Mechanik in der Veranstaltungstechnik

Verlag, Herausgeber und Autor m a c h e n darauf a u f m e r k s a m , dass die im vorliegenden Buch genannten Markenna...

Author: Michael Lück

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Verlag, Herausgeber und Autor m a c h e n darauf a u f m e r k s a m , dass die im vorliegenden Buch genannten Markennamen, Prod u k t b e z e i c h n u n g e n u n d S c h a l t u n g e n i n d e r Regel p a t e n t - u n d w a r e n r e c h t l i c h e m S c h u t z u n t e r l i e g e n . Die V e r ö f f e n t l i c h u n g aller I n f o r m a t i o n e n u n d A b b i l d u n g e n g e s c h i e h t m i t größter Sorgfalt, d e n n o c h k ö n n e n Fehler nicht a u s g e s c h l o s s e n w e r d e n . Verlag, Herausgeber u n d Autor ü b e r n e h m e n deshalb für fehlerhafte A n g a b e n u n d deren Folgen keine Haftung. Sie sind d e n n o c h d a n k bar für Verbesserungsvorschläge u n d Korrekturen.

©2002 PPVMEDIEN G m b H , Bergkirchen 1. Auflage 2002 2. aktualisierte und erweiterte Auflage 2005 ISBN 3-937841-17-2 T i t e l f o t o : Ray F i n k e n b e r g e r - L e w i n T i t e l g e s t a l t u n g : n a v i m 9 6 , K o n s t a n t i n Frhr. v. G a i s b e r g Lektorat: Armin Krämer Satz u n d Layout: Sylvia Rasp, Brigitte Krimmer Abwicklung: Sabine Schnieder Druck: Scherhaufer Intern. Druck Alle Rechte vorbehalten. N a c h d r u c k , auch auszugsweise, s o w i e V e r v i e l f ä l t i g u n g e n j e g l i c h e r A r t nur m i t s c h r i f t l i c h e r G e n e h m i g u n g der PPVMEDIEN G m b H .

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Über dieses Buch In der Veranstaltungstechnik spielen neben der Licht- und Tontechnik zunehmend Traversen-Tragwerke, Bühnenüberdachungen, Podien und bewegte Konstruktionen eine Rolle. Der hohe Anspruch an die technische Ausstattung von Bühnen, Shows, Messen und Veranstaltungen erfordert grundlegende Kenntnisse in der technischen Mechanik hinsichtlich Planung und Ausführung der Gewerke. Hier setzt die "Mechanik in der Veranstaltungstechnik" an: Zunächst werden in diesem Buch die naturwissenschaftlichen Grundlagen der Mechanik erarbeitet, welche dann auf die spezifischen Probleme in der Veranstaltungstechnik angewendet werden. Ganz nebenbei werden auch die mathematischen Grundlagen zur Lösung von Gleichungen aufgefrischt und erklärt. Dieses Buch eignet sich als Nachschlagewerk und Lehrbuch gleichermaßen. Die beiliegende CD enthält zahlreiche Berechnungstabellen, die bereits in Excel angelegt sind und sofort eingesetzt werden können. Hierdurch wird die tägliche Arbeit des Veranstaltungstechnikers wesentlich erleichtert.

Über den Autor Dipl.-Ing. Michael Lück leitet seit 1994 das Ingenieurbüro Expo Engineering, das als Dienstleister für viele renommierte Unternehmen der Veranstaltungsbranche Lösungen zu Bühnen, Tribünen, Traversen und Sonderkonstruktionen erarbeitet. Michael Lück ist neben der aktiven Projektarbeit auch als Dozent an der Siemens Media Academy, der SRT (Schule für Rundfunktechnik), der HWK Köln, der IHK Köln und an der LEB Thüringen/IHK Erfurt tätig.

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Inhaltsverzeichnis Vorwort an den Leser I.Einführung 1.1 Körper 1.2 Kraft

9 11 11 12

2. K r ä f t e s y s t e m e - Z u s a m m e n w i r k e n v o n K r ä f t e n ..13 2.1 Darstellung einer Kraft 13 Bezeichnung 14 Einheiten 14 Genauigkeit 15 2.2 Lineares Kräftesystem 15 Zusammenwirkung von Kräften in Koordinaten-Richtung auf einer (Wirkungs-)Linie 15 Zusammenwirkung von Kräften beliebiger Richtung auf einer (Wirkungs-)Linie 17 2.3 Zentrales Kräftesystem 22 Übungsaufgabe 24 Übungsaufgabe 25

4

3. Gleichgewicht von Kräften 3.1 Gleichgewichtsbedingungen GGB beim linearen Kräftesystem 3.2 Gleichgewichtsbedingungen GGB beim zentralen Kräftesystem

29

Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe

41 43 46

30 38

Inhaltsverzeichnis

3.3 Gleichgewichtsbedingungen GGB beim allg. Kräftesystem Das Moment Übungsaufgabe Übungsaufgabe Übungsaufgabe 4. Ebene Fachwerke Folgende Eigenschaften kennzeichnen ein Fachwerk Berechnung von Stabkräften im Fachwerk 1. Schritt - Auflagerreaktionen 2. Schritt - Jeder Knoten ist ein zentrales Kräftesystem Übungsaufgabe Übungsaufgabe

53 53 60 62 65 69 70 71 73 73 76 78

5. I n n e r e K r ä f t e und S p a n n u n g e n 81 5.1 Normalkraft und Normalspannung 81 Übungsaufgabe 84 5.2 Scherkraft und Scherspannung 85 Übungsaufgabe 87 5.3 Lochleibungskraft und Lochleibungsspannung ....87 6. Schnittgrößen d e s b i e g e b e a n s p r u c h t e n Trägers ....91 6.1 Schnittgrößen für Träger mit einer Einzellast 94 1. Schritt - Auflagerreaktionen 94 2. Schritt - Schnittkräfte 95 Übungsaufgabe 96 1. Schritt - Auflagerreaktionen 96 2. Schritt - Schnittkräfte 97 Übungsaufgabe 98 6.2 Schnittgrößen für Träger mit mehrfachen Einzellasten 100 6.3 Schnittgrößen für Träger mit Streckenlasten 102 Übungsaufgabe 103 1. Schritt-Auflagerreaktionen 103 6.4 Schnittgrößen für Träger mit mehreren Feldern ..105

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7 . S p a n n u n g e n d e s b i e g e b e a n s p r u c h t e n Trägers 7.1 Biegespannung Übungsaufgabe 7.2 Schubspannung aus Querkräften 7.3 Torsionsmoment und Torsionsspannung 7.4 Überlagerung von Spannungen

..107 107 111 114 115 116

8. G i t t e r t r ä g e r 8.1 Baugruppen 8.2 Innere Kräfte der Gurtrohre 8.3 Innere Kräfte an den Verbindern 8.4 Innere Kräfte in den Streben Andere Strebenanordnungen Strebenanordnung an den Enden der Traversenelemente Versatz von Diagonal-Streben Ausschließlich senkrechte Streben 8.5 Aluminium-Werkstoffe 8.6 Welchen Typ für welche Anwendung? Profilgeometrie und Streben a) 2-Punkt-Gitterträger b)3-Punkt-Gitterträger c) 4-Punkt-Gitterträger d) Folding-Traverse Verbinder a) Statische Beurteilung b) Beurteilung der Toleranzen c) Beurteilung des Handlings 8.7 Interpretation von Datenblättern und Katalogen 8.8 Zertifikate und Prüfungen

117 118 119 124 126 130 ..131 132 133 134 136 136 136 136 137 137 138 138 138 139 .140 144

9 . A n s c h l a g e n und A u f h ä n g e n 9.1 Anschlagmittel und Lastaufnahmemittel 9.2 Hebezeuge Einsatz von BGV-D8 (früher VBG 8)-Hebezeugen in Produktionsstätten

6

147 147 149 149

Einsatz v o n B G V - C 1 - H e b e z e u g e n i n P r o d u k t i o n s s t ä t t e n 1 4 9 9.3 „Bridle" - A n s c h l a g e n im W i n k e l 10. Flächige Belastung - Podeste

150 153

G l e i c h last

153

Dreiecks-Trapezlast unter 45°

154

Dreiecks-Trapezlast unter 60°

154

10.1 S t a t i k d e r B ü h n e n p o d e s t e

156

10.2 Umrandungsprofile von Podesten

158

Profildaten Umrandungsprofil

159

1 1 . Dynamische Einflüsse durch Hebezeuge

163

12. Kinetik

169

12.1 D a s d y n a m i s c h e G r u n d g e s e t z

169

12.2 Arbeit und Energie

174

Hubarbeit

175

Beschleunigungsarbeit

175

Federarbeit

175

Arbeit der äußeren Kräfte

176

K i n e t i s c h e Energie d e s S y s t e m s

176

Arbeitssatz

177

A r b e i t d e r ä u ß e r e n Kräfte

178

K i n e t i s c h e Energie d e s S y s t e m s

178

Arbeitssatz

178

12.3 Leistung

178

13. Anhang und Formelsammlung

181

7

8

Vorwort an den Leser Der h o h e A n s p r u c h a n d i e t e c h n i s c h e A u s s t a t t u n g v o n B ü h n e , Show, Messe und Veranstaltung erfordert grundlegende Kenntn i s s e v o n t e c h n i s c h e r M e c h a n i k bei d e r P l a n u n g u n d A u s führung der Gewerke. In der Veranstaltungstechnik entwickelt sich neben der Licht- und Tontechnik z u n e h m e n d der Bedarf an Traversen-Tragwerken, Bühnenüberdachungen, Podien und bewegten Konstruktionen. Richtiges Anschlagen sowie die A u s wahl korrekter Anschlagmittel, Traversen und Hebezeuge setzen Kenntnisse der auftretenden Belastungen voraus, die sich w i e d e r u m mittels der Mechanik berechnen lassen. Dieses Buch k a n n s o w o h l als N a c h s c h l a g w e r k als a u c h als L e h r m a t e r i a l v e r w e n d e t w e r d e n . Die i n d e r A u s b i l d u n g b e f i n d l i c h e n P e r s o n e n für „ F a c h k r a f t f ü r V e r a n s t a l t u n g s t e c h n i k " , „ G e p r ü f t e r M e i s t e r für Veranstaltungstechnik" u n d „Ingenieur für Veranstaltungstechn i k " f i n d e n i n d i e s e m B u c h ein ihre A u s b i l d u n g u n t e r s t ü t z e n d e s W e r k . Q u e r - E i n s t e i g e r u n d A u t o d i d a k t e n k ö n n e n ihr t h e o r e t i sches Wissen durch das Selbststudium verbessern. Ein w i c h t i g e r G r u n d z u r W e i t e r b i l d u n g ist d i e s t e t i g w a c h s e n d e Anforderung an die Qualifikation v o n Veranstaltungstechnikern. Die Q u a l i f i k a t i o n d e r a m P r o d u k t i o n s p r o z e s s b e t e i l i g t e n P e r s o nen entscheidet daher auch über d e n Rahmen der auszuführenden Arbeiten und über die zu tragende Verantwortung. A u c h die A r t einer V e r a n s t a l t u n g ist ein K r i t e r i u m f ü r d i e e r f o r d e r l i c h e Q u a lifikation d e r p l a n e n d e n u n d a u s f ü h r e n d e n P e r s o n e n . Die B e rufsgenossenschaften und Verwaltungs-Berufsgenossenschaften sind z.Z. d a m i t beschäftigt, Regelungen zu treffen, um die z u n e h m e n d aufwendig werdenden Produktionen so sicher wie

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möglich zu m a c h e n . Man beachte die Schriftenreihen Prävention und die Unfallverhütungsvorschriften. Der V P L T (Verband für p r o f e s s i o n e l l e L i c h t - u n d T o n t e c h n i k ) ist mit seinen Arbeitskreisen ebenfalls mit der Erstellung v o n S t a n d a r d s b e s c h ä f t i g t , s o d a s s d e m V e r a n s t a l t u n g s t e c h n i k e r viele Informationsquellen bereitstehen, s. www.arbeitssicherheit.de www.vplt.org Zunächst werden in diesem Buch die naturwissenschaftlichen G r u n d l a g e n e r a r b e i t e t , d i e d a n n auf d i e s p e z i f i s c h e n P r o b l e m e bei d e r V e r a n s t a l t u n g s t e c h n i k a n g e w e n d e t w e r d e n . Die m a t h e m a t i s c h e n Grundlagen z u m Lösen v o n Gleichungen w e r d e n aufg e f r i s c h t u n d erklärt. Die E r k l ä r u n g e n s i n d z u A n f a n g d e s B u c h e s besonders

ausführlich

„ L ü c k e n " hilfreich s e i n .

10

angelegt

und

werden

Lesern

mit

1. Einführung Die D e f i n i t i o n e i n i g e r B e g r i f f e d i e i n d e m B u c h b e s c h r i e b e n werden: Mechanik: Die M e c h a n i k ist ein Teilgebiet d e r P h y s i k . Sie e r f a s s t d i e B e w e g u n g und d e n Ruhezustand v o n Körpern und beinhaltet M o d e l le zur B e r e c h n u n g der Kräfte u n d der B e a n s p r u c h u n g e n . Statik: Die S t a t i k ist ein Teilgebiet d e r M e c h a n i k . S i e b e s c h r e i b t d e n R u hezustand der Körper unter Krafteinwirkung. Dynamik: Die D y n a m i k ist e b e n f a l l s ein Teilgebiet d e r M e c h a n i k . S i e b e s c h r e i b t d i e B e w e g u n g v o n K ö r p e r n infolge v o n K r ä f t e n .

1.1 Körper A l s K ö r p e r b e z e i c h n e t m a n alle „ g r e i f b a r e n " , f e s t e n O b j e k t e , d i e sich durch M a s s e , Volumen, Position u n d Stoff kennzeichnen. A u f alle K ö r p e r w i r k t auf d e r E r d e d i e E r d a n z i e h u n g , s o d a s s j e d e r K ö r p e r e i n e Eigenlast b e s i t z t . Die B a u t e i l e einer K o n s t r u k t i o n s i n d a l l e s a m t Körper.

11

1.2 Kraft Kräfte können Körper in B e w e g u n g versetzen, deren B e w e g u n g ä n d e r n u n d sie d e f o r m i e r e n . K r ä f t e h a b e n eine R i c h t u n g u n d e i n e n B e t r a g , w o d u r c h sie m a t h e m a t i s c h z u s o g e n a n n t e n V e k toren werden. Im Gegensatz zu den Vektoren gibt es auch Größ e n , d i e nur d u r c h e i n e n B e t r a g d a r g e s t e l l t w e r d e n - z . B . d i e Temperatur oder die Masse.

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2. Kräftesysteme Zusammenwirken von Kräften Es g i b t in d e r M e c h a n i k v e r s c h i e d e n e K r ä f t e s y s t e m e , d i e unters c h i e d l i c h a u f w e n d i g z u b e r e c h n e n s i n d . U m Bauteile (Traversen, A n s c h l a g m i t t e l usw.) a u s w ä h l e n z u k ö n n e n , ist e s s e h r w i c h t i g , M e t h o d e n z u v e r w e n d e n , d i e a u c h k o m p l e x e r e , nicht s o f o r t z u d u r c h s c h a u e n d e S i t u a t i o n e n richtig analysieren. Kräfte lassen s i c h r e c h n e r i s c h als a u c h z e i c h n e r i s c h a d d i e r e n u n d s u b t r a h i e r e n . Die g e n a u e r e M e t h o d e ist d i e r e c h n e r i s c h e , d a d i e U n g e n a u i g k e i t e n lediglich d u r c h R u n d u n g e n t s t e h e n . Z e i c h n e r i s c h e L ö s u n g e n w u r d e n f r ü h e r h ä u f i g e r a n g e w e n d e t , d a n o c h keine T a s c h e n rechner zur Verfügung standen u n d d a s Rechnen sehr a u f w e n d i g war. A l l e r d i n g s k a n n d u r c h d i e V e r w e n d u n g v o n C A D - ( C o m p u t e r - A i d e d - D e s i g n - ) P r o g r a m m e n eine z e i c h n e r i s c h e L ö s u n g recht e x a k t ausfallen.

2.1 Darstellung einer Kraft K r ä f t e l a s s e n s i c h g r a p h i s c h g u t als Pfeile d a r s t e l l e n , d a ihr V e k t o r - C h a r a k t e r a u f d i e s e W e i s e e r f a s s t w i r d (hier: e i n e Kraft in einer E b e n e ) . Die L ä n g e d e s Pfeils g i b t d e n B e t r a g (Größe) d e r Kraft a n ; d i e R i c h t u n g d e r Kraft w i r d d u r c h d i e R i c h t u n g d e s Pfeils d a r g e s t e l l t . Für e i n e g r a p h i s c h e A n a l y s e ist d i e Kraft in ein Raster eingezeichnet, um einen M a ß s t a b festzulegen. W ü r d e der Maßstab 1 cm (1 Kästchen) <>1 kN bedeuten, so w ü r d e d i e s e Kraft F 2 e i n e n B e t r a g v o n 4 , 4 7 k N h a b e n .

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Bezeichnung K r ä f t e w e r d e n m i t G r o ß b u c h s t a b e n (A, B, C, D ...) b e z e i c h n e t . H ä u f i g w i r d e i n e Kraft m i t F (Force , e n g l i s c h = K r a f t ) b e s c h r i e b e n . Treten m e h r e r e K r ä f t e auf, s o k a n n m a n m i t N u m m e r i e r u n g e n d i e K r ä f t e u n t e r s c h e i d e n : F 1 , F 2 , F3, ...F13 . . . . Einheiten Die Einheit d e r Kraft ist d a s N e w t o n (N). Ein K ö r p e r d e r M a s s e 1 k g e r f ä h r t d u r c h d i e E r d b e s c h l e u n i g u n g eine G e w i c h t s k r a f t v o n F = 1 kg * 9,81 m / s 2 = 9,81 N. Die E r d b e s c h l e u n i g u n g ist überall auf d e r E r d e eine k o n s t a n t e G r ö ß e , d i e d u r c h d i e M a s s e d e r Erde erklärt ist. Für d i e B e r e c h n u n g v o n s t a t i s c h e n P r o b l e m e n darf 1 kg < = > 10 N gesetzt werden. D a d i e Kräfte i m t e c h n i s c h e n B e r e i c h oft s e h r h o c h a u s f a l l e n , w i r d mit V o r s ä t z e n w i e K i l o - u n d M e g a - g e r e c h n e t . 100 k g < = > 1 k N .

14

Ein Kilo (k) e n t s p r i c h t d e m F a k t o r 10^3 = 1 0 0 0 . Ein M e g a (M) e n t s p r i c h t d e m F a k t o r 10^6 = 1 0 0 0 0 0 0 . Eine A n h ä n g e l a s t d u r c h e i n e P A B o x v o n 1 2 0 k g w ü r d e s o m i t als 1,2 k N i n einer B e r e c h n u n g angesetzt. Genauigkeit Eine G e n a u i g k e i t v o n z w e i S t e l l e n n a c h d e m K o m m a reicht a u s , um Kräfte aus d e m Bereich der Veranstaltungstechnik d a r z u s t e l l e n . W i r d d i e Last d e r P A - B o x m i t z w e i S t e l l e n n a c h d e m K o m m a d a r g e s t e l l t , s o b e s c h r e i b t d i e z w e i t e Stelle d i e a d ä q u a t e M a s s e i n k g . Eine d r i t t e S t e l l e w ü r d e d i e „ 1 0 0 g - S t e l l e " b e s c h r e i b e n u n d ist ü b e r f l ü s s i g .

2.2 Lineares Kräftesystem A l s lineares K r ä f t e s y s t e m b e z e i c h n e t m a n d a s W i r k e n v o n Kräften gleicher Richtung, daher gleicher (Wirkungs-)Linien, angreif e n d a n d e m g l e i c h e n P u n k t . Falls m e h r e r e K r ä f t e a n e i n e m P u n k t auf einer Linie a n g r e i f e n , s o ist e s w i c h t i g z u e r f a h r e n , w i e groß d i e S u m m e d e r Kräfte ist. M i t d e m linearen K r ä f t e s y s t e m f a s s t m a n z w e i o d e r m e h r K r ä f t e z u einer r e s u l t i e r e n d e n Kraft z u sammen. Zusammenwirkung von Kräften in KoordinatenRichtung auf einer (Wirkungs-)Linie L i e g e n d i e K r ä f t e auf einer ( W i r k u n g s - ) L i n i e , s o l a s s e n s i c h d i e B e t r ä g e d i r e k t e r m i t t e l n . B e s o n d e r s e i n f a c h ist d i e B e r e c h n u n g / d a s A b l e s e n , w e n n d i e K r ä f t e i n einer H a u p t a c h s e d e s K o ordinatensystems liegen:

15

Die S u m m e der z u s a m m e n w i r k e n d e n Kräfte lässt sich g r a p h i s c h ablesen: 3 Kästchen + 2 Kästchen = 5 Kästchen u n d m a t h e m a t i s c h d u r c h A d d i t i o n / S u b t r a k t i o n b e s t i m m e n . Die S u m m e d e r K r ä f t e n e n n t m a n d i e r e s u l t i e r e n d e Kraft „ F r e s " . Fres = 3,0 kN + 2,0kN = 5,0 kN Da die Kräfte a u c h in unterschiedlicher Richtung wirken k ö n n e n , w e r d e n die Richtungen über d a s Vorzeichen bestimmt . M a n k a n n s e i n K o o r d i n a t e n s y s t e m frei w ä h l e n , m u s s j e d o c h d a b e i bleiben, um korrekte Ergebnisse zu erzielen. W ü r d e F 2 n a c h links zeigen (entgegen d e r positiven x - R i c h t u n g ) , s o w ä r e d i e resultierende Kraft Fres = F1

16

-F2 = 3kN-2kN =1

kN

Zusammenwirkung von Kräften beliebiger Richtung auf einer (Wirkungs-)Linie Die Kräfte d ü r f e n z w e c k s B e r e c h n u n g a u f ihrer W i r k u n g s l i n i e verschoben werden. Zeichnerisch lassen sich die Kräfte direkt ablesen, i n d e m m a n d a s E n d e d e r Kraft F 2 a n d i e S p i t z e d e r Kraft F 1 a n l e g t u n d d e n A b s t a n d d e s E n d e s d e r Kraft F 1 a n d i e S p i t z e d e r Kraft F 2 m i s s t . A u f d i e s e W e i s e liest m a n 4 , 4 7 c m - 2 , 2 4 c m = 2 , 2 3 c m a b . A u f d i e r e c h n e r i s c h e L ö s u n g soll n ä h e r e i n g e g a n g e n w e r d e n : R e c h n e r i s c h w e r d e n d i e e i n z e l n e n K r ä f t e i n ihre K o m p o n e n t e n x / y zerlegt u n d d a n n für j e d e Koordinate einzeln addiert. A b s c h ließend w e r d e n d i e K o m p o n e n t e n w i e d e r z u einer r e s u l t i e r e n d e n Kraft u m g e r e c h n e t . D a s W o r t „ K o m p o n e n t e n " b e z e i c h n e t d i e „ A n t e i l e " einer Kraft in d e n j e w e i l i g e n K o o r d i n a t e n - R i c h t u n g e n x u n d y.

17

F1

wird in

Komponenten

zerlegt

F1x = 2,0kN (2 Kästchen abgelesen, F1y= (1

Richtung x negativ,

weil nach links)

1,0 kN Kästchen

abgelesen,

Richtung

y

negativ,

weil

nach

unten) F2

wird in

Komponenten

zerlegt

F2x = 4,0kN (4 Kästchen abgelesen,

Richtung x positiv,

weil nach rechts)

Richtung y positiv,

weil nach

F2y = 2,0kN (2 Kästchen abgelesen,

oben)

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n z u r R e s u l t i e r e n d e n a d d i e r t , w o b e i d i e Vorzeichen nun berücksichtigt w e r d e n . Fres.x = -F1,x + F2,x = -2,0+ 4,0 = 2,0 kN Fres.y = -F1,y + F2,y = -1,0 + 2,0 = 1,0 kN N u n s i n d d i e K o m p o n e n t e n d e r R e s u l t i e r e n d e n e r m i t t e l t . Die „ A n t e i l e " i n x - u n d y - R i c h t u n g d e r r e s u l t i e r e n d e n Kraft s i n d b e kannt. Die r e s u l t i e r e n d e Kraft w i r k t „ z w e i K ä s t c h e n " n a c h r e c h t s ( p o s i t i v e s x ) u n d „ e i n K ä s t c h e n " n a c h o b e n ( p o s i t i v e s y). Die G r ö ß e d e r g e s a m t e n r e s u l t i e r e n d e n Kraft ist n o c h n i c h t b e k a n n t , k a n n a b e r m i t Hilfe d e r G e o m e t r i e b e r e c h n e t w e r d e n . Die Kraft u n d ihre K o m p o n e n t e n v e r h a l t e n s i c h w i e d i e L ä n g e n d e r S e i t e n i n e i n e m r e c h t w i n k l i g e n D r e i e c k . Der B e t r a g d e r R e s u l t i e r e n d e n w i r d m i t d e m Satz von Pythagoras b e r e c h n e t .

18

Der S a t z d e s P y t h a g o r a s : I m Original:

A

Für d i e K r ä f t e :

(Fres,y) + (Fres,x) = (Fres)

2

+ B

= C

2

2

2

2

2

U m d e n B e t r a g d e r g e s u c h t e n Kraft Fres z u e r h a l t e n , w i r d d i e Quadratwurzel gezogen. Fres = s q r ( 2 , 0

2

+ 1,0 ) = 2,24 k N , sqr bedeutet squareroot: 2

„Quadratwurzel aus..." D a s Z e r l e g e n v o n K r ä f t e n i n K o m p o n e n t e n lässt s i c h a u c h d u r c h eine W i n k e l a n g a b e b e w e r k s t e l l i g e n . D a s f o l g e n d e S y s t e m ist e t w a s steiler (10°) als d a s z u v o r b e r e c h n e t e . Die K r ä f t e s i n d a b e r gleich groß, so dass die Resultierende den gleichen Betrag h a b e n m u s s , w i e z u v o r b e r e c h n e t . N u r d i e R i c h t u n g ist e i n e a n d e r e . D a s V o r g e h e n ist i d e n t i s c h , j e d o c h w e r d e n d i e K o m p o nenten der Kräfte nicht d u r c h „ K ä s t c h e n zählen" ermittelt, s o n dern durch die trigonometrischen Funktionen. Diese m a t h e m a tischen Operationen ermöglichen es, die Beziehung zwischen Längenverhältnissen und Winkeln im rechtwinkligen Dreieck darzustellen:

19

A (Gegenkathete)

B (Ankathete) sinalfa=

Gegenkathete/ Hypotenuse =

cosalfa=

Ankathete/ Hypotenuse =

A/C

Sinus

B/C

Kosinus

tanalfa =

Gegenkathete / Ankathete =

A/B

Tangens

Als Hypotenuse bezeichnet m a n die längste Seite im rechtwinkligen D r e i e c k . Gegenkathete nennt man die d e m betrachteten Winkel gegenüb e r l i e g e n d e S e i t e . Die A n k a t h e t e ist d i e a n d e m b e t r a c h t e t e n Winkel anliegende Seite. Auf unser Kräftesystem angewandt, ergeben sich die K o m p o nenten der einzelnen Kräfte d u r c h Aufstellen der Sinus/KosinusZusammenhänge:

20

Die K o m p o n e n t e n f ü r F 1 : sin36,57°

=

F1,y

F1

=

cos36,57°

F1 ,y/F1

=

*sin36,57°

=

2,24kN*sin36,57°=1,33kN

F1.X/F1

F1,x = F1

*cos36,57° = 2,24 kN * cos36,57° =1,8kN

Die K o m p o n e n t e n f ü r F 2 : sin36,57°

=

F2,y/F2

F2,y = F2 cos36,57° F2,x = F2

*sin36,57° =

= 4,47kN

*sin36,57°

= 2,66kN

F2,x/F2

* cos36,57° = 4,47kN *cos36,57° = 3,59 kN

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n z u r R e s u l t i e r e n d e n a d d i e r t (auf Vorzeichen/Richtungen achten!) Fres.x = -F1,x + F2,x = -1,8 + 3,59 = 1,79 kN Fres.y = -F1,y + F2,y = -1,33 + 2,66 = 1,33 kN

21

Der B e t r a g d e r R e s u l t i e r e n d e n w i r d m i t d e m Satz von Pythagoras b e r e c h n e t : Fres = s q r ( 1 , 7 9 + 1 , 3 3 ) = 2 , 2 3 k N - e n t s p r i c h t c a . 2 , 2 4 k N , w i e 2

2

z u v o r b e r e c h n e t . U n g e n a u i g k e i t e n e n t s t e h e n bei d e r r e c h n e r i schen Lösung aufgrund der Rundung.

2.3 Zentrales Kräftesystem A l s z e n t r a l e s K r ä f t e s y s t e m b e z e i c h n e t m a n d a s W i r k e n v o n Kräften unterschiedlicher Richtung, angreifend an d e m gleichen Punkt eines Körpers. Zeichnerisch lassen sich die Kräfte direkt a b l e s e n , i n d e m m a n d a s E n d e d e r Kraft F 2 a n d i e S p i t z e d e r Kraft F 1 a n l e g t u n d d e n A b s t a n d d e s E n d e s d e r Kraft F 1 z u r S p i t z e d e r Kraft F 2 m i s s t . Trägt m a n b e i d e K r ä f t e a n e i n a n d e r a n , s o erhält man das so genannte „Kräfteparallelogramm".

22

R e c h n e r i s c h g e h t m a n e b e n s o vor, w i e b e i m linearen K r ä f t e s y s tem: Die K o m p o n e n t e n für F 1 e r g e b e n s i c h a u s S i n u s / K o s i n u s - Z u sammenhang: sin53,13°

=

F1,y = F1

F1,y/F1 * sin53,13° = 5,0kN* sin53,13° = 4,0kN

cos53,13°

=

F1,x = F1

F1,x/F1 * cos53,13° = 5,0kN* cos53,13° = 3,0kN

Die K o m p o n e n t e n für F 2 : sin56,31°

=

F2,y = F2 cos56,31° F2,x = F2

F2,y/F2 *sin56,31°

=

= 3,61

kN*sin56,31° = 3,0kN

F2,x/F2 *cos56,31 ° = 3,61

kN*cos56,31° = 2,0kN

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n z u r R e s u l t i e r e n d e n a d d i e r t (Vorzeichen beachten!) Fres,x = - F1,x + F2,x = -3,0 + 2,0 = -1,0kN Fres.y = F1,y + F2,y = 4,0 + 3,0 = 7,0 kN Der B e t r a g d e r R e s u l t i e r e n d e n w i r d m i t d e m Satz von Pythagoras b e r e c h n e t : Fres = sqr((-1,0) + 7,0^2) = 7,07 kN 2

Der W i n k e l d e r R e s u l t i e r e n d e n zur S e n k r e c h t e n k a n n ü b e r d e n Sinussatz berechnet werden: s / n a = Fres,x/Fres

=

-1,0 kN/7,07 kN

Der i n v e r s e S i n u s ( T a s c h e n r e c h n e r „sin"-^1") liefert d a s E r g e b n i s d e s W i n k e l s : a = sin-^1 (-1,0/7,07) = - 8 , 1 3 ° , d a s n e g a t i v e V o r z e i c h e n b e s c h r e i b t d e n Z u s t a n d , d a s s d e r W i n k e l auf d e r n e g a t i v e n S e i t e d e r x - A c h s e liegt, a l s o n a c h links zeigt. E s d ü r f e n b e l i e b i g viele K r ä f t e z u R e s u l t i e r e n d e n z u s a m m e n g e f a s s t w e r d e n . Treten d a h e r m e h r als z w e i Kräfte auf, s o w i r d auf

23

gleiche Weise verfahren. Es können auch Zwischenergebnisse ( F r e s l , Fres2...) g e b i l d e t w e r d e n , d i e n a c h h e r i n e b e n s o s u m mierbar sind. Übungsaufgabe: A n e i n e m H ä n g e p u n k t i n einer M e s s e h a l l e w e r d e n z w e i S t a h l seile a n g e s c h l a g e n , d i e z w e i A n z e i g e t a f e l n h a l t e n . B e r e c h n e n S i e d i e G e s a m t l a s t d e s H ä n g e p u n k t s ( r e s u l t i e r e n d e Kraft) u n d deren Winkel. D a s Seil d e r Tafel 1 z i e h t m i t einer Kraft v o n 2,0 k N a n d e m H ä n gepunkt. D a s Seil d e r Tafel 2 zieht m i t einer Kraft v o n 1,2 kN an d e m H ä n gepunkt.

Lösung: Die K o m p o n e n t e n für F 1 e r g e b e n s i c h a u s S i n u s / K o s i n u s - Z u sammenhang: sin50°

=

F1,x = F1

*sin50° = 2,0 kN *sin50° =

cos50°

F1,y/F1

=

F1,y = F1

24

F1,x/F1

* cos50° = 2,0kN* cos50° =

1,53 kN 1,29 kN

Die K o m p o n e n t e n f ü r F 2 : sin30°

=

F2,x/F2

F2,x = F2

*sin30°

cos30°

F2,y/F2

=

= 1,2 kN *sin30° = 0,6 kN

F2,y = F2 * cos30° = 1,2 kN * cos30° = 1,04 kN Die K o m p o n e n t e n w e r d e n z u r R e s u l t i e r e n d e n a d d i e r t : Fres,x

= - F1,x + F2,x = -1,53 + 0,6 = -0,93 kN

Fres,y = -F1,y - F2,y = -1,29 -1,04 = -2,33 kN Der B e t r a g d e r R e s u l t i e r e n d e n w i r d m i t d e m S a t z von Pythagoras b e r e c h n e t : Fres = sqr((-0,93) + 2

(-2,33^2)

= 2,51 kN

Der W i n k e l d e r R e s u l t i e r e n d e n z u r S e n k r e c h t e n k a n n ü b e r d e n S i n u s - Z u s a m m e n h a n g ermittelt w e r d e n : a = sin-^1 (-0,93/2,51) = - 2 1 , 7 5 ° . D a s n e g a t i v e V o r z e i c h e n b e s c h r e i b t d e n Z u s t a n d , d a s s d e r W i n k e l auf d e r n e g a t i v e n S e i t e d e r x - A c h s e liegt, a l s o n a c h links z e i g t . Übungsaufgabe: A n e i n e m T r a v e r s e n - T o w e r (Mast) s i n d z w e i S t a h l s e i l e h o r i z o n t a l g e s p a n n t ( i d e a l e r w e i s e mittig). D i e Seile z i e h e n m i t u n t e r s c h i e d licher R i c h t u n g u n d G r ö ß e . S1 = 1,8 k N , S2 = 2,1 k N . Die D r a u f s i c h t (s. f o l g e n d e Seite) z e i g t d i e R i c h t u n g e n d e r S e i l e . W i e g r o ß ist d i e r e s u l t i e r e n d e Kraft , u n d i n w e l c h e m W i n k e l w i r k t sie? Die Resultierende bestimmt die Biegebeanspruchung des Towers.

25

Lösung: Die K o m p o n e n t e n f ü r S 1 e r g e b e n s i c h a u s d e m S i n u s / K o s i n u s Zusammenhang: sin60°

=

S1,x

=

cos60°

=

S1,x/S1 S1

*sin60°=1,8kN*sin60°=1,56kN

S1,y/S1

S1,y = S1* cos60° =

1,8kN* cos60° = 0,9kN

Die K o m p o n e n t e n f ü r S 2 : sin50°

=

S2,y/S2

S2,y = S2 * sin50° = 2,1 kN* sin50° =1,61 kN cos50°

=

S2,x/S2

S2,x = S2 * cos50° = 2,1 kN* cos50° =

1,35 kN

Die K o m p o n e n t e n w e r d e n z u r R e s u l t i e r e n d e n a d d i e r t : Sres,x = - S1,x + S2,x = -1,56 + 1,35 = -0,21 kN Sres,y = -S1,y + S2,y = -0,9+

26

1,61

= 0,71 kN

Der B e t r a g d e r R e s u l t i e r e n d e n w i r d m i t d e m Satz von Pythagoras b e r e c h n e t : Fres

= sqr((-0,21)

2

+ 0,71 ) = 0,74 kN 2

Der Winkel der Resultierenden zur Senkrechten: alfa = sin-^1 ( - 0 , 2 1 / 0,74) = - 1 6 , 5 ° . D a s n e g a t i v e V o r z e i c h e n b e s c h r e i b t d e n Z u s t a n d , d a s s d e r W i n k e l auf d e r n e g a t i v e n S e i t e d e r x - A c h s e liegt, a l s o n a c h links z e i g t . Der W i n k e l d e r R e s u l t i e r e n d e n z ur H o r i z o n t a l e n : alfa = sin-^1 ( 0 , 7 1 / 0,74) = 7 3 , 6 ° . D a s p o s i t i v e V o r z e i c h e n b e s c h r e i b t d e n Z u s t a n d , d a s s d e r W i n k e l a u f d e r p o s i t i v e n S e i t e d e r y - A c h s e liegt, a l s o nach o b e n zeigt. Die g r a p h i s c h e L ö s u n g d e s P r o b l e m s :

27

Durch die Verwendung eines C A D - (Computer-Aided-Design-) S y s t e m s w e r d e n g e n a u e E r g e b n i s s e erzielt. E s w i r d d a s K r ä f t e parallelogramm gezeichnet und die Resultierende eingetragen. W i n k e l u n d B e t r a g l a s s e n s i c h a b t r a g e n . Ein C A D - S y s t e m e r l e digt die „ B e m a ß u n g " durch das Anklicken der Strecken.

28

3. Gleichgewicht von Kräften A l s G l e i c h g e w i c h t s z u s t a n d b e z e i c h n e t m a n i n d e r S t a t i k ein r u h e n d e s S y s t e m , bei d e m alle K r ä f t e z u e i n a n d e r i m G l e i c h g e w i c h t s t e h e n . D a s b e d e u t e t , d a s s d i e R e s u l t i e r e n d e g l e i c h null ist. A l l e K r ä f t e z u s a m m e n h a b e n n a c h a u ß e n d i e W i r k u n g , als w ä r e k e i n e Kraft v o r h a n d e n . Für alle r u h e n d e n K o n s t r u k t i o n e n gilt d e r G l e i c h g e w i c h t s z u s t a n d : z . B . f ü r e i n e T r a v e r s e m i t B e l e u c h t u n g s k ö r p e r n , e i n e g e f l o g e n e P A - B o x , f ü r ein P o d i u m m i t M e n s c h e n g e d r ä n g e usw. Für d a s G l e i c h g e w i c h t v o n K o n s t r u k t i o n e n s i n d b e i m E i n w i r k e n von Belastungen bestimmte „Haltekräfte" erforderlich, damit das S y s t e m in Ruhe bleibt.

Beginnt zu fallen

Bleibt in Ruhe

29

&1C85=1C9B38 792C 5B 495

<593875F938CB2549>7D>75> 8

=9C 45>5> B938 495 !1 <1BB5> "> 45A *C1C9; > 5 > > C = 1 > B95 D 6 < 1 7 5 A ; A K 6 C 5 95 5 B C 9 = = D > 7 4 5 A D 6 < 1 7 5 A ; A K 6 C 5 9BC F 9 3 8 C 9 7 D = 9 > 4 5 A - 5 A 1 > B C 1 < C D > 7 B C 5 3 8 > 9 ; > B 3 8 < 1 7 = 9 C C 5 < D > 4 ! 5 2 5 I 5 D 7 5 1 D B I D F K 8 < 5 > 95B5 D6<175A;AK6C5 B 9 > 4 I D > K 3 8 B C D > 2 5 ; 1 > > C D > 4 2 5 4 M A 6 5 > 59>5A 5 A 5 3 8 > D > 7 95 * H B C 5 = 5 R < 9 > 5 1 A5B $ A K 6 C 5 B H B C 5 = D > 4 RI5>CA1<5B $ A K 6 C 5 B H B C 5 = F 5 A 4 5 > 9 =

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75F938CBIDBC1>4 25CA138C5C

$! ,! *)!&+&& !% $!&(& (1*).)*% )59> A 5 3 8 > 5 A 9 B 3 8 7 5 B 5 8 5 > 2 5 6 9 > 4 5 > B 9 3 8 1<<5 $ A K 6 C 5 4 1 > > I D 5 9 > 1>45A 9=

< 5 9 3 8 7 5 F 9 3 8 C F 5 > > 98A5 * D = = 5 7 < 5 9 3 8 >D<< 9BC 5 2 5 >

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30

<593875F938C

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R I D B 5 A 6 ? A 4 5 A < 9 3 8 R I D B 5 > C B @ A 9 3 8 C 59>5A ! 1 < C 5 ; A 1 6 C . 9 5 7A?O 9BC 4 9 5 $A16C IDB 95 ) 9 3 8 C D > 7 4 5 A I D B K C I < 9 3 8 5 > $A16C F 9 A 4 I D > K 3 8 B C 6A59 7 5 F K 8 < C 4 9 5 % L B D > 7 F 9 A 4 4 1 B A 9 3 8 C 9 7 5 A 7 5 2 > 9 B 2 A 9 > 7 5 > 95 I D B K C I < 9 3 8 5 $A16C F 9 A 4 1;B F 9 A ; 5 > 4 1 > 7 5 > ? = = 5 > > 5 7 1 C 9 E 5 B - ? A I 5 9 3 8 5 > Q9

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9&

9&30.

9&

9&

9&

9& 9&

9& 9& 9&

30.

' 30.

31

Die Kraft w a r als links w i r k e n d a n g e n o m m e n w o r d e n , d a s Erg e b n i s ist negativ, d a h e r ist d i e u r s p r ü n g l i c h e R i c h t u n g s a n n a h m e f a l s c h . Die Kraft m u s s n a c h r e c h t s m i t e i n e m B e t r a g v o n 0,1 kN wirken. Ergeben sich negative Ergebnisse für berechnete K r ä f t e , s o w i r k e n sie i m m e r e n t g e g e n g e s e t z t z u r u r s p r ü n g l i c h e n Richtungsannahme. Die B e r e c h n u n g v o n u n b e k a n n t e n K r ä f t e n bei linearen S y s t e m e n ist r e c h t e i n f a c h , k a n n a b e r h ä u f i g a n g e w a n d t w e r d e n . I n s besondere Seilumlenkungen lassen sich mit der M e t h o d e analysieren. Beispiel: Seiltrieb im Theater W i e groß ist d i e H a l t e k r a f t d e s S e i l e n d e s ?

Masse = 50 kg

32

U m z u einer L ö s u n g z u k o m m e n , b e g i n n t m a n , d a s S y s t e m d o r t zu untersuchen, w o bereits Lasten bekannt sind. M a n „ s c h n e i d e t " d a z u d a s T e i l s y s t e m m i t d e r b e k a n n t e n Last frei. E s w i r d d a m i t n u r d e r K n o t e n p u n k t b e t r a c h t e t , a n d e m d i e Last e i n g e l e i tet wird und die n o c h unbekannten Kräfte ebenfalls angreifen. Ein w i c h t i g e r A s p e k t bei allen S e i l - u n d K e t t e n t r i e b e n ist z u b e r ü c k s i c h t i g e n . Bei e i n e m d u r c h g e h e n d e n Seil (wie i n o b i g e m Beispiel) ist d i e Seilkraft an j e d e r Stelle i m Seil g l e i c h ! E s g e h e n k e i n e K r ä f t e v e r l o r e n . E b e n s o v e r h ä l t s i c h eine K e t t e o d e r eine a n d e r e s e i l ä h n l i c h e Struktur. Zunächst wird also das Teilsystem am Lasteinleitungspunkt u n tersucht:

s

s

33

95 & 1 B B 5 2 5 F 9 A ; C 5 9 > 5 %1B C E ? > ; ' 1 = * 3 8 F 5 A @ D > ; C 4 5 A & 1 B B 5 B

, = 5 9 > 5 % L B D > 7 4 5 B ( A ? 2 < 5 = B I D 5 A 8 1 < C 5 > F 9 A 4 41B $AK6C57<593875F938C 1D675BC5<
5 = K O 4 5 A 2 9 B 8 5 A 9 7 5 > $ ? ? A 4 9 > 1 C 5 > 5 6 9 > 9 C 9 ? > 9BC 4 9 5 ) 9 3 8 C D > 7 R > 1 3 8 ? 2 5 > @?B9C9E R > 1 3 8 D > C 5 > > 5 7 1 C 9 E 1 > 7 5 B 5 C I C

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***

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34

Beispiel: Kurbelstativ W i e groß ist d i e Z u g k r a f t f ü r d i e W i n d e ?

Seiltrieb 1

Seiltrieb 2 zur Winde

35

Die F u n k t i o n s w e i s e e i n e s s o l c h e n S t a t i v s : I n d a s ä u ß e r e R o h r s i n d z w e i (geführte) E i n s t e c k l i n g e e i n g e s e t z t . D a s Seil d e r W i n d e w i r d u m g e l e n k t u n d hält d e n e r s t e n E i n steckling. Wird dieser ausgefahren, so fährt die an diesem Einsteckling angeschlossene Umlenkrolle nach o b e n und zieht den zweiten Einsteckling heraus. Der L ö s u n g s w e g b e g i n n t w i e d e r a n d e r L a s t e i n l e i t u n g s s t e l l e .

1,5 kN

Die M a s s e b e w i r k t eine Last v o n F = 1,5 k N . D u r c h d e n V e rs a t z d e r S e i l - u n d d e r R o h r a c h s e e n t s t e h t ein s o g e n a n n t e s „ K i p p m o m e n t " , d a s d u r c h d i e F ü h r u n g b l o c k i e r t w i r d . Dieser U m s t a n d w i r d hier v e r n a c h l ä s s i g t , w e i l e r d i e S e i l k r ä f t e n i c h t d i r e k t b e e i n flusst. Um das Problem zu lösen, wird das Kräftegleichgewicht aufgestellt.

36

5 = K O 4 5 A 2 9 B 8 5 A 9 7 5 > $ ? ? A 4 9 > 1 C 5 > 5 6 9 > 9 C 9 ? > 9BC 4 9 5 ) 9 3 8 C D > 7 R > 1 3 8 ? 2 5 > @?B9C9E R > 1 3 8 D > C 5 > > 5 7 1 C 9 E 1 > 7 5 B 5 C I C

* *48:9@05B &" 6!

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*

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9&

0C5 14834<

9& *

9&

<5938D>7

03384@4<

9&

9& * 95 *59<;A16C 9BC 2 5 A 5 3 8 > 5 C * 9 5 2 5 C A K 7 C * ; '

'D> F9A4 41B >K38BC5 +59
95 *59<;A16C * F D A 4 5 2 5 A 5 9 C B 2 5 A 5 3 8 > 5 C B F 9 A 4 4 1 B

<593875

F938C 1D675BC5<
37

7&

* * *

B 5>CBC58C 495 6?<75>45 =1C85=1C9B385

* *

*

9& 9&

9& * 9& 0C5 14834< 9&

<5938D>7

48<64A4BHB

*

*

95 *59<;A16C 9BC 2 5 A 5 3 8 > 5 C * 9 5 2 5 C A K 7 C * ; '

1B 859OC 4 1 B B 1 D 3 8 4 9 5 . 9 > 4 5 5 9 > 5 %1BC E ? > ; ' 1 D 6 > 5 8 = 5 > =DBB

$! ,! *)!&+&& !% /&*($& (1*).)*% 59= I5>CA1<5> $AK6C5BHBC5= 5A7525> B938 IF59

<5938D>75> 41

$AK6C5 = 9 C . 9 A ; D > 7 B < 9 > 9 5 > 9 > E 5 A B 3 8 9 5 4 5 > 5 > ) 9 3 8 C D > 7 5 > 1 > 7 A 5 9 6 5 > D > 4 B ? = 9 C 495 $AK6C5 9 > G D > 4 H ) 9 3 8 C D > 7 9 =

<593875F938C BC5

8 5 > = M B B 5 > 4 1 = 9 C 4 1 B * H B C 5 = B C 1 C 9 B 3 8 9BC

95 = 1 C 8 5 = 1 C 9 B 3 8 5 ? A = D < 9 5 A D > 7 4 5 B $ A K 6 C 5 7 < 5 9 3 8 7 5 F 9 3 8 C B &"

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*0((

7&1 8F

F

F

F

8< F )827BC<6

G

G

8< G )827BC<6

C<3 7&2 G

G

5 9 B @ 9 5 < , = < 5 > ; A ? < < 5 = 9 C *59< . 9 5 7A?O 9BC 4 9 5 ! 1 < C 5 ; A 1 6 C 4 5 A )?<<5

38

95 )?<<5 F 9 A 4 1CA1<5A ( D > ; C 4 5 A 1 > 7 A 5 9 6 5 > 4 5 > $AK6C5 E 5 A B C 1 > 4 5 > 4 1 8 5 A F 5 A 4 5 > 4 9 5 !9<6B<9>95> 4 5 A $AK6C5 F 5 9 C 5 A 7 5 I 5 9 3 8 > 5 C

95 $ ? = @ ? > 5 > C 5 > E ? > ; L > > 5 > 4 9 A 5 ; C 2 5 A 5 3 8 > 5 C F 5 A 4 5 > A8<L G 2=AL F 95

G

A8<L 9& A8<L 9&

F 2=AL 9& 2=AL

9&

<593875F938CB2549>7D>75> O 8 F

F

30@0CA 5=:6B

30@0CA 5=:6B O 8 G

F

F

! G

30@0CA 5=:6B

F

F

9&

G

G !

30@0CA 5=:6B

G

G

9&

9& 9&

39

Die K o m p o n e n t e n f ü r F 1 b e t r a g e n : F1,x=1,06kN F1,y

=

2,56kN

Der B e t r a g d e r R e s u l t i e r e n d e n w i r d m i t d e m Satz von Pythagoras b e r e c h n e t : F1

= sqr(1,06

2

+ 2,56 ) = 2,77 kN 2

Der W i n k e l d e r R e s u l t i e r e n d e n z u r x - A c h s e b e r e c h n e t s i c h : s/na

=

F1,y/F1=

2,56

kN/2,77 kN

alfa = sin-^1 (2,56 kN/2,77 kN) = 67,5°

40

Übungsaufgabe: I n d e r A u f h ä n g u n g einer „ L E D - W a n d " s i n d d i e S e i l k r ä f t e z u b e rechnen.

41

2)+& 1B *HBC5= F9A4 1= (D>;C 45A %1BC59><59CD>7 R6A5975B38>9CC5>

B 5 A 7 9 2 C B 9 3 8 59> I 5 > C A 1 < 5 B $ A K 6 C 5 B H B C 5 = = 9 C I F 5 9 D > 2 5 ; 1 > > C 5 > *59<;AK6C5>

95 $ ? = @ ? > 5 > C 5 > E ? > * F 5 A 4 5 > 9 > 5 I 9 5 8 D > 7 I D 4 5 = . 9 > ; 5 < 7 5 B 5 C I C ; L > > 5 > 1 2 5 A I 0 > ? 3 8 > 9 3 8 C 2 5 A 5 3 8 > 5 C F 5 A 4 5 > 4 1 * D > 2 5 ; 1 > > C 9BC 95 . 9 > ; 5 < 2 5 I 9 5 8 D > 7 F 9 A 4 I D 5 9 > 5 = B @ K C 5 A 5 > 059C@D>;C 25>LC97C

A8< L

* G *

2=A L * F * 95

* * G A8< L

* G * A8< L

* * F 2=A L

* F * 2=A L

<593875F938CB2549>7D>75> O 8 F

* F *

; 1 > > I 0 > ? 3 8 > 9 3 8 C 7 5 < L B C F 5 A 4 5 > 1 8 5 A F 9 A 4 I D > K 3 8 B C 4 9 5 IF59C5

<593875F938CB2549>7D>7 1D675BC5<
* G 9&

30@0CA

5=:6B

* G 9&

30@0CA 5=:6B * G 9& G #=;>=<4
42

34@ *48:9@05B *

:4386:827 384 B@I6B 384

$0AB

1 > D > * H 2 5 ; 1 > > C 9BC ; 1 > > * M 2 5 A 4 9 5 . 9 > ; 5 < 2 5 I 9 5 8 D > 7 5 > 5AA538>5C F5A45> * *

* G A8< LA= 9& A8< L 9&

, = 4 9 5 *59<;A16C * I D 2 5 B C 9 = = 5 > F 9 A 4 4 9 5 5 A B C 5

<593875

F 9 3 8 C B 2 5 4 9 > 7 D > 7 4 9 5 2 9 B 8 5 A > 9 3 8 C I D < L B 5 > F1A 8 5 A 1 > 7 5 I ? 7 5 > O 8 F

* F * A=

/C@ % L B D > 7 F 9 A 4 * G 2 5 > L C 9 7 C 4 9 5 5 2 5 > 6 1 < . 9 > ; 5 < 2 5 I958D>75> 25A538>5C F9A4 * F * 2=A L 9& 2=A L 9& 'D> F9A4 9> 495 O 8 F

59>75B5CIC

* F *

* F * * F * 9& *

84 *48:9@05B * B@I6B 384 7=@8H=
#=;>=<4
*

D=<

01

0DB1==5>61BBD>7 45A A752>9BB5 9& 9&

0+&)+ 48

48<4@

A27E4@

4AB8
0C5647I<6B

:4< #=
84

E8@3

48<4

C57I<6C<6

.84 6@=M A8<3 384

$0CBA>@4274@1=F 4@5=:6B

#@I5B4 8<

3C@27

48<4

34<

*BI14<

96

#=
43

20321)16)1 821 # 5-1< # ; # '25< # : #

-)

# # ; 5-1< # # : '25<

# ; # 5-1 < # : # '25<

/)-',+)9-',65&)(-1+71+)1

# # : # # :

# ; .

# ;

.

# ; 5-1<

# #

44

. 5-1

<

.

$7+.4%*6

#

# :

47'..4%*6

. .

#

'25<

.'25<

.

Die E r g e b n i s s e w e r d e n n u n m i t Hilfe d e s P r o g r a m m s „ Z e n t r a l e s K r ä f t e s y s t e m " v o n d e r C D k o n t r o l l i e r t . E s w e r d e n alle K r ä f t e i n der errechneten Richtung eingegeben.

2,0 kN Die

Eingabe

in

das

Programm

erfolgt

wie

dargestellt:

Die errechnete Resultierende ist gleich null. Das bedeutet, dass alle Kräfte sich am Knoten kompensieren und somit Gleichgewicht in allen Richtungen herrscht. Die Lösung ist korrekt!

45

Übungsaufgabe: U m eine K a m e r a ü b e r e i n e S t r e c k e i n g r ö ß e r e r H ö h e f a h r e n z u k ö n n e n , w u r d e ein S e i l s y s t e m m i t z w e i S t ü t z e n e r r i c h t e t . W i e g r o ß s i n d d i e K r ä f t e i n Seilen u n d S t ü t z e n bei d i e s e r P o s i t i o n d e r Kamera?

D a s G e s a m t s y s t e m b e s t e h t i n d i e s e m Fall a u s drei z e n t r a l e n K r ä f t e s y s t e m e n , d i e einzeln g e l ö s t w e r d e n . Lösung: Das System wird am Punkt der Lasteinleitung „freigeschnitten". E s e r g i b t s i c h ein z e n t r a l e s K r ä f t e s y s t e m m i t z w e i u n b e k a n n t e n Seilkräften.

46

95 $ ? = @ ? > 5 > C 5 > E ? > * F 5 A 4 5 > 9 > 5 I 9 5 8 D > 7 I D 4 5 = . 9 > ; 5 < 7 5 B 5 C I C ; L > > 5 > 1 2 5 A I 0 > ? 3 8 > 9 3 8 C 2 5 A 5 3 8 > 5 C F 5 A 4 5 > 4 1 * D > 2 5 ; 1 > > C 9BC 95 . 9 > ; 5 < 2 5 I 9 5 8 D > 7 F 9 A 4 I D 5 9 > 5 = B @ K C 5 A 5 > 0 5 9 C @D>;C 25>LC97C

A8< L * G * 2=A L

*

F *

* G A8< L

* * F 2=A L

* G * A8< L * F * 2=A L

25>B? F 5 A 4 5 > 495 0 D B 1 = = 5 > 8 K > 7 5 6MA * 75<9BC5C

A8< N * G *

* * G A8< L

* G * A8< L

2=A L * F *

* * F 2=A L

* F * 2=A L

95

<593875F938CB2549>7D>75> O 8 F

* F * F

95B ; 1 > > I 0 > ? 3 8 > 9 3 8 C 7 5 < L B C F 5 A 4 5 > 1 8 5 A F 9 A 4 I D > K 3 8 B C 495 IF59C5

<593875F938CB2549>7D>7 1D675BC5<
O 8 G

* G * G 9&

D38 495B5 B9>4 495

< 5 9 3 8 D > 7 ; 1 > > 1<<59> > 9 3 8 C 7 5 < L B C F 5 A 4 5 > # 5 4 ? 3 8

<5938D>75> M25A 495 .9>;5<25I958D>75> =9C59>1>45A

ID E5A;>M@65> "> 25945>

<5938D>75> ;?==5> $?=@?>5>C5>

E ? > * D > 4 * E?A A M 3 ; C = 1 > 4 9 5 B 5 $ ? = @ ? > 5 > C 5 > 1 ;5<6D>;C9?> D>4 * .9>;5<6D>;C9?> 1DB B? ;L>>5> 495

<59

38D>75> >138 * ?45A * 1D6754 7<593875B5CIC F5A45>

495 O 8 F

B D=75BC5<
* F * F

* F * F * 2=A L * 2=A L <027

*

* O 8 G

0C5:JA4< *2=A L 2=A L

* G * G 9& * G

* G 9&

*

A8< L * A8< L 9& <027 * 0C5:JA4<

*

9& *

A8< L A8< L

47

Nun können die Gleichungen einander gleichgesetzt w e r d e n : S2*cos10°/cos20° die

rechte

=

(1,0kN-S2

*sin10°)/sin20°,

Klammer auflösen

S2

* cos 10°/cos20° =

S2

* cos10°/cos20°

S2

* (cos10°/cos20°

S2

=

(1,0

1,0 kN/sin20° - S2

+ S2 +

kN/sin20°)

*sin10°/sin20°

sin10°/sin20°) I

=

(cos10°/cos20°

* sin 10°/sin20°

=

1,0 kN/sin20° 1,0kN/sin20°

+

sin10°/sin20°)

S2=1,88kN S2,x

=

S2,y

=

S2*cos10°=1,88kN*cos10°=1,85kN

S2*sin10°=1,88kN*sin10°

=

0,33

kN

D a n u n S 2 b e k a n n t ist, k a n n a u c h S 1 b e r e c h n e t w e r d e n . F o l g e n der Z u s a m m e n h a n g w u r d e bereits zuvor aufgestellt: S1

=

(1,0kN-S2

*sin10°)/sin20°,

nun

kann

S2

eingesetzt

werden S1

=

(1,0 kN-

1,88 kN*sin10°)/ sin20°

S1 = 1,97 kN S1,x = S1,y

=

S1 S1

*cos20°=

1,97 kN*cos20°=

*sin20°=1,97kN*sin20°

=

1,85 kN 0,67kN

Die b i s h e r s e h r a u f w e n d i g e m a t h e m a t i s c h e L ö s u n g d e r Seilkräfte wird durch eine tabellarische Lösung ersetzt, die im A n h a n g zu f i n d e n ist. Für d i e hier e i n g e s e t z t e n W i n k e l w i r d d i e Tabelle a u s zugsweise dargestellt:

48

D u r c h d i e Tabelle l a s s e n s i c h a u f d i e s e W e i s e B e r e c h n u n g e n e i n s p a r e n . Die g e n a u e B e n u t z u n g w i r d in A b s c h n i t t 9 erläutert. N a c h d e m die Seilkräfte S1 u n d S2 berechnet sind, w e r d e n die a n d e r e n T e i l s y s t e m e analysiert. Z u n ä c h s t d e r linke K n o t e n p u n k t :

S5 Der W i n k e l z w i s c h e n S 3 u n d S 5 b e t r ä g t 2 5 ° . B e m a ß t w a r e n 6 5 ° z w i s c h e n S 3 u n d d e r H o r i z o n t a l e n . Die S u m m e d e r W i n k e l i m rechtwinkligen Dreieck beträgt 180°. Da der rechte Winkel 90° zwischen der Horizontalen und S5 b e trägt, lassen sich die anderen Winkel u m r e c h n e n . Die K o m p o n e n t e n v o n S 1 s i n d b e k a n n t . Die W i n k e l b e z i e h u n g von S3 wird aufgestellt und zu späterem Zeitpunkt benötigt.

49

A8<L * F *

* * F A8<L

* F * A8<L

2=AL * G *

* * G 2=AL

* G * 2=AL

95

<593875F938CB2549>7D>75> O 8 F

* F * F

* F * F 5A I D E ? A 2 5 A 5 3 8 > 5 C 5 . 5 A C 6 M A * G F 9 A 4 5 9 > 7 5 B 5 C I C

* F

9&

* F 9& "> 0 D B 1 = = 5 > 8 1 > 7 =9C 45A .9>;5<25I958D>7 5A792C B938 * *

* F A8<L

*

9& A8<L

*

9&

* G * 2=AL 9& 2=AL 9& O 8 G

* G * * G

* G * * G

*

9& *

HE48

.4@B4 9J<<4< 48<64A4BHB E4@34<

9&

* 9& <460B8D )827BC<6 D=< * 8AB 4
014@

D=< /C69@05B D=;

#<=B4<

E46

@40: 8AB 384 *BKB

3@C29140@C27B

' 1 3 8 4 5 = 495 *59<;AK6C5 * * * D > 4 495 *CMCI5>;A16C * 2 5 A 5 3 8 > 5 C F ? A 4 5 > B 9 > 4 F 9 A 4 4 1 B <5CIC5 + 5 9 1 < H B 9 5 A C

50

*

95 $ ? = @ ? > 5 > C 5 > E ? > * B 9 > 4 2 5 ; 1 > > C 95 . 9 > ; 5 < 2 5 I 9 5 8 D > 7 E ? > * F9A4 1D675BC5<4 ID 59>5= B@KC5A5> 059C@D>;C 25>LC97C

A8< L * F *

* * F A8< L

* F * A8< L

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95

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51

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MA 4 9 5 @ A 9 = K A C A 1 7 5 > 4 5 > *59<5 * D > 4 * 79 7 A L O 5 A 5 > +59< 4 5 A %1BC 1 2 C A K 7 C

95 895A 2 5 B 3 8 A 9 5 2 5 > 5 - ? A 7 5 8 5 > B F 5 9 B 5 BCAD;C9?>5> 9> 45A -5A1>BC17BC538>9; IDAM3;6M8A5>

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1>1D>7 ; ? = = C 45> B? 75>1>>C5> R%9E5<9>5B ID 4 9 5 1 7 259 7 A L O 5 A 5 > )977B E 5 A F 5 > 4 5 C F 9 A 4

2 5 > B ? F 5 A 4 5 > $ ? > B ? < 5 > 2 5 A 5 3 8 > 5 C 95 5 A 5 3 8 > D > 7 4 5 B I 5 > C A 1 < 5 > $ A K 6 C 5 B H B C 5 = B 9BC 1 D 3 8 6 M A 1 3 8 F 5 A ; 5 I D > D C I 5 > 4 9 5 259 5AMBC5> D>4 49E5AB5> &5BB521DBHBC5=5> > F 5 > 4 D > 7 69>45>

"> 2 B 3 8 > 9 C C F 9 A 4 7 5 B ? > 4 5 A C 1D6 1 3 8 F 5 A ; 5 5 9 > 7 5 7 1 > 7 5 >

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52

3.3. Gleichgewichtsbedingungen GGB beim allg. Kräftesystem D a s a l l g e m e i n e K r ä f t e s y s t e m e r l a u b t d a s B e r e c h n e n v o n Kräft e n , o h n e d a s d i e Kräfte a m g l e i c h e n P u n k t a n g r e i f e n . E s ist e t w a s a u f w e n d i g e r als d a s z e n t r a l e K r ä f t e s y s t e m , v e r m a g a b e r auch komplexere Probleme zu lösen. Z u n ä c h s t w i r d ein n e u e r Begriff e i n g e f ü h r t , d e r f ü r d i e n a c h f o l g e n d e n B e t r a c h t u n g e n g r o ß e B e d e u t u n g hat. Das Moment Ein M o m e n t k a n n als D r e h m o m e n t , K i p p m o m e n t , B i e g e m o m e n t etc. erscheinen. Ein M o m e n t e n t s t e h t immer, w e n n d i e W i r k u n g s l i n i e n z w e i e r Kräfte parallel v e r l a u f e n u n d d i e K r ä f t e e i n e n u n g l e i c h e n B e t r a g haben oder entgegengesetzt sind. Bei d e n b i s h e r i g e n B e t r a c h t u n g e n a m z e n t r a l e n K r ä f t e s y s t e m (alle K r ä f t e g r e i f e n a n e i n e m P u n k t an) g e n ü g t e d a s G l e i c h g e w i c h t in horizontaler u n d vertikaler Richtung, um d e n Körper in Ruhe zu halten. L i e g e n d i e W i r k u n g s l i n i e n a b e r parallel, s o e r g i b t s i c h z w a r k e i n e Verschiebung des Körpers, aber eine Verdrehung! O b w o h l das G l e i c h g e w i c h t i n x - u n d y - R i c h t u n g g e g e b e n ist, b e f i n d e t s i c h der Körper nicht in Ruhe.

53

Die D r e h u n g d e s K ö r p e r s b e r u h t a u f d e m M o m e n t , d a s d a s Kräftepaar bewirkt. Der B e t r a g d e s M o m e n t s ist a b h ä n g i g v o n d e m W i r k a b s t a n d u n d d e r Kraft. Ein M o m e n t k a n n als „ d i e Kraft d e r R o t a t i o n " b e t r a c h t e t w e r d e n . Ein d r e h m o m e n t s t a r k e r M o t o r „ h a t K r a f t " . Das M o m e n t wird mit M bezeichnet. M = F * a (a ist d e r W i r k a b s t a n d ) Beispiel: Kurbel

U m d i e K u r b e l i m G l e i c h g e w i c h t z u h a l t e n , ist e s n ö t i g , d i e Verschiebungen und die Verdrehung zu verhindern. J e d e der B e w e g u n g s b e h i n d e r u n g e n e r f o r d e r t eine „ H a l t e k r a f t / H a l t e m o m e n t " . Durch diesen Umstand ergeben sich die so genannten Auflagerb e d i n g u n g e n . Für d i e F u n k t i o n s f ä h i g k e i t e i n e s j e d e n t e c h n i schen Geräts sind die Auflager von entscheidender B e d e u t u n g . Um die Auflagerbedingungen richtig wählen zu können, w e r d e n e i n i g e B e i s p i e l e erläutert. Die u n t e r s c h i e d l i c h e n A u f l a g e r u n g e n bieten verschiedene Behinderungen.

54

Um die Kurbel im Gleichgewicht zu halten, gibt es zwei M ö g l i c h keiten: Eine E i n s p a n n u n g a m D r e h p u n k t ( b e h i n d e r t alle V e r s c h i e b u n gen u n d die Verdrehung) Ein G e l e n k a m D r e h p u n k t u n d e i n e B e r ü h r u n g a n d e m K u r b e l a r m

55

Bei b e i d e n A u f l a g e r b e d i n g u n g e n b e f i n d e t s i c h d i e K u r b e l i m G l e i c h g e w i c h t . W e n n m a n i n d i e Tabelle sieht, s o ist z u e r k e n n e n , d a s s d i e S u m m e d e r W e r t i g k e i t e n i n b e i d e n Fällen 3 e r g i b t . Die A u f l a g e r b e w i r k e n „ H a l t e k r ä f t e " i n d e r K o o r d i n a t e , in d e r sie B e w e g u n g e n blockieren. Wird eine B e w e g u n g nicht blockiert, so kann auch keine Auflagerkraft wirken. Wählt m a n die zweite Auflagerbedingung der Kurbel, so kann man die Auflagerkräfte wie folgt einzeichnen:

56

H

95 D 6 < 1 7 5 A ; A K 6 C 5 B 9 > 4 = 9 C

A?O2D38BC125> 75;5>>I5938>5C

D>4 ID>K38BC 9> @?B9C9E5A $??A49>1C5> )938CD>7 59>75I5938>5C F ? A 4 5 > 1< 7 5 9 > 5 1 > 4 5 A 5 9BC 1 7 5 > ? = = 5 > B ? 5 A 7 9 2 C B 9 3 8 59> > 5 7 1 C 9 E 5 B A 7 5 2 > 9 B MA 4 1 B D 6 < 1 7 5 A 5<5>; 7 9 2 C 5B < ? 3 ; 9 5 A D > 7 5 > 9> 8 ? A 9 I ? > C 1 < 5 A G D > 4 E 5 A C 9 ; 1 < 5 A ) 9 3 8 C D > 7 H 4 1 8 5 A 81C 4 9 5 $A16C I F 5 9 $ ? = @ ? > 5 > C 5 >

95 = 1 C 8 5 = 1 C 9 B 3 8 5 ? A = D < 9 5 A D > 7 4 5 B $ A K 6 C 5 7 < 5 9 3 8 7 5 F 9 3 8 C B 5A 6?A45AC 59>5 41B

< 5 9 3 8 D > 7 = 5 8 A 1 C A 1 < 5 > $ A K 6 C 5 B H B C 5 = 4 1

< 5 9 3 8 7 5 F 9 3 8 C 9 > E 5 A C 9 ; 1 < 5 A 8 ? A 9 I ? > C 1 < 5 A ) 9 3 8 C D > 7 259 4 5 I 5 >

C A 1 < 5 > $ A K 6 C 5 B H B C 5 = 5 > 1<<59> > 9 3 8 C 1 D B A 5 9 3 8 C

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F

F

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G

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57

Für d i e m a t h e m a t i s c h e F o r m u l i e r u n g d e r n e u e n G l e i c h u n g s i n d e i n i g e R e g e l n z u b e a c h t e n . Eine Kraft b e w i r k t d a n n ein M o m e n t , w e n n sie eine K o m p o n e n t e s e n k r e c h t z u m D r e h h e b e l hat u n d der Hebel dieser K o m p o n e n t e v o m betrachteten Drehpunkt u n g l e i c h null ist. Der D r e h p u n k t , d e r b e t r a c h t e t w i r d , k a n n frei d e f i n i e r t w e r d e n , j e d o c h m u s s f ü r alle a n g r e i f e n d e n K r ä f t e d e r g l e i c h e D r e h p u n k t gewählt w e r d e n , um die S u m m e der D r e h m o m e n t e z u listen. Der B e t r a g d e s M o m e n t s ist a b h ä n g i g v o n d e m W i r k a b s t a n d u n d der Kraftkomponente senkrecht z u m Drehhebel. Das M o m e n t wird mit M bezeichnet. M = F * a, (a ist d e r W i r k a b s t a n d - a u c h b e k a n n t als Hebel) D a s M o m e n t ist s o m i t d a s P r o d u k t a u s Kraft ( s e n k r e c h t z u m H e belarm) u n d H e b e l a r m . Die K r ä f t e w e r d e n n u n m i t t e l s d e r drei G G B s berechnet. Als Beispiel w e r d e n einige Zahlenwerte eingesetzt.

F = 1,3 kN

58

95

<593875F938CB2549>7D>75> Q9G G 30@0CA 5=:6B F 30A !4:4<9 ;CAA 948<4 #@I5B4 8< F

)827BC<6 O 8 G

70:B4<

30 948<4 D=< 0CM4< 48<E8@94<

G

30@0CA

5=:6B G

30@0CA

5=:6B G

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,<1490<
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; 9& ;

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B F 5 A 4 5 > 495 $AK6C5 =9C 4A585>45A . 9 A ; D > 7 D= (D>;C 75<9BC5C

(?B9C9E F 5 A 4 5 > 1<<5 A 5 8 = ? = 5 > C 5 1 > 7 5 > ? = = 5 > 4 9 5 5 > C 7 5 7 5 > 45= HC<6

,8AI5975AB9>>

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A4:A1@K294 QC53@474< 34@ "48

>=A8B8D

G D > 4 H 8 1 2 5 > ; 5 9 > 5 4 A 5 8 5 > 4 5 . 9 A ; D > 7 D = ( D > ; C 4 1 98A ! 5 2 5 < 7 < 5 9 3 8 >D<< 9BC 95B5 2 5 9 4 5 > $ A K 6 C 5 7 5 8 5 > 4 1 8 5 A > 9 3 8 C 9 > 4 9 5 < 5 9 3 8 D > 7 5 9 > F ? 4 D A 3 8 F 5 > 9 7 5 A , > 2 5 ; 1 > > C 5 E ? A ; ? = = 5 > 95 $A16C 2 5 F 9 A ; C 59>5 @ ? B 9 C 9 E 5 A 5 8 A 9 3 8 C D > 7 = 9 C 4 5 = ! 5 2 5 < =

95 $A16C ; ' 5 A I 5 D 7 C 5 9 > 5 > 5 7 1 C 9 E 5 A 5 8 A 9 3 8 C D > 7 = 9 C 4 5 = ! 5 2 5 < = = = 1 = 9 C B 9 > 4 1<<5 A 5 8 = ? = 5 > C 5 7 5 <9BC5C

30@0CA 5=:6B ; 9& ; 30@0CA 5=:6B 9& ; ; 30@0CA

5=:6B

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9&

'D> ;1>> = 1 > 4 1 B A752>9B 6MA 9> 495 IF59C5

59>B5CI5>

H ;' ;' ;' H 9BC > 5 7 1 C 9 E I 5 9 7 C 1 1 3 8 D > C 5 > 5 > C 7 5 7 5 > 4 5 A > > 1 8 = 5

&1> FMA45

<593875F938C 5AA59385> 9 > 4 5 = = 1 > =9C ;'

21<<1BC95AC

59

Übungsaufgabe: Für e i n e T r a v e r s e m i t z w e i P A - C l u s t e r n s o l l e n d i e B e l a s t u n g e n der Hängepunkte an der Decke berechnet werden. J e d e s Cluster wiegt 600 kg, die Z ü g e je 60 kg, die anderen Eigenlasten bleiben u n b e r ü c k s i c h t i g t . Die M a ß e s i n d i n c m a n g e g e b e n .

Z u n ä c h s t w i r d d a s s t a t i s c h e S y s t e m d e r Traverse a u f g e s t e l l t :

6,0 kN

60

6,0 kN

95

<593875F938CB2549>7D>75> O 8 F

F F

30@0CA 5=:6B F C<3 F 148 D4@B890:4< *48:4< 9J<

<4< O 8 G

948<4

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<=27

<827B 64:JAB

,<1490<

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2; 9&

2; 2; B F 5 A 4 5 > 4 9 5 $ A K 6 C 5 = 9 C 4 A 5 8 5 > 4 5 A . 9 A ; D > 7 D = ( D > ; C <9>;5A ! K > 7 5 @ D > ; C 7 5 < 9 B C 5 C ( ? B 9 C 9 E F 5 A 4 5 > 1<<5 A 5 8 = ? = 5 > C 5 1 > 7 5 > ? = = 5 > 4 9 5 5 > C 7 5 7 5 > 4 5 = , 8 A I 5 9 7 5 A B 9 > > F 9 A ; 5 > A4:A

1@K294

QC53@474<

34@

"48HC<6

>=A8B8D

81 C ; 5 9 > 5 4 A 5 8 5 > 4 5 . 9 A ; D > 7 D = ( D > ; C 4 1 98A ! 5 2 5 < 7 < 5 9 3 8 >D<< 9BC

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5=:6B

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2; 2;

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30@0CA 5=:6B 9& 'D> ;1>> = 1 > 41B A752>9B 6MA 9> 495 IF59C5

9& 9& 9&

59>B5CI5>

9&

MA 4 9 5 5 < 1 B C D > 7 4 5 A ! K > 7 5 @ D > ; C 5 1 > 4 5 A 5 3 ; 5 F 5 A 4 5 > 4 9 5 5F938C5 45A 0 M 7 5 14495AC " '"*,0*'/ 5"- 0*'/ " '"*,0*'/ 5"- 0*'/

' ' ' '

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'

61

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95

<593875F938CB2549>7D>75> O 8 F F F 30@0CA 5=:6B F C<3 F A8<3 >4<34:<3 64:064@B $0AB4< =34@

30@0CA

5=:6B

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84 "G3@0C:89HG:8<34@

<47;4<

7=@8H=
E4@34<

'=38C;A

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62

84

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C<3 3C@27

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$0AB4< 384

7=@8H=
3C@27

4647C<6

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0C564<=;;4<

9& 9&

9&

,<1490<
9& 9&

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O %8'C< 9 B

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9& 2; 9& 2; 2;

9& 2;

2; B F 5 A 4 5 > 4 9 5 $ A K 6 C 5 = 9 C 4 A 5 8 5 > 4 5 A . 9 A ; D > 7 D = ( D > ; C <9>;5A *CMCI@D>;C 7 5 < 9 B C 5 C (?B9C9E F 5 A 4 5 > 1<<5 A 5 8 = ? = 5 > C 5 1 > 7 5 > ? = = 5 > 4 9 5 5 > C 7 5 7 5 > 4 5 = , 8 A I 5 9 7 5 A B 9 > > F 9 A ; 5 > A4:A

1@K294

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70B 948<4 3@474<34 6:4827

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30@0CA 5=:6B 9& 2; 9& 2;

9& 2;

9& 2;

2; 30@0CA

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9& 2; 9&

2;

9& 2; 9& 2;

2; 30@0CA 5=:6B

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9& 9&

9&

59>B5CI5>

9&

MA 5 9 > I 5 < > 1 > 7 A 5 9 6 5 > 4 5 $ A K 6 C 5 ; 1 > > > D > 4 9 A 5 ; C 2 5 A 5 3 8 > 5 C F 5 A 4 5 > B C A 5 C 5 > 1 2 5 A 1 D 3 8 8 K D 6 9 7 5 A E 5 A C 5 9 < C 5 % 1 B C 5 > 1D6

59B@95< +A1E5AB5 =9C () *3859>F5A65A>

63

-5AC59 2 5 I 5 9 3 8 > 5 C = 1 > 1 < 1 B C . 9 5 1 D B 4 5 A 9>859C 4 5 A * C A 5 3 ; 5 > < 1 B C 8 5 A E ? A 7 5 8 C F 9 A ; C 59>5 $A16C 1D6 59>5 %K>75>59>859C 59>

9>5 * C A 5 3 ; 5 > < 1 B C E ? > ; ' = 2 5 4 5 D C 5 C 4 1 B B 5 9 > 5 % 1 B C E ? > ; ' 1 D 6 : 5 4 5 > < 1 D 6 5 > 4 5 > & 5 C 5 A 5 9 > F 9 A ; C ! 1 C 5 9 > 5 B ? < 3 8 5 %1BC 59>5 D B 2 A 5 9 C D > 7 E ? > = B ? 2 5 C A K 7 C 4 9 5

5 B 1 = C < 1 B C A5B

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95

<593875F938CB2549>7D>75> O 8 F

F

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G

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& 1 > ;1>> 495 A259C E5A59>61385> 9> 4 5 = = 1 > =9C 4 5 = & ? = 5 > C 5 > 7 < 5 9 3 8 7 5 F 9 3 8 C 2 5 7 9 > > C 1 E95<5 % 1 B C 5 > F 9 A ; 5 > B 3 8 A 5 9 2 C = 1 > 495 * D = = 1 > 4 5 > 45A

<5938D>7 25BB5A D>C5A59>1>45A 0D5ABC 495

018<5>F5AC5 4 1 > > 495 -1A912<5>

95 AB1CI<1BC 6 M A 4 1 B 9 7 5 > 7 5 F 9 3 8 C 4 5 A +A1E5AB5 2 5 C A K 7 C ;' = = ;' D > 4 <957C = 9 C C 9 7 1D6 4 5 A 7 5 B 1 = C 5 > %K>75 1
65

95 AB1CI<1BC 6MA * C A 5 3 ; 5 > < 1 B C 4 5 A % 1 = @ 5 > 2 5 C A K 7 C ;' = = ;' D > 4 <957C = 9 C C 9 7 1D6 4 5 A D B 2A59CD>7 45A *CA53;5><1BC 1
= A538CB E ? = D6<175A *

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* ;' "> / )938CD>7 792C 5B ;59>5 %1BC5> 4185A F9A4 1D38 ;59>5 1D675BC5<
66

Die E r g e b n i s s e w e r d e n n u n mit Hilfe d e s P r o g r a m m s „ A u f l a g e r r e a k t i o n e n " v o n d e r C D k o n t r o l l i e r t . E s w e r d e n alle L a s t e n e i n gegeben.

Die E r g e b n i s s e s t i m m e n ü b e r e i n !

67

68

4. Ebene Fachwerke D a s F a c h w e r k ist für viele K o n s t r u k t i o n e n ein n ü t z l i c h e s H i l f s m i t t e l , u m M a t e r i a l e i n z u s p a r e n u n d t r o t z d e m eine g r o ß e S t e i f i g keit z u b i e t e n . Ein V i e r e c k m i t g e l e n k i g e n E c k e n ist v e r s c h i e b l i c h , n i c h t s o ein D r e i e c k o d e r z u s a m m e n g e s e t z t e K o n s t r u k t i o n e n a u s D r e i e c k e n . Die u n t e r e A b b i l d u n g z e i g t ein F a c h w e r k a u s zwei Dreiecken.

In der Veranstaltungstechnik w e r d e n häufig Gerüste eingesetzt, d i e auf d e m g l e i c h e n Prinzip d e s F a c h w e r k s b e r u h e n . B e s o n ders interessant sind die Kräfte in den einzelnen Stäben, da die

69

D i a g o n a l e n , d i e Riegel u n d d i e Stiele n i c h t u n b e g r e n z t b e l a s t b a r sind. Folgende Eigenschaften kennzeichnen ein Fachwerk: 1 . Alle S t ä b e s i n d starr u n d g e r a d e 2 . Die S t ä b e s i n d g e l e n k i g m i t e i n a n d e r i n d e n K n o t e n p u n k t e n verbunden 3 . Die A c h s - L i n i e n d e r S t ä b e s c h n e i d e n s i c h i n e i n e m P u n k t 4 . Die L a s t e n s i n d Einzellasten i n d e n K n o t e n p u n k t e n 5 . D a s F a c h w e r k ist 3 - w e r t i g g e l a g e r t u n d s o m i t s t a t i s c h b e stimmt 6 . E s gilt f o l g e n d e B e d i n g u n g für d i e A n z a h l d e r S t ä b e u n d K n o t e n : s = 2*k-3,

s = Anzahl der Stäbe,

k = Anzahl der Knoten

Die E i g e n s c h a f t Nr. 2 ist in d e r P r a x i s n i c h t zu 1 0 0 % erfüllt, d a r f a b e r als g e r i n g f ü g i g e r Fehler v e r n a c h l ä s s i g t w e r d e n (z.B. g e s c h w e i ß t e S t r e b e n i n einer Traverse s i n d k e i n e realen G e l e n k e ) . Die B e d i n g u n g Nr.6 soll a n e i n i g e n B e i s p i e l e n u n t e r s u c h t w e r d e n .

S=7 k=5 7 = 2 * 5 - 3 stimmt

70

S=5 k=4 5 = 2 * 4 - 3 stimmt

S=7 k= 5 7 = 2*5

S=7 k= 5 7 = 2*5 Berechnung von Stabkräften im Fachwerk 1 . S c h r i t t : B e r e c h n u n g d e r A u f l a g e r w i e b e i m a l l g e m e i n e n Kräft e s y s t e m m i t 3 G G B s ( d a b e i d a s F a c h w e r k als G e s a m t k ö r p e r betrachten!) 2 . S c h r i t t : J e d e r K n o t e n w i r k t w i e ein z e n t r a l e s K r ä f t e s y s t e m u n d kann mit 2 G G B s berechnet w e r d e n . 3 . S c h r i t t : Die a u f g e s t e l l t e n G l e i c h u n g e n k ö n n e n i n e i n a n d e r e i n g e s e t z t w e r d e n . Die S t a b k r ä f t e w e r d e n s o e r m i t t e l t .

71

Beispiel Hafenkran

72

(!** +$((#*!'&& 95

<593875F938CB2549>7D>75> Q9G

G

30@0CA 5=:6B F O 8 G

G

30@0CA 5=:6B G

30@0CA 5=:6B G 9& 90<< <=27 <827B 64:JAB E4@34< O%8'C<9B

30@0CA 5=:6B 30@0CA

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5=:6B

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G

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73

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74

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* G

30@0CA 5=:6B * G 5945 .5AC5 *H D>4 B9>4 25A59CB 25A538>5C 1 CA?<<95AC * G 18A

9&

9& AB8;;4<

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9&

) 3 % 95 * C 1 2 ; A K 6 C 5 B 9 > 4 1<<5 ; ? A A 5 ; C 2 5 B C 9 = = C

75

Übungsaufgabe: Für e i n e n S t a h l s e i l v e r b a n d i n einer O p e n - A i r - B ü h n e soll d i e S e i l kraft b e r e c h n e t w e r d e n . Die R ü c k w a n d a u s P l a n e ( m u s s ü b r i gens

schwer

entflammbar

sein)

ist

nur

an

dem

hinteren

Dachrand u n d d e m P o d i u m befestigt. So wird eine Hälfte der W i n d last ü b e r d e n h i n t e r e n D a c h r a n d - T r ä g e r a b g e l e i t e t , d e r w i e d e r u m ü b e r z w e i S t a h l s e i l e (eines j e S e i t e n w a n d ) d i e L a s t a u f d i e vorderen Fußpunkte abträgt.

Seitenansicht Open-Air-Bühne

Drucksteifer Riegel oder beide A u f l a g e r horizontal fest

Die V e r b ä n d e s i n d i n d e r R e g e l als K r e u z - V e r b a n d a u s g e f ü h r t , s o d a s s bei R ü c k e n w i n d d e r a n d e r e V e r b a n d z u g a k t i v w i r d . D a m i t d i e s e r V e r b a n d d i e L a s t a b t r a g e n k a n n , m u s s ein d r u c k s t e i f e r

76

)9575 4 5 > D 6 < 1 7 5 A > 1 > 7 5 ? A 4 > 5 C B 5 9 > ? 4 5 A 2 5 9 4 5 D 6 <175A = M B B 5 > 5 > C B @ A 5 3 8 5 > 4 E 5 A 1 > ; 5 A C ?45A 21<<1BC95AC B 5 9 >

A59C5 = +9565 !L85

= =

5 B 1 = C F 9 > 4 < 1 B C 4 5 A ) M 3 ; F 1 > 4 259 . 9 > 4 B C K A ; 5 > 1 3 8 " ' .7 64A 9& ;

; ; 9&

48E4@B

2>

04@=3G<

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+@ 9&

9&

.9>4<1BC :5 *59< -5A21>4 .7

9& 9&

. 9 > ; 5 4 5 = + ? F 5 A + D > 4 4 5 = * 5 9 < E 5 A 2 1 > 4 * B0< 0:50 ; ; 1<61

B0<

; ; L

O 8 F *F .7 30@0CA 5=:6B *F

.7

30@0CA 5=:6B *F 9& ' D > ; 1 > > 4 9 5 *59<;A16C 2 5 A 5 3 8 > 5 C F 5 A 4 5 > * *F A8< L 9& A8< L 9&

77

95 I D B K C I < 9 3 8 5 5 < 1 B C D > 7 4 5 B + ? F 5 A B ; 1 > > 5 2 5 > 6 1 < 5C F5A45> O 8 G *G + 30@0CA

5=:6B

30@0CA

+ *G

5=:6B

9&

+ * 2=AL

<460B8D

PP

9& 2=AL

@C299@05B

95 A51<5> % 1 B C 5 > 9 > > 5 A 8 1 < 2 59>5A M 8 > 5 > M 2 5 A 4 1 3 8 D > 7 B 9 > 4 1 < < 5 A 4 9 > 7 B ; ? = @ < 5 G 5 A 4 1 5 9 > 5 B ? < 3 8 5 $ ? > B C A D ; C 9 ? > A K D = < 9 3 8 9BC D > 4 F 5 9 C 5 A 5 % 1 B C 5 9 > I D 7 B 6 < K 3 8 5 > E ? A 8 1 > 4 5 > B 9 > 4 9>5 * C 1 C 9 ; 6 M A 5 9 > 5 > 4 5 A 1 A C 9 7 5 > R < 9 5 7 5 > 4 5 > 1 D ; 1 > > >DA 4 5 A 5 A 6 1 8 A 5 > 5 " > 7 5 > 9 5 D A 1>65AC975>

0+&)+ 95 $ A K 6 C 5 9 > 4 5 > * C K 2 5 > 4 5 B 1 3 8 F 5 A ; B B ? < < 5 > 2 5 A 5 3 8 > 5 C F 5 A 45>

78

Die A u f l a g e r r e a k t i o n e n s i n d g l e i c h , d a d i e K o n s t r u k t i o n s y m m e t r i s c h ist. A = B = 6,0kN Die S t a b k r ä f t e v o n S 1 u n d S 2 w e r d e n d a d u r c h e b e n f a l l s g l e i c h . S1 = S 2 Die B e r e c h n u n g b e g i n n t m a n s i n n v o l l e r W e i s e a n e i n e m d e r A u f lager, d a m a n auf d i e s e W e i s e b e i d e u n b e k a n n t e n S t a b k r ä f t e lösen kann! Das s t a t i s c h e S y s t e m w i r d skizziert. W i e d e r w e r d e n alle u n b e kannten Kräfte v o m Knoten w e g gezeichnet.

A = 6,0 k N

Komponenten von S1 c o s 4 5 ° = S1 ,y / S1

S1 = S1 ,y / s i n 4 5 °

S1 ,y = S1 * s i n 4 5 °

S 1 , x = S 1 , y (45° W i n k e l ) A m s c h n e l l s t e n löst m a n d i e A u f g a b e , i n d e m m a n m i t d e r G G B i n Y - R i c h t u n g b e g i n n t , d a b e r e i t s eine Kraft auf d i e s e r A c h s e b e k a n n t ist.

79

Q9H * H ; ' * H * G ; ' * * H 3 ? B N ;' 3 ? B N ;' AD3;;A16C Q9G * * G * ;' * ;' 0D7;A16C . 9 5 4 5 A ; 1 > > = 9 C !9<65 4 5 B ( A ? 7 A 1 = = B R 0 5 > C A 1 < 5 B $ A K 6 C 5 B H B C 5 = E ? > 4 5 A ;?>CA?<<95AC F 5 A 4 5 > B F 5 A 4 5 > 1<<5 $ A K 6 C 5 9 > 4 5 A 5A A538>5C5> )938CD>7 59>757525>

95 5 A A 5 3 8 > 5 C 5 )5BD45 9BC 7<5938 >D<< 1B 2 5 4 5 D C 5 C 4 1 B B 1<<5 $AK6C5 B 9 3 8 1 = $ > ? C 5 > ; ? = @ 5 > B 9 5 A 5 > D > 4 B ? = 9 C

<593875

F 9 3 8 C 9> 1<<5> ) 9 3 8 C D > 7 5 > 85AAB38C 95 % L B D > 7 9BC ;?AA5;C .59C5A5 9>C5A5BB1>C5 1 3 8 F 5 A ; 2 5 A 5 3 8 > D > 7 5 > D>C5A 2 B 3 8 > 9 C C

80

5. Innere Kräfte und Spannungen Alle B a u t e i l e s i n d f e s t e Körper, d i e a u f g r u n d v o n B e l a s t u n g e n deformiert werden. Die D e f o r m a t i o n b e a n s p r u c h t d e n W e r k s t o f f . Bei g e n ü g e n d e r Festigkeit d e s W e r k s t o f f s hält d a s B a u t e i l d e r B e a n s p r u c h u n g stand.

Die

Beanspruchung

eines

Bauteils

hängt von zwei

Größen ab - d e n inneren Kräften u n d d e m Querschnitt. Je g r ö ßer d i e i n n e r e n K r ä f t e s i n d , d e s t o g r ö ß e r w i r d d i e D e f o r m a t i o n und auch die B e a n s p r u c h u n g . Je größer die Querschnittswerte d e s B a u t e i l s , u m s o g e r i n g e r ist s e i n e B e a n s p r u c h u n g . A l s M a ß d e r B e a n s p r u c h u n g w i r d d i e S p a n n u n g g e s e t z t . Die i n n e r e n K r ä f t e i n e i n e m Bauteil w e r d e n als S c h n i t t g r ö ß e n , S c h n i t t k r ä f te oder Schnittlasten bezeichnet.

5.1 Normalkraft und Normalspannung A l s N o r m a l k r a f t w i r d eine innere Kraft (Schnittkraft) b e z e i c h n e t , die senkrecht zur Querschnittsfläche wirkt und daher entlang der S t a b a c h s e fließt. N o r m a l k r ä f t e w e r d e n m i t d e m F o r m e l b u c h s t a b e n N b e z e i c h n e t . Ist N positiv, s o h a n d e l t es s i c h um eine Z u g kraft. Bei n e g a t i v e m V o r z e i c h e n w i r k t eine D r u c k k r a f t .

81

Beispiel Stab S1 des Hafenkrans

Die z u v o r b e r e c h n e t e S t a b k r a f t w i r k t auf b e i d e n S e i t e n d e s b e t r a c h t e t e n S t a b s t ü c k s . D a s E l e m e n t ist i m G l e i c h g e w i c h t . Die K r ä f t e fließen d u r c h d e n Q u e r s c h n i t t d e s R o h r e s . Die N o r m a l kraft e r z e u g t N o r m a l s p a n n u n g e n i n d e m R o h r q u e r s c h n i t t .

82

5. Innere Kräfte und Spannungen

Die N o r m a l s p a n n u n g w i r d m i t d e m F o r m e l b u c h s t a b e n s i g m a N ( S i g m a N ) g e k e n n z e i c h n e t . Die N o r m a l s p a n n u n g w i r d m i t f o l gender Formel berechnet: sigmaN = N/A N <> Normalkraft im Stab A

<>

A

(Rohr 48,3x3,2)

Querschnittsfläche =

N = S1 =50 kN des

Rohres

4,53cm

2

Für d e n S t a b S 1 d e s H a f e n k r a n s e r g i b t s i c h : sigmaN

= N/A = 50 kN/4,53 cm = 11,04 kN/cm 2

2

Ob das Rohr der Belastung standhält, hängt nun von der Festigkeit d e s M a t e r i a l s a b . Hier e i n i g e z u l ä s s i g e S p a n n u n g e n u n t e r s c h i e d l i c h e r M a t e r i a l i e n , d i e i n Tabellen gelistet s i n d :

Falls d a s R o h r b e i s p i e l s w e i s e a u s B a u s t a h l S t 3 7 - 2 b e s t e h t , s o wird es der Belastung standhalten. A c h t u n g : Bei schlanken D r u c k s t ä b e n wird ein a n d e r e s B e rechnungsverfahren verwendet, da schlanke Stäbe trotz zulässiger Spannungen ausknicken können! Die Berechn u n g v o n K i c k s i c h e r h e i t e n sollte d e m I n g e n i e u r ü b e r l a s s e n b l e i b e n , d a sie r e c h t k o m p l e x s e i n k a n n .

83

Übungsaufgabe: Die N o r m a l s p a n n u n g e n i n d e r L a s c h e s o l l e n b e r e c h n e t w e r d e n . Es wird eine Zugkraft von 20 kN angesetzt. Maße in (mm).

Dicke der Lasche t = 5mm

Die L a s c h e ist mit B o h r u n g e n v o n d = 1 2 m m v e r s e h e n . Die L ö c h e r s c h w ä c h e n d i e K o n s t r u k t i o n . Die v e r b l e i b e n d e Q u e r schnittsfläche wird wie folgt berechnet: A = ( 5 0 m m - 1 2 m m ) * 5 m m = 1 9 0 m m = 1,9 c m 2

F = 20 kN sigmaN = 2 0 7 1 , 9 = 1 0 , 5 3 kN / c m

84

2

2

5.2 Scherkraft und Scherspannung A l s S c h e r k r a f t w i r d e i n e Kraft b e z e i c h n e t , d i e parallel z u r Q u e r s c h n i t t s f l ä c h e w i r k t u n d d a h e r s e n k r e c h t z u r A c h s e fließt. S c h e r kräfte w e r d e n mit d e m F o r m e l b u c h s t a b e n V o d e r F bezeichnet. Diese A r t d e r B e a n s p r u c h u n g ist b e s o n d e r s f ü r S c h r a u b e n u n d B o l z e n relevant. (Für B o l z e n u n d a n d e r e Q u e r s c h n i t t e s i e h e A b s c h n i t t 7.1) B e i s p i e l : A n s c h l u s s d e s S t a b e s S 1 d e s H a f e n k r a n s (s. 4 . E b e n e Fachwerke) Der S t a b S 1 soll a n s e i n e n E n d e n m i t einer S c h r a u b e u n d einer Gabelverbindung angeschlossen sein.

(Skizze nicht maßstäblich)

85

Die S c h r a u b e v e r h i n d e r t d a s W e g g l e i t e n d e r G a b e l v e r b i n d u n g . In der Scherfuge zwischen den Verbindungsgliedern wirken die K r ä f t e auf d i e S c h r a u b e . S i e e r z e u g e n S c h e r s p a n n u n g e n i n d e m vollen Kernquerschnitt der Schraube. Die S c h e r s p a n n u n g einer S c h r a u b e w i r d mit d e m F o r m e l b u c h s t a b e n t a u (Tau) g e k e n n z e i c h n e t . S i e w i r d m i t f o l g e n d e r F o r m e l b e rechnet: r

=

F

<>

A

s

F/A <>

A (M16) S

(andere Bauteile außer Schrauben s. 7.1)

s

Scherkraft in

der Schnittfuge

Querschnitts fläche =

2,01

cm

der Schraube

2

Für d e n A n s c h l u s s d e s S t a b e s S 1 d e s H a f e n k r a n s e r g i b t s i c h : Die S t a b k r a f t S 1 w i r d a n z w e i S c h e r f u g e n ü b e r t r a g e n (Die Verb i n d u n g ist z w e i s c h n i t t i g ) . D a h e r erhält j e d e S c h e r f u g e d i e h a l b e Kraft. F = S1/2 = 50 kN/2 = 25 kN tau = F/A = 25 kN/2,01 cm = 12,44 kN/cm 2

2

s

Eine S c h r a u b e d e r F e s t i g k e i t s k l a s s e 5.6 hat eine z u l ä s s i g e S c h e r s p a n n u n g v o n zul t a u = 1 6 , 8 k N / c m . 2

Die S c h r a u b e hält d e r B e l a s t u n g s t a n d .

86

Übungsaufgabe: W i e groß ist d i e S c h e r s p a n n u n g d e s B o l z e n s ? F = 60,0 kN Bolzen d = 1 2 m m

S c h e r k r a f t je S c h e r f u g e F = 6 0 , 0 kN / 4 = 1 5 , 0 kN Scherfläche As = pi/4 * ( 1 2 m m ) = 113 m m 2

2

= 1,13 c m

S c h e r s p a n n u n g t = 1 5 , 0 / 1 , 1 3 = 1 3 , 2 7 kN / c m

2

5.3 Lochleibungskraft und Lochleibunsspannung Durch das Verbinden zweier Bauteile durch Bolzen, S c h r a u b e n oder Nieten werden an den L o c h w a n d u n g e n der Bohrungen die Kräfte v o n e i n e m Bauteil auf d a s V e r b i n d u n g s m i t t e l u n d d a n n w e i t e r auf d a s n ä c h s t e Bauteil ü b e r t r a g e n . Die L o c h w a n d u n g e n w e r d e n g e g e n d a s V e r b i n d u n g s m i t t e l g e p r e ß t . Die B a u t e i l e w e r d e n auf L o c h l e i b u n g b e a n s p r u c h t . Ist d i e L o c h l e i b u n g s s p a n nung zu groß, so droht das L o c h aufzureißen.

87

Beispiel: Anschluss des Stabes S1 des Hafenkrans

Die L o c h l e i b u n g s s p a n n u n g w i r d m i t d e m F o r m e l b u c h s t a b e n s i g m a L (Sigma L) gekennzeichnet. Sie wird mit folgender Formel b e rechnet: sigmaL = F/Al F

<>

Anpress-Kraft

Al

auf die

<> Anpress-Fläche

Al

betrachtete

Fläche

der Bohrungswandung

= D*t (Durchmesser Bolzen

* Dicke der Lasche)

Bei d e m G a b e l a n s c h l u s s m ü s s e n z w e i B a u t e i l e ü b e r p r ü f t w e r den: die Gabel und der mittige Zapfen. Gabel A

L

=

16mm * 10mm =

160mm

2

=

1,6cm

2

F = S1/2 = 50 kN/2 = 25 kN SIMGAL

88

=

F/Al

= 25 kN/1,6cm = 15,6kN/cm 2

2

Zapfen A

L

F

= =

16 mm * 28 mm = 448 mm = 4,48 cm 2

2

S1=50kN

sigmaL

= F/A = 50 kN/4,48 cm =11,1 kN/cm 2

2

L

Die G a b e l - L a s c h e n s i n d h ö h e r b e a n s p r u c h t . Sinnigerweise dimensioniert man die Dicke des Zapfens und der G a b e l s o , d a s s A l bei b e i d e n B a u t e i l e n g l e i c h g r o ß ist. Eine e n t s p r e c h e n d e K o n s t r u k t i o n bei g l e i c h e n A u ß e n m a ß e n w ä r e w i e folgt gestaltet: t(Zapfen) = 24 mm t(Gabel) =

12 mm

A u f d i e s e W e i s e e r g i b t s i c h bei g l e i c h e r B e l a s t u n g f o l g e n d e Lochleibungsspannung: sigmaL

= F/A = 50 kN/(2 * 1,2 cm* 1,6 cm) = 13,02 kN/cm

2

L

Die B e l a s t u n g d e r G a b e l liegt s o l e d i g l i c h bei 1 3 , 0 2 / 1 5 , 6 * 1 0 0 % = 8 4 % der zuvor berechneten Lösung. Ob die Laschen der Belastung standhalten, hängt nun von der Festigkeit des Materials ab. Hier e i n i g e z u l ä s s i g e L o c h l e i b u n g s s p a n n u n g e n u n t e r s c h i e d l i c h e r M a t e r i a l i e n , d i e i n Tabellen g e l i s t e t s i n d :

89

A c h t u n g : Die R a n d a b s t ä n d e d e r B o h r u n g s i n d w i c h t i g . Bleibt z u w e n i g M a t e r i a l a n d e n R ä n d e r n d e r B o h r u n g , s o reißt d i e L a s c h e a b , o b w o h l d i e z u l ä s s i g e L o c h l e i b u n g s s p a n n u n g n o c h n i c h t erreicht ist. F o l g e n d e m i n i m a l e A b s t ä n d e m ü s s e n f ü r S t a h l l a s c h e n e i n g e h a l t e n w e r d e n , u m d i e o b e n g e n a n n t e n W e r t e z u erfüllen: (Skizze nicht maßstäblich)

Bei g e r i n g e r e n R a n d a b s t ä n d e n s i n d d i e B a u t e i l e n i c h t u n b r a u c h b a r , v i e l m e h r s i n d sie nur n i c h t s o h o c h b e l a s t b a r . Bei A l u m i n i u m b a u t e i l e n s o l l t e n d i e R a n d a b s t ä n d e bei e = 2,0 * D liegen, um eine volle Ausnutzung der zulässigen S p a n n u n g e n zu erreichen. Falls m e h r e r e V e r b i n d u n g s m i t t e l hinter- o d e r n e b e n e i n a n d e r a n g e o r d n e t s i n d , k ö n n e n d i e s e e b e n f a l l s als t r a g e n d a n g e s e h e n werden, sofern die Abstände untereinander ausreichen. Um k o n krete A n g a b e n zu erhalten, sollte m a n in der e n t s p r e c h e n d e n N o r m n a c h s e h e n . (DIN 1 8 8 0 0 T e i l 1 , D I N 4 1 1 3 Teil l )

90

6. Schnittgrößen des biegebeanspruchten Trägers In den bisherigen Beispielen des Stabes 1 d e s Hafenkrans w u r d e i m m e r ein S t a b b e t r a c h t e t , d e r m i t N o r m a l k r ä f t e n b e a n s p r u c h t w u r d e . Eine a n d e r e A r t d e r B e a n s p r u c h u n g liegt bei d e r Traverse a u s A b s c h n i t t 3.3 vor. A u f d i e Traverse w i r k e n L a s t e n e i n , d i e s e n k r e c h t z u ihrer A c h s e s t e h e n . Bei d e m Z u g s t a b d e s H a f e n k r a n s lag d i e W i r k u n g s l i n i e e n t l a n g d e r S t a b a c h s e .

Die Traverse w i r d u n t e r d e r Last g e b o g e n . U m d i e B e a n s p r u c h u n g ( S p a n n u n g e n ) i n B i e g e - T r ä g e r n z u erm i t t e l n , m ü s s e n z u n ä c h s t d i e S c h n i t t k r ä f t e i m Träger e r m i t t e l t w e r d e n . W e n n d e r Träger i n R u h e b l e i b t , s o s i n d alle K r ä f t e i m G l e i c h g e w i c h t . Dies gilt a u c h f ü r d i e e l e m e n t a r k l e i n e n T e i l s t ü c k e d e s T r ä g e r s . A u f s c h l u s s g i b t d e r S c h n i t t d u r c h d e n Träger:

91

Für d e n Träger g i b t e s drei S c h n i t t g r ö ß e n , d i e m i t allen a n g r e i fenden Kräften im Gleichgewicht stehen. N

-

Normalkraft

Q M

Querkraft

-

Biegemoment

N o r m a l k r ä f t e w i r k e n e n t l a n g d e r A c h s e d e s Trägers (Zug / Druck). Q u e r k r ä f t e w i r k e n s e n k r e c h t z u r A c h s e d e s Trägers (Scherkraft). Biegemomente wirken in der Ebene. Für d i e B e r e c h n u n g d e r S c h n i t t k r ä f t e w ä h l t m a n i n d e r R e g e l d a s positive Schnittufer aus, um mit den 3 G G B s die Schnittkräfte zu berechnen. N

-

Normalkraft nach

Q

-

Querkraft nach

M

-

rechts positiv unten positiv

Biegemoment gegen

Uhrzeiger positiv

Für d i e m e i s t e n T r a v e r s e n g i b t e s A n g a b e n z u d e n z u l ä s s i g e n S c h n i t t g r ö ß e n . Die S c h n i t t g r ö ß e n k ö n n e n für d e n i n d i v i d u e l l e n Lastfall e r m i t t e l t u n d m i t d e n z u l ä s s i g e n W e r t e n v e r g l i c h e n w e r den. B e i s p i e l Traverse, B e r e c h n u n g d e r S c h n i t t k r ä f t e a n z w e i S t e l l e n d e s Trägers. x = 2,2m und x = 3,7 m.

92

! =-:

.

(%4%75 *2/+6 =-;

."

(%4%75 *2/+6 "

.

-!71.6 " 0 %5

20)16

(%4%75

9-4(

*2/+6

)-1*%',

%7*%((-)46

" 0

(%4%75 *2/+6 . 0 .0 ! =-: . (%4%75 *2/+6 =-;

."

(%4%75

*2/+6

=-!71.6 (%4%75

.

"0

*2/+6

"0

(%4%75 *2/+6 . 0 .0

93

&!**(24& 3( (1( %!* !&( !&/$$)* MA 4 5 > +AK75A 1D6 I F 5 9 * C M C I 5 > D > 4 59>5A 2 5 < 9 5 2 9 7 F 9 A ; 5 > 4 5 > 9>I5<<1BC F 9 A 4 9 = ? < 7 5 > 4 5 > 4 9 5 * 3 8 > 9 C C 7 A L O 5 > 5 A 5 3 8 > D > 7 85A75<59C5C

5 9 B @ 9 5 < +AK75A =9C 59>5A 9>I5<<1BC

(!** + $((#*!'&& 95

<593875F938CB2549>7D>75> O 8 F F 30@0CA 5=:6B F O 8 G

G

30@0CA

5=:6B G

30@0CA

5=:6B G

E4@34<

HE48

O%8'C<9B

9&

90<<

<=27

<827B 64:JAB

,<1490<
; ;

30@0CA 5=:6B 9& ; ; 30@0CA 5=:6B 9& ;: > D > ; 1 > > = 1 > 4 1 B A 7 5 2 > 9 B 6MA 9 > 4 9 5 I F 5 9 C 5 G

G 9& 9& 9&

94

;

9&

59>B5CI5>

95

Q0A

%=;4
4@@4827B A48<

%0F8;C;

0<

34@ '=A8B8=<

34@

$0AB A AB486B D=<
<027

8<E8@94<

34@ $0AB HC@K29 0C5
0 D A A ; < K A D > 7 5 I

& 2 5 4 5 D C 5 C 1 I 4 5 B 9 5 7 5 = ? = 5 > C B E ? > 59>5A ( ? B9C9?> G IDA 1>45A5>

> 4 5 A ( ? B 9 C 9 ? > G = ( ? B 9 C 9 ? > 4 5 A %1BC 5 A 7 9 2 C B 9 3 8 %F ; 34:B0% %F ; (34:B0F %F ;

9& ;

9&;

0+&)+ B B?<<5> 495 *38>9CC7ALO5>E5A5C F 5 A 4 5 >

(!** +$((#*!'&& 95

<593875F938CB2549>7D>75> O 8 F F 30@0CA 5=:6B F O 8 G

9&

30@0CA 34<

5=:6B

HE48

O%8'C<9B

9&

90<< <=27

<827B 64:JAB

E4@

,<1490<
30@0CA 5=:6B 9& ;

;

30@0CA 5=:6B 9& ; ; 9&

96

Nun kann m a n das Ergebnis für B in die zweite G G B einsetzen: A

= 3,5 kN-B

A = 3,5 kN-2,19 kN=

1,31

kN

2. Schritt - Schnittkräfte N o r m a l k r a f t v e r l a u f ist n i c h t relevant (N = 0) u n d w i r d n i c h t g e zeichnet.

97

Übungsaufgabe: Z e i c h n e n S i e d e n S c h n i t t g r ö ß e n v e r l a u f d e s d a r g e s t e l l t e n Trägers u n d g e b e n Sie die Werte d e s B i e g e m o m e n t s u n d der Querkraft i m D i a g r a m m a n .

Z u n ä c h s t w e r d e n d a z u d i e A u f l a g e r r e a k t i o n e n b e r e c h n e t . Die Ergebnisse lauten: A = 12,6kN B = 7,4 k N N u n k ö n n e n d i e S c h n i t t g r ö ß e n skizziert w e r d e n .

98

99

6

S hnit öße e r c

Träg Einz

B e i s p i e l : Träger m i t drei Einzellasten

100

e

Für d i e S c h n i t t g r ö ß e n b e i m Träger au f z w e i S t ü t z e n mit Einzellasten ergeben sich folgende Z u s a m m e n h ä n g e : 1 . Die Q u e r k r a f t e n t s t e h t s p r u n g h a f t a m A u f l a g e r p u n k t i n d e r Größe der Auflagerkraft. 2 . D a s M o m e n t ist a m A u f l a g e r g l e i c h null u n d s t e i g t i n linearer F o r m bis z u r n ä c h s t e n L a s t a n . 3 . Die Q u e r k r ä f t e b l e i b e n z w i s c h e n d e n Einzellasten k o n s t a n t . Die Q u e r k r a f t f l ä c h e ist ein R e c h t e c k . 4 . Ein S p r u n g i n d e r Q u e r k r a f t l i n i e e r z e u g t e i n e n K n i c k i n d e r M o mentenlinie.

101

6 Sc

größen

T

S r cke a e

Beispiel T r ä g e r mit S t r e c k e n l a s t

Für d i e S c h n i t t g r ö ß e n b e i m Träger au f z w e i S t ü t z e n m i t S t r e c k e n lasten e r g e b e n s i c h f o l g e n d e Z u s a m m e n h ä n g e : 1 . Die Q u e r k r a f t e n t s t e h t s p r u n g h a f t a m A u f l a g e r p u n k t i n d e r Größe der Auflagerkraft. 2 . A u f u n b e l a s t e t e n A b s c h n i t t e n bleibt d i e Q u e r k r a f t k o n s t a n t . 3. Im B e r e i c h d e r S t r e c k e n l a s t fällt d i e Q u e r k r a f t linear. Die Q u e r k r a f t f l ä c h e ist in d i e s e m B e r e i c h ein D r e i e c k . 4 . D a s M o m e n t ist a m A u f l a g e r g l e i c h null u n d s t e i g t i n linearer Form bis zur Streckenlast an.

102

8 0<04.3 /0< %><0.6097,=> =>042> /,= : 8 0 9 > ;,<,-:74=.3 -4= D?8

? 7 7 / ? < . 3 2 , 9 2 / 0 < #?0<6<,1>74940 , 9 ? 9 / 1E77> 9 , . 3 / 0 8

?77/?<.32,92 ;,<,-:74=.3 -4= D ? 8 9/0 /0< %><0.6097,=>

= = : 7 7 0 9 / 4 0 % . 3 9 4 > > 2 < F H 0 9 @ 0 < 7 E ? 1 0 / 0 = &<E20<= 8 4 > @ 0 < = . 3 4 0 / 0 909 ,=>09 -0<0.390> A 0 < / 0 9

40 7 0 4 . 3 2 0 A 4 . 3 > = - 0 / 4 9 2 ? 9 2 0 9

B,9 9 -

%(, 9 / 8,3-5 (,0( +13,;105$.( $45

'$3$64 )1.*5 9 - B,:

:

- /

/ - -

- / / '$3$64 )1.*5 : 8(3'(0

;8(,

B,60-5

- -$00 01&+ 0,&+5 *(.=45 !0%(-$005(

- / / / - /

- / - / / / / '$3$64 )1.*5

/ -

- /

- / -

/

/ '$3$64 $..(

)1.*5 3(+/1/(05(

4,0'

-/ / $6)$'',(35

813'(0

'$3$64 )1.*5 -

103

nun kann m a n das Ergebnis für B in die zweite G G B einsetzen:

Ay=13,6kN-B Ay = 13,6 kN - 6,525 kN = 7,075 kN

Standard-Lastfälle sind in der Formelsammlung im Anhang beschrieben.

104

4 Schn t g ö e

äg

t meh e en e e

Ist ein Träger a u f m e h r als z w e i S t ü t z e n g e l a g e r t , e r g i b t s i c h ein s o g e n a n n t e r „ M e h r f e l d t r ä g e r " . Die P r o b l e m a t i k d e r auf d i e s e W e i s e s t a t i s c h ü b e r b e s t i m m t e n A u f l a g e r u n g soll hier nur k u r z a n g e s p r o c h e n w e r d e n , d a d i e B e r e c h n u n g s m e t h o d e n i m Verhältnis z u m Träger auf z w e i S t ü t z e n d e u t l i c h s c h w i e r i g e r s i n d . Die s o g e n a n n t e D u r c h l a u f w i r k u n g ist b e i m Z w e i f e l d t r ä g e r a m a u s g e p r ä g t e s t e n . D a h e r soll d a s A u g e n m e r k auf d i e s e n g e r i c h tet w e r d e n .

105

Der g r ö ß t e B e t r a g d e s B i e g e m o m e n t s e r g i b t s i c h ü b e r d e r (den) m i t t l e r e n Stütze(n), w e n n b e i d e Felder b e l a s t e t s i n d . D a s V o r z e i chen des Biegemoments wechselt, so dass Druck- und Zugzon e e b e n f a l l s w e c h s e l n . Ist n u r ein Feld b e l a s t e t , s o e r g i b t s i c h d a s m a x i m a l e B i e g e m o m e n t i m F e l d , u n d d a s ä u ß e r e A u f l a g e r erf ä h r t a b h e b e n d e A u f l a g e r k r ä f t e . Die u n t e r s c h i e d l i c h e n B e l a s tungszustände von Mehrfeldträgern sind im A n h a n g dargestellt.

106

7. Spannungen des biegebeanspruchten Trägers Die S c h n i t t k r ä f t e d e s b i e g e b e a n s p r u c h t e n Trägers b e a n s p r u c h e n d e n Q u e r s c h n i t t d e s T r ä g e r s . Die N o r m a l s p a n n u n g e n a u s D r u c k - u n d Z u g k r ä f t e n s i n d b e r e i t s i n A b s c h n i t t 5.1 e r l ä u t e r t w o r d e n . Die S p a n n u n g e n a u s Q u e r k r a f t u n d B i e g e m o m e n t w e r den in diesem Abschnitt erarbeitet.

7

i

es

n u g

Beispiel B a l k e n u n t e r B i e g e b e a n s p r u c h u n g

107

Die B i e g e b e a n s p r u c h u n g e r z e u g t Z o n e n m i t Z u g - u n d D r u c k spannung im Querschnitt.

In d e m Übergangsbereich findet

k e i n e D e f o r m a t i o n s t a t t , d e m z u f o l g e ist d i e s e r B e r e i c h s p a n nungsfrei. Von dieser „neutralen Faser" n i m m t die S p a n n u n g nach außen immer weiter zu, so dass in den Randzonen die höchsten Spannungen auftreten. Um die Größe der Biegespannung zu ermitteln, reichen die bisher e r l ä u t e r t e n Z u s a m m e n h ä n g e v o n Kraft u n d Q u e r s c h n i t t s f l ä c h e , w i e bei N o r m a l - u n d S c h e r s p a n n u n g e n , n i c h t a u s . Die folgende Betrachtung zeigt das Problem: B e i s p i e l Lineal

I n b e i d e n B e l a s t u n g s f ä l l e n ist d i e Q u e r s c h n i t t s f l ä c h e d e s Lineals gleich, die Deformationen, d e m n a c h auch die Spannungen, sind allerdings unterschiedlich.

108

Die G e o m e t r i e d e s Profils ist i m Fall d e r B i e g e b e a n s p r u c h u n g eine G r ö ß e , d i e e i n e n Einfluss a u f d i e S p a n n u n g h a t . Die „ B i e g e h a u p t g l e i c h u n g " zeigt den Z u s a m m e n h a n g . Die B i e g e s p a n n u n g w i r d m i t d e m F o r m e l b u c h s t a b e n s i g m a B ( S i g m a B ) g e k e n n z e i c h n e t . Die m a x i m a l e B i e g e s p a n n u n g w i r d m i t f o l gender Formel berechnet:

x

=

/W

M <> Biegemoment im W

<>

Träger an der Stelle x

Widerstandsmoment des

Profils

Die m a x i m a l e B i e g e s p a n n u n g tritt i n d e n R a n d f a s e r n d e s Profils auf. Für viele S t a n d a r d - P r o f i l e s i n d d i e W i d e r s t a n d s m o m e n t e i n T a b e l l e n g e l i s t e t . Für u n s y m m e t r i s c h e Profile g i b t e s A n g a b e n f ü r W x , W y u n d W z . Die K l e i n b u c h s t a b e n s i n d d i e B i e g e a c h s e n e i n e s Profils. I n d e r R e g e l e r l ä u t e r n S c h a u b i l d e r d i e T a b e l l e n , s o d a s s d i e z u t r e f f e n d e A c h s e z u e r k e n n e n ist. A u f d e r C D - R o m sind P r o g r a m m e zur Berechnung des W i d e r s t a n d m o m e n t s von Hohlprofilen hinterlegt. O b d a s Profil d e r B e l a s t u n g s t a n d h ä l t , h ä n g t v o n d e r F e s t i g k e i t des Materials ab. Hier e i n i g e z u l ä s s i g e S p a n n u n g e n u n t e r s c h i e d l i c h e r M a t e r i a l i e n , d i e in T a b e l l e n g e l i s t e t s i n d : Werkstoff Aluminium AIMg3F18 A l u m i n i u m A l M g S i 0,5 F 2 2 A l u m i n i u m A l M g S i 1 F31

zul s i g m a B ( k N / c m ) 2

4,5 9,5 14,5

Baustahl St37-2

16,0

Baustahl St52-3

24,0

Edelstahl 4 2 C r M o 4

36,0

Beispiel: Trägerprofil auswählen

109

Der P A - L a u t s p r e c h e r a u s A b s c h n i t t 6.1 soll a n ein g e e i g n e t e s S t a h l - P r o f i l g e h ä n g t w e r d e n . V o r h a n d e n s i n d j e ein Q u a d r a t H o h l p r o f i l 7 0 x 7 0 x 4 ( w a r m g e f e r t i g t ) u n d 9 0 x 9 0 x 5 (kaltgefertigt) a u s B a u s t a h l S t 3 7 - 2 . K a n n e i n e s d e r Profile v e r w e n d e t w e r d e n ?

zul sigmaB(St37-2) = 16,0 kN/cm max M = 3,6 kNm

2

(siehe Abschnitt 6.1)

Es gilt: max sigmaB = M/W D a m i t d a s Profil d e r B e l a s t u n g s t a n d h ä l t , m u s s m a x s i g m a B < zul s i g m a B sein. Das W i d e r s t a n d s m o m e n t W m u s s groß g e n u g sein, damit die B e d i n g u n g erfüllt ist. Das erforderliche m i n i m a l e W i d e r s t a n d s m o m e n t w i r d b e r e c h n e t :

W min,

erf

min,

erf W>

min,

W>

3,6 kNm/(16,0 360

kN/cm ) 2

kNcm/(16,0

erf W> 22,5 cm

kN/cm ) 2

3

W(70x70x4, warmgefertigt) = 21,3 c m , nicht geeignet 3

W ( 9 0 x 9 0 x 5 , kaltgefertigt) = 4 2 , 9 c m

3

Die B e r e c h n u n g d e s B i e g e m o m e n t s e r f o l g t e o h n e d i e B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r E i g e n l a s t d e s Profils! Die E i g e n l a s t w i r k t als G l e i c h l a s t ü b e r d e n g a n z e n Träger.

Standard-Lastfall:

M

Eigenlast g (90x90x5)

=

q =

*L /8 2

0,128 kN/m

M(g) < 0,128 kN/m * (11,0 m) /8 = 2

in der Mitte des

(Formelsammlung Anhang)

1,94 kNm

Trägers

Gesamtbiegemoment

max M < 3,6 kNm + 1,94 kNm = 5,54 kNm

110

Die

maximalen

gelast

treten

das

an

Biegemomente

von

verschiedenen

Gesamtbiegemoment

Eigenlast

Positionen

real

kleiner

auf,

und Anhänso

dass

ist.

Überprüfung der Spannung:

max sigmaB = M/W max sigmaB = 5,54 kNm/42,9 cm

3

max sigmaB = 554 kNcm/42,9 cm max

sigmaB

lastung

3

= 12,91 kN/cm < 16,0 kN/cm , Profil hält der Be2

2

stand.

Übungsaufgabe: Eine R a m p e z u m B e l a d e n e i n e s L K W soll g e b a u t w e r d e n . E s s o l len F l i g h t - C a s e s bis z u e i n e m G e w i c h t v o n 3 0 0 k g z u v e r l a d e n s e i n . Für d e n a r b e i t e n d e n V e r a n s t a l t u n g s t e c h n i k e r w i r d ein G e w i c h t v o n 1 0 0 k g a n g e s e t z t . Alle L a s t e n s o l l e n k o n z e n t r i e r t auf e i n e n P u n k t w i r k e n k ö n n e n . U n t e r h a l b einer H o l z p l a t t e ( E i g e n gewichte

vernachlässigen)

sollen

zwei

Quadrathohlprofile

7 0 x 7 0 x 4 a u s S t a h l S t 3 7 - 2 als T r a g e l e m e n t e v e r l a u f e n ( L = 1,35m). Die Last teilt s i c h g l e i c h m ä ß i g auf b e i d e Q u a d r a t h o h l profile auf. Ü b e r p r ü f e n Sie d i e Profile auf T r a g f ä h i g k e i t u n d b e r ü c k s i c h t i g e n Sie d i e u n g ü n s t i g s t e n P o s i t i o n e n d e r L a s t .

111

Profile:

Quadrathohlprofile A = 10,4 cm l =

74,7 cm

70x70x4

-

St37-2

2

4

W = 21,3 cm

3

i = 2,68 cm Diese W e r t e s t a m m e n a u s S t a h l p r o f i l - T a b e l l e n . Sie k ö n n e n a b e r a u c h m i t Hilfe d e s P r o g r a m m s „ R e c h t e c k - H o h l p r o f i l - G e o m e t r i e " e r r e c h n e t w e r d e n . Kleine Differenzen z w i schen den Tabellenwerten und den Berechnungen k o m m e n d u r c h d i e R u n d u n g s r a d i e n d e r Profile z u s t a n d e , d i e i n d e n T a bellen b e r ü c k s i c h t i g t w u r d e n .

112

folgende Grenzwerte werden festgelegt: z u l ä s s i g e B i e g e s p a n n u n g s i g m a b = 16,0 k N / c m

2

(zulässige S c h u b s p a n n u n g tau = 9,2 kN / c m - s. A b s c h n i t t 7.2) 2

Maximal wirkende Punktlast:

P

=

3,0kN+1,0kN

=

4,0kN

Maximal wirkende Punktlast je Quadrathohlprofil:

F= 4,0 kN/2 = 2,0 kN M a x i m a l e s B i e g e m o m e n t / B i e g e s p a n n u n g bei Last i n d e r M i t t e ( S t a n d a r d Lastfall - s i e h e F o r m e l n im A n h a n g )

max M = F*L/4 = 2,0kN* 1,35m 14 = 0,675 kNm = 67,5 kNcm max sigmab = max M / W = 67,5 kNcm / 21,3 cm = 3,17 kN / 3

cm

2

<

16,0 kN/cm

2

M a x i m a l e Q u e r k r a f t / S c h u b s p a n n u n g bei Last g a n z a m R a n d (s. A b s c h n i t t 7.2)

maxQ = F = 2,0kN max

tau

0,57kN/cm

=1,5*maxQ/A =1,5*2,0kN/(2*0,4*6,6) steg

=

2

113

oder

mittlere

Schubspannung:

tau = max Q / Asteg = 2,0 kN / (2 * 0,4 * 6,6) = 0,38 kN/cm

2

<9,2kN/cm2 Die Profile s i n d h i n r e i c h e n d t r a g f ä h i g .

7 Sc

b

n

g u Que k

e

I n d e r R e g e l s i n d d i e Q u e r k r ä f t e bei l ä n g e r e n T r ä g e r n n i c h t m a ß g e b e n d , s o n d e r n d a s B i e g e m o m e n t . Bei k u r z e n T r ä g e r n k a n n a b e r a u c h d i e Q u e r k r a f t eine Rolle f ü r d i e T r a g f ä h i g k e i t s p i e l e n . Die Q u e r k r ä f t e i n b i e g e b e a n s p r u c h t e n T r ä g e r n w i r k e n s e n k r e c h t z u r A c h s e d e r Profile. I n A b s c h n i t t 5.2 w u r d e b e r e i t s d i e S c h e r s p a n n u n g x f ü r S c h r a u b e n b e t r a c h t e t . Die S c h u b s p a n n u n g f ü r Profile ist a b h ä n g i g v o n d e r G e o m e t r i e . Die B e z u g s f l ä c h e n u n d die Formeln für die maximale S c h u b s p a n n u n g tau sind den Beispiel-Profilen zugeordnet.

114

Beispiel Trägerprofil 9 0 x 9 0 x 5 - S c h u b s p a n n u n g b e r e c h n e n Für d a s Q u a d r a t - H o h l p r o f i l 9 0 x 9 0 x 5 (kaltgefertigt) a u s B a u s t a h l S t 3 7 - 2 a u s A b s c h n i t t 7.1 w i r d d i e S c h u b s p a n n u n g b e r e c h n e t .

max Q A

s

t

e

g

=

1,127kN am Auflager A

= 2*((90 mm-5mm)

max tau =1,5*Q /A

steg

zul tau (St37-2)

=

(siehe Abschnitt 6.1)

* 5 mm) = 850 mm

1,5*1,127 kN/8,5 cm

= 9,2 kN/cm

2

= 8,5 cm

2

= 0,2 kN/cm

2

2

2

Die E i g e n l a s t d e s Profils m u s s n a c h t r ä g l i c h n i c h t b e r ü c k s i c h t i g t w e r d e n , d a d i e S c h u b s p a n n u n g nur bei 2 % d e r z u l ä s s i g e n S p a n n u n g liegt.

7

o s on mo

n

d o s on pann

g

A l s T o r s i o n b e z e i c h n e t m a n ein M o m e n t , d a s ein Profil u m s e i n e L ä n g s a c h s e v e r d r e h t . Die Torsion ist f ü r d e n V e r a n s t a l t u n g s t e c h n i k e r v o n g e r i n g e r e r B e d e u t u n g u n d w i r d lediglich k u r z erläutert. D a s T o r s i o n s m o m e n t e r r e c h n e t s i c h e b e n s o w i e d a s Drehmoment:

Mt = F*a(s. 3.3) Die T o r s i o n s s p a n n u n g ist v o n N a t u r a u s e i n e S c h u b s p a n n u n g , sie w i r k t d a h e r s e n k r e c h t z u r P r o f i l a c h s e .

tau = Mt / Wp

(Wp <> polares Widerstandsmoment)

Die h ö c h s t e T o r s i o n s s p a n n u n g tritt bei s y m m e t r i s c h e n Q u e r s c h n i t t e n i n d e n ä u ß e r e n R a n d f a s e r n auf.

115

7

e

g

g vo S

un e

W i r k e n bei T r ä g e r n B i e g e s p a n n u n g e n s o w i e D r u c k / Z u g s p a n n u n g e n , s o d ü r f e n sie a d d i e r t w e r d e n , d a s o w o h l d i e B i e g e - als a u c h d i e D r u c k / Z u g s p a n n u n g e n e n t l a n g d e r P r o f i l a c h s e als N o r malspannungen wirken. Ist ein T r ä g e r v o n B i e g e - u n d Z u g s p a n n u n g e n b e a n s p r u c h t , s o liegt d i e m a x i m a l e S p a n n u n g i n d e r B i e g e z u g z o n e :

maxsigma = sigmaB + sigmaN (alle Werte positiv als Beträge eingesetzt) Bei k u r z e n T r ä g e r n k a n n d i e N o r m a l s p a n n u n g z u s a m m e n mit d e r S c h u b s p a n n u n g eine w i c h t i g e K o m b i n a t i o n b i l d e n . D a s Z u sammenwirken

der Normalspannung

mit

der Schub/Scher-

s p a n n u n g b e z e i c h n e t m a n als V e r g l e i c h s p a n n u n g s i g m a v .

sigmav = sqr((sigmaB + sigmaN) + 3* 2

Die V e r g l e i c h s p a n n u n g m u s s bei T r ä g e r n b e r e c h n e t w e r d e n , d e r e n s i g m a u n d t a u m e h r als 2 5 % d e r z u l ä s s i g e n W e r t e e r r e i c h e n . Dies ist h ä u f i g bei B o l z e n d e r Fall.

116

8. Gitte träger In der Veranstaltungstechnik k o m m t den Aluminium-Traversen b e s o n d e r e B e d e u t u n g z u . Für d i e V e r w e n d u n g v o n T r a v e r s e n s p r e c h e n viele G r ü n d e : -verschiedene Konstruktionen mit einem S y s t e m möglich „Baukasten" - modulare Bauweise -verschiedene Element-Längen und Knotenelemente -einfaches Anheben von Lasten durch Ground-Support-Systeme -leichte Montage -geringes Eigengewicht -korrosionsfreier Werkstoff -einfaches Anhängen von Lasten - g u t e s H a n d l i n g , Griffigkeit u n d T r a n s p o r t - o p t i s c h e r Reiz A u f d e m M a r k t g i b t e s s t ä n d i g n e u e T y p e n u n d Hersteller. L e i d e r s i n d n i c h t alle B e l a s t b a r k e i t s a n g a b e n f a c h l i c h f u n d i e r t , s o d a s s der Markt sich in seriöse Anbieter und Scharlatane gliedert. Einen Ü b e r b l i c k ü b e r d i e Vielzahl d e r P r o d u k t e b i e t e n d i e K a t a l o g e d e r H ä n d l e r u n d Hersteller. Die B e u r t e i l u n g e i n e s Traversentyps u n d die Grenzen der A n w e n d u n g w e r d e n in diesem A b schnitt erarbeitet.

117

81

gru p

Aluminium-Traversen schnitte,

werden

als

zusammengesetzte

Quer-

in der Regel aus Standardprofilen, z u s a m m e n g e -

s c h w e i ß t . Generell teilen s i c h d i e K o n s t r u k t i o n e n i n V i e r p u n k t - , D r e i p u n k t - u n d Z w e i p u n k t t r a v e r s e n auf - j e n a c h A n z a h l d e r G u r t r o h r e . Trotz v e r s c h i e d e n e r A u s f ü h r u n g e n u n t e r s c h i e d l i c h e r Typen finden sich einige grundsätzliche Gemeinsamkeiten. V i e r p u n k t - T r a v e r s e mit q u a d r a t i s c h e m P r o f i l - Q u e r s c h n i t t

G u r t r o h r e u n d S t r e b e n s i n d bei allen T y p e n v o r h a n d e n . A l s Außendurchmesser der Gurtrohre haben sich 5 0 mm u n d 48,3 mm e t a b l i e r t . Für b e i d e D u r c h m e s s e r g i b t e s s p e z i e l l e S c h e l l e n z u m A n s c h l a g e n u n d V e r b i n d e n . Die R o h r d u r c h m e s s e r 4 8 , 3 m m s t a m m e n a u s d e m S t a h l b a u u n d s i n d a u c h bei G e r ü s t e n a n z u t r e f f e n . Die D u r c h m e s s e r d e r S t r e b e n s o w i e d i e W a n d s t ä r k e n variieren stark. Unterschiedlic h sind a u c h die Verbinder der e i n z e l n e n T y p e n . Die A n o r d n u n g d e r S t r e b e n ist n i c h t i m m e r i n j e d e r Ebene der Traverse gleich, es gibt Typen mit „Leitern" in d e n H o r i z o n t a l e b e n e n u n d D i a g o n a l e n i n d e n V e r t i k a l e b e n e n . Die Profilgeometrien sind ebenso unterschiedlich. Um sinnvolle v on

118

fehlgeleiteten Konstruktionen zu unterscheiden,

m ü s s e n die

B a u g r u p p e n auf ihre F u n k t i o n hin u n t e r s u c h t w e r d e n .

8 2 In e e K ä e d

Gu oh

Beispiel: Traverse unter B i e g e b e a n s p r u c h u n g

Ursprüngliche Form

G e d e h n t e r

B e r e i c h

Wie a u c h beim Vollquerschnitt bilden sich Z u g - und Druckzonen a u s , hier j e d o c h als N o r m a l s p a n n u n g e n i n d e n G u r t r o h r e n . D a s B i e g e m o m e n t w i r k t als ein Kräftepaar. Die G u r t k r ä f t e l a s s e n s i c h berechnen, indem man das Biegemoment gleich d e m Produkt a u s G u r t k r ä f t e n u n d ihren w i r k s a m e n H e b e l v e r h ä l t n i s s e n s e t z t .

119

D/Z < > b e d e u t e t e n t w e d e r D r u c k - o d e r Z u g k r a f t i n d e n G u r t rohren. Bei p o s i t i v e n B i e g e m o m e n t e n

liegt d i e Z u g z o n e o b e n ,

bei

n e g a t i v e n u n t e n . J e n a c h S c h n i t t g r ö ß e n v e r l a u f w i r d d i e K r a f trichtung im Gurtrohr wechseln, wenn das Biegemoment das Vorzeichen ändert.

120

Beispiel: Gurtkräfte b e s t i m m e n Der P A - L a u t s p r e c h e r a u s A b s c h n i t t 6.1 soll a n eine T r a v e r s e g e h ä n g t w e r d e n . Die G u r t k r ä f t e d e r T r a v e r s e sollen b e s t i m m t w e r d e n . V o r h a n d e n ist ein T r a v e r s e n s y s t e m :

D a s m a x i m a l e B i e g e m o m e n t (aus d e r Einzellast) w u r d e b e r e i t s berechnet.

max M = 3,6 kNm

(siehe Abschnitt 6.1)

Gurtkräfte in den Obergurten D = M/h/2 = 3,6kNm/0,24 m/2 =

7,5 kN

Gurtkräfte in den Untergurten Z = M/h/2 = 3,6 kNm 10,24m/2 = 7,5kN Der 1 5 9 k g s c h w e r e L a u t s p r e c h e r e r z e u g t G u r t k r ä f t e v o n 7,5 k N < > 7 5 0 k g i n j e d e m Gurtrohr.

121

Die g l e i c h e Lastsituation w i r d mit e i n e m a n d e r e n T r a v e r s e n s y s tem nochmals berechnet. Verwendet wird folgendes Traversensystem:

Profil 3-Punkt-Traverse

D a s m a x i m a l e B i e g e m o m e n t (aus d e r Einzellast) w u r d e b e r e i t s berechnet.

max M = 3,6 kNm (siehe Abschnitt 6.1)

122

Gurtkräfte in d e m Obergurt

D = M/h = 3,6 kNm/0,303 m = 11,88 kN Gurtkräfte in den Untergurten Z = M/h/2 = 3,6 kNm/0,303 m/2 = 5,94 kN Der 1 5 9 k g s c h w e r e L a u t s p r e c h e r e r z e u g t e i n e G u r t k r a f t v o n 1 1 , 8 8 k N < > 1 1 8 8 k g i m O b e r g u r t u n d eine G u r t k r a f t v o n 5 , 9 4 k N <> 594 kg in j e d e m Untergurt. Nun kann man auch die Normalspannung in d e m Gurtrohr ber e c h n e n . ( A b s c h n i t t 5.1)

sigmaN = N/A N <> Normalkraft im Stab A

<>

Querschnittsfläche

A (Rohr 50x2) = 3,02 cm sigmaN

N= des

11,88 kN

Rohres

2

= N/A = 11,88 kN/3,02 cm = 3,93 kN/cm 2

2

123

8 In e e K äf e

e Ve

d

Die K r ä f t e d e r G u r t r o h r e m ü s s e n a n d e r S t o ß s t e l l e z w e i e r T r a versenelemente die Verbinder passieren. Ebenso w e r d e n die Q u e r k r ä f t e a n d e r V e r b i n d u n g ü b e r t r a g e n , d i e i m Verhältnis z u r Gurtkraft aber eher gering ausfallen. Beanspruchungen der Verbinder-Bauteile durch die Normalkraft in den Gurtrohren Verbinder-Typ

124

Verbindungsmittel

Verbinder-Bauteil

Sonstige

Bolzen: Abscheren in 2 Schnittfugen, große Biegung

Laschen: Lochleibung

Schweißnähte: Zug/Druck Normalspannungen

Bolzen: Abscheren in 2 Schnittfugen, große Biegung

Laschen: Lochleibung

Splinte, Schrauben: Abscheren in 2 Schnittfugen, Lochleibung im Gurtrohr

Bolzen: Abscheren in 4 Schnittfugen, kleine Biegung

Laschen: Lochleibung

s.o.

Kegelstift: Abscheren in 2 Schnittfugen

Hülsen: Lochleibung

Kern/Spigot: Lochleibung, Zug Hülse an Gurt: s 1 oder 2

Schraube: Zug

Flanschplatten: große Biegung

Schweißnähte: Abscheren, große Biegung

Bolzen, Schrauben: Abscheren in 2 Schnittfugen, große Biegung (nur Bolzen)

Rohr: Lochleibung

Lochleibung im Gurtrohr

Für L a s c h e n - V e r b i n d u n g e n ist e b e n f a l l s w i c h t i g , o b d i e L a s c h e n hochkant oder liegend angeschlossen w e r d e n , da die Querkraft eine B i e g e b e a n s p r u c h u n g i n d e n L a s c h e n b e w i r k t . S i n d d i e L a s c h e n h o c h k a n t a n g e o r d n e t , s o s i n d d i e s e Einflüsse g e r i n g . M a n c h e V e r b i n d e r k ö n n e n bei D r u c k k r ä f t e n ü b e r e i n e n K o n t a k t s t o ß d e r G u r t r o h r e Kraft ü b e r t r a g e n , s o d a s s d i e B e a n s p r u c h u n g e n nur bei Z u g a u f t r e t e n . (z.B. bei F l a n s c h p l a t t e n ) E b e n f a l l s v o n B e d e u t u n g ist d e r A b s t a n d e i n e s V e r b i n d e r s z u r ersten Strebe, da in d i e s e m Bereich der Traverse das Fachwerk u n t e r b r o c h e n ist. Die freie L ä n g e d e s G u r t r o h r e s w i r d d u r c h d i e Q u e r k r a f t b i e g e b e a n s p r u c h t . Bei g r o ß e n L ä n g e n k ö n n e n e r h e b liche B i e g e m o m e n t e e n t s t e h e n , d i e Einfluss auf d i e T r a g f ä h i g k e i t haben können.

125

B e s o n d e r s bei k u r z e n T r a v e r s e n l ä n g e n m i t h o h e n L a s t e n e n t stehen entsprechend hohe Auflagerkräfte und somit auch Querk r ä f t e , d i e e n t s c h e i d e n d s e i n k ö n n e n . V o n Vorteil ist eine K o n s t r u k t i o n , bei d e r d a s V e r b i n d e r b a u t e i l tief i n d a s G u r t r o h r e i n g e s t e c k t ist, s o d a s s d e r b i e g e b e a n s p r u c h t e Q u e r s c h n i t t e n t s p r e chend verstärkt wird.

84

ere K

e n den S e en

U m eine A u s s a g e z u d e n K r ä f t e n i n d e n S t r e b e n m a c h e n z u k ö n n e n , w i r d d i e Traverse w i e ein F a c h w e r k a u f g e f a s s t :

2,88 m

PA-Lautsprecher G = 500 kg

126

9 5 0 / 0 8 9 : > 0 9 A 4 < / 049 D 0 9 > < , 7 0 = < E 1 > 0 = C = > 0 8 - 0 > < , . 3 > 0 > 770 % > , - 6 < E 1 > 0 A 0 < / 0 9 D ? 9 E . 3 = > ,7= + ? 2 6 < E 1 > 0 @ : 8 9 : > 0 9 A 0 2 , 9 2 0 9 : 8 8 0 9 40 E ? H 0 < 0 9 = 0 9 6 < 0 . 3 > 0 9 % > < 0 - 0 9 ? 9 / / 4 0 ? < > 0 = 4 9 / = : 2 0 9 , 9 9 > 0 K ? 7 7 = > E - 0 : 3 9 0 < E 1 > 0 E > > 0 8 , 9 / 4 0 &<,@0< =0 ,9 /09 !-0<2?<>09 ,?1203E92> =: AE<09 /40 E?H0<09 =096 < 0 . 3 > 0 9 % > < 0 - 0 9 D ? 2 , 6 > 4 @ % > , > 4 = . 3 - 0 > < , . 3 > 0 > 4=> / 4 0 ( 0 < = > < 0 -?92 :390 A04>0<0= 49 /0< ,20 /40=0 +?26<E1>0 ,?1D?903809 /,= A 4 < / 4 8 (0<7,?1 / 0 = , ; 4 > 0 7 = 9 E 3 0 < 0<67E<> = : / , = = / 4 0 < > / 0 < ? 1 3 E 9 2 ? 9 2 4 8 "<49D4; 6 0 4 9 0 9 0 9 9 0 9 = A 0 < > 0 9 ' 9 > 0 < = . 3 4 0 / 0 1G< / 4 0 & < , @ 0 < = 0 8 4 > = 4 . 3 - < 4 9 2 >

B,9

'$3$64 )1.*5 B,:

'$3$64

: - :

)1.*5 -

9

: -

'$3$64 )1.*5 60' 4,0?

9

: 4,0?

- 4,0?

36&--3$)5

?9 6,99 8 , 9 /,= <20-94= 1G< % 49 /40 0<=>0 049=0>D09

9 60' &14? 60'

9

'$3$64 )1.*5

9

&14? - &14? - 9 - - #6*-3$)5

B,9

'$3$64 )1.*5 B,:

9

9 9

: :

'$3$64 )1.*5 60' 4,0? 60'

9

: : - - :

: 4,0? - 4,0? - #6*-3$)5

127

? 9 7E==> = 4 . 3 / , = < 2 0 - 9 4 = 1G< % 4 9 / 4 0 0 < = > 0 0 4 9 = 0 > D 0 9

9 9

60' &14? 60'

9 '$3$64

9

&14? - &14? - )1.*5

9 9 - -

-

36&--3$)5

* ,9

9

'$3$64

B,:

)1.*5

:

'$3$64 )1.*5 60' 4,0? 60'

9

9 9

:

: : - -

:

: 4,0? - 4,0? - 36&-

-3$)5 ?9 6,99 8 , 9 /,= <20-94= 1G< % 49 /40 0<=>0 049=0>D09

9 9

60' &14? 60'

9

&14? - &14? -

'$3$64 )1.*5

9

9 9

--

-

-

#6*-3$)5

B,9

9

'$3$64 )1.*5 B,:

9

9

9

: :

'$3$64 )1.*5

: : - -

60' 4,0?

60'

: 4,0? - 4,0? - #6*-3$)5

:

?9 6,99 8 , 9 /,= <20-94= 1G< % 49 /40 0<=>0 049=0>D09

9 9

60' &14?

128

9

und S15,x = S15* cos45° = 3,54 kN * cos45° = 2,5kN daraus folgt S2 = S14,x - S15,x + S1 = -2,5 kN - 2,5 kN +

(-5,0 kN)

= -10kN (Druckkraft)

Verfährt m a n auf d i e s e W e i s e weiter, s o erhält m a n d i e f o l g e n d e n Ergebnisse:

Stabkräfte in kN

Wie erwartet sind im Obergurt Druckkräfte, im Untergurt Z u g k r ä f t e z u g a n g e mit M a x i m u m a n d e r Stelle d e s g r ö ß t e n B i e g e m o m e n t s . N a c h der M e t h o d e zur Ermittlung der Gurtkräfte (Abs c h n i t t 8.1) erhält m a n f o l g e n d e D a t e n :

max M = F*L/4 = 5,0kN*2,88 m/4 = 3,6 kNm (Standard-Lastfall) Gurtkräfte im Obergurt D = M/h/2 = 3,6 kNm 10,24 m =

15,0 kN

Gurtkräfte im Untergurt Z = M/h/2 = 3,6kNm/0,24 m

15,0 kN

I n d e r B e r e c h n u n g d e s F a c h w e r k s tritt in d e n U n t e r g u r t e n n u r eine Z u g k r a f t v o n 12,5 k N auf. Die Differenz b e r u h t a u f d e r i d e a len D a r s t e l l u n g d e s F a c h w e r k s . Die S t r e b e n a m K n o t e n p u n k t h a b e n b e i d e eine Z u g k r a f t v o n 3,54 k N - d a s e n t s p r i c h t 2,5 k N i n

129

x - R i c h t u n g . Diese L a s t e n w e r d e n e b e n f a l l s d u r c h d i e G u r t r o h r e geleitet, d a d i e S t r e b e n auf d i e G u r t r o h r e a u f g e s c h w e i ß t s i n d . G ä b e e s a n d i e s e r Stelle e i n e V e r b i n d u n g z w e i e r E l e m e n t e , s o m ü s s t e die volle Last d u r c h d e n Verbinder fließen:

Z

=

2,5kN+12,5kN=15,0kN

Zur Ermittlung der Gurtkräfte sollte, d e s geringeren A u f w a n d s w e g e n , n a c h A b s c h n i t t 8.1 v e r f a h r e n w e r d e n . Die S t r e b e n k r ä f t e , d i e G e g e n s t a n d d i e s e s A b s c h n i t t s s i n d , s i n d ü b e r d i e g e s a m t e L ä n g e i n i h r e m B e t r a g k o n s t a n t . Dies w i r d d u r c h d e n k o n s t a n t e n Q u e r k r a f t v e r l a u f h e r v o r g e r u f e n . Der B e trag der Querkraft bestimmt den der Normalkraft in der Strebe. Die R i c h t u n g d e r N o r m a l k r a f t w i r d nur d u r c h d i e A n o r d n u n g d e r S t r e b e n u n d d a s V o r z e i c h e n d e r Q u e r k r a f t b e s t i m m t . Bei e i n e m sich a b w e c h s e l n d e m „Diagonalmuster" - wie in unserem Beis p i e l - w e c h s e l n D r u c k u n d Z u g i n j e d e r S t r e b e a b (bis a u f d i e beiden mittleren Streben, dort wechselt die Querkraft d a s Vorzeichen). Andere Strebenanordnungen E s ist e b e n f a l l s m ö g l i c h , S t r e b e n in n u r einer R i c h t u n g e i n z u s e t z e n . I n d i e s e m Fall s i n d j e d o c h s e n k r e c h t e S t r e b e n z w i s c h e n den Diagonalen n o t w e n d i g , damit das Fachwerk erhalten bleibt, (s. A b s c h n i t t 4). Eine s o l c h e A n o r d n u n g z e i g t d a s f o l g e n d e B e i spiel.

130

Die s e n k r e c h t e n B r a c e s h a b e n N o r m a l k r ä f t e i n H ö h e d e r Q u e r kraft. Die R i c h t u n g d e r N o r m a l k r a f t ( D r u c k / Z u g ) w i r d b e s t i m m t durch die Anordnung der Diagonalen. Diagonalen und Senkrechte haben immer entgegengesetzte Kraftrichtungen.

Der

m i t t l e r e s e n k r e c h t e S t a b t r a n s p o r t i e r t nur d a n n K r ä f t e , w e n n e r a n d e m d i r e k t e n K r a f t f l u s s beteilig t ist. W ü r d e bei d e r o b e r e n D a r s t e l l u n g d i e Kraft a m o b e r e n K n o t e n p u n k t a n g r e i f e n , s o w ä r e d e r s e n k r e c h t e S t a b ein „ N u l l s t a b " . S t r e b e n a n o r d n u n g a n d e n E n d e n d e r Traversenelemente Für T r a v e r s e n e l e m e n t e , d i e eine s e n k r e c h t e S t r e b e a n ihren E n d e n h a b e n , ist e s n i c h t e r f o r d e r l i c h , sie s o z u m o n t i e r e n , d a s s an der Stoßstelle Symmetrie entsteht. Das Fachwerk wird an der

131

Stoßstelle

geschlossen.

Ist

keine A b s c h l u s s - S t r e b e

einge-

s c h w e i ß t , s o ist S y m m e t r i e z w i n g e n d e r f o r d e r l i c h , d a s o n s t ein Parallelogramm entsteht, d a s nicht die B e d i n g u n g e n des F a c h w e r k s erfüllt, (s. A b s c h n i t t 4). Diese A n o r d n u n g k l a p p t e i n f a c h z u s a m m e n , weil der A b s t a n d der Gurtrohre nicht gehalten w e r den kann. Versatz von Diagonal - S t r e b e n Sind die Streben derart angeordnet, dass die Achs-Linien der Stäbe sich nicht in einem Punkt schneiden, so sind die B e d i n g u n g e n d e s F a c h w e r k s n i c h t erfüllt. Die v e r t i k a l e n K o m p o n e n t e n d e r S t r e b e n k r ä f t e b i l d e n kein G l e i c h g e w i c h t a m K r a f t k n o t e n , s o n d e r n h a b e n parallele W i r k u n g s l i n i e n , w a s z u e i n e m M o m e n t führt. D a s B i e g e m o m e n t stellt e i n e d e u t l i c h h ö h e r e B e a n s p r u c h u n g d a r als d i e N o r m a l k r ä f t e , d i e ein F a c h w e r k z u ü b e r t r a g e n h a t . Hinzu k o m m t das Problem des geschweißten Alu-Werkstoffs, auf d a s i n A b s c h n i t t 8.5 e i n g e g a n g e n w i r d .

132

M(S1,y/S2,y)

Zugstrebe

Druckstrebe

A u s s c h l i e ß l i c h s e n k r e c h t e Streben Sind zwischen den Gurten nur senkrechte Streben angeordnet, so handelt es sich nicht um eine Fachwerk Konstruktion, s o n d e r n u m e i n e n R a h m e n s t a b . W i e bei allen B i e g e b e a n s p r u c h u n gen bilden sich Druck- und Zugbereiche in den Gurtrohren aus. Die G u r t k r ä f t e w e r d e n ü b e r B i e g u n g i n d e n R a h m e n e c k e n ins Gleichgewicht gebracht.

133

Die B i e g e b e a n s p r u c h u n g d e r S t r e b e n u n d G u r t r o h r e e r f o r d e r t große Materialstärken und große Schweißnahtdicken. Wären Diagonalen vorhanden, so würde die Beanspruchung wesentlich g e r i n g e r a u s f a l l e n .

8

A

n

- We

o fe

Traversen s i n d L e i c h t b a u - K o n s t r u k t i o n e n m i t g e r i n g e n E i g e n l a s t e n u n d h o h e r Tragfähigkeit. Z u m einen w e r d e n d i e s e E i g e n s c h a f t e n d u r c h d a s Z u s a m m e n s e t z e n v o n Einzelprofilen erreicht, z u m a n d e r e n w e r d e n f e s t e , a b e r leichte A l u m i n i u m l e g i e r u n g e n v e r w e n d e t . A l u m i n i u m l e g i e r u n g e n h a b e n lediglich 1/3 d e r D i c h t e v o n S t a h l , a b e r a u c h sie h a b e n u n t e r s c h i e d l i c h e E i g e n s c h a f t e n . D a m i t d a s A l u m i n i u m für Traversen b r a u c h b a r ist, m u s s d i e S c h w e i ß b a r k e i t g e g e b e n s e i n . D u r c h d i e s e F o r d e r u n g fallen e i n i g e L e g i e r u n g e n als W e r k s t o f f a u s . A b e r s e l b s t bei d e n s c h w e i ß -

134

baren Legierungen ergeben sich Probleme durch das S c h w e i ß e n . Einige d e r L e g i e r u n g e n h a b e n ihre g u t e n F e s t i g k e i t s e i g e n schaften durch so genanntes „Aushärten" erhalten. Das „Aush ä r t e n " ist eine W ä r m e b e h a n d l u n g in drei S c h r i t t e n : L ö s u n g s g l ü h e n , A b s c h r e c k e n u n d A u s l a g e r n . Die R o h r p r o f i l e d e r m e i s t e n Traverse n w u r d e n v o r ihrer A n l i e f e r u n g b e i m Traversenherstelle r einer s o l c h e n B e h a n d l u n g u n t e r z o g e n . W e n n n u n e r n e u t eine W ä r m e b e h a n d l u n g (z.B. s c h w e i ß e n ) erfolgt, s o e n t f e s t i g e n s i c h d i e W e r k s t o f f e . Der B e r e i c h d e s E n t f e s t i g e n s w i r d als W ä r m e e i n flusszone W E Z bezeichnet. Hier e i n e Liste d e r F e s t i g k e i t e n für e i n i g e L e g i e r u n g e n . Alle A n gaben in ( N / m m ) . 2

W e r k s t o f f n a c h DIN

Zugfestigkeit

Dehngrenze

Dehngrenze WEZ

AlMg2Mn0,8F20

200

80

A l M g S i 0,5 F 2 2

215

160

80 65 125

AlMgSi1F28

275

200

A l M g S i 1 F31

310

260

125

A l Z n 4 , 5 Mg 1 F35

350

290

205

W i e z u e r k e n n e n ist, e n t s p r i c h t d i e Z a h l hi nter d e m „ F " e i n e m Zehntel der Zugfestigkeit. Die Z u g f e s t i g k e i t ist d i e m a x i m a l e S p a n n u n g i m W e r k s t o f f v o r dem Bruch. Die D e h n g r e n z e ist d i e S p a n n u n g , d i e g e r a d e eine b l e i b e n d e Verf o r m u n g h e r v o r r u f t . Die z u l ä s s i g e n S p a n n u n g e n liegen bei c a . 5 5 % der Dehngrenzen. G e n a u e A n g a b e n s i n d in d e r DIN 4 1 1 3 Teil 1 u n d Teil 2 e i n z u s e h e n . Betriebe, die Schweißungen an Aluminium durchführen, müssen ihre E i g n u n g d a z u b e l e g e n , w e n n d i e K o n s t r u k t i o n e n i n d e n b a u a u f s i c h t l i c h e n B e r e i c h fallen (z.B. B ü h n e n ü b e r d a c h u n g e n ) . L e i d e r s i n d d i e w e n i g s t e n T r a v e r s e n - H e r s t e l l e r zertifiziert. Eine a k tuelle Liste g i b t e s b e i m D I B T i n Berlin.

135

8 W c

yp

w

h A w

dun ?

Profilgeometrie und S t r e b e n Die P r o f i l g e o m e t r i e u n d d i e A n o r d n u n g d e r S t r e b e n s e t z e n grundlegende Einschränkungen in der Verwendung. Mittels der g e w o n n e n e n Kenntnisse w e r d e n die wichtigsten Typen beurteilt. a) 2-Punkt-Gitterträger B e i d e G u r t e s i n d g l e i c h e r m a ß e n h o c h b e a n s p r u c h t . Der D r u c k g u r t ist j e d o c h seitlich n i c h t g e s t ü t z t , s o d a s s e r a u s k n i c k e n k a n n . D i e s e s A u s k n i c k e n ist d a s S t a b i l i t ä t s p r o b l e m v o n s c h l a n k e n D r u c k s t ä b e n . Ein D r u c k s t a b w i r d m i t z u n e h m e n d e r L ä n g e i m m e r schlanker, s o d a s s d e r Einsatz v o n 2 - P u n k t - T r ä g e r n auf k u r z e S t ü t z w e i t e n z w i s c h e n d e n A u f l a g e r n b e s c h r ä n k t ist. K o n struktionen, die mit der Hälfte der Belastbarkeit eines adäqua ten 4-Punkt-Trägers auf d e m Datenblatt angegeben sind - ohne den H i n w e i s auf kleine S t ü t z w e i t e o d e r s e i t l i c h e A b s t ü t z u n g - s o l l t e n n a c h d e n k l i c h m a c h e n ! Die 2 - P u n k t - T r ä g e r s o l l t e n a n d e n K n o t e n p u n k t e n des Obergurts angeschlagen, die Lasten an den U n t e r g u r t g e h ä n g t w e r d e n . Diese A r t d e r L a s t e i n l e i t u n g stabilisiert d i e L a g e d e s T r ä g e r s . A l s S t ü t z e ist d e r 2 - P u n k t - G i t t e r t r ä g e r nicht geeignet. b) 3-Punkt-Gitterträger Der 3 - P u n k t - T r ä g e r ist i m G e g e n s a t z z u m 2 - P u n k t - T r ä g e r i n s i c h stabil u n d f ü r g r ö ß e r e S t ü t z w e i t e n t a u g l i c h . W i e a u s A b s c h n i t t 8.2 h e r v o r g e h t , w i r d d e r e i n z e l n e G u r t d o p p e l t s o h o c h b e a n s p r u c h t w i e d i e b e i d e n G u r t e d e r „ D r e i e c k b a s i s " . Für d a s R o h r d e s e i n z e l n e n G u r t e s ist e s n i c h t a u s s c h l a g g e b e n d , o b e s d r u c k oder zugbeansprucht w i r d , da die zulässigen S p a n n u n g e n für D r u c k u n d Z u g g l e i c h g r o ß s i n d . M ö g l i c h e r w e i s e ist a b e r d e r Verbinder so konstruiert, dass er gut Druckkräfte übertragen kann, a l l e r d i n g s auf Z u g e m p f i n d l i c h reagiert. Ein s o l c h e r Z u s t a n d f ü h r t zu unterschiedlichen Belastbarkeiten, abhängig davon, wie die A n o r d n u n g d e s T r ä g e r s a u s s i e h t . Bei M e h r f e l d t r ä g e r n w e c h s e l n

136

d i e G u r t e d i e R i c h t u n g d e r N o r m a l k r a f t (s. A b s c h n i t t 6.4). B e i m E i n f e l d t r ä g e r w ä r e i n d i e s e m Fall e n t s c h e i d e n d , o b d i e S p i t z e d e s 3 - P u n k t - T r ä g e r s o b e n o d e r u n t e n liegt. I n h o r i z o n t a l e r R i c h t u n g verhält s i c h d i e 3 - P u n k t - T r a v e r s e w i e ein a d ä q u a t e r 2 - P u n k t Träger, d e r a l l e r d i n g s stabilisiert ist. A l s S t ü t z e ist d e r 3 - P u n k t Gitterträger geeignet. c) 4-Punkt-Gitterträger Mit vier G u r t r o h r e n e r g e b e n s i c h d i e g ü n s t i g s t e n G u r t k r ä f t e . Alle G u r t r o h r e d e s Profils s i n d g l e i c h g r o ß b e a n s p r u c h t . A m f l e x i b e l s ten einsetzbar sind quadratische Geometrien, da diese in beiden B i e g e a c h s e n g l e i c h e S t e i f i g k e i t e n v o r w e i s e n . W i c h t i g ist d i e A n o r d n u n g d e r S t r e b e n . Will m a n B i e g e b e a n s p r u c h u n g i n d e r h o r i zontalen Richtung aufbringen, so müssen in der horizontalen Ebene auch Diagonalen sein. Bei d e r V e r w e n d u n g als S t ü t z e ist eine q u a d r a t i s c h e P r o f i l g e o m e t r i e o p t i m a l , s o f e r n n u r D r u c k k r ä f t e e i n g e l e i t e t w e r d e n . Bei z u s ä t z l i c h e r B i e g u n g k a n n ein R e c h t e c k g ü n s t i g e r a u s f a l l e n . d) Folding-Traverse Eine F o l d i n g - T r a v e r s e lässt s i c h z u s a m m e n k l a p p e n , u m b e i m T r a n s p o r t S t a u r a u m b e s s e r n u t z e n z u k ö n n e n . I n d e r R e g e l ist e i n e F o l d i n g - T r a v e r s e i n s t a t i s c h e r H i n s i c h t ein 4 - P u n k t - G i t t e r träger, bei d e m d i e G u r t r o h r e g l e i c h e N o r m a l k r ä f t e e r h a l t e n . Oftmals befindet sich aufgrund der „Kniehebel" zwischen den beiden Untergurten Versatz zwischen den Streben, so dass Bieg e m o m e n t e h i n z u k o m m e n , die die Struktur s c h w ä c h e n .

137

Verbinder Alle u n t e r s c h i e d l i c h e n V e r b i n d e r t y p e n , d i e a u f d e m M a r k t erscheinen, können nicht diskutiert werden. Es werden daher einige grundsätzliche Überlegungen angeführt. a) S t a t i s c h e Beurteilung O b ein V e r b i n d e r d e n B e a n s p r u c h u n g e n s t a n d h ä l t , h ä n g t v o n Q u e r s c h n i t t e n u n d W e r k s t o f f e n a b . Einige V e r b i n d u n g e n z e i g e n spezifische Nachteile. Die G u r t r o h r e u n d alle V e r b i n d e r b a u t e i l e v e r h a l t e n s i c h w i e K e t tenglieder - das s c h w ä c h s t e Glied bestimmt die G e s a m t t r a g f ä h i g k e i t . Ein n o c h s o m a s s i v a u s g e p r ä g t e r V e r b i n d e r n ü t z t n i c h t s , w e n n e r n i c h t k o r r e k t a n d a s G u r t r o h r a n g e s c h l o s s e n ist. Werden für die Gurtrohre große Wandstärken erforderlich, damit d i e L o c h l e i b u n g s s p a n n u n g bei e i n g e s c h r a u b t e n / g e s p l i n t e t e n V e r b i n d e r n n i c h t z u g r o ß w i r d , s o g e h t d i e s n u r a u f K o s t e n einer h ö h e r e n Eigenlast. Ein g r a d l i n i g e r K r a f t f l u s s a m V e r b i n d e r ist ebenfalls w ü n s c h e n s w e r t . Werden die Traversenelemente über Flanschplatten miteinander verschraubt, so werden die Längsk r ä f t e u m g e l e n k t - e s e n t s t e h t ein H e b e l a r m u n d s o m i t z u s ä t z l i che Biegung, w o d u r c h große Materialstärken erforderlich werd e n . Bei e i n e m g r a d l i n i g e n K r a f t f l u s s e n t s t e h e n k e i n e B i e g e m o m e n t e , u n d m a n k a n n bei g l e i c h e r T r a g f ä h i g k e i t leichter b a u e n . b) Beurteilung der Toleranzen Wichtig sind auch die Toleranzen von B o h r u n g e n in den Verbind e r n . Eine B o h r u n g , i n d i e e i n i g e h u n d e r t B o l z e n e i n g e s c h l a g e n w u r d e n , ist g r ö ß e r als bei e i n e m n e u e n T r a v e r s e n e l e m e n t . Die größere B o h r u n g bedingt eine zusätzliche K r ü m m u n g der Traverse. Verbindungen wie „Querkeil-Typen" sind auch nach vielen M o n t a g e z y k l e n n o c h spielfrei. Stöße mit Flanschplatten o h n e z u s ä t z l i c h e Z e n t r i e r u n g s i n d nur s o m a ß h a l t i g w i e d a s L o c h s p i e l der Bohrungen.

138

c) Beurteilung d e s Handlings Für d i e M o n t a g e g i b t e s A r g u m e n t e z u g u n s t e n j e d e r V e r b i n d u n g . Eine S c h r a u b e n v e r b i n d u n g k a n n r e c h t leise hergestellt w e r d e n , h i n g e g e n ist d a s E i n t r e i b e n v o n K e g e l s t i f t e n o d e r B o l z e n s e h r laut. S c h n e l l e r s i n d d i e V e r b i n d u n g e n , d i e o h n e S c h r a u b e n a u s k o m m e n . Die V e r f ü g b a r k e i t v o n V e r b i n d u n g s m i t t e l n s p r i c h t w i e d e r u m für eine S c h r a u b e n v e r b i n d u n g , allerdings m ü s s e n die vorgesehenen Maße und Festigkeitsklassen der S c h r a u b e n mit d e m D a t e n b l a t t d e s H e r s t e l l e r s ü b e r e i n s t i m m e n . Eine e i n f a c h e M a s c h i n e n s c h r a u b e aus d e m Baumarkt, ohne jede A n g a b e zur Festigkeit, kann z u m Versagen d e s g e s a m t e n Tragwerks führen! G l e i c h e s gilt f ü r B o l z e n u n d K e g e l s t i f t e .

139

8 7 nt

e a ion vo D

bät

und Ka log

In den Katalogen und Datenblättern zu Traversensystemen sind meistens A n g a b e n zur Belastbarkeit zu finden. Es w e r d e n in d e r R e g e l Tabellen o d e r G r a f i k e n a b g e b i l d e t , d i e d i e S t a n d a r d Lastfälle-Träger auf z w e i S t ü t z e n mit mittiger Einzellast o d e r S t r e c k e n l a s t b e s c h r e i b e n . Die z u l ä s s i g e n A n h ä n g e l a s t e n w e r den in Abhängigkeit der Stützweite gelistet. Beispiel Traverse X X u n d Traverse Y Y Zulässige Anhängelast L ä n g e (m)

T r a v e r s e Typ XX 2

4

6

Streckenlast (kg/m)

2990 740

mittige Einzellast (kg)

2990 1480 970

323

8

10

12

14

16

18

178 1 1 0 7 3

51

37

27

710 550 440 359 295 243

Traverse Typ XX

Zulässige Anhängelast

Traverse Typ Y Y

L ä n g e (m)

2

4

6

8

12

14

16

18

Streckenlast (kg/m)

990

490

323

178 1 1 0 7 3

51

37

27

mittige Einzellast (kg)

1980 1480 970

Traverse Typ YY

140

10

710 550 440 359 295 243

W i e k o m m e n d i e D a t e n z u s t a n d e u n d w i e s i n d sie z u v e r s t e h e n ? Die u n t e r s c h i e d l i c h e n B e l a s t u n g e n d e r e i n z e l n e n B a u t e i l e e i n e r Traverse s i n d z u v o r e r a r b e i t e t w o r d e n . A u s d e n B i e g e m o m e n t e n und Normalkräften resultieren die Gurtkräfte, die v o m Rohr u n d v o m V e r b i n d e r ü b e r t r a g e n w e r d e n . Die Q u e r k r ä f t e b e a n s p r u c h e n d i e S t r e b e n . J e d e s Bauteil u n d j e d e S c h w e i ß n a h t h a b e n ihre m a x i m a l ü b e r t r a g b a r e L a s t . A u f d i e s e W e i s e liegen d i e z u l ä s s i g e n G u r t - u n d S t r e b e n k r ä f t e f e s t . Die z u l ä s s i g e n G u r t k r ä f t e k a n n m a n i n ein z u l ä s s i g e s B i e g e m o m e n t u m r e c h n e n . Die G l e i c h u n g e n s i n d in u m g e k e h r t e r R e i h e n f o l g e b e r e i t s i n A b s c h n i t t 8.2 b e n u t z t w o r d e n . D o r t w u r d e n B i e g e m o m e n t e i n Gurtkräfte umgerechnet. Ebenso lassen sich zulässige S t r e b e n kräfte in z u l ä s s i g e Q u e r k r ä f t e z u r ü c k r e c h n e n . Die z u l ä s s i g e n S c h n i t t k r ä f t e s t e h e n s o m i t f e s t . Ein z u l ä s s i g e s B i e g e m o m e n t i n eine z u l ä s s i g e Last u m z u r e c h n e n , ist f ü r d i e S t a n d a r d - L a s t f ä l l e kein P r o b l e m . N i c h t s a n d e r e s ist f ü r d i e Erstellung d e r Tabellen g e s c h e h e n . Die D a t e n i n d e r Tabelle s o l l t e n a l s o s t e t s auf ein b e s t i m m t e s z u l ä s s i g e s B i e g e m o m e n t r ü c k s c h l i e ß e n l a s s e n . E b e n s o k ö n n e n bei k u r z e n T r ä g e r l ä n g e n d i e Q u e r k r ä f t e eine Rolle s p i e l e n . S o l l t e n in einer Tabelle o d e r G r a f i k g r o ß e „ A u s r e i ß e r " - D a t e n o h n e S i n n a u f t a u c h e n , s o m u s s d a s D a t e n b l a t t k r i t i s c h beurteilt w e r d e n . Eine R ü c k f r a g e b e i m H e r s t e l l e r w ä r e a n g e b r a c h t . Z u r ü c k z u m Beispiel: Die D a t e n w e r d e n i n S t i c h p r o b e n ü b e r p r ü f t : r

r

m i t Eigenlast g = 10 k g / m

M(L=2m,p=2990kg/m)=q

*L /8 2

=

(29,9

kN/m

+

0,1kN/m)

*(2m) /8=15,0kNm 2

M(L = 4m,P= 740 kg/m) = q*L /8 = (7,4 kN/m + 0,1 kN/m)* 2

(4m) /8 2

=

15,0kNm

M(L =12m,p = 73 kg/m) = (0,73 kN/m + 0,1 kN/m) *(12m)2/8 = 14,94 kNm

141

M(L =18 m,p = 27 kg/m) = (0,27 kN/m + 0,1 kN/m) *(18 8

=14,99 kNm

M(L=10m,P =

5,5kN*

=

550kg)

10m/4+

0,1

=

F*L/4

kN/m

+

g*L /8 2

*(10m) /8

=

2

15,0kNm

Die ü b e r p r ü f t e n B i e g e m o m e n t e s t i m m e n ü b e r e i n . Die G r a f i k hat e i n e n p a r a b o l i s c h e n Verlauf.

Q(L = 2m,p = 2990 kg/m) = q*L/2 = (29,9 kN/m + 0,1 kN/m) *2m/2

=

30,0kN

Q(L = 4m,p = 740 kg/m) = q*L/2 = (7,4 kN/m + 0,1 kN/m) *4m/2=15,0kN Q(L = 6m,p = 323 kg/m) = q*L/2 = (3,23 kN/m + 0,1 kN/m) *6m/2

=

9,99kN

Die Q u e r k r ä f t e s c h e i n e n f ü r d i e Traverse k e i n e B e l a s t u n g s g r e n z e d a r z u s t e l l e n . Die S t r e b e n u n d d e r e n S c h w e i ß n ä h t e s i n d s e h r stark dimensioniert. Die g e s a m t e K o n s t r u k t i o n w i r d d u r c h d a s z u l ä s s i g e B i e g e m o m e n t z u l M = 1 5 , 0 k N m b e s t i m m t . Die z u l ä s s i g e Q u e r k r a f t b e t r ä g t mindestens zulQ = 30,0 k N . r

r

YY m i t Eigenlast g = 10 k g / m

M(L=2m,p = 990 kg/m) = q * L /8 = (9,9 kN/m + 0,1 kN/m) 2

m) 8

* (2

2/

= 5,0 kNm

M(L = 4m,p = 490 kg/m) = q*L /8 = (4,9 kN/m + 0,1 kN/m) 2

* (4

m) /8 2

=10,0 kNm

M(L = 6m,p = 323 kg/m) = q *L /8 = (3,23 kN/m + 0,1 kN/m) 2

*(6m) /8=14,99kNm 2

M(L = 12m,p = 73 kg/m) = (0,73 kN/m + 0,1 kN/m) * (12m) /8 2

=

14,94 kNm

M(L = 18 m,p = 27 kg/m) = (0,27 kN/m + 0,1 kN/m) * (18 m)2/8 =

14,99 kNm

M(L = 10m,P = 550 kg) = F*L/4 + g* L /8 2

= 5,5 kN * 10m/4 + 0,1 kN/m

142

*(10m) /8 2

= 15,0 kNm

Die ü b e r p r ü f t e n B i e g e m o m e n t e s i n d bei k u r z e n L ä n g e n kleiner als bei g r o ß e n . Die G r a f i k hat e i n e n f l a c h e n Verlauf. A b 6 m L ä n g e ist d a s B i e g e m o m e n t k o n s t a n t .

Q(L = 2m,p = 990 kg/m) = q*L/2 = (9,9 kN/m + 0,1 kN/m) * 2m/2=10,0kN Q(L = 4m,p = 490 kg/m) = q*L/2 = (4,9 kN/m + 0,1 kN/m) * 4m/2=10,0kN Q(L = 6m,p = 323 kg/m) = q*L/2 = (3,23 kN/m + 0,1 kN/m) * 6m/2

=

9,99kN

Q(L = 8m,p=178 kg/m) = q*L/2 = (1,78 kN/m + 0,1 kN/m) * 8m/2=7,52kN Die Q u e r k r ä f t e s c h e i n e n f ü r d i e T r a v e r s e d i e B e l a s t u n g s g r e n z e d a r z u s t e l l e n . Bei k u r z e n L ä n g e n ist d i e L a s t d u r c h d i e Q u e r k r a f t limitiert. D a s z u l ä s s i g e B i e g e m o m e n t b e t r ä g t z u l M = 1 5 , 0 k N m , die zulässige Querkraft zulQ = 10,0 k N . Mit den Kenntnissen der zulässigen Schnittgrößen kann m a n auch anwendungstypische Probleme lösen,

indem m a n für

seine A n w e n d u n g eine Schnittgrößenberechnung durchführt.

143

88Z

k te un

ü ung

D a s auf d e m ü b e r f ü l l t e n M a r k t o f t m a l s m i n d e r w e r t i g e K o n s t r u k t i o n e n a n z u t r e f f e n s i n d , ist seit d e m „ T r a v e r s e n - S k a n d a l " ( F a c h p r e s s e , Z e i t s c h r i f t P M A ) o f f e n k u n d i g . Die b i s h e r e r a r b e i t e t e n Kenntnisse werden d e m Veranstaltungstechniker die Beurteil u n g einer K o n s t r u k t i o n e r l e i c h t e r n . Die S a c h k u n d e d e s V e r a n s t a l t u n g s t e c h n i k e r s ist f ü r ein s i c h e r e s A r b e i t e n v o n g r ö ß t e r W i c h t i g k e i t , a l l e r d i n g s b i l d e t f ü r d e n u n e i n g e s c h r ä n k t e n Einsatz eines Traversensystems auch die Zertifizierung einen wichtigen B e s t a n d t e i l . Ö r t l i c h e A b n a h m e n bei V e r a n s t a l t u n g e n e r f o r d e r n z u n e h m e n d System-Prüfungen durch unabhängige Stellen. Für viele T r a v e r s e n t y p e n liegen b e r e i t s B a u a r t p r ü f u n g e n vor. Eine e t a b l i e r t e Stelle z u r P r ü f u n g d e r T r a v e r s e n s y s t e m e ist d e r R W T Ü V i n E s s e n . Die A b t e i l u n g für G e r ä t e s i c h e r h e i t u n d M e d i z i n t e c h n i k ist f ü r d e r a r t i g e P r ü f u n g e n z u s t ä n d i g . Die P r ü f u n g u m f a s s t j e d o c h nur d e n v o m A n t r a g s t e l l e r b e a n t r a g t e n U m f a n g . O b d a b e i e i n e Traverse a u s E i n z e l e l e m e n t e n , a l s o m i t V e r b i n d u n g , geprüft w u r d e , geht aus d e m Siegel „ R W T Ü V bauartgep r ü f t " n i c h t hervor. A u s k u n f t g i b t d e r P r ü f b e r i c h t , d e r n e b e n d e r Stückelun g auch die Profildaten u n d Werkstoffe enthält. Im Z w e i f e l s f a l l g i b t m a n d o r t g e r n A u s k u n f t z u d e n P r ü f u n g e n . Bei einer B a u a r t p r ü f u n g w e r d e n s o w o h l d i e B e r e c h n u n g e n als a u c h d a s O b j e k t s e l b s t g e p r ü f t . Die N e n n l a s t w i r d bei d e r P r ü f u n g u m d a s 1,5-fache überschritten. Bleibende Verformungen dürfen nicht zurückbleiben. Bei z u s a m m e n g e s e t z t e n K o n s t r u k t i o n e n a u s m o d u l a r e n Travers e n - E l e m e n t e n , d i e i m Freien a u f g e s t e l l t w e r d e n , gilt z u s ä t z l i c h d a s B a u r e c h t . W e r d e n d i e s e t e m p o r ä r e i n g e s e t z t u n d s i n d sie dazu bestimmt, wiederholt aufgestellt und zerlegt zu w e r d e n , m ü s s e n sie als „ F l i e g e n d e B a u t e n " e i n g e s t u f t w e r d e n . Z u d e n „Fliegenden

Bauten"

zählen

beispielsweise

Bühnenüberda-

c h u n g e n o d e r T r i b ü n e n . In d i e s e m Fall ist e i n e Vielzahl v o n V o r schriften zu beachten, die mit einem Ing.-Büro gesondert geklärt

144

w e r d e n sollte. Die b e s o n d e r e n L a s t e n d u r c h W e t t e r e i n f l ü s s e s p i e l e n hier e i n e w i c h t i g e Rolle. I m B a u r e c h t w e r d e n für d e r a r t i ge Konstruktionen besondere A n f o r d e r u n g e n an d e n Hersteller gestellt. Dieser m u s s seine Eignung, t r a g e n d e A l u m i n i u m k o n struktionen schweißen zu können, d u r c h eine akkreditierte Stelle b e l e g e n l a s s e n . Das E r g e b n i s ist d e r S c h w e i ß e i g n u n g s n a c h w e i s n a c h D I N 4 1 1 3 . Reine S c h w e i ß e r p r ü f u n g e n einzelner Pers o n e n r e i c h e n hier n i c h t a u s , v i e l m e h r m u s s d e r g e s a m t e B e t r i e b mit

all

seinen

Einrichtungen,

Qualitätssicherungen

und

Schweißern den Anforderungen genügen.

145

146

9 Ansch agen und Aufhängen Für d e n U m g a n g m i t L a s t e n g i b t e s e i n e Vielzahl v o n V o r s c h r i f t e n . Die B e r u f s g e n o s s e n s c h a f t e n h a b e n f ü r d i e A r b e i t s s i c h e r heit S c h r i f t e n r e i h e n erstellt, d i e i m Einzelne n d i e b e s o n d e r e n A n forderungen an t e c h n i s c h e s Gerät u n d d e s s e n Bedienung reg e l n . In d e r V e r a n s t a l t u n g s t e c h n i k hat d i e U n f a l l v e r h ü t u n g s v o r s c h r i f t B G V C 1 (früher V B G 70) eine b e s o n d e r e B e d e u t u n g . Die Regeln der BGV C1 sind in Produktionsstätten verbindlich a n z u w e n d e n . Z u d e n P r o d u k t i o n s s t ä t t e n z ä h l e n n a t ü r l i c h a u c h alle O r t e , a n d e n e n V e r a n s t a l t u n g e n s t a t t f i n d e n . Für d i e t e c h n i s c h M e c h a n i k ist d e r A b s c h n i t t „ P r o d u k t i o n s e i n r i c h t u n g e n " m a ß g e b e n d . G r u n d s ä t z l i c h s i n d für d a s H a l t e n o d e r B e w e g e n ü b e r P e r sonen nur M e t h o d e n und Gerät gemäß BGV C1 zulässig. In diesem Abschnitt wird die Auswahl von Anschlagmitteln, Lastaufn a h m e m i t t e l n u n d H e b e z e u g e n erklärt. D a e i n e s t ä n d i g e W e i t e r e n t w i c k l u n g i m R e g e l w e r k u n d d e r T e c h n i k s t a t t f i n d e t , ist i m f o l g e n d e n K a p i t e l d e r d e r z e i t i g e S t a n d e r f a s s t . Der V e r a n s t a l t u n g s t e c h n i k e r sollte s i c h j e d o c h i m m e r a u f d e m a k t u e l l e n S t a n d halten.

9. A

c

n Las u ah

el

Z u d e n w i c h t i g e n m e c h a n i s c h e n A n s c h l a g m i t t e l n z ä h l e n Seile, Ketten, Schäkel und Bänder aus Stahl. Brennbare oder t e m p e raturabhängige Materialien sind nur eingeschränkt mit zusätzlic h e n S i c h e r u n g e n a u s S t a h l nutzbar.

147

Die w i c h t i g s t e n L a s t a u f n a h m e m i t t e l s i n d T r a v e r s e n u n d L a s t s t a n g e n . Sie k ö n n e n g e m ä ß ihrer n a c h g e w i e s e n e n ( b e r e c h n e t e n und geprüften) Nennlast benutzt werden. Den Anschlagmitteln k o m m t eine besondere B e d e u t u n g zu, da d e r V e r a n s t a l t u n g s t e c h n i k e r m i t h o h e n S i c h e r h e i t s r e s e r v e n arbeiten m u s s , weil die A n s c h l a g m i t t e l einem h o h e n Verschleiß unterworfen sind. Der S i c h e r h e i t s f a k t o r (SF) ist ein w i c h t i g e s K r i t e r i u m für d a s A n s c h l a g e n g e m ä ß B G V C 1 . I n d e r I n d u s t r i e a n w e n d u n g o h n e Pers o n e n u n t e r d e r Last s i n d g e r i n g e r e S i c h e r h e i t e n g e f o r d e r t , s o d a s s u m g e r e c h n e t w e r d e n m u s s . Für rein s t a t i s c h e n B e t r i e b , daher ohne dynamische Massenkräfte, sind folgende Sicherheit e n g e g e n d a s Erreichen d e r M i n d e s t b r u c h k r a f t g e l i s t e t : Typ

SF - I n d u s t r i e

S F - B G V ,C1

Stahl Anschlagseil DIN 3088

5

10

A n s c h l a g k e t t e n DIN 5688

4

10

Schäkel DIN 82101

5

10

Weitere Sicherheitsfaktoren für weitere Standard-Produkte bieten die einschlägigen N o r m e n . Diese sind erhältlich beim Beuth Verlag, Berlin. Nun lassen sich die zulässigen Daten gemäß BGV C1 für die A n schlag- und Lastaufnahmemittel berechnen. Beispiel Anschlagkette Güteklasse 8, Nenndicke 1 0 m m , Einzelstrang T r a g f ä h i g k e i t g e m ä ß A n h ä n g e r : zul F = 3 2 0 0 kg M i n d e s t b r u c h k r a f t Fr = 4 * 3 2 0 0 kg = 1 2 8 0 0 kg N e n n l a s t ( B G V C 1 ) : zul F ( B G V C1) = 1 2 8 0 0 k g / 1 0 = 1 2 8 0 kg Für d y n a m i s c h e Einflüsse m u s s ein F a k t o r a u f g e s c h l a g e n w e r d e n (s. K a p i t e l 11).

148

9 H b ze g E i n s a t z v o n BGV-D8(früher V B G 8 ) - H e b e z e u g e n i n Produktionsstätten Reguläre H e b e z e u g e w i e Elektrokettenzüge, H a n d k e t t e n z ü g e und Seilwinden entsprechen der BGV D8. Unter s c h w e b e n d e n Lasten dieser Hebezeuge dürfen sich keine Personen aufhalten. Um diese Hebezeuge in Produktionsstätten einsetzen zu k ö n n e n , ist e s e r f o r d e r l i c h , d i e Last n a c h d e m H e b e v o r g a n g v o n d e m Hebezeug zu trennen u n d dieses zu entlasten. In der Regel g e s c h i e h t d i e s d u r c h d a s s o g e n a n n t e „ T o t h ä n g e n " . Die Last w i r d nach Erreichen der Betriebshöhe gemäß der B G V C1 entsprechend angeschlagen, so dass das Hebezeug abgelassen werd e n k a n n u n d s o m i t e n t l a s t e t ist. N a c h d e m E n t l a s t e n ist d a s H e bezeug ggf. v o m Stromkreis zu trennen. (VBG SP25.1/2-1 bzw. BGI810-1) Die K e t t e d e s H e b e z e u g s lässt s i c h e b e n f a l l s (Tragmittel) als A n s c h l a g m i t t e l n u t z e n , i n d e m m a n einen K e t t e n übergriff mit einer speziellen d a f ü r g e e i g n e t e n K e t t e n v o r r i c h t u n g m a c h t . Das g e samte Innenleben des Hebezeugs wird auf diese Weise überb r ü c k t , s o d a s s nur n o c h d i e R u n d s t a h l k e t t e n L a s t e n t r a n s p o r t i e r e n . Die z u l ä s s i g e Last einer R u n d s t a h l k e t t e e i n e s m o t o r i s c h e n H e b e z e u g e s ist für d i e S t a n d a r d - A n w e n d u n g m i t m i n d e s t e n s S F = 5 b e r e c h n e t . Die B G V C1 f o r d e r t SF = 10. A u f d i e s e W e i s e ist d i e Tragfähigkeit einer R u n d s t a h l k e t t e eines E l e k t r o k e t t e n z u g e s a u f d i e Hälfte h e r a b z u s e t z e n . Für d e n K e t t e n ü b e r g r i f f u n d die s o n s t i g e n A n s c h l a g m i t t e l gilt die o b i g e B e r e c h n u n g . Szenische B e w e g u n g e n sind mit Hebezeugen gemäß BGV D8 nicht möglich. Einsatz von BGV-C1-Hebezeugen in Produktionsstätten H e b e z e u g e , d i e e i n d e u t i g als B G V C 1 o d e r V B G 7 0 e n t s p r e c h e n d ausgewiesen sind, brauchen keine A b m i n d e r u n g e n der N e n n l a s t e n , u m v o r s c h r i f t s g e m ä ß e i n g e s e t z t z u w e r d e n . Die b e -

149

sonderen Anforderungen seitens der V B G sind

bei d i e s e n

H e b e z e u g e n b e r e i t s i n d e r K o n s t r u k t i o n b e r ü c k s i c h t i g t . Ein n a c h B G V C 1 zertifizierter K e t t e n z u g m i t einer N e n n l a s t v o n 1 0 0 0 k g d a r f e i n e Last v o n 1 0 0 0 k g ü b e r P e r s o n e n h e b e n , s e n k e n u n d h a l t e n . Für d e n V e r b u n d v o n m e h r e r e n Z ü g e n a n e i n e m T r a g w e r k sind weitere Anforderungen seitens der Steuerung zu befolgen. Die S c h r i f t „ B e r e i t s t e l l u n g u n d B e n u t z u n g v o n P u n k t z ü g e n " (SP 25.1/2-1 bzw. B G I 810-1) zeigt die n o t w e n d i g e n Ausstattungen tabellarisch. Als neue Entwicklungen gibt es Züge, die z u m Heben und Senken nur der BGV D8 entsprechen , aber nicht tot g e h ä n g t w e r d e n m ü s s e n , d a sie z u m

H a l t e n d e r Last d i e

erforderlichen Sicherheiten gemäß B G V C1 erfüllen. Diese Z ü g e s i n d u m e i n i g e s p r e i s g ü n s t i g e r als s o l c h e m i t voller A u s s t a t t u n g .

9

„

d " An c ag n m W kel

I n b e s o n d e r e n Fällen ist e s n o t w e n d i g , s c h r ä g a n z u s c h l a g e n , um einen Aufhängepunkt zwischen zwei vorhandenen Punkten z u e r h a l t e n . Für K e t t e n o d e r Seile ist d i e s e T e c h n i k d u r c h a u s m i t S t a n d a r d - K o m p o n e n t e n m ö g l i c h . Die A n s c h l a g m i t t e l s i n d z u diesem Z w e c k mehrsträngig ausgeführt. Aber auch mit einsträngigen Anschlagmitteln lassen sich derartige A u f h ä n g u n g e n t e c h n i s c h realisieren. A m K n o t e n p u n k t s i n d s t e t s s p e z i e l l e Endglieder zu v e r w e n d e n , die auch für Standard-Anschlagkett e n g e n u t z t w e r d e n . Die S e i l - b z w . K e t t e n k r ä f t e k ö n n e n n a c h d e m Prinzip d e s zentralen Kräftesystems berechnet w e r d e n . W i c h t i g ist n a t ü r l i c h d i e Kraft a n d e n H ä n g e p u n k t e n , d a d o r t e b e n f a l l s s c h r ä g g e z o g e n w i r d . Die A n s c h l a g p u n k t e m ü s s e n dafür geeignet sein.

150

04=;407 <4/70

40 0 < 0 . 3 9 ? 9 2 0 < 1 : 7 2 > , 9 , 7 : 2 D ? - = . 3 9 4 > > 9 =;4>D0<08 )49607 A , . 3 = 0 9 /40 %0476<E1>0

4,0@ :

: 4,0@

&14@ 9

9 &14@

4,0$.)$ :

: 4,0$.)$

&14$.)$ B,9

9

9 &14$.)$

9 9

'$3$64 )1.*5 9 9 ',( ",0-(.%(;,(+60*(0 (,0*(4(5;5 )1.*5

&14$.)$

&14@

'$3$64 )1.*5 &14@ &14$.)$ B,:

: :

'$3$64 )1.*5 : : ',( ",0-(.%(;,(+60*(0 (,0*(4(5;5 )1.*5 =49H 4,0$.)$ 060 8,3' )>3 (,0*(4(5;5 4,0@ &14@ &14$.)$ 4,0$.)$ '$3$64 )1.*5 4,0@ &14@ &14$.)$ 4,0$.)$ '$3$64 )1.*5 4,0@ &14@ &14$.)$ 4,0$.)$

490 % , 8 8 7 ? 9 2 / 0 < 8 F 2 7 4 . 3 0 9 : 8 - 4 9 , > 4 : 9 0 9 @ : 9 ) 4 9 6 0 7 9 4=> 48 93,92 D? 149/09

151

152

10. Flächige Belastung - Podeste Viele B e l a s t u n g e n v o n F l ä c h e n w e r d e n ü b e r Träger a b g e t r a g e n . U m d i e B e l a s t u n g d e r Träger a u s d e r F l ä c h e n l a s t z u b e r e c h n e n , ist ihr A b s t a n d z u e i n a n d e r s e h r w i c h t i g . Die F o r m d e r B e l a s t u n g d e s T r ä g e r s ist eine S t r e c k e n l a s t , d i e a b e r n i c h t i m m e r e i n e n g l e i c h m ä ß i g e n Verlauf hat. Gleichlast Die Last e i n e s e i n z e l n e n Trägers h ä n g t v o n s e i n e r L a s t e i n z u g s fläche ab. Bei einer A n o r d n u n g v o n „ U n t e r z ü g e n " ü b e r n i m m t j e d e r Träger e i n e n L a s t e i n z u g s b e r e i c h m i t d e m A b s t a n d d e r Träger z u e i n a n der. Die G l e i c h l a s t d e s T r ä g e r s b e r e c h n e t m a n : p = a ( A b s t a n d d e r Träger) x F l ä c h e n l a s t . Die H o r i z o n t a l l a s t e n m ü s s e n d u r c h a n d e r e B a u t e i l e a b g e t r a g e n werden.

153

Dreiecks-Trapezlast unter 45° Die D r e i e c k s - , o d e r T r a p e z l a s t e n s i n d o f t z u f i n d e n , w e n n F l ä c h e n n i c h t m i t U n t e r z ü g e n , s o n d e r n m i t einer U m r a n d u n g e i n g e f a s s t s i n d . Eine d e r a r t i g e L a s t v e r t e i l u n g e r g i b t s i c h für Standard-Bühnenelemente.

Die m a x i m a l e L a s t o r d i n a t e d e r T r a p e z - D r e i e c k s l a s t w i r d d u r c h d i e g r ö ß t e „ T i e f e " d e r L a s t e i n z u g s f l ä c h e b e s t i m m t . Die g r ö ß t e Tiefe b e t r ä g t bei e i n e m P o d e s t m i t 2 m x 1 m g e n a u 0,5 m (Hälfte d e r Plattentiefe). Der g r ö ß t e W e r t d e r D r e i e c k s / Trapezlast e r g i b t sich aus p = a (Abstand der Längsträger) / 2 x Flächenlast. Dreiecks-Trapezlast unter 60° Dreiecks- o d e r Trapezlasten für durchlaufende Platten mit U m randung und Unterzügen zeigen die folgende Lastverteilung für d i e Profile.

154

Die g r ö ß t e Last t r ä g t d e r m i t t l e r e U n t e r z u g , d e r d i e Last b e i d e r 60°-Trapezflächen abträgt. Wäre die Platte über d e m Unterzug geteilt, s o w ü r d e s i c h l e d i g l i c h e i n e 4 5 ° - T r a p e z l a s t f ü r d e n U n t e r z u g e r g e b e n . Die P l a t t e e n t s p r i c h t e i n e m 2 - F e l d - T r ä g e r m i t größtem Betrag des M o m e n t s über d e m mittleren Unterzug. Der l a n g e U m r a n d u n g s t r ä g e r m u s s bei einer d e r a r t i g e n A n o r d n u n g d i e L a s t e n d e s U n t e r z u g e s als Einzellasten a u f n e h m e n , w a s eine besonders hohe B e a n s p r u c h u n g ergibt. Sehr nachteilig ist ein S c h w e i ß a n s c h l u s s d e s U n t e r z u g e s a n d e n l a n g e n U m r a n d u n g s t r ä g e r , d a d i e s e r a n d e r Stelle d e s g r ö ß t e n B i e g e m o m e n t s a u c h n o c h e n t f e s t i g t w i r d , s o f e r n e r a u s einer g ä n g i g e n A l u m i n i u m l e g i e r u n g h e r g e s t e l l t ist. Für d i e s e A n o r d n u n g w ä r e n z w e i z u s ä t z l i c h e S t ü t z e n v o n g r o ß e m Vorteil.

A u c h hier t r ä g t d e r m i t t l e r e U n t e r z u g d i e g r ö ß t e L a s t , f ü h r t d i e s e j e d o c h auf die kurzen Umrandungsträger ab, die geringer b e a n sprucht sind.

155

0

S tk

r B hn

od

Ein B ü h n e n p o d e s t m i t e i n g e s p a n n t e n Füße n ist k e i n e s w e g s ein s t a t i s c h e s S y s t e m , d a s a u s vier g e l e n k i g g e l a g e r t e n E i n f e l d t r ä g e r n b e s t e h t , s o n d e r n ein „ R a h m e n " . D u r c h d i e f e s t e E i n s p a n n u n g d e r Fußprofile i n d i e U m r a n d u n g e r g e b e n s i c h b e s o n d e r e S c h n i t t g r ö ß e n v e r l ä u f e . Die L a g e r u n g d e r Füße auf d e m B o d e n entspricht der eines Gelenks, da die Verschiebungen durch die Reibung blockiert w e r d e n .

156

Die Vertikallast s o w i e d i e H o r i z o n t a l l a s t d u r c h B e g e h u n g w i r k e n z u s a m m e n , u n d es ergibt sich d a d u r c h der größte M o m e n t e n b e t r a g i n d e r R a h m e n e c k e . W i e m a n s i e h t , greift d a s B i e g e m o m e n t d e s U m r a n d u n g s p r o f i l s i n d e r E c k e auf d a s Fußprofil über. Ein n o c h s o w i d e r s t a n d s f ä h i g e s U m r a n d u n g s p r o f i l n ü t z t d a h e r n i c h t s o h n e e n t s p r e c h e n d steife Fußprofile. D u r c h b e s o n d e r s h o h e A u f b a u t e n w i r d d e r Einfluss d e r H o r i z o n t a l k r a f t i m m e r größer, s o d a s s f ü r g r o ß e H ö h e n o f t m a l s d i a g o n a l e A u s s t e i f u n g e n e r f o r d e r l i c h w e r d e n , u m ein F a c h w e r k z u b i l d e n u n d s o d i e Biegebeanspruchung in den Ecken abzumindern. Die B e r e c h n u n g e i n e s d e r a r t i g e n R a h m e n s ist k o m p l e x u n d h ä n g t v o n d e r Steifigkei t d e r e i n z e l n e n Profile a b . Die L a g e r u n g d e r F u ß p u n k t e hat e b e n f a l l s e i n e n Einfluss auf d i e S c h n i t t g r ö ß e n . K a n n ein Fuß i n x - R i c h t u n g a u s w e i c h e n , s o ä n d e r t s i c h die Belastung zu Ungunsten. Auf den B e r e c h n u n g s w e g wird im Rahmen dieses Buches verzichtet, da erweitertes Wissen über d i e F e s t i g k e i t s l e h r e e r f o r d e r l i c h ist.

157

02

r ndung

o e vo Po e

n

B e s o n d e r e A l u m i n i u m - P r o f i l e , d i e speziell n a c h d e n B e d ü r f n i s sen der Podesthersteller stranggepresst werden, weisen gute W i d e r s t a n d s m o m e n t e bei g e r i n g e m E i g e n g e w i c h t auf. Z u s ä t z lich

sind

Auflageflächen

A n s c h l u s s k a n t e n integriert. Beispiel Umrandungsprofil

158

für

die

Platte,

Nutenkanäle

und

Profildaten Umrandungsprofil s. Zeichnung, durch C A D ermittelt

A

=

l

= 60,79

cm4

=

cm4

y

l

x

7,74 6,85

cm2

W = 12,13

cm3

W =

cm3

y

3,45

x

iy

=

ix

=

2,803 cm 0,94

cm

zulässige S p a n n u n g für AIMgSiO,5F25

zulsigma= 10,0 kN/cm

2

zulässiges B i e g e m o m e n t um Y

zulMy = Wy *sigmazul= 12,13 * 10,0 = 121,3 kNcm = 1,21 kNm Um eine g u t e G e s a m t k o n s t r u k t i o n zu erhalten, sind d e m e n t s p r e c h e n d e Profile f ü r d i e Füße n o t w e n d i g . I n d i e s e m Fall w e r d e n V i e r k a n t r o h r e 6 0 x 6 0 x 3 , 5 A l M g S i 0,5 F25 v e r w e n d e t .

A

=

ly

7,91 cm2

= 42,25 cm4

l

= 42,25 cm4

x

W

=

14,08 cm3

W

=

14,08 cm3

y

x

iy

=

2,31cm

ix

=

2,31 cm

Die Fußprofile s i n d g u t d i m e n s i o n i e r t . W y = W x = 1 4 , 0 8 c m ³ . Die B i e g e m o m e n t e i n d e n E c k e n k ö n n e n a u c h v o n d e n F u ß p r o f i len ü b e r t r a g e n w e r d e n . H i n z u k o m m e n n o c h D r u c k s p a n n u n g e n .

159

W ü r d e n b e i s p i e l s w e i s e Profile 4 0 x 4 0 x 5 v e r w e n d e t , s o e r g e b e n sich folgende Daten:

A1 = l

y

l

x

7,0

cm2

=

14,58

cm4

=

14,58

cm4

W=

7,29 cm3

y

W=

7,29 cm3

x

iy

=

1,44 cm

ix

=

1,44 cm

D a s W i d e r s t a n d s m o m e n t g e g e n d i e B i e g u n g w ü r d e nicht z u d e m Umrandungsprofil passen. Die A n s c h l ü s s e d e r Füße a n d i e P o d e s t e ist e b e n f a l l s d u r c h d a s B i e g e m o m e n t h o c h b e l a s t e t . G u t e R e s i s t e n z b i e t e t eine f o r m schlüssige, zusätzlich geschraubte

P a s s u n g einer w i n k l i g e n

Eck-Aufnahme, die sich an die Vorsprünge der U m r a n d u n g s p r o file a n d r ü c k t . D a s B i e g e m o m e n t bildet auf d i e s e W e i s e ein Kräftepaar mit Kontaktstoß.

160

Größere Höhen von S t a n d a r d p o d e s t e n lassen sich durchaus durch Aussteifung mit Diagonalen und Riegeln erreichen. Auf diese Weise w e r d e n die B i e g e m o m e n t e in den Ecken reduziert u n d d i e K n i c k l ä n g e n d e r Fußprofile v e r k ü r z t . D a s s o g e s c h a f f e n e S y s t e m ist d e m e i n e s G e r ü s t s s e h r ä h n l i c h u n d besitzt große Steifigkeit. Für P o d e s t e , die im b a u a u f s i c h t l i c h e n B e r e i c h als „ F l i e g e n d e B a u t e n " , d a h e r als t e m p o r ä r e B a u k o n s t r u k t i o n g e n u t z t w e r d e n (s.a. 8.6), g e l t e n d i e f o l g e n d e n v e r b i n d l i c h e n M i n d e s t - L a s t a n nahmen: Horizontallast

Nutzung

Flächenlast

F u ß b o d e n / B ü h n e n p o d i u m m. Künstlern

3,5

0,35

Fußboden mit großem Menschengedränge

5,0

0,50

Sitztribüne

5,0

0,50

Stehtribüne

7,5

0,75

Treppen von Tribünen

7,5

0,75

Podeste von Treppen

7,5

0,75

Alle Lasten in k N / m ²

Die H o r i z o n t a l l a s t b e t r ä g t hier 1 / 1 0 d e r v e r t i k a l e n F l ä c h e n l a s t . Bei f e s t e n B a u w e r k e n w i r d lediglich 1/20 d e r Vertikallast als H o rizontallas t a n g e s e t z t . I n f o r m a t i o n e n z u w e i t e r e n L a s t a n n a h m e n bietet die DIN 1055 (Lastannahmen für Bauten).

161

162

11. Dynamische Einflüsse durch Hebezeuge D u r c h d e n Einsatz v o n m o t o r i s c h e n H e b e z e u g e n t r e t e n z u s ä t z liche K r ä f t e auf. U m d i e W i r k u n g d i e s e r K r ä f t e z u v e r s t e h e n , w i r d zunächst die B e w e g u n g eines Körpers näher betrachtet. J e d e s mit M a s s e b e h a f t e t e O b j e k t v e r h ä l t s i c h t r ä g e u n d w ü r d e s i c h m i t konstanter Geschwindigkeit b e w e g e n (oder ruhen), w e n n keine K r ä f t e e i n w i r k e n . Ein K ö r p e r i m A l l , d e r keinerlei R e i b u n g a u s g e s e t z t ist, b e w e g t s i c h b i s i n alle E w i g k e i t . W i r k t n u n e i n e Kraft auf d e n Körper, s o w i r d e r b e s c h l e u n i g t , a b g e b r e m s t o d e r v e r ä n d e r t seine Richtung. Kräfte und Beschleunigungen stehen in einem grundlegendem Z u s a m m e n h a n g und werden durch die folgende Formel beschrieben:

= F <> Kraft m <> Masse a

<>

Beschleunigung

Die M a s s e n w i r k e n a l s o d e r B e s c h l e u n i g u n g e n t g e g e n . A u s d i e s e m G r u n d e ist ein s c h w e r e s F a h r z e u g bei g l e i c h e r M o t o r i s i e r u n g t r ä g e r als ein l e i c h t e s . Eine z u s ä t z l i c h z u b e w e g e n d e M a s s e b r e m s t a u c h d e n f r e i e n Fall:

163

Beschleunigung und Massenträgheit

Die Gewichtskraft der Masse 1 beschleunigt das System. Die Beschleunigung berechnet sich aus dem Kräftegleichgewicht am Wagen: M2*a = ( M 1 * g - M 1 *a) a = (M1*g)/(M2+M1)

Ebenso wie Massen die Beschleunigung reduzieren, bewirken B e s c h l e u n i g u n g e n Kräfte. Tritt m a n b e i m A u t o f a h r e n auf d i e B r e m s e , s o s p ü r t m a n s e i n e e i g e n e Trägheitskraft, d i e n a c h v o r n e w i r k t . G i b t m a n m e h r G a s , s o w i r k t d i e Trägheitskraft n a c h h i n t e n . W i s s e n s c h a f t l i c h f o r m u l i e r t , w ü r d e d i e F e s t s t e l l u n g lauten: Die Trägheitskraft w i r k t e n t g e g e n g e s e t z t d e r B e s c h l e u n i g u n g auf d e r g l e i c h e n W i r k u n g s l i n i e . B e i m H e b e n u n d S e n k e n v o n Traversenkonstruktionen oder Podien gibt es ebenfalls Phasen der Beschleunigung. Das Problem wird in Diagrammen beschrieben. Beispiel: Rigg wird kurz a n g e h o b e n

164

165

Die z u s ä t z l i c h e n M a s s e n t r ä g h e i t s k r ä f t e k ö n n e n a l s o d i e B e l a s t u n g e r h ö h e n , w e n n sie s i c h m i t d e n G e w i c h t s k r ä f t e n a d d i e r e n . U m d a s P r o b l e m r e c h n e r i s c h i n d e n Griff z u b e k o m m e n , s i n d Faktoren n o t w e n d i g , die die d y n a m i s c h e n Einflüsse erfassen. Da die gleiche Problematik für die Dimensionierung v o n Kranen m a ß g e b e n d ist, s i n d d i e s o g e n a n n t e n H u b l a s t b e i w e r t e i n d e r L i teratur beschrieben: H u b l a s t b e i w e r t e als A u s z u g a u s D I N 1 5 0 1 8 Kranart Handkrane

H1

Montagekrane

H1

H2

Lagerkrane

H2

Brückenkrane

H3

H4

Autokrane

H3

H4

Schmiedekrane

H4

Hubklasse

H u b l a s t b e i w e r t f i (bis 9 0 m / m i n )

H1

1,1 + 0 , 0 0 2 2 * vh

H2

1,2 + 0 , 0 0 4 4 * v h

H3

1,3 + 0 , 0 0 6 6 * vh

H4

1,4 + 0 , 0 0 8 8 * vh

B e i s p i e l : Eine T h e a t e r - S e i l w i n d e a r b e i t e t m i t 0,6 m / s H u b g e schwindigkeit Die T h e a t e r w i n d e ist i n H u b k l a s s e H 2 e i n z u s t u f e n , d a d i e W i n d e unterbrochen arbeitet.

vh = 0,6 m/s - 36 m/min Hublastbeiwert (p = 1,2 + 0,0044 * 36 = 1,36 Die B G V C1 f o r d e r t e i n e n p a u s c h a l e n F a k t o r v o n fi = 1,2 z u r Erfassung der d y n a m i s c h e n Anteile.

166

A u f w e l c h e B a u t e i l e m u s s bei d e r B e r e c h n u n g d e r H u b l a s t b e i wert zusätzlich aufgeschlagen werden?

Hebezeuge

nein

nein

Anschlagseile

nein

nein*

Anschlagketten

nein

nein*

Rundschlingen

nein

nein*/**

Schäkel

nein

nein*

Trägerklemmen

nein

nein*

Ringmuttern

nein

nein

Deckentragwerk

ja

ja

B o d e n (wenn a u f s t e h e n d e Last)

ja

ja

Traversen

ja

ja

Prospektstangen

ja

ja

angehängte Lasten

ja

ja

*Der dynamische Anteil von

Die Liste m a c h t d e u t l i c h , d a s s alle H e b e z e u g e u n d A n s c h l a g m i t t e l e t c . v o n d e r I n d u s t r i e für d y n a m i s c h e L a s t e n v o r b e r e i t e t s i n d , d a d i e s ihre B e s t i m m u n g ist. Die a n g e s c h l a g e n e n B a u t e i l e sind nicht für diese Lasten ausgelegt, so d a s s dort der Hublastb e i w e r t als F a k t o r e i n g e r e c h n e t w e r d e n m u s s . Der „ w o r s t c a s e " tritt a l l e r d i n g s i m Falle d e r A b w ä r t s f a h r t m i t N o t - A u s B e t ä t i g u n g e i n . Der F a k t o r d e r D y n a m i k k a n n , j e n a c h B r e m s e d e s H e b e z e u g s , e i n e G r ö ß e v o n m e h r als 2,0 e r r e i c h e n ! Die T r a g - u n d A n s c h l a g m i t t e l m ö g e n d a n n n o c h t r a g e n , d a d e r S i c h e r h e i t s f a k t o r h o c h ist, d i e T r a v e r s e w i r d a l l e r d i n g s s c h n e l l z u m Risiko, da die Sicherheitsfaktoren g e m ä ß DIN 4 1 1 3 für t r a g e n d e A l u m i n i u m k o n s t r u k t i o n e n bei c a . 2,5 g e g e n B r u c h l i e g e n !

167

168

12. Kinetik 2

D

yna

c eG

dg se z

Neben d e m „Hublastbeiwert" aus Abschnitt 11 sollen nun w e i t e r e B e t r a c h t u n g e n zur B e w e g u n g d u r c h g e f ü h r t w e r d e n . Das

dynamische

Grundgesetz

(Newton'sches

Grundgesetz)

stellt d i e B e z i e h u n g z w i s c h e n M a s s e n , B e s c h l e u n i g u n g e n u n d K r ä f t e n her:

(Newton'sches F <> Kraft, Masse

m

Grundgesetz)

die eine Beschleunigung a

eines Körpers

der

bewirkt

m <> Masse a

<>

Beschleunigung K (Satz von d´Alembert)

Fi Ftr

<> <>

eingeleitete

Kräfte,

Trägheitskraft

Auflagerkräfte

Ftr=-m*a

Das dynamische Problem wird durch Einbeziehung der Trägh e i t s k r a f t f o r m a l auf ein s t a t i s c h e s z u r ü c k g e f ü h r t . Die Z u s a m m e n h ä n g e z w i s c h e n W e g , G e s c h w i n d i g k e i t ,

Be-

s c h l e u n i g u n g u n d Zeit b e s c h r e i b t d i e K i n e m a t i k .

169

Bei k o n s t a n t e r B e s c h l e u n i g u n g gilt:

s = sO + vO*t+ 1/2*a*t² s = sO+

1/2*(v0 + v)*t

v = sqr(v0

2

+ 2*a*s)

v = vO + a*t s

<> zurückgelegter Weg

zur Zeit v Zeit a

<>

der

Geschwindigkeit der

<>

(sO

= bereits zurückgelegter Weg

Betrachtung) (vO

=

Anfangsgeschwindigkeit zur

Betrachtung) Beschleunigung

t <> Zeit Beispiel: B ü h n e n w a g e n Ein B ü h n e n w a g e n f ä h r t m i t einer G e s c h w i n d i g k e i t v o n 3 m / s u n d w i r d d a n n m i t a = 2 m / s² f ü r e i n e Z e i t v o n 5s b e s c h l e u n i g t . W i e g r o ß ist s e i n e G e s c h w i n d i g k e i t n a c h d e r B e s c h l e u n i g u n g ?

v = v0 + a*t = 3m/s + 2m/s

2

*5s=13m/s

W e l c h e n W e g hat e r i n d i e s e r Zeit z u r ü c k g e l e g t ? s = vo *t +1/2 *a

*t²=3

m/s *5s +1/2 *2m/s *(5s) = 40m 2

2

Mit d e n Z u s a m m e n h ä n g e n d e r K i n e m a t i k u n d d e m d y n a m i schen Grundgesetz können nun Bewegungen von Körpern u n tersucht werden. Beispiel: P K W Ein P K W m i t einer M a s s e v o n m = 1 0 0 0 kg u n d einer A n f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t v o n vO = 20 m / s w i r d m i t einer Kraft v o n F = 3 0 0 0 N f ü r t = 10 s b e s c h l e u n i g t . W i e g r o ß ist s e i n e G e s c h w i n d i g k e i t nach der Beschleunigung?

170

B,

53 /$

$ /

-*

-* / 4

-*

/ 4

7 7 $5 / 4 / 4 4 / 4

04=;407 <08=@:<2,92 0490= ,3 8 4 > 8 = 9 8 9 > 1 0 < 9 ? 9 2 = > 0 3 > 049 4 9 / 0 < 9 4 = ) 4 0 2 < : H 8 ? = = / 4 0 < 0 8 = 6 < , 1 > = 0 4 9 ? 8 0 4 9 0 9 ?1;<,77 D? @0<804/09

7 42371

$4

81%(, 7 8(3'(0 /644

6/

5,..45$0' ;6 *(8<+3(0

423 / 4 $ /

/ 4

$ /

$

/ 4

0(*$5,7(

(4&+.(60,*60*

/ / 4

%3(/4(0

+04> /0< (0
7 7 $ 5 5 77 $ / 4

/ 4 4

0<1:

/$

-* / 4

-* / 4

171

B e i s p i e l : Seilrolle W i e g r o ß ist d i e G e s c h w i n d i g k e i t d e r M a s s e A n a c h 1 0 m ? W i e g r o ß ist d i e A u f l a g e r k r a f t d e r Seilrolle?

masselos

mB = 175kg

172

173

Da die Seilkräfte für beide M a s s e n gleich sind, kann m a n die Gleichungen zusammenfassen

GA - Ftr,A = Ftr,B + GB 2000N - mA*a 2000N

-

= mB*a

200kg

250N-200Kg*a 250N

=

+

1750N

*a=175kg =

*a+1750N

175kg*a

375kg*a

a = 250 Kg * v = sqr(vo

2

m/s /375kg

= 0,667 m/s

2

2

+ 2*a*s)

v = sqr(0 + 2 * 0,667m/s * 10m) = 3,65 m/s 2

S=Ftr,B + GB=mB*a + GB =

175kg *0,667+1750N =1867N

A u f l a g e r k r a f t a n d e r Seilrolle

A

= 2*1867 = 3733N

2 2 Ar e

d ne v

Z

z

Z

)

W <> Arbeit F <> Kraft s o

Weg

Führt m a n e i n e m S y s t e m A r b e i t z u , s o e r h ö h t s i c h d i e E n e r g i e . Die A r b e i t ist d i e Ä n d e r u n g d e r Energie. Energie ist g e s p e i c h e r tes Arbeitsvermögen. Die „ E n d e n e r g i e " b e r e c h n e t m a n :

E1 =E0 + W01 So ergibt sich der Arbeitssatz:

174

Hubarbeit:

W01

=E1

E

m*g*h

=

-E0 = m*g*(h1 (potentielle

-hO) Energie,

Lageenergie)

Masse m = 100kg von hO = Om auf hl = 5m heben. W01

= E1

=

-E0 = F*s = m*g*(h1

100kg*

9,81

m/s *(5m-0m)

-hO) =

2

4905Nm

Die Einheit d e r A r b e i t :

1

Nm=1Ws

(Wattsekunde)=

1J

(Joule)

Beschleunigungsarbeit:

W01 E =

=E1 1/2

-E0

=

1/2*m*v1 -1/2*m 2

VO

2

* m * v (kinetische Energie) 2

Masse m =

10 kg von vO =

10 m/s auf v1 = 20 m/s

beschleunigen. W01=E1

-E0=1/2*10kg*(20mls) -112*

10kg*

2

(10m/s)

2

= 1 5 0 0 Nm Federarbeit:

W01 E =

=E1 1/2

-E0=1/2*c

*s1

2

-1/2*c

*s0

2

* c * s (potentielle elastische Energie) 2

Feder mit Konstante c = 200 N/mm spannen 10 mm auf s1 W01=E1-E0= 200 N/mm

von sO =

=20 mm 1/2

* 200 N/mm

* (10mm)

2

* (20 mm)

2

-1/2*

= 30000 Nmm = 30 Nm

Weitere Arbeiten wie „Reibarbeit" werden nicht betrachtet. Der A r b e i t s s a t z k a n n v e r w e n d e t w e r d e n , u m u n b e k a n n t e D a t e n z u e r m i t t e l n . A l s B e i s p i e l w i r d d i e b e r e i t s b e r e c h n e t e Seilrolle herangezogen:

175

mA = 200kg Z u n ä c h s t w i r d d i e A r b e i t d e r „ ä u ß e r e n K r ä f t e " b e t r a c h t e t . Die M a s s e A gibt Arbeit ab, M a s s e B speichert Arbeit, die Auflagerkraft d e r Seilrolle leistet k e i n e A r b e i t . D a h e r k a n n f o l g e n d e A r b e i t des gesamten Systems berechnet werden: Arbeit d e r äußeren Kräfte:

W01

=-GA*s

+

GB*s

W01 = -2000 N* 10 m + 1750 N* 10 m W01 = -2500 Nm = -2500 J K i n e t i s c h e Energie d e s S y s t e m s :

E0 = 1/2*m* vO = 1/2 * (mA + mB) * vO = 0, weil v0 = 0 2

E1

176

=

1/2*(mA+mB)*v1

2

2

Arbeitssatz:

W01=E1-E0 W01 = 1/2 * (mA + mB) * v1 v1

2

= sqr(2 * W01/(mA+mB)) = sqr(2 * -2500 J/(200 kg +

175 kg)) = -3,65 m/s Das Ergebnis stimmt! U m d i e Seilkraft z u e r m i t t e l n , w i r d w i e d e r ein T e i l s y s t e m (z.B. M a s s e B) betrachtet.

177

Arbeit d e r äußeren K r ä f t e :

W01

=-Gb*s

+ S*s

K i n e t i s c h e Energie d e s S y s t e m s :

E0=1/2*m* vO = 1/2 *mB * vO = 0, weil vO = 0 2

E1

=

2

1/2 *mB *v1 =1/2*175 kg * (3,65 m/s) = 2

2

1165,7 Nm

Arbeitssatz:

W01=E1-E0 W01

=

-Gb*s

+

S*s = S =

1/2*mB*v1 S*s

=

2

1165,7Nm

1165,7Nm +1750 N* 10 m = 18665,7 Nm/10 m =

18665,7 Nm

1867N

Das E r g e b n i s s t i m m t !

12 3

g

Als Leistung bezeichnet m a n Arbeit pro Zeiteinheit.

P

=

W01/(t1-W)

Beispiel: Bremsvorgang eines Fahrzeugs Ein F a h r z e u g m = 1 0 0 0 kg f ä h r t m i t 5 m / s . In 3 0 m E n t f e r n u n g s t e h t ein H i n d e r n i s . W i e g r o ß m u s s d i e B r e m s l e i s t u n g s e i n , u m einen Aufprall zu vermeiden?

v

= sqr(vo

wobei v =

2

+ 2*a*s),

0 werden muss,

0

=

sqr((5 m/s)

0

=

(5m/s)

+

2

2

um Stillstand zu gewähren!

+ 2*a*30m) 2*a*30m

a = -(5 m/s) /(2 * 30 m) = -0,417 m/s 2

(negative

178

Beschleunigung

<>

2

bremsen)

Zeit d e r V e r z ö g e r u n g

v1 = vO + a * t t = (v1- vO)/a = (0-5 m/s)/(-0,417 m/s ) = 2

12s

Bremsarbeit

W01 =

-

=E1-E0

=

12500 Nm

umgewandelt Bremsleistung

0(negativ,

1/2*m*v0

2

=

-1/2*1000

kg*(5m/s)

da kinetische Energie in

2

Wärme

wird)

P = W01/(t1-tO) = 12500 Ws/12s = 1041,7 W

179

180

13. Anhang und Formelsamm ung Anhang 1 l u

n t

u

L

S t a n d a r d - Lastfälle f ü r Träger auf 2 S t ü t z e n

181

S t a n d a r d - Lastfälle f ü r T r ä g e r auf 2 S t ü t z e n

182

S t a n d a r d - Lastfälle f ü r T r ä g e r auf 2 S t ü t z e n

183

S t a n d a r d - Lastfälle für Träger auf 2 S t ü t z e n

184

Nutzung der Standard-Lastfall F o r m e l n i

m t 4 E

v Lasten je 55 kg

E t

t

t

l N .4 (

r

E

t

Die A b s t ä n d e d e r L a s t e n z u e i n a n d e r m ü s s e n g l e i c h s e i n , d i e A b stände zu den Lagern sind halb so groß. Zu

V ri

F c

=2,0

m

c/2 =1,0

m

L

=8,0

m

n

=4

k u

l

=0,55kN

(Anzahl der Lasten)

=2,0

(Faktor - je nach Anzahl der Lasten)

k i

A

= B = n*F/2 = 4*0,55kN/2=1,1

x

kN

ra

Gemäß Querkraftverlauf zwischen den Auflagern und den äußeren L a s t e n . G r ö ß e d e r m a x i m a l e n Q u e r k r a f t :

max/min

Q =A =B =

/ 1,1 kN

185

x m a x M = F * L / k = 0,55 kN * 8 , 0 m / 2,0 = 2,2 k N m (in d e r M i t t e ) i

r

r Zu

mi 3

r

n

r.7

nun

F a L/2 L uf

in

t

n

n

i

l

r

r

)

i

=0,6kN =1,0m = 3,5m =7,0m k i n

A = B = 3/2 *F = 3/2*0,6kN = 0,9kN xi

r

Größe der maximalen Querkraft zwischen d e m Auflager und der äußeren Last:

max/min

Q = + / - F = + / - 0,6 kN (maßgebend!)

Größe der maximalen Querkraft zwischen d e m Auflager und der inneren Last:

maximin Q = +/-F/2 =+/- 0,3 kN

186

i Über den Auflagern:

min M =-F* a =-0,6 kN*

1,0 m

= -0,6 kNm (maßgebend!)

In d e r M i t t e :

max M

=

F*(L/4-a)

=

0,6kN*(7,0ml4

-1,0m)

=

0,45

kNm

Der B e t r a g d e s B i e g e m o m e n t s i n d e r M i t t e u n d a n d e n S t ü t z e n w i r d bei d i e s e m Lastfall g l e i c h g r o ß , w e n n a = ( L / 8)

E

U

t

L

hnu

m

f

n

t z

t

E

n

n

t

q = 3,0 kN /1 4,0 m = 0,214 kN/m Z

z

q= a=

ri

l

0,214 kN/m 2,0 m

L = 10,0 m

187

l

n

A = B = q*(a + L/2) = 0,214kN/m *(2,0m + 5,0m) = 1,489kN x m

u

k

Größe der maximalen Querkraft zwischen d e m Auflager und Außenkante:

maximin Q = +/-q*a = +/-(0,214 kN/m *2,0m) = +/- 0,428 kN Größe der maximalen Querkraft zwischen den Auflagern:

maximin Q = +/-(q +/-1,07

kN

* L/2) = +/-(0,214 kN/m

* 5,0 m) =

(maßgebend!)

x Über den Auflagern:

min M = -q *a /2 = - 0,214 kN/m*(2,0 m)2/2 = -0,428 kNm 2

In d e r M i t t e :

maxM = (- q *a2/2) + q *L /8 2

= -0,428 kNm

+ 0,214 kN/m

* (10,0 m)2/8 = 2,247 kNm

(maßgebend!) Der Betrag d e s B i e g e m o m e n t s in der Mitte und an d e n Stützen w i r d bei d i e s e m Lastfall g l e i c h g r o ß , w e n n a = (L2/8)^0,5

Kleine F o r m e l s a m m l u n g für Verfahrensschritte Zu

n K

t n

1. Einzelne K r ä f t e in ihre K o m p o n e n t e n ( F i , x / Fi,y) z e r l e g e n . D a z u Sinus- bzw. Kosinusfunktion a n w e n d e n . 2. K o m p o n e n t e n zu resultierenden K o m p o n e n t e n z u s a m m e n f a s s e n . D a b e i V o r z e i c h e n b e a c h t e n . ( F r e s , x / Fres,y) 3. Resultierende K o m p o n e n t e n mit d e m Satz des Pythagoras zur Resultierenden zusammenfassen. 4. Richtung der Resultierenden b e s t i m m e n . Dazu die inverse Tangensfunktion anwenden.

188

, = " < : 2 < , 8 8 @ : 9 K + 0 9 > < , 7 0 = < E 1 > 0 = C = > 0 8 6:9><:7740<> / 4 0 <20-94==0 /4<06>

%>,-6<E1>0 @ : 8 9:>09;?96> A02 D04.3909

< E 1 > 0 49 43<0 : 8 ; : 9 0 9 > 0 9 D 0 < 7 0 2 0 9 7 0 4 . 3 2 0 A 4 . 3 > = - 0 / 4 9 2 ? 9 2 0 9 1 : < 8 ? 7 4 0 < 0 9 J4B J4C , - 0 4 8 4 > / 0 < 7 0 4 . 3 ? 9 2 - 0 2 4 9 9 0 9 A 0 7 . 3 0 9 ? < 0490 ' 9 - 0 6 , 9 9 > 0 - 0 493,7>0> ? 9 / / 4 < 0 6 > 0 4 9 0 F = ? 9 2 0 < 2 4 - > +A04>0 ,?1=>07709 F=?92 ,?= 0<=>0< 049=0>D09 ?9/ 7 0 4 . 3 ? 9 2 9 , . 3 ? 9 - 0 6 , 9 9 > 0 < <,1> , ? 1 7 F = 0 9 , = " < : 2 < , 8 8 @ : 9 K + 0 9 > < , 7 0 = < E 1 > 0 = C = > 0 8 6:9><:7740<> / 4 0 <20-94==0 49 =:A04> /,== /40 %>,-6<E1>0 ,9 5 0 / 0 8 9:>09 49 43<0< % ? 8 8 0 9?77 0 < 2 0 - 0 9 409> ,7= : 9 > < : 7 7 0 / 0 < - 0 < 0 . 3 9 0 > 0 9 )0<>0

704.37,=>09 D? <0=?7>40<09/09 <=,>D49D077,=>09 ? 8 < 0 . 3 909

7 0 4 . 3 2 0 A 4 . 3 > = - 0 / 4 9 2 ? 9 2 0 9 1 : < 8 ? 7 4 0 < 0 9 J4"?96> J4C ,-04 84> /0< % ? 8 8 0 /0< < 0 3 8 : 8 0 9 > 0 -0249909 + A 0 4 > 0 ,?1=>07709 ? 9 / -0<04>= -0<0.390>0 ?17,20<<0,6>4 :9 /:<> 049=0>D09 704.3?92 9,.3 DA04>0< ?17,20<<0,6>4:9 ,?17F=09 , = " < : 2 < , 8 8 @ : 9 K ? 1 7 , 2 0 < < 0 , 6 > 4 : 9 0 9 6:9><:7740<> / 4 0 < 20-94==0 /4<06>

? 1 7 , 2 0 < < 0 , 6 > 4 : 9 0 9 - 0 < 0 . 3 9 0 9 04 = C 8 8 0 > < 4 = . 3 0 9 , = > 1 E 7 7 0 9 /4<06> 049D04.3909

# ? 0 < 6 < , 1 > 1 : 7 2 > / 0 9 E ? H 0 < 0 9 4 9 A 4 < 6 ? 9 2 0 9 04 49D077,=>09 = ; < ? 9 2 3 , 1 > -04 7 0 4 . 3 7 , = > 0 9 7490,< $ 4 . 3 > ? 9 2 = > 0 > = A 4 0 / 4 0 E?H0<09 ,=>09

189

3 . M o m e n t e n v e r l a u f e r g i b t s i c h a u s d e m Q u e r k r a f t v e r l a u f . Die F l ä c h e u n t e r d e r Q u e r k r a f t ist g l e i c h d e r M o m e n t e n ä n d e r u n g . Positive Querkraft > M o m e n t steigt. Querkraft = 0 > M o m e n t bleibt

konstant.

Negative Querkraft >

M o m e n t fällt.

Bei

s p r u n g h a f t e r Q u e r k r a f t ist d i e M o m e n t e n l i n i e linear. Bei l i n e a rer Q u e r k r a f t ist d i e M o m e n t e n l i n i e p a r a b o l i s c h . D a s P r o g r a m m v o n C D „ B i e g e m o m e n t u n d Q u e r k r a f t " liefert d i e E r g e b n i s s e f ü r e i n i g e S t a n d a r d Lastfälle d i r e k t ! un

n

1. Normalspannung sigmaN = N / A 2. Biegespannung sigmaB = M/W 3. Mittlere

Scherspannung/Schubspannung taum =

F /A s

4. Lochleibungsspannung sigmaL = Fj_/(d* t) N

=

M

=

F

=

s

Fl

Normalkraft Biegemoment Scherkraft einer Scherfuge = Lochleibungskraft einer Lasche

Das P r o g r a m m v o n C D „ R e c h t e c k - H o h l p r o f i l - G e o m e t r i e " u n d „ R u n d r o h r - G e o m e t r i e " liefern d i e b e n ö t i g t e n P r o f i l d a t e n f ü r d i e N o r m a l s p a n n u n g (A) u n d d i e B i e g e s p a n n u n g (W). h

n

r

(Ist als s o l c h e s n i c h t i m B u c h erklärt w o r d e n . D a z u ist e i n e d e taillierte A u s b i l d u n g z . B . g e p r ü f t e r M e i s t e r f ü r VT, S a c h k u n d i g e r f ü r V e r a n s t a l t u n g s r i g g i n g , o.a. nötig!) 1 . K n i c k l ä n g e s k n a c h d e m z u g e h ö r i g e n Eulerfall b e s t i m m e n . 2. T r ä g h e i t s r a d i u s i f ü r d a s e n t s p r e c h e n d e Profil a b l e s e n . 3. S c h l a n k h e i t s g r a d I b e r e c h n e n : lambda = s k / i 4. O m e g a omega aus der Knickzahlentabelle des Werkstoffs ablesen 5. K n i c k s p a n n u n g b e r e c h n e n sigmak = N / A * omega 6. Knickspannung mit zulässiger Knickspannung vergleichen

190

Anhang 2 r

un

A2 Zw r

l

u

äg Z

t

r

i Die B e r e c h n u n g e r f o l g t m i t B e i w e r t e n , d i e in f o l g e n d e r Tabelle gelistet sind.

Erläuterung d e r F o r m e l z e i c h e n :

i

M1

<> Biegemoment innerhalb

des Feldes

1

(zwischen A und B) min

MB

<>

Biegemoment über der mittleren

Stütze

(Stützmoment) A

<>

maxB min

Auflagerkraft A <>

QBl

Auflagerkraft B <> Querkraft links vom Auflager B

191

i

l l maxM1

<>

Biegemoment innerhalb

des

Feldes

1

(zwischen A und B) MB

<>

max A min

Biegemoment

über der mittleren

Stütze

<> Auflagerkraft A

C <> Auflagerkraft C

Die Z u s ä t z e m i n / m a x z e i g e n a n , d a s s hier ein E x t r e m v o r l i e g t . Zur Beurteilung eines Trägers m u s s vor allem das S t ü t z m o m e n t untersucht werden. v r

t

Für A u f l a g e r :

Für Q u e r k r ä f t e : Für B i e g e m o m e n t e :

k

A

= k*l*q

B

=

k*l*q

C

=

k*l*q

Q

=

k*l*q

M = k*l *q 2

Alle B e r e c h n u n g e n s i n d für Feld 1 u n d 2 s p i e g e l s y m m e t r i s c h . Die B e i w e r t e s i n d nur für Feld 1 (links) a n g e g e b e n , g e l t e n a b e r a u c h f ü r Feld 2 (rechts) Beispiel: Traverse mit 3 Stützen

192

l

k

t

u

A = C = k *l *q = 0,375 *8,0m*0,5kN/m = l

k

B u

1,5kN

t

=

k*l*q=1,25*8,0m*0,5kN/m

=

5,0kN

k

Q = k*l*q

=-0,625* 8,0 m* 0,5 kN/m = -2,5 kN

m n

M1/2

=

m n

h

k*l *q 2

ü

l

=

0,07*(8,0m) *0,5 2

r

t

MB = -0,125 * (8,0 m)

2

r

kN/m

=

2,24

kNm

ü z

* 0,5 kN/m = -4,0 kNm

Wichtig: Das m a ß g e b e n d e B i e g e m o m e n t ergibt sich über der m i t t l e r e n S t ü t z e ! S e l b s t w e n n d i e Traverse f ü r ein d e r a r t i g e s B i e g e m o m e n t z u l ä s s i g ist, s o k a n n bei G r o u n d s u p p o r t s u n d d e r V e r w e n d u n g v o n b e s t i m m t e n S l e e v e b l ö c k e n hier ein P r o b l e m entstehen, da der Sleeveblock im Bereich der größten B e a n s p r u c h u n g liegt. I n s b e s o n d e r e bei S l e e v e b l ö c k e n a u s P l a t t e n e n t s t e h e n g r o ß e D e f o r m a t i o n e n , w e n n d i e V e r b i n d e r w e i t i n n e n liegen. Die G u r t kräfte erreichen erhebliche Werte, die eine Platte schnell überlasten (s. 8.2 Innere K r ä f t e d e r G u r t r o h r e ) W ü r d e l e d i g l i c h ein Feld b e l a s t e t w e r d e n , s o k ö n n t e n s i c h ein a b h e b e n d e s A u f l a g e r e r g e b e n , w e n n d i e E i g e n l a s t d e r Traverse z u g e r i n g w ä r e . D a s g r ö ß t e B i e g e m o m e n t läge i m b e l a s t e t e n Feld

M1 = 0,096 * (8,0 m) * 0,5 kN/m = 3,072 kNm 2

193

A2 2 D mi ü

l

)

Die B e r e c h n u n g e r f o l g t m i t B e i w e r t e n , d i e in f o l g e n d e r Tabelle gelistet sind.

Die F o r m e l z e i c h e n w e r d e n e b e n s o g e n u t z t , w i e u n t e r A n h a n g 2 , Zweifeldträger beschrieben.

194

B e i einer konstanten Gleichlast e r g e b e n s i c h f o l g e n de Feststellungen: 1 . Die g r ö ß t e S t ü t z k r a f t e r g i b t s i c h a m A u f l a g e r B , w e n n l e d i g l i c h d i e b e i d e n a n d a s A u f l a g e r a n g r e n z e n d e n Felder b e l a s t e t w e r d e n (k = 1,2). 2 . Die m a ß g e b e n d e Q u e r k r a f t liegt links v o m A u f l a g e r B , w e n n l e d i g l i c h d i e b e i d e n a n d a s A u f l a g e r a n g r e n z e n d e n Felder b e lastet w e r d e n (k = - 0 , 6 1 7 ) . 3. Das m a ß g e b e n d e B i e ge mome nt entsteht über Auflager B, w e n n lediglich die beiden an d a s Auflager angrenzenden Feld e r b e l a s t e t w e r d e n (min M b , k = - 0 , 1 1 7 ) . I n n e r h a l b d e r F e l d e r e r r e i c h t d a s B i e g e m o m e n t m a x i m a l e W e r t e , w e n n nur d i e b e i d e n ä u ß e r e n Felder b e l a s t e t w e r d e n ( m a x M 1 , k = 0,101). B e i s p i e l : Traverse a n 4 Seilen a u f g e h ä n g t ( B e r e c h n u n g o h n e E i genlast) L a s t e n : B e l e u c h t u n g s k ö r p e r mit e i n e m G e w i c h t v o n j e 1 5 k g s o l len verteilt w e r d e n . E s w e r d e n m a x i m a l 2 S t ü c k p r o M e t e r a u f g e h ä n g t . U m alle E v e n t u a l i t ä t e n z u b e r ü c k s i c h t i g e n m ü s s e n v e r schiedene Lastkonstellationen geprüft werden.

l

q = 2*0,15 kN/m = 0,3 kN/m m

maxB

i

uf

=

maxC

r

=

(Z

r

k*l*q=1,2*6,0m*0,3kN/m

=

2,16kN

k

min

QBL

= k*l*q = -0,617*6,0m*0,3 kN/m

=

1,11

kN

195

min MB = min MC = -0,117* (6,0m) *0,3 kN/m = -1,26 kNm 2

A2 3 V

räg n

nf

rf l

rn

t

ü z

Die B e r e c h n u n g e r f o l g t m i t B e i w e r t e n , d i e in f o l g e n d e r Tabelle gelistet s i n d .

Diese Tabelle w i r d e b e n s o a n g e w a n d t w i e v o r h e r i g e .

196

Anhang 3 i

b ilk

f

h n

ll

r

n

l

Bridle Tabellenkalkulation Die D a t e n f ü r G , s o w i e F 1 u n d F 2 s i n d als F a k t o r e n für d i e b e l i e b i gen Kräfte berechnet. B s p . : s i e h e S e i t e 2 d e r Tabelle G = 6,7 k N a = 25° ß = 5° F1 = 6 , 7 k N * 1 , 9 9 = 1 3 , 3 3 k N F2 = 6 , 7 k N * 1 , 8 1 = 1 2 , 1 3 k N

B i t t e b e a c h t e n Sie, d a s s d i e z u g e h ö r i g e n W i n k e l z w i s c h e n Seil und der

H o r i z o n t a l e n z u f i n d e n s i n d . S i n d Ihnen l e d i g l i c h d i e

W i n k e l z w i s c h e n d e r Vertikalen u n d d e m Seil b e k a n n t , s o l a s s e n sich die Winkel schnell u m - rechnen: alfa = 9 0 ° - (Winkel z w i s c h e n d e r Vertikalen u n d F1) ß = 9 0 ° - (Winkel z w i s c h e n d e r Vertikalen u n d F2) B s p : W i n k e l z w i s c h e n d e r Vertikalen u n d F1 = 5 5 ° alfa = 9 0 ° - 5 5 ° = 3 5 ° Standard A n s c h l a g m i t t e l , mehrsträngig, alfa,ß > 3 0 ° !

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

I

208

Anhang 4 B

A4 1 Au ag r eak ion n Dieses P r o g r a m m ermöglicht die Kontrolle der selbst angestellt e n B e r e c h n u n g e n a u s A b s c h n i t t 3.3. A l s e r s t e s B e r e c h n u n g s b e i s p i e l soll d i e Travers e a u s S . 6 0 d i e n e n . Hier d i e E i n g a b e m a s k e i m P r o g r a m m

Die B e r e c h n u n g p e r H a n d e r g a b :

A = 3,6kN B = 8,4 kN H i n z u w u r d e d i e Eigenlast d e r K e t t e n z ü g e a d d i e r t .

209

z

i

ll

i

i n

Hier d i e E i n g a b e m a s k e :

D a s Feld „ P o s i t i o n l i n k s " b e i n h a l t e t d e n A b s t a n d d e s linken A n f a n g s d e r G l e i c h l a s t z u m A u f l a g e r A . Dieser W e r t ist negativ, w e n n d i e G l e i c h l a s t links v o m A u f l a g e r A b e g i n n t . D a s Feld „ B r e i t e r e c h t s " ist d i e E i n g a b e f ü r d i e A u s d e h n u n g d e r G l e i c h l a s t n a c h rechts. Dieser Wert m u s s i m m e r positiv sein. Die b e r e c h n e t e n W e r t e s i n d i d e n t i s c h .

A 2 B ege ome e

dQ ekä e

D i e s e s P r o g r a m m b e r e c h n e t d i e S c h n i t t k r ä f t e für eine K o m b i n a t i o n v o n drei S t a n d a r d - L a s t f ä l l e n . B e i s p i e l : Traverse m i t 4 E i n z e l l a s t e n , s i e h e A n h a n g 1, S. 1 8 4 Eingabemaske des Programms:

210

Zuvor wurden berechnet:

M

=

2,2kNm

Q=1,1kN G e r i n g f ü g i g e A b w e i c h u n g e n resultieren a u s d e r U m r e c h n u n g k g < > k N . D a s P r o g r a m m r e c h n e t m i t 1 k g < > 9,81 N e x a k t . D a s P r o g r a m m ü b e r l a g e r t d i e v e r s c h i e d e n e n Lastfälle b e l i e b i g u n d k a n n d i e Eigenlast d e s Trägers b e r ü c k s i c h t i g e n . Die e r r e c h n e t e n D a t e n s i n d allemal a u s s a g e f ä h i g e r als d i e b e kannten Belastbarkeitstabellen von Traversen.

A4.3 D c bi

g vo

g rn

Dieses P r o g r a m m berechnet die Durchbiegung eines Trägers u n t e r G l e i c h l a s t u n d / o d e r einer m i t t i g e n Einzellast i n v e r t i k a l e r Richtung. Die f o l g e n d e n P a r a m e t e r s p i e l e n e i n e Rolle bei d e r D u r c h b i e gung: 1 . W e r k s t o f f > b e s t i m m t d e n E - M o d u l - d i e Elastizität d e s M a t e rials. J e h ö h e r d e r W e r t , d e s t o steifer ist d a s M a t e r i a l . E s k a n n z w i s c h e n S t a h l u n d A l u m i n i u m v o r g e w ä h l t w e r d e n : E(Stahl) = 2 1 0 0 0 0 N / m m , E(Alu) = 7 0 0 0 0 N / m m . W i r d ein a n d e r e s M a 2

2

terial g e w ü n s c h t , s o k a n n d e r E - M o d u l v o n H a n d e i n g e g e b e n

211

w e r d e n . (z.B. N a d e l h o l z E = 1 0 0 0 0 N / m m ) . Die E - M o d u l e v e r 2

schiedener Alu

Legierungen sind im Gegensatz zu deren

F e s t i g k e i t e n n a h e z u g l e i c h . E b e n s o ist e s bei S t a h l . S o b i e g t s i c h z . B . ein A l u G i t t e r t r ä g e r m i t einer h o c h f e s t e n L e g i e r u n g genau so weit d u r c h , wie der gleiche Gitterträger aus einer w e n i g e r f e s t e n L e g i e r u n g . J e d o c h w i r d d e r w e n i g e r f e s t e Träger bei w e i t e r e r L a s t s t e i g e r u n g f r ü h e r v e r s a g e n . 2. D a s F l ä c h e n m o m e n t 2 . G r a d e s ly > b e s t i m m t d i e S t e i f i g k e i t d e s Profils d e s T r ä g e r s . Dieser W e r t k a n n für R e c h t e c k / Q u a drat-Hohlprofile im Programm "Rechteck-Hohlprofile" ermittelt w e r d e n . E b e n s o k a n n d e r W e r t l y f ü r T r a v e r s e n i m P r o g r a m m " T r a v e r s e n G e o m e t r i e " b e r e c h n e t w e r d e n . Für viele Standard-Profile im Stahlbau gibt es Tabellen, in d e n e n die W e r t e l y d e r Profile g e l i s t e t s i n d . Für Q u a d r a t r o h r e u n d R u n d r o h r e w i r d nur I ( o h n e y ) a n g e g e b e n , d a n i c h t f ü r u n t e r schiedliche Achsen (Biegerichtungen) unterschieden wird, s o n d e r n i n alle R i c h t u n g e n g l e i c h e S t e i f i g k e i t b e s t e h t . 3 . Die L ä n g e d e s T r ä g e r s ist ein w e i t e r e r P a r a m e t e r , w e l c h e r ü b e r d i e D u r c h b i e g u n g e n t s c h e i d e t . Die D u r c h b i e g u n g s t e i g t m i t E x p o n e n t 3 (bei Einzellast) b z w , m i t E x p o n e n t 4 (bei Gleichlast) i m B e z u g auf d i e L ä n g e . 4 . Die L a s t fließt p r o p o r t i o n a l i n d i e D u r c h b i e g u n g e i n .

Im P r o g r a m m kann die Eigenlast d e s Trägers e i n g e g e b e n , o d e r a u t o m a t i s c h b e r e c h n e t w e r d e n . Falls als W e r k s t o f f S t a h l (St), o d e r A l u m i n i u m (AI) u n d eine Q u e r s c h n i t t s f l ä c h e e i n g e g e b e n w e r d e n , s o b e r e c h n e t d a s P r o g r a m m d i e Eigenlast d e s Trägers a u t o m a t i s c h . Für G i t t e r t r ä g e r sollte d i e Eigenlast e i n g e g e b e n w e r d e n , d a bei d e r a u t o m a t i s c h e n B e r e c h n u n g n u r d i e Q u e r schnittsfläche der Gurtrohre berücksichtigt wird, nicht aber die Verbinder, B r a c e s e t c .

212

B e i s p i e l : A l u D r e i p u n k t Traverse u n t e r G l e i c h l a s t Eigenlast:

10 k g / m

Anzahl Gurtrohre:

3

H ö h e d e r T r a v e r s e (außen): Durchmesser Gurtrohre:

450 mm 50 mm

Wandstärke Gurtrohre:

4 mm

daraus ergeben sich die folgenden Statische Werte (Programm „Traversen- Geometrie" A4.5):

A= ly =

17,342 cm 6212,129

cm

2

4

Last 75 kg / m

213

Eingabemaske des Programms:

Die b e r e c h n e t e D e f o r m a t i o n b e t r ä g t 5 , 9 9 m m i n d e r M i t t e d e s T r ä g e r s . O b d i e Traverse d e r B e a n s p r u c h u n g S t a n d hält, h ä n g t von d e m zulässigen B i e g e m o m e n t und der zulässigen Querkraft ab, welche konstruktionsbedingt sind.

214

B e i s p i e l : S t a h l t r ä g e r IPB 2 0 0 ( „ D o p p e l T-Träger" m i t 2 0 0 m m Höhe/Breite) aus St37-2 ä

A = 78,1 cm ly

=

Wy

2

5700cm =

570

4

cm³

Biegespannung s. Asteg

=16,6

cm

(Widerstandsmoment zur Ermittlung

der

7.1) 2

(Querschnittsfläche

des

Steges)

Länge des Trägers: L = 15,5 m Last:

mittige

Einzel

last

F=10,3kN

Eingabemaske des Programms:

Die D e f o r m a t i o n b e t r ä g t 1 0 3 , 2 5 m m . Die T r a g f ä h i g k e i t k a n n ebenfalls überprüft w e r d e n . Dazu wird das m a ß g e b e n d e Biegem o m e n t u n d die Querkräfte berechnet.

215

Die E i n g a b e m a s k e d e s P r o g r a m m s „ B i e g e m o m e n t e u n d Q u e r kräfte" sieht wie folgt aus.

Die B i e g e s p a n n u n g w i r d w i e f o l g t b e r e c h n e t (s.7.1)

M = 57,21 kNm = 5721 kNcm sigmaB < 16,0

= M/W = 5 7 2 7 kNcm/570 cm =10,04 kN/cm 3

kN/cm

2

x = Q /Asteg = 9,71 kN/16,6 cm < 9,2

kN/cm

2

= 0,58 kN/cm

2

Der Träger hält d e r B e a n s p r u c h u n g s t a n d .

216

2

A

Pro geo e e n

at

e We e

D i e s e s P r o g r a m m b e r e c h n e t d i e s t a t i s c h e n W e r t e e i n e s Profils m i t R e c h t e c k / Q u a d r a t - Q u e r s c h n i t t . Die W a n d s t ä r k e n k ö n n e n beliebig eingesetzt werden. Die A u s g a b e w e r t e d e s P r o g r a m m s e r m ö g l i c h e n e i n e n a c h f o l gende Berechnung von Biegespannungen oder Deformation. Für d e n N u t z e r m i t g u t e n K e n n t n i s s e n d e r F e s t i g k e i t s l e h r e w e r den weitere Daten ausgegeben. Beispiel: B e r e c h n u n g der statischen Werte eines Q u a d r a t h o h l profils 9 0 x 9 0 x 5 Eingabemaske des Programms:

In e i n e m e n t s p r e c h e n d e n T a b e l l e n b u c h f . S t a h l p r o f i l e e r s c h e i nen folgende Werte:

A

=

I W =

16,7 cm

= 200 cm

2

4

44,4 cm

3

Die e r r e c h n e t e n D a t e n liegen ü b e r d e n W e r t e n d e r Tabelle, d a d i e R a d i e n d e r Profile i m P r o g r a m m n i c h t b e r ü c k s i c h t i g t w e r d e n . A u s d i e s e m G r u n d s o l l t e n d i e b e r e c h n e t e n W e r t e nie b i s z u r 1 0 0 % A u s n u t z u n g d e s Profils a n g e s e t z t w e r d e n .

217

Für R u n d r o h r e ist ein a d ä q u a t e s P r o g r a m m auf d e r C D e n t h a l t e n . Für I-Träger u n d a n d e r e S t a n d a r d - S t a h l p r o f i l e g i b t e s P r o f i l datenblätter im Handel. Die W e r t e s i n d rein g e o m e t r i s c h e r Natur. Sie k ö n n e n f ü r Profile aus beliebigen Materialien verwendet w e r d e n

218

A4

averse G

er

Dieses P r o g r a m m berechnet die statischen Werte eines Gittert r ä g e r s . Die A u s g a b e w e r t e d e s P r o g r a m m s e r m ö g l i c h e n e i n e n a c h f o l g e n d e B e r e c h n u n g v o n D e f o r m a t i o n e n , o d e r einer ü b e r schlägigen S p a n n u n g s b e r e c h n u n g in den Gurtrohren mit d e m W i d e r s t a n d s m o m e n t . Allerdings kann die Berechnung nicht die T r a g f ä h i g k e i t d e r Traverse n a c h w e i s e n , d a d i e V e r b i n d e r n i c h t b e r ü c k s i c h t i g t s i n d (s. 8.0). B e i s p i e l : A l u D r e i p u n k t Traverse (s. B e i s p i e l A 4 . 3 ) Eingabemaske des Programms:

Die s t a t i s c h e n W e r t e für l y k ö n n e n w e i t e r f ü h r e n d für e x a k t e D e formationsberechnungen

genutzt

nungsberechnung

mit

kann

Wy

werden. als

Eine

Biegespan-

Überschlagsrechnung

durchgeführt w e r d e n . Da die Verbindung zweier Traversenelem e n t e n i c h t b e r ü c k s i c h t i g t ist, d a r f d i e B e r e c h n u n g n i c h t als Tragfähigkeitsnachweis dienen.

219

A4 6 Z

ra es K ä e y

Dieses P r o g r a m m e r m ö g l i c h t d i e K o n t r o l l e v o n s e l b s t b e r e c h n e ten Daten im zentralen Kräftesystem. Es können die resultierend e n K r ä f t e v o n bis z u z e h n K r ä f t e n e r r e c h n e t w e r d e n . D a s P r o g r a m m a d d i e r t d i e e i n g e g e b e n e n Kräfte. Die Z e r l e g u n g d e r Kräft e i n K o m p o n e n t e n ist e b e n f a l l s a u s g e g e b e n . Beispiel: Zentrales Kräftesystem LED J u m b o t r o n S. 41 Die S e i l k r ä f t e s i n d zu S1 = 4 4 , 3 8 kN u n d S2 = 2 8 , 5 3 kN b e r e c h net w o r d e n . Diese b e i d e n K r ä f t e m ü s s e n i n d e r A d d i t i o n g e n a u der Anhängelast von 34,0 kN entsprechen, aber entgegengesetzt zur Anhängelast wirken, damit Gleichgewicht herrscht. Eingabemaske des Programms:

Die Last F1(S1) w i r d m i t e i n e m W i n k e l v o n 3 2 0 ° e i n g e g e b e n , d a das P r o g r a m m senkrecht nach o b e n mit 0° festgelegt und rechts h e r u m d i e W i n k e l d a z u a d d i e r t w e r d e n . Der W i n k e l d e r r e s u l t i e r e n d e n L a s t zeigt s e n k r e c h t n a c h o b e n , d a s b e d e u t e t , d a s s bei Gleichgewicht die Anhängelast senkrecht nach unten zeigt. Beispiel: Z e n t r a l e s K r ä f t e s y s t e m „ K a m e r a a n S e i l f ü h r u n g " S . 4 6 . A l s w e i t e r e s Beispiel w i r d d i e Kraft a m l i n k e n M a s t d e r A b s p a n nung untersucht. Es w e r d e n d i e L a s t e n S1 = 1,97 kN u n d S3 = 4 , 3 8 kN e i n g e g e b e n

220

Eingabemaske des Programms:

Die r e s u l t i e r e n d e Last d e r b e i d e n Seile z e i g t s e n k r e c h t n a c h u n t e n (180°). D a h e r m u s s d i e Kraft d e s M a s t e s s e n k r e c h t n a c h o b e n z e i g e n u m G l e i c h g e w i c h t z u e r z e u g e n . Der B e t r a g d e r L a s t ist i d e n t i s c h m i t d e r z u v o r b e r e c h n e t e n .

221

Index Aluminium-Traversen Ankathete/Hypotenuse

117 20

Einzellast Energie

Anschlagkette

148

Arbeit

174

Fachwerk

147

Flächenlast

Arbeitssicherheit

94 174 69,126,157 153

Auflager

54

Flaschenzug

Auflagerbedingungen

54

Flanschplatten

124

30,126

Freiheitsgrade

55

Auflagerkräfte Beschleunigung

163

Gabelverbindung

Biegebeanspruchung

107

Gegenkathete/Hypotenuse

Biegehauptgleichung

109

Biegemoment

92,107

34

85 — 2 0

„GGB", Gleichgewichtsbedingungen...30

Bolzen

124

Gerüst

70

Bremsvorgang

171

Gleichgewicht von Kräften

29

Bridle

150

Gurtkräfte

141

Bühnenelemente

154

Gurtrohr

118

Bühnenpodest

156

CAD

28

Hängepunkt

24

Hebelarm

58

Heben

164 149

Datenblatt

141

Hebezeuge

Dehngrenze

135

horizontalen Richtung

137

Diagonal-Strebe

118

H o r i z o n t a l last

157

Horizontallasten

153 124

Drehpunkt

55

Dreiecks-

154

Hülsen

Dreiecks-Trapezlast

154

Hubbühne

124

Drei-Punkt-Traverse

123

Hublastbeiwerte

166

dynamische Lasten

167

Hypothenuse

222

20

140

PA-Cluster

Kegelstift

124

Podeste

Ketten

147

Pythagoras

Katalog

Kicksicherheiten Kniehebel

23

83 137

Komponenten

17

Kraft

12

Kurbelstativ

35

Querkraft

92,107

Querkräfte

141

Rahmen

156

Rahmenstab

133

Laschen-Verbindungen

125

r e s u l t i e r e n d e Einzellast

Lasten

154

r e s u l t i e r e n d e Kraft

Leichtbau-Konstruktionen

134

Rundstahlkette

Leistung

178

Lineares Kräftesystem

60 153

15

Satz des Pythagoras

64 16,24 149 19

52

S e i t e n a n s i c h t - O p e n - A i r - B ü h n e . .76

Lochleibung

87

Schäkel

Lochleibungsspannung

87

Scherkraft

85

Scherspannung

86 81

Livelines

147

Massenkräfte

148

Schnittgrößen

Massenträgheit

164

Schnittgrößenverläufe

96

105,136

Schnittkräfte

81

148

Schnittlasten

81

Schnittufer

92

Mehrfeldträger Mindestbruchkraft Moment

53,132

Schrauben

85

Nennlast

148

Schweißeignungsnachweis...

n e u t r a l e n Faser

108

Seil

Newton Normalkraft Normalspannung Nullstab Nullstäbe

14

Seilkraft

81,92

Seiltrie b

145 147 33,77 32

Senken

164

131

Sicherheitsfaktor

148

127

Spannung

83,123

81

223

Spigot

124

Wärmeeinflusszone

Stabkraft

82

Werkstoff

Stabkräfte

71

Werkstoffe

76

Widerstandsmoment

Stahlseilverband Streben

126

Strebenanordnungen

130

Strebenkräfte

130

Streckenlast

64,153

135 83,89,109,117

Windlast Zentrales Kräftesystem

134 109,160 77 22

Zugfestigkeit

135

Streckenlasten

102

zulässige Spannung

159

Symmetrie

131

zulässige Spannungen

109

T h e a t e r , Seiltrie b i m Toleranzen

32 138

Tothängen

149

Tragfähigkeit

148

Trägheitskraft Traverse Umlenkrolle Umrandungsträger

164 6 0 , 6 3 , 91 38 155

Unfallverhütungsvorschrift BGV C1 147 Unterzug

155

Verbinder

118

Verbindungsmittel

124

Versatz

132

verteilte L a s t e n Vier-Punkt-Traverse

224

63 120

225

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