Orlov verrà fucilato il 22 ottobre 1936. Anche Kolman si ritroverà con grandi problemi. Kruschev gli chiederà di lasciare il partito, sarà attaccato per la sua incompetenza scientifica, resterà senza lavoro, emigrerà in Svezia dal 1976. Poco prima di morire così scriveva Florenskij alla famiglia36: È chiaro che il mondo è fatto in modo che non gli si possa donare nulla se non pagandolo con sofferenza e persecuzione. E tanto più disinteressato è il dono, tanto più crudeli saranno le persecuzioni e atroci le sofferenze. Tale è la legge della vita, il suo assioma fondamentale […]. Per il proprio dono, la grandezza, bisogna pagare con il sangue.

Bibliografia [1] P. A. Florenskij (2007) Il simbolo e la forma, scritti di filosofia della forma, a cura di N. Valentini e A. Gorelov, Bollati Boringhieri, Torino. Viene pubblicata la parte finale del saggio Gli immaginari in geometria dall’originale russo [2] P.A. Florenskij (1995) Lo spazio e i l tempo nell’arte, a cura di N. Misler, Adelphi, Milano. La prima parte contiene la traduzione di L’analisi della spazialità e del tempo nelle opere dell’arte figurativa [3] Si veda in questo volume l’articolo di G. Israel, p. 55

35 36

P.A. Florenskij (2007) op. citata, pp. 290-299. P.A. Florenskij (2007) op. citata, p. LXX.

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[4] B. Riemann, Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria e altri scritti scientifici e filosofici, Bollati Boringhieri, Torino (1994), p. 220 [5] P.D. Ouspesky, The Fourth Dimension, Kessinger Publ [6] L.D. Henderson, The Fourth Dimension and Non Euclidean Geometry in Modern Art, MIT Press, Cambridge, 2nd ed. (2010) [7] M. Emmer, Visibili armonie, arte cinema teatro matematica, Bollati Boringhieri, Torino (2007). Un capitolo è dedicato alla quarta dimensione [8] E.A. Abbott, Flatlandia, a cura di M. Emmer, testo inglese a fronte, con DVD del film omonimo di M. Emmer, in versione italiana ed inglese, Bollati Boringhieri, Torino, 2da edizione (2009) [9] P.D. Ouspensky, A New Model of the Universe, Kessinger Publ [10] Molti dei riferimenti sono tratti da un articolo di Eugene Seneta Mathematics, religion and Marxism in the Soviet Uniuon in the 1930s”, Historia Mathematica, 31 (2004), p. 337-367 [11] C.E. Ford, “The influence of P. A. Florensky on N. N. Luzin, Historia Mathematica 25 (1998), 332-339 [12] P.A. Florenskij (2003) La prospettiva rovesciata e altri scritti, a cura di N. Misler, Gangemi Editore, pp. 136-143 [13] R. Osserman (1996) Poesia dell’Universo, Longanesi, Milano, p. 93-94

Curve di riempimento dello spazio nella new media art ispirata a Pavel Florenskij di Florian Grond

Il matematico e filosofo russo Pavel Florenskij è noto soprattutto per le sue riflessioni sulla prospettiva rovesciata dei dipinti delle icone. Nelle sue ricerche sulle proprietà matematiche della riproduzione della prospettiva centrale come modalità per rappresentare le tre dimensioni su un piano bidimensionale, Florenskij utilizza come metafora un’invenzione matematica, ovvero le curve di riempimento dello spazio (dette anche curve space-filling o SFC). Le curve di riempimento furono scoperte dai suoi contemporanei Giuseppe Peano e, in seguito, David Hilbert. Oggi le curve di riempimento sono facilmente accessibili attraverso programmi informatici. I pensieri di Pavel Florenskij sulle proprietà delle curve di riempimento come paradigma della riproduzione tra realtà di dimensioni diverse fanno ancora riflettere e possono essere ricollegati a riflessioni di pensatori e creatori fra loro molto diversi, da Malevich a Italo Calvino. Da queste considerazioni ho tratto ispirazione per la creazione di opere di new media art, di cui fornisco una descrizione.

Introduzione Noi pensiamo che la realtà rappresenti sé stessa sotto forma di frammento o addirittura che esista come tale. Etimologicamente, il concetto matematico di frattale presenta alcune analogie con il frammento. Mentre quest’ultimo rappresenta sempre una parte del tutto, alcuni frattali, in particolare le curve di riempimento dello spazio (space-filling o SFC), hanno la capacità di ricomporre in maniera ordinata, e in dimensioni sempre più piccole, tutto ciò che riproducono. Il filosofo e matematico russo Pavel Florenskij (1919) mise subito in relazione le sue deduzioni sulle curve di riempimento dello spazio con aspetti della teoria dell’immagine tratti dall’arte. È interessante notare che anche Kazimir Malevich (1919) espresse simili idee riferendosi alla letteratura. Senza mai tracciare esplicitamente dei legami con la

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matematica, Malevich era alquanto consapevole della necessità di spezzare le forme quando si riduce la dimensionalità dei mezzi, raggiungendo quasi il concetto di “polvere frattale”. Alcuni decenni più tardi, simili linee di pensiero si ritrovano nel lavoro di Italo Calvino, più precisamente in Lezioni americane: sei proposte per il prossimo millennio (1985). Come Malevich, Calvino non era consapevole delle basi matematiche citate da Florenskij e pertanto aveva un approccio intuitivo alla materia. Nei primi paragrafi di questo articolo, utilizzo le curve di riempimento come metafora per comprendere le relazioni tra testo e immagine. Tale metafora costituisce un quadro che comprende posizioni apparentemente disparate, come l’uso scettico o decostruttivo della lingua, le figure retoriche convenzionali e una breve prospettiva matematica sulla relazione tra forma e contenuto.

L’interesse di Pavel Florenskij per le curve di riempimento dello spazio Dopo aver condotto gli studi sulle icone russe, Pavel Florenskij scrisse il saggio La prospettiva rovesciata [1], uno dei suoi testi più noti al di fuori della Russia. Nel saggio, egli indaga se esista o meno un modo veritiero, o per lo meno particolarmente valido, per catturare la realtà in un’immagine. Egli cerca di dimostrare che la prospettiva rovesciata non è soltanto in grado di catturare la realtà, ma lo fa ancora meglio della prospettiva centrale canonica. Florenskij utilizza abilmente la matematica allo scopo di enfatizzare la validità della sua dettagliata trattazione di questioni fondamentali inerenti le belle arti. Ecco perché nei suoi discorsi sulla prospettiva centrale ritroviamo le curve di riempimento dello spazio, un collegamento piuttosto insolito per l’epoca. Allo scopo di preparare le immagini per un trattamento matematico formale attraverso le linee di riempimento dello spazio, Florenskij [1] fa il seguente commento a proposito del colore: “I colori corrispondono all’energia di un intagliatore durante il processo di intaglio.” Così il colore diviene un valore tra bianco e nero, e ci viene fornito qualcosa che può essere concepito come un insieme di punti su di una superficie bidimensionale pronta per essere affrontata attraverso la matematica. Allo stesso modo, un pittore deve affrontare il problema ben definito della trasformazione di punti appartenenti a una realtà a tre o più dimensioni in una realtà a due dimensioni. In qualità di matematico, Florenskij conosceva l’opera di Cantor, Peano e Hilbert e collegò in maniera fruttuosa i loro risultati con i problemi della teoria dell’immagine. Allo scopo di esemplificare le sue idee ispirate alla matematica, dovette fare un passo indietro, concentrandosi sul problema di come riprodurre il piano bidimensionale su una linea unidimensionale. Florenskij affrontò il problema come un’analogia per tutte le altre correlazioni possibili tra realtà di diverse dimensionalità. Il fatto che il mezzo di raffigurazione sia sempre più piccolo di ciò che vi viene raffigurato, almeno per quanto riguarda la dimensionalità, domina le considerazio-

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ni di Florenskij sulla relazione tra realtà e mezzo. Eppure egli è convinto che sia comunque possibile rappresentare il tutto, e che nulla che fa parte dell’insieme verrà perso. La trasformazione da una realtà o da un mezzo a quella/o seguente lascia delle tracce, secondo Florenskij, ed egli lo spiega attraverso la curva di Hilbert.

La costruzione delle curve di riempimento dello spazio e la loro scoperta Nel 1890 Giuseppe Peano inventò le curve di riempimento dello spazio, che inizialmente avevano un interesse puramente matematico e accademico. Viene spesso riportato che il suo approccio fu esclusivamente analitico e che non vi erano disegni ad accompagnarlo [2]. Un anno più tardi, David Hilbert [3], al quale Florenskij fa spesso riferimento nel suo lavoro, individuò un esempio particolarmente istruttivo di curva di riempimento, sul quale ci concentreremo qui. Florenskij non entrò mai nel dettaglio di come i suoi pensieri riguardo il problema della raffigurazione e della riproduzione su un piano fossero formulati in termini matematici. In effetti, sarebbe stato irragionevole per i lettori del suo tempo. Ma oggi le strutture frattali sono più comuni. Pertanto, come possiamo costruire una corrispondenza tra sistemi bidimensionali e unidimensionali attraverso la curva di Hilbert? Immaginiamo una pagina bianca. In seguito, la pagina può essere sostituita con qualsiasi immagine. Su questa pagina cominciamo con il tracciare un segmento di linea della forma seguente: ⎡⎯ ⎤. La fase successiva consiste nel creare quattro copie e disporle applicando delle rotazioni. Infine uniamo i segmenti con delle linee e prendiamo la struttura risultante come punto di partenza per la fase seguente (Fig. 1). Questa procedura può essere ripetuta per quante volte si desidera. Ogni volta il risultato deve essere ridimensionato in maniera che rientri all’interno della pagina con cui abbiamo cominciato. Per tutte le approssimazioni finite, questo tipo di linea non interseca mai sé stessa, il che significa che la linea copre ogni punto sulla superficie della pagina soltanto una volta. Inoltre le relazioni di vicinanza di un’immagine bidimensionale tendono a mantenersi sulla linea unidimensionale. Allora perché dobbiamo ricorrere a una costruzione così complicata? Non potevamo

Fig. 1. Le prime fasi della costruzione della curva di Hilbert

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usare una semplice spirale che copre il piano bidimensionale? Stiamo per scoprire le tracce lasciate dopo aver trasformato il contenuto in un mezzo con un numero minore di dimensioni. Anche se siamo riusciti a trasformare tutto, e non si perde nulla, abbiamo comunque distrutto le relazioni che l’immagine contiene. Il centro di una spirale, per esempio, conserva le relazioni che si trovano in un’immagine relativamente bene, ma man mano che si procede verso l’esterno, è improbabile che i punti che si trovano uno a fianco dell’altro sul piano si ritrovino vicini, a meno che non siano infilati come perline in successione per puro caso. Anche la struttura serpeggiante della curva di Hilbert non è in grado di mantenere perfettamente le relazioni dell’immagine, ma lo fa comunque molto meglio della spirale. Florenskij è consapevole di questo fatto [1] quando descrive in termini molto plastici l’essenza di un frattale, o come il mezzo rappresenta la realtà quasi ridotta a polvere: Il guscio di un uovo, o anche un suo pezzetto, non può essere steso su un tavolo di marmo senza essere deformato, frantumato in polvere sottile, e questa è la ragione per cui è impossibile rappresentare con precisione un uovo su un pezzo di carta o di tela.

Kazimir Malevich sulle forme spezzate Anche un altro contemporaneo di Florenskij, Kazimir Malevich, era consapevole di perturbare le relazioni di prossimità nel processo di riproduzione della realtà sul piano e riscontrò un problema simile nella produzione dei testi. Nel 1919, egli scrisse [4]: Quando guardiamo la linea di un verso, è tutta tritata come in una salsiccia, fatta di tutte le forme possibili estranee l’una all’altra, e senza che conoscano il proprio vicino.

In poesia, la realtà deve essere trasformata in una stringa lineare, in contrapposizione con la sua multidimensionalità. Se seguiamo questa stringa e cerchiamo di consumarla, viviamo le forme della realtà come ritmo. Secondo Malevich [4], il poeta non fa altro che “riordinare il deposito di tutte le cose.” Qui egli incontra proprio l’idea di Florenskij per cui tutto si conserva, ma il riordinamento si lascia alle spalle diverse tracce. La differenza tra il prima e il dopo la trasformazione non si manifesta nel fatto che manchi qualcosa. Nelle metafore della salsiccia e del deposito, entrambe le forme rimangono più o meno intatte. Tutto sembra leggermente distorto e mischiato. In altre situazioni, tuttavia, Malevich rompe la forma su tutti i livelli, come il guscio d’uovo steso sul tavolo di marmo. Egli comprende che la

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forza del ritmo, che alla fine è il principio costruttivo della riproduzione sulla carta, alle volte non lascia nulla di inalterato alle sue spalle [4]: C’è poesia in cui il puro ritmo e l’andamento rimangono sotto forma di movimento e tempo; […] eppure alle volte una lettera non è in grado di incarnare la tensione di un suono, e di conseguenza deve polverizzarsi.

E in una formulazione più drastica: Vi sono poesie in cui il poeta deve distruggere oggetti per motivi di ritmo, lasciandosi dietro frammenti spezzettati di composizioni inaspettate di forme.

Collegando il problema della riproduzione sul piano alle belle arti, come fa Florenskij con la curva di Hilbert, e Malevich con la produzione di testi, ritorniamo all’inizio delle nostre considerazioni: i punti delle immagini. Quando leggiamo un testo, un’immagine appare nella nostra mente. Soltanto costruendo tale immagine, che dovrebbe essere intesa come una realtà astratta, a dimensioni multiple, possiamo far emergere il significato unendo questi pezzetti di lettere e parole polverizzate, privi di significato se presi singolarmente. L’installazione hilbert01 (Fig. 2) rappresenta un tentativo di visualizzare tale metafora. Malevich giunge a simili conclusioni [4]: Il ritmo e l’andamento creano e portano via i suoni che nascono attraverso di essi, e generano una nuova immagine dal nulla.

Fig. 2. hilbert01 installazione con computer grafica, 2004. L’immagine mostra un fotogramma di un testo che si avvolge e si svolge dinamicamente sulla base di un’immagine

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Dal momento che generalmente non conosciamo il principio di costruzione attraverso il quale la nostra linea frattale percorre la realtà, siamo, a ragione, scettici nei confronti della creazione di immagini a partire dalle parole. Soltanto i piccoli frammenti senza significato della polvere frattale sembrano essere veri. Nella mia opera hilbert02 (Fig. 3) ho individuato un’interessante variante della questione della frammentazione lungo le linee di riempimento dello spazio. Qui sviluppo frammentazioni graduali spostando le informazioni acquisite dalla scannerizzazione di un’immagine – un mio autoritratto – lungo la struttura di una linea di riempimento. Il risultato sono frammentazioni a vari gradi, che alle volte producono riordinamenti impercettibili di piccola scala, altre volte vengono ricollocati frammenti maggiori dell’immagine, come parti degli occhi, del naso, delle labbra. La scelta dell’autoritratto era motivata dal fatto che nel caso ideale dell’iterazione infinita, il riordinamento in cui ci si vedrebbe non perturbati è di misura zero.

Fig. 3. hilbert03 installazione con computer grafica, 2004

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Italo Calvino e i meandri della narrazione Nel capitolo intitolato “Rapidità” in Lezioni Americane, Calvino [5] riferisce che “lu cuntu nun metti temptu”, significa che in una favola il tempo non ha tempo. Si tratta di una formula usata tradizionalmente dai narratori italiani per indicare grandi salti temporali. Con tale formula, Calvino indaga la relazione tra testo e immagine sessant’anni dopo Florenskij e Malevich. Si potrebbe dire che tutti e tre si trovavano di fronte alla costruzione della curva di Hilbert, anche se non tutti loro la conoscevano. Per accorciare il tempo, dice Calvino, il poeta può iterare meno profondamente in aree in cui la sua immaginazione della realtà è più monotona; può tralasciare parti che non intende descrivere in dettaglio in modo che il lettore possa consumare il testo più rapidamente. C’è un’opera visiva molto interessante che sembra aver attinto dalla stessa fonte di ispirazione. Ken Knowlton [6] ha costruito nel 2002 un ritratto del matematico Douglas McKenna, che sviluppò diverse versioni delle curve di riempimento. Il ritratto è una stampa a getto di inchiostro che mostra una delle curve di McKenna con una determinata profondità di iterazione; grazie alla variazione della densità delle linee, da lontano possiamo distinguere diverse tonalità di grigio che compongono il ritratto, come si può vedere nella figura 4.

Fig. 4. Douglas McKenna, raffigurato attraverso uno sviluppo parziale selettivo della terza iterazione di una delle sue curve di riempimento dello spazio di ordine sette. © 2002 Ken Knowlton

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Nelle favole, le persone spesso scompaiono in mondi paralleli, e quando ritornano si ritrovano in un tempo ancora diverso. I mondi paralleli corrispondono ai livelli dell’ordine gerarchico della curva di Hilbert, la quale, per poterla percorrere, richiede una quantità diversa di tempo in base a quale profondità di iterazione si scelga. Con l’aiuto di Calvino possiamo anche far luce sull’essenza del ritmo nella prosa. Calvino spiega [5]: “Così come la rima crea il ritmo nelle poesie e nelle canzoni, allo stesso modo possiamo trovare eventi che rimano nella prosa”. E ipotizza che parte della gioia infantile caratteristica di quando si ascolta una favola consiste nell’aspettativa di determinate strutture ripetitive, siano queste situazioni, espressioni colloquiali o frasi fiorettate. Se ci riferiamo alla curva di Hilbert, scopriamo che la struttura ricurva conduce il lettore attraverso l’immaginato in modo tale da ritornare allo stesso circondario diverse volte prima di procedere in avanti. Secondo Calvino, ritroviamo spesso questo tipo di ripetitività nelle storie tipiche del Medio Oriente, le quali dipendono fortemente dalla struttura di una storia contenuta dentro una storia [5]. Sherazade riesce a salvare la propria vita perché trova indefinitamente dei legami da una storia a un’altra. In un certo senso, viene guidata attraverso la realtà da un percorso frattale, che corrisponde a un ulteriore topos che Calvino descrive come importante per una buona letteratura. Questa è l’idea della massima latina “festina lente” (affrettati lentamente), che è a volte rappresentata come un granchio e una farfalla. La farfalla rappresenta un movimento di agitazione e il granchio rappresenta l’inerzia. Un buon testo deve includere entrambe le qualità: soffermarsi su un argomento e scorrerlo velocemente in maniera sottile, ed essere continuamente pieno di movimenti incostanti. Non deve essere noioso, ma fare luce metaforicamente e indirettamente sull’argomento, piuttosto che arrivare al punto e insistervi. L’immagine che ci appare quando una linea frattale ci conduce attraverso la realtà è una cosa simile. Ma qual è la relazione della possibile contrazione del tempo e del ritmo con l’immagine? Un buon testo dovrebbe permetterci di fare esperienza di determinate immagini istantaneamente, anche quando dobbiamo fare fatica nell’affrontarlo. Allo scopo di spiegare questo concetto, Calvino [5] fa ricorso alla figura di Sagredo nel Dialogo dei massimi sistemi di Galileo Galilei. Egli descrive Sagredo come una persona capace di ragionamento istantaneo. Ciò significa esattamente intravedere l’immagine mentre si legge un testo e percepire quello che stiamo leggendo dal livello di prospettiva immediatamente più elevato che, in un certo senso, equivale ad assumere una posizione divina, senza tempo1. La dimensione immediatamente più elevata ci permette di evitare il processo di mettere insieme i pezzi di un’immagine, e quindi ferma il tempo. Ecco

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Ancora una volta, questa idea si lega bene con Pavel Florenskij e delinea una prospettiva complementare sul concetto di “permettere all’osservatore di imitare la visione divina” [7].

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Fig. 5. als Hilbert merkte, dass der Morgen dämmerte. Installazione presso la ZKM_Kubus, 6 gennaio 2007

come l’immagine ci pone davanti l’utopia di una comprensione istantanea, e quindi senza tempo. Un buon testo dovrebbe provocare lo stesso tipo di esperienza, nonostante il fatto che trascorriamo del tempo su di esso. Ho trasformato l’idea di “scorrere in maniera sottile il contenuto” nell’installazione als Hilbert merkte, dass der Morgen dämmerte (quando Hilbert notò il sorgere del sole). In questa installazione immagini di opere d’arte moderna venivano proiettate sul pavimento della ZKM_Kubus2. Queste immagini venivano fatte scorrere lentamente con segmenti ritorti delle curve di riempimento. Lungo tali segmenti, i colori corrispondenti dell’immagine venivano convertiti in suoni e riprodotti sulla proiezione con un altoparlante semisferico esattamente nella posizione in cui apparivano all’occhio (Fig 5)3.

Opere più recenti I pensieri di Florenskij sulla prospettiva centrale, assieme alle curve di riempimento dello spazio e alle loro particolari proprietà, mi hanno ispirato a combinar-

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ZKM_Kubus è la sala per concerti dell’Istituto per la Musica e il Suono del ZKM Zentrum für Kunst und Medientechnologie (Centro per le arti e i media) di Karlsruhe, www.zkm.de L’audio di questa installazione è stato sviluppato insieme a Gilles Gobeil.

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Fig. 6. Lungo la linea, opera con curve di riempimento, autunno 2008, presso OBORO, Montreal

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le entrambe in un’installazione interattiva di new media art, che ho cominciato a sviluppare durante un periodo trascorso come ospite al centro d’arte OBORO4 di Montreal. In quest’opera un’immagine come quella dell’input di una videocamera viene scannerizzata attraverso la struttura di una curva di riempimento dello spazio come si può vedere nella figura 6. Tale struttura si dispiega gradualmente e conduce a un flusso continuo. Questo flusso ha le caratteristiche di uno spettrogramma e in quanto tale viene trasformato in suoni in diversi punti di questo flusso. Colori differenti compongono suoni differenti, che cambiano nel tempo e producono un’onda sonora in movimento. Usando le curve di riempimento come scansione sono riuscito a sfruttare la relazione di prossimità tra dati dell’immagine e suoni prodotti, in maniera che tutti i suoni percepiti possano essere identificati adeguatamente con la loro fonte visiva [8]. La struttura risultante è presentata in un allestimento cinematico nel quale l’immagine dell’osservatore viene catturata da una videocamera. Nel corso dello sviluppo, l’installazione ha stimolato pensieri sul tempo e la sua relazione con la prospettiva, così come la relazione del singolo fotogramma con un flusso di immagini continuo. La parte acustica si concentra quindi sulla relazione tra la distribuzione spaziale e il tempo nel mezzo sonoro.

Conclusioni Florenskij evidenzia in maniera particolare che dobbiamo sempre accettare un compromesso quando raffiguriamo la realtà attraverso un mezzo. Da un lato, possiamo cercare di mantenere la forma originale nella sua raffigurazione, in quello che viene considerato un approccio naturalistico. In questo caso, la relazione tra la realtà e la sua rappresentazione non è unica. Dall’altro lato, possiamo cercare di ottenere una relazione unica tra tutti i punti della raffigurazione e della realtà. In questo caso, la rappresentazione sembra non avere forma e appare spezzettata sotto forma di polvere. Queste giustapposizioni della rappresentazione e della conservazione della forma rispetto alla sua decostruzione sembrano condizionarsi reciprocamente. Frammentare le cose fino alla polvere potrebbe essere il risultato di una riproduzione attraverso una struttura elaborata come una curva di riempimento dello spazio. Credo che i processi creativi debbano sempre negoziare tra questi poli. Mentre Malevich, per esempio, sottolinea gli aspetti decostruttivi di una creazione letteraria (frammenti spezzettati di composizioni inattese [4]), Sherazade è un buon esempio degli sforzi costruttivi nella narrazione, che abbiamo paragonato alle

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OBORO, centro d’arte a Montreal: www.oboro.net

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strutture ripetitive delle curve di riempimento. Se pensiamo il testo come un mero conduttore di informazioni, che richiede un’interfaccia adeguata per comunicare i propri contenuti, allora possiamo paragonarlo all’indicizzazione sperimentale dei database mediante curve di riempimento. Il modo in cui Sherazade racconta la sua storia può quindi essere visto come una primitiva realizzazione di un database, in cui la forma rende il contenuto altamente accessibile. I testi possono contenere soltanto un numero finito di segni, che vengono ripetuti soltanto per un numero limitato di volte. Eppure, la nostra mente riempie tutto il resto con l’infinità, anche quando il testo consente soltanto una ripetizione finita di strutture ripetitive. Le mille e una notte sono un periodo di tempo finito, eppure Sherazade diviene eterna raccontando la sua storia. L’aspetto particolarmente affascinante di una narrazione serpeggiante, che sia ripetitiva in senso matematico, è che attraverso la sua stessa struttura ha il potere di fare riferimenti oltre a sé stessa e alla sua rappresentazione finita.

Ringraziamenti Vorrei ringraziare Tamar Tembeck per i suoi utili commenti. Agnes Grond, Gunther Reisinger e Inge Hinterwaldner mi hanno fornito diversi utili commenti sul testo originale in tedesco [9]. Sono grato all’associazione artistica OBORO di Montreal e al ZKM di Karlsruhe, che mi hanno concesso un periodo di visita allo scopo di sviluppare e di produrre le mie idee sulle curve di riempimento dello spazio.

Bibliografia [1] P. Florenski (1919) Die umgekehrte Perspektive, Raum und Zeit, KONTEXTverlag Berlin 1997 [2] G. Peano (1890) Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane Mathematische Annalen. 36 (1) pp 157–160 [3] D. Hilbert (1891) Über die stetige Abbildung einer Linie auf einem Flächenstück, Mathematische Annalen 38 pp 459–460 [4] K Malevich (1919) Über Dichtung, in: Kazimir Malevi, Gott ist nicht gestürzt, Carl Hanser Verlag München Wien 2004 [5] I. Calvino (2008) Lezioni americane, Arnoldo Mondadori Editore, Milano [6] Ken Knowlton’s website: www.KnowltonMosaics.com [7] C. Antonova (2005) Seeing the World with the Eyes of God: The Vision Implied by the Medieval Icon Hortulus: The Online Graduate Journal of Medieval Studies Vol. 1, No. 1 [8] F. Grond (2007) Organized Data for Organized Sound Space filling curves in sonification, Proceedings of the 13th International Conference on Auditory Display, Montréal, Canada [9] F. Grond (2005) Von der Realität zur Linie und zurück, eine kleine theory of everything in Das Wahre, Falsche, Schöne. Grond W Mazenauer B (Eds) Studienverlag/Haymonverlag, Innsbruck 2005

Florenskij, l’infinito, la teologia di Giorgio Israel

Secondo una celebre osservazione di Alfred North Whitehead [1] la caratterizzazione più fondata della tradizione filosofica europea è che essa consiste di una serie di note a piè di pagina di Platone.

Per quanto si tratti di una boutade, questa affermazione ha un fondamento serio perché sottolinea con enfasi quanto il pensiero europeo moderno debba a quello greco e a Platone in particolare. Difatti, anche quando il pensiero europeo si è distaccato dalle conclusioni dominanti nel pensiero greco, ha assunto come punto di partenza il modo – spesso di insuperabile profondità – con cui esso ha posto le questioni fondamentali della filosofia. Un discorso analogo vale per il problema specifico dell’infinito. Il modo in cui esso è stato affrontato dal pensiero scientifico e filosofico moderno è stato in alcuni casi radicalmente divergente dall’opinione dominante nella filosofia greca, ma i problemi con cui è stato necessario misurarsi erano stati già tutti posti e sviscerati talora in modo conclusivo dai Greci antichi. Le varie definizioni di infinito, i paradossi e le aporie connessi a tali definizioni erano già stati identificati in modo completo e il pensiero scientifico-filosofico moderno ha dovuto, in certo senso, soltanto “scegliere” all’interno di un inventario ben definito ed esplorato. È attorno al dualismo tra infinito potenziale e infinito attuale che si sono cimentati per secoli scienziati e filosofi: ma si trattava di un dualismo già ben chiarito e analizzato dalla filosofia greca che aveva anche esaminato le implicazioni dei due punti di vista e, con i paradossi di Zenone, aveva enunciato le antinomie cui potevano condurre. È indubbio che questa esplorazione profonda e accurata fece emergere tra i Greci un atteggiamento – non unanime ma prevalente – di diffidenza nei confronti del concetto di infinito, soprattutto dell’infinito attuale, ovvero dell’infinito dato una volta per tutte, “in atto”, pensato con un atto unico. L’opinione prevalente, sostenuta soprattutto da Aristotele, fu di privilegiare il concetto di infinito poten-

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ziale, inteso come una quantità che cresce senza limiti, la cui infinità non è pensabile con un atto sintetico, bensì come un processo di crescita illimitata. La preoccupazione di Aristotele, e dei tanti che aderirono al suo punto di vista, era di resistere ai paradossi di Zenone e alla critica devastante che essi conducevano del concetto di infinito (e di infinitamente piccolo) attuale. Il concetto di “punto”, così come è enunciato da Euclide – un oggetto che “non ha parti” – poneva difficoltà insolubili se gli oggetti geometrici venivano pensati come unioni di punti. Difatti, un segmento pensato come unione di punti, dovrebbe avere lunghezza nulla, se i punti hanno dimensioni nulle, per quanto siano in numero infinito, altrimenti dovrebbe avere lunghezza infinita. Già in Euclide scorgiamo la tendenza a considerare i punti soltanto come estremità dei segmenti e non come loro parti, per evitare l’aporia. D’altra parte, la considerazione del segmento come un continuo divisibile all’infinito solleva un altro ordine di difficoltà, anch’esso denunciato dai paradossi di Zenone. Tuttavia, Aristotele ritiene più facilmente superabili le difficoltà legate al concetto di infinito potenziale a differenza di quelle legate al concetto di infinito attuale. In generale, la matematica greca – e il pensiero filosofico connesso – appare perfettamente consapevole di queste difficoltà: si pensi anche alle implicazioni del teorema di Pitagora. Essa sembra volerle evitare con un’accorta strategia di aggiramento, evidente sia nell’uso prudente del concetto di punto euclideo, di cui si diceva, sia nella definizione “potenziale” degli enti geometrici: le rette sono pensate come segmenti finiti estensibili all’infinito in potenza, e non date come infinità in atto. In generale, il pensiero greco, pur esibendo una visione chiara e profonda delle difficoltà poste dalla considerazione dell’infinito, propende per una visione finitista, ovvero per il concetto di infinito potenziale. D’altra parte, tale visione è coerente con quella che i Greci hanno del cosmo, concepito come una sfera chiusa, limitata, dal raggio finito. È una visione che influenzerà gran parte del pensiero medioevale. Non tutto, certamente. Il passaggio che Koyré ha definito “dal mondo chiuso all’universo infinito” [2] è preparato da un buon numero di pensatori che si contrappongono talora aspramente alla visione aristotelica dominante nella teologia medioevale. Tale è il caso del filosofo ebreo Hasdaï Crescas le cui speculazioni di grande originalità sull’infinito hanno aperto la strada all’abbandono del finitismo aristotelico e dell’idea che il mondo è un plenum di oggetti che costituiscono lo spazio stesso e all’affermarsi della concezione dello spazio come un contenitore vuoto in cui “galleggiano” i corpi, ovvero a una sua concezione puramente geometrica [3]. Sono i primi segni dello sbocciare del pensiero rinascimentale e di quelle visioni che prepareranno l’avvento della scienza moderna. Si trattava di uno sviluppo in certo senso inevitabile perché l’avvento delle religioni monoteiste e della loro concezione trascendente della divinità non poteva conciliarsi facilmente con la visione di un cosmo chiuso e finito caratteristica del

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pensiero greco: il dualismo inerente alla concezione trascendente non era facilmente conciliabile con la visione monistica del mondo derivante dal pensiero aristotelico. Occorreva abbandonare Aristotele a favore di Platone, per recuperare l’essenza del pensiero razionale greco e farla germogliare all’interno di una visione del mondo inteso come un universo aperto e infinito, prodotto dell’atto creativo di una entità trascendente. Il radicale mutamento di pensiero introdotto dalla religiosità monoteistica è stato efficacemente descritto da Gershom Scholem nel contesto di un’analisi volta a spiegare come e perché emerga il pensiero mistico [4]: Il primo stadio rappresenta il mondo come pieno di divinità; l’uomo li incontra ad ogni passo e può sperimentare la loro presenza senza dover ricorrere a una meditazione estatica. In altri termini, non vi è posto per la mistica fino a che l’abisso tra l’uomo e Dio non è divenuto una presa di coscienza interna. […] Il secondo stadio ancora senza mistica reale è il periodo creativo in cui la religione emerge e si apre un passaggio. La funzione suprema della religione è di distruggere l’armonia immaginaria dell’Uomo, dell’Universo e di Dio […] Perché, nella sua forma classica, la religione significa la creazione di un vasto abisso, concepito come assoluto, tra Dio, Essere infinito e trascendente, e l’Uomo, creatura finita. […] Si comincia a rendersi conto di una dualità fondamentale, di un vasto baratro che non può essere attraversato da nulla se non dalla voce: la voce di Dio che ordina e dà la legge nella sua Rivelazione e la voce dell’uomo in preghiera. Le grandi religioni monoteiste poggiano e si sviluppano sulla conoscenza sempre presente di questa bipolarità, dell’esistenza di un abisso che non può essere superato. Per esse, il teatro della religione non è più la Natura, ma l’azione morale e religiosa dell’uomo e della comunità degli uomini la cui interazione fa nascere la storia. […] L’apparizione [della mistica] coincide con quello che si potrebbe chiamare il periodo romantico della religione. La mistica non nega o non disprezza l’abisso; al contrario, essa comincia col prendere coscienza della sua esistenza, ma di qui parte alla ricerca del mistero che vuole scavare e del cammino nascosto che attraverserà questo abisso. Essa si sforza di raccogliere i frammenti prodotti dal cataclisma religioso, di ricondurre l’antica unità che la religione ha distrutto, ma su una base nuova in cui il mondo della mitologia e quello della rivelazione s’incontrano nell’anima dell’uomo. Allora l’anima diventa centro di sé stessa; il cammino dell’anima, in mezzo alla molteplicità abissale delle cose, verso l’esperienza della Realtà divina, ora concepita come l’unità primordiale di tutte le cose, diviene la sua preoccupazione principale. Pertanto, fino a un certo punto, la mistica significa un rinascere del pensiero mitico, anche se non si deve trascurare la differenza che esiste tra l’unità considerata prima che vi sia dualità e l’unità che deve essere ritrovata in un nuovo scaturire della conoscenza religiosa.

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Questo brano spiega magistralmente perché la rottura dell’unità monista della concezione antica del mondo e la visione di una divinità trascendente abbiano aperto un fossato tra la finitezza dell’uomo e l’infinità divina. L’uomo aspira a colmare questo abisso in molti modi. È evidente che l’aspirazione al ricongiungimento col divino, la spinta a “toccare” l’infinito segue prioritariamente la via dell’esperienza religiosa, e in particolare mistica. Ma qui non intendiamo approfondire questo aspetto [5, 6] quanto sottolineare come l’apertura piena verso il tema dell’infinito sia la fonte di un nuova idea della conoscenza come un processo indefinito di approssimazione verso la “verità”. Edmund Husserl ha descritto molto bene questa nuova visione che è alla base del ripensamento moderno dei compiti ereditati dalla filosofia antica, la quale “non arrivava a riconoscere la possibilità di un compito infinito”. È una limitazione che si riflette nei compiti finiti che si pone la matematica antica, la quale si muove entro “un apriori finito e chiuso” [7]. La grande novità è invece rappresentata dall’“idea di una totalità infinita dell’essere e di una scienza razionale che lo domina razionalmente” [7]. Questa idea si sviluppa soprattutto nel periodo rinascimentale e, come vedremo subito, è chiaramente enunciata nella filosofia di Nicola Cusano. Per ora ci preme di sottolineare che essa ha una matrice teologica determinante, senza cui è impossibile comprenderne lo spirito. È qui che si realizza appieno la sintesi tra la razionalità greca e l’aspirazione alla trascendenza caratteristica della tradizione ebraico-cristiana. La razionalità greca, che viene riscoperta con il riferimento a Platone anziché ad Aristotele, viene proiettata verso un compito che supera i confini ristretti della concezione antica e mira nientemeno che ad inseguire l’infinito come termine praticamente irraggiungibile ma perfettamente definito di un processo illimitato di avvicinamento. La matematica – e anche in questo si manifesta la riscoperta del platonismo – diventa la sostanza di una nuova forma di oggettivismo forte che supera i limiti dell’oggettivismo medioevale, che era un oggettivismo empirico di ispirazione aristotelica. L’oggettività ora non è più data dall’osservazione dei fatti naturali, ma dalla progressiva scoperta delle leggi espresse in forma matematica che governano la natura. È tuttavia indubbio che l’abbandono del punto di vista antico non avviene facilmente e le obiezioni nei confronti della manipolazione del concetto di infinito resisteranno a lungo. In particolare, nel nuovo punto di vista dualistico, esse troveranno una forma di resistenza nella distinzione tra il terreno teologico-filosofico e quello scientifico. Si ammetterà che nel primo possa esplicarsi pienamente il concetto di infinità trascendente data in atto, mentre nel secondo converrà attenersi a un approccio più prudente. Tale sarà ancora la posizione di Descartes il quale escluderà recisamente che l’uomo possa attingere all’infinito. Nei Principia [8] egli dice chiaramente che sarebbe ridicolo che noi, che siamo finiti, intraprendessimo di determinare qualcosa dell’infinito e, in tal modo, supporlo finito cercando di capirlo. [Noi,] vedendo delle cose in cui, secondo certi significati, non constatiamo limiti, non diremo per questo che sono infinite, ma le considereremo soltanto

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indefinite. E chiameremo queste cose indefinite piuttosto che infinite, al fine di riservare a Dio soltanto il nome di infinito: sia perché non osserviamo limiti nelle sue perfezioni, sia perché siamo certi che non possono esservene.

Quindi sebbene l’universo sia, in quanto immagine di Dio, infinito, nella mente dell’uomo appare come un “indefinito”, un “interminatum”. Dio è l’infinito attuale, alla mente dell’uomo è riservata soltanto la considerazione dell’infinito potenziale. Ma proprio l’impossibilità di costruire una rappresentazione complessiva e definitiva dell’universo è il fondamento dell’oggettività della conoscenza umana! Difatti, soltanto se esiste uno iato, una separazione incolmabile fra sapere umano e realtà, è possibile conseguire conoscenze aventi un fondamento di verità, in quanto tendono indefinitamente verso il termine rappresentato dall’essenza della realtà stessa. Se conoscenza umana e realtà fossero fuse, la seconda avrebbe lo stesso carattere di finitezza e imperfezione della prima e non avremmo alcuna base su cui accertare la verità delle nostre deduzioni. Ma noi sappiamo che esiste una realtà infinita, perfetta e oggettiva distinta dal nostro pensiero e irraggiungibile, in termini assoluti, da esso. Se seguiamo un processo di avvicinamento e approssimazione indefinito verso di essa, saremo certi che le nostre deduzioni costituiscono un’approssimazione della verità e quindi partecipano, in modo sempre più perfezionato, della verità. Questa visione è il fondamento dell’oggettivismo scientifico, ed è ripresa da Descartes – come egli stesso dichiara – dalla dottrina della docta ignorantia di Nicola Cusano ed è squisitamente platonistica. Nell’affermare l’incolmabilità del fossato che divide finito ed infinito, Cusano dichiara l’insufficienza della logica aristotelica nel trattare il problema dell’infinito e si richiama alla matematica come alla scienza che permette di cogliere la logica della coincidenza degli opposti. Per Cusano, occorre adottare una visione risolutamente dualistica, accettando l’irrimediabile divisione fra mondo sensibile e mondo intelligibile, fra esistenza e significato. Leggiamo le parole chiarissime di Cusano [9] stesso, al riguardo: La verità è indivisibile. L’intelletto si comporta con la verità, come il poligono con il cerchio: il poligono iscritto, quanti più lati ha, tanto più si avvicina al cerchio, senza diventar mai uguale a quello, anche se i suoi angoli vengono moltiplicati all’infinito, né giungere mai a coincidere col cerchio. Così noi non conosciamo altro della verità, se non questo: che sappiamo che essa, così com’è, è per noi incomprensibile, perché la verità è necessità assoluta, che non può essere né più né meno di quello che è, e il nostro intelletto è invece possibilità.

La frattura fra verità empiriche e verità assoluta sembra precludere ogni forma di oggettività alla conoscenza umana: al contrario, essa la garantisce. La conoscenza ha il suo fondamento nel riferimento a un ente ideale e perfetto. Come osserva Ernst Cassirer [10]:

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il taglio che separa il sensibile dall’intellegibile, l’empiria e la logica dalla metafisica assicura all’esperienza il suo diritto. E questo avviene perché il Cusano, con la stessa energia ed acutezza con la quale aveva prima proseguito il pensiero della “separazione”, prosegue ora quello della “partecipazione”. “Separazione” e “partecipazione”, si escludono così poco reciprocamente, che, anzi, l’una non può venir pensata se non mediante l’altra e in rapporto all’altra.

Insomma, la conoscenza empirica è possibile nella misura in cui esiste un essere ideale e oggettivo cui essa fa riferimento, anche se sappiamo di non potere mai esaurirlo e ricomprenderlo completamente. La conoscenza acquisisce determinatezza e oggettività crescenti nella misura in cui esiste una determinazione assoluta e oggettiva cui esso si rapporta. In tal senso, Cusano offre una prospettiva epistemologica più audace e avanzata di quella di Descartes, il quale arretra di fronte al concetto di infinito attuale. Benché il processo di approssimazione della conoscenza sia un “interminatum”, ovvero un processo “indefinito”, per acquisire senso esso deve avere come solido riferimento un infinito attuale, l’essenza oggettiva della realtà che è niente altro che il riflesso delle leggi con cui Dio ha strutturato la natura. Non a caso, Descartes si rifiuta di avanzare nella direzione della “nuova” matematica, quella del calcolo “sublime” o “infinitesimale”, la matematica che si confronta con il problema dell’infinito e resta nella cornice della visione antica, sia pure rinnovata per molti aspetti. Ed è proprio qui che interviene l’analisi del pensatore russo Pavel A. Florenskij – matematico, fisico, teologo e filosofo, ma anche cultore di ingegneria – che in un profondo saggio del 1904 affronta il problema dell’infinito con riferimento alle idee di Georg Cantor e alla sua teoria degli insiemi transfiniti [11]. Potrà sembrare curioso che prima di iniziare a parlare di questo saggio abbiamo sviluppato una così lunga premessa. Ma questa è necessaria proprio per apprezzare l’importanza del contributo di Florenskij: egli tratta dell’infinito pochi anni dopo che Cantor aveva sviluppate le sue teorie e ben prima che le ricerche storiche cui ci siamo riferiti nella panoramica iniziale avessero preso corpo. Pertanto, la sua identificazione della matrice teologica delle riflessioni cantoriane sull’infinito ha il valore dell’intuizione straordinaria di una mente profonda e conferma brillantemente la tesi di Copenhaver [12] secondo cui lo studio delle tradizioni religiose e mistiche mostra che le storie della teologia, della filosofia e anche dell’occultismo possono contribuire a una visione sintetica del passato che illumina, o forse più precisamente, include la storia della scienza.

Non potremo qui entrare nei dettagli dell’esposizione che Florenskij fa della teoria cantoriana dei numeri transfiniti. Ci limiteremo a due aspetti che hanno una stretta relazione con quanto si è detto finora.

Florenskij, l’infinito, la teologia

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Il primo aspetto è dato dalla chiarezza con cui Florenskij individua come centrale la “distinzione fondamentale e del tutto elementare tra infinito attuale e infinito potenziale”. Non si tratta soltanto del fatto che egli ne fornisce una definizione chiara e approfondita, ma che individua come il secondo sia – riprendendo in ciò le parole di Cantor – non un’idea ma soltanto un concetto ausiliario, quel che i filosofi moderni (con evidente riferimento a Hegel) chiamano “cattivo infinito”. Secondo Florenskij tale concetto fu generato probabilmente dalle riflessioni di Anassimandro, “secondo il quale la potenza inesauribile, inestinguibile dell’essere, l’apeiron indefinito, riempie lo spazio e dalle sue viscere genera ogni cosa”. Ma la parola apeiron non significa contrariamente a quanto riteneva Aristotele, l’infinito della materia prima, “ma solo una fusione e una combinazione di potenze, la possibilità di generare continuamente esseri”. Il limite della nozione di infinito potenziale appare evidente, secondo Florenskij, quando si fa riferimento all’altro genere di infinito, quello attuale. Le riflessioni che egli sviluppa costituiscono di fatto una confutazione di quelle di Descartes e si avvicinano piuttosto a quelle di Cusano: difatti la sua tesi è che un infinito potenziale, ovvero un processo di crescita senza limiti, non può essere definito se non in relazione a un determinato contesto, che è per l’appunto quello dato dall’infinito attuale. Senza il termine generale di riferimento la nozione di crescita (o decrescita) illimitata perde senso: come potremmo pensare a un numero sempre più grande di un altro se non in un determinato contesto, per esempio quello dei numeri interi? Vediamo [11]: Affinché l’infinito potenziale sia possibile, dev’essere possibile un mutamento illimitato. Per quest’ultima cosa, tuttavia, è necessario un ambito di mutazione che non sia soggetto di per sé a mutamenti. E ciò in quanto in caso contrario necessiteremmo di un campo di mutazione per tale ambito e così via. Esso, tuttavia, non è finito, e di conseguenza è già, di suo, attualmente infinito. Di conseguenza, ogni infinito potenziale presuppone l’esistenza di un infinito attuale quale proprio limite sovrafinito, qualunque progresso infinito presuppone l’esistenza di uno scopo infinito nel progresso, ogni perfezionamento infinito necessita che sia ammessa l’infinita perfezione. Chi nega l’infinito attuale in qualunque accezione nega con ciò stesso anche l’infinito potenziale in quella stessa accezione, e il positivismo ha in sé gli elementi della propria corruzione. Come dire che nel positivismo ha luogo un autoavvelenamento tramite quanto prodotto dalla sua stessa attività.

In tal modo Florenskij non soltanto restaura il senso profondo dell’epistemologia di Cusano contro le esitazioni di stampo aristotelico di Descartes, ma conduce una critica penetrante della contraddizione del positivismo che da un lato vuole affermare il valore universale della conoscenza scientifica e, dall’altro, toglie fondamento a questo valore concependo il processo conoscitivo come un avanzare a

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caso senza un termine di riferimento. Si tratta di riflessioni di grande attualità di fronte al tentativo di presentare il relativismo come essenza della conoscenza scientifica: tale tentativo è contraddittorio e conduce alla svalutazione totale della scienza. La necessità di un termine di riferimento assoluto – un limite sovrafinito, il cerchio limite di Cusano verso cui tende la conoscenza come il poligono iscritto con un numero di lati crescente – conduce direttamente alla centralità del discorso teologico nella fondazione dell’epistemologia scientifica moderna. Senza il riferimento all’infinito, la scienza intesa come costruzione che mira all’accrescimento progressivo di conoscenza non può essere neppure pensata. È significativo il fatto che Florenskij citi un teologo e filosofo tedesco, Constantin Gutberlet per ammonire contro la tendenza sbagliata a recuperare di Tommaso d’Aquino le opinioni più obsolete e dimenticarne le cruciali riflessioni sull’infinito [13]: Va da sé che c’è una seria incoerenza nel fatto che nell’Evo moderno si sia provato di utilizzare con pedante meticolosità tutte le opinioni scientifiche – ovviamente obsolete – di Tommaso d’Aquino, dal quale invece si prendevano le distanze quanto a una questione speculativa importantissima quale è l’eternità del mondo. C’è incoerenza anche nel fatto che nella Conoscenza di Dio si consenta un insieme attuale infinito di possibili cose, di cui però si nega la possibilità. Da questo vicolo cieco si esce sostenendo che non serve spostare il metodo della Conoscenza di Dio a quella umana. È verissimo, ma non è questo il punto: se un insieme attualmente infinito è una contraddizione in sé, esso non può esistere nemmeno nella Mente di Dio se non in quanto assurdo, qualcosa tipo la quadratura del cerchio.

Di qui passiamo al secondo tema di grande originalità e importanza nel saggio di Florenskij: l’identificazione della radice della visione del mondo di Cantor nella sua religiosità ebraica: qui poco importa che Cantor, pur di origine ebraica, fosse di fede cristiana. Che sappia o no la posizione effettiva di Cantor circa la fede religiosa, Florenskij lo assume come un modello di spiritualità ebraica. Per Florenskij tale spirito ebraico fa dell’impresa scientifica di Cantor la manifestazione di “una grande fede” che mira a dimostrare la necessità dell’idea del transfinito [11]: altrimenti non ci sarebbe un’omogeneità morale tra il cosmo e la Divinità, non c’è e non ci potrebbe essere un “contratto”, noi non potremmo autodeterminarci e agire di nostra sponte, senza diventare vuoti automi mossi da fili.

E Florenskij così prosegue [11]: Se come persona, Cantor appare quale modello vivissimo di ebreo, la sua visione del mondo ne è altrettanto – se non più – tipica. L’idea dell’infinità perfetta

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(infinito finito) della persona assoluta – Dio – così come della persona umana è una prerogativa dell’ebraismo, e questa idea pare essere il fondamento più sostanziale di Cantor. […] Alla sua anima l’idea dell’impossibilità dell’infinito attuale appare mostruosa. […] Persino l’infinito potenziale, per lui, è importante solo a condizione di una crescita non indefinita, non il-limitata nel senso primo del termine, ma a condizione di tendere verso quello stesso confine, verso l’infinito attuale quale suo scopo ideale.

Se Florenskij avesse letto le moderne analisi circa il contributo della filosofia medioevale ebraica alla critica del finitismo aristotelico e alla difesa di un concetto aperto e infinito di spazialità – al punto che nel trattato Or Adonai di Crescas sono state identificate puntuali anticipazioni della teoria cantoriana [3] – si sarebbe sentito grandemente confortato nella sua opinione. Egli avrebbe trovato argomenti puntuali, storicamente e filologicamente fondati per sostenere come la concezione religiosa ebraico-cristiana di un Dio trascendente abbia contribuito in modo decisivo a stabilire i principi dell’epistemologia scientifica moderna. Nondimeno Florenskij ha colto perfettamente nella spinta al ricongiungimento con il Dio trascendente – la tensione che abbiamo visto così bene descritta da Scholem – il motore fondamentale di quella aspirazione all’infinito che ha un ruolo così importante nella scienza moderna. Nel concludere il suo articolo egli illustra questa tensione con una brillante intuizione, riferendosi a un’invocazione che ha un ruolo centrale nella festività di Pesach (la Pasqua ebraica) e che è contenuta in tutti i testi che vengono letti durante la lunga notte della cena pasquale. Quale che sia la versione di questi testi – la cosidetta Hagaddah di Pesach – essi contengono questa invocazione che Florenskij riporta a conclusione del suo saggio e che presenta come la più chiara espressione della tensione verso il ricongiungimento con l’infinità divina (in stretta analogia con la richiesta di Giacobbe all’angelo con cui aveva lottato una notte intera di non lasciarlo prima di averlo benedetto): È probabile che tutti conoscano il “cantico pasquale degli ebrei. Ricorderete certamente l’insistenza decisa, la petulanza – per dirla in modo rozzo – delle preghiere a Dio. Tale incalzante richiesta, tale lotta con Dio, “non ti lascio finché non mi benedici”, sono quanto mai tipiche dell’opera di Georg Cantor, e penso di non poter spiegare meglio il senso del suo operato se non riportando il testo di tale cantico. Eccolo: Egli Che è possente ricostruirà la Sua dimora presto, prestissimo, durante la nostra vita. O Dio, ricostruisci, ricostruisci presto la tua dimora! Egli Che è prescelto ricostruirà la Sua dimora presto, prestissimo, durante la nostra vita. O Dio, ricostruisci, ricostruisci presto la tua dimora! Egli Che è grande ricostruirà la Sua dimora presto, prestissimo, durante la nostra vita. O Dio, ricostruisci, ricostruisci presto la tua dimora!

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Egli Che è onorato, fedele, giusto, pio ricostruirà la Sua dimora presto, prestissimo, durante la nostra vita. O Dio, ricostruisci, ricostruisci presto la tua dimora! Egli Che è puro, unico, possente, saggio, re, dotto, forte, prode, liberatore, giusto ricostruirà la Sua dimora presto, prestissimo, durante la nostra vita. O Dio, ricostruisci, ricostruisci presto la tua dimora! Egli Che è santo, pietoso, onnipotente, forte ricostruirà la Sua dimora presto, prestissimo, durante la nostra vita. O Dio, ricostruisci, ricostruisci presto la tua dimora!

Bibliografia [1] A.N. Whitehead (1929) Process and Reality : An Essay in Cosmology, MacMillan, New York [2] A. Koyré (1957) From the Closed World to the Infinite Universe, The Johns Hopkins Press, Baltimore (trad. it. Dal mondo chiuso all’universo infinito, Feltrinelli, Milano, 1970) [3] T. Lévy (1987) Figures de l’infini. Les mathématiques au miroir des cultures, Editions du Seuil, Paris [4] G. Scholem (1946) Major Trends in Jewish Mysticism, Schoken Books, New York (trad. it. Le grandi correnti della mistica ebraica, Einaudi, Torino, 2008) [5] G. Israel (2005) La Kabbalah, Il Mulino, Bologna [6] G. Israel (1993) L’Ebraismo e il pensiero scientifico: il caso della Kabbalah, Prometheus, 15 (Le religioni di Abramo e la scienza), pp. 7- 40 [7] E. Husserl (1959) Die Krisis der europäischen Wissenschaft un die transzendentale Phänomenologie, Martinus Nijhoff, Aja (trad. it. La crisi delle scienze europee e la fenomenologia trascendentale, Il Saggiatore, Milano, 1961) [8] R. Descartes (1644) Principia Philosophiae, Elsevier, Amsterdam (in francese in R. Descartes, Oeuvres et lettres, éd. Par A. Bridoux, “Bibliothèque de la Pléiade”, Gallimard, Paris,1953) [9] N. Cusano (1440) De docta ignorantia (trad. it. La dotta ignoranza, in La dotta ignoranza. Le congetture, Rusconi, Milano, 1988) [10] E. Cassirer (1927) Individuum und Kosmos in der Philosophie der Renaissance, Teubner, Leipzig (trad. it. Individuo e cosmo nella filosofia del Rinascimento, La Nuova Italia, Firenze, 1974) [11] P.A. Florenskij (1904) O simvolach beskonecnosti (Ocerk idej G. Kantora), Novyi Put’, 9, pp. 172-235 (trad. it. “I simboli dell’infinito (Saggio sulle idee di G. Cantor”, in P. A. Florenskij, Il simbolo e la forma, Bollati Boringhieri, Torino, 2007, pp. 25-80) [12] B.P. Copenhaver (1980) Jewish Theologies of Space in the Scientific Revolution: Henry More, Joseph Raphson, Isaac Newton and Their Precedessors, Annals of Science, 37, pp. 489-548 [13] C. Gutberlet (1886) Das Problem der Unendliche, Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, Bd. 88

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Superfici di seta: la geometria negli abiti di Capucci I. Birindelli Pop Numbers M. Pierini Forme matematiche: dalla formula alla forma nello spazio M. Rottmann

Superfici di seta: la geometria negli abiti di Capucci di Isabeau Birindelli

Roberto Capucci, lo stilista che, per eccellenza, ha saputo usare volumi, superfici e colori per trasformare abiti in sculture, architetture, poesie e più in generale in opere d’arte, ha creato un mondo che architetti, sovrintendenti, storici dell’arte hanno interpretato e descritto ognuno secondo la propria specializzazione: Capucci l’artista, lo scultore, il creatore di mondi fantastici e infinitamente eleganti [1-3]. Questo articolo assume intenti e metodologia diversi rispetto a quanto sia stato fatto sinora, ma si pone in modo complementare piuttosto che antagonista. Ci proponiamo infatti di descrivere gli abiti di Capucci usando concetti precisi della geometria differenziale e della geometria algebrica, come la curvatura, le rigate, i fibrati tangenti. Questa operazione sarà condotta con intento tra il botanico/classificatorio e il filosofico. Mi spiego: dopo aver descritto le questioni geometriche che si pongono nella confezione e ideazione dei vestiti e quindi in un certo senso nel problema di “ricoprire superfici”, tenteremo di elencare gli elementi geometrici presenti in alcuni significativi abiti del maestro. L’obiettivo finale è di sollevare una questione fondamentale: i concetti matematici esistono come esistono i colori, i suoni, gli odori e in quanto tali sono usati, visti, intuiti anche da chi non conosce la matematica oppure sono una invenzione dell’uomo, e dunque la convergenza delle intuizioni proviene dal fatto che il creatore artistico e il creatore matematico arrivano agli stessi concetti perché rispondono alle stesse esigenze ed usano la stessa creatività?

Dal Teorema Egregium al pallone da calcio Il Teorema Egregium di Gauss recita: Si superficies curva in quamcumque aliam superficiem explicatur, mensura curvaturae in singulis punctis invariata manet.

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Che si può tradurre in termini matematici: Se due superfici sono isometriche allora in ogni punto hanno la stessa curvatura.

Ricordiamo le definizioni delle parole usate nell’enunciato di questo teorema. Qui Gauss parla di superfici regolari cioè senza spigoli. Si ricorda che due superfici sono isometriche se esiste una mappa biettiva che conservi le distanze tra i punti. Gauss spiega bene questo concetto usando il termine “explicatur” per descrivere il fatto che due superfici che sono isometriche possono essere “stese” una sopra l’altra anche se non sono elastiche (si pensi al foglio di carta che si può stendere, arrotolare, su un cilindro). Per definire il concetto di curvatura di una superficie in un punto, si ricorda che la curvatura, in un punto P di una curva piana, misura quanto è incurvata e quindi è pari all’inverso del raggio del cerchio che meglio approssima la curva nel punto P. In questa ottica diremo che una retta (che non è incurvata) ha curvatura nulla perché approssimata dal cerchio di raggio infinito. Per determinare il segno della curvatura bisogna fissare un verso di percorrenza della curva e si intenderà che la curvatura è positiva se, percorrendo la curva, il cerchio è sulla destra ed è negativa se il cerchio è sulla sinistra. La curvatura di Gauss in un punto P di una superficie si ottiene considerando prima la curvatura in P di tutte le curve piane intersezione della superficie con un piano passante per P e ortogonale al piano tangente, e poi facendo il prodotto tra la maggiore e la minore delle curvature trovate. Il lettore si convincerà facilmente che la curvatura della sfera di raggio R è (1/R)×(1/R)=1/R2. Mentre nel caso del cilindro, che ha per sezione il cerchio di raggio R, siccome l’intersezione con il piano che contiene l’asse del cilindro è una retta che ha curvatura nulla (curvatura minima) mentre la curvatura massima è proprio 1/R; si ottiene che la curvatura di Gauss è 0×(1/R)=0. Esempi di superfici che hanno dei punti in cui la curvatura di Gauss è negativa, sono la sella o il toro. Dunque il Teorema Egregium afferma che due superfici che si possano in qualche maniera “stendere in modo non elastico” una sopra l’altra devono avere la stessa curvatura. Questo in particolare significa, per esempio che con il cuoio (che è una materiale non elastico) e ha curvatura nulla non si può ricoprire un pallone da calcio che, essendo una sfera, ha curvatura 1/R2. Questo ovviamente sembra contraddire il fatto che i palloni da calcio sono in cuoio! È facile convincersi che questo semplice problema del pallone da calcio è rappresentativo del problema di confezionare vestiti, che sono fatti con delle stoffe, che sono delle superfici con curvatura zero, e che devono ricoprire il corpo umano che non ha curvatura nulla, in quasi nessuna parte di esso. Il problema del vestirsi è stato risolto in vari modi a seconda dei periodi storici ma fondamentalmente con tre modalità:

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1. Abiti che non seguono la linea del corpo. Quasi senza cuciture, molti abiti tradizionali non sono altro che un gioco di pieghe come il Sari o la Toga. In questa stessa categoria, ma con una costruzione più interessante dal punto di vista geometrico, possiamo considerare la gonna a ruota, che non è altro che un disco dal quale viene tolto un disco più piccolo e concentrico che viene posto poi in vita. Oppure il Kimono che, con un sapiente gioco di rettangoli, si distacca dal corpo evitando il più possibile le zone del corpo che hanno curvatura non nulla. 2. Abiti che non sono superfici regolari. Usando pieghe, cuciture e cugni, la stoffa non è più una superficie regolare, ma la presenza di “pieghe” la rende irregolare e dunque, per dirlo come i matematici, non siamo più nelle ipotesi del teorema di Gauss. Così si spiega anche il pallone da calcio che non è una sfera ma un poliedro, le cui facce sono esagoni e pentagoni, le cuciture tra queste figure sono dei cugni che danno curvatura al cuoio1. 3. Stoffe elastiche: il jersey, la maglia, ecc. sono stoffe elastiche e pertanto, se usate per “ricoprire” altre superfici, non è necessario che le due superfici siano “isometriche”: anche in questo caso non siamo sottoposti alla tirannia del Teorema di Gauss (matematicamente diremo che nella prima soluzione si è semplicemente rinunciato alla “tesi” e cioè a ricoprire il corpo, nel secondo e terzo caso si è eliminata una delle ipotesi.) Osserviamo a questo punto che in questa riflessione siamo interessati alle soluzioni proposte nel punto 2, dove la sapienza del “taglio” permette di supplire alle costrizioni della materia, essendo la seta non elastica (escludendo dunque la soluzione 3) ed essendo lo scopo della “couture” quello di dettare la forma invece di farla dettare alla stoffa (soluzione 1).

Curvature in alcuni abiti di Capucci Da questo excursus, il lettore avrà intuito che le superfici più difficili da realizzare con la seta sono quelle che hanno dei punti di curvatura negativa. In geometria le superfici per cui tutti i punti hanno curvatura negativa sono poche e spesso bizzarre. Un esempio è dato dalla famosa superficie del Dini. La sua parametrizzazione è data da: x=cos(s) sin(t), y=sin(s) sin(t), z=cos(t)+log(tan(2t/3))+0,2s

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Ci permettiamo una piccola divagazione per sottolineare che mentre gli esagoni “tassellano” il piano (cioè lo ricoprono tipo mattonelle) per “quasi tassellare” la sfera è necessario usare esagoni e pentagoni.

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Il parametro t varia nell’intervallo (0, 3π/4) e s in (0, 2πn) dove n è il numero di giri. Eppure la superficie del Dini diventa una manica:

Fig. 1. Superficie del Dini

Fig. 3. Iperboloide

Fig. 2. Roberto Capucci, tempera su carta, 1992

Un’altra superficie con curvatura negativa è l’iperboloide (Fig. 3), che tuttavia è anche una superficie rigata. Le superfici rigate offrono il grande vantaggio di poter essere costruite tramite il plissé. Una superficie rigata è una superficie che si ottiene come unione di rette. L’iperboloide è in realtà doppiamente rigato. Le superfici rigate possono essere singolari come, per esempio, il cono o la spirale rigata che ha per equazione: x=t cos(s), y=t sin(s), z=t(sin (3s))2 con i parametri t e s che variano a seconda del numero di giri che si vogliono compiere. Grazie al sapiente plissé, la spirale rigata è diventata una gonna nell’a-

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Fig. 4. Spirale di equazione x=t cos(s), y=t sin(s), z=t(sin (3s))2

Fig. 5. Abito scultura di Capucci, Biennale di Venezia 1995

bito disegnato per la Biennale di Venezia del 1995 (il direttore Jean Clair, nel centenario delle manifestazioni veneziane, aveva chiesto a Capucci dodici sculture che tuttavia rimanessero abiti), in cui la singolarità della spirale trova un significato artistico.

Le superfici algebriche Le superfici algebriche sono superfici i cui punti hanno coordinate che sono soluzione di una equazione algebrica e cioè sono gli zeri di un polinomio. Esempio semplice è la sfera di raggio R che ha per equazione: x2+y2+z2-R2=0 o il cilindro x2+y2-R2=0.

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L’equazione xyz=0 sarà l’unione dei tre piani, x=0, y=0, z=0 che contengono gli assi coordinati, quindi, malgrado la semplicità e regolarità dell’equazione, la superficie presenta delle singolarità lungo tutti gli assi coordinati. È l’equazione della superficie nota come Eistute (cioè cono-gelato) che si ritrova nell’abito fiore.

Fig. 6. Eistute: (x2+y2)3=4x2y2(z2+1)

Fig. 7. Capucci, abito fiore

Le superfici algebriche sono infinite, con una varietà di forme spettacolari, (molti siti mostrano gallerie di superfici algebriche segnaliamo per esempio http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/bildergalerie/gallery.html), sarebbe un lavoro da biologo riuscire ad abbinare a ogni abito di Capucci una superficie algebrica, il lettore potrà divertirsi a cercare per esempio l’equazione del vestito di figura 8.

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Fig. 8. Abito Capucci, 1989

I fibrati Il piano tangente in un punto è il piano che approssima meglio la superficie in quel punto; se la superficie è regolare allora, in ogni suo punto, il piano tangente è ben definito e l’insieme di questi piani forma il fibrato tangente. L’importanza del piano tangente è da attribuire alla necessità di avere a disposizione uno spazio lineare, “il piano”, dove potere compiere le operazioni di differenziazione e quindi di calcolo infinitesimale. Il fibrato tangente risulta difficile da visualizzare proprio per essere costituito da infiniti piani che si intersecano infinite volte, ma una splendida intuizione si può avere guardando, o anche meglio indossando, uno di questi abiti.

Fig. 9. Capucci, Bolero cubista, 1980 Fig. 10. Roberto Capucci, acquarello, 1989

Fig. 11. Capucci, Quadrati di seta

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È chiaro che si può far fibrare su una varietà degli oggetti geometrici che non sono rette o piani tangenti, pensiamo a un cerchio, applichiamo in ogni suo punto un cerchio perpendicolare, cioè facciamo una fibrazione di cerchi, in questo modo otteniamo un “toro”.

Figg. 12, 13, 14. Abito scultura “Antimonite”, R. Capucci, Biennale di Venezia 1995; un “toro” come fibrato; abito in seta, Capucci 1971

Negli abiti di Capucci si trovano diverse fibrazioni: primi esempi sono le fibrazioni di curve. Altri esempi sono i fibrati di piani ortogonali (invece che tangenti). Infine, Capucci usa delle fibre singolari, nella figura 16 i ventagli, nella figura 17 delle spezzate.

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Figg. 15, 16, 17. Tre vestiti di seta di R. Capucci visti come fibrati

Le foliazioni Il concetto di foliazione in matematica ha una definizione complessa che esula dall’ambito di questa esposizione. Tuttavia, semplificando, una foliazione è una varietà che localmente si può scomporre nell’unione di sottovarietà parallele di dimensione inferiore. I fogli di un libro formano una foliazione. L’abito “nove gonne” (Fig. 18) disegnato nel 1956 e portato dalle più belle donne dell’epoca, è uno splendido esempio di foliazione, così come il bolero (Fig. 19).

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Fig. 18. Abito “nove gonne”, R. Capucci, 1956

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Fig. 19. Bolero plissé, R. Capucci

Conclusioni Alcuni storici dell’arte, nel descrivere la perfezione artistica delle statue greche di Fidia o di Polykleitos, per capire fino in fondo i dipinti di Piero della Francesca, per spiegare il fascino della Gioconda, hanno voluto vedere in questi capolavori un uso consapevole da parte degli artisti di strumenti matematici quali per esempio la proporzione aurea [4,5]. Gli stessi artisti e filosofi, nel Rinascimento, erano persuasi che la matematica fosse la vera essenza del mondo fisico e che l’intero universo incluso le arti potessero essere spiegate dal punto di visto geometrico [6]. Analogamente, Capucci, nella sua formazione non ha mai studiato la matematica o la geometria che sono presenti nei suoi abiti; nella sua vita non si è mai imbattuto in concetti quali i fibrati tangenti o i fibrati vettoriali, non ha mai saputo la definizione di curvatura, non conosce il Teorema Egregium o la superficie del Dini. Ha affermato di non aver mai capito le lezioni di matematica del liceo. Tuttavia, nel primo incontro avuto con lui in occasione di questo studio, il maestro di fronte a una tavola di superfici algebriche ha esclamato “ma questi sono i miei vestiti!”. Confermando, se fosse necessario, la corrispondenza tra gli oggetti matematici costruiti con rigore dai geometri e le sue creazioni. La matematica presente negli abiti di Capucci è molto più complessa della proporzione aurea, l’uso di questa matematica è del tutto inconsapevole. Ripeto

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dunque a questo punto, la fondamentale domanda posta nell’introduzione: i concetti matematici esistono come esistono i colori, i suoni, gli odori e in quanto tali sono usati, visti, intuiti anche da chi non conosce la matematica oppure sono una invenzione dell’uomo, e dunque la convergenza delle intuizioni proviene dal fatto che il creatore artistico e il creatore matematico arrivano agli stessi concetti perché stanno rispondendo alle stesse esigenze e usano la stessa creatività? E ancora: il valore artistico di un’opera è amplificato, o addirittura dovuto, all’uso di idee matematiche (“il linguaggio in cui è scritto l’universo” secondo Galilei) o l’uso della matematica è solo uno dei tanti strumenti che l’artista utilizza, consapevolmente o meno, per comunicare? Queste domande non troveranno risposta qui, ma forse potremmo porci un problema molto più elementare, ma di una certa utilità. Se una persona che ha un senso così sviluppato della geometria come Capucci, non ha mai intuito nel suo percorso scolastico che la geometria gli era così naturalmente consona, non potrebbe essere che il modo in cui la matematica viene studiata a scuola non è il modo più giusto, per lo meno per alcuni studenti?

Bibliografia [1] R. Sgubin (a cura di) (2004) Roberto Capucci Arte e creatività oltre i confini della moda, Palazzo Attems Petzenstein Borgo Castello Gorizia, Ed. Musei Provinciali Gorizia [2] G. Bauzano (a cura di) (2006) Roberto Capucci Vestire l’Arte, Palazzo della Borsa Genova, Skira Milano [3] M. Armezzani, A. Cavedon, O. Da Pos, M. Tessarolo, G. Tibaldi, M. Zanforlin (1999) Davanti alle Opere di Roberto Capucci. Una lettura psicologica, Edizioni Impremitur, Università di Padova [4] Piero della Francesca (1942) De Prospectiva Pingendi, ed. G. Nicco Fasola, 2 vols., Florence [5] M. Anderson, Jeffrey Frazier, Kris Popendorf (2009) Leonardo da Vinci, Library.thinkquest.org. Retrieved [6] M. Emmer (2005) Visual Mind, The MIT Press, Cambridge

Pop Numbers di Marco Pierini

A partire dalla seconda metà degli anni Cinquanta, con frequenza sempre maggiore durante tutti i Sessanta e oltre, i numeri, intesi come oggetti in sé, puri segni grafici, suoni e forme assunsero un ruolo non secondario nell’iconosfera quotidiana. Grafica, pubblicità, moda, musica, design e arte ne sviscerarono appieno il potenziale estetico, ne saggiarono la facilità di ricezione da parte del pubblico, ne fecero materia prima per le loro creazioni [1]. Le intrinseche qualità estetiche del numero erano state già intuite dalle avanguardie storiche e fu in particolare nei dipinti cubisti e futuristi che le cifre assunsero un rilievo sempre maggiore, fino a divenire soggetti autonomi come nel caso celeberrimo dei Numeri innamorati di Giacomo Balla, riferibile all’inizio degli anni Venti. Per quanto riguarda la pittura americana, invece, sebbene i numeri vi compaiano già da prima con una certa frequenza – si pensi soltanto al lavoro di artisti come Marsden Hartley o Stuart Davis – è stato The Figure 5 in Gold, olio su cartone di Charles Demuth compiuto nel 1928, a porsi come modello per tutti coloro che, negli anni a venire, hanno coltivato un interesse non occasionale per la rappresentazione numerica. Il dipinto trae ispirazione da The Great Figure di William Carlos Williams nei cui versi il poeta ricorda le sensazioni provate in seguito al fragoroso e rapidissimo passaggio di un mezzo dei pompieri sul cui retro campeggiava un grande numero 5 color oro [2]: Among the rain and lights I saw the figure 5 in gold on a red fire truck moving tense

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unheeded to gong clangs siren howls and wheels rumbling through the dark city

Il numero è ripetuto dall’artista tre volte, via via più piccolo in modo da suggerire il movimento del mezzo che si allontana rapidamente dalla vista, in alto a sinistra la scritta BILL e più in basso a destra l’analoga CARLOS indicano i nomi di battesimo del poeta, mentre la sigla WCW in basso ne riporta le iniziali. Il numero è come se riuscisse qui a trasformarsi da astrazione in cosa concreta, in pura forza comunicativa diretta e immediata. Proprio come scriverà Ernest Hemingway in un passo di Farewell to Arms, pubblicato nel 1929, l’anno successivo al quadro di Demuth: I was always embarassed by the words sacred, glorious, and sacrifice and the expression in vain […]. There were many words you could not stand to hear and finally only the names of places had dignity. Certain numbers were the same way and certain dates and these with the names were all you could say and have them mean anything. Abstract words such as glory, honour, courage, or hallow were obscene beside the concrete names of villages, the numbers of roads, the names of rivers, the numbers of regiments, and the dates.

Tra il quadro di Balla e quello di Demuth, assai prossimi cronologicamente ed entrambi esempi precocissimi di opere dove il numero si fa protagonista assoluto, sussiste tuttavia una differenza di non poco conto. Mentre infatti il pittore italiano da vita a una composizione nella quale le cifre sono il mero frutto delle proprie capacità immaginifiche, il cinque dorato di Demuth è un estratto vivo della realtà quotidiana, un frammento cavato da quel panorama urbano fatto di insegne, cartelloni pubblicitari, segnali stradali, tipico della metropoli d’oltreoceano. Panorama che, come ricorda Marshall McLuhan, fece esclamare a uno stupito Laszlo Moholy-Nagy [3]: To Europeans, America seems to be the land of abstractions, where numbers have taken on an existence of their own in phrases like: “57 Varieties”, “the 5 and 10”, or “7 Up” and “behind the 8-ball.1

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“Per gli europei, l’America sembra un paese di astrazioni, nel quale i numeri hanno assunto esistenza autonoma in espressioni come “57 Varieties”, “the 5 and 10”, “7up” o “behind the 8 ball” [un’espressione del gergo dei giocatori di biliardo che significa essere sfortunati o comunque nei guai]. Marshall McLuhan, Understanding Media: The Extensions of Men, McGraw-Hill, New York 1964 (trad. it Gli strumenti del comunicare, Il Saggiatore, Milano 2008).

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Fig. 1. Charles Demuth, The Figure 5 in Gold, 1928. New York, Metropolitan Museum of Art Fig. 2. Pagina pubblicitaria di Heinz “57 Varieties” su The American Magazine, 1923

Fig. 3. Cartellone pubblicitario della 7up, 1963-1964

In questa terra delle astrazioni, dove oltre alle 57 varietà di zuppe proposte dalla Heinz, ai negozi “5 and 10” e alla bevanda gassata ricordata da Moholy-Nagy, persino le vie cittadine si identificano attraverso i numeri, la preponderanza visiva della cifra – come si è accennato fin da subito – si manifesta con rinnovato vigore a partire dai tardi anni Cinquanta e la nascente Pop Art ne segue e ne celebra la progressiva affermazione, trasportandola dall’ambito della grafica, della segnaletica e della pubblicità a quello dell’arte. E il precedente di The Figure 5 in Gold, almeno per Jasper Johns e Robert Indiana, i più assidui “pittori” di numeri in quest’epoca, non rimane dimenticato.

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Fig. 4. Robert Indiana, The Figure 5, 1963, Washington D.C., Smithsonian American Art Museum

Il primo rievoca l’opera di Demuth in Figure 5, ampia tela a encausto e collage del 1960, oggi conservata al Centre Georges Pompidou di Parigi. Il grande numero, rappresentato con la medesima font tipografica del modello, perde nelle mani di Johns l’aspetto araldico e squillante acquistando di converso qualità esclusivamente pittoriche che, riducendone la nettezza della forma e l’uniformità della tinta, attenuano la percezione del numero come mera entità astratta e artificiale. Le più celebri rivisitazioni del dipinto si devono però a Robert Indiana, che nel 1963 ne offrì due diverse versioni intitolate The Figure Five e X-5. The Figure Five replica la prospettica disposizione dei tre 5 di Demuth, rispettandone in pieno anche il carattere tipografico, mentre la scritta THE FIGURE 5, posta in basso, ne ripete in parte il titolo. Al numero 5 rimandano, oltre la scritta tautologica, la stella a cinque punte e il pentagono nella quale è inscritta, con una sovrabbondanza – peraltro insolita per un artista Pop – di simboli che alludono palesemente alla teoria dei numeri di origine pitagorica. L’attrazione per i numeri sarà condivisa dalla maggior parte degli artisti Pop, ma se per Warhol, Rosenquist, Wesselman, Oldenburg, Ruscha resterà tutto som-

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Fig. 5. Ed Ruscha, Large trademark with eight spotlights, 1962, New York, Whitney Museum of american Art

mato uno dei tanti stimoli ricevuti dai molteplici elementi che costituiscono l’iconosfera quotidiana, altra importanza rivestirà per Johns e per Indiana, la cui opera si concentrerà di frequente sulla rappresentazione esclusiva del numero. Johns considera i numeri come meri pretesti per dipingere, segni immutabili e perfettamente riconoscibili da tutti la cui semplicità e inalterabilità consente all’artista di concentrarsi esclusivamente sulla pittura, piuttosto che sul soggetto. Ha notato a proposito della sua opera Marjorie Perloff [4]: To introduce numbers into the visual field is to reduce the power of images to achieve concretion. Not five apples in a bowl, as Cézanne might have painted them, but the number 5 itself – a man-made, abstract sign whose conventional form cannot be altered.2

Ben diversa l’attitudine di Robert Indiana, che ha sempre considerato i numeri elementi dominanti del paesaggio urbano e li ha replicati in maniera “oggettiva”, intenzionalmente memore dello stile dei cosiddetti Precisionists degli anni Venti e Trenta come lo stesso Charles Demuth e Charles Sheeler. “My job as an artist – ha dichiarato Indiana – is to make words and numbers very, very special”3.

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“Introdurre i numeri nel campo visivo significa ridurre il potere delle immagini di compiere una concrezione. Non cinque mele in una fruttiera, come Cézanne avrebbe potuto dipingere, ma il numero 5 in sé – un segno astratto e artificiale la cui forma convenzionale non può essere alterata” (traduzione dell’autore). “Il mio lavoro di artista consiste nel rendere le parole e i numeri molto, molto speciali” (traduzione dell’autore).

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Fig. 6. Jasper Johns, Figure 8, 1959, cera su tela. (Courtesy Sonnabend Collection)

Spesso inscritte in una circonferenza colorata, disegnata su un fondo di colore altrettanto uniforme ma più scuro, le cifre di Indiana appaiono rigorosamente isolate; non vi è spazio per numeri che necessitino di una doppia o tripla cifra per essere espressi, ma solo per la serie dei primi nove numeri e per lo zero, insieme a una scritta che ne certifichi, ribadendolo, il nome: 1, One; 2, Two. Col tempo i numeri hanno acquisito nell’opera di Indiana anche la tridimensionalità e hanno rioccupato nella nuova veste di opere d’arte lo spazio urbano dal quale provenivano. L’icastica rappresentazione del numero non riguardò la sola Pop Art americana, ma interessò anche gli analoghi movimenti europei. L’inglese Joe Tilson già ai primi anni Sessanta aveva prodotto numerose opere nelle quali i numeri trovavano uno spazio non marginale e alcune dove figuravano come veri e propri protagonisti. Fra queste ultime vanno ricordate, anche per la loro fattura dichiaratamente “artigianale” e per l’ironia sottile e divertita del tutto assente nelle coeve

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Fig. 7. Robert Indiana, Numbers, portfolio di 10 serigrafie, 1968

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Fig. 8. Gerhard Mitter alla guida di una Lotus 25-Climax nella curva sud del circuito di Nürburg, 1965; fonte: Wikimedia Commons; fotografo: Lothar Spurzem, data: 01/08/1965

opere d’oltreoceano, almeno 1-5 (The Senses) e Lucky-Six, entrambe del 1963. Qui pure campeggiano le scritte, ma invece di ribadire il concetto (o l’oggetto) figurato, come nel caso di Indiana, le parole lo contraddicono, lo evocano, lo completano. In Lucky-Six, per esempio, la grande iscrizione in lettere capitali auspica che il dado si fermi sul lato vincente, ma il pittore ci mostra solo le facce con il 5, il 4 e il 3, lasciandoci nell’incertezza sull’esito del lancio. Anche Peter Blake e Peter Phillips non si sottrassero al fascino dei numeri, sebbene di norma inseriti in contesti figurativi più complessi. Mario Schifano fu invece tra i primi artisti Pop in Italia a conferire la dignità di soggetto a lettere e numeri in alcuni suoi dipinti, mentre Mario Ceroli dava parallelamente vita a sculture di varie dimensioni in legno e metallo con cifre isolate. Né va dimenticato – sebbene estraneo all’argomento di queste riflessioni – quanto il numero sia stato importante all’interno di ricerche artistiche, soprattutto individuali, coeve a quelle della Pop Art, ma di segno diverso o addirittura contrario. Si ricorderanno, tra le altre, almeno le esperienze di Roman Opalka, Mel Bochner, Hanne Darboven, Peter Roehr, Sigmar Polke e Jannis Kounellis. L’attenzione per il numero da parte degli artisti Pop negli anni Sessanta procede di pari passo con la diffusione del riconoscimento della valenza estetica delle cifre arabe nei campi della grafica, del design, della moda e persino della musica, se è vero che la storia del Rock and Roll parte da un conteggio: “One, two, three o’clock, four o’clock, rock!”. Moholy-Nagy, ancora una volta, ci fornisce un precedente importante, ricordando quanto avvenuto in un jazz club di San Francisco nel 1940 [3]:

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Fig. 9. Particolare di un tessuto, 1965 ca.

Suddenly one player intoned, “One million and three”, and was answered: “One million and seven and a half ”. Then another sang, “Eleven” and another, “Twenty-one”. Then amidst “happy laughter and shrill singing the numbers took over the place”.4

Saranno numerosissimi, negli anni Sessanta e Settanta, i brani intitolati solo con numeri: 5-4-3-2-1 dei Manfred Mann, 634-5789 di Wilson Pickett, 7and7 is dei Love, Five to One dei Doors, If 6 was 9 di Jimi Hendrix e 25 or 6 to 4 dei Chicago, solo per ricordare i più famosi. Assai significativo, infine, ci sembra il caso costituito dalla serie TV inglese del 1967 The Prisoner, ideata e interpretata da Patrick McGoohan, nella quale un agente segreto che ha appena rassegnato le dimissioni in aperto dissenso con i vertici dei servizi viene narcotizzato e trasportato in un’isola senza nome dove egli, privo di ogni possibilità di fuga, si trova confinato da un potere misterioso e inesorabile [5]. Gli abi-

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“Improvvisamente uno dei musicisti disse, cantando: ‘un milione e tre’ e un altro gli rispose: ‘un milione e sette e mezzo’. Poi un terzo gridò: ‘undici’ e un quarto: ‘ventuno’. Dopo di che, ‘tra gaie risate e canti stridenti i numeri invasero il locale’”. Marshall McLuhan, Understanding Media: The Extensions of Men, McGraw-Hill, New York 1964 (trad. it Gli strumenti del comunicare, Il Saggiatore, Milano 2008).

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tanti del luogo, vestiti in maniera bizzarra e colorata, non hanno nomi ma si identificano grazie a un numero che portano inscritto su una spilla rotonda appuntata sul petto. Il protagonista scoprirà di essere il Numero 6 e conoscerà ben presto la massima autorità del posto, il Numero 2, destinato a cambiare – con due sole eccezioni – a ogni episodio, mentre il Numero 1 resterà sempre nell’ombra. L’isola, anch’essa priva di nome e chiamata da tutti “il villaggio” è popolata da uomini e donne che sembrano aver perso carattere e personalità. Intercambiabili gli uni con gli altri appaiono solo intenti a spostarsi, spesso senza scopo, da una parte all’altra. Al Numero 6 il potere che governa l’isola rivolge attenzioni particolari allo scopo di riuscire a conoscere il motivo delle sue dimissioni, ma egli resiste a ogni sorta di violenza e condizionamento psicologico, all’ipnosi, alle droghe, alla manipolazione dell’inconscio, al lavaggio del cervello, alle repentine proiezioni in realtà virtuali estranianti o angosciose che pure così bene sembrano aver funzionato con tutti gli altri abitanti del villaggio. “Ho dato le dimissioni – dice il Numero 6 al Numero 2 – perché non volevo essere scritto, segnalato, timbrato, catalogato, spedito, codificato o numerato”. Nota Alcune riflessioni qui esposte sono state parzialmente anticipate in Numerica, catalogo della mostra, a cura di Marco Pierini, Silvana Editoriale, Cinisello Balsamo 2007, pp. 17-83.

Bibliografia [1] [2] [3] [4] [5]

Magie der Zahl, catalogo della mostra, a cura di Karin v. Maur, Hatje, Ostfildern 1997; Numerica, catalogo della mostra, a cura di Marco Pierini, Silvana Editoriale, Cinisello Balsamo 2007. W.C. Williams, Sour Grapes: A Book of Poems, Four Seas Company, Boston 1921 ora in Collected Poems of William Carlos Williams: Volume I 1909-1939, New Directions, New York 1986, p. 174. M. McLuhan, Understanding Media: The Extensions of Men, McGraw-Hill, New York 1964. M. Perloff, The Poetics of Indeterminacy. Rimbaud to Cage, Northwestern University Press, Evanston (Ill.) 1999. S.P. Davies, The Prisoner Handbook, Pan Books, London 2002.

Forme matematiche: dalla formula alla forma nello spazio La matematica nell’opera di Donald Judd e Ruth Vollmer di Michael Rottmann

Introduzione – la matematica nel Circolo di New York Negli anni ’60 operarono all’interno della ricca scena artistica newyorkese l’artista americano Donald Judd e la tedesco-americana Ruth Vollmer. Mentre quest’ultima, nata a Monaco e autodidatta, era emigrata con il marito a New York già nel 1935 a causa delle sue origini ebraiche, lo studio all’Art Students League condusse Judd della metropoli americana nel 1948. L’arte minimalista e concettuale li vide coinvolti in seguito entrambi, con posizioni artistiche differenti, nel cosiddetto “Circolo di New York”. Questo raccoglieva un ampio numero di artisti, non caratterizzati come gruppo, ma perlopiù conoscenti e amici, in una rete informale di scambio continuo e stimolo artistico reciproco1. Nonostante il differente approccio creativo di questi artisti – fra i quali anche Mel Bochner e Sol LeWitt – e le opere da esso risultanti, facendo particolare riferimento all’osservazione dell’intimo rapporto dei concetti di formula, forma e spazio, analizzato più avanti, è interessante rilevare una caratteristica comune a molti lavori del Circolo di New York: la ricezione di “scritti”, “immagini” e concetti della matematica2. L’attività artistica di Donald Judd e Ruth Vollmer in quegli anni è caratterizzata da continui collegamenti trasversali con la matematica. Seppur diversamente, entrambi utilizzano calcolo, diagrammi e modelli visivi, oltre a concetti spaziali propri di questa scienza esatta. In quanto segue si desidera far emergere questo particolare aspetto del lavoro di Judd e Vollmer, ovvero esporre il loro diverso approccio alla matematica nonché illustrarne la funzione nella loro opera. 1 2

Per il Circolo di New York cfr. [1] p.120. Si intenda qui il concetto di forma come figura (geometrica) o forma in quanto opposta alla sostanza e alla materia informe. Per la storia del termine e i suoi significati si veda [2] p. 338. Traduzione di F. Griese dall’originale Dzieje szeciu poje. Si veda anche [3] p.463.

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Specific Objects For some time Donald Judd has been a major spokesman for works of art which seek, as their highest attainment, total identity as objects.3 Così nel suo saggio dedicato all’Allusione e Illusione in Donald Judd (1966) la critica d’arte americana Rosalind Krauss reagì a un’evoluzione nell’opera dell’artista, architetto e teorico americano, nonché ai recenti sviluppi dell’arte americana. A partire dal 1962 Donald Judd, fino allora pittore, fu spinto da some uneasiness4 verso la creazione di opere tridimensionali, in grado di dominare libere lo spazio. Secondo la sua visione queste non erano “neither painting nor sculpture”5. Untitled (1962), due piccole assi di legno perpendicolari sia fra loro sia al suolo e

Fig. 1. Untitled (1962), Donald Judd, Kunstmuseum Basel, Photo: Kunstmuseum Basel, Martin P. Bühler

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“Per qualche tempo Donald Judd è stato uno dei maggiori rappresentanti di opere d’arte il cui fine più alto sia il raggiungimento di una totale identità come oggetti” Traduzione italiana di Federica Corradi Dell’Acqua. Cfr. R. Krauss (1995) Allusion und Illusion bei Donald Judd, in [4] pp. 228-238, qui p. 228, ovvero, Rosalind Krauss, Allusion and Illusion in Donald Judd, in: Artforum 4 (May 1966) pp. 24-26. (Se non specificato diversamente, tutte le traduzioni in lingua italiana di passi e/o citazioni presenti in questo articolo sono di Federica Corradi Dell’Acqua). “Una certa inquietudine”. Cfr. D. Judd (1995) Spezifische Objekte, in [4] pp. 59-73, qui p. 60. Ovvero cfr. D. Judd (1975) Specific Objects, in [5] p. 181-189, qui p. 181. “Né pittura né scultura”. Cfr. D. Judd (1995) Spezifische Objekte, in [4] pp. 59-73, qui p. 59. ovvero cfr. D. Judd (1975) Specific Objects, in [5] pp. 181-189, qui p. 181.

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unite nella metà superiore da un tubo di ferro nero6 (Fig. 1), può essere considerato uno dei primi cosiddetti “oggetti specifici” (Specific Objects). Con la sua arte oggettuale l’artista evocava una categoria artistica superiore, quale entità astratta, libera da apparenti riferimenti alla realtà, in grado di superare generi e categorie. In essa ostacoli formali e legati alla materia, propri dei linguaggi della scultura e della pittura, sarebbero stati superati per consentire all’osservatore una maggiore percezione di sé7. Gli oggetti di Judd possono quindi considerarsi “incarnazioni” frutto di un elaborato programma estetico, in seguito formulato dall’artista in veste di critico nell’articolo Specific Objects (1965). Con questo scritto si opponeva a critici come Clement Greenberg e a posizioni dell’arte europea o della più giovane arte americana, quale l’espressionismo astratto8.

Spherical Objects Nello stesso periodo, a partire dal 1963 Ruth Vollmer si concentrava come scultrice su una forma geometrica essenziale e “minimale”, la sfera: “I am involved with the sphere; exploring it geometrically, and finding unexpected forms”9. Attraverso un intenso processo di ricerca artistica esplorò le proprietà (matematiche) della forma geometrica che tanto la entusiasmavano. Realizzò un cospicuo numero di plastici in bronzo e la sua indagine “sistematica” la condusse alla continua scoperta di nuove forme generate dalla costante rielaborazione della forma primitiva10.

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Anche la prima opera libera nello spazio (freestanding piece) è un oggetto (DSS 32) e risale al 1962. Questo lavoro appartiene oggi alla collezione artistica di Basilea. Judd ne realizzò tre versioni (rispettivamente nel 1962, 1975 e 1988). Si veda [6] p. 124. Fin dagli anni ’20 gli artisti concreti intorno al gruppo Abstraction-Création, quali Theo van Doesburg e Max Bill, si erano cimentati con la problematica dei riferimenti dell’arte alla realtà esterna e valorizzavano i processi immanenti all’opera nella pittura. L’oggetto specifico inteso come categoria artistica superiore ai generi esistenti, può essere considerato una risposta al diktat della purezza (“purity”) espresso da quei generi artistici riconducibili al modello storico teologico del critico americano Clement Greenberg. Questi rifiutava la concezione di un’arte priva di confini ed esigeva da ogni categoria un’autoregolazione secondo le caratteristiche specifiche del suo mezzo (quindi “flatness” nella pittura o “transparency” in fotografia). Questo gli consentiva poi di illustrare l’essenza propria di ogni genere. Cfr. ad esempio [7]. “Sono coinvolta dalla sfera; dall’esplorarla geometricamente fino a scoprire forme inaspettate”. Cfr. N. Rottner (2006) Thinking the Line, in [8] p. 61 e p. 203. Nella scultura Pentamer (1965) sfere unite fra loro si attraversano – il che ricorda i semplici corpi geometrici allineati nell’arte seriale di Judd e dei suoi colleghi. In Rumbling Within (1965) le sfere sono inserite una nell’altra come in una Matrjoschka russa e in Reciprocals (1968), chiamata anche Complementary Forms (1967), da una sfera vengono generate forme complementari.

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Anche Barbara Hepworth (1903-1975) e Max Bill (1908-1993), della stessa generazione della Vollmer, si cimentarono con la “sfera” e il suo involucro. Georges Vantongerloo (1886-1965), amico di Bill, realizzò nel suo ultimo anno di vita la scultura Une étoile gazeuse, una sfera in plexiglas. Due esempi a dimostrazione di un approfondimento di questo tema, sono Sphere with Inside and Outside Colour (1967) di Hepworth e Familie von 5 halben Kugeln (1965/1966) di Bill. La scultura in bronzo Sound Center (Fig. 3) della Vollmer corrisponde in un certo senso all’oggetto di Judd Untitled (1963) (Fig. 4). Da entrambi si ha una forma geometrica – la sfera nel caso della Vollmer e un cuboide da Judd – aperta in un punto e separata al suo interno da delle lamelle. Questo raffronto consente di rilevare analogie formali nelle opere dei due artisti, oltre all’interesse comune a entrambi per il contrasto fra interno ed esterno, e il rapporto fra spazio e illuminazione (ombreggiature). Volendosi riallacciare al titolo del libro di matematica sulla cui copertina appariva l’opera in due parti Complementary Forms (1967) (Fig. 2), si potrebbero definire le sculture della Vollmer come “introduzioni alla matematica” dello spazio. Con il senno di poi, si potrebbe sostenere come già allora fosse preannunciato che la Vollmer di lì a poco avrebbe lavorato a creazioni geometriche più complesse, giacché sulla superficie della sfera si svolge la geometria non euclidea, sferica.

Fig. 3. Ruth Vollmer, Sound Center, 1964, bronzo (a stampo unico), diametro 33 cm, (Courtesy Tilton Gallery)

Fig. 2. Immagine creata da M. Rottmann per la copertina del libro Introduction to Mathematical Ideas, McGraw-Hill

Fig. 4. Donald Judd, Untlited (1963), vernice rosso cadmio, olio su legno (49,5 x 77,5 x 115,6 cm), National Gallery of Canada

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La conquista dello spazio Lo spazio, insieme con il materiale e la luce, non rappresentava per Donald Judd solamente una delle tre condizioni (presupposti) dell’arte figurativa. I rapporti spaziali all’interno dell’opera, il legame di quest’ultima con lo spazio circostante, così come la percezione di questi rapporti da parte dell’osservatore rappresentano invece temi portanti nel suo lavoro artistico 11. La conquista dello spazio reale, che andava di pari passo con la nuova arte oggettuale, rappresentava per Judd e altri suoi contemporanei una conseguenza necessaria dell’analisi della scultura e della pittura, come erano praticate fino allora. In particolare, dall’analisi della pittura emergeva una critica all’illusionismo inerente al genere. L’imprescindibile illusorietà dello spazio e la funzione figurativa della pittura tradizionale, così come i lineamenti antropomorfi, gli elementi rappresentativi e i frequenti riferimenti alla realtà esterna propri della scultura, erano per Judd insufficienti e anacronistici12. Nell’articolo Specific Objects (1965), all’interno della sua argomentazione per un’arte concettuale anti-figurativa e autoreferenziale, egli illustrò brevemente le carenze dei generi a suo avviso superati. In questo contesto Judd coniò tre concetti di spazio, distinguendone altrettanti tipi: Lo spazio illusorio (illlusionistic space), lo spazio letterale (literal space) e lo spazio vero o reale (real or acute space)13. Veicolato dal mezzo artistico, lo spazio illusorio è una rappresentazione fittizia dello spazio reale e degli oggetti che lo compongono – nel senso del modello gerarchico ontologico di Platone14. Lo spazio letterale, invece, si realizza immancabilmente e inevitabilmente grazie ai segni e ai colori sulla tela– anche nella pittura non figurativa15. Non si tratta semplicemente di un fenomeno che si accompagna al tentativo dell’artista di imitare o evocare lo spazio reale – ad esempio attraverso le classiche strategie della prospettiva di importanza o della prospettiva geometrica centrale. Questo effetto è dato bensì da un puro gioco di forme e colori sulla tela e dalla loro azione e interazione: qualora colori si impongano in primo piano o si sposti-

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Il concetto di spazio è anzitutto molto vago e ambiguo, dato che vi sono spazi sociali, fisici, matematici fino a spazi pubblici o privati, ecc. Per Judd lo spazio in quanto percepibile dall’uomo aveva un significato propriamente esistenziale, come ammise egli stesso guardando indietro al suo lavoro. Cfr. D. Judd (1993) Einige Aspekte von Farbe im Allgemeinen und Rot und Schwarz im Besonderen, in [9] pp. 144-159, qui p. 144. Si veda anche D. Judd (1995) Kunst und Architektur, in [4] pp. 74-91, qui p. 85f. “The parts and the space are allusive, descriptive and somewhat naturalistic”. Cfr. D. Judd (1975) Specific Objects, in [5] pp.181-189, qui p. 183. Cfr. D. Judd (1975) Specific Objects, in [5] pp. 181-189, qui p. 182 e p. 184. Cfr. [10]. Cfr. D. Judd (1975) Specific Objects, in [5] pp. 181-189, qui p. 182.

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no sullo sfondo, o un piano monocromatico trasmetta un’impressione di piattezza o una sensazione di infinito16. Mentre i primi due tipi di spazio sono propri della pittura e riconosciuti e giudicati da parte di Judd come carenti, l’utilizzo dello spazio reale consente di superare queste carenze grazie all’“uscita” dal dipinto e dalla sua area priva di fisicità. Poiché Three dimensions are real space. That gets rid of the problem of illusionism and of literal space […]” e “Actual space is intrinsically more powerful and specific than paint on a flat surface.17

Dalla formula alla forma I In un discorso tenuto nel 1933, Donald Judd formulò ciò che può essere definita una descrizione retrospettiva della propria opera e del proprio modo di lavorare: Geometry and mathematics are human inventions. I use a small, simple proportion in my work for my purposes.18

Con queste parole l’artista tradì non solo la posizione costruttivista circa la sua idea dello stato ontologico degli oggetti matematici, bensì anche l’utilizzo di semplici metodi appartenenti alla geometria e all’aritmetica per la produzione dei suoi lavori. Nella attuazione del suo programma la matematica da lui citata e utilizzata si espresse in modi diversi. Nel 1971 Donald Judd illustrò il suo ricorso all’aritmetica portando la serie Progressions come esempio: In one of the progressions I used the Fibonacci series. In another I used the kind of inverse natural number series: one, minus a half, plus a third, a fourth, a fifth, etc.19

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Determinati effetti erano già adottati nella prospettiva del colore in pittura. Per l’analisi di Judd si veda B. Glaser, Fragen an Stella und Judd, in [4] pp. 35-57, qui p. 42 così come D. Judd (1995) Spezifische Objekte, in [4] pp. 59-73, qui p. 68. 17 “[…] tre dimensioni sono uno spazio reale. Ciò libera dal problema dell’illusionismo e dello spazio letterale” e “lo spazio reale è intrinsecamente più potente e specifico della pittura su una superficie piana”. Cfr. D. Judd (1975) Specific Objects, in [5] pp. 181-189, qui p. 184. 18 “Geometria e matematica sono invenzioni dell’uomo. Nella mia opera io utilizzo solo una semplice proporzione per i miei scopi”. Cfr. D. Judd (1993) Einige Aspekte von Farbe im Allgemeinen und Rot und Schwarz im Besonderen in [9] pp. 144-159, qui p. 156. 19 “In una delle Progressions ho adottato la serie di Fibonacci. In un’altra ho utilizzato il seguente tipo di serie numerica naturale inversa: uno, meno mezzo, più un terzo, un quarto, un quinto, ecc”. Cfr. [11] pp. 47ff.

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Le sequenze numeriche ottenute grazie a formule consentirono la realizzazione dei suoi Specific Objects e del concetto (o concezione) ad essi associato unitamente a una modalità di produzione estremamente varia. Judd spiegò lo scopo del ricorso alla matematica con le seguenti parole: You don’t walk up to it and understand how it is working, but I think you do understand that there is a scheme there, and that it doesn’t look as if it is just done part by part visually. So it’s not conceived part by part, it’s done in one shot.20

Judd utilizzava le sequenze numeriche come “schemi” variabili atti a definire i rapporti spaziali nelle sue opere; siano la realizzazione di distanze e divisioni all’interno di una forma, o disposizione di più sottoforme analoghe in opere multi sezionali, fino alla formazione di volumi. Now, it’s also given if it’s a fairly simple progression, because everybody knows right off the spaces are given by the mathematics.21

Non si tratta né di proporzioni universalmente valide, quali erano adottate nell’antichità o nel Rinascimento per sculture antropomorfe o in architettura da esteti della proporzione, né di simboli metafisici di un misticismo numerico. Al contrario, i rapporti numerici possono servire alla realizzazione di divisioni asimmetriche, a favore di un oggetto olistico privo di gerarchie formali, senza una subordinazione di parti nell’unità della forma: “The whole’s it. The big problem is to maintain the sense of the whole thing.”22 Questo modo di procedere consentì di evadere dai sistemi razionali adottati nell’arte europea e tanto criticati da Judd – quale ad esempio la prospettiva centrale23. Judd era certo che l’osservatore fosse in grado di riconoscere un’organizzazione degli elementi, ma non di identificarla

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ti avvicini ad essa (l’opera) e comprendi come funziona, ma credo che tu capisca che c’è uno schema, e che non appaia realizzata visivamente solo pezzo per pezzo. Difatti, non è concepita pezzo per pezzo, bensì creata in un colpo”. Cfr. [11] pp. 47ff. “Ora, è dato anche se si tratta di una progressione relativamente semplice, poiché ognuno riconosce immediatamente che gli spazi sono dati dalla matematica”. Cfr. [11] pp. 47ff “È il tutto. Il grande problema è mantenere il senso dell’oggetto nel suo insieme”. Cfr. [12] p. 154. Molti autori individuarono qui il segno di una contraddittorietà fra la teoria e la pratica in Judd. Egli criticava infatti un’arte basata sul “systems built beforehand, a priori system” (“sistemi costruiti in anticipo, sistemi a priori”), ma ne faceva comunque uso, sebbene si trattasse di sistemi matematici, scelti individualmente. Judd si riferisce probabilmente a sistemi anacronistici sempre uguali. Per le dichiarazioni di Judd si vedano B. Glaser (1995) Fragen an Stella und Judd, in [4] pp. 35-57, qui p. 42 e D. Judd (1995) Spezifische Objekte, in [4] pp. 5973, qui p. 59.

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Fig. 5. Untitled (1970), Donald Judd, allumino anodizzato chiaro e viola (21 x 643,9 x 20,3 cm), Solomon R. Guggenheim Museum, New York, Panza Collection, 1991. Foto di David Heald. © The Solomon R. Guggenheim Fondation, New York

né di comprenderne il funzionamento. “No one other than a mathematician is going to know what the series really is”24. L’utilizzo dei numeri da parte di Judd si differenzia in questo modo dalla strategia di Sol LeWitt, per il quale erano parte integrante del lavoro il riconoscimento del sistema fondante delle sue opere (underlying system) da parte dell’osservatore, così come la differenza fra il concetto del sistema e la sua materializzazione visibile25. L’opera d’arte, così Judd, può dunque costituirsi come realizzazione di un concetto precedentemente elaborato. Questo d’altro canto si sviluppa nuovamente nell’interazione fra Teilproduktion (produzione parziale), osservazione e riflessione. L’opera non era dunque determinata da una composizione “pezzoper-pezzo” (part-by-part) alla maniera europea, il cui scopo fossero equilibrio e proporzione (simmetria) e rifiutata da Judd poiché inadeguata ai tempi. Essa sorgeva al contrario “in un colpo” (one shot) e doveva realizzare il desideratum di un’arte “non-relazionale” (non-relational)26. Il metodo di Judd si può riconoscere chiaramente nell’opera Untitled (1970): la larghezza degli elementi violetti è dovuta, infatti, alla serie di Fibonacci Fn+2=Fn+1+Fn (n=1,1,2,3,5,8, …) e le distanze fra essi variano conseguentemente (Fig. 5). Analogamente a Mel Bochner, Sol LeWitt e ad altri artisti del Circolo di New York, anche Judd praticava un’arte seriale nella metà degli anni ’60. Come illustrato da Bochner nell’articolo The Serial Attitude (1967), qui l’opera era predeterminata attraverso processi numerici oppure da altri sistematici e predefiniti, quali

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oltre a un matematico è in grado di capire cosa è realmente la serie”. Cfr. [11] p.47ff Cfr. Video intervista di Russell Bowman (direttore del museo di arte contemporanea di Chicago MCA) a Sol LeWitt dell’anno 1979. Rainer Crone descrive cosí il procedimento di Judd: “Judds Interesse lag nicht mehr im Bereich der mimetischen Widerspiegelung der Wirklichkeit oder auch nur im Ausdruck persönlicher Gefühle des Künstlers zu einer bestimmten Zeit; ihm vielmehr war daran gelegen, eigene neue Formen zu schaffen, die mit der Tradition des Repräsentationsmodus abendländischer Malerei nichts mehr zu tun haben wollten […].” (“L’interesse di Judd non risiedeva più nel campo della rappresentazione mimetica della realtà o anche nell’espressione di sentimenti intimi dell’artista in un dato momento; per lui era invece rilevante creare nuove forme, che volessero distanziarsi dalla tradizione rappresentativa della pittura occidentale […]”. Cfr. [13] p.66.

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ad esempio permutazioni o rotazioni27. Le sequenze numeriche diventano dunque come diagrammi, notazioni prescrittive per fattori di produzione di un’arte seriale. Come nella produzione industriale – facendo a meno della firma o impronta dell’uomo, esse servono in tal modo l’“oggettivazione” del processo produttivo28. Se Judd utilizza le formule quali unità concentrate di fatti matematici, non è però il sapere che vi è contenuto a interessarlo – come invece accade ad esempio per Mario Merz. Normalmente, le formule esercitano la loro funzione in quanto parti di un calcolo, un linguaggio in formule quale rappresentazione simbolica del sapere. Al contrario, quando Judd le importa nel sistema dell’arte, le sequenze numeriche matematiche perdono ogni significato originario ed egli non desidera che esse siano interpretate come illustrazioni di fatti matematici o ancora meno come ricerca scientifica: The point is that the series doesn’t mean anything to me as mathematics, nor does it have anything to do with the nature of the world.29

Il significato, secondo Judd, potrebbe infatti essere inteso solamente da un matematico nel linguaggio della matematica. Judds Interesse galt nicht der Geometrie, der Mathematik oder einer Systematik, sondern er nutzte einfache arithmetische Proportionen, um zwischen der körperlichen und materiellen Präsenz der Skulptur und dem Betrachter eine bestimmte Beziehung entstehen zu lassen.30

Forme spaziali Mentre Ruth Vollmer era impegnata con la sfera, Donald Judd passò man mano all’utilizzo di forme primarie della geometria quali cubo e cuboide, a favore di una chiara visione d’insieme dei suoi oggetti. Nei primi oggetti in legno dipinto – si potrebbe parlare di “matematica costruita” – combinava ancora diverse forme geo-

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Cfr. [14] e B. Glaser (1995) Fragen an Stella und Judd, in [4] pp. 35-57, qui p. 52. Per la storia dell’arte seriale si veda [15]. 28 Per il ruolo della matematica nel processo produttivo dell’arte minimalista, concettuale e nelle prime manifestazioni dell’arte digitale (computer art) si veda [16]. 29 “Il fatto è che la serie non significa per me nulla in quanto matematica, né ha nulla a che vedere con la natura del mondo”. Cfr. [11] p. 49. 30 “L’interesse di Judd non risiedeva tanto nella geometria o nella matematica o nella sistematica, quanto nell’utilizzo di semplici proporzioni aritmetiche, per far nascere un determinato rapporto fra la presenza fisica e materiale della scultura e l’osservatore”. Cfr. [17] p. 106.

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metriche fino a dar luogo a creazioni complesse. In seguito, in serie quali Boxes e Stacks, operò con cubi e cuboidi in alluminio, acciaio laminato a freddo o rame, che furono spesso esposti appoggiati uno di fianco all’altro per terra (Boxes) o appesi alla parete allineati fra pavimento e soffitto (Stacks). Utilizzava queste forme essenziali, dalla scarsa forza immaginativa Secondo il suo programma, per realizzare opere in larga misura prive di associazioni, non figurative o narrative – i suoi Specific Objects. Rosalind Krauss stimò che: “any reference to experiences or ideas beyond the work’s brute physical presence is excluded […]”31. L’eliminazione di ogni riferimento voleva ottenere l’assenza di significato tramite l’oggetto materiale, sottolineando in questo modo la “presenza”32 (fisica) delle opere. Secondo le asserzioni di Judd, gli rimaneva solamente l’utilizzo di forme geometriche; lo spettro delle possibili forme nell’arte si riduceva, infatti, per Judd nella divisione fra forme geometriche e forme organiche – “A form that’s neither geometric nor organic would be a great discovery.”33 – e queste ultime erano escluse poiché dotate di qualità imitative e associative34. Le forme geometriche al contrario, in quanto oggetti matematici, non sono per se stesse deittiche, quindi prive di riferimenti. Inoltre, dichiarando apertamente il suo desiderio per una terza categoria di forme, Judd manifestava implicitamente il suo interesse per forme nuove, condiviso quindi con la Vollmer. L’uso continuo di forme geometriche essenziali doveva fornire un repertorio di forme pure, la cui carica simbolica e referenziale sarebbe stata annullata35. Judd stesso evidenziò già nel 1967 come le forme geometriche da lui utilizzate, ad esempio i cubi, fossero dal suo punto di vista prive di ogni significato36: I don’t think there’s anything special about squares, which I don’t use, or cubes. They certainly don’t have any intrinsic meaning or superiority.37

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“Ogni riferimento a esperienze e idee esterne alla schietta fisicità della presenza dell’oggetto è escluso”. Cfr. R. Krauss (1995) Allusion und Illusion bei Donald Judd, in [4] pp. 228-238, qui p. 228, ovvero, Rosalind Krauss, Allusion and Illusion in Donald Judd, in: Artforum 4 (May 1966) pp. 24-26, qui p. 24. Cfr. C. Greenberg (1995) Neuerdings die Skulptur, in [4] pp.324-333, qui p.331. “Una forma che non sia né geometrica, né organica sarebbe una grande scoperta”. Cfr. D. Judd (1975) Statement, in: Donald [5] p. 193. Judd si esprime al riguardo come segue: “The main virtue of geometric shapes is that they aren’t organic, as all art otherwise is” (“La qualità principale delle forme geometriche è che non sono organiche, come invece è il resto dell’arte”. Cfr. D. Judd (1975) Statement, in [5] p. 193. Per la critica contemporanea di questa concezione cfr. M. Fried (1967) Kunst und Objekthaftigkeit, in: [4] pp. 334-374; per le difficoltà del desideratum tautologico e delle condizioni della percezione di sé da parte dell’osservatore cfr. [18] pp. 33ff. Si veda al riguardo la posizione contraria di Bochner, come riportata nel suo articolo Cubeland [1], nel quale critica la Vollmer. “Non credo vi sia nulla di speciale nei quadrati, che non utilizzo, né nei cubi. Di certo non possiedono un significato o una superiorità intrinseci”. D. Judd (1975) Statement, in [5] p. 193.

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La fusione e di conseguenza l’unità di forma e contenuto sembra dunque fine dichiarato e raggiunto38. Più avanti Judd dovette però rendersi conto che per lui non esistevano forme ‘pure’ e che forma e contenuto non erano altro che due facce della stessa medaglia, dunque pensabili solamente insieme: I’ve always disliked the division between form and content. […] There is no form which can be form without meaning, quality and feeling.39

e ancora, “[…] but there is no pure form. And of course pure content doesn’t exist.”40 Gottfried Boehm ha recentemente richiamato l’attenzione su questa difficoltà data dall’impossibilità di un’arte oggettuale priva di espressione. Riferendosi alle opere d’arte in oggetto mostrò come: “die projektive Kraft der Wahrnehmung sich auch an ihnen ikonisch entzünde[t]”41. Inoltre, proprio la voluta assenza di contenuto può ironicamente evocare quest’ultimo, o come notava Barbara Rose: “la mera negazione di contenuto può per se stessa costituire il contenuto di tale opera”42. Un altro protagonista del Circolo di New York, l’artista Robert Morris, fornisce ulteriori indicazioni per l’utilizzo delle “forme geometriche regolari”43, che toccano nell’arte minimalista l’intimo rapporto fra vedere e conoscere, nel senso dell’attivazione dell’autoriflessione della percezione dell’osservatore44. Essendo note e facili da comprendere, quando prive di dati sensoriali completi, le forme semplici e regolari sono anticipate o completate dall’occhio interno45. In tal modo Morris ci conduce a riflettere criticamente, rispetto alla “tendenza alla semplifica-

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Il look degli oggetti specifici può essere molto diverso. Gli Specific Objects di Judd appaiono molto rigidi e geometrici, se confrontati con le forme organiche di Claes Oldenburgs. “Non ho mai apprezzato la divisione fra forma e contenuto. […] Non esiste una forma che sappia essere forma senza significato, qualità o sentimento”, e ancora “[…] ma non vi è la forma pura. E, ovviamente, il puro contenuto non esiste”. In un discorso sulla pratica artistica, tenuto presso la Yale University il 20 settembre 1983, Judd trattò anche del rapporto fra arte e scienza e, in questo contesto, del rapporto fra forma e contenuto. Si veda D. Judd (1978) Art and Architecture, in [5] pp. 25-36, qui pp. 30f. Cfr. D. Judd (1978) Art and Architecture, in [5] pp. 25-36, qui p. 31. “La forza proiettiva della percezione infiamma iconicamente anche esse”. Cfr. [19] p. 37. Rosalind Krauss stima il significato nelle opere di Judd maggiore di quanto non faccia Barbara Rose. Cfr. R. Krauss (1995) Allusion und Illusion bei Donald Judd, in [4] pp. 228-238, qui p. 229; e B. Rose (1995) ABC Art, in [4] p. 280-308, qui p. 306, apparso originariamente in Art in America 53, No.9 (1965) pp. 57-69. Cfr. R. Morris (1995) Anmerkungen über Skulptur, in [4] p. 92-120, qui p. 99. Originale apparso in tre volumi di Artforum nel 1966 con il titolo Notes on Sculpture. Cfr. [20]. Cfr. R. Morris, Anmerkungen über Skulptur, in [4] p. 92-120, qui pp. 97ff.

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zione” di Judd, sul fatto che un’esperienza fisica immediata dell’opera d’arte non sia possibile, ma che sia la percezione stessa a creare la forma46. La differenza fra le forme teoriche e ideali della geometria (“verità”) e la percezione dei corpi soggetti alle leggi del tempo e della fisica al momento dell’osservazione (“realtà”), si rispecchia nel rapporto fra “geometry” (geometria) e “presences” (presente), come è definito da Merleau-Ponty47. È importante menzionare che se questa frattura è ricercata nell’arte, nei modelli visivi della matematica rappresenta un male indispensabile, dovuto unicamente alla materialità.

Dalla formula alla forma II A partire dal 1968 Ruth Vollmer si interessò agli universi figurativi (Bildwelten) della matematica premoderna. Grazie a una segnalazione venne a sapere di una raccolta storica di modelli dimostrativi del XIX Secolo presso la Columbia University di New York. For years and years I have been interested in mathematical forms, in geometry, and for a long time in mathematics. And somebody told me Columbia [University NYC] has mathematical forms.48

Alcuni fra i modelli tridimensionali tratti dall’“epoca aurea” della cultura visuale della matematica, riferiti prevalentemente ad aspetti particolari della geometria differenziale, della geometria di Riemann, così come della topologia e in particolare della geometria non-euclidea, diventarono elementi fondamentali per la Vollmer nella realizzazione di opere quali Pseudosphere (1970) (Fig. 6), Six Intersecting Ovals (1970) (Fig. 7) o Steiner Surface (1970). La Vollmer fece riprodurre i suoi oggetti con solo lievi modifiche in nuovi materiali. In occasione di un’esposizione, il collega Sol LeWitt li definì Mathematical Objects 49, con riferimento ai modelli rinvenuti – per esempio quello della pseudo sfera o del piano proiettivo. Inoltre, con l’avanzamento nella storia della matematica per quanto riguarda la scelta tematica della Vollmer, che 46Cfr. R. Morris, Anmerkungen

über Skulptur, in [4] p. 92-120, qui p. 109. “Per anni e anni mi sono interessata alle forme matematiche, alla geometria, e a lungo alla matematica. Qualcuno mi disse che la Columbia [University NYC] possiede forme matematiche”. Rosalind Krauss accenna alla differenza fra “verità” e “realtà” nelle opere di Judd in relazione alla filosofia fenomenologica di Maurice Merleau-Ponty. Cfr. R. Krauss (1995) Allusion und Illusion bei Donald Judd, in [4] p. 228-238, qui p. 233, ovvero, Rosalind Krauss, Allusion and Illusion in Donald Judd, in: Artforum 4 (May 1966) pp. 24-26. 48 Cfr. S.C. Larsen (2006) An Interview with Ruth Vollmer, in [8] pp. 206-211, qui p. 210. 49 Cfr. [28] come citato in: Nadja Rottner, Thinking the line, in [8] p. 73. 47

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Fig. 6. Ruth Vollmer, Pseudosphere (1970), legno (61 x 25,4 x 25,4 cm), Kunstmuseum Wintherthur

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Fig. 7. Ruth Vollmer, Six intersecting Ovals (1970), acrilico (26,5 x 26,5, 5 x 26,5 cm), Kunstmuseum Wintherthur

passò dalla sfera ai modelli della geometria non-euclidea, si assiste a un’evoluzione parallela nei materiali da lei utilizzati, sempre più spesso artificiali. Se in principio preferiva ancora legno e bronzo, più avanti furono vetro acrilico, alluminio o fogli di plastica. La rinnovata trasparenza dei materiali si doveva, accanto a una questione estetica, a una comprensione (funzionale) della forma: “Transparent material was chosen to make the form easy to comprend”50. Gli oggetti della Vollmer non sono più, come nel caso delle sculture in bronzo, trasposizioni materiali di una concezione visiva preesistente, un’immagine mentale dell’artista. Si tratta bensì di ‘realizzazioni’ di idee preesistenti, delle quali come platonica disse: “I suppose they have existed in Mathematics before, but they have not been manifested visibly.”51 In questa epoca non le interessa dunque più l’approccio manuale al materiale. Anche LeWitt si espresse analogamente in un suo articolo, redatto in occasione della mostra Ruth Vollmer per la rivista Studio International (1970): “These pieces are not sculpture; they are ideas made into solid forms”52. A svelarsi è l’affascinante contrasto fra una forma ideale (qui matematica) e la fisicità dell’opera d’arte, che in quanto tale è effimera. Vollmer riuscì a condurre il processo di oggettivazione dell’opera d’arte a un livello superiore alla produzione industriale, appoggiandosi alla cultura visiva della matematica, considerata obiettiva. In essa, infatti, l’elaborazione di modelli visivi (Bildmedien) non dovrebbe dipendere da

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“Il materiale trasparente fu scelto per rendere la forma semplice da comprendere”. Questa indicazione della Vollmer è tratta dal depliant informativo della mostra Ruth Vollmer del 1970, nella Betty Parsons Gallery. Cfr. N. Rottner (2006) Thinking the Line, in [8] p. 58. “Suppongo siano già esistite nella matematica, ma non sono state manifestate visivamente”. Cfr. R. Vollmer, Statement 1968, in [8] p. 203. “Questi pezzi non sono sculture; sono idee realizzate in forme solide”. Cfr. [28] come citato in: N. Rottner (2006) Thinking the line, in [8] p. 73.

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idiosincrasie personali. Per Ruth Vollmer le forme geometriche, in quanto strumenti scientifici, sono obiettive, e da qui scaturisce la loro bellezza: The mathematical form is so beautiful because it’s so objective! It is not beautiful because it is made by a person, or looked at by a person. It is outside of the particular.53

A sostegno di questa tesi si vedano le parole dell’artista concettuale Mel Bochner tratte da un’intervista: “Ruth, on the other hand, did believe in the vericity of scientific images”54. L’aspirazione della Vollmer non si esauriva in un genuino interesse verso forme nuove e la loro trasmissione, nell’intento di perseguire il topos artistico dell’innovazione e dell’originalità. La Vollmer era perlopiù affascinata da queste elaborazioni geometriche, giacché non raffiguravano costruzioni geometriche o meccaniche, e nemmeno astrazioni, intese come visioni di forme tratte dalla natura. L’artista stessa disse entusiasta: “On mathematical formulas, not on geometry! It is very interesting”55. La costruzione di molti fra i modelli adottati dalla Vollmer si basa sulla visualizzazione di insiemi numerici, ottenuti da funzioni o soluzioni di equazioni, quindi da formule, e inseriti in un adatto, e spesso spaziale, sistema di riferimento. Il sistema di visualizzazione fu reso possibile nel XVII secolo dalle innovazioni apportate nel campo della geometria analitica da René Descartes (La Géometrie, 1637) e Pierre de Fermat (Ad locos planos et solidos isagoge, 1637). Dall’unione di algebra e geometria scaturì l’idea di una “macchina traduttrice”. Questa avrebbe reso possibile la traslazione di forme piane e forme spaziali e con ciò lo scambio fra calcolo e immagine: problemi geometrici potevano ora essere risolti ricorrendo all’algebra ed equazioni algebriche rappresentate fisicamente in schemi spaziali (Pierre de Fermat). La fisica Dr. Erna Herrey, per la sua intensa occupazione con i fondamenti della matematica e gli appartenenti concetti dei modelli visivi, offriva all’artista buone occasioni di confronto56. La Vollmer non si dedicava ovviamente alla ricer52

“Questi pezzi non sono sculture; sono idee realizzate in forme solide”. Cfr. [28] come citato in: N. Rottner (2006) Thinking the line, in [8] p. 73. 53 “La forma matematica è così bella perché così oggettiva! Non è bella perché realizzata da una persona o osservata da una persona. È fuori dal particolare”. Cfr. S.C. Larsen (2006) An Interview with Ruth Vollmer, in [8] pp. 206-211, qui p. 210. 54 “D’altro canto Ruth credeva nella veridicità delle immagini scientifiche”. Cfr. N. Rottner (2006) In Conversation with Mel Bochner, in [8] pp. 212-213, qui p. 213. 55 “da formule matematiche, non dalla geometria! È molto interessante”. Cfr. S.C. Larsen (2006) An Interview with Ruth Vollmer, in [8] pp. 206-211, qui p. 210. 56 Questa collaborazione, così come lo studio di testi matematici quali Anschauliche Geometrie di David Hilbert e Stephan Cohn-Vossen (apparso in tedesco nel 1932 e in inglese nel 1952 con il titolo Geometry and the Imagination), diede vita a handouts impostati didatticamente, quale quello sopra citato, e sui quali era riportato il fondamento matematico delle opere espo-

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ca matematica, bensì, da artista, agiva nel sistema dell’arte e le sue espressioni erano puramente artistiche. Una conferma ci deriva da una sua intervista, quando disse: “I can’t say I do the mathematical form because of mathematics”57. I suoi oggetti sono opere d’arte, e in quanto tali acquistano un valore aggiunto rispetto alla pura raffigurazione di fatti matematici.

Le forme dello spazio Attraverso l’adozione dei modelli visivi rielaborati, l’artista non ricorreva solamente alle condizioni di visualizzazione proprie della cultura visiva matematica58 e alla strategia della visualizzazione comune a matematica e arte. La Vollmer si avvaleva, infatti, anche delle associate teorie spaziali della matematica, sviluppatesi nel corso del XIX secolo intorno all’opera di Gauss e Lobačevskij59. In quel periodo furono elaborati modelli visivi per i nuovi concetti spaziali, ad esempio quello di Beltrami (1868), rendendoli in tal modo visibili. Donald Judd era critico nei confronti dell’approccio artistico ai modelli spaziali della matematica. Egli perorava la conservazione e la separazione dei singoli discorsi nelle aree della matematica e dell’arte. Rifiutava, inoltre, un’arte che si dedicava in quel modo a fatti propri della geometria, sostenendo: I think there’s a big gap between the discussion of Euclidian and non-Euclidian geometry and art, and that the two should be left in the different areas, in which they are.60

ste; ad esempio le formule dei modelli adottati e citazioni dal libro di matematica Anschauliche Geometrie di Hilbert e Cohn-Vossen. Ciò fu supportato dal testo esplicativo di Sol LeWitt Mathematical Forms [21], nel quale commentava le opere della Vollmer. 57 “Non posso dire di realizzare forme matematiche per via della matematica”. Anche l’artista Sol LeWitt, un contemporaneo buon amico della Vollmer, considera così le sue opere, quando scrive nel suo articolo Mathematical Forms, in occasione della mostra Ruth Vollmer: “The pieces are not about mathematics; they are about art.” (“I pezzi non riguardano la matematica, bensí l’arte”). Cfr. [21] come citato in: N. Rottner (2006) Thinking the line, in [8] p. 73. 58 Si intende qui la visualizzazione degli aspetti iconico-notazionali e non della quota di “scrittura” del calcolo. 59 Cfr. P. Weibel (2006) Ruth Vollmer’s “Mathematical Models”. Sculptures Between Abstraction And Anschauung, in [8] pp. 29-34, qui p. 30. 60 “Credo vi sia una grande distanza all’interno della discussione fra geometria euclidea e noneuclidea e arte; le due dovrebbero essere lasciate nelle differenti aree cui appartengono.” Il fatto che Judd adottasse indipendentemente i termini di “spazio euclideo” e “non-euclideo” rispetto alla parola chiave “spazio curvo” di Di Suvero, prova che egli era a conoscenza dell’argomento. Cfr. [22] p. 221.

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Eppure, già nel suo oggetto Untitled (1962) (Fig. 1) lo spazio di per sé rappresenta un tema sotto molteplici punti di vista. Secondo lo storico dell’arte americano Rainer Crone, le sue prime forme spaziali, esemplificative dell’opera di Judd a partire dagli anni ’60, mostrano “grundsätzlichen Ausrichtung auf räumliche Probleme”61 e una “zeitgenössische Auffassung von ‘Raum’”62. Judd stesso aveva già definito l’ambiente, in quanto parte dello spazio effettivo, “spazio generico”, opponendolo allo “spazio definito” che attraversa il tubo curvo nell’opera. Secondo la spiegazione dell’artista: “a definite space [passes] through a general space”63. Anche Crone alludeva allo spazio convenzionale come insieme dotato di caratteristiche nobili e lodava esemplarmente i primi lavori di Judd, per ampliare il campo interpretativo della sua opera. Si potrebbe dunque essere inclini a sostenere che Judd celebrasse il concetto dello spazio euclideo, realizzando ed esibendo prevalentemente forme squadrate, cubiche, quindi rettangolari. Sembra quasi volesse accertarsi che la percezione dei suoi Specific Objects avvenisse in uno spazio euclideo; quindi che ricercasse uno spazio accessibile ai sensi e alla contemplazione e non desiderasse esportare i suoi oggetti in spazi teorici o speculativi. Contrariamente a quanto accadeva per gli artisti del classicismo moderno, l’utilizzo, da parte dell’empirista, dello spazio euclideo per la realizzazione delle sue opere sobrie e patetiche, si rivelava al momento della percezione, facendole apparire ancora più ‘reali’64. Quasi in risposta all’attività svolta da Ruth Vollmer con ideali forme geometriche, quali la sfera e la pseudo sfera, in una dichiarazione (1967) Judd affermò: “One thing though, cubes are a lot easier to make than spheres”65.

Bibliografia [1]

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“Un orientamento generale verso problematiche legate allo spazio”. Cfr. [13] p. 64. “Concezione contemporanea dello spazio”. Cfr. [14] p. 148. “Uno spazio definito attraversa uno spazio generico”. Cfr. [9] p. 148. Si è portati a sostenere ciò se si mette da parte l’argomentazione di Hans Hahn, che nel suo articolo Die Krise der Anschauung (1933) dimostrò come ogni geometria, e con essa dunque anche lo spazio euclideo, non sia altro che una costruzione. Ciononostante, lo spazio euclideo è lo spazio che più si avvicina alla nostra esperienza quotidiana. Per la ricezione della geometria non-euclidea nel classicismo moderno si veda D. Judd (1993) Some Aspects of Color in General and Red and Black in Particular in [23] pp. 145-159. “Solo una cosa, cubi sono molto più semplici da realizzare rispetto a sfere”. Cfr. D. Judd (1975) Statement, in [5] p. 193.

Forme matematiche: dalla formula alla forma nello spazio

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Matematica e immagini

Da King Kong a Ratatouille: nuove sfide matematiche per i personaggi digitali L. Fascione _zur form F. Grond M.C. Escher e il piano iperbolico G.M. Todesco Matematica e cinema: novità M. Emmer

Da King Kong a Ratatouille: nuove sfide matematiche per i personaggi digitali di Luca Fascione

Nell’ambito del cinema di effetti speciali, l’espressione personaggio digitale (digital character) indica un componente (generalmente animato) della narrativa portato in essere tramite l’uso della sintesi di immagini al computer, un insieme di tecniche che va sotto il nome collettivo generico di Computer Graphics Imagery, o CGI. Il risultato di questa operazione svela quale sia lo scopo principale dell’uso degli effetti speciali, ovvero rappresentare oggetti o eventi che non sono reali. In realtà sono due le ragioni principali che spingono uno studio cinematografico ad avvalersi di questo mezzo: da una parte la necessità di rappresentare eventi che al di fuori della finzione altererebbero la realtà in modo irreversibile, come per esempio una persona ferita, un incidente o una qualche catastrofe naturale; dall’altra la necessità di dare vita a delle creature che non esistono nella realtà perché parte della pura fantasia, come un drago o il mostro di Loch Ness, o di dimensioni irreali e altrimenti impossibili da ricreare, come King Kong o Godzilla, o più semplicemente estinte: penso a un dinosauro o a un dodo. Il realismo e il fotorealismo sono aspetti centrali della realizzazione di effetti speciali (siano essi di tecnica tradizionale o digitale). In questo ambito con il termine realismo ci si riferisce non alla accuratezza con cui un oggetto o evento reale viene ritratto, ma alla credibilità con cui l’oggetto in questione si integra con il contesto di cui è parte (per lo più da un punto di vista visuale, ma certamente anche narrativo). Per esempio, tipici oggetti di discussione possono essere il movimento del mantello di Superman durante il volo, o l’aspetto di una goccia d’acqua sulla faccia del pirata-polpo Davy Jones. La misura del realismo di un effetto è indissolubilmente legata al contesto in cui l’effetto stesso viene ricreato, alla credibilità degli eventi nei quali è collocato e a cui si relaziona. La rappresentazione di ogni fenomeno copre un determinato ruolo narrativo, che risulta giocato di concerto con il resto della scena ed è l’insieme della scena considerata nella sua unità che fa da metro per la qualità dell’effetto stesso. Naturalmente è indispensabile considerare in questo modello il pub-

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blico come parte integrante della scena: in ogni dialogo la misura della chiarezza del messaggio è funzione tanto di colui che parla quanto di colui che ascolta. Il che ci porta alla questione della sospensione dell’incredulità: il fenomeno per effetto del quale crediamo alla magia dei prestigiatori. Il mago ci induce un particolare stato psicologico nel quale siamo inclini a credere e prendere per vere le meraviglie che ci mostra, mentre un’altra parte di noi (che si risveglia un certo tempo dopo l’evento) sa bene che “un qualche trucco ci deve essere”. È un po’ il complementare della Terza legge di Clarke [1]: Any sufficiently advanced technology is indistinguishable from magic1.

Si potrebbe sostenere che qualunque forma di magico può essere rappresentata tramite una forma sufficientemente avanzata di tecnologia (tenendo a mente che rappresentare e realizzare non sono la stessa cosa). E allora, perché crediamo a quel che vediamo? Che cos’è che ci porta ad accettare in un film la presenza di alieni che camminano tra noi e cambiano forma? Eppure nella vita di ogni giorno non saremmo mai portati a pensare, neanche per errore, che la nonnina della porta accanto abbia poteri magici o che il vicino sia un agente segreto (eppure anche gli agenti segreti da qualche parte dovranno pure abitare!). Opportune indagini sulla teoria della narrativa conducono al concetto di sospensione dell’incredulità, un’espressione coniata quasi duecento anni fa da Samuel Coleridge [2], ma che descrive in realtà un fenomeno noto da secoli (lo stesso Shakespeare ne parla nel prologo al suo Enrico V). Il fenomeno è conosciuto e interpretato da vari autori in differenti modi, in linea con il loro tempo e ovviamente con le loro personali inclinazioni: J.R.R. Tolkien [3] (noto professore di linguistica) sostiene la necessità di una estrema coerenza del mondo immaginato, che dunque per questo motivo viene metodicamente costruito in ogni più piccolo dettaglio. I racconti di Tolkien sono popolati di creature parte di una precisa e dettagliata tassonomia: elfi, hobbit, nani parlano lingue che non solo potrebbero essere realmente esistite (sono molti i rimandi e le assonanze con i dialetti del nord Europa), ma che anche si influenzano e contaminano l’una con l’altra, mentre i personaggi della storia esibiscono appropriati gradi di confidenza con i vari dialetti che incontrano. Un qualche grado di realismo è necessario anche in forme di racconto meno vicine alla rappresentazione più puramente realistica. I professionisti delle arti figurative, in particolar modo i vignettisti e gli animatori, sono ben consci della sottile linea che separa una rappresentazione fantastica da una falsa, e dialogando con il loro pubblico lo hanno anche educato a credere qualcosa in più di quan-

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Qualunque forma di tecnologia sufficientemente avanzata è indistinguibile dal magico.

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to esso non avrebbe fatto da solo. Ciononostante hanno dovuto imparare e investigare molto su come innescare questo procedimento di immedesimazione: Johnston e Thomas [4] descrivono con estrema cura quali sono le tecniche necessarie per rendere credibile che Pippo sia in grado di continuare a camminare ben oltre l’orlo di un precipizio per rimanere un certo tempo sospeso nel vuoto. Un fittizio tempo di sospensione che serve al personaggio per comprendere la situazione in cui si trova: solo allora, immediatamente, inizierà a cadere. È un vecchio trucco certamente, ma che funziona ogni singola volta se eseguito bene. L’elemento determinante quindi sembra essere proprio la necessità di raggiungere una specie di accordo tra il narratore e il pubblico, un do ut des grazie al quale all’uno sia permesso di continuare il gioco di prestigio purché all’altro sia alla fine comunicato in modo soddisfacente il messaggio voluto. Stabilito cosa l’effetto speciale si propone di fare, qui di seguito cercherò di spiegare, in una breve storia della tecnica degli effetti digitali, il come lo si è fatto, utilizzando come filo conduttore la vicenda del personaggio digitale, mostrando anche in parte il ruolo che la matematica riveste nel costruire questa illusione. Infine mi propongo lungo questo tragitto di lasciare spazio alla personale riflessione del lettore su come l’accordo tra narratore e spettatore sia cambiato durante il cammino percorso dalla tecnica digitale nei decenni trascorsi e su cosa ci si possa attendere dal prossimo futuro.

Effetti speciali Gli effetti speciali sono parte della tecnica teatrale sin dall’età classica e hanno permeato in maniera naturale la tecnica cinematografica sin dall’inizio. Nel decennio tra il 1896 e il 1906, il mago francese George Méliès ha realizzato alcune centinaia di cortometraggi, inventando le basi della tecnica cinematografica e delle tecniche di effetti speciali usate nel cinema fino ai nostri tempi: il suo famosissimo Voyage dans la Lune (1902) è considerato il primo film di fantascienza della storia, e fa uso di montaggio, miniature, fondali dipinti, animazione integrata con attori, e naturalmente… è a colori! Proprio così: nel 2002 è stata ritrovata quella che al momento è considerata la copia più completa del film, la quale, oltre a contenere una scena che si credeva perduta, era stata anche colorata (a mano). Questa era pratica piuttosto comune: fino alla seconda metà degli anni Trenta, per esempio, lo studio dei fratelli Pathé impiegava centinaia di pittrici allo scopo di preparare copie colorate di stampe di film in bianco e nero. Il processo a catena di montaggio è uno dei più antichi esempi di post-produzione cinematografica su scala industriale. Ottant’anni dopo, il computer si affaccia al cinema sotto la spinta di tre componenti: abbassare i costi, ridurre i rischi e, più semplicemente, come nuova tec-

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nica per raggiungere risultati non ottenibili altrimenti. Mentre l’abbassamento dei costi di realizzazione può essere facile da prevedere, la questione dei rischi è spesso sottovalutata. Un problema infatti sostanziale negli effetti speciali più complicati è l’elevato tasso di rischio in cui incorrono produzione e attori durante la lavorazione. Penso per esempio alla scena del bar nepalese nel film I Predatori dell’Arca Perduta (Raiders of the Lost Ark, 1981), una lunga sequenza in cui sei attori lottano in un bar incendiato: nonostante l’alto livello tecnologico dei mezzi a disposizione del film, la soluzione usata per girare questa sequenza ha consistito “semplicemente” nell’avere moltissimo fuoco (tutto quello visibile nel film) sul set durante l’azione. Questo tipo di situazione crea problemi di ordine pratico non indifferenti: la pellicola non sopporta affatto bene il calore e si deteriora molto più velocemente al caldo; le parti vicine ai bruciatori sul set possono prender fuoco; gli stessi tecnici e attori si trovano esposti a un notevole livello di rischio e di disagio. Come secondo esempio, nel mondo degli effetti speciali tradizionali la stragrande maggioranza delle sequenze prodotte allo scopo di rappresentare esplosioni, valanghe o altri simili cataclismi può essere eseguita solo una volta. La soluzione canonica adottata in contesti di tecnica tradizionale consiste nel filmare l’evento in condizioni controllate, in certi casi in scala ridotta: l’esplosione di una diga è effettivamente quello che sembra anche se in scala, ovvero un’esplosione vera e propria di un modello in miniatura. La costruzione del modello può magari richiedere numerose settimane di lavoro a uno staff di una decina di tecnici specializzati: tutto il lavoro sarà distrutto nell’esplosione e se le riprese non sono sufficientemente buone, tutto dovrà essere rifatto da capo. L’avvento del computer porta con sé il vantaggio della ripetibilità: una volta preparata, la sequenza verrà rifinita e aggiustata centinaia di volte prima di essere approvata e stampata, visto che a ogni stadio della lavorazione è possibile tornare indietro e apportare piccole correzioni. Questo modo di lavorare non ha corrispondenti nel mondo degli effetti tradizionali e secondo Dennis Muren costituisce la grande rivoluzione del passaggio da questi agli effetti digitali [5].

Computer Graphics L’espressione Computer Graphics risale al 1960. William Fetter usa questo termine per indicare gli schematici che la Boeing utilizzava all’epoca per rappresentare un uomo all’interno della cabina di pilotaggio dei loro aeroplani. Cercando di collocare questa data in qualche prospettiva storico-temporale, questo è l’anno in cui la Digital inizia a vendere il computer PDP-1: per il notissimo PDP-11 (comunemente detto “il VAX”) bisognerà aspettare ancora diciotto anni e solo quindici per il primo supercomputer Cray. Nessuno dei linguaggi di programmazione oggi

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in uso era stato inventato nel 1960: per il Basic mancano ancora quattro anni, dieci al Pascal e dodici al C e al sistema operativo UNIX. Il primo apparecchio fax commerciale sarà disponibile di lì a sei anni. Ma veniamo a noi: il primo uso su scala pubblica di una animazione in computer grafica è per una pubblicità della IBM del 1969. Nel 1972 Frederic Parke anima per la prima volta una faccia al computer nel corso dei suoi studi all’università dello Utah, e al 1977 risale la sequenza animata al computer forse più antica nel cinema mainstream: la sequenza che illustra la configurazione e posizione della Morte Nera nel film Guerre Stellari (Star Wars, 1977). Il computer fa i suoi primi passi nel mondo del cinema nel genere della fantascienza, prestandosi più naturalmente di altri a rappresentare il prodotto di tecnologie avveniristiche. I primi effetti speciali digitali erano troppo crudi per poter essere integrati direttamente in un film accanto a degli attori, ed erano quindi relegati a rappresentare il ruolo di computer del futuro, molto più avanzati delle nostre tecnologie correnti. Il primo esempio di integrazione diretta si ha nel film Piramide di Paura (Young Sherlock Holmes, 1985) nel quale una vetrata si stacca dal suo telaio trasformandosi in un cavaliere medievale. La sequenza è costituita da 6 piani per un totale di circa 25 secondi nel montaggio finale e richiese oltre sei mesi di lavoro per l’intero dipartimento di computer grafica della Industrial Light and Magic dell’epoca (questo stesso gruppo di persone pochi anni dopo si separerà dallo studio di George Lucas e andrà a costituire una nuova compagnia di animazione, la Pixar). Il cavaliere rappresenta la conferma del sospetto che si era andato materializzando negli otto anni precedenti: era in effetti possibile produrre al computer immagini che potessero essere integrate con una fotografia senza soluzione di continuità visuale [5]. A tutti gli effetti era nata la computer grafica fotorealistica, grazie anche al coraggio di Muren. Quattro anni dopo James Cameron fa uso del computer nel suo film The Abyss (1989), nel quale appare una creatura aliena costituita solo di acqua. Questa volta non solo l’integrazione è perfetta, ma la creatura interagisce con gli attori (viene toccata e si deforma). Se certamente sarebbe stato problematico animare una vetrata con la tecnica della stop motion, è ancora più difficile pensare che si potesse arrivare a realizzare la creatura in The Abyss con tecniche non digitali. Nel decennio tra la fine degli anni Settanta e la fine degli anni Ottanta le tecniche digitali sono passate dall’essere una novità per scienziati, attraverso una prima fase in cui erano semplicemente un modo per rendere più interessanti le macchine del futuro, fino a un nuovo strumento per la creazione di effetti speciali di pari dignità delle tecniche più antiche: un nuovo mezzo in cui è possibile sperimentare un bilancio diverso tra costi e prestazioni, un universo le cui possibilità, sebbene ancora per lo più inesplorate, rivelano già agli addetti ai lavori tutto il loro potenziale.

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Il Digital Character Il 1991 è il punto di svolta. In Terminator 2 (1991) il personaggio T-1000 è un personaggio principale della narrazione: tutto il tempo che spende sullo schermo è frutto di una combinazione di effetti digitali e di tecnica tradizionale, con un notevole sbilanciamento in favore del digitale. Il T-1000 è un robot venuto dal futuro e costruito in modo da poter assumere l’aspetto di qualunque oggetto con cui venga in contatto: durante il film sono numerose le sequenze di trasformazione in cui il personaggio si deforma prima in una massa metallica (che naturalmente riflette l’ambiente di cui è parte) e poi in un secondo oggetto o personaggio. Contrariamente a quanto si era fatto negli anni Ottanta con la tecnica del morphing, nella quale le immagini di due oggetti vengono deformate l’una nell’altra (tecnica usata per esempio nel film Willow (1989) e nel famosissimo video musicale per la canzone Black or White (Dangerous, 1991) di Michael Jackson), in Terminator 2 le deformazioni avvengono per la prima volta in tre dimensioni, rendendo l’azione molto meno artificiale e quindi aumentando moltissimo la qualità e credibilità dell’integrazione finale. Giunti a questo punto il progresso è principalmente di scala. In Jurassic Park (1993) vediamo un notevole numero di dinosauri digitali, che apparentemente sono presenti per la maggioranza del film. In realtà dei 127 minuti di durata nel montaggio finale, solo 15 minuti contengono dinosauri: per 9 minuti vediamo degli animatronic (robot a grandezza naturale controllati a distanza) e per 6 minuti vediamo invece dinosauri realizzati in computer grafica. Con le tecniche dell’epoca la renderizzazione di ciascun fotogramma (il processo tramite il quale la descrizione digitale di un oggetto viene trasformata in un’immagine) richiedeva dalle due alle sei ore, più un’intera ora per l’integrazione con il girato. Per 8.640 fotogrammi, stiamo quindi parlando di oltre 43.000 ore/macchina per il solo stadio finale della lavorazione, senza contare il lavoro di preparazione di personaggi e materiali, né l’animazione o la fotografia/illuminazione. Come punto di confronto, al momento in cui scrivo (2009) la render farm di Weta Digital contiene circa quattromila macchine, ciascuna con otto processori a 2.6GHz e 24GB di RAM. Le macchine standard in uso all’epoca di Jurassic Park contenevano un processore a 60MHz ed erano di norma equipaggiate di 64MB di RAM: senza contare il progresso (migliori algoritmi e migliori architetture) degli ultimi quindici anni, oggi potremmo rieseguire tutta la computazione in circa 130 ore/macchina (in altri termini, non è assurdo per uno smartphone di oggi avere un processore a 300MHz o più e 64MB di RAM a bordo, insieme a una batteria dimensionata per fornire alcuni giorni di autonomia). A questo proposito, viene in mente la cosiddetta Legge di Moore: l’idea secondo cui la densità di integrazione di un microchip (che classicamente è una misura abbastanza diretta della sua velocità massima) raddoppia ogni due anni circa [6]. In uno studio di Raymond Kurzweil [7] si è in effetti mostrato che la quanti-

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tà di computazione disponibile per migliaio di dollari è cresciuta grossomodo esponenzialmente dall’inizio del Novecento a oggi, allargando l’estensione originale dell’articolo di Gordon Moore (circa dieci anni) di quasi un ordine di grandezza. Nell’ambito della computer grafica, è anche nota la cosiddetta Legge di Blinn, secondo cui il tempo necessario per renderizzare un frame è costante. In effetti un fattore fondamentale per cui un render richiede un certo tempo è il costo che l’attesa implica rispetto ai ritmi di produzione, il che costringe l’industria degli effetti speciali digitali a una costante modalità di bilanciamento tra la voglia di produrre effetti migliori e la necessità di fare i conti con la (relativa) scarsità delle risorse disponibili. In altre parole, se in un frame di Jurassic Park troviamo un singolo dinosauro, e magari facciamo attenzione che sia notte per non doverlo riprodurre poi così accuratamente, in un frame da Il Signore degli Anelli possono esserci qualche migliaio di elfi, in pieno giorno, ciascuno con il suo costume, arco, frecce e tutto il resto del materiale di scena. Lo stato dell’arte certamente avanza, di pari passo con le aspettative del pubblico e grazie alla voglia degli addetti ai lavori di inserire ancora una volta qualche rifinitura in più. Tornando al cinema, alla metà degli anni Novanta la computer grafica è ormai parte accettata e normale del bagaglio tecnico degli addetti ai lavori, in film come The Mask (1994) o Casper (1995) vediamo una presenza continua di caratteri digitali, integrati in scene anche complicate con macchine da presa in movimento e numerosi attori. Incidentalmente, Casper è il primo personaggio a essere interamente digitale, senza mai una controparte meccanica. Naturalmente l’integrazione con gli attori è minima (Casper è un fantasma, dopotutto): per vedere una vera creatura interamente digitale interagire a lungo con degli attori bisognerà aspettare King Kong (2005).

Maturità Si dice che sia stato proprio Jurassic Park a dare la spinta finale a James Cameron per fondare lo studio Digital Domain, con il quale, solo pochi anni dopo, realizzerà Titanic (1997). In Titanic la computer grafica impiega esclusivamente un ruolo di supporto: giunta a una certa maturità tecnica, serve nel film per scopi puramente narrativi. Le transizioni sono ammorbidite, si aggiungono le folle, le scenografie vengono estese, piccoli dettagli sono inseriti in ogni piano per aumentarne la completezza senza tuttavia prendere mai il sopravvento. L’intero film è estensivamente lavorato in tecnica digitale e le manipolazioni non distolgono mai l’attenzione dalla storia. Giunto nelle sale, Titanic ha avuto un successo straordinario, essendo tuttora a distanza di anni campione d’incassi della storia del cinema [8] e, con i suoi 11 premi Oscar, anche il film che ha ricevuto più riconoscimenti (insieme a Ben-Hur (1959) e Il Signore degli Anelli: Il Ritorno del Re (The Lord of the Rings: The Return of the King, 2003)).

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Le idee per usi creativi delle tecniche digitali non si fermano qui: alla fine degli anni Novanta i fratelli Wachowski realizzano il famosissimo The Matrix (1999) nel quale introducono una serie di nuovi elementi del linguaggio cinematografico, presi in prestito in parte anche dal linguaggio del fumetto, e realizzabili soltanto con l’uso del computer. Di gran lunga il più famoso è l’effetto chiamato bullet time, nel quale si ritrae un’azione sostanzialmente istantanea tramite un esageratissimo piano al rallentatore in cui la cinepresa compie un movimento di rivoluzione intorno al centro dell’azione. È interessante notare che nella sua realizzazione originale, il piano in bullet time contiene una notevole componente non digitale: è infatti realizzato tramite un delicatissimo arrangiamento di macchine fotografiche intorno al set in cui si svolgerà l’azione, che vengono poi comandate elettronicamente in modo da scattare in rapida successione. Nonostante il “trucco” sembri semplice, è soltanto con tecniche digitali che è poi possibile in pratica riassemblare e riallineare precisamente le immagini per costituire una sequenza che appaia stabile una volta proiettata. In Matrix si vede anche per la prima volta l’uso degli extended motion trails, a tutti gli effetti fotogrammi che contengono eventi accaduti nel futuro: di nuovo grazie all’uso creativo di tecniche digitali, si è aggiunta in post produzione una traccia di sfocatura da mosso che contiene non solo elementi dei fotogrammi precedenti ma anche (in minor parte) di quelli immediatamente successivi. Questo effetto è impossibile da realizzare con tecniche tradizionali: mentre in una vera cinepresa è sempre presente un singolo fotogramma davanti all’obiettivo, il cardine di questo effetto è la presenza dello stesso oggetto contemporaneamente sia in punti diversi dello stesso fotogramma, sia in fotogrammi diversi.

Le dimensioni contano Il nuovo millennio porta con sé un nuovo tipo di sfida: una volta consolidata la comprensione delle tecniche del cinema digitale, si torna in qualche modo a una fase di esplorazione dei limiti e contenimento dei costi. Si assiste anche alla fine del dominio della Silicon Graphics nel settore del cinema digitale, in favore dei “normali” personal computer. Nel 2000 la BBC pubblica la fortunatissima serie Walking with Dinosaurs: a Mike Milne, uno dei supervisori agli effetti speciali su Jurassic Park, viene affidato il compito di girare sei film con dieci dinosauri principali (più una notevole quantità di altri animali preistorici di vario genere) con un budget di circa un decimo di quello del film Jurassic Park (cosa che comunque non ha impedito alla serie di entrare nel Guinnes dei Primati come più costoso documentario per minuto della storia). Nel 2002 due film in particolare richiamano l’attenzione, per motivi simili: Harry Potter e la Camera dei Segreti (Harry Potter and the Chamber of Secrets, 2002) e Il Signore degli Anelli: Le Due Torri (The Lord of the Rings: The Two Towers, 2002). In entrambi appare un vero personaggio completamente digitale.

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Diversamente da quanto realizzato fino a questo momento, sia Dobby (in Harry Potter) che Gollum (nel Signore degli Anelli) sono personaggi di estremo realismo, che si integrano perfettamente in contesti arbitrari come interni ed esterni, e interagiscono in numerose occasioni sia con l’ambiente circostante che con gli attori. Una delle caratteristiche più notevoli di entrambi è il fatto che sono entrambi umanoidi e in quanto tali costituiti di pelle di caratteristiche simili alla nostra, pelle che per giunta è in entrambi i casi visibile per la maggior parte del loro corpo. La possibilità di realizzare pelle digitale ha da allora cambiato completamente il modo di fare cinema digitale, per esempio è diventato possibile alternare girato e contenuto digitale in un singolo piano, anche più volte. Forse una delle sequenze tecnicamente più avanzate da questo punto di vista appare in Il Signore degli Anelli: Le Due Torri: nella sequenza nella tana del ragno gigante Shelob c’è un particolare piano in cui il personaggio Sam Gamgee fa un doppio passaggio digitale-giratodigitale, reso necessario dalla estrema complessità dell’azione e dal fatto che la sua faccia è sempre chiaramente in campo per tutto il piano, rendendo impossibile l’uso di controfigure umane. La trilogia di Il Signore degli Anelli è il primo caso di film che fa un uso totalmente libero della controfigura digitale, usata sia per addensare folle che per sostituire attori in azioni complicate o pericolose. Sapendo di poter contare sulla tecnica del personaggio digitale così liberamente, i tre film hanno fatto un uso ridottissimo di comparse (relativamente parlando) riducendo i costi di produzione, e aprendo contemporaneamente la strada a un modo più organico di concepire la lavorazione di un film, nel quale il regista è coinvolto nella produzione fino alle fasi finali di realizzazione permettendo un livello di interazione artistica senza precedenti: sono le origini della tecnica chiamata virtual cinematography. Il nuovo mezzo risulta particolarmente efficace per le sequenze di azione, ne sono un esempio le scene su Skull Island in King Kong (2005), in cui è presente King Kong insieme a un notevole numero di dinosauri di varie specie. Sono un ulteriore esempio le numerosissime sequenze nel secondo e terzo film della serie Pirati dei Caraibi (Pirates of the Caribbean: Dead Man’s Chest, 2006, Pirates of the Caribbean: At World’s End, 2007), in cui è presente il pirata Davy Jones, e la sua ciurma di uomini-pesce. È ormai chiaro che essere in grado di realizzare in maniera convincente materiali naturali e soprattutto pelli di vario tipo è una necessità imprescindibile, il digitale si intreccia in ogni aspetto del girato e il pubblico non accetta più un’integrazione facilmente identificabile dei contenuti sintetici nel girato.

Interazione di luce e materia Come esempio della relazione tra industria e accademia, seguiamo per un momento la vicenda della resa di materiali naturali in computer grafica. La spinta verso il realismo è alla base di una notevole attività di ricerca volta ad appro-

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fondire la comprensione della fisica di questi fenomeni, e contemporaneamente a cercare di risolvere la questione della trattabilità computazionale dei modelli proposti. Diversamente dagli studi nel campo della struttura della materia o della fisiologia, il punto di vista della computer grafica è quello di voler costruire un modello computazionalmente efficiente dell’aspetto di un dato materiale naturale quando sia immerso in un dato contesto di illuminazione. In generale i materiali naturali si caratterizzano per un certo grado di traslucenza interna, che permette all’osservatore umano di dedurre “a colpo d’occhio” la costituzione del materiale stesso, e di valutarne approssimativamente le varie qualità. In quanto umani siamo tra l’altro particolarmente capaci di notare sottigliezze nell’aspetto della pelle in generale, e dei volti in particolare. Oltre all’industria del cinema, per esempio, anche l’industria dei cosmetici ha un enorme interesse nelle possibilità di simulazione delle caratteristiche visuali della pelle e nella comprensione di come i vari prodotti ne alterino l’aspetto. La pelle è stata oggetto di timida attenzione nella prima metà degli anni Novanta, in particolare ricordiamo l’articolo di Hanrahan e Krueger del 1993 [9], nel quale si descrive il primo modello per la resa fotorealistica della pelle umana. Purtroppo all’epoca il modello era computazionalmente al di fuori della portata di uno studio di produzione e rimase quasi dimenticato fino al 2000. Il nuovo millennio, con la disponibilità di potenze di calcolo superiori di un paio di ordini di grandezza a quelle dei primi anni Novanta (uno dovuto alla legge di Moore, e uno dovuto alla dinamica di diminuzione dei costi dell’harware e di un certo consolidamento nella fiducia legata alle tecniche digitali e conseguenti investimenti di capitali), vede un risvegliarsi dell’interesse per questo modello, che diventa lo standard di riferimento per le lavorazioni del periodo. Nel 2001 il gruppo di Henrik Jensen inizia a pubblicare una serie di articoli (tra cui ricordiamo [10-12]) nei quali si descrivono modelli sempre più raffinati per la resa fotorealistica dei materiali naturali, con un occhio particolare alla pelle umana. Prendendo spunto dalla ricerca di Eason [13] della fine degli anni Settanta nel campo della fisiologia medica, Jensen ha costruito e raffinato nel tempo un modello per la rappresentazione del trasporto sottosuperficiale che è considerato un eccellente compromesso tra costi computazionali e risultati finali, e che è velocemente diventato il nuovo metro di paragone per questo genere di applicazioni, con impieghi in film quali Shrek 2 (2004), Ratatouille (2007), Pirati dei Caraibi: Ai Confini del Mondo, i vari Harry Potter, Avatar (2009).

Bibliografia [1] [2] [3]

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Da King Kong a Ratatouille: nuove sfide matematiche per i personaggi digitali

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Filmografia* George Méliès (1902) Voyage dans la Lune, Star Film, France William Wyler (1959) Ben-Hur, Metro-Goldwin-Mayer, USA George Lucas (1977) Star Wars, Lucasfilm, USA Steven Spielberg (1981) Raiders of the Lost Ark, Paramount Pictures, USA Barry Levinson (1985) Young Sherlock Holmes, Amblin Entertainment, USA Ron Howard (1988) Willow, Imagine Films Entertainment, USA James Cameron (1989) The Abyss, Twentieth Century-Fox Film Corporation, USA James Cameron (1991) Terminator 2: Judgment Day, Carolco Pictures, USA, France John Landis (1991) Video clip per Black or White di Michael Jackson, dall’album Dangerous Steven Spielberg (1993) Jurassic Park, Universal Pictures, USA Chuck Russel (1994) The Mask, Dark Horse Entertainment, USA Brad Silberling (1995) Casper, Universal Pictures, USA James Cameron (1997) Titanic, Twentieth Century-Fox Film Corporation, USA Georgann Kane (1999) Walking with Dinosaurs, BBC, UK, Germany Andy Wachowski, Larry Wachowski (1999) The Matrix, Groucho II Film Partnership, USA, Australia Peter Jackson (2001) The Lord of the Rings: The Fellowship of the Ring, New Line Cinema, New Zealand, USA Chris Columbus (2002) Harry Potter and the Chamber of Secrets, 1492 Pictures, USA, UK, Germany Peter Jackson (2002) The Lord of the Rings: The Two Towers, New Line Cinema, USA, New Zealand, Germany

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I film qui indicati sono elencati in ordine cronologico.

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Peter Jackson (2003) The Lord of the Rings: The Return of the King, New Line Cinema, USA, New Zealand, Germany Andrew Adamson, Kelly Asbury (2004) Shrek 2, DreamWorks SKG, USA Peter Jackson (2005) King Kong, Big Primate Pictures, USA, New Zealand, Germany Gore Verbinski (2006) Pirates of the Caribbean: Dead Man’s Chest, Walt Disney Pictures, USA Brad Bird, Jan Pinkava (2007) Ratatouille, Pixar Animation Studios, USA Gore Verbinski (2007) Pirates of the Caribbean: At World’s End, Walt Disney Pictures, USA James Cameron (2009) Avatar, Twentieth Century Fox, Film Corporation, USA

_zur form Un progetto di Florian Grond, Thomas Kienzl e Gabriele Engelhardt di Florian Grond

Poiché ci piace concepire l’arte come un insieme di manifestazioni concrete di pensieri immateriali, si potrebbe identificare il concetto di “dare forma alle idee” principalmente con il lavoro di un artista. Eppure, riguardando alla storia della matematica, nel XIX secolo si riscontrano considerevoli sforzi compiuti da importanti matematici nella direzione di produrre forme matematiche per ottenere una migliore comprensione dei principi sottostanti coinvolti. Nel XX secolo, tali forme sono state riprese da noti artisti che le hanno utilizzate come fonti durature di ispirazione. Lo sviluppo di tecniche computerizzate di visualizzazione, a partire dagli anni sessanta del secolo scorso, ha contribuito alla scoperta di nuovi oggetti matematici tridimensionali, noti come attrattori strani. Con il nostro progetto _zur form (_per la forma) vogliamo “liberare” queste nuove forme dalla loro esistenza virtuale e riportarle alla realtà tangibile, allo scopo di allinearle ai loro predecessori appartenenti alla tradizione dei modelli matematici.

Cenni storici sui modelli matematici Quella della produzione di modelli di funzioni matematiche e della loro relazione con l’arte moderna è una storia affascinante, che risale al XIX secolo, quando vennero introdotti modelli concreti in gesso di formule matematiche per facilitare la comprensione di problemi geometrici complessi. Tali modelli furono utilizzati da diversi matematici del XIX secolo, tra cui Felix Klein: si diffusero forme matematiche in gesso in tutto il mondo. Molti istituti di matematica le conservano ancora1. All’inizio del XX secolo, il mercato dei modelli matematici era ormai saturo e il set-

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Per un’interessante raccolta di fotografie del Dipartimento di Matematica di Harvard consultare il sito: http://www.math.harvard.edu/history/models/index.html.

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tore della produzione di modelli entrò in declino. All’epoca, comunque, gli artisti cominciarono a interessarsi sempre di più a queste curiose forme e cominciarono a usarle come modelli per le fotografie o come fonte di ispirazione per sculture e dipinti. Tra questi artisti vi furono Naum Gabo, Antoine Pevsner, Barbara Hepworth e Henry Moore. Più tardi, anche Ruth Vollmer e Gego (Gertrude Goldschmidt)2 si servirono di forme matematiche come fonti per il proprio lavoro artistico. Le forme matematiche continuano a ispirare produzioni artistiche contemporanee, come la serie fotografica Forme concettuali di Hiroshi Sugimoto3. La relazione di lunga data tra i modelli matematici del XIX secolo e le belle arti è ampiamente documentata. In particolare, noi ci siamo ispirati alle ricerche di Angela Vierling Classen4.

L’origine delle forme scelte Le forme tridimensionali che abbiamo selezionato sono discendenti contemporanei della tradizione ottocentesca dei modelli matematici. Le forme del nostro progetto, attrattori caotici, possono essere generate soltanto facendo ricorso ad approssimazioni numeriche iterative. In questo senso, si tratta di un prodotto tipico dell’era informatica. Anche se molti attrattori caotici sono tridimensionali nella struttura, non sono stati ancora trasformati in oggetti tridimensionali tangibili. Eppure le strutture topologiche degli attrattori strani sono più facili da comprendere quando assumono la forma di oggetti reali: un buon esempio è costituito dalla famosa striscia di Moebius.

Brevi cenni storici sulle dinamiche non lineari e sugli attrattori strani Alla fine del XIX secolo il matematico francese Henri Poincaré condusse degli studi fondativi sulle equazioni differenziali che suggerivano l’esistenza di soluzioni non periodiche. Ma gli attrattori caotici o strani divennero popolari solo negli anni Sessanta: l’attrattore caotico più noto, l’attrattore di Lorenz, fu scoperto per caso nel 1963, quando il meteorologo Edward Lorenz approssimò numericamen-

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http://www.neuegalerie.at/04/gego/gego.html http://www.sugimotohiroshi.com/conceptualforms.html Fonti web sulle ricerche di Angela Vierling Classens sui modelli matematici si trovano ai seguenti indirizzi: http://www.math.harvard.edu/history/models/index.html http://math.bu.edu/people/angelav/projects/models/art_research.html Per un vasto elenco di riferimenti: http://math.bu.edu/people/angelav/projects/models/ references.html#read

_zur form

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Fig. 1. Gli attrattori di Rössler e di Lorenz e i modelli L e H di Sprott

te la soluzione per un’equazione non lineare che descriveva determinati fenomeni atmosferici [3]. Molte persone conoscono l’attrattore di Lorenz, spesso associato al concetto di “effetto farfalla”, come il primo di questo genere. Ma di fatto è stato lo scienziato giapponese Yoshisuke Ueda il primo a imbattersi nel comportamento non periodico (anche in questo caso fortuitamente) durante i suoi esperimenti sul computer analogico nel 1961 [4]. L’attrattore da lui scoperto ricordava un uovo infranto, e più tardi fu chiamato “attrattore giapponese” dal matematico francese Davide Ruelle. Negli anni Settanta, Otto Rössler creò di proposito delle equazioni non lineari caratterizzate da comportamenti caotici. Il suo primo, e ampiamente studiato, risultato porta il suo nome: l’attrattore di Rössler [5]. In seguito, molte equazioni diverse furono scoperte in tutto il mondo. Negli anni Novanta, per esempio, J.C. Sprott [6] sviluppò un programma in grado di ricercare sistematicamente uno spazio parametro allo scopo di trovare tutti i prototipi semplici possibili di attrattori caotici in tre dimensioni.

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Il ruolo della visualizzazione nella comunicazione dei risultati delle ricerche Poiché la ricerca nel campo dei sistemi non lineari con soluzioni caotiche fa spesso ricorso ad approssimazioni numeriche, la visualizzazione dei risultati è di particolare importanza. L’immagine, di fatto, è essenziale per comunicare i risultati in maniera efficace. Ecco perché disegni a mano libera erano spesso acclusi alla dimostrazione delle proprietà topologiche nelle prime pubblicazioni sugli attrattori caotici [7]. Un’altra tecnica comune era la produzione di grafici stereoscopici. A partire dagli anni ottanta, nel campo della dinamica non lineare in particolare, i computer e la computer grafica sono strumenti essenziali per scoprire, accertare e comunicare i risultati nel campo degli attrattori strani. Ma le immagini computerizzate rimangono una specie di compromesso, in particolare per i sistemi dinamici non lineari tridimensionali, dal momento che la soluzione consiste necessariamente in una traiettoria tridimensionale rappresentata su uno schermo bidimensionale. Il nostro progetto _zur form ha lo scopo di riportare queste nuove immagini virtuali alla realtà 3D, e a tal fine le colloca all’interno dell’ormai affermata tradizione degli oggetti matematici tridimensionali. Durante il suo lavoro presso il ZKM5, all’interno del gruppo di ricerca di base6, Florian Grond ha realizzato delle indagini per il calcolo degli esponenti di Lyapunov, che sono una misura dell’imprevedibilità degli attrattori strani. Nel corso delle sue ricerche, la visualizzazione della prestazione dell’algoritmo costituiva uno strumento importante che ha portato a interessanti valutazioni relative a dei comportamenti inaspettati del software destinato a calcolare tali approssimazioni numeriche. Queste valutazioni, e i successivi miglioramenti [8-10] apportati all’algoritmo, che accentuarono le curiose proprietà topologiche degli attrattori caotici, costituiscono la base per la struttura a nastro delle forme 3D del progetto _zur form. L’apertura nei confronti delle arti dell’ambiente interdisciplinare del gruppo di ricerca di base, assieme all’idea di una “scienza performativa” [11], ha offerto il terreno fertile per la concezione del nostro progetto _zur form.

Il progetto _zur form, forme, foto, installazione _zur form è un’installazione collaborativa a realtà mista, la quale prevede che le formule matematiche siano trasformate in forme 3D e vengano presentate come

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ZKM Zentrum für Kunst und Medientechnologie (Centro per l’Arte e i Media) Karlsruhe Germania: www.zkm.de Il gruppo di ricerca di base è stato attivo dal 1999 al 2005 e fu fondato da Dr. Hans H. Diebner.

_zur form

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Fig. 2. Stampi negativi corrispondenti alla Fig. 1

sculture assieme a un’installazione a realtà mista tangibile (mixed reality installation – MRI). Il progetto comprende anche fotografie delle forme di supporto, gli stampi negativi che emergono dal processo di produzione delle forme. Queste tre diverse tecniche consentono di rappresentare i diversi aspetti delle basi matematiche, storiche e artistiche delle forme. Per le forme, abbiamo deciso di produrre gli attrattori di Lorenz e di Rössler e i tre esempi dei prototipi di Sprott, tutti in forme 3D. Gli attrattori caotici sono solitamente rappresentati come singola traiettoria sotto forma di linea sottile. Nei nostri modelli, rappresentiamo questa linea come un nastro che indica le direzioni fondamentali della stabilità. I nastri formano dei circoli o si avvolgono come la striscia di Moebius e consentono un’interpretazione visuale delle loro curiose strutture topologiche. Le foto delle figure 1 e 2 mostrano rispettivamente le forme e gli stampi negativi. Complementare alle forme è la MRI tangibile, che è connessa alla proiezione di un’interpretazione dinamica degli attrattori strani. La MRI consente una manipolazione tattile, e soprattutto intuitiva, di tali oggetti matematici nello spazio virtuale. La possibilità di fare un’esperienza hands on con l’installazione MRI incoraggia un’ampia varietà di persone a misurarsi con la realtà virtuale e a scoprire la relazione tra formula e forma. L’installazione a realtà mista mette in relazione l’aspetto scultoreo/aptico delle forme 3D con il campo dinamico della realtà virtuale. Dal

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momento che gli attrattori strani sono essi stessi prodotti di simulazioni al computer, l’interfaccia mostra le origini dinamiche delle forme, rendendole allo stesso tempo efficacemente accessibili sotto forma di oggetti virtuali tangibili. La terza componente nel nostro progetto è l’opera fotografica di Gabriele Engelhardt, che si concentra su vari elementi scultorei. Con le sue fotografie degli stampi negativi delle forme, Engelhardt estende la tradizione dell’utilizzo di funzioni matematiche sotto forma di oggetti modello alla storia della fotografia. Le fotografie incluse in _zur form attingono dalla tradizione delle funzioni matematiche come oggetti modello per la fotografia. Fanno riferimento alle tracce evidenti nelle belle arti lasciate dalle forme matematiche del XIX secolo. La traccia, l’indicalità e la questione dell’obiettività sono questioni centrali nella pratica fotografica e vengono interpellate in modalità particolarmente interessanti quando il modello fotografico è di origine matematica. Da qui la nostra motivazione a includere anche fotografie delle forme negative degli stampi degli attrattori caotici, che sono prodotti secondari del processo di produzione rapida di prototipi.

Conclusioni In tedesco, la parola begreifen (comprendere) indica letteralmente l’afferrare un’idea, come si farebbe con una mano. Inoltre, la trasformazione di formule in forme enfatizza il significato originale della parola “informazione”, che è “dare forma”. In tal modo, producendo oggetti tangibili a partire da concetti matematici astratti, le sculture e le loro rappresentazioni sottolineano sia gli aspetti materiali che fisiologici che riguardano la costruzione e l’accessibilità della conoscenza. Rendendo le forme degli attrattori caotici accessibili sotto forma di oggetti reali e manipolabili, auspichiamo che le loro forme topologicamente interessanti ed esteticamente intriganti siano in futuro più facilmente usufruibili e apprezzate dal grande pubblico.

Ringraziamenti Questo progetto è stato patrocinato dal Ministero Federale Austriaco dell’Istruzione, Arti e Cultura, dal Dipartimento della Cultura della città di Graz, e dal Dipartimento della Stiria delle Arti e Cultura. La società Kommerz ha contribuito largamente all’MRI (mixed reality interface), ha progettato l’allestimento della mostra e ha programmato l’applicazione 3D interattiva. La società Braincell ha contribuito alle parti di programmazione della visualizzazione 3D. La società Bibus and Z Corporation ha sponsorizzato le prime stampe 3D.

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Bibliografia [1]. E.N. Lorenz (1963) Deterministic Nonperiodic Flow Journal of the Atmospheric Sciences, Vol. 20, No. 2, pp. 130-141 [2] R. Abraham and Y. Ueda (eds.) (2000): The Chaos Avant-Garde - Memories of the Early Days of Chaos Theory World Scientific [3] O.E. Rössler (1976) An Equation for Continuous Chaos Physics Letters Vol. 57A no 5, pp. 397-398 [4] J.C. Sprott (1994) Some simple chaotic flows Physical Review E Vol. 50 no 2, R647-R650 [5] O.E. Roessler (1976) Chaotic Behaviour in Simple Reaction Systems. Z.Naturforsch. 31. a pp. 259-264 [6] F. Grond, H.H. Diebner, S. Sahle, A. Mathias, S. Fischer S. and O.E. Rössler (2003) A robust, locally interpretable algorithm for Lyapunov exponents Chaos, Solitons & Fractals 16, pp. 841-852 [7] F. Grond and H.H. Diebner (2005) Local Lyapunov Exponents for Dissipative Continuous Systems Chaos, Solitons & Fractals, 23, Issue 5, pp. 1809-1817 [8] W.G. Hoover, C.G. Hoover, F. Grond (2008) Phase-space growth rates, local Lyapunov spectra, and symmetry breaking for time-reversible dissipative oscillators Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation pp. 1180–1193 [9] H.H. Diebner (2006) Performative Science and Beyond, Involving the Process in Research, Springer Verlag

M.C. Escher e il piano iperbolico di Gian Marco Todesco

L’incisore olandese Maurits Cornelis Escher, molto noto per le tassellazioni con motivi figurativi, per le sue costruzioni impossibili e per le sue esplorazioni dell’infinito, scrive così al figlio, riferendosi alla litografia Circle Limit III, completata nel 1958: Ho lavorato molto duramente per finire finalmente quella litografia, e poi, a denti stretti, ho speso altri quattro giorni per fare delle belle stampe a colori di quel limite del cerchio così complesso. [...] E tutto questo con la peculiare sensazione che questo lavoro sia una pietra miliare nella mia evoluzione e che nessuno, tranne me, se ne renderà mai conto.

È interessante esplorare la struttura matematica su cui la litografia si basa e cercare di capire perché Escher considerasse quest’opera così significativa per la sua ricerca.

Fig. 1. Immagine ispirata a Circle Limit III

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Prima di realizzare la serie di quattro incisioni Circle Limit I, II, III e IV, Escher è già in grado di costruire mosaici in cui le figure si rimpiccioliscono sempre di più attorno a un punto o attorno a una retta. Ma la scoperta di un sistema che permetta di concentrare l’infinito lungo un orizzonte circolare è dovuta alla fruttuosa interazione fra Escher e un suo caro amico, il grande matematico canadese Harold Scott Mac Donald Coxeter.

Coxeter e Escher Coxeter ed Escher si conoscono durante il Congresso Internazionale dei Matematici che si svolge ad Amsterdam nel 1954 e in occasione del quale viene organizzata una mostra delle opere di Escher. Dopo qualche tempo Coxeter chiede e ottiene da Escher il permesso di utilizzare alcune immagini in una pubblicazione matematica. Quando Escher riceve in regalo il libretto, la sua attenzione viene catturata da alcune illustrazioni presenti nel testo. In particolare uno schema di triangoli curvilinei inscritti in un cerchio gli dà una “forte scossa”, come scrive a Coxeter. Escher non è in grado di seguire la teoria presentata nell’articolo, ma l’immagine gli fornisce una traccia da seguire per creare, con riga e compasso, lo schema su cui si basa l’incisione Circle Limit I, risolvendo un problema che lo stava tenendo in scacco. In una lettera al figlio, scrive: […] Inserisci uno o quattro quadrati di qualunque dimensione in un cerchio (per esempio, separati da due linee perpendicolari che si incrociano in corrispondenza del centro) e cerca di renderli progressivamente più piccoli man

Fig. 2. Lo schema di triangoli in Crystal Symmetry and its Generalizations, di Coxeter

Fig. 3. Immagine ispirata a Circle Limit I; in evidenza lo schema geometrico utilizzato

M.C. Escher e il piano iperbolico

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mano che ti sposti verso l’esterno, come una specie di scacchiera. Il procedimento non funziona se si usano solo assi quadrupli; devi alternarli con assi sestupli in un modo molto particolare, che risulta normalmente impossibile su una superficie piana. I bordi sono solo in parte linee rette (solo tre linee che attraversano il centro) e il resto sono tutti cerchi. Senza il modello di Coxeter non ci avrei mai pensato.

Nell’incisione, lo schema di Coxeter viene leggermente modificato: i triangoli sono raggruppati in rombi e ogni rombo è ingegnosamente deformato in modo da fargli prendere l’aspetto di un pesce stilizzato. Escher stesso critica questo suo primo tentativo per la presenza di diversi difetti: non ci sono flussi continui di pesci che nuotano nella stessa direzione, i pesci disposti lungo la stessa linea sono colorati in maniera differente e la forma dei pesci è angolosa e non graziosamente curva come nei pesci reali. In seguito, con l’incisione Circle Limit III, tutti questi problemi vengono elegantemente superati. Coxeter rimane profondamente ammirato e colpito da questo lavoro. Dopo la morte di Escher, nel 1972, scrive ben due articoli, pubblicati sulla rivista Mathematical Intelligencer, per spiegare lo schema geometrico utilizzato dal suo amico. In particolare, il matematico analizza le linee bianche che evidenziano i flussi di pesci. Tutte queste linee formano con il cerchio esterno un angolo di circa 80°, il cui valore esatto può essere calcolato utilizzando delle tecniche molto probabilmente sconosciute a Escher. Nonostante ciò, le misure che Coxeter effettua sull’incisione rivelano una precisione estrema; ulteriore conferma della grande intuizione geometrica posseduta dall’artista.

Il piano iperbolico L’illustrazione, sul libro di Coxeter, che colpisce la fantasia di Escher è molto interessante dal punto di vista geometrico. Affianchiamola a un’immagine simile: una tassellazione regolare di esagoni bianchi e neri riflessa su una sfera (Fig. 4). Anche in questo caso tutto il piano risulta racchiuso in un cerchio e le figure più lontane appaiono più piccole. Ma l’immagine rimane dominata dalle sei direzioni principali, che formano delle evidenti linee di fuga fino al bordo. Al contrario nello schema di Coxeter le direzioni possibili ramificano in modo esponenziale e l’infinità delle figure disposte lungo la circonferenza sembra molto più numerosa e ricca. L’illustrazione raffigura un’entità geometrica chiamata piano iperbolico, secondo un modello inventato da Henri Poincaré. In questo modello consideriamo i punti interni a un cerchio e chiamiamo “rette” sia i diametri del cerchio che tutti gli archi che lo incontrano formando angoli retti. Il cerchio stesso non fa parte dello schema, ma rappresenta un limite intangi-

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Fig. 4. Una tassellazione piana in triangoli bianchi e neri, riflessa in uno specchio sferico

Matematica e cultura 2010

Fig. 5. Punti e rette nel disco di Poincaré

bile. Le “rette” sono illimitate perché i loro estremi giacciono sul cerchio e sono quindi irraggiungibili: è sempre possibile, dato un punto su una retta, trovare un altro punto, sulla stessa retta, un po’ più vicino al limite. Il fatto che queste “rette” appaiano curve non rappresenta un problema, visto che la definizione di “curvo” prevede il raffronto con qualcosa (per es. un righello) che venga arbitrariamente definito “dritto”. Nel modello di Poincaré anche i righelli si curvano e i raggi di luce si possono propagare lungo gli archi. Questo sistema di “rette” e di punti rispetta i primi quattro postulati di Euclide. Quindi sono veri, in questo sistema, almeno tutti i teoremi della geometria piana che si possono derivare da questi postulati. Si tratta della cosiddetta geometria neutrale, che comprende le prime 28 proposizioni degli Elementi di Euclide. Ci si rende conto che il modello distorce le distanze e rispetta gli angoli: una figura spostata verso il bordo del cerchio appare più piccola, mentre i suoi angoli rimangono sempre uguali (Fig. 6). La deformazione che le figure subiscono quando si avvicinano al bordo (molto evidente nell’incisione di Escher) è dovuta alla rappresentazione e va considerata una specie di distorsione prospettica: nel “vero” piano iperbolico tutti i pesci sono esattamente uguali. Il quinto postulato di Euclide, invece, non vale nel modello che stiamo considerando: per un punto esterno a una retta passano infinite rette che non incontrano la retta data e non una soltanto (Fig. 7). Per questo, la geometria del disco di Poincaré non è euclidea. Dal XIX secolo i matematici esplorano le geometrie non euclidee, ovvero quelle costruite negando o non accettando alcuni postulati euclidei. Sono sistemi coerenti, cioè non contradditori, anche se possono presentare aspetti controintuitivi e paradossali. Il quinto postulato può essere rifiutato in due modi: afferman-

M.C. Escher e il piano iperbolico

Fig. 6. Triangoli congruenti nel disco di Poincaré

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Fig. 7. Nel disco di Poincaré non vale il quinto postulato di Euclide: per un punto esterno a una retta, passano infinite rette che non incontrano la retta data

do che non esistano rette parallele oppure, come nel nostro caso, che ce ne sia sempre più d’una. Queste due scelte permettono di costruire due geometrie diverse: l’ellittica (o sferica) e l’iperbolica. I due termini alludono proprio alla mancanza (ellissi) e alla sovrabbondanza (iperbole) di rette parallele passanti per un punto esterno alla retta data. La geometria iperbolica viene studiata nel 1832 e nel 1829, indipendentemente dai matematici Bolyai e Lobačevskij. Nel 1871 si dimostra che la geometria iperbolica è consistente almeno quanto quella euclidea. Nelle geometrie non euclidee, per esempio in quella iperbolica, succede una cosa inaspettata e interessante quando si prova a ingrandire una figura. Il concetto di ingrandimento sembra molto naturale e intuitivo e si basa sull’assunto che esistano figure simili, cioè dotate della stessa forma, ma di dimensioni diverse. In realtà questo concetto è specifico della geometria euclidea; anzi si può dimostrare che l’affermazione dell’esistenza di figure simili è perfettamente equivalente al quinto postulato: se è vera l’una è vero anche l’altro e viceversa. Quindi nella geometria iperbolica non esistono figure simili e se costruiamo due triangoli equilateri di dimensione diversa, gli angoli del triangolo più grande saranno più piccoli. Nel piano euclideo gli angoli dei triangoli equilateri sono sempre di 60º, mentre nel piano iperbolico sono sempre inferiori, e sono tanto più piccoli quanto più il triangolo è grande (Fig. 8). Questo fenomeno ha profonde ripercussione sul tipo di mosaici che è possibile realizzare, argomento molto caro a Escher. Sappiamo che, se vogliamo tassellare un pavimento con poligoni regolari uguali possiamo utilizzare solo triangoli, quadrati ed esagoni (Fig. 9).

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Fig. 8. Triangoli più grandi hanno angoli più piccoli

Matematica e cultura 2010

Fig. 9. Le tre tassellazioni regolari del piano

Questa limitazione deriva dal dover scegliere un poligono i cui angoli siano un sottomultiplo esatto dell’angolo giro. È impossibile pavimentare un piano con piastrelle ottagonali perché l’angolo dell’ottagono è 135° e quindi non è possibile disporre tre ottagoni attorno a un vertice. Nel piano iperbolico la situazione è completamente diversa. L’angolo dell’ottagono deve sempre essere minore di 135°, ma può assumere qualsiasi valore fino a 0°. Si può scegliere la dimensione giusta per ottenere un angolo di 120°, in modo da potere disporre esattamente tre ottagoni attorno a un vertice (Fig. 10). In questo modo si può ricoprire il piano iperbolico con infiniti ottagoni regolari identici. E non è necessario limitarsi all’ottagono: il piano iperbolico è infinitamente più ricco di tassellazioni rispetto al piano euclideo. Utilizzando poligoni regolari tutti uguali formati da m lati che si incontrano a n a n attorno a ogni ver-

Fig. 10. Tre ottagoni attorno a un vertice nel disco di Poincaré

M.C. Escher e il piano iperbolico

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Fig. 11. Alcune tassellazioni regolari del piano iperbolico

Fig. 12. Decorazioni basate su tassellazioni del piano iperbolico

tice è possibile scegliere la dimensione adatta e formare un mosaico in tutti i casi in cui (m-2)(n-2) > 4. L’incisione Circle Limit III utilizza proprio lo schema degli ottagoni regolari disposti a tre a tre attorno a ogni vertice. Escher ha diviso ogni ottagono in quattro parti e ha deformato i lati, ottenendo quattro pesci con le pinne congiunte al centro dell’ottagono. Ai vertici del poligono ci sono alternativamente la pinna esterna dei pesci e l’incontro di testa e coda di due pesci consecutivi. Gli ottagoni si incastrano perfettamente completando lo schema (Fig. 13). I colori dei pesci sono scelti accuratamente in modo tale che pesci dello stesso colore si tocchino al massimo in un solo punto. Sono necessari quattro colori per ottenere questo risultato, e riuscire ad assegnarli in maniera corretta non è un esercizio facile. Gli ottagoni devono essere colorati in sei modi diversi, cioè vengono sfruttate tutte le combinazioni possibili di due colori (Fig. 14). Guardando il disegno completo, i bordi degli ottagoni sono dissimulati dall’incastro delle pinne e l’intero schema ottagonale non è per nulla evidente.

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Fig. 13. Circle Limit III è basato su una tassellazione di ottagoni, tre a tre attorno a ogni vertice

Matematica e cultura 2010

Fig. 14. Ottagoni colorati con tutte e sei le combinazioni possibili

La linea bianca che divide i pesci in due, e che aveva ispirato i due articoli di Coxeter, non è una retta del piano iperbolico. Si tratta invece di un arco di cerchio che si mantiene sempre alla stessa distanza da una retta che ha gli stessi estremi sul cerchio limite (Fig. 15). Il programma che abbiamo utilizzato durante l’intervento al convegno Matematica e Cultura 2009 permette di animare l’incisione, traslando e ruotando il piano iperbolico con continuità. Sottoposti a questa trasformazione, i pesci emergono dal limite circolare, per loro infinitamente lontano, si ingrandiscono sempre di più avvicinandosi al centro della scena per poi rimpicciolire di nuovo e scomparire assorbiti dal bordo (Fig. 16).

Fig. 15. Una retta del piano iperbolico (in grigio)si trova sempre alla stessa distanza dell’arco di cerchio che passa per il dorso dei pesci (linea tratteggiata)

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Fig. 16. Traslazione del piano iperbolico

In superficie Poincaré scrive che “una geometria non può essere più vera di un’altra; essa può essere solo più conveniente”. Per esempio la geometria ellittica, quella in cui non esistono rette parallele e possono esistere triangoli equilateri con gli angoli di 90°, è la geometria migliore se vogliamo considerare estese aree geografiche sulla superficie quasi sferica della terra. È naturale chiedersi se possa esistere una superficie su cui valgano le regole della geometria iperbolica, così come sulla sfera valgono quelle della geometria ellittica. Una tale superficie permetterebbe di studiare il piano iperbolico senza le distorsioni del disco di Poincaré. Inoltre sarebbe possibile dimostrare formalmente la consistenza della geometria iperbolica sulla base della consistenza della geometria euclidea. Il geometra Beltrami realizzò questa dimostrazione nel 1868, utilizzando una superficie a forma di tromba, da lui chiamata pseudosfera (Fig. 17).

Fig. 17. La pseudosfera di Eugenio Beltrami

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Fig. 18. La pseudosfera copre solo una parte del piano iperbolico

Sulla pseudosfera valgono le regole della geometria iperbolica, e la distanza fra due punti è definita in modo naturale come la lunghezza del più breve percorso sulla superficie che li unisce. Traslare e ruotare una figura non ne modifica la forma e le dimensioni apparenti. Sfortunatamente la pseudosfera permette di rappresentare solo una piccola parte del piano iperbolico (Fig. 18). È possibile estendere l’area rappresentata “arrotolando” più volte la superficie attorno alla tromba (Fig. 19). È invece più problematico estendere la rappresentazione lungo l’altra direzione: oltre il bordo circolare della tromba la superficie deve formare, per rispettare la metrica iperbolica, un sistema di pieghe e grinze piuttosto complicato da descrivere analiticamente (Fig. 20). In effetti si dimostra che ci sono delle difficoltà sostanziali a darne una descrizione matematica. La mancanza di un modello semplice come la sfera che rappresenti in maniera intuitiva il piano iperbolico rende questa geometria un po’ più esotica, almeno

Fig. 19. La superficie di Dini permette di prolungare “lateralmente” la rappresentazione del piano iperbolico

Fig. 20. Un modello che estenda la pseudosfera oltre il bordo deve formare un sistema complicato di pieghe

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per i non matematici. È solo da una cinquantina d’anni che cominciano a diffondersi dei modelli approssimati, ma concreti e tangibili. Una tecnica che permette di costruire la pseudosfera e di estenderla indefinitamente in tutte le direzioni è stata descritta nel 1970 da William Thurston. Si tratta di ritagliare tanti anelli di carta (delle corone circolari) e di incollarli fra loro, facendo combaciare il bordo esterno di un anello con il bordo interno dell’anello successivo. Nelle prime fasi il modello è simile alla pseudosfera, ma oltre l’orlo della tromba comincia a formare delle eleganti pieghe, molto gradevoli alla vista. Purtroppo è laborioso da realizzare, fragile e non molto maneggevole. Nel 1997 Daina Taimina intuisce come realizzare un modello di qualità superiore e con meno impegno lavorando all’uncinetto. Il nuovo schema segue una logica molto simile a quella degli anelli di carta. Per forzare la corretta curvatura basta incrementare a ogni riga il numero di punti seguendo una legge esponenziale. Sono molto grato a mia sorella Micol Todesco, che ha sottratto qualche ora di tempo al suo lavoro di geologa per lavorare all’uncinetto il bel modello azzurro raffigurato qui sotto (Fig. 21). Una tecnica differente sfrutta i diversi tipi di tassellazioni per realizzare modelli in carta o stoffa del piano iperbolico, del piano euclideo o della sfera. Tanti esagoni uguali possono essere uniti fra loro con del nastro adesivo, a tre a tre attorno a ogni vertice. Si disporranno come le cellette del favo di un alveare, dando origine a un foglio piano, magari arrotolato in forma cilindrica. Se al posto degli esagoni utilizzo dei pentagoni, il foglio si chiuderà su se stesso formando una specie di piccola palla spigolosa costituita esattamente da 12 facce pentagonali: si tratta di un dodecaedro, il solido che il creatore di tutte le cose ha utilizzato – secondo Platone – per decorare l’universo (Fig. 22). Sulla superficie della palla non si possono tracciare rette parallele: la geometria è sferica. Se passo agli eptagoni, la superficie non si chiude, ma si piega in modo complicato formando un sistema di balze e ondulazioni. Sulla superficie risultante posso

Fig. 21. Un modello del piano iperbolico realizzato all’uncinetto

Fig. 22. Dodecaedro

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Fig. 23. L’icosaedro tronco, formato da 12 pentagoni e 20 esagoni.

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Fig. 24. Palla da calcio iperbolica

tracciare punti e rette e rendermi conto rapidamente che la geometria della superficie è iperbolica. Per diminuire la curvatura della superficie (e creare un modello più maneggevole), sia nel caso ellittico, sia nel caso iperbolico, possiamo “diluire” i pentagoni (o gli ettagoni) aggiungendo degli esagoni. Per esempio possiamo costruire una sfera un po’ più grande e meno spigolosa del dodecaedro unendo insieme 20 esagoni e 12 pentagoni. Questo è un poliedro molto noto, anche ai non matematici, come si evince dall’immagine qui sopra (Fig. 23). Analogamente è possibile costruire un modello meno aggrovigliato del piano iperbolico aggiungendo degli esagoni agli eptagoni. Il risultato viene spesso chiamato palla da calcio iperbolica, anche se – ovviamente – non è chiuso, non assomiglia per niente a una palla e non può essere utilizzato per quel tipo di gioco (Fig. 24).

Cristalli iperbolici La geometria valida su una determinata superficie, e il tipo di tassellazioni che si possono realizzare su di essa, dipendono in modo cruciale dalla sua topologia, cioè dal modo in cui la superficie è connessa, dalla presenza di buchi o “manici”. Se la superficie assomiglia a una sfera, la geometria sarà ellittica; su una ciambella si utilizza la geometria euclidea: per esempio si possono tracciare sulla ciambella una serie di meridiani e di paralleli che si incontrano formando angoli retti. Qualunque altro tipo di superficie (per esempio una tazza con due manici) richiede la geometria iperbolica. In altre parole, se voglio dividere in ritagli quadrangolari una superficie con più di un manico, non posso usare lo schema euclideo che prevede di unire i ritagli a 4 a 4 attorno a ogni vertice. Sono inevitabili dei vertici in cui si incontra-

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Fig. 25. Ottaedro troncato, formato da 8 esagoni e 6 quadrati

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Fig. 26. Ottaedri troncati uniti insieme

no 5 o più tasselli. Questo fatto ha profonde ripercussioni nel campo della computer grafica (dove si costruisce la superficie di un modello collegando fra loro dei “patch” rettangolari) e anche nel campo della sartoria (dove si “costruiscono” vestiti di forme complesse unendo diversi tagli di stoffa). Non è obbligatorio limitarsi a ritagli rettangolari, ma è necessario scegliere comunque una delle infinite tassellazioni del piano iperbolico. Una “variazione sul tema” dell’ultima incisione della serie che stiamo considerando – Circle Limit IV – fornisce un notevole esempio di questa regola. Prendiamo un ottaedro, cioè un poliedro regolare formato da otto triangoli equilateri uniti insieme. Tagliamo le 6 punte, ottenendo un poliedro più complicato formato da 6 quadrati (le punte tagliate) e 8 esagoni (quello che resta delle facce triangolari) (Fig. 25). Incolliamo tante repliche di questa figura, facendo aderire fra loro le facce quadrate. Continuando il processo all’infinito rimangono

Fig. 27. La P-superficie di Schwarz può essere ottenuta “smussando” la Fig. 26

Fig. 28. Figura e sfondo sono uguali

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Fig. 29. La superficie si può tassellare con esagoni regolari, disposti quattro a quattro attorno a ogni vertice

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Fig. 30. Circle Limit IV riprodotto sulla superficie: tutti gli angeli e i diavoli hanno dimensioni identiche

in vista solo le facce esagonali (Fig. 26). Possiamo smussare gli spigoli in modo da ottenere un’unica superficie liscia e senza pieghe. Questa superficie delimita un solido molto complicato, infinitamente esteso, pieno di buchi e collegamenti, come una spugna (Fig. 27). Alcune famiglie di minerali chiamati zeoliti (dal greco “pietra che bolle”), per esempio la sodalite, hanno un reticolo cristallino strutturato in questo modo: regolare, micro poroso e pieno di vuoti che possono per esempio intrappolare l’acqua al loro interno. Forse il solido di cui stiamo parlando sarebbe piaciuto a Escher. Certamente ha qualcosa in comune con i suoi lavori in cui sfondo e figura hanno la stessa forma. Non è immediato rendersene conto, ma lo spazio che si insinua nella spugna ha la stessa identica forma della spugna stessa (Fig. 28). Anche la superficie del solido è molto interessante. Se considero le facce da cui sono partito mi rendo conto che l’intera superficie è una tassellazione regolare in esagoni, disposti 4 a 4 attorno a ogni vertice. Si tratta di una delle tassellazioni del piano iperbolico (Fig. 29). Più precisamente è proprio la tassellazione utilizzata da Escher per creare Circle Limit IV, un’incisione in cui lo spazio fra angeli bianchi è riempito da diavoli neri (o viceversa). Anche in questo caso, come in Circle Limit III, gli esagoni si vedono solo se si sa già che ci sono. Però lo schema delle 6 figure, 3 bianche e 3 nere attorno al centro dell’incisione è molto evidente. Ed è anche immediato notare i vertici in cui 4 ali nere e 4 ali bianche si toccano. Il programma che abbiamo utilizzato per questo articolo è in grado di ritagliare gli esagoni dall’incisione e farli fluttuare fino a ricomporre l’intricata superficie. Sulla superficie non c’è più l’effetto distorcente del disco di Poincaré e tutti i diavoli e gli angeli appaiono di eguali dimensioni (Fig. 30).

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Bibliografia* [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

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* I link presenti nella bibliografia sono stati consultati il 14 gennaio 2010.

Matematica e cinema: novità di Michele Emmer

Sembra chiaro che in Italia, nel Quindicesimo secolo, i problemi di base del caso nei giochi erano stati posti e qualche piccolo progresso nel risolverli era stato compiuto. Un più attento esame dei libri di Matematica del periodo potrebbe rivelare ulteriori prove sulla questione. Si può avere il sospetto che alcuni dei più semplici problemi circolassero come una sorta di puzzle proprio come al giorno d’oggi, senza divenire di qualche riconosciuta importanza scientifica. Galileo nel suo frammento Sulla scoperta dei dadi, scritto prima del 1640 (data della sua morte), dà una soluzione completa di un problema di probabilità con l’annotazione corretta di tutte le possibilità e scrive come se fosse nuovo, non richiamando nessun precedente autore. Tuttavia, se il trattato di Cardano può essere correttamente assegnato al 1526, le idee dovevano essere correnti già per un secolo prima che Galileo scrivesse. Ne deriverebbe che un calcolo delle probabilità non solo si sviluppò tardivamente ma che, una volta iniziato, progredì in modo estremamente lento.

Così scrive Maurice G. Kendall nell’articolo Le origini del calcolo delle probabilità [1]. Che la nascita del calcolo delle probabilità sia legata al gioco d’azzardo sembra un fatto abbastanza chiaro. Il gioco dei dadi, delle carte, le scommesse. Un grande sogno, vincere. E dato che il calcolo delle probabilità nasce e si sviluppa come un settore importante della matematica, gli appassionati del gioco, o semplicemente quelli che vogliono vincere si rivolgono ai matematici per realizzare il sogno di una grande vincita. Per trovare insomma il metodo per sbancare un Casinò. Molti film hanno trattato il tema di vincere al gioco d’azzardo. Uno è uscito nel 2008 quasi in contemporanea negli USA e in Italia. Un film basato sulla storia vera di un gruppo di studenti molto brillanti del MIT di Boston che cercano di sbancare i Casinò di Las Vegas. In particolare il loro obiettivo sono i tavoli del Black Jack. Il libro da cui è tratto il film è di Ben Mezrich [2]. Si chiama Black Jack la combinazione di sole due carte che realizza 21 punti. Se un giocatore realizza

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Black Jack il banco paga la puntata una volta e mezza. Se anche il banco fa Black Jack la puntata resta congelata. Il nome deriva dal fatto che il punto più alto veniva raggiunto con in mano un asso di picche e un fante nero. Tale regola è stata abolita. Fu così che il gioco, tornato in Europa, non riprese più il nome di Ventuno, ma prese il più suggestivo nome di Black Jack. Il film si intitola appunto 21, diretto da Robert Luketic, è interpretato da Jim Sturges, brillante studente che vuole entrare alla scuola di medicina di Harvard e ha bisogno di soldi, da Kevin Spacey, docente di matematica al MIT, che inventa il piano, e da altri giovani attori che interpretano i ruoli del Club di matematici, tutti giovani studenti brillanti in matematica, che il docente coinvolge nell’impresa. Ha provocato delle polemiche il fatto che il gruppo vero di studenti era in gran parte composto di studenti di origine asiatica mentre nel film vi è un solo studente di origine asiatica e non è affatto il più brillante del gruppo. Dunque Mickey Rosa (Kevin Spacey) riunisce gli studenti e propone loro di imparare a contare le carte in modo da poter sapere quali saranno i punti rimasti nei mazzi e scommettere in modo sicuro per vincere grandi somme. Non si capisce che bisogno ci sia di essere brillanti in matematica per fare semplicemente addizioni e sottrazioni, basta avere memoria. Inoltre per rendere l’idea che lo studente geniale sta contando i valori delle carte il regista ha pensato a una trovata altrettanto geniale: l’attore deve fare la faccia concentrata, in modo che quelli della sorveglianza capiscono subito che sta contando le carte. Cosa peraltro non vietata anche perché ti voglio a dimostrarlo. O forse basta come prova la faccia di “uno che sta contando le carte”. Nel libro la cosa non era così semplice. Il ruolo dei matematici è tutto lì, tranne una breve lezione sul metodo di Newton e la soluzione del problema delle tre porte. Un giocatore ha davanti tre porte chiuse; al di là di una c’è un’automobile e dietro ciascuna delle altre due si nasconde una

Fig. 1. Locandina del film 21

Fig. 2. K. Spacey in 21

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capra. Al giocatore è permesso aprire una porta, e tenersi ciò che si trova di là da essa. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l’ha ancora aperta, il conduttore del gioco (che conosce ciò che si trova dietro ogni porta) deve aprire un’altra porta, rivelando una delle due capre. Il conduttore offre a quel punto al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all’unica porta restante. Passare all’altra porta migliora le chance del giocatore di vincere l’automobile? La risposta è sì; in particolare, le probabilità di vittoria passano da 1/3 a 2/3. Il vero problema del film è che non funziona affatto, è di gran lunga la noia e la ripetizione che tolgono qualsiasi soprassalto di tensione, altro che gioco d’azzardo. Spacey è un docente di matematica privo di ambizione, che spera solo di fare soldi, antipatico come deve esserlo un docente. Jim Sturgess è il classico studente brillante in matematica, che non se la cava con le donne, impacciato, solitario, che poi perde la testa quando sente il profumo dei soldi. Pronto poi il riscatto finale, i matematici in fondo sono degli idealisti. Molto più movimentato e abbastanza ben costruito un altro film, un thriller. Si può conoscere la verità? Domanda impegnativa che rimanda all’altra, altrettanto fondamentale domanda: che cosa è la realtà? E quali sono gli strumenti, non certo per conoscere la Verità Assoluta, ma per riuscire a comprendere almeno qualche frammento dell’avventura umana sulla terra? Un film non è certo fatto per rispondere a queste domande, che non avranno probabilmente mai una definitiva risposta (per la fortuna del genere umano). Queste domande si pone uno dei protagonisti del film Oxford Murders sottotitolo Teorema del delitto. Basato su un libro di un matematico argentino, Guillermo Martinez, pubblicato qualche anno fa anche in italiano con il titolo La serie di Oxford [3]. Si tratta di un logico matematico che in una delle scene iniziali del film sta tenendo una conferenza agli studenti nella grande aula dell’università. Inizia ovviamente parlando di Ludwig Wittgenstein e della sua opera fondamentale, il Tractatus Logico-Philosophicus pubblicata nel 1921, quando aveva 22 anni. Cita spesso frasi di Wittgenstein il matematico nel film, come “Tutto ciò che si può dire lo si può dire chiaramente. Su ciò di cui non si può parlare si deve tacere”. Un personaggio geniale il protagonista, logico matematico, del film, Arthur Seldom (interpretato da John Hurt), che, come deve essere un matematico, almeno in molti film, è anche molto antipatico, sfuggente, misterioso. Un matematico di tutt’altro spessore rispetto al fallito interpretato da Spacey in 21. A lui si rivolge un giovane studente del dottorato di matematica, Martin, interpretato da Alijah Wood (protagonista oltre che della saga di Il signore degli anelli del bellissimo Ogni cosa è illuminata) che arriva a Oxford dagli USA per specializzarsi in logica matematica. E iniziano gli omicidi. Da notare che nel libro il protagonista è un giovane matematico argentino, come l’autore del libro. Vi è una lunga tradizione nei libri gialli e al cinema di matematici che indagano su omicidi complicati [4]. Tornando al film naturalmente la chiave dei delitti, come nel libro su cui si

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Fig. 3. Locandina e una scena di Oxford Murders

basa, è nel ragionamento logico deduttivo che deve portarci alla verità, almeno quella poliziesca, anche se il logico matematico ne dubita. Si può conoscere la verità, appunto? Siamo di fronte, così sembra, a un serial killer, che utilizza simboli per annunciare le sue prossime mosse. Simboli legati da una logica, una sequenza di eventi che il matematico deve riuscire a prevedere, una sfida intellettuale, insomma al professore di logica, un invito a mettere in gioco la sua intelligenza. E quella del giovane studente che riuscirà poi a risolvere l’enigma. Ha scritto nelle note di regia Alex de la Iglesia La realtà ha un’essenza matematica? Esiste una logica occulta che ordina e spiega il nostro agire o, al contrario, la vita è retta solo dalla logica e dal caso? Il vero conflitto del thriller è questo: due atteggiamenti diversi nei confronti del mondo e della conoscenza. Il giovane protagonista ha fiducia nelle capacità offerte dal metodo logico, nella matematica come strumento perfetto di discernimento del falso dal vero. Seldom è vecchio e non ha più fiducia in niente. Ritiene che esista una dissociazione insanabile tra il pensiero puro e la materia. Non potremo mai conoscere con assoluta certezza chi è l’assassino, perché non avremo mai abbastanza prove della colpevolezza e nessuna di esse sarà inconfutabile.

Naturalmente il logico matematico Seldom citerà a più riprese il famoso teorema di incompletezza dimostrato da Gödel negli anni trenta, il fatto cioè che in un sistema di assiomi numerici si possono incontrare affermazioni di cui non si può affermare né che sono vere né che sono false. Teorema di incompletezza che oramai fa parte del linguaggio comune, teorema che molti citano ovviamente senza aver alcuna idea di come si dimostra una cosa del genere e in quali ambiti si applica. Tanto che si può pensare che i matematici siano molto preoccupati per questi

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risultati che sembrano mettere in dubbio le radici stesse della matematica. Nel film, per affermare davanti al cinismo del vecchio logico matematico il grande valore della matematica come fattore per farci comprendere la struttura del nostro mondo e la bellezza della natura, il giovane studente elenca una serie di oggetti naturali, dai fiori ai cristalli di neve alle foglie delle piante disposte secondo la serie di Fibonacci. Un altro classico del cinema oramai sono i numeri della serie di Fibonacci. L’argomento ha il vantaggio di essere del tutto banale dal punto di vista matematico, quindi facilmente comprensibile dagli spettatori; lo svantaggio ovviamente è che si tratta di questioni banali, anche se alcune questioni sono state di recente riprese. Nel film si parla anche della dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat (il cui nome è cambiato in Bormat chissà perché) e di Andrew Wiles che lo ha dimostrato oramai 10 anni fa. Anche il nome di Wiles è cambiato nel film, non si capisce proprio il motivo di questo cambiamento. Se nel musical andato in scena a Broadway Fermat’s Last Tango agli inizi del 2000 poteva essere compreso, si prendeva in giro Wiles in modo preciso, in questo film non si capisce proprio il motivo di questo cambiamento. Che colgono solo i matematici, peraltro. Ma tutto è apparenza, nulla è vero, nulla è falso. Lo avrà poi dimostrato Wiles il teorema di Fermat? Come mettevano in dubbio nel citato musical? Ma si tratta di un film, fiction appunto. La realtà, quella è un’altra cosa. Forse. Revolutionary road è un film di Sam Mendes, con Leonardo Di Caprio e Kate Winslet, nel film i coniugi Wheeler, un film non pienamente riuscito, ove un ruolo centrale ha il matematico pazzo che appare come l’unica persona sensata tra le famiglie piccolo borghesi in sfacelo, l’unico che dice le cose come stanno e quindi è considerato giustamente un matematico logico ma demente. E le stesse parole usa il matematico nel film come nel libro di Richard Yates (1926–1992) da cui è

Fig. 4. Copertina del libro Revolutionary Road e una scena del film

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tratto, libro molto più spietato del film. È interpretato da Micheal Shannon, il personaggio, il matematico, si chiama John Givings: “John… aveva fatto una splendida riuscita all’università, aveva uno strepitoso successo come professore di matematica in non so quale istituto della costa occidentale. Bene, adesso non insegna più, è laggiù a Greenacres, all’ospedale psichiatrico statale. Il manicomio”. “Tutto si poteva dire di John, ma non che non fosse un intellettuale.”

Personaggio straordinariamente brillante, acuto, osservatore. Che non ha freni nel dire quello che pensa, creando non pochi problemi, specie alla coppia piccolo borghese protagonista del romanzo e del film. Siamo negli USA degli anni Cinquanta. Nel primo incontro che John ha con i protagonisti (è stato portato in visita dal manicomio dai genitori, vicini di casa dei protagonisti), osserva: “Niente male, avete messo su una casetta proprio come si deve”. Aveva assunto una certa espressione furbetta che gli conferiva un’aria intelligente e spiritosa. “Ho sentito che lei è un matematico”. “Ha sentito male. Ho insegnato per qualche tempo. Lei sa che cos’è l’elettroshock? Vede, negli ultimi mesi ne ho subiti 35, anzi, 37. Lo scopo sarebbe quello di spazzare via dalla mente del paziente tutti i problemi emotivi, ma nel mio caso hanno ottenuto un altro effetto. Hanno spazzato via tutta la dannata matematica. L’argomento per me è ormai tabula rasa”.

Nel secondo incontro John coglie in poche battute il dramma della coppia la cui vita si sta sgretolando. I due protagonisti stanno progettando un viaggio, o meglio la moglie, per cercare di evadere dallo squallore della loro vita nei sobborghi della città, andare a Parigi, fuggire, ricominciare. Non hanno il coraggio, soprattutto lui, di affrontare la realtà, il loro totale fallimento. E John coglie esattamente la situazione. La sua ironia è molto più tagliente, non ha alcuna pietà di quei due falliti. Ha saputo del tentativo di andarsene a Parigi, del fatto che la moglie è stata messa incinta senza volere. E si rivolge al marito, che dei due è il più incapace di comprendere la sua mediocrità. “Cos’è successo? Ha avuto paura, o cosa? Ha deciso che dopotutto le piace stare qui? Ha pensato che dopotutto è molto più comodo star qui nel vecchio Vuoto Disperato, oppure… Ehi, ho fatto centro! Che c’è Frank Wheel? Fuochino!… Accidenti! Non sarei affatto sorpreso se l’avesse messa incinta apposta, per trascorrere tutto il resto della sua vita a nascondersi dietro quell’abito premaman.

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Grand’uomo si è presa, April. Bravo capofamiglia, solido cittadino. Mi dispiace per lei. O forse siete degni l’uno dell’altra. Ah, di una cosa comunque sono contento. Sapete di che cosa sono contento? Sono contento di non essere quel marmocchio”.

E viene trascinato via dai suoi genitori, disperati, che cercano di scusarsi. Ma oramai la situazione precipita, la crisi della coppia Wheeler è esplosa e non sarà più possibile nemmeno fingere. Frank: “Quell’uomo è pazzo. Sai qual è la definizione di pazzia?” “La pazzia è l’incapacità di instaurare un rapporto con gli altri essere umani. È l’incapacità di amare”.

La reazione della moglie, cosciente del suo e del loro fallimento senza speranza, che odia oramai il marito è chiarissima: Lei scoppiò a ridere.

Antoni Casas Ros ha pubblicato nel 2008 Il teorema di Almodovar, storia di un giovane matematico, rimasto senza volto dopo un grave incidente, che cerca di cogliere frammenti di verità nella realtà che lo circonda, riflettendo, ricordando, immaginando che la sua vita diventerà un film di Almodovar. Una maschera senza volto che

Fig. 7. Copertina del libro Il teorema di Almodovar

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richiama il famoso film con Humphrey Bogart La fuga, la cui prima parte è girata in soggettiva con gli occhi del protagonista che non ha volto, tutto bendato dopo un’operazione di plastica. Dark Passage (La fuga) è un film del 1947, diretto dal regista Delmer Daves e tratto da un romanzo del 1946 di David Goodis. Un uomo condannato ingiustamente per uxoricidio evade dal carcere e, aiutato da una donna che ha seguito il suo processo e che crede nella sua innocenza, si sottopone a una plastica facciale per evitare di essere riconosciuto. Interpreti Humphrey Bogart e Lauren Bacall. La vita e la morte, il sesso e l’amore, la scienza e la religione, su tutto riflette il protagonista del libro di Casas Ros senza pietà e senza illusioni. La matematica non è una scienza esatta, ed è questo che mi affascina. Vorrei trasformare in equazione il desiderio, la creatività, l’audacia, la paura, il coraggio, la solitudine.

Il romanzo è ambientato a Genova, un amore travolgente tra l’uomo senza volto, recluso, solitario e un bellissimo transessuale. Un libro duro, violento, in cui la matematica è un’ancora dì salvezza dalla solitudine e la follia. E su tutto il sogno del film di Almodovar: Le telecamere sono in posizione… Si gira… Mi piace il cinema, ma non avrei mai immaginato che farlo potesse essere così noioso. C’è sempre un dettaglio che non va. Ci vuole una pazienza del demonio per fare il regista. Almodòvar spiega: “Siete ubriachi e felici. Tu ti sei appena laureato in matematica. Sandra, tu pensi alla tua prossima fotografia. Procedete ad alta velocità, si vedono sfilare i platani.

La moglie del protagonista è morta nell’incidente stradale in cui il protagonista, che ha il nome dell’autore del libro, ha perso il suo volto, la sua identità. E lui sogna la scena ricostruita da Almodovar. E così si rivolge alla moglie morente: Amore mio, so che mi senti. Resta con me. Pensa alla serie di Fibonacci, come se ordinasse l’universo della tua mente. Pensa che la serie è costituita dall’addizione successiva dei due numeri precedenti e si sviluppa così: uno, due, tre, cinque, otto, tredici, ventuno… Continua da solo… Respirami, torna alla vita… Non permettere ai numeri di scomparire.

Ed ecco di nuovo i numeri di Fibonacci! Nell’immaginario collettivo rappresentano forse l’unico legame comprensibile tra la matematica e la realtà, la vita, la natura. E allora non facciamoci mancare i numeri di Fibonacci, anche se diventano grotteschi in molte delle situazioni in cui vengono utilizzati per il solo scopo di essere accattivanti verso i lettori.

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Fortunatamente sono pochissimi gli esempi di questo tipo nel libro di Casas Ros. In cui tra l’altro i titoli dei capitoli sono citazioni dai Principia Mathematica di Isaac Newton. E riflette, ricorda, sogna, ha incubi, rimorsi, rimpianti, non ha pace il protagonista, la matematica una sorta di oasi di quasi tranquillità: Da quindici anni nessuno mi vede più. Per avere una vita, è necessario avere un volto… Avevo tutto per riuscire. I professori mi predicevano l’avvenire più brillante, possedevo una sorta di estro matematico che alle volte mi permetteva di accedere a livelli di comprensione molto superiori a quelli di un laureando, oggi do lezioni di matematica in rete e svolgo piccoli lavori di contabilità…

E spiega perché è così attratto dalla matematica: Per me, la scienza non è mero funzionamento cerebrale. Essa include il corpo tutto intero e, quando leggo i testi dei matematici, dei fisici, sento la parte mentale, più distaccata, che veglia e giunge improvvisa a fecondare l’immaginazione. Adoro ciò che non è verificabile, o perlomeno tutto quello che rimane ipotesi in attesa di uno spirito luminoso. La matematica non è una scienza esatta, ed è questo che mi affascina. Vorrei trasformare in equazione il desiderio, la creatività, l’audacia, la paura, il coraggio, la solitudine. Vorrei che un giorno la medaglia Fields (il Nobel per la matematica) potesse essere assegnata a chi avrà risolto l’equazione del desiderio, della follia o quella dell’atto creatore… Parte della bellezza di una proposizione matematica sta nel fatto che non è sempre possibile trasformarla in un teorema, cioè dimostrarne la verità. Quando mia madre mi ha fatto penetrare questo mistero, ha liberato il mio pensiero matematico e poi il mio pensiero in generale dal dogmatismo legato alla certezza.

Teme che la sua vita così ai margini, ma che in qualche modo controlla, muti improvvisamente: Ho paura di tornare ad essere normale. Di non avere più nessuna scusa per vivere ai margini del mondo. Tutta la mia storia è in questo libro. Non ho storia da raccontare. Niente da dire su questo Antoni Casas Ros. Basterà che il mio libro sia pubblicato, che abbia un qualche successo di critica, non si può pretendere di più. E io ritroverò i miei pari nei caffé alla moda, e anche la mia faccia incerta diventerà una curiosità, un canone di bellezza.

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Alcune esempi recenti di quella storia tra cinema, letteratura e matematica che sta incredibilmente continuando da parecchi anni oramai. Si potrà fare a meno della matematica e dei matematici nella letteratura e nel cinema degli anni futuri?

Bibliografia [1] Articolo apparso su Biometrika del 1956, ristampato in Studies in the History of Statistics and Probability. Successivamente è stato pubblicato su INDUZIONI n. 2, 2001. La presentazione e la traduzione italiana sono a cura di Enzo Lombardo; si trova in rete al sito http://matematica.unibocconi.it/probabilita/origini.htm [2] B. Mezrich (2003) Bringing Down the House: The Inside Story of Six MIT Students Who Took Vegas for Millions, Free Press [3] G. Martinez (2008) La serie di Oxford, Mondadori [4] Crimini e misfatti matematici, in: M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2008, Springer Verlag, Milano [5] A. Casas Ros (2008) Il teorema di Alnodovar, Guanda

Matematica e applicazioni

Pile di sabbia e dune del deserto: materia granulare e matematica S. Finzi Vita La matematica dentro l’immagine M. Fornasier La fisica degli stormi di storni in volo F. Stefanini

Pile di sabbia e dune del deserto: materia granulare e matematica di Stefano Finzi Vita

La materia granulare: interesse e applicazioni Se pensiamo ai materiali che in natura si presentano come agglomerati di particelle, ci vengono in mente diversi esempi: ovviamente la sabbia, che possiamo considerare come il prototipo della famiglia, ma anche il terriccio, la ghiaia, perfino la neve fresca in particolari condizioni. Ma è facile trovare molti altri interessanti esempi di materiali di questo tipo, come prodotti dell’industria alimentare (zucchero, cereali, caffè in grani), farmaceutica (pillole) o chimica (certi materiali plastici isolanti) (Fig.1).

Fig. 1. Esempi di materiali granulari: caffè, polistirolo, zucchero, pillole, terriccio, neve fresca

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Fig. 2. La sabbia: un’immagine da molto vicino (Credit: NASA)

È quindi chiaro che conoscere bene le proprietà fondamentali e il comportamento di tali materiali può avere ovvie ricadute in tutti questi ambiti: nei programmi di salvaguardia ambientale, per la previsione di delicati fenomeni naturali come la migrazione delle dune, i processi di erosione o deposizione come frane e valanghe, e nei processi industriali, dove tali materiali vanno prodotti, trasportati e immagazzinati in maniera ottimale e controllata. Le prime ricerche nel campo risalgono a scienziati illustri (Eulero, Faraday, Reynolds, Coulomb). Rimaste poi a lungo tema di interesse esclusivo degli ingegneri, solo in anni recenti hanno riattirato l’attenzione dei fisici e, ultimamente, anche dei matematici. Il fatto è che un materiale granulare può essere considerato come un esempio significativo dei cosiddetti sistemi complessi. Si pensi che a riposo ogni granello interagisce con altri granelli vicini, in genere tra i cinque e i nove (Fig.2). Quando invece è in moto le interazioni diminuiscono leggermente (da tre a cinque granelli soltanto), ma ovviamente i granelli coinvolti cambiano di continuo. Nemmeno un supercomputer potrebbe tenere traccia di tutte queste interazioni. Nel 1988 alcuni fisici introdussero la cosiddetta teoria dei Sistemi Critici AutoOrganizzati (Self-Organized Critical Systems [1]) per descrivere grandi sistemi dinamici interattivi che evolvono naturalmente verso uno stato critico in cui anche un piccolo evento può innescare una reazione a catena in grado di coinvolgere intere regioni del sistema. La sabbia fu presa come possibile rappresentante di questi sistemi in cui il comportamento macroscopico dipende dalla totalità organizzata di tutti i suoi componenti, piuttosto che dalla semplice somma di essi, e in cui esistono molti equilibri attrattori della dinamica anche se solo debolmente stabili. Questo ne fece l’oggetto di studi scientifici miranti a determinare modelli matematici in grado di riprodurne il comportamento. Una teoria simile si rivelava affascinante perché applicabile a contesti anche molto diversi tra loro: l’attività solare, l’emissione di luce delle galassie, le piene dei fiumi, i fenomeni di traffico, i movimenti tellurici in una zona sismica, la stabilità dei mercati finan-

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ziari, lo stesso comportamento delle organizzazioni sociali avevano caratteristiche comuni. In particolare tutti questi fenomeni obbediscono alla cosiddetta legge di elevamento a potenza: la frequenza media di un evento di una certa ampiezza risulta inversamente proporzionale a una determinata potenza dell’ampiezza stessa. Per esempio se si considera una pila di sabbia che si sta formando per gravità da una sorgente, si osservano sulla sua superficie tantissime piccole valanghe, spesso costituite da pochi granelli e, solo molto più raramente, fenomeni di cedimento di intere porzioni dei versanti della pila che ne modificano sostanzialmente il profilo. Analogamente, in zone sismiche il numero di terremoti di una certa energia è inversamente proporzionale a una potenza dell’energia stessa, tante piccole scosse di assestamento convivono con pochi grandi eventi realmente distruttivi. Si arrivò anche a leggere il crollo del comunismo e del muro di Berlino del 1989 come un evento di questo tipo, preceduto da tanti piccoli sconvolgimenti in giro per l’Europa che non erano stati in grado fino ad allora di minare la stabilità internazionale conseguenza della Guerra Fredda. Ecco allora il fascino di sistemi in cui l’ordine e il disordine non sono eventi così totalmente separati, ma convivono. È il cosiddetto orlo del caos, il confine tra lo stato solido dell’ordine e della stabilità e quello fluido del disordine e del cambiamento. Solo da questa sottile linea di confine può nascere qualcosa di nuovo. L’eccesso di ordine porta alla fossilizzazione, alla stasi. D’altra parte una continua ricerca della novità, il disordine assoluto conducono all’anarchia e alla distruzione. La vita è in realtà nell’equilibrio dinamico tra le due tendenze, nella convivenza tra vecchio e nuovo, continuità e discontinuità. Si è detto che occorre rovesciare il punto di vista della fisica classica newtoniana, che ci ha abituato a considerare l’ordine e la stabilità come gli stati verso cui tendono tutti i sistemi. Qualcuno è arrivato a citare perfino Nietzsche: “Solo un enorme caos dentro di noi può generare una stella danzante”. In seguito si è capito che la sabbia non obbediva esattamente alla legge di elevamento a potenza, ma intanto le ricerche sui materiali granulari costituivano ormai un settore consolidato di frontiera della fisica moderna. Ma proviamo a dare una definizione della materia granulare e a descrivere alcune sue caratteristiche. Su Wikipedia, per esempio, troviamo: La materia granulare è un insieme di particelle solide, di dimensioni maggiori di 1 μm, sufficienti a non renderle soggette a fluttuazioni o moti termici.

Al di sotto di un micron le particelle avrebbero caratteristiche colloidali. Non esiste invece un limite alla dimensione superiore: anche dei blocchi di ghiaccio in un iceberg o dei massi lungo il versante di una montagna sono esempi di materiali granulari. Il comportamento di un materiale suddiviso in granelli è in effetti molto diverso da quello di un solido o di un liquido. Quando l’energia di un insie-

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me di granuli è bassa questi sono immobili e il loro insieme si comporta come un solido. Acquisendo energia (per esempio agitando il contenitore) i granuli cominceranno a scorrere fra di loro come un fluido, ma dissipando tale energia rapidamente: il moto cesserà immediatamente appena si cessa di fornire energia. Si pensi per esempio a un autocarro che scarichi un carico di ghiaia: fino a una certa pendenza del pianale la ghiaia resterà praticamente a riposo, quasi fosse un materiale coerente e omogeneo. Poi, all’improvviso, si rovescerà velocemente al suolo in un flusso violento e tumultuoso che altrettanto rapidamente si fermerà ricostituendo una pila compatta a riposo. Un’altra evidente differenza con i fluidi riguarda il comportamento nello stoccaggio. Un fluido non ha in genere una forma propria ma tende ad acquisire quella del contenitore, e in equilibrio la sua superficie tende ad assumere una conformazione uniforme e orizzontale. Al contrario la disposizione di un materiale granulare in un recipiente dipenderà fortemente dal modo in cui questo è stato riempito o da eventuali successive sollecitazioni a cui è stato sottoposto, in una molteplicità di possibili stati di equilibrio. Inoltre, al contrario di un fluido, la pressione esercitata a varie profondità da un materiale granulare non segue un andamento lineare, perché parte della spinta si scarica sulle pareti. Non tenerne conto nella progettazione dei silos può per esempio condurre a drammatici cedimenti strutturali. Se insomma a livello microscopico la meccanica classica è sufficiente a descrivere il comportamento e le interazioni tra i singoli granelli, a scale più grandi (i livelli mesoscopico e macroscopico) compaiono nuovi e interessanti fenomeni, alcuni non del tutto compresi, e che nessun modello è finora in grado di riprodurre completamente: metastabilità, valanghe, formazione di pattern e segregazione.

L’effetto “noci del Brasile” Prendiamo l’esempio di una mistura granulare. Questi composti trovano notevoli applicazioni nell’edilizia e nell’industria farmaceutica e alimentare. Una mistura granulare può demiscelarsi in seguito alle sollecitazioni a cui viene sottoposto il contenitore, dando luogo al cosiddetto processo di segregazione, molto temuto perché altera sensibilmente le caratteristiche generali del prodotto. Particolarmente noto è il fenomeno conosciuto come Brazil Nut Effect, scoperto intorno al 1930: particelle in un contenitore cilindrico o rettangolare posto in agitazione segregano in modo che quelle più grandi si concentrano verso l’alto. Prende il nome dalle noci del Brasile (Fig. 3), che in una mistura di frutta secca costituiscono di fatto quelle più grandi. A volte è indicato anche come Muesli Effect, perché in una scatola di cereali assortiti per la prima colazione è facile trovare in superficie proprio i pezzi più grossi. Che cos’è dunque che provoca, sfuggendo all’intuizione, la “risalita” in superficie delle particelle più grandi? Il fenomeno non è chiarito in tutti i suoi aspetti, si sa solo che

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Fig. 3. Noci del Brasile

varia in funzione della taglia e della densità delle diverse particelle, della pressione del gas (in genere l’aria) tra di esse, della forma del contenitore e dell’ampiezza e frequenza delle vibrazioni a cui esso è sottoposto. Due sono le principali spiegazioni: - durante il processo di agitazione del contenitore le particelle più piccole possono facilmente cadere negli spazi creatisi tra quelle più grandi, così che nel tempo queste ultime risalgono verso la superficie. In altre parole il centro di massa del sistema non è in genere quello ottimale, e in seguito all’agitazione del contenitore tende ad abbassarsi; - con l’agitazione si crea nella mistura delle particelle un flusso convettivo che le solleva al centro fino alla superficie e le riporta giù lungo le pareti (lo stesso moto che si crea per esempio in una pentola d’acqua che bolle nella cottura degli spaghetti). Le particelle più grandi che arrivano in cima non riescono però facilmente a ridiscendere e rimangono intrappolate in superficie perché lungo le pareti, a differenza di quanto avviene per l’acqua che bolle, le correnti sono più ristrette. Tutto chiaro? No, perché in alcune situazioni il fenomeno non si produce, o addirittura si verifica il contrario, il Reverse Brazil Nut Effect, con le particelle più grandi concentrate sul fondo: è il caso per esempio di una mistura in un contenitore di forma conica anziché cilindrica.

La crescita di una pila di sabbia su di una tavola Ma torniamo alla sabbia. La sabbia è come detto il prototipo del materiale granulare. In geologia indica in realtà una precisa classe granulometrica: è sabbia quella

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Fig. 4. Crescita di una pila di sabbia e contatto col bordo

formata da granuli di dimensioni comprese tra 0,06 mm e 2 mm. Particelle più piccole rientrano nella categoria della polvere, quelle più grandi si definiscono ciottoli o blocchi. Si forma prevalentemente per erosione di rocce sedimentarie preesistenti: la sua composizione dipenderà quindi dalle rocce che l’hanno generata e dal bacino idrografico di provenienza. Nel trasporto i granelli sono soggetti ad abrasione nell’impatto tra loro e tendono ad arrotondare gli spigoli del loro bordo. Quindi un granello ben arrotondato ha probabilmente viaggiato molto, mentre uno irregolare si sarà mosso solo localmente. I granelli di un campione possono avere tutti circa la stessa dimensione, o anche taglie molto diverse tra loro, e questo dipenderà anche dal fluido che li ha trasportati, vento, acqua o ghiaccio. Un fenomeno apparentemente semplice da studiare è quello della crescita di una pila di sabbia su di una tavola aperta. Supporremo la presenza di una sorgente verticale f di piccola intensità (di modo che i granelli non formino crateri o rimbalzino) in assenza di vento, che la sabbia sia uniforme e che la tavola Ω sia limitata e inizialmente vuota. Succede allora che i granelli si accumulano formando pile sostanzialmente coniche, la cui pendenza caratteristica γ dipende dal materiale (sabbia più o meno asciutta, taglia media dei granelli, ecc.). Tale pendenza critica corrisponde alla tangente dell’angolo di riposo α (detto anche in edilizia angolo di natural declivio) (Fig. 4). A un’osservazione più attenta nella pila si possono distinguere due strati differenti: i granelli che cadono vengono direttamente incorporati nella pila, andando a formare il cosiddetto strato a riposo, oppure, se nel punto di caduta la pendenza ha raggiunto il valore critico γ, rotolano lungo il pendio formando uno strato rotolante che contribuisce ad allargare la base. La pila quindi cresce e si allarga fino a raggiungere il bordo in qualche punto. In quell’istante la crescita allora sostanzialmente si ferma (si è raggiunto uno stato di equilibrio): tutta la sabbia proveniente in seguito dalla sorgente rotolerà lungo il pendio nella direzione del punto di contatto e da lì cadrà dalla tavo-

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la (Fig. 4). Per capirne la ragione si può dire che la pila “sente” il contatto col bordo: a causa di questo il vertice del cono di sabbia si sposta impercettibilmente nella direzione opposta creando di fatto una corsia preferenziale di uscita per tutta la nuova sabbia che arriva. Solo a una scala temporale molto più lunga si può immaginare che la sabbia continui ad accumularsi anche nelle altre direzioni.

I modelli matematici Cominciamo col chiederci quale sia il profilo della più grande pila che si possa formare su di una tavola di forma assegnata: si trova una sua espressione matematica abbastanza semplice, è la funzione u*(x) = γ d(x), dove d(x) indica la distanza di ogni punto x dal bordo della tavola e γ è il già citato valore della pendenza caratteristica. È chiaramente un equilibrio, e dipende solo dalla geometria della tavola e non dall’intensità della sorgente. Tale funzione avrà un insieme singolare S formato dai punti dove si verifica un salto di pendenza, cioè dove la funzione non è differenziabile. In geometria tale insieme S viene a volte indicato come il cut locus del bordo di Ω e coincide con l’insieme dei punti che non hanno proiezione unica sul bordo. L’immagine di tale insieme, detto il ridge della funzione u*, è costituito dalle curve i cui punti sono di fatto massimi locali in almeno una dimensione. Corrisponde a quello che con linguaggio intuitivo chiamiamo cresta o crinale della pila. In (Fig. 5) compaiono vari esempi di insiemi singolari relativi a diverse forme di tavola.

Fig. 5. Esempi di insiemi singolari per diverse forme della tavola (da [3])

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Non esistono modelli universalmente accettati per la materia granulare, anche se in letteratura sono stati proposti numerosi approcci (che usano tecniche matematiche diverse) in grado di simulare fenomeni almeno qualitativamente “vicini” a quelli reali: - modelli discreti di tipo combinatorio (basati sulla teoria degli automi cellulari), - modelli di meccanica statistica (basati su metodi alle particelle), - modelli differenziali continui (basati sulle equazioni alle derivate parziali). Tra questi ultimi, per descrivere la crescita di una pila di sabbia sono stati utilizzati: - modelli variazionali: ammettono rotolamento solo a pendenza critica: sono adatti a descrivere grandi pile o fenomeni visti da una certa distanza (dove i particolari sono trascurabili) [scala spazio-temporale lunga]; - modelli a doppio strato: descrivono lo scambio nel tempo tra i due strati, anche a pendenza sottocritica; adatti a descrivere processi veloci e piccoli dettagli [scala spazio-temporale breve]. Qui ci limitiamo brevemente ad analizzare due modelli piuttosto studiati, anche se per il secondo la teoria matematica non è ancora completamente chiara (abbiamo assunto per semplicità γ = 1): Un modello variazionale (Prigozhin, [2]): ∂tu-∇·(vu) = f in ΩT=Ω × (0,T) |∇u| ≤ 1 , v=0 dove |∇u|<1 in ΩT (P) u=0 su ∂Ω , u(.,0)=0 in Ω Un modello a doppio strato (Hadeler-Kuttler, [3]): ∂tv = ∇·(vu) - (1-|∇u|)v + f in ΩT ∂tu = (1-|∇u|)v in ΩT (HK) u=0 su ∂Ω , u(.,0)=0 in Ω I due modelli hanno differenti dinamiche e quindi in genere evolvono in modo diverso nel tempo (come si usa dire hanno cioè un diverso comportamento asintotico), ma hanno formalmente le stesse configurazioni di equilibrio, che è possibile caratterizzare matematicamente. In [4] si è infatti dimostrato recentemente il seguente risultato: Esistenza Una soluzione di equilibrio per entrambi i modelli è data dalla coppia (d,v*), dove v* è esprimibile esplicitamente in forma integrale e si annulla sull’insieme S. Quasi unicità Per ogni altro equilibrio (U,V) si avrà V=v*, mentre U=u*=d nelle regioni dove V ≥ 0, e potrà avere un profilo sottocritico altrove.

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Fig. 6. Due equilibri per la stessa sorgente: (a sinistra) modello (P), (a destra) modello (HK)

Due sono allora in pratica i casi possibili: 1. se il supporto della sorgente (cioè la regione della tavola dove cade la sabbia) contiene l’insieme S, entrambi i modelli tendono all’equilibrio massimale (d,v*). 2. In caso contrario si ottengono equilibri differenti (a parità di strato rotolante!). Per il modello (P): U = u, l’equilibrio minimo. È la funzione che si ottiene per sovrapposizione di tutti i coni centrati nei punti del supporto della sorgente. Per il modello (HK) invece U > u, ed è caratterizzabile solo numericamente [5] (Fig. 6). È interessante notare che se cambiamo anche solo di poco il problema supponendo che il bordo della tavola sia in parte ostruito da pareti verticali (tavola parzialmente aperta), le cose possono cambiare notevolmente. Si intuisce che la pila si accumulerà lungo le pareti e scaricherà sabbia attraverso la regione aperta del bordo. Il profilo massimale coinciderà quindi con la funzione distanza da quest’ultima regione. Ma la situazione è decisamente più complicata perché i punti di estremo delle pareti possono creare singolarità e discontinuità nello strato rotolante, visto che vi si incontrano infiniti raggi di trasporto convergenti (si veda per esempio [6], dove sono anche presenti i risultati di simulazioni numeriche).

La dinamica delle dune Abbiamo visto come la sabbia si accumula e si organizza sotto l’effetto della sola forza di gravità. Come cambia la dinamica se si tiene anche conto del vento? Spostiamoci nel deserto e proviamo ad analizzare le dune, colline di sabbia modellate dai venti e quindi soggette a continui spostamenti e ridimensionamen-

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Fig. 7. Foto di dune su Marte (credit: NASA, sonda Odyssey, 2001)

ti dipendenti appunto dalla direzione e dalla forza del vento. Grandi distese desertiche sono presenti un po’ ovunque nel mondo, in Marocco, Libia, Egitto, Namibia, ma anche in California, Nevada, Brasile, Perù. È quindi importante comprendere il comportamento delle dune e cercare di ottenere modelli matematici adeguati. Le possibili applicazioni vanno dalla previsione delle tempeste di sabbia alla prevenzione dalle ostruzioni di vie di comunicazione o centri abitati, dallo studio dei fondali sabbiosi di fiumi e coste alla ricerca spaziale (sulla superficie di Marte ci sono moltissime dune, e anche se l’atmosfera è diversa, la fisica che regola i granelli è la stessa (Fig. 7)).

Fig. 8. R.A. Bagnold

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Un pioniere della ricerca sulla dinamica delle dune è stato senza dubbio Ralph Alger Bagnold (1896-1990), ingegnere dell’esercito britannico, che tra le due guerre aveva esplorato a fondo i deserti del nord Africa e dell’India (Fig. 8). Tornato in patria, condusse esperimenti nella galleria del vento e pubblicò il libro The Physics of Blown Sand and Desert Dunes [7] (uscito nel 1941 in pieno conflitto, e ripubblicato con ben maggiore diffusione nel 1954), considerato ancora oggi un testo fondamentale, usato perfino dalla Nasa per le esplorazioni di Marte. Allo scoppio della seconda guerra mondiale fu richiamato alle armi e, trovatosi per caso col suo reparto in Egitto, propose ai suoi comandi di organizzare un reparto mobile che potesse condurre nel deserto azioni di spionaggio e pirateria nei confronti delle truppe italiane e tedesche. Grazie alla sua esperienza e a veicoli appositamente modificati per potersi spostare velocemente anche sulle dune, nacque così il Long Range Desert Group, che si rivelò una spina nel fianco per gli eserciti dell’Asse. Come avviene dunque il moto della sabbia sotto l’azione del vento? Nel libro di Bagnold si studia come la sabbia è raccolta, trasportata e accumulata dal vento su di una superficie piana. I granelli trasportati dal vento cadendo urtano altri granelli provocandone il sollevamento (saltation), in genere con lo stesso angolo di incidenza. Se il vento è sostenuto (al di sopra di una soglia critica), questo processo si autoalimenta creando un flusso di sabbia che viaggia a pochi centimetri dalla superficie. Se la sabbia è disomogenea, gli urti possono anche provocare un movimento superficiale dei granelli più grossi non in grado di sollevarsi (surface creep o reptation) (Fig. 9). Tutto questo avviene sul versante controvento di una duna. La sabbia trasportata arriva fino alla cresta e quindi ricade per gravità nell’altro versante, con un processo di accumulo simile a quello visto per le pile di sabbia. In genere quando sul versante sottovento di una duna la pendenza supera il cosiddetto angolo statico, tra i 32 e i 35 gradi, si produrrà una valanga. Il conseguente flusso superficiale si arresterà appena la pendenza scenderà al di sotto di un secondo angolo (detto dinamico o di riposo), tra i 30 e i 32 gradi.

Fig. 9. Il moto della sabbia sotto l’azione del vento (da [7])

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Fig. 10. Disegno schematico di alcune possibili forme di dune: a duomo, barcana, transversa, lineare, stellata, a network

Questo spiega perché salire su di una duna può essere molto difficile. Sul lato controvento la sabbia è compatta, i granelli sono ben compressi e quindi si può camminare. Invece sul lato opposto, sottovento, i granelli vengono accumulati caoticamente con molti spazi tra gli uni e gli altri e quindi si affonda inesorabilmente. Non tutte le dune sono uguali. Possono essere immobili (se fossilizzate) o mobili, quando il vento supera una velocità di soglia (circa 4 m/s). La loro velocità è in genere inversamente proporzionale alla loro altezza, ma non supera poche decine di metri per anno. A volte sono isolate, altre volte riunite in veri mari di dune, grandi anche centinaia di chilometri quadrati. La loro forma dipende dalla variabilità del vento in intensità e direzione e dalla disponibilità di sabbia. Esistono per esempio dune barcane, longitudinali, transverse, lineari, stellate, ecc. (Fig. 10). Le più semplici sono le dune barcane, a forma di mezzaluna, che si formano e si spostano, in presenza di scarsa disponibilità di sabbia, sotto l’azione unidirezionale del vento. Dove batte, questo solleva e trasporta la sabbia verso la cima, mentre sottovento la duna frana. Le barcane più piccole corrono anche alcuni metri al giorno, quelle grandi si spostano visibilmente solo nel corso di anni o decenni (Fig. 11). Il fatto di avere un’unica direzione del vento semplifica la modellizzazione matematica del processo di avanzamento di una barcana. Schematizzando, sul lato sottovento avvengono processi di erosione e trasporto dei granelli, di deposizione su quello controvento, processi modellizzabili separatamente. In questo modo però la cresta, cioè il confine tra i due versanti, si sposta. È quindi chiaro che un modello matematico deve essere in grado di descrivere nel tempo non solo l’evoluzione del profilo della duna, ma anche la posizione della cresta stessa. L’obiettivo di molte ricerche in corso è quello di caratterizzare il moto delle dune e delle valan-

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Fig. 11. Forma di una barcana (da [7])

ghe in particolare attraverso modelli di equazioni alle derivate parziali in grado di tener conto contemporaneamente della viscosità del materiale, della turbolenza del vento, del diametro dei granelli e della gravità. Un approccio comunemente usato è per esempio quello di Herrmann, Kroy e Sauermann [8], basato sul seguente schema iterativo: 1. Dato un profilo della duna se ne calcola la relativa sollecitazione di taglio (shear stress) attraverso un modello per il flusso del vento (per esempio quello di Jackson-Hunt). 2. A partire dalla sollecitazione di taglio si calcola il flusso superficiale di sabbia, usando per esempio le formule di Bagnold o altre sviluppate più di recente. 3. Dal flusso di sabbia si ricava un nuovo profilo mediante la legge di conservazione della massa. 4. Nel nuovo profilo viene trattato il versante sottovento affinché non si superi l’angolo di riposo (con modelli di doppio strato tipo BCRE o simili). Non si conoscono invece ancora dei modelli differenziali di tipo macroscopico in grado di riassumere in forma chiusa tutte e quattro queste fasi contemporaneamente.

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Le dune “cantano”! Quando l’uomo cavalca di notte per quel deserto [...] molte volte ode istormenti in aria e propriamente tamburi Marco Polo, Il Milione, 1300 ca Su di una grande duna, nel silenzio del deserto, può capitare di sentire la montagna di sabbia gemere, o persino produrre un rumore simile a quello di un’orchestra di tamburi o di corni o a quello di un autotreno in corsa. Il fenomeno si trova descritto per la prima volta in un manoscritto cinese del nono secolo e come visto fu registrato da Marco Polo durante i suoi viaggi. Si è a lungo pensato che il suono (fino a 100-105 db, udibile anche a diversi chilometri di distanza) dipendesse dal forte vento del deserto. Studi recenti hanno invece dimostrato che esso è dovuto alle vibrazioni del letto di sabbia provocate dalle collisioni sincronizzate dei granelli di una stessa duna causate da una valanga. In pratica le collisioni all’interno della valanga creano onde elastiche di superficie e queste ultime a loro volta sono in grado di sincronizzare le collisioni dei granelli. Perché si produca il suono servono però determinate condizioni. Le dune più grandi cantano quasi tutto il tempo in quanto la loro superficie diventa molto calda e quindi asciutta (specie nel pomeriggio). Altre, per esempio le barcane del Sahara marocchino, cantano solo se il sole riesce ad asciugarle bene in superficie, e la cosa riesce tanto più dif-

Fig. 12. Barcane del deserto di Tourine, Mauritania

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ficile quanto più la duna è piccola. Altre ancora non cantano mai. Si è scoperto che i granelli in grado di produrre suono sono in genere ricoperti da uno strato caratteristico di gel di silicio, che si forma durante i cicli di umidificazione e susseguente asciugatura della duna. Quando questo strato si deteriora (in seguito ai continui urti tra i granelli) le dune smettono di cantare. Nonostante queste scoperte e le ricerche in corso, nessuno è stato finora in grado di produrre artificialmente sabbia in grado di “cantare”. Per maggiori informazioni al riguardo si può consultare il sito del Laboratorio di Fisica e Meccanica degli ambienti eterogenei del CNRS di Parigi (http://www.pmmh.espci.fr/~andreotti).

Conclusioni Esiste una sterminata letteratura su questi e altri fenomeni legati ai materiali granulari, per lo più in ambito fisico. Sono relativamente pochi invece i lavori di taglio matematico al riguardo, ma l’interesse sta crescendo dato che diversi problemi interessanti da studiare rivelano legami anche con altri campi d’attualità della ricerca matematica (per esempio il trasporto ottimo di massa, l’infinito Laplaciano, l’evoluzione di fronti, le equazioni di Hamilton-Jacobi). Modelli alle derivate parziali molto simili si trovano poi in altre applicazioni: river networks, magnetizzazione di semiconduttori, deformazione elastoplastica, ecc. Un’esposizione divulgativa ma più approfondita da un punto di vista matematico ai modelli matematici per le pile di sabbia si può trovare in [9], insieme ai risultati di alcune simulazioni numeriche. In un’esposizione di collezioni strane che c’è stata di recente a Parigi, […] la vetrina della collezione di sabbia era la meno appariscente ma pure la più misteriosa, quella che sembrava aver più cose da dire, pur attraverso l’opaco silenzio imprigionato nel vetro delle ampolle. (da Italo Calvino, Collezione di sabbia, 1984, incipit)

Bibliografia [1] [2] [3] [4] [5]

P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld (1988) Self-organized criticality, Phys. Review A 38, pp. 364-374 L. Prigozhin (1996) Variational model of sandpile growth, Euro J. Appl. Math. 7, pp. 225-235 K.P. Hadeler, C. Kuttler (1999) Dynamical models for granular matter, Granular matter 2, pp. 9-18 P. Cannarsa, P. Cardaliaguet (2004) Representation of equilibrium solutions to the table problem for growing sandpiles, J. Eur. Math. Soc. 6, pp. 435-464 M. Falcone, S. Finzi Vita (2006) A finite difference approximation of a two-layer system for growing sandpiles, SIAM J. Sci. Comput. 28, pp. 1120-1132

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La matematica dentro l’immagine* di Massimo Fornasier

È possibile ricomporre, dopo oltre sessanta anni, uno degli affreschi più importanti del Rinascimento italiano ridotto a centinaia di migliaia di frammenti da un bombardamento durante la seconda guerra mondiale? Si possono ricostruire le parti mancanti e si può dire qualcosa del loro colore originale? In questo breve studio vogliamo mostrare – ci auguriamo in maniera efficace sfruttando la seduzione dell’arte – come la matematica possa essere oggi applicata a problemi pratici solo alcuni anni fa considerati irrisolvibili.

Introduzione Nel corso del secolo scorso, nella sua direzione forse dominante, la matematica applicata e computazionale era orientata verso i problemi della fisica, e ci si attende che quest’ultima costituisca un’ispirazione fondamentale anche per la matematica di questo secolo. Tuttavia, stanno emergendo nuove sfide provenienti dal mondo dell’ingegneria e motivate dai cambiamenti sociali, per esempio dalla nostra interdipendenza attraverso la tecnologia. Attualmente, la combinazione di innovazioni tecnologiche e sofisticati metodi matematici – spesso interdisciplinari – ci consente delle innovazioni che non sarebbero state possibili con mezzi tradizionali. Come esempio di questa nuova tendenza della matematica applicata e computazionale, gli attuali sviluppi dell’hardware per l’elaborazione delle immagini e la concettualizzazione delle immagini digitali come oggetti matematici hanno portato a una crescita intensa del campo interdisciplinare delle scienze delle immagini. La matematica svolge qui un ruolo fondamentale, dove l’analisi

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Contributo pubblicato originariamente in lingua inglese in: M. Emmer, A. Quarteroni (a cura di) (2009) MathKnow, Springer-Verlag Italia, Milano

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armonica applicata e computazionale (per esempio con l’avvento dell’analisi tempo-frequenza e delle ondine) [1], le equazioni differenziali alle derivate parziali singolari, il calcolo delle variazioni e la teoria geometrica della misura [2] si fondono in un nuovo campo ricco di sfide. L’interazione diretta tra i modelli matematici delle immagini e le applicazioni pratiche è fonte costante di nuove idee. Da un lato, la scienza delle immagini potrebbe sfruttare con successo strumenti matematici classici; dall’altro, i problemi pratici hanno ispirato nuovi sviluppi con un impatto che spesso va ben oltre l’ambito originale. Di fatto, le immagini digitali possono fungere da modellini in scala con una morfologia sufficientemente ricca per applicazioni sofisticate in sistemi e fenomeni più complessi. Con questo breve contributo, intendiamo esemplificare lo sviluppo dei moderni modelli matematici e dei metodi di elaborazione delle immagini, ispirandoci a un problema pratico nel restauro artistico. In particolare, evidenzieremo l’interazione diretta tra l’applicazione e i progressi della matematica. L’11 marzo 1944, la Chiesa degli Eremitani di Padova fu distrutta da un bombardamento alleato assieme agli affreschi di inestimabile valore di Andrea Mantegna e altri artisti contenuti nella Cappella Ovetari. L’importanza di tali affreschi è testimoniata dalle efficaci parole di J.W. Goethe nel suo Italienische Reise: il 26-27 settembre del 1786, durante il suo famoso viaggio in Italia, Goethe si recò a Padova e visitò la Chiesa degli Eremitani, dove vide gli affreschi di Mantegna sulle vite di San Giacomo e San Cristoforo, nella cappella funeraria di Antonio degli Ovetari. Al loro cospetto egli rimase “sbalordito” davanti “agli scrupolosi dettagli, alla potenza immaginativa, alla loro forza e raffinatezza”. Qui egli aveva scoperto uno dei “più antichi maestri” che aveva preceduto e ispirato i grandi maestri del Rinascimento italiano: “così l’arte si è sviluppata dopo gli anni della barbarie”1. Negli ultimi sessanta anni sono stati compiuti diversi tentativi di ricomporre il puzzle dei frammenti dell’affresco (Fig. 1) attraverso metodi tradizionali, ma senza

Fig. 1. Frammenti degli affreschi contenuti nella scatola 31, raccoglitore A2

1

Tra mistero ed estasi Goethe rimase folgorato, la Repubblica, 14 agosto 2006: http://ricerca.repubblica.it/repubblica/archivio/repubblica/2006/08/14/tra-mistero-edestasigoethe-rimase-folgorato.html

La matematica dentro l’immagine

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molto successo. Gran parte delle difficoltà era dovuta al fatto che i frammenti erano “pochi” (comunque più di 88.000, con un’area di 6-7 cm2 in media!) e, alla fine, qualsiasi risultato del tentativo di ricostruzione appariva deludente. Tuttavia, Cesare Brandi, ex Direttore dell’Istituto Centrale del Restauro di Roma nel 1947 scrisse che l’importanza del ciclo padovano era tale, che non può essere esagerata, e anche la riconquista di un solo decimetro quadrato ha un’efficacia che nessuna modestia può nascondere. [3, p. 180]

Questa frase trasforma chiaramente il problema in una difficile, affascinante e straordinaria “caccia al tesoro”. Il problema, posto oltre sessanta anni fa e rimasto insoluto, è stato poi affrontato e alla fine superato grazie a metodi matematici. Ovviamente, la matematica non può sostituire il genio artistico di Mantegna, ma i risultati teorici che abbiamo raggiunto oggi, di sicuro altrettanto straordinari, ci consentono la soluzione di problemi finora considerati impossibili. Abbiamo contributo allo sviluppo di un efficace algoritmo matematico di riconoscimento dei pattern per ricostruire la posizione originale e l’orientamento dei frammenti, sulla base del confronto con una vecchia immagine in bianco e nero dell’affresco precedente al danno. Questa tecnica innovativa ha permesso la ricostruzione parziale degli affreschi. Nel secondo paragrafo presentiamo le caratteristiche principali del metodo che abbiamo proposto, e alcuni esempi dei risultati ottenuti. Sfortunatamente, la superficie totale coperta dai frammenti colorati è solo di 77 m2, ma l’area originale era di diverse centinaia. Ciò significa che siamo in grado di ricostruire solo una frazione (meno dell’8%) di questo inestimabile capolavoro artistico. In particolare, non è possibile conoscere il colore originale degli spazi vuoti e pertanto si poneva il problema di individuare la possibilità di ricostruire con mezzi matematici i colori originali degli affreschi sfruttando le potenziali informazioni fornite dai frammenti disponibili e dai livelli di grigio delle fotografie scattate prima del danno. Nel terzo paragrafo illustreremo un modello studiato recentemente per il recupero di funzioni a valori vettoriali da dati incompleti, con applicazioni al problema della ricolorazione. Il modello è fondato sulla minimizzazione di un funzionale che è formato dalla discrepanza ai dati e da un termine di regolarizzazione di variazione totale. Presenteremo qui la soluzione numerica del problema della minimizzazione e mostreremo i risultati dell’applicazione del metodo al caso pratico degli affreschi di Andrea Mantegna. L’obiettivo di questo breve articolo è quello di fornire una descrizione accessibile (con un po’ di matematica per soddisfare il legittimo desiderio di rigore) del nostro lavoro di restauro dell’affresco di Mantenga. Non è nostra intenzione entrare nei dettagli, ma qualora i lettori fossero interessati, li rimandiamo a [3–14].

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Ricomporre Mantegna Immagini digitali e rotazioni Allo scopo di comprendere cosa abbia a che fare la matematica con l’arte di Mantegna, dobbiamo prima soffermarci sulla relazione tra la matematica e le immagini digitali. Approssimando un po’ la cosa, un’immagine digitale è un insieme di punti (pixel) con livelli differenti di luminosità posizionati in corrispondenza dei nodi di una griglia regolare. L’uso di canali multipli permette di codificare anche i livelli di colore. Pertanto, un’immagine può essere rappresentata come matrice numerica e in questa forma può essere elaborata matematicamente, come si può vedere nella figura 2. In particolare, possiamo confrontare immagini, per esempio per stabilire se sono “simili”, valutando la distanza |aij −bij | dei valori numerici (aij) e (bij) delle matrici corrispondenti. Sebbene due immagini si possano riferire a una foto dello stesso soggetto, possono verificarsi cambiamenti profondi dovuti alle tecniche fotografiche, l’esposizione luminosa, ecc. In particolare, le foto degli affreschi in questione risalgono agli anni Venti e sono state scattate in bianco e nero con le tecniche dell’epoca, mentre le foto a colori dei frammenti sono state realizzate alla fine degli anni Novanta con pellicole Kodak. Di conseguenza, i numeri che compaiono nelle corrispondenti matrici non possono essere i medesimi. Inoltre, i frammenti presentano una rotazione rispetto al loro orientamento originale, e ciò introduce un ulteriore elemento fondamentale di incertezza e complessità. Di fatto, le rotazioni che non sono multiple di 90° su una griglia quadrata sono soggette all’effetto di aliasing. In pratica, se rotiamo un’immagine digitale, diciamo di 45°,

Fig. 2. Le immagini digitali vengono codificate in matrici numeriche. Le rotazioni possono produrre distorsioni numeriche

La matematica dentro l’immagine

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la matrice risultante contiene valori che sono soltanto approssimativamente vicini ai numeri originali contenuti nella matrice dell’immagine di partenza (Fig. 2). Sembra quindi che la nostra “caccia al tesoro” sia davvero una sfida che, in termini matematici, si riduce alla ricerca di alcuni numeri, dati soltanto approssimativamente, e nel riconoscimento dell’immagine del frammento nell’enorme matrice dell’immagine dell’affresco, indipendentemente da una possibile mutua rotazione. Complessità e tempo di calcolo Qualsiasi metodo scegliamo per valutare la distanza dei valori numerici di due immagini digitali, che si tratti di un criterio adeguato o meno, alla fine dobbiamo affrontare anche il problema della complessità, per esempio il numero di operazioni algebriche che sono necessarie affinché il computer esegua il confronto. Possiamo, per esempio, considerare la seguente semplice strategia: - possiamo “trasportare” il frammento ruotato in ogni posizione entro l’immagine dell’affresco; - ruotiamo l’immagine del frammento per un numero sufficientemente grande di rotazioni in base alla risoluzione; - per ogni posizione e per ogni rotazione eseguiamo il confronto, per esempio calcolando la distanza massima dei valori maxij |aij − bij |. Il numero di posizioni entro l’immagine dell’affresco è uguale alle dimensioni, diciamo N×M. In particolare, ognuna delle 12 scene degli affreschi di Mantegna è codificata in un’immagine digitale delle dimensioni di N×M ≈ 3200×2400 ≈ 7.500.000 pixel. Inoltre, se il frammento è rappresentato, per esempio, da un’immagine di n= a×a=15×15 pixel, possiamo considerare almeno a=15 rotazioni (non ha senso considerare più rotazioni in quanto la risoluzione è limitata). Alla fine, dobbiamo calcolare la massima tra le distanze che richiede nlog(n) ≈ 1000 operazioni. In totale, la ricerca di un frammento su una scena degli affreschi implica N×M×a× 2a2 log(a) ≈ 1011 operazioni. Questo numero va moltiplicato almeno per il numero di scene2 e anche per il numero di frammenti (circa 88.000). Di conseguenza, dobbiamo attenderci un numero di operazioni dell’ordine di 1017. Facendo riferimento allo stato dell’arte nel 2008, il più veloce dei processori (quad-core) esegue oltre 37 GFLOPS3, cioè 37×109 operazioni con numeri a virgola mobile al secondo. Per cui la ricerca sui frammenti con questo metodo richiederebbe almeno due anni di tempo di calcolo con il più veloce dei processori disponibili oggigiorno. Chiaramente questa strategia non può essere utilizzata, perché in pratica un ope-

2

3

In realtà la superficie dell’affresco è molto più estesa e contiene tutte le decorazioni della volta e ampie porzioni di affreschi distrutti appartenenti alla cappella laterale Dotto. “2007 CPU Charts”. Tom’s Hardware (16-07-2007). Consultato il 08-07-2008: http://www.tomshardware.com/reviews/cpu-charts-2007,1644-36.html.

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ratore umano deve valutare visivamente il risultato del calcolo e moltissime altre operazioni devono essere concluse per la completa identificazione delle posizioni del frammento, con un ulteriore dispendio di tempo. Una soluzione ingegnosa: le espansioni in armoniche circolari Come spiegato precedentemente, la necessità di un algoritmo veloce esclude l’applicazione di qualsiasi confronto pixel per pixel e indica che metodi basati sulle espansioni in serie possono essere più efficaci. Le decomposizioni in armoniche circolari hanno trovato un’applicazione importante nel riconoscimento di pattern in quanto presentano proprietà di invarianza nella rotazione (self-steerability) ed efficaci applicazioni ottiche [15]. Armoniche circolari (AC) a supporto compatto appaiono come soluzioni naturali per il problema agli autovalori di Laplace su un disco in condizioni di Dirichlet [16], e sono relative a importanti problemi fisici con simmetrie invarianti per rotazione. Di fatto, dato che il laplaciano commuta con le rotazioni, le AC sono anche autofunzioni di qualsiasi operatore di rotazione. Indichiamo d’ora in avanti con Lp(Ω) lo spazio di Lebesgue di funzioni p-sommabili su Ω ⊂ R d. Supponiamo che Ωa ⊂ R2 sia un disco di raggio a>0. Il sistema delle funzioni armoniche circolari su Ωa è definito in coordinate polari da (1) dove Jm,s sono funzioni di Bessel del primo tipo di ordine, m ∈ Z, (jm,n)n∈NN è la successione dei loro zero positivi [17], e c m,n è la costante di normalizzazione. Riassumiamo le loro proprietà rilevanti [16]: (i) le AC costituiscono una base ortonormale per L2(Ωa); (ii) le AC si caratterizzano per frequenze radiali e angolari speciali che dipendono dai parametri n e m rispettivamente (Fig. 3); Fig. 3. Parte reale di alcune AC a supporto compatto, ordinate per frequenze angolari (ascisse) e radiali (ordinate), rispettivamente dipendenti dai parametri m ∈ Z e n ∈ N.

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Fig. 4. Esempio di (de)composizione di un’immagine con le armoniche circolari

(iii) Rα sia l’operatore di rotazione dell’angolo α, cioè, in coordinate polari Rαf(r,θ)= f(r,θ+α), per tutte le funzioni f su Ωa. Le AC sono autofunzioni di qualsiasi operatore di rotazione (proprietà di autoorientabilità) [15] Rαem,n,a = eimα · em,n,a

(2)

per ogni m ∈ Z, n ∈ N . L’uso delle AC ci permette di semplificare il problema eliminando la ricerca esplicita della mutua rotazione. Infatti, se (de)componiamo un’immagine con le AC, cioè f = Σm,nfm,nem,n,a, dove fm,n = (f,em,n,a)l2 = Σijfijem,n,aij, la si può ruotare semplicemente moltiplicando i momenti per autovalori unitari dell’operatore di rotazione (2): (3) Il simbolo di approssimazione “≈” è dovuto alla discretizzazione [8]. Si veda la figura 4 per un esempio di (de)composizione di un’immagine. Pertanto, è possibile stabilire se due immagini f e g sono l’una la rotazione dell’altra verificando che i rapporti gm,n/fm,n siano uguali a eim per ogni m>0. Pertanto, ponendo m> 0,

Fig. 5. Calcolo iterativo dell’angolo con i vettori vk. La linea retta indica l’angolo corretto. Il vettore vk è riallineato e normalizzato per ottenere il coefficiente di corrispondenza

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Fig. 6. Associamo la lunghezza del coefficiente di corrispondenza a ogni posizione corrispondente dell’affresco. Questa operazione definisce la mappa di corrispondenza. La posizione con il valore maggiore della lunghezza del coefficiente di corrispondenza è la collocazione più probabile del frammento

si definisce in maniera induttiva la procedura per un calcolo approssimato implicito dell’angolo ottimale: a un certo m>0, si presuppone che una prima determinazione dell’angolo ottimale, diciamo αm−1 ≈ α, sia data probabilmente da qualche calcolo sui precedenti coefficienti vk = Σn fk,n gk,n, k=1,…,m-1. Poi si calcola la seguente approssimazione/correzione dell’angolo ottimale utilizzando il successivo vettore complesso (indipendente) vm, soltanto ruotandolo in senso inverso di αm−1, cioè moltiplicando vm per e-i(m-1)α , e stabilendo α ≈ αm = arg(e-i(m-1)α vm). Un’approssimazione iniziale dalla quale partire può essere dedotta da v1 ogni volta che f e g sono “sufficientemente simili” a meno della rotazione (Fig. 5). Le componenti fm,n dei frammenti e gm,n degli affreschi vengono confrontate in ogni posizione “trasportando” il frammento attraverso una correlazione eseguita dall’algoritmo FFT (Fast Fourier Transform). Si tratta anche in questo caso di un’operazione molto veloce che riduce in maniera considerevole il costo computazionale. La somma riallineata dei numeri complessi vk per mezzo degli angoli calcolati αk, e la normalizzazione del vettore risultante definiscono un numero complesso chiamato coefficiente di corrispondenza (Fig. 5). La sua lunghezza rappresenta il grado di somiglianza del frammento rispetto all’affresco sottostante indipendentemente dalla rotazione reciproca. La corrispondenza maggiore può essere riscontrata cercando nella mappa di corrispondenza (Fig. 6). Nella figura 7 mostriamo un esempio dei risultati ottenuti con il restauro assistito dal computer. Per ulteriori immagini e informazioni rimandiamo al libro [5] e al sito web www.progettomantegna.it. m-1

m-1

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Fig. 7. Sulla sinistra, la scena di San Giacomo condotto al martirio, con alcuni frammenti localizzati dal procedimento di ricollocazione con il computer. Sulla destra, particolare ingrandito della scena

Ricolorazione dell’immagine La dispersione dei frammenti ricollocati è evidente: non si tratta di un fallimento del metodo proposto, ma è dovuta al fatto che i frammenti coprono soltanto 77 m2 rispetto a una superficie originale che si estende per diverse centinaia. Una valutazione4 forse ingenerosa sosterrebbe che, nonostante l’invito di Cesare Brandi a questa difficile “caccia al tesoro”5, non si è trattato di un restauro efficace e i frammenti ricollocati sono soltanto “coriandoli sospesi” (Arturo Carlo Quintavalle, Corriere della Sera, 11 dicembre 2006). Tuttavia, questo giudizio affrettato non prende in considerazione quello che potremmo ottenere riposizionando anche solo alcuni frammenti: In molti casi, un solo modesto frammento isolato è capace di colorare tutta l’immagine a cui appartiene: in alcuni casi si propaga come se sviluppasse un’armonica. (Cesare Brandi [3, p. 180])

4

5

Il finto restauro del Mantegna agli Ovetari, Arturo Carlo Quintavalle, Corriere della Sera, 11 dicembre 2006: http://archiviostorico.corriere.it/2006/dicembre/11/fintorestauro_del_Mantegna _agli_co_9061211052.shtml. “L’importanza del ciclo padovano era tale, che non può essere esagerata, e anche la riconquista di un solo decimetro quadrato ha un’efficacia che nessuna modestia può nascondere” [3, p. 180].

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Di fatto, non si tratta soltanto di una romantica speranza di Brandi o di un mero sforzo di fantasia, ma di una concreta possibilità: utilizzando le informazioni fornite dai pochi frammenti di colore collocati e i livelli di grigio della foto dell’affresco precedente al danno, è possibile utilizzare di nuovo la matematica in maniera da ricolorare completamente gli affreschi6. Si noti che questa ricolorazione è la più fedele che possiamo sperare di raggiungere, dal momento che per la maggior parte degli affreschi non vi è alcun materiale che documenti la riproduzione dei colori, e i colori che utilizziamo sono quelli che si propagano dai frammenti che presentano ancora i colori originali del Mantegna. Questa innovativa tecnica matematica trova la sua ispirazione nella fisica: è esperienza comune che in un materiale disomogeneo il calore si propaga anisotropicamente dalle sorgenti di calore; le equazioni matematiche (differenziali parziali) che regolano questo fenomeno sono ben note. A loro volta, simili equazioni possono essere usate per propagare il colore (invece che il calore) dalle “fonti di colore”, che sono i frammenti ricollocati, considerando la disomogeneità dovuta ai dislivelli provenienti dai livelli di grigio conosciuti. Qui di seguito forniamo una descrizione formale del modello. Un’immagine a colori può essere rappresentata come una funzione u: Ω ⊂ R2 → R3+, in maniera che per ogni “punto” x ∈ Ω dell’immagine, si associa il vettore u(x) = (r(x),g(x),b(x)) ∈ R +3 con il colore rappresentato dai diversi canali, per esempio, rosso, verde e blu. Il livello di grigio di un’immagine può essere descritto come una proiezione non lineare dei colori L(r,g,b) = L(ξ1r + ξ2g + ξ3b), (r,g,b) ∈ R+3 dove ξ1, ξ2, ξ3 > 0, ξ1 + ξ2 + ξ3 = 1 e L : R → R è un’opportuna funzione crescente non negativa. Per esempio, la figura 8 descrive la forma tipica di una funzione L, che viene stimata inserendo una distribuzione di dati dai frammenti di colore reale (Fig. 7). La ricolorazione è rappresentata dalla soluzione (immagine colore) di minimo del funzionale

(4)

dove vogliamo ricostruire la funzione vettoriale u := (u1,u2,u3): Ω ⊂ R3 → R (per immagini RGB) a partire da una data coppia osservata di funzioni a livelli di colore/grigio (u–,v–). Si consideri che la funzione osservata u– rappresenta le informazioni corrette, per esempio i dati colori, su Ω\D, e che v– rappresenta il risultato

6

In realtà, nel lavoro [10] è stato dimostrato che è sufficiente possedere soltanto il 3% delle informazioni sul colore distribuite casualmente per recuperare con un buon livello di fedeltà il colore di un’immagine intera!

La matematica dentro l’immagine

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Fig. 8. Stima della curva non lineare L da una distribuzione di punti con coordinate date dalla combinazione lineare ξ1r + ξ2g + ξ3b dei frammenti di colore (r, g, b) (ascisse) e dal sottostante corrispondente livello di grigio delle fotografie originali che risalgono al 1920 (ordinate)

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Fig. 9. La prima colonna illustra due dati diversi per il problema di ricolorazione. La seconda colonna illustra la corrispondente soluzione di ricolorazione

della proiezione non lineare L: R3 → R, per esempio il livello di grigio, su D. Si vedano [7, 9-11] per ulteriori dettagli matematici, e la figura 9 per un esempio della ricolorazione matematica. Ringraziamenti Questo articolo contribuisce al progetto WWTF Five senses-Call 2006, Metodi matematici per l’analisi e l’elaborazione delle immagini nelle arti visive, e sintetiz-

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za alcuni risultati ottenuti all’interno del Progetto Mantegna dell’Università di Padova, e sovvenzionato dalla Fondazione Cassa di Risparmio di Padova e Rovigo. L’autore ringrazia Rocco Cazzato per l’efficiente messa in pratica del metodo di ricolorazione [4], Domenico Toniolo e gli altri colleghi del Laboratorio del Progetto Mantegna all’Università di Padova per il magnifico lavoro di gruppo sulla ricollocazione dei frammenti. Questo lavoro è dedicato a Elisabeth Kastenhofer.

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Vestito di seta di R. Capucci visto come fibrato (I. Birindelli, pp. 67-77)

Gli attrattori di Rössler e di Lorenz e i modelli L e H di Sprott, con i relativi stampi negativi (F. Grond, gp. 121-127)

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Particolare ingrandito di San Giacomo condotto al martirio (M. Fornasier, p. 173-184)

Due esempi di comportamento collettivo a confronto: un banco di pesci in rotazione e uno stormo di storni nei cieli di Roma al tramonto (F. Stefanini, pp. 185-194)

Alcuni schizzi di Stendhal (M. Emmer, p. 227-252)

Scena dal film Camilla (M. Emmer, pp. 221-225)

Perle mosaico tipo Africa, inizio XX secolo (sopra); fasi della costruzione di una perla forata (sotto) (G. Sarpellon, p. 291-302)

La fisica degli stormi di storni in volo di Fabio Stefanini

I fenomeni di comportamento collettivo animale da secoli affascinano scienziati e filosofi. Una delle moderne sfide della fisica è quella di spiegare i fenomeni di organizzazione spontanea osservati in natura, come quello della formazione di stormi, attraverso l’uso di tecniche proprie della meccanica statistica. In questo lavoro è stato necessario progettare e realizzare un apparato sperimentale innovativo per la ricostruzione tridimensionale delle singole posizioni e delle traiettorie di singoli storni in volo durante le loro note evoluzioni aeree. Per la prima volta è stato possibile ottenere dei risultati numerici che riguardano sia quantità statiche (densità, forma, distribuzione, ecc.) che quantità dinamiche (correlazioni di velocità, lunghezza diffusione, relazioni di vicinanza, ecc.) in stormi di storni composti da un numero variabile di individui dalle decine alle migliaia.

L’analisi di un fenomeno biologico In natura esistono numerose manifestazioni di comportamento collettivo. Con questo termine ci si riferisce a particolari fenomeni in cui la dinamica di gruppo si presenta come una caratteristica emergente dalle regole di interazione dei singoli elementi, le quali spesso possono essere descritte in maniera semplice. Di esempi di comportamento collettivo ce ne sono numerosissimi nel mondo animale (mandrie di gnu in preda al panico braccate dalle leonesse, banchi di pesci attorno al cibo, stormi di uccelli che cambiano rapidamente la loro forma nel cielo) ma anche in quello inanimato. Un insieme di dipoli immersi in un campo magnetico è infatti un esempio in cui dalle semplici regole di interazione dei singoli elementi emergono le proprietà del gruppo nel suo complesso. Leggi simili sembrano regolare fenomeni di interesse sociale come l’andamento dei mercati azionari e sono di fondamentale importanza in robotica. L’organizzazione spontanea di un gruppo di robot permette a questo di svolgere compiti che il singolo

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elemento non potrebbe altrimenti svolgere. Si capisce dunque l’interesse che può suscitare lo studio dei fenomeni di comportamento collettivo, soprattutto alla luce di queste analogie tutt’altro che esclusivamente qualitative. Per quanto riguarda il comportamento collettivo negli animali, le prime speculazioni risalgono alle osservazioni di Plinio sugli stormi di storni, i cui trattati, tradotti da Rackham nel 1933, contengono un’analisi soltanto qualitativa del fenomeno, sebbene ragionevole. Duemila anni più tardi le ancora limitate risorse tecnologiche hanno permesso di misurare quantità di interesse (distanza media di primo vicino, densità, forma, dimensioni, traiettorie, ecc.) soltanto per gruppi molto esigui di individui, dell’ordine delle decine, e quasi mai in 3D [1-5]. Questi dati non possono essere confrontati con le simulazioni e i modelli sviluppati in questo ambito poiché in tutti modelli (come per esempio in [6]) il comportamento collettivo si manifesta quando il gruppo è costituito da un numero molto elevato di agenti, tale che le interazioni locali tra i singoli non sono influenzate dagli effetti derivanti dalle interazioni con il bordo del gruppo [7]. Il progetto STARFLAG (Starlings in Flight), coordinato dal prof. Giorgio Parisi dell’Università La Sapienza di Roma e supportato da un grant europeo, ha riunito le forze di alcuni dei maggiori centri di ricerca europei nel campo dei sistemi complessi e della ricerca biologica, tra cui il CNR-INFM di Roma. L’istituto ha diretto la squadra sperimentale tra il 2005 e il 2008. Grazie a questo progetto è stato possibile ricostruire le traiettorie tridimensionali di stormi di storni nei cieli di Roma di varie dimensioni (dalle poche decine alle migliaia di unità) quando, verso l’ora del tramonto in inverno, compongono le complesse forme nel cielo che li hanno resi famosi e che da secoli affascinano l’immaginario collettivo. La presente ricerca rappresenta dunque un passo importante nell’ambito dello studio quantitativo dei fenomeni di comportamento collettivo negli animali. Nelle prossime sezioni descriveremo come sia stato possibile acquisire i dati 3D delle posizioni e delle traiettorie degli uccelli e quali sono le grandezze fisiche che sono state calcolate per caratterizzare quantitativamente il fenomeno nel suo complesso.

Un sistema di ripresa metrico La ricostruzione tridimensionale di gruppi di animali può essere fatta a livello globale o a livello individuale. A livello globale si descrive il gruppo nel suo complesso, indipendentemente dalle posizioni dei singoli elementi che lo costituiscono, misurando, per esempio, la posizione, la forma e le dimensioni di banchi di pesci, ma anche la loro densità tramite tecniche che richiedono l’uso di sonar. D’altra parte, a livello individuale, queste stesse quantità possono essere calcolate a partire dalla conoscenza delle posizioni degli elementi interni, mentre è ovvia-

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Fig. 1. (a) Due esempi di comportamento collettivo a confronto: un banco di pesci in rotazione e uno stormo di storni nei cieli di Roma al tramonto. (b) Schema di un semplice sistema stereoscopico. L’oggetto fotografato assume due posizioni differenti nelle immagini in funzione della sua distanza z, della distanza delle macchine d e della lunghezza focale degli obiettivi Ω. (c) L’analisi dei pattern nelle due fotografie (in alto) permette la risoluzione del matching degli oggetti per la loro ricostruzione tridimensionale

mente impossibile il processo inverso. L’analisi delle posizioni degli individui permette dunque un’indagine diretta sull’emergenza del fenomeno collettivo a partire dal comportamento del singolo. Nel lavoro che di seguito esporremo è stata scelta un’analisi di tipo individuale, ricostruendo prima le posizioni tridimensionali dei singoli individui e da queste le loro traiettorie per calcolare grandezze fisiche che caratterizzino il fenomeno collettivo nel suo complesso. Il sistema di ricostruzione che è stato progettato specificatamente per questo studio si basa sui principi della stereoscopia: due immagini della stessa scena, riprese da punti diversi dello spazio, permettono di ricostruire la posizione tridimensionale degli oggetti nella scena. Nel caso semplice di un punto nello spazio e due macchine fotografiche a foro stenopeico (in inglese pinhole cameras), è sufficiente proiettare la posizione del punto sui due piani immagine delle macchine pinhole (Fig. 1b). Il punto si troverà in due posizioni diverse nei due piani immagine e tale differenza, applicando semplici principi di geometria, risulta essere

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legata alla distanza tra le macchine fotografiche d (baseline) e alla loro lunghezza focale Ω. Tra la distanza z e tale differenza s, chiamata shift stereoscopico, sussiste la relazione: s = Ωd/z A partire da questo schema semplice è stato costruito un apparato fotografico stereoscopico che usa una tecnica trifocale [8] per la ricostruzione delle posizioni 3D dei singoli uccelli dello stormo, con un errore medio di circa 40 cm sulle distanze assolute e 4 cm sulle distanze relative per oggetti a distanza di circa 100m. Ricordiamo che le grandezze misurate nel presente lavoro sono legate alle distanze relative (si pensi per esempio alla densità). Per ricostruire le traiettorie degli uccelli abbiamo scattato fotografie successive nel tempo a distanza molto ravvicinata. Tali fotografie devono essere assolutamente contemporanee tra tutte le macchine poiché eventuali anche piccole asincronie si tradurrebbero in un ulteriore contributo allo shift stereoscopico che falserebbe la ricostruzione. Per avere una elevata frequenza di scatto e contemporaneamente una sufficiente affidabilità nei tempi e nelle sincronizzazioni, 6 macchine fotografiche sono state collegate a un timer digitale specificatamente progettato e realizzato all’interno del progetto. In questo modo si hanno due sistemi (chiamati trifocali appunto per l’uso di tre macchine fotografiche) che possono scattare fotografie interlacciate raddoppiando la frequenza di scatto del singolo sistema. La frequenza di scatti finale ottenuta è di 10 fotografie al secondo, per sequenze temporali massime di 7s.

Analisi statica del fenomeno biologico Ricostruzione tridimensionale Le singole fotografie scattate con il sistema sopra presentato devono essere processate e analizzate applicando regole di geometria proiettiva, di computer grafica e algoritmi di minimizzazione. Il problema principale della stereoscopia è quello di riconoscere lo stesso oggetto nelle due fotografie e in computer grafica viene chiamato matching. Una volta individuato lo stesso oggetto nelle due foto, dalla posizione che assume nelle immagini si può calcolare la sua posizione nello spazio. Nella maggior parte delle tecniche già sviluppate, si tendono a considerare diverse caratteristiche dell’oggetto, quali il colore, la forma o le dimensioni. Nel nostro caso è stato impossibile utilizzare queste tecniche essendo impossibile riconoscere gli uccelli basandosi sul colore, sulle dimensioni (sono tutti uguali) o sulla loro forma (la posizione delle ali rende la forma sempre diversa). Pertanto, qui di seguito descriveremo brevemente le tecniche che abbiamo implementato nei software di ricostruzione [9].

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Sostanzialmente, abbiamo tradotto il problema del matching in un problema di pattern recognition. Nel caso riportato in figura 1c, per esempio, si riconosce come le posizioni dei vicini di ciascun uccello formino una figura che è poi possibile cercare nell’immagine dell’altra macchina fotografica. Naturalmente, la forma di questo pattern risulta deformata nelle due immagini proprio a causa della stereoscopia e il cuore dell’algoritmo mira proprio a risolvere queste disuguaglianze tramite un sistema di punteggi. In pratica, più le figure saranno simili, più è alta la probabilità che l’uccello corrispondente sia lo stesso nelle due foto (quello che chiamiamo un match) e dunque maggiore sarà il punteggio assegnato dall’algoritmo. Tramite una successiva procedura di analisi dei punteggi è possibile ottenere la lista di coppie di match tra le due foto con le quali si calcolano posizioni tridimensionali. Utilizzando questa tecnica è stato possibile ricostruire circa l’80% in media degli uccelli nelle fotografie, per stormi di un numero di individui variabile dalle poche decine a più di 5.000 individui. Lo stormo presentato nella figura 1c, per esempio, conta circa 2.400 uccelli ricostruiti. Analisi statica Le posizioni tridimensionali degli uccelli forniscono la base per l’analisi statica, l’analisi cioè di quelle grandezze che possono essere calcolate utilizzando una singola fotografia. Il risultato principale e più sorprendente dell’analisi statica è quello che riguarda il range di interazione tra gli uccelli all’interno dello stormo [10]. La quasi totalità dei modelli di comportamento collettivo si basa su una interazione di tipo metrico per la stima della velocità e della posizione dei propri vicini, al fine di evitare il contatto con essi pur mantenendo la coesione, quindi una certa vicinanza. Nell’interazione metrica ciascun individuo controlla tutti gli individui che si trovano entro una certa distanza da esso. Sulla base dei calcoli effettuati sui dati in nostro possesso, tuttavia, la forte coesione del gruppo che rende tanto peculiare la dinamica degli stormi di storni sarebbe da attribuirsi a una interazione di tipo topologico (Fig. 2a). Diversamente da quanto assunto dalla stragrande maggioranza dei modelli, infatti, ciascun individuo interagisce con un ben determinato numero di uccelli che si trovano attorno a esso, indipendentemente dalla loro distanza. Questo numero “magico” è di circa n=7 e definisce il range di interazione. La coesione del gruppo è fortemente dipendente da questa distinzione, infatti le simulazioni mostrano come la probabilità che il gruppo si sfaldi sotto l’attacco di un predatore sia molto minore nel caso di interazione topologica. Per ottenere il numero di 7 vicini è stata studiata la distribuzione angolare media dei primi vicini di ciascun uccello. Tale distribuzione risulta essere fortemente anisotropa se calcolata con il primo vicino, mentre diviene sempre più isotropa all’aumentare del grado di vicinanza (Fig. 2b). La distribuzione diviene completamente omogenea dal 7° vicino in poi (media su tutti gli stormi).

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Fig. 2. (a) Esempio di simulazioni in cui si confrontano le prestazioni di un modello con interazione metrica (sinistra) e di uno con interazione topologica (destra). L’interazione topologica si dimostra fondamentale per la forte coesione del gruppo sotto l’attacco di un predatore. (b) Grafici polari delle distribuzioni del primo e del decimo vicino. Le zone chiare/scure rappresentano zone di alta/bassa densità (media su tutto lo stormo). La distribuzione è isotropa oltre il settimo vicino

Abbiamo calcolato il range di interazione per diversi stormi di densità molto variabile (distanza media di primo vicino variabile da circa 0,7m a circa 1,5m) ma il risultato non cambia, dimostrando che questa caratteristica non dipende dalla distanza dei propri vicini. Quella che sembrava essere un’ipotesi ragionevole, e cioè che l’interazione fosse di tipo metrico, e che nella maggior parte dei casi semplifica di molto la programmazione nelle simulazioni al computer, contrasta con i risultati ottenuti. L’interazione topologica all’interno dello stormo ha inoltre delle conseguenze molto importanti sulla coesione dello stormo nelle simulazioni ed è possibile verificare che la sua capacità di restare compatto dopo l’attacco di un predatore è fortemente incrementata grazie a una interazione di tipo topologico.

Ricostruzione tridimensionale delle singole traiettorie Definizione di energia di una traiettoria Per ottenere le traiettorie degli uccelli è stato necessario sviluppare delle tecniche originali per concatenare le singole ricostruzioni [11]. Il problema è quello di riconoscere lo stesso uccello nelle foto successive, similmente a quanto avveniva

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nella ricostruzione statica. La possibilità di utilizzare la stessa tecnica si basa sulla ragionevole ipotesi secondo cui uccelli vicini tra loro rimangono tali nella successiva fotografia (1/10 s di differenza)1. Grazie a questa ipotesi è stato possibile applicare la già descritta tecnica di ricostruzione tridimensionale ai dati dinamici ottenendo coppie di corrispondenze da una foto alla foto successiva. Tuttavia, solo per una parte degli uccelli ricostruiti si ottengono le corrispondenze desiderate a cause delle finite capacità di questo algoritmo, cosicché la probabilità che seguendo la traiettoria di un uccello passando di foto in foto si ottenga una traiettoria finale più lunga di qualche decimo di secondo è molto bassa. Come ovviare a questo problema? Il trucco sta nel confrontare non solo fotografie scattate a intervalli di tempo successivi ma anche fotografie distanti temporalmente più di uno scatto. In questo modo si cercano di recuperare tutte quelle traiettorie che altrimenti risulterebbero interrotte a causa in parte delle limitazioni dell’algoritmo di matching e in parte del fatto che in alcune foto possa mancare la ricostruzione tridimensionale di qualche uccello. Una volta ottenute le coppie tra foto consecutive e non, si risolvono le ambiguità dovute alla presenza di accoppiamenti errati. Questa operazione è la più delicata dell’algoritmo di matching dinamico e si basa sulla definizione di una energia nello spazio delle traiettorie tridimensionali. Vediamo brevemente cosa si intende con questo concetto. Tra i punti appartenenti alle varie ricostruzioni a tempi diversi è possibile tracciare delle probabili traiettorie. Una traiettoria è definita dalla tabella dei collegamenti che uniscono al più2 un punto per ciascun istante temporale. L’introduzione di un’energia associata a ciascuna traiettoria serve a distinguere le traiettorie giuste (cioè corrispondenti alle traiettorie reali) da quelle sbagliate. Naturalmente alle prime corrisponderà una energia bassa mentre alle seconde una energia alta. Numericamente, tale energia è stata definita come la somma di contributi legati a caratteristiche fisiche delle singole traiettorie. Si suppone, per esempio, che una traiettoria reale sia molto più regolare delle traiettorie sbagliate che si possono costruire con i punti a disposizione. Per questo, il prodotto scalare tra i vettori che uniscono due punti consecutivi di una traiettoria è un parametro importante e definisce la rugosità (roughness) di una traiettoria. Nel corso della ricerca è stato necessario valutare attentamente il peso di questi contributi, di cui la roughness è solo un esempio. Si è inoltre osservato che il panorama delle energie possibili pre-

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Si consideri che la velocità massima con cui vola uno storno è di circa 40 Km/h, cioè di circa 13 m/s. In 1/10 s, a velocità massima, un uccello percorre dunque circa 10 cm, cioè meno delle dimensioni del suo corpo che sono in media di circa 17 cm. Ricordiamo che in ciascuna foto potrebbe mancare la ricostruzione dell’uccello del quale si sta cercando la traiettoria tridimensionale.

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Fig. 3. (a) Un algoritmo di Simulated Annealing modificato permette di scavalcare i minimi di energia locali per l’energia delle traiettorie. (b) Un esempio di ricostruzione di traiettorie tridimensionali. Nella figura sono evidenziate alcune delle 2.000 traiettorie presenti nel grafico

sentava numerosi minimi locali, costringendoci alla definizione di uno schema di minimizzazione più complesso della semplice discesa di gradiente. Quella della minimizzazione dell’energia è una delle questioni più note in fisica e soprattutto con l’aumentare delle potenze di calcolo dei computer moderni è divenuta uno strumento molto potente nello studio di sistemi complessi [12] in cui il panorama delle traiettorie presenta numerosi minimi locali. Lo spazio delle traiettorie che abbiamo definito è un esempio di questi sistemi. L’algoritmo che abbiamo costruito prende spunto dal più noto Simulated Annealing, sviluppato nell’ambito dello studio dei sistemi magnetici sulla base del Metodo di Metropolis. In pratica, l’algoritmo è il seguente: si sceglie un elemento del sistema, si sceglie una mossa per questo elemento e si valuta se fare questa mossa aumenterebbe o diminuirebbe l’energia del sistema. Se l’energia diminuisce la mossa viene effettuata. Nel caso la mossa aumenti l’energia, la mossa viene comunque scelta con una certa probabilità che diminuisce a ogni ciclo dell’algoritmo. Nello spazio delle traiettorie questo si traduce nello scegliere un punto di una traiettoria, cambiare la sua direzione in quel punto scegliendone un’altra tra quelle possibili, e valutare il cambiamento di energia per quella traiettoria. Con questa tecnica è possibile raggiungere il minimo assoluto per l’energia del sistema evitando così la possibilità di rimanere intrappolati nei minimi locali (Fig. 3a). Tramite queste tecniche è stato possibile ricostruire le traiettorie di circa l’80% in media degli uccelli fotografati, ottenendo ricostruzioni tridimensionali di traiettorie lunghe fino a 7s (un esempio in Fig. 3b).

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Analisi dinamica Una delle quantità importanti nello studio dei fenomeni di dinamica collettiva è quella legata al moto di ciascun individuo rispetto al moto dello stormo. Si capisce che la misura di questa grandezza è possibile solo se si hanno a disposizione le traiettorie dei singoli individui all’interno del gruppo. Tale grandezza è legata alla diffusione come definita da A. Einstein studiando il moto browniano [13]. Essa misura la distanza quadratica media percorsa da una particella in un certo tempo. Nel nostro caso è la distanza percorsa da un uccello nel sistema del centro di massa. Per una particella che si muove di moto casuale questa distanza scala con il tempo come tα con α=1. Si ha invece α>1 in un moto di tipo superdiffusivo, come nel caso dei voli di Lèvy, e α<1 in un moto subdiffusivo, come quello che si presenta sotto l’azione di un campo random. Negli stormi analizzati gli esponenti di diffusione sono risultati, in media, sempre maggiori dell’unità (α≈1,4). Il fatto che il moto degli uccelli sia di tipo superdiffusivo ha delle notevoli implicazioni, poiché un comportamento simile non si osserva nelle simulazioni e potrebbe essere un altro mattone fondamentale per la comprensione della dinamica del fenomeno collettivo.

Conclusioni Il comportamento collettivo degli animali è uno dei fenomeni più affascinanti e meno compresi di cui la natura ci faccia dono da millenni. Dalle leggi che regolano l’interazione tra gli individui di un gruppo di animali emergono capacità che non sarebbero raggiungibili senza il sostegno del gruppo. Tali leggi sono alla base di numerosi altri fenomeni di organizzazione spontanea sia del mondo animale che del mondo inanimato. Nel sogno di molti scienziati nel mondo lo studio quantitativo delle peculiarità di questi fenomeni potrebbe fare luce su alcuni importanti aspetti del funzionamento della società moderna e magari in futuro di prevederne la dinamica. Il gruppo di Roma del Progetto STARFLAG, coordinato da Andrea Cavagna e Irene Giardina, ha voluto fornire in questo ramo della ricerca un supporto di dati sperimentali [14] mai ottenuto prima, ricostruendo le traiettorie tridimensionali di migliaia di storni in volo che nei cieli di Roma, nei tramonti invernali tra il 2005 e il 2008, hanno mostrato le loro note formazioni di stormo dalle forme e i riflessi sempre cangianti. La complessa dinamica degli stormi è stata inoltre esplorata misurando quantità di interesse fisico che permettono di caratterizzare il fenomeno nella sua globalità (forma, densità, range di interazione, diffusione…). Alcune importanti assunzioni di gran parte dei modelli e delle simulazioni discordano con le misure effettuate e gettano nuove prospettive di ricerca in quest’ambito per una maggiore comprensione del comportamento collettivo.

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Bibliografia [1] E. Selous (1931) Thought-transference (or what?) in birds. Constable, Londra [2] B.L. Partridge, T. Pitcher, J.M. Cullen, J. Wilson (1980) The three-dimensional structure of fish schools, Behavioral Ecology and Sociobiology, 6(4):277–288 [3] A. Okubo (1986) Dynamical aspects of animal grouping: swarms, schools, flocks, and herd,. Adv Biophys, 22:1–94 [4] Y. Inada Kawachi, K. Kawachi (2002) Order and flexibility in the motion of fish schools, Journal of Theoretical Biology, 214(3):371–387 [5] A. Czirok, H.E. Stanley, T. Vicsek (1997) Spontaneously ordered motion of self-propelled particles. Journal of Physics A: Mathematical and General, 30(5):1375–1385 [6] J.M. Cullen, E. Shaw, H.A. Baldwin (1965) Methods for measuring the three-dimensional structure of fish schools, Animal Behaviour, 13:534–543 [7] A. Cavagna, I. Giardina, A. Orlandi, G. Parisi, A. Procaccini (2008) The starflag handbook on collective animal behaviour: 2. three-dimensional analysis, Animal Behaviour [8] R.I. Hartley (1997) Lines and points in three views and the trifocal tensor, International Journal of Computer Vision, 22(2):125–140 [9] A. Cavagna, I. Giardina, A. Orlandi, M. Viale, G. Parisi, A. Procaccini, M. Viale, V. Zdravkoic (2008) The starflag handbook on collective animal behaviour: 1. empirical methods, Animal Behaviour [10] M. Ballerini, N. Cabibbo, R. Candelier, A. Cavagna, E. Cisbani, I. Giardina, V. Lecomte, A. Orlandi, G. Parisi, A. Procaccini, M. Viale, V. Zdravkovic (2008) Interaction ruling animal collective bheaviour depends on topological rather than metric distance: evidence from a field study, PNAS, 105(4):1232–1237 [11] F. Stefanini (2009) Ricostruzione di traiettorie tridimensionali e analisi dinamica di stormi nell’ambito del progetto StarFlag. Tesi di Laurea Specialistica, Università La Sapienza di Roma [12] M.E.J. Newman, G.T. Barkema (1999) Monte Carlo methods in statistical physics, Clarendon Press Oxford University Press, Oxford, New York [13] A. Einstein (1905) Ber die von der molekularkinetischen theorie der wärme geforderte bewegung von in ruhenden flüssigkeiten suspendierten teilchen, Annalen der Physik, 17:549–560 [14] M. Ballerini, N. Cabibbo, R. Candelier, A. Cavagna, E. Cisbani, I. Giardina, A. Orlandi, G. Parisi, A. Procaccini, M. Viale, V. Zdravkoic (2008) Empirical investigation of starling flocks: a benchmark study in collective animal behaviour, Animal Behaviour

Matematica e…

Prezzi nel caos M. Abate Matematica e sincerità M. Li Calzi

Prezzi nel caos di Marco Abate

Negli ultimi trent’anni politici vari ed economisti di fama hanno lungamente propugnato teorie liberiste sulla forza moderatrice del mercato: lasciate l’economia libera di svilupparsi senza vincoli e i prezzi evolveranno naturalmente verso un equilibrio in cui domanda e offerta si bilanceranno e vivremo tutti felici e contenti. Questa la teoria (economica); la realtà, come spesso accade, è andata da un’altra parte. Nel 2009 l’economia mondiale è entrata in una crisi profonda, con comportamenti caotici ben lontani dall’equilibrio promesso. L’opinione pubblica, disillusa, ha reagito attaccando e chiedendo con forza agli economisti perché non fossero riusciti a predire una crisi di tali proporzioni1. A Trento, nella quarta edizione del Festival dell’Economia (http://2009.festivaleconomia.eu/) si è persino svolto un “Processo agli Economisti” (si veda [2, 3]). Vale la pena citare il verdetto finale [4]: La Giuria del Festival dell’economia di Trento, giudicando in piena libertà e autonomia gli economisti, dopo il dibattimento che ha visto ieri partecipi il professor Pedrotti Roberto e il professor Luigi Guiso rispettivamente nei ruoli dell’accusa e della difesa, presidente il dott. Gaggi Massimo, giudica gli Economisti rispetto ai seguenti capi d’imputazione: 1. rispetto all’accusa di non aver previsto la crisi, pur essendo la stessa prevedibile: Colpevoli; 2. rispetto all’accusa di non aver previsto le conseguenze degli shock sull’economia mondiale: Assolti; 3. per aver basato le loro speculazioni su modelli eccessivamente astratti e matematizzati: Colpevoli.

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Qualche economista in realtà l’aveva predetta, per esempio Raghuram Rajan, capo economista del Fondo Monetario Internazionale, e Robert Shiller dell’Università di Yale (si veda [1]); ma le politiche preponderanti negli USA preferirono ignorarli.

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Il terzo capo d’imputazione è molto curioso, in quanto sembra suggerire che l’uso dell’astrazione e della matematica sia nocivo alla comprensione della realtà. Invece, come gli indubbi progressi realizzati a partire dalla scoperta del calcolo infinitesimale (fine del 1600) fino a oggi hanno ampiamente dimostrato, è vero esattamente il contrario; un uso corretto dell’astrazione e della matematica è essenziale per comprendere il mondo reale. Anche in questa nota vedremo come sia un errore fare l’opposto, cioè basarsi su modelli non abbastanza matematizzati – o matematizzati in modo errato. Si veda [5] per una discussione informale di questo aspetto per quel che riguarda l’andamento dei mercati azionari; qui voglio invece discutere se la dottrina di autoregolazione del mercato descritta all’inizio ha basi matematiche. Seguirò principalmente l’approccio proposto con eccellenti risultati da Donald Saari, basato sulla moderna teoria matematica dei sistemi dinamici (si veda [6] per un’esposizione un po’ più tecnica ma ancora elementare, e [7, 8] e i lavori ivi citati per i dettagli; si veda anche [9-11] per una descrizione molto godibile dei risultati ottenuti da Saari con tecniche simili applicate all’analisi delle procedure di votazione).

Adam Smith e la dottrina della mano invisibile L’ipotesi che l’evoluzione libera del mercato porti a un punto d’equilibrio è usualmente attribuita ad Adam Smith e chiamata la dottrina della mano invisibile. Adam Smith (1723-1790), scozzese, è considerato il padre della moderna economia. La sua opera principale, An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations 2 [12], pubblicata nel 1776, ha dato origine a molte delle teorie economiche successive, ed è tutt’oggi considerato uno dei capisaldi dell’economia politica. In particolare, contiene la prima enunciazione esplicita della dottrina del libero mercato. Smith introduce la mano invisibile nel secondo capitolo del quarto volume, affrontando la questione del proibizionismo. L’assunto di partenza è che lo sviluppo dell’industria nazionale è un valore positivo per uno stato; Smith si chiede quindi se per ottenere questo risultato positivo sia necessaria l’introduzione di dazi o altri interventi statali a favore delle industrie nazionali. La sua risposta è negativa: investire nell’industria nazionale porta tali vantaggi personali a commercianti e industriali che lo faranno indipendentemente, per cui interventi statali sono inutili o potenzialmente dannosi. Nel perseguire il proprio interesse individuale commercianti e industriali agiscono necessariamente per il bene comune. Nelle parole di Smith:

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“Un’inchiesta sulla natura e le cause della ricchezza delle nazioni”, titolo usualmente abbreviato in The Wealth of Nations (La ricchezza delle nazioni).

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As every individual, therefore, endeavors as much as he can both to employ his capital in the support of domestic industry, and so to direct that industry that its produce may be of the greatest value; every individual necessarily labours to render the annual revenue of the society as great as he can. He generally, indeed, neither intends to promote the public interest, nor knows how much he is promoting it. By preferring the support of domestic to that of foreign industry, he intends only his own security; and by directing that industry in such a manner as its produce may be of the greatest value, he intends only his own gain, and he is in this, as in many other cases, led by an invisible hand to promote an end which was no part of his intention. Nor is it always the worse for the society that it was no part of it. By pursuing his own interest he frequently promotes that of the society more effectually than when he really intends to promote it. I have never known much good done by those who affected to trade for the public good. It is an affectation, indeed, not very common among merchants, and very few words need be employed in dissuading them from it.3 (The wealth of nations, Libro 4, capitolo 2)

In altre parole, almeno in questo caso, secondo Smith le azioni degli individui volte a favorire il proprio profitto hanno come effetto collaterale un vantaggio per il bene comune (aumentare le “entrate annuali della società”, o, in termini moderni, il “prodotto interno lordo”4), senza bisogno di ulteriori interventi esterni; la “mano invisibile” del mercato provvede, e il vantaggio individuale si trasforma in bene collettivo. Smith non utilizza altrove questa terminologia, e in altri contesti (per esempio per impedire il formarsi di monopoli) ritiene invece necessari interventi statali nel-

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“Siccome ogni individuo, quindi, agisce più che può sia per impiegare il proprio capitale a supporto dell’industria nazionale, sia per dirigere quell’industria in modo che il suo prodotto possa essere del massimo valore; ogni individuo necessariamente opera per rendere le entrate annuali della società più grandi possibili. Generalmente, infatti, egli non intende promuovere l’interesse pubblico, né sa quanto lo sta promuovendo. Nel preferire il supporto dell’industria nazionale su quella straniera, intende perseguire solo la propria sicurezza; e nel dirigere tale industria in modo che il suo prodotto possa avere il massimo valore, intende perseguire solo il proprio guadagno, ed è in questo, come in molti altri casi, guidato da una mano invisibile a promuovere un fine che non era parte delle sue intenzioni. Né è sempre peggio per la società il fatto che non ne fosse parte. Nel perseguire i propri interessi egli frequentemente promuove gli interessi della società più efficacemente di quando davvero intende promuoverli. Non ho mai saputo di un gran bene fatto da coloro che asseriscono di agire per il bene pubblico. È infatti un’affettazione, non molto comune fra i mercanti, e bastano poche parole per dissuaderli” (traduzione dell’autore). Che l’aumento del prodotto interno lordo sia sempre un bene, o che il prodotto interno lordo sia un modo efficace per misurare il benessere di una nazione, sono assunzioni che necessiterebbero di un’analisi accurata e di una discussione approfondita.

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l’economia. Nonostante ciò, la metafora della “mano invisibile” si è rivelata particolarmente felice, ed è stata adottata, ampliata e diffusa da importanti economisti dell’Ottocento (quali Leon Walras e Vilfredo Pareto), fino a diventare uno dei precetti di base dei liberisti contemporanei (“libero mercato in libero stato”). In termini moderni, la dottrina della “mano invisibile” asserisce che se i consumatori sono lasciati liberi di scegliere cosa comprare, e i produttori cosa vendere e come produrlo, il mercato si assesta su una distribuzione dei prodotti e dei prezzi benefica per tutti gli individui della comunità, e quindi per la comunità nel suo complesso; l’interesse individuale spinge i singoli individui verso comportamenti benefici per l’intera comunità, e l’intero sistema si autoregola dinamicamente e automaticamente. Non voglio discutere oltre la storia di questa dottrina, né le sue interpretazioni e le conseguenze che ha nella teoria economica; l’obiettivo di questa nota è cercare di capire se la dottrina della mano invisibile abbia una base solida o si tratti di una mera speculazione. In particolare, cercheremo di vedere se esistono o meno argomentazioni matematiche che la supportino.

Un modello semplice: economia di scambio Usare la matematica per studiare il funzionamento dell’economia (o di qualsiasi altro fenomeno) richiede l’elaborazione di un modello, in cui siano indicati gli oggetti, le quantità e le qualità di cui si vuole seguire il comportamento, le relazioni fra essi e le interazioni con l’esterno, e a cui applicare tecniche matematiche. Creare un modello richiede scelte non banali sulle caratteristiche del fenomeno che si ritengono rilevanti, e su come descrivere la struttura delle relazioni fra gli elementi del modello. Quali scelte fare dipende dalla teoria economica (o di altra scienza) che si vuole testare; il modello fornirà poi delle predizioni che devono essere confrontate col fenomeno reale, in modo da confermare o smentire la correttezza della teoria iniziale su cui si era basato il modello, portando se necessario a modificare la teoria e quindi a un nuovo modello, in un proficuo processo di continuo dialogo e miglioramento fra le scienze e la matematica che è alla base del metodo scientifico contemporaneo. Nel nostro caso siamo in un sistema (un mercato) in cui sono in commercio n tipologie diverse di beni, scambiate a prezzi che variano nel tempo. Indichiamo con p j > 0 il prezzo di un’unità del bene j-esimo, e con p = (p 1,…,p n) la lista (il vettore) dei prezzi unitari; il vettore p varia nel tempo (discuteremo fra un attimo il meccanismo che causa la variazione dei prezzi nel modello). In questo contesto, la dottrina della mano invisibile prevederebbe l’esistenza di un punto d’equilibrio, cioè di una particolare distribuzione dei prezzi (un valore speciale p* del vettore p) stabile nel tempo; se i prezzi raggiungono il valore p* allora non variano più. Il primo problema da porsi per verificare la consistenza matematica della

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dottrina della mano invisibile è quindi l’esistenza di punti d’equilibrio; ma non è sufficiente. Infatti, la mano invisibile prevede non solo che ci sia un punto d’equilibrio, ma anche che il mercato tenda a raggiungerlo, cioè che i prezzi si modifichino nel tempo in modo da avvicinarsi il più possibile ai prezzi d’equilibrio. In termini tecnici, ci stiamo chiedendo se esiste un punto d’equilibrio stabile. Inoltre, si distingue fra stabilità globale (quale che sia la distribuzione iniziale dei prezzi, il mercato evolve verso il punto d’equilibrio) e stabilità locale (il mercato si evolve verso il punto d’equilibrio se la distribuzione iniziale dei prezzi è già sufficientemente vicina all’equilibrio). Riassumendo, verificare la consistenza matematica della dottrina della mano invisibile è equivalente a dimostrare l’esistenza di un punto d’equilibrio stabile (globalmente o localmente). Chiaramente, ci si aspetta che la risposta a questa domanda dipenda dal meccanismo che controlla la variazione dei prezzi. Un modello semplice ma importante di questo meccanismo è l’economia di scambio, che ora descriviamo. Un paniere è una lista x = (x1,…,xn) di quantità di beni, dove xj ≥ 0 indica la quantità del bene j-esimo. Se i prezzi sono dati dal vettore p, il costo del paniere x è dato dal prodotto scalare (p,x) = p 1x1 + … + p nxn. Nel nostro mercato agiscono r agenti, ognuno dei quali in possesso di una certa quantità di beni. Indichiamo con whj la quantità del bene j-esimo posseduta dall’agente h (in un dato istante di tempo); la lista wh = (wh1,…,whn) dei beni posseduti dall’agente h è detta dotazione iniziale. In un’economia di puro scambio, la ricchezza di un agente dipende solo dalla sua dotazione e dai prezzi, ed è data dal prodotto scalare (p,whj) = p 1wh1 + … + p nwhn. In particolare, ai prezzi p l’agente h può permettersi di comprare il paniere x se e solo se la sua ricchezza è maggiore del costo di x, cioè se e solo se (p,wh) ≥ (p,x) o, in altri termini ancora, se e solo se x appartiene all’insieme di bilancio dell’agente h, che è il sottoinsieme di R+n (l’insieme delle n-uple di numeri reali maggiori o uguali a zero) dato da {x ∈ R+n | (p,x – wh) ≤ 0}. Il bordo dell’insieme di bilancio è l’iperpiano di bilancio di equazione (p,x – wh) = 0. L’idea del modello è che ciascun agente è in grado di comprare beni scambiando i propri, e quindi può acquisire un dato paniere solo se il costo del paniere è minore o uguale del valore complessivo dei beni posseduti dall’agente. In particolare, i panieri contenuti nell’iperpiano di bilancio sono proprio i panieri di costo massimo che l’agente h può permettersi di comprare con la sua dotazione iniziale. Occorre ora inserire nel modello le preferenze degli agenti, cioè i criteri con cui ciascun agente decide quale paniere di beni desidererebbe possedere. Un metodo comune in economia per rappresentare le preferenze consiste nell’uso delle fun-

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zioni d’utilità: funzioni uh : R+n → R tali che uh(y) > uh(x) se e solo se l’agente h preferisce il paniere y al paniere x. Per semplificare la matematica, supponiamo che le funzioni di utilità siano crescenti in ciascuna coordinata (cioè che ciascun agente preferisca avere la maggior quantità possibile di ciascun bene) e che siano strettamente convesse (da un punto di vista economico questo vuol dire che gli agenti preferiscono panieri contenenti vari beni a panieri concentrati su pochi beni; e da un punto di vista matematico vuol dire che le ipersuperfici di livello {uh(x) = const.} intersecano ciascun iperpiano in al più un punto). Sotto queste condizioni, il paniere desiderato xh(p) dall’agente h ai prezzi p è il paniere contenuto nell’iperpiano di bilancio con utilità massima, che può essere univocamente individuato con tecniche matematiche elementari (è l’unico punto di tangenza fra l’iperpiano di bilancio e un’ipersuperficie di livello della funzione di utilità, e lo si determina usando i moltiplicatori di Lagrange). La domanda in eccesso ξh(p) dell’agente h ai prezzi p è quindi data dalla differenza fra il paniere desiderato e la dotazione iniziale: ξh(p) = xh(p) – wh. Se la componente j-esima della domanda in eccesso è positiva vuol dire che l’agente desidera una quantità del bene j-esimo maggiore di quella che possiede; se è negativa vuol dire che ne possiede più di quanta ne desidera; se è nulla vuol dire che possiede esattamente la quantità desiderata di quel bene. Il passo successivo consiste nel considerare la domanda in eccesso aggregata ξ(p) = ξ1(p) + … + ξr(p), data dalla somma delle domande in eccesso dei vari agenti. Se la componente j-esima della domanda in eccesso aggregata è positiva vuol dire che sul mercato è richiesta una quantità del bene j-esimo maggiore di quella disponibile; se è negativa vuol dire che sul mercato è presente una quantità del bene j-esimo maggiore di quella richiesta; se è nulla vuol dire che sul mercato quel bene è presente in quantità esattamente uguale a quella richiesta. Questo suggerisce che se la componente j-esima della domanda in eccesso aggregata è positiva, il prezzo del bene j-esimo tenderà ad aumentare, perché la domanda è maggiore dell’offerta; viceversa, se la componente j-esima della domanda in eccesso aggregata è negativa, il prezzo del bene j-esimo tenderà a diminuire, mentre se la componente j-esima è nulla il prezzo non ha motivo di variare. In termini matematici, questo vuol dire che la derivata del vettore dei prezzi (che indica la variazione istantanea dei prezzi in funzione del tempo) è proprio data dalla domanda in eccesso aggregata5: p' = ξ(p). 5

Sono stati studiati anche modelli discreti, in cui i prezzi variano solo in istanti prestabiliti, e dove il vettore dei prezzi all’istante t+1 dipende dal vettore dei prezzi all’istante t secondo la formula p(t+1) = p(t) + δξ(p(t)). I risultati ottenuti sono del tutto analoghi a quelli dei modelli continui descritti in questa nota.

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In particolare, se tutte le componenti della domanda in eccesso aggregata sono nulle i prezzi non hanno motivo di cambiare: la domanda coincide con l’offerta. In altre parole, il fantomatico punto d’equilibrio p* è identificato dalla condizione ξ(p*) = 0, e l’esistenza del punto di equilibrio è equivalente all’esistenza di un punto in cui la domanda in eccesso aggregata si annulla. Per vedere se questo punto d’equilibrio esiste, cerchiamo di capire meglio le proprietà della domanda in eccesso aggregata. Prima di tutto, se moltiplichiamo tutti i prezzi per uno stesso numero positivo la domanda in eccesso aggregata non cambia, cioè ξ(λp) = ξ(p) per ogni λ > 0 (sia i costi che le ricchezze vengono moltiplicate per lo stesso numero, per cui l’iperpiano di bilancio e i panieri desiderati non cambiano); quindi possiamo limitarci a considerare vettori unitari dei prezzi, cioè vettori p = (p 1,…,pn) tali che p12 + … + p n2 = 1. La seconda osservazione è che la domanda in eccesso aggregata è sempre ortogonale al vettore dei prezzi (perché la domanda in eccesso di ciascun agente lo è, in quanto il paniere desiderato appartiene all’iperpiano di bilancio). Queste due proprietà (dette leggi di Walras) matematicamente si riassumono dicendo che la domanda in eccesso aggregata ξ è un campo vettoriale tangente al simplesso dei prezzi, dove il simplesso dei prezzi è il sottoinsieme S+n-1 della sfera unitaria Sn-1 ⊂ Rncostituito dai vettori con tutte le coordinate positive. Inoltre, se ci avviciniamo al bordo di S+n-1, il prezzo di un bene si avvicina a 0 per cui diventa molto richiesto e la coordinata corrispondente a quel bene della domanda in eccesso aggregata diventa sicuramente positiva; in particolare, vicino al bordo di S+n-1 non ci sono punti di equilibrio. Partendo da queste osservazioni (e usando il teorema del punto fisso di Brouwer), Arrow e Debreu nel 1954 [13] hanno dimostrato che, sotto condizioni molto generali, un punto di equilibrio effettivamente esiste; una distribuzione dei prezzi in cui domanda e offerta si bilanciano c’è sempre. Questo importante risultato però, come osservato prima, non è sufficiente a supportare la dottrina della mano invisibile; bisogna ancora verificare se esiste un punto di equilibrio stabile (localmente o globalmente). Ora, non è difficile costruire campi vettoriali tangenti al simplesso dei prezzi che abbiano solo punti d’equilibrio instabile, e che determinano un’evoluzione dei prezzi assolutamente caotica, lontanissima dalla dottrina della mano invisibile. A priori, però, questo campo vettoriale potrebbe non essere una domanda in eccesso aggregata; potrebbe darsi che le domande in eccesso aggregate siano dei campi vettoriali particolari, che posseggono sempre un punto d’equilibrio stabile. Per vedere matematicamente come stanno le cose, osserviamo che la domanda in eccesso aggregata è univocamente determinata a partire da due classi di dati: le dotazioni iniziali e le funzioni di utilità degli agenti. In altre parole, se indichiamo con U la famiglia di tutte le possibili funzioni di utilità (continue e strettamente convesse) e con Ξ(n) l’insieme di tutti i campi vettoriali (continui) tangenti al simplesso dei prezzi, la costruzione che abbiamo descritto può essere

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interpretata come un’applicazione F: (U × R+n )r → Ξ(n) che associa a ogni r-upla di dotazioni iniziali e funzioni di utilità la corrispondente domanda in eccesso aggregata. Vogliamo quindi caratterizzare l’immagine dell’applicazione F. Più precisamente, siccome siamo interessati ai punti di equilibrio e abbiamo visto che punti di equilibrio vicino al bordo non esistono, invece di considerare l’insieme di tutti i campi vettoriali tangenti al simplesso dei prezzi, possiamo limitarci a considerare l’insieme Ξε(n) dei campi vettoriali tangenti al simplesso ridotto S+,n-1ε dei vettori unitari composti da prezzi tutti maggiori o uguali di un dato ε > 0 arbitrariamente piccolo, e chiederci quali di questi campi si possono ottenere come domanda in eccesso aggregata. La risposta, piuttosto sorprendente, è stata ottenuta da Sonnenschein, Mantel e Debreu in una serie di lavori conclusi nel 1974 (si veda [14-16], e [17-20] per sviluppi successivi): per ogni n ≥ 2 e ε > 0 l’applicazione F: (U × R+n )r → Ξ(n) è surgettiva se e solo se r ≥ n. In altre parole, non appena ci sono più agenti che beni (r ≥ n), scegliendo opportunamente le funzioni di utilità e le dotazioni iniziali, qualsiasi campo vettoriale, anche quello col comportamento più caotico possibile, può essere ottenuto come domanda in eccesso aggregata! Scegliete il comportamento più complesso che potete immaginare (o uno dei molti che non riuscite a immaginare ma che esistono lo stesso, e che sono davvero piuttosto terrificanti) e Sonnenschein, Mantel e Debreu vi danno un mercato (cioè degli agenti con relative funzioni d’utilità e dotazioni iniziali) che, lasciato libero, seguirà esattamente quel comportamento. In particolare, non è affatto detto che debba esistere un punto d’equilibrio stabile. In un’economia di scambio non c’è nessun motivo per cui la dottrina della mano invisibile debba necessariamente essere corretta.

Generalizzazioni I difensori della dottrina della mano invisibile hanno risposto in vario modo a questo risultato. Una prima obiezione è la seguente: sì, magari un mercato preso a caso non avrà un punto d’equilibrio stabile, ma i mercati “realistici” forse devono soddisfare altre condizioni che impediscono comportamenti caotici e assicurano la validità della dottrina della mano invisibile. Questa obiezione non regge: Saari [7] ha mostrato che funzioni di utilità e dotazioni iniziali che danno origine a comportamenti caotici soddisfano condizioni usualmente richieste da molti economisti per descrivere mercati “realistici”. Viceversa, condizioni note che assicurano la stabilità del punto d’equilibrio (quali la proprietà dei gross substitutes [21], che richiede essenzialmente che tutti i beni siano intercambiabili, proprietà che matematicamente si traduce dicendo che la componente h-esima della domanda in eccesso aggregata è crescente rispetto al prezzo j-esimo per ogni h ≠ j) sono usualmente molto restrittive e irrealistiche.

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Di più, Saari [22] ha dimostrato che la situazione ha ulteriori livelli di complicazione. Supponiamo pure di avere trovato una combinazione di funzioni di utilità e di dotazioni iniziali che dia origine a un’evoluzione regolarissima dei prezzi, con un punto di equilibrio stabile che più stabile non si può. Ebbene: una piccola modifica (togliere o aggiungere un bene, cambiare le dotazioni iniziali senza modificare le funzioni di utilità) potrebbe trasformarlo in un mercato dall’andamento completamente caotico, senza nessuna speranza di avere un punto d’equilibrio stabile! Un’altra obiezione ragionevole è che il modello descritto è troppo semplicistico per poter rappresentare l’economia reale. Saari e Simon [23] hanno esplorato questa opzione studiando mercati descritti da meccanismi molto generali guidati da equazioni della forma p' = M(ξ(p),Dpξ), dove Dpξ è la matrice Jacobiana (l’insieme delle derivate parziali) di ξ, e M è una funzione differenziabile a tratti che si annulla se e solo se ξ(p) = 0, cioè solo nei punti di equilibrio; l’obiettivo di Saari e Simon era capire di quali informazioni ha bisogno M perché il mercato tenda a un qualche punto di equilibrio. Si noti che l’uso di meccanismi quali la funzione M è ben lontano dal concetto di mercato libero propugnato dai difensori della dottrina della mano invisibile: lo scopo della funzione M è esattamente guidare (per esempio tramite interventi statali) lo sviluppo del mercato in direzioni in cui altrimenti non andrebbe. Ma anche così i risultati sono scoraggianti: per assicurare l’esistenza di un punto d’equilibrio stabile M deve avere informazioni istantanee non soltanto sulla domanda in eccesso aggregata in tutti i punti, ma anche sulle sue variazioni; per esempio, su come la variazione dei prezzi del tonno influisce sulla domanda in eccesso di lampadine. Una tale richiesta di informazioni è assolutamente eccessiva e irrealistica, per cui la conclusione di Saari e Simon è che non esiste un meccanismo unico sensato che assicuri l’esistenza di punti d’equilibrio stabili. D’altra parte, forse limitarsi a un meccanismo unico è eccessivo; non c’è motivo per cui il mercato funzioni a Tokyo nello stesso modo con cui funziona a Nairobi – e qui troviamo finalmente un risultato positivo. Infatti, Saari e Williams [24] hanno dimostrato che, a patto di escludere un insieme di (opportuna) misura zero di funzioni d’utilità e dotazioni iniziali, è possibile suddividere le restanti funzioni di utilità e dotazioni iniziali degli agenti in un numero finito di insiemi e scegliere un opportuno meccanismo per ciascuno di questi insiemi in modo che i prezzi evolvano verso un punto d’equilibrio stabile locale. In altre parole, a patto di suddividerlo opportunamente in un numero finito di regioni, è possibile regolare il mercato in modo da assicurare uno sviluppo verso l’equilibrio. Certo, siamo agli antipodi del concetto di libero mercato (per assicurare un comportamento regolare del mercato sono indispensabili interventi esterni, per esempio statali), per cui probabilmente questo non è quanto i sostenitori della dottrina della mano invisibile avrebbero voluto sentirsi dire. Inoltre, va osservato che (come a volte capita in matematica) la dimostrazione del risultato di Saari e Williams non è

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costruttiva; i meccanismi esistono, ma non viene detto come trovarli. Matematici ed economisti possono e devono aiutare i politici (illuminati) nel determinare le politiche economiche di una nazione, ma non possono sostituirsi a loro; la responsabilità delle decisioni finali rimane (giustamente) al politico.

Conclusioni Abbiamo visto come sia modelli semplici sia modelli complessi del mercato danno quasi sempre origine a comportamenti complessi, spesso caotici6, agli antipodi rispetto al comportamento vagheggiato dai sostenitori della dottrina della mano invisibile. Questo risultato però non vuole necessariamente dire che Adam Smith avesse torto; il problema potrebbe essere intrinseco al modello adottato e non alla realtà (si veda [5] per un esempio dei danni che si possono causare adottando il modello sbagliato per descrivere il comportamento dei mercati azionari). Secondo Saari, la causa principale delle difficoltà che abbiamo visto (e di difficoltà analoghe che si riscontranno in tutte le scienze sociali) è il procedimento di aggregazione: nel momento in cui si passa dalle domande in eccesso dei singoli agenti alla domanda in eccesso aggregata c’è una perdita di informazioni (in termini matematici, si sta effettuando una proiezione su un insieme di dimensione strettamente più bassa) e quindi un inevitabile aumento della complessità nella descrizione del comportamento del sistema. D’altra parte, tutti i meccanismi sociali sono necessariamente soggetti a un qualche tipo di procedura di aggregazione (per definizione un corpo sociale ha comportamenti che sono conseguenza della sovrapposizione – aggregazione – dei comportamenti dei singoli), per cui questo tipo di problemi potrebbe essere intrinseco all’esistenza stessa di una società, e quindi inevitabile. In questo caso, la dottrina della mano invisibile e la credenza che “libero mercato in libero stato” porti necessariamente a un miglioramento globale per l’intera società sarebbero indiscutibilmente sbagliate. E i dati sperimentali prodotti dall’andamento recente dell’economia mondiale sono decisamente più a favore di quest’ultima ipotesi… Riassumendo, la matematica non è in grado (né sarebbe il suo compito) di dire esattamente come guidare l’economia. Ma quello che può (e deve) fare è segnalare quali effetti possono essere realisticamente ottenuti con determinati comportamenti e quali no; può indicare possibili direzioni da perseguire, e che tipo di difficoltà si possono incontrare, in modo da permettere di arrivarci preparati e non seguendo idee elementari non adatte a comprendere la realtà. Contrariamente a quanto dichiarato nel verdetto del processo agli economisti citato all’inizio, per interpretare il sempre più complesso mondo contemporaneo

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In perfetto accordo con la percezione quotidiana dell’economia reale…

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servono modelli più matematizzati, non meno – e servono modelli corretti, non scelti soltanto in base a pregiudizi a priori o a dottrine non verificate nella realtà.

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Matematica e sincerità di Marco Li Calzi

Paradossi e puzzle logici Probabilmente, il più ovvio collegamento fra matematica e sincerità è il paradosso del mentitore, che consiste nell’enunciare una proposizione autonegante come “Questa frase è falsa”. La sua prima formulazione è popolarmente attribuita a Epimenide di Creta (VI secolo a.C.) che avrebbe affermato la proposizione che (tutti) “i cretesi sono bugiardi”, anche se in realtà l’esistenza di almeno un cretese che dice la verità dissolve il paradosso. Una formulazione concisa e formalmente corretta si deve al matematico Philippe Jourdain: “L’affermazione seguente è vera. L’affermazione precedente è falsa”. Tuttavia, qui non intendiamo occuparci di paradossi logici. A chi fosse interessato raccomandiamo il breve compendio, che include un gustoso florilegio di successive formulazioni, pubblicato nel quinto capitolo di [1]. Vi si possono leggere anche alcune divertenti storielle riconducibili al paradosso del mentitore. Fra queste, non resistiamo alla tentazione di riassumere la brillante versione offerta nel Don Chisciotte (II, 51) di Miguel de Cervantes. Nell’isola di Barataria c’era un ponte che la legge consentiva di attraversare solo dopo aver giurato sulla ragione per cui si voleva farlo: chi mentiva veniva impiccato, mentre chi diceva la verità poteva passare sano e salvo. Avvenne dunque che un giorno si presentò un uomo, affermando di voler attraversare il ponte solo per essere impiccato in base alla legge. Il caso giunse fino a Sancio Panza, governatore dell’isola, che in prima istanza proferì il giudizio di lasciar passare la parte dell’uomo che aveva detto la verità e di impiccare quella che aveva mentito (di fronte alle perplessità suscitate da questa sentenza, Sancio modificò la sentenza disponendo di lasciar passare l’uomo perché le ragioni pro e contro si trovavano in ugual bilancia ed è “sempre meglio fare del bene che del male”). Un’altra area di collegamento fra matematica e sincerità si ritrova fra i puzzle logici, in particolare quelli ideati e raccolti da Smullyan in [2]. C’è un’isola dove

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tutti gli abitanti sono cavalieri o furfanti. Un cavaliere è una persona che dice sempre la verità; un furfante è una persona che mente sempre. La natura di ciascuna persona è immutabile, anche se si racconta di un indigeno capace di trasmutare la sua che fuggì a vivere in una lontana penisola: impossibilitati a sapere se mentisse o dicesse la verità, i suoi concittadini lo fraintendevano sempre. I puzzle di Smullyan chiedono di dedurre le implicazioni delle affermazioni di uno o più isolani. Ecco un esempio tratto dal Progetto Olimpiadi della Matematica (Roma, 29 marzo 2001). Fra tre abitanti dell’isola si svolge il seguente dialogo. Tizio dice: “Almeno uno di noi è un furfante”; Caio aggiunge: “Non più di uno di noi è un furfante”; Sempronio chiosa: “Esattamente uno di noi è un furfante”. Identificate la natura degli abitanti (la risposta è in fondo a questa sezione). Uno dei puzzle più noti è probabilmente il seguente, che ha anche ispirato una scena nel film Labyrinth del 1986. Giungete a un bivio dove staziona un indigeno. Non sapete se sia un cavaliere o un furfante. Una delle due strade conduce al castello, l’altra a un covo di briganti. Potete chiedere una sola domanda, a cui l’indigeno deve rispondere con un “sì” o con un “no”. Che cosa dovete domandare per trovare la strada giusta? La risposta al primo puzzle è che Tizio è un cavaliere e gli altri due sono furfanti. Lasciamo invece aperto il secondo puzzle, avvertendo il lettore che esso ammette più soluzioni.

Sincerità e interazioni economiche In realtà, naturalmente, le persone non sono né cavalieri né furfanti. Esse possono scegliere consapevolmente se e quando mentire. Anche se la sincerità è un valore etico condiviso da tempo immemorabile (Esodo XX, 16: “Ottavo: non dire falsa testimonianza”), questo non impedisce che la gente cerchi frequentemente di trarre profitto ricorrendo a menzogne o false dichiarazioni. La possibilità che i membri della società mentano rende le interazioni economiche e sociali molto più complicate. Gli esempi sono tantissimi. Ci sono spacciatori di monete false, evasori fiscali, manipolatori dei listini azionari, vincitori di appalti pubblici o privati che gonfiano i costi. Moltissime truffe sono riconducibili ad abili manipolazioni della verità. È possibile distorcere i comportamenti elettorali persino in sistemi genuinamente democratici [3]. Come si può immaginare, il rischio associato a queste o consimili forme di mendacio tende a degradare la qualità dei rapporti economici o sociali. I due modi principali per contrastare questi effetti perniciosi sono lo smascheramento delle menzogne e la loro prevenzione. La differenza fra queste due attività si riassume in due avverbi di tempo: ex post oppure ex ante. Una menzogna può essere scoperta soltanto dopo che è stata pronunciata. Invece, l’attività di

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prevenzione va intrapresa prima e ha successo solo se la menzogna è evitata (o resa meno probabile). Il resto di questo lavoro è dedicato a illustrare in che modo la matematica possa contribuire a queste due importanti attività. Nella terza sezione, raccontiamo un caso eclatante in cui la matematica è stata usata per scoprire se le persone mentono (post factum). Nella quarta sezione, invece, mostriamo in che modo si può usare la matematica per indurre le persone a non mentire (ante factum).

La scoperta delle bugie È bene far subito una dichiarazione di umiltà. La matematica da sola non è in grado di scoprire le bugie. Anche se è uno strumento potente, bisogna sapere in che direzione puntarlo. Prendere bene la mira può richiedere fantasia, cultura storica, un po’ d’improvvisazione, magari fortuna. Ecco perché la storia che raccontiamo parte da lontano. È un fatto curioso che le denominazioni degli spiccioli nell’area dell’euro e negli USA sono diverse. I tagli delle monete denominate in euro sono otto: 1¢, 2¢, 5¢, 10¢, 20¢, 50¢, €1, €2. Invece, quelli delle monete denominate in dollari sono sei: 1¢, 5¢, 10¢, 25¢, 50¢, $1. La curiosità aumenta se si considera che ci sono alcuni studi matematici che cercano di determinare quale sia la migliore combinazione di tagli per minimizzare il numero medio di monete necessarie per completare una transazione [4]. Per esempio, nell’ipotesi di uniforme distribuzione, Shallit [5] ha calcolato che il numero medio di monete necessario per una transazione negli U.S.A. è di 4,7 e ha (un po’ scherzosamente) suggerito l’introduzione di una moneta da 18¢, che ridurrebbe questo valore a 3,18. Nel caso dell’euro, il numero medio di monete utilizzate per una transazione risulta invece 4,6 che potrebbe essere ridotto a 3,92 con l’introduzione di una moneta da 1,33¢ o da 1,37¢. Il sistema di denominazioni dell’euro (così come quello in vigore in Cina) segue uno schema ricorrente basato sulla progressione 1-2-5. In base a ciò, possiamo azzardare la previsione che il taglio della prossima nuova moneta in euro sarà €5. Il sistema del dollaro, invece, appare meno regolare. Fra l’altro, guardando indietro al periodo fra il 1792 e il 1935, gli Stati Uniti hanno emesso altre monete con tagli assai diversi: 0,5¢, 2¢, 3¢, 20¢, $2,50 (Quarter Eagle), $3, $5 (Half Eagle), $10 (Eagle), $20 (Double Eagle), e $50 (Half Union). Perché il sistema delle denominazioni del dollaro americano è così bizzarro? La storia inizia nel 1497, quando l’impero spagnolo iniziò a coniare una nuova moneta d’argento chiamata peso. Il suo uso si diffuse alle colonie spagnole d’oltreoceano: meglio noto come dollaro spagnolo, il peso ebbe corso corrente negli USA fino al 1857 e ispirò il dollaro americano. Dopo che il Coinage Act ebbe isti-

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tuito la zecca degli USA nel 1792, il dollaro spagnolo continuò a lungo a essere preferito al dollaro americano perché era più pesante e utilizzava un argento di qualità migliore. Ai fini della nostra storia, la peculiarità più importante del dollaro spagnolo è che esso valeva otto reales. Questa suddivisione in ottavi oggi suona bizzarra, ma è una conseguenza naturale del fatto che i dollari erano spesso letteralmente tagliati in otto parti (o in quattro quarti) per ottenere le denominazioni più piccole. Non a caso il nome più comune del dollaro spagnolo era pezzo da otto, un termine che l’immaginario comune oggi associa ai pirati. Per esempio, nell’Isola del tesoro di R.L. Stevenson il pappagallo di Long John Silver è addestrato a gridare “Pezzi da otto!”; i pezzi da otto compaiono nel film Pirati dei Caraibi: Ai confini del mondo del 2007 o nella serie di videogiochi Monkey Island. I 25¢ del dollaro americano (invece dei 20¢ dell’euro) non sono altro che quarti di dollaro: una vestigia del tempo dei “pezzi da otto”. Se si deve tagliare una moneta per ricavare gli spiccioli, c’è sempre la tentazione di limare via e mettere da parte un po’ d’argento. Questo rende molto probabile che ci fossero in circolazione reales più leggeri del dovuto e ci riporta alla mente un’altra famiglia di puzzle logici [6]. Il problema tipico consiste nel determinare per confronto quali monete siano false, ricorrendo al numero minimo di pesate su una stadera (o bilancia a bracci). Una versione classica è la seguente. Ci sono 27 monete, di cui una è falsa e pesa meno di tutte le altre. Trovate la moneta falsa usando soltanto tre pesate. La soluzione prescrive di dividere le 27 monete in tre gruppi da 9 monete ciascuno. Con la prima pesata si confrontano due gruppi e si determina il gruppo di 9 monete che contiene la moneta falsa (se i due gruppi pesano uguali, allora questa è nel terzo gruppo). Successivamente si dividono queste 9 monete in tre nuovi gruppi da 3 monete e con una seconda pesata si determina in quale gruppo sia la moneta falsa. Infine con la terza pesata si determina quale delle tre monete rimaste sia falsa. Una variante più difficile [7] chiede di trovare la moneta falsa in un gruppo di 12 monete, di cui una è falsa e ha un peso diverso (non necessariamente inferiore) da tutte le altre. Negli anni ’90, il NASDAQ era uno dei tre principali mercati azionari negli USA e in particolare il più importante per la compravendita di azioni di società tecnologiche come Apple, Intel e Microsoft; oggi vi sono quotate anche imprese di più recente fondazione come Amazon, eBay, Google, Yahoo! In quegli anni, i prezzi delle azioni in USA erano quotati in ottavi di dollaro: per esempio, il prezzo di un’azione poteva essere $7,125 o $9,375 ma non erano ammesse quotazioni decimali come $7,13 o $9,38. Si trattava di un’altra vestigia del tempo dei “pezzi da otto”, sebbene questi fossero andati fuori corso da oltre 140 anni. Ma, come vedremo, potrebbe essere stata la chiave per la più grande truffa del mondo.

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Bisogna sapere che nei mercati azionari per ogni titolo sono pubblicati due prezzi: uno si applica a chi desidera comprare e l’altro a chi desidera vendere. In memoria dei tempi (secolo XVI) in cui gli acquirenti offrivano denaro mentre i venditori cedevano la lettera (cioè un documento cartaceo), questi due prezzi si chiamano ancora oggi denaro e lettera. Dunque, il prezzo di un’azione si quota come $12,50 (denaro) e $12,75 (lettera). Il denaro è il prezzo più alto offerto dai potenziali acquirenti e quindi il prezzo migliore a cui si può vendere. Simmetricamente, la lettera è il prezzo migliore a cui si può comprare. Ovviamente, il prezzo denaro è sempre inferiore al prezzo lettera. La differenza fra il denaro e la lettera si chiama spread. Più piccolo è lo spread, meno costose sono le transazioni di borsa perché minore è il costo di comprare e rivendere un titolo. I mercati azionari risultano più efficienti se riescono a mantenere spread piccoli. Il Nasdaq gode giustamente di buona reputazione in questo campo, perché sfrutta il meccanismo della concorrenza per ridurre gli spread. Per “fare il prezzo”, infatti, il Nasdaq si basa su operatori professionali (i dealer) che sono disposti a comprare o vendere titoli. I dealer si fanno concorrenza sui prezzi per attirare i clienti. Per esempio, se il dealer A offre 12,375 (denaro) e il dealer B quota 12,250 (denaro), un cliente preferisce vendere al prezzo di 12,375 ad A perché spunta un prezzo migliore. Questo spinge B a cercare di alzare il prezzo a cui è disposto a comprare e in questo modo la concorrenza fra i dealers fa tendere i prezzi verso lo spread minimo. Naturalmente, dato che il prezzo denaro è sempre inferiore al prezzo lettera, la differenza fra i due non può essere inferiore all’unità di conto dei prezzi. Quindi, se il Nasdaq offre quotazioni in ottavi di dollaro, lo spread minimo su quel mercato è almeno 1/8=0,125¢. Nel 1994, due studiosi [8] resero evidente a tutti che per 70 fra i 100 titoli più importanti del Nasdaq non erano quasi mai disponibili quotazioni basate sugli ottavi “dispari”; in altre parole, i prezzi quotati evitavano di terminare in 0,125 o 0,375 o 0,625 o 0,875. Questo potrebbe sembrare un accadimento irrilevante, dovuto a una naturale inclinazione umana verso l’adozione di quotazioni basate sul sistema dei quarti. Tuttavia, senza l’uso di ottavi “dispari”, lo spread effettivo raddoppia da $0,125 a $0,25. Pertanto, se i prezzi virano da un sistema basato sugli ottavi di dollaro a un sistema basato sui quarti, i dealer raddoppiano i loro profitti a spese degli investitori! Con l’uso di tecniche statistiche, i due studiosi riuscirono a eliminare come non plausibile qualsiasi spiegazione per l’assenza degli ottavi dispari dai prezzi che non fosse quella ovvia: doveva esserci un accordo collusivo fra i dealer per evitare di farsi concorrenza sugli ottavi dispari! La matematica aveva scoperchiato una bugia che ogni giorno fruttava loro milioni di dollari di profitto. Il resto della storia illustra il vecchio adagio che le bugie hanno le gambe corte (si attribuisce a Mark Twain la chiosa che riescono lo stesso a fare il giro del mondo prima che la verità si metta le scarpe). Il 26 e 27 maggio 1994, i quotidia-

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ni nazionali divulgano la notizia che l’articolo ha passato il vaglio della scienza ed è stato accettato per la pubblicazione sul Journal of Finance, la più prestigiosa rivista scientifica del settore. Nel giro di due giorni, i dealer cominciano a offrire anche quotazioni basate su ottavi dispari. Nel 2000, un decreto della Securities and Exchange Commission (l’authority preposta alla sorveglianza dei mercati azionari) ha ingiunto al Nasdaq di abbandonare ufficialmente i “pezzi da otto” e di introdurre l’uso delle quotazioni decimali. Questa sanzione applica elegantemente la legge del taglione: con le quotazioni decimali lo spread minimo è sceso da 0,125 a 0,10 e quindi i dealer hanno perso il 20% dei profitti legittimamente consentiti dal precedente regime basato sugli ottavi. Naturalmente, ci sono moltissimi altri casi in cui la matematica è stata usata per smascherare una bugia. Per chi volesse vedere altri esempi, consiglio la lettura del primo capitolo in [9] e in particolare la vicenda dell’indagine condotta nella scuola pubblica di Chicago che ha portato alla luce che circa il 4% dei docenti manipolava i risultati dei test nazionali a risposta multipla a cui erano sottoposti i loro studenti. Un’altra applicazione affascinante fa un uso creativo della cosiddetta legge di Benford per costruire un algoritmo in grado di individuare possibili evasori fiscali [10]. La legge di Benford è un principio empirico secondo il quale la frequenza delle cifre che compaiono in un elenco di dati tratti dalla vita reale tende a seguire una legge diversa dalla distribuzione uniforme [11].

La prevenzione delle bugie Nel famoso episodio biblico del giudizio di Re Salomone (Primo libro dei Re, 3:1628), due donne si contendono un bambino sostenendo entrambe di esserne la vera madre. Salomone deve decidere a chi assegnare il bambino. Per risolvere la sua incertezza, Salomone propone di tagliare in due il bambino e darne metà a ciascuna donna (ritorna in mente la sentenza di Sancio Panza a Barataria). La prima donna accetta l’offerta, mentre la seconda preferisce lasciare il bambino alla rivale. Salomone riconosce nella rinuncia della seconda donna la forza dell’amore materno e le assegna il bambino. Da un punto di vista post factum, dobbiamo interpretare questo episodio come un successo per Salomone: il suo giudizio apparentemente bizzarro ottiene l’effetto voluto e la menzogna della falsa madre è scoperta. Ex ante, in realtà, dobbiamo ammettere che la celebrata reputazione di saggezza di Salomone ha corso un grosso rischio. Che cosa sarebbe successo se entrambe le donne avessero proposto di cedere il bambino alla rivale? Ovvero, per offrire un test più convincente, pensate che l’astuzia di Salomone funzionerebbe ancora se le due pretendenti avessero già letto la Bibbia? Prevenire le bugie richiede un approccio più prudente. La teoria del disegno dei meccanismi studia problemi analoghi a quello

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affrontato da Salomone: sappiamo che cosa vorremmo fare (assegnare il bimbo alla vera madre), ma l’esito dipende da altri che possono mentire a proprio vantaggio (come la falsa madre che vuole il bimbo) e bisogna trovare un modo per non consentire a costoro di sviarci dall’azione migliore. Il compito della teoria è di aiutare il re a costruire una situazione in cui l’azione razionale di tutti gli agenti coinvolti conduca al risultato auspicato dal re nell’interesse di tutti. Si noti che facciamo due ipotesi: primo, gli agenti fanno scelte razionali; secondo, c’è un re (o, nel linguaggio più neutro degli economisti, un pianificatore sociale) che si prende cura di organizzare le cose. La prima ipotesi ci serve per prevedere che cosa faranno gli agenti e la seconda per valutare le conseguenze delle loro azioni. Per illustrare come funziona il disegno dei meccanismi, torniamo al problema delle due donne che chiameremo Anna e Beth. Per rendere più semplice l’esposizione, seguiamo [12] e supponiamo noto che soltanto la vera madre è disposta a qualsiasi sacrificio per vedere riconosciuta la sua maternità. Per esempio, la vera madre è disposta ad accettare persino la schiavitù mentre non è così per la sua antagonista. Salomone deve scoprire chi sia la vera madre (noi sappiamo che è Anna, ma non possiamo dirglielo). Lo schema proposto nella Bibbia non funziona perché, se entrambe le donne forniscono la stessa risposta, Salomone finisce in un vicolo cieco: se onora la sua parola, deve uccidere il bambino; se non porta a termine la sua minaccia, perde la sua credibilità. Giacché non ci sono ragioni che impediscano a Beth di imitare quanto possa scegliere di fare Anna, è molto improbabile che il trucco di Salomone raggiunga il suo scopo. Fortunatamente, sotto le nostre ipotesi possiamo proporre uno schema che funziona (il lettore potrebbe trovare utile disegnare un diagramma di flusso per riassumere quanto segue). Salomone chiede a una delle due donne: “Sei tu la madre?” Se questa risponde “no”, assegna il bambino all’altra. Se la prima donna risponde “sì”, riformula la stessa domanda alla seconda. Se questa risponde “no”, il bambino va alla prima. Se entrambe le donne hanno risposto “sì”, Salomone assegna il bambino alla seconda donna e, poiché è palese che una delle due ha mentito, le condanna entrambe alla schiavitù. Questa ultima disposizione può sembrare eccessiva perché punisce due persone per la colpa di uno ma, come vedremo, se le due donne sono razionali la punizione non è mai effettivamente somministrata. La minaccia della schiavitù agisce soltanto come deterrente credibile per la menzogna. Vediamo come funziona lo schema. Salomone può interrogare per prima Anna oppure Beth. Poiché lui non sa che la vera madre è Anna, dobbiamo dimostrare che in entrambi i casi lo schema conduce le due donne a rivelare chi sia la vera madre. La robustezza dello schema è attestata dal fatto che la dimostrazione vale identica anche se il caso si dovesse ripresentare più volte. Supponiamo che la prima donna a essere interrogata sia Anna. Alla domanda se sia lei la madre, Anna naturalmente risponde “sì”. Successivamente Salomone

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rivolge la stessa domanda a Beth, che ha due opzioni: se risponde “no”, il bambino va ad Anna; se risponde “sì”, Beth ottiene il bambino ma finisce in schiavitù che è un sacrificio troppo grande per lei. Quindi Beth risponde “no” e Salomone può assegnare il bambino ad Anna. Supponiamo adesso che la prima donna a essere interrogata sia Beth. Di nuovo, Beth ha due opzioni: può rispondere “sì” o “no”. Per valutare che cosa sia meglio, deve prendere in considerazione come reagirà Anna. Se Beth risponde “sì”, Salomone passerà a chiedere ad Anna se sia lei la madre e Anna risponderà “sì”: in questo modo, il bambino sarà assegnato ad Anna ed entrambe finiranno in schiavitù (si noti che questo è l’esito peggiore per Beth). Se invece Beth risponde “no”, il bambino sarà assegnato ad Anna ma Beth eviterà la schiavitù. Quindi Beth preferisce rispondere “no” e di nuovo Salomone può assegnare il bambino ad Anna. La teoria del disegno dei meccanismi ha applicazioni nei campi più diversi. Per farcene un’idea, vediamo un esempio relativo alle aste. Le aste sono meccanismi concorrenziali per l’assegnazione di uno o più beni. Ce ne sono moltissime varianti, ma qui ci limitiamo a considerare il caso molto semplice delle aste in busta chiusa per un singolo bene. Cristina ha messo all’asta un personal computer. Ci sono solo due potenziali compratori: Luca e Giulia. Le regole dell’asta sono le seguenti. Ciascun concorrente consegna la sua offerta in busta chiusa. Vince l’asta chi ha fatto l’offerta più alta (in caso di offerte uguali, il vincitore è deciso dal lancio di una moneta). Il vincitore paga l’offerta scritta nella sua busta. Prendiamo il punto di vista di Luca, per il quale il computer vale 10: quanto deve offrire? Il problema non è facile. Da un lato, deve offrire meno di 10 perché altrimenti se vince non guadagna nulla. Dall’altro, non deve offrire troppo poco o altrimenti corre il rischio che Giulia gli porti via il computer: per esempio, se Luca offre 7 (puntando a un profitto di 10-7=3) e Giulia offre 8, Luca resta con le pive nel sacco. Se interpretiamo l’offerta di Luca come una dichiarazione di quanto sia disposto a pagare, possiamo dire che Luca sta cercando di mentire (pagare meno del suo valore) ma senza esagerare. Stabilire quale sia la menzogna migliore per Luca in queste situazioni è un problema complicato che qui non affrontiamo, anche se la sua soluzione è nota [13]. Cambiamo approccio e chiediamoci se esista uno schema d’asta diverso che renda la vita più facile per Luca (e simmetricamente per Giulia). Il modo più elegante per risolvere il problema di Luca è trovare uno schema che induce tutti i partecipanti all’asta a dire la verità. Se la cosa migliore è dire la verità, non occorre fare sforzi per cercare la bugia migliore. La chiave per trovare lo schema è nascosta nelle due regole che definiscono l’asta: 1) vince l’asta chi ha fatto l’offerta più alta; 2) il vincitore paga la sua offerta. La prima regola decide chi vince; la seconda regola decide quanto deve pagare il vincitore. La prima regola spinge Luca a offrire molto, in modo da assicurarsi il

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computer; la seconda regola lo induce a mentire, in modo da non spendere troppo. L’idea semplice ma brillante di William Vickrey (premio Nobel per l’Economia nel 1996) è di generare un nuovo schema modificando la seconda regola, in modo da eliminare l’incentivo a mentire. La nuova regola è la seguente: 2bis) il vincitore paga l’offerta fatta dal suo concorrente. L’asta definita dalle regole 1+2 si chiama asta al primo prezzo, perché il vincitore paga il prezzo più alto fra le due offerte. L’asta definita dalle regole 1+2bis si chiama invece asta al secondo prezzo, perché il vincitore paga il prezzo più basso. Si noti che in ogni caso la regola di determinazione del vincitore è la stessa. La sorprendente proprietà dell’asta di secondo prezzo è che conviene sempre dire la verità e fare un’offerta uguale al proprio valore. Dimostriamolo. Bisogna far vedere che nell’asta di secondo prezzo Luca non trae nessun vantaggio dal fare un’offerta diversa dal suo valore di 10. Mostriamo prima che non conviene offrire di più; poi faremo vedere che non conviene neanche offrire di meno. Supponiamo che Luca mediti di offrire 10+K, con K>0. Se Giulia offre un valore A<10, Luca vince sia che offra 10 sia che offra 10+K e paga sempre A; quindi per Luca non fa differenza. Se Giulia offre un valore A>10+K, Luca perde sia che offra 10 sia che offra 10+K; quindi per Luca non fa differenza. Infine, se Giulia offre un valore 1010 e quindi ci rimette. Tirando le somme, nella migliore delle ipotesi offrire 10+K invece di 10 non fa differenza e nella peggiore conduce a una perdita (per brevità, lasciamo al lettore di verificare che questo resta vero anche per i due casi speciali in cui Giulia offre 10 o 10+K). Adesso supponiamo che Luca mediti di offrire 10-K, con K>0. Come prima, se Giulia offre A<10-K o A>10, per Luca non c’è differenza. Invece, se Giulia offre un valore 10-K0. Come prima, nella migliore delle ipotesi offrire 10-K invece di 10 non fa differenza e nella peggiore conduce a un mancato guadagno.

Postilla L’idea di scrivere questo lavoro è nata in occasione del conferimento del premio Nobel 2007 per l’Economia a Leonid Hurwicz, Eric. S Maskin e Roger B. Myerson “per aver costruito le fondamenta della teoria del disegno dei meccanismi”, in cui gioca un ruolo importante la sincerità. Ciò nonostante, in qualche occasione l’ho presentato sotto il titolo “X, Lies, and Mathematics” sostenendo di avere tratto ispirazione dal film Sex, Lies, and Videotape uscito nel 1989. Era una bugia.

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Bibliografia [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

[8] [9] [10] [11] [12] [13]

P. Odifreddi (2001) C’era una volta un paradosso: Storie di illusioni e verità rovesciate, Einaudi, Torino R. Smullyan (1981) Qual è il titolo di questo libro? L’enigma di Dracula e altri indovinelli logici, Zanichelli, Torino M. Li Calzi (2009) Giochi da senatori, Alice & Bob 10, pp. 17-20 L. van Hove, B. Heyndels (1996) On the optimal spacing of currency denominations, European Journal of Operational Research 90, pp. 547-552 J.O. Shallit (2003) What this country needs is an 18-cent piece, Mathematical Intelligencer 25, pp. 20-23 R.K. Guy, R.J. Nowakowski (1995) Coin-weighing problems, American Mathematical Monthly 102, pp. 164-167 D. Eves (1946) Problem E712: The extended coin problem, American Mathematical Monthly 53, p. 156. Solutions by E.D. Schell e J. Rosenbaum, American Mathematical Monthly 54, pp. 46-48 W.G. Christie, P.H. Schultz (1994) Why do NASDAQ market makers avoid odd-eighth quotes?, Journal of Finance 49, pp. 1813-1849 S.D. Levitt, S.J. Dubner (2008) Freakonomics: Il calcolo dell’incalcolabile, Sperling & Kupfer, Milano M. Nigrini (1996), “A taxpayer compliance application of Benford’s law”, Journal of the American Taxation Association 18, pp. 72-91 T.P. Hill (1995), “The significant-digit phenomenon”, American Mathematical Monthly 102, pp. 322-327 K. Binmore (2007), Game theory: A very short introduction, Oxford University Press, Oxford L. Parisio (1999) Meccanismi d’asta, Carocci, Roma

Matematica e letteratura

Percorsi M. Emmer Matematica: passione giovanile di Stendhal M. Emmer Conti e racconti: la scienza come laboratorio creativo R. Ghattas, D. Gouthier, S. Sandrelli

Percorsi A Luciano Emmer di Michele Emmer

Ero meravigliato di essere vivo, ma stanco di aspettare soccorsi. Stanco soprattutto degli alberi che crescevano lungo il burrone, dovunque ci fosse posto per un seme che capitasse a finirvi i suoi giorni. Il caldo, quell’atmosfera morbida, che nemmeno la brezza del mattino riusciva a temperare, dava alle piante l’aspetto di animali impagliati.

Così inizia il romanzo, il primo romanzo di Ennio Flaiano Tempo di uccidere che fu scritto su invito di Leo Longanesi e pubblicato nel 1947; lo stesso anno Flaiano vinse il primo premio Strega. Si legge nella presentazione della terza edizione del 1967: Il romanzo in cui Flaiano descrive l’Africa come la vide quando era ufficiale di complemento collocandovi le gesta di un immaginario protagonista, vero eroe della condizione contemporanea, costantemente con un piede nella tragedia e uno nella farsa. Molti lettori vi si riconosceranno. [1]

Dal 1943 inizia a lavorare per il cinema con Federico Fellini, Alessandro Blasetti, Mario Monicelli, Michelangelo Antonioni, Luciano Emmer e molti altri. Tra il 1947 e il 1971 scrive alcune tra le più belle sceneggiature del cinema del dopoguerra. Ha collaborato con Federico Fellini alla sceneggiatura o al soggetto dei film I vitelloni (1953), La strada (1954), Le notti di Cabiria (1957), La dolce vita (1960) e 8 e ½ (1963). Nel 1954 Flaiano è sceneggiatore insieme con Luciano Emmer e Rodolfo Sonego, sceneggiatore di tanti film di Alberto Sordi, del film Camilla [2]. Flaiano si lamenterà con Emmer del modo in cui il regista ha trasposto la sceneggiatura nel film, riducendo secondo lui i personaggi “al ruolo di comparse che non hanno niente da dire”, come scrive in un appunto di una versione inedita di una lettera del 23 marzo del 1955. Nella lettera finale [3] scrive: “Sotto qualche aspetto Camilla mi ha deluso”. E tra l’altro accenna ai due bambini, figli nel film dei protagonisti, nella vita del regista:

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Fig. 1. Copertina del 1967 di Tempo di uccidere

Fig. 3. La lettera di Flaiano a Emmer del 1955

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Fig. 2. Ennio Flaiano

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Andrea non è stato sfruttato affatto nei suoi delicati rapporti con il padre che dovevano essere di solidarietà e comprensione, comunque di imitazione.

Luciano Emmer risponderà lo stesso giorno. Era in discussione la possibilità di realizzare un film che doveva essere intitolato Il bambino, ispirato alla infanzia di Flaiano, con la regia di Emmer: Per tua tranquillità tengo a dichiararti che se io alla fine dovessi fare un film diverso di intonazione da quello che tu pensi, io menzionerò il tuo nome, se tu lo vorrai, secondo il tuo odierno desiderio: libero adattamento da un soggetto di Ennio Flaiano.

Aveva collaborato ad altri film di Emmer come Parigi è sempre Parigi [4] del 1951 e successivamente a La ragazza in vetrina del 1960 [5]. Nel 1940 Flaiano aveva sposato Rosetta Rota, che era laureata in matematica, e fu per un certo periodo assistente all’istituto di matematica dell’università di Roma, ed era anche in contatto con il gruppo di ricerca di Enrico Fermi. Rosetta era la zia di Gian Carlo Rota, il matematico italiano che per la maggior parte della sua carriera è stato professore presso il Massachusetts Institute of Technology. È

Fig. 4. Scena dal film Camilla

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Fig. 5. Luciano Emmer e Ennio Flaiano

Fig. 6. Gian Carlo Rota

Fig. 7. Copertina del volume Indiscrete Thoughts

Fig. 8. Copertina del libro La solitudine dei numeri primi

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stato finora l’unico professore del MIT ad aver ricevuto contemporaneamente la carica di Professor of Applied Mathematics e Professor of Philosophy. Nel 1997 Rota aveva pubblicato il volume Indiscrete Thoughts in cui era inserito l’articolo The Phenomenology of Mathematical Beauty [6]. Rota morirà nel 1999. Nel volume The Visual Mind 2 [7] del 2005 è stato reso omaggio al suo lavoro ripubblicando l’articolo all’inizio del libro. Cinquanta anni dopo l’attribuzione del premio Strega a Flaiano, Paolo Giordano vince il premio con il suo primo romanzo La solitudine dei numeri primi. [8] I numeri primi sono divisibili soltanto per 1 e per se stessi. Se ne stanno al loro posto nell’infinita serie dei numeri naturali, schiacciati come tutti fra due, ma un passo in là rispetto agli altri. Sono numeri sospettosi e solitari e per questo Mattia li trovava meravigliosi.

E la storia, la storia dei legami tra la matematica, la letteratura, il cinema, tra la matematica e la cultura, la Cultura, continua, continuerà…

Bibliografia [1] E. Flaiano (1947) Tempo di uccidere, Longanesi, Milano [2] L. Emmer (regia) (1954) Camilla. Soggetto e sceneggiatura: Luciano Emmer, Ennio Flaiano, Rodolfo Sonego. Interpreti: Gabriele ferzetti, Luciana Angiolillo, Franco Fabrizi, Irene Tunc, Gina Busin, Elisabetta e Michele Emmer. Fotografia: Gábor Pogány. Montaggio, Jolanda Benvenuti. Musiche: Carlo Innocenzi, Roman Vlad [3] E. Flaiano (1999) Il bambino cattivo, a cura di D. Rüesch, Libri Scheiwiller, Milano [4] L. Emmer (regia) (1951) Parigi è sempre Parigi. Soggetto: Sergio Amidei, Giulio Macchi. Sceneggiatura: Sergio Amidei, Giulio Macchi, Ennio Flaiano, Jacques Remy, Francesco Rosi. Intepreti: Aldo fabrizi, Franco Interlenghi, Marcello Mastroianni, Ave Ninchi, Lucia Bosè, Paolo Panelli, Galeazzo Benti, Vittorio Caprioli, Yves Montand. Fotografia: Henri Alekan. Montaggio: Gabriele Varriale. Musica: Roman Vlad [5] L. Emmer (regia) (1960) La ragazza in vetrina. Soggetto: Rodolfo Sonego, Luciano Emmer. Sceneggiatura: Vinicio Marinucci, Paolo Pasolini, Luciano Emmer. Intepreti: Magali Noel, Lino Ventura, Marina Vlady, Bernard Fresson, fotografia Otello Martelli. Montaggio: Jolanda Benvenuti. Musica: Roman Vla. Nel 2009 le Centre Nationale de Cinematographie di Parigi ha promosso la stampa in DVD del film nella serie Les Maitres Italiens, con il titolo La Fille dans la vitrine, distribuzione SNC, www.m6videodvd.com [6] G-C. Rota (1997) Indiscrete Thoughts, Birkhäuser, Boston [7] M. Emmer (a cura di) (2005) The Visual Mind 2, the MIT Press, Cambridge [8] P. Giordano (2008) La solitudine dei numeri primi, Mondadori, Milano

Matematica: passione giovanile di Stendhal Vie de Henry Brulard di Michele Emmer

Il 6 gennaio 1831 in margine a un libro che sta leggendo durante un viaggio Stendhal lascia un appunto su un’idea embrionale di un’autobiografia che vorrebbe scrivere Ho scritto le vite degli uomini più grandi, Mozart, Rossini, Michelangelo, Leonardo da Vinci. Adesso non ho più la pazienza di cercare i materiali, di mettere a confronto le testimonianze, e mi è venuta l’idea di scrivere una vita della quale conosco molto bene i particolari. Peccato che la persona sia poco conosciuta: sono io. Nacqui a Grenoble il 23 febbraio 1783… [1].

Tra giugno e luglio del 1832 inizia a scrivere i Ricordi di egotismo in cui avrebbe voluto raccontare la sua vita a Parigi all’epoca della Restaurazione, dal giugno 1821 al novembre 1830. Il racconto si interrompe al 1822. Dopo altri tentativi, continua a segnare ricordi della sua famiglia sotto il titolo di Mémoires de Henry B. Si rimette

Fig. 1. Ritratto di Marie Henri Beyle, Stendhal (1840) Johan Olaf Södermack

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a lavorare il 23 novembre 1835, il 17 marzo 1836 lascia in sospeso il lavoro e poi il 26 marzo decide di interrompere definitivamente l’opera “L’immaginazione vola altrove”. Ha scritto Emilio Faccioli nell’introduzione all’edizione italiana del 1976 [1]: Il racconto della sua vita iniziato con la rievocazione degli anni lontani della fanciullezza e dell’adolescenza, rimane così interrotto ai ricordi della campagna d’Italia, nella primavera del 1800, e dalle prime, fortissime emozioni provate al suo incontro con un mondo che assieme alle incantevoli bellezze naturali gli rivela il fascino della musica, la gioia e la follia delle passioni amorose.

Scritto in prima persona, creandosi una sorta di alibi, utilizzando una propria controfigura, che non è uno pseudonimo ma un personaggio autonomo. Henry Brulard è un io narratore che si affianca alle altre figure affioranti dai suoi ricordi, dai quali si differenzia per il fatto di conoscere lo svolgersi degli avvenimenti futuri. E poiché quel tempo passato è simile a un “affresco di cui siano caduti grossi squarci” Stendhal integra le parti mancanti con l’ausilio della fantasia. Conservata con gli inediti nella Biblioteca Civica di Grenoble, la Vita di Henry Brulard compare nel 1890, ma è soltanto con l’edizione critica curata da Henri Martineau del 1927 che il libro comincia a essere apprezzato. Stamattina, 16 ottobre 1832, mi trovavo a San Pietro in Montorio, sul Gianicolo, a Roma. C’era un sole splendido.

Così inizia il racconto. Stendhal ha cinquant’anni, scrive di cose lontane nel tempo. Perché Stendhal sceglie il nome di Henry Brulard per raccontare la sua giovinezza? Non è un nome inventato. Prende il nome di uno zio paterno come pseudonimo. Non voleva utilizzare il suo vero nome Henri-Marie Beyle perché, come sottolineano in molti, odiava il padre. Adorava la madre morta nel 1790 quando Stendhal aveva 7 anni. Ha scritto Béatrice Didier nella prefazione all’edizione ripresa dal manoscritto originale nel 1973, La ‘Vie de Henry Brulard’ ou de l’OEdipe a l’écriture [2]: “Stendhal ha talmente detestato il padre che ha preso a odiare anche la città con la quale lo identificava”. Ma con piacere masochistico Stendhal ricorda e descrive in dettaglio la sua città, uno dei centri vitali dell’amata Rivoluzione. Il padre sarà arrestato nel 1794 durante il periodo del terrore. Quando scrive Stendhal va alla ricerca di se stesso, cerca le sue radici, non cercando affatto di essere obiettivo e imparziale. Ricorda chi lo ha fatto soffrire. Non ha pietà né rimorsi. Esprime il suo disgusto per l’Aristocrazia, per la Religione, per la Monarchia, come farà nelle sue opere più famose. Odia il suo istitutore l’Abbé Raillane, scelto dal padre, e sua zia Séraphie. Detesta la loro ipocrisia come quella del padre. Proclama il suo grande amore per l’Italia (sulla sua tomba farà scrivere Milanese), le origini della famiglia della madre sono italiane. E scrive per

Matematica: passione giovanile di Stendhal. Vie de Henry Brulard

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il piacere di scrivere, di ricordare e di inventare. Di scrivere del suo grande amore per la matematica, per il ragionamento logico. E per il disegno. Nel 1796 ha tredici anni [3]: Dal 1796 al 1799 mi preoccupavo soltanto di quanto potesse darmi la possibilità di lasciare Grenoble, ossia delle matematiche: calcolavo con ansia come poter consacrare al lavoro una mezz’ora di più al giorno. Inoltre mi piacevano e tuttora mi piacciono le matematiche per se stesse perché non ammettono né l’ipocrisia né il vago, le mie due bestie nere.

I ricordi di Stendhal non seguono un itinerario strettamente cronologico, hanno piuttosto un andamento circolare, ritorna spesso su episodi già descritti, per poi passare oltre e ritornarci più avanti. Così è anche quando parla della matematica. Per molte pagine quelle osservazioni sulla matematica restano isolate sino a quando annota1: Mi pare che di lì a poco andai alla Scuola Centrale, sarà stato quindi verso il 1797, io frequentai la Scuola centrale tre anni soltanto.

Segue il racconto del periodo della scuola, che sarà rievocato in molte parti del racconto. Stendhal disegna anche uno schizzo del Collegio con l’indicazione delle aule, l’aula B è quella di matematica. È molto importante il disegno nella storia. A parere di Béatrice Didier, Stendhal ha appreso la passione del disegno dalla madre. Conta anche sul disegno per lasciare l’odiata Grenoble2. Il disegno è essenzialmente liberatorio, aggressivo anche… Nella scrittura stessa del racconto il disegno ha una parte del tutto eccezionale, forse unica negli annali dell’autobiografia.

Annota sempre la Didier, “raddoppia, completa, precede la scrittura propriamente detta”. Racconta Stendhal, e comincia con il descrivere i suoi odiati insegnanti, quello di matematica in particolare3: Tra gli insegnanti […] alla fine Dupuy, il borghese più enfatico e più paterno ch’io abbia mai visto, fu professore di matematica, senza la minima ombra di 1 2 3

Stendhal (1976) op. citata, p. 177. B. Didier (1973) op. citata, p. 14. Stendhal (1976) op. citata, p. 181.

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Fig. 2. B = al piano terra aula di matematica

intelligenza. Era a mala pena un agrimensore e fu nominato in una città che possedeva un Gros4; ma il nonno non capiva un’acca di matematica e lo odiava, d’altronde l’enfasi del padre Dupuy era fatta apposta per conquistarsi la stima generale. Quell’uomo così vacuo pronunziava tuttavia una grande frase: Figlio mio, studia la logica di Condillac, è la base di tutto5. Non si potrebbe dire di meglio oggi, sostituendo però il nome di Condillac con quello di Tracy6. Il bello è che, credo, Dupuy non capiva una sillaba di quella logica di Condillac che ci consigliava: era un volumetto sottilissimo in dodicesimo: (Ma anticipo, è il mio difetto; rileggendo dovrò forse cancellare tutte queste frasi che offendono l’ordine cronologico.

E ricorda Henry Brulard7: M. Dupuy, invidioso di vedere M. Gagnon membro della giuria organizzatrice e suo superiore, non accolse la raccomandazione del fortunato rivale in mio 4 5

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Si veda p. 244 di questo volume. Étienne Bonnot de Condillac (Grenoble,1715–1780), filosofo ed enciclopedista francese. Tra le sue opere due lavori pubblicati postumi Logica (1781) e l’incompleto Linguaggio dei calcoli (1798). Destutt de Tracy, Antoine-Louis-Claude (1754 -1836), filosofo francese. Di formazione illuministica, fu deputato, nel 1789, agli Stati Generali per la nobiltà e appoggiò l’abolizione dei privilegi dell’aristocrazia e del clero, schierandosi con il Terzo Stato. Introdusse per primo il termine ideologia. Stendhal (1976) op. citata, p. 187.

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favore sicché io mi guadagnai il posto nell’aula di matematica soltanto a forza di merito, e ancora vedendomelo contestato continuamente per tre anni consecutivi. M. Dupuy, il quale non smetteva di parlare di Condillac e della sua Logica, non aveva poi nel cervello neppure l’ombra di logica. Parlava con nobiltà e con grazia, imponente di figura e educatissimo di modi. Nel 1794 gli venne un’idea luminosa: dividere il centinaio di alunni che gremivano l’aula a pianterreno, alla prima lezione di matematica, in gruppetti di cinque o di sette, ognuno con un capo. Il mio era un grande, un giovanotto che aveva già superato la pubertà, alto un piede più di noi. Ci sputava addosso mettendosi abilmente un dito davanti alla bocca [...]. Seguivamo l’insulso trattato di Bezout8, ma M. Dupuy ebbe il buon senso di parlarci di Clairaut9 e della nuova edizione appena pubblicata da M. Biot10 (quel ciarlatano lavoratore): Clairaut era fatto per aprire le teste che Bezout tendeva a lasciare chiuse in perpetuo. In Bezout ogni proposizione sembra un grande segreto imparato dalla vicina comare […].11 Giunse la fine dell’anno, ottenni un misero accessit, e il nonno ne fu umiliato, e me lo disse con garbo e una moderazione assoluti. La sua parola così semplice mi colpì profondamente. Ridendo aggiunse:

“Sapevi soltanto mostrarci il tuo grosso sedere!” Quella mia posizione poco attraente era stata notata alla lavagna nell’aula di matematica.12

Nel disegno accluso dell’aula Stendhal si indica con la lettera H e la didascalia Io che muore dal desiderio di essere chiamato per salire alla lavagna e si nasconde per non essere chiamato morendo di paura e timidezza. D. è M. Dupuy, M. i suoi protetti nobili.

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Etienne Bezout (1730-1783). Sotto l’influenza delle opere di Eulero decise di dedicarsi alla matematica. Ha pubblicato tra l’altro una memoria dedicata alle Quantitès différentielles e nel 1758 Rectification des courbes. Fu nominato esaminatore per le Guardie della Marina nel 1763. In tale veste scrisse un volume di testo dedicato all’insegnamento della matematica per gli studenti. Per questo testo è divenuto famoso. Alexis Claude Clairaut (1713-1765). Bambino prodigio in matematica, oltre ai tanti lavori scientifici pubblicò per l’insegnamento i più volte ristampati volumi: Elements de geometrie, prima edizione 1741 e Elémens d’algèbre 1746. Jean-Baptiste Biot (1774-1862) fisico e matematico francese. Entra l’anno della fondazione a l’École Polytechnique nel novembre 1794. È chiamato alla cattedra di fisica matematica al Collège de France nel novembre 1801. Eletto il 11 aprile 1803 membro della Académie des Sciences (sezione di geometria). Stendhal (1976) op. citata, p. 188. Stendhal (1976) op. citata, p. 191-192.

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Fig. 3.

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Fig. 4.

Era in alto, molto in alto, esageratamente in alto la lavagna, così la rappresenta Stendhal (che ricorda più di trenta anni dopo), doveva essere un vero incubo la lezione di matematica13. Era una lastra di ardesia, sei piedi per quattro, sorretta da una solida intelaiatura, all’altezza di cinque piedi da terra a cui si accedeva con tre scalini. M. Dupuy faceva dimostrare una proposizione, per esempio il quadrato dell’ipotenusa, oppure questo problema: una stoffa costa sette libbre, quattro soldi, tre denari la tesa: l’operaio ne ha fatto due tese, cinque piedi, tre pollici. Quanto guadagna? Durante l’anno egli aveva sempre chiamato alla lavagna i nobili e gli ultrà, M.M. De Monval, M. de Pina, M. Anglès, M. de Renneville, e mai me, o tutt’al più una volta.

E Stendhal descrive più volte la sofferenza di quella salita alla lavagna, salita che desidera fare per essere riconosciuto, ma che lo spaventa14. Arrampicatici alla lavagna, scrivevamo in O. La testa del dimostrante si trovava almeno a otto piedi da terra. In quanto a me, messo in mostra una volta al mese, ma per nulla aiutato da M. Dupuy, che mentre facevo la dimostrazione, si rivolgeva a Monval o a De Pina, ero tutto intimidito, e balbettavo. Quando toccò a me salire alla lavagna davanti alla commissione, la mia timidezza raddoppiò e mi confusi guardando quei signori, soprattutto il terribile M. Dausse, seduto vicino e a destra della lavagna. Ebbi la presenza di spirito di non più

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Stendhal (1976) op. citata, p. 191-192. Stendhal (1976) op. citata, p. 194.

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guardarli e di badare soltanto alle mie operazioni per cui me la cavai correttamente, però annoiandoli. Quale diversità con quanto avvenne nell’agosto del 1799! Posso dire che solo per mio merito ho sfondato in matematica e in disegno, come dicevamo alla Scuola Centrale.

Soffriva, aveva sofferto Stendhal, o almeno così si ricorda molti anni dopo, il fatto di non essere amato e riconosciuto dagli insegnanti e ricostruisce con il disegno quei ricordi e la cattedra appare sempre più in alto, inaccessibile15. In quanto a me tremavo per l’esame che doveva cavarmi fuori da Grenoble! […] E siccome allora si computavano gli anni a partire dalla repubblica, doveva essere il V o il VI. Soltanto molto tempo dopo, quando stupidamente lo ha ordinato l’Imperatore, ho imparato a conoscere 1796, 1797.

Stendhal conosceva (a quel tempo o molti anni dopo?) molti dei matematici importanti dell’epoca. E li giudica uno per uno, con il suo ardore rivoluzionario (non di allora, di quando era un ragazzino, dato che molti degli avvenimenti a cui si riferisce sono posteriori agli avvenimenti narrati. Chi racconta sa che cosa è successo dopo!). Forse con un punto di soddisfazione quando il matematico citato non è stato all’altezza come persona della sua fama scientifica. Una sorta di rivalsa per il suo fallimento in matematica?16 Fu allora che l’Imperatore cominciò a innalzare il trono dei Borboni, assecondato dalla sconfinata, immensa vigliaccheria di M. de Laplace17. Cosa strana: i poeti sono coraggiosi, gli scienziati propriamente detti servili e vigliacchi. Quale non fu il servilismo e la bassezza di M. Cuvier nei confronti del potere!

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Stendhal (1976) op. citata, p. 195. Stendhal (1976) op. citata, p. 195. Simon Laplace (1749-1827). Famoso matematico e astronomo, nel 1785 diventò membro dell’Académie des Sciences e nel 1816 venne eletto all’Académie française. Napoleone, nel 1799, che desiderava il supporto di uomini di scienza, nominò Laplace ministro degli interni ma fu fatto dimettere poco dopo. Napoleone commentò: “Geometra di prima categoria, Laplace non ha tardato a dimostrarsi un amministratore più che mediocre; dal suo primo lavoro noi abbiamo subito compreso che ci eravamo sbagliati. Laplace non coglieva alcuna questione sotto il suo giusto punto di vista: cercava delle sottigliezze ovunque, aveva solo idee problematiche, e infine portava lo spirito dell’“infinitamente piccolo” perfino nell’amministrazione”. Nel 1814 al declino dell’Imperatore Laplace si affrettò a offrire i suoi servigi ai Borboni. Durante la Restaurazione fu ricompensato con il titolo di marchese. È palese la sua appropriazione dei risultati di coloro che erano relativamente sconosciuti. Fra coloro che aveva trattato in tal modo, tre in seguito diventarono famosi: Legendre e Fourier in Francia e Young in Inghilterra. Essi non dimenticarono mai l’ingiustizia di cui furono vittime.

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[…] Dotati di rendite per la vigliaccheria: Bacon, Laplace, Cuvier18. M. Lagrange19, mi pare, fu meno ignobile. Con la gloria assicurata dagli scritti, quei signori sperano che lo scienziato maschererà lo statista; nelle faccende di denaro come nei favori, corrono all’utile. Il famoso Legendre20, un geometra di prim’ordine, nel ricevere la croce della Legion d’Onore, se l’appuntò sulla giacca, si guardò allo specchio e saltò di gioia. L’appartamento era basso, la testa picchiò nel soffitto e lui cadde mezzo tramortito. Sarebbe stata degna morte per quel successore di Archimede! Quante vigliaccherie non sono state fatte all’Accademia delle Scienze dal 1815 al 1830 e dopo, per acciuffare delle croci!

Il sogno del giovane Stendhal è di fuggire da Grenoble, dalla provincia, e dal padre. Come fare?21 18

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Georges Cuvier (1769-1832) naturalista francese. Nel 1795 venne fondato l’Institut de France e Cuvier ne venne eletto membro. Nel 1799 subentrò a L.J.M. Daubenton come professore di storia naturale nel Collège de France, all’inizio del 1803, venne nominato segretario a vita dell’Institut de France nel dipartimento delle scienze fisiche e naturali. Nel 1808, venne incaricato da Napoleone di dirigere il consiglio della Università. Prima della caduta di Napoleone (1814) Cuvier venne ammesso al Consiglio di Stato, e la sua posizione rimase tale anche in seguito alla restaurazione dei Borboni. Nel 1826 venne nominato gran ufficiale della Légion d’honneur; nel 1831 venne innalzato da Luigi Filippo di Francia al rango di pari di Francia e, in seguito, nominato presidente del Consiglio di Stato. Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), grande matematico e astronomo nato in Italia e attivo per molti anni a Berlino e a Parigi. In campo matematico Lagrange è ricordato per le sue attività in teoria dei numeri, per aver sviluppato il calcolo delle variazioni, per aver delineato i fondamenti della meccanica razionale, per i risultati nel campo delle equazioni differenziali e per essere stato uno dei pionieri della teoria dei gruppi. Eulero rimase impressionato dalle sue doti e nel 1759 lo fece eleggere membro dell’Accademia di Berlino. Nel 1766, su proposta di Eulero e di D’Alembert, venne chiamato da Federico II di Prussia a succedere a Eulero stesso come presidente della classe di scienze dell’Accademia di Berlino. Nel 1786, su invito del re Luigi XVI di Francia, si trasferì a Parigi per entrare a far parte dell’Académie des Sciences. Durante la Rivoluzione francese gli fu offerto di tornare a Berlino ma egli rifiutò. In questo periodo si mosse sempre con prudenza per evitare guai politici e non finire ghigliottinato. Divenne presidente della commissione cui era stato affidato il compito di fissare un nuovo sistema di pesi e misure, il sistema metrico. Dal 1797 insegnò all’École polytechnique appena fondata. Con l’affermarsi al potere di Napoleone Bonaparte la sua posizione si consolidò: ricevette la Legion d’Onore, venne eletto al Senato di Francia e nominato conte dell’impero. Adrien-Marie Legendre (1752–1833) dal 1775 al 1780 insegnò con Laplace all’École Militare. Nel 1782 Lagrange, direttore per la matematica alla Accademia di Berlino chiese notizie su Legendre a Laplace. Su suggerimento di Laplace nel 1783 entrò alla Académie des Sciences a Parigi. Nel 1794 Legendre pubblica Eléments de gèomètrie che rimarrà il testo di riferimento per cento anni. Nel 1795 l’Acadèmie des Sciences riapre dopo la chiusura durante la Rivoluzione con il nome di Istitut National des Sciences. Ogni sezione conteneva sei posti, e Legendre occupava uno dei sei di matematica. Nel 1803 Napoleone riordina l’Istitut creando una sezione di geometria e Legendre fu inserito in questa sezione. Nel 1824 si rifiutò di votare per il candidato del governo all’Institut, e di conseguenza la sua pensione venne interrotta. Stendhal (1976) op. citata, p. 207-211.

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Eppure la burrasca morale di cui ero stato preda per parecchi mesi mi aveva maturato e cominciavo seriamente a dire a me stesso: Devo prendere una decisione e cavarmi da questo pantano. Avevo un unico mezzo: la matematica. Però non facevo un passo avanti, tant’erano bestiali le spiegazioni; vero è che i compagni progredivano ancora meno se possibile. Quel grande M. Dupuy ci spiegava i teoremi come una serie di ricette per fabbricare l’aceto. Eppure Bezout era il mio solo aiuto per uscire da Grenoble. Ma Bezout era talmente bestia! La stessa testa di M. Dupuy, il nostro enfatico professore. Il nonno conosceva un borghese microcefalo, un certo Chabert, il quale “insegnava la matematica in camera” secondo l’espressione locale che calza a pennello per quel tipo. A fatica ottenni di frequentare anch’io la camera di Chabert, i miei temevano di offendere M. Dupuy, e d’altronde bisognava pagare, se non sbaglio, dodici franchi al mese. Io ribattei che quasi tutti gli alunni del corso di matematica, della Scuola centrale, andavano da M. Chabert, e che se anch’io non l’avessi fatto, sarei rimasto l’ultimo a scuola. Frequentai dunque M.Chabert. Costui era un borghese abbastanza ben vestito, che aveva però l’aria di indossare sempre il vestito della festa e di spasimare per timore di sciupare la giubba o il panciotto o i bei pantaloni corti di Casimiro color “merda d’oca”; aveva anche una discreta faccia da buon borghese. Abitava in rue Neuve, vicino a rue Saint-Jacques, quasi di fronte al negoziante di ferraglie, Bourbon, il cui nome mi colpiva; perché i miei borghesissimi parenti pronunziavano quel nome soltanto con i segni del più profondo rispetto e della più sincera devozione. Quasi vi fosse legata l’esistenza della Francia. Ma anche da M. Chabert ritrovavo quell’assenza di simpatia che mi annichiliva alla Scuola centrale e faceva sì che non fossi mai chiamato alla lavagna. In una stanzetta, in mezzo a sette o otto scolari, riuniti intorno a una lavagna di tela cerata, era una grossa sgarbatezza chiedere di salire alla lavagna, ossia di dimostrare per la quinta o la sesta volta una proposizione già spiegata da altri quattro o cinque ragazzi. E tuttavia vi ero talvolta costretto, altrimenti non avrei mai “dimostrato”. M. Chabert mi giudicava un minus habens, ed è rimasto di quest’odiosa opinione. Nulla era così ridicolo in seguito parlare dei miei trionfi in matematica. Agli inizi però fu una strana mancanza dì interessamento o meglio d’intelligenza da parte dei miei non informarsi s’io fossi in grado di “dimostrare” e quante volte la settimana io salissi alla lavagna. Ma loro non si abbassavano a quelle quisquiglie. M. Chabert, il quale faceva professione di un profondo rispetto per M. Dupuy chiamava alla lavagna solo quelli che già vi accedevano alla Scuola centrale. E ancora M. Chabert lo giustifico.

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Fig. 5. Casa di M. Chabert

E Stendhal aggiunge una osservazione, che non fa spesso nel libro ma certo avrebbe dovuto fare prima o poi davanti al suo comportamento giovanile22: Io dovevo essere il ragazzetto più presuntuoso e beffardo che esistesse. Il nonno e tutta la famiglia mi decantavano come un prodigio: non mi propinavano tutte le loro cure da ben cinque anni?

Malgrado il suo sprezzante giudizio, è tuttavia grato a M. Chabert: In realtà M. Chabert era meno ignorante di M. Dupuy. Trovai in casa sua Eulero23 e i suoi problemi sul numero di uova che una contadina portava al

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Stendhal (1976) op. citata, p. 209. Leonhard Euler (1707-1783) matematico e fisico svizzero. È considerato il più importante matematico dell’Illuminismo, tra i più prolifici di tutti i tempi e ha fornito contributi storicamente cruciali in svariate aree: analisi infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, meccanica celeste, teoria dei numeri, teoria dei grafi. Fortunatamente Bernoulli convinse il padre di Eulero che il suo destino era la carriera matematica. Nel 1726 Eulero completò il dottorato sulla propagazione del suono. In quegli anni i due figli di Johann Bernoulli, Daniel e Nicolas lavoravano all’Accademia Imperiale delle scienze di San Pietroburgo. Nel 1726, Nicolas morì e Daniel prese la cattedra di matematica e fisica del fratello, lasciando vacante la sua cattedra in medicina. Per questa fece quindi il nome di Eulero, che accettò. Eulero arrivò nella capitale russa nel 1727. Poco tempo dopo passò dal dipartimento di medicina a quello di matematica. I continui tumulti in Russia avevano stancato Eulero che amava una vita più tranquilla. Gli fu offerto un posto all’Accademia di Berlino da Federico il Grande di Prussia. Eulero accettò e partì per Berlino nel 1741. Visse a Berlino per i successivi 25 anni. In tale lasso di tempo pubblicò ben 380 articoli, oltre che alle sue due opere principali l’ Introductio in analysin infinitorum, del 1748 e l’Institutiones calculi differentialis (1765). In Russia la situazione politica si stabilizzò e Caterina la Grande, salita al potere nel 1766, lo invitò a San Pietroburgo. Egli accettò e ritornò in Russia dove restò fino alla sua morte.

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mercato, quando un impostore gliene ruba un quinto; dopo di che lei lascia cadere la metà del rimanente, e così via […] . Così il mio cervello mi si aprì, intravidi in che consistesse servirsi di quello strumento chiamato algebra. Lo sa il diavolo se qualcuno me ne avesse mai parlato, M. Dupuy continuava a blaterare sull’argomento, mai però questa frase così semplice: è una “divisione del lavoro”, che crea dei prodigi come tutte le divisioni del lavoro e permette alla mente di concentrare tutte le energie su un aspetto soltanto degli oggetti, su una sola delle loro qualità. Quale differenza per noi se egli ci avesse detto: questo formaggio è molle oppure duro; è bianco, è blu, è vecchio, è fresco; è mio, è tuo; è leggero oppure pesante. Di tante qualità consideriamo in assoluto solo il peso. Qualunque esso sia, chiamiamolo A. Adesso, senza più pensare al formaggio applichiamo ad A tutto ciò che sappiamo delle quantità. Questa cosa così semplice nessuno ce la diceva in quella arretrata provincia; da allora la Scuola politecnico e le idee di Lagrange saranno rifluite verso la provincia.

E l’invidia, il rancore, il desiderio di essere apprezzato ritornano (nello Stendhal che racconta trenta anni dopo): Il capolavoro dell’educazione di quei tempi era un furfantello vestito di verde, mite, ipocrita, gentile, alto neppure tre piedi, il quale imparava a memoria le “proposizioni” dimostrate senza preoccuparsi di capirle minimante. Questo cocco di M. Chabert non meno che di M. Dupuy, si chiamava se non sbaglio Paul-Emile Tessere. L’esaminatore per la Scuola politecnico, quell’imbecille di Louis Monge24, fratello del famoso geometra25, che ha scritto questa famosa

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Louis Monge (1748-1827) matematico francese fratello di Gaspard Monge, è un matematico francese. Professore alla École Militaire. Diventa esamintaore di idrografia, supplisce il fratello come esaminatore per la Marina, entra dopo la creazione alla École Polytechnique, ne diviene esaminatore di ammissione. Gaspard Monge (1746-1818) matematico francese, inventore della geometria descrittiva. Nel 1768 Monge fu nominato professore a condizione che i risultati della sua geometria descrittiva rimanessero un segreto militare limitato agli ufficiali superiori. Nel 1780 fu nominato a ricoprire una cattedra di matematica nell’Università a Parigi. Monge abbracciò ardentemente le dottrine della rivoluzione. Nel 1792 fu nominato Ministro della Marina e aiutò il comitato di sicurezza pubblica nell’utilizzazione della scienza per la difesa della repubblica. Quando il Terrore salì al potere egli fu denunciato e scampò dalla ghigliottina soltanto grazie a una fuga precipitosa. Nel 1796 fu inviato in Italia con la Commissione per le Scienze e le Arti, e vi soggiornò per quasi due anni. Nel 1798 raggiunse Napoleone Bonaparte in Egitto; dopo le vittorie navali e militari dell’Inghilterra egli fuggì in Francia. A Parigi fu professore alla scuola politecnica, in cui insegnava geometria descrittiva, materia della quale pubblicò un manuale.

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sciocchezza (al principio della Statica), non si accorse che tutto il merito di Paul-Emile stava in una memoria prodigiosa. Arrivò alla Scuola l’ipocrisia totale, la memoria e la bella faccia da fanciulla non vi ottennero lo stesso successo che a Grenoble, ne uscì ufficiale, ma di lì a poco fu toccato dalla grazia e si fece prete. Avevo lasciato Grenoble con un’immensa voglia di potergli un giorno somministrare a mio agio una buona dose di schiaffi. A poco a poco ricordo che M. Chabert era assai meno limitato di M. Dupuy, benché avesse un’esposizione più strascicata e un aspetto ben più meschino e borghese. Apprezzava Clairaut ed era già straordinario metterci a contatto con quel genio cavandoci fuori dal mediocrissimo Bezout. Possedeva Bossut26, l’abate Marie27 e ogni tanto ci faceva studiare un teorema di quegli autori. In manoscritto aveva pure qualche cosetta di Lagrange, adatta al nostro modesto livello.

Ma cosa sapeva di matematica Stendhal? In base a quali elementi sentiva questa grande attrazione per la matematica, a parte le considerazioni (fatte a posteriori?) sul rigore, la logica, la verità assoluta, la mancanza di ipocrisia, l’odio per la religione, le superstizioni, il padre?28 Pecco forse d’orgoglio nel qualificarmi un eccellente matematico; non ho appreso mai il calcolo differenziale e integrale, ma per un certo periodo non facevo che meditare con diletto sull’arte di porre in equazione, su quello che, se osassi, chiamerei la metafisica della matematica. Ottenni il primo premio (e senza favoritismi di sorta; anzi la mia superbia aveva indispettito) su otto giovani che, un mese dopo alla fine del 1799, furono tutti accettati come alunni alla Scuola politecnica.

Ed ecco finalmente i primi riconoscimenti: Closet e Plana riguardo alla matematica erano indietro a me di un anno, studiavano l’aritmetica mentre io ero già alla trigonometria e agli elementi di algebra… .29 Ebbi il primo premio di belle lettere con lode, un accessit o un secondo premio in matematica, ma questo lo strappai a fatica. M. Dupuy aveva una decisa avversione per il mio modo di ragionare. Mi interrogava il più raramente possibile, e ancora senz’ascoltarmi, il che mi umiliava e mi sconcertava

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Charles Bossut (1730–1814) matematico francese, collega degli Enciclopedici. Tra le sue opere, Cours des mathématiques (1781). Abate Joseph François Marie che pubblicò tra l’altro delle Lezioni elementari di Matematiche. Stendhal (1976) op. citata, p. 241. Stendhal (1976) op. citata, p. 259.

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assai, perché gli altri invece non li perdeva mai d’occhio. Ciò nonostante il mio amore sempre più serio per la matematica mi spingeva a esporgli ogni difficoltà che incontravo, io alla lavagna (H) M. Dupuy nel suo vasto seggiolone azzurro cielo (D). La mia indiscrezione lo costringeva a rispondere e allora cominciava il bello. Mi pregava sempre di esporgli i dubbi in privato con la scusa che facevo perdere tempo alla scolaresca. Incaricava il buon Sinard di darmi delle spiegazioni e questi, assai più ferrato ma in buona fede, passava una o due ore a negare quei dubbi poi a capirli, e finiva con l’ammettere che non sapeva che cosa rispondere.

Passano gli anni, cambiano i periodi storici, cambiano e passano decine di generazioni ma i ricordi dell’insegnamento della matematica restano molto simili… . Ho l’impressione che tutti quei bravi ragazzi, tranne Mante, facevano della matematica una questione di memoria. M. Dupuy pareva assai perplesso del mio primo premio così trionfale al corso di belle lettere […] Quel trionfo precedette mi pare, l’esame di matematica e mi diede un posto e una sicurezza che per l’anno seguente avrebbero costretto M. Dupuy a chiamarmi di frequente alla lavagna.

È il momento nel romanzo in cui Stendhal dichiara il suo legame con la matematica e come finì proprio quando sembrava che il suo sogno si stesse realizzando. Il giovane Stendhal scoprirà che sono altre le cose che lo attraggono profondamente30.

Fig. 6. Alla lavagna

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Stendhal (1976) op. citata, p. 279.

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Credo di avere esaurito tutto ciò di cui volevo parlare prima di iniziare quanto mi rimane da dire delle cose di Grenoble, ossia il mio ingolfarmi nella matematica. Tanto più mi piaceva la matematica quanto più disprezzavo i miei insegnanti, MM, Dupuy e Chabert. Nonostante la retorica e i bei modi M. Dupuy aveva nel rivolgere la parola a qualcuno, fui abbastanza penetrante da intuire che era infinitamente più ignorante di M. Chabert. Costui, pur di gran lunga inferiore a M. Dupuy nella gerarchia sociale dei borghesi di Grenoble, qualche volta la domenica o il giovedì mattina apriva un libro di Eulero o di… .e affrontava deciso la difficoltà. Aveva però sempre l’aria di un farmacista che conosce le buone ricette, ma niente che dimostrasse in che modo quelle “ricette” derivano le une dalle altre, nessuna “logica” nessuna filosofia in quella testa; per non so quale meccanismo di educazione o di vanità, il buon M. Chabert odiava perfino il nome di quelle cose. Con la mia testa di oggi, due minuti fa ero tanto ingiusto di stupirmi come mai non vedessi immediatamente il rimedio. Ma allora non sapevo a che santo votarmi; per vanità il nonno avversava la matematica, l’unico limite al suo scibile quasi universale. La matematica era l’unica obiezione degli avversari. Mio padre odiava la matematica per bigottismo suppongo; con un briciolo d’indulgenza per loro soltanto perché insegnano a “rilevare” la pianta delle tenute. Comperai o ricevetti in dono le opere dell’abate Marie. Ch’io lessi con l’avidità di un romanzo.

Ed ecco una delle motivazioni per il suo interesse per la matematica, e anche del disamore che subentrerà ben presto31: L’entusiasmo per la matematica aveva forse avuto come base principale la mia ripugnanza alla ipocrisia: l’ipocrisia ai miei occhi era zia Séraphie, Mme Mignon, e i loro preti. Secondo me l’ipocrisia era impossibile nella matematica e nella mia giovanile ingenuità, pensavo che lo stesso avvenisse per tutte le scienze alle quali avevo sentito dire che la matematica si applicava. Rimasi ben male, quando mi accorsi che nessuno poteva spiegarmi perché: meno per meno dà più (-x-= +)! (una delle basi fondamentali della scienza detta algebra). Dietro le mie insistenze M. Chabert s’imbrogliava, ripeteva la “lezione”, proprio quella contro la quale io muovevo le obiezioni, e finiva con l’avere l’aria di dirmi: – Ma è l’uso, tutti ammettono questa spiegazione: Eulero e Lagrange che pro-

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Stendhal (1976) op. citata, p. 281.

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Fig. 7. Alla lavagna

babilmente valevano quanto voi, l’hanno ammessa. Lo sappiamo che siete molto intelligente (il che significava: lo sappiamo che avete meritato un primo premio di “belle lettere” e parlato bene a M. Teste-Lebeau e agli altri membri del dipartimento); evidentemente volete essere originale. Ricordo benissimo che quando accennavo alla mia difficoltà sul “meno per meno” a uno dei “cannoni”, questi mi rideva in faccia; tutti dal più al meno erano come Paul Emile Teisseire e studiavano a memoria. Spesso alla lavagna li sentivo dire alla fine delle dimostrazioni: – È dunque evidente…

Ma Stendhal non si fa scoraggiare, ha le sue motivazioni32: La matematica considera soltanto un piccolo angolo visuale degli oggetti (la loro quantità), ma sotto questo aspetto ha il vantaggio di dire cose certe, la verità. E quasi tutta la verità. Nel 1797 a quattordici anni, immaginavo che la matematica superiore quella ch’io ho sempre ignorato, comprendesse “tutti” o quasi i lati degli oggetti, di modo che con il procedere innanzi, sarei riuscito a sapere cose sicure, indubitabili, e avrei potuto provarmi a volontà, “su qualsiasi cosa”. Ci misi un bel po’ a convincermi che la mia obiezione su –x-=+ non sarebbe entrata assolutamente nella testa di M. Chabert, che M. Dupuy vi avrebbe sempre risposto con un sorriso di superiorità, e che i “cannoni” ai quali rivolgevo le mie domande si sarebbero sempre burlati di me. Mi ridussi a quel che mi dico ancora oggi: -x- = + deve per forza essere vero, dato che adoperando continuamente questa regola nel calcolo, otteniamo risultati “veri e indubitabili”.

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Stendhal (1976) op. citata, p. 282-283.

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Ma la mia grande infelicità era la figura seguente: Supponiamo che RP sia la retta che separa il positivo dal negativo; positivo tutto quello che è sopra, negativo tutto quello che è sotto; in che modo prendendo il quadrato B tanta volte quante sono le unità nel quadrato A, posso far cambiare di parte al quadrato C? E seguendo un goffo paragone che l’accento strascicato e grenoblese di M. Chabert rendeva ancora più goffo, supponiamo che le quantità negative siano i debiti di un tizio, in che modo moltiplicando per 10.000 franchi di debito per 500 franchi, costui avrà o riuscirà ad avere una somma di cinque milioni? M. Dupuy e M. Chabert sono degli ipocriti come i preti che vengono a dire la messa a casa del nonno, e la mia diletta matematica non è che un inganno? Non sapevo come giungere alla verità. Ah! Come avrei ascoltato avidamente una parola sulla logica ovverosia l’arte di “trovare la verità” quale momento per spiegarmi la Logica di M. de Tracy!

E arrivano le delusioni profonde33: Il babbo e il nonno possedevano l’Encyclopédie in folio di Diderot e d’Alambert […] Cercai pertanto di consultare nell’Encyclopédie gli articoli “matematica” di d’Alambert34; il tono fatuo, la mancanza di culto per la verità mi dispiaceva assai e d’altronde ci capii poco. Con quale ardore adoravo a quel tempo la verità! Con quale sincerità la credevo regina del mondo in cui stavo per entrare. Consideravo suoi soli nemici i preti.

E ritorna l’incubo “algebra”!

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Stendhal (1976) op. citata, p. 285. Jean-Baptiste Le Rond d’ Alembert (1717–1783) enciclopedista, matematico, fisico, filosofo e astronomo francese, tra i protagonisti dell’Illuminismo. Si interessò alla medicina e alla matematica. Cambiò il nome in d’Alembert. Entra all’Académie des Sciences nel 1741 grazie ai lavori sul calcolo integrale. Nel 1746 incontra Denis Diderot, e fu coinvolto nel progetto dell’Encyclopédie; D’Alembert si occupò delle sezioni riguardanti la matematica e le scienze. Nel 1759, per divergenze con Diderot, d’Alembert abbandonò il progetto. Amico di Lagrange, rivale in matematica e in fisica all’Académie des Sciences di Clairaut. Da L’Encyclopédie: MATHÉMATIQUE ou MATHÉMATIQUES , s. f. c’est la science qui a pour objet les propriétés de la grandeur entant qu’elle est calculable ou mesurable . Voyez GRANDEUR , CALCUL , MESURE , &c. Mathématiques au pluriel est beaucoup plus usité aujourd’hui que Mathématique au singulier . On ne dit guere la Mathématique , mais les Mathématiques. La plus commune opinion dérive le mot Mathématique d’un mot grec , qui signifie science ; parce qu’en effet , on peut regarder , selon eux , les Mathématiques , comme étant la science

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Fig. 8.

Fig. 9.

Se -x-=+ mi aveva dato tanto dispiacere, si può immaginare come diventai nero, quando cominciai la “Statica” di Louis Monge, il fratello dell’illustre Monge, il futuro esaminatore per la Scuola politecnica. All’inizio della geometria è detto: “Si dà il nome di parallele a due rette che prolungate all’infinito, non si incontrerebbero mai”. E fin dagli inizi della “Statica” quel bestione di Monge dice pressappoco questo: “Due rette parallele possono essere considerate incontratesi, se le prolunghiamo all’infinito.” Credetti di leggere un catechismo e per giunta dei più balordi. Invano chiesi spiegazioni a M. Chabert. – Figliolo – disse assumendo quel tono paterno che mal si addice al volpone delfinatesco – Figliolo, lo saprete più avanti.

par excellence , puisqu’elles renferment les seules connoissances certaines accordées à nos lumieres naturelles ; nous disons à nos lumieres naturelles , pour ne point comprendre ici les vérités de foi , & les dogmes théologiques. D’autres donnent au mot Mathématique une autre origine , sur laquelle nous n’insisterons pas , & qu’on peut voir dans l’histoire des Mathématiques de M. Montucla , pag. 2. & 3. Au fond , il importe peu quelle origine on donne à ce mot , pourvu que l’on se fasse une idée juste de ce que c’est que les Mathématiques . Or cette idée est comprise dans la définition que nous en avons donnée ; & cette définition va être encore mieux éclaircie. Les Mathématiques se divisent en deux classes ; la premiere, qu’on appelle Mathématiques pures , considere les propriétés de la grandeur d’une maniere abstraite : or la grandeur sous ce point de vûe , est ou calculable , ou mesurable : dans le premier cas , elle est représentée par des nombres ; dans le second , par l’étendue : dans le premier cas les Mathématiques pures s’appellent Arithmétiques ; dans le second , Géométrie. La seconde classe s’appelle Mathématiques mixtes ; elle a pour objet les propriétés de la grandeur concrete, en tant qu’elle est mesurable ou calculable ; nous disons de la grandeur concrete , c’est-à-dire , de la grandeur envisagée dans certains corps ou sujets particuliers.

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E il mostro, accostatosi alla lavagna di tela cerata, vi tracciò due rette parallele e vicinissime: – Vedete – mi disse – che all’infinito si può dire che s’incontrino. Fui lì lì per piantare tutto in asso. Un confessore, abile e buon gesuita, in quel momento avrebbe potuto convertirmi commentando questa massima: – Vedete che tutto è errore, o meglio che non c’è nulla di falso, nulla di vero; tutto è convenzione. Adottate la convenzione che vi renderà più accetto nel mondo.

Atteggiamento analogo dovrà subire il giovane Werther quando chiede spiegazioni sui numeri immaginari al suo insegnante… [4]. Pur tuttavia il giovane Stendhal è alla ricerca di un mezzo per fuggire35: Mi pare che dissi a me stesso: “Vera o falsa, la matematica mi caverà fuori da Grenoble, da questa palude che mi nausea”. E allora la soluzione sta nel trovare un bravo insegnante che possa supplire alle carenze dell’insegnamento ufficiale. Se poi è anche giacobino… . “Nel mio culto per la matematica, sentivo da qualche tempo parlare di un giovane, noto giacobino, grande e intrepido cacciatore, conoscitore della matematica assai più di M. Dupuy e di Chabert, ma che non ne faceva mestiere. Ma con la mia timidezza come osare avvicinarlo? E inoltre le sue lezioni erano terribilmente care, come pagare? Quelle lezioni io dovevo prenderle “di nascosto di mio padre”. Non ricordo in quale modo, io, tanto timido, accostassi M. Gros. Senza sapere come ci sia arrivato, mi vedo nella stanzetta occupata da Gros a Saint-Laurent, il quartiere più antico e più povero della città. F: Finestra sulla via, a Nord. – A: tavolino.

Fig. 10. Casa di M. Chabert

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Stendhal (1976) op. citata, p. 287-292.

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– B: Seggiole per noi. – C: Piccola Brutta lavagna di tela cerata. – C’: sezione di quella bruta lavagna. – R: bordo dove c’era del brutto gesso che si schiacciava sotto il dito mentre si scriveva sulla lavagna: non ho mai visto niente di così misero. – Montagna. – Rue Saint-Laurent. – Cameretta da letto. – Sère, fiume. Era un giovanotto di un biondo scuro, molto attivo ma corpulento, sui venticinque o ventisei anni, dai capelli estremamente ricci e piuttosto lunghi, vestiva una rendigote e ci disse: – Cittadini, di dove cominciamo? – Bisognerebbe vedere quello che sapete già. – Ma noi conosciamo le equazioni di secondo grado. Da persona assennata incominciò a mostrarci quelle equazioni, ossia la formazione di un quadrato di a + b, ad esempio, che ci fece innalzare alla seconda potenza: a2 + 2ab + b2, l’ipotesi che il primo membro dell’equazione fosse un principio di quadrato, il complemento di questo quadrato e così via. Per noi, o meglio per me, si dischiudevano i cieli. Finalmente vedevo il perché delle cose, e non era più una ricetta da farmacista caduta dal cielo per risolvere le equazioni. Alla terza o quarta lezione, passammo alle equazioni di terzo grado e qui Gros fu completamente nuovo. Ho l’impressione che di colpo ci trasportasse alle frontiere della scienza e di fronte alle difficoltà di vincere o davanti al velo che si trattava di sollevare. Ci indicava ad esempio l’uno dopo l’altro i diversi sistemi di risolvere le equazioni di terzo grado, quali fossero stati i primi tentativi di Cardan36 forse, poi i progressi, ed infine il metodo attuale. Ci meravigliò assai il fatto ch’egli non ci facesse dimostrare la stessa proposizione l’una dopo l’altra. Non appena avevamo afferrato bene un argomento passava ad un altro. Gros, senza essere affatto ciarlatano, otteneva il risultato di quella qualità così utile in un professore come in un comandante in capo; s’impadroniva di tutto me stesso. Io l’adoravo e lo rispettavo a tal punto che forse gli dispiacqui. Ho ricordi vaghissimi dei due ultimi anni 1798-1799. La passione per la matematica mi assorbiva a tal punto che Felix Faure mi ha raccontato che portavo allora i capelli troppo lunghi, tanto rimpiangevo la mezz’ora che avrei dovuto perdere per farmeli tagliare.

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Girolamo Cardano (1501–1576) matematico, medico e astrologo italiano. È il padre che lo avvia allo studio della matematica. Nel 1520 si iscrisse all’Università di Pavia e successivamente a quella di Padova per studiare medicina. Dal 1534 insegnò matematica a Milano, svolgendo nel contempo la professione di medico. Scrisse negli anni 1560 un libro sulle probabilità nel gioco, il Liber de ludo aleae, testo pubblicato solo nel 1663; esso contiene la prima trattazione sistematica della probabilità, insieme a una sezione dedicata a metodi per barare efficacemente. Cardano è noto per i suoi contributi all’algebra. Ha pubblicato le soluzioni dell’equazione cubica e dell’equazione quartica nella sua maggiore opera matematica, intitolata Ars magna stampata nel 1545.

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Ogni tanto nei ricordi affiorano momenti legati agli avvenimenti storici di quell’epoca, sempre visti con gli occhi di tanti anni dopo. Verso la fine dell’estate 1799 il mio cuore di cittadino si desolava per le sconfitte d’Italia. Il nonno più ragionevole avrebbe voluto che i Russi e gli Austriaci non arrivassero a Grenoble. Ma, a dire la verità, posso soltanto parlare di questi voti della famiglia in base a supposizioni; la speranza di abbandonarla presto e l’amore vivo e diretto per la matematica mi assorbivano tanto da non prestare che scarsissima attenzione ai loro discorsi. Bonaparte sbarcò a Fréjus. Mi accuso di aver formulato questo sincero desiderio: “Questo giovane Bonaparte… dovrebbe farsi re di Francia”

E la Grande Storia tocca personalmente la vita del giovane Stendhal: Di fatto per l’avvicinarsi del nemico M. Louis Monge, esaminatore della scuola politecnico, non venne a Grenoble. “Ci toccherà andare a Parigi”, dicemmo tutti noi… Giunsero poi gli esami del corso di matematica di M. Dupuy e per me furono un trionfo. Ottenni il primo premio su otto o nove ragazzi più vecchi e più protetti di me, i quali di lì a due mesi furono tutti ammessi alla Scuola politecnico. Alla lavagna fui eloquente; perché parlavo di cose sulle quali riflettevo appassionatamente da almeno una quindicina di mesi e studiavo da tre anni (verificare; quando si era aperto il corso di M. Dupuy nella sala terrena della Scuola centrale). M. Dausse, un tipo cocciuto e dotto, vedendo che sapevo, mi pose le domande più difficili e più adatte a confondermi. M. Dausse37, ingegnere capo, amico del nonno (anch’egli presente al mio esame e che se la godeva) aggiunse al premio un volume in quarto di Eulero. Forse quel dono mi venne fatto alla fine del 1798, quando ottenni pure il primo premio di matematica (il corso di M. Dupuy era di due o anche tre anni prima). Subito dopo l’esame, la sera, o meglio la sera in cui il mio nome venne trionfalmente pubblicato (“Ma per il modo con il quale il cittadino B. ha risposto, per l’esattezza, la brillante facilità…”.) […] mi rivedo passare nel bosco del Jardin de Ville fra la statua di Ercole e la cancellata, insieme con Bigillion e con due o tre altri, entusiasti del mio trionfo, perché tutti lo trovarono giusto e capivano che M. Dupuy non mi poteva soffrire; era corsa voce che ero andato a prender lezione da quel giacobino di Gros, io che avevo la fortuna di seguire il corso di lui, Dupuy; e ciò non era fatto per riconciliarmi con lui.

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Marie François Benjamin. Dausse (1801-1890), matematico francese.

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Fig. 11. B: Bigillion. – H. Io.– A: Altri due. – Cancellata di ferro

E così mentre camminavo, dicevo a Bigillion filosofeggiando come nostra abitudine: – In momenti simili si perdonerebbe a tutti i nostri nemici. – Al contrario – mi ribattè Bigillion, – ci si avvicinerebbe a loro per vincerli. La felicità m’inebriava un poco, è vero, e andavo così ragionando per nasconderla; però in fondo quella risposta denota il profondo buon senso di Bigillion più terra terra di me e al tempo stesso l’esaltazione spagnola38 che purtroppo dominò tutta la mia vita.

Superato l’esame, si poneva la questione principale, per il quale quell’esame era stato affrontato39: Mio padre mi avrebbe dato i quattrini perché m’ingolfassi nella nuova Babilonia, in quel centro di immoralità, a sedici anni e mezzo? Anche qui l’eccesso di passione, dell’emozione ha distrutto qualsiasi ricordo. Non so proprio che cosa decise la mia partenza.

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Stendhal si dichiara vittima dello “Spagnolismo”, una tendenza a essere esageratamente appassionato. Stendhal (1976) op. citata, p. 295.

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Affiorano i primi dubbi, affrontare ancora esami di matematica, dover studiare ancora? Si parlò di un secondo esame da parte di M. Dupuy. Ero sfibrato e stufo di tanto sgobbare. Ripassare l’aritmetica, la geometria, la trigonometria, l’algebra, le sezioni coniche, la statica, in modo da subire un nuovo esame, era una fatica spaventosa. Davvero non ne potevo più. Quel nuovo sforzo che mi aspettava, però soltanto in dicembre, mi avrebbe fatto prendere in uggia la mia diletta matematica.

Stendhal ottiene un certificato da M. Dupuy, evita il nuovo esame e parte per Parigi. E della partenza ricorda: Quello che sto per dire adesso non è bello. Mio padre ricevette i miei addii al Jardin de Ville […]. Piangeva un poco. L’unica impressione che mi fecero quelle lacrime fu di trovarlo molto brutto […]. Dovevano essere i primi giorni del novembre 1799 perché a Nemours, a venti o venticinque leghe da Parigi apprendemmo gli avvenimenti del 18 brumaio (o 9 novembre 1799), capitati alla vigilia40. Li sentimmo alla sera ed ero lietissimo che il giovane generale Bonaparte diventasse re di Francia. Giungendo a Parigi l’idea fissa sulla quale tornavo quattro o cinque volte nella giornata, e soprattutto al cadere della notte, era che una bella donna, una parigina cento volte più bella di Mme Kubly o la mia povera Victorine, ribaltasse dalla carrozza in mia presenza oppure versasse in qualche grave pericolo dal quale l’avrei salvata; dovevo cominciare di lì per diventarne l’amante. La mia era una ragione da cacciatore. “L’amerei con tale passione che devo trovarla”. Quella follia non mai confessata ad anima viva, è forse durata sei anni.

Finalmente il sogno si realizza e Stendhal arriva alla grande capitale, il capitolo 34 è intitolato semplicemente Parigi41: Fui un po’ raccolto e guidato dai “matematici” entrati alla Scuola l’anno prima. Mi toccò andarli a trovare. 40

41

Il mese di brumaio (o brumale; in francese brumaire) era il secondo mese del calendario rivoluzionario francese e corrispondeva (a seconda dell’anno) al periodo compreso tra il 22/24 ottobre ed il 20/22 novembre nel calendario gregoriano. Il mese di brumaio deve la sua etimologia “alle nebbie e brume basse che sono (…) la trasudazione della natura da ottobre a novembre”. Il nome “brumaio” è diventato celebre per via del 18 brumaio anno VIII, data in cui avvenne il colpo di stato con cui Napoleone rovesciò il Direttorio e si impadronì del potere in Francia (il 9 novembre 1799 secondo il calendario gregoriano). Stendhal (1976) op. citata, p. 297.

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Giungevo a Parigi con la ferma intenzione di essere un seduttore di donne, quello che oggi chiamerei (dall’opera di Mozart) un don Juan42.

E le sue grandi passioni, quelle che pensava fossero le sue grandi passioni, crollano43: Nel dicembre del 1799 ero ben lontano dal vedere le cose, anche fisiche, con tanta chiarezza. Ero tutto emozione, e tale eccesso di emozione non mi ha lasciato che poche immagini chiarissime, ma senza spiegazioni dei come e perché. Quello che vedo oggi ben preciso, mentre nel 1799 lo sentivo in modo confuso, è che al mio giungere a Parigi, due delle mie grandi, costanti appassionate aspirazioni precipitarono di colpo a zero. Avevo adorato Parigi e la matematica. Parigi, senza montagne suscitò in me una tale avversione da rasentare la nostalgia. La matematica si ridusse per me all’impalcatura del falò della vigilia (visto a Torino, l’indomani del giorno di San Giovanni, 1802). Ero assillato da quei mutamenti di cui beninteso a sedici anni e mezzo non capivo né il perché né il “come”. In realtà avevo amato Parigi soltanto per l’antipatia profonda a Grenoble. In quanto alla matematica era stata un semplice mezzo; anzi nel novembre del 1799 mi era perfino odiosa perché ne avevo paura. Ero ben deciso a non dare esami a Parigi, come fecero i sette od otto allievi che dopo di me avevano ottenuto il primo premio alla Scuola centrale e che tutti furono ammessi. Se mio padre si fosse un po’ interessato, mi avrebbe costretto a quell’esame, sarei entrato alla, Scuola, e non potevo più “vivere a Parigi facendo commedie”. Di tutte le mie passioni era l’unica che mi rimanesse. Non concepisco, ed è la prima volta che ci penso a trentasette anni di distanza dagli avvenimenti, mentre scrivo, non concepisco come mai mio padre non mi costrinse a farmi esaminare. Probabilmente si fidò della mia violenta passione per quegli studi. D’altra parte mio padre si agitava soltanto per quello che gli era vicino. Eppure io avevo una paura d’inferno di essere costretto a entrare alla Scuola e aspettavo con estrema impazienza l’annunzio dell’apertura dei corsi. In scienze esatte è impossibile iniziare un corso alla terza lezione.

È in uno stato confuso, e trenta anni dopo, ricordando quel momento fa esclamare al suo alter ego44:

42

Il Don Giovanni (titolo originale: Il dissoluto punito ossia il Don Giovanni, K 527) opera lirica, in due atti, di Wolfgang Amadeus Mozart, su libretto di Lorenzo Da Ponte. L’opera venne composto tra il marzo e l’ottobre del 1787, quando Mozart aveva 31 anni. 43 Stendhal (1976) op. citata, p. 299-301. 44 Stendhal (1976) op. citata, p. 301.

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Però il male peggiore era il pensiero fisso e insistente: Gran Dio! Che delusione! Ma che cosa dunque devo desiderare? […] La mia appassionata coabitazione con la matematica mi ha lasciato un amore sfrenato per le buone “definizioni”, senza le quali non esistono che dei pressappoco…45. Devo diventare compositore di musica oppure scrivere commedie come Molière? Molto confusamente sia pure, sentivo di non conoscere abbastanza il mondo né me stesso per decidermi.

E a poco a poco comincia a farsi strada una nuova possibilità46: Mi distoglieva da quegli elevati pensieri un altro problema molto più terreno e ben altrimenti urgente. M. Daru47, da uomo preciso, non capiva perché non entrassi alla Scuola Politecnica oppure, se quell’anno era perduto, perché non continuassi gli studi per presentarmi agli esami della sessione seguente, nel settembre 180048. Portavo in giro dovunque la mia terribile delusione. Per finirmi del tutto, il timore di essere costretto a sostenere un esame per la Scuola mi rendeva odiosa la mia diletta matematica. Mi pare che il severissimo M. Daru padre mi dicesse: – Visto che dai certificati, di cui siete in possesso, sembrate tanto superiore ai vostri sette compagni che sono stati ammessi, anche oggi, se foste accettato. Riuscireste a raggiungerli facilmente nei corsi che loro seguono. M. Daru mi parlava da persona avvezza ad avere un gran credito e a ottenere eccezioni. Una cosa fortunatamente per me, rallentò le insistenza di M. Daru a che ripigliassi gli studi matematici. Certamente i miei familiari mi proclamavano come un prodigio in qualsiasi campo. Il mio ottimo nonno mi idolatrava e d’altronde in fondo ero opera sua; non avevo avuto altro maestro che lui, tranne che per la matematica. Mi aiutava nelle composizioni latine, lui solo mi scriveva i versi latini sulla mosca che trova una “nera” morte dentro al latte “bianco”.

Ed ecco la svolta nella vita di Stendhal. Attesa, inevitabile49:

45

Stendhal (1976) op. citata, p. 311. Stendhal (1976) op. citata, p. 323. 47 Mathieu Bruno P. A. (Conte Daru) 1767-1829 conte Pierre Daru, Segretario generale alla guerra Daru, Pierre-Antoine-Noël-Bruno. Uomo politico e storico (Montpellier 1767 – Bécheville, Yvelines, 1829). Fu intendente generale dell’esercito napoleonico (1805), conte dell’Impero (1809), ministro di stato (1811), diresse la preparazione logistica della campagna di Russia. 48 Stendhal (1976) op. citata, p. 329-330. 48 Stendhal (1976) op. citata, p. 333. 46

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Un bel giorno M. Daru padre mi prese in disparte e mi fece fremere, mi disse: – Mio figlio vi porterà con sé a lavorare al ministero della Guerra.

E scriverà Stendhal: Senza gli autori letti di nascosto, anch’io avrei avuto quell’ingegno e ammirato la “Ciropédie” del conte Daru e lo spirito dell’Accademia Francese. Sarebbe stato un male? Avrei ottenuto successi tra il 1815 e 1830, fama, denaro, ma i miei lavori sarebbero di gran lunga più insulsi e molto “meglio scritti” di quello che sono. Penso che la posa, ossia il cosiddetto “bello stile” del 1825-36 sarà molto ridicolo nel 1860, non appena la Francia liberata dalle rivoluzioni politiche ogni quindici anni, avrà il tempo di pensare ai godimenti intellettuali.

L’anno successivo Stendhal partì per l’Italia, come sottotenente nei dragoni. Nel 1801 partecipò alla campagna d’Italia nell’esercito napoleonico, servendo nello Stato maggiore del generale Stéphane Michaud. Nel 1802 si congedò dall’esercito assumendo la posizione di funzionario dell’amministrazione imperiale in Germania, Austria e Russia, ma senza partecipare alle battaglie dell’esercito napoleonico. Nel 1812 lavorò a Storia della Pittura in Italia [5]. In agosto fu inviato a Mosca dove fu testimone dell’incendio che rase la città dopo l’entrata della Grande armata in settembre. A novembre, durante la ritirata russa, perse il manoscritto. In questo periodo Beyle cambiò il suo nome in “Stendhal”: probabilmente lo scrittore scelse lo pseudonimo come omaggio a Johann Joachim Winckelmann, fondatore dell’archeologia moderna, nato a Stendhal in Sassonia-Anhalt (Germania). Nel 1814, con la caduta di Napoleone, partì alla volta dell’Italia. Visitò per la prima volta Parma, la città che ispirò il suo celebre romanzo La Certosa di Parma. Nel 1818, lavorò alla Vita di Napoleone. Nel 1821, accusato di simpatia per i carbonari (strettamente collegata alla simpatia verso Vanina Vanini) fu espulso da Milano. Nel 1827 pubblicò il suo primo romanzo, Armance, poi, nel 1830, Il rosso e il nero. La rivoluzione di luglio fa di lui un Console di Francia in Italia: dapprincipio è designato nella Trieste austriaca che lo rifiuta; quindi è nominato nel 1831 a Civitavecchia, dove egli trova un clima più sereno ma, nonostante la vicinanza di Roma, prova ugualmente una profonda noia. Durante questo periodo intraprende la stesura di grandi libri rimasti incompiuti, Une position sociale, Souvenirs d’égotisme, Lucien Leuwen (1834-1835), Vie de Henry Brulard (1835-36). Nel 1841 ebbe un primo colpo apoplettico e fece rientro nella capitale francese; morì dopo aver terminato il suo capolavoro La Certosa di Parma, nella notte tra il 22 e il 23 marzo 1842 di un attacco cardiaco. Riposa al cimitero di Montmartre a Parigi; la dicitura sulla tomba reca l’iscrizione Henry Beyle milanese.

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Bibliografia [1] E. Faccioli (1976) La “Vita di Henry Brulard”, introduzione a Stendhal, Vita di Henry Brulard, Einaudi, Torino, p. V [2] B. Didier (1973) La ‘Vie de Henry Brulard’ ou de l’OEdipe a l’écriture”, prefazione all’edizione ripresa dal manoscritto originale, Gallimard, Paris, p. 9 [3] Stendhal (1976) Vita di Henry Brulard, Einaudi, Torino, p. 92 [4] R. Musil (1964) I turbamenti del giovane Torless, in: Racconti a teatro, Einaudi, Torino [5] Stendhal (1983), Storia della Pittura in Italia (a cura di Bruno Schacherl, Editori Riuniti, Roma)

Conti e racconti: la scienza come laboratorio creativo di Robert Ghattas, Daniele Gouthier, Stefano Sandrelli

Sperimentare, porsi domande, leggere la natura e cercare parole per descriverla: questo fanno tanto gli scienziati quanto i narratori. Eppure oggi le due pratiche sono nettamente distinte, spesso perfino distanti. Percorrendo il tempo a ritroso si incontrano tuttavia fasi in cui le pratiche della scienza e della narrativa hanno avuto punti di contatto, d’incontro, di fecondazione reciproca: l’alchimia misurava ma nel frattempo raccontava, la mitologia raccontava per spiegare, e spingeva le spiegazioni fino ad arrivare alle cosmogonie, in cui si riconoscono in potenza sia i tratti della scienza moderna sia quelli della narrativa. I conti della scienza e i racconti della narrazione, che paiono con gli occhi e l’esperienza di oggi due momenti separati della produzione intellettuale umana, sono effettivamente inconciliabili? O piuttosto si può pensare oggi di riconciliare il contare e il raccontare? La domanda se la poneva già nel 1955 il fisico Richard Feynman, di fronte all’uditorio dell’Accademia Nazionale della Scienze degli Stati Uniti. Secondo Feynman l’assenza nella produzione poetica e narrativa delle scoperte scientifiche di quegli anni era chiaro segno che “non siamo ancora in un’era scientifica” [1]. Feynman non negava che la produzione poetica e quella narrativa sapessero parlare della scienza, usarla per addobbare scene e trame. Intendeva però che la scienza non era masticata, assimilata, fatta propria al punto da renderla parte della cultura dello scrittore e del lettore. In un’era scientifica, à la Feynman, scrittore e lettore si intendono su contenuti e ipotesi della scienza, ne vivono sulla propria pelle i sentimenti e le tensioni, ne abitano i luoghi, reali o mentali che siano. A più di mezzo secolo di distanza ci troviamo in un’era divenuta in fretta ipertecnologica, ma ancora ben lontana dall’essere “scientifica” secondo l’accezione di Feynman. Diventa interessante analizzare che cosa accade quando si osa superare la barriera artificiale tra scienza e narrazione, tra scienziati e scrittori, quali sono le situazioni, i contesti, gli esperimenti (riusciti o falliti che siano) nei quali si è saputo tornare alla primigenia confusione, fertile e creativa, tra linguaggi, metodologie, stili.

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Ci sono stati molti scrittori, più o meno grandi, con una formazione scientifica: Levi, Calvino, Gadda, per rimanere in Italia; Queneau in Francia; Eco, Del Giudice, McEwan, Houllebecq fra i contemporanei. Eppure non sembra essere mai esistito un gruppo, un movimento omogeneo di persone che decidano di raccontare con la scienza a fianco, a eccezione del Futurismo, che in Italia rimane l’unico grande movimento culturale che abbia avuto una parentela con il sincretismo narrativa/scienza. Con questa idea di scrivere con la “scienza a fianco” nasce il progetto di un gruppo informale di ricercatori, comunicatori e comunque professionisti che lavorano con la scienza che esordisce con l’antologia di racconti Tutti i numeri sono uguali a cinque [2], conosciuta tra i suoi cinque lettori anche con l’acronimo Tinsuac. Ventuno racconti che emergono dal profondo della cultura scientifica dei ventuno autori ma anche dai loro pregiudizi, dal loro modo di essere persone, dalla loro visione della società, del mondo. Sin dall’inizio Tinsuac nasce come progetto culturale più che come progetto editoriale. Il libro infatti è solo l’epifenomeno più visibile di una serie di iniziative, pubblicazioni, contesti in cui la sperimentazione della scrittura “con la scienza a fianco” viene praticata, promossa, riflettuta e dibattuta. Il progetto attorno a Tinsuac poggia sulle esperienze riuscite di intersezioni tra narrativa e scienza ma si pone come obiettivo la sperimentazione di nuovi percorsi, di nuovi contesti, di nuovi prodotti, nella convinzione che proprio chi è affezionato alla scienza sappia riconoscere il valore e l’importanza degli errori. Chi pratica la ricerca scientifica sa infatti che una qualsiasi nozione non avrebbe ragione di esserci senza il passaggio obbligato attraverso gli errori, che connotano tappe, contesti, emozioni, fallimenti, relazioni umane, passioni, gioie e che sono alla base del consolidamento scientifico della nozione stessa. Non solo: l’attitudine alla ricerca tra gli errori diventa con la pratica essa stessa strumento valutativo e conoscitivo per analizzare e vivere il mondo circostante. Il discernimento che permette di interpretare il reale, tra gli obiettivi della ricerca scientifica, arricchisce il bagaglio di strumenti a disposizione degli umani. Diventa un occhio con cui vivere anche le situazioni che esulano dall’iter rigoroso che porta alla nozione. L’errore è costitutivo della scienza e, dal nostro punto di vista, è fertile per la narrazione. Introduce quel “fattore umano” che spesso nella scienza il pubblico tende a vedere poco e permette di rendere la narrazione vicina tanto ai percorsi tortuosi del ricercatore quanto alle domande titubanti del lettore. È per questo che come gruppo abbiamo preferito alla ricerca e al dibattito il fare pratica concreta di scrittura, cercando di tesaurizzare le prove abortite, i bozzetti malriusciti, gli esperimenti conclusi senza successo, in una parola: gli errori. Esattamente come in un laboratorio scientifico, il risultato emerge dalla capacità di cernere tra i molti errori quello che sembra meno errato, o quello più duro nel sopravvivere alla prova della critica. Di pratiche di laboratorio applicate alla scrittura, Primo Levi scrive in Il sistema periodico [3]:

Conti e racconti: la scienza come laboratorio creativo

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Lo stesso mio scrivere diventò […] un costruire lucido, ormai non più solitario: un’opera di chimico che pesa e divide, misura e giudica su prove certe, e s’industria di rispondere ai perché.

Tinsuac riconosce esplicitamente la paternità culturale a Primo Levi. Con profonda ampiezza intellettuale – mai peraltro disgiunta da sincera umiltà – Levi seppe vivere ed esprimere in maniera profonda la compenetrazione tra l’occhio dello scrittore e quello dello scienziato, considerando sempre la scrittura un corollario imprescindibile della sua formazione di chimico. Il conoscere, capire e descrivere si riconosce tanto nella sua attività professionale (continuò a lavorare come chimico fino alla pensione) quanto nel mestiere di scrivere, che Levi sempre considerò “altrui”. Alla domanda su che cosa lo interessasse della chimica, Levi rispose “Mi interessa il contatto con la materia, capire il mondo che è attorno a me” [4]. La chimica è quindi uno strumento per capire il mondo e Levi guardava al mondo con gli occhi della chimica, e così facendo lo creava e ricreava. In Il sistema periodico questa interconnessione tra chimica e scrittura diventa esplicita: l’intera raccolta di racconti, in parte autobiografici e in parte di finzione, si struttura sulla tavola periodica degli elementi di Mendeleev, che suggerisce un modo di leggere e narrare situazioni di vissuto ed è spunto per processi creativi. Gli autori di Tinsuac condividono con Levi la formazione scientifica e il fatto di vivere la scrittura come “altrui mestiere”. Nessuno tra questi, in primis i curatori, è scrittore di professione primaria (seppur alcuni abbiano già esperienza più o meno consolidata nel campo); eppure per ciascuno la scrittura rappresenta un modo di completare la propria attività correlata alla scienza. La narrativa è un luogo dove possono confluire tappe, contesti, emozioni, fallimenti, relazioni umane, passioni, gioie, ma anche dove scrittori e lettori possono condividere l’occhio con cui sanno leggere il mondo. Osando di più, la scienza necessita della narrativa per poter essere interamente descritta, realmente partecipata, totalmente condivisa. Il rapporto tra scienza e narrativa è così non più di turismo occasionale dettato da esotismo, né di scambio opportunistico di porzioni di mestiere ma vera compenetrazione di obiettivi fatta ricca dell’esperienza e degli strumenti dello scienziato quanto dello scrittore. Eppure la strada dello “scienziato letterato” intrapresa in Tinsuac è solo una delle possibili da percorrere. Un percorso differente ebbe a vivere Italo Calvino, che con Primo Levi scambiò stima e amicizia. Per lui la scienza non costituiva né parte della formazione accademica né della professione. Seppe tuttavia avvicinarla per origine famigliare e per curiosità intellettuale, e ne fece sia stimolo alla creazione di strutture narrative – seguendo in questo l’indirizzo della letteratura potenziale francese dell’Oulipo – sia sorgente di materiale per suggestioni nuove e ricche. Un esempio di cosa fosse la scienza per Calvino sono le Cosmicomiche, racconti ispirati alla cosmologia che si avvicinano più ai miti cosmogonici che

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Matematica e cultura 2010

alla fantascienza [5]. Come Queneau aveva saputo fare nella sua Petite cosmogonie portative [6] (a commento della quale peraltro Calvino scrisse la Piccola guida alla Piccola cosmogonia), ogni referenza scientifica è dettagliatamente studiata e non solo colta nella sua suggestione epidermica. I fenomeni, il vocabolario, tutto si affianca perfettamente alla “scienza delle nozioni”. Eppure Calvino non cade nella tentazione di parteciparvi, o di descriverla, o di completarla. Semplicemente le si affianca, riuscendo solo così davvero ad arricchirla. Queste due possibili vie di accesso – quella dello scienziato letterato e quella dello scrittore “scienziato” – hanno permesso a Tinsuac di essere oggetto di interesse contemporaneamente per festival di letteratura e per festival scientifici. Alle presentazioni si sono affiancati laboratori di scrittura nei quali il partecipante ha a disposizione stimoli e tempo per poter affrontare la redazione di un breve racconto in cui declinare la propria sintesi tra scienza e narrazione. Un progetto simile di laboratorio di scrittura è stato svolto durante l’anno scolastico 2008/09 nel Liceo scientifico “G. Alessi” di Perugia. Su proposta delle insegnanti di matematica e italiano, due classi seconde sono state invitate prima a leggere alcuni racconti da Tinsuac, e, dopo aver incontrato uno dei curatori, a redigere il proprio testo. Negli oltre 25 racconti raccolti la scienza diviene di volta in volta fonte di metafore e analogie, professione, base per fantasie, occasione per presentare punti di vista narrativi insoliti. In alcuni racconti la narrazione deve alla scienza la struttura narrativa, o lo schema logico con cui si svolge la trama. In altri, più maturi, infine, la scienza affianca e interseca la quotidianità dei protagonisti. I migliori racconti dei laboratori sono stati pubblicati sul blog www.tinsuac.it, che cerca di essere luogo virtuale dove protrarre il dialogo e il dibattito, dove presentare sperimentazioni o segnalare materiale. Il tempo limitato e il numero limitato di collaboratori fissi fa del blog ancora uno strumento da migliorare nella gestione, ma rimane un ulteriore contesto dove dare e ricevere stimoli alla scrittura. Ben più strutturate come contesto e come cadenza sono le rubriche Sorsi di Mate e Rac/Conti della rivista Alice&Bob, curata dal Centro Pristem dell’Università Bocconi e pubblicata da Springer Italia. In Sorsi di Mate la matematica è spunto per riflessioni e digressioni che esulano rapidamente dalle nozioni per diventare chiave di lettura del mondo ma anche oggetto di poesia. Rac/Conti raccoglie invece commenti, esperienze e recensioni di contaminazioni tra matematica e narrativa. Dallo stimolo di Tinsuac sono nate anche altre pubblicazioni “per gemmazione”, tra le quali spicca l’antologia di racconti Storie di Soli e di Lune [7], dichiaratamente figlio di Tinsuac, antologia in cui già l’autore Angelo Adamo aveva pubblicato un racconto. Lontano quindi dall’essere esperienza circoscritta nel tempo o a un limitato contesto, Tinsuac cerca negli anni e nei contesti di essere stimolo continuo a una narrativa che sappia fare dello scenario articolato e complesso che le forme espressive e i linguaggi hanno assunto, non differenziazione scismatica ma arricchimen-

Conti e racconti: la scienza come laboratorio creativo

257

to della tavolozza espressiva ed emozionale. Perché un giorno tutti questi nuovi colori possano tornare a convivere, per poter al contempo contare e raccontare.

Bibliografia [1] R. Feynman (1989) Che t’importa di ciò che dice la gente, Zanichelli, Bologna [2] S. Sandrelli, D. Gouthier, R. Ghattas (a cura di) (2007) Tutti i numeri sono uguali a cinque, Springer, Milano [3] P. Levi (1975) Il sistema periodico, Einaudi, Torino [4] P. Camon (1987) Autoritratto di Primo Levi, ed. Nord-Est, Padova [5] I. Calvino (1997) Tutte le cosmicomiche, Mondadori, Milano [6] R. Queneau (2003) Piccola cosmogonia portatile, Einaudi, Torino [7] A. Adamo (2009) Storie di Soli e di Lune, Giraldi, Bologna

Matematica e musica

Dianaballo D. Amodio

Dianaballo1 di Davide Amodio

Prove al Centro Elaborazione Danza

La natura del triangolo è contenuta ab aeterno nella natura divina come una eterna verità. [1]

Lirica Numerica Musica e poesia, musica e matematica, poesia e matematica e, infine, musica, poesia e matematica: è possibile trovare collegamenti, identità, connessioni forti tra queste tre discipline? Il primo binomio (musica e poesia) non sorprende. Da sempre le parole si sono mischiate alle note in svariati modi e in diversi rapporti di reciproca sudditanza; il secondo binomio (musica e matematica) lo troviamo, per esempio, unito all’astronomia nel Quadrivium medievale tra le arti del numero in cui la matematica era scissa in geometria e aritmetica. Se pure sotto varie forme, note e numeri, musica e proporzioni hanno una lunga consuetudine, dalla nascita della musica elettronica poi sono diventate una “miscela indissolubile”; il terzo (poesia e matematica) è poco studiato, eppure l’etimologia stessa di poesia suggerisce il 1

F. Fontanella (1821) Vocabolario greco antico-italiano, alla voce αναβαλλο, procrastino, Alvisopoli, Napoli. Giocando con il greco antico Anaballo, procrastinabile, per dire il contrario: improcrastinabile!

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Matematica e cultura 2010

fare nel senso di costruire con tutti i problemi relativi di equilibrio forma e staticità. Nel trinomio: musica poesia e matematica, arriviamo, infine, all’organismo complesso, all’intrecciarsi di connessioni e conoscenze di natura diverse; ed è in questa direzione che ho orientato le ricerche realizzando Dianaballo, uno spettacolo formato con una regola combinatoria ma anche, e soprattutto, con un movimento a doppia spirale. Le lettere hanno generato dei numeri, o meglio: una combinazione di una serie di parole ha creato una griglia numerica e questa un sistema per comporre note. Il corpo sonoro così formato, nella doppia veste di poesia e musica, rappresentando una storia e dei simboli, ha ispirato immagini; il tutto è stato poi tradotto in gesti: esecutivi e, soprattutto, coreografici. Seme generativo non solo dello spettacolo ma dell’intera ricerca è la sestina lirica, una straordinaria forma poetica il cui meccanismo mi ha interessato fin dal primo momento della “scoperta”, leggendo per caso la sestina non à tanti animali il mar fra l’onde di Francesco Petrarca. La sua struttura, al contrario di altre forme, come per esempio il madrigale, il sonetto o la canzone stessa (la forma da cui discende che è già tra le più complesse) attraversa lo spazio, lo abbraccia con un movimento. Per questo la sestina lirica è, più di ogni altra forma poetica, legata al tempo. Il ritmo e il suono partecipano alla formazione del movimento, ma sono soprattutto le parole/rima a guidare l’ascoltatore attraverso la percezione delle loro ripetizioni; ed è solo nel tempo e nello spazio che questa forma si manifesta. Nella Francia della fine del XII secolo Arnault Daniel inventa la sestina. Questo straordinario musicista-poeta forma una variazione della canzone trobadorica unendo l’idea dell’estensione della rima all’intera parola finale del verso, all’accoppiamento dei numeri delle sei facce del dado: 6-1; 5-2; 4-3. Per questo, la sestina è formata da strofe (ma più propriamente stanze) di sei versi ciascuna e la ripetizione delle stesse sei parole finali, dette appunto parole/rima, seguendo lo stesso ordine di combinazioni ritorna alla serie originale dopo sei mutazioni. Prendiamo come esempio le prime due stanze della sestina di Petrarca CCXXXVII: Non à tanti animali il mar fra l’onde Né lassù sopra il cerchio de la luna Vide mai tante stelle alcuna notte Né tanti augelli albergan per li boschi Né tant’erbe ebbe mai campo né piaggia Quant’à ‘l mio cor pensier ciascuna sera

1 2 3 4 5 6

Di dì in dì spero omai l’ultima sera Che scevri in me dal vivo terren l’onde E mi lasci dormire il qualche piaggia; Ché tanti affanni uom mai sotto la luna Non sofferse quant’io: sannolsi i boschi Che sol vo ricercando giorno e notte.

6 1 5 2 4 3

E così via… Il movimento delle sei parole/rima delle sei stanze si può riassumere dunque in questo schema:

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Fig. 1. Sistema delle permutazioni della sestina lirica

È chiaro, già da queste prime indicazioni, che il numero è fortemente presente e fondante nell’atto stesso del comporre una sestina lirica. Se, come indica Aurelio Roncaglia2 [2], colleghiamo i numeri con delle linee curve, seguendo l’ordine stabilito, si forma una spirale e (aggiungo) una spirale archimedea, con sei volute: ecco il movimento della sestina. Le altre forme poetiche sono statiche, si costruiscono a pezzo a pezzo, si dipanano nello spazio, ma attraverso la declamazione, nella recitazione, tassello dopo tassello, si innalza uno corpo stabile. La sestina lirica, invece, è già nella prima stanza tutta definita, le parole/rima tracciano il cammino con il loro ordine stabilito, definendo autoritariamente finanche la storia. Ma è nella percezione delle loro ripetizioni in combinazioni differenti che l’ascoltatore può, infatti, sentire la circolarità concentrica orientata all’interno: la retrogradatio cruciata. Le implicazioni sonore sono moltissime, le parole ripetute, non solo possono e devono esprimere tutto il ventaglio dei loro significati, immerse nei contesti differenti che via via vanno formandosi, ma è nelle loro stesse relazioni, nei rapporti cioè tra parole uguali unite a distanza dalle varianti, che si creano nuovi contrasti e significati (nonché colori, sensazioni, allitterazioni, allusioni e ogni altro artificio retorico). Osserviamo ancora una volta la griglia numerica, formata dal movimento combinatorio delle parole/rima. Leggendo la serie verticalmente, si nota che l’ultimo numero della prima colonna diventa il primo della successiva. Questa è la prima cosa che si percepisce in maniera evidente. Osserviamo lo spostarsi nelle colonne verticali della prima parola, del numero 1: vedremo che si sposta al 2°, al 4° al 5°, al 3° e al 6° posto. Curiosamente, sono esattamente i numeri che si possono leggere nella prima fila orizzontalmente, da destra a sinistra; anche per il numero 2 e per

2

Uno dei primi studiosi della sestina a essersi accorto della sua forma geometrica è Juan Caramuel y Lobkowitz, (1606-1682) vescovo cattolico e matematico spagnolo, la sua opera che riguarda, tra l’altro, la sestina lirica è: Primus Calamus ob oculos ponens Metametricum quae variis currentium, recurrentium, adscendentium... multiformes labyrintos exornat, Romae: Fabius Falconius, 1663. Segunda edición: Primus Calamus ob oculos exhibens Rhithmicam quae Hispanicos, Italicos, Gallicos, Germanicos (Campagna: Ex oficina Episcopalis, 1668).

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Matematica e cultura 2010

tutti gli altri di seguito, i numeri della fila, letti da destra a sinistra, indicano gli spostamenti della parola/rima. Leggendo le intere file orizzontali, si può notare che i numeri si ripetono nello stesso ordine, spostandosi ogni volta di un posto. In ottocento anni di vita dopo il suo inventore, da Dante Alighieri a Ezra Pound, la sestina lirica ha subito mille piccole mutazioni, rimanendo tuttavia simile al modello petrarchesco (è da Petrarca, infatti, che questa variante della canzone diventa un genere poetico indipendente).

Dai numeri alle parole Le nombre est forme, en ce qu’il projette dans le monde sensibile l’image d’une Idée sousistente.3 Cosa succede, mi sono chiesto, se invece di intervenire sullo stile o sulle moltiplicazioni interne delle rime, si interviene sulla mutazione dello schema numerico? Portare la serie da 6 a 12, per esempio, non raddoppia il numero di combinazioni e, in più, la struttura perde di agilità. Dopo molti tentativi, ho infine trovato una combinazione che mi ha subito convinto per le potenzialità espressive, soprattutto musicali. Prima di comporre una sestina lirica, è utile decidere la serie delle parole/rima. È possibile anche comporre la prima strofa come una normale poesia e poi proseguirla con le mutazioni, ma ho sperimentato che la pianificazione della serie favorisce lo sviluppo equilibrato, altrimenti la prima strofa avrà una coerenza troppo marcatamente superiore alle altre. Ho deciso, quindi, di utilizzare due serie di sestine e poi ho cominciato la retrogradazione, questa volta però incrociando le due sestine tra loro, alternando una serie all’altra come nella figura 2. In questo caso, le spirali che si formano sono due, una dentro l’altra e in movimento contrario, evocando la spirale di Fermat (Fig. 3). Lo schema numerico formatosi è molto più ampio, le combinazioni necessarie per tornare all’ordine originale sono, infatti, 28. In una prima osservazione dello schema si può notare che la parola/rima corrispondente al numero 8 non muta mai di posizione, vediamone il perché. La notazione standard per indicare la permutazione della sestina (e in questo caso della doppia sestina incrociata) è:

( 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 6 10 11 7 3 4 8 12 9 5 1

)

“Il numero è forma, in quanto proietta nel mondo sensibile l’immagine di un’idea sussistente”, [3].

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Fig. 2. Schema della permutazione con la retrogradazione alternata tra le due sestine

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Fig. 3. Schema delle due spirali che si formano con l’incrocio delle due sestine

Per indicare i cicli distinti in modo da calcolare rapidamente l’ordine (cioè il minimo numero di ripetizioni della permutazione per ottenere che ogni elemento sia lasciato fisso) si può scrivere: ( 1 2 6 10 9 12) (8) (4 11 5 7). Questo significa che il numero 8 è sempre mandato in sé, che 1, 2, 3, 6, 9, 10 e 12 sono scambiati fra loro con la regola 1→ 2 → 6 → 3 → 10 → 9 → 12 → 1 e che 4, 5, 7 e 11 sono permutati fra loro con la regola 4 → 11 → 5 → 7 → 4. Poiché la prima permutazione ha ordine 7, la seconda 1 e la terza 4, l’ordine della permutazione iniziale è 7·4 = 28. Per alcuni valori della ripetizione si creano dei punti fissi: se si ripete la permutazione 7, 14, 21 volte i numeri del rimo gruppo (1, 2, 3, 6, 9, 10 e 12) restano fissi; se si ripete un numero di volte multiplo di 4 rimangono invece fissi i numeri del terzo gruppo (4, 5, 7, 11), oltre naturalmente a 8. Infine se si ripete la permutazione un numero di volte pari, ma non multiplo di 4, i numeri 4 e 5 si scambiano fra loro, così come 7 e 114. L’ottava parola divide dunque le colonne verticali in due sequenze creando un gruppo di 7 sopra e uno di 4 sotto. Per questo motivo, all’ottavo posto, stabile, lineare come l’orizzonte, ho scelto di mettere la parola/rima mare. Poi, con molta semplicità, ho disposto in alto, al numero 1, la parola monte e di seguito due paro4

Con la gentile collaborazione di Chiara De Fabritiis, direttore del Dipartimento di Scienze Matematiche dell’Università di Ancona.

12 1 6 7 11 2 5 8 10 3 4 9

9 12 2 5 4 1 11 8 3 6 7 10

10 9 1 11 7 12 4 8 6 2 5 3

3 10 12 4 5 9 7 8 2 1 11 6

6 3 9 7 11 10 5 8 1 12 4 2

2 6 10 5 4 3 11 8 12 9 7 1

1 2 3 11 7 6 4 8 9 10 5 12

12 1 6 4 5 2 7 8 10 3 11 9

9 12 2 7 11 1 5 8 3 6 4 10

10 9 1 5 4 12 11 8 6 2 7 3

3 10 12 11 7 9 4 8 2 1 5 6

4 5 A 3

3 4 D 2

5 6 B 4

3 2 7 C A 1 D

6 7 C 5

4 3 1 D B 2 A

7 1 D 6

5 4 2 A C 3 B

1 2 A 7

6 5 3 B D 4 C

2 3 B 1

7 6 4 C A 5 D

3 4 C 2

1 7 5 D B 6 A 4 5 D 3

2 1 6 A C 7 B 5 6 A 4

3 2 7 B D 1 C 6 7 B 5

4 3 1 C A 2 D 7 1 C 6

5 4 2 D B 3 A 1 2 D 7

6 5 3 A C 4 B

6 3 9 4 5 10 7 8 1 12 11 2

2 3 A 1

7 6 4 B D 5 C

2 6 10 7 11 3 5 8 12 9 4 1

3 4 B 2

1 7 5 C A 6 D

1 2 3 5 4 6 11 8 9 10 7 12

4 5 C 3

2 1 6 D B 7 A

12 1 6 11 7 2 4 8 10 3 5 9

5 6 D 4

3 2 7 A C 1 B

9 12 2 4 5 1 7 8 3 6 11 10

6 7 A 5

4 3 1 B D 2 C

10 9 1 7 11 12 5 8 6 2 4 3

7 1 B 6

5 4 2 C A 3 D

3 10 12 5 4 9 11 8 2 1 7 6

1 2 C 7

6 5 3 D B 4 A

6 3 9 11 7 10 4 8 1 12 5 2

2 3 D 1

7 6 4 A C 5 B

2 6 10 4 5 3 7 8 12 9 11 1

3 4 A 2

1 7 5 B D 6 C

1 2 3 7 11 6 5 8 9 10 4 12

4 5 B 3

2 1 6 C A 7 D

12 1 6 5 4 2 11 8 10 3 7 9

5 6 C 4

3 2 7 D B 1 A

9 12 2 11 7 1 4 8 3 6 5 10

6 7 D 5

4 3 1 A C 2 B

10 9 1 4 5 12 7 8 6 2 11 3

7 1 A 6

5 4 2 B D 3 C

3 10 12 7 11 9 5 8 2 1 4 6

Fig. 4b. Schema con le serie da 7 numeri in cifre e le serie da 4 numeri in lettere; il numero 8 fisso è rappresentato dal simbolo dell’infinito

2 1 6 B D 7 C

1 7 5 A C 6 B

Fig. 4a. Schema delle permutazioni delle due sestine incrociate

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 B 7

6 5 3 C A 4 D

6 3 9 5 4 10 11 8 1 12 7 2

2 3 C 1

7 6 4 D B 5 A

2 6 10 11 7 3 4 8 12 9 5 1

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Dianaballo

267

le a essa relativa: salita e scala, poi, unite da semplici associazioni di idee, fiore, campo e spiaggia. Qui finisce la prima sestina che si unisce però alla seconda (a causa dell’immobilità dell’ottava) con la settima parola boschi. Segue, come detto mare, e le ultime quattro notte, onde, luna, verso. Molte di queste parole/rima sono tratte dalla sestina prima citata di Petrarca, l’ultima parola, il verso, è come il simbolo stesso della poesia, qui usato in molte accezioni diverse: verso poetico, rima, direzione, volto, motto, espressione ecc. Non mi dilungherò sugli aspetti simbolici relativi al sopra/sotto, interno/esterno, maschile/femminile… poiché porterebbero troppo lontano. È noto, comunque, che il numero, meglio la cifra, porta con sé simboli comuni a molte civiltà passate ed è proprio questo tipo di cifra che ho voluto rendere una cifra sonora! Osservando sempre lo schema numerico precedente (Fig. 4a) e leggendo le file orizzontali da sinistra a destra, si può notare che si crea una serie di sette numeri che si ripete uguale nei quattro riquadri successivi; scorrendo le file sottostanti la serie di sette numeri è ancora uguale ma scalata di un posto ogni volta, la si ritrova in sette file (1, 2, 3, 6, 9, 10, 12). Nella quarta fila, invece, i numeri si ripetono con una cadenza di quattro, dunque orizzontalmente ci saranno sette serie su quattro file, sempre scalate di un posto (4, 5, 7, 11). Leggendo ora le colonne, dall’alto in basso, vedremo che i numeri corrispondenti alla serie da sette numeri (1, 2, 3, 6, 9, 10, 12) ritornano alla formazione originale quattro volte ogni sette combinazioni formando così un “respiro” regolare (ecco perché ho raggruppato lo schema in quattro riquadri); quelli corrispondenti alla serie da quattro (4, 5, 7, 11) hanno un andamento direi opposto, poiché ritornano all’origine sette volte ogni quattro combinazioni. La serie da quattro costituisce, con il suo ritmo che attraversa e unisce così i riquadri, una sorta di legame trasversale. Per esemplificare questo aspetto ho numerato la serie da sette con i numeri da 1 a 7 e la serie da quattro con le lettere dalla A alla D. Tutte queste indicazioni, che i numeri suggerivano, le ho utilizzate per la composizione del testo poetico e soprattutto della musica. Il racconto che si forma attraverso gli endecasillabi è stato, dunque, articolato in quattro quadri principali: Salita, Discesa, Rivelazione, Catarsi; con, naturalmente, altri quadri minori di collegamento. Il punto più importante, la risoluzione, “l’incontro con la dea”, l’ho inserito con la proporzione aurea che, con una buona approssimazione, corrisponde alla stanza 17 (28 diviso per 1,618 = 17, 305315). La ventinovesima stanza non è stata inserita nello schema generale poiché l’ho considerata esterna al giro: nella forma della sestina lirica, l’ultima stanza, in cui si ritorna all’ordine iniziale, è chiamata tornada, è dimezzata nel numero dei versi e serve unicamente come coda conclusiva. Il racconto che si dipana in questo schema è un viaggio iniziatico: la scalata di una montagna, la discesa, l’incontro con la dea rivelatrice, e, con il ritorno, la consapevolezza del presente, dell’essere nel mondo e nello spazio e sentirsi… vivi!

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Tenendo Petrarca come punto di riferimento, come stella polare, ho dunque sperimentato questa forte variante con sincero entusiasmo. La doppia sestina incolonnata così di seguito, a differenza della doppia sestina petrarchesca che costituisce una ripetizione del giro, affievolisce molto l’effetto ecolalico tra l’ultima parola/rima della strofa da dodici versi e quella gemella della successiva, però nell’ampliarsi dello spazio la risonanza si recupera ben presto. I movimenti contrari delle spirali creano una efficace tensione attraverso la coerenza drammatica; è in pratica una soluzione chimica di elementi diversi o, meglio, l’auspicata varietà nell’uniformità insegnata nella Poetica di Aristotele, ma non con l’opposizione di sentimenti contrari (come per esempio l’armi e gli amori ariosteschi o l’amore e guerra della Liberata del Tasso) bensì con l’opposizione di due movimenti contrari; e la sestina si caratterizza proprio per il movimento, il gesto: un colpo di dadi; che qui viene opposta alla sua sestina speculare.

Dai numeri alle note Numerus è l’equivalente latino del grecismo rhithmus. Il ritmo come azione nello spazio in un tempo definito. [4] Realizzare altrettanta coerenza in musica non è stato facile. Per decidere le modalità di scrittura, di connessione tra i numeri e la musica ho impiegato un anno e un altro anno per scriverla. Con uno schema numerico così ricco di indicazioni sarebbe stato un peccato ignorarlo e procedere semplicemente col musicare il testo; i numeri offrivano invece l’opportunità di tradurre in suoni direttamente le stesse caratteristiche del testo poetico ottenendo un corpo musicale, per usare un termine molto comune ultimamente, geneticamente corrispondente. Sorvolando sui numerosi tentativi scartati, si riportano direttamente le scelte finali. Due sistemi di scrittura si sono rivelati da subito efficaci: 1) numero = nota 2) numero = battuta (cioè l’intera misura). Il primo sistema, trovando corrispondenza tra i numeri da 1 a 12 con le dodici note, portava naturalmente verso la dodecafonia e le sue regole combinatorie. Tuttavia mi sembrava paradossalmente troppo facile seguire una strada, ormai storicizzata, e così ben organizzata dal grande Schoenberg! Ecco allora una prima intuizione: una spirale aperta è come una lunga linea, così le dodici note allineate al massimo della loro apertura, formando cioè l’estensione maggiore nella minima concatenazione, si possono sistemare nell’ordine crescente non cromatico ma diatonico (in altre parole le sette note del Do maggiore, i tasti bianchi del pianoforte per intenderci, e, a seguire, le cinque note restanti, i tasti neri).

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Fig. 5. Corrispondenza numeri-note

Numerate le note è stato sufficiente sostituire a ogni serie numerica precedente la serie di note con questa corrispondenza. Per esempio la seconda colonna sarà dunque con queste note:

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Fig. 6. Note corrispondenti ai numeri della II colonna dello schema della Fig. 4a

Le ventotto serie di dodici suoni così organizzate costituiscono dunque, fin dall’inizio, una specie di vocabolario di partenza da cui attingere. Una direzione mi è apparsa subito interessante: conciliare i dodici suoni con la consonanza per dare l’illusione di una armonia tonale. Per questo scopo le ventotto sequenze sono state armonizzate, come esercizio di base, come un basso continuo. Gran parte di questi bassi armonizzati sono stati poi utilizzati nel balletto finale proprio per dare il senso di corrispondenza all’appagamento e alla risoluzione dell’intreccio. Ma è stato nell’osservazione della lettura delle file e nell’individuazione delle serie da 7 e da 4 che è stato possibile trovare il più fecondo sistema di scrittura, e che ha costituito una delle chiavi di interpretazione più riuscite per l’ingresso nei delicati rapporti tra parole, numeri e note. Le due serie sono state inserite in una scrittura a quattro parti come un contrappunto, seguendo sempre, quasi come sfida, quanto più possibile la consonanza. Così come nello schema si poteva vedere che le file si sovrapponevano scalando ogni volta di un posto, così le due serie sono state inserite partendo ogni volta dalla nota successiva, poi sono state sovrapposte e incastrate tra loro seguendo unicamente esigenze musicali. Lo stesso sistema è stato poi adottato con le colonne e in alcuni casi anche altre nuove serie ricavate dalle linee diagonali. Infine con la regola della seconda ugua-

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Fig. 7. Note corrispondenti alla I fila, con i numeri, e alla IV fila, con le lettere, dello schema della Fig. 4a

glianza (numero = battuta) ho composto un tema di 12 battute a quattro parti in Do minore, semplice, piano, con figurazioni musicali elementari facilmente combinabili tra loro. L’ottava battuta, per esempio, rappresentando il numero 8 immobile per tutte le sequenze, consiste in una unica nota tenuta per tutta la misura e per tutte e quattro le parti. Dopo, le battute si ripetono con la sequenza verticale dello schema, dalla terza ripetizione in poi, simulando la spirale, il tema si “avvolge” riga per riga sovrapponendosi a sé stesso. Altre ripetizioni sono servite per rendere il movimento ciclico tipico della sestina. Man mano che la stesura andava avanti era sempre più chiaro che il linguaggio musicale “pretendeva” le sue leggi specifiche. Così, pur rispettando le corrispondenze e le regole autoimposte, ho seguito le esigenze estetiche della lingua sonora così come prima quelle del sistema poetico. Terminata la partitura occorre realizzare l’orchestrazione, il che equivale a riscrivere da capo un’altra partitura; come realizzare il quadro a olio dopo aver eseguito gli schizzi preparatori. Di base c’era già l’idea di dividere in due fronti la struttura organica degli strumenti per meglio rappresentare le due sestine, così ho suddiviso la musica principalmente su due quartetti: il quartetto d’archi (tipico di due violini, viola e violoncello) che fosse in stretto rapporto con la voce recitante; e il quartetto di ottoni (tromba, corno, trombone e basso tuba) in rapporto invece con i danzatori. Seguendo il racconto e le esigenze teatrali, in alcuni punti le corrispondenze si invertono, in altri (archi, ottoni, voce, danzatori) si uniscono tutti assieme.

La messa in scena La parte più interessante di tutta la ricerca è stata poi la realizzazione, la messa in scena. Finché l’organismo complesso viveva nella mente, aveva la logica, regole decise arbitrariamente, forme dettate dall’esperienza e dall’istinto, ma è stato solo con le prime prove che i suoi contorni si sono definiti, con la pratica sono emerse le necessità principali, virtù e difetti. Uno strumento in particolare è stato destinato a questo aspetto: le percussioni. Le percussioni hanno una funzione completamente differente da tutto il resto. Esse rappresentano il cuore che batte,

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Fig. 8. Due momenti delle prove

Fig. 9. Lo spettacolo del 27 marzo 2009

la vita che scorre, il movimento, l’istante che fugge e che ci fa amare o disperare, gioire o inquietare. Poche cose sono state dunque decise nello scritto. Tutto è stato definito, e con molte prove, nella pratica e nella realizzazione finale. La strofa 17 per esempio, in cui, come si diceva, essendoci la catarsi nella storia, si trova nel punto aureo, sono allora le sole percussioni, con un ritmo complesso derivato dal balletto successivo, ad affiancare la voce recitante nella sua declamazione. Infine per quanto riguarda la coreografia mi sono affidato a un’esperta, Laura Sgaragli direttrice del Centro Elaborazione Danza di Venezia, grazie alla quale ho

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potuto contare su una proficua e lunga collaborazione, ragionando circa un anno e mezzo sul testo e sulla musica, dai primi schizzi musicali fino ai sette balletti definitivi.

Il testo recitato Fin dall’inizio il testo poetico è stato concepito come una musica. Inoltre la griglia numerica comune rendeva testo e musica fluidamente compatibili; dunque non è stato difficile inserirlo poi come un’altra voce di contrappunto: nelle prime battute in maniera molto definita nel ritmo e persino nelle note, poi seguendo le leggi della declamazione ma sempre in un luogo e un momento stabiliti.

La scenografia Tutto lo spettacolo è stato accompagnato da 22 quadri pittorici, realizzati da Edoardo Amodio. Sarebbe troppo lungo raccontare il gesto pittorico in relazione al suono e al ritmo. È interessante segnalare la più efficace e stretta relazione che

Fig. 10. Immagine della dea

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Fig. 11. Illusione di un paesaggio

abbiamo voluto nel rapporto con la musica e con il testo: il disvelamento ha visto coincidere il passaggio dallo stile astratto a quello figurativo, e ancora, così come in musica si è adottata l’illusione della tonalità, così in pittura si è cercato l’illusione della figura. M’imposi del monte la gran salita Cercai, e quanto, con la scala il fiore Riposai al campo quando la spiaggia Tra ne i boschi piangevo col mare Di notte mi parea sentir le onde Ora mi culla della luna il verso! [5]

Bibliografia [1] [2] [3] [4] [5]

B. Spinoza (1972) La Teologia Politica, Einaudi, Torino, p.109 A. Roncaglia, (1981) L’invenzione della sestina, in “Metrica” II P. Zumthor, 1995 pp. 393-394 La misura del mondo: la misura dello spazio nel Medioevo, il Mulino, Bologna P. Zumthor, 1978 p. 218 Le masque et la lumière : la poétique des grands rhétoriqueurs, du Seuil, Parigi Tornada conclusiva delle 28 stanze del testo poetico di Dianaballo

Matematica e danza

Incontrare la scienza a passo di danza: flamenco S. Caliari, S. Rensi

Incontrare la scienza a passo di danza: flamenco di Samuela Caliari e Silvia Rensi

El flamenco es matemática pura, como todas las músicas, las cosas salen porque se sigue una ecuación. Philippe Donnier, El duende tiene que ser matematico

Arte e scienza, danza e fisica, flamenco e matematica… discipline diverse, prospettive diverse, lingue diverse. Dalla volontà di coniugare queste diversità in una forma di comunicazione nuova e allettante nasce questo studio che ha trovato realizzazione in una proposta scientifica del Museo Tridentino di Scienze Naturali di Trento. In un contesto divertente e stimolante, è possibile avvicinarsi ai passi base del flamenco analizzando la matematica e sperimentando le leggi della fisica che governano i movimenti e la dinamica dei corpi, per poi ballare a ritmo di musica in modo più consapevole. Il risultato è un intreccio tra arte e scienza in uno scambio continuo di stimoli. Cosa succede quando eseguiamo anche un solo semplice movimento? Quali forze entrano in gioco? Come possiamo contrastarle o usarle a nostro favore? Perché cadiamo da una posizione di apparente equilibrio? Quale matematica si nasconde nel ritmo? Perché l’attrito, oltre a rappresentare un ostacolo al moto, fornisce le condizioni indispensabili per eseguire i movimenti come il camminare, il correre o il danzare? Studiare cosa accade quando ogni piccolo passo viene eseguito permette di conoscerne i segreti, perfezionando il proprio corpo e la sensazione di armonia che trasmette, soprattutto in una danza coinvolgente e struggente come il flamenco. Come ritrovare elementari concetti di matematica e fisica nel flamenco? Cercheremo di illustrare alcune caratteristiche e i passi base di questa danza andalusa, scoprendone la matematica e la fisica nascoste. Il flamenco nasce nel sud della Spagna, in Andalusia, dall’incontro tra varie culture, come quella gitana, spagnola e araba. Non è solo il nome di una danza, ma anche di uno stile musicale, di un canto, di una tecnica pittorica; nasce come espressione popolare e si sviluppa in molti altri ambiti, fino ad arrivare ai palcoscenici dei teatri e ai concerti rock. Il flamenco nasce come canto, senza musica (a palo seco), chitarra e danza si aggiungono solo in seguito. È una vera e propria cultura, un modo diverso di sentire la vita, è passione, è sentimento. È la gioia di esprimersi, l’allegria di ballare, ma anche nostalgia, sofferenza.

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Fig. 1. Il flamenco è un’arte che nasce dall’intreccio delle tradizioni culturali e musicali dei diversi popoli che si sono stabiliti in Andalusia, con il ricco folclore autoctono, da sempre sensibile a influenze orientali: è il nome di uno stile musicale, di una tecnica di pittura e di una danza

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Fig. 2. Suonatore di cajón. Il chitarrista spagnolo Paco de Lucia e il ballerino Manuel Soler hanno introdotto questa percussione nel flamenco creando un felice sposalizio che dura ormai da decenni. Manuel Soler è divenuto in seguito il punto di riferimento per tutti i percussionisti di flamenco

Alcuni tra gli accompagnamenti musicali più semplici, ma anche suggestivi e coinvolgenti, per il baile flamenco (la danza flamenca) sono il jaleo (incitazioni a voce) e palmas (battito delle mani). Molti strumenti musicali possono accompagnare il baile, tra i quali la chitarra, lo strumento principe della cultura flamenca, o anche lo strumento a percussione chiamato cajón (Fig. 2). La presenza di palmas e cajón consentono di avere un accompagnamento base particolarmente interessante per accentuare i ritmi della danza e apprezzare quale matematica si nasconda nel ritmo dei vari stili. Il cajón è lo strumento simbolo della comunità nera peruviana. Come altre percussioni del Sud America, è un sostituto dei tamburi africani, che vennero proibiti agli schiavi condotti nel nuovo mondo. Il suo nome descrive esattamente di cosa si tratta: una cassa di legno. Si dice che i primi esemplari di cajón fossero le cassette per la raccolta della frutta. Da allora il cajón è stato perfezionato, fino ad assumere un aspetto e un criterio costruttivo convenzionale negli anni ‘50. In genere si presenta come un parallelepipedo di circa mezzo metro di altezza e trenta centimetri di larghezza e profondità. Il lato anteriore è sensibilmente più sotti-

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le degli altri, e costituisce la superficie battente, il lato posteriore ha un foro dal quale fuoriesce il suono. La caratteristica che differenzia maggiormente i vari tipi di cajón è il sistema di cordiera interna. Nel cajòn flamenco il timbro viene arricchito dalla presenza di oggetti metallici messi a contatto con il lato interno del fronte; con la cordiera, il cajón assomiglia a un tamburo rullante. Sia da un punto di vista musicale che matematico, è di particolare interesse analizzare quali siano ritmi e accenti che contraddistinguono i vari stili del flamenco. Gli stili musicali del flamenco sono detti palos. Ne esistono più di 50, anche se alcuni sono eseguiti molto raramente. I palos sono classificati secondo criteri musicali quali velocità, ritmo, tonalità, melodia o anche per la tematica delle letras, ovvero le strofe cantate. Alcuni di essi provengono da altri generi musicali e sono stati “aflamencados” nel corso del tempo, come la sevillana, il fandango, la farruca ecc. La classificazione dei palos flamenchi è controversa anche se di massima vengono divisi due grandi gruppi: il cante jondo (cioè profondo) e il cante chico (cioè piccolo). Al primo appartengono palos solitamente di sofferenza con la presenza di canto tragico, come la soleà, la seguiriya, la petenera ecc. Al cante chico appartengono generi più leggeri come la buleria, il tango flamenco, l’alegria ecc. Il modello ritmico del palo con il numero di battiti e l’accentazione è chiamato compás; comprende anche la sequenza degli accordi che la chitarra utilizza per indicare quel particolare palo. La semplice frase ritmica non individua con sicurezza il palo di riferimento: esistono, infatti, vari stili che hanno frase ritmica e velocità comuni, ma sono suonati su scale musicali diverse e hanno un diverso valore emozionale (per esempio alegrías, soleá, bulerías). I palos flamenchi si suddividono in palos con il compàs in vari tempi: 3 tempi, 4 tempi, 6 tempi e 12 tempi. Tra i palos più comuni con compàs in 3 tempi troviamo la malagueña. Per il compàs in 4 tempi possiamo avere invece il tango flamenco, la rumba, il taranto, il tiento. Tra quelli con il compàs in 6 tempi troviamo la sevillana. Con il compàs in 12 tempi l’alegria, la buleria, la soleà, la siguiriya. Mentre i palos in 3, 4 e 6 tempi risultano abbastanza familiari, quelli in 12 tempi sono tra i più complicati, in quanto il nostro orecchio non è abituato ad ascoltare questo ritmo. All’interno del compàs si presentano degli accenti che sono quelli che andranno poi a caratterizzare il palo. Nella figura 3 si possono osservare gli accenti che caratterizzano alegria, buleria e siguiriya.

Fig. 3. Accenti ritmici che caratterizzano alegria, buleria e siguiriya.

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Fig. 4. Il reloj flamenco, orologio flamenco, che permette di rappresentare i vari ritmi che caratterizzano i palos. In questo caso sono rappresentati gli accenti di alegria, buleria e siguiriya

Spesso per rappresentare e spiegare questi ritmi si usa il cosiddetto reloj flamenco, orologio flamenco, che si può osservare nella figura 4. Come anticipato, uno strumento di accompagnamento della danza sono le mani, con le quali si può accompagnare la stessa musica in maniere diverse. Per esempio, scegliendo un compàs in 12 tempi, come l’alegria, è possibile creare un accompagnamento dando palmas (battito delle mani) a ogni tempo, dando però più forza negli accenti, ossia sul 3, 6, 8, 10 e 12. Avendo però a disposizione 12 tempi, ed essendo 12 multiplo sia di 2, 3 che 6, è possibile accompagnare accentuando ogni 2 oppure ogni 3; altresì è possibile dividere il compàs di 12 in due compàs uguali da 6. Uno dei primi accorgimenti nell’avvicinarsi al flamenco è capire quale sia la corretta postura che il corpo deve mantenere durante la danza. Una delle caratteristiche del ballo flamenco è la cosiddetta posizione “seduta”, ossia un leggero abbassamento del bacino come se si stesse cominciando a sedersi (Fig. 5). Questa postura permette di avere maggiore stabilità nei movimenti, in quanto consente di abbassare il baricentro. Ricordiamo come nello studio della dinamica dei sistemi (quindi anche nel movimento del corpo) sia di fondamentale importanza lo studio del baricentro, o, più precisamente, centro di massa. La forza di gravità agisce su tutti i punti che compongono un corpo, ma in alcuni casi specifici si può immaginare che il peso dell’oggetto sia concentrato in un unico punto, il baricentro appunto. Dalla prima equazione cardinale della dinamica, che descrive il moto traslatorio di un sistema, deduciamo infatti che il centro di massa del sistema si muove come un punto materiale di massa pari alla massa totale del sistema e soggetto a una forza uguale alla risultante delle forze agenti. La posizione del baricentro dipende dalla forma dell’oggetto e dall’omogeneità del materiale che lo costituisce. Se un oggetto ha particolari simmetrie, il baricentro può essere facilmente individuabile; se un oggetto ha una forma regolare,

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Fig. 5. Durante i passi del flamenco è necessario mantenere la cosiddetta posizione “seduta”, ossia un leggero abbassamento del bacino rispetto a una postura eretta, per favorire un abbassamento del baricentro, con conseguente aumento di stabilità

Fig. 6. Se consideriamo una cornice rettangolare, il baricentro sarà nel punto di intersezione delle diagonali, quindi un punto esterno all’oggetto stesso

spesso il baricentro coincide con il centro geometrico. Il baricentro di un oggetto omogeneo a forma di sfera, per esempio, è situato nel centro geometrico della stessa, mentre quello di un oggetto omogeneo a forma di cubo è nel punto di intersezione delle diagonali. Il baricentro di una figura concava può anche trovarsi all’infuori della figura stessa (Fig. 6). In oggetti con forma irregolare e variabile, come il corpo umano, il baricentro non può essere definito precisamente e la sua posizione cambia con i cambiamenti di posizione del corpo (Fig. 7). Il corpo umano presenta approssimativamente una simmetria verticale (la parte sinistra è simmetrica rispetto alla destra, a parte piccole differenze), quindi il baricentro sarà collocato sicuramente su questo piano di simmetria verticale; si trova indicativamente all’interno del corpo all’altezza della terza vertebra lombare (per semplicità, più o meno all’altezza dell’ombelico). Nel corpo umano l’equilibrio è un insieme di aggiustamenti automatici e inconsci che ci permettono, contrastando la forza di gravità, di mantenere una posizione o di non cadere durante l’esecuzione di un movimento. Il baricentro si proietta sul terreno all’interno di un’area detta base d’appoggio. Fino a quando la proiezione del baricentro si mantiene all’interno della base di appoggio, si è in una condizione di equilibrio, quando tale proiezione si sposta verso la periferia si perde progressivamente stabilità e si è costretti, per mantene-

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Fig. 7. Il baricentro del corpo umano è collocato approssimativamente all’altezza della terza vertebra lombare. La sua posizione cambia in funzione dei cambiamenti di posizione del corpo

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Fig. 8. Il corpo si mantiene in una posizione di equilibrio solo se la proiezione del baricentro si mantiene all’interno della base di appoggio

re l’equilibrio, a un aumento di lavoro muscolare o a una veloce variazione della base di appoggio (Fig. 8). La superficie di appoggio è l’unione di tutte le superfici di contatto, cioè la più piccola superficie che contiene tutte le superfici d’appoggio. Per il corpo umano, la base di appoggio è la superficie che comprende i due piedi e lo spazio tra essi compreso. La grandezza e la forma della base di appoggio sono fattori che influenzano la stabilità. Quando siamo in piedi con base instabile possiamo aumentare la base di appoggio per esempio allargando le gambe, usando un supporto esterno (come un bastone), appoggiando il ginocchio su una superficie (per esempio su di un gradino) ecc. Il concetto di equilibrio è dunque fondamentale per la postura del corpo e il movimento, e ancor più negli sport e nella danza in particolare. Più basso è il baricentro, maggiore è la stabilità. Una consapevolezza di come sia regolato l’equilibrio fornisce una sicurezza per una corretta e armoniosa esecuzione di passi e movimenti. La possibilità di mantenersi o meno in equilibrio è legata ovviamente all’azione della forza peso, che immaginiamo agente nel baricentro del sistema. Altre forze entrano in gioco durante la danza, a seconda dei movimenti eseguiti. Uno dei passi del flamenco è chiamato vuelta (giro). Esistono due modi diversi di eseguire un giro, il primo eseguito tipicamente dalle donne, il secondo dagli uomini. La donna esegue una vuelta usando la planta (punta del piede) mentre l’uomo appoggiando solo il tacon (tacco) (Fig. 9). Come vedremo in seguito, nel caso della vuelta eseguita con tutta la punta, la “fatica” per ruotare è maggiore rispetto al fare il giro appoggiando a terra solo il tacco. Nella rotazione, la forza d’attrito tra suola e pavimento genera due forze uguali e opposte, una coppia di forze. Più nello specifico si genera un momento torcente

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Fig. 9. Per eseguire una vuelta¸ la donna compie il giro appoggiando solo la punta del piede, mentre l’uomo appoggia il tacco

Fig. 10. Momento torcente di una coppia di forze

(Fig. 10). Ricordiamo che il momento torcente è un caso particolare di momento di una forza: il momento di una forza è torcente quando la forza stessa è applicata perpendicolarmente all’asse di rotazione e non lo interseca ed è definito dal prodotto → → vettoriale T = → r × F dove → r è il vettore distanza tra il fulcro e il punto di applicazio→ ne della forza e F la forza applicata. Il momento torcente è anche detto coppia di forze o semplicemente coppia, in quanto può essere rappresentato in modo equivalente come la conseguenza dell’applicazione di due forze distinte uguali e contrarie, ciascuna con modulo pari alla metà di quello del momento torcente e agenti su due punti della leva esattamente opposti rispetto al fulcro. La distanza tra il punto di applicazione delle due forze influisce ovviamente sulla rotazione. Ritornando alla vuelta, se tutto il piede è appoggiato, la distanza tra le forze opposte è maggiore, quindi è necessario applicare una forza maggiore per ruotare. Se invece il piede appoggia solo in parte, come nel caso del tacco, la distanza è ovviamente minore, consentendo quindi una rotazione più veloce. Come anticipato, nella rotazione del piede nella vuelta agisce la forza d’attrito tra suola e pavimento. Il generale la forza d’attrito è sempre presente durante il ballo, di volta in volta ostacolando il movimento o favorendo la stabilità. Ricordiamo che la forza d’attrito è una forza dissipativa che si esercita tra due superfici a contatto tra loro e si oppone al loro moto relativo. L’esperimento più semplice per sperimentare la forza d’attrito è sfregare velocemente una mano contro l’altra: le mani si scalderanno subito. L’attrito ha trasformato parte della nostra energia meccanica in calo-

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re. È quindi grazie alla forza di attrito tra il pavimento e la suola delle scarpe che possiamo camminare, correre, ballare; se non ci fosse attrito (o fosse molto ridotto) sarebbe come camminare costantemente sul ghiaccio. La forza di attrito dipende dalla forza perpendicolare alla base d’appoggio e dai materiali che vengono a contatto, nel nostro caso la suola della scarpa e il pavimento. Nel flamenco, il tacco è costituito in ferro, mentre la planta non lo è, quindi, essendo due materiali diversi, cambia anche l’intensità delle forze di attrito che entrano in gioco. La forza d’attrito dipende inoltre dall’inclinazione del piano, ma nel caso del flamenco è ininfluente in quanto ci si muove sempre su di un piano orizzontale. Per quanto riguarda l’attrito con l’aria, nel flamenco è importante anche il tessuto con il quale sono confezionati i costumi dei ballerini, soprattutto quelli femminili. Un tessuto tendenzialmente liscio e leggero permette di ridurre al minimo l’attrito nell’aria rendendo i movimenti più armoniosi e fluidi. La forza peso agisce ovviamente in ogni momento sul corpo, quindi durante tutti i movimenti del ballo; è importante averne consapevolezza anche per scegliere come distribuire la forza peso durante i passi, soprattutto relativamente ai vari modi di battere il tacco. Nel flamenco possono essere eseguiti due tipi di appoggio del tacco: tacco normale o tacco di peso. Il tacco normale viene eseguito lasciando entrambi i piedi a terra e battendo il tacco: si sfrutta in tal modo la sola forza dei muscoli della gamba. Nel caso invece del tacco di peso, come si può intuire dal nome, si sfrutta la forza peso, che agirà tutta su quel tacco. Sono due forze di natura diversa, che producono anche una sonorità differente sul pavimento. Generalmente si predilige danzare su un pavimento in legno, perché produce una sonorità più marcata rispetto ad altri tipi di materiali. Inoltre, il legno, grazie alla sua elasticità, consente di evitare che l’urto tra piede e pavimento si ripercuota sulla colonna vertebrale. Su di un pavimento costituito da un materiale meno elastico, come il marmo, le vibrazioni determinate dall’urto sarebbero ripercosse sulla colonna vertebrale. Ecco quindi che la scelta della superficie sulla quale ballare è legata anche alla necessità di poter avere il più possibile degli urti, tra tacco e pavimento, che si avvicinino a degli urti elastici. Ricordiamo che per urto si intende una collisione che avviene tra due o più corpi nello spazio, caratterizzata dalla presenza di forze interne molto intense e di

Fig. 11. Nel flamenco possono essere eseguiti due tipi di appoggio del tacco: il tacco normale e il tacco di peso, che producono due forze di natura diversa

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breve durata (forze impulsive), mentre le forze esterne sono trascurabili (in linea teorica quindi il sistema si può considerare isolato). Se l’energia meccanica totale dei corpi è rimasta invariata (e quindi le velocità dei due corpi dopo l’urto hanno o direzione o verso o intensità diverse tra loro), allora si parla di urto elastico. Se l’energia meccanica dei corpi è stata parzialmente dissipata nell’urto, allora si parla di urto anelastico. In quest’ultimo caso, se l’energia cinetica dissipata è la massima possibile (dovendo rispettare la conservazione della quantità di moto totale), l’urto si dice totalmente anelastico. In tal caso i due corpi procedono alla stessa velocità dopo l’urto; la parte di energia cinetica dissipata viene convertita in energia interna dei corpi coinvolti nell’urto (i corpi che si urtano si deformano in modo permanente rimanendo uniti dopo l’urto). L’urto tra piede e pavimento è particolarmente importante nel flamenco, in quanto la tecnica dei piedi è una delle componenti fondamentali di questa danza. Esistono essenzialmente tre combinazioni di passi fondamentali. Lo zapateado è la sequenza di passi percussivi che si basano su effetti sincopati e di raddoppiamento ritmico e giocano con le dinamiche della velocità e con l’intensità del suono; costituisce l’assolo virtuosistico del ballerino, detto escobilla. Un’altra combinazione di passi è detta punteado e consiste in movimenti di piedi leggeri, un tacco-punta sottile, generalmente eseguito durante le variazioni melodiche della chitarra, dette falsetas. Il pateo invece è una successione di colpi forti, ottenuti con la pressione di tutta la pianta del piede sul suolo, che marcano il controtempo; ha una funzione espressiva di sfogo temperamentale e impulsivo, adeguata a certi passaggi del piede sul suolo, che marcano appunto il controtempo.

Conclusioni Abbiamo proposto alcuni aspetti della danza flamenca stimolando una riflessione su alcuni spunti di matematica e fisica. Un approfondimento di questo studio ha portato alla realizzazione di una proposta scientifica dal titolo S…ballo al Museo, progettata dal Museo Tridentino Scienze Naturali di Trento nel corso dell’anno 2007 e tutt’ora proposta al pubblico scolastico e non. Questa interazione dinamica di arte e scienza si inserisce in una programmazione mirata che intende coinvolgere i cittadini con una forma di comunicazione giocosa per avvicinarsi in modo informale alla scienza. In generale il Museo Tridentino di Scienze Naturali promuove la cultura scientifica con l’obiettivo di renderla accessibile al grande pubblico e realizza programmi educativi di alto profilo. Da oltre cinque anni in questo contesto si inseriscono le attività per il pubblico, che hanno lo scopo di stimolare con continuità l’interesse e la partecipazione del pubblico generico per le tematiche scientifiche, sia naturalistiche che di scienza di base, offrendo molteplici occasioni di intrattenimento, incontro e

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approfondimento. Queste iniziative rappresentano una singolare opportunità per diffondere nel quotidiano la cultura scientifica creando un legame più forte con il pubblico. Il format che distingue le attività per il pubblico risulta informale, ma allo stesso tempo inappuntabile dal punto di vista della qualità e del rigore scientifico. L’obbiettivo è quello di coinvolgere il pubblico ai temi della scienza adottando i principi della comunicazione teatrale e dell’edutainment, una forma di intrattenimento finalizzata sia all’educare che a divertire. La partecipazione, la curiosità, il divertimento e l’emozione costituiscono la componente innovativa di questo diverso ma efficace modo di operare nel settore della divulgazione e comunicazione della scienza. Nel 2007 è nata l’idea di avvicinare le persone a una tematica della vita quotidiana, come la danza, cercando di scrutarne gli aspetti scientifici più nascosti, con particolare riferimento alla matematica e alla fisica. Questo progetto si è concretizzato in una serie di appuntamenti proposti al pubblico generico negli ultimi tre anni, nonché in un’animazione scientifica dedicata al pubblico scolastico, che ormai da anni sta riscuotendo un grande successo, sia nella versione legata al flamenco, che a quella legata ad un altro ballo: l’hip hop.

Ringraziamenti Si desidera ringraziare l’intero gruppo di lavoro della sezione Attività per il Pubblico del Museo Tridentino di Scienze Naturali di Trento, che si occupa in particolare di sviluppare una nuova frontiera di divulgazione scientifica utilizzando il linguaggio della comunicazione teatrale; lo staff degli explainer didattici e tutto

Fig. 12. Lo studio della matematica e della fisica legate al flamenco si è concretizzato nella realizzazione di una proposta scientifica del Museo Tridentino di Scienze Naturali di Trento. L’attività riscuote un buon successo sia in termini di pubblico che di gradimento

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il personale del Museo. Un particolare ringraziamento a Martina De Nisi, a Stefano Maragnoli e a Silvia De Francesco che hanno collaborato alla realizzazione del progetto.

Bibliografia [1]

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Venezia

Le perle veneziane: un tesoro da scoprire G. Sarpellon

Le perle veneziane: un tesoro da scoprire di Giovanni Sarpellon

La storia del vetro comincia, probabilmente, con una perla. Nessuno potrà mai sapere come ebbe origine il vetro: la sua comparsa è nascosta nelle nebbie della storia e ogni ipotesi deve basarsi su scarsi e incerti indizi. Ciò su cui gli studiosi sembrano concordare è che anche l’invenzione del vetro si deve probabilmente al caso, certo aiutato dallo spirito di osservazione e dall’intuito di qualche artigiano. Il procedimento stesso di fabbricazione del vetro suggerisce un paio di alternative sull’origine di questo affascinante materiale. Per fare vetro due cose sono essenziali: sabbia silicea e fuoco potente; altre due sono necessarie: un fondente (per abbassare la temperatura di fusione della sabbia) e uno stabilizzante (per evitare che col tempo il vetro si disgreghi). Nell’antichità questi elementi si trovavano riuniti nelle officine dei ceramisti e in quelle dei fabbri: la creta infatti è essenzialmente un impasto di silice mista ad altre impurità (fra le quali carbonato di calcio, che funge da stabilizzante), mentre la sabbia era usata nelle forge dei fabbri per contenere il combustibile che veniva ravvivato da un soffio d’aria. L’esposizione prolungata della sabbia alle elevate temperature che si ottengono in un’officina metallurgica (soprattutto in occasione della fusione dei metalli) può dare origine alla colatura del vetro, specialmente in presenza di ceneri che, com’è noto, possono svolgere il ruolo di “fondenti” e abbassare quindi il punto di fusione della sabbia. La prima casuale apparizione del vetro può peraltro aver avuto luogo nella fornace di un ceramista che, formati i suoi oggetti, li cucinò a un fuoco più vigoroso del normale, arrivando alla temperatura sufficiente per la fusione e ottenendo così il primo, ancorché imperfetto, pezzo di vetro. Fra i reperti archeologici dei millenni passati si trovano infatti degli oggetti che difficilmente possono essere classificati, essendo un po’ ceramica e un po’ vetro. Fra questi oggetti si trovano soprattutto perle! Le perle di questo nuovo materiale risultarono certamente più attraenti di quelle di semplice terracotta, perché la presenza di ossidi nell’argilla utilizzata conferiva loro varie colorazioni; la lucentezza e la particolare consistenza assicuravano inoltre al vetro un fascino del tutto speciale.

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È quindi possibile che la storia del vetro sia cominciata proprio con le perle, questi minuti oggetti che per l’infinita varietà delle forme e dei decori non hanno mai cessato di suscitare un grande interesse, e non solo fra le signore! Pur essendo due le fondamentali tecniche di produzione di perle di vetro (e di esse si dirà più avanti), la varietà delle perle prodotte nei millenni è incredibile e seguirne l’evoluzione nel tempo è assai difficile. Venezia, che per molti secoli fu un centro di produzione vetraria di importanza mondiale, alimentò anche una enorme produzione di perle. I perlai contribuirono non poco ai fiorenti commerci della Serenissima e mantennero la loro importanza anche nei periodi di maggior crisi dell’arte vetraria muranese. Con la caduta della Repubblica Veneta nel 1797, tutta l’economia veneziana fu sconvolta; Murano in particolare fu colpita da una terribile recessione alla quale contribuì non solo la rovina della rete commerciale, ma anche il mutamento dei gusti e della moda che spinse a favorire le produzioni in cristallo pesante (intagliato e decorato) delle fabbriche boeme e francesi. Parziale eccezione, in questo disastro generale, faceva il comparto delle perle che, con la sua richiesta di materia prima, impedì che le fornaci muranesi arrivassero alla totale chiusura nella prima metà dell’Ottocento. La successiva rinascita dell’industria vetraria nella seconda metà del secolo si accompagnò poi con un ulteriore potenziamento dell’attività perliera, sostenuta dai nuovi mercati che si andavano aprendo nei territori coloniali e da un favorevole (questa volta!) cambiamento della moda.

Le perle di Venezia Nonostante la grande importanza che la fabbricazione delle perle ebbe nella millenaria vicenda del vetro di Murano, la storia di questi minuscoli manufatti è ancora poco conosciuta, quanto meno per ciò che riguarda la sicura identificazione dei diversi tipi prodotti nel corso dei secoli e l’individuazione dei più importanti produttori. Questa difficoltà deriva dalla natura stessa delle perle di vetro che, pur essendo oggi motivo di grande interesse per appassionati collezionisti e studiosi, sono sempre rimaste nell’ambito di un artigianato per lo più anonimo e complessivamente di poco valore e, quindi, poco documentato. Oltre che sui non molti esemplari custoditi nei musei e su quelli che emergono in alcuni ritrovamenti archeologici, lo sviluppo della ricerca fa affidamento sulla raccolta dei campionari che commercianti e artigiani approntavano per i loro clienti. Purtroppo anche questi materiali, per la loro natura strumentale, raramente venivano conservati una volta esaurita la funzione alla quale erano destinati e costituiscono oggi una rarità. È comunque sicuro che il nome, e le vicende, di quello stuolo di modesti artigiani che, davanti alla fiamma puzzolente di un lume, crearono quei piccoli capolavori resterà per sempre ignoto.

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Quando si cominciò a fare perle di vetro a Venezia non è noto. Si sa invece che già nel XIII secolo (ma probabilmente anche prima) era attiva la produzione di “veriselli”, cioè di imitazioni in vetro di pietre più o meno preziose; si sa anche che questi artigiani producevano “paternostri”, cioè grani per corone del rosario: tra questi e le perle di vetro non c’è alcuna differenza, a parte l’uso devoto o mondano a cui possono essere destinati. Il più antico documento finora noto che segnala la presenza di “paternostri de vitro” è del 1338 e si trova fra le carte del processo seguito a un fallito tentativo di evasione delle tasse di esportazione. Queste perle erano fatte una a una, attorcigliando attorno a una sottile asta di ferro del vetro reso fluido dal calore del fuoco. Un’importante innovazione, che aprirà in seguito un ricco settore dell’attività vetraria, è rappresentata dall’uso della canna forata per la fabbricazione di un nuovo genere di perle che i veneziani chiameranno “margarite” (riprendendo l’antica parola latina).

Le “margarite”, ossia le perle di canna di vetro Per trovare notizie dell’introduzione a Murano della tecnica della preparazione delle perle attraverso la spezzettatura di una canna di vetro forata bisogna aspettare, secondo le ricerche finora disponibili, gli ultimi decenni del XV secolo. La parola “canna” appare infatti per la prima volta in un documento muranese del 1470 in relazione a una denuncia presentata contro Taddeo Barovier, accusato di avere esportato illegalmente materie prime proprie dell’arte dei vetrai. Il nuovo metodo aprì una nuova strada nella produzione delle perle, moltiplicando incredibilmente le quantità prodotte, anche se, leggendo quanto scritto nel Capitolare dell’Arte dei Vetrai nel 1511, sembra che i Muranesi non abbiano subito colto questa opportunità, che era invece già stata sfruttata dai tedeschi che comperavano la canna forata a Murano, la trasformavano in perle nei loro laboratori d’oltralpe e spedivano poi i loro prodotti servendosi delle navi degli stessi veneziani. Contemporaneamente alle prime notizie intorno alle canne di vetro appare anche il nome della perla forse più famosa e comunque l’unica ad avere un nome: la perla rosetta (Fig.1). Sul finire del Quattrocento furono prodotte diverse variazioni sul tipo della “canna rosetta”, sia con foro, sia senza foro, adatte dunque non solo a far perle, ma anche a essere utilizzate nella produzione di vetri soffiati. Dopo un periodo di grande successo la perla rosetta sembra scomparire per alcuni secoli, fino a ricomparire nei primi decenni dell’Ottocento per guadagnare subito un grande favore specie presso i popoli extra-europei che ne divennero grandi importatori. La perla rosetta si ottiene da una canna forata composta da sei strati di vetro (bianco, blu, bianco, rosso coppo, bianco, blu) sagomati in modo da presentare in sezione cinque stelle concentriche a dodici punte. Rispetto a questo modello “classico” è possibile trovare alcune variazioni, sia nel colore del vetro che nel numero

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Fig. 1. Perle “rosetta”. Dall’alto a sinistra, n. 1 e 2: fine sec. XV; n. 3: prob. sec. XVII; n. 4, 5, 6: 1990 (esecuzione Ercole Moretti & F.lli)

degli strati. La lavorazione della canna necessaria per la perla rosetta comincia formando sulla punta di un’asta di ferro un cilindro di vetro nel quale, in corrispondenza del proprio asse, è stato praticato un lungo foro. Attingendo successivamente in diversi crogioli, il cilindro aumenta di volume e risulta formato da strati sovrapposti. Avendo cura di premere il vetro ancora molle, dopo ogni aggiunta, in stampi aperti a forma di stella, esso si modellerà nello stesso modo; solo l’ultimo strato sarà invece mantenuto nella sua forma cilindrica. Terminata l’operazione di accumulazione del vetro, una seconda asta di ferro viene fatta aderire all’estremità libera del grosso cilindro di vetro e consegnata nelle mani di un secondo vetraio. A questo punto i due uomini si allontanano camminando in direzione opposta, tirando progressivamente il cilindro e trasformandolo in una lunga canna che via via si assottiglia fino allo spessore desiderato. Una volta raffreddata, la canna viene tagliata in pezzi di circa un metro e passata alla successiva lavorazione. Questa avviene in appositi laboratori dove le canne vengono anzitutto ulteriormente tagliate (un tempo con il secco colpo di un apposito strumento, ora con la sega diamantata) ottenendo tanti piccoli cilindri che vengono poi sottoposti a un accurato lavoro di molatura, svolto a mano con l’ausilio di una ruota abrasiva tenuta costantemente bagnata per non surriscaldare il vetro. In questo modo la perla che ne deriva assume la caratteristica forma ovale, palesando il suo disegno interno a stelle sovrapposte. Seguono infine la finitura e la lucidatura che si ottengono facendo ricorso a un “buratto” rotante nel quale sono state inserite alcune polveri speciali. Le perle rosetta richiedono quindi una lunga preparazione, essendo lavorate manualmente una a una. Per questa ragione esse costituiscono una eccezione rispetto alle possibilità introdotte in questo settore dalla scoperta dell’utilizzo della canna forata. Anche se originata nel XV secolo, la lavorazione della canna forata per produrre perle è infatti un procedimento che oggi definiremmo di “produzione industriale di massa”!

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Per giustificare questa azzardata affermazione è forse opportuno procedere nella descrizione del nuovo metodo di fabbricazione delle perle. Bisogna anzitutto dire che, come la canna per la perla rosetta è progressivamente costruita sovrapponendo sei strati di vetro modellati attraverso l’uso di uno stampo a stella, altre canne possono presentare stratificazioni interne di colore e forma diversa, dando origine a una grande varietà di combinazioni. Un’altra possibilità di variazione nella costruzione delle canne sta, oltre che nelle mille gradazioni di colore che i vetrai muranesi sono sempre stati capaci di realizzare, nell’applicare sulla superficie esterna un decoro composto con linee perpendicolari: a ogni combinazione di colori corrisponderà poi una diversa serie di perle (che, nella terminologia muranese, vengono chiamate “stricà”). La costruzione di canne permette quindi già di avere una grande varietà di tipi di partenza; la lavorazione successiva permette poi di avere un gran numero di perle tutte uguali fra loro. Richiamando quanto sopra detto a proposito della perla rosetta, si ricorderà che, una volta definitivamente pronto, il cilindro di vetro viene stirato da due operai (detti “tiradori”) che si allontanano in direzione opposta. Questa operazione, se svolta correttamente, permette di ottenere una canna di diametro costante anche molto lunga, tanto che, se i due tiradori si allontanano correndo, ne può risultare una canna – che più propriamente sarebbe da chiamare “un filo” – lunga oltre 100 metri, con un diametro finale che può essere inferiore ai 2 millimetri. Una volta tirata, la canna viene appoggiata su delle asticelle di legno poste sul terreno e quindi, dopo essersi raffreddata, tagliata in pezzi di circa un metro di lunghezza e raccolta in fasci. Termina così il lavoro di fornace e inizia quello dei margariteri (Fig. 2). Per passare dalla canna alla perla finita è necessario svolgere una serie di operazioni che può essere interessante richiamare, seguendo la puntuale descrizione che ne fa Vincenzo Zanetti nel 1874. Le canne vengono anzitutto divise secondo il loro diametro e sottoposte quindi al taglio in tanti piccoli cilindri della medesima lunghezza. Questa operazione fu fatta manualmente fino ai primi decenni del secolo scorso, distendendo un piccolo gruppo di canne sopra uno scalpello conficcato in un apposito sostegno e colpendole in modo rapido e deciso con un altro scalpello; una barra regolabile, parallela al primo ferro, consentiva di mantenere costante la lunghezza. Separati i rottami dai pezzi tagliati regolarmente, si procedeva quindi all’importante operazione dell’otturamento dei fori. Per arrotondare infatti i taglienti cilindri, e trasformarli quindi in perle, era necessario far di nuovo ricorso all’azione del fuoco che, agendo anzitutto sugli spigoli delle basi, ne avrebbe provocato la rapida e superficiale fusione senza compromettere la consistenza della parte rimanente del vetro. Per impedire quindi che questa operazione comportasse l’otturamento dei fori, si provvedeva a riempirli con un miscuglio di calce e carbone inumidito con un po’ di acqua: cosa questa fatta da operai (detti “fregadori”), che manualmente mescolavano i pezzetti di canna con l’impasto preparato.

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Fig. 2. Campionario di “conterie” della Società Veneziana per l’Industria delle Conterie, 1900-1910

Seguiva poi la parte più delicata di tutto il lavoro: i piccoli cilindri venivano disposti su dei grandi vassoi di ferro (detti “farasse”) che venivano introdotti in appositi forni con l’accortezza di scuoterli continuamente per impedire che i pezzetti di vetro, rammolliti dal fuoco, si attaccassero l’uno all’altro. Solo la grande esperienza dei margariteri consentiva di regolare al punto giusto l’esposizione al calore e di trarne alla fine una grande quantità di perline perfettamente arrotondate. Questa tecnica durò per secoli fino al 1821 quando, grazie a un’invenzione di Luigi Pusinich, alla “farassa” fu sostituito un tubo rotante che permetteva una produzione di maggiore quantità. Le perle così formate passavano poi nelle mani del “cavaroba”, un operaio che, scuotendole dentro un sacco, le liberava della calce e dal carbone messi a protezione dei fori e le passava quindi ai “governadori”, che

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dividevano le perle secondo la grossezza e separavano quelle riuscite imperfette. Era quindi il turno dei “lustradori” che, mescolando rapidamente le perle con della crusca, le pulivano ridando loro la naturale lucentezza. Le perle venivano poi affidate alle ormai mitiche “impiraresse” (“impiràr” è la parola veneziana per “infilare”) che lavoravano al loro domicilio alle dipendenze di una “mistra”, la quale fungeva da intermediario fra loro e il padrone della fabbrica. Con il loro lavoro queste donne contribuivano non poco ai miserabili bilanci degli operai veneziani e costituivano un elemento caratteristico della vita di certi rioni di Venezia, dal momento che, appena il tempo lo permetteva, si riunivano in strada per fare il loro lavoro in compagnia. Munite di lunghi e sottili aghi corredati da un filo, le impiraresse “pescavano” in un grande vassoio di legno (detto “sessola”) che tenevano sulle ginocchia e formavano delle matasse che finivano poi legate fra loro. Queste perle minute (che nell’Ottocento presero il nome di “conterie”) furono oggetto di una enorme produzione lungo tutto il XIX secolo e nei primi decenni del secolo successivo e vennero esportate in tutto il mondo per fare collane e cinture, per essere tessute e farne borsette e frange per paralumi. Infilate su un filo metallico, erano anche intrecciate per comporre delicati mazzetti di fiori e corone (in Francia, per un certo periodo, sostituirono le corone dei fiori nei cimiteri).

Le perle “a lume” Accanto alla produzione delle piccole “margarite”, deve poi essere ricordata quella delle perle “a lume”, costruite servendosi della fiamma di una lampada a olio (donde il termine “a lume”). La tecnica del lavoro a lume è antichissima, come testimoniano i ritrovamenti archeologici. I primi vetrai, infatti, ben presto impararono che era possibile, per effetto di un secondo fuoco, ammorbidire delle sottili bacchette di vetro e arrotolarle attorno a un supporto a forma di ago, ricavandone così delle perle. Fra la rozza perla monocromatica e irregolare prodotta decine di secoli prima di Cristo e gli esemplari estremamente raffinati della seconda metà del XIX secolo, esiste certamente una differenza infinita; ma il principio tecnico rimane lo stesso: far uso di una piccola fonte di calore e di sottili cannelle per costruire un oggetto di vetro. Per riuscire a farsi una ragione di ciò che la perlaie sono capaci di fare nei loro piccoli laboratori (si ricordi che questo è un lavoro tradizionalmente affidato a donne), basta pensare che esse – in un certo senso – dispongono di una fornace in miniatura e che, sia pure in proporzioni molto ridotte, possono fare tutto il lavoro del vetraio. Bisogna anzitutto tenere presente che la debole fiammella della lampada aumenta incredibilmente la sua potenza quando viene ravvivata dal getto d’aria che proviene da un mantice: tanto quanto basta per rifondere delle sottili cannelle di vetro. Per fare la perla, la perlaia attorciglia attorno a un ago, ricoperto da un sottile impasto argilloso, il vetro che progressivamente fonde,

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Fig. 3. Fasi della costruzione di una perla fiorata

ottenendo, nel caso più semplice, una perla di un solo colore (questo ago era chiamato speo, cioè “spiedo”). Utilizzando cannelle di diverso colore, facendo uso di piccoli stampi a pinza, aggiungendo sulla superficie esterna varie decorazioni, essa può produrre una varietà pressoché infinita di perle (Fig. 3). La perlaia usa le canne fabbricate nelle fornaci di Murano; ma nel suo piccolo laboratorio essa riesce anche a mescolare i vari colori, ottenendo una molteplicità di gradazioni. Con la sua “lume”, inoltre, può tenere a temperatura di lavoro anche una massa considerevole di vetro che può tirare in nuove cannelle o modellare in varie forme. Poco è cambiato nel tradizionale lavoro della perlaia: mentre nel passato, come detto, la fiamma era prodotta da una lampada alimentata da grasso animale e potenziata da un soffio d’aria originato con un mantice, oggi la fiamma necessaria si ottiene da un “becco Bunsen”, funzionante a metano. Anche lo speo è stato abbandonato grazie a una geniale intuizione della ditta Ercole Moretti & F.lli e sostituito, nel 1935, dall’uso di un tubicino di rame che, fatta la perla, viene poi dissolto nell’acido nitrico, lasciando un foro sottile, lucido e perfetto.

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Si è già detto che le perle sono una quantità sterminata e che è quindi impossibile descriverle; il solo criterio che si può adottare per ordinarle è raggrupparle secondo le tecniche costruttive, che, sostanzialmente, si riducono alle seguenti. a) Perle soffiate. I perlai erano chiamati anche “supialume” perché una loro antica specialità consisteva nel produrre perle a imitazione di quelle naturali, partendo da un tubicino di vetro che, riscaldato alla fiamma e rigonfiato da un leggere soffio, poteva dar luogo a una piccola sfera. Il colore perlaceo veniva poi ottenuto inserendovi una soluzione iridescente. Non va inoltre dimenticato che i “supialume” sapevano lavorare come dei vetrai in miniatura e che dalle loro abilissime mani usciva ogni sorta di minuscoli oggetti, ivi compresi animaletti, fiori, recipienti e altro ancora. b) Perle fiorate. La perla fiorata è forse quella che più di ogni altra rappresenta la tradizionale perla veneziana. In questo caso, l’abile mano della perlaia è impegnata nella costruzione di alcuni piccoli “fiori” utilizzando, come pennello, dei sottili fili di vetro (chiamati “vette”) che rapidamente stende con l’aiuto della fiammella. La prima operazione consiste nella preparazione delle vette, che si ottengono riscaldando e stirando ulteriormente dei segmenti di canna variamente colorata (proveniente dalle “fornaci da canna” di Murano). Si noti che, accostando canne di colore diverso, si possono ottenere vette composte di più colori. Una vetta può essere portata ad avere un diametro di un millimetro, così come si può farle assumere la forma di una piatta strisciolina. Molto spesso nelle perle fiorate si fa uso di avventurina, sia per ravvivare la parte centrale della perla, sia per costruire complesse ed esili volute. Dopo aver formato la sfera di vetro del colore desiderato, si passa a stendere una prima fascia centrale, sulla quale in genere trovano posto fili e puntini sia di avventurina sia di altri colori fra i quali, con abile e rapido gesto, la perlaia infine disegna, con una vetta bianco-rosa, alcune roselline. Anche in questo caso, innumerevoli sono le possibili variazioni rispetto a questo modello-base, grazie all’amplissima gamma di colori disponibili che consente alla perlaia di dar libero sfogo alla sua fantasia e al suo buon gusto (Fig. 4). c) Perle sommerse con l’oro o l’argento. La prima fase della preparazione di queste affascinanti perle consiste nel formare un piccolo cilindro di vetro sul quale viene successivamente fatta aderire una sottile foglia d’oro zecchino o d’argento; il metallo viene successivamente ricoperto da uno strato di vetro trasparente, fornito da un’apposita canna fusa al calore della “lume”. La perla viene infine modellata nella sua forma definitiva con l’ausilio di un piccolo stampo di bronzo. È interessante notare che in questo caso la curvatura dell’involucro esterno produce un “effetto lente” che amplifica la presenza del metallo prezioso, abbellendo ulteriormente la perla. d) Perle millefiori. “Millefiori” è la denominazione di quel tipo di canne di vetro che, in tutta la loro lunghezza, contengono un qualche disegno che si ripete poi uguale in ognuna delle moltissime fettine (dette “murrine”) nelle quali ogni

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Fig. 4. Perle fiorate, prima metà XX secolo

canna può essere tagliata. Queste fettine di canna possono essere usate anche per la preparazione di perle che vengono anch’esse dette “millefiori”, pur usandosi talvolta la denominazione “perle a mosaico” oppure “perle Africa” (a causa del gran uso che se ne faceva in quelle regioni fino alla seconda guerra mondiale). Si noti che, mentre le “perle Africa” sono quasi esclusivamente cilindriche, quelle millefiori o “a mosaico” possono assumere le forme più svariate (Fig. 5). Per costruire una perla di questo genere si inizia anzi tutto con il preparare un cilindro di vetro, solitamente blu (detto “anima”) attorno allo “spiedo”; su di esso, servendosi di una pinzetta, si pongono poi le sottili murrine, componendo così il

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Fig. 5. Perle mosaico tipo “Africa”, inizio XX secolo

disegno desiderato senza lasciare alcuno spazio libero. Ricorrendo poi nuovamente all’azione del fuoco, le murrine vengono rammollite fino a saldarsi fra loro come in un mosaico. Poiché in questo passaggio le murrine tendono a chiudersi superficialmente, celando parzialmente il loro disegno, le perle di migliore fattura vengono ulteriormente sottoposte a una accurata operazione di levigatura e lucidatura (Fig. 6). Per concludere bisogna ricordare che il secolo d’oro delle perle di vetro veneziane fu l’Ottocento. La produzione delle perline colorate (le “conterie”) si calcolava a quintali e fu ciò che permise alle fornaci di Murano di riprendere vigore dopo la grave crisi seguita alla fine della Repubblica. Lo stesso si può dire per le perle a lume e in particolare per le perle mosaico del tipo “Africa”, che continuarono a essere prodotte fino alla seconda guerra mondiale. Queste perle, umile e mal pagato lavoro di povere donne, vengono ora rivalutate e conquistano l’onore delle vetrine dei musei: un tesoro troppo a lungo dimenticato, che ancora deve essere in gran parte scoperto.

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Fig. 6. Fasi della costruzione di una perla mosaico

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Dipartimento di Matematica Università di Pisa

Davide Amodio

Conservatorio “Benedetto Marcello”,Venezia

Clemena Antonova Centre for Advanced Studies at the Royal Flemish Academy of Belgium Isabeau Birindelli

Dipartimento di Matematica Università “La Sapienza” di Roma

Samuela Caliari

Museo Tridentino di Scienze Naturali, Trieste

Michele Emmer

Dipartimento di Matematica Università “La Sapienza” di Roma

Luca Fascione

Weta Digital, Nuova Zelanda

Stefano Finzi Vita

Dipartimento di Matematica Università “La Sapienza” di Roma

Massimo Fornasier Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM) Robert Ghattas

Comunicatore scientifico freelance

Daniele Gouthier

Innovazioni nella comunicazione della scienza SISSA, Trieste

Florian Grond

CITEC Center of Excellence Cognitive Interaction Technology Bielefeld University

Giorgio Israel

Dipartimento di Matematica Università “La Sapienza” di Roma

Marco Li Calzi

Dipartimento di Matematica Applicata Università “Ca’ Foscari” di Venezia

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Autori

Marco Pierini

SMS Contemporanea, Siena

Silvia Rensi

Museo Tridentino di Scienze Naturali, Trieste

Michael Rottmann DFG Graduiertenkolleg Schriftbildlichkeit, Freie Universität Berlin, Germania Stefano Sandrelli

INAF - Osservatorio astronomico di Brera

Giovanni Sarpellon Dipartimento di Scienze Economiche Università “Ca’ Foscari” di Venezia Fabio Stefanini

Institut Für Neuroinformatik Università di Zurigo

Gian Marco Todesco Digital Video Srl, Roma

Collana Matematica e cultura

Volumi pubblicati M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura Atti del convegno di Venezia, 1997 1998 – VI, 116 pp. – ISBN 88-470-0021-1 (esaurito) M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2 Atti del convegno di Venezia, 1998 1999 – VI, 120 pp. – ISBN 88-470-0057-2 M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2000 2000 – VIII, 342 pp. – ISBN 88-470-0102-1 (anche in edizione inglese) M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2001 2001 – VIII, 262 pp. – ISBN 88-470-0141-2 M. Emmer, M.Manaresi (a cura di) Matematica, arte, tecnologia, cinema 2002 – XIV, 285 pp. – ISBN 88-470-0155-2 (anche in edizione inglese ampliata) M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2002 2002 – VIII, 277 pp. – ISBN 88-470-0154-4 M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2003 2003 – VIII, 279 pp. – ISBN 88-470-0210-9 (anche in edizione inglese) M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2004 2004 – VIII, 254 pp. – ISBN 88-470-0291-5 (anche in edizione inglese)

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Matematica e cultura 2010

M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2005 2005 – X, 296 pp. – ISBN 88-470-0314-8 (anche in edizione inglese) M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2006 2006 – VIII, 300 pp. – ISBN 88-470-0464-0 (anche in edizione inglese) M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2007 2007 – VIII, 336 pp. – ISBN 978-88-470-0630-0 M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2008 2008 – XVIII, 374 pp. – ISBN 978-88-470-0794-9 M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2010 2010 – VIII, 304 pp. – ISBN 978-88-470- 1593-7