Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik, 16. Auflage

1/J, \}J w,Q

Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

1

1 Grundlagen und Hilfsmittel 1.1 Mengen und Aussagen Begriffsbildungen, Vorgehensweisen und Erkenntnissein einerWissenschaftsdisziplin lassensichimmer dann präzise und zweifelsfrei darstellen, wenn eine geeignete Fachsprache zur Verfügung steht, diezwar auf der Umgangssprache basiert, deren Vokabeln und deren Grammatikaber vollständig und eindeutig definiert sind und bei korrekter Anwendung keiner Interpretationswillkür unterliegen. Zu den wichtigsten klassischenGrundbausteinen der mathematischen FachsprachegehörenElementeder Mengenlehre und der Aussagenlogik. Wir wollen diese Elemente so weit darstellen, wiewirsie zur bequemenAnwendung der Mathematik auf ökonomische Problemebenötigen. Ziel dabei ist nicht, die Mengenlehre und Aussagenlogik als eigenständige mathematischeDisziplinen abzuhandeln, sondernihresprachlichen und logischen Begriffsbildungen für eine möglichst einfache, dabei aber gleichzeitig möglichst präzise und unmissverständliche Beschreibung und Handhabungmathematischer Methodenbereitzustellen.

1.1.1 Mengenbegriff Von Georg Cantor (1845-1918), demBegründer der klassischen Mengenlehre, stammtdiefolgende (für unsere Zwecke geeignete) Definition einer Menge: Def, 1.1.1: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte un-

sererAnschauungoder unseresDenkens- welchedie Elementeder Mengegenanntwerden - zu einemGanzen. Beispiel 1.1.2: Die natürlichen Zahlen von 3 bis 7 bilden eine Menge. Bezeichnenwirdiese Menge mit Al, so sagenwir, die Zahl 4 seiein Elementvon A, die Zahl 9 sei keinElementvon A usw.

I

FolgendeSymbole für die Elementbeziehung haben sich eingebürgert: 4 E A bedeutet: 4 ist ein Element der Menge A (oder: 4 gehört zu A) 9 EI: A bedeutet: 9 ist kein Element der Menge A (oder: 9 gehört nichtzu A) Man kann Mengenbeschreiben i) durch Aufzählen ü) durch Angabe der sie charakterisierenden Eigenschaft üi) durch graphischeDarstellung. Dabei dürfen Mengennur derart gebildetwerden, dassfür irgendein Objekt eindeutigfeststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht. So kann man etwa die ))Menge aller sehr hohen Berge"nicht bilden,da nicht eindeutig feststeht, bei welcher Höhe ein Berg sehr hoch ist oder nicht. Um darüber hinaus logischen Widersprüchen innerhalbder Mengenlehre aus dem Wegegehen zu können, dürfen bestimmteMengen wieetwa))Menge allerMengen"nicht gebildetwerden.

Bemerkung 1.1.3: DieFulZ;Y Logic (Logik unscharfer Mengen) ist in derLage, auchderartige unscharfe mengenbildende Eigenschaften sinnvollzu verarbeiten, indemsienämlich nichtnur-wie beidertraditionellen zweiwertigen Logik - striktnur" wahr" oder,Jalsch", nur E oder EI: zulässt, sondern auchZwischenstufen der Zugehörigkeit. So könnte man etwa - um beim obigen Beispiel zu bleiben - jeden in Frage kommenden (mehroderweniger hohen) Berg mit seinem Namen und zusätzlich mit einem (zwischen 0 und 1 gelegenen) Zugehörigkeitsgrad zur "Menge dersehrhohenBerge (( anführen, also etwa: 1

Mengenwerdengewöhnlichmit großenlateinischenBuchstabenbezeichnet.

J. Tietze, Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik, DOI 10.1007/978-3-8348-8132-8_1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

1

2

Grundlagen und H ilfsmittel

{(Mount Ev erest/LDtl}; (Mo nt Bla nc/O, 95); (Z ugsp itze/ O,85); (L ousberg/D,01) usw. ) . Fuzzy L ogic k ann bemerkenswerte Erfo lge bei der Steuerung k omplexer Systeme für sich verbuchen, siehe etwa [8a] oder [43].

i) Werden die Elemente einer Menge aufgezählt, so setzt man alle vorkommenden Elemente in geschweifte Klammern (Mengenklammern): A = {3, 4, 5, 6, 7} . Dabei ist die Reihenfolge innerhalb der Mengenklammern unerheblich. Man hätte auch schreiben können: A = {3, 7, 5, 6, 4} usw. Ha t eine Menge (wie A in Beispiel 1.1.2) nur endlich viele Elemente, so heißt sie endliche Menge, andernfalls unendliche Menge. Beispiel 1.1.4: Die Menge JN = {l , 2, 3,...} aller natürlichen Z ahlen ist eine unendliche Menge. Da nicht alle Elemente aufgezählt werden können, führt man die ersten Elemente auf und deutet durch Punkt e an, dass "es so weiter gehen soll".

I

ii) Häufig werden Mengen dadurch gebildet, dass man die Eigenschaften oder Merkmale der Elemente dieser Menge explizit angibt. Um etwa die Menge A (vgl. Beispiel 1.1.2) mit A = {3, 4, 5, 6, 7} zu

charakterisieren, sagt man: "A ist die Menge aller derjenigen natürlichen Zahlen x , für die gilt: x ist größer als 2 und gleichzeitig kleiner als 8." Für diese Sprechweise gibt es folgende symbolische Schreibweise:

A = {XEJN

12 < x < 8}

.

I

Beispiel 1.1.5: a) Gegeben sei die Menge P mit: P = {x E JN x ist eine ungerade Primzahl }. P ist also die Menge aller Primzahlen außer der (einzigen) geraden Primzahl 2 : P = {3, 5, 7, 11, 13,...}.

I

b) Gegeben sei die Menge L mit L = {XEJN x 2 = 4} (Gelesen: L ist die Menge aller natürlichen Zahlen x . fur die x 2 = 4 wahr ist) . Da von den beiden Lösungen 2, -2 der Gleichung x 2 = 4 nur die Z ahl 2 aus JN ist, gilt: L = {2 } . iii) Zur graphischen Veranschaulichung von Mengen benutzt man häufig sogenannte Venn-Diagramme,

d.h. berandete Punktm engen in der Zeichenebene: Die Menge A wird veranschaulicht durch die Menge aller im berandeten Bereich liegenden Punkt e. Will man die Elemente einer Menge explizit aufführen, kann man sie in den berandeten Bereich eintragen:

B = {I, 7,5, 13} . B emerkung 1.1.6: i) Nach Def 1.1.1 mü ssen die El emente einer Menge unterscheidbar sein. Daher werden m ehrfach auf tretende identische Elemente (wie z.B. 2, 6/ 3, V4) als ein Element betrachtet. So ist etwa die Menge B der Bu chstab en des Wo rtes " MISSIS I? ?!" gegeben durch B = ( M, I, S, P} . ii) Es ist m öglich (und sinnvo ll), eine Menge zu def inieren, die kein Element besitzt.

(Beispiele: Die Menge aller natürlichen Za hlen, die zugleich größer als 100 und k leiner als 90 sind, hat kein Element. Die Menge aller reellen Z ahlen x, f ür die gilt: x 2 + 4 = 0, hat k ein El ement. Eine Menge, Man unterscheide davon sorgdie k ein Element besitzt, heiß t leere Menge, sym bolisch: ( ) oder f ältig die Menge ( O), deren (einziges) Element die Zahl 0 ist, während ( ) kein Element besitzt.

f/J .

1.1

3

Mengen und Aussagen

1.1.2 Spezielle Zahlenmengen Bestimmte Zahlenmengen, die häufig in der Mathematik verwendet werden, haben genormte Symbole:

(Menge dernatürlichen Zahlen)

1)

JN := 2 {l, 2, 3, ... }

2)

7L:=

{... -2, -1,O,1,2, ...}

3)

(Q:=

{x x =

I

(MengederganzenZahlen);

~ mit p, q E 7L und q

=1=

(Menge derrationalen Zahlen)

O}

Fügt man die sogenannten "irrationalen Zahlen" (wie z.B. rationalen Zahlen hinzu, so ergibt sich

5

V2, VlO, n,

e, ...) zur Menge (Q der

IR:= Menge der reellen Zahlen.

4)

Jeder reellen Zahl entspricht ein Punkt auf dem Zahlenstrahl und umgekehrt.

-2

-1

---1

I

1

0

I

I

-0,5

I

2

II

V2

e 3 I I--J-+---I-+I--+---n Abb. 1.1.7

Die reellen Zahlen bedecken den Zahlenstrahllückenlos.

Bemerkung 1.1.8: Mit Z +, Q+, JR+ wollenwirdiejeweils positiven und mit Zo +, Qo +, IRo+ diejeweils nichtnegativen ganzen, rationalen bzw. reellen Zahlen bezeichnen. Analog bedeutet Ns, = (0, I, 2, ...) dieMenge derum die Zahl 0 erweiterten natürlichen Zahlen. Bemerkung 1.1.9: Obwohl zwischen je zwei Brüchen (rationalen Zahlen) beliebig viele weitere Brüche liegen, dierationalen Zahlen (Q) alsogewissermaßen beliebig"dicht" auf dem Zahlenstrahl (vgl. Abb. 1.1.7) liegen, stellte man bereits vor mehr als 2000 Jahren mit Erstaunen fest, dass esdanebenbeliebig viele weitere Zahlengibt,dienichtals Bruchdarstellbar, also" irrational"sind. Als Kostprobe sei derBeweis für die .Lrra üonaluat" von VT skizziert: Angenommen,

VT

sei als (vollständig gekürzter) Bruch :

darstellbar (p, q seien somit

vi' denaturuc .. I' h e Z ahlen, z.B. Ci P = 249 669 803 ) . tel'1erjrem 176543210

Weiterhin sei derNenner q als verschieden von Eins vorausgesetzt, denn andernfalls wäre VT einenatürliche Zahl (= p), was offensichtlich nichtzutrifft. Aus derAnnahme, (*)

VT =

:

sei wahr, folgt durch Quadrieren:

2 = ( : / = : __:

.

Nun kann aberdieser Bruch (*) unmöglich einenatürliche Zahl (= 2) darstellen, denn einerseitsist er- da p, q teilerfremd sind - nichtweiter kürzbarund andererseits kann ersich- wegen q =1= 1 - nicht auf einenatürliche Zahl reduzieren. Es ist also unmöglich, dass die Gleichung (*) wahrist.

Aus diesem Widerspruch folgt zwangsläufig, dass dieAnnahme » VT = : " falsch sein muss. Wenn nicht eindeutig anders vermerkt, werden wir im folgenden die Menge IR der reellen Zahlen für sämtliche Rechnungen zugrundelegen (Grundmenge ist IR). (Dabei ist zu beachten, dass bei allenpraktischen Rechnungen, z.B. auf elektronischen Rechenanlagen, jedereelle Zahl durcheinerationaleZahl angenähert wird.)

2 a) Das Symbol,,:="bedeutet: " ist definitionsgemäß gleich". b) Manche Autoren definieren: JN:= {O, 1,2, 3...} .

1

4

Grundlagen und H ilfsmittel

Spezielle Mengen reeller Zahl en sind die Intervalle , die sich als lückenlose Teilstrecken des Zahl enstrahls darstellen lassen: Def. 1.1.10: (Eigentliche Intervalle) Seien a, b e R mit a< b. Dann heißen [a, b] ,= {xE IR I a :'> x :'> b} abgeschlossenes Intervall (inclusive der Endpunkte) ;

------1[----------]f-------.a

x

b

(x)

Ja, b [ ,= {XElR I a < x< b} offenes Intervall (ohne die Endpunkte)

(x)

-----]f----+-------1[---a

b

x

Die Mengen [a, b [ ,= {XElR 1a :'> x < b} und Ja , b] ,= {XElR I a < x :'> b} heißen halboffene Int ervalle (nurjeweils ein Endpunkt gehört zum Intervall) . Mit naheliegender Symbolik gilt für die sog."uneigentlichen" Intervalle: {XEIR I x 2: a}

[a,oo[

]a, oo[

]- oo, a] ,= {XElR Ix:'> a} ; Aufgabe 1.1.11: i) A

{XEIR I x > a}

]- oo ,a[ ,= {xElRlx
]- oo, oo[ ,= lR.

Geben Sie die Elemente der folgenden Mengen in aufzählender Form an:

= Die Menge der Buchstaben des Wortes "MINIMALNUMMER" ; ii) B = {XEZ I x<3} ;

iii) C = {XElN 12 < X< 3} ;

iv) D = {UEIR I u2 = 2};

vi) F = {ZElR

vii) G = {ye R I yL y - 6 = O}.

I z2 + 36 = 25};

1: ;

v) E = {XElN I x + 4 = 3} ;

Aufgabe 1.1.12: Zu welcher der Mengen lN, Z , <0, lR gehören die folgenden Zahlen: i)

V4;

ii) 0,333... ;

iii)

iv)

N ;

v) 0 ;

vi) 0,125;

vii)

~.

1.1.3 Aussagen und Aussageformen Wir wollen im folgenden einige Grundbegriffe der (zweiwertigen) Aussagenlogik kennenlernen. Aussagen und ihre logischen Verknüpfungen mit Hilfe einer formalisierten Sprache dienen dazu, exakte und von umgangssprachlichen Interpretationsschwierigkeiten freie Formulierungen mathematischer Sachverhalte zu ermöglichen. Def, 1.1.13: Unter einer Aussage A versteht man ein sprachliches Gebilde (z.B. einen Satz), das entweder wahr (w) oder falsch (1) ist. Beispiel 1.1.14:

A: 2 ist eine Primzahl (w) ; B: V4 = ± 2 (f); C: (-4?

= 16 (w) ; D: -2> 2 (f) .

Bemerkung 1.1.15: Der Wahrhe itsgehalt der A ussage " Jede gerade Zahl, die gräßerals 2 ist, lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben" ist (noch) unb ekannt ("Goldbach 'sche Vermutung"}. Wir zweifeln jedoch nicht daran , dass sie entweder wahr oderfalsch sein muss. Daher werden auch derartige Sätze als Aussagen betrachtet.

Keine Aussagen dagegen sind: " Guten Ab end!"; "Nachts ist es kälter als draußen."; "Wie spät ist es?";

54321 + 165615.

1.1

5

Mengen und Aus sagen

v:

Der Satz "Die Zahl x ist grö ßer als die Zahl ist zunäc hs t keine Au ssage. weil über den Zahlenwert der beiden vorkommende n Va riablen x und y nichts be kann t ist. Setze n .....i r z.B. die Zahl 4 fü r x und d ie Zahl 7 für y, so geht der Satz in die (falsche) Au ssage ,,4 ist größer als 7" übe r, bei den Ein set zungen 9 und 5 für x und y ergibt sichdie wahre Aussage "9 ist grö ßer als 5":

Def. 1.1.1 6:

Sätze mit ein er od er mehr eren Variablen heißen AlL...sagerormen, wenn sie bei spezieller Wa hl der Variablen in eine Aus sage übergehen .

Beis piel 1.1. 17: Fo lgende Sätze sind Au ssagefonnen: i)

G(x):

x +4 = 7

mit xeIN

ii)

U(a, b, e):

a +b + e ;:>: 3

mit a, b,ee IR.j

iii)

A(x, y):

x ist ei n T eiler von y

mit x,yeIN 3 .

Folgende Au sdr ücke sind keine Au ssageformen. da sie beim Ein setzen der Variabl en nicht in Aus sagen übe rgehen: Beispiel 1.1.1 8:

i) x 2 + y2 =

Au sdrü cke wi e x , x2 + y2 , Der. 1.1.1 9:

ii) x ist größer

V; ,

as

iii)

V;

'*'

zs

iv)

x2 - 9

ist kleiner

(siehe Beispiell.J. I B) nennt man Tenn e:

x2 - 9

Als Tenn T bezeichnet manjcden mathemati schen Ausdruc k, der

yr. 4 + 7 - 0,3

-

eine definierte Zahl darstellt, z.B.

-

nach Ersetzen der vor konunenden Variablen durch Zahlen in eine definierte Zahl übergeht, z.B.

x 2 + y2

oder

VX

oder

oder

as

x2_ 9 .

Die Menge D T der in einen Tenn sinnvoll einsetzb aren Zahlen nen nt man Dcfinitionsmcngo'' des Tenns (so gilt etwa für den letzten Term: D T = lRmit A usnahme der Zahlen - 3; 3) . j

Keine T enne sind sinnl ose od er nicht definierte Ausdrücke wie z.B.

~ ,

t,

0

0

4.

Tenne werden oft mit dem Buchstaben T bezeichne t, gefolgt von den geklamm erten Variable nnamen. z.B.

=V;

0' + I

T(x, y) = x2 + y2

(gelesen : » Term T von x gleich ... ") (gelesen: » Term T von x und y gleich ... ")

J ed e mathematis ch e Gleichung Tl "" T 2 (bzw. Ungleichung Tl s: T z) , deren Tenne ein e oder mehr ere Variab le enthalten, ist eine AlL...sege torm. Erset zt ma n d ie Variablen der T enne d urch Elem ent e der zugehörigen Dcfinit ionsmenge (siehe die nachfolgende DeI 1.1.23) , so geht die Gleichung (bzw. Ungleichung) i.a. in eine (wahre oderf alsche) Aus sage übe r.

3 Aussagefor men werden meist mit einem Buchstab en A,G,U und nachfolgende r geklammerte r AufJ1Ihlung der riablennamen geke nnzeichnet (sie he Bsp. 1.1. 17): Glx); U(a, b ,e); A(x ,y) (g elesen: G von x; U von a.b.c USW.)

va-

4 Derartige " unbestimmte Ausdrücke" spiel en im Zusammenhan g mit Grenzwertb etrachtungen eine wichtige Rolle, siehe Kap. 4.3 sowie Kap. 5.3.

1

6

Grundlagen und Hilfsmitt el

Beispiel 1.1.20: Die Gleichung G(x): xL4 = 0 ist eine Aussagefonn. Die Grundmenge (aus derdie Variablenwertestammen) sei lR. Ersetzt man z.B. x durch 7 , so lautet die Gleichung: G(7): 7 2 - 4 = 0 und stellt eine (falsche) Au ssage dar. Ers etzt man x durch 2 oder -2 , so erhält man die jeweils wahren Au ssagen 2 L4 = 0 (w) und (-2)L4 = 0 (w) Die Zahlen 2 und -2 heißen Lösungen der Gleichung G(x). Def. 1.1.21: Diejenigen El emente der Grundmenge, die eine Au ssageform (Gleichung, Ungleichung) zu einer wahren Au ssage machen, heißen Lösungen der Aussageform (Gleichung, Ungleichung). Sie werden zusammengefasst in der Lösungsmenge L der Aus sageform (Gleichung, Ungleichung).

(Wie schon zuvor bemerkt, wollen wir IR als Grundmenge der Gleichungen/ Ungleichungen voraussetzen.) Beispiel 1.1.22: i) Die Lösungsmenge L der Gleichung G(x): x · (x - 2) L = {O; 2},denn 0 '(0-2) = 0 (w) und 2 '(2 - 2) = 0 (w). ii) Die Lösungsmenge L der Ungleichung

lautet L

=

I

XElR

x-I< 0,

=

0

(XElR) lautet:

o

1

(x!

- - -11--~[---

{XElR x < l} .

E s gibt unendlich viele Lösungen der Ungleichung, siehe Abb. '' ----_----' Gelegentlich kann es vorkommen, dass ein Element aus der Grundm enge beim Ein setzen einen nicht definierten Au sdruck erzeugt. Setzt man etwa in 4

A(x):

x- I = 2 ;

XElR

für x die Z ahl 1 ein, so entsteht der nicht definierte Au sdruck ~ = 2. Daher ist es erforderlich, die Grundm enge (hier lR) zu reduzieren auf die sogenannte Definitionsmenge: Def, 1.1.23: Die Definitionsmenge DA der Au ssageform A(x) enthält nur diejenigen El emente der Grundmenge, bei deren Einsetzen A(x) in eine sinnvolle, definierte Aussage übergeht . Im letzten Beispiel gilt: Beispiel 1.1.24:

I

DA = {XElR x=l= l}

sowie

Die Lösungsmenge L der Gleichung (x+ l)2 = x 2+2x +l , XElR ist:

L

= {3}

.

L = lR,

denn für jede Einsetzung aus der Grundm enge geht die Gleichung in eine wahre Au ssage über. Derartige Au ssageformen (Gleichungen, Ungleichungen) heißen allgemeingültig.

Def.1.1.25: (allgemeingültige Aussagefonn) Ei ne Au ssageform A (Gleichung, Ungleichung) heißt allgemeingültig, wenn jede Einsetzung (aus derDefinitionsmenge DA) zu einer wahren Aus sage füh rt (oder: wenn die Lösungsmenge von A mit der Definitionsmenge von A übereinstimmt).

Beispiel 1.1.26: Jede der folgenden Gleichungen! Ungleichungen ist allgemeingültig in lR:

I

i) (x - 2)(x + 2) = xL 4 ;

ii) 0 < 2;

iii) _ 3_ > 0

z2+ 5

Iv) 2 x > 0;

v) e- Y > O.

1.1

7

Mengen und Aussagen

Ist - wie im vorstehend en Beispiel - eine Gleichung Tl =TZ allgemeingültig , so muss für jede Eins etzung der links vom Gleichheitszeichen stehend e Term Tl denselben Zahlenwert annehmen wie der recht s stehende Term Tz (denn Tl = Tz ist fü r jede Einsetzung wahrt) , Man nennt daher Tl und Tz äquivalent (gleichwertig). Dei. 1.1.27: (Äquivalenz von Tennen) Zwei Terme TI und T 2 heißen äquivalent (gleichwertig - geschrieben T I = T 2)' wenn bei jeder E insetzung von Variablen die beiden Terme TI und T 2 dieselben Zahlenwert e liefern.

Beispiel 1.1.28:

Folgend e Term e T I' Tz sind jeweils äquivalent, d.h. T I = Tz ist wahr:

i)

T I(x) = (x+7)(x-2) Tz(x) = xZ+5x - 14

ii)

T I(x, y) = xe y4 TzCx, y) = (xz+yZ)(xLyZ) a-b T I(a, b, x) = -b-' x

iii)

-a

Tz(a, b, x) = - x T I(u, v, x) =

iv)

(a

b) .

ux-vx X + 7x

- 2--

u-v T 2(u, v, x) = - 7 x+ Beispiel 1.1.29:

=1=

(X=l= O, X =l= -7)

.

Die Lösungsmenge L der Gleichung 2x+4 = 2x-6,

XEIR lautet:

L = {

} ,

denn für jede Einsetzung geht die Gleichung in eine falsche Aussage über. D erartige Aussageformen (Gleichungen, Ungleichungen) heißen unerfüllbar. Dei. 1.1.30: (unerfüllbare Aussageionn) E ine A ussageform A (z.B. Gleichung, Ungleichung) heißt unerfüllbar (oder: widersprü chlich) , wenn keine Zahl (aus derDefinitionsmenge) Lösung von A ist. Die Lösungsmenge unerfüllbarer Aus sageformen ist leer. Beispiel 1.1.31: Folgend e Gleichungen bzw. Un gleichungen sind unerfüllbar in IR: i)

2009 + x = x + 2

3z = 23

ii)

x4 < 0

iii)

Iv)

x2

+ 25

= 0

In Kap . 1.2.4 folgen ausführliche Erläut erungen zur Techn ik von Gleichungslösungen. Au s dem Vorangegangenen bleibt zusamme nfasse nd festzuhalten:

s

Gr undlagen und H ilfsmitt el

Satz 1.1.32:

(Lösungen \'00 AlL\..'>agd onne n (Gleichungen, Ungleichungen»

Es gibt Aussageformen (Gleichungen, Ungleichungen), die in IR i)

lösbar sind, und zwar

0:

L = (l }) L = (- 2; 2) L = (xe JR

a) mit gena u einer Lös ung;

(Beisp iel: x -] =

b) mit mehreren Lösungen; c) mit unendli ch vielen Lös ungen;

(Beispi el: x 2 = 4: (Beispiel: x 2 < 49:

ii)

allgemeingültig sind;

(Beispiel: xL) = (x- J)(x+l):

ii i)

unerfIlI Ibar sind

(Beispiele: x 2+1 = 0; 2"<0; x +2 = x - l : L = ( } ) .

1-7< x < 7) L = IR)

Aufgabe 1.1.33: i) In welchen Fällen handelt es sich um Aussagen, in welchen um AlL~~form en ?

a)x 1+ 1 = I+ x2 t) y = xl + 1

t

b) A +B= 1 g) = 0

c) 4+ 1 = 0 d)O .s02+V4-1 h) 2 ist Lösung von x > 4

c)x+y=4 i) a 2 + b2 .

ii ) Man gebe d ie Lö sun gsmengen folgender Aussageform en a n. Welche Aussagcfonnen sind allgemeingülti g, welche unerftillb ar? (Gnmdmenge: IR) a)x 2 = 49 b) p2 :2: 0 c)Ox=5x d) (y+1)(y+ 2)=O

e) 0 + x = 5 + x h) x2 > 36

f) 2z + 1 = 1 + 2z i) u2 < 8 1 .

g) P ist eine gerade Primzahl; p EIN

Verkn üpfungen von Aussagen u nd Aussageformen

1.1.4

Verkn üpft ma n zwei A ussagen (A ussagef onn en) durch UND bzw. O DER miteinander, so en ts teht eine neue A ussage (Aussagefonn) . Ebenso ents teh t d urch die VERNEI NUNG einer A ussage eine neue A ussage. Al s Beispiel be trac hten wir d ie fo lgend en be ide n Aussagen:

A: B:

l.I..... l

Konjunktion

Die ko njunktive Aussage

T anja geht he ute m it Andreas ins Theater. Tanja geht heute mit Benjamin ins Theat er.

B

(gdesen A und B) bed eutet:

Tanja geht heute m it Andrea s ins Th eater und sie geht heute mit Benjamin ins Theater. Der Wahrh eitsgehalt dieser zusammengesetzten Aussage A 1\ B hängt von den Wahrh eitswcrten der be te iligten Aussagen A, 8 ab und ist nach unserem logischen A lltagsverstä nd nis defi niert: A 1\ B ist n ur dann wahr, wenn Tanja ta tsächli ch mit beiden H erren ins Theater geht [d.h. wenn sowoh l A, als auch B wahrsind), da gegen ist A 1\ 8 falsch, wenn sie auch nur einen von beid en zu Hause lässt. W ir er halte n somit fü r d ie ~ UND "-Verknüpfung ("Konjunlition ") d ie Wahrbeil'itafel

(1.1.34)

A

B

AA B

w w f f

w f w f

w f f f

(" UND"-Verkn üpfung)

(Bei zwei [bzw. n) Teilaussagen hat die Wahrheitstaf d 2 2 = 4 [bzw.211) Zeilen, um sämtliche Wahrheitswertkombinationen zu entha lten (n = 2: ww, wf, fw, ff; n =3: www, wwf, wfw, wff, f ww,fwf,ff w, fff).

1.1

9

Mengen und Aussagen 3 +7

Beispiel 1.1.35:

V4

I

=

=

10 /\ 8 - 4 = 4

2 /\

V4 = -2

(w) (f),

V4 = -2

da

falsch ist .

Beispiel 1.1.36: A(x): x > 3 /\ x < 7 (XElR) ist eine konjunkt ive Aussagefonn, von der zunächst nicht entschieden werden kann, ob sie wahr oder falsch ist. Wir nehmen einige Einsetzungen vor: i)

0 für x: E s entsteht die Aussage

A(O): 0 > 3 /\ 0 < 7

(f)

ii)

5 für x: E s entsteht die Aussage

A(S): 5 > 3 /\ 5 < 7

(w)

iii)

9 für x: Es entsteht die Aussage

A(9): 9 > 3 /\ 9 < 7

(f)

w

f

w

w f

w

Daher ist die L ösungsmenge L von A(x):

3

7

(x)

---l---i[-----

L={XElRI 3<x<7}=j3; 7[ .

1.1.4.2 Disjunktion

B

(gelesen A oder B) bedeutet: Tanja geht heute mit And reas ins Theater oder sie geht heute

mit Benjamin ins Theater. Nach unserem logischen Alltagsverständnis ist diese Aussage sicher richtig, wenn sie sich für einen von beiden entsch eidet und falsch, wenn sie alleine ins Theater geht. Für den Fall, dass sie mit beiden ins Theater geht, bedarf es einer Vereinbarung, da in unserem Sprachgebrauch das Wort "oder" in zweierlei Bedeutung gebraucht wird: i) ii)

als ausschließendes "oder" (" entweder - oder") als einschließendes "oder" (; und/oder(() .

Beispiel zu i):

5 ist eine Primzahl oder 5 ist keine Primzahl. (DerFall, dass 5 sowohl Primzahlals auchkeinePrimzahl ist, ist ausgeschlossen.)

Beispiel zu ii):

(aus einerStellenanzeige) "Der Stellenbewerber muss Diplom-Kaufmann oder DiplomVolkswirt sein." (Ein Bewerberbesitzt sicher die geforderten Voraussetzungen, wenn er beideQualifikationen besitzt.)

In der Aussagenlogik wird das"o der" (v) im einschließenden Sinne (siehe ii)) definiert, d.h. A v Bist auch dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind. Wir erhalten somit für die " ODER "-Verknüpfung ~,Disjunktion ") die Wahrheitstafel

(1.1.37)

Beispiel 1.1.38:

A w w f f

B w f w f

A vB w w w f

~,ODER"- Verknüpfung)

i) A: 3 = 3 v 3 = - 3 ist wahr, da die Teilaussage (3 = 3) wahr ist.

ii) A(x): x = 8 v x = - 8 ist eine disjunktive Aus sagefonn, von der zunächst nicht entschieden werden kann, ob sie wahr oder falsch ist. Daher wollen wir für x verschiedene Eins etzungen vornehmen:

a) 8 für x: E s entsteht die Aussage A(8) : 8 = 8 v 8 = - 8 w

f

(w)

1

10 b) 0 für x: Es entsteht die Aussage: A(O) :

0 = 8 v 0 = -8 f

f

c) - 8 für x: Es entsteht die Aussage: A(-8): - 8 = 8 v - 8 = - 8 f

w

Grundlagen und Hilfsmittel

(f)

(w)

Daher ist die L ösungsmenge L der Aussageform A(x) gegeben durch: L = {8; - 8} . Folgende Merkregeln sind zweckmäßig:

i) A /\ B ist genau dannrichtig, wenn beide Teilaussagen richtig sind. ii) A v B ist genau dann falsch, wenn beide Teilaussagen falsch sind.

iii) A /\ B bedeutet logisch dasselbe wie B /\ A, ebenso bedeuten A v Bund B v A dasselbe (Kommutativgesetz der Aussagenlogik). (Umgangssprachlich nicht immer! Beispiel:DieAussage: " Hubers Krankheit wurde immer schlimmer und er ging zum Arzt. (( bedeutet umgangssprachlich etwas anderes als " Huber ging zum Arzt und seine Krankheit wurde imm er schlimm er. (( (Gebrau ch von " und (( im Sinne von " und daher ((I))

1.1.4.3

Negation

Unter der Negation Wahrheitstafel

8

(gelesen: nicht A) der Aussage A versteht man eine Aussage mit der

-wt -, A

(1.1.39)

w

f

(Negation)

f

w

D.h. wenn A wahr ist, dann ist -, A falsch und umgekehrt (stimm t mit der " normalen (( Logik überein). (Statt -,A schreibt man gelegentlich auch A-.) Beispiel 1.1.40: i)

A: Das Auto ist weiß. -, A: Das Auto ist nicht weiß. (Vorsicht! Die Aussage: " Das Auto ist schwarz. (( ist keineswegs die Negation von A, denn ein nicht-weißesAuto kann ebensogut rot oder grün sein.);

ii)

A: 9 2 = 82

~

-,A: 9 2

iii)

A(x): x< 10 (XElR)

~

-,A(x): x> 10 v x = 10

1.1.4.4

=1=

82

(nicht etwa: 9 2 = 81 !) ; d.h. x

~

10.

Zusammengesetzte Aussag en

Mit Hilfe von Konjunktion, Disjunktion und Negation lassen sich alle Ergebnisse der klassischen Aussagenlogik darstellen. Insbesondere lassen sich die Wahrheitswerte beliebiger Aussageverknüpfungen mit Hilfe von Wahrheitstafeln ermitteln.

Beispiel 1.1.41:

Es sollen die Wahrheitswerte der Aussagenverknüpfungen i) -,(A v B) und ii) -,A /\ -, B

für alle Wahrheitswertekombinationen der Teilaussagen A, B erstellt werden:

i)

A

B

A vB

w w f f

w f w f

w w w f

-,(A v B)

[

1.1

11

Mengen und Aussagen

ii)

A

B

-.A

w w f f

w f w f

f f w w

-.A /\ -. B

-.B f w f w

W

Beispiel 1.1.41 zeigt, dass für jede Wahrheitswertkombination der beiden Teilaussagen A , B die Aussagen -. (A v B) und -. A /\ -. B dieselben Wahrheitswerte besitzen (erkennbar aus der identischen Wahrheitswertspalte). Derartige Aussage n nennt man äquivalent. Symbolische Schreibweise: -.(A v B) <=> -.A /\ -.B (zum Äquivalenzpfeil ; <=> "siehe auch Abschnitt 1.1.5.2). Auch umgangssprachlich ist die Äquivalenz von -. (A v B) und -. A /\ -. B zu erkennen (siehe das Theater-Eingangsbeispiel): Wenn es nicht so ist, dass Tanja mit Andreas oder Benjamin (oder beiden) ins Theater geht [-. (A v B)], so bedeutet dies dasselbe, als wenn sie weder mit Andreas (-. A) noch mit Benjamin (-.B) insTheatergeht [-.A/\-.B ]. Es können auch mehr als zwei Aussagen durch /\, v, -. miteinander verbunden werden. Durch geeignete Klammerbildung ist die Reihenfolge der Verknüpfungen zu verdeutlichen. Beispiel 1.1.42:

Wahrheits tafel von A v (B /\ C)

Um alle Kombinationsmöglichkeiten zu erfassen, sind 2 3 = 8 Zeilen erforderlich: A

B

W

W

W

w f f w w f f

w w f f f f

B/\C

Av(B/\C)

W

W

W

f w f w f w f

f f f w f f f

w w w w f f f

C

Klammert man anders : (A v B) /\ C, so lautet die Wahrheitstabelle: AvB

W

W

W

W

w f f w w f f

f w f w f w f

w w w w w f f

f w f w f f f

B

W W

w w f f f f Daher gilt: A v (B /\ C)

C

A

*

(A v B) /\ C,

(A v B) /\ C

d.h. es kommt auf die Klammerung an.

1

12

Grundlagen und Hilfsmitt el

Aufgabe 1.1.43 : Man überprüfe dur ch Aufstellen von Wahrheitstabellen die folgend en Gesetze der (zweiwertigen) Aussagenlogik G, A ussagenalgebra''). D abei behaupt et der Ä quivalenzpfeil ~, dass die Wahrheitstabellen übereinstimmen: la) lb)

(A v B) v C

A v (B v C) Assoziativgesetzefür v , /\

(A /\B) /\ C ~ A /\(B /\C) (Bei gleichartigen Op eratoren komm t es auf die Klammerungnicht an)

2a) 2b)

~

A v (B /\ C)

~

(A v B) /\ (A v C)

Distributivgesetze für v, /\

A /\ (B v C) ~ (A /\ B) v (A /\ C) (Bei ungleichartigen Op eratoren ist die Klammerungwesentl ich !)

3a)

A vA

~

A

3b)

A /\A

~

A

4a)

A v (A /\ B)

~

A

4b)

A /\ (A v B)

~

A

Idempotenzgesetze für v,/\

A bsorptionsgesetzef ür v, /\

5)

A v -,A immer wahr Satz vom ausgeschlossenen Dritten (Eine Aussage mus s entweder wahr oder nicht wahr sein, ein Drittes gibt es nicht.)

6)

Satz vom Widerspruch A /\ -, A immer falsch (E s ist unm öglich, dass eine Au ssage wahr und falsch zugleich ist.)

7)

-, (-, A)

A

Gesetz von derdoppelten Negation

Sa)

-, (Av B)

-,A /\ -,B

Sb)

-, (A /\ B)

-, A v -, B

Gesetze von de Morgan

Bemerkung: Unmittelbar einsichtig ist die Gültigkeit der Kommutativgesetzef ür v, /\: A vB

~

BvA ;

A /\B

~

B /\ A

Aufgabe 1.1.44: i) Alois ist schüchtern. Trotz seiner Zurückhaltung haben ihn Ulla und Petra innigst in ihr H erz geschlossen. Ihr einziger Kumm er ist, dass Alois sich nicht ausdrücklich für eine von ihnen entscheiden will - er hat Sorge, er könne eine der beiden Verehrerinnen verletzen. Schließlich wird Ulla ungeduldig und stellt Alois - in taktvoller Weise - zur Rede: . Alois, liebst du Petra, oder ist es nicht so, dass du Petra oder mich liebst ? " Al ois überlegt einen Moment , dann sagt er "Nein". Was hat Alois damit zum Ausdruck gebracht? ii) Student Alois berichtet in seiner bekannten zurückhaltenden Art von den E rgebnissen seiner Diplomprüfung: "Ic h habe in Mat hemat ik und in Betriebswirtschaft slehre bestand en, oder es trifft nicht zu, dass ich in Mathematik oder Volkswirtschaftslehre bestanden habe. E s ist unzut reffend, dass ich in Mathematik bestand en habe oder in Betriebswirtschaft slehre durchgefallen bin ." Wie sieht das Ergebn is von Alois Prüfung aus?

1.1

13

Mengen und Aussagen

1.1.5 Folgerung (Implikation) und Äquivalenz 1.1.5.1 Folgerung (Implikation) ( ~ ) Def. 1.1.45:

A(x) ~ B(x)

bedeutet:

Man sagt: - Wenn A(x) gilt, so auch B(x) - Aus A(x) folgt B(x) - A(x) impliziert B(x)

Immer, wenn A(x) wahr ist, ist auch B(x) wahr. 5 - A(x) ist hinreichend für B(x) - B(x) ist notwendig für A(x)

Beispiel 1.1.46: VorgegebensinddiebeidenGleichungen A(x): x - 3 = 0 und B(x): x 2 - 3x = O. A(x) ist nur wahr, wenn man 3 für x setzt: A(3) : 3 - 3 = 0 (w), B(x) ist ebenfalls wahr, wenn A(x) wahr ist, d.h. wenn man 3 für x setzt: B(3): 3 2 - 3· 3 = 0 (w). Also gilt: x - 3 = 0 ~ x 2 - 3x = O. Man beachte, dass bei Vorliegen der Folgerung A(x) ~ B(x) die zweite Aussageform B(x) durchaus wahr sein kann, ohne dass A(x) wahr ist: Setzt man im letzten Beispiel 0 für x, so gilt: A(O): 0 - 3 = 0 falsch, aber B(O): 0 2 - 3 . 0 = 0 wahr. Man hüte sich also, aus der Folgerung A(x) ~ B(x) den Umkehrschluss B(x) ~ A(x) zu ziehen, wie es umgangssprachlich nicht selten zu hören ist nach dem Motto: Tünnes : Alle juten Kölner trinken Kölsch. Scheel: Dann ist mein Schwager aus München auch 'ne jute Kölner, der trinkt auch immer Kölsch. Beispiel 1.1.47: Der Fußballstar Franz Huberbauer wird vom Schiedsrichter verwarnt: "Wenn Sie nochmal den Ball (erkennbar u. absichtlich) mit der Hand spielen (Aussage A), so fliegen Sie vom Platz" ("rote Karte" - Aussage B). Der Schiedsrichter stellt also die Implikation: A ~ B auf. Folgende Fälle stehen nun im Einklang mit dieser Folgerung: a) H. spielt (erkennbar und absichtlich) erneut Hand (A ist wahr). Dann erhält er die rote Karte (B ist wahr). Dies ist der Hauptfall der Folgerung. b) H . spielt nichterneut Hand (A istfalsch). Dann ist mit der Implikation A ~ B verträglich: bl) Er erhält nicht die rote Karte (B istfalsch). b2) Er erhält trotzdem die rote Karte (B istwahr), etwa deshalb, weil er ein böses Foul begeht.

Nicht eintreten darf lediglich der Fall, dass er im Spiel bleibt (B ist falsch), obwohl er (erkennbar und absichtlich) den Ball mit der Hand spielt (A wahr). Denn A ~ B fordert ja gerade, dass aus A wahr (-"Hand") zwingendfolgt: B wahr (-"roteKarte"). Aus A(x) ~ B(x) lässt sich - wie die voranstehenden Beispiele belegen - durch Kontraposition der Schluss ziehen: Immer, wenn B(x) falsch ist, dann ist auch A(x) falsch (denn andernfalls - d.h, wenn A(x) wahr wäre - müsste wegen A(x) ~ B(x) auch B(x) wahr sein). Symbolisch: A(x)

Beispiel 1.1.48:

~

B(x) bedeutet dasselbe wie -,B(x)

A: Es regnet jetzt. -, A: Es regnet jetzt nicht.

~

-,A(x)

B: Die Straße wird nass. -, B: Die Straße wird nicht nass.

Es gilt: A ~ B (Wenn es wahr ist, dass esjetztregnet, so ist es auch wahr, dass die Straße nass wirdvorausgesetzt, dieStraßeist nichtüberdacht.) und gleichbedeutend: -,B ~ -,A (Wenn es wahr ist, dass die Straße nicht nass wird, ist es auch wahr, dass es (gerade) jetzt nicht regnet.). Man beachte: B ~ A gilt nicht, da die Straße auch nass werden kann, ohne dass es regnet, z.B. wenn Huber die Straße mit dem Wasserschlauch abspritzt. Bei ,,~" handelt es sich hier um einen metasprachlichen Hinweis, der eine Aussage über den Wahrheitsgehalt der verknüpften Aussagen liefert.

5 Wenn A(x) dagegen falsch ist, so kann B(x) wahr oder falsch sein.

1

14

Grundlagen und Hilfsmittel

Nach dem eben Gesagten wird die Folgerung A(x) ::::} B(x) zwischen zwei Aussageformen (z.B. Gleichungen, Ungleichungen) stets dann angewendet, wenn diejenigen x, die A(x) zu einer wahren Aussage machen (= Lösungsmenge LA von A(x», auch B(x) zu einer wahren Aussage machen, d.h.: Satz 1.1.49: Es gilt die Folgerung A(x) ::::} B(x), wenn alle Lösungen von A(x) auch Lösungen von B(x) sind. Wir untersuchen, ob in den folgenden Fällen der Folgerungspfeil ,,::::}" richtig verwendet wurde: ::::} x = 3 v x = -3 Beispiel 1.1.50: x2 = 9 Richtige Verwendung, denn x2 = 9 wirdwahrfür XE {3 ;-3} . Für diese Elemente wird auch die Aussageform x = 3 vx = -3 wahr (siehe die Wahrheitstafel der "ODER"-Verknüpfung).

I

::::} x -1 = 0 Beispiel 1.1.51: (x -l)(x - 2) = 0 Falsche Verwendung, denn (x-1)(x-2) = 0 wird u.a. wahr für x = 2, nicht dagegen die rechte Aussage, denn 2 -1 = 0 ist falsch. Also würde aus Wahrem etwas Falsches folgen - Widerspruch!

I

Aufgabe 1.1.52: Man untersuche, ob der Folgerungspfeil korrekt verwendet wurde: i) x = 3 ::::} x 2 = 9

ii)

XL

16 = 0 ::::} x = 4

iii) z =

V4 : : }

Z2

=4

iv) x(x + 1) = 0 ::::} x + 1 = 0 v) (z-4)(z + 5) = 0 ::::} z = 4 v z =-5 vi) 1.- = 0 ::::} p = 1

vii) x2 < 16 ::::} x < 4

ix) k 2 > 4 ::::} k > 2

x) k 2 > 4 ::::} k > 2 v k < -2

p

1.1.5.2

viii) x2 < 16 ::::} x < 4

1\ X

> -4

xi) x < 3 ::::} x 2 < 9 .

Äquivalenz (~)

Def, 1.1.52: A(x) {=} B(x) bedeutet: Immer, wenn A(x) wahr ist, ist auch B(x) wahr, und immer, wenn B(x) wahr ist, dann ist auch A(x) wahr.

Man sagt:

- Genau dann, wenn A(x) gilt, gilt auch B(x). - Wenn A(x), so B(x) und umgekehrt. - A(x) ist notwendig und hinreichend für B(x)

bzw.

- B(x) istnotwendigundhinreichendfür A(x). - A(x) ist äquivalent zu B(x). Aus Def. 1.1.52 folgt: Ist eine der äquivalenten Aussageformen A(x) , B(x) falsch, so auch die andere. Da A(x),B(x) genau dann wahr werden, wenn x aus der Lösungsmengevon A(x) bzw, B(x) stammt(siehe Def. 1.1.21: Lösungsmenge einer Aussageform), folgt aus der Äquivalenz in Def. 1.1.52 unmittelbar: Satz 1.1.53: Die Aussageformen A(x) und B(x) sind äquivalent, A(x) {=} B(x), genau dann, wenn die Lösungsmengen beider Aussageformen übereinstimmen. Bei der Umformung von Gleichungen zur Lösungsfindung darf man daher nur Äquivalenzumforrnungen vornehmen, d.h. Gleichungsumformungen, die die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung nicht verändern, siehe auch Kap. 1.2.4.2.

1.1

15

Mengen un d A ussa gen A(x):

Beispiel 1.1.54:

X2 -

25 = 0

B(x): x

=5 v

x

= -5

Die Lö sungsmengen sind :

LA = {5; - 5}, denn 52-25 = 0 (w)

(-5)2- 25 = 0 (w) und - 5 = 5 v -5 = - 5 (w) und

LB = {5;-5} , denn 5 = 5 v 5 = -5 (w) (siehe Wahrheitstafel der " ODER" -Verknüpfung) A lso ist LA = LB und somit gilt: x 2 = 25

{=}

x =5 vx =-5

Aufgabe 1.1.55: Man untersuche durch Vergleich der L ösungsmengen, ob die folgend en Aussageformen äquivalent sind (d.h. ob der Äquivalenzpfeil zut reffend angewendet wurde). i) iii)

x= 7

{=}

x- I

x2 = 49 ;

= Ol\x =l= 2{=}x = 1

x-2

ii)

x = 1vx =4

iv)

x =

V4

x2 = 4

{=}

x = 2 v x = -2

vi)

x(x - 5) = 0

vii)

x2 > 0

{=}

x >0 ;

viii)

x2 > 9

ix)

x 2 < 36

x <6

1\ X

>-6

x)

vx-

{=}

x = 5 ;

x > 3 v x < -3

{=}

= -4

(x -1)(x - 4) = 0

x = 2 v x = -2

{=}

v)

{=}

{=}

{=}

x = 16

In den Fällen falscher Anwendung ermittele man die korrekt e Folgerungsbeziehung

(~

oder {:::).

1.1.6 Relationen zwischen Mengen Wir wollen Gleichheit und Teilmengeneigenschaft zweier Mengen klären.

1.1.6.1 Gleichheit zweier Mengen Def, 1.1.56: Z wei Mengen A, B heißen gleich, geschrieben A = B, wenn sie dieselben Elemente enthalten. A=B

:{=}

6

Für alle x gilt: xe A

{=}

XEB.

A = {49, V4, 50}, B = {l , 2, 72 } , also A = B .

Beispiel 1.1.57:

1.1.6.2 Teilmengen Def, 1.1.58: Di e Menge A heißt Teilmenge der Menge B , geschrieben Ac B, wenn jedes El ement von A gleichzeitig auch E lement von B ist . D.h.: ACB

BeispieI1.1.59:

I

:{=}

Für alle x gilt: xEA

A = {2, 3, 4}, B = {I, 2, 3, 4, 5 }:

J edes El ement von A ist E lement von B , also ist A eine Teilmenge von B :

6 Das Symbol

: {=}

bedeutet: "ist definitionsgemäß äquivalent zu",

~

xEB.

@~ 5~

AcB

1

16

Grundlagen und H ilfsmittel

Nach Def. 1.1.58 gilt im Falle der Gleichheit von A und B : ACB und BCA. Das Teilmengensymbol " c" schließt die Gleichheit der Mengen nicht aus, mit anderen Worten: jede Menge enthält sich selbst als Teilmenge: A CA (gelegentlich benutzt man dafü r auch das Symbol S ). Es wird vereinbart, dass die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist: Für alle Mengen A gilt: { }cA. Def. 1.1.60: Die Menge P(A) aller Teilmengen M einer gegebenen Menge A heißt Potenzmenge der Menge A: P(A) ,= {M I MCA}.

A = {2, 3, 4}

Beispiel 1.1.61:

I

~

P(A) = {{ }, {2} , {3} , {4} , {2, 3} , {2, 4} , {3, 4} , {2, 3, 4}}

Aufgabe 1.1.62: i) Man ermittle die zutreffenden Relationen (= oder C) zwischen folgenden Mengen:

lN ;

a)

b)

A =

o . IR ; Z . { M, 0, V25, 2°} ; 3

B = {O, 1, -2,5, -5} .

ii) Man ermittle sämtliche Teilmengen folgender Mengen:

a) A = {x, y, z} ;

b) B = {O, { }} ; c) C = {1, {2, 3}}

1.1.7 Verknüpfungen (Operationen) mit Mengen Ähnlich wie Au ssagen lassen sich zwei gegebene Mengen A, B durch eine Operation zu einer neuen Menge verknüpfen.

1.1.7.1 Durchschnittsmenge Def. 1.1.63: Unt er dem Durchschnitt (der Schnittmenge) AnB (gelesen: A geschnitten B) der Mengen A und B versteht man die Menge aller Elemente, die sowohlzu A als auch (gleichzeitig) zu B gehören : AnB ,= {x I x EA /\ x EB} . Beispiel 1.1.64:

A = {l , 2, 3, 4} B ~

Bemerkung 1.1.65 :

=

An8

{3, 4, 5, 6, 7} AnB = {3, 4}.

Es gilt: AnB = BnA

Beispiel 1.1.66: In den folgenden Venn-Diagrammen ist die Durchschnitt smenge AnB schraffiert:

Beispiel 1.1.67: (Durchschnitt von Int ervallen) A= [2, 4] , B=[0,3] ~

o

1

AnB = [2, 4] n [0, 3 ] = [2, 3]

8

2

A 3

-,

An8

4

1.1

17

Mengen und Aussagen

1.1.7.2

Vereinigungsmenge

Def.1.1.68: Unter der Vereinigungsmenge AuB (gelesen: A vereinigt B) der Mengen A ,B versteht man die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B (oder zu beiden) gehören: AuB ,= {x x E A v X E B} .

I

Beispiel 1.1.69: (siehe Beispiel 1.1.64)

A= {1, 2,3,4} B = {3, 4, 5, 6, 7} ~

AuB = {I, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

AuS Bemerkung 1.1.70: Es gilt: AuB

=

BuA

Beispiel 1.1.71: (siehe Beispiel 1.1.66) In den folgenden Venn-Diagrammen ist die Vereinigungsmenge schraffiert:

• •

•

•

•

o

Beispiel 1.1.72: (Vereinigung von Intervallen)

1

A = [2, 4] ; B = [0, 3] ~ AuB = [0,4]

i)

ii) A = [0, 1], ~

/

o

B = [3, 4]

1

S

A 3

2

4

AuS 4

2

AuB = [0,1] u [3,4]

A

1.1.7.3

=8

S

Restmenge (Differenzmenge)

Def, 1.1.73: Unter der Restmenge (Differenzmenge) A\B (gelesen: A ohne B) versteht man die Menge aller Elemente, die zu A , nicht aber zu B gehören:

I

A\B ,= {x xEA /\ xI$B}

BeispieI1.1.74: (sieheBeispieI1.1.64)

A = {1, 2, 3, 4} B

=

AlB

7

{3, 4, 5, 6, 7}

A\B = {I, 2}

6

5

B

1

18

Grundlagen und Hilfsmittel

Beispiel 1.1.75: In den folgenden Venn-Diagrammen ist die Restmenge A \ B schraffiert:

..-- A _

Beispiel 1.1.76: (Differenzmenge von Intervallen)

A=[2,4]

~

B=[O, 3]

0

2

3

-----I::::=::±::==~-------<-

A\B = ]3,4]

B -

Beispiel 1.1.77:

l

4

AlB

Die Gleichu ng G(x): (x :~)~x~ 4) = 1 liefert für x E lR nur dann sinnvolle (wahre

a der falsche) Aussagen, wenn der Nenner des Bruches nicht Null wird. Daher laut et die Definitions-

menge D G (siehe Def. 1.1.23) der Gleichung G(x): D G = lR\ {1,-4 } .

Beacht en Sie bitte, dass A\B i.a. etwas anderes bedeut et als B \ A:

~

-«D

B

AlB BIA

Ist A eine Teilmenge von B , so bezeichnet man die Differenzmenge B\A auch als Komplementärmenge CBA von A bzgl. B . CBA enthält alle E lement e von B, die nicht zu A gehö ren.

E s könn en auch mehr als zwei Mengen durch n , u , \ miteinander verknüpft werden. Durch geeignete Klammersetzung ist die R eihenfolge der Verknü pfungen zu verdeut lichen . Beispiel 1.1.78:

1. Schritt: Bilde BnC

i) M I

A u (B n C)

=

A~B

~ ii)

2. Schritt: Vereinige A mit B n C

Mz = (A u B) n C

1. Schritt:

2. Schritt:

Bilde Au B

Schn eide A u B mit C

An den unterschiedlich schraffierten Mengenbildern des letzten Beispiels erkennt man, dass es auf die Klamm ersetzung ankommt, d.h. es gilt im allgemeinen: A u (B n C) =F (A u B) n C .

1.1

Mengen und Aussagen

19

Aufgabe 1.1.79: Mit Hife von Mengenbildern (Venn-Diagrammen) überprüfe man, ob die folgenden Gesetze der Mengenalgebra gültig sind: 1) A u (B u C) = (A u B) u C 2) A n (B n C) = (A n B) n C

} Assoziativgesetze für u, n

3) A u (B n C) = (A u B) n (A u C) 4) A n (B u C) = (A n B) u (A n C)

} Distributivgesetze für u, n

5) A u (A n B) = A 6) A n (A u B) = A

} Absorptionsgesetze für u, n

7) (A \ B) n B =

Y'

Satz vom Widerspruch

8) (A \ B) u B = A u B

Satz vom ausgeschlossenen Dritten

9) A \ (B n C) = (A \ B) u (A \ C) 10) A \ (B u C) = (A \ B) n (A \ C)

} Gesetze von de Morgan

(Man vergleiche hierzudie entsprechenden Gesetze der Aussagenlogik.

Aufg. 1.1.43!)

Aufgabe 1.1.80: Gegeben seien die Mengen A

=

{I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ;

B = {2, 3, 4, 5, 6} ;

C

= {6,7,8,9, 10, 11, 12, 13} .

Man gebe damit die in Aufgabe 1.1.79 jeweils links stehenden Mengen an.

Aufgabe 1.1.81: Man gebe die Definitionsmengen (siehe Def. 1.1.23)folgender Aussageformen (Gleichungen) an: I

i)

G(x): 1 + x2

ii)

G(p): -

iii)

G(y):

iv)

G(z): ~+_2_

pLI

p2 + I

= -2 ; X

= 0

VY = 7

; z2 - 49

=

0

20

1

Grundlagen und Hilfsmittel

1.1.8 Paannengen, Produktmengen Bisher haben wir Elemente von Mengen nur als "vereinzelte" Objekte, wie z.B. Zahlen oder Variable, kennengelernt: Beispiel 1.1.82:

A = {2, 3, 5} ;

B = {I, 2, 3} .

Bildet man nun aus den Elementen von A und B neue Elemente derart, dass man jeweils ein Element x aus A mit einem Element y aus B zu einem geordneten Paar (x; y) zusammenfasst, so entsteht eine Paannenge (oder Produktmenge): AxB

~,A

kreuz B") ,= {(2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (5; 1), (5; 2), (5; 3) }

Elemente von A x B sind nicht mehr einzelne Zahlen, sondern geordnete Zahlenpaare (geordnet deshalb, weil z.B. das Paar (2; 3) vom Paar (3; 2) verschieden ist). Allgemein definiert man: Def. 1.1.83: Unter der Produktmenge (Paannenge) A x B (gelesen: "A kreuz B") versteht man die Menge aller geordneten Paare (x;y) mit der Eigenschaft XEA und y EB: A x B ,=

I

{(x;y) xEA

1\

yEB} .

Paarmengen A x B lassen sich in einem kartesischen Koordinatensystem veranschaulichen. Trägt man die Elemente XEA auf der horizontalen Achse (Abszissenachse) und die Elemente y EB auf dervertikalen Achse (Ordinatenachse) auf, so lässt sich jedes Paar (x;y) als Schnittpunkt der entsprechenden Achsenparallelendurch x bzw. y darstellen (siehe Abb . 1.1.84). Für A x B aus Beispiel 1.1.82 ergibt sich die graphische Darstellung (Abb . 1.1.85): Iy) 8

8

Ix;y) ....

y

3

--"! x

2 1

A

(2,3)

• 0 0

2

. 0

0

0

0

3 4

5

(3;2)

0

A

tx)

Abb. 1.1.85

Abb. 1.1.84

Aus Abb . 1.1.85 wird deutlich, dass sich die Paare (2; 3 ) und (3 ; 2) unterscheiden. (Man beachte also: { 2 ; 3 } = {3 ; 2 } aber (2 ; 3 ) =1= ( 3 ; 2 ) !) Die Mengen A und B in A X B können auch übereinstimmen! Besonders wichtig ist der Fall A = B = lR : Statt lR x lR schreibt man auch lR2 (gelesen: lR zwei). Graphisch steIlt lR x lR sämtliche Punk te der Koordinaten ebenedar (Abb.l.l.86) . Bemerkung:

Die in Kapitel 2 behandelten reellenFunktionen sind Teilmengen von ]R 2.

Man kann auch mehr als zwei Zahl en zu neuen Elementen zusammenfassen, z.B. Tripel:

(x; y; z)

mit x EA, yEB, ZEC ;

Quadrupe l:

(x1;x2;x3;x4)

mit xjEAj (i =l ,...,4) ;

n-Tupe l:

mit xiEAi

(i = 1,2,....n).

1.2

21

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

Analog zu Def. 1.1.83 setzt man fest: A xB xC

Der Sond erfall A

= B = C = IR

IR x IR x IR

=

I

{(x; y; z) x E A /\ y EB /\ ZEC } .

tr}

liefert:

zt

IR3 ~, IR drei").

IR

~< --t

Graphisch stellt IR3 sämtliche Punkte des dreidimensionalen Koordinatenraurns dar (Abb.1.1.88).

x:

(xl

Abb. 1.1.88

( '

~ '

-.

I

l: ~ :Y I

- - .J,...- ....

IR

IR

Allgemein definiert man: Def. 1.1.89:

Der Sonderfall Al = ... IR X IR X

... X

IR

=

An

= :

'-------v------

=

IRn

IR führt zu IRn liefert sämtliche "Punkte" (Xl; ... ; xn) des "n-dimensionalen Raumes". (graphisch nicht mehrzu veranschaulichen)

(gelesen:"JR-n ").

n-mal

Aufgabe 1.1.90: Man bestimme für die Mengen A , B mit die Produktmengen:

B;

ii) B

i)

A

v)

Bx Ax B;

X

X

A;

iii)

vi) A x B X A ;

A

= {a, e, i}

A2;

B

= {n, m} iv) B2 ;

vii) A X B X B X A

Aufgabe 1.1.91: i) Man zeige (etwa an einem Beispiel) , dass für zwei Mengen A , B La. gilt:

A xB =!= B x A

.

ii) Mit Hil fe von Def. 1.1.83 zeige man die Gültigk eit folgender "Distributivgesetze":

E s seien A, B, C drei Mengen. Dann gilt: a)

A

X

(B n C)

(A

X

B) n (A

b)

A

X

(B

C)

(A

X

B) u (A x C)

c)

A x (B \ C)

U

X

C)

(A x B) \ (A x ci .

1.2 Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen (IR) Der folgende Ab schnitt stellt die Grundregeln und Rechengesetze für reelle Z ahlen zusammen, ohne deren Kenntnis keine mathematische Anwendung möglich ist. Es handelt sich dabei um elementares math ematisches Grundwissen, das in der Mitt elstufe einer jeden allgemeinbildenden Schulform behandelt wird. Erfahru ngen aus den wirtschaftsmath ematischen Einführungsvorlesungen zeigen jedoch, dass nicht selten große Teile dieser math ematischen Grundkenntnisse nicht oder nicht mehr in ausreichender Weise beherrscht werden. Dieser Ab schnitt über elementare Rechengesetze dient daher in erster Linie zur Auffri schung dieser möglicherweise verschütteten Grundkenntnisse.

22

1

Grundlagen und Hilfsmittel

1.2.1 Grundregeln (Axiome) und elementare Rechenregeln in lR 1.2.1.1 Axiome Das Rechnen im Bereich der reellen Zahlen lR stützt sich auf ein vollständiges und in sich widerspruchsfreies System elementarster Grundregeln (Axiome genannt), deren Gültigkeit nicht bewiesen wird, sondern als unmittelbar einleuchtend unterstellt wird.

Bemerkung 1.2.1: UmAxiome " beweisen (( zu können, müsste man noch einfachere Grundgesetze kennen, deren "Beweis (( noch einfachere Grundregeln erfordert usw. DieimfolgendenvorgestelltenAxiomegehörenbereits derelementarsten Kategorie an. Satz 1.2.2:

In der Menge IR der reellen Zahlen sind zwei Operationen (nämlich" + " (Addition) und ". " (Multiplikation)) erklärt, die den folgenden Axiomen genügen: Axiome der Multiplikation

Axiome der Addition Al (Existenzder Summe)

MI (Existenz des Produktes)

Zu je zwei Zahlen a,bEIR gibt es genau eine Zahl sE IR mit der Eigenschaft: s = a + b.

Zu je zwei Zahlen a , b EIR gibt es genau eine Zahl pE IRmit der Eigenschaft: p = a -b = : ab

(s heißt Summe).

(p heißt Produkt).

A2 (Assoziativgesetz bzgl. +)

M2 (Assoziativgesetz bzgl. .)

Für alle a, b .c EIR gilt:

Für alle a, b, c EIR gilt:

(a+b)+c = a+(b+c)

I (a'b) 'c = a '(b'c)

a+b+c

=:

abc I

A3 (neutrales Element bzgl. + ,. Nullelement)

M3 (neutrales Element bzgl. • ,. Einselement)

Es gibt genau ein Element aus IR (nämlich die Zahl 0 E lR), so dass für alle a EIR gilt:

Es gibtgenau ein Element aus lR (nämlich die Zahl 1 E IR), so dass für alle a E IR gilt:

a+O = O+a = a

a 'l=l-a=a

A4 (inverses Element bzgl. +)

M4 (inverses Element bzgl. .)

Zu jeder Zahl a EIR gibt es genau eine Gegenzahl (inverses Element bzgl.+) nämlich -a EIR, so dass gilt:

Zu jeder Zahl a E lR\ {O} gibt es genau eine reziproke Zahl (inverses Element bzgl. . ) nämlich ~ EIR, so dass gilt:

a :~

a+(-a) = (-a)+a = 0 A5 (Kommutativgesetz bzgl. +)

Für alle a, b EIR gilt:

a+b

=

~.a

=

1

(a

* 0)

MS (Kommutativgesetz bzgl. .) b+a

Für alle a , b EIR gilt:

D (Distributivgesetz) Für alle a, b, c E IR gilt:

I a ' (b + c)

= a' b + a -c I

a -b = b -a

1.2

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

23

Bemerkung 1.2.3: Eine Menge, die den Axiomen A1-A5, M1-M5 und D genügt, heißt Körper. Sowohl die reellen Zahlen (IR) als auch die rationalen Zahlen (Q) bilden bzgl. ,,+" und" . " einenKörper. Subtraktion und Division werden wie folgt erklärt: i) Die Subtraktion ist die Addition der Gegenzahl:

Ia- b

(1.2.4)

:=

a + (-b)

I

ii) Die Division ist die Multiplikation mit der reziproken Zahl: (1.2 .5)

[ a: b := a '

+~ I = :

(b

'*' 0)

Im Bruch ~ heißen a der Zähler und b der Nenner.

Aus (1.2.4), (1.2 .5) erkennt man, dass für die Subtraktion ("- ") und für die Division (,,: ") die Kommutativgesetz e A5 bzw. M5 nicht gelten: b wb a!

Subtraktion:

a

Division:

a:b =l=b :a!

r

r

Richtig ist vielmehr :

a- b

Richtig ist vielmehr:

a:b

= a + (-b) = (-b) + a = -b + a;

(1.2.4)

A5

=a ·..l.

(1.2.5)

b

=

M5

..l.·a. b

Bemerkung 1.2.6: Es sei noch einmal ausdrücklich darauf hingewiesen, dass zur Zahl Null kein inverses Element bzgl. der Multiplikation existiert (siehe M4), andersgesprochen, dass eineDivisiondurch Null nicht definiert (und daher" verboten ") ist. Jeder Versuch, die Division durchNull zu erklären, führt zu einem Widerspruch innerhalbdesAxiomensystems! Beispiel: Gäbe es in IR ein bzgl. der Multiplikation inverses Element zu 0, etwa 0* genannt, so müsste nach (1.2.5) und Axiom M4 gelten:

o

0:=0 '0*=1 . Nun ist aber (siehe die nachfolgende, aus den Axiomen beweisbare Rechen-Regel 13a) jedes Produkt Null, in dem ein Faktor Null ist. Somit müsste O· 0 * einerseits gleich Eins, andererseitsgleichNull sein: Widerspruch!Also muss dieAnnahme - nämlich dieExistenzvon 0* E IR-falsch sein. Bemerkung 1.2.7: Bei Anfängern werden nicht seltendie Gesetze M2 bzw. D (in Satz 1.2.2 durch Rahmung hervorgehoben) falsch angewendet: Auf ein mehrfachesProdukt, etwa2 . (a . b), wirdfälschlicherweise das .Distributivgesetz" angewendet, und das " Ergebnis" lautet: 2· (a . b)

f

2· a ·2 · b = 4ab

(7)

Daher unterscheide man genau: und

2 '(a 'b)

= (2 'a) 'b =2·a ·b = 2ab M2

2'(a+b)

= D

(2 'a)+(2 'b) = 2a+2b.

1

24

Grundlagen und Hilfsmitt el

Um eine übersichtliche Schreibweise ohne allzu viele Klammern ermöglichen zu können, verwendet man einige Konventionen hinsichtlich der Reihenfolge der Rechenoperationen (und spart auf diese Weisepräzisierende Klamm em ein) : Vereinbarung 1.2.8: (Konventionen überdie Reihenfolge derRechenoperationen in IR) i)

Klammem haben absoluten Vorrang (werden also stets zuerst berechnet) ;

ii)

Danach werden alle Potenzen berechnet, und zwar- bei fehlenden Klammern - von "o ben nach unten « ;

iii)

Danach werden alle Punktoperationen (Multip likation " . " ; Division " : führt, und zwar von links nach rechts, falls keine Klammern stehen ;

iv)

Danach werden alle Strichoperationen (Addition" + " ; Subtraktion ,,-") durchgeführt (bei fehlenden Klammern ebenfalls von links nach rechts) .

'~

durchge-

Merkregel: Klammem vorPotenz vorPunkt vor Strich Beispiel 1.2.9:

5 + 3 . «9 - 6) .4? - 7

i)

i)

5 + 3 · (3 ' 4)2- 7

i)

5 + 3 ' 122- 7

ii)

5 + 3 '144-7

= 5 + 432 - 7 = 430 .

iii)

-2 4 ,= -(24) ("Potenz vor Strich "!) = -16

ii)

iii)

iv)

aber: (-2)4 = (- 2) ' (-2) ' (- 2) ' (-2) = + 16.

2) ,= 4(3 ("von oben nach unten"!) = 49 = 262.144 aber: (4 3)2= 642 ("Klammer zuerst"!) = 4.096 . 4

32

iv)

48 : 3 : 4 · 2 = 16 : 4 · 2 ,= 4 · 2 = 8 ("von links nach rechts. "!) aber:48 :3:(4 '2) = 48 : 3 : 8 ("Klammerzuerst") = 16 : 8=2

v)

x - y - z ,= (x - y) - z aber: x - (y - z) = x - y + z

("von links nach rechts"!) ("Klammer zuerst" !)

Bemerkung 1.2.10: Werden geklammerte Terme dividiert) z.B. (a + b) : (c + d) so kann man bei Verwendung eines Bruchstriches dieseKlammem weglassen: a +b (a + b) - - ,= - - = (a + b) : (c + d) c +d (c + d) Beispiel: i)

~:~

ii) 1 o~ -

8

= (7+ 8) : (2+3) =15 :5 =3 =

nicht etwa:

~ :~

= 7+8 : 2 + 3

(=14 7)

~ ' (10x - 8) (die Klammermuss wieder geschrieben werden) wenn der Bruchstrich entfällt!)

1.2.1.2 Elementare Rechenregeln für reelle Zahlen Aus den Körperaxiomen A1-A5 , M1-M5 , D sowie den definitorischen Formeln (1.2.4), (1.2.5) folgen sämtliche bekannt en Rechenregeln. Diese Rechenregeln sind ihrer Natur nach allgemeingültigeAussagefonnen (z.B. Gleichungen) siehe Def. 1.1.25), die für jede beliebige Einsetzung wahr sind (wobei - siehe Bemerkung 1.2.6 - sämtliche vorkommenden Nenner oderDivisoren als von Null verschieden vorausgesetzt werden müssen) .

1.2

25

Ari thmetik im Bereich der reellen Zahlen lR (zum Beweis siehe etwa [JOa], Band 1, 6f)

ELEMENTARE RECHENREGELN in lR

RI.

- (- a) = a

R2.

- a = (-l)'a

R3a.

-ab

R3b.

(-a)'(-b) = ab

= - (a ' b) = (-a)'b = a'(-b)

Bemerkung 1.2.11: Aus R3a fo lgt: Ein Minuszeichen vor einem Produkt ändert bei genau einem derFaktoren das Vorzeichen (vgl. dagegen Bemerkung 1.2.15 weiterunten) .

= - (abcd) = (-a) 'b 'c'd = a '(-b) 'c 'd = a 'b'(-c) 'd = a -b-c -I- o} + (a . b · c) = +abc = abc .

Beispiel:
Ein Pluszeichen vor einem Produkt kann weggelassen werden:

- ~ = - (a : b) =-: = _~

R4a. R4b. Beispiel: _ a ' -(be) (-d) ' e

R5.

-a

a

-b

b

= _ -abc = _ abc = -abc = abc -de

de

de

- de

Anwendung der Regeln 3a/3b auf das Distributivgesetz: a (b + c) = ab + ac,

a (-b + c) = - ab + ac,

(-a)(b + c) = -ab - ac,

(-a)(-b + c) = ab - ac,

a (b - c) = ab - ac,

a (-b - c) = - ab - ac,

(-a)(b - c) = -ab + ac,

(-a)(-b - c) = ab + ac .

Durch mehrfache schrittweise Anwendung des Distributivgesetzes lassen sich auch umfangreic he Summen untereinander multiplizieren: R6a. Bemerkung 1.2.12: Liest man die Regel 6a von rechts nach links, so erk ennt man, dass die Summe axj+ax 2+... +axn durch A usklammern des in allen Summanden enthaltenen Faktors a in ein Produkt a(x j +x2+'" +xnJ verwandelt wird (Faktorisieren) . Beispiel:

R 6b.

6xy+2ax -x = x(6y+2a -l)

(a, +a2+...+am) · (bI +b 2+ ...+b n) = a 1b 1 +a1b2+ ...+a1bn + a2b1+a2b2+· ..+a2bn

(insgesamt m -n Summanden)

(Zwei Summenwerdenmiteinander multipliziert, indem man je den Summanden des ersten Faktors mit jedem Summanden des zweiten Faktors multipliziert und schließlich alleentstehenden Produkte addiert.)

1

26

Grundlagen und Hilfsmittel

Beispiel 1.2.13: i) (x+a)(y-b+c) = xy-bx+cx+ay-ab+ac ii) Die folgenden, allgemeingültigen Gleichungen werden als BinomischeFormeln bezeichnet:

(a-sb)? = a 2+2ab+b2 (a-b)2 = aL2ab+b 2

R6c.

aLb 2 = (a+b)(a-b) iii) Werden mehr als 2 Summen miteinander multipliziert, so geht man schrittweise vor:

(a-b)3 = (a-b)2(a-b) = (aL2ab + b 2)( a-b) = a3 - 2a2b + b 2a - a 2b + 2ab 2 - b 3 = a3 - 3a 2b + 3ab2 - b3 (siehe auch Satz 1.2.42: " Binomischer Satz")

R7.

-(a+b)

-a-b

-(-a+b) = a-b

-(a-b)

-a+b

-(-a-b) = a+b

Bemerkung 1.2.14: Die Vorzeichenregeln R7 ergebensich formal durch die Anwendung von R2 und R5. Beispiel:

u -(v-(w+(x-y))) = u-(v-(w+x-y)) = u-(v-w-x+y) (Klammem von innen nach außen auflösen !)

= u-v+w+x-y

Bemerkung 1.2.15: Aus R7 folgt: Ein Minuszeichen vor einer (geklammerten) Summe ändert beijedem Summanden das Vorzeichen bzw. das Rechenzeichen: Beispiel:

-(a-b+c+d) = -a+b-c-d

(vgl. dagegen Bem.l.2.11 für ein Produkt!) .

Ein Pluszeichen vor einer (geklammerten) Summe kann einschließlich der Klammem fortgelassen werden. Beispiel: +(a-b+c+d) = a-b+c+d . Bemerkung 1.2.16: Beispiel:

Ein Bruchstrich wirkt auf Zähler und Nenner wie eine Klammer:

a +b -c +d

(a + b) --(c + d)

(die Klammem sind entbehrlich, siehe auch Bem . 1.2.10)

Beispiel: Die Klammer muss geschrieben werden, wenn der Bruchstrich ersetzt wird: i)

a + db

c+

= (a + b) : (c + d)

ii) - 4x2 - 6y -

R8.

(Falsch:...!!...!2... c+d

= a + b: c + d

1) ;

= -2"1 (4x- 6y) = - 2x + 3y .

(Multiplikation von Brüchen)

R8a.

c -a·c _a . -

R8b.

h' c

b

a

d

b ·d

a :c

c

= -b- = a ' h

( folgt aus R8a mit d = 1 und c =

f)

1.2 Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR R9.

(Division von Brüchen, Doppelbrüche)

R9a.

b a0_= c d =ad _=_ -a .-

a b . d

c

b

(Ei n Bruch wird durch einen zweiten Brucli di vidiert, indem m an den Z ahl erbrucn mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multipliziert.}

bc

c

27

d

a

R9b.

b a a -c = ' c =bcb .

R9c.

b= a :c =b

a

b

(folgt aus R9a mit c = ~ )

ac

(folgt aus R9a mit a

=~ )

c

RIO. (Kün ungsregel, Erweiterungsregel)

~ = b .~

b

t

fI

und sind genau da nn gleich, Zw ei Brüche wenn sie du rch Erweitern oder Kürzen (z.B. m it },*O) auseinander hervorgegan gen sind, m.a. W

·0

"e nveitern" mit x 0

'*

"kürzen" durch c ,* 0

(Vorsicht:

B em erkung:

~

a b

t

A us

c

d

fo lgt:

c

= },a

/\

d = }'b (},* O)

~ : ~: ist nicht durch x "kürzbar" ! )

RU. (Addition gleichnamiger Brüche) (Brüche mit gleichem Nenner (d.h. " gleichnam ige" Brüche) werden ad diert, ind em man die Z ähler addiert und den Nenner un verändert l ässt.) B emerkun g 1.2.1 7: L iest man R11 von rechts nach links, so erkennt m an, da ss eine Summe durch eine Z ahl c dividiert wird, indem jeder Summand durch c dividiert wird:

~ = Lc c

(a ± b) = .!!... ± .!!.. c c

B eispiel:

6x 2 - 28x _ 6x 2 28x _ 3 - 2x 2 - 2x 2 2x 2

( ~ Distrib utivgesetz I). 14

- X-

RI2. (Addition beliebiger Brüche) (Ungleichnam ige Brüche werden zunächs t durch geeignete Erweiterung gleichnam ig gemacht und dann nach Regel Rl1 addiert.) 3

1

27

7

34

Beispiel:

"7+9" = {;3 + ""63 = {;3 .

Beisp iel:

- ---

1

1- y

Y

(l - y) x

x

Y

J)'

J)'

y -x (l -y) J)'

y-x+J)' J)'

28

1

R13a.

a 'O = O'a =O

R13b.

-.2. b

= 0

(R13c besagt: Das Produkt zweier reellerZahlen (oder Tenne) ist genau dann Null, wenn einer derbeidenFaktoren (oder beide) Null sind.)

a'b=O <=> a =Ov b =O

R13c.

Grundlagen und Hilfsmittel

Regel 13c liefert den Schlüssel für die Lösung quadrati scher Gleichungen: Beispiel 1.2.19: x2

i)

(Lös ungsmengequadratischer Gleichungen)

x2 - 4 = 0

= 4

<=>

(x - 2)(x + 2) = 0

R6c

<=>

x =2 vx = - 2 ii) x 2 + 4x - S = 0

<=>

(x + 2)2-9 = 0

<=>

x-l =Ovx + S =O

R13c

L = {-2;2} .

x 2 + 4x + 4 - 4 - S = 0

<=>

R6 c

<=>

R6c

( = ))quadratische Ergänzung ")

(x + 2-3)(x + 2 + 3) = 0

<=>

x-2 =O vx +2 =0

<=>

RBc

x =l vx = -S

<=>

(x -l )(x + S) = 0

<=>

L = {-S ; l} .

Näheres zur Lösung quadratischer Gleichungen findet sich in Kap. 1.2.4.S .

I

R13d.

Beispiel:

f

x- I = 0 x -2

x2 Beispiel: - = 0 x

Aufgabe 1.2.20:

I

=O <=> a =Ol\b *O

(Ein Bruch istgenau dann Null, wennder Zähler Null und gleichzeitigderNenner ungleich Null ist.)

=>

<=>

x- l =0I\x -2 *0

<=>

x =ll\x*2

<=>

x2 = 0

=>

L ={ } (unerfüllbare A ussage) .

1\ X

* 0

L = {l}

Man vereinfache so weit wie möglich (Brüche so weit wiemöglich k ürzen I):

i)

2ab ·10ab · 4bx ' 3abx =

ii)

ab , (bc) =

iii)

(-3x) ' (ay): (-2xy) =

iv)

(x + 2y)2- (2x _ y)2 =

v)

(ax + bx-cx) :x =

vi)

(ax bx . cx) : x =

vii)

(4a + 3b -Sc) '7x -(Sa - 4b + 6c) '3x =

viii)

- (a- x)(b- y)(c- z) =

ix)

-abc b -a - .- .--

xi)

am +an . ax + ay _ m . X -

xii)

a-b

(-b) ' c

..!!... - 1 v

a

x)

2x + 1 1 x +5 - - + - - - 2- =

a xiii)

xviii) 5a - b _ 4a - c = b - 5a c

x

x

b - '.,' =

xiv) - x + __X_ _ I - _ 2_

J!.. + ~

b

xv)

2x

x

xvi)

x- I

y

- x 2+ 4x- 4

x -2

xvii)

9r _

4x 2 I6x 2 + 8Ir -

1.2

29

Arithmetik im Bereich der reellen Z ahlen lR

Im folgend en werden einige häufig benutzte mathematische Begriffe und Symbole aufgeführt:

1.2.1.3 Betrag einer Zahl Unter dem (absolut en) Betrog

+-

Ia I einer Z ahl

a ( E lR) versteht man :

a wenna >O lai

1,2.21,

1

:=

0 wenn a = 0

- a wenn a < 0

1171 = 17;

Beispiel 1.2.22:

1-21 = 2 ;

10 I = 0;

x -3fiirx~3

Ix - 3 I =

3 -x fiir x <3 .

Es gilt also ste ts:

S~tz 1.2.23:

i)

Ia l

ii)

2: 0

Ia I = 1-a I .

Unter dem (abso luten) Abstand zweier Z ahlen a, b versteht man den Bet rag ihrer Differenz [a - b I bzw. [b a ]: r

Beispiel 1.2.24: Der Abstand zwischen 4 und 7 beträgt 14 - 71 = 17 - 41 = 3. Der Abstand zwischen - 2 und 5 beträgt

Analog:

1-2 - 51 = 15 - (-2) I = 7 ;

Der Abstand zwischen -1 0 und -2 beträgt 1-10 - (-2) I = 1-2 - (-1 0) 1= 8 ; Der Abstand zwische n a und 0 be trägt [a - 0 1 = I a I.

oa I ist also der Ab stand von a bzw. - a zum Nu llpunkt. ) (Geometrisch: I a - b I ist die positiv gerechnete Länge L der Verbindung zwischen a und b auf dem Z ahlenstrahl (oder die abso lute Abweichu ng voneinander).

E s gilt die berühmte Dreiecksungleichung für alle a, b

S~tz 1.2.25:

E

o

a

b

L

L

=1a - b I=Ib - a I

lR:

Ia ± b I ~ Ia I + I b 1

1.2.1.4 Das Summenzeichen E ine Summe mit mehreren Summ and en lässt sich mit Hilfe des Summa tionso pera tors " L " häufig kur z und übersichtli ch schreiben : n

Der. 1.2.26:

n z m,

n.m e Z

(gelesen: Summe aller a j von i = m bis i = n) Der laufende Summ ation sindex "i " erhöht sich jeweils um 1 beim folgend en Summand en, beginnend bei der Summ ation suntergrenz e m (steht unter dem Summationsbefehl L) und endend mit der oberen Summationsgrenze n (steht über L); L (griech.): Sigma. k-]

6

Beispiele:

L ai i= 4

= a4 + as + a6

L i 'Ci+7 i= 2

2C9 +

3 ClO

+ 4Cl1 + ... + (k - l) ,ck +6 .

30

1

L aj 6

Der Summationsindex kann beliebig benannt werden:

j= 4

6

Grundlagen und Hilfsmitt el 6

L ak = L aj k= 4 j =4

usw.

(Er sollte aber von den Summa tionsgrenzen unterscheidbar sein!) H äufig ist die unt ere Summat ionsgrenze die Zahl 0 oder 1:

L aj

L a,

n

n

= ao + a1 + az + ... + an

= a1 + az + ... + an

i =l

i=O

L (i + 1) ' i = 2 · 1 + 3 . 2 + 4 . 3 = 20 3

Beispiel:

i=l

L (kZ- 1) p

Beispiel :

= -1 + 0 + 3 + 8 + l S + ... + (pZ- 1)

k=O

x der n

Beispiel: Das arithm etische Mitt el

L[

Z ahlen Xl' Xz, ..., xlllässt sich mit dem Swnmenzeichen

n

einfach beschreiben: -X

= -1

n

X.

i=1

Satz 1.2.27: E s gelten folgende Rechenregeln: n n n 1) L(aj±b i) = L ai ±Lbi j=l j=l i=l

n

2)

(~

Assoziativgesetz, siehe Kap. 1.2.1.1)

n

L c · aj = c · L ai i=l i=l

G, Ausklammern")

( ~ Distributivgesetz, siehe Kap. 1.2.1.1)

n

3)

L

C

i=l

c+c+ ... + C

n ·c .

'----------v---

nSummanden

n

Bemerkung 1.2.28: Es gilt i.a.: L ;= 1

Beispiel: (n

=

2):

n

ai b i

:j=

L ; =1

n

«. . L ; =1

b,

(siehe Regel R6b in Kap. 1.2.1.2)

1.2

31

A rithme tik im Bereich der reellen Z ahlen lR

U nter einer Doppelsumme versteht man: n

rn

n

I I aik '= I(~ =

Def. 1.2.29:

i=l k=l

i=l

über k summiert

a11 + a12 + + a21 + a22 + + .,.

+ alm + a2m

Es wird zunächst über k summiert und die entstan dene Summe dann über i summiert (oder umgekehrt), Die Summationsreihenfolge (erst über i , dann über k oder umgekehrt) ist belanglos:

i=l k=l

k=l i=l

Aufgabe 1.2.30: Man schreibe mit Hilfe des Summenzeichens: Ii)

2X1Y1 + 2X2Y2 + ... + 2X20Y20;

1'1')

1 + "2 1 + 31 + ... + 100 1 ;

Aufgabe 1.2.31 : Man ermittle den Wert der folgend en Summen: 4

3

i) "" _i_ .

L

i=1

i+2'

4

, ) IV

k2

j=l

n

n

L"" ( - k=2 3 - - ) 'J.

vi) I

V) I i i=l

Li

3

iii) I I(i+ l )(k+ 2) i=1 k=l

k=2

5

L

2

(2k L k + 1)

ii) I

(2k -1 )

*vii)

I

n-1

n

i2

I

x'

i= 0

i=l

k=1

viii)

i=l

Aufgabe 1.2.32: E s sei

x das arithmetische Mitt el der _

1

n Einzelwerte XI' x2' ..., xn (E lR), d.h. es gelte: 1

n

X,= -; (Xl + X2 + ... + Xn) = -; I Xi i=l

Man zeige, dass dann für die Summe der quadrierten A bweichungen der Einzelwerte x, vom Mittel gilt: n n wert

x

I

(x, - x)Z

i=l

=

I

x?- n'x 2

ie I

1.2.1.5 Das Produktzeichen A nalog zur Summenschreibweise lassen sich lange Produkte in abgekürz ter Schreibweise darstellen: n

Def, 1.2.33 :

! .

TI ai ,= am. am

+ i ' ... . an

m,n E Z;

n zm .

ie m

(gelesen: Produk t aller ai von i = m (untere Multiplik ationsgrenze) bis n (obere Multiplika tionsgrenze); n: (griech.) Pi) .

1

32

Grundlagen und H ilfsmittel

4

TI (i + 1)

Beispiel:

=

i =1

2 ·3 .4 .5

120

=

Satz 1.2.34: E s gelten folgende Rechenregeln: n

TI c = c -c -c - ... . c = , c"

1)

i= 1

(Potenz) .

'-v-------'

nFaktoren n

n

i=1

i =1

TI c · a, = ca, . caz ' ... . can = c" : TI ai

2)

11

TI aibi = al b

3)

Aufgabe 1.2.35:

i=1

1 . azb z'

n

n

i= 1

i=1

TI a.: TI b,

... . anbn =

Man ermittle:

zo

10

i)

TI i ;

iii)

i =1

TI (i - 2) i= 1

1.2.1.6 Fakultät und Binomialkoeffizient Für das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen schreibt man abkürzend n! (gelesen: n Fakultät). Dff. 1.2.36:

n! ,= 1 · 2 ·3 · ... ' (n - 1) ' n

Beispiel: 3! = 1 . 2 . 3 20!

=

,

nElN ,

und 0!'= 1 .

6 ;

= 1 ·2· 3 · ... · 19 · 20 = 2.432 .902.008.176.640.000

Im Zu sammenhang mit statistischen oder kombinatorischen Fragestellungen hat der Binomialkoeffizient (~) (gelesen: n über k) eine große Bedeutung. Er ist wie folgt definiert: D;f.1.2.37:

(~) '= (n-~~!k!

n ~k ;

n,kElN o

Beispiel: Durch Kürzen erhält man: (n - k) ' (n - k + 1)' ' " . (n - 1) ' n

l' 2'

(n - k) . l : 2 . 3' ... . (k - 1) . k

1.2 '

'-------v-

(n - k) !

k!

d.h. statt Def. 1.2.37 lässt sich zur Definition des Binomialkoeffizienten auch verwenden: Satz 1.2.38:

(nk)

=

u' (u- I ) '

49) 49 ·4 8 '47 '46 '45 '44 Beispiel: ( 6 = - - - - -- 1 '2 ' 3 '4 ' 5 ' 6

l :2 '

' (u - k + 1)

·k

13.983.816

'

n z k;

(~ Anza hl

n.k e N j .

möglicher Tipreihen im Lotto)

1.2

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

33

Satz 1.2.39: Es gelten folgende Regeln (ohne Beweis): 1)

( ~) =

(g)

= 1

2)

(n~l)

=

(~)

=

3)

(~)

=

(n~k)

4)

(~) + (k~l) 5

5

( 3) = (2) =

Beispiel:

(k)

Bemerkung 1.2.40:

(wegen O!

1)

n;

n+l) ( k+l

.

(:~) = (4.i) =

10 ;

=

85.900.584

.

gibt die möglich e Anzahl verschiedener k -elementiger Teilmengen an, die man

aus einer n-elementigen Menge (n ~ k) bilden kann. So gibt etwa (41) an, wieviele verschiedene 6elem entige Teilmengen (z.B. Lotto- Tippreihen) aus einer 49-el ementigen Menge (z.B. der Menge aller Lottozah len) gebildet werden können. Ergebnis:

("t) = 13.983.816 ( = A nzahl der verschiedenen Lotto- Tipreihen 6 aus 49)

Bemerkung 1.2.41: Mit Hilfe der Binomialkoeffizienten lässt sich der Binom ische Satz allgemeinformulieren. Für nEINo, a,bE IR gilt:

L (~) n

(a-e b)" =

an-k ' b k

k =O

L 2

(~)

Beispiel:

(a +b)Z =

Beispiel:

(a -W = (a+(-b»4 =

a2 - k 'b k

= (~)

a2 +

(i) ab + (~)

b2

=

a 2 +2ab +b 2

k= O

(~)a4 + (i) a3 (-b) + (i) a 2 (-b)Z + (j) a (-W + (:) (-b)4 aL4a3b+6a2bL4ab3+b4 .

=

Die im binomischen Term (a+b)" auftretenden Binomialkoeffizienten lassen sich besonders einfach am sogenannten Pascalsehen Dreieck ablesen: n n n n n n n

= 0: = 1: = 2: = 3: = 4: = 5: = 6:

1 1 1 1 1 1 1

(~)

(~)

3 4

5 6

1 2

10 15

(~)

1

3 6

Jede innere Dreieckszahl ergibt sich als Summe der beiden unmittelbar darüber liegenden Dreieckszahl en (wegen:

1 4

1

10 5 20

15

(n~2)

(~:~) = (~)

1 6

1

(n~l)

(~~~)

(n~l)

(~)

(~:~)

+

(k~ l)

)

1

34

Grundlagen und H ilfsmittel

Aufgabe 1.2.43: Man berechne

.ll .

i)

1O!

8! 4! 3! . 2! 7! '

3! '

3! 3! 4!

(150) "

( 0)

°;

ii)

Man multipliziere die Klammern aus:

iv) (2x _y)10 =

(a-rb)" =

iii)

1.2.2

Potenzen

1.2.2.1

Potenzen mit natürlichen Exponenten

Wird eine reelle Zahl a n-mal mit sich selbst multipliziert, so führt man für das entstehende Produkt a . a . a' ... . a eine neue Schreibweise ein: Def. 1.2.44:

an : = a . a . a' ... . a

(ae R , n e N) .

--...n

Faktoren

Bemerkung 1.2.45: i) an wird gelesen .,« hoch n " ii) 1m Term a" heißen:

a: n: an:

Basis, Grundzahl Exponent, Hochzahl Potenz, Potenzwert

Beispiel 1.2.46: (-1 )20 = 1

(-1) '(-1) ' ... ' (- 1)

i)

20-mal

ii)

1 ._ 1 = _1 . (_1 )3 = _1 ._

iii)

(-2)4 = (-2) ' (-2) ' (-2) ' (-2 ) = 16

2

aber:

2

2

2

8'

-2 4 = - (24 ) = -1 6 ; (im Term
iv)

aber:

5 .7 2 = 5 . 49 = 245 (5 ' 7)2 = 35 2 = 1.225 (in ab" gehört der Faktor a nicht zur Basis (. Potenz vor Punkt "!) )

Man unterscheide: ab"

=

(ab)" =

a . b . b . b ... . bund ab , ab· ab· '" . ab,

(siehe Vereinbarung 1.2.8)

1.2

35

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen lR 10 1

v)

=

10

21

8 64

=

100

23

10 3 =

1.000

26

10 6 =

1.000.000

10 2

210 = 1.024

10 9 = 1.000.000.000

Zehnerpotenzen:

lOn = 1000 ...0 '--r-'

n Nullen

(a b)!"> (a -b)(a-b) ... (a -b) =

vii)

2

r

Zehnerpotenzen werden benutzt, um große Zahlen kurz und übersichtlich schreiben zu können:

432.100.000.000 = 4,32 1 .10 11 - 2.170.000 = -2,17 '1 .000.000

= - 2,17 ' 10 6

(siehe Satz 1.2.42)

= a lO-l0a 9b+45a8bL120a 7b 3 + 210 a 6bL252a5b5 +210a4b6-120a3b7+ 45a 2b8-10ab9 +bIO

Für die nach Def. 1.2.44 erklärten Potenzen (mit m .n EIN) gelten die folgenden Rechenregeln: Beispiel:

Satz 1.2.47:

a 2 'a 3 = (a'a) ' (a' a' a)

PI: I

= a 2 +3

----------

furm >n furm=n

P2:

fur m < n

a

5

--;;J= a3

=

a5

a'a'a'a 'a = a2 = a 5- 3 a a :a a 'a 'a i

- 3 =--= 1 a a :a :a

a3

-;;s =

a' a' a 1 a :«: « :«: « = (i2 1

(a =1=0)

a5 - 3 (a2) 3 = a 2 . a 2 . a 2 = a 2+2+2 =a 3 ' 2 =(a 3 )2

= a6

(a 'b) 3 = (a ' b) (a ' b) (a -b) = a·a·a ·b ·b ·b = a 3 'b 3

(.!!....) 3 = E. . .!!.... . .!!....

P5:

b

b

b

a 'a'a

(b =1=0)

b

a3

= ~ = b3

1

36

Grundlagen und Hilfsmittel

Beispiel 1.2.48: . (a-b2) 3 I)

(a2 ' b)4

P3/P4

iii) 2.200 .000 ' 30.000 = 2,2 -10 6 . 3 '1 0 4 = 6,6 ' 106 +4 = 6,6 '10 10 = 66.000.000.000

iv) 4.000.000 3 = (4 ' 106) 3 = 43 ' 106 ' 3 = 64 '10 18 = 6,4 ' 10 19 = 64.000.000.000.000.000 .000 3 v) 3(3 ) = 3 27 ::::; 7,6 ' 1012 aber:

bc

Definitionsgemäß gilt: a

(33)3

:= a (b

C ) ,

= 39 = 19.683 .

siehe Vereinbarung 1.2.8

Bemerkung 1.2 .49: i) Für die A ddition zweier Potenzen gibt es kein einheitliches» Potenzgesetz ". Es besteht höchstens die Möglichkeit, einen gemeinsamen Fak tor ausz uk lammern.

3x 4+2x2 = x 2(3x 2+2) x L5x 3 = x 3(1 -5) = -4x3 3 Die Terme x + y 2 oder x 4 + usw. lassen sich in IR nicht weiter » vereinfachen ". Beispiel:

v'

ii) Für die Multiplikation (Division) zweier Potenzen, die sowohl verschiedene Basen als auch verschiedene Exponenten haben (z.B. x'" ' yM), gibt es ebenfalls kein eigenes Potenzgesetz. Hier ka nn man eventuell eine geeignete Teilpotenz abspa lten und m it den Potenzgesetzen Pl -P5 umformen.

Beispiele: i) 3x 3 .y4 = 3x 3 .y 3 .y = 3y' (xy)3 ; PI

ii) -

P4

X7

y3

x3 ·x4 y3

= -- =

x (_)3 ' x4 . Y

1.2.2.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Die umständliche Fallunterscheidung bei der Division zweier Potenzen mit gleicher Basis (Regel P2) gibt An lass zur Erweiterung des Potenzbegriffs auf nichtpositive ganzzahlige Exponenten n (n E Z). Nach Potenzgesetz P2 erhalten wir z.B.: (*) -

~

a5

1

1

= -5 3 = - 2 a a

bzw.

-

~

a3

=1

Fordert man ein einheitliches Potenzgesetz in der Form a3

a: a

= a111- " , so liefert das Beispiel:

a3

=a 3 - 5 =a- 2 bzw. _ 3 = a3 - 3= aO, (a*O!). a5 a Damit die Ergebnisse von (*) und (**) übereinstimmen, muss man als Definition fordern: a-2: = _1_ ~ sowie a := 1. Allgemein definiert man daher (unter der Voraussetzung a * 0):

(**) -

°

ii) a''

:=

1

(a ElR\ {O}

1.2

37

Arithmetik im Bereich der reellen Z ahlen lR

Mit dieser Definition laut et das 2. Pot enzgesetz einheitlich für alle Ex ponenten:

(aElR\ {O} ; n .m e Z ) .

P2:

Ohne Beweis sei angemerkt, dass auch für diese "neuen" Pot enzen sämtliche Pot enzgesetz e PI-PS gültig bleiben (Permanenzprinzip : DieErweiterung von Begriffen erfolgt derart, dass diebisherigenGesetzeerhal-

ten bleiben). Beispiel 1.2.51: i) _1_ = _1_ = an

a- n

Z ehnerpot enzen

1

ii) 10- 4

= _1_4 = _1_ = 0 0001 10

10. 000

10 3 = 1.000 10 2 100 10 1 10 1 10° 10- 1 = 0,1 10- 2 = 0,01 10- 3 = 0,001

'

allgemein: Z ehn erpotenzen mit negativem Exp onent en: 1 1 10- n = - n- = = 0,000 ... 01 ; nEIN ; 10

100 '" 00 '-----.,---'

'---,.------'

n Nullen

n Nullen

2,9 ' 10- 3 = 2,9 ' 0,001 = 0,0029

"') ( 2)-4

III

-

1 (-2)4

=

1 16

=

iv) ab" = -;-

aber:

b

vi) (

u

-4

·v

5

p3 'u- 3 ' w O

aber:

r3 P2/P5

(U- 1 'V5)- 3

(p3)-3

P3/ P4

1.2.2.3 Potenzen mit rationalen (gebrochenen) Exponenten; Wurzeln Der Potenzbegriff kann nochmal s erweitert werden: Die Forderun g, dass die Potenzgleichung (nEIN;

a,x 2: 0) ,

z.B.: x5 = 32 ,

eine Lösung XElR +0 in Form einer Potenz hab en soll, gibt Anlass zur Erweiterung des Pot enzb egriffs auf beliebige rationale Exponenten n (n E (0). Pot enziert man beideSeiten von (») : xn = a formal mit -.l , so folgt n

1

(* *)

(x") 11

1

=

an.

1

Unterstellen wir die Gültigkeit von P3, so folgt aus (* *) wegen

(xllt

11

= x" = x

das Result at:

1

xn

=

a

~

x

=an

(n EIN; a, x

2: 0)

.

Daher definiert man:

38

Grundlagen und Hil fsmittel

1-

Die Potenz a n , a E lR ~, nEIN, ist die nichtnegative Lösung der Gleichung x" = a,

Def.1.2.52:

1

d.h . es gilt:

(a"

t

= a .

l 32

Beispiel 1.2.53:

I

1

5

ist diejenige nichtnegative Zahl x, für die gilt: x5

Wegen 25 = 32 gilt: 32

= (32 "5 )5 = 32.

t=2 .

1

Nach Def. 1.2.52 ist an diejenige (nich tn egative) Z ahl, die - mit n potenziert - wiederum a ergibt.

Iv-a

Dafür kennt man auch die Schreibweise (gelesen : "n-te Wurzel aus a"; Die Basis a heißt "Ra dikand ", n heißt .Wurzelexponent" (nEIN).) Daher definiert man :

1a

l

Beispiel 1.2.55: 8

I(-49)~

=

V;-;

3

= V8 (= 2)

3

V-49

n

n

4

l

2

(a 2: 0; nEIN) . 2

1

= V4 = V4 = 2

-49 2

= -(49 = -7 ;

ist nicht definiert, denn die Gleichung x 2 = -49 hat keine Lösung in lR.

Analoge Überlegungen über die nichtnegative Lösung der Gleichung x n = am (nE IN, mE Z , a > 0) führ en zur D efinition von Pot enzen mit beliebigeu Brüchen als Exponenten:

Def. 1.2.56: i) Die Pot enz

a

m n m

d.h.:

(a

m

ii)

n

(as R +, nEIN, mE Z) ist die nichtn egative Lö sung der Gleichung x'' = a'" ,

t

= a111

•

11

an

~ .

Beispiel 1.2.57: i)

8

3.

3

3

= VSZ = V64 = 4

3 7

12

ii) - 8

2 3

= __ 1_ = __1_ = __1_ =_18

2 13

3

V82

3

V64

4

V2"'7

iii) 2 12 = ist die Lösung der Gleichung x l 2 = 27 = 128. Positive Lösung (mit Hilfe eines elektronischen Taschenrechners ermittelt): x z 1,4983 .

M an kann (mit etwas Aufwand) zeigen: Auch jetzt behält das Permanenzprinzip seine Gültigkeit: Sämtliche Potenzgesetz e PI-PS bleiben auch für Potenzen amin erhalten.

1.2

A rithmetik im Bereich der reellen Z ahlen IR

39

Bemerkung 1.2.58: Ohn e Beweis sei angemerkt, dass die als Expo nenten auft retenden Brüche mit Hilfe der entsp rechenden Rechenregeln für Brüch e umgeformt (z.B . erweitert und/oder gek iaz t} werden dürfen, sofern die Basis stetspositiv ist! Andernfalls k önn en Widersprüche auftreten, Kostprobe: 1

1

-8 = (-2)3 = (_2)6/2 = ((-2) 6) 2" = 64 2" = +8 ,

Beispiel:

also gilt: - 8 = +8 (1)

Beispiel 1.2.59: (alle Bas en a, x, y, u p ositiv) m

n

i) ~ = a

-

n

= (a

-

1 n )m

5 3

iii) V y .vf 4

n

= ( V;- )m

151

V1i3

u3 / 4

~~ 5

u5 /

9 - 10

i v ) - - = - -6= Vu

1

=VY

=(y . y2)5=( y2)5=y2

U

12

U

--

1

12

1 =--

1\ri

m

n

Wie schon in Beispiel 1.2.59 ansatzweise gezeigt, erübrigen sich wegen ~ = a n eigene Gesetze für das Rechnen mit Wurzeltermen. Vielmehr lassen sich alle Umformungen für Wurzeltenne auf die fünf Potenzgeseze PI-PS zurückführen. In Wurzelschreibweise lauten sie: Satz 1.2.60: (Wurzelgesetze) Für a, b > 0 ;

n, m E lN ; r , s E
var: v;s- =

n

W2:

m

rs

a nm

var· Vb" =

n

n

v;;r

n

WS:

-

r

a .2:...

_=_=(_) n ~ r;-,:f

Vb

.2:...

bn

r

nm ,-----_

,-----_

Vafm + sn

b

=

nn~~

V ars

r

V(ab)'

an .

r

an

mn

a

nm ,-----_ _ Vafm- Sn

W3:

W4:

rm + sn

s

f

- +an m =

am

WI:

n

n

V(~Y

Bemerkung 1.2.61: Ist in aX der Expone nt x eine beliebige rationale Zahl (XE f!2), so mu ss die Ba sis a positiv sein, dam it k eine undefinierten Ausdrücke, wie z.B. 0°, 0-1, (_1) 1/ 2 = entstehen k önn en.

v=T,

Ausnahmen (unter Beachtung von Bem . 1.2.58): 1

- I st der Exponent stets positiv, so darf die Ba sis Null sein (z.B. 0 /2 = 0) . - Ist der Exp onent eine ganze Zahl, darf die Bas is negativ sein (z.B. (- 2)3 = - 8).

40 Bemerkung 1.2.62:

11

va" = ( a")

i) Man beachte: für gerades n und a E IR gilt:

Beispiele:

a)

V(- 2)2 = 1- 2 I = 2

;

..!.... 11

V(X- J) 2 =

b)

1

Grundl agen und Hilfsmittel

=

Ia I

(i. a. =F a)

Ix -J I =

3 für x ~ 3 { x3 -- xfürx<3

11

ii) Für ungerades n definiert man gelegentlich

v=s

1

Beispiel:

3

(-8) '3 ,=

,=

-

/

3

VB

bzw.

/11

= - 2)

~ auch für eine negative B asis a:

denn (_2)3

= -8.

Ma n beachte aber die aus Bemerkung 1.2.58 fo lgenden Einschränkungen ! iii) Man unterscheide:

V4

a)

Der Term / / s = = 2 ist eindeutig und stets positiv! Die weitverbreitete )) Gleichung ": = ± 2 ist also fal sch!

b)

Die Gleichung x 2 = 4 dagegen besitzt die L ösungsm enge L = {hat also zwei Lösungen, nämlich 2 und - 2 !

iv) A llgemeingilt:

V4

x4 =

16

1

falls a < 0:

L = { a 11 , _ a" } ;

n gerade: f alls a ~ 0: B eispiele:

4

4

i{i6, - V16}

~

L = {

n ungerade: falls a

~

0:

L = { a 11 }

L = { }

{2, - 2} ;

x4 =

-1 6 ~ L = ( ).

f alls a < 0:

L =

{- I a 1-;;- } .

=

1

1

b)

= { - 2, 2},

Die Gleichung X1' = a ; n EIN ; a, xEIR hat f olgendeLösungen: 1

a)

V4, V4}

3

Beispiel : x 3 = -125 ~ L = { - VT25} = {- 5} .

1.2.2.4 Potenzen mit reellen Exponenten E ine nochmalige Erweiterung des Potenzbegriffes für beliebige reelle Exponenten ist (mit Hilfe von

sogenannten "Intervallschachtelungen' ') möglich. Danach liegt etwa der Wert der Potenz 3 V2 zwischen 3 1,41 und 3 1,42 bzw. zwischen 3 1,414 und 3 1,415 bzw. zwischen 3 1,4142 und 3 1,4143 usw. und lässt sich beliebig genau durch Potenzen mit rationalen Exponenten "einschachteln". Auch für den damit erreichten allgemeinsten Potenzbegriff gelten sämtliche Potenzgesetze PI -PS analog weiter (Permanenz). Zusammenfassend werden nun die Potenzgesetze noch einmal in allgemeiner Form aufgeführt: Satz 1.2.63:

Unter Beachtung der Definitionen ,= a · a ·a· ... · a

DeI. 1.2.44:

n Faktoren 1

:= - ;

DeI. 1.2.50:

an n

1

DeI. 1.2.54:

an

,-

m

DeI. 1.2.56:

a1 := a

an

va vam

n :=

,=

positive Lösung der Gleichung xn = a

(n EIN)

(n EIN,a=F O) (n EIN, a > 0) (n E IN, mE Z, a >0)

gilt für Potenzen mit positiver Basis (a, b > 0) und beliebigen reellen Exponenten (x , y E lR):

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

1.2

aX' aY

PI :

41

= aX+Y Vereinbarungen:

X -aY = aX- Y a

P2: P3:

(aX)Y= aXY

P4:

(ab)"

P5:

(~

= (aY)X

= aXbx

t=

~:

Außerdem gelten für positive Basen folgende für die GleichungslösungwichtigenÄquivalenzbeziehungen:

~

I aX= aY

P6:

(x

= y v a = 1) I

(a> 0)

("Sind zwei Potenzen mit gleichen Basen gleich, so auch ihre Exponenten, oder die Basis ist Eins - und umgekehrt ");

P7:

I aX

=b

~

X

(a

= b v x = 0) I

(a, b > 0)

("Sind zwei Potenzen mit gleichen Exponenten gleich, so auch ihre Basen, oder der Exponent ist N ull - und umgekehrt. ")

Außerdem:

2

Eine Potenz mit positiver Basis ist stets positiv:

(a E IR+) .

Aufgabe 1.2.64: Man forme mit Hilfe der Potenzgesetze so weit wie möglich um:

Ve-3?~ 4

i)

60

4

~.

iv)

ii)

3

V;;Z

v)

5

V7

V7

ab

(11

a

v;- ;

.~

(aV3)

iii)

a2 (

4

3

·Vb

va

1

)2

. ~ )V3.

Aufgabe 1.2.65: Man ermittle die Lösungen folgender Gleichungen (Näherungswerte: elektronischer Taschenrechner): i)

X5

= 1.024 ;

iv) 243x5 = 1.024

ii)

X4 =

11 ;

v) 4x20 - 10.000 = 0

iii) 16x4 = -1 ;

vi) 4.300

=

8500q17 -1 0.000 (q17 - 1)

1

42

Grundl agen und Hilfsmittel

1.2.3 Logarithmen 1.2.3.1 Begriff des Logarithmus E s kommt häufig vor, dass in einer Gleichung aU = x der Exponent u zu bestimmen ist. (Derartige Gleichungen nennt man "Exponentialgleichungen" - sorgfältig zu unt erscheiden von den "Potenzgleichungen "wie z.B. x4 = 17, bei denen die Basis die Lösungsvariable enthält.) Beispiel 1.2.66: i)

2u = 32 ; u = ?

Da 25 = 32 gilt, folgt u = 5 ;

ii)

lOU = 0,001

u

iii)

iv)

= - 3, denn = 1.3 ' denn

U

2009 U = 1

10- 3

=l

103

1

125 3

=

= _1_ = 0 001 1000

3 lV' i12 5 L,.]

'

=5

u = 0, denn 2009° = 1

Jede Exponentialgleichung der Form aU = x (mit a e R +\{ l} , x e R +) hat eine eindeutig bestimmte Lösung u (UElR). Dieser eindeutig bestimmte Exponent u heißt Logarithmus von x zur Basis a , symbolisch: u

=

log, x .

E s gilt also die definitorisch begründete Äqu ivalenzb eziehung: Der. 1.2.67:

I

aU = x

~

u = loga x I '

Beispiel 1.2.66 lässt sich mit Def . 1.2.67 formal wie folgt lösen: i)

2u

ii)

lOu

iii)

125U

= 32 = 0,001 =5

25

~

u

= log2 32 = 5, denn

~

u

= loglO 0,001 = -3 , denn

~

u

= IOg125 5 = 3 '

I

= 32

10- 3 = 0,001 1 denn 125 3 = 5

Bemerkung 1.2.68: i) Das Wort Logarithmus bedeutet dasselbe wie Exponent (oder Hochzahl) . ii) Der Potenzwert x in a U = x bzw. u = log, » heißt auch Numerus. iii) Der Nu m erus x muss stets positiv sein, denn zu einer p ositiven Basis a gibt es keinen Expo nenten,

so dass die entstehende Potenz x (der Numerus) Null oder negativ wird. iv) Statt der Def 1.2.67 def iniert m an häufig:

Der. 1.2.69: Der Logarithmus von x zur Basis a ist derjenige (eindeutig bestimmte) Exponent u , mit (a , x > 0, a 1) dem man a pot enzieren muss, um x zu erhalten.

'*'

v) Die Bildung des L ogarithmus log aX zu einem gegebenen Numerus x heiß t logarithmieren.

1.2

43

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

Bei Exponentialgleichungen wie z.B. 3u = 25 nützt die formale "Lösung" nach Def. 1.2.67 allerdings zunächst wenig:

Es fehlt offenbar eine Methode, mit der solche Logarithmen (= Exponenten) bestimmt werden können, deren Wert sich nicht durch "scharfes Hinsehen" offenbart (wie etwa die Logarithmen in Beispiel 1.2.66) . Grundbausteine dieser im folgenden dargestellten Berechnungsmethode bilden - die Logarithmen zu den Basen a ,= 10 bzw. a ,= e (da nur diese tabelliert oder auf elektronischen Taschenrechnern programmiert sind). - die Rechenregeln Ll-L3 für Logarithmen (siehe Kap. 1.2.3.3).

1.2.3.2 Logarithmenbasen Logarithmen (d.h. Exponenten) zur Basis 10 heißen dekadische Logarithmen (Zehnerlogarithmen oder Brigg'sche 7 Logarithmen). Man kürzt ab: (1.2 .70) Beispiel:

log10 x =, Igx 19 10.000 = log10 10.000 = 4

I·

(denn 10 4 = 10.000).

Bemerkung: Aufelektronischen Taschenrechnern wird" log10" meistdurchdie Taste

Ilogl aufgerufen.

Logarithmen zur Basis e heißen natürliche Logarithmen (e = Eulersche Zahl 8). Man kürzt ab: log;x Inx _ _I·

(1.2 .71)

= :

u = 10&,3 = In 3 ::::; 1,0986.

Beispiel:

Beispiel 1.2.72: Mit Hilfe eines elektronischen Taschenrechners erhält man (auf 4 NachkommastelIen gerundet); ' Ig17

::::; 1,2304

Igl

= 0

(d.h. 10 1,2304 ::::; 17)

In 17 ::::; 2,8332 Inl

(d.h.lO° = 1) ;

Ig3,1632::::; 0,5000 In 0,0017::::; -6,3771

(d.h. 10°,5 = (d.h.

=0

(d.h. e2,8332 ::::; 17)

(d.h.eo=l);

VlO:: :; 3,1632)

e- 6,3771

::::; 0,0017)

.

Bemerkung 1.2.73: Gelegentlich verwendet man die Logarithmen zur Basis 2, auch duale oder binäre Logarithmen genannt. Abkürzung: log2x =, ld x = , lb x. DieBerechnung von Logarithmen zu beliebigen Basenerfolgt in Kapitel1.2.3.4 . 7 Nach Henry Briggs, der 1624 die ersten umfassenden dekadischen Logarithmentafeln (14 stellig) veröffentlichte . 8

Der Terminus Logarithmus stammt vom Edinburgher Mathematiker lohn Napier (1614). Für e-Fans hier die ersten 41 Stellen der Eu1erschen Zahl: e = 2,71828 1828459045 2353602874713526624977572 ... = ~ -1, = 1im (1 +.!)n , siehe (4.2.10). L n . n~oo n n=

°

44

1

Grundlagen und Hilfsmittel

1.2.3.3 Rechenregeln für Logarithmen Die Rechenregeln für Logarithmen lassen sich unmittelbar aus Def. 1.2.67 und den Pot enzgesetzen ableiten. Dabei werden stets positive Numeri x, Y vorausgesetzt:

Satz 1.2.74:

(LI)

(x, Y > 0)

("DerLogarithmuseines Produktes ist gleich derSumme derLogarithmen derFaktoren. (() Beweis: Setzen wir loga x = u und log, Y = v, so folgt nach Def. 1.2.67: aU = x und a" = y. Also gilt: xy = aU 'av = aU+v

Nach Def. 1.2.67 folgt daraus: Beispiel 1.2.75:

loga(x 'y) = u-v = log.x e log.y .

Es ist: logj S = 3 und log24 = 2.

(Probe: 25 = 32 = 8'4) .

Ilog2(8 '4) = log28 + log24 = 3+2 = 5

Satz 1.2.76:

Also muss nach Logarithm engesetz L1 gelten:

(L2)

(x, Y > 0)

("DerLogarithmus eines Quotienten ist gleich derDifferenz aus dem LogarithmusdesZählers und desLogarithmusdes Nenners. (() Beweis: (Analog zum Beweis von L1):

Seien

log, x

aU = x und aV = Y

~

Def.1.2.67

=u

~

und

log, Y = v vorgegeben .

x a" - = - V = aU-v y a

~

Def.1.2.67

Beispiel 1.2.77: (siehe auch Beispiel 1.2.75): Es gilt: log2 8 = 3 und log24 = 2.

I

8 ~ Iog, (4') = log2 8 -10g2 4 = 3 - 2 = 1

Satz 1.2.78:

(L3)

(Probe: 2 1 =

I loga (xr ) = r ' loga x

8 '4 =

(rElR).

2)

(x>O)

("DerLogarithmuseinerPotenzist gleich Exponent mal LogarithmusderBasis. (() ( =1=

Beweis: Sei log, x = u

~ Def. 1.2.67

aU

~ Def. 1.2.67

log, (x") = r u = r -Iog, x

=

x

(log;XY ! )

~

1.2

Es gilt logz 8 = 3

Beispiel 1.2.79: (siehe auc h Beispiel 1.2.75):

I

45

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

(Probe: 2 15 = 32.768 = 8 5)

=}

logz 8 5 = 5 . logz 8 = 5 . 3 = 15 L3

.

A us dem Logarithmengesetz L3 ergeben sich zwei Sonderfäl le:

I

(1.2.80)

loga (

+)

= - loga x

,

denn log, X1 = log, x - 1

,

denn log, ~ = log, XU = -lloga x

1

1

n

1

n

loga ~ = n logax

(1.2. 81)

Aus der Definitionsgleichung 1.2.67: ergeben sich zwei wichtige Schlussfolgerungen:

= - log, x

1.3

1.3

aU = x

{=}

u = log, x

11

(a>O

a*l; x>O)

a) Setz t man die linke Gleichung in die rechte Gleichung ein, so folgt : I IOga aU = u

(1.2.82)

I.

b) Setz t man die rechte Gleic hung in die linke Gleich ung ein, so folgt: (1.2.83) Daraus wird deu tlich, dass Potenzieren und Logarithmier en Umkehropera tionen sind. Für die Basen 10 und e folgt speziell aus (1.2 .82) und (1.2 .83):

19 10u

(1.2. 84)

110igx

(1.2.85)

Beispiel 1.2.86:

=

u

= x

bzw.

I

In e = 1

bzw.

I

In eU = u

I

ein x = x

I

; I ig 10 = 1 I

0_1 ; ! lg 1 = 0 In e1y = In e- Y = - y ; I_I_n_1_=_

I;

! IOga a = 1 I IIOga 1 = 0 I

19 1000 = 19 10 3 = 3 (denn aO = 1)

4713 = ein 4713 oder x z+ 1 = e ln(x2 + 1) : Jede positive Zahl ist als Potenz zur Basis e darstellbar! Sowohl die dekadischen als auch die natürlichen Logarithmen gestatten unter Verwendung der Rechenregeln Ll -L3 für Logarithmen die Ermi ttlung der Lösungen von Ex ponential- und Logarithmusgleichungen (siehe die fo lgenden Kapitel 1.2.4.8, 1.2.4.9). Ebenso ist es jetzt möglich, die Logarithmen zu jeder beliebigen (positiven) Basis zu ermitteln:

46

Grundlagen und H ilfsmitlel

1.2.3.4 Logarithmen zu beliebiger Basis

*

Ges ucht sei dcr Za hlenwert von Iog,x für eine beliebige positive Basis a (mit a 1), z.B. 10&5 14.Setzen wir: log,x = y. so folgt nach Dcf. 1.2.67: a)' = x. Wenn man jetzt auf beiden Seiten den Logarithmus zu einer anderen positiven Basis b (mit b 4:1) bildet, so folgt log.,aY = log, x , d.h . wcgen 1.3: Y' logba = logb X

•

Daraus ergibt sieh der gesuchte Wert Y zu: IOgbx / logba, wir haben als allgemeine Umre d mungsregel: log g x

log, x = - 10gb a

(1.2.87)

(a.b >

°

x > 0)

a ,b * 1

Ein Logarithmu s lässt sich also stets durch den Qu otient en zwcicr Logarithmen zu einer anderen Basis ausdrücken. Wählt man für die neue Basis b insbesondere die Werte e bzw. 10, so ergeben sich aus (1.2.87) die nützlichen Ergebnisse

( 1.2.88)

log x a

bzw.

I" lg a

(a.x c- u

= ~

ae t).

Beispiel 1.2,89:

= In 14 = .!L!..±. : : :; 1,6397

i)

logs14

ii)

log2 0, 7 -

In 5

(Probe:

Ig 5

_ In O.7 __ Ig 2 - In 2 - 0,5146

_ ~

5 1,6397 :::::;

(Probe: 2- 0,5 14 6

:::::;

14 ) 0,7)

Beispiel 1.2.90: Mit Hi lfe von (1.2.88) lassen sich einfache Exponentialgleichungen lösen: 1,Q7x = 3

<=}

Dcf. L 2.67

x = logl,07 3

=

( 1.2.88)

1.3

In I 07

=::

'

Aufgabe 1.2,91:

I)

i~~:;~~~~~ ~i;lfe di:: ~::::2e_~~~etzci~)I-I~(U5::

16,24

V

pg'

)

(a2b)2

2) i) Wieviele Dez imalstel len besi tzt die Za hl a) 3 1000 b) 99 9 ? ii) Wie lautet die näherungsweise Darstellung von 2s00 als Dezimalzahl (Zchnerpotcnz !) ?

.

,

3) Man schreibe als Potenz zur Basis e:

i) 17 ;

ii)

V7;

iii) 2 x ;

iv) x- :

v) "~;

\'i) ln x

vii) x In x ; viii) huber . (b,e,h,r,u e IR)

4) Man e rmittle die Zahlenwerte folgender Logarithmen: i) IOg9 27 ;

ii ) log20 100 + logloo20 ;

iii) 10&l,s 70 + 1° &1,1200 + 10SJ,s O,OI ,

1.2

47

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

1.2.4 Gleichungen 1.2.4.1 Allgemeines über Gleichungen und deren Lösungen Zu den elementaren, aber auch zentralen Hilfsmitteln für jegliche Anwendung von Mathematik gehört die Technik der Gleichungslösung. Im Zusammenhang mit Aussagen/Aussageformen (Kapitel 1.1.3., 1.1.4) sowie in den Abschnitten über Potenzen (Kapitel 1.2.2) und Logarithmen (Kapitel 1.2 .3) haben wir uns schon mehrfach mit der Lösung von Gleichungen/Ungleichungen beschäftigt. Wir wollen die bisherigen Überlegungen zusammenfass en und im Hinblick auf eine systematische Gleichungslösungstechnik erweitern. Seien Tl' Tz zwei Terme (zum Termbegriff siehe Def. 1.1.19): Unter einer Gleichung G versteht man die Aussageform (bzw. Aus sage)

Def. 1.2.92:

G: Beispiel 1.2.93:

Tl = T z ·

Die Terme Tl' Tz seien vorgegeben mit:

Tl(x)

= XZ + 2x -

Dann ist die Aussageform G(x) : XZ + 2x-7 = XL 1 eine Gleichung. durch eine Zahl, z.B. 5, so geht G(x) über in die Aussage:

= 25-1

G(x): 25 + 10-7

d.h. 28

= 24

4 ,

Tz(x)

= xZ-1.

Ers etzt man die Variabl e x

DagegenliefertG(3)einewahreAussage.

(f alsch) .

Bemerkung 1.2.94: Als Grundmenge aller vorkommenden Tenn e verwenden wir (wenn nicht ausdrü cklich anders vermerkt) die Menge IR der reellen Zahlen (bzw. IRxIR x ... x IR, falls Tenn e Tix, y, z, ...) mit mehreren Variablen auftreten.) Nicht immer lassen sich alle Elemente von IR in G einsetz en (sieheDef. 1.1.23): Def, 1.2.95: Unter der Definitionsmenge DG der Gleichung G versteht man die Menge aller Elemente der Grundmenge (hier : IR), bei deren Eins etzen anstelle der Variabl en die Gleichung G in eine (wahre oder falsche) Aussage übergeht.

Beispiel 1.2.96:

G(x):

I

~ = ~I x-

Da einerseits die Quadratwurzel einer negati ven Z ahl nicht definiert ist, andererseits der Nenner nicht Null werden darf, gilt: D G = IR ~ \ {I}.

Beispiel 1.2.97:

G(x, y):

Da In x nur für posit ive x erklärt ist und der N enn er für x = 5 sowiefür x = - 5 Null wird, erhalten wir - da für y keinerlei Beschränkungen bestehen - : DG z.B. G(1 ,0): 0

z

= {(x, y) E IRxIR

In 1 =zl

- 25

(w)

I x > 0 1\ x=l=5}

G(e, -1): (-1)

z

= (IR+\{5}) x

In e =L

e

25

(f)

IR , usw.

48

1

Grundl agen und H ilfsmittel

Def, 1.2.98: Unter der Lösungsmenge La der Gleichung G versteht man die Menge aller E lemente des Definitionsbereiches D G , die - eingesetzt in die Variablen von G - die Gleichung zu einer wah ren Aussage machen (siehe Def. 1.1.21) .

Beispiel 1.2.99: (siehe auch Satz 1.1.32) i)

G(x):

x2 = 4 ;

denn

2 2 = 4 (w)

D G = IR und

~

(-2)2 = 4 (w)

L G = {2, -2} ,

und sonst (f).

(G heißt lösbar und besitzt endlich viele Lösungen.) ii)

G(x):

x - 5 = 0;

DG

=

IR

denn 5 - 5 = 0 (w) und sonst (f). iii)

G(x):

x+4 = x-ji ;

(G heißt eindeutig lösbar.)

D G = IR

dennfürjede Einsetzung geht Gin einefalsche Au ssage über. (G heißt unlösbar, unerfiillbar.)

iv)

G(x):

(x+1)Z= x 2+ 2x+1 ;

D G = IR ~

L G = IR,

denn jede Einse tzung X E D G liefert eine wahre Aussage. (G heißt a1lgemeingiiltig.) v)

G(x,y): y = 2x -1 ;

D G = IR x IR

~

I

L G = {(x,y) Y= 2x-l} .

G besi tzt unendlich viele ZahI~aare (die Ele mente von D G sind Z ahlenpaare !) als L ösungen,z.B. (0 ;-1), (0,5 ;0), (V2 ;2V"2-1), (2356 ;4711) usw. Es ist das Ziel der folgenden Ausführungen, auf möglichst systematische Weise die Lösungen (bzw. die Lösu ngsmengen) von Gleichungen zu ermitteln. Die Lösungen einer Gleichung (bzw. einer A ussageform, die aus mehreren durch 1\ bzw. v verknüpften Gleichungen besteht) lassen sich unmittelbar ablesen, wenn die auftretenden Gleichungen von der Form sind:

EJ,

a EIR.

Beispiel 1.2.100: i)

G(x): x = 3

ii)

A(x):

x = 3 v x = -3

~

LA = {3, - 3} ,

denn eine durch v G,oder") verknüpfte Au ssage ist bereits dann wahr, wenn nur eine der Teilaussagen (hier: Gleichungen) wahr ist (siehe (1.1.37» und f alsch, wenn k eine Teilaussage wahr ist. iii)

A(x): x = 5

1\ X

= 7

~

LA = { } ,

denn eine durch 1\ G,und") verknüpfte Aussage ist falsc h, wenn auch nur eine der Teilaussagen (hier: Gleichungen) falsch ist, siehe (1.1.34).

49

Arithmetik im Bereich der reellen Zahl en IR

1.2

Def. 1.2.101: Folgende Aussageformen (Gleichungen) mit einer Variablen heißen unmittelbar auflösbar: (a .x, EIR)

i)

G(x): x = a

ii)

A(x): x = Xl

iii)

A(x):

=> L G

=

{a} ;

X = Xz v

v X = xn

=> LA = {x ., XZ' ..., Xn }

X = Xl /\ X = Xz /\

/\ X = XIl

=> LA = { }, sofern nicht alle xi identisch.

V

Man kann die Lösungsm engen von disjunkt iven bzw. konjunktiven Aus sageformen aus den Lösungsmengen der Teilaussageformen kombinieren: Seien AI(x), Az(x) zwei (Teil- )Aussageformen (z.B. Gleichung en) und LAi' L Az ihre Lösungsmengen:

i) Da die disjunktive G,od er") A ussageform Al (X) V Az(x) bereits wahr wird, wenn nur eine Teilaussage (Gleichung) wahr ist, ist die Lösungsmenge LA von Al v A z gleich der Vereinigungsmenge der Teil-L ösungsmengen: (1.2 .102)

Beispiel 1.2.103:

=> LAI = {4} ; LAz = {-2} => LA = LAIVAZ = LAI U L AZ = {4} U {-2} = {-2,4}.

AI(x): X= 4 ; Az(x): X = -2

I A(x) = AI(x) v Az(x): x=4 v x = - 2

ii) Da die konjunktive G,und") Auss ageform A I(x) /\ A z(x) nur wahr wird, wenn beide Teilaussagen (Gleichungen) zugleich wahr werden, ist die Lösu ngsmenge LA von A l /\ A z gleich der Schnittmenge der Teil-Lösungsmengen:

(1.2 .104)

Beispiel 1.2.105: AI(x): X = 3 ; Az(x): X = 5

I A(x) = A I(x) /\ Az(x): X= 3 /\ X= 5

=>

Beispiel 1.2.106: Vorgegeben sind die beiden Aus sageformen . AI(x, y): X = 3 ;

Az(x, y): y = 5

Daraus komb inieren wir die konjunktive Aussageform: A(x; y): X = 3 /\ Y = 5, deren E lemente reelle Zahlenpaare «x , y)E IRxIR) sind. Al wird wahr für : x :=3 ,y beliebig; also LAI = {(3;y)} . LAI besitzt also unendlich viele Elemente! A z wird wahr für: x beliebig, y := 5; also LAZ = {(x; 5)}. LAZ besitzt also ebenfalls unendlich viele Elemente! Also:

LA = LAI /\ AZ = {(3 ;y)} n {(x ;5)} = {(3 ;5)}:

Das Zahl enpaar (3 ;5) ist somit die einzige Lösung von A(x, y): x = 3 /\ Y = 5.

Grundlagen und Hilfsmittel

50

1.2.4.2

Äquivalenzumfonnungen

Das Problem der Gleichungslösung besteht darin, eine vorgelegte Gleichung G mit Hilfe geeigneter Umfonnungen, die die Lösungsmenge L G nicht verändern (Aquivalenzumformungen), in eine unmittelbar auflösbare Gleichung bzw. Aussageform (siehe Def. 1.2.101) zu überführen. Deren Lösungen sind dann identisch mit den gesuchten Lösungen von G (zur Lösung von Gleichungssystemen siehe Kapitel 1.2.4.4 sowie insbesondere Kap. 9.2). Def.1.2.107: Zwei Gleichungen GI' G z (bzw. Aussageformen A ], A 2 ) heißen äquivalent, GI ~ G z (bzw. A] ~ A 2)' wenn sie dieselbe Lösungsmenge besitzen. Jede Umformung, die eine Gleichung in eine zu ihr äquivalente Gleichung überführt, heißt Äquivalenzumfonnung. Bemerkung 1.2.108: Man vergleichehierzu die analogen Formulierungen im Zusammenhang mit der Definition von" ~ "in Kapitel 1.1.5.2, insbesondere Satz 1.1.53 sowie Beispiel 1.1.54.

Beispiel 1.2.109:

GI : 2xL32 = 0 ; G z: xL16 = 0 ; G 3: (x-4)(x+ 4) = 0 A 4: x-4 = 0 v x + 4 = 0 ; A s: x = 4 v x = -4 .

Man überprüft leicht, dass gilt:

L GI = L Gz = L G3 = LAj = LAS = {4; -4}

Daher sind alle obigen Aussageformen/ Gleichungen äquivalent: GI ~ G z ~ G 3 ~ A 4 ~ A s' sämtliche soeben durchgeführten Umformungen sind Äquivalenzumformungen. Nicht in allen Fällen lässt sich eine Gleichung so problemlos wie in Beispiel 1.2.109 äquivalent umformen . Es stellt sich daher die Frage, welche Umfonnungen überhaupt Äquivalenzumfonnungen sind. Die folgende Übersicht gibt die für die meisten Fälle ausreichenden Äquivalenzumformungen an. Bezeichnen wir die vorkommenden Tenne wieder mit Tl' Tz, T 3, ... und unterstellen wir, dass bei allen vorkommenden Operationen die Definitionsmenge D G der Ausgangsgleichung G: Tl = Tz unverändert bleibt, so sind die folgenden Gleichungsumformungen Äquivalenzumfonnungen, lassen also die Lösung der Gleichung unverändert: In der Gleichung Tl = Tz darf jeder der Terme Tl und/oder Tz durch einen ihm äquivalenten Term T~, T; ersetzt werden (Tennersetzung ist eine Äquivalenzumformung) . Wenn Ti und Tt äquivalent sind, d.h. wenn die Gleichung Ti = Tt allgemeingültig ist, so gilt: (1.2.110) Beispiel 1.2.111: Die Axiome A1-A5, M1-M5, D (siehe Satz 1.2.2), die elementaren Rechenregeln R1 bis R13b (s, Kapitel 1.2.1.2), die Potenzgesetze P1-P5 (s. Satz 1.2.63), die Logarithmengesetze LlL3 (s. Sätze 1.2.74-78) liefern wichtige Beispiele für äquivalente Terme. Daher sind etwa die folgenden Gleichungen (per Termersetzung) äquivalent: i)

xL 1 = 0

~

(x-1)(x+ 1) = 0

(wegen R6b)

ii)

In~=10

~

~ln(xz+1) = 10

(wegen L3)

~

6x

(wegen P4 undA1)

iii)

iv)

=

21

Ein Term T darf - wegen A3 - äquivalent ersetzt werden durch den Term T±O. xz+ 10x = 11 ~ xz+ 10x+0 = 11 (wegen A3)

Beispiel: ~ ~

xZ+10x+25-25 = 11 (wegenA4) (X+5)L25 = 11 ("quadratische Ergänzung ") (wegen R6b bzw. Bsp. 1.2.13).

1.2

51

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen lR

v) Ein Term T darf äquivalent ersetzt werden durch den mit c (*0) erweiter ten (bzw. gekürzt en) Te rm T~ C (bzw. T : 1):

~ :~), d.h. T darf - wegen M3 - äquivalent ersetzt werden durch T · 1 (bzw.

a) ~ + E.. = 10 ~ ~ + ~ = 10 ~ 7x = 10 3

4

12

12

b) 15x = 7

12

5

~ 3x = 7

Fü r jedes der oben aufgeführten Beispiele gilt: Die Termwerte links vom Gleichheit szeichen behalt en auch nach Umformung für jede Eins etzung denselben Zahlenwert (d.h. sie sind äquivalent). Für die Termwerte recht s vom Gleichheitszeichen gilt dasselbe - ihr Wert bleibt unveränd ert.

I

(1.2.112)

Tl = T2

~

T l ± T3 = T 2 ± T3

I.

(Derselbe Tenn darf auf beiden Seiten einer Gleichung addiert (subtrahiert) werden.) Beispiel:

2x +7 = 4 - x ,

Addition des Terms x - 7 auf beiden Seiten liefert:

2x+ 7+x-7 = 4-x+ x- 7 ,

d.h. mit (1.2 .110) :

3x = -3 .

(1.2.113)

(T3

* 0) .

(BeideS eiten einer Gleichung dü rfen mit demselben nichtverschwindenden Tenn multipliziert werden.) Beispiel: i)

ix= 7 , Multiplikation mit 2 (* 0) liefert: x = 14 ;

ii)

-l= x

x

~1 ;

DG=lR\{ O,l} ; Multiplikat ionmit T 3= x(x-l) * 0 liefert:

x - I = 2x.

Bemerkung: Mit nichtkonstanten Tennen wird i.a. nur bei der Lösung von Bruchgleichungen multipliziert!

(1.2.114)

(T3

* 0)

.

(BeideS eit en der Gleichung dü rfen durch denselben nichtverschwindenden Tenn dividiert werden.) Beispiele: i)

3x = -1 2 , Division durch 3 (*0) liefert die äquivalente Gleichung: x = - 4

ii)

(x - 5) ' ex =

°;

D G = lR ; Division durch

ex (>

0) liefert : x - 5 =

°.

Bemerkung 1.2.115: KeineÄq uivalenzumformung dagegen ist die Division der letzten Gleichung ii) durch x - 5, denn der Tenn x - 5 wird Nullf ür x:= 5, daherhätte dieso umgef ormte Gleichung x -5 - - ' e"= e"=O x- 5

einen anderen Definitionsbereich, nämlich IR\ { 5 j, als dieAusgangsgleichung G (Do = IR). Dass die Division durch x - 5 keineAquivalenzumformung ist, lässt sich im übrigen leichtdaran erkennen, dass (x - 5) . e" = 0 die L ösung )} 5 " besitzt, während e" = 0 keineL ösung besitzt. (Die Division nichtkonstanter Tenne ist meist entbehrlich und sollte - wenn überhaupt - nur mit größter Vorsicht erfolgen! )

52

1

I

(1.2. 116)

Tl ' TZ =

°

~

Tl =

°

V

Tz =

Grundlagen und Hilfsmittel

° I·

(Ein Produkt zweier Terme wird genau dann Null, wenn einer der Terme Null wird (oderbeide), siehe Kap. 1.2.1.2, R13c.) Beispiel:

V3) = ° ~

°v x + V3 = ° (d.h. L = {2, -V3n

i)

(x-2)(x +

ii)

(1.2.116) kann auch auf beliebig viele Faktoren angewendet werden:

(1.2.117)

I

z.B.:

x-2 =

Tl ' Tz' ... ' T n =

°

~

°

Tl =

°

V

Tz =

°v ... v Tn = °

1

.

2x (x + 2)(x - 4)(2x - 10) = ~ 2x =O vx +2=O vx-4=O v2x -10 =0, d.h. L ={0, -2,4,5}.

(1.2. 118)

(Beide Seiten einer Gleichung dürfen zur gleichen positiven Basis a (a =l=l) potenziert werden.oder: Sind zwei Potenzterme mit gleicher Basis a gleich, so auch ihre Exponenten.) Beispiel: 19x = 2,5

i)

lolg x = lOz,5 ,

~

x = 10Z,5

d.h.

z

316,23

(siehe auch die späteren Kapitel 1.2.4.8 und 1.2.4.9.)

1.. = x

ii)

I

(1.2 .11 9)

Tl

= Tz

xZ + 1

~

10gaTI = logaTz

(Tl' Tz> 0; aElR+\{l}) .

(Beide Seiten einer Gleichung dürfen logarithmiert werden zu jeder positiven Basis a =l=1. oder: Sind zwei Logarithmen zur gleichen Basis gleich, so auch ihre Numeri.) Beispiel: (sieheauch das spätereKap. 1.2.4.8) i)

3ex = 69

~

eX = 23

ii)

1,OSn= 4

~

191,osn = Ig4

Ig

~

In

In eX = In 23 , ~

L3

d.h. x = In 23 z 3,1355 ;

n 'lgl ,OS = Ig4 ,

Ig4 g ,

d.h. n = J1(i8

Z

lS ,01.

Beim Potenzieren und Radizieren von Gleichungen müssen wir eine Fallunterscheidung machen : Fall i) Der Exponent bzw. Wurzelexponent sei ungerade:

T~ = T~

(1.2.120) (1.2 .121)

~

11

n

n E JN und n ungerade .

~ =rr;-

(Beide Seiten einer Gleichung dürfen potenziert bzw. radiziert werden, wenn der angewendete Exponent n (bzw, Wurzelexponent n) ungerade ist.)

1.2

53

Arithmetik im Bereich der reellen Zahl en lR

Beispiel 1.2.122:

1

(x-l) 3 =2

i)

x- 1

{=}

= 23 = 8

d.h.

x = 9

=7

d.h,

(Beide Seiten mit 3 potenzieren.) (2x+ 1)5 = 16.807

ii)

{=}

2x+ 1 =

5

V16.807

x =3

(Auf beiden Seiten die 5. Wurzel ziehen bzw. mit 1/5 potenzieren.)

Fall ii) Bei geraden Exponenten bzw. Wurzelexponenten sind Potenzieren und Radizieren allerdings La. keine Äqu ivalenzumformungen!

Beispiel 1.2.123: GI: x = 3. Quadriert man auf beiden Seiten, so ergibt sich: Gz: xZ = 9. GI hat die einzige Lösung 3, G z dagegen hat die Lösungen 3 und -3 , d.h. beim Quadrieren ist eine Lösung "hinzugekommen ". Daher ist Quadrieren La. keine Äqu ivalenzumformung. Dasselbe gilt für das Potenz ieren mit allen anderen geraden H ochzahlen 4, 6, 8, ... .

Bemerkung1.2.124: Wirddennoch- wieesbeim Lösenvon Wurzelgleichungen üblich ist - durchQuadrieren bzw. Potenzieren mit geraden Exponenten umgeformt, so muss mit den erhaltenen Lösungen unbedingt eine Probean derAusgangsgleichung vorgenommen werden, um die eventuell hinzugekommenen "Lösungen (( identifizieren und eliminieren zu können. Beispiel: so erhält man 1 - 2VX+ x = 2x + 1, Quadriertman beide Seiten der Gleichung 1 - VX = d.h. -2 VX = x. Quadriert man nun erneut, so folgt: 4x = X Z mit den Lösungen X l = 0 ; Xz = 4. Setzt man diese beiden Werte zur Probein dieAusgangsgleichung ein, so fo lgt

V2i+T,

1)

1-

2)

1-

va

=

VI

= ]

V4 = 1{8+i , d.h.

: Probestimmt.

-l = 3 : Probe falsch.

Also ist nur x l = 0 Lösung der ursprünglichen Gleichung, Quadrierengehört daher i.a. nicht zu den Äqui valenzumfonnungen. Wird eine Gleichungquadriert, ist anschließendstets dieProbe zu machen! Beispiel 1.2.125: GI: XZ = 25. Zieht man auf beiden Seiten formal die Quadratwurzel, so ergibt sich:

G z: x=5.G I hatdieLösungen 5 und -5 ,Gz hat die einzige Lösung 5,d.h.beimQuadratwurzelziehen ist eine Lösung "verlorengegangen", das Zieh en der Quadratwurzel ist daher ebenfalls keine Äqu ivalenzumformung. Das Radizieren mit geraden Exponenten führt vielmehr - wegen R13c - auf eine disjunktive Aussageform:

(nEIN, n gerade).

(1.2.126)

Beispiel 1.2.127:

I

16

{=}

x -1 = 4 v x -1 = - 4 , d.h. x = 5 v x = -3 ;

ii) (x + 1)4 = 100

{=}

X

i) (x- l)Z =

+1 =

4

4

J/1OO v x + 1 = - J/1OO,

d.h. x ::::; 2,1623 v x::::; -4 ,1623 .

54

1

Grundl agen und Hilf smitt el

Bemerkung 1.2.127a: Das Potenzieren einer Gleichung mit beliebigenreellen Exponenten ist nur dann eine Äquivalenzumf ormung, wenn beide Seiten der Gleichung p ositiv sind und der Exp onent von Null verschieden ist:

T~ = T~ Beispiele: a) 3y O,7318 = 252 (y>O)

~

yO,7318 = 84

~

y = 84 °,7318 ;:::; 426,1037

1

x = 1001'2 ~ 25,9546

b) x 1'2 = 100 (x> 0) c) 2 (z 2+2) 1,7 = 12

( XElR\{O} ; T l ' Tz > 0).

1

~

(z 2+2) 1,7 = 6

~ z2+2 = 6 1,7

~ zl ,2 ~ 0,932221117

Die meisten der im Bereich der Wirtschaftsmathematik vorkommend en Gleichungen lassen sich mit Hilfe der aufgeführten Äquivalenzumformun gen in eine unmittelbar auflösbare Form (s. Def. 1.2.101) überfüh ren 9 . Für die besonders häufig vorkommend en Gleichungstypen wollen wir die entsprechenden Lösungsverfahren im folgend en angeben: Bemerkung 1.2.128: Man beachte dabei den Unterschied zwischen der äquivalenten Umfo rmung von Termen und von Gleichungen: -

-

zwei Terme T und T * sind äquivalent (umg ef ormt), wenn sie f ürjede Einsetzung denselben Zahlenwert ergeben. lOx 2 = {T = x + 2x + 1 . . 2 oder (x> 0) Beispiel: T * = (x + 1) 2 oder T * = -ln x

T In;;:

1~': 5x

1

2

Bei der äquivalenten Umformung einer Gleichung kö nnen sich die beteiligten Terme i.a. beliebig änd ern, wenn nur die L ösungsm enge unverändert bleibt. Beispiel:

2x = 6 ~ x = 3. Die beteiligten Terme sind nicht äquivalent um geformt, wohl aber die beiden Gleichungen.

1.2.4.3 Lineare Gleichungen

ax

+ b = cx + d I

Alle T erme, die die Lösungsvariable enthalten, werden isoliert (d.h . mit Hilfe von (1.2.112) auf eine Seite der Gleichung gebracht). Dann fasst man die Terme zusammen (gegebenenfalls durch Aus klammern der Variablen) und löst mit (1.2 .113) bzw. (1.2 .114) nach x auf. Beispiel 1.2.129: i)

G(x): 3x + 7 = 12x - 29 1-1 2x - 7 (1.2 .112) (isolieren)

~ 3x - 12x = - 29 -7

~ -9x = - 36

I:- 9

I (1.2 .110)

(1.2 .114)

ii) G(x): ax + b = cx + d I-cx - b

~ ax - cx = d - b

~

x(a - c)

=d-

b

I (1.2 .110)

I:a - c * 0

(zusammenfassen)

~

x

=4

, d.h.

L G={4}.

(1.2 .112) (isolieren) (au sklammern) (1.2.114)

~

x

= ~ =~ ,

d -b d.h. L G = {a } und a *c. - c

Gleichungen, die sich nicht explizit auflösen lassen (wie z.B , eX + x = 0) oder deren expli zite Aufiösung schwierig ist (wie z.B, x4 - 3x 3 + x Z - x + 1 = 0) lassen sich i.a. mit Hilfe vo n geeigneten N äherungsverjahren lösen, siehe etwa Kapitel 2.4 oder Kap. 5.4 .

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen lR

1.2

55

Aufgabe 1.2.130: Man löse die Gleichungen bzgl. der angegebenen Variab len: i)

o = Kq - R . -q-l .1

ii)

G(q): 0 = 10.000q-12.500(q- l)

iii)

G(x): 0 = 200.000 - 40.000 ' 0,16

v)

G(b): -

; q=? ; R =? ; K=? ; i =? x- I

a+b 'y = 2

F

P

iv) G(p) : 2.000 = 1.800 (1 + 100' 0,5) vi) G(y): ky - Y = by + a

1.2.4.4 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Bereits in den Beispielen 1.2.99 v) und 1.2.106 hatten wir es mit einer oder mehreren (linearen) Gleichung(en) zu tun, deren Lösungen aus Zahlenpaa ren (x; y) bestanden. Systeme solch er Gleichungen mit mehreren Variab len werden Lineare Gleichungssystem (abgekurzt: LOS) genannt. Sie treten invielen, selbst einfach gearteten Fragestellungen auf : Beispiel 1.2.131 : Der Einkauf von 17t Benzin und 9t Dieselkraftstoff kostet zusammen 31.900 € , während die Beschaffung von lOt Benzin und 12t Dieselkraftstoff 24 .800 € (bei unveränderten Einz elpreisen) kostet. Die Frage nach den Preisen x (in € / t für Benzin) und y (in € /t für Diesel) führt unmittelbar auf die beiden linearen Gleic hungen, das LGS: 17x + 9y = 31.900 10x + 12y = 24 .800 Die gesuchten Preise x und y müssen zugleich beiden Gleichungen genügen. Wie man durch Einsetzen best ätigt , erfüllen die Preise x = 1400 € /t (Benzin) und y = 900 € /t (Diesel) zugleich beide Gleichungen von («). Die Frage nach der Existenz von Lösungen und ihrer Gewinn ung wird ausführlich in Kap . 9.2 erörtert. Da wir aber auch vorher schon gelegentlich lineare Gleichungssysteme (LGS) zu lösen haben, sollen - im Vorgriff auf Kap . 9.2 - schon jetzt die Standardfälle einfacher LGS (mit zwei und drei Variab len) behandelt werden . Def. 1.2.1 32: Unter einem Lineare n Gleichungssystem (LGS) versteht man zwei oder mehr lineare Gleichungen (in mehreren Variablen), die durch" und " ( !I) miteinander verknüpft sind'") i)

Lineares Gleichungssystem von zwei Gleichungen in zwei Variabl en x und y: a1x !I

ii)

+ b 1y =

Cl

(ai,bi,cj ElR)

azx + bzy = Cz ,

Lineares Gleichungssystem von drei Gleichungen in drei Variab len x, y, z: a 1x

+ b 1y +

c 1z =

d1

!I

azx + bzy + czz = dz

!I

a3x + b 3y + C3z = d3 ,

Bemerkung: Auf das logische ;

!I (( (und)

(ai,bi,ci,dj E lR) .

wird meist stillschweigend verzichtet.

10 Die zahl der Variablen eines LOS muss keineswegs immer mit der Anzahl der Gleichungen übereinstimmen, son-

dern kann sowohl nach oben als auch nach unten davon abweichen, siehe etwa Sat z 9.2.62 .

1

56

Grundl agen und Hilfsmittel

Beispiel 1.2.133: i) 2x + 3y = 29 - x + 2y =-4

3x + 2y - z = 13 ii) 2x - y + 3z = -1 5x - 4y + 4z = 3

Unter der Lösung eines LGS versteht man im Fall i) ein Zahlenpaar (x; y) bzw. im Fall ii) ein Zahlentripel (x; y; z), das jede Gleichung zu einer wahren Au ssage macht, siehe etwa die Lösung in Beispiel 1.2.131. Bemerkung 1.2.134: Wie erst in Kap. 9.2 ausführlich erörtert wird, kö nnen L G S gena u eine, keine oder unendlich viele L ösungen besitzen. Beispiele: x + y = 10} besitzt k eine L ösung x + y = l1

x + y = 12} besitzt beliebig viele L ösun gen O' x+O ' y= 0

Wir betrachten hier nur den Standardfall von LGS mit genau einer L ösung (x; y) bzw. (x; y; z}, siehe

Beispiel lZ.lLl , Die Lösungsverfahren für LGS beruhen im wesentlichen auf der Tatsache (vgl. Kap. 9.2.2, Satz 9.2.17), dass ein gegebenes LGS in ein dazu äquivalentes LGS (mit derselben Lösungsmenge I) durch die beiden folgenden Äquivalenzumfonnuugen überführt werden kann: Satz 1.2.135: (Äquivalenzumfonnuugen für LGS) i)

Eine Gleichung darf mit einer (von Null verschiedenen) Zahl k multipliziert werden, die übrigen Gleichungen bleiben unverändert.

ii)

E ine Gleichung darf verändert werden dadurch, dass man ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleichung zu ihr addiert, die übrigen Gleichun gen bleiben unverändert.

Bemerkung 1.2.136: Diese beiden "e rlaubten {( Umformungen k önn en in einer einzigen Regel zus ammen gefasst werden: Man da rf eine Gleichung ersetzen durch das k-].ache (k * 0) dieser Gleichung plus dem r-].achen einer anderen Gleichung. Alle anderen Gleichungen (auß er der ersetzten) bleiben unverändert.

Beispiel 1.2.137: Das LGS

{ 2X + 3y = 29 - x + 2y =-4

geht bei Multiplikation der 2. Gleichung mit 2 über in das äquiva-

lente LGS:

{2X + 3y = 29 - 2x + 4y = - 8

. Add iert man jetzt zur zweiten Zeile die erste Zeile, so erzibt sich

das äquivalente LGS:

{

c-

2x + 3y = 29 (*) 7y = 21 .

Dasselbe hätte ma n in einem Schritt (nach B em. 1.2.13 6) erreichen kö nnen, ind em man im ersten LGS die z weite Z eile ersetzt hätt e durch das 2-fache dieser Z eile p lus der ersten Z eile.

Die zweite Z eile von (*) enthält nur noch eine Variable, so dass unmittelbar folgt: y = 3. Dies eingesetzt in die 1. Gleichung liefert x = 10. Damit lautet die Lösung (x ;y) des LGS: (x;y) = (10; 3) .

1.2

57

A rithme tik im Bereich der reellen Zahlen IR

Das im let zten Beispiel vorgestellte Lösungsvetfahren nennt man Eliminationsverfahren oder Additionsverfahren (bzw. Subtraktionsveifahren). Mit Hilfe der (beiden) Äquivalenzumformungen Satz 1.2.135 bzw. 1.2.136 kann man in einem LGS nach und nach in einer Gleichung alle Variablen bis auf eine eliminieren und dann deren Lösungswert ermitteln. Durch E inset zen dieses Wert es in die andere n Gleichungen kann so schrittweise rekur siv die vollständige Lösung gewonnen werden.

Am Beispiel eines LGS aus drei Gleichungen mit 3 Variablen soll die Additionsmethode verdeutlicht werden. Da zu ist es zweckmäßig, die Gleichungen mit (1), (2), (3) zu numm erieren und die umgeformten bzw. ersetzten Gleichungen entsprechend mit (1 '), (2'), ..., (1"], (2"), ... usw. zu bezeichnen. Beispiel 1.2.138: Gegeben sei das LGS von Bsp. 1.2.133 ii): 3x + 2y -

z

(1) (2)

2x -

(3)

5x - 4y + 4z = 3

= 13

y + 3z = -1

Idee für den ersten Eliminationsschrit t: Man kann in der ersten (und dritten) Gleichung y eliminieren, indem man -

die erste Gleichung (1) ersetzt durch die Summe aus dieser Gleichu ng (1) und dem 2-fachen der 2. Gleichung (2) (symbolisch: (1') = (1) + 2 ' (2))

-

die dritte Gleichun g (3) ersetzt durch die Summe aus dieser Gleichung (3) und dem (- 4)-fach en der 2. Gleichung (2) (symbolisch: (3 ') = (3) -4 ' (2) )

Die zweit e Gleichung bleibt unverändert: (2)' = (2). (1 ') = (1)+2'(2) (2 ')=(2) (3') = (3)-4'(2)

7x

Damit laut et das neue, äqu ivalente LGS:

+ 5z = 11

2x- y + 3z=-1 -3x

- 8z = 7.

Idee für den zweiten Elimin ationsschritt: Man kann z in der letzt en Zeile (3') eliminieren, indem man diese Z eile (3 ') ersetzt durch das 5fache dieser Zeile plus dem 8-fachen der ersten Z eile (1 '), d.h. (3") = 5 . (3 ') + 8 . (1 '). Die beiden and eren Z eilen bleiben unveränd ert: (1") = (1') ; (2") = (2 ')

+ 5z

(1") = (1')

7x

(2") = (2') (3") = 5 ' (3') + 8 '(1')

2x- y+3 z= - 1 41x

=

11

= 123

Au s der letzten Gleichung folgt sofort: x = 3. Dies eingesetzt in die erste Zeile ergibt z = -2. Beides eingeset zt in die 2. Gleichung ergibt y = 1, d.h. die Lösung des LGS laut et : (x; y; z)

= (3; 1; -2).

Bemerkung 1.2 .139: Gelegentlich benutzt ma n - bei einf ach gebauten LGS - das sog. .Einsetzungsverfa hren ": Man löst eine Gleichung nach einer Variabl en auf und ersetzt diese Variabl e in den übrigen Gleichungen durch den erhaltenen Term. Damit ist in diesen Gleichungen eine Variabl e eliminiert. In diesem " reduzierten (( LGS wiederholt m an das Verf ahren solange, bis schließlich eine unm ittelbar auf lösbare Gleichung entsteht. Z ur Veranschauli chung lösen wir das L GS des letzten B eispiels m it dieser E insetzun gsm ethode:

1

58

(1)

3x + 2y - z = 13

(2)

2x - Y + 3z = - 1

(3)

5x - 4y + 4z = 3

(1')

3x + 2y - z = 13

(2') (3') (3 ')

d.h.

5x - 4y+4(3x+2y -13) = 3,

d.h.

y+3(3x+2y -13)

17x + 4y 3x + 2y - z

(1")

(1) wird (z.B.) nach z aufgelöst: z = 3x + 2y-13 und in (2) sowie (3) eingesetzt:

-1 ,

2x -

llx + 5y

(2')

=

= 38

=

55

=

13

(2")

llx + 5y

(3")

17x + 4(-1l /5x+38/5) = 55)

(3")

8)2x

Grundlagen und Hilfsmittel

(2') wird nach y aufgelöst: y = -1l /5x + 38/5 und in (3') eingesetzt

= 38

d.h.

= 24,6

Daraus folgt (Einsetzen in (2")): y Lösung: (x ;y ;z) = (3;1 ; -2) .

x =3

=1

und weiter (aus (1")): z

= - 2,

d.h. die schon bekannte

Das Einsetzungsverfahren kann zu unübersichtlichen (Bruch-) Tennen bzw. Tennumfonnungenführen und ist nur im Fall k leinerund einfach gebauter L GS sinnvoll einsetzbar.

Aufgabe 1.2.140:

Man löse die folgend en Linearen Gleichungssysteme:

i)

7x - 11y = - 7

ii) 13,9m - 2,6n = -5,2

-3x + 5y = 5

- 10,4m + 6,5n = 13,0

iii) 2x - 3y + x

Z =

+ 2y - 3z

8

= 11

5x - 4y + 3z = 15

iv) 2u - 8v + 3w = 23 u + 7v- 2w = -2 3u - Sv - 6w = -32

v)

3a

- 4c = -29

- 7a + 3b + 2c = 6a + Sb

7 12

Aufgabe 1.2.141:

Der Brauchwasserspeicher einer chemisc hen Fabrik ist um 9 00 Uhr nur noch zu 50 % gefüllt. Daher scha ltet man um 9 00 Uhr eine Förderpumpe an, die ne ues Wasser zuführt. Der (stets kontinuierliche) Verbrauch des Wassers im Produktionsprozess der Fabrik ist allerdings so hoc h, dass trotz des Wassernachschubs der Speicherinhalt um 10 00 Uhr auf 40 % des Fassungsvermögens abgesunken ist. Daher schalte t man nun eine weitere, gleich starke Förderpumpe ein. Daraufhin füllt sich der Speicher bis 12 00 Uhr auf 80 % seines Fassungsv ermögens (bei stets gleichem Wasserverbrauc h) .

i) Nac h welcher Zeit würde nun der Behälter leer sein, wenn man beide Pumpen abschaltete? ii) Wie lange braucht eine Pumpe, um den leeren Speicherbehälter vollständig zu füllen, wenn kein Wasser entnommen wird?

1.2

A rithm etik im Bereich der reellen Zahlen lR

1.2.4.5

Quadratische Gleichungen

I

ax 2

59

+ bx + c = 0

Dividiert man die Gleichung durch a (=1=0), so erhält man die sog. Nonnalfonn der quadratischen Gleichung (in der der Koeffizient des quadratischen Gliedes gleich 1 ist), es folgt: x 2 + ..2.. x + ~ = O. a a

Set zt man zur Abkürzun g

~a

=:

~a = : q,

p und

so laut et die Nonnalfonn der quadratischen Gleichung:

I x2 + px + q = 0 I

(1.2.142) Beispiel 1.2.143:

I:2

2x2- 16x-1 8 = 0

G(x):

~

x2 - 8x - 9 = 0

Normalform:

mit p = - 8 und q = -9

Zur Lösung isolieren wir alle Terme mit x:

x 2 - 8x = 9 .

~

Dann addieren wir - wie schon einmal in Bsp. 1.2.19 ii) demonstriert - auf beiden Seiten den Term 4 2 ( = 16), um die linke Seite zu einem Binom zu mac hen (siehe Bsp, 1.2 .13) (quadratische Ergänzung): ~

x2- 8x + 16 = 9 + 16

(x - 4)Z = 25

~

R6c

Z ur weiteren äquivalenten Umformung benutzen wir (1.2.126) :

~

x - 4 = V"25vx - 4 = -V"25

~

x = 9 vx=-1 , d.h, L G={ 9,- l} .

Wenden wir dasselbe Lösun gsverfahren auf die in Nonnalfonn vorliegende allgemeine quadratische Gleichung an, so folgt:

I x 2 + px + q = 0 I I -q

G(x):

I+( ;

~

x 2 + px = - q

~

x2 + px + ( .E..)2 = ( .E..

~

(1.2.144)

2

2

)2 G,quadratische Ergänzung'')

? _q

~ (x + .E..)2 = (.E.. )2 _ q 2

2

.E.. = 2

V(.E..

)2- q

V X

L G = {- ; +

V(;

)2- q

; -; -

(1.2 .126)

x+

2

+

.E.. = 2

-V(.E..

V(;

2

)2- q

)2- q

~

}

(Lösungen der quadratischen Gleichung x 2+p x+ q = 0 .) Bezeichnet man die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung mit Xl' x2' so schreibt man häufig abkürzend anste lle von (1.2 .144) die L ösungsformel für die quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0:

(1.2.145)

Grundlagen und Hilfsmittel

60

Bemerkun g 1.2.146: Der Radikand ( ;)2 - q = : D in (1.2.145) heiß t auch Diskriminante der quadratischen Gleichung, weil durch ihn entschieden wird, ob die quadratische Gleichung zwei, eine oder k eine L ösung besitzt. Beispiel 1.2.147:

~

xL x-6 = 0

i)

Xl,2 =~±V i +6

(1.2.145)

(d.h. D

=

25

4" > 0)

L = {3; - 2} ; also zwei Lösungen, wenn D > 0 .

~

~

x 2 - 2x + 1 = 0

ii)

(1.2.145)

X 1,2

L = {1 } ; also eine Lösung, wenn D

~

iii)

XL

~

4x + 20 = 0 ~

L = { }, da

(1.2.145)

=1±

=0

V1-=T

(d.h. D = 0)

V4 - 20

(d.h. D = -1 6 < 0)

.

x 12 = 2 ±

v=16 nicht definiert ist, also keine Lösung, wenn

D<0 .

Bemerkung 1.2.148: Wendet ma n auf analoge Weise das eben dem onstrierte Lösungsverfah ren auf die allgemeine quadra tische Gleichung ax2 + bx + C = 0, (a * 0), an , so erhält m an na cheinander: ax2 + bx + C =

°

(x + .l!-p =

~

R6c

2a

~

x +

(1. 2 .1 26)

( .l!-p _..E2a

a

.l!- = --.!...- Vb 2 2a

c

b

~ x 2 + -a x + -a = :a

2a

2

= b

°

~

2b b b c x + -a x + ( -2a ) 2 - ( -2a ) 2 + -a

=

°

- 4ac 4a2

4ac v x +

.l!- = - -..!...- Vb 2 2a

2a

4ac

Daraus f olgt - wieder mit Xl und x 2 als Na men für die beiden L ösungen - die allgemeine L ösungsform elf ür die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 : - b ± Vb 2 - 4ac 2a

0 .2.149) mit der Diskriminante D

°, = °, < °,

:=

b2

-

4ac . Falls gilt:

D >

existieren 2 L ösungen, siehe (1.2.149)

D

gibt es 1 L ösung, nämlich x

D

, a,* O.

gibt es k eine L ösung

ll

= ~~ ;

.

Folgende Sonderfalle quadratischer Gleichungen lassen sich auch ohne Lösungsformel bzw. ohne quadratische Ergänzung lösen:

Ix

i) ~ ~

11 ImKörper

2

+ px = 0

I

(Es fehlt das konstante Glied.)

(x ausklammern) x(x +p) = 0 L={ O; -p} .

~

(1.2.116)

E IR ; i 2= - I) hat (1.2.149) auch im Fall D < 0 2 - b ± iVb - 4ac . 2a ' Siehe etwa [21], Bd. 1, 206 ff.


zwei Lösungen, nämlich zl ,2 =

x = 0 vx =-p

61

1.2 Aritlunetik im Bereich der reellen Zahlen IR

I xL q = 0 I

ii) ~

x2 = q d.h. L =

~ (1.2.116)

I

ii)

x =

{V"q ; -V"q}, sofern

Beispiel 1.2.150: i) 2xL6x = 0 5xL

(Es fehlt das lineare Glied.)

80 = 0

V"q

v x =

-V"q,

q >0;

L= {O}, sofern q = 0;

~

2x(x-3) = 0

L = {0,3} ;

~

x2 =

L={4,-4}.

16

L = { }, sofern q < O.

Bemerkung 1.2.151: i) Zwischen den beiden Lösungen x], x 2 und den Koeffizienten p, q derquadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0 bestehen die beiden Beziehungen:

I p = - (x] +x2) I I q = x] 'x2 I

(1.2.152)

(Satz von VIETA)

(Beweis durch Nachrechnen mit (1.2.144).) Die quadratische Gleichung x 2 - x - 6 = 0 hat die Lösungen: x] = 3 ; x2 = -2 (siehe Beispiel 1.2.147 i)) .

Beispiel:

- (x] + x 2) = - (3 - 2) = -1 = p ; x] .x 2 = 3 . (-2) = -6 = q .

Es gilt:

ii) Kennt man die Lösungen x], x 2 der quadratischen Gleichung x 2 + px + q ~ x-x] = 0 vx-x2 = 0 ~ (1.2.116) x =x] VX =x2

=

0, so folgt wegen

I(x-xl)(x-x2J = 0 I ' d.h. eine quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0, die die Lösungen x], x 2 besitzt, lässt sich in ein Produkt (x-x])(x-x2) = 0 aus den zwei Linearjaktoren x-x] und x-x2 zerlegen. Beispiel: Seien x] = 3, x 2 = -5 die beiden Lösungen einer quadratischen Gleichung. Dann lässt sich diese Gleichung schreiben als: (x - 3) (x + 5) = 0 Ist umgekehrt das Produkt zweierLinearfaktoren Null, so lassen sich die Lösungen der entsprechenden quadratischen Gleichung unmittelbar angeben. Beispiel: Sei eine quadratische Gleichung G gegeben durch das Produkt: G(x):

2(x + 1,5)(x-0,3) = 0

~

La = {-1,5,o O,3}.

Aufgabe 1.2.152: Man löse die quadratischen Gleichungen: i) x2+x-16=0; ii) xL17x+70=0 iii) x2 -13x = -40 ;

iv) x2 + 16x + 100 = 0

v) 10x2-17x = -7 ;

vi) 2xL 20x + 50 = 0 ;

vii) -2.000q2 + 5.000q - 3.120 = 0

viii) 1,2 ' 104 t 2 - 2,5 . lOSt- 1 = 0

ix) 2xL 3 = k(x+1), k = const.

x)

100q2 - 62,5q - 56,25 = 0

Aufgabe 1.2.153: i) Wie muß die Konstante c gewähltwerden, damit die Gleichung 3x2 + 10x + C = 0 zweiLösungen besitzt?

62

Gr undlage n und H ilfsmittel ii) Man gehe die N ormalform einer q uadratisch en Gl eichung an, die folgende Lö sungen besi tzt:

1;

a) Xl = 3 ; Xl = - 7;

b) Xl = -0,0 1 ; x2 =

c) Xl =

d) Xl = 0 ; X2 = 0,25 ;

e)

XI

Xl =

- 4;

= x 2 = 0;

1)

XI, 2

, ,,,.,-

= '2 ± '2 r 5

.

iii) Ocr Preis fü r unverblcites Superbenzin (Mittelwert) lag 2008 um 22% über dem ents prechenden Preis in 2006. Um wieviel Prozent pro Jahr hat sich durchschn ittlich der Preis in 2007 und 2008 (gegenüberdem jeweiligen Vorjahr) verändert ?

iv) Hu ber leiht sich 100.000 € . Als Gegenleistung zahlt er nach einem Jahr 62.500 oE: und nach einem we iteren Jah r 56.250 € . Bei welchem (positiven) Jahreszinssatz ( = "Effeklivzins j sind Kredit auszahl ung und Gegenleistungen äquivalent ? (Z insp eriode = 1 Jah r)

1.2.4.6 Gleichu ngen höheren als zweiten Grades Im allgemeinen können Gleichu ngen höheren Grades, d.h. des Typs

G(x): x'' + arn-! + bxR- 1 + ... + e = 0

G('j' ,."

H._,r' + ... H,"

(ne IN)

oder

'" = 0

fü r n ?: 3 nur sc hwer bzw. ab n = 5 überhaupt nicht mit den eleme ntaren (klassischen) Berechnungsmethode n vollständig gelöst werden, so dass man meistens - erfolgreich - zu geeigneten Näherungsverfah ren greift (siehe Kap . 2.4 oder Kap . 5.4) . Wir kö nnen daher an dieser Stelle nur fü r einige einfache Sonderfalle die Lösung von Gleichungen höheren Grades explizit angeben.

I Sonderfall A: I Die Gleichungen sind einfache Potenzgleichungen des Typs: l a ' T " = cl Beispiel 1,2,15 4:

i) 4x 4

= 64

(a , e = eonst.) ii) (ZL z - S}3 = -S

üi) 2(3A)0,8

= 1000

Derartige Gleic hungen lassen sich du rch Radi zieren (bzw. Potenzieren mit gebrochenen Exponcnten) lösen (Bcm. 1.2.62 iv) und 1.2.127a). Für die Fälle von Bcispiell .2.154 erhalten wir: i)

4x 4 = 64

ii)

(Zl _ Z- S)3 = -S ~

<=>

x4 = 16

<=>

,

x =

,

V16 v x = -V16, d.h.

L = {2;-2 } V6,25 ,

Zl_Z -S = - 2 ~ zl - z-6 = 0 ~ Zll = 0,5 ±

d.h. L = {-2,3 ) . iii)

~

3°,8. A 0,8 = 500 <=> 2(3A)O,8 = 1000 ~ / A '" (500 .3- 0,8)1 0,8 = (500 . 3- 0,8) 1,25 "", 788 ,118

I Sonderfall B: I Ein e Reihe von Gleich ungen hö heren Grades lässt sich einer Lösung zuführe n, indem man eine neue Lösun gsvariable einführt (Suhstitution).

1.2

63

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

G(x): x4 - X Z- 6 = 0 (Biquadratische Gleichung) Man ersetzt (substituiert) x Z durch eine neue Variable, z.B. z, d.h. X Z = : z, und erhält damit wegen x4 = zZ aus G(x) eine äquivalen te quadratische Gleichung in z:

Beispiel 1.2.15 5:

ZZ- z - 6 = 0 .

G*(z) :

Diese Gleichung führt auf z = - 2 v z = 3. Nun muss die Substitution xZ = z rückgängig gemach t werden (Resubstitution), man erhält : Z Z X = - 2 V X = 3 {=} x = v x = v x = v x = d.h. (da

0

0

-0

nicht definie rt ist)

LG =

V3 {V3, - V3} .

-V3 ,

G(x): (X Z- 2x - 8)Z- 2(xZ- 2x - 8) - 35 = 0

Beispiel 1.2.156:

Nicht zum Erfolg führt ein Ausmultiplizieren der Terme mit dem "lösungsfeindlichen" Ergeb nis: x4 - 4x 3 -14x z + 36x + 45 = 0 . X Z-

Daher substituiert man: zZ- 2z - 35

=0

{=}

2x - 8

=-5

z

v z

= :

z, so dass folgt :

=7

{=}

(Resubstitution) xZ- 2x - 8

=-5

Nach Lösen der beiden quadratischen Gleichungen ergibt sich schließlich:

I Sonderfall

C:

I

V

xZ- 2x - 8

= 7.

L = {3, - 1, 5, - 3}.

Die Gleichung G lasse sich als verschwindendes Produkt

I Tl ' Tz'

(1.2. 157)

.... T n = 0

I

schreiben, deren Faktorterme Ti höchstens quadratisch sind oder zu den Sonderfällen A, B gehören. Da ein Produkt bereits N ull wird, wenn auch nur einer der Faktoren Null wird, erhalten wir nach (1.2.102) und (1.2.116) die Lösungen von (1.2.157) über

I

(1.2.158)

Tl

=0

V

Tz

=0

v ... v T n

=0

Beispiel 1.2.159: Die nicht explizit lösbare Gleichung 7. Grades G*(x): 2x7 -10x 6 -156x5 + 700x 4 + 2.842x 3 - 10.290x z = 0 ist identisch mit der Gleichung G(x): 2xz (x - 3)(xZ- 49)(x + 5)(x - 7) = 0 . Die Lösungen von G(x) lassen sich nach (1.2.116) sofort über die äquivalente Aussageform 2xz = 0 v x - 3 = 0 V xZ- 49 = 0 v x + 5 = 0 v x - 7 = 0 angeben: L G = {O;3; 7; -7; -5} . In der Praxis gelingt es freilich selten oder nie, ohne ausgesproc henes .Rateglück" die vollständige Faktorzerlegung zu finden . Abhilfe: geeignetes Iterationsverfahren, siehe Kap . 2.4 oder Kap. 5.4 .

Beispiel 1.2.160: Häufig lässt sich durch Ausklammern einer Pot enz xk eine Gleichung in Faktoren zerlegen, wenn das konstante Glied und eventuell weitere Potenzen x, x Z, ... fehlen: {=}

x5 + 4x4 - 5x3 = O. x 3(XZ + 4x - 5) = 0

{=}

x

G(x):

=1 v

x

Beispiel 1.2.16 1: xzo + 27x l7 = 0 {=} X I7(x3 + 27) = 0

;

I

=0

v x

Man klammert x 3 aus : {=}

= -5

{=}

X l7

(1.2 .116)

, d.h. L G

x3 = 0

V

x Z + 4x - 5 = 0

= {O, 1, -5}

ausklammern:

(1.2 .116)

x' ?

=0

v x3 + 27

=0

, d.h. L

= {0,-3} .

1

64

Grundlagen und Hilfsmittel

Bemerkung 1.2.162: Wie schon in Bemerkung 1.2.115 gezeigt, vermeide man m öglichst, bei Gleichungen der eben behand elten Art durch einen Tenn T (x) zu dividieren! 1n aller Regel gehen dab ei ein oder m ehrere L ösungswerte verloren! (Ausnahme: T (x) ist stets ungleich Null.) Eine Division im letzten Beispiel von x 20 + 2 7x 17 = 0 etwa durch den Tenn x 17 liefert x 3 + 27 = 0 und damit nur eine L ösung der Ausgangsgleichung. nämlich x = - 3 ! Die L ösung x = 0 ist durch die Tenndivision verloren gegangen. Bemerkung 1.2.163: Kennt man eine L ösung (wir nennen sie xl) einer (ganzrationalen) Gleichung höh eren Grades G(x) : T(x) = a,fn + a n_1yfl-1 . . . = 0, so lässt sich T (x) in zwei Fak toren zerlegen: G(x) : T(x) = (X- Xl) -R tx) = 0 wobei der " Rest" R(x) um einen Grad niedriger ist als T (x) (siehe dazu Kap itel 2.3.1.4).

G(x): x3- Sx2+ 19x- 12 = 0

Beispiel 1.2.164:

Durch "Probieren" erhält man eine Lösung: Xl = 1. (1.2.165)

Alsolässtsich G(x) schreiben:

x3-Sx2+19x- 12 = (x-l) 'R(x) = 0

mit quadratischem Rest R(x). R(x) erhält man aus (1.2.165), indem man durch (x -1) dividiert: R(x) = (xL SX 2+ 19x-12) : (x-I) = x2-7x+12 .

- Ix

3

-

x2

-7x 2 + 19x -1-7x 2 + 7x 12x -12 -1 12x -1 2

o Die A usgangsgleichung G(x) lautet also:

(x -1)(x 2 -7x + 12) = 0 .

Jetzt lassen sich nach (1.2.15S) sämtliche Lösungen bestimmen: {=} x-l=O vx L 7x+12=0 {=} x = lvx =3vx =4, d.h. L = {1; 3; 4}.

Aufgabe 1.2.166: Man ermittle die Lösungsmengen folgender Gleichungen: ii) (xL7 )Z=10(xL7)-9 ; iii) (5-(x- l)6)1 0=4 i) xL l Sx4+ 32=0 ; iv) 64 - (zL 2z - 6)6 = 0 vii) t4 - St 2 + 7 = 0 ;

v)

pS

= -64 p5 ; viii) x3-1 0x2 + 31x- 30 = 0

vi) 3y L 2y L y = 0 (Tipp: eine L ösung ist 2)

ix) (1 + X)12 = 1,12 ;

x)

100q6 - 122,Sq3- S6,4 = 0

Aufgabe 1.2.167: i) Um wieviel Prozent pro Jahr (gegenüber dem jeweiligen Vorjahr) muss die Huber AG durchschnittlich ihren Umsatz (ausgehend vom Basisjahr 2005 ) steigern, damit ihr Umsatz im Ja hr 2020 siebenmal so hoch ist wie im Jah r 2005 ? ii) Maser investiert 200.000 € in eine Diamantmine . Nach drei Jahren erhält er eine erste Gewinnausschüttung in Höhe von 245.600 € , nach weiteren drei Jahren in Höhe von 172.S00 € (weitere Zahlungen erfolgen nicht) . Bei welchem Jahreszinssatz (= Rendite) ist Masers Investition äquivalent zu den erhaltenen Rückt1üssen ? (Zinsperiode = 1 Jahr)

1.2

65

Arithm etik im Bereich der reellen Zahlen IR

1.2.4.7 Wurzelgleichungen Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Lösungsvariable im Radikanden auftritt. Beispiel 1.2.168:

i) GI :

Vi=! + 3 =x ;

ii) G z:

vx+T = ~ -1 ;

in) G 3: (xL 1 / h-2 = O.

Bei Wurzelgleichungen ist zunächst der Definitionsbereich zu bestimmen, da - bei geraden Wurzelexponenten - der Radikand stets nichtnegativ sein muss. Für die Gleichungen in Beispiel 1.2.168 gilt: i) D G1 = {XEIR I x

2:

I

ii) D Gz = {XEIR x 2: O}

l}

in) D G3 = IR .

Sind die Wurzelgleichungen nicht zu kompliziert gebaut, so erhält man ihre Lösungen nach vorherigem Isolieren der Wurzeln durch ein- oder mehrmaliges Potenzieren (z.B. Quadrieren). Wie aus Bsp. 1.2.123 deutlich wird, ist Potenzieren (insbesondere Quadrieren) im allgemeinen keine Äquivalenzumfonnung (es können neue Lösungselemente hinzukommen), so dass mit den "Lösungen" stets an der Ausgangsgleichung eine Probe gemacht werden muss. Wir zeigen dies an den Fällen des Beispiels 1.2.168:

~ + 3 = x ; X 2: 1 . Vor dem Quadrieren ist die Wurzel zu isolieren, da sich andernfalls (binomische Formel !) erneut ein Wurzelterm ergibt: x - I = (x - 3)Z = XL 6x + 9 {=} ~ = x - 3 I ()2 {=} XZ- 7x + 10 = 0 x= 5 vx=2 . G 1(x):

i)

G 1(5): V4 + 3 = 5 (wahr) G 1(2): VT + 3 = 2 (falsch) . 2 ist durch das Quadrieren zur Lösungsmenge hinzugekommen, ist aber k eine Lösung der Au sgangsgleichung, also gilt: L G1 = {5} .

Probe:

Vi"+! =

~ - 1 ; X 2: 0 . Da eine Wurzel bereits isoliert ist, kann man quadrieren: G 2(x):

ii)

~ {=} {=}

(~ -1)2 = 2x - 2~ + 1 I Wurzel isolieren 2~ = 2x + 1 - x-I = x I erneut quadrieren

x+1

=

4 · 2x = XZ

VT =

x 2 - 8x = 0

{=}

va

Probe:

GzCO):

iii) {=}

G3(x): (xZ-1)1/3 = 2

{=}

(1.2.120) xL 1 = 8

Probe:

- 1 (f)

{=}

Gz(8):

x(x - 8) = 0 ,

V9 = V16 -1

d.h x = 0 v x = 8

(w) also: L Gz = {8} .

I Isolieren

(xL 1)1/L 2 = 0

IMit 3 potenzieren (dies ist eine Äquivalenzumformung) {=}

xZ = 9

{=}

x = 3 v x = -3 .

G3(3): (32-1)1/3-2 = 0 (w); Gk 3): ((-3)2- 1)1/3-2 = 0 (w), also:

LG3 = {3,-3 }.

Aufgabe 1.2.169: Man bestimme Definitions- und Lösungsmenge folgender Gleichungen: i)

V5 + ~ = 2 3 ,--- - , = = =

iv) z = vii)

VZ + 20

;

ii)

Vi"+! = 5 - x

v)

z+

~ + ~ = V2i+8 ; viii)

VZ = 6

;

;

iii) 7 = vi)

~ +x

;

vx+4 = 6 - Vx - 20

;

4

2VY + 2 = 5'VY ;

Produktionsfunktion (Um kehrung): ix) r = 2V4X="1 ;

x)

r = 10V 0,5x -100

(beide Gleichungen bzgl. x lösen, r

2: 0).

66

Grundlagen und Hilfsmittel

1.2.4.8 ExponentiaJgJeichungen Bereits in (1.2.119) hatten wir gesehen, dass wegen der Eindeutigkeit des Logarithmus beideS eiten einer Gleichung G: TI = T 2 logarithmiert werden dürfen, ohne dass sich die Lösungsmenge von G ändert :

Diese Eigenschaft wird (zusammen mit den Logarithmengesetzen, insbesondere L3) zur Lösung von Exponentialgleichungen verwendet, die zuvor auf die Form i)

Ia

ii)

Ic· a f(x) .

X

a, c > 0, a =l=l

= cl ,

I

.. .

(einfacher Fall)

. ang(x) = d · b I h(x) .

. b mk(x)

'"

I

oder

'

gebracht worden sind (wobei die Exponenten f(x) , g(x), ..., k(x) höchstens quadratische Polynome (siehe (2.3.49)) in x sind) . 3 x = 25 .

Beispiel 1.2.170:

Ig(3 X) = Ig25 . Logarithmieren auf beiden Seiten mit Ig ( = logIo) bzw. In ( = log] liefert : (bzw. In (]X) = In 25) Anwendung von L3 liefert : x . Ig 3 = Ig 25 ~ x = Ig 25 = In 25 :::-; 2 9299 Ig3 In 3 '

Beispiel 1.2.171 : ~

100 ·1 08 x -10 ' I,OSx- I = , O,OS

8 ' 1,08 X - I 0(1,08 X - l ) =

°

°

~

I man isoliert zunächst x -2 ' 1,08 + 10 =

Jetzt weiter wie in Beispiel 1.2.170:

3 . 6 2x+I = 11 . 7x+2

Beispiel 1.2.172:

~

In 3 + (2x + 1) In 6 = In 11 + (x + 2) In 7

~

2x In 6 - x In 7 = In 11 + 2 In 7 - In 3 - In 6

°

~

1,08 x 1,08 x = 5

In 5 x = In I,OS :::-; 20,9124 .

I Logarithmieren und Logarithmengesetze I elementare Umformung

x = In I 1+ 2 In 7 - In 3 -In 6 d h :::-; 2 0758 2 In 6 - In 7 ,. . x , " 1 1,. 2 173 : 3x2+1 = 6 ' 52x+1 BeIspIe 2 ~ (x + 1) In 3 = In 6 + (2x + 1) In 5 ~ x 21n 3 - 2x In 5 = In 6 -In 3 + In 5 = In 10

~ ~

x2 _ 2 In 5 x _ In 10 = In 3 In 3 XI :::-;

3,5246

°~

X

= In 5 ± V~(-ln-5-?-+-I-n-l-0In 3 In 3 In 3

; x 2:::-; -0,5947 .

(Bei Exponenten, die Polynome höheren als zweiten Grades sind, ist im allgemeinen ein Näherungsverfahren erforderlich, siehe Kap. 2.4 oder Kap. 5.4 .)

1.2

67

Ari thmetik im Bereich der reellen Zahl en IR

1.2.4.9 Logarithmengleichungen Die Lösung von Logarithmengleichungen beruht auf den Regeln (1.2.83) bzw. (1.2 .85) und der in Regel (1.2.118) zum Ausdruck kommend en Äquiv alenz (aEIR~{l}) .

Um etwa den Numerus x der Logarithmengleichung In x = 1,5 zu erhalten, potenziert man beideSei ten zur Basis e (siehe (P6) ) und beachte (1.2 .83) bzw. (1.2 .85): ein x = e l,5

X = e l ,5 z 4,4817 .

~

Bemerkung: Den Übergang von log; x zum Num erus x durch Potenzieren zur Basis a (d.h. x = alog,,<) nennt man Entlogarithmieren.

I

Beispiel 1.2.174 :

I

19 x = 2,417 8 J etzt pot enziere man zur Basis 10 und beachte (1.2.85) 1QIgx = x = lOZ,4178 z 26 1,70 .

~

Beispiel 1.2.175: Man löse die Gleichung In x + 1 = 2 1n (x - 1). Da alle N umeri positiv sein müssen, muss gelten: x > 1. Ma n pot enziert beide Seiten zur Basis e:

I Anwend ung der Potenzgesetze

~

ein x + I = eZ1n(x-l)

~

e1n x'el = [ein (x-l) jZ

~

(1.2 .85)

~

~-~ - a+1=0

~

~ - ~ + ~ x + 1 =0

~

x = 2+e ± 2

V(

2 + e )z - 1

2

~

(P1) , (P3)

x ' e=(x -1)Z

XI z 4,495 9 ; (xz z 0,2224)

Die " Lösung" Xz muss verworfen werden, da sie nicht der Bedingung x > 1 genügt . Die einzige Lösunglaut et 4,4959.

Aufgabe 1.2.17 6: Man löse folgend e Gleichungen unter Beachtung der jeweiligen Definitionsmengen: iii)

0,5 '3 x - 1,3 '4- x+7 =0 ;

1 = 2 · e IOD

vi)

x 10.000 = 5.000 ' 1,09 ;

Ig~ - 2lg x = 0

ix)

logz P + 0,1 = 0 ;

xii)

y lgy . 4

7eX =63;

ii)

2ex-e- z x =0 ;

iv) 200 = 50· eO,ln

v) viii)

i)

n

vii) 0 = 200 '1,l -30 '

I. ~~; I ;

_.E.... . I Z

xi) In ~ - 1 = 0 ;

x) In (y + 1)Z- 0,1 = 0 ;

(Man beachte dabei die verschiedenen Schreibweisen für Logarithmen: 19 x ~ log lOx (~ L og aufelektr. Taschenrechnern) sowie

ln x

~

1g y = 0,25 '

+

log;»

1.2.4.10 Bru chgleichungen Gleichung en, bei denen die Variable im Nenn er auftritt, wie z.B. i)

4x - 2 - = 6 '' x- I

G ' I'

heißen Bruchgleichungen.

") 11

G

:

2

5 - I - + - I = -;

x- I

x

x+3

x- 2 '

68

1

Grundlagen und Hilfsmittel

Das Lösungsschema für Bruchgleichungen lässt sich wie folgt zusammenfassen: 1) Ermittlung der Definitionsmenge D G, um Einsetzungen auszuschließen, für die ein Nenner Null werden kann. 2) Um die Nenner zu "beseitigen", multipliziert man die Bruchgleichung mit dem Hauptnenner und kürzt die Bruchtenne (ist erlaubt, da die gekürzten Tenne nicht Null werden können: DG beachten!) 3) Die nun entstandene Gleichung (ohne Bruchtenne) wird gelöst. 4) Die erhaltenen Lösungen werden daraufhin überprüft, ob sie in D G liegen. Wir wollen die Eingangsbeispiele nach diesem Schema lösen: Beispiel 1.2.177:

i)

G 1(x):

4:~12

Multiplikation mit dem Hauptnenner x

~

x = 2

I kürzen

~

4x - 2 = 6x - 6

D G1 ' d.h. L G1 = {2}

E

1

1 x

5 x+3

--+-=--

ii)

D G1 = lR\{1}

I (,*0) :

r

4x - 2 . (x - 1) = 6 (x - 1) x -I

~

~

= 6

x

r

I

DG2 = lR \ {l, 0, -3} .

Multiplizieren mit dem Hauptnenner (x -l)'x' (x + 3) (,*0) und anschließendes Kürzen liefert: 10 3

xL - x + 1 = 0

~

x(x+3)+(x-1)(x+3)=5(x-1)x

~

x=3vx=~, d.h. LG2={3;~}CDG2'

iii)

G 3(x):

x2+x-2 x2 - 4

1

= x_2 ~

~

D G3 = lR \{2,-2} .

Multiplikation mit dem Hauptnenner x2 - 4 = (x - 2)(x + 2) und anschließendes Kürzen liefert: ~ x2 + X - 2 = x + 2 ~ x2 = 4 ~ x = 2 v x = -2.

Beide "Lösungs"-Elemente liegen nicht in D G3, G 3 hat keine Lösung, L G3 = { } . Bemerkung 1.2.178: Bruchgleichungen im weiteren Sinnekönnen in den Bruchtennen Wurzeln, Exponential- oderLogarithmentenne enthalten. Das genannte Lösungsschema bleibtprinzipiellerhalten, lediglich die Besonderheiten dernoch zu lösenden Wunel-, Exponential- bzw. Logarithmengleichungen sind zu beachten. (Bei zu komplizierten Bruchgleichungen empfiehltsich von vorneherein die Anwendung eines Näherungsverfahrens, sieheKapitel2.4 oderKapitel5.4.) Aufgabe 1.2.179: i)

_1

2_ = 0

x+l

x+3

5x2

ii)

x-3 _ _ 4_ ' x- 7 - x- 7 '

2

iv) 3x2 + 7 + 3 + x2 = 1

4x-7

vii)y=-- ; x=? 5x - 2 i

- ' i = ? x) 1,* = 1- in' ,

viiII) 100 = 2x + 40 + -250 x

xl)

ay + b ? x=cy+d;y=,

iii)

5x x 6x -- + -- = -- ' x-4 x+l x-I'

vi)

_1_ +2 = 0 X

ix)

- -+ -- = 0 . x x2 200 '

e -1 km

sp

=

?

1.2

69

Arithmetik im Bereich der reellen Z ahlen IR

1.2.5

Ungleichungen Seien Tl und T z zwei Terme.

Dei. 1.2.180:

Dann nennt man die Aussageform U mit U: T l< T z (bzw. Tl> Tz) eine Ungleichung.

Bemerkung 1.2.181: Tl

S

Tz bedeutet:

r ,« Tz

V

Tl = Tz ;

Tl < Tz bedeutet dasselbe wie Tz > T l .

Die Begriffe Definitions- und Lösungsmenge von Ungleichungen sind analog wie für Gleichungen definiert (siehe Def. 1.2.95, Def. 1.2.98). Beispiel 1.2.182:

D UI = IR .

UI:

x <5

U z:

Xz

U 3:

2x - 2 - - > 0 , d.h. x -2

~

< 9 (oder auch:

XZ

> 16)

_ x_ >1 x-2

~

Duz = IR.

~

D U3 = IR\{ 2} .

A nalog zur Vorgehensweise bei Gleichungslösungen versucht man auch Ungleichungen derart äquivalent umzuformen, dass eine unmittelbar auflösbare Ungleichung (x < C ; x > c ) (bzw. eine aus unmittelbar auflösbaren Ungleichungen bestehende Au ssageform) entsteht.

I

So ist z.B. U I aus Beispiel 1.2.182 unmittelbar auflösbar:

L U I = {XEIR x < 5} .

E s stellt sich daher die Frage, welche Umformungen einer Ungleichung Äquivalenzumformungen sind (also die Lösungsmenge der Un gleichung nicht verändern). Dazu benötigen wir die elementaren Rechenregeln bzw. Axiome der Anordnung für Ungleichungen zwischen reellen Z ahlen (Monotoniegesetze):

Satz 1.2.183:

Beispiele

Monotoniegesetze

Seien a.b.ce R , dann gilt: (1)

E s gilt genau eine der drei Beziehun gen: oder a = b oder a > b.

a< b

(2)

ac bx b« c

W

a < b

~

~

a
a± c
(A uf beiden Seiten einer Ungleichung dürfen beliebige reelle Zahlen addiert/subtrahiertwerden.) (4a)

I a < b AC > 0

~

ac < bc

(4b)

Ia < b A C< 0 ~

ac > bc

2 < 3 A 3 < 10 2 < 3 also d.h. 7 < 8

2 < 10

2+5 < 3+5

2 - 5 < 3 - 5 d.h. -3 < -2

x < 2 ~2x <

2 < 3

(Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, so ändert sich die Richtung des Ungleichheitszeichens.)

also

2 < 3

- 1..x 2

·z

4

~

10< 15

~

- 10 > -1 5

'5

. (-5)

< 2 ~ x > -4 . ( -Z)

(!)

1

70

(5a)

I 0
{=}

an < bn I

0< 2<3

(n> 0)

(Quadrieren, Wurzelziehen, Potenzieren mitpositiven Exponenten erhältdie Richtung der Ungleichung.) (Sb)

I0 < a < b

{=}

d.h.

I0 < a < b

{=}

a- n > b- n

"*

>

~

(n > 0)

i) ii)

22

<

Grundlagen und Hilfsmittel

{=}

32

V2< V3 10 10 iii) V2< V3

(n = 2) (n = 1h) (n = 1/ 10)

0<2<3 {=} i) 2- 2 > 3- 2 d.h,

(n > 0)

1'1')

~ > ~

2- 1 > 3- 1 d h 1

. '2"> 31

(Kehrwertbildung ändertdie Richtung derUngleichung) 0 < a< b

(6)

1

(7a)

Ix < Y

(7b)

I

x
{=}

0< 2< 3

log,a < log,b I (c > 1)

{=}

aX < aY I

{=}

a- x > a-Y

I

i)

{=}

ii) Ig2 < Ig 3

In 2< In3

(a> l ; x ElR)

a=2 , 3<5 {=} 23<25 denn 8<32 3 5 ; 10 3<105 {=} e < e

(a> 1; xElR)

3<5

{=}

2- 3>2-5 . denn...!. > _1_ ,

8

32

d.h.

!

x
_1_>_1_ 1

{=}

aX

aY

Wichtig für das Lösen von quadratischen Ungleichungen oder Bruch-Ungleichungen ist die Beantwortung der Frage, wann ein Produkt a - b (bzw. ein Quotient ~ ) positivbzw. negativ ist. Es gilt in Fortsetzung vonSatz 1.2.183: (8)

a b>0 ) .s, > 0

{=}

(a> O /\ b>O) v (a
{=}

(a>O /\ b< O) v (aO)

b

(9)

a -b < 0

..!!.. < 0 b

)

Eingängig (wenn auch nichtganz korrekt) sind dafür die umgangssprachlichen Merksätze: "Ein Produkt ist genau dann positiv, wenn beide Faktoren gleiches Vorzeichen besitzen und genau dann negativ, wenn beide Faktoren verschiedenes Vorzeichen besitzen." (Analoges gilt für Zähler/N enner von Quotienten.) Die Ungleichungsregeln (1) bis (9) lassen sich sinngemäß auf Ungleichungen und deren Terme anwenden, Die folgenden Beispiele zeigen die wichtigsten Umformungen für Ungleichungen: Beispiel 1.2.184:

I

i) 3x - 4 <x +8

(3) {=}

2x<12

d.h. L = {XElR I X< 6},

(4a) {=}

x< 6

Veranschaulichung am Zah lenstrahl:

o

6

(x)

---\-----1[-" I

1.2

71

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR ii)

x -Ig 0,5

iii)

e

I:IgO,5 «

(4b)

0 !)

~

~

> 0,5 ; (x > 0) Iin ... 1 -x< 1nO,5

(4b)

3

(7a)

I e'"

~

(3)

~

~

(x-VZ> O /\ x+ VZ> O)

(3)

L = { XEIR

(4b)

> In 0,5

V

3

I ()3

VX > e 2

xZ- c >O

-l <-ln05

~

x

'

~

X > e6 z

403,43 .

~ (Binom)(x - VZ)(x+ V~»O

(x- VZ< O /\ x+ VZ
I x> VZv x< - VZ

(x>VZ /\ x>-VZ) v (x
~

d.h.

~

6,64

x> 1n O,5 z 1,44

v) (8)

-

-2

z 105 g ,

-1

~

In VX>2; (x> O)

x::O:

~

1

x

(Sb)

iv)

s -2

Ix> VZ} U {XEIR Ix<-VZ}

-vc

.

vc

0

I

I

Beispiel: x 2 > 81 ~ x< -9 v x> 9 v)

vi)

~

(9)

~

(x- VZ)(x + VZ) :s: 0

(x-VZ:s: 0 /\ x + VZ::O: O) v (x- VZ ::o:O /\ x + VZ:s: 0)

(3)

~

(x :s: VZ /\ x

::0: -

I x :S: VZ /\ x : o: - vz l

VZ) v (x ::0: VZ /\ x:S: - VZ)

-vc

stets falsch

d.h.

L

= { XEIR Ix:S: VZ /\

x : o: -VZ}

= [- VZ; VZ] ,

Beispiel: x 2 :s: 16 x2 - 8x + 12< 0

vii) ~

x- 2

~

vi)

(x-4)2 < 4

x

viii)

(3)

~

x 2 - 8x < -1 2

~ (3) ~

x - 4 < 2 /\ x-4>- 2

x:s: 4 /\ X

::0:

o

- 4, d.h. L = [-4; 4].

x 2 -8x + 4 2 < -12 + 4 2 (3) ~

x< 6 /\ x>2 .

>-1 ;

Mult ipliziert man jetzt mit dem Term x - 2, so muss man eine Fallunterscheidung machen: Ist x - 2 positiv, so bleibt nach (4a) das Ungleichheitszeichen erhalten, für x-2 < 0 ändert sich nach (4b) die Richtung des Ungleichheitszeichens. Einfacher ist es, die Bruchgleichung auf die Form T l (x) > 0 zu bringen und dann (8) anzuwenden: T 2 (x)

_ x_ > -1

x-2

(3)

~

x x - 2 + 1> 0

~ (erweitern)

x x- 2 x-2 + x- 2 > 0

Grundlagen und Hilfsmittel

72 (8)

2x- 2 x-2

-->0

(2x-2>0 /\ x-2>0) v (2x-2<0 /\ x-2<0)

~

(3) ~

(x > 1 /\

~

(x > 2) v (x < 1).

X

o

> 2) v (x < 1 /\ X < 2)

1

2

3

-+---~f----+I • ••

Aufgabe 1.2.185: Man ermittle die Lösungsmengen folgender Ungleichungen und stelle sie am Zah lenstrahl graphisch dar: i)

- 6x + 4

v)

x2 - 9x

~

~

x-6

20

P

ii) -ln-1.000 vi)

2x - I x+ 1

>5

> 1

iii) 3 19x > - 6 ; vii)

O,Sx < 1.000

iv)

3 -x2 < 0 ;

viii)

-=..!L < -1 8 -p

1.2.6 Wo steckt der Fe hler? Langjährige Erfahrungen mit Hörern der Einführungsvorlesung in Finanzmathematik und Wirtschaft smathematik haben mich dazu ermuntert, den zuvor dargestellten elementarmathematischen Hilfsmitteln einen Exkurs über beliebte Fehlennöglichkeiten in der Arithmetik folgen zu lassen - in der Hoffnung, es gelte auch hier der Satz, dass man aus seinen Fehlern am besten lernt. Zwar ist es einerseits nahezu unmöglich, die Vielfalt und phantasievolle Kreativität im Erfinden immer neuer "Rechenregeln" (und allerdings auch im Verzapfen haarsträubenden mathematischen Unsinns) erschöpfend darzustellen - andererseits kann man allerdings beobachten, dass gewisse Fehler, Fehlerkombinationen und Trugschlüsse verstärkt und immer wieder auftreten, so dass es naheliegt, derartige den Studienanfänger gleichsam magisch anziehende Trugschluss- und/od er Fehlerfallen aufzuzeigen, um so - durch vertiefende Einsichtden falschen Weg ein für allemal zu brandmarken. Im folgenden werden daher beliebte Fehler und Trugschlüsse anhand konkret er Beispiele aufgeführtl'', Der bei der ersten Lektüre möglicherweise beim Leser hervorgerufene Effekt lässt sich am besten durch die folgenden Zeilen 13 beschreiben: " Man liest's, soweit man gut gelaunt, man räusp ert sich und ist erstaunt, ist halb erfreut und halb ergrimm t, doch weiß man nicht, weshalb 's nicht stimm t. «

Es ist ein Ziel der vorliegenden Fehlerdokumentation, dass der in der letzt en Zeile beschriebene Zustand beim Leser möglichst überwunden wird - wer die Ausführungen bis hierher durchgearbeitet hat, wird wissen, an welcher Stelle der Fehler liegt und wie es richtig hätt e sein m üssen". Bemerkung: Im L ösungsanhang dieses Buches werden einige Fehleifäll e in Kurzform aufgelöst. Da das mit dieser Trugschlus ssammlung beabs ichtigte Verständnis der elementarmathematischen lnstrumente aber erst durch eigene (erfolgreiche) Fehlersuche gewonnen werden kann, werden ausführliche Lösungshinweise nicht hier, sondern im separaten Übungs- und L ösungsbuch gegeben, siehe [69b]. 12 In diesem Zusammenhang sei auf das vorzügliche, stofflich über das hier Dargebotene hinausgehende Büchlein

" Wo steckt der Fehler" von W. Lictzmann (Stuttgart 1969) hingewiesen, nach dem auch der vorliegende Abschnitt benannt ist. 13

Entnommen aus: Cremer, H.: Carmina Mathematica, Aachen 1965.

14 Näheres zum "Richtigen und Falschen in der elementaren Algebra " siehe Literaturverzeichnis [69c] .

1.2

Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen IR

1.2.6.1

73

(VORSICHT: Fehler !)

Fehler bei Termumformungen a) Wo steck t der Fehler? Worin besteht der Fehler, weshalb ist etwas f ehlerhaft ? b) Wie müsste die f ehlerfreie UmformungILösung aussehen ?

V12x ;

1)

Klammervereinbar ung:

5 +7 0 x

2)

Subtrakti on geklammerter Summen:

3)

Hintereinand erausführung mehrerer Op erationen: 48 -14 = 34 i) 48 : 8 06 48 : 48 = 1 ; ii) 48 - 8 +6

4)

A ssoziativ- und Distributivgesetz: 2a 02b ; ii) -(2x) i) 2 0(ab)

5)

Bru chrechnen:

2x - (y + x)

V

V2x - Y + x = 3x - Y ;

V

V

Vorsicht !

V(-2) 0(-x) = 2x ;

F

E H L

i)

E R

ii) 6)

Kürzen: 5x- 7y 1i) 5a - 7b

7)

+r

Vx- y

x2 ii) -'- -=k x + Y ; x +y V

-- '

a- b '

lli) 111

9x

2

-

16r

3x - 4y

V3x - 4y;

Pot enzdefinition, Potenzgesetze: i)

5a3V125a3;

iv) - 2 4

ii)

V(-2) 0(-2) 0(-2) 0(-2) = 16

v) - (a + b)ZV (-a - W

Va 02ab 0b ix) 27- 1/ 3 V- 2~3 ; 2

vi) (a 0W

2

01,5

2

V3

2 ;

= (-a-b)(-a-b) = a 2 + 2ab + b 2 = (a+b)Z 2 ;

V0 ; a- V n

V(2x +2y)3 ;

;

V ~ 05 9- 1/ V 9; ;

viii) 5 1/ 2

vii) 5°

x)

2 (x+y)3

iii)

xi)

-an ;

1/ 2 ;

2

Vorsicht ! 8)

F

Logarithmusdefinition, Logari thmengesetze (lg = log 10 i)

a) Ig 900 + Ig 100 b) Ig 900 -Ig 100

ii)

VIg (900 + 100) = Ig1.000 = 3

VIg (900 + 100) = Ig1.000 = 3

) In 6 =k 6 a In 2 V In = In 3 ;

2

c)

Ig 1.100 Ig100

X

)

In b V In a - In b ;

iv) In 0

-'

In y

b

E R

) In a =k

VIg (1.100 - 100) = Ig1.000 = 3

V sx ' vi) In (5e V 5 -In e

iii)1In 1 1x -

E H L

X

=

5x ;

VO ;

v)

In (-4) V- ln 4 ;

viii) In (10 0eY)

VIn 10 0In eY= y 0In 10 ;

74

(VORSICHT: Fehler ! )

9)

Potenzieren einer Summe: i)

1

(a- WV a4 -b4 ;

ii) Va 2 + b2 "') 11I

1-

n+ v

Va

+b;

Vii - +v

iv) (x+y)OV XO +yO ,

Beispi el:

1 = (2 - 1)4 V 24 - 14 = 15 .

B eispiel:

5= 2 +2 ji

1

d.h.

Vpl/5+ q l/5 vii) eY+e" Ve +y ;

v) (p+q)I/5

1. =Ir 1

d.h.

2

4 ji

.

a +a3 V a 2+3 = a5

viii) 10

2

2

V1+1=22 ; vi)

10) Logarithmieren einer Summe:

i)

V25 = V9+16 = V"3"""2-+--'-4"-2 V 3 + 4 = 7 .

Beispiel: _ 1_ =Ir 1. + 1. = 1

;

n

Grundlagen und Hilfsmittel

23

V 1003 = 1.000.000

Vorsicht !

F E H L E R

2

In (e" - e" ) V In eX - In e" = x - x2 ;

ii) Ig (2X - SX) V x · Ig 2 - x . Ig5 ; iii) Ig(I ,1L100)Vn ·lg1 ,1 -lg100 = n ·lg1 ,1-2 ;

11) Negativer Radikand: i)

v=16V- 4

ii) 20 + M iii)

;

V 20 (denn M

gibt es nicht in IR) ; 4

v=1 = (- 1)1/2 = (-1}2/4 = «(-1}2)1/4 = 11/ 4 = V1 = 1

12) Wurzelziehen:

V16V

V=-1 = 1

, also

(???)

±4 ;

13) Bruchrechnen (x =1= 0): i)

~Vx .

'

ii)

~

V 1

iii) 11I

0x V

v)

-o0 VO '·

vi)

~

V 1 ;

il) VII

01 V

o

O

;

00

iv)

~

VX ;

.

1.2.6.2 Fehler, Irrtümer, Trugschlüsse bei der Lösung von Gleichungen (Im fo lgenden wird di e .Losungsmenge (( der vorgelegten Gleichungen mit f ehlerhaften Methoden gewonnen. W o steckt der Fehler? Korrekter L ösung sweg ? Korrekte L ösungsm enge?)

1)

1, 2 = 1 + l100 (x -

4)2

1

I · 100 rL

2) - - - - = 0 x- 5 x -5

I · (x - 5)

120 = 1 + P

{=}

{=}

(x -4)2- 1 = 0

p = 119

L

= {119}

(x-4}2 = 1

{=}

{=}

x-4 = 1 v x - 4 =-1

{=}

x = 5 vx = 3 x - 1 =0

{=}

T

{=}

L = {3, 5} x=1 ;L ={1 }

1.2 Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen lR 4)

XL 49 =

5)

x

v

°

1 +49

°

x2 = 491

<=}

(x -1)(x - 2) = x=1vx=2

<=}

xl,2 = 1 ±

6)

xL 2x + 37 =

7)

xL4x+29=0

8)

5+

9)

I . L - = a + b . Kehrwertbildung T x

10) i)

~=

X I ,2

<=}

°

V

<=}

+

l = 01 ' (x - 2)

ii) e 2x + eX = 6

°

x

<=}

L = {l ,2} ;

r

=

]

LV {25}

x = 25 ;

+ + + ° +

b

a

b

a

3x = In 6

<=}

x=

<=}

2x2 = In 6

<=}

x2 = ..!..In 6

V0,5 · In 6 x2 = - V0,5 ·In 6

sex

I

x = - - :::::: 2 0244 .

(In 5) .x = In 26

<=}

x = In 26 =i= In (~) :::::: 1 6487 In 5 i? 5 '

<=}

4x =

In26 In 5

In

2. Läsungsweg:

<=}

:::::: - 0,9465

<=}

13) Gegeben ist die Gleichung ( I . Läsungsweg:

(Proben stimmen nicht !)

In 5 .x = In 26

2x-(-2x)=0

°;

'

,

L = {O}

(PS)

(~r2

( : )2 =

gilt:

<=}

3 3 x 'ln4"= -2'ln4"

1

3x . 3 2 = 42 . 4x

<=}

3 = 4 (f), d.h. L = { }

t

3 (* O) :ln 4"

F E H

L E R

I (PI)

<=}

(~

Vorsicht!

(3 Fehler/) ;

~ f = ( ~)2 :

Wegen

Probe?

2

:::::: 0,9465;

x = sln 26 :::::: 0,6516

(zwei Fehler, aber richtiges Endergebnis/) 12) 2ex - e- 2x =

In 6 :::::: 0,5973;

<=}

In

= 26

V{2};

* °;

5x = In 26

In

iii)

3I

<=}

In

ii) seX = 26

°

(Probe stimmt nicht !);

x = - I + - I ; L = {I - + - I} /\ a, b

2x .x = In 6

Sex = 26

x- 2 =

V 1 ± 6 ; L = {7, -5}

VT=37 = 1 ± V-36

Xl =

11) i)

°v

<=}

= 2 ± V 4 - 29 = 2 ± V - 25 . Daes V-25 nicht gibt, folgt: L

.2L x + 2x = In 6 T

, r~

= 7 ; L = {7} ;

X

~= -51 ()2

eX + e 2x = 6

75

(VORSICHT: Fehler /)

= ( ~r2 1In; L 3 <=}

x=-2

d.h.

L = {-2} .

Welche(r) Lösung(sweg) ist richtig ? 14) Behauptung: Alle Zahlen sind gleich.

62 - 6· 11 = 52 - 5 . 11 62-6 '11 +(1 2 = 5 2-5'11 + (1

Beweis: Es ist stets 36 - 66 = 25 - 55 (= -30) <=}

(+quadratischeErgänzung (1

21)2)

<=}(6-.!!)2=(5-.!!)2IV 2

2

:

<=}

<=}

21)

21)2

6-.!!=5-.!!1+.!!

°

2

2

2

<=}

6=5

Daraus folgt durch Subtraktion von fünf: 1 = und daraus (Mult. mit IOD bzw. e) : 100 = 0; e = 0; Und daraus folgt: 1 = 100 = e (usw.) . Damit ist bewiesen, dass alle Zahlen gleich sind.

76

(VORS! CHT: Fehler ! )

1

Grundlagen und Hilfsmittel

15) Behauptung: E s gilt: 1 = 2 . Beweis: Der Term a Z - a Z kann auf zwei Arten geschrieben werden : i) a L a Z = a -(a - a) ii) a L a Z = (a+ a) -(a - a)

(a ausklammern- Distributivgesetz) (3. binomische Formel>R6c)

Al so mu ss wegen der Gleichh eit der linken Seite gelten :

I : (a -a)

a -(a-a) = (a+ a) -(a - a)

~ ~

I:a

a = a+a = 2a 1 = 2 (???)

Vorsicht!

F E H L E R

16) Nochmals: Alle Z ahlen sind gleich.

Beweis: a und b seien zwei beliebige positive reelle Zahlen mit a < b. Dann gibt es eine positive reelle Z ahl c, so dass gilt: a + c = b (denn: a < b) Multiplikation mit b - a ( » 0) liefert: ~

(a+c) -(b-a) = bfb

a)

r

~

ab + cb -

~

ab - a Z - ac = b Z - ba - cb

~

a(b- a-c) = b fb

~

a

aZ -

bZ -

ac =

r

a

r

ba c)

I - cb

I :(b -a - c)

b .

=

Al so sind die (bis auf " a < b " beliebiggewählten) Z ahlen a und b entgegen der Annahm e (a
3V; 9x

~

x+2 XZ +

beideSeitenquadrieren

4

4,5 ±

XZ -

~

V4,5 z - 4

9x + 4

Xl ~

Xz

~

8,5311 ; 0,4689 .

Probe an der Ausgangsgleichung: Wed er Xl noch Xz ist Lösung! Dagegen stellt man durch Einsetz en fest : Lösungen sind ,,4" und " 1" . Wo steckt der Fehl er irn. Lösungsweg"?

0

Vorsicht! F

E H L E R

1.2.6.3 Fehler bei der Lösung von Ungleichungen (Im f olgenden wird die" Lös ung" dervorgelegten Ungleichungen mitfehlerhaften Methodengewonnen. Wo steckt derFehler? KorrekterLösungsweg? KorrekteLösungsmenge?) -2x < 6

2)

i) xZ > 9 ii) xZ < 25

3)

4)

2 >

~

+ Iv+

I:- 2

1)

I -x

X< -3

Iv+

+

_x-x_
(aber: Probemit dem errechneten L ösungswert,,- 4" ist falsch!)

x> 3

(aber: Probe mit" -4 " (gehörtnichtzur" Lösung") ist richtig!)

x <5

(aber: Probe mit dem errechneten Lösungswert ,,-6 " ist falsch!)

2x >1

~ X> 12

L r

x
(aber: Probe mit ,,- } « (gehörtnichtzur" Lösung ") ist richtig!)

(aber: Probe mit ,,5 " (gehörtnichtzur " Lösung ") ist richtig!)

77

2 Funktionen einer unabhängigen Variablen 2.1

Begriff und Darstellung von Funktionen

2.1.1

Funktionsbegriff

Für die Beschreibung, Erklärung, Analyse und Optimierung wirtschaftlicher Vorgänge ist der mathematische Funktionsbegriff (im Sinne der gegenseitigen Zuordnung wirtschaftlicher Größen) von grundlegender Bedeutung. In vielen ökonomischen Bereichen haben wir es mit Zuordnungen der Elemente einer Menge zu den Elementen einer anderen Menge zu tun : -

den verschiedenen Quantitäten eines Produktes sind die entsprechenden Erlöse zugeordnet;

-

verschiedenen Einkommen eines Haushaltes sind die entsprechenden Konsumausgaben zugeordnet;

-

verschiedenen Leistungsintensitäten eines maschinellen Aggregates sind entsprechende Verbrauchszahlen zugeordnet;

-

verschiedenen Briefgewichten ist das entsprechende Inlandsporto zugeordnet ;

-

verschiedenen Outputmengen einer Ein-Produkt-Unternehmung sind entsprechende Gesamt-Stückkosten zugeordnet, u.v.a.m.

Beispiel 2.1.1: Die Huber GmbH erzielte in den ersten 6 Monaten eines Jahres die folgenden wertmäßigen Umsätze (in T€): Monat Umsatz (in T€) Man erkennt: Zu jedem Monat gehört genauein bestimmter Umsatz, jedem Monat wird genau ein bestimmter Umsatz eindeutig zugeordnet, so etwa dem Monat 4 der Umsatz 13. E ine derartige eindeutige Zuordnung (oder Abbildung) der Elemente einer (Zahlen-) Menge zu den Elementen einer anderen (Zahlen-) Menge nennt man Funktion:

Def.2.1.2: (reelle Funktion) Es seien MI und Mz zwei Mengen reeller Zahlen. Ordnet man jedem Element x (E MI) durch irgendeine Zuordnungsvorschrift f genau ein Element y (E Mz) zu, so nennt man die dadurch gegebene paarweise Zuordnung eine (reelle) Funktion f. (Damit ist f gleichzeitig charakterisiert als Menge aller der bei dieser Zuordnung auftretenden Paare (x;y) , d.h. f ist eine Teilmengevon MI X Mz ; siehe Def. 1.1.83)

Beispiel2.1.3: (Fortsetzung von Beispiel 2.1.1) Nach dieser Definition lässt sich die Zeit- / Umsatz-Funktion der Huber GmbH deut en als

Zuordnung (Abb. 2.1.4)

Wf Monat

oder als

Paarmenge: f = {(I ; 10), (2; 12), (3; 14), (4; 13), (5; 16), (6 ; 12)} .

Df

Umsatz (in T€J

Abb.2.1.4

J. Tietze, Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik, DOI 10.1007/978-3-8348-8132-8_2, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

78

2

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Man beachte, dass -

von jedem Element aus MI genau ein Pfeil nach Mz ausgeht (Eindeutigkeit der Zuordnung)

-

nicht notwendig jedes El ement von Mz als "Partner" vorkommen muss (so bleiben etwa die Umsat zzahlen 11,1 5,17 T€ frei)

-

es vorkommen kann, dass auf einem Element aus Mz mehr als ein Pfeil endet (so fällt etwa der Um satz von 12 T€ sowohl im Mon at 2 als auch im Monat 6 an). Damit wird zum Ausdruck gebracht, dass eine Funktion zwar eine eindeutige Zuordnung sein muss, nicht aber notwendigerweise die umgekehrte Zuordnung (d.h. von "rechts nach links") eindeutig ist.

Die Funktionsd efinition 2.1.2 ist sehr allgemein formuliert. Wegen der grundlegenden Bedeutung und der mannigfachen Anwendungen des Funktionsbegriffes sollen im folgenden die wichtigsten im Zusammenhang mit dem Begriff der Funktion auftretenden Bezeichnungen , Symbole und sonstigen Besonderheiten aufgeführt werden. (1) Die "linke" Menge MI ' von der die Zu ordnun gspfeile ausgehen, bezeichnet man als Definitionsmenge (oder Dejinitionsbereich) Df der Funktion f. D, ist also die Menge aller x, denen ein y zugeordnet ist. In Beispiel 2.1 .3 gilt somit: D f = { 1,2,3,4,5,6 } (= MI) . (2) Die "rechte" Menge M z' in der die Pfeile enden, heißt Zielmenge Z (oder Bildmenge B). In Beispiel 2.1.3 gilt (siehe Abb . 2.1.4): Z = B = { 10,1 1,12,13 ,14,15, 16,17}

(= Mz) .

(3) Die Menge derjenigen Elemente von Z, die bei der Zuordnung f tats ächlich als Partner vorkomm en,heißtWertemenge(oderWertebereich) w, von f. In Beispiel 2.1.3 gilt also: Wf = {1O, 12, 13, 14, 16} c Z

(siehe Abb. 2.1.4).

(4) Will man zum Ausdruck bringen, dass dem Wert x (E D f ) durch die Funktion f der Wert y (E Wf ) zugeordnet ist, so schreibt man: f

, xEDf

oder

f: Xf-7Y

, xe D,

oder

f: x f-7f(x) , xED f

oder

f: Xf-7Y = f(x) , xED f

oder

Xf-7Y f: y

= f(x) , xEDf

oder auch einfach: y

= f(x)

, x e Dj .

Dab ei wird z.B, die symbolische Schreibweise f: x f-7 y = f(x) gelesen als " f ist die Funktion, die dem Wert x den Funktionswert y gleich f von x zuordnet". I Die Gleichung y = f(x) heißt " Gleichung der Funktion f " oder "Funktionsgleichung von f ". Man beacht e, dass zur vollständigen Beschreibung einer Funktion die Angab e des Definitionsbereiches unerlässlich ist. Bemerkung 2.1.5: Wenn nicht ausdrü cklich anders vermerkt, soll im folgenden der Definiti onsbereich Df aller vorkommenden Funktionen f gleich IR (bzw. gleich einer geeigneten Teilmenge von IR) sein. Damit ist eine reelle Funktion f als Teilmenge des IR2 (= IRXIR) wiefolgt defin iert: f= {(X,y)EIR2

I x EDf

/\ y= f(x)) .

Insb esonderewollen wir vereinbaren: Ist f durch eine " Formel" defini ert, z.B . durch f : f (x) = ~ 4-x

so soll derDefinitionsb ereich Df aus allen Werten der unabhängigen Variablen (hier:x) bestehen, für die die Form el einen eindeutig definierten Zahlenwert ergibt, d.h. etwa im Beispiel: Df = IR \ (-2 ,o 2), (Df= :DmaJ . Etwas and eres ergibt sich dann , wenn (etwa aus ök onomischen Gründen) derDefinitionsbereich von f exp lizit weiter eingeschränk t wird, z.B . auf nur positive Wertevon x .

I DerAbbildungspfeil (oder FUßpf eil) f-7 ist speziellfür derartige (funktionale) Zuordnungen reserviert.

2.1

79

Begriff und Darstellung von Funktionen Die in (4) auftretenden Symbole werden üblicherweise folgendermaßen benannt: x:

unabhängige Variable (oder Argument)

f:

Funktion; Name der Funkti on; "f" ist mathematisch sorgfältig zu unt erscheiden von "f(x)":

fex):

(Z ahlen-)Wert der Funkti on f an der Stelle x (gesprochen:" f von x ") ; Der (Zahlen- )Wert, der der Variablen x zugeordnet ist ; abhängige Variable ; Funktionswert ; Funktionsterm ; (so bezeichnet etwa f(3) denjenigen Zahlenwert aus W f , der dem Wert 3 aus D. zugeordnet ist, in Beispiel 2.1.3: f(3) = 14) ;

x ~ fex): Zuordnungsvorschrift, Abbildungsvorschrift der Funktion f; y = fex): Zuordnungsvorschrift oder Funktionsgleichung, die definiert, auf welche Weise dem Wert x ein Funktionswert y (= fex»~ zugeordnet wird. Bemerkung 2.1.5a: Wir werden aus Vereinfachungsgründ en (und wenn Missverständnisse ausgeschlossen sind) häufig schon dann von einer " Funk tion" sprechen, wenn nur ihre Funktionsgleichung y = f(x) oder ihr Funktionsterm f (x) vorliegt, auch wenn dies na ch dem Vorhergehenden mathematisch nicht k orrekt ist.

Beispiel einer funkt ionalen Zuordnungsvorschrift (alle Aussagen bedeuten dasselbe I): Jeder reellen Z ahl wird ihr um 2 vermindertes Quadrat zugeordnet x ~ x 2 - 2 mit XE JR p ~ pL 2

mit

pEJR

y = fex) = -2 + x 2 A = heB)

= BL

2

mit

XEJR

mit

BEJR.

Man erkennt, dass es für die formale Zuordnung unerheblich ist,welche Bezeichnungen den Variablen gegeben werden: Die Zuordnung C = y2 -1 bedeutet dasselbe wie y = C2 -1 oder K = x2 -1 .

Vorsicht bei der Wahl der Variablenbezeichnung ist lediglich dann geboten, wenn eine Variable eine bestimmt e (ökonomische) Größe symbolisiert: Beispiel2.1.6: E s ist üblich (aber nicht zwingend vorgeschrieben), die folgenden Variablennamen zur Bezeichnung ökonomischer Größen zu verwenden: C: Konsum

Y: Ein kommen

K: Kosten/Kapital

p: Preis, Zinsfuß

G: Gewinn

k: Stückkosten

U: Nutz en

t: Z eit

I: Investitionsausgaben

S: Sparquote

r: Input

i:

Zinssatz

E, U: Erlös, Umsatz (wertmäßig)

x: Output, Ab satz (mengenmäßig)

L : Liquiditätsnachfrage u.v.a.m. (siehe auch das Verzeichnis " Häuf ig verwendete Variablennamen " in der Einleitung dieses Bu ches) .

Versteht man etwa unter C die "Konsumausgaben" und unter Y das "Einkommen" eines Haushaltes, so unterscheiden sich die eben genannten Zuordnungen

(i) C = y L 1 ; y E JR+

und

(ii) Y = CL 1 ; CEJR+ .

2

80

Funktionen einer unabh ängigen Variablen

Zwar sind die bei beiden Zuordnungen auftretenden Wertepaare ident isch (z.B. (1 ;0), (2 ;3), (3 ;8), usw.), nur bedeuten im Fall (i) die links stehenden Zahlen Ein kommenswerte, die rechts stehenden Zahlen Konsumwerte (so gehört zum Einkommen 2 der Konsum 3), während es im Fall (ii) umgekehrt ist (zum Konsum 3 gehört nun das Einkommen 8, also nicht - wie zuvor - das Einkommen 2 !) (5) Um zum Ausdruck zu bringen, dass die Größ e y durch eine funkti onale Zuordnung f von dem jeweiligen Wert x (E D f ) "abhängt", schreibt man statt "y = f(x)" häufig (nichtganz korrekt, aberbequem) auch : y

= y(x)

(gelesen: "y gleich y von x")

y(x) = xL 2 , XE IR ;

Beispiel (siehe (4»:

A(B) = B2-2 , BEIR .

(6) Die in y = fex) verwendeten Namen "unabhängige Variable" für x und "abhängige Variable" für y dürfen nicht dazu verleiten, zwischen x und y eine Abhängigkeit im kausalen Sinne zu konstrui eren (wenn auch gelegentlich eine derartige Abh ängigkeit bei ökonomischen Variablen vorkommt). So hängen beispielsweise die Umsatzzahlen der Huber GmbH (siehe Beispiel 2.1.3) nicht notwendig kausal von den Zeiträumen ihrer E rzielung ab, sie sind vielmehr verschiedenen Zeiträumen (im mathematisch funktionalen Sinne) zugeordnet. Der Begriff "abhängige Variable" (hier für den Umsatz) soll lediglich zum Ausdruck bringen, dass die Um satzza hlen den Z eiträumen (und nicht umgekehrt) zugeordnet sind. (7) Schreibt man die Funkti onsgleichung y = fex) in der Gestalt y - f(x)

=0

bzw.

g(x, y)

=0

so wird auch dadurch eine Zuordnung definiert. Jetzt ist allerdings nicht von vorneherein erkennbar, welche Variable "abhängig" und welche Variable "unabhängig" sein soll. Dies muss vorher vereinbart werden (siehe "implizite Funktionen", Kap. 2.1.5). (8) Ein e Funktion f ist erst dann eindeutig definiert, wenn außer der Zuordnungsvorschrift y = fex) auch die zugehörige Definitionsmenge D, angegeben wird. Nach Bem. 2.1.5 unterstellen wir, dass D, - sofern keine andere Vereinbarung vorliegt - aus allen reellen Zahlen x best eht, für die der Funktionsterm f(x) einen definierten Zahlenwert annimmt (Df = , Dmax = maximaler Definitionsbereich) . Bei ökonomischen Funktionen allerdings wird man häufig nicht diesen (mathematisch) umfassenden Definitionsbereich D max > sondern den ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich Dök(d.h. eine Teilmenge von D max) zugrunde legen: Beispiel:

(K: Gesamtkosten bei Produktion des Outputs x) . K(x) = O,lx + 7 Offenbar gilt: D max = IR. Da aber La. nur nichtnegative Outputwerte vorkommen können , legt man als ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich D ök zugrunde:

DÖk=IR~

(={ xEIRlx 2:0}) .

E s ist also durchaus sinnvoll, zu einer vorgelegten Zuordnungsvorschrift f:x f-+ f(x) erst im Nachhinein einen Definitionsb ereich zu ermitteln, z.B. D, = Dmax oder D, = DÖk ! Bei der Erm ittlung des Definitionsbereiches D, einer Funktion f kommt es häufig darauf an, diejenigen Werte für die unabhängige Variable zu ermitteln, für die keine Zuordnung möglich ist, weil ein nicht definierter Ausdruck entsteht: Beispiel:

y = fex) =

_X_ .

1 - x2

Df = ?

Da der Nenner nicht Null werden darf, müssen die Lösungen der Gleichung 1 - x 2 = 0, d.h. 1 und -1 , ausgeschlossen werden: D, = IR \ {- I ; I} .

2.1

81

Begriff und Darstellung von Funktionen Beispiel:

y = f(x) =

Vi"=T

D, = ?

Da der Radikand größer oder gleich Null sein muss, d.h . x-I <: 0, folgt: n, = {XElR x <: 1 }.

I

Wir wollen (wie schon in Bem. 2.1.5 erwähnt) im Folgenden - wenn nicht ausdrücklich anders vereinbart - stets den maximalen (ökonomischen) Definitionsbereich D, (c lR) zugrunde legen. (9) Liegt eine Funktion f in Form ihrer Funktionsgleichung y = f(x) vor, so erhält man zu jedem Xo durch Einsetzen anstelle von x im Term f(x) den zugehörigen Funktionswert f(Xo) .

Beispiel:

Gegeben sei die Funkti on f mit der Gleichung f(x) = x 2 + 1 , D, = lR . Dann gilt: f(2) = 2 2 + 1 = 5; f(-10) = (-10)2 + 1 = 101; f(p) = p2+1 f(x+~x) = (x+~x)2+1 = x2 + 2x ' ~x + (~x)2 + 1

f(6p2-9p+4) = (6p2- 9p+4)2+1

usw.

Wie die Beispiele zeigen, können in f(xo)für Xo Z ahlen, Variable oder sogar Terme gewählt werden. (10) Wie schon erwähnt, ist nicht durch jede Zuordnungsvorschrift eine Funktion definiert:

Beispiel:

f: f(x) =

VX ; XElR:

f ist keine Funktion, weil für negative Werte von x der Term (Für D, = lR ~ ist f allerdings eine Funktion!) Beispiel:

VX nicht definiert ist.

f: y = ~; xElR: f ist keine Funktion, weil y fürkein x ElR (außer für x = 0) definiert ist.

Beispiel:

f: x f--* y mit y2 = x; D, = lR + : f ist keine Funktion, weil die Zuordnung x f--*Y nicht eindeutig ist, z.B, ist dem Argument x := 9 sowohl der Wert y = 3 als auch der Wert y = - 3 zugeordn et.

Beispiel:

1 x - 16

f: f(x) = - 2 - ;

D, = lR :

f ist keine Funktion, weil den Zahlen 4, -4 E D f kein Funktionswert zugeordnet ist (f istaberfür Pr" IR. \ {-4;4) eine Funktion !) . (11) Kann die Funktion f nicht durch eine Zuordnungsvorschrift in Gleichungsform beschrieben werden (so etwa bei empirischen Funktionen, deren Werte z.B. aus Messdaten bestehen), so stellt man die einander zugeordneten Wertepaare häufig in einer Wertetabelle zusammen:

Beispiel: f: T=f(t): Lufttemperatur T als Funktion der Uh rzeit t, siehe Tabelle :

t: Uhrz eit (h)

T: Lufttemperatur

9.00 11.00 12.00 14.00 16.00 18.00

12 -c 17 -c 20 -c 22 -c 22 -c 21 °e

(0C)

Umgekehrt lässt sich La. zu jeder in Gleichungsform vorliegenden Zuordnung eine Wertetabelle aufstellen. x 5 Beispiel: f: y = f(x) = x 2 -1 ; D, = IN : f(x) 24

82

2

Funk tionen einer unabhängigen Variablen

2.1.2 Graphische Darstellung von Fu nktionen Nac h Def. 2.1.2 versteht man unter einer Funk tion f einerseits eine Zuordnu ng, andererseits die Menge aller Paare (XiY), die bei der Z uordnungf einander zugeordnet sind: f = {(x, y) x t-o y = fex) 1\ xED f } ·

I

Da her ist es möglich - wie bei jeder Paarmenge, siehe Kapitel 1.1 .7 - die zu einer Funktion f gehörenden Wer tepaare (x; y) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem darzustellen, siehe Abb. 2.1.7 . -

Jedes Paar (x;y) einer Funktion lässt sich durch einen Punkt P imx,y-Koordinatensystem veranschaulichen.

-

x und y heißen Koordin aten des Punktes P(x;y). Die erste Koordi nate (hier: x) heißt Abszisse, die 2. Koordinate (hier: y) heißt Ordinate .

-

Die Menge aller diese r Punkte liefert den Graphen von f (oder das Scha ubild von f).

(yJ

f(xJ

Wr

----

(xJ

o

x Abb. 2.1.7

Beispiel 2.1.8 (siehe Beispie l 2.1.3): Der Zeit-/Umsatz-Funktion U = U(t) von Beispiel 2.1.3 liegt folgende Wer tetabelle zugrunde: (UJ o t I 2 3 4 15

U

Dargestellt im (t, U)-Koordinatensystem erhalten wir den folgenden Funktionsgraphen (Abb. 2.1.9): Der Grap h von U(t) besteht aus sechs isolierten Pu nkten.

-- - 1' 0

10

I

0 0

r

I

01

2

(tJ 5

3 4

6

Abb. 2.1.9

Bemerkung 2.1.10: i) Die waagerechten Koordinatenachse bezeichnet man auch als A bszissenachse, die senkrechte Koo rdinatenachse als Ordinatenachse. Die durch die Koordinatenachsen abgeteilten Viertel der Ebene werden als Quadranten bezeichnet, siehe Abb. 2.1.11. ii) Die in der funktionalen Zuordnung y = f(x) vorkommende unabhän gige Variable (hier x) trägt man vereinbarungsgemäß grundsätzlich auf der A bszissenachse ab (und somit stets die abhängige Variable y, d.h. die Funkt ionswerte f(x), auf der Ordinatenachse) . Der an den Koo rdinatenachsen stehende Variablenname wird zweckmäßigerweise in Klammem gesetzt, der Graph der Funktion trägt den Funktionsnamen, z.B. f , siehe Abb. 2.1.12:

11.

Quadrant

I.

Quadrant

{abhängig e

votioblel

!fJ oder

(yJ

{Funktions-

wert}

111. Quadrant

t: y=f(xJ

2

Abszisse nachse

IV.

(xJ

Quadrant

Abb. 2.1.11

o Abb.2. 1. 12

2

3

{unabhängige variable)

iii) Die Abszissenwerte werden nach rechts hin größer, die Funkt ionswerte (= Ordinatenwerte) nach oben hin . DerAchsenschnittpunkt 0 heißt Ursprung des Koordina tensystems (sieheAbb. 2.1.12) .

2.1

83

Begriff und Darstellung von Funktionen

Bei der graphisch en Funktionsdarstellung ist es nicht unbedingt notwendig, auf beiden Koordinatenachsen denselben Maßstab zu verwenden: f: y = x+1

Beispiel 2.1.13 :

Abbildung 2.1 .14 zeigt drei Funktionssch aubilder mit verschiedenen Achsenmaßstäben:

tn

(t)

4

tx!

(x) 2

tx!

3

Abb.2.1.14 Alle drei Schaubild er stellen dieselbe Funktion f dar. H äufig ergibt sich ein geeigneter Achsenmaßstab durch die Zahlenwerte der auftretenden Dat en und die Forderung nach anschaulicher Darstellung. Zu beacht en ist allerdings, dass jede Wahl eines Maßst abes zu optischen Verzerrungen oder (ökonomischen) FeWinterpretationen führen kann , siehe Abb. 2.1 .14. Im folgenden sind die Graphen einiger häufig vorkommender Elementar-Funktionen aufgeführt: Beispiel 2.1.15:

B

i)

I y = x2 I ; XElR

ii)

;XElR

(Parabel)

x

3

x

2

fex)

3

fex)

4

(t) i)

ii)

tM =x 2

(x)

-1

-1

(x)

falls gleiche Achsen-

meßstabe: a =45" bzw. Steigung

=ton a = 1

2

84

2

I y = X31 ; x E IR (kubische Parabel)

iii)

Funktionen einer unabh ängigen Variablen

Iy= ~ I; xEIR \{O} (Hyperbel)

iv)

x

2

x

±4

f(x)

8

f(x)

- 4

un

+ J...

iv}

f(x}=x 3

±1

- 2

+ J...

±1

±2

- 2

(f)

(x)

v)

I y = VX I ; XEIRt

(Wurzelfunktion)

2

+J...

±2

~

-+ J... 4

±4 ...

tx!

(fJ

v)

x

9

f(x)

3

vi)

I y = e I ; x E IR X

o

2

4

vi) (Exponentialfunktion, siehe Kap. 2.3.4)

x

5

f(x)

148,4

(f)

vii)

3

I y = In x I ; xE IR+

fIx} = In x~ _ _- -

(Logarithmusfunktion, siehe Kap. 2.3.5)

x

10

f(x)

2,303

o

(x)

2.1

85

Begriff und Darstellung von Funkt ionen

Bemerkung 2.1.16: In vielen Fällen nützlich ist die folgende (nach dem Vorhergehenden eigentlich selbstverständlich e) Eigenschaft von Funktionspunkten:

(tJ

Yo

f y=t(xJ

Liegt ein Punkt P mit den Koordinaten (xo,Yo) auf dem Graphen der Funktion f mit der Funktionsgleichung y = f(x) , so genügen die Koordinaten (xo,Yo) dieses Punktes P der Gleichung: Yo = f(x o) (d.h. die Gleichung y = fex) wird beim Einsetzen von Yo (für y) und Xo (fü r x) wahr).

(xJ

Beispiel: Es sei bekannt, dass der Punkt P mit den Koordinaten (3,.7) auf dem Graphen der Funktion f mit y = [tx) = ax 2 + bx + c liegt (a, b, c sind reelle Konstanten) . Dann mu ss notwendigerweise die Gleichung: 9a + 3b + c = 7 wahr sein.

Die Eindeutigkeit einer funktionalen Darstellung lässt sich gut am Funkt ionsgraphen überprüfen: Eindeutigkeit einer Funktion f: y = f(x) besagt, dass es zu jedem x (E D f ) genau ein (d.h. nicht mehr und nicht weniger als ein) y (E W f ) als Funktionswert gibt.

(tJ ttx) (xl

o,

Graph isch bedeutet dies nicht s anderes, als dass es zu jedem xE D[ nur genau einen senkrecht darüb er (oder darunter) gelegenen Funktionspunkt geben darf, mit anderen Wort en, dass jede Senkrechte den Funktionsgraphen genau einmal schneiden muss (s. Abb . 2.1.17).

x Abb .2.1.17

(tJ

Abb . 2.1. 18

So gehört etwa der Graph in Abb. 2.1. 18 nicht zu einer Funktion: Zu unendlich vielen Werten x (E D f ) gehört mehr als ein zugeordneter Wert f(x) (im Beispiel bis zu 3 verschiedene Wert e !) .

(xJ Df

In Abb . 2.1.18 erkennt man dies daran, dass es (beliebig viele) Senkrechte innerhalb von D, gibt, die den Graphen mehr als einmal schneiden.

Bemerkung 2.1.19: A uch die nicht eindeutigen und dah er nicht zu Funktionen gehörenden Zuordnungen (wie etwa in Abb. 2.1.18 dargestellt) stellen eine Beziehung zwischen zwei Variablen her. Derartige (allgemeine) Zu ordnung en (bzw. ihre Paarm engen) heiß en Relationen. (Dah er nennt man eine Funktion auchfunktionale Relation.)

Aufgabe 2.1.20 : Gegeben sind die Graphen in Abb. 2.1.21a/b. Man ermittle die Fälle, in denen es sich um Funktionsgraphen ("zu jedem x aus Djgenau ~in fex) ") handelt. Der jeweilige Definit ionsbereich D[ ist durch die Au sdehnu ng des Graphen definiert.

(tJ

(tJ

(xJ Abb. 2. 1.210

(tJ

(xJ

(xJ

86

2 Funktionen einer unabhängigen Variablen (t)

(fJ

(t) o

ivl

o

vt

o o

Abb. 2.1.21b

0

o

(xl

o

-

~:

vi]

o

o

o

(x)

Aufgabe 2.1.22: i) Welche Paarmengen stellen eine Funk tion dar? a) {(1 ;1),(2;1),(3 ;1),(4;1)} ;

b) {(1;1),(2;3),(1 ;4),(2;5)}

~ ~

c)

ii) Man ermittle von den angegebenen Funktionen den maximalen Defin itionsbereich, eine Wertetabelle und skizziere den Graphen. 1 1 a) 1': f(x) = -2 xL 1 ; b) g: g(x) = -2x 2 + 25 ; c) h: h(x) = -2-- ; d) k: k(x) = V49 -x 2 . x - 49

iii) Welche der Punkte PI' ..., Ps gehören zu den Graph en der Funktionen 1', g, h, k der vorangegangenen Aufgabe ii) ?

PI =(7;0),

P 2=(0 ;7),

Ps =(4;7),

P 6 = (-4;7),

P3 = (-7 ;0),

P7 = (8 ; -V15),

P4 = (0 ;-7), Ps = (V15; -34) .

iv) Im Bäckerladen. Der kleine Philipp streckt die geschlossene Faust mit Kleingeld über den Tresen: " E in Brot , bitte. " Die Bäckersfrau entnimmt das Kleingeld mit der Bemerkung: "Mal sehen, was für ein Brot es sein soll." Welche Beziehung muss zwischen Brotpreisen und Brotsorten in diesem Fall bestehen ? Aufgabe 2.1.23: Gegeben sind folgende Funktionen f und g: 1': f(x) = 2x 2 +

X-

4

g: g(t) =

VtZ=16

i) Man ermittle jeweils den maximalen Definitionsbereich von f und g (siehe Bem. 2.1.5) . ii) Man ermittle für jeden der nachstehend aufgeführten Ausdrücke das entsprechende Wertepaar (Beispiel: zuf(ab) gehörtdas Paar: (x;f) = (ab ;2(abF+ab-4) usw.) (x i f) und (t ;g):

1'(2) , 1'(-4) , g(-2) , g(4) , g(x) , f(-t) , g(2t) , f(~), g(x+i1x), g(t-4) , f(xL4) , g(Vx 2 + 16 ) , f(xo+h), f(2x 2+x-4) .

Aufgabe 2.1.24:

Gegeben seien 9 (zunächst leere) Gefäße A bis I, siehe Skizze:

2.1

87

Begriff und Darstellung von Funktionen Jedes Gefäß wird nun kontinuierlich mit Wasser befüllt, die Zuströmgeschwindigkeit des Wassers sei stets konstant. Der Füllvorgang beginne jeweils bei einer Füllhöhe h = 0 im Zeitpunkt t = O. Zu jedem Zeitpunkt t (~O) ergibt sich somit genau eine Füllhöhe h, d.h, die Füllhöhe h(t) ist eine Funktion h der Zeit t (~ 0).

r==i I h

10 derartige "Füllfunktionen" h: t ~ h(t) sind graphisch dargestellt: (Dabei sind nur solche Zeiten t berücksichtigt, die vor dem Überlaufen des jeweiligen Gefäßes liegen.)

5

Welche Füllfunktion gehört zu welchem Gefäß?

2.1.3

Abschnittsweise definierte Funktionen

Häufig ist es nicht möglich, eine Funk tion f in ihrem gesamten Definitionsbereich D, durch einen einzigen, geschlossenen Funktionsterm darzustellen. Vielmehr kann zu jedem einzelnen Abschnitt ihres Definitionsbereiches jeweils ein anderer Funktionsterm gehören, man spricht von abschnittsweise definierten Funktionen.

Beispiel 2.1.25:

€

i) ("Porto/unktion ") Die Funktion k mit

k(x)

=

1

0,55 1,00 1,44 2,20

O<x$ 20 fiir fiir 20 < x s 50 für 50 < x s 500 für 500 < x s 1000

beschreibt die Briefportokosten k (in € ) inAbhängigkeit vom Briefgewicht x (in g), s. Abb. 2.1.26 (zulässige Maße vorausgesetzt).

(k)

2,20 1,44

1,00

-

Portotunktion

H

0,55 0

(x)

.. 100

500g

Abb.2.1.26

(K) ii) Die Funktion K mit (x: Output)

K(x)

=

1

300

0$ x s 100 10+ x fiir 60 + 0,50x für 100 < x s 500 185 + 0,25x für 500 < x

könnte eine Gesamtkostenfunktion beschreiben, die abschnittsweise konstante degressive variable Kosten besitzt, siehe Abb. 2.1.27 .

Abb. 2. 1.27

110

(x)

10

100

500

2 Funktionen einer unabhängigen Variablen

88

iii) Der folgende Text gibt auszugsweise den §32a des Einkommensteuergesetzes (EStG) (ab Veran-

lagungszeitraum2005) wieder: ,, §32a Einkommensteuertarif (1) Die tarifliche Einkommensteuer bemisst sich nach dem zu versteuernden Einkommen. Sie beträgt ... jeweils in Euro für zu versteuernde Einkommen 1. 2. 3. 4.

bis 7 664 Euro von 7665 Euro von 12 740 Euro von 52 152 Euro

(Grundfreibetrag) : bis 12 739 Eur o: bis 52 151 Euro: an:

0; (883,74' Y+ 1500) 'Y ; (228,74 ' z + 2 397) . z + 989 ; 0,42' x - 7 914;

"y" ist ein Zehntausendste! des 7 664 Euro übersteigenden Teils des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. "z" ist ein Zehntausendste! des 12739 Euro übersteigenden Teils des auf einen voll en Euro -Betrag abgerundeten zu ver steuernden Einkommens. "x" ist das auf einen vollen Euro Betrag abgerundete zu versteuernde Einkommen. Der sich ergebende Steuerbetrag ist auf den nächsten vollen Euro-Betrag abzurunden."

Die sich daraus ergebende Einkommensteuerfunktion S [SeE): Einkommensteuer (in € I Jahr) in Abhängigkeit von E : = zu versteuerndes (abgerundetes) Einkommen (in € /Jahr) 1ist eine abschnittsweise definierte Funktion: In jedem der Bereiche 0 :5 E :5 7.664; 7.664 < E :5 12.739 ; 12.739 < E :5 52.151; E > 52.151 wird S durch einen anderen Funktionsterm beschrieben (siehe EStG-Text sowie Abb . 2.1.28)

(5/ 20

Steuerschuld in T€

Einkommensfeuerfunkfion 2005

10

2

(E/ 7,7 12,7

52,2

Abb 2.1.28

Einkommen in T€

Bemerkung 2.1.29: Wie an den vorangehenden dreiBeispielen erkennbar ist, kann es an denNahtstellen derDefinitionsbereiche zu eigenartigem Verhalten derentsprechenden abschnittsweise definierten Funktion komm en, z.B. in Form von" Unstetigkeiten(( wie in Beispiel 2.1.25 i) (siehe Kap. 4.4) oder in Form von " Ecken (( wiein Beispiel 2.1.25 ii) (siehe Kap. 6.4.5) .

2.1

Begriff und Darstellung von Funktionen

89

Aufgabe 2.1.30: Man ermittle anhand von §32a des Einkommensteuergesetzes (siehe Beispiel 2.1.25 iii) die Einkommensteuer S(E) bei einem jährlich zu versteuernden Einkommen E von: i)

ii)

7.670 ,95 €

Aufgabe 2.1.31:

7.671,00 €

iv) 12.740,00 € viii) 500.000,00 €

ManskizzierediefolgendeFunktion fimIntervall [ -3;5]: x2 -

fex) =

1 für x s 0

2; -1

1 -

x

2.1.4

12.739,99 €

vii) 50.000,00 €

iii)

vi) 49.999,99 €

v) 12.741,98 €

für O < x ~2

+ 3 für x > 2

Umkehrfunktionen

Für ein Gut existiere auf dem Markt die folgende Nachfragefunktion f: Xt-7p = f(x) : (2.1.32)

1

p= f(x)=-2"x+5; D f = [ 0; 10 ] ,

(x: nachgefragteMenge (inME); p: Preis (in GE /ME» ;

Wf = [ 0; 5] .

Durch die funktionale Zuordnung f: x t-7 p = gehöriger Marktpreis p zugeordnet.

~ x + 5 wird jeder Menge x (aus D f) genau ein zu-

So ist etwa einer nachgefragten Menge von 4 ME ein Marktpreis von 3 GE /ME zugeordnet, s. Abb. 2.1.33. Andererseits ist es häufig so, dass die umgekehrte Zuordnung von Interess e ist:

GE ME

Gegeben sei ein Marktpreis p, gesucht ist die zugehörige nachgefragte Menge x. Offensichtlich handelt es sich dabei um die "umgekehrt e" Zuordnung p t-7x:

T:

Um etwa die zum Preis p = 1 zugehörige nachgefragte Menge zu erhalten, gelangt man in Abb . 2.1.33 vom entsprechenden Ordinatenwert p = 1 (GE/ME) "rückwärts" auf eindeutige Weise zum zugehörigen Abszissenwert x = 8 (ME) . Die entsprechendeinverseZuordnungsvorschrift g: pt-7x(p) (in Gleichungsfonn) erhält man aus der ursprünglichen Funktionsgleichung (2.1.32)

1

f: p = -2"x+5 ;

(p)

Wf

1

1-o- +

(x)

---+---+-+--+--+----+--+--!-+--""(--

4

1-

8

10 ME •

1

Abb .2.1.33

D f=[0; 10] ; Wf=[0 ;5],

indem man diese Gleichung nach x umstellt: (2.1.34)

g: x

=

-2p + 10

An diesem Beispiel erkennt man: Damit eine Funkt ion f: x t-7 y = fex) umkehrbar (invertierbar) ist, ist es notwendig, dass zu jedem Funktionswert y (E W f ) genauein Wert x (E D f ) der unabhängigen Variablen existiert: Die inverseZuordnung g: y t-7X = g(y) muss wieder eindeutig sein.

90

2 Funktionen einer unabhängigen Variablen

Bemerkung 2.1.35: Dass dies nicht selbstverständlich ist, zeigt das f olgende Beispi el der aus (2.1.32) ab-

GE , (E)

gdeftewn»Erlö'1unktion ~

E (x)

= x'

p(x)

= - -2I

x 2 + 5x

8

So gibt es etwa zum Erlös 8 GE sowohl die Menge 2 als auch die Menge 8 als zugeordnete Werte, siehe Abb. 2.1.36. Die Zuordnung E t--+ X ist nicht eindeutig, also keine Funktion (wohl aber eine Relation, siehe Bemerkung 2.1.19) .

+----1!------~

(x)

o

2

8

10 ME

Abb .2.1.36

Zusammenfassend erhalten wir: Def.2.1.37: (Umkehrfunktion) E ine Funktion f: x i-o y = fex) mit x e D j ; yEWf heißt (eindeuti g) umkehrbar(odereineindeutig), wenn es zujedem y (E W f ) genau ein x (E D f ) gibt. Die Zuordnung g: y --e x = g(y) ; yEWf (= D g) heißt Umkehrfunktion oder inverse Funktion zu f ,f invers") bezeichnet) . (und wird dah er auch häufig mit f -1 G

Bemerkung 2.1.38: i) Ist das Schaubild einer Funktion f gegeben, so lässt sich die Frage na ch der Um k ehrbarkeit von f leicht entscheiden: f ist umkehrbar, wenn jede Waagerechte (innerhalb Wf ) den Funktionsgraph en genau einmal schneidet, sieheAbb. 2.1.39. (f)

(f)

Abb. 2.1.39

(x)

a J f ist umkehrbar (dh. ( -1 existiert)

b J f ist nicht umkehrbar (Negativ fo rmuliert: f besitzt eine Umk ehrfunktion tionsgraphen von f mehr als einm al schneidet.)

( ( -1 existiert nicht )

r'. wenn es keine Waagerechte gibt, die den Funk-

ii) Um aus der Funk tionsgleichung y =f ex) die Gleichung x = g(y) der Umk ehrf unk tion zu erhalten, löst man die ursprüngliche Funktionsgleichung y = f ex) nach der unabhängigen Variablen (hier x) auf. Ist diese Aufl ösung eindeutig m öglich, so handelt es sich bei x = g(y) um die Gleichung derzu f gehörigen Umk ehrfunktion.

2.1

91

Begriff und Da rstellung von Funktionen

Beispiele: a)

I

/: y

= fex) =

2x- 4

~

y (x- l) = 2x - 4 yx- 2x =y-4 x

~

~

-4 = Yy -2 = g(y)

;

I I

Df = IR \ { 1 } wf=IR \ {2 }

1

I

1

I

yx - y = 2x - 4 x (y - 2) = y-4

I - j- - - - - -

- - - -

I F~

11

; Dg=wf ; Wg=Df

o

(Gleichung der Umk ehrfunktion zu / , sieheAbb.2.1.40).

!

(x)

Abb.2.1.40 (y)

b)

Die schon am Graph en (s. Abb. 2.1.41) erkenn bare Mehrdeutigkeit der inversen Zu ordnung drückt sich in der Mehrdeutigkeit derAu/lösung nach x aus: ..!....x 2 = y-1 ~ x 2 =2y -2

Abb.2.1.41

2

~

(x)

x= V2y-2 v x=-V2y-2 (zwei mögliche inverse Zu ordnungen).

-3

3

Also besitzt / k eine Umk ehrfunktion . Etwas anderes ergäbe sich dann , wenn man zuvor den Definitionsbereich von / nur auf nichtnegative x-Werte (Df = IRt) beschränkt. Dann gibt es bei der Um{1rmung auch nur die po sitive L ösung x = V2y - 2 , die Um kehrung wäre eindeutig und g: y t--+ X = 2y - 2 ; Dg = {yE IR y :::: 1} = Wj ' die Gleichung der Umk ehr/unk tion g zu f.

I

iii) Gelegentlich schreibt man die zusammengehörigen Terme von Funktion und Umk ehrfunktion auch in der (nicht ganz ko rrekten, aber sinnv ollen) Schreibweise:

f:

y

= y(x)

[Funktion]

Beispiel: (siehe (2.1.32), (2.1.34))

~

/- 1: x 1

= x(y)

p (x) = -Tx+5

~

[Umkehr/unktion]. x (p) = -2p+10.

Weiterhin erkennt man, dass die nochm alige Umk ehrung der Um kehrfunk tion wieder zur ursprüngli-

I / -1(/-1)

chen Funktion / führt :

= /

I

(Die Inverse der Inversen ist die Ausgangs/unktion) .

Bei der graphi sch en Darstellung der Umkehrfunktion f -1 zu f beachte man, dass vereinbarungsgemäß stets die unabhängige Variable auf der Abszisseabgetragen wird (sieh e Bem erkung 2.1.10 ii)). Nun vertauschen bei der Bildung der Umkehrfunktion die Variablen gerad e ihre Rollen : aus der abh än gigen Variabl en y in y = f(x) wird die unabhängige Variable y in x = g(y) (und umgekehrt). f:

Beispiel: ~

f -1:

y =

I

2" x

+ 1

x = 2y-2

x: unabhängig e Vari abl e y: abh ängi ge Variable

y: unabh ängige Variabl e x: abhängige Variabl e

Zwar sind die zugeordneten W ert e von x und y in beiden Fällen gleich (so gehört etwa x = 4 zu Y = 3 und y = 3 zu x = 4 usw.), aber die graphi sch e Darstellung ände rt sich wegen der o.a, Konventi on, siehe Bem . 2.1.10 ii).

92

2 Funktionen einer unabhängigen Variablen

Wenn wir beacht en, dass nach dieser Konventi on dem Punkt (x , y) = (4 ; 3) von f der Pun kt (y, x) = (3 ; 4) von f -1 entspricht, so erkennen wir, dass beide Punkte offenbar durch Vertauschen von x und y ent steh en (Abb. 2.1.42).

(xi (y) .

1(-1

____ ___!0:

4

3 +--

Ein Vertauschen der Koordinaten x und y bewirkt dens elben Effekt wie eine Spiegelung des Graphen von f incl. der Koordin atenachsen an der Winkelhalbierenden des ersten und dritt en Quadranten; siehe Abb. 2.1.42 .

. I I

I

-

-

/

/

.

(

-

I

3

/

Abb.2.1.42

Zusammenfassend erhalten wir

Satz 2.1.43: Wird die unabhängige Variable stets auf der Abszisse abgetragen, so gehen die Graph en der Funktion f und ihrer Umkehrfunktion f - 1 durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. und 111. Quadranten auseinander hervor (dabei werden die Koordinat enachsen (incl. der zugehörigen Maß einheiten!) ebenfalls gespiegelt) .

(xi

Bemerkung 2.1.44: Was in Satz 2.1.43 f ür Funktionen gesagt ist, gilt allgemein f ür beliebige (auch nicht eindeutige) Relationen R und ihre Umkehrrelationen R- l, siehe z.B . Abb. 2.1.45:

/

Abb.2.1.45

/

Beispiel 2.1.46: f: y

=

41 x 2

; X

ix !

~ 0; y ~ 0

(y)

[Funktion]

' / ,,- \

./

' I \.. . . .

4

2VY ; Y ~ 0; x ~ 0

/

/

/ /

[inverse Funktion] , Abb. 2.1.47

/

(yi

........ . ...... ""."/,

"

...... ./

/

1/

siehe Abb . 2.1.47:

,

(y)

(-1

f-1 : x =

/

/

(x)

/

(x) 4

(yi

Bemerkung 2.1.48: Inmanchen Büchern wird empfoh len, die Umkehrfunktion zu y = f(x) dadurch zu ermitteln, dass man zunächst die Variablen vertauscht: x = f (y), und anschließend na ch y auflöst: y = g (x) = f - 1 (x) . Selbstverständlich handelt es sich bei dieser Darstellung ebenf alls um die Gleichung der Umkehrfunk tion. Allerdings hab en die Variablen ihre N am en getauscht. Bei ökonomischen Funktionen stehen die

2.1

93

Begriff und Darstellung von Funktionen

Variablennamen stellvertretend für ökonomische Größen} z.B. x für Menge} p für Preis usw. Würde man bei Bildung der Umkehrfunktion diese Variablennamen vertauschen} so ginge die Zuordnung von Variablennamen zu ökonomischen Größen verloren} mehr no ch} es käme zu Missverständnissen in der ökonomischen Deutung der Funktion: Beispiel: (siehe (2.1.32))

(2.1.49)

p(x)

=

in der Nachfragefunktion p mit

1

-Tx+5

bedeuten

p: Preis ; x: Menge .

Nach dem eben skizzierten} häufig anzutreffenden Vorgehen zur Bildung der Umkehrfunktion vertauscht man zunächst die Variablen: 1

x=-TP+5 und löst diese Gleichung nach p auf (vgl. dazu (2.1.34)):

(2.1.50)

p =-2x+10 .

Zwar hat man auf diese Weise erreicht) dass die unabhängige Variable stets x heißt (und somit eine Umorientierung des Koordinatensystems gemäß der Konvention nicht erforderlich ist), allerdings bedeuten in (2.1.50) p eine Mengengröße und x eine Preisgroße, entgegen allen ökonomischen Kon ventionen. Um derartige Missverständnisse zu vermeiden} achte man darauf, dass bei Umformung ökonomischer Gleichungen und Funktionen die Variablen stets ihre unveränderte Bedeutung behalten.

Aufgabe 2.1.51: i) Welche der in Aufgabe 2.1.20 dargestellten Graphen besitzen als Umkehrung eine Funktion? ii) Von folgenden Funktionen gebe man den Definitionsbereich sowie die Gleichungen der Umkehrzuordnungen an. Handelt es sich um Umkehrfunktionen ?

Man skizziere jeweils f sowie die inverse Funktion f - 1 bzw. die inverse Relation R -1 a) f: f(x) =

XL

1

d) f: f(x) = ~

2v2 - 3 c) f: f(v) = - v +l

5z - 8

b) f: f(z) = - 6z +7

e)

f: f(x) =

1

-2 X

.

(xl

iii) Gegeben sei der Graph (siehe Abb . 2.1.52) einer ertragsgesetzlichen Produktionsfunktion X = x(r) (x: Output (MEx); r: Input (ME r

».

Man skizziere die zugehörige Umkehrfunktion r: x I-? r(x) im gleichen Koordinatensystem .

(rl

o

Input

Abb.2.1.52

Aufgabe 2.1.53: Man skizziere die nebenstehende Funktion f und gebe im gleichen Koordinatensystem den Graphen der Umkehrfunktion (bzw. Umkehrrelation) an.

.

1 x

y"

I(x) =

1

für - 3 s x s -1

x

fur-l <x ~

x2

für

0< x s 2

4

flir

2 <x ~

0 3

94

2 Funkt ionen einer unabhängigen Variablen

Aufgabe 2.1.54: Vier Funkt ionen sind durch ihre (unt en stehenden) Funktionsgleichungen gegeben. Man ermitt le von jeder dieser Funkt ionen a) den (maximalen) Definitionsbereich (sieheBem. 2.1.5) , b) die Gleichung der Umkehrfunktion (bzw. Umkehrrelation}, c) den (maximalen) Definitionsbereich der Umkehrfunktion (bzw. Umkehrrelation}, d) den Graph en von Funkt ion und Umkehrung: i) iii)

2.1.5

6V 3r -120

ii)

p = p(x) = 10 e- O, l x

t = t(x) = 0,25x 2 + 2

iv)

(k) = 5k1° =1O

x = x(r) =

°

k -]

Implizite Funktionen

Die bisher betrachteten Funktionsgleichungen ließen stets erkennen, welches die unabhängige und welches die abhängige Variable war, da die Gleichungen stets nach einer der Variablen aufgelöst waren: 3+5 . P = -.lu 2 '

Y = -x+5 ,.

r = s2- 4

usw.

In einer derartigen Darstellung y = f(x) heißt f explizite (entwickelte) Funktion von x, E benso ist eine funktionale Zuordnungsvorschrift denkbar, in der nicht nach einer Variablen aufgelöst ist, z.B. 2y + x -10 = 0 Daraus könnte man dann durch Umformung ]

y = - - x+5

oder

x = - 2y + 10

gewinnen.

2

Liegt allgemein die funktionale Zuordnung in der zuletzt beschriebenen Form vor, d.h. F(x, y) = 0, so nennt man die zugrundeliegende Zuordnung implizite (verwickelte) Funktion . Beispiel 2.1.56: i)

F(x, y) = 2x + 3y - 5 = 0

(x, Y E JR) ;

ii)

h(u, v)=u L v2+1=0

(u,v ~O) ;

iii)

g(p, x) =

VP- x

2

+ 36

= 0

(p, x ~ 0) .

In einer impliziten Funktion ist die Unt erscheidung von abhängiger und unabh ängiger Variablen zunächst nicht möglich oder sinnvoll. Erst durch Darstellung in der nach einer Variablen aufgelösten Form oder durch willkürliche Angabe ist diese Unt erscheidung möglich. Nicht alle implizit gegebenen Funkt ionen F(x, y) = 0 lassen indes eine explizite Darstellung in Form eines geschlossenen Funktionsausdrucks (etwa y=y(x»zu: Beispiel 2.1.57 :

F:

F(x, y) = 2X 2y4 - x 6y3 + y5-16 = 0

(x,y > 0)

Diese implizit definiert e Funktion F ist explizit weder nach x noch nach y auflösbar. Wohl ist eine Darstellung in Form einer Wertetabelle oder eines Graphen mit Hilfe von Näherungsverfahren möglich (z.B. Vorwahl von x und näherungsweise Gleichungslosung bzgl. y). Aufgabe 2.1.58: Man ermittle aus den in Beispiel 2.1.56 implizit gegebenen Funkti onen jeweils die beiden expliziten Funktionsgleichungen.

2.1

Begriff und Darstellung von Funktionen

95

2.1.6 Verkettete Funktionen Funktionen h, k mit Funktionsgleichungen wie z.B. i)

h(x) =

VX4+1,

XEIR ;

ii)

k(x) = (XL 1? 0 ; XEIR

kann man sich entsta nden denk en durch Hintereinanderausfiihrung zweier (element arer) Funktionen, wob ei an die Stelle der unabh ängigen Variablen einer Funktion der komplette Funktions term der anderen Funktion tritt: zu i): mit f(x) = x4 + 1 und g(f) = ergibt sich:

VT

= Vf(x) = V0+1 = h(x) .

(2.1.5 9)

g(f(x»

zu ii):

mit f(x) = x 2 - 1 und g(f) = 1'20 ergibt sich:

(2.1.60)

g(f(x»

= f(x)20 = (x2 - 1)2° = k(x) .

Man bezeichnet die dur ch Einsetzen von f in g entstandene neue Funkt ion g(f(x)) als die aus f und g zusammengesetzte, mittelbare oder verkettete Funktion. In g(f(x» (d.h. erst 1', dann g bzw. g nach 1') heißt f die innere und g die äußere Funktion. Wie das folgende Beispiel zeigt, ist die Reihenfolge der Verkettung von Bedeutung. Beispiel 2.1.61: Seien die beiden Funktionen 1', g mit f(x) = x4 + 1 und g(x) = ~ vorgegeben (s.o. unter i» . i)

Setztman f in g ein.so erhält man (siehe 2.1.59): g(f(x» = Vf(x) =

ii)

Setzt man umgekehrt g in f ein, so erhält man: f(g(x» = g(X)4 + 1 = ( ~)4 + 1 = x 2 + 1 ,

d.h. im allgemeinen gilt:

g(f(x»

=1=

VX4+T.

(2.1.62)

f(g(x»

Bem erkung 2.1.63: Damit eine Verkettung g(f(x)) zweier Funktionen f, g möglich ist, müssen die Werte der inneren Funkti on f zumindest teilweise im Def initionsbereich der äußeren Funktion g liegen, die Bildung von g(f(x) ) ist somit nur dann möglich, wenn Wj nDg =1= ( ) . Beispiel:

h (x)

= Vx 2 -

9

mit f(x)

= x2 -

9 , XEIR und g(f)

= VI,

Dg

= IR;.

Wertebereich von f ist [- 9, oo[ , der Def initionsbereich Dg der äußeren Funktion g aber nur IR;. Damit gilt für den Definitionsbereich derverketteten Funktion h:

D" = (x I x 2 - 9 ~ 0 ) .

Beispiel:

h(x)

= V-x2 -1

mit f(x)

= - x 2 -1

und g(f)

= VI .

Der Wertebereich Wj ist [-00, -lJ , der Def initionsbereich Dg ist IR; , so dass Wj und Dg kein gemeinsames Element besitzen: h = g(f(x) ) ist keine Funktion, da D" = ( ) . Besitzt eine Funktion f eine Umkehrfunktion f - 1 , so ist die Verkettung von f und f - 1 unabhängig von der Reihenfolge : Au s der Beziehung y (2.1. 64)

i)

= f(x)

I

<=}

x

= 1'-1 (y)

f(f - 1 (y)) = y

I

folgt durch Einsetzen:

ii)

I f - 1(f(x)) = x I .

96

2

Beispiel2.1.65:

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Wie man durch Gleichungslösung feststellt, sind fund f -1 mit y = fex) = xL 1

und

x = f-\y) =

3

VY+1

Umkehrfunkt ionen zueinander. Durch Einsetzen (bzw. Hi ntereinanderausführen) erhält man: 3

3

3

i)

fW\y)) = f( yy+T )= (yy:;:T) -1 = y+1-1 = y

ii)

f- 1(f(x)) = f -l(xL1) =

3

3

VxL 1 + 1 = Vi3 = x

.

An diesem Beispiel wird noch einmal deutlich, dass die Anwendung der Umkehrfunktion f -1 auf f die ursprüngliche Funkti onszuordnung f "rückgängig" macht. Man kann auch mehrals zwei Funkti onen durch H intereinanderausführen miteinander verketten: Seien die Funktionen f, g, hund k gegeben durch die Funktionsgleichungen

Beispiel 2.1.66:

7

fex) = x 2+ 1 ;

Vi" ;

g(x) =

hex) = 2x+ 3

4x + 1 k(x) = 3x _ 5

S

(x =1= 13) .

Dann erhält man durch Verkettung z.B.: 7

k(h(g(f(x)))) =

4 (2

3 (2

v;r+l + 3) + I

7

v;r+l + 3) -

'

D = lR .

5

Aufgabe 2.1.67: Gegeben seien die Funktionen f, g, hund k mit den Gleichungen: fex) = Vi" ; g(x) =..1 ; hex) = x2 + 8x - 9 ; k(x) = x IS . x

Man ermittle die Funkti onstenn e und Definitionsbereiche zu folgenden Verkettungen:

i) f(g(x))

ii)

g(f(x))

iii)

g(h(x))

iv) h(g(x))

v)

k(f(g(x)))

h(k(f(x)))

vi)

Aufgabe 2.1.68: Gegeben sind die folgenden zusammengesetzten Funkti onsgleichungen: i)

hex) = 4

3

VT=X7

ii)

hex) = 5(6xL 8x2+x-4) 2009

iii)

hex) = (

VxL

1

)22 .

? -10

Man zerlege jeweils h in innere und äußere Funktionsterme, deren Verkettung wiederum die gegebene Funkt ion h liefert.

Aufgabe 2.1.69: Bei welchen Funkt ions-Paaren ist die Reihenfolge der Verkettung egal? i) fex) = x7

2.2

ii)

g(x) = x20

7

iii)

hex) =

Vi"

iv) k(x) = 14x

v)

p(x) = -7x .

Eigenschaften von Funktionen

In den folgenden Abschnitten wollen wir einige wichtige Eigenschaften von Funktionen behandeln und graphisch veranschaulichen.

2.2.1

Beschränkte Funktionen

Es kann vorkommen, dass die Funktionswerte fex) einer Funktion f nie über einen festen Wert hinausgehen oder unter einen festen Wert absinken:

2.2

97

Eigenschaften von Funkt ionen

Def.2.2.1:

(Beschränkte Funktionen)

f sei eine Funkti on mit dem Definitionsbereich D f • Dann heißt f nach oben beschränkt, falls es eine reelle Zahl k (EIR) gibt, so dass für alle x (E D f ) gilt: f(x) :'> k. Analog heißt f nach unten beschränkt, falls es ein k (E IR) gibt mit f(x)

~

k für alle x (E D f ) .

Beispiel 2.2.2: i)

f(x) = -x 2 + 4

1.1')

g( x)

1 X2 =2 (g)

(x)

f übersteigt z.B. nie den Wert k = 5, f(x) s 5, also ist f nach oben beschränkt.

Def, 2.2.5:

Da stets gilt: g(x) schränkt.

~

0, ist g nach unten be-

E ine Funktion f in D, heißt beschränkt, wenn f sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.

Beispiel 2.2.6:

Nach Abb. 2.2.7 gilt für f stets:

f(x) :'> 1 und f(x)

~

0, also ist f beschränkt.

Abb.2.2.7

2.2.2 Monotone Funktionen Besonders wichtig ist der Fall, dass eine Funktion f mit zunehmenden A rgumentenwerten selbst stets zunimm t (oder abnimmt). Derartige Funktionen heißen (streng) monoton steigend (oder fallend) . Def. 2.2.8: i) Die Fun ktion f heiß t in einem Int ervall I (C D f ) streng monoton steigend, wenn für alle Argum entenwerte XI ' x 2 E I mit x 2 > xl stets gilt: f(x2 ) > f(x l). ii) f heißt in I streng monoton fallend, wenn für alle xl' x2 f(x2 ) < f(x l) ·

E

I mit

X2

> xl stets gilt:

2

98 Beispiel 2.2.9:

Funktionen einer unabhängigen Variablen

f: y=f(x)= x3 , x E IR (siehe Abb . 2.2.10)

f

f ist in D, streng monot on steigend. X2 > Xl

f(X2) > f(x l) .

~

(xl Abb.2.2.10

f: f(x) = x 2, xEIR (siehe Abb. 2.2.12)

Beispiel 2.2.11:

Links vom Ursprung ist f strengmonoton fallend , rechts vom Ursprung ist f streng monoton steigend. In jedem offenen Intervall, das den Nullpunkt enthält, ist f nicht monot on. (Das Symbol t oder ~ am Funktionsnamen in Abb . 2.2.12 soll die Richtung der Monotonie andeuten.)

txt o Abb. 2.2. 12

Bemerkung 2.2.13: i) Bei zahlreichen ökonomischen Funk tionen, wie etwa Konsumfunktion. Preis/ Absatz-Funkti on, neoklassische Produktionsfunktion. Gesamtkostenfun ktion u.v.a. wird Monotoniebeobachtet oder aufgrund von Verhaltenshyp othesen postuliert. ii) Nimmt eine Funktion f in einem Intervall 1 f ür wachsende A rgumentwerte nicht ab (zu), so heißt f in 1 monoton steigend (fallend). Bei dieser (gemilderten) Monotoniedefinition ist es also zugelassen, dass f in 1 stückweise konstant ist (siehe A bb. 2.2.14): (fJ

(fJ

Abb.2.2.14

o

(xl

f ist monot on steigend, nicht aber streng monoton steigend: f(x2) 2: f(x l) , falls x2 > Xl .

Strengmonotone Fun ktionen nehmen offenbar jeden Funktionswert f (E Wf ) genaueinmal an. Daher muss es in diesem Fall zu jedem Fun ktionswert fex) genau einen Wert X der unabhängigen Variablen geben, mit andere n Worten, f ist eindeutigumkehrbar (siehe Abb. 2.2.15).

o

{x!

f ist monoton fallend, nicht aber streng monot on fallend : f(x2) s f(x l) , falls x 2 > xl .

2.2

99

Eigenschaften von Funktionen

Satz 2.2.16:

Es sei f eine streng monotone Funktion in D f • Dann existiert zu f die Umkehrfunktion f - I mit D f - I = W f •

Bemerkung 2.2.17: Aus Def. 2.2.8 folgt unmitt elbar, dass die Umkehrfunktion einer streng monoton steigenden (fallenden) Funktion selbst wieder streng m onoton steigend (fallend) ist.

Beispiel 2.2.18:

I

Die Funktion f: y =

~

x 2 ist für x 2: 0 streng monoton steigend (siehe auch Beispiel

2~~: 11). _Daher eXis~iert :u f die Umkehrfunktion: f

. x - 2

vy

rmt y - 0, (s. Abb . 2.1.47) . Auch

r'

ist streng monoton steigend !

2.2.3 Symmetrische Funktionen Def, 2.2.19: Ein e Funktion f heißt achsensymmetrisch zur Spiegelachse x = a, wenn für alle x (E D f ) gilt (mit a = const.): f(a-x) = f(a+ x)

(f)

(s. Abb . 2.2.20).

Gilt für eineachsensymmetrische Funktion insbesondere a = 0, so folgt für alle x (E Dj): f(-x) = f(x)

.

o

In diesem Falle heißt die Funktion gerade . (Spiegelachse ist die Ordinatenachse.)

G- X

G

Abb.2.2.20

Beispiel 2.2.21: f: y = x 2n (nE IN) ist eine gerade Funktion, denn es gilt: f(-x)

G+ X

I

tt-«!

= (_x)2n = x 2n = f(x)

, tt! I

fix) =x 2n

= ttx)

(siehe Abb. 2.2.22): (x)

Abb .2.2.22

-x Def, 2.2.23: Eine Funktion f heißt ungerade in D f , falls für alle x (E D f ) gilt: f(-x) = -f(x). Ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Beispiel 2.2.24: Es gilt: f(-x)

x (f) itx)

-x

f: f(x) = x3 , XElR:

(x)

x

= (-x}3 = -x 3 = -f(x) , tt-x!

also ist fungerade (s. Abb. 2.2.25) . Aufgabe 2.2.26: Man untersuche die Funkti onen f auf Symmetrie: i)

f: f(x)

f

= x6 +x 2+1

;

ii)

f: f(x)

3

= xLx

2 ;

iii)

f: f(x)

= (X-4)2+2

Abb. 2.2.25

100

2

Funk tionen einer unab hängigen Variablen

2.2.4 N u lls tell en von F u nktionen Besond ers wichtig sind diejenigen Argumentwerte xi einer Funktion, für die sich der Funk tionswert Null ergibt. Diese Argumentwerte xi heißen Nullstellen der betreffenden Funktion.

(t)

(x )

Graphisch betrachtet handel t es sich bei den Nullstellen einer Funktion f um die Schnitts tellen xl' X2' ... des Funktionsgraphen von f mit der (waagerechten) Abszissenachse, s. Abb. 2.2.27. Def. 2.2.28: Unter den Nullstellen

~

Um die Nullstell en der Funktion f: y Gleichung bzgl. x.

Abb . 2.2.27

der Funktion f in D, versteht man die Argumente xi mit f(xi) = O.

= f(x)

zu ermitteln, setzt man f(x)

=0

und löst die entstandene

Beispiel 2.2.29: i)

f: y

ii)

h: u

iii)

iv)

= 2x - 6 hat die Nulls telle XI = 3 . = v2 - V - 6 hat die Nullst ellen vI = 3

f: y = 3x(x -

4)(x + S)(xL49)(x2 + 36)

; v2 = - 2 . hat die Nullstellen XI

x,

y -1

= 0 ; x2 = 4 ; x3 = -S

= 7 ; Xs = - 7 .

g: k = - 2-; ys R \ { - 1; 1} y - 1

hat keine Nu llstellen, da die Gleichung k(y) = 0 keine Lösungen hat (denn für y nicht defin iert).

=1

ist k

Näheres über die Nullstellen spezieller Funktionen findet sich in Kapitel 2.3 . Aufgabe 2.2.30: Man ermittle Definitionsbereich und Nullstellen der Funktionen, die durch die folgenden Funktionsgleichungen definiert sind: 4 6x2 - 20 i) f(x) = 2: ; ii) g(z) = - z2+ z + 6 iv) k(x) = 2 iii) h(a) = Va L4 ; 5x - 45 x v) u(y)

=

9 _ y2 2y+6 ; vi)

B(t)

= 100 · e- t

vii) f(x)

=

!,'-,

2~ - 4

für

x :SO 0< x s 3

-

für

x> 3

x

+1

für

Wei tere wichtige Eigenschaften von Funktionen wie etwa Stetigkeit, Steigungsverhalten, Krümmungsverhalten werden in den Kapiteln 4, Sund 6 behandelt.

2.3 Elemen tar e T ypen von F u n ktionen Im folgenden sollen die wichtigsten Typen der bei ökonomischen Fragestellungen verwendet en Funktionen dargestellt werden.

2.3.1 Ga n zra tionale Funktionen (Polynome) Zu den wichtigsten Funktionstypen gehören die Funktionen, deren Terme durch additive Kombination von Potenzen des Typs a x", nE JN0' a ElR, entstehen.

2.3

101

E lementare Typen von Fun ktionen

2.3.1.1 Grundbegriffe, Homer-Schema Def.2.3.1: D ie Funktion f in D, = lR mit der Gleichung j f(x) = anxn + an_jx n- + ... + ajx + ao heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades oder Polynom n-ten Grades. Die reellen Z ahlen ao, a j' ..., an heißen die Koeffizienten des Polynoms. Bemerkung: Häufig bezeichnet m an bereits den Term fex) = an>fl+ an_I x n- 1+ ... +a Ix +a O als Polynom. Beispiel 2.3.2:

ii)

f: f(x) = xz: g: g(x) = -x6 + V3x Z - nx:

iii)

h: h(x) = 7:

iv)

k: k(x) = 5 - Tx:

v)

u: u(p) = 2(p- l)(p+ l)(pL4) Polynom 4. Grades.

i)

Polynom 2. Grades (quadrat isches Polynom) ; Polynom 6. Gra des mit den Koeffizient en a6= -1; as =O; a4 =0; a3 =0; az =V3; a j= -n; ao= O; Polynom O-ten Grades (kon stant e Funkt ion) ;

1

Polynom 1. Grades (lineare Funktion)

Die numerische E rmittl ung eines Polynomwertes f(x) kann bei komplizierten Arg umentwerten x wegen der auftreten den Pot enzen xn schwierig und aufwendig sein. Das sogenannte Homer-Schema zur Berechnung von Polynomwerten vermeidet den Nachteil des Potenzierens unhandlicher Z ahlen . Di e Dar stellun g im H orner-Schema sei an einem einfachen Beispiel demonstriert: Beispiel 2.3.3: Gege ben sei das Polynom 4. Grades f mit f(x) = 2x4 - 5x 3 + 4x z + 6x - 21 .

(2.3.4)

Wir klammern jetzt sukzessive - von rechts ausgehen d - das jeweils letzte "x" aus, es ergibt sich nacheinand er: f(x) = (2x 3 -5x z+4x+6 )x - 21 f(x) = « 2x Z- 5x+4) x+6)x - 21 f(x) = «(2x-5)x+4)x+6)x- 21.

(2.3.5)

Auf diese Weise lässt sich jedes Polynom schreiben - die Berechnung eines Polynom-Wertes f(x) läuft dabei hinaus auf wiederholtes Mult iplizieren und Ad dieren und ist daher besond ers geeignet für eine automa tisierte speichersparende Auswertung. Will man etwa f(3) ermitteln, so kann man - beginnend in der inners ten Klammer -ohne Potenzieren aussc hließlich durch mehrfache Mul tiplikation und Addition den Polynomwert ermitteln: f(3) = « ( 2 . 3 - 5 ) . 3 + 4 ) . 3 + 6) ' 3 - 21 = 60 , oder schema tisch:

Ix = 3 I

(a4)

(a3)

2

-5

1 2

(az) 4

6

3

' 3/ + ~

' 3/+ ~

/'

1

/7

7

(a j)

(ao)

6

- 21

21 ' 3/ /'

+~ 27

81

'3/+~

/'

I

60 = f(3)

I·

2

102

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Allgemein erhält man auf völlig analoge Weise: (2.3.6)

und damit das allgemeine H orner - Schema: I x = Xl

I

an

an-l an,x I

'y

+t

'y

+t

A n-l

an

al AZ,x I

an-z A n-l ' Xl

'y

ao AI 'XI

'y

+t

+t

/'

A n-Z

Al

I

I·

f(xl)

Der entlang des mit Pfeilen markierten Weges führende Rechengang erfordert lediglich n Multiplikatio nen mit Xlund sukzessives Hinz uaddieren der Polynomkoeffizienten ak(insgesamt n Additionen). Daher eignet sich das Horner-Schema gut für zeit- und speichersparende Berechnung auf programmierbaren elektronischen Rechnern. Beispiel 2.3.7: f(x)

= 0,lx5 - 0,3x4 + 2xz - 3,5x + 2,85

Ix

°

- 0,3

0,1

= 1,21 0,1

gesucht: f(1,2): 2

-3,5

2,85

0,12

-0,216

-0,2592

2,08896

-0,18

-0,216

1,7408

- 1,41104

-1,693248 1,156752

= f(I,2)

Aufgabe 2.3.8: Welche der folgenden Funktionen sind Polynome? Man gebe gegebenenfalls den Grad des Polynoms an: i)

f(x)

=

-x ;

iv) v(x) = 3xz - X + 4 -

Vi" ;

ii)

p(y)

v)

k(x) = - 26 - ;

=

ayz + by + c ; 6x5 - 1

iii) u(x) =

V1O . 27

;

vi) r(p) = 2pZ (p-1)(p +

117)

Aufgabe 2.3.9: Man ermittle mit Hilfe des Horner-Schemas die Funktionswerte f(-l); f(0,5); f(2): i) f(z) = 5z 3 +3z2-4z+ 12;

ii) f(t)

= tL8t3 +t - 15;

iii) f(y) = 0,2yLO,8 y4+2,lyz+4,5y.

2.3.1.2 Konstante und lin eare Funktionen Für n = 0 erhalten wir nach Def. 2.3.1 das Polynom f mit

I f(x) = ao = const. 1

.

Ein derartiges Polynom wird als konstante Funktion bezeichnet. Ihr Graph ist eine Parallele zur Abszisse, siehe Abb . 2.3.10. Jede Einsetzung führt zum selben Funktionswert: f(x) = f(l) = f(17,4) = f(-5) = ... = ao = const.

fix}

=0 0 =const. (x )

Abb.2,3. 10

2.3

103

Elementare Typen von Funkt ionen

Beispiel 2.3.11: Fixkostenfunktionen sind konstante Funkt ionen, z.B. monatliche Grundgebühr ~ eines Telefonanschlusses, für jede Zahl x von monatlich verbrauchten Gebühreneinheiten ergibt sich derselbe Wert (z.B. 24,60 € /M onat), siehe Abb . 2.3.12.

30 20 10

(x)

o

Gebühreneinheiten pro Monat

Abb.2.3.12 Bemerkung 2.3.13: Man beachte, dass die durch die Relation x = const. (y beliebig) gegebene Punktmengeeine senkrechte Gerade darstellt, die allerdings nicht zu einer Funktion gehört. (Denn zu Xo gibt es beliebig viele .Funk tionswene", sieheAbb. 2.3. 14.)

(y)

(x)

Wohl aber existiert umgekehrt zu jedem y genau ein x (= Xo = const.), d.h . die Umk ehrung /-1 : y ~ x ist eine Funktion.

Abb .2.3.14

Für n = 1 erhalten wir nach Def. 2.3.1 das Polynom 1. Grades (2.3.15)

I

f(x) = alx + ao

XE]R .

(t)

Ein Polynom 1. Grades bezeichnet man auch als lineare Funktion und schreibt häufig statt (2.3.15) (mit a l =m ; ao= b) (2.3.16)

I

f: y = mx + b

I

XE]R . (x)

Beispiel 2.3.17: Für m = 0,5 und b = 1 erhält man die lineare Funkti on y = 0,5x + 1 .

X1

X

z

Abb .2.3.18

Der Graph einer linearen Funkti on ist stets eine Gerade (Abb .2.3.18). Au s Abb . 2.3.18 wird die Bedeutung der Koeffizienten mund b in der Geradengleichung y = f(x) = mx + b deutlich : i) Für x = 0 ist Y = m -0 + b = b. Daher schneidet der Graph der Geradengleichung y = mx + b die Ordinatenachse im Punkt (0; b). Man nennt b auch den (Ordinaten-) Achsenabschnitt. ii) Die Steigung einer Geraden ist definiert als das Verhältnis von Ordinatendifferenz Y2 - Yl zur ent-

*

sprechenden Abszissendifferenz x2- Xl zweier beliebiger Geradenpunkte PI P2' Die Steigung entspricht dem c'Iangensvdes Steigungswinkels a (Abb . 2.3.18), geschrieben: tana (siehe Kap. 2.3.6). (2.3.19)

Geradensteigung

:=

Y2 - Yl tan a := - X2 - Xl

f(X2)- f(xI) X2 - Xl

Wegen Y2 = f(x2) = IllX 2+b sowie YI = f(xl ) = IllXl + b erhalten wir für die Steigung der Geraden mx- b: (2.3.20)

Y2 - Yl X2 - Xl

tana=--=

mX2+b- (mxl +b) m(x2 - Xl) = =m , X2 - Xl X2 - Xl

Daher bedeutet der Koeffizient m die Steigung der Gerade n Y= mx- b.

104

2

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Bemerkung 2.3.21: i) Für m > 0 (positive Steigung) ist die lineare Funktion monoton steigend, für m < 0 (negative Steigung) ist sie monotonjallend. 1

a) Y=Tx+1, m>O ;

Beispiel:

b) y=-2x-1 , m
(sieheAbb. 2.3.22) .

ii) Für b = 0 ist der Ordinatenachsenabschnitt 0, die Gerade y = mx+ b verläuft durch den Koordinatenursprung, sieheAbb. 2.3.23: (t)

(t) ", ttx) =-x

m = 0,5 1>0/ f ist steigend

\\

\

(X)

,,

(X)

m=-2 1<0/ fist tollend \

Abb. 2.3.22

"", ",", ,

\

Abb .2.3.23

\

Die zeichnerische Darstellung der Geraden y = mx+ b kann erfolgen i) durch Verbindung zweier verschiedener Geradenpunkte (Xl' f(xl» , (Xz' f(xz» mit x, =I=xz.

(t)

ii) durch folgende Konstruktion:

a) Die Gerade verläuft durch den Punkt B(O;b) der Ordinatenachse (Abb. 2.3.24). b) Da die Gerade die Steigung m hat, können wir - vom Punkt Bausgehend - einen zweiten Punkt P 1 (bzw. P 2) ermitteln, indem wir 1 Einheit (bzw. k Einheiten) in Abszissenrichtung und dann m Einheiten (bzw. m k Einheiten) in Ordinatenrichtung abtragen (Abb . 2.3.24).

Beispiel 2.3.25:

i)

falls ms o)

(X)

o

il) 11

Y = 3x+2 ; (t)

. m I nach oben,

• I nach unten,

rI

Abb .2.3.24

P=

-32 v + 5

tatls m-co I

I

(sieheAbb. 2.3.26):

(p)

p

m=,g 3

i)

ii)

(vJ (X)

o Abb.2.3.26

2.3

Elementare Typen von Funkt ionen

lOS

Außer durch die Angabe der Koeffizienten mund b kann eine Geradengleichung auch dann ermittelt werden, wenn i) die Steigung m und ein beliebiger Punkt PI mit den Koordinaten (Xl' Y1) gegeben ist, oder ii) wenn zweibeliebige Geradenpunkte PI (Xl' YI) und P 2 (X2' Y2) (mit Xl =1= X2) gegeben sind.

y

,

(x)

i

(x)

xz

x

Abb .2.3.27 Im Fall i) müssen (vgl. (2.3.19» die Koordinaten (x, y) jedes beliebigen Geradenpunktes P die Beziehung (2.3.28)

erfüllen (s. Abb. 2.3.27 i» .

Da X1'YI und m gegeben sind, folgt aus (2.3.28): Y-Y1 = m(x-xI) ' d.h. (2.3.29)

(Punkt-Steigungsfonn einer Geraden) .

Im Fall Ii) kann man zunächst die Steigung m ermitteln (siehe 2.3.20): m = Y2 - Y1 X2 - Xl

Setzt man dies in (2.3.29) ein, so erhält man die Geradengleichung (2.3.30)

Y2 - Y1

- . X + (y - mx ) Y= X - X 1 I 2

I

'

.

(2-Punktefonn einer Geraden)

'

=b Beispiel 2.3.31: i)

Gegeben m = 0,2 sowie PI mit

P 1(x1; Y1) = PI (2,S; 1,S). Mit (2.3.29) ergibt sich: Y= 0,2x + (l,S -0,2 · 2,S) d.h. Y= 0,2x+ 1 (Abb . 2.3.32):

(x)

Abb.2.3.32

ii) Gegeben seien die Geradenpunkt e P(l ; S) und Q(3; 3). Aus (2.3.19) folgt:

m =

1....:.1.= -l = -1 . 1- 3 -2

Abb.2.3.33

Damit folgt aus (2.3.29) unter Verwendung von P (bzw. Q) :

Y = - x+(S-(-l) ·l) (bzw. Y = -x+(3-(-3) ·1»

d.h. y=-x+6, (A bb. 2.3.33):

(x)

o

2

106

Funkti onen einer unabhängigen Variablen

LineareFunktionen sind wegen ihrer einfachen mathematischen Struktur zur Beschreibung vieler ökonomischer Sachverhalte beliebt. So werden sie u.a. verwendet als -

Kostenfunktionen K (z.B. Gesamtkosten K(x) einer Produkti on in Abhängigkeit des produzierten Outputs x, Abb .2.3.34)

-

Nachfragefunktionen x (z.B. Nachfrage x(p) nach Butter in Abhängigkeit vom Butt erpreis P. siehe Abb. 2.3.35) häufig als Umkehrung p = p(x) dargestellt, siehe Abb . 2.3.36.

(K)

Gesam tkosten

Kr

---T-

(x) Nachfrag e

,

fixkosten Kr

(x) 0

Output

(p)

~

,

Preis

,

(p) Preis

Abb .2.3.35

Abb.2.3.34

~

(x)

,

Nachfrage

Abb .2.3.36

-

Konsumfunktionen C (z.B. Au sgaben C(Y) für Lebenshaltung in Abhängigkeit vom verfügbaren Einkommen Y , Abb. 2.3.37)

-

Produktionsfunktionen x (Output x(r) einer Produkti on in Abhängigkeit des eingesetzten Inputs r, Abb.2.3.38)

-

Erlösfunktionen E (z.B. E rlös (wertmäßiger Umsatz) E(x) in Abhängigkeit der abgesetzten Menge x bei festem Preis p, s. Abb. 2.3.39) u.v.a. (c)1 Konsum

Co

(E) I Erlös

Output

---1--" Existenz minim um "

o

(x)

Abb.2.3.37

(x)

(y) Einkomm en

o

Häufig werden funktionale ökonomische Zu sammenh änge empirisch (z.B. durch Messungoder statistische Erhebung) gewonnen. Bei der Frage, welche Funkti on die gemessenen Punkt e (Wertepaare) besonders gut approximiert, legt man in vielen Fällen eine lineare Funkt ion als Approximationsgerade zugrunde, siehe Abb . 2.3.40. Die Frage, nach welchen Kriterien eine derartige "Ersatzfunktion " ausgesucht wird, kann in derStatistik mit Hilfe der Regressionsanalyse beantwortet werden (siehe auch Kapitel 7.3.2.4).

o

Input

Abb.2.3.38

Abb.2.3.39

Men ge

(Y) empirische

Wertepaare - - 0

o

/ I

\ 0"'-... 0

"Regressionsgerade "

Abb.2.3.40

(x)

2.3

107

Elementare Typen von Funktionen

Aufgabe 2.3.41:

i) Man ermittle die Gleichung der zugehörigen linearen Funktion, wenn folgende Daten gegeben sind (P und Q sind zwei Punkte, die aufderjeweiligen G eraden liegen) : a) Steigung: - 3 ; P(0,6 ; 1,2) ;

b) P(0,5;3) ; Q(-1 ; -4)

c) P(l ; a) ; Q(a;4)

ii) Man ermittle jeweils den Schnittpunkt der Geraden g und h:

a) b) c) d)

g: g: g: g:

y = 2x + 1 ; x - 2y + 3 = 0 ; y =0,25x + 1; ax + by + C = 0 ;

h: y = - 0,5x + 6 ; h: 6y - 3x + 4 = 0 ; h:4y- x-4=0 ; h: ux + vy + W = 0

(a, b, c, u, v, w = const.)

Aufgabe 2.3.42:

E lektrische Energie kann zu zwei alternativen Tarifen bezogen werden: Tarif I: Grundgebühr: 30,- € / Monat ; Arbeitspreis: 0,25 € /kWh ; Tarif II : Grundgebühr: 12,- € / Monat ; Arbeitspreis: 0,40 € /kWh ; i) Man ermittle für jeden der beiden Tarife die Gleichung der Kostenfunkti on K , die die monatli-

chen Gesamtkosten K(x) in Abh ängigkeit des monatlichen Energieverbrauchs x angibt. Man zeichne beide Kostenfunktionen in ein einziges Koordinatensystem. ii) Man berechne den monatlichen Energieverbrauch (in kWh/M onat), für den sich in beiden Tarifen dieselben Kosten ergeben. Für welche Verbrauchswerte ist Tarif I günstiger als Tarif II ? Aufgabe 2.3 .43 :

Ein PKW kann über das Wochenende zu zwei alternativen Tarifen gemietet werden: Tarif A: Grundmiete 100,- € , zuzüglich km-Gebühren: für die ersten 100 km: 1,- € /km; für jeden km über 100 km bis 200 km: 80 Cent /km ; für jeden km über 200 km bis 400 km: 60 Cent/ km; jeder km über 400 km hinaus kostet 50 Cent/km. Tarif B: Grundmiete 150,- € , zuzüglich km-Gebühren: für die ersten 200 km: 70 Cent/km ; für jeden km über 200 km bis 500 km: 50 Cent/km ; für jeden km über 500 km hinaus: 40 Cent/km. i) Man ermittle die Terme KA(x) und KB(x) der beiden Gesamtkostenfunktionen (bezogen auf ein Wochenende) in Abh ängigkeit der gefahrenen Strecke x und skizziere beide Funktionen in

einem Koordinatensystem. ii) Für welche km-Leistung ist welcher Tarif für den Mieter am günstigsten? Aufgabe 2.3.44:

Der Konsum C [GEIZE] eines Haushalts ist durch eine Konsumfunkti on C = C(Y) in Abh ängigkeit des Hau shaltseinkommens Y [GEIZE] vorgegeben durch: C = C(Y) = 120 + 0,6 ' Y

,

(Y

~

0)

.

i) Wie hoch ist das Existenzminimum ( = Mindestk onsum ) des Haushaltes?

ii) Man ermittle die Sparfunktion S und gebe das Eink ommen an, bei dessen Überschreiten die

Sparsumme S(Y) positivwird. iii) Gibt es ein Eink ommen, bei dem Sparsumme und Konsum gleich groß sind? Man ermittle gegebenenfalls dieses Einkommen. ( Rechnerische und grap hische L ösun g angeben! )

2

108

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Aufgabe 2.3.45: Die Hubermobil AG produziert zweiAutomodelle: den Huber 1,8 N (Benziner) sowie den Huber 2,3 D (Diesel). Motorleistung und Ausstattung beider Modelle sind identisch . Die neueste BetriebskostentabeIle einer Automobil-Zeitschrift weist folgende Kostendaten aus: monatliche Rücklage für Neuwagen (€)

monatliche Fixkosten (€)

97,105,-

1,8 N 2,3 D

218,244,-

Betriebskosten pro km (in CentIkm) 21,92 19,28

Man untersuche , für welche jährlichen Fahrleistungen (in km/Jahr) der Typ 1,8 N und für welche Fahrleistungen der Typ 2,3 D das kostengünstigere Modell ist. Aufgabe 2.3.46: Man ermittle die Telefon-Kostenfunktion K , die die monatlichen Gesamtkosten K(x) eines Telefon-Mobilanschlusses in Abhängigkeit von der Anzahl x der pro Monat verbrauchten Gebühr eneinheiten angibt. Dabei berücksichtige man: a) b) c)

die Grundgebühr beträgt 24,60 € /Monat ; die ersten 10 Gebühreneinheiten sind kostenlos eine Gebühreneinheit kostet 23 Cent .

* Aufgabe 2.3.47:

Auf zwei Teilmärkt en eines Gesamtmarktes seien für ein Wirtschaftsgut die Nachfragefunktionen wiefolgt definiert: Markt I: p(x) = 6 - x ;

Markt II: p(x) = 4 - 0,5x

(p: Preis; x: Menge) .

Man ermittle graphisch und rechnerisch die "aggregierte" Nachfragefunkt ion für das Gut auf dem zusammengefassten Gesamtmarkt (siehe Bem. 2.5.4) .

*Aufgabe 2.3.48: Eine Ein-Produkt-Unternehmung produziert pro Periode mit folgenden Kosten: Fixkosten : 10.000 € ;

variable Stückkosten: 50 € /ME für Outputwerte bis incl. 800 ME.

Infolge Kostendegression durch optimale Auslastung sinken für die Outputwerte über 800 ME (bis incl. 2.400 ME) die stückvariablen Kosten um 50%. Outputwerte über 2.400 ME hinaus können nur unter extremer Überlastung von Mensch und Material erzeugt werden, für jede ME über 2.400 ME hinaus fallen stückvariable Kosten an, die um 200% über dem ursprünglichen Wert (= 50 €/ME) liegen. Die pro Periode erzeugten Mengen können unmittelbar an den H auptkunden der Unternehmung verkauft werden. Je nach beabsichtigter Absatzmenge müssen Rabatte eingeräumt werden: -

Verkaufs-Grundpreis: 100 € /ME für Mengen bis incl. 1.000 ME; 20% Rabatt bei Mengen über 1.000 bis incl. 2.000 ME; 40% Rabatt (bezogen auf den Verkaufs-Grundpreis] bei Mengen über 2.000 ME

Fall A : Der Rabatt bezieht sich jeweils auf die gesamte Absatzmenge; Fall B: Der Rabatt bezieht sich jeweils nur auf das zugehörige Mengenintervall (s.o.) .

Innerhalb welcher Produktions- u. Absatzmengen operiert die Unternehmung mit Gewinn ? Man löse das gestellte Problem für jeden der Fälle A und B graphisch und rechnerisch . Hinweise : Koordinatensystem: Abszisse 0-4.000 ME; Ordinate 0-300.000 € . Für die rechnerische Lösung stelle man die Gesamtkostenfunktion sowie die beiden Erlösfunktionen aufund ermiule (unter Beachtung der ök onom ischen Definitionsbereiche] die Gewinnschwellen.

2.3

Elementare Typen von Funktionen

2.3.1.3 Für n

109

Quadratische Funktionen

=2

erhalten wir nac h Def. 2.3 .1 das Polynom f(x)

I

(2.3.49)

fex) = ax2 + bx + c

I

;

XE IR

= a2x2 + alx + ao

' x E IR oder

.

Diese Funktion en heißen quadratische Polynome, ihre Schaubild er heißen (quadratische) Parabeln. Beispiel 2.3.50:

i) fex) = x 2 ;

ii) fex) = 0,5x 2 -

iii) fex) = - 2x2 + 4

4

X -

(f) 4

(x)

o

Abb.2.3.51

Aus Bsp. 2.3.50 sowie aus Abb. 2.3.51 liest man ab:

j (t)

i) Ist in der Parabelgleichu ng y = ax2 + bx+ c

(t)

1\0>0/ ~

der Koeffizient a des quadratischen Gliedes positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet, ist er negativ, so ist die Parab el nach unten geöffnet (Abb. 2.3.52) .

~~

{x)

Abb .2.3.52 ii) Der Betrag des Koeffizient en a des quadrat ischen Gliedes hat E influss auf die Öffnungsbreite der Parabel (Abb.2.3.53) :

Ia I = 1 Ia I> 1 Ia I < 1

(t)

~ Normalparabel ~ Parabel enger als Normalparabel ~ Parabel breiter als Normalparabel .

I I

I

I

I

I

/

I'~'" ! .. :'

,

y = -2x 2 +4 (>1) y =-O,5x 2 +4 la l =O,5 (<1 }

" ~'lal= 2

".

". \ -<

".

:

y= _x 2+4 101 = 1

\ \

°

\

(x)

Abb.2.3.53 Die Nullstellen quadrati scher Polynome erhält man als Lösungen der quadratischen Gleichun g I(x) = ax2+ bx+ c = 0, siehe Kap. 1.2.4.5.

2

110

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Aus Abb. 2.3.54 wird deutlich, dass ein quadratisches Polynom i) zwei verschiedene reelle Nullstellen

ii) genau eine (Doppel-) Nullstelle iii) keine Nullstelle besitzen kann. (t) i)

zwei Nullstellen

(x)

(X)

-+-------"....,.~---

o

0

Abb.2.3.54 Beispiel 2.3.55: i)

Y=x2+x -6 = 0 Nullstellen:

ii)

y = 2xL8x+8 = 0

{=}

xL4x+4 = 0

iii)

Y = xL6x+ 10 = 0

{=}

xI ,2 = 3 ±

Xl

= 2 ±

~= 2

V""9=1O = 3 ± M

negativer Radikand, also keine Lösung, daher keine Nullstelle. Bemerkung 2.3.56: Allgemein ergeben sich aus der Nullstellengleichung fex) = ax 2 + bx + C = 0 über x 2 + .!!....X + .E.. = 0 a a xl 2 = -

,

.!!.... ± 2a

V~ 4a2

_.E.. a

= -

die Lösungen (siehe (1.2.149)):

.!!.... ± .!... Vb 2 - 4ac 2a 2a ' - r - - - ' =:D

Die verschiedenen Fälle ergeben sich aus dem Verhalten des Radikanden ("Diskriminante ") D: i) ii) iii)

Falls D > 0, d.h. b 2 > 4ac ) so gibt es 2 Lösungen ; Falls D = 0, so gibt es eine Lösung ; Falls D < 0, so gibt es keine Lösung .

Beispiel 2.3.57: Die variablen Gesamtkosten Kv(x) bei Produktion von X ME eines Gutes seien gegeben durch die Funktion K, mit Kv(x) = O,lxL 2x2 + 11x; x;:: 0 . Dann erhält man als variable Kosten pro produzierter Mengeneinheit dieStückkostenfunktion k, mit

'k)

(,

Abb.2.3.58

variable 5fückkosten (in GElMEJ

10

5

~(x)

kv(x) = - - = 0,lx 2-2x + 11 ; x > O. x

Der Graph von k, ist eine nach oben geöffnete Parabel (mit "breiter " Öffnung), sieheAbb. 2.3.58.

o

5

10

15

OUtput ( inMfl

2.3

111

Elementare Typen von Funktionen

Aufgabe 2.3.59: i) Man ermittle die Nullstellen folgender quadratischer Polynome : b) g: g(p) = 2p2+6p+18 c) h: h(y) = 1,2yL24y+198 a) f: fex) = -x 2+7x+16 ii) Wie lautet die Gleichung der Parabel, die durch folgende Punkte verläuft ?

a) P(O;3) ; Q(2; 4) ; R(4; 8);

b) A(2; 0) ; B(14; 1) ; q-6; -1)

Aufgabe 2.3.60: Angebotspreis PA [GEIME] und Nachfragepreis PN [GEIME] für ein Gut seien durch folgende Funktionsgleichungen gegeben:

PA(X) = 2(x+ 1) ;

p;ix)

=

0,5(36-x 2)

(x : Menge [ME] )

i) Man bestimme den ökonomisch sinnvollen Definitions- und Wertebereich von PN und PAii) Man ermittle Gleichgewichtspreis und -menge sowie den Gesamtumsatz im Gleichgewichtspunkt (= "Marktgleichgewicht((.o Schnittpunkt von Angebots- und Nachfragefunktion) . iii) Von welchem Preis an wird die geplante Nachfrage größer als 5 ME?

Aufgabe 2.3.61: Für ein Gut sei folgende Preis-Absatz-Funktion p: x 1-7 p(x) gegeben: p(x) = 1.200 - 0,2x

(p(x): Absatzpreis [€/ ME], x: nachgefragte Menge [ME]).

i) Man ermittle die zugehörige Erlösfunktion E

a) inAbhängigkeitvonderMenge (d.h. E = E(x) ) ; b) inAbhängigkeitvomPreis (d.h. E = E(P) ) . ii) Der Produzent des Gutes (Monopolist) produziere mit folgender Gesamtkostenfunktion K:

K(x)

=

0,2x 2+500.000

(K(x): Gesamtkosten [€] , x: Output[ME]).

Der produzierte Output kann vollständig nach der o.a. Preis-Absatz-Funktion abgesetzt werden. Man ermittle die Gewinnzone des Monopolisten (d.h. diejenigen Output-Eckwerte, auch Gewinnschwellen genannt, innerhalb derer sich ein nichtnegativer Gewinn ergibt). (Lösung graphisch und rechnerisch!)

2.3.1.4

Nullstellen von Polynomen und Polynomzerlegung

Über die Nullstellen von Polynomen n-tcn Grades (d.h. die Lösungen der algebraischen Gleichungen nten Grades) gibt es einige wichtige Aussagen, die im folgenden (ohne Beweis) zusammengestellt werden: Satz 2.3.62:

Sei Xl eine Nullstelle des Polynoms f (vom Grad n ; n > 0). Linearfaktor X -Xl von f abspalten:

(2.3.63)

Bemerkung 2.3.64: Polynomdivision:

(2.3.65)

1 fex)

=

(x -

Xl) '

g(x)

I.

Dann lässt sich der

Dabei ist g(x) ein Polynom vom Grad n-1.

Bei Kenntnis einer Nullstelle x] erhält man den Faktor g(x) nach (2.3.63) durch fex) g(x) = - - = f(x) .o (x-x]) x-x]

Satz 2.3.62 besagt, dass diese Division ohne Rest möglich ist, siehe auch Bem . 1.2.163 .

2

112

Funkti onen einer unabhängigen Variablen

Beispiel 2.3.66: Gesucht seien die Nullstellen des Polynoms f mit Eine Nullstelle ist Xl = 3, wie man durch E insetzen überprüft. Dann muss es ein Polynom 2. Grades g(x) geben mit: f(x) = x3 - 5x 2 - 2x + 24 = (x - 3) · g(x) .

f(x) = x3 - 5x2- 2x + 24 .

Polynomdivision liefert: g(x) = (xL 5xL 2x + 24) : (x - 3) = x2 - 2x - 8 - (x3 - 3x 2) - 2x2 - 2x - (- 2x2 +6 x) - Sx + 24 - (Sx + 24)

o Daraus folgt:

f(x) = XL 5xL2x + 24 = (x- 3)· (xL 2x- S) .

Um die weiteren Nullstellen von f zu ermitteln, genügt es nun, g(x) = XL 2x - Sauf Nullstellen zu untersuchen: x2 - 2x - S = 0 ~ Xl2 = 1 ± V1+8 = 1 ± 3 Damit haben wir sämtliche Nullstellen von f erhalten: Somit gilt nachS atz 2.3.62:

Xl = 3 ; X2 = 4 ; X3 = -2

f(x) = a(x - xl)(x -x 2)(x - x3) = (x - 3)(x - 4)(x + 2) .

Aus Satz 2.3.62 folgt der wichtige Satz 2.3.67:

Ein Polynom n-t en Grades (n > 0) hat höchstens n reelle Nullstellen.

Beispiel 2.3.68: i) (genau n Nullstellen) f(x) = (x-1) · (x+1) ; (n = 2) hatdie Nullstellen 1 ; - 1 .

ii) (weniger als n Nullstellen) f(x) = (x - 1)2. (x2+ 1) ; (n = 4) hat nur die Nullstelle 1. Da der

Faktor x l zweimal vorkommt, spricht man von einer Doppelnullstelle (analog gibt es dreifache Nullstellen usw.). r

Bem erkung 2.3.69 : L ässt m an als L ösungen einer Gleichung n-ten Grades auch die sogenannten komplexen Zahlen 2 zu, so ka nn Satz 2.3.67 verscharft werden: Ein Polynom n- ten Grades (n > 0) hat genau n (reelle oder k omplexe) Nullstellen (Fundam entalsat; der Algebra) . Dab ei werden m ehrfache N ullstellen entsp rechend ihrer Vielfachheit gezählt.

Zu n vorgegebenen Nullstellen x!' ..., xn eines Polynoms lässt sich nach (2.3.63) auf naheliegende Weise ein Polynom n-t en Grades mit eben diesen Nullstellen konstruieren : (2.3.70) Wie man durch Einsetzen unmittelbar erkennt, gilt für alle k ( = 1, 2) ...) n) : Beispiel 2.3.71: Ein Polynom 4. Grades mit den vorgegebenen Nullstellen 1,

I

2

f(x) = 2009 · (x-1)(x- V2)(x + 1t) ·x

siehe etwa [21], Bd. I, 206 Ir.

V2, - 1t, 0

ist z.B.

2.3

113

Elementare Typen von Funktionen

Die Ennittlung von Nullstellen bei Polynomen höherenals 2. Grades durch Ab spalt en von Linearfaktoren x - x k (und Untersuchung des Restp olynoms) ist nur möglich bei Kenntnis der xk (d.h. nur in Ausnahmefällen, siehe Kap. 1.2.4.6). Meist ist es zur Ermittlung der NullstelIen einfacher, ein Näherungsverfahren (z.B. dic .Regulafalsi" (Kap. 2.4) oder das "Newton-Verfahren" (Kap. 5.4)) zu verwenden. Die folgenden Abbildungen zeigen (Abb . 2.3.72 i)-v)) exemplarisch die Graphen einiger Polynome höheren Grades:

(tJ

Abb .2.3.72 (fJ

iiJ

iJ

(xJ

2

t(xJ= -0,01)(1 + 0,025x3 +0,5x2 -0,5x-14

(xJ

=

t(xJ 0,01)(1- 0,025x3- 0,5x2 +0,5x+4

(tJ

(fJ

(tJ

(xJ

tx!

(xJ

t(xJ =x 5

9x3 + 20x +5 t(xJ- x 5 - 5x 3 + 4x

Abb.2.3.72

iiiJ

ivJ

vJ

An diesen Abbildungen erkennt man einige typische Eigenschaften vonPolynomen n-ten Grades: -

Die Z ahl der Nullstellen eines Polynoms n-t en Grades kann mit dem Grad n übereinstimmen (Abb . i), v)) oder aber geringer sein (Abb. ii), iii), iv)), siehe Satz 2.3.67.

2

114

Funktionen einer unabhängigen Variablen

-

Ein Polynom von ungeradem Grad hat stets mindestens eine Nullstelle (Abb . iii), iv), v)). Ein Polynom von geradem Grad besitzt manchmal keine einzige Nullstelle (Abb . ii)).

-

Polynome sind entweder nur nach oben oder nur nach unten oder aber überhaupt nicht beschränkt: 1) Ist der Polynomgrad n ungerade, so ist das Polynom unbeschränkt, und zwar aufsteigend von - 00 bis + 00 (Abb . iii), v)), falls an positiv und absteigend von + 00 bis - 00 (Abb. iv)), falls an negativ. 2) Ist der Polynomgrad n gerade , so ist das Polynom einseitig beschränkt, und zwar nach oben beschränkt (d.h. von - 00 aufst eigend und wieder nach - 00 absteigend, Abb. ii)) falls an negativ und nach unten beschränkt (d.h. von + 00 absteigend und wieder nach + 00 aufsteigend, Abb . i)), wenn an positiv ist!

Aufgabe 2.3.73: Gegeben sind die Polynome f und eine oder mehrere zugehörige Nullst ellen xk (k 1, 2, ...). Man ermittle sämtlich e reellen Nullst ellen von f. i)

f(x)

= XL 2xL 2x + 4

ii)

f(x)

=

iii)

f(x)

= XL

xI

=1

iv)

f(x)

=

XI

=

;

XL 6x3 + 3x2 + 26x - 24 ; 2x + 1 ; 2x4 - 3xL 10x2 + 5x - 6 ;

XI

=2

XI

=

=

3 ; X2 = -2 -2 ; x2 = 3

Aufgabe 2.3.74: Man ermittl e sämtliche reellen Lösungen folgender Gleichungen: iv) n L 3n 2 = 75 - 25n i) x3 = 10 - 9x ii) y3 + 12 = 34y v) zL 5z = 3z 2 + 25 iii)

2.3.2

3a 3 - 2a 2 + 30

= 23a

vi)

t4 - 4t 3 - 2t 2 - 20t + 25

=0

Gebrochen-rationale Funktionen

Der Quotient zweier Polynome heißt gebrochen-rationale Funktion: Def.2.3.75: Die Funktion f mit der Gleichung
f(x) =

+ alx + ao + blx+ bo

heißt gebrochen-rationale Funktion. Da f lediglich an den Nullstellen des Nennerpolynoms Nk(x) nicht definiert ist, muss man zur Ermittlung des Definitionsbereiches D, zunächst diese Nullstellen ermitteln und als Definitionslücken ausschließen: Beispiel 2.3.76: i)

f(x) =

~

ii)

f(x)

=

2: ~: '

iii)

f(x)

=

x2 -X72_"'2x- +-2

, D, = IR\ {O }

D,

=

(H yperbel, siehe Abb . 2.3.76 i))

IR\ {1 },

siehe Abb . 2.3.76 ii) ;

D, = IR, da der Nenner keine Nullstellen hat, Abb . 2.3.76 iii)

2.3

115

Elementare Typen von Funktionen

(f)

o

(x) i)

Abb .2.3.76

-e- ,

iv)

fex) =

v)

x2 -x = f(x) = -

vi)

fex) = x + 1 + - - 2

x - 1

x- I

D, = IR \ { 1; -1 } , Abb.2.3 .76 iv)

{X für x * 1

Abb .2.3.76 v)

nicht definiert für x = I

I

(x+ 1)

1ft)

(f)

,

/

I I I I

I I

I

-1 1//

\

-1

(x)

ivJ

/

o

(xl

v)

Abb .2.3.76

In Abb . 2.3.76 wird deutlich, dass in der Umgebung der Defin itionslücken sowie für sehr große (bzw. sehr kleine) Argumentwerte die gebrochen-rationalen Funkti onen Besond erheiten aufweisen, wie z.B. Unendlichkeitsstellen (Pole), Asymptoten oder Lücken. Näheres hierzu s. Kapitel 4.5 bzw. Kapitel 4.8. Bemerkung 2.3.77: Gebrochen-rationale Funktionstypen k önn en im Bereich öko nom ischer Fragestellungen immer dann auftreten, wenn stückbezogene oder Durchschnittsgrößen (z.B. Stückkosten, Stückgewinn, Du rchschnitsertrag ...) betrachtet werden. Beispiel: Sei K eine lineare Kostenfun k tion, z.B . K(x) = O)9x + 25 (x> 0; K' Gesamtkosten, x: Output) . Da nn erhält man die Stückkosten k (x) (= Kosten pro Outputeinheit) indem man K(x) durch die Anzahl x der Outputeinheiten dividiert: K(x)

k(x) = - x

=

O)9x + 25 25 = 0) 9 + -x). x

k(x) ist gebrochen-rational) siehe Abb. 2.3.78.

(k/

~9

o

---------- - - - - - -- - ------ -

(xl

5

Abb .2.3.78

2

116

Funktionen einer unabh ängigen Variablen

Aufgabe 2.3.79: i) Die monatlichen Kosten K[€/Monat] für elektrische Energie eines H aushaltes setzen sich zusammen aus der monatlichen Grundgebühr in Höhe von 40€/Monat und einem Arb eitspreis von 0,15 € /kWh. Man ermittele und skizziere die Funktion k(x), die die monatlichen Kosten pro verbrauchte r kWh in Abhängigkeit vom monatlichen Ges amtverbrauch x [k Wh/Monat] angibt. ii) Ausgehend von der ertragsgesetzlichen Gesamtk ostenfunktion K mit

K(x) = 0,07x3 - 2x2 + 60x + 267

(K(x): Gesamtkosten, x: Output ( ~ 0))

ermittle ma n die Funktionsgleichungen und ökonomischen Definitionsbereiche der variablen und fixen Kost en sowie der variablen, fixen und gesamt en Stückkosten. Skizze! iii) Unter Zugrundelegung des Ergebnisses von A ufgabe 2.3.46 ermittle man die Stückkostenfunk-

tion k, die die Kosten k(x) pro Gebühreneinheit in Abhängigkeit von der Anzahl x der insgesamt pro Monat verbrauchten Gebühreneinheiten angibt. Skizze !

2.3.3 Algebraische Funktionen (Wurzelfunktionen) Sowohl ganz rationale als auch gebrochen- rationale Funktionen gehören zu einer allgemeineren Klasse von Funktionen, den sogenannt en algebraischen Funktionen. Man kann eine algebraische Funktion implizit definieren als Polynom der Pot enzen Xi . yk: (2.3.80)

F(x, y)

=I

n

m

I

aikxiyk

=0

i= 0 k=O

iii) xy- l =

o.

A n diesem Beispiel erkennt man, dass algebraische Funktionen La. in impliziter Form F(x, y) = 0 vorliegen, und - wie etwa in i) ersichtlich - häufig nicht in explizite Darstellung gebracht werden können. An ii) erkennt man, dass die implizit e Darstellung x 2 + y2 - 1 = 0 offenb ar nicht zu einer Funktion, sondern zu einer (zweideutigen) Relation gehört, s. Abb. 2.3.82. l (y) Die Aufl ösung von x2+y2- 1 = 0 nach y liefert nämy= ~

lieh die beiden Lösungen y = +~ ;

[x] s I

y =- ~;

[x l s I

Abb.2.3.82

An diesem Beispiel wird gleichzeitig deutlich, dass bei der explizit en Dar stellung einer algebraischen Funktion (and ers als bei ratio nalen Funktio nen) Wurzelterme auftre ten kön nen. An iii) erkennt man, dass es sich um die gebrochen-rationale Funktion

(x)

o

\,

y=

--

1 / / y = - V1-x 2

x1 ; x * 0

handelt.

Umgekehrt kann jede gebrochen -rationale Funktion y = Z(x) durch einfache Umfo rmung in folgende "a lgebraische" Form gebracht werden: N(x) (2.3.83)

Y' N(x) - Z(x) = 0 .

E ine allgemeine Analyse der Typen algebraischer Funktionen verbietet sich im Rahmen dieser Darstellung. Al s relativ häufig vorkommendes Beispiel sei an dieser Stelle nur der Typ der Wurzelfunktion herausgehoben (als Spezialfall der allgemeinen Pot enzfunkt ion y = xn , nE IR) :

2.3

117

E lementare Typen von Funktionen

Der. 2.3.84: Die Umkehrfunktionen der Potenzfunktion f: y = xn , XE lR ~ ; n E lN\ {l } heißen Wunelfunktionen. I

f- 1: x = y ~ =

Schreibweise:

n

VY;

yE lR ~ .

(siehe Abb. 2.3.85)

!y/

1

Abb.2.3.85 Bem erkung 2.3.8 6: Für den Def initionsbereich bei geradem n gilt wegen der Forderung eines nichtnega-

VY au ch für negative y erk lärt, so dass in die-

11

tiven Radikanden: Dj = lR.; . Bei ungeradem n ist sem Fall gilt: Dj = lR. .

Beispiel 2.3.87:

i) f(x) =

3

VX ; Df =lR ~

ii) f(x) =

VX;

Df=lR

(Abb. 2.3.88) .

(fJ

01 Abb.2.3.88 Potenzfunkti onen mit nicht-natürlichen Exponenten werden u.a. für (gesamtwirtschaftliche) Produktionsfunktionen verwendet: Beispiel 2.3.89:

Y = c :A0,8. KO,2

, (A , K

~

0).

A: Arbeitsinput; K: Kapitalinput; Y: Sozialprodukt ; (c: Konstante) . So ergibt sich etwa für K = 32 = const. (und c = 1): y = 2 · AO,8 (siehe Abb . 2.3.90)

(AI 1

Abb.2.3.90 n

VX

Aus den elementaren Wurzelfunktionen f: f(x) = (x ~ 0) ergeben sich durch Spiegeln an der Ordinate bzw. Verschiebung längs der Abszisse die folgenden - ebenfalls elementaren - Wurzelfunkti onen (siehe Abb . 2.3.91) (man beachte jeweils die geänderten Definitionsbereiche !) :

I f(x) = v=x n

i)

(x :O; 0) z.B. f(x) =

v=x

ii)

I f(x) = nvx+a I (x ~ - a ; a e R )

z.B, f(x) =

Vx +4

iii)

I f(x)=n~ (x :O;b ; b e R) z.B. f(x) =

V2 -x

I

2

118

Funktionen einer unabhängigen Variablen

(fJ

(xl -4

-1 0

o

-4

(xl

2

Abb 2.3.91

Aufgabe 2.3.92: Für die nachfolgend definierten Funkt ionen ermittle man a) den maximalen Definitionsbereich und b) (in den Fällen i) - iv)) die Gleichung der jeweiligen Umkeh rrelation: 3

Aufgabe 2.3.93:

V""17;

4

i) Y = (x + 1)2 ; ii) Y = VxL 4 ; iii) Y =

iv) y

= 2....:!:...L ;

~

v) y

= ;

~

x

+8

5~

Gegeben ist eine Produkt ionsfunktion x: r ~ x(r) mit der Gleichung x(r) =

V4r-l00

-10

(x: Ouput in ME x ; r: Faktorinput in ME r ) .

Pro eingesetzt er Faktor einheit entstehen Kosten von 8 GE /ME r , pro produzierter Outputeinheit kann am Markt ein Preis von 100 GE/ME x erzielt werden. i) Man ermittle den (maximalen) mathematischen Definitionsbereich sowie den ökonomischen Definitionsbereich (Output muss nichtnegativ sein!) ii) E s werde ein Output von SO MEx produziert und abgesetzt. Man berechne die entstandenen

Faktorkosten sowie den Umsatz .

iii) Man ermittle die Kostenfunktion K, die die Beziehung zwischen Output x und zugehörigen Fak-

torkosten K(x) angibt. iv) Welche Outputmengen müssen produziert (und abgesetzt) werden, damit die Unternehmung in der Gewinnzone produziert?

2.3.4

Exponentialfunktionen

Zu den wichtigsten nichtalgebraischen Funktionen (transzendenten Funktionen) gehören die Exponentialfunktion en: Def. 2.3.94: Man nennt die für alle x E IR definierte Funktion f mit I fex) = a X I ' a E IR+\ {1 }, Exponentialfunktion .

I

Beispiel 2.3.95:

i) Y = 2x

;

ii)

Y = (+)X= 2- x

;

iii)

y

= eX "'"

2,71828x

Bemerkung 2.3.96 : i) Der strenge Beweis fü r die Existenz von aX für alle nichtgeführt werden.

XE

•

IR kann an dieserStelle

ii) Die Basis a in aX sollte ungleich Eins sein, da andernf alls die Exponentialf unktion in den trivialen Fall der konstanten Funktion mit y = 1 » entartet ".

2.3

119

Elementare Typen von Funktionen

iii) Der wesentliche in derformalen Darstellung zumAusdruck kommende Unterschied zwischen Potenzfunktion (mit [tx) = x a) und Exponentialfunktion (mit fex) = a X) besteht darin, dass im ersten Fall der Exponent (= a) konstant, im zweiten Fall der Expon ent (= x) variabel ist. cl ·all(x) +c 2· a h (x) -i , », iv) Auch zusammengesetzte Funktionen des Typs fex) = g (x) g (x) (mit !Jx), gJx) algebraisch) heißen Expon entialfunktionen. bi a 1 +b2 ' a 2 + " . Beispiele:

fex)

= 7 ·r

x

,.

fex)

=

4e-x+2 + 2 VX 1_e + 3x 4

v) Die allgemeinste Exponentialfunktion ist vom Typ: fex) = g (x)h(x) ,

z.B. [ix) =

XX

oder

f ex) = (2+N

x2 - 1

.

Abb. 2.3.97 zeigt die Graph en einiger Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Basiszahlen:

\

Abb .2.3.97

(t)

\

\

\

\

\ \ e- x \

Es gilt stets :

\ \ \ \ \

(aElR+ ,. xElR)

\

\ \

8

\,

,,~

(x) -1

0

An Abb. 2.3.97 werden die Eigenschaften der Exponentialfunktionen aX deutlich : Fall I :

g ,

Beispiel :

f(x)

=

eX

:

i) Definitionsbereich D, = IR ; Wertebereich Wf = IR+ (d.h. f: fex) = eX ist stets positiv) . ii) f ist in D, streng mono ton steigend und nähert sich mit abnehmendem x (d.h. von rechts nach links

betrachtet) immer mehr dem Wert O. iii) f verläuft (wegen a'' = 1) durch den Punkt P(O ; 1) .

Fall 11:

I 0< a < 1 I, Beispiel : f(x) = ( ~ )X = e- x :

i) Definitionsbereich D f = IR ; Wertebereich Wf = IR+ (d.h. f: fex) = e- x ist stets positiv) ii) f ist in D, streng monoton fallend und nähert sich mit wachsendem x immer mehr dem Wert O. iii) f verläuft (wegen aO = 1) durch den Punkt P(O; 1) .

Bemerkung 2.3.98: Da man z.B. e- x aus eX durch Vertauschen von negativen mit betragsgleichen p ositiven Argumenten erhält, ergibt sich der Graph von e-x aus dem Graph en von eX durch Spiegelung an der (senkrechten) Ordinatenachse.

2

120

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Bemerkung 2.3.99: i) Exponentialfunktionen des Typs fex) = eg(x) (g(x) algebraisch) sind für die Beschreibung vieler technischer und ökonomischer Vorgänge - vor allem wenn sie mit Wachstum oder Zerfall zu tun haben - von großer Bedeutung. Auch für die Bereiche der reinen Mathematik und der Statistik gehören die Exponentialfunktionen zu den wichtigstenFunkt ionen. ii) Jede Potenz aX (a > 0) kann in eine Potenz zur Basis e umgeformt werden: Wegen a = ein a (siehe Kap.1.2.3.3, (1.2.85)) gilt: aX = (ein a)x = eX ' In a . z.B. 7x = e X' In 7

Analog:

g(x)h(x) = eh(x)'In g(x)

Aufgabe 2.3.100:

(g > 0) .

Man ermittle a) den maximalen Definitionsbereich und b) die NullstelIen von

i) fex) = 3e- x - e 2x

iii) hex) =

;

~

(CX - e- X)

;

x - I

iv) k(x) = 3x2 . e- x2 -12e- x2

2.3.5

;

v) p(x) = 7 · e

X

+3 •

Logarithmusfunktionen

Da die Exponentialfunktion f: y = aX , a e IR+\ {1} in ihrem Definitionsbereich lR streng monoton ist, existiert ihre Umkehrfunktion f- I, siehe Satz 2.2.16 : Def.2.3.101:

Die Umkehrfunktion f- I zur Exponentialfunktion f mit y = aX (y = CX) (a > 0 ; a=F1) heißt Logarithmusfunktion, geschrieben: f- I: x

= logaY

(f- I: x

= In y).

Ihr Definitionsbereich Df-I ist gleich dem Wertebereich W f der Exponentialfunktion: Df-I = W f = IR+. Ihr Werteb ereich Wf-I ist lR (= D f) .

Abb. 2.3.102 zeigt die Verhältnisse am Beispiel f: y = eX

und

f-I : x = log.y = In y.

x = In y ergibt sich aus y = eX graph isch durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des L und In. Quadranten (unter Beachtung der Konvention, dass die unabhängige Variable stets auf der Abszisse abgetragen wird, siehe Bemerkung 2.1.1 0 Abb. 2.3.102

(xl (y,!

ii».

Aus Abb. 2.3.102 werden die Eigenschaften der Logarithmusfunktion log, (für a > 1) deutlich: i) Die Logarithmusfunktion ist streng monoton steigend . ii) Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion umfasst nur die positiven reellen Zahlen lR + (so

ist etwa In 0 oder In (-2) nicht definiert!). iii) Die einzige Nullstelle der Logarithmusfunktion liegt beim Abszissenwert ,,1":

loga 1 = O.

iv) Wenn x> 1, so ist log,x positiv, wenn x< 1, so ist log,x negativ. v) Wenn sich der Argumentwert der Zahl Null nähert, so fällt der Wert der Logarithmusfunktion unter jede negative Schranke.

2.3

121

El ementare Typen von Funktionen

Bemerkung 2.3.103 : i) Für die Gleichung der Umkehrfunktion von f : y = e" schreibt man x = In y (logarithmus naturalis}, fü r die Umkehrfunktionsgleichung von y = l O" schreibt man x = 19Y oder x = log y (dekadischer Logarithmus).

r

ii) Die Umformung von Funktionstermen, die L ogarithm en enthalten, geschieht mit Hilfe der Logarithmengesetze, siehe Kapitel 1.2.3.3:

LI :

log; (u -v) = logau + log; v

L2:

log; ( v) = log; u
u

L3: Beispiel:

f(x) =ln(x 5

I

.vx+T ) =5 'ln x+Tln(x+1), 3

(x > O) .

Zu den im Zu sammenhang mit logarithmischen Umformungen auftretenden Fehlern siehe Kap. 1.2.6. Aufgabe 2.3.104: Man ermittle a) den maximalen Definitionsbereich , b) die Null stellen sowie c) die Umkehrfunktionen (bzw. Umkehrrelationen) der nachfolgend definierten Funktionen f, g, k, h : i)

f(x) = In ~ ;

ii)

g(p) = In (

~

iii)

) ;

k(x)=ln(x +1)+lnx ;

iv) h(u) = In u + In ~ .

2.3.6 Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen, Winkelfunktionen) Zur Definition diese r Funktionen stellen wir un s einen Kreis vor mit dem R adius r = 1 ~,Einheit skreis "), dessen Mittelpunkt 0 im Ursprung eines u,v-Koordinatensystems liegt, siehe Abb. 2.3 .105 : (vJ

C {0, 11

Pfu,v}

D

8

{-1-o1

E

fu}

{1,01

Einheitskreis {Radius = 11

F Abb . 2.3. 105

G

{0,-11

Der Rad ius OP (Länge : r = 1) möge nun gegen den Uhrzeigersinn (in "mathema tisch positiver Drehrichtung") um den Ursprung 0 rotieren, beginnend in der Ausgangslage OB.

oe,

Nacheinander erreicht so der Radiu sstrahl die Positionen OP, oB usw., um nach einer vollen Umdrehung wieder in die Ausgangslage OB zurückzukehren. J ede weite re Rotation liefert erneut die schon bei der ersten Umdrehung angenomme nen Positionen , ein ident ischer Zyklu s beginnt.

122

2

Funktionen einer unabhängigen Variablen

Betracht en wir nun im Verlauf der Rot ation irgendeine Situation, z.B. 5P (fettgedru ckt in Abb. 2.3.105) . Die Spitze P des Radiusvektors besitzt die durch die spezielle Lage definiert en Koordinaten u (= waagerechte, horizont ale Koordinat e, Abszissenwert von P) und v ( = senkrechte, vertikale Koordinat e, Ordinatenwert von P). Im gleichen Maß, wie sich nun der Wink el x bei diesem Rotationsvorgang ändert, ändern sich auch die Koordinaten u ;v der Radiusspit ze (P). (Lediglich die Länge r (= 1) des Radius bleibt bei der Drehung unverändert. ) Aus diesem Grund ändern sich mit Variation des Wink els x auch die Seitenverhältn isse dick gezeichn eten Dreieck, m.a.W; diese Seitenverhältnisse : ' : sind jeweils Funktionen des Drehwinkels x .

::!.... ; J!. r

r

im

(wegen r = 1: ~ = v ; ~ = u)

Diese Funktionen haben spezielle Namen, nämlich Sinusfunktion (sin x) und Cosinusfunktion (cos x): Def.2.3.106:

(Sinus, Cosinus)

(2.3.1 07 a) (2.3.107 b)

bzw. (falls r = 1)

u r

cos x ,= -

sin x ,= v (siehe Abb. 2.3 .10 5)

cos x ,= u

Bemerkung 2.3 .108: In Anbetracht der Tatsache, dass diese Funktionen am Kreis veranschaulicht bzw. def iniert werden k önn en, nennt man sie häufig Kreisfunktionen . Die Tatsache, dass sie Funktionen eines Winkels x sind, f ührt zur alternativen B ezeichnung Winkelfunktionen . Eine dritte Bezeichnun g schließlich trägt der Tatsache Rechnung, dass diese Funktio nen durch die Seitenverhältnisse in einem (rechtwinklig en) Dreieck (sieheAbb. 2.3.105) definiertsind: trigonometrische Funktionen .

Die Sinus- und Cosinusfunktionen sind nicht die einzigen Kreisfunktionen. Bezugnehmend auf Abb. 2.3.105 definiert man die Tangensfunktion (tan x) und die Cotangensfunktion (cot x) wiefolgt: Def.2.3.109:

(Tangens, Cotangens)

(2.3.110)

tan x ,= sin x =::!.... cos x u

(2.3.111 )

cot x ,= _ 1_ = cos x =.!!... tan x sm x v

*0 * 0) sin x * 0 * 0) cos x (u

(siehe A bb. 2.3.105)

(v

Bemerkung 2.3.112: Die Definitionen der trigonometrischen Funktion (vgl. DeI 2.3.106/10 9) stimmen überein mit den allgemein bekannten elemen targeometrischen Definitionen am rechtwinkligen Dreieck: sin x = Gegenkathete Hypothenuse

v

A nkathete cos x = - - - - Hypothenuse

u

3

r

Gegenkathete tan x = ---'"----Ankathete

V

Ankat hete Gegenkathete

u

cot x

v= Gegenkathete von x

u

3

u = Ankathete von x

v

Strenggenommen müssteman anstalt von" Gegenkathete v" von der"Maßzahl v der Längeder Gegenkathete"sprechen usw. Solangekeine Missverständnisse zubefiirchten sind, werden wir die kürzere und bequemere (wenn auch nicht ganzkorrekte) Sprechweiseverwenden.

2.3

123

Elementare Typen von Fun ktionen Wählt man jeweils eine (geeignete) Seitenlänge des rechtwinkligen Dreiecks mit dem Wert ergeben sich anschauliche Interpretationen der Kreisfunktionen:

cosx

(( vor, so

~1

~tanx

~Sinx~

»1

cotx

1

Es stell t sich nun hera us, dass es für mathematische A nwendungen zweckmäßig ist, den Winkel x nicht im Gradmaß (0°,30°,90°, ...) zu messen, sondern im sogenannten Bogenmaß.

Weil bei festem R adius (hier wurde r = 1 G,Einheitskreis") gewählt) dem Mittelpunktswinkel