Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestutzte Verfahren. 5. Auflage

Springer-Lehrbuch

Reinhard Lerch

Elektrische Messtechnik Analoge, digitale und computergestützte Verfahren

5., neu bearbeitete Auflage Mit 532 Abbildungen und 64 Tabellen sowie DVD

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Professor Dr.-Ing. Reinhard Lerch Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Lehrstuhl für Sensorik Paul-Gordan-Str. 3/5 D-91052 Erlangen [email protected]

Extras im Web unter www.springer.com/978-3-642-05454-9

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-05454-9 e-ISBN 978-3-642-05455-6 DOI 10.1007/978-3-642-05455-6 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996, 2005, 2006, 2007 und 2010  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist nicht Urheber der Daten und Programme. Weder Springer noch der Autor übernehmen die Haftung für die CD-ROM und das Buch, einschließlich ihrer Qualität, Handels- und Anwendungseignung. In keinem Fall übernehmen Springer oder der Autor Haftung für direkte, indirekte, zufällige oder Folgeschäden, die sich aus der Nutzung der CD-ROM oder des Buches ergeben. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuziehen. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.de)

Vorwort zur fu ¨ nften Auflage

F¨ ur die 5. Auflage dieses Buches sind wichtige inhaltliche Erweiterungen vorgenommen worden. So wurde beispielsweise im Kapitel Messverst¨arker ein Abschnitt u arker mit differentiellem Ausgang hinzugef¨ ugt ¨ber Operationsverst¨ und im Kapitel Analoges Messen elektrischer Gr¨oßen ein Abschnitt u ¨ber Strommeßzangen neu aufgenommen. Außerdem wurden dort die Operationsverst¨arker-Datentabellen aktualisiert. Da insbesondere die Hard- und Software zur Messdatenerfassung und Laborautomation kontinuierlicher Innovation unterliegen, wurden die entsprechenden Kapitel auf den neuesten Stand der Technik gebracht, so zum Beispiel auch der Abschnitt u ¨ber PXI-Systeme, welche in letzter Zeit immer mehr an Bedeutung gewinnen. Auch der Abschnitt u ¨ber Analog-Digital-Umsetzer wurde aktualisiert. Das Angebot an Software, ¨ Rechenbeispielen und sonstigen Ubungsaufgaben, die sich auf der beiliegenden DVD befinden, wurde erg¨ anzt und ebenfalls auf den neuesten Stand gebracht. Weiterhin wurden alle Kapitel im Hinblick auf Inkompabilit¨aten in der Schreibweise von Formeln und Formelzeichen u uft und bestehende ¨berpr¨ Abweichungen korrigiert. Bei all diesen Arbeiten konnte ich wieder auf das bew¨ahrte Team meines Lehrstuhls vertrauen. Mein besonderer Dank gilt Frau B. Melberg und Frau C. Salley-Sippel sowie den Herren Dipl.-Ing. Th. Albach, Dr. techn. S. J. Rupitsch, Dr.-Ing. A. Sutor und M. G¨ unther f¨ ur Ihre tatkr¨aftige Mithilfe. F¨ ur die Unterst¨ utzung bei der technischen Erstellung des Werkes sowie beim Marketing geb¨ uhrt Frau Hestermann-Beyerle und Frau Kollmar-Thoni vom Springer-Verlag Heidelberg mein Dank. Abschließend darf ich mich bei allen Lesern bedanken, die dieses Werk kaufen, und darf Ihnen große Freude beim Lesen w¨ unschen. email: [email protected]

Erlangen, im Sommer 2010

Reinhard Lerch

Vorwort zur vierten Auflage

Zun¨achst einmal gilt mein besonders herzlicher Dank all denjenigen Lesern, die im letzten Jahr dieses Buch k¨ auflich erworben haben. Denn dank ihnen ist es m¨oglich geworden, schon ein Jahr nach Erscheinen der letzten Auflage die nunmehr 4. Edition dieses Werkes herauszugeben. Dadurch ist es in relativ kurzer Frist gelungen, neben anstehenden kleineren Korrekturen wesentliche Erweiterungen bzw. Verbesserungen am Text und der beiliegenden DVD vorzunehmen. Viele der Vorschl¨ age dazu stammen von Fachkollegen an Universit¨aten und Fachhochschulen. In diesem Zusammenhang geb¨ uhrt meinen Kollegen aus dem Kreise des AHMT (Arbeitskreis der Hochschullehrer Meßtechnik; www.ahmt.de) mein besonderer Dank. Denn vor allem von ihnen kamen konstruktive Vorschl¨ age, das vorliegende Werk in Richtung Meßsignalverarbeitung, Korrelationsmeßtechnik, Regressions- und Test-Verfahren auszubauen. F¨ ur diese sehr wertvollen Hinweise und Anmerkungen bei der Evaluierung der letzten Auflage m¨ ochte ich an dieser Stelle nochmals meinen besonderen Dank aussprechen. ¨ Desweiteren sind die Ubungsund Demonstrationsbeispiele auf beiliegender DVD in großem Umfang, insbesondere f¨ ur die eben genannten Kapitel, ausgebaut worden. Diese basieren im wesentlichen auf dem Programm LabVIEW (National Instruments), das auch bei dieser Auflage auf der DVD in seiner neuesten Version (Studentenversion) vorliegt. Mit Hilfe der auf der ¨ DVD enthaltenen Ubungen, Programmier- und Demonstrationsbeispielen ist es m¨oglich, daß der Leser sein mit dem Studium des Werkes erworbenes Wissen unmittelbar auf praktische ingenieurm¨ aßige Problemstellungen anwendet. Das ¨ ¨ dieses Lehrbuch begleitende Ubungsbuch “Elektrische Messtechnik - Ubungs¨ buch” rundet die Ubungsm¨ oglichkeiten in den Bereichen ab, f¨ ur die Computer¨ ubungen weniger geeignet sind als Rechnungen mit Papier und Bleistift. F¨ ur die entsprechende Unterst¨ utzung beim Erstellen der DVD und die gewinnbringende Kooperation mit der Firma National Instruments m¨ochte ich mich vor allem bei den Herren Marc Backmeyer und Dipl.-Ing. Rahman Jamal bedanken.

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Mein vorrangiger Dank gilt aber vor allem meinem Team des Lehrstuhls f¨ ur Sensorik, das durch seinen unerm¨ udlichen Einsatz in der letzen Zeit die schnelle Erstellung dieser 4. Auflage erm¨ oglicht hat. Hier sind vor allem zu nennen: Herr Dipl.-Ing. Thorsten Albach, Frau Bettina Melberg, Frau Cornelia SalleySippel, Herr Dr.-Ing. Alexander Sutor. Nicht zuletzt darf ich auch die wiederum exzellente Zusammenarbeit mit dem herausgebenden Verlag und seinen Mitarbeitern, vor allem Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Monika Lempe, hervorheben.

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Erlangen, im Sommer 2007

Reinhard Lerch

Vorwort zur dritten Auflage

Dank der recht großen Beliebtheit dieses Buches ist es m¨oglich, bereits zwei Jahre nach Erscheinen der letzten Auflage nunmehr die 3. Auflage dieses Werkes vorstellen zu k¨ onnen. Gegen¨ uber der 2. Auflage wurden vor allem die Kapitel zur Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung dem allerneuesten Stand der Technik angepaßt. So wird der j¨ ungst eingef¨ uhrte LXI-Standard zur Vernetzung von Meßger¨aten ebenso behandelt wie die neuesten Entwicklungen auf dem Gebiet der Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS), der Digitaloszilloskope, der USBMeßmodule sowie moderne Source Measuring Units. Damit ist dieser Block auf nunmehr 200 Seiten bzw. ein Drittel des Gesamtwerkes angewachsen. Das Kapitel Elektromechanische Meßger¨ ate“(Kapitel 6.1) wurde beibe” halten trotz der Tatsache, daß es sich dabei um eine in ihrer Bedeutung zur¨ uckgehende Meßger¨ ateklasse handelt. Dennoch halte ich diesen Abschnitt f¨ ur a¨ußerst wertvoll f¨ ur Studierende des Faches Sensorik bzw. f¨ ur das gesamte Gebiet der Mechatronik, da man anhand der Funktionsprinzipien f¨ ur elektromechanische Meßger¨ ate sehr sch¨ on die Interaktionen zwischen mechanischen und elektromagnetischen Feldern lernen kann. Demzufolge sind die hier behandelten elektromechanischen Grundprinzipien und Gesetzm¨aßigkeiten (z. B. die Lorentzkraft oder die Wirbelstromd¨ampfung) insbesondere f¨ ur das Verst¨andnis von modernen elektromechanischen Sensoren und Aktoren wichtig. An dieser Stelle gilt es auch, zun¨ achst einmal all denjenigen herzlich zu danken, die mich in den beiden letzten Jahren auf Fehler bzw. unklare Darstellungen in der 2. Auflage aufmerksam gemacht haben. Meistens handelte es sich dabei um Studierende der Technischen Fakult¨at der Friedrich-AlexanderUniversit¨at Erlangen-N¨ urnberg oder auch um Studierende anderer Universit¨aten und Fachhochschulen, die sich auf Pr¨ ufungen in ingenieurwissenschaftlichen F¨achern vorbereitet haben. Alle berechtigten Einw¨ande und Hinweise wurden in der vorliegenden Auflage ber¨ ucksichtigt. Bei der Erweiterung des Buches haben mich die Mitarbeiter des Lehrstuhls f¨ ur Sensorik der Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg wiederum mit großem

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Einsatz unterst¨ utzt. In allererster Linie bin ich unserem akadem. Rat, Herrn Dr.-Ing. Alexander Sutor, ebenso wie Herrn Dipl.-Ing. Martin Meiler, Herrn Dipl.-Ing. Erich Leder sowie dem Leiter unserer Elektronikwerkstatt, Herrn Michael G¨ unther, f¨ ur ihre Beitr¨ age zu diesem Werk zu großem Dank verpflichtet. F¨ ur ihren unerm¨ udlichen Einsatz bei der elektronischen Fertigstellung des kamerafertigen Manuskriptes samt aller darin enthaltenen, teilweise diffizilen Grafiken gilt mein besonders herzlicher Dank wiederum Frau Cornelia SalleySippel und Frau Bettina Melberg. Bedanken m¨ochte ich mich auch bei den beiden verantwortlichen Mitarbeiterinnen des Springer-Verlages, Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Monika Lempe, f¨ ur die hervorragende Unterst¨ utzung und exzellente Zusammenarbeit. ¨ Diesem Buch liegt eine CD-ROM mit Ubungsaufgaben zur R Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung in NI LabVIEW sowie zur Programmierung von Speicherprogrammierbaren SteuerunR bei. Dabei gibt es Programmieraufgagen (SPS) mit CoDeSys ben, deren L¨osung via Internet auf eine am Lehrstuhl f¨ ur Sensorik (FriedrichAlexander-Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg) aufgebaute Speicherprogrammierbare Steuerung heruntergeladen werden k¨ onnen. Anhand helligkeitsgesteuerter Lampen und LEDs l¨ aßt sich mittels einer WebCam die erfolgreiche Programmierung dieser SPS beobachten. Das oben gezeigte Icon weist an entsprechenden Stellen des Buches auf ¨ ¨ thematisch passende Ubungsaufgaben auf der CD-ROM hin. Weitere Ubungsbeispiele und Hinweise findet man unter www.lse.e-technik.uni-erlangen.de/elektrische_messtechnik

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Erlangen, im Sommer 2006

Reinhard Lerch

Vorwort zur zweiten Auflage

Die zweite Auflage tr¨ agt insbesondere den aktuellen Entwicklungen im Bereich Computerunterst¨ utzte Meßdatenerfassung Rechnung. Daher sind die entsprechenden Kapitel in der zweiten Auflage stark angewachsen und nehmen nunmehr u ¨ber ein Drittel des Gesamtumfanges ein. Infolgedessen k¨onnen alle wesentlichen Hard- und Software-Komponenten der modernen rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung behandelt werden. So werden beispielsweise die weltweite Vernetzung von Meßdaten- und Prozeßrechnern wie auch die Meßdatenerfassung unter Zuhilfenahme von Virtual Private Networks besprochen. Die zweite Auflage wurde ebenfalls erweitert auf dem Gebiet der Ausgleichsvorg¨ange in elektrischen Netzwerken, was der detaillierten Erl¨auterung der dynamischen Meßfehler und ihrer Korrekturm¨oglichkeiten zugute kommt. Auch die Analyse und Messung von nichtlinearen Bauelementen wurde in den Stoff aufgenommen. Bei der Erweiterung des Buches haben mich die Mitarbeiter des Lehrstuhls f¨ ur Sensorik der Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg mit großem Engagement unterst¨ utzt. In allererster Linie bin ich Herrn Dr.-Ing. Alexander Sutor und Herrn Dipl.-Ing. Martin Meiler f¨ ur ihre fachlichen Beitr¨age zu diesem Werk zu großem Dank verpflichtet. F¨ ur ihren unerm¨ udlichen Einsatz bei der Erstellung des Manuskriptes und der Grafiken gilt Frau Cornelia Salley-Sippel und Frau Bettina Melberg mein besonderer Dank. An der Korrekturlesung des Werkes waren alle Mitarbeiter des Lehrstuhls sowie Herr Dr.-Ing. G¨ unter Pretzl vom Lehrstuhl f¨ ur Technische Elektronik und meine Ehefrau Elke beteiligt. Auch ihnen sei an dieser Stelle daf¨ ur herzlich gedankt. Dank gilt auch den Mitarbeitern des Springer-Verlages f¨ ur die hervorragende Kooperation, insbesondere Frau Eva Hestermann-Beyerle und Frau Monika Lempe. email: [email protected]

Erlangen, im Sommer 2005

Reinhard Lerch

Vorwort zur ersten Auflage

Die in der zweiten H¨ alfte unseres Jahrhunderts erfolgten innovativen Entwicklungen auf dem Gebiet der Elektrotechnik haben f¨ ur die Elektrische Meßtechnik eine Vielzahl neuer Verfahren und Meßschaltungen mit sich gebracht. So basiert die Messung elektrischer und nicht-elektrischer Gr¨oßen heute vorwiegend auf Schaltungen, die erst durch in j¨ ungster Vergangenheit entwickelte elektronische Halbleiterbauelemente und integrierte Schaltkreise, wie beispielsweise Operationsverst¨ arker, digitale Grundschaltungen und AnalogDigital- bzw. Digital-Analog-Umsetzer, erm¨ oglicht wurden. Die Nutzung dieser modernen Elektronik und die enormen Fortschritte auf dem Gebiet der Digitalrechner haben zu einer sehr engen Verflechtung von Elektrischer Meßtechnik und Computertechnik bzw. Informatik gef¨ uhrt. Dies zeigt sich unter anderem in der Tatsache, daß die heutige Meßdatenerfassung und Meßsignalverarbeitung zunehmend auf Digitalrechner oder digitale Signalprozessoren verlagert werden und zum Teil in Software implementiert sind. Nachdem in den letzten Jahren eine Vielzahl von leistungsf¨ahigen Sensoren zur Detektion nicht-elektrischer Meßgr¨ oßen entwickelt wurde, verst¨arkt sich der Trend, daß viele nicht-elektrotechnische Wissenschaftszweige, wie z. B. der Maschinenbau und die Verfahrenstechnik, ihre meßtechnischen Probleme mit rein elektrotechnischen bzw. informationstechnischen Mitteln l¨osen. Es wurde versucht, dieser Entwicklung mit der Struktur des vorliegenden Werkes Rechnung zu tragen, ohne die klassischen Grundlagen zu vernachl¨assigen. So werden nach einem einf¨ uhrenden Kapitel u ¨ber Meßfehler, die konventionellen elektromechanischen Meßwerke besprochen, welche zwar zunehmend von digitalen Meßger¨ aten abgel¨ ost werden, deren grundlegende Wandlungsmechanismen aber f¨ ur das Gebiet der elektromechanischen Meßwertaufnehmer (Sensoren) von großer Bedeutung sind. Nach den Abschnitten zur Messung von elektrischer Spannung, elektrischem Strom und elektrischer Impedanz folgen als thematische Schwerpunkte die Methoden und Verfahren sowie die daraus resultierenden elektronischen Schaltungen der modernen Elektrischen Meßtechnik. Diese werden in den Kapiteln Operationsverst¨arker, Darstellung elektrischer Signale, Digitale Meßtechnik, Messung von Frequenz

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und Zeit sowie Meßsignalverarbeitung und Rechnergest¨ utzte Meßdatenerfassung behandelt. Die in diesem Buch angesprochenen Themen und Fragestellungen decken den Stoff einer einf¨ uhrenden Vorlesung Elektrische Meßtechnik ab. Dar¨ uberhinaus ist die Thematik einer weiterf¨ uhrenden Vorlesung Rechnergest¨ utzte Meßdatenverarbeitung und Meßsignalverarbeitung enthalten, die als Wahlvorlesung f¨ ur Studenten h¨ oherer Semester Bestandteil des an der Johannes Kepler Universit¨at Linz im Jahre 1990 eingerichteten Diplomingenieurstudienganges Mechatronik ist. Das Buch wendet sich jedoch nicht nur an Studenten der Fachrichtungen Elektrotechnik, Mechatronik, Maschinenbau, Informationstechnik, Physik und Chemie sondern auch an die bereits auf dem Gebiet der Meßtechnik praktisch t¨ atigen Ingenieure und Naturwissenschaftler, die ihr Wissen u ¨ber Meßtechnik auffrischen bzw. vertiefen wollen. Mit dem vorliegenden Werk sollen sowohl Kenntnisse u ¨ber die bei der Messung elektrischer Gr¨oßen eingesetzten Standardverfahren vermittelt als auch der neueste Stand der zur modernen Elektrischen Meßtechnik z¨ahlenden computergest¨ utzten Meßdatenerfassung und Meßsignalverarbeitung beschrieben werden. ¨ Das Buch ist in Verbindung mit dem Begleitwerk Ubungen zur Elek” ¨ trischen Meßtechnik“ (R. Lerch; M. Kaltenbacher; F. Lindinger: Ubungen zur Elektrischen Meßtechnik. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag 1996) zum ¨ Selbststudium geeignet. In diesem Ubungsbuch werden neben kurzen Repetitorien zahlreiche praktische Aufgaben und weiterf¨ uhrende Beispiele zu dem gesamten im Lehrbuch behandelten Stoff angeboten. F¨ ur das Verst¨andnis des in den beiden genannten Werken dargebotenen Stoffes werden lediglich Grundkenntnisse auf den Gebieten Elektrotechnik, Mathematik sowie Schaltungstechnik erwartet. Bei der Ausarbeitung des Manuskriptes habe ich viele Anregungen und wesentliche Unterst¨ utzung von allen am Institut f¨ ur Elektrische Meßtechnik der Universit¨at Linz t¨ atigen Mitarbeitern erfahren. In allererster Linie bin ich Herrn Dipl.-Ing. Manfred Kaltenbacher und Herrn Dipl.-Ing. Franz Lindinger f¨ ur ihre wesentlichen fachlichen Beitr¨ age zu diesem Werk sowie ihren unerm¨ udlichen Einsatz im Zusammenhang mit der Erstellung des Manuskriptes zu gr¨oßtem Dank verpflichtet. Die wahrlich nicht immer einfachen Aufgaben des computergerechten Textschreibens sowie der Anfertigung von Abbildungen lagen in den H¨ anden von Frau Waltraud Kratzer, die die immer wieder an¨ stehenden Texterweiterungen und Anderungen der Abbildungen mit großem Engagement und Sachverstand vorgenommen hat. Ihr geb¨ uhrt mein herzlicher Dank, ebenso wie Frau Sylvia Preßl, die ebenfalls viele der Grafiken angefertigt hat, wie auch Frau Ingrid Hagelm¨ uller, die f¨ ur die Texteingabe sowie die Erstellung der Abbildungen der ersten Manuskriptversion verantwortlich war. All denjenigen, die an der Korrekturlesung dieses Werkes beteiligt waren und Verbesserungsvorschl¨ age eingebracht haben, d. h. meinen Kollegen, meinen Assistenten, insbesondere den Herren Dipl.-Ing. Todor Sheljaskov und Dipl.Ing. Roland Exler, den Linzer Mechatronik-Studenten sowie meiner Ehefrau

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Elke, m¨ochte ich ebenfalls meinen herzlichen Dank f¨ ur ihren großen Einsatz aussprechen. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Hubertus Riedesel, der die Anregung zur Abfassung des vorliegenden Werkes gab, sowie seinen Mitarbeiterinnen Frau Marianne Ozimkowski und Frau Gaby Maas f¨ ur ihre Unterst¨ utzung bei der Erstellung des kamerafertigen Manuskriptes. Allen eben genannten Personen m¨ ochte ich auch danken f¨ ur ihr Verst¨andnis und ihre Geduld bei der mehrmals verz¨ ogerten Abgabe des Manuskriptes. Da es erwartungsgem¨ aß auch bei noch so sorgf¨altiger Bearbeitung des Textes nicht m¨oglich sein d¨ urfte, die Erstauflage eines solchen Buches fehlerfrei zu halten, m¨ochte ich mich schon vorab bei allen Lesern f¨ ur diese Fehler entschuldigen und sie ermutigen, von ihnen eventuell entdeckte Fehler an die folgende Adresse mitzuteilen: O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Reinhard Lerch Institut f¨ ur Elektrische Meßtechnik Johannes Kepler Universit¨ at Linz Altenberger Straße 69 A-4040 Linz email: [email protected]

Linz, im Januar 1996

Reinhard Lerch

Inhaltsverzeichnis

1

Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik . . . . . . 1.1 Zur Historie und Bedeutung der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Der Begriff des Messens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Begriffsdefinitionen in der Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Allgemeine Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Meßger¨ at und Meßeinrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Meßkette (Struktur einer elektrischen Meßeinrichtung) 1.4 Vorschriften und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Klassifizierung von Meßmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Ausschlagmethode - Kompensationsmethode . . . . . . . . . 1.5.2 Analog - Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Kontinuierlich - Diskontinuierlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Direkt - Indirekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Die Informationstr¨ ager im Meßsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 4 4 5 5 6 7 7 8 8 9 9

2

Die Grundlagen des Messens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Maßsysteme, Einheiten, Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Maßsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Abgeleitete Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Gr¨oßen- und Zahlenwertgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 11 13 13 13

3

Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und ¨ Vierpol-Ubertragungsverhalten ............................ 3.1 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen . . . . . . 3.5 Die Eigenschaften der Laplace-Transformation — Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 21 24 27

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XVIII Inhaltsverzeichnis

¨ 3.5.1 Uberlagerung .................................... 3.5.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Produkt zweier Laplace-Funktionen — Faltung . . . . . . . 3.5.5 Multiplikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.6 Verschiebung im Zeitbereich (Oberbereich) . . . . . . . . . . 3.5.7 Verschiebung im Laplace-Bereich (Unterbereich) . . . . . . 3.5.8 Dehnung bzw. Stauchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.9 Anfangswert-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.10 Endwert-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.11 Tabelle mathematischer Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation . Die R¨ ucktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L¨osung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung von Einschwingvorg¨ angen in elektrischen Netzwerken mit konzentrierten linearen passiven Bauelementen R¨ ucktransformation mittels Residuenmethode Heavisidescher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich . . Beschreibung von linearen zeitinvarianten Netzwerken durch ihre Sprungantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bode-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.1 Regeln f¨ ur Bode-Diagramme (reelle Pole und Nullstellen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.2 Regeln f¨ ur Bode-Diagramme mit komplexen Polpaaren

65 67

Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C) . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Nichtlinearer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Nichtlineare Induktivit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Nichtlineare Kapazit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Gesteuerte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . .

73 73 73 74 79 85 89 90

3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13

4

5

30 30 31 31 33 33 34 34 34 35 35 36 37 39 41 52 56 60 60

Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.1 Systematische Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.2 Zuf¨allige Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.2.1 Normalverteilung, Mittelwert, Standardabweichung . . . 98 5.2.2 Vertrauensbereich f¨ ur den Sch¨atzwert . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2.3 Fortpflanzung zuf¨ alliger Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.3 Genauigkeitsklassen bei Meßger¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Inhaltsverzeichnis

5.4

XIX

Dynamische Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 ¨ 5.4.1 Das Ubertragungsverhalten von Meßsystemen . . . . . . . . 107 5.4.2 Definition des dynamischen Meßfehlers . . . . . . . . . . . . . . 111 5.4.3 Bestimmung des dynamischen Meßfehlers . . . . . . . . . . . . 112 5.4.4 Meßsystem mit Tiefpaßverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6

Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.1.1 Drehspulmeßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.1.2 Galvanometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1.3 Elektrodynamisches Meßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.1.4 Dreheisenmeßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.1.5 Drehspulquotientenmeßwerk (Kreuzspulmeßwerk) . . . . 130 6.1.6 Drehmagnetmeßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.1.7 Elektrostatisches Meßwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1.8 Schaltzeichen f¨ ur Meßger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2.1 Messung von Gleichstr¨ omen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2.2 Messung von Gleichspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.2.3 Gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung . . . . . . 142 6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung . . . . . . . . . . . 143 6.3.1 Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3.2 Gleichrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3.3 Messung des Scheitelwertes (Spitzenwert, Peak Value) . 146 6.3.4 Messung des Gleichrichtwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.5 Messung des Effektivwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.6 Meßwandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.3.7 Strommeßzange f¨ ur Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.3.8 Hallelement (Galvanomagnetischer Effekt) . . . . . . . . . . . 164 6.3.9 Strommeßzange f¨ ur Gleichstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

7

Meßverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.1 Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.1.1 Idealer Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.1.2 Realer Operationsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.1.3 Definitionen von Operationsverst¨arker-Kenngr¨oßen . . . 176 7.1.4 Operationsverst¨ arker-Grundschaltungen . . . . . . . . . . . . . 183 7.1.5 Operationsverst¨ arker mit differentiellem Ausgang . . . . . 196 7.2 Spezielle Meßverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.2.1 Differenzverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.2.2 Instrumentenverst¨ arker (Instrumentierungsverst¨arker) . 201 7.2.3 Zerhacker-Verst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.2.4 Ladungsverst¨ arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

XX

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Messung der elektrischen Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.1 Leistungsmessung im Gleichstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.2.1 Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.2.2 Leistungsmessung im Einphasennetz . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.2.3 Leistungsmessung in Drehstromsystemen . . . . . . . . . . . . 223 8.3 Messung der elektrischen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9

Messung von elektrischen Impedanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1 Messung von ohmschen Widerst¨ anden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1.1 Strom- und Spannungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1.2 Vergleich mit einem Referenzwiderstand . . . . . . . . . . . . . 236 9.1.3 Verwendung einer Konstantstromquelle . . . . . . . . . . . . . 238 9.1.4 Verwendung eines Kreuzspulinstrumentes . . . . . . . . . . . . 239 9.2 Kompensationsschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.2.1 Gleichspannungskompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.2.2 Gleichstromkompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.3 Gleichstrom-Meßbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.3.1 Gleichstrom-Ausschlagbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.3.2 Gleichstrom-Abgleichbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.4 Messung von Schein- und Blindwiderst¨anden . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.5.1 Wechselstrom-Abgleichbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.5.2 Einfl¨ usse von Erd- und Streukapazit¨aten . . . . . . . . . . . . 252 9.5.3 Halbautomatischer Br¨ uckenabgleich . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.5.4 Wechselstrom-Ausschlagbr¨ ucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale . . . . . . . . . . 263 10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.1.1 Aufbau und Funktion der Elektronenstrahl-R¨ohre . . . . 263 10.1.2 Zeitablenkung und Triggerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.1.3 Funktionsgruppen eines Analog-Oszilloskops . . . . . . . . . 270 10.1.4 Sampling-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10.2 Spannungsteiler in Elektronenstrahl-Oszilloskopen . . . . . . . . . . . 276 10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie . . . . . . . 278 10.3.1 Statische Fehler (Fehler der Ablenkkoeffizienten) . . . . . 278 10.3.2 Linearit¨ atsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.3.3 Dynamische Fehler des Oszilloskops . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 10.4 Digital-Speicheroszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 10.4.1 Prinzipielle Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 10.4.2 Wiedergabe des aufgezeichneten Bildes . . . . . . . . . . . . . . 289 10.4.3 Betriebsarten des Digital-Speicheroszilloskops . . . . . . . . 291 10.4.4 Einsatz von Digital-Oszilloskopen in Verbindung mit Computern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.5 Vergleich Analog- und Digital-Oszilloskope . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

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XXI

10.6 Digital-Phosphor-Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 10.7 Stand der Technik bei Digital-Oszilloskopen . . . . . . . . . . . . . . . . 294 11 Digitale Meßtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 11.1 Duales Zahlensystem und Bin¨ arcodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 11.1.1 Dualzahlendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 11.1.2 BCD-, Hexadezimal- und Gray-Code . . . . . . . . . . . . . . . . 298 11.1.3 Fehlererkennung und Fehlerkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . 299 11.2 Bin¨are Signale und ihre Verkn¨ upfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 11.2.1 Grundregeln bei der logischen Verkn¨ upfung . . . . . . . . . . 299 11.2.2 Digitale Grundschaltungen (Gatterschaltungen) . . . . . . 300 11.2.3 Digitale Addierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 11.3 Bistabile Kippschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 11.3.1 RS-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 11.3.2 Taktzustandgesteuertes RS-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . 307 11.3.3 Taktflankengesteuertes RS-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . 308 11.3.4 Taktzustandgesteuertes D-Flip-Flop (Data-Latch) . . . . 308 11.3.5 Taktflankengesteuertes D-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 11.3.6 Taktflankengesteuertes JK-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . 311 11.3.7 Taktflankengesteuertes T-Flip-Flop . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 11.4 Monostabile Kippstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 11.5 Z¨ahler-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 11.5.1 Dualz¨ ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 11.5.2 BCD-Z¨ ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 11.6 Digital-Analog-Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 11.6.1 Grundlagen und Kenngr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 11.6.2 Schaltungstechnische Realisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . 320 11.6.3 Fehler bei der Digital-Analog-Umsetzung . . . . . . . . . . . . 325 11.7 Analog-Digital-Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 11.7.1 Abtastung (Sampling) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 11.7.2 Abtast-Halte-Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 11.7.3 Direktvergleichende Analog-Digital-Umsetzer . . . . . . . . 334 11.7.4 Analog-Digital-Umsetzung mit Delta-Sigma-Modulator 342 11.7.5 Time-Division-Multiplizierer (ImpulsbreitenMultiplizierer, S¨ agezahn-Multiplizierer) . . . . . . . . . . . . . 350 11.7.6 Analog-Digital-Umsetzung mit Zeit oder Frequenz . . . . 352 11.7.7 Vergleich der Grundprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 11.7.8 Fehler bei der Analog-Digital-Umsetzung . . . . . . . . . . . . 361 11.8 Digital-Multimeter (DMM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 11.8.1 Anzahl der Stellen und Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 11.8.2 Beispiel eines 4 1/2 -stelligen Digital-Multimeters . . . . . . 366 11.8.3 Messungen des echten Effektivwertes von Signalen mit Gleichanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 11.8.4 Gesamtfehler infolge Scheitelfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

XXII

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11.9 Strom-/Spannungsquellen mit R¨ uckmeßfunktion (Source Measure Units) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 11.9.1 Source Measure Units in automatischen Testsystemen . 369 11.9.2 Messung kleiner Str¨ ome bzw. Spannungen mit SMUs . 371 12 Die 12.1 12.2 12.3

Messung von Frequenz und Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Mechanische Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 Digitale Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Digitale Zeitmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 12.3.1 Zeitintervallmessung (Zeitdifferenzmessung) . . . . . . . . . . 376 12.3.2 Periodendauermessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 12.4 Digitale Phasenwinkelmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 12.5 Rechnender Z¨ ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 12.6 Zeit-Spannungs-Umsetzer (t/U-Umsetzer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 12.7 Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer) . . . . . . . . . . . . . . 383 12.8 Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 12.8.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 12.8.2 Harmonische Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 12.8.3 LC-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 12.8.4 Relaxationsoszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 12.8.5 Quarzoszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 12.8.6 Operationsverst¨ arker-Schaltung eines Quarzoszillators . 395 12.8.7 Fehler von Schwingquarzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung . . 398 12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation . . . . . . . . . . 401 12.10.1 Atomuhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 12.10.2 DCF-77 Zeitzeichensender . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 12.10.3 NAVSTAR/GPS-Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . . . . 404 12.10.4 Galileo-Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 12.10.5 St¨ orfaktoren bei der Satellitennavigation . . . . . . . . . . . . 411

13 Meßsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 13.1 Aufgaben und Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 13.2 Signalarten und Analyseformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 13.3 Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren . . . . . . . . . . . 416 13.4 Ermittlung des Effektivwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 13.4.1 Messung des Effektivwertes f¨ ur beliebige Signalverl¨aufe 421 13.5 Bestimmung von Mittelungswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 13.6 Kenngr¨oßen nicht-sinusf¨ ormiger periodischer Signale . . . . . . . . . 424 13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion 427 ¨ 13.8 Außere St¨ oreinwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 ¨ 13.9.1 Ubertragungsfunktion eines Optimalfilters . . . . . . . . . . . 441 13.9.2 Beispiel f¨ ur ein Optimalfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Inhaltsverzeichnis XXIII

14 Regression, lineare Korrelation und HypothesenTestverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 14.1 Regressionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 14.1.1 Ausgleichsgerade (lineare Regression) . . . . . . . . . . . . . . . 452 14.1.2 G¨ ute der Anpassung bei der linearen Regression (Varianz, Kovarianz, Restvarianz und Korrelationskoeffizient) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 14.1.3 Ausgleichspolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 14.1.4 Mehrfache lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 14.2 Lineare Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 14.3 Testverfahren (Hypothesen-Testverfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 14.3.1 Testen von Hypothesen, Entscheidungen . . . . . . . . . . . . . 465 14.3.2 Beispiele f¨ ur Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 15 Grundlagen der Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung . . . . 475 15.1 Grundstrukturen von rechnergest¨ utzten Meßsystemen . . . . . . . 475 15.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 15.2.1 Multifunktions-Einsteckkarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 15.2.2 Multiplexer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 15.2.3 St¨ orungen infolge Erdschleifen und Einkopplungen . . . . 488 15.2.4 Serielle Schnittstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 15.2.5 Parallelbussysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 15.2.6 Datenlogger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 15.3 Grundtypen des Datentransfers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 16 Meßdatenerfassung im Labor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 16.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle) . . . . . . . . 495 ¨ 16.1.1 Ubertragungsmedien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 16.1.2 Leitungsbelegung und Steckerverbindung der RS232C-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 16.1.3 Pegelfestlegung und deren logische Zuordnung . . . . . . . . 499 16.1.4 Logikdefinition f¨ ur Datenleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 16.1.5 Logikdefinition f¨ ur Steuer- und Meldeleitungen . . . . . . . 500 16.1.6 Synchronisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 16.1.7 Handshake-Verfahren (Quittierungsverfahren) . . . . . . . . 501 16.1.8 Software-Handshaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 16.1.9 Hardware-Handshaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 16.1.10 Hardware-Realisierung von seriellen Schnittstellen . . . . 503 16.2 Kenngr¨oßen der seriellen Daten¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . 506 16.3 Die RS485-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 16.3.1 Eine Twisted-Pair-Leitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 16.3.2 Zwei Twisted-Pair-Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 16.4 Die 20 mA-Stromschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 16.5 Die USB-Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 16.6 Der IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

XXIV Inhaltsverzeichnis

16.6.1 Historie des IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 16.6.2 Bezeichnungen des IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 16.6.3 IEC-Bus-Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 16.6.4 Ger¨ ategrundfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 16.6.5 IEC-Bus-Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 16.6.6 Bus-Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 16.6.7 Handshake-Verfahren (Dreidraht-Handshake) . . . . . . . . 515 16.6.8 Nachrichtenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 16.6.9 Schlußzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 16.6.10 Statusabfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 16.6.11 IEC-Bus-Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 16.7 VXI-Bus, PXI-Bus und MXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 16.7.1 VXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 16.7.2 Resource Manager (System Manager) . . . . . . . . . . . . . . . 528 16.7.3 Commander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 16.7.4 Servant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 16.7.5 Busgliederung/Teilbusse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 16.7.6 VXI- und IEC-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 16.7.7 PXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 16.7.8 PCI-Express . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 16.7.9 PXI-Express (PXIe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 16.7.10 MXI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 16.7.11 PXI MultiComputing (PXImc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 16.7.12 Historie der bisher diskutierten Bus-Standards . . . . . . . 537 17 Meßdatenerfassung im Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 17.1 Die speicherprogrammierbare Steuerung (SPS) . . . . . . . . . . . . . . 539 17.1.1 Aufbau einer SPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 17.1.2 Programmstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 17.1.3 Permanent-zyklischer Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 17.1.4 Ausnahmen vom permanent-zyklischen Betrieb . . . . . . . 542 17.1.5 Besonderheiten der Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . 542 17.1.6 Programmiersprachen f¨ ur SPS nach IEC 61131-3 . . . . . 542 17.1.7 Beispiele f¨ ur die IEC-genormten SPSProgrammiersprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 17.2 Neue Entwicklungen bei Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 17.2.1 Vernetzung von Speicherprogrammierbaren Steuerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 17.2.2 Visualisierung von SPS-Daten und -Prozessen . . . . . . . . 553 17.3 Hierarchie industrieller Bussysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 17.4 Vorschrift f¨ ur eine einheitliche Kommunikation: Das ISO-Schichtenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 17.5 Netzwerktopologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 17.6 Bus-Zugriffsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

Inhaltsverzeichnis

XXV

17.6.1 Klassifizierung der Bus-Zugriffsverfahren . . . . . . . . . . . . 563 17.7 Modulationsverfahren und Bitcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 17.7.1 Alternierende Puls Modulation (APM) . . . . . . . . . . . . . . 563 17.7.2 Fehlererkennung und Datensicherung . . . . . . . . . . . . . . . 565 17.7.3 Bitcodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 17.8 Schnittstellenkonverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 17.9 Der Feldbus (FAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 17.9.1 ASI-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 17.9.2 CAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572 17.9.3 PROFIBUS-DP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 17.9.4 FIP-Bus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 17.9.5 INTERBUS-S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578 17.9.6 BITBUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 17.9.7 EIB (European Installation Bus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 17.9.8 LON (Local Operating Network) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 17.9.9 DIN-Meßbus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 17.10 Prim¨are Sensorelement-Schnittstelle (PrimSens) . . . . . . . . . . . . 586 18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN) 589 18.1 IP-Adressen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 18.2 Subnetzmasken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 18.3 Internet-Protokoll (IP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 18.4 Transmission Control Protocol (TCP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 18.5 Echtzeitf¨ ahigkeit des Ethernet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 ¨ 18.6 Ubergeordnete Kommunikationsebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 ¨ 18.7 Physikalische Ethernet-Ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 18.8 Ethernet-Telegrammstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 18.9 Verbindung mehrerer lokaler Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 18.10 Standort¨ ubergreifende Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 18.10.1 Breitband-ISDN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 18.10.2 Datex-P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 18.10.3 GSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 18.10.4 Powerline-Kommunikation (Power Line Communication, PLC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 18.10.5 Satellitenkommunikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 18.10.6 Metropolitan Area Network (MAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 18.10.7 Wide Area Network (WAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 18.10.8 Hochgeschwindigkeits-Glasfasernetz FDDI . . . . . . . . . . . 600 18.11 Rechnernetze zur Meßdaten¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 18.11.1 Spezielle Bussysteme zur Meßdatenerfassung . . . . . . . . . 601 18.11.2 Vernetzung von Meßdatenerfassungssystemen mittels Ethernet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 18.12 Virtuelle Instrumentierung auf der Basis von USB-Meßmodulen605 18.12.1 Funktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 18.12.2 Beispiele f¨ ur USB-Meßger¨ ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

XXVI Inhaltsverzeichnis

18.13 Ethernet-Nutzung zur Meßdatenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 18.13.1 LXI - Ein neuer Standard f¨ ur die Meßtechnik . . . . . . . . 610 18.13.2 Die technische Basis von LXI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 18.13.3 Die 3 Ger¨ ateklassen A, B und C des LXI-Standards . . . 612 18.13.4 Triggerm¨ oglichkeiten von LXI-Ger¨aten . . . . . . . . . . . . . . 614 18.13.5 Triggerung gem¨ aß IEEE-1588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 18.13.6 Die Situation des LXI-Ger¨ atemarktes . . . . . . . . . . . . . . . 616 18.14 VPN - Virtual Private Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen . . . . . . . . 619 19.1 Allgemeine Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 19.2 IEC- und VXI-Bus-Kommunikation, SCPI-Standard . . . . . . . . . 620 19.2.1 Syntax der SCPI-Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 19.2.2 SCPI-Datenformate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 19.3 Einsatz kommerzieller Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 19.4 Kategorien von Softwarel¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 19.4.1 Dialoggef¨ uhrte Komplettpakete (Fertigl¨osungen) . . . . . 626 19.4.2 Modul-Bibliotheken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 19.4.3 Graphikorientierte Entwicklungssysteme (Programmgeneratoren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 19.4.4 Systeme mit speziellen Kommandosprachen . . . . . . . . . . 628 19.5 LabVIEW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 19.6 LabWindows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 19.7 MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 20 Geb¨ audeautomatisierung (Smart Home) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639 20.1 Struktur des Gesamtsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 20.2 Datenerfassung mit frequenzanaloger Schnittstelle . . . . . . . . . . . 641 20.3 Datenerfassung mit digitaler Schnittstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 20.4 Datenerfassung mit energieautarker digitaler Funkschnittstelle 644 20.5 Lokale und weltweite Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 20.5.1 LAN - lokales Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 20.5.2 Standort¨ ubergreifende Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 20.5.3 Weltweite Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 20.6 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661

1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

1.1 Zur Historie und Bedeutung der Meßtechnik Die meßtechnische Erfassung von physikalisch-technischen Gegenst¨anden und Prozessen stellt zusammen mit der logischen Denkf¨ahigkeit des Menschen, also insbesondere auch der F¨ ahigkeit, diese Objekte und Vorg¨ange mathematisch zu beschreiben, eine wesentliche Grundlage aller Natur- und Ingenieurwissenschaften dar. Schon der griechische Philosoph Platon (427-347 v. Chr.) hat auf die große Bedeutung der Meßtechnik hingewiesen, als er im X. Buch seines Werkes Der Staat“ schrieb [122]: ” ’Dieselben Gegenst¨ande erscheinen uns krumm oder gerade, je nachdem ” wir sie in oder außer Wasser erblicken, ebenso hohl oder erhaben infolge der T¨auschung unseres Gesichtssinnes durch die Farben; und all dies deutet auf eine Verwirrung in der Seele hin.’ (...) ’Messen, Z¨ahlen und W¨agen zeigen sich dagegen als die willkommensten Helfer, so daß in uns nicht das scheinbar Gr¨oßere oder Kleinere oder Zahlreichere oder Schwerere von Ausschlag ist, sondern das Rechnende, Messende, W¨agende.’ ’Wie auch nicht!’ ’Das ist die Aufgabe des vern¨ unftigen Teiles in unserer Seele.’(...) ’Der Teil, der auf Maß und Berechnung vertraut, ist wohl der beste Teil der Seele?’ ’Nat¨ urlich!’ ’Sein Gegenteil geh¨ort zu dem Schwachen in uns?’ ’Notwendigerweise!’“ Zwischen der Meßtechnik, deren grundlegende Aufgabe die experimentelle Bestimmung physikalischer Gr¨ oßen ist, und der Entwicklung der Industrielandschaft aber auch der kulturellen Entwicklung bestehen seit jeher große Abh¨angigkeiten. Die Meßtechnik spielte schon in der Antike eine zentrale Rolle, insbesondere im Zusammenhang mit Meßgr¨oßen, die Bestandteil des t¨ aglichen Leben sind, wie z. B. Entfernungen oder das Gewicht von Waren. Die entsprechenden Maßeinheiten lieferte oft der menschliche K¨orper, wie u.a.

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

die in fr¨ uheren Zeiten gebr¨ auchlichen Einheiten Fuß“, Spanne“ oder Klaf” ” ” ter“ zeigen. Wie die Funde von W¨ agesteinen belegen, war das f¨ ur die Entwicklung der Ware-Geld-Beziehung notwendige, auf Gewichtseinheiten basierende Wiegen bereits Jahrtausende vor Christus eingef¨ uhrt. Eines der ¨altesten, aus Babylon stammenden Maßsysteme enthielt auch schon Einheiten f¨ ur die Gr¨oßen L¨ange“ (babylonische Elle), Fl¨ ache“, Volumen“ und Gewicht“. ” ” ” ” Um dem im Laufe der Jahrhunderte entstandenen Wildwuchs an Maßeinheiten Einhalt zu gebieten, war es eine Forderung der Franz¨osischen Revolution, daß einheitliche Maße vereinbart werden sollten. Schließlich wurde im Jahre 1799 die L¨angeneinheit Meter“ als der vierzigmillionste Teil des Erdmeri” dians zun¨achst in Frankreich, sp¨ ater auch in Preußen und Sachsen, festgeschrieben, w¨ahrend von der industriellen Entwicklung Englands die bekannten angels¨achsischen L¨ angenmaßeinheiten ausgingen. Bis ins 19. Jahrhundert hinein beschr¨ankte man sich auf die Messung geometrischer, mechanischer und thermischer Gr¨ oßen. F¨ ur die quantitative Erfassung weiterer wichtiger Meßgr¨oßen, wie z. B. die Ionendosis oder die Energiedosis von radioaktiver Strahlung, standen bis dahin keine entsprechenden Meßger¨ate zur Verf¨ ugung; es bestand jedoch schon die M¨ oglichkeit ihres qualitativen Nachweises. Die Meßtechnik hat auch ganz wesentlich zur Weiterentwicklung aller Natur- und Ingenieurwissenschaften beigetragen. So verhalf beispielsweise die Zeitmeßtechnik zu Aussagen u aßigkeiten bei der Erdrotation. ¨ber Unregelm¨ Heute ist die Meßtechnik als ein zentrales Element der modernen Technologieund Industrielandschaft etabliert. Sie dient dort neben dem Warenaustausch vor allem der Forschung und Entwicklung, der Fertigung sowie der Qualit¨atssicherung von Produkten. Eine Vielzahl technischer Funktionsabl¨aufe muß st¨ andig meßtechnisch kontrolliert werden, um beispielsweise die gew¨ unschte Qualit¨at in der Fertigung zu erreichen oder auch um die notwendige Sicherheit und Umweltvertr¨aglichkeit von Prozessen zu gew¨ahrleisten. Ein Beispiel aus dem Bereich des Umweltschutzes zeigt auch, daß sich manche der dort anstehenden Aufgaben erst mit der Entwicklung und Bereitstellung eines hochwertigen Meßverfahrens l¨ osen lassen. So wurde am Institut f¨ ur Hochfrequenztechnik der Universit¨ at Erlangen ein Empf¨anger f¨ ur elektromagnetische Submillimeterwellen (Frequenzen im Terahertzbereich) entwickelt, welcher in Flugzeugen, die in großer H¨ ohe fliegen, eingesetzt werden kann, um dort Schadstoffkonzentrationen zuverl¨ assig zu messen. Diese Messungen basieren im wesentlichen auf der Detektion elektromagnetischer Strahlung, die bei einer Frequenz von 2,5 Terahertz von sog. Hydroxyl-Ionen emittiert wird. Diese Hydroxyl-Ionen werden neben den Fluorkohlenwasserstoffen (FCKW) als eine Substanz angesehen, die zum Abbau der Ozonschicht f¨ uhrt. Viele technische Fortschritte spiegeln sich in der Entwicklung von Meßverfahren und dazugeh¨ origen Meßger¨ aten wider, die ihrerseits wiederum zu einer Verbesserung des Kenntnisstandes auf dem Gebiet der Elektrotechnik beitragen. Eines der j¨ ungsten Beispiele daf¨ ur ist der Quanten-Halleffekt, f¨ ur dessen Entdeckung im Jahre 1985 der Nobelpreis an Prof. von Klitzing vergeben wurde. Der Effekt konnte nur durch Bereitstellung und Nutzung einer sehr

1.2 Der Begriff des Messens

3

hochwertigen Meßtechnik entdeckt werden. Andererseits kann der QuantenHalleffekt wiederum zur hochgenauen Definition der Einheit des ohmschen Widerstandes genutzt werden, womit er zu einer gr¨oßeren Pr¨azision in der Elektrischen Meßtechnik beitr¨ agt. In nahezu allen Disziplinen der Technik geht die entsprechende Meßtechnik zunehmend in eine rein elektrische Meßwertverarbeitung u ¨ber. Der allgemeine Trend besteht darin, f¨ ur die verschiedenen Meßaufgaben Meßwertaufnehmer zu entwickeln, welche die unterschiedlichsten nicht-elektrischen Meßgr¨oßen detektieren und in entsprechende elektrische Signale umsetzen. Die weitere Verarbeitung dieser nunmehr elektrischen Signale (Meßwerte) ist dann weitgehend standardisiert und mittlerweile ein fester Bestandteil der Elektrischen Meßtechnik geworden. Der große Vorzug der Elektrischen Meßtechnik liegt dabei vor allem in der großen Pr¨ azision, mit der sich elektrische Signale, etwa im Gegensatz zu mechanischen Gr¨ oßen, bei relativ geringem Aufwand verarbeiten und speichern lassen. Auch die Tatsache, daß sich die beiden Gr¨oßen Frequenz“ und Zeit“ ” ” mit Hilfe der Methoden der Elektrischen Meßtechnik mit großer Genauigkeit bestimmen lassen, bildet eine weitere Basis ihres Erfolges. So beruht beispielsweise das Prinzip des heute weltweit angewendeten Navigationssystems GPS (Global Positioning System) auf einer pr¨ azisen Messung von Zeiten, in diesem Fall von Laufzeiten, die ein elektromagnetisches Signal von einem in bekannter Position befindlichen Satelliten bis zu einem Empfangsort ben¨otigt. An diesem Empfangsort befindet sich ein portabler Empf¨anger, dessen geometrische Breiten-, L¨angen- und H¨ ohenkoordinaten aus diesen Zeitmessungen mit hoher Genauigkeit bestimmt werden k¨ onnen.

1.2 Der Begriff des Messens Unter Messen versteht man das quantitative Erfassen einer Gr¨oße, der sog. Meßgr¨oße. Pr¨aziser formuliert heißt Messen, eine zu messende Gr¨oße als Vielfaches einer allgemein anerkannten Einheitsgr¨ oße derselben physikalischen Dimension zu bestimmen, und zwar durch experimentellen Vergleich mit einer Maßverk¨orperung dieser Einheit. Dabei bedienen wir uns sog. Meßger¨ate. Meßger¨ate k¨onnen insbesondere auch den Teil der Natur erschließen helfen, f¨ ur den unsere Sinne keine Empfindungen haben, wie z.B. der Schall im Ultraschallbereich oder alle Arten von ionisierender Strahlung. Zur Durchf¨ uhrung von Messungen m¨ ussen die folgenden drei Voraussetzungen erf¨ ullt sein: • • •

Existenz eines Zahlensystems Definition einer Meßgr¨ oße Festlegung der Einheit.

Die Elektrische Meßtechnik behandelt zun¨ achst die Messung rein elektrischer Gr¨oßen, wie Spannung, Strom, elektrische Leistung und Impedanz (Widerstand, Induktivit¨at, Kapazit¨ at). Nach der eigentlichen Gewinnung (Detektion) des Meßsignals wird dieses verarbeitet, d. h. es wird u. a. kompensiert,

4

1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

verst¨arkt, ¨ ubertragen, linearisiert oder digitalisiert, bevor das Meßergebnis (Meßwert) entweder • • •

auf einer Anzeige (analog oder digital) ausgegeben, mittels Schreiber oder Drucker dokumentiert oder zur Regelung eines Prozesses benutzt wird.

Ein weiteres wichtiges Teilgebiet der Elektrischen Meßtechnik besch¨aftigt sich mit der Messung nicht-elektrischer Gr¨oßen. Dazu bedient man sich sog. Sensoren (Aufnehmer, Meßf¨ uhler, Detektoren), welche die jeweilige physikalische Gr¨oße in ein elektrisches Signal umwandeln, das dann leicht mit bew¨ahrten Methoden der Elektrischen Meßtechnik weiterverarbeitet werden kann. Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß sich die Elektrische Meßtechnik mit den folgenden Teilaufgaben besch¨ aftigt: • • •

Gewinnung des Meßsignals, d. h. Detektion der (elektrischen oder nichtelektrischen) Meßgr¨ oße und Umwandlung in ein f¨ ur die weitere Verarbeitung geeignetes elektrisches Signal ¨ Verarbeitung und Ubertragung des elektrischen Meßsignals Darstellung, Dokumentation und Speicherung der Meßwerte.

Die Verarbeitung elektrischer Meßsignale zeichnet sich gegen¨ uber den Meßverfahren anderer Wissenschaftszweige durch folgende Vorz¨ uge aus: • • • •

leistungsarmes und damit r¨ uckwirkungsarmes Erfassen von Meßgr¨oßen großer Meßbereichsumfang (hohe Dynamik) einfache Verarbeitbarkeit der Meßsignale mit Hilfe elektronischer Schaltungen ¨ leichte Ubertragbarkeit und Speicherung der Meßsignale mit Standardverfahren der Nachrichtentechnik.

1.3 Begriffsdefinitionen in der Meßtechnik 1.3.1 Allgemeine Begriffe Im folgenden werden die wichtigsten Begriffsdefinitionen der Meßtechnik nach DIN 1319 (Grundbegriffe der Meßtechnik), VDI/VDE 2600 (Metrologie, Meßtechnik) sowie DIN VDE 0410 (Bestimmungen f¨ ur elektrische Meßger¨ate) zusammengefaßt: Messen ist der experimentelle Vorgang, durch den ein spezieller Wert einer physikalischen Gr¨ oße als Vielfaches einer Einheit oder eines Bezugswertes ermittelt wird (DIN 1319). Die Meßgr¨oße ist die physikalische Gr¨ oße, deren Wert durch eine Messung ermittelt werden soll (VDI/VDE 2600). Der Meßwert ist der gemessene spezielle Wert einer Meßgr¨oße, er wird als Produkt aus Zahlenwert und Einheit angegeben (DIN 1319).

1.3 Begriffsdefinitionen in der Meßtechnik

5

Das Meßergebnis ist ein aus mehreren Meßwerten einer physikalischen Gr¨oße oder aus Meßwerten f¨ ur verschiedene Gr¨ oßen nach einer festgelegten Beziehung ermittelter Wert oder Werteverlauf. Ein einzelner Meßwert kann aber auch bereits das Meßergebnis darstellen (VDI/VDE 2600). Meßprinzip heißt die charakteristische physikalische Erscheinung, die bei der Messung benutzt wird (DIN 1319). Meßverfahren nennt man die spezielle Art der Anwendung eines Meßprinzips (VDI/VDE 2600). Man unterscheidet dabei im wesentlichen zwischen dem Ausschlagverfahren, bei dem der Ausschlag oder die Anzeige eines Meßwertes ein Maß f¨ ur die Meßgr¨ oße ist (idealerweise proportional), und dem Nullabgleichverfahren, bei dem die in Kap. 1.5.1 beschriebene Kompensationsmethode eingesetzt wird. 1.3.2 Meßger¨ at und Meßeinrichtung Ein Meßger¨at liefert oder verk¨ orpert Meßwerte, auch die Verkn¨ upfung mehrerer voneinander unabh¨ angiger Meßwerte, z. B. das Verh¨altnis von Meßwerten (DIN 1319). Eine Meßeinrichtung besteht aus einem Meßger¨at oder mehreren zusammenh¨angenden Meßger¨ aten mit zus¨ atzlichen Einrichtungen, die ein Ganzes bilden (DIN 1319). Als Hilfsger¨ate werden die Komponenten bezeichnet, die nicht unmittelbar der Aufnahme, der Umformung oder der Ausgabe von Meßwerten dienen. Meßsignale stellen Meßgr¨ oßen im Signalflußweg einer Meßeinrichtung durch zugeordnete physikalische Gr¨ oßen gleicher oder anderer Art dar (VDI/VDE 2600). 1.3.3 Meßkette (Struktur einer elektrischen Meßeinrichtung) Eine komplette Meßkette besteht aus den in Abb. 1.1 gezeigten Komponenten. Grunds¨atzlich besteht eine Meßeinrichtung zur elektrischen Messung elektrischer bzw. nicht-elektrischer Gr¨ oßen aus den Meßger¨aten (Meßgliedern), die im einzelnen folgende Aufgaben erf¨ ullen: • • •

Aufnehmen der Meßgr¨ oße Weitergeben, Anpassen und Verarbeiten des Meßsignals Ausgeben des Meßwertes.

Nach dem Ger¨ateplan (Abb. 1.1) sind die hierf¨ ur notwendigen Meßglieder in einer Meßkette zusammengeschaltet (VDI/VDE 2600, Bl. 3). Der Aufnehmer wandelt die Meßgr¨ oße entweder direkt oder u ¨ber andere physikalische Gr¨oßen in ein elektrisches Meßsignal y1 um. Die Anpasser enthalten Meßger¨ate, die zwischen Aufnehmer und Ausgeber in der Meßkette liegen. Dazu geh¨oren vor allem Meßverst¨arker und elektronische Rechenger¨ate. Der Ausgeber gibt die Meßwerte z analog oder digital entweder direkt (d. h. sofort sichtbar und verst¨andlich) u ¨ber eine Anzeige, Schreiber bzw. Z¨ahler oder aber indirekt, d. h. nicht ohne Spezialvorrichtung lesbar, zur weiteren Informationsverarbeitung aus. Die Hauptaufgabe des Hilfsger¨ ates ist es, die von den Meßger¨aten eventuell ben¨otigte Hilfsenergie zu liefern.

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1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

Abb. 1.1. Struktur einer elektrischen Meßeinrichtung nach VDI/VDE 2600

1.4 Vorschriften und Normen In Tabelle 1.1 werden die wichtigsten nationalen und internationalen Institutionen angef¨ uhrt, die zur Normbildung und zur Definition von Vorschriften im Bereich der Elektrischen Meßtechnik beitragen. In Tabelle 1.2 sind die wichtigsten in der Elektrischen Meßtechnik zu beachtenden Vorschriften und Normen in tabellarischer Form zusammengefaßt. Tabelle 1.1. Normbildende Institutionen und Standardisierungsgremien ANSI CCITT

American National Standards Institute, New York; USA/national Comit´e Consultatif International T´el´egraphique et T´el´ephonique, Genf; international CEE Commission Internationale de R´eglementation en vue de l’approbation de l’Equipment Electrique; Europa CENELEC Comit´e Europ´een de Coordination des Normes Electriques; Europa DIN Deutsches Institut f¨ ur Normung e. V., Berlin; national EIA Electronic Industry Association; USA/national IEC International Electrotechnical Commission; international IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers, New York; national/international ISO International Standards Organisation, Genf; international ¨ ¨ OVE Osterreichischer Verband f¨ ur Elektrotechnik, Wien; national VDE Verband Deutscher Elektrotechniker e. V., Frankfurt; national VDI Verband Deutscher Ingenieure e. V., D¨ usseldorf; national DKE Deutsche Elektrotechnische Kommission im DIN und VDE; national

1.5 Klassifizierung von Meßmethoden

7

Tabelle 1.2. VDE-Vorschriften und DIN-Normen (Auswahl) Norm

Inhalt

VDE 0410 VDE 0411 VDE 0414 VDE 0418 VDE 2600 DIN 1301 DIN 1304 DIN 1313 DIN 1319 DIN 1333 DIN 40108 DIN 40110 DIN 43710 DIN 43780 DIN 43802 DIN 43808 DIN 43821 DIN 43830 DIN 43850 DIN 5478 DIN 5483

Bestimmungen f¨ ur elektrische Meßger¨ ate Bestimmungen f¨ ur elektronische Meßger¨ ate und Regler Bestimmungen f¨ ur Meßwandler Bestimmungen f¨ ur Elektrizit¨ atsz¨ ahler Metrologie (Meßtechnik) Einheiten Formelzeichen Physikalische Gr¨ oßen und Gleichungen Grundbegriffe der Meßtechnik Zahlenangaben Gleich- und Wechselstromsysteme Wechselstromgr¨ oßen Thermospannungen und Werkstoffe der Thermopaare Genauigkeitsklassen von Meßger¨ aten Skalen und Zeiger f¨ ur elektrische Meßinstrumente Zungenfrequenzmesser Widerstandsferngeber Schreibende Meßger¨ ate Elektrizit¨ atsz¨ ahler Maßst¨ abe in graphischen Darstellungen Zeitabh¨ angige Gr¨ oßen

1.5 Klassifizierung von Meßmethoden Eine Klassifizierung von Meßmethoden kann nach verschiedenen Kriterien erfolgen. Die wichtigsten Klassifizierungsmethoden werden in den folgenden vier Abschnitten kurz beschrieben. 1.5.1 Ausschlagmethode - Kompensationsmethode Bei der Ausschlagmethode wird die Meßgr¨ oße direkt oder u ¨ber Zwischengr¨oßen in einen m¨oglichst proportionalen Ausschlag umgewandelt, z. B. die Winkelstellung eines Meßger¨ atezeigers. Als Sonderfall kann dieser Ausschlag auch in reiner Zahlendarstellung mit theoretisch unendlich vielen Nachkommastellen erfolgen. Ein charakteristisches Kennzeichen dieser Meßmethode ist der Entzug von Energie aus dem Meßobjekt, was eine R¨ uckwirkung auf die zu messende Gr¨oße zur Folge hat. Bei der Kompensationsmethode hingegen (Abb. 1.2) wird von der Meßgr¨ oße xE bzw. der daraus abgeleiteten Abbildungsgr¨oße xB eine mittels einer Hilfsquelle erzeugte gleichartige und gleichgroße Kompensationsgr¨oße xK (Vergleichsgr¨oße) subtrahiert, so daß die Differenz von Meßgr¨oße bzw. Abbildungsgr¨oße und Kompensationsgr¨ oße gerade Null ergibt. Die Meßgr¨oße wird

8

1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

dabei zun¨achst mit Hilfe eines Aufnehmers in eine proportionale Abbildungsgr¨ oße xB umgewandelt. Die Kompensationsgr¨oße muß sowohl einstellbar als auch meßbar sein. Da hierbei die zur Messung notwendige Energie aus der Hilfsquelle und nicht aus dem Meßobjekt stammt, ist diese Meßmethode r¨ uckwirkungsfrei, d. h. die Meßgr¨ oße wird nicht durch Energieentzug w¨ahrend des Meßvorganges ver¨ andert. Dem Nachteil des gr¨oßeren ger¨atetechnischen Aufwandes stehen bei dieser Methode aber weitere Vorteile gegen¨ uber, wie z. B. die Reduzierung des St¨ orgr¨ oßeneinflusses beim Erzeugen der Kompensationsgr¨ oße in einer zweiten gleichartigen Meßstrecke oder die leichte Realisierung großer Meßbereiche [63].

Abb. 1.2. Signalfluß bei der Kompensationsmethode

1.5.2 Analog - Digital Bei den analogen Meßmethoden wird die Meßgr¨oße durch eine eindeutige und stetige Anzeigegr¨oße (Meßwert) dargestellt. H¨aufig hat der Ausgeber einer analog arbeitenden Meßeinrichtung eine Skalenanzeige. Im Gegensatz dazu wird bei den digitalen Meßmethoden die Meßgr¨oße in Form einer in festgelegten Schritten quantisierten Anzeigegr¨oße dargestellt. Der Ausgeber wird hier im allgemeinen in Form einer Ziffernanzeige oder einer Bildschirmausgabe realisiert. 1.5.3 Kontinuierlich - Diskontinuierlich Von kontinuierlichen Meßvorg¨angen spricht man, wenn die Meßgr¨oße ohne zeitliche Unterbrechung erfaßt und auch dargestellt wird. Von einer diskontinuierlichen Messung ist die Rede, wenn die Meßgr¨oße nur zu bestimmten (diskreten) Zeitpunkten erfaßt (abgetastet) wird.

1.6 Die Informationstr¨ ager im Meßsignal

9

1.5.4 Direkt - Indirekt Bei den direkten Meßmethoden wird die Meßgr¨ oße unmittelbar mit einer Maßverk¨orperung derselben physikalischen Dimension verglichen. Bei den indirekten Methoden wird die Meßgr¨ oße zun¨ achst in eine proportionale Zwischengr¨oße umgewandelt und erst diese wird schließlich mit der Maßverk¨orperung verglichen. Die Bestimmung des Volumens eines Zylinders u ¨ber die Messung seines Durchmessers und seiner L¨ ange ist ein typisches Beispiel f¨ ur eine indirekte Messung.

1.6 Die Informationstr¨ ager im Meßsignal Der Tr¨ager der Information in der Meßtechnik ist das Meßsignal, d. h. eine physikalische Gr¨oße mit einem informationstragenden Parameter, der eine Information u oße aufnehmen kann. In der Elektrischen Meßtech¨ber eine Meßgr¨ nik werden typischerweise elektrische Spannungen bzw. elektrische Str¨ome als Informationstr¨ager benutzt. Dabei werden von einem Signal folgende Eigenschaften verlangt: • •

Das Signal ist eine physikalische Gr¨ oße (Signaltr¨ager, Informationstr¨ager), die sich zeitlich ver¨ andern l¨ aßt. Der Signaltr¨ager besitzt einen wahrnehmbaren Parameter (Informationsparameter), der die Werte der Meßgr¨ oße eindeutig und reproduzierbar wiedergeben kann, d. h. die Meßgr¨ oße wird auf den Informationsparameter in mathematisch eineindeutiger Weise abgebildet.

Da in der Elektrischen Meßtechnik die Meßsignale im allgemeinen in Form elektrischer Spannungen bzw. elektrischer Str¨ ome verarbeitet werden, bieten sich alle Standardformen des Informationsparameters an, die aus der elektrischen Nachrichtentechnik bekannt sind. Die den Meßwert beschreibenden Informationen werden dabei auf eine der folgenden Arten codiert:

Abb. 1.3. a) Amplitudenmoduliertes Signal (Der Meßwert ist proportional zur Momentanamplitude.), b)Frequenzmoduliertes Signal (Der Meßwert ist proportional zur Momentanfrequenz.)

10

• • • •

1 Umfang und Bedeutung der Elektrischen Meßtechnik

Amplitudenanaloges Signal (Amplitudenmodulation - AM) Meßwert ∼ Amplitude (Abb. 1.3a) Frequenzanaloges Signal (Frequenzmodulation - FM) Meßwert ∼ Frequenz eines zeitkontinuierlichen Signals oder einer Impulsfolge (Abb. 1.3b) Zeitanaloges Signal (Pulsdauermodulation - PDM) Meßwert ∼ Pulsdauer (Abb. 1.4a) Digitales Signal (Pulscodemodulation - PCM) Der Meßwert wird digital codiert (Abb. 1.4b).

Abb. 1.4. a) Pulsdauermoduliertes Signal (Der Meßwert ist proportional zur Pulsdauer tX .), b) Pulscodemodulation (Der Meßwert ist in Form einer Dualzahl codiert.)

2 Die Grundlagen des Messens

2.1 Maßsysteme, Einheiten, Naturkonstanten 2.1.1 Maßsysteme Die Messung einer physikalischen Gr¨ oße besteht im Vergleich mit einer Maßeinheit, d. h. die physikalische Gr¨ oße ergibt sich stets als Produkt aus einem Zahlenwert und einer Maßeinheit: Physikalische Gr¨ oße = Zahlenwert · Einheit

Man ist bestrebt, die Einheiten durch unverg¨angliche atomare Gr¨oßen zu definieren, die an jedem Ort und zu jeder Zeit mit hoher Genauigkeit bestimmt werden k¨onnen. Die Generalkonferenz f¨ ur Maße und Gewichte hat daher im Jahre 1960 das inzwischen weltweit eingef¨ uhrte Syst`eme International ” d’Unit´es“ (SI-System) vorgeschlagen, dessen Anwendung auch im deutschen Sprachraum gesetzlich vorgeschrieben ist. Das System definiert zun¨achst die Basisgr¨oßen und die dazugeh¨ origen Basiseinheiten, welche beide in Tabelle 2.1 zusammengefaßt werden. Tabelle 2.1. SI-Basisgr¨ oßen und SI-Basiseinheiten Basisgr¨ oße

Formelzeichen Basiseinheit Einheitenzeichen

L¨ ange Masse Zeit Stromst¨ arke Temperatur Lichtst¨ arke Stoffmenge

l m t I T Iv n

Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Candela Mol

m kg s A K cd mol

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

12

2 Die Grundlagen des Messens

Die Basiseinheiten der sieben Basisgr¨ oßen sind im SI-System exakt festgelegt worden. Die entsprechenden Definitionen werden in der folgenden Aufstellung beschrieben: •

•

•

•

•

Mechanik – 1 Meter (L¨ ange) L¨ange der Strecke, die Licht im Vakuum w¨ahrend des Zeitintervalls von (1/299 792 458) Sekunden durchl¨ auft (1983). – 1 Kilogramm (Masse) Masse des internationalen Kilogrammprototyps (1889). – 1 Sekunde (Zeit) ¨ Die 9 192 631 770fache Periodendauer der dem Ubergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133 Cs entsprechenden Strahlung (1967). Elektrotechnik – 1 Ampere (Stromst¨ arke) St¨arke eines zeitlich unver¨ anderlichen elektrischen Stromes, der, durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von 1 m voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachl¨assigbar kleinem, kreisf¨ormigem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern pro 1 m Leiterl¨ange elektrodynamisch die Kraft 0, 2 · 10−6 N hervorrufen w¨ urde (1948). Thermodynamik – 1 Kelvin (Temperatur) ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers (1967). Optik – 1 Candela (Lichtst¨ arke) ist die Lichtst¨ arke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz aussendet und deren Strahlst¨ arke in dieser Richtung (1/683) Watt je Steradiant betr¨agt (1979). Chemie – 1 Mol (Stoffmenge) ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter Zusammensetzung, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in (12/1000) kg des Nuklids 12 C enthalten sind (1971).

2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen

13

2.1.2 Naturkonstanten Zahlenwerte und Einheiten von Naturkonstanten werden durch das Maßsystem, i. allg. das SI-System, festgelegt (Tab. 2.2). So ergibt sich beispielsweise aus der Definition der Einheit der elektrischen Stromst¨arke die magnetische Feldkonstante zu µ0 = 4π · 10−7 Vs/Am = 1, 2566 · 10−6 Vs/Am [138]. Tabelle 2.2. Wichtige Naturkonstanten Naturkonstante

Zeichen

Zahlenwert

Einheit

Elektrische Elementarladung Elektrische Feldkonstante Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Magnetische Feldkonstante Masse des Elektrons Plancksches Wirkungsquantum

e0 ε0 c0 µ0 m0 h

1, 6022 · 10−19 8, 8542 · 10−12 299 792 458 1, 2566 · 10−6 9, 1095 · 10−31 6, 6262 · 10−34

As AsV−1 m−1 ms−1 VsA−1 m−1 kg Js

2.1.3 Abgeleitete Einheiten Durch Multiplikation oder Divison der Basiseinheiten werden die f¨ ur die anderen physikalischen Gr¨ oßen ben¨ otigten Einheiten abgeleitet. Tritt bei dieser Ableitung nur der Zahlenfaktor ′ 1′ auf, so bezeichnet man die Einheiten als koh¨arent. Einige abgeleitete Einheiten haben eigenst¨andige Namen (Tab. 2.3), wie z. B. der Druck p gemessen in der Einheit Pascal (Pa), andere wiederum werden nur in Form ihrer Basiseinheiten ausgedr¨ uckt, wie beispielsweise die magnetische Feldst¨ arke H mit der Einheit Ampere/Meter (A/m). Daneben gibt es noch abgeleitete Einheiten, die mit Hilfe von Einheiten ausgedr¨ uckt werden, die einen besonderen Namen haben, wie z. B. die Einheit der elektrischen Feldst¨ arke Volt/Meter (V/m = kg m s−3 A−1 ) oder die der Permittivit¨at Farad/Meter (F/m = A2 s4 kg−1 m−3 ). Durch dezimale Vors¨atze entstehen neue vergr¨ oßerte bzw. verkleinerte Einheiten (Tab. 2.4), z. B. die Einheit Megapascal (MPa), die 106 Pascal entspricht.

2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen Die mathematische Beziehung zwischen physikalischen Gr¨oßen wird durch Gleichungen beschrieben. Man spricht von Gr¨oßengleichungen, wenn sie ausschließlich den Zahlenfaktor ′ 1′ enthalten. Die elektrische Energie beispielsweise ist gegeben durch die Gr¨ oßengleichung (2.1). Darin bezeichnen U die Gleichspannung, gemessen in Volt (V), I den Gleichstrom, gemessen in Ampere (A), und t die Zeit, gemessen in Sekunden (s)

14

2 Die Grundlagen des Messens Tabelle 2.3. Abgeleitete SI-Einheiten mit eigenst¨ andigen Namen Gr¨ oße

Formel- Abgeleitete zeichen SI-Einheit

Beziehung zu SI-Einheiten

ebener Winkel r¨ aumlicher Winkel Frequenz Kraft Druck

α Ω f, ν F p

Radiant Steradiant Hertz Newton Pascal

rad sr Hz N Pa

1 rad 1 sr 1 Hz 1N 1 Pa

Energie, Arbeit, W¨ armeenergie Leistung, Energiestrom Ladung Spannung Widerstand Leitwert Kapazit¨ at

E

Joule

J

1J

P

Watt

W 1W

Q U R G C

Coulomb Volt Ohm Siemens Farad

C V Ω S F

magn. Fluß

Φ

Weber

Wb 1 Wb

magn. Flußdichte

B

Tesla

T

1T

Induktivit¨ at

L

Henry

H

1H

Lichtstrom Beleuchtungsst¨ arke

Φ Ev

Lumen Lux

lm 1 lm lx 1 lx

Aktivit¨ at einer radio- A aktiven Substanz Energiedosis D

1C 1V 1Ω 1S 1F

Becquerel Bq 1 Bq Gray

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

1 m m−1 1 m2 m−2 1 s−1 1 kg m s−2 1 N m−2 1 kg m−1 s−2 1 Nm 1 kg m2 s−2 1 Nm s−1 1 kg m2 s−3 1 As 1 kg m2 s−3 A−1 1 kg m2 s−3 A−2 1 s3 A2 kg−1 m−2 1 As V−1 1 A2 s4 kg−1 m−2 1 Vs 1 kg m2 s−2 A−1 1 V s m−2 1 kg s−2 A−1 1 Wb A−1 1 Vs A−1 1 kg m2 s−2 A−2 1 cd sr 1 lm m−2 1 cd sr m−2 1 s −1

Gy 1 Gy = 1 J kg −1 = 1 m2 s−2

E = U It .

(2.1)

Bei Verwendung koh¨ arenter Einheiten gelten f¨ ur die Einheiten die gleichen Formeln. Gleichung (2.1) resultiert also in folgender Einheitengleichung 1 Ws = 1 VAs = 1 Nm .

(2.2)

In Zahlenwertgleichungen hingegen werden nicht-koh¨arente Einheiten verkn¨ upft, wie z. B. bei der Berechnung der elektrischen Energie in der Einheit Kilowattstunde (kWh) E (kWh) = 0, 278 · 10−6 U (V) I (A) t (s) = 0, 278 · 10−6 E (Ws) .

(2.3)

2.2 Gr¨ oßen- und Zahlenwertgleichungen

15

Tabelle 2.4. Vors¨ atze zur Bezeichnung von dezimalen Vielfachen und Teilen von Einheiten Vorsatz Zeichen Zahlenwert Vorsatz Zeichen Zahlenwert Atto Femto Piko Nano Mikro Milli Zenti Dezi

a f p n µ m c d

10−18 10−15 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1

Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa

da h k M G T P E

10+1 10+2 10+3 10+6 10+9 10+12 10+15 10+18

Bei Zahlenwertgleichungen m¨ ussen die Einheiten mit angegeben werden. Verschiedene Einheiten werden in einer Einheitengleichung verkn¨ upft 1 kWh = 1000 VA 3600 s =

1 VAs . 0, 278 · 10−6

(2.4)

3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation ¨ und Vierpol-Ubertragungsverhalten

3.1 Fourier-Transformation Fourierreihen periodischer Funktionen Wir beginnen mit der Beschreibung periodischer Funktionen mit Hilfe von Fourier-Reihenentwicklungen und leiten daraus die Beschreibung auch nichtperiodischer Funktionen mittels der Fourier-Transformation ab. Die periodische Funktion f (t) = f (t + T ) l¨aßt sich bekanntlich in Form einer trigonometrischen Reihe angeben [36] ∞

a0 X + (aν cos(νω0 t) + bν sin(νω0 t)) , 2 ν=1

f (t) =

(3.1)

wobei sich die Fourierkoeffizienten aν und bν mit 2 aν = T bν =

2 T

Z

+T /2

f (t) cos (νω0 t) dt

ν = 0, 1, 2, · · ·

(3.2)

f (t) sin (νω0 t) dt

ν = 1, 2, · · ·

(3.3)

−T /2

Z

+T /2

−T /2

berechnen lassen und T die Periodendauer darstellt. Eine alternative Darstellung kann in Form einer Cosinus-Reihe mit den Koeffizienten cν und Phasenwinkeln ϕν erfolgen f (t) =

∞ X

cν cos(νω0 t + ϕν ) mit

ϕ0 = 0 .

(3.4)

ν=0

Mit der bekannten Beziehung cos x =

1 jx (e + e−jx ) 2

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

(3.5)

18

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

l¨ aßt sich daraus eine ¨ aquivalente Exponentialreihe ableiten ∞ X

f (t) =

dν ejνω0 t

(3.6)

ν=−∞

1 cν ejϕν ; 2 und d0 = c0 .

d−ν = d∗ν =

mit dν =

1 cν e−jϕν 2

(3.7) (3.8)

Um die komplexwertigen Koeffizienten dν aus der Funktion f (t) zu erhalten, l¨ osen wir Gl. (3.6) nach dν auf. Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit e−jµω0 t (µ ∈ Z) und integrieren u ¨ber eine Periode (Periodendauer T = 2π/ω0 ) Z

T

f (t)e−jµω0 t dt =

0

Z

T 0

∞ X

dν e−j(µ−ν)ω0 t dt .

(3.9)

ν=−∞

Auf der rechten Seite lassen sich Integral und Summe vertauschen und dν kann vor das Integral gezogen werden. F¨ ur das Integral gilt dann  Z T 2π 0 f¨ ur ν 6= µ . (3.10) e−j(µ−ν)ω0 t dt = , wenn ω0 = T f¨ u r ν = µ T 0 Daraus folgt unmittelbar Z

T

0

f (t)e−jµω0 t dt = T dµ .

(3.11)

Jetzt ersetzen wir noch µ durch ν, so daß sich die Koeffizienten folgendermaßen berechnen lassen Z 1 T dν = f (t)e−jνω0 t dt. (3.12) T 0 ¨ Ubergang zur Fourier-Transformation Wir betrachten noch einmal die Exponentialentwicklung (Gl. (3.6)) und f¨ ugen einige g¨ unstige Erweiterungen ein (s. auch [162], [163]) f (t) =

∞ 1 X 2πdν jνω0 t e ω0 . 2π ν=−∞ ω0

(3.13)

In Gl. (3.12) verschieben wir die Integrationsgrenzen um eine halbe Periode dν =

1 T

Z

T /2

−T /2

f (t)e−jνω0 t dt

mit

T =

2π . ω0

(3.14)

Die Verallgemeinerung auf nicht-periodische Funktionen erreicht man, indem man die Periodendauer T → ∞ gehen l¨ aßt. Die diskreten Frequenzen νω0

3.1 Fourier-Transformation

19

werden ersetzt durch die kontinuierliche Frequenz ω und die endlichen Frequenzschritte ω0 durch das Differential dω. Wenn man in Gl. (3.14) den Ausdruck T = 2π/ω0 auf die linke Seite bringt, erh¨alt man die Fourier-Transformierte F (jω) der Zeitfunktion f (t) Z ∞ 2πdν = f (t)e−jωt dt = F (jω). (3.15) ω0 −∞ Zur R¨ ucktransformation wird in Gl. (3.13) die Summe u ¨ber die diskreten ν ersetzt durch ein Integral u ¨ber ω. Wir setzen dementsprechend die FourieruckTransformierte F (jω) nach Gl. (3.15) ein und erhalten die Fourier-R¨ transformation (inverse Fourier-Transformation) Z ∞ 1 (3.16) f (t) = F (jω)ejωt dω . 2π −∞ Es sei noch angemerkt, daß die Fourier-Transformation bzw. die Fourier-R¨ ucktransformation symbolisch folgendermaßen geschrieben wird F (jω) = F {f (t)} f (t) = F −1 {F (jω)} .

(3.17) (3.18)

Die Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion f (t) setzt ihre absolute Integrierbarkeit voraus Z ∞ |f (t)|dt < ∞ . (3.19) 0

Beispiele zur Fourier-Transformation Gegeben sei folgende Funktion f1 (t) = pT (t) =



1 0

f¨ ur −T ≤ t ≤ T , sonst

(3.20)

welche einen Rechteckimpuls beschreibt. Die Fourier-Transformierte dieser Funktion l¨aßt sich mit Gl. (3.15) leicht berechnen F 1 (jω) =

Z

T

−T

e−jωt dt =

2 sin(T ω) . ω

(3.21)

Die Anwendung des Satzes von L’Hospital liefert an der Stelle ω = 0 den Grenzwert 2T . Abbildung 3.1 zeigt die Darstellung dieser Funktion im Zeitund Frequenzbereich. Weiterhin sei ein zeitlich unendlich andauerndes Sinus-Signal gegeben f2 (t) = sin ω0 t.

(3.22)

20

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

p (t) T

1

T

-T

Re {F1(jω)}

t

Im {F1(jω)} = 0 2T

−π/T

π/T

2π/T

ω

Abb. 3.1. Der Rechteckimpuls im Zeit- und Frequenzbereich

Die Fourier-Transformierte dieses Signals lautet F 2 (jω) = jπ [δ(ω + ω0 ) − δ(ω − ω0 )] =

π [δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )] , j

(3.23)

wobei δ dem Dirac-Stoß (s. Kap. 3.4) entspricht. Das Spektrum dieses Signals ist in Abb. 3.2 dargestellt. Es enth¨ alt logischerweise nur einen Anteil bei der Frequenz ω0 bzw. −ω0 . Im {F2 (jω)}

Re {F2 (jω)} = 0 ω0 −ω0

ω

Abb. 3.2. Das Sinussignal im Frequenzbereich

3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken

21

Nun wollen wir durch Multiplikation der beiden Signale einen Teil des Sinussignals ausschneiden f3 (t) = f1 (t) · f2 (t) = pT (t) sin ω0 t.

(3.24)

Die Multiplikation im Zeitbereich entspricht einer Faltung im Frequenzbereich (s. Kap. 3.5.4), wodurch man leicht die Fourier-Transformierte F 3 (jω) erh¨alt (∗: Faltungssymbol) 2 π sin T ω ∗ [δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )] ω j Z 2π ∞ sin T Ω [δ(ω − Ω − ω0 ) − δ(ω − Ω + ω0 )]dΩ = j −∞ Ω   2π sin T (ω − ω0 ) sin T (ω + ω0 ) = . (3.25) − j ω − ω0 ω + ω0

F 3 (jω) =

In Abb. 3.3 ist der erste Term der Gl. (3.25) dargestellt. Bildlich gesprochen wird durch das Ausschneiden der unendlich scharfe Dirac-Stoß u ¨ber einen Frequenzbereich um ω0 verschmiert“, wobei der Impuls umso unsch¨arfer ist, ” je k¨ urzer der Ausschnitt ist. F¨ ur ein unendlich langes Zeitfenster ergibt sich wiederum der Dirac-Stoß aus Abb. 3.2. j . F3(jω) Re {F3 (jω)} = 0 2πT ω0 −π/Τ

ω0

ω0 +π/Τ ω

Abb. 3.3. Das ausgeschnittene Sinussignal im Frequenzbereich

3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken Es sollen die zeitlichen Verl¨ aufe von Spannung und Strom in einem elektrischen Netzwerk ermittelt werden, wenn die Anregung einen beliebigen zeitlichen Verlauf zeigt. Schwerpunktm¨ aßig betrachtete Spezialf¨alle sind dabei eine zu einem bestimmten Zeitpunkt eingeschaltete periodische Anregung oder eine nach dem Einschaltzeitpunkt konstante Anregung. Nach diesem (Ein-) Schaltzeitpunkt l¨auft in dem Netzwerk ein sog. Einschwingvorgang ab, der sich nach mehr oder weniger langer Zeit dem station¨aren oder eingeschwun¨ genen Zustand ann¨ ahert. Eine neuerliche Anderung der Anregung, z. B. das Abschalten der Anregung, ruft einen weiteren Ausgleichsvorgang hervor.

22

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Wenn wir uns auf ein elektrisches Netzwerk mit konzentrierten linearen und zeitinvarianten Elementen beschr¨ anken, so erfolgt die mathematische Beschreibung dieser Ausgleichsvorg¨ ange anhand einer linearen Differentialgleichung (DGL) mit konstanten Koeffizienten. Als Beispiel wollen wir den Einschwingvorgang einer RC-Tiefpaßschaltung betrachten, auf deren Eingangsklemmen zum Zeitpunkt t = 0 die Gleichspannung U0 aufgeschaltet wird (Abb. 3.4). t=0

R

i=C C

Uo

du c dt uc

Abb. 3.4. RC-Tiefpaßschaltung, die zum Zeitpunkt t = 0 mit einer Gleichspannung beaufschlagt wird.

F¨ ur Zeiten t > 0 kann die Maschengleichung −U0 + R · i + uc = 0

(3.26)

unter Verwendung der Strom-Spannungs-Beziehung f¨ ur den Kondensator i=C

duc dt

(3.27)

zu einer Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten umgeformt werden duc RC + u c = U0 . (3.28) dt ¨ Die allgemeine L¨osung dieser Gleichung ergibt sich aus der Uberlagerung der L¨ osung der homogenen Differentialgleichung RC

duch + uch = 0 dt

(3.29)

und einer partikul¨ aren L¨ osung der inhomogenen Differentialgleichung. Eine solche spezielle L¨osung ucp l¨ aßt sich leicht angeben, wenn man bedenkt, daß f¨ ur t → ∞ der Ausgleichsvorgang abgeschlossen sein muß. Dann ist der Kondensator auf die Spannung U0 aufgeladen und es fließt kein Strom mehr. Somit ist diese partikul¨are L¨ osung ucp = U0 . (3.30) Die allgemeine L¨osung der homogenen DGL (Gl. (3.29)) lautet mit der Zeitkonstanten τ = RC uch = ke−t/τ , (3.31)

3.2 Ausgleichsvorg¨ ange in linearen Netzwerken

23

wobei k eine noch festzulegende Konstante ist. Die Gesamtl¨osung lautet also uc = uch + ucp = ke−t/τ + U0 .

(3.32)

Aus dem Anfangswert der Kondensatorspannung zum Zeitpunkt t = 0 (uc (0) = 0) l¨aßt sich die Konstante k bestimmen k = −U0 .

(3.33)

uc = U0 (1 − e−t/τ ) .

(3.34)

Die Gesamtl¨osung lautet somit

Abbildung 3.5 zeigt den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung uc . uC(t) U0 U0 (1-e -t/τ )

τ = RC

t

Abb. 3.5. Zeitlicher Verlauf der Ausgangsspannung des RC-Tiefpasses

Auch bei komplizierteren Netzwerken ist die Vorgehensweise analog, d.h. unter Verwendung der Kirchhoffschen Gesetze und den Strom-Spannungs-Beziehungen von Widerstand, Spule und Kondensator wird ein System von linearen ¨ Differentialgleichungen aufgestellt. Dessen L¨ osung ergibt sich aus der Uberlagerung der allgemeinen L¨ osung des homogenen Systems und einer partikul¨aren L¨osung des inhomogenen Systems. Wenn sich in einem Netzwerk nun n Energiespeicher (Kondensatoren und/oder Spulen) befinden, so enth¨alt die L¨ osung n Konstanten, die so bestimmt werden m¨ ussen, daß die n Anfangswerte (Spannung bei Kondensatoren und Strom bei Spulen) der Energiespeicher erf¨ ullt werden, d. h. es muß ein lineares Differentialgleichungssystem mit n Unbekannten gel¨ost werden. In aller Regel wendet man aber zur Berechnung von Einschwingvorg¨angen eine elegantere Methode an, die uns das Aufl¨ osen dieses linearen Differentialgleichungssystems erspart. Diese basiert auf der sog. Laplace-Transformation, die eine spezielle Spektralzerlegung der Zeitfunktionen durchf¨ uhrt. Dies f¨ uhrt schließlich zu einem Rechengang, der die bekannten Methoden der komplexen Wechselstromrechnung [4], [136] benutzt.

24

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

3.3 Die Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation ist eine Verallgemeinerung der Fourier-Transformation. F¨ ur die Berechnung von Einschwingvorg¨angen gen¨ ugt die Beschr¨ankung auf Zeitfunktionen, die f¨ ur Zeiten t < 0 verschwinden. Man spricht dann von einseitiger Laplace-Transformation. Bei dieser wird nur u ¨ber positive t integriert. Ausgangspunkt ist die einseitige FourierTransformation Z ∞ f (t)e−jωt dt (3.35) F (jω) = 0

bzw. die inverse Fourier-Transformation Z ∞ 1 F (jω)ejωt dω . f (t) = 2π −∞

(3.36)

¨ Beim Ubergang zur Laplace-Transformation wird nun die in Gl. (3.35) noch rein imagin¨are Frequenz jω durch die komplexe Frequenz s = σ + jω

(3.37)

ersetzt. Aus Gl. (3.35) wird dadurch die Basisgleichung der einseitigen Laplace-Transformation (Laplace-Transformationsgleichung) Z ∞ F (σ + jω) = f (t)e−σt e−jωt dt (3.38) 0

bzw. F (s) =

Z

∞

f (t)e−st dt .

(3.39)

0

Die Bedingung f¨ ur die Fourier-Transformierbarkeit einer Funktion f (t) (Gl. (3.19)) Z +∞ |f (t)| dt < ∞ , (3.40) −∞

d. h. die Forderung, daß f (t) absolut integrierbar sein muß, wird nunmehr entsch¨arft, da Gl. (3.40) in Z ∞ |f (t)| e−σt dt < ∞ (3.41) 0

u ugen beispielsweise auch die Funktionen ¨bergeht. So gen¨  1 f¨ ur t ≥ 0 f (t) = 0 f¨ ur t < 0 f¨ ur σ > 0 und

(3.42)

3.3 Die Laplace-Transformation

f (t) =



eα t 0

t≥0 t<0

25

(3.43)

f¨ ur σ > α der Bedingung nach Gl. (3.41). Wenn also der Wert σ in Abh¨ angigkeit von f (t) nur gen¨ ugend groß“ ” gew¨ahlt wird, so existiert die Laplace-Transformierte F (s). Das entsprechende Integral (Gl. (3.39)) konvergiert absolut und gleichm¨aßig f¨ ur alle s mit σ > σmin , wobei der Wert σmin die von der jeweiligen Funktion f (t) abh¨angende Konvergenzabszisse beschreibt. Die der Fourier-R¨ ucktransformation entsprechende Laplace-R¨ ucktransformation ergibt sich unter Verwendung der Gln. (3.35) bis (3.38) f¨ ur t > 0 zu Z ω=+∞ 1 F (σ + jω) · ejωt dω (3.44) f (t)e−σt = 2π ω=−∞ bzw.

1 f (t) = 2π

Z

ω=+∞ ω=−∞

F (σ + jω) · e(σ+jω)t dω .

(3.45)

Unter Verwendung der komplexen Frequenz s = σ + jω und der Beziehung ds = jdω l¨aßt sich die Laplace-R¨ ucktransformation in der Form Z s=σ+j∞ 1 F (s)est ds (3.46) f (t) = 2πj s=σ−j∞ darstellen. Das R¨ ucktransformations-Integral nach Gl. (3.46) existiert nur, wenn F (s) an den Enden des Integrationspfades verschwindet. Der Integrationspfad verl¨auft in der komplexen s-Ebene (Abb. 3.6) parallel zur imagin¨aren Achse in einem Bereich, wo σ > σmin gilt. F¨ ur σ > σmin ist F (s) eine holomorphe Funktion. Es sei erg¨ anzt, daß das Integral einer holomorphen Funktion nur von den Endpunkten des Integrationspfades, nicht aber von dessen Wegf¨ uhrung selbst, abh¨angt. Symbolische Darstellungen Laplace-Transformation: F (s) = L{f (t)} .

(3.47)

f (t) = L−1 {F (s)} .

(3.48)

R¨ ucktransformation: Die Zuordnung wird auch durch folgendes Symbolzeichen dargestellt f (t) ◦−−• F (s) ,

(3.49)

wobei wegen der Eindeutigkeit der Zuordnung (Eineindeutigkeit) aller im Bereich t > 0 stetiger Funktionen diese Zuordnung in beiden Richtungen der Transformation gilt.

26

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Laplace-Ebene (s-Ebene) j. ω harmonische Schwingungen mit konstanter Amplitude exponentiell anwachsende Schwingungen

exponentiell abklingende Schwingungen

σ = Re {s}

Abb. 3.6. Laplace-Ebene (s-Ebene)

W¨ahrend die Fourier-Transformation auf die rein imagin¨are Achse jω und damit auf Sinusgr¨oßen mit konstanter Amplitude beschr¨ankt bleibt, kann mit einer komplexen Frequenz auch eine exponentiell anwachsende oder exponentiell abklingende Sinusgr¨ oße dargestellt werden (s. Abb. 3.6) ˆ · eσt cos(ωt + ϕ) = 1 (U e(σ+jω)t + U ∗ e(σ−jω)t ) u(t) = U 2

(3.50)

mit ˆ · ejϕ U= U ˆ · e−jϕ . U∗ = U

(3.51) (3.52)

Die ¨aquivalente Darstellung in s bzw. s∗ lautet u(t) =

∗ 1 (U est + U ∗ es t ) 2

(3.53)

mit s∗ = σ − jω.

(3.54)

Der Wert von σ stellt dabei das D¨ ampfungsmaß dar (σ < 0) und ω die Kreisfrequenz (ω > 0). Es sei noch erg¨ anzt, daß die rein reelle Achse (ω = 0) reine Exponentialfunktionen mit reellen Exponenten verk¨orpert.

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen

27

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen Ziel dieses Abschnittes ist die Aufstellung einer Zuordnungstabelle, die elementare Zeitfunktionen und ihre entsprechenden einseitigen Laplace-Transformierten enth¨alt. Bei der einseitigen Laplace-Transformation wird vorausgesetzt, daß die zu transformierende Zeitfunktion f¨ ur Zeiten t < 0 stets identisch Null ist. Dies wird f¨ ur jede Zeitfunktion durch Multiplikation mit der im folgenden definierten Sprungfunktion ε(t) erreicht. Aufgrund der eindeutigen Umkehr¨ barkeit der Transformation kann diese sowohl beim Ubergang vom Zeit- in den Laplace-Bereich als auch in umgekehrter Richtung verwendet werden. Sprungfunktion Die Sprungfunktion1 ε(t) beschreibt ein zum Zeitnullpunkt eingeschaltetes zeitlich konstantes Signal  1 f¨ ur t ≥ 0 f (t) = ε(t) = . (3.55) 0 f¨ ur t < 0 Die Laplace-Transformierte lautet ∞ Z ∞ 1 −st −st F (s) = e dt = − e . s 0 0

(3.56)

F¨ ur Realteile σ > 0 konvergiert das Integral in Gl. (3.56) und man erh¨alt F (s) =

1 . s

(3.57)

Rampenfunktion F¨ ur die ab dem Zeitnullpunkt linear ansteigende Rampenfunktion  t f¨ ur t ≥ 0 f (t) = oder f (t) = ε(t) · t 0 f¨ ur t < 0

(3.58)

erh¨alt man die Laplace-Transformierte nach einmaliger partieller Integration ∞ Z Z ∞ 1 ∞ −st t −st −st e dt . (3.59) F (s) = te dt = − e + s s 0 0 0 Auch hier konvergiert das Integral nur f¨ ur komplexe Frequenzen s, deren Realteil positiv ist (σ > 0). Man erh¨ alt schließlich F (s) = 1

1 . s2

Die Sprungfunktion wird im folgenden stets mit ε(t) bezeichnet.

(3.60)

28

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Parabelfunktionen Die Laplace-Transformierte einer Parabel n-ten Grades (n = 1, 2, 3, ...) ergibt sich durch n-malige partielle Integration  n t f¨ ur t ≥ 0 f (t) = oder f (t) = ε(t) · tn (3.61) 0 f¨ ur t < 0 entsprechend zu F (s) =

n! sn+1

.

(3.62)

Exponentialfunktion Die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion  st e0 f¨ ur t ≥ 0 f (t) = oder f (t) = ε(t) · es0 t 0 f¨ ur t < 0

(3.63)

ergibt sich zu F (s) =

Z

∞

e(s0 −s)t dt =

0

∞ 1 e(s0 −s)t . s0 − s 0

(3.64)

F¨ ur σ > Re{s0 } erh¨ alt man Konvergenz und es folgt F (s) =

1 . s − s0

(3.65)

Hyperbelfunktionen Da sich die Hyperbelfunktionen aus der Superposition von Exponentialfunktionen ergeben 1 2 1 sinh(s0 t) = 2

cosh(s0 t) =

es0 t + e−s0 t




(3.66)


es0 t − e−s0 t ,

(3.67)

lassen sich ihre Laplace-Transformierten aufgrund ihrer linearen Transformationseigenschaften leicht angeben   1 s 1 1 L{ε(t) · cosh(s0 t)} = = 2 + (3.68) 2 s − s0 s + s0 s − s20 bzw. 1 L{ε(t) · sinh(s0 t)} = 2



1 1 − s − s0 s + s0



=

s2

s0 . − s20

(3.69)

3.4 Die Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen

29

sin- und cos-Funktionen Der Spezialfall s0 = jω0 liefert mit den Gln. (3.66), (3.67) und cosh jω0 t = cos ω0 t sinh jω0 t = j sin ω0 t

(3.70) (3.71)

die Laplace-Transformierte harmonischer Signale s s2 + ω02 ω0 L{ε(t) · sin ω0 t} = 2 . s + ω02

L{ε(t) · cos ω0 t} =

(3.72) (3.73)

Delta-Impuls δ(t) Der Delta-Impuls (auch Dirac-Impuls bzw. Dirac-Stoß genannt), der bei der Analyse elektrischer Netzwerke große Bedeutung hat, ist keine Funktion im herk¨ommlichen Sinne, sondern mathematisch gesehen eine sog. Distribution. Die Distribution l¨ aßt sich durch einen Grenz¨ ubergang definieren. Dazu betrachten wir Abb. 3.7. Der dort gezeigte Signalverlauf l¨aßt sich folgendermaßen beschreiben 1 f¨ ur 0 < t < T . (3.74) δT = T 0 sonst F¨ ur T → 0 erh¨alt man daraus den Delta-Impuls. R +∞ F¨ ur den Dirac-Impuls gilt die Nebenbedingung −∞ δ(t)dt = 1. Die Laplace-Transformierte des Zeitsignals nach Gl. (3.74) ergibt Z T Z 1 −st 1 T −st 1 − e−sT FT (s) = e dt = . (3.75) e dt = T 0 sT 0 T δ

δT 1 T

1

δ (t)

T a)

t

t b)

Abb. 3.7. Delta-Impuls: a) Zeitfunktion, welche durch den Grenz¨ ubergang T → 0 den Delta-Puls definiert, b) Symbolische Darstellung: derR Zahlenwert an der Spitze +∞ des Pfeiles repr¨ asentiert den Fl¨ acheninhalt des Integrals −∞ δ(t)dt.

30

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Die Laplace-Transformierte des Delta-Impulses erh¨alt man schließlich durch den Grenz¨ ubergang T → 0 1 − e−sT =1. T →0 sT

lim FT (s) = Fδ (s) = lim

T →0

(3.76)

3.5 Die Eigenschaften der Laplace-Transformation — Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen Bei der Anwendung der Laplace-Transformation ist es allgemein von Interesse, wie sich die Transformation auf einfache mathematische Operationen auswirkt. Bei der L¨ osung von Differentialgleichungen mit Hilfe der LaplaceTransformation ist es beispielsweise wichtig zu wissen, wie sich die Operationen Differentiation oder Integration transformieren. ¨ 3.5.1 Uberlagerung Wenn die Laplace-Transformierten zweier Zeitfunktionen f1 (t) und f2 (t) existieren f1 (t) ◦−−• F1 (s) f2 (t) ◦−−• F2 (s) ,

(3.77) (3.78)

¨ so gilt f¨ ur beliebige Konstanten c1 und c2 der Uberlagerungssatz c1 f1 (t) + c2 f2 (t) ◦−−• c1 F1 (s) + c2 F2 (s) .

(3.79)

Seine G¨ ultigkeit folgt unmittelbar aus der Linearit¨at der Transformationsintegrale. 3.5.2 Integration Die Laplace-Transformierte des Integrals Z t f (τ )dτ

(3.80)

0

ergibt sich durch Einsetzen in die Transformationsformel (Gl. (3.39)) und partielle Integration zu Z t 1 (3.81) f (τ ) dτ ◦−−• F (s) , s 0 wobei F (s) die Laplace-Transformierte der Funktion f (t) ist.

3.5 Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen

31

3.5.3 Differentiation Unter der Voraussetzung, daß die Funktion f (t) differenzierbar ist und ihre Laplace-Transformierte F (s) existiert, erh¨ alt man nach einmaliger partieller Integration f¨ ur die Laplace-Transformierte der Ableitung Z ∞ df (t) −st F˜ (s) = e dt (3.82) dt 0 die Zuordnung df (t) ◦−−• s F (s) − f (0+ ) . (3.83) dt Der rechtsseitige Grenzwert f (0+ ) ist der Funktionswert zum Zeitpunkt t = 0, wenn man den Funktionsverlauf von f (t) von Zeiten t > 0 kommend bis hin zum Grenzwert f¨ ur t → 0 verfolgt. Wenn alle Ableitungen von f (t) bis zur nten sowie die entsprechenden Laplace-Transformierten existieren, kann analog abgeleitet werden dn f (t) ◦−−• snF (s) − sn−1 f (0+ ) − sn−2 f ′ (0+ ) − · · · − f (n−1) (0+ ) . (3.84) dtn Nachdem sich die Operationen Integration und Differentiation im LaplaceBereich in eine Multiplikation mit 1s bzw. s u uhren lassen, gehen linea¨berf¨ re Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, wie sie auch bei der Analyse elektrischer Netzwerke auftreten, in lineare algebraische Gleichungen u ¨ber. Damit lassen sich insbesondere Einschwingvorg¨ange in linearen mechanischen und elektrischen Netzwerken einfach berechnen (s. auch Kap. 5.4). 3.5.4 Produkt zweier Laplace-Funktionen — Faltung Die f¨ ur die Netzwerkanalyse wichtigste Eigenschaft ist die Transformation des zeitlichen Faltungsintegrals, das die Berechnung einer Systemantwort bei bekannter Erregung und gegebener Impulsantwort des Systems erlaubt (s. auch Kap. 3.11). Das Produkt zweier Laplace-Funktionen F1 (s) · F2 (s) Z ∞ f1 (τ )e−sτ dτ (3.85) F1 (s) = 0 Z ∞ F2 (s) = f2 (ϑ)e−sϑ dϑ (3.86) 0

l¨ aßt sich (gleichm¨aßige Konvergenz vorausgesetzt) als Doppelintegral formulieren Z ∞Z ∞ F1 (s) · F2 (s) = f1 (τ )f2 (ϑ)e−s(τ +ϑ) dτ dϑ . (3.87) 0

0

Die Variablensubstitution t = τ + ϑ f¨ uhrt mit ϑ = t − τ und dϑ = dt zu

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

32

F1 (s) · F2 (s) =

Z

t=∞

t=0

Z

τ =t

τ =0



f1 (τ )f2 (t − τ )dτ e−st dt .

(3.88)

Die obere Grenze des inneren Integrals darf auf τ = t gesetzt werden, weil f2 (t − τ ) bei kausalen Netzwerken f¨ ur negative Zeiten verschwindet. Das innere Integral ist gem¨ aß der Laplace-Transformationsgleichung die zu F1 (s) · F2 (s) geh¨ orende Zeitfunktion. Daher ist die Integraloperation Z t f1 (τ )f2 (t − τ )dτ (3.89) 0

das Zeitbereichsergebnis der Multiplikation F1 (s)·F2 (s). Man bezeichnet diese Operation als Faltung und k¨ urzt sie mit dem Symbol ∗ ab, um sie von der gew¨ohnlichen Multiplikation zu unterscheiden Z t f1 (τ )f2 (t − τ )dτ . (3.90) f1 (t) ∗ f2 (t) = 0

Es gilt also die Zuordnung f1 (t) ∗ f2 (t) ◦−−•F1(s) · F2 (s) .

(3.91)

Das Faltungsprodukt ist kommutativ, d. h. es gilt f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1 .

(3.92)

Es sei erg¨anzt, daß sich die Faltung nach Gl. (3.90) auch ausf¨ uhren l¨aßt, wenn f1 (t) und f2 (t) nur in rein graphischer oder numerischer Form gegeben sind. Abbildung 3.8 soll die Faltungsoperation verdeutlichen. f1 (t)

f2 (t) f2 (-t)

t1

f 1, 2 f1 (τ) t=0

-t 2

f 2 (t)

t2

t

: f 2 (t - τ)

t

f 1 (t) * f2 (t) Faltungsergebnis

t > t1 + t 2

t > t2

t1

τ

t2

t1

t1+ t2

Abb. 3.8. Zur Veranschaulichung des Faltungsintegrals

t

3.5 Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen

33

3.5.5 Multiplikationssatz Ausgehend von der Transformationsgleichung (Gl. 3.39) Z ∞ F (s) = f (t)e−st dt

(3.93)

0

erh¨alt man durch Differenzieren nach s Z ∞ dF = f (t)(−t) · e−st dt = L{−t · f (t)} . ds 0

(3.94)

Die n-malige Ableitung ergibt unmittelbar den Multiplikationssatz dn F = (−1)n L{tn · f (t)} dsn

(3.95)

dn F . dsn

(3.96)

bzw. tn · f (t) ◦−−• (−1)n

3.5.6 Verschiebung im Zeitbereich (Oberbereich) Es soll eine Funktion f (t) im Zeitbereich um eine Zeit t0 > 0 verschoben werden. F¨ ur die daraus resultierende Funktion (Abb. 3.9) f1 (t)

f (t)

0

0

t

t0

t

Abb. 3.9. Verschiebung im Zeitbereich um die Zeit to

f1 (t) =



f (t − t0 ) 0

f¨ ur t ≥ t0 f¨ ur t < t0

bzw. f1 (t) = ε(t − t0 ) · f (t − t0 ) (3.97)

folgt deren Laplace-Transformierte Z ∞ f (t − t0 )e−st dt . F1 (s) =

(3.98)

t0

Durch die Variablensubstitution τ = t − t0 wird e−st = e−st0 · e−sτ

(3.99)

34

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

und es folgt F1 (s) = e−st0

Z

∞

f (τ )e−sτ dτ = e−st0 F (s) .

(3.100)

0

Die Verschiebung im Zeitbereich um eine Zeit t0 entspricht also der Multiplikation im Frequenzbereich mit e−st0 ε(t − t0 ) · f (t − t0 ) ◦−−• e−st0 F (s) .

(3.101)

3.5.7 Verschiebung im Laplace-Bereich (Unterbereich) Wenn wir hingegen eine Verschiebung im Laplace-Bereich gem¨aß F1 (s) = F (s + s0 ) vornehmen, folgt F1 (s) =

Z

∞

(3.102)

f (t)e−s0 t e−st dt .

(3.103)

0

Dies bedeutet, daß F (s + s0 ) der mit e−s0 t multiplizierten Zeitfunktion f (t) entspricht e−s0 t f (t) ◦−−•F (s + s0 ) . (3.104) Die Anwendung dieses Satzes auf Gl. (3.62) ergibt schließlich tn −s0 t 1 . e ◦−−• n! (s + s0 )n+1

(3.105)

Demnach l¨aßt sich zu einer beliebigen rationalen Funktion in s die zugeh¨orige Zeitfunktion direkt ermitteln. Dazu wird die Funktion in Partialbr¨ uche zerlegt und anschließend r¨ ucktransformiert. F¨ ur den Fall, daß die gebrochen rationale Funktion denselben Z¨ ahler- und Nennergrad aufweist, muß vor der Partialbruchzerlegung eine Polynomdivision durchgef¨ uhrt werden. 3.5.8 Dehnung bzw. Stauchung Eine multiplikative reelle Konstante c, die auch als zeitlicher Dehnungsbzw. Stauchungsfaktor interpretiert werden kann, wirkt sich wie folgt auf die Laplace-Transformation aus 1 s f (ct) ◦−−• F c c

(c > 0) .

(3.106)

3.5.9 Anfangswert-Theorem Mit Hilfe dieses Theorems kann aus einer Laplace-Transformierten F (s) direkt der Anfangswert f (0+ ) der zugeh¨ origen Zeitfunktion f (t) bestimmt werden, ohne die Zeitfunktion selbst zu ermitteln [36] lim f (t) = f (0+ ) = t↓0

lim

Re(s)→∞

sF (s) .

(3.107)

3.5 Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation

35

3.5.10 Endwert-Theorem Mit Hilfe dieses Theorems kann aus einer Laplace-Transformierten F (s) direkt der Grenzwert f (t → ∞) der zugeh¨ origen Zeitfunktion f (t) ermittelt werden, ohne diese direkt zu kennen [36] lim f (t) = lim sF (s).

t→∞

(3.108)

s→0

3.5.11 Tabelle mathematischer Operationen In Tabelle 3.1 sind nochmals die in den vorhergehenden Abschnitten diskutierten mathematischen Operationen bei der Laplace-Transformation zusammengestellt. Tabelle 3.1. Zusammenfassung der Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen f (t)

F (s)

Bezeichnung

c1 f1 (t) + c2 f2 (t)

c1 F1 (s) + c2 F2 (s)

¨ (Uberlagerung)

Rt

1 s

(Integration)

0

f (τ ) dτ

F (s)

df (t) dt

s F (s) − f (0+ )

dn f (t) dtn

sn F (s) − sn−1 f (0+ ) − ... ... − sn−2 f ′ (0+ ) − · · · · · · − f (n−1) (0+ )

f1 (t) ∗ f2 (t)

F1 (s) · F2 (s)

tn · f (t)

(−1)n

ε(t − t0 ) · f (t − t0 )

e−st0 F (s)

Zeitverschiebung

e−s0 t f (t)

F (s + s0 )

Frequenzverschiebung

f (ct)

1 F c

lim f (t) = f (0+ ) t↓0

lim f (t)

t→∞

s c

lim

Re(s)→∞

Multiplikationssatz

(c > 0) sF (s)

lim sF (s)

s→0

Produkt im Laplace-Ber.

dn F dsn




(Differentiation)

Dehnung/Stauchung (Anfangswert-Theorem) (Endwert-Theorem)

36

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

3.6 Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation Mit Hilfe der Laplace-Transformation l¨ aßt sich beispielsweise der bereits in Kapitel 3.2 behandelte Einschwingvorgang einer RC-Tiefpaßschaltung (Abb. 3.4) wesentlich eleganter berechnen als im Zeitbereich. Wir gehen dazu von der DGL (Gl. (3.28)) aus, welche die Spannung uc (t) am Kondensator beschreibt RC

duc (t) + uc (t) = u(t) . dt

(3.109)

Die Anwendung der Laplace-Transformation f¨ uhrt mit Einf¨ uhrung der Zeitkonstanten τ = RC zu folgender linearer Gleichung τ [sUc (s) − uc (0+ )] + Uc (s) = U (s) ,

(3.110)

wobei gilt Uc (s) = L{uc (t)}

und

U (s) = L{u(t)} .

(3.111)

Diese Gleichung kann leicht nach Uc (s) aufgel¨ ost werden Uc (s) = bzw. Uc (s) =

1 [U (s) + τ uc (0+ )] 1 + sτ 1 s+

1 τ



 1 U (s) + uc (0+ ) . τ

(3.112)

(3.113)

Wenn wir voraussetzen, daß der Kondensator zu Beginn des Einschaltvorganges ungeladen ist uc (0+ ) = 0 (3.114) und zum Zeitnullpunkt eine Gleichspannung U0 eingeschaltet wird, erhalten wir mit der Laplace-Transformierten der Sprungfunktion 1 s

(3.115)

U0 s

(3.116)

U0 . s(1 + sτ )

(3.117)

ε(t) ◦−−• U (s) = und Gleichung (3.112) Uc (s) =

Abschließend erfolgt nun die R¨ ucktransformation von Gl. (3.117) in den Zeitbereich, was im folgenden Kapitel behandelt wird.

3.7 Die R¨ ucktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich

37

3.7 Die Ru ¨ cktransformation von Laplace-Transformierten in den Zeitbereich Zur R¨ ucktransformation einer Laplace-Funktion in den Zeitbereich ist prinzipiell das Umkehrintegral oder R¨ ucktransformations-Integral (Gl. (3.46)) zu l¨ osen Z s=σ+j∞ 1 f (t) = F (s)est ds . (3.118) 2πj s=σ−j∞ Dieses Integral existiert, wenn F (s) f¨ ur ω → ±∞ gegen Null strebt. F¨ ur die R¨ ucktransformation aus dem Laplace-Bereich in den Zeitbereich existieren die bereits in Kapitel 3.3 eingef¨ uhrten Nomenklaturen f (t) = L−1 {F (s)}

(3.119)

f (t) ◦−−•F (s) .

(3.120)

bzw. Genauso wie bei der Fourier-Transformation ist die Zuordnung zwischen f (t) und F (s) f¨ ur alle im Bereich t > 0 stetigen Funktionen umkehrbar eindeutig. Dies bedeutet, daß das Symbol ◦−−• in beiden Richtungen gelesen werden kann. Diese Tatsache gibt Anlaß zu folgender Strategie f¨ ur die R¨ ucktransformation: Man zerlegt die r¨ uckzutransformierende Laplace-Funktion F (s) in eine Summe von Teilfunktionen F (s) = F1 (s) + F2 (s) + · · · Fn (s) ,

(3.121)

deren jeweilige R¨ ucktransformation aus Tab. 3.2 bekannt ist. Insbesondere l¨ aßt sich in Verbindung mit der Beziehung ε(t) ·

1 tn −s0 t e ◦−−• n! (s + s0 )n+1

(3.122)

zu jeder rationalen Funktion in s die dazugeh¨orige Zeitfunktion unmittelbar angeben, nachdem man die Funktion in Partialbr¨ uche zerlegt hat. Da andererseits die L¨ osung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten im Laplace-Bereich auf rationale Funktionen f¨ uhrt, lassen sich diese DGLn, die ja lineare elektrische Netzwerke mit konzentrierten Elementen beschreiben, mit Hilfe der Laplace-Transformation besonders leicht l¨ osen.

38

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten Tabelle 3.2. Laplace-Transformierte einiger wichtiger Zeitfunktionen f (t)

F (s)

δ(t)

1

ε(t)

1/s n

ε(t) · t /n!

(n = 0, 1, · · ·)

ε(t) · tn e−αt /n!

1/(sn+1 )

(n = 0, 1, · · ·) 1/(s + α)n+1

ε(t) · cos βt

s/(s2 + β 2 )

ε(t) · sin βt

β/(s2 + β 2 )

ε(t) · sin(βt + ϕ)

(s · sin ϕ + β · cos ϕ)/(s2 + β 2 )

ε(t) · cos(βt + ϕ)

(s · cos ϕ − β sin ϕ)/(s2 + β 2 )

ε(t) · e−αt sin(βt + ϕ)

[(s + α) sin ϕ + β · cos ϕ]/[(s + α)2 + β 2 ]

ε(t) · e−αt cos(βt + ϕ)

[(s + α) cos ϕ − β · sin ϕ]/[(s + α)2 + β 2 ]   (s + α)/ (s + α)2 + β 2   β/ (s + α)2 + β 2

ε(t) · e−αt cos βt ε(t) · e−αt sin βt ε(t) · t cos βt

(s2 − β 2 )/(s2 + β 2 )2

ε(t) · t sin βt

2βs/(s2 + β 2 )2

ε(t) · t2 sin βt

2β(3s2 − β 2 )/(s2 + β 2 )3

ε(t) · t2 cos βt

2(s3 − 3β 2 s)/(s2 + β 2 )3   (s2 + 2β 2 )/ s(s2 + 4β 2 )   2β 2 / s(s2 + 4β 2 )

ε(t) · cos2 βt ε(t) · sin2 βt ε(t) · cosh βt ε(t) · sinh βt ε(t) ·

t 2β

ε(t) ·

sin βt t

sinh(βt)

√ ε(t) · 1/ πt p ε(t) · 2 t/π

s/(s2 − β 2 )

β/(s2 − β 2 ) s/(s2 − β 2 )2 arctan βs √ 1/ s √ 1/(s s)

3.8 L¨ osung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

39

3.8 L¨ osung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ¨ Zwecks leichterer Uberpr¨ ufbarkeit der L¨ osung wenden wir uns nochmals dem Beispiel aus Kapitel 3.2 zu. Die Differentialgleichung, die den Einschwingvorgang der RC-Schaltung aus Abb. 3.4 beschreibt, lautet (Gl. (3.28) bzw. Gl. (3.109)) duc (t) + uc (t) = u(t) . (3.123) RC dt Die Anwendung der Laplace-Transformation f¨ uhrt mit τ = RC zu τ [sUc (s) − uc (0+ )] + Uc (s) = U (s) .

(3.124)

Diese algebraische Gleichung l¨ aßt sich leicht nach der gesuchten Gr¨oße Uc (s) aufl¨osen (vgl. Gl. (3.113))   1 1 + Uc (s) = U (s) + uc (0 ) . (3.125) s + τ1 τ F¨ ur den Fall, daß u(t) eine im Zeitnullpunkt t = 0 eingeschaltete Gleichspannung U0 ist, d. h. U0 , (3.126) U (s) = s und der Kondensator zu diesem Zeitpunkt ungeladen ist (uc (0+ ) = 0), folgt Uc (s) =

U0 . τ s(s + τ1 )

(3.127)

Diese rationale Funktion wird nun in Partialbr¨ uche zerlegt, d. h. also in rationale Grundfunktionen, die in Tab. 3.2 enthalten sind   U0 C1 C2 Uc (s) = = U . (3.128) + 0 s+α s+β τ s(s + τ1 ) Durch Koeffizientenvergleich erh¨ alt man die Werte der Konstanten α=

1 ; τ

β=0

Daraus folgt

und C2 = −C1 = 1 .

(3.129)



 −1 1 . (3.130) + s s + τ1 Gem¨aß Superpositionsregel und Tab. 3.2 ergibt sich folgende Zeitfunktion i h (3.131) uc (t) = U0 − U0 e−t/τ = U0 (1 − e−t/τ ) . Uc (s) = U0

Der zeitliche Spannungsverlauf der Kondensatorspannung uc (t) wurde bereits in Abb. 3.5 gezeigt. Das Ergebnis (Gl. (3.131)) entspricht der auf anderem Wege ermittelten L¨ osung der linearen Differentialgleichung im Zeitbereich (Gl. (3.34)).

40

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

L¨ osung f¨ ur eingeschaltete Sinusspannung Wenn die RC-Tiefpaßschaltung gem¨ aß Abb. 3.4 nun mit einer bei t = 0 eingeschalteten harmonischen Wechselspannung beaufschlagt wird, so l¨aßt sich das Ergebnis analog ermitteln. Dazu wird zun¨ achst die Eingangsspannung u(t) u(t) = ε(t) · U0 sin ω0 t

(3.132)

gem¨aß der Tab. 3.2 in den Laplace-Bereich transformiert U (s) = U0

s2

ω0 . + ω02

(3.133)

Durch Einsetzen in Gleichung (3.125) erh¨ alt man die Kondensatorspannung Uc im Laplace-Bereich   1 U0 ω0 1 + Uc (s) = + uc (0 ) . (3.134) · s + τ1 τ s2 + ω02 Eine Partialbruchzerlegung f¨ uhrt zu   1 uc (0+ ) 1 1 U0 ω0 τ −s + + . Uc (s) = τ ω02 + τ12 s + τ1 s2 + ω02 s + τ1

(3.135)

Die Zuordnungstabelle (Tab. 3.2) liefert 1 τ

s2 + ω02 s2

− •−◦ ε(t) ·

1 sin ω0 t τ ω0

s − •−◦ ε(t) · cos ω0 t . + ω02

(3.136) (3.137)

Das Ergebnis im Zeitbereich lautet also     1 U0 ω0 1 + −t/τ −t/τ . + uc (0 ) · e uc (t) = ε(t) · sin ω0 t − cos ω0 t + e τ ω02 + τ12 τ ω0 (3.138) Abbildung 3.10 zeigt den Spannungsverlauf f¨ ur einen anf¨anglich ungeladenen Kondensator uc (0+ ) = 0. Nach dem Ausgleichsvorgang (e−t/τ -Term), der mit der Zeitkonstanten τ abklingt, bleiben nur noch die beiden sin −/ cos −Wechselanteile u ¨brig, die zu einer einzigen Sinusfunktion zusammengefaßt werden k¨ onnen r 1 1 (3.139) sin ω0 t − ω0 cos ω0 t = ω02 + 2 sin(ω0 t − ϕ) τ τ mit ϕ = arctan(ω0 τ ) . (3.140) Dieser Teil der L¨osung beschreibt den eingeschwungenen Zustand, wie ihn auch die einfache Wechselstromrechnung liefert. F¨ ur einen anf¨anglich ungeladenen Kondensator (uc (0+ ) = 0) folgt also

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit linearen Bauelementen

uC(t)

U0 1/τ (1/τ)2+ω02

41

sin(ω0 t-ϕ)

ϕ

t= ω 0

t

Abb. 3.10. Einschwingverhalten des RC-Netzwerkes nach dem Einschalten der Sinus-Spannung. Der station¨ are Anteil ist gestrichelt gezeichnet.

uc (t) = ε(t) ·



U0  1 q τ 2 ω + 0

1 τ2

sin(ω0 t − ϕ) +



ω0 e−t/τ  . ω02 + τ12

(3.141)

3.9 Berechnung von Einschwingvorg¨ angen in elektrischen Netzwerken mit konzentrierten linearen passiven Bauelementen In diesem Abschnitt soll das der linearen Netzwerkanalyse zugrundeliegende Schema erarbeitet werden, das die Berechnung von Ausgleichsvorg¨angen mittels Laplace-Transformation behandelt. Neben der bereits im vorhergehenden Abschnitt besprochenen Methode, bei welcher die lineare Differentialgleichung des gegebenen Netzwerkes auf¨ gestellt und mit Hilfe der Laplace-Transformation (Uberf¨ uhrung der DGL in eine algebraische Gleichung) gel¨ ost wird, gibt es n¨amlich auch die M¨oglichkeit, das zu analysierende Netzwerk direkt im Laplace-Bereich (Frequenzbereich) zu beschreiben. Dazu m¨ ussen die einzelnen Elemente (Widerstand, Kondensator oder Spule) mit Anfangswertgeneratoren versehen werden. Im folgenden wird gezeigt, wie man daraus unmittelbar eine lineare algebraische Gleichung in der Laplace-Variablen s gewinnen kann, welche nach Aufl¨osen nach der gesuchten Gr¨oße U (s) bzw. I(s) durch eine Laplace-R¨ ucktransformation den gesuchten Spannungs- und Stromverlauf u(t) bzw. i(t) liefert (Abb. 3.11) [19]. Zwecks Gewinnung eines Ersatzschaltbildes im Laplace-Bereich m¨ ussen sowohl die Kirchhoffschen Gleichungen P uν (t) = 0 (Maschengleichung) und (3.142) P iν (t) = 0 (Knotengleichung)

42

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten lineare Differential-

gleichungen + Anfangsbedingungen

LaplaceTransformation

lineare algebraische Gleichungen in s

gesuchte Größen In (s), Un (s) im Laplace-Bereich

im Zeitbereich in(t), un(t)

KirchhoffGleichungen Auflösen nach den

Netzwerk mit Anfangsgesuchten Spannungen und wertgeneratoren Strömen im Frequenzbereich

LaplaceRücktransformation

Abb. 3.11. Prinzipielles Vorgehen bei der Berechnung von linearen Netzwerken mit Hilfe der Laplace-Transformation

als auch die die Netzwerkelemente beschreibenden Spannungs-Strom-Beziehungen uR = RiR (ohmscher Widerstand) diL (Spule) uL = L dt duC (Kondensator) iC = C dt in den Laplace-Bereich transformiert werden.

(3.143)

Transformation der Kirchhoffschen Gleichungen Wenden wir uns zun¨ achst den Kirchhoffschen Gleichungen zu. Da die LaplaceTransformation eine lineare Operation ist, gelten die Kirchhoffschen Gleichungen f¨ ur die Spannungen und Str¨ ome in derselben Form wie im Zeitbereich P Uν (s) = 0 (Maschengleichung) und (3.144) P Iν (s) = 0 (Knotengleichung) .

Transformation der Netzwerkelementgleichungen

1. Widerstandsgleichung Da ein idealer ohmscher Widerstand keinerlei Zeitverhalten zeigt, bleibt

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit linearen Bauelementen

iR(t) R

43

I R(s)

u R(t)

R

UR(s)

Abb. 3.12. Transformation eines ohmschen Widerstandes in den Laplace-Bereich

die Widerstandsgleichung bei der Laplace-Transformation unver¨andert (Abb. 3.12) UR (s) = RIR (s) . (3.145) 2. Kondensatorgleichung Bei der Transformation der Kondensatorgleichung m¨ ussen die Anfangswerte der Kondensatorspannung ber¨ ucksichtigt werden. Dazu betrachten wir den allgemeinen Fall, daß ein urspr¨ unglich auf eine Spannung uC (0− ) aufgeladener Kondensator zum Zeitpunkt t = 0 mit einer idealen (Innenwiderstand Ri = 0) Spannungsquelle verbunden wird (Abb. 3.13). Dabei springt die Kondensatorspannung2 von uC (0− ) auf uC (0+ ) = U0 . i (t) t=0 U0

uc (0-)

Abb. 3.13. Kondensator, der zum Zeitpunkt t = 0 mit einer idealen Spannungsquelle verbunden wird. 2

Anmerkung: Es sei an dieser Stelle ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, daß die Kondensatorspannung und der Spulenstrom im Schaltzeitpunkt (hier t = 0) nur im theoretischen Grenzfall bei idealen Netzwerkelementen, d. h. nicht verlustbhafteten Kapazit¨ aten bzw. Induktivit¨ aten, und idealen Quellen (ohne Innenwiderstand) springen k¨ onnen. In der Praxis kommen diese F¨ alle jedoch nicht vor, so daß hierbei nicht zwischen einem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert unterschieden werden muß. Es gilt hier stets uC (0− ) = uC (0+ ) bzw. iL (0− ) = iL (0+ ). Das Einschließen des o. g. theoretischen Grenzfalles und die daraus resultierende Unterscheidung zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert wird jedoch hier in Anlehnung an die Lehre von Bosse [19] beibehalten, weil sie aus Sicht des Au¨ tors das Ubertragen des Netzwerkes vom Zeit- in den Laplace-Bereich von der Vorstellung her erleichtert. Schließlich verbindet man mit den Anfangswerten zum Zeitpunkt t = 0− gedanklich stets den Zustand der Elemente (Kapazit¨ at bzw. Induktivit¨ at) unmittelbar vor dem Schalten. Man muß bei der Ana¨ lyse des Netzwerkes keine Uberlegungen mehr anstellen, was im Zeitschaltpunkt geschieht.

44

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Dies geht einher mit einer ebenso sprunghaft stattfindenden Ladungs¨anderung, die von einem diracf¨ ormigenStrom begleitet wird [19] i(t = 0) = C[uC (0+ ) − uC (0− )]δ(t) .

(3.146)

Damit kann die allgemeine Spannungs-Strom-Beziehung des Kondensators abgeleitet werden   duC + − + [uC (0 ) − uC (0 )]δ(t) . (3.147) iC (t) = C dt Mit der Laplace-Transformation geht Gl. (3.147) u ¨ber in   IC (s) = C sUC (s) − uC (0+ ) + uC (0+ ) − uC (0− )   uC (0− ) IC (s) = sC UC (s) − . s

(3.148) (3.149)

Ein Kondensator im Zeitbereich l¨ aßt sich also gem¨aß Abb. 3.14 in den Laplace-Bereich transformieren. Die Spannungsquelle im Ersatzschaltbild repr¨asentiert die Kondensatorspannung zum Zeitnullpunkt. Es handelt sich dabei um die Kondensatorspannung unmittelbar vor einem eventuell zum Zeitnullpunkt stattfindenden Spannungssprung.

I C (s) iC (t) C

u C (t)

uc (0-) s sC

UC (s)

Abb. 3.14. Transformation eines Kondensators in den Laplace-Bereich [19]

3. Spulengleichung Die Strom-Spannungs-Beziehung einer Induktivit¨at uL = L

diL dt

(3.150)

besagt, daß die Spannung uL einen δ-Impuls erf¨ahrt, wenn der Spulenstrom iL und damit der magnetische Fluß in der Spule springt. Wenn man nun zul¨ aßt, daß der Strom zum Zeitnullpunkt t = 0 von iL (0− ) + auf iL (0 ) springt, so ergibt sich die Spannungs-Strom-Beziehung in folgender ausf¨ uhrlicher Form [19]   diL uL = L + [iL (0+ ) − iL (0− )]δ(t) . (3.151) dt

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit linearen Bauelementen

45

Die Laplace-Transformation dieser Gleichung liefert mit Gl. (3.83)   UL (s) = L s · IL (s) − iL (0+ ) + iL (0+ ) − iL (0− ) (3.152)   − iL (0 ) UL (s) = sL IL (s) − . (3.153) s Die entsprechende Ersatzschaltung wird in Abb. 3.15 gezeigt. Der Spule mit der Impedanz sL ist eine Gleichstromquelle parallelgeschaltet, die den im Zeitnullpunkt durch die Spule fließenden Strom repr¨asentiert und zwar ¨ den Strom unmittelbar vor der eventuellen sprunghaften Anderung. iL (t) L

u L(t)

I L(s) i L(0-) s

sL

UL(s)

Abb. 3.15. Transformation einer Induktivit¨ at in den Laplace-Bereich [19]

Die eben hergeleiteten Ersatzschaltungen f¨ ur Induktivit¨aten, Kapazit¨aten und ohmsche Widerst¨ande reduzieren sich auf die vereinfachte Form aus der Wechselstromrechnung, wenn die Elemente vor dem Schaltzeitpunkt (hier stets als Zeitnullpunkt angenommen) energiefrei sind, d. h. die Kapazit¨aten sind spannungs- und damit ladungsfrei und die Induktivit¨aten sind strom- bzw. flußfrei. Zusammenfassung der Regeln f¨ ur die Netzwerkanalyse im Laplace-Bereich • •

Alle Zeitgr¨oßen werden f¨ ur t > 0 durch ihre Laplace-Transformierten ersetzt F¨ ur die Impedanz im Laplace-Bereich Z(s) =

U (s) I(s)

(3.154)

gilt – ohmscher Widerstand ZR (s) = R

(3.155)

ZL (s) = sL

(3.156)

– Induktivit¨at

46

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

– Kapazit¨at

1 . (3.157) sC Die Anfangswerte der Kondensatorspannungen und Spulenstr¨ome (Werte zum Zeitpunkt t = 0− , also unmittelbar vor dem Schalt-Zeitpunkt t = 0) werden durch zus¨ atzliche Quellen (in Serienschaltung beim Kondensator bzw. in Parallelschaltung bei der Spule) mit der Quellspannung uC (0− )/s bzw. dem Quellstrom iL (0− )/s erfaßt. Die Spannungen und Str¨ ome lassen sich mit den Methoden der Wechselstromrechnung und der linearen Netzwerkanalyse berechnen: ¨ – beim Ubergang zur Laplace-Transformation wird der Frequenzterm jω durch die komplexe Frequenz s ersetzt – die transformierten Spannungen U (s) bzw. Str¨ome I(s) entsprechen den komplexen Amplituden der Wechselstromrechnung; allerdings tragen die Laplace-Transformierten die Dimension einer Amplitudendichte (Einheit V/Hz“ bzw. A/Hz“). ” ” Nach dem L¨osen der Netzwerkgleichungen im Frequenzbereich werden die gesuchten Spannungen bzw. Str¨ ome in den Zeitbereich zur¨ ucktransformiert. ZC (s) =

•

•

•

Beispiel — Analyse eines Serienschwingkreises F¨ ur den in Abb. 3.16 gezeigten Serienschwingkreis (Reihenschwingkreis) ist der Strom i(t) f¨ ur t ≥ 0 zu berechnen. Dabei sind sowohl die Spannung u(t) als auch die Anfangswerte des Spulenstromes iL (0− ) und der Kondensatorspannung uC (0− ) bekannt. R

L

C

i(t) u(t) Abb. 3.16. Serienschwingkreis im Zeitbereich

Zur Berechnung wird zun¨ achst das Zeitbereichsersatzschaltbild (Abb. 3.16) in den Laplace-Bereich transformiert (Abb. 3.17). Aus dem Ersatzschaltbild des Serienschwingkreises im Laplace-Bereich kann die Spannung U (s) abgeleitet werden   iL (0− ) I(s) uc (0− ) U (s) = RI(s) + sL I(s) − + + . (3.158) s sC s Diese Gleichung wird schließlich nach der gesuchten Gr¨oße I(s) aufgel¨ost

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit linearen Bauelementen

47

sL sC

R

I(s)

uC(0-) s

i L (0-) s U(s)

Abb. 3.17. Serienschwingkreis im Laplace-Bereich

I(s) =

U (s) + LiL (0− ) − uc (0− )/s . 1 R + sL + sC

(3.159)

Wir gehen davon aus, daß die beiden Energiespeicher zum Zeitnullpunkt leer sind und zu diesem Zeitpunkt eine Gleichspannung mit dem Wert U0 aufgeschaltet wird u(t) = ε(t) · U0 (3.160) iL (0− ) = 0

Daraus folgt I(s) = bzw. I(s) =

und

uc (0− ) = 0 .

U0 s(R + sL +

(3.162)

1 sC )

U0 1 · L s2 + s R L +

1 LC

(3.161)

.

(3.163)

Laplace-R¨ ucktransformation einer rationalen Funktion zweiten Grades Die Aufgabe, den Strom I(s) nach Gl. (3.163) in den Zeitbereich zur¨ uckzutransformieren, soll m¨ oglichst allgemein formuliert werden. Deshalb wird die R¨ ucktransformierte folgender rationaler Funktion 2. Grades gesucht F (s) =

A s+B . s2 + 2 d s + ω02

Diese Funktion hat die beiden Pole s1 und s2 q s1 = −d + d2 − ω02 q s2 = −d − d2 − ω02 .

(3.164)

(3.165) (3.166)

F¨ ur ω02 ≤ d2 liegen die Pole bei reellen und f¨ ur ω02 > d2 bei komplexwertigen Frequenzen.

48

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Das mit einer Partialbruchzerlegung eventuell einhergehende Rechnen mit komplexwertigen Gr¨ oßen l¨ aßt sich umgehen, indem man den Nenner von Gl. (3.163) in eine Summe von Quadraten zerlegt s2 + 2 d s + ω02 = (s + d)2 + (ω02 − d2 ) .

(3.167)

Mit der Hilfsgr¨oße ωd (sie entspricht der Kreisfrequenz, die sich im ged¨ampften Schwingkreis einstellt) ωd2 = ω02 − d2 (3.168) l¨ aßt sich F (s) wie folgt angeben F (s) =

A(s + d) + B − Ad . (s + d)2 + ωd2

(3.169)

Die Anwendung des Verschiebungssatzes (Gl. (3.102)) auf die Beziehungen ε(t) · cos ω0 t ◦−−•

s s2 + ω02

(3.170)

ε(t) · sin ω0 t ◦−−•

ω0 s2 + ω02

(3.171)

und

liefert f¨ ur ωd2 > 0, also f¨ ur komplexwertige Pole, die Laplace-Zuordnungen s+d − •−◦ ε(t) · e−dt cos ωd t (s + d)2 + ωd2

(3.172)

ωd − •−◦ ε(t) · e−dt sin ωd t . (s + d)2 + ωd2

(3.173)

Unter Zuhilfenahme dieser Zuordnungen kann die zu F (s) geh¨orige Zeitfunktion f (t) angegeben werden   B − Ad −dt sin ωd t . (3.174) A cos ωd t + f (t) = ε(t) · e ωd Sollten jedoch die Pole im Reellen liegen, so wird anstatt ωd die Hilfsgr¨oße ωr2 = d2 − ω02

(3.175)

verwendet. Dies f¨ uhrt schließlich mit den Korrespondenzen s+d − •−◦ ε(t) · e−dt cosh ωr t (s + d)2 − ωr2

(3.176)

ωr − •−◦ ε(t) · e−dt sinh ωr t (s + d)2 − ωr2

(3.177)

und

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit linearen Bauelementen

zu der entsprechenden Zeitfunktion   B − Ad −dt A cosh ωr t + f (t) = ε(t) · e sinh ωr t . ωr

49

(3.178)

Die L¨osungen f¨ ur komplexwertige Pole (Gl. (3.174)) und f¨ ur reellwertige Pole (Gl. (3.178)) lassen sich mit der Beziehung ωd2 = −ωr2

(3.179)

ωd = ±jωr

(3.180)

s1 = s2

(3.181)

ω02

=d

(3.182)

ωd = ωr = 0 .

(3.183)

bzw. ineinander u uhren. ¨berf¨ Es ist noch der sog. aperiodische Grenzfall zu behandeln, bei dem die beiden Polstellen zusammenfallen, d. h. es gilt 2

und Die physikalische Deutung von Gl. (3.183) besagt, daß sich gerade keine Schwingung mehr einstellt. Zur Berechnung der entsprechenden Zeitfunktion f (t) ist ein Grenz¨ ubergang von Gl. (3.174) bzw. Gl. (3.178) notwendig. Gleichung (3.174) beispielsweise f¨ uhrt mit lim

ωd →0

zu

sin ωd t =t ωd

f (t) = ε(t) · e−dt [A + (B − Ad)t] .

(3.184) (3.185)

Anwendung auf den Serienschwingkreis Wenn man nun die eben abgeleiteten Transformationen auf die LaplaceGleichung anwendet, die den Strom im Serienschwingkreis beschreibt (Gl. (3.163)), so folgt mit R 2L 1 ω02 = LC d=

(3.186) (3.187)

A=0 B=

(3.188)

2dU0 U0 = R L

und ωd2 = −ωr2 =

1 LC

(3.189)   R2 C 1− 4L

(3.190)

50

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

der Strom im Serienschwingkreis beim Anlegen eines Gleichspannungssprunges U0 −dt 2d i(t) = ε(t) · sin ωd t , (3.191) e R ωd wenn die Pole komplexwertig sind, bzw. U0 −dt 2d sinh ωr t e R ωr U0 d −dt ωr t = ε(t) · e (e − e−ωr t ) R ωr  U0  −t/τ1 e − e−t/τ2 = ε(t) · 2ωr L  U0  −(d−ωr )t = ε(t) · e − e−(d+ωr )t 2ωr L

i(t) = ε(t) ·

(3.192)

f¨ ur reellwertige Pole, d. h. wenn

d2 − ω02 = ωr2 > 0 .

(3.193)

Gleichung (3.191) beschreibt eine ged¨ ampfte Sinusschwingung mit der Abklingkonstanten d und der Kreisfrequenz s  2 d . (3.194) ωd = ω0 1 − ω0 i(t) U0 ωd L

Hüllkurve U0 - d t e ωd L

d= d=

ω0 4 ω0 2

aperiodischer Grenzfall (d = ω0 )

t

-

U0

ωd L

Abb. 3.18. Der Stromverlauf des Serienschwingkreises f¨ ur verschiedene D¨ ampfungswerte sowie f¨ ur den aperiodischen Grenzfall. Die Polstellen sind konjugiert-komplex.

3.9 Einschwingvorg¨ ange in Netzwerken mit linearen Bauelementen

51

F¨ ur verschwindende D¨ ampfung (d = 0) handelt es sich dabei um eine harmo1 nische Schwingung mit der Kreisfrequenz ω0 = √LC . Abbildung 3.18 zeigt den Stromverlauf f¨ ur solche D¨ampfungswerte, bei denen die Pole konjugiert komplex sind, so daß eine abklingende Schwingung entsteht. Liegen jedoch die Pole im Reellen, so daß i(t) durch Gl. (3.192) beschrieben wird, ergibt sich ein Zeitverlauf gem¨aß Abb. 3.19. Der zeitliche Funktionsverlauf errechnet sich aus der Differenz zweier Exponentialfunktionen mit negativen Exponenten. Der aperiodische Grenzfall ω02 = d2 f¨ uhrt zu i(t) = ε(t) · 2

Uo −dt U0 d t e−dt = ε(t) · te . R L

(3.195)

In den Abbildungen 3.18 und 3.19 ist dieser Stromverlauf zum Vergleich ebenfalls eingezeichnet.

i(t) U0 2ωr L

U0 . - t / τ 1 e 2ωr L

3 ω 2 0 aperiodischer Grenzfall (d = ω0 )

d=

1

τ2 = d+ ωr

1

τ1 = d-ω r

-

U0 2ωr L

t

U0 . - t / τ e 2 2ωr L

Abb. 3.19. Vergleich des Stromverlaufs im aperiodischen Grenzfall mit dem Stromverlauf bei st¨ arkerer D¨ ampfung. Die Pole liegen im Reellen. Es bilden sich keine harmonischen Schwingungen mehr aus.

52

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

3.10 Ru ¨ cktransformation mittels Residuenmethode Heavisidescher Entwicklungssatz Ist die Laplace-Transformierte F (s) als Quotient zweier Polynome gegeben F (s) =

Z(s) , N (s)

(3.196)

und hat F (s) nur einfache Pole bei s1 · · · sn F (s) =

Z(s) , (s − s1 )(s − s2 ) · · · (s − sn )

(3.197)

so l¨aßt sich die zu F (s) geh¨ orende Zeitfunktion f (t) nach der sog. Residuenmethode (auch als Heavisidescher Entwicklungssatz bezeichnet) berechnen [19] n n X Z(sν ) sν t X e = rν esν t . (3.198) f (t) = ′ (s ) N ν ν=1 ν=1 Dabei stellt N ′ (sν ) die Ableitung von N (s) nach s an der Stelle sν dar. F¨ ur den Fall, daß N (s) Mehrfachpolstellen enth¨ alt, ist die Auswertung nach der Residuenmethode etwas aufwendiger. Daher soll an dieser Stelle nur auf die entsprechende Literatur verwiesen werden [19], [36]. Beispiel f¨ ur die Anwendung des Heavisideschen Entwicklungssatzes ¨ Wir betrachten einen Vierpol (Abb. 3.20) mit folgendem Ubertragungsverhalten GAP (s) =

s2 − 2ds + ω02 U2 (s) . = 2 U1 (s) s + 2ds + ω02

(3.199)

Ein solcher Vierpol wird auch als Allpaß bezeichnet, weil er alle Frequenzen bez¨ uglich ihren Amplituden gleichermaßen behandelt. Das heißt, f¨ ur jede beliebige harmonische Anregung mit jω ergibt sich ein konstanter Betrag der ¨ Ubertragungsfunktion von

U 1 (s)

GAP Allpaß

U 2 (s)

Abb. 3.20. Vierpol mit Allpaßcharakter

3.10 Heavisidescher Entwicklungssatz

|GAP (jω)| =

|U 2 (jω)| =1. |U 1 (jω)|

53

(3.200)

Nur die Phase bzw. die Laufzeit der Signale wird durch den Allpaß beeinflußt. Dies kann auch anhand der vollkommen symmetrischen Anordnung der Pole und Nullstellen eines Allpasses in der s-Ebene veranschaulicht werden (Abb. 3.21). Die eingerahmten Pole bzw. Nullstellen entsprechen dem Fall d2 > ω02 ; die konjugiert-komplexen Paare dem Fall d2 < ω02 . GAP (s) besitzt Pole bei q (3.201) s1,2 = −d± d2 − ω02 . Es sind wiederum die drei Standardf¨ alle

d2 > ω02 2

(3.202)

ω02

(3.203)

d2 = ω02

(3.204)

d < und

zu unterscheiden. Die zu GAP (s) geh¨ orende Zeitfunktion gAP (t) wird als Impulsantwort des Vierpols bezeichnet (s. auch Kap. 3.11). Sie l¨ aßt sich nach der Residuenmethode erst berechnen, wenn wir eine Polynomdivision vornehmen. Damit wird sichergestellt, daß der Grad des Z¨ ahlerpolynoms kleiner ist als der des Nennerpolynoms j. ω j . √ω02 - d 2 q1

s1

-d

+d σ = Re {s}

s2

q2 - j . √ω 2 - d 2 0

Abb. 3.21. Pol-Nullstellen-Diagramm (s. S. 57) eines Allpasses. x: Polstellen, o: Nullstellen, 2 : d2 > ωo2 (s. Gl. (3.199))

54

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

GAP (s) =

4ds s2 − 2ds + ω02 =1− 2 s2 + 2ds + ω02 s + 2ds + ω02

GAP (s) = 1 + G∗AP (s) .

(3.205) (3.206)

Wir wollen nun GAP (s) mit Hilfe der Residuenmethode zur¨ uck in den Zeitbereich transformieren ∗ gAP (t) = δ(t) + gAP (t) = δ(t) + r1 · es1 t + r2 · es2 t .

(3.207)

F¨ ur die beiden Residuen von G∗AP (s) ergibt sich r1 =

−2ds1 Z(s1 ) = ′ N (s1 ) s1 + d

(3.208)

r2 =

−2ds2 Z(s2 ) = . N ′ (s2 ) s2 + d

(3.209)

und

Mit Gl. (3.201) folgt

bzw.

Mit der Hilfsgr¨oße

p 2d(d − d2 − ω02 ) p r1 = d2 − ω02

p −2d(d + d2 − ω02 ) p . r2 = d2 − ω02 ωr =

und Gl. (3.198) erh¨ alt man

q d2 − ω02

∗ gAP (t) = r1 e−dt eωr t + r2 e−dt e−ωr t .

(3.210)

(3.211)

(3.212)

(3.213)

Schließlich ergibt sich mit Gl. (3.206) die Impulsantwort gAP (t) = δ(t) + e−dt (r1 eωr t + r2 e−ωr t ) .

(3.214)

Nun sind wiederum die drei bekannten Fallunterscheidungen zu treffen: 1. d2 > ω02 : Es ergeben sich reelle Werte f¨ ur r1 , r2 und ωr . 2. d2 < ω02 : Es ergeben sich konjugiert-komplexe Werte r1 und r2 sowie ein rein imagin¨arer Wert ωr . Mit der Beziehung ωd2 = −ωr2 (Gl. (3.179)) folgt

3.10 Heavisidescher Entwicklungssatz

r 1,2

  −2d(−d ± jωd ) d = = −2d 1 ± j ±jωd ωd

55

(3.215)

∗ gAP (t) = r1 es1 t + r2 es2 t      d d ejωd t + 1 − j e−jωd t = −2d e−dt 1 + j ωd ωd  

d ejωd t − e−jωd t = −2d e−dt ejωd t + e−jωd t + j ωd   d gAP (t) = δ(t) − 4de−dt cos ωd t − sin ωd t . (3.216) ωd

3. d2 = ω02 (aperiodischer Grenzfall): Mit Anwendung der Regel von L’Hospital folgt gAP (t) = δ(t) − 4de−dt (1 − d t) .

(3.217)

Abbildung 3.22 zeigt die Impulsantworten des betrachteten Allpasses f¨ ur verschiedene Werte von d bez¨ uglich ω0 . g (t) AP

2

2

d = ω2 0

2

d <ω 0

1

t 2

d > ω2 0

-4d Abb. 3.22. Impulsantwort des Allpasses f¨ ur verschiedene Werte von d

56

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

¨ 3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich Wir gehen von einem Vierpol (Abb. 3.23) aus, der aus passiven linearen konzentrierten Netzwerkelementen aufgebaut ist. Der Zusammenhang zwischen dem zeitlichen Verlauf des Ausgangssignals y(t) und der zeitabh¨angigen Eingangsgr¨oße x(t) wird u ¨ber das Faltungsintegral hergestellt Z +∞ Z +∞ y(t) = x(t) ∗ g(t) = x(τ )g(t − τ )dτ = x(t − τ )g(τ )dτ . (3.218) −∞

x (t)

−∞

y (t)

g (t)

Abb. 3.23. Ein Vierpol kann durch seine Impulsantwort g(t) charakterisiert werden

Da wir kausale Systeme voraussetzen, deren Impulsantwort g(t) f¨ ur t < 0 verschwindet, und auch die Anregungsfunktion f¨ ur t < 0 zu Null angenommen werden darf, kann die untere Grenze des Faltungsintegrals (−∞) durch 0“ ” und die obere Grenze (+∞) durch t“ ersetzt werden ” Z t Z t y(t) = x(τ )g(t − τ )dτ = x(t − τ )g(τ )dτ . (3.219) 0

0

Dabei bezeichnet g(t) die sog. Impulsantwort oder Gewichtsfunktion. Man erh¨alt sie als Ausgangssignal f¨ ur den Fall, daß die Erregung am Eingang ein Dirac-Impuls δ(t) ist, d. h. (Abb. 3.24) y(t) = g(t)

f¨ ur

x(t) = δ(t) .

(3.220)

Im Laplace-Bereich vereinfacht sich das Faltungsintegral gem¨aß Kap. 3.5.4 zu einer Multiplikation der entsprechenden Laplace-Transformierten der an der Faltung beteiligten Funktionen, d. h. y(t) = L−1 {Y (s)} = L−1 {G(s) · X(s)} .

(3.221)

¨ Dabei wird G(s) als Laplace-Ubertragungsfunktion (auch Netzwerku ¨bertragungsfunktion) des Systems bzw. Vierpols bezeichnet. Im folgenden ¨ sollen die Eigenschaften und die Darstellungsm¨oglichkeiten dieser Ubertragungsfunktion G(s) und der dazugeh¨ origen Zeitfunktion g(t) (Impulsantwort) n¨ aher betrachtet werden.

¨ 3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich

Dirac-Stoß x(t)

x(t)

δ (t)

t=0

lineares Netzwerk Impulsantwort g(t)

57

Impulsantwort y(t)

y(t)

t

g(t) t

Abb. 3.24. Anregung eines linearen Systems durch einen Dirac-Stoß

Es kann gezeigt werden, daß G(s) f¨ ur ein lineares passives Netzwerk aus konzentrierten Elementen als Quotient zweier Polynome darstellbar ist G(s) =

Z(s) . N (s)

(3.222)

Da G(s) gleichermaßen auch als Quotient von Laplace-Ausgangsfunktion Y (s) zu Laplace-Eingangsfunktion X(s) dargestellt werden kann G(s) =

Y (s) , X(s)

(3.223)

sind die Koeffizienten der Polynome Z(s) und N (s) reell und identisch mit den Koeffizienten der Differentialgleichung (Gl. (5.69)), die den Zusammenhang zwischen y(t) und x(t) f¨ ur t > 0 beschreibt. Aus diesem Grund liegen die Nullstellen der Polynome Z(s) und N (s) bei reellen, bei paarweise entgegengesetzt gleichen imagin¨ aren oder bei paarweise konjugiert komplexen Werten. Die Pole sν von G(s), d. h. also die Nullstellen des Nennerpolynoms N (s), werden auch als Eigenwerte des Netzwerkes bezeichnet. Liegen diese Pole in der linken Laplace-Halbebene (σν < 0), dann gilt das Netzwerk als stabil, weil keine aufklingenden Schwingungen auftreten k¨onnen. Dies liegt daran, daß die Pole bzw. Eigenwerte sν die Exponenten der in der Impulsantwort auftretenden Schwingungen in der Form esν t festlegen. Bei Netzwerken, die nur aus passiven Elementen bestehen, liegen die Pole immer in der abgeschlossenen linken Halbebene. Die Nullstellen qµ des Z¨ahlerpolynoms Z(s) hingegen sind bzgl. ihrer Lage nicht auf die linke s-Halbebene beschr¨ankt. ¨ Zur anschaulichen Darstellung von Ubertragungsfunktionen verwendet man des ¨ofteren sog. Pol-Nullstellen-Diagramme. Abbildung 3.25 zeigt ¨ die Pol-Nullstellenverteilung einer Ubertragungsfunktion vom Grad n = 3, d. h. sie weist drei Pole auf, G(s) = const. ·

(s − q1 )(s − q2 ) . (s − s1 )(s − s2 )(s − s3 )

(3.224)

Die Pole sind im Diagramm mit Kreuzen (x) und die Nullstellen mit Rin¨ gen (o) gekennzeichnet. Das Pol-Nullstellen-Diagramm l¨aßt das Ubertragungsverhalten des Vierpols, das ja durch G(s) mathematisch beschrieben wird, f¨ ur beliebige s, insbesondere auch f¨ ur s = jω, d. h. also f¨ ur unged¨ampfte

58

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

j. ω

s1

s3

q1

q2

σ = Re {s}

s2 ¨ Abb. 3.25. Pol-Nullstellen-Diagramm einer Ubertragungsfunktion mit 2 Nullstellen (o) und 3 Polen (x)

harmonische Schwingungen, unmittelbar erkennen. Wenn n¨amlich das lineare Netzwerk eine rein harmonische Anregung der Form jωt jϕx (ω) jωt ˆ ˆ x(t) = Re{X(ω)e } = Re{X(ω)e e }

(3.225)

erf¨ahrt, f¨ uhrt dies im eingeschwungenen Zustand bei einem linearen Vierpol stets zu einem Antwortsignal y(t) mit derselben Frequenz aber ver¨anderter Amplitude und Phasenlage y(t) = Re{Yˆ (ω)ejωt } = Re{Yˆ (ω)ejϕy (ω) ejωt } ,

(3.226)

ˆ und |Yˆ | = Yˆ gilt. Die Ubertragungsfunktion ˆ =X ¨ G(jω) des linearen wobei |X| Systems ist dann folgendermaßen definiert G(jω) =

Yˆ (ω) Yˆ (ω) j(ϕy −ϕx ) e = |G(jω)|ejϕ(ω) . = ˆ ˆ X(ω) X(ω)

(3.227)

¨ Die komplexe Ubertragungsfunktion G(jω) l¨ aßt sich aufspalten in den Betragsgang |G(jω)| und den dazugeh¨ origen Phasengang arg{G(jω)} = ϕ(ω). ¨ F¨ ur den Sonderfall s = jω beschreibt also diese Ubertragungsfunktion das Netzwerkverhalten f¨ ur den station¨ aren harmonischen Betrieb bei der Kreisfrequenz ω. Der Funktionsverlauf G(jω) wird als Frequenzgang bezeichnet. Er ist komplexwertig und wird daher oft in den Amplitudengang und den Phasengang aufgespalten. Amplitudengang: |G(jω)| Phasengang: arg{G(jω)}

¨ 3.11 Vierpol-Ubertragungsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich

59

Wir wollen zun¨achst den Amplitudengang betrachten |G(jω)| = |const.| ·

|jω − q1 ||jω − q2 | . |jω − s1 ||jω − s2 ||jω − s3 |

(3.228)

Die einzelnen Betragskomponenten in dieser Gleichung entsprechen den Distanzen des beliebig variierbaren Aufpunktes jω zu den einzelnen Pol- und Nullstellen sν bzw. qµ . Das Verh¨ altnis dieser Betr¨age charakterisiert den Amplitudengang. Es l¨aßt sich direkt aus dem Pol-Nullstellen-Diagramm ermitteln (Abb. 3.26). Es verdeutlicht auch, wie sich |G(jω)| bei Ann¨aherung an eine Polstelle vergr¨oßert und bei Ann¨ aherung an eine Nullstelle verkleinert. Der Phasenwinkel von G(jω) l¨ aßt sich ebenfalls aus dem Diagramm bestimmen < ) G(jω) = ϕN1 + ϕN2 − ϕP1 − ϕP2 − ϕP3 .

(3.229)

Allgemein kann man feststellen, daß in der linken Halbebene liegende Pole sowie die in der rechten Halbebene liegende Nullstellen mit wachsendem ω den Phasenwinkel verringern, w¨ ahrend ihn die Nullstellen in der linken Halbebene erh¨ohen. Nullstellen auf der imagin¨ aren Achse liefern einen Winkel von ±π/2, ¨ der beim Uberschreiten einer Nullstelle um π springt. Der kleinstm¨ogliche Winkelbeitrag ergibt sich, wenn alle Nullstellen von ¨ G(s) in der linken Halbebene liegen. Ubertragungsnetzwerke mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als Minimalphasensysteme. Sobald Nullstellen ¨ in der rechten Halbebene auftreten, enth¨ alt das Ubertragungsnetzwerk einen Allpaßanteil (s. auch Kap. 3.10). j. ω s1 ϕP1

jω − s 3

jω − s 1 s = jω

frei variierbares ω jω − q = √ω 2 + q 2

jω − q1

2

ϕP3

ϕN1

s3

q1

2

ϕN2

q2

σ = Re {s}

jω − s2 =

√s 2+ 2R

(s + ω ) 2 2I

ϕ

P2

s2 ¨ Abb. 3.26. Bestimmung von Betrag und Phase einer Ubertragungsfunktion anhand der Einzelbeitr¨ age aller Nullstellen und Pole

60

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

3.12 Beschreibung von linearen zeitinvarianten Netzwerken durch ihre Sprungantwort Die Antwort y(t) eines vom Ruhezustand aus mit der Sprungfunktion ε(t)  0 f¨ ur t < 0 ε(t) = (3.230) 1 f¨ ur t ≥ 0 ¨ angeregten Netzwerkes wird Sprungantwort h(t) oder auch Ubergangsfunktion genannt (Abb. 3.27). Sie charakterisiert das Netzwerk ebenso vollst¨andig wie die Impulsantwort g(t). Der Zusammenhang zwischen Sprungantwort h(t) und Impulsantwort g(t) l¨ aßt sich leicht herleiten h(t) =

Z

t

g(τ )dτ .

(3.231)

0

Sprunganregung x(t)

x(t)

Lineares Netzwerk

y(t)

Sprungantwort y(t) h(t)

t=0 t

t

Abb. 3.27. Anregung eines linearen Netzwerkes durch einen Sprung

3.13 Bode-Diagramme ¨ Wir betrachten die Ubertragungsfunktion G(s) eines zeitinvarianten linearen Netzwerkes. Diese l¨ aßt sich gem¨ aß Gl. (3.224) durch eine gebrochen rationale Funktion der Form G(s) =

(s − q1 )(s − q2 ) · · · (s − qn ) (s − s1 )(s − s2 ) · · · (s − sm )

(3.232)

¨ darstellen. F¨ ur den Spezialfall s = jω folgt die Ubertragungsfunktion G(jω) G(jω) =

(jω − q1 )(jω − q2 ) · · · (jω − qn ) . (jω − s1 )(jω − s2 ) · · · (jω − sm )

(3.233)

¨ Als erstes Beispiel wollen wir die einfache Ubertragungsfunktion G(jω) =

10 jω + 10

(3.234)

3.13 Bode-Diagramme

61

G(jω) 1

G (s) =

100

10 s + 10

200

ω

300

¨ Abb. 3.28. Amplitudengang der Ubertragungsfunktion G(s) = Darstellung

10 s+10

in linearer

betrachten. Abbildung 3.283 zeigt den im linearen Maßstab gezeichneten Amplitudengang. In der Praxis ist es jedoch u ¨blich, solche Amplitudeng¨ange in doppelt logarithmischer Form aufzutragen. Dazu wird |G(jω)| logarithmiert4 , mit 20 multipliziert und in der Einheit Dezibel dB dargestellt (Abb. 3.29) G(jω) 0 dB -10

G (s) =

10 s + 10

-20 -30

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.29. Amplitudengang in doppelt logarithmischer Darstellung (sowohl die Abszisse als auch die Ordinate ist logarithmisch unterteilt)

3

4

Die Einheitenbezeichnung der Frequenzachse wird hier wie in den folgenden Diagrammen weggelassen, da es sich hierbei um abstrakte Beispiele ohne konkreten Bezug zu realen Systemen handelt. Der hier verwendete Logarithmus mit der Basis 10 (Zehnerlogarithmus) wird in diesem Buch stets mit lg“ bezeichnet. ”

62

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

arg{G(jω)} 0° G (s) =

10 s + 10

-45°

-90° 1

0,1

10

100

1000

Abb. 3.30. Phasengang von G(s) =

ω

10 s+10

|G(jω)| = 20 · lg |G(jω)| dB .

(3.235)

Die graphische Darstellung des Phasenganges ϕ(jω) = arg{G(jω)}

(3.236)

erfolgt in aller Regel einfachlogarithmisch, d. h. man tr¨agt ϕ linear und ω logarithmisch auf. Abbildung 3.30 zeigt den Phasengang der oben betrachteten ¨ Ubertragungsfunktion (Gl. (3.234)). Man bezeichnet diese Darstellungen als Bode-Diagramm. ¨ Solange die Pole und Nullstellen der Ubertragungsfunktion im Pol-Nullstellen-Diagramm auf der negativen reellen Achse liegen, k¨onnen die Asymptoten der Diagrammverl¨ aufe nach einem einfachen Schema festgelegt werden. Dazu ¨ Tabelle 3.3. Analyse der Ubertragungsfunktion G(s) = ω

G(jω)

20 · lg |G(jω)| dB Phase

ω=0

1

0 dB

0o

ω < 0, 1|s1 |

1

0 dB

≈ 0o

ω < |s1 |

≈1

0 dB

ω = |s1 |

10 js1 +10

- 3 dB

ω > |s1 |

≈

10 jω

- 20 dB/Dekade

ω > 10|s1 | ≈

10 jω

- 20 dB/Dekade

−45o

≈ −90o

10 s+10

3.13 Bode-Diagramme

63

betrachten wir wiederum beispielhaft die Funktion G(s) =

10 , s + 10

(3.237)

die einen Pol bei s1 = −10 hat. Eine einfache Analyse der Situation f¨ uhrt zu Tab. 3.3 und dem in den ¨ Abbn. 3.31 und 3.32 dargestellten asymptotischen Verhalten. Hat die UberG(jω)

approximierter exakter Verlauf

0 -3 -10 dB -20

G (s) =

10 s + 10

-30

0,1

Abb. 3.31. 10 G(s) = s+10

1

10

100

1000

ω

Mit Hilfe von Asymptoten bestimmter Amplitudengang von

arg{G(jω)} 0° -6° exakter Verlauf -45°

G (s) =

10 s + 10

-84° -90°

0,1

1

10

100

1000

Abb. 3.32. Mit Hilfslinien angen¨ aherter Phasengang von G(s) =

ω

10 s+10

64

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

tragungsfunktion statt des Pols eine entsprechende Nullstelle bei s = q1 , kehrt sich das Diagramm um (Abbn. 3.33 und 3.34). G(jω) 50 dB 40

G (s) = s + 10

30

exakter Verlauf

23 20

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.33. Mit Asymptoten angen¨ aherter Amplitudengang von G(s) = s + 10

arg{G(jω)} +90° +84° G (s) = s + 10 +45°

exakter Verlauf

+6° 0°

0,1

1

10

100

1000

ω

Abb. 3.34. Vergleich des exakt berechneten sowie des mit Hilfslinien angen¨ aherten ¨ Phasenganges der Ubertragungsfunktion G(s) = s + 10

3.13 Bode-Diagramme

65

3.13.1 Regeln f¨ ur Bode-Diagramme (reelle Pole und Nullstellen) ¨ F¨ ur den Fall, daß die Ubertragungsfunktion mehrere reelle Pole und Null¨ stellen enth¨alt, geht man folgendermaßen vor: Man zerlegt die Ubertragungsfunktion multiplikativ in Systeme 1. Ordnung und addiert dann den logarithmisch dargestellten Amplitudengang sowie die linear dargestellte Phase. Unter der Bedingung, daß sich alle Pole und Nullstellen auf der negativen reellen Achse des Pol-Nullstellen-Diagramms befinden und der gegenseitige Abstand gen¨ ugend groß ist, lassen sich Regeln definieren, die das Absch¨atzen der Amplituden- und Phasenverl¨ aufe erleichtern [53], [129]: Amplitudengang 1. Lage und Vielfachheit von Polen und Nullstellen bestimmen 2. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen 3. Bei ω → 0 beginnen: a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0: Steigung 0 dB/Dekade b) pro Pol bei s = 0: Steigung -20 dB/Dekade c) pro Nullstelle bei s = 0: Steigung +20 dB/Dekade 4. Gerade Linie bis zur n¨ achsten Eckfrequenz 5. F¨ ur jeden Pol Steigung um 20 dB/Dekade verringern, f¨ ur jede Nullstelle Steigung um 20 dB/Dekade erh¨ ohen. Punkte 4 und 5 so lange wiederholen, bis alle Eckfrequenzen abgearbeitet sind 6. Beschriftung der vertikalen Achse durch Ausrechnen von |G(jω)| in einem waagrechten Bereich des Bode-Diagrammes. 7. Ecken um 3 dB pro Pol bzw. Nullstelle abrunden Phasengang 1. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen 2. Bei ω → 0 beginnen: a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0: Phase 0◦ b) pro Pol bei s = 0: Phase −90◦ c) pro Nullstelle bei s = 0: Phase +90◦ 3. Gerade Linie bis 0, 1× n¨ achste Eckfrequenz 4. Jeder Pol subtrahiert 90◦ , jede Nullstelle addiert 90◦ u ¨ber einen Bereich von 0, 1× Eckfrequenz bis 10× Eckfrequenz verteilt. Auf diese Art alle Eckfrequenzen abarbeiten 5. Phasenskizze gl¨ atten, so daß arctan-Verl¨ aufe entstehen. Abrundungen ca. 6◦ pro Pol bzw. Nullstelle bei 0, 1× Eckfrequenz und 10× Eckfrequenz

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

66

G(jω) 20 17 14 10

G (s) =

s + 1000 (s + 10)

2

dB 0,1

1

10

100

1000

ω

10000

-20

-40 exakter Verlauf -60

arg{G(jω)} 0° 0,1

-45°

1

10

100

1000

ω

10000

exakter Verlauf G (s) =

s + 1000 (s + 10)

2

-90°

-135°

-180° Abb. 3.35. Approximierter und exakt berechneter Amplituden- und Phasengang

3.13 Bode-Diagramme

67

Beispiel: Bode-Diagramm mit reeller Pol-Nullstellenverteilung ¨ Betrachten wir folgende Laplace-Ubertragungsfunktion G(s) =

s + 1000 . (s + 10)2

(3.238)

Es befinden sich weder Pole noch Nullstellen bei s = 0, daher ergibt sich bei ω → 0 f¨ ur den Amplitudengang |G(jω)| = 20 dB und eine Steigung von 0 dB sowie f¨ ur den Phasengang arg{G(jω)} = 0. Bei s = −10 befindet sich ein doppelter Pol, daher f¨ allt der Amplitudengang ab ω = 10 mit −40 dB/Dekade ab und die Phase verringert sich auf −180◦ u ¨ber einen Bereich von ω = 1 bis ω = 100 verteilt. Die Nullstelle bei s = −1000 f¨ uhrt dazu, daß die Steigung des Amplitudenganges sich ab ω = 1000 auf −20 dB/Dekade erh¨oht und die Phase auf −90◦ ansteigt. Die Abbildung 3.35 zeigt die approximierten sowie die exakten Verl¨aufe. 3.13.2 Regeln f¨ ur Bode-Diagramme mit komplexen Polpaaren ¨ Wenn die Ubertragungsfunktion ein komplexes Polpaar aufweist, bedeutet dies, daß ein schwingungsf¨ ahiges System beschrieben wird, z. B. ein Resonanzkreis. Man hat zwei F¨ alle zu unterscheiden (Abb. 3.36): j. ω schwach gedämpft

σ = Re {s}

stark gedämpft

Abb. 3.36. Konjugiert-komplexe Polstellen f¨ ur schwach ged¨ ampftes sowie stark ged¨ ampftes System

68

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

schwach ged¨ ampftes System Ob eine schwache oder eine starke D¨ ampfung vorliegt, l¨aßt sich an der Lage der Doppelpolstelle ablesen. Gilt f¨ ur den Betrag des Imagin¨arteils |Im(si )| ≫ |Re(si )|, so herrscht schwache D¨ ampfung vor, was dazu f¨ uhrt, daß es im Amplitudengang zu einer deutlichen Resonanz¨ uberh¨ohung kommt. F¨ ur Frequenzen weit oberhalb der Eckfrequenz f¨allt der Amplitudengang mit 40 dB/Dekade aufgrund des doppelten Pols. Ferner findet die Resonanz¨ uberh¨ohung bei ω ≈ |Im (si )| statt, d.h. in der N¨ahe des Imagin¨arteils des Pols. Diese ist umso ausgepr¨ agter, je n¨ aher der Pol an der imagin¨aren Achse liegt. N¨aher“ heißt, daß der Winkel zwischen der Verbindungsgeraden (Pol ” - Nullpunkt) und der imagin¨ aren Achse kleiner ist. Die Phase f¨allt an dieser Stelle wegen des doppelten Pols nahezu sprunghaft um 180◦ ab. Die N¨ahe der Pole zur imagin¨aren Achse ist ein Maß f¨ ur die Steilheit dieses Phasensprungs. stark ged¨ ampftes System Bei stark ged¨ampften Systemen ist der Realteil der konjugiert-komplexen Polstelle wesentlich gr¨ oßer als der Imagin¨ arteil. Es gilt |Im(si )| ≪ |Re(si )|. Auch hier f¨allt der Amplitudengang mit 40 dB/Dekade f¨ ur Frequenzen oberhalb der ¨ Eckfrequenz ab. Die Uberh¨ ohung im Amplitudengang infolge Resonanz geht allerdings immer mehr zur¨ uck und verschwindet f¨ ur den Grenzfall, daß die konjugiert-komplexe Polstelle in einen Doppelpol u ¨bergeht. In diesem Grenzfall zeigt der Amplitudengang den bereits oben diskutierten 6 dB-Abfall bei der Eckfrequenz ω ≈ |Re(si )|. Systeme mit mittlerer D¨ ampfung F¨ ur F¨alle, die zwischen den o. g. Extrema (|Im(si )| ≫ |Re(si )| und |Im(si )| ≪ |Re(si )|) liegen, gelten folgende Regeln: ¨ 1. Ein Uberschwingen tritt auf, sobald der Imagin¨arteil der Polstelle gr¨oßer wird als der Realteil, d. h. f¨ ur |Re(si )| < |Im(si )|. 2. Die Eckfrequenz ω ergibt sich aus dem Betrag der Polstelle p ω = Re(si )2 + Im(si )2 . (3.239) ¨ 3. Das Maximum der Uberschwingungsamplitude liegt zwischen der Frequenz ω = 0 und der Eckfrequenz aus Pkt. 2.

Beispiele: Bode-Diagramme f¨ ur komplexe Polpaare Im folgenden wollen wir zwei Beispiele diskutieren. Zun¨achst betrachten wir ¨ die Ubertragungsfunktion G(s) =

1 . s2 + 0, 4s + 1, 04

(3.240)

3.13 Bode-Diagramme

69

G(jω) 20 17 10 dB 0,01

0,1

1

10

100

-20 G (s) =

1000

ω

1 s2 + 0,4s + 1,04

-40

-60

arg{G(jω)} 0° 0,01

0,1

1

10

100

1000

ω

-45° G (s) =

1 s2 + 0,4s + 1,04

-90°

-135°

-180° Abb. 3.37. Amplituden- und Phasengang mit einer Resonanz¨ uberh¨ ohung bei ω ≈ 1

70

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

Sie besitzt lediglich ein komplexes Polpaar bei s1,2 = −0, 2 ± j. Daraus folgt, daß f¨ ur kleine ω die Phase gleich Null ist. Außerdem erh¨alt man f¨ ur ω → 0 einen waagrechten Amplitudenverlauf mit |G(jω)| ≈ 0 dB. Das Polpaar f¨ uhrt zu einer deutlichen Resonanz¨ uberh¨ohung an der Stelle ω ≈ 1; f¨ ur h¨ ohere Frequenzen l¨ aßt sich der Amplitudenverlauf durch eine Gerade mit −40 dB/Dekade Steigung ann¨ ahern. Die Phase f¨allt bei ω ≈ 1 um −180◦ ab ¨ (Abb. 3.37). Um den Einfluß der Pol-Nullstellenkonfiguration auf das Ubertra¨ gungsverhalten eines Netzwerkes zu verdeutlichen, betrachten wir die Ubertragungsfunktion G(s) =

s(s + 100)2 (s + 104 ) . (3.241) (s + 0, 2 + j)(s + 0, 2 − j)(s + 20 + 1000j)(s + 20 − 1000j) j. ω s5

s2 s1 s7

s4

σ = Re {s}

s3

s6 Abb. 3.38. Gl. (3.241)

¨ Pol(x)-Nullstellen(o)-Diagramm der Ubertragungsfunktion nach

Diese Darstellung l¨ aßt die Lage der Pole und Nullstellen sofort erkennen (Abb. 3.38). Die Nullstelle bei s1 = 0 f¨ uhrt dazu, daß die Amplitude f¨ ur kleine ω mit 20 dB/Dekade ansteigt (Abb. 3.39). Die erste Resonanz¨ uberh¨ohung wird durch das komplexe Polpaar s2,3 = −0, 2 ± j verursacht und befindet sich bei ω ≈ 1. Hier ¨andert sich die Steigung um −40 dB/Dekade auf −20 dB/Dekade. Als n¨achstes folgt eine doppelte Nullstelle auf der reellen Achse bei s4 = −100. Daher ¨andert sich die Steigung bei ω = 100 um +40 dB/Dekade auf +20 dB/Dekade. Wegen des komplexen Polpaares s5,6 = −20±1000j kommt es bei ω ≈ 1000 abermals zu einer Resonanz¨ uberh¨ohung. Die Steigung des Amplitudenganges ¨andert sich um −40 dB/Dekade auf −20 dB/Dekade. Schließlich gilt es noch die Nullstelle s7 = −104 zu beachten, welche dazu f¨ uhrt, daß

3.13 Bode-Diagramme

G(jω)

s (s + 100)2 (s + 104 ) (s + 0,2 + j) (s + 0,2 - j) (s + 20 + 1000j) (s + 20 - 1000j)

G (s) =

60

71

dB 40

exakter

20

Verlauf approximierter

0 0,1

1

arg{G(jω)} +90°

100

10

1000

10000

ω

4

G (s) =

s (s + 100)2 (s + 10 ) (s + 0,2 + j) (s + 0,2 - j) (s + 20 + 1000j) (s + 20 - 1000j)

exakter

Verlauf approximierter

+45°

0° 0,1

1

10

100

1000

10000

ω

-45°

-90° Abb. 3.39. Amplituden- und Phasengang mit zwei Resonanz¨ uberh¨ ohungen bei ω ≈ 1 und ω ≈ 1000

sich die Steigung bei ω = 104 um +20 dB/Dekade auf 0 dB/Dekade erh¨oht. Beim Vergleich des approximierten Amplitudenganges (Abb. 3.39) mit der exakten L¨osung f¨allt auf, daß die zweite Resonanz wesentlich st¨arker ausgepr¨agt ist als die erste. Dies ist darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, daß das Polpaar s5,6 n¨aher an

72

¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten

der imagin¨aren Achse liegt als das Polpaar s2,3 . N¨aher“ heißt, daß der Win” kel der Pole mit der imagin¨ aren Achse kleiner ist. Abschließend muß noch die vertikale Achse beschriftet werden. Hierzu benutzt man die Tatsache, daß der Amplitudenverlauf f¨ ur ω → ∞ waagrecht ist und daß die Amplitude dort 0 dB betr¨agt (limω→∞ |G(jω)| = 1). F¨ ur die Phase bei kleinen Frequenzen erh¨alt man wegen der Nullstelle bei s1 = 0 den Wert +90◦ . Beim ersten komplexen Polpaar ¨andert sich die Phase um −180◦ auf −90◦ . Die doppelte Nullstelle bei s4 = −100 f¨ uhrt zu einem Anstieg um 180◦ auf (ungef¨ahr) zwei Dekaden verteilt. Das zweite komplexe Polpaar verursacht wiederum eine Phasen¨anderung um −180◦. Schließlich bleibt noch die Nullstelle s7 = −104 wodurch die Phase auf 0◦ zur¨ uckgeht. Betrachtet man den exakten Phasenverlauf in Abb. 3.39, so erkennt man, daß sich hier die st¨ arkere zweite Resonanz in einem deutlich steileren Phasen¨ ubergang auswirkt.

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

Im Gegensatz zu den vereinfachenden Annahmen, daß die in den betrachteten elektrischen Netzwerken enthaltenen Bauelemente zeitinvariant, d.h. keine Funktion der Zeit darstellen, und linear sind, d. h. keine Abh¨angigkeiten der Widerstands-, Kapazit¨ ats- und Induktivit¨ atswerte von den angelegten Spannungen bzw. den durch sie fließenden Str¨ omen vorhanden sind, wollen wir in diesem Kapitel gerade diese Abh¨ angigkeiten zulassen. Wir sprechen in diesem Fall allgemein von zeitvarianten R, L, C = f (t)

(4.1)

R, L, C = f (u, i)

(4.2)

bzw. nichtlinearen Bauelementen und Netzwerken. Sie stellen eine Verallgemeinerung der linearen Bauelemente und Netzwerke dar.

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C) 4.1.1 Vorbemerkungen Nichtlineare Bauelemente werden im allgemeinen durch ihre Kennlinien beschrieben. Kennlinien k¨ onnen als geschlossene analytische Ausdr¨ ucke, in Form von Tabellen oder als gemessene Kurven vorliegen. Bei einem Widerstand spricht man von einer Strom-Spannungs-Kennlinie, bei einer Induktivit¨at von einer Fluß-Strom-Kennlinie und bei einer Kapazit¨at von einer LadungsSpannungs-Kennlinie. Ist der Kennliniengraph punktsymmetrisch zum Ursprung, so bezeichnet man diesen als bilaterale Kennlinie. Kennlinien, die bei sehr langsam ver¨ anderlichen oder zeitlich konstanten anregenden Gr¨oßen aufgenommen werden, heißen statische Kennlinien. Bei linearen Elementen und sinusf¨ ormiger Anregung kann eine Kennlinie, welche die Momentanwerte von Strom und Spannung beschreibt, durch ein√ fache Skalierung mit dem Faktor 2 auf beiden Achsen gem¨aß

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

74

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

ˆ U Ueff = √ 2

und

Iˆ Ieff = √ 2

(4.3)

in eine Kennlinie zur Beschreibung der Effektivwerte umgewandelt werden, ˆ und Iˆ die Scheitelwerte von Spannung bzw. Strom bezeichnen. wobei U Bei Bauelementen mit nichtlinearer Kennlinie besteht nat¨ urlich keine lineare Beziehung mehr zwischen Strom und Spannung. Bei Anlegen einer sinusf¨ormigen Wechselspannung an ein nichtlineares Element ist der Strom nicht mehr sinusf¨ormig. Er enth¨ alt neben der Grundfrequenz noch h¨ohere Harmonische. Der Effektivwert bestimmt sich dann zu s Z 1 T 2 i (t) dt . (4.4) Ieff = T 0 Aus diesem Grunde gehen Momentanwert- und Effektivwertkennlinie nicht mehr einfach durch Maßstabs¨ anderung auseinander hervor. Der Unterschied zwischen beiden Kurven ist aber im allgemeinen gering, da sich bei der Bildung des Effektivwertes die Oberwellen quadratisch zur Grundwelle addieren und deren Amplituden (im Vergleich zur Grundwelle) mit der Ordnungszahl der Harmonischen abnehmen. 4.1.2 Nichtlinearer Widerstand Das Schaltsymbol f¨ ur einen nichtlinearen Widerstand ist in Abb. 4.1 gezeigt. Man unterscheidet zwischen stromgesteuerten Widerst¨ anden, die in der Form u = R(i) i (4.5) und spannungsgesteuerten Widerst¨ anden, die in der Form i = G(u) u

(4.6)

dargestellt werden. Im zeitvarianten Fall tritt zu der jeweiligen Abh¨angigkeit noch die der Zeit t hinzu. i u Abb. 4.1. Schaltsymbol f¨ ur nichtlinearen Widerstand

In Abb. 4.2 ist exemplarisch eine Strom-Spannungs-Kennlinie eines nichtlinearen (stromgesteuerten) Widerstandes gezeigt. An dieser Kennlinie sind nun allgemein zwei verschiedene Gr¨ oßen zur Beschreibung des Bauteils definiert. Betrachtet man einen speziellen Arbeitspunkt (u0 , i0 ), so wird die Steigung der Ursprungsgeraden durch diesen Punkt als statischer Widerstand

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C)

R s (i 0)

75

R(i 0)

u u0

a)

i0

i

R

R s (i) b)

R(i) i

Abb. 4.2. a) Strom-Spannungs-Kennlinie eines nichtlinearen ohmschen Widerstandes mit Ursprungsgerade und Tangente im Arbeitspunkt (u0 , i0 ), b) statischer RS und differentieller Widerstand R

Rs (i0 ) =

u0 i0

(4.7)

bezeichnet (Abb. 4.2). Er ist eine Funktion des Arbeitspunktes. Die Steigung der Tangente an die Kurve im Arbeitspunkt (i0 ) hingegen entspricht dem differentiellen Widerstand du R(i0 ) = . (4.8) di i=i0

Neben der Betrachtung der (statischen) Kennlinie des nichtlinearen Bauelements ist auch dessen Zeitverhalten von grundlegender Wichtigkeit. So reagiert ein reales nichtlineares Bauelement, je nach zugrundeliegendem physikalischem Mechanismus, der f¨ ur die Nichtlinearit¨at verantwortlich ist, nicht so¨ fort auf eine Anderung der ¨ außeren elektrischen Gr¨oßen. Innere physikalische Vorg¨ange, die zur Nichtlinearit¨ at f¨ uhren, k¨ onnen z. B. einem Exponentialgesetz mit einer bestimmten Zeitkonstante τ gehorchen. Ist die Nichtlinearit¨at des Bauteils temperaturbedingt, so kann die entsprechende Erw¨armungszeitkonstante im Bereich von Sekunden oder Minuten liegen. Bauelemente mit einer im Vergleich zur Periodendauer der anregenden Gr¨oße T großen Zeitkonstanten τ bezeichnet man als tr¨ age Bauelemente. Man hat drei F¨alle zu unterscheiden [119]:

76

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

1. Die Periodendauer der anregenden Gr¨ oße ist sehr groß im Vergleich zur Zeitkonstanten des nichtlinearen Bauelementes (T ≫ τ ): Hier verh¨alt sich das Bauelement tr¨ agheitslos. Ein nichtlinearer Widerstand verh¨alt sich hier wie sein differentieller Widerstand im jeweiligen Arbeitspunkt. 2. Die Periodendauer der anregenden Gr¨ oße ist sehr klein im Vergleich zur Zeitkonstanten des nichtlinearen Bauelementes (T ≪ τ ): Das Bauelement ist tr¨ age, d. h. es ¨ andert seinen Widerstandswert fast nicht. Somit verh¨ alt es sich bei dieser Anregung wie ein lineares Bauelement mit konstantem Widerstandswert, der seinem statischen Widerstand entspricht. Die Kennlinie geht u ¨ber in eine Ursprungsgerade mit dem Anstieg des statischen Widerstandes. 3. Die Periodendauer der anregenden Gr¨ oße liegt in der Gr¨oßenordnung der Zeitkonstanten des nichtlinearen Bauelementes (T ≈ τ ): Der Widerstandswert ¨ andert sich verz¨ ogert, d. h. die Kennlinie erh¨alt die Form einer geschlossenen Kurve, die den Arbeitspunkt umfaßt. Es tritt also eine Hysterese auf und Strom sowie Spannung am Widerstand werden gegeneinander in der Phase verschoben, so daß zus¨atzlich zum ohmschen Widerstand kapazitive und induktive Anteile hinzutreten.

i

u

Abb. 4.3. Kennlinie eines bilateralen Widerstandes

Passive Widerst¨ ande sind Widerst¨ ande, die weder Quellen enthalten noch Halbleitereigenschaften aufweisen. Sie zeigen eine bzgl. des Koordinatenursprunges im u − i−Kennlinienfeld punktsymmetrische Kennlinie (Abb. 4.3). Man bezeichnet diese Widerst¨ ande bzw. ihre entsprechende Kennlinie auch als bilateral. Die Klemmen dieses Widerstandes sind beliebig vertauschbar. Diese Punktsymmetrie geht verloren, wenn die Bauelemente Halbleiter mit ¨ pn−Uberg¨ angen enthalten, wie z. B. Dioden. Abbildung 4.4 zeigt die typische i − u−Kennlinie einer Diode

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C)

77

i i

u

IS

u

Abb. 4.4. Typische Diodenkennlinie mit Schaltzeichen

i = Is (eu/UT − 1),

(4.9)

wobei UT die Temperaturspannung bezeichnet UT =

k·T e

(4.10)

mit k: Boltzmannkonstante k = 1, 38 · 10−23 Ws K e: Elektronenladung e = 1, 6 · 10−19 As T : absolute Temperatur. Eine besondere Eigenschaft weisen die sog. Tunneldioden auf; sie zeigen n¨ amlich in ihrer i − u−Kennlinie Bereiche mit negativer Steigung (Abb. 4.5). Dies bedeutet, daß sich die Tunneldiode dort wie ein negativer differentieller Widerstand verh¨ alt. Bez¨ uglich eines vorgegebenen Stromwertes i kann es

i i di <0 du u

u

Abb. 4.5. Kennlinie und Schaltzeichen einer Tunneldiode

78

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

zu Mehrdeutigkeiten kommen. So weist die Kennlinie f¨ ur gewisse Stromwerte beispielsweise 3 Schnittpunkte mit dazugeh¨ origen Spannungswerten auf. Die Tunneldiode ist daher als spannungsgesteuerter, zeitinvarianter nichtlinearer Widerstand zu betrachten. Ein weiterer Typ von Widerst¨ anden wird in der Sensorik zur Temperaturmessung eingesetzt. Es handelt sich dabei um sog. Heißleiter (NTCWiderst¨ ande) oder um Kaltleiter (PTC-Widerst¨ ande) (NTC: Negative Temperature Coefficient; PTC: Positive Temperature Coefficient). Ihr Widerstandswert ist temperaturabh¨ angig (Abb. 4.6). Heißleiter bestehen aus oxidischen Mischkristallen, deren Kristallgitteraufbau an den Korngrenzen durch Mischung verschiedener Oxide gest¨ort wird. Dadurch wird der urspr¨ unglich hohe spezifische Widerstand der reinen Oxide stark vermindert. Dieser Effekt ist, wie die Kennlinie aus Abb. 4.6 belegt, stark temperaturabh¨angig. Im Bereich der Raumtemperatur betragen die Temperaturkoeffizienten ca. −3 bis −6%/K. Heißleiter werden bis zu Temperaturen von mehreren Hundert Grad Celsius eingesetzt. R R0 3 Heißleiter

Kaltleiter

2

1

- 100

- 50

0

+50

°C

+100

ϑ

Abb. 4.6. Widerstandscharakteristiken von Heiß- und Kaltleitern

Kaltleiter hingegen weisen positive Temperaturkoeffizienten auf (Abb. 4.6). Sie bestehen aus halbleitenden polykristallinen ferroelektrischen Keramiken, z. B. Bariumtitanat (BaTiO3 ). Ihr ohmscher Widerstand steigt oberhalb der sog. Curie-Temperatur sprunghaft an (Abb. 4.6), da sich an den Korngrenzen Sperrschichten ausbilden. Sie werden aufgrund ihrer relativ hohen Kennlinienstreuung in aller Regel weniger f¨ ur Meßaufgaben als f¨ ur Regelungs- und ¨ Uberwachungsaufgaben herangezogen. Die Strom-Spannungs-Kennlinie eines typischen Kaltleiters wird in Abb. 4.7 gezeigt. Sie hat zun¨achst den Charakter eines nahezu linearen ohmschen Widerstandes. Wird die Spannung weiter gesteigert, so steigt mit der zunehmend verbrauchten Leistung infolge Eigenerw¨armung die Temperatur des Bauelementes an, bis zur sog. Einsetztemperatur, bei der sich der Widerstand nahezu sprunghaft ¨andert, so daß der

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C)

79

i iE

uE

u max

uD

u

Abb. 4.7. Strom-Spannungs-Kennlinie eines typischen Kaltleiters [159, 130]

Strom abnimmt (Werte uE , iE ). Der Kaltleiter k¨onnte zwar prinzipiell bis zur Durchbruchspannung uD (Abb. 4.7) betrieben werden; aus Sicherheitsgr¨ unden beschr¨ankt man sich aber auf Betriebsspannungen u ≤ umax . Außerdem muß die Betriebsspannung auf umax begrenzt werden, um die ansonsten zu groß werdende Eigenerw¨ armung zu vermeiden. 4.1.3 Nichtlineare Induktivit¨ at Induktivit¨aten weisen h¨ aufig nichtlineare Eigenschaften auf, die auf die Magnetisierungseigenschaften der verwendeten permeablen Kernmaterialien zur¨ uckzuf¨ uhren sind. Auch k¨ onnen sie, insbesondere in elektrischen Maschinen, ein zeitabh¨angiges Verhalten zeigen. Das Schaltsymbol f¨ ur eine nichtlineare Induktivit¨ at ist in Abb. 4.8 dargestellt. Eine allgemeine, zeitvariante, nichtlineare Induktivit¨ at kann durch eine Funktion Φ = fL (i(t), t)

(4.11)

beschrieben werden. Dabei bedeutet Φ den magnetischen Fluß durch die Induktivit¨at, welcher bei Betrachtung einer realen Spule dem mit der Windungszahl verketteten Gesamtfluß entspricht. Die Induktivit¨at heißt dann stromgesteuert. Es ist zu beachten, daß in Gl. (4.11) neben der direkten Zeitabh¨angigkeit außerdem der Strom i(t) eine Funktion der Zeit darstellt. Im weiteren i u Abb. 4.8. Schaltsymbol f¨ ur nichtlineare Induktivit¨ at

80

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

wird aus Gr¨ unden der Lesbarkeit nur noch i anstelle von i(t) geschrieben. Die Zeitabh¨angigkeit des Stromes ist aber insbesondere bei der Bildung der Differentialquotienten zu beachten. Eine nichtlineare Induktivit¨ at wird durch eine Fluß-Strom-Kennlinie beschrieben, wie sie bespielhaft in Abb. 4.9 dargestellt ist. Die Kennlinie ist wiederum punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und wird daher auch als bilateral bezeichnet. Bei einer zus¨ atzlichen Zeitabh¨angigkeit ergibt sich eine Fluß-Strom-Kurvenschar mit dem Scharparameter t. M¨ogliche Hystereseerscheinungen werden hier nicht ber¨ ucksichtigt. Φ

Sättigungsfluß

i

Abb. 4.9. Fluß-Strom-Kennlinie einer nichtlinearen, s¨ attigungsbehafteten Induktivit¨ at. Der Begriff S¨ attigungsfluß ist so zu verstehen, daß ab Erreichen dieses Wertes der Fluß nur noch mit der Steigung der Vakkuumpermeabilit¨ at µ0 ansteigt.

Die allgemeine Strom-Spannungs-Beziehung lautet nach dem Induktionsgesetz u(i, t) =

dΦ(i, t) . dt

(4.12)

Unter Ber¨ ucksichtigung der Zeitabh¨ angigkeit des Stromes ergibt sich u(i, t) = Dabei wird der Term

∂Φ(i, t) di ∂Φ(i, t) + . ∂i dt ∂t

∂Φ(i, t) L(i0 , t) := ∂i i=i0

(4.13)

(4.14)

als differentielle Induktivit¨ at (im Arbeitspunkt (i0 )) definiert. Sie entspricht der Steigung der in Abb. 4.9 gezeigten Kennlinie in einem jeweils betrachteten Arbeitspunkt (i0 , Φ0 ) zu einem fixen Zeitpunkt t0 und wird auch als Kleinsignalinduktivit¨ at in der Umgebung dieses Arbeitspunktes bezeichnet. Ihr typischer Verlauf ist in Abb. 4.10 zu sehen.

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C)

81

L

i Abb. 4.10. Typischer Verlauf einer Kleinsignalinduktivit¨ at (differentielle Induktivit¨ at)

Aus Gl. (4.14) ergibt sich Φ(i, t) =

Z

L(i, t) di .

(4.15)

Unter Verwendung von Gl. (4.13) bis Gl. (4.15) findet sich schließlich als Linearisierung um den Arbeits (i0 )- bzw. Zeitpunkt t0 dL(i, t) di +i . (4.16) u(i, t) = L(i, t) dt t=t0 dt i=i0

Es sind nun verschiedene F¨ alle zu unterscheiden, bei denen sich die allgemeinen Gleichungen vereinfachen: 1. zeitvariante, nichtlineare Induktivit¨ at: Dies ist der allgemeine Fall und wird durch Gl. (4.14) und Gl. (4.16) beschrieben. 2. zeitinvariante, nichtlineare Induktivit¨ at: u(i) = L(i)

di dt

und L(i) =

dΦ(i) di

(4.17)

3. zeitvariante, lineare Induktivit¨ at: u(t) = L(t)

di dL(t) +i dt dt

und

L(t) =

Φ(t) i

(4.18)

4. zeitinvariante, lineare Induktivit¨ at: Dies ist der einfachste Fall, die Induktivit¨ at ist konstant und es gilt u=L

di dt

und

L=

Φ . i

(4.19)

82

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

Im Fall der linearen Induktivit¨ at ergibt sich als Fluß-Strom-Kennlinie eine Ursprungsgerade, deren Steigung der Induktivit¨at L entspricht. Zeitvarianz f¨ uhrt hier zu einer Schar von Ursprungsgeraden mit dem Scharparameter t. Neben der differentiellen Induktivit¨ at l¨ aßt sich f¨ ur ein nichtlineares Bauelement auch eine statische Induktivit¨ at definieren, und zwar als die Steigung der Ursprungsgeraden durch den Arbeitspunkt (i0 , Φ0 ) der Fluß-StromKennlinie Φ0 . (4.20) Ls (i0 , t) = i0 Im linearen Fall ist sie gleich der differentiellen Induktivit¨at (vgl. Abb. 4.2). Die in der nichtlinearen Kennlinie (Abb. 4.9) erkennbaren S¨attigungseigenschaften sind auf magnetische Eigenschaften der meist verwendeten ferromagnetischen Spulenkernmaterialien zur¨ uckzuf¨ uhren. Da die Magnetisierungsvorg¨ange in Ferromagnetika, wie z. B. Eisen, recht kompliziert sind, werden sie in aller Regel nicht auf die physikalischen Vorg¨ange in der Mikrostruktur zur¨ uckgef¨ uhrt, sondern mit der experimentell bestimmten Abh¨angigkeit des ~ (= magnetimagnetischen Flusses bzw. der magnetischen Flußdichte B ~ sche Induktion) von der magnetischen Feldst¨ arke H beschrieben. Die ~ = f (H) ~ (Abb. 4.12) wird auch als Magnetisierungskennlinie Funktion B oder Magnetisierungskurve bezeichnet. Die Permeabilit¨ at des Materials ist im nichtlinearen Fall nicht mehr konstant, sondern eine Funktion der anregenden magnetischen Feldst¨arke ~ . µr = f (H)

(4.21)

Man bezeichnet die Permeabilit¨ at (Kleinsignalpermeabilit¨at) in einem bestimmten Arbeitspunkt H0 als sog. differentielle Permeabilit¨ at µd . Sie entspricht der Steigung der Magnetisierungskurve im jeweiligen Arbeitspunkt. Abbildung 4.11 zeigt die Permeabilit¨ atskurve von sog. Elektroblech.

µr 5000 4000 3000 2000 1000 0

1

2

3

4

A 5 cm

H

Abb. 4.11. Relative Permeabilit¨ at von Elektroblech als Funktion der magnetischen Feldst¨ arke

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C)

83

Hysteresekurven Wenn ein typisch ferromagnetisches Material, wie z. B. Eisen, aus einem v¨ollig unmagnetisierten Zustand heraus erregt wird, startet die Magnetisierungskurve im Ursprung, d. h. f¨ ur i = 0 und damit H = 0 ist auch der Wert der Induktion B = 0. Mit zunehmendem Strom und damit zunehmender magnetischer Feldst¨arke1 H steigt die magnetische Flußdichte entsprechend der in Abb. 4.12 mit Neukurve bezeichneten Kurve an. B

2,0 T 1,5

Br

: weichmagnetisch

1,0

: hartmagnetisch

0,5

: Neukurve

0 -0,5

-Hc

-1,0

Hc : Koerzitivfeldstärke Br : Remanenzinduktion

-Br

-1,5 -2,0

Hc

-100

-60

-20 0 20

60 A 100 cm

H

Abb. 4.12. Hystereseschleifen einer magnetisch harten und einer magnetisch weichen Eisensorte

Wenn dann ab einem bestimmten erreichten Wert f¨ ur H bzw. B die magnetische Erregung wieder verringert wird, nimmt die magnetische Flußdichte weniger ab, d. h. sie bleibt auf h¨ oheren Werten, als dies der Neukurve entspricht. Insbesondere nimmt sie noch einen positiven Wert Brem (Remanenzinduktion) an, wenn die magnetische Feldst¨ arke bereits auf H = 0 reduziert wurde. Der weitere Verlauf f¨ uhrt bis zu einem negativen S¨attigungswert. F¨ ur danach wieder ansteigende H-Werte wird bei H = 0 die negative Remanenzinduktion −Brem erreicht und schließlich m¨ undet die Kurve wieder in den o.g. positiven Umkehrpunkt. Dazwischen erreicht bei der sog. Koerzitivfeldst¨ arke Hc die magnetische Induktion den Wert B = 0. Die negative Koerzitivfeldst¨arke −Hc ergibt sich entsprechend im linken Kurvenast. Man bezeichnet die so gewonnene Magnetisierungskennlinie auch als Hysteresekurve. Abbildung 4.13 zeigt solche Hysteresekurven f¨ ur verschiedene Umkehrpunkte. Die von einer Hysteresekurve umschlossene Fl¨ache entspricht 1

Bei den in diesem Kapitel folgenden Betrachtungen k¨ onnen wir uns auf die Be~ und der magnetischen Feldst¨ ~ betr¨ age der magnetischen Flußdichte B arke H schr¨ anken, die vereinfacht mit B bzw. H bezeichnet werden.

84

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

B

H

Abb. 4.13. Hysteresekurven eines magnetischen Materials f¨ ur verschiedene Umkehrpunkte

der dem ferromagnetischen Material bei einem Ummagnetisierungszyklus zugef¨ uhrten W¨armeenergie. Diese auch als Hystereseverlustenergie bezeichnete Energie wird bei der Drehung (Umorientierung) der Elementardipole dem Magnetfeld entzogen und in W¨ arme umgewandelt. Zur n¨aherungsweisen Ber¨ ucksichtigung des Hysterese-Verhaltens bei der Beschreibung der nichtlinearen Induktivit¨ at kann das Bauelement um einen nichtlinearen Wirkwiderstand erweitert werden. Dieser beschreibt nun die auftretenden Hystereseverluste. Beide Elemente k¨onnen dann wieder durch eine jeweils eindeutige Kennlinie beschrieben werden. Somit wird die Mehrdeutigkeit der Hysterese-Kennlinie eliminiert. Eine detaillierte Beschreibung der Vorgehensweise findet sich in [119]. Messung von Hysteresekurven Die Hysteresekurven von magnetischen Materialien (Abb. 4.14a) B(H) = µH

(4.22)

k¨ onnen mittels der in Abb. 4.14b gezeigten Anordnung gemessen werden. Dazu wird ein Oszilloskop (Kap. 8) ben¨ otigt, dessen Horizontalkanal (xAblenkung) von außen angesteuert werden kann, d. h. es wird nicht die standardm¨aßige Zeitablenkung (S¨ agezahnspannung) auf das x-Plattenpaar gegeben. Stattdessen nimmt man eine Spannung uR , die proportional zum Erregerstrom I der Prim¨ arwicklung ist. Nach dem Durchflutungsgesetz ist dieser Strom n¨amlich proportional der magnetischen Feldst¨arke I∼H.

(4.23)

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C)

85

B

Br H

Hc a) Magnetische Probe R

Oszilloskop u

u0 I

uc

C

R shunt uR

b) Abb. 4.14. a) Hystereskurve von ferromagnetischem Material, b) Anordnung zur Messung der Hysteresekurve

Nach dem Induktionsgesetz ist andererseits die an der Sekund¨arwicklung abgreifbare Spannung dB u∼ , (4.24) dt so daß nach zeitlicher Integration dieser Spannung ein der magnetischen Induktion B proportionales Signal vorliegt Z B ∼ udt . (4.25) Diese Integration wird von dem an die Sekund¨arwicklung angeschlossenen RC-Tiefpaß vorgenommen. Die integrierte Spannung kann am Kondensator in Form von uc abgegriffen werden, d. h. uc ∼ B .

(4.26)

Sie wird zur Darstellung der Hysteresekurve auf den Vertikalkanal gelegt. 4.1.4 Nichtlineare Kapazit¨ at Das Schaltungssymbol f¨ ur eine nichtlineare Kapazit¨ at wird in Abb. 4.15 gezeigt. Eine allgemeine, zeitvariante, nichtlineare Kapazit¨ at kann durch eine Funktion

86

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

i u Abb. 4.15. Schaltsymbol f¨ ur eine nichtlineare Kapazit¨ at

q = fC (u(t), t)

(4.27)

beschrieben werden. Dann heißt die Kapazit¨ at spannungsgesteuer t. Durch q wird die im Kondensator gespeicherte elektrische Ladung beschrieben. Im wei¨ teren wird f¨ ur die Spannung u(t) aus Gr¨ unden der Ubersicht nur u geschrieben. Die Kennlinie beschreibt die von der Kapazit¨at gespeicherte Ladung q als Funktion der angelegten Spannung (Abb. 4.16). Man spricht von einer Ladungs-Spannungs-Kennlinie. Auch hier kann eine zus¨atzliche Zeitabh¨angigkeit durch eine Kennlinienschar mit dem Scharparameter t ausgedr¨ uckt werden. q

u

Abb. 4.16. Bilaterale Ladungs-Spannungs-Kennlinie einer nichtlinearen Kapazit¨ at

F¨ ur den allgemeinen Fall einer nichtlinearen und zeitvarianten Kapazit¨at gilt folgende Strom-Spannungs-Beziehung i(u, t) =

dq(u, t) ∂q(u, t) du ∂q(u, t) = + . dt ∂u dt ∂t

Dabei wird der Term C(u0 , t) :=

∂q(u, t) ∂u u=u0

(4.28)

(4.29)

als differentielle Kapazit¨ at oder Kleinsignalkapazit¨ at definiert. Sie entspricht der Steigung der Kennlinie aus Abb. 4.16 im jeweiligen Arbeitspunkt (u0 , q0 ) sowie zu einem Zeitpunkt t0 und hat typischerweise den in Abb. 4.17 gezeigten Verlauf. F¨ ur die Ladung ergibt sich aus Gl. (4.29)

4.1 Nichtlineare konzentrierte Bauelemente (R, L, C)

87

C

u Abb. 4.17. Typischer Verlauf einer Kleinsignalkapazit¨ at

q(u, t) =

Z

C(u, t) du

(4.30)

und unter Verwendung von Gl. (4.28) bis Gl. (4.30) folgt als Linearisierung um den Arbeits- (i0 ) bzw. Zeitpunkt (t0 ) du dC(u, t) i(u, t) = C(u, t) + u . (4.31) dt t=t0 dt u=u0

Auch hier vereinfacht sich Gl. (4.31) in vielen praktischen F¨allen: • •

zeitvariante, nichtlineare Kapazit¨ at: Dies ist der allgemeine Fall, beschrieben durch Gl. (4.29) und Gl. (4.31). zeitinvariante, nichtlineare Kapazit¨ at: i(u) = C(u)

•

und C(u) =

dq(u) du

(4.32)

zeitvariante, lineare Kapazit¨ at: i(t) = C(t)

•

du dt

dC(t) du +u dt dt

und

C(t) =

q(t) u

(4.33)

zeitinvariante, lineare Kapazit¨ at: In diesem Fall ist die Kapazit¨ at konstant und es gilt i=C

du dt

und C =

q . u

(4.34)

Als Ladungs-Spannungs-Kennlinie der linearen Kapazit¨at ergibt sich wieder eine Ursprungsgerade deren Steigung der Kapazit¨at C entspricht. F¨ ur die statische Kapazit¨ at, definiert als die Steigung der Ursprungsgeraden durch den Arbeitspunkt der Ladungs-Spannungs-Kennlinie, ergibt sich Cs (u0 , t) =

q0 . u0

Im linearen Fall ist sie gleich der differentiellen Kapazit¨at.

(4.35)

88

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

Kapazit¨aten k¨onnen nichtlineare Eigenschaften aufweisen, wenn als Dielektrikum ein ferroelektrischer Stoff verwendet wird. Die im Dielektrikum stattfindenden Polarisationsvorg¨ ange f¨ uhren zur gezeigten Kr¨ ummung der Kennlinie und zu den ersichtlichen S¨ attigungserscheinungen. Wie bereits betrachtet zeigen die ferromagnetischen Materialien Hysterese-Verhalten in Bezug auf die ¨ magnetischen Feldgr¨ oßen. Ahnlich zeigen auch die ferroelektrischen Materialien eine Hystereseerscheinung in Bezug auf die elektrischen Feldgr¨oßen D (dielektrische Verschiebung) und E (elektrisches Feld). Auch hier kann das Hysterese-Verhalten, analog zur hysteresebehafteten Induktivit¨at, n¨aherungsweise durch eine Erweiterung um einen nichtlinearen Wirkwiderstand erfasst werden. Eine m¨ogliches zeitabh¨ angiges Verhalten einer Kapazit¨at zeigt sich ¨ beispielsweise durch Verstellen eines Drehkondensators oder durch das Andern des Plattenabstandes eines Plattenkondensators. Varaktordiode Das klassische Beispiel f¨ ur eine nichtlineare Kapazit¨at ist die sog. Varaktordiode. Diese stellt eine im Sperrbereich betriebene Halbleiterdiode dar, welche die Spannungsabh¨ angigkeit der Kapazit¨ at von Halbleiterdioden nutzt. Die klassischen Sperrschicht-Varaktoren mit ihrer ver¨anderlichen Sperrschichtkapazit¨at werden oft zur Abstimmung von Schwingkreisen eingesetzt. Mit der folgenden Gleichung kann in vielen F¨ allen die Abh¨angigkeit der Kapazit¨at C ¨ von der Spannung u u beschrieben werden ¨ber dem pn-Ubergang 1

C = γ(UD + u)− k ,

(4.36)

¨ wobei UD die sog. Diffusionsspannung darstellt. F¨ ur den abrupten pn-Ubergang mit beidseitig konstanter Dotierung wird s εe NA ND γ=A (4.37) 2 (NA + ND ) C 60 pF 40 20 -6 a)

V

-4

-2

0

u b)

Abb. 4.18. Varaktordiode: a) Kennlinie, b) Schaltzeichen

4.2 Gesteuerte Quellen

89

und k = 2. Dabei bedeuten A die Kapazit¨ atsfl¨ache, ε die Permittivit¨at des Halbleitermaterials, e die Elementarladung, NA die Akzeptor-Konzentration und ND die Donator-Konzentration. F¨ ur diesen Fall zeigt Abb. 4.18 einen Funktionsverlauf. ¨ Beim pn-Ubergang mit linear ortsver¨ anderlicher Dotierung wird k = 3, wobei sich der Wert von γ gegen¨ uber dem vorgenannten Fall entsprechend andert. Durch spezielle Dotierungsverl¨ aufe k¨ onnen auch andere k- und γ¨ Werte eingestellt werden.

4.2 Gesteuerte Quellen uA uE

uE . V

Stg. V

uA

uE

Abb. 4.19. Spannungsgesteuerte Spannungsquelle als Ersatzschaltung f¨ ur einen idealen Verst¨ arker

Insbesondere zur vereinfachten Beschreibung aktiver Bauelemente, wie z. B. Transistoren, oder ganzer Schaltungen, wie z. B. Operationsverst¨arker, verwendet man sog. gesteuerte Quellen. Gesteuerte Quellen sind Spannungs- oder Stromquellen, deren Quellspannung bzw. deren Quellstrom von einer Steuergr¨oße abh¨angt. Diese Steuergr¨ oße ist in aller Regel eine Spannung oder ein Strom. So wird beispielsweise ein, abgesehen vom nicht unendlich hohen Verst¨ arkungsgrad, idealer Operationsverst¨ arker durch die in Abb. 4.19 gezeigte gesteuerte Quelle beschrieben. Wird zus¨ atzlich die Begrenzung der Ausgangsspannung infolge S¨ attigung ber¨ ucksichtigt, so ¨andert sich die approximierte Kennlinie gem¨aß Abbildung 4.20. uA +UB -UB/V +UB/V

uE

-UB Abb. 4.20. Kennlinie eines Verst¨ arkers (Verst¨ arkungsgrad V), bei dem die S¨ attigungserscheinungen ber¨ ucksichtigt sind (approximierter Verlauf)

90

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

Die Spannung der Quelle l¨ aßt sich nun  f¨ ur  uE V uA = +UB f¨ ur  −UB f¨ ur

wie folgt angeben: − UVB ≤ uE ≤ uE > UVB uE < − UVB

UB V

.

(4.38)

UB entspricht in der Praxis der um ca. 1 Volt reduzierten Versorgungsspannung des Operationsverst¨ arkers. Kollektor

uBE

Basis iB

iC

u CE

Emitter

Abb. 4.21. Schaltzeichen eines Bipolartransistors

Auch Transistoren lassen sich in Form von gesteuerten Quellen darstellen. Bei Bipolartransistoren (Abb. 4.21) ist der Basisstrom iB die steuernde Gr¨oße und der Kollektorstrom die gesteuerte Gr¨ oße (Abb. 4.22). iB iC u CE

iB

u BE a)

u CE b)

Abb. 4.22. Transistorkennlinien: a) Eingangskennlinienfeld eines Bipolartransistors und b) Ausgangskennlinienfeld

4.3 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke Die Analyse von elektrischen Netzwerken, die nichtlineare Bauelemente enthalten, ist in aller Regel bedeutend aufwendiger als die Analyse vergleichbarer linearer Netzwerke. Dies beginnt damit, daß das Superpositionsprinzip nicht mehr anwendbar ist. Selbst einfache Netzwerke mit nur einem oder zwei nichtlinearen Elementen erfordern oft numerische L¨osungen. Bei einfacheren Netzwerken ist die graphische Bestimmung der (des) Arbeitspunkte(s) oft eine

4.3 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke

91

i Ri

Uo

u

RL

Abb. 4.23. Zu analysierendes Netzwerk

Alternative mit Anschauungscharakter. Wir beginnen daher mit der graphischen Bestimmung des Arbeitspunktes des in Abb. 4.23 gezeigten linearen Widerstandsnetzwerkes, das von einer Quelle gespeist wird. Bei der graphischen L¨ osung werden die beiden Geraden, welche einerseits den ohmschen Lastwiderstand RL und andererseits die Quelle mit dem Innenwiderstand Ri beschreiben, in das i−u-Kennlinienfeld eingetragen (Abb. 4.24). Der Schnittpunkt, der auch als Arbeitspunkt bezeichnet wird, liefert die L¨osung f¨ ur den Strom iAP , der durch den Zweig des Netzwerkes fließt, sowie die Spannung uAP am eingezeichneten Klemmenpaar U0 , Ri + RL RL = U0 . Ri + RL

iAP =

(4.39)

uAP

(4.40)

Im Falle eines nichtlinearen Lastwiderstandes kann es keine, eine, mehrere oder sogar unendlich viele L¨ osungen, sprich Arbeitspunkte, geben (Abb. 4.25 und 4.26). Formelm¨aßig l¨aßt sich die Situation der mit einem nichtlinearen Widerstand belasteten Quelle folgendermaßen beschreiben. Die unabh¨angige Quelle mit Innenwiderstand Ri wird durch u

Arbeitspunkt

u = RL i

U0 u

u = U0 - R i i

AP

i

AP

U0 Ri

i

Abb. 4.24. Graphische Arbeitspunktbestimmung der Schaltung aus Abb. 4.23

92

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

u = U0 − Ri i

(4.41)

charakterisiert. Wenn sich der Lastwiderstand RL durch eine analytische Funktion der Form FRL (i, u) = 0 (4.42) darstellen l¨aßt, so f¨ uhrt die Tatsache, daß der Strom durch die Quelle mit dem durch den Lastwiderstand in Betrag und Richtung identisch ist, zu der Gleichung FRL (i, U0 − Ri i) = 0 . (4.43)

u U0 Kennlinie der Quelle Kennlinie des nichtlinearen Lastwiderstandes

i

Abb. 4.25. Graphische Bestimmung des Arbeitspunktes – Beispiel f¨ ur nichtexistente L¨ osung

Dies ist im allgemeinen Fall eine nichtlineare transzendente Gleichung, die mit Hilfe eines geeigneten numerischen Verfahrens, z.B. mit der Newton-RaphsonMethode, gel¨ost werden kann. Prinzipiell ist also eine Gleichung der Form f (x) = 0

(4.44)

iterativ zu l¨osen, bis ein gew¨ unschtes Abbruchkriterium unterschritten wird. Dabei muß die L¨osung, wie Abb. 4.26 zeigt, nicht eindeutig sein, sondern sie kann vom Startpunkt x(0) abh¨ angen. Die L¨ osung erh¨alt man durch fortlaufende Iterationen u ¨ber n x(n+1) = x(n) −

f (x(n) ) . f ′ (x(n) )

(4.45)

Voraussetzung f¨ ur die Anwendbarkeit des Verfahrens ist die stetige Differenzierbarkeit der Funktion f (x).

4.3 Analyse nichtlinearer elektrischer Netzwerke

93

u

Kennlinie der Quelle

U0 uAP Kennlinien zweier beispielhafter nichtlinearer Lastwiderstände

i

iAP

Abb. 4.26. Graphische Bestimmung des Arbeitspunktes der Schaltung aus Abb. 4.23. Die durchgezogene Kennlinie liefert einen Arbeitspunkt, auf der gestrichelten sind zwei Arbeitspunkte m¨ oglich.

Beispiel — Lineare Spannungsquelle mit Diode Es soll die in Abb. 4.27 gezeigte Schaltung analysiert werden. Die Diode l¨aßt sich durch u i = Is (e UT − 1) (4.46) beschreiben. Im konkreten Fall betragen die Werte f¨ ur den S¨attigungssperrstrom der verwendeten Siliziumdiode IS = 10 pA

(4.47)

und f¨ ur die Temperaturspannung bei Raumtemperatur UT = 26 mV .

(4.48)

F¨ ur die Leerlaufspannung der Quelle gilt U0 = 3 V und f¨ ur ihren Innenwiderstand Ri = 1 kΩ. Da in diesem Fall zu erwarten ist, daß i ≫ IS ist, vereinfacht sich die Diodengleichung zu u i = IS e UT . (4.49)

Ri Uo

i u

Abb. 4.27. Zu analysierende Schaltung

94

4 Nichtlineare elektrische Bauelemente, Schaltungen und Systeme

Wenn man jetzt die Quelle mit der Gleichung u = U0 − Ri i

(4.50)

ber¨ ucksichtigt, erh¨ alt man folgende transzendente Gleichung zur Beschreibung der Schaltung u (4.51) f (u) = u − U0 + Ri IS e UT = 0 . Die Ableitung nach u ergibt f′ =

df Ri IS Uu e T. =1+ du UT

(4.52)

Da wir wissen, daß die Durchlaßspannung von Siliziumdioden bei etwa 0, 6 V liegt, nehmen wir diesen Wert als Startwert u(0) f¨ ur das Iterationsverfahren. Es ergeben sich die Iterationen von Spalte 1 der Tab. 4.1. Auch f¨ ur kleinere Startwerte konvergiert der Algorithmus (Spalte 2). Je schlechter der Startwert gew¨ahlt wird, umso mehr Iterationen werden ben¨otigt (Spalte 3). Weitere Verfahren zur Analyse von nichtlinearen Netzwerken finden sich in [163]. Tabelle 4.1. Iterative L¨ osung von Gl. (4.51) f¨ ur verschiedene Startwerte u(0) Spalte 1 (0)

u

u(1) (2)

u

(3)

u

(4)

u

u(5)

Spalte 2

=

(0)

0.6000 V u

=

0.5746 V u(1)

=

(2)

=

0.5503 V u

(3)

0.5284 V u

Spalte 3

=

(0)

0.4500 V u

=

2.0000 V

=

0.6127 V u(1)

=

1.9740 V

=

(2)

=

1.9481 V

(3)

=

1.9221 V

(4)

1.8961 V

=

0.5871 V u 0.5621 V u

=

(4)

0.5121 V u

=

0.5388 V u

=

0.5042 V u(5)

=

0.5193 V

= .. .

(6)

u

=

(6)

0.5028 V u

=

0.5070 V u(58)

=

0.5110 V

u(7)

=

0.5027 V u(7)

=

0.5031 V u(59)

=

0.5039 V

=

(8)

=

(60)

=

0.5028 V

(61)

=

0.5027 V

(8)

u

0.5027 V u

0.5027 V u u

5 Meßfehler

Messungen sind in der Regel fehlerbehaftet, auch wenn sie noch so pr¨azise durchgef¨ uhrt werden. Die Ermittlung und Angabe der entsprechenden Meßfehler sollte zu jeder zuverl¨ assigen Messung geh¨oren, damit die aus dem Meßergebnis abgeleiteten Schl¨ usse bzw. Entscheidungen auf einer sicheren Grundlage basieren. So besteht bei vielen Arten von Messungen die Gefahr, daß sich die zu messenden Gr¨ oßen durch das Einbringen der Meßger¨ate ver¨andern. Beispielsweise kann ein Spannungsmesser die zu messende Spannung ver¨andern, weil er infolge seiner nicht idealen (d.h. nicht unendlich hohen) Innenimpedanz die Spannungsquelle belastet. Generell ist darauf zu achten, daß solche R¨ uckwirkungen der Meßeinrichtung auf die Quelle, der die Meßgr¨oße entstammt, so gering wie m¨oglich gehalten werden. Eine weitere typische Fehlerquelle besteht in der unsachgem¨ aßen Anwendung der Ger¨ate, wie z. B. dem Betrieb in einem nicht spezifizierten Frequenz- oder Temperaturbereich. Aber selbst bei bestimmungsgerechter und r¨ uckwirkungsfreier Anwendung von Meßger¨aten gibt es Meßfehler, die zuf¨ alliger Natur sind, wie z. B. die Ablesefehler. Die Charakterisierung eines Meßfehlers erfolgt durch Angabe des absoluten oder des relativen Meßfehlers. Der absolute Meßfehler F ist definiert als Differenz aus dem Meßwert A (Anzeigewert) und dem wahren Wert W F = A−W .

(5.1)

Der relative Fehler f entspricht dem absoluten Fehler, bezogen auf den wahren Wert F 100% . (5.2) f= W Bei nicht bekanntem wahren Wert W und kleinem Meßfehler (|F/A| ≪ 1) darf folgende N¨aherung angewendet werden f≈

F 100% . A

(5.3)

Zur Charakterisierung von Meßger¨ aten bezieht man den absoluten Meßfehler des Ger¨ates h¨aufig auf den Meßbereichsumfang, die sog. Meßspanne Msp, wel-

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

96

5 Meßfehler

che der Differenz zwischen Meßbereichsendwert und Meßbereichsanfangswert entspricht F f˜ = 100% . (5.4) Msp Die Gr¨oße f˜ wird als normierter bzw. zum Teil auch als reduzierter Fehler bezeichnet. In der Meßtechnik unterscheidet man prinzipiell zwischen systematischen Meßfehlern und zuf¨alligen Meßfehlern. Der wesentliche Unterschied zwischen diesen Fehlerarten liegt in der Vorhersagbarkeit und damit der Korrigierbarkeit der systematischen Fehler, welche bei den zuf¨alligen nicht gegeben ist. Die zuf¨alligen Fehler lassen sich nur noch mit Hilfe von Wahrscheinlichkeiten beziffern. Der Fehler beim Ablesen einer Meßger¨ateskala ist ein typischer zuf¨alliger Fehler. Eine weitere Klassifizierung unterscheidet zwischen statischen und dynamischen Fehlern. W¨ ahrend sich die statischen Fehler nur auf die statischen Eigenschaften der Meßeinrichtung beziehen und damit nur f¨ ur rein statische Meßgr¨ oßen bzw. f¨ ur den statischen Anteil von dynamischen Meßgr¨oßen relevant sind, beschreiben die dynamischen Meßfehler das Verhalten bei zeitlich variablen Meßgr¨ oßen. Dynamische Meßfehler sind die aus ¨ den nicht idealen Ubertragungseigenschaften des Meßsystems resultierenden Abweichungen vom wahren zeitlichen Verlauf der Meßgr¨oße.

5.1 Systematische Meßfehler Bei den systematischen Fehlern sind die Ursachen bekannt. Es gibt systematische Abweichungen, die w¨ ahrend einer Messung einen konstanten Betrag und ein bestimmtes Vorzeichen haben (statische Meßfehler) und solche, die eine zeitliche Ver¨anderung des Meßwertes w¨ ahrend einer Meßreihe bewirken (dynamische Meßfehler). Wenn die systematischen Fehler bekannt sind, kann nach Gl. (5.1) der wahre Wert berechnet werden. Da systematische Fehler also prinzipiell korrigierbar sind, sollten sie nach M¨ oglichkeit im ersten Schritt der Meßwertverarbeitung berichtigt werden. Fortpflanzung systematischer Fehler Ist das Meßergebnis y eine Funktion mehrerer Meßgr¨oßen xi (i = 1 ... n), so muß die gesuchte Gr¨ oße y durch Auswertung des sog. Aufgabengesetzes y = Fkt.(x1 , ..., xn )

(5.5)

ermittelt werden. Mit dem wahren Wert yw ergibt sich schließlich der absolute Meßfehler ∆y zu ∆y = y − yw = f (x1 + ∆x1 , ..., xn + ∆xn ) − f (x1 , ..., xn ) .

(5.6)

5.1 Systematische Meßfehler

97

Wenn der absolute Einzelmeßfehler ∆xi klein ist gegen¨ uber der entsprechenden Einzelmeßgr¨oße xi (|∆xi | ≪ |xi |), l¨ aßt sich ∆y aus den partiellen Ablei¨ tungen und den kleinen Anderungen ∆xi auf der Basis der nach den linearen Gliedern abgebrochenen Taylorreihe der Funktion y entwickeln n X ∂y ∆xi . ∆y = ∂x i i=1

(5.7)

Aus Gl. (5.7) lassen sich die folgenden Regeln f¨ ur die Fortpflanzung systematischer Fehler herleiten: • • • •

Bei der Addition von Meßgr¨ oßen werden die absoluten Fehler addiert. Bei der Subtraktion von Meßgr¨ oßen werden die absoluten Fehler subtrahiert. Bei der Multiplikation von Meßgr¨ oßen werden die relativen Fehler addiert. Bei der Division von Meßgr¨ oßen werden die relativen Fehler subtrahiert.

Besteht das Aufgabengesetz beispielsweise aus einer Multiplikation von Meßgr¨ oßen mit gleichzeitiger Potenzierung y = kxr11 xr22 · · · xrnn ,

(5.8)

so ergibt sich der absolute Fehler ∆y durch Auswertung von Gl. (5.7) ∆y = y

n X i=1

ri

∆xi . xi

(5.9)

Daraus kann der gesamte relative Fehler ∆y/y als Summe der mit den Exponenten ri gewichteten relativen Einzelfehler fi errechnet werden n

n

X ∆y X ∆xi ri fi . ri = = y xi i=1 i=1

(5.10)

Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß die oben beschriebene vorzeichenbehaftete Behandlung von Fehlern nur Sinn macht, wenn man die Vorzeichen der Fehler explizit kennt. In vielen F¨ allen allerdings sind die Richtungsabweichungen der Fehler und damit ihre Vorzeichen unbekannt. Deshalb macht man von Gl. (5.7) in abgewandelter Form Gebrauch n X ∂y ∆y = ∂xi ∆xi ,

(5.11)

i=1

d. h. man geht vom “worst case” aus, daß alle Fehler in die selbe Richtung weisen. Die Abweichung ∆y entspricht also dann dem maximalen (Absolut-) Fehler, der auftreten kann.

98

5 Meßfehler

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler 5.2.1 Normalverteilung, Mittelwert, Standardabweichung und Stichprobe Zuf¨allige Fehler sind nicht unmittelbar erfaßbare Abweichungen vom wahren Wert. Sie k¨onnen nur in Form von Wahrscheinlichkeitsaussagen beschrieben werden. Typischerweise liefern die Wiederholungen eines Meßvorganges unterschiedliche, streuende Meßwerte xi . Zur Beurteilung zuf¨alliger Fehler ist es daher notwendig, mehrere bzw. soviele Messungen wie m¨oglich durchzuf¨ uhren. Aus der Annahme, daß unendlich viele voneinander unabh¨angige, gleichverteilte (rein zuf¨allige) Einflußgr¨ oßen wirksam sind und gen¨ ugend (theoretisch unendlich) viele Einzelmessungen durchgef¨ uhrt wurden, liegt eine Normalverteilung (Gaußverteilung) der Meßwerte vor. Dies geht aus dem Normalverteilungsgesetz f¨ ur zuf¨allige Fehler hervor. Die Abweichungen sind dann durch folgende Eigenschaften charakterisiert: positive und negative Abweichungen treten gleich h¨aufig auf und mit zunehmender Gr¨oße der Abweichung nimmt die Wahrscheinlichkeit f¨ ur ihr Auftreten ab. Die H¨aufigkeit ihres Auftretens wird durch die Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) beschrieben. Sie entspricht einer Gauß- bzw. Normalverteilung (Abb. 5.1) p(x) =

1 x−µ 2 1 √ e− 2 ( σ ) . σ 2π

(5.12)

Der arithmetische Mittelwert µ aller Meßwerte xi , der auch als Erwartungswert bezeichnet wird, ergibt schließlich den gesuchten wahren Wert xw N 1 X xi . N →∞ N i=1

xw = µ = lim

Abb. 5.1. Gaußsche Verteilungsfunktion p(x)

(5.13)

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

99

Ein Maß f¨ ur die Abweichung der Einzelwerte vom Mittelwert µ ist die mittlere quadratische Abweichung, die man als Standardabweichung σ und deren Quadrat als Varianz σ 2 bezeichnet v u N u 1 X (xi − µ)2 . (5.14) σ = t lim N →∞ N i=1

Die statistische Sicherheit (Wahrscheinlichkeit) P f¨ ur das Auftreten eines einzelnen Meßwertes in einem Intervall x1 ≤ x ≤ x2 errechnet sich wie folgt Z x2 Z x2 2 2 1 p(x) dx = √ P = e−(x−µ) /2σ dx σ 2π x1 x1 Z x2 Z x1 2 2 1 1 −(x−µ)2 /2σ2 = √ e dx − √ e−(x−µ) /2σ dx . (5.15) σ 2π 0 σ 2π 0 R kx2 Da das Integral e dx keine analytische L¨osung besitzt, wurde die sog. Errorfunction erf(x) eingef¨ uhrt Z w 2 2 erf(w) = √ e−c dc , (5.16) π 0 welche in Tafelwerken, z. B. in [1], tabelliert ist. Dabei besteht folgender Zusammenhang zwischen der Variablen c der Errorfunction und der Variablen x der Wahrscheinlichkeitsdichte c=

x−µ √ . σ 2

(5.17)

Aus Gl. (5.15) folgt unter Zuhilfenahme der Errorfunction die statistische Sicherheit P      x1 − µ 1 x2 − µ √ √ − erf . (5.18) P = erf 2 σ 2 σ 2 Aufgrund des schiefsymmetrischen Verhaltens der Errorfunction erf(w) = −erf(−w)

(5.19)

errechnet sich die statistische Sicherheit P f¨ ur das Auftreten eines Meßwertes xi im Bereich −δ ≤ x − µ ≤ δ zu   δ √ P (δ) = erf . (5.20) σ 2 In Tab. 5.1 sind charakteristische Werte von P (δ) notiert (s. auch Abb. 5.1). Wenn im Rahmen einer Meßreihe die Standardabweichung σ ermittelt wurde, l¨aßt sich mit Hilfe von Tab. 5.1 der zu einer bestimmten statistischen Sicherheit P geh¨orende Vertrauensfaktor t bestimmen

100

5 Meßfehler

Tabelle 5.1. Fehlerwahrscheinlichkeit P (statistische Sicherheit) bei symmetrischem Intervall −δ ≤ x − µ ≤ +δ δ 0,5 σ 0,67 σ 1 σ 1,65 σ 1,96 σ 2,58 σ 3,0 σ 3,3 σ P [%] 38,3 50 68,3 90 95 99 99,73 99,9

δ = tσ .

(5.21)

Der zuf¨allige Fehler Fxi eines Einzelmeßwertes xi liegt dann mit einer statistischen Sicherheit (Wahrscheinlichkeit) von P innerhalb des Intervalls ±tσ Fxi = ±tσ .

(5.22)

Bei der hier zun¨achst angenommenen unendlich hohen Anzahl von Messungen h¨ angt der Vertrauensfaktor t in der nach Tab. 5.1 bezifferten Weise nur von der frei gew¨ahlten statistischen Sicherheit P (Wahrscheinlichkeit) ab. Wenn beispielsweise eine statistische Sicherheit von 95 % gefordert wird, betr¨agt der Vertrauensfaktor t nach Tab. 5.1 t = 1,96. Dies bedeutet, daß die Abweichung des Einzelmeßwertes vom wahren Wert µ = xw bei einer Wahrscheinlichkeit von 95 % nicht gr¨oßer ist als ± 1,96 σ. Wird die Messung einer Meßgr¨ oße mit denselben Mitteln und unter gleichen Bedingungen N-mal wiederholt, bezeichnet man dies als Stichprobe aus der Grundgesamtheit der theoretisch unendlich vielen Messungen. F¨ ur den praktischen Fall einer nur endlichen Anzahl von Messungen (N < ∞) kann aus den einzelnen Meßwerten xi (i = 1...N ) der Mittelwert µ (wahrer Wert xw ) nicht mehr nach Gl. (5.13) gebildet werden, sondern nur noch ein Sch¨atzwert x ˜ angegeben werden N 1 X xi . (5.23) x ˜= N i=1 F¨ ur eine endliche Anzahl N von Meßwerten definiert man anstelle der Standardabweichung σ die Schwankung s (empirische Standardabweichung) bzw. die Streuung s2 v u N u 1 X (xi − x ˜)2 . (5.24) s=t N − 1 i=1

Der Wert von s wird auch als mittlerer quadratischer Fehler (vom Sch¨atzwert) der Meßwerte xi bezeichnet. Tip: ¨ Diese Thematik kann man anhand der LabVIEW Ubungsaufgabe 2.2a auf der CD-ROM vertiefen.

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

101

5.2.2 Vertrauensbereich f¨ ur den Sch¨ atzwert Im Zusammenhang mit Meßfehlerabsch¨ atzungen stellt sich im allgemeinen auch die Frage nach der G¨ ute des im Rahmen einer Meßserie ermittelten Sch¨atzwertes x ˜. Die Antwort auf diese Frage kann ebenfalls nur in Form einer statistischen Sicherheit P (Wahrscheinlichkeit) gegeben werden. Um die G¨ ute des Sch¨atzwertes x ˜ anzugeben, muß festgestellt werden, wie nahe dieser Sch¨atzwert x ˜ (Mittelwert aus N Messungen) dem wahren Wert xw (Mittelwert f¨ ur N → ∞) liegt. Dazu nehmen wir zun¨ achst an, daß eine unendlich hohe Anzahl von Einzelmessungen xi vorliegt. Die Standardabweichung dieser sog. Grundgesamtheit wird mit σ bezeichnet. Wenn wir dieser Grundgesamtheit eine Stichprobe mit N Einzelmeßwerten entnehmen, k¨onnen wir deren Sch¨atzwert x ˜ errechnen (Abb. 5.2). Werden mehrere solcher Stichproben genommen, so gelangt man zu einer Verteilung von Sch¨ atzwerten. Die Schwankung sx˜ dieser Sch¨atzwerteverteilung liefert schließlich den gesuchten Vertrauensbereich des Sch¨atzwertes x˜. In der Praxis jedoch wird man nicht mehrere Stichproben entnehmen, sondern sich auf eine beschr¨ anken. Dies f¨ uhrt letztendlich zum selben Ergebnis, da wir davon ausgehen, daß alle in der Grundgesamtheit vorkommenden Meßwerte xi voneinander unabh¨angig sind. Aus diesem Grund l¨ aßt sich die Schwankung sx˜ berechnen, indem man das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz (Kap. 5.2.3) auf die in Abb. 5.2 gezeigte Stichprobe selbst anwendet. Die Schwankung sx˜ l¨ aßt sich demnach wie folgt ermitteln

Grundgesamtheit

N, ~ x, s Stichprobe

s: Standardabweichung der Grundgesamtheit x w : wahrer Wert = Schätzwert der Grundgesamtheit

Abb. 5.2. Grundgesamtheit von Meßwerten mit einer Stichprobe zu N Einzelmeßwerten. Die Stichprobe hat den Sch¨ atzwert x ˜ und die Schwankung s.

102

Mit

5 Meßfehler

v uN  2 uX ∂˜ x σ2 . sx˜ = t ∂x i i=1 ∂ ∂˜ x = ∂xi ∂xi

N 1 X xi N i=1

!

=

(5.25)

1 N

folgt aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz (Gl. (5.25)) v r uN uX 1 1 1 t 2 sx˜ = σ = N σ2 = √ σ . 2 2 N N N i=1

(5.26)

(5.27)

Die Schwankung der atzwerte x˜ ist also gem¨aß Gl. (5.27) √ Verteilung der Sch¨ um den Faktor 1/ N kleiner als die der Einzelwerte xi (s. auch Gl. (5.24)). In der Praxis kann man den exakten Wert von σ nicht ermitteln, da unendlich viele Messungen vorausgesetzt werden. Daher wird man anstatt σ die Schwankung s aus der aktuellen Stichprobenverteilung (Abb. 5.2) verwenden. Die vollst¨andige Angabe eines Meßergebnisses x erfolgt durch Bezifferung des Sch¨atzwertes x ˜ und seiner Vertrauensgrenzen V in der Form ts x=x ˜±V =x ˜± √ . N

(5.28)

Der zuf¨allige Fehler Fx˜ des Sch¨ atzwertes betr¨ agt demnach ts Fx˜ = ± √ . N

(5.29)

Der Vertrauensfaktor t ist bei einer endlichen Anzahl von Meßwerten neben der gew¨ahlten statistischen Sicherheit P auch von der Anzahl N der Einzelmessungen abh¨angig. Die Funktion der entsprechenden Fehlerverteilung ist die sog. Student-Verteilung (Abb. 5.3), die auch als t-Verteilung bezeichnet wird. Die Student-Verteilung ist also die Verteilung der Stichprobe (N < ∞), welche verst¨andlicherweise breiter ist als die Normalverteilung, weil die Vertrauensgrenzen bei gleicher statistischer Sicherheit P aufgrund der Tatsache, daß man u oßer sind als bei der f¨ ur N → ∞ ¨ber weniger Meßwerte mittelt, gr¨ geltenden Normalverteilung (Tab. 5.2). Mit einer f¨ ur die Praxis ausreichenden Genauigkeit gehen Student- und Normalverteilung ab N > 200 ineinander u ¨ber. Tip: Auf der CDROM befindet sich das LabVIEW-Programm student_density.vi, mit dem die Studentverteilung graphisch dargestellt werden kann. Der Wertebereich kann frei gew¨ahlt und Werte f¨ ur N k¨ onnen definiert werden.

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

103

p(x) pN pt

µ−σ

µ

µ+σ

x

Abb. 5.3. Vergleich von Normalverteilung pN und Student-Verteilung (t-Verteilung) pt f¨ ur N = 5

F¨ ur N = 50 Meßwerte beispielsweise bedeutet dies, daß der gefundene Mittelwert (= Sch¨ ˜) mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73 % um h¨ochstens √atzwert x ±3, 16 sx˜ / 50 vom unbekannten wahren Wert xw abweicht. Der Wert von t = 3, 16 kann Tab. 5.2 entnommen werden. Aus Tab. 5.2 ist auch abzulesen, daß der Vertrauensfaktor f¨ ur die Normalverteilung (N → ∞) mit dem f¨ ur die Student-Verteilung (N < ∞) ab einer Losgr¨ oße von N > 200 nahezu identisch ist. Die bei einer Wahrscheinlichkeit von 68,3 % bestehende Unsicherheit wird als der mittlere Fehler ∆x des Sch¨ atzwertes bezeichnet s ∆x = |xw − x ˜| = √ . N

(5.30)

Die zuf¨alligen Fehler k¨ onnen im Gegensatz zu den systematischen Fehlern Tabelle 5.2. Abh¨ angigkeit des Vertrauensfaktors t von der Anzahl der Messungen N bei verschiedener statistischer Sicherheit P

N

P = 68, 3% = ˆ 1, 0σ P = 95% = ˆ 1, 96σ P = 99% = ˆ 2, 58σ P = 99, 73% = ˆ 3, 0σ √ √ √ √ t t/ N t t/ N t t/ N t t/ N

2 3 4 6 10 20 50 100 200 > 200

1,84 1,32 1,20 1,11 1,06 1,03 1,01 1,01 1,00 1,00

1,30 0,76 0,60 0,45 0,34 0,23 0,14 0,10 0,07 1,00 √ N

≈0

12,7 4,30 3,18 2,57 2,26 2,09 2,01 1,98 1,97 1,96

8,98 2,48 1,59 1,05 0,72 0,47 0,28 0,20 0,14 1,96 √ N

≈0

63,7 9,92 5,84 4,03 3,25 2,86 2,68 2,63 2,60 2,58

45,0 5,73 2,92 1,65 1,03 0,64 0,38 0,26 0,18 2,58 √ N

≈0

236 19,2 9,22 5,51 4,09 3,45 3,16 3,08 3,04 3,0

167 11,1 4,61 2,25 1,29 0,77 0,45 0,31 0,22 3,00 √ N

≈0

104

5 Meßfehler

grunds¨atzlich nicht korrigiert werden. Zuf¨ allige Fehler k¨onnen allerdings durch eine hinreichend große Anzahl von Einzelmessungen beliebig klein gehalten werden. Tip: Mit dem LabVIEW-Programm student_table.vi kann die Tab. 5.2 berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeiten sowie die Werte f¨ ur N k¨ onnen eingestellt werden.

Beispiel — Meßreihe mit zuf¨ alligen Fehlern Im Rahmen einer Meßreihe wurden folgende 10 Werte gemessen: i xi

1 85,0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 85,6 84,7 84,9 85,8 85,2 84,6 85,3 85,1 85,4

Der Sch¨atzwert x ˜ betr¨ agt nach Gl. (5.23) 10

x˜ =

1 X xi = 85, 16 . 10 i=1

(5.31)

Die Schwankung s (empirische Standardabweichung) berechnet sich nach (Gl. (5.24)) zu v u 10 u 1 X s=t (xi − x ˜)2 = 0, 381 . (5.32) 10 − 1 i=1

Der zuf¨allige Fehler Fxi der Einzelmessung beziffert sich bei einer (frei gew¨ahlten) statistischen Sicherheit von 95 % nach Tab. 5.2 auf Fxi (95 %) = ±ts = ±2, 26 · 0, 381 = ±0, 861 .

(5.33)

Der zuf¨allige Fehler des Sch¨atzwertes Fx˜ ergibt sich bei derselben statistischen Sicherheit von 95 % zu ts Fx˜ (95 %) = ± √ = ±0, 272 . N

(5.34)

Damit kann die vollst¨ andige Angabe des Meßergebnisses in folgender Form geschehen x = 85, 16 ± 0, 272 , (5.35) wobei sich die Angabe der absoluten Toleranzgrenzen von ±0, 272 auf eine gew¨ahlte statistische Sicherheit von 95 % bezieht.

5.2 Zuf¨ allige Meßfehler

105

Tip: Eine LabVIEW-Aufgabe zum Thema “Schwankung des Sch¨atzwertes in Abh¨ angigkeit von der Probenl¨ange” findet sich auf der CD-ROM (Aufgabe 2.2b).

5.2.3 Fortpflanzung zuf¨ alliger Fehler Wenn die gesuchte Meßgr¨ oße y eine Funktion mehrerer mit voneinander unabh¨angigen zuf¨alligen Fehlern behafteter Einzelmeßgr¨oßen xi (i = 1, . . . , n) ist y = Fkt.(x1 , . . . , xn ) , (5.36) l¨ aßt sich der Mittelwert µy , der dem wahren Wert yw entspricht, wie folgt berechnen yw = µy = Fkt.(µ1 , . . . , µn ) , (5.37) wobei µi die Mittelwerte der Einzelmeßgr¨ oßen xi bezeichnen (Anzahl der jeweils aufgenommenen Meßwerte N → ∞). Unter der Voraussetzung kleiner Einzelstandardabweichungen σi l¨ aßt sich die Standardabweichung σy des Mittelwertes µy nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz (Gl. (5.38)) ermitteln v u n   uX ∂y 2 σy = t σi2 . (5.38) ∂x i (µ1 ,µ2 ,...,µn ) i=1

Ist beispielsweise das Aufgabengesetz vom Typ y = kxr11 xr22 ,

(5.39)

so ergibt sich der mittlere relative Fehler fy (Wahrscheinlichkeit von 68,3 %) zu σy Fy = y y s   2 2 r2 r1 = σ12 + σ22 . x1 x2

fy =

(5.40)

Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, daß der absolute zuf¨allige mittlere Fehler Fy , d.h. der Fehler f¨ ur eine Wahrscheinlichkeit von 68,3 %, gerade der Standardabweichung σy entspricht. Da im praktischen Fall die Anzahl der aufgenommenen Meßwerte endlich bleibt (N < ∞), handelt es sich bei dem errechneten Mittelwert nur um einen Sch¨atzwert y˜ des wahren Wertes yw . Wenn x ˜i den Sch¨atzwert der Einzelmeßgr¨ oße xi bezeichnet, gilt y˜ = Fkt.(˜ x1 , . . . , x ˜n ) .

(5.41)

106

5 Meßfehler

Unter der Voraussetzung einer Normalverteilung und f¨ ur kleine Schwankungen (si ≪ |xi |) berechnet sich die Schwankung sy˜ des Sch¨atzwertes y˜ wiederum nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz aus den Schwankungen si der Einzelmeßgr¨oßen v u n   uX ∂y 2 sy˜ = t s2i . (5.42) ∂xi (˜ x1 ,˜ x2 ,...,˜ xn ) i=1

5.3 Genauigkeitsklassen bei Meßger¨ aten F¨ ur standardm¨aßige elektrische Meßger¨ ate wird vom Hersteller eine Genauigkeitsklasse, d. h. eine garantierte obere Fehlergrenze angegeben, die i. allg. mit G oder Gk bezeichnet wird. Sie gibt den Betrag der auf den Meßbereichsendwert bezogenen maximal m¨ oglichen Abweichung ∆x vom wahren Wert in Prozent an ∆x |Fehlangabe| 100% = 100% . (5.43) G = xend |Meßbereichsendwert| Es gibt folgende genormte Genauigkeitsklassen nach VDE 0410:

• •

Betriebsmeßger¨ate: 1; 1,5; 2,5; 5,0 Feinmeßger¨ate: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5.

Der entsprechende maximale relative Fehler betr¨agt demnach ∆x xend G =± . x x 100%

(5.44)

Er nimmt also stark zu, wenn der Meßbereich nur im unteren Teil genutzt wird. Der durch die Genauigkeitsklasse beschriebene Maximalfehler gilt selbstverst¨andlich nur bei Einhaltung der ansonsten vom Hersteller spezifizierten Randbedingungen, wie der Einhaltung von Temperaturgrenzen, Frequenzbereich, Fremdfeldeinfluß, Lage etc.. Bei Instrumenten, deren Meßbereichsanfangswert nicht mit dem Nullpunkt identisch ist, wird die Fehlangabe statt auf den Meßbereichsendwert auf den Meßbereichsumfang bezogen, die auch als Meßspanne Msp bezeichnet wird (Gl. (5.4)).

5.4 Dynamische Meßfehler Bei der Messung zeitlich variabler Gr¨ oßen treten infolge der nicht-idealen ¨ Ubertragungseigenschaften der Meßsysteme stets dynamische Meßfehler auf. Diese sind im wesentlichen auf Tr¨ agheiten der Meßeinrichtungen (Tiefpaßverhalten) zur¨ uckzuf¨ uhren, welche sich infolge ihrer Speichereigenschaften bez¨ uglich mechanischer, thermischer oder elektromagnetischer Energie nicht

5.4 Dynamische Meßfehler

107

vermeiden lassen. Da das Verst¨ andnis von dynamischen Meßfehlern grundlegende Kenntnisse auf dem Gebiet der systemtheoretischen Beschreibung von Meßsystemen verlangt, folgt zun¨ achst ein Abschnitt, der die entsprechende Systemtheorie kurz wiederholen soll (s. Kap. 3). ¨ 5.4.1 Das Ubertragungsverhalten von Meßsystemen ¨ Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch Impulsantwort bzw. Sprungantwort Ein lineares Meßsystem liefert an seinem Ausgang die Impulsantwort g(t) (Gewichtsfunktion), wenn die Eingangsgr¨ oße ein Dirac-Impuls δ(t) ist (Abb. 5.4) (Kap. 3.11). x(t)

x(t)

δ(t)

y(t)

Lineares Meßsystem

t

t0

y(t) g(t) t0

t

Abb. 5.4. Impulsantwort g(t) eines linearen Meßsystems

F¨ ur eine beliebige Anregungsfunktion x(t) ergibt sich das Ausgangssignal y(t) durch Faltung mit der Impulsantwort (Kap. 3.11) y(t) =

Z

+∞

−∞

x(τ )g(t − τ ) dτ =

Z

+∞

−∞

x(t − τ )g(τ )dτ = x(t) ⋆ g(t) .

(5.45)

Da wir kausale Meßsysteme voraussetzen, deren Impulsantwort g(t) f¨ ur t < 0 verschwindet und auch die Anregungsfunktion x(t) f¨ ur t < 0 zu Null annehmen, kann man die untere Grenze des Faltungsintegrals (−∞) durch ′ 0′ und die obere Grenze (+∞) durch ′ t′ ersetzen (Gl. (3.219)) y(t) =

Z

0

t

x(τ )g(t − τ ) dτ =

Z

0

t

x(t − τ )g(τ ) dτ .

(5.46)

Anstatt ein Meßsystem durch seine Impulsantwort zu beschreiben, ist es in der Meßtechnik auch gebr¨ auchlich, seine Sprungantwort h(t) anzugeben. Diese erh¨alt man als Ausgangssignal, wenn man als Anregungssignal x(t) eine Sprungfunktion verwendet (Abb. 5.5), wobei die Sprungfunktion folgendermaßen definiert ist  ¨r t ≥ 0  1 fu (5.47) ε(t) =  0 fu ¨r t < 0 .

Der Zusammenhang zwischen Sprungantwort h(t) und Impulsantwort g(t) wurde bereits in Kapitel 3.12 hergeleitet (Gl. (3.231))

108

5 Meßfehler

h(t) =

Z

t

g(τ ) dτ .

(5.48)

0

Der Wert, der sich nach einer Sprunganregung als stabiler Wert einstellt, wird als Beharrungswert bezeichnet. x(t)

x(t) t0

Lineares Meßsystem

y(t)

h(t)

y(t)

t

t0

t

Abb. 5.5. Sprungantwort h(t) eines linearen Meßsystems

¨ Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch ¨ Ubertragungsfunktionen Aus der linearen Systemtheorie weiß man (Kap. 3.11), daß harmonische Anregungen der Form jωt jϕx (ω) jωt ˆ ˆ } = Re{X(ω)e e } x(t) = Re{X(ω)e

(5.49)

bei linearen Systemen im eingeschwungenen Zustand stets zu einem Antwortsignal y(t) mit derselben Frequenz aber ver¨ anderter Amplitude und Phasenlage f¨ uhren y(t) = Re{Yˆ (ω)ejωt } = Re{Yˆ (ω)ejϕy (ω) ejωt } , (5.50) ˆ und |Yˆ | = Yˆ gilt. Die Ubertragungsfunktion ˆ =X ¨ G(ω) des linearen wobei |X| Systems ist dann folgendermaßen definiert G(ω) =

Yˆ (ω) Yˆ (ω) j(ϕy −ϕx ) = e = |G(ω)|ejϕ(ω) . ˆ ˆ X(ω) X(ω)

(5.51)

¨ Die komplexe Ubertragungsfunktion G(ω) l¨ aßt sich aufspalten in den Betragsgang |G(ω)| und den dazugeh¨ origen Phasengang arg{G(ω)} = ϕ(ω). Daraus lassen sich die D¨ampfung a(ω) und deren Phase b(ω) wie folgt errechnen a(ω) = −20 lg |G(ω)| [dB] b(ω) = −arg(G(ω)) .

(5.52) (5.53)

¨ Die Ubertragungsfunktion gibt also Auskunft dar¨ uber, wie das Meßsystem die Amplitude und die Phasenlage einer harmonischen Anregung ver¨andert. ¨ F¨ ur beliebige (nicht-periodische) Zeitsignale berechnet sich die Ubertragungsfunktion eines linearen Systems aus den Quotienten der FourierTransformierten (Tab. 5.3) F {y(t)} und F {x(t)} vom Ausgangs- und Eingangssignal y(t) bzw. x(t) G(ω) =

F {y(t)} . F {x(t)}

(5.54)

5.4 Dynamische Meßfehler

109

Tabelle 5.3. Definitionsgleichungen der Laplace- und Fourier-Transformationen (Kap. 3) Fourier-Transformation Fourier-R¨ ucktransformation F{x(t)} = X(ω) x(t) = F −1 {X (ω)} R +∞ R +∞ 1 X(ω)ejωt dω = −∞ x(t)e−jωt dt = 2π −∞ Laplace-Transformation L{x(t)} = X(s) R∞ = 0 x(t)e−st dt

Laplace-R¨ ucktransformation x(t) = L−1 {X (s)} R σ+j∞ 1 = 2πj X(s)est ds σ−j∞

Mit diesen Zusammenh¨ angen und der Eigenschaft, daß eine Faltung zweier Signale im Zeitbereich einer Multiplikation der Fourier-Transformierten im Frequenzbereich entspricht, erh¨ alt man aus Gl. (5.45) Y (ω) = X(ω) G(ω) .

(5.55)

Daraus folgt auch, daß die Fourier-Transformierte der Gewichtsfunktion der ¨ Ubertragungsfunktion entspricht. G(ω) = F {g(t)} .

(5.56)

Beschr¨ankt man sich auf kausale Zeitsignale (x(t) = 0 f¨ ur t < 0), so ist es zweckm¨aßig, anstatt der Fourier-Transformation die Laplace-Transformation ¨ (Tab. 5.3) zu verwenden. Die Laplace-Ubertragungsfunktion G(s) eines linearen Systems ist folgendermaßen definiert G(s) =

Y (s) L{y(t)} = . L{x(t)} X(s)

(5.57)

Dabei sind L{x(t)} und L{y(t)} die Laplace-Transformierten (Tab. 5.3) der Zeitfunktionen x(t) und y(t), wobei s = σ + jω die Laplace-Variable darstellt. Die Faltungsoperation (Gl. (5.46)) vereinfacht sich f¨ ur kausale Zeitsignale und Systeme im Laplace-Bereich ebenfalls zu einer Multiplikation der entsprechenden Laplace-Transformierten (Kap. 3.5.4) Y (s) = G(s)X(s) .

(5.58)

¨ Die Ubertragungsfunktion G(s) ist demnach auch die Laplace-Transformierte der Impulsantwort g(t) G(s) = L{g(t)} . (5.59) Entsprechend dem Integrationssatz der Laplace-Transformation (Kap. 3.5.2) Z t  1 L f (τ ) dτ = F (s) , (5.60) s 0

110

5 Meßfehler

wobei L{f (t)} = F (s) ,

(5.61)

¨ folgt aus Gl. (5.48) der Zusammenhang zwischen der Ubertragungsfunktion G(s) und der Sprungantwort h(t)   G(s) −1 h(t) = L . (5.62) s Zusammengesetzte Systeme Die Gesamt¨ ubertragungsfunktionen der in Abb. 5.6 gezeigten zusammengesetzten Systeme ergeben sich wie folgt: Serienschaltung (Abb. 5.6a) Y (s) = G1 (s)G2 (s) X(s)

(5.63)

Y (s) = G1 (s) + G2 (s) X(s)

(5.64)

G(s) = Parallelschaltung (Abb. 5.6b) G(s) =

R¨ uckkoppelschaltung (Kreisschaltung) (Abb. 5.6c) G(s) =

Y (s) G1 (s) = . X(s) 1 + G1 (s)G2 (s)

(5.65)

¨ Abb. 5.6. Zusammengesetzte Ubertragungssysteme: a) Serienschaltung (Hintereinanderschaltung), b) Parallelschaltung, c) R¨ uckkoppelschaltung (Kreisschaltung)

5.4 Dynamische Meßfehler

111

¨ Beschreibung des Ubertragungsverhaltens durch Differentialgleichungen F¨ ur lineare Systeme kann der mathematische Zusammenhang zwischen dem Anregungssignal x(t) und dem Ausgangssignal y(t) in Form einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden (′ =d/dt) ˆ a0 x + a1 x′ + . . . + an x(n) = b0 y + b1 y ′ + . . . + bm y (m) .

(5.66)

Gem¨aß dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation (Kap. 3.5.3) L{f (n) (t)} = sn F (s) − sn−1 f (t)|t=0 − . . . sf (t)(n−2) |t=0 − f (t)(n−1) |t=0 ,

(5.67)

wobei f (n) die n-te Ableitung der Funktion f nach der Zeit t ist, kann Gl. (5.66) f¨ ur den vereinfachten Fall, daß alle Anfangswerte f (t = 0) bis f (t)(n−1) |t=0 Null sind, folgendermaßen im Laplace-Bereich dargestellt werden a0 X(s) + a1 sX(s) + . . . + an sn X(s) = b0 Y (s) + b1 sY (s) + . . . + bm sm Y (s) . (5.68) ¨ Damit ergibt sich folgender fester Zusammenhang zwischen der Ubertragungsfunktion G(s) im Laplace-Bereich und den Koeffizienten der Differentialgleichung a0 + a1 s + a2 s2 + . . . + an sn , (5.69) G(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s2 + . . . + b m sm wobei stets n ≤ m gilt. Der Quotient E E=

a0 b0

(5.70)

wird auch als Empfindlichkeit des Meßsystems bezeichnet. ¨ Bei Kenntnis der Laplace-Ubertragungsfunktion G(s) bzw. der Fourier¨ Ubertragungsfunktion G(ω), der Impulsantwort g(t) bzw. der Sprungantwort h(t) oder auch der Koeffizienten ai und bj der Differentialgleichung lassen sich die dynamischen Meßfehler eines Meßsystems beschreiben. Die Definition des dynamischen Meßfehlers und seine Bestimmung anhand dieser Kennwerte wird in den beiden folgenden Abschnitten beschrieben. 5.4.2 Definition des dynamischen Meßfehlers Beim Erfassen zeitlich ver¨ anderlicher Meßgr¨ oßen entstehen aufgrund der oben ¨ beschriebenen (nicht-idealen) Ubertragungseigenschaften unweigerlich dynamische Meßfehler. Da sich im Falle linearer Meßsysteme die dynamischen Fehler von den statischen separieren lassen, k¨ onnen wir uns im folgenden ohne Einschr¨ankung der Allgemeinheit auf dynamische Meßfehler konzentrieren und die statischen ausschließen. Der momentane dynamische Meßfehler Fdyn ist definiert als

112

5 Meßfehler

Fdyn = x(t) − xw (t) ,

(5.71)

wobei x(t) und xw (t) die zeitlichen Verl¨ aufe des Meßwertes bzw. des wahren Wertes darstellen. Praktischer als die Angabe der Momentanverl¨aufe von Fehlern ist die Angabe ihrer Mittelwerte. Wenn wir einen station¨aren Verlauf der Meßgr¨oße voraussetzen (station¨ ar heißt, daß die sich durch zeitliche Mittelung ergebenden Kenngr¨oßen, wie z. B. der quadratische Mittelwert des Signals (Kap. 6.3.1), konstant bleiben), l¨ aßt sich als wichtige Kenngr¨oße der mittlere quadratische dynamische Fehler angeben 2 Fdyn

1 = lim T →∞ T

Z

T

0

2 Fdyn (t) dt .

(5.72)

Wenn der Meßgr¨oßenverlauf periodisch ist, darf die Integrationszeit T auf die 2 einen absoluten Fehler beziffert, ist Periodendauer begrenzt werden. Da Fdyn es zweckm¨aßig, diesen auf den quadratischen Mittelwert x2 des Meßsignals zu normieren (Kap. 6.3.1) Z 1 T 2 x (t) dt . (5.73) x2 = T 0 Es ergibt sich somit der bezogene quadratische Mittelwert des dynamischen 2 Fehlers fdyn 2 fdyn =

2 Fdyn

x2

.

(5.74)

5.4.3 Bestimmung des dynamischen Meßfehlers Im folgenden wird angenommen, daß der dynamische Fehler durch das (nicht¨ ¨ ideale) Ubertragungsverhalten des Meßsystems, das sich durch die Ubertragungsfunktion G(s) beschreiben l¨ aßt (Abb. 5.7), verursacht wird. Bei deterministischen Anregungssignalen l¨ aßt sich der dynamische Meßfehler mit der ¨ bekannten Ubertragungsfunktion des Meßsystems G(s) ermitteln

wahre Meßgröße x w (t)

Xw (s)

Meßsystem G(s)

gemessener Wert (Meßwert) X (s)

x(t)

¨ Abb. 5.7. Dynamischer Meßfehler aufgrund des (nicht-idealen) Ubertra¨ gungsverhaltens des Meßsystems. G(s) ist die Ubertragungsfunktion im LaplaceBereich.

5.4 Dynamische Meßfehler

113

Fdyn (s) = X(s) − Xw (s)

= Xw (s)[G(s) − 1]   1 . = X(s) 1 − G(s)

(5.75)

F¨ ur den Fall, daß das Eingangssignal (wahrer Wert) des Meßsystems bekannt ist (Vorw¨ artsanalyse), erh¨ alt man den Momentanverlauf des absoluten Meßfehlers Fdyn (t) durch folgende Laplace-R¨ ucktransformation Fdyn (t) = L−1 {Xw (s)[G(s) − 1]} .

(5.76)

Im umgekehrten Fall (R¨ uckw¨ artsanalyse) ist der Meßwert x(t) bekannt, und man erh¨alt Fdyn (t) als    1 Fdyn (t) = L−1 X(s) 1 − . (5.77) G(s) 5.4.4 Meßsystem mit Tiefpaßverhalten In aller Regel zeigen Meßsysteme ein mehr oder weniger ausgepr¨agtes Tiefpaßverhalten. Im folgenden soll daher zun¨ achst der aus einem Tiefpaß 1. Ordnung resultierende dynamische Fehler berechnet werden (Abb. 5.8), wenn der wahre Wert zum Zeitpunkt t = 0 auf den Wert X0 springt.

xw (t)

Xw (s)

GM(s) =

1 1+sτ

X (s)

x (t)

M

Abb. 5.8. Meßsystem (Tiefpaß 1. Ordnung)

Vorw¨ artsanalyse Wenn der wahre Wert bekannt ist, l¨ aßt sich gem¨aß Gl. (5.76) der absolute dynamische Meßfehler wie folgt berechnen Fdyn (t) = L−1 {Xw (s)[GM (s) − 1]} = L−1 {F (s)} . Mit Xw (s) = folgt

X0 s

  X0 1 X0 τM F (s) = −1 =− . s 1 + sτM 1 + sτM

(5.78)

(5.79)

(5.80)

114

5 Meßfehler

Der zeitliche Verlauf des dynamischen Meßfehlers lautet Fdyn (t) = −X0 · e−t/τM .

(5.81)

Der mittlere quadratische dynamische Fehler betr¨agt (Gl. (5.72)) 1 T →∞ T

2 Fdyn = lim

Z

0

T

X02 e−2t/τM dt

T −X02 τM 1 −2t/τM = lim e T →∞ T 2 0 i −X02 τM 1 h −2T /τM e −1 =0. = lim T →∞ T 2

(5.82)

R¨ uckw¨ artsanalyse Hier ist nur der gemessene Wert bekannt. Aus Gl. (5.77) folgt der dynamische Fehler    1 . (5.83) Fdyn (t) = L−1 X(s) 1 − GM (s) Die Auswertung f¨ uhrt zum selben Ergebnis wie die Vorw¨artsanalyse   −X0 τM Fdyn (t) = L−1 = −X0 · e−t/τM . 1 + sτM

(5.84)

Verringerung des dynamischen Fehlers durch Korrekturnetzwerk Der vom Meßsystem herr¨ uhrende dynamische Fehler kann durch ein nachgeschaltetes Korrekturnetzwerk zum Teil kompensiert werden. Dies soll anhand eines Beispiels demonstriert werden. Das Ausgangssignal des Meßsystems (Tiefpaß 1. Ordnung) wird aus diesem Grund mittels eines OszilloskopTastkopfes abgegriffen (s. auch Kap. 10.2). Die gesamte Meßkette wird in Abb. 5.9 gezeigt. Mit RT VR = . (5.85) RE ¨ lautet die Ubertragungsfunktion der gesamten Meßkette (Meßsystem und Tastkopf) Gges (s) =

XT (s) 1 + sτT 1 · = . XW (s) 1 + sτM 1 + sτT + VR (1 + sτE )

(5.86)

Dabei wird vorausgesetzt, daß die Ein- bzw. Ausgangsimpedanzen vom Meßsystem und dem Tastkopf so gew¨ ahlt wurden, daß die beiden Netzwerke auch ¨ nach der Zusammenschaltung ihr urspr¨ ungliches Ubertragungsverhalten beibehalten.

5.4 Dynamische Meßfehler

Meßsystem

115

Tastkopf RT

xW(t)

x (t)

GM =

1 1+sτ

GT =

M

RE

CT

CE

xT (t)

1+ sτT 1 + VR+ s (VR τ E + τ T )

Abb. 5.9. Meßsystem mit Korrekturnetzwerk (Tastkopf). Die Zeitkonstanten sind folgendermaßen definiert: τT = RT CT ; τE = RE CE .

Um die Auswirkung des Korrekturnetzwerkes auf das Ausgangssignal zu demonstrieren, werten wir wiederum das Ausgangssignal xT (t) (bzw. zun¨achst XT (s)) f¨ ur eine Sprunganregung aus XT (s) =

1 1 + sτT 1 X0 · · · . +VR τE s 1 + sτM 1 + VR 1 + s τT1+V R

Mit τ∗ =

τT + VR τE 1 + VR

(5.87)

(5.88)

erh¨alt man

1 1 + sτT 1 1 + VR = · · . X0 s 1 + sτM 1 + sτ ∗ Eine Partialbruchzerlegung XT ·

XT ·

1 + VR A C B = + + X0 s 1 + sτM 1 + sτ ∗

(5.89)

(5.90)

liefert A=1 τM (τT − τM ) τM − τ ∗ τ ∗ (τT − τ ∗ ) C = −τC = − . τM − τ ∗

B = τB =

(5.91) (5.92) (5.93)

Mit XT (s) =

  X0 1 τC 1 τB 1 · − ∗ · + 1 + VR s τM s + 1/τM τ s + 1/τ ∗

ergibt sich die entsprechende Zeitfunktion zu   X0 τB −t/τM τC −t/τ ∗ x(t) = . ε(t) + ·e − ∗ ·e 1 + VR τM τ

(5.94)

(5.95)

116

5 Meßfehler

Abbildung 5.10 verdeutlicht die Verbesserung des dynamischen Verhaltens der Meßeinrichtung durch das nachgeschaltete Korrekturnetzwerk. Es wurden folgende Werte verwendet: X0 = 10 V; τM = 100 µs; VR = 9; τE = 0 (Weglassen von RE ). Die Zeitkonstante τT wird variiert. x (t) T

τ T = 1,17 τ

M

1V τ = 1,00 τ T

0,5V

τ T = 0,81 τ

M M

τ =0 T

100

500

t (µs)

¨ Abb. 5.10. Den schnellsten Einschwingvorgang ohne Uberschwingen erh¨ alt man, wenn die Nullstelle des Tastkopfes genau auf dem Pol des Tiefpasses liegt. Der Wert τT = 0 liefert den prinzipiellen Zeitverlauf der Sprungantwort des Meßsystems ohne Korrekturnetzwerk.

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Die Grundfunktionen eines Meßger¨ ates gliedern sich in die Aufnahme der Meßgr¨oße, die Verarbeitung des Meßsignals und in die Ausgabe des Meßwertes (Abb. 6.1). Bei den Meßger¨ aten zur Messung von elektrischem Strom bzw. elektrischer Spannung unterscheidet man zwischen den klassischen elektromechanischen Instrumenten mit analogen Zeigerskalen und den moderneren elektronischen, auf digitaler Basis arbeitenden Ger¨aten mit interner AnalogDigital-Umsetzung und Ziffern- oder Bildschirmausgabe. Obwohl die klassischen Zeigerger¨ate in den letzten Jahren an Bedeutung verloren haben, sollen diese im Kap. 6.1 ausf¨ uhrlich beschrieben werden, da die in diesen Ger¨aten genutzten Wandlungsprinzipien von grundlegender Bedeutung f¨ ur die Elektrische Meßtechnik sind, insbesondere f¨ ur die Sensortechnik bei der Messung mechanischer Gr¨oßen. Auf die auf digitaler Basis arbeitenden Meßger¨ate wird in Kap. 11 n¨aher eingegangen. Meßgröße Aufnahme der Meßgröße Verarbeitung des Meßsignals Ausgabe des Meßwertes Meßwert Abb. 6.1. Grundfunktionen eines Meßger¨ ates

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate Elektromechanische Meßger¨ ate beruhen auf dem Prinzip, einer zu messenden elektrischen Gr¨oße (i. allg. Strom oder Spannung) mit Hilfe eines geeigneten physikalischen Effektes eine Kraftwirkung zuzuordnen. Diese Kraft wird auf

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

118

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

einen Zeiger u ¨bertragen, der durch eine im allgemeinen von einer Feder erzeugten Gegenkraft in einer Stellung verharrt, so daß der Zeigerausschlag ein Maß f¨ ur die Meßgr¨ oße darstellt, wenn m¨ oglich ihr proportional ist. 6.1.1 Drehspulmeßwerk Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld Einer der im Bereich der Elektromechanik vielfach genutzten Effekte ist die Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld. Wenn sich ein gerader linienf¨ ormiger Leiter der L¨ ange l, der einen Strom I f¨ uhrt, in ~ befindet einem homogenen Magnetfeld mit der magnetischen Induktion B (Abb. 6.2), wirkt auf ihn die mechanische Kraft F~ [19] ~ . F~ = I(~l × B)

(6.1)

Dabei zeigt ~l in die positive Stromrichtung des Leiters.

Abb. 6.2. Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld

Aufbau und Prinzip Das Drehspulmeßwerk ist ein Standardmeßwerk, bei dem der eben beschriebene physikalische Effekt genutzt wird, gem¨ aß dem auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld eine mechanische Kraft ausge¨ ubt wird. Das Drehspulmeßwerk besteht aus einem mit Polschuhen versehenen, feststehenden Dauermagneten, der in Verbindung mit einem zylindrischen Weicheisenkern in einem begrenzten Winkelabschnitt des Luftspaltes ein radial~ homogenes B-Feld erzeugt (Abb. 6.3). Der Weicheisenkern wird von einer drehbar gelagerten Spule mit rechteckigem Spulenrahmen und Windungszahl N umschlossen. Die H¨ ohe des Spulenrahmens betr¨agt l, seine Breite 2r. Wird die Spule von einem Strom I durchflossen, ergibt sich die Kraftwirkung auf einen einzelnen Leiter nach Gl. (6.1). Das auf die aus N Leiterwindungen ~ el berechnet sich somit zu bestehende Spule wirkende Drehmoment M

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

119

Abb. 6.3. Drehspulmeßwerk: a) Prinzipieller Aufbau, b) Schnitt durch den Spulenrahmen, c) Symbol

~ el = 2N~r × F~ M ~ = 2N~r × [I(~l × B)] = 2N rIlB~ea ,

(6.2)

wobei der Einheitsvektor ~ea in Richtung der Drehachse zeigt. Durch eine an der Spule angebrachte Spiralfeder (Federkonstante D) wird das R¨ uckstellmo~ mech erzeugt ment M ~ mech = −Dα~ea . M (6.3)

~ el + M ~ mech = 0 folgt der Winkel α, bei Aus der Gleichgewichtsbedingung M dem sich Gleichgewicht einstellt bzw. bei dem der Zeiger verharrt α=

2N lBr I = Si I . D

(6.4)

Dabei bezeichnet Si die Stromempfindlichkeit des Drehspulmeßwerkes. In technischen Ausf¨ uhrungen wird anstatt der Spiralfeder oft ein Spannband benutzt, das neben der Erzeugung des R¨ uckstellmomentes sowohl der Stromzuf¨ uhrung als auch der reibungsarmen Lagerung der Drehspule dient. Dynamisches Verhalten eines Drehspulmeßwerkes F¨ ur eine winkelgeschwindigkeitsproportionale D¨ampfung mit dem D¨ampfungsmoment η α˙ und dem Beschleunigungsmoment Θα ¨ (das Tr¨agheitsmoment der Drehspule wird mit Θ bezeichnet) ergibt sich die den Winkelausschlag α beschreibende Differentialgleichung zu Θα ¨ + η α˙ + Dα = Mel (t) ,

(6.5)

wobei ein Punkt u ¨ber dem Formelzeichen die zeitliche Ableitung der entsprechenden Formelgr¨ oße nach der Zeit und zwei Punkte die zweifache zeitliche Ableitung bedeuten. Mit den Substitutionen f¨ ur die Eigenkreisfrequenz ω0 des unged¨ampften Systems

120

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

r

D Θ und mit dem normierten D¨ampfungskoeffizient η˜ ω0 =

η η˜ = √ 2 ΘD

(6.6)

(6.7)

ergibt sich die folgende Differentialgleichung 2˜ η 1 1 α ¨+ α˙ + α = Mel (t) . ω02 ω0 D

(6.8)

Von den L¨osungen dieser Differentialgleichung interessiert im allgemeinen die Antwort auf eine zeitlich sprunghaft ansteigende Eingangsgr¨oße (Sprungantwort). In Abh¨angigkeit des (normierten) D¨ ampfungskoeffizienten η˜ erh¨alt man die normierte Sprungantwort α/α0 , wobei α0 den Ausschlag f¨ ur t → ∞ bezeichnet (Abb. 6.4): •

keine D¨ampfung (˜ η = 0) α = 1 − cos ω0 t α0

•

(6.9)

periodische (schwingende) Einstellung η˜ < 1 α ω0 −˜ηω0 t = 1− e cos(ωt − ϕ) α0 ω

(6.10)

p

(6.11)

mit ω = ω0

1 − η˜2

Abb. 6.4. Auf den Endausschlag α0 bezogene Sprungantwort eines Drehspulinstrumentes bei verschiedenen (normierten) D¨ ampfungskoeffizienten η˜

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

und

!

(6.12)

α = 1 − e−ω0 t (1 + ω0 t) α0

(6.13)

ϕ = arctan •

•

121

aperiodischer Grenzfall (˜ η = 1)

η˜

p 1 − η˜2

aperiodische (kriechende) Einstellung (˜ η > 1)   1 −t/τ1 α 1 1 −t/τ2 √ − e =1+ + e α0 τ2 τ1 2ω0 η˜ − 1 mit τ1 = und τ2 =

1 p ω0 (˜ η − η˜2 − 1)

1 p . ω0 (˜ η + η˜2 − 1)

(6.14)

(6.15)

(6.16)

D¨ ampfung beim Drehspulmeßwerk

Ein D¨ampfungsmoment entsteht, wenn die durch die Drehspulenbewegung im Magnetfeld induzierte Spannung u uhrt. ¨ber einen Widerstand zu einem Strom f¨ Nach der Lenzschen Regel wirkt dieser Ausgleichstrom dem Meßstrom entgegen und d¨ampft damit die Ausschlagbewegung des Zeigers. Bei einer Spule mit Rahmenh¨ohe l und Windungszahl N betr¨ agt die induzierte Spannung uind Z dφ d ~ dA ~ B uind = −N = −N dt dt "Z # I ~ ∂B ~ ~ =N dA − (~v × B) d~s A ∂t I = −N ωrB ds = −2N lrB

dα . dt

(6.17)

~ ~ d ist Dabei wurde ber¨ ucksichtigt, daß ∂ B/∂t = 0. Das D¨ampfungsmoment M dem resultierenden Strom iind proportional ~ d = 2N~r × F~ = 2N~r × [iind (~l × B)] ~ M

Md = 2N rlBiind .

(6.18) (6.19)

Wenn die induzierte Spannung uind den Strom iind in einem Kreis mit Widerstand RK hervorruft, ergibt sich das D¨ ampfungsmoment

122

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Md = (2N rlB)2

1 dα . RK dt

(6.20)

Mit Md = η α˙

(6.21)

folgt f¨ ur den (nicht-normierten) D¨ ampfungskoeffizienten η aus Gl. (6.5) η=

(2N rlB)2 . RK

(6.22)

Dabei setzt sich der Gesamtwiderstand des Meßkreises RK , der sog. Schließungswiderstand, aus dem Widerstand der Meßspule RSP , einem eventuell vorhandenen Abgleichwiderstand RT und dem Widerstand des ¨außeren Kreises RA zusammen RK = RSP + RT + RA . (6.23) Wenn ein Abgleichwiderstand RT vorhanden ist, kann dieser bei konstantem RA genutzt werden, um beispielsweise eine aperiodische D¨ampfung zu erzielen. Die k¨ urzeste Einstellzeit wird allerdings f¨ ur einen D¨ampfungsgrad ¨ η˜ < 1, also nach leichtem Uberschwingen erreicht. Abbildung 6.5 zeigt die auf die Periodendauer T0 der Grundschwingung bezogene Einstellzeit TE , die das Meßwerk nach einer Sprunganregung ben¨ otigt, um innerhalb einer Schwankungsbreite von ± 1,5 % des Endausschlages zu bleiben. Die f¨ ur den Wert ± 1,5 % ermittelte Zeit wird auch als Beruhigungszeit bezeichnet. Nachteilig an dem eben beschriebenen D¨ ampfungsmechanismus ist allerdings, daß die Gr¨oße der D¨ampfung u ¨ber den Schließungswiderstand RK vom jeweiligen Widerstand RA des ¨ außeren Kreises abh¨ angt.

Abb. 6.5. Bezogene Einstellzeit TE /T0 als Funktion des normierten D¨ ampfungskoeffizienten η˜ bei einem zul¨ assigen Toleranzbereich von ± 1,5 % um den Endausschlag

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

123

Um diese Abh¨angigkeit zu vermeiden, setzt man vorzugsweise die sog. Rahmend¨ampfung ein, bei der die Spule auf einen elektrisch leitenden Aluminiumrahmen aufgebracht wird. In dem Aluminiumrahmen werden infolge der Drehbewegung elektrische Spannungen induziert, die im geschlossenen Rahmen Wirbelstr¨ome zur Folge haben. In Verbindung mit dem Magnetfeld des Permanentmagneten bilden sich infolge dieser Str¨ome Kr¨afte (Gegenkr¨afte) aus, die gem¨aß der Lenzschen Regel so gerichtet sind, daß sie die Bewegung bremsen und damit d¨ ampfen. Im allgemeinen werden Drehspulinstrumente so ausgelegt, daß die Rahmend¨ ampfung u ¨berwiegt, um die D¨ampfungswerte von den oben beschriebenen Einfl¨ ussen des jeweiligen Meßkreises (Gln. (6.22) und (6.23)) unbeeinflußt zu lassen. 6.1.2 Galvanometer Spezielle Bauformen des Drehspulinstrumentes, die darauf abzielen, eine besonders hohe Stromempfindlichkeit zu erreichen, werden als Galvanometer bezeichnet. Da sie im allgemeinen zum Feststellen der Stromlosigkeit in Meßbr¨ ucken oder Kompensatoren eingesetzt werden, ben¨otigen Galvanometer keine in Strom- bzw. Spannungswerten kalibrierte Skala. Wenn der mechanische Zeiger durch einen Lichtzeiger ersetzt wird, f¨ uhrt dies zu besonders hoher Empfindlichkeit. Dieser Lichtzeiger besteht aus einem am Spannband befestigten Spiegel, dessen Winkelstellung mit Hilfe eines auf ihn auftreffenden und aus seiner Ruhelage ausgelenkten Lichtstrahles detektiert wird (Abb. 6.6). Typische Werte f¨ ur die Stromempfindlichkeit von solchen DrehspulSpiegelgalvanometern liegen zwischen Si = 10 mm/pA und Si = 105 mm/pA f¨ ur 1 m Lichtzeigerl¨ ange. Die hohe Stromempfindlichkeit Si wird durch Verwenden einer Feder mit kleiner Drehfederkonstante D erreicht (Gl. (6.4)). Damit andererseits die Eigenfrequenz ω0 nicht zu klein und damit die Einschwingdauer nicht zu groß werden, muß auch das Tr¨agheitsmoment Θ gem¨aß Gl. (6.6) gering gehalten werden, was durch eine Spule mit geringem Rahmendurchmesser erreicht wird. Das dynamische Verhalten von Galvanometern wird durch die d¨ampfende Wirkung des im Meßkreis induzierten Stromes gesteuert. F¨ ur die aperiodische D¨ ampfung η˜ = 1 fordern die Gln. (6.7) und (6.22) einen Schließungswiderstand RKaper, der sich wie folgt ergibt

Abb. 6.6. Spiegelgalvanometer

124

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

2 RKaper = √ (N rlB)2 . ΘD

(6.24)

Durch eine geeignete Wahl des Abgleichwiderstandes RT kann nach Gl. (6.23) das Galvanometer so eingestellt werden, daß sein Zeiger entweder schwingend (RK > RKaper ) oder kriechend (RK < RKaper ) seine Endstellung erreicht. Die Einstellung der D¨ampfung von Galvanometern l¨aßt sich gem¨aß Gl. (6.22) bei entsprechenden Bauformen auch durch Ver¨ andern der magnetischen Induktion ~ in Form eines ver¨ B anderlichen magnetischen Nebenschlusses erreichen. Es ist allerdings zu beachten, daß durch diese Maßnahmen auch die Empfindlichkeit des Galvanometers ver¨ andert wird. Kriechgalvanometer Mit Hilfe eines kriechend ged¨ ampften Galvanometers (RK ≪ RKaper ), einem sog. Kriechgalvanometer, bei dem außerdem das Richtmoment vernachl¨assigbar klein ist (D → 0), kann ein Z Spannungsstoß = u dt (6.25) unmittelbar gemessen werden. Da wegen der kriechenden Einstellung (RK ist sehr klein) außerdem das Beschleunigungsmoment Θα ¨ vernachl¨assigt werden darf, ist in diesem Fall nur das D¨ ampfungsmoment relevant. Aus den Gln. (6.2) und (6.5) folgt f¨ ur D = 0 Θα ¨ + η α˙ = Mel (t) = 2N rlBi(t) .

(6.26)

Wegen der dominierenden Spulend¨ ampfung ergibt sich mit Gl. (6.20) aus Θα ¨+

2N rlBu(t) (2N rlB)2 α˙ = RK RK

(6.27)

unter Vernachl¨assigung des Beschleunigungsmoments die Spannung zu u(t) = 2N lrB bzw. der Spannungsstoß Z

dα dα = cf dt dt

(6.28)

t2

t1

u(t) dt = cf [α(t2 ) − α(t1 )] = cf [α2 − α1 ] .

(6.29)

Bei bekannter Flußmeterkonstante cf kann die Gr¨oße des Spannungsstoßes unmittelbar aus der Differenz der Winkelstellungen (α2 − α1 ) des Zeigers zu den Zeiten t2 und t1 ermittelt R werden. Eine solche Anordnung kann aufgrund des Zusammenhanges φ = u dt zur Messung des magnetischen Flusses φ bzw. der magnetischen Induktion unter Verwendung von Pr¨ ufspulen eingesetzt werden.

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

125

Ballistisches Galvanometer Das ballistische Galvanometer dient dem Zweck, die von einem Stromstoß gelieferte Ladungsmenge zu messen. Dies wird dadurch erreicht, daß beim ballistischen Galvanometer ein im Vergleich zur Periodendauer der Meßwerkgrundschwingung zeitlich sehr kurzer StromstoßR einen Drehimpuls erzeugt. Mit Hilfe von Gl. (6.2) l¨ aßt sich der Drehimpuls M (t) dt, welcher der Drehspule durch den Stromstroß verliehen wird, wie folgt angeben Z

0

T

M (t) dt = 2N rlB

Z

T

i(t) dt = 2N rlBQ0 .

(6.30)

0

Q0 ist die mit dem Stromstoß zugef¨ uhrte Ladungsmenge. Die Integrationszeit T in Gl. (6.30) wird so gew¨ ahlt, daß der Strompuls bei t = T bereits wieder abgeklungen ist. Aus diesem Drehimpuls resultiert eine Schwingbewegung der Drehspule, die nach Gl. (6.5) beschrieben werden kann. Bei der L¨ osung dieser Differentialgleichung gehen wir davon aus, daß der Drehimpuls der Drehspule eine Anfangswinkelgeschwindigkeit α(t ˙ = 0) verleiht, aber bereits zu Beginn der eigentlichen Schwingung die Anregung durch das Moment ~ wieder abgeklungen ist. Damit kann man sich auf die L¨osung der homogeM nen Differentialgleichung beschr¨ anken Θα ¨ + η α˙ + Dα = 0 .

(6.31)

Mit den geltenden Anfangsbedingungen α(0) = 0

(6.32)

und Z 1 T M (t)dt Θ 0 1 Si DQ0 = 2N rlBQ0 = = Si ω02 Q0 Θ Θ

α(0) ˙ = ω(0) ≈ ω(T ) =

(6.33)

folgt als L¨osung der Differentialgleichung f¨ ur den aperiodischen Grenzfall α(t) = ω(0)te−ω0 t ,

(6.34)

wobei ω0 die Kreisfrequenz der Grundschwingung der an der Drehfeder (Federkonstante D) aufgeh¨ angten Drehspule mit dem Tr¨agheitsmoment Θ bezeichnet r D . (6.35) ω0 = Θ Es sei erw¨ahnt, daß der Standardbetriebsfall f¨ ur das ballistische Galvanometer der aperiodische Grenzfall (˜ η = 1) (Gl. (6.7)) ist.

126

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Beim ballistischen Galvanometer interessiert von der Drehbewegung im wesentlichen nur der sog. ballistische Ausschlag αball , welcher der ersten Schwingungsamplitude entspricht. Dieses Schwingungsmaximum erh¨alt man durch Nullsetzen der Funktion α(t) ˙ α(t) ˙ = ω(0)e−ω0 t (1 − ω0 t) = 0 .

(6.36)

Daraus folgt, daß sich der als ballistische Ausschlag bezeichnete Maximalausschlag αmax zu einem Zeitpunkt t = 1/ω0 einstellt. Der dazugeh¨orige Winkel αball ergibt sich zu αball = αmax =

ω(0) Si ω 0 = Q0 . eω0 e

(6.37)

Der ballistische Ausschlag ist somit proportional zur zugef¨ uhrten Ladungsmenge Q0 . Die Proportionalit¨ atskonstante zwischen dem ballistischen Ausschlag αball und der Ladungsmenge Q0 wird als sog. ballistische Konstante cball bezeichnet eT0 e = , (6.38) cball = Si ω 0 2πSi wobei cball folgendermaßen definiert ist Q0 =

ZT

i(t)dt = cball αball .

(6.39)

0

In Gl. (6.38) bezeichnen e die Eulersche Zahl (e = 2, 71828) und T0 die Periodendauer der unged¨ ampften Meßwerkgrundschwingung. 6.1.3 Elektrodynamisches Meßwerk Das elektrodynamische Meßwerk besitzt, ¨ ahnlich dem Drehspulmeßwerk, eine bewegliche, von einem Meßstrom durchflossene Drehspule, die an einer Drehfeder aufgeh¨angt ist. Der Unterschied zum Drehspulmeßwerk besteht darin, daß das zur Erzeugung der mechanischen Auslenkkraft notwendige Magnetfeld von einer zweiten, feststehenden Spule, der sog. Feldspule geliefert wird. Wenn diese Feldspule einen Eisenkern besitzt, spricht man von der sog. eisengeschlossenen Form des elektrodynamischen Meßwerkes (Abb. 6.7). Die feststehende Spule mit der Windungszahl N1 wird vom Strom I1 , die bewegliche mit Windungszahl N2 vom Strom I2 durchflossen. Mit dem auf die Feldspule angewendeten Durchflutungsgesetz [19] I ~ · d~s = N I H (6.40) folgt

~ L + ~lFe · H ~ Fe = N1 I1 , 2~bL · H

(6.41)

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

127

I1 N1 N2

b) feststehende Spule

B bL a) Weicheisenkern

I2

hochpermeabler Drehspule Weicheisenkern

c)

Abb. 6.7. Elektrodynamisches Meßwerk (eisengeschlossen): a) Prinzipieller Aufbau, b) Schaltzeichen, c) Symbol f¨ ur die eisengeschlossene Form

wobei bL den radialen Abstand zwischen Weicheisenzylinder und Polschuh, ~ Fe die magnetische lFe die Wegl¨ange des magnetischen Feldes im Eisen, H ~ Feldst¨arke im Eisen und HL die magnetische Feldst¨arke im Luftspalt bezeich~ = µH ~ ergibt sich unter der Voraussetzung einer sehr großen Pernen. Mit B meabilit¨at des Eisenkerns (µFe ≫ µ0 ) die im Luftspalt erzeugte magnetische ~L Induktion B ~ L | = BL = µ0 N1 I1 . (6.42) |B 2bL ~ el auf die vom Strom I2 durchflossene Drehspule mit der Das Drehmoment M Spulenquerschnittsfl¨ ache 2rl und der Windungszahl N2 betr¨agt mit Gl. (6.2) (~ea : Einheitsvektor in Richtung der Drehachse) h i ~ el = 2N2~r × F~ = 2N2~r × I2 (~l × B ~ L) M = 2N2 rI2 lBL~ea =

µ0 rlN1 N2 I1 I2~ea . bL

(6.43)

Analog zum Drehspulmeßwerk resultiert daraus f¨ ur das mit einer R¨ uckstellfeder der Federkonstanten D ausgestattete elektrodynamische Meßwerk ein Zeigerausschlag um den Winkel α α=

µ0 rlN1 N2 I1 I2 = kI1 I2 . bL D

(6.44)

Das elektrodynamische Meßwerk ist also ein multiplizierendes Instrument, welches das Produkt zweier Str¨ ome anzeigt. Wenn man das elektrodynamische Meßwerk mit sinusf¨ ormigen Str¨ omen i1 (t) und i2 (t) (Kap. 6.3) derselben Frequenz speist

128

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

i1 (t) = Iˆ1 sin ωt i2 (t) = Iˆ2 sin(ωt + ϕ) ,

(6.45) (6.46)

dann ist die Anzeige zu dem Produkt der Effektivwerte und dem Cosinus des Phasenwinkels ϕ zwischen den Str¨ omen proportional Z 1 T α = ki1 (t)i2 (t) = k i1 (t)i2 (t) dt T 0 Z T 1 =k Iˆ1 Iˆ2 sin ωt sin(ωt + ϕ) dt T 0 Z T Iˆ1 Iˆ2 k cos ϕ Iˆ1 Iˆ2 [cos ϕ − cos(2ωt + ϕ)] dt = k = 2T 0 2 = kI1eff I2eff cos ϕ .

(6.47)

Bei der Auswertung von Gl. (6.47) wurde angenommen, daß die Tr¨agheit des Instrumentes so groß ist, daß es in bezug auf die Wechselgr¨oßen eine zeitliche RT Mittelung vornimmt, d. h. der Term 0 cos(2ωt + ϕ) leistet keinen Beitrag zum Zeigerausschlag α. Das Haupteinsatzgebiet von elektrodynamischen Meßwerken liegt demzufolge auf dem Gebiet der Leistungsmessung. Man unterscheidet beim elektrodynamischen Meßwerk zwei Bauformen: Das eisengeschlossene elektrodynamische Meßwerk besitzt einen hochpermeablen Eisenkern, der oft aus geschichteten und isolierten Blechen aufgebaut ist, um die Wirbelstromverluste gering zu halten. Dabei wird auch auf geringe Hystereseverluste geachtet. Die eisengeschlossene Form erm¨ oglicht geometrisch kleine Bauausf¨ uhrungen, bei ~ L innerhalb des Luftspaltes stets in radialer der die magnetische Induktion B ¨ Richtung verl¨auft, so daß der Ubergang vom Vektorprodukt zum Skalarprodukt in Gl. (6.43) analog zum Drehspulmeßwerk erlaubt ist. Außerdem bleibt der Fremdfeldeinfluß bei dieser Bauform gering. Beim eisenlosen elektrodynamischen Meßwerk nach Abb. 6.8 l¨aßt sich

Abb. 6.8. Elektrodynamisches Meßwerk (eisenlos): a) Prinzip, b) Symbol

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

129

durch geeignete Bauformen der Spulen erreichen, daß die am Spulenrahmen in tangentialer Richtung angreifende und f¨ ur die Drehbewegung maßgebende Kraftkomponente (in Abb. 6.8 eingezeichnet) in einem Drehwinkelbereich von α = ±45◦ bei konstanten Str¨ omen I1 und I2 praktisch einen konstanten Betrag hat. Denn durch spezielle Spulenformen wird gerade ein solches Magnetfeld aufgebaut, daß die sich gem¨ aß Gl. (6.43) ergebende Kraft eine auf den Spulenrahmen bezogene konstante und nicht von der Winkelstellung abh¨angige Tangentialkomponente aufweist. Damit ist das mechanische Antriebsmoment und in Folge auch der Ausschlag α wiederum proportional zum Produkt I1 I2 aus Feld- und Drehspulenstrom. Nachdem die magnetische Induktion der Feldspulen typischerweise in der Gr¨oßenordnung B = 0, 01 T liegt, ist auf Meßfehler durch Fremdfelder zu achten, z. B. auch auf die Ausrichtung im Erdmagnetfeld (B = 10−4 T). Bei eisenlosen Meßwerken entfallen die Fehlereinfl¨ usse infolge von Wirbelstromund Hystereseverlusten, so daß sie als Pr¨ azisionsleistungsmesser eingesetzt werden k¨onnen. 6.1.4 Dreheisenmeßwerk Als physikalischen Effekt nutzt das Dreheisenmeßwerk die Kraft zwischen zwei Magnetpolen, wobei das ben¨ otigte Magnetfeld von dem zu messenden Strom erzeugt wird. Man verwendet eine feststehende Spule, in deren Feld zwei Eisenpl¨attchen gleichsinnig magnetisiert werden und sich infolgedessen abstoßen (Abb. 6.9). Die mechanische Kraft (Kraft zwischen zwei Magnetpolen) ist proportional dem Quadrat der von der Spule erzeugten magnetischen Induktion, welche wiederum proportional dem durch die Spule fließenden Strom I ist. Die in der Spule mit der Selbstinduktivit¨ at L des Dreheisenmeßwerks aufgrund des Meßstromes I gespeicherte magnetische Energie Emagn betr¨agt

Abb. 6.9. Dreheisenmeßwerk: a) Prinzip, b) Aufbau, c) Symbol

130

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Emagn =

1 2 LI . 2

(6.48)

Wenn das Meßger¨ at als verlustfrei angenommen wird, entspricht die Reduzierung der magnetischen Feldenergie bei einer Zeigerdrehung exakt der Zunahme der in der Drehfeder gespeicherten potentiellen Energie (dEmech = ~ el aus der Anderung ¨ −dEmagn ). Damit l¨ aßt sich das erzeugte Drehmoment M der magnetischen Feldenergie errechnen ~ el = dEmagn ~ea = 1 dL I 2~ea . M dα 2 dα

(6.49)

Dabei bezeichnet ~ea den Einheitsvektor in Richtung der Drehachse. Da der Term dL/dα von der Winkelstellung abh¨ angt, ergibt sich ein bauformabh¨angiger, im allgemeinen nichtlinearer Verlauf des Drehmoments als Funktion des Winkels α. Mit dem durch eine Drehfeder (Drehfederkonstante D) erzeugten ~ mech Gegendrehmoment M ~ mech = −Dα~ea M

(6.50)

l¨ aßt sich der Winkel α des Zeigerausschlages f¨ ur den Gleichgewichtszustand ~ el + M ~ mech = 0) angeben (M α=

1 dL 2 I = k(α)I 2 . 2D dα

(6.51)

Durch entsprechende geometrische Formgebung der Pl¨attchen, d. h. eine Beeinflussung des Terms dL/dα bzw. k(α), kann eine ann¨ahernd lineare Abh¨angigkeit des Ausschlags α vom Strom I erreicht werden. Bei Wechselstrom schwankt das Drehmoment infolge der quadratischen Abh¨angigkeit vom Strom mit der doppelten Frequenz. Infolge der mechanischen Tr¨agheit des Meßwerkes wird damit der quadratische Mittelwert, also der Effektivwert, angezeigt. Dies kann analog zum elektrodynamischen Meßwerk abgeleitet werden (Gl. (6.47)). Der Energieverbrauch des Dreheiseninstrumentes und damit auch seine R¨ uckwirkung auf den Meßvorgang sind gr¨ oßer als beim Drehspulinstrument. Es wird als robustes und preiswertes Betriebsinstrument vorwiegend in der elektrischen Energietechnik eingesetzt. Bei h¨ oheren Frequenzen wird der Fehler vor allem von Wirbelstromverlusten in den Blechteilen des Meßwerkes bestimmt. 6.1.5 Drehspulquotientenmeßwerk (Kreuzspulmeßwerk) Beim Drehspulquotientenmeßwerk, das auch als Kreuzspulmeßwerk bezeichnet wird, sind zwei Spulen mit rechteckigem Spulenquerschnitt und demselben Rahmendurchmesser (Windungszahlen: N1 bzw. N2 ; Spulenstr¨ome: I1 bzw. I2 ) starr miteinander verbunden, so daß ihre Querschnittsebenen einen Winkel

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

F1

Kreuzspule

F2 I2

I1 α

N

131

Permanentmagnet S

B a)

F2

β=90°

F1 r

b)

Abb. 6.10. Drehspulquotientenmeßwerk: a) Prinzipieller Aufbau, b) Symbol

von β = 90◦ bilden (Abb. 6.10) . Das Magnetfeld sei homogen zwischen den Polen N und S, was bedeutet, daß es im Gegensatz zum Drehspulmeßwerk radial inhomogen ist. Die von den Meßstr¨ omen I1 und I2 hervorgerufenen mechanischen Kr¨afte F~1 und F~2 ergeben sich zu ~ F~1 = N1 I1 (~l × B)

F1 = N1 I1 lB ~ F~2 = N2 I2 (~l × B)

F2 = N2 I2 lB .

(6.52) (6.53) (6.54) (6.55)

Wenn ~ea den in Richtung der Drehachse der Spule zeigenden Einheitsvektor ~ = 2~r × F~ die und r den Radius der Spulenrahmen bezeichnen, folgen mit M ~ 1 und M ~2 Einzeldrehmomente M ~ 1 = 2rF1 sin α ~ea M ~ 2 = −2rF2 cos α ~ea . M

(6.56) (6.57)

Nachdem Kreuzspulinstrumente keine Drehfedern zur Erzeugung der mechanischen R¨ uckstellkraft enthalten, lautet die Gleichgewichtsbedingung ~1 +M ~2 = 0 . M

(6.58)

Daraus folgt der Zusammenhang zwischen den Str¨omen I1 und I2 sowie dem Winkel α des Zeigerausschlages F2 N2 I2 = F1 N1 I1

(6.59)

  I2 . α = arctan k I1

(6.60)

tan α = bzw.

132

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Es ist anzumerken, daß Drehspulquotientenmeßwerke nach Gl. (6.60) unmittelbar zur Widerstandsmessung eingesetzt werden k¨onnen, da ihr Ausschlag vom Quotient zweier Str¨ ome bestimmt wird (Kap. 9.1.4). F¨ ur Ausf¨ uhrungsformen, bei denen die Winkelstellung zwischen den beiden Spulen nicht 90◦ sondern β betr¨ agt, gilt ! I2 N2 I1 N1 + cos β α = arctan . (6.61) sin β 6.1.6 Drehmagnetmeßwerk Das Drehmagnetmeßwerk besteht aus einer feststehenden, vom Meßstrom I durchflossenen Feldspule der L¨ ange l und Windungszahl N (Abb. 6.11). Bei Vernachl¨assigung der Streuverluste erzeugt der Strom in ihrem Inneren ein ~ I , die sich aus dem DurchflutungsMagnetfeld der magnetischen Feldst¨ arke H gesetz berechnet I ~ s = NI Hd~ (6.62) HI =

N I. l

(6.63)

Abb. 6.11. Drehmagnetmeßwerk: a) Prinzip, b) Symbol

In diesem Magnetfeld dreht sich ein Permanentmagnet. Die notwendige R¨ uck~ R eines zus¨ stellkraft wird durch das Feld H atzlichen permanenten Richtma~ I ∼ I) und des Richtgneten gebildet. Die magnetischen Felder der Spule (H ~ R = const.) u magneten (H ¨berlagern sich vektoriell (Abb. 6.12) und der bewegliche Magnet zeigt in Richtung des resultierenden Feldes, dessen Richtung (und St¨arke) vom Strom I abh¨ angt. Der Proportionalit¨atsfaktor k ist wiederum eine Funktion des Ausschlagwinkels α, so daß die Skala nichtlinear geteilt ist. F¨ ur obige Anordnung gilt nach Abb. 6.12

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

133

¨ Abb. 6.12. Vektorielle Uberlagerung der magnetischen Felder im Drehmagnetmeßwerk

tan α =

HI N = I. HR lHR

(6.64)

Mit der Stromrichtung ¨ andert sich also auch das Vorzeichen des Drehwinkels, der infolge der mechanischen Tr¨ agheit des Meßwerkes letztlich ein Maß f¨ ur den zeitlichen Mittelwert (Gleichstromwert) des Spulenstromes ist. Die Vorz¨ uge des Drehmagnetmeßwerkes liegen in seiner einfachen Konstruktion; so ist beispielsweise keine Stromzuf¨ uhrung zu den beweglichen Teilen notwendig, wie dies beim Drehspulmeßwerk der Fall ist. Nachteilig wirkt sich jedoch der hohe Eigenverbrauch und seine im Vergleich zum Drehspulmeßwerk geringere Empfindlichkeit aus. 6.1.7 Elektrostatisches Meßwerk Die nach dem elektrostatischen Prinzip arbeitenden Meßwerke beruhen auf der Coulombschen Anziehungskraft zwischen elektrischen Ladungen. Die elektrostatischen Meßwerke dienen der Messung elektrischer Spannungen bzw. Ladungen. Im allgemeinen wird eine feststehende Elektrode mit dem spannungsm¨aßig hohen Meßpotential verbunden und eine mechanisch bewegliche, meist drehbar gelagerte Elektrode auf Massepotential gelegt (Abb. 6.13). Das aus der Coulombschen Anziehungskraft resultierende Drehmoment ~ el l¨aßt sich auf der Basis des Energieerhaltungssatzes berechnen, demzufolge M sich die Zunahme der mechanischen Energie Emech aus der Abnahme der elektrischen Energie Eel ergibt bewegliche Platte α

a)

feststehende Platte (Stator)

∆x

U b)

Abb. 6.13. Elektrostatisches Meßwerk: a) Prinzip, b) Symbol

134

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

dEmech = −dEel .

(6.65)

Die elektrische Energie Eel entspricht der Energie, die im Kondensator gespeichert ist, w¨ahrend sich die mechanische aus dem Produkt von Drehmoment ~ el und Drehwinkel α errechnet. Mit Gl. (6.65) folgt M Mel dα =

1 2 u dC , 2

(6.66)

wobei u die am Meßwerk anliegende Spannung und C die Kapazit¨at zwischen den Elektroden bezeichnen. Infolge des mit Federkraft erzeugten R¨ uckstellmomentes Mmech = Dα (6.67) ergibt sich der Ausschlagwinkel α aus der Gleichgewichtsbedingung (Mmech + Mel = 0) 1 dC 2 α= u = k(α)u2 . (6.68) 2D dα Bei angelegter Wechselspannung zeigt das Ger¨at den quadrierten Effektivwert der Spannung an, falls das Meßwerk als mechanisch tr¨age gegen¨ uber der Wechselspannungsfrequenz bezeichnet werden kann. Diese Tatsache kann wiederum analog zu Gl. (6.47) abgeleitet werden. Durch spezielle Plattengeometrien kann der Zusammenhang zwischen dem Ausschlagwinkel α und der angelegten Spannung u linearisiert werden. Absolute elektrostatische Hochspannungsmesser beruhen auf der Messung der Anziehungskraft zwischen parallelen Kondensatorplatten. Dabei werden Meßgenauigkeiten im Bereich von 0,01 % erreicht [137]. Der ohmsche Innenwiderstand elektrostatischer Meßwerke liegt in der Gr¨oßenordnung 1012 bis 1014 Ω. Die Hochfrequenztauglichkeit wird allerdings durch den mit der Frequenz zunehmenden Blindstrom sowie den ebenfalls

Abb. 6.14. Aufbau eines elektrostatischen Meßwerkes, das auf der Influenz von Ladungen basiert.

6.1 Elektromechanische Meßger¨ ate

135

parasit¨aren Einfluß der Zuleitungsinduktivit¨ aten begrenzt. Eine besondere Bauform eines elektrostatischen Hochspannungsmeßwerkes wird in Abb. 6.14 gezeigt. Es beruht auf der Influenz von Ladung auf der beweglichen Rotorelektrode, die u ¨ber die Drehfeder geerdet ist. Die D¨ampfung des Meßwerkes wird bei dieser Bauform durch Luftkammerd¨ampfung erzielt, also eine durch die Bewegung der Rotorplatte hervorgerufene Str¨omungsd¨ampfung. 6.1.8 Schaltzeichen f¨ ur Meßger¨ ate In Tabelle 6.1 sind die f¨ ur den Bereich der elektromechanischen Meßger¨ate wichtigsten Schaltzeichen und Symbole zusammengefaßt. Tabelle 6.1. Symbole f¨ ur Meßger¨ ate nach VDE 0410 und DIN 43802

136

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung In diesem Abschnitt wird die direkte Messung von Gleichstrom und Gleichspannung mit Hilfe von Strom- und Spannungs-Meßwerken beschrieben. 6.2.1 Messung von Gleichstr¨ omen Die Messung des Gleichstromes in einem Zweig eines beliebigen, aus ohmschen Widerst¨anden, Gleichspannungs- und Gleichstromquellen zusammengesetzten linearen Netzwerkes kann nach dem in Abb. 6.15 gezeigten Prinzip der Ersatzspannungsquelle ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit auf das in Abb. 6.16 dargestellte Problem reduziert werden. Wenn der Meßzweig aus dem Widerstand RL besteht und das restliche Netzwerk durch die Spannungsquelle (mit Leerlaufspannung UQ und Innenwiderstand RQ ) ersetzt wird, l¨aßt sich der zu messende Strom IL mit einem idealen, d. h. widerstandslosen (RM = 0) Strommesser exakt bestimmen IL =

UQ . RQ + RL

(6.69)

Bei einem realen Meßger¨ at fließt infolge des endlichen Innenwiderstandes RM des Meßger¨ates nicht mehr der urspr¨ unglich zu messende Strom IL (wahrer

¨ Abb. 6.15. Aquivalenz von einem Tor eines linearen Netzwerkes und einer Ersatzspannungsquelle bzw. einer Ersatzstromquelle

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung

137

Abb. 6.16. Strommessung in einem Zweig eines Gleichstromnetzwerkes

Wert), sondern der geringere Strom IL′ IL′ =

UQ . RQ + RL + RM

(6.70)

Nur f¨ ur RM ≪ (RQ + RL ) wird n¨ aherungsweise der wahre Wert gemessen (IL′ ≈ IL ), ansonsten f¨ uhrt der endliche Innenwiderstand des Meßger¨ates bei der Strommessung zu einem Belastungsfehler. Dies ist ein systematischer Meßfehler, der sich wie folgt ermitteln l¨ aßt. F¨ ur den vereinfachten Fall RL = 0 (Kurzschluß) berechnen sich der wahre Wert IL und der tats¨achlich gemessene Wert IL′ zu IL =

UQ RQ

(6.71)

IL′ =

UQ . RQ + RM

(6.72)

Der relative Meßfehler fI betr¨ agt in diesem Fall also fI =

IL′ − IL −1 = . RQ IL 1 + RM

(6.73)

Bei unbekanntem Innenwiderstand der Quelle RQ , muß dieser vor einer Fehlerermittlung bzw. -korrektur nach Gl. (6.73) ebenfalls gemessen werden. Dies kann im (theoretisch vereinfachten) Fall durch Messung von Leerlaufspannung UQ und Kurzschlußstrom IK der Ersatzspannungsquelle geschehen. Der Innenwiderstand RQ ergibt sich bei Messungen von UQ und IK mit idealen Meßwerken zu UQ . (6.74) RQ = IK F¨ ur den allgemeinen Fall RL 6= 0 ist RQ durch (RQ + RL ) zu ersetzen. Das negative Vorzeichen in Gl. (6.73) bedeutet, daß infolge des systematischen Fehlers bei der Strommessung stets ein zu niedriger Wert gemessen wird. Man kann aus Gl. (6.73) bzw. der entsprechenden graphischen Darstellung (Abb. 6.17) als Regel ableiten, daß bei der Strommessung der Innenwiderstand des

138

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.17. Betrag des relativen Fehlers fI bei der Strommessung als Funktion von RQ /RM . RM : Meßger¨ ateinnenwiderstand, RQ : Innenwiderstand der Ersatzspannungsquelle

Meßger¨ates m¨oglichst klein sein sollte. Bei bekannten Innenwiderst¨anden RMU bzw. RMI von Spannungs- bzw. Strommeßwerk kann RQ aus der mit systema′ ′ tischen Fehlern behafteten Spannung UQ (UQ ist der Meßwert, den ein an die Klemmen der Ersatzspannungsquelle angeschlossenes Spannungsmeßwerk mit ′ ′ Innenwiderstand RMU anzeigt) und dem Strom IK (IK ist der Meßwert, den ein an die Klemmen der Ersatzspannungsquelle angeschlossenes Strommeßwerk mit Innenwiderstand RMI anzeigt) ermittelt werden. Die entsprechende Fehlerkorrektur liefert den exakten Wert von RQ   U′ RMU RMI − I ′Q K . (6.75) RQ = ′ UQ − R ′ MU I K

Meßbereichserweiterung f¨ ur die Strommessung Zur Messung von Str¨ omen, welche den Meßbereich des unbeschalteten Meßwerkes u ¨bersteigen, sind entsprechende Maßnahmen zur Meßbereichserweiterung zu treffen. Drehspulmeßwerke beispielsweise haben, je nach Auslegung, Endbereichswerte von nur IMend = 10 µA...100 mA bei einem Spannungsabfall von UMend = 2 mV...200 mV. Praktische Meßger¨ate hingegen weisen mehrere umschaltbare Meßbereiche auf, so daß auch wesentlich h¨ohere Str¨ome mit einund demselben Instrument gemessen werden k¨onnen. Um einen Strommesser f¨ ur einen h¨oheren Meßbereich vorzubereiten, wird dem Meßwerk ein Widerstand RP , ein sogenannter Shunt, parallel geschaltet (Abb. 6.18). Wegen der Parallelschaltung der Widerst¨ ande RM und RP gilt RM IM = RP IP = RP (I − IM ) .

(6.76)

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung

IM

139

RM

IP I

RP

Abb. 6.18. Meßbereichserweiterung f¨ ur die Strommessung

Damit kann die Dimensionierung von RP f¨ ur einen geforderten Meßbereichsendwert Iend = vi IMend nach folgender Formel erfolgen RP = RM

IMend RM = . Iend − IMend vi − 1

(6.77)

In Gl. (6.77) bezeichnet IMend den Strom durch das Meßwerk bei Vollausschlag und vi den Faktor, um den der Strommeßbereich erweitert wird. Abbildung 6.19 zeigt die Schaltung eines Vielfachmeßger¨ ates f¨ ur Strom mit den Meßbereichsendwerten 1 mA, 10 mA und 0,1 A. Durch die gezeigte Schaltung (Abb. 6.19) wird vermieden, daß der Kontaktwiderstand des Schalters das Verh¨altnis RM /RP beeinflußt.

Abb. 6.19. Vielfachmeßger¨ at zur Strommessung (IMend =0,1 mA; Iend = 1 mA bis 0,1 A)

6.2.2 Messung von Gleichspannungen Meßwerke, die der Strommessung dienen, k¨ onnen prinzipiell auch zur Spannungsmessung eingesetzt werden, indem der bei Anlegen einer Spannung U an das Meßwerk fließende Strom mit dem Innenwiderstand RM multipliziert und als Spannung ausgegeben wird. Abbildung 6.20 zeigt die entsprechende Meßschaltung. F¨ ur eine nicht vorhandene Last (RL → ∞) kann folgende Maschengleichung angegeben werden IM RQ + IM RM − UQ = 0 . Daraus folgt

(6.78)

140

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.20. Spannungsmessung in einem Zweig eines Gleichstromnetzwerkes

IM RM = UM = UQ − IM RQ .

(6.79)

−1 UM − UQ = . M UQ 1+ R RQ

(6.80)

Der relative Meßfehler fU (Belastungsfehler) betr¨agt somit fU =

F¨ ur den Fall eines endlichen Lastwiderstandes RL verringert sich der relative Meßfehler fU , da anstatt RQ in Gl. (6.80) jetzt der geringere Wert der Parallelschaltung von RQ und RL einzusetzen ist fU =

−1 + 1+ RM RQ

RM RL

=

−1

1 + RM

RQ +RL RQ RL

.

(6.81)

Abbildung 6.21 zeigt den Betrag des relativen Meßfehlers bei der Spannungsmessung. Aus den Gln. (6.80) und (6.81) und der entsprechenden graphischen Darstellung kann die Regel abgeleitet werden, daß bei der Spannungsmessung der Innenwiderstand des Meßger¨ ates m¨ oglichst groß sein sollte.

Abb. 6.21. Betrag des relativen Fehlers fU bei der Spannungsmessung als Funktion von RM /RQ . RM Meßger¨ ateinnenwiderstand; RQ Innenwiderstand der Quelle, deren Leerlaufspannung gemessen wird.

6.2 Messung von Gleichstrom und Gleichspannung

141

Meßbereichserweiterung f¨ ur die Spannungsmessung Durch Vorschalten eines Pr¨ azisionswiderstandes RS kann eine Erweiterung des Spannungsmeßbereiches erfolgen (Abb. 6.22). F¨ ur einen geforderten Meßbereichsendwert von Uend = vu UMend folgt f¨ ur die Dimensionierung von RS RS =

vu − 1 RM . vi

(6.82)

Abb. 6.22. Meßbereichserweiterung f¨ ur die Spannungsmessung

F¨ ur den Fall, daß keine Strommeßbereichserweiterung (vi = 1 bzw. RP → ∞) vorgenommen wird, gilt RS = (vu − 1)RM =

Uend − RM . IMend

(6.83)

Durch Vorschalten von Widerst¨ anden kann das in (Abb. 6.19) gezeigte Strommeßger¨at zu einem Universal-Vielfachmeßger¨at aufger¨ ustet werden (Abb. 6.23). Es ist anzumerken, daß der Innenwiderstand von Spannungsmeßger¨aten meistens auf den Meßbereichsendwert bezogen wird. Die Angabe 100 kΩ/V beispielsweise bedeutet, daß im Meßbereich mit dem Endwert 10 V der Innenwiderstand des Ger¨ ates 1 MΩ betr¨ agt.

Abb. 6.23. Universal-Vielfachmeßger¨ at f¨ ur Spannung und Strom

142

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

6.2.3 Gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung Bei der gleichzeitigen Messung von Strom und Spannung ergeben sich zus¨atzliche Fehler. Es gibt zwei M¨ oglichkeiten der Schaltungsanordnung. Bei der Variante nach Abb. 6.24a wird die Generatorspannung UM sowie der Laststrom IL pseudokorrekt angezeigt, bei der Variante nach Abb. 6.24b hingegen wird die Lastspannung UL sowie der Generatorstrom IQ pseudorichtig gemessen. Der Begriff pseudokorrekt“ bzw. pseudorichtig“ soll aussagen, ” ” daß die entsprechenden Meßwerke zwar die aktuelle Meßgr¨oße richtig messen, daß jedoch durch das Vorhandensein eines realen (nicht-idealen) Meßwerkes die urspr¨ ungliche Meßgr¨ oße infolge des oben besprochenen Belastungsfehlers verf¨alscht wird.

Abb. 6.24. Gleichzeitige Messung von Strom und Spannung: a) Messung pseudokorrekt f¨ ur Generatorspannung UM und Laststrom IL , b) Messung pseudokorrekt f¨ ur Lastspannung UL und Generatorstrom IQ

Bei den nicht pseudokorrekt“ gemessenen Gr¨oßen hingegen wird noch nicht ” einmal die aktuelle Gr¨ oße richtig angezeigt. So wird beispielsweise bei der Schaltungsvariante nach Abb. 6.24a die aktuelle Lastspannung UL vom Spannungsmesser nicht erfaßt. F¨ ur die Schaltungsvariante nach Abb. 6.24a ergibt sich folgender relativer Meßfehler fIL bei der Bestimmung des Laststromes IL fIL = −

RQ RL + RMI (RMU + RQ ) . RMU RQ + (RMI + RL )(RMU + RQ )

(6.84)

F¨ ur die Schaltungsvariante nach Abb. 6.24b hingegen errechnet sich der relative Fehler bei der Strommessung zu fIL = −

RQ RL + RMI (RMU + RL ) . RMU RL + (RMI + RQ )(RMU + RL )

(6.85)

Bei den relativen Meßfehlern nach den Gln. (6.84) und (6.85) ist als wahrer Wert stets derjenige Laststrom angenommen, welcher bei nicht vorhandenen bzw. idealen Meßger¨ aten fließen w¨ urde.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

143

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung 6.3.1 Begriffsdefinitionen Es sei vorausgeschickt, daß die folgenden Definitionen gleichermaßen f¨ ur eine elektrische Spannung u(t) und f¨ ur einen elektrischen Strom i(t) gelten. Eine Wechselspannung u(t) mit sinusf¨ ormigem Zeitverlauf wird durch Gl. (6.86) b den Scheitelwert der Wechselspannung, ω = 2πf ihre beschrieben, wobei U Kreisfrequenz (Einheit (s−1 )), f die Frequenz der Wechselspannung (Einheit (Hz)) und ϕ den Phasenwinkel (Einheit (rad)) bezeichnen b sin(ωt + ϕ) . u(t) = U

(6.86)

In der Meßtechnik sind folgende Gr¨ oßen von Bedeutung: •

Arithmetischer Mittelwert u=

• •

1 T

Z

1 T

Z

Gleichrichtwert |u| =

T

u(t) dt

(6.87)

|u(t)| dt

(6.88)

0

0

T

Effektivwert (quadratischer Mittelwert) s Z 1 T 2 Ueff = u (t) dt . T 0

(6.89)

Eine Gleichspannung mit U = Ueff setzt in einem Verbraucher (ohmscher Widerstand) die gleiche Leistung um wie die Wechselspannung mit dem Effektivwert Ueff . In den Gln. (6.87 - 6.89) versteht man unter T = 1/f die Periodendauer der Wechselspannung (Einheit (s)). Es sei ausdr¨ ucklich darauf hingewiesen, daß obige Definitionsgleichungen auch auf nicht-sinusf¨ormige Zeitverl¨aufe angewendet werden d¨ urfen, solange das Signal periodisch ist. Sie gelten beispielsweise auch f¨ ur Wechselspannungen mit u ¨berlagertem Gleichanteil. Wie man den Effektivwert von Signalen ermittelt, die nicht periodisch sind, wird in Kap. 13.4.1 behandelt. Weiterhin sind definiert: •

Scheitelfaktor Scheitelfaktor (crest factor) = C =

•

Formfaktor Formfaktor = F =

b U Scheitelwert = Effektivwert Ueff

Ueff Effektivwert = . Gleichrichtwert |u|

(6.90)

(6.91)

144

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

√ F¨ ur rein sinusf¨ormige √ Gr¨ oßen betr¨ agt der Scheitelfaktor C = 2 und der Formfaktor F = π/(2 2) = 1, 11. Setzt sich eine Spannung uges (t) aus ei¨ ner Uberlagerung von n Teilspannungen ui (t) (Gleichspannungen oder Wechselspannungen mit sinusf¨ ormigem Zeitverlauf und Frequenzen, die in einem ganzzahligen Verh¨ altnis stehen) zusammen uges (t) =

n X

ui (t) ,

(6.92)

i=1

¨ so ergibt sich deren Effektivwert Ueffges aus der quadratischen Uberlagerung der Effektivwerte der Teilspannungen v u n uX 2 . Ueffges = t Uieff (6.93) i=1

Dies gilt insbesondere f¨ ur eine aus einem Gleich- (u ) und einem (reinen) Wechselanteil (u∼ ) zusammengesetzte Mischgr¨oße der Form u(t) = u + u∼ (t) .

(6.94)

Der Effektivwert des Wechselanteils U∼eff ergibt sich gem¨aß Definitionsgleichung (6.89) zu s Z 1 T 2 u (t) dt . (6.95) U∼eff = T 0 ∼

Der Effektivwert der Mischspannung Ugeseff l¨ aßt sich schließlich anhand von Gl. (6.93) berechnen q 2 Ueffges = u 2 + U∼eff . (6.96)

In diesem Zusammenhang sollen auch die folgenden Gr¨oßen definiert werden: •

Schwingungsgehalt s

•

Welligkeit w

s=

U∼eff Ueffges

(6.97)

U∼eff . (6.98) u Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß alle obigen Definitionen in analoger Weise f¨ ur einen Wechselstrom i(t) gelten. w=

6.3.2 Gleichrichtung Zur Messung von Wechselgr¨ oßen mit Hilfe der in der elektrischen Meßtechnik vorzugsweise eingesetzten Meßwerke ben¨ otigt man Schaltungen zur Gleichrichtung des Meßstromes bzw. der Meßspannung. In diesen Schaltungen verwendet man heute im allgemeinen Halbleiterdioden, die der Einweg- bzw. der Zweiweg-Gleichrichtung der elektrischen Wechselgr¨oßen dienen.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

145

Einweg-Gleichrichtung Wenn bei der Messung einer Wechselspannung eine Halbwelle unterdr¨ uckt werden soll, so ist die Gleichrichtung mit einer einfachen Diode zu bewerkstelligen. Die Anordnung nach Abb. 6.25 mißt den halben Gleichrichtwert der angelegten Spannung bzw. des Stromes. Genaugenommen ist noch das nicht-ideale Diodenverhalten in Form des Diodeninnenwiderstandes sowie der Schwellenspannung von 0,7 V (bei Siliziumdioden) zu ber¨ ucksichtigen, die im

Abb. 6.25. Messung des halben Gleichrichtwertes einer Wechselspannung mit Hilfe eines Drehspulmeßger¨ ates

Durchlaßbetrieb stets an der Diode abf¨ allt. Aus dem nicht-idealen Diodenverhalten (s. dazu die Kennlinien (ideal, idealisiert und real) einer Siliziumdiode in Abb. 6.26) resultiert das in Abb. 6.27 gezeigte Ersatzschaltbild einer Halbleiterdiode, das aus einer Serienschaltung von idealer Diode, Diodeninnenwiderstand und einer Spannungsquelle, welche die Schwellenspannung1 repr¨asentiert, besteht. Die Schwellenspannung von typischen Siliziumdioden betr¨agt ca. 0,7 V. Die Schwellenspannung von Germanium- und auch Schottky-Dioden [157] liegen bei 0,3 V. Die parasit¨ are Parallelkapazit¨at (= Sperrschichtkapazit¨at) Cg wirkt sich bei h¨ oheren Frequenzen (typischerweise oberhalb 10 kHz) aus, indem sie die Diode f¨ ur hochfrequente Str¨ ome u uckt und damit zum ¨berbr¨ Teil ihre Gleichrichterwirkung aufhebt. iD

iD reale Kennlinie

ideale Diode uD

idealisierte Kennlinie 0,7 V

uD

Abb. 6.26. Kennlinie einer Siliziumdiode (ideal, idealisiert und real)

1

Die Schwellenspannung wird auch als Durchlaßspannung, Schleusenspannung oder Kniespannung bezeichnet.

146

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

0,7 V iD

Cg

uD

Abb. 6.27. Ersatzschaltbild einer Siliziumdiode

Zweiweg-Gleichrichtung (Vollweg-Gleichrichtung) Die Graetz-Schaltung (Abb. 6.28) erm¨ oglicht die vollst¨andige Gleichrichtung beider Halbwellen, womit der vollst¨ andige Gleichrichtwert mit Hilfe eines Drehspulmeßger¨ates gemessen wird. Bei dieser Schaltung sind stets zwei der vier Dioden in Durchlaßrichtung geschaltet, so daß die am Meßger¨at anliegende Spannung uM im Vergleich zur Eingangsspannung u∼ um den doppelten Wert der Diodenschwellenspannung reduziert wird (Abb. 6.28b). Bei Anliegen der positiven Halbwelle sind die Dioden D1 und D4 leitend, w¨ahrend hingegen bei der negativen Halbwelle die Dioden D2 und D3 leiten.

Abb. 6.28. a) Graetz-Schaltung zur Erfassung beider Halbwellen bei der Gleichrichtung, b) Spannungsverlauf

6.3.3 Messung des Scheitelwertes (Spitzenwert, Peak Value) Der Scheitelwert US (Spitzenwert, Peak Value) ist der innerhalb eines definierten Zeitraumes betragsm¨ aßig gr¨ oßte Wert des Signals. Bei unsymmetrischem Kurvenverlauf gilt ˆ = max{U ˆ+ , U ˆ− } , US = U (6.99)

ˆ+ und U ˆ− die im positiven bzw. negativen Amplitudenbereich liegenwobei U ˆ+ ≥ 0 und U ˆ− ≥ 0). Zur Messung des positiven den Spitzenwerte sind (U ˆ+ ) dient die Schaltung nach Abb. 6.29. Es wird Spannungs-Scheitelwertes (U hierbei der Ladekondensator auf den Spitzenwert der angelegten Spannung

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

147

Abb. 6.29. Schaltung zur Messung des Spannungs-Spitzenwertes (bei symmetrischem Spannungsverlauf)

aufgeladen und vom Meßger¨ at gemessen. Zur Messung des negativen Spitzenˆ− muß lediglich die Diode in der Meßschaltung (Abb. 6.29) umgewertes U polt werden. Die durch das Meßger¨ at verursachten Ladungsverluste werden durch kurzzeitige Ladestr¨ ome, die je Periode einmal auftreten, ausgeglichen (Abb. 6.30). Zur exakten Messung des Spitzenwertes werden daher vorwiegend Ger¨ate mit elektronischem Eingangsverst¨arker eingesetzt, welche sehr hohe Eingangsimpedanzen aufweisen.

Abb. 6.30. Spannungsverlauf bei der Spitzenwertgleichrichtung nach Abb. 6.29

Zur Messung des Spitzenwertes von Spannungen mit unsymmetrischem Kurvenverlauf eignet sich die sog. Villard-Schaltung (Abb. 6.31), die auch als ein-stufige Kaskadenschaltung bezeichnet wird. Die beiden Dioden laden den Kondensator C2 auf die Summe der Betr¨ age von positivem und negativem Spitzenwert auf. Es handelt sich also um die Messung des Spitze-Spitze-Wertes (Peak to Peak Value) USS ˆ+ + U ˆ− . USS = U

(6.100)

Die Schaltung funktioniert so, daß w¨ ahrend der negativen Halbwelle nur die Diode D1 leitet und den Kondensator C1 auf den negativen Spitzenwert aufl¨adt

148

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.31. Villard-Schaltung zur Messung des Spitze-Spitze-Wertes USS (Peak to Peak Value) bei Spannungen mit unsymmetrischem Kurvenverlauf

ˆ− . uC1 = U

(6.101)

W¨ahrend der positiven Halbwelle leitet D2 und l¨adt die Kapazit¨at C2 am Ausgang auf die Spannung ˆ+ = U ˆ− + U ˆ+ uA = uC1 + U

(6.102)

auf. In praktischen Schaltungen sind allerdings noch die Diodenschwellenspannungen und die Entladung durch den Innenwiderstand des angeschlossenen Spannungsmeßwerkes zu ber¨ ucksichtigen. Die Villard-Schaltung kann also bei gew¨ohnlicher symmetrischer Eingangsspannung zur Spannungsverdopplung eingesetzt werden. Sie l¨ aßt sich aber auch in Form einer mehrstufigen Kaskadenschaltung aufbauen, so daß in jeder Stufe die Spannung verdoppelt wird. Allerdings treten dabei relativ hohe Innenwiderst¨ande auf. Die in Abb. 6.32 gezeigte Delon-Schaltung eignet sich ebenfalls zur Messung des Spitze-Spitze-Wertes USS . W¨ ahrend der positiven Halbwelle wird C1 ˆ u ber D auf U aufgeladen, w¨ a hrend in der negativen Halbwelle die Span¨ 1 + ˆ− ansteigt, so daß sich als Ausgangsspannung nung am Kondensator C2 auf U uA wiederum der nach Gl. (6.100) definierte Spitze-Spitze-Wert USS ergibt. Die Delon-Schaltung wird auch als Greinacher-Schaltung oder als doppelte Einweg-Gleichrichterschaltung bezeichnet.

Abb. 6.32. Delon-Schaltung zur Messung des Spitze-Spitze-Wertes USS

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

149

6.3.4 Messung des Gleichrichtwertes Prinzipiell l¨aßt sich die Bestimmung des Gleichrichtwertes von Wechselgr¨oßen mit Hilfe eines Doppelweggleichrichters durchf¨ uhren. Nachteilig wirkt sich allerdings die Nichtlinearit¨ at der Dioden aus. Es besteht außerdem das Problem, daß die Diodenschwellenspannung zweifach vorhanden ist. Aus diesen Gr¨ unden ist die Schaltungsvariante nach Abb. 6.34a g¨ unstiger, bei der in Reihe mit dem Meßger¨ at jeweils eine Diode und ein Vorwiderstand RV liegen. Der Vorwiderstand dient der in Abb. 6.33 erl¨ auterten Linearisierung der Kennlinie. Da jedoch ein Teil des Stromes am Meßwerk vorbeifließt, werden f¨ ur Wechselgr¨oßen sowohl die Empfindlichkeit des Meßger¨ates als auch sein Innenwiderstand geringer. Dies belegt das Beispiel eines Standard-Meßger¨ates, dessen Innenwiderstand mit RM = 33 kΩ/V f¨ ur Gleichstrom und RM = 10 kΩ/V f¨ ur Wechselstrom angegeben wird.

Abb. 6.33. Linearisierung einer Diodenkennlinie durch eine Serienschaltung mit einem hochohmigen Widerstand

Bei Verwendung eines Meßwandlers (Transformator mit Mittelanzapfung) (Abb. 6.34b) kann der Nachteil der Schaltungsvariante mit Vorwiderst¨anden (Abb. 6.34a) vermieden werden. Die bessere Linearit¨at erreicht man bei dieser Schaltung durch Hochtransformieren der Spannung (¨ u < 1), wodurch die Kennlinienkr¨ ummung der Diode einen geringeren Einfluß hat. Dies geht allerdings wiederum auf Kosten des Innenwiderstandes, denn der Transformator ¨ setzt diesen um den Faktor u¨2 herab (Zprim¨ar = Zsekund¨ar · u ¨2 ; u¨: Ubersetzungsverh¨altnis des Transformators; u¨ < 1, s. Abb. 6.34b). Außerdem lassen sich

150

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

u

iM

ü:1

RM u Z primär

a)

iM

RM

Z sekundär

b)

Abb. 6.34. Schaltungen zur Messung des Gleichrichtwertes von Spannungen: a) Br¨ uckenschaltung mit Dioden und Widerst¨ anden, b) Transformatorbr¨ ucke

Meßwandler nur zur Messung reiner Wechselspannungen (ohne Gleichanteil) einsetzen. 6.3.5 Messung des Effektivwertes Bei Verwendung eines Drehspulmeßwerkes in Verbindung mit den oben gezeigten Vollweg-Gleichrichterschaltungen mißt man den Gleichrichtwert |u| einer ur einen bekannten Zeitverlauf kann dieSpannung (bzw. eines Stromes |i|). F¨ ser Gleichrichtwert in einen Effektivwert umgerechnet werden. Bei entsprechender Kalibrierung zeigt das Ger¨ at dann den im allgemeinen interessierenden Effektivwert an. Meistens erfolgt diese Kalibrierung f¨ ur rein sinusf¨ormige Zeitverl¨aufe (Formfaktor F = 1,11). F¨ ur nicht sinusf¨ormige Meßgr¨oßen wird somit ein falscher Meßwert angezeigt. Das Dreheiseninstrument hingegen l¨ aßt sich unmittelbar zur Effektivwertmessung einsetzen. Es handelt sich hierbei um einen echten Effektivwertmesser, da das Meßwerk die Operationen Quadrieren und Mitteln bis zu Frequenzen in der Gr¨oßenordnung von 1 kHz ohne weitere Beschaltung durchf¨ uhrt. Bei Dreheiseninstrumenten ist allerdings zu beachten, daß ihr Innenwiderstand nicht rein ohmsch ist, sondern auch merkliche induktive Anteile enth¨alt. Dies kann aber durch Zuschalten von Kapazit¨ aten f¨ ur einen bestimmten Frequenzbereich wieder kompensiert werden. Auch das elektrodynamische Meßwerk kann zur Effektivwertmessung eingesetzt werden. Zur Messung des Stromeffektivwertes werden beide Spulen des Meßwerkes in der Regel parallel- oder auch in Reihe geschaltet. Aufgrund der mechanischen Tr¨ agheit bildet das Meßwerk den Mittelwert des Stromquadrates, d. h. der Ausschlagwinkel α seines Zeigers ergibt sich wie folgt α = ki2 .

(6.103)

Somit entsteht eine Anzeige, die dem quadratischen Mittelwert des Stromes und damit dem Quadrat des Effektivwertes proportional ist. Dabei ist allerdings darauf zu achten, daß die Innenwiderst¨ ande beider Pfade (feststehende Spule und Drehspule) klein gegen¨ uber dem Widerstand des Meßkreises sein

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

151

sollten, um die systematischen Belastungsfehler so gering wie m¨oglich zu halten. Verhalten von Standard-Zeigermeßwerken bei Wechselstrom In Tabelle 6.2 wird das Verhalten der Standard-Zeigermeßger¨ate im Wechselstromfall zusammengefaßt. Tabelle 6.2. Das Verhalten von Standard-Zeigermeßger¨ aten bei der Messung von Wechselgr¨ oßen Typ

Anzeige

Verwendung

Drehspulmeßwerk

α ∼ i(t) = ¯i

Universelles Meßwerk (hohe Empfindlichkeit)

Drehspulmeßwerk mit Gleichrichter

ate α ∼ |i(t)| ∼ |i|· Formfaktor i. allg. werden die Ger¨ mit einem Formfaktor F = 1, 11 f¨ ur rein sinusf¨ ormige Wechselgr¨ oßen kalibriert

elektrodynamisches Meßwerk

α ∼ i1 (t)i2 (t)

Leistungsmessung (Effektivwertmesser)

Dreheisenmeßwerk

2 α ∼ i(t)2 = Ieff

robustes Betriebsmeßger¨ at (Effektivwertmesser)

  Drehspulquotienten- α = arctan const. meßwerk = Kreuzspulinstrument

i2 (t) i1 (t)

Drehmagnetmeßwerk α = arctan(const. i(t))



Widerstandsmessung

robustes Betriebsmeßger¨ at

6.3.6 Meßwandler Meßwandler haben die prim¨ are Aufgabe, hohe Str¨ome bzw. Spannungen auf einfach meßbare Werte zu transformieren. Weiterhin werden sie aus Sicherheitsgr¨ unden eingesetzt, wenn das Meßger¨at galvanisch von den spannungsf¨ uhrenden Leitern getrennt werden soll, wie z. B. bei Messungen an ¨ Hochspannungsanlagen. Sie sind aber auch in der Lage, infolge ihrer Ubertragungseigenschaften bez¨ uglich hoher (Kurzschluß-) Str¨ome Schutzfunktionen auszu¨ uben. ¨ Meßwandler sind von ihrem Aufbau her Ubertrager bzw. Transformatoren, die aus einer auf einen gemeinsamen Eisenkern gewickelten Prim¨arspule mit Windungszahl N1 und einer Sekund¨ arspule mit Windungszahl N2 bestehen

152

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.35. Transformator

(Abb. 6.35). Das entsprechende, aus diskreten Schaltelementen bestehende allgemeine Ersatzschaltbild eines Transformators wird in Abb. 6.36 gezeigt. In diesem Ersatzschaltbild stellen die Widerst¨ ande R1 bzw. R2 die ohmschen Widerst¨ande von Prim¨ ar- bzw. Sekund¨ arwicklung dar, w¨ahrend R1E die Verluste im Eisenkern beschreibt. Die Induktivit¨ aten X1σ bzw. X2σ repr¨asentieren die Streuverluste auf der Prim¨ ar- bzw. Sekund¨ arseite. X1h ist die Prim¨arinduktivit¨at, die den Magnetisierungsstrom tr¨ agt. F¨ ur einen idealen Transformator gilt R1 = R2 = 0 X1σ = X2σ = 0

(6.104) (6.105)

X1h → ∞ R1E → ∞ .

(6.106) (6.107)

¨ Das Ersatzschaltbild beschr¨ ankt sich damit auf den idealen Ubertrager mit ¨ dem Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨. Die sekund¨ arseitig angeschlossene Lastimpedanz (RL , XL ) wird B¨ urde genannt. In Abb. 6.37 wird ein zu dem Ersatzschaltbild von Abb. 6.36 ¨ aquivalentes Netzwerk gezeigt. Es wurden hier jedoch alle sekund¨arseitig auftretenden Gr¨ oßen (Str¨ ome und Spannungen) und Elemente ¨ auf die Prim¨arseite umgerechnet; außerdem wurde die infolge des Ubertragers stets vorhandene Potentialtrennung zwischen Prim¨ar- und Sekund¨arseite nicht ber¨ ucksichtigt. Prinzipiell w¨ are auch ein weiteres Ersatzschaltbild denkbar, bei dem alle prim¨arseitigen Gr¨ oßen und Netzwerkelemente auf die Sekund¨arseite transformiert werden.

Abb. 6.36. Ersatzschaltbild eines Transformators. Der im Ersatzschaltbild enthal¨ ¨ tene Ubertrager (Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨: 1) weist ideale Eigenschaften auf.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

153

Abb. 6.37. Transformator-Ersatzschaltbild, bei dem alle sekund¨ arseitig auftretenden Gr¨ oßen und Elemente auf die Prim¨ arseite umgerechnet wurden.

Stromwandler Beim Stromwandler wird der zu messende (Wechsel-) Strom durch die Prim¨arwicklung des Transformators geschickt, w¨ ahrend die Sekund¨arwicklung im Idealfall von einem Strommeßwerk kurzgeschlossen wird (Abb. 6.38). F¨ ur ¨ einen idealen Stromwandler (Ubertrager) ergibt sich das Verh¨altnis von Prim¨ar¨ zu Sekund¨arstrom aus dem Ubersetzungsverh¨ altnis u ¨, dessen Kehrwert im Zusammenhang mit Meßwandlern meistens mit ki bezeichnet wird I1eff N2 1 = = = ki . I2eff N1 u ¨

(6.108)

Der Stromwandler ist also ein sekund¨ arseitig kurzgeschlossener bzw. niederohmig abgeschlossener Transformator, der nur aus wenigen Prim¨arwindungen besteht. Der Transformator ist i. allg. so ausgelegt, daß bei prim¨arem Nennstrom I1 = INenn der Sekund¨ arstrom I2 = 5 A bzw. I2 = 1 A betr¨agt. Bei hohen Prim¨arstr¨omen I1 > 500 A gen¨ ugt prim¨ arseitig meist eine Windung. Der Kern eines Stromwandlers ist lediglich f¨ ur den relativ geringen Differenzfluß bemessen, da der vom Prim¨ arstrom erzeugte magnetische Fluß im Falle des niederohmigen sekund¨ arseitigen Abschlusses bzw. Kurzschlusses von dem vom Sekund¨ arstrom herr¨ uhrenden Gegenfluß kompensiert wird. Eine Auftrennung des Sekund¨ arkreises h¨ atte zur Folge, daß der gesamte Prim¨arfluß pl¨ otzlich vom Kern aufgenommen werden m¨ ußte, was leicht zu thermischer ¨ ¨ Uberlastung f¨ uhren kann. Gleichzeitig w¨ urde eine sich aus dem Ubersetzungsverh¨altnis ergebende hohe Spannung an den Sekund¨arklemmen anliegen.

Abb. 6.38. Stromwandlerschaltung mit standardm¨ aßiger Bezeichnung der Anschlußklemmen. K, L: Prim¨ aranschlußklemmen; k, l: Sekund¨ aranschlußklemmen.

154

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

¨ Um Spannungs¨ uberschl¨ age und Uberhitzung zu vermeiden, d¨ urfen Stromwandler daher sekund¨ arseitig nicht im Leerlauf betrieben werden. Oft werden ¨ aus diesem Grund Uberspannungsableiter an Stromwandlern angebracht. Abbildung 6.39 zeigt einen handels¨ ublichen Durchsteck-Stromwandler. Bei dieser Ausf¨ uhrungsform wird der den Meßstrom tragende Leiter durch den Meßumformer gesteckt. Dabei wird der Leiter von einem Sondenkern, auf den eine Sondenspule gewickelt ist, umschlossen. Dieses Funktionsprinzip ist prinzipiell identisch mit dem einer Strommeßzange f¨ ur Wechselstrom (s. Kap. 6.3.7).

Abb. 6.39. Durchsteck-Stromwandler f¨ ur Schienenmontage mit ki = 8 (s. Gl. (6.108)) und prim¨ arseitigen Nennstrom von I1eff =40 A.

Fehler des Stromwandlers Der Fehler des Stromwandlers ist bei gegebenem Prim¨arstrom I1 die Abweichung des mit der Nenn¨ ubersetzung kNi multiplizierten Sekund¨arstromes I2 vom Prim¨arstrom. Der relative Fehler betr¨ agt fi =

I2ist − I2soll I2eff kNi − I1eff 100% = 100% . I2soll I1eff

(6.109)

Neben diesem in Gl. (6.109) angegebenen Betragsfehler gibt es noch einen Winkelfehler. Der entsprechende Fehlwinkel δi ist die Voreilung des Sekund¨arstromes gegen¨ uber dem Prim¨ arstrom. Beide Fehler (Betragsfehler und Winkelfehler) lassen sich dem Zeigerdiagramm entnehmen, welches in Abb. 6.40

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

155

I1R1 j . I1X1σ

U1

U1h ü.I2R2 ü .U2

ü. j.I2 X2 σ I2 ü δi

Iµ

I1h

Iµ

I1

I1E φ

Abb. 6.40. Zeigerdiagramm eines Stromwandlers. I µ entspricht dem Magnetisierungsstrom (= Prim¨ arstrom bei sekund¨ arseitigem Leerlauf).

gezeigt ist. Man kann diesem Diagramm auch entnehmen, daß der Fehler des Stromwandlers mit dem magnetischen Fluß bzw. dem Magnetisierungsstrom I µ zunimmt. ¨ aus Der Magnetisierungsstrom I µ ergibt sich als vektorielle Uberlagerung dem eigentlichen Magnetisierungsstrom I 1h und dem entsprechenden Verluststrom I 1E (Abb. 6.36 und 6.37). Durch geeignete Dimensionierung und Materialauswahl wird daher versucht, den Magnetisierungsstrom klein zu halten. Die f¨ ur Stromwandler standardisierten Fehlerklassen sind in Tab. 6.3 notiert. Die jeweilige Fehlerklasse beziffert den maximalen relativen Betragsfehler nach Gl. (6.109) in Prozent, w¨ ahrend der zul¨ assige Winkelfehler von der aktuellen Belastung durch die B¨ urde abh¨ angt. Mit Hilfe der Operationsverst¨arkerschaltung nach Abb. 6.41 kann der mit dem Magnetisierungsstrom gekoppelte Fluß ann¨ahernd zu Null abgeglichen werden, so daß die Stromwandlerfehler sehr klein werden, wenn es gelingt, die Streuverluste sowie die Windungsverluste Tabelle 6.3. Fehlerklassen und Winkelfehler f¨ ur Meßwandler bei 25 bis 100 % Nennb¨ urde Stromwandler Winkelfehler Spannungswandler Winkelfehler in Bogenminuten in Bogenminuten Fehlerklasse bei 1 . . . 1, 2Inenn Fehlerklasse 0, 1Inenn bei 0, 8 . . . 1, 2Unenn 0,1 0,2 0,5 1

5 10 30 60

0,1 0,2 0,5 1

5 10 20 40

156

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Abb. 6.41. Fehlerkompensierende Stromwandlerschaltung; P r: Prim¨ arwicklung; Se: Sekund¨ arwicklung; F u ¨: F¨ uhlerwicklung; R: (rein) ohmscher Widerstand.

ebenfalls klein zu halten [149]. Der in der Schaltung verwendete ohmsche Widerstand sollte eine m¨ oglichst geringe parasit¨ are Kapazit¨at bzw. Induktivit¨at aufweisen, weil eventuelle Blindanteile einen entsprechenden Winkelfehler verursachen. Spannungswandler Beim Spannungswandler wird die zu messende Wechselspannung an die Prim¨ arwicklung des Transformators gelegt, w¨ ahrend an die Sekund¨arwicklung ein Spannungsmesser mit sehr hohem Innenwiderstand angeschlossen wird (Abb. ¨ 6.42). F¨ ur einen idealen Spannungswandler (idealer Ubertrager) ergibt sich ¨ das Verh¨altnis von Prim¨ ar- zu Sekund¨ arspannung wiederum aus dem Ubersetzungsverh¨altnis u ¨, das bei Spannungswandlern meistens mit ku bezeichnet wird U1eff N1 = =u ¨ = ku . (6.110) U2eff N2 Spannungswandler sind also sekund¨ arseitig im Leerlauf betriebene bzw. sehr hochohmig abgeschlossene Transformatoren. Die Sekund¨arspannung betr¨agt bei prim¨arseitig angelegter Nennspannung im Falle standardm¨aßiger Auslegung U2 = 100 V.

Abb. 6.42. Spannungswandlerschaltung mit standardm¨ aßiger Bezeichnung der Anschlußklemmen. U , V : Prim¨ aranschlußklemmen; u, v: Sekund¨ aranschlußklemmen.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

157

Fehler des Spannungswandlers Der Spannungsfehler eines Spannungswandlers ist bei gegebener Prim¨arspannung U1 die Abweichung der mit der Nenn¨ ubersetzung kNu multiplizierten Sekund¨arspannung U2 von der Prim¨ arspannung. Der entsprechende relative Fehler fu betr¨agt fu =

U2eff kNu − U1eff U2ist − U2soll 100% = 100% . U2soll U1eff

(6.111)

Abb. 6.43. Zeigerdiagramm eines Spannungswandlers

Sowohl dieser Betragsfehler als auch der ihm zugeordnete Winkelfehler (Winkel zwischen dem Spannungszeiger U 1 (Prim¨arspannung) und dem Spanarspannung)) sind dem Zeigerdiagramm des Spannungszeiger U 2 (Sekund¨ nungswandlers (Abb. 6.43) zu entnehmen. Aus dem Zeigerdiagramm ist ersichtlich, daß der Fehler des Spannungswandlers sowohl vom Wandler selbst als auch von der B¨ urde abh¨ angt. Denn mit Ver¨andern der B¨ urde ¨andert sich der Stromzeiger I 2 und somit das Teilzeigerdiagramm, bestehend aus den ¨I 2 R2 , j¨ uI 2 X2σ und U 1h , und damit letztlich auch der Fehler. Zeigern u¨U 2 , u Die Genauigkeitsklassen beziffern wiederum den zul¨assigen relativen Spannungsfehler fu nach Gl. (6.111) in Prozent. Der entsprechende Spannunsfehlwinkel δu ist in Tab. 6.3 notiert. F¨ ur Meßspannungen oberhalb 200 kV verwendet man kapazitive Spannungsteiler, welche die Hochspannung auf etwa 10 % ihres urspr¨ unglichen Wertes herabsetzen (Abb. 6.44). Die nachgeschaltete Drossel wird so bemessen,

Spannungswandler C1 Drossel

U1 C2

U2

Abb. 6.44. Grundschaltung des Spannungswandlers mit kapazitiver Teilung zur Messung sehr hoher Spannungen. C1 , C2 : Hochspannungs-Kondensatoren.

158

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

daß bei Nennfrequenz im Meßkreis Resonanz herrscht [141]. Die zu messende at anliegende Spannung U 2 haben Spannung U 1 und die am Spannungsmeßger¨ in diesem Fall dieselbe Phasenlage. 6.3.7 Strommeßzange f¨ ur Wechselstrom Strommeßzangen sind potentialfrei arbeitende Strommesser, die nach dem Induktionsprinzip arbeiten. Es handelt sich dabei um Meßsonden, die den Meßstrom f¨ uhrenden Leiter zangenf¨ ormig umschließen, ohne dass dabei irgendein elektrisch leitender Kontakt zwischen dem Leiter und der Meßeinrichtung besteht (Abb. 6.45). Sie werden daher auch als Zangenamperemeter bezeichnet. Man setzt sie heute sowohl im Bereich der Energie- als auch der Nachrichtentechnik ein. W¨ ahrend in der Energietechnik typischerweise hohe Str¨ome (bis einige kA) niedriger Frequenz (bis 10 kHz) gemessen werden, handelt es sich bei den nachrichtentechnischen Anwendungen eher um den umgekehrten Fall niedriger Stromwerte (ab µA) bei h¨ oheren Frequenzen (bis 1 GHz). Die

Abb. 6.45. Strommeßzange

heutigen Zangenamperemeter sind im allgemeinen in der Lage, sowohl Wechselstrom als auch Gleichstrom zu messen. Das Funktionsprinzip ist allerdings bei Gleichstrom ein g¨ anzlich anderes. W¨ ahrend Wechselstromzangen nach dem Induktionsprinzip arbeiten, basieren gleichstromgeeignete Zangen auf einem Hallsensor, der das Magnetfeld in einem hochpermeablen Kern mißt, welcher den stromf¨ uhrenden Leiter wie im Wechselstromfall umschließt. Dieser gewichtige Unterschied f¨ uhrt zu der hier gew¨ ahlten Gliederung. Wir werden

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

159

im direkten Anschluß die Wechselstrommeßzangen behandeln. Danach folgt zun¨achst eine allgemeine Einf¨ uhrung in den galvanomagnetischen Effekt sowie den Aufbau von Hallelementen, bevor abschließend die Gleichstrommeßzangen besprochen werden. Funktionsprinzip und Ersatzschaltbilder Strommeßzangen koppeln das den Wechselstrom f¨ uhrenden Leiter stets umgebende Magnetfeld rein induktiv in die Sondenspule der Strommeßzange. Abbildung 6.46 zeigt den prinzipiellen Aufbau einer Wechselstrommeßzange und Abb. 6.48 das entsprechende Ersatzschaltbild. Die an der Sondenspule abgreifbare elektrische Wechselspannung ist proportional zum Strom durch den Meßleiter. Diese Proportionalit¨ at folgt unmittelbar aus dem Induktionsgesetz, das hier Anwendung findet. Es handelt sich bei der Anordnung aus ¨ Meßleiter und Sondenspule n¨ amlich um einen Ubertrager oder Transformator, dessen Grundgleichungen (Gln. (6.112) und (6.113)) und Ersatzschaltbilder (Abb. 6.47) hier gelten [4] U 1 = jωL1 I 1 − jωM I 2 U 2 = jωM I 1 − jωL2 I 2 .

(6.112) (6.113) I mess

Kern

Sondenwicklung I mess ZL

a) I mess

rm

b)

Kernquerschnittsfläche A K

Abb. 6.46. Strommeßzange: a) prinzipielle Anordnung [26]; b) Querschnittsgeometrie.

160

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

I1

L2 - M

L1 - M

1

2 I2

U1

U2

M

1'

2'

Abb. 6.47. Ersatzschaltbild eines Transformators. L1 und L2 sind die EigenInduktivit¨ aten von Prim¨ ar- bzw. Sekund¨ arwicklungen. M bezeichnet die Koppelinduktivit¨ at zwischen Prim¨ ar- und Sekund¨ arseite.

Die Prim¨arseite des Transformators (Eigeninduktivit¨at L1 ) wird vom Meßleiter und seine Sekund¨ arseite (Eigeninduktivit¨at L2 ) von der Sondenspule gebildet (s. Abb. 6.48). Die Koppelinduktivit¨at M sorgt f¨ ur die Kopplung von Prim¨ar- und Sekund¨ arseite. Der Kern der Sondenspule, der gleichzeitig den Meßleiter umschließt, muß hochpermeabel sein, damit das Magnetfeld, das der Meßleiter generiert, sich vollst¨ andig im Kern konzentriert. Dadurch werden zu Meßfehlern f¨ uhrende Streufelder vermieden. Der Strom durch den Meßleiter erzeugt in der Umgebung des Leiters ein ~ bzw. H-Feldlinien ~ Magnetfeld, dessen Bden Leiter konzentrisch umschließen. ~ in radialer Entfernung r l¨aßt sich aus dem Die magnetische Feldst¨ arke H Maxwellschen Durchflutungsgesetz berechnen ~ |H(r)| =

I . 2πr

(6.114)

Aufgrund seiner hohen Permeabilit¨ at konzentriert sich das Magnetfeld auf den Kern der Sondenwicklung. In dieser wird nach dem Induktionsgesetz eine Spannung induziert, die dem Meßstrom proportional ist. Wenn die SondenI mess L2 - M

L1 - M ZE

M

UL

ZL

Meßleiter I mess Abb. 6.48. Ersatzschaltbild einer Strommeßzange, das aus konzentrierten Elementen besteht. L1 ist die Eigeninduktivit¨ at des stromf¨ uhrenden Meßleiters, M die Koppelinduktivit¨ at und L2 die Eigeninduktivit¨ at der Stromzangenwicklung. Z E die Lastimpedanz am Meßort der Zange und Z L ist die Lastimpedanz des an die Sondenwicklung angeschlossenen Spannungsmeßger¨ ates.

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

161

spule (Kernquerschnittsfl¨ ache AK ) N Windungen aufweist, wird die Spannung Z

~ d~s = −N ∂Φ = −N u0 (t) = E ∂t L

Z

µ0 µrK

AK

~ ∂H ~ dA ∂t

(6.115)

~ die induzierte elektrische Feldst¨arke, L die Gesamtl¨ange induziert, wobei E der Spulenwindungen, Φ den magnetischen Fluß, AK die Querschnittsfl¨ache und µ0 µrK die Permeabilit¨ at des Sondenkerns bezeichnen. Infolge der Annahme sinusf¨ ormiger Zeitabh¨angigkeit l¨aßt es sich die zeitliche Ableitung durch eine Multiplikation mit jω im Komplexen ersetzen ∂ = b jω . ∂t

(6.116)

Daraus folgt f¨ ur die komplexe Amplitude U 0 der induzierten (Leerlauf-) Spannung (s. auch Abb. 6.49) Z i = jωL 2 UL

U0= jωΜΙ mess

ZL

Abb. 6.49. (Sekund¨ arseitiges) Ersatzschaltbild einer Strommeßzange. Z i = jωL2 wird auch als Schleifenimpedanz der Strommeßzange bezeichnet. Z L stellt die Lastimpedanz dar.

U0 = −

Z

AK

~ A ~ ≈ −jωN µ0 µrK H AK = −jωM I jωN µ0 µrK Hd m mess . (6.117)

Dabei approximiert man das Integral in Gl. (6.117) durch die mittlere Induktion B m bzw. die mittlere magnetische Feldst¨ arke H m (s. auch Abb. 6.46b) B m = µ0 µrK H m =

µ0 µrK . I 2πrm mess

(6.118)

Die Koppelinduktivit¨ at M ergibt sich demnach wie folgt M =N

µ0 µrK AK . 2πrm

(6.119)

Die Meßspannung U L l¨ aßt sich anhand von Abbildung 6.49 angeben. Sie betr¨ agt ZL jωM I mess . UL = (6.120) Z L + jωL2

162

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Um die Lastimpedanz Z E am Meßort der Zange zu ermitteln, verwenden wir die Ersatzschaltbilder aus Abbildung 6.48 bzw. 6.50. Die Impedanz ergibt sich demnach zu ω2M 2 Z E = jωL1 + . (6.121) Z L + jωL2 Dabei ist L1 die prim¨ arseitige Eigeninduktivit¨at, d.h. die Eigeninduktivit¨at des Meßleiters, wenn sich die Zange am Meßort befindet. 2

I mess 1 ZE

UL

ZL

I mess 1'

2'

Abb. 6.50. Transformatoren-Ersatzschaltbild einer Strommeßzange. Z E bezeichnet die Lastimpedanz der Strommeßzange am Meßort.

¨ Ubertragungsfaktor der Strommeßzange (Transferimpedanz) ¨ Der Ubertragungsfaktor einer Strommeßzange ist das Verh¨altnis aus der an der Sondenspule induzierten Spannung und dem Meßstrom Z Tr =

UL . I mess

(6.122)

¨ Da dieser Ubertragungsfaktor die Einheit einer Impedanz tr¨agt, wird er auch als Transferimpedanz Z Tr bezeichnet. Infolge der Spannungsteilung an Z L und jωL2 (s. Abb. 6.49) ergibt sich die Transferimpedanz zu (s. auch Gl. (6.120)) UL jωM Z L Z Tr = = . (6.123) I mess Z L + jωL2 In Abh¨angigkeit der Lastimpedanz Z L (s. Abb. 6.49) unterscheidet man folgende F¨alle: •

1. hochohmige Last Z L : Die Transferimpedanz hat (zeitlich gesehen) differenzierenden Charakter (Anstieg von 20 dB/Dek. im Bodediagramm, s. Kap. 3.13) |Z L | ≫ ωL2 → Z Tr = jωM .

•

(6.124)

2. niederohmige Last Z L : Die Transferimpedanz ist frequenzunabh¨ angig (ebener Verlauf ohne Steigung im Bodediagramm)

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

|Z L | ≪ ωL2 → Z Tr =

M Z . L2 L

163

(6.125)

Insgesamt ergibt sich der typische Hochpaßcharakter (Abb. 6.51) mit einer 3 dB-Eckfrequenz fg von 1 |Z L | fg = , (6.126) 2π L2 d. h., wenn |Z L | kleiner wird, verringert sich auch fg . Dies bedeutet, daß bei h¨ oherer Belastung (d.h. Z L wird kleiner) die Eckfrequenz sinkt. Der von Stromzangen prinzipiell nutzbare Frequenzbereich geht von der Rauschgrenze, die stets im differenzierenden Bereich liegt, bis zu dem Resonanzbereich, der an den konstanten Frequenzgang oberhalb der Eckfrequenz anschließt. Diese Resonanzen lassen sich nicht mehr anhand des Ersatzschaltbildes (Abb. 6.48) beschreiben. Zur Erkl¨ arung dieses Ph¨anomens sei auf weiterf¨ uhrende Literatur verwiesen [99]. Abbildung 6.51 zeigt die Transferimpedanz einer typischen Strommeßzange. Im allgemeinen wird man bestrebt sein, den frequenzunabh¨ angigen mittleren Teil oberhalb der Grenzfrequenz fg f¨ ur die Strommessung zu nutzen. Z Tr 1000 Ω

100 10 1 0,1 1

10

100

MHz

1000 Frequenz

Abb. 6.51. Transferimpedanz einer Strommeßzange [39]

Einf¨ ugeimpedanz einer Strommeßzange Die Strommeßzange hat infolge der induktiven Kopplung zwischen ihrer Sondenspule und dem Meßleiter eine R¨ uckwirkung auf die Strombelegung des Leiters. Die St¨arke dieser R¨ uckwirkung l¨ aßt sich an der Gr¨oße der sog. Einf¨ ugeimpedanz ablesen. Die Einf¨ ugeimpedanz Z ins der Strommeßzange entspricht der Impedanz Z E der Zange am Meßort minus der Eigenimpedanz des Meßleiters Z 10 = jωL10

164

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Z ins = Z E − Z 10 = jωL1 +

ω2M 2 − jωL10 Z L + jωL2

(6.127)

mit (s. Gl. (6.119)) M =N

µ0 µrK AK . 2πrm

(6.128)

Abbildung 6.52 zeigt die Einf¨ ugeimpedanz einer typischen Strommeßzange. Z ins 10 Ω

1 0,1 0,01 0,001

100

1k

10 k 100 k 1 M 10 M

Hz

1G Frequenz

Abb. 6.52. Einf¨ ugeimpedanz einer Strommeßzange [83]

6.3.8 Hallelement (Galvanomagnetischer Effekt) Der Halleffekt (galvanomagnetischer Effekt) wurde vom amerikanischen Physiker Edwin Herbert Hall im Jahre 1879 entdeckt und ist eine Folge der Lorentzkraft. Bewegt sich n¨ amlich ein geladenes Teilchen mit der Ladung q und ~ der Geschwindigkeit ~v in einem Magnetfeld der magnetischen Flußdichte B, so wirkt auf dieses die mechanische Kraft (Lorentzkraft) ~ F~L = F~mag = q(~v × B).

(6.129)

Diese Kraft bewirkt eine Ablenkung der Ladungstr¨ager und f¨ uhrt in einem Hallelement (Abb. 6.53) zu einer Ansammlung von Ladungstr¨agern bzw. einer ~ H normal Aufladung der Hilfselektroden, was wiederum ein elektrisches Feld E zum Geschwindigkeitsvektor ~v zur Folge hat. Dieses elektrische Feld u ¨bt nun seinerseits wiederum die Kraft ~H F~el = q E

(6.130)

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

äußeres Magnetfeld

165

b d

B J

+

Sensorelektrode

EH

_

ez

UH

ey ex

I Abb. 6.53. Hallelement (Hallsensor)

auf die Ladungstr¨ager aus. Der Gleichgewichtszustand stellt sich f¨ ur F~mag + F~el = 0

(6.131)

ein. Mit dem in Abb. 6.53 eingef¨ uhrten Koordinatensystem und der Festlegung von Elektronen als Ladungstr¨ ager (q = −e0 ; mit der Elementarladung e0 ) gilt F~mag = −e0 vB(−~ey × ~ez ) = e0 vB~ex ~H . F~el = −e0 E

(6.132) (6.133)

Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingung (Gl. (6.131)) ~ H + e0 vB~ex 0 = −e0 E

(6.134)

~H berechnet sich das im Hallelement einstellende maximale elektrische Feld E zu ~ H = vB~ex . E (6.135) Nun kennt man noch den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit ~v der Ladungstr¨ager und der elektrischen Stromdichte J~ J~ = −e0 n~v = e0 nv~ey ,

(6.136)

wobei n die Ladungstr¨ agerdichte bezeichnet, d. h. die Anzahl der freien Ladungstr¨ager pro Volumeneinheit. Dr¨ uckt man den Betrag der elektrischen ~ durch den Strom I aus Stromdichte |J| ~ = |J|

I , bd

(6.137)

so erh¨alt man unter Ber¨ ucksichtigung von Gl. (6.135) den folgenden Ausdruck ~H f¨ ur die elektrische Feldst¨ arke E ~ H = 1 I B~ex . E ne0 bd

(6.138)

166

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

Die an den (Sensor-)Elektroden meßbare Hallspannung betr¨agt somit UH =

Z2 1

~ H d~s = 1 1 IB = RH 1 IB . E ne0 d d

(6.139)

Dabei bezeichnet man den materialabh¨ angigen Wert 1/(ne0 ) als Hallkonstante RH = +

1 . ne0

(6.140)

Man erkennt, daß f¨ ur eine große Hallkonstante und somit eine hohe Empfindlichkeit die Anzahl der Ladungstr¨ ager gering sein muß. Damit kommen f¨ ur diesen Effekt nicht Metalle, sondern in erster Linie Halbleiter in Frage, wie die folgende Gegen¨ uberstellung zeigt: Kupfer : n = 8, 7 · 1022 1/cm3 Silizium : n = 1, 5 · 1010 1/cm3 . Ein Hallsensor liefert gem¨ aß Gl. (6.139) eine Ausgangsspannung UH , die direkt proportional der magnetischen Induktion B ist, welche ihn in senkrechter Richtung durchsetzt. Allerdings h¨ angt diese Hallspannung auch von der Umgebungstemperatur ab. Dies ist darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, daß wiederum die Ladungstr¨agerbeweglichkeit und damit die Hallkonstante RH z. T. stark von der Temperatur abh¨angig ist. In Tab. 6.4 findet man die Kennwerte von typischen Hallelementen. Tabelle 6.4. Kennwerte von typischen Hallelementen

Type

KSY10 SV200 Erkl¨ arung

Material KH in V/AT IN in mA UH in mV bei B=0,5 T R1 in kΩ R2 in kΩ α in %/K

GaAs 170-230 5 25 1 1 -0,05

InAs > 10 20 > 100 60 60 -0,1

Leerlaufempfindlichkeit (=UH /(BI)) Nennstrom Hallspannung Bahnwiderstand im Strompfad Bahnwiderstand im Spannungspfad Temperaturkoeffizient

Abbildung 6.54 zeigt schematisch die Feldverteilung in einem Hallelement. Bei nicht vorhandenem Magnetfeld (Bz = 0) handelt es sich um den Standardfall, daß die Strombahnen auf k¨ urzestem Wege von der Elektrode 1 zur ¨ Elektrode 2 verlaufen. Die Aquipotentiallinien verlaufen in vertikaler Richtung (y-Richtung). Bei eingeschaltetem Magnetfeld (Bz 6= 0) hingegen wirkt ¨ die Lorentzkraft und es kommt zu Feldverzerrungen. Die Aquipotentiallinien verlaufen schr¨ag, so daß an direkt gegen¨ uberliegenden Punkten (dort, wo die

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

167

Ua

UH Äquipotentialflächen ohne / mit Magnetfeld

ΘH

1 +

+

+

+

+

+

+

+

Elektrode 2

+

E ax Fläche A Elektrode 1

jn

I 2

ΘH

Potentialdifferenz der Äquipotentiallinien = Hallspannung

E

EH

Beispiel: n-Halbleiter y

B

x

¨ Abb. 6.54. Verlauf der Aquipotentiallinien mit und ohne ¨ außeres Magnetfeld. ΘH ist der Hallwinkel.

Sensorelektroden angebracht sind) eine Hallspannung anliegt. Da die beiden stromzuf¨ uhrenden Elektroden 1 und 2 aufgrund ihrer (idealen) Leitereigen¨ schaften Aquipotentialfl¨ achen darstellen, kommt es in ihrer N¨ahe zu einer weiteren Feldverzerrung. Der in Abb. 6.54 eingezeichnete Hallwinkel l¨aßt sich wie folgt berechnen ~H| |E ΘH = arctan . (6.141) ~ ax | |E ~ in einem Hallelement ergibt sich aus der Uberlagerung ¨ Die Feldst¨arke E der ~ Feldst¨arke Eax , die durch die an die stromzuf¨ uhrenden Elektroden angelegte außere Spannung entsteht, mit der Feldst¨ arke aufgrund des Halleffektes, der ¨ ~ H , die Gesamtfeldst¨ Hallfeldst¨arke E arke ~ =E ~ ax + E ~H = E ~ ax − ~v n · B ~z , E dr

(6.142)

n wobei ~vdr die Driftgeschwindigkeit der (negativen) Ladungstr¨ager darstellt. Der sog. Hallwinkel ΘH ist der Winkel zwischen dem resultierenden elektri~ und dem von außen angelegten Feld E ~ ax . schen Feld E Eine typische Anwendung von Hallelementen ist die Messung von Gleichstr¨omen mit Hilfe von Strommeßzangen.

168

6 Analoges Messen elektrischer Gr¨ oßen

6.3.9 Strommeßzange f¨ ur Gleichstrom Da das Induktionsprinzip wegen der fehlenden Zeitabh¨angigkeit nicht genutzt werden kann, erfordert das Messen von Gleichstr¨omen mittels Zangenamperemeter einen Sensor, der in der Lage ist, das vom Meßleiter erzeug~ te statische B-Feld in eine proportionale Meßspannung umzuwandeln. Standardm¨aßig geschieht dies mit Hilfe der im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Hallelemente, die sehr wohl in der Lage sind, auch zeitlich konstante Magnetfelder zu bestimmen. Dazu wird das Hallelement in den bei einem bestimmten Umfangswinkel in radialer Richtung geschlitzten Sondenkern eingebracht (s. Abb. 6.55). Aufgrund der im Vergleich zur Luftumgebung sehr hohen Permeabilit¨at des Kerns konzentriert sich auch hier (wie schon beim nicht geschlitzten Sondenkern der Wechselstromsonde) das vom Strom im Meßleiter erzeugte Magnetfeld im Kern. Die Feldlinien der magnetischen Induktion ~ verlaufen wie schon bei der Wechselstromsonde (s. Kap. 6.3.7) im SondenB kern prinzipiell in Umfangsrichtung. Aufgrund der Stetigkeitsbedingungen von Magnetfeldern an permeablen Grenzschichten gehen die in normaler Richtung ~ ~ aus der Sondenfl¨ache austretenden B-Linien kontinuierlich in die B-Linien des Luftspaltfeldes bzw. in das das Hallelement durchdringende Magnetfeld u ber. ¨ Der in den Sondenkern eingebrachte Schlitz nimmt das Hallelement so auf, daß ~ ¨ das B-Feld das Hallpl¨ attchen in senkrechter Richtung durchsetzt. Die Offnung im Kern sollte m¨oglichst klein gehalten werden, damit keine nennenswerten Streufelder seitlich austreten k¨ onnen. Geht man wie schon beim Wechselstromzangenamperemeter von einer ~ m| = B m mittleren magnetischen Induktion |B Feldlinien der magnetischen Induktion B

IS

Wicklungen zur Erzeugung des Kompensationsflusses

Hallelement

IH

I mess

stromführender Leiter

RM UM

IS

Abb. 6.55. Prinzip einer Gleichstrommeßzange mit Kompensationsprinzip nach [133]. Die Meßspannung UM ist proportional zum Meßstrom Imess .

6.3 Messung von Wechselstrom und Wechselspannung

B m = µ0 µrK H m =

µ0 µrK I 2πrm mess

169

(6.143)

aus, so l¨aßt sich die Hallspannung nach Gl. (6.139) ermitteln UH =

RH RH µ0 I mess . IH B m = IH d d 2πrm

(6.144)

Damit ist die Hallspannung proportional zum Meßstrom. Bei der Messung k¨ onnen aber verschiedene Fehler auftreten. Neben dem Erdmagnetfeld, das die Genauigkeit im allgemeinen negativ beeinflussen wird, verf¨alscht auch die Temperaturempfindlichkeit des Hallelementes die Messung. Eine M¨oglichkeit, die Meßgenauigkeit zu erh¨ ohen, besteht in der Anwendung des Kompensationsprinzips (s. auch Kap. 9.2). Dazu wird im Sondenkern ein dem Magnetfeld des Meßstromes entgegengesetztes Magnetfeld erzeugt. Die St¨arke des Gegenfeldes entspricht genau der des prim¨ aren Feldes, so daß das Magnetfeld im Sondenkern zu Null abgeglichen wird. Da somit die Hallspannung stets Null ist, geht beispielsweise auch der (temperaturempfindliche) Hallwiderstand RH nicht mehr in die Meßgenauigkeit ein. Um das Gegenfeld im Sondenkern zu erzeugen, wird eine Kompensationsspule auf den Kern gewickelt (s. Abb. 6.55), die von einem geregelten Strom beschickt wird. Die Kompensationsschaltung besteht aus dem Hallelement, dessen Hallspannung auf Null abgeglichen wird, und einem Operationsverst¨ arker, dessen Differenzeingangsspannung im eingeregelten Zustand ebenfalls Null ist. Der Ausgangsstrom IS des Operationsverst¨arkers wird durch die Kompensationswicklung geschickt und erzeugt das Gegenfeld. Dieser Strom ist proportional zum Meßstrom. Er wird mit Hilfe des Shunt-Widerstandes in eine Meßspannung UM umgesetzt. Diese ist die Ausgangsgr¨oße der Gesamtanordnung und ein originalgetreues Abbild der Meßgr¨oße, d. h. UM ∼ Imess .

7 Meßverst¨ arker

Um mit Meßger¨aten auch Spannungen und Str¨ome messen zu k¨onnen, die unterhalb der Ansprechempfindlichkeit des Meßwerkes liegen, werden Meßverst¨arker eingesetzt. Sie wandeln die zu messende Spannung bzw. den zu messenden Strom in ein proportionales Signal h¨oherer Amplitude um. Dabei werden folgende Eigenschaften der Meßverst¨ arker gefordert: • • • • •

geringe R¨ uckwirkung auf die Meßgr¨ oße Signaltreue (Linearit¨ at) hohe Amplitudendynamik (niedriges Eigenrauschen, geringe Verzerrungen bei großen Amplituden) ausreichende Bandbreite (Ausgangssignal muß dem Eingangssignal zeitlich folgen k¨onnen) eingepr¨agtes Ausgangssignal (Spannung oder Strom).

W¨ahrend man in der klassischen Meßtechnik versucht hat, die R¨ uckwirkungsfreiheit einer Messung durch Kompensationsverfahren zu erreichen, bedient sich die elektronische Meßtechnik dazu eines Meßverst¨arkers mit geeigneter Eingangs- bzw. Ausgangsimpedanz. So kann beispielsweise die bei der Spannungsmessung stets vorhandene Belastung eines Meßkreises infolge der endlichen Innenimpedanz des Meßger¨ ates und der daraus resultierende Meßfehler durch die Verwendung eines Meßverst¨ arkers mit sehr hohem Eingangswiderstand i. allg. soweit reduziert werden, daß sie nicht mehr st¨ort. Elektronische Verst¨ arkerschaltungen werden weiterhin eingesetzt, um die in Form elektrischer Signale vorliegenden Meßwerte in analoger Form weiterzuverarbeiten. So werden beispielsweise Verst¨ arker verwendet, um Meßwerte zu addieren, subtrahieren, multiplizieren, logarithmieren, integrieren oder zu differenzieren. Bei der Realisierung elektronischer Meßverst¨arker werden, abgesehen von Anwendungen im Bereich sehr hoher Frequenzen (> 150 MHz) oder hoher Spannungen (> 150 V), heute vorwiegend integrierte Operationsverst¨arkerschaltungen eingesetzt. Diese Operationsverst¨arker (Operational Amplifier, OpAmp) dienen dabei nicht nur als reine Meßverst¨arker sondern

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_7, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

172

7 Meßverst¨ arker

auch als universelle Grundbausteine der gesamten analogen Signalverarbeitung. Abbildung 7.1 zeigt die standardm¨ aßig verwendeten Schaltsymbole f¨ ur elektronische Meßverst¨ arker.

Eingang

Ausgang Eingang

Ausgang

a)

uE

uA

uA uE

uE

uA

b) Abb. 7.1. Schaltsymbole f¨ ur elektronische Meßverst¨ arker: a) allgemeine Symbole, b) massebezogene Darstellungen (allgemein, nicht-invertierend, invertierend)

7.1 Operationsverst¨ arker 7.1.1 Idealer Operationsverst¨ arker Abbildung 7.2 zeigt das Schaltbild eines (idealen) Operationsverst¨arkers. Er besitzt stets einen invertierenden mit ′ N′ bzw. ′ −′ gekennzeichneten und einen mit ′ P′ bzw. ′ +′ gekennzeichneten nicht-invertierenden Eingang sowie einen Ausgang. Sowohl die beiden Eingangsklemmen als auch die Ausgangsklemme bilden mit der Masseleitung jeweils ein elektrisches Tor. Das wichtigste Kennzeichen eines (idealen) Operationsverst¨ arkers ist, daß die Eigenschaften des mit ihm realisierten Verst¨ arkers nur durch die ¨außere Beschaltung des Operationsverst¨ arkerbausteins festgelegt werden, welche i. allg. auf rein passiven Bauelementen basiert. Ein idealer Operationsverst¨arker ist ¨aquivalent einer spannungsgesteuerten Spannungsquelle mit der Leerlaufspannungs-

N

iN iA

uD uN

P

iP

u DV0 uA

uP

Abb. 7.2. Ersatzschaltbild eines (idealen) Operationsverst¨ arkers

7.1 Operationsverst¨ arker

173

verst¨arkung V0 → ∞. F¨ ur die Ausgangsspannung uA gilt allgemein (Abb. 7.2) uA = V0 uD = V0 (uP − uN ) ,

(7.1)

aus der f¨ ur V0 → ∞ notwendigerweise uD = 0 folgt. Die Eingangsstr¨ome iN bzw iP des idealen Operationsverst¨ arkers sind Null iN = iP = 0 .

(7.2)

Infolgedessen muß f¨ ur den Eingangswiderstand rE , der bei einem realen Operationsverst¨arker zwischen P - und N -Eingang liegt (Abb. 7.3), rE → ∞

(7.3)

gelten. Der Ausgangswiderstand rA (Widerstand in Serie zur spannungsgesteuerten Spannungsquelle, s. Abb. 7.3) betr¨ agt wie bei einer idealen Spannungsquelle rA = 0 . (7.4) Weiterhin sind beim idealen Operationsverst¨ arker alle Eigenschaften frequenzund temperaturunabh¨ angig. +UB iN

u gl Vgl

u'D

rE

UD0

uD

u DV0

rA

iA

iP

uN

r gl

uP I N0

r gl

-UB

uA

I P0

Abb. 7.3. Kleinsignal-Ersatzschaltbild eines realen Operationsverst¨ arkers

7.1.2 Realer Operationsverst¨ arker In Abb. 7.3 wird das Schaltbild und in Abb. 7.4 die Kennlinie der Leerlaufverst¨arkung eines realen Operationsverst¨ arkers gezeigt. Genauer gesagt handelt es sich dabei um einen dahingehend idealisierten Operationsverst¨arker, daß er innerhalb seiner Aussteuerungsgrenzen (uAmin ≤ uA ≤ uAmax ) linea¨ re Ubertragungseigenschaften aufweist (s. Kennlinie der Leerlaufspannungsverst¨arkung in Abb. 7.4). Die maximale und die minimale Ausgangsspannung

174

7 Meßverst¨ arker

uA +UB u Amax UD0

uD

u Amin -UB Abb. 7.4. Kennlinie der Leerlaufverst¨ arkung eines Operationsverst¨ arkers (gestrichelt: mit Offsetspannung)

uAmax bzw. uAmin liegen bei Standard-Operationsverst¨arkern betragsm¨aßig etwa um 1 bis 3 V unter der Betriebsspannung ±UB des Operationsverst¨arkers. Die wesentlichen Unterschiede zum idealen Operationsverst¨arker sind: a) Der Eingangs- und der Ausgangswiderstand nehmen endliche Werte an: rE ≈ 1 MΩ bis 1 TΩ; rA ≈ 2 Ω bis 100 Ω, b) der reale Verst¨arkungsgrad liegt zwischen 104 ≤ V0 ≤ 107 . F¨ ur den realen Operationsverst¨arker sind die im Kap. 7.1.3 enthaltenen wichtigen Kenngr¨ oßen definiert. Zum Verst¨andnis dieser Kenngr¨oßen ist die Erl¨ auterung der Funktionsweise einer R¨ uckkopplungsschaltung, und im speziellen Fall die Funktion einer Gegenkopplungsschaltung, gem¨aß Abb. 7.5 notwendig. Eine solche Gegenkopplungsschaltung enth¨alt einen Verst¨ arker mit der Leerlaufverst¨arkung V0 , ein R¨ uckkoppel¨ Netzwerk mit der Ubertragungsfunktion Vg , welche im allgemeinen Fall frequenzabh¨angig sein kann, und einen Subtrahierer. Die Ausgangsspannung uA l¨ aßt sich anhand von Abb. 7.5 wie folgt angeben uA = V0 uD = V0 (uE − uA Vg ) .

(7.5)

Daraus folgt f¨ ur die Gesamtverst¨ arkung V V =

uA = uE

1 V0

1 . + Vg

(7.6)

Im Falle eines idealen Verst¨ arkers (V0 → ∞) ergibt sich die Gesamtverst¨arkung der Gegenkopplungsschaltung zu V0 uE

uD

Rückkoppel-Netzwerk

uA Vg

Abb. 7.5. Gegenkopplungsschaltung

7.1 Operationsverst¨ arker

1 V0 →∞ Vg +

lim V = lim

V0 →∞

=

1 V0

1 . Vg

175

(7.7)

Die Gegenkopplungsschaltung aus Abb. 7.5 l¨ aßt sich f¨ ur den Fall einer sehr hohen Verst¨arkung (V0 → ∞) (Gl. (7.7)) durch einen invertierenden Verst¨arker nach Abb. 7.6 realisieren, wenn die Leerlaufverst¨arkung des dort verwendeten Operationsverst¨arkers ebenfalls gegen einen unendlich hohen Wert strebt. Da bei einem Operationsverst¨ arker die Eingangsstr¨ome idealerweise verschwinden (iP = iN = 0), ergibt sich aus der Schaltung nach Abb. 7.6 i1 + i2 = 0 .

(7.8)

Zwei im Schaltbild (Abb. 7.6) vorgenommene Maschenuml¨aufe ergeben weiterhin uE = R1 i1 − uD uA = R2 i2 − uD = V0 uD .

R2 i1

R1

i2

iN uD

uE

(7.9) (7.10)

V0 uA

Abb. 7.6. Invertierende Verst¨ arkerschaltung

Aus den Gln. (7.8 - 7.10) folgt die Gesamtverst¨arkung V V =

R2 −R uA 1 = uE 1 + V10 (1 +

R2 R1 )

.

(7.11)

F¨ ur einen idealen Operationsverst¨ arker (V0 → ∞) folgt f¨ ur die Gesamtverst¨arkung V schließlich uA R2 lim V = =− . (7.12) V0 →∞ uE R1 Ein Koeffizientenvergleich zwischen den Gln. (7.7) und (7.12) liefert die Be¨ ziehung zwischen der Ubertragungsfunktion Vg des R¨ uckkoppel-Netzwerkes (Abb. 7.5) und den Werten R1 und R2 der ohmschen Widerst¨ande der Operationsverst¨arkerschaltung nach Abb. 7.6 Vg = −

R1 . R2

(7.13)

Es sei nochmals darauf hingewiesen, daß die in Gl. (7.13) angef¨ uhrte Verst¨arkung Vg des R¨ uckkoppel-Netzwerkes nur dann mit der aus Gl. (7.6) bzw. Gl. (7.7) identisch ist, wenn V0 einen sehr hohen Wert annimmt.

176

7 Meßverst¨ arker

7.1.3 Definitionen von Operationsverst¨ arker-Kenngr¨ oßen Im folgenden werden die wichtigsten Kenngr¨ oßen von Operationsverst¨arkern bzw. Operationsverst¨ arkerschaltungen beschrieben. Die verwendeten Gr¨oßenbezeichnungen beziehen sich auf die in Abb. 7.2 und Abb. 7.3 gezeigten Ersatzschaltbilder von idealem und realem Operationsverst¨arker sowie die in Abb. 7.5 gezeigte Gegenkopplungsschaltung. •

Leerlaufspannungsverst¨ arkung (open loop voltage gain) V0 Es handelt sich hierbei um die Differenzverst¨arkung der offenen Schleife, d. h. des nicht-r¨ uckgekoppelten, unbeschalteten Operationsverst¨arkers. V0 =

•

•

- ideal: V0 → ∞ - real: 104 ≤ V0 ≤ 107 Leerlaufspannungsverst¨ arkungsmaß V0 [dB]   ∂uA V0 [dB] = 20 lg V0 = 20 lg ∂uD

uP + uN . 2

(7.15)

(7.16)

Gleichtaktspannungsverst¨ arkung (common mode voltage gain) Vgl Bei einem realen Operationsverst¨ arker erscheint die um den Faktor Vgl verst¨arkte Gleichtaktspannung Ugl am Ausgang Vgl =

•

(7.14)

- ideal: V0 → ∞ - real: 80 dB ≤ V0 ≤ 140 dB Gleichtaktspannung (common mode voltage) ugl Die Gleichtaktspannung entspricht dem arithmetischen Mittel der beiden Eingangsspannungen uN und uP ugl =

•

∂uA ∂uD

∂uA . ∂ugl

(7.17)

- ideal: Vgl = 0 - real: Vgl ≈ 1 Gleichtaktunterdr¨ uckung (common mode rejection ratio) CMRR   V0 (7.18) CMRR [dB] = 20 lg Vgl - ideal: CMRR → ∞ - real: CMRR ≈ 100 dB

7.1 Operationsverst¨ arker

•

177

¨ Ubertragungsfunktion (frequency response) G(ω) ¨ Die komplexe Ubertragungsfunktion G(ω) von Operationsverst¨arkerschal¨ tungen, die auch als Ubertragungsfaktor bezeichnet wird, entspricht der komplexen Verst¨ arkung, d. h. dem Verh¨ altnis der in Zeigerform dargestellten Ausgangsspannung U A zur Differenzeingangsspannung U D . Die¨ se Ubertragungsfunktion l¨ aßt sich f¨ ur reale Operationsverst¨arker nach Gl. (7.19) approximieren G(ω) =

V U A (ω)  0  . =  U D (ω) 1 + j ωω1 1 + j ωω2

(7.19)

¨ eines Tiefpasses mit den G(ω) entspricht also der Ubertragungsfunktion beiden Eckfrequenzen ω1 und ω2 (ω2 > ω1 ) [140]. Dies bedeutet, daß ¨ der Betrag der Ubertragungsfunktion ab der Frequenz ω1 = 2πf1 mit 20 dB/Dekade (= b 6 dB/Oktave) und ab der Frequenz ω2 = 2πf2 mit 40 dB/Dekade (= b 12 dB/Oktave) f¨ allt. Der Wert V0 stellt die Gleichspannungsverst¨arkung dar. Bei unbeschalteten Operationsverst¨arkern liegt f1 typischerweise im Bereich einiger Hertz, w¨ ahrend f2 der oberen Grenzfrequenz des unbeschalteten Operationsverst¨ arkers entspricht. Abbildung 7.7 zeigt den Frequenzgang der Leerlaufverst¨ arkung des Universal-Operationsverst¨arkers vom Typ µA 741 nach Betrag und Phase (Tiefpaß-Eckfrequenzen: f1 ≈ 10 Hz und f2 ≈ 5 MHz). |G(w)| [dB]

j (°)

120

0

80

-45 -90

40 0 -20

-135 100 102

104

106 f (Hz)

a)

-180

100 102

104

106 f (Hz)

b)

Abb. 7.7. Frequenzgang der Leerlaufspannungsverst¨ arkung des Operationsverst¨ arkers µA 741 (UB = ±15 V) bei einer Temperatur von 25◦ C: a) Betrag, b) Phase

•

Verst¨ arkung der geschlossenen Schleife (closed loop voltage gain), Gesamtverst¨ arkung V Es handelt sich hierbei um die Gesamtverst¨arkung V des r¨ uckgekoppel¨ ten Verst¨arkers nach Abb. 7.5 (die Ubertragungsfunktion des R¨ uckkoppelNetzwerkes wird mit Vg bezeichnet) V =

∂uA ∂uE

(7.20)

178

7 Meßverst¨ arker

- ideal (V0 → ∞):

1 Vg

(7.21)

V0 1 + Vg V0

(7.22)

V =

- real (Gl. (7.6)): V = •

Gleichtakteingangswiderstand (common mode input resistance) Der Gleichtakteingangswiderstand rgl wird wie folgt berechnet rgl =

•

•

•

(7.23)

- ideal: rgl = ∞ - real: rgl = 1 GΩ . . . 100 TΩ Differenzeingangswiderstand (differential input resistance) rE Da im allgemeinen der Gleichtaktwiderstand rgl groß ist gegen¨ uber dem Differenzeingangswiderstand rE (rgl ≫ rE ), gilt folgende Definitionsgleichung f¨ ur den Differenzeingangswiderstand rE =

•

∂ugl + iN )

1 2 ∂(iP

∂uD − iN )

1 2 ∂(iP

- ideal: rE = ∞ - real: rE = 1 MΩ . . . 1 TΩ Ausgangswiderstand (output resistance) rA ∂uA rA = − ∂iA uD =const.

(7.24)

(7.25)

- ideal: rA = 0 - real: rA = 2 Ω . . . 100 Ω Eingangsfehlspannung (input offset voltage), Offsetspannung UD0 Durch nicht-identische Eingangstransistoren des bei Operationsverst¨arkern stets vorhandenen Differenzeingangsverst¨ arkers [156] wird auch f¨ ur uN = uP = 0 beim realen Operationsverst¨ arker eine Ausgangsspannung uA 6= 0 erzeugt. Jene Spannungsdifferenz UD0 , welche am Eingang angelegt werden muß, um die Ausgangspannung auf Null abzugleichen, wird als Eingangsfehlspannung oder als Eingangs-Offsetspannung UD0 bezeichnet. Sie erscheint im Schaltbild des realen Operationsverst¨arkers als Spannungsquelle am Eingang (Abb. 7.3). - ideal: UD0 = 0 - real: UD0 = 0, 5 µV . . . 5 mV Gesamtausgangsspannung (output voltage) uA ¨ Die Gesamtausgangsspannung uA ergibt sich als Uberlagerung aus der verst¨arkten Leerlauf-Differenzeingangsspannung uD , die um die Offsetspannung UD0 vermindert wird, und der mit der Gleichtaktverst¨arkung multiplizierten Gleichtaktspannung

7.1 Operationsverst¨ arker

u′D = uP − uN

(7.26) V0 (u′D

uA = V0 uD + Vgl ugl = − UD0 ) + Vgl ugl = V0 (uP − uN − UD0 ) + Vgl ugl

•

•

•

•

179

(7.27) (7.28)

Versorgungsspannungsunterdr¨ uckung (power supply rejection ratio) PSRR Die Versorgungsspannungsunterdr¨ uckung ist ein Maß daf¨ ur, welchen Einfluß eine Spannungsschwankung der Versorgung auf die Ausgangsspannung hat   ∂uA (7.29) PSRR [dB] = −20 lg ∂uB - ideal: PSRR → ∞ - real: PSRR ≈ 100 dB Grenzfrequenz (cutoff frequency) fg , Bandbreite (bandwidth) Die 3-dB-Grenzfrequenz fg ist jene Frequenz, bei der die Verst¨arkung gegen¨ uber √ ihrem Gleichspannungswert um 3 dB (entspricht einem Faktor von 1/ 2) gesunken ist. Diese obere Grenzfrequenz, die im allgemeinen der Bandbreite des Verst¨ arkers entspricht, ist von der a¨ußeren Beschaltung des Operationsverst¨ arkers abh¨ angig. F¨ ur unbeschaltete Operationsverst¨arker liegt sie bei einigen Hertz (Abb. 7.7). Anstiegsgeschwindigkeit (slew rate) SR Die Anstiegsgeschwindigkeit (Einheit V/µs) entspricht der zeitlichen Ableitung der Ausgangsspannung im Großsignalbetrieb bei Anlegen eines Spannungssprunges am Eingang   ∂uA (7.30) SR = ∂t max - ideal: SR → ∞ V V - real: SR = 0, 5 µs . . . 10.000 µs Eingangsruhestrom (input bias current) IB Die Eingangstransistoren eines Operationsverst¨arkers weisen grunds¨atzlich Basis- bzw. Gatestr¨ ome auf. Selbst bei Operationsverst¨arkerschaltungen mit einer sog. inneren Bias-Stromversorgung sind die Str¨ome IN und IP noch ungleich Null und m¨ ussen durch die ¨ außere Beschaltung aufgebracht werden. Trotz des m¨ oglichst symmetrischen Aufbaus der meisten Differenzeingangsstufen ist dar¨ uber hinaus IN 6= IP . In Datenbl¨attern sind stets die Mittelwerte von IN und IP sowie der Betrag ihrer Abweichungen voneinander angegeben. F¨ ur den mittleren Eingangsruhestrom (Biasstrom, Input Bias Current) IB gilt dabei folgende Definition IB =

IN0 + IP0 2

(7.31)

- ideal: IB = 0 - real: IB = 3 fA(FET) . . . 1 µA (bipolar, in Sonderf¨allen bis 25 µA)

180

•

7 Meßverst¨ arker

Eingangsfehlstrom (input offset current), Offsetstrom ID0 Der Offsetstrom ID0 eines Operationsverst¨arkers entspricht der Differenz der Eingangsruhestr¨ ome IN0 und IP0 ID0 = IN0 − IP0

•

•

•

(7.32)

- ideal: ID0 = 0 - real: ID0 = 1 fA ... 20 nA Offsetspannungsdrift (offset voltage drift) Die Offsetspannungsdrift beschreibt die Abh¨angigkeit der Offsetspannung UD0 von der Temperatur ϑ ∂UD0 (7.33) ∂ϑ - ideal: 0 - real: 0, 01 µV/◦C . . . 15 µV/◦ C Eingangsstromdrift Die Eingangsstromdrift beschreibt die Temperaturabh¨angigkeit des Eingangsstromes ∂(iP , iN ) (7.34) ∂ϑ uN =const.,uP =const.

- ideal: 0 - real: 10 fA/◦ C . . . 1 µA/◦ C Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt (gain bandwidth product) V fg Wichtiger noch als der reine Verst¨arkungsfaktor ist das sogenannte Verst¨arkungs-Bandbreite-Produkt fg0 V0 , welches bei Universaltypen bei etwa V0 fg0 = 106 Hz liegt und bei auf hohe Bandbreite ausgerichteten Operationsverst¨arkern bis zu 3 · 109 Hz reicht. Durch eine Gegenkopplungsschaltung gem¨aß Abb. 7.5 wird der effektive Verst¨arkungsfaktor V und die effektive Grenzfrequenz fg der Meßschaltung eingestellt. Das Produkt aus Verst¨arkungsfaktor V und Bandbreite bzw. Grenzfrequenz fg ist f¨ ur Grenzfrequenzen oberhalb von fg0 (fg > fg0 ) bei einem bestimmten Operationsverst¨arkertyp stets ein konstanter Wert (Abb. 7.8) V V0 1 0,1 f g0

0,01 0,01

0,1

1

fg 10

100

f f g0

Abb. 7.8. Zusammenhang zwischen Grenzfrequenz und Verst¨ arkungsfaktor eines Operationsverst¨ arkers (Konstanz des Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produktes V fg )

7.1 Operationsverst¨ arker

V fg = V0 fg0 . •

181

(7.35)

Transitfrequenz (unity gain bandwidth) fT Die Transitfrequenz fT ist jene Frequenz, bei der die Leerlaufspannungsverst¨arkung auf 0 dB abgesunken ist.

In Tabelle 7.1 sind die Leistungsdaten einiger kommerziell erh¨altlicher Operationsverst¨arker zusammengefaßt. Diese Zusammenstellung enth¨alt neben den beiden Universaltypen (µA 741, TL 081) Operationsverst¨arker, die im Hinblick auf bestimmte Leistungsdaten optimiert wurden, wie z. B. hohe Transitfrequenz (THS3201), hohe Slew-Rate (THS3201), geringes Rauschen (AD797) oder hohe Ausgangsspannung (PA89). Tabelle 7.1: Leistungsdaten kommerziell erh¨ altlicher Operationsverst¨ arker

1

Bezeichnung µA 741 Hersteller Philips OPV-Typ Urvater

TL 081 TI Universal J-FET

LM324 Philips Low Cost Universal

THS3201 TI High Slew-Rate

UD0 IB ID0 rgl V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout Ub max Rail to Rail Preis ca.

± 1 mV 80 nA 20 nA 2 MΩ 200 V/mV 90 dB 0,5 V/µs 1 MHz ∼ 1 µs

3 mV 30 pA 5 pA 1012 Ω 200 V/mV 86 dB 16 V/µs 4 MHz ∼ 300√ ns 15 nV Hz 1 kHz

± 2 mV 45 nA ± 5 nA

± 0,7 mV ± 13 µA

100 V/mV 70 dB 0,3 V/µs 1 MHz ∼ 2, 5 µs √ 40 nV/ Hz 1 kHz

∼ 10 mA ± 18 V

∼ 20 mA ± 18 V

± 10 mA ± 16 V

10500 V/µs 1,8 GHz 20 ns √ 1,7 nV/ Hz > 10 MHz √ 20 pA/ Hz > 10 MHz ± 100 mA ± 8V

0,17 EUR

0,24 EUR

0,16 EUR

2,10 USD

1

780 kΩ

Rail to Rail heißt, daß der jeweilige Operationsverst¨ arker bez¨ uglich Eingangsspannung (IN) bzw. Ausgangsspannung (OUT) bis an die Grenzen der Betriebsspannung betrieben werden kann [156].

182

7 Meßverst¨ arker

Bezeichnung LMH6629 Hersteller National OPV-Typ Wideband

AD8551 AD797 INA116 Analog Devices Analog Devices Burr Brown Zero Drift Ultralow Noise Instrum.verst¨ arker

UD0 IB ID0 rgl V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout Ub max Rail to Rail Preis ca.

1 µV 10 pA 20 pA

± 0,15 mV - 15 µA ± 0,1 µA 450 kΩ 78 dB 87 dB 1600 V/µs 0,9 GHz 42 ns √ 0,7 nV/ Hz > 1 MHz √ 2,6 pA/ Hz > 1 MHz 250 mA ± 5,5 V 3,86 USD

140 dB 140 dB 0,4 V/µs 1,5 MHz √ 42 nV/ Hz 1 kHz√ 2 fA/ Hz 10 Hz ± 10 mA +6 V IN + OUT 1,47 USD

25 µV 250 nA 100 nA 7,5 kΩ 20 V/µV 130 dB 20 V/µs 110 MHz 800 ns √ 0,9 nV/ Hz 1 kHz √ 2 pA/ Hz 1 kHz 50 mA ± 18 V

0,5 mV 3 fA 1 fA ≥ 1015 Ω programmierbar 89 dB 0,8 V/µs 800 kHz 22 µs √ 28 nV/ Hz 1 kHz √ 0,1 fA/ Hz 1 kHz ± 5 mA ± 18 V

5,29 USD

4,20 USD

Bezeichnung PA50 Hersteller Apex OPV-Typ High Output Current

PA89A Apex High Output Voltage

MAX4464 Maxim Low Power 1,8 V 750 nA

LT6350 Linear Technology ADC-Treiber

UD0 IB ID0 rgl V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout

2 mV 10 pA 10 pA 100 GΩ 102 dB 100 dB > 50 V/µs 3 MHz 1 µs 10 µV RMS 100 kHz BW

250 µV 3 pA 3 pA 100 GΩ 120 dB 110 dB 16 V/µs 10 MHz 2 µs 4 µV RMS 10 kHz BW

± 500 µV ± 200 pA ± 13 pA

± 0,1 mV - 3 µA ± 0,1 µA 4 MΩ

100 dB 95 dB 20 V/ms 40 kHz ∼ 1 ms √ 150 nV/ Hz 1 kHz

118 dB 41 V/µs 85 MHz 200 ns √ 1,9 nV/ Hz

100 A f¨ ur 1 ms ± 50 V

75 mA

11 mA

± 45 mA

± 600 V

716 USD

950 USD

+6 V OUT 0,65 EUR

12,6 V IN + OUT 3,19 USD

Ub max Rail to Rail Preis ca.

√ 1,1 pA/ Hz

7.1 Operationsverst¨ arker

Bezeichnung LMC6041 Hersteller National OPV-Typ

Ultralow Bias

UD0 IB ID0 rgl V0 CMRR SR fT ts u-Rauschen bei i-Rauschen bei Iout Ub max Rail to Rail Preis ca.

1 mV 2 fA 1 fA > 10 TΩ 136 dB 75 dB 0,02 V/µs 75 kHz 200 µs √ 83 nV/ Hz 1 kHz √ 0,2 fA/ Hz 1 kHz 22 mA 15,5 V OUT 0,91 EUR

AS1710 austriamicrosystems mit shut down

LM13700 National

ISO124 TI

Transconductans

Isolationsverst¨ arker

0,6 mV 50 pA 50 pA 1 GΩ 100 dB 70 dB 10 V/µs 10 MHz ∼ 1 µs √ 15 nV/ Hz 1 kHz

0,4 mV 1 µA 0,6 µA

± 20 mV

50 mA 7V IN + OUT 0,23 EUR

9,6 mA/V 110 dB 50 V/µs 2 MHz

183

200 kΩ 1 V/V 2 V/µs 50 kHz 50 µs √ 4 nV/ Hz

√ 600 pA/ Hz 10 kHz 1 mA ± 18 V

± 15 mA ± 18 V

1,35 EUR

15,06 EUR

7.1.4 Operationsverst¨ arker-Grundschaltungen Ein Operationsverst¨ arker kann durch entsprechende a¨ußere Beschaltung in sehr vielf¨altiger Weise f¨ ur Meßaufgaben eingesetzt werden. Im folgenden werden verschiedene Standard-Operationsverst¨ arkerschaltungen vorgestellt, wobei jeweils das Verh¨ altnis von Ausgangsgr¨ oße (i. allg. die Ausgangsspannung uA ) zu Eingangsgr¨ oße (i. allg. die Eingangsspannung uE ) angegeben wird. Die Beziehung zwischen Ausgangs- und Eingangsgr¨oße l¨aßt sich leicht ableiten, wenn man den Operationsverst¨ arker in der folgenden Weise idealisiert: Differenzeingangsspannung uD = 0, Eingangswiderstand rE → ∞, Eingangsstr¨ome iN = 0 bzw. iP = 0, Leerlaufverst¨ arkung V0 → ∞. Die Auswertung der aus dem jeweiligen Schaltbild resultierenden Knoten- und Maschengleichungen liefert dann unmittelbar den gesuchten mathematischen Zusammenhang zwischen Ausgangs- und Eingangsgr¨ oße. Invertierender Verst¨ arker Der invertierende Verst¨ arker wurde bereits in Kap. 7.1.2 besprochen (s. Abb. 7.6). F¨ ur einen idealen Operationsverst¨ arker ergibt sich das Verh¨altnis von Ausgangsspannung uA zur Eingangsspannung uE zu (s. Gl. (7.12))

184

7 Meßverst¨ arker

R2 uA =− . uE R1

(7.36)

Invertierer Der reine Invertierer (Abb. 7.9) hat die Aufgabe, die Polarit¨at der Eingangsspannung am Ausgang umzukehren uA = −uE ,

(7.37)

was dadurch erreicht wird, daß beim invertierenden Verst¨arker (Abb. 7.6) die Widerst¨ande R1 und R2 identisch gew¨ ahlt werden.

Abb. 7.9. Grundschaltung des Invertierers

Nicht-invertierender Spannungsverst¨ arker Der nicht-invertierende Spannungsverst¨ arker (Abb. 7.10) beh¨alt die Polarit¨at der Eingangsspannung bei und erlaubt die Einstellung des Verst¨arkungsfaktors u ¨ber die Widerstandskombination R1 und R2 uA R2 =1+ . uE R1

Abb. 7.10. Nicht-invertierender Spannungsverst¨ arker

(7.38)

7.1 Operationsverst¨ arker

185

Addierender Verst¨ arker Der addierende Verst¨ arker (Abb. 7.11) addiert die Eingangsspannungen und dreht die Polarit¨at nach der Summenbildung um. Mit Hilfe der Widerstandswerte R1 und R2 lassen sich die Eingangsspannungen u1 und u2 mit Gewichtsfaktoren versehen   u1 u2 uA = iG R3 = −(i1 + i2 )R3 = − + R3 . (7.39) R1 R2 Im allgemeinen w¨ ahlt man R1 = R2 = R3 , so daß eine ungewichtete Summenbildung erzielt wird uA = −(u1 + u2 ) . (7.40)

Abb. 7.11. Addierender Verst¨ arker

Subtrahierender Verst¨ arker Der subtrahierende Verst¨ arker (Abb. 7.12) erlaubt die Differenzbildung der beiden Eingangsspannungen u1 und u2 . F¨ ur beliebige Widerstandswerte lassen sich wiederum Gewichtsfaktoren einstellen uA = u2

R3 R4 (R1 + R3 ) . − u1 R1 (R2 + R4 ) R1

(7.41)

F¨ ur den Fall R1 /R3 = R2 /R4 ergibt sich die gew¨ unschte Subtraktion der Eingangsspannungen mit zus¨ atzlicher Verst¨ arkung um den Faktor R3 /R1 uA =

R3 (u2 − u1 ) . R1

(7.42)

F¨ ur den reinen Subtrahierer w¨ ahlt man R1 = R2 = R3 = R4 , so daß ungewichtet subtrahiert wird uA = u2 − u1 . (7.43)

186

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.12. Subtrahierender Verst¨ arker

Impedanzwandler Mit Hilfe des Impedanzwandlers (Abb. 7.13), der auch als Spannungsfolger bezeichnet wird, werden Quellen mit hohem Innenwiderstand an Schaltungen mit niedrigem Widerstand angepaßt. So kann beispielsweise an hochohmigen Schaltungen mit weniger hochohmigen Meßwerken r¨ uckwirkungsfrei gemessen werden. Die Eingangsspannung erscheint dabei unver¨andert am Ausgang uA = uE .

(7.44)

Abb. 7.13. Impedanzwandler

Integrierender Verst¨ arker In der analogen Signalverarbeitung ist der auf einem Operationsverst¨arker basierende Integrierer (Integrator) eines der zentralen Elemente. Der integrierende Verst¨arker (Abb. 7.14) bildet das zeitliche Integral einer Eingangsspannung. F¨ ur den Fall, daß der Anfangswert der Ausgangsspannung uA zu Beginn der Integration den Wert Null annimmt, folgt Z Z Z t 1 t 1 t 1 uA = iG dt = − iE dt = − uE dt . (7.45) C 0 C 0 RC 0

7.1 Operationsverst¨ arker

187

Abb. 7.14. Integrierende Operationsverst¨ arkerschaltung

Differenzierender Verst¨ arker (Prinzip) Der differenzierende Verst¨ arker (Abb. 7.15) hat die Aufgabe, die Eingangsspannung uE zeitlich zu differenzieren uA = iG R = −iE R = −RC

duE . dt

(7.46)

Abb. 7.15. Prinzip einer differenzierenden Operationsverst¨ arkerschaltung

Differenzierender Verst¨ arker (praktische Realisierung) Die Schwingneigung der Prinzipschaltung nach Abb. 7.15 kann vermieden werden, wenn die modifizierte Differenzierer-Schaltung nach Abb. 7.16 verwendet wird. Die reine Differenzierung der Eingangsspannung erreicht man durch die Wahl entsprechender Zeitkonstanten R1 C1 und R2 C2 . Denn w¨ahlt man diese so klein, daß die h¨ ochste in der Eingangsspannung enthaltene Signalfrequenz ω klein ist gegen¨ uber den Kehrwerten der beiden Zeitkonstanten 1 R1 C1 1 ω≪ , R2 C2

ω≪

folgt wiederum

(7.47) (7.48)

duE . (7.49) dt Eine modifizierte Operationsverst¨ arkerschaltung eines Differenzierers wird in [85] behandelt. uA = −R2 C1

188

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.16. Differenzierende Operationsverst¨ arkerschaltung (technisch verwendbar)

Logarithmierender Verst¨ arker mit Diode Eine die Eingangsspannung logarithmierende Operationsverst¨arkerschaltung enth¨alt eine Diode im R¨ uckkoppelzweig (Abb. 7.17). Mit der f¨ ur den Durchlaßbereich vereinfachten (Diodensperrstrom IS ≪ Diodenstrom iD ) Diodenkennlinie iD = f (uD ) uD (7.50) iD = IS e mUT folgt unter Ber¨ ucksichtigung der Knotengleichung iD = iE die Ausgangsspannung uA als logarithmierte Eingangsspannung uE   iE uE uA = −mUT ln f¨ ur uE > 0 . (7.51) = −mUT ln IS IS R Dabei bezeichnen IS den temperaturabh¨ angigen Sperrstrom der Diode, m = 1...2 den stromabh¨ angigen Korrekturfaktor und UT die Temperaturspannung der Diode kT UT = , (7.52) e0 die bei einer Temperatur T = 25◦ C einen Wert von UT = 25, 7 mV aufweist. In Gl. (7.52) wurden folgende Bezeichnungen verwendet: die Boltzmann-Konstante k = 1, 38 · 10−23 Ws/K, die absolute Temperatur T (K) und die Elementarladung e0 = 1, 6 · 10−19 As.

Abb. 7.17. Logarithmierende Operationsverst¨ arkerschaltung mit Diode

7.1 Operationsverst¨ arker

189

Logarithmierender Verst¨ arker mit Transistor Der Einfluß des stromabh¨ angigen Korrekturfaktors m (Gl. (7.51)) l¨aßt sich umgehen, wenn man statt der Diode einen Transistor gem¨aß Abb. 7.18 einsetzt. F¨ ur den Kollektorstrom iC gilt bei kleinem Kollektorsperrstrom ICS (ICS ≪ iC ) uBE (7.53) iC = ICS e UT , wobei uBE die Basis-Emitter-Spannung und UT die Temperaturspannung bezeichnen. F¨ ur die Ausgangsspannung uA des Logarithmierers folgt daraus f¨ ur uE > 0   uE uA = −UT ln . (7.54) RICS

Abb. 7.18. Prinzipschaltung eines Logarithmierers mit Operationsverst¨ arker und einem Transistor im R¨ uckkoppelzweig

e-Funktionsgenerator Wenn man in der logarithmierenden Operationsverst¨arkerschaltung (Abb. 7.19) Widerstand und Transistor vertauscht, invertiert man die mathematische Operation des Logarithmierens, d. h. der nat¨ urliche Logarithmus aus Gl. (7.54) geht u ur uE < 0 kann die Aus¨ber in eine Exponentialfunktion. F¨ gangsspannung wie folgt angegeben werden uA = RiC = RICS e−uE /UT .

Abb. 7.19. Einfacher e-Funktionsgenerator

(7.55)

190

7 Meßverst¨ arker

Komparator ohne Hysterese Ein unbeschalteter Operationsverst¨ arker, wie er in Abb. 7.20 gezeigt wird, stellt einen Komparator ohne Hysterese dar. Seine Ausgangsspannung l¨auft f¨ ur positive Eingangsspannungen uD > 0, d. h. u1 < u2 , auf ihren positiven Grenzwert uAmax uA = +uAmax f¨ ur u1 < u2 . (7.56) Umgekehrt wird f¨ ur eine negative Differenzeingangsspannung uD < 0, d. h. u1 > u2 , der negative Grenzwert erreicht, der dem positiven mit umgekehrtem Vorzeichen entspricht uA = −uAmax

f¨ ur

u1 > u2 .

(7.57)

Abb. 7.20. Komparator ohne Hysterese

Invertierender Komparator mit Hysterese (Invertierender Schmitt-Trigger) Bei einem Komparator mit Hysterese, der auch als invertierender SchmittTrigger bezeichnet wird, gibt es im Gegensatz zu einem Komparator ohne Hysterese zwei Schaltschwellen, die im folgenden mit uEauf und uEab bezeichnet werden. Dieses Schaltverhalten wird u ¨ber eine Mitkopplung des Komparators erreicht (Abb. 7.21a), d. h. ein Teil der Ausgangsspannung uA wird mit Hilfe des aus R1 und R2 bestehenden Spannungsteilers auf den nichtinvertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers zur¨ uckgekoppelt. Bei vernachl¨assigbarer Differenzeingangsspannung liegt die Eingangsspannung uE am Widerstand R1 des Spannungsteilers an, so daß unter Ber¨ ucksichtigung der Tatsache, daß die Ausgangsspannung infolge der Mitkopplung nur die Werte +uAmax bzw. −uAmax annehmen kann, die Schaltschwellen uEauf bzw. uEab (Abb. 7.21b) wie folgt hergeleitet werden k¨ onnen R1 , R1 + R2 R1 . = +uAmax R1 + R2

uEauf = −uAmax uEab

(7.58) (7.59)

7.1 Operationsverst¨ arker

191

Es sei darauf hingewiesen, daß der einzige Unterschied zwischen der Schaltung eines Schmitt-Triggers (Abb. 7.21) und einem nicht-invertierenden Spannungsverst¨arker (Abb. 7.10) die Form der R¨ uckkopplung ist. W¨ahrend der nicht-invertierende Spannungsverst¨ arker gegengekoppelt ist (R¨ uckkopplung des Spannungsteilers auf den invertierenden Eingang des Operationsverst¨arkers) und damit absolut stabil arbeitet, ist die R¨ uckkopplung beim SchmittTrigger eine Mitkopplung (R¨ uckkopplung auf den nicht-invertierenden Eingang des Operationsverst¨ arkers), so daß sich das gezeigte bistabile Verhalten einstellt, d. h. die Ausgangsspannung l¨ auft entweder auf ihren positiven oder ihren negativen Endwert.

Abb. 7.21. Invertierender Schmitt-Trigger: a) Operationsverst¨ arkerschaltung, b) Kennlinien des invertierenden Schmitt-Triggers

Multivibrator Wenn die Ausgangsspannung eines invertierenden Schmitt-Triggers zeitlich verz¨ogert auf den Eingang zur¨ uckgef¨ uhrt wird, entsteht ein sog. Multivibrator. Dies ist ein Oszillator, der eine Rechteckschwingung liefert. Anhand des Schaltbildes nach Abb. 7.22 l¨ aßt sich die Differentialgleichung f¨ ur uC (t) ableiten, indem man die Knotenregel f¨ ur den Verbindungsknoten zwischen R und C anwendet duC ±uAmax − uC = . (7.60) dt RC Mit der Anfangsbedingung uC (t = 0) = uEauf ergibt sich die L¨osung dieser Differentialgleichung zu   2R1 + R2 −t/RC uC (t) = uAmax 1 − . (7.61) e R1 + R2 Die Periodendauer T der Rechteckschwingung betr¨agt somit   2R1 . T = 2RC ln 1 + R2

(7.62)

F¨ ur R1 = R2 folgt

T = 2RC ln 3 ≈ 2, 2RC .

(7.63)

192

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.22. a) Multivibrator mit Komparator, b) Spannungsverl¨ aufe in der Multivibrator-Schaltung

Voltmeterschaltung Die Voltmeterschaltung (Abb. 7.23) erm¨ oglicht eine hochohmige Spannungsmessung mit einem Strommeßger¨ at. Es handelt sich dabei um einen Spannungsverst¨arker mit Stromausgang. Bei Vernachl¨assigung der Differenzeingangsspannung f¨allt die Eingangsspannung uE direkt am Widerstand R ab, so daß uE (7.64) iM = R gilt, woraus unmittelbar die gew¨ unschte Proportionalit¨at zwischen uE und iM folgt iM ∼ uE . (7.65)

Abb. 7.23. Voltmeterschaltung

Stromgesteuerte Spannungsquelle Abbildung 7.24 zeigt die Schaltung einer mit Hilfe eines Operationsverst¨arkers realisierten stromgesteuerten Spannungsquelle. Bei einer stromgesteuerten Spannungsquelle ist die Ausgangsspannung uA proportional dem Eingangsstrom iE . Wenn man den Operationsverst¨ arkereingangsstrom iN vernachl¨assigt,

7.1 Operationsverst¨ arker

193

folgt unmittelbar der Zusammenhang zwischen Eingangsstrom iE und der Ausgangsspannung uA uA = −iE R . (7.66) Prinzipiell k¨onnte diese Schaltung auch der Strommessung mit niedrigem Innenwiderstand dienen. Der Nachteil, daß eine Eingangsklemme auf Massepotential liegt, wird allerdings erst durch die folgende Amperemeterschaltung vermieden.

Abb. 7.24. Stromgesteuerte Spannungsquelle

Amperemeterschaltung Die Amperemeterschaltung (Abb. 7.25) erlaubt die niederohmige Strommessung mit einem Spannungsmeßger¨ at, wobei an den Meßkontakten keine Spannung abf¨allt, d. h. es wird leistungslos und damit ohne einen durch den Innenwiderstand eines Meßger¨ ates bedingten systematischen Fehler gemessen. Bei Vernachl¨assigung der Eingangsdifferenzspannungen der Operationsverst¨arker verschwindet die Eingangsspannung uE uE = 0 .

Abb. 7.25. Erdfreie Amperemeterschaltung

(7.67)

194

7 Meßverst¨ arker

Weiterhin liegen die mit u′ gekennzeichneten Punkte auf gleichem Potential. Die Potentialdifferenz gegen Masse betr¨ agt u′ . Damit kann man bez¨ uglich der Operationsverst¨ arker 1 und 2 die beiden folgenden Spannungsuml¨aufe angeben −u′ + iE R1 + u2 = 0 (7.68) und −u′ − iE R1 + u1 = 0 .

(7.69)

Die Subtraktion der Gl. (7.69) von Gl. (7.68) liefert 2iE R1 = −(u2 − u1 ) .

(7.70)

Die Differenzbildung (u2 − u1 ) der beiden Teilspannungen wird von dem nachfolgenden subtrahierenden Verst¨ arker vorgenommen (siehe auch Abb. 7.12 bzw. Gl. (7.43)), so daß, wie bei der Strommessung gefordert, die Ausgangsspannung uA proportional dem Eingangsstrom iE ist uA = u1 − u2 = −(u2 − u1 ) = 2R1 iE .

(7.71)

Stromverst¨ arker Beim Stromverst¨arker (Abb. 7.26) ist der Strom iM , welcher durch das am Ausgang des Operationsverst¨ arkers liegende Meßwerk fließt, proportional zum Eingangsstrom iE . Wenn man wiederum die Differenzeingangsspannung des Operationsverst¨arkers vernachl¨ assigt, f¨ allt an den Widerst¨anden R1 und R2 dieselbe Spannung u ab iE R1 = −u (iE + iM )R2 = u .

(7.72) (7.73)

Aus den Gln. (7.72) und (7.73) folgt iM = −

R1 + R2 iE R2

(7.74)

u R1 iE

iM iE + iM R2

u

Abb. 7.26. Stromverst¨ arker

7.1 Operationsverst¨ arker

195

bzw. die gew¨ unschte Proportionalit¨ at zwischen dem Eingangsstrom iE und dem Strom iM durch das Meßger¨ at iM ∼ iE .

(7.75)

Aktiver Vollweg-Gleichrichter Mit Hilfe von Operationsverst¨ arkern lassen sich auch mit realen Dioden nahezu ideale Gleichrichter in Form sog. aktiver Gleichrichterschaltungen realisieren. Der Hauptnachteil von nicht-aktiven Gleichrichterschaltungen, also Schaltungen, die nur auf Dioden basieren, beruht auf der endlichen Diodenschwellenspannung (0,7 V bei Siliziumdioden (Kap. 6.3.2)). Abbildung 7.27 zeigt eine aktive Vollweg-Gleichrichterschaltung, deren Ausgangsspannung uA dem Betrag der Eingangsspannung uE entspricht uA = |uE | .

(7.76)

Der linke Abschnitt der Schaltung stellt einen aktiven Einweg-Gleichrichter dar. Es gilt uA1 = −uE f¨ ur uE ≥ 0 (7.77)

bzw.

uA1 = 0 f¨ ur uE < 0 .

(7.78)

Die rechte Teilschaltung ist ein addierender Verst¨arker (Abb. 7.11 bzw. Gl. (7.39)), der in Verbindung mit dem Einweg-Gleichrichter insgesamt zu einem Vollweg-Gleichrichter f¨ uhrt. Damit ergibt sich die Ausgangsspannung uA f¨ ur negative Eingangsspannungswerte zu uA = −uE f¨ ur uE < 0 .

(7.79)

F¨ ur positive Eingangsspannungen uE folgt aus der f¨ ur den Addierer geltenden Beziehung zwischen Ausgangsspannung und Eingangsspannung (Gl. (7.39)) ! uE −uE R = uE f¨ ur uE > 0 . (7.80) + R uA = − R 2

Abb. 7.27. Aktive Vollweg-Gleichrichterschaltung

196

7 Meßverst¨ arker

Die Auswirkungen von nicht vernachl¨ assigbaren Diodenschwellenspannungen bei endlicher Verst¨ arkung der Operationsverst¨ arker wird in [85] behandelt. Es sei darauf hingewiesen, daß aus Offsetspannungen und Eingangsstr¨omen des Operationsverst¨arkers weitere Fehler resultieren k¨onnen. 7.1.5 Operationsverst¨ arker mit differentiellem Ausgang W¨ahrend die bisher behandelten Standard-Operationsverst¨arker einen massebezogenen Ausgang (Single-ended Output) haben, finden seit einiger Zeit auch spezielle Operationsverst¨ arker mit einem differentiellen Ausgang (Abb. 7.28a) h¨ aufiger Anwendung. Statt des einen Ausgangs gibt es hierbei zwei Ausgangsleitungen, eine positive und eine negative. Die negative Ausgangsleitung ist am Invertierungszeichen zu erkennen. Die Ausg¨ange sind hier wie die Eing¨ange differentiell geschaltet. Dies bedeutet, dass die beiden Ausg¨ange

+

uN

uA uD

_

uP

uA

a) +U B interner Operationsverstärker zur Regelung der Gleichtaktspannung u glA

uN rA

+

uA

uDV0 uD

interne Rückkopplung uDV0 rA

_

uA

uP

b)

u glA -UB

Abb. 7.28. Differentieller Operationsverst¨ arker: a) vereinfachte Darstellung; b) Darstellung mit Eingang zur Regelung der Ausgangsgleichtaktspannung

7.1 Operationsverst¨ arker

197

gegen¨ uber Masse betragsm¨ aßig dieselbe Spannung aufweisen, sie haben nur umgekehrte Vorzeichen. Im Gegensatz zu den bisher behandelten Schaltungen mit Single-ended Ausgang sind nunmehr zwei R¨ uckkopplungschleifen notwendig (Abbn. 7.29 - 7.31), welche identisch aufgebaut sein m¨ ussen. Um einen stabilen Betrieb zu erm¨ oglichen, m¨ ussen die Ausg¨ange auf den Eingang mit jeweilig umgekehrter Polarit¨ at (Vorzeichen) zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Ein weiterer Unterschied zum klassischen Operationsverst¨arker ist die zus¨atzliche Eingangsklemme uglA (Abb. 7.28b). Sie hat die Aufgabe, eventuell auf beiden Eing¨ angen (uP und uN ) gleichsinnig lastende St¨orspannungen, d. h. also Gleichtaktspannungen, am Ausgang zu kompensieren. Dies bedeutet, dass der Operationsverst¨ arker mit differentiellem Ausgang in der Lage ist, Gleichtaktst¨orungen zu unterdr¨ ucken. F¨ ur den Fall, dass kein Signal an den uglA -Eingang angelegt wird, erscheint die halbe Betriebsspannung als Gleichtaktsignal am Ausgang. Ansonsten erh¨ alt man das angelegte uglA -Signal als Offset im Ausgangssignal. Definitionen f¨ ur differentielle Operationsverst¨ arker •

Differentielle Ausgangsspannung uDA − uDA = u+ A − uA

•

Gleichtakt-Ausgangsspannung uglA uglA =

•

(7.81)

− u+ a + uA 2

(7.82)

(Gesamt-)Spannungsverst¨ arkung VDA VDA =

− u+ uDA A − uA = = 2 V0 uP − uN uD

(7.83)

Abbildung 7.29 zeigt eine Verst¨ arkerstufe mit differentiellem Ausgang. Es gibt nunnmehr zwei R¨ uckkopplungsschleifen, welche identische R¨ uckkopplungswiderst¨ande (R1 ) enthalten. Die (differentielle) Spannungsverst¨arkung ergibt sich wie im Fall des Operationsverst¨ arkers mit nicht-differentiellem Ausgang zu R1 _

uE

R2

+

uA _

+

uE

uA

R2 R1

Abb. 7.29. Differentielle Verst¨ arkerstufe

198

7 Meßverst¨ arker

V =

− R1 u+ A − uA , = + R2 uE − u− E

(7.84)

d. h. wie gewohnt aus dem Verh¨ altnis der Widerst¨ande von R¨ uckkopplungsund Eingangszweig. Es sei nochmals betont, dass im Gegensatz zum klassischen Operationsverst¨ arker hier beide R¨ uckkopplungsschleifen geschlossen werden m¨ ussen, um ein einwandfreies Arbeiten der Schaltung zu gew¨ahrleisten. Im Falle von nicht identischen R¨ uckkopplungszweigen kommt es zu Gleichtaktfehlern im Ausgangssignal. So f¨ uhrt beispielsweise eine Abweichung von 0,1 % in den Widerst¨ anden zu einem CMRR (s. Gl. (7.18)) von 60 dB. In der Praxis ist oft die Konvertierung eines massebezogenen Signals in ein nicht-massebezogenes differentielles Signal gefragt. Abbildung 7.30 zeigt die beiden Schaltungsvarianten, die diese Aufgabe erf¨ ullen. Sie arbeiten beide gleichermaßen, auch wenn einmal das Eingangssignal auf den invertierenden und das andere Mal auf den nicht-invertierenden Eingang gelegt wird. R1

R1

R2

_

uE

uA R 2'

R2

+

uA

+

uA _

uA

uE

R1

R2'

R1

Abb. 7.30. Schaltungen zur Konvertierung von massebezogenen Eingangssignalen (single-ended input) in differentielle Ausgangssignale

Die Verst¨arkung V ergibt sich in beiden F¨ allen wiederum aus dem Verh¨altnis der Widerst¨ande von R¨ uckkopplungs- und Eingangszweig V =

− u+ R1 A − uA = . uE R2

(7.85)

Hierbei ist zu beachten, dass der Innenwiderstand RiQ der am Eingang ange′ ′ schlossenen Quelle (z. B. RiQ = 50 Ω) in die Berechnung von R2 eingeht. R2 ist also um diesen Wert (50 Ω) zu vergr¨ oßern. Eine der Hauptanwendungen von differentiellen Operationsverst¨arkern ist die Ansteuerung von Analog-Digital-Umsetzern (s. Kap. 11.6). Moderne Analog-Digital-Umsetzer (ADU bzw. ADC) besitzen in der Regel einen diffe− rentiellen Eingang mit zwei Eingangssignalen u+ IN und uIN (s. Abb. 7.31). Das auf diesen differentiellen Eingang bezogene Nullsignal entspricht der Gleich− taktspannung an seinem Eingang. Diese betr¨ agt 1/2 (u+ IN +uIN ). Das maximale + − Eingangssignal uIN − uIN darf die Versorgungsspannung nicht u ¨berschreiten; sie liegt meist bei wenigen Volt (3 V - 5 V). Die Bezugspotentiale des differentiellen Eingangs entsprechen dabei einerseits dem Massepotential der Schaltung

7.1 Operationsverst¨ arker

199

C1 R3 _ uE

R2

R1

+ UB

u+IN

u Esignal + uE

C2

R3

R2

u glA R1

_

C2

u IN

ADU u refADU

_U

B

C1 Abb. 7.31. Schaltung mit differentiellem Operationsverst¨ arker zur Ansteuerung eines Analog-Digital-Umsetzers

und andererseits dem Wert der Versorgungsspannung. In der potentialm¨aßigen Mitte liegt das Nullsignal des ADU-Eingangs, welches, wie bereits oben erw¨ahnt, identisch ist mit der Gleichtaktspannung am Eingang des ADUs. Die klassische Schaltungstechnik zur Ansteuerung von ADUs besteht in der Verwendung von zwei Operationsverst¨ arkern, die als Differenzverst¨arker arbeiten. Zus¨atzlich ist ein dritter Operationsverst¨arker notwendig, um den Differenzverst¨arker mit der vom ADU ben¨ otigten Gleichtaktspannung vorzuspannen. Die Alternativl¨ osung verwendet einen Transformator zur Signal¨ ubertragung am Eingang des ADU. Die letztgenannte L¨osung schließt allerdings die Analog-Digital-Umsetzung von Gleichsignalen aus. Hier bieten differentielle Operationsverst¨ arker nunmehr die M¨oglichkeit, mit nur einem aktiven Bauteil und auch weniger passiven Bauelementen auszukommen [113]. Um ein massebezogenes Eingangssignal in der oben beschriebenen Weise auf das Eingangsspannungsintervall abzubilden, muss also die Gleichtaktspannung am Eingang des ADUs (entspricht dem Wert des Nullsignals am Eingang) von der differentiellen Ausgangsstufe des Operationsverst¨arkers bereitgestellt werden. Da die Ausgangsgleichtaktspannung am Eingang uglA vorgegeben werden kann, nutzt man die M¨oglichkeit von modernen ADUs, genau diesen Spannungswert bereitzustellen. Die Treiberstufe f¨ ur den ADU auf Basis eines differentiellen Operationverst¨arkers funktioniert also, wenn man dieses Ausgangssignal des ADU auf den uglA -Eingang des Operationsverst¨arkers gibt. Diese Schaltung hat den Vorteil einer im Idealfall nahezu vollst¨andigen Unterdr¨ uckung von Gleichtaktst¨ orsignalen am Eingang. Zudem werden infolge der differentiellen Ausf¨ uhrung die geradzahligen Vielfachen der Grundwelle und damit die harmonischen Verzerrungen (s. a. Kap. 13.6 Klirrfaktor“) re” duziert [113].

200

7 Meßverst¨ arker

Es sei noch erw¨ahnt, dass der durch die Bauelemente R1 und C1 gebildete Tiefpaß ein Anti-Aliasing-Filter (s. Kap. 11.7.1) darstellt. Es hat ein 3 dBGrenzfrequenz von 1 . (7.86) fg = 2πR1 C1 Der Widerstand R3 entkoppelt den Ausgang des Operationsverst¨arkers von C2 , dessen Aufgabe das schnelle Laden der Eingangskapazit¨at des Wandlers (s. Kap. 11.7.2) ist. Typisch sind Werte R3 =10 bis 30 Ω und C2 = 0,1 bis 2 nF. Tabelle 7.2 enth¨ alt typische Vertreter von kommerziell erh¨altlichen Operationsverst¨arkern mit differentiellem Ausgang. Weitere Informationen zu differentiellen Operationsverst¨ arkern findet der interessierte Leser in [72], [73]. Tabelle 7.2. Leistungsdaten differentieller Operationsverst¨ arker (Stand: Juni 2010) Bezeichnung

ADA4960-1

CA3112

LMH6554

LTC6412

THS4509

Hersteller

Analog Devices

Intersil

National

Linear Technology

TI

Auswahlkriterium

∗1

∗2

∗3

∗4

∗5

300 mW

≪ 300 mW

260 mW

330 mW

180 mW

max. Leistung SR fT u-Rauschen Ubmax Preis ca.

8,7 kV/µs

6,2 kV/µs

6,6 kV/µs

5 GHz 1,35 GHz 2,8 GHz 800 MHz 3 GHz √ √ √ √ 1,6 nV/ Hz 0,9 nV/ Hz 2,7 nV/ Hz 2,3 nV/ Hz 5,35 V

24 V

7,65 USD

4,94 USD

± 5,5 V

5,90 EUR

3,8 V

5,5 V

7,45 USD

4,95 USD

∗1 Die Verst¨ arkung des ADA4960-1 kann mittels eines Widerstandes eingestellt werden. ∗2 Beim CA3112 handelt es sich um 6 Transistoren, die die typische Ver schaltung zweier Differenzverst¨ arker aufweisen. ∗3 Der LMH6554 hat einen Abschalteingang, um die Leistungsaufnahme zu reduzieren. ∗4 Die Verst¨ arkung des LTC6412 ist mittels einer analogen Steuerspannung beeinflußbar (AGC). ∗5 Die moderate Stromaufnahme zeichnet den THS4509 aus.

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker 7.2.1 Differenzverst¨ arker Ein Differenzverst¨arker ist notwendig, um die Signale von Quellen mit floatendem Eingang (nicht massebezogenem Eingang) zu verst¨arken. Dabei handelt es sich um Quellen, deren Potentiale gegen¨ uber Masse schwanken. Dies ist

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker

201

z. B. bei Strommessungen mittels Shunt oft der Fall. Auch bei massebezogenen Signalquellen bietet der Differenzverst¨ arker den Vorteil hoher Gleichtaktunterdr¨ uckung (> 100 dB). Abbildung 7.32 zeigt den Schaltungsaufbau. Der Verst¨arkungsgrad dieser Schaltung kann leicht nach dem Superpositionsprinzip berechnet werden V =

R1 uA = . uE2 − uE1 R2

(7.87)

Um die Eigenschaften des Differenzverst¨ arkers zu verbessern, insbesondere im Hinblick auf eine Erh¨ ohung der Eingangsimpedanz werden sog. Instrumentenverst¨arker eingesetzt, die auch als Instrumentierungsverst¨arker bezeichnetwerden (s. Kap. 7.2.2). Diese besitzen eine sehr hohe Eingangsimpedanz. Dabei ist zu bedenken, daß der Innenwiderstand Ri einer an den Differenzeingang des Verst¨arkers nach Abbildung 7.32 angeschlossenen Spannungsquelle den Verst¨arkungsgrad ver¨ andert V →V =

R1 . R2 + Ri

(7.88)

R1 R2

u E1

u E2

uA

R2 R1

Abb. 7.32. Differenzverst¨ arker

7.2.2 Instrumentenverst¨ arker (Instrumentierungsverst¨ arker) In der Elektrischen Meßtechnik werden h¨ aufig pr¨azise arbeitende Meßverst¨arker ben¨otigt, die in der Lage sind, einen hohen Gleichtaktst¨oranteil m¨oglichst vollst¨andig zu unterdr¨ ucken und nur den Differenzanteil, der in diesem Fall dem Nutzsignal entspricht, zu verst¨ arken. Zur Erf¨ ullung dieser Anforderungen scheiden somit alle Verst¨ arkertypen aus, bei denen einer der Eing¨ange auf Bezugspotential liegt. Mit dem in Abb. 7.33 gezeigten Instrumentenverst¨arker, der von einem Subtrahierverst¨ arker mit zwei vorgeschalteten Elektrometerverst¨arkern gebildet wird, werden die gestellten Anforderungen erf¨ ullt. Neben der hohen Gleichtaktunterdr¨ uckung zeichnet sich der Instrumentenverst¨arker vor allem durch gute Linearit¨ atseigenschaften, hohen Eingangswiderstand sowie eine geringe Beeinflussung durch Eingangsst¨orgr¨oßen aus. Die beiden Operationsverst¨arker 1 und 2 liefern die Spannung u1

202

7 Meßverst¨ arker

Abb. 7.33. Schaltung eines Instrumentenverst¨ arkers

uE1 − uE2 = u1 = uE1 + R1 R

  R1 R1 uE1 − 1+ uE2 R R

(7.89)

bzw. die Spannung u2 uE1 − uE2 u2 = uE2 − R2 = R

  R2 R2 1+ uE1 . uE2 − R R

(7.90)

F¨ ur eine reine Gleichtakteingangsspannung uE1 = uE2 = ugl ergibt sich demnach f¨ ur beide Stufen (1 und 2) eine Gleichtaktverst¨arkung vom Wert 1 u1 u2 = =1. ugl ugl

(7.91)

Der nachgeschaltete Subtrahiererverst¨ arker (OpAmp 3) liefert f¨ ur die folgendermaßen dimensionierten Widerst¨ ande R6 R4 = R3 R5

(7.92)

die Ausgangsspannung uA (Gl. (7.41)) uA =

R4 (u2 − u1 ) . R3

(7.93)

Mit den Gln. (7.89) und (7.90) ergibt sich die Differenzverst¨arkung zu   R1 + R2 R4 uA . (7.94) 1+ = uE2 − uE1 R3 R Wenn man die Schaltung vollkommen symmetrisch aufbaut (R1 = R2 = R′ und R3 = R4 = R5 = R6 ), folgt

7.2 Spezielle Meßverst¨ arker

uA 2R′ =1+ . uE2 − uE1 R

203

(7.95)

Die Gleichtaktverst¨ arkung der Gesamtschaltung ist dann aus Symmetriegr¨ unden (Gl. (7.91)) gleich Null. Die Differenzverst¨ arkung l¨aßt sich u ¨ber R einstellen, ohne daß in die (abgeglichene) Stufe 3 eingegriffen werden muß. Instrumentenverst¨arker sind komplett integriert als 1-Chip-Bausteine kommerziell erh¨altlich (z. B. LTC 2053 von Linear Technology (s. Tab. 7.1)). 7.2.3 Zerhacker-Verst¨ arker Mit Hilfe von Zerhacker-Verst¨arkern, die auch unter dem Begriff ChopperVerst¨arker bekannt sind, werden Gleichspannungen verst¨arkt, ohne daß gr¨oßere Fehler durch Offsetspannungen auftreten. Sie stellen hochwertige Gleichspannungsverst¨arker mit geringen Spannungsdriften (5. . . 25 nV/K) dar, allerdings weisen sie h¨ ohere Rauschpegel als Verst¨arker ohne Chopper auf. Das Prinzip des Zerhacker-Verst¨ arkers beruht auf der Umwandlung (Zerhacken) einer Gleichspannung in eine Wechselspannung, der Verst¨arkung dieser Wechselspannung mit einem Wechselspannungsverst¨arker und einer anschließenden Synchron-Gleichrichtung. Abbildung 7.34 zeigt das Prinzip eines Eintakt-Zerhacker-Verst¨ arkers. Der RC-Tiefpaß am Eingang stellt sicher, daß eventuell im Eingangssignal uE enthaltene h¨ oher frequente Spektralanteile weggefiltert werden; denn zum einwandfreien Funktionieren des ZerhackerVerst¨arkers ist es notwendig, daß die Zerhackerfrequenz wesentlich gr¨oßer ist als die h¨ochste zu verst¨ arkende Signalfrequenz. Die Hochpaßfilternetzwerke C2 R2 und C3 R3 befreien Verst¨ arkereingangs- und -ausgangssignal jeweils vom Gleichspannungsanteil. F¨ ur den Fall eines idealen Wechselspannungsverst¨arkers (frequenzunabh¨ angige Verst¨ arkung und keine Frequenzabh¨angigkeit der Phasenverschiebung) sorgt das synchrone Umschalten der beiden Schalter S1 und S2 f¨ ur eine am Ausgangstiefpaß R4 C4 anliegende Signalspannung, die im wesentlichen wieder eine Gleichspannung ist. Die Schalter S1 und S2 arbeiten dabei als Synchrongleichrichter. Wenn f¨ ur die Zerhackerkreisfrequenz die Relation 1 (7.96) ωtakt ≫ R4 C4 eingehalten wird, ergibt sich die Ausgangsspannung uA zu [77] uA = V uE .

(7.97)

Als nachteilig kann sich bei Zerhacker-Verst¨ arkern die geringe Signalbandbreite auswirken, welche auf die am Eingang notwendige Tiefpaßfilterung zur¨ uckzuf¨ uhren ist. In der Praxis lassen sich nur Signalbandbreiten von etwa 0, 1 · ftakt bis 0, 3 · ftakt realisieren.

204

7 Meßverst¨ arker

synchrones Schalten R1

S1

S2

R4

2V

C2 uE

u1 R 2

C1

C3 u2

u3 R 3

C4

u4

uA

u E(t) 0 u 1 (t)

t

0 u 2 (t)

t

0 t

u 3 (t) 0 t u 4 (t), u A(t)

u4

uA

0

t

Abb. 7.34. Prinzipschaltung eines Zerhacker-Verst¨ arkers. Der Verst¨ arker V muß keine Gleichspannungs¨ ubertragungseigenschaften aufweisen, da er als reiner Wechselspannungsverst¨ arker arbeitet. Die Signalverl¨ aufe gelten f¨ ur einen Verst¨ arker, der einen Gesamt-Verst¨ arkungsfaktor (uA /uE ) von V = 2 aufweist.

7.2.4 Ladungsverst¨ arker Die elektrische Ladung kann mit Hilfe eines ballistischen Galvanometers gemessen werden. Das ballistische Galvanometer ist eine spezielle Ausf¨ uhrungsform des Drehspulmeßger¨ ates, dessen Wirkung darauf beruht, daß der ballistische Zeigerausschlag des Instrumentes unter bestimmten Bedingungen der ihm zugef¨ uhrten elektrischen Ladung proportional ist (siehe Kap. 6.1.2). Mit ballistischen Galvanometern sind Ladungsmessungen ab Q = 1 nC m¨oglich, wenn die Integrationszeit (jene Zeit, in der dem Drehspulmeßwerk die Ladung durch einen Strom zugef¨ uhrt wird) nicht gr¨ oßer ist als 10 % der Periodendauer der mechanischen Eigenschwingung des Galvanometers. In der modernen (elektronischen) Meßtechnik bedient man sich bei der Ladungsmessung elektronischer Verst¨arkerschaltungen, die als Ladungsverst¨arker bezeichnet werden. Mit Hilfe von Ladungsverst¨ arkern lassen sich auch Ladungsmengen messen, die wesentlich kleiner sind als die oben angegebene Grenze von Q = 1 nC.

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

205

Abb. 7.35. Ladungsverst¨ arker

Beim Ladungsverst¨ arker (Abb. 7.35) wird eine verlustarme Kapazit¨at C verwendet, um die von einem Strom i(t) in einem definierten Zeitintervall [0,t] gelieferte Ladung zu integrieren. Es gilt Z t q(t) = i(t′ ) dt′ = Cu(t) . (7.98) 0

Bei Vernachl¨assigung der Eingangsdifferenzspannung (uA = −u(t)) folgt uA (t) = −

1 q(t) . C

(7.99)

Die Ausgangsspannung uA (t) ist also proportional der vom Strom i(t) gelieferten Ladung q(t). Der effektive Eingangswiderstand eines idealen Ladungsverst¨arkers betr¨agt RE = 0. Problematisch sind bei Ladungs- und Integrationsverst¨arkern die Nullpunktfehlergr¨ oßen, die auch bei nicht vorhandenem Eingangssignal eine Hochintegration der Ausgangsspannung bis zur Begrenzung durch eine der beiden Speisespannungen bewirken. Im Dauerbetrieb ist entweder eine zyklische R¨ ucksetzung der Spannung an der Integrationskapazit¨at notwendig, oder es muß mit einem hochohmigen Parallelwiderstand zur Kapazit¨at daf¨ ur gesorgt werden, daß die durch Nullpunktfehler bedingte langsame Aufladung der Kapazit¨ at durch einen ebenso großen Entladestrom kompensiert wird.

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern Unter Rauschen versteht man die statistische Abweichung eines Signals von seinem Sollwert. Bei elektronischen Bauteilen und damit auch bei elektronischen Meßverst¨arkern unterscheidet man die folgenden, auf unterschiedlichen physikalischen Ursachen beruhenden Arten von Rauschen, welche verschiedenen Spektralbereichen zugeordnet werden k¨ onnen (Abb. 7.36). •

Thermisches Rauschen (Johnson-noise) Das thermische Rauschen, das auch Widerstandsrauschen genannt wird, findet man in allen elektrischen Bauteilen mit Verlustwiderst¨anden. Es ist auf willk¨ urliche Ladungstr¨ agerbewegungen (W¨armebewegung der freien

206

7 Meßverst¨ arker

spektrale Rauschleistungsdichte

PopcornRauschen 1/f - Rauschen (Funkelrauschen) Thermisches Rauschen, Schrotrauschen

f Abb. 7.36. Spektrale Zuordnung verschiedener Rauscharten

Elektronen (Valenzelektronen)) zur¨ uckzuf¨ uhren, die mit der Temperatur an Intensit¨at zunehmen. Ein ohmscher Widerstand kann bez¨ uglich seines Rauschverhaltens durch eines der in Abb. 7.37 gezeigten Ersatzschaltbilder dargestellt werden [14]. Die Effektivwerte der dort gezeigten RauschErsatzspannungs- bzw. Rausch-Ersatzstromquelle lassen sich anhand der sog. NYQUIST-Formel ermitteln: – NYQUIST-Formel in bezug auf eine Ersatzspannungsquelle 2 Ureff = u2r (t) = 4kT RB

(7.100)

– NYQUIST-Formel in bezug auf eine Ersatzstromquelle (Abb. 7.37c) 2 Ireff = i2r (t) = 4kT

1 B. R

(7.101)

Dabei bezeichnen k = 1, 38 · 10−23 Ws/K die Boltzmann-Konstante, T (K) die absolute Temperatur, B (Hz) die Beobachtungsbandbreite, R (Ω) den Wert des ohmschen Widerstandes, Ureff die effektive Leerlaufspannung der Rausch-Ersatzspannungsquelle und Ireff den effektiven Kurzschlußstrom der Rausch-Ersatzstromquelle. Das thermische Rauschen ist ein sog. Weißes Rauschen, d. h. es zeigt im interessierenden Frequenzbereich keinerlei spektrale Abh¨angigkeit.

R R ur a)

1 G=R

bzw.

b)

ir c)

Abb. 7.37. Ersatzrauschquellen eines ohmschen Widerstandes: a) rauschender ohmscher Widerstand, b) Ersatzspannungsquelle: rauschfreier Widerstand mit Rausch-Ersatzspannungsquelle, c) Ersatzstromquelle: rauschfreier Widerstand (Leitwert G = 1/R) mit Rausch-Ersatzstromquelle

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

•

207

Schrotrauschen (Schottky-Rauschen) Das Schrotrauschen, das auch als Stromrauschen bzw. Schottky-Rauschen bezeichnet wird, entsteht in Halbleitern, wenn Ladungstr¨ager eine Sperrschicht passieren. Abbildung 7.38 zeigt die Rausch-Ersatzschaltung eines ¨ rauschenden pn-Uberganges. Es handelt sich hierbei ebenfalls um weißes Rauschen. Bei Operationsverst¨ arkern wird das Schrotrauschen vom Eingangsruhestrom verursacht. Der entsprechende Effektivwert des Rauschstroms Irschrot ergibt sich aus dem Eingangsruhestrom IB , der Elektronenladung e0 sowie der Beobachtungsbandbreite B 2 Irschrot = 2|e0 |IB B .

(7.102)

I

I

rauschfrei

rauschend i rschrot

¨ Abb. 7.38. Ersatzschaltung eines rauschenden pn-Uberganges in bezug auf sein Schrotrauschen

•

1/f-Rauschen (Funkelrauschen) Das 1/f-Rauschen, das auch als Funkelrauschen (Flicker Noise) bezeichnet wird, erzeugt ein Rauschsignal mit einer Spektralverteilung, die mit 1/f zu h¨oheren Frequenzen hin abf¨ allt. Bei Halbleiterbauelementen werden Oberfl¨acheneigenschaften daf¨ ur verantwortlich gemacht, genau genommen handelt es sich dabei um fluktuierende Umladungen von Oberfl¨achenzust¨anden [14]. Das Funkelrauschen ist von seiner spektralen Verteilung her gesehen ein Rosa Rauschen, d. h. ein Rauschen, dessen charakteristisches Merkmal eine konstante Rauschleistung pro Frequenzdekade ist.

•

Rekombinationsrauschen (r-g-noise) (Quantenrauschen) Das Rekombinationsrauschen ist auf das willk¨ urliche Einfangen (Trapping) und Freigeben von Ladungstr¨ agern in Halbleitern zur¨ uckzuf¨ uhren, d. h. es wird durch die zuf¨ allige Generation bzw. Rekombination von Ladungstr¨agern hervorgerufen.

•

Popcorn-Rauschen Das Popcorn-Rauschen, das auch als Burst-Rauschen bezeichnet wird, ist auf metallische Verunreinigungen im Halbleiter zur¨ uckzuf¨ uhren und ¨außert ¨ sich in Form zuf¨ allig auftretender Anderungen der Gleichstrom-Parameter. Es erscheint in der spektralen Rauschleistungsverteilung in Form eines diracf¨ormigen Gleichanteils bei der Frequenz f = 0 (Abb. 7.36) [51].

208

7 Meßverst¨ arker

Die Beschreibung des Verst¨ arkerrauschens Das Verst¨arkerrauschen wird im allgemeinen in Form der von den (internen) Rauschquellen des Verst¨ arkers erzeugten Rauschleistung bzw. der daraus resultierenden Reduzierung des Signal/Rausch-Verh¨altnisses zwischen Eingangs- und Ausgangstor angegeben. Der Berechnung dieses Signal/RauschVerh¨altnisses legt man bei Vierpolen und somit auch bei Verst¨arkern die in Abb. 7.39 gezeigte Rauschersatzschaltung zugrunde. Dabei wird das eigentliche Verst¨arkerrauschen durch die Angabe einer Rauschspannungsquelle und einer Rauschstromquelle beschrieben. Beide Rauschquellen sind auf den Verst¨arkereingang bezogen. Diese Rauschersatzquellen sind dabei im allgemei√ nen durch die spektralen Werte der Rauschspannungsdichte Ufr (f ) [nV/ Hz] √ bzw. der Rauschstromdichte Ifr (f ) [pA/ Hz] gekennzeichnet. Die ¨aquivalente Rauscheingangsspannung UrEges am Verst¨ arkereingang erh¨alt man durch Rauschspannungsquelle

ur

Rauschstromquelle ir

uE

uA

uE

uA

RE

RE Vierpol mit Rauschquellen

rauschender Verstärker

rauschfreier Verstärker

Abb. 7.39. Ersatzschaltung eines rauschenden Verst¨ arkers

¨ quadratische Uberlagerung der von den Rauschquellen am Verst¨arkereingang hervorgerufenen Spannungsanteile. Diese wiederum ergeben sich aus der Integration der spektralen Rauschdichtegr¨ oßen u ¨ber das Frequenzintervall [fmin , fmax ], in dem gemessen wird. Die Effektivwerte der Rauschspannung Ureff sowie des Rauschstromes Ireff berechnen sich demnach wie folgt 2 Ureff = 2 Ireff =

Z

fmax

fmin Z fmax fmin

Ufr2 (f ) df

(7.103)

Ifr2 (f ) df .

(7.104)

Infolge der ohmschen Spannungsteilung (Abb. 7.40) ergibt sich die quadrati¨ sche Uberlagerung der Effektivwerte zu s  2 2  RE RE RQ 2 2 UrEges = Ureff + Ireff . (7.105) RE + RQ RE + RQ

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

209

Rausch-ErsatzSpannungsquelle RQ

ir uE

uA

ur RE

U0Signal Rausch-ErsatzStromquelle

Abb. 7.40. Rauschersatzschaltung eines mit einer Signalquelle beschalteten elektrischen Vierpoles

Die Spannung UrEges ist der Effektivwert der auf den Verst¨arkereingang bezogenen Rauschspannung, welche das gesamte Verst¨arkerrauschen im Frequenzintervall [fmin , fmax ] repr¨ asentiert, d. h. der in Abb. 7.40 gezeigte eigentliche Verst¨arker ist frei von Rauschquellen. In obiger Ableitung wurde die Korrelation zwischen den beiden Rauschquellen vernachl¨assigt, was in vielen praktischen F¨allen in erster N¨ aherung erlaubt ist. F¨ ur den Fall nicht vernachl¨assigbarer Korrelation findet sich die entsprechende Herleitung in der Literatur, z. B. in [94]. Das Rauschen von Operationsverst¨ arkern Im Gegensatz zu den oben beschriebenen Verst¨arkern ist beim Operationsverst¨arker zu beachten, daß es sich hier nicht um ein Zweitor handelt. Der Eingang des Operationsverst¨ arkers besteht strenggenommen aus drei Klemmen (invertierender Eingang, nichtinvertierender Eingang und Masse). Daher sind f¨ ur die Beschreibung des Rauschens von Operationsverst¨arkern drei voneinander unabh¨ angige Rauschquellen erforderlich. Abbildung 7.41 zeigt einen Operationsverst¨ arker und dessen Rauschersatzschaltung. Die Beschreibung mit einer Spannungsquelle und zwei Stromquellen ist die g¨angigste Darstellung, wenn auch prinzipiell andere Darstellungsformen m¨oglich sind. F¨ ur die Stromquellen gilt aus Symmetriegr¨ unden, daß die Rauschleistungsdichten ur uD

uA

uD

uA

i r,1

i r,2

Abb. 7.41. Rauschersatzschaltung eines Operationsverst¨ arkers

210

7 Meßverst¨ arker

gleich sind i2r,1 = i2r,2 .

(7.106)

Die Stromquellen sind dennoch als unkorreliert zu betrachten. Beispiele zum Rauschen von Operationsverst¨ arkern finden sich in [85]. Signal/Rausch-Verh¨ altnis Das Signal/Rausch-Verh¨ altnis (Signal-to-Noise-Ratio) S/N an einem elektrischen Tor ist definiert als das Verh¨ altnis von Signalspannung zu Rauschspannung an diesem Tor. So ergibt sich das Signal/Rausch-Verh¨altnis am Ausgangstor des Verst¨ arkers zu   UArauschfrei S , (7.107) [dB] = 20 lg N UrA wobei UArauschfrei das Nutzsignal am Verst¨ arkerausgang (Effektivwert) und UrA die Rauschspannung am Verst¨ arkerausgang (Effektivwert) bezeichnen. Das Signal/Rausch-Verh¨ altnis l¨ aßt sich aber auch auf den Verst¨arkereingang beziehen. F¨ ur die in Abb. 7.40 gezeigte Beschaltung des Verst¨arkers gilt !   RE UErauschfrei S RQ +RE U0Signal = 20 lg , (7.108) [dB] = 20 lg N UrEges UrEges wobei UErauschfrei das Nutzsignal am Verst¨ arkereingang (Effektivwert) und UrEges die Rauschspannung am Verst¨ arkereingang (Effektivwert) bezeichnen. Bei obiger Berechnung wurde die Signalquelle (Abb. 7.40) zun¨achst als rauschfrei angenommen. Soll das Rauschen des Innenwiderstandes RQ der Signal′ quelle ber¨ ucksichtigt werden, muß UrEges in Gl. (7.108) durch UrEges ersetzt werden s 2  RE ′ 2 UrEges = UrEges , (7.109) + 4kT RQ(fmax − fmin ) RQ + RE wobei UrEges die bereits in Gl. (7.105) berechnete, von den internen Rauschquellen des Verst¨arkers hervorgerufene Rauschspannung bezeichnet. Rauschzahl Die Rauschzahl F eines rauschenden (Verst¨ arker-)Vierpols ist definiert als das Verh¨altnis von Signal/Rausch-Verh¨ altnis am Eingangstor zum Signal/RauschVerh¨altnis am Ausgangstor F =

PsE PrE PsA PrA

=

PsE PrA . PsA PrE

(7.110)

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

211

Dabei bezeichnen PsE die Signalleistung am Eingang, PsA die Signalleistung am Ausgang, PrE die Rauschleistung am Eingang (die von der Signalquelle oder von externen St¨ orquellen eingespeiste Rauschleistung) und PrA die Rauschleistung am Ausgang. Die Rauschzahl wird oft auch in logarithmischer Form angegeben F˜ (dB) = 10 lg F . (7.111) Unter Einbeziehung der Leistungsverst¨arkung Vp des Vierpols PsA PsE

(7.112)

PrA . Vp PrE

(7.113)

Vp = erh¨alt man F =

Wenn man voraussetzt, daß der Verst¨ arker f¨ ur das Signal und das Rauschen dieselbe Leistungsverst¨ arkung aufweist, folgt f¨ ur die Rauschleistung PrA am Ausgang PrA = PrE Vp + PrAamp = PrE Vp + PrEamp Vp = PrEtot Vp ,

(7.114)

wenn PrEamp die auf den Verst¨ arkereingang bezogene und PrAamp die auf den Ausgang bezogene Rauschleistung des Verst¨arkers darstellen. Aus den Gln. (7.113) und (7.114) folgt f¨ ur die Rauschzahl F F =

PrEtot PrAamp PrEamp =1+ =1+ = 1 + Fz . PrE PrE Vp PrE

(7.115)

Der Term Fz bezeichnet die sog. Zusatzrauschzahl, welche im Falle eines nichtrauschenden Verst¨ arkers identisch Null ist, d. h. F = 1. Da die Leistungen PrEtot und PrE am selben Widerstand, n¨ amlich dem Eingangswiderstand RE des Verst¨arkers, wirken, folgt mit den oben gew¨ahlten Bezeichnungen und der Rauschspannung UrEges aus Gl. (7.105) F =1+

2 UrEges = 1 + Fz . ′2 UrQuelle

(7.116)

′ In Gl. (7.116) bezeichnet UrQuelle die effektive Rauschspannung der Quelle, die mit dem Teilerverh¨ altnis des Eingangsspannungsteilers gewichtet am Verst¨ arkereingang wirksam wird ′ UrQuelle = UrQuelle

RE . RE + RQ

(7.117)

Wenn das Rauschen der Quelle durch das thermische Rauschen des Innenwiderstandes RQ der Quelle beschrieben werden kann, folgt f¨ ur die entsprechende Rauschspannung UrQuelle

212

7 Meßverst¨ arker 2 UrQuelle = 4kT RQ(fmax − fmin ) .

(7.118)

Im weiteren wollen wir annehmen, daß der Eingangswiderstand RE des Verst¨arkers wesentlich gr¨ oßer ist als der Innenwiderstand der Signalquelle (RE ≫ RQ ). Unter dieser Annahme folgt mit Gl. (7.105) und den Gln. (7.116)(7.118) 2 2 2 Ureff + Ireff RQ = 1 + Fz . (7.119) F =1+ 4kT RQ(fmax − fmin ) Im allgemeinen definiert man noch den sog. ¨aquivalenten Rauschwiderstand Rr und den ¨aquivalenten Rauschleitwert Gr des Vierpols, indem man den in Gl. (7.119) vorkommenden Rauschleistungen diese Werte wie folgt zuordnet 2 Ureff = 4kT (fmax − fmin )Rr 2 Ireff = 4kT (fmax − fmin )Gr .

(7.120) (7.121)

Damit l¨aßt sich Gl. (7.119) in folgender Form schreiben F =1+

2 Rr + Gr RQ . RQ

(7.122)

Die durch Gl. (7.122) beschriebene Funktion F durchl¨auft in Abh¨angigkeit von RQ ein charakteristisches Minimum (Abb. 7.42). Man spricht von Rauschanpassung, wenn der Minimalwert Fmin der Rauschzahl erreicht wird. Der dazu notwendige optimale Innenwiderstand RQopt der Signalquelle ergibt sich durch Ableitung von Gl. (7.122) nach RQ und anschließendem Nullsetzen zu r Rr RQopt = . (7.123) Gr Damit l¨aßt sich auch die bestenfalls erreichbare minimale Rauschzahl Fmin angeben p Ureff Ireff Fmin = 1 + 2 Rr Gr = 1 + . (7.124) 2kT (fmax − fmin ) log F

F min R Q opt

log R Q

Abb. 7.42. Abh¨ angigkeit der Rauschzahl vom Quellenwiderstand RQ

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

213

Rauschen von Kettenschaltungen Um die resultierende Rauschzahl einer Verst¨ arker-Kettenschaltung (Abb. 7.43) zu ermitteln, wird zun¨ achst jedem Vierpol eine Ersatzrauschspannungsquelle (mit der effektiven Rauschspannung UrEgesi ) zugeordnet, welche die internen Rauschquellen des Vierpoles ¨ aquivalent ersetzt. Wenn man alle Spannungen auf den Eingang der ersten Vierpolstufe bezieht, folgt f¨ ur den Signal/RauschVerh¨altnis ! S U0Signal (7.125) = 20 lg ′ N UrEges    U0Signal = 20 lg  r U2 2 2 UrQuelle + UrEges1 + rEges2 + V2 u1

2 UrEges3 2 V2 Vu1 u2

+ ...

  , 

wobei UrEgesi die Ersatzrauschspannung des i-ten Vierpols und Vui die Spannungsverst¨arkung des i-ten Vierpols bezeichnen. UrQuelle UrEges1

UrEgesn

UrEges2 .....

RQ U0Signal

Vierpol 1

Vierpol 2

Vierpol n

VU1

VU2

VUn .....

Abb. 7.43. Rauschen von Vierpol-Kettenschaltungen

Friis hat in einer grundlegenden Arbeit [47] die Gesamtrauschzahl Fges einer Vierpol-Kettenschaltung abgeleitet (siehe auch [14]) Fges = F1 +

F3 − 1 Fn − 1 F2 − 1 + + ...+ . Vp1 Vp1 Vp2 Vp1 Vp2 . . . Vp(n−1)

(7.126)

In Gl. (7.126) bezeichnen Fi die Rauschzahl des i-ten Vierpoles und Vpi seine Leistungsverst¨arkung. F¨ ur mehrstufige Verst¨ arkerschaltungen kann bei gen¨ ugend hoher Leistungsverst¨ arkung der einzelnen Stufen folgende N¨aherung angenommen werden F1 ≫

F3 − 1 Fn − 1 F2 − 1 ≫ ≫ ... ≫ . Vp1 Vp1 Vp2 Vp1 Vp2 . . . Vp(n−1)

(7.127)

Dies bedeutet, daß das Rauschverhalten der Kettenschaltung im wesentlichen vom Rauschen der Eingangsstufe bestimmt wird.

214

7 Meßverst¨ arker

Rauschmessung: Bestimmung der Rauschzahl Ein ohmscher Widerstand gibt bei der absoluten Temperatur T gem¨aß den Gln. (7.100) und (7.101) im Frequenzintervall B = fmax − fmin bei Leistungsanpassung die Rauschleistung PrR ab PrR = kT B ,

(7.128)

wobei k die Boltzmann-Konstante k = 1, 38 · 10−23 Ws/K bezeichnet. Leistungsanpassung heißt, daß der rauschende Widerstand seine Leistung an einen Zweipol bzw. das Eingangstor eines Vierpols abgibt, dessen Innenwiderstandswert mit dem des Rauschwiderstandes u ¨bereinstimmt, so daß am Zweipol nur die H¨alfte der urspr¨ unglichen Rauschspannung (Gl. (7.100)) anliegt. Die auf diese Weise von einem ohmschen Widerstand abgegebene Rauschleistung h¨angt nicht vom Widerstandswert ab, sondern wird nur von der Temperatur des Widerstandes und der Beobachtungsbandbreite B bestimmt. Gem¨aß einer zweiten Rauschzahl-Definition gibt die Rauschzahl F auch an, um welchen Faktor ein Vierpol mit der Leistungsverst¨arkung Vp bei der Referenztemperatur T0 = 290 K die thermische Rauschleistung PrR des Innenwiderstandes der Signalquelle durch sein Eigenrauschen vergr¨oßert [94]. Die Umrechnung in die urspr¨ ungliche Definition (Gl. (7.110)) l¨aßt sich wie folgt durchf¨ uhren PrA PrA PsE PrA = = . (7.129) F = PsA PrE Vp PrR Vp kT0 B Gleichung (7.128) findet Anwendung, um die Rauscheigenschaften von Vierpolen durch Angabe einer fiktiven Rauschtemperatur TR zu beschreiben. Dazu wird der Rauschleistung PrE mit Hilfe von Gl. (7.128) die Temperatur T0 und der Rauschleistung PrEamp die Temperatur TR zugeordnet (s. auch Abb. 7.44). Mit Gl. (7.115) ergibt sich dann die fiktive Rauschtemperatur TR zu TR = (F − 1)T0 .

(7.130)

PrA0 bzw. PrA1 PrE0 = k T 0 B

PrE1 = k T 1 B

Verstärker VP , Pramp

Leistungsmeßgerät

DUT R (T0 )

R (T1 )

Abb. 7.44. Prinzipschaltung zur Messung der Rauschzahl eines Verst¨ arkers (=DUT (Device Under Test)). Der Widerstand R gibt im Frequenzintervall B die temperaturabh¨ angige Rauschleistung PrE = PrR = kT B ab. Es wird Leistungsanpassung zwischen dem als Rauschgenerator dienenden ohmschen Widerstand R und dem Verst¨ arkereingang vorausgesetzt.

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

215

Die Rauschmessung kann mit Hilfe der Prinzipschaltung nach Abb. 7.44 erfolgen. Dabei wird die Rauschleistung am Ausgang eines Verst¨arkers, dessen Rauschzahl gemessen werden soll, f¨ ur zwei unterschiedliche (aber bekannte) Eingangsrauschleistungen mit Hilfe eines Leistungsmeßger¨ates gemessen. Bei linearem Verhalten des Verst¨ arkervierpols gilt f¨ ur die Gesamtrauschleistung PrA an seinem Ausgang in Abh¨ angigkeit der am Eingang eingespeisten Rauschleistung PrE = kT B (Abb. 7.45) PrA0 = kT0 BVp + Pramp = kT0 BVp F

(7.131)

PrA1 = kT1 BVp + Pramp ,

(7.132)

bzw. wobei Pramp die Gesamtrauschleistung der internen Rauschquellen des Verst¨ arkers bezeichnet. Infolge des linearen Verhaltens (Abb. 7.45) gilt weiterhin

bzw. F˜ (dB) = 10 lg

F =

T1 T0 − 1 PrA1 PrA0 − 1





∆T T0

− 10 lg

(7.133) 

PrA1 −1 PrA0



,

(7.134)

wobei ∆T = T1 − T0 die Rauschtemperaturdifferenz beschreibt. In der Praxis werden keine rauschenden Widerst¨ ande sondern Rauschgeneratoren verwendet, die in der Lage sind, definiert einstellbare Rauschleistungen abzugeben. Im allgemeinen wird dann auch die in dB gemessene Rauschleistungserh¨ohung ENR (Excess Noise Ratio) PrA PrA1 kTBVP

PrA0 = kT 0 BVP F Pramp

-T R = -

Pramp kBVP

0

T0

T1

T

P rE0

PrE1

PrE =kTB

Abb. 7.45. Rauschleistung am Vierpolausgang als Funktion der Temperatur des Quellwiderstandes bzw. als Funktion der Eingangsrauschleistung. Die Steigung beider Geraden betr¨ agt kBVp

216

7 Meßverst¨ arker

EN R = 10 lg



∆T T0



(7.135)

anstatt der Rauschtemperaturdifferenz ∆T angegeben. Der Quotient PrA1 /PrA0 wird oft auch als Y-Faktor bezeichnet Y = Daraus folgt

PrA1 . PrA0

(7.136)

F˜ (dB) = EN R − 10 lg(Y − 1) .

(7.137)

Bei vorgegebenem Wert von ENR kann mit Hilfe eines geeigneten Leistungsmessers der Y-Faktor gemessen und damit die Rauschzahl anhand von Gl. (7.137) bestimmt werden. Diese Art der Rauschmessung wird oft auch als Y-Faktor-Methode bezeichnet. Als Rauschgenerator (Noise Source) kann man eine der handels¨ ublichen Rauschquellen verwenden. Einer der meist gebr¨auchlichen Rauschgeneratoren ist die Rauschquelle No. 346 in Ausf¨ uhrungsform A, B bzw. C (Abb. 7.46). Diese Quelle ist in der Lage, Rauschsignale im Frequenzbereich 10 MHz bis 26,5 GHz zu liefern. Ihr Excess Noise Ratio betr¨ agt 15 dB, entsprechend einer Rauschtemperatur von etwa 10.000 K (s. Gl. (7.135)). Die Kalibrierung des ENR-Wertes hat aufgrund der hohen Bandbreite, die das Ger¨at abdeckt, f¨ ur spezifische Frequenzb¨ander separat zu erfolgen. Abbildung 7.46b zeigt einen weiteren handels¨ ublichen Rauschgenerator, der bis 50 GHz spezifiziert ist. Als eigentliche Rauschquellen werden in diesen Rauschgeneratoren Siliziumdioden mit niedriger Kapazit¨at genutzt, die mit Hilfe einer Konstantstromquelle im Bereich ihres Zenerdurchbruchs betrieben werden. Die Dioden liefern in diesem Betriebszustand bis zu Frequenzen von ca. 50 GHz ein nahezu konstantes Rauschspektrum [3], [60], [61].

a)

b)

Abb. 7.46. Standard-Rauschquellen: a) Rauschgenerator 346B; b) Rauschgenerator 4001A

Die Rauschzahl kann schließlich mit Hilfe eines Rauschzahlmeßger¨ates (NFA (Noise Figure Analyzer)) (Abb. 7.47) oder auch eines Spektrumanalysators gemessen werden. Das Herz eines Noise-Figure-Analysators besteht aus einem hochgenauen Leistungsmesser (Power Detector), der in Kombination mit einem Rauschgenerator die Rauschzahl nach der oben beschriebenen Y-FaktorMethode bestimmt. Da Spektrumanalysatoren in der Lage sind, spektrale Leistungsdichteverteilungen zu messen, l¨ aßt sich mit ihrer Hilfe ebenfalls die

7.3 Rauschen von Meßverst¨ arkern

217

Abb. 7.47. Rauschzahlmeßger¨ at (Noise Figure Analyzer (NFA))

Rauschzahl in Abh¨ angigkeit der Frequenz bestimmen. Gegen¨ uber einem reinen Rauschzahlmeßger¨ at besitzen sie den Vorteil einer universellen Verwendbarkeit. Rauschzahlmessung in geschirmter Umgebung Die Messung von Rauschzahlen erweist sich in normaler Laborumgebung aufgrund der dort im allgemeinen vorhandenen St¨oreinfl¨ usse oft als nicht durchf¨ uhrbar. Dies gilt insbesondere dann, wenn eine niedrige Rauschzahl (F < 3 dB) gemessen oder wenn eine hohe Meßgenauigkeit gefordert wird. Solche Messungen erfordern dann entweder einen speziellen EMV-Meßraum oder zumindest eine Meßbox, die f¨ ur die notwendige Abschirmung gegen ¨außere elektromagnetische Felder und auch Leitungsst¨orungen sorgt. Kommerziell erh¨altlich gibt es verschiedene Ausf¨ uhrungsformen solcher Meßboxen. Eine davon wird von dem Meßger¨ ate-Hersteller Rohde & Schwarz (R & S) angeboten [132]. Ihre ¨ außeren Abmessungen (B×H×T) betragen ca. 700 mm × 300 mm × 500 mm. Der Pr¨ ufling (DUT (Device Under Test)) wird zur Messung in das geschirmte Innere der Meßbox gegeben. Die Box weist in ihrer H¨ ulle eine elektromagnetische Schirmung auf, die f¨ ur eine obere Frequenz von 3 GHz und ein (frequenzabh¨ angiges) Schirmmaß von 40 bis 75 dB spezifiziert ist. In Verbindung mit einem Rauschgenerator und einem Vorverst¨arker, die sich ebenfalls beide in der Meßbox befinden, sowie einem außerhalb der Box befindlichen Spektrumanalysator wird das Meßsystem zur Rauschzahlmessung komplettiert (Abb. 7.48). Die Rauschmessung kann dabei automatisch per Softwaresteuerung von statten gehen. Dazu wird eine spezielle Meßsoftware (FS-3K) zur Verf¨ ugung gestellt, die seitens des Spektrumanalysators, beispielsweise ein FSPx (x=3/7/13/30 steht f¨ ur die obere Grenzfrequenz des

218

7 Meßverst¨ arker

Analysators in GHz) von R & S, eine 28 V Gleichspannung bereitstellt. Mittels dieser Spannung wird der Rauschgenerator gezielt ein- und ausschaltet. Im ausgeschalteten Zustand betr¨ agt seine Rauschtemperatur T0 =290 K (s. Abb. 7.45), w¨ahrend sich im eingeschalteten Zustand die Rauschtemperatur um ∆T auf T1 erh¨ oht. Der Wert von ∆T l¨ aßt sich aus Gl. (7.135) aus dem von Hersteller angegebenen ENR-Wert ermitteln. Das vor der Rauschquelle angeordnete Filter dient der Eliminierung von St¨orungen, die sich eventuell auf der 28V-Leitung befinden. Das Meßsignal gelangt nach der (eventuellen) Vorverst¨arkung auf den Eingang des Spektrumanalysators. Der Spektrumanalysator mißt die frequenzabh¨ angigen Signalleistungen (Y-Faktor) in Abh¨angigkeit des vom Rauschgenerator vorgegebenen ENR-Wertes. Der Vorverst¨arker wird aus Entst¨orgr¨ unden von einem in der Meßbox befindlichen Akkumulator gespeist. F¨ ur den Fall, daß das Testobjekt einen Anschluß nach außen ben¨otigt, sind weitere Anschl¨ usse in Form entst¨orter Leitungsdurchf¨ uhrungen vorhanden. 28 VDC

Spektrumanalysator FSPx

elektromagnetisch geschirmte Meßbox Device under Test

Vorverstärker Akku

optionale Anschlußleitungen für DUT

DUT

Rauschgenerator

Filter

Abb. 7.48. Rausch-Meßplatz mit elektromagnetisch geschirmter Meßbox der Firma Rohde & Schwarz [132]

8 Messung der elektrischen Leistung

8.1 Leistungsmessung im Gleichstromkreis Die elektrische Leistung P an einem elektrischen Tor ergibt sich aus dem Produkt von Spannung U und Strom I P = UI .

(8.1)

Diese Leistung kann mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes gemessen werden. Dazu schickt man den Strom I durch die Feldspule (Widerstand RWA ) und legt die Spannung U an die Drehspule (Widerstand RWV ) an. Abbildung 8.1 zeigt die entsprechende Schaltung mit dem elektrodynamischen Meßwerk. Falls der Strom I2 durch die Drehspule gegen¨ uber dem Verbraucherstrom IV vernachl¨assigt werden darf, ist der Zeigerausschlag α proportional zur Leistung PV des Verbrauchers ˜ 1 I2 = k(I ˜ 2 + IV )I2 ≈ kI ˜ V I2 α = kI ˜ V UV = kUV IV = kPV . = kI RWV

(8.2)

Die Feldspule sollte wegen der Strommessung niederohmig und die Drehspule wegen der Spannungsmessung hochohmig sein.

Abb. 8.1. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk. Der Punkt kennzeichnet die Polarit¨ at des Spannungspfades.

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

220

8 Messung der elektrischen Leistung

Abb. 8.2. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk: a) Es werden der Quellstrom und die Verbraucherspannung richtig gemessen. b) Es werden die Quellspannung und der Verbraucherstrom richtig gemessen.

Die von der Quelle gelieferte Leistung PQ teilt sich in die vom Verbraucher umgesetzte Leistung PV und die vom Meßger¨ at ben¨otigte Leistung PM PQ = PV + PM .

(8.3)

Wie anhand von Abb. 8.2 deutlich wird, kann ein elektrodynamisches Meßwerk stromrichtig oder spannungsrichtig angeschlossen werden. Die Begriffe strom- und spannungsrichtig beziehen sich dabei entweder auf die Quellenseite (Quellentor) oder die Verbraucherseite (Verbrauchertor) des Meßger¨ates. Spannungsrichtig in bezug auf die Verbraucherseite heißt, daß die am Verbraucherwiderstand RV anliegende Spannung UV gemessen wird, w¨ahrend der Strom, der durch die Stromspule des Meßger¨ ates fließt, dem Quellstrom, d. h. also der Summe aus Verbraucherstrom IV und Drehspulenstrom I2 , entspricht (Abb. 8.2a). Bei der in bezug auf die Verbraucherseite stromrichtigen Messung ist es umgekehrt, hier wird der richtige Wert des Verbraucherstroms gemessen, w¨ ahrend am Spannungseingang die Summe aus Verbraucherspannung und Feldspulenspannung anliegt. Eine korrekte Messung der Verbraucherleistung PV bzw. der Quelleistung PQ ist erst m¨ oglich, wenn das elektrodynamische Meßwerk um eine Korrekturspule erweitert wird, welche dieselbe Windungszahl aufweist wie die Stromspule (Abb. 8.3). Durch diese Korrekturspule fließt der Strom, den auch die Drehspule f¨ uhrt (I2 ). Bei der Stromrichtung nach Abb. 8.3a addiert sich die Wirkung dieses Korrekturspulenstroms zu der des Feldspulenstroms I1 , so daß die Leistung quellrichtig gemessen wird. Bei Stromumkehr nach Abb. 8.3b kann die Leistung verbraucherrichtig gemessen werden. Es sollte jedoch erw¨ ahnt werden, daß generell bei allen Messungen durch das Einbringen des elektrodynamischen Meßwerkes systematische Meßfehler

Abb. 8.3. Leistungsmessung mit einem elektrodynamischen Meßwerk, das mit einer Korrekturspule ausgestattet ist: a) Es wird die Quelleistung richtig gemessen. b) Es wird die Verbraucherleistung richtig gemessen.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

221

auftreten. So wird bei einer verbraucherrichtigen Messung beispielsweise zwar die aktuelle Verbraucherleistung korrekt erfaßt, die Verbraucherleistung jedoch, die bei nicht vorhandenem Meßwerk im Verbraucher umgesetzt w¨ urde, erh¨alt man erst nach einer Fehlerkorrektur der systematischen Meßfehler.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis 8.2.1 Begriffsdefinitionen Nachdem sich mit Hilfe der Fourieranalyse jeder beliebige periodische Zeitverlauf einer Spannung bzw. eines Stromes in seine rein sinusf¨ormigen Spektralkomponenten zerlegen und in Form einer Fourierreihe darstellen l¨aßt, k¨onnen wir uns im folgenden ohne Einschr¨ ankung der Allgemeinheit auf rein sinusf¨ormige Zeitverl¨ aufe beschr¨ anken ˆ sin(ωt + ϕu ) u(t) = U i(t) = Iˆ sin(ωt + ϕi ) .

(8.4) (8.5)

Die entsprechenden Effektivwertbetr¨ age erh¨ alt man mit der Definition aus Kap. 6.3.1 ˆ U Ueff = √ 2 ˆ I Ieff = √ . 2

(8.6) (8.7)

Die Wechselgr¨oßen aus Gln. (8.4) und (8.5) lassen sich alternativ in komplexer Schreibweise als Zeigergr¨ oßen ˆ e−jϕu ˆ ejϕu U ∗ = U U =U ∗ jϕ ˆ −jϕi , ˆ i I = Ie I = Ie

(8.8) (8.9)

oder als Effektivwertzeiger angeben U eff = Ueff ejϕu I eff = Ieff ejϕi .

(8.10) (8.11)

8.2.2 Leistungsmessung im Einphasennetz In (einphasigen) Wechselstromkreisen sind die folgenden Leistungsgr¨oßen definiert:

222

8 Messung der elektrischen Leistung

Komplexe Leistung P Die komplexe Leistung P ist folgendermaßen definiert P = U eff I ∗eff = Ueff Ieff ejϕu −ϕi = Ueff Ieff ejϕui

(8.12)

P = Re(P ) + jIm(P ) = PW + jPB .

(8.13)

Wirkleistung PW Die Wirkleistung PW ist der Teil der komplexen elektrischen Leistung, der in der Impedanz Z in eine andere (nicht-elektrische) Energieform, wie z. B. in mechanische Energie oder in W¨ armeenergie umgesetzt wird. Sie entspricht dem Produkt von Spannungs- und Stromeffektivwert, multipliziert mit dem Cosinus der Phasenwinkeldifferenz zwischen Strom und Spannung (Einheit Watt (W)) (8.14) PW = Re(P ) = Ueff Ieff cos ϕui . Die Messung der Wirkleistung kann direkt mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes erfolgen, da bei diesem der Zeigerausschlag dem Produkt I1eff I2eff cos ϕ proportional ist (Gl. (6.47)). Es gelten ansonsten die bereits f¨ ur den Gleichstromkreis aufgestellten Regeln (Kap. 8.1). Blindleistung PB Die Blindleistung PB wird durch das Speicherverhalten einer komplexen Impedanz verursacht. Dieser Teil der Leistung pendelt periodisch zwischen der Quelle und dem Verbraucher mit der Impedanz Z hin und her (Einheit VoltAmpere-reaktiv (VAR bzw. VAr)) PB = Im(P ) = Ueff Ieff sin ϕui .

(8.15)

Die Blindleistung wird ebenfalls mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes bestimmt. Allerdings muß ein 90◦ -Phasenschieber verwendet werden, der den Strom des Spannungspfades gegen¨ uber der Spannung U V um −90◦ dreht

Abb. 8.4. Messung der Blindleistung in einem Wechselstromkreis mit Hilfe eines elektrodynamischen Meßwerkes und einem 90◦ -Phasenschieber.

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

223

(Abb. 8.4). F¨ ur den Zeigerausschlag α gilt dann ˜ 1eff I2eff cos ϕ ≈ kIVeff UVeff cos(ϕ − 90◦ ) = kIVeff UVeff sin ϕ . α = kI

(8.16)

Da die 90◦ -Phasenverschiebung frequenzabh¨ angig ist, sind die Ger¨ate zur Blindleistungsmessung u ur eine Frequenz von 50 Hz bzw. 60 Hz ¨blicherweise f¨ konzipiert. F¨ ur stark oberwellenhaltige Signale ergeben sich daher fehlerhafte Meßwerte. Die Blindleistung wird bei induktiven Lasten positiv und bei kapazitiven Lasten negativ angezeigt. Scheinleistung PS Die Scheinleistung ist die in einer komplexen Impedanz Z umgesetzte Leistung. Sie entspricht dem Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung an der Impedanz Z (Einheit Volt-Ampere (VA)) q 2 + P2 . PS = |P | = Ueff Ieff = PW (8.17) B

Meßtechnisch l¨aßt sich die Scheinleistung am einfachsten durch separate Strom- und Spannungsmessungen der Effektivwerte Ieff und Ueff und die anschließende Produktbildung gem¨ aß Gl. (8.17) ermitteln. 8.2.3 Leistungsmessung in Drehstromsystemen Prinzipielle Schaltungsvarianten in Drehstromsystemen Bei Drehstromsystemen unterscheidet man zwischen dem 3-Leiter-System und dem 4-Leiter-System, je nachdem, ob ein Neutralleiter vorhanden ist oder nicht. Abbildung 8.5 zeigt beide Varianten. Die komplexen Verbraucher Z 1 ,

Abb. 8.5. a) 4-Leiter-Drehstromsystem mit Sternschaltung der Verbraucher (N: Neutralleiter), b) 3-Leiter-Drehstromsystem mit Dreieckschaltung der Verbraucher

224

8 Messung der elektrischen Leistung

Z 2 und Z 3 k¨onnen in Form einer Sternschaltung (Abb. 8.5a) oder einer Dreieckschaltung (Abb. 8.5b) zusammengeschaltet werden. Beim 4-Leiter-System hat man zwischen den Leiterspannungen (verkettete Spannung) U 12 , U 23 und U 31 (Spannungen zwischen zwei Außenleitern) und den Sternspannungen U 1N , U 2N und U 3N (Spannungen zwischen Außenleiter und Neutralleiter) zu unterscheiden (Abb. 8.5). Der Neutralleiter wird auch als Sternpunkt bezeichnet. Im Falle eines 3-Leiter-Systems kann man sich zu meßtechnischen Zwecken (Abb. 8.9) einen k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ schaffen, indem man die drei Leiter L1 , L2 und L3 jeweils mit einem hochohmigen Widerstand R zu dem k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ verbindet. Im folgenden wollen wir zun¨ achst eine symmetrische Belastung voraussetzen, d. h. die drei Lastimpedanzen sind identisch Z 1 = Z 2 = Z 3 . Im Zeigerdiagramm (Abb. 8.6) erkennt man, daß sowohl die Leiterspannungen als auch die Sternspannungen um jeweils 120◦ gegeneinander phasenverschoben sind. In Drehstromnetzen gilt generell U 12 = U 1N − U 2N U 23 = U 2N − U 3N

U 31 = U 3N − U 1N .

(8.18) (8.19) (8.20)

Dabei sollte erw¨ahnt werden, daß sich in 3-Leiter-Systemen die Bezeichnung N auf den k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ bezieht. Im speziellen gilt bei symmetrischer Belastung (8.21)

U 1N = U U 2N = U e

−j120◦

(8.22)

U 3N = U e

+j120◦

(8.23)

und |U 31 | =

p √ |U 1N |2 + |U 3N |2 − 2|U 1N ||U 3N | cos 120◦ = |U 1N | 3 . (8.24)

Die Leiterspannungen sind betragsm¨ aßig stets gleich

Abb. 8.6. Zeigerdiagramm eines symmetrisch belasteten Drehstromsystems. Leiterspannungen: U 12 , U 23 , U 31 ; Sternspannungen: U 1N , U 2N , U 3N

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

√ √ |U 12 | = |U 23 | = |U 31 | = |U | 3 = U 3

225

(8.25)

und ihre (Zeiger)-Summe ergibt Null U 12 + U 23 + U 31 = 0 .

(8.26)

Die Str¨ome des 4-Leiter-Systems gen¨ ugen folgender Bedingung I1 + I2 + I3 = IN .

(8.27)

F¨ ur den Fall symmetrischer Belastung (gleiche Lastimpedanzen Z 1 = Z 2 = Z 3 ) verschwindet der Strom im Neutralleiter des 4-Leiter-Systems. Weiterhin gilt f¨ ur die Leiterstr¨ ome I1 = I

(8.28)

I2 = I e

−j120◦

I3 = I e

+j120◦

(8.29) .

(8.30)

Aus Abb. 8.7 folgt der Zusammenhang zwischen Leiterstr¨omen und Strangstr¨omen bei einer Dreieckschaltung 1 |I 12 | = |I 23 | = |I 31 | = √ |I| . 3

(8.31)

Im 3-Leiter-System ist die Summe der drei Leiterstr¨ome infolge des nicht vorhandenen Neutralleiters stets Null I1 + I2 + I3 = 0 .

(8.32)

Abb. 8.7. Zeigerdiagramm von Leiterstr¨ omen I i und Strangstr¨ omen I ij bei der Dreieckschaltung. Die Form des gleichseitigen Dreiecks erh¨ alt man nur f¨ ur symmetrische (gleiche) Lasten Z i .

226

8 Messung der elektrischen Leistung

Messung der Wirkleistung in Drehstromsystemen F¨ ur den Fall symmetrischer Belastung gen¨ ugt ein Leistungsmesser, i.allg. wiederum ein elektrodynamisches Meßwerk. Die umgesetzte Gesamtleistung ergibt sich dabei als die dreifache Einzelleistung, welche gerade von dem einen Leistungsmesser angezeigt wird. F¨ ur den allgemeinen Fall unsymmetrischer Belastung jedoch werden beim 4-Leiter-System drei und beim 3-Leiter-System zwei Leistungsmesser ben¨ otigt. Es gilt die generelle Regel, daß n−1 Leistungsmesser eingesetzt werden m¨ ussen, wenn n Leitungen zu einem Verbraucher f¨ uhren, da eine der Leitungen stets als R¨ uckleitung angesehen werden kann. 4-Leiter-System Zur Wirkleistungsmessung in einem 4-Leiter-System werden drei elektrodynamische Meßwerke gem¨ aß Abb. 8.8 zusammengeschaltet. Die Gesamtwirkleistung PWges ergibt sich als Summe der einzelnen Leistungen PWi PWges = PW1 + PW2 + PW3 = U1Neff I1eff cos ϕ1 + U2Neff I2eff cos ϕ2 + U3Neff I3eff cos ϕ3 . (8.33) Dabei bezeichnet ϕi den Phasenwinkel zwischen dem Strom Ii und der Spannung UiN .

Abb. 8.8. Wirkleistungsmessung in einem 4-Leiter-Drehstromsystem

3-Leiter-System Oft werden auch bei 3-Leiter-Systemen drei Leistungsmesser eingesetzt, um die einzelnen Leistungen getrennt beobachten zu k¨onnen. Das Meßergebnis ist damit außerdem genauer, insbesondere bei kleinen Leistungen und großen Phasenwinkeln. Da das 3-Leiter-System keinen Mittelpunktleiter aufweist,

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

227

Abb. 8.9. Wirkleistungsmessung im 3-Leiter-System

m¨ ussen die drei Spannungspfade zu einem k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ verbunden werden. Dies entspricht der Schaltung nach Abb. 8.9. Dabei m¨ ussen die Widerst¨ande bzw. Impedanzen der Spannungspfade aus Symmetriegr¨ unden gleich sein. Die Gesamtwirkleistung l¨ aßt sich dann wiederum nach Gl. (8.33) ermitteln. Im 3-Leiter-System gen¨ ugen allerdings auch zwei Leistungsmesser, wenn man sie in Form der sog. Aaronschaltung (Abb. 8.10) zusammenschaltet. Die beiden Meßwerke zeigen die von ihnen gemessenen Wirkleistungen PW1 und PW2 an, die sich in der Summe wie folgt darstellen PW1 + PW2 = U13eff I1eff cos(<)U 13 , I 1 ) + U23eff I2eff cos(<)U 23 , I 2 ) .

(8.34)

Die gesamte in einem Drehstromsystem umgesetzte komplexe Leistung P andererseits betr¨agt definitionsgem¨ aß P = U 1N I ∗1 + U 2N I ∗2 + U 3N I ∗3 .

(8.35)

Im Falle eines 3-Leiter-Systems stellen die Werte von UiN die Spannungen dar, die zwischen dem jeweiligen Leiter Li und dem k¨ unstlichen Sternpunkt liegen.

Abb. 8.10. Zwei-Wattmeter-Verfahren (Aaronschaltung)

228

8 Messung der elektrischen Leistung

Aus dem Spannungszeigerdiagramm (Abb. 8.6) lassen sich die folgenden Zusammenh¨ange ablesen U 1N = U 13 + U 3N U 2N = U 23 + U 3N .

(8.36) (8.37)

Da außerdem die Summe der drei Leiterstr¨ ome Null ergibt 0 = I1 + I2 + I3 ,

(8.38)

folgt aus Gl. (8.35) die gesamte komplexe Leistung P P = U 13 I ∗1 + U 23 I ∗2 + U 3N (I ∗1 + I ∗2 + I ∗3 ) P = U 13 I ∗1 + U 23 I ∗2 .

(8.39) (8.40)

Der Realteil von P entspricht also der im Drehstromsystem umgesetzten Wirkleistung PW PW = Re(P ) = U13eff I1eff cos(<)U 13 , I 1 ) + U23eff I2eff cos(<)U 23 , I 2 ) . (8.41) Die Identit¨at mit Gl. (8.34) beweist, daß sich diese Gesamtwirkleistung auch als Summe von PW1 und PW2 ergibt, jenen Leistungen also, die mit den beiden Leistungsmessern der Aaronschaltung (Abb. 8.10) gemessen werden. Messung der Blindleistung Zur Messung der Blindleistung in Drehstromnetzen wird die Tatsache genutzt, daß bei (ann¨ahernd) symmetrischer Lastverteilung die Sternspannungen und Leiterspannungen paarweise um 90◦ phasenverschoben sind (Abb. 8.11). Nach diesem Prinzip arbeiten die Schaltungen nach Abb. 8.12 und 8.14.

Abb. 8.11. Spannungszeiger in Drehstromsystemen

8.2 Leistungsmessung im Wechselstromkreis

229

4-Leiter-System Die Blindleistung in einem 4-Leiter-Drehstromsystem kann mit Hilfe von drei elektrodynamischen Meßwerken ermittelt werden. Dazu werden diese gem¨aß Abb. 8.12 √ angeschlossen. Die Gesamtblindleistung ergibt sich n¨amlich aus der durch 3 dividierten Summe (PB1 + PB2 + PB3 ) der Leistungen, welche die Einzelmeßwerke anzeigen 1 PBges = √ (PB1 + PB2 + PB3 ) . 3

(8.42)

Die Einzelleistungen PB1 , PB2 und PB3 lassen sich unter Zuhilfenahme des Spannungszeigerdiagrammes (Abb. 8.11) und der Annahme RV = 0 wie folgt ableiten PB1 = U23eff I1eff cos(<) U 23 , I 1 ) = U23eff I1eff cos(<) (U 1N , I 1 ) − 90◦ ) = U23eff I1eff cos(ϕ1 − 90◦ ) = U23eff I1eff sin ϕ1 √ (8.43) = 3U1Neff I1eff sin ϕ1 . Analog zu Gl. (8.43) gilt f¨ ur die Anzeigen PB2 und PB3 PB2 = U31eff I2eff cos(<) U 31 , I 2 ) = U31eff I2eff cos(<) (U 2N , I 2 ) − 90◦ ) = U31eff I2eff cos(ϕ2 − 90◦ ) = U31eff I2eff sin ϕ2 √ = 3U2Neff I2eff sin ϕ2 (8.44) ◦ PB3 = U12eff I3eff cos(<) U 12 , I 3 ) = U12eff I3eff cos(<) (U 3N , I 3 ) − 90 ) = U12eff I3eff cos(ϕ3 − 90◦ ) = U12eff I3eff sin ϕ3 √ = 3U3Neff I3eff sin ϕ3 .

(8.45)

Abb. 8.12. Messung der Blindleistung im 4-Leiter-System. Die Leistungsmesser haben identische Innenwiderst¨ ande.

230

8 Messung der elektrischen Leistung

Beim Anschließen der Leistungsmesser ist auf die richtige Polarit¨at zu achten, welche durch die Punkte in Abb. 8.12 angezeigt wird. Wenn die Vorwiderst¨ande RV so gew¨ ahlt werden, daß an den Spannungspfaden der Meßger¨ate √ eine um den Faktor 3 kleinere Spannung wirksam wird, ergibt sich die Gesamtblindleistung als Summe der drei Anzeigewerte, was durch einen Vergleich der Gln. (8.42 - 8.45) leicht verifiziert werden kann. 3-Leiter-System Im 3-Leiter-System gen¨ ugen wiederum zwei Leistungsmesser, deren Spannungspfade zu einem k¨ unstlichen Sternpunkt N ′ gem¨aß Abb. 8.14 zusammengeschaltet werden. Dabei ist wiederum auf die richtige Polarit¨at der Leistungsmesser zu achten, die√in Abb. 8.14 durch einen Punkt am Meßwerk gekennzeichnet ist. Die mit 3 multiplizierte Summe PBges der von den beiden in Abb. 8.14 dargestellten Leistungsmessern angezeigten Leistung betr¨agt √ √ PBges = 3(PB3 + PB1 ) = 3(Re(U 1N I ∗3 − U 3N I ∗1 )) . (8.46) Unter Zuhilfenahme der Abb. 8.13 kann Gl. (8.46) folgendermaßen dargestellt werden 1 (8.47) PBges = √ Re((U 13 + U 12 )I ∗3 + (U 23 + U 13 )I ∗1 ) . 3 Indem man Gl. (8.47) wie folgt erweitert 1 PBges = √ Re ((U 13 + U 12 )I ∗3 + (U 23 + U 13 )I ∗1 + U 31 I ∗2 − U 31 I ∗2 ) 3 1 = √ Re (U 23 I ∗1 + U 31 I ∗2 + U 12 I ∗3 + U 13 (I ∗1 + I ∗2 + I ∗3 )) (8.48) 3 und die Tatsache ber¨ ucksichtigt, daß die Summe der Leiterstr¨ome im 3-LeiterSystem verschwindet

Abb. 8.13. Zusammenh¨ ange zwischen Stern- und verketteten Spannungen

8.3 Messung der elektrischen Arbeit

I 1 + I 2 + I 3 = I ∗1 + I ∗2 + I ∗3 = 0 ,

231

(8.49)

gelangt man zur allgemeinen Blindleistungs-Beziehung 1 PBges = √ Re(U 23 I ∗1 + U 31 I ∗2 + U 12 I ∗3 ) . 3

(8.50)

Abb. 8.14. Messung der Blindleistung im 3-Leiter-System. Der Punkt gibt die Polarit¨ at des Spannungspfades an. Der Widerstand RWV entspricht dem Innenwiderstand des Spannungspfades der (identischen) Leistungsmesser.

8.3 Messung der elektrischen Arbeit Die elektrische Arbeit (Energie) ergibt sich aus der zeitlichen Integration der elektrischen Wirkleistung PW (t) E=

Z

t

PW (t) dt′ .

(8.51)

0

Zur Messung der elektrischen Energie werden im Wechselstromfall sog. Induktionsmeßwerke eingesetzt, die u ¨blicherweise als Elektrizit¨atsz¨ahler bezeichnet werden. In diesen Induktionsmeßwerken wird vom Strom des Leistungskreises ein magnetisches Wechselfeld aufgebaut, das in einer elektrisch leitf¨ahigen Scheibe Induktionsspannungen und damit Wirbelstr¨ome hervorruft. Auf diese wirkt ein zweites, von der Spannung des Leistungskreises generiertes Magnetfeld, das in Verbindung mit den Wirbelstr¨ omen Kr¨afte erzeugt, welche die Scheibe in Rotation versetzen. Die Rotationsgeschwindigkeit der Scheibe ist letztlich ein Maß f¨ ur die elektrische Momentanleistung. Induktionsmeßwerke k¨ onnen allerdings nur f¨ ur Wechselstromanwendungen eingesetzt werden, da sie auf dem Induktionsprinzip beruhen.

232

8 Messung der elektrischen Leistung

Funktionsprinzip des Induktionsmeßwerkes (Elektrizit¨ atsz¨ ahler) Der prinzipielle Aufbau eines Elektrizit¨ atsz¨ ahlers wird in Abb. 8.16 gezeigt. Die auf dem hufeisenf¨ ormigen Joch (Stromeisen) befindliche Spule 1 f¨ uhrt den Strom i(t) des Leistungskreises i(t) = Iˆ sin(ωt + ϕ) .

(8.52)

Der dadurch entstehende magnetische Fluß φ1 durchsetzt die Aluminiumscheibe und induziert in dieser die Wirbelstr¨ ome iw . Entsprechend dem Durchflutungsgesetz sowie dem Induktionsgesetz lassen sich die folgenden Zusammenh¨ange f¨ ur den magnetischen Fluß φ1 φ1 ∼ B1 ≈ µ0

N1 ˆ N1 i(t) I sin(ωt + ϕ) = µ0 2δ 2δ

(8.53)

bzw. den Wirbelstrom iw ableiten iw ∼ uind ∼

dφ1 ∼ ω Iˆ cos(ωt + ϕ) . dt

(8.54)

Dabei bezeichnen B1 den Betrag der magnetischen Induktion im Stromeisen, φ1 den magnetischen Fluß im Stromeisen, N1 die Windungszahl des Stromeisens, δ den Luftspalt in Strom- und Spannungseisen (die Aluminiumscheibe z¨ ahlt in diesem Fall wegen µr = 1 zum Luftspalt) und ϕ den Phasenwinkel zwischen Spannung u und Strom i. Legt man die Spannung u(t) des Leistungskreises an die Spule 2 des Spannungseisens, welches die Aluminiumscheibe U-f¨ormig umschließt, entsteht im Luftspalt die magnetische Induktion B2 , welche sich wie folgt aus der angelegten Spannung u(t) u ¨ber den durch die Spule fließenden Strom i2 (t) berechnen l¨ aßt ˆ sin ωt u(t) = U Z 1 t 1 ˆ i2 (t) = U cos ωt u dt′ = − L 0 ωL i 2 N2 ˆ cos ωt . B 2 ≈ µ0 ∼ −U δ

(8.55) (8.56) (8.57)

Dieses magnetische Feld wirkt nun auf die in der Aluminiumscheibe induzierten Wirbelstr¨ome (Abb. 8.15) und verursacht eine mechanische Kraftwirkung. Die entsprechende Volumenskraft f~r (r¨ aumliche Kraftdichte) ergibt sich nach [145] ~ 2 − 1 H 2 gradµ , f~r = J~w × B 2

(8.58)

wobei J~w den Stromdichtevektor bezeichnet, der dem Wirbelstrom iw proportional ist. Da die Aluminiumscheibe eine konstante Permeabilit¨at µ aufweist, verschwindet der Term gradµ, und der Betrag F der Gesamtkraft l¨aßt sich wie folgt ermitteln

8.3 Messung der elektrischen Arbeit

233

Abb. 8.15. Wirbelstr¨ ome in der Aluminiuml¨ auferscheibe eines Elektrizit¨ atsz¨ ahlers

ˆ cos(ωt + ϕ) cos ωt . F ∼ iw B2 ∼ IˆU

(8.59)

Das auf die Aluminiumscheibe wirkende mittlere Moment Mel erh¨alt man, wenn man u ¨ber die Periodendauer T integriert Z 1 T F (t) dt Mel ∼ T 0 ˆ Iˆ Z T 1 ˆ Iˆ U U ∼ (cos ϕ + cos(2ωt + ϕ)) dt = cos ϕ . T 0 2 2

(8.60)

Gleichung (8.60) sagt aus, daß das Antriebsmoment Mel proportional der Wirkleistung PW des Leistungskreises ist Mel = k1 Ueff Ieff cos ϕ = k1 PW .

(8.61)

In der Praxis entsteht aufgrund des relativ großen Luftspaltes sowie der Eisenund Kupferverluste keine exakte 90◦ -Verschiebung zwischen dem Strom i2 in der Spule 2 und der Spannung u des Leistungskreises. Die exakte 90◦ Phasenverschiebung erreicht man erst durch den in Abb. 8.16 gezeigten magnetischen Nebenschluß des Spannungseisens (Grobabgleich der 90◦ -Phasenverschiebung durch Ver¨ anderung von δN ) und eine Hilfswicklung am Stromeisen, die u ¨ber den regelbaren Widerstand R kurzgeschlossen ist (Feinabgleich der 90◦ -Phasenverschiebung durch Ver¨ anderung des Widerstandes R).

234

8 Messung der elektrischen Leistung

Abb. 8.16. Prinzipieller Aufbau eines Elektrizit¨ atsz¨ ahlers

Der als Wirbelstrombremse wirkende Permanentmagnet (Abb. 8.16), der auch als Bremsmagnet bezeichnet wird, erzeugt ein Bremsmoment mit dem Betrag Mbrems Mbrems = k2 n , (8.62) wobei n die Drehzahl der Aluminiumscheibe bezeichnet. Die Drehzahl n der Scheibe l¨aßt sich nun aus der Gleichgewichtsbedingung Mbrems = Mel ermitteln k1 (8.63) n = Ueff Ieff cos ϕ = kPW . k2 Nachdem die Drehzahl n der Scheibe proportional zur Wirkleistung PW ist, erh¨alt man die elektrische Energie durch Aufsummieren (zeitliche Integration) der Umdrehungen der Aluminiumscheibe. Dies geschieht in einfacher Weise mit Hilfe eines mechanischen Z¨ ahlwerkes.

9 Messung von elektrischen Impedanzen

9.1 Messung von ohmschen Widerst¨ anden Ein ohmscher Widerstand R unterscheidet sich von einer komplexen Impedanz Z dadurch, daß er keine kapazitiven oder induktiven Anteile enth¨alt, was eigentlich einen Idealfall darstellt, der in der Praxis nie ganz erreicht werden kann. F¨ ur den ohmschen Widerstand gilt das Ohmsche Gesetz in der Form R=

u(t) , i(t)

(9.1)

d. h. Strom und Spannung sind zu jedem beliebigen Zeitpunkt direkt proportional. Die Messung ohmscher Widerst¨ ande ist im Rahmen der meßtechnischen Praxis eine wichtige Aufgabe, weil einige Sensoren als Widerstandsaufnehmer arbeiten; d. h. ihr Widerstandswert ist ein Maß f¨ ur die Meßgr¨oße. 9.1.1 Strom- und Spannungsmessung Die Bestimmung des ohmschen Widerstandes kann durch eine Strom- und eine Spannungsmessung erfolgen. Der Widerstandswert R wird dann nach dem Ohmschen Gesetz (Gl. (9.1)) berechnet. Da hierbei stets zwei getrennte Messungen erforderlich sind, tragen sowohl der Fehler der Strommessung als auch der Fehler der Spannungsmessung zum Fehler des Meßwertes R bei. Es kommen die beiden in den Abb. 9.1a und 9.1b gezeigten Schaltungsvarianten in Frage. Die jeweiligen systematischen Fehler k¨onnen korrigiert werden, wenn die Innenwiderst¨ande des Spannungs- und des Strommeßger¨ates bekannt sind. In der stromrichtigen Schaltung (Abb. 9.1a) ist die Spannungsmessung fehlerhaft und der Spannungsabfall RMI I am Strommesser ist zwecks Korrektur des systematischen Meßfehlers von der gemessenen Spannung abzuziehen RX =

U U − RMI I = − RMI . I I

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_9, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

(9.2)

236

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Abb. 9.1. Bestimmung des ohmschen Widerstandes RX durch separate Strom- und Spannungsmessung: a) Stromrichtige Schaltung, b) Spannungsrichtige Schaltung

In der spannungsrichtigen Schaltung (Abb. 9.1b) ist der gemessene Strom zu groß, so daß vom gemessenen Wert I der Teilstrom U/RMU abzuziehen ist, der durch den Spannungsmesser fließt RX =

U . I − RU MU

(9.3)

Da im allgemeinen der Innenwiderstand des Strommessers RMI viel kleiner ist als der des Spannungsmessers RMU , wird die stromrichtige Schaltungsvariante f¨ ur große Widerst¨ ande (RX ≫ RMI ) und die spannungsrichtige f¨ ur kleine Widerst¨ande (RX ≪ RMU ) eingesetzt. 9.1.2 Vergleich mit einem Referenzwiderstand Spannungsvergleich Der bei getrennter Spannungs- und Strommessung auftretende Fehler l¨aßt sich vermeiden, wenn ein Referenzwiderstand Rref zur Verf¨ ugung steht. Durch Messung der beiden Spannungen URX und URref (Abb. 9.2) kann bei bekanntem Referenzwiderstand Rref der Widerstand RX bestimmt werden. Die Spannung U0 , die an die aus den Widerst¨ anden RX und Rref bestehende Serienschaltung angelegt wird, muß w¨ ahrend der beiden Messungen konstant gehalten werden. Der Innenwiderstand des Meßger¨ates geht f¨ ur den Fall, daß er bei beiden Messungen derselbe ist (Vorsicht bei Meßbereichsumschaltung), nicht in den Fehler ein, da die beiden Spannungsmeßwerte ins Verh¨altnis gesetzt werden. Wenn man die Spannungen URref und URX in der Schaltung nach Abb. 9.2 mit Hilfe eines Spannungsmeßger¨ates mit Innenwiderstand RMU mißt, ergeben sich infolge des endlichen Innenwiderstandes RMU die fehlerbe′ ′ hafteten Meßwerte URref und URX (Rref kRMU ) (Rref kRMU ) + RX (RX kRMU ) = U0 . (RX kRMU ) + Rref

′ URref = U0 ′ URX

(9.4) (9.5)

9.1 Messung von ohmschen Widerst¨ anden

237

Abb. 9.2. Messung eines ohmschen Widerstandes mit Hilfe eines Referenzwiderstandes Rref und einer Konstantspannungsquelle ′ ′ Wenn man jedoch die beiden Meßwerte URref und URX ins Verh¨altnis setzt, k¨ urzt sich der Innenwiderstand RMU heraus, sodaß das Spannungsverh¨altnis ′ URX RX URX = = ′ URref Rref URref

(9.6)

frei von systematischen Fehlern bleibt RX =

URX Rref . URref

(9.7)

Stromvergleich Alternativ kann ein Stromvergleich nach Abb. 9.3 genutzt werden, um den ohmschen Widerstand RX zu bestimmen. Auch hier heben sich die systematischen Meßfehler bei der Messung der Einzelstr¨ome IRX und IRref auf und gehen somit nicht in die Bestimmung von RX ein. Die infolge des Innenwiderstandes RMI des Strommeßger¨ ates mit systematischen Fehlern behafteten ′ ′ Teilstr¨ome IRref und IRX ergeben sich entsprechend der Stromteilerregel bei parallelgeschalteten Widerst¨ anden zu

Abb. 9.3. Messung eines ohmschen Widerstandes mit Hilfe eines Referenzwiderstandes Rref und einer Konstantstromquelle

238

9 Messung von elektrischen Impedanzen

RX RRref + RMI + RX RRref = I0 . RRref + RMI + RX

′ IRref = I0 ′ IRX

(9.8) (9.9)

Das Verh¨altnis dieser Teilstr¨ ome ist wiederum frei von Belastungsfehlern ′ IRref RX IRref = = ′ IRX Rref IRX

bzw. RX =

IRref Rref . IRX

(9.10)

(9.11)

W¨ahrend der beiden Strommessungen muß der in die Parallelschaltung eingespeiste Strom I0 sowie der Innenwiderstand RMI des Meßger¨ates konstant gehalten werden. 9.1.3 Verwendung einer Konstantstromquelle Eine direkte und kontinuierliche Anzeige des Widerstandswertes ist mit Hilfe einer Konstantstromquelle m¨ oglich (Abb. 9.4).

Abb. 9.4. Messung eines ohmschen Widerstandes unter Verwendung einer Konstantstromquelle

Der eingepr¨agte Konstantstrom I0 fließt dabei u ¨ber den zu messenden Widerstand RX , der gem¨ aß Gl. (9.12) proportional zur gemessenen Spannung UX ist UX RX = . (9.12) I0 Mit der Korrektur des systematischen Fehlers, der durch den Innenwiderstand RMU des angeschlossenen Spannungsmessers verursacht wird, erh¨alt man RX =

UX . X I0 − RUMU

(9.13)

Eine auf einer Konstantstromquelle basierende Meßschaltung wird in Abb. 9.5 gezeigt. Wenn man einen idealen Operationsverst¨arker voraussetzt (uD = 0),

9.1 Messung von ohmschen Widerst¨ anden

239

Abb. 9.5. Messung eines ohmschen Widerstandes mit Hilfe einer Konstantstromquelle. Bei der Verwendung in Digital-Multimetern werden die Spannungen an den Abgriffpunkten (1) und (2) dem Analog-Digital-Umsetzer zugef¨ uhrt.

kann die Spannung UX auch mit einem nicht-idealen Spannungsmesser ohne systematischen Meßfehler gemessen werden, so daß die Auswertung f¨ ur RX nach Gl. (9.12) vorgenommen werden kann RX =

UX UX = R0 . I0 Uref

(9.14)

F¨ ur Pr¨azisionsmessungen sind allerdings die nicht-idealen Eigenschaften des Operationsverst¨arkers zu ber¨ ucksichtigen, wie z.B. endliche Verst¨arkung, Eingangsstrom oder Offsetspannung. Als nachteilig kann sich auch die nichtmassebezogene Messung erweisen, da so leicht St¨orspannungen auftreten k¨ onnen. In Digital-Multimetern werden die beiden Spannungen Uref und UX (s. Abgriffpunkte (1) und (2) in Abb. 9.5) vom Analog-Digital-Umsetzer digitalisiert und anschließend nach Gl. (9.14) ausgewertet. Die relative Genauigkeit f¨ ur diese Messung liegt bei Standard-Digital-Multimetern typischerweise bei 0,02 bis 0,2 % (s. auch Tab. 11.14). 9.1.4 Verwendung eines Kreuzspulinstrumentes Da der Zeigerausschlag α eines Kreuzspulinstrumentes eine Funktion des Verh¨ altnisses zweier Str¨ ome I2 /I1 ist (Gl. (6.60)), kann es unmittelbar zur Widerstandsmessung eingesetzt werden. Abbildung 9.6 zeigt die dazu notwendige Beschaltung. Wenn der zu bestimmende Widerstand RX gegen¨ uber dem Spulenwiderstand R1 groß ist (RX ≫ R1 ) und außerdem der Widerstand R3 groß im Vergleich zum Spulenwiderstand R2 (R3 ≫ R2 ) gew¨ahlt wird, kann RX mit Hilfe der Schaltung nach Abb. 9.6a unmittelbar gemessen werden. Der zu bestimmende Widerstand RX ergibt sich dann aus der Stromteilerregel, da die beiden Widerst¨ ande RX und R3 n¨ aherungsweise an der Speisespannung U0 liegen. Der Zeigerausschlag α h¨ angt aber i. allg. in nichtlinearer Weise vom Stromverh¨altnis I2 /I1 ab (Gl. (6.60)) RX = R3

1 I2 = R3 f (α) = R3 tan α . I1 k

(9.15)

240

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Abb. 9.6. Widerstandsmessung mit Hilfe eines Kreuzspulinstrumentes: a) Schaltungsvariante f¨ ur große Widerst¨ ande, b) Schaltungsvariante f¨ ur kleine Widerst¨ ande

Zur Messung kleiner Widerst¨ ande wird die Schaltungsvariante nach Abb. 9.6b eingesetzt. Unter der Voraussetzung (R1 + R1′ ) ≫ RX und (R2 + R2′ ) ≫ R3 gilt n¨aherungsweise RX =

UX I1 (R1 + R1′ ) (R1 + R1′ ) ≈ = R3 f˜(α) . ′ IX I2 (R2 + R2 )/R3 (R2 + R2′ )

(9.16)

9.2 Kompensationsschaltungen Mit Hilfe sog. Kompensationsschaltungen kann die Beeinflussung des Meßvorganges durch das Meßger¨ at infolge seiner nicht-idealen Innenimpedanz eliminiert werden. Str¨ome und Spannungen werden dabei leistungslos gemessen, d. h. Str¨ome ohne Spannungsabfall u ¨ber den Meßkontakten und Spannungen ohne (Parallel)-Str¨ ome durch ein angeschlossenes Spannungsmeßger¨at. Die von klassischen Meßger¨ aten jedoch stets ben¨otigte Energie wird dabei einer Hilfsquelle und nicht, wie bei Standardmessungen u ¨blich, der zu messenden Schaltung entnommen. Der Hauptvorzug der Kompensatoren besteht also darin, daß bei der Messung keine Belastung des Meßkreises erfolgt. Infolge der r¨ uckwirkungsfreien Messung wird eine sehr hohe Meßgenauigkeit erreicht. Als eigentliches Meßinstrument ist dazu lediglich ein Galvanometer zum Nullabgleich erforderlich. Da die Kompensationsschaltungen eine Vorstufe der Br¨ uckenschaltungen darstellen, die zur Messung von ohmschen Widerst¨anden bzw. komplexen Impedanzen eingesetzt werden, sollen sie an dieser Stelle besprochen werden. 9.2.1 Gleichspannungskompensation Abbildung 9.7 zeigt das Kompensationsprinzip f¨ ur eine Gleichspannungsmessung. Der Abgriff des Widerstandes wird dabei solange ver¨andert, bis das Galvanometer G stromlos ist. Es folgt damit

9.2 Kompensationsschaltungen

UX = UR =

R U0 . R0

241

(9.17)

Bei bekannten Gr¨oßen U0 , R0 , R kann UX ohne einen durch den Leistungsverbrauch eines Meßger¨ ates hervorgerufenen Fehler bestimmt werden.

Abb. 9.7. Prinzip der Gleichspannungskompensation (UX ≤ U0 )

9.2.2 Gleichstromkompensation Mit der Kompensationsschaltung nach Abb. 9.8 kann ein unbekannter Strom IX kompensiert werden, indem Spannungsgleichheit an dem von dem Differenzstrom (I0 − IX ) durchflossenen Widerstand R und an dem vom Strom IX durchflossenen Widerstand R1 erreicht wird (I0 − IX )R = IX R1 .

(9.18)

Weiterhin kann die folgende Maschengleichung aufgestellt werden (I0 − IX )R + I0 (R0 − R) = U0 .

(9.19)

Aus den Gln. (9.18) und (9.19) kann unmittelbar der zu messende Strom IX bestimmt werden R IX = U0 . (9.20) R0 (R1 + R) − R2 Da u ¨ber den Meßkontakten keine Spannung abf¨allt, wird leistungslos, d. h. ohne Belastung des Meßkreises, gemessen. Als Nulldetektoren verwendet man

Abb. 9.8. Gleichstromkompensationsschaltung. R0 ist der Gesamtwiderstand des Spannungsteilers und R der Wert zwischen dem Teilerabgriff und dem positiven Pol der Spannungsquelle

242

9 Messung von elektrischen Impedanzen

empfindliche Galvanometer mit Spannungsanzeigen im Bereich von 0,1 µV bis 1 µV bzw. empfindliche Spannungsverst¨ arker mit kleiner Offsetspannung. In der Praxis wird oft anstelle des Galvanometers ein Nullverst¨arker verwendet, der ein motorbet¨atigtes Potentiometer ansteuert. Dabei wird der Schleifer eines Potentiometers mit Hilfe eines Stellmotors so lange verstellt, bis die Eingangsspannungsdifferenz des Verst¨ arkers zu Null abgeglichen ist. Damit ist die Verstellung des Schleifers der zu messenden Spannung uE proportional. Ein angekoppeltes Schreibger¨ at schreibt auf einem kontinuierlich bewegten Registrierpapier einen Linienzug, der f¨ ur den Fall entsprechend schneller Regelung dem Signalverlauf uE (t) entspricht. Solche Anordnungen werden in Form sog. Kompensationsschreiber realisiert (Abb. 9.9).

Abb. 9.9. Prinzip eines Kompensationsschreibers

9.3 Gleichstrom-Meßbru ¨ cken Die genaue Bestimmung von ohmschen Widerst¨anden erfolgt in der Praxis oft mit Hilfe von sog. Br¨ uckenschaltungen. Die dazu von Wheatstone vorgeschlagene Meßbr¨ ucke (Wheatstonesche Meßbr¨ ucke) besteht aus zwei parallelgeschalteten Spannungsteilern (Abb. 9.10), die mit der Spannung UE gespeist werden. Beim Betrieb unterscheidet man zwischen dem Ausschlagverfahren (Gleichstrom-Ausschlagbr¨ ucke), bei dem die Diagonalspannung UD mit einem hochohmigen Instrument gemessen wird, und dem Abgleich- oder Nullverfahren (Gleichstrom-Abgleichbr¨ ucke), bei dem die Diagonalspannung zu Null abgeglichen wird.

Abb. 9.10. Wheatstonesche Meßbr¨ ucke

9.3 Gleichstrom-Meßbr¨ ucken

243

9.3.1 Gleichstrom-Ausschlagbr¨ ucken Im nicht-abgeglichenen Zustand resultiert aus der Speisespannung UE eine Diagonalspannung UD   R2 R3 − R1 R4 R4 R2 = UE − . (9.21) UD = UE R1 + R2 R3 + R4 (R1 + R2 )(R3 + R4 )

Durch Messung der Spannungen UD und UE kann bei drei bekannten Widerst¨anden auf den vierten unbekannten Widerstand geschlossen werden. Die Genauigkeit des Verfahrens h¨ angt neben der Toleranz der Br¨ uckenwiderst¨ande von der Genauigkeit der Meßger¨ ate zur Bestimmung von UD und UE ab. Bei der Messung der Spannung UD ist zu ber¨ ucksichtigen, daß der Innenwiderstand RM des Meßger¨ ates zu einem Fehler f¨ uhrt.

Abb. 9.11. a) Gleichstrom-Ausschlag-Br¨ uckenschaltung bei Ber¨ ucksichtigung der Innenwiderst¨ ande von Speisespannungsquelle und Meßger¨ at, b) bez¨ uglich der Klemmen 1 und 1′ wirksame Ersatzspannungsquelle

Die unter Ber¨ ucksichtigung der Innenwiderst¨ ande der Quelle RI und des Meßger¨ates RM geltende Ersatzschaltung wird in Abb. 9.11a gezeigt. Die im Falle offener Klemmen (RM → ∞) effektiv wirksame Br¨ uckenspeisespannung UE′ kann aus der Leerlaufspannung UE0 der Speisequelle mit RB = (R1 + R2 ) k (R3 + R4 )

(9.22)

wie folgt errechnet werden RB . (9.23) RI + RB Damit l¨aßt sich auch die Leerlaufspannung UQ der Ersatzspannungsquelle aus Abb. 9.11b angeben UE′ = UE0

UQ = UD′ |RM→∞ = UE′

R2 R3 − R1 R4 (R1 + R2 )(R3 + R4 ) 1

UQ = UD′ |RM→∞ = UE0 = UE0

1+

RI (R1 +R2 +R3 +R4 ) (R1 +R2 )(R3 +R4 )

(9.24) R2 R3 − R1 R4 (R1 + R2 )(R3 + R4 )

R2 R3 − R1 R4 . (R1 + R2 )(R3 + R4 ) + RI (R1 + R2 + R3 + R4 )

(9.25)

244

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Abb. 9.12. Dreieck-Stern-Umwandlung

Der Innenwiderstand RQ der Ersatzspannungsquelle ist der Widerstand, den man von den Klemmen 1 und 1′ des Netzwerkes aus sieht. Dieser l¨aßt sich durch eine sog. Dreieck-Stern-Umwandlung (Abb. 9.12) der Widerst¨ande R1 , R2 und RI zu der in der Abb. 9.13 gezeigten Schaltung vereinfachen. Die beiden Schaltungen in Abb. 9.12 sind bez¨ uglich der ¨außeren Klemmen 1, 2 und 3 ¨aquivalent. Diese Umwandlung sowie die entsprechende Stern-DreieckUmwandlung sind z. B. in [118] beschrieben. Der Innenwiderstand RQ der Ersatzspannungsquelle nach Abb. 9.13 ergibt sich dann zu RQ = R1S + (R3 + R3S ) k (R4 + R2S ) (R3 + R3S )(R4 + R2S ) = R1S + . R3 + R3S + R4 + R2S

(9.26)

Unter Ber¨ ucksichtigung des von den Widerst¨ anden RM und RQ gebildeten Spannungsteilers in Abb. 9.11b l¨ aßt sich die Diagonalspannung UD′ f¨ ur den Fall nicht-idealer Innenwiderst¨ ande von Quelle und Meßger¨at wie folgt ableiten UD′ = UQ

RM . RM + RQ

(9.27)

Aus dem Vergleich mit der Diagonalspannung UD des idealen Falles (Gl. (9.21)) l¨ aßt sich schließlich der entsprechende Fehler ermitteln.

Abb. 9.13. Durch Dreieck-Stern-Umwandlung vereinfachte Schaltung aus Abb. 9.11

9.4 Messung von Schein- und Blindwiderst¨ anden

245

9.3.2 Gleichstrom-Abgleichbr¨ ucken Zur Messung von ohmschen Widerst¨ anden wird i. allg. das Abgleichverfahren eingesetzt. Dabei wird einer der bekannten Br¨ uckenwiderst¨ande, z. B. der Widerstand R4 (Abb. 9.10), solange ver¨ andert, bis die Diagonalspannung UD Null wird. Mit Gl. (9.21) folgt daraus   R2 R3 − R1 R4 R4 R2 = UE − . (9.28) UD = 0 = UE R1 + R2 R3 + R4 (R1 + R2 )(R3 + R4 ) So kann ein unbekannter Widerstand, beispielsweise R2 , aus den u ¨brigen bekannten Widerstandswerten ermittelt werden. Die Abgleichbedingung aus Gl. (9.28) lautet R2 R3 = R1 R4 , (9.29) bzw. nach dem gesuchten Widerstandswert R2 aufgel¨ost R2 = R1

R4 . R3

(9.30)

Bei Pr¨azisionsmeßbr¨ ucken werden als einstellbare Widerst¨ande sehr genaue Widerstandsdekaden verwendet. Die Meßunsicherheiten liegen hierbei im Bereich 10−5 . Ein wesentlicher Vorzug des Abgleichverfahrens besteht darin, daß keine Absolutwerte von Spannungen oder Str¨ omen gemessen werden m¨ ussen. Auch die Br¨ uckenspeisespannung UE geht nicht in die Messung ein, so daß an deren Konstanz keine hohen Anforderungen gestellt werden m¨ ussen. Ein weiterer Vorzug besteht in der Tatsache, daß die Diagonalspannung UD nur mittels Nullgalvanometer zu Null abgeglichen und nicht absolut erfaßt werden muß.

9.4 Messung von Schein- und Blindwiderst¨ anden Eine komplexe Impedanz (Scheinwiderstand) setzt sich aus einer Wirkkomponente R und einer Blindkomponente X zusammen Z = Re(Z) + jIm(Z) = R + jX = |Z|ejϕz .

(9.31)

Bei vernachl¨assigbarem ohmschen Anteil ergeben sich f¨ ur •

eine Kapazit¨ at C (idealer Kondensator) Z = jX =

•

−j ωC

(9.32)

eine Induktivit¨ at L (ideale Spule) Z = jX = jωL .

(9.33)

Im realen verlustbehafteten Fall wendet man die im folgenden beschriebenen Ersatzschaltbilder an.

246

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Reihen- und Parallel-Ersatzschaltbilder einer verlustbehafteten Induktivit¨ at Die Reihen- und die Parallel-Ersatzschaltung einer verlustbehafteten Induktivit¨at werden in Abb. 9.14 neben den entsprechenden Impedanz- bzw. Admittanz-Diagrammen gezeigt. Die Impedanz Z und die Admittanz Y der verlustbehafteten Spule ergeben sich wie folgt Z = RS + jωLS =

1 = Y

1 RP

1 . 1 + jωL P

(9.34)

Mit den Ersatzschaltbildelementen k¨ onnen der Verlustfaktor tan δL sowie die G¨ ute Q angegeben werden tan δL =

1 ωLP RS = . = Q ωLS RP

(9.35)

Abb. 9.14. Ersatzschaltbilder einer verlustbehafteten Induktivit¨ at mit entsprechendem Impedanz- bzw. Admittanz-Diagramm: a) Reihenersatzschaltbild (Serienersatzschaltbild), b) Parallelersatzschaltbild

Reihen- und Parallel-Ersatzschaltbilder einer verlustbehafteten Kapazit¨ at Die Reihen- und die Parallel-Ersatzschaltung einer verlustbehafteten Kapazit¨at werden in Abb. 9.15 neben den entsprechenden Impedanz- bzw. Admittanz-Diagrammen gezeigt. Die Impedanz Z und die Admittanz Y des verlustbehafteten Kondensators ergeben sich zu Z = RS −

j 1 = = ωCS Y

1 RP

1 . + jωCP

(9.36)

Mit den Ersatzschaltbildelementen lassen sich der Verlustfaktor tan δC sowie die G¨ ute Q bestimmen tan δC =

1 1 . = ωRS CS = Q ωRP CP

(9.37)

9.4 Messung von Schein- und Blindwiderst¨ anden

247

Abb. 9.15. Ersatzschaltbilder einer verlustbehafteten Kapazit¨ at mit entsprechendem Impedanz- bzw. Admittanz-Diagramm: a) Reihenersatzschaltbild (Serienersatzschaltbild), b) Parallelersatzschaltbild

Ermittlung des Scheinwiderstandes Zur Messung von Scheinwiderst¨ anden wird eine Wechselspannungsquelle bekannter Frequenz ben¨ otigt, welche die Impedanz Z speist Z = Re(Z) + jIm(Z) .

(9.38)

Der Scheinwiderstand |Z| kann nach separaten Messungen von Spannung und Strom berechnet werden Ueff . (9.39) |Z| = Ieff Nachdem die komplexe Impedanz zwei skalare Unbekannte aufweist (Betrag und Phase bzw. Real- und Imagin¨arteil), m¨ ussen zu ihrer vollst¨andigen Bestimmung immer zwei getrennte Gr¨ oßen gemessen werden, wie z.B. der Scheinwiderstand und der Phasenwinkel oder der Scheinwiderstand und der Wirkwiderstand. Bei einer Spule beispielsweise k¨ onnen Schein- und Wirkwiderstand auf die im folgenden beschriebene Art gemessen werden. Bei Anlegen einer Gleichspannung u− ergibt sich wegen X = 0 (Gl. (9.31)) der Wirkwiderstand R aus einer Gleichstrommessung u− R= . (9.40) i− Bei Anlegen einer Wechselspannung u∼ l¨ aßt sich gem¨aß Gl. (9.39) der Scheinwiderstand |Z| aus der Messung der Effektivwerte von Spannung Ueff und Strom Ieff ermitteln Ueff u∼ = . (9.41) |Z| = Ieff i∼ Anhand der Gln. (9.38), (9.40) und (9.41) kann schließlich auch der Blindwiderstand X berechnet werden p X = ωL = |Z|2 − R2 . (9.42)

248

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Ermittlung einer komplexen Impedanz mittels der 3-Spannungsmesser-Methode Verlustbehaftete Kondensatoren oder verlustbehaftete Spulen lassen sich mittels der sog. 3-Spannungsmesser-Methode anhand von drei unabh¨angigen Spannungsmessungen ermitteln (Abb. 9.16). Dazu schaltet man der unbekannten Impedanz Z X einen ohmschen Widerstand RN in Serie und legt an diese Serienschaltung eine Wechselspannung U an. Anschließend mißt man die Betr¨age bzw. Effektivwerte der Spannungen U N und U X , die an dem Widerstand RN und der komplexen Impedanz Z X abfallen. Bei bekannter Zeigerl¨ange von U hat man nunmehr drei Spannungszeiger in der komplexen Ebene, von denen man lediglich die Betr¨ age kennt. Damit l¨aßt sich aber bereits das in Abb. 9.16 gezeigte Zeigerdiagramm konstruieren. Allerdings gibt es ein zweites spiegelbildliches Zeigerdiagramm, das ebenfalls m¨oglich w¨are, d. h. es l¨aßt sich letztlich nur der Betrag des Phasenwinkels ϕ, nicht aber sein Vorzeichen bestimmen. Durch Anwendung des Cosinussatzes auf das Dreieck der Spannungszeiger erh¨ alt man den Phasenwinkel ϕ   |U |2 − |U N |2 − |U X |2 ϕ = ± 180◦ − arccos . (9.43) 2|U N ||U X | Mit bekanntem Widerstandswert RN , dem ermittelten Phasenwinkel ϕ sowie den Meßwerten f¨ ur |U X | und |U N | kann nunmehr Z X in Form der Elemente der Reihenersatzschaltung (Z X = RX + jXX ) angegeben werden RX =

|U X | |U | cos ϕ = RN X cos ϕ , |I| |U N |

(9.44)

XX =

|U X | |U | sin ϕ = RN X sin ϕ . |I| |U N |

(9.45)

Abb. 9.16. Bestimmung des Wirk- und Blindanteils verlustbehafteter passiver Bauelemente mit Hilfe der 3-Spannungsmesser-Methode. ϕ: Phasenwinkel von Z X

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

249

9.5 Wechselstrom-Meßbru ¨ cken 9.5.1 Wechselstrom-Abgleichbr¨ ucken Prinzipiell ist die Funktionsweise einer Wechselstrom-Meßbr¨ ucke mit der in Kap. 9.3 vorgestellten Gleichstrom-Meßbr¨ ucke identisch. Die Bedingung f¨ ur den Nullabgleich der Br¨ uckendiagonalspannung bezieht sich hier allerdings auf die komplexen Impedanzen Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 (Abb. 9.17) Z 2Z 3 = Z 1Z 4 .

(9.46)

Abb. 9.17. Wechselstrom-Meßbr¨ ucke

Gleichung (9.46) l¨aßt sich in eine Betrags- und eine Winkelgleichung zerlegen |Z 2 ||Z 3 | = |Z 1 ||Z 4 |

ϕ2 + ϕ3 = ϕ1 + ϕ4 .

(9.47) (9.48)

Aus der Tatsache, daß Gl. (9.46) jeweils f¨ ur Real- und Imagin¨arteil erf¨ ullt sein muß, ergeben sich mit Z i = Ri + jXi (9.49) folgende, zu den Gln. (9.47) und (9.48) ¨ aquivalente, Abgleichbedingungen R2 R3 − X2 X3 = R1 R4 − X1 X4

X2 R3 + R2 X3 = X1 R4 + R1 X4 .

(9.50) (9.51)

Da beim Br¨ uckenabgleich zwei Bedingungen zu erf¨ ullen sind, m¨ ussen auch zwei unabh¨angig voneinander abgleichbare Elemente vorhanden sein. Standard-Wechselstrom-Meßbr¨ ucken sind beispielsweise die Kapazit¨atsmeßbr¨ ucke nach Wien (Wien-Br¨ ucke) zur Messung verlustbehafteter Kondensatoren oder die Induktivit¨ atsmeßbr¨ ucke (Maxwell-Wien-Br¨ ucke) zur Bestimmung verlustbehafteter Induktivit¨ aten. Solche Standard-Br¨ ucken werden in den folgenden Abschnitten beschrieben.

250

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Wien-Br¨ ucke Die Kapazit¨atsmeßbr¨ ucke nach Wien wird in Abb. 9.18 in zwei unterschiedlichen Darstellungen gezeigt, und zwar einmal nach Abb. 9.18a zur Ausmessung der Elemente des Reihenersatzschaltbildes und in Abb. 9.18b zur Ausmessung der Elemente des Parallelersatzschaltbildes einer verlustbehafteten Kapazit¨at.

Abb. 9.18. Zwei Schaltungsvarianten der Wien-Br¨ ucke: a) zum Bestimmen des Reihenersatzschaltbildes einer verlustbehafteten Kapazit¨ at, b) zum Bestimmen des Parallelersatzschaltbildes einer verlustbehafteten Kapazit¨ at

Die Abgleichbedingungen der Wien-Br¨ ucke lauten f¨ ur beide Varianten R4 R3 R3 . RX = R2 R4 CX = C2

(9.52) (9.53)

Der Verlustfaktor der zu bestimmenden Kapazit¨at tan δ betr¨agt damit bei der Schaltungsvariante nach Abb. 9.18a (Reihenersatzschaltbild) tan δR = ωC2 R2

(9.54)

und bei der Schaltung nach Abb. 9.18b (Parallelersatzschaltbild) tan δP =

1 . ωC2 R2

(9.55)

Schering-Meßbr¨ ucke Die Schering-Meßbr¨ ucke wird vorwiegend zur Bestimmung der Elemente des Ersatzschaltbildes von Hochspannungskondensatoren bzw. Hochspannungskabeln eingesetzt (Abb. 9.19). Nachdem die Br¨ ucke mit Hochspannung gespeist wird, ist Vorsicht in der Hinsicht geboten, daß die Br¨ uckendiagonalspannung nicht zu groß wird. Es werden dementsprechend folgende Gr¨oßenverh¨altnisse gew¨ahlt: |Z X | ≫ R2 und |Z 4 | ≪ 1/ωC3 . Die Kapazit¨at C3 muß also ein hochspannungsfester und verlustarmer Kondensator sein. Die Abgleichelemente

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

251

Abb. 9.19. Schering-Meßbr¨ ucke zur Messung von Hochspannungskondensatoren

¨ sollten jedoch vorsichtshalber mit Uberspannungsableitern gesch¨ utzt werden. F¨ ur den Kapazit¨atswert CX folgt CX = C3

R4 . R2 [1 + (ωR4 C4 )2 ]

(9.56)

Der im allgemeinen interessierende Verlustfaktor tan δX ergibt sich mit Gleichung (9.48) zu tan δX = tan(90◦ − δ4 ) =

1 = ωC4 R4 . tan δ4

(9.57)

Wien-Robinson-Br¨ ucke Br¨ ucken mit frequenzabh¨ angigem Abgleich, wie die Wien-Robinson-Br¨ ucke (Abb. 9.20), k¨onnen als einfache Frequenzmeßger¨ate genutzt werden. Die Abgleichbedingungen der Wien-Robinson-Br¨ ucke lauten R1 R3 C4 = − C3 R2 R4 C3 C4 =

1 . ω 2 R3 R4

(9.58) (9.59)

H¨ aufig w¨ahlt man R2 = R3 = R4 = R, R1 = 2R und C3 = C4 = C. Damit ist Gl. (9.58) automatisch erf¨ ullt, w¨ ahrend Gl. (9.59) eine neue Abgleichbedingung ergibt, aus der die Frequenz ω der Br¨ uckeneingangsspannung ermittelt werden kann 1 ω= . (9.60) RC

252

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Abb. 9.20. Wien-Robinson-Br¨ ucke

Maxwell-Wien-Br¨ ucke Die Maxwell-Wien-Br¨ ucke (Abb. 9.21) wird zur Messung verlustbehafteter Induktivit¨aten eingesetzt. Aus den Abgleichbedingungen dieser Br¨ ucke k¨onnen unmittelbar die Elemente LX und RX des Reihenersatzschaltbildes f¨ ur verlustbehaftete Spulen abgeleitet werden LX = C4 R2 R3 R3 . RX = R2 R4

(9.61) (9.62)

Abb. 9.21. Maxwell-Wien-Br¨ ucke

9.5.2 Einfl¨ usse von Erd- und Streukapazit¨ aten Die Einfl¨ usse von Erd- und Streukapazit¨ aten kommen beim technischen Aufbau einer Wechselstrom-Meßbr¨ ucke schnell zum Tragen. Abbildung 9.22 zeigt s¨ amtliche Erd- und Streukapazit¨ aten, welche beim Aufbau einer Meßbr¨ ucke auftreten k¨onnen. Durch die Einf¨ uhrung definierter Erdungs- und Schirmverh¨altnisse gilt es, die Einfl¨ usse der parasit¨ aren Kapazit¨aten zu eliminieren oder diese zumindest vernachl¨ assigbar klein zu machen.

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

253

Wagnerscher Hilfszweig A

CAE

CAC

Z3

Z1

CAD

Z5 F

D

C CCD

CAB CCE CBE

Z2

CBC

E

CDE Z4

CBD

Z6

B Abb. 9.22. Potentielle parasit¨ are Erd- und Streukapazit¨ aten bei Wechselstrombr¨ ucken

M¨ oglichkeiten, dies praktisch zu realisieren, sind die einseitige Erdung der Speisespannungsquelle oder die einseitige Erdung der Nullanzeigeeinrichtung. Eine weitere M¨oglichkeit zur Beseitigung der Erdkapazit¨aten stellt die Verwendung des Wagnerschen Hilfszweigs dar. Hierbei wird ein Hilfszweig analog zu Z 3 und Z 4 eingef¨ uhrt (siehe Abb. 9.22), welcher zwischen den eingef¨ uhrten Hilfszweig-Impedanzen Z 5 und Z 6 auf Erdpotential liegt. Dieser Punkt soll mit F bezeichnet werden. Nun wird abwechselnd der Zweig Z 3 ,Z 4 bzw. der Zweig Z 5 ,Z 6 hinzugeschaltet und beispielsweise anhand der Impedanzen Z 3 und Z 5 der jeweilige Zweig abgeglichen. Zeigt in beiden F¨allen das Anzeigeinstrument Null an, so liegen Punkt C und D ebenfalls auf Erdpotential und die hier angreifenden Erdkapazit¨ aten werden wirkungslos [15]. Es sei angemerkt, daß der Abgleich einer Meßbr¨ ucke mit Wagnerschem Hilfszweig aufwendig werden kann. 9.5.3 Halbautomatischer Br¨ uckenabgleich Abgleich von Wechselstrom-Meßbr¨ ucken Da gem¨aß den Gln. (9.47) und (9.48) bzw. den Gln. (9.50) und (9.51) bei Wechselstrom-Meßbr¨ ucken stets zwei Abgleichbedingungen gleichzeitig zu erf¨ ullen sind, m¨ ussen in der Br¨ ucke mindestens zwei voneinander unabh¨angig

254

9 Messung von elektrischen Impedanzen

verstimmbare Bauelemente enthalten sein, welche den Betrags- und den Phasenabgleich (bzw. den Real- und den Imagin¨ arteilabgleich) erm¨oglichen. Da sich diese beiden Abgleichvorg¨ ange in der Regel gegenseitig beeinflussen, ist ein stetiger Wechsel zwischen den beiden erforderlich. Dies bedeutet konkret, daß man zun¨achst mit Hilfe eines Abgleichelementes die Diagonalspannung in ein lokales Minimum bringt. Dann setzt man den Abgleich mit dem zweiten Abgleichelement fort, bis wiederum ein neues lokales Minimum erreicht wird. Dieses schrittweise und wechselseitige Abgleichen wird solange fortgesetzt, bis die Diagonalspannung ein globales Minimum bzw. im Idealfall den Wert Null erreicht hat. Die Geschwindigkeit, mit der dieses globale Minimum eingestellt werden kann, also die Schnelligkeit des Abgleichvorganges, ist ein wesentliches G¨ utekriterium einer Wechselstrom-Meßbr¨ ucke. Die dabei erzielbare Konvergenz h¨angt von der Br¨ uckenstruktur, der Wahl der Abgleichelemente und der Empfindlichkeit des Nullindikators ab. Es sei abschließend darauf hingewiesen, daß auch bei prinzipiell abgleichbaren Br¨ ucken die Konvergenz des Abgleichvorganges nicht allgemein sichergestellt ist und von Fall zu Fall u uft ¨berpr¨ werden muß. Dazu bedient man sich meist graphischer Methoden, bei denen die Diagonalspannung U D in Form von Ortskurven in der komplexen Ebene aufgetragen wird [59]. Eine solche Ortskurve beschreibt den Real- und Imagin¨arteil von U D in Form einer graphischen Kurve, wobei das Abgleichelement, z. B. ein einstellbarer Widerstand, innerhalb eines bestimmten Wertebereiches variiert wird. Jedem Punkt dieser Ortskurve kann dann ein bestimmter Wert des Abgleichelements zugeordnet werden. Phasenempfindlicher Gleichrichter Da beim halb- und vollautomatischen Abgleich von Wechselstrom-Meßbr¨ ucken sehr oft phasenempfindliche Gleichrichter (Synchrongleichrichter) ben¨otigt werden, soll deren Funktionsweise zun¨ achst erl¨autert werden. Bei einem phasenempfindlichen Gleichrichter wird die Gleichrichterwirkung nicht, wie beim normalen Gleichrichter u ¨blich, von der Polarit¨at der Eingangsspannung uE gesteuert, sondern von der Phasenlage bzw. Polarit¨at einer separaten Steuerspannung bestimmt (Abb. 9.23). Die Ausgangsspannung u ¯A ergibt sich aufgrund der Tiefpaßfilterung als zeitlicher Mittelwert des Produktes aus uE (t) und einem Schaltersignal s(t) u ¯A = uE (t)s(t) ,

(9.63)

wobei das Schaltersignal s(t) von der Polarit¨ at der Steuerspannung bestimmt wird, d. h.  ¨r ust > 0  +1 f u s(t) = sign(ust ) = . (9.64)  −1 f u ¨r ust < 0

F¨ ur den Fall, daß die Steuerspannung einen sinusf¨ormigen Zeitverlauf mit derselben Frequenz wie die Eingangsspannung uE aufweist, jedoch zu dieser phasenverschoben ist, ergibt sich

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

255

Abb. 9.23. Phasenempfindlicher Gleichrichter: a) Prinzipschaltung bestehend aus Schmitt-Trigger, Multiplizierer und RC-Tiefpaß, b) Spannungsverl¨ aufe f¨ ur sinusf¨ ormige Eingangs- und Steuerspannung, c) Schaltsymbol

bzw.

ˆE sin(ωt) sign(U ˆst sin(ωt − ϕ)) uA (t) = U

(9.65)

ˆE sin(ωt + ϕ) sign(U ˆst sin ωt) . uA (t) = U

(9.66)

Daraus kann der zeitliche Mittelwert u¯A durch Integration u ¨ber die Periodendauer errechnet werden Z 1 T ˆ ˆst sin ωt) dt . u ¯A = UE sin(ωt + ϕ) sign(U (9.67) T 0 Die Signum-Funktion kann ausgewertet werden, indem man das Integral in zwei Teile aufspaltet ! Z T ˆE Z T2 U sin(ωt + ϕ) dt − u¯A = sin(ωt + ϕ) dt . (9.68) T T 0 2 Die Auswertung der beiden Teilintegrale liefert schließlich das Ergebnis, daß die Ausgangsspannung u¯A dem Gleichrichtwert der Eingangsspannung, die mit dem Cosinus der Phasenwinkeldifferenz ϕ zwischen der Eingangs- und Steuerspannung multipliziert wurde, entspricht u ¯A =

ˆE 4T ˆE ˆE 4 U 2U U cos ϕ = cos ϕ = cos ϕ . T ω T 2π π

(9.69)

Sollten in der Steuerspannung ust (t) Spektralanteile enthalten sein, die nicht mit der Frequenz der Eingangsspannung uE identisch sind, liefern diese infolge der zeitlichen Mittelwertbildung keinen Beitrag zur Ausgangsspannung u ¯A .

256

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Unter Verwendung von zwei phasenempfindlichen Gleichrichtern, die aufgrund ihrer Steuerspannungen um 90◦ gegeneinander phasenverschoben arbeiten, l¨ aßt sich eine Wechselspannung, die an beiden Eingangstoren als Eingangsspannung anliegt, in ihren Real- und Imagin¨ arteil zerlegen. Wenn man in diesem Fall die beiden Ausgangsspannungen quadratisch addiert, erh¨alt man das Quadrat des (mit dem Faktor 2/π multiplizierten) Betrages des komplexen Zeigers der Eingangsspannung. Halbautomatisch abgleichbare Wien-Br¨ ucke Um den iterativen und wechselseitigen Abgleich von Wechselspannungs-Meßbr¨ ucken nach Betrag und Phase zu umgehen, setzt man sog. halbautomatische Meßbr¨ ucken ein, die nur noch einen einfachen manuellen Abgleich erfordern. Der zweite Abgleich erfolgt dabei automatisch im Ger¨at. Abbildung 9.24 zeigt das Prinzipschaltbild einer halbautomatisch abgleichbaren Wien-Br¨ ucke. Wenn U R2 und U R4 die Spannungen an den Widerst¨anden R2 bzw. R4 bezeichnen, ergibt sich die Br¨ uckendiagonalspannung U D wie folgt U D = U R4 − U R2 = U R4 − Re(U R2 ) − jIm(U R2 ) .

(9.70)

Da U R4 rein reell ist (U R4 = UR4 ), kann die Aufspaltung von Gl. (9.70) in Real- und Imagin¨arteil in einfacher Weise erfolgen Re(U D ) = UR4 − Re(U R2 ) Im(U D ) = −Im(U R2 ) 6= f (R3 , R4 ) .

(9.71) (9.72)

Phaseninformation 90° Phasenschieber

Nullabgleich durch R 4 CX

RX

R3 UD

U E0

UD C2

R 2 U R2

U st Verstärker U DV

V

ϕ

R 4 U R4 Regler

Im ( U D )

R 2 : spannungssteuerbarer Widerstand Abb. 9.24. Halbautomatisch abgleichbare Wien-Br¨ ucke

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

257

Der in der Schaltung nach Abb. 9.24 enthaltene phasenempfindliche Gleichrichter filtert den Imagin¨ arteil der Diagonalspannung U D heraus und gibt diese auf einen Regler, der den spannungssteuerbaren Widerstand R2 ansteuert. Der Realteilabgleich wird per Hand an R4 vorgenommen, w¨ahrend der Imagin¨arteilabgleich automatisch durch den spannungssteuerbaren Widerstand R2 erfolgt. Der Realteilabgleich kann anhand des Betrages der Diagonalspannung U D durchgef¨ uhrt werden, da mit Hilfe der eben beschriebenen Regelschleife der Imagin¨ arteilabgleich st¨ andig nachgef¨ uhrt wird. Aus den Abgleichbedingungen ergeben sich schließlich die zu ermittelnden Bauelementgr¨oßen der verlustbehafteten Kapazit¨ at R4 R3 R3 RX = R2 . R4 CX = C2

(9.73) (9.74)

9.5.4 Wechselstrom-Ausschlagbr¨ ucken Mit Hilfe von Wechselstrom-Ausschlagbr¨ ucken werden oft die Impedanz¨anderungen von kapazitiven bzw. induktiven Sensoren gemessen. Dabei geht man i. a. davon aus, daß die Kapazit¨ aten bzw. Induktivit¨aten der Aufnehmer verlustlos sind und verwendet die Schaltung nach Abb. 9.25. Bei einer solchen Meßbr¨ ucke stellt zumindest eine der Reaktanzen X1 oder X2 den Aufnehmer dar, es k¨onnen jedoch auch sowohl X1 als auch X2 dem Aufnehmer zugeordnet ucke ergibt sich analog zu Gl. (9.21) sein. Die Diagonalspannung U D dieser Br¨ UD = UE

j(X2 − X1 ) R0 U (X2 − X1 ) = E . j(X2 + X1 ) 2R0 2 (X2 + X1 )

(9.75)

Im weiteren unterscheidet man zwischen Viertel-, Halb- und Vollbr¨ ucken.

Abb. 9.25. Wechselstrom-Ausschlag-Meßbr¨ ucke

258

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Viertelbr¨ ucke Man spricht von einer Viertelbr¨ ucke, wenn X1 = X0 und X2 = X0 + ∆X. Die ahernd proportional zu ∆X Diagonalspannung U D ist dann ann¨ UD =

∆X U UE ≈ E ∆X . 2 2X0 + ∆X 4X0

(9.76)

Der Reaktanzanteil ∆X stellt dabei ein Maß f¨ ur die aktuelle Meßgr¨oße des Aufnehmers dar. Halbbr¨ ucke Bei der Halbbr¨ ucke w¨ ahlt man X1 = X0 − ∆X

(9.77)

X2 = X0 + ∆X .

(9.78)

und Die Diagonalspannung U D ist damit exakt proportional zu ∆X UD =

U E ∆X . 2 X0

(9.79)

Auch hier ist ∆X ein Maß f¨ ur die Meßgr¨ oße; nach M¨oglichkeit sollte ∆X proportional der vom Sensor zu detektierenden Meßgr¨oße sein. Die in Gln. (9.77) ¨ und (9.78) vorkommenden entgegengesetzten Anderungen ±∆X der Sensorreaktanz ergeben sich bei sog. Differentialsensoren [158]. Anwendungsbeispiel f¨ ur eine Halbbr¨ ucke: Tauchankersystem als Wegaufnehmer Eine Spule mit verschiebbarem ferromagnetischem Kern (Abb. 9.26) kann als einfacher Wegaufnehmer verwendet werden, da die Induktivit¨at in eindeutiger Weise von der Position des Kerns abh¨ angt. Nachteilig an diesem als Tauchankersystem bezeichneten Wegsensor ist allerdings die nichtlineare Abh¨angigkeit von (Verschiebungs-)Weg und Induktivit¨ at. Die Anwendung des Differenzprinzips f¨ uhrt in Erweiterung zu einem Doppelspulen-Tauchankersystem nach Abb. 9.27. Dieser Differentialsensor weist eine wesentlich bessere Kennlinien-Linearit¨at als das einfache Tauchankersystem auf. Außerdem l¨ aßt sich das Differenzprinzip zur Temperaturkompensation nutzen, wenn der Differential-Tauchankergeber, wie in Abb. 9.27 dargestellt, in Halbbr¨ ucken-Schaltung verwendet wird. Bei der Halb¨ br¨ ucke werden n¨amlich gleichsinnige Anderungen bez¨ uglich der Induktivit¨at der beiden Sensorspulen (Gleichtaktst¨ orungen, wie Temperatureinfluß, etc.) ¨ eliminiert und gegensinnige Anderungen (der eigentliche Meßeffekt) addiert.

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

259

verschiebbarer Kern a)

x0

∆x

Spule

L, L d

L

Ld L0

∆x

-3 -2 -1 0 1 2 3 b)

0 1 2 3

4 x0 6 7 8

x

Abb. 9.26. Tauchanker-System als Wegsensor. a) Aufbau; b) Induktivit¨ at L der Tauchankerspule als Funktion der Kernposition x. Ld bezeichnet die im Arbeitspunkt x0 in N¨ aherung linearsierte Induktivit¨ at.

¨ Der Meßeffekt f¨ uhrt zu gegensinnigen Anderungen in den Induktivit¨aten der Teilspulen, da sich der Kern aus der einen heraus und in die andere hinein bewegt. Dies f¨ uhrt zum gew¨ unschten Ergebnis, daß die Br¨ uckendiagonalspan-x

x=0

+x verschiebbarer Kern

Spule 2

Spule 1 UD R0

R0

UE Abb. 9.27. Doppelspulen-Tauchankersystem in Halbbr¨ ucken-Schaltung

260

9 Messung von elektrischen Impedanzen

nung UD u ¨ber eine weite Wegstrecke linear von der Wegverschiebung (des Kerns) abh¨angt. Vollbr¨ ucke Bei den Vollbr¨ ucken (Abb. 9.28) ¨ andern sich alle vier Br¨ uckenreaktanzen um ¨ den Betrag ∆X. Die Anderungen erfolgen in den Br¨ uckenzweigen 1 und 4 sowie den Br¨ uckenzweigen 2 und 3 jeweils gleichsinnig gem¨aß X1 = X4 = X0 − ∆X

(9.80)

X2 = X3 = X0 + ∆X .

(9.81)

und Analog zu Gl. (9.21) kann die Diagonalspannung U D abgeleitet werden UD = UE

X2 X3 − X1 X4 . (X1 + X2 )(X3 + X4 )

(9.82)

Die Auswertung von Gl. (9.82) ergibt, daß die Diagonalspannung U D der doppelten der Halbbr¨ ucke entspricht U D = UE

∆X . X0

(9.83)

Abb. 9.28. Wechselstrom-Vollbr¨ ucke

Anwendungsbeispiel f¨ ur eine Vollbr¨ ucke: Druckmessung mit Halbleiter-DMS Zur Messung von mechanischen Kr¨ aften oder auch Dr¨ ucken werden des ¨ofteren Dehnungsmeßstreifen in Verbindung mit Federk¨orpern eingesetzt. Sie wandeln die kraft- bzw. druck-proportionale L¨ angendehnung des Federk¨orpers in ein entsprechendes elektrisches Signal um, wenn sie mit einer Hilfsquelle gespeist

9.5 Wechselstrom-Meßbr¨ ucken

261

werden. Dehnungsmeßstreifen (DMS) ¨ andern ihren relativen ohmschen Widerstand in Abh¨angigkeit einer mechanischen L¨ angendehnung in linearer Weise ∆l ∆R =k . R l

(9.84)

Standardm¨aßig werden trotz ihres geringen k-Faktors (k ≈ 2) metallische DMS eingesetzt. Dehnungsmeßstreifen aus monokristallinem Silizium hingegen zeigen sehr große k-Faktoren (typische k-Faktoren im Bereich k = 100), so daß gegen¨ uber den Metall-DMS eine wesentliche Erh¨ohung der Empfindlichkeit erreicht werden kann. Auf diesem Sachverhalt basiert die Technologie der Silizium-Drucksensoren. Die Fertigung der Federk¨orper erfolgt in Form d¨ unner Kreis- oder Rechteckmembranen. Da die Herstellung monokristalliner D¨ unnfilme technologisch nur mit hohem Aufwand zu realisieren ist, wird die gesamte Druckmembran aus monokristallinem Silizium hergestellt und die Dehnungsmeßstreifen in Form piezoresistiver Zonen (Widerst¨ande) in diese hineindiffundiert (Abb. 9.29). Die Diffusion erfolgt mit typischen Fremdatomen, wie etwa Bor. Die mechanische Bearbeitung des Siliziums geschieht mit Methoden der sog. Silizium-Mikromechanik [65]. Dabei werden kleinste mechanische Strukturen aus Silizumwafern mit Hilfe von Fotolithographie und ¨ anisotropen Atzverfahren gefertigt. Dazu kommen noch D¨ unnschichtprozesse, mit denen d¨ unne Schichten aus Siliziumoxid (SiO2 ) und Siliziumnitrid (Si3 N4 ) auf dem Siliziummaterial aufgebracht werden. Kontaktierung (Leiterbahn) Membranzone 1

2 R1 R2

R4

2' DMS (piezoresistive Widerstände R 1 bis R 4 ) a)

Druck p DMS (piezoresistive Widerstände) Si 3N 4

Kontaktierung (Leiterbahn)

R3

SiO 2

1' SiliziumSubstrat

Glasträger SiliziumEpitaxieschicht

b)

Abb. 9.29. a) Anordnung (Aufsicht) der piezoresistiven Widerst¨ ande (R1 , R2 , R3 , R4 ) in der Siliziummembran eines Drucksensors. Die Widerst¨ ande sind zu einer Vollbr¨ uckenschaltung verschaltet. An den Kontakten 1 und 1’ kann die Diagonalspannung abgegriffen werden. An den Kontakten 2 und 2’ wird die Speisespannung der Br¨ ucke zugef¨ uhrt; b) Aufbau des mikromechanisch hergestellten Drucksensors im Querschnitt.

262

9 Messung von elektrischen Impedanzen

Silizium zeigt ausgezeichnete elastische Eigenschaften: Es ist mit konstantem Elastizit¨atsmodul dehnbar bis zu einer Bruchdehnung von ca. 0,5 %, wobei die Reproduzierbarkeit der Dehnung und die Hysterese nicht schlechter sind als bei anderen guten Federwerkstoffen. Die Verschaltung der 4 DMS (piezoresistive Widerst¨ande) erfolgt vorteilhafterweise in Voll-Br¨ uckenschaltung. Dies ist m¨oglich, da die Widerstande R1 und R4 , die nahe dem Zentrum der Membran angeordnet sind, eine im Vergleich zu den im Außenbereich der Membran angeordeneten Widerst¨anden R2 und R3 entgegengesetzte Dehnung erfahren. Dies liegt daran, daß in der Zone zwischen diesen beiden Widerstandspaaren, also bei einem mittleren Radius, die spannungsneutrale Faser liegt. In Zonen mit gr¨oßeren (von der neutralen Faser aus gesehen) Radien wird die Membran gedehnt, w¨ahrend sie bei kleineren Radien gestaucht wird. Dies f¨ uhrt zu einer Vergr¨oßerung der Widerstandswerte bei R2 und R3 und zu einer Verringerung bei R1 und R4 . ¨ Bei Umkehr des Druckes (Uberdruck → Unterdruck) kehren sich auch bei den Widerstandswerten die Verh¨ altnisse um. Somit k¨onnen die Widerst¨ande idealerweise zu einer Vollbr¨ ucke verschaltet werden. Dies f¨ uhrt, wie schon bei dem Anwendungsbeispiel zur Halbbr¨ uckenschaltung, einerseits zu einer Linearisierung sowie andererseits zu einer Erh¨ ohung der Empfindlichkeit gegen¨ uber Viertel- bzw. Halbbr¨ uckenschaltungen. Man erreicht dadurch schließlich u ¨ber weite Druckbereiche eine lineare Abh¨ angigkeit der Br¨ uckendiagonalspannung vom angelegten mechanischen Druck. Bei Absolutdrucksensoren ist die untere Seite des Sensors gasdicht geschlossen, so daß im Sensor ein vorgegebener permanenter Druck eingestellt werden kann. Bei Differenzdrucksensoren hingegen ist die untere Seite durchbohrt, so daß von unten ein Referenzdruck wirkt. Die Abb. 9.29b zeigt den Aufbau eines monokristallinen (monolithischen) Silizium-Drucksensors. Die Herstellung von Silizium-Drucksensoren mit niedrigen Temperaturkoeffizienten erfordert einigen Aufwand, insbesondere wegen der vergleichsweise starken Temperaturabh¨ angigkeit des spezifischen Widerstands und des k-Faktors von Silizium. Eine Reduktion der Temperaturabh¨angigkeit kann u. a. durch eine Konstantstromspeisung der Br¨ ucke erreicht werden, da der Widerstand des Siliziums mit der Temperatur ansteigt, w¨ahrend der k-Faktor hingegen mit der Temperatur abnimmt.

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale (Oszilloskope)

Es z¨ahlt zu den Standardaufgaben der elektrischen Meßtechnik, den Zeitverlauf von elektrischen Signalen unter Angabe von Zeit- und Amplitudenwerten darzustellen bzw. zu registrieren. Sehr h¨ aufig wird dabei auf eine Realzeitdarstellung Wert gelegt, bei der das Signal zeitgleich mit seinem Auftreten bildlich dargestellt wird. In der Elektrischen Meßtechnik setzt man zu diesem Zweck Elektronenstrahl-Oszilloskope ein, welche der Visualisierung des Zeitverlaufes einer elektrischen Spannung u(t) dienen. Die im folgenden beschriebenen Oszilloskope sind Ger¨ ate, die eine solche bildliche Darstel¨ lung des Signals entweder in Realzeit oder in Aquivalenzzeit (zeitlich gestaffelte Abtastung periodischer Signale) erlauben. Die Ger¨ate k¨onnen dabei auf analoger oder digitaler Basis arbeiten. Sie werden dementsprechend als Analog-Oszilloskope (analoge Elektronenstrahl-Oszilloskope) (Kap. 10.1) bzw. als Digital-Oszilloskope (Digital-Speicheroszilloskope, Digital Sampling Oscilloscope (DSO)) (Kap. 10.4) bezeichnet. Im Gegensatz zu den fr¨ uher verwendeten Oszillographen, welche die Registrierung von elektrischen Signalen auf fotografischem Papier erm¨ oglichten, handelt es sich bei den heute eingesetzten Oszilloskopen um Sichtger¨ ate, bei denen ein Elektronenstrahl mit konstanter Geschwindigkeit in horizontaler Richtung u ¨ber eine phosphoreszierende Schicht gef¨ uhrt wird und beim Auftreffen auf diese Leuchtschicht f¨ ur eine kurze Zeitdauer einen sichtbaren Punkt erzeugt. Die vertikale Strahlablenkung ist proportional der dargestellten Spannung, so daß bei entsprechend schneller und permanenter Wiederholung des Schreibvorganges ein dauernd sichtbares Leuchtbild der darzustellenden Signalspannung entsteht.

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop 10.1.1 Aufbau und Funktion der Elektronenstrahl-R¨ ohre Das analoge Elektronenstrahl-Oszilloskop besitzt als Herzst¨ uck eine Braunsche R¨ohre, in der ein Elektronenstrahl den Zeitverlauf des angelegten elek-

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_10, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

264

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Abb. 10.1. Elektronenstrahl-R¨ ohre (Braunsche R¨ ohre) mit elektrostatischer Strahlfokussierung und elektrostatischer Strahlablenkung

trischen Signals auf eine Leuchtschicht schreibt. Abbildung 10.1 zeigt den Aufbau einer solchen Elektronenstrahl-R¨ ohre. Die R¨ohre besteht aus einem evakuierten Glaskolben, der die zur Erzeugung, Fokussierung und Ablenkung des Elektronenstrahls erforderlichen Einheiten enth¨alt. Dabei werden die von einer Gl¨ uh-Kathode emittierten Elektronen infolge der zwischen Kathode und Anode anliegenden elektrischen Spannung zun¨ achst in Richtung des Leuchtschirmes beschleunigt. Auf diesem Wege wird der Elektronenstrahl durch weitere elektrische Felder fokussiert, welche durch Anlegen von geeigneten elektrischen Spannungen an den Wehnelt-Zylinder, die Anoden 1 und 2 sowie die beiden Hilfsgitter erzeugt werden. Danach durchlaufen die Elektronen das Vertikal(y-Platten) sowie das Horizontal-Ablenksystem (x-Platten) und treffen schließlich auf der Leuchtschicht der R¨ ohrenvorderseite auf. Abbildung 10.2 verdeutlicht die Geometrie der vertikalen Strahlablenkung, die im folgenden in Abh¨angigkeit der Ablenkspannung sowie der Geometrie des Ablenksystems berechnet wird. Durch das Anlegen einer Spannung uz zwischen Kathode und Anode

Abb. 10.2. Geometrie der Strahlablenkung in einer Oszilloskop-R¨ ohre

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

265

entsteht ein elektrisches Feld Ez , welches die emittierten Elektronen (Masse m0 = 9, 1 · 10−31 kg; Ladung e0 = 1, 6 · 10−19 As) auf eine Horizontalgeschwindigkeit vz beschleunigt. Aus Energieerhaltungsgr¨ unden ist die kinetische Energie Wkin des Elektrons gleich der beim Durchlaufen des elektrostatischen Feldes aufgenommenen elektrischen Energie Wel , sodaß die Horizontalgeschwindigkeit vz des Elektrons aus der Anodenspannung uz wie folgt ermittelt werden kann Wkin = Wel 1 m0 vz2 = e0 uz 2 r e0 vz = 2 uz m0

(10.1) (10.2) (10.3)

p vz (kms−1 ) = 1, 88 · 104 uz (kV) .

(10.4)

Fy = m0 ay = e0 Ey .

(10.5)

Die mechanische Kraft Fy , die das Elektron in vertikaler Richtung ablenkt, ergibt sich aus dem Produkt von Elektronenladung und der Feldst¨arke Ey , die zwischen den Vertikalablenkplatten herrscht

Nach Durchlaufen der y-Plattenstrecke sz (Abb. 10.2) erreicht das Elektron seine vorerst maximale y-Geschwindigkeit vymax , die sich aus dem Produkt von y-Beschleunigung ay und der Verweilzeit Tz des Elektrons im y-Plattenpaar errechnet sz (10.6) vymax = ay Tz = ay . vz Dabei wurde die Ablenkspannung uy und damit die Vertikalbeschleunigung ay f¨ ur die Verweildauer Tz des Elektrons im Vertikalablenksystem als konstant angenommen. Die Ablenkung yL des Elektrons auf dem Schirm und damit die Vertikalposition des Leuchtflecks ergibt sich mit den in Abb. 10.2 bezeichneten Gr¨oßen und unter Zuhilfenahme von Gln. (10.5) und (10.6) yL = yp + vymax

sz l z sz l z e0 lz = y p + ay = yp + Ey 2 . vz vz vz m0 vz

(10.7)

Mit der Vertikalkomponente Ey der elektrischen Feldst¨arke zwischen den parallelen y-Ablenkplatten uy Ey = (10.8) dy und Gl. (10.3) erh¨ alt man schließlich den gesuchten Zusammenhang zwischen der vertikalen Strahlablenkung yL , der Ablenkspannung uy , der Anodenspannung uz und den geometrischen Abmessungen des Vertikalablenksystems sowie dessen Distanz lz zur Leuchtschicht yL = yp +

u y sz l z . uz 2dy

(10.9)

266

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Die absolute Auslenkung yL auf dem Leuchtschirm ist exakt proportional der Ablenkspannung uy , wenn der Beitrag von yp (Abb. 10.2) vernachl¨assigt werden darf (yp ≪ yL ), was in praktischen F¨ allen in der Regel erlaubt ist u y sz l z uz 2dy

(10.10)

e 0 u y sz l z . m0 dy vz2

(10.11)

yL ≈ bzw. yL ≈

Die Proportionalit¨ atskonstante zwischen uy und yL wird als Ablenkkoeffizient Ky bezeichnet uy 2dy Ky = = uz . (10.12) yL sz l z Der Ablenkkoeffizient wird i.allg. in (V/cm) angegeben. Der Kehrwert des Ablenkkoeffizienten Ky wird Ablenkempfindlichkeit genannt. Ein kleiner VertikalAblenkkoeffizient Ky und damit eine hohe Ablenkempfindlichkeit l¨aßt sich durch folgende Maßnahmen erreichen: -

-

-

-

große Plattenl¨ ange sz : Wenn die L¨ange sz der y-Ablenkplatten groß ist, sind die Elektronen der Beschleunigungskraft Fy l¨ anger ausgesetzt und infolgedessen nimmt die Geschwindigkeitskomponente vymax zu, was wiederum zu h¨oheren Auslenkungen auf dem Schirm f¨ uhrt (Gln. (10.7 - 10.12)). Lange Platten f¨ uhren allerdings zu Laufzeitfehlern, da sich w¨ ahrend der Verweilzeit der Elektronen zwischen den Platten die Ablenkspannung uy bereits zeitlich a¨ndern kann (Kap. 10.3). So ist es zum Erreichen einer hohen Grenzfrequenz des Ablenksystems gerade notwendig, auf eine kurze Einwirkdauer der Coulombschen Anziehungskraft Wert zu legen, d. h. man fordert dementsprechend eine hohe Elektronengeschwindigkeit im Ablenksystem und kurze Ablenkplatten. großer Abstand lz Ablenkplatten - Leuchtschirm“: ” Die Schirmauslenkung yL ist dem Abstand lz zwischen Ablenkplatten und Schirm direkt proportional. Der Verl¨ angerung dieses Abstandes steht allerdings der Wunsch nach kompakten R¨ ohren mit kurzen Baul¨angen entgegen. geringer Plattenabstand dy : Je kleiner der Plattenabstand dy , desto h¨oher wird die Feldst¨arke Ey (Gl. (10.8)) und damit auch die beschleunigende Kraft Fy (Gl. (10.5)). Allerdings steht diese Forderung indirekt dem Wunsch nach langen yAblenkplatten entgegen. Denn bei langen Platten mit geringen Abst¨anden l¨auft man Gefahr, daß die Elektronen auf die Platten auftreffen. geringe Anodenspannung uz : √ Da die Horizontalgeschwindigkeit vz proportional uz ist, sinkt mit der Anodenspannung die Horizontalgeschwindigkeit und damit steigt die Verweildauer der Elektronen zwischen den Ablenkplatten. In ihrer Wirkung

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

267

ist diese Maßnahme vergleichbar mit der Verl¨angerung der Platten. Da eine niedrige Elektronengeschwindigkeit aber aufgrund der niedrigen kinetischen Energie der auftreffenden Elektronen auch zu einer Verringerung der Strahlhelligkeit f¨ uhrt, verwendet man sog. Nachbeschleunigungselektroden (siehe Abb. 10.1). Diese auf hohem positivem Potential (10 bis 20 kV) liegenden Elektroden haben die Aufgabe, die Elektronen zu beschleunigen, nachdem sie das Ablenksystem bereits durchlaufen haben. Es wird damit erreicht, daß einerseits die Elektronengeschwindigkeit im Ablenksystem gering ist, w¨ahrend sie andererseits beim Auftreffen auf die Leuchtschicht hoch ist. Es lassen sich also hohe Ablenkempfindlichkeiten bei gleichzeitig hoher Strahlhelligkeit verwirklichen. Die Nachbeschleunigungselektrode ist i. allg. in Form einer Graphitwendel ausgef¨ uhrt, die so aufgebaut ist, daß bei der Nachbeschleunigung eine m¨ oglichst geringe parasit¨are Richtungsbeeinflussung stattfindet. Aufgrund der Nachbeschleunigung kommt es i. allg. zu Linearit¨atsfehlern (Kap. 10.3.2), d. h. die Ablenkempfindlichkeit am Rand ist nicht mehr mit der in der Bildmitte identisch. Abschließend sei bemerkt, daß die oben abgeleiteten Beziehungen in analoger Weise auch f¨ ur das Horizontal-Ablenksystem gelten. Die Horizontalablenkplatten sind meistens nach dem Vertikal-Ablenksystem angeordnet, was aufgrund der geringeren Entfernung lz zum Leuchtschirm zu einer kleineren Ablenkempfindlichkeit f¨ uhrt (Gl. (10.12)). 10.1.2 Zeitablenkung und Triggerung ¨ Ublicherweise werden Oszilloskope als Spannungs-Zeit-Schreiber (y-t-Schreiber) genutzt. Dazu erzeugt der Horizontalverst¨arker (x-Verst¨arker) eine Spannung, die proportional zur Zeit ansteigt (S¨agezahnspannung) (Abb. 10.3). Die Anstiegszeit dieser S¨ agezahnspannung legt den Zeitmaßstab f¨ ur die x-Achse fest. Der Zeitablenk-Koeff izient dieser S¨ agezahnspannung Kx gibt somit jene Zeit an, die der Strahl zum Durchlaufen einer Rastereinheit ben¨otigt, z. B. Kx = 100 µs/cm. Ein scheinbar stehendes Bild entsteht nur dann, wenn immer wieder derselbe zeitliche Abschnitt eines Signals erfaßt und dargestellt wird (Abb. 10.5). Daf¨ ur sorgt die sog. Triggerschaltung, die erkennt, wann der entsprechende Signalausschnitt beginnt. Nach Eintreten dieses Triggerereignisses wird die horizontale Strahlablenkung gestartet, d. h. es wird die S¨agezahnspannung an die x-Ablenkplatten gelegt. Eine Triggereinrichtung (Abb. 10.4) gestattet zun¨achst die Erzeugung einer beliebigen Vergleichsspannung mit Hilfe des Level-Potentiometers. Ein Komparator vergleicht schließlich den so gew¨ ahlten Triggerpegel mit dem Eingangssignal, und wenn die Eingangsspannung den voreingestellten Pegelwert u ¨bersteigt, liefert der Komparator eine positive Taktflanke, die wiederum die monostabile Kippstufe ausl¨ ost. Bei in ′ −′ -Stellung befindlichem Slope-Schalter ist der Invertierer aktiv und das Monoflop wird bei Unterschreiten des voreingestellten Pegels ausgel¨ ost, d. h. es wird auf die abfallende Flanke (negative

268

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Abb. 10.3. Erzeugung eines Oszillogramms (Schirmbildes) mit Hilfe der Spannung uy (t) und der S¨ agezahnspannung ux (t)

Triggerflanke (Abb. 10.5)) getriggert. Bei Anliegen eines periodischen Eingangssignals (Triggersignal) wird am Komparatorausgang ein Rechtecksignal erzeugt, dessen Frequenz der des Triggersignals entspricht. Die monostabile Kippstufe erzeugt bei jeder positiven bzw. negativen Flanke des Rechtecksignals einen Impuls konstanter zeitlicher L¨ange, welcher wiederum den S¨ agezahngenerator startet. Die Impulsdauer muß so kurz sein, daß auch bei der h¨ochsten Triggersignalfrequenz die entstehenden Triggerimpulse getrennt werden k¨onnen.

Abb. 10.4. Prinzipschaltbild einer Triggereinrichtung

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

269

Abb. 10.5. Prinzip der Triggerung: a) Generieren der S¨ agezahnspannung ux (t) bei positiver und negativer Triggerflanke, b) Schirmbilder bei positiver und negativer Triggerflanke

Mit Hilfe einer sog. verz¨ogerten Zeitbasis gelingt es, einen beliebigen zeitlichen Ausschnitt eines dargestellten Oszilloskopbildes auf die gesamte Breite des Schirmes zu expandieren. Diese Lupenwirkung l¨aßt sich unter Verwendung von zwei unabh¨ angigen Zeitbasen, der sog. Hauptzeitbasis (Main Time Base MTB) und der verz¨ ogerten Zeitbasis (Delayed Time Base DTB), erreichen. Abbildung 10.6 erl¨ autert die prinzipielle Arbeitsweise einer verz¨ogerten Zeitbasis. Sie enth¨ alt am Eingang eine der Abb. 10.4 entsprechende Triggereinheit, welche die Hauptzeitbasis und damit die gew¨ohnliche Schirmbilddarstellung startet. Die dazu notwendige S¨ agezahnspannung der Hauptzeitbasis wird gleichzeitig mit Hilfe des gezeigten Komparators mit einem voreingestellten Spannungswert verglichen, der einem Wert tV auf der Zeitachse des Schirmbildes entspricht. Bei Erreichen dieses Schwellwertes bzw. der Zeitmarke tV wird die verz¨ ogerte Zeitbasis gestartet, deren S¨agezahnanstiegsgeschwindigkeit i. allg. um ein Mehrfaches h¨ oher liegt als die der Hauptzeitbasis. Wenn f¨ ur das dargestellte Schirmbild die S¨ agezahnspannung uXV der verz¨ogerten Zeitbasis verwendet wird, erscheint auf dem Schirmbild der mit t′V bezeichnete Ausschnitt des urspr¨ unglichen Bildes (Ablenkspannung uXH ) auf der ganzen Breite des Schirmes. Im urspr¨ unglichen Schirmbild wird dieser Ausschnitt

270

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Abb. 10.6. Prinzip einer verz¨ ogerten Zeitbasis: a) Prinzipschaltbild, b) Ablenkung mit Hauptzeitbasis, c) Ablenkung mit verz¨ ogerter Zeitbasis

zwecks Positionierung der Zeitmarke tV und Einstellen der L¨ange t′V des zu spreizenden Bildausschnittes aufgehellt dargestellt. Von dieser Art der Darstellung wird man vor allem dann Gebrauch machen, wenn ein zeitlich zu spreizendes Signaldetail erst lange Zeit nach einer m¨oglichen Triggerstelle im Signal folgt. 10.1.3 Funktionsgruppen eines Analog-Oszilloskops Abbildung 10.7 zeigt das Blockschaltbild eines 2-Kanal-Oszilloskops mit Standardausstattung, allerdings ohne verz¨ ogerte Zeitbasis. Als Eing¨ange stehen hier die beiden y-Eing¨ ange y1 und y2 zur Messung zeitabh¨angiger Spannungen, der z-Eingang zur Helligkeitsmodulation des Elektronenstrahles, der Triggereingang zum externen Start der Zeitbasis sowie ein x-Eingang zur Einspeisung einer beliebigen Horizontal-Ablenkspannung zur Verf¨ ugung. Sowohl der Eingang der Triggerschaltung als auch die Eing¨ange der y-Verst¨arker sind mit einem Gleichspannungseingang (DC) und einem Wechselspannungseingang (AC) versehen. Am Triggereingang ist ein Triggerfilter vorhanden, welches das Ausblenden von hohen oder tiefen Spektralanteilen mit Hilfe eines RC-Tief- bzw. Hochpaßfilters erm¨ oglicht. Die Vertikalverst¨arker (Gleichund Wechselspannungsverst¨ arker) sowie die Elektronenstrahl-R¨ohre samt ihrer Ablenksysteme bestimmen die obere Grenzfrequenz des Oszilloskops, welche wiederum wesentlich den technischen Aufwand und damit die Herstellungskosten beeinflußt. Zur unverf¨ alschten Darstellung bzw. Aufzeichnung eines Signals ist es generell notwendig, daß das Meßsystem (Oszilloskop) eine

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

Abb. 10.7. Blockschaltbild eines 2-Kanal-Oszilloskops

271

272

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Grenzfrequenz fg−Meßsystem aufweist, die mindestens so hoch liegt wie die des zu messenden Signals fg−Meßsystem ≥ fg−Signal .

(10.13)

Im Falle von Oszilloskopen wird vom Hersteller anstatt der oberen Grenzfrequenz oft die Anstiegszeit tr (Risetime) angegeben. Sie ist die Zeit, die der Strahl bei einem Spannungssprung am Eingang zum Schreiben des zwischen 10 und 90 % des Endwertes liegenden Signalverlaufes ben¨otigt (Abb. 10.8).

Abb. 10.8. Definition der Anstiegszeit (Risetime) tr

Die obere Grenzfrequenz fg l¨ aßt sich aus der Anstiegszeit tr anhand der N¨aherungsformel fg tr ≈ 0, 35 (10.14) bestimmen, welche in Kap. 10.3.3 hergeleitet wird. Die Verz¨ogerungsleitung im y-Kanal hat die Aufgabe, die y-Spannung zeitlich verz¨ogert auf die Ablenkplatten zu geben. Damit wird sichergestellt, daß bei Sprungsignalen auch die ansteigende bzw. abfallende Flanke noch deutlich auf dem Schirm sichtbar ist. Ohne eine solche Verz¨ ogerungsleitung best¨ unde bei sehr schnellen Signalen die Gefahr, daß die Flanke schon anliegt, bevor die Zeitbasis die Strahlablenkung starten konnte. Zur gleichzeitigen Darstellung mehrerer, im allgemeinen zweier, Signale verwendet man in der Regel ebenfalls einstrahlige Elektronenstrahl-R¨ ohren, deren Vertikalablenksystem im Wechsel von verschiedenen y-Kan¨alen u ¨ber einen elektronischen Umschalter angesteuert werden. Dieser in Abb. 10.7 mit ALT/CHOP“ bezeichnete Schalter wird u ¨bli” cherweise in Form eines schnellen Analog-Multiplexers [156] realisiert. Die Ansteuerung der y-Platten geschieht dabei entweder im Alternierenden-Mode oder im Chopper-Mode (Abb. 10.9): •

Alternierender-Mode W¨ahrend einer vollst¨ andigen x-Ablenkperiode wird immer nur das Signal eines Kanals, z.B. das Signal y1 (t), an die y-Platten gelegt, w¨ahrend in der darauffolgenden Periode der x-Ablenkung das Signal y2 (t) des 2. Kanals geschrieben wird. F¨ ur Phasenvergleiche zwischen den Signalen y1 (t) und

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

273

Abb. 10.9. Funktionsprinzip des Chopperbetriebs: a) Zeitverl¨ aufe der Eingangssignale, b) Schirmbilddarstellung

•

y2 (t) ist darauf zu achten, daß die Triggerung immer vom selben Kanal, entweder Kanal 1 oder Kanal 2, ausgel¨ ost wird. Chopper-Mode Im Gegensatz zum alternierenden Mode wird in dieser Betriebsart w¨ahrend einer einzigen x-Ablenkperiode in zeitlich sehr kurzen Abst¨anden zwischen den Kan¨alen 1 und 2 umgeschaltet, so daß die Darstellung der Signale y1 (t) und y2 (t) quasi zeitgleich, d. h. in einem, verglichen zur x-Ablenkperiode und damit auch zum alternierenden Betrieb, kurzzeitigen Wechsel erfolgt.

10.1.4 Sampling-Oszilloskop Das Sampling-Oszilloskop ist eine Ausf¨ uhrungsform des Oszilloskops, das auf die Darstellung periodisch wiederkehrender Signale mit sehr hohen Frequenzanteilen spezialisiert ist, wie z. B. die Visualisierung von in konstanten zeitlichen Abst¨anden wiederkehrenden kurzen Pulsen. Dabei darf die Grenzfrequenz des (periodisch wiederkehrenden) Meßsignals sogar weit u ¨ber der oberen Grenzfrequenz des Oszilloskops liegen. Die Funktionsweise des Sampling¨ Oszilloskops beruht auf einer Signaldarstellung in Aquivalenzzeit, deren Prinzip anhand von Abb. 10.10 verdeutlicht werden soll. Das Meßsignal wird von einem Sampling-Oszilloskop stroboskopartig abgetastet, wobei die Abtastzeitpunkte gegen¨ uber einem zeitlich festen Bezugspunkt im Signalverlauf, z. B. dem Triggerpunkt, um ein ganzzahliges Vielfaches von ∆T versetzt werden. Dadurch gelingt die vollst¨ andige Abtastung des Signals mit einer Abtastfrequenz fa , die kleiner ist als der Kehrwert der Signalperiodendauer Ts fa <

1 . Ts

(10.15)

Die Dauer der Abtastperiode Ta betr¨ agt im einfachen Fall (Abb. 10.10) Ta = Ts + ∆T ,

(10.16)

274

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

¨ Abb. 10.10. Sequentielle Abtastung einer periodischen Signalfunktion in Aquiva¨ lenzzeit: a) Darstellung im Realzeitmaßstab, b) Darstellung im Aquivalenzzeitmaßstab

und im allgemeinen Fall Ta = kTs + ∆T k = 1, 2, 3, ... .

(10.17)

¨ Dadurch erreicht man pro Abtastperiode eine auf die Aquivalenzzeit, d. h. auf den einmaligen Puls, bezogene zeitliche Verschiebung des aktuellen Abtastzeitpunktes gegen¨ uber dem vorhergehenden um ∆T . Mit fa = 1/Ta , fs = 1/Ts und f¨ ur k = 1 l¨aßt sich diese zeitliche Verschiebung ∆T der Abtastzeitpunkte aus den Gln. (10.16) bzw. (10.17) wie folgt ableiten ∆T =

1 1 − . fa fs

(10.18)

Nach N Abtastungen ist eine Periode des Meßsignals vollst¨andig abgetastet (Rundungsfehler außer acht gelassen) N=

fa Ts . = ∆T fs − fa

(10.19)

Bei dieser Form der Signalerfassung muß der eigentliche Abtastvorgang der einzelnen Signalwerte allerdings auch in Realzeit erfolgen, d. h. die Abtastung muß so schnell erfolgen, daß das Signal w¨ ahrend dieser Zeit als konstant angesehen werden kann, wohingegen die restliche Verarbeitung des Abtastwertes in einem gegen¨ uber der Realzeit gedehnten Maßstab erfolgen darf. Die

10.1 Analoges Elektronenstrahl-Oszilloskop

275

Grenzfrequenz des Oszilloskops wird damit letztlich von der Geschwindigkeit bestimmt, mit der ein einzelner Wert erfaßt (abgetastet) werden kann. Das zeitliche Dehnungsverh¨ altnis dvt , also das Verh¨altnis von Realzeit zu ¨ Aquivalenzzeit (auf den abgetasteten Signalausschnitt bezogene Zeit) ergibt sich zu (Abb. 10.10) dvt =

Tend N Ta Ta fs . = = = ′ Tend N ∆T ∆T fs − fa

(10.20)

Wie die beim Sampling-Oszilloskop vorkommende Unterabtastung mit dem Shannonschen Abtasttheorem (Kap. 11.6.1) vereinbar ist, soll anhand von Abb. 10.10 und 10.11 demonstriert werden. Infolge der Abtastung entstehen jeweils Duplikate des Spektrums des abgetasteten Signals bei den ganzzahligen Vielfachen der Abtastfrequenz fa [114]. Die Abst¨ande der Spektrallinien ergeben sich stets als Kehrwert der Zeit, bei der der gesamte Abtastvorgang beendet wird. Im Falle der Abtastung nach Abb. 10.10a lassen sich zwei Endzeiten definieren. Zum einen l¨ aßt sich die reale Endzeit Tend (Realzeit), nach der die Abtastung aller N Signalperioden abgeschlossen ist (Abb. 10.10), gem¨aß Gln. (10.16) und (10.19) wie folgt angeben Tend = N Ta = N (Ts + ∆T ) .

(10.21)

Damit ergibt sich der Spektrallinienabstand f0′ f¨ ur das abgetastete Spektrum f0′ =

1 fs 1 = = . Tend N Ta dvt

(10.22)

′ ¨ Die zweite Endzeit Tend ist die, die auf den komprimierten Zeitmaßstab (Aquivalenzzeit) bezogen wird (Abb. 10.10b) ′ Tend =

Tend = N ∆T = Ts . dvt

(10.23)

′ Diese Endzeit Tend ist hier vereinbarungsgem¨aß (Gl. (10.19)) mit der Periodendauer Ts des Signals identisch. Der Frequenzabstand f0 zwischen den

¨ Abb. 10.11. Spektrum (schematisiert) bei Abtastung in Aquivalenzzeit

276

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

einzelnen Linien im Spektrum des Originalsignals (in Abb. 10.11 mit Origi” nalspektrum“ bezeichnet) entspricht damit der Wiederholfrequenz fs in der Signalfunktion 1 (10.24) f0 = ′ = f0′ dvt = fs . Tend Unter Ber¨ ucksichtigung der oben abgeleiteten Zusammenh¨ange l¨aßt sich das Originalspektrum gem¨ aß dem in Abb. 10.11 gezeigten Schema aus dem real erhaltenen abgetasteten Spektrum rekonstruieren. Denn aus den Gln. (10.20), (10.22) und (10.24) folgt die Beziehung nf0 = nfa + nf0′ bzw. nfs = nfa + n

fs dvt

n = 1, 2, . . . , N

(10.25)

n = 1, 2, . . . , N ,

(10.26)

welche besagt, daß die n-te Spektrallinie des Originalspektrums identisch ist mit der n-ten Spektrallinie des abgetasteten Spektrums, das bei der n-fachen Abtastfrequenz entsteht.

10.2 Spannungsteiler in Elektronenstrahl-Oszilloskopen Spannungsteiler kommen in Elektronenstrahl-Oszilloskopen als Eingangsteiler oder als Tastkopf (s. auch Abb. 10.13) vor. Zur Erzielung eines guten dynamischen Verhaltens ist es notwendig, diese Spannungsteiler frequenzkompensiert auszuf¨ uhren. Die daraus resultierende Schaltung besteht aus einem Spannungsteiler, dessen Impedanzen jeweils aus einer Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Kapazit¨ at bestehen (Abb. 10.12). Das Teialtnis von Eingangs- zu Ausgangsspannung, lerverh¨altnis V T , also das Verh¨ ergibt sich zu U RT (1 + jωRE CE ) . (10.27) V T = E1 = 1 + U E2 RE (1 + jωRT CT ) Wenn man die Zeitkonstanten τ1 und τ2 der beiden Impedanzen identisch w¨ ahlt

Abb. 10.12. Eingangsspannungsteiler eines Oszilloskops

10.2 Spannungsteiler in Elektronenstrahl-Oszilloskopen

τT = RT CT = RE CE = τE , ergibt sich das frequenzunabh¨ angige Teilerverh¨altnis VTR RT V T = VTR = 1 + . RE τ1 =τ2

277

(10.28)

(10.29)

Die Eingangsimpedanz Z Eges des Teilers ist aber auch in diesem Fall sehr wohl frequenzabh¨angig. Sie betr¨ agt bei Frequenzkompensation, d. h. f¨ ur den Fall τT = τE = τ , RT + RE RT + RE = . (10.30) Z Eges = 1 + jωRE CE 1 + jωτ Die entsprechende Eingangsadmittanz Y Eges ergibt sich dementsprechend zu Y Eges =

1 REges

+ jωCEges ,

(10.31)

wobei sich REges und CEges mit dem reellen Teilerverh¨altnis VTR aus Gl. (10.29) wie folgt berechnen

Abb. 10.13. Frequenzkompensation des Eingangsteilers: a) Ersatzschaltung eines Tastteilers am Verst¨ arkereingang, b) Unterkompensation (VTC > VTR ), Kompensa¨ tion (VTC = VTR ) und Uberkompensation (VTC < VTR )

278

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

REges = VTR RE CE . CEges = VTR

(10.32) (10.33)

Der Abgleich von CT kann gem¨ aß Abb. 10.13 auf sehr einfache Weise durch Anlegen einer Rechteckspannung u uft bzw. eingestellt werden. ¨berpr¨

10.3 Fehler der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie 10.3.1 Statische Fehler (Fehler der Ablenkkoeff izienten) Die einzelnen in Serie geschalteten Meßglieder des x- und des y-Kanals sind mit Empfindlichkeitsfehlern behaftet, die sich infolge der Multiplikation der Empfindlichkeiten der einzelnen Stufen im jeweiligen Kanal zum Gesamtempfindlichkeitsfehler summieren. Typische Werte der Fehlergrenzen von Ablenkkoeffizienten liegen sowohl f¨ ur die Vertikal- als auch f¨ ur die HorizontalAblenkung bei etwa 1 - 3 %. Die Fehlerangaben k¨onnen mit der absoluten Gr¨oße des Ablenkkoeffizienten variieren, wobei i. allg. die kleineren Ablenkkoeffizienten gr¨oßere Fehler aufweisen. Bei diesen Fehlern handelt es sich vorwiegend um systematische Fehler, die u ¨ber den gesamten Anzeigebereich konstant bleiben. Sie lassen sich also quantitativ ermitteln und korrigieren. Beispiel — Fehler bei der Anstiegszeit Es sollen die maximalen Fehlergrenzen bei der Messung der Anstiegsgeschwindigkeit einer Rampenspannung ermittelt werden, wenn die relativen Fehler fy und fx der Vertikal- bzw. der Horizontal-Ablenkeinheiten bekannt sind. Der relative Gesamtfehler fan bei der Ermittlung der Anstiegsgeschwindigkeit ergibt sich zu ∆UMess − ∆Uw (10.34) fan = ∆tMess∆Uw ∆tw , ∆tw

wobei ∆UMess /∆tMess die mit dem Oszilloskop gemessene und ∆Uw /∆tw die wahre Anstiegsgeschwindigkeit ist. Aus Gl. (10.34) folgt mit den Definitionsgleichungen f¨ ur die relativen Fehler fy und fx von Vertikal- und HorizontalAblenkeinheit ∆UMess = 1 ± fy (10.35) ∆Uw und ∆tMess = 1 ± fx (10.36) ∆tw der relative Gesamtfehler fan fan =

∆UMess ∆tw 1 ± fy −1= −1. ∆Uw ∆tMess 1 ± fx

(10.37)

10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie

279

F¨ ur kleine Fehler (|fy | ≪ 1) und (|fx | ≪ 1) gelten die N¨aherungen 1 ≈ 1 ∓ fx 1 ± fx

(10.38)

(1 ± fy )(1 ∓ fx ) ≈ 1 ± fy ∓ fx .

(10.39)

und Damit lassen sich die Fehlergrenzen bei der Messung der Anstiegszeit als Summe der relativen (Einzel)-Fehler von Vertikal- und Horizontal-Ablenksystem angeben fan = ±(|fy | + |fx |) . (10.40) 10.3.2 Linearit¨ atsfehler Nichtlinearit¨aten im Horizontal- sowie dem Vertikal-Ablenksystem f¨ uhren zu Linearit¨atsfehlern, die sich darin ¨ außern, daß die Ablenkkoeffizienten Ky und Kx innerhalb des Schirmbildes nicht mehr konstant sind. Typischerweise ¨außern sich Linearit¨ atsfehler in den Randbereichen des Schirmbildes (Abb. 10.14). Zur Angabe des Linearit¨ atsfehlers werden die Ablenkkoeffizienten Ky und Kx jeweils im Bereich 1 des Schirmbildes (Abb. 10.14) gemittelt (K x1 bzw. K y1 ) und als wahre Werte herangezogen. Als Istwerte nimmt man jeweils die im Bereich 2 gemittelten Ablenkkoeffizienten (K x2 bzw. K y2 ), also die der Randbereiche. Damit ergibt sich der relative Linearit¨atsfehler fNLy des Vertikalablenksystems zu fNLy =

K y2 − K y1 . K y1

(10.41)

Der entsprechende relative Linearit¨ atsfehler fNLx des Horizontal-Ablenksystems ergibt sich dementsprechend

Abb. 10.14. Beispiel eines Linearit¨ atsfehlers bei der Vertikalablenkung. Die SollKennlinie ist eine Gerade.

280

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

fNLx =

K x2 − K x1 . K x1

(10.42)

Typische Werte f¨ ur die Linearit¨ atsfehler liegen bei 2 - 5 %. 10.3.3 Dynamische Fehler des Oszilloskops Da die Eingangsimpedanz eines Oszilloskops aus der Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes und einer Kapazit¨ at besteht und damit frequenzabh¨ angig ist, kann es bei der Messung von zeitlich ver¨anderlichen Spannungen zu dynamischen Meßfehlern kommen. Der entsprechende systematische Fehler soll im folgenden f¨ ur den Fall eines rein ohmschen Innenwiderstandes der Signalquelle bestimmt werden (Abb. 10.15). Der Fehler f|U| in bezug auf den Betrag der gemessenen Spannung ergibt sich bei einer reinen Sinuswechselspannung U Q (ω) der anregenden Signalquelle zu f|U| =

|U E | − |U Q | = r |U Q | 1+

1 −1. 2 2 RQ + (ωR C ) Q E RE

(10.43)

Abb. 10.15. Beschaltung eines Oszilloskops mit einer Signalquelle

Dieser Betragsfehler ist in Abb. 10.16 als Funktion der Frequenz f¨ ur verschiedene Widerstandswerte der Signalquelle aufgetragen. F¨ ur RE und CE werden dabei die Standardwerte RE = 1 MΩ und CE = 20 pF verwendet. Bei Anregung durch einen Spannungssprung kommt es aufgrund des (verlangsamten) Anstiegs gem¨aß einer Exponentialfunktion zu Verzerrungen. Die Aufladung des Eingangskondensators erfolgt dabei mit der Zeitkonstante τ = CE

RE RQ . RE + RQ

(10.44)

Wenn man von einem urspr¨ unglich ungeladenen Kondensator ausgeht, betr¨ agt die Spannung uE (t) am Eingang des Oszilloskops bei einem Sprung der Signalquellenspannung von 0 auf U0

10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie

281

Abb. 10.16. Systematischer Betragsfehler bei Oszilloskopen infolge der komplexen Eingangsimpedanz Z E = (1 MΩ k 20 pF)

uE (t) = U0

  RE 1 − e−t/τ . RE + RQ

(10.45)

Abbildung 10.17 zeigt die Verzerrung eines anregenden Spannungssprunges infolge einer Standardeingangsimpedanz f¨ ur verschiedene Widerstandswerte RQ der Signalquelle.

Abb. 10.17. Verzerrung der (normierten) Sprungantwort bei Oszilloskopen infolge der komplexen Eingangsimpedanz (1 MΩ k 20 pF) f¨ ur verschiedene Werte des Signalquellenwiderstandes RQ . Die Normierung erfolgte auf U0′ = U0 RE /(RE + RQ ). Die Sprunganregung findet zum Zeitpunkt t = t0 statt.

282

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Verst¨ arker-Grenzfrequenzen Die Oszilloskop-Verst¨ arker enthalten RC-Glieder, die zu einem Tiefpaßverhalten f¨ uhren, das modellhaft durch ein Verst¨arkerersatzschaltbild gem¨aß Abb. 10.18 beschrieben werden kann. F¨ ur ausgangsseitigen Leerlauf ergibt ¨ sich das Ubertragungsverhalten des Verst¨ arkers im Frequenzbereich aus der ¨ komplexen Ubertragungsfunktion G(ω) G(ω) =

UA V , = UE 1 + jωRC

(10.46)

wobei R und C die Werte des Tiefpasses aus Abb. 10.18 bezeichnen und V eine in erster N¨ aherung frequenzunabh¨ angige Verst¨arkung ist. Die obere Grenzfrequenz fg des Verst¨ arkers ist erreicht, wenn die Ausgangsspannung auf -3 dB ihres Gleichspannungswertes (ω = 0) abgesunken ist. Dies entspricht einem Verh¨altnis von UA 1 (10.47) = √ ≈ 0, 707 . V U 2 E f =fg Mit Gl. (10.46) ergibt sich daraus die obere Kreisgrenzfrequenz ωg bzw. die obere Grenzfrequenz fg des Verst¨ arkers zu ωg RC = 1

(10.48)

bzw.

1 . 2πRC Der Betragsfehler f|U| infolge dieser Bandbegrenzung betr¨agt UA −1 f|U| = V UE 1 1 −1= r f|U| = p  2 − 1 . 2 1 + (ωRC) 1 + ffg fg =

(10.49)

(10.50) (10.51)

Abb. 10.18. Einfaches Modell eines Verst¨ arkers mit der Verst¨ arkung V

10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie

283

Beispiel — Fehler infolge oberer Grenzfrequenz Mit einem Oszilloskop, das eine obere Grenzfrequenz von 40 MHz aufweist, wird eine Spannungsamplitude bei 20 MHz bestimmt. Der relative Betragsfehler f|U| ergibt sich somit wie folgt 1 f|U| = q 1+


1 2 2

− 1 = −11% .

(10.52)

Dieser systematische Meßfehler ließe sich aber gem¨aß Gl. (10.53) zur Korrektur des Meßwertes Umess nutzen s  2 f Uw = Umess 1 + . (10.53) fg Die anhand von Gl. (10.53) ermittelte Spannung Uw entspricht dem wahren Wert im Sinne der Fehlerrechnung. Aufgrund des Verst¨ arker-Tiefpaßverhaltens ergibt sich wiederum eine exponentiell ansteigende Sprungantwort   (10.54) uA (t) = V U0 1 − e−t/τ ,

wobei die Zeitkonstante τ die des Eingangstiefpasses aus Abb. 10.18 ist. Die Zeitkonstante τ ist demnach der Kehrwert der Kreisgrenzfrequenz ωg

1 1 = . (10.55) τ RC Somit lassen sich auch die Anstiegszeit tr und die Grenzfrequenz fg des Verst¨ arkers ineinander umrechnen. Die Anstiegszeit tr der Sprungantwort betr¨agt mit Gl. (10.54) und unter Ber¨ ucksichtigung der Anstiegszeitdefinition (tr ist die Zeit, die die Sprungantwort zwischen 10 und 90 % ihres Endwertes verweilt) tr = t2 − t1 = τ (− ln(0, 1) + ln(0, 9)) = 2, 197τ . (10.56) ωg =

Mit der Beziehung (Gl. (10.49))

fg = erh¨alt man schließlich

1 1 = 2πRC 2πτ

(10.57)

2, 197 0, 35 = . (10.58) 2πfg fg Die Angabe der Anstiegszeit von Oszilloskopen ist von unmittelbarer praktischer Bedeutung (Kap. 10.1.3), weil ihr Zahlenwert deutlich macht, welche zeitliche Spannungs¨ anderung noch korrekt darstellbar ist. Bei der Darstellung einer Rechteckspannung werden beispielsweise die Flanken als zeitlich exponentiell ansteigend bzw. abfallend mit einer Zeitkonstanten auf dem Schirmbild erscheinen, die nach den Gln. (10.55), (10.57) bzw. (10.58) aus der Anstiegszeit oder auch der oberen Grenzfrequenz des Oszilloskops ermittelt werden k¨onnen. tr =

284

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Anstiegszeit und Grenzfrequenz des eigentlichen Ablenksystems Selbst wenn die Anstiegszeit des y-Verst¨ arkers beliebig klein bzw. seine Grenzfrequenz beliebig groß w¨ are, g¨ abe es ein weiteres Ph¨anomen, das die Gesamtanstiegszeit des Horizontal-Ablenksystems nach unten begrenzt. Dies ist auf die endliche Laufzeit der Elektronen zwischen den Platten des Ablenksystems zur¨ uckzuf¨ uhren. Wenn man sich den das Schirmbild schreibenden Elektronenstrahl als eine Aneinanderreihung von gleich schnell fliegenden Elektronen vorstellt, so d¨ urfte klar werden, daß bei Anlegen eines Spannungssprunges an den y-Ablenkplatten die Elektronen, die sich gerade am Eingang der yAblenkeinheit befinden, zeitlich viel l¨ anger der in y-Richtung beschleunigenden Kraft ausgesetzt sind als die Elektronen, die bereits gerade die y-Platten wieder verlassen. Diese endliche Verweilzeit zwischen den y-Platten f¨ uhrt im Schirmbild bei Anlegen eines idealen Spannungssprunges zu einer mit der Zeit linear ansteigenden Rampe (Abb. 10.19). Die Anstiegszeit dieser Rampe kann anhand von Gl. (10.10) ermittelt werden, welche die Strahlablenkung yL auf dem Schirm beschreibt, wenn dort anstatt der Plattenl¨ange sz die aktuelle Laufl¨ange vz tz des Elektrons nach erfolgtem Sprung, also das Produkt aus Horizontalgeschwindigkeit vz und der aktuellen Verweildauer des Elektrons im y-Plattenpaar eingesetzt wird yL =

uy vz tz lz . uz 2dy

(10.59)

In Gl. (10.59) wurden die bereits in den Kap. 10.1.1 (Abb. 10.2) eingef¨ uhrten Bezeichnungen verwendet. Mit Gl. (10.3) ergibt sich r 2e0 1 lz tz . (10.60) yL = u y 2dy m0 uz Gleichung (10.60) verdeutlicht den linearen Anstieg der Strahlablenkung yL mit der Verweildauer tz des Elektrons im y-Plattenpaar nach erfolgter Sprunganregung, wobei uy in diesem Fall der Amplitude des Spannungssprunges entspricht. Erst wenn ein Elektron nach erfolgtem Sprung der Spannung uy

Abb. 10.19. Sprungantwort des Ablenksystems. tr : Anstiegszeit, yL : vertikale Strahlablenkung

10.3 Fehler bei der analogen Elektronenstrahl-Oszilloskopie

285

die gesamte L¨ange sz durchlaufen hat, erh¨ alt man den Endwert yLend der entsprechenden Strahlablenkung yLend =

u y sz l z . uz 2dy

(10.61)

Nach Normierung der zeitabh¨ angigen Ablenkung yL aus Gl. (10.60) auf den station¨aren Endwert yLend ergibt sich schließlich r yL 2uz e0 tz = . (10.62) yLend m0 s z Aus Gl. (10.62) folgt unmittelbar die Anstiegszeit tr (Zeit zwischen yL = 0, 1yLend und yL = 0, 9yLend) r 1 m0 . (10.63) tr = 0, 8sz 2uz e0 F¨ ur eine Plattenl¨ange sz = 5 cm und eine Anodenspannung uz = 1 kV ergibt sich bereits eine Anstiegszeit von tr = 2,1 ns. Das diesem Laufzeitfehler entsprechende Frequenzverhalten l¨aßt sich aus dem Zeitverhalten der Ablenkkraft ermitteln. Die vertikale Ablenkkraft Fy betr¨agt e0 uy (t) . (10.64) Fy (t) = m0 ay (t) = e0 Ey (t) = dy Mit bekannter Kraft Fy kann unmittelbar die y-Komponente der Elektronengeschwindigkeit vy durch zeitliche Integration errechnet werden Z Z Z Fy (t) e0 1 vy = ay (t) dt = dt = uy (t) dt . (10.65) m0 m0 dy Im Hinblick auf eine spektrale Bewertung des Laufzeitverhaltens wollen wir ˆ0 cos ωt voraussetzen. Es soll also eine harmonische Ablenkspannung uy (t) = U zum Zeitpunkt t = 0 die Amplitude der Sinusschwingung dargestellt werden. Die Geschwindigkeit vyp in y-Richtung, welche die Elektronen beim Verlassen des y-Plattenpaares haben, l¨ aßt sich demnach wie folgt berechnen vyp

e0 1 ˆ U0 = m0 dy

Z

+

−

ty 2

ty 2

cos ωt dt =

sz + 2v z e0 1 ˆ 1 = U0 sin ωt sz m0 dy ω − 2v z  ωsz e0 2 ˆ 1 . U0 sin = m0 dy ω 2vz

e0 1 ˆ U0 m0 dy

Z

sz + 2v z

sz − 2v z

cos ωt dt

(10.66)

Unter Zuhilfenahme von Gl. (10.7) und Vernachl¨assigung von yp kann die Strahlablenkung yL wie folgt angegeben werden

286

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

yL = vymax

lz lz ˆ0 lz e0 1 1 sin = vyp = 2U vz vz vz m0 dy ω



ωsz 2vz



.

(10.67)

Bezieht man diese Ablenkung auf ihren wahren Wert (Gl. (10.10)) yLw =

l z sz ˆ U0 , uz 2dy

(10.68)

so ergibt sich unter Beachtung der Energiebeziehung (Gl. (10.2)) e0 uz =

1 m0 vz2 2

(10.69)

der Amplitudengang der y-Ablenkeinheit wie folgt       z sin ωs 2vz ω yL ωsz = sinc , = = sinc ωsz yLw 2vz ω0 2vz wobei ω0 =

2vz . sz

(10.70)

(10.71)

Dabei bezeichnet sinc(x) = sin(x)/x die Spaltfunktion. Die 3-dB-Grenzfrequenz dieses Amplitudenganges berechnet sich wiederum aus der Bedingung 1 yL = √ ≈ 0, 707 (10.72) yLw f =fg 2 zu

1, 39 0, 44 1, 39 2vz fg = 1, 39f0 = = ω0 = 2π 2π sz sz

r

2e0 uz . m0

(10.73)

So ergibt beispielsweise eine Plattenl¨ ange von sz = 5 cm und eine Anodenspannung von uz = 1 kV eine obere Grenzfrequenz der y-Ablenkeinheit von fg = 165 MHz. Mit dem Ergebnis f¨ ur die Anstiegszeit tr (Gl. (10.63)) l¨aßt sich wiederum der Zusammenhang zwischen der Anstiegszeit tr und der oberen Grenzfrequenz ableiten (Gl. (10.58)) r 1 1 0, 44 2e0 uz = 0, 44 · 0, 8 = 0, 35 . (10.74) fg = sz m0 tr tr Abbildung 10.20 zeigt den Amplitudengang der Ablenkempfindlichkeit. Zwei naheliegende Maßnahmen zur Erh¨ ohung dieser Grenzfrequenz bzw. zur Verringerung der Anstiegszeit sind die Erh¨ ohung der Beschleunigungsspannung sowie die Verk¨ urzung der Ablenkplattenl¨ ange. Diese Maßnahmen stehen jedoch insbesondere der Forderung nach hoher Ablenkempfindlichkeit entgegen (Kap. 10.1.1). In Oszilloskopen mit Grenzfrequenzen oberhalb 200 MHz finden daher besondere Formen von Ablenkplatten, die sog. WanderfeldAblenkplatten, Einsatz [95].

10.4 Digital-Speicheroszilloskop

287

Abb. 10.20. Amplitudengang der Ablenkempfindlichkeit, bedingt durch den Laufzeitfehler der Elektronen w¨ ahrend ihrer Flugzeit zwischen den Ablenkplatten

10.4 Digital-Speicheroszilloskop Im Gegensatz zum analogen Elektronenstrahl-Oszilloskop werden die Meßsignale in Digital-Speicheroszilloskopen (DSO) intern in Form zeitlich diskreter Bin¨arzahlen verarbeitet. Dadurch erm¨ oglichen diese Ger¨ate vor allem den kompatiblen Anschluß an die digitale Welt der rechnergesteuerten Meßdatenerfassung sowie die der gesamten digitalen Signalverarbeitung. Andererseits kann man sie auch wie konventionelle Analog-Oszilloskope betreiben. Die Mitte der siebziger Jahre begonnene Entwicklung der Transientenrekorder zur digitalen Aufzeichnung von elektrischen Einzelvorg¨angen f¨ uhrte im Laufe der letzten beiden Jahrzehnte im Zuge ihrer konsequenten Weiterentwicklung zum Digital-Speicheroszilloskop. Diese Entwicklung st¨ utzt sich im wesentlichen auf die schnell voranschreitende Technologie der Analog-DigitalUmsetzer, welche das Herzst¨ uck eines jeden Digital-Speicheroszilloskops sind. Die Vorz¨ uge des Digital-Speicheroszilloskops beruhen auf der leichten Speicherbarkeit von digitalen Meßwerten, ihrer einfachen rechnergest¨ utzten Weiterverarbeitung sowie der gleichzeitig vorhandenen M¨oglichkeit einer komfortablen Bildschirmdarstellung. Die Grenzen der digitalen Speicherung und Verarbeitung liegen in den Nachteilen der notwendigen zeitlichen und amplitudenm¨aßigen Diskretisierung der urspr¨ unglich analogen Meßwerte. 10.4.1 Prinzipielle Funktionsweise Digital-Speicheroszilloskope bestehen aus den in Abb. 10.21 gezeigten Standardbaugruppen Meßkanal, Triggermodul, dem Takt- und Steuerungsmodul sowie der Anzeige. Die wesentliche Komponente eines jeden digitalen Speicher-

y(t)

Takt- und Steuerungsmodul

Abb. 10.21. Blockschaltbild eines Digital-Speicheroszilloskops

externes Triggersignal

AC

DC

s

TriggerEinheit

Frequenzteiler r

AntiAliasingFilter

1

f takt r

R Q Q

D

R

Steuerung

A

&

Schieberegister

0 1 23

n

D A

p (Anzahl der Posttriggerwerte)

Stop-Signal (Einspeichern beenden)

A

y-Platten

D

x-Platten

k

x-Endverstärker

Einspeichern/Wiedergeben

S

W

Rückwärts-Zähler

R

Vorwärts-Zähler

S&H

Triggermodul

T

Vorgabe K t (Teilungsverh.)

f takt s

y-Vorverstärker

f takt Taktgenerator

Frequenzteiler

Vorgabe K y

Abschwächer

Meßkanal y-Endverstärker

288 10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale Anzeigeeinheit

10.4 Digital-Speicheroszilloskop

289

Oszilloskops bildet der Analog-Digital-Umsetzer mit einem nachgeschalteten Speicher, den man sich zwecks einfacherer Erkl¨arung in Form eines Schieberegisters (FIFO = First In First Out Speicher) vorstellen m¨oge. Dieses Schieberegister enth¨ alt k Digitalworte zu je n Bit. Mit jedem Taktwechsel wird der Inhalt des Schieberegisters um eine Wortstelle nach rechts verschoben, wobei das k-te Wort nach dem n¨ achsten Wechsel in der Schalterstellung S (Einspeichern) verlorengeht. Nur beim Auslesevorgang (Wiedergabe, Schalterstellung W ) wird das k-te Wort beim n¨ achstfolgenden Taktwechsel an der 1. Stelle wieder eingespeichert. Das Digitalwort an der k-ten Stelle wird mit Hilfe des Digital-Analog-Umsetzers jeweils in seinen entsprechenden Analogwert umgewandelt und u arker auf die Vertikal-Ablenkplatten ¨ber den y-Endverst¨ gegeben. Die Schalterstellung (S/W ) wird letztlich von der Triggereinheit gesteuert, welche aus einem Schwellwertkomparator mit nachgeschaltetem FlipFlop, einem UND-Gatter sowie einem R¨ uckw¨ artsz¨ahler besteht, der eine Voreinstellung von ′ p′ erh¨ alt. Nach Eintreffen des Triggerereignisses z¨ahlt dieser Z¨ ahler von ′ p′ auf ′ 0′ zur¨ uck und l¨ ost u ¨ber die Steuerung das Umschalten des Schalters von Einspeichern“ (S) auf Wiedergabe“ (W ) aus. Das be” ” deutet, daß p Abtastwerte nach Eintreffen des Triggerereignisses und (k − p) Abtastwerte vor Eintreffen des Triggerereignisses im Schieberegister gespeichert werden, die letztlich in der Wiedergabephase im Schirmbild erscheinen. Bei den (k − p) Werten vor dem Triggerereignis spricht man vom sog. Pretrigger. W¨ahlt man p = k, so wird nur das Signal nach dem Triggerzeitpunkt dargestellt, so wie man es vom normalen Analog-Oszilloskop her gewohnt ist. Bei der Einstellung p = 0 hingegen liegen alle k dargestellten Abtastwerte vor dem Triggerzeitpunkt. Diese Art der Messung ist interessant bei der Kl¨arung unvorhergesehener Ereignisse, weil man auf diese Weise das Signal vor Eintreten des Triggerereignisses speichern bzw. analysieren kann. Die Horizontal-Ablenkung erfolgt ebenfalls auf digitaler Basis, und zwar mit Hilfe eines gew¨ohnlichen Vorw¨ artsz¨ ahlers, der mit einem nachgeschalteten DigitalAnalog-Umsetzer eine mit der Zeit ansteigende Rampenspannung erzeugt. Die Anstiegsgeschwindigkeit wird u ¨ber das Teilungsverh¨altnis r des Frequenzteilers vorgegeben. Nach Erreichen des Endwertes (der Strahl befindet sich dann am rechten Bildschirmrand) wird der Z¨ ahler wieder zur¨ uckgesetzt, und der Strahl springt an den linken Bildrand zur¨ uck. 10.4.2 Wiedergabe des aufgezeichneten Bildes Die Wiedergabe des aufgezeichneten Bildes kann entweder, wie in Abb. 10.7 angedeutet, mit Hilfe einer konventionellen analogen Elektronenstrahl-R¨ohre oder mit Hilfe eines mit magnetischer Ablenkung arbeitenden Rasterbildschirmes erfolgen. Bei neueren Ger¨ aten setzt sich allerdings die Verwendung von TFT-LCD-Bildschirmen, die auch mehrfarbig ausgef¨ uhrt sein k¨onnen, immer mehr durch (Abb. 10.22). Bei der letztgenannten Methode werden die digitalen Amplitudenwerte (y-Werte) mit korrespondierenden x-Werten, welche den zeitlichen Abtastpunkten entsprechen, verkn¨ upft und als (x, y)-Bildpunkte auf

290

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale Vorverstärker

ADC

Datenspeicher

µP

Bildspeicher

LCDDisplay

Abb. 10.22. Prinzip-Blockschaltbild eines digitalen Speicher-Oszilloskops

dem Rasterschirm in Form heller Bildpunkte dargestellt. Dies entspricht der sog. Punktdarstellung. Als weitere wichtige Darstellungsarten werden die lineare Interpolation und die Sinusinterpolation verwendet (Abb. 10.23). Bei der linearen Interpolation werden zeitlich aufeinanderfolgende Bildpunkte durch Geraden verbunden, was bei der Darstellung glatter Signalverl¨aufe eine hohe Anzahl von Abtastwerten erforderlich macht, z. B. mindestens 10 Abtastwerte pro Periode bei Sinusschwingungen. F¨ ur die Darstellung glatter Signalverl¨aufe ist die Sinusinterpolation empfehlenswert, bei der jedem einzelnen Abtastwert x(i) ein sin t/t-Ausgangssignal (mit Maximalwert an der Abtaststelle x(t)) zugeordnet wird. ¨ Das Ausgangssignal y(t) ergibt sich aus der additiven Uberlagerung aller sin t/t-Kurven gem¨ aß

Abb. 10.23. Die wichtigsten Darstellungsarten von Digital-Speicheroszilloskopen: a) Eingangssignal, b) Punktdarstellung, c) lineare Interpolation, d) Sinusinterpolation

10.4 Digital-Speicheroszilloskop

y(t) =

X i

x(i)

  sin π t−tTaa(i) π t−tTaa(i)

,

291

(10.75)

wobei ta (i) der Abtastzeitpunkt des i-ten Abtastwertes x(i) und Ta die Dauer der Abtastperiode bezeichnen. Ein entsprechend dem Nyquist-Kriterium abgetastetes, aus diskreten Abtastwerten bestehendes Signal kann n¨amlich wieder zu dem urspr¨ unglichen (zeitlich kontinuierlichen) Signal verzerrungsfrei rekonstruiert werden, wenn man die Abtastwerte in zeitlicher Folge auf einen idealen Tiefpaß mit der Grenzfrequenz fg =

1 2Ta

(10.76)

gibt [114]. Dieser Tiefpaß hat aber bez¨ uglich der einzelnen Abtastwerte genau die Impulsantwort, die durch Gl. (10.75) beschrieben wird. Um auch im Zuge der in der Praxis unvermeidbaren zeitlichen Begrenzung bei der Realisierung der sin t/t-Funktion noch eine gute Rekonstruktion des Originalsignals aus den Abtastwerten zu erhalten, ist es in der Praxis notwendig, mit mindestens 2,5 Abtastwerten pro Periode der h¨ ochsten im abzutastenden Signal vorkommenden Frequenzkomponente zu arbeiten. Um auf der sicheren Seite zu sein, wird in der Regel eine Abtastung von 10 Abtastwerten pro Periode veranschlagt, wenn es die hardwarem¨ aßigen Voraussetzungen zulassen. 10.4.3 Aufzeichnungs-/Anzeigebetriebsarten des Digital-Speicheroszilloskops Recurrent-Mode (Refresh-Mode) Diese Arbeitsweise ist ¨ ahnlich dem eines gew¨ ohnlichen analogen Oszilloskops. Kennzeichnend dabei ist die st¨ andige Erneuerung des Speicherinhaltes, die nach jedem Triggersignal erfolgt. Das Auslesen und die Anzeige der Speicherwerte erfolgt in den Pausen zwischen den Abtastphasen. Es k¨onnen aber auch alternativ die Daten nach der Speicherphase in einen zweiten Speicher transferiert werden, aus dem sie dann zur Bilddarstellung beliebig oft und unabh¨angig von der eigentlichen Signalerfassung ausgelesen werden k¨onnen. Single Shot Nach Eintreten des Triggerereignisses wird nur eine Aufnahme gemacht, auch wenn danach die Triggerbedingungen erf¨ ullt sein sollten. Diese Einzelaufnahme kann im Gegensatz zum analogen Oszilloskop beliebig lange auf dem Schirm dargestellt werden.

292

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Roll-Mode Diese Aufzeichnungsart erlaubt das kontinuierliche Beobachten von langsamen Vorg¨angen, deren zeitlicher Verlauf mit dem menschlichen Auge gerade noch wahrgenommen werden kann. Das aufgezeichnete Signal wird dabei, ¨ahnlich wie auf einem Schreiber, von links nach rechts u ¨ber den Bildschirm gezogen, wobei der aktuelle Wert am gerade noch ¨ außersten rechten Bildrand erscheint, w¨ ahrend der ¨alteste Wert links aus dem Bild geschoben wird. 10.4.4 Einsatz von Digital-Oszilloskopen in Verbindung mit Computern Derzeit eingesetzte Digital-Oszilloskope sind in der Regel mit einer Schnittstelle zu Computern versehen, so daß die aufgezeichneten Signale zu einem Computer u ¨bertragen und dort weiterverarbeitet oder archiviert werden k¨onnen. Die so erhaltenen Signale werden auf dem PC mit Hilfe von Signalverarbeitungsroutinen ausgewertet und k¨ onnen bei der heute u ¨blichen Speichergr¨oße selbst bei gr¨oßtem Umfang problemlos gespeichert werden. Dabei k¨onnen detaillierte Informationen u ¨ber das betrachtete Signal extrahiert und dargestellt werden. Weitere Informationen zu diesen neuen Digital-OszilloskopTechnologien finden sich in den Kapiteln 18.11 und 18.12.

10.5 Vergleich Analog- und Digital-Oszilloskope In der Praxis werden f¨ ur verschiedene Aufgaben unterschiedliche Oszilloskope eingesetzt (Tab. 10.1). Analoge Oszilloskope werden vor allem bei schnellen Signalen verwendet, die in Echtzeit betrachtet werden und deren Intensit¨ats¨anderung bzw. Signalstreuung durch die helligkeitsmodulierte Darstellung sichtbar werden sollen. Analoge Oszilloskope eigenen sich daher in besonderem Maße f¨ ur periodische Signale. Digitale Oszilloskope dagegen bieten den Vorteil, einmal aufgezeichnete Signale langfristig und ohne Informationsverlust speichern zu k¨onnen. Weiterhin erlauben sie einfache Analysefunktionalit¨aten, wie beispielsweise eine Darstellung des betrachteten Signals im Frequenzbereich. Im weiteren k¨onnen Tabelle 10.1. Vergleich der Vorteile von Analog- und Digital-Oszilloskopen Analog-Oszilloskop + schnelle Signalerfassung + Darstellung der Signalintensit¨ at + Echtzeitdarstellung der Signale

Digital-Oszilloskop + Simultanbetrieb auf mehreren Kan¨ alen + Single-Shot Aufnahme m¨ oglich + Signalspeicherung m¨ oglich + Weiterverarbeitung der Daten im Computer + Signalanalyse m¨ oglich (z. B. FFT) + Pre-Trigger-M¨ oglichkeiten

10.6 Digital-Phosphor-Oszilloskop

293

mit dem Digital-Oszilloskop aufgezeichnete Signale mittels eines Computers weiterverarbeitet werden. Gemessene und aufgezeichnete Signale k¨onnen bei Bedarf wieder orginalgetreu abgerufen werden, so daß Vergleiche mit ¨alteren Meßsignalen m¨oglich sind.

10.6 Digital-Phosphor-Oszilloskop Die Vorteile des Analog- sowie des Digital-Oszilloskops werden in einer neuartigen Oszilloskopart, dem sogenannten Digital-Phosphor-Oszilloskop (DPO), vereint. Dieses erm¨ oglicht die Darstellung von schnellen Signalen in Echtzeit und kann ebenfalls die Signalintensit¨ at bzw. Signalstreuung darstellen. Dadurch ist es m¨oglich, selten auftretende Signalst¨orungen zu erkennen, was insbesondere bei der Fehlersuche von Vorteil ist [152]. Das Digital-Phosphor-Oszilloskop kann die Vorteile von analogem und digitalem Oszilloskop nur deshalb vereinbaren, weil leistungsf¨ahige Signalprozessoren die Signalabbildung u ¨bernehmen. Dabei werden die Signaldaten in Echtzeit von einem Erfassungs-Prozessor verarbeitet und in geeigneter Weise gespeichert, w¨ahrend ein spezieller Signalabbildungsprozessor parallel dazu die Signaldarstellung erledigt. Der Aufbau eines solchen Oszilloskops ist schematisch in Abb. 10.24 dargestellt. Im Gegensatz zu einem digitalen SpeicherOszilloskop, welches keinen Mikroprozessor zur Aufbereitung der darzustellenden Daten besitzt (siehe Abb. 10.22), k¨ onnen Digital-Phosphor-Oszilloskope die aufgezeichneten Daten schneller darstellen. Hierf¨ ur ist der spezielle Signalabbildungsprozessor verantwortlich, der die darzustellenden Werte entsprechend aufbereitet.

Vorverstärker

ADC

Digital Phosphor Acquisition Rasterizer

Erfassungs-Prozessor LCDFarbdisplay

Bildspeicher

µP

Abb. 10.24. Prinzip-Blockschaltbild eines Digital-Phosphor-Oszilloskops

Durch die Nachbildung des Nachleuchteffekts“ analoger Oszilloskope wurde ” der Begriff Digital-Phosphor gew¨ ahlt. Bei dieser Oszilloskopart werden die vergangenen Bildsequenzen bzw. Signalverl¨ aufe in einer dritten Dimension gespeichert und dann auf dem Bildschirm ausgegeben. Die Intensit¨at eines Signals ist ein Maß f¨ ur die Signal-Varianz. So wird beispielsweise ein rauschfreies Sinussignal immer mit gleicher Intensit¨at dargestellt. Wird nun dasselbe Sinussignal mit Rauschen u ¨berlagert, so ist die

294

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Sinuswelle mit gleicher Intensit¨ at dargestellt. Die durch das Rauschen verursachte Varianz des Sinussignals erscheint mit einer geringeren Intensit¨at auf dem Display. Digital-Phosphor-Oszilloskope k¨ onnen die Signale im Gegensatz zu Analog-Oszilloskopen farbig darstellen, wodurch sich die Signalverl¨aufe vom Beobachter leichter erkennen lassen. Abbildung 10.25 zeigt ein Digital-PhosphorOszilloskop moderner Bauart.

Abb. 10.25. Digital-Phosphor-Oszilloskop der Fa. Tektronix [152]

10.7 Stand der Technik bei Digital-Oszilloskopen Aufgrund der Tatsache, daß die Digital-Oszilloskope ihre analogen Counterparts mittlerweile vollst¨ andig vom Markt verdr¨angt haben, ist die Produktvielfalt der angebotenen Digital-Oszilloskope heutzutage enorm groß. Zudem werden die Produktzyklen aufgrund des rasanten Fortschritts der Digitaltechnik immer k¨ urzer. Lesern, die sich u ¨ber den jeweils aktuellen Stand auf dem Markt der Digital-Oszilloskope informieren wollen, sei empfohlen, die Webseiten der f¨ uhrenden Hersteller zu besuchen. Die Webadressen der namhaften Hersteller lauten: Tektronix: www.tektronix.com bzw. www.tek.com Agilent: www.agilent.com LeCroy: www.lecroy.com Fluke: www.fluke.com Hameg: www.hameg.com Yokogawa: www.yokogawa-mt.de

10.7 Stand der Technik bei Digital-Oszilloskopen

295

¨ Einen Uberblick u ¨ber den derzeitigen Stand der Technik bietet Tab. 10.2, in der die Oszilloskop-Familien eines f¨ uhrenden Herstellers als Beispiel herausgegriffen wurden. Der in Tab. 10.2 angegebene theoretische Gewinn an Aufl¨osung infolge Oversampling bzw. Mittelung kann anhand der Zusammenh¨ange (Gl. 11.85) S [dB] = (6N + 1, 76) N

(10.77)

∆S/N [dB] = 10 lg m

(10.78)

bzw. (Gl. 11.43) ermittelt werden. Dabei bezeichnen N die Aufl¨osung in Bit und m den Faktor ¨ der Uberabtastung. Der Zugewinn ∆N [Bit] bez¨ uglich der Aufl¨osung l¨aßt sich durch Gleichsetzen obiger Gleichungen erreichen. Dies f¨ uhrt zu ∆N [Bit] =

10 lg m − 1, 76 . 6

(10.79)

Die in Tab. 10.2 in der Spalte Theoretische Aufl¨osungszunahme angegebenen Werte lassen sich direkt aus Gl. 10.79 ermitteln. Die leichten Abweichungen ergeben sich aufgrund der Tatsache, daß vom Hersteller anstatt Gl. 11.85 bzw. ¨ Gl. 10.77 die Uberschlagsformel S/N = 6N verwendet wurde. Die vier verschiedenen Aufzeichnungsmodi (= Aquisitionsmodi) Single Shot, Average, High Resolution und Sequential Samling sind wie folgt charakterisiert: Single Shot: Nicht repetierender Pulsbetrieb. Average: Das Signal muß periodisch sein und es wird ein und derselbe (zeitliche) Signalabschnitt mehrmals aufgenommen und gemittelt. High Resolution: Das Signal muß nicht periodisch sein. Es erfolgt eine um den Faktor m h¨ ohere zeitliche Abtastung als in der Darstellung. Dabei werden m Samplewerte zu einem Darstellungswert gemittelt. Sequential Sampling: Das Signal muß periodisch sein. Es wird im sequentiellen Samplingmode (s. Kap. 10.1.4) abgetastet.

296

10 Darstellung des Zeitverlaufes elektrischer Signale

Tabelle 10.2. Leistungsdaten von Digital-Oszilloskopen, beispielhaft dargestellt anhand der Digital-Oszilloskop-Familien der Fa. Tektronix (Stand: Sommer 2006) ProduktFamilie TPS2000 TDS1000 TDS2000 TDS3000B DPO4000 TDS5000B TDS6000B TDS6000C DPO7000 TDS7000B CSA7404B CSA8200

Bandbreite [GHz] 0, 1 − 0, 2 0, 04 − 0, 1 0, 06 − 0, 2 0, 1 − 0, 5 0, 35 − 1 0, 35 − 1 6−8 12 − 15 0, 50 − 2, 5 0, 50 − 7, 25 4 20 − 70

Abtastrate 1 − 2 GS/s 1 GS/s 1 − 2 GS/s 1, 25 − 5 GS/s 2, 5 − 5 GS/s 1, 25 − 5 GS/s 20 GS/s 20 − 40 GS/s 2, 5 − 40 GS/s 5 − 20 GS/s 5 − 20 GS/s 200 kS/s***

Aufzeichnungsl¨ ange 2, 5 kB 2, 5 kB 2, 5 kB 10 kB 10 MB 8 − 16 MB 2 − 32 MB 2 − 64 MB 10 − 400 MB 2 − 64 MB 2 − 64 MB 4 kB

Vertikale Aufl¨ osung [Bit] 8+ / <10* 8+ / <10* 8+ / <10* 9+ / <11* + 8 / <12* / <12** 8+ / <13* / < 12** 8+ / <13* / < 12** 8+ / <13* / < 12** 8+ / <13* / < 12** 8+ / <13* / < 12** 8+ / <13* / < 12** 12***

ProduktAnzahl Theor. Aufl.- Prakt. Aufl.- Max. Aufl. Familie Mittelungen Zunahme [Bit] Zunahme [Bit] Average [Bit] TPS2000 128 3,5 3,0 11,0 128 3,5 3,0 11,0 TDS1000 TDS2000 128 3,5 3,0 11,0 512 4,5 4,0 13,0 TDS3000B DPO4000 128 3,5 3,0 11,0 10.000 6,6 6,1 14,1 TDS5000B TDS6000B 10.000 6,6 6,1 14,1 10.000 6,6 6,1 14,1 TDS6000C DPO7000 10.000 6,6 6,1 14,1 10.000 6,6 6,1 14,1 TDS7000B CSA7404B 10.000 6,6 6,1 14,1 ProduktMax. Theor. Aufl.- Prakt. Aufl.Max. Aufl. ¨ Uberabtastzahl Zunahme [Bit] Zunahme [Bit] High Res. [Bit] Familie DPO4000 5.000 6,1 5,1 13,1 5.000 6,1 5,1 13,1 TDS5000B TDS6000B 5.000 6,1 5,1 13,1 5.000 6,1 5,1 13,1 TDS6000C DPO7000 5.000 6,1 5,1 13,1 5.000 6,1 5,1 13,1 TDS7000B CSA7404B 5.000 6,1 5,1 13,1 +

= Single Shot; * = Average; ** = High Resolution; ***= Sequential Sampling

Preis ab EUR 2.690 765 1.170 3.600 6.300 6.750 58.500 90.000 12.600 22.400 51.800 19.500

11 Digitale Meßtechnik

Da die moderne Meßtechnik zunehmend die Verfahren der rechnergest¨ utzten Meßwerterfassung und digitalen Signalverarbeitung nutzt, z¨ahlt es zu den wichtigsten Aufgaben der Elektrischen Meßtechnik, in analoger Form vorliegende Meßsignale zu digitalisieren. W¨ ahrend in der analogen Meßtechnik alle Meßgr¨oßen in wertkontinuierlicher Form verarbeitet werden, kennt die digitale Meßtechnik nur die bin¨are Darstellungsform. Bin¨are Signale k¨onnen den Wert ′ 1′ (alternativ ′ H′ f¨ ur High) oder ′ 0′ (alternativ ′ L′ f¨ ur Low) annehmen. F¨ ur den Fall, daß der Wert ′ 1′ einem hohen Spannungspegel und der Wert ′ 0′ einem niedrigen Spannungspegel entspricht, bezeichnet man dies als positive Logik, im umgekehrten Fall spricht man von negativer Logik. Bin¨are Signale bieten den großen Vorteil, daß sie sich durch nur zwei, eindeutig zu unterscheidende Betriebszust¨ ande der verarbeitenden elektronischen Komponenten darstellen lassen, wie z. B. Schalter EIN“ bzw. Schalter AUS“. Alle auf ” ” Halbleiterelementen basierenden Schalter sind bez¨ uglich ihrer High- und LowSpannungspegel mit so großz¨ ugigen Toleranzb¨andern versehen, daß Digital¨ schaltungen im allgemeinen sehr zuverl¨ assig funktionieren. Beim Ubergang in die Digitalwelt m¨ ussen die wert- und zeitkontinuierlichen Signale in wert- und zeitdiskrete Signale gewandelt werden. Dazu bedient man sich entweder der Analog-Digital-Umsetzer (Kap. 11.7) oder der Z¨ahlerschaltungen (Kap. 11.5). Zum Verst¨andnis dieser Schaltungen sind Kenntnisse u ¨ber Bin¨arcodes und digitale Grundschaltungen, wie Gatter und bistabile Kippschaltungen, notwendig. Diese Grundlagen sind Inhalt der Kap. 11.1 bis 11.3.

11.1 Duales Zahlensystem und Bin¨ arcodes 11.1.1 Dualzahlendarstellung Da Digitalschaltungen Signale nur in bin¨ arer Form verarbeiten k¨onnen, muß man bez¨ uglich der Zahlendarstellung vom u ¨blichen Dezimalsystem zum bin¨aren System u ¨bergehen. Jede Dezimalzahl kann auch als Dualzahl dargestellt

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_11, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

298

11 Digitale Meßtechnik

werden. Wenn wir uns zun¨ achst auf ganze Zahlen beschr¨anken, l¨aßt sich die Dezimalzahl Zdez mit Hilfe einer Zweierpotenzzerlegung in eine entsprechende Dualzahlendarstellung konvertieren Zdez = zN 2N + zN−1 2N −1 + . . . + z1 21 + z0 20 .

(11.1)

Die entsprechende Dualzahl Zdual besteht dann aus den ′ 0′ - oder ′ 1′ -wertigen Bin¨arstellen zi , die mit den Koeffizienten der Zweierpotenzen identisch sind Zdual = zN zN−1 . . . z1 z0 .

(11.2)

So entspricht beispielsweise die Dezimalzahl ′ 68′ der Dualzahl ′ 1000100′. Die ′ ′ 0 - oder ′ 1′ -wertige digitale Informationseinheit wird dabei als 1 Bit und die zu 8 Bit zusammengefaßte Datenmenge als 1 Byte bezeichnet. 11.1.2 BCD-, Hexadezimal- und Gray-Code In der Elektrischen Meßtechnik wird oft der sog. BCD-Code (Binary Coded Decimals) verwendet, bei dem die Dezimalziffern 0 bis 9 mit einer vierstelligen Dualzahl der Wertigkeit 8-4-2-1“ dargestellt werden. So entspricht beispiels” weise die Dezimalzahl 68 der BCD-Zahl 0110 1000. Da die Dezimalziffer bei der BCD-Darstellung von einer vierstelligen Dualzahl mit den Stellenwerten 23 , 22 , 21 und 20 repr¨ asentiert wird, wird dieser Code auch als 8-4-2-1-Code bezeichnet. Ein weiterer, insbesondere in der Computertechnik sehr verbreiteter Code ist der Hexadezimalcode, der die Zahlen 0 bis 9 mit den entsprechenden Ziffern und die Zahlen 10 bis 15 mit den Buchstaben A bis F darstellt. Der in Tabelle 11.1. Gebr¨ auchliche Formen bin¨ arer Zahlendarstellungen Dezimalzahl Dualzahl BCD-Code Gray-Code Hexadezimalzahl 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0001 0001 0001 0001

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 0000 0001 0010 0011 0100 0101

0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

11.2 Bin¨ are Signale und ihre Verkn¨ upfung

299

der vierten Spalte von Tab. 11.1 enthaltene Gray-Code zeichnet sich dadurch ¨ aus, daß beim Ubergang von einer Zahl zur n¨achsth¨oheren nur ein einziges Bit seine Wertigkeit ¨ andert, was oft zum Umgehen von Timing-Problemen in Digitalschaltungen genutzt wird. Tabelle 11.1 zeigt die Darstellung der Dezimalzahlen 0 bis 15 mittels der oben besprochenen Codes. 11.1.3 Fehlererkennung und Fehlerkorrektur Die Verf¨alschung eines einzelnen oder auch einer ungeradzahligen Anzahl von Bits im BCD-Code beispielsweise ist erkennbar, wenn pro 4-Bit-Wort ein 5. Bit, ein sog. Pr¨ ufbit, angeh¨ angt wird. Dabei wird auf gerade oder ungerade Parit¨at gepr¨ uft. Man spricht dann von einem fehlererkennenden Code [138]. Wenn neben dieser Erkennung eines Fehlers eine lokale Ortung des fehlerhaften Bits durchgef¨ uhrt werden soll, werden pro Dezimalstelle 8 Bit statt der vier des BCD-Codes ben¨ otigt. Man bezeichnet diesen Code dann als einen fehlerkorrigierenden Code.

11.2 Bin¨ are Signale und ihre Verknu ¨ pfung mittels digitaler Schaltungen Die Funktionen digitaler Ger¨ ate basieren im wesentlichen auf dem Zusammenwirken digitaler Grundschaltungen, die auch als Gatterschaltungen bezeichnet werden. Diese Gatterschaltungen f¨ uhren die logische Verkn¨ upfung von Bin¨arsignalen durch. In Kap. 11.2.1 sollen zun¨ achst einige wichtige mathematische Grundregeln beschrieben werden, welche die Verkn¨ upfung von logischen Variablen beinhalten, bevor anschließend die digitalen Grundschaltungen selbst erkl¨art werden (Kap. 11.2.2). In Abschnitt 11.2.3 wird schließlich eine komplexere, aus mehreren logischen Grundschaltungen zusammengesetzte Schaltung beschrieben. 11.2.1 Grundregeln bei der logischen Verkn¨ upfung bin¨ arer Signale Die Grundlage der Mathematik von logischen Variablen bildet die Boolesche Algebra [168]. Die drei grundlegenden Verkn¨ upfungen zwischen zwei logischen Variablen (x1 und x2 ) zu einem Ergebnis y sind die Negation, die Konjunktion und die Disjunktion: Negation (NICHT-Verkn¨ upfung) y = x¯

(11.3)

Konjunktion (UND-Verkn¨ upfung) y = x1 ∧ x2 = x1 · x2 = x1 x2

(11.4)

300

11 Digitale Meßtechnik

Disjunktion (ODER-Verkn¨ upfung) y = x1 ∨ x2 = x1 + x2 .

(11.5)

Die hardwarem¨aßigen Implementierungen obiger Verkn¨ upfungen erfolgen mit den in Kap. 11.2.2 beschriebenen Gatterschaltungen NICHT-Gatter, UNDGatter und ODER-Gatter. F¨ ur diese Grundrechenoperationen gelten eine Reihe von Gesetzen, wie die aus der Algebra reeller Zahlen bekannten Gesetze Kommutativ-Gesetz, Assoziativ-Gesetz und Distributiv-Gesetz. Besondere Formen nehmen im Falle von bin¨ aren Variablen die folgenden Gesetze an: Negationsgesetz

x¯ x=0

x+x ¯=1

Tautologie

x+x=x

xx = x

Absorptionsgesetz

x1 (x1 + x2 ) = x1

x1 + x1 x2 = x1

Morgansches Gesetz

x1 x2 = x ¯1 + x ¯2

x1 + x2 = x ¯1 x¯2 .

11.2.2 Digitale Grundschaltungen (Gatterschaltungen) Im folgenden werden die wichtigsten digitalen Grundschaltungen beschrieben, und zwar f¨ ur den Fall von zwei logischen Eingangsvariablen x1 und x2 . Das jeweilige Ergebnis bzw. das Ausgangssignal wird mit y bezeichnet. Die Gatterschaltungen werden jeweils sowohl mit dem fr¨ uher u ¨blichen Schaltzeichen als auch in Form des eckigen Schaltzeichens dargestellt, das der heutigen Norm [34] entspricht. NICHT-Gatter (NOT-Gatter) Das NICHT-Gatter liefert am Ausgang das negierte Eingangssignal (Abb. 11.1). Der kleine Kreis, der am Ausgang des Schaltsymbols eingezeichnet ist, deutet in der Digitaltechnik stets darauf hin, daß das Bin¨arsignal bzw. die logische Variable an dieser Stelle negiert (invertiert) wird. y = x¯ xy 0 1 1 0

11.2 Bin¨ are Signale und ihre Verkn¨ upfung

301

Abb. 11.1. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das NICHT-Gatter (fr¨ uher gebr¨ auchliche Form und normgerechte Darstellung)

UND-Gatter (AND-Gatter) Mit dem UND-Gatter wird die Konjunktion realisiert, d. h. sein Ausgangssignal ist nur dann ′ 1′ , wenn alle Eing¨ ange auf ′ 1′ gesetzt sind (Abb. 11.2). y = x1 x2 x1 x2 y 0 0 1 1

0 1 0 1

0 0 0 1

Abb. 11.2. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das UND-Gatter

NAND-Gatter Das NAND-Gatter entspricht dem UND-Gatter mit negiertem Ausgangssignal (Abb. 11.3). y = x1 x2 x1 x2 y 0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

Abb. 11.3. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das NAND-Gatter

302

11 Digitale Meßtechnik

ODER-Gatter (OR-Gatter) Mit dem ODER-Gatter wird die Disjunktion realisiert, d. h. sein Ausgang ist dann ′ 1′ , wenn mindestens eine der Eingangsvariablen den Wert ′ 1′ aufweist (Abb. 11.4). y = x1 + x2 x1 x2 y 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

Abb. 11.4. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das ODER-Gatter

NOR-Gatter Das NOR-Gatter entspricht der ODER-Schaltung mit negiertem Ausgangssignal (Abb. 11.5). y = x1 + x2 x1 x2 y 0 0 1 1

0 1 0 0 0 1 0

Abb. 11.5. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das NOR-Gatter

11.2 Bin¨ are Signale und ihre Verkn¨ upfung

303

EXOR-Gatter (Antivalenz-Gatter, Exklusiv-Oder-Gatter) Das Ausgangssignal des EXOR-Gatters ist ′ 1′ , wenn genau eine Eingangsvariable den Wert ′ 1′ hat (Abb. 11.6). Diese auch als Antivalenz-Gatter bezeichnete Schaltung liefert also nur dann eine ′ 1′ am Ausgang, wenn die beiden Eingangsvariablen ungleiche bin¨ are Wertigkeit aufweisen. y=x ¯1 x2 + x1 x¯2 x1 x2 y 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

Abb. 11.6. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das EXOR-Gatter

¨ Aquivalenz-Gatter ¨ Der Ausgang des Aquivalenz-Gatters wird auf ′ 1′ gesetzt, wenn die Eingangs¨ signale dieselbe bin¨ are Wertigkeit haben. Die Aquivalenz entspricht also der negierten Antivalenz (Abb. 11.7). y=x ¯1 x ¯2 + x1 x2 x1 x2 y 0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 0 1

¨ Abb. 11.7. Wahrheitstabelle und Schaltsymbole f¨ ur das Aquivalenz-Gatter

304

11 Digitale Meßtechnik

11.2.3 Digitale Addierer Halbaddierer Die Addition von zwei einstelligen Dualzahlen kann in zwei verschiedenen ¨ Ergebnis- sowie zwei unterschiedlichen Ubertragswerten resultieren (Tab. 11.2). Der entsprechende Addierer muß also einen Summenausgang s sowie einen ¨ Ubertragsausgang c besitzen. Die hardwarem¨aßige Implementierung der daTabelle 11.2. Addition zweier einstelliger Dualzahlen ¨ x + y = Summe s Ubertrag c 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

0 0 0 1

zugeh¨origen Wahrheitstabelle (Tab. 11.2) enth¨alt ein Antivalenz- und ein UND-Gatter. Die entsprechende Schaltung (Abb. 11.8) wird als Halbaddierer bezeichnet, da sie nur f¨ ur die Addition der niedrigsten Dualzahlenstelle ¨ eingesetzt werden kann. Bei allen anderen Stellen muß der Ubertrag von der n¨ achstniedrigeren Stelle ebenfalls Ber¨ ucksichtigung finden.

Abb. 11.8. Halbaddierer: a) Schaltung, b) Schaltsymbol

Tabelle 11.3. Wahrheitstabelle des dualen Volladdierers xi yi ci si ci+1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 1 1 1

11.3 Bistabile Kippschaltungen

305

Volladdierer ¨ Zur Ber¨ ucksichtigung des Ubertragswertes ci muß die Wahrheitstabelle (Tab. 11.2) entsprechend modifiziert werden (Tab. 11.3). Abbildung 11.9 zeigt das

Abb. 11.9. Volladdierer: a) Schaltung, b) Schaltsymbol

aus dieser modifizierten Wahrheitstabelle nach den Regeln der Booleschen Algebra abgeleitete Schaltbild des Volladdierers. Ein aus einem Halbaddierer und drei Volladdierern zusammengesetzter 4-Bit-Volladdierer ist in Abb. 11.10 dargestellt.

¨ Abb. 11.10. 4-Bit-Volladdierer mit seriellem Ubertrag

11.3 Bistabile Kippschaltungen Bei den bistabilen Kippschaltungen, die auch Flip-Flop-Schaltungen genannt werden, h¨angt das Ausgangssignal sowohl von den Eingangssignalen als auch dem jeweiligen, von der Vorgeschichte bestimmten Zustand der Schaltung ab. Im Gegensatz zu den in Kap. 11.2 behandelten kombinatorischen Schaltwerken zeigen demnach die bistabilen Kippschaltungen Speicherwirkung. Der Begriff der Bistabilit¨at sagt aus, daß die Schaltung zwei stabile Zust¨ande kennt, die durch ein Setz-Signal bzw. ein R¨ ucksetz-Signal erreicht werden.

306

11 Digitale Meßtechnik

11.3.1 RS-Flip-Flop Die bekannteste bistabile Kippschaltung ist das asynchrone RS-Flip-Flop (nicht-taktgesteuertes RS-Flip-Flop), dessen Realisierung mit Hilfe von zwei r¨ uckgekoppelten NOR-Gattern erfolgen kann (Abb. 11.11). Durch die Signalkombination S = 1 und R = 0 wird das Flip-Flop gesetzt, d. h. der Ausgang Q nimmt den Wert ′ 1′ an. Die Schaltung f¨ uhrt dabei folgende logische Operationen durch Q = S+Q=1+Q=0

(11.6)

Q = R+Q=0+0=1.

(11.7)

¯ Abb. 11.11. RS-Flip-Flop (R: Reset-Eingang; S: Set-Eingang; Q: Ausgang; Q: invertierter Ausgang): a) Realisierung mit NOR-Gattern, b) Schaltsymbol, c) Zeitdiagramm

Mit der Eingangskombination S = 0 und R = 1 wird der Ausgang Q zur¨ uckgesetzt (Q = 0). Die Ergebnisse der u ¨brigen Eingangssignalkombinationen finden sich in Tab. 11.4. Eine alternative Implementierung des RS-Flip-Flops ergibt sich, indem man die NOR- durch NAND-Gatter ersetzt. Dabei ist zu beachten, daß die Eing¨ ange des Flip-Flops nunmehr invertiert und die Zuord¯ vertauscht sind (Abb. 11.12). Die Aquivalenz ¨ nung der Ausg¨ange Q und Q Tabelle 11.4. Wahrheitstabelle eines auf der Basis von NOR-Gattern realisierten RS-Flip-Flops; (* je nach Innenschaltung des RS-Flip-Flops) SRQ

Q

0 1 0 1

Qn−1 0 1 *

0 0 1 1

Qn−1 1 0 *

speichern setzen r¨ ucksetzen nicht erlaubt

11.3 Bistabile Kippschaltungen

307

Abb. 11.12. Realisierung eines RS-Flip-Flops mit NAND-Gattern

der Schaltungen folgt auch aus dem Morganschen Gesetz, das zwei logische Variablen x1 und x2 nach den Regeln eines NOR- bzw. NAND-Gatters verkn¨ upft x1 + x2 = x ¯1 x ¯2 . (11.8) Die oben beschriebenen Kippschaltungen geh¨ oren zu der Klasse der transparenten Flip-Flops, zu denen auch die im folgenden beschriebenen taktzustandgesteuerten und taktflankengesteuerten RS-Flip-Flops z¨ahlen. 11.3.2 Taktzustandgesteuertes RS-Flip-Flop Das taktzustandgesteuerte RS-Flip-Flop, das auch statisch getaktetes RSFlip-Flop genannt wird, reagiert auf Eingangssignale nur dann, wenn die statische Taktvariable (Clock) C = 1 gesetzt wird (Abb. 11.13). Es entspricht dann einem normalen RS-Flip-Flop. F¨ ur C = 0 hingegen speichert das FlipFlop gem¨aß der Wahrheitstabelle (Tab. 11.5) den alten Zustand, da in diesem ¯ = S¯ = 1 gilt. Fall R

Abb. 11.13. Taktzustandgesteuertes (statisch getaktetes) RS-Flip-Flop: a) Schaltungstechnische Realisierung auf der Basis von NAND-Gattern (Die Schaltung innerhalb des gestrichelten Rahmens entspricht einem RS-Flip-Flop mit negiertem Eingangssignal in NAND-Realisierung gem¨ aß Abb. 11.12.), b) Schaltsymbol

308

11 Digitale Meßtechnik

Tabelle 11.5. Wahrheitstabelle eines auf der Basis von NAND-Gattern realisierten RS-Flip-Flops (* je nach Innenschaltung des RS-Flip-Flops) SRQ

Q

1 0 1 0

¯ n−1 Q 0 setzen 1 r¨ ucksetzen * nicht erlaubt

1 1 0 0

Qn−1 1 0 *

11.3.3 Taktflankengesteuertes RS-Flip-Flop ¨ Das taktflankengesteuerte RS-Flip-Flop zeigt Anderungen am Ausgang erst bei einer Flanke des Taktsignals. Das R- und S-Signal bereiten gem¨aß der Wahrheitstabelle 11.4 das Flip-Flop zum Setzen, R¨ ucksetzen bzw. Speichern vor, jedoch erst bei einem Wechsel des Taktsignals von ′ 0′ auf ′ 1′ (ansteigende Taktflanke) bzw. von ′ 1′ auf ′ 0′ (abfallende Taktflanke) f¨ uhrt das Flip-Flop die logische Operation durch. Abbildung 11.14 zeigt die Schaltsymbole des taktflankengesteuerten RS-Flip-Flops f¨ ur beide Varianten, also f¨ ur ansteigende Taktflanken (Abb. 11.14a) und abfallende Taktflanken (Abb. 11.14b). Das Zeitdiagramm (Abb. 11.14c) gilt f¨ ur die Version, die auf die ansteigende Taktflanke reagiert.

Abb. 11.14. Taktflankengesteuertes RS-Flip-Flop: a) Schaltsymbol f¨ ur ansteigende Taktflanke, b) Schaltsymbol f¨ ur abfallende Taktflanke, c) Zeitdiagramm f¨ ur die Version mit ansteigender Taktflanke: tS1 Setzvorgang vorbereitet, tS2 Setzvorgang durchgef¨ uhrt, tR1 R¨ ucksetzvorgang vorbereitet, tR2 R¨ ucksetzvorgang durchgef¨ uhrt.

11.3.4 Taktzustandgesteuertes D-Flip-Flop (Data-Latch) Das taktzustandgesteuerte D-Flip-Flop ist in der Lage, den Wert einer logischen Eingangsvariablen D zu speichern. Die entsprechende Schaltung wird mit Hilfe eines taktzustandgesteuerten RS-Flip-Flops realisiert, bei dem eine ¯ vorgenommen wird. Zus¨atzlich zu dem Verdrahtung gem¨aß S = D und R = D

11.3 Bistabile Kippschaltungen

309

Abb. 11.15. Taktzustandgesteuertes (transparentes) D-Flip-Flop (Data-Latch): a) Schaltungstechnische Realisierung. Die innerhalb des gestrichelten Rahmens befindliche Schaltung entspricht einem taktzustandgesteuerten RS-Flip-Flop. b) Schaltsymbol

RS-Flip-Flop wird noch ein Inverter ben¨ otigt (Abb. 11.15 ). Wenn die statische Taktvariable C = 1 gesetzt wird, erscheint der Wert von D am Ausgang Q. Man spricht daher auch von einem transparenten D-Flip-Flop. Tabelle 11.6. Wahrheitstabelle eines taktzustandgesteuerten D-Flip-Flops C D Qn 0 0 1 1

0 1 0 1

Qn−1 Qn−1 0 1

F¨ ur C = 0 hingegen wird der Wert des Ausgangs Q gespeichert (Qn = Qn−1 ) (Tab. 11.6). Die so aufgebaute Schaltung wird auch als Data-Latch bezeichnet. Abbildung 11.16 zeigt eine aus nur vier Gattern bestehende schaltungstechnische Realisierung des taktzustandgesteuerten D-Flip-Flops.

Abb. 11.16. 4-Gatter-Realisierung eines taktzustandgesteuerten D-Flip-Flops

310

11 Digitale Meßtechnik

11.3.5 Taktflankengesteuertes D-Flip-Flop Beim taktflankengesteuerten D-Flip-Flop wird der Zustand des Eingangs D mit der n¨achsten Taktflanke auf den Ausgang Q u ¨bertragen. Damit ergibt sich die Ergebnisvariable Qn im n-ten Taktzyklus aus der Eingangsvariablen Dn−1 des vorhergehenden Taktzyklusses Qn = Dn−1 .

(11.9)

Die entsprechende Schaltung l¨ aßt sich analog zum taktzustandgesteuerten D-Flip-Flop mit Hilfe eines taktflankengesteuerten RS-Flip-Flops und eines Inverters realisieren (Abb. 11.17). Es handelt sich hierbei um ein taktflankengesteuertes RS-Flip-Flop, bei dem, wie auch bereits bei der Schaltung des taktzustandgesteuerten D-Flip-Flops, der undefinierte Zustand R = S = 1 durch die Verkopplung von R- und S-Eingang u ¨ber ein NICHT-Gatter verhindert wird. Das Signal D = 1 f¨ uhrt zum Setzen des Q-Ausgangs, w¨ahrend das Signal D = 0 das eindeutige R¨ ucksetzen bewirkt. Mit Hilfe der nach außen gef¨ uhrten S- und R-Eing¨ ange (Abb. 11.17b) l¨aßt sich wiederum ein eindeutig definierter Anfangszustand herstellen. Ein solches flankengetriggertes D-

Abb. 11.17. Taktflankengesteuertes D-Flip-Flop: a) Realisierung mit Hilfe eines taktflankengesteuerten RS-Flip-Flops und eines Inverters, b) Schaltsymbol

Flip-Flop l¨aßt sich auch in Form einer Hintereinanderschaltung von zwei mit komplement¨aren Taktsignalen belegten taktzustandgesteuerten D-Flip-Flops implementieren (Abb. 11.18). Das in der Reihenfolge erste Flip-Flop wird als Master-, das zweite als Slave-Flip-Flop bezeichnet. W¨ahrend einer negativen ¨ Taktflanke (Ubergang des Taktsignals C von ′ 1′ auf ′ 0′ ) wird der Zustand von D auf den Ausgang Q1 geschaltet, d. h. das Master-Flip-Flop u ¨bernimmt den ¨ Zustand von D. Mit der darauffolgenden positiven Taktflanke (Ubergang des ′ ′ ′ ′ Taktsignals C von 0 auf 1 ) wird der Ausgang Q1 (nun gleicher Zustand wie Eingang D) des Master-Flip-Flops u ¨ber das Slave-Flip-Flop auf den Ausgang Q geschaltet, der damit denselben Zustand wie der Eingang D2 des SlaveFlip-Flops erh¨alt (Q = D2 ). Damit ist der Zustand des Ausgangs Q nach dem Taktflankenanstieg mit dem Zustand des Eingangs D davor identisch, was schließlich Gl. (11.9) entspricht.

11.3 Bistabile Kippschaltungen

311

Abb. 11.18. Realisierung eines taktflankengesteuerten D-Flip-Flops durch eine Master-Slave-Anordnung, die aus einer Hintereinanderschaltung von zwei taktzustandgesteuerten Flip-Flops mit komplement¨ aren Takteing¨ angen besteht.

11.3.6 Taktflankengesteuertes JK-Flip-Flop Das taktflankengesteuerte JK-Flip-Flop entspricht einem RS-Flip-Flop, bei dem beide Eing¨ange gesetzt sein d¨ urfen. Erreicht wird dieses durch eine R¨ uck¯ kopplung der Q- und Q-Ausg¨ ange u ¨ber zwei UND-Gatter auf den Eingang des RS-Flip-Flops, das bei einer fallenden Taktflanke schaltet (Abb. 11.19a). Die freien Eing¨ange der UND-Gatter bilden dabei den J- bzw. den K-Eingang. Die Signalkombination J = 1 und K = 0 setzt den Q-Ausgang auf Q = 1, w¨ ahrend ihn die Kombination J = 0 und K = 1 zur¨ ucksetzt. Die Eingangssignalkombination J = K = 1 bewirkt die Invertierung (Negierung) des aktuellen Zustandes (Tab. 11.7).

Abb. 11.19. Taktflankengesteuertes JK-Flip-Flop: a) Prinzipieller Aufbau, b) Schaltsymbol, c) Zeitdiagramm

312

11 Digitale Meßtechnik Tabelle 11.7. Wahrheitstabelle eines JK-Flip-Flops J K Qn 0 1 0 1

0 0 1 1

Qn−1 1 0 Qn−1

speichern setzen r¨ ucksetzen invertieren

11.3.7 Taktflankengesteuertes T-Flip-Flop (Toggle-Flip-Flop) Wenn man bei einem taktflankengesteuerten JK-Flip-Flop den J- mit dem KEingang verbindet, erh¨ alt man das taktflankengesteuerte T-Flip-Flop (T-Speicherglied), das auch als Toggle-Flip-Flop bezeichnet wird. Die entsprechende Wahrheitstabelle (Tab. 11.8) l¨ aßt sich anhand derjenigen f¨ ur das Tabelle 11.8. Wahrheitstabelle eines taktflankengesteuerten T-Flip-Flops T Qn 0 Qn−1 speichern 1 Qn−1 invertieren

JK-Flip-Flop ableiten, indem man beachtet, daß J = K geschaltet ist. Der Zustand der Ausgangsvariablen Q kann sich nur ¨andern, wenn ein ′ 1′ -Signal am T-Eingang anliegt. F¨ ur T = 1 invertiert dieses Flip-Flop nach jeder Taktflanke den Ausgang, d. h. es liefert am Ausgang Impulse mit der doppelten Periode des Taktsignals, was einer Halbierung der Eingangsfrequenz des Taktsignals entspricht (Abb. 11.20). Mit dieser Eigenschaft wird das T-Flip-Flop zu einem wichtigen Baustein in Digitalz¨ ahlerschaltungen. Sowohl beim JKals auch beim T-Flip-Flop sind getrennte Setz- (S) und R¨ ucksetz-Eing¨ange (R) vorgesehen, mit deren Hilfe ein definierter Anfangszustand vorgegeben werden kann.

Abb. 11.20. Taktflankengesteuertes T-Flip-Flop (Toggle-Flip-Flop): a) Schaltsymbol f¨ ur invertierenden Taktflanken-Eingang, b) Zeitdiagramm

11.4 Monostabile Kippstufe

313

11.4 Monostabile Kippstufe Eine monostabile Kippstufe, die auch als Monoflop oder Univibrator bezeichnet wird, kennt im Unterschied zu den im Kap. 11.3 behandelten bistabilen Kippstufen nur einen einzigen stabilen Ausgangszustand. Monostabile Kippstufen haben die Aufgabe, bei einer ansteigenden oder abfallenden Taktflanke in ihrem Eingangssignal einen Rechteckpuls mit einer definierten Amplitude U0 sowie einer definierten zeitlichen L¨ ange T0 als Ausgangssignal zu liefern. Eine Realisierungsm¨ oglichkeit von Monoflop-Schaltungen basiert auf der in Abb. 11.21 gezeigten r¨ uckgekoppelten Gatterschaltung. Wenn die Eingangsspannung zun¨achst als Null angenommen wird (uE = 0), kann der sich daraus ergebende stabile Zustand nur in einer Ausgangsspannung uA = 0 resultieren, da nach einer bestimmten Zeit kein Kondensatorladestrom mehr durch den Widerstand fließt. Die Spannung u2 ist dann identisch +U0 , was definitionsgem¨aß dem ′ 1′ -Pegel entspricht. Somit liegt der Ausgang des Invertierers und damit auch der zweite Eingang des NOR-Gatters auf ′ 0′ -Pegel. Im Falle eines am Eingang eintreffenden positiven Pulses schaltet das Eingangsgatter entsprechend seiner NOR-Funktion auf ′ 0′ -Pegel am Ausgang. Da die am Kondensator anliegende Spannung (u2 − u1 ) nur mit der Zeitkonstanten τ = RC ansteigt (die Umladung des Kondensators erfolgt u ¨ber den Widerstand R), wird erst nach einer Zeit T0 der stabile Grundzustand wieder erreicht. Solange aber die Umladung des Kondensators erfolgt, liegt u2 unterhalb der Schaltschwelle des Invertierers und die Ausgangsspannung uA auf hohem Potential

Abb. 11.21. Monostabile Kippstufe: a) Schaltungsvariante mit Standardgattern, b) Signalverlauf, c) Schaltsymbol f¨ ur ansteigende und abfallende Flanke

314

11 Digitale Meßtechnik

(′ 1′ -Pegel). Die Zeit T0 wird von der Zeitkonstanten τ in Verbindung mit der Schaltschwelle des Invertierers festgelegt. Mit Hilfe der in Abb. 11.22 gezeigten Monoflop-Realisierung auf der Basis von D-Flip-Flops ist es m¨ oglich, einen taktsynchronen Ausgangspuls zu generieren. Die Dauer des Ausgangspulses entspricht dabei genau der Dauer einer Periode des Referenztaktes. Das erste D-Flip-Flop schaltet n¨amlich seinen Ausgang auf Q1 = 1, wenn bei einer positiven Flanke im Taktsignal uE auf ′ 1′ -Pegel liegt. Gleichzeitig wird u ¨ber Q1 das zweite D-Flip-Flop aktiviert, sodaß mit der n¨achsten positiven Taktflanke sein invertierter Ausgang auf Q2 = 0 schaltet. Daraufhin sperrt“ das UND-Gatter und die Ausgangsspan” nung uA f¨allt wieder auf uA = 0 ab. Die Schaltung reagiert erst wieder auf einen positiven Impuls am Eingang, wenn die Eingangsspannung uE vorher mindestens f¨ ur die Zeit einer Taktperiode gleich Null war. Bei dieser Realisierungsvariante ist allerdings zu beachten, daß kurze Triggerpulse in uE , die nicht von einer positiven Taktflanke erfaßt werden, keine Ausl¨osung des Monoflops bewirken.

Abb. 11.22. Realisierung einer monostabilen Kippstufe auf der Basis von taktflankengesteuerten D-Flip-Flops

11.5 Z¨ ahler-Schaltungen Jede Z¨ahlung bedeutet eine Summation, wobei bei Eintreten eines zu z¨ahlenden Ereignisses der Z¨ ahlerstand jeweils um den Betrag 1 in positiver (Vorw¨artsz¨ ahlung) bzw. in negativer Richtung (R¨ uckw¨ artsz¨ahlung) ver¨andert wird. Ein

11.5 Z¨ ahler-Schaltungen

315

Z¨ ahler ist demnach ein Speicher, dessen Speicherpl¨atze entsprechend dem vorgesehenen Zahlencode, z. B. dem Dualzahlencode oder dem BCD-Code, besetzt werden. Diese Speicherelemente m¨ ussen definierte stabile Zust¨ande haben. Die wesentliche Eigenschaft einer Z¨ ahlerschaltung besteht darin, daß ihre in einem vereinbarten Zahlencode vorliegende Ausgangsgr¨oße der Anzahl der am Eingang eingetroffenen Z¨ ahlerereignisse entspricht. Diese Einzelereignisse m¨ ussen in eindeutig trennbarer Form vorliegen. Es sind dies i.allg. ansteigende ¨ bzw. abfallende Flanken von elektrischen Pulsen oder auch das Uberoder Unterschreiten von Signalschwellwerten, insbesondere die Nulldurchg¨ange von Signalspannungen. Die Schaltsymbole f¨ ur Vorw¨ arts-, R¨ uckw¨arts- und den kombinierten Vorw¨arts-R¨ uckw¨ artsz¨ ahler werden in Abb. 11.23 gezeigt.

Abb. 11.23. Schaltsymbole f¨ ur Z¨ ahler: a) Vorw¨ artsz¨ ahler, b) R¨ uckw¨ artsz¨ ahler, c) Vorw¨ arts-R¨ uckw¨ arts-Z¨ ahler mit umschaltbarer Z¨ ahlrichtung: ZR = 1: Z¨ ahlrichtung vorw¨ arts, ZR = 0: Z¨ ahlrichtung r¨ uckw¨ arts

11.5.1 Dualz¨ ahler Asynchroner Dualz¨ ahler Die einfachsten elektronischen Z¨ ahler sind Dualz¨ahler, also Z¨ahler, deren Z¨ ahlerstand in Form einer Dualzahl codiert ist. Der asynchrone Dualz¨ahler kann in Form hintereinandergeschalteter T-Flip-Flops aufgebaut werden (Abb. 11.24), deren T-Eing¨ ange alle auf ′ 1′ gesetzt sind und deren Takteing¨ange mit dem Q-Ausgang des jeweils vorhergehenden T-Flip-Flops verbunden wurden. Wie bereits in Kap. 11.3.7 erl¨ autert, untersetzt jedes dieser T-FlipFlops die Frequenz des vorhergehenden im Verh¨altnis 2:1. Um die Summe der Taktimpulse zu erhalten, m¨ ussen nur die Ausg¨ange der Flip-Flops als Dualzahl interpretiert werden. Die Wertigkeit der n-ten Stufe betr¨agt Qn = 2n . ¨ Uber die Reset-Leitung, die mit R bezeichnet ist, kann der Z¨ahler auf Null gesetzt werden. Der gr¨oßte Nachteil der asynchron arbeitenden Z¨ahler besteht darin, daß der Ausgangszustand Qn der n-ten Stufe erst nach dem Umschalten (Kippen) aller (n − 1) vorhergehenden Stufen erreicht wird, was zur Folge haben kann, daß die Z¨ahlpulse so schnell eintreffen, daß die Flip-Flops der h¨oherwertigen Stufen nicht mehr rechtzeitig schalten. Dann entspricht der aktuelle Z¨ ahlerstand nicht mehr der Anzahl der bereits eingetretenen Z¨ahlereignisse.

316

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.24. Asynchroner Vorw¨ arts-Dualz¨ ahler: a) Schaltung auf der Basis von Toggle-Flip-Flops, b) Zeitdiagramm

Synchroner Dualz¨ ahler W¨ahrend beim asynchronen Dualz¨ ahler nur das erste Flip-Flop vom Takt gesteuert wird und dadurch die eben beschriebenen Verz¨ogerungen auftreten, ist beim synchronen Dualz¨ ahler ein gleichzeitiges und damit schnelleres Schalten der Flip-Flops durch einen gemeinsamen Takt gew¨ahrleistet (Abb. 11.25). Die Bedingung, daß ein in einem Dualz¨ ahler enthaltenes Flip-Flop nur kippen darf, wenn alle niederwertigen Flip-Flops auf ′ 1′ gesetzt sind, wird mit Hilfe der UND-Gatter erreicht. Diese werten die niederwertigen Ausg¨ange Q0 . . . QN−1 aus und geben des Ergebnis auf den T-Eingang der n-ten Stufe, welche dann wiederum bei der n¨ achsten Taktflanke den Zustand wechselt. Es ist zu erw¨ahnen, daß die bei realen Flip-Flops auftretenden Verz¨ogerungszeiten zwischen Eintreffen der Taktflanke und dem Einstellen des entsprechenden Ergebniswertes am Ausgang daf¨ ur sorgen, daß keine undefinierten Schaltzust¨ande auftreten.

Abb. 11.25. Schaltung eines synchronen Dualz¨ ahlers

11.5 Z¨ ahler-Schaltungen

317

11.5.2 BCD-Z¨ ahler Asynchroner BCD-Z¨ ahler Aus einem vierstelligen Dualz¨ ahler kann man einen BCD-Z¨ahler aufbauen, ¨ wenn die vierstelligen Dualz¨ ahler nach jeder 10. Taktflanke einen Ubertrag generieren und den Z¨ ahler wieder auf ′ 0000′ setzen. Der in bin¨arer Form vorliegende Z¨ahlerstand kann dann nach einer Dekodierung als Dezimalzahl ausgegeben werden. Mit BCD-Z¨ ahlern ist die Anzeige in Form von Dezimalzahlen einfacher zu bewerkstelligen als mit reinen Dualz¨ahlern, da sich jede Dekade f¨ ur sich dekodieren l¨ aßt. Abbildung 11.26 zeigt eine prinzipielle Realisie-

Abb. 11.26. Prinzipschaltbild eines asynchronen BCD-Z¨ ahlers

rungsm¨oglichkeit f¨ ur einen asynchronen Vorw¨ arts-BCD-Z¨ahler. Dieser Aufbau unterscheidet sich vom asynchronen Dualz¨ ahler (Abb. 11.24) durch die Hinzunahme von zwei UND- und einem ODER-Gatter. Das UND-Gatter zwischen dem 1. und dem 2. T-Flip-Flop bewirkt, daß Q1 mit der 10. Taktflanke nicht gesetzt wird, solange Q3 = 1 ist. Dies ist eine Forderung, die sich unmittelbar aus dem entsprechenden Zeitdiagramm (Abb. 11.27) ablesen l¨aßt. Das zweite UND-Gatter erreicht in Verbindung mit dem ODER-Gatter, daß Q3 nach der 10. Taktflanke wieder auf ′ 0′ geht, was ebenfalls nach dem Zeitdiagramm gefordert wird. Takt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

Q0

t

Q1

t

Q2

t

Q3

t 0 123 456 7 89 0 1

t

Abb. 11.27. Zeitdiagramm eines BCD-Z¨ ahlers

318

11 Digitale Meßtechnik

Synchroner BCD-Z¨ ahler Der synchrone BCD-Z¨ ahler weist im Vergleich zu der asynchronen Ausf¨ uhrung den Vorteil auf, daß er h¨ ohere Z¨ ahlfrequenzen gestattet. Abbildung 11.28 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines synchronen BCD-Z¨ahlers. Das UND-Gatter zwischen dem 1. und 2. Flip-Flop bewirkt wiederum, daß Q1 mit der 10. Taktflanke nicht gesetzt wird. Die beiden weiteren UND-Gatter wirken in ahnlicher Weise wie die entsprechenden im synchronen Dualz¨ahler. Um zu ¨ erreichen, daß die 4. Kippstufe nach der 10. Taktflanke zur¨ uckgesetzt wird, ist diese als JK-Flip-Flop ausgef¨ uhrt. Der J-Eingang entspricht J = Q0 ·Q1 ·Q3 und der K-Eingang ist mit Q0 verbunden. Damit wird erreicht, daß vor der 10. Flanke J = 0 und K = 1 werden, woraufhin mit der 10. Taktflanke Q3 wieder ¨ zur¨ uckgesetzt wird. Der damit am Ausgang Q3 entstehende Ubergang von ′ 1′ ′ ′ ¨ auf 0 kann der Erzeugung eines Ubertragssignals f¨ ur die n¨achste Z¨ahldekade dienen.

Abb. 11.28. Prinzipschaltbild eines synchronen BCD-Z¨ ahlers

11.6 Digital-Analog-Umsetzung 11.6.1 Grundlagen und Kenngr¨ oßen Eine h¨aufig gestellte Aufgabe der Elektrischen Meßtechnik besteht darin, in digitaler Form codierte Meßsignale wieder in analoge Spannungswerte zur¨ uckzuwandeln. Dazu bedient man sich der Digital-Analog-Umsetzer (DAU), die auch als Digital-Analog-Converter (DAC) bezeichnet werden. Abbildung 11.29 soll das Prinzip der Digital-Analog-Umsetzung veranschaulichen. Im folgenden wird angenommen, daß der Digitalwert Z mit einer Aufl¨osung von N Bit als Dualzahl im Dualcode vorliegt und in paralleler Form (1 Bit pro Datenleitung) zur Verf¨ ugung steht. Weiterhin werden nur unipolare Digital-Analog-Umsetzer betrachtet, d. h. solche, die nur positive Zahlen im Bereich

11.6 Digital-Analog-Umsetzung

319

Abb. 11.29. Prinzip der Digital-Analog-Umsetzung. Der Digitalwert Z wird in das Eingangsregister geschrieben und vom eigentlichen Digital-Analog-Converter (DAC) in die entsprechende Analogspannung uA (t) umgesetzt, welche wiederum von einem Ausgangsverst¨ arker ausgegeben wird.

0 ≤ Z ≤ Zmax = 2N − 1

(11.10)

verarbeiten k¨onnen, wobei die Dualzahl Zdual = zN−1 . . . z1 z0 durch ihre N Bin¨arstellen zi festgelegt wird Z = zN−1 2N −1 + . . . + z2 22 + z1 21 + z0 20 .

(11.11)

Diese am Eingang des DAC anstehende N-Bit-Dualzahl wird zun¨achst in ein Eingangsregister u achstfolgenden Flanke des Takt¨bernommen und bei der n¨ signals in ihren entsprechenden Analogwert umgesetzt (Abb. 11.29). Die aus der Quantisierung resultierende Stufenbreite ULSB entspricht der Differenz im analogen Ausgangssignal zwischen zwei aufeinanderfolgenden Digitalwerten ULSB =

UAmax , 2N

(11.12)

wobei UAmax die maximal m¨ ogliche Ausgangsspannung des Digital-AnalogUmsetzers bezeichnet. Diese Stufenbreite entspricht auch dem zum niedrigstwertigen Bit geh¨orenden Analogwert. Das niedrigstwertige Bit wird auch als Least Significant Bit (LSB) bezeichnet. Die aus K Punktwerten bestehende ¨ Ubertragungskennlinie eines idealen unipolaren Digital-Analog-Umsetzers ist in Abb. 11.30 dargestellt. Dabei ist K die Anzahl der diskreten Kennlinienpunkte, die sich aus der Bitanzahl N des Digital-Analog-Umsetzers ergibt K = 2N .

(11.13)

Die analoge Ausgangsspannung uA des Digital-Analog-Converters liegt im Intervall

320

11 Digitale Meßtechnik Analogspannung u A 7 U Amax 8

U Amax 2 U Amax 4 U Amax 8 000 001 010 011 100 101 110 111 Digitalwert Z

¨ Abb. 11.30. Ubertragungskennlinie eines idealen unipolaren 3-Bit-Digital-AnalogUmsetzers (ULSB = UAmax /8).

0 ≤ uA ≤ ULSB (2N − 1) = UAmax

2N − 1 = UAmax (1 − 2−N ) . 2N

(11.14)

Weitere wichtige Kenngr¨ oßen eines Digital-Analog-Umsetzers sind die Konversionsrate (wird teilweise auch als Umsetz- bzw. Wandlungsrate bezeichnet) und Konversionszeit (Umsetzzeit bzw. Wandlungszeit). Die Konversionsrate gibt an, wieviele Digitalwerte pro Zeiteinheit in analoge Werte umgesetzt werden k¨onnen. Die Konversionszeit entspricht im Normalfall dem Reziprokwert der Konversionsrate. 11.6.2 Schaltungstechnische Realisierungen von Digital-Analog-Umsetzern Summation gewichteter Spannungen bzw. Str¨ ome In Abb. 11.31 sind zwei prinzipielle Schaltungsvarianten f¨ ur Digital-AnalogUmsetzer dargestellt. Der in Abb. 11.31a gezeigte Umsetzer enth¨alt einen u/i-Verst¨arker, der f¨ ur eine konstante Eingangsspannung Uref den konstanten Ausgangsstrom Iref = Uref /Rref liefert. Wenn die parallel zu den ohmschen Widerst¨anden Ri liegenden Schalter Si von einem Digitalwort Z so gesteuert werden, daß sie bei Anliegen einer digitalen ′ 1′ ¨offnen (Si (zi = 1) = 1) und bei einer digitalen ′ 0′ geschlossen bleiben (Si (zi = 0) = 0), gilt f¨ ur die Ausgangsspannung uA = Iref

N −1 X i=0

Si Ri =

N −1 Uref X Si Ri , Rref i=0

(11.15)

11.6 Digital-Analog-Umsetzung

321

Abb. 11.31. Prinzipielle Schaltungen von Digital-Analog-Umsetzern mit N -BitAufl¨ osung: a) Variante mit u/i - Verst¨ arker, b) Variante mit i/u - Verst¨ arker

wobei die Widerst¨ ande Ri bin¨ ar gewichtet sind Ri = 2i R

i = 0, 1, ..., N − 1 .

(11.16)

In der in Abb. 11.31b gezeigten Schaltungsvariante wird ein i/u-Verst¨arker eingesetzt, der als invertierender Summierer betrieben wird. Im Gegensatz zur vorher beschriebenen Schaltungsvariante sind die Schalter Si bei einer digitalen ′ 1′ geschlossen (S¯i (zi = 1) = 1). F¨ ur die Ausgangsspannung uA gilt demnach N −1 X 1 S¯i uA = −Rref Uref , (11.17) Ri i=0 wobei die Widerst¨ ande Ri eine im Vergleich zu Gl. (11.16) reziproke bin¨are Gewichtung haben Ri =

R 2i

i = 0, 1, 2, ..., N − 1 ,

(11.18)

und S¯i = 1, wenn die i-te Bin¨ arstelle gleich ′ 1′ ist, ansonsten S¯i = 0. Eine entsprechende auf Halbleiterschaltern basierende Realisierung wird in Abb. 11.32 gezeigt. Die Schaltung ist so dimensioniert, daß bei einer auf ′ ′ 1 gesetzten Bin¨arstelle zi (entspricht einer positiven Spannung im Bereich von UB , d. h. U (zi = 1) ≈ UB ) der entsprechende Transistor ¨offnet und sein

322

11 Digitale Meßtechnik

Kollektorstrom, der vom Widerstand R/2i bestimmt wird, u ¨ber den Sum” mationswiderstand“ Rref fließt. Damit ist eine Summation gem¨aß Gl. (11.17) i gegeben. Die an den Widerst¨ anden R/2 anliegende Spannung betr¨agt Uref , da die Diodenschwellenspannung UD ungef¨ ahr der negativen Basis-EmitterSpannung UBE entspricht (UD ≈ −UBE ). Uref wird z. B. mit Hilfe einer Zenerdiode konstant gehalten.

Abb. 11.32. Realisierung eines 4-Bit-Digital-Analog-Umsetzers auf der Basis eines i/u-Verst¨ arkers

Bei solchen auf Widerstandsnetzwerken basierenden Digital-Analog-Umsetzern m¨ ussen allerdings sehr hohe Anforderungen an die Genauigkeit der in diesen Schaltungen eingesetzten Widerst¨ ande gestellt werden. Denn bei einem Digital-Analog-Umsetzer mit einer Aufl¨ osung von N Bit ergibt sich der Zusammenhang zwischen der maximalen Ausgangsspannung uAmax und der Quantisierungsschrittweite ULSB zu uAmax = (2N − 1)ULSB .

(11.19)

Wenn der maximale absolute Fehler |∆uA | der Ausgangsspannung uA kleiner als ULSB /2 bleiben soll (|∆uA | ≤ ULSB /2), folgt aus der Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes f¨ ur systematische Fehler (Gl. (5.7)) auf Gl. (11.15) N −1 −1 X Uref N 1 Uref X ∂Ri Si Si |∆Ri | < ULSB . |∆uA | = ∆Ri = Rref i=0 ∂Ri Rref i=0 2

(11.20)

Der Analogwert der ersten Quantisierungsstufe kann unter Beachtung von Gl. (11.15) und (11.16) als Funktion der Referenzspannung sowie der Widerstandswerte R und Rref ausgedr¨ uckt werden ULSB =

Uref R. Rref

(11.21)

11.6 Digital-Analog-Umsetzung

323

Damit folgt aus Gl. (11.20) |∆uA | =

N −1 1 Uref Uref X Si |∆Ri | < R. Rref i=0 2 Rref

(11.22)

Im Worst-Case sind alle Si offen (Si = 1), so daß folgende Bedingung eingehalten werden muß N −1 X 1 |∆Ri | < R . (11.23) 2 i=0 Wenn wir gleiche relative Fehler f¨ ur die einzelnen bin¨ar gewichteten Widerst¨ ande Ri annehmen, folgt aus Gl. (11.16) |∆Ri | = |∆R| 2i .

(11.24)

Setzt man nun diesen Zusammenhang in Gl. (11.23) ein, erh¨alt man schließlich den aus der Forderung |∆uA | ≤ ULSB /2 resultierenden maximal zul¨assigen relativen Fehler, den die Einzelwiderst¨ ande Ri aus der Schaltung nach Abb. 11.31 haben d¨ urfen |∆R| bzw.

N −1 X i=0

2i <

1 R 2

(11.25)

|∆R| 1 < . N R 2(2 − 1)

(11.26)

1 |∆R11 | = = 0, 00024 = ˆ 0, 024% . R11 2(211 − 1)

(11.27)

Diese Bedingung muß insbesondere bei dem Widerstand RN−1 , der f¨ ur das h¨ ochstwertige Bit, das sog. Most Significant Bit (MSB), zust¨andig ist, beachtet werden. Dieser Widerstand ist bez¨ uglich der Fehlertoleranzen der kritischste, weil er gem¨aß Gl. (11.23) den gr¨ oßten absoluten Fehler verursachen kann. F¨ ur einen 12-Bit-Umsetzer bedeutet dies, daß der Widerstand R11 mindestens folgende Genauigkeitsforderung erf¨ ullen muß

Leiternetzwerk Der oben geschilderte Nachteil, daß Widerst¨ ande, die in ihren Werten zum Teil um Gr¨oßenordnungen auseinanderliegen, mit sehr geringen Toleranzen gefertigt werden m¨ ussen, l¨ aßt sich mit einem DAC auf der Basis eines R2R-Widerstandsnetzwerkes umgehen. Bei diesem meist verwendeten DACTyp wird die Gewichtung der Stufen durch Anwendung einer fortgesetzten Spannungs- bzw. Stromteilung mit Hilfe eines Leiternetzwerkes realisiert. Die entsprechende Schaltung, welche nur Widerst¨ ande mit den Werten R und 2R

324

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.33. Digital-Analog-Umsetzer mit R-2R-Widerstandsnetzwerk: a) Prinzipschaltung mit Stromquellen, b) Ersatzschaltung zwischen den Knoten ′ i′ und ′ i+1′ , wenn zi = 1 und alle anderen Schalter offen, c) Prinzipschaltung mit Spannungsquelle.

ben¨otigt, wird in Abb. 11.33 gezeigt. Der Ersatzschaltung (Abb. 11.33b), welche die Verh¨altnisse zwischen zwei beliebigen Knoten i und i + 1 beschreibt, kann man entnehmen (Stromteilerregel) [85], daß das Gewichtungsverh¨altnis

11.6 Digital-Analog-Umsetzung

325

der Str¨ome Ii+1 und Ii stets den Wert 1/2 annimmt Ii+1 1 = . Ii 2

(11.28)

Dabei wurde angenommen, daß der zur i-ten Bin¨arstelle geh¨orende Schalter geschlossen ist, w¨ahrend alle anderen offen sind. Der Wert von 1/2 entspricht andererseits genau der geforderten bin¨ aren Wertigkeit des Schalters Si . F¨ ur die Spannung ui erh¨ alt man mit Iref = Ii + Ii+1 ui = Ii R =

2 Iref R . 3

(11.29)

Infolge der Spannungsteilung zwischen den Knoten i und i + 1 folgt 1 ui+1 = . ui 2

(11.30)

Die Ausgangsspannung uA ergibt sich mit Anwendung des Superpositionsprinzips zu N −1 X 2 uA = Iref R Si 2i−N +1 (11.31) 3 i=0

unter Beachtung der bin¨ aren Gewichtung der Teilspannung ui . Bei der Schaltungsvariante nach Abb. 11.33c wird anstatt der N Stromquellen eine Referenzspannungsquelle ben¨ otigt. Infolge der fortgesetzten Spannungsteilung ergibt sich die Ausgangsspannung uA zu uA =

N −1 X 2 Si 2i−N +1 . Uref 3 i=0

(11.32)

11.6.3 Fehler bei der Digital-Analog-Umsetzung Statische Fehler Die statischen Fehler sollen anhand der Kennlinie uA (Z) eines 3-Bit-DigitalAnalog-Umsetzers (Abb. 11.34) dargestellt werden. In Abb. 11.34 sind neben den Kennlinienpunkten des idealen 3-Bit-Digital-Analog-Converters die des realen eingezeichnet. Durch die Punkte des realen DACs wird eine als Best” Straight-Line“ bezeichnete Bezugsgerade Ubest (Z) gelegt, welche garantiert, daß die maximale Abweichung zwischen der Punktfolge und der Geraden minimal wird. Diese Bezugsgerade weist gegen¨ uber der Sollkennlinie Uideal(Z) normalerweise einen Nullpunktfehler (Offset) sowie einen Steigungsfehler auf. Da sich diese beiden Fehler im allgemeinen durch entsprechende Abgleichmaßnahmen auf relativ einfache Weise eliminieren lassen, sollen sie hier keine weitere Ber¨ ucksichtigung finden. Die verbleibenden Fehler sind die Abweichungen der Kennlinienpunkte von der Bezugsgeraden. Der entsprechende absolute Fehler

326

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.34. Statische Fehler eines Digital-Analog-Umsetzers. Kennlinien von idealem und realem Digital-Analog-Umsetzer. Ubest ergibt sich als Best-Straight-Line durch die realen Kennlinienpunkte.

bzw. relative Fehler

FNLint (Z) = uA (Z) − Ubest (Z)

(11.33)

uA (Z) − Ubest (Z) Ubest (Zmax )

(11.34)

fNLint (Z) =

wird als integrale Nichtlinearit¨at bezeichnet (Abb. 11.34). Weiterhin weicht beim realen Umsetzer auch die Schrittweite der analogen Ausgangsgr¨oße von ihrem Sollwert ULSB ab. Der entsprechende absolute Fehler FNLdiff (Z) = [uA (Z + 1) − uA (Z)] − ULSB

(11.35)

bzw. relative Fehler fNLdiff (Z) =

[uA (Z + 1) − uA (Z)] − ULSB ULSB

(11.36)

wird als differentielle Nichtlinearit¨at bezeichnet (Abb. 11.34). In den Datenbl¨ attern von Digital-Analog-Umsetzern werden im allgemeinen nur die Maximalwerte |fNLint |max sowie |fNLdiff |max angegeben. Die differentielle Nichtlinearit¨at von Digital-Analog-Umsetzern sollte ±50% entsprechend ±1/2 ULSB (absolut) nicht u ¨bersteigen, da sonst das niedrigstwertige Bit wertlos w¨are. Von einem Monotonie-Fehler spricht man, wenn der absolute differentielle Nichtlinearit¨atsfehler kleiner als −ULSB ist, so daß bei steigendem Digitalwert die analoge Ausgangsspannung abnimmt bzw. bei sinkendem Digitalwert zunimmt.

11.6 Digital-Analog-Umsetzung

327

Dynamische Fehler Neben den statischen Kennlinienfehlern treten bei Digital-Analog-Umsetzern auch dynamische Fehler auf. Dazu sei beispielhaft eine Eingangs-Datenwortfolge nach Tab. 11.9 sowie der zugeh¨ orige ideale Ausgangsspannungsverlauf nach Abb. 11.35a betrachtet. Als wichtigste Ursachen f¨ ur dynamische Fehler sind zu nennen: •

•

¨ Ubersprechen ¨ Das im wesentlichen auf kapazitiver Kopplung beruhende Ubersprechen der Schalter-Ansteuersignale in einem Digital-Analog-Umsetzer f¨ uhrt zu aussteuerungsabh¨ angigen St¨ orspitzen im Ausgangssignal. Zwischen-Codes ¨ Wenn die Schalter die Operationen Offnen bzw. Schließen unterschiedlich schnell durchf¨ uhren, so ist dies vergleichbar mit der Ansteuerung eines Digital-Analog-Umsetzers mit einer gest¨ orten Digitalwortfolge (s. Tab. 11.9 bzw. Abb. 11.35b).

Abb. 11.35. Dynamische Fehler bei Digital-Analog-Umsetzern: a) Ideale Ausgangsspannung, b) Fehler durch Zwischencodes, c) Fehler infolge Tiefpaßverhaltens, d) ¨ Uberlagerung der dynamischen Fehler

328

11 Digitale Meßtechnik

Tabelle 11.9. Digitalwortfolge in einem DAC. zEingang bezeichnet die am Eingang anliegende und zwirksam die infolge der fehlerhaften Zwischencodes tats¨ achlich wirksame Codewortfolge.

•

t

zEingang zwirksam

t0 t1 t1 + td t2 t2 + td t3 t4 t4 + td t5 t5 + td t6

1000 0100 0100 0010 0010 0010 0101 0101 0111 0111 0111

1000 0000 0100 0110 0010 0010 0111 0101 0000 0111 0111

Tiefpaßverhalten ¨ Ein realer Umsetzer weist in seinem Ubertragungsverhalten Tiefpaßverhalten auf (Abb. 11.35c), das auf (parasit¨ are) RC-Glieder sowie die Bandbegrenzung der verwendeten Verst¨ arker zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Dieses Tiefpaßverhalten f¨ uhrt nach jedem Codewechsel zu dem in Abb. 11.35c gezeigten typischen Einschwingverhalten in der Ausgangsspannung in Form von exponentiell ansteigenden oder abfallenden Flanken. Die Zeitdifferenz zwischen dem Anlegen des maximal darstellbaren Digitalwertes Zmax (Full Scale Sprung) und dem Zeitpunkt, ab dem die Ausgangsspannung des Digital-Analog Umsetzers ein Toleranzband von ±ULSB /2 nicht mehr verl¨ aßt, wird als Einschwingzeit (Settling time) bezeichnet. Die Summenwirkung aller oben beschriebenen dynamischen Fehler wird in Abb. 11.35d gezeigt.

11.7 Analog-Digital-Umsetzung Eine der Standardaufgaben der Elektrischen Meßtechnik besteht darin, analoge Meßsignale in entsprechende Digitalsignale, d. h. Bin¨arzahlen, umzuwandeln. Selbst im Rahmen von einfacheren meßtechnischen Aufgabenstellungen werden analog arbeitende Meßger¨ ate immer h¨ aufiger durch Digitalmeßger¨ate abgel¨ost, und andererseits wird auch die Signalverarbeitung der aufgenom¨ menen Meßsignale zunehmend auf Digitalrechner verlagert. Ein Ubergang in die Digitalwelt ist heute nicht zuletzt wegen der preiswerten auf Personalcomputern basierenden Meßdatenerfassungs- und Meßsignalverarbeitungssysteme attraktiv geworden. Als wesentliche Vorteile der digitalen Meßtechnik gegen¨ uber der konventionellen Analogtechnik k¨onnen angef¨ uhrt werden:

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

• • • • •

329

keine Ablesefehler unempfindlicher gegen ¨ außere St¨ oreinfl¨ usse, wie z.B. mechanische Ersch¨ utterungen oder Temperatureinfl¨ usse M¨oglichkeit der direkten computergest¨ utzten Weiterverarbeitung der Meßdaten ¨ direkte Ubernahme der Meßwerte in digitale Signalverarbeitungssysteme einfache und langzeitsichere Speicherung.

11.7.1 Abtastung (Sampling) Der erste Schritt bei einer Analog-Digital-Umsetzung besteht aus der zeitlichen Abtastung (Sampling) des urspr¨ unglich zeit- und wertkontinuierlichen Eingangssignals. Diese Abtastung wird mittels einer sog. Abtast-HalteSchaltung (Sample & Hold-Schaltung) vorgenommen. Durch diesen Abtastvorgang entsteht ein zeitdiskretes aber noch amplituden-kontinuierliches Signal (Abb. 11.36). In einem weiteren Schritt wandelt der eigentliche AnalogDigital-Umsetzer die zeitdiskreten wertkontinuierlichen Abtastwerte in zeitund wertdiskrete Signale, die schließlich in Form von Bin¨arzahlen dargestellt werden. Es stellt sich zun¨ achst die Frage, wie die Abtastfrequenz gew¨ahlt werden muß, wenn die zeitdiskreten Abtastwerte das urspr¨ ungliche Signal ohne Informationsverlust repr¨ asentieren sollen, insbesondere im Hinblick auf eine

Abb. 11.36. Zeitliche und amplitudenm¨ aßige Abtastung

330

11 Digitale Meßtechnik

sp¨atere R¨ uckumsetzung in ein zeitkontinuierliches Analogsignal. Die Verh¨altnisse im Spektralbereich geben dar¨ uber Aufschluß. Abbildung 11.37 zeigt in der linken Spalte die Zeitverl¨ aufe des Originalsignals y(t), der Sampling-Pulse (Abtastsignal) g(t) sowie des abgetasteten Signals y ∗ (t), das bereits durch eine Folge von zeitdiskreten Werten repr¨ asentiert wird. In der rechten Spalte sind die entsprechenden Betrags-Spektren |Y (f )|, |G(f )| und |Y ∗ (f )| dargestellt. Nachdem das abgetastete Signal y ∗ (t) durch Multiplikation des Originalsignals y(t) mit dem Abtastsignal g(t) entsteht, ergibt sich das Spektrum des abgetasteten Signals Y ∗ (f ) aus dem Spektrum des Originalsignals Y (f ) durch Faltung mit dem Spektrum G(f ) der diracf¨ ormigen Abtastwerte [16], [140] Z +∞ Y (η)G(f − η) dη . (11.37) Y ∗ (f ) = −∞

Anhand des Spektrums Y ∗ (f ) erkennt man (Abb. 11.37c), daß das Originalsignal aus dem abgetasteten Signal zur¨ uckgewonnen werden kann, wenn das Originalspektrum oberhalb der Frequenz fa /2 keine Anteile mehr enth¨alt. Denn dann kann ein Tiefpaßfilter (Rekonstruktionsfilter) mit hoher Flankensteilheit und der Eckfrequenz fa /2 (Abb. 11.37c) aus dem Spektrum Y ∗ (f ) das Originalspektrum Y (f ) herausfiltern. Aus diesem l¨aßt sich im Zeitbereich wieder das unverf¨ alschte Originalsignal y(t) gewinnen. Wenn jedoch die

Abb. 11.37. Abtastung von Analogsignalen und die daraus resultierende Spektralverteilung: a) Urspr¨ ungliches Analogsignal mit dem h¨ ochsten Spektralanteil bei f = fsmax , b) Abtastfunktion. (Die Abtastfrequenz fa entspricht dem Kehrwert der zeitlichen Distanz Ta der Abtastwerte fa = 1/Ta .), c) abgetastetes Signal

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

331

Abb. 11.38. Verletzung des Abtasttheorems (fsmax > fa /2): a) Spektrum des Originalsignals y(t), b) Spektrum des abgetasteten Signals y ⋆ (t)

Abtastfrequenz zu niedrig gew¨ ahlt wird, u ¨berlappen sich in Y ∗ (f ) das Basisspektrum und das n¨ achsth¨ ohere Faltungsprodukt des Basisspektrums mit der Spektrallinie bei f = fa . Aufgrund dieses sog. Aliasing-Effekts l¨aßt sich das Originalspektrum dann nicht mehr zur¨ uckgewinnen (Abb. 11.38). Um aus dem abgetasteten Signal das urspr¨ ungliche Signal mit Hilfe eines (im Grenzfall idealen) Tiefpasses (Abb. 11.37) wieder rekonstruieren zu k¨onnen, d¨ urfen sich also das Originalspektrum und das durch den Abtastvorgang entstehende, an der Spektrallinie f = fa gespiegelte Original-Spektrum nicht u ¨berlappen. Aus dieser Forderung resultiert das in Form von Gl. (11.38) formulierte Shannonsche Abtasttheorem, das auch als Nyquist-Kriterium bezeichnet wird fa > 2fsmax .

(11.38)

Um sicherzustellen, daß die h¨ ochste im Originalsignal vorkommende Frequenz fsmax kleiner ist als die halbe Abtastfrequenz, wird dem Sample & Hold-Glied oft ein Tiefpaß mit entsprechender Grenzfrequenz vorgeschaltet (Abb. 11.39). Dieses Tiefpaß-Filter wird auch als Anti-Aliasing-Filter bezeichnet.

Abb. 11.39. Prinzip der Analog-Digital-Umsetzung mit Anti-Aliasing-Filter und Sample & Hold-Schaltung (siehe Kap. 11.7.2)

332

11 Digitale Meßtechnik

11.7.2 Abtast-Halte-Schaltungen (Sample & Hold-Schaltungen) Bei vielen Aufgaben der Elektrischen Meßtechnik, so z. B. bei der AnalogDigital-Umsetzung von Meßsignalen ist es notwendig, eine analoge, zeitlich ver¨anderliche Spannung u(t) zu einem bestimmten Zeitpunkt abzutasten und den so erhaltenen Analogwert f¨ ur die Dauer eines festgelegten Zeitintervalles zu speichern. Bei vielen Analog-Digital-Umsetzern beispielsweise muß das Meßsignal f¨ ur die Dauer des Konversionsvorganges zeitlich konstant gehalten werden. Dazu setzt man Abtast-Halte-Schaltungen ein, die i. allg. als FolgeHalte-Schaltungen (Track-and-Hold-Schaltungen) realisiert sind.

Abb. 11.40. Grundstruktur einer Folge-Halte-Schaltung

Das Prinzipschaltbild einer solchen Folge-Halte-Schaltung wird in Abb. 11.40 gezeigt. Je nach Schalterstellung l¨ adt sich der Kondensator auf den Betrag der Eingangsspannung uE (t) auf bzw. speichert den vor der Schalter¨offnung anliegenden Momentanwert der Eingangsspannung. Die beiden Operationsverst¨arker dienen der Pufferung von Eingang bzw. Ausgang. Abbildung 11.41 zeigt eine Realisierungsm¨ oglichkeit der Folge-Halte-Schaltung. Zwischen einen ersten Operationsverst¨ arker, der als nicht-invertierender Verst¨arker arbeitet, und einen zweiten als Integrierer eingesetzten Operationsverst¨arker ist ein IGFET (Isolated-Gate-FET) geschaltet. F¨ ur usamp = 0 ist der FET leitend und die Ausgangsspannung uA entspricht der negativen Eingangsspannung uE , vorausgesetzt die Integrationszeitkonstante des integrierenden Verst¨arkers,

Abb. 11.41. Prinzipielle Realisierung einer Folge-Halte-Schaltung mit einem nichtinvertierenden und einem integrierenden Verst¨ arker

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

333

Abb. 11.42. Kenngr¨ oßen von Sample & Hold-Schaltungen (s. auch Tab. 11.10)

die im wesentlichen durch die maximalen Ausgangsstr¨ome der Operationsverst¨arker bestimmt wird, ist hinreichend klein. Wird der FET zum Zeitpunkt t = t0 gesperrt, so bleibt auch die Kondensatorladung (Kondensatorspannung) konstant und die Ausgangsspannung uA beh¨ alt den beim Sperren des Feldeffekttransistors anstehenden Wert uA (t) = uA (t0 ), bis der FET wieder leitend geschaltet wird. Bei gesperrtem FET werden die Dioden leitend und vermei¨ den so eine Ubersteuerung des Operationsverst¨arkers. Die Kenngr¨oßen von Sample & Hold-Schaltungen werden anhand von Abb. 11.42 und Tab. 11.10 erl¨autert. Tabelle 11.10. Kenngr¨ oßen von Folge-Halte-Schaltungen (s. auch Abb. 11.42) (Sample) Track : Hold: Offset:

Ausgangsspannung folgt der Eingangsspannung. Ausgangsspannung ist eingefroren. Differenz zwischen Ausgangsspannung und Eingangsspannung im Sample-Betrieb. ¨ Droop: Anderung der Ausgangsspannung im Hold-Betrieb aufgrund von Kondensatorleckstr¨ omen und Eingangsstr¨ omen der Operationsverst¨ arker (Haltedrift). Slew Rate: Max. Anstiegsgeschwindigkeit der Ausgangsspannung. Aperture Time tAP : Zeit zwischen dem Hold-Befehl und dem vollst¨ andigen ¨ Offnen des Halbleiterschalters. ¨ Settling Time: Zeit zwischen Offnen bzw. Schließen des Halbleiterschalters und dem Einschwingen der Ausgangsspannung innerhalb einer bestimmten Fehlergrenze. Aperture Time Jitter: Diese statistische und signalabh¨ angige Unsicherheit der Aperturzeit ∆tAp f¨ uhrt zu Amplitudenfehlern ∆u = (duE /dt)∆tAp . Acquisition Time: Zeit (Einstellzeit) zwischen dem Sample-Befehl bzw. dem Hold-Befehl und dem Einschwingen innerhalb einer bestimmten Fehlergrenze (beinhaltet Schaltzeit, Anstiegszeit durch Slew Rate und Settling Time).

334

11 Digitale Meßtechnik

11.7.3 Direktvergleichende Analog-Digital-Umsetzer Bei den Analog-Digital-Umsetzern unterscheidet man prinzipiell zwischen den in diesem Kapitel behandelten direktvergleichenden Umsetzern und denen, die eine Frequenz oder eine Zeit als Zwischengr¨oße verwenden, wie beispielsweise die wichtige Klasse der integrierenden Umsetzer. Parallel-Umsetzer (Flash-Converter, Vielfach-Diskriminator)

Abb. 11.43. 3-Bit-A/D-Umsetzer mit parallelen Komparatoren ULSB = Uref /2N = Uref /8

Um eine sehr schnelle Umsetzung zu erreichen, werden Parallel-Umsetzer eingesetzt, die auch als Flash-Converter oder als Vielfach-Diskriminatoren bezeichnet werden. Bei diesem Umsetzertyp wird die umzusetzende Spannung gleichzeitig mit (2N − 1) Referenzspannungen verglichen (Abb. 11.43). Das

Abb. 11.44. Komparator-Schaltung. Die Ausgangsspannung uA = +UB entspricht dem logischen Signal K = 1, w¨ ahrend uA = −UB dem Wert K = 0 entspricht.

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

335

Kernst¨ uck eines Parallel-Umsetzers bilden die (2N − 1) Komparatoren, deren Funktion nochmals anhand von Abb. 11.44 verdeutlicht werden soll. Die Wandlung in einem Schritt bewirkt die h¨ ochstm¨ogliche Umsetzungsgeschwindigkeit, das Bereitstellen der (2N − 1) Komparatoren erweist sich jedoch als aufwendig und f¨ uhrt damit zu h¨ oheren Kosten. Die Signale eines aus sieben Komparatoren aufgebauten 3-Bit-Parallel-Umsetzers sind in Tab. 11.11 enthalten. Tabelle 11.11. Signale eines 3-Bit-Parallel-Umsetzers (s. auch Abb. 11.43) Eingangsspannung

Komparatorsignale Bin¨ arcode Bin¨ arcode, in K7 K6 K5 K4 K3 K2 K1 Z2 Z1 Z0 Analogspannung uE umgerechnet

0 ≤ uE < 12 ULSB

0000000

000

1 U 2 LSB 3 U 2 LSB

≤ uE <

3 U 2 LSB 5 U 2 LSB

0000001

001

Uref /8

0000011

010

2 Uref /8

5 U 2 LSB 7 U 2 LSB 9 U 2 LSB

≤ uE < 27 ULSB

0000111

011

3 Uref /8

0001111

100

4 Uref /8

≤ uE <

0011111

101

5 Uref /8

0111111

110

6 Uref /8

1111111

111

7 Uref /8

≤ uE < ≤ uE <

11 ULSB 2 13 ULSB 2

≤ uE < ≤ uE

9 U 2 LSB 11 ULSB 2 13 ULSB 2

0

Sukzessive Approximation (W¨ ageverfahren, Stufenumsetzer) Dieser Methode liegt das Balkenwaageprinzip zugrunde. Ein nach dem Prinzip der sukzessiven Approximation arbeitender Umsetzer, der auch als Stufenumsetzer bezeichnet wird, enth¨ alt neben einem Modul zur Ablaufsteuerung und einem Speicherregister als zentrales Element einen Komparator und einen Digital-Analog-Umsetzer (Abb. 11.45). In sukzessiven Schritten wird mit Hilfe des Komparators gepr¨ uft, ob die zu wandelnde Spannung gr¨oßer oder kleiner ist als die vom DAC erzeugte Spannung u(Z). Zun¨achst wird das h¨ ochstwertige Bit (MSB) gesetzt, das vom DAC in eine entsprechende Analogspannung u(Z) umgesetzt und mit der Eingangsspannung uE verglichen wird. Je nachdem, ob das Ergebnis u(Z) kleiner oder gr¨oßer ist als uE wird die Referenzspannung zum Ergebnis addiert oder subtrahiert und die entsprechende Stelle der resultierenden Ausgangsbin¨ arzahl auf ′ 0′ oder ′ 1′ gesetzt. In jedem der darauffolgenden Zeitzyklen wird der eben beschriebene Vergleichsvorgang f¨ ur die jeweils n¨ achst niedrigere Bin¨ arstelle entsprechend wiederholt. F¨ ur einen N -Bit-Umsetzer sind somit N Vergleichsschritte notwendig, die sequentiell abgearbeitet werden m¨ ussen.

336

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.45. 4-Bit-A/D-Umsetzer nach dem Prinzip der sukzessiven Approximation

Kaskadierter Vielfach-Diskriminator (Kombiniertes Parallel- und W¨ ageverfahren) Der kaskadierte Vielfach-Diskriminator schließt einen Kompromiß zwischenUmsetzungsgeschwindigkeit und Aufwand. Da f¨ ur h¨ohere Aufl¨osungen beim reinen Parallel-Umsetzer (Vielfach-Diskriminator) sehr viele Komparatoren ben¨otigt werden, z. B. 255 bei einem 8-Bit-ADC, kaskadiert man die VielfachDiskriminatoren. Dies f¨ uhrt zu einer erheblichen Reduzierung der Anzahl an Komparatoren bei leichten Einbußen in bezug auf die Umsetzungsgeschwindigkeit. Abbildung 11.46 zeigt die Realisierung eines 8-Bit-Umsetzers durch zwei kaskadierte 4-Bit-Umsetzer (Parallel-Umsetzer). Der erste ADC u ¨bernimmt die Grobquantisierung, also die Quantisierung der vier h¨oherwertigen Bits. Das Ergebnis dieser Wandlung wird u ¨ber einen Digital-Analog-Umsetzer wieder in eine Analogspannung umgesetzt und von der Eingangsspannung subtrahiert. Das Differenzsignal wird vom zweiten (um den Faktor 16 feineren)

Abb. 11.46. Kaskadierter 8-Bit-Vielfach-Diskriminator

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

337

Analog-Digital-Converter quantisiert. Das Ergebnis dieser Umsetzung liefert die vier niederwertigen Bits. Die Einsparung an Komparatoren (beim obigen Beispiel reduziert sich ihre Zahl von 255 auf 30) geht auf Kosten der Umsetzungsgeschwindigkeit. Das in Abb. 11.46 gezeigte Umsetzungsprinzip wird auch als Half-Flash-Umsetzer bezeichnet. Umsetzer nach dem Subranging-Verfahren (Kaskadenverfahren) Beim Subranging-Verfahren verwendet man einen N -Bit-Parallel-Umsetzer (Flash-Converter) um einen 2N -Bit-Umsetzer nachzubilden [121]. Zur Umsetzung sind hier jedoch drei Zeitzyklen erforderlich. Gegen¨ uber dem eben beschriebenen Half-Flash-Umsetzer spart man allerdings daf¨ ur auch einen der beiden dort verwendeten Flash-Umsetzer ein. Das analoge Eingangssignal uE wird in einem ersten Taktzyklus (S1 geschlossen, S2 offen) mit Hilfe eines N -Bit-Umsetzers umgesetzt (Abb. 11.47). Das Ergebnis, das die N h¨ochstwertigen Bits liefert, wird wiederum mit einem DAC in den entsprechenden Analogwert zur¨ uckgewandelt und von der urspr¨ unglichen Eingangsspannung uE subtrahiert. Die Differenzspannung wird um den Faktor 2N verst¨arkt und erneut auf den N -Bit-Parallel-Umsetzer gegeben (S1 offen, S2 geschlossen). Durch Addition der Ergebnisse der 1. und 2. Umsetzung erh¨alt man schließlich das Endergebnis der ’Pseudo’-2N -Bit-Umsetzung. In der Praxis verwendet man Direktumsetzer mit einer h¨ oheren Aufl¨osung als notwendig [62]. Die dadurch gewonnene Redundanz zieht man zur Korrektur von Linearit¨atsfehlern des Flash-Umsetzers heran. So wird beispielsweise zur Realisierung des in Abb. 11.47 gezeigten 2(N − 1)-Bit-ADC ein N -Bit-Flash-Converter eingesetzt. Bei der Realisierung der Schaltung muß darauf geachtet werden, daß der Verst¨arkungsgrad des Verst¨ arkers sehr pr¨ azise abgeglichen ist, weil er das Restsignal auf den vollen Skalenbereich verst¨ arkt. Aus demselben Grund sollte der DAC nur sehr geringe Linearit¨ atsfehler aufweisen.

Abb. 11.47. Analog-Digital-Umsetzer nach dem Subranging-Verfahren. MSB und LSB bezeichnen hier die h¨ oherwertigen bzw. die niederwertigen Bits.

338

11 Digitale Meßtechnik

Da der Markt heute schnelle Direktumsetzer mit Umsetzzeiten von 10 ns und darunter bietet, stellt der eigentliche Analog-Digital-Umsetzer bei den Subranging-Architekturen heute kaum die zeitkritische Komponente dar. Diese liegt eher im R¨ uckkopplungszweig, da vor der zweiten Umsetzung das Eingangssignal des Flash-ADC, d. h. die Differenz aus r¨ uckgewandelter Gr¨oße und Eingangssignal, um einen recht hohen Faktor verst¨arkt werden und auf die Genauigkeit des kompletten Wandlerbausteins eingeschwungen sein muß. In der Praxis h¨angt deshalb die erreichbare Konversionszeit stark von der Geschwindigkeit des R¨ uckkopplungszweiges ab. Heute sind Subranging-Umsetzer mit Konversionszeiten unter 100 ns kommerziell erh¨altlich. Steuerung und Umsetzlogik

S&H uE

V = 1, 8, 64, 512 u(Z)

a) u Uref ULSB0 =

Uref { 16

(k+1)·ULSB0 k·ULSB0

uE

4-BitFlash-ADC

V

-

u Uref u1+ 8 ULSB1=

Uref { 128

8ULSB1

uE

12-BitDAC

u Uref u 2+ 64 Uref { ULSB2= 1024

u Uref u 3+ 512 Uref { ULSB3 = 8192

8ULSB2

8ULSB3

uE

uE u1

0

Verstärkung: V = 1 Konversionszyklus Nr.: 1 b)

u3

u2

V=8 2

V = 64

V = 512

3

4

2ULSB0 u 1 = k·ULSB0 - i · 16

Abb. 11.48. 12-Bit-Analog-Digital-Umsetzer nach dem rekursiven SubrangingVerfahren. Zum Zwecke der Fehlerkorrektur werden anstatt der vier m¨ oglichen jeweils nur drei Bit genutzt, so daß die Gesamtwandlung vier Konversionszyklen anstatt der sonst drei erfordert: a) Prinzipieller Schaltungsaufbau, b) Ermittlung des Digitalwertes durch sukzessive Eingrenzung (k und i sind nat¨ urliche Zahlen).

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

339

Umsetzer nach dem Recursive-Subranging-Verfahren (Kaskadenverfahren) Beim Recursive-Subranging-Analog-Digital-Converter (RSR-ADC) wird mit Hilfe eines N -Bit-Parallel-Umsetzers eine Analog-Digital-Umsetzung, die zu einem n·N -Bit-Digitalwort f¨ uhrt, in theoretisch n Schritten durchgef¨ uhrt. Die prinzipielle Funktionsweise basiert auf dem Prinzip der schrittweisen N¨aherung mit dem Unterschied, daß anstatt des einfachen Analog-Komparators, der als 1-Bit-Umsetzer angesehen werden kann, ein N -Bit-Parallel-Umsetzer verwendet wird. Allerdings muß auch hier die Genauigkeit der Verst¨arker f¨ ur den vollen Skalenumfang von n · N -Bit gew¨ ahrleistet sein. Wie beim reinen Subranging-Verfahren wird mit Hilfe eines DAC der digitale Ergebniswert in ein entsprechendes Analogsignal zur¨ uckgewandelt, das von der Eingangsspannung uE subtrahiert wird. Es wird dabei ein n · N -Bit DAC verwendet. Die wesentliche Verbesserung gegen¨ uber dem Verfahren der schrittweisen N¨aherung besteht darin, daß bei einer n · N -Bit-Umsetzung nur noch n anstatt ¨ der n · N Zeitzyklen ben¨ otigt werden. Ahnlich wie beim vorher beschriebenen Subranging-Verfahren nutzt man das N -te Bit jeweils zur Fehlerkorrektur, was allerdings einen weiteren Taktzyklus erforderlich macht. Abbildung 11.48 zeigt das Beispiel eines nach dem rekursiven Subranging-Verfahren arbeitenden ADC mit einer Aufl¨ osung von 12 Bit. Er basiert auf einem 4-Bit-ParallelUmsetzer, von dem jeweils das LSB zur Fehlerkorrektur verwendet wird. Es sind dadurch vier anstatt der drei theoretisch m¨oglichen Zeitzyklen zur Wandlung eines Wertes notwendig [171]. Pipeline-Umsetzer Die Pipeline-Umsetzer stellen eine Weiterentwicklung der Analog-Dital-Umsetzer dar, die nach dem oben beschriebenen Subranging-Verfahren (Kaskadenverfahren) arbeiten. Die Struktur dieser Umsetzer besteht aus einer Modulkette (Pipeline) von Flash-Umsetzern, die in Kooperation prinzipiell so wie beim Subrangingverfahren funktionieren. Der wesentliche Unterschied zum Subranging-Verfahren besteht darin, daß antatt der zeitlich zyklischen Verarbeitung eines Einzelwertes die aus der Prozessortechnologie bekannte PipelineTechnik angewendet wird. Pipeline-Technik bedeutet, daß alle Stufen zeitlich parallel arbeiten aber an verschiedenen Abtastwerten. Das heißt, daß zur Ermittlung eines vollst¨ andigen Digitalwortes zwar alle Stufen zeitlich nacheinander, also Taktzyklus f¨ ur Taktzyklus, durchlaufen werden m¨ ussen, was zu einer Latenzzeit (Zeit zwischen Abtastzeitpunkt der analogen Eingangsspannung und Ausgabe des entsprechenden Digitalwortes) f¨ uhrt. Es steht aber mit jedem Taktzyklus ein fertiges Digitalwort am Ausgang zur Verf¨ ugung. Dies begr¨ undet sich damit, daß mit jedem Taktzyklus ein neuer Analog-Wert abgetastet und in jeder Stufe der Pipeline zeitlich parallel ein Teilergebnis in Form einer bestimmten Anzahl von Bits zwischen MSB und LSB errechnet wird.

340

11 Digitale Meßtechnik

Takt uE

Stufe 1

Stufe 2

N+1 Bit

.....

Stufe 3

N+1

Stufe m

N+1

N+1

Zwischenspeicher-(Latch-) und Korrektur-Modul m . N Bit (Endergebnis) Abb. 11.49. Struktur eines Pipeline-Analog-Digital-Umsetzers. Da die einzelnen Stufen zeitlich synchron an verschiedenen Abtastwerten arbeiten, m¨ ussen die mit jedem Taktzyklus gelieferten Werte in einem Zwischenspeicher gehalten und entsprechend ihrer Zugeh¨ origkeit zum m·N-Bit-Digitalwort zusammengesetzt werden.

Diese zeitlich synchron vorliegenden Teilergebnisse geh¨oren aber zu verschiedenen (wenn man zwei benachbarte Stufen betrachtet, zu zeitlich aufeinander folgenden) Analogwerten. Abbildung 11.49 zeigt die Pipeline der Einzelmodule und Abb. 11.50 die Struktur einer einzelnen Stufe. Sie besteht aus einem (N+1)-Bit-Paralllelumsetzer (Flash-ADC), einem (N+1)-Bit-Digital-Analog-Umsetzer, einem Subtrahierer und einem Verst¨ arker mit Verst¨ arkungsgrad 2N . In der ersten Stufe der Pipeline werden die MSBs (Most signicant Bits) und in der letzten die LSB (Least significant Bits) ermittelt. In den Zwischenstufen nimmt die Wertigkeit um jeweils den Faktor 2N ab. Die Ergebnisse werden in Form des sog. Residuums (dies ist die um den Faktor 2N verst¨arkte analoge Differenzspannung zwischen dem Signalwert der (m-1)ten Stufe und der m-ten Stufe) weitergereicht. Die Pipeline-ADCs erfordern ¨ahnlich wie die ADCs nach dem Subranging-Verfahren eine sehr hohe Linearit¨at der einzelnen Stufen, insbesondere Verst¨ arker mit hoher Pr¨ azision. Mit Pipeline-Umsetzern erreicht man bei einer vergleichbaren Anzahl von Komparatoren eine h¨ohere Aufl¨osung. Dies geht allerdings auf Kosten der Konversionsrate. Im allgemeinen verwendet man das LSB einer jeweiligen Stufe zur Fehlerkorrektur, so daß aus einem vierstufigen Pipeline-ADC mit einem 4-Bit-Flash-ADC in Residuum

Sample & Hold ADC N+1 uE

DAC N+1

V=2 N zur nächsten Stufe der Pipeline

CSamp N+1 Bit

Abb. 11.50. Einzelne Stufe eines Pipeline-Analog-Digital-Umsetzers

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

341

jeder Stufe ein 12-Bit-ADC resultiert. Diese Art der Fehlerkorrektur ist identisch mit der des Subranging-Verfahrens. Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß ein wesentlicher Unterschied zwischen Subranging- und PipelineVerfahren darin besteht, daß beim Subranging-ADC nur eine (N+1)-Bit-Stufe vorhanden ist, die zyklisch m mal nacheinander durchlaufen wird, w¨ahrend der Pipeline-ADC aus m aneinandergereihten (N+1)-Bit-Stufen besteht, die zeitlich synchron (an verschiedenen Abtastwerten bzw. Digitalworten arbeiten. Dies bedeutet, daß der Hardwareaufwand zwar m mal so hoch ist wie beim Subranging-Verfahren, daf¨ ur aber ist ein Pipeline-ADC bedeutend schneller (s. Tab. 11.12). Es sei noch erw¨ ahnt, daß im Grenzfall statt eines Mehrbit-Umsetzters in der Einzelstufe ein 1-Bit-ADC (bzw. im Falle von Fehlerkorrektur ein 2Bit-ADC), d.h. also ein einfacher Komparator, verwendet werden kann, was zu einfachen Schaltungen mit geringer Chipfl¨ ache f¨ uhrt. Da die hierbei verwendeten Komparatoren hochgenau sein m¨ ussen, ist man zu einem ZweiKomparatorprinzip (sog. Redundant Signed Digit Technik) u ¨bergegangen. N¨ aheres dazu findet der interessierte Leser in [52]. Inkrementaler Stufenumsetzer (Z¨ ahlverfahren) Bei den auf dem Z¨ ahlverfahren basierenden Analog-Digital-Umsetzern wird eine Vergleichsspannung u(Z) von einem DAC erzeugt, der eingangsseitig von einem gew¨ohnlichen Z¨ ahler angesteuert wird (Abb. 11.51). Sobald u(Z) die zu wandelnde Spannung uE u ¨bersteigt, wird die Umsetzung gestoppt. Aus dem Z¨ ahlerstand kann unmittelbar der Digitalwert der zu wandelnden Spannung errechnet werden. Der wesentliche Vorzug des Verfahrens liegt im geringen technischen Aufwand (es wird nur ein Komparator ben¨otigt), w¨ahrend als Nachteil die niedrige Geschwindigkeit angef¨ uhrt werden muß. Die Anzahl der zur Wandlung notwendigen Zeitzyklen h¨ angt von der Gr¨oße der Eingangsspannung uE ab. Es k¨onnen zum Erreichen des N -Bit-Ergebniswertes maximal 2N Zeitschritte notwendig werden.

Abb. 11.51. A/D-Umsetzer nach dem Prinzip der inkrementalen Stufenumsetzung

342

11 Digitale Meßtechnik

Nachlaufumsetzer (Z¨ ahlverfahren) Der Nachlaufumsetzer z¨ ahlt im Gegensatz zu dem im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen inkrementalen Stufenumsetzer r¨ uckw¨arts und vorw¨arts. Der prinzipielle Aufbau des Nachlaufumsetzers (Abb. 11.52) unterscheidet sich vom Inkrementalumsetzer im Grunde genommen nur in der Verwendung eines kombinierten Vorw¨ arts-R¨ uckw¨ artsz¨ ahlers anstatt des reinen Vorw¨artsz¨ahlers beim inkrementalen Stufenumsetzer. Das Ausgangssignal des DAC wird da¨ durch der Eingangsspannung st¨ andig nachgef¨ uhrt. Dabei darf die Anderung der Eingangsspannung w¨ ahrend einer Taktperiode des Z¨ahlers nicht gr¨oßer als ULSB sein. Bei schnelleren Spannungs¨ anderungen kann es recht lange dauern, bis wieder ein Abgleich erreicht ist, im ung¨ unstigsten Fall bis zu 2N Taktperioden.

Abb. 11.52. A/D-Umsetzer nach dem Nachlauf-Prinzip. Das Ausgangssignal des Komparators bestimmt die Z¨ ahlrichtung (vorw¨ arts, r¨ uckw¨ arts) des Z¨ ahlers.

11.7.4 Analog-Digital-Umsetzung mit Delta-Sigma-Modulator Die Delta-Sigma-Umsetzung ist ein Konvertierungsverfahren, bei dem eine Quantisierung mit niedriger Aufl¨ osung, typischerweise 1 Bit, verwendet wird. ¨ Durch eine hohe Uberabtastung des Analogsignals wird die effektive Aufl¨osung erh¨oht und damit das Quantisierungsrauschen reduziert. Ein nachfolgendes Digitalfilter unterdr¨ uckt zus¨ atzlich noch verbleibende Rauschanteile und sorgt f¨ ur eine Bandbegrenzung. Bevor das Prinzip des auf einem Delta-Sigma-Modulator basierenden ADC beschrieben wird, soll zun¨ achst die Funktionsweise eines Delta-Modulators er¨ ortert werden. Die Delta-Modulation ist eine Sonderform der in der Nachrichtentechnik gebr¨ auchlichen Differenzpulscodemodulation (DPCM), bei der die Differenz zwischen einem Abtastwert und einem Vorhersagewert, z. B. dem vorhergehenden Abtastwert, digital codiert wird [88]. Das urspr¨ ungliche Signal kann schließlich auf einfache Weise wiedergewonnen werden, indem

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

Eingangssignalfolge u E(n Ta )

übertragenes Signal u E (n Ta ) − u E ((n-1) Ta ) +

+

−

+

343

Ausgangssignalfolge (rekonstruiertes Eingangssignal) u*(n E Ta )

AbtastwertSpeicher u*E ((n-1)Ta )

AbtastwertSpeicher u E((n-1) Ta)

Modulator, Codierer

Demodulator, Decodierer

Abb. 11.53. Codierung und Decodierung eines Signals in Form von Differenzwerten zum vorhergehenden Abtastwert. Die Abtastwertspeicher beinhalten stets den vor dem aktuellen Abtastwert uE (nTa ) angestandenen Abtastwert uE ((n − 1)Ta ).

die Differenzwerte zu dem jeweils vorhergehenden Abtastwert addiert werden (Abb. 11.53). Das Blockschaltbild eines Delta-Modulators wird in Abb. 11.54 gezeigt. Das zu wandelnde Signal uE (t) wird zusammen mit einer R¨ uckf¨ uhrgr¨oße uR (t) einem Komparator mit nachgeschaltetem Schmitt-Trigger zugef¨ uhrt. Der Schmitt-Trigger wiederum steuert ein D-Flip-Flop, das entweder ′ 0′ oder ′ ′ 1 am Ausgang Q liefert, je nachdem, ob die R¨ uckf¨ uhrgr¨oße uR gr¨oßer oder kleiner ist als die Eingangsspannung uE . Das R¨ uckf¨ uhrsignal uR (t) entsteht durch zeitliche Integration, d. h. also Mittelwertbildung, des digitalen Ausgangssignals Q. Damit kann aus der Impulsfolge am Ausgang des Delta¨ Modulators eindeutig auf die Anderung des Eingangssignals geschlossen werden. F¨ ur eine originalgetreue Erfassung des Eingangssignals ist es allerdings notwendig, daß dieses sehr hoch abgetastet wird, weil die Differenz zum vorhergehenden Wert eben nur mit einem Bit quantisiert wird. Konkret bedeutet dies, daß man in den Phasen, die in Abb. 11.54b mit Anstieg bzw. Abfall bezeichnet sind, keine Information dar¨ uber hat, wie lange es noch dauern wird, bis der aktuelle Wert der Eingangsspannung wieder eingeholt wird, bzw. wie ¨ weit sich die Eingangsspannung infolge schneller Anderung bereits vom ange-

Abb. 11.54. Prinzip des Delta-Modulators: a) Prinzipschaltbild, b) Ausgangssignal f¨ ur verschiedene Zust¨ ande der Eingangsspannung

344

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.55. Funktionsgruppen eines Delta-Sigma-Modulators mit nachgeschaltetem Digitalfilter zur Mittelwertbildung und Abtastratenreduzierung (Dezimation)

zeigten Wert entfernt hat. Damit d¨ urfte auch verst¨andlich werden, daß dieses Verfahren mit hohem Oversampling (1/Ta ≫ 2fsmax (fsmax : h¨ochste im Eingangssignal enthaltene Frequenzkomponente)) arbeiten muß [148]. Der Delta-Sigma-Modulator ist ein modifizierter Delta-Modulator, bei dem sich ein weiterer Integrierer im Vorw¨ artszweig befindet. Dies setzt voraus, daß die Eingangsspannung uE (t) keinen Gleichanteil enth¨alt. Dadurch kann aus der digitalen Ausgangsimpulsfolge durch Mittelwertbildung direkt auf das analoge Eingangssignal geschlossen werden, d. h. das Eingangssignal kann durch einfache Tiefpaßfilterung des seriellen Bitstromes Q am Ausgang des Delta-Modulators wieder rekonstruiert werden. Die dabei ablaufenden Signalverarbeitungsoperationen bestehen aus Integrieren, Differenzieren und Tiefpaßfiltern mit Abtastratenreduzierung, der sog. Dezimation (Abb. 11.55) [112]. Um zu einer realisierbaren Struktur des Umsetzers aus Abb. 11.55 zu gelangen, ersetzen wir zun¨ achst den Komparator des Delta-Modulators in Abb. 11.54 durch einen Differenzverst¨ arker, was an der Funktion nichts ¨andert. In Abb. 11.56 sind die Funktionsgruppen des Delta-Sigma-Umsetzers aus

u E(t)

dt

g (t)

D

Q

Q (t)

Takt

dt Σ

∆

Abb. 11.56. Blockschaltbild eines Delta-Sigma-Modulators

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

u E(t)

dt

D

345

Q (t)

Q

r (t) Takt Abb. 11.57. Funktionsgleiche Umwandlung des Blockschaltbildes aus Abb. 11.56

Abb. 11.55 in einem Blockschaltbild dargestellt. Man erkennt, daß sich die Eingangsspannung des Schmitt-Triggers g(t) folgendermaßen berechnet Z Z g(t) = uE (t)dt − Q(t)dt . (11.39) Da sich die linearen Operationen Integrieren und Subtrahieren vertauschen lassen, kann man das Blockschaltbild vereinfachen und gelangt zu Abb. 11.57. Durch diese Maßnahme f¨ allt auch die Einschr¨ ankung weg, daß keine Gleichanteile in uE (t) zul¨ assig sind. Bez¨ uglich seiner Grundstruktur weist der ADC mit Delta-Sigma-Modulator ¨ große Ahnlichkeit mit der Struktur eines ADC mit sukzessiver Approximation auf. Eine einfache schaltungstechnische Realisierung zeigt Abb. 11.58. Die Schaltung um den Operationsverst¨ arker stellt einen invertierenden Integrierer mit Summationspunkt dar. Da die Summe aus der Eingangsspannung uE (t) und der r¨ uckgekoppelten Spannung r(t) gebildet wird, muß der 1-Bit-DAC die Spannung invertieren. Der nachgeschaltete Komparator wirkt ebenfalls invertierend, um die Vorzeichenumkehr des Integrierers auszugleichen. Das Komparatorausgangssignal erscheint mit dem Takt am Ausgang des taktflankengesteuerten Flip-Flops. Die R¨ uckkopplung h¨alt die Abweichung zwischen C u E(t)

R

invertierender Komparator

R

K

D

r (t) inv. summierender Integrierer

Q

Q (t)

Takt Uref 1-Bit-DAC mit Invertierer Uref

Abb. 11.58. Schaltungstechnische Realisierung eines Delta-Sigma-Umsetzers

346

11 Digitale Meßtechnik

uE (t) und Q(t) minimal. Der Mittelwert der 1-Bit-Datensequenz Q am Ausgang (Folge von ′ 0′ und ′ 1′ ) ist dabei der Eingangsspannung uE proportional. Zur Mittelwertbildung wird ein digitales Tiefpaßfilter nachgeschaltet, welches aus dem (hochfrequenten) Ausgangssignal das interessierende (niederfrequente) Signalband herausschneidet. Schließlich wird die Abtastrate durch den Dezimator auf den gew¨ unschten Wert reduziert. Abbildung 11.59 zeigt die Struktur eines allgemeinen Analog-DigitalUmsetzers in Delta-Sigma-Technik anhand eines Blockschaltbildes. Im Teilbild 11.59a wird die oben diskutierte konventionelle 1-Bit-Technik vorgestellt, w¨ ahrend in Abb. 11.59b ein sog. Multi-Bit-Delta-Sigma-ADC gezeigt wird. Diese Multi-Bit-Technik wird zur Erzielung von Signal/Rausch-Verh¨altnissen eingesetzt, welche sich mit der 1-Bit-Technik nicht mehr erzielen lassen, weil dazu zu hohe Abtastraten erforderlich w¨ aren [89].

uE

+ _

u E (t)dt

Dezimator

UQ

digitales Mittelungsfilter

1-Bit-DAC a)

uE

+ _

u E (t)dt

ADC

Dezimator

UQ

digitales Mittelungsfilter

DAC b)

Abb. 11.59. Analog-Digital-Umsetzer auf der Basis eines Delta-Sigma-Modulators: a) Grundstruktur in 1-Bit-Technik, b) Grundstruktur in Multi-Bit-Technik

¨ Signal/Rausch-Verh¨ altnis und Uberabtastung ¨ Allgemein l¨aßt sich sagen, daß man durch Uberabtastung eines Signals das Signal/Rausch-Verh¨ altnis (Signal to Noise Ratio, S/N) einer AD-Umsetzung verbessern kann. Nehmen wir zum Beispiel an, ein Meßsignal mit der Bandbegrenzung fb soll mit einem AD-Umsetzer digitalisiert werden. Nach dem Nyquist-Kriterium muß dieses Meßsignal mit mehr als der doppelten Bandbreite abgetastet werden. Betrachten wir zun¨ achst den Grenzfall, daß die Abtastfrequenz fs gerade 2fb betr¨ agt. Der ADC verursacht eine Quantisierungsrauschleistung PQ , deren Rauschleistungsdichte dann pQ,N =

PQ fb

(11.40)

betr¨agt, unter der Voraussetzung, daß von weißem Rauschen ausgegangen werden kann. Tastet man das Signal mit einer h¨ oheren Abtastfrequenz fs > 2fb

11.7 Analog-Digital-Umsetzung p

347

Rauschleistungsdichte

p Q,N PQ P Q,O p Q,O

fb

f fs 2

Abb. 11.60. Spektrale Verteilung des Quantisierungsrauschens PQ

ab, so wird das Quantisierungsrauschen auf einen gr¨oßeren Frequenzbereich verteilt (Abb. 11.60) und man erh¨ alt f¨ ur die Rauschleistungsdichte bei dieser ¨ Uberabtastung 2PQ . (11.41) pQ,O = fs Wendet man eine ideale Tiefpaßfilterung mit der Grenzfrequenz fb an, so reduziert sich das Rauschen im Signalband PQ,O zu PQ,O = pQ,O · fb =

2PQ fb , fs

(11.42)

¨ und man erh¨alt f¨ ur den Gewinn ∆S/N durch die Uberabtastung (siehe Gl. 7.107) s PQ PQ fs ∆S/N [dB] = 20 lg = 10 lg = 10 lg = 10 lg m , (11.43) PQ,O PQ,O 2fb ¨ ¨ wobei m der Faktor der Uberabtastung ist. Durch eine Vergr¨oßerung der Uberabtastung um den Faktor 4 erh¨ alt man also eine eine Verbesserung des S/N um 6,02 dB. Dieser Zusammenhang ist in Abb. 11.61 dargestellt. ¨ Der S/N-Gewinn durch die Uberabtastung wird bei einem Delta-SigmaModulator durch die Methode des Noise-Shapings noch wesentlich verbessert [24]. Betrachten wir dazu das linearisierte Modell des Delta-SigmaUmsetzers im Laplace-Bereich (Abb. 11.62). Der Integrierer im Zeitbereich wird durch eine Multiplikation mit k/s modelliert (s. Gl. (3.81)), wobei die Verst¨arkung k noch nicht n¨ aher bestimmt ist. Der Komparator wird im Laplace-Bereich durch Addition des Quantisierungsrauschens N (s) beschrie¨ ben. Um die Ubertragungsfunktion GUE f¨ ur die Eingangsspannung zu erhal-

348

11 Digitale Meßtechnik ∆ S/N 18

dB

12 6 0

1 2 3 4 5

10

15

20

Faktor der Überabtastung m Abb. 11.61. Gewinn an Signal/Rausch-Verh¨ altnis nach [154, 171]

ten, setzen wir zun¨ achst das Quantisierungsrauschen N (s) ≡ 0 und erhalten Q(s) = [UE (s) − Q(s)]

k . s

(11.44)

¨ Damit l¨aßt sich die Ubertragungsfunktion GUE (s) =

k Q(s) = UE (s) s+k

(11.45)

¨ berechnen. Um die Ubertragungsfunktion GN (s) f¨ ur das Rauschen zu bestimmen, setzen wir dann die Eingangsspannung UE (s) ≡ 0 und erhalten (hier: N (s) 6= 0) Q(s) = N (s) − Q(s) GN (s) =

k s

(11.46)

s Q(s) = . N (s) s+k

(11.47)

Der Umsetzer wirkt also wie ein Tiefpaß auf die Eingangsspannung, aber wie ¨ ein Hochpaß auf das Quantisierungsrauschen. Die Ubertragungsfunktionen und der Einfluß des dadurch entstehenden Noise-Shapings sind in Abb. 11.63 dargestellt. Der Ausdruck fp = k/2π steht f¨ ur die Frequenz, an der der N(s)

UE (s)

k s

Q(s)

Abb. 11.62. Darstellung des Delta-Sigma-Umsetzers im Laplace-Bereich

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

349

G GN

G UE

0 dB

P Q,mod

f fb

fp

Abb. 11.63. Betragsfrequenzgang der Signal- und Rausch¨ ubertragungsfunktion

¨ ¨ Pol in den Ubertragungsfunktionen auftritt. Ublicherweise wird man fp ≫ fb w¨ ahlen, so daß f¨ ur GN (s) im interessierenden Frequenzbereich (f ≤ fb ) n¨aherungsweise gilt s GN (s) ≈ . (11.48) k F¨ ur die Rauschleistungsdichte nach der Modulation pQ,mod gilt dann (s. auch Kap. 13.8) 2PQ ω 2 . (11.49) pQ,mod (ω) = pQ,0 |GN (jω)|2 = fs k 2 Durch Integration erh¨ alt man das Gesamtrauschen im Signalband PQ,mod =

Z

2πfb

pQ,mod dω =

0

2PQ 1 8(πfb )3 . fs k 2 3

(11.50)

Mit k = 2πfp erh¨alt man nun f¨ ur den Gewinn ∆S/N ∆S/N [dB] = 10 lg

PQ PQ,mod

= 10 lg

3 fs fp2 4 πfb3

!

.

¨ Mit dem Faktor der Uberabtastung m = fs /2fb ergibt sich ! 6 3 fp2 πf 2 ∆S/N [dB] = 10 lg m 2 = 30 lg m − 10 lg s2 . π fs 6fp

(11.51)

(11.52)

¨ Der erste Term sagt aus, daß mit jeder Verdopplung der Uberabtastrate das Signal/Rausch-Verh¨ altnis um 9,03 dB zunimmt, was eine erhebliche Steige¨ rung gegen¨ uber der gew¨ ohnlichen Uberabtastung bedeutet. Der zweite Term

350

11 Digitale Meßtechnik

in Gl. 11.52 sollte m¨ oglichst klein sein, d. h. der Pol sollte betragsm¨aßig m¨ oglichst groß sein. Dies erfordert allerdings eine gr¨oßere Verst¨arkung k. Da ¨ die Ubertragungsfunktion der offenen Schleife einem reinen Integrierer entspricht, sind dem in der Praxis stabilit¨ atsbedingte Grenzen gesetzt. Um das Signal/Rausch-Verh¨ altnis weiter zu steigern, k¨onnen auch DeltaSigma-Umsetzer h¨ oherer Ordnung aufgebaut werden [108]. Abbildung 11.64 zeigt einen Umsetzer zweiter Ordnung, mit dem ein ∆S/N von 15,1 dB/Oktave erreicht wird. Die Herleitung dieses Zusammenhangs soll dem ambitionierten ¨ Leser als Ubung dienen [85]. N(s) UE(s)

k1 s

k2 s

Q(s)

Abb. 11.64. Delta-Sigma-Umsetzer 2.Ordnung

11.7.5 Time-Division-Multiplizierer (Impulsbreiten-Multiplizierer, S¨ agezahn-Multiplizierer) Ein weiteres AD-Umsetzverfahren, das insbesondere bei der Leistungsmessung eingesetzt wird, baut auf dem sog. Time-Division-Multiplizierer auf. Der Time-Division-Multiplizierer ist eine spezielle Form eines Analog-Multiplizierers, der bevorzugt zur Leistungsmessung mit digitaler Ergebniswertausgabe eingesetzt wird. Dazu wird eine Rechteckspannung mit fester Periodendauer T gem¨aß Abb. 11.65 erzeugt. Die positiven und negativen Amplitudenwerte entsprechen dabei einer Eingangsspannung u1 , w¨ahrend die Differenz (t1 − t2 ) bez¨ uglich der zeitlichen Dauer von positiver und negativer Halbwelle proportional einer zweiten Eingangsspannung u2 ist. Das Tastverh¨altnis t1 /t2 wird durch einen Vergleich von u2 mit einer zeitlich s¨agezahnf¨ormigen Spannung festgelegt (Abb. 11.65). F¨ ur u2 = 0 ist demnach das Tastverh¨altnis t1 /t2 = 1. Die Periodendauer T , die dem Kehrwert der Pulsfolgefrequenz f entspricht, ergibt sich aus der Summe der Zeiten t1 und t2 von positiver und negativer Rechteckhalbwelle 1 T = t1 + t2 = . (11.53) f Aus dem in Abb. 11.65 gezeigten Zeitdiagramm l¨aßt sich ablesen, daß die mit Gl. (11.54) definierte Proportionalit¨ atskonstante k ku2 = t1 − t2

(11.54)

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

351

Abb. 11.65. Prinzip des Time-Division-Multiplizierers. Der Mittelwert der Ausgangsspannung uA ist dem Produkt u1 u2 der Eingangsspannungen proportional: a) Zeitverl¨ aufe von Eingangs- und Ausgangsspannungen, b) Prinzipschaltbild

dem Kehrwert der Steigung der S¨ agezahnspannung entspricht. Diese Konstante l¨aßt sich auch als Funktion der Periodendauer T bzw. der Pulsfolgefrequenz f sowie den S¨agezahnamplituden U∆max ausdr¨ ucken k=

T 1 = . 2U∆ max 2f U∆ max

(11.55)

Am Ausgang des Tiefpasses (Abb. 11.65b) erh¨alt man den zeitlichen Mittelwert uA der Spannung uA (t)  t ZT Z1 ZT 1 1 uA = u1 dt + −u1 dt uA (t) dt = T T 0

0

t1

1 u1 u2 = (u1 t1 − u1 t2 ) = f u1 (t1 − t2 ) = f ku1 u2 = . (11.56) T 2U∆ max

Dies bedeutet, daß die Ausgangsspannung uA proportional zum Produkt der beiden Eingangsspannungen u1 und u2 ist. Die Frequenz f sollte dabei we-

352

11 Digitale Meßtechnik

sentlich u ¨ber den Grenzfrequenzen der zu messenden Spannungen u1 und u2 liegen, da vorausgesetzt wird, daß u1 und u2 w¨ahrend der Periode T konstant sind. Falls die Spannung u1 proportional der Spannung eines Leistungskreises und die zweite Eingangsspannung u2 proportional dem Strom dieses Leistungskreises ist, stellt der Time-Division-Multiplizierer ein elektronisches Wattmeter dar (Abb. 11.66). Wenn an den Time-Division-Multiplizierer ein Spannungs-Frequenz-Umsetzer angeschlossen wird, ist die Frequenz ein Maß f¨ ur die im Leistungskreis verbrauchte Leistung Pel , w¨ahrend der Z¨ahlerstand, welcher in einem nachgeschalteten Z¨ ahler aufl¨ auft, der innerhalb der Z¨ahlerTorzeit verbrauchten elektrischen Energie Wel entspricht.

Abb. 11.66. Elektronischer Leistungsmesser bzw. Energiez¨ ahler auf der Basis eines Time-Division-Multiplizierers. Es wird vorausgesetzt, daß infolge zeitlicher Mittelung am Ausgang des Time-Division-Multiplizierers bereits der der Wirkleistung entsprechende Anteil der Momentanleistung vorliegt.

11.7.6 Analog-Digital-Umsetzung mit Zeit oder Frequenz als Zwischengr¨ oßen Single-Slope-Umsetzer (u/t-Umsetzer) Bei einem Single-Slope-Umsetzer, den man auch als S¨agezahnumsetzer bezeichnet, wird mit Hilfe eines Z¨ ahlers die Zeit bestimmt, die vergeht, bis eine zeitlich linear vom Wert Null ansteigende Spannung in bezug auf ihre Amplitude die zu wandelnde Eingangsspannung uE erreicht hat (Abb. 11.67). Bei einem Spannungswert der S¨ agezahnspannung von Null wird der Z¨ahler gestartet. Erreicht die S¨ agezahnspannung die zu wandelnde Eingangsspannung uE (nach einer Zeit tX ), wird der Z¨ ahler wieder gestoppt. Der Z¨ahlerstand NX ist damit proportional der zu wandelnden Spannung uE . Mit dem Kehrwert K der Anstiegsgeschwindigkeit der S¨ agezahnspannung ergibt sich der Zusammenhang zwischen der Meßzeit tX (Torzeit des Z¨ahlers) und der Eingangsspannung uE tX = KuE . (11.57)

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

u

K1

uE

uE y &

K2

353

ZE

Takt f ref

uS NX 0

tX

t

y

uS Start

Steuerung

Rücksetzen

t

ZE

t

b)

a)

Abb. 11.67. Single-Slope-Umsetzer (S¨ agezahnumsetzer): a) Prinzipschaltbild, b) Signalverl¨ aufe

Mit Hilfe der Taktfrequenz fref kann der Z¨ ahlerstand NX berechnet werden NX = tX fref = Kfref uE .

(11.58)

Gleichung (11.58) zeigt die gew¨ unschte Proportionalit¨at zwischen dem Z¨ahlerstand NX und der Eingangsspannung uE . Als Nachteile dieses Verfahrens sind unter anderem anzuf¨ uhren, daß Steigungsfehler der S¨agezahnspannung (Konstante K in Gl. (11.58)) und Taktfrequenzfehler (fref in Gl. (11.58)) unmittelbar das Ergebnis verf¨ alschen. Dual-Slope-Umsetzer (Integrierender Zweirampen-Umsetzer) Bei dieser Art der Analog-Digital-Umsetzung werden nicht einzelne Werte der Eingangsspannung abgetastet, sondern der Mittelwert der Eingangsspannung u ¨ber ein bestimmtes Zeitintervall gebildet und dieser in eine Bin¨arzahl umgesetzt. Die Umsetzungszeit ist zwar h¨ oher als bei den Momentanwertumsetzern, die Dual-Slope-Umsetzer liefern daf¨ ur allerdings im allgemeinen eine wesentlich h¨ohere Genauigkeit. Beim Dual-Slope-Umsetzer wird die Eingangsspannung innerhalb einer ¨ Zeitspanne integriert, die durch das Uberlaufen eines mit konstanter Taktfrequenz fref angesteuerten Z¨ ahlers festgelegt ist (Abb. 11.68). Der Schalter S1 befindet sich w¨ ahrend dieser Zeit in Stellung 1. Diese Integration findet zwischen den Zeitpunkten t1 und t2 statt (Abb. 11.68b). Wenn der Z¨ahler bei einem Z¨ahlerstand Nmax u auft, ergibt sich die entsprechende Zeitdifferenz ¨berl¨ (t2 − t1 ) wie folgt Nmax . (11.59) t2 − t1 = fref Ab dem Zeitpunkt t2 wird durch Umschalten von S1 die Referenzspannung −Uref integriert, so daß die Integratorausgangsspannung uA zu einem Zeitpunkt tX wieder den Wert Null erreicht. Daraufhin wird u ¨ber das Kompara-

354

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.68. Dual-Slope-Umsetzer: a) Prinzipschaltbild, b) Signalverl¨ aufe

torausgangssignal K mit Hilfe des nachgeschalteten UND-Gatters der Z¨ahlvorgang gestoppt. Der dann erreichte Z¨ ahlerstand sei mit NX bezeichnet. Die Zeitdifferenz (tX − t2 ) ist proportional zu diesem Z¨ahlerstand NX gem¨aß NX . fref

tX − t2 =

(11.60)

Nachdem die Spannung uA zum Zeitpunkt tX wieder den Wert Null hat, kann man die in den Zeitintervallen (t2 − t1 ) und (tX − t2 ) integrierten Ausgangsspannungs¨anderungen gleichsetzen. Es gilt demnach Z t2 Z tX 1 1 uE (t) dt = Uref dt . (11.61) RC t1 RC t2 Mit uE =

1 t2 − t1

Z

t2

t1

uE (t) dt

(11.62)

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

355

folgt aus Gl. (11.61) 1 1 uE (t2 − t1 ) = Uref (tX − t2 ) . RC RC

(11.63)

Die Zusammenh¨ange in Gln. (11.59) und (11.60) best¨atigen in Verbindung mit Gl. (11.63) die gew¨ unschte Proportionalit¨at zwischen dem Z¨ahlerstand NX und dem Mittelwert der Eingangsspannung uE NX =

uE Nmax = const. · uE . Uref

(11.64)

Man erkennt, daß weder die Zeitkonstante RC des Integrierers noch die Taktfrequenz fref das Ergebnis verf¨ alschen k¨ onnen. Mit Hilfe des Schalters S2 wird sichergestellt, daß zu Beginn der n¨ achsten Umsetzungsphase die Kondensatorspannung Null ist. Spannungs-Frequenz-Umsetzer (u/f-Umsetzer) Die Spannungs-Frequenz-Umsetzung kann als besondere Art der AnalogDigital-Umsetzung aufgefaßt werden. Die zu wandelnde Spannung wird dabei zun¨achst in die proportionale Zwischengr¨ oße Frequenz“ umgesetzt, die ” wiederum mit Hilfe eines Z¨ ahlers leicht in eine digitale Information gewandelt werden kann (Abb. 11.69). Die Meßunsicherheit kann dabei aufgrund der u ¨blicherweise hohen Genauigkeit des Zeitnormals sehr klein gehalten werden. Bei dieser Methode der Analog-Digital-Umsetzung ist allerdings zu beachten, daß der Spannungswert 0 V aus verfahrenstechnischen Gr¨ unden nicht umgesetzt werden kann, was in praktischen Schaltungen durch Aufschalten eines Spannungsoffsets am Eingang des u/f-Umsetzers und Subtraktion des entsprechenden Z¨ahlerwertes vom aktuellen Z¨ ahlerstand umgangen werden kann. Infolge der bei der Messung sehr niedriger Frequenzen auftretenden Fehler geht man in diesen F¨ allen zu einer Messung der Periodendauer (reziproke Frequenzmessung) u osung bietet sich in Form des rechnenden ¨ber. Eine elegante L¨ Z¨ahlers an, der das einfache Umschalten zwischen den beiden Meßmethoden direkte Frequenzmessung“ und reziproke Frequenzmessung“ erm¨oglicht (s. ” ” Kap. 12.5) [171]. Ein weiterer Vorzug solcher Z¨ahlverfahren besteht darin, daß periodische St¨ orspannungen ohne Einfluß bleiben, wenn man eine Torzeit w¨ ahlt, welche einem Vielfachen der Periodendauer des St¨orsignals entspricht.

Abb. 11.69. Prinzip der Analog-Digital-Umsetzung mit Hilfe von SpannungsFrequenz-Umsetzer und Z¨ ahler

356

11 Digitale Meßtechnik

Ein Spannungs-Frequenz-Umsetzer ist ein Oszillator, dessen Schwingfrequenz von einer von außen angelegten elektrischen Spannung gesteuert wird. Abbildung 11.70 zeigt eine m¨ ogliche Schaltungsrealisierung. Diese besteht aus einem integrierenden Verst¨ arker, der im zeitlichen Wechsel die Eingangsspannung uE bzw. ihren invertierten Wert −uE integriert. Das jeweilige Ergebnis dieser Integration wird mit Hilfe zweier Komparatoren mit den Referenzspannungen +Uref und −Uref verglichen. Wenn die Ausgangsspannung uA des integrierenden Verst¨arkers den Wert uA = +Uref erreicht, schaltet der Komparator K1 und setzt das RS-Flip-Flop. Gleichzeitig wird von der Steuerung der Schalter S am Eingang umgelegt, so daß nunmehr die Spannung +uE integriert wird. Die Eingangsspannung uE wird also solange integriert (fallende Rampe), bis die Integratorspannung die untere Schwelle (−Uref ) unterschreitet, woraufhin die Steuerung den Eingangsschalter S umschaltet, so daß danach wieder die invertierte Eingangsspannung integriert wird (steigende Rampe), bis die

Abb. 11.70. Spannungs-Frequenz-Umsetzer (u/f-Umsetzer): a) Prinzipschaltbild, b) Signalverl¨ aufe am Ausgang des Integrierers (uA ) sowie am Ausgang des RS-FlipFlops (Q) f¨ ur eine kleine (linkes Teilbild) und eine gr¨ oßere Eingangsspannung uE (rechtes Teilbild)

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

357

obere Schwelle (+Uref ) erreicht ist. Im stetigen Wechsel zwischen diesen zwei Zust¨anden entsteht am Ausgang des Integrierers eine Schwingung mit einem Zeitverlauf, der einem gleichschenkeligen Dreieck entspricht. Der Q-Ausgang des RS-Flip-Flops liefert daraufhin eine unipolare Rechteckspannung mit derselben Frequenz. Anhand von Abb. 11.70b lassen sich die folgenden Zusammenh¨ange ableiten Z 1 u1 (t) dt (11.65) uA (t) = − RC 1 uAmax = +Uref = −Uref + uE (tmax − tmin ) (11.66) RC 1 uAmin = −Uref = Uref − uE (TX + tmin − tmax ) . (11.67) RC Die Subtraktion der Gln. (11.67) und (11.66) liefert 4Uref =

1 uE TX . RC

(11.68)

Daraus l¨aßt sich schließlich der gesuchte Zusammenhang zwischen der Frequenz fX des Rechtecksignals am Ausgang des RS-Flip-Flops und der Eingangsspannung uE ableiten fX =

1 1 = uE = const. · uE . TX 4Uref RC

(11.69)

Die Frequenz des Rechtecksignals am Ausgang ist also gem¨aß Gl. (11.69) proportional zur Eingangsspannung uE . Sie l¨ aßt sich aus dem Z¨ahlerstand bei vorgegebener Torzeit leicht ermitteln. ADC nach dem Ladungskompensationsverfahren (Charge-Balancing-Converter) Eine Spannungs-Frequenz-Umsetzung l¨ aßt sich auch mit Hilfe eines sog. Charge-Balancing-Converters durchf¨ uhren, dessen prinzipielle Funktionsweise anhand von Abb. 11.71 erl¨ autert werden soll. Beim Charge-BalancingConverter wird die Eingangsspannung uE ebenfalls bis zu einem vorgegebenen Schwellwert USW integriert. Bei Unterschreiten des Schwellwertes USW wird f¨ ur eine Zeit T0 , die von der monostabilen Kippstufe definiert wird, zus¨atzlich eine Stromquelle an den Ladekondensator angeschlossen. Mit diesem zus¨atzlichen (Ent-) Ladevorgang erreicht die Ausgangsspannung uA nach Ablauf der Zeit T0 ihren Spitzenwert uAmax = USW + ∆uA .

(11.70)

Anschließend ist wiederum ausschließlich die Eingangsspannung uE am Ladevorgang beteiligt, sodaß sich der zeitliche Verlauf der Ausgangsspannung uA f¨ ur diese Zeitphase wie folgt ergibt

358

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.71. Analog-Digital-Umsetzung nach dem Ladungskompensationsverfahren (Charge-Balancing-Converter): a) Prinzipschaltbild, b) Signalverl¨ aufe

uA (t) = uAmax −

1 RC

Z

T0 +t

uE (t′ ) dt′ .

(11.71)

T0

Nach einer Zeit Tload wird (vom Abtrennen der Stromquelle an gerechnet) wiederum der Schwellwert USW erreicht. Es gelten folgende Zusammenh¨ange 1 uE Tload (Ladevorgang) RC   uE 1 Iref − T0 (Entladevorgang) . ∆uA = C R

∆uA = +

(11.72) (11.73)

Aus den Gln. (11.72) und (11.73) kann bereits die Frequenz fX der Rechteckfolge angegeben werden, welche schließlich mit Hilfe des Z¨ahlers und einer Torzeitvorgabe bestimmt werden kann fX =

1 1 = uE . Tload + T0 RIref T0

(11.74)

Gleichung (11.74) l¨ aßt erkennen, daß die Frequenz fX nicht mehr vom Kapazit¨atswert des Ladekondensators C abh¨ angt, was bedeutet, daß dieser nur noch kurzzeitstabil sein muß. Wenn man das in bezug auf Genauigkeit kritischste Bauelement, die Monoflopstufe, durch ein D-Flip-Flop ersetzt, das von einem hochgenauen Taktgenerator angesteuert wird, gelangt man zum getakteten Ladungskompensations-Konverter (Abb. 11.72) [115]. Dieses Schaltungsprinzip weist den

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

359

Abb. 11.72. Getakteter Ladungskompensationskonverter [115]

großen Vorzug auf, daß die Dauer und damit auch die Gr¨oße der Ladungspulse durch die Periodendauer derselben Frequenz (Taktfrequenz) bestimmt wird, die auch die Torzeit des Z¨ ahlers festlegt. Damit wird vermieden, daß dieser Frequenzwert die Meßgenauigkeit beeintr¨ achtigt. Die Aufladung durch die Eingangsspannung uE erfolgt kontinuierlich durch den dabei fließenden Eingangsstrom iE uE iE = . (11.75) R Zur Entladung wird wiederum eine Stromquelle verwendet, die von einem D-Flip-Flop geschaltet wird, dessen Steuertakt mit dem Referenztakt fref identisch ist. Der mittlere Entladestrom ¯ientl ergibt sich demnach zu ¯ ¯ientl = Iref fS , fref

(11.76)

wobei f¯S die mittlere Frequenz der Steuerimpulse f¨ ur den Stromschalter ist. Infolge der durch die Schaltersteuerung entstehenden R¨ uckkopplung wird sich die mittlere Schaltersteuerfrequenz so einstellen, daß der zeitlich gemittelte Entladestrom ¯ientl gleich dem Ladestrom iE ist. Mit iE = ¯ientl

(11.77)

liefern die Gln. (11.75) und (11.76) den Zusammenhang zwischen der mittleren Schaltfrequenz f¯S und der Eingangsspannung uE fref uE . f¯S = R Iref

(11.78)

Dieser Frequenzwert ist also wiederum der Eingangsspannung proportional.

360

11 Digitale Meßtechnik

11.7.7 Vergleich der Grundprinzipien direktvergleichender Analog-Digital-Umsetzer In Tab. 11.12 werden die sechs wesentlichen bei der Analog-Digital-Umsetzung verwendeten Grundprinzipien verglichen. Tabelle 11.13 zeigt Analog-DigitalUmsetzer der oberen Leistungsklasse. Das Parallel-Verfahren findet u ¨berall dort Anwendung, wo es auf h¨ ochste Umsetzgeschwindigkeit (Konversionsrate) ankommt. F¨ ur Aufl¨ osungen oberhalb von 10 Bit greift man i. allg. zu den Kaskadenverfahren, wo ein oder mehrere N -Bit-Parallel-Umsetzer in theoretisch n Zeitzyklen einen Umsetzer mit einer Aufl¨ osung von n · N Bit realisieren. Das Kaskadenverfahren ist ein kombiniertes Parallel-W¨age-Verfahren. Das reine W¨ageverfahren bietet eine Kompromißl¨ osung, einerseits zum ParallelVerfahren und andererseits zum Z¨ ahlverfahren. Im Bereich von 8 bis 10 Bit ist es langsamer, aber wegen der wesentlich geringeren Anzahl von Komparatoren deutlich kosteng¨ unstiger als das Parallel-Verfahren, w¨ahrend es bei Tabelle 11.12. Grundprinzipien zur Analog-Digital-Umsetzung Prinzip

Zahl der Zyklen

Zahl der Typ. Aufl¨ osung Komparatoren Typ. Konversionsraten

Delta-SigmaVerfahren

14 ≤ N ≤ 24 < 2 MSamples/s 2N − 1

ParallelVerfahren (Flash)

1 (word at a time)

N < 10 > 10 MSamples/s

W¨ ageVerfahren (SAR)

N (Bit at time)

N

8 ≤ N ≤ 18 10 kSamples/s − 2 MSamples/s

Z¨ ahlVerfahren

2N (max.) (level at a time)

1

8 ≤ N ≤ 20 < 1 kSamples/s

KaskadenVerfahren (Kombiniertes ParallelW¨ age-Verfahren)

n (bei einer Aufl¨ osung von n · N Bit)

2N − 1

PipelineVerfahren

1 (aber mit Latenzzeit von n Zyklen)

8 ≤ N ≤ 16 1 MSamples/s − 100 MSamples/s

n(2N -1) 8 ≤ N ≤ 16 bzw. < 1 GSamples/s n(2N+1 -1) bei Fehlerkorrektur

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

361

Aufl¨osungen im Bereich 12 bis 16 Bit h¨ ohere Konversionsraten erlaubt als das Z¨ ahlverfahren, allerdings bei h¨ oheren Kosten. Die Z¨ahlverfahren erm¨oglichen h¨ ochste Genauigkeit bei deutlich niedrigeren Konversionsraten. Tabelle 11.13. Analog-Digital-Umsetzer der oberen Leistungsklasse Prinzip Delta-SigmaVerfahren

Hersteller Texas Instr. Anal.Devices Texas Instr.

Typ ADS1253 AD7760 ADS1605 ADS1675

ParallelVerfahren (Flash)

National Semicond.

ADC12D1800 12 Bit

W¨ ageVerfahren (SAR)

Analog AD7641 Devices AD7667 Texas Instr. ADS5500

KaskadenMaxim Verfahren (Kombiniertes Linear ParallelTechnology W¨ age-Verfahren (Half-Flash)) PipelineVerfahren

Aufl¨ osung 24 Bit 24 Bit 16 Bit 24 Bit

Konversionsrate 20 kSamples/s 2,5 MSamples/s 5 MSamples/s 4 MSamples/s

Leistung 8 mW 958 mW 560 mW 575 mW

3,6 GSamples/s 4,1 W

18 Bit 16 Bit 14 Bit

2 MSamples/s 75 mW 1 MSample/s 133 mW 125 MSamples/s 780 mW

MAX1193

8 Bit

45 MSamples/s

LTC2242-12

12 Bit

250 MSamples/s 740 mW

8 Bit 12 Bit

250 MSamples/s 590 mW 1 GSamples/s 2,2 W

Anal.Devices AD9480 Texas Instr. ADS5400

57 mW

11.7.8 Fehler bei der Analog-Digital-Umsetzung Statische Fehler Bei einem realen Analog-Digital-Umsetzer entsteht durch die endliche Stellenzahl und die daraus resultierende (stufenf¨ ormige) Quantisierung ein sy¨ stematischer Fehler, der sog. Quantisierungsfehler, welcher in der Ubertragungskennlinie des ADC abgelesen werden kann (Abb. 11.73). Er betr¨agt beim idealen Umsetzer maximal die H¨ alfte der niedrigstwertigen Stelle ULSB . Wird das digitalisierte Signal u ¨ber einen Digital-Analog-Umsetzer wieder in ein Analogsignal umgesetzt, so ¨ außert sich dieser Fehler als eine Rauschspannung, die als Quantisierungsrauschen bezeichnet wird. Im folgenden soll das Signal/Rausch-Verh¨altnis als Funktion der ADC-Aufl¨osung bestimmt werden. Das Signal/Rausch-Verh¨ altnis S/N ist definiert als   Useff S , (11.79) [dB] = 20 lg N Ureff

362

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.73. Quantisierungsfehler bei der Analog-Digital-Umsetzung. Die Spannung uA (Z) ergibt sich durch ideale DA-Umsetzung der Zahl Z, die am Ausgang des AD-Umsetzers auftritt: a) ideale und reale Kennlinie eines ADC, b) Quantisierungsfehler als Funktion der Eingangsspannung

wobei Useff und Ureff die jeweiligen Effektivwerte der Signalspannung (Nutzspannung) bzw. der St¨ orspannung (Rauschspannung) bezeichnen. Zur Ermittlung des Signal/Rausch-Verh¨ altnisses eines N -Bit-Umsetzers nimmt man eine Vollaussteuerung des ADC mit einem Sinussignal us (t) an ˆ sin ωt . us (t) = U Wenn die maximale Aussteuerung des Umsetzers UAmax
UAmax = 2N − 1 ULSB ≈ 2N ULSB

betr¨agt, gilt somit

ˆ = UAmax . 2U

(11.80)

(11.81) (11.82)

Damit ergibt sich der Effektivwert Useff einer sinusf¨ormigen Signalspannung an einem N -Bit-Umsetzer bei Vollaussteuerung zu
1 1 N 1 1 Useff = √ 2 − 1 ULSB ≈ √ 2N ULSB . 2 2 22

(11.83)

Die effektive Rauschspannung des Umsetzers l¨aßt sich aus dem Zeitverlauf des Quantisierungsrauschens bestimmen, wenn keine sonstigen Fehlspannungen ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Wenn man annimmt, daß die Eingangsspannung uE zeitlich linear ansteigt, berechnet sich der Effektivwert Ureff der

11.7 Analog-Digital-Umsetzung

363

Rauschspannung aus dem zeitlichen Verlauf des Quantisierungsrauschens zu (der Zeitverlauf l¨aßt sich aus Abb. 11.73b ablesen, wenn man ber¨ ucksichtigt, daß uE zeitlich linear ansteigt) v u +T u Z2  2 u1 ULSB t dt = √ . (11.84) Ureff = u U LSB tT T 12 −T 2

Das Signal/Rausch-Verh¨ altnis ergibt sich damit wie folgt S [dB] = 20 lg N



Useff Ureff



= 20 lg

√1 1 2N ULSB 22 U√LSB 12

= 20 lg

r

! 3 N 2 (11.85) 2

= (6N + 1, 76) . In realen Analog-Digital-Convertern ergibt sich aufgrund zus¨atzlicher Fehler eine h¨ohere Rauschspannung und damit unter praktischen Gegebenheiten ein geringeres Signal/Rausch-Verh¨ altnis als das in Gl. (11.85) angegebene. Solche ¨ Fehler sind z. B. Offsetfehler (Ubertragungskennlinie geht nicht durch den ¨ Ursprung) oder Verst¨arkungsfehler (Steigung der Ubertragungskennlinie hat nicht den Wert Eins). Weitere Fehler treten insbesondere in Form von Nichtlinearit¨aten auf, die sich darin ¨außern, daß die Stufen der Kennlinie verschieden hoch bzw. verschieden breit sind. Bei einer nichtlinearen Kennlinie liegen die Eckpunkte der Stufenfunktion also nicht mehr auf einer Geraden (Abb. 11.74). Die Abweichungen der Eckpunkte ui der bez¨ uglich Offset- und Steigungsfehler korrigier-

¨ Abb. 11.74. Ubertragungsverhalten eines AD-Umsetzers mit Linearit¨ atsfehler. Die Spannung uA (Z) ergibt sich durch ideale DA-Umsetzung der Zahl Z, die am Ausgang des AD-Umsetzers auftritt. Die Spannung ui liegt in der Mitte des Spannungsintervalls, das durch die beiden benachbarten Schaltschwellen definiert wird.

364

11 Digitale Meßtechnik

ten realen Kennlinie (Abb. 11.74) zu denen der realen Kennlinie ohne Linearit¨atsfehler bilden den sog. integralen (totalen) Nichtlinearit¨atsfehler FNLint bzw. fNLint FNLint (i) = ui − iULSB (11.86) bzw. fNLint (i) =

ui − iULSB . ULSB

(11.87)

Die Abweichungen von der idealen Stufenbreite ULSB werden als differentielle Nichtlinearit¨at FNLdiff bzw. fNLdiff bezeichnet FNLdiff (i) = (ui+1 − ui ) − ULSB bzw. fNLdiff (i) =

(ui+1 − ui ) − ULSB . ULSB

(11.88)

(11.89)

Dynamische Fehler Die Dauer eines Umsetzungsvorgangs ergibt sich aus der als Acquisition Time bezeichneten Summe von Aperture Time und Settling Time des Sample & Hold-Gliedes (Tab. 11.10) sowie der Konversionszeit (Conversion Time) des eigentlichen Analog-Digital-Umsetzers. Diese Zeiten begrenzen daher die maximale Abtastfrequenz, d.h. ihre Summe muß kleiner sein als der Reziprokwert der doppelten Signalgrenzfrequenz fsmax , um das Shannonsche Abtasttheorem zu erf¨ ullen (Nyquist-Kriterium) fa > 2fsmax .

(11.90)

Die maximal m¨ogliche Abtastfrequenz famax errechnet sich dabei als Reziprokwert der Summe aller am Umsetzungsprozeß beteiligten Zeiten 1 1 = . Tamin ApertureTime + SettlingTime + ConversionTime (11.91) Schwankungen der Aperture Time, die auch als Apertur Jitter bzw. AperturUnsicherheit bezeichnet werden, bedeuten Schwankungen der Abtastzeitpunkte, was zu einem dynamischen Fehler f¨ uhrt. Dieser Fehler ist um so gr¨oßer, ¨ je gr¨oßer die zeitliche Anderung der Eingangsspannung (duE /dt) ist. Diese zeitlichen Schwankungen der Abtastzeitpunkte machen sich in Form von Amplitudenunsicherheiten bemerkbar, welche um so gr¨oßer werden, je steiler der zeitliche Anstieg der Eingangsspannung ist. Im allgemeinen fordert man, daß der daraus resultierende Betrag des absoluten Fehlers |∆U | kleiner als 1 /2 ULSB bleiben soll, da ansonsten das niedrigstwertige Bit (Least Significant Bit (LSB)) wertlos w¨ are 1 |∆U | ≤ ULSB . (11.92) 2 famax =

11.8 Digital-Multimeter (DMM)

365

Um die aus dieser Vorgabe (Gl. (11.92)) resultierende Forderung bez¨ uglich der zeitlichen Schwankungen ∆Tjitter der Abtastzeitpunkte herzuleiten, wollen wir annehmen, daß die Eingangsspannung uE einen sinusf¨ormigen Zeitverlauf aufweist ˆ sin ωt . uE (t) = U (11.93) Mit der Beziehung ∆U =



duE (t) dt



∆t

(11.94)

max

folgt aus den Gln. (11.92) und (11.93) die entsprechende Forderung bez¨ uglich des zeitlichen Jitters ∆Tjitter ∆Tjitter ≤

1 ULSB . ˆω 2 U

(11.95)

ˆ = UAmax ) l¨aßt sich daraus die Grenze f¨ Bei Vollaussteuerung des ADC (2U ur den absoluten Jitterfehler angeben ∆Tjitter ≤

ULSB 1 1 = N ≈ N . UAmax ω (2 − 1)ω 2 ω

(11.96)

Soll beispielsweise mit Hilfe eines 8-Bit ADC ein 50-MHz-Signal umgesetzt werden, leitet sich daraus die Forderung ab, daß die zeitliche Apertur-Unsicherheit ∆Tjitter ≤ 12, 5 ps sein muß.

11.8 Digital-Multimeter (DMM) 11.8.1 Anzahl der Stellen und Genauigkeit Digital-Multimeter (DMM) sind universelle Meßger¨ate zur standardm¨aßigen Messung von Spannung, Strom und ohmschen Widerst¨anden. Sie bestehen neben einem Netzwerk von Messwiderst¨ anden und einer Stromquelle zur Widerstandsmessung (s. Abb. 11.75) aus einem Effektivbaustein (s. Abschn. 11.8.2), einem Analog-Digital-Converter (ADC) und einer Digitalanzeige. Als ADCs

Abb. 11.75. Blockschaltbild eines Digital-Multimeters

366

11 Digitale Meßtechnik

verwenden sie meist Dual-Slope-Umsetzer, da diese bei ausreichender Meßgeschwindigkeit hohe Meßgenauigkeiten bei geringem Hardware-Aufwand garantieren. Digital-Multimeter arbeiten mit drei bis zehn (in Sonderf¨allen bis zu einigen hundert) Wandlungen in der Sekunde. Je nach Genauigkeitsanforderungen liegt die Anzahl der angezeigten Stellen zwischen 3 1/2 und 8 1/2 (Tab. 11.14). Dabei bezeichnet die erste Ziffer die Zahl der angezeigten Nachkommastellen. Die f¨ uhrende eins wird als halbes Digit angegeben. Tabelle 11.14. Daten von Digital-Multimetern Anzahl der Stellen

AnzeigeUmfang

Aufl¨ osung

typische Genauigkeit (Gleichspannung)

3 1/2 4 1/2 5 1/2 7 1/2

± ± ± ±

5·10−4 5·10−5 5 ·10−6 5·10−8

0,25 % 0,05 % 0,01 % 0,001 %

1,999 1,9999 1,99999 1,9999999

Es ist eine gewisse Diskrepanz zwischen der Aufl¨osung und der Genauigkeit festzustellen. Der grunds¨ atzliche Fehler von Digital-Multimetern betr¨agt ±1 Digit, wobei 1 Digit der letzten angezeigten Nachkommastelle entspricht. Ein typisches Ger¨atebeispiel soll dies verdeutlichen. So betr¨agt die (relative) Aufl¨ osung eines 3 1/2 -stelligen DMM 1/(2000) = 0, 0005. Die Genauigkeit wird jedoch mit 0, 25% angegeben, was 5 Digits entspricht (5/2000 = 0, 25%). Da sich die Verh¨ altnisse bei Digital-Multimetern mit noch mehr Stellen eher verschlechtern, muß in der Praxis meist die letzte angezeigte Stelle wegen ihrer großen Unsicherheit bei den Genauigkeitsbetrachtungen gestrichen werden. 11.8.2 Beispiel eines 4 1/2 -stelligen Digital-Multimeters In diesem Abschnitt soll der Zusammenhang zwischen den angezeigten Stellen des Digital-Multimeters und der Aufl¨ osung seines Analog-Digital-Converters (ADC) ermittelt werden. Nimmt man beispielsweise ein 4 1/2 -stelliges DMM, so betr¨agt seine relative Aufl¨ osung 5 · 10−5 . Die entsprechende absolute Aufl¨osung ergibt sich zu 2 V · 5 · 10−5 = 10−4 V. Dieser Wert entspricht gleichzeitig dem absoluten Spannungspegel des Least Significant Bit (ULSB ) des Analog-Digital-Converters. Mit dem Zusammenhang Umax = (2N − 1) · ULSB folgt 2 V = (2N − 1) · 10−4 V 2N − 1 = 2 · 104

(11.97)

11.8 Digital-Multimeter (DMM)

367

2N ≈ 2 · 104 lg(2 · 104 ) N= lg(2) lg(2 · 104 ) = 14, 3 → N = 15 . lg(2)

(11.98)

Die entsprechenden Aufl¨ osungen f¨ ur Digital-Multimeter mit anderer Stellenanzahl k¨onnen Tab. 11.14 entnommen werden. Im allgemeinen bestimmt der Widerstand eines Eingangsspannungsteilers den Eingangswiderstand des Digital-Multimeters (meistens in der Gr¨oßenordnung 10 MΩ), w¨ahrend die eigentliche Meßschaltung Innenwiderst¨ande von > 108 Ω aufweist. Moderne leistungsf¨ ahige Digital-Multimeter (Abb. 11.77) verf¨ ugen im allgemeinen u ¨ber Standard-Rechnerschnittstellen, wie RS 232, IEC-Bus, USB bzw. Ethernet (Kap. 16.6). F¨ ur den Aufbau von Digital-Multimetern sind integrierte Schaltungen erh¨altlich, die bereits wesentliche Funktionen, wie Verst¨arkung, Vorzeichendetektion mit Invertierung, Tiefpaß-Filterung, A/D-Umsetzung und Ausgangsregister aufweisen. Digital-Multimeter enthalten zur Wechselspannungs- bzw. Wechselstrom-Messung entweder Gleichrichter-Schaltungen zur Bildung des Gleichrichtmittelwertes oder eine Schaltung zur Bildung des echten Effektivwertes nach Gl. (6.89). Die letztgenannten beruhen auf einem integrierenden Operationsverst¨ arker sowie einem als Quadrierer und einem als Radizierer geschalteten Multiplizierermodul (Abb. 11.76). Die Operationsverst¨arker-Schaltung realisiert einen Tiefpaß 1. Ordnung mit der Eckfrequenz fg = 1/(2πRC). Solche Schaltungen weisen Fehler im Bereich von 0,5 % auf. Schaltungen zur Gleichricht-Mittelwert-Bildung arbeiten mit kleineren Fehlern (0,1 %). Allerdings f¨ uhrt die Messung nicht-sinusf¨ormiger Gr¨oßen zu entsprechenden Fehlern.

Abb. 11.76. Prinzipschaltung eines Effektivwertbausteines

368

11 Digitale Meßtechnik

11.8.3 Messungen des echten Effektivwertes von Signalen mit Gleichanteil In den Schalterstellungen “AC-Voltage” (Wechselspannung) bzw. “AC-Current” (Wechselstrom) wird der Gleichanteil (DC-Anteil) bei der Messung unterdr¨ uckt. Das f¨ uhrt dazu, daß auch mit echter Effektivwertmessung ausgestattete Digital-Multimeter (DMM mit true RMS-Messung) nicht mehr den echten Effektivwert messen, wenn das Meßsignal einen Gleichanteil enth¨alt. Hier hilft nur folgende Vorgehensweise: Man muß zwei seperate Messungen durchf¨ uhren, und zwar wird einmal in Schalterstellung “AC” der Effektivwert des reinen Wechselanteils (mit abgetrenntem Gleichanteil) gemessen und in einer zweiten Messung in Schalterstellung “DC” der reine Gleichanteil. Der Wechselanteil wird dabei automatisch “herausintegriert”. Der echte Effektivwert des Gesamtsignals wird schließlich ¨ durch effektivwertm¨ aßige, d. h. quadratische, Uberlagerung gem¨aß q (11.99) xrms(AC+DC) = x2rmsAC + x2rmsDC

bestimmt. Bei der Messung des DC-Anteils sollte u ¨ber mindestens 10 Perioden der Energieversorgungsnetzfrequenz (50 Hz in Europa bzw. 60 Hz in USA) gemittelt werden. Intelligente Multimeter, wie z.B. das Agilent 34411A (Abb. 11.77) messen unmittelbar nach ihrer Inbetriebnahme die Netzfrequenz und stellen die Integrationszeit des verwendeten Dual-Slope-ADC (Kap. 11.7.6) auf optimale Mittelung ein. So garantiert dieses Ger¨ at im langsamen Meßmodus f¨ ur 6 1/2 Stellen (Digits) eine Unterdr¨ uckung des Netzsignals um 70 dB. ¨ Bei Uberlegungen zur Meßgenauigkeit von Digital-Multimetern bei ACMessungen muß desweiteren der Scheitelfaktor (Crest Factor) (s. Gl. (6.90)) ins Kalk¨ ul gezogen werden. Denn je gr¨ oßer der Scheitelfaktor, um so gr¨oßer sind die Signalanteile bei (im Vergleich zur Grundwelle) h¨oheren Frequenzen (h¨oheren Harmonischen), so daß mit zunehmendem Scheitelfaktor auch die Meßfehler bei der echten Effektivwertmessung steigen (s. Kap. 11.8.4). 11.8.4 Gesamtfehler infolge Scheitelfaktor Als Beispiel wird hier eine Absch¨ atzung der Fa. Agilent u ur ¨bernommen, die f¨ das 6 1/2 stellige DMM Modell 34411A (Abb. 11.77) gilt. Der Gesamtfehler infolge Crest Factor (Scheitelfaktor) setzt sich wie folgt zusammen Gesamtfehler = Fehler (Sinus) + Fehler (Crest Factor) + Fehler (Bandbreite) (11.100) Der Fehler (Bandbreite) ist der infolge der h¨ oheren Harmonischen. Er wird wie folgt abgesch¨atzt Fehler (Bandbreite) =

(C.F.)2 · F , 4π · BW

(11.101)

11.9 Strom-/Spannungsquellen mit R¨ uckmeßfunktion (Source Measure Units)

369

Abb. 11.77. 6 1/2 stelliges Digital-Multimeter, Typ 34411A, der Fa. Agilent [2]

wobei C.F. der Crest Factor, F die Grundfrequenz des Meßsignals und BW die - 3 dB -Bandbreite (Bandwidth) des Meßger¨ates ist (hier 1000 kHz). F¨ ur einen beispielhaften C.F. = 3 und eine Fundamentalfrequenz F = 20 kHz ergibt sich ein Fehler (Bandbreite) von 1, 4 %. Mit den Fehlerspezifikationen f¨ ur das o. g. Ger¨at summiert sich der Gesamtfehler zu Gesamtfehler = 0, 08% + 0, 15% + 1, 4% = 1, 6% .

(11.102)

Dies bedeutet, daß der Bandbreitefehler infolge Scheitelfaktor den Gesamtfehler dominiert.

11.9 Strom-/Spannungsquellen mit Ru ¨ ckmeßfunktion (Source Measure Units) 11.9.1 Source Measure Units in automatischen Testsystemen Strom-/Spannungsquellen mit R¨ uckmeßfunktion, auch als Source Measure Units bezeichnet, bieten folgende vier Grundfunktionen bei der Messung elektrischer Gr¨oßen: • • • •

Spannungsquelle Spannungsmesser Stromquelle Strommesser

So kann beispielsweise im Zuge der Pr¨ ufung elektrischer bzw. elektronischer Bauelemente dem Pr¨ ufling (Device under Test = D. u. T. bzw. DUT) ein Konstantstrom eingepr¨ agt und gleichzeitig die Spannung an seinen Klemmen gemessen werden. Umgekehrt kann das Ger¨at die Stromaufnahme des

370

11 Digitale Meßtechnik

Pr¨ uflings messen, w¨ ahrend er mit einer Konstantspannung beaufschlagt wird. Da diese Source Measure Units (SMUs) in aller Regel einen vollst¨andigen 4Quadrantenbetrieb erlauben, kann das gesamte Kennlinienfeld des Pr¨ uflings aufgenommen werden, indem Spannung bzw. Strom in systematischen Schritten ver¨andert werden. Zwecks komfortabler Bedienung bzw. f¨ ur automatisierte Testabl¨aufe in der Produktion beispielsweise sind alle Funktionen der SMUs programmierbar. Hauptanwendungsgebiete sind die vollautomatisierte Charakterisierung von Halbleiterbauelementen, Leckstrommessungen an MOSFETs oder Untersuchungen zur Elektromigration. SMUs sind standardm¨ aßig mit IEC-Bus-Interfaces ausgestattet. Die neueren Generationen enthalten auch USB- und Ethernet-Schnittstellen. Um die Testabl¨aufe zu beschleunigen und die zentralen Steuerrechner zu entlasten, besitzen die SMUs leistungsf¨ ahige Controller, so daß komplette Testreihen eigenst¨andig ablaufen k¨ onnen. So werden bei den meisten Fertigungsendpr¨ ufungen von elektronischen Bauteilen und Komponenten sich st¨andig wiederholende Testfolgen gefordert, bei denen eine Spannung oder ein Strom eingespeist bzw. gemessen wird. Dabei wird festgestellt, ob das Bauteil innerhalb der spezifizierten Grenzwerte liegt. F¨ ur die Fertigungskontrolle werden immer h¨aufi-

Abb. 11.78. TSP-basierendes Testsystem mit mehreren Source Measure Units, die u ¨ ber TSP-Link vernetzt sind [75] (TSP = Test Script Processor)

11.9 Strom-/Spannungsquellen mit R¨ uckmeßfunktion (Source Measure Units)

371

ger Testzeiten von unter 10 ms pro Bauteilpr¨ ufung verlangt, was zu erh¨ohten Anforderungen bez¨ uglich der Einschwingzeiten f¨ uhrt. Des¨ofteren sind Chips mit h¨oheren Pinzahlen zu pr¨ ufen. Um die entsprechenden Pr¨ ufungen zahlreicher Zweitore zeitsynchron durchf¨ uhren zu k¨onnen, werden mehrere SMUs zu einem Testsystem zusammengeschaltet (Abb. 11.78). Die SMUs der 2600Familie der Fa. Keithley beispielsweise enthalten dazu einen sog. Test Script Processor (TSP) und einen Hochgeschwindigkeitsbus (in Abb. 11.78 mit TSPLink bezeichnet) zur Vernetzung mehrerer SMUs im Master-Slave-Modus mit entsprechenden Triggerfunktionen. Auf diese Weise ist ein echter Parallelbetrieb der angeschlossenen SMUs m¨ oglich [8]. 11.9.2 Messung kleiner Str¨ ome bzw. Spannungen mit SMUs Bei den im vorigen Abschnitt besprochenen automatisierten Testabl¨aufen besteht eine weitere Problematik in der genauen Messung geringer Spannungen und Str¨ome, welche pr¨ azise Quellen- und Meßfunktionen mit geringem St¨orpegel obligatorisch machen. So sind Strom-/Spannungsquellen mit R¨ uckmeßfunktion kommerziell erh¨ altlich, die Str¨ ome im Sub-Femtoampere-Bereich messen k¨onnen. Abbildung 11.79 zeigt ein solches Sub-Femtoampere-Meter der Fa. Keithley, einem der f¨ uhrenden Hersteller auf diesem Gebiet.

Abb. 11.79. Source Measuring Unit (Typ 6430) der Fa. Keithley f¨ ur Messungen im Sub-Femtoampere-Bereich. Spezifikationen: Rauschgrenze: 0, 4 fA (peak-to-peak) (= 4 · 10−16 A); 6 1/2 stelliges Digital-Multimeter; 2000 Messungen pro Sekunde [75].

Das Ger¨at arbeitet mit einem Remote-Vorverst¨arker, der u ¨ber ein 2 m langes Kabel an die eigentliche SMU angeschlossen ist. Dieser hochwertige Meßverst¨arker ist mit einem extrem hohen Eingangswiderstand ausgestattet und mit einer sog. schwimmenden Masse (Guard) versehen. Er wird u ¨ber ein Triax-Kabel angeschlossen. Bei den Triax-Kabeln befindet sich zwischen

372

11 Digitale Meßtechnik

Abb. 11.80. Aufbau eines Triax-Kabels

dem zentralen Innenleiter und dem Außenleiter (Schirmgeflecht wie beim Koaxkabel) ein weiterer geflochtener metallischer Leiter (= Schutzschirm = Guard) zwecks Schirmung (Abb. 11.80). Abbildung 11.81 zeigt das Anschlußprinzip unter Verwendung von Triax-Kabeln. Die gezeigte Schaltung dient der Unterdr¨ uckung von Leckstr¨ omen infolge des endlichen Kabelisolationswiderstandes. Die entsprechende Technik wird auch als Guard- oder Schutzschirmtechnik bezeichnet. Dabei wird der innere Leiter von dem Schutzschirm (Guard) umh¨ ullt. Mit Hilfe des Operationsverst¨arkers wird nun die Potentialdifferenz zwischen Innenleiter und Schutzschirm auf ann¨ahernd Null gebracht, so daß keine Ausgleichsstr¨ ome durch den Isolationswiderstand RL fließen k¨onnen. Ein weiterer Vorteil dieser Schaltung ist, daß auch eine parallel zu RL liegende Streu- bzw. Kabelkapazit¨ at wirkungslos gemacht wird. Damit ¨ wird das Ubertragungsverhalten f¨ ur h¨ oherfrequente Signale verbessert. Quelle

Leitung mit Guard-Ring (Triax-Kabel) Guard

Ri

hochohmiger Spannungsmesser

innerer Leiter

uD ≈ 0

RL

Spannungsmesser

äußerer Leiter Abb. 11.81. Prinzip der Triax-Kabel-Verbindung einer Spannungsquelle mit einem hochohmigen Voltmeter

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

In der modernen Meßtechnik werden in zunehmendem Maße die Zeit und Frequenz als informationstragende Parameter genutzt. Einer der Hauptvorz¨ uge dieser Codierungsart liegt in der sehr hohen Genauigkeit, mit der Zeitintervalle und Frequenzen gemessen werden k¨ onnen. Ein weiterer Vorteil besteht darin, daß sich die im allgemeinen in analoger Form vorliegenden Meßsignale auf einfache Weise mit Hilfe von Z¨ ahlerschaltungen digitalisieren lassen. Zeit- und Frequenzmessungen sind eng miteinander verkn¨ upft, da beide mit Hilfe von Z¨ahlern durchgef¨ uhrt werden. Man kann erreichen, daß der Meßfehler bei der Zeit- bzw. Frequenzmessung im wesentlichen auf die Ungenauigkeit der eingesetzten Zeitbasis beschr¨ ankt bleibt, deren Genauigkeit wiederum von dem dort verwendeten frequenzbestimmenden Element definiert wird. Dieses Frequenznormal basiert standardm¨ aßig auf einem Schwingquarz, der zur Erh¨ohung der Genauigkeit temperaturstabilisiert betrieben werden kann. Selbst mit einfachen nicht temperaturstabilisierten Uhrenquarzen sind relative Frequenzfehler von weniger als 10−5 m¨ oglich. Durch geeignete Temperaturregelungen lassen sich die relativen Fehler bez¨ uglich der Temperaturdrift sogar noch um drei bis vier Gr¨ oßenordnungen reduzieren. Pr¨azisionsfrequenzz¨ahler hingegen enthalten Rubidium-Elemente, die Genauigkeiten im Bereich 10−10 bis 10−11 erm¨oglichen. In speziell eingerichteten Laboratorien, wie z. B. der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig, werden bei der Zeitmessung sogar Genauigkeiten von 5 · 10−15 erzielt [11]. Wenn zeitlich ¨aquidistante Impulse (Pulsfolgefrequenz f ) eines Signals in einem Z¨ahler w¨ahrend eines Zeitintervalls T summiert werden (Abb. 12.1), ergibt sich der Z¨ahlerstand NX aus dem Produkt dieser beiden Gr¨oßen NX = f T .

(12.1)

Bei der Zeitmessung wird die Anzahl NX der Impulse eines frequenzstabilen Referenzsignals mit der Taktfrequenz fref mit Hilfe eines Z¨ahlers w¨ahrend der zu messenden Zeit TX gez¨ ahlt. Damit berechnet sich die Zeit TX zu TX =

NX . fref

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_12, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

(12.2)

374

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Abb. 12.1. a) Prinzipschaltbild der digitalen Zeit- bzw. Frequenzmessung, b) Zeitdiagramm

Bei der Frequenzmessung hingegen werden die w¨ahrend der Referenzzeit Tref (Torzeit) einlaufenden Impulse des Meßsignals gez¨ahlt. Aus dem Z¨ahlerstand NX und der mit hoher Genauigkeit vorgegebenen Torzeit Tref kann die Frequenz fX bestimmt werden NX fX = . (12.3) Tref

12.1 Mechanische Frequenzmessung Zur Messung der Netzfrequenz mit Hilfe mechanischer Meßwerke befinden sich teilweise noch die zur Kategorie der Vibrationsmeßwerke z¨ahlenden Zungenfrequenzmesser im Einsatz. Diese Meßwerke besitzen bewegliche Komponenten, die infolge elektromagnetischer Anregung in resonante Schwingungen versetzt werden. Nennenswerte Auslenkungen treten nur bei der jeweiligen (mechanischen) Resonanzfrequenz der Zungen auf. Beim Zungenfrequenzmesser ist vor den Polschuhen eines Elektromagneten ein Kamm aus weichmagnetischen Stahlzungen angeordnet, welche sich in bezug auf ihre Resonanzfre¨ quenz unterscheiden (Abb. 12.2). Diese Meßwerke dienen der Uberwachung eines schmalen Frequenzbandes, typischerweise 47 - 53 Hz bzw. 46 - 54 Hz, in dem die Netzversorgungsspannung liegt. Die Frequenzunterschiede der einzelnen Zungen liegen bei 0,5 Hz. Daneben gibt es auch Ausf¨ uhrungsformen f¨ ur andere Frequenzbereiche, z. B. 10 Hz - 2 kHz.

12.2 Digitale Frequenzmessung

375

Abb. 12.2. Aufbau eines Zungenfrequenzmessers [149]

12.2 Digitale Frequenzmessung Bei der digitalen Frequenzmessung wird das Meßsignal zun¨achst in einem als Impulsformer dienenden Schmitt-Trigger in eine Folge von Rechteckpulsen gewandelt. Diese Pulse werden w¨ ahrend einer definierten Meßzeit Tref , die durch einen Referenztakt, einen Frequenzteiler mit Teilerverh¨altnis Nref sowie ein Toggle-Flip-Flop vorgegeben wird, von einem Vorw¨artsz¨ahler zu einem Z¨ ahlerstand NX summiert. Die prinzipielle Schaltung zur digitalen Frequenzmessung wird in Abb. 12.3 gezeigt. Die zu messende Frequenz fX ergibt sich zu fref NX = NX . (12.4) fX = Tref Nref Der Z¨ahler muß zu Beginn jeder neuen Meßperiode zur¨ uckgesetzt werden. Es sei darauf hingewiesen, daß dieser R¨ ucksetzvorgang von der in Abb. 12.3 gezeigten Prinzipschaltung noch nicht automatisch vorgenommen wird. Soll das Verh¨altnis zweier Frequenzen gebildet werden, so ist dies mit Hilfe einer leicht modifizierten Schaltung (Abb. 12.4) ebenfalls m¨oglich. Analog zur einfachen digitalen Frequenzmessung kann das Frequenzverh¨altnis abgeleitet werden. Dazu ist in Gl. (12.4) fX durch f1 /N1 und Tref durch N2 /f2 zu ersetzen

Abb. 12.3. Digitale Frequenzmessung

376

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

f1 N1 = NX . f2 N2

(12.5)

Abb. 12.4. Messung eines Frequenzverh¨ altnisses

12.3 Digitale Zeitmessung 12.3.1 Zeitintervallmessung (Zeitdifferenzmessung) Bei der digitalen Zeitintervallmessung werden die von einem Taktsignal mit bekannter Referenzfrequenz w¨ ahrend der zu messenden Zeit TX in einen Z¨ahler einlaufenden Impulse gez¨ ahlt (Abb. 12.5). Der konstante Referenztakt wird von einem Rechteckoszillator geliefert, der sich durch hohe Frequenzstabilit¨at auszeichnet. Seine Pulse werden gez¨ ahlt, solange der zweite Eingang des UND-Gatters auf ′ 1′ liegt. Dieses zweite Eingangssignal entspricht dem Ausgangssignal eines RS-Flip-Flops, dessen Setzen und R¨ ucksetzen mit der jeweils ansteigenden Flanke des Start- bzw. Stopsignals erfolgt. Wird das RS-FlipFlop zur¨ uckgesetzt, sperrt das Gatter und der Z¨ahler wird gestoppt. Aus dem Z¨ ahlerstand NX und der bekannten Referenzfrequenz fref kann das Zeitintervall TX gem¨aß 1 NX (12.6) TX = fref ermittelt werden. F¨ ur den Fall, daß Start- und Stop-Signal auf ein und derselben Leitung einander folgen, wird anstatt des RS-Flip-Flops ein T-Flip-Flop eingesetzt (Abb. 12.6). Infolge eines anf¨ anglichen Resetsignals erscheint am Eingang des ersten T-Flip-Flops ein ′ 1′ -Signal. Daraufhin wird mit der n¨achsten ansteigenden Flanke des Meßsignals (Start-Marke) der Ausgang des ersten T-Flip-Flops auf ′ 1′ gesetzt und bewirkt damit u ¨ber das UND-Gatter das Durchschalten des Referenztaktsignals auf den Z¨ ahler. Die n¨achste ansteigende Flanke des Meßsignals (Stop-Marke) stoppt den Z¨ ahlvorgang durch R¨ ucksetzen des ersten T-Flip-Flops und das damit einhergehende Sperren des UND-Gatters.

12.3 Digitale Zeitmessung

Abb. 12.5. Digitale Zeitintervallmessung mit getrennten Signalleitungen: a) Prinzipschaltbild, b) Zeitdiagramm

377

Start-/Stop-

Das gleichzeitige R¨ ucksetzen von T1 = Q2 = 1 auf T1 = Q2 = 0 bewirkt, daß das erste T-Flip-Flop bis zum n¨ achsten Resetimpuls verriegelt wird und nur noch Speicherwirkung hat, woraufhin die Schaltung auf keine weiteren Startbzw. Stopimpulse mehr reagiert. Aus Genauigkeitsgr¨ unden sollte die Taktfrequenz m¨oglichst hoch liegen, da die unweigerlich vorhandene Unsicherheit des Z¨ahlerstandes bei ±1 liegt. Dieser sog. Quantisierungsfehler ist stets vorhanden, weil die Phasenlage zwischen Takt und den Intervallgrenzen des Zeitintervalls TX i.allg. nicht koh¨arent ist, was zu einer absoluten Meßzeitunsicherheit ∆TX f¨ uhrt. Der daraus resul-

Abb. 12.6. Signalleitung

Digitale

Zeitintervallmessung

mit

gemeinsamer

Start-/Stop-

378

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

tierende relative Meßfehler betr¨ agt ∆TX ±1 1 1 = TX NX = NX = fref TX .

(12.7)

Gleichung (12.7) sagt aus, daß der Fehler umso kleiner wird, je h¨oher die Taktfrequenz fref und je l¨ anger das Zeitintervall TX ist. Bei der Messung kleinerer Zeitintervalle werden daher oft sog. Zeitexpander eingesetzt. Ein Zeitexpander f¨ uhrt analog zu einem Frequenzteiler eine Zeittransformation durch, d. h. ein kurzes Zeitintervall wird in ein l¨angeres u uhrt. Beim Schwebungsfrequenz-Zeitexpander werden zwei phasen¨berf¨ starr verbundene Rechteckoszillatoren G1 und G2 mit den Pulsfolgefrequenzen f1 = 1/T1 und f2 = 1/T2 vom Start- bzw. vom Stop-Signal des zu messenden Zeitintervalls TX gestartet (Abb. 12.7). Dabei wird vorausgesetzt, daß das Zeitintervall TX k¨ urzer ist als die Periodendauer T1 . Da die Pulsfolgefrequenz f2 geringf¨ ugig gr¨oßer ist als f1 , wird nach einer Zeit TKoinzidenz erstmalig die Phasenkoinzidenz der beiden Oszillatoren erreicht sein. Wenn man von Rundungsfehlern absieht, kann die Koinzidenzzeit TKoinzidenz wie folgt berechnet werden TKoinzidenz = TX + NX T2 = NX T1 . (12.8)

Abb. 12.7. Zeitdiagramm eines Schwebungsfrequenz-Zeitexpanders (Rundungsfehler außer acht gelassen)

Das zu messende Zeitintervall TX und das Zeitexpansions-Verh¨altnis dt ergeben sich zu TX = NX (T1 − T2 ) TKoinzidenz T1 dt = = . TX T1 − T2

(12.9) (12.10)

Abbildung 12.8 zeigt eine entsprechende Schaltung mit den dazugeh¨origen

12.3 Digitale Zeitmessung

379

Signalverl¨aufen. Nach einem anf¨ anglichen Resetsignal ist die Schaltung vorbereitet, die Start- und Stop-Marke des zu messenden Zeitsignals TX in Form einer ansteigenden bzw. abfallenden Flanke eines Rechteckpulses u ¨ber die Leitung uE zu empfangen. Das T1 -Flip-Flop startet daraufhin den Generator G1 , w¨ ahrend das T2 -Flip-Flop nach Ablauf des Zeitintervalls TX den Generator G2 in Gang setzt. Der Schaltung kommt nun noch die wesentliche Aufgabe zu, zu erkennen, wann die erste ansteigende Taktflanke des G2 -Signals (geringf¨ ugig) fr¨ uher eintrifft als die korrespondierende Flanke des G1 -Signals. Dann n¨amlich

Abb. 12.8. Schwebungsfrequenz-Zeitexpander: a) Prinzipschaltung, b) Signalverl¨ aufe

380

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

ist der Z¨ahler, der die G1 -Pulse z¨ ahlt, zu stoppen und der Z¨ahlerstand zur Auswertung nach Gl. (12.9) heranzuziehen. Schaltungstechnisch wird dies durch die R¨ uckkopplung der Q3 - und Q4 -Ausg¨ange erreicht. Dadurch kann das T4 -Flip-Flop erstmals kippen (dazu muß T4 = 1 sein und gleichzeitig eine positive Taktflanke am Takteingang anliegen), wenn die ansteigende G2 Taktflanke fr¨ uher eintrifft als die korrespondierende des G1 -Signals. Dies wird m¨ oglich, da diese (korrespondierende) G1 -Taktflanke jedesmal das T3 -FlipFlop auf Q3 = 1 bzw. Q3 = 0 schaltet, sodaß das T4 -Flip-Flop wegen T4 = 0 gegen ein Umschalten verriegelt wird. Erst bei einem fr¨ uheren Eintreffen findet die ansteigende G2 -Flanke ein mit T4 = 1 umschaltbares T4 -Flip-Flop vor. Durch diesen Schaltvorgang wird der Z¨ ahler u ¨ber das UND-Gatter an seinem Eingang gestoppt. Gleichzeitig kann anhand des Q4 -Signals erkannt werden, wann die Messung zu Ende ist. 12.3.2 Periodendauermessung Bei der Periodendauermessung wird das Meßsignal uE (t) von einem SchmittTrigger zun¨achst in ein Rechtecksignal mit derselben Periodendauer umgeformt. Die beiden T-Flip-Flops der in Abb. 12.9 gezeigten Schaltung bewirken, daß bei einer ansteigenden Flanke der Signalspannung uSt das Q1 -Signal ¨ auf ′ 1′ geht, wenn vorher beide Flip-Flops zur¨ uckgesetzt waren. Uber das am UND-Gatter anliegende Q1 -Signal (Q1 = 1) wird der Z¨ahler dadurch f¨ ur genau eine Periode der Dauer TX ge¨ offnet (Abb. 12.9b). Aus dem w¨ahrend dieser

Abb. 12.9. Periodendauermessung: a) Prinzipschaltbild, b) Zeitdiagramm

12.4 Digitale Phasenwinkelmessung

381

Periode erhaltenen Z¨ ahlerstand NX kann die zu messende Periodendauer TX ermittelt werden NX TX = . (12.11) fref Nach Ablauf dieser Periode wird das T1 -Flip-Flop u ¨ber das Q2 -Signal (Q2 = 0) f¨ ur weitere Messungen gesperrt, bis die beiden T-Flip-Flops u ¨ber ein gemeinsames Resetsignal wieder zur¨ uckgesetzt werden.

12.4 Digitale Phasenwinkelmessung Bei der digitalen Phasenwinkelmessung soll die Phasenwinkeldifferenz ϕX zwischen zwei Sinusspannungen u1 (t) und u2 (t) derselben Frequenz

Abb. 12.10. Digitale Phasenwinkelmessung: a) Prinzipschaltbild, b) Zeitdiagramm

382

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

u1 (t) = uˆ1 sin ωt

(12.12)

u2 (t) = uˆ2 sin(ωt + ϕX )

(12.13)

bestimmt werden. Eine solche Phasendifferenzmessung kann auf die Messung der Zeitdifferenz ϕX TX = , (12.14) ω die zwischen zwei gleichsinnigen Nulldurchg¨ angen der beiden Sinusspannungen vergeht, zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Die Zeitdifferenz TX kann mit Hilfe der in Abb. 12.10a gezeigten Schaltung gemessen werden. Abbildung 12.10b soll die prinzipielle Funktionsweise anhand der Signalverl¨aufe erl¨autern. Der Phasenwinkel ϕX ergibt sich aus dem Z¨ ahlerstand NX und der Kreisfrequenz ω des Eingangssignals 1 NX . (12.15) ϕX = ωTX = ω fref

12.5 Rechnender Z¨ ahler Rechnende Z¨ahler enthalten zwei Z¨ ahlwerke, welche die Pulse vom Referenztaktsignal und Meßsignal getrennt z¨ ahlen (Abb. 12.11). Die Steuerfunktion sowie die numerische Auswertung u ¨bernimmt ein Mikrocomputer. Der rechnende Z¨ahler mißt Frequenz und Periodendauer auf die gleiche Weise, wobei bei beiden Messungen die Eingangsimpulse und die Pulse des Referenztaktsignals gez¨ahlt werden. Anschließend wird die Frequenz fX des Meßsignals aus dem Quotienten der beiden Z¨ ahlerst¨ ande NX und NY berechnet fX =

NX fref . NY

(12.16)

Der Kehrwert 1/fX entspricht der Periodendauer des Eingangssignals. Wenn die Messung mit dem Meßsignal uE synchronisiert wird, bezeichnet man die Messung als eingangssynchronisierte oder reziproke Messung; erfolgt die Synchronisierung hingegen mit dem Referenztakt der Zeitbasis, spricht man von taktpulssynchronisierter oder konventioneller Messung.

Abb. 12.11. Rechnender Z¨ ahler

12.7 Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer)

383

12.6 Zeit-Spannungs-Umsetzer (t/U-Umsetzer) Wenn die Impulsdauer der Informationstr¨ ager eines Meßsignals ist (Pulsdauermodulation, Kap. 1.6), kann der Meßwert mit Hilfe eines Zeit-SpannungsUmsetzers (t/U-Umsetzer), der im einfachsten Fall aus einem RC-Tiefpaß besteht, in eine analoge Spannung zur¨ uckgewandelt werden. Wenn n¨amlich das pulsdauermodulierte Signal uE (Rechteckpulsfolge mit konstanter Taktfrequenz 1/T0 und konstanter Amplitude U0 ) einem RC-Tiefpaß zugef¨ uhrt wird, kann an dessen Ausgang eine Spannung abgegriffen werden, deren zeitlicher Mittelwert u ¯A proportional der Pulsl¨ ange TX ist (Abb. 12.12) Z T0 Z TX 1 TX 1 . (12.17) u ¯A = u ¯E = uE (t) dt = U0 dt = U0 T0 0 T0 0 T0 Bez¨ uglich der Zeitkonstanten des RC-Gliedes ist ein Kompromiß zu schließen zwischen dem Aufl¨ osungsverm¨ ogen, das von der Restwelligkeit begrenzt wird, und der Anzeigegeschwindigkeit, d. h. der Tr¨ agheit beim Einstellen auf neue Meßwerte.

Abb. 12.12. RC-Tiefpaß als einfacher Zeit-Spannungs-Umsetzer

12.7 Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer) Wenn die Frequenz der Informationstr¨ ager des Meßsignals ist (Frequenzmodulation, Kap. 1.6), wird zur analogen Weiterverarbeitung der Meßwerte eine Frequenz-Spannungs-Umsetzung notwendig. Zur Analoganzeige drehzahlproportionaler Frequenzsignale wird beispielsweise oft ein mittelwertbildender Frequenz-Spannungs-Umsetzer (f/U-Umsetzer) eingesetzt (Abb. 12.13). Nach eventueller Pulsformung durch einen Schmitt-Trigger wird auf die Eingangsflanke eines jeden Pulses hin ein Rechteckpuls definierter zeitlicher L¨ange T0 und Amplitude U0 erzeugt. Dies geschieht mit Hilfe einer monostabilen Kippstufe (Kap. 11.4). Der zeitliche Mittelwert der Ausgangsspannung uA ist proportional der momentanen Puls-Frequenz fX der Eingangsspannung uE Z TX Z T0 1 1 u ¯A = uAM (t) dt = U0 dt = U0 T0 fX . (12.18) TX 0 TX 0

384

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Die zeitliche Mittelwertbildung erfolgt wiederum mit Hilfe eines RC-Tiefpasses. Abbildung 12.13 zeigt das entsprechende Blockschaltbild der Gesamtschaltung, bestehend aus Impulsformer (Schmitt-Trigger), monostabiler Kippstufe (Monoflop) und RC-Tiefpaß, sowie den Spannungsverlauf uAM (t) f¨ ur verschiedene Zeitverl¨aufe der Eingangsspannung uE . Ein solcher Frequenz-SpannungsUmsetzer wird in der Meßtechnik auch oft als Z¨ahlratenmesser verwendet. Die Welligkeit der Ausgangsspannung kann bei geringen Z¨ahlraten bzw. kleiner Zeitkonstante sehr ausgepr¨ agt sein. Die Zeitkonstante l¨aßt sich allerdings nicht beliebig erh¨ohen, da sich die Schaltung sonst unter Umst¨anden nicht mehr schnell genug auf die aktuelle Z¨ ahlrate einstellen kann.

Abb. 12.13. Frequenz-Spannungs-Umsetzer: a) Prinzipschaltbild, b) Signalverl¨ aufe f¨ ur zwei verschiedene Eingangsspannungen

12.8 Oszillatoren 12.8.1 Grundlagen Unter dem Begriff Oszillator versteht man in der Elektrotechnik eine Schaltung, die der Erzeugung unged¨ ampfter Schwingungen mit definierter Frequenz und konstanter Amplitude dient. Der Schwingungserzeuger (Oszillator) erscheint dabei in einem elektrischen Netzwerk als ein aus aktiven und passiven Bauelementen bestehender Zwei- oder Vierpol. Der Begriff Oszillator ist aber nicht auf das Gebiet der Elektrotechnik beschr¨ankt. So bezeichnet ein Oszillator allgemein ein schwingendes Gebilde, wie z. B. das einfache MasseFeder-System, welches einen typischen mechanischen Oszillator repr¨asentiert. Man unterscheidet zwischen harmonischen Oszillatoren und Relaxationsoszillatoren. Harmonische Oszillatoren erzeugen Schwingungen mit harmonischem

12.8 Oszillatoren

385

(sinusf¨ormigem) Zeitverlauf, w¨ ahrend die Relaxationsoszillatoren zur Generierung von Schwingungen mit nicht-sinusf¨ ormigem Zeitverlauf, z. B. Rechteckspannungen, herangezogen werden. Zur Erzeugung harmonischer Schwingungen ist eine R¨ uckstellkraft erforderlich, die proportional mit der Auslenkung (Schwingungsgr¨oße) zunimmt. Beim mechanischen Masse-Feder-Oszillator ergibt sich diese R¨ uckstellkraft aus dem Hookeschen Gesetz F = cx . (12.19) Dabei bezeichnen F die mechanische Kraft, die stets zur Gleichgewichtslage hin gerichtet ist, c die Federkonstante und x die Auslenkung. In Verbindung mit dem Newtonschen Gesetz ergibt sich die Schwingungsdifferentialgleichung f¨ ur das Masse-Feder-System wie folgt m

d2 x + cx = 0 . dt2

(12.20)

Dabei bezeichnen m die Masse des Schwingers und t die Zeitvariable. Die L¨ osung von Gl. (12.20) liefert die harmonische Schwingung in Form einer zeitlich sinusf¨ormigen Auslenkung ˆ sin(ω0 t + ϕ) x(t) = X

(12.21)

ˆ und ϕ sowie der Schwingkreisfrequenz ω0 (Resonanzmit den Konstanten X kreisfrequenz) r c . (12.22) ω0 = m Analog dazu ergibt sich folgende Differentialgleichung f¨ ur den elektrischen LC-Schwingkreis (Parallelkreis) C

1 d2 u + u=0. 2 dt L

(12.23)

In Gl. (12.23) bezeichnen C die Kapazit¨ at, L die Induktivit¨at und u die Spannung an den beiden (parallelgeschalteten) Elementen. Die L¨osung ergibt sich analog zu Gl. (12.21) ˆ sin(ω0 t + ϕu ) u(t) = U (12.24) mit

1 ω0 = √ . LC

(12.25)

Harmonische Oszillatoren werden oft auch direkt als Sinusgeneratoren bezeichnet. Im Gegensatz zu den harmonischen Oszillatoren dienen die Relaxationsoszillatoren der Erzeugung periodischer Signale mit nicht-sinusf¨ormigem Verlauf, insbesondere werden sie zum Generieren von periodischen Rechteck- und Dreiecksignalen herangezogen. Die Schaltungen von Relaxationsoszillatoren

386

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

besitzen als zentrale Komponente einen Komparator mit Hysterese, der im gleichm¨aßigen zeitlichen Wechsel seine beiden Ausgangsspannungszust¨ande +UAmax bzw. −UAmax annimmt und damit eine periodische Rechteckspannung erzeugt (Kap. 12.8.4). 12.8.2 Harmonische Oszillatoren Harmonische Oszillatoren bestehen aus einem Verst¨arker mit der komple¨ uckkopplungsschleife (Mitkoppxen Ubertragungsfunktion V (ω) und einer R¨ ¨ lung) mit der komplexen Ubertragungsfunktion K(ω) (Abb. 12.14). Die Gesamt¨ ubertragungsfunktion des r¨ uckgekoppelten Systems lautet UA V . = UE 1−V ·K

(12.26)

Abb. 12.14. Prinzip einer harmonischen Oszillatoranordnung

Die Schwingbedingung ist erf¨ ullt, wenn sich f¨ ur ein verschwindendes Eingangssignal (U E → 0) eine harmonische Ausgangsspannung U A mit konstanter Amplitude einstellt. Die Schwingbedingung ergibt sich aus der Polstelle der Gesamt¨ ubertragungsfunktion nach Gl. (12.26) V ·K =1.

(12.27)

Wenn man Gl. (12.27) nach Betrag und Phase aufspaltet, ergeben sich zwei Bedingungen, n¨amlich die Amplitudenbedingung | V |= | K |−1

(12.28)

ϕV + ϕK = 2πk ,

(12.29)

und die Phasenbedingung wobei k eine ganze Zahl ist. Als Beispiel f¨ ur einen typischen Vertreter eines harmonischen Oszillators wird im folgenden Abschnitt der LC-Oszillator besprochen.

12.8 Oszillatoren

387

12.8.3 LC-Oszillator Abbildung 12.15 zeigt einen mit einem Operationsverst¨arker aufgebauten LC-Oszillator, der im eingeschwungenen Zustand eine sinusf¨ormige Ausgangsspannung mit konstanter Frequenz und Amplitude liefert. Im weiteren wird ein idealer Operationsverst¨ arker mit verschwindender Eingangsdifferenzspannung (uD = 0) angenommen. Der Oszillator besteht also aus einem Elektrometerverst¨arker mit der reellen Verst¨ arkung V = V V =

UA , UC

(12.30)

die sich aus dem Verh¨ altnis der beiden Widerst¨ande R2 und R3 des Ausgangsspannungsteilers ergibt R2 + R3 . (12.31) V = R3

Abb. 12.15. Operationsverst¨ arker-Schaltung eines LC-Oszillators

Andererseits bilden der LC-Parallelschwingkreis, dessen Zweipol-Impedanz mit Z LC bezeichnet werden soll, und der ohmsche Widerstand R1 einen Span¨ uckkoppel-Netzwerkes nungsteiler, welcher die Ubertragungsfunktion K des R¨ definiert K=

Z LC 1 UC = = UA Z LC + R1 1 + ZR1

LC

=

1 1+

R1 (1−ω 2 LC) jωL

.

(12.32)

Entsprechend der Schwingbedingung V · K = 1 nach Gl. (12.27) folgt aus Gl. (12.32) 1 R2 + R3 =1. (12.33) R1 (1−ω02 LC) R3 1+ jω0 L

Gleichung (12.33) ist erf¨ ullt, wenn der Realteil des Ausdruckes auf der linken Seite gleich Eins wird und der Imagin¨ arteil verschwindet.

388

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Daraus folgt

R2 + R3 =V =1 R3 und die Resonanzkreisfrequenz ω0 des Oszillators 1 ω0 = √ . LC

(12.34)

(12.35)

Wenn also der Widerstand R2 zur Erf¨ ullung von Gl. (12.34) R2 = 0 gew¨ahlt wird, stellt sich eine stabile harmonische Schwingung mit konstanter Amplitude ein. Die Frequenz f0 (Resonanzfrequenz) dieser Spannung betr¨agt gem¨aß Gl. (12.35) 1 1 1 √ ω0 = . (12.36) f0 = 2π 2π LC Die diese Schwingung beschreibende allgemeine (d.h. die Schwingbedingung muß nicht erf¨ ullt sein) Differentialgleichung erh¨alt man, wenn man die Knotengleichung am nicht-invertierenden Eingang des Operationsverst¨arkers aufstellt, d. h. es m¨ ussen die drei in den Knoten einfließenden Teilstr¨ome von Kondensator C, Spule L und Widerstand R1 in Summe Null ergeben. Damit erh¨alt man die folgende Differentialgleichung   Z t duC (t) 1 uA (t) − uC (t) (12.37) −C − uC (t′ ) dt′ − iL (t0 ) = 0 . R1 dt L t0 Mit dem (reellen) Verst¨ arkungsgrad V =

uA (t) uC (t)

(12.38)

folgt aus Gl. (12.37) nach Differentiation d2 uC 1 − V duC 1 + · + · uC = 0 . 2 dt R1 C dt LC

(12.39)

Der f¨ ur den Oszillatorbetrieb relevante Fall α2 < ω02 f¨ uhrt zu folgender L¨osung der Differentialgleichung q  −αt 2 2 ˆ ω0 − α · t + ϕuC , uC (t) = U e sin (12.40) wobei gilt

1−V . 2R1 C Demnach hat man die folgenden drei F¨ alle zu unterscheiden: α=

(12.41)

1. V < 1, d. h. α > 0 Die Amplitude der Ausgangsspannung nimmt exponentiell mit der Zeit ab, d. h. die Schwingung ist ged¨ ampft.

12.8 Oszillatoren

389

2. V = 1, d. h. α = 0 Dies ist der bereits oben behandelte Fall einer Sinusschwingung mit konstanter Amplitude und der Frequenz f0 . Mit diesem Wert f¨ ur α bzw. V ist die Schwingbedingung exakt erf¨ ullt. 3. V > 1, d. h. α < 0 Bei Verst¨arkungsgraden V > 1 steigt die Amplitude der Ausgangsspannung exponentiell an. Dieser Zustand ist lediglich in der Einschaltphase (Anschwingphase) erw¨ unscht. Der exponentielle Anstieg wird automa¨ tisch durch die daraus resultierende Ubersteuerung des Verst¨arkers beendet, woraufhin sich stets automatisch der gew¨ unschte stabile Zustand (Verst¨arkungsgrad V = 1) einstellt. 12.8.4 Relaxationsoszillatoren Relaxationsoszillatoren sind auch unter den Namen Multivibratoren bzw. astabile Kippstufen bekannt. Sie sind in der Lage, eine Folge von Dreieck- oder Rechteckpulsen zu liefern. Die frequenzbestimmenden Komponenten sind Widerst¨ande, Kapazit¨ aten oder auch Spannungen. Daher werden Relaxationsoszillatoren oft auch zur Messung dieser Gr¨ oßen eingesetzt, insbesondere in der Sensortechnik bei der Messung nicht-elektrischer Gr¨oßen. Abbildung 12.16 zeigt zwei prinzipielle Schaltungsvarianten von Funktionsgeneratoren zur gleichzeitigen Erzeugung von Dreieck- und Rechtecksignalen. Bei der Schaltungsvariante nach Abb. 12.16a wird je nach Schalterstellung ein Kondensator mit dem Konstantstrom +Iref bzw. −Iref aufgeladen. Die am Kondensator anliegende Spannung uC (t) kann am Ausgang des nachgeschalteten Impedanzwandlers abgegriffen werden. F¨ ur das Zeitintervall 0 ≤ t ≤ T /4 folgt Z 1 1 t (12.42) Iref dt′ = Iref t . uC (t) = C 0 C ˆA1 des Komparators zur Zeit t = T /4 Nach Erreichen der Schaltschwelle +U (Abb. 12.16c) wird die Polarit¨ at des Ladestromes gewechselt und der KonˆA1 entladen. Der Komdensator wird bis auf den negativen Schwellwert −U paratorausgang liefert infolge dieser st¨ andigen Polarit¨atswechsel eine Rechteckspannung uA2 mit der Frequenz f , welche mit der der Dreieckspannung identisch ist Iref . (12.43) f= ˆA1 4C U

Bei der Schaltungsvariante nach Abb. 12.16b sind die zwei Stromquellen durch Spannungsquellen ersetzt worden, die alternierend an den Eingang eines integrierenden Verst¨arkers angeschlossen werden. Dadurch ergibt sich das gleiche Verhalten wie das der Schaltungsvariante nach Abb. 12.16a. Ein einfacher Multivibrator l¨ aßt sich bereits mit Hilfe eines mit einem RCGlied r¨ uckgekoppelten Operationsverst¨ arkers realisieren (Abb. 12.17). Wenn wir annehmen, daß zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung am Kondensator

390

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Abb. 12.16. Prinzipieller Aufbau von Multivibratoren (Generatoren zur Erzeugung von Dreieck- und Rechteckspannungen): a) Schaltung mit Konstantstromladung eines Kondensators, b) Schaltung mit Integrator, c) Ausgangssignalverl¨ aufe

uC = UK2 und die Ausgangsspannung uA = +UB sind, l¨adt sich der Kondensator C u ¨ber den Widerstand R auf. Zum Zeitpunkt t = T /2 wird die Umschaltschwelle UK1 erreicht UK1 = UB

R2 . R1 + R2

(12.44)

Dabei kippt der Operationsverst¨ arkerausgang infolge der Mitkopplung auf uA = −UB , woraufhin der Kondensator entladen wird. Zum Zeitpunkt t = T

Abb. 12.17. Multivibrator mit Operationsverst¨ arker: a) Schaltbild, b) Spannungsverl¨ aufe

12.8 Oszillatoren

391

wird die negative Schwellenspannung UK2 = −UK1 erreicht und die Komparatorausgangsspannung springt wieder auf uA = +UB . Auf diese Weise entsteht ein Rechtecksignal mit den Amplituden ±UB . Die Periodendauer T dieser Rechteckspannung l¨ aßt sich anhand des Zeitverlaufes der Kondensatorspannung uC (t) errechnen, welche sich f¨ ur den Aufladevorgang wie folgt ergibt (Abb. 12.17)   R1 + 2R2 − t RC uC (t) = UB 1 − . (12.45) e R1 + R2 Weiterhin gilt   T = UK1 uC 2     T R1 + 2R2 −T /2RC R2 uC = UB 1 − = UB e . 2 R1 + R2 R1 + R2

(12.46) (12.47)

Da die beiden Schwellenspannungen UK1 und UK2 betragsm¨aßig gleich sind, kann aus Gl. (12.47) die Periodendauer T abgeleitet werden   2R2 . (12.48) T = 2RC ln 1 + R1 F¨ ur R2 = R1 vereinfacht sich Gl. (12.48) zu T = 2RC ln 3 ≈ 2, 2RC .

(12.49)

Eine alternative Realisierung eines Multivibrators basiert auf zwei Digitalinvertern und einem RC-Glied. Die entsprechende Schaltung mit Signalverl¨aufen ist in Abb. 12.18 dargestellt. In dieser Schaltung repr¨asentieren die Spannungen u2 und uA Digitalsignale, wobei die Ausgangsspannung uA stets dem

u2

1

uA

1

u1 3 U 2 0 U0 USW = 2 - U0 2

C

R

t

u2

u1

t

uA

a)

b)

Τ/2

Τ/2

t

Abb. 12.18. Multivibrator mit Invertern: a) Schaltbild, b) Signalverl¨ aufe (USW bezeichnet die Schaltschwelle des Komparators (ohne Hysterese) am Eingang.)

392

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

logisch negierten Wert von u2 entspricht (Abb. 12.18b). Demzufolge wird der Kondensator u ¨ber den Widerstand abwechselnd geladen und entladen. Wenn die Schaltschwelle USW des Komparators genau in der Mitte zwischen den beiden Ausgangspegeln liegt, ergibt sich die Schwingungsdauer wiederum zu T = 2RC ln 3 ≈ 2, 2RC .

(12.50)

12.8.5 Quarzoszillator Die Genauigkeit bei der digitalen Zeit- bzw. Frequenzmessung h¨angt neben dem Quantisierungsfehler im wesentlichen von der Genauigkeit der verwendeten Referenzfrequenz bzw. Referenzzeit ab. Der bei einer Messung erhaltene Z¨ahlerstand N = f T ist sowohl proportional der Meßzeit T als auch proportional der Meßfrequenz f . Bei der digitalen Zeitmessung muß also die Referenzfrequenz fref und bei der digitalen Frequenzmessung die Referenzzeit Tref konstant gehalten werden. Im Rahmen praktischer Schaltungen wird dies in beiden F¨allen im allgemeinen durch einen Quarzoszillator gew¨ahrleistet, an dessen Frequenzkonstanz demzufolge hohe Anforderungen gestellt werden. Daf¨ ur geeignete piezoelektrische Resonatoren bestehen u ¨blicherweise aus nat¨ urlichen Quarzkristallen (SiO2 ) mit bestimmter Kristallorientierungsrichtung und definierten geometrischen Abmessungen.

Abb. 12.19. Quarzkristallschnitte: a) Quarzkristall (SiO2 ) mit seinen Achsen und Darstellung der Orientierung des AT- sowie des BT-Schnittes, b) Schnittwinkel θ und ϕ zwischen Schwingquarz und optischer (z) Achse bzw. elektrischer (x) Achse

12.8 Oszillatoren

393

Schwingquarze sind d¨ unne Pl¨ attchen, die mit bestimmter Orientierungsrichtung aus einem einkristallinen piezoelektrischen Quarzmaterial herausgeschnitten und mit Elektroden versehen werden (Abb. 12.19). Die Winkel, unter denen die Quarzpl¨ attchen in bezug auf die optische, mechanische und elektrische Achse aus dem nat¨ urlichen Quarzkristall herausgeschnitten werden, legt die f¨ ur eine Anwendung als frequenzbestimmendes Element relevanten Eigenschaften des Quarzschwingers fest. Solche Quarzschwinger sind spezielle piezoelektrische Wandler, die im interessierenden Frequenzbereich eine scharfe Resonanzstelle aufweisen, bei welcher der Schwinger in mechanische Resonanz ger¨at. Genauer gesagt, handelt es sich dabei infolge des piezoelektrischen Effektes (und der daraus resultierenden Verkopplung von mechanischer und elektrischer Energie) um ein Resonanzstellenpaar, welches aus einer sog. Parallelresonanz (mit fp bezeichnet) und einer sog. Serienresonanz (mit fs bezeichnet) besteht. In der Serienresonanz schwingt das Quarzpl¨attchen, wenn seine Elektroden elektrisch kurzgeschlossen werden, w¨ahrend es in Parallelresonanz angeregt wird, wenn die beiden elektrischen Kontakte unbeschaltet bleiben bzw. sehr hochohmig abgeschlossen werden, d. h. wenn der Schwinger im elektrischen Leerlauf betrieben wird. Man kennt verschiedene Standard-Quarzschwingertypen, die sich in Kristallrichtung sowie geometrischer Gestalt und damit auch in bezug auf ihre charakteristische Schwingungsform und Schwingfrequenz unterscheiden. So setzt man beispielsweise Biegeschwinger (NT-Schnitt) im Frequenzbereich zwischen 1 und 80 kHz ein, w¨ ahrend die Fl¨achenscherschwinger (CT- oder DT-Schnitt) den daran anschließenden Frequenzbereich von 100 kHz bis knapp unterhalb 1 MHz abdecken (Abb. 12.20b). Die L¨angsschwinger (GT-Schnitt) arbeiten, in dem diese Frequenzbereiche u ¨berlappenden Intervall von etwa 50 - 200 kHz. Der am h¨aufigsten verwendete Quarzschwinger ist der Dickenscherschwinger (AT-Schnitt), dessen Grundmode-Schwingungsform in Abb. 12.20a gezeigt (n) wird. Er f¨ uhrt Dickenscherschwingungen aus, deren Resonanzfrequenzen fp (Parallelresonanz) n¨ aherungsweise durch

Abb. 12.20. Schwingungsformen von Standard-Quarzschnitten: a) AT-Schnitt (Dickenscherschwinger, b) CT-Schnitt und DT-Schnitt (Fl¨ achenscherschwinger)

394

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

fp(n)

n nc = = 2d 2d

s

cD 66 ̺

n = 1, 2, 3, . . .

(12.51)

gegeben ist. Dabei bezeichnen d die Dicke des Quarzpl¨attchens, ̺ seine Dichte, cD 66 den maßgebenden elastischen Schermodul und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Scherwelle und n die Ordnung der Harmonischen. Das (1) Produkt aus Grundwellenresonanzfrequenz fp und Schwingerdicke d ist eine Konstante, die sog. Frequenzkonstante N , deren Wert sich aus den Materialdaten des verwendeten Schwingquarzes ergibt  ur AT-Schnitt  1, 67 MHz mm f¨ . (12.52) fp(1) d = N =  2, 50 MHz mm f¨ ur BT-Schnitt

Der typischerweise genutzte Frequenzbereich von Dickenscherschwingern reicht von einigen hundert Kilohertz bis zu etwa 25 MHz in der Grund- und etwa 200 MHz in der 9. Oberwelle. Detaillierte Beschreibungen des mechanischen und elektrischen Verhaltens von Schwingquarzen findet man in der einschl¨agigen Literatur [23], [164], [90], [91], [92], [153]. Das vereinfachte elektrische Ersatzschaltbild eines Quarzschwingers sowie der Verlauf der elektrischen Impedanz Z Q (ω) = R(ω) + jX(ω) werden in Abb. 12.21 gezeigt. In diesem Ersatzschaltbild, welches das Verhalten des Schwingquarzes in der Umgebung der Grundschwingung (Grundwellenreso(1) nanz) fp = fp approximativ beschreibt, bedeuten C0 die statische Parallelkapazit¨at (Kapazit¨ at, wenn der Quarz nicht schwingt), C1 die dynamische Kapazit¨at, L1 die dynamische Induktivit¨ at und R1 den dynamischen Verlustwiderstand. Die komplexe Eingangsadmittanz Y Q (ω) zwischen den Eingangsklemmen ergibt sich aus dem Schaltbild

Abb. 12.21. Schwingquarz: a) Schaltzeichen, b) Elektrisches Ersatzschaltbild (Typische Werte f¨ ur einen 1-MHz-Schwingquarz sind: C0 = 60 pF, C1 = 0, 016 pF, L1 = 1, 5 H, R1 = 60 Ω), c) Wirk- und Blindanteil der Eingangsimpedanz eines Schwingquarzes mit den unter b) angegebenen Werten der Ersatzschaltbildelemente C0 , C1 und L1 . Der Widerstandswert R1 wurde, um die Details des Impedanzdiagrammes besser aufl¨ osen zu k¨ onnen, mit R1 = 600 Ω angenommen, was zu einer um den Faktor 10 reduzierten G¨ ute f¨ uhrt.

12.8 Oszillatoren

Y Q (ω) = G(ω) + jB(ω) Y Q (ω) =



R1

R12 + ωL1 −

1 ωC1



 2 + j ωC0 −

395

(12.53) 

1 ωL1 − ωC  1 2  .  1 2 R1 + ωL1 − ωC1

(12.54)

Der Verlustwiderstand R1 kann bei Schwingquarzen aufgrund ihrer hohen G¨ ute i. allg. vernachl¨ assigt werden, so daß sich die Eingangsimpedanz des Quarzes Z Q wie folgt vereinfacht Z Q ≈ jX =

j ω 2 L1 C1 − 1 . ω C0 + C1 − ω 2 L1 C1 C0

(12.55)

Bei der Parallelresonanzfrequenz fp des Quarzes strebt der Reaktanzanteil der Eingangsimpedanz gegen unendlich (X → ∞). Damit l¨aßt sich fp aus der Polstelle der Funktion Z Q (Gl. (12.55)) ermitteln 1 √ fp = 2π L1 C1

r

1+

C1 . C0

(12.56)

Bei der Serienresonanzfrequenz fs des Quarzes verschwindet hingegen der Reaktanzanteil (X = 0) (Abb. 12.21c). Dementsprechend ergibt sich fs aus der Nullstelle des Z¨ahlers von Gl. (12.55) fs =

1 1 √ . 2π L1 C1

(12.57)

Der relative Frequenzabstand zwischen Parallel- und Serienresonanz ergibt sich unter Ber¨ ucksichtigung der in der Praxis gegebenen Kapazit¨atsverh¨altnisse (C1 ≪ C0 ) zu fp − fs 1 C1 ≈ . (12.58) fs 2 C0 Die G¨ ute Q, die dem Reziprokwert des tan δs = R/X entspricht, l¨aßt sich ebenfalls aus den Elementen des elektrischen Ersatzschaltbildes bestimmen. r L1 1 1 Q= = . (12.59) tan δs R1 C1 Sie liegt bei Schwingquarzen typischerweise zwischen 5 · 103 und 5 · 105 . 12.8.6 Operationsverst¨ arker-Schaltung eines Quarzoszillators Abbildung 12.22 zeigt die Schaltung eines Quarzoszillators, bei welcher der Quarz im Mitkopplungszweig eines Operationsverst¨arkers liegt. Nur bei der Serienresonanzfrequenz des Schwingquarzes ist die Schwingbedingung erf¨ ullt

396

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

und die Impedanz Z Q des Quarzzweipols betragsm¨aßig so gering, daß bei dieser Frequenz eine unged¨ ampfte harmonische Schwingung zustandekommt. F¨ ur alle anderen Frequenzen stellt der Quarz aufgrund seiner hohen Impedanzwerte ein Sperrfilter dar. Der LC-Schwingkreis am Eingang dient dabei lediglich dem sicheren Anschwingen der Oszillatorschaltung auf der Grundwelle bzw. auf der gew¨ unschten Oberwelle.

Abb. 12.22. Operationsverst¨ arker-Schaltung eines Quarzoszillators

12.8.7 Fehler von Schwingquarzen Als wesentlicher Fehler von Schwingquarzen macht sich deren Temperaturabh¨angigkeit bemerkbar, insbesondere bei Oszillatoranwendungen mit hohen Forderungen an die Frequenzstabilit¨ at. Die Temperaturabh¨angigkeit der Resonanzfrequenz l¨aßt sich bei Quarzen wie folgt approximieren f (ϑ) = f (0◦ C)(1 + αϑ + βϑ2 + γϑ3 ) .

(12.60)

F¨ ur bestimmte Schnittwinkel, so z.B. auch den meist verwendeten AT-Schnitt, verschwindet der lineare Temperaturkoeffizient α. Da außerdem der kubische Temperaturkoeffizient γ i. allg. bereits um einige Zehnerpotenzen unter dem linearen und quadratischen liegt, f¨ allt dann nur der quadratische Temperaturkoeffizient β ins Gewicht. Abbildung 12.23 zeigt die Abh¨angigkeit des linearen Temperaturkoeffizienten α vom Schnittwinkel sowie die relative Frequenz¨anderung eines AT-Schnitt-Dickenscherschwingers als Funktion der Temperatur ϑ. Der Temperatureinfluß ist insbesondere bei den AT-Schnitten sehr gering. Er l¨aßt sich um weitere ca. drei Zehnerpotenzen reduzieren, wenn die Quarze in einem temperaturstabilisierten Geh¨ause betrieben werden. Neben dem parasit¨ aren Temperatureinfluß sind Schwingquarze einem Alterungsprozeß unterworfen, welcher sich in Form eines relativen Frequenzfehlers bemerkbar macht, der mit der Zeit einem asymptotischen Endwert zustrebt. Dieser Endwert liegt bei etwa ∆f /f = 10−9 /Tag und wird bereits nach einigen Wochen erreicht (Tab. 12.1). Schwingquarze lassen sich auch als sehr pr¨azise

12.8 Oszillatoren

397

a (K-1) 10-4 1 HT DT

0

-10

BT

AT

CT

2

-4

-90° -60° -30° 0° 30° 60° 90° Schnittwinkel Q

a)

Df f 2·10-5 J0

0 -2·10-5 b)

-20 0

20 40 60 80 100 J (°C)

Abb. 12.23. Temperaturabh¨ angigkeit von Schwingquarzen [7, 45]: a) Linearer Temperaturkoeffizient α als Funktion des Schnittwinkels; 1: Dickenscherschwinger; 2: Fl¨ achenscherschwinger, b) Relative Frequenzabweichung eines AT-SchnittDickenscherschwingers als Funktion der Schwingquarztemperatur

arbeitende frequenzanaloge Temperatursensoren einsetzen. F¨ ur diese Anwendung wird der sogenannte HT-Kristallschnitt verwendet, der recht große Temperaturkoeffizienten aufweist α = 90 · 10−6 (K −1 ), β = 60 · 10−9 (K −2 ) und γ = 30·10−12 (K −3 ) (Gl. (12.60)). Die relativen Frequenz¨anderungen sind zwar sehr gering, aber aufgrund der pr¨ azisen Fertigungstechnik und der Stabilit¨at des Quarzmaterials der Meßgr¨ oße sehr exakt zuzuordnen bzw. andererseits auch wiederum mittels elektronischer Z¨ ahlerschaltungen sehr genau meßbar. Wesentlich bessere Genauigkeiten erh¨ alt man mit atomaren Frequenz-StanTabelle 12.1. Typische Werte f¨ ur Kurzzeitkonstanz, Temperaturdrift und Alterungsrate von Schwingquarzen ohne Temperaturregelung −9

Kurzzeitkonstanz < 3 · 10 (1 Sekunde) Temperaturdrift < 10−5 (0◦ C - 50◦ C) Alterungsrate < 10−8 /Tag

mit Temperaturregelung < 10−11 < 10−8 < 10−9 /Tag

398

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

dardelementen, bei denen die Atomresonanz zur Frequenzstabilisierung genutzt wird. So weisen beispielsweise Rubidium-Normalelemente relative Abweichungen von nur 10−11 im Kurzzeitbereich (Sekundenbereich) auf. Die Alterungsraten liegen bei 10−11 /Monat. Bei C¨asium-Elementen sind keine Alterungseinfl¨ usse meßbar. Aufgrund ihres hohen Anschaffungspreises und ihres hohen Gewichtes werden sie jedoch nur in Labors f¨ ur Pr¨ azisionsmeßtechnik sowie als Frequenznormal f¨ ur Zeitzeichensender eingesetzt. Die Gesamtunsicherheit der beiden C¨asiumNormaluhren CS1 und CS2 der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Braunschweig wird mit 3 · 10−14 bzw. 1, 5 · 10−14 angegeben [12]. So wurde ein mittlerer Gangunterschied der beiden Uhren von 0,76 µs pro Jahr, entsprechend einem relativen Fehler von 2, 5 · 10−14 , ermittelt. Wenn auch die Kurzzeitkonstanz der Normalfrequenzaussendung des bekannten Zeitzeichensenders DCF-77 (s. Kap. 12.10.2) die eines sorgf¨altig aufgebauten temperaturgeregelten Quarzoszillators (OCXO) nicht wesentlich u ¨bersteigt, so ist doch die Langzeitstabilit¨ at des DCF-77 um Gr¨oßenordnungen besser. Es bietet sich also an, temperaturgeregelte Quarzoszillatoren einzusetzen und deren Langzeitstabilit¨at mit Hilfe einer DCF-77-Synchronisation zu erh¨ohen. Ein entsprechendes hard- und softwarem¨ aßiges Realisierungskonzept wird in [84] vorgestellt. Detaillierte Angaben u ¨ber die Genauigkeit von Zeit- und Frequenznormalen finden sich in [12].

12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung Fehler bei der Messung eines Zeitintervalls Der absolute Fehler ∆TX bei der Messung eines Zeitintervalls TX ergibt sich aus der Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes auf Gl. (12.2) zu ∆TX =

∂TX ∂TX ∆fref + ∆NX . ∂fref ∂NX

(12.61)

Daraus l¨aßt sich leicht der entsprechende maximale relative Fehler ableiten ∆TX ∆fref ∆NX = + (12.62) TX fref NX . In Gl. (12.62) beziffert der Term ∆NX /NX den bereits in Kap. 12.3.1 angesprochenen Quantisierungsfehler (Z¨ahlfehler), der sich wie folgt angeben l¨aßt ∆NX ±1 1 1 = (12.63) NX NX = NX = fref TX .

Der Term ∆fref /fref in Gl. (12.62) hingegen beschreibt den Fehler der Zeitbasis, d. h. die relative Frequenzabweichung des Quarzoszillators. Dieser Fehler

12.9 Fehler bei der digitalen Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung

399

liegt bei praktischen Z¨ ahlern in der Gr¨ oßenordnung 10−7 ≤ ∆fref /fref ≤ 10−5 . Abbildung 12.24 (TX -Achse) zeigt den gesamten relativen Fehler bei der Zeitmessung f¨ ur den beispielhaften Fall, daß die Frequenz des Referenzsignals fref = 1 MHz und der relative Fehler der Zeitbasis 10−6 betragen. Fehler bei der Frequenzmessung Der maximale relative Fehler bei der Frequenzmessung ergibt sich analog zu Gl. (12.61) ∆fX ∆Tref ∆NX ∆Tref = + = + 1 = ∆Tref + 1 fX Tref NX Tref NX Tref Tref fX . (12.64) Der Ausdruck ∆Tref /Tref entspricht dabei wiederum dem relativen Fehler der Zeitbasis. Damit ergibt sich im Prinzip wieder derselbe relative Meßfehler wie bei der Zeitintervallmessung Gl. (12.62). Er kann aus Abb. 12.24 abgelesen werden, wenn die fX -Achse verwendet wird. F¨ ur die Berechnung des relativen Fehlers bei der Frequenzmessung wurden eine Torzeit von Tref = 1 s sowie ein Zeitbasisfehler von ∆Tref /Tref = 10−6 angenommen.

Fehler bei der Periodendauermessung Die großen Meßfehler bei der Messung tiefer Frequenzen (Abb. 12.24) lassen sich umgehen, wenn man eine Reziprokmessung durchf¨ uhrt, d. h. anstatt der Frequenz die Periodendauer mißt und den Kehrwert bildet.

Abb. 12.24. Relativer Fehler bei der Zeitintervall- bzw. Frequenzmessung. TX Achse: Fehlerdiagramm f¨ ur die Messung eines Zeitintervalles TX . Es wurde fref = 1 MHz und ein Zeitbasisfehler ∆fref /fref von 10−6 angenommen. fX -Achse: Fehlerdiagramm f¨ ur die Frequenzmessung. Es wurde eine Torzeit von Tref = 1 s und ein Zeitbasisfehler ∆Tref /Tref von 10−6 angenommen.

400

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Wenn man den Fehler der Zeitbasis zun¨ achst vernachl¨assigt, ergibt sich durch Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes auf Gl. (12.11) der relative Meßfehler bei der Periodendauermessung zu ∆TX 1 1 fX = = = . TX NX fref TX fref

(12.65)

Der relative Fehler h¨ angt also lediglich vom Verh¨altnis Meßfrequenz fX zu Referenzfrequenz fref ab. Wenn man beispielsweise fref = 1 MHz annimmt, so wird der Fehler einer Standardquarzzeitbasis von 10−6 erst bei einer Frequenz von 1 Hz erreicht. F¨ ur h¨ohere Frequenzen dominiert der Quantisierungsfehler. Von praktischer Bedeutung ist noch die Meßfrequenz fXeq , bei der die Periodendauermessung (Reziprokmessung) und die direkte Frequenzmessung auf den gleichen relativen Fehler f¨ uhren. Das Gleichsetzen der relativen Fehler f¨ uhrt unter Vernachl¨assigung der Zeitbasisfehler zu 2 fXeq =

fref , Tref

(12.66)

wobei fref die Taktfrequenz bei der Periodendauermessung und Tref die Torzeit bei der Frequenzmessung bedeuten. Wenn beispielsweise diese Taktfrequenz zu fref = 1 MHz und die Torzeit zu Tref = 1 s gew¨ahlt werden, ergibt sich f¨ ur beide Meßprinzipien der gleiche Fehler bei fXeq = 1 kHz. Unterhalb dieser Frequenz f¨ uhrt die Periodendauermessung (reziproke Frequenzmessung) zu geringeren Meßfehlern, w¨ ahrend sich im Frequenzbereich oberhalb fXeq die direkte Frequenzmessung als g¨ unstiger erweist (Abb. 12.25).

Abb. 12.25. Relativer Meßfehler bei der digitalen Frequenzmessung (direkte Messung und Reziprokmessung). Es wurde eine Taktfrequenz fref = 1 MHz f¨ ur die Periodendauermessung sowie eine Torzeit Tref = 1 s f¨ ur die Frequenzmessung angenommen. Der relative Fehler der Zeitbasis liegt bei 10−6 .

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

401

Meßfehler durch u ¨berlagertes Rauschen Dem Meßsignal u orspannungen f¨ uhren zu Fehlern bei der Zeit¨berlagerte St¨ und Frequenzmessung, die zum Teil erheblich sein k¨onnen. Diese Fehler werden durch zu fr¨ uhe bzw. zu sp¨ ate Triggerausl¨osung verursacht. Der so entstandene Triggerfehler addiert sich zu den oben bereits diskutierten Fehlern (Quantisierungsfehler und Zeitbasisfehler). Zur Absch¨atzung des Triggerfehlers wollen wir annehmen, daß das Meßsignal um (t) sinusf¨ormigen Zeitverlauf aufweist ˆm sin(ωt) . um (t) = U (12.67) Die maximale zeitliche Steigung dum /dt der Spannung wird im Nulldurchgang erreicht und betr¨agt   dum ˆm ω . =U (12.68) dt max ˆr kann den Zeitpunkt des NulldurchEine St¨orspannung mit der Amplitude U ganges, der gleichzeitig Triggerzeitpunkt ist, um die Zeit ∆Ttrigg verschieben ∆Ttrigg = ∆T =

ˆ

Ur
dum dt max

=

ˆr ˆr U U = . ˆ ˆ Um ω Um 2πfX

(12.69)

Diese zeitliche Verschiebung des Triggerzeitpunktes wird als der absolute Triggerfehler bezeichnet. Der entsprechende relative Triggerfehler ergibt sich bei der einfachen Periodendauermessung (Messung einer einzelnen Periode TX ) zu ˆr ˆr 1 U ∆Ttrigg 1 U = . (12.70) = ˆm ˆm TX 2πfX TX U 2π U Um diesen Fehler zu reduzieren, geht man zur sog. Mehrfachperiodendauermessung u ¨ber, bei der anstatt der Dauer einer einzigen Periode nunmehr die Dauer von m Perioden bestimmt wird. Bei diesem integrierenden Meßverfahren reduziert sich sowohl der Triggerfehler als auch der Quantisierungsfehler um den Faktor m. Wie bei der Frequenzmessung ist auch hier eine gr¨oßere Genauigkeit nur auf Kosten der Meßzeit zu erzielen.

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation 12.10.1 Atomuhren Die Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB) [116] in Braunschweig hat die Aufgabe u ur die Bundesrepublik Deutschland die absolute ¨bernommen, f¨ (amtliche) Zeit festzulegen. Dies geschieht mit Hilfe einer sog. Atomuhr, welche im konkreten Fall eine C¨ asium-Normaluhr ist. Das Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) in Paris wiederum legt aus den Werten von solchen u ¨ber 260 weltweit verteilten Atomuhren die sog. Internationale Atomzeit (TAI) als Referenzzeit fest.

402

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Eine Atomuhr ist eine Uhr, deren Zeittakt aus atomaren Schwingungszust¨anden abgeleitet wird. F¨ ur die genauesten Uhren verwendet man das nicht-radioaktive ¨ Isotop 133 des Elements C¨ asium. Die Resonanzfrequenz beim Ubergang (sog. ¨ Hyperfeinstruktur-Ubergang) zwischen zwei ausgew¨ahlten Energiezust¨anden dieses C¨asium-Atoms ist temperaturunabh¨ angig, sehr langzeitstabil und betr¨ agt 9 192 631 770 Hz. Im Jahre 1967 wurde die SI-Einheit ’Sekunde’ u ¨ber diesen Wert festgelegt (sog. SI-Sekunde). ¨ Um die Resonanzfrequenz des Hyperfeinstruktur-Ubergangs messen zu k¨ onnen, muß zun¨achst einer der beiden besagten Energiezust¨ande selektiert werden, was entweder durch optisches Pumpen mit Laserlicht bewerkstelligt werden kann oder indem man den Atomstrahl durch ein starkes inhomoge¨ nes Magnetfeld schickt. Die Hyperfeinstruktur-Uberg¨ ange und die Messung der o. g. Resonanzfrequenz finden schließlich in einem speziellen Mikrowellenresonator statt. N¨ aheres zu dieser Technik findet der interessierte Leser beispielsweise in folgenden Referenzen: [116], [106]. Auf dieser Basis arbeiten derzeit die vier C¨ asium-Atomuhren CS1 bis CS4 bei der PTB. Es handelt sich hierbei um Zeitnormale, die weltweit zu den genauesten Uhren z¨ahlen. So weicht die von der in Braunschweig installierten Atomuhr CS2 bestimmte Sekunde mit einer Wahrscheinlichkeit von 67% um nicht mehr als ±1, 2 ·10−14 von der idealen SI-Sekunde ab. Dies entspricht einer Abweichung von einer Sekunde in 2,5 Millionen Jahren. Als 5. Zeitnormal betreibt die PTB eine noch genauere Uhr, eine sog. C¨asium-Font¨ane. Bei ihr werden die C¨ asium-Atome auf eine Temperatur sehr nahe dem absoluten Nullpunkt abgek¨ uhlt. Dadurch werden die Atome in ihrer Fortbewegungsgeschwindigkeit sehr stark verlangsamt, was im weiteren zu einer l¨angeren Beobachtungszeit (ca. 1 Sekunde) bei der Frequenzmessung genutzt werden kann. Somit sind exaktere Messungen der o. g. Resonanzfrequenz m¨oglich. Die Gangunsicherheit der C¨ asium-Font¨ane ist um den Faktor 10 geringer als der einer (Standard-)C¨ asium-Uhr. Auch das amerikanische Pendant zur Physikalisch-Technischen Bundesanstalt, das National Institute of Standards (NIST) in Boulder, Colorado, entwickelt und betreibt Atomuhren mit hoher Ganggenauigkeit. So wurde auch dort eine C¨asium-Font¨ ane mit dem Namen NIST-F1 entwickelt. Sie arbeitet mit 6 Infrarot-Lasern, welche die C¨ asium-Atome in Form eines kleinen lokalen Clusters (Ball) zusammendr¨ angen, was zu der bereits oben erw¨ahnten Abk¨ uhlung in den Bereich des absoluten Nullpunktes und infolgedessen zu einer Verlangsamung der Atombewegungen f¨ uhrt. Infolge kontinuierlicher technischer Verbesserungen konnte die Ungenauigkeit der NIST-F1 im Sommer 2005 auf ±5 · 10−16 abgesenkt werden, was einer Abweichung von 1 Sekunde in 60 Millionen Jahren gleichkommt. Weitere Einzelheiten und neuere Entwicklungen findet der interessierte Leser auf der Homepage der PTB [116] unter der Rubrik Zeitnormale - Arbeitsgruppe 4.41 sowie auf der Homepage des National Institute of Standards [106]. Von der letztgenannten Homepage aus l¨ aßt sich auch eine Videoanimation zur Arbeitsweise einer C¨ asium-Font¨ ane starten.

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

403

Der Nachteil der oben beschrieben C¨ asium-Atomuhren ist, daß sie technisch sehr aufwendig sind und daher nur in einem speziellen Labor installiert werden k¨onnen. So sind sie nicht geeignet, in einem Satelliten betrieben zu werden. Hierf¨ ur verwendet man aber ebenfalls Atomuhren. Anstatt des Elementes C¨asium nutzt man Resonanzen von Rubidium. Diese Rubidium-Uhren sind wesentlich kleiner, leichter und preiswerter als C¨asium-Uhren. Moderne Rubidium-Uhren erreichen bei einem Volumen von 40 cm3 und einem Leistungsbedarf von 1 Watt eine Gangunsicherheit von nur ±3 · 10−12 , was einer Abweichung von 1 Sekunde in 10.000 Jahren entspricht. Damit sind sie immer noch um den Faktor 105 genauer als herk¨ ommliche Quarzuhren. Aufgrund dieser Eigenschaften eignen sie sich in hervorragender Weise f¨ ur den Einsatz in mobilen Systemen, wie beispielsweise Satelliten. 12.10.2 DCF-77 Zeitzeichensender Um die amtliche Normalzeit landesweit verf¨ ugbar zu machen, benutzt man einen L¨angstwellensender mit einer Tr¨ agerfrequenz unterhalb des vom ¨offentlichen Rundfunk genutzten Langwellenbereiches. Dieser Frequenzbereich erlaubt in aller Regel das problemlose Eindringen der elektromagnetischen Wellen in Geb¨aude. Die von der PTB mit Hilfe der Uhrennormale bestimmte Normalzeit (MEZ (=UTC + 1h) bzw. MESZ (=UTC + 2 h)) wird nach dem BCD-Code codiert und u ¨ber den Zeitzeichensender DCF-77 in Mainflingen bei Frankfurt/Main ausgestrahlt. Seine Reichweite betr¨agt, je nach Empfangssituation, bis zu 2000 km. Der Tr¨ager von DCF-77 wird dazu auf zwei Arten moduliert, n¨amlich zum einen mit einer Amplitudenmodulation und zum anderen in Form einer pseudozuf¨alligen Umtastung der Tr¨ agerphase. Bei der im Jahre 1970 eingef¨ uhrten Amplitudenmodulation wird die Amplitude der 77,5-kHz-Tr¨agerschwingung zu Beginn einer jeden Sekunde bei einer zu u ur ¨bertragenden digitalen ′ 0′ f¨ ′ ′ 0,1 s und bei einer digitalen 1 f¨ ur 0,2 s auf 25 % des normalen Wertes abgesenkt (Abb. 12.26). Die pseudozuf¨ allige Umtastung der Tr¨agerphase (Binary Phase Shift Keying BPSK) wurde erst im Jahre 1988 eingef¨ uhrt [66].

Abb. 12.26. Modulation einer log. ′ 0′ bzw. einer log. ′ 1′ beim Zeitzeichensender DCF-77

404

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Mit Hilfe beider Modulationsformen werden einmal pro Minute die Zahlen u ur Minute, Stunde, Tag, Wochen¨bertragen, welche die aktuellen Werte f¨ tag, Monat und Jahr repr¨ asentieren, und zwar bei der Amplitudenmodulation durch Impulsdauermodulation der Sekundenmarken und bei der BPSK durch Invertieren einer Pseudozufallsfolge. Abbildung 12.27 zeigt das Kodierschema und die Zuordnung zwischen u ¨bertragener Information und den einzelnen Sekundenmarken. Die Sekunden innerhalb einer Minute sind u ¨ber diese Amplituden¨anderungen inkremental zu z¨ ahlen. Das Fehlen der 59. Sekunde weist auf den Beginn der folgenden Minute hin. Dabei werden Pr¨ ufbits zur St¨orerkennung verwendet [66].

Abb. 12.27. Minutenprotokoll beim Zeitzeichensender DCF-77. Bits 17 und 18: Zeitzonenbits (MEZ: 0, MESZ:1); Bit 20: Startbit f¨ ur Zeitinformation (stets 1); Bit 28: erg¨ anzt Bits 21-27 auf gerade Parit¨ at; Bit 35: dto. f¨ ur Bits 29-34; Bit 58: dto. f¨ ur Bits 36-57.

12.10.3 NAVSTAR/GPS-Satellitennavigation Bereits in den sechziger Jahren war erkennbar, daß die herk¨ommliche Funknavigation den k¨ unftigen Anforderungen nicht mehr gen¨ ugen w¨ urde. Zu diesen Anforderungen geh¨ ort die weltweite dreidimensionale und hochpr¨azise Positionsbestimmung in Echtzeit, wobei das System wetterunabh¨angig 24 Stunden am Tag zur Verf¨ ugung stehen muß. Dar¨ uber hinaus sollen die Empf¨anger leicht zu handhaben sein. Unter Federf¨ uhrung der US Air Force entwickelten die amerikanischen Streitkr¨ afte ab 1973 das NAVigation Satellite Timing ” And Ranging/Global Positioning System (NAVSTAR/GPS)“, welches auch f¨ ur die zivile Nutzung freigegeben ist. Systemaufbau Das Gesamtsystem besteht aus drei Segmenten: 24 von der Firma Rockwell entwickelte Satelliten, welche verteilt auf sechs Kreisbahnen in circa 20 000 Ki-

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

405

lometern H¨ohe die Erde in ungef¨ ahr 12 Stunden je einmal umlaufen, bilden das Raumsegment. Auf der Erdoberfl¨ ache befindet sich das Kontrollsegment, bestehend aus f¨ unf weltweit verteilten Monitorstationen zur Satellitenbeobachtung und einer Master Control Station, um die Bahndaten der Satelliten vorauszuberechnen und das Verhalten der Satellitenuhren zu extrapolieren, sowie Bodenantennen, um die ermittelten Werte an die Satelliten zu senden. Das Benutzersegment wird von allen milit¨ arisch und zivil genutzten GPSEmpf¨angern gebildet (Abb. 12.28). Jeder Satellit strahlt permanent ein kodiertes Signal ab (Frequenzen 1575,42 bzw. 1227,60 MHz), welches unter anderem die genaue interne Satellitenzeit und die aktuellen Bahndaten des Satelliten, insbesondere seine aktuelle Position, enth¨ alt. Zu diesem Zweck sind die Satelliten mit jeweils vier hochgenauen Atomuhren ausgestattet. Die absolute Genauigkeit der in den GPS-Satelliten im Einsatz befindlichen RubidiumUhren wird mit 3 · 10−9 Sekunden angegeben. Ein Benutzer empf¨angt die Signale und mißt die Laufzeit zwischen dem Zeitpunkt des Sendens am Satelliten und dem Empfangszeitpunkt. Wird nun die gemessene Laufzeit mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen multipliziert, so erh¨alt man die Entfernung zwischen dem Empf¨anger und dem Satelliten, dessen Signal empfangen wurde. Im Idealfall l¨ aßt sich mit einer Messung eine Kugelstandfl¨ache ermitteln, das heißt, der Empf¨anger befindet sich auf einer Kugeloberfl¨ache mit dem angepeilten Satelliten im Mittelpunkt. Aus diesem Grund werden die genauen Positionsdaten des Satelliten mitgesendet. Mißt man gleichzeitig die Signale zweier Satelliten, so befindet man sich auf der Schnittlinie der beiden zugeh¨ origen Kugelstandfl¨achen, also einer Kreisstandlinie. Bei einer dritten Messung erh¨ alt man den genau definierten Standort des Empf¨angers. Da jedoch die Empf¨ anger aus Kostengr¨ unden anstatt mit

Abb. 12.28. Funktionsprinzip des Global-Positioning-Systems (GPS)

406

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Atomuhren nur mit Quarzuhren ausger¨ ustet sind, entsteht ein Meßfehler, so daß das Signal eines vierten bzw. auch die Signale von weiteren NAVSTARSatelliten herangezogen werden m¨ ussen, um eine entsprechende Fehlerkorrektur durchf¨ uhren zu k¨ onnen. Minimale Zeitfehler entstehen zwangsl¨aufig auch aufgrund der sich zeitlich ¨ andernden Wellenausbreitung in Iono- und Stratosph¨are. Es gibt zwar Modelle, die diesen Einfluß zu beschreiben versuchen, ihre Anwendung kann aber die existierenden Fehler nicht vollst¨andig eliminieren. Jeder Satellit sendet seine Signale auf zwei Frequenzen im L-Band, wobei f¨ ur den zivilen Nutzer nur das L1-Signal (1575,42 MHz) wichtig ist. Dazu wird diesem Signal zun¨ achst der C/A-Code (Clear/Access-Code)“ in Form ” einer Pseudo-Random-Noise-Sequenz aufmoduliert. Dabei handelt es sich um eine scheinbar zuf¨ allige Sequenz, die sich jedoch im Intervall von einer Millisekunde st¨andig wiederholt. Benutzt wird die Methode der Phasenmodulation mit einem Modulationstakt von 1,023 MHz. Zus¨atzlich wird dem Signal - ebenfalls durch Phasenmodulation - mit einem Takt von 50 Bit/s die Navigationsnachricht aufmoduliert, welche die Satellitenzeit und die Bahndaten des sendenden Satelliten enth¨ alt. Die f¨ ur die zivile Navigation wichtigen Daten sind in Bl¨ocken von 150 Bit enthalten, die sich st¨andig wiederholen. Die Navigationsnachricht wird innerhalb von 30 Sekunden empfangen. Am Empf¨anger wird mit einem Signalprozessor die Laufzeit des Signals gemessen, indem zun¨ achst intern pseudo-gleichzeitig“ ein ebenfalls mit dem ” C/A-Code versehenes Vergleichssignal erzeugt wird. Dann wird durch Kreuz¨ korrelation eine Ubereinstimmung der Bitmuster des empfangenen und des intern erzeugten Signals herbeigef¨ uhrt. Die eigentliche Meßgr¨oße ist also die ¨ Phasenverschiebung, die notwendig ist, um eine Ubereinstimmung der Signale zu erzeugen und die proportional zur Laufzeit der Signale zwischen Satellit und Empf¨anger ist. Diese Information wird an einen Navigationscomputer weitergegeben, der aus mindestens vier Laufzeiten unter Zuhilfenahme der demodulierten Navigationsnachrichten ein System aus (mindestens) vier Gleichungen l¨ost. Ber¨ ucksichtigt man die Tatsache, daß sich der C/A-Code jede Millisekunde wiederholt, so erh¨ alt man alle 300 Kilometer eine Mehrdeutigkeit, welche jedoch in der Praxis durch weitere Informationen eindeutig zu kl¨aren ist. Der milit¨arische P-Code (Protected-Code) benutzt eine PRN-Sequenz von 266 Tagen Dauer, wobei mit einem Modulationstakt von 10,23 MHz gearbeitet wird. Daraus resultiert nicht nur eine zehnmal so große Genauigkeit sondern auch eine erheblich kompliziertere Entschl¨ usselbarkeit. Die Betreiber des GPS sind auch in der Lage, die den zivilen Nutzern zug¨anglichen Signale und Daten bestimmter Satelliten k¨ unstlich zu verschlechtern. Dazu wird der Lauf der Satellitenuhren moduliert bzw. kleinere Fehler in die Bahndaten eingearbeitet. Eine Eliminierung dieser Fehler ist nur mittels geheimer Verfahren m¨ oglich. Diese mit Selective Availability bezeichnete Einschr¨ankung der Genauigkeit wurde im Jahr 2000 von den Vereinigten Staaten aufgehoben, so daß fortan f¨ ur die zivile Nutzung Genauigkeiten in der Positionsbestimmung von weniger als ± 10 Metern zur Verf¨ ugung stehen. Vor der Aufhebung der Beschr¨ankung betrug die Genauigkeit lediglich ± 100 Meter. Es ist dem Ver-

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

407

teidigungsministerium der Vereinigten Staaten jedoch weiterhin m¨oglich, die f¨ ur zivile Nutzer zug¨ anglichen Daten und Signale beispielsweise in Kriegsgebieten gezielt zu verf¨ alschen bzw. abzuschalten, was dann mit dem Begriff Selective Deniability bezeichnet wird. Differential GPS - DGPS Um die Genauigkeit des GPS-Satellitennavigationssystem weiter zu verbessern, wurde das Differential Global Positioning System (DGPS) entwickelt. Dabei wird an einem Ort, dessen exakte geographische Lage bekannt ist, die Position mittels GPS bestimmt. Aus der Differenz zwischen der dabei errechneten Position und der bekannten tats¨ achlichen geographischen Lage ergibt sich der lokale Fehler des GPS-Systems. Es ist m¨oglich, den Fehler jedes in Reichweite befindlichen Satelliten zu errechnen und diesen Fehler an ¨ DGPS-Empf¨anger zu u der Fehler an geeignete ¨bermitteln. Zur Ubertragung Empf¨anger werden FM-Frequenzen sowie Satelliten benutzt. Da der Fehler der einzelnen GPS-Satelliten in der jeweiligen Region nun bekannt ist, ist eine genauere Berechnung der aktuellen Position m¨oglich. DGPS-Empf¨anger k¨ onnen die Position metergenau bestimmen, typischerweise werden Genauigkeiten von unter ± 5 Metern erreicht. SBAS - Satellite Based Augmentation Systems Bei den SBA-Systemen handelt es sich um ein satellitengest¨ utztes Differential GPS (DGPS). Die Korrekturdaten werden hier im Gegensatz zum StandardDGPS von geostation¨ aren Satelliten ausgesandt, was den Vorteil mit sich bringt, daß weder weitere terrestrische Sendestationen noch ein separater (Korrektursignal-)Empf¨ anger beim Nutzer ben¨otigt werden. Es gibt hier vier, f¨ ur unterschiedliche Regionen entwickelte Systeme, die untereinander weitestgehend kompatibel sind. Das sog. Wide Area Augmentation System (WAAS) (Erweiterungssystem f¨ ur einen großen Bereich), ist in USA und Kanada verf¨ ugbar und wird speziell in der Luftfahrt verwendet. Dabei kontrollieren 25 Bodenstationen das GPS-Signal und schicken entsprechende Korrekturdaten an zwei geostation¨ are WAAS-Satelliten, die ihrerseits wiederum die entsprechenden Empf¨ anger versorgen. Das MSAS (Multi-Functional Satellite Augmentation System) wurde in Japan entwickelt und deckt ein Teil des asiatischen Raums ab. Das GAGAN-System (GPS Aided Geo Augmentation Navigation) wurde in Indien entwickelt und befindet sich in einer Experimentierphase. In Europa wird derzeit ebenfalls ein solches System unter dem Namen EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay Service) aufgebaut. Es sind 34 u ¨ber ganz Europa verteilte Bodenmeßstellen, sog. RIMS (Ranging and Integrity Monitoring Station = Entfernungsmeß- und Integrit¨atsbeobachtungs-Stationen), und 3 geostation¨are Satelliten geplant. Bei

408

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

den Satelliten handelt es sich um sog. Inmarsat-Satelliten (International Maritime Satellite), die infolge geschickter ¨ ortlicher Anordnung u ¨ber dem Atlantik, Zentralafrika und ¨ ostlich von Afrika den gesamten europ¨aischen Raum abdecken. Zu Problemen kann es allenfalls im nordeurop¨aischen Raum kommen, da hier die geostation¨ aren Satelliten unter einem Winkel von nur 20 Grad zu sehen sind, was leicht zu Abschattungen und damit zu entsprechenden Empfangsproblemen f¨ uhrt. Die jeweilige Position der RIM-Stationen ist exakt bekannt (wenige Zentimeter Abweichung). Sie sind mit GPS-Empf¨angern und Auswerterechnern ausgestattet, die beim Empfang bzw. der Auswertung des GPS-Signals die Abweichung bestimmen. Außerdem kann aufgrund der Tatsache, daß die Stationen sowohl das L1- als auch das L2-Band empfangen, die Laufzeitverz¨ogerungen durch die Ionossph¨ are f¨ ur jeden einzelnen Satelliten ermittelt werden. Da beim Empfang von mehr als vier Satelliten die Auswertung des GPS-Signales u ¨berbestimmt ist, kann man auch auf Fehler (Uhrenfehler bzw. Positionsfehler) der einzelnen Satelliten schließen. Diese Informationen werden an ein sog. Central Processing Centre weitergeleitet, wo sie zur GesamtKorrektur weiterverarbeitet werden. Die Hauptfehlerquelle von Ein-FrequenzEmpf¨angern, so wie sie von privaten Nutzern verwendet werden, liegt bei der in der Ionossphare stattfindenden Signalverz¨ ogerung. Hier hilft das von den SBA-Systemen errechnete aktuelle Korrekturgitter (IONO-Korrekturgitter) weiter, das gr¨oßte positive Auswirkung auf die Korrektur der GPS-Signale hat. So kann die maximale Abweichung von EGNOS bei der horizontalen Ortsbestimmung auf etwa 2 Meter heruntergedr¨ uckt werden. Damit ist es beispielsweise hervorragend geeignet, dem Luftverkehr eine Exaktheit bei der Positionsbestimmung zu gew¨ ahrleisten, die prinzipiell ausreichen w¨ urde, ein Flugzeug ohne Landestrahl zu landen. Allerdings wird das EGNOS nicht in der Lage sein, die h¨ ochste Stufe (CAT III, d. h. Minimum-Sichtweite bei Nebel ca. 100 m) des derzeit im Luftverkehr verwendeten ILS (Instrumentenlandesystem) zu ersetzen. Dennoch wird es in hervorragender Weise die Navigation im Luft- und Schiffsverkehr erg¨ anzen und bestehende erdgebundene Navigationsysteme abl¨osen [110]. Voraussichtlich wird EGNOS bereits Anfang des Jahres 2011 zur Verf¨ ugung stehen. Finanziert wird das Projekt von der EU. Die europ¨aische Raumfahrtagentur ESA hat die Koordination u ¨bernommen. 12.10.4 Galileo-Satellitennavigation Aufgrund fehlender Alternativen zu dem US-amerikanischen GPS oder dem russischen GLONASS Satellitennavigationssystem beschloß die Europ¨aische Union (EU) in den 90er Jahren ein unabh¨ angiges Satellitennavigationssystem zu entwickeln. Dies wurde notwendig, da keines der bestehenden Systeme aus milit¨arischen Gr¨ unden eine uneingeschr¨ ankte Funktions- bzw. Verf¨ ugbarkeitsgarantie gew¨ahrt. Außerdem ist so bei einem technischen Ausfall eines Systems noch ein weiteres vorhanden, was einen wesentlichen Sicherheitsaspekt darstellt.

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

409

Systemaufbau Das derzeit im Aufbau befindliche Navigationssystem soll im endg¨ ultigen Ausbaustadium 30 Satelliten umfassen, von denen 27 dem Betrieb des Systems dienen und drei weitere sich als Ersatzsatelliten im Orbit befinden. Die Satelliten werden in ca. 24.000 km H¨ ohe auf drei verschiedenen Kreisbahnen fliegen und ben¨otigen f¨ ur eine Erdumrundung etwa 14 Stunden. Sie bilden das Raumsegment“ , das in Abb. 12.29 dargestellt ist. Dabei werden jeweils ” 10 Satelliten auf einer Bahn gleichm¨ aßig verteilt. Davon fungiert jeweils ein Satellit, also insgesamt drei, als Reserve f¨ ur eventuell ausfallende Satelliten. ¨ Auf der Erde werden weltweit vernetzte Bodenstationen die Uberwachung ¨ der Satelliten u ¨bernehmen und Echtzeit-Ubertragungen von Diagnose- und Fehlermeldungen steuern. Es wird zwei gleichberechtigte Haupkontrollzentren (GCC = Galileo Control Center) geben, eines in Deutschland (Oberpfaffenhofen) und eines in Italien (Fucino). Ein weiteres Kontrollzentrum, welches das Safety-of-Life-Signal (s. u.) u ¨berwacht und Redundanzzwecken dient, wird in Spanien errichtet. Daneben werden die von den Galileo-Satelliten ausgesendeten Signale von 30 Signalkontroll-Empfangsstationen (GSS Galileo Sensor Station) u unf Satelliten-Kontrollstationen (TTC Telemetry, ¨berwacht. F¨ Tracking and Command) u ¨bernehmen die Bahnverfolgung und -steuerung der Satelliten. Es soll 9 Uplink-Stationen (ULS = Up-Link Stations) geben, von welchen aus die im Betrieb notwendigen Korrektur-, Kontroll- und Steuerdaten im C-Band (5 GHz) zu den einzelnen Satelliten gesendet werden k¨onnen. Das Bodensegment wird komplettiert durch ein sog. Performance-Center, das

Abb. 12.29. Satellitennavigationssystem Galileo [38]

410

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

permanent die Qualit¨ at der zur Erde gesendeten Satellitensignale auswertet. Die u ¨bergeordneten, administrativen Aufgaben des Galileo-Systems werden einer zivilen Galileo-Betreibergesellschaft (Galileo Operating Company) u ¨bertragen, deren Sitz auf Frankreich (Toulouse) und England (London) aufgeteilt wurde. Insgesamt stellt das System 11 Navigationssignale zur Verf¨ ugung, wobei eines davon ausschließlich dem Search and Rescue Service“ zugeteilt ist. Es ” werden insgesamt drei Frequenzb¨ ander f¨ ur die Signal¨ ubertragung verwendet: 1164 − 1215 MHz, 1260 − 1300 MHz und 1559 − 1593 MHz. Das Galileo-Navigationssystem befindet sich derzeit noch immer in der Entwicklungsphase, obgleich mit den Planungen f¨ ur Galileo schon im Jahre 1994 begonnen wurde. Am 28. Dezember 2005 wurde ein erster Test-Satellit (Name: GIOVE-A1; Masse: 600 kg; Abmessungen: 1,3 m × 1,8 m × 1,65 m; Leistung: 700 W) mit einer Sojus-Tr¨ agerrakete in den Orbit transportiert, ein zweiter folgte am 26. April 2008 (Name: GIOVE-B; Masse: 520 kg; Abmessungen: 1 m × 1 m × 2,4 m; Leistung: 950 W). Er verf¨ ugt u ¨ber eine WasserstoffMaser-Atomuhr und ist somit in der Lage, hochgenaue Navigationssignale zu senden. Zum Probetrieb des Galileo-Systems sind 4 Satelliten notwendig, die allerdings nicht vor dem Jahr 2011 im All sein werden. Nach dem erfolgreichen Abschluß der Testphase werden weitere 28 Satelliten folgen. Die EU-Kommission hat im Januar 2010 die erste Tranche von Auftr¨agen zur Fertigung der Satelliten sowie f¨ ur die Systemunterst¨ utzung und die Startdienstleistungen vergeben. Die ersten 14 Satelliten werden vom deutschen Raumfahrtkonzern OHB System GmbH f¨ ur ca. 600 Mio. Euro geliefert. Ein weiterer Anbieter f¨ ur die Satellitentechnik ist EADS-Astrium. Der Auftrag f¨ ur die Systemunterst¨ utzung wurde an die italienische ThalesAleniaSpace vergeben. Die franz¨osische Arianespace wird die Satelliten mit Sojus-Tr¨agerraketen ins All bef¨ordern (Kosten: 400 Mio Euro). Das europ¨aische Navigationssystem Galileo wird nach dem heutigen Kenntnisstand den zivilen und milit¨ arischen Nutzern nicht vor dem Jahr 2014 in vollem Umfang zur Verf¨ ugung stehen. Die gesch¨atzten Kosten f¨ ur das Gesamtprojekt liegen derzeit bei ca. 5 Mrd. Euro, die j¨ahrlichen Betriebskosten sollen sich auf ca. 250 Millionen Euro belaufen. Nach einem j¨ ungsten Pressebericht [166] gibt es allerdings noch akuten Verhandlungsbedarf zwischen der Europ¨ aischen Union und China u ¨ber die k¨ unftige Nutzung von Satellitenfrequenzen, welche f¨ ur das Galileo-System dringend ben¨otigt werden. Insbesondere die Frequenz, die zur Abstrahlung der Galileo-Korrektursignale erforderlich ist, wird auch von China beansprucht. Ohne Korrektursignale l¨ age die Genauigkeit der Positionsbestimmung bei mehreren Metern, w¨ ahrend sie mit entsprechenden Korrekturverfahren in den Zentimeterbereich zu bringen ist. Nach den Vorstellungen der Galileo-Planer sollen die Korrektursignale u ¨ber eigene Satelliten abgestrahlt werden, um eine fl¨achendeckende und von Dritten unabh¨ angige Versorgung zu garantieren. Dazu aber braucht man gerade die strittige Satellitenfrequenz.

12.10 Atomuhren, Zeitzeichensender und Funknavigation

411

Dienstleistungen Das von der EU geplante Navigationssystem soll vor allem der zivilen Nutzung zu Gute kommen. Es sind f¨ unf Ortungs-Dienstleistungen geplant: • • • • •

Open Service: frei verf¨ ugbar Zielapplikation: Konsumerger¨ ate Safety of Life“ Service: sehr genaue Ortsaufl¨osung, hohe Datenper” formance, hohe Sicherheit Zielapplikation: Navigation f¨ ur Flugzeuge, Schiffe und Z¨ uge Commercial Service: geb¨ uhrenpflichtig, Ortsaufl¨osung lokal angeblich bis zu 10 cm [38], verschl¨ usselter Datentransfer Zielapplikation: Daten-, Zeit- und Hochpr¨ azisionsdienstleistungen Public Regulated Service: garantierte Verf¨ ugbarkeit unter schwersten Bedingungen; verschl¨ usselter Datentransfer Zielapplikation: Dienste f¨ ur ¨ offentliche Organe, beispielsweise Polizei Search and Rescue Service: Echtzeit¨ ubertragung von Notsignalen, genaue Ortsaufl¨osung von wenigen Metern Zielapplikation: humanit¨ are Hilfs- und Rettungsdienstleistungen internationaler Vereinigungen.

Kompatibilit¨ at zu GPS In einem Vertrag zwischen der EU und USA wurde im Jahre 2004 vereinbart, daß Galileo zu GPS kompatibel sein wird. Die Frequenzb¨ander L1 bei 1575, 42 MHz und L5 bei 1176, 45 MHz werden von beiden Systemen gemeinsam benutzt. Das L2-Band (1227, 6 MHz) ist f¨ ur GPS reserviert, w¨ahrend Galileo das Band E6 (1278, 75 MHz) allein nutzt. Wenn das Galileo-System vollst¨andig ausgebaut ist, werden sich also 60 zur Navigation nutzbare Satelliten im All befinden. Die im Durchschnitt erreichbare Genauigkeit der Ortsbestimmung l¨ aßt sich mit einer solche hohen Anzahl an Satelliten prinzipiell erh¨ohen, da im Mittel mehr Satellitensignale an einem Ort gleichzeitig empfangen werden k¨ onnen. 12.10.5 St¨ orfaktoren bei der Satellitennavigation Um eine Postionsbestimmung zu erm¨ oglichen, ist der gleichzeitige Empfang von mindestens 4 Satelliten erforderlich. F¨ ur eine Fehlerkorrektur jedoch ist ¨ man auf die Uberbestimmung des mit vier Unbekannten (L¨ange, Breite, H¨ohe, Zeit) versehenen Gleichungssystems angewiesen, die mindestens den Empfang eines 5. Satelliten notwendig macht. Dies bringt Probleme bei der Navigation in St¨adten mit hohen Geb¨ auden mit sich, wo sich diese Forderung nicht immer erf¨ ullen l¨aßt. In den meisten F¨ allen ist auch eine Satellitennavigation im Inneren massiver, z. B. in Stahlbetonbauweise errichteter Bauwerke so gut wie ausgeschlossen.

412

12 Die Messung von Frequenz und Zeit

Folgende, aus physikalischen Gr¨ unden unabwendbare Einfl¨ usse f¨ uhren in der Regel zu Fehlern bei der Positionsbestimmung: • • • •

¨ Witterungsbedingte Anderungen bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen, z. B. Ionosph¨ areneinfl¨ usse: Fehler bis ca. 0,5 Meter Gangungenauigkeit der verwendeten Uhren: Fehler bis ca. 2 Meter Fehler durch Mehrwegeausbreitung der elektromagnetischen Wellen: Fehler bis ca. 0,5 Meter Abweichung von der geplanten Satellitenbahn infolge Graviation: Fehler bis ca. 2,5 Meter

Gezielte Beeinflussung durch St¨ orsender Leider gibt es die M¨ oglichkeit, gezielt St¨ orsender gegen Satellitennavigationssysteme, wie GPS oder Galileo, einzusetzen. Die Frequenzen dieser St¨orsender sind mit denen der Satelliten identisch. Sie arbeiten außerdem mit den gleichen Codefolgen, die allerdings in aller Regel unsinnige Nutzdaten u ¨bermitteln. Solche St¨ orsender werden als GPS-Jammer bezeichnet, solange sie nicht gezielt falsche Postionsdaten vort¨ auschen. In dieser Funktionalit¨at jedoch werden sie als GPS-Faker bezeichnet. GPS-Faker erfordern allerdings eine entsprechend genaue Zeitbasis (Atomuhr), was deren Realisierung aufwendig macht. Es geplant, f¨ ur das Galileo-System eine Authentifizierung zur Erkennung gef¨alschter Positionsdaten anzubieten.

13 Meßsignalverarbeitung

13.1 Aufgaben und Bedeutung Die wesentlichen Aufgaben der Meßsignalverarbeitung bestehen in der Meßwert-Vorverarbeitung sowie der Analyse der aufgenommenen Meßsignale mit Hilfe von Filtern, Funktionaltransformationen, Korrelationsverfahren, Mittelwertbildern, Effektivwertbausteinen, Klirrfaktor-Meßbr¨ ucken, etc. (Abb. 13.1). Dabei sollen die in den gewonnenen Meßwerten enthaltenen und f¨ ur ihre weitere Verwendung (z. B. Regelung, Steuerung, etc.) relevanten Informationen extrahiert werden. Oft wird die im Rahmen einer Messung interessierende Zielgr¨oße erst durch entsprechende Signalverarbeitungsmaßnahmen gewonnen. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn ein stark verrauschtes Meßsignal erst durch geeignete Filtermaßnahmen vom St¨orsignal getrennt werden muß. Zu den wichtigsten Signalverarbeitungsmaßnahmen z¨ahlen:

Abb. 13.1. Meßwerterfassung sowie analoge und digitale Meßwertverarbeitung in einem Meßsystem

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_13, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

414

• • • • • • • •

13 Meßsignalverarbeitung

Kennlinien-Korrektur Filterung Mittelwertbildung Korrelationsbildung Bildung von Verteilungsfunktionen Ermittlung von speziellen Kenngr¨ oßen, wie z. B. dem Klirrfaktor Ausf¨ uhren mathematischer Operationen, wie z. B. Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren, etc. Effektivwertermittlung.

Grunds¨atzlich ist zwischen analoger und digitaler Meßsignalverarbeitung zu unterscheiden. Als Vorteile der Analogtechnik sind unter anderem das hohe Aufl¨osungsverm¨ogen und die hohe Verarbeitungsgeschwindigkeit zu nennen. Außerdem entfallen die bei digitalen Systemen stets ben¨otigten Module zur Abtastung und Analog-Digital-Umsetzung. Im Zuge der in den letzten Jahrzehnten zu beobachtenden Qualit¨atsverbesserungen elektronischer Digital-Bausteine (insbesondere in bezug auf Geschwindigkeit und Aufl¨ osung) bei gleichzeitig stark reduziertem finanziellen Aufwand werden die Systeme zur analogen Signalverarbeitung zunehmend von digitalen abgel¨ost. So lassen sich mit Hilfe universeller digitaler Systeme, wie z. B. digitaler Signalprozessoren (DSP), komplexe Aufgaben wie Funktionaltransformationen relativ leicht in Form von Computerprogrammen implementieren, die bei Analogl¨ osungen einen entsprechenden Aufwand an Hardware notwendig machen. Der Beitrag der analogen Meßsignalverarbeitung hingegen wird sich k¨ unftig vor allem auf Spezialprobleme bzw. Aufgaben mit h¨ochsten Geschwindigkeitsanforderungen konzentrieren. Mit den M¨oglichkeiten der modernen digitalen Signalverarbeitung lassen sich nun auch anspruchsvolle meßtechnische Aufgabenstellungen bew¨ altigen, die in der Vergangenheit oft aus Mangel an geeigneter Hardware oder auch aus Kostengr¨ unden nicht angegangen wurden. Die M¨ oglichkeit, komplexe Signalverarbeitungsaufgaben auf dem PC bzw. auf einem daran angeschlossenen digitalen Signalprozessor zu bearbeiten, erlaubt auch dem Meßtechniker, auf preiswertem Wege die Methoden der modernen digitalen Signalverarbeitung zu nutzen. W¨ahrend die analoge Technik meist teure (Spezial-) Hardware in Form von Einzweckger¨aten voraussetzt, l¨ aßt sich die digitale Signalverarbeitung - von Problemen mit sehr hohen Geschwindigkeitsanforderungen einmal abgesehen - auf einem General-Purpose-Rechner, wie z. B. einem PC oder einer Workstation, bzw. auf einem universellen digitalen Signalprozessor relativ einfach softwarem¨aßig implementieren. Einzige Voraussetzung ist die korrekte zeitliche Abtastung des Signals sowie die anschließende Analog-Digital-Umsetzung (Kap. 11.6) der in der Regel in analoger Form vorliegenden Meßsignale. Der große Vorteil des digitalen Konzeptes besteht in der hohen Flexibilit¨at der entsprechenden softwaretechnischen Implementierungen.

13.2 Signalarten und Analyseformen

415

13.2 Signalarten und Analyseformen Die in der Meßsignalverarbeitung angewendeten Analyseformen h¨angen sehr stark von der Art des zu analysierenden Signales ab. Daher sollte man sich zun¨achst einmal mit der prinzipiellen Art der vorliegenden Meßsignale auseinandersetzen, d. h. man sollte sie klassifizieren. Abbildung 13.2 gibt einen ¨ Uberblick u oglichen Signalklassen. ¨ber die prinzipiell m¨

nichtdeterministische Signale Rauschen

analoge Signale

nicht-stationäre Signale kein konstanter Mittelwert stationäre Signale konstanter Mittelwert

transiente Signale Pulse

nicht-periodische Signale quasi-periodische Signale deterministische Signale vorhersagbar allg. periodische Signale periodische Signale harmonische Signale Sinus Abb. 13.2. Klassifizierung von Signalen

Am einfachsten lassen sich die periodischen Signale analysieren. Sie z¨ahlen zu den deterministischen Signalen, die bei Kenntnis nur einer einzigen Periode f¨ ur jede Zeit vorhersagbar sind. Bei den nicht-periodischen deterministischen Signalen muß auf eventuelle Abbruchfehler geachtet werden, die entstehen, wenn man anstatt der bei periodischen Signalen u ¨blichen festen Periodendauer eine beliebige Zeitspanne w¨ ahlt. Insbesondere bei der Anwendung der Schnellen Fourier-Transformation (Fast Fourier Transformation FFT) werden oft nicht periodische Signale in das der FFT zugrundeliegende Korsett der Periodizit¨at gezw¨angt, woraus entsprechende Fehler entstehen.

416

13 Meßsignalverarbeitung

Bei den nicht-deterministischen Signalen, den stochastischen Rauschsignalen also, kann man die Signalanalyse in aller Regel auf die Ermittlung von Mittelwerten beschr¨ anken. Man muß dabei beachten, daß diese Mittelwerte nur bei den station¨ aren Signalen zeitlich konstant sind. Wenn die zeitliche Schwankung der Mittelwerte infolge von Instationarit¨aten groß wird, wird die Signalanalyse dementsprechend schwierig bzw. liefert wenig aussagekr¨aftige Resultate.

13.3 Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren Die im Zuge der analogen Meßsignalverarbeitung standardm¨aßig ben¨otigten mathematischen Operationen Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren und Radizieren lassen sich mit Hilfe von Schaltungen implementieren, die einen Analog-Multiplizierer enthalten. Das Schaltsymbol eines Analog-Multiplizierers wird in Abb. 13.3 gezeigt. Wenn man sich die Eingangsvariablen uE1 und

Abb. 13.3. Analog-Multiplizierer: a) altes Schaltsymbol. E ist ein Bezugsspannungswert von typ. 10 V, b) neues Schaltsymbol mit Angabe eines Bewertungsfaktors (hier: ′ − 2′ ).

uE2 in einem kartesischen Koordinatensystem aufgetragen denkt, kann man entsprechend ihrer Position, welche die verarbeitbare Polarit¨at der Eingangsspannungen beschreiben soll, nach Ein-, Zwei- oder Vier-Quadranten-Multiplizierern unterscheiden (Tab. 13.1). Tabelle 13.1. Grundtypen von Analog-Multiplizierern Bezeichnung

Polarit¨ at der Eingangsspannungen

Ein-Quadranten-Multiplizierer Zwei-Quadranten-Multiplizierer Vier-Quadranten-Multiplizierer

uE1 ≥ 0, uE2 ≥ 0 uE1 ≥ 0, uE2 beliebig uE1 und uE2 beliebig

13.3 Multiplizieren, Dividieren, Quadrieren, Radizieren

417

Schaltungen zur hardwarem¨ aßigen Realisierung dieser Multiplizierer finden sich unter anderem in [156]. Solche Schaltungen sind kommerziell in Form von integrierten Bausteinen erh¨ altlich. Dividierer Ein Analog-Dividierer l¨ aßt sich mit der in Abb. 13.4 gezeigten Operationsverst¨arkerschaltung realisieren. Wenn man die Eingangsdifferenzspannung uD idealerweise zu Null annimmt, kann man aus Gleichung uD = uE2 −

uE1 uA =0 E

(13.1)

ableiten, daß sich die Ausgangsspannung uA durch Division der beiden Eingangsspannungen ergibt uE2 uA = E . (13.2) uE1

Abb. 13.4. Dividierer-Schaltung

Radizierer Wenn man hingegen beide Eing¨ ange des Multiplizierers mit dem Operationsverst¨arkerausgang verbindet (Abb. 13.5), entsteht aufgrund der Beziehung uD = uE1 −

u2A =0 E

(13.3)

ein Radizierer, solange die Eingangsspannung positiv bleibt (uE1 ≥ 0). Daraus folgt p (13.4) uA = EuE1 .

418

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.5. Radizierer-Schaltung

Frequenzverdoppler Mit Hilfe des in Abb. 13.6 gezeigten Quadriererbausteins und dem nachgeschalteten Hochpaßfilter l¨ aßt sich ein Frequenzverdoppler realisieren. Wenn man n¨amlich die Sinusspannung ˆ sin ωt uE = U

(13.5)

an den Eingang dieser Schaltung legt, entsteht am Eingang des Hochpasses die Spannung ˆ2 ˆ2 U 1U sin2 ωt = (1 − cos 2ωt) . (13.6) E 2 E Wenn man weiterhin annimmt, daß die Kreisfrequenz ω weit oberhalb der Eckfrequenz des Hochpasses liegt, folgt f¨ ur die Ausgangsspannung uA =

ˆ2 1U cos 2ωt . 2 E

(13.7)

Das heißt, man erh¨ alt am Ausgang ein Signal mit sinusf¨ormigem Zeitverlauf, das in bezug auf das Eingangssignal die doppelte Frequenz und eine mit dem ˆ /(2E) multiplizierte Amplitude aufweist. Faktor U

Abb. 13.6. Frequenzverdoppler-Schaltung

13.4 Ermittlung des Effektivwertes

419

13.4 Ermittlung des Effektivwertes Der Effektivwert xeff eines Signals, welcher auch als Root Mean Square Value xRMS bezeichnet wird, entspricht der Wurzel des quadratischen Mittelwertes q p xeff = xRMS = µ2x + ∆x2 = µ2x + σx2 . (13.8)

Dabei wurde angenommen, daß sich das station¨are Zeitsignal x(t) aus einem Gleich- µx und einem Wechselanteil ∆x(t) zusammensetzt x(t) = µx + ∆x(t) .

(13.9)

Die Varianz σx2 (Standardabweichung σx ) entspricht also dem Effektivwertquadrat des Wechselanteils. Der Effektivwert l¨ aßt sich neben der in Kap. 6.3.5 erw¨ahnten indirekten, aber kurvenformabh¨ angigen Methode (Messung des Gleichrichtwertes und Umrechnung in den Effektivwert) auch direkt mit Hilfe von echten Effektivwertmessern, z. B. mittels eines Dreheiseninstruments oder durch thermische Verfahren (Hitzdrahtinstrument), erfassen. Neben diesen klassischen Effektivwertmessern bietet die moderne Meßtechnik integrierte Bausteine an, die auf elegante Weise die Bestimmung des kurvenformunabh¨angigen Effektivwertes erlauben (siehe auch Kap. 11.8). Schaltung eines analogen Effektivwertbausteins Eine Schaltung zur Bestimmung des echten (nicht kurvenformabh¨angigen) Effektivwertes eines Meßsignals besteht aus der Hintereinanderschaltung eines Quadrierers, eines Tiefpasses und eines Radizierers (Abb. 13.7). Die Eingangsspannung uE wird zun¨ achst quadriert und tiefpaßgefiltert, sodaß sich die Spannung u ¯1 am Eingang des Radizierers als der quadrierte Effektivwert der Eingangsspannung ergibt u ¯1 =

1 T

Z

T 0

u2E (t) dt . E

(13.10)

Abb. 13.7. Prinzipschaltung zur Bestimmung des kurvenformunabh¨ angigen Effektivwertes

420

13 Meßsignalverarbeitung

Die Ausgangsspannung uA entspricht schließlich dem (kurvenformunabh¨angigen) Effektivwert s Z 1 T u2E (t) uA = E dt = uEeff . (13.11) T 0 E Ein nicht unwesentlicher Nachteil der in Abb. 13.7 gezeigten Schaltung besteht in der Einschr¨ankung ihres Dynamikbereiches, was letztlich auf die Quadrierung des Eingangssignals zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Wenn die Schaltung aufgrund ihrer hohen Bandbreite dennoch eingesetzt wird, muß im allgemeinen die Eingangsdynamik auf etwa 20 dB, d. h. also ein Verh¨altnis von 1:10 zwischen kleinster und gr¨oßter Eingangsspannung, begrenzt werden, um den Gesamtfehler gering (typischerweise ca. 0,1 %) zu halten. Die Schaltungsvariante nach Abb. 13.8 hingegen deckt einen wesentlich gr¨ oßeren Dynamikbereich ab, da die Quadrierung am Eingang mit einer gleichzeitigen Division verbunden ist. Diese Division ersetzt die ansonsten notwendige Radizierung am Ausgang. Infolge dieser Schaltungstechnik variiert die Signalamplitude innerhalb der gesamten Schaltung nur linear mit der Eingangsamplitude, womit eine entsprechende Dynamikerweiterung verbunden ist. Die Ausgangsspannung des kombinierten Quadrierer-Dividierer-Bausteins betr¨agt u2 (13.12) u1 = E . uA Der nachgeschaltete Tiefpaß f¨ uhrt die zeitliche Mittelwertbildung durch u1 =



u2E uA



1 = T

Z

0

T

u2E (t) dt . uA (t)

(13.13)

Mit verschwindender Eingangsdifferenzspannung des Operationsverst¨arkers folgt Z 1 T u2E (t) (13.14) dt = u1 . uA = T 0 uA (t) Im station¨aren Zustand ist die Ausgangsspannung uA konstant und damit gleich dem Effektivwert der Eingangsspannung

Abb. 13.8. Schaltung zur Messung des kurvenformunabh¨ angigen Effektivwertes

13.4 Ermittlung des Effektivwertes

uA =

s

1 T

Z

0

421

T

u2E (t) dt = uEeff .

(13.15)

Weitere Variante eines analogen Effektivwertbausteins Eine weitere M¨oglichkeit, den kurvenformunabh¨angigen Effektivwert zu ermitteln, bietet sich unter Zuhilfenahme der mathematischen Operation des Logarithmierens an. Abbildung 13.9 zeigt das Prinzip der entsprechenden Schaltung. Die Ausgangsspannung uA entspricht dem echten“ kurvenformu” nabh¨angigen Effektivwert uA = (e[ln(|uE (t)|2 )−ln(uA )] ) = q uA = u2E (t) = uEeff .



u2E (t) uA



=

u2E (t) uA

(13.16) (13.17)

Abb. 13.9. Schaltung zur echten“ (kurvenformunabh¨ angigen) Effektivwertmes” sung auf der Basis eines Logarithmierers

13.4.1 Messung des Effektivwertes f¨ ur beliebige Signalverl¨ aufe Der Effektivwert wurde anhand von Gl. (6.89) f¨ ur einen periodischen Spannungsverlauf definiert. Dabei wird u ¨ber eine Zeitdauer T integriert, die der Periodendauer entspricht. Es stellt sich nun aber noch die Frage, wie der Effektivwert f¨ ur nicht-periodische Signalverl¨ aufe ermittelt werden kann. Wir wollen dazu von einem allgemeinen Zeitsignal ausgehen, dessen Effektivwert auch keineswegs zeitlich konstant sein muß, d. h. es existiert ein Effektivwert ueff (t), der zeitlich variieren kann. Dieser allgemeine Fall einer zeitlich beliebig verlaufenden Spannung u(t) wird von den Effektivwert-Meßschaltungen nach Abb. 13.7 und 13.8 ebenfalls abgedeckt. Man erh¨ alt am Ausgang eine Spannung uA , die dem Kurzzeiteffektivwert uT eff entspricht uA = uT (13.18) eff (τ ) .

422

13 Meßsignalverarbeitung

Dabei h¨angt der von der Schaltung ausgegebene Wert von der Integrationsdauer T ab, die hier im Gegensatz zu periodischen Signalen nicht mehr der Periodendauer, sondern einer frei w¨ ahlbaren Integrationszeit entspricht s Z 1 τ uT u2 (t) dt . (13.19) eff (τ ) = T τ −T E Man erh¨alt so einen zeitlich sich ver¨ andernden Effektivwert, welcher der Energie des Signales im Integrationszeitraum entspricht. In der Praxis muß sich diese Integrationsdauer T an der Geschwindigkeit orientieren, mit der sich der Effektivwert ¨andert bzw. auch daran, welche Information man dem Effektivwert gerade entnehmen m¨ ochte. So kann man bei der Effektivwertmessung von Audiosignalen mit den typischerweise verwendeten Schallpegelmessern bei der Intgerationszeit zwischen Impulsauswertung, schnell und langsam w¨ahlen, je nachdem, mit welcher Geschwindigkeit man das Signal gerade verfolgen m¨ ochte. Tip: Auf der DVD-ROM befindet sich das LabVIEW-Programm kurzzeiteffektivwert.vi, welches die Ermittelung des Kurzzeiteffektivwertes demonstriert. Der Anwender kann dort auf dem Frontpanel eine einzulesende wav-Datei ausw¨ahlen und die Integrationsdauer T f¨ ur die Effektivwertberechnung einstellen. Nach dem Start des Programms wird im Signalverlaufsgraph das Zeitsignal sowie der Verlauf des Kurzzeiteffektivwertes dargestellt.

13.5 Bestimmung von Mittelungswerten In der Meßtechnik muß sehr oft auf Mittelungswerte (Mittelwerte) zur¨ uckgegriffen werden, weil diese aussagekr¨ aftiger sind als die direkte Zeitgr¨oße. Dies gilt insbesondere f¨ ur stochastische Gr¨ oßen, wie Rauschsignale, bei denen der Momentanwert nahezu ohne Aussage bleibt. Arithmetischer Mittelwert Der einfachste Mittelungswert ist der arithmetische Mittelwert µx einer Folge aus Abtastwerten x(tn ) bzw. eines kontinuierlichen Signals x(t) (s. auch Gl. (6.87)), der wie folgt definiert werden kann +N X 1 x(tn ) µx = lim N →∞ 2N + 1 n=−N

bzw.

(13.20)

13.5 Bestimmung von Mittelungswerten

1 T →∞ 2T

µx = lim

Z

423

+T

x(t) dt .

(13.21)

−T

Da die Mittelungen aus ger¨ atetechnischen Gr¨ unden nur u ¨ber endliche Zeitintervalle durchgef¨ uhrt werden k¨ onnen, beschr¨ ankt man sich auf sog. Kurzzeitmittelwerte, welche lediglich Sch¨ atzwerte der obigen theoretischen Mittelwerte sind. Dabei wird vorausgesetzt, daß der Signalverlauf x(t) station¨ar ist, damit der Mittelwert in der endlichen Beobachtungsdauer T repr¨asentativ f¨ ur den ganzen Signalverlauf ist. Diese Voraussetzung ist bei periodischen Signalen exakt erf¨ ullt, wenn die Beobachtungsdauer T gerade gleich einem ganzzahligen Vielfachen der Periodendauer gew¨ ahlt wird. F¨ ur periodische Signale mit der Periodendauer N bzw. T vereinfachen sich die Gln. (13.20) und (13.21) daher zu N 1 X x(tn ) (13.22) µx = N n=1 bzw.

Z 1 T µx = x(t) dt . (13.23) T 0 Der arithmetische Mittelwert entspricht bei station¨aren Signalen dem Gleichanteil eines Signals. Er wird auch als Moment 1. Ordnung bezeichnet. Bei der zeitlichen Mittelung wird also der Gleichanteil xDC eines Signals von seinem Wechselanteil xAC getrennt x(t) = µx + ∆x(t) = xDC + xAC (t) .

(13.24)

Laufende Mittelung Wenn man die Entstehung des Mittelwertes ab dem Vorliegen der ersten (beiden) Meßwerte beobachten m¨ ochte, bietet sich die sog. laufende Mittelung an, die wie folgt anhand des aktuellen Abtastwertes xn und des nach (n − 1) Schritten berechneten Mittelwertes µn−1 durchgef¨ uhrt werden kann µn = µn−1 +

xn − µn−1 . n

(13.25)

Die Richtigkeit dieser Formel l¨ aßt sich durch folgende Umformung beweisen nµn−1 − µn−1 + xn n (n − 1)µn−1 + xn = n   n−1 P 1 (n − 1) (n−1) xi + xn i=1 = n n 1X xi . = n i=1

µn =

(13.26)

424

13 Meßsignalverarbeitung

Ein Sonderfall der laufenden Mittelung ist die exponentielle Mittelung, bei der altere Meßwerte stets geringer gewichtet werden als neuere. Diese Art der Mit¨ telung l¨aßt sich durch ein Tiefpaßfilter 1. Ordnung realisieren, wobei bez¨ uglich der Grenzfrequenz dieses Tiefpasses ein Kompromiß zwischen schnellem Einschwingen des Mittelwertes (hohe Grenzfrequenz w¨ unschenswert) und dem Eliminieren des von sehr tiefen Frequenzanteilen hervorgerufenen station¨aren Fehlers (tiefe Grenzfrequenz g¨ unstig) geschlossen werden muß. Gleitende Mittelung Bei der gleitenden Mittelung (moving averaging) wird ein arithmetischer Mittelwert u ¨ber die letzten N Meßwerte wie folgt gebildet µn = µn−1 +

xn − xn−N−1 . N

(13.27)

F¨ ur den Fall, daß die letzten N + 1 Samplewerte nicht mehr verf¨ ugbar sind, l¨ aßt sich Gl. (13.27) durch folgendes Bildungsgesetz approximieren µn ≈ µn−1 +

xn − µn−N . N

(13.28)

Dabei wurde der Samplewert xn−N−1 durch den Mittelwert µn−N ersetzt.

13.6 Kenngro ¨ßen nicht-sinusfo ¨rmiger periodischer Signale Man hat generell zwischen Signalen mit periodischem Zeitverlauf und solchen mit nicht-periodischem Zeitverlauf zu unterscheiden (Abb. 13.10). Die folgenden Betrachtungen beschr¨ anken sich ausschließlich auf periodische Signale, die im allgemeinen Fall einen nicht-sinusf¨ormigen Zeitverlauf aufweisen. Ein nicht-sinusf¨ormiges Signal wird dann als periodisch bezeichnet, wenn die in ihm enthaltenen Sinusfrequenzen im Verh¨ altnis rationaler Zahlen zueinander stehen. Man kann sich ein beliebiges, nicht-sinusf¨ormiges Signal x(t) als Summe von (im allgemeinen Fall unendlich) vielen Sinusschwingungen

Abb. 13.10. Signalarten: a) Nicht-periodischer Signalverlauf, b) periodischer Signalverlauf

13.6 Kenngr¨ oßen nicht-sinusf¨ ormiger periodischer Signale

425

unterschiedlicher Frequenz und Phasenlage in Form einer Fourierreihe zusammengesetzt denken. Bei einer periodischen Schwingung stehen die Frequenzen dieser Sinusschwingungen in einem ganzzahligen Verh¨altnis. Die Folgefrequenz eines periodischen Signals entspricht der Zahl der Perioden pro Sekunde. Mit Hilfe einer Fourieranalyse (Kap. 3) kann das Signal in seine Sinus-Komponenten (Fourier-Komponenten) zerlegt werden [140]. Die Amplituden der einzelnen Sinusschwingungen werden im sog. Amplitudenspektrum dargestellt. Abbildung 13.11 zeigt als Beispiel das Amplitudenspektrum eines periodischen Rechtecksignals. Auch ein urspr¨ unglich rein ¨ monofrequentes Sinussignal kann auf seinem Ubertragungsweg nichtlinearen (Schaltungs-)Einfl¨ ussen ausgesetzt sein, woraufhin Oberwellen des Originalsignals (d. h. der Grundwelle) entstehen. Diese Nichtlinearit¨aten kommen beispielsweise in Verst¨ arkern vor, wenn die Signalamplituden in den Bereich der Aussteuerungsgrenzen vorstoßen. In Audioanlagen sind die dabei entstehenden nichtlinearen Verzerrungen manchmal sogar akustisch wahrnehmbar. Diese Verzerrungen, die anhand des sog. Klirrfaktors bemessen werden, sind ungewollt und man ist bestrebt, sie zu unterdr¨ ucken.

Abb. 13.11. Amplituden-Spektrum einer unendlichen Folge von Rechteckpulsen mit der Periodendauer T1 = 1/f1

Klirrfaktor Durch Nichtlinearit¨ aten in elektrischen (oder mechanischen) Schaltkreisen entstehen Oberschwingungen mit den Amplituden u ˆ2 , uˆ3 , ... eines urspr¨ unglich sinusf¨ormigen Signals mit der (Grundwellen-)Amplitude u ˆ1 . Als Maß f¨ ur diese Oberschwingungen wird der Klirrfaktor k angegeben, welcher das Verh¨altnis des Effektivwertes aller Oberwellen zum Effektivwert des Gesamtsignals angibt s 2 + U 2 + U 2 + ... U2eff 3eff 4eff k= 2 2 + U 2 + U 2 + ... 100% U1eff + U2eff 3eff 4eff

426

13 Meßsignalverarbeitung

k=

s

u ˆ21

u ˆ22 + u ˆ23 + u ˆ24 + ... 100% . 2 2 ˆ3 + uˆ24 + ... +u ˆ2 + u

(13.29)

Dabei bezeichnen u ˆ1 : U1eff : u ˆ2 , u ˆ3 , ...: U2eff , U3eff , ...

Amplitude der Grundwelle Effektivwert der Grundwelle Amplituden der Oberwellen : Effektivwerte der Oberwellen.

Zur Messung des Klirrfaktors werden Klirrfaktor-Meßbr¨ ucken eingesetzt, welche obige Formel mit Hilfe von Filterschaltungen auswerten (Abb. 13.12).

Abb. 13.12. Schaltung zur Ermittlung des Klirrfaktors

Dazu wird das zu analysierende Signal, je nachdem, ob es sich um ein hochoder niederfrequentes Signal handelt, auf den entsprechenden Eingang gegeben und zun¨achst direkt einem Effektivwertmesser zugef¨ uhrt, der den kurvenformunabh¨angigen ( echten“) Effektivwert des Gesamtsignals mißt und ” anzeigt bzw. speichert. Danach wird das Eingangssignal in einer zweiten Messung u uhrt. Dies ist eine steilflankige Bandsperre, ¨ber ein sog. Notchfilter gef¨ die eine bestimmte (einstellbare) Spektralkomponente unterdr¨ uckt und das restliche Signal durchl¨ aßt. Wenn man mit Hilfe des Notchfilters die Grundwelle ausfiltert, den dabei gemessenen Effektivwert ins Verh¨altnis zum gemessenen Effektivwert des Gesamtsignals setzt und den Quotienten in Prozent ausdr¨ uckt, erh¨alt man schließlich als Ergebnis den aktuellen Wert des Klirrfaktors des Eingangssignals. Abschließend soll noch erw¨ahnt werden, daß aus der Angabe des Klirrfaktors keine R¨ uckschl¨ usse auf den Zeitverlauf des Signals gezogen werden k¨ onnen, da aus dem Wert des Klirrfaktors weder die

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

427

Phasenbeziehungen der Harmonischen zueinander noch die Werte ihrer Einzelamplituden hervorgehen. Spektralanalyse Die spektrale Zusammensetzung eines periodischen Signals l¨aßt sich mit Hilfe eines abstimmbaren steilflankigen Bandpaßfilters und eines Effektivwert- oder Amplitudenmeßger¨ ates auf analoger Basis messen. Dazu wird das Filter, das durch seine Mittenfrequenz fm und seine Bandbreite ∆f gekennzeichnet ist, nacheinander auf die einzelnen Spektrallinien des periodischen Signals x(t) abgestimmt. Die jeweiligen Ausgangsspannungen des Filters werden mit Hilfe eines Effektivwertspannungsmessers ermittelt. Bei einer automatischen Messung wird die Mittenfrequenz des Bandpaßfilters zwischen einer unteren fu und einer oberen Grenzfrequenz f0 variiert und die jeweils gemessene Ausgangsspannung u ¨ber der Frequenz aufgetragen. Wenn ein reines Linienspektrum (d. h. man hat ein periodisches Eingangssignal) gemessen wird, entsteht aufgrund der Faltung der einzelnen Spektralli¨ nien mit der Ubertragungsfunktion des Bandpasses ein resultierendes Spektrum, das an den Stellen der Spektrallinien das Spektrum des Bandpasses zeigt. Aus diesen Gr¨ unden ist es einleuchtend, daß die Bandpaߨ ubertragungsfunktion so schmalbandig wie m¨ oglich sein sollte. Dies geht allerdings zu Lasten der Einschwingzeit, die proportional mit 1/∆f ansteigt.

13.7 Messung von Signaleigenschaften durch Bestimmung der Korrelationsfunktionen

Abb. 13.13. Direkte Meßmethode

Neben der bereits in den vorangegangenen Kapiteln behandelten, standardm¨aßig eingesetzten direkten Meßmethode (Abb. 13.13) sowie der in den Kapiteln 9.2 - 9.5 behandelten indirekten Meßmethode auf der Basis von Kompensationsschaltungen (Abb. 13.14) gibt es noch eine dritte grundlegende Meßmethode, n¨amlich die Messung durch Korrelation mit einem Modellsignal. Bei diesem in Abb. 13.15 gezeigten Verfahren wird die Meßgr¨oße nach einer Signalumformung mit einem Modellsignal, das wiederum auch das Meßsignal selbst sein kann, mit Hilfe eines Korrelators verglichen. Aus dieser Vergleichsmessung lassen sich wesentliche Signaleigenschaften der Meßgr¨oße ableiten.

428

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.14. Indirekte Messung durch Kompensation

Um die dabei ablaufenden Vorg¨ ange besser zu verstehen, sollen zun¨achst die Korrelationsfunktionen definiert und anschließend gezeigt werden, welche Signaleigenschaften sich aus ihren Funktionsverl¨aufen ablesen lassen. Korrelationsfunktionen: Kreuzkorrelationsfunktion, Autokorrelationsfunktion Es sind zwei Arten von Korrelationsfunktionen definiert, n¨amlich die Kreuzkorrelationsfunktion Rxy 1 T →∞ 2T

Rxy (τ ) = lim

Z

+T

y(t)x(t + τ ) dt

(13.30)

x(t)x(t + τ ) dt ,

(13.31)

−T

sowie die Autokorrelationsfunktion Rxx 1 T →∞ 2T

Rxx (τ ) = lim

Z

+T

−T

wobei x(t) und y(t) beliebige zeitkontinuierliche Funktionen sind. Die Korrelationsfunktionen bilden die Grundlage der Korrelationsmeßtechnik, in der ¨ die Ahnlichkeit von Signalverl¨ aufen ermittelt wird.

Abb. 13.15. Messung durch Korrelation mit einem Modellsignal

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

429

Praktische Auswertung von Korrelationsfunktionen In der praktischen Meßtechnik allerdings muß man bei der Anwendung der obigen Definitionsgleichungen (Gln. (13.30) und (13.31)) vorsichtig sein, da sich der Grenz¨ ubergang f¨ ur T → ∞ in der Regel nicht mehr sinnvoll gestalten l¨ aßt. F¨ ur periodische Signale kann man den Grenzwert T → ∞ ohne Probleme durch T = T0 ersetzen, wenn T0 die Periodendauer ist. F¨ ur nicht-periodische Signale hingegen greift diese Vereinfachung nicht. Man muß dabei sehr wohl nach der Art des zu korrelierenden Signals unterscheiden. Aus diesem Grund sollen die im folgenden bei der Korrelation behandelten Signale zun¨ achst einmal definiert werden. Man unterscheidet dabei 4 Arten von Signalen: 1. Energiesignale Ein Signal x(t) wird als Energiesignal bezeichnet, wenn folgende Relation erf¨ ullt ist Z +∞ Z +∞ x(t) · x(t + τ )dt = |x(t)|2 dt < ∞ . (13.32) −∞

−∞

2. Leistungssignale Wenn das Integral nach Gl. (13.32) divergiert, aber der Grenzwert 1 T →∞ T lim

Z

+T

−T

1 T →∞ T

x(t) · x(t + τ )dt = lim

Z

+T

−T

|x(t)|2 dt < ∞

(13.33)

existiert, spricht man von Leistungssignal 3. Station¨ are Signale Ein stochastisches Signal (in diesem Zusammenhang oft auch als Prozeß bezeichnet) wird als station¨ar bezeichnet, wenn seine statistischen Eigenschaften zeitinvariant sind. So ist beispielsweise f¨ ur station¨are Signale neben der Existenz von Mittelwerten auch deren zeitliche Konstanz gew¨ahrleistet. 4. Ergodische Signale Zur Ermittlung eines bestimmten Mittelwertes eines station¨aren Signales muß man aber immer noch u ¨ber eine theoretisch unendliche Zeitdauer mitteln, bzw. man muß einen “Supermittelwert” aus vielen Mittelwerten bilden, die u ¨ber ein endliches Zeitintervall zu verschiedenen Zeitpunkten t1 , t2 , ..., tn aufgenommen wurden. Da aber zur korrekten Mittelwertbildung diese Messungen immer noch an der gesamten Schar der Zufallssignale vorgenommen werden

430

13 Meßsignalverarbeitung

m¨ ussen, stellt sich die Frage, ob es f¨ ur bestimmte station¨are Prozesse nicht gen¨ ugt, diese Messungen repr¨ asentativ an einer einzigen Musterfunktion vorzunehmen. Solche Signale (Prozesse), f¨ ur die alle Zeitmittelwerte gleich den entsprechenden Scharmittelwerten sind, nennt man ergodische Signale. F¨ ur ein sog. schwachergodisches Signal (Prozeß) wird diese Identit¨at nur f¨ ur den linearen Mittelwert und die Autokorrelationsfunktion gefordert [88]. Die Bedeutung dieser als Ergodentheorem bezeichneten Aussage ist sehr weitreichend, da sie besagt, daß die statistischen Aussagen eines solchen Zufallsprozesses aus einer einzigen Musterfunktion bestimmt werden k¨onnen. F¨ ur die ¨ Praxis ist sie allerdings in der Regel nur von geringem Wert, da sich die Aquivalenz von Scharmittelwert und Zeitmittelwert h¨ochstens in Ausnahmef¨allen beweisen l¨aßt. Die Ergodizit¨ at spielt daher vielfach die Rolle einer n¨ utzlichen Annahme, welche die experimentelle Analyse und mathematische Beschreibung eines realen stochastischen Signals u ¨berhaupt erst erm¨oglicht [169]. Autokorrelation nicht-periodischer Signale Ergodische (stochastische) Signale Aufgrund der Definition ergodischer Signale (siehe oben) ist die Ermittlung von deren Autokorrelierten m¨ oglich, indem u ¨ber ein beliebiges (endliches) Zeitintervall gemittelt wird. Energiesignale F¨ ur Energiesignale, d. h. Signale mit endlicher Energie (s. obige Definition), ist die Autokorrelationsfunktion nach der Definitionsgleichung (Gl. (13.31)) infolge der Grenzwertbildung mit T → ∞ stets Rxx (τ ) ≡ 0. Um der Korrelationsbildung in solchen F¨ allen wieder eine Sinnhaftigkeit E zu geben, geht man vielfach zur sog. Impulskorrelationsfunktion Rxx u ¨ber. Diese entspricht der Korrelationsfunktion bis auf die zeitliche Normierung auf 1/2T , die einfach weggelassen wird Z +T E Rxx (τ ) = lim x(t)x(t + τ ) dt . (13.34) T →∞

−T

Man darf allerdings nicht u ¨bersehen, daß die Korrelationsfunktionen mit ihren entsprechenden Impulskorrelationsfunktionen bez¨ uglich der Einheit nicht mehr u ¨bereinstimmen. Bei Spannungssignalen beispielsweise ergeben sich die Einheiten wie folgt Rxx (τ ) [V 2 ] E Rxx (τ )

2

[V s] .

(13.35) (13.36)

Dies bedeutet insbesondere auch, daß sich der Effektivwert (bzw. dessen QuaE drat) nicht mehr aus Rxx (τ = 0) ergibt.

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

431

Wer diese Nachteile umgehen m¨ ochte, dem bleibt der Weg, stattdessen Kurzzeitkorrelationsfunktionen zu ermitteln. Diese entsprechen den Definitionsgleichungen (Gln. (13.30) und (13.31)) mit dem Unterschied, daß nicht der Grenzwert T → ∞ gebildet wird, sondern sich die zeitliche Mittelung auf ein endliches Zeitintervall T bezieht. Das heißt, daß anstatt der exakten Auto- bzw. Kreuzkorrelationsfunktion (approximative) Sch¨atzwerte ermittelt werden Z 1 T T ˆ xx R (τ ) = x(t + τ ) · x(t) dt (13.37) T 0 bzw.

ˆ T (τ ) = 1 R xy T

Z

T

x(t + τ ) · y(t) dt .

0

(13.38)

Die Unterschiede zwischen Impulskorrelationsfunktion und Kurzzeitkorrelationsfunktion soll anhand eines Beispiels erl¨ autert werden. Beispiel f¨ ur Impuls- und Kurzzeitskorrelationsfunktion Wenn man eine Sprungfunktion ε(t) auf einen RC-Hochpaß mit der Zeitkonstanten 1/α = RC gibt, so erh¨ alt man die (Sprung-)Antwort  A · e−αt f¨ ur t ≥ 0 h(t) = . (13.39) 0 f¨ ur t < 0 Die entsprechende Impulskorrelationsfunktion ergibt sich aus Z +T E Rhh (τ ) = lim h(t) · h(t + τ ) dt T →∞

= lim

T →∞

E Rhh (τ ) =

−T T

Z

0

h(t) · h(t + τ ) dt

A2 −ατ ·e . 2α

Alternativ kann man die Kurzzeitkorrelationsfunktion gem¨aß Z 1 T T ˆ hh R (τ ) = h(t) · h(t + τ ) dt T 0

(13.40) (13.41)

(13.42)

ermitteln. Dies resultiert in A2 T ˆ hh · e−ατ (1 − e−2αT ) R (τ ) = 2αT

(13.43)

und bedeutet, daß die Kurzzeitkorrelationsfunktion (in entscheidendem Maße) von der gew¨ahlten Mittelungsdauer T abh¨ angt. W¨ahlt man nun T so, daß die zu analysierende Funktion h(t) fast nahezu abgeklungen ist, beispielsweise T = 3/α (e−3 ≈ 0, 05), so ergibt sich

432

13 Meßsignalverarbeitung 2 2 ˆ T (τ ) = A · e−ατ (1 − e−6 ) ≈ A · e−ατ . R hh 6 6

(13.44)

Das Quadrat des entsprechenden Effektivwertes l¨aßt sich gem¨aß A2 T ˆ hh R (τ = 0) = h2 (t) = h2eff = 6

(13.45)

bestimmen. Die f¨ ur die Mittelungsdauer T ermittelte Kurzzeitkorrelationsfunktion entspricht im u ur eine sich ¨brigen der exakten Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) f¨ periodisch wiederholende Pulsfunktion h(t) mit der Periodendauer T . Tip: Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß das auf beiliegender CD verwendete Programm LabVIEW in vielen F¨allen ebenfalls diese Kurzzeitkorrelationsfunktionen berechnet bzw. (gleichbedeutend) die exakte Korrelationsfunktion der entsprechenden mit T periodischen Funktion. Durch Festlegen der Abtastrate bzw. der Abtastdauer (Dauer zwischen zwei Abtastzeitpunkten △t) und der Anzahl N an Abtastungen wird automatisch die Zeit T = N · △t festgelegt. Man kann sie als Mittelungsdauer T bei der Berechnung des Kurzzeitkorrelationswertes interpretieren oder alternativ als Periodendauer T , nach der sich das abgetastete bzw. eingegebene Signal wiederholt. Betrachten Sie dazu das Programm demo_kurzzeitkorrelationsfunktion.vi auf der CDROM.

Bestimmung von Signaleigenschaften durch Messung der Korrelationsfunktionen ¨ Die Kreuzkorrelationsfunktion Rxy (τ ) stellt ein Maß f¨ ur die Ahnlichkeit zwischen den beiden Signalen x(t) und y(t) dar. Wenn die aus den Signalen x(t) und y(t) gebildete Kreuzkorrelationsfunktion f¨ ur alle Zeitverschiebungswerte τ den Wert Null annimmt, heißt das, daß sich die beiden Signale in keiner Weise ¨ ahnlich sind. Man bezeichnet sie dann als statistisch unabh¨angig bzw. als unkorreliert. Die Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) beschreibt die Best¨ andigkeit eines Signals in Abh¨ angigkeit einer Zeitverschiebung τ . Ist Rxx (τ ) groß, so muß x(t + τ ) sehr ¨ ahnlich x(t) f¨ ur diesen speziellen Wert von τ sein. F¨ ur den Fall, daß die Autokorrelationsfunktion verschwindet (Rxx (τ ) = 0), sind x(t) und x(t + τ ) orthogonal zueinander. Die Autokorrelationsfunktion hat folgende grunds¨ atzliche Eigenschaften: •

Ihr Wert f¨ ur τ = 0 entspricht dem zeitlichen Mittelwert des quadrierten Zeitsignals. Dieser ist wiederum mit dem Quadrat des Effektivwertes identisch

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

Rxx (0) = x2 . •

(13.46)

Die Autokorrelationsfunktion erreicht f¨ ur τ = 0 stets ihren Maximalwert Rxx (τ ) ≤ Rxx (0) .

•

(13.47)

Die Autokorrelationsfunktion ist immer eine gerade Funktion bez¨ uglich der Zeitverschiebungsvariablen τ Rxx (τ ) = Rxx (−τ ) .

•

(13.48)

Ihr Wert f¨ ur τ → ∞ entspricht dem Quadrat des zeitlichen Mittelwertes x ¯ Rxx (∞) = x2 .

•

433

(13.49)

Bei periodischen Signalen (Periodendauer T) ist auch deren Autokorrelierte mit der selben Periodendauer periodisch Rxx (τ ) = Rxx (τ + T ) .

(13.50)

Die sog. bezogenen Korrelationsfunktionen rxx bzw. rxy liefern aufgrund der in den Gln. (13.51) und (13.52) beschriebenen Normierungen nur Werte im Zahlen-Intervall [−1, +1] Rxx (τ ) Rxx (0) Rxy (τ ) . = p Rxx (0)Ryy (0)

rxx =

(13.51)

rxy

(13.52)

Die Art und Weise, wie die Autokorrelationsfunktion vom Wert Rxx als Funktion der Verschiebungszeitspanne τ abf¨ allt, ist f¨ ur die Erhaltungstendenz (innere Koh¨arenz) des Signals x(t) charakteristisch. Diese innere Koh¨arenz eines Signals l¨aßt sich aus der sog. Koh¨arenzzeit τ0 ablesen, welche aus der Subtangente der Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) an der Stelle τ = 0 wie folgt ermittelt werden kann τ0 =

−Rxx (0) d dτ Rxx (τ )|τ =0+

=

Rxx (0) d dτ Rxx (τ )|τ =0−

.

(13.53)

Große Koh¨arenzzeitwerte deuten auf eine hohe Erhaltungstendenz des Signals hin. Mit Hilfe des Korrelationsverfahrens l¨ aßt sich u ufen, ob das zu unter¨berpr¨ suchende Signal bestimmte vorgegebene Eigenschaften besitzt. H¨aufig gen¨ ugt es bereits, den zeitlichen Produktmittelwert von Meßsignal x(t) und einem zu definierenden Modellsignal y(t) zu bilden. Dieser entspricht n¨amlich dem Anfangswert der Korrelationsfunktion [125] Rxy (0) = x(t)y(t) .

(13.54)

434

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.16. Ermittlung von Periodizit¨ aten mit Hilfe der Autokorrelationsfunktion: a) mit Rauschen u ¨ berdecktes harmonisches Signal, b) harmonisches Signal

Aus der Gr¨oße des Produktmittelwertes bzw. dem Verlauf der Korrelationsfunktion kann man beispielsweise feststellen, ob ein unregelm¨aßiges Signal eine verdeckte Periodizit¨ at besitzt. Außerdem l¨ aßt sich aus ihrem Verlauf gegebenenfalls die Periodendauer dieser Periodizit¨ at ablesen (Abb. 13.16). Die Kreuzkorrelation zweier gleichfrequenter harmonischer Signale u(t) = u ˆ sin(ωt + ϕ)

(13.55)

uM (t) = u ˆM sin(ωt + ϕM )

(13.56)

und beispielsweise ergibt sich nach Auswertung von Gl. (13.30) zu RuuM (τ ) =

uˆu ˆM cos(ωτ + ϕM − ϕ) . 2

(13.57)

Sie verl¨auft also ebenfalls sinusf¨ ormig mit der Variablen τ und der Kreisfrequenz ω. In Abbildung 13.17 werden die Autokorrelationsfunktionen von normalverteiltem und bandbegrenztem Rauschen verglichen. Anwendungen der Korrelationstechnik bei der Distanzmessung Die Korrelationstechnik kann genutzt werden, um auf einfache Weise unter Zuhilfenahme von in Wellenform ausbreitungsf¨ ahigen, stochastischen Signalen Distanzmessungen durchzuf¨ uhren.

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

435

Abb. 13.17. Beispiele von Autokorrelationsfunktionen: a) Normalverteiltes Rauschen, b) Bandbegrenztes Rauschen

Tip: Diese Methode der Distanzmessung kann man anhand der ¨ LabVIEW-Ubungsaufgabe 2.4 auf der CD-ROM in einem simulierten Experiment testen. In der Akustik regt man dazu einen Lautsprecher mit einem (bandbegrenzten) Rauschsignal an (Abb. 13.18), das im folgenden als Sendesignal x(t) (Abb. 13.19a) bezeichnet wird. Um die Strecke Lx zwischen dem Lautsprecher und einem Mikrophon zu messen, gen¨ ugt es, das vom Mikrophon gelieferte Emp-

Abb. 13.18. Prinzip der Distanzmessung mit Hilfe akustischer Rauschsignale und der Korrelationstechnik

436

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.19. Akustische Distanzmessung: a) Sendesignal, b) Empfangssignal

fangssignal y(t) (Abb. 13.19b) mit dem Sendesignal einer Kreuzkorrelation zu unterwerfen. Die entsprechende Kreuzkorrelationsfunktion Rxy (τ ) zeigt eine Spitze bei der Zeit τ1 , die der Laufzeit des akustischen Signals zwischen Lautsprecher und Mikrophon entspricht (Abb. 13.20). Bei bekannter Schallausbreitungsgeschwindigkeit c kann daraus die Distanz Lx in einfacher Weise anhand folgender Gleichung bestimmt werden Lx = cτ1 .

(13.58)

Abb. 13.20. Kreuzkorrelationsfunktion, die aus Sendesignal x(t) und Empfangssignal y(t) gebildet wird

Spektrale Leistungsdichte Neben der bekannten Fourier-Transformierten X(ω) eines Zeitsignals x(t) (Abb. 13.21) ist auch die Fourier-Transformierte der entsprechenden Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) definiert. Der daraus resultierende Funktionsverlauf Sxx (ω) wird spektrale Leistungsdichtefunktion genannt

13.7 Messung von Signaleigenschaften mittels Korrelationsfunktion

437

Abb. 13.21. Fourier-Transformation eines Zeitsignals x(t), seiner Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) und seiner spektralen Leistungsdichtefunktion Sxx (ω) nach [128]

Sxx (ω) =

Z

=2

+∞

Rxx (τ )e−jωτ dτ

−∞ Z +∞

Rxx (τ ) cos(ωτ ) dτ .

(13.59)

0

Die inverse Fourier-Transformation f¨ uhrt wiederum zu der Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) Z +∞ 1 Rxx (τ ) = Sxx (ω)ejωτ dω 2π −∞ Z 1 +∞ = Sxx (ω) cos(ωτ ) dω . (13.60) π 0 Die Gln. (13.59 - 13.60) werden Wiener-Khintchine-Beziehungen genannt (s. auch Abb. 13.21). Parcevalsches Theorem Das Parcevalsche Theorem besagt, daß die mittlere totale Signalleistung im Zeitbereich gleich derjenigen im Frequenzbereich ist. Das Integral u ¨ber die

438

13 Meßsignalverarbeitung

spektrale Leistungsdichtefunktion Sxx (ω) von ω = −∞ bis ω = +∞ entspricht der mittleren totalen Leistung des Signals Z +∞ Z 1 1 ∞ x2 = Rxx (0) = Sxx (ω) dω = Sxx (ω) dω . (13.61) 2π −∞ π 0 Der Autokorrelationskoeffizient Rxx (0) gibt also die in dem Signal enthaltene mittlere Gesamtleistung an und Sxx (ω) beschreibt die spektrale Leistungsverteilung des Signals. Dies bedeutet aber auch, daß sich das Leistungsdichtespektrum eines Signals und insbesondere auch das eines stochastischen (station¨aren) Signals durch Bandpaßfilterung meßtechnisch ermitteln l¨aßt. Ein steilflankiges Bandpaßfilter mit der Mittenfrequenz f0 und der Bandbreite ∆f liefert das Zeitsignal x′ (t) und damit die Leistungsdichte bei der Frequenz f0 1 ′2 x , (13.62) Sxx (f0 ) = ∆f wobei die Bandbreite ∆f klein werden muß, um die Mittelungsfehler gering zu halten.

¨ 13.8 Außere St¨ oreinwirkungen Stochastische Fehler Zu den system-inh¨ arenten Fehlern (Verf¨ alschungen) der Meßsignale infolge der ¨ deterministischen Ubertragungseigenschaften des Meßsystems treten zuf¨allige dynamische St¨oreinwirkungen d(t) hinzu (Abb. 13.22), wie beispielsweise addi˜ tiv u des am Ausgang ¨berlagertes Rauschen. Die Laplace-Transformierte D(s) des Meßsystems wirksamen St¨ orsignals ergibt sich nach den bekannten Gesetzm¨aßigkeiten der Systemtheorie auch im Falle eines stochastischen St¨orsignals d(t) prinzipiell aus dem Produkt der Laplace-Transformierten D(s) und ¨ der wirksamen Ubertragungsfunktion G2 (s) des Meßsystems ˜ D(s) = G2 (s)D(s) .

(13.63)

Da jedoch f¨ ur stochastische Signale bez¨ uglich ihrer Signalverl¨aufe nur statistische Aussagen sinnvoll sind, muß eine geeignete mathematische Beschreibungsform gefunden werden.

¨ Abb. 13.22. Meßsystem mit deterministischen (inneren) Ubertragungsfehlern (cha¨ rakterisiert durch die Ubertragungsfunktionen G1 (s) und G2 (s)) und additiv u ¨ berlagerten, ¨ außeren St¨ oreinwirkungen d(t) mit stochastischem Charakter

¨ 13.8 Außere St¨ oreinwirkungen

439

¨ Ubertragung stochastischer Signale ¨ Die Ubertragungsfunktion von rein stochastischen bzw. gemischt stochastisch¨ deterministischen Signalen u mit der Im¨ber ein kausales Ubertragungssystem pulsantwort g(t) (z.B. Filter-Vierpol) wird entsprechend Abbildung 13.23 dargestellt.

¨ Abb. 13.23. Ubertragung von stochastischen Signalen u ¨ ber ein lineares Netzwerk, ¨ das durch die Ubertragungsfunktion G(ω) beschrieben wird

Anstatt der Laplace-Transformierten X(s) und Y (s) werden bei der Ermitt¨ lung des Ubertragungsverhaltens bzw. des resultierenden Ausgangssignals die spektralen Leistungsdichtefunktionen Sxx (ω) und Syy (ω) verwendet (Abbildung 13.24).

¨ Abb. 13.24. Beschreibung des Ubertragungsverhaltens mit Hilfe von Leistungsdichtefunktionen

Dabei geht allerdings die Phaseninformation des Signals verloren. Es gilt nach [114] Syy (ω) = Sxy (ω)G(ω) , (13.64) wobei Sxy (ω) die spektrale Kreuzleistungsdichtefunktion zwischen den Signalen x(t) (Eingangssignal) und y(t) (Ausgangssignal) ist Sxy (ω) =

Z∞

Rxy (τ )e−jωτ dτ .

(13.65)

−∞

Diese auch als spektrale Kreuzleistungsdichte bezeichnete Funktion Sxy (ω) ist also die Fourier-Transformierte der Kreuzkorrelationsfunktion Rxy (τ ). Mit der ¨ konjugiert-komplexen Ubertragungsfunktion G∗ (ω) folgt der Zusammenhang [114] Sxy (ω) = Sxx (ω)G∗ (ω) (13.66) und unter Ber¨ ucksichtigung von Gl. (13.64) Syy (ω) = |G(ω)|2 Sxx (ω) .

(13.67)

440

13 Meßsignalverarbeitung

Bezogen auf Abb. 13.22 bedeutet dies, daß anstelle von Gl. (13.63) der folgende Zusammenhang verwendet wird, der die spektralen Leistungsdichtefunktionen Sdd (ω) und Sd˜d˜ (ω) der Signale d und d˜ nutzt Sd˜d˜ (ω) = Sdd (ω)|G2 (ω)|2 .

(13.68)

Dabei berechnet sich Sdd nach Gl. (13.59) aus der entsprechenden Autokorrelationsfunktion Rdd Z +∞ Sdd (ω) = Rdd (τ )e−jωτ dτ (13.69) −∞

mit Gl. (13.31) 1 T →∞ 2T

Rdd (τ ) = lim

Z

+T

d(t)d(t + τ ) dt .

(13.70)

−T

Die folgende R¨ ucktransformation (Gl. (13.60)) der spektralen Leistungsdichtefunktion Sdd (ω) in den Zeitbereich ergibt wiederum die Autokorrelationsfunktion Rdd Z +∞ 1 Sdd (ω)ejωτ dω . (13.71) Rdd (τ ) = 2π −∞ Nach dem Parcevalschen Theorem (Gl. (13.61)) kann der h¨aufig interessierenorsignals aus der spektralen Leistungsde quadratische Mittelwert d˜2 des St¨ ¨ dichtefunktion des St¨ orsignals und der Ubertragungsfunktion des Meßsystems wie folgt berechnet werden Z Z 1 ∞ 1 ∞ Sd˜d˜ (ω) dω = Sdd (ω)|G2 (ω)|2 dω . (13.72) d˜2 = π 0 π 0 ¨ Die Filterwirkung des Meßsystems infolge der Ubertragungsfunktion G2 (ω) ¨ kann sich sehr positiv auswirken, wenn sich der f¨ ur die Ubertragung relevante Spektralbereich des Meßsystems und der Spektralbereich, in dem sich das St¨orsignal befindet, nicht u ¨berlappen (Abb. 13.25).

Abb. 13.25. Filterwirkung eines Meßsystems gegen¨ uber St¨ orsignalen. G(ω) ist die ¨ Ubertragungsfunktion des Meßsystems und Sdd (ω) die spektrale Leistungsdichtefunktion des stochastischen St¨ orsignals.

13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter)

441

Maßnahmen gegen dynamische St¨ orwirkungen Es bieten sich mehrere M¨ oglichkeiten der St¨ orunterdr¨ uckung an: • • • •

Abschirmung der St¨ orquellen Dynamische Kompensation der St¨ orwirkung St¨orungsunterdr¨ uckung durch F¨ uhrungsregelung St¨orungsunterdr¨ uckung durch Filterung (Abb. 13.26).

Der Nutzen der direkten Filterwirkung durch das Meßsystem selbst (Abb. 13.25) tritt nur dann ein, wenn die Grenzfrequenz des Meßsystems unterhalb des f¨ ur das St¨orsignal relevanten Spektrums liegt. Nachdem aber hochwertige Meßsysteme recht hohe Grenzfrequenzen aufweisen, wird i. allg. auch das St¨orsignal mit erfaßt. In diesen F¨ allen sind zus¨atzliche Filtermaßnahmen erforderlich.

Abb. 13.26. Dynamische St¨ oreinwirkungen in Meßsystemen und ihre Unterdr¨ uckung durch Filterung

13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter) ¨ 13.9.1 Ubertragungsfunktion eines Optimalfilters Eine besondere Form der St¨ orungsunterdr¨ uckung l¨aßt sich durch ein sog. Optimalfilter erreichen, das nach seinem Erfinder, Prof. Norbert Wiener, auch als Wiener-Filter [167] bezeichnet wird. Bei diesem Filtertyp handelt es sich um ein sog. Sch¨atzfilter gem¨ aß Abb. 13.27. W¨ ahrend man beim klassischen Filterentwurf davon ausgeht, daß sich Nutz- und St¨ orsignal frequenzm¨aßig trennen lassen (siehe Abb. 13.25), da sie unterschiedliche Frequenzbereiche dominieren, wird dies bei der Optimalfiltertechnik nicht vorausgesetzt, d. h. Nutzund St¨orsignal d¨ urfen im selben Frequenzbereich liegen. Damit l¨aßt sich keine frequenzm¨aßige Trennung durch Unterteilung in Durchlaß- und Sperrbereich durchf¨ uhren. Das Unterscheidungskriterium, welches hier genutzt wird, basiert vielmehr auf den unterschiedlichen statistischen Eigenschaften von Nutzund St¨orsignal. Das von Wiener vorgeschlagene Optimalfilter gestattet es also, das Nutzsignal anhand statistischer Eigenschaften von additiven St¨orungen zu trennen. Ziel der Optimalfiltertechnik ist die bestm¨ ogliche Ann¨aherung des Ausgangssignals x ˆ(t) an das urspr¨ ungliche Meßsignal x(t), d.h. das in Abb. 13.27 gezeigte Sch¨atzfilter hat die Aufgabe, die bestm¨ ogliche Approximation des Meßsignals

442

13 Meßsignalverarbeitung

Meßsignal x(t)

Störsignal n(t) Meßgerät G(ω)

y(t)

z(t)

^ x(t)

Schätzfilter H(ω) -

! e 2(t) = Minimum

Ausgang des (Optimal-)Filters

e(t) = ^ x(t) - x(t)

Optimalfilter ( H(ω) = H opt (ω) )

Abb. 13.27. Prinzip eines Optimalfilters (Wiener-Filter)

am Ausgang in Form von x ˆ(t) zu bewirken. Als Optimierungskriterium wird wiederum (s. Kap. 14.1) die mittlere quadratische Abweichung zwischen Meßsignal x(t) und Sch¨ atzsignal x ˆ(t) verwendet ! e2 = [ˆ x(t) − x(t)]2 = min. .

(13.73)

Infolge des stochastischen Charakters des St¨ orsignals n(t) handelt es sich auch bei dem Differenzsignal e(t) zwangsl¨ aufig um ein Zufallssignal (Zufallsgr¨oße, Zufallsprozeß) im mathematischen Sinne. Wenn wir auf Gl. (13.73) das Parcevalsche Theorem (Gl. (13.61)) anwenden, erhalten wir Z +∞ 1 2 e = Ree (0) = See (ω) dω . (13.74) 2π −∞ Dies bedeutet, daß die mittlere Leistung des Fehlersignals e2 = E{e2 (t)} 1 mit Hilfe des Leistungsdichtespektrums See (ω) ermittelt werden kann. Dieses ¨ Leistungsdichtespektrum entsteht durch die additive Uberlagerung der beiden Signale (Zufallsgr¨ oßen) x ˆ(t) und x(t) (Abb. 13.28). Das entsprechende Leistungsdichtespektrum ergibt sich wie folgt [76] See (ω) = Sxˆxˆ (ω) − Sxˆx (ω) − Sxˆx (ω) + Sxx (ω) .

(13.75)

Gem¨aß den Gleichungen (13.64), (13.66) und (13.67) l¨aßt sich See (ω) auch als ¨ Funktion der Ubertragungsfunktion H(ω) des Sch¨atzfilters ausdr¨ ucken See (ω) = Szz (ω)|H(ω)|2 − Szx (ω) H(ω) − Sxz (ω) H ∗ (ω) + Sxx (ω) . (13.76) Das Optimalfilter (entspricht dem Sch¨ atzfilter mit der Bedingung e2 = min.) erh¨alt man durch Ableiten nach H(ω), was getrennt nach Betrag und Phase zu erfolgen hat. Dies f¨ uhrt schließlich zu dem gesuchten Optimalfilter [76] 1

Aufgrund des stochastischen Signalcharakters spricht man hier von einem sog. Erwartungswert E des Signals (siehe auch Kap. 14.1.2, Definition: Erwartungswert).

13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter)

443

^ x(t)

e(t)

- x(t) ¨ Abb. 13.28. Das Fehlersignal e(t) entsteht aus der additiven Uberlagerung des Zufallssignales x ˆ(t) mit dem Meßsignal x(t)

H(ω) = Hopt (ω) =

∗ Sxz (ω) Szx (ω) = . Szz (ω) Szz (ω)

(13.77)

Im folgenden wollen wir voraussetzen, daß das Meßger¨at aus Abb. 13.27 durch ein lineares zeitinvariantes System beschrieben werden kann und das Rauschsignal n(t) nicht mit der Meßgr¨ oße x(t) korreliert ist (d. h. Sxn = 0 und Snx = 0 bzw. Syn = 0 und Sny = 0). Demzufolge lassen sich die spektralen ¨ Leistungsdichten Szz und Sxz (ω) in Abh¨ angigkeit der Ubertragungsfunktion ∗ G(ω) bzw. G (ω), die das Meßger¨ at beschreibt, ausdr¨ ucken Szz (ω) = Syy (ω) + Snn (ω) = Sxx (ω)|G(ω)|2 + Snn (ω)

(13.78)

bzw. Sxz (ω) = Sxx (ω) · G∗ (ω) + Sxn (ω) ,

(13.79)

wobei die Kreuzleistungsdichte Sxn (ω) verschwindet, da Meß- und St¨orsignal nicht korreliert sind. Mit den Gln. (13.77) bis (13.79) und Sxn = 0 erh¨alt man schließlich die ¨ Ubertragungsfunktion des Optimalfilters Hopt (ω) =

Sxx (ω) · G∗ (ω) . Sxx |G(ω)|2 + Snn (ω)

(13.80)

Gleichung (13.80) ist insofern angenehmer als Gl. (13.77), als sie nur noch Gr¨oßen enth¨alt, die sich leicht ermitteln lassen. In den meisten F¨allen wird ¨ das Ubertragungsverhalten des Meßger¨ ates bekannt sein, so daß nur noch die Leistungsdichtespektren Sxx (ω) und Snn (ω) des Meßsignals bzw. des St¨orsignals ermittelt werden m¨ ussen. F¨ ur den Fall, daß das Meßger¨ at keine nennenswerten Deformationen am Meßsignal vornimmt (G(ω) = 1), besteht die Aufgabe des Optimalfilters darin, das Meßsignal m¨ oglichst gut von seinen u ¨berlagerten Rauschanteilen zu ¨ befreien (Abb. 13.29). Die Ubertragungsfunktion des Wienerschen Optimalfilters vereinfacht sich dann mit G(ω) = G∗ (ω) = 1 zu Hopt (ω) =

Sxx (ω) . Sxx (ω) + Snn (ω)

(13.81)

444

13 Meßsignalverarbeitung

Meßsignal x(t)

Störsignal n(t) Optimalfilter Hopt (ω)

! ^ x(t) ≈ x(t)

Abb. 13.29. Optimalfilter zur Rauschunterdr¨ uckung

Das Optimalfilter zur Rauschbefreiung stellt also einen frequenzabh¨angigen Teiler im Verh¨altnis der mittleren Signalleistung zur Summe aus mittlerer Signalleistung und St¨ orleistung dar. Eine wesentliche Eigenschaft von solchen Optimalfiltern ist ihre NichtKausalit¨ at, d. h. es hat eine Impulsantwort, die in den Zeitbereich t < 0 hineinreicht. Prinzipiell sind auch solche nicht-kausalen Filter einsetzbar, wenn man die Signale nicht in Echtzeit, d. h. zeitgleich mit ihrem Vorliegen, filtern muß. Man kann n¨amlich ein nicht-kausales Filter zu einem quasi-kausalen machen, indem man die Signale in ihrer vollst¨ andigen zeitlichen L¨ange aufzeichnet, d.h. originalgetreu speichert, und erst danach dem Filter zur Verarbeitung anbietet. Dies kommt einer zeitlichen Verschiebung der Impulsantwort gleich, die dazu f¨ uhrt, daß die Impulsantwort nunmehr vollst¨andig im Bereich von Zeiten t ≥ 0 zu liegen kommt. Dies k¨ onnen wir durch eine reine Phasenverschiebung in der Optimalfilter¨ ubertragungsfunktion Hopt (ω) ber¨ ucksichtigen

Abb. 13.30. Impulsantworten eines kausalen und eines nicht-kausalen Optimalfilters. Diese Graphik sowie alle folgenden wurden mit Hilfe des Programmes LabVIEW berechnet und gezeichnet.

13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter)

Hopt (ω) =

Sxx (ω) · e−jωT0 . Sxx (ω) + Snn (ω)

445

(13.82)

Gleichung (13.82) sagt aus, daß wir vor das urspr¨ ungliche Optimalfilter (Gl. (13.81)) einen Allpaß in Serie schalten. Solche Allp¨asse (Kap. 3.10) stellen Zweitore dar, die zu keinerlei Amplitudendeformationen f¨ uhren, sondern ein beliebiges Eingangssignal am Ausgang nur zeitverz¨ogert ausgeben. Gem¨aß Gl. (13.82) betr¨agt diese Zeitverz¨ ogerung hier T0 . Um Kausalit¨at zu erreichen, muß T0 positiv sein und so groß gew¨ahlt werden, daß die Impulsantwort oder zumindest der wesentliche, d. h. der energiem¨aßig relevante, Teil im positiven Zeitbereich zu liegen kommt. Ist T0 dagegen negativ, so wird vom Filter eine Pr¨ adiktion gefordert, d. h. es bleibt damit nicht-kausal (Abb. 13.30). 13.9.2 Beispiel f¨ ur ein Optimalfilter Das Meßsignal x(t) sei die Impulsantwort eines Tiefpaßfilters, die sich mit der Periodendauer T periodisch wiederholt √ 2T S1 − t (13.83) x(t) = ε(t) e τ ∗ δ(t − i · T ) mit i ∈ Z . τ Dieses sei von weißem Rauschen n(t) (Kap. 7.3) additiv u ¨berlagert (Abb. 13.31). Die beiden Signale sind unkorreliert und ihre spektralen Leistungsdichten sind S1 Sxx (ω) = (13.84) 1 + τ 2 ω2 bzw.

Abb. 13.31. Meßsignal mit u ¨ berlagertem weißen Rauschen

446

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.32. Leistungsdichtespektren von Meßsignal und St¨ orung (oben) sowie Be¨ trag der Ubertragungsfunktion des Optimalfilters (unten).

Snn (ω) = S0 .

(13.85)

¨ Daraus l¨aßt sich unter Zuhilfenahme von Gl. (13.82) die Ubertragungsfunktion des Optimalfilters wie folgt errechnen Hopt (ω) =

S1 · e−jωT0 . S1 + S0 + τ 2 S0 ω 2

(13.86)

Abbildung 13.32 zeigt die Leistungsdichtespektren von Meßsignal und St¨orung ¨ sowie den Betrag der Ubertragungsfunktion des Optimalfilters. Abbildung 13.33 vergleicht die entsprechenden Spektren am Ausgang des Filters mit dem

13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter)

447

Abb. 13.33. Vergleich des gefilterten und des ungefilterten Spektrums mit dem ungest¨ orten Spektrum

ungest¨orten Signal. Um die Impulsantwort hopt (ω) des Filters zu berechnen, ¨ zerlegt man die Ubertragungsfunktion des Optimalfilters Hopt (ω) wie folgt [58]   α α 2αβ −jωT0 e−jωT0 (13.87) · e = + Hopt (ω) = 2 β + ω2 β − jω β + jω mit 1 α= 2τ und

r

1 β= τ

S1 S1 · S0 S0 + S1

r

1+

S1 . S0

(13.88)

(13.89)

Mittels einer Fourier-R¨ ucktransformation erh¨ alt man schließlich die gesuchte Impulsantwort hopt (t) des Optimalfilters  α · eβt t < 0 hopt (t + T0 ) = . (13.90) α · e−βt t ≥ 0 Diese l¨aßt sich auch als hopt = αe−β|t−T0 |

(13.91)

ausdr¨ ucken. Die Impulsantwort ist also symmetrisch zu t = T0 (Abb. 13.34). Mit wachsender St¨ orung geht α gegen null und die Zeitkonstante 1/β strebt gegen τ . Im umgekehrten Fall, d. h. bei abnehmender St¨orung, w¨achst α an und die Zeitkonstante 1/β geht gegen Null. F¨ ur den Fall, daß die St¨orung

448

13 Meßsignalverarbeitung

Abb. 13.34. Impulsantwort des Optimalfilters f¨ ur eine zeitliche Verz¨ ogerung von T0 = 1s bei der Filterung f¨ ur verschiedene starke St¨ orer S0i

verschwindet (S0 = 0), erh¨ alt man als Impulsantwort des Optimalfilters trivialerweise den Dirac-Puls an der Stelle t = T0 hopt (t) = δ(t − T0 ) ,

(13.92)

was gleichbedeutend ist mit einem idealen Allpaß der Verz¨ogerungszeit T0 . Es l¨ aßt sich nun auch der mittlere quadratische Sch¨atzfehler e2min des Optimalfilters errechnen ˆ(t))2 } . (13.93) e2min(t) = E{(x(t) − x Nach H¨ansler [58] kann dieser f¨ ur das obige Beispiel folgendermaßen ermittelt werden r S0 S1 2 emin = . (13.94) 2τ S0 + S1 Damit kann man auch den auf die Signalleistung normierten minimalen quadratischen Fehler angeben r e2min S0 . (13.95) = Sxx (0) S0 + S1 Kausales Optimalfilter Ein kausales Optimalfilter bringt den Vorteil, daß es in Echtzeit das Meßsignal filtern kann, d. h. es wird keine Zeitverz¨ ogerung T0 im Sinne einer vorherigen Speicherung mehr ben¨ otigt, um das Filter praktisch einsetzen zu k¨onnen. Die

13.9 Optimalfilter (Wiener-Filter)

449

Abb. 13.35. Impulsantwort des kausalen Optimalfilters

¨ Ubertragungsfunktion des kausalen Optimalfilters l¨aßt sich aus den Ergebnissen des obigen Beispiels ableiten. Dazu setzt man in der Impulsantwort hopt (t) des nicht-kausalen Optimalfilters die Zeit T0 = 0 und blendet den im negativen Zeitbereich liegenden Teil der Impulsantwort aus (Abb. 13.35). Man erh¨alt somit  α · e−βt t ≥ 0 hopt kaus (t) = . (13.96) 0 t<0 ¨ Die Fourier-Transformation liefert die entsprechende Ubertragungungsfunktion

Abb. 13.36. Amplitudeng¨ ange von kausalem und nicht-kausalem Optimalfilter

450

13 Meßsignalverarbeitung

S1 1 α p = . β + jω 2 (S0 + S1 ) + jωτ S0 (S0 + S1 ) (13.97) Abbildung 13.36 vergleicht die Amplitudeng¨ ange von kausalem und nichtkausalem Optimalfilter. In Abb. 13.37 werden die mit den beiden Filtern gefilterten Meßsignale verglichen. Hopt kaus (ω) = F {hopt kaus (t)} =

Abb. 13.37. Vergleich von kausalem und nicht-kausalem Optimalfilter anhand der gefilterten Meßsignale

Tip: Der hier analytisch hergeleitete Entwurf eines Optimalfilters kann mit dem LabVIEW-Programm optimalfilter.vi auf der CDROM numerisch u uft werden. Dabei lassen sich ¨berpr¨ viele Parameter variieren. Im einzelnen bietet das Programm folgende M¨oglichkeiten: • • • • •

Simulation des Meßsignals Simulation eines Rauschsignals mit einstellbarem Frequenzgang Entwurf des Optimalfilters Darstellung der Impulsantworten des kausalen und des nicht-kausalen Filters ¨ Uberlagerung und Filterung der Signale gem¨aß Abb. 13.29

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

14.1 Regressionsverfahren In der Meßtechnik kommt es h¨ aufig vor, daß eine Schar von aufgenommenen Meßpunkten durch eine geeignete analytische Funktion in Form einer Anpaßkurve beschrieben werden soll. Im folgenden gehen wir davon aus, daß n Messungen durchgef¨ uhrt werden, welche die Wertepaare {xi , yi }(i = 1, 2, . . . , n) liefern. Anschließend wird an diese Meßwerte eine Kurve y˜(x) angepaßt. Daraus ergeben sich die Abweichungen ∆i zwischen den einzelnen Meßpunkten und der Anpaßkurve im jeweiligen Meßpunkt xi zu ∆i = y˜(xi ) − yi .

(14.1)

Dabei wird x als unabh¨ angige (vorgebbare) Variable und y als abh¨angige Variable bezeichnet. Der Ansatz der minimalen Fehlerquadrate gem¨aß dem sog. Gaußschen Minimalprinzip [78] (Gaußsches Prinzip der kleinsten Quadrate) ergibt ∆=

n X i=1

∆2i =

n X i=1

! [˜ y (xi ) − yi ]2 = min. .

(14.2)

In Gleichung (14.2) ist als unbekannte Funktion die Anpaßkurve y˜(x) enthalten. Die beschriebene Fehlerquadratsumme ∆ h¨angt nun von der Wahl dieser Anpaßkurve ab. Die Festlegung der diese Anpaßkurve beschreibenden analytischen Funktion und die anschließende Berechnung ihrer Koeffizienten (s. u.) wird als Regressionsverfahren bezeichnet. Falls Proportionalit¨at zwischen der abh¨angigen und unabh¨ angigen Variablen herrscht, l¨aßt sich in diesem Fall die Schar vom Meßwerten durch eine Gerade beschreiben. Man spricht dann von einer Ausgleichsgeraden, die durch sog. lineare Regression bestimmt wird.

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_14, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

452

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

14.1.1 Ausgleichsgerade (lineare Regression) Die lineare Regression ist die f¨ ur die ingenieurm¨aßige Praxis wichtigste Form der Regressionsanalyse. Sie hat das Ziel, durch eine Schar von (in aller Regel) experimentell bestimmten Wertepaaren {xi , yi } eine Ausgleichsgerade zu legen. Dabei wird x als unabh¨ agige und y als abh¨angige Variable betrachtet. Die Ausgleichsgerade bestimmt letztlich die nach dem Gaußschen Minimalprinzip beste lineare Approximation der Funktion y(x), die hier von diskreten Wertetupeln repr¨asentiert wird. Im folgenden gehen wir davon aus, daß n Meßwerte {xi , yi }(i = 1, 2, . . . , n) vorliegen. An diese Meßwerte soll eine Gerade der Form y˜(x) = mx + b angepaßt werden (Abb. 14.1). Die Abweichung der i-ten Einzelmessung lautet ∆i = y˜(xi ) = [mxi + b] − yi .

(14.3)

Der Ansatz der minimalen Fehlerquadrate liefert gem¨aß Gl. (14.2) ∆=

n X i=1

∆2i =

n X i=1

! [mxi + b − yi ]2 = min. .

(14.4)

Bei dem in Gl. (14.4) geforderten Minimum m¨ ussen die partiellen Ableitungen nach den unbekannten Koeffizienten m und b gleich Null sein. Das f¨ uhrt zu der im folgenden beschriebenen Ermittlung von Steigung und Achsenabschnitt der Ausgleichsgeraden. y(x) y4

∆4

y3

∆3

∆2

y2 y1

∆1

x1

x2

x3

x4

x

Abb. 14.1. Ausgleichsgerade zur linearen Approximation aufgenommener Meßwerte

14.1 Regressionsverfahren

453

Ermittlung von Steigung m und Achsenabschnitt b der Ausgleichsgeraden Die partielle Differentiation von Gl. (14.4) nach m ergibt 2

n X i=1

[mxi + b − yi ]xi = 0 .

(14.5)

Aus der Differentiation nach b folgt 2

n X i=1

[mxi + b − yi ] = 0 .

(14.6)

Die Gleichungen (14.5) und (14.6) k¨ onnen wie folgt umgeformt werden m

n X

x2i + b

m

xi =

n X

n X

yi xi

(14.7)

i=1

i=1

i=1

bzw.

n X

n X

xi + nb =

yi .

(14.8)

i=1

i=1

L¨ ost man dieses Gleichungssystem (Gl. (14.7) und (14.8)) nach den gesuchten Werten m bzw. b auf, so erh¨ alt man die Geradensteigung m

m=

n P

xi

i=1



n P

i=1 n P

xi

i=1

=

n P

i=1

1 b= n

2

xi yi −

n P

i=1

und den Achsenabschnitt b

yi − n

x2i −

n X i=1

1 n 1 n

−n n P

n P

n P

i=1

xi

i=1



yi − m

xi yi

i=1

n P

(14.9) x2i

n P

yi

i=1 2

xi

i=1

n X i=1

xi

!

.

(14.10)

Die Koeffizienten m und b lassen sich nach dem in Abb. 14.2 gezeigten Schema berechnen. Nachdem die Koeffizienten der Ausgleichsgeraden bestimmt wurden, stellt sich im allgemeinen die Frage nach der Qualit¨at dieser linearen Approximation, d. h. nach der G¨ ute bei der linearen Regression. Um letztlich die Vertrauensbereiche f¨ ur die Parameter der Ausgleichsgeraden angeben zu k¨onnen, sind noch einige mathematische Definitionen notwendig, die im folgenden Abschnitt (Kap. 14.1.2) behandelt werden.

454

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

Schema zur linearen Regression: Berechnung einer Ausgleichsgeraden aus n Meßwertepaaren {xi , yi } 1. Berechnung der Mittelwerte µx = x =

µy = y =

n 1X xi n i=1 n 1X yi n i=1

2. Berechnung von 3 Hilfsgr¨ oßen1 Qx =

Qy =

s2x (n

s2y (n

− 1) =

n X

− 1) =

n X

i=1

i=1

Qxy = sxy (n − 1) =

=

n X i=1

x i yi −

n X

2

(xi − x) =

2

(yi − y) =

n X i=1

1 − n

x2i

i=1

n X

yi2

i=1

1 − n

n X

xi

i=1

n X

yi

i=1

!2

!2

(xi − x) (yi − y)

n n 1X X xi yi n i=1 i=1

3. Berechnung der Koeffizienten m und b: Steigung2 Achsenabschnitt

m = Qxy /Qx 1 b = y − mx = n

n X i=1

yi − m

n X i=1

xi

!

Abb. 14.2. Schema zur linearen Regression: Berechnung einer Ausgleichsgeraden aus n Meßwertepaaren {xi , yi }

1

2

Qx , Qy werden auch als Summe der quadratischen Abweichungen bezeichnet (abgek¨ urzt: S.d.q.A.). sx und sy bezeichnen die Varianz von x bzw. y und sxy die Kovarianz zwischen x und y (siehe folgenden Abschnitt). Die Steigung m wird auch als Regressionskoeffizient bezeichnet.

14.1 Regressionsverfahren

455

14.1.2 G¨ ute der Anpassung bei der linearen Regression (Varianz, Kovarianz, Restvarianz und Korrelationskoeffizient) Nach der eigentlichen Ermittlung der Ausgleichsgeraden gilt es, die G¨ ute dieses Ergebnisses zu beurteilen. Konkret heißt dies, Vertrauensbereiche f¨ ur die Koeffizienten m (Geradensteigung) und b (Achsenabschnitt) anzugeben. Um diese berechnen zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir quantitative Angaben f¨ ur Varianz, Kovarianz, Restvarianz und Korrelationskoeffizient [54]. Diese und weitere, im Zusammenhang dazu stehende Begriffe sollen zun¨achst einmal in mathematischer Form definiert werden. Definition: Wahrscheinlichkeitsdichte (Wahrscheinlichkeitsverteilung) Im folgenden bezeichnet p(x) die Wahrscheinlichkeitsdichte (Wahrscheinlichkeitsverteilung) f¨ ur eine Zufallsgr¨ oße x mit den Eigenschaften Z +∞ p(x) dx = 1 (14.11) −∞

p(x) ≥ 0 .

(14.12)

Die Wahrscheinlichkeit P (a), daß ein Funktionswert x kleiner oder h¨ochstens gleich a ist, ergibt sich aus dem Integral p(x) Z a P (a) = p(x) dx. (14.13) −∞

P {a < x < b} entspricht der Wahrscheinlichkeit, mit der der Funktionswert x zwischen den Gr¨ oßen a und b liegt Z b p(x) dx. (14.14) P {a < x < b} = a

Definition: Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte pxy (x, y) zweier Zufallsvariablen (x, y) ist gegeben als ∂ 2 Pxy (x, y) (14.15) pxy (x, y) = ∂x∂y bzw. Z Z b

a

−∞

−∞

Pxy (a, b) =

pxy (x, y) dxdy ,

(14.16)

wobei die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Pxy (a, b) = P {a ≤ x ∧ b ≤ y}

(14.17)

zweier Zufallsvariablen x, y die Wahrscheinlichkeit P angibt, mit der der Funktionswert von x kleiner oder h¨ ochstens gleich a ist und der Funktionswert von y kleiner oder h¨ochstens gleich b ist.

456

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

Definition: Erwartungswert Der Erwartungswert eines Zufallssignales x (auch als Zufallsvariable, Zufallsgr¨ oße bzw. Zufallsprozeß bezeichnet) entspricht dem Integral u ¨ber dem Produkt aus der Zufallsgr¨ oße x und seiner Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) E{x} =

Z

+∞

x p(x)dx .

(14.18)

−∞

Der Erwartungswert ist ein linearer Operator. Definition: Erwartungswert 2. Ordnung Der Erwartungswert-Operator l¨ aßt sich auch auf das Produkt mehrerer Zufallssignale bzw. deren Potenzen anwenden [76]. Das sog. Gemeinsame Moment zweier Zufallssignale ist definiert als Z +∞ Z +∞ µxy,kn = E{xk y n } = xk y n pxy (x, y)dxdy . (14.19) −∞

−∞

F¨ ur den Spezialfall k = n = 1 folgt Z +∞ Z µxy = E{xy} = −∞

+∞

xypxy (x, y)dxdy .

(14.20)

−∞

Definition: Varianz Die Varianz entspricht dem Quadrat der (empirischen) Standardabweichung (s. auch Kap. 5.2) Var(x) = s2x = E{(x − µx )2 } . (14.21) Dabei ist µx der Mittelwert der Zufallsvariablen x (siehe Abb. 14.2) und E bezeichnet den Erwartungswert. Die Varianz l¨aßt sich auch mit Hilfe der Wahrscheinlichtsdichte px ausdr¨ ucken Z +∞

Var(x) =

−∞

(x − µx ) px (x) dx .

(14.22)

Die Varianz s2x einer diskreten Zufallsvariablen-Stichprobe3 x1 , x2 , . . . , xn ist demnach folgendermaßen definiert n

s2x = 3

n

1 X 1 X (xi − x)2 = (xi − µx )2 . n − 1 i=1 n − 1 i=1

(14.23)

Um kompatibel zu der u ¨ brigen Meßtechnik-Literatur zu bleiben, wird im folgenden nicht mehr zwischen Varianz (Gesamtheit des Loses (N → ∞)) und Schwankung (=empirische Standardabweichung (N < ∞)) unterschieden.

14.1 Regressionsverfahren

Dies l¨aßt sich auch ausdr¨ ucken als n

s2x bzw.

1 X 2 1 = xi − n − 1 i=1 n(n − 1) n

s2x

1 X 2 n 1 = x − µ2 = n − 1 i=1 i n−1 x n−1

n X

xi

i=1

n X

x2i

i=1

!2

−

n µ2x

457

(14.24) !

.

(14.25)

Aus der Varianz l¨aßt sich leicht die ebenfalls oft verwendete Summe der quadratischen Abweichung Qx (S.d.q.A.) (s. auch Abb. 14.2) errechnen Qx = (n − 1) s2x .

(14.26)

Definition: Kovarianz Im Zuge der Regressionsanalyse ist die Frage zu kl¨aren, inwieweit zwei Zufallsvariable x und y voneinander abh¨ angig sind. Dies wird durch die sog. Kovarianz festgelegt Cov(x, y) = sxy = E{(x − µx )(y − µy )} = E{x, y} − µx µy .

(14.27)

Dabei sind µx und µy die Mittelwerte der Zufallsvariablen x und y (siehe Abb. 14.2) und E entspricht dem Erwartungswert. Die Kovarianz, die auch als erstes gemeinsames Moment bezeichnet wird, l¨aßt sich auch mit Hilfe der gemeinsamen Wahrscheinlichtsdichte pxy ausdr¨ ucken Z +∞ Z +∞ Cov(x, y) = (x − µx )(y − µy )pxy (x, y)dxdy . (14.28) −∞

−∞

Sie beschreibt die statistische Abh¨ angigkeit zweier Zufallssignale. Die beiden Zufallsvariablen sind statistisch unabh¨ angig, wenn ihre Kovarianz Null ist Cov(x, y) = 0. In diesem Fall berechnet sich die Wahrscheinlichkeitsdichte p(x, y) f¨ ur das gleichzeitige Eintreten der Ereignisse x und y aus dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten p(x, y) = p(x) p(y). Außerdem gilt E{x, y} = E{x} E{y}. Die Kovarianz zweier diskreter Zufallsvariablenfolgen x und y ergibt sich aus n

sxy =

1 X (xi − µx ) (yi − µy ) n − 1 i=1

1 = n−1 sxy =

Qxy . n−1

n X i=1

xi yi − n µx µy

!

(14.29)

(14.30)

458

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

Definition: Restvarianz Die Restvarianz sr der Ausgleichsgeraden (Kap. 14.1.1) berechnet sich wie folgt ! 2 Q Q − m Q Q y xy y xy s2r = 1− , (14.31) = n−2 n−2 Qx Qy wobei m der Steigung der Ausgleichsgeraden und n der Anzahl der behandelten Meßpunkte enspricht. Sie wird ben¨ otigt, um die Vertrauensbereiche von Geradensteigung m und Achsenabschnitt b quantifizieren zu k¨onnen. Definition: Korrelationskoeffizient Der Korrelationskoeffizient r ist ein die G¨ ute der Anpassung charakterisierender Parameter (0 < r < 1). Je n¨ aher der Korrelationskoeffizient r bei 1 liegt, desto besser ist die Anpassung. Der Korrelationskoeffizient r l¨ aßt sich aus den beiden Einzelvarianzen sx und sy sowie der Kovarianz sxy (siehe Abb. 14.2 bzw. Gln.(14.25) und (14.29)) bestimmen sxy r= . (14.32) sx sy Mit den Wurzeln der Einzelvarianzen sx und sy und der Kovarianz sxy ergibt sich schließlich der Korrelationskoeffizient, der die G¨ ute der Anpassung der Ausgleichsgeraden beschreibt v  n 2 u n uP 2 1 P u xi − x n u i=1 i sxy Qxy i=1 u = mu rxy = (14.33) = p  n 2 . n sx sy Qx Qy P tP 1 2 yi − n yi i=1

i=1

Angabe der Vertrauensbereiche f¨ ur die Parameter der Ausgleichsgeraden Mit obigen Definitionsgleichungen kann schließlich die Angabe der Vertrauensbereiche (Konfidenzintervalle) f¨ ur die Parameter m und b der Ausgleichsgeraden bzw. deren Ordinatenwerte erfolgen v u n u s2 X x2 m ± t(n − 2, P )t r n Qx i=1 i s

b ± t(n − 2, P )

s2r Qx

(14.34)

(14.35)

14.1 Regressionsverfahren

y ± t(n − 2, P )

s

(x − x)2 n(s2x − m2 s2x ) + s2x . n (n − 2) s2x

459

(14.36)

Der Vertrauensfaktor t ergibt sich nach Vorgabe der gew¨ unschten statistischen Sicherheit P [%] aus der Student-Verteilung (s. Tab. 5.2) f¨ ur die Ereignisanzahl (n − 2). Die Anzahl der betrachteten Meßpunkte betr¨agt n. Tip: Diese Berechnungen k¨ onnen mit dem Programm berechne_regressionsgerade.vi auf der CDROM nachvollzogen werden. Es k¨ onnen simulierte Messwerte eingelesen, die statistischen Gr¨ oßen berechnet und Regressionsgeraden ermittelt werden. 14.1.3 Ausgleichspolynome Die Erweiterung der linearen Regression (Kap. 14.1.1) f¨ uhrt zur polynomialen Regression, bei der die Anpaßkure y˜ durch ein Polynom p-ten Grades beschrieben wird y˜ = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . ap xp . (14.37) Die Vorgehensweise soll zun¨ achst anhand des folgenden Beispiels verdeutlicht werden. Die Anpaßkurve wird hier in Form eines Polynoms dritten Grades beschrieben y˜(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 . (14.38) Das bereits oben angewandte Gaußsche Prinzip der kleinsten Quadrate (Gaußsches Minimalprinzip) soll auch hier Anwendung finden ∆=

n X

∆2i =

i=1

n X i=1

! [˜ y (xi ) − yi ]2 = min. .

(14.39)

Dabei werden wiederum n Meßwertepaare {xi , yi } vorausgesetzt. Das Nullsetzen der partiellen Ableitungen nach den Koeffizienten ai (i = 1, 2, 3) ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ = = = =0 ∂a0 ∂a1 ∂a2 ∂a3 f¨ uhrt zu folgendem Gleichungssystem   n n n P P P xi x2i x3i n   i=1 i=1 i=1   n n n n P P P  P  x2i x3i xi x4i   i=1 i=1 i=1 i=1    n n n n  P P P P 2 3 4 5  xi xi xi xi    i=1 i=1 i=1 i=1   P n n n n P P P x3i x4i x5i x6i i=1

i=1

i=1

i=1

(14.40)

 P  n yi  i=1  a0  n    P  a    x y  1   i=1 i i   = . n   P  2   a2   x y i i      i=1    n P a3 3 xi yi 



i=1

(14.41)

460

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

Die L¨osung dieses Gleichungssystems ergibt schließlich die gesuchten Koeffizienten ai (i = 0, 1, 2, 3) des Polynoms. 14.1.4 Mehrfache lineare Regression Die mehrfache lineare Regression (auch als multiple lineare Regression bezeichnet) ist eine Erweiterung der einfachen linearen Regression. Dabei h¨angt ein Meßergebnis y linear von nunmehr mehreren Variablen x1 , x2 , . . . xp (man spricht in diesem Zusammenhang auch von Covariablen) ab y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + . . . + ap xp + E ,

(14.42)

wobei E eine St¨orgr¨ oße repr¨ asentiert, also eine stochastische Variable (Zufallsvariable). Damit ist das Ergebnis ebenfalls eine Zufallsvariable. Die Aufgabe der mehrfachen linearen Regression ist es nun, die abh¨angige Variable y als Funktion mehrerer (in Bezug auf die Laufvariable i) unabh¨angiger Variablen, die in Form eines Variablenvektors [xip ] = (xi1 , xi2 , . . . , xip ) zusammengefaßt werden, mit Hilfe eines Sch¨ atzwertes yˆ vorherzusagen yˆ = b0 + b1 x1 + b2 x2 + . . . + bp xp .

(14.43)

Dabei bilden die bj (j = 1, 2, . . . , p) die Elemente des Vektors der gesch¨atzten Regressionskoeffizienten. Wir wollen davon ausgehen, daß f¨ ur jeden Vektor [xip ](i = 1, 2, . . . , n) jeweils n Meßwerte yi (i = 1, 2, . . . , n) vorliegen. Somit ergibt sich f¨ ur jede Beobachtung (Messung) i(i = 1, 2, . . . , n) eine Gleichung der Form yi = a0 + a1 xi1 + a2 xi2 + . . . + ap xip + Ei .

(14.44)

Das daraus resultierende Gleichungssystem l¨ aßt sich mit Hilfe der folgenden [n × (p + 1)]-Matrix [X] 

1 x11 x12 . . . x1j . . . x1p

 1 x x ... 21 22     .. .  [X] =  1 x x ... i1 i2     .. . 



 x2j . . . x2p     .. ..  . .    xij . . . xip     .. ..  . .  

1 xn1 xn2 . . . xnj . . . xnp

(14.45)

14.1 Regressionsverfahren

sowie der n-dimensionalen Vektoren   y1      y2        [y] =  ...  ,        yi    yn

und dem [p + 1]-dimensionalen Vektor 



E1

(14.46)



  a   1      a2     [a] =   .   ..         aj    ap

wie folgt darstellen



     E2       ..  E= .         Ei    En a0

461

[y] = [X] [a] + [E] .

(14.47)

(14.48)

Die einfache lineare Regression ergibt sich aus obigen Gleichungen f¨ ur p = 1. Der Fall p ≥ 2 repr¨ asentiert die mehrfache lineare Regression. Wie bei der linearen Regression wird wiederum die Summe der quadratischen Abweichungen minimiert. Nach dem sog. Gauß-Markov-Theorem erh¨alt man schließlich den Vektor der gesch¨atzten Regressionskoeffizienten [b] als [107]4   b0   b   1      ..   . 
−1   [X]T [y] . (14.49) [b] =   = [X]T [X] b   j      ..   .    bp

4

Um die hier verwendete Schreibweise mit der Darstellung in [107] vergleichbar zu machen, ist f¨ ur die Matrix [X] deren Transponierte [X]T zu verwenden (siehe S. 62 in [107]).

462

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

Dabei bezeichnet [X]T die Transponierte der Matrix [X]. Dieser Sch¨atzer ist der sog. beste lineare unverzerrte Sch¨ atzer (Best Linear Unbiased Estimator = BLUE). Mit Hilfe dieses Sch¨ atzers (Minimum-Quadrat-Sch¨atzer) ergibt sich folgendes Gleichungssystem [y] = [X] [b] + [e] = [ˆ y] + [e] ,

(14.50)

wobei [ˆ y ] die Sch¨atzwerte von [y] enth¨ alt und [e] den Vektor der Residuen repr¨asentiert. Der Vektor der Sch¨ atzwerte berechnet sich also aus [ˆ y ] = [X] [b] = [X]([X]T [X])−1 [X]T [y] = [H][y] ,

(14.51)

wobei die [n×n]-Matrix [H] als sog. Hat-Matrix (Hut-Matrix) bezeichnet wird. Die Residuen ergeben sich demnach wie folgt [e] = [y] − [ˆ y ] = [y] − [H] [y] .

(14.52)

Im allgemeinen interessiert man sich f¨ ur die sog. Prognose yˆ0 von [y] f¨ ur ein gegebenes Wertetupel [x0 ] (= Meßstelle [x01 , x02 , . . . , x0p ]). Sie berechnet sich zu yˆ0 = b0 + b1 x01 + b2 x02 + . . . + bp x0p = [x0 ]T [b] . (14.53)

14.2 Lineare Korrelation Die lineare Korrelation besch¨ aftigt sich mit der Frage, inwieweit Wertepaare {xi , yi } linear abh¨angig sind. Im Gegensatz zur linearen Regression wird hier y nicht als abh¨angige und x nicht als unabh¨angige Variable bezeichnet. Da nunmehr keine Unterscheidung nach abh¨angiger und unabh¨angiger Variable erfolgt, ist die Definition von zwei Ausgleichsgeraden sinnvoll, nachdem die Wertepaare {xi , yi } in ein x-y-Diagramm eingetragen wurden. Zur Festlegung der Geraden wird wiederum das bereits bei der linearen Regression eingesetzte Verfahren der Fehlerquadratminimierung (Gaußsches Minimalprinzip) eingesetzt (s. Kap. 14.1.1). Die beiden Ausgleichsgeraden (Abb. 14.3) lassen sich wie folgt definieren y˜ = m1 x + b1

(14.54)

x˜ = m2 y + b2 .

(14.55)

bzw. Daraus resultieren zwei M¨ oglichkeiten, die Fehlerquadratminimierung durchzuf¨ uhren ! (˜ y − yi )2 = min. (14.56) bzw. ! (˜ x − xi )2 = min. .

(14.57)

14.2 Lineare Korrelation

463

y

x Abb. 14.3. Meßwertepaare {xi , yi }, die durch zwei Ausgleichsgeraden gem¨ aß Gl. (14.54) bzw. Gl. (14.55) approximiert werden.

Im allgemeinen f¨ uhrt dieser Prozeß zu unterschiedlichen Geraden. F¨ ur den Fall, daß vollkommene lineare Unabh¨angigkeit zwischen den Werten der Variablen x und y besteht, streben die beiden Steigungen m1 und m2 gegen Null (Abb. 14.4). F¨ ur den Fall, daß die beiden Geraden zusammenfallen (Abb. 14.5), besteht ein direkter funktionaler Zusammenhang. Je nach Grad der linearen Abh¨ angigkeit variieren die Geradensteigungen also zwischen den Werten m1 = m2 = 0 (lineare Unabh¨angigkeit) und einem oberen Wert m1 = 1/m2 (vollst¨andige lineare Abh¨angigkeit). Da dieser obere Wert aber nicht von vorneherein feststeht, l¨ aßt sich der Grad der linearen y m 2= 0

m 1= 0

x Abb. 14.4. Fall der vollst¨ andigen linearen Unabh¨ angigkeit (m1 = m2 = 0)

464

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

y

1 m 1= m

2

x Abb. 14.5. Fall des funktionalen Zusammenhangs: Die beiden Ausgleichsgeraden fallen zusammen.

Abh¨angigkeit erst nach einer Normierung beurteilen. Dies f¨ uhrt zu einer normierten Steigung r, die dem Korrelationskoeffzient entspricht (siehe auch Gl. (14.32) und Gl. (14.33)). Im Gegensatz zur Kovarianz ist der Korrelationskoeffizient eine reine Maßzahl ohne Einheit. Der Korrelationskoeffizient nimmt Werte zwischen −1 und +1 an (−1 ≤ r ≤ +1). Ein Korrelationskoeffizient r = 0 bedeutet, daß keine lineare Abh¨angigkeit besteht. Bei vollkommener linearer Abh¨ angigkeit nimmt r den Wert +1 bzw. −1 an. Das Vorzeichen beschreibt dabei die Steigungsrichtung der gemeinsamen Geraden (Abb. 14.5). Der Korrelationskoeffizient l¨ aßt sich wie folgt angeben

Qxy r= p = v" u Qx Qy n u P t y2 − i=1

i

n P

xi yi −

i=1 1 n



n P

i=1

yi

1 n

n P

xi

i=1

2 # "

n P

i=1

n P

yi

i=1

x2i −

1 n



n P

i=1

xi

2 #

. (14.58)

Bei der Beurteilung der linearen Abh¨ angigkeit anhand des Korrelationskoeffizienten muß die Stichprobenanzahl mit ins Kalk¨ ul gezogen werden. So liefern beispielsweise zwei Wertepaare immer den Wert r = 1. Aus diesem Grund ist zu dieser Beurteilung noch der im folgenden behandelte Vertrauensbereich von r hinzuziehen.

14.3 Testverfahren (Hypothesen-Testverfahren)

465

Vetrauensbereich des Korrelationskoeffizienten Da der nach Gl. (14.58) ermittelte Korrelationskoeffizient nur ein Sch¨atzwert des Korrelationskoeffizienten ρ der Grundgesamtheit (setzt unendlich viele Messungen voraus) darstellt, sollte man den Vertrauensbereich f¨ ur r ermitteln, um eine Aussage der m¨ oglichen Abweichungen von ρ als Funktion einer gew¨ahlten statistischen Sicherheit zu erhalten. Um den Vertrauensbereich eines anhand einer Stichprobe mit n Einzelmessungen ermittelten Korrelationskoeffizienten anzugeben, bedient man sich des nachfolgenden Schemas in Abb. 14.6. Die Grundlagen hierzu findet der interessierte Leser beispielsweise in [78].

Korrelation und Kausalit¨ at Ein hoher Korrelationskoeffizient ist auf eine starke lineare Abh¨angigkeit zur¨ uckzuf¨ uhren. Daraus darf aber nicht unmittelbar auf eine Kausalit¨at im Sinne eines Ursache-Wirkungs-Prinzips geschlossen werden. Es gibt unz¨ahlige Beispiele f¨ ur Scheinkorrelationen oder sogar Unsinnrelationen, die durchaus nicht auf eine gemeinsame Ursache zur¨ uckzuf¨ uhren sind. Ein kausaler Zusammenhang muß zun¨ achst einmal von der Sache her begr¨ undet sein. Anhand einer dazu durchgef¨ uhrten Korrelation l¨aßt sich lediglich pr¨ ufen, ob eine Hypothese zu einem bestimmten Ursache-Wirkungs-Prinzip h¨alt oder nicht. Es darf aber keinesfalls aus einem hohen Korrelationsgrad unmittelbar auf einen entsprechenden Ursache-Wirkungs-Zusammenhang geschlossen werden. Als Beispiel k¨onnte angef¨ uhrt werden, daß die steigende Lebenserwartung und die steigende Preisentwicklung sicherlich keinen unmittelbaren kausalen Zusammenhang aufweisen, aber dennoch zwischen beiden ein von Null verschiedener Korrelationskoeffizient besteht.

14.3 Testverfahren (Hypothesen-Testverfahren) 14.3.1 Testen von Hypothesen, Entscheidungen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche die Grundgesamtheit beschreibt, wird als wahre Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet. Diese wahren Verteilungen sind aber in der praktischen Meßtechnik nicht bekannt. Mit Hilfe von sog. Tests muß daher des ¨ ofteren entschieden werden, ob bestimmte Vermutungen u ¨ber die Wahrscheinlichkeitsverteilungen bzw. deren Parameter zutreffen oder nicht. Zur Durchf¨ uhrung eines Tests stellt man eine Arbeitshypothese auf. Diese wird als Nullhypothese H0 bezeichnet. Die dieser Nullhypothese widersprechende Vermutung wird Alternativhypothese H1 genannt.

466

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

Schema zur Berechnung tionskoeffizienten

des

Vertrauensbereiches

des

Korrela-

1. Vorgabe der gew¨ unschten statistischen Sicherheit, z. B. P = 99% 2. Anhand Abbildung 14.7 ist der Wert des Vertrauensfaktors t bzw. der folgende Wert c zu ermitteln c=

t = f (P [%]) σ

mit σ= √

1 . n−3

3. Berechnung des Korrelationskoeffizienten r (Sch¨ atzwert) gem¨ aß Gl. (14.58) Qxy r= p = v" u Qx Qy n u P t y2 − i=1

i

n P

x i yi −

i=1 1 n



n P

i=1

yi

1 n

n P

xi

i=1

2 # "

n P

i=1

n P

yi

i=1

x2i −

. 1 n



n P

i=1

xi

2 #

4. Ermittlung der Hilfsvariablen z0   1 1+r z0 = ln = artanh (r) . 2 1−r 5. Bestimmung der Randwerte r1 und r2 des Konfidenzintervalls gem¨ aß   t r1 = tanh z0 − √ = tanh (z0 − c) n−3 bzw.   t = tanh (z0 + c) . r2 = tanh z0 + √ n−3 6. Angabe des Vertrauensbereiches des Korrelationskoeffizienten ρ f¨ ur die unter 1. gew¨ ahlte statistische Sicherheit r1 ≤ ρ ≤ r2 . Abb. 14.6. Schema zur Berechnung des Vertrauensbereiches des Korrelationskoeffizienten

14.3 Testverfahren (Hypothesen-Testverfahren)

467

P(c) 100 %

50

p(x)

-c µ c

x

10 0 0

1. σ

2. σ

3. σ

c

Abb. 14.7. Statische Sicherheit (Wahrscheinlichkeit) P (c) als Funktion der Vielfachen der Standardabweichung σ. P (c) gibt an, mit welcher statistischer Sicherheit ein Wert einer Normalverteilung x im Intervall ±c um den Mittelwert µ liegt, d. h. |x − µ| ≤ c [127].

Zweck dieser Tests ist es nun, auf der Basis eines Stichprobenergebnisses eine Entscheidung dar¨ uber zu treffen, ob die Nullhypothese oder die Alternativhypothese gilt. Die konkrete Stichprobe wird dabei als Pr¨ ufgr¨ oße bezeichnet. Der Wertebereich der Pr¨ ufgr¨ oße wird in einen kritischen und einen nichtkritischen Bereich (Akzeptieren der Nullhypothese) unterteilt. Dabei muß bedacht werden, daß es bei der Durchf¨ uhrung von Tests zu Fehlern im Sinne einer falschen Entscheidung kommen kann. Man spricht von Fehler 1. Art, wenn f¨ ur H1 entschieden wird, obgleich H0 richtig ist, und im umgekehrten Fall von Fehler 2. Art (s. Tab. 14.1). Als Signifikanzniveau α wird die dem Test eigene Wahrscheinlichkeit bezeichnet, die zum Verwerfen der Nullhypothese f¨ uhrt, obwohl sie gilt ( =Fehler 1. Art). In den meisten praktischen F¨ allen wird das Signifikanzniveau vorge¨ geben. Ubliche Werte sind α = 0, 01 bzw. α = 0, 05. Beim Test besteht nun die Aufgabe darin, nach Vorgabe des Stichprobenumfanges den kritischen Bereich so festzulegen, daß das vorgew¨ ahlte Signifikanzniveau eingehalten wird und gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 2. Art so gering wie m¨ oglich bleibt. In den meisten F¨ allen lassen sich die zugelassenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch einen Parameter ϑ in eindeutiger Weise beschreiben. Als

468

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

Operations-Charakteristik OC des Tests wird die Funktion L(ϑ) bezeichnet, die mit einer vorgebbaren Wahrscheinlichkeit zum Nichtverwerfen der Nullhypothese f¨ uhrt. Die hierzu komplement¨ are Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Verwerfen der Nullhypothese H0 hingegen heißt G¨ utefunktion G(ϑ). Demnach erg¨anzen sich die beiden Funktionen zu G(ϑ) + L(ϑ) = 1 .

(14.59)

Dies bedeutet, daß G(ϑ) die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Eintreten des Fehlers 1. Art beziffert, w¨ahrend L(ϑ) den entsprechenden Wert f¨ ur den Fehler 2. Art darstellt. F¨ ur viele Standardtests sind in der Literatur [54] zu vorgegebenen Signifikanzniveaus α und festgelegten Stichprobenumf¨angen die OperationsCharakteristiken L(ϑ) graphisch dargestellt. In dem in Abb. 14.8 gezeigten Schema wird das prinzipielle Vorgehen bei Tests nochmals zusammengefaßt. Vorgehen bei Hypothesen-Tests 1. Problemdefinition: • Voraussetzungen kl¨ aren • Nullhypothese H0 und Alternativhypothese H1 aufstellen 2. Testverfahren ausw¨ ahlen 3. Signifikanzniveau α festlegen (unter Beachtung der Folgen eines Fehlers 1. Art) 4. Stichprobenumfang festlegen: Falls die Operationscharakteristik OC des Tests bekannt ist, l¨ aßt sich der Stichprobenumfang so bestimmen, daß f¨ ur eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Alternativhypothese eine konkrete Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Fehler 2. Art eingehalten wird. 5. Wirksamkeit des Tests anhand OC bestimmen (falls diese bekannt ist) 6. Pr¨ ufwert ermitteln 7. Entscheiden: Vergleich des Pr¨ ufwertes mit dem kritischen Wert 8. Ergebnis der Entscheidung interpretieren Abb. 14.8. Schema zum prinzipiellen Vorgehen bei Hypothesen-Tests Tabelle 14.1. Fehler bei Hypothesen-Testentscheidungen, H0 : Arbeitshypothese, H1 : Alternativhypothese Realit¨ at Test H0 trifft zu H1 trifft zu √ H0 angenommen Fehler 2. Art √ H1 angenommen Fehler 1. Art

14.3 Testverfahren (Hypothesen-Testverfahren)

469

14.3.2 Beispiele f¨ ur Tests Pr¨ ufung auf Normalverteilung Da viele Fehleranalysen darauf beruhen, daß die Meßwerte normalverteilt sind, ist es wichtig zu wissen, wie eine Stichprobe getestet werden kann, ob sie einer Normalverteilung (Gauß-Verteilung) entstammt. Die prinzipiell einfachste M¨ oglichkeit eines solchen Tests besteht darin, die Meßwerte in ein sog. Summenh¨aufigkeitspapier5 einzutragen. Die eingetragenen Punkte liegen im Falle einer Normalverteilung auf einer Geraden. Der Erwartungswert µ wird bei der Summenh¨ aufigkeit von 50 % abgelesen. Zur Beurteilung, ob eine Normalverteilung vorliegt oder nicht, wird anhand von zwei Kriterien beurteilt: 1. Wie groß ist die Abweichung der Punkte von der Geraden? 2. Wie groß ist die Abweichung des aus der Stichprobe errechneten Mittelwertes x vom abgelesenen Erwartungswert µ ? Die zweite Testm¨oglichkeit besteht im sog. χ2 -Test (Abb. 14.9). Der Grundgedanke dieses Tests besteht in der Unterteilung der x-Achse (unabh¨angige Variable) in Teilintervalle und der Berechnung der zu diesen Intervallen geh¨orenden Wahrscheinlichkeiten der betreffenden Zufallsvariablen x. Diese Wahrscheinlichkeiten werden aus der in der Hypothese angenommenen Verteilungsfunktion F (x) ermittelt. Die so ermittelten Wahrscheinlichkeiten werden dann mit den relativen Klassenh¨ aufigkeiten der gegebenen Stichprobe verglichen. Bei zu großen Abweichungen wird die Hypothese (F (x) ist die Verteilungsfunktion von x) verworfen. Tip: Zu dieser Thematik befinden sich mehrere LabVIEWProgramme auf der CDROM. Die Dichtefunktion der χ2 Verteilung kann mit chi_square_density.vi als Kurvenschar mit dem Parameter nf als Freiheitsgrad gezeichnet werden. Ein Beispiel f¨ ur einen χ2 -Test, wie er auf der folgenden Seite beschrieben wird, ist in chi_square_test_example.vi zu finden. Dort werden die Fehler, mit denen eine Messung behaftet ist, daraufhin u uft, ob sie normalverteilt sind. Die Grafik in Abb. 14.10 ¨berpr¨ kann mit dem Programm chi_square_chart.vi erzeugt werden, wobei die Wahrscheinlichkeitsgrenzen eingestellt werden k¨onnen.

5

Beim Summenh¨ aufigkeitspapier ist die Abszisse gem¨ aß einer Gaußschen Normalverteilung verzerrt, so daß diese wie eine Gerade auf dem Summenh¨ aufigkeitspapier erscheint.

470

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

Die Durchf¨ uhrung des χ2 -Tests besteht aus folgenden Schritten [127]: 1. Ermittlung von Mittelwert x (Sch¨ atzwert) und Schwankung s: x=

n 1X xi n i=1

v u u s=t

v " n u n u 1 X 1 1 X t 2 x2 − (xi − x) = n − 1 i=1 n − 1 i=1 i n

n X i=1

xi

!2 #

.

2. Einteilung der Meßwerte in K Klassen (K ≥ 4), so daß in einem Intervall mindestens 5 Meßwerte liegen. 3. Bestimmung der mit nei bezeichneten Anzahl der in den einzelnen Klassen befindlichen Meßwerte. 4. Anhand einer Normalverteilung (mit µ = x und σ = s) werden die Wahrscheinlichkeiten Pi (i = 1, 2, . . . , K) ermittelt, mit der die Meßwerte in der Klasse i liegen. Daraus wir die Anzahl noi von Meßwerten ermittelt, die im jeweiligen Intervall i im Falle der Normalverteilung liegen w¨ urden noi = n Pi , wobei n den Umfang der Stichprobe bezeichnet. 5. Anhand des folgendermaßen errechneten χ2 -Wertes χ2 =

K X (nei − noi ) 2 noi i=1

entscheidet man u ¨ ber die Annahme bzw. das Verwerfen der Hypothese, ob die Stichprobe zu einer Normalverteilung geh¨ ort oder nicht. 6. Vorgabe des Signifikanzniveaus α, typischerweise 1 % bzw. 5 %. 7. L¨ osen der Gleichung P (χ2 ≥ c) = 1 − α anhand einer Graphik bzw. einer Tabelle, welche die χ2 -Verteilung beschreiben. Dabei wird die Anzahl nf der Freiheitsgrade durch nf = K − 1 festgelegt. Abbildung 14.10 zeigt die α = 5 % (95 %) und α = 1 % (99 %).

χ2 -Verteilung f¨ ur

die

Werte

Abb. 14.9. Schema zur Durchf¨ uhrung des χ2 -Tests (Pr¨ ufung, ob eine Normalverteilung vorliegt)

14.3 Testverfahren (Hypothesen-Testverfahren)

471

χ2 50 p(χ 2 )

40

c1

30

Hypothese verwerfen

χ2

c2

c2 = 5 %

en hm nne a e es oth Hyp c1 = 5 %

c2 = 1 %

20

10

Hypothese verwerfen

c1 = 1 %

5 0 2

4

10

20

26

nf = K - 1

Abb. 14.10. χ2 -Verteilung f¨ ur die Signifikanzniveaus 1 % und 5 % als Funktion des Freiheitsgrades nf = K − 1 (s. auch Schema in Abb. 14.9) [127].

χ2 -Verteilung Sind n unabh¨angige Zufallsvariable xi mit Normal-Verteilung im Intervall [0,1] gegeben, so hat ihre Quadratsumme yn = x21 + x22 + . . . x2n

(14.60)

die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte, die auch χ2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden genannt wird (Γ : Gamma-Funktion (s. u.)) [76, 78] 2

fyn (y = χ ) =

(

1 n 2 Γ(n 2 )2

0

n

y

y 2 −1 e− 2

f¨ ur

χ2 ≥ 0 ,

f¨ ur

χ2 < 0 .

(14.61)

Gamma-Funktion Γ (α) bezeichnet die sog. Gamma-Funktion, die durch folgendes Integral gegeben ist Z∞ (14.62) Γ (α) = e−t tα−1 dt (α > 0) . 0

√ Es gilt Γ (1) = 1, Γ (1/2) = π und Γ (n + 1) = n! .

472

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

Pr¨ ufung auf lineare Abh¨ angigkeit von Meßwerten Im Zuge der linearen Regression wurde eine Ausgleichsgerade f¨ ur eine Schar von Meßwerten ermittelt (Kap. 14.1.1). Dabei zeigte sich, daß eine lineare Abh¨angigkeit vorliegt, wenn die Steigung m der Geraden (Gl. (14.3)) signifikant von Null abweicht. Um dieses zu testen, geht man nach dem in Abb. 14.11 gezeigten Schema vor [127]. Test auf lineare Abh¨ angigkeit 1. Berechnung des Ausdrucks (s. Kap. 14.1.1) s (n − 2)s2x c = m s2y − m2 s2x

.

2. Ermittlung der Wahrscheinlichkeit (statistischen Sicherheit) P [%], mit der die Gerade von einer mit der Steigung m = 0 abweicht anhand der StudentVerteilung (t-Verteilung) (Abb. 14.12 bzw. Tab. 5.2) P = P (c, n − 2) . 3. Entscheidung: F¨ ur kleine Werte von P , z. B. P ≤ 1 %, wird die Hypothese, daß m = 0 sei, verworfen. Damit ist statistisch gesichert, daß lineare Abh¨ angigkeit vorliegt. Abb. 14.11. Test auf lineare Abh¨ angigkeit von Meßwerten

Student t-Verteilung Die Studentsche t-Verteilung6 bildet die Grundlage wichtiger statistischer Tests. Es sind zwei unabh¨ angige Zufallsvariable x und y gegeben. Dabei besitzt x im Intervall [0,1] eine Normalverteilung und y eine χ2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden (s. vorhergehenden Abschnitt). Die Zufallsvariable x t= p (14.63) y/n hat dann die Wahrscheinlichkeitsdichte

Γ n+1 ft (t) = √ 2 n
· nπ 2 1+

t2 n

1
(n+1)/2 .

(14.64)

Die Verteilung ft (t) wird als Student t-Verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet [76, 78]. Mit wachsendem n strebt die Verteilungsfunktion der tVerteilung gegen die Verteilungsfunktion der Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der Varianz 1. 6

Sie wurde von W.S. Gosset eingef¨ uhrt und unter dem Namen “Student” ver¨ offentlicht.

14.3 Testverfahren (Hypothesen-Testverfahren)

473

P

%

10 8

p(x)

6 5 4

P/2

P/2 -c 0 c

3

t

2

1.0 0.8 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

0.1 1

2

3

4 5 6 7 8 9 10

30 40 50 60

100 c

nf = 5 n f = 10 nf =

8

nf = 1 nf = 2 nf = 3

20

Abb. 14.12. Student-Verteilung (t-Verteilung bzw. Studentsche t-Verteilung): P gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der gilt |t| ≥ c. Der Parameter ist der Freiheitsgrad nf [127].

Tip: Mit dem Programm teste_lin_abh.vi kann zus¨atzlich zur Berechnung von Regressionsgeraden auch noch der hier beschriebene Test auf lineare Abh¨ angigkeit durchgef¨ uhrt werden. Die Darstellung der Student-Verteilung nach Abb. 14.12 kann mit dem Programm students-t-verteilung.vi nachvollzogen werden.

474

14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

Test des Korrelationskoeffizienten In Kap. 14.2 wurde der Korrelationskoeffizient r f¨ ur die Verteilung zweier unabh¨angiger Variablen xi und yi ermittelt. Dieser Korrelationskoeffizient r der Stichprobe ist nur ein Sch¨ atzwert des Korrelationskoeffizienten ρ der Grundgesamtheit und damit fehlerbehaftet. Es soll die Hypothese ρ = 0 gegen eine Alternativhypothese ρ > 0 getestet werden. Dazu geht man nach dem in Abb. 14.13 gezeigten Schema vor [78].

Test des Korrelationskoeffizienten 1. Vorgabe eines Signifikanzniveaus, z. B. α = 1 % bzw. α = 5 % . 2. Ermittlung des Wertes c anhand der Student-Verteilung (Abb. 14.12 bzw. Tab. 5.2) mit (n − 2) Freiheitsgraden (n: Stichprobenumfang) P (c, (n − 2)) = 1 − α . 3. Berechnung von t0 als Funktion des ermittelten Korrelationskoeffizienten r und dem Stichprobenumfang n r n−2 . t0 = r 1 − r2 4. Entscheidung: Annahme der Hypothese ρ = 0 f¨ ur den Fall t0 ≤ c d. h. P (|t0 | ≤ t) = 1 − α und Verwerfen der Hypothese andernfalls. Abb. 14.13. Test des Korrelationskoeffizienten

15 Grundlagen der Rechnergestu ¨ tzten Meßdatenerfassung

15.1 Aufgaben, Bedeutung und Grundstrukturen von rechnergestu ¨ tzten Meßsystemen Im Digitalrechnerbereich wurden in den letzten Jahren in bezug auf Rechenleistung, Datentransfergeschwindigkeit sowie Speichergr¨oße enorme Fortschritte erzielt. Daher werden die Digitalrechner, insbesondere die immer leistungsf¨ ahigeren und preiswerteren Personalcomputer, auch gerne zur Bew¨altigung komplexer und umfangreicher Aufgaben im Rahmen der Messung elektrischer und nicht-elektrischer Gr¨ oßen herangezogen. Die Hauptaufgabengebiete sind dabei die Meßdatenerfassung und die Meßsignalverarbeitung. Daneben werden Digitalrechner auch zur Steuerung und Regelung von Anlagen und als Prozeßleitsysteme eingesetzt. Generell kann man Digitalrechner, die mit einem technischen Prozeß gekoppelt sind, als Prozeßrechner bezeichnen. Die Hauptaufgaben bei der rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung sind die korrekte Erfassung der Meßdaten, ihre anschließende Auswertung inklusive Fehlerkorrektur sowie ihre Visualisierung und effiziente Speicherung (Archivierung) (Abb. 15.1). ¨ Die Ubernahme von Meßdaten in einen Digitalrechner kann dabei auf verschiedenen Wegen geschehen. Eine der Standardmethoden basiert auf an den Rechnerbus angeschlossenen Meßmodulen, die auf einer Computereinsteck-

Erfassen Auswerten (inkl. Fehlerkorrektur) Visualisieren

Archivieren

Abb. 15.1. Hauptaufgaben der rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_15, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

476

15 Grundlagen der Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung

karte realisiert sind (Instrument-on-a-Card) und in der Regel einen AnalogDigital-Umsetzer mit vorgeschaltetem Multiplexer enthalten (Abb. 15.2a). Eine weitere gebr¨auchliche Methode besteht in der indirekten Steuerung von intelligenten“ Meßger¨ aten u ¨ber digitale Computer-Schnittstellen (Computer ” Controlled Instruments (CCI )) (Abb. 15.2b). Die wichtigsten Anforderungen an ein Meßdatenerfassungssystem sind neben der korrekten Erfassung der Meßsignale die schnelle Reaktion auf externe bzw. interne Ereignisse, die Priorit¨atensteuerung der verschiedenen Aufgaben, gute Visualisierungs- und Archivierungsm¨oglichkeiten, einfache Bedienung, hohe Zuverl¨assigkeit sowie die Erweiterbarkeit, Portierbarkeit und Wartbarkeit bez¨ uglich der Software. Als Hauptvorz¨ uge der computergest¨ utzten Meßdatenerfassung sind zu nennen: • • • • • •

Automatisierung kompletter Meßabl¨ aufe Einsparung redundanter Hardware (durch zeitlichen Multiplexbetrieb) sichere und effiziente Speicherung von Meßdaten Ersatz von dedizierten und an spezielle Aufgaben gebundene HardwareKomponenten durch anwendungsflexible Software-Module, z. B. bei der Filterung gute Visualisierungs- und Archivierungsm¨ oglichkeiten durch Nutzung vielfach vorhandener Standard-PC-Software leichte Einbindung der Meßdatenerfassung in Regelsysteme oder Anlagen der Automatisierungstechnik. Digitalrechner Rechner-Bus Prozeß (analoge) Meßgrößen a)

Meßdatenerfassungs-Karte mit ADC

Intelligente Meßgeräte

b)

Rechner-Bus

Schnittstellen-Karte (z. B. RS232C oder IEC)

Prozeß (analoge) Meßgrößen

Digitalrechner

digitale Daten

Abb. 15.2. Digitalrechner in der Meßdatenerfassung: a) Instrument-on-a-Card, b) Computer Controlled Instruments (CCI)

15.1 Grundstrukturen von rechnergest¨ utzten Meßsystemen

477

Bei der Auswahl der einzelnen Systemkomponenten stehen i. allg. folgende Gesichtspunkte im Vordergrund: • • • • •

Amplituden- und Zeitverhalten der Eingangssignale (Aufl¨osung und Abtastrate der zu verwendenden Analog-Digital- und Digital-Analog-Umsetzer) Anzahl der zu verarbeitenden Meßpunkte (Abtastumfang bestimmt durch die Speichergr¨oße) Verf¨ ugbarkeit unterschiedlicher Triggerm¨ oglichkeiten (Abb. 15.3) Genauigkeit Kosten, Zuverl¨ assigkeit und Wartbarkeit.

u

u + Flanke

- Flanke

T+

T-

T

Pegel- (Flanken-) Triggerung

t

u

t

sequentielle Triggerung

u

T Fenster-Triggerung

T t

Alarm-Triggerung

T' t

Abb. 15.3. In der Meßdatenerfassung verwendete Triggerarten (T bezeichnet den Triggerzeitpunkt) [139]

Bei der Meßdatenerfassung unterscheidet man prinzipiell zwischen Onlineund Offline-Erfassung. Bei der Online-Erfassung werden die Meßdaten direkt in den Prozeßrechner eingelesen, w¨ ahrend sie bei der Offline-Erfassung nach der Digitalisierung in einem Massenspeichermedium, z. B. einer USBFestplatte, zwischengespeichert und erst zu einem sp¨ateren Zeitpunkt, oft nach einem Transport des Speichermediums von einer externen Meßstelle, in den Auswerterechner u ¨bernommen werden.

478

15 Grundlagen der Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung

Anpassungsverstärker analoge Meßgröße

Sensor

Filter

AnalogMultiplexer (MUX)

Adressen- und Steuerbus

S&H

ADC Datenbus

DigitalDatenbus DAC rechner

Aktor

Abb. 15.4. Prinzipielle Struktur eines rechnergesteuerten Meßdatenerfassungssystems. Die gestrichelt gezeichneten Funktionsbl¨ ocke z¨ ahlen bereits zu einem Datenausgabesystem.

Abbildung 15.4 zeigt die prinzipielle Hardware-Struktur eines rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassungssystems, w¨ ahrend Abb. 15.5 den prinzipiellen Funktionsablauf der Softwaresteuerung bei der rechnergesteuerten Meßdatenerfassung mit anschließender Meßsignalverarbeitung anhand eines Flußdiagrammes verdeutlichen soll. Die Grundfunktionen eines solchen Meßdatenerfassungssystems lassen sich unterteilen in Empfang, Verst¨arkung, Selektion des Meßkanals, Abtastung, Analog-Digital-Umsetzung und Daten¨ ubernahme. Bei der Implementierung dieser Grundfunktionen ist folgendes zu beachten: •

•

•

Empfang Die wichtigste Maßnahme beim Empfang ist die Vorsorge gegen St¨orungen des Meßsignals auf der Verbindungsleitung Prozeß-Meßdatenerfas” sungssystem“. Um einen m¨ oglichst st¨ orungsfreien Empfang der Signale zu erm¨oglichen, werden vorzugsweise Trennverst¨arker [156] eingesetzt und entsprechende Schirmungsmaßnahmen durchgef¨ uhrt (s. auch Kap. 15.2.3). Verst¨ arkung Im allgemeinen ist ein Verst¨ arker (Anpassungsverst¨arker) notwendig, um den Meßkanalpegel (Sensorpegel) an den Eingangsspannungsbereich des A/D-Umsetzers anzugleichen. Die Verst¨ arker werden weiterhin zur Erzielung einer hohen Gleichtaktunterdr¨ uckung eingesetzt. Selektion des Meßkanals Die Auswahl des gerade zu messenden Signals aus einer Reihe von vorhandenen Meßkan¨alen geschieht mittels sog. Analog-Multiplexer. Als Schalter werden dabei vorzugsweise Halbleiterschalter eingesetzt, wenn die Prio-

15.1 Grundstrukturen von rechnergest¨ utzten Meßsystemen

479

Grundzustand

Eintreten des Triggerereignisses

nein

ja Meßwerterfassung

Fehlerkorrektur

Zwischenspeicherung

nein

Ende der Messung

Meßdatenverarbeitung (digitale Signalverarbeitung der zeitdiskreten und amplitudenquantisierten Meßwerte) Visualisierung bzw. Archivierung der Meßergebnisse

Zurückführung der Meßergebnisse in einen Prozeß Weiterleitung der digitalen Meßwerte an ein digitales Ausgabesystem

Umsetzung der digitalen Meßwerte in entsprechende Analogwerte mit Hilfe eines DigitalAnalog-Umsetzers

Abb. 15.5. Ablaufplan zur Softwaresteuerung bei der rechnergesteuerten Meßdatenerfassung

rit¨at auf hoher Umschaltgeschwindigkeit liegt, w¨ahrend man bei kompletter galvanischer Trennung die langsameren Relaisschalter bevorzugt (s. auch Kap. 15.2.2). Bei der Struktur von Analog-Multiplexern unterscheidet man zwischen der massefreien“ Messung einer Differenzspannung und ” der Messung der Signale gegen ein festes Massepotential. Man unterscheidet weiterhin zwischen Analog-Multiplexer-Schaltungen, die ohne Zeitversatz zwischen den Abtastzeitpunkten der einzelnen Kan¨ale funktionieren (Abb. 15.6) und solchen, die mit Zeitversatz arbeiten, daf¨ ur aber mit einem Sample & Hold-Glied auskommen (Abb. 15.7). Der Zeitversatz l¨aßt sich nur vermeiden, wenn f¨ ur jeden Meßkanal ein separates Sample & Hold-

480

15 Grundlagen der Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung

S&H

Analogeingänge

AnalogMultiplexer (MUX)

S&H

ADC

Digitalausgang

S&H

Triggerpuls Abb. 15.6. Analog-Multiplexing ohne Zeitversatz zwischen den Abtastpunkten der einzelnen Meßkan¨ ale

•

Glied verwendet wird, so daß alle Meßkan¨ ale zeitsynchron abgetastet werden k¨onnen. Abtastung (Sampling) Wenn das Meßsignal w¨ ahrend der Konversionszeit des Analog-Digital-Umsetzers konstant gehalten werden muß, wird eine Sample & Hold-Schaltung eingesetzt. Dabei wird das zeitkontinuierliche Meßsignal in ein zeitdiskretes umgesetzt (Abb. 11.36). Eine besondere Form der Abtastung wird in Abb. 15.8 gezeigt. Mit Hilfe dieses Schaltungsprinzips kann ein schnelles“ Signal in Form eines ” zeitlich kurzen Pulses von einem vergleichsweise langsamen“ ADC um” gesetzt werden. Durch die Verwendung von n Sample & Hold-Gliedern, die von den Ausg¨ angen einer n-stufigen Verz¨ogerungsleitung (Tapped Delay Line) angesteuert werden, wird das Signal an n ¨aquidistanten zeitlichen St¨ utzstellen abgetastet und der i-te Abtastwert vom i-ten Sample & Hold-Glied erfaßt. Der Analog-Multiplexer ruft dann die Abtastwerte nacheinander ab und f¨ uhrt sie dem ADC zu. AnalogMultiplexer (MUX) Analogeingänge

S&H

ADC

Digitalausgang

Triggerimpuls Abb. 15.7. Analog-Multiplexing mit Zeitversatz zwischen den Abtastzeitpunkten der einzelnen Meßkan¨ ale

15.1 Grundstrukturen von rechnergest¨ utzten Meßsystemen

481

Triggerleitungen

Tapped Delay Line

∆T

S&H

..........

S&H

AnalogMultiplexer (MUX) zum ADC

... S&H

Startpuls

u E (t)

uE

uE Spannungswerte einzelner Sample & Hold-Glieder

t ∆T

Abb. 15.8. Schaltung zur zeitlichen Abtastung schneller“ , transienter Signale mit ” langsamen “ A/D-Umsetzern ”

•

•

Analog-Digital-Umsetzung Das Herzst¨ uck eines jeden rechnergest¨ utzten Datenerfassungssystems ist der A/D-Umsetzer, der das analoge Signal in eine entsprechende Dualzahl konvertiert. Dabei finden die in Kap. 11.7 beschriebenen Umsetzungsprinzipien Anwendung. Daten¨ ubernahme Die vom A/D-Umsetzer ausgegebenen Digitalwerte werden in einem Busregister gespeichert. Da meist mehrere Datenerfassungskomponenten auf den Rechnerbus geschaltet sind, werden die Ausg¨ange des Registers als Tristate-Ausg¨ange [156] implementiert.

Neben den eigentlichen Datenerfassungssystemen sind auf den einschl¨agigen PC-Einsteckkarten zur Meßdatenerfassung in der Regel auch Datenausgabesysteme enthalten, deren Aufgabe es ist, in bin¨ arer Form vorliegende Signale in analoger Form auszugeben. Diese Analogsignale werden nach entsprechender Verst¨arkung im allgemeinen zur Ansteuerung von Aktoren verwendet. Die Hauptfunktionen eines Datenausgabesystems bestehen darin, das zu wandelnde Digitalwort in ein Busregister zu schreiben (Daten¨ ubergabe), dieses Digitalwort anschließend mit Hilfe eines Digital-Analog-Umsetzers in ei-

482

15 Grundlagen der Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung

Datenbus DAC

Steuerbus

AblaufSteuerung

. . .

S&H

u1

S&H

u2

. . .

. . .

S&H

uk

Abb. 15.9. Prinzip eines Datenausgabesystems mit k Ausgabekan¨ alen

ne Analogspannung umzusetzen (D/A-Umsetzung) und auf einen Ausgangsverst¨arker zu geben (Ausgabe). Abbildung 15.9 zeigt die typische Struktur eines Datenausgabesystems, das mehrere Ausgabekan¨ale aufweist. Rechnergesteuerte Datenausgabesysteme haben in letzter Zeit als flexible Funktionsgeneratoren große Bedeutung erlangt. Solche sog. Arbitrary Waveform Synthesizer erlauben die rechnergesteuerte Synthese von (im Rahmen der zeitlichen Abtastung sowie Amplitudendynamik) beliebigen Signalformen. Die in Datenerfassungs- und Datenausgabesystemen typischerweise auftretenden Fehler sollen im folgenden kurz zusammengefaßt werden: • • • • • •

¨ Ubersprechen (Crosstalk) zwischen den einzelnen, insbesondere benachbarten, Kan¨alen Gleichtaktst¨orungen Fehler der Sample & Hold-Schaltung in Form von Apertur-Unsicherheiten, ¨ Ubersprechen, etc. (s. Kap. 11.7.1 und 11.7.2) Fehler des A/D-Umsetzers, z. B. Quantisierungsfehler (s. Kap. 11.7.8) Fehler des D/A-Umsetzers, z. B. transiente Spannungsspitzen und Zeitfehler (s. Kap. 11.6.3) Systemfehler der digitalen Signalverarbeitung, z. B. Rundungs-, Abbruch¨ und Uberlauffehler.

15.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung Das zentrale Element einer jeden rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung bildet der oft auch als Prozeßrechner bezeichnete Steuerrechner, welcher u ¨ber Einrichtungen f¨ ur die direkte informationstechnische Kopplung (Kommunikation) mit dem Prozeß verf¨ ugt. Als Steuerrechner kommen prinzipiell Mikround Minicomputer, Workstations und insbesondere leistungsf¨ahige Personalcomputer in Frage. Es sind in Abh¨ angigkeit von der Geschwindigkeit“ des ” Prozesses vor allem schnelle Computer gefragt, welche die F¨ahigkeit haben,

15.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung

483

rechtzeitig“ auf externe Prozeß-Ereignisse zu reagieren. Man spricht in die” ¨ sem Zusammenhang auch von Echtzeitf¨ahigkeit (Realtimef¨ahigkeit). Uber die Realtimef¨ahigkeit eines Computers entscheidet neben seinen hardwarem¨aßigen Leistungsmerkmalen (vor allem die Geschwindigkeit) das verwendete Betriebssystem [43]. Die zur Meßdatenerfassung ben¨ otigte Hardware gliedert sich in den eigentlichen Steuerrechner sowie die daran angeschlossenen bzw. die darin enthaltenen Schnittstellen zur Prozeßperipherie (Abb. 15.10). Die ProzeßrechnerHardware unterscheidet sich bez¨ uglich ihrer Grundkomponenten zun¨achst nicht von der Architektur eines jeden anderen gew¨ohnlichen Digitalrechners. Der Unterschied in bezug auf die Hardware besteht lediglich in der Verf¨ ugbarkeit von einer oder von mehreren der folgenden Komponenten (Abb. 15.10):

interner Bus CPU Rechen- Steuerwerk werk

PlattenController BusController

ROM/ EPROM RAM

Festplattenspeicher

externer Bus, z. B. IEC-Bus

DigitalSchnittstellenDigitalschnittstelle, Karte z. B. RS232 Prozeßperipheriekarten(n)

Peripheriegeräte Peripheriegeräte analoge und digitale Prozeßsignale

Abb. 15.10. Struktur eines Digitalrechners mit Peripherie-Schnittstellen zu einem Prozeß

• •

Prozeßperipheriekarte mit Analog- und Digital-Ein/Ausg¨angen zum direkten Anschluß an externe Prozesse Bus-Controller zum externen Busanschluß, z. B. IEC-Bus oder VXI-Bus (s. Kap. 16.6 und 16.7).

F¨ ur die Verbindung zur Prozeßperipherie sind im konkreten folgende Standardl¨osungen (Abb. 15.11) u ¨blich: • •

(Multifunktions-) Einsteckkarten mit eigenem Multiplexer und A/D-Umsetzer Meßger¨ate (mit internem A/D-Umsetzer), die u ¨ber eine serielle Schnittstelle, z. B. eine RS232-Schnittstelle, zwecks Meßger¨atesteuerung und Daten¨ ubernahme mit dem Rechner verbunden sind

484

15 Grundlagen der Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung

Rechner

Rechner Bus

Multifunktions-Einsteckkarte mit Analog-Multiplexer und ADC

ADC

Einsteckkarte

a) Rechner b)

c)

analoge Meßsignale

RS232C-Schnittstelle

seriell Meßgerät mit ADC (digital) Rechner IEC-Bus intelligentes Meßgerät parallel (digital) intelligentes Meßgerät

analoge Meßsignale

analoge Meßsignale IEC-Bus

Datenlogger Rechner

intelligentes Meßgerät mit Datenspeicher

analoge Meßsignale

Transport von Datenträgern oder d) Datenfernübertragung über Modem Abb. 15.11. Standardm¨ aßig verwendete Anschlußvarianten der Prozeßperipherie an einen Digitalrechner: a) Multifunktions-Einsteckkarte, b) RS232C-Schnittstelle, c) IEC-Bus, d)Datenlogger

• •

Intelligente Meßger¨ ate (mit internem A/D-Umsetzer), die an einen externen Rechnerbus, z. B. einen IEC-Bus, zwecks Meßger¨atesteuerung und Daten¨ ubernahme angeschlossen sind Autonom arbeitende Meßger¨ ate mit Speicherm¨oglichkeit (Datenlogger), die eine sp¨atere Offline-Daten¨ ubergabe in den Auswerterechner u ¨ber eine serielle oder parallele Schnittstelle, z. B. den IEC-Bus, erlauben.

15.2.1 Multifunktions-Einsteckkarten Multifunktions-Einsteckkarten enthalten einen eigenen Analog-Multiplexer, einen Analog-Digital-(ADC) und im allgemeinen auch mindestens einen Digital-Analog-Converter (DAC). In Abh¨ angigkeit vom Rechnertyp und der jeweiligen Anwendung stellt der heutige Markt eine Vielzahl von Einsteckkarten zur Verf¨ ugung. In Abb. 15.12 wird die Struktur einer typischen MultifunktionsEinsteckkarte gezeigt. Sie erm¨ oglicht die Erfassung von 16 bzw. 32 Meßkan¨alen im Multiplexbetrieb. Sollten die 16 bzw. 32 analogen Eingangskan¨ale nicht ausreichen, k¨onnen diese durch spezielle Multiplexerkarten auf bis 8192 Ein-

15.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung

485

Adress- / Steuerbus 1 2

1 2

...

AnalogEingänge

16

16

Multiplexer (MUX)

S&H

ADC

Trigger MUX

Trigger Modul

Steuerung Timer

TimingEingang 1 AnalogAusgänge

2

DAC 2 DAC 1

Busregister

Datenbus Abb. 15.12. Blockschaltbild einer typischen Multifunktions-Einsteckkarte

gangskan¨ale erweitert werden. Dabei werden die Analog-Kan¨ale gruppenweise auf die I/O-Kan¨ale der Karte gelegt (Abb. 15.13). In ¨ahnlicher Weise lassen sich die Analogausg¨ange mit 1 zu 32 demultiplexen. Die Kanalwahl und die Konfiguration erfolgt u ¨ber die Digital-Ausg¨ange der Meßkarte. Diese Zusatzkarten bieten auch die M¨oglichkeit der flexiblen Signalkonditionierung. Die Parametrierung dieser Signalkonditionierung erfolgt ebenfalls u ange der Meßdatenerfassungskarte [93]. Diese ¨ber die Digitalausg¨ Zusatzkarten erweitern den Spannungsbereich auf bis zu 50 V, sie erm¨oglichen die Messung von Temperaturen mit Pt100-Temperaturf¨ uhlern und sie verf¨ ugen u ange der Standard-Strom-Schnittstelle 0...20 mA. Bei ¨ber Stromeing¨ Abtastraten von 100 ksamples/s bis 300 ksamples/s sind typischerweise A/Dbzw. D/A-Umsetzungen mit 16-Bit-Aufl¨ osung m¨oglich. Schnellere Meßdatenerfassungskarten erlauben mittlerweile Abtastraten von 500 ksamples/s bei 16 Bit-Aufl¨osung. Die Auswahl an solchen Peripheriekarten f¨ ur PCs ist mittlerweile sehr umfangreich und vielf¨ altig geworden. Hochgeschwindigkeitskarten erlauben Abtastraten von bis zu 100 Msamples/s oder mehr bei einer typischen Aufl¨osung von 8 Bit. Bei 10 Msamples/s werden noch 12 Bit erreicht. F¨ ur hochgenaue Anwendungen besteht die M¨oglichkeit, Meßwerte mit 21 Bit aufzul¨osen. Dies l¨ aßt eine maximale Abtastrate von 10 ksamples/s zu und erfordert einen sorgf¨ altigen Aufbau der gesamten Meßschaltungen, um am unteren Ende des Dynamikbereiches Probleme infolge Rauschen oder elektromagnetischer Einstreuungen zu vermeiden. F¨ ur die sehr hohen Abtastraten ist es wichtig, daß gen¨ ugend Memory zum Zwischenspeichern der Meßwerte auf der Karte selbst zur Verf¨ ugung steht.

486

15 Grundlagen der Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung

Abb. 15.13. Beispiel f¨ ur erweitertes Multiplexing mit 256 Analogeing¨ angen auf eine Meßdatenerfassungskarte. Es ist eine Erweiterung auf ein 8192-zu-32-Multiplexing m¨ oglich [93].

Daf¨ ur stehen auf hochwertigen Karten mittlerweile 64 MByte Memory pro Meßkanal bereit. Solche Karten sind f¨ ur alle g¨angigen PC-Busse, wie PCIBus, PXI-Bus oder USB-Schnittstelle, lieferbar. Treiberroutinen sind f¨ ur die Standard-Betriebssysteme erh¨ altlich. Zur Triggerung durch externe Signale ist ein Timing-Eingang vorgesehen. Weiterhin enthalten die Karten meist zwei Digital-Analog-Umsetzer, welche Digitalwerte, die auf den Datenbus gelegt werden, in entsprechende Analogspannungswerte umsetzen und mit Hilfe von Ausgangsverst¨arkern ausgeben. Die Leistungsdaten typischer Multifunktions-Datenerfassungskarten sind in Tab. 15.1 enthalten.

15.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung

487

Tabelle 15.1. Leistungsdaten typischer Multifunktions-Datenerfassungskarten Typ/Hersteller Anzahl Analogeing¨ ange single ended differentiell Aufl¨ osung des ADC Summen-Abtastrate Uin digitale I/O Kan¨ ale Analogausg¨ ange Typ/Hersteller Anzahl Analogeing¨ ange single ended differentiell Aufl¨ osung des ADC Summen-Abtastrate Uin digitale I/O Kan¨ ale Analogausg¨ ange

NI 6071E NI 6052E National Instruments National Instruments 64 32 12 Bit 1,25 Msamples/s ±0, 05 bis ± 10 V 8 2 (12 Bit)

16 8 16 Bit 333 ksamples/s ±0, 05 bis ± 18 V 8 2 (16 Bit)

NI 6115 PCI 9820 National Instruments Adlinktech 4 2 12 Bit 40 Msamples/s ±0, 2 bis ± 42 V 8 2 (12 Bit)

2 1 14 Bit 130 Msamples/s 0 bis ± 5 V 0 0

15.2.2 Multiplexer Der Multiplexer ist ein wesentliches Schaltungselement in Meßdatenerfassungssystemen. Als Multiplexer eignen sich neben den klassischen Relais die Halbleiter-Analogschalter (HL-Analog-Schalter). W¨ahrend die verschleißfreien Tabelle 15.2. Multiplexer in der Meßdatenerfassung Typ

Vorteile

Nachteile

HL-AnalogSchalter

schnell (Dauer eines Schaltzyklus: 50 ns − 2 µs)

evtl. Offsetspannungen und Gleichtaktst¨ orungen, evtl. zu geringe Schaltspannung

Relais (2-polig)

galvan. Trennung

langsam, evtl. Erdschleifen (Dauer eines Schaltzyklus > 5ms)

Relais (3-polig)

galvan. Trennung auch vom Schirmanschluß

langsam, h¨ ohere Kosten

Relais (5-polig)

zus¨ atzliche galvan. Trennung der Sensor-Stromversorgung

hohe Kosten

488

15 Grundlagen der Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung

Halbleiterschalter hohe Schaltgeschwindigkeiten bis in den MHz-Bereich zulassen, aber den Nachteil keiner vollst¨ andigen galvanischen Trennung haben, bieten die Relais gerade diesen Vorzug, der bei vielen industriellen Anwendungen gefordert wird. Daf¨ ur zeigen sie wesentlich niedrigere Schaltgeschwindigkeiten (Tab. 15.2). 3- und 5-polige Relais werden verwendet, um EMV-St¨orungen (EMV = Elektromagnetische Vertr¨ aglichkeit) infolge Erdschleifen und elektromagnetischer Einkopplungen zu vermeiden (Abb. 15.14). Der 3. Pol dient der Schirmtrennung, die beiden weiteren der 5-poligen Relais der zus¨atzlichen Trennung der Stromversorgung. 2-polige Relaisschaltung

A

Kanal n Sensor . . . . . .

D

digitale Masse = System-Masse

geschirmte Signalleitung

Kanal n+1

Gefahr von Erdschleifenbildung Die Schirmanschlüsse von allen n Kanälen haben dauernde elektrische Verbindung.

3-polige Relaisschaltung

Kanal n Sensor . . . . Kanal n+1

A

D

Infolge der 3-poligen Relaisschaltung wird nur der Schirm des aktuellen Meßkanals durchgeschaltet.

Abb. 15.14. Relais dienen der vollst¨ andigen galvanischen Trennung von Sensor und Meßschaltung. Im Falle der 3-poligen Relais kann der Schirm f¨ ur jeden Meßkanal getrennt werden, so daß nur der Schirm des aktuellen Meßkanals durchgeschaltet wird.

15.2.3 St¨ orungen infolge Erdschleifen und Einkopplungen Als Erdschleifen werden St¨ orkreise bezeichnet, die durch Mehrfacherdung zustandekommen (s. Beispiel der 2-poligen Relaisschaltung aus Abb. 15.14). So ist beispielsweise das 50 Hz-Netzbrummen bei Verst¨arkeranlagen auf solche Erdschleifen zur¨ uckzuf¨ uhren. Es handelt sich dabei um eine galvanische

15.2 Basis-Hardware zur Meßdatenerfassung

489

und/oder induktive Kopplung, die anhand eines Beispiels erl¨autert werden soll. Eine Quelle Q und ein Empf¨ anger E sind u ¨ber eine Zweidrahtleitung verbunden (Abb. 15.15). Beide Ger¨ ate sind separat mit der Schutzerde PE verbunden. Eine St¨ orspannung UESt kann nun entweder durch galvanische Kopplung u ¨ber die gemeinsame Koppelimpedanz (RSL und LSL ) oder durch induktive Einkopplung in die Schleife, die sich zwischen einem Leiter und der Erdverbindung bildet, entstehen. •

•

galvanische Kopplung Der Strom IPE1−2 im Schutzleiter f¨ uhrt zu einer Spannung zwischen den Punkten 1 und 2 und wegen der Impedanzen Z Q und Z E zu unterschiedlichen St¨orstr¨omen in den beiden Leitern. Dies hat eine St¨orspannung UESt im Signalkreis zur Folge. induktive Kopplung Infolge magnetisch-induktiver Kopplung kann es zur Induktion von weiteren St¨orspannungen (Abb. 15.15) kommen. So wird in der Erdschleife, die sich zwischen den Punkten P E1, 1, 2 und P E2 aufspannt, eine St¨ orspannnung UStind induziert, wenn die zeitli1 ¨ che Anderung des magnetischen Flusses ∂Φ ∂t ungleich Null ist. Selbst bei ∂Φ2 ge¨offneter Erdschleife kann infolge ∂t 6= 0 eine weitere St¨orspannung zwischen den Signalleitungen (1 − 2) und (1′ − 2′ ) induziert werden. Die ist eine Gegentaktst¨ orung.

Zur Unterscheidung von Gleich- und Gegentaktst¨orungen ist anzumerken: Leitungswiderstände und Leitungsinduktivitäten der Zweidrahtleitung

Quelle 1'

ISt 2

ZQ 1

ISt 1

Empfänger 2'

UESt

dΦ2 dt

ZE 2

Erdschleife dΦ1 dt I PE1-2 . Z kopp

Schutzerdung der Quelle

PE1

PE2

I PE1-2 UStind

RSL

L SL

= Z kopp Koppel-Impedanz der Schutzerdung

Schutzerdung des Empfängers

Abb. 15.15. Erdschleife infolge Mehrfacherdung

490

• •

15 Grundlagen der Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung

Gleichtaktst¨ orungen (common mode noise voltage) Es handelt sich dabei um St¨ orspannungen zwischen den Signalleitungen und Masse (zur mathematischen Definition siehe Gl. (7.16)). Gegentaktst¨ orungen (differential mode noise voltage) Diese St¨orspannungen treten zwischen den Signalleitungen auf.

Gegenmaßnahmen gegen Erdschleifen • •

•

Auftrennen der Erdschleife, d. h. nur einseitige Erdung. Vorsicht: Dies widerspricht oft den g¨ ultigen Sicherheitsbestimmungen, die in jedem Fall einzuhalten sind! Trenntransformator in die Signalleitung einbauen. Beide eben genannten Maßnahmen verlieren bei hohen Frequenzen wegen der stets vorhandenen Streukapazit¨ aten, die dann zunehmend als Kurzschluß wirken, an Wirkung. Potentialtrennung durch Optokoppler. Diese wirkungsvolle Maßnahme wird sehr oft bei speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS) eingesetzt.

Gegenmaßnahmen gegen induktive Gegentaktst¨ orungen Gegen induktive Einkopplungen zwischen den Signalleitungen (Φ2 in Abb. 15.15) helfen verdrillte Signalleitungen (Twisted-Pair-Leitungen). Gegenmaßnahmen gegen Gleichtaktst¨ orungen Die Verwendung von Differenzverst¨ arkern, insbesondere von Instrumentenverst¨arkern (Kap. 7.2.2), unterdr¨ uckt Gleichtaktst¨orungen weitgehend. Voraussetzung ist allerdings, daß Signaleing¨ ange beim Empf¨anger erd- bzw. massefrei angelegt werden k¨ onnen. Weiterhin muß die Eingangsimpedanz des Differenzverst¨arkers groß gegen¨ uber der Innenimpedanz der Quelle sein. 15.2.4 Serielle Schnittstellen Serielle Schnittstellen, wie z. B. die Standardschnittstellen RS232 bzw. RS422 geh¨oren zur Standardhardware-Ausstattung eines jeden Rechners. Sie erlau¨ ben den einfachen Anschluß von Peripherieger¨aten an diesen Rechner. Uber die serielle Schnittstelle k¨ onnen sowohl Befehle zur Ger¨atesteuerung abgesetzt werden als auch Daten vom Meßger¨ at in den Rechner transferiert werden. Infolge der seriellen Daten¨ ubertragung ist die Daten¨ ubertragungsrate jedoch relativ niedrig. Die Verwendung serieller Schnittstellen in der Meßdatenerfassung wird in Kap. 16.1 bis 16.5 beschrieben.

15.3 Grundtypen des Datentransfers

491

15.2.5 Parallelbussysteme Ein Bussystem ist ein aus parallelen Leitungen bestehender elektrischer Verbindungsweg f¨ ur digitale bzw. auch analoge Daten mit fest vereinbarten ¨ Hardware-Komponenten, Signalpegeln und Ubertragungsprotokollen. Im Vergleich zu seriellen Schnittstellen sind Parallelbussysteme aufgrund der parallelen Daten¨ ubertragung wesentlich leistungsf¨ ahiger, speziell in bezug auf die Datentransferrate. Sie erfordern jedoch den Einbau einer dedizierten Schnittstellenkarte, auf der ein entsprechender Schnittstellen-Controller arbeitet. Der IEC-Bus ist ein solches Bussystem, das mittlerweile auf dem Gebiet der rechnergesteuerten Meßdatenerfassung zum Industriestandard avanciert ist. Nachdem inzwischen auch viele autonom arbeitende Meßger¨ate, wie z. B. DigitalMultimeter und Spektrumanalysatoren, mit diesem Standard-Interface ausgestattet werden, lassen sich solche Ger¨ ate mittels eines Rechners auf elegante Weise steuern bzw. zu kompletten Meßsystemen zusammenschalten. Dabei kann die gesamte Bedienung der Meßger¨ ate vom Rechner aus erfolgen (s. Kap. 16.6). 15.2.6 Datenlogger Eine weitere M¨oglichkeit der Anbindung von Prozessen an Rechner sind sog. Datenlogger. Diese nehmen vor Ort Prozeßdaten auf und speichern diese, um sie nach anschließendem Transport des Ger¨ ates via serieller oder paralleler Schnittstelle (z.B. IEC-Bus) offline dem Rechner zu u ¨bergeben. Dieser Datentransport kann auch mit Hilfe eines Modems u ¨ber das ¨offentliche Telefonnetz oder via Internet geschehen.

15.3 Grundtypen des Datentransfers Der Datentransfer zwischen den peripheren Meßger¨aten und dem Rechner kann auf folgende Arten erfolgen: 1. Abfrage (Polling) Bei dieser Kommunikationsmethode startet der Rechner die Datenerfassung in einem Peripherieger¨ at und wartet anschließend auf dessen Fertigmeldung. Danach k¨ onnen die Daten vom Rechner u ¨bernommen werden. Vorteil: - einfach zu implementieren Nachteil: - Rechner ist bis zur Fertigmeldung blockiert 2. Interrupt-Methode Der Rechner arbeitet nach dem Starten des Peripherieger¨ates im gerade aktuellen Programm weiter, bis das Ger¨ at als Fertigmeldung ein InterruptSignal liefert. Das Interrupt-Signal bewirkt die von der Interrupt-ServiceRoutine gesteuerte Daten¨ ubernahme. Danach erfolgt ein R¨ ucksprung an

492

15 Grundlagen der Rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung

¨ das unterbrochene Programm. Ublicherweise werden f¨ ur verschiedene Interrupts gestufte Priorit¨ atsebenen festgelegt. Vorteile: - unverz¨ ugliche Reaktion auf Triggerereignisse - im Gegensatz zum Polling keine Blockierung des Steuerrechners zwischen den Einlesephasen Nachteil: - Betriebssystem muß echtzeitf¨ ahig sein bzw. zumindest die einwandfreie Interruptverarbeitung gestatten 3. Direct Memory Access (DMA) Bei dieser Methode wird der Datentransfer von einem sog. DMA-Controller ohne Beteiligung der CPU (abgesehen von der Initialisierung des Transfers) gesteuert. Die Daten gelangen dabei direkt in den Arbeitsspeicher des Rechners. Vorteil:

- schneller Datentransfer

¨ Nachteile: - keine zwischenzeitliche Uberpr¨ ufung der Daten - gr¨ oßerer Hardwareaufwand (z. B. Speicher im Peripherieger¨ at). - direkte Verbindung zum Rechnerbus erforderlich

16 Meßdatenerfassung im Labor

Bei der computergesteuerten Meßdatenerfassung nutzt man im wesentlichen zwei M¨oglichkeiten, digitale Signale zu u ¨bertragen, n¨amlich u ¨ber Punkt-zuPunkt-Verbindungen oder u ¨ber Bussysteme. Bei den Punkt-zu-PunktVerbindungen sind zwei Teilnehmer, beispielsweise ein Meßger¨at und ein Steuerrechner, u ¨ber eine bidirektionale Datenleitung verbunden. An Bussysteme hingegen lassen sich stets mehrere Teilnehmer gleichzeitig anschließen. Bei den ¨ Bussystemen wird je nach Form der Ubertragung, die bitseriell oder bitparallel erfolgen kann, zwischen dem seriellen Bus und dem Parallelbus unterschieden. ¨ Tabelle 16.1 soll einen Uberblick u ¨ber die wichtigsten im Rahmen der computerunterst¨ utzten Meßdatenerfassung und Meßwertverarbeitung genutzten Standardschnittstellen geben. Auf die in der Meßtechnik am h¨aufigsten verwendeten Schnittstellen, z.B. die serielle RS232-Schnittstelle oder die parallele IEC-Bus-Schnittstelle, wird in den folgenden Abschnitten n¨aher eingegangen. Weiterhin wird der derzeitige Stand der Feldbussysteme besprochen. Tabelle 16.1: Computer-Schnittstellen in der Meßdatenerfassung RS232

Punkt-zu-Punkt-Verbindung, serielle Daten¨ ubertragung mit 19200 Bit/s bei max. 20 m, d. h. max. ca. 2000 Zeichen/s (in der Praxis jedoch wird die RS232C-Schnittstelle abweichend von ¨ der Norm auch mit h¨ oherer Ubertragungsrate (38400 Bit/s) bzw. ¨ f¨ ur l¨ angere Ubertragungswege genutzt), Parit¨ atspr¨ ufung m¨ oglich, Synchronisation von Sender und Empf¨ anger mittels Soft- oder Hardware-Handshake.

RS422 (RS485)

Serielle Schnittstelle, differentielle Signal¨ ubertragung und damit ¨ h¨ ohere St¨ orsicherheit, max. Ubertragungsdistanz: 1200 m, bis 10 (32 bei RS485) Teilnehmer m¨ oglich, Daten¨ ubertragungsrate bis zu 12 MBit/s (siehe auch Tab. 16.6).

USB

(Universal Serial Bus) serielle Busverbindung, Daten¨ ubertragung mit bis zu 480 MBit/s bei einer maximalen Distanz von 5 m, die durch Einf¨ ugen von Repeatern auf bis zu 30 m erweitert werden kann; max. 127 Teilnehmer.

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_16, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

494

16 Meßdatenerfassung im Labor

IEC-Bus

(auch IEEE488, HP-IB bzw. GPIB) Bussystem mit einem Controller (im Normalfall der Steuerrechner), Talkern und Listenern, max. 15 Ger¨ ate anschließbar (29 bei Verwendung eines Bus¨ Expanders), Ubertragungsdistanzen: von Ger¨ at zu Ger¨ at max. 2 m, total max. 20 m, Daten¨ ubertragungsrate: typ. 500 kByte/s, max. 1 MByte/s.

VME-Bus

(VERSA Module Europe) Mikrorechner-Bus f¨ ur Datenwortbreiten bis zu 32 Bit, der auf u ¨ blichen Europakarten-Steckverbindern basiert, Daten¨ ubertragungsrate: max. 24 MByte/s.

VXI-Bus

(VME Bus Extensions for Instrumentation) Um den Steckverbinder P3 erweiterter VME-Bus mit Versorgungsleitungen, Taktleitungen (bis 100 MHz), Trigger-Leitungen und Leitungen f¨ ur lokale Teilbusse. Die Steuerungs- und Kommandostruktur orientiert sich am IEC-Bus-Standard, d. h. eine Mischung von VME-, VXI- und IEC-Bus-Modulen in einem Meßsystem ist m¨ oglich, Daten¨ ubertragungsrate: max. 40 MByte/s.

PXI-Bus

(PCI Extension for Instrumentation) auf dem PCI-Bus (PCI=Peripheral Component Interconnect) basierendes Bussystem mit bis zu 64 Bit Datenbreite, Datentransferrate bis zu 528 MByte/s, max. 31 Ger¨ ate anschließbar, Triggerleitungen und Leitungen f¨ ur lokalen Bus analog zum VXI-Bus vorhanden.

CAMAC

Computer Application for Measurement and Control (Euratom 1969). Ein Bussystem, welches zun¨ achst f¨ ur die Belange der europ¨ aischen Kernforschungseinrichtungen entwickelt wurde, jedoch auch f¨ ur andere Prozeßautomatisierungsaufgaben eingesetzt wird. ¨ Fire Wire Standard-PC-Schnittstelle; Ubertragungsraten bis zu 400 MBit/s; (i.Link, max. 63 Teilnehmer; bidirektionaler Datenfluß; max. Entfernung IEEE 1394) zwischen 2 Teilnehmern: 4, 5 m; max. Gesamtl¨ ange: 72 m; paketorientierte Daten¨ ubertragung; flexibles 6-adriges Kabel, davon 4 Datenleitungen und 2 f¨ ur Stromversorgung. Der neue Standard ¨ IEEE 1394b wird Ubertragungsraten von bis zu 3, 2 GBit/s erlauben.

Alle diese Digital-Schnittstellen bestehen aus normgem¨aß abgestimmten Verdrahtungs- und Logiksystemen, die den Ablauf der Datenverbindungen steuern. Diese m¨ ussen in jedem einzelnen Ger¨ at, welches an die jeweilige Schnittstelle angeschlossen ist, implementiert sein. Ein wesentliches Ziel ist es dabei, die Ger¨ate verschiedener Hersteller mittels solcher Schnittstellen st¨orungsfrei zu verbinden. Mit Hilfe von sog. Schnittstellenwandlern lassen sich Standardschnittstellen ineinander konvertieren. So gibt es beispielsweise standardisierte Schnittstellenwandler, die serielle RS232-Schnittstellensignale in IEC-BusSchnittstellensignale umsetzen.

16.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle)

495

16.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle) F¨ ur die serielle Daten¨ ubermittlung stehen mehrere Standardschnittstellen zur Verf¨ ugung, deren Normung von zwei Beh¨ orden, n¨amlich dem CCITT = Comit´e Consultatif International T´el´egraphique et T´el´ephonique (Internationales Standardisierungsgremium im Fernmeldebereich) sowie der EIA = Electronic Industry Association (Nationales Normungsinstitut der USA), vorgenommen wurde. Die im Rahmen der Meßdatenerfassung interessanten seriellen Schnittstellen sind: • • • •

CCITT-Empfehlung V.24 entspricht der US-Norm EIA RS232C CCITT-Empfehlung V.11 entspricht der US-Norm EIA RS422A CCITT-Empfehlung V.10 entspricht der US-Norm EIA RS423A Strom-Schnittstelle; auch als Linienstrom-, 20 mA-, Current-Loopoder TTY-Schnittstelle bezeichnet.

¨ Die maximale Leitungsl¨ ange betr¨ agt 1000 m und die h¨ochste Ubertragungsrate 9,6 kBit/s. Die ebenfalls genormte RS485-Schnittstelle entspricht der RS422ASchnittstelle mit dem Unterschied, daß 32 anstatt 10 Teilnehmer angeschlossen werden k¨onnen. Die Unterschiede bez¨ uglich der beiden wichtigsten Schnittstellen, der RS232C und der RS422A, sind in Tab. 16.6 dargestellt. Urspr¨ unglich wurde die RS232C-Schnittstelle f¨ ur Daten¨ ubertragungseinrichtungen, den Modems (Modulator/Demodulator), zur Daten¨ ubermittlung auf Telefonleitungen vorgesehen. Heute dient sie vorwiegend der Kopplung von Digitalrechnern mit Peripherieger¨ aten. Die US-Norm RS232C (Recommended Standard Number 232, Revision C) beschreibt sowohl die elektrischen als auch die funktionellen Eigenschaften der Schnittstelle. Die Nutzung der RS232CSchnittstelle im Rahmen von Meßdatenerfassungsaufgaben bietet vor allem einen Kostenvorteil, da diese Schnittstelle in den verwendeten Digitalrechnern in der Regel vorhanden ist. Als Nachteil muß die geringe Daten¨ ubertragungsrate angef¨ uhrt werden, die sich insbesondere beim Transfer gr¨oßerer Datenmengen, z. B. den oft umfangreichen Datens¨atzen von DigitalspeicherOszilloskopen, negativ bemerkbar macht. ¨ 16.1.1 Ubertragungsmedien Zum Aufbau von seriellen Daten¨ ubertragungsstrecken verwendet man vorwiegend verdrillte Leitungspaare (Twisted-Pair-Leitungen), Koaxialkabel oder auch Lichtwellenleiter. W¨ ahrend die kostenintensiven Lichtwellenleiter in be¨ zug auf Bandbreite und u uckbare Distanz ausgezeichnete Ubertragungs¨berbr¨ m¨ oglichkeiten bieten, beschr¨ anken sich die verdrillten Leitungen auf m¨aßige Bandbreite und Entfernung. Sie sind daf¨ ur aber wesentlich preisg¨ unstiger. ¨ Die Koaxialkabel stellen bei der Nutzung der Ubertragung im Basisband eine Kompromißl¨osung dar (Tab. 16.2).

496

16 Meßdatenerfassung im Labor ¨ Tabelle 16.2. Ubertragungsmedien in der Meßdatenerfassung

¨ Ubertragungsu uckbare St¨ oranf¨ alligkeit Kosten ¨ berbr¨ bandbreite Distanz Koaxialkabel (Basisband) 10 MBit/s < 200 m + + ++ + verdrillte Leitungspaare 1 GBit/s < 20 m (Twisted-Pair-Leitungen) + − −/+ + + + Lichtwellenleiter 40 GBit/s km-Bereich (LWL) + + + ++ + + + − − −

16.1.2 Leitungsbelegung und Steckerverbindung der RS232C-Schnittstelle Abbildung 16.1b zeigt die Belegung des im allgemeinen verwendeten 25poligen Subminiatur-Steckers vom Typ Cannon 7529 mit den wichtigsten Signalen. In der Praxis werden RS232C-Schnittstellen f¨ ur Rechnerverbindungen in der in Abb. 16.1a gezeigten Konfiguration verwendet, die auch von den meisten seriellen Interface-Bausteinen unterst¨ utzt wird. Zu dieser Konfiguration geh¨oren die in Tab. 16.3 angef¨ uhrten Signalleitungen. Die RS232C-Schnittstellenleitungen lassen sich nach ihrer Funktion in die folgenden Gruppen untergliedern, deren wichtigste Vertreter im folgenden kurz erl¨autert werden: •

Betriebserde und R¨ uckleiter – PG (Protective Ground) Schutzerde (Stift 1): Die Schutzerde wird mit dem Geh¨ ause und dem Schutzleiter der beiden ¨ gekoppelten Ubertragungseinrichtungen verbunden. Betriebserde und Schutzerde m¨ ussen voneinander isoliert sein. – SG (Signal Ground) Betriebserde (Stift 7): Die Betriebs- oder Signalerde liegt auf einem Spannungspegel von 0 V. Tabelle 16.3. Leitungen der RS232C-Schnittstelle

Leitungstyp

Bedeutung und Leitungsnummer

Masse und R¨ uckleiter Schutzerde (PG): 1; Signalerde (SG): 7 Datenleitungen Sendedaten (TxD): 2; Empfangsdaten (RxD): 3 Steuerleitungen Sendeteil einschalten (RTS): 4; DEE betriebsbereit (DTR): 20 Meldeleitungen Sendebereitschaft (CTS): 5; Betriebsbereitschaft (DSR): 6; Rufanzeige (RI): 22; Empfangssignalpegel (DCD): 8 ¨ (DCE): 15; Taktleitungen Sendeschrittakt von DUE ¨ (DTE): 24; Sendeschrittakt zur DUE ¨ (DCE): 17 Empfangsschrittakt von DUE

16.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle)

497

(1) Schutzerde, Protective Ground (PG) (2) Sendedaten, Transmitted Data (TxD) (3) Empfangsdaten, Received Data (RxD) (4) Sendeteil einschalten, Request To Send (RTS) (5) Sendebereitschaft, Clear To Send (CTS) (6) Betriebsbereitschaft, Data Set Ready (DSR) Rechner (DEE =DTE)

(7) Betriebserde, Signal-GND (SG) (8) Empfangssignalpegel, Data Carrier Detect (DCD) (20) DEE betriebsbereit, Data Terminal Ready (DTR)

Peripheriegerät (DÜE =DCE) z. B. Modem

(15) Sendeschrittakt von DÜE (17) Empfangsschrittakt von DÜE (22) Rufanzeige, Ring Indicator (RI ) (24) Sendeschrittakt zur DÜE

a)

Sendeschrittakt zur DÜE Rufanzeige, Ring Indicator (RI) DEE betriebsbereit, Data Terminal Ready (DTR) Empfangsschrittakt von DÜE Sendeschrittakt von DÜE

13 24 22 20 87 6 17 54 15 32 1

Empfangssignalpegel, Data Carrier Detect (DCD) Betriebserde, Signal-GND (SG) Betriebsbereitschaft, Data Set Ready (DSR) Sendebereitschaft, Clear To Send (CTS) Sendeteil einschalten, Request To Send (RTS) Empfangsdaten, Received Data (RxD) Sendedaten, Transmitted Data (TxD) Schutzerde, Protective Ground (PG)

b) Abb. 16.1. a) Leitungsbelegung bei der RS232C-Schnittstelle (die Zahlen beziehen sich auf den entsprechenden Stift des 25-poligen Steckers (DEE = Datenendeinrich¨ = Daten¨ tung (= DTE: Data Terminal Equipment), DUE ubertragungseinrichtung (= DCE: Data Communication Equipment)), b) 25-poliger Standard-RS232-Stecker vom Typ Cannon 7529

•

Datenleitungen – TxD (Transmit Data) Sendedaten (Stift 2): ¨ Uber diese Leitung werden der Empfangsstation die zu u ¨bertragenden digitalen Daten als serieller Bitstrom zugef¨ uhrt. Die Daten¨ ubertragung ist aber nur dann m¨ oglich, wenn sich die Steuerleitungen RTS und DTR (Stifte 4 und 20) sowie die beiden Meldeleitungen CTS und DSR (Stifte

498

•

•

•

16 Meßdatenerfassung im Labor

5 und 6) im EIN-Zustand befinden. In den Sendepausen (idle state = Ruhezustand) befindet sich die TxD-Leitung im Zustand log. ′ 1′ . – RxD (Receive Data) Empfangsdaten (Stift 3): ¨ Uber diese Leitung empf¨ angt die DEE den ihr zugef¨ uhrten seriellen Bitstrom. Steuerleitungen – RTS (Request to Send) Sendeteil einschalten (Stift 4): Durch Setzen des RTS-Signals zeigt die Datenendeinrichtung (DEE), daß sie Daten u ubertragungseinrichtung ¨bertragen will und die Daten¨ ¨ (DUE) diese u ¨bernehmen soll. Bei Verwendung eines Modems dient die RTS-Leitung der Steuerung des Modem-Sendeteils. Befindet sich die Leitung im EIN-Zustand, schaltet das Modem in den Sendezustand und verbleibt dort solange, bis die Leitung wieder in den AUS-Zustand wechselt. Die RTS-Leitung kann auch, z. B. bei einer direkten RechnerRechner-Kopplung, zusammen mit der CTS-Leitung als HandshakeLeitung (Abb. 16.7) benutzt werden (RTS/CTS-HardwareProtokoll). – DTR (Data Terminal Ready) DEE betriebsbereit (Stift 20): Der EIN-Zustand auf dieser Leitung signalisiert dem Modem, daß die DEE eingeschaltet und betriebsbereit ist. Geht die DTR-Leitung in ¨ den AUS-Zustand u ab¨ber, wird das Modem vom Ubertragungskanal geschaltet. Meldeleitungen – CTS (Clear to Send) Sendebereitschaft (Stift 5): ¨ Uber diese Leitung zeigt das Modem der DEE seine Bereitschaft (EIN¨ Zustand) an, Daten von der DEE zu u ¨bernehmen und u ¨ber den Ubertragungskanal zu senden. – DSR (Data Set Ready) Betriebsbereitschaft (Stift 6): Auf dieser Leitung signalisiert das Modem der DEE durch den EIN¨ Zustand, daß es mit dem Ubertragungskanal verbunden und betriebsbereit ist. – DCD (Data Carrier Detect) Empfangssignalpegel (Stift 8): Der EIN-Zustand auf dieser Leitung zeigt der DEE an, daß der Emp¨ fangssignalpegel des Ubertragungskanals innerhalb bestimmter Toleranzgrenzen liegt. Wird die Kopplung zweier Ger¨ate durch eine direkte Kabelverbindung (ohne Zwischenschalten eines Modems und eines ¨ Ubertragungskanals) vorgenommen, zeigt die DCD-Leitung nach Aktivierung der beiden Schnittstellen an, ob die Kabelverbindung hergestellt ist oder nicht. Taktleitungen F¨ ur die synchrone Daten¨ ubertragung stehen folgende Taktleitungen zur Verf¨ ugung: ¨ – Transmitter Signal Element Timing, Sendeschrittakt von der DUE (Stift 15): Das Modem liefert auf dieser Leitung das Taktsignal an die DEE, mit dem die von der DEE kommenden Sendedaten (TxD) getaktet werden.

16.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle)

499

¨ – Receiver Signal Element Timing, Empfangsschrittakt von der DUE (Stift 17): Das Modem liefert auf dieser Leitung das Taktsignal an die DEE, mit dem die vom Modem empfangenen Daten in Richtung DEE u ¨ber die Leitung RxD getaktet werden. ¨ (Stift – Transmitter Signal Element Timing, Sendeschrittakt zur DUE 24): Es handelt sich hierbei um das Taktsignal, mit dem die Sendedaten (TxD) aus der DEE in Richtung Modem getaktet werden. 16.1.3 Pegelfestlegung und deren logische Zuordnung Alle Signale der RS232C-Schnittstelle sind bipolare Spannungen, die u ¨blicherweise im Bereich von -15 V ... +15 V liegen. Der Bereich von -3 V ... +3 V ist ¨ der Ubergangsbereich, in dem der Signalzustand nicht definiert ist. 16.1.4 Logikdefinition f¨ ur Datenleitungen Ist die Spannung eines Signals auf einer Datenleitung (RxD, TxD) gegen¨ uber der Signalerde (SG) betragsm¨ aßig gr¨ oßer als 3 V und • •

negativ, so herrscht der Signalzustand log. ′ 1′ , auch als MARK (marking condition) oder Ruhezustand (idle state) bezeichnet. positiv, so herrscht der Signalzustand log. ′ 0′ , auch als SPACE (spacing condition) bezeichnet (Abb. 16.2).

+u + 15V log. '0' (SPACE) EIN-Zustand + 3V 0 - 3V

Übergangsbereich (undefiniert)

Potential von SG

t

log. '1' (MARK) AUS-Zustand Ruhezustand = idle state - 15V -u Abb. 16.2. Pegeldefinition bei der RS232C-Schnittstelle

500

16 Meßdatenerfassung im Labor

16.1.5 Logikdefinition f¨ ur Steuer- und Meldeleitungen Ist die Spannung eines Signals auf einer Steuer- bzw. Meldeleitung gegen¨ uber der Signalerde (SG) im Betrag gr¨ oßer als 3 V und • •

negativ, so herrscht der AUS-Zustand. positiv, so herrscht der EIN-Zustand.

16.1.6 Synchronisierung Die Synchronisierung zwischen Sender und Empf¨anger sorgt bei der seriellen Daten¨ ubertragung daf¨ ur, daß die Taktgeschwindigkeiten auf der Sende- und Empfangsseite u ¨bereinstimmen und auch der Anfang und das Ende des in Form eines seriellen Bitstromes u ¨bertragenen Datenwortes vom Empf¨anger richtig erkannt werden. Dabei unterscheidet man zwischen synchroner und ¨ asynchroner Ubertragung: ¨ Asynchrone Ubertragung (Start-/Stop-Verfahren) Da bei der asynchronen Daten¨ ubertragung die Synchroninformation jedem u ugt wird, ben¨ otigt man keine zus¨atzlichen Steuer¨bertragenen Zeichen beigef¨ oder Taktleitungen. Der entsprechende asynchrone Zeichenrahmen setzt sich aus der in Abb. 16.3 gezeigten Bitfolge zusammen. Zwecks Fehlererkennung kann zus¨atzlich zu den eigentlichen Datenbits sowie dem Start- und dem Stopbit ein Parit¨atsbit u ¨bertragen werden. Dazu wird die im Zeichenrahmen befindliche Anzahl der logischen ′ 1′ auf eine gerade (even parity) bzw. eine un¨ gerade Anzahl (odd parity) aufgef¨ ullt. Dem Zeichenrahmen wird in der DUE und DEE durch Festlegen der gemeinsamen Baudrate das gleiche Zeitraster zugeordnet. Bei der Abtastung der Bits wird als Abtastrate ein Vielfaches ¨ der Ubertragungsgeschwindigkeit gew¨ ahlt (Faktor 16, 32 oder 64). F¨ ur den asynchronen Betrieb ben¨ otigt man h¨ ochstens 9 Leitungen (Pins 1-8 und 20), da die Taktleitungen (15, 17 und 24) entfallen.

Zeichenrahmen 1

Pause

z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6

Pause

TS 0 ASCII-Zeichen Q Startbit

Paritätsbit

1, 1,5 oder 2 Stopbits

Abb. 16.3. Asynchroner Zeichenrahmen, bestehend aus: 1 Startbit, 5 ... 8 Datenbits (das LSB wird zuerst gesendet), evtl. 1 Parit¨ atsbit, 1, 1.5 oder 2 Stopbits

16.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle)

501

¨ Synchrone Ubertragung Bei der synchronen Daten¨ ubertragung werden mehrere Datenw¨orter zu einem Datenblock zusammengefaßt und flankiert von Synchronzeichen u ¨bertragen (Abb. 16.4). Dabei wird in der Regel das Zeichen ′ SYN′ = 16 H (synchronous idle) zweimal zu Beginn eines jeden Blockes gesendet, w¨ahrend das Zeichen ′ ETB′ = 17 H (end of transmission block) das Ende eines Blockes markiert. Am Ende einer Sendung steht das Zeichen ′ EOT′ = 4 H (end of transmission). Zur Taktsynchronisierung wird das Taktsignal des Senders (Pin 24) genutzt.

. SYN SYN

Daten

ETB Pause SYN SYN ......

Abb. 16.4. Synchroner Zeichenrahmen

16.1.7 Handshake-Verfahren (Quittierungsverfahren) Zur Kontrolle der Daten¨ ubertragung, z. B. um die Empfangsbereitschaft des Empf¨angers zu signalisieren, verwendet man die im folgenden erl¨auterten Handshake-Verfahren, die sowohl in Software als auch in Hardware implementiert sein k¨onnen. Dies wird anhand einer DTE-DTE-Strecke, d. h. einer Rechner-Rechner-Verbindung, erl¨ autert. Die beiden DTEs werden mit einem sog. Nullmodemkabel verbunden. Nullmodemkabel sind dadurch gekennzeichnet, daß die Leitungspaare (2,3), (4,5) und (6,20) gekreuzt sind. F¨ ur den Fall einer DTE-DCE-Strecke, d. h. einer Rechner-Modem-Verbindung, wird ein sog. Modemkabel verwendet, das nur direkt durchverbundene (keine gekreuzten) Leitungen aufweist [20]. 16.1.8 Software-Handshaking Beim Software-Handshaking werden bestimmte Steuerzeichen in den seriellen Bitstrom integriert. Die beiden gebr¨ auchlichsten Formen des SoftwareHandshakings sind: XON/XOFF-Protokoll Zu Beginn der Empfangsbereitschaft sendet der Empf¨anger ein XON-Zeichen (i. allg. ′ DC1′ = 11 H). Daraufhin u ¨bermittelt der Sender Daten, bis er vom Empf¨anger durch ein XOFF-Zeichen (i. allg. ′ DC3′ = 13 H) aufgefordert wird, den Datenstrom anzuhalten. Danach wartet der Sender auf das n¨achste XONZeichen des Empf¨ angers, bevor er wieder Daten sendet. Die entsprechende Verdrahtung der Leitungen, die in Abb. 16.5 gezeigt wird, ist bez¨ uglich der ben¨otigten Leitungen minimal (es werden nur drei Leitungen ben¨otigt).

502

16 Meßdatenerfassung im Labor

DTE DTE 2 2 TxD TxD 3 RxD RxD 3 4 4 RTS RTS 5 5 CTS CTS DSR 6 6 DSR 20 20 DTR DTR 8 8 DCD DCD 7 SG SG 7 Abb. 16.5. Leitungskonfiguration f¨ ur das XON/XOFF-Protokoll

ETX/ACK-Protokoll Bei diesem Protokoll werden Datenpakete definierter L¨ange u ¨bertragen, wobei ¨ ein Uberlauf des Empf¨ angerspeichers prinzipiell vermieden werden muß. Bei Empfangsbereitschaft wird die DTR-Leitung vom Empf¨anger auf log. ′ 1′ -Pegel gesetzt. Gleichzeitig wird vom Empf¨ anger das Steuerzeichen ′ ACK′ = 06 H gesendet, woraufhin der Sender das Datenpaket an den Empf¨anger schickt und mit ′ ETX′ = 03 H abschließt. Nachdem der Empf¨anger die Daten verarbeitet hat, zeigt er seine erneute Empfangsbereitschaft mit ′ ACK′ = 06 H an. Die Leitungskonfiguration, die diesem Protokoll zugrunde liegt, wird in Abb. 16.6 gezeigt. DTE TxD RxD RTS CTS DSR DTR DCD SG

2 3

6 20

4 5 8

7

DTE 2 TxD 3 RxD 4 RTS 5 CTS 6 DSR 20 DTR 8 DCD 7 SG

Abb. 16.6. Leitungskonfiguration f¨ ur das ETX/ACK-Protokoll

16.1.9 Hardware-Handshaking Beim Hardware-Handshaking wird die Kontrolle der Daten¨ ubertragung von der Schnittstellenhardware u ur das Leitungspaar RTS/CTS ¨bernommen, die daf¨ zur Verf¨ ugung stellt. Beim Mehrdraht-Handshake mit RTS/CTS-Protokoll (Abb. 16.7) zeigt der empfangsbereite Partner seine Empfangsbereitschaft an, indem er seine RTS-Leitung in den EIN-Zustand versetzt. Die Leitung wird wieder in den AUS-Zustand zur¨ uckversetzt, wenn er keine Daten mehr aufnehmen kann, etwa weil der Empfangspuffer u ¨berzulaufen droht. Der jeweilige Sender erkennt dies anhand des Zustandes (EIN/AUS) seiner CTSLeitung. Man beachte die gekreuzten Leitungspaare des in Abb. 16.7 verwendeten Nullmodemkabels.

16.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle)

DTE TxD RxD RTS CTS DSR DTR DCD SG

503

DTE 2 TxD 3 RxD 4 RTS 5 CTS 6 6 DSR 20 20 DTR 8 8 DCD 7 7 SG 2 3 4 5

Abb. 16.7. Leitungskonfiguration f¨ ur Hardware-Handshake

16.1.10 Hardware-Realisierung von seriellen Schnittstellen Die hardwarem¨aßige Realisierung von seriellen Schnittstellen erfolgt i. a. mit Hilfe von Standardschnittstellenbausteinen. Ein solcher Schnittstellenbaustein hat zun¨achst die wichtige Aufgabe, ankommende serielle Datenstr¨ome in parallele Datenw¨orter zu wandeln und an den Parallelbus des Rechners zu u ¨berParallel-Bus (interner Rechner-Bus)

Daten

Transmitter

Receiver

Serieller Ausgang (TxD)

Serieller Eingang (RxD) Empfangstakt

Steuersignale

Taktsignal

.....

gemeinsame Taktleitung Sende/EmpfangsSteuerung

Zustandskontrolle

Taktgenerierung Synchronisierung

Abb. 16.8. Prinzipschaltbild eines Universal Asynchronous Receiver Transmitters (UART)

504

16 Meßdatenerfassung im Labor

geben bzw. umgekehrt von dort kommende parallele Datenw¨orter in serielle Datenstr¨ome zu wandeln und an den seriellen Ausgang der Schnittstelle zu senden. Das Prinzipschaltbild eines solchen Schnittstellenbausteins, der auch als UART (Universal Asynchronous Receiver Transmitter) bezeichnet wird, ist in Abb. 16.8 zu sehen. Daneben gibt es auch Bausteinvarianten, die zus¨atzlich die synchrone Daten¨ ubertragung erlauben. Es handelt sich dabei um sog. USARTs (Universal Synchronous and Asynchronous Receiver Transmitter). Als Beispiel f¨ ur einen in der Praxis oft eingesetzten USART soll hier der

D7 ... D0

Datenbuspuffer

Sendepuffer

Reset CLK C/D RD WR

LeseSchreibSteuerlogik

Sendesteuerung

TxRDY TxE TxC

Modemsteuerung

Empfangspuffer

RxD

Empfangssteuerung

RxRDY RxC Syndet

DTR RTS

a)

b)

CS DSR CTS

interner Datenbus

D2 D3 RxD Gnd D4 D5 D6 D7 TxC WR CS C/D RD RxRDY

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

8251

28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15

TxD

D1 D0 Vcc RxC DTR RTS DSR Reset CLK TxD TxEmpty CTS Syndet TxRDY

Abb. 16.9. Universal Synchronous Asynchronous Receiver Transmitter USART 8251: a) Blockschaltbild, b) Pinbelegung

16.1 Die serielle RS232C-Schnittstelle (V.24-Schnittstelle)

505

Chip 8251 der Firma Intel besprochen werden. Dieser in NMOS-Technologie gefertigte Peripheriebaustein wird als Parallel-Seriell-Schnittstellenwandler u. a. auf Boards der 8086-Mikroprozessor-Familie verwendet. Seine Ein- und Ausg¨ange sind TTL-kompatibel. Das Blockschaltbild des 8251 sowie die Pinbelegung seines 28-Pin-Standardgeh¨ auses werden in Abb. 16.9 gezeigt. Dieser Baustein erm¨oglicht die folgenden Betriebsarten: Tabelle 16.4. Signale des Bausteins USART 8251 Bezeichnung Bedeutung/Aufgaben der Signalleitung ProzessorSchnittstelle: D0 ... D7 RD WR C/D Reset CLK CS

bidirektionaler Datenbus; es werden auch Statusinformationen, Steuer- und Kommandow¨ orter u ¨ bertragen Lesesignal Schreibsignal Auswahl des Steuerregisters (Control/Data): C/D = 0 : Daten; C/D = 1 : Kommando, Status R¨ ucksetzeingang TTL-Takteingang Bausteinauswahl-Eingang (Chip Select)

Serielle DatenSchnittstelle: RxD T xD

Empfangsdaten Sendedaten

Modemsteuerung: RT S CT S DT R DSR

Sendeaufforderung (Request to Send) Sendebereitschaft (Clear to Send) Datenstation bereit (Data Terminal Ready) ¨ bereit (Data Set Ready) DUE

Sendesteuerung: T xRDY T xE T xC

Sender bereit (Transmitter Ready) Sendepuffer leer (Transmitter Empty) Sendetakt (Transmitter Clock)

Empfangssteuerung: RxRDY RxC Syndet

Empf¨ anger bereit (Receiver Ready) Empfangstakt (Receiver Clock) Synchronisationserkennung (SYNC Detect) f¨ ur Synchronbetrieb

506

•

•

• •

16 Meßdatenerfassung im Labor

Asynchronbetrieb: 5 bis 8 Bit Wortl¨ ange, Baudratenfaktor (1, 16, 64), programmierbar 1, 1.5 oder 2 Stop-Bits. Die Synchronisierung erfolgt durch die fallende Flanke des Startbits. Synchronbetrieb: 5 bis 8 Bit Wortl¨ ange, interne oder externe Zeichensynchronisierung, automatisches Einf¨ ugen von SYN-Zeichen zur Markierung des Datenstrombeginns Baudrate bis 9,6 kBit/s ¨ Fehlererkennung durch Parit¨ ats- und Uberlaufpr¨ ufung.

In Tab. 16.4 ist die Bedeutung der im Blockschaltbild (Abb. 16.9a) bzw. bei der Pinbelegung (Abb. 16.9b) gezeigten Leitungen stichwortartig erl¨autert. Weitere Details zur Hardware sowie zur Programmierung dieses Bausteins finden sich in der weiterf¨ uhrenden Literatur, z. B. in [124].

16.2 Kenngro ¨ßen der seriellen Datenu ¨ bertragung Im folgenden sollen die wichtigsten Kenngr¨ oßen der seriellen Daten¨ ubertragung erl¨autert werden. Diese sind: • • • •

Schrittgeschwindigkeit (Baudrate) ¨ ¨ Ubertragungsgeschwindigkeit (Ubertragungsrate) Zeichengeschwindigkeit Wirkungsgrad (Datendurchsatz).

Die Schrittgeschwindigkeit vS (Baud = Bit/s) gibt die Anzahl der Kennzustandswechsel pro Sekunde an und entspricht dem Reziprokwert der Bitzeit TS , die oft mit der Schrittdauer identisch ist vS =

1 . TS

(16.1)

Die Zeichengeschwindigkeit vZ (Zeichen/s) gibt die effektive Leistung einer Daten¨ ubertragungseinrichtung an, d. h. die Anzahl der pro Sekunde u ¨bertragenen Zeichen 1 vS 1 = = . (16.2) vZ = TZ ZTS Z Dabei bezeichnet Z die Anzahl der Einheitsschritte in einem Zeichenrahmen und TZ die Dauer eines Zeichenrahmens. ¨ Die Ubertragungsgeschwindigkeit vU ¨ (Bit/s) gibt die Anzahl der pro Sekunde u arer Codierung (n = 2 Kenn¨bertragenen Bits an. Im Falle bin¨ zust¨ande) entspricht sie der Schrittgeschwindigkeit, w¨ahrend f¨ ur n > 2 folgende Definitionsgleichung zu beachten ist vU¨ = vS ld n = ZvZ ld n

(16.3)

16.3 Die RS485-Schnittstelle

mit ld n =

lg n . lg 2

507

(16.4)

Dabei bezeichnet n den Kennzustand. Der Wirkungsgrad nU ur die asynchrone Da¨ (Datendurchsatz) ist f¨ ten¨ ubertragung wie folgt definiert nU¨ =

Datenbits . Startbit + Datenbits + Parit¨ atsbit + Stopbits

(16.5)

16.3 Die RS485-Schnittstelle Die RS485-Schnittstelle hat in den letzten Jahren f¨ ur das Gebiet der Meߨ datenerfassung gr¨oßte Bedeutung erlangt, da sie sich zunehmend als Ubertragungsmedium f¨ ur die industriellen Feldbussysteme (s. auch Kap. 17.9) durchsetzt. Die RS485-Schnittstelle entspricht weitgehend der bereits erw¨ahnten RS422A-Schnittstelle. Das elektrische Grundprinzip ist bei beiden identisch. Sie arbeiten nach dem differentiellen Prinzip mit einem Spannungspegel von ±5 V . W¨ahrend jedoch die RS422A-Schnittstelle f¨ ur Punkt-f¨ ur-PunktVerbindungen ausgelegt ist, ¨ ahnlich dem RS232C-Interface, wird die RS485Schnittstelle hingegen zum Aufbau von Mehrpunktverbindungen genutzt, d.h. es k¨onnen mehrere Teilnehmer an eine RS485-Verbindungsleitung angeschlossen werden. Es handelt sich also um ein serielles Bussystem. Die wichtigsten Unterschiede zwischen RS232C- und RS485-Schnittstelle sind in den Tabn. 16.5 bis 16.7 festgehalten. Tabelle 16.5. Pegeldefinitionen bei der seriellen Schnittstelle RS232C log. ′ 0′ log. ′ 1′

+3 V < U < +15 V −15 V < U < −3 V

Tabelle 16.6. Vergleich der seriellen Schnittstellen RS232C und RS422A (RS485) RS232C max. Leitungsl¨ ange

20 m (19,2 kBit/s) 900 m (1,2 kBit/s) ¨ max. Ubertragungsgeschwindigkeit 19,2 kBit/s) min. Eingangsspannung des 3V Empf¨ angers (single-ended) Versorgungsspannung ±15 V

RS422A (RS485) 1,2 km (100 kBit/s) 12 MBit/s (20 m) 200 mV (differentiell) ±5 V

508

16 Meßdatenerfassung im Labor

Tabelle 16.7. Pegeldefinitionen bei der seriellen Schnittstelle RS422A (RS485) Sender log. ′ 0′ log. ′ 1′

+1, 5 V ≤ U < +5 V −5 V ≤ U < −1, 5 V

Empf¨ anger U > + 0,2 V U < -0,2 V

An eine RS485-Leitung k¨ onnen bis zu 32 Teilnehmer angeschlossen werden. Es existieren zwei Versionen von Verdrahtungen, die aus einer bzw. zwei TwistedPair-Leitungen bestehen: 16.3.1 Eine Twisted-Pair-Leitung Die Kommunikation geht in beiden Richtungen u ¨ber eine einzige Doppelleitung (Abb. 16.10), d. h. es wird im Halbduplex-Betrieb gearbeitet. Alle Teilnehmer haben Tristate-Ausgangsstufen [156]; ihr Eingangswiderstand betr¨agt 12 kΩ. Die Doppelleitung ist an ihren Enden mit einem Abschlußwiderstand (Rt = 120 Ω) reflexionsfrei abgeschlossen.

R t = 120 Ω

R t = 120 Ω

.....

Abb. 16.10. RS485-Schnittstelle im Halbduplex-Betrieb

16.3.2 Zwei Twisted-Pair-Leitungen In diesem Fall braucht der Master keine Tristate-Ausgangstreiberstufe, da die Slaves unabh¨angig vom Master u ¨ber das zweite Twisted-Pair-Kabel senden. ¨ Generelle Vorteile der differentiellen (erdfreien) Ubertragung ist ihre wesentlich geringere St¨ oranf¨ alligkeit gegen¨ uber unterschiedlichen Erdpotentialen der verschiedenen Teilnehmer und sonstigen Gleichtaktst¨orungen. Dies in Verbindung mit dem beidseitigen reflexionsfreien Leitungsabschluß erlaubt Datenraten von 12 MBit/s bei Distanzen von ca. 20 m. Die maximale Distanz

16.5 Die USB-Schnittstelle

509

innerhalb eines Segments betr¨ agt 1,2 km bei Datenraten von etwa 100 kBit/s. Neueste Chiptechnologien erlauben mittlerweile 25 MBit/s.

16.4 Die 20 mA-Stromschleife Neben der in der Elektrotechnik wegen ihrer hohen St¨orsicherheit oft eingesetzten analogen 20 mA-Stromschleife gibt es in der Kommunikationstechnik ¨ auch eine digitale 20 mA-Stromschleife zur Ubertragung von bin¨aren Signalfolgen. Die entsprechenden Signalpegel sind in Tab. 16.8 enthalten. Die maximale Leitungsl¨ange betr¨ agt 1000 m bei 9,6 kBit/s. Tabelle 16.8. Pegeldefinitionen bei der 20 mA-Stromschleife log. ′ 0′ log. ′ 1′

0 mA ≤ I ≤ 3 mA 14 mA ≤ I ≤ 20 mA

16.5 Die USB-Schnittstelle Ein serielles Standard-Bussystem stellt die USB-Schnittstelle (Universal Serial Bus) dar. Bis zum jetzigen Zeitpunkt wurde die Schnittstelle nicht von einer Beh¨orde genormt, sondern durch ein großes Firmenkonsortium standardisiert. Die Zertifizierung von Produkten f¨ ur diesen Standard wird ebenfalls von diesem Konsortium durchgef¨ uhrt. Es wurden bisher drei unterschiedliche USB-Standards definiert, wobei die Definition des USB-1.1-Standards lediglich bekannte Probleme von USB-1.0 beseitigt. Ziel der Einf¨ uhrung des USB-2.0-Standards ist die Erreichung h¨oherer Datenraten, um somit konkurrenzf¨ ahig gegen¨ uber der Firewireschnittstelle (auch als I-Link bzw. IEEE-1394-Standard bezeichnet) zu bleiben. Die maximal erreichbare Datenrate betr¨ agt bei USB-2.0 480 Mbit/s, die Datenrate des USB-1.1-Standards hingegen erreicht h¨ ochstens 12 MBit/s. Insgesamt werden die drei folgenden Datenraten unterschieden: • • •

High Speed: 480 MBit/s Full Speed: 12 MBit/s Low Speed: 1.5 MBits/s.

In Tab. 16.9 sind die wichtigsten Merkmale des USB-2.0-Standards zusammengefaßt. USB-Ger¨ate k¨onnen leicht in ein System integriert werden, da sie von einem USB-Host-Controller erkannt werden, sobald sie mit dem System verbunden werden und durch die im Ger¨ at gespeicherten Informationen ein Treiber installiert werden kann. Ein weiterer Vorteil des USB ist die Hot-PlugF¨ ahigkeit, das heißt, ein Ger¨ at kann im laufenden Betrieb an einen Computer

510

16 Meßdatenerfassung im Labor ¨ Tabelle 16.9. Ubersicht u ¨ ber den USB-2.0-Standard max. Datentransferrate max. Kabell¨ ange max. Anzahl anschließbarer Ger¨ aten Versorgungsspannung Hot-Plug-F¨ ahigkeit

480 MBit/s 5m 127 5V

angeschlossen werden. Dadurch entf¨ allt ein Neustart des Systems und das entsprechende Ger¨ at steht unmittelbar zur Verf¨ ugung. Die Bustopologie des USB-Standards ist sternf¨ormig, wodurch der zentrale Host-Controller jedes angeschlossene Ger¨ at direkt ansprechen kann. Der Standard erlaubt es, u ¨ber die USB-Schnittstelle angebundene Ger¨ate begrenzt mit Spannung bzw. Strom zu versorgen. Durch Hubs kann die Anzahl der Anschlußm¨oglichkeiten erh¨ oht sowie die maximale Leitungsl¨ange auf bis zu 30 m erweitert werden. Hierf¨ ur sind allerdings aktive Hubs n¨otig, die eine zus¨atzliche Spannungsversorgung des Busses bereitstellen und auch Signalaufbereitungsfunktionalit¨at (Repeaterfunktion) u ¨bernehmen. Die Abst¨ande zwischen den einzelnen Hubs d¨ urfen die maximale Kabell¨ange von 5 m nicht u ¨berschreiten. Zum Anschluß von USB-Ger¨ aten werden standardisierte Kabel und Steckverbinder verwendet. Diese bestehen aus einem verdrillten Leitungspaar f¨ ur die Signal¨ ubertragung und einem Leitungspaar f¨ ur die Spannungsversorgung. F¨ ur Low-Speed-Ger¨ ate ist ein verdrilltes Signalleitungspaar nicht zwingend vorgeschrieben, wird aber dennoch aufgrund der St¨orsicherheit empfohlen.

16.6 Der IEC-Bus Die in der rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung am h¨aufigsten genutzte und mittlerweile zum Industriestandard avancierte Schnittstelle zum Anschluß von Meßger¨aten an Digitalrechner ist die (parallele) IEC-Bus-Schnittstelle. Sie entstand in der Absicht, den Aufbau von Meßdatenerfassungssystemen zu standardisieren und dabei die Schnittstelle so einfach und kosteng¨ unstig wie m¨ oglich zu gestalten. Die IEC-Bus-Schnittstelle ist definiert als ein Schnitt” stellensystem zur Verbindung von programmierbaren und nicht-programmierbaren elektronischen Meßger¨ aten mit anderen Ger¨aten, aus denen Meßsysteme zusammengestellt werden“ [6] .

16.6 Der IEC-Bus

511

16.6.1 Historie des IEC-Bus 1965 Die Firma Hewlett Packard (HP) stellt ein Interface-System vor, das programmierbare Meßger¨ ate verschiedener Hersteller u ¨ ber eine gemeinsame Busstruktur verbinden soll, den sog. Hewlett-Packard-Interface-Bus (HP-IB). 1974 Vom Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) wird der IEEEStandard No. 488 herausgegeben, der auf dem HP-IB basiert. 1976 Das American National Standard Institute (ANSI) ver¨ offentlicht diese Industrienorm als Standard ANSI MC1.1. 1977 Die International Electrotechnical Commission (IEC) erstellt einen entsprechenden Normentwurf (IEC66.22), der heute international als Norm IEC625 G¨ ultigkeit hat und in Deutschland unter DIN IEC625 bekannt ist [35].

16.6.2 Bezeichnungen des IEC-Bus Im Laufe der Zeit haben sich in der Praxis mehrere Bezeichnungen f¨ ur den IEC-Bus eingeb¨ urgert, die aber alle den urspr¨ unglich von Hewlett Packard entwickelten Bus bezeichnen. Unterschiede gibt es allenfalls in der Form der verwendeten Anschlußstecker: • • • • •

HP-IB (Hewlett-Packard-Interface-Bus) GPIB (General-Purpose-Interface-Bus) IEC625 (DIN IEC625) [35] IEEE488 [6] ANSI MC1.1 [6].

16.6.3 IEC-Bus-Komponenten Der aus 16 Leitungen bestehende IEC-Bus l¨ aßt sich in folgende Funktionsgruppen untergliedern (Abb. 16.11): • • •

Datenbus (Data Bus): 8 Datenleitungen Steuerbus (Management Bus): 5 Steuerleitungen ¨ Ubergabesteuerbus (Handshake Bus): 3 Signalleitungen.

Es k¨onnen nach der Normempfehlung bis zu 15 Ger¨ate gleichzeitig auf den parallelen Bus geschaltet werden (Abb. 16.11), die mindestens eine der folgenden Grundfunktionen ausf¨ uhren: • • •

Steuerfunktion (Controller) Sender-/Sprecherfunktion (Talker) Empf¨anger-/H¨ orerfunktion (Listener).

¨ Die Ubertragung der Nachrichten erfolgt bitparallel und byteseriell im 7-BitASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange).

512

16 Meßdatenerfassung im Labor

Controller (Steuerrechner) kann sprechen, hören und steuern (Talker, Listener und Controller)

Datenbus

Meßgerät 1 kann sprechen und hören (Talker und Listener)

Steuerbus

Meßgerät 2 kann nur hören (Listener)

Handshake-Bus

Meßgerät 3 kann nur sprechen (Talker)

DIO 1-8 IFC, ATN, SRQ, REN, EOI DAV, NRFD, NDAC

Abb. 16.11. IEC-Bus mit Peripherieger¨ aten

16.6.4 Ger¨ ategrundfunktionen •

•

•

Controller: Der Controller (Steuerger¨ at) steuert und u ¨berwacht alle Vorg¨ange auf dem Bus. In einem Meßsystem darf stets nur ein Ger¨at als Controller arbeiten, das jederzeit eingeschaltet sein muß. Der Controller muß auch in der Lage ¨ sein, Talker- und Listener-Funktion zu u wird ¨bernehmen. Ublicherweise die Controller-Funktion von dem (zentralen) Steuerrechner ausge¨ ubt. Die Kommandos (Busbefehle), die ein Controller sendet, heißen Schnittstellennachrichten. Talker: Der Talker (Sender) kann nach Aktivierung durch den Controller, welche mit der Adressierung durch eine Interface-Message erfolgt, Daten auf den Bus geben, welche von anderen Ger¨ aten aufgenommen werden k¨onnen. Es darf stets nur ein Talker aktiv sein, um Konflikte auf dem Bus zu vermeiden. Listener: Der Listener (Empf¨ anger) kann nach Aktivierung durch den Controller (erfolgt ebenfalls mit der Adressierung durch eine Interface-Message) auf dem Bus befindliche Daten aufnehmen (h¨ oren). Es d¨ urfen mehrere Listener gleichzeitig aktiv sein. Die vom Talker stammenden Nachrichten heißen Ger¨atenachrichten. Abbildung 16.12 zeigt beispielhaft einen u ¨ber den IECBus zusammengeschalteten Meßplatz, bestehend aus einem Steuerrechner,

16.6 Der IEC-Bus

513

der Controller-, Talker- und Listener-Funktionen u ¨bernehmen kann, einem Digitalvoltmeter, das als Talker und Listener arbeiten kann, und einem Signalgenerator, welcher nur als Listener fungiert. Controller + Talker + Listener Rechner

IEC-Bus

Talker + Listener Digitalvoltmeter

Listener Signalgenerator

Analogeingang

Analogausgang

Abb. 16.12. Beispiel eines IEC-Bus-Meßplatzes

16.6.5 IEC-Bus-Leitungen •

•

Datenbus: Die acht Datenleitungen des Datenbusses (Data Bus) werden mit DIO1 ... DIO8 (DIO = Data Input/Output) bezeichnet (Abb. 16.11). Sie die¨ nen der bidirektionalen Ubertragung von Daten, Adressen und Befehlen. Der Datentransfer erfolgt so, daß das LSB eines Bytes der DIO1-Leitung zugeordnet wird. Diese sog. Mehrdrahtnachrichten, die u ¨ber den Datenbus u ¨bertragen werden, sind entweder Kommandos zur Ger¨atesteuerung (Schnittstellennachrichten) (ATN = aktiv (true)), Einstelldaten (Statusinformationen), oder es handelt sich um Meßdaten (Ger¨atenachrichten) (ATN = nicht-aktiv (false)). Entsprechend unterscheidet man auch zwi¨ schen Befehlsmode zur Ubertragung von Schnittstellennachrichten und Datenmode bei Ger¨ atenachrichten. Schnittstellen-Steuerbus: Die f¨ unf Leitungen des Steuerbusses (Management Bus) kontrollieren den Informationsfluß auf dem gesamten Bus in Form von folgenden Eindrahtnachrichten: – IFC Interface Clear (Schnittstellensystem r¨ ucksetzen) Durch diese Nachricht kann das System-Steuerger¨at (Controller) alle angeschlossenen Ger¨ ate in eine normgem¨aße Grundeinstellung bringen. – ATN Attention (Achtung) Durch diese Nachricht wird vom System-Steuerger¨at festgelegt, ob die Information auf dem Datenbus als Schnittstellennachricht (ATN = aktiv) oder als Ger¨ atenachricht (ATN = nicht-aktiv) zu interpretieren ist. – SRQ Service Request (Bedienungsruf) Durch Setzen dieser Nachricht kann ein Ger¨at Bedienung anfordern (Interrupt).

514

•

16 Meßdatenerfassung im Labor

– REN Remote Enable (Fernsteuerungsfreigabe) Durch diese Nachricht kann das System-Steuerger¨at alle beteiligten Ger¨ate in einen Fernsteuerungszustand versetzen und die lokalen Bedienungsfunktionen sperren. – EOI End Or Identify (Ende oder Kennung) Ein Talker (Sprecher) zeigt hiermit das Ende einer Block¨ ubertragung an, falls ATN = nicht-aktiv ist; das Steuerger¨at kann daraufhin die Talkerfunktion wieder beenden. Falls ATN = aktiv ist, wird durch EOI vom Steuerger¨ at die Identifizierung eines SRQ-Rufes (Service Request) eingeleitet (s. Kap. Statusabfrage“ ). ” ¨ Ubergabesteuerbus (Handshake-Bus): ¨ Die drei Leitungen des Ubergabesteuerbusses kontrollieren die Daten¨ ubertragung zwischen Talker und Listener (s. auch Abschnitt Handshake-Ver” fahren“ ): – DAV Data Valid (Daten g¨ ultig) ¨ Uber dieses Signal erkl¨ art ein Talker eine von ihm auf den Datenbus gesetzte Mehrdrahtnachricht f¨ ur g¨ ultig (eingeschwungen). – NRFD Not Ready For Data (nicht bereit zur Daten¨ ubernahme) Dieses Signal wird von einer Ger¨ ateschnittstelle gesetzt, solange sie nicht in der Lage ist, ein neues Datenwort aufzunehmen. – NDAC Not Data Accepted (Daten noch nicht u ¨bernommen) Dieses Signal wird von einer Ger¨ ateschnittstelle gesetzt, solange sie ¨ mit der Ubernahme eines auf dem Datenbus anstehenden Wortes besch¨aftigt ist.

16.6.6 Bus-Logik Der IEC-Bus arbeitet mit den Spannungspegeln 0 V und 5 V der StandardTTL-Familie. Bei Signalleitungen, an die mehrere Ger¨ate gleichzeitig angeschlossen sind, verwendet man u ¨blicherweise die in Abb. 16.13 gezeigten +5V (TTL-Pegel) +5V RP ....

Q Abb. 16.13. Parallelgeschaltete Open-Kollektor-Ausgangsstufen (npn-Transistor mit Emitter an Masse)

16.6 Der IEC-Bus

515

Tabelle 16.10. Logische Verkn¨ upfung von Open-Kollektor-Ausgangsstufen positive/negative Logik

Verkn¨ upfungs- Verdrahtungsgesetz mechanismus

active = high (positive Logik) Q = Q1 ∧ Q2 active = low (negative Logik) Q = Q1 ∨ Q2

WIRED–AND WIRED–OR

Open-Kollektor-Ausgangsstufen, welche einen npn-Transistor besitzen, dessen Emitter direkt auf Massepotential liegt [156]. Die Ausg¨ange von verschiedenen Ger¨aten lassen sich damit parallelschalten, wobei der gemeinsame Ausgang Q (Busleitung) u ¨ber einen Kollektorwiderstand an die 5 V Speisespannung angeschlossen ist (Abb. 16.13). Die einfache galvanische Kopplung der Ausg¨ange f¨ uhrt zu einer UND-Verkn¨ upfung, wenn dem hohen Spannungspegel (5 V) der logische Zustand ′ 1′ zugeordnet wird. Man spricht in diesem Fall von positiver Logik, die auch mit active high (active = high) bezeichnet wird. Bei Verwendung der positiven Logik erh¨ alt man auf der Busleitung also nur dann ein High-Signal, wenn alle Ger¨ ate ein High-Signal senden. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einem wired-and (fest verdrahtetes UND). F¨ ur den Fall, daß hingegen eine negative Logik vereinbart wurde, unterliegen die logischen Zust¨ande der einzelnen parallelgeschalteten Ausgangsstufen einer ODER-Verkn¨ upfung (Tab. 16.10). Da die meisten Busleitungen des IEC-Busses eine ODER-Verkn¨ upfung ben¨otigen (z. B. wahlweises Senden mit einem der Ger¨ate), hat man in der Norm alle Pegel als active-low“ , definiert, d. h. true = 0 V (low) und fal” se = 5 V (high). Es handelt sich beim IEC-Bus also vereinbarungsgem¨aß um eine negative Logik. Daraus ergeben sich f¨ ur den IEC-Bus die in Tab. 16.11 angegebenen Beziehungen zwischen elektrischen Signalpegeln und logischen Zust¨anden. Tabelle 16.11. Zusammenhang zwischen logischen Zust¨ anden und elektrischen Signalpegeln der IEC-Bus-Leitungen Zustand

logischer Zustand TTL-Pegel ′ ′

aktiv 1 nicht-aktiv ′ 0′

low (0 V) high (5 V)

16.6.7 Handshake-Verfahren (Dreidraht-Handshake) Um Meßger¨ate mit unterschiedlichen Verarbeitungsgeschwindigkeiten zusam¨ menschalten zu k¨onnen, erfolgt die Ubertragung asynchron mit einer Kontrolle durch Quittungssignale (Handshake-Signale). Zum Verst¨andnis der Da-

516

16 Meßdatenerfassung im Labor

ten¨ ubertragung in IEC-Bus-Systemen ist im wesentlichen nur die Erkl¨arung des sog. Dreidraht-Handshakes notwendig. Den Ablauf dieses Dreidraht-Handshakes zeigt das in Abb. 16.14 dargestellte Zeitdiagramm. F¨ ur einen Zyklus muß der Talker Daten bereitstellen (1) und alle Listener bereit sein (NRFD = false) (2). Es ist zu erw¨ahnen, daß der Zeitpunkt (2) auch vor (1) liegen kann. Daraufhin erkl¨art der Talker die Daten f¨ ur g¨ ultig (DAV = true) (3), was die Listener veranlaßt NRFD = true zu setzen (4) und die Daten zu u ¨bernehmen. Sobald ein Listener mit der Daten¨ ubernahme fertig ist, setzt er NDAC = false (5). Ist auch der langsamste Listener fertig (6), so kann der Talker die G¨ ultigkeit der Daten aufheben (DAV = false) (7) und die Daten entfernen (8). Auf DAV = false reagieren die Listener mit dem R¨ ucksetzen von NDAC = true (9). Generell gilt, daß eine Daten¨ ubertragung erst dann begonnen werden kann, wenn alle Ger¨ate ihre Bereitschaft (NRFD = false) angezeigt haben, und eine Daten¨ ubertragung erst dann abgeschlossen wird, wenn alle Ger¨ate ihre Fertigmeldung (NDAC = false) gesendet haben.

Talker

Listener

H DIO 1-8 data input output L DAV H data valid L H NRFD not ready for data L H NDAC not data accepted L

1

Datenbyte 3

2 alle

bereit 1. bereit 2. bereit Zeichenübernahmephase

8

gültig

false

7

true false

4 keiner

true

bereit 5

false true alle haben übernommen 6

9

¨ Abb. 16.14. Zeitdiagramm zur Ubertragung eines Datenbytes auf dem IEC-Bus (Dreidraht-Handshake)

Da der Anbieter der Information, die sog. Source (i. allg. der Talker), nur die Bus-Signale NDAC und NRFD auswertet, kann die Source nicht feststellen, wieviele Listener an dem Datentransfer beteiligt sind. Vielmehr wartet die Source solange, bis auch das langsamste Ger¨ at seine Information ordnungsgem¨aß u ¨bernommen und verarbeitet hat. Problematisch kann die Verz¨ogerung durch ein langsames Ger¨ at dann werden, wenn mit dem Bussystem besonders zeitkritische Operationen durchgef¨ uhrt werden m¨ ussen. ¨ Uber den IEC-Bus werden nicht nur Daten, sondern alle Arten von Mehrdrahtnachrichten, wie z. B. Steuerkommandos, Adressen oder Statusinformationen mit Hilfe des Dreidraht-Handshakes u ¨bertragen. In diesem Zusammenhang spricht man nicht mehr von Talker und Listener, sondern man unterscheidet ganz allgemein zwischen Source (Sender, Quelle) und Acceptor (Empf¨anger, Senke).

16.6 Der IEC-Bus

517

Die Verbindung zwischen Meßger¨ at und IEC-Bus Zur Realisierung der Schnittstelle Meßger¨ at-IEC-Bus“ , ist neben der eigent” lichen IEC-Bus-Schnittstelle eine Ger¨ateschnittstelle erforderlich (Abb. 16.15). Das Meßger¨at hat n¨ amlich neben der Ger¨ atefunktion, z.B. dem Messen von Spannungen bei einem Digitalvoltmeter, die folgenden Funktionen zu erf¨ ullen: IEC-Bus IEC-Bus Schnittstelle GeräteSchnittstelle

Meßgerät Abb. 16.15. Schnittstellen zwischen Meßger¨ at und dem IEC-Bus

Ger¨ atefunktionen Die Ger¨atefunktionen beschreiben die von dem jeweiligen Ger¨at ausgef¨ uhrten spezifischen Aufgaben, wie z. B. das Messen einer elektrischen Spannung bei einem Voltmeter. Schnittstellenfunktionen Die IEC-Norm definiert 10 Schnittstellenfunktionen (Tab. 16.12), die den reibungslosen Arbeitsablauf von IEC-Bus-Meßger¨aten gew¨ahrleisten. Die IECBus-Schnittstelle eines Ger¨ ates kann in Abh¨angigkeit von den jeweiligen M¨ oglichkeiten des Ger¨ ates auch auf eine Teilausr¨ ustung dieser Schnittstellenfunktionen beschr¨ ankt sein. 16.6.8 Nachrichtenarten Man unterscheidet zwischen externen Nachrichten, die wirklich auf den IECBus gelangen, und internen Nachrichten, welche nur zwischen dem Ger¨at (Ger¨atefunktion) und der eigentlichen Schnittstelle u ¨bermittelt werden (Abb. 16.16). Die IEC-Norm definiert 19 interne Nachrichten (Tab. 16.13). Die externen Nachrichten wiederum gliedern sich in die Eindrahtnachrichten der einzelnen Signalleitungen des Steuer- und Handshake-Busses sowie die Mehrdrahtnachrichten des Datenbusses. Man unterscheidet (Tab. 16.14):

518

16 Meßdatenerfassung im Labor Tabelle 16.12. Schnittstellenfunktionen

Schnittstellenfunktion

Abk¨ urzung Erl¨ auterung

Handshake-Quelle (Source Handshake)

SH

wird von Talker bzw. Controller ben¨ otigt, um Nachrichten im DreidrahtHandshake-Mode zu u ¨ bertragen

Handshake-Senke (Acceptor Handshake)

AH

M¨ oglichkeit, Nachrichten im Dreidraht Handshake-Mode zu empfangen

Sprecher oder erweiterter Sprecher (Talker oder Extended Talker)

T bzw. TE

Ger¨ at hat Sprecherfunktion

H¨ orer oder erweiterter H¨ orer L bzw. (Listener oder Extended Listener) LE

Ger¨ at hat H¨ orerfunktion

Bedienungsruf (Service Request)

SR

Ger¨ at kann Interrupt an Controller schicken

Umschaltung in den Fernsteuermode (Remote/Local)

RL

Fernsteuerbarkeit

Ger¨ at r¨ ucksetzen (Device Clear)

DC

Ger¨ at r¨ ucksetzbar

Ger¨ at ausl¨ osen (Device Trigger)

DT

Triggerm¨ oglichkeit

Parallelabfrage (Parallel Poll)

PP

Controller kann Statusinformation in 1-Byte-Form erhalten

Steuereinheit (Controller)

C

Ger¨ at kann Steuerfunktion u ¨ bernehmen, d. h. SchnittstellenNachrichten u ¨ bertragen

Nachrichtenarten Interne Nachrichten

Externe Nachrichten

zwischen Geräteschnittstelle und IEC-Bus-Schnittstelle; gelangen nicht auf den IEC-Bus

zwischen den verschiedenen IEC-Bus-Teilnehmern; gelangen auf den IEC-Bus

SchnittstellenNachrichten Befehlsmode (ATN = aktiv) Ein- oder MehrdrahtNachrichten

GeräteNachrichten Datenmode (ATN = nicht-aktiv) stets MehrdrahtNachrichten

Abb. 16.16. Nachrichtenarten beim IEC-Bus

16.6 Der IEC-Bus

519

Tabelle 16.13. Interne Nachrichten beim IEC-Bus Nachricht

gts ist ltn lon lpe

(go to standby) (individual status) (listen) (listen only) (local poll enable)

lpd lun nba pon rdy rsv rtl tca tcs ton sre sic rpp rsc

• • • •

Bedeutung, Funktion Bereitschaftszustand einnehmen Ger¨ atezustand H¨ oren nur H¨ oren intern zur Parallelabfrage freigeben (local poll disable) nicht zur Parallelabfrage freigeben (local unlisten) H¨ oren beenden (new byte available) neues Byte verf¨ ugbar (power on) Ger¨ at Ein“ , ” (ready) bereit f¨ ur n¨ achstes Byte (request service) Bedienung anfordern (return to local) Eigensteuerung Ein“ , ” (take control Kontrolle asynchron asynchronously) u ¨ bernehmen (take control Kontrolle synchron synchronously) u ¨ bernehmen (talk only) nur sprechen (send remote enable) Fernsteuerungsfreigabe senden (send interface clear) R¨ ucksetzbefehl senden (request parallel poll) Parallelabfrage anfordern (request system control) Systemsteuerung anfordern

Beteiligte Schnittstellenfunktion C PP L, LE L, LE PP PP L, LE SH alle AH SR RL C C T, TE C C C C

adressierte Befehle Universal-Befehle Adressen (H¨orer- und Sprecher-Adressen) Sekund¨ar-Befehle und Unteradressen.

Adressierte Befehle Die Gruppe der adressierten Befehle (ACG = Addressed Command Group) wirkt auf alle am Bus angeschlossenen Ger¨ ate, die sich im Fernsteuerungszustand befinden. Diese Ger¨ ate m¨ ussen jedoch entweder als Sprecher oder als H¨ orer adressiert sein (Tab. 16.15). •

GET (Group Execute Trigger, Ger¨ ategruppe ausl¨osen) Dieser Befehl l¨ost in allen als H¨ orer eingestellten Ger¨aten einen Triggerimpuls aus, was vor allem der M¨ oglichkeit dient, daß verschiedene Meßger¨ate gleichzeitig mit einer Messung beginnen k¨ onnen.

520

16 Meßdatenerfassung im Labor

Tabelle 16.14. Codierung der Busbefehle und Adressen auf dem IEC-Bus (Codierungs¨ ubersicht gem¨ aß ISO-7-Bit-Code) (ATN = aktiv) Datenleitungen DIO Dezimal¨ aquivalent 7654321 000 .. . 011 00 100 .. . 111 000 .. 01 . 111 111

• •

• •

00

10 11

0 .. . 15 16 .. . 31 32 .. . 62 63

00000 .. . 10 11110 11111

64 .. . 94 95

00000 .. 11 . 11111

96 .. . 127

11 00 11 00

Adressierte Befehle (Adressed Command Group (ACG)) Universal-Befehle (Universal Command Group (UCG)) H¨ orer-Adressen (Listener Address Group (LAG)) H¨ orer entadressieren (Unlisten (UNL)) Sprecher-Adressen (Talker Address Group (TAG)) Sprecher entadressieren (Untalk (UNT)) Sekund¨ ar-Befehle und Unteradressen (Secondary Command Group (SCG))

PPC (Parallel Poll Configure, zur Parallelabfrage einstellen) Alle als H¨orer eingestellten Ger¨ ate werden f¨ ur die Parallelabfrage vorbereitet. TCT (Take Control, Steuerung u ¨bernehmen) Der zur Zeit aktive Controller veranlaßt ein als Sprecher eingestelltes Ger¨at, die Steuerung zu u ¨bernehmen, falls es als Controller zu arbeiten in der Lage ist. GTL (Go To Local, auf Eigensteuerung schalten) Alle als H¨orer eingestellten Ger¨ ate werden auf manuelle Bedienung umgeschaltet. SDC (Selected Device Clear, adressiertes Ger¨at zur¨ ucksetzen) Ein oder mehrere als H¨ orer adressierte Ger¨ate werden zur¨ uckgesetzt.

Universal-Befehle Die Universal-Befehle (UCG = Universal Command Group) wirken ebenfalls auf alle am Bus angeschlossenen Ger¨ ate, die sich im Fernsteuerungszustand

16.6 Der IEC-Bus

521

Tabelle 16.15. IEC-Bus-Befehle (Auswahl) Befehlsklasse

Befehl

ASCII- Bedeutung Zeichen

Entadressier- UNL (unlisten) Befehle UNT (untalk)

UniversalBefehle

LLO

? −

(local lockout) DC1

DCL (device clear) DC4 PPU (parallel poll unconfigure) SPE (serial poll enable) SPD (serial poll disable) Adressierte Befehle

SDC

(selective device clear) GTL (go to local)

NAK CAN EM EOT SOH

GET (group execute BS trigger) PPC (parallel poll ENQ configure) TCT (take control) HT

L¨ oscht alle Listener L¨ oscht alle Talker (Talker k¨ onnen auch durch eine nicht verwendete Talkadresse gel¨ oscht werden) Setzt die manuelle Bedienung des Ger¨ ates außer Betrieb Bringt alle Ger¨ ate in den Einschaltzustand Bereitschaft f¨ ur Parallelabfrage wird zur¨ uckgenommen Setzt alle Bedingungen f¨ ur serielle Statusabfragen L¨ oscht die Bedingung f¨ ur serielle Statusabfragen Bringt das adressierte Ger¨ at in einen definierten Anfangszustand Setzt das adressierte Ger¨ at in den manuellen Bedienmode zur¨ uck L¨ ost eine Messung bei allen vorprogrammierten Ger¨ aten aus Bestimmt, welches Bit ein Ger¨ at bei der Parallel-Poll-Abfrage aktivieren soll ¨ Ubergibt die Kontrolle vom aktiven Controller an das adressierte Ger¨ at

befinden. Es ist dabei nicht entscheidend, ob sie sich im adressierten Zustand befinden oder nicht (Tab. 16.15). Neben den beiden Befehlen SPD und SPE, die das Schnittstellensystem f¨ ur eine Serienabfrage einstellen bzw. sperren, geh¨ oren zu dieser Gruppe folgende wichtige Befehle: • • •

DCL (Device Clear, Ger¨ at r¨ ucksetzen) S¨amtliche Ger¨atefunktionen (außer den Schnittstellenfunktionen) aller am Bus betriebenen Ger¨ ate werden in ihren Grundzustand zur¨ uckgesetzt. LLO (Local Lock Out, Steuerung verriegeln) Die manuelle Bedienung der Ger¨ ate wird gesperrt. PPU (Parallel Poll Unconfigure, Parallelabfrage zur¨ ucknehmen) Die Bereitschaft f¨ ur eine Parallelabfrage wird bei allen Ger¨aten aufgehoben.

522

16 Meßdatenerfassung im Labor

H¨ orer- und Sprecher-Adressen Mit Hilfe dieser Nachrichten (Tab. 16.16) werden die am Bus angeschlossenen Ger¨ate als H¨orer oder als Sprecher eingestellt. Die H¨orer-Adressen werden mit LAG (Listener Address Group) und die Sprecher-Adressen mit TAG (Talker Address Group) bezeichnet. Nachdem nun ein Ger¨at u ¨ber die Datenleitungen DIO1 bis DIO5 eine H¨ orer-Adresse (LAG) empfangen hat, wird anschließend diese Adresse mit der am Ger¨ at voreingestellten verglichen. Bei ¨ Ubereinstimmung wird LAG als richtige Adresse MLA (My Listener Address) interpretiert, woraufhin das Ger¨ at die H¨ orer-Funktion u ¨bernimmt. Stimmt die empfangene Adresse nicht mit der voreingestellten u ¨berein, wird LAG als falsche Adresse OLA (Other Listener Address) gedeutet und das Ger¨at verbleibt in seinem Zustand. In engem Zusammenhang mit den H¨orer- und Sprecher-Adressen stehen die beiden folgenden Entadressierbefehle: • •

UNL (Unlisten) Alle als H¨orer eingestellten Ger¨ ate werden entadressiert. UNT (Untalk) Dieser Befehl f¨ uhrt zur Entadressierung des als Sprecher eingestellten Ger¨ates. F¨ ur den Fall, daß ein als Sprecher eingestelltes Ger¨at die eigene H¨orer-Adresse MLA oder eine fremde Sprecher-Adresse OTA erkennt, muß es sich selbst¨andig entadressieren. Damit vermeidet man Konfliktsituationen, bei denen mehr als ein Sprecher gleichzeitig am Bus aktiv ist.

Tabelle 16.16. H¨ orer- und Sprecher-Adressen LAG MLA OLA TAG MTA OTA

(Listener Address Group) (My Listener Address) (Other Listener Address) (Talker Address Group) (My Talker Address) (Other Talker Address)

H¨ orer-Adressen eigene H¨ orer-Adresse fremde H¨ orer-Adressen Sprecher-Adressen eigene Sprecher-Adresse fremde Sprecher-Adressen

Sekund¨ ar-Befehle und Unteradressen Die mit der erweiterten H¨ orer-Funktion LE oder mit der erweiterten SprecherFunktion TE ausgestatteten Ger¨ ate werden mit einer 2-Byte-Adresse angesprochen. Soll ein solches Ger¨ at als H¨ orer adressiert werden, empf¨angt es zun¨achst die Nachricht MLA und wartet anschließend auf den Befehl SCG (Secondary Command Group). Erst wenn diese Nachricht mit der am Ger¨at eingestellten Sekund¨ar-Adresse u ¨bereinstimmt, u ¨bernimmt das Ger¨at die H¨orerFunktion. Die Sprecheradressierung erfolgt in analoger Weise. •

SCG (Secondary Command Group) Den Ger¨aten mit 2-Byte-Adressierung wird mit diesem Befehl nach Empfang einer MLA- oder MTA-Nachricht eine Sekund¨ar-Adresse mitgeteilt.

16.6 Der IEC-Bus

523

16.6.9 Schlußzeichen Bei Ger¨atenachrichten sind Schlußzeichen zur Identifizierung des letzten Bytes eines Datenblocks notwendig, um den beteiligten H¨orern das Ende der Daten¨ ubertragung zu signalisieren. Die Norm l¨aßt die folgenden zwei Endeoder Schlußzeichen zu: • •

Eindrahtnachricht ′ EOI′ des Steuerbusses Mehrdrahtnachricht ′ EOS′ (End of String).

Wenn die Mehrdrahtnachricht ′ EOS′ verwendet werden soll, muß das Endezeichen im Sprecher und im H¨ orer u ¨bereinstimmend festgelegt werden. Es werden hierf¨ ur in der Regel die beiden folgenden Steuerzeichen benutzt • •

′ ′

CR′ (Carriage Return) und LF′ (Line Feed).

Nach diesen Zeichen folgt schließlich die Ger¨ atenachricht ′ EOS′ . 16.6.10 Statusabfrage Der Controller kann jederzeit eine Statusabfrage an die an den IEC-Bus angeschlossenen Ger¨ate senden, die daraufhin ein Statusbyte zur¨ ucksenden. Neben dieser programmierten Abfrage ist auch die M¨oglichkeit vorgesehen, daß die Aufforderung zur Statusabfrage direkt von den einzelnen Ger¨aten per Interrupt an den Controller ergeht. Die Statusabfrage kann auf zwei Arten erfolgen: • •

serielle Abfrage (Serial Poll) parallele Abfrage (Parallel Poll).

F¨ ur den Serial Poll wird von allen angeschlossenen Ger¨aten dieselbe BusLeitung verwendet. Der Controller muß also, nachdem er den Service-Request empfangen hat, das entsprechende Ger¨ at heraussuchen, indem er die in Frage kommenden Ger¨ate der Reihe nach adressiert, bis er vom rufenden Ger¨at eine Best¨atigung erh¨alt. Mit der Best¨ atigung sendet das rufende Ger¨at auch noch weitere Informationen, welche die Art der Bedienung pr¨azisieren. Bei dieser R¨ uckantwort handelt es sich um das sog. Status-Byte. Beim Parallel Poll wird jedem daf¨ ur vorgesehenen Ger¨at vom Controller eine der Datenleitungen f¨ ur die R¨ uckantwort zugewiesen. W¨ahrend des Betriebes kann nun der Controller periodisch abfragen und Ger¨ate, die eine Bedienung w¨ unschen, melden dies u ¨ber die ihnen zugewiesene Datenleitung. Dabei wird aber kein Statuswort gesendet. Man sollte also den Parallel Poll nur dann verwenden, wenn man weiß, welche Art der Bedienung vom betreffenden Ger¨at gew¨ unscht wird.

524

16 Meßdatenerfassung im Labor

+ GND GND GND GND GND GND GND REN DIO 8 DIO 7 DIO 6 DIO 5

24 12

18 6

13 1

+ SHIELD (GND) ATN SRQ IFC NDAC NRFD DAV EOI DIO 4 DIO 3 DIO 2 DIO 1

+ a) IEEE488

GND GND GND GND GND GND GND GND DIO 8 DIO 7 DIO 6 DIO 5

25 13

18 5 14 1

SHIELD (GND) ATN SRQ IFC NDAC NRFD DAV EOI REN DIO 4 DIO 3 DIO 2 DIO 1

+

b) IEC625

Abb. 16.17. Standardm¨ aßig verwendete IEC-Bus-Steckverbindungen: a) IEEE488Stecker, b) IEC625-Stecker

16.6.11 IEC-Bus-Hardware Historisch bedingt gibt es zwei verschiedene Steckverbindungen f¨ ur den IECBus, die beide in Abb. 16.17 gezeigt werden. Die entsprechenden Pinbelegungen sind in Tab. 16.17 zusammengefaßt, w¨ahrend Tab. 16.18 Aufschluß ¨ u bzw. maximalen Entfer¨ber die maximalen Ubertragungsgeschwindigkeiten nungen in Abh¨angigkeit der verwendeten Treiberschaltungen gibt. Mit Hilfe von IEC-Bus-Expandern ist es m¨ oglich, bis zu 29 Ger¨ate gleichzeitig an den IEC-Bus anzuschließen. Das Prinzip der Verkabelung von IEC-Bus-Ger¨aten wird in Abb. 16.18 gezeigt.

Abb. 16.18. Verkabelung von IEC-Bus-Ger¨ aten

16.6 Der IEC-Bus

525

Tabelle 16.17. Pinbelegung der IEC-Bus-Steckverbindungen IEC625 und IEEE488 Kontaktstift Signalleitung Bedeutung IEC 625 IEEE 488 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 17 5 6 7

DI01 DI02 DI03 DI04 REN EOI DAV NRFD

9

8

NDAC

10

9

IFC

11

10

SQR

12

11

ATN

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 -

12 13 14 15 16 24 18 19 20 24 22 23 21

DI05 DI06 DI07 DI08 -

Datenleitungen zum Transfer von Befehlen (ATN = aktiv) und Daten (ATN = nicht-aktiv) Fernsteuerbetrieb Ende oder Kennung Daten g¨ ultig Meldung eines Ger¨ ates, daß es nicht empfangsbereit ist Meldung eines Ger¨ ates, daß es die Daten noch nicht u ¨ bernommen hat Schnittstellensystem r¨ ucksetzen (Einstellen des Grundzustandes aller Ger¨ ate) Service Request (Bedienungsanforderung durch ein Ger¨ at) Anzeige, ob Befehle (ATN = aktiv) oder Daten (ATN = nicht-aktiv) u ¨ bertragen werden Abschirmung Datenleitungen zum Transfer von Befehlen (ATN = aktiv) oder Daten (ATN = nicht-aktiv) Masse/GND Masse/(EOI) Masse/(DAV) Masse/(NRFD) Masse/(NDAC) Masse/GND Masse/(SRQ) Masse/(ATN) Masse/(IFC)

¨ Tabelle 16.18. Ubertragungsgeschwindigkeiten und max. Entfernungen am IEC-Bus ¨ Ubertragungsmaximale maximale erforderliche Ausgangsgeschwindigkeit Entfernung Entfernung von stufen (Treiber (insgesamt) Ger¨ at zu Ger¨ at -schaltungen) 250 kByte/s 500 kByte/s 1 MByte/s

20 m 20 m 10 m

2m 2m 1m

48 mA, Open Collector 48 mA, Tristate 48 mA, Tristate

526

16 Meßdatenerfassung im Labor

Realisierung der IEC-Bus-Schnittstelle Bei hardwarem¨aßiger Implementierung der IEC-Bus-Schnittstelle kennt man drei Arten des Schaltungsaufbaus [124]: • • •

diskrete Halbleiter-Schaltungen IEC-Bus-Chips in VLSI-Technik intelligente Universal-Interface-Bausteine.

Das Herzst¨ uck einer solchen Implementierung bildet in der Regel ein IECBus-Interface-Controller, der durch weitere Komponenten, wie z. B. DMAController, Adress-Dekodierer und Datentransceiver erg¨anzt wird. Auf solchen Schaltungen basierende Module m¨ ussen sowohl in den IEC-Bus-Meßger¨aten als auch in dem als Controller arbeitenden Steuerrechner vorhanden sein. Dabei hat sich der Ingenieur, der einen IEC-Bus-Meßplatz zusammenzustellen hat, insbesondere um die Ausstattung seines Steuerrechners zu k¨ ummern. F¨ ur den Einsatz in PCs werden heute IEC-Bus-Einsteckkarten zum Anschluß an Standard-PC-Bussysteme in großem Umfang und in vielen Varianten kommerziell angeboten. Abbildung 16.19 zeigt das Blockdiagramm einer solchen Karte. Mit diesen IEC-Bus-Karten stellt der Hersteller i. allg. auch geeignete Treiber-Software zur Verf¨ ugung, mit deren Hilfe sich die Funktionen des Moduls in einer Standard-Hochsprache, wie z. B. C, oder einer anwenderorientierten Sprache, wie NI LabVIEW, programmieren lassen.

Address Decoder

Turbo 488

Data Transceivers

GPIB Monitor

IEEE 488.2 Interface Controller

IEEE 488.1 Transceivers

IEEE 488.1 Transceivers

IEC-Bus

PC AT-Bus

DMA und Interrupt Controller

PC AT-Bus Interface Logic

Abb. 16.19. Blockschaltbild einer Einsteckkarte mit IEC-Bus-Interface f¨ ur PCs mit AT-Bus nach Unterlagen der Firma National Instruments [100]

16.7 VXI-Bus, PXI-Bus und MXI-Bus

527

16.7 VXI-Bus, PXI-Bus und MXI-Bus VME-Bus In der Prozeßrechnertechnik wird in vielen Anwendungsf¨allen auch auf konfigurierbare Systeme zur¨ uckgegriffen, die auf Standard-Parallelbus-Systemen basieren. In diesem Zusammenhang spielt der VME-Bus (Versa Module Europe) eine zentrale Rolle. Der VME-Bus ist ein auf Europakarten basierendes, aus der Mikrocomputertechnik stammendes 32-Bit-Bussystem mit den funktionellen Eigenschaften des 1981 von der Firma Motorola ins Leben gerufenen VERSA-Busses [42]. Die wesentlichen Leistungsmerkmale und Eigenschaften des VME-Busses sind: • • • • • • • • •

Daten- und Adreßbusbreite bis 32 Bit Multiprozessorf¨ ahigkeit (Multimasterbetrieb) Datentransferrate bis 24 MByte/s asynchrones Busprotokoll zus¨atzlicher serieller Bus (sog. Inter Intelligence Bus) 7 Interrupt-Ebenen Blocktransfer jeweils 96 Pins u ¨ber P1- und P2-Europakartensteckverbindungen im wesentlichen auf Prozessoren der Serie MC68000 ausgerichtet.

Die Bed¨ urfnisse der Prozeßmeßtechnik f¨ uhrten schließlich zu einer Weiterentwicklung des VME-Busses, dem sog. VXI-Bus (VME-Bus Extensions for Instrumentation), der im folgenden n¨ aher beschrieben wird. 16.7.1 VXI-Bus Beim VXI-Bus handelt es sich um eine speziell auf die Belange der Meßtechnik zugeschnittene Erweiterung des VME-Busses. Im IEEE-Normvorschlag P1155 werden dazu weitere Pin-Belegungen von P2 sowie ein zus¨atzlicher dritter Steckverbinder (P3) definiert. Damit erh¨ alt der VXI-Bus im Vergleich zum Standard-VME-Bus neben weiteren Versorgungs-, Takt- und Triggerleitungen einen Analog-Summenbus sowie Leitungen f¨ ur lokale Teilbusse zur Verbindung benachbarter Module. Jedes VXI-Bus-System ben¨ otigt einen sog. Mainframe. Es handelt sich dabei um ein Geh¨ ause (VXI-Buscrate) mit Spannungsversorgung und einer R¨ uckwand (Backplane), in welche Europakarten verschiedener Gr¨oßen eingeschoben werden k¨onnen (Abb. 16.20). Das in Steckplatz 0 (Slot 0) befindliche Modul muß unter anderem die Takt- und Triggerinformationen f¨ ur die restlichen Einsteckkarten in den Steckpl¨ atzen 1 bis 12 zur Verf¨ ugung stellen. Die wesentlichen Merkmalerweiterungen zum VME-Bus sind: • •

h¨ohere Datentransferrate: max. 40 MByte/s durch einen Triggerbus k¨ onnen verschiedene Messungen zeitgleich gestartet und miteinander synchronisiert werden

528

16 Meßdatenerfassung im Labor

P1 VME-Bus

P1 P2

100 x 160 mm 233,35 x 160 mm

P1 P2 VXI-Bus

P1 P2 P3

233,35 x 340 mm

366,70 x 340 mm

Abb. 16.20. Einsteckkarten bei VME- und VXI-Bus-Systemen

• •

es ist eine dem IEC-Bus ¨ ahnliche Kommunikation m¨oglich es ist eine Schnittstelle zum IEC-Bus definiert.

Die Zielsetzung der VXI-Bus-Entwicklung war es, die Vorz¨ uge des IEC-Busses (Standard der Meßtechnik) mit denen des VME-Busses (Leistungsf¨ahigkeit) zu vereinigen. Dies bedeutet aber auch, daß der VXI-Bus eine Konkurrenz zu einem IEC-Bus nur dort sein kann, wo es auf h¨ohere Leistungsf¨ahigkeit, insbesondere h¨ohere Geschwindigkeiten, ankommt. Die VXI-Bus-Ger¨ ate sind in Form von Einsteckkarten-Modulen ausgef¨ uhrt und beinhalten im allgemeinen keine Anzeigen oder Bedienelemente. Von diesen Einsteckmodulen lassen sich in der Regel 13 St¨ uck in einem Mainframe unterbringen. Sie arbeiten entweder als Resource Manager, Commander oder Servants. 16.7.2 Resource Manager (System Manager) In Steckplatz 0 wird der sog. Resource Manager eingesteckt. Es handelt sich dabei um eine f¨ ur jeden VXI-Mainframe notwendige Kontrolleinheit, die alle angeschlossenen VXI-Bus-Ger¨ ate identifiziert und die Adressentabelle des VXI-Systems (address map) verwaltet. Weiterhin startet bzw. u ¨berwacht der Resource Manager alle Systemoperationen. Bei den restlichen Modulen unterscheidet man zwischen sog. Commanders und Servants, die in eine hierarchische Struktur eingebettet sind. Der Resource Manager konfiguriert und verwaltet alle Commander/Servant-Hierarchien des entsprechenden VXISystems. 16.7.3 Commander Ein Commander kontrolliert eine Gruppe von Servants. Im Rahmen einer u ¨bergeordneten Hierarchie wiederum kann ein Commander aber auch als Ser-

16.7 VXI-Bus, PXI-Bus und MXI-Bus

529

vant eines weiteren Commanders dienen. Bei einem Commander handelt es sich stets um ein sog. nachrichtenorientiertes Modul (message based module). Solche Module sind in der Lage, ASCII-Zeichen als Kommandos zu interpretieren. 16.7.4 Servant Der Servant ist ein Modul, welches unter der Kontrolle eines Commanders arbeitet. Ein Servant kann gegen¨ uber Servants einer untergeordneten Hierarchieebene wiederum Commanderfunktion (Masterfunktion) besitzen, so daß er in der Gesamthierarchie andere Servants kontrollieren kann. Servants k¨onnen sowohl nachrichtenorientiert als auch registerorientiert arbeiten (registerorientiertes Modul, register based module). Registerorientierte Module verf¨ ugen u ¨ber keine lokale Intelligenz, d. h. daß sie nicht in der Lage sind, Befehle in Form von ASCII-Zeichen zu empfangen. Diese Einschr¨ankung f¨ uhrt allerdings auch zu der angenehmen Eigenschaft, daß sie direkt und damit sehr schnell ansprechbar sind. Daneben gibt es noch Speichermodule (memory devices) vom Typ RAM oder ROM. 16.7.5 Busgliederung/Teilbusse Der VXI-Bus besteht aus den folgenden acht Teilbussen: • • • • • • • •

Standard-VME-Bus Takt-Bus (liefert Taktsignale f¨ ur alle angeschlossenen Module) Star-Bus (dient der schnellen asynchronen Kommunikation zwischen Modulen ohne Belastung des VME-Busses) Trigger-Bus (8 TTL und 8 ECL-Leitungen zur internen und externen Triggerung) lokaler Bus (zur Inter-Modulkommunikation) Analog-Summenbus (Summation von Stromsignalen verschiedener Module) Modul-Identifikationsbus (dient der automatischen Konfiguration) Spannungsversorgungsbus (zus¨ atzlich zum VME-Bus werden ±24 V, −2 V und −5, 2 V zur Verf¨ ugung gestellt)

Einzelheiten zu VXI-Bussystemen finden sich in der weiterf¨ uhrenden Literatur, z. B. in [30], [139]. 16.7.6 VXI- und IEC-Bus Ein großer Vorteil des VXI-Systems beruht auf der Tatsache, daß seine Steuerungs- und Kommandostruktur in Anlehnung an die IEC-Bus-Norm festgelegt wurde. Auf diese Weise k¨ onnen in einem einzigen System VMEBus-, VXI-Bus- und IEC-Bus-Module gleichzeitig verwendet werden. So ist

530

16 Meßdatenerfassung im Labor

beispielsweise die Steuerung von VXI-Modulen von einem IEC-Bus-Controller aus m¨oglich. Der Slot 0 kann f¨ ur diesen Fall eine VXI-Bus/IEC-Bus-Schnittstelle enthalten, die mit einem Rechner kommuniziert, der ebenfalls eine IECBus-Schnittstelle enth¨ alt (Abb. 16.21). Das VXI-Bus-System erscheint dem Anwender in diesem Fall als eines von eventuell mehreren angeschlossenen IEC-Bus-Ger¨aten. VXI-Bus-System HostRechner

Resource Manager Commanders und Servants

IEC-BusInterface

Meßgerät

Abb. 16.21. VXI-Bus-System mit IEC-Bus-Verbindung zu einem Host-Rechner und einem Meßger¨ at

16.7.7 PXI-Bus Infolge der weiten Verbreitung von PC-Karten in der Automatisierungstechnik und den geringen Kosten f¨ ur Hard- und Software f¨ ur Desktop-PCs wurde ein auf dem PCI-Bus (Peripheral Component Interconnect) basierender Standard f¨ ur Messdatenerfassung entwickelt. Dieser wurde den rauhen Bedingungen im industriellen Meßumfeld angepaßt und robust gegen¨ uber St¨orungen ausgelegt. Im Jahre 1996 wurde durch die PICMG (PCI Industrial Computer Manufacturers Group) der CompactPCI-Standard definiert, der Datenraten bis zu 264 MByte/s zul¨aßt. Hard- und softwarebedingt konnten allerdings keine definierten Interruptverz¨ ogerungen eingehalten werden und Anwendungen, die ein exaktes Timing erfordern, k¨ onnen daher nicht auf diesen Standard zur¨ uckgreifen. Der CompactPCI-Standard wurde 1997 von National Instruments [102] konsequent weiterentwickelt und 1998 als PXI-BUS eingef¨ uhrt. Heute z¨ahlt das Firmenkonsortium PXI System Alliance (PXISA), das die Entwicklung des PXI-Bus und der darauf basierenden Standards vorrantreibt, mehr als 60 Mitglieder. Dazu z¨ ahlen viele namhafte Industrieunternehmen der Automatisierungstechnik. Der PXI-Bus (PCI eXtension for Instrumentation) stellt einen offenen Standard dar und verbindet wirkungsvoll bereits existierende Technologien, um Meßdatenerfassungssysteme mit hoher Performance zu schaffen. Der PXIBus adaptiert den PCI-Bus, der derzeit vor allem im Desktopcomputerbereich

16.7 VXI-Bus, PXI-Bus und MXI-Bus

531

verwendet wird, f¨ ur meßtechnische Aufgaben und erweitert ihn um Robustheit in Bezug auf elektromagnetische Vertr¨ aglichkeit, Temperatur- und Feuchtebedingungen im industriellen Meßumfeld. Anders als beim Compact-PCI Standard wurden Softwaretreiber sowie Anforderungen an die K¨ uhleigenschaften und die elektromagnetische Vertr¨ aglichkeit mit in den Standard einbezogen. Analog zu VXI-Bus-Systemen werden auch PXI-Systeme in Form eines Mainframe aufgebaut (Abb. 16.22). In dieses Mainframe-Geh¨ause (enth¨alt auch die Spannungsversorgung) werden zwischen vier und 18 Europakarten (ANSI 310-C, IEC 297 und IEEE 1101.1) verschiedener Gr¨oßen (3 oder 6 Gr¨oßeneinheiten) eingeschoben. Im Steckplatz 1 (slot 1) befindet sich der Systemcontroller, der entweder eine Fernsteuerung des Systems mittels eines Desktop-PCs erm¨ oglicht, oder aber einen Embedded Controller mit einem eigenst¨andigen Betriebssystem. Module zur Erweiterung des Meßdatenerfassungssystems, wie Signalgeneratoren, Signalanalyseger¨ate oder Meßger¨ate, k¨ onnen in die verbleibenden Steckpl¨ atze eingebracht werden (Abb. 16.23). Außerdem existiert die M¨ oglichkeit, das System mit einem Stern-TriggerController zu erweitern, um ¨ ahnlich den VXI-Systemen weitergehende Synchronisations- und Timingm¨ oglichkeiten zu verwirklichen. System-Controller-Modul Controller Erweiterung-Slots

leerer Slot

periphere Module

P2

Backplane

P1 Chassis

1

2

3

System-Slot Star-TriggerController oder peripherer Slot

4

5

6

7

maximal 7 verfügbare Einsteckplätze

Abb. 16.22. Aufbau eines PXI-Chassis

8

532

16 Meßdatenerfassung im Labor

Abb. 16.23. PXI-Chassis mit Controller und sieben Peripheriemodulen

Die Hauptmerkmale des PXI-Bus sind: • • • • • •

Taktrate: 33/66 MHz Datenbreite: 32 bzw. 64 Bit Datentransferrate: 132 MByte/s (32 Bit, 33 MHz) bis 528 MByte/s (64 Bit, 66 MHz) Systemerweiterung mittels PCI-PCI Br¨ ucken m¨oglich Einbettung in 3,3 V-Systeme Plug-and-play F¨ ahigkeit

Der PXI-Standard stellt folgende Synchronisierungs-, Timing- und Kommunikationsm¨oglichkeiten zur Verf¨ ugung: • • • • •

Referenztakt (zur Synchronisierung mehrerer Komponenten; 10 MHz-TTLSignal) Trigger-Bus (8 Leitungen zur internen und externen Triggerung) lokaler Bus (13 Leitungen zur internen Kommunikation, die die PXIBandbreite nicht schm¨ alern. Es k¨ onnen TTL-Signale oder Signale bis zu 42 V verwendet werden.) Stern-Trigger-Bus (je eine Trigger-Leitung f¨ ur ein Modul in sternf¨ormiger Anordnung, um so einen m¨ oglichst kleinen Bitversatz und genaueste Synchronisierung zwischen den PXI-Modulen zu gew¨ahrleisten.) PCI-PCI Br¨ ucken erm¨ oglichen die Erweiterung eines PXI-Systems um weitere Steckpl¨atze, wobei nur ein PXI-Controller ben¨otigt wird.

Einen großen Vorteil von PXI-Systemen stellt die M¨oglichkeit dar, CompactPCI-Module zu integrieren. Diese k¨ onnen zu einem g¨ unstigen Preis die gew¨ unschte Funktionalit¨ at, wie sie beispielsweise eine Netzwerkkarte bietet, in ein

16.7 VXI-Bus, PXI-Bus und MXI-Bus

533

bestehendes System einbinden, wobei dann auf die erweiterten PXI-Signale verzichtet werden muss. Die Verwendung eines PCs als Controller und die Anbindung an ein PXI-Geh¨ ause mittels einer PCI-PCI-Br¨ ucke stellt einen h¨ aufigen Anwendungsfall von PXI-Systemen dar. Hierbei wird sowohl auf alle preisg¨ unstigen Ressourcen eines PCs zur¨ uckgegriffen als auch die schnellen Timing- und Synchronisierungsf¨ ahigkeiten des PXI-Busses genutzt. Durch die Verwendung von PCI-PCI-Br¨ ucken kann ein PXI-System auf bis zu 31 Einsteckkarten erweitert werden. Es ist m¨oglich, auch gr¨oßere Systeme zu erstellen; durch den aktuellen PXI-Standard (PXI Hardware Revision 2.2) wird diese Grenze jedoch vorgegeben. 16.7.8 PCI-Express PCI-Express (Peripheral Component Interface Express, abgek¨ urzt PCIe bzw. PCI-E) ist prinzipiell als Nachfolger des PCI-Bus zu sehen. Aber im Gegensatz zum PCI-Bus ist PCIe kein paralleler Bus, sondern eine schnelle Punkt-zuPunkt-Verbindung, bei der die Daten¨ ubertragung u ¨ber vollduplexf¨ahige Leitungspaare, sog. Lanes, erfolgt. F¨ ur die derzeit maximal m¨oglichen 16 (k¨ unftig 32) Lanes (als PCIe x 16 bezeichnet) sind in Zukunft Daten¨ ubertragungsraten von bis zu 1 GByte/s pro Lane geplant. Zur Zeit liegen diese bei 250 MByte/s pro Richtung. Im PC-Bereich wird PCIe x 1 als Ersatz f¨ ur den bekannten PCIBus hergenommen, w¨ ahrend leistungsf¨ ahige Graphikkarten mittels PCIe x 16 angebunden werden. PCIe ist hotplugf¨ ahig, d. h. ein Einbau der Karten ist w¨ ahrend des laufenden Rechnerbetriebes m¨ oglich. Weitere Informationen zu PCIe findet man in [117]. 16.7.9 PXI-Express (PXIe) Ebenso wie der PXI-Standard die M¨ oglichkeit zur Instrumentierung basierend auf dem Desktop Computer Standard PCI gibt, greift PXI-Express den neuen Computer-Bus-Standard PCI-Express auf. Die M¨oglichkeiten zur Instrumentierung umfassen bei PXI-Express neben den Merkmalen von PXI einen neuen differentiellen 100 MHz System-Takt, differentielle Point-to-Point-Trigger sowie einen variablen Point-to-Point-Takt. Den typischen Aufbau eines PXI-Express-Systems zeigt Abb. 16.24. F¨ ur die in einem Chassis vorhandenen Einsch¨ ube (Slots) definiert der Standard mehr M¨oglichkeiten als bei den PXI-Systemen. Der System-Slot auf der linken Seite ist obligatorisch, ebenso das Vorhandensein von Standardeinsch¨ uben f¨ ur die Instrumente (Peripheral Slots). Die System-Timing-Slots erm¨oglichen die Nutzung der neuen Timing- und Triggerm¨oglichkeiten von PXI-Express. Weiterhin k¨onnen PXI-1-Slots vorhanden sein, in welchen die herk¨ommlichen PXI-Karten betrieben werden k¨ onnen. Eine Besonderheit stellen die Hybrid Slots dar. Dort k¨onnen sowohl PXI- als auch PXI-Express-Karten verwendet werden. Ebenso wie bei den PXI-Systemen bleibt die Kompatibilit¨at zu Compact PCI vorhanden.

534

16 Meßdatenerfassung im Labor

PXI Express System Timing Slot PXI Express peripherer Slot

PXI Express Hybrid Slot

Module

Backplane Interface Connectors

PXI Express System Slot

Backplane Chassis

1

System-Erweiterungs-Slots

2

3

4

5

6

H

7

H

8

Periphere Slots

Abb. 16.24. Typischer Aufbau eines PXI-Express-Systems

Die Spezifikationen bez¨ uglich der Daten¨ ubertragungsraten ist von der jeweiligen Implementierung abh¨ angig und gibt somit den Entwicklern von PXIExpress-Systemen die M¨ oglichkeit, Kosten und Performance gegeneinander abzuw¨agen. Als Maximalwert f¨ ur die Daten¨ ubertragung des Systemmoduls ¨ sind 6 GB/s pro Ubertragungsrichtung und f¨ ur die einzelnen periph¨aren Module je 2 GB/s definiert. Da die PXI-Express-Backplane mehrere Datenpfade zu Verf¨ ugung stellt, sind Gesamt¨ ubertragungsraten von u ¨ber 32 GB/s in jede Richtung m¨oglich. Diese Daten beziehen sich auf die aktuelle PXI-ExpressHardware-Spezifikation (Revision 1.0). 16.7.10 MXI-Bus Die erste Generation des MXI-Bus (Multisystem-Extension-Interface-Bus) ist ein 32-Bit breiter Bus zur Verbindung mehrerer VXI-Mainframes bzw. zur Anbindung von VXI-Modulen an einen PC [101]. Mit Hilfe des bis zu 20 m langen Buskabels k¨ onnen bis zu 32 Mainframes verbunden werden. Die physikalische Verbindung basiert auf 48 single-ended verdrillten Leitungspaaren

16.7 VXI-Bus, PXI-Bus und MXI-Bus

535

(twisted pairs), die einen hohen Grad an St¨ orsicherheit gew¨ahrleisten. Neben dem gemultiplexten, bis zu 32-Bit breiten Daten- und Adress-Bus gibt es u. a. eine Interrupt-Leitung, eine Fehlerleitung zur Behandlung von Deadlocks (Endlosschleifen) sowie Handshake-Steuerleitungen. Die theoretisch maximale Datentransferrate des MXI-Busses der ersten Generation liegt bei 20 MByte/s, wobei in der Praxis nur ca. 5 MByte/s erreicht werden. Abbildung 16.25 zeigt die prinzipielle Struktur einer MXI-Bus-Verbindung zwischen einem HostRechner und VXI-Bus-Systemen. HostRechner

VXI-Bus-System I Resource Manager Commanders und Servants

MXI-BusInterface

VXI-Bus-System II Resource Manager Commanders und Servants

Abb. 16.25. VXI-Bus-Systeme mit MXI-Bus-Verbindungen zu einem Host-Rechner

Die Weiterentwicklung des MXI-Busses wird als MXI-2 bezeichnet. Sie nutzte die damals neueste Technologien f¨ ur Desktop-Computer, wobei vor allem durch den Einsatz des PCI-Busses eine erhebliche Verbesserung des Datendurchsatzes auf theoretisch 33 MByte/s und praktisch ca. 23 MByte/s erreicht wurde. Weitere Verbesserungen des MXI-2 Busses stellen die Verwendung von DMA (Direct Memory Access) und die M¨ oglichkeit zur asynchronen Steuerung dar. Die Einf¨ uhrung des synchronen MXI-Protokolls brachte eine deutliche Reduzierung des Protokoll-Overheads und damit eine Erh¨ohung des Datendurchsatzes. Die dritte Generation des MXI Standards (MXI-3) basiert, unter Ber¨ ucksichtigung des Compact-PCI- und PXI-Standards, auf der PCI-Technologie. Im Prinzip verh¨alt sich eine MXI-3-Verbindung wie eine PCI-PCI-Br¨ ucke, welche aus einem prim¨ aren (PCI-MXI-3-Board) und einem sekund¨aren (CompactPCI/PXI-MXI-3-Modul) Interface besteht, die mit einem Kupfer- oder Lichtwellenleiterkabel miteinander verbunden sind und somit eine transparente Ankopplung von Compact-PCI/PXI-Systemen an Standard-PCs erlaubt. Die Leitungsl¨ange darf bei Verwendung von Kupferkabeln 10 m und bei Lichtwellenleitern 200 m nicht u ussen gr¨oßere Distanzen u ¨berschreiten. M¨ ¨berwunden werden, so kann dies durch Repeater, die nach der jeweils maximalen Kabell¨ange eingesetzt werden, realisiert werden. Der theoretisch maximale Datendurchsatz von MXI-3 betr¨ agt 100 MByte/s, wobei praktisch ca. 90 MByte/s erreicht werden.

536

16 Meßdatenerfassung im Labor

16.7.11 PXI MultiComputing (PXImc) Mit den gr¨oßer werdenden Datenmengen, welche Instrumentierungs- und Messdatenerfassungssysteme zu generieren in der Lage sind, w¨achst auch der Bedarf an Prozessorleistung vor Ort. Klassischerweise werden alle Daten, beispielsweise in PXI-Systemen, vom zentralen Steuerrechner verarbeitet. Mittlerweile sind allerdings Systeme gew¨ unscht, die u ¨ber mehr Rechenleistung verf¨ ugen, als von einer einzigen Prozessoreinheit zur Verf¨ ugung gestellt werden kann. Auf der anderen Seite bieten konventionelle Bussysteme, wie MXI oder Ethernet, nicht die notwendige Bandbreite bzw. besitzen zu große Verz¨ogerungszeiten. Aus dieser Motivation heraus wurde im Jahr 2009 der PXImc-Standard entwickelt, der aktuell in der PXI MultiComputing Hardware Specification (Revision 1.0) niedergelegt ist. Dieser neue Standard basiert auf den PXISpezifikationen und den PCIe-External-Cabling-Spezifikationen, was den Vorteil hat, daß beim Aufbau eines PXImc-Systems im wesentlichen auf bekannte Komponenten, Kabel und Verbinder zur¨ uckgegriffen werden kann. PXImc Device PXI Peripheral Module Form Factor

Primary System Host

PCI Host Bus Bridge

PXI Backplane Clock

PXImc Logic Bus PCI NTB

PCI Host Bus Bridge

PCI-Bus

Abb. 16.26. PXImc-Kommunikation innerhalb eines PXI-Chassis

Abbildung 16.26 zeigt die Grundkomponenten eines PXImc-Systems. In jedem System ist genau ein Primary System Host vorhanden, der als Controller fungiert. Daneben k¨ onnen mehrere PXImc Devices existieren. Die ¨außere Form des Hosts ist nicht vorgegeben, es kann sich dabei um einen PC oder auch um ein PXI-System-Module in einem PXI Chassis handeln. Letztere Variante ist in Abb. 16.26 dargestellt, wobei dort auch ein PXImc Device im selben Geh¨ause untergebracht ist. Das PXImc Device beinhaltet einen eigenen Prozessor, Speicher und den PCIe Root Complex, der die Kommunikation u ¨ber den PCI-Bus steuert. Neben diesen Standardkomponenten muss ein PXImc Logic Block vorhanden sein. Dieser beinhaltet eine nicht-transparente PCI Bridge (NTB) sowie die notwendige Elektronik f¨ ur die Referenztaktsignale des Primary System Hosts. Die Kommunikation erfolgt in diesem Fall ausschließlich u ¨ber die NTB. Es

16.7 VXI-Bus, PXI-Bus und MXI-Bus

537

wird die Backplane des PXI-Chassis genutzt, wodurch maximale Daten¨ ubertragungsraten erreicht werden k¨ onnen. Daneben k¨onnen externe PXImc Devices u ¨ber PCI Express Kabel angeschlossen werden. 16.7.12 Historie der bisher diskutierten Bus-Standards Abschließend sind die Zeitpunkte der Einf¨ uhrung aller bisher diskutierten BusStandards angef¨ uhrt: 1981 VME

Etablierung des VME-Standards (VERSAmodule Eurocard) 1987 VXI National Instruments f¨ uhrt VXI (VME eXtension for Instrumentation) als offenen Standard ein 1989 MXI Einf¨ uhrung von MXI (Multisystem eXtension Interface) zur Anbindung von Computern an VXISysteme 1995 VME64 Weiterentwicklung des VME- zum VME64-Standard durch Erweiterung auf 64-Bit-Datenbreite 1996 MXI-2 MXI-2 erm¨ oglicht deutlich h¨ohere Datenraten und Datendurchsatz 1997 VME64x VME64x (eXtension) erweitert VME64 u. a. um 3, 3 V Spannungsversorgung, zus¨atzlich wird die max. Datenrate auf bis zu 160 MByte/s erh¨oht. 1998 PXI Einf¨ uhrung von PXI (PCI eXtension for Instrumentation), um die preisg¨ unstigen PCI (Peripheral Component Interconnect) Produkte des Desktop-PC Bereichs nutzen zu k¨ onnen. 1999 MXI-3 Unter Verwendung von MXI-3 ist es m¨oglich, PXISysteme mit hohen Datenraten an PCs anzubinden 2004 PCIe PCIe (PCI-Express bzw. PCI-E) ist eine schnelle Punkt-zu-Punkt-Verbindung mit 16 vollduplexf¨ahigen Leitungspaaren mit je 250 MByte/s. 2005 PXIe Erweiterung von PXI um die Spezifikationen von PCIe, was Datenverkehr innerhalb eines PXIeSystems (PXI Express) von bis zu 32GB/s erm¨ oglicht. 2009 PXImc PXImc (PXI MultiComputing) ist ein Standard, der die verteilte Rechenleistung von Multiprozessorsystemen mit der Bandbreite schneller PCI oder PCIExpress-Verbindungen vereint.

17 Meßdatenerfassung im Feld

17.1 Die speicherprogrammierbare Steuerung (SPS) 17.1.1 Aufbau einer SPS Speicherprogrammierbare Steuerungen sind modulare und frei programmierbare Steuerger¨ate, die nicht als fertige Komplettsysteme angeboten, sondern nach den Anforderungen der jeweiligen Applikation anhand von Einzelmodulen konfiguriert werden. Die Grundausstattung einer SPS beinhaltet: • • • •

eine Stromversorgung, einen Prozessor (CPU), Speichermodule (RAM, NOV-RAM, EPROM, EEPROM), mindestens je eine Eingangs- und Ausgangsbaugruppe.

Es existieren noch zahlreiche weitere Baugruppen f¨ ur speicherprogrammierbare Steuerungen, wie beispielsweise Schnittstellenerweiterungen, Kommunikationsbaugruppen oder CPUs f¨ ur spezielle Aufgaben, die je nach Anforderungen zu der SPS-Hardware hinzugef¨ ugt werden k¨ onnen. So entsteht ein optimal an die Anwendung angepaßtes Hardwaresystem, das keine ungenutzten Komponenten enth¨alt. Die Modularit¨at von speicherprogrammierbaren Steuerungen hat auch den Vorteil, daß bestehende Systeme leicht durch weitere Baugruppen ausgebaut werden k¨onnen bzw. bei gegebener Kompatibilit¨at ein leistungsf¨ahigerer Prozessor einen f¨ ur die gew¨ unschte Aufgabe zu langsamen Prozessor ersetzt, ohne etwas an den anderen Baugruppen oder gar am Programmcode ver¨andern zu m¨ ussen. Detaillierte Informationen zu speicherprogrammierbaren Steuerungen findet man in der Spezialliteratur [55], [56], [105]. 17.1.2 Programmstruktur Steuerprogramme bestehen aus Aufrufen von Bausteinen (Programm-Module), die unabh¨angig voneinander programmiert werden. Dadurch k¨onnen im Laufe

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_17, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

540

17 Meßdatenerfassung im Feld

der Zeit große Bausteinbibliotheken entstehen, die auch in anderen Programmen verwendet werden. Traditionell unterscheidet man zwischen Programmbausteinen, Funktionsbausteinen, Organisationsbausteinen und Schrittbausteinen, wobei die beiden letztgenannten Bausteine im Standard IEC 61131-3 durch die Einf¨ uhrung von Tasks bzw. durch die Ablaufsprache ersetzt wurden. Die traditionellen Bausteine unterscheiden sich nach Art der Anwendung folgendermaßen: Funktionen: es werden Parameter u ¨bergeben und ein Parameter eines bestimmten Typs wird zur¨ uckgegeben. Der R¨ uckgabeparameter wird nicht gespeichert (= ohne Ged¨ achtnis). Funktionsbl¨ ocke: erhalten Eingangsparameter und f¨ uhren bestimmte, von den Parametern abh¨ angige Funktionen aus. Nach Ablauf der Funktion stehen die Ergebnisse in Form von Parametern dauerhaft zur Verf¨ ugung (= mit Ged¨achtnis). ¨ Programme: erf¨ ullen Aufgaben ohne Ubergabe von Parametern. Organisationsbausteine: steuern den zeitlichen Ablauf von Programmen und Funktionsbausteinen. Schrittbausteine: steuern den Ablauf von Programmen. 17.1.3 Permanent-zyklischer Betrieb Da speicherprogrammierbare Steuerungen nicht die u ¨bliche Architektur von Computern besitzen, ist auch der Programmablauf anders gestaltet. SPSProzessabbild Eingänge

SteuerungsProgramm

Prozess

Prozessabbild Ausgänge Abb. 17.1. Permanent-zyklischer Betrieb einer speicherprogrammierbaren Steuerung (SPS)

17.1 Die speicherprogrammierbare Steuerung (SPS)

541

Programme laufen im permanent-zyklischen Betrieb ab, wobei vor und nach jedem Programmzyklus sog. Prozeßabbilder ver¨andert werden. Das Prozeßabbild (Abb. 17.1) beschreibt den Zustand der Ein- und Ausg¨ange zu einem bestimmten Zeitpunkt. Nur in Ausnahmef¨ allen wird ein bestimmter Wert eines Eingangs bzw. Ausgangs direkt gelesen bzw. gesetzt (d. h. nicht erst zum Ende des Programmdurchlaufs). Der typische Ablauf eines Zyklus beginnt mit dem Erstellen des Prozeßabbildes der Ein- und Ausg¨ ange. Da w¨ ahrend des Programmdurchlaufs nur auf das Prozeßabbild zugegriffen wird, ist nur eine Momentaufnahme des Zustands der Ein- und Ausg¨ ange w¨ ahrend der Programmbearbeitung ¨ verf¨ ugbar. Alle Anderungen am Zustand der Ausg¨ange werden erst nach dem ¨ Ende des Programmdurchlaufs durch das Ubertragen des Prozeßabbildes der ¨ Ausg¨ange auf die physikalischen Ausg¨ ange wirksam. Anderungen des Zustands von Eing¨angen nach dem Erstellen des Prozeßabbildes k¨onnen erst bei dem n¨ achsten Programmdurchlauf ber¨ ucksichtigt werden (Abb. 17.2). Die Zykluszeit bezeichnet die Zeitdauer zwischen zwei Schreibvorg¨angen auf die physikalischen Ausg¨ange. Diese ist nicht konstant, da die Bearbeitung des Programmes in aller Regel situationsabh¨ angig ist. Infolge bestimmter Ereignisse oder Meldungen werden jeweils andere Programmteile durchlaufen. Manche Hersteller bieten die M¨oglichkeit an, den Zyklus in zeitlich ¨aquidistanten Schritten zu starten, wobei w¨ahrend der verbleibenden Zeit entweder nichts geschieht oder Kommunikation mit anderen Ger¨ aten betrieben wird.

Prozessabbild der Eingänge einlesen

Prozessabbild der Ausgänge ausgeben

Programmbearbeitung

Prog.bearb.

Zyklus

Zyklus

Prog.bearb.

Prog.bearb.

Zyklus

Zyklus

Ereignis

...

Reaktion Reaktionszeit

Abb. 17.2. Reaktionszeit einer speicherprogrammierbaren Steuerung (SPS)

542

17 Meßdatenerfassung im Feld

17.1.4 Ausnahmen vom permanent-zyklischen Betrieb Durch Verwendung spezieller Befehle besteht die M¨oglichkeit, den Wert eines Eingangs direkt einzulesen bzw. einen Ausgangswert direkt zu setzen. Dies ¨ ist f¨ ur F¨alle notwendig, bei denen z. B. unmittelbar auf eine Anderung ein Ausgang gesetzt werden muß. Bei der Verwendung solcher Befehle kann zwar, bezogen auf diesen Ausgang, Zeit eingespart werden, auf mehrere Ein- bzw. Ausg¨ange angewandt, wird die Zyklusdauer jedoch erheblich verl¨angert. Daher ist es in den meisten F¨ allen sinnvoll, wie oben geschildert, nur auf die Prozeßabbilder zuzugreifen. 17.1.5 Besonderheiten der Programmierung Aufgrund des permanent-zyklischen Betriebs ist es nicht m¨oglich, innerhalb eines Programmdurchlaufs auf bestimmte Ereignisse zu warten. Es ist bei¨ spielsweise unm¨oglich, innerhalb eines Programmzyklus die Anderung eines Eingangswertes zu detektieren, da das Eingangsprozeßabbild nur eine Momentaufnahme der Eing¨ ange zum Zeitpunkt des Zyklusstarts darstellt und das Programm lediglich auf diese zur¨ uckgreifen kann. Desweiteren ist es nicht ¨ m¨ oglich, an einer bestimmten Stelle im Programm auf die Anderung einer Bedingung, z. B. das Verstreichen einer Zeitspanne, zu warten. Der permanentzyklische Betrieb muß vom Programmierer sichergestellt werden, andersfalls ¨ kommt es zu einer Uberschreitung der Zykluszeit, die je nach SPS entweder zu einem Abbruch der Programmausf¨ uhrung, einer Fehlermeldung oder Problemen mit der Kommunikation zur Außenwelt f¨ uhrt. Bei der Programmierung solcher Aufgaben wird daher die Ablaufsteuerung ¨ genutzt, die aufgrund von Ubergangsbedingungen daf¨ ur sorgt, daß der n¨achste Schritt im Programm ausgef¨ uhrt wird. Dagegen wird die Verkn¨ upfungssteuerung verwendet, um innerhalb eines Programmdurchlaufs alle Ausgangswerte in Abh¨angigkeit von bestimmten Eingangswerten und deren Verkn¨ upfungen zu setzen. 17.1.6 Programmiersprachen f¨ ur SPS nach IEC 61131-3 Es gibt viele Programmiersprachen f¨ ur speicherprogrammierbare Steuerungen, wobei leider nur wenige standardisiert sind und erst seit geraumer Zeit die Einsicht w¨achst, daß nur ein Programmierstandard die Portabilit¨at und damit die Zukunft von SPS-Programmen gew¨ ahrleistet. Viele SPS-Hersteller entwickelten anfangs speziell auf ihren SPS-Typ zugeschnittene Programmiersprachen, wodurch der Austausch einer SPS mit Modellen anderer Hersteller nicht ohne weiteres m¨ oglich war. Erst in der Norm IEC 61131-3 wurden einige Programmiersprachen standardisiert und so die gew¨ unschte Portabilit¨at erreicht. Es ist zu erw¨ ahnen, daß die dort beschriebenen Programmiersprachen beliebig miteinander kombinierbar sind, um die St¨arken der einen oder anderen Sprache in einem Programm nutzen zu k¨onnen.

17.1 Die speicherprogrammierbare Steuerung (SPS)

543

Folgende Programmiersprachen werden durch die IEC Norm 61131 definiert [105]: • • • • •

Anweisungsliste AWL, instruction list IL Strukturierter Text ST, structured text ST Kontaktplan KOP, ladder diagram LD Funktionsbausteinsprache FBS, function block diagramm FBD Ablaufsprache AS, sequential function chart SFC

Generell wird zwischen graphischen und textorientierten Sprachen unterschieden, wobei die Sprachen AWL und ST textorientiert, dagegen KOP und FBS graphisch sind. AS ist sowohl textorientierte als auch graphische Programmiersprache. Textorientierte Programmiersprachen AWL: wie der Name schon sagt, besteht diese Programmiersprache aus einer Liste von Anweisungen, wobei jede Anweisung in einer neuen Zeile beginnt und einen Operator sowie, je nach Operatortyp, einen oder mehrere durch Komma getrennte Operanden beinhaltet. Es finden auch IdentifikatorMarken Verwendung, die als Sprungpunkte dienen. ST: ist an Hochsprachen wie Basic, C oder Pascal angelehnt, eignet sich vor ¨ allem f¨ ur h¨aufig benutzte Konstrukte und dient der Ubersichtlichkeit des Programmes. So k¨ onnen Schleifen einfach implementiert werden. Strukturierter Text ist außerdem eine leicht lesbare Programmiersprache, die bei stark verschachtelten Anweisungen Vorz¨ uge bietet. Graphische Programmiersprachen KOP: ist an das Prinzip von elektrischen Schaltungen angelehnt. Die Sprache eignet sich zur Konstruktion logischer Schaltwerke, zur Steuerung von Funktionsbausteinaufrufen oder aber zum Erstellen von Netzwerken. Auf der linken und rechten Seite des Netzwerks wird selbiges von einer Stromleitung begrenzt, wobei mittels dazwischen angeordneter Kontakte, Spulen und Verbindungslinien ein Kontakt zwischen den Stromleitungen hergestellt werden kann. Kontakte sind dabei Datenquellen, wie z. B. boolesche Variablen oder Eingangssignale, und Spulen stellen Datensinken dar, z. B. boolesche Variablen oder Ausgangssignale. FBS: FBS-Programme k¨ onnen sehr abstrakt und kompakt sein und zudem elegant und auch z¨ ugig erstellt werden. Wesentliche Sprachelemente sind Funktionen, Funktionsbl¨ ocke, Funktionsbausteine, Variablen sowie horizontale und vertikale Linien. Daten fließen von links nach rechts und werden an beiden Seiten durch Variablen begrenzt. Die Verwendung von Sprungmarken und Spr¨ ungen ist vorgesehen, allerdings sollten diese nur begrenzt verwendet werden, um die Lesbarkeit des Programmes zu gew¨ahrleisten.

544

17 Meßdatenerfassung im Feld

Ablaufsprache AS: ist sowohl eine textbasierte als auch eine graphische Programmiersprache. Wesentliche Bestandteile der Programmiersprache stellen Schritte, ¨ Transitionen (Ubergangsbedingungen) und Verbindungen dar. Bei jedem Schritt wird eine bestimmte Menge von Aktionen f¨ ur diesen Schritt durch¨ gef¨ uhrt, diese Aktionen werden solange ausgef¨ uhrt, bis die Ubergangsbedingung zum n¨ achsten Schritt erf¨ ullt ist. Jedes Programm bzw. jeder Funktionsbaustein kann als AS-Programm betrachtet werden, selbst wenn daf¨ ur andere Sprachen zur Verwendung gekommen sind, da dann ein ASProgramm aus nur einem Schritt besteht. 17.1.7 Beispiele f¨ ur die IEC-genormten SPS-Programmiersprachen Im weiteren werden die standardisierten Programmiersprachen anhand von kleinen Beispielen vorgestellt: AWL-Beispiel:

¨ Abb. 17.3. Beispiel eines AWL-Programmes (R¨ uhrkessel-Uberwachung)

¨ Die Uberwachung eines R¨ uhrkessels soll als Beispiel f¨ ur ein AWL-Programm dienen. Abbildung 17.3 zeigt ein solches Programm, im oberen Teil die Variablendeklarationen und im unteren Teil die Implementierung des Programmes. Steigt die Kesseltemperatur u ¨ber eine bestimmte Maximaltemperatur oder sinkt die Kesseltemperatur unter einen Minimalwert, so wird die Variable NotAUS“ gesetzt und weitere Aktionen w¨ urden folgen. In diesem Beispiel” programm wurden folgende Befehle verwendet:

17.1 Die speicherprogrammierbare Steuerung (SPS)

545

LD LT

lade Variable in Stack (lower than) Abfrage, ob der Wert der im Stack befindlichen Variablen kleiner als ein bestimmter Wert ist EQ (equals) Abfrage, ob der Wert der im Stack befindlichen Variablen gleich einem bestimmten Wert ist GT (greater than) Abfrage, ob der Wert der im Stack befindlichen Variablen gr¨oßer als ein bestimmter Wert ist AND Und-Verkn¨ upfung von Bedingungen OR Oder-Verkn¨ upfung von Bedingungen ST Speichere Wert im Stack in Variable.

Eine AWL-Anweisung besteht immer aus einem Operator und, je nach Befehl, einem oder mehreren Operanden. Es k¨ onnen auch Sprungmarken definiert werden (Sprungmarke:) oder Kommentare am Ende der Zeile eingef¨ ugt werden ((* Kommentar*)). ST-Beispiel:

Abb. 17.4. Beispiel eines ST-Programmes (Raumtemperatur-Regelung)

Abbildung 17.4 zeigt ein kurzes ST-Programm, welches mehrere Male denselben Funktionsblock zur Raumtemperaturregelung aufruft. Im oberen Teil der Abbildung sind die Deklarationen zu erkennen, im unteren Teil die Implementierung des Programmes. Die Benutzung von Schleifen erlaubt es, den Programmcode im Gegensatz zu den anderen Sprachen sehr kompakt zu formulieren. Die Sprache ST ¨ ahnelt der Hochsprache Pascal. Der im Deklarationsteil des Programmes erw¨ahnte Funktionsblock T2PmitHysterese ist als ST-Funktionsblock in Abb. 17.5 zu sehen. Der Funktionsblock u uft, ob die Raumtem¨berpr¨ peratur geringer ist als der vorgegebene Sollwert, abz¨ uglich eines Hysteresewertes. Der jeweils g¨ ultige Sollwert kann dabei entweder durch ein Tagbzw. Nachtprogramm oder ansonsten durch einen Sollwertsteller vorgegeben werden. Die gleiche Funktionalit¨ at besitzt auch der in Abb. 17.7 gezeigte FBS¨ Funktionsblock, wobei die Ubersichtlichkeit und Anschaulichkeit der Funktion durch die Sprache FBS eher gegeben ist als bei Verwendung von ST.

546

17 Meßdatenerfassung im Feld

Abb. 17.5. Beispiel eines ST-Funktionsblocks

KOP-Beispiel: Das KOP-Beispiel (Abb. 17.6) zeigt die einfache Verkn¨ upfung mehrerer Bedingungsvariablen. Die Variablen F1 , F2 und F3 stellen den Zustand von Fenstern dar. Wenn nur eines dieser Fenster ge¨ offnet ist, dann soll die Variable Q gesetzt (= WAHR) werden. Sind weniger oder mehr als ein Fenster offen, so wird die Variable nicht gesetzt (= FALSCH). Es wurden die Elemente Kontakt und Spule verwendet, wobei die M¨ oglichkeit der Negierung jeweils auf zwei der L¨ uftervariablen in einem Parallelzweig angewendet wurde. Die dabei realisierte Funktion lautet Q = (F1 ∧ F2 ∧ F3 ) ∨ (F1 ∧ F2 ∧ F3 ) ∨ (F1 ∧ F2 ∧ F3 ). F¨ ur diesen Funktionsblock m¨ ussen die Variablen deklariert sein, dieser Deklarationsblock k¨onnte folgendermaßen aussehen:

Abb. 17.6. Beispiel eines KOP-Funktionsblocks

17.1 Die speicherprogrammierbare Steuerung (SPS)

547

FUNCTION BLOCK EIN FENSTER OFFEN VAR INPUT F1, F2, F3: BOOL; END VAR VAR OUTPUT Q: BOOL; END VAR VAR END VAR

FBS-Beispiel:

Abb. 17.7. Beispiel eines FBS-Funktionsblocks (Raumtemperatur-Regelung)

Am Beispiel einer Raumtemperaturregelung (Abb. 17.7) wird die Sprache FBS vorgestellt. Es wird zwischen folgenden Szenarien unterschieden: • • •

Steuerung durch Raumsollwertsteller Steuerung durch Tagprogramm Steuerung durch Nachtprogramm.

Ist eines der Programme aktiv, so wird der jeweils definierte Sollwert herangezogen, andernfalls wird der Wert des Raumsollwertstellers verwendet. F¨allt die Temperatur unter einen bestimmten Schwellwert (= Sollwert - Temperaturhysterese), so soll die Variable Heizung gesetzt werden, andernfalls nicht. Dieselbe Funktionalit¨ at wird auch von dem in Abb. 17.5 beschriebenen ST¨ Funktionsblock u des Funktionsblocks ¨bernommen, wobei die Ubersichtlichkeit durch die Sprache FBS wesentlich verbessert wird. Es wurden bei diesem Beispiel Funktionsbausteine, Negierungen sowie Einund Ausg¨ange verwendet. Negierungen sind an einem Kreis am jeweiligen Einoder Ausgang eines Funktionsbausteins zu erkennen. Analog zum FBS-Beispiel ist auch hier ein Deklarationsblock f¨ ur Variablen n¨ otig. Dieser wird nicht explizit aufgef¨ uhrt, da er dem Deklarationsblock aus Abb. 17.5 entspricht.

548

17 Meßdatenerfassung im Feld

AS-Beispiel: Die Steuerung einer Fußg¨angerampel soll in Anlehnung an [56] als Beispiel f¨ ur die Ablaufsprache dienen. Das zugeh¨orige Bild ist in Abb. 17.8 zu sehen. Die Steuerung unterscheidet dabei folgende Zust¨ande der Fußg¨ angerampel: • • • • • •

Fahrbahn frei (Fahrzeuge d¨ urfen passieren) Fahrbahn anhalten (Fahrzeuge sollen anhalten) Straße r¨aumen (Fahrzeuge sollen den Ampelbereich verlassen) Fußweg frei (Fußg¨anger d¨ urfen die Straße u ¨berqueren) Fußweg r¨aumen (Fußg¨anger sollen die Straße verlassen) Fahrbahn vorbereiten (Fahrzeuge sollen sich auf das Anfahren vorbereiten)

In diesem Beispiel wurden Transitionen, Aktionen und ein Sprung verwendet. Tran¨ sitionen sind Ubergangsbedingungen, die das Fortschreiten von einem Schritt zum n¨ achsten steuern. In den meisten F¨allen ¨ des Beispiels heißt die Ubergangsbedingung Timer.Q, was den Ablauf einer bestimmten Zeit darstellt. Zu Beginn eines jeden Schrittes wird ein Timer gestartet, der nach dem Ablauf einer vorgegebenen Zeit eine logische ‘1‘ liefert. Der Ampelzyklus wird gestartet, indem entweder ein Knopf gedr¨ uckt wurde oder aber im Automatik-Modus eine bestimmte Zeit verstrichen ist. Ist das Programm am unteren Ende angekommen, so wird durch den Sprung zu Fußweg raeumen der Zyklus fortgesetzt. Ein ‘E‘ in der linken unteren Ecke eines Schrittes zeigt eine vorhandene Eingangsaktion, ein schwarzes Dreieck in der Abb. 17.8. Beispiel eines AS- rechten oberen Ecke eine Schrittaktion an, die fortlaufend ausgef¨ uhrt wird solanProgrammes ge der Schritt aktiv ist. Aktionen sind

17.2 Neue Entwicklungen bei Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS)

549

Programm- oder Funktionsaufrufe in einer der genormten Programmiersprachen. In diesem Beispiel werden in den Eingangsaktionen die Ampelwerte (Rot, Gelb, Gr¨ un) gesetzt und in der Schrittaktion der Timer aufgerufen, um den Wert der abgelaufenen Zeit aufzufrischen. Die Zust¨ande der Ampelfarben w¨ ahrend der jeweiligen Schritte sind in Tab. 17.1 aufgef¨ uhrt. Tabelle 17.1. Farbtabelle der Ampeln des AS-Beispiels Schritt Fussweg raeumen Fahrbahn vorbereiten Fahrbahn frei Fahrbahn anhalten Strasse raeumen Fussweg frei

Fahrzeugampel Rot Gelb Gr¨ un 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0

Fußg¨ angerampel Rot Gr¨ un 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1

Tip: Auf der CD-ROM befindet sich eine Demoversion des Programms CoDeSys zur Programmierung von Speicherprogrammierbaren Steuerungen. Das book.pdf-File enth¨alt eine Einf¨ uhrung in die wichtigsten, hier verwendeten Elemente der SPSProgrammierung sowie einige Aufgabenstellungen, die einen Einblick in die unterschiedlichen Programmiersprachen geben. Dabei k¨onnen SPSProgramme erstellt und auf dem PC simuliert werden. Via Internet k¨onnen auch Programme auf eine am Lehrstuhl f¨ ur Sensorik (FriedrichAlexander-Universit¨ at Erlangen-N¨ urnberg) aufgebaute SPS geladen und ausgef¨ uhrt werden. Die erfolgreiche Programmierung dieser SPS kann anhand von helligkeitsgesteuerten Lampen und LEDs mittels einer WebCam beobachtet werden. Die Beispielprogramme befinden sich im Verzeichnis \SPS_Codesys\Aufgaben.

17.2 Neue Entwicklungen bei Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS) 17.2.1 Vernetzung von Speicherprogrammierbaren Steuerungen Die durchg¨angige Vernetzung von meist dezentralen Steuerungseinheiten ist ein wichtiger Trend in der Automatisierungstechnik. Die in der j¨ ungeren Vergangenheit entwickelten SPS-Controller bieten neben einer hohen Prozessorleistung vielf¨altige M¨ oglichkeiten der Kommunikation u ¨ber folgende wichtige Standard-Schnittstellen bzw. Protokolle:

550

• • • • •

17 Meßdatenerfassung im Feld

http (Hypertext Transfer Protocol) GSM (Global System f¨ ur Mobile Comunication) s. Kap. 18.10 SMS (Short Message Services) TCP/IP (Transmission Control Protocol/Internet Protocol) s. Kap. 18 ISDN (Intergrated Services Digital Network) s. Kap. 18.10

Im folgenden sollen beispielhaft einige Kommunikationsformen anhand einer SPS-Controller-Familie der Fa. WAGO aufgezeigt werden. Es handelt sich dabei um die Serie 750, zu der verschiedene Controller angeboten werden [165]. Die Controller (s. Abb. 17.9) unterscheiden sich einerseits bez¨ uglich der Feldbusschnittstelle, die sie zur Verf¨ ugung stellen, und andererseits in Bezug auf die interne Speichergr¨ oße sowie die Leistungsf¨ahigkeit des eingebauten Prozessors. Als m¨ogliche Feldbusanschl¨ usse werden beispielsweise der CAN-Bus, der PROFIBUS/DP, der Interbus, der LON-BUS oder auch der MODBUS angeboten. Daneben gibt es den Controller in Ausf¨ uhrungen mit ETHERNET TCP/IP-Anschluß, wie z. B. das in Abb. 17.9 gezeigte Modell 750-841. Die neuere Variante 750-881 stellt 2 RJ 45-Buchsen f¨ ur den ETHERNET-

Abb. 17.9. Speicherprogrammierbare Steuerung (SPS) der Fa. WAGO [165]. Der SPS-Controller enth¨ alt einen integrierten Webserver.

17.2 Neue Entwicklungen bei Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS)

551

Anschluß bereit. Er arbeitet mit h¨ oheren Taktfrequenzen und gr¨oßeren Speichern (Programmspeicher = 1 MByte, Datenspeicher = 512 kByte und Remanentspeicher = 32 kByte). Daneben enth¨ alt er einen internen Switch f¨ ur die Vernetzung in Linientopologie. Dadurch k¨onnen unter Umst¨anden sogar separate Switches im Netzwerk eingespart werden. Die IP-Adresse l¨aßt sich u ¨ber DIP-Schalter einstellen. 1. Fernwartung u ¨ ber eine Telefon-Modemverbindung Die serielle Service-Schnittstelle des Controllers erlaubt in Verbindung mit einer entsprechenden Kommunikationstreibersoftware den Aufbau einer transparenten Modemverbindung. Dazu k¨onnen sowohl analoge als auch digitale (ISDN und GSM) Telefon-Modems zum Einsatz kommen. Auf diese Weise l¨ aßt sich eine kosteng¨ unstige Fern¨ uberwachung der SPS realisieren. Es ist jedoch zu u ufen, inwieweit geeignete Kommunika¨berpr¨ tionstreiber zum aktuell verwendeten Controller verf¨ ugbar sind. 2. Datenaustausch u ¨ ber ein LAN-Modem Bei Verwendung eines LAN-Modems, das im besonderen auch ein ISDNRouter mit LAN-Anbindung sein kann (entspr. dem Gateway in Abb. 20.1), erfolgt der Zugriff auf den SPS-Controller via seiner Ethernet-Schnittstelle wie in einem lokalen Netzwerk auf transparente Weise. Diese Vernetzungsvariante erm¨oglicht die komfortable Fernwartung, die Programmierung sowie die Steuerung bzw. Beobachtung der SPS von einem PC aus, der sich an einem beliebigen Standort befinden kann. Dabei lassen anwendungsspezifische Programme, die auf dem MODBUS-TCP-Protokoll oder Ethernet/IP (Ethernet Industrial Protocol) aufsetzen, den direkten Zugriff auf Datentransfer-Routinen zu. Auf diese Weise ist auch eine direkte Anbindung an SCADA (= System (Survey/Supervisory) Control and Data Acquisition) m¨oglich. SCADA bezeichnet eine Software-Kategorie, die der Datenaufnahme, der Prozeßsteuerung und der Prozeßvisualisierung dient. Der Begriff SCADA-System wird h¨ aufig als Synonym f¨ ur Leitsystem verwendet, obgleich das letztgenannte sicherlich wesentlich weitreichendere Funktionalit¨at aufweist. Die Anbindung an SCADA erfolgt in der Regel wiederum u ¨ber MODBUS-TCP-Treiberroutinen, mittels derer direkter Zugriff auf die Prozeßdaten besteht. 3. Kommunikation via Short-Message-Service (SMS) Das Versenden einer SMS (Short-Message-Service) seitens einer SPS auf ein bestimmtes Mobiltelefon eignet sich besonders zum Alarmieren eines Servicetechnikers in Bereitschaft. Eine St¨ormeldung wie “Notabschal¨ tung/Uberhitzungsgefahr” l¨ aßt sich problemlos auf ein gew¨ohnliches Mobiltelefon u ¨bertragen. Der Text kann variiert und sogar mit aktuellen Prozeßdaten versehen werden. Das Versenden von SMS-Nachrichten erfolgt immer u ¨ber das Short-Message-Service-Center (SMSC) des jeweili-

552

17 Meßdatenerfassung im Feld

gen Netzbetreibers. Controller und SMSC k¨onnen sowohl u ¨ber GSM als auch u ¨ber das Festnetz (ISDN oder analog) kommunizieren. Der SMS-Versand u ¨ber ein GSM-Modem, gegebenenfalls ein Handy mit Datenkabel, bietet besonders f¨ ur an abgelegenen Standorten arbeitende Controller vielf¨ altige Einsatzm¨ oglichkeiten. F¨ ur den Anschluß des GSM-Modems wird eine entsprechende Busklemme mit einer seriellen Schnittstelle in den Klemmenverband integriert. Ein mit einem GSM-Modem verbundener Controller kann auch SMSNachrichten empfangen und auswerten. Entsprechend programmiert, kann der Controller in dieser Konfiguration den Empfang und die korrekte Ausf¨ uhrung eines Befehls sogar best¨ atigen. Die Kommandos werden in Form von benutzerdefinierten Funktionen zusammengefaßt. Damit steht eine weitere Variante der Fernbedienung zur Verf¨ ugung, die z. B. f¨ ur die geb¨audetechnische (Fern-)Steuerung eines Einfamilienhauses interessant ist. 4. SPS mit integrierten Webservern Der neueste Trend der vernetzten Kommunikation mit einer SPS zielt in Richtung der vollst¨ andigen und komfortablen Einbindung der SPS in ein Intranet. Dazu werden die SPS-Controller, wie z.B. der Controller 750-841 (842) der Fa. WAGO, mit einem integrierten Webserver ausgestattet; d. h. der Webserver ist direkt in der Firmware des Controllers implementiert. In Verbindung mit einer schnellen Ethernet-Schnittstelle (100 MBit/s) on Board ist die schnelle Daten¨ ubertragung mittels TCP/IP-Protokoll m¨oglich. Dar¨ uberhinaus erlaubt der Webserver neben der Konfiguration und Diagnose der Anlage auch die freie Gestaltung eigener HTML(Hypertext Markuplanguage) Seiten mit vollem Zugriff auf die Prozeßdaten. So ist es dem Anwender m¨ oglich, per (Standard-) Webbrowser auf die SPS zuzugreifen, um beispielsweise Statusinformationen abzurufen. Die Abb. 17.10 zeigt die Statusinformationen einer modernen SPS bez¨ uglich der Seriennummer des verwendeten Controllers, der Versionsnummer seiner aktuell geladenen Firmware und seiner Gateway Adresse. So lassen sich nun auf einem beliebigen PC ohne spezielle Visualisierungssoftware oder Spezialprogramme Prozeßdaten u ¨bersichtlich darstellen. Es ist lediglich einer der Standard-Webbrowser erforderlich. Die vom Anwender definierten HTML-Seiten lassen sich mit handels¨ ublichen Softwaretools entwerfen und per FTP (File Transfer Protocol) auf den Controller u ¨bertragen. Der Zugriff auf die Prozeßdaten erfolgt dabei u ¨ber spezielle Tags, die vom Webserver des Controllers ausgewertet werden. Auch das Versenden von E-Mails von einem bzw. an einen SPSController ist damit m¨ oglich. Das Versenden von E-Mails, ob im Intranet oder im Internet, erfolgt immer u ¨ber einen Mail-Server. Als Protokoll wird das Simple-Mail-Transfer-Protocol (SMTP) verwendet. Die Empf¨anger holen ihre Nachrichten u ¨ber das Post-Office-Protocol-3 (POP3) aus ih-

17.2 Neue Entwicklungen bei Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS)

553

Abb. 17.10. Webseite, mit der sich der SPS-Controller bei Aufruf seiner IP-Adresse meldet. Die Seite zeigt wichtige Informationen, wie z. B. die Seriennummer des Controllers, die Versionsnummer seiner Firmware und seine Gateway-Adresse. Unter der IP-Adresse 131.188.140.217 kann der Leser die interne Webseite einer am Lehrstuhl f¨ ur Sensorik [86] befindlichen SPS aufrufen.

rem Postfach ab. Gesteuert wird der Mail-Client u ¨ber den Aufruf von Funktionsbausteinen in einem IEC 61131-Programm (s. Kap. 17.1.6). Mit den oben besprochenen Vernetzungsarten einer SPS bieten sich auch neue M¨ oglichkeiten der Visualisierung, die im folgenden Abschnitt behandelt werden. 17.2.2 Visualisierung von SPS-Daten und -Prozessen Die M¨oglichkeiten, die eine moderne SPS in Verbindung mit geeigneter Software heute bietet, sollen wiederum an einem konkreten Produkt aufgezeigt werden. Es werden hier im speziellen die Visualisierungsm¨oglichkeiten der CoDeSys-Programmierumgebung [27] in Verbindung mit dem WAGO-IOSystem aufgezeigt. Es sei an dieser Stelle aber betont, daß sehr wohl auch alle anderen namhaften Hersteller von Speicherprogrammierbaren Steuerungen bzw. entsprechender Software vergleichbare Produkte in ihrem Portfolio haben. Von einer u ¨ber Herstellergrenzen hinweg durchg¨angigen Kompatibilit¨at bez¨ uglich der hier diskutierten Visualisierungsm¨oglichkeiten ist allerdings beim derzeitiger Stand noch nicht auszugehen.

554

17 Meßdatenerfassung im Feld

Die Visualisierung von Prozessen dient einerseits dem Beobachten des Prozesses und andererseits seiner Steuerung. So kann beispielsweise der F¨ ullstand eines Tanks auf folgende Arten visualisiert werden: • • •

in Textform, z. B. F¨ ullstand: 100 Liter, als Balkendiagramm, als Vollgraphikanzeige, z. B. Darstellung des Tanks mit animierter F¨ ullstandsanzeige.

Zur Steuerung stehen ebenfalls unterschiedliche Elemente zur Verf¨ ugung, beispielsweise: • • •

Schalter “EIN/AUS” mittels Button Sollwert in numerischer Eingabe graphischer Schieberegler zum Einstellen eines Sollwertes.

Visualisierung mittels Panel Zur Visualisierung kann ein Panel (= Bildschirm, der optional mit Bedienelementen ausgestattet ist) u ¨ber RS 232- bzw. RS 485-IO-Module oder auch u ¨ber die Feldbusschnittstelle angeschlossen werden (Abb. 17.11). Protokolle, mit denen Panels beispielsweise an das WAGO-IO-System angeschlossen werden k¨ onnen, sind MODBUS, CAN-open und SIEMENS 3964 R/RK512. Die Erstellung der auf dem Panel erscheinenden Bilder hat mit einer geeigneten Software des Panelherstellers zu erfolgen. Die Technik der Panels hat sich in den letzten Jahren rasant weiterentwickelt. So werden heute des ¨ ofteren hochaufl¨ osende Touch-Panels verwendet, die eine einfache Bedienung per Fingerdruck auf graphisch dargestellte Buttons zulassen. Die R¨ uckmeldungen des Systems sind audiovisuell. J¨ ungst ist eine Touch-Panel-Technologie hinzugekommen, die dem Benutzer eine haptische R¨ uckmeldung geben [147], d. h. der Prozeßstatus und weitere Informationen

Abb. 17.11. SPS-Prozeß-Visualisierung mittels Panel. Die unter a), b) und c) angef¨ uhrten Schnittstellen sind alternativ verwendbar.

17.2 Neue Entwicklungen bei Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS)

555

k¨ onnen auf dem Touch-Panel per Tastsinn der Finger gef¨ uhlt werden. Dazu wird die Oberfl¨ache des Panels gezielt mit mechanischen Wellen, insbesondere in Form von kurzen St¨ oßen, angeregt [135]. Diese K¨orperschallanregung erfolgt mit Hilfe von piezoelektrischen Wandlern. Visualisierung mittels PC Zur Visualisierung des SPS-Prozesses auf einem separaten PC muß ein spezielles Programm implementiert werden, welches die Prozeßdaten von der SPS holt und die graphische Aufbereitung vornimmt. Solche Programme kennen u. a. einen Entwicklungsmodus zur Erstellung der Bilder und einen Runtimemodus zur Darstellung derselben w¨ ahrend des Betriebes. Dabei h¨angt der Aufwand f¨ ur die Erstellung der Bilder sehr wohl vom verwendeten Produkt ab. Vorteilhafterweise wird hier eine Software eingesetzt, bei welcher der o. g. Entwicklungsmodus bereits Bestandteil des SPS-Programmiersystems ist, wie z. B. beim CoDeSys SPS-Programmiersystem [27]. F¨ ur den Runtimemodus ist allerdings ein separates, unter dem Produktnamen CoDeSys-HMI vertriebenes, Programmpaket notwendig. Die Anbindung der SPS erfolgt u ¨ber die Standardschnittstellen, wie z. B. Ethernet oder einen Feldbus. Target-Visualisierung Von Target-Visualisierung spricht man, wenn die Visualisierungssoftware direkt auf dem Zielsystem (= Target), d. h. direkt auf dem SPS-Controller, abl¨auft (Abb. 17.12). Vorteilhaft ist dabei, daß die Zusatzkosten f¨ ur einen separaten PC entfallen. Bei Verwendung von CoDeSys-Software k¨ onnen die in der SPS-Programmierumgebung erstellten Bilder direkt auf den SPS-Controller geladen werden. Dies setzt einen entsprechenden Controller voraus, der dann die TargetVisualisierung unterst¨ utzt. Die Verwendung eines Touch-Panels anstatt Maus und Bildschirm ist vorgesehen, derzeit aber noch nicht realisiert. Web-Visualisierung Unter der Web-Visualisierung eines SPS-Prozesses versteht man die graphische Darstellung der SPS-Statusinformationen sowie der Prozeßdaten mit Hilfe eines Standard-Webbrowsers, wie z. B. Opera, Internet-Explorer oder Mozilla (FireFox). Diese Form der Visualisierung ist prinzipiell unabh¨angig vom verwendeten Betriebssystem und basiert auf den g¨angigen Standards graphischer Darstellungen im World Wide Web. Mit der Verbreitung des Internets sowie des Ethernets mit TCP/IP-Protokoll in der Automatisierungstechnik gewinnt auch die webbasierte Visualisierung im SPS-Bereich rasch an Bedeutung. Damit wird auch die kosteng¨ unstige Implementierung von ¨ortlich verteilten Bedien- und Beobachtungssystemen f¨ ur den Bereich der Automation m¨ oglich.

556

17 Meßdatenerfassung im Feld Visualisierung auf dem Bildschirm

SPS mit Datenquelle + Bildaufbereitung Digital Visual Interface (DVI)

Abb. 17.12. Target-Visualisierung auf einem direkt an die SPS angeschlossenen Bildschirm

Neben dem Webbrowser, der im wesentlichen der graphischen Darstellung dient, ben¨otigt man einen Webserver, der die Daten aufbereitet und die Kommunikation mit den Webbrowsern vornimmt. Der verwendete Sprachumfang ist dabei HTML und Java-Script. In Abh¨angigkeit des verwendeten Sprachumfangs lassen sich Anzeigeelemente wie Buttons, Tabellen, statische oder animierte Graphiken in der Darstellung verwenden. Dabei muß der Webserver Zugriff auf den SPS-Controller samt seiner Daten und die I/OModule der SPS haben. F¨ ur die Plazierung des Webservers gibt es im wesentlichen drei M¨oglichkeiten: 1. Webserver in SPS-Controller integriert Ein Beispiel f¨ ur diese Form der Web-Visualisierung ist der bereits oben erw¨ahnte WAGO-Controller 750-841 (842), bei dem ein entsprechender Webserver bereits in der Firmware implementiert ist. Dieser Controller bietet auch die M¨ oglichkeit, Werte des Prozeßabbildes der I/O-Klemmen direkt zu lesen. Abbildung 17.13 zeigt m¨ogliche Varianten der Web-

17.2 Neue Entwicklungen bei Speicherprogrammierbaren Steuerungen (SPS)

557

Abb. 17.13. Visualisierung mit Webbrowser auf PDA oder PC; Webserver in SPSController integriert

Visualisierung mit Hilfe von separaten PCs bzw. PDAs (PDA = Personal Digital Assistant). Der Aufwand zur graphischen Darstellung h¨angt auch hier in hohem Maße von der verwendeten Entwicklungsumgebung ab. So erlaubt beispielsweise die SPS-Programmierumgebung CoDeSys mit ihrem neuesten Release die Verwendung eines integrierten Visualisierungseditors in Verbindung mit dem o. g. WAGO-Controller. 2. Webserver in separatem SPS-Modul Verschiedene SPS-Hersteller implementieren den Webserver in einem vom Controller getrennten Modul, das separat u ¨ber TCP/IP an das Ethernet angebunden ist. 3. Webserver auf PC Die Webserver-Software kann auch auf einem separaten PC ablaufen. Dazu ist die Kommunikation zwischen der SPS und diesem PC u ¨ber eine Standardschnittstelle, wie z. B. einem Feldbus, sicherzustellen. Dabei sammmelt der PC die Daten der SPS, erzeugt die Graphiken und stellt diese als HTML-Seiten im Netz zur Verf¨ ugung. Hinweis Lesern, die sich u ¨ber aktuelle Entwicklungen auf dem SPS-Sektor informieren m¨ ochten, sei die Zeitschrift SPS Magazin, Zeitschrift f¨ ur Automatisierungstechnik (www.sps-magazin.de) empfohlen.

558

17 Meßdatenerfassung im Feld

17.3 Hierarchie industrieller Bussysteme Die Anforderungen an die industrielle Meßdatenerfassung haben sich in den letzten Jahren stark ausgeweitet. Die Anwendungsfelder der Meßdatenerfassung und der damit verbundenen Kommunikationsnetze reichen von der Energietechnik, Fertigungstechnik und Geb¨ audeleittechnik bis hin zum mobilen Einsatz in Fahrzeugen und Maschinen. Die zunehmende Automatisierung verlangt die Einbindung unterschiedlichster Sensoren und Aktoren in eine Prozeßsteuerung. Die einzelnen Prozesse wiederum m¨ ussen von u ¨bergeordneten Systemen u ¨berwacht werden. In j¨ ungerer Vergangenheit ist daher eine Vielzahl an Kommunikationsnetzen und Bussystemen entwickelt worden, um den unterschiedlichen Anforderungen gerecht zu werden. Im folgenden sollen Definitionen zur hierarchischen Einteilung der Bussysteme vorgenommen werden. Desweiteren werden die wichtigsten Bussysteme vorgestellt. Bedingt durch die weitgehende Automatisierung fast aller Einzelprozesse und deren Einbindung in ein Betriebsnetz wird in Zukunft der Aufbau hierarchischer Netzstrukturen immer mehr Bedeutung erlangen. Das Modell in Abb. 17.14 verdeutlicht die durchg¨ angige Verbindung von der Betriebsebene bis zur Sensor-Aktor-Ebene. Als Hauptkennzeichen der unterschiedlichen ¨ Hierarchieebenen sind die H¨ aufigkeit einer Ubertragung und die Datenmenge ¨ ¨ einer einzelnen Ubertragung wesentlich. Die H¨aufigkeit von Ubertragungen

WAN

Betriebsebene

Leitebene

Bürobus / Fabrikbus

LAN

Steuerungsebene

Feldebene

Sensor-Aktor-Ebene

Feldbus

FAN

Abb. 17.14. Einteilung eines Automatisierungssystems in hierarchische Ebenen (FAN = Field Area Network; LAN = Local Area Network; WAN = Wide Area Network)

17.4 Das ISO-Schichtenmodell

559

geht mit der H¨ohe der Hierarchieebene zur¨ uck, d. h. auch die Echtzeitan¨ forderung nimmt ab. Die Datenmenge pro Ubertragung bzw. die Gr¨oße der Datenpakete nimmt jedoch zu. Die Netze der h¨ ochsten Ebene sind meist als Weitbereichsnetze (Wide Area ¨ Network, WAN) ausgebaut. Sie dienen der Uberbr¨ uckung großer Entfernungen, wie z. B. bei der Vernetzung mehrerer regional getrennter Unternehmensbereiche oder Fabriken. Hierzu z¨ ahlen insbesondere HochgeschwindigkeitsGlasfasernetze, deren typischer Teilnehmerabstand in der Gr¨oßenordnung von 100 km und mehr liegt. Die Netze der Leit- und Steuerungsebenen werden als lokale Netze betrieben (Local Area Network, LAN). In weiten Bereichen wird hier das Ethernet mit dem TCP/IP-Protokoll eingesetzt. Dabei wird zwischen B¨ uro- und Fabrik-Netz unterschieden, da das Ethernet f¨ ur die industrielle Kommunikation in elektromagnetisch gest¨ orten Umgebungen speziell ausgelegt sein muß. In diesem Zusammenhang spricht man auch vom Industrie-Ethernet. In den unteren Automatisierungsebenen, der Feldebene und der SensorAktor-Ebene, werden g¨ anzlich andere Anforderungen an die Bussysteme bez¨ uglich Kosten, Verkabelungsaufwand, Leistungsf¨ahigkeit der Teilnehmer, Datenrate, Datenmenge und nicht zuletzt Zuverl¨assigkeit gestellt. In diesem Bereich kommen sog. Feldbusse (Field Area Network, FAN) zum Einsatz. Da die einzelnen Sensoren und Aktoren immer g¨ unstiger werden, muß auch der Verkabelungsaufwand minimiert werden. Daher arbeiten diese Bussysteme seriell. Die Daten m¨ ussen in Echtzeit abrufbar sein, allerdings meist nur in geringen Datenmengen. Die Protokolle sind einfach aufgebaut, um die einzelnen Teilnehmer nicht mit viel Intelligenz ausstatten zu m¨ ussen. Unter den Feldbussen sind sowohl sternf¨ ormige, linienf¨ ormige als auch ringf¨ormige Topologien anzutreffen, wobei die letzten beiden aus Gr¨ unden der Zuverl¨assigkeit oft doppelt oder dreifach ausgef¨ uhrt sind. Im folgenden soll es haupts¨achlich um dieses große Gebiet der Nahbereichskommunikation mittels Feldbussen gehen.

17.4 Vorschrift fu ¨ r eine einheitliche Kommunikation: Das ISO-Schichtenmodell Die Kommunikation zwischen den Teilnehmern innerhalb eines Datennetzes ¨ kann nur funktionieren, wenn pr¨ azise Ubereink¨ unfte u ¨ber die Kommunikation bestehen. Im Jahre 1983 wurde daher von der ISO (International Standards Organization) die ISO-Norm 7498 geschaffen. Sie definiert ein abstraktes Modell f¨ ur die typischen Funktionen innerhalb eines Kommunikationsablaufes zwischen zwei Teilnehmern. Dieser Funktionsumfang wurde in sieben Schichten (Layer) unterteilt [79], [42]. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von dem ISO-7-Schichtenmodell. Jeder Schicht fallen dabei spezielle Aufgaben bei der Abwicklung der Kommunikation zu. Diese strenge Trennung hat

560

17 Meßdatenerfassung im Feld

den Vorteil, daß die Kommunikation auch noch gew¨ahrleistet ist, wenn einzelne Schichten von unterschiedlichen Herstellern realisiert werden. In diesem Sinne wird die Kommunikation von offenen Systemen definiert: Open Systems Interconnection (OSI). In Abb. 17.15 ist der Aufbau dieses Referenzmodells f¨ ur ein konkretes Beispiel dargestellt. Es soll eine Kommunikation zwischen einem Leitrechner (PC) und einem Meßger¨ at aufgebaut werden, wobei der Befehl, einen Meßwert aufzunehmen, u ¨bermittelt werden soll. Der Befehl wird an die Schicht 7 u ¨bergeben, wo er um bestimmte Steuerinformationen (z.B. Adresse) erweitert wird. Das entstehende Telegramm wird dann von Schicht zu Schicht weitergereicht und jeweils um die entsprechenden Informationen erweitert, bis in ¨ Schicht 1, dem Physical Layer, die eigentliche Ubertragung stattfindet. Beim Empf¨anger durchl¨ auft das Telegramm die Schichten in umgekehrter Reihenfolge, bis dem Meßger¨ at die Information Meßwert aufnehmen“ zur Verf¨ ugung ” steht. Im einzelnen fallen den Schichten folgende Aufgaben zu: ¨ ¨ Schicht 1: Physikalische Schicht, Ubertragung der einzelnen Bits (Bit-Uber¨ tragungsschicht). Hier werden physikalische Parameter wie Ubertragungs¨ medium, Steckerbelegung, Pegel, Modulationsart und Ubertragungsrate PC: Senden des Befehls "Meßwert aufnehmen"

7 Application 6 Presentation 5 Session 4 Transport 3 Network 2 Data Link 1 Physical

logischer Informationsfluss (Meßwert aufnehmen)

Anwenderfunktionen Umsetzung und Interpretation von Daten Aufbau, Synchronisation und Abbau der Verbindungen transparente und gesicherte Übertragung zwischen Teilnehmern; Fehlerkontrolle Schaltung der Übertragungswege; optimales Routing Sicherung der Übertragung physikalische Verbindung (elektr., mechan. Eigenschaften)

Meßgerät: Empfangen des Befehls "Meßwert aufnehmen"

7 Application 6 Presentation 5 Session 4 Transport 3 Network 2 Data Link 1 Physical

Abb. 17.15. Das ISO/OSI-Referenzmodell mit sieben Schichten

17.5 Netzwerktopologien

561

festgelegt. Beispiele f¨ ur Ger¨ ate, die auf der Schicht 1 arbeiten, sind Repeater. Sie haben die Aufgabe, Bussignale zu generieren und zu verst¨arken, ¨ um die Ubertragungswege zu verl¨ angern. ¨ Schicht 2: Koordiniert das Bus-Zugriffsverfahren und die fehlersichere Ubertragung von Datenbl¨ ocken (Sicherungsschicht) von einem Sender zu einem Empf¨anger bzw. mehreren Empf¨ angern (Multicast). Wenn die Nachricht an alle Empf¨anger geht, spricht man von Broadcast. ¨ Schicht 3: Sucht geeignete Ubertragungswege durch das Netzwerk zwischen Sender und Empf¨ anger (Vermittlungsschicht). Auf dieser Schicht arbeiten beispielsweise Router, die in weit verzweigten Netzen einen Weg vom Sender zum Empf¨ anger suchen. Schicht 4: Steuerung und fehlerfreie Ablieferung der Telegramme (Transportschicht). Schicht 5: Aufbau, Unterhalt (auch Synchronisation) und Abbau von Verbindungen zwischen den Teilnehmern (Kommunikationssteuerschicht). Schicht 6: Zeichencodierung, Daten- und File-Formate in geeignete Darstellung f¨ ur das entsprechende System konvertieren (Darstellungsschicht). Schicht 7: Anbieten von Diensten (Lesen, Schreiben) f¨ ur die Teilnehmer im Netz. Schnittstelle zu den Anwenderprogrammen der Steuerungen und Rechner (Anwendungsschicht). Ein typisches Ger¨at, das auf Schicht 7 arbeitet, ist ein Gateway. Seine Aufgabe ist es, die Verbindung zwischen u. U. v¨ollig unterschiedlichen Netzwerken herzustellen. Man kann sich leicht vorstellen, daß diese starke Modularisierung f¨ ur Feldbussysteme eher zeitraubend und damit hinderlich ist. Die u ¨berschaubare Struktur der Feldbusnetze erlaubt meist eine Reduzierung auf die Schichten 1, 2 und 7.

17.5 Netzwerktopologien Die geometrische Struktur der Datenleitungen, welche die einzelnen Netzwerkteilnehmer verbinden, wird als Netzwerktopologie bezeichnet. Im Feldbusbereich sind alle g¨angigen Netzwerktopologien anzutreffen (Abb. 17.16). Dabei sind die Linienstruktur und die Sternstruktur von besonderer Bedeutung f¨ ur die Anbindung von Sensoren und Aktoren. Beim Linienbus ist der Verdrahtungsaufwand am geringsten. Beim Ring (Abb. 17.16) f¨ uhrt der Ausfall eines Knotens zum Systemausfall, wenn nicht eine aufwendige Mehrfachverkabelung (gestrichelte Linien) vorgesehen wurde. Bei der ringf¨ormigen Struktur ist die Nachrichten¨ ubermittlung oft so gestaltet, daß ein Knoten eine Nachricht vom n¨achsten mit ihm verbundenen Nachbarn empf¨angt. Je nach Ergebnis der Pr¨ ufung, ob der gerade empfangende Knoten der Adressat ist, wird die Nachricht an den folgenden Nachbarn weitergeleitet oder nicht. Die Maschentopologie kennt keine starren Regeln der Vernetzung. Nachteil ist die hohe Komplexit¨at bez¨ uglich der Verdrahtung und Verwaltung. Es sei noch erw¨ahnt, daß Baumstrukturen entstehen, wenn sternf¨ormige Netze hierarchisch verkn¨ upft werden.

562

17 Meßdatenerfassung im Feld

Stern

Ring

Linie

Maschen

Abb. 17.16. Verschiedene Formen von Netzwerktopologien

17.6 Bus-Zugriffsverfahren Es gibt verschiedene Methoden der Bus-Zugriffskontrolle, die bei Feldbussen anzutreffen sind: Beim Master/Slave-Verfahren gibt es im Netz zu einem bestimmten Zeitpunkt genau einen Masterknoten, der die Vorg¨ange auf dem Bus bez¨ uglich ¨ Steuerung, Uberwachung, Fehlern und Ausf¨ allen koordiniert. Dieser Leitknoten kann einem der restlichen Knoten, die als Slaves bezeichnet werden, die Sendeberechtigung erteilen. Beim Token Passing wird die Berechtigung, Nachrichten auf den Bus zu geben, von Knoten zu Knoten weitergeleitet. Der Teilnehmer, der den sogenannten Token gerade inne hat, darf senden. Die Reihenfolge der Weitergabe wird bei der Netzinitialisierung in Form eines logischen Ringes festgelegt. Dabei entspricht die Wartezeit bis zur n¨ achsten Zuteilung der maximalen Nachrichtendauer, woraus sich die Eignung f¨ ur den Echtzeitbetrieb ableitet. Bei den CSMA-Verfahren (Carrier Sense Multiple Access) sind alle Busteilnehmer bez¨ uglich des Senderechtes gleichberechtigt. Ein sendewilliger Netzwerkknoten pr¨ uft, ob auf dem Bus gerade gesendet wird oder nicht. Bei freiem Bus darf er schließlich senden, ansonsten nicht. Dabei kann es zu Kollisionen kommen, wenn mehrere Teilnehmer gleichzeitig senden wollen. Daher wird der reine CSMA-Betrieb im allgemeinen durch einen der beiden folgenden Betriebsmodi erg¨ anzt: CSMA/CD (Carrier Sense Multiple Access/Collision Detection) Bei diesem Verfahren, das auch beim Ethernet Anwendung findet, kontrolliert der Sender seine Nachricht auf dem Bus hinsichtlich St¨orungen durch

17.7 Modulationsverfahren und Bitcodierung

563

weitere Sender. Gegebenenfalls wird die Sendung abgebrochen und auf einen sp¨ateren, zuf¨allig gew¨ ahlten Zeitpunkt verschoben. Da die Wartezeiten bis zur ¨ vollst¨andigen korrekten Ubertragung lastabh¨ angig sind, besitzt diese Methode keine Echtzeitf¨ahigkeit. Beim CSMA/CA (Carrier Sense Multiple Access / Collision Avoidance) beginnt jede Daten¨ ubertragung mit einem Identifizierungscode. Durch die senderseitige Busanschaltung nach dem WIRED-AND-Prinzip (s. Kap. 16.6) ist sichergestellt, daß sich der Buspegel 0 gegen¨ uber dem Pegelwert 1 eines weiteren sendenden Teilnehmers dominant verh¨alt. Dadurch kann jeder sendende Busteilnehmer feststellen, ob seine Bits durch einen weiteren gerade aktiven Sender verf¨ alscht werden. Die Entscheidung, ob ein Bit verf¨alscht wurde, geschieht in der sog. Arbitrierungsphase. Bei ausgedehnten Netzwerken ist die Bitzeit gen¨ ugend groß gegen¨ uber der Signallaufzeit im Netzwerk zu w¨ahlen, da das Abbruchkriterium w¨ ahrend der Bitzeit u uft werden ¨berpr¨ muß. Beim Summen(rahmen)telegramm, wie es beispielsweise beim Interbus-S verwendet wird, sind alle Teilnehmer an ein Schieberegister angeschlossen. In Verbindung mit der verwendeten Ringtopologie werden die Daten durch das Schieberegister geschoben. Die f¨ ur den Master bestimmten Daten der jeweiligen Teilnehmer werden an der entsprechenden Stelle durch den Slave in das Telegramm eingef¨ ugt. Die Adressierung der einzelnen Slaves entf¨allt, weil deren Adresse sich aus der Position im Ringsystem bzw. im Schieberegister ergibt. 17.6.1 Klassifizierung der Bus-Zugriffsverfahren Bei den Bus-Zugriffsverfahren unterscheidet man zwischen stochastischem Bus-Zugriff und deterministischem Bus-Zugriff. Der Bus-Zugriff bei den CSMAVerfahren ist zuf¨allig, d. h. es handelt sich hierbei um einen stochastischen Bus-Zugriff, w¨ahrend die anderen Bus-Zugriffsverfahren kontrolliert erfolgen (deterministischer Bus-Zugriff). Weiterhin unterscheidet man zwischen zentral und dezentral. Das Token-Ring-Verfahren bezeichnet man als dezentral und Master/Slave sowie Summenrahmentelegramm als zentrale Verfahren.

17.7 Modulationsverfahren und Bitcodierung 17.7.1 Alternierende Puls Modulation (APM) Wenn bei einem Bussystem nur eine einzige Zweidrahtleitung verwendet wird, d.h., wenn gleichzeitig Energieversorgung und Nachrichten u ¨ber diese Leitung u ¨bertragen werden sollen, muß das Nachrichtensignal gleichstromfrei sein. Die sog. alternierende Puls Modulation (APM) erf¨ ullt diese Anforderung neben anderen, wie z. B. Schmalbandigkeit. Es handelt sich dabei um eine serielle ¨ Ubertragung im Basisband.

564

17 Meßdatenerfassung im Feld

Das Modulationsprinzip soll anhand von Abb. 17.17 erkl¨art werden. Es wird zun¨achst die zu sendende Bitfolge manchestercodiert, d. h. man geht von einer Pulsfolge aus, die bei jedem Bit alterniert. Wenn jedoch in der urspr¨ unglichen Sendefolge ein Bitwechsel stattfindet, wird der Zustand konstant gehalten, d. h. der ansonsten anstehende Wechsel des Signals wird dann aufgehoben. Daraus wird gem¨aß Abb. 17.17 der Sendestrom abgeleitet, aus dem durch Differenzieren das Spannungssignal der Busleitung entsteht. Letztlich wird dabei jede positive Flanke des Sendestromes in einen negativen Spannungspuls umgewandelt und umgekehrt. Mit diesen Spannungspulsen kann durch De” modulation“ nach dem Manchesterverfahren wieder leicht die urspr¨ ungliche Sendebitfolge rekonstruiert werden. Als Spannungspulse verwendet man vorzugsweise sin2 -Pulse, um die Bandbreite sowie die St¨orstrahlung niedrig zu halten.

Sendefolge

0

0

0

1

1

Pause

0

manchestercodierte Sendefolge

Sendestrom

Spannungspulse (negativer differenzierter Sendestrom) im Empfänger rekonstruierte Folge

0

0

0

1

1

0

Abb. 17.17. Alternierende Puls Modulation (APM)

Pause

17.7 Modulationsverfahren und Bitcodierung

565

17.7.2 Fehlererkennung und Datensicherung ¨ Durch St¨orungen verschiedenster Art kann es zu Bitfehlern bei der Ubertragung kommen, d.h. zu Wechseln in einen falschen logischen Zustand. In diesem Zusammenhang wurde die Bitfehlerrate r definiert r=

Anzahl der fehlerhaften Bits . Gesamtzahl der u ¨bertragenen Bits

(17.1)

Strategien zur Fehlererkennung beruhen bei Bussystemen vorwiegend auf Parit¨ atspr¨ ufung und Cyclic Redundancy Check (CRC). Die durch diese Verfahren erkannten Fehler werden korrigiert. Es bleibt ein Rest an unerkannten Fehlern, welche durch die sog. Restfehlerrate beschrieben werden. Sie ist also ein Maß f¨ ur die Datenintegrit¨ at. Die St¨orfestigkeit einer Codierung l¨ aßt sich durch die minimale HammingDistanz1 charakterisieren. Sie wird mit dmin bezeichnet. Die Anzahl e der noch sicher erkennbaren Fehler ist gegeben durch e = dmin − 1 .

(17.2)

Bei der Codesicherung durch ein Parit¨ atsbit kann ein Fehler sicher erkannt werden, d. h. die minimale Hamming-Distanz betr¨agt in diesem Fall dmin = 2. Die minimale Hamming-Distanz gibt also die Anzahl von Bits an, die in einem u alscht sein m¨ ussen, bis der Fehler nicht mehr ¨bertragenen Datenblock verf¨ erkannt werden kann. Die Anzahl t der korrigierbaren Fehler betr¨agt t = (dmin − 1)/2 .

(17.3)

Der Wert dmin = 4 bedeutet, daß 3 fehlerhafte Bits gerade noch erkannt werden k¨onnen und maximal 1 fehlerhaftes Bit korrigiert werden kann. Im allgemeinen Sprachgebauch verwendet man allerdings den Begriff Hamming Distanz (d) f¨ ur den eigentlich korrekten Ausdruck Minimale HammingDistanz (dmin ). Bei professionell eingesetzten Bussystemen erwartet man Hamming-Distanzen (eigentlich ist damit wiederum die minimale Hamming-Distanz dmin gemeint) von d = 4 bzw. d = 6. Solche Werte werden in aller Regel durch einen CRC-Test (Cyclic Redundancy Check) erreicht. Hierbei wird der zu u arzahl B betrachtet, die senderseitig durch ¨bertragende Datenblock als Bin¨ ein Pr¨ ufpolynom P dividiert wird B R =Q+ P P

bzw.

B =Q·P +R .

(17.4)

Der Rest R wird an die Nachricht angeh¨ angt, d. h. man u ¨bertr¨agt letztlich nicht B sondern B + R. Empf¨ angerseitig subtrahiert man 2 R 1

Die Hamming-Distanz ist die Anzahl der unterschiedlichen Bits von zwei gleich langen Codew¨ ortern. Dies wird auch als Abstand der Codew¨ orter bezeichnet.

566

17 Meßdatenerfassung im Feld

(B + R) − 2 R = B − R = Q · P .

(17.5)

Nach der Division durch das Polynom P muß sich also wieder Q ergeben, ohne jeglichen Rest. Die an die Nachricht anzuh¨angenden Pr¨ ufzeichen sind ¨ meist 1 Byte (8 Bit) lang, so daß sich CRC-Tests nur f¨ ur Ubertragungen mit l¨ angeren Datenbl¨ocken lohnen, z. B. beim PROFIBUS; d. h. sie sind weniger f¨ ur reine Sensor-Aktor-Busse geeignet. 17.7.3 Bitcodierung Aus Aufwandsgr¨ unden werden die zu u ¨bertragenden Bits h¨aufig so auf die Leitung gegeben, wie sie im UART-Baustein (s. Kap. 16.1) generiert werden. Dies wird als NRZ-Code (Non Return to Zero) (Abb. 17.18) bezeichnet. Dabei wird der Spannungspegel, je nach Wertigkeit des Bits, w¨ahrend der Bitzeit auf einem von Null verschiedenen konstanten Spannungspegel gehalten.

Takt zu codierende Bitfolge

NRZ Non Return to Zero

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0V

NRZI Non Return to Zero Inverted

0V

RTZ Return to Zero

Abb. 17.18. Non Return to Zero (NRZ-) Codierung

Daneben gibt es noch den invertierten NRZ-Code, der als Non Return to Zero Inverted (NRZI) bezeichnet wird. Beim Return to Zero Code (RTZ) hingegen erkennt man die 1-wertigen Bits an einer fallenden Flanke in Bitmitte, ¨ so daß die Bitbreite bei der Ubertragung halbiert wird. Dies entspricht der Durchschaltung des Taktsignals f¨ ur die Zeit der 1-wertigen Bits. Das NRZ-Verfahren hat zwar den Vorteil geringer Bandbreite, es kann aber daf¨ ur auch keine Taktsynchronisation aus einem Bit abgeleitet werden. Dies wird erst durch das sog. Bitstuffing erreicht. Dabei wird sp¨atestens nach 5 Bitzeiten ein Flankenwechsel erzwungen, notfalls durch Hinzuf¨ ugen (stopfen = to stuff) eines weiteren Bits, was invers ist zu den vorhergehenden.

17.8 Schnittstellenkonverter

567

17.8 Schnittstellenkonverter F¨ ur Meßdatenerfassungsaufgaben werden oft auch Schnittstellenkonverter eingesetzt, welche von einer an den Rechnern vorhandenen Standard-Schnittstelle auf eine spezielle f¨ ur Meßdatenerfassungszwecke geeignetere Schnittstelle umsetzen. So gibt es Schnittstellenkonverter, die eine RS232C-Schnittstelle oder auch eine RS485-Schnittstelle auf den IEC-Bus umsetzen. Die Schnittstellenkonvertierung f¨ ur RS232 auf RS485 (Abb. 17.19) zeigt ein Anwendungsbeispiel, bei dem Computer und sonstige Hardware mit RS232-Schnittstelle u ¨ber einen seriellen RS485-Bus vernetzt werden. Verf¨ ugbar sind auch Schnittstellenkonverter, die Ethernet-Anschl¨ usse gleichzeitig auf RS232 und RS485 umsetzen [146]. Ein weiterer interessanter Schnittstellenkonverter ist der RS232-EthernetKonverter. Er erm¨ oglicht das Ansteuern von Meßger¨aten mit RS232-Schnittstellen am Ethernet mit TCP/IP-Protokoll [152]. So k¨onnen Meßger¨ate fern-

Konverter

RS485

RS485 RS232C Konverter RS485 RS232C Konverter

Konverter

RS232C RS485

RS485 RS232C Konverter

RS485

RS232C

RS485 RS232C Konverter

..............

RS485 RS232C

max. 31 Teilnehmer

Abb. 17.19. Aufbau eines Rechnernetzes zur Meßdatenerfassung unter Verwendung von RS232C- zu RS485-Konvertern

568

17 Meßdatenerfassung im Feld

gesteuert und Daten u ¨ber große Entfernung u ¨bertragen werden. Dabei erh¨alt der Konverter eine eindeutige IP-Adresse. Weitere Konverter f¨ ur die Meßdatenerfassung sind: • • •

USB (Universal Serial Bus) ⇐⇒ IEC-Bus Fire Wire (IEEE1394) ⇐⇒ IEC-Bus USB (Universal Serial Bus) ⇐⇒ RS485.

17.9 Der Feldbus (FAN) Ein Feldbus ist ein Bussystem, welches der kommunikationstechnischen Verbindung von sog. Feldger¨aten dient. Zu diesen Feldger¨aten z¨ahlen insbesondere speicherprogrammierbare Steuerungen (SPS) sowie intelligente Sensoren und Aktoren, die digitale bzw. analoge Signale an einen Steuerrechner senden bzw. von diesem empfangen. Im allgemeinen handelt es sich bei den Feldbussen um lokale Busse, die u ¨ber Buskoppler, sog. Gateways, an einen Hauptbus angeschlossen sind, der sie wiederum mit dem zentralen Leitrechner verbindet (Abb. 17.20). Der Feldbus stellt dabei in der Regel nicht nur Leitungen f¨ ur den Austausch von Daten bereit, sondern auch solche, die der Energieversorgung der Feldger¨ate dienen. Dabei werden meist geringe Datenmengen u ¨ber gr¨oßere Distanzen u uglich ¨bertragen. In Abb. 17.21 sind verschiedene Feldbusse bez¨ ihrer Leistungsf¨ahigkeit und Komplexit¨ at gegen¨ ubergestellt. Sie werden im folgenden ausf¨ uhrlich behandelt.

Abb. 17.20. Struktur eines Prozeßleitsystems mit Feldbussen

Die Struktur eines Feldger¨ ates, das u ¨ber einen Zweidrahtanschluß an einen Feldbus angeschlossen ist, wird in Abb. 17.22 gezeigt. Die beiden Busleitungen dienen bei dieser Ausf¨ uhrungsform einerseits als Transportmittel der

17.9 Der Feldbus (FAN)

Sensor/Aktorbus

569

Factory-Bus

Feldbus

MAP

Komplexität Kosten/Knoten

EIB Profibus Bitbus CAN Interbus-S ASI "binäre" Teilnehmer, Echtzeitmeldungen verteilte E/A Multiplexer

Funktionalität DDL, FileTask-Task virtuelle Kommunikation Geräte Konfiguration Transfer

¨ Abb. 17.21. Ubersicht u ahigkeit kommerzieller Feldbusse [74] ¨ ber die Leistungsf¨

Abb. 17.22. Struktur eines Feldger¨ ates mit Feldbusanschluß in Zweidrahtausf¨ uhrung

570

17 Meßdatenerfassung im Feld

elektrischen Energieversorgung und andererseits als Tr¨ager der prozeßtechnischen Information. Dazu werden der Versorgungsspannung mit Hilfe des Modulators die Daten aufmoduliert, die von einem Universal-AsynchronousReceiver-Transmitter-Baustein (UART) geliefert werden (TxD), bzw. es werden die empfangenen Daten mittels des Demodulators demoduliert und an den UART weitergereicht (RxD) (s. auch Kap. 16). Bei den Prozeßsignal-Adaptern (Abb. 17.22) handelt es sich vorzugsweise um intelligente Sensoren und Aktoren, also Transducer f¨ ur elektrische Tabelle 17.2. Auswahl an wichtigen Feldbus-Systemen Bus-Bezeichnung

BusTyp

¨ max. TeilNachrichten- max. UberTopologie nehmeranzahl l¨ ange in Bit tragungsrate

Profibus DP Master- 124 Slave

1984

Interbus-S

512

16

12 MBit/s 500 kBit/s bei 100 m 500 kBit/s

256

1024

5 MBit/s

32

4

FIP ASI CAN

BIT

Bus-Bezeichnung

MasterSlave MultiMaster MasterSlave Multimaster

nur abh¨ angig 64 von Treiberelektronik Master- 250 1984 Slave Datenleitung

Profibus DP 2-Draht, geschirmt Interbus-S 4-Draht, geschirmt FIP 2-Draht, geschirmt ASI 2-Draht, ungeschirmt CAN 2-Draht, verdrillt oder LWL BIT 3 paarig verdrillte Zweidrahtleitung

Linie mit Abzweigen Ring

Linie mit Abzweigen 150 kBit/s Linie mit Abzweigen 1 MBit/s Linie mit (375 kBits/s Abzweigen bei 100 m) 500 kBit/s Linie mit Abzweigen

Versorgungs- max. Leitungsleitung l¨ ange 3-Draht oder LWL 5-Draht

9,6 km (90 km bei LWL) (1200 m zwischen 2 Teilnehmern) (400 m zwischen 2 Teilnehmern)

3-Draht

3500 m

Datenleitung 2-Draht

100 m

2-Draht

1000 m

pro Segment 1200 m Gesamtl¨ ange 13,2 km

17.9 Der Feldbus (FAN)

571

und nicht-elektrische Gr¨ oßen, die bereits genormte Schnittstellensignale liefern. Die zentrale Steuerung des Feldger¨ ates obliegt einem Microcontroller, der auch die hardwarem¨ aßige sowie logische Verbindung zwischen dem SendeEmpfangsbaustein (UART) und dem Prozeßsignal-Adapter herstellt. Feldbusse sind i. allg. f¨ ur den Einsatz in hierarchisch arbeitenden Systemen vorbereitet, was unter anderem auch in einer von einem Master kontrollierten Kommunikation zum Ausdruck kommt (Master-Slave-Systeme). In den letzten Jahren wurden zwar betr¨ achtliche Anstrengungen unternommen, sich bez¨ uglich der derzeit diskutierten Feldbussysteme auf einen gemeinsamen Standard festzulegen, doch bisher leider ohne Erfolg. In Tab. 17.2 werden einige der derzeit in Anwendung befindlichen Feldbussysteme vorgestellt, wobei hinzugef¨ ugt werden sollte, daß die beiden Feldbussysteme Profibus-DP und Interbus-S in Europa mit Abstand den derzeit gr¨oßten Marktanteil auf sich vereinigen k¨onnen. Einzelheiten zu der Feldbus-Thematik findet man in der weiterf¨ uhrenden Literatur, z.B. in [17], [64], [79]. In den folgenden Abschnitten werden die derzeit aktuellen Feldbusse vorgestellt. 17.9.1 ASI-Bus Beim ASI-Bus handelt es sich um eine in jeder Hinsicht origin¨are FeldbusL¨ osung. Das AS-Interface (Aktor-Sensor-Interface) stellt ein serielles BusInterface f¨ ur die unterste Hierarchiestufe der Automatisierungstechnik dar. ¨ Das AS-Interface wurde zun¨ achst als Low-Cost-L¨osung f¨ ur die Ubertragung ¨ bin¨arer Sensorsignale konzipiert, aber es kann auch f¨ ur die Ubertragung analoger Signale eingesetzt werden. Es handelt sich um ein offenes System, d. h. das Protokoll ist offengelegt und Hardwarekomponenten werden von vielen Herstellern angeboten. Der AS-Interface-Chip ist am Markt frei verf¨ ugbar. Detaillierte Informationen zum ASI-Bus findet man in [80]. Allgemeine technische Daten: Der Bus ist aus einer Zweidraht-Profilleitung aufgebaut (2× 1,5 mm2 ). Die Installation ist einfach, kosteng¨ unstig und verpolsicher. Die Maximall¨ ange betr¨ agt 100 m, mit Repeatern sind ¨ 300 m m¨oglich. Uber die Zweidrahtleitung werden Daten und Energie bis zu Str¨omen von 10 A transportiert. Das System arbeitet mit zyklischer Abfrage und ist echtzeitf¨ ahig. Die Bitdauer betr¨agt 6 µs, durch ein kompaktes Protokoll ist eine Reaktionszeit von 5 ms m¨oglich. Es k¨onnen max. 31 Slaves pro System angeschlossen werden, mit 4 Bit-Nutzdaten pro Slave. Topologie und Daten¨ ubertragung: Der Bus wird in einer Linien- oder Ring-Topologie aufgebaut. F¨ ur die Daten¨ ubertragung wird ein kompaktes Polling-Protokoll verwendet. Der Master sendet einen Befehl an einen Slave, der daraufhin antwortet. Abbildung 17.23 zeigt die genaue Bitfolge. Danach ruft der Master die anderen Slaves der Reihe nach auf. Eine ASI-Nachricht besteht somit aus einem Masteraufruf mit 14 Bit, der Masterpause, der Slaveantwort mit 7 Bit und der Slavepause. Als Modulati-

572

17 Meßdatenerfassung im Feld

onsverfahren wird die Alternierende Puls-Modulation (APM) verwendet. Das Nachrichtensignal ist damit gleichstromfrei und wird der Energieversorgung u uglich des ISO-Referenzmodells werden lediglich ¨berlagert. Bez¨ die Schichten 1 und 7 verwendet. ST SB A4 A3 A2 A1 A0 I4 I3 I2 I1 I0 PB EB

ST I3 I2 I1 I0 PB EB

Slaveantwort

Masteraufruf Masterpause ST

Startbit

SB

Steuerbit

A0 ... A4

Adressbits

I0 ... I4

Informationsbits

PB

Paritätsbit

EB

Endbit

Slavepause

Abb. 17.23. Telegrammstruktur beim ASI-Bus

17.9.2 CAN Der CAN-Bus (Controller Area Network Bus) wurde urspr¨ unglich f¨ ur die Automobiltechnik von der Robert Bosch GmbH entwickelt. Mittlerweile sind seine Spezifikationen in einer ISO-Norm festgehalten und sein Einsatzgebiet geht weit u ¨ber die Automobiltechnik hinaus (ISO 11 898). CAN wird heute sehr vielf¨altig eingesetzt, u. a. in mobilen Systemen, in der Fertigungsautomatisierung sowie in der Geb¨ audeautomatisierung. Eine detaillierte Beschreibung zum CAN-Bus findet sich in [82], [79]. Allgemeine technische Daten: Der CAN-Bus basiert entweder auf verdrillten Zweitdrahtleitungen (Twisted Pair) oder einem Lichtwellenleiter ¨ ¨ (LWL). Der maximal zul¨ assige Ubertragungsweg h¨angt von der Ubertragungsrate ab, bei 1 MBit/s betr¨ agt er 40 m und bei 50 kBit/s bereits 1000 m. Die maximale Teilnehmeranzahl bestimmt sich allein aus der Leistungsf¨ahigkeit der verwendeten Treiberstufenelektronik. Es sind verschiedene Mikrocontroller f¨ ur das CAN-Bus-Protokoll kommerziell erh¨altlich. Topologie und Daten¨ ubertragung: Die CAN-Bus-Topologie weist Linienstruktur auf. Es sind beidseitig Abschlußwiderst¨ande vorgesehen. Das Bus-Zugriffsverfahren basiert auf CSMA/CA mit bitweiser Arbitrierung. In der Arbitrierungsphase u ¨berschreiben Teilnehmer mit dem logischen Zustand 0 den logischen Zustand 1 der anderen gleichzeitig sendenden Teilnehmer. Man spricht in diesem Zusammenhang von dominantem (logisch 0) und rezessivem (logisch 1) Zustand. Die Teilnehmer mit rezessivem Zustand stellen ihren Sendevorgang ein und starten einen neuen Sendeversuch erst, nachdem wieder Busruhe“ detektiert wurde. Das Prinzip ” der bitweisen Arbitrierung wird in Abb. 17.24 gezeigt.

17.9 Der Feldbus (FAN)

573

Vcc Rpullup

T1

Busleitung

T2

T3

T Bit T1 T2

Sender

T3

Empfänger rezessiver Pegel

Bus

dominanter Pegel

T1 wird Empfänger

T3 wird Empfänger und T2 bleibt als Sender übrig

Abb. 17.24. Bitweise Arbitrierung nach dem CSMA/CA-Verfahren

Es bleibt als einziger Sender schließlich nur der Teilnehmer mit der h¨ochsten Priorit¨ at u ¨brig. Somit kann trotz des stochastischen Bus-Zugriffsverfahrens Echtzeitverhalten garantiert werden. Beim CAN-Bus werden eventuell auftretende Fehler anhand folgender Mechanismen ermittelt (siehe auch Abb. 17.25): • Bit-Monitoring: Jeder Sender empf¨ angt wieder die von ihm selbst gesendeten Bits und f¨ uhrt einen Identifikationsvergleich durch. • Bit-Stuffing: Es wird eine Bitcodierungsregel u ¨berwacht, nach der sp¨atestens nach 5 gleichen Bits ein verschiedenartiges zu folgen hat. • Acknowledge: Jede Nachricht (Telegramm) muß von mindestens einem Empf¨anger als fehlerfrei best¨ atigt werden. Dazu dient der ACKSlot im CAN-Bus-Telegramm (Abb. 17.25). • Cyclic Redundancy Check (CRC): Dabei wird eine 15 Bit lange Pr¨ ufsumme eingesetzt, um Fehler in Nachrichten zu erkennen, was zu einer Hamming-Distanz von HD = 6 f¨ uhrt.

574

17 Meßdatenerfassung im Feld

DatenArbitrierungsfeld Steuerfeld Datenfeld sicherungsfeld

EOF IFS BUS Idle

0-8 Byte Data 15 Bit CRC

Identifier 11 Bit

RTR IDE r0 DLC

SOF

ACK

Standardformat (CAN 2.0 A)

DatenSteuerfeld Datenfeld sicherungsfeld

Arbitrierungsfeld

BUS Idle

RTR r1 r0 DLC

SRR IDE

SOF SOF RTR IDE r0 DLC

EOF IFS

0-8 Byte Data 15 Bit CRC

18 Bit

11 Bit

ACK

Erweitertes Format (CAN 2.0 B)

Start of Frame Remote Transmission Request Identifier Extension Bit reserviert Data Length Control

ACK EOF IFS SRR r1 Bus Idle

Acknowlegde-Field End of Frame Inter Frame Space Substitute Remote Request reserviert Busruhe

Abb. 17.25. CAN-Bus-Protokolle (CAN 2.0 A und CAN 2.0 B)

17.9.3 PROFIBUS-DP Der PROFIBUS ist ein universell einsetzbarer Bus und wurde origin¨ar f¨ ur die Bereiche Fertigungsautomatisierung und Verfahrenstechnik entwickelt. Mittlerweile gibt es die Varianten PROFIBUS-FMS, PROFIBUS-DP und PROFIBUS-PA. Dabei stehen die Begriffe PROFIBUS f¨ ur PROcess FIeld BUS, DP f¨ ur Decentral Periphery bzw. Dezentrale Peripherie, FMS f¨ ur Fieldbus Message Specification und PA f¨ ur Process Automation bzw. Prozeßautomatisierung. Hier soll nur auf den PROFIBUS-DP eingegangen werden. Es handelt sich dabei um ein offenes System, das nach DIN 19 245 bzw. IEC 61 158 genormt ist. Es sei darauf hingewiesen, daß firmenspezifische Bezeichnungen f¨ ur PROFIBUS-kompatible kommerzielle Ausf¨ uhrungsvarianten existieren. Detaillierte Informationen zum PROFIBUS-DP findet man in [123], [79].

17.9 Der Feldbus (FAN)

575

Allgemeine technische Daten: Die Daten¨ ubertragung erfolgt beim PROFIBUS entweder mit geschirmter und verdrillter Zweidrahtleitung oder Lichtwellenleiter. Die Maximall¨ ange des Busses betr¨agt bei elektrischer ¨ Verdrahtung ca. 10 m und f¨ ur die LWL-Variante 90 km, wobei die Uber¨ tragungsentfernung von der Ubertragungsrate abh¨angt. Der PROFIBUS ¨ zeichnet sich durch eine hohe Ubertragungsgeschwindigkeit aus; sie betr¨agt maximal 12 MBit/s. Die Busteilnehmer sind bei elektrischer Verdrahtung w¨ahrend des Betriebes an- und abkoppelbar. Insgesamt lassen sich 124 Teilnehmer anschließen. Dabei l¨ aßt sich der PROFIBUS in Bussegmente untergliedern (max. Anzahl 5; je Segment max. 32 Teilnehmer). Die Bitcodierung erfolgt im sog. NRZ-Code (Non Return to Zero). Der PROFIBUS verf¨ ugt u ¨ber weitreichende Fehler- und Diagnosem¨oglichkeiten. Topologie und Daten¨ ubertragung: Der PROFIBUS basiert auf einer Linienstruktur mit Abzweigen. Dabei existieren sowohl Single- als auch Multimastersysteme. Bei der Maximall¨ ange von 9,6 km kann eine Daten¨ ubertragung von 94 kBit/s erreicht werden. Dabei d¨ urfen 7 Repeater eingesetzt werden. Der maximale Abstand zweier Teilnehmer betr¨agt 1200 m. Wird die Datenrate auf 1,5 MBit/s gesteigert, sind nur noch 4 Repeater zul¨assig. Das Zugriffsverfahren des PROFIBUSses wird als hybrides Token-PassingVerfahren bezeichnet (Abb. 17.26 und Abb. 17.27). Bei Verwendung mehrerer Master kl¨ aren diese ihr Zugriffsrecht zun¨achst untereinander durch Weitergabe des Token nach dem standardm¨aßigen Token-Passing-Verfahren. Die jeweiligen, den Mastern in der Initialisierungsphase zugeordneten Slaves werden dann von den betreffenden Mastern nach dem logischer Tokenring

SPS/PC DP-Master Klasse 1

DP-Master Klasse 2 R termin.

R termin.

Slave 1

Slave 2

...

Slave n

Abb. 17.26. Linientopologie des PROFIBUS-DP [79]

576

17 Meßdatenerfassung im Feld

DP-Master Klasse 1

DP-Master Klasse 1 Segment 2

Segment 1

DP-Master Klasse 1 Segment 3

R termin.

R termin.

Segment x Repeater 1

Repeater 3

Repeater 2

Bus Slave 1 ... Slave n

Slave 1 ... Slave q Slave 1 ... Slave k

Slave 1 ... Slave m

Abb. 17.27. Segmentierung des PROFIBUS-DP mittels Repeater (k, m, n, q < 32; x < 5) [79]

Master/Slave-Verfahren in zyklischer Reihenfolge abgefragt (Polling). Wenn nur ein Master verwendet wird (Single-Master-Betrieb), entf¨allt das Token-Passing, wodurch sich die Abfragesequenz der Slaves sp¨ urbar erh¨oht und somit die Echtzeitanforderungen in aller Regel erf¨ ullt werden k¨onnen. Das Datenprotokoll (Abb. 17.28) enth¨alt zwischen 2 Daten¨ ubertragungen mindestens 33 SYN-Zeichen, woraus die empfangenden Busteil¨ nehmer das Ende einer Ubertragung erkennen. Darauf folgt ein Start Delimiter SD zur Unterscheidung des Telegrammtyps [123], ein L¨angenbyte LE sowie die Wiederholung (zwecks Datensicherung) des L¨angenbytes LEr und des Start Delimiters SD. SD

LE

LEr

SD

DA

SA

FC

DAT FCS

ED

START D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0 PAR STOP SD

Start Delimiter

FC

Function Code

LE

Length (1 Byte)

DAT

Data

LEr

Length (1 Byte) Repetition

FCS

Frame Check Sequence

DA

Destination Address

ED

End Delimiter

SA

Source Address Abb. 17.28. Datenprotokoll f¨ ur PROFIBUS-DP (s. auch [123])

17.9 Der Feldbus (FAN)

577

Desweiteren enth¨ alt der Protokollrahmen Quell- und Zieladresse, einen Ende Delimiter sowie eine Verz¨ ogerung von 8 Bit. Der eigentliche Datenteil enth¨alt neben den 8 Datenbits ein Start-, ein Stopbit sowie ein Parit¨atsbit. ¨ Dieser aufwendige Protokollrahmen erlaubt zwar eine relativ sichere Uber¨ tragung von Daten. Aus der Tatsache, daß zur Ubertragung von 8 relevanten Datenbit 154 Bit zu u ¨bertragen sind, kann geschlossen werden, daß der PROFIBUS nicht im Low-Cost-Segment zu finden ist. Er wird sehr oft zur Vernetzung von SPS-Komponenten eingesetzt. 17.9.4 FIP-Bus Der FIP-Bus (Flux Information Process; ehemals: Factory Instrumentation Protocol) ist eine Entwicklung der franz¨ osischen Industrie und kann als kommerzieller Gegenspieler des PROFIBUS angesehen werden. Die Datenu ¨bertragung erfolgt u ¨ber geschirmte und verdrillte Zweidrahtleitungen oder u ubertragungsraten liegen zwischen 32 kBit/s ¨ber Lichtwellenleiter. Die Daten¨ und 5 MBit/s (mit LWL). Ein st¨ orungsfreies Anschließen von Teilnehmern w¨ ahrend des Betriebes ¨ ahnlich dem PROFIBUS ist hier nicht vorgesehen. Detaillierte Informationen zum FIP-Bus findet man in [79]. Allgemeine technische Daten: Es handelt sich ebenfalls um ein offenes System, das in der Norm IEC 61 158 spezifiziert ist. Die maximalen u ¨ber¨ br¨ uckbaren Distanzen sind ratenabh¨ angig: Bei einer Ubertragungsrate von 2,5 MBit/s betr¨ agt die Distanz 500 m, die auf 3500 m gesteigert werden ¨ kann, wenn die Ubertragungsrate auf 32 kBit/s reduziert wird. Die Bitcodierung erfolgt im Manchester-Code. Topologie und Daten¨ ubertragung: Die Topologie des FIP-Busses ist eine ¨ Linienstruktur mit Abzweigen. Bei LWL-Ubertragung ist neben der Linienstruktur eine sternf¨ ormige Topologie unter Verwendung aktiver Buskoppler m¨oglich. Die maximale Teilnehmeranzahl liegt bei 256. Der Bus-Zugriff ist deterministisch und erfolgt nach dem sog. DelegatedToken-Prinzip. Dabei erhalten die Slaves vom Master ein Token in Form ¨ eines Identifiers (16-Bit-Wort). Uber diese Identifier k¨onnen mehrere Variable eines Slaves adressiert werden. Die eigentliche physikalische Adresse wird nur in Sonderf¨ allen verwendet, ansonsten erfolgt die MehrfachAdressierung der Slaves durch den Identifier. Die Kommunikation besteht gem¨aß FIP-Protokoll aus der Initialisierungsphase und der Betriebsphase. In der Initialisierungsphase wird festgelegt, welcher Slave zu welchem Zeitpunkt welche Daten sendet. Die Datensicherung f¨ uhrt zu einer Hamming-Distanz HD = 4 und wird u ¨ber verschiedene Mechanismen erreicht [79], wie z.B. Telegrammrahmencheck mittels CRC-Quersumme, Dauerbelegungserkennung, Zeit¨ uberwachung der Teilnehmer oder auch die Abfrage eventuell ausgefallener Teilnehmer. Die l¨ angste Reaktionszeit kann in der Initialisierungsphase als Vielfaches der Minimalzykluszeit (5 ms) konfiguriert werden.

578

17 Meßdatenerfassung im Feld

17.9.5 INTERBUS-S Der Interbus-S ist ein speziell f¨ ur den echtzeitkritischen Bereich von der Fa. Phoenix Contact entwickeltes Bussystem. Es wird vorwiegend in der Fertigungsautomatisierung als objektnaher Feldbus zum Anschluß von Sensoren und Aktoren bzw. SPS-Komponenten eingesetzt. Auch beim Interbus-S handelt es sich um einen offengelegten Standard. Beim Interbus-S ist prinzipiell zwischen dem Lokalbus (= Sensorloop) und dem Fernbus zu unterscheiden. Detaillierte Informationen zum Interbus findet man in [21], [10]. Allgemeine technische Daten: Der Fernbus kann bei einer maximalen Teilnehmerzahl von 512 und einem maximalen Teilnehmerabstand von 400 m eine Gesamtausdehnung von 12,8 km aufweisen. Er kann Daten bis zu max. 500 kBit/s u ¨bertragen. Ein Subbus zum Interbus-S ist die Sensorloop (Lokalbus), die den Anschluß von einfachen bin¨aren Sensoren und Aktoren erm¨oglicht. Dabei wird ein Twisted-Pair-Kabel zu den Teilnehmern und zur¨ uck zum Hauptbus gef¨ uhrt (Abb. 17.29). Dieser Lokalbus kann max. 8 Teilnehmer aufnehmen (max. Abstand: 1,5 m, max. Ausdehnung 10 m) [79]. Die Zweidrahtleitung dient gleichzeitig als Versorgungsleitung. Dazu steht in der Sensor-Loop-Busklemme ein Netzteil (24 V; 1,5 A) zur Verf¨ ugung. Der Fernbus nutzt eine auf RS485 basierende Schnittstelle, wobei jeder Fernbusknoten u ¨ber eine separate Hilfsenergieversorgung sowie aktive Busankopplung mit Repeaterfunktion verf¨ ugt. Fernbus Sensorloop (Lokalbus) Slave 1

< 1,5 m

i < 40 mA

Slave 2

< 10 m

Slave n n < 32

Sensor-Loop-Busklemme (enthält Stromversorgung für Slaves) Abb. 17.29. Anschluß einer Sensor-Loop an den Fernbus (Interbus-S)

17.9 Der Feldbus (FAN)

579

Topologie und Daten¨ ubertragung: Abbildung 17.30 zeigt die InterbusTopologie. Der Bus besteht aus (seriellen) Punkt-zu-Punkt-Verbindungen, die einen Ring formen, was dazu f¨ uhrt, daß der Ausfall bereits eines Busknotens den gesamten Bus lahmlegt. Die Koordination der Buskommunikation obliegt dem Masterknoten (Busmaster). Das Bus-Zugriffsverfahren l¨ auft nach dem Prinzip des Summenrahmentelegramms ab. Dabei sind alle f¨ ur die einzelnen Teilnehmer bestimmten Daten im Telegrammrahmen enthalten. Die Daten, welche die Slaves an den Master senden, werden von den Slaves an der entsprechenden Stelle in den Telegrammrahmen eingebaut. Aufgrund der Ringtopologie k¨onnen die Daten in einem Schieberegister gehalten bzw. durchgeschoben werden, wobei darauf zu achten ist, daß das dazugeh¨orige Summenrahmentelegramm am Masterknoten beginnt und auch endet. Die explizite Adressierung der einzelnen Teilnehmer entf¨allt, da deren Adresse implizit aus der jeweiligen Position im Schieberegister folgt. Die Kommunikation beim Interbus-S beginnt stets mit einem sog. Identifikationszyklus, der vom Master nach dem Start des Systems initiiert wird, um festzustellen, welche Teilnehmer in welcher Reihenfolge aktuell am Bus angeschlossen sind. Dazu erh¨alt jeder Teilnehmer einen 16 Bit langen Identifikationscode (ID-Code). Nach dem Identifikationszy-

Busmaster

Slave

Fernbus Distanz < 400m Slave

Slave

Buskoppler

Lokalbus (Sensorloop) max. 8 Teilnehmer; Distanz < 10m Slave

Slave

Buskoppler Fernbus (max. 12,8km) Slave

Slave

Abb. 17.30. Struktur des INTERBUS-S (Ringtopologie)

580

17 Meßdatenerfassung im Feld

klus folgt der sog. Datenzyklus, in dem die Ausgabedaten vom Master an die Slaves und auch die Daten der Slaves an den Master u ¨bertragen werden. Die Datensicherung erfolgt per Cyclic Redundancy Check (CRC) mit Hilfe eines 16 Bit langen Pr¨ ufpolynoms. Beim Interbus-S k¨onnen seitens des Masters defekte Teilnehmer erkannt werden. In Folge ist es m¨oglich, nach dem Stoppen der Daten¨ ubertragung Bussegmente abzukoppeln bzw. defekte Teilnehmer zu tauschen. 17.9.6 BITBUS Der BITBUS, der im Jahre 1984 von der Fa. Intel definiert wurde, ist f¨ ur Anwendungen in der Steuerungsebene (Abb. 17.14) sehr geeignet; er findet aufgrund seines langsamen Zeitverhaltens wenig Anwendung in den untersten Ebenen von Automatisierungssystemen. Detaillierte Informationen zum Bitbus findet man in [49], [79]. Allgemeine technische Daten: Die Daten¨ ubertragung, die sich am RS485-Standard orientiert, erfolgt beim Bitbus u ¨ber drei Paare von verdrillten Leitungen (1. Paar: Data+/Data-; 2. Paar: Masseleitungen; 3. Paar: request-to-send / Schirm). Die Daten¨ ubertragung ist auch u ¨ber Lichtwellenleiter m¨oglich, was allerdings nicht in der IEEE-Spezifikation f¨ ur den Bitbus festgehalten ist. ¨ Die maximale Busl¨ ange pro Segment betr¨agt 1200 m bei einer Ubertragungsrate von 62,5 kBit/s. Aufgrund der H¨ochstzahl von 10 Repeatern kommt man auf 11 m¨ ogliche Segmente und eine Gesamtl¨ange des Busses Master 1. Bus-Ebene

R termin.

R termin.

Stichleitungen

Slave 1

Slave 2 Master

...

Slave 28

2. Bus-Ebene

R termin. Slave 3

Slave 4

R termin.

Repeater

...

Slave 8

Abb. 17.31. BITBUS mit zwei Ebenen [79]

17.9 Der Feldbus (FAN)

581

von 13,2 km. Es sind pro Segment 28 Teilnehmer und ein Masterknoten zugelassen; insgesamt d¨ urfen nicht mehr als 250 Teilnehmer angeschlossen werden. Die Codierung der Bitbussignale erfolgt gem¨aß der NRZI (NonReturn-to-Zero-Inverted)-Methode. Topologie und Daten¨ ubertragung: Die Topologie des Bitbusses ist eine Linie mit Abzweigen, wobei gem¨ aß Abb. 17.31 die Struktur auch aus mehreren Linien bestehen kann, die hierarchisch zusammengeschaltet werden. Der Bitbus l¨aßt nur einen Masterknoten zu, der u ¨ber alle Ebenen hinweg die Daten¨ ubertragung auf dem Bus kontrolliert. Ein diesem Master untergeordneter Slave kann jedoch als (Sub-)Master einer darunterliegenden Ebene arbeiten. Abbildung 17.32 zeigt das Bitbus-Telegramm, gem¨aß welchem die Daten in Paketen, bestehend aus Startblock, Informationsblock, Datenblock ¨ (Nutzdaten) und einem CRC-Pr¨ ufwort, gesendet werden. Bei der Ubertragung wird jeder Datenblock mit einer Anfangs- und einer Endemarke versehen, die aus 6 aufeinanderfolgenden Bits mit dem logischen Wert 1 bestehen. Das Echtzeitverhalten des Bitbus ist gew¨ahrleistet, da auf der ¨ Basis der Teilnehmeranzahl und der Ubertragungsrate die Antwortzeiten bestimmt werden k¨ onnen.

Flag Flag Adr Control Header Nutzdaten CRC

Adr

Control

Header

Nutzdaten

CRC

Flag

Marke Adresse Steuerfeld Bitbus-Meldungs-Header Bitbusdaten Prüfsumme Abb. 17.32. BITBUS-Telegramm [79]

17.9.7 EIB (European Installation Bus) Der EIBus wurde von der EIB Association, einem Zusammenschluß f¨ uhrender Unternehmen der Elektroinstallationstechnik, ins Leben gerufen. Dabei ist es das vorrangige Ziel, in Europa zu einem einheitlichen Installationsbus zu kommen, der in der Geb¨ audeautomation praxisgerecht eingesetzt werden kann. Er soll dabei in erster Linie der Vernetzung von Sensoren und Aktoren dienen, die typischerweise in der Haustechnik eingesetzt werden, wie z. B. Temperaturund Feuchtesensoren oder Beleuchtungs- und Jalousiesteuerungen. Detaillierte Informationen zum EIB findet man in [32].

582

17 Meßdatenerfassung im Feld

Gateway

NT BK15

Bereichslinie LK1 BK3

1

LK12

LK12

1

64

1

64

NT

NT

Linie

...

...

...

...

64

64

64

64

NT

NT

NT

NT

Bereich 2

Bereich 1

...

1

64

1 ...

1

. . .

1

...

LK3

LK12

LK12

NT

BK1 Hauptlinie NT LK2

. . .

NT

BK2

LK1

LK2

NT

NT Bereich 15

Bereich 3

NT Netzteil BK Bereichskoppler LK Linienkoppler

Abb. 17.33. Struktur des EIB-Systems [32], [79]

Allgemeine technische Daten: Die Daten¨ ubertragung sowie die Stromversorgung (bis zu 320 mA pro Segment) erfolgt u ¨ber verdrillte und geschirmte Zweidrahtleitungen. Beim EIBus handelt es sich ebenfalls um ein offenes System. Topologie und Daten¨ ubertragung: Der EIBus l¨aßt Linien-, Stern- und Baumstruktur, auch gemischt, zu. Die Gesamtstruktur kann in mehrere Bereiche unterteilt werden, die wiederum u ¨ber eine Bereichslinie, an der sog. Bereichskoppler h¨ angen, miteinander verbunden sind (Abb. 17.33). Die Bereiche sind in Linien unterteilt (max. 12 pro Bereich). An einer der Linien d¨ urfen bis zu 64 Teilnehmer angeschlossen werden. Es sind insgesamt 15 Bereiche zugelassen. Die Leitungsl¨ange pro Linie betr¨agt EIB-Bus EIB-Teilnehmer Buskoppler

Applikations Modul Abb. 17.34. Hauptkomponenten eines EIB-Teilnehmers

17.9 Der Feldbus (FAN)

583

1000 m. Die Daten¨ ubertragungsrate f¨ allt mit 9,6 kBit/s relativ gering aus. Die verdrillte Zweidrahtleitung dient als Datenleitung und gleichzeitig der Energieversorgung der Teilnehmer. Jeder EIBus-Teilnehmer ist untergliedert in einen Buskoppler und ein Applikationsmodul (Abb. 17.34). Die Anwenderschnittstelle zwischen Buskoppler und Anwendungsmodul ist ebenfalls Bestandteil der EIB-Norm. Es wird ein dezentrales CSMA/CA-Zugriffsverfahren eingesetzt. Die entsprechende Telegrammstruktur ist in Abb. 17.35 zu sehen. Die Nachrichten werden an bestimmte Zieladressen gesendet, wo sie von den entsprechenden Teilnehmern auf Fehlerfreiheit hin u uft werden. Danach ¨berpr¨ quittieren sie den Empfang.

Kontrollfeld Quelladresse Zieladresse Routing Inform. 8 Bit

16 Bit

17 Bit

7 Bit

Daten

Paritätsfeld

1 - 16 Byte

8 Bit

Abb. 17.35. Telegrammstruktur des EIB (f¨ ur Details siehe [74])

17.9.8 LON (Local Operating Network) Das Local Operating Network ist von der Fa. Echelon als Feldbussystem f¨ ur nicht-zeitkritische Anwendungen, wie z. B. die Geb¨audeautomatisierung, entwickelt worden. Eine internationale Norm existiert nicht, wohl aber LONNutzerorganisationen, welche die Entwicklung von LON-Komponenten unterst¨ utzen. Die Ankopplung der Teilnehmer an den LON-Bus erfolgt u ¨ber sog. Neuron-Chips, die von den Firmen Motorola und Toshiba geliefert werden. In diesen Chips ist das Protokoll aller 7 Schichten des OSI-Schichtenmodells in Form von Firmware enthalten. Detaillierte Informationen zu LON findet man in [33]. Allgemeine technische Daten: Die Daten¨ ubertragung erfolgt u ¨ber eine RS485-Leitung (Twisted Pair), u ¨ber Koaxialkabel, Lichtwellenleiter oder Netzleitungen (Powerline Communication). Die max. Daten¨ ubertragungsrate betr¨agt 1,25 MBit/s. Die Bitcodierung erfolgt nach dem ManchesterVerfahren. Eine Fernspeisung der Teilnehmer u ¨ber den Bus ist m¨oglich. Es lassen sich bis zu 32.385 Teilnehmer an den LON-Bus anschließen. Dazu m¨ ussen 255 Subnetze mit je 127 Teilnehmern eingerichtet werden. Die maximale Ausdehnung betr¨ agt 6,1 km bei einer Datenrate von 5 kBit/s. Topologie und Daten¨ ubertragung: Der LON-Bus kann Linien-, Sternund Baumstruktur aufweisen. Die unterschiedlichen Topologien resultie¨ ren aus den verschiedenartigen Ubertragungsmedien, die beim LON zu¨ gelassen sind. Bei RS485-Ubertragung ergibt sich eine Linienstruktur, bei Powerline- oder Funk¨ ubertragung nat¨ urlich andere Topologien. In jedem

584

17 Meßdatenerfassung im Feld

R termin.

Klimalüftung

Fenstersteuerung

Neuron

Neuron

R termin.

verdrillte Zweidrahtleitung

Neuron Router

Beleuchtung

Schalter

Neuron

Neuron

Neuron

Wechselstromleitung

Neuron Router Neuron

Neuron Funk

LWL

Neuron

LWL

Neuron

Router Neuron

Abb. 17.36. Topologievarianten des LON [79]

Fall dienen die Neuron-Chips als Kommunikationscontroller. Um zwei ¨ Bussegmente mit unterschiedlichen Ubertragungsmedien zu verbinden, braucht man einen Router (Abb. 17.36). Als Bus-Zugriffsverfahren wird ein CSMA/CA-Verfahren eingesetzt. Die Daten¨ ubertragung erfolgt gem¨ aß dem LONTALK-Protokoll (Abb. 17.37). Sie ist durch Datenpakete mit einer durchschnittlichen Gr¨oße von 20 Byte optimiert. Die Hamming-Distanz bei der Daten¨ ubertragung betr¨agt HD = 4 und wird durch eine 16 Bit lange CRC-Pr¨ ufsumme erreicht. Die Neuron-Chips sind recht komplex. Sie enthalten u. a. drei getrennPrä Prä Data CRC CV Beta1 Beta2 RS

Data

CRC

CV

Beta1

Beta2

RS

Präambel Datenpaket Prüfsumme (Cyclic Redundancy Check) Code Violation (Manchester-Code-Verletzung) Beta1-Zeit (Kanalfreihaltezeit) Beta2-Zeit (Prioritätsvergabe) Randomizing Slots (zufällige Zeitscheiben) Abb. 17.37. Telegramm des LON-Bus [79]

17.9 Der Feldbus (FAN)

585

te CPUs f¨ ur Bus-Zugriff (CPU1), Abdeckung der OSI-Schichten 3 bis 7 (CPU2) und Anwendungsaufgaben (CPU3). Zu ihrer Programmierung ben¨otigt man das nicht ganz preiswerte Entwicklungstool LONBUILDER. 17.9.9 DIN-Meßbus Das Haupteinsatzgebiet des DIN-Meßbusses ist das professionelle Meß-, Pr¨ ufund Eichwesen, so z. B. bei der Tankstellenautomation. In Deutschland ist der DIN-Meßbus genormt (DIN 66348). Es gibt auch eine Anwendervereinigung (DIN-Meßbus e.V.). Detaillierte Informationen zum DIN-Meßbus findet man in [134], [79]. Allgemeine technische Daten: Der DIN-Meßbus basiert auf der RS485¨ Ubertragung mit zwei Twisted-Pair-Leitungen f¨ ur Vollduplex-Betrieb. Die Bitcodierung erfolgt nach NRZ (Non Return to Zero). Standardm¨aßig k¨onnen 32 Teilnehmer angeschlossen werden. Bei Verwendung von erweiterten Adressen und Repeatern sind 992 bzw. bei Kaskadierung bis zu 4.096 Teilnehmer zugelassen. Topologie und Daten¨ ubertragung: Die Topologie ist eine Linienstruktur mit Abzweigen. Wegen des Vollduplexbetriebes sind zwei Adernpaare, also eine Sende- und eine Empfangsleitung, notwendig (Abb. 17.38). PC Master

Busleitungen

R termin.

R termin. Slaves

Empfangsleitung Sendeleitung

Repeater

Slave 0 reserviert für Rundruf

Slave 1

Slave 2

Meßgerät 1

Meßgerät 2

...

Slave n Drucker

Abb. 17.38. Topologie des DIN-Meßbusses [79]

Das Bus-Zugriffsverfahren arbeitet nach dem Master/Slave-Prinzip mit Abfragepolling. Der Telegrammrahmen des DIN-Bus-Protokolls wird in Abb. 17.39 gezeigt. Die Fehlersicherung besteht u. a. aus einem Parit¨atsbit und einem Blockpr¨ ufzeichen (BCC) je Datenblock. Schließlich wird eine HammingDistanz von HD = 4 erreicht. Aufgrund des deterministischen Pollings, der bekannten Teilnehmeranzahl und Blockl¨ange sowie der vereinbarten Datenrate ist die Echtzeitf¨ ahigkeit des DIN-Meßbus gegeben.

586

17 Meßdatenerfassung im Feld

Übertragungsblock INFO

STX

ETB/ETX

STX INFO ETB/ETX

BCC

Beginn des Datenblocks Informationsfeld max. 128 Zeichen Ende Datenblock / Ende Datenblock und gleichzeitig Ende Text Blockprüfzeichen

BCC

Abb. 17.39. Telegramm des DIN-Meßbusses

17.10 Prim¨ are Sensorelement-Schnittstelle (PrimSens) Der deutsche AMA-Fachverband f¨ ur Sensorik [5] hat ein Schnittstellenkonzept f¨ ur die modulare Mikrosensorik vorgeschlagen. Dieser Vorschlag sieht Module f¨ ur die Funktionsbereiche Meßwerterfassung, Meßwertverarbeitung und die Systemanbindung vor (Abb. 17.40). Die Schnittstelle wurde vom AMAFachverband in Kooperation mit Sensorherstellern und den Fraunhoferinstituten IZM und IIS entwickelt. Kernpunkte der Definition sind: • • •

Ein von Meßgr¨ oße und Elementtyp unabh¨ angiges Ausgangssignal (Uout ) Neutralit¨at gegen¨ uber unterschiedlichen Betriebsspannungen (Vcc ) Einheitliche Abmessungen und elektrische Kontaktierung.

Grunds¨atzlich l¨aßt sich die PrimSens-Empfehlung mit nahezu allen Sensorelementen realisieren.

Vcc

SensorelementModul

TC

Uout Bezugs-

potential

AnalogAusgang

ADC, Mikrorechner

KommunikationsModul

oder

Bus, Ethernet, Bluetooth etc.

Analogstufe

Meßwerterfassung

Meßwertverarbeitung

PrimSensEmpfehlung

Systemanbindung

BuskopplerEmpfehlung

Abb. 17.40. Schnittstellen-Konzept der modularen Mikrosensorik [5]

17.10 Prim¨ are Sensorelement-Schnittstelle (PrimSens)

587

PrimSens definiert absolute Ausgangs-Signalpegel, die unabh¨angig von der im Sensorsystem vorhandenen Betriebsspannung sind. Erreicht wird dies durch eine modulinterne Stabilisierung der Versorgungsspannung am Sensorelement. Damit vermeidet PrimSens eine ratiometrische Auswertung des Meßsignals in Bezug auf die Betriebsspannung, denn dies w¨ urde alle aktiven Sensorelemente ausgrenzen. Um k¨ unftige Entwicklungen in der Betriebsspannung zu ber¨ ucksichtigen, definiert PrimSens zwei m¨ ogliche Ausgangspegel. Je nach Spannungsbereich der nachfolgenden Signalverarbeitung betr¨agt der Signalhub ± 1,23 V bzw. ± 2,46 V. Dieser Pegel entspricht einem Vielfachen der Bandgap-Referenz, die in den meisten A/D-Umsetzern ohnehin als Spannungsnormal zur Verf¨ ugung steht. Das Bezugspotential ist in den Grenzen der jeweiligen Betriebsspannung frei w¨ ahlbar, so daß hohe Flexibilit¨at in der Anwendung erreicht wird. Aus wirtschaftlichen Gr¨ unden (Hardware-Kosten) wird in PrimSens die maximale Betriebsspannung f¨ ur das Modul auf 12 V begrenzt (Abb. 17.41). Ausgangsspannung Uout

Vcc obere Aussteuerungsgrenze

Masse +1,23 oder 2,46 V (wählbar im Bereich - 1,23 oder 2,46 V 0 bis Vcc - 2,46 V (1,23V) bzw. Vcc -1,23V) untere Aussteuerungsgrenze

Meßgröße X X max

Abb. 17.41. Ausgangssignal f¨ ur Sensorelement-Module nach der PrimSensEmpfehlung [5]

Abbildung 17.42 zeigt die wesentlichen Funktionselemente zur Realisierung eines Sensorelement-Moduls am Beispiel von resistiven Elementen bzw. Spannungsquellen. Dies sind: • •

Sensorelement, im Beispiel eine Widerstands-Meßbr¨ ucke Instrumentenverst¨ arker zur Auskopplung des Meßsignals

588

• • •

17 Meßdatenerfassung im Feld

Widerstandsnetzwerk f¨ ur Verst¨ arkungsfaktor und Offsetabgleich Spannungsregler Optionaler Temperatursensor.

Der Spannungsregler macht das Modul unabh¨ angig von der im Sensorsystem verf¨ ugbaren Betriebsspannung. Die Spannung am Element wird u ¨ber den Abgriff herausgef¨ uhrt, so daß etwaige Langzeit-Driften durch den Rechner des Sy¨ stems korrigiert werden k¨ onnen. Uber den Abgriff kann aber auch eine externe Spannung zugef¨ uhrt werden, so daß dann der Regler entfallen kann. Wird das Modul um einen Sensor zur Temperaturkompensation erweitert, so stellt dieser ebenfalls den Signalpegel nach PrimSens-Empfehlung zur Verf¨ ugung.

SpannungsRegler

Sensorelement, z.B. R-Meßbrücke

Vcc SVcc TCoptional Uout Vir.Masse Anal.Gnd

Abb. 17.42. Hardware-Konzept eines Sensorelement-Moduls [5]

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

Die n¨achsth¨ohere Vernetzungsebene nach dem Feldbereich, in dem ja die Feldbusse dominieren, ist der Zellbereich bei der Fertigung und der Prozeßleitbereich bei der Prozeßautomatisierung. Feldbusse k¨onnen hier nicht eingesetzt werden, weil im Vergleich zum Feldbereich sehr große Datenmengen transportiert werden m¨ ussen. Daf¨ ur d¨ urfen die Antwortzeiten f¨ ur eine Anfrage zum Teil bereits im Sekundenbereich liegen. Als Bussystem eignet sich hier das Ethernet, das als physikalische und logische Basis f¨ ur ein Local Area Network (LAN) dient. Ein LAN ist ein Kommunikations-Verbund von eigenst¨andigen Rechnern und Controllern, die gegenseitig Daten austauschen m¨ ussen. Ein Rechner kann dabei als Serverstation dienen, die den Datentransfer zwischen allen an das Netz angeschlossenen Rechnern koordiniert. Den Zusammenschluß der LANs eines Unternehmens bezeichnet man als Intranet. Die LANs wurden ehemals vorwiegend in der B¨ urokommunikation eingesetzt. Um sie auch f¨ ur die Fabrikautomation und Prozeßtechnik verf¨ ugbar zu machen, mußten sie insbesondere bzgl. elektromagnetischer St¨orungen resistent werden, z. B. durch doppelt geschirmte Koaxialkabel. Man spricht in diesem Zusammenhang von Industrie-LAN bzw. im Falle des Ethernet von Industrie-Ethernet. Das heutige Ethernet ist in der IEEE-Spezifikation 802.3 definiert. Danach kann ein Ethernet aus 5 Segmenten mit je 500 m Koaxialkabel bestehen. Die maximale Teilnehmeranzahl liegt bei 1024 und die h¨ochste Datenrate bei 10 MBit/s. Die Topologie ist in aller Regel eine Linienleitungsstruktur mit ¨ Abzweigen. F¨ ur h¨ohere Datenraten steht das sog. Fast-Ethernet f¨ ur Ubertragungen mit bis zu 100 MBit/s bereit. Mittlerweile gibt es noch schnellere Ethernet-Standards mit Datenraten von 1000 bzw. 2000 MBit/s. Um eine sichere Daten¨ ubertragung zu erm¨oglichen, wird das Ethernet mit einer Kommunikationssoftware betrieben, welche die Daten¨ ubertragung durch Fehlererkennung und Fehlerkorrektur stark verbessert. Diese StandardKommunikationssoftware ist das Transmission Control Protocol / Internet Protocol (TCP/IP). Sie bildet auch die Schnittstelle zur Anwendungs-

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_18, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

590

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

Application

7

Presentation

6

Session

5

Transport

4

Transport Control Protocol (TCP)

Network

3

Internet Protocol (IP)

Data Link

2

Packet-Driver

Physical Link

1

Ethernet-Controller/physik. Leitungen

Application

Abb. 18.1. Abbildung des ISO-Schichtenmodells auf das mit TCP/IP betriebene Ethernet

software. TCP/IP ist den Schichten 3 und 4 des ISO-Schichtenmodells zuzuordnen. Das Ethernet insgesamt entspricht den Schichten 1 bis 4 (Abb. 18.1).

18.1 IP-Adressen Jeder Teilnehmer eines LAN erh¨ alt eine ihm zugeordnete Adresse, die sog. IP-Adresse. Jede IP-Adresse ist 32 Bit lang und untergliedert sich in 4 Felder `a 8 Bit, die als Oktette bezeichnet werden. Ein Oktett repr¨asentiert eine Dezimalzahl zwischen 0 und 255. Die einzelnen Oktette sind durch Punkte voneinander getrennt (Abb. 18.2). IPv6-Adressen Die bisher behandelten IP-Adressen basieren auf dem Protokoll IPv4 (IP Version 4), welches bis zu 232 verschiedene Adressen vorgibt. Die Internet Engineering Task Force (IETF) warnte schon in den 90er Jahren, daß die Anzahl freier IP-Adressen rapide abnimmt. Daher wurde das Protokoll IPv6 (IP Version 6) entwickelt, welches 128 Bit lange Adressen definiert und 2128 verschiedene Adressen erlaubt. Die Einf¨ uhrung des neuen Standards ist derzeit noch ungewiß. Eine IPv6-Adresse setzt sich aus acht 16 Bit-Werten zusammen, wobei jeder der 16 Bit-Wert aus 4 hexadezimalen Werten besteht. Ein Beispiel f¨ ur eine IPv6-Adresse: ADCF:BA43:0000:0000:0000:0000:0800:CAFE oder vereinfacht ADCF:BA43::800:CAFE

18.2 Subnetzmasken

591

Netzwerkklasse Netz-ID

Host-ID

A

7 . . . . . . 07 . . . . . . 07 . . . . . . 07 . . . . . . 0

B

7 . . . . . . 07 . . . . . . 07 . . . . . . 07 . . . . . . 0

C

7 . . . . . . 07 . . . . . . 07 . . . . . . 07 . . . . . . 0

Netz-ID

Host-ID

Netz-ID r 1 Byte

s 1 Byte

Host-ID t 1 Byte

u 1 Byte

NetzwerkIP-Adresse Netz-ID Host-ID klasse A r. s. t. u s. t. u r B t. u r. s. t. u r. s C u r. s. t. u r. s. t Abb. 18.2. Prinzipielle Struktur von IP-Adressen gem¨ aß IPv4

Aufeinanderfolgende Nullwerte k¨ onnen mittels ::“ einmalig abgek¨ urzt wer” den, f¨ uhrende Nullen werden weggelassen. Die im folgenden Abschnitt beschriebenen A-, B- oder C-Klasse Netzwerke spielen bei IPv6 keine Rolle mehr. Hier wird eine andere Unterscheidung von Netzwerktypen vorgenommen. Die gr¨ oßte Neuerung von IPv6 stellt die Unterscheidung von Transportpriorit¨ aten dar, somit werden in Zukunft EmailNachrichten langsamer transportiert als Echtzeitdaten. Details dazu werden unter anderem in [9] vorgestellt.

18.2 Subnetzmasken Subnetzmasken werden verwendet, um die Netz-ID von der Host-ID (Abb. 18.2) in einer IP-Marke zu trennen. Dies hat zur Folge, daß die Subnetzmasken von der Klasse des Netzes abh¨ angen. Netz-Klasse A B C

Standard-Subnetzmaske in Dezimalnotation 255.0.0.0 255.255.0.0 255.255.255.0

592

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

Mit bitweiser Verundung von IP-Adresse und Subnetzmaske kann so leicht die Netz-ID herausgefiltert werden. F¨ ur den Fall, daß das (physikalische) Netz auf mehrere Subnetze aufgeteilt wird, muß eine spezielle Subnetzmaske definiert werden.

18.3 Internet-Protokoll (IP) Dem Internet-Protokoll (entspricht Schicht 3 des ISO-Schichtenmodells) obliegt die prinzipielle Aufgabe, Datenbl¨ ocke (Datagramme oder auch Telegramme genannt) vom Sender zu einem oder mehreren Empf¨angern zu transportieren. Als Unteraufgaben resultieren daraus Adreßverwaltung (Adress Management), die Aufteilung des Telegramms in geeignete Datenbl¨ocke (Segmentie¨ rung), die Suche eines geeigneten Ubertragungsweges im Netz (Routing) bei komplexeren Netzstrukturen sowie die Fehlererkennung im Falle von bei der ¨ Ubertragung auftretenden Fehlern. Erst durch eine weitere Softwareschicht, dem Transmission Control Protocol (TCP), wird der einwandfreie Empfang der Daten sichergestellt.

18.4 Transmission Control Protocol (TCP) Das Transmission Control Protocol (TCP) ist der 4. Schicht im ISO-Schichtenmodell zugeordnet. Den entsprechenden Software-Modulen obliegen folgende wichtige Teilaufgaben: • • • •

Aufbau sowie Abbau von Daten¨ ubertragungsverbindungen im VollduplexBetrieb. Vollduplex-Betrieb bedeutet gleichzeitiges Senden und Empfangen von Daten. Kontrolle dieser Verbindungen und im Falle eventueller Probleme, wie z.B. Stau im Netz, R¨ uckmeldung an die dar¨ uberliegende Anwendersoftware. Aufbereitung und eventuelle Zwischenspeicherung von zu u ¨bertragenden Datenbl¨ocken Datensicherung durch – Pr¨ ufsummenbildung (32 Bit) – Quittierung von korrekt empfangenen Segmenten (Acknowledgement) ¨ – Wiederholung (Repeat) im Falle von Ubertragungsfehlern – Zeit¨ uberwachung (Time Out).

18.5 Echtzeitf¨ ahigkeit des Ethernet Die Echtzeitf¨ahigkeit des Ethernet ist im strengeren Sinne, bedingt durch das verwendete CSMA/CD-Zugriffsverfahren, nicht gegeben. Durch Lasteinschr¨ankung (Busauslastung < 25%) jedoch, die durch entsprechende Parametrierung der TCP/IP Software eingestellt werden kann, wird erreicht, daß

¨ 18.7 Physikalische Ethernet-Ubertragung

593

die Responsezeiten auch bei den relativ großen Datenmengen der Leit- und F¨ uhrungsebenen klein genug sind (0,1 bis 10 Sekunden, je nach Anwendung), um f¨ ur die meisten Anwendungen von einer Echtzeitf¨ahigkeit ausgehen zu d¨ urfen. Die entscheidenden Parameter zur Einstellung der Lastbegrenzung sind die Anzahl der pro Sekunde gesendeten Nachrichten (Nachrichtenrate), ihre maximale durchschnittliche Dauer sowie der minimale Zeitabstand zwischen den Nachrichten. Eine weitere M¨ oglichkeit zur Verk¨ urzung der Antwortzeiten besteht in einer Unterteilung des Netzes in ein u ¨bergeordnetes Hauptnetz und darunterliegende Subnetze. Man spricht in diesem Zusammenhang von Switching-Technologie. Meistens sind die beiden Netzebenen u ¨ber optische Switch Module verbunden, deren wesentliche Aufgabe in der Kanalisierung des Datentransports besteht.

¨ 18.6 Ubergeordnete Kommunikationsebenen Es gibt Bestrebungen, die Funktionalit¨ at und den Komfort von TCP/IPDaten¨ ubertragungen weiter zu verbessern, indem man auch die Schichten 5 und 6 des OSI-Schichtenmodells durch Standards abdeckt. In diesem Zusammenhang ist vor allem das Manufacturing Automation Protocol (MAP) zu nennen, das f¨ ur die Entwickler von Automatisierungstechnikkomponenten eine Standard-Schnittstelle zu der darunterliegenden TCP/IP-Software bereitstellt. Diese Schnittstelle stellt Software-Komponenten der Schichten 5 und 6 zur Verf¨ ugung, welche die Kommunikation von Automatisierungstechnikkomponenten unterst¨ utzen, so daß sich der Entwickler nur noch um die eigentliche Anwendungssoftware (Schicht 7) k¨ ummern muß.

¨ 18.7 Physikalische Ethernet-Ubertragung Historisch herrscht bei Ethernet-Verbindungen das Koaxialkabel vor, im Nahbereich werden heute vorrangig geschirmte Twisted-Pair-Leitungen mit 4 Adernpaaren verwendet, w¨ ahrend auf Fernstrecken in aller Regel Lichtwellenleiter zum Einsatz kommen. Bei Verwendung von Twisted-Pair-Leitungen im Nahbereich werden die Teilnehmer (Knoten) eines Netzsegmentes sternf¨ormig an einen sog. Hub angeschlossen. Es handelt sich dabei um einen MultiportRepeater, d. h. alle Nachrichten, die der Hub empf¨angt, werden an alle an ihn angeschlossenen Teilnehmer gesendet. Dabei ist ein Hub im Gegensatz zu einem sog. Switch nicht in der Lage festzustellen, welche Teilnehmer die Nachricht empfangen sollen und welche nicht. Dies f¨ uhrt nat¨ urlich zu unn¨otigem Datenverkehr im Netz und damit zu Problemen bei stark frequentierten Netzen. Ein Switch hingegen kennt die Adressen der an ihn angeschlossenen Teilnehmer und leitet Nachrichten gem¨ aß ihrer Zieladresse nur gezielt an die

594

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

.... Hub / Switch Ethernet

Hub / Switch

Hub / Switch

Subnetze mit Sternstruktur

Ethernet

....

....

....

.... ....

....

Abb. 18.3. Ethernet-Topologie mit Hubs und Switches

Teilnehmer weiter, f¨ ur die sie gedacht ist. Dies erm¨oglicht die (nahezu) gleich¨ zeitige Ubertragung von Nachrichten mit verschiedenen Zieladressen u ¨ber den Switch (Abb. 18.3). Ein Switch ist auch in der Lage, Nachrichten zwischenzuspeichern. Wenn die Verbindungen zum Switch 4-adrig ausgef¨ uhrt sind, k¨ onnen u ¨ber den Switch verbundene Teilnehmer in beiden Richtungen simultan, d. h. im Vollduplex-Betrieb, miteinander kommunizieren. Wenn zwei an einem Busstrang angeschlossene Switches diesen gleichzeitig benutzen wollen, kommt es jedoch zu Kollisionen.

18.8 Ethernet-Telegrammstruktur Es gibt zwei g¨angige Telegrammstrukturen, n¨ amlich die nach dem Standard V.2 und die nach IEEE 802.3, welche aufgrund ihrer Unterschiede nicht kompatibel sind (Abb. 18.4).

18.9 Verbindung mehrerer lokaler Netze Gr¨oßere Organisationseinheiten, wie Entwicklungszentren, Fabrikationsst¨atten oder auch Universit¨ aten betreiben meist mehrere lokale Netze (Local Area Networks (LANs)), die es dann wiederum untereinander zu verbinden gilt (Abb. 18.5). Dazu verwendet man sog. Router. Wenn nun ein Teilnehmer aus einem bestimmten LAN eine Nachricht in ein anderes LAN u ¨bertragen m¨ochte, wird diese Nachricht zun¨ achst an den dem Sendenetz zugeordneten Router geschickt. Dieser Router verf¨ ugt u ¨ber Routing-Tabellen, denen er entnehmen

18.9 Verbindung mehrerer lokaler Netze

595

Ethernet-Telegrammstruktur nach V.2

PRE

Cyclic Redundancy Check 4 Byte

Source Address Data 6 Byte 0 bis 1500 Byte

Preamble 8 Byte DA

SA

Destination Address 6 Byte

Type Da ta Pad

CRC

PadField Type-Field 0 bis 46 Byte 2 Byte (wird gefüllt wenn Datenfeld < 46 Byte)

Ethernet-Telegrammstruktur nach IEEE 802.3 Destination Address 6 Byte

Preamble 7 Byte PRE

SD

DA

SA

Destination Service Address Point 1 Byte

Source Service Address Point 1 Byte

Len DSAP SSAP

Source Address Length of 6 Byte DataField Start Delimiter 2 Byte 1 Byte

Cyclic Redundancy Protocol-ID Data Check 3 Byte 0 bis 1500 Byte 4 Byte

CF Control-Field 1 Byte

P-ID Type Da ta Pad CRC PadField Type-Field 0 bis 46 Byte 2 Byte (wird gefüllt wenn Datenfeld < 46 Byte)

Abb. 18.4. Ethernet-Telegrammstrukturen

kann, auf welchem Wege er die betreffende Nachricht in das in Frage kommende LAN schicken kann. F¨ ur den Fall, daß dieses LAN nicht unmittelbar erreichbar ist, werden Wege u ur das effiziente ¨ber andere Router gesucht. F¨ Routing in komplexen Netzen stehen heute intelligente Routing-Algorithmen zur Verf¨ ugung. Router sind also kleine Rechner, die Netze auf der Ebene der 3. Schicht des ISO-Schichtenmodells verbinden, d. h. sie beinhalten bereits Realisierungen der Schichten 1 bis 3.

596

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

LAN 2 LAN 1 Router 1 Router 2 LAN 3

Router 3 Router 4 LAN 5 LAN 4

Abb. 18.5. Verbindung mehrerer lokaler Netzwerke

18.10 Standortu ¨ bergreifende Vernetzung 18.10.1 Breitband-ISDN F¨ ur die Verbindung lokaler Netze, die sich an unterschiedlichen Standorten auf der Welt befinden, ben¨ otigt man zun¨ achst geeignete physikalische Fern¨ ubertragungsmedien. Dazu z¨ ahlen Standard-Telefonkabel, Koaxialkabel, Lichtwellenleiter, Richtfunkstrecken, Satellitenverbindungen und Mobilfunknetze. ¨ Das weltweit am weitesten verbreitete ¨ offentliche Standard-Daten-Ubertragungssystem ist das ISDN (Integrated Services Digital Network). Bei der Nutzung eines Kanals k¨ onnen Daten mit 64 kBit/s u ¨bertragen werden. Die Daten¨ ubertragungsrate verdoppelt sich, wenn beide Standard-Kan¨ale verwendet ¨ werden. Durch neue Ubertragungstechniken, wie High Bit Rate Digital Subscriber Line (HDSL) oder Asymmetric Digital Subscriber Line (ADSL) sind Daten¨ ubertragungsraten von ca. 3 MBit/s bis zum Endteilnehmer m¨oglich. Zur Bereitstellung h¨ oherer Bandbreite kann auch ein sog. Prim¨armultiplexanschluss genutzt werden, der durch B¨ undelung von 30 ISDN ¨ B-Kan¨alen eine Ubertragungsrate von 1,92 MBit/s erreicht. Im Aufbau befindet sich ein sog. Breitband-ISDN-Netz (B-ISDN), ¨ welches Ubertragungsraten von derzeit 155 MBit/s zul¨aßt. Es sind Datenraten von bis zu 2,5 GBit/s realisierbar. Der Zugang zum B-ISDN ist an die Verf¨ ugbarkeit eines Koaxialkabels bzw. eines Lichtwellenleiters (LWL) zwischen Vermittlungsstelle und Endteilnehmer gebunden. Dies f¨ uhrt oft zum sog. Problem der letzten Meile, bei dem zwar prinzipiell HochleistungsTelekommunikationsnetze regional zur Verf¨ ugung stehen, aber der Anschluß

18.10 Standort¨ ubergreifende Vernetzung

597

¨ von Endteilnehmern scheitert, weil nicht die geeigneten Ubertragungsmedien bis dorthin f¨ uhren. ¨ Das Breitband-ISDN verwendet als Ubertragungsverfahren das ATMProtokoll (Asynchronous Transfer Mode). Bei ATM werden die zu u ¨bertragenden Daten zu Paketen fester L¨ ange (53 Bytes) zusammengefaßt und zum ¨ Ziel geroutet. Zur Ubertragung wird ein synchrones Zeitmultiplexverfahren eingesetzt, bei dem eine Zeitscheibe exakt dieser Datenzellenl¨ange entspricht. Der Namensteil asynchronous“ bezieht sich auf die Tatsache, daß aufein” anderfolgende Nutzzellen eines logischen Datenstromes (Verbindung) zeitlich unabh¨angig voneinander u ¨bertragen werden. Weitere Informationen zu ATMNetzen finden sich beispielsweise in [57]. 18.10.2 Datex-P Ein ¨alteres Weitverkehrs¨ ubertragungsmedium ist das Datex-P-Netz. Datex-P steht f¨ ur Data Exchange Packet Switching. Auch hier werden die Daten in Form von Paketen u ubertragung selbst erfolgt ¨bertragen. Die Paket¨ im Netz mit 64 kBit/s (k¨ unftig 1,92 MBit/s). Dem Datex-P-Netz liegt das X.25-Protokoll zugrunde. Die dort vorgesehenen Korrekturm¨oglichkeiten erlauben Bitfehlerwahrscheinlichkeiten in der Gr¨ oßenordnung von 10−9 . Ein weiterer Vorteil von Datex-P besteht in der M¨ oglichkeit, unterschiedlich schnelle Datenendeinrichtungen miteinander zu verbinden. Typischerweise wird das Datex-P-Netz heute u ¨ber den ISDN-Anschluß erreicht, wobei ein paketvermittelbares X.25-Endger¨ at u ¨ber einen geeigneten Terminaladapter an den ISDNHauptanschluß angeschlossen wird, welcher damit aus Sicht dieses Endger¨ates zum Datex-P10H-Hauptanschluß wird [57]. 18.10.3 GSM Eine weitere M¨oglichkeit des Datentransfers im Weitverkehrsbereich besteht in der Nutzung des Mobilfunknetzes GSM (Global System for Mobile Communication) unter Zuhilfenahme des General Packet Radio Services (GPRS). GPRS unterst¨ utzt alle g¨ angigen Daten¨ ubertragungsprotokolle, inklusive X.25 und IP (Abb. 18.6). GPRS basiert ebenfalls auf einer paketvermittelnden Technologie, die zur effizienten Nutzung der GSM-Netzwerkkapazit¨at dient, d. h. ein Teilnehmer belegt die Funkstrecke nur dann, wenn wirklich Daten u ubertragungsrate betr¨agt bei ¨bertragen werden. Die Standard¨ GPRS 14,4 kBit/s. Es k¨ onnen schließlich 8 Kan¨ale zu 115,2 kBit/s geb¨ undelt werden. Bei GPRS werden Datenpakete von den Basisstationen u ¨ber die sog. Serving GPRS Support Nodes (SGSN) auf den GPRS-Backbone u ¨bertragen. Dies ist ein Netz mit Internet-Protokoll (IP). Andere Netze k¨onnen schließlich u ¨ber Gateways erreicht werden (Abb. 18.6).

598

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

Notebook mit Meßdatenerfassung

. .. ... . ..

...

ISDN

Gateway zum leitungsgebundenen Telefonnetz

Mobile Switching Center GSM-Netz Serving GPRS Support Node

GPRS-Netz

IP-basierter GPRS-Backbone Gateway

...

Gateway

Ethernet mit TCP/IP

X.25

PC

Modem

PC Abb. 18.6. GPRS-Netzwerkverbindungen

UMTS Als leistungsf¨ahigerer Nachfolger der GSM-Mobilfunknetze ist seit Fr¨ uhjahr 2004 das Universal Mobile Telecommunications System (UMTS) in Betrieb. Auf geringe Distanzen sind dort 2 MBit/s ansonsten 384 kBit/s m¨oglich. 18.10.4 Powerline-Kommunikation (Power Line Communication, PLC) Bei der Powerline-Kommunikation nutzt man die Leitungen des elektrischen ¨ Energieversorgungsnetzes zur Ubertragung von Daten. Dabei werden Daten¨ ubertragungsraten von typischerweise 1 MBit/s erreicht. So wird die bisher

18.10 Standort¨ ubergreifende Vernetzung

599

nur zur Energieversorgung genutzte Kabelinfrastruktur zur Basis f¨ ur ein neues Marktsegment des Telekommunikationsmarktes. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Internet aus der Steckdose. Das Verfahren erlaubt hohe Datenraten auch bei den u ¨blicherweise vorhandenen Netzst¨orungen. Insbesondere die Siemens AG hat sich der PLC-Thematik sehr stark angenommen und treibt sie voran. Es gibt allerdings noch keinen einheitlichen Standard u ¨ber die Herstellergrenzen hinweg. 18.10.5 Satellitenkommunikation In Regionen mit schwach ausgebauten ¨ offentlichen Datennetzen (in Europa sind dies etwa 75% der Gesamtfl¨ ache) stellt sich f¨ ur viele Unternehmen die Frage, wie sie an Highspeed-Datennetze angeschlossen werden k¨onnen. Ein Breitbandanschluss l¨aßt sich in diesen Gebieten oft nur u ¨ber Satellitenverbindungen realisieren. So gibt es bereits einige Unternehmen, die bei dieser Problemstellung L¨osungen anbieten, wie z. B. das Thyssen-Krupp-Tochterunternehmen Triaton [160], das die datentechnische Anbindung von außerhalb einer guten terrestrischen Tele-Kommunikationsinfrastruktur liegenden Niederlassungen u ¨ber Satellitenstrecken anbietet (Abb. 18.7). Der Anschluß erfolgt dabei u ¨ber ein serielles Interface. Die Datenraten der derzeit zur Verf¨ ugung stehenden Kan¨ ale liegen zwischen 32 kBit/s und 34 MBit/s. Diese Dienste werden von der Industrie heute vorwiegend f¨ ur LANLAN-Kopplungen genutzt. Die Satellitenkommunikation ist prinzipiell in Gebieten mit schwacher Telekommunikationsinfrastruktur bei der Realisierung von WANs die erste Wahl,

Satelliten-Zentrale Standort A

Zentrale

öffentliches Telefonnetz (ISDN bzw. B-ISDN)

Standort B

Abb. 18.7. Datentechnische Vernetzung via Satellit

Standort C

600

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

wenn man hohe Datenraten ben¨ otigt. Pro Transponder erlaubt ein Satellit Datenraten von bis zu 50 MBit/s und dies quasi entfernungsunabh¨angig. Eutelsat beispielsweise bietet den Highspeed-Zugang zum Internet u ¨ber kleine mobile Satellitenstationen an. Dabei sind Downlink-Datenraten von bis zu 40 MBit/s und Uplink-Datenraten von derzeit 2 MBit/s m¨oglich. Der Durchmesser der verwendeten Parabolantennen liegt zwischen 1 und 4 m [41]. 18.10.6 Metropolitan Area Network (MAN) Metropolitan Area Networks (MANs) sind im IEEE-Standard 802.6 definierte Netzwerke, die kein LAN mehr und noch kein Wide Area Network (WAN) sind. Ein wichtiges Kriterium zu ihrer Klassifizierung ist r¨aumliche Ausdehnung. Sie geht bei MANs u ¨ber das Betriebsgel¨ande hinaus, bleibt aber im inner¨ortlichen Bereich. Es handelt sich um Citynetze, deren Topologie meist aus einem Ring besteht, an den lokale Netze und Endger¨ate u ¨ber Stichleitungen angeschlossen werden. 18.10.7 Wide Area Network (WAN) Man spricht von einem Weitbereichsnetz, wenn es sich um ein Datennetzwerk mit sehr großer r¨aumlicher Ausdehnung handelt, d.h., wenn sich die Netzwerkeinheiten in verschiedenen lokalen Regionen, L¨ andern bzw. Erdteilen befinden. Zur Verbindung u ber solch große Strecken m¨ u ssen o¨ffentliche Kommunikati¨ onsnetze in Anspruch genommen werden, d. h. der private Geltungsbereich eines Unternehmens wird verlassen, und man ist bei der Etablierung und dem ¨ Betrieb des Netzes auf einen Anbieter von Ubertragungsdiensten, einen sog. Provider, angewiesen. Die r¨ aumliche Ausdehnung eines WANs unterliegt keinen Beschr¨ankungen. 18.10.8 Hochgeschwindigkeits-Glasfasernetz FDDI Glasfasernetze k¨onnen die Grundlage eines MAN bzw. eines WAN bilden. Ein Standard ist dabei das sog. Fibre Distributed Data Interface (FDDI) [70]. Diese FDDIs sind oft in Ringstruktur aufgebaut. Dabei wird aus Gr¨ unden h¨oherer Zuverl¨assigkeit ein Glasfaser-Doppelring verwendet, an den die Teilnehmer u ¨ber sog. Dual Attachment Stations (DAS) angeschlossen sind (Abb. 18.8). Der maximale Ringumfang betr¨ agt 10 km und es k¨onnen bis zu 500 Netzknoten teilnehmen. Der Teilnehmerabstand darf jedoch nicht gr¨oßer als 2 km sein, da die DAS u. a. Repeaterfunktionen wahrnehmen. Die max. Datenu ¨bertragungsrate liegt bei 100 MBit/s. Es besteht auch die M¨oglichkeit, unter Verwendung von Dual Attachment Concentrators (DAC), Single Attachment Concentrators (SAC) sowie Single Attachment Stations Abzweignetze zu realisieren (Abb. 18.8).

18.11 Rechnernetze zur Meßdaten¨ ubertragung

DAS

601

Primärring

SAS SAC

SAC

SAS

Sekundärring SAS DAC

DAC

SAS

SAS

DAS Abb. 18.8. Implementierung eines FDDI-Glasfasernetzes (Siemens AG); A: Attachment, C: Concentrator, D: Dual, Sxx: Single, xxS: Station

18.11 Rechnernetze zur Meßdatenu ¨ bertragung Prinzipiell gibt es mehrere M¨ oglichkeiten, Meßdatenerfassungssysteme kommunikationstechnisch zu vernetzen: 18.11.1 Spezielle Bussysteme zur Meßdatenerfassung Wenn mehrere Ger¨ ate bzw. Systeme, die Meßdatenerfassungszwecken oder sonstigen Aufgaben der Laborautomatisierung dienen, vernetzt werden sollen, hat man in der Vergangenheit meistens Bussysteme genutzt, die speziell f¨ ur diese Aufgaben entwickelt wurden. Dazu z¨ahlen vor allem der IEC-Bus, der VXI-Bus, der MXI-Bus, der PXI-Bus sowie alle Feldbussysteme. Solche L¨ osungen bergen die wenigsten Risiken in bezug auf Echtzeitf¨ahigkeit und Zuverl¨assigkeit. Aber abgesehen vom IEC-Bus, der seit langem einen Standard in der Laborautomatisierung darstellt, handelt es sich um Systeme, welche global gesehen, nicht unbedingt als der Standard“ angesehen werden k¨onnen, wenn ” man bedenkt, daß allein bei den Feldbussen u ¨ber 20 konkurrierende Systeme existieren. 18.11.2 Vernetzung von Meßdatenerfassungssystemen mittels Ethernet ¨ Das Ethernet ist in der Netzwerkwelt derzeit der Standard f¨ ur das Ubertragungsmedium und als Kommunikationsprotokoll dominiert das TCP/IPProtokoll als einheitliche Sprache. Es ist verst¨ andlich, auch f¨ ur die Vernetzung

602

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

von Meßdatenerfassungssystemen das Ethernet zu nutzen. In logischer Folge wird auch das Internet zunehmend f¨ ur solche Aufgaben herangezogen. Das Internet mit seiner mittlerweile sehr hohen Verf¨ ugbarkeit stellt, vor allem was die Kosten betrifft, eine sehr gute Alternative zu mehr oder weniger propriet¨aren L¨ osungen dar. Sobald ein Gateway zum Internet vorhanden ist, lassen sich bequem Meßdaten von einem lokalen Rechner u ¨ber das Internet u ¨bertragen. Dabei k¨onnen nat¨ urlich auch die gesicherten Daten¨ ubertragungsmechanismen von VPNs (Virtual Private Networks) genutzt werden, die im n¨achsten Abschnitt behandelt werden. Gerade bei der Ferndiagnose von Maschinen lassen sich durch die Nutzung des Internets Kosten einsparen. Da aber das Ethernet nicht deterministisch arbeitet, k¨onnen die Antwortzeiten und damit die Echtzeitf¨ ahigkeit nicht garantiert werden. In der Pra¨ xis jedoch reichen in vielen F¨ allen die Ubertragungsraten und Antwortzeiten des Ethernets bzw. des Internets vollkommen aus. Es ist auch ins Feld ¨ zu f¨ uhren, daß die Ubertragungsraten des Ethernet oft weit u ¨ber denen von Feldbussystemen liegen. So hat man festgestellt, daß Ethernet¨ ubertragungen in vielen praktischen Anwendungsf¨ allen einer Feldbusl¨osung durchaus u ¨berlegen sind. Die einfachste Anbindung des Meßger¨ates an das Ethernet besteht in der Verwendung seiner Standard-RS232C-Schnittstelle und eines RS232Ethernet-Konverters (Abb. 18.9). PC 1

PC n .......

Ethernet mit TCP/IP ipEther232

RS232C

ipEther232

RS232C

ipEther232

RS232C

Abb. 18.9. Ethernet-Anbindung von Meßger¨ aten mittels des RS232C-EthernetSchnittstellenkonverters ipEther232 [81]

18.11 Rechnernetze zur Meßdaten¨ ubertragung

603

Eine elegantere L¨osung bieten Meßdatenerfassungssysteme, die unmittelbar, d. h. ohne Zuhilfenahme eines Schnittstellenkonverters, an das Ethernet angeschlossen werden k¨ onnen und die TCP/IP-Protokolle verwenden. Abbildung 18.10 zeigt ein solches von der Fa. GBM vertriebenes System. Es handelt sich dabei um einen Datenlogger, der nach Zuteilung einer IP-Adresse vom Internet aus mit jedem Standard-Webbrowser angesprochen werden kann. Er verf¨ ugt u ¨ber 8 differentielle bzw. 16 single-ended Analogeing¨ange, die mit 16 Bit quantisiert werden.

Abb. 18.10. Datenlogger mit Ethernet-Interface der Fa. GBM [50]

Mittlerweile gibt es auf dem kommerziellen Meßtechnikmarkt eine Vielzahl von Ethernet Data Acquisition Systemen (EDAS), siehe z. B. [109], [40], [104], [25]. Der Trend, Standard-Meßger¨ ate mit Ethernet-Schnittstellen auszustatten, d¨ urfte sich in den n¨ achsten Jahren fortsetzen. So sind beispielsweise bereits auch die h¨ oherwertigen Multimeter renommierter Meßger¨atehersteller, wie z. B. Fluke, Agilent oder Keithley, mittlerweile Ethernet- bzw. Internet-f¨ahig [75], [2], [46]. Die Meßger¨ate sind dazu mit einem eigenen Webserver ausgestattet und k¨ onnen u ¨ber ihre IP-Adresse von einem Webbrowser aus angesprochen werden. Die vom Webserver des Ger¨ ates aufbereitete Webseite erlaubt meist ¨ die komplette Uberwachung und Bedienung des Ger¨ates von lokal entferten PCs aus. Auch der Transfer von Meßdaten vom und zum betreffenden Meßger¨at geschieht u ¨ber diese Schnittstellen. Abbildung 18.11(a) zeigt zum Beispiel die Webseite eines entsprechend ausgestatteten Digital-Oszilloskops (Abb. 18.11(b)). Das an einem entfernten Ort befindliche Oszilloskop l¨aßt sich so prinzipiell von jedem an das Internet angeschlossenen Rechner aus ansprechen. Die Standard-Schnittstellen der h¨ oherwertigen Meßger¨ate sind RS232C, USB, IEC-Bus und Ethernet mit TCP/IP. Die Nutzung der Ethernet-

604

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

(a) Screenshot mit Signaldarstellung und Bedienelementen

(b) Portables Digital-Oszilloskop

Abb. 18.11. Digital-Speicheroszilloskop mit Ethernet-Schnittstelle

18.12 Virtuelle Instrumentierung auf der Basis von USB-Meßmodulen

605

Schnittstellen bietet vor allem den Vorteil, daß die Meßger¨ate nur eine Netzwerksteckdose zu ihrem kommunikationstechnischen Anschluß ben¨otigen und nicht etwa wie die IEC-Bus-Anbindung strengeren Reglementierungen bez¨ uglich der Kabelanschlußl¨ angen unterworfen sind. Auf dieser Basis lassen sich also lokal verteilte Meßsysteme konfigurieren (Abb. 18.12). z.B. zur Steuerung der Meßdatenerfassung

z.B. zur Visualisierung

PC1

PC2 Ethernet

.........

......... Arbitrary Waveform Generator

Multimeter z.B. Keithley 2000er Serie

z.B. HP3320A

Meßobjekt Abb. 18.12. Beispiel zur webbasierten Laborautomation

18.12 Virtuelle Instrumentierung auf der Basis von USB-Meßmodulen 18.12.1 Funktionsprinzip In j¨ ungerer Vergangenheit zeichnet sich ein neuer Trend in der rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung ab. Es kommen n¨ amlich in zunehmendem Maße leistungsf¨ahige und recht preisg¨ unstige Meßmodule mit USB-Schnittstelle (USB = Universal Serial Bus)(s. auch Tab. 16.1 bzw. Kap. 16.5) auf den Markt (Abb. 18.13). Diese weisen eine prinzipiell ¨ ahnliche Funktionalit¨at auf, wie die in Abschnitt 15.2.1 behandelten Multifunktionseinsteckkarten. Die Meßmodule sind mit Analog-Digital- und Digital-Analog-Umsetzern sowie mit Multiplexern ausgestattet, die eine Anbindung an die analog-elektrische Seite eines Prozesses erm¨oglichen. Eine meist rudiment¨ are Vorverarbeitung der digitalisierten Meßwerte geschieht in einem Controller, der u ¨ber eine standardm¨aßige USB-Schnittstelle (s. auch Kap. 16.5) mit einem PC bzw. einem Notebook

606

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

Abb. 18.13. Virtuelle Instrumentierung auf der Basis von Meßmodulen mit USBSchnittstelle

verbunden ist. Die Signalanalyse und die graphische Aufbereitung der Meßdaten erfolgt schließlich rein in Software. Diese Software ist meist direkt auf das Meßmodul abgestimmt und damit propriet¨ar an dieses gebunden. F¨ ur die Zukunft zeichnet sich allerdings auch hier der Trend ab, daß die Meßmodule mit Treiberroutinen ausgestattet werden, die eine Software-Schnittstelle zu einem Standard-Datenerfassungsprogramm, wie z. B. LabVIEW, bilden. Damit lassen sich auf komfortable Art virtuelle Instrumente konfigurieren und testen. Die Stromversorgung des USB-Meßmoduls erfolgt entweder u ¨ber die USB-Schnittstelle, eine aufladbare Batterie oder u ¨ber ein separates Netzteil. 18.12.2 Beispiele f¨ ur USB-Meßger¨ ate Die derzeitige Hauptanwendung von USB-Meßmodulen liegt auf dem Gebiet der virtuellen Oszilloskope f¨ ur den mobilen Einsatz. Dazu wird ein kompaktes USB-Modul zur Datenerfassung herangezogen, und anschließend werden die Daten auf einem Notebook dargestellt. Die graphischen Bedienoberfl¨achen sind in Form eines Oszilloskops dargestellt, so daß man letztlich die volle Funktionalit¨at eines Mehrkanal-Oszilloskops zur Verf¨ ugung hat. Man bezeichnet diese Ger¨ate als USB-Scopes. USB-Meßmodul und Notebook zusammen ergeben ein virtuelles, aber in seiner Funktionalit¨ at einem realen Ger¨ at kaum nachstehendes Oszilloskop, das sich beispielsweise bestens f¨ ur den Service vor Ort, Experimente im H¨orsaal oder auch f¨ ur die Datenerfassung in mobilen Systemen eignet. Tabelle 18.1 zeigt derzeit kommerziell erh¨ altliche USB-Scopes der Fa. Meilhaus [93].

18.12 Virtuelle Instrumentierung auf der Basis von USB-Meßmodulen

607

Tabelle 18.1. Beispiele kommerzieller USB-Scopes der Fa. Meilhaus [93] Modell

PS2203 PS3204

PS3205

PS3206

PS4224 PS4424

Kan¨ ale

2

2

2

2

2

max. 40 MS/s 2, 5 GS/s, 5 GS/s, 50 MS/s 1 100 MS/s Abtastrate

1

10 GS/s, 200 MS/s

4

80 MS/s 80 MS/s 1

Bandbreite 5 MHz

50 MHz

100 MHz

200 MHz

20 MHz 20 MHz

Aufl¨ osung 8 Bit

8 Bit

8 Bit

8 Bit

12 Bit

12 Bit

Teilweise sind die Modelle mit Rechteck- oder auch Waveform-Generatoren ausgestattet. Zudem bietet die Software die M¨oglichkeit weiterer Anwendungen, wie z. B. als Spektrumanalysator oder Digital-Multimeter. Hierf¨ ur gibt es eigene graphische Bedienoberfl¨ achen. Abbildung 18.14 zeigt das bereits in Tab. 18.1 erw¨ahnte USB-Scope PS3423. Abbildung 18.15 zeigt die Hardware sowie die graphische Bedienoberfl¨ache eines weiteren handels¨ ublichen USB-Scopes. In Abb. 18.16 ist die Bedienoberfl¨ache eines im Digitalmultimetermode betriebenen USB-Scopes zu sehen. USB-Scope PS3423

Geräte-Rückseite

Geräte-Vorderseite

Buchse der USB-Schnittstelle

4x Tastkopf

Abb. 18.14. Anschl¨ usse des 4-Kanal-Scopes PS3423 der Fa. Meilhaus [93]. Die Ger¨ ater¨ uckseite enth¨ alt die Buchse der USB-Schnittstelle.

1

Erster Wert: periodischer Sampling-Modus (s. auch Kap. 10.4.1) Zweiter Wert: Single Shot, d. h. nicht-repetierender Pulsbetrieb

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18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

(a) 2-kanalige USB-Scope-Hardware mit integriertem Signalgenerator

(b) Bedienoberfl¨ ache des USB-Scopes in Verwendung als Oszilloskop

Abb. 18.15. Handels¨ ubliches USB-Scope der Fa. Meilhaus [93]

18.12 Virtuelle Instrumentierung auf der Basis von USB-Meßmodulen

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Abb. 18.16. Bedienoberfl¨ ache eines USB-Scopes der Fa. TiePie [155] in Verwendung als Digital-Multimeter

Die Fa. DataTranslation [29] bietet ein USB-Meßmodul an, das mit 16 bzw. 24 analogen Eing¨angen ausgestattet ist, die je 12 Bit Aufl¨osung aufweisen. Die Summenabtastrate (s. auch Kap. 15.2.1) liegt bei 50 ksample/s. Der Spannungsbereich betr¨agt ±10 V. Die Fa. Pico Technolgy [120] bietet einen 16-kanaligen USB-Datenlogger mit 24 Bit Aufl¨osung an. Mit Hilfe einer speziellen Software lassen sich bis zu 1 Million Meßwerte mit vorw¨ ahlbaren Abtastraten einlesen und in Echtzeit anzeigen bzw. zwecks sp¨ aterer Meßsignalanalyse auf einer Festplatte speichern. F¨ ur den mobilen Einsatz, insbesondere in der Automobilelektronik, wurde von der Fa. Labortechnik Tasler [151] ein 16-kanaliger Transientenrekorder konzipiert. Er ist sogar mit einer Crashtest-tauglichen 40-GByte-Festplatte ausgestattet. Die 16 Kan¨ ale mit differentiellem Eingang lassen sich individuell mit Aufl¨osungen bis zu 16 Bit und Abtastraten zwischen 41 ksample/s und 20 Msample/s konfigurieren. Die Kan¨ ale k¨ onnen unabh¨angig voneinander von extern getriggert werden. Die Anbindung an einen PC ist u ¨ber die USB- oder die FireWire-Schnittstelle (s. Tab. 16.1) m¨ oglich. Erw¨ahnenswert sind auch kompakte Datenlogger f¨ ur die Temperatur- und Klima¨ uberwachung in Form eines USB-Memorysticks. Diese lassen sich sowohl in der Geb¨audetechnik als auch bedingt im Außenbereich verwenden. Sie sind f¨ ur den Batteriebetrieb ausgelegt und f¨ ur eine elektronische Aufzeichnung von Temperatur und Luftfeuchte einsetzbar, d.h. sie enthalten die komplette Meßelektronik mit Sensoren, Vorverst¨ arker, ADCs und Speicher. Die Abtastraten variieren von 1 sample/s bis 1 sample/24h. Das Auslesen der Daten erfolgt bequem wie von einem USB-Memorystick. Abbildung 18.17 zeigt als Beispiel einen Datenlogger der Fa. Meilhaus [93]. Es lassen sich bis zu 32.000 Meßwerte speichern. Die Batterielebensdauer betr¨ agt mehrere Jahre.

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18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

Abb. 18.17. Datenlogger in Form eines USB-Memorysticks der Fa. Meilhaus [93] zur Klima¨ uberwachung

18.13 Ethernet-Nutzung zur Meßdatenerfassung 18.13.1 LXI - Ein neuer Standard f¨ ur die Meßtechnik Der Begriff LXI steht f¨ ur LANeXtensions for Instrumentation. Es handelt sich dabei um einen Standard, der im Jahre 2005 von einem Firmenkonsortium verabschiedet wurde, welches die LAN-Technologie bzw. die EthernetTechnologie f¨ ur einen breiten Einsatz in der Meßdatenerfassung und letztlich der gesamten Automatisierungstechnik vorsehen m¨ochte [87]. Mittlerweile umfaßt das LXI-Konsortium ca. 40 Mitglieder, unter denen die meisten namhaften Meßger¨atehersteller zu finden sind. Nachdem der IEC-Bus (= GPIB-Schnittstelle)(s. Kap. 16.6), der seit u ¨ber 30 Jahren als die Standardschnittstelle der Meßdatenerfassung angesehen werden kann, einerseits zunehmend an seine technischen Grenzen st¨oßt, beispielsweise infolge der max. Datentransferrate von 1 MByte/s, und er sich andererseits auch nicht als Standard-PC-Schnittstelle samt dem daraus resultierenden Weiterentwicklungspotential etablieren konnte, sucht man verst¨andlicherweise nach Alternativen. Diese sieht man insbesondere in der auf Ethernet und dem TCP/IP-Protokoll basierenden LAN-Technologie, welche im Gegensatz zum IEC-Bus eine Schnittstelle ist, die man in jedem handels¨ ublichen Rechner findet und die sich außerdem bez¨ uglich ihrer Datentransferrate kontinuierlich weiterentwickelt, z. B. in Form des Gigabit-Ethernet. Die neueren EthernetEntwicklungen sind zudem abw¨ artskompatibel, um get¨atigte Investitionen zu sch¨ utzen. Gegen¨ uber den in Kap. 16.7 besprochenen leistungsf¨ahigen (relativ zum IEC-Bus) VXI-, PXI und MXI-Bus-Systemen sieht man bei der EthernetTechnologie den Vorteil, daß man kein separates Rack zur Aufnahme von speziellen Steckkarten ben¨ otigt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Rack & Stack-Ger¨aten bzw. man faßt VXI-, PXI- und MXI-Bus-Systeme unter dem Begriff Rack & Stack-Technologie (= Modulchassis-Technologie) zusammen.

18.13 Ethernet-Nutzung zur Meßdatenerfassung

611

18.13.2 Die technische Basis von LXI Bei der Definition des LXI-Standards geht es weniger um die Erweiterung bestehender Standards als um die Spezifikation ihrer Interaktionen. Dies geschieht auf der Basis folgender 5 Teilspezifikationen: •

Physikalische Anbindung LXI empfiehlt aus Konsistenzg¨ unden Standard-Geh¨ausedimensionen und Standard-Steckverbindungen gem¨ aß IEC-Empfehlungen und -Normen.

•

Ethernet LXI basiert auf dem IEEE-Standard 802.3 (s. Kap. 18.1 - Kap. 18.9), der alle notwendigen Spezifikationen des Ethernet enth¨alt.

•

Software-Interface Alle zu LXI kompatiblen Instrumente m¨ ussen mit einem sog. Interchangeable Virtual Interface (IVI) ausgestattet sein. Es handelt sich dabei um eine Treiberroutine, die von allen g¨ angigen Programmiersprachen aus angesprochen werden kann.

•

Webseite f¨ ur jedes LXI-Instrument Jedes LXI kompatible Ger¨ at muß in der Lage sein, eine Webseite bereitzustellen, die alle wesentlichen Schl¨ usselinformationen zum betreffenden Ger¨at enth¨alt, wie Seriennummer, Hostname etc. Dazu geh¨ort eine Konfigurationsseite, mittels derer ein Benutzer das Ger¨at konfigurieren kann. So muß es beispielsweise auch m¨ oglich sein, die IP-Adresse des betreffenden Ger¨ates u ¨ber diese Seite einzustellen.

•

Synchronisierung Die Trigger- und Synchronisierungsfunktionen basieren auf dem Precision Timing Protocol (PTP) des IEEE-Standards IEEE-1588, der dem Synchronisieren von Uhren in LAN-Knoten dient [69], [68]. Daneben ist noch ein separater 8-kanaliger Hardware-Trigger-Bus vorgesehen, die sog. LVDS-Schnittstelle.

Die potentiellen Anwendungsgebiete des LXI-Standards sieht man von intelligenten Sensoren und Aktoren bis hin zu den klassischen Rack & StackGer¨aten. Auch die Implementierung hybrider Testsysteme (Abb. 18.18) soll auf LXI-Basis m¨oglich sein. Dazu ben¨ otigt man allerdings spezielle LXIAdaptoren.

612

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

Abb. 18.18. Hybrides Automatisierungssystem auf der Basis von LXI-Vernetzung [87]

18.13.3 Die 3 Ger¨ ateklassen A, B und C des LXI-Standards Klasse-C-Ger¨ ate In der LXI-Spezifikation der Klasse-C-Ger¨ ate wird lediglich festgelegt, daß die Ger¨ate einheitlich an einem LAN (Local Area Network) betrieben werden k¨ onnen. Klasse-B-Ger¨ ate In Ger¨aten der Klasse-B m¨ ussen dar¨ uberhinaus die Synchronisationsmechanismen gem¨aß IEEE-1588-Standard implementiert sein. Damit ist es m¨oglich, die mit Standard-LAN-Techniken verbundenen Latenzzeiten zu umgehen und ein Timing im Bereich von ca. 10 ns Genauigkeit (Voraussetzung: 100Base-T Ethernet2 ) zu erm¨ oglichen. Klasse-A-Ger¨ ate Die Klasse-A-Ger¨ate sind zus¨ atzlich zu den unter B und C beschriebenen Funktionen mit einem 8-kanaligen Trigger-Bus-Interface (LVDS-Schnittstelle) ausgestattet, das im LXI-Standard [87] detailliert beschrieben ist. Die LXIGer¨ate k¨onnen u ¨ber ein spezielles Trigger-Kabel, bestehend aus 8 Twisted2

100 steht f¨ ur 100 MHz und T f¨ ur Twisted Pair

18.13 Ethernet-Nutzung zur Meßdatenerfassung

613

Pair-Leitungen, gem¨ aß den drei in Abb. 18.19 gezeigten Konfigurationen zusammengeschaltet werden. Es sind L¨ angen des Trigger-Kabels von bis zu 20 m erlaubt. Die 8 Triggerkan¨ ale sind separat als Eingangs- oder Ausgangskan¨ale bzw. mit WIRED-OR-Funktion (s. auch Kap. 16.6.6) konfigurierbar. Zudem besteht die M¨ oglichkeit, u ¨ber das LAN via TCP/IP SoftwareTrigger zu generieren. Dabei k¨ onnen beliebige LXI-Ger¨ate, auch ohne Mitwirkung eines als Controller definierten Ger¨ ates, u ¨ber eine sog. Peer-to-Peer-

Abb. 18.19. Konfigurationsm¨ oglichkeiten des LXI-Trigger-Bus [87], a) DaisyChain-Konfiguration (Kettenschaltung), b) sternf¨ ormige Konfiguration, c) HybridKonfiguration aus a) und b).

614

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

Verbindung Triggersignale austauschen. Dies ist die einfachste Art der Triggerung; sie hat allerdings den entscheidenden Nachteil nicht exakt kalkulierbarer Latenzzeiten im jeweiligen LAN. 18.13.4 Triggerm¨ oglichkeiten von LXI-Ger¨ aten Die 3 verschiedenen Triggerm¨ oglichkeiten von LXI-Ger¨aten lassen sich wie folgt zusammenfassen: • • •

Hardware-Triggerung mittels separatem Trigger-Bus (setzt Klasse-AGer¨at voraus) Triggerung mittels Precision Clock Synchronisation Protocol (PTP) gem¨aß dem IEEE-Standard IEEE-1588 (setzt mindestens KlasseB-Ger¨ate voraus) (siehe Kap. 18.13.5) LAN-Software-Trigger unter Nutzung der TCP/IP- oder UDP3 -Protokolle (es gen¨ ugen Ger¨ ate der Klasse C)

Eine absolut zuverl¨ assige Triggerung in Echtzeit ist nur mit Hilfe der erstgenannten Hardware-Triggerung m¨ oglich. Dies hat zur Folge, daß zus¨atzlich zu den standardm¨aßig vorhandenen Ethernet-Interfaces eine spezielle Schnittstelle f¨ ur den Trigger-Bus vorzusehen ist. Außerdem sei nochmals auf die Beschr¨ankung der lokalen Entfernung von maximal 20 m hingewiesen. Ein Kompromiß zwischen aufwendigem Trigger-Bus und gew¨ohnlichem Software-Trigger, der stets vom Nachteil der nicht-deterministischen Latenzzeiten des Ethernet begleitet wird, stellt die Triggerung gem¨aß dem Standard IEEE-1588 dar, die im folgenden Abschnitt genauer beschrieben wird.

18.13.5 Triggerung gem¨ aß IEEE-1588 Bevor wir zu den eigentlichen Triggerm¨ oglichkeiten kommen, sei zun¨achst der Hintergrund des Standards IEEE-1588 kurz beleuchtet [68], [69]. Der Standard IEEE No. 1588 dient der Synchronisierung lokal verteilter Echtzeituhren u ahiges Netzwerk, u ¨ber ein Datenpaket-f¨ ¨blicherweise dem Ethernet. Die dem im Standard beschriebenen Verfahren zugrundeliegende Technik wurde urspr¨ unglich von der Fa. Agilent entwickelt und diente der Synchronisierung und Triggerung von elektronischen Meßger¨aten. Dabei ging es zun¨achst darum, Meßdaten aufzunehmen und diese mit einem exakten Zeitstempel des Systems zu versehen, so daß diese Meßdaten zeitlich korreliert werden k¨onnen. 3

UDP (User Datagram Protocol) ist ein zur Transportschicht z¨ ahlendes Netzwerkprotokoll, das zur Internetprotokollfamilie geh¨ ort. Es spezifiziert die verbindungs¨ lose Ubertragung von Daten u ¨ ber das Internet. Verbindungslos bedeutet, daß es keine Sicherungsmaßnahmen bei der Daten¨ ubertragung gibt, die sicherstellen, daß ein gesendetes Datenpaket ankommt bzw. die richtige Reihenfolge von Datenpaketen eingehalten wird. Eine Beschreibung zu UDP findet man in [161].

18.13 Ethernet-Nutzung zur Meßdatenerfassung

615

Ein solches Uhren-Synchronisierungsverfahren ist bei lokalen Netzwerken notwendig, die auf nicht deterministischen Bus-Zugriffsverfahren ¨ (Ethernet) (s. Kap. 17) basieren, da bei der Ubertragung nicht vorhersagbare Latenzzeiten auftreten k¨ onnen. Die zeitliche Synchronisierung beginnt mit dem Senden eines Sync-Signales einer Master Clock. Dieses SyncSignal enth¨alt die Sendezeit, die zun¨ achst noch auf einer Sch¨atzung beruht. Die genaue Sendezeit wird von dieser Master Clock genau gemessen und in einem zweiten, nachfolgenden Signal, dem sog. Follow-up-Signal, auf den Bus gegeben (Abb. 18.20). Der Datenempf¨ anger ist mit einer sog. Slave Clock verbunden. Auf der Basis der beiden gesendeten Zeitstempel-Telegramme (erstes Signal (= Sync-Signal) und zweites Signal (= Follow-up-Signal) sowie der eigenen Uhr l¨aßt sich die Zeitdifferenz zwischen Slave und Master Clock bestimmen. Eine gut funktionierende Synchronisierung setzt eine Generierung der Zeitstempel in Hardware voraus. Mittels weiterer zyklisch versandter Telegramme zwischen Slave und Master Clock (Abb. 18.20) l¨ aßt sich die Telegrammlaufzeit bestimmen und die Slave Clock kann permanent nachgef¨ uhrt, d. h. korrigiert, werden. Master Clock Zeit

Slave Clock Zeit Sync-Signal

t1

Zeiten der Slave Clock

t 2m

t2

t2

Follow_Up-Signal enthält Wert von t 1 t1 , t 2 t 3m

t3 Delay_Req-Signal

t4

t1 , t 2, t 3

Delay_Resp-Signal enthält Wert von t 4

Zeit

t1 , t 2, t 3 , t 4

Abb. 18.20. Uhrensynchronisierung gem¨ aß dem Standard IEEE-1588 [68], [69]

616

18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

Bei LXI-Ger¨aten wird dieser Standard f¨ ur einen rein zeitgesteuerten Trigger genutzt. Dies bedeutet, daß bestimmte Ereignisse, wie z. B. der Beginn einer Meßdatenaufnahme an einem Ort A und der Hochlauf einer Maschine an einem Ort B, infolge des pr¨ azisen Uhrenabgleichs zu einem bestimmten vorw¨ahlbaren Zeitpunkt quasi zeitgleich gestartet werden k¨onnen. Eine Event-Triggerung (= Triggerung ohne Verz¨ ogerung) von Ort A nach B ist allerdings wiederum nur im Rahmen der gew¨ ohnlichen Latenzzeiten des Netzwerks m¨oglich. 18.13.6 Die Situation des LXI-Ger¨ atemarktes Mittlerweile sind bereits eine Reihe von LXI-kompatiblen Meßger¨aten auf dem Markt erh¨altlich, wie z. B. Spektrumanalysatoren von der Fa. Rohde & Schwarz [131], Digital-Multimeter der Fa. Agilent [2] oder HF-Signalgeneratoren der Fa. Keithley [75]. Derzeit ist allerdings nicht davon auszugehen, daß die auf LXI basierende Vernetzung von Meßdatenerfassungsger¨aten die bereits etablierte Rack & Stack-Technologie (Modulchassis-Technologie) des VXI- bzw. PXI-Standards abl¨ osen wird. Beide Technologien erg¨anzen sich in hervorragender Weise und haben damit ihre Daseinsberechtigung, nicht nur in der Meßdatenerfassung sondern der ganzen Automatisierungstechnik. Da hinter beiden Technologien namhafte Meßger¨atehersteller stehen, darf man wohl auch von der gesicherten Zukunft beider Systeme ausgehen.

18.14 VPN - Virtual Private Network Als Virtual Private Network (VPN) bezeichnet man die Vernetzung privater lokaler Netzwerke (LAN) unter Verwendung von Netzwerken, die von mehreren Parteien genutzt werden (shared networks), oder von o¨ffentlichen Netzen, wie dem Internet. Durch die Nutzung des Internets beispielsweise k¨onnen die Kosten f¨ ur die Vernetzung von Unternehmensstandorten erheblich gesenkt werden. Wurde hierzu fr¨ uher eine Standleitung oder ¨ahnliches ben¨otigt, so fallen unter Verwendung von VPN nur die Einwahlgeb¨ uhren zu einem lokalen Internet Service Provider (ISP) an. Eine klare, wenn auch abstrakte Definition von VPNs lautet [18]: Ein VPN ist ein Overlay-Netz, d. h. eine logische Kommunikations-Struktur, ” unabh¨angig von der unterliegenden physikalischen Struktur, bei der der Zugang solcherart kontrolliert ist, daß Kommunikations-Verbindungen nur innerhalb einer definierten Interessengruppe und somit exklusiv m¨oglich sind; dies wird durch eine Art Partitionierung der gemeinsamen darunterliegenden Kommunikationsinfrastruktur erreicht, wobei die Kommunikationsinfrastruktur grunds¨atzlich nicht-exklusive Netzdienste zur Verf¨ ugung stellt.“ Da durch die Nutzung ¨ offentlicher Netze prinzipiell die Gefahr besteht, daß sensible Daten von Dritten mitgelesen werden k¨onnen, wird bei heutigen VPNs viel Wert auf Sicherheit gelegt. Die Sicherheit basiert dabei auf folgenden Maßnahmen:

18.14 VPN - Virtual Private Network

• • •

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Authentisierung/Kapselung Entkapselung Verschl¨ usselung/Entschl¨ usselung.

Die Methode, Daten von einem Netzwerk in ein anderes u ¨ber ¨offentliche Net¨ ze zu transferieren, wird als Tunneling bezeichnet. Um diese Ubertragung ¨ durchf¨ uhren zu k¨onnen, m¨ ussen zwei definierte Endpunkte der Ubertragung durch das ¨offentliche Netz bekannt sein. Die Daten werden nun von dem Sender-Endpunkt optional verschl¨ usselt und dann eingekapselt, so daß die Informationen u ur Dritte sichtbar ¨ber das Quell- wie auch das Zielnetz nicht f¨ sind. Die Einkapselung umgibt die urspr¨ unglichen Datenpakete mit einem neuen Header, der f¨ ur den Transport der Daten u ¨ber das ¨offentliche Netz ben¨otigt wird. Sind die Daten am Empf¨ anger-Endpunkt angekommen, wird die Kapselung entfernt und das urspr¨ ungliche Datenpaket wird entschl¨ usselt. Anschließend werden die Daten ihrem Ziel in dem jeweiligen Netzwerk zugef¨ uhrt. Der Begriff Tunneling beinhaltet: • • •

die Kapselung der Daten am Sender-Endpunkt den Transport u offentliche Netzwerk ¨ber das ¨ die Entkapselung der Daten am Empf¨ anger-Endpunkt.

Der logische Pfad der Verbindung zwischen zwei Endpunkten einer VPNVerbindung wird als Tunnel bezeichnet, weil die Daten unsichtbar bzw. nicht verwendbar f¨ ur Dritte durch diesen Tunnel transportiert werden. Heute werden haupts¨ achlich die vier folgenden Tunneling-Protokolle verwendet [18], [96]. Layer Two Tunneling Protocol (L2TP) Dynamischer Auf- und Abbau des Tunnels; Authentisierung mittels PPPVerfahren (Point-to-Point Protocol); keine eigene Verschl¨ usselung definiert; Verweis auf IPsec. Point-to-Point Tunneling Protocol (PPTP) Microsoft Standard“; Authentisierung mittels PPP-Verfahren; Verschl¨ usse” lung mittels RSA-(Rivest-Shamir-Adleman) oder MPPE-Verfahren (Microsoft Point-to-Point Encryption). Layer Two Forwarding Protocol (L2F) Mehrere Verbindungen u oglich; PPP-Authentisierung bei ¨ber einen Tunnel m¨ der Einwahl und anschließend eine weitere Authentisierung am VPN-Gateway. Internet Protocol Security (IPsec) Vereint unterschiedliche Protokolle und Verfahren zur Authentisierung, Verschl¨ usselung und Tunneling; zur Benutzerauthentisierung wird ein Schl¨ usselpaar benutzt; Transport-Mode wird in LAN-Umgebungen verwendet und

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18 Vernetzung von Meßdatenrechnern (Industrie-LAN, WAN)

verschl¨ usselt und authentisiert nur den Protokollkopf; Tunnel-Mode wird f¨ ur WAN-Umgebungen benutzt und verschl¨ usselt das komplette Originaldatenpaket, um es vor dem Zugriff Dritter zu sch¨ utzen. Secure Socket Layer VPN (SSL VPN) Aufgrund des relativ komplexen und fehleranf¨ alligen Aufbaus von IPsec VPNs setzen sich zunehmend einfachere L¨ osungen durch, die auf dem SSL- (Secure Socket Layer) bzw. TLS-Standard (Transport Layer Security) aufsetzen. Bei Verwendung von TLS ist eine Datenauthentisierung mittels HMAC (Hashed Message Authentification Code) m¨ oglich. Die Sicherheit des VPN-Tunnels h¨ angt bei Verwendung von HMAC von den Eigenschaften der benutzten HashFunktion, wie MD5 oder SHA-1, ab. Die Open-Source Software openVPN stellt eine weitere Variante dieser Gattung von Virtual Private Networks dar [111]. Diese realisiert einen transparenten Tunnel f¨ ur die IP-Pakete. Sie ist leicht konfigurierbar und unterst¨ utzt TLS und HMAC, um einen sicheren Tunnel zur Verf¨ ugung zu stellen. Die Software wird auf Client- und Serverseite installiert und erm¨oglicht eine Verbindung von einzelnen Clients oder ganzen Subnetzen. VPN-L¨osungen werden vor allem aus Kostenersparnisgr¨ unden verwendet. Es fallen nur die Kosten f¨ ur eine Verbindung zu einem lokalen Internet-ServiceProvider (ISP) an und nicht, wie fr¨ uher u ur eine Verbindung ¨blich, Kosten f¨ von einem Unternehmensstandort zum anderen. Außerdem ist es durch VPN leicht m¨oglich, einen Unternehmenszweig, einzelne Außendienstmitarbeiter oder aber auch Meßstellen außerhalb des Unternehmensnetzes mit in das Firmennetz einzubinden.

19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen

19.1 Allgemeine Bemerkungen W¨ahrend in den vorangegangenen Abschnitten ausschließlich von der reinen Erfassung der Meßdaten die Rede war, sollte die in diesem Abschnitt behandelte Software zur rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung auch im Zusammenhang mit den weiteren Aufgaben gesehen werden, welche nach der eigentlichen Meßdatenerfassung anstehen, n¨ amlich die Analyse sowie die graphische Darstellung von erhaltenen Meßwerten (Abb. 19.1). Zur eigentlichen Meßdatenerfassung ben¨ otigt man neben den entsprechenden, in den vorausgegangenen Abschnitten diskutierten Hardware-Modulen in jedem Fall Treibersoftware, die dem Benutzer eine nach M¨oglichkeit komfortable Software-Schnittstelle zu der von ihm verwendeten Computer-Hochsprache zur Verf¨ ugung stellt. Erst durch die Verf¨ ugbarkeit von geeigneten Treiberrou-

Abb. 19.1. Aufgaben der rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung und Unterscheidung nach Schwerpunkten bez¨ uglich Hard- und Softwareanteilen

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_19, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen

tinen wird die Bedienung der zur Prozeß-Peripherie geh¨orenden HardwareBausteine per Softwaresteuerung m¨ oglich. Diese Treiberroutinen sind ger¨atesowie betriebssystemspezifische Softwaremodule, welche die softwareseitige kommunikationstechnische Verbindung zwischen dem Peripherieger¨at bzw. seiner Rechnerschnittstelle und dem Betriebssystem bzw. in Folge auch den dar¨ uberliegenden Softwareschichten erlauben. Die Entwicklung solcher Treibersoftware kann, je nach Komplexit¨atsgrad der externen Schnittstelle sowie des jeweiligen Betriebssystems, recht aufwendig sein. Vielfach werden jedoch von den Herstellern unter verschiedenen Betriebssystemen einsetzbare Treiberroutinen mit der Schnittstellen-Hardware angeboten. Diese Software erlaubt dann i. allg. die Programmierung der Schnittstelle unter Verwendung g¨ angiger Standard-Hochsprachen (C, Pascal, Fortran, etc.). Es erweist sich als ebenfalls vorteilhaft, wenn entsprechende Softwareunterst¨ utzung f¨ ur die Hochsprachenprogrammierung der im Einsatz befindlichen Meßger¨ ate verf¨ ugbar ist. Dabei steht das Absetzen von ger¨atespezifischen Befehlen zur Steuerung des eigentlichen Meßger¨ates im Vordergrund. Beim Kauf von Meßdatenerfassungs-Hardware sollte man darauf achten, daß entsprechende Treiberroutinen f¨ ur die g¨ angigen Betriebssysteme WINDOWS bzw. LINUX zur Verf¨ ugung stehen und auch dessen Wartung seitens des Herstellers f¨ ur die n¨ achsten Jahre gew¨ ahrleistet ist.

19.2 IEC- und VXI-Bus-Kommunikation, SCPI-Standard ¨ In der IEC-Bus- bzw. VXI-Bus-Norm wurde zwar das Ubertragungsprotokoll f¨ ur Befehle festgelegt, die Ger¨ atehersteller sind jedoch frei, was die Verwendung von Befehlen zur Steuerung des jeweiligen Meßger¨ates betrifft. Daher versucht man, die Schnittstellen-Normung durch einheitliche Sprachelemente in der Programmierung von Meßger¨ aten zu erg¨anzen. Der betreffende Standard heißt SCPI (Standard Commands for Programmable Instruments). Er deckt die Anwendungsebene (Application Layer) nach dem ISO-7-Schichtenmodell ab. In die SCPI-Normung gingen wesentliche Elemente der in Tab. 19.1 angef¨ uhrten Sprachen ein. Der Einsatz der SCPIKommandosprache erlaubt die Verwendung von standardisierten Befehlen und Meldungen f¨ ur alle Ger¨ ate gleicher Funktionalit¨at, z. B. allen digitalen Tabelle 19.1. Herstellerspezifische Programmiersprachen zur Meßger¨ atesteuerung Sprache

Bezeichnung Hersteller

HP Systems Language HPSL Test Measurement Systems Language TMSL Analog Data Interchange Format ADIF

Hewlett Packard Hewlett Packard Tektronix

19.2 IEC- und VXI-Bus-Kommunikation, SCPI-Standard

621

Spannungsmeßger¨aten, unabh¨ angig vom jeweiligen Ger¨atetyp bzw. Hersteller. So gilt die einen Steuerbefehl zur Frequenzmessung enthaltende Abfrage MEASURE:FREQ?“ (das Ger¨ at f¨ uhrt daraufhin eine Frequenzmessung durch ” und gibt den aktuellen Frequenzwert aus) beispielsweise f¨ ur alle Ger¨ate einer Ger¨ateklasse, unabh¨ angig vom Hersteller (vertikale Konsistenz) sowie auch f¨ ur Meßger¨ate aus verschiedenen Ger¨ ateklassen, z. B. Oszilloskope und Z¨ahler (horizontale Konsistenz). Die Basis f¨ ur den SCPI-Standard wurde in der IEEE-488.2-Norm festgelegt [67]. Eine Aufstellung der obligatorischen IEEE-488.2-Kommandos enth¨alt Tab. 19.2. Eine ausf¨ uhrliche Erl¨ auterung der Kommandos findet sich beispielsweise in [143]. Exemplarisch sei hier nur der Befehl *IDN? herausgegriffen, der der Ger¨ateidentifizierung dient. Folgendes MATLAB-Programmbeispiel erfragt eine Identifizierung des Ger¨ ates an Adresse 12: 1: 2: 3: 4: 5: 6:

g=gpib(’ni’,0,12);

% card manufacturer, card number, % instr. number

fopen(g) fprintf(g,’*IDN?;’); % Erfragt Identifikation idn=fscanf(g); % liest Ausgabepuffer fclose(g)

Das angeschlossene Instrument (Keithley 2400 SourceMeter) schickt dann folgenden String als Antwort: KEITHLEY INSTRUMENTS INC.,MODEL 2400,0637460,C04 Oct 16 2003 11:47:13/A02 Die IEEE-488.2-Norm stellt allgemeine Befehle zur Verf¨ ugung, w¨ahrend SCPIBefehle f¨ ur die Bedienung spezieller Instrumentenklassen ausgelegt sind. Der Tabelle 19.2. Liste der obligatorischen IEEE-488.2-Kommandos Mnemonic Bezeichnung *CLS *ESE *ESE? *ESR? *IDN? *OPC *OPC? *RST *SRE *SRE? *STB? *TST? *WAI

Clear Status Command Standard Event Status Enable Command Standard Event Status Enable Query Standard Event Status Register Query Identification Query Operation Complete Command Operation Complete Query Reset Command Service Request Enable Command Service Request Enable Query Read Status Byte Query Self-Test Query Wait-to-Continue Command

622

19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen

SCPI-Standard findet neben dem IEC-Bus auch bei anderen in der Meßdatenerfassung gebr¨ auchlichen Schnittstellen Verwendung, so z. B. bei VXISystemen oder auch bei der Meßger¨ atesteuerung u ¨ber eine RS232C-Schnittstelle. Der SCPI-Standard wird von einem SCPI-Konsortium gepflegt und erweitert. Der jeweils aktuelle SCPI-Standard wird in mehreren B¨anden eines j¨ahrlich erscheinenden Werkes Standard Commands for Programmable ” Instruments“ festgehalten [142]. Auch im Internet sind die aktuellen Informationen rund um die SCPI-Sprache ver¨ offentlicht [143]. 19.2.1 Syntax der SCPI-Sprache In einem IEC-Bus-System existieren ein Controller sowie mehrere Instrumente, die Talker und/oder Listener sein k¨ onnen. Als SCPI-Programmiernachrichten (program messages) werden die Daten bezeichnet, die der Controller an ein Instrument schickt. SCPI-Antworten (response messages) sind die formatierten Daten, die das Instrument an den Controller zur¨ uckschickt. Die SCPI-Sprache definiert sowohl Kommandos als auch Anfragen. Eine angenehme Eigenschaft von SCPI ist, daß es zu fast jedem Kommando, das einen Wert einstellt, auch eine passende Anfrage gibt, die diesen Wert wieder einliest. Ein weiteres Prinzip der Sprache ist die hierarchische Unterteilung der Kommandos in Systeme und Subsysteme. Diese hierarchische Struktur ist ¨ahnlich der Filesysteme g¨angiger Betriebssysteme aufgebaut. In SCPI wird diese Struktur Kommandobaum (command tree) genannt. Ein einfaches Beispiel des SENSeKommandos, wie es in Digitalmultimetern implementiert ist, wird in Abb. 19.2 gezeigt. Auch die Bezeichnung der Kommandos erfolgt ¨ahnlich der Nomenklatur von Filesystemen. In diesem Beispiel ist SENSe das Wurzelkommando (root command). Die Kommandos des Subsystems sind zu Pfaden (paths) verbunden. So entsteht der Kommandobaum. Beispielsweise ist ein Pfad des Baums durch die Kommandosequenz

SENSe

CURRent

RANGe

UPPer

VOLTage

RESolution

AUTO

AUTO

RANGe

UPPer

RESolution

AUTO

AUTO

Abb. 19.2. Hierarchische Struktur von SCPI am Beispiel des SENSe-Befehls

19.2 IEC- und VXI-Bus-Kommunikation, SCPI-Standard

:SENSe:VOLTage:RANGe:AUTO

623

(19.1)

definiert. Diese Sequenz stellt das Multimeter auf Spannungsmessung und der Meßbereich wird automatisch gew¨ ahlt. Die Doppelpunkte dienen als Trennzeichen.1 Ein weiterer Pfad w¨ are :SENSe:CURRent:RANGe:UPPer .

(19.2)

Das Multimeter wird auf Strommessung im oberen Meßbereich geschaltet. Die an ein Instrument geschickten Befehle werden von einem sogenannten Parser interpretiert. Wenn der Parser SCPI-Subsystem-Befehle dekodiert, muß er verfolgen, in welchem Pfad und in welcher Ebene er sich gerade befindet, vergleichbar mit dem aktuellen Verzeichnis in Filesystemen. Entsprechend der folgenden Regeln navigiert der Parser durch die Subsysteme: • • • •

Nach dem Einschalten oder nach dem *RST-Kommando befindet sich der Parser in der Root-Ebene. Ein Zeilenumbruch beendet einen Befehl und setzt den Parser ebenfalls in die Root-Ebene zur¨ uck. Der Doppelpunkt dient als Pfad-Trennzeichen. Findet der Parser einen Doppelpunkt, wechselt er in die n¨ achsttiefere Ebene. Ein Doppelpunkt am Anfang eines Strings kennzeichnet die Root-Ebene. Ein Strichpunkt trennt zwei Kommandos desselben Pfads voneinander. Beispielsweise bewirkt der Befehlsstring :SENSe:VOLTage ; RANGe:AUTO ; RESolution:AUTO dasselbe wie die beiden Zeilen :SENSe:VOLTage:RANGe:AUTO :SENSe:VOLTage:RESolution:AUTO .

• • •

Leerzeichen werden generell ignoriert, allerdings sind sie innerhalb von Schl¨ usselw¨ortern verboten. Leerzeichen werden ben¨otigt, um Parameter abzutrennen. Werden mehrere Parameter nach einem Kommando ben¨otigt, so werden diese durch Kommas voneinander getrennt. Basiskommandos wie *RST sind nicht in das SCPI-System eingebunden und werden nicht als Teil eines Pfades interpretiert.

In den Handb¨ uchern der Instrumente wird der Kommandobaum mit seinen Kommandos und deren Parameter in Form einer Subsystem-KommandoTabelle definiert. Als Beispiel ist in Tab. 19.3 der Kommandobaum des SENSeBefehl aus Abb. 19.2 in dieser Tabellenform dargestellt. Die Hierarchieebene wird durch die Einr¨ uckung in der Kommandospalte gekennzeichnet. Zur Verwendung der Groß- und Kleinbuchstaben in der Tabelle sei noch folgendes 1

Grunds¨ atzlich sind die SCPI-Befehle zwischen Ger¨ aten gleicher Funktionalit¨ at portierbar. Allerdings sollte auch in jedem Manual der komplette Kommandobaum beschrieben sein.

624

19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen Tabelle 19.3. Der SENSe-Befehl in Tabellenform Command

Parameters

[:SENSe] :CURRent :RANGe :AUTO [:UPPer] :RESolution :AUTO

Boolean numeric numeric Boolean

:VOLTage :RANGe :AUTO [:UPPer] :RESolution :AUTO

Boolean numeric numeric Boolean

angemerkt: die Teile des Kommandostrings, die in Großbuchstaben geschrieben sind, m¨ ussen an das Instrument geschickt werden, damit das Kommando verstanden wird. Die in Kleinbuchstaben geschriebenen Teile der Kommandos k¨onnen noch angef¨ ugt werden, um den String leserlicher zu machen. In der Kommunikation mit den Instrumenten spielt die Groß- und Kleinschreibung aber grunds¨atzlich keine Rolle. Beispielsweise haben die folgenden beiden Zeilen dieselbe Bedeutung: :SENSe:CURRent:RANGe:AUTO ON :SENS:CURR:RANG:AUTO ON Die Kommandos in eckigen Klammern k¨ onnen auch weggelassen werden. Fehlen sie, springt der Parser automatisch in die richtige Ebene des Pfades. So f¨ uhren auch die folgenden beiden Zeilen zum selben Ergebnis: :SENSe:VOLTage:RANGe:UPPer 6.5 :VOLTage:RANGe 6.5 F¨ ur beinahe alle Kommandos, die einen Wert senden k¨onnen, existiert ein entsprechender Befehl, der den Wert ausliest. Beispielsweise wird mit den eben angef¨ uhrten Befehlen der Spannungsmeßbereich definiert, mit :SENSe:VOLTage:RANGe? wird der eingestellte Bereich ausgelesen.

19.2 IEC- und VXI-Bus-Kommunikation, SCPI-Standard

625

19.2.2 SCPI-Datenformate Numerische Daten k¨ onnen in g¨ angigen Formaten f¨ ur Integer- und Fließkommazahlen verwendet werden. Die Formate sind flexibel, d. h. es werden verschiedene Formate verstanden ( forgiving listening“ ): ” 100 100. -1.23 4.5e3 -7.89E-01 .5 Zus¨atzlich zu den Zahlenwerten werden auch die Ausdr¨ ucke MAXimum und MINimum von allen Instrumenten verstanden, die repr¨asentierten Werte sind allerdings vom Instrument abh¨ angig. Einige Instrumente verwenden zudem die Ausdr¨ ucke UP, INFinity und DEFault. Werte f¨ ur Boolesche Parameter k¨ onnen in den drei folgenden Varianten angegeben werden: ON OFF TRUE FALSE 1 0 String-Parameter werden als ASCII-Zeichenketten geschickt, die durch einfache oder doppelte Hochkommata abgetrennt sein m¨ ussen. Sollen Hochkommata selbst im String vorkommen, so m¨ ussen diese durch eckige Klammern abgetrennt sein: ’this is a STRING’ "this is also a string" "one double quote inside brackets: [""]" ’one single quote inside brackets: [’’]’ F¨ ur die Antworten der Instrumente (response data) sind strengere Regeln gesetzt (precise talking). Real-Daten werden in wissenschaftlicher Notation ausgegeben, wobei ein großgeschriebenes E“ den Exponenten kennzeichnet. Inte” gerzahlen werden mit f¨ uhrendem Vorzeichen gesendet. Werden Schl¨ usselw¨orter abgefragt, so wird nur der obligatorische Teil in Großbuchstaben ausgegeben (z. B. auf :RESistance:MODE? wird mit MAN statt MANual geantwortet). F¨ ur die Booleschen Variablen ist nur 0 und 1 als Antwort zul¨assig. Bei den Strings ist zu beachten, daß sie immer in doppelten Hochkommata stehen.

626

19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen

19.3 Einsatz kommerzieller Software Die Grundaufgaben der Meßdatenerfassungssoftware lassen sich einteilen in Erfassen von Daten u ¨ber Schnittstellen und Einsteckkarten, Speicherung und graphische Darstellung. Hinzu kommt heute die Analyse der Daten mit m¨ oglichst m¨achtigen mathematischen Werkzeugen sowie die Berechnung von Ausgangsgr¨oßen. Diesen Leistungsanforderungen stehen die Forderung nach zeit- und kosteng¨ unstiger Programmierung, kurzer Einarbeitungszeit, einfa¨ cher Bedienung, Flexibilit¨ at bei Anderungen und Erweiterungen sowie die zuverl¨assige Verf¨ ugbarkeit von Treibern f¨ ur die verwendeten Ger¨ate und Instrumente gegen¨ uber. Im folgenden werden die Softwarel¨ osungen gem¨aß diesen Anforderungen in verschiedene Kategorien unterteilt und anschließend einige konkrete Beispiele kommerzieller Software vorgestellt.

19.4 Kategorien von Softwarel¨ osungen Die zur Meßdatenerfassung eingesetzte Software kann man in folgende Kategorien unterteilen: • • • • •

Dialoggef¨ uhrte Komplettpakete (Fertigl¨ osungen) Modul-Bibliotheken graphikorientierte Entwicklungssysteme (Programmgeneratoren mit Graphikdialogeingabe) Systeme mit speziellen Kommandosprachen (i. allg. auf Interpreterbasis) Vollst¨andige Eigenentwicklung, teilweise unter Nutzung von – bereits vorhandenen ger¨ atespezifischen Treiberroutinen – Toolboxen – Standard-Entwicklungssystemen.

19.4.1 Dialoggef¨ uhrte Komplettpakete (Fertigl¨ osungen) Unter Komplettl¨osungen versteht man fertig konfigurierte und auf eine bestimmte Prozeßperipherie (Schnittstellen und Meßger¨ate) sowie Betriebssysteme abgestimmte Programme. Dieser Typ von Software erlaubt i. allg. die Einstellung der notwendigen Parameter, das Starten der Messung sowie die Auswertung der Meßdaten mit Hilfe einer Eingabe u ¨ber maskenorientierte Fenster bzw. mittels Maus u us. Teilweise ¨ber Pull-Down- oder Pop-Up-Men¨ verf¨ ugen diese Programme u ¨ber Makrogeneratoren, mit deren Hilfe sich immer wiederkehrende Befehlsfolgen zum erneuten Ablauf speichern lassen. Ein auf diese Art aufgezeichneter Meßvorgang kann dann durch einfachen Tastendruck beliebig oft wiederholt werden.

19.4 Kategorien von Softwarel¨ osungen

627

Vorteile: - keine Programmier- oder Systemkenntnisse erforderlich - unmittelbar einsetzbar ¨ Nachteile: - geringe bzw. keine Flexibilit¨ at bez¨ uglich Anderungsw¨ unschen - auf bestimmte Hardware-Situationen beschr¨ankt. 19.4.2 Modul-Bibliotheken Die zur rechnergest¨ utzten Meßdatenerfassung verf¨ ugbaren Software-Modulbibliotheken enthalten neben den Grundelementen eines Meßdatenerfassungsprogrammes eine Reihe von verschiedenen Programm-Modulen, die den entsprechenden bei der Meßdatenerfassung und Meßdatenverarbeitung anstehenden Aufgaben zugeordnet sind. Im allgemeinen sind standardm¨aßig folgende Modulgruppen vorhanden: • • • • • •

Treiberroutinen f¨ ur RS232-Schnittstellenkarten, IEC-Bus-Controller, Multifunktions-Einsteckkarten und diverse Meßger¨ate Signalverarbeitungsroutinen (z. B. Filter) Mathematik-Routinen (z. B. f¨ ur Statistik) Routinen zur Ergebnisvisualisierung Schnittstellen f¨ ur Datentransfer (z. B. ASCII-Dateien mit fest vereinbarter Datenstruktur) Hilfsroutinen.

Der Benutzer wird zun¨ achst vom Programm aufgefordert, mit Hilfe von Men¨ ueingaben den Meßablauf zu definieren. Dabei werden u. a. die Treiberroutinen sowie die f¨ ur die Steuerung von Interface-Karten und Meßger¨aten notwendigen Parameter festgelegt und Triggerbedingungen vereinbart. Es k¨onnen dabei auch leicht eigene Treiberroutinen oder weitere frei programmierte ProgrammModule eingebunden werden. Dieser Programmtyp unterscheidet sich von den vorhergehenden vor allem durch eine wesentlich gr¨oßere Flexibilit¨at auf Kosten des noch vom Benutzer zu erbringenden Eingabeaufwandes. Vorteil: - gr¨oßere Flexibilit¨ at als bei den Komplettl¨osungen Nachteil: - gr¨oßerer Aufwand bei der Eingabe Beispiel: Meßdatenerfassungs- und Signalanalysepaket DIA-DAGO (Fa. GfS) [31], [28]. 19.4.3 Graphikorientierte Entwicklungssysteme (Programmgeneratoren) Bei den graphikorientierten Entwicklungssystemen handelt es sich um Softwareprodukte, mit deren Hilfe man das eigentliche Meßdatenerfassungsprogramm erzeugen kann. Diese Programmgenerierung geschieht i. allg. im Rahmen eines graphisch-interaktiven Bildschirmdialoges. Dabei kann der Benutzer aus

628

19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen

in Form von Blockschaltbildelementen vorgegebenen Operationen die einzelnen Schritte des Meßablaufes definieren und in Form eines Gesamtablaufplanes (Datenflußplan) zusammenstellen. Der eigentliche Programmgenerator erstellt dann anhand des so definierten Datenflußplanes den Programmcode zur Meßdatenerfassung. Das Funktionieren ist jedoch auch hier an die Verf¨ ugbarkeit entsprechender Treiberroutinen f¨ ur die gerade eingesetzten Interface-Karten und Meßger¨ate gebunden. Vorteil:

- keine detaillierten Kenntnisse bez¨ uglich der eingesetzten Hard- und Software erforderlich

Nachteile: - geringe Flexibilit¨ at und eingeschr¨ ankte Erweiterbarkeit - bei zeitkritischen Anwendungen u. U. zu langsam Daneben gibt es noch Varianten von Programmgeneratoren, die Programmcodes in einer Standardhochsprache, wie z. B. C, generieren und ausgeben. Der so erzeugte Quellcode steht dem Benutzer f¨ ur eventuell gew¨ unschte Modifikationen zur Verf¨ ugung. Die Modifikationen f¨ uhren allerdings im allgemeinen dazu, daß aus dem modifizierten Code der graphische Datenfluß nicht wieder zur¨ uckgewonnen werden kann. Der Vorteil gegen¨ uber den Programmgeneratoren, die keinen modifizierbaren Hochsprachenquelltext ausgeben, liegt in der wesentlich gr¨oßeren Flexibilit¨ at bez¨ uglich notwendiger Programm¨anderungen. Die graphikorientierten Entwicklungssysteme sind insbesondere f¨ ur die Entwicklung von virtuellen Meßger¨aten besonders hilfreich. Beispiele: LabVIEW (Fa. National Instruments) (s. Kap. 19.5) [100].

19.4.4 Systeme mit speziellen Kommandosprachen Es handelt sich hierbei um Entwicklungssysteme mit speziellen Programmierbzw. Makrosprachen. Diese Systeme arbeiten meist nach dem Interpreter¨ prinzip, d. h. es muß keine explizite Ubersetzung des Anwenderprogrammes in einen Maschinencode erfolgen, da jeder Funktionsaufruf unmittelbar in eine Zeigerzuweisung umgesetzt wird, die auf eine entsprechende Routine zeigt. Der klassische Vertreter dieses Typs von Meßdatenerfassungssoftware ist das Programm ASYST. Details zu diesem Softwarepaket finden sich u. a. in [139]. Der allgemeine Trend geht jedoch aufgrund des Inselcharakters einer solchen L¨ osung zu Systemen, die auf Standardhochsprachen basieren. Eigenentwicklungen Die vollst¨andige Selbstprogrammierung muß immer dann in Betracht gezogen werden, wenn die oben angef¨ uhrten Standardl¨osungen versagen. So tritt beispielsweise oft das Problem auf, daß Standardsoftwarepakete aufgrund ihres Systemoverheads in manchen F¨ allen die gestellten Geschwindigkeitsan-

19.5 LabVIEW

629

forderungen nicht erf¨ ullen. Eine Eigenentwicklung kann aber auch aus Kostengr¨ unden erwogen werden, wenn es sich um kleinere Meßdatenerfassungsprojekte handelt. Bei der Eigenentwicklung von Meßdatenerfassungssoftware k¨ onnen, je nach Sachlage, Toolboxen genutzt werden, die geeignete Hilfsroutinen bereitstellen [139].

19.5 LabVIEW Bereits in den 70er Jahren wurden Anstrengungen unternommen, eine Programmierung basierend auf der Verwendung von Datenflußmodellen zu konzipieren, um das Man Machine Interface (MMI) nat¨ urlicher“ zu gestalten. ” National Instruments [102] (NI) ist als Pionier auf diesem Gebiet zu nennen. Bereits im Jahre 1986 wurde dort mit NI LabVIEW (Laboratory Virtual Instrumentation Engineering Workbench) die erste Generation einer vollwertigen graphischen Benutzeroberfl¨ ache entwickelt. Wurde LabVIEW urspr¨ unglich f¨ ur die Labor-Meßtechnik entwickelt, so avancierte es mittlerweile zu einem universellen graphischen Compiler, der alle Elemente einer modernen graphischen Benutzeroberfl¨ache mit den Elementen der klassischen strukturierten, textuellen Programmiersprachen vereint. Einerseits sind Treiber f¨ ur verschiedene Schnittstellen und Ger¨ate vorhanden bzw. k¨onnen leicht eingebunden werden, andererseits sind vielf¨altige und komfortable Mathematikfunktionen implementiert, die die Signalanalyse sowohl im Zeitbereich als auch im Frequenzbereich erleichtern. Bei LabVIEW handelt es sich um eine graphische Programmiersprache, d. h. die Programme werden nicht in Form von sequentiellem Text, sondern in Form von Blockschaltbildern oder Signalflußdiagrammen erstellt. Bestandteile der einzelnen Bl¨ocke sind entweder Unterprogramme (Virtuelle Instrumente, VI) zur Ansteuerung von Ger¨ aten, einfache mathematische Operationen, wie z. B. Grundrechenarten oder trigonometrische Funktionen, komplexe mathematische Operationen, wie z. B. Faltungsintegrale oder Filterung, oder aber selbstdefinierte VIs. Zwei weitere Eigenschaften machen LabVIEW zu einer echten graphischen Programmiersprache im Gegensatz zu graphisch erscheinenden Sprachen. Zum einen sind dies die Ablaufstrukturen und zum anderen bietet es einen Abstraktionsmechanismus. LabVIEW verf¨ ugt u ¨ber die wichtigen Ablaufstrukturen FOR- und WHILESchleife sowie CASE-Verzweigung und Sequenz-Struktur. Die graphischen Symbole dieser Anweisungen sind in Abb. 19.3 dargestellt. Die ersten beiden entsprechen ihren Pendants aus der textuellen Programmierung. Die CASEVerzweigung kann verschiedene Variablentypen als Argument verarbeiten und beinhaltet somit auch eine IF-Abfrage. Die Sequenz-Struktur legt mehrere Fenster fest, die nacheinander abgearbeitet werden und tr¨agt so zu einer u ¨bersichtlichen und leicht nachvollziehbaren Programmierweise bei.

630

19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen

Abb. 19.3. Ablaufstrukturen in LabVIEW

Der in LabVIEW zur Verf¨ ugung stehende Abstraktionsmechanismus erm¨oglicht eine modular-hierarchische Programmierung. Den VIs k¨onnen Symbole, sogenannte Icons, zugeordnet werden. Damit kann das VI in ein u ¨bergeordnetes VI als Unterprogramm (SubVI) eingebunden werden. Jedes Problem l¨aßt sich so stufenweise abstrahieren und bis ins Detail aufl¨osen. F¨ ur das Programmieren selbst stellt LabVIEW eine Vielzahl von Debugging-M¨oglichkeiten zur Verf¨ ugung. Dazu geh¨oren das Setzen von Break” points“, das Plazieren von Probes“, um w¨ ahrend des Programmablaufes Wer” te der Variablen anzuzeigen, sowie Highlight Execution“, ein verlangsamter ” Programmdurchlauf, der die Reihenfolge der Abarbeitung der Befehle verdeutlicht. Auch Funktionen wie Step In/Over/Out“ f¨ ur Unterprogramme ” erleichtern die Fehlersuche in gr¨ oßeren Applikationen. Das folgende Beispiel soll einen kleinen Einblick in die Programmierung unter LabVIEW geben. Die Programmieroberfl¨ache besteht aus zwei Teilen: der sogenannten Bedienoberfl¨ ache ( Front Panel“), welche die Bedien” und Anzeigeelemente enth¨ alt, so wie sie der sp¨atere Benutzer des Programmes sieht, und dem Programmierfenster ( Block Diagram“), wo das ” eigentliche Programm eingegeben wird. Abbildung 19.4 zeigt die Bedienoberfl¨ ache eines FFT-Analysators. LabVIEW stellt f¨ ur diese Bedienoberfl¨achen per Maus bedienbare Elemente, wie z.B. Drehkn¨opfe, Schalter und Taster, zur Verf¨ ugung sowie Anzeigeelemente, wie L¨ ampchen und dynamische Graphiken. In diesem Beispiel wird die Soundkarte als AD-Umsetzerkarte verwendet, um ein Signal u ¨ber den Mikrophon- oder Lineeingang einzulesen. Der Anwender kann die Abtastrate, die Anzahl der aufzunehmenden Werte pro Meßzyklus sowie Informationen u ¨ber die abzutastenden Kan¨ale in dem Kasten links oben eingeben. Die Messung erfolgt kontinuierlich, was durch eine WHILE-Schleife realisiert wird. Auf der rechten Seite wird der Zeitverlauf des Signals sowie das berechnete Frequenzspektrum dargestellt. Weiterhin wird links unten die im Signal enthaltene Grundfrequenz und deren Amplitude ermittelt. Abbildung 19.5 zeigt das zugeh¨ orige Blockdiagramm. An dieser Stelle k¨ onnen nur die wichtigsten Elemente erw¨ ahnt werden. Vor dem Starten der WHILE-Schleife wird die Soundkarte konfiguriert und ge¨offnet, innerhalb der Schleife wird der Datenpuffer der Karte ausgelesen und nach Beenden der Schleife durch den Anwender wird die Verbindung zur Karte getrennt. Innerhalb der Schleife wird das Signal analysiert. Dazu wird einerseits das ExpressVI Spectral Measurement“ zur Durchf¨ uhrung einer Fourier-Analyse aufge”

19.5 LabVIEW

631

Abb. 19.4. Benutzerfenster (Front Panel) des LabVIEW-Beispiels FFT” Analysator“. Dieses VI ist auch auf der DVD-ROM unter der Bezeichnung FFT Analysator.vi zu finden.

rufen. Andererseits wird mit dem SubVI Tone Measurement“ die enhalte” ne Grundfrequenz ermittelt. Die Ergebnisse werden in Signalverlaufsgraphen ausgegeben. Mit der Einf¨ uhrung der Version 8 von LabVIEW im Jahre 2005 wurde nun auch die M¨oglichkeit geschaffen, lokal verteilte Meßdatenerfassungssysteme zu konfigurieren. Zu den mittlerweile fast 4000 in LabVIEW verf¨ ugbaren Ger¨atetreiberroutinen z¨ ahlen knapp 100 Ger¨ ate mit USB-Schnittstelle und nahezu 300 Ethernet-Ger¨ ate. Mit LabVIEW 8 ist nunmehr auch eine heterogene Vernetzung in dem Sinne m¨ oglich, daß die eingebundenen Meßger¨ate u ¨ber unterschiedliche Schnittstellen angesprochen werden k¨onnen (Abb. 19.6). Es werden alle g¨ angigen Schnittstellen, wie IEC-Bus, RS232, RS485, USB, LAN/Ethernet, PCI, PCI-Express, PXI oder VXI unterst¨ utzt. Zudem bietet LabVIEW auch eine komfortable Schnittstelle f¨ ur die Daten¨ ubertragung zwi-

632

19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen

Abb. 19.5. Programmierfenster (Block Diagram) des LabVIEW-Beispiels FFT” Analysator“

schen verteilten intelligenten Ger¨ aten und Systemen, wie beispielsweise Echtzeitprozessoren, DSPs, FPGAs oder auch zwischen PCs. So erhalten Entwickler von Automatisierungssystemen eine einheitliche graphische Plattform, die eine einfache serielle Daten¨ ubertragung zwischen zwei Teilnehmern genauso unterst¨ utzt wie die Synchronisierung von Datenloggern an verschiedenen Orten eines komplexen Netzwerkes.

Abb. 19.6. Mit LabVIEW 8 lassen sich lokal verteilte Knoten eines Meßsystems vernetzen, wenn diese u ¨ber eine der Standardschnittstellen angesprochen werden k¨ onnen [71]. Die Netzarchitektur darf dabei heterogen sein, d. h. es werden gleichzeitig unterschiedliche Bus-Systeme verwendet.

19.5 LabVIEW

633

Die Synchronisierung lokal verteilter Systeme wird durch die neue PCIEinsteckkarte NI PCI-1588 erleichtert, welche u ¨ber das Ethernet vernetzte Ger¨ate gem¨aß dem IEEE-Standard IEEE-1588 zu synchronisieren gestattet (siehe dazu auch Kap. 18.13.5). Das Modul kann dabei sowohl als Master Clock als auch als Slave Clock arbeiten. Die zeitliche Unsicherheit (Jitter) h¨ angt vom aktuell verwendeten Netzwerk ab. Sie liegt aber stets unterhalb einer Mikrosekunde. Im Jahr 2009 wurde die Version LabVIEW 2009 pr¨asentiert, deren wichtigste Neuerungen im folgenden kurz dargestellt werden sollen. Die effiziente Nutzung von Multicore-Systemen wurde weiter gesteigert. Beispielsweise wurde eine neue FOR-Schleife vorgesehen, die es gestattet, die Schleifendurchl¨aufe auf mehrere Prozessoren zu verteilen. Die Implementierung rekursiver Algorithmen ist nun dadurch vereinfacht, daß Unterprogramme sich selbst aufrufen k¨ onnen. Bei jedem Aufruf wird dazu eine neue Kopie des Unterprogramms im Speicher erstellt. Die M¨ oglichkeiten zur graphischen Darstellung wurden um insgesamt 18 Diagrammarten f¨ ur die zwei- und dreidimensionale Visualisierung erweitert, wobei u. a. die Palette der 3D-Diagramme erheblich vergr¨oßert wurde. Ein wichtiges Werkzeug f¨ ur die Fehlersuche sind die sogenannten Sonden, mit denen w¨ahrend des Programmablaufes die Daten an ausgew¨ahlten Punkten im Programm angezeigt werden k¨ onnen. Neu eingef¨ uhrt wurde ein Sondenfenster, in dem alle vom Programmierer definierten Sonden dargestellt und auf komfortable Weise verwaltet werden k¨onnen. Zur Auswertung von umfangreichen Meßdaten, insbesondere zur Erstellung von Berichten, in welchen Meßreihen graphisch dargestellt werden sollen, steht eine Datenschnittstelle zu NI DIAdem zur Verf¨ ugung. DIAdem ist eine Standardsoftware zur Datenanalyse, Datenverwaltung und Berichterstattung. Dazu bietet DIAdem eine entsprechende graphische Oberfl¨ache (Abb. 19.7). Die in DIAdem enthaltene Entwicklungsumgebung erlaubt in Verbindung mit einem Dialogeditor dar¨ uberhinaus die Erstellung von anwendungsspezifischen Bedienoberfl¨ achen auf der Grundlage von Visual Basic Script (VBS). LabVIEW kann DIAdem-TDM-Dateien importieren und exportieren (TDM=Technical Data Management). Das TDM-Format erlaubt die effiziente Speicherung von Daten in Bin¨ arform. Daneben gibt es die M¨oglichkeit, in einem sog. XML-Header2 die Struktur der Datei zu dokumentieren sowie weitere Informationen zu den gespeicherten Daten abzulegen. 2

XML steht f¨ ur Extensible Markup Language (=erweiterbare Auszeichnungssprache). XML definiert einen Standard zur Erstellung von Rechnerdokumenten, d. h. es legt die Regeln f¨ ur die Struktur dieser Dokumente fest. Ein wesentlicher Grundgedanke von XML besteht darin, Daten und ihre Repr¨ asentation zu trennen. So k¨ onnen beispielsweise Meßdaten effizient in einer Datenbasis gespeichert werden, um als Tabelle sowie als Graphik dargestellt werden zu k¨ onnen.

634

19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen

Abb. 19.7. Screenshot der Software DIAdem

Tip: Ein Großteil der Aufgaben auf der DVD-ROM besch¨aftigt sich mit der Programmierung meßtechnischer Aufgaben in LabVIEW. Die Datei book.pdf enth¨ alt eine Einf¨ uhrung in die wichtigsten, hier verwendeten Elemente der LabVIEWProgrammierung sowie einige Aufgabenstellungen. Musterl¨osungen, d.h. die entsprechenden Beispielprogramme (*.vi-Files), befinden sich im Verzeichnis \LabVIEW\Aufgaben.

19.6 LabWindows Als Beispiel f¨ ur ein textbasiertes Programmierwerkzeug zur Meßdatenerfassung sei an dieser Stelle NI LabWindows/CVI vorgestellt. Es handelt sich dabei um einen 32-bit-ANSI-C-Compiler. Dieser wurde um Meßtechnikfunktionen in Form von Bibliotheken erweitert und enth¨alt komfortable Werkzeuge zur Gestaltung graphischer Benutzeroberfl¨ achen (Graphical User Interfaces, GUI), die ¨ahnlich den LabVIEW-Oberfl¨ achen gestaltet sind. Hinter dem Front Panel verbirgt sich aber kein Blockdiagramm wie bei LabVIEW, sondern ein Steuerprogramm in ANSI C, das die Funktionalit¨at des Virtuellen Instrumentes repr¨asentiert.

19.7 MATLAB

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Somit unterscheiden sich LabVIEW und LabWindows/CVI haupts¨achlich in der Programmierphilosophie, also einerseits graphisch, andererseits textbasiert. Welche Programmierphilosophie zum Einsatz kommt, muß aufgrund der gestellten Aufgabe entschieden werden. •

•

Die ereignisgesteuerte, C-basierte Programmierung von LabWindows ist vielen Programmierern und Systementwicklern gel¨aufig. Sie wird bevorzugt eingesetzt, wenn es um hardwarenahes Programmieren, das Ansprechen physikalischer Speicher und das Interrupt-Handling geht. Die Entwicklungszeit von Programmen kann andererseits mit der graphischen Programmierung deutlich verk¨ urzt werden. Mit LabVIEW lassen ¨ sich schnell Prototypen realisieren und Anderungen vornehmen. Diese Vorteile kommen vor allem Anwendern zugute, die erst wenig Erfahrung mit der konventionellen Programmierung gesammelt haben.

19.7 MATLAB Im Gegensatz zu LabVIEW, das urspr¨ unglich f¨ ur die Meßdatenerfassung entwickelt und sp¨ater mit vielseitigen Mathematik-Werkzeugen ausger¨ ustet wurde, verlief die Entwicklung von MATLAB in umgekehrter Richtung. Urspr¨ unglich f¨ ur mathematische Anwendungen konzipiert, wird das Programm heute auch in der Meßdatenerfassung eingesetzt. Das Programmpaket MATLAB wird st¨andig um neue Module ( Toolbox“) f¨ ur die verschiedensten Anwen” dungen erweitert. Die neuesten Entwicklungen in Richtung Meßdatenerfassung sind die Data Acquisition Toolbox und die Instrument Control Toolbox. Die Data Acquisition Toolbox unterst¨ utzt den Zugriff auf eingebaute Datenerfassungskarten. Man kreiert Objekte, die von MATLAB mit analogen Eing¨angen, Ausg¨angen und digitalen I/Os auf der Karte assoziiert werden. Wie bei MATLAB-Objekten u onnen dann mit den Befehlen GET und ¨blich, k¨ SET Eigenschaften der Karte abgefragt und eingestellt werden. Die Instrument Control Toolbox dient der Kommunikation mit externen Ger¨aten u ¨ber IEC-Bus (GPIB) und den seriellen Schnittstellen RS232, RS422 und RS485. Leider ist die Toolbox bis dato noch nicht v¨ollig plattformunabh¨angig, und die volle Funktionalit¨ at steht nur unter den WindowsBetriebssystemen zur Verf¨ ugung. Auch diese Toolbox arbeitet mit der MATLAB Objekt-Technologie und ordnet einzelnen Instrumenten Objekte zu. Das Programmierbeispiel in Tab. 19.4 soll die Kommunikation mit einem Instrument u aher verdeutlichen. Es beschreibt ¨ber den IEC-Bus (GPIB-Bus) n¨ die Kennlinienaufnahme eines Zweipols mit einem sogenannten Source-Meter. In diesem Fall wurde ein Keithley 2400 Digital Source-Meter verwendet. Zun¨achst wird in den Zeilen 1 bis 7 das Spannungsintervall, die Anzahl der Schritte und die Schrittweite bestimmt sowie die Vektoren f¨ ur das Ergebnis initialisiert. In Zeile 9 wird das Objekt g erzeugt, welches das Instrument Nr. 12

636

19 Programmierung von Meßdatenerfassungssystemen Tabelle 19.4. MATLAB-Programmierbeispiel Kennlinienaufnahme“ ” 1: start=0.001; % Variablendefinition 2: stop=0.500; 3: z=500; 4: 5: step=(stop-start)/(z-1); 6: voltage=zeros(z,1); %Vektorinitialisierung 7: current=zeros(z,1); 8: 9: g=gpib(’ni’,0,12); % card manufacturer, card number, % instr. number 10: fopen(g) % Verbindung herstellen 11: fprintf(g,’*RST; *CLS;’); % garantiert default-Einstellungen 12: fprintf(g,’:sour:func volt;’); % Spannungsquelle 13: fprintf(g,’:sens:curr:prot 0.1;’); %Strommessung 14: for i=1:z 15: fprintf(g,’:sour:volt:mode fix;’); 16: fprintf(g,’:sour:volt:lev %g;’,(start+step*(i-1))); 17: fprintf(g,’:sour:del 0.1;’); 18: fprintf(g,’:form:elem volt,curr;’); 19: fprintf(g,’:output on;’); 20: fprintf(g,’:init; *OPC;’); 21: fprintf(g,’:fetch?;’); 22: mess=str2num(fscanf(g)); 23: voltage(i)=mess(1); 24: current(i)=mess(2); 25: end 26: 27: fclose(g) 28: 29: semilogy(voltage,current*1e3), grid on 30: xlabel(’U_d (V)’); 31: ylabel(’I_d (mA)’);

am GPIB-Bus 0 repr¨ asentiert. Es sei angemerkt, daß ein Rechner u ¨ber mehrere GPIB-Karten verf¨ ugen kann, weshalb eine genaue Identifizierung der Karte notwendig ist. In Zeile 10 wird das Objekt ge¨ offnet, ¨ahnlich wie auch Dateien ge¨offnet werden m¨ ussen, um Lese- oder Schreiboperationen auszuf¨ uhren. Mit dem fprintf-Befehl werden danach einige Kommandostrings an das Ger¨at geschickt. Das ist zun¨ achst das Reset Command *RST und das Clear Status Command *CLS, um das Ger¨ at in einen definierten Zustand zu versetzen. In den Zeilen 12 und 13 wird das Ger¨ at als Spannungsquelle konfiguriert und f¨ ur die Strommessung eine Strombegrenzung von 0,1 A eingestellt. Danach startet die Schleife f¨ ur den punktweisen Durchlauf der Kennlinie. In Zeile 16 wird der aktuelle Spannungswert berechnet und u ¨bertragen. Der Befehl in Zeile 18 definiert die Ausgabeinformation; so k¨ onnte beispielsweise außer Strom

19.7 MATLAB

637

I (mA)

und Spannung auch der Widerstand ausgelesen werden. Schließlich wird die Spannung an den Ausgangskontakten des Ger¨ats eingeschaltet und mit dem Befehl fetch? werden die Ergebnisse abgeholt. Mit dem MATLAB-Befehl fscanf werden die Daten aus dem Objekt g in die Variable mess gespeichert und schließlich an die richtige Stelle in den Ergebnisvektoren plaziert. Nach dem Ende der Messungen wird die Verbindung geschlossen und die Kennlinie logarithmisch ausgegeben. Das Resultat ist in Abb. 19.8 zu sehen. Es wurde als Beispiel die Kennlinie einer Diode sowohl in Durchlaßrichtung als auch in Sperrichtung aufgezeichnet. 2

10

forward backward

1

10

0

10

−1

10

−2

10

−3

10

−4

10

−5

10

−6

10

−7

10

−8

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 U (V) d

Abb. 19.8. Kennlinien einer Diode in Durchlaß- (—) und Sperrichtung (- -), aufgenommen mit dem MATLAB-Programmierbeispiel Kennlinienaufnahme“ ” (Tab. 19.4)

20 Geb¨ audeautomatisierung (Smart Home)

Die Hausautomatisierungstechnik bietet die M¨ oglichkeit, einige der bisher vorgestellten Technologien anschaulich zu demonstrieren. Eine moderne Hausautomatisierung verlangt den Einsatz verschiedenster Sensoren und Aktoren, deren Werte und Zust¨ ande permanent u ussen und deren ¨berwacht werden m¨ ¨ Anderung unterschiedliche Aktionen nach sich zieht. Beispiele f¨ ur Sensoren in der Hausautomatisierung sind Temperatur-, Luftfeuchte-, Einstrahlungs¨ oder Bewegungssensoren. Aktoren stellen Heizungsventile, Motoren zum Offnen der Fenster oder Magnetventile zur Steuerung von Wasserleitungen dar. Da die Hausautomatisierung zum Konsumerbereich z¨ahlt, muß ein Entwicklungsziel die kosteng¨ unstige Implementierung von Sensoren, Aktoren sowie die des Steuerrechners sein. In unserem Beispiel dient eine Industrie-SPS als Controller, wobei die folgenden Vorteile f¨ ur den Einsatz ausschlaggebend sind: • • • • •

bew¨ahrt im industriellen Umfeld robust preiswert / kosteng¨ unstig - bei entsprechenden St¨ uckzahlen hohe Ausfallsicherheit sehr sicherer Neustart nach Stromausfall.

Der Controller des Hausautomatisierungssystems dient der Bearbeitung diverser Aufgaben. So m¨ ussen zun¨ achst die Meßwerte der Sensoren und Parameter der Aktoren eingelesen und eventuell umgerechnet werden. Diese Werte werden dann in einzelnen Modulen verarbeitet und entsprechende Aktionen ausgef¨ uhrt. Im weiteren muß der Controller Kommunikationsaufgaben mit der Außenwelt durchf¨ uhren. Die Kommunikationspartner k¨onnen dabei weitere speicherprogrammierbare Steuerungen oder aber ein Benutzer sein, der unter Verwendung eines geeigneten Bedienprogrammes Parameter des Automatisierungssystems ver¨andern will.

R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6_20, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

640

20 Geb¨ audeautomatisierung (Smart Home)

20.1 Struktur des Gesamtsystems

Computer mit Internetanschluß Überwachung Diagnose Steuerung World Wide Web

Überwachung Diagnose Steuerung

Sensor 1

Computer

LAN

Web Server

Controller Gateway

Aktor 1

Sensor 2

Aktor2

Sensor 3

Point-to-Point Verbindung Überwachung Diagnose Steuerung

Gateway

Computer

Abb. 20.1. Komponenten des Hausautomatisierungssystems

Die im folgenden beschriebenen Elemente und Anforderungen sind wesentliche Bestandteile des hier vorgestellten Hausautomatisierungssystems (Abb. 20.1). Dieses Hausautomatisierungssystem wurde am Lehrstuhl f¨ ur Sensorik der Universit¨at Erlangen-N¨ urnberg entwickelt. Es hat sich in verschiedenen Feldversuchen bew¨ahrt und wird derzeit in der Praxis getestet [150]. Es enth¨alt folgende zentrale Elemente: • • • • •

SPS als zentraler Controller, der die Kommunikation u ¨ber das Ethernet unterst¨ utzt verschiedene Sensoren, welche frequenzcodierte Signale mittels einer Zweidrahtleitung an die SPS senden verschiedene Aktoren, die direkt oder mittels pulsweitenmodulierter Signale an die SPS angeschlossen sind Interaktionsm¨oglichkeit des Benutzers u ¨ber Bedienoberfl¨ache oder physikalische Schaltelemente M¨oglichkeiten der Fernwartung unter Verwendung eines Routers oder eines Web-Servers.

Abbildung 20.2 zeigt eine im Smart-Home-Bereich eingesetzte Speicherprogrammierbare Steuerung der Fa. Beckhoff [13]. Am linken Rand ist der Controller mit dem Ethernet-Adapter zu erkennen. Zur Rechten folgen digitale Eingangsklemmen mit jeweils 4 Eingangskan¨ alen. Es schließen sich 230 VEingangskan¨ale an. Den Abschluß bilden die 230 V-Ausgangsklemmen, welche direkt oder u ¨ber ein Schutzrelais die Leistungskreise schalten.

20.2 Datenerfassung mit frequenzanaloger Schnittstelle

641

Abb. 20.2. Speicherprogrammierbare Steuerung der Fa. Beckhoff [13] im Einsatz bei der Geb¨ audeautomatisierung

20.2 Datenerfassung mit frequenzanaloger Schnittstelle Die SPS fungiert als zentraler Controller des Hausautomatisierungssystems. Sie u ¨bernimmt alle wesentlichen Steuerungs- und Regelaufgaben, welche in der jeweiligen Systemkonfiguration ben¨ otigt werden. Anschaulich soll dies am Beispiel einer Temperaturregelung erl¨ autert werden. Die Temperatur wird von einem Temperaturf¨ uhler gemessen und die gew¨ unschte Raumtemperatur wird vom Benutzer durch einen Sollwertsteller eingestellt. Beide sind auf einer Platine aufgebaut, welche in eine Standard-

(a) Platine mit Temperaturmodul und Sollwertsteller

(b) Einbau in ein Geh¨ ause der Fa. Busch-J¨ ager [22]

Abb. 20.3. Analoges Sensormodul zur Messung der Raumtemperatur und Einstellung des Temperatur-Sollwertes

642

20 Geb¨ audeautomatisierung (Smart Home)

Unterputzschalterdose montiert werden kann (Abb. 20.3). Abbildung 20.4 zeigt, daß die Werte der Temperatur sowie die des Sollwertstellers frequenzcodiert (Rechtecksignal mit Frequenz 10 Hz < fR < 100 Hz) u ¨ber eine Zweidrahtleitung zur SPS u ¨bertragen werden, wobei jeder Sensor an eine digitale Eingangs- und jeder Aktor an eine digitale Ausgangsklemme angeschlossen ist. Durch die Verwendung digitaler Klemmen wird eine erhebliche Kostenersparnis im Vergleich zu analogen Ein- und Ausgangsklemmen erreicht.

Sensorsignal

Sensor

SPS

Aktorsignal

Controller

Aktor

Abb. 20.4. Raumtemperatur-Regelung per SPS

Die Topologie der Sensor- und Aktoranschl¨ usse ist sternf¨ormig, was zwar mehr Verkabelungsaufwand erfordert, aber zu Gunsten der hohen Ausfallsicherheit gegen¨ uber einem ringf¨ ormigen Bus in Kauf genommen wird. Die Frequenzen der Rechtecksignale (Sensorsignale) werden durch eine Mehrperiodenfrequenzmessung bestimmt, die ca. 3 Sekunden dauert und so eine Genauigkeit von 0,1 Hz im spezifizierten Frequenzbereich erreicht. Um die Frequenzmessung nicht zu verf¨ alschen, d¨ urfen maximal sechs Frequenzen zum gleichen Zeitpunkt gemessen werden, daher sind in der Regel mehrere Frequenzbestimmungsbl¨ ocke im jeweiligen SPS-Applikationsprogramm n¨otig. Die hieraus resultierende Struktur des SPS-Programmes entspricht einer Ablaufsteuerung (s. Kap. 17). Dies bedeutet, daß bevor das SPS-Programm einen weiteren Schritt ausf¨ uhren kann, erst eine Transitionsbedingung erf¨ ullt werden muß. Im Fall der Frequenzmessung muß gewartet werden, bis alle Frequenzen bestimmt sind, bevor der n¨ achste Programmschritt ausgef¨ uhrt werden kann. Da die Frequenz-Temperatur-Kurve der Temperaturmodule bekannt ist, k¨ onnen die Temperaturen der einzelnen Sensoren aus den jeweiligen Frequenzwerten bestimmt werden. Sind alle Frequenzen bzw. Sensorwerte gemessen worden, so wird das n¨ achste Programm der Ablaufsteuerung ausgef¨ uhrt, welches in diesem Beispiel den Algorithmus f¨ ur die Raumtemperaturregelung enth¨alt. Dieser Regelalgorithmus implementiert einen Zweipunktregler, der einen Radiator ein- bzw. ausschaltet, wenn die Raumtemperatur bestimmte vorgegebene Schwellwerte unter- bzw. u ¨berschreitet. Der Temperatur-Sollwert soll dabei nicht nur durch den Sollwertsteller sondern auch durch ein programmierbares Tag-/Nachtprogramm oder einen vom Benutzer via Applikationsprogramm vorgegebenen Wert einstellbar sein. Abgesehen vom Temperatursollwert des Sollwertstellers k¨onnen diese unter Verwendung des sp¨ ater vorgestellten Benutzerinterfaces parametriert werden.

20.3 Datenerfassung mit digitaler Schnittstelle

643

20.3 Datenerfassung mit digitaler Schnittstelle Der Nachteil des frequenzanalogen Auslesens der Sensoren besteht im wesentlichen in dem limitierten Informationsgehalt des Sensorsignales. Aus diesem Grund wurde eine neue, universell verwendbare Sensorschnittstelle mit digitaler Auslesung konzipiert. Dabei wurden alle Vorz¨ uge der analogen Schnittstelle aus dem vorigen Abschnitt beibehalten. Eingangsschaltung (Stromversorgungseinheit)

Sensorschaltung 5V

Diode

0V

BrückenGleichrichter

Strombegrenzer max. 10 mA

Schalter

Mikrocontroller

+24V

Controller Eingangs- DI Klemme

Temperatursensor

ReferenzStromQuelle

Display 24

Sollwerttaster

Abb. 20.5. Struktur des digitalen SPS-Sensorinterfaces

Das Sensormodul, das wiederum u ¨ber eine einfache und verpolsichere Zweidrahtleitung an die digitale Eingangsklemme jeder handels¨ ublichen SPS angeschlossen werden kann, gliedert sich in zwei Teilschaltungen (Abb. 20.5). Die Eingangsschaltung (Stromversorgungseinheit) gleicht der der analogen Sensorschnittstelle. Sie ist unabh¨ angig von dem Interface, das die Sensorsignale digitalisiert und diese digital codierten Abtastwerte in Form eines seriellen

Abb. 20.6. Vergleich von frequenzanalogem und digitalem Sensorsignal

644

20 Geb¨ audeautomatisierung (Smart Home)

digitalen Wortes auf die Zweidrahtleitung gibt. In Abb. 20.6 werden die Signale von analogen und digitalen Sensorinterfaces miteinander verglichen. Abschließend sei erw¨ ahnt, daß die mittlerweile in umfangreicher Weise durchgef¨ uhrten Praxistests die hohe Genauigkeit des Sensorinterfaces sowie die große Zuverl¨ assigkeit der Gesamtschaltung unter Beweis gestellt haben. Abbildung 20.7 zeigt den entsprechenden digitalen Temperatur-FeuchteSensor. Die Einstellung des Temperatur-Sollwertes erfolgt durch Tastendruck in 0, 5 ◦ C-Schritten. Er l¨ aßt sich in die handels¨ ublichen UnterputzInstallationsdosen einbauen.

(a) Platine mit Display

(b) Einbau in ein Geh¨ ause der Fa. Busch-J¨ ager [22]

Abb. 20.7. Digitales Sensormodul zur Messung von Luftfeuchte, Helligkeit sowie der Raumtemperatur. Die Einstellung des Temperatur-Sollwertes erfolgt per Tastendruck in 0, 5 ◦ C-Schritten. Das Modul ist f¨ ur den Einbau in die handels¨ ublichen Unterputz-Installationsdosen vorgesehen.

20.4 Datenerfassung mit energieautarker digitaler Funkschnittstelle Speziell in der Geb¨ audeautomatisierung, insbesondere bei Altbauten, besteht das Problem der nachtr¨ aglichen Verkabelung. Der Aufwand f¨ ur eine ordnungsgem¨aße Unterputzinstallation ist zum Teil betr¨achtlich und f¨ uhrt in vielen F¨ allen dazu, daß von solchen Vorhaben wieder Abstand genommen wird. Die an sich notwendige aufwendige Verkabelung kann nur mit Hilfe von entsprechenden Funkinterfaces umgangen werden. Die heute kommerziell erh¨altlichen Funkinterfaces arbeiten meist batteriebetrieben, was h¨aufig zu Problemen f¨ uhrt (hohe Kosten f¨ ur Batterien, kein wirklich zuverl¨assiger Dauerbetrieb aufgrund von Batterieversagen). Um einen kontinuierlichen und zuverl¨assigen Betrieb ohne Batteriewechsel zu erm¨ oglichen, wurde am Lehrstuhl f¨ ur Sensorik der Universit¨at Erlangen-N¨ urnberg [86] ein energieautarkes digitales SPS-Sensorinterface entwickelt. Dieses Sensorinterface wird von einer handels¨ ublichen Solarzelle gespeist, deren Energie gespeichert wird, so daß der Betrieb auch w¨ahrend l¨ angerer Dunkelphasen gew¨ahrleistet ist.

20.4 Datenerfassung mit energieautarker digitaler Funkschnittstelle

645

Das Sensorinterface weist folgende Merkmale auf: • • • • • • • •

Microcontroller-gesteuert intelligentes und programmierbares Energiemanagement verwendbar in Verbindung mit handels¨ ublichen Solarzellen Anschl¨ usse f¨ ur DLC (Double Layer Capacitor), welche der Energiespeicherung dienen universelle Schnittstelle f¨ ur analoge Sensoren (analoge und digitale Eing¨ange sowie digitale Ausg¨ ange) Graphisches LCD-Display f¨ ur Online-Datenanzeige sowie f¨ ur einfache Bedienoberfl¨ache (s. Abb. 20.11) HF-Transponder f¨ ur 433 MHz bzw. 868 MHz von Remotestation aus bedien- und parametrierbar.

bidirektionales Funkmodul Energiespeicher

RS422/RS485

Basis

interface Sensor-module User BenutzerSensormodul oberfläche

Energiequelle Sensoren

Autarke Meßeinheit

Abb. 20.8. Struktur des energieautarken digitalen Funkinterfaces

Abbildung 20.8 zeigt die prinzipielle Struktur des Sensorinterfaces. Die Anbindung der Basisstation an einen PC bzw. eine SPS erfolgt u ¨ber eine handels¨ ubliche RS422/RS485-Schnittstelle (Abb. 20.9). Die Meßdaten k¨onnen mit Hilfe des Programms LabVIEW (s. Kap. 19.5) aufgezeichnet und dargestellt werden. Bei den Solarzellen handelt es sich um Solarzellen f¨ ur Innenr¨aume. F¨ ur eine typische Beleuchtungsst¨ arke zwischen 200 und 1000 lx wurden 8 Zellen in Serie geschaltet, so daß die abgegebene Spannung im optimalen Betriebspunkt (Maximum Power Point) zwischen 3,4 und 3, 8 V liegt. Mit Hilfe einer Regelschaltung, die aus einem sog. Synchron-Buck-Konverter und einer R¨ uck-

646

20 Geb¨ audeautomatisierung (Smart Home) SPS 1

RS422/RS485 / 24VDC

Basis

Schnittstellenwandler RS422/RS485 nach digital

SPS 2

Schnittstellenwandler RS422/RS485 nach USB

Meßrechner

weitere RS422/RS485-Busteilnehmer

24V-Netzteil

Abb. 20.9. Anbindungsvarianten der Funkbasisstation u ¨ ber eine serielle RS422/RS485-Schnittstelle

koppelschaltung besteht, wird schließlich eine stabile Ausgangsspannung von 3, 6 V erzeugt. In Verbindung mit einem microcontroller-gesteuerten Boost-Konverter ist ¨ schließlich die Uberbr¨ uckung l¨ angerer Dunkelphasen m¨oglich. Abbildung 20.10 zeigt den Spannungsabfall am DLC als Funktion der Dunkelzeit in Abh¨angigkeit der Sendeh¨aufigkeit. In Abb. 20.11 ist das komplette energieautarke Sensor-Funkinterface mit Solarzellenpanel zu sehen.

Abb. 20.10. Spannung am energiespeichernden DLC-Kondensator u ¨ ber der Dunkelzeit

20.5 Lokale und weltweite Vernetzung

647

Abb. 20.11. Solar-Funk-Sensor [86]

20.5 Lokale und weltweite Vernetzung Der Aspekt der Vernetzung betrifft an dieser Stelle nicht das Meßsystem an sich, da die Sensoren und Aktoren direkt an den Controller angeschlossen sind. Es w¨are allerdings eine L¨ osung denkbar, bei der mehrere Controller die Sensorwerte aufnehmen und diese sich dann untereinander abstimmen bzw. synchronisieren. Im folgenden wird vielmehr auf die Vernetzung des Controllers mit Computern an unterschiedlichen Standorten eingegangen. 20.5.1 LAN - lokales Netzwerk Befindet sich der Benutzer in seinem Heim, so kann er unter Verwendung eines Computers die Parameter des Hausautomatisierungssystems einstellen. Hierzu wird das in dem jeweiligen Haus vorzufindende bzw. zu installierende LAN (alternativ: WLAN) benutzt, an welches der Controller sowie der verwendete Computer angeschlossen sein m¨ ussen. Der SPS wird zu diesem Zwecke eine feste IP-Adresse zugewiesen, u ¨ber welche fortan mit der Steuerung kommuniziert werden kann. Mittels des MODBUS/TCP-Protokolls [98] k¨onnen die Parameter zwischen dem Controller und dem Computer unter Verwendung einer geeigneten Applikation abgerufen, kontrolliert und gesetzt werden. Abbildung 20.12 zeigt eine Visual-Basic-Applikation, welche die Parametrierung des vorgestellten Hausautomatisierungssystems erlaubt. Gem¨aß Abb. 20.1 wird diese Parametrierung durch den zentralen Steuerrechner (PC) innerhalb des Hauses vorgenommen. F¨ ur alle weiteren Vernetzungsarten nach extern wird das ebenfalls in Abb. 20.1 gezeigte Gateway ben¨otigt.

648

20 Geb¨ audeautomatisierung (Smart Home)

¨ Abb. 20.12. Hauptmenue des Benutzerinterfaces zur Parametrierung und Uberwachung des SPS-gesteuerten Hausautomatisierungssystems

20.5.2 Standort¨ ubergreifende Vernetzung Ein Gateway (i.d.R. ein Router) dient als Schnittstelle des Hausautomatisierungssystems bzw. des lokalen Netzes (LAN) zur Außenwelt. Es erlaubt, eingehende Verbindungen oder abgehende Verbindungen aufzubauen. Im Fall der standort¨ ubergreifenden Vernetzung wird angenommen, daß ein Benutzer von einem beliebigen Punkt der Erde aus eine Point-to-Point-Verbindung zu dem Gateway des Hauses aufbaut. Dies geschieht mit einem Modem, wobei auf Seiten des Benutzers in diesem Fall eine Routerfunktionalit¨at nicht zwingend ben¨otigt wird. Der Bezug dieser Vernetzungsart zum ISO-Schichtmodell ist in Abb. 20.13 dargestellt. Es werden auf Seiten des Computers und des Controllers die Schichten 1 bis 4 und 7 verwendet, die Router verwenden dagegen nur die Schichten 1 bis 3. Diese M¨oglichkeit der Parametrierung des Hausautomatisierungssystems setzt analog zum vorherigen Fall eine Software voraus, welche eine Kommunikation mit dem Controller erm¨ oglicht.

20.6 Software 7 4 3 2 1

Anwendung TCP IP Ethernet physikal.

OSI Schicht

IP Eth. ISDN phys. phys.

Point-to-Point

LAN Computer

IP ISDN Eth. phys. phys.

Gateway

Gateway

649

Anwendung TCP IP Ethernet physikal.

LAN

Controller

Abb. 20.13. Bezug der Daten¨ ubertragung zum ISO-Schichtenmodell

20.5.3 Weltweite Vernetzung In Abb. 20.1 ist die Verwendung eines Web-Servers skizziert, der bei Bedarf eine Point-to-Point-Verbindung zu dem betrachteten Haus aufbaut. Hiermit kann eine weltweit verf¨ ugbare Parametrierm¨ oglichkeit des Hausautomatisierungssystems geschaffen werden. Der Benutzer muß sich, um Zugriff auf die Daten seines Hauses zu erlangen, an einem Server anmelden. Auf diesem wird eine Applikation ausgef¨ uhrt, welche die Authentifizierung des Benutzers sowie den Datentransfer vom Controller zum Server bzw. vom Server zu demjenigen Computer durchf¨ uhrt, an welchem der Anwender sich gerade befindet.

20.6 Software Einige Parameter des Hausautomatisierungsmoduls k¨onnen von einem Systemadministrator ver¨ andert werden. Dazu wird mit dem Controller unter Verwendung einer geeigneten Anwendung kommuniziert, und die Werte der Parameter werden aus der SPS ausgelesen bzw. die neu gesetzten Werte in die SPS geschrieben. Eine Programmoberfl¨ ache, die der geschilderten Parametrierung dient, ist in Abb. 20.12 zu sehen, wobei hier die Einstellung diverser Temperatursollwerte einer Raumtemperaturregelung dargestellt ist. Die Kommunikation erfolgt mittels MODBUS/TCP-Protokoll [98], da dieses von der hier verwendeten SPS unterst¨ utzt wird. Eine weitere elegante M¨ oglichkeit der Parametrierung stellt die WebApplikation in Abb. 20.14 dar. Der Web-Server dient dabei als Informationszentrale, die die Parameter aus der SPS ausliest, speichert und dem Benutzer ¨ zur Bearbeitung u die der Benutzer durchf¨ uhrt, werden ¨bergibt. Anderungen, in einem Abbild der Parameter, welches der Web-Server verwaltet, gespei¨ chert. Sind alle Anderungen durchgef¨ uhrt, werden die Parameter wieder in die SPS transferiert, und dem Benutzer werden die ver¨anderten Parameter angezeigt. Es ist auch denkbar, diese Anwendung auf einem Web-Server zu implementieren, der in dem betreffenden Haus installiert ist. Diese L¨osung ist jedoch

650

20 Geb¨ audeautomatisierung (Smart Home)

Abb. 20.14. Web-Applikation des Hausautomatisierungssystems; hier: Parametrierung des Moduls zur Einstellung eines Kaltwasser-Magnetventils

erst dann sinnvoll, wenn das Hausautomatisierungssystem permanent mit dem Internet verbunden ist, da sonst die Kosten f¨ ur eine solche Datenverbindung zu hoch w¨aren. Wenn in Zukunft Haushalte fest mit dem Internet verbunden sind, w¨are dies die ideale L¨ osung zur Parametrierung und Beobachtung des Hausautomatisierungssystems. Allerdings m¨ ußte dann der Sicherheitsaspekt mehr in den Vordergrund r¨ ucken, denn ein System, welches permanent Dritten zug¨anglich ist, muß in besonderer Weise vor unbefugtem Zugriff gesch¨ utzt werden. Mit dem in Abschnitt 17.2.1 beschriebenen SPS-Controller vereinfacht sich die Anbindung an das World Wide Web sehr, da in seiner Firmware bereits ein

20.6 Software

651

Webserver implementiert ist. Er ist also mit Hilfe von Standard-Webbrowsern direkt u ¨ber das Internet ansprechbar. Die Bedienoberfl¨ache des Smart-HomeSystems wird nun nicht mehr in Visual Basic programmiert (Abb. 20.12) sondern dynamisch mittels Java-Sript-Applets erzeugt. Abbildung 20.15 zeigt eine solche Bedienoberfl¨ ache, die sich wiederum unmittelbar mit einem Webbrowser darstellen und bedienen l¨ aßt.

Abb. 20.15. Web-Seite des Hausautomatisierungssystems auf der Basis eines in den SPS-Controller integrierten Webservers. Die graphische Darstellung und die Bedienung kann mit einem beliebigen Webbrowser erfolgen.

Literaturverzeichnis

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R. Lerch, Elektrische Messtechnik, Springer-Lehrbuch, 5th ed., DOI 10.1007/978-3-642-05455-6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010

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Index

20 mA-Stromschleife

509

Aaronschaltung 227 Abbildungsgr¨ oße 8 Abfrage (Polling) 491 Abgleichverfahren 242, 245 Abgleichvorgang 254 Ablenkkoeffizient 266 Fehler 278 Ablenkspannung 265 Ablenksystem Anstiegszeit 284 Grenzfrequenz 266, 284 horizontales 264, 267, 279 Sprungantwort 284 vertikales 279 Absolutdrucksensor 262 Absorptionsgesetz 300 Abtast-Halte-Schaltung 332 ff Abtastfrequenz 331 Abtastratenreduzierung 344 Abtastsignal 330 Abtastung 273, 275, 329 ff Abtastvorgang 275 Abtastzeitpunkt 364 amplitudenm¨ aßige 329 zeitliche 329 Abtastwertspeicher 343 Acquisition Time 333 Addierer digitaler 304 ¨ Aquivalenz-Gatter 303 ¨ Aquivalenzzeit 273

Aktiver Vollweg-Gleichrichter 195 Aliasing-Effekt 331 Allpaß 52 Alternativhypothese 465 Amperemeterschaltung erdfreie 193 massebezogene 193 Amplitude 108 Amplitudenbedingung 386 Amplitudendynamik 171 Amplitudengang 58 Amplitudenmodulation 10, 403 Amplitudenspektrum 425 Analog-Digital-Umsetzer 328 ff Delta-Sigma-Modulator 342 direktvergleichender 334 ff Dual-Slope-Umsetzer 353 dynamische Fehler 364 ff Fehler 361 ff Flash-Converter 334 Grundprinzipien 360 Kaskadenverfahren 337 Kennlinie 362 Leistungsdaten 361 Multi-Bit-Delta-Sigma 346 Nachlaufumsetzer 342 Parallel-Umsetzer 334 Pipeline-Verfahren 339 ff Single-Slope-Umsetzer 352 Spannungs-Frequenz-Umsetzer 355 statische Fehler 361 ff Stufenumsetzer 335 Vergleich 360

662

Index

Analog-Dividierer 417 Analog-Multiplexing mit Zeitversatz 480 ohne Zeitversatz 480 Analog-Multiplizierer 416 Analog-Oszilloskop 263 ff Funktionsgruppen 270 Analogtechnik 414 Anode 264 Anodenspannung 265 Anpasser 5 Anregung harmonische 108 Anregungsfunktion 107 ANSI 511 Ansprechempfindlichkeit 171 Anstiegsgeschwindigkeit 179 Anstiegszeit 272, 283, 284 Definition 283 Anti-Aliasing-Filter 331 Anzeige 4, 5 Anzeigegeschwindigkeit 383 Anzeigewert 95 AperturUnsicherheit 333, 365 Zeit 333 Arbitrary Waveform Synthesizer 482 ASI-Bus 571 AT-Schnitt-Dickenscherschwinger 396 Atomuhr 401 Außenleiter 224 Aufgabengesetz 96 Aufl¨ osung 360, 361 Aufl¨ osungsverm¨ ogen 383 Aufnehmer 4 induktiver 257 kapazitiver 257 Ausgabe 5 Ausgangspuls taktsynchroner 314 Ausgleichsgerade 451 ff Ausgleichsvorg¨ ange 21 ff Ausschlag, ballistischer 126 Ausschlagbr¨ ucke 257 Ausschlagmethode 7 Aussteuerung Grenze 173, 425 maximale 362 Autokorrelation

Energiesignale 430 ergodische (stochastische) Signale 430 Autokorrelationsfunktion 428 ff, 438 Balkenwaageprinzip 335 Ballistische Konstante 126 Bandbegrenzung 282 Bandbreite 171, 179 Bandpaßfilter 427 Bandpaߨ ubertragungsfunktion 427 Bandsperre 426 Basiseinheiten 11 ff Basisgr¨ oßen 11 ff Basisspektrum 331 Baudrate 500, 506 Bauelement passives 248 tr¨ ages 75 BCD-Code 298 ff BCD-Z¨ ahler 317 ff asynchroner 317 synchroner 318 Beharrungswert 108 Belastungsfehler 137, 140, 142, 238 Beleuchtungsst¨ arke 14 Beobachtungsbandbreite 206 Beruhigungszeit 122 Beschleunigungskraft 266 Beschleunigungsmoment 119, 124 Best-Straight-Line 325 Betrags-Spektrum 330 Betragsabgleich 254 Betragsgang 58 Betriebsmeßger¨ at 106, 130 Bezugsgerade 325 Bezugswert 4 Bias-Stromversorgung 179 Biegeschwinger 393 Bin¨ arcode 297, 297 ff Bistabilit¨ at 305 Bit h¨ ochstwertiges (MSB) 335 niedrigstwertiges (LSB) 364 BITBUS 580 Bitcodierung 563 Bit-Monitoring 573 Bit-Stuffing 573 Datensicherung 565

Index Fehlererkennung 565 Manchesterverfahren 564 NRZ-Code 566 NRZI-Code 566 Blindkomponente 245 Blindleistung 222, 228 Blindleistungsmessung im 3-Leiter-System 230 im 4-Leiter-System 229 im Einphasennetz 222 Bode-Diagramm komplexes Polpaar 67 schwach ged¨ ampftes System 68 stark ged¨ ampftes System 68 Systeme mit mittlerer D¨ ampfung Bode-Diagramme 60 ff Boltzmann-Konstante 206 Boolesche Algebra 299 Braunsche R¨ ohre 263 ff Bremsmagnet 234 Br¨ uckenabgleich 253 Erdkapazit¨ aten 252 halbautomatischer 253 Br¨ uckendiagonalspannung 249 Br¨ uckenschaltung 240, 242 ff Br¨ uckenspeisespannung 243 B¨ urde 155, 157 Bus Zugriffsverfahren 562 ff Buskoppler 568

RS232C-Schnittstelle 496 Steuerleitung 498 Synchronisierung 500 Taktleitung 498 ¨ Ubertragungsmedien 495 Cosinussatz 248 Coulombsche Anziehungskraft 266

68

C¨ asium-Element 398 C¨ asium-Normaluhr 398, 401 CAMAC 494 CAN 572 Charge-Balancing-Converter 357 ff Chopper-Verst¨ arker 203 Chopperbetrieb 273 Code fehlererkennender 299 fehlerkorrigierender 299 Codewechsel 328 Codewortfolge 328 Computer Controlled Instruments 476 Computer-Schnittstelle 476, 494 Datenleitung 497 Hardware-Realisierung 503 Meldeleitung 498 Pegelfestlegung 499

663

133,

D-Flip-Flop taktflankengesteuertes 310 taktzustandgesteuertes 308 D¨ ampfung 108, 135 D¨ ampfungsgrad 122 Koeffizient 120 ff Mechanismus 122 Moment 119 ff, 124 winkelgeschwindigkeitsproportionale 119 ff Data-Latch 308 Datenausgabesystem 481 Ausgabe 482 D/A-Umsetzung 482 Daten¨ ubergabe 481 Prinzip 482 Datendurchsatz 506, 507 Datenlogger 491, 609, 610 Datensicherung Cyclic Redundancy Check 565 Hamming-Distanz 565 Parit¨ atspr¨ ufung 565 Daten¨ ubertragung asynchrone 500 Grundtypen 491 Kenngr¨ oßen 506 synchrone 501 Datex-P 597 Dehnungsmeßstreifen (DMS) 260 Delon-Schaltung 148 Delta-Impuls (Dirac-Stoß, DiracImpuls) 21 ff, 107 ff Delta-Modulator 343 ff Delta-Sigma-Modulator 342 ff Detektion 3 Detektor 4 Dezimalzahl 297 ff Dezimation 344 DGPS (Differential Global Positioning System) 407

664

Index

Diagonalspannung 242 Dickenscherschwinger 393 Differential-Tauchankergeber 258 Differentialsensor 258 differentielle Verst¨ arkerstufe 197 differentieller Operationsverst¨ arker 196 Leistungsdaten 200 Differenzdrucksensor 262 Differenzeingangsspannung 177 Differenzeingangswiderstand 178 Differenzierer-Schaltung 187 Differenzpulscodemodulation 342 Differenzverst¨ arker 200 Differenzverst¨ arkung 176 Digital-Analog-Converter siehe Digital-Analog-Umsetzer Digital-Analog-Umsetzer 318 ff dynamischer Fehler 327 ff Kennlinien 326 Realisierung 320 statischer Fehler 325 ff unipolarer 318 Digital-Multimeter 365 ff Blockschaltbild 365 Digital-Phosphor-Oszilloskop 293 Digital-Speicheroszilloskop 287 ff Anzeigebetriebsart 291 Aquisitionsmodi 295 Aufzeichnungsbetriebsart 291 Bildwiedergabe 289 Digital-Phosphor-Oszilloskop 293 Ethernet-Schnittstelle 604 Meßkanal 287, 288 Recurrent-Mode 291 Refresh-Mode 291 Roll-Mode 292 Signalmittelung 295 Single Shot 291 Triggermodul 287, 288 USB-Scope 606 ff Digitalwortfolge gest¨ orte 327 DIN-Meßbus 585 DIN-Normen 7 Diode Innenwiderstand 145 Kennlinie 188 Schwellenspannung 149, 195, 196

Sperrstrom 188 Temperaturspannung 189 Diodenkennlinie 76 Dirac-Impuls (Dirac-Stoß, DeltaImpuls) 21 ff, 107 ff Direct Memory Access (DMA) 492 Disjunktion 300 Distanzmessung akustische 436 Dividierer 417 Doppelspulen-Tauchankersystem 258 Dreheisenmeßwerk 129 ff, 150, 151 Drehfederkonstante 123, 130 Drehmagnetmeßwerk 132 ff Drehmoment 118 Drehspul-Spiegelgalvanometer 123 Drehspulmeßwerk 118 ff, 151 D¨ ampfung 121 ff dynamisches Verhalten 119 ff mit Gleichrichter 151 Drehspulquotientenmeßwerk 130 ff, 151 Drehstromsystem 223 ff 3-Leiter-System 224 4-Leiter-System 224 Aaronschaltung 227 Begriffsdefinitionen 223 Blindleistungsmessung 228 Dreieckschaltung 223, 224 komplexe Leistung 227 Lastimpedanz 225 Leistungsmessung 223 Leiterspannung 224 Leiterstrom 225 Schaltungsvariante 223 Spannungszeiger 228 Sternschaltung 224 Wirkleistung 226 Zeigerdiagramm 224, 225 Zwei-Wattmeter-Verfahren 227 Dreieck-Stern-Umwandlung 244 Droop 333 Druck 14 Druckmessung 260 Drucksensor 260 ff Dual-Slope-Umsetzer 353 ff Dualz¨ ahler asynchroner 315 synchroner 316

Index Dualzahl 10 Darstellung 298 ff Dunkeltastung 268 Durchflutungsgesetz 126, 132, 232 e-Funktionsgenerator 189 Eckfrequenz 177 Effektivwert 143, 144, 221, 419, 420 beliebiger Signalverlauf 421 ff echter 367 kurvenformunabh¨ angiger 420, 421 Kurzzeit- 421 Effektivwertbaustein 413 analoger 419, 421 Schaltung 419 Effektivwertmesser 134 echter 150 EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay Service) 407 EIB (European Installation Bus) 581 Eigenfrequenz 119 Eigenrauschen 171 Eigenverbrauch 133 Einflußgr¨ oße 98 Eingangsfehlspannung 178 Eingangsfehlstrom 180 Eingangsrauschleistung 215 Eingangsruhestrom 179, 207 Eingangsstrom 173, 175 Eingangsstromdrift 180 Einheiten 3, 11 ff Ampere 11, 12 Becquerel 14 Candela 11, 12 Coulomb 14 Farad 13, 14 Gleichung 14 Gray 14 Henry 14 Hertz 14 Joule 14 Kelvin 11, 12 Kilogramm 11, 12 koh¨ arente 14 Lumen 14 Lux 14 Meter 11 Mol 11, 12 Newton 14

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nicht-koh¨ arente 14 Ohm 14 Pascal 13, 14 Sekunde 11, 12, 402 SI-System 12 ff Siemens 14 Steradiant 14 Tesla 14 Volt 14 Volt-Ampere 223 Volt-Ampere-reaktiv 222 Watt 14 Weber 14 Einheitengleichung 15 Einschwingvorg¨ ange 41 ff Einschwingzeit 328 Einstellzeit 122 ff Einweg-Gleichrichter 148, 195 Schaltung 148 Einweg-Gleichrichtung 145 ff elektrische Arbeit 231 elektrische Energie 234 elektrische Leistung 219 Elektrizit¨ atsz¨ ahler 231 ff, 232 Aluminiuml¨ auferscheibe 233 prinzipieller Aufbau 234 Spannungseisen 233 Stromeisen 233 Wirbelstrom 233 Wirbelstrombremse 234 Elektrodynamisches Meßwerk 126 ff Elektromechanik 118 Elektrometerverst¨ arker 201, 387 Elektron Ladung 207, 265 Laufzeit 284 Masse 13 Verweildauer 284 Elektronenstrahl 263, 264 Elektronenstrahl-Oszilloskop analoges 263 ff dynamischer Fehler 280 ff Fehler 278 Grenzfrequenz 282, 286 Spannungsteiler 276 ff Verst¨ arker-Grenzfrequenz 282 Elektronenstrahl-R¨ ohre 263 ff Elementarladung, elektrische 13 Empfindlichkeitsfehler 278

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Index

Energie elektrische 134 Energiedosis 14 Energieerhaltungssatz 133 Energiesignal 429 Energiestrom 14 Energiez¨ ahler 352 Entladevorgang 358 Erdmagnetfeld 129 Erdschleife 489, 490 Ergodisches Signal 429 Erhaltungstendenz 433 Errorfunction 99 ff Ersatzschaltbilder einer Kapazit¨ at 247 Ersatzspannungsquelle 136, 138, 243, 244 Prinzip 136 Ersatzstromquelle 136 erstes gemeinsames Moment 457 Erwartungswert 98, 456 Erwartungswert 2. Ordnung 456 Ethernet 559, 589 ff Date Acquisition System 603 Fast-Ethernet 589 Hub 593 Industrie-Ethernet 559 Meßdatenerfassung 601, 610 ff Switch 593 Telegrammstruktur 594 Excess Noise Ratio (ENR) 216 Exklusiv-Oder-Gatter 303 f/U-Umsetzer 383 Faltung 31, 107 Faltungsintegral 107 Faltungsprodukt h¨ oherer Ordnung 330 FAN (Field Area Network) 558 ff Feder 118 Fehler absoluter 95 ff Erkennung 299 Fehlerarten 96 Fehlerfortpflanzungsgesetz 322, 398, 400 Fehlerklassen 155 Fehlerwahrscheinlichkeit 100 ff Frequenzmessung 398, 399

Korrektur 299 Monotonie 326 Periodendauermessung 399 relativer 95 ff Schwingquarz 396 stochastischer 438 systematischer 322 Toleranzgrenze 104 wahrer Wert 95 Zeitintervallmessung 398 Fehler 1. Art 467 Fehler 2. Art 467 Fehleranalyse R¨ uckw¨ artsanalyse 113 Vorw¨ artsanalyse 113 Fehlerklasse 155 Feinmeßger¨ at 106 Feldbus 568 ff aktuelle Systeme 570 Feldger¨ ate 568 Vergleich 569, 570 Feldenergie magnetische 130 Feldkonstante, elektrische 13 Feldkonstante, magnetische 13 Feldspule 219 Feldst¨ arke elektrische 13 magnetische 13 Filterung 414 FIP-Bus 577 Fire Wire 494 Fl¨ achenscherschwinger 393 Flash-Converter 334 ff Flip-Flop-Schaltung 305 ff Flußmeterkonstante 124 Folge-Halte-Schaltung 332 Realisierung 332 Formfaktor 143, 150 Fourier-Transformation 18 ff Fourier-Transformierte 18 ff, 108, 109 Fourieranalyse 17 ff, 221, 425 Fourierreihe 17 ff, 221 Frequenz 14 Frequenz-Spannungs-Umsetzer 383 Frequenz-Spannungs-Umsetzung 383 Frequenzgang 58 Frequenzkompensation 277 Frequenzkonstante 394

Index Frequenzmessung 374, 392, 399 digitale 375 direkte 355, 400 Fehler durch Rauschen 401 mechanische 374 relativer Fehler 400 reziproke 355, 400 Frequenzmodulation 10, 383 Frequenznormal 398, 401 Frequenzstabilit¨ at 396 Frequenzverdoppler 418 Schaltung 418 Full Scale Sprung 328 Funkelrauschen 207 Funkschnittstelle 644 Funksensor 644 Funktionaltransformation 413 GAGAN (GPS Aided Geo Augmentation Navigation) 407 Galileo 408 ”Safety of Life” Service 411 Commercial Service 411 Open Service 411 Public Regulated Service 411 Search and Rescue Service 411 galvanomagnetischer Effekt 164 ff Galvanometer 123 ff, 240, 242 ballistisches 125 Gamma-Funktion 471 Gateway 568 Gatter ¨ Aquivalenz 303 Antivalenz 303 EXOR 303 NAND 301 NICHT 300 NOR 302 ODER 302 UND 301 Gatterschaltung 299 ff Gauß-Markov-Theorem 461 Gaußsche Verteilungsfunktion 98 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz 105 ff Gaußsches Minimalprinzip 462 Gegenkopplungsschaltung 174, 174 ff Gegentaktst¨ orungen 490 Gemeinsames Moment 456

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Genauigkeitsklasse 106, 157 genormte 106 Gesamtrauschleistung 215 Gesamtverst¨ arkung 177 Gesetz Absorptions- 300 Assoziativ-Gesetz 300 Distributiv-Gesetz 300 Kommutativ-Gesetz 300 Morgansches 300 Negations- 300 Gesteuerte Quellen 89 Gewichtsfunktion 56, 107 ff Gewichtung bin¨ are 325 Glasfasernetz (FDDI) 600 Gleichgewichtsbedingung 119 Gleichrichter aktiver 195 phasenempflindlicher 254 Gleichrichterschaltung 195 Gleichrichtung 144 ff Gleichrichtwert 143, 145, 419 Gleichspannungskompensation 240 Schaltung 241 Gleichspannungsmessung 136 ff, 139 ff Gleichspannungsverst¨ arkung 177 Gleichstrom-Meßbr¨ ucke 242 ff Abgleichbr¨ ucke 245 ff Ausschlagbr¨ ucke 243 ff Gleichstromkompensation 241 Schaltung 241 Gleichstromkreis 219 Gleichstrommessung 136 ff Gleichstromnetzwerk 137 Gleichtakteingangswiderstand 178 Gleichtaktspannung 176, 178 Regelung 196 Gleichtaktst¨ oranteil 201 Gleichtaktst¨ orungen 490, 508 Gleichtaktunterdr¨ uckung 176, 201 Gleichtaktverst¨ arkung 176, 178, 202 Gleichtaktwiderstand 178 GLONASS 408 Gl¨ uh-Kathode 264 GPIB-Bus 511 GPRS (General Packet Radio Services) 597 GPS

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Index

Differential GPS 407 GPS-Satellitennavigation 404 Benutzersegment 405 GPS-Empf¨ anger 405 kodiertes Signal 405 Kontrollsegment 405 Kugelstandfl¨ ache 405 Modulationsverfahren 406 Positionsdaten 405 Raumsegment 405 Satellitenuhr 405 Systemaufbau 404 Graetz-Schaltung 146 Graphitwendel 267 Gray-Code 298, 299 ff Greinacher-Schaltung 148 Grenzfrequenz 177, 179, 272, 282, 283 3-dB- 179 obere 179 Grobquantisierung 336 Gr¨ oßengleichungen 13 Grundgesamtheit 100 ff, 101 Grundwelle 425 Grundwellenresonanz 394 GSM (Global System for Mobile Communication) 597 G¨ utefunktion 468 Halbaddierer 304 Halbbr¨ ucke 258 Halbleiter-Analogschalter 487 Halbleiter-DMS 260 Half-Flash-Umsetzer 337 Halleffekt 164 Hallelement 164 ff Hallkonstante 166 Hallspannung 166 Hallwinkel 167 Hamming-Distanz 565 Handshaking 502 Hauptzeitbasis 269 Hausautomatisierung 639 Datenerfassung 641 SPS 642 webbasiert 650 HDSL (High Bit Rate Digital Subscriber Line) 596 Heißleiter 78 Hexadezimalcode 298 ff

Hilfsger¨ ate 5 Hilfsquelle 7 Hochspannungsmesser 134 Horizontalverst¨ arker 267 HP-IB-Bus 511 Hub 593 Hypothesen-Testverfahren 451 ff, 465 ff Hysterese 83 Hysteresekurven 83 ff Hystereseverlust 128, 129 i.Link 494 IEC-Bus 484, 494, 528 adressierte Befehle 519 Bus-Logik 514 Controller 512 Datenbus 511 Dreidraht-Handshake 515 Eindrahtnachrichten 517 Einsteckkarte 526 Empf¨ anger-/H¨ orerfunktion 511 externe Nachrichten 517 Ger¨ atefunktion 517 Ger¨ ategrundfunktion 512 Ger¨ atenachricht 513 Ger¨ ateschnittstelle 517 Handshake-Verfahren 515 Hardware 524 H¨ orer-/Sprecher-Adressen 522 interne Nachrichten 517, 519 Komponenten 511 Leitungen 513, 515 Listener 512 Mehrdrahtnachrichten 513, 517 Nachrichtenarten 517 Parallel Poll 523 Quittierungssignal 515 Schlußzeichen 523 Schnittstelle 517 Schnittstellen-Steuerbus 513 Schnittstellenfunktion 517 Schnittstellennachrichten 513 Sekund¨ ar-Befehle 522 Sender-/Sprecherfunktion 511 Serial Poll 523 Software 620 Statusabfrage 523 Statusinformation 513

Index Steckverbindungen 524 Steuerbus 511 Steuerfunktion 511 Talker 512 ¨ Ubergabesteuerbus 511, 514 ¨ Ubertragungsgeschwindigkeit 525 Universal-Befehle 520 IEC-Bus-Schnittstelle 510 ff Realisierung 526 IEC-Busbefehle Codierung 520 IEEE-Standard 1394 494 IEEE-Standard 1588 611 ff, 614 IEEE-Standard 488 511 ff Impedanz komplexe 245 Messung 248 Impedanzanpassung 186 Impedanzwandler 186 Impulsantwort 56, 107 ff, 111 Impulsbreiten-Multiplizierer 350 ff Impulsdauer 383 Impulsformer 384 Impulskorrelationsfunktion 430 ff Induktionsgesetz 232 Induktionsmeßwerk 231 ff Funktionsprinzip 232 Induktionsprinzip 231 Induktivit¨ at 14, 245 dynamische 394 Ersatzschaltbild 246 nichtlineare 79 verlustbehaftete 246 zeitinvariante, lineare 81 zeitinvariante, nichtlineare 81 zeitvariante, lineare 81 zeitvariante, nichtlineare 81 Influenz 135 Informationstr¨ ager 9 Instrument-on-a-Card 476 Instrumentenverst¨ arker 201 ff Schaltung 202 Integrierer-Schaltung 187 Interbus-S 571 INTERBUS-S 578 Internet-Protokoll (IP) 592 Interpolation lineare 290 Sinus 290

Interrupt-Methode 491 Invertierender Verst¨ arker 183 IP-Adressen 590 ISDN Breitband-ISDN (B-ISDN) 596 ISDN Integrated Services Digital Network 596 ISO-Schichtenmodell 559 ff Isolated-Gate-FET (IGFET) 332 Jitter 365 JK-Flip-Flop taktflankengesteuertes

311

Kaltleiter 78 Kapazit¨ at 14, 245 dynamische 394 Ersatzschaltbild 246 nichtlineare 85 statische 87 verlustbehaftete 246 zeitinvariante, lineare 87 zeitinvariante, nichtlineare 87 zeitvariante, lineare 87 zeitvariante, nichtlineare 87 Kaskadenschaltung 147 Kaskadenverfahren 337 ff, 360 Kathode 264 Kenngr¨ oße 414 Kennlinien-Korrektur 414 Kettenschaltungen 213 Rauschen 213 Kippschaltungen bistabile 305 ff Kippstufe astabile 389 monostabile 313 ff, 383 Kleinsignalinduktivit¨ at 80, 81 Kleinsignalkapazit¨ at 86 Klirrfaktor 414, 425 Meßbr¨ ucke 413, 426 Koh¨ arenz innere 433 Koh¨ arenzzeit 433 Koinzidenzzeit 378 Komparator 190 invertierender 190 mit Hysterese 190 ohne Hysterese 190

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Index

Komparatoren 360 Kompensationsgr¨ oße 7, 8 Kompensationsmethode 5, 7 Signalfluß 8 Kompensationsprinzip 240 Kompensationsschaltung 240 ff Kompensationsschreiber 242 Kompensationsverfahren 171 Kompensator 123, 240 komplexe Leistung 222 Kondensator 134, 147 idealer 245 Konjunktion 299 Konstantspannungsquelle 237 Konstantstromquelle 238 Kopplung kapazitive 327 Korrekturspule 220 ff Korrelation 451 ff lineare 462 ff Korrelation und Kausalit¨ at 465 Korrelationsbildung 414 Korrelationsfunktion 427 bezogene 433 praktische Auswertung 429 Korrelationskoeffizient 455 ff, 458 Vertrauensbereich 465 ff Korrelationsmessung 428 Korrelationsverfahren 413, 433 Kovarianz 455 ff, 457 Kraftwirkung 117 Kreuzkorrelation 436 Kreuzkorrelationsdichtefunktion spektrale 439 Kreuzkorrelationsfunktion 428 ff Kreuzleistungsdichte spektrale 439 Kreuzspule 131 Kreuzspulinstrument 239 Kreuzspulmeßwerk 130 ff, 151 Kriechgalvanometer 124 Kurzschlußstrom 137 Kurzzeiteffektivwert 421 Kurzzeitkorrelationsfunktion 431 ff Kurzzeitmittelwert 423 Laborautomation webbasiert 605 LabVIEW 629 ff

DIAdem 633 ff Version 8 631 ff LabWindows 634 Ladekondensator 358 Ladevorgang 358 Ladung 14 Ladungskompensations-Konverter getakteter 358 Ladungskompensationsverfahren 357, 357 ff Ladungsmessung 204 Ladungsverst¨ arker 204 Schaltung 205 L¨ ange 11 L¨ angsschwinger 393 LAN (Local Area Network) 558 ff, 647 Laplace-Transformation 24 ff Differentiationssatz 31, 111 elementarer Funktionen 27 ff Faltung 31 Integrationssatz 30, 109 Multiplikationssatz 33 Netzwerkelemente 42 R¨ ucktransformation 37, 47 ff Tabelle wichtiger Funktionen 38 Variable 109 ¨ Laplace-Ubertragungsfunktion 56, 109, 111 Lastimpedanz 152 Lastwiderstand 140 Laufzeitfehler 266, 285 LC-Oszillator 387 LC-Schwingkreis 385, 396 Least Significant Bit (LSB) 319 Leerlauf-Differenzeingangsspannung 178 Leerlaufspannungsverst¨ arkung 173, 176 Leerlaufspannungsverst¨ arkungsmaß 176 Leerlaufverst¨ arkung 177 Leistung 14 Leistungsdichte spektrale 436 Leistungsdichtefunktion 439 spektrale 436 ff Leistungsmesser elektronischer 352 Leistungsmessung 128, 219 ff

Index elektrodynamisches Meßwerk 219 im Drehstromsystem 223 im Einphasennetz 221 komplexe 222 spannungsrichtige 220 stromrichtige 220 Wechselstromkreis 221 Leistungssignal 429 Leistungsverst¨ arkung 211 Leiter, stromdurchflossener 118 Leiternetzwerk 323 ff Leiterspannung 224 Leitwert 14 Lenzsche Regel 121 ff Leuchtschicht 264 Lichtgeschwindigkeit 13 Lichtst¨ arke 11, 12 Lichtstrom 14 Lichtzeiger 123 Linearisierung 149 Linearit¨ atsfehler 267, 279, 337, 363 Linienspektrum 427 logarithmierender Verst¨ arker mit Diode 188 mit Transistor 189 Logik negative 297, 515 positive 297, 515 LON (Local Operating Network) 583 Lorentzkraft 164 Luftkammerd¨ ampfung 135 LXI 610 ff Ger¨ ateklassen 612 Triggerm¨ oglichkeiten 614 Maßeinheit 11 ff Maßsysteme 11 ff Magnetfeld, radial inhomogen 131 Magnetfeldsensor 164 ff magnetische Flußdichte 14 magnetischer Fluß 14 magnetisches Feld 127 Magnetisierungsstrom 152, 155 Masse 11 Masse-Feder-System 385 Master-Flip-Flop 310 MATLAB 635 ff Maxwell-Wien-Br¨ ucke 252 Meßbereichsanfangswert 96

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Meßbereichsendwert 96, 139 Meßbereichserweiterung 138 ff, 141 ff Meßbereichserweiterung, Spannungsmessung 141 ff Meßbereichsumfang 4, 95 Meßbr¨ ucken f¨ ur Gleichspannung 242 Meßdaten Archivierung 475 Visualisierung 475 Meßdatenerfassung 475 -skarte 485 Abtastung (Sampling) 480 Analog-Digital-Umsetzung 481 Aufgabe 619 Bussysteme 601 Daten¨ ubernahme 481 Empfang 478 Entwicklungssystem graphikorientiertes 627 Ethernet 589 Ethernet Data Acquisition System (EDAS) 603 ETX/ACK-Protokoll 502 Handshake-Verfahren 501 ff Hardware 482 ff Haustechnik 641 Industrie-Ethernet 589 Kommandosprache 628 Komplettpaket 626 Meßkanal 478 Modul-Bibliothek 627 Offline 477 Online 477 Powerline-Kommunikation 598 Programmgenerator 627 Quittierungsverfahren 501 ff rechnergest¨ utzte 475 ff Satellitenkommunikation 599 SCPI-Standard 620 SPS 642 System 510 UMTS 598 Vernetzung 589 ff Verst¨ arkung 478 via GPRS 598 Virtual Private Network (VPN) 602 webbasiert 605 XON/XOFF-Protokoll 501

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Index

Meßeinrichtung 5 Struktur 5, 6 Meßergebnis 4, 5, 96 Meßfehler 95 ff Absch¨ atzung 101 absoluter 95 ff dynamischer 106 ff, 111 ff, 280 Korrektur 114 ff Fortpflanzung zuf¨ alliger 105 ff maximaler relativer 106 mittlerer 103 mittlerer dynamischer 112 mittlerer quadratischer 100 momentaner dynamischer 111 reduzierter 96 relativer 95 ff, 140, 399 statischer 278 systematischer 96 ff, 137, 235 Toleranzgrenze 104 u ¨ berlagertes Rauschen 401 wahrer Wert 95 zuf¨ alliger 98 ff, 103 Meßf¨ uhler 4 Meßger¨ at 5 Grundfunktion 117 Meßger¨ ate Bestimmungen 4 elektromechanische 117 Schaltzeichen 135 Meßgr¨ oße 3, 4 Aufnahme 5 Detektion 117 r¨ uckwirkungsarmes Erfassen 4 Meßkette 5 Meßmethode analoge 8 digitale 8 direkte 9, 427 diskontinuierliche 8 indirekte 427 kontinuierliche 8 r¨ uckwirkungsfreie 8 Meßmethoden Klassifizierung 7 ff Meßprinzip 5 Meßsignal 5 Anpassung 5 Informationstr¨ ager 9 Verarbeitung 5, 117

Weitergabe 5 Meßsignale Arten 415 Klassifizierung 415 Meßsignalverarbeitung 413, 475 Meßspanne 95 Meßsystem 107 ff, 112 Grenzfrequenz 441 Grundstruktur 475 nicht-ideales 112 rechnergest¨ utztes 413, 475 ¨ Ubertragungsverhalten 107 ff, 112 Meßtechnik Bedeutung 1 Grundbegriffe 4 Historie 1 Meßverfahren 5 Meßverst¨ arker 5, 171 ff spezielle 200 ff Meßwandler 149, 151 ff, 153 Meßwerk Dreheisenmeßwerk 129 Drehmagnetmeßwerk 132 Drehspulmeßwerk 118 Drehspulquotientenmeßwerk 130 elektrodynamisches 126 ff, 151, 219 elektrostatisches 133 multiplizierendes 127 Tr¨ agheit 128 Meßwert 4, 95 ff Ausgabe 5, 117 Gewinnung 3 Meßwertverarbeitung analoge 413 digitale 413 Mehrdraht-Handshake 502 Mehrfachperiodendauermessung 401 Messen Begriffsdefinitionen 3 ff Messung Effektivwert 150 ff elektrische Arbeit 231 elektrische Impedanz 235 ff Gleichrichtwert 149 Gleichspannung 136, 139 ff Gleichstrom 136 ff komplexe Impedanz 248 konventionelle 382 nicht-elektrische Gr¨ oßen 389

Index r¨ uckwirkungsfreie 240 Scheinwiderstand 247 Scheitelwert 146 Spitzenwert 146 taktpulssynchronisierte 382 Wechselspannung 143 Wechselstrom 143 Messung an nichtlinearen Bauelementen 84 ff Messung von Blindwiderst¨ anden 245 ff Messung von ohmschen Widerst¨ anden Kreuzspulmeßwerk 239 Messung von ohmschen Widerst¨ anden 235 ff Konstantstromquelle 238 Strom- und Spannungsmessung 235 Vergleich mit Referenzwiderstand 236 Metall-DMS 261 Metropolitan Area Network (MAN) 600 Mischspannung 144 Mitkopplung 190, 386 Mittelpunktleiter 226 Mittelung gleitende 424 laufende 423 Mittelwert 98, 99, 100 ff, 422 ff arithmetischer 98, 143, 422 Bestimmung 422 bezogener quadratischer 112 quadratischer 143, 419, 440 zeitlicher 432 Mittelwertbildung 414, 420 Mittelwerte 422 ff MODBUS 649 MODBUS-TCP-Protokoll 551 Modellsignal 427 Modem 495 Modulationsverfahren 563 APM 563 Monoflop 313 ff, 384 Most Significant Bit (MSB) 323 MSAS (Multi-Functional Satellite Augmentation System) 407 Multifunktions-Einsteckkarte 484 Blockschaltbild 485 Multiplexer 485, 487

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-typen 487 Multiplikationssatz 33 Multiplizierer Ein-Quadranten 416 Vier-Quadranten 416 Zwei-Quadranten 416 Multivibrator 191 ff, 389, 390 mit Inverter 391 mit Operationsverst¨ arker 390 Schaltung 192 MXI-Bus 527 ff, 534 ff Nachbeschleunigungselektrode 267 Nachlaufumsetzer 342 Naturkonstante 11 ff, 13 ff Navigation 406 Navigationsnachricht 406 NAVSTAR siehe Satellitennavigation Nebenschluß 124 Negation 299 Negationsgesetz 300 Nennb¨ urde 155 Nenn¨ ubersetzung 154 Netzwerk 136 Netzwerke linear 21 Netzwerktopologien 561 Netzwerk¨ ubertragungsfunktion 56 Neutralleiter 223, 224 nichtlineare Bauelemente 73 ff bilaterale Kennlinie 73 differentielle Induktivit¨ at 81 differentielle Kapazit¨ at 86 differentieller Widerstand 75 Hysterese 83 Induktivit¨ at 79 Kapazit¨ at 85 negativer differentieller Widerstand 77 statische Kennlinie 73 statischer Widerstand 74 Widerstand 74 nichtlineare Schaltungen 73 Analyse 90 nichtlinearer Widerstand 74 Nichtlinearit¨ at 149, 279, 363, 425 differentielle 326, 364 integrale 326 Nichtlinearit¨ atsfehler

674

Index

differentieller 364 integraler 364 Noise Figure Analyzer (NFA) 216 Normalverteilung 98, 102 Test 469 Normbildende Institutionen 6 Normen 6 ff Notchfilter 426 NTC-Widerst¨ ande 78 Nullabgleich 5, 240, 249 Nulldetektor 241 Nullhypothese 465 Nullpunktfehler 205, 325 Nullverfahren 242 Nullverst¨ arker 242 Nyquist-Formel 206 Nyquist-Kriterium 331 Oberwelle 425 Oberwellen-Schwingquarz 394 Offset 333 Offsetspannung 174, 178, 196 Offsetspannungsdrift 180 Offsetstrom 180 ohmscher Widerstand 235 ff Einheit 3 Ohmsches Gesetz 235 Open-Kollektor-Ausgangsstufe 514 Operations-Charakteristik 468 Operationsverst¨ arker 171 ff Ansteuerung eines ADCs 199 differentieller 196 differentieller Ausgang 196 ff Grundschaltungen 183 ff idealer 172 ff Kenngr¨ oßen 176 ff Leistungsdaten 200 Rauschen 209 ff realer 173 ff Transitfrequenz 181 Optimalfilter 441 kausales 448 nicht-kausales 444 ¨ Ubertragungsfunktion 441 Ortskurve 254 Oszillator 191, 384 harmonischer 384 Operationsverst¨ arkerschaltung 396 Relaxationsoszillator 385

Oszillogramm 268 Oszillograph 263 Oszilloskop 263 ff alternierender Betrieb 273 Digitalspeicher 287 ff dynamischer Fehler 280 ff Grenzfrequenz 282 ff komplexe Eingangsimpedanz Sampling 273 Spannungsteiler 276 ff statischer Fehler 278 Verst¨ arker 282

280

Parallel-Seriell-Schnittstellenwandler 505 Parallel-Umsetzer 334 ff Parallel-Verfahren 360 Parallel-W¨ age-Verfahren kombiniertes 336 ff, 360 Parallelbus 491, 493 Parallelresonanz eines Schwingquarzes 393 ff Parameter informationstragender 9 Parcevalsches Theorem 437, 440 Parit¨ atsbit 500 PCI-Express 486, 494, 530, 533, 537, 631 Periodendauermessung 380, 399, 400 relativer Fehler 400 Peripherie-Schnittstelle 483 Permanentmagnet 131, 132 Permittivit¨ at 13 Phase 108 Phasenabgleich 254 Phasenbedingung 386 Phasendifferenzmessung 382 Phasengang 58 Phasenkoinzidenz 378 Phasenwinkel 143, 382 Phasenwinkelmessung 381 physikalische Gr¨ oße 11 Pipeline-ADC 339 ff Pipeline-Umsetzer 339 ff Plancksches Wirkungsquantum 13 ¨ pn-Ubergang 207 Pol-Nullstellen-Diagramme 57 Polschuh 118, 127 Potentialtrennung 152

Index Powerline-Kommunikation 598 Pr¨ azisionsfrequenzz¨ ahler 373 Pr¨ azisionsleistungsmesser 129 Pr¨ azisionsmeßbr¨ ucke 245 Pr¨ azisionsmeßtechnik 398 Pr¨ azisionswiderstand 141 Prim¨ arinduktivit¨ at 152 Prim¨ arseite 152 Prim¨ arspule 151 Prim¨ arwicklung 152, 153 PrimSens 586 PROFIBUS-DP 571, 574 ff Prognose 462 Prozeßleitsystem 568 Prozeßperipherie Anschlußvariante 484 Pr¨ ufbit 299 Pr¨ ufgr¨ oße 467 PTC-Widerst¨ ande 78 PTP (Precision Timing Protocol) 611 Puls-Frequenz 383 Pulscodemodulation 10 Pulsdauermodulation 10, 383 Punkt-zu-Punkt-Verbindung 493 PXI MultiComputing (PXImc) 536 PXI-Bus 494, 530 ff Leistungsmerkmale 532 PXI-Express (PXIe) 533 Quadrierer-Dividierer-Baustein 420 Quanten-Halleffekt 2 Quantenrauschen 207 Quantisierung 336 Fehler 361, 377, 398, 400 Rauschen 361 Schrittweite 322 Quarzkristall 392 Quarzoszillator 392 ff Operationsverst¨ arker-Schaltung 395 temperaturgeregelter 398 R-2R-Widerstandsnetzwerk 323 ff r¨ uckgekoppeltes System 386 Radiant 14 radioaktive Substanz, Aktivit¨ at 14 Radizierer Schaltung 418 Rahmend¨ ampfung 123 ff Rausch-Ersatzschaltung 207

675

Rausch-Ersatzspannungsquelle 206 Rausch-Ersatzstromquelle 206 Rauschanpassung 212 Rauscheingangsspannung aquivalente 208 ¨ Rauschen 205 ff 1/f 207 bandbegrenztes 435 Burst 207 Johnson-noise 205 normalverteiltes 435 Popcorn 207 Rosa 207 Schottky 207 thermisches 205, 206 Trapping 207 W¨ armebewegung 205 Weißes 206 Rauschgenerator 215, 216 Rauschleistung 208, 211, 212 Rauschleistungserh¨ ohung 215 Rauschleistungsverteilung 207 Rauschleitwert a ¨quivalenter 212 Rauschmessung 214 Rauschquelle 208 Rauschsignal 435 Rauschspannung 214 Rauschspannungsdichte 208 Rauschstromquelle 208 Rauschtemperatur 214 Rauschtemperaturdifferenz 215 Rauschwiderstand 214 aquivalenter 212 ¨ Rauschzahl 210 ff Definition 214 Messung 214 Rauschzahlmeßger¨ at 216 Rauschzahlmessung geschirmte Umgebung 217 Meßbox 217 Realzeitmaßstab 274 Recursive-Subranging-Verfahren 339 ff Referenztakt 376 Referenzzeit 392 Regression 451 ff lineare 451 ff mehrfache lineare 460

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Index

multiple lineare 460 polynomiale 459 Regressionsverfahren 451 ff Rekombinationsrauschen 207 Rekonstruktionsfilter 330 Relais 487 Relaxationsoszillator 384, 389 Resonator piezoelektrischer 392 Restvarianz 455 ff, 458 Reziprokmessung 399 RS-Flip-Flop 306 ff mit NAND-Gattern 307 mit NOR-Gattern 306 statisch getaktetes 307 taktflankengesteuertes 308 taktzustandgesteuertes 307 RS232C-Schnittstelle 494, 495 ff Leitung 496 Leitungsbelegung 496 Logikdefinitionen 499 RS422-Schnittstelle 493 RS485-Schnittstelle 493, 507 ff Rubidium-Element 373, 398 Rubidium-Uhr 405 R¨ uckf¨ uhrgr¨ oße 343 R¨ uckkoppel-Netzwerk 174 ff, 177, 387 R¨ uckkopplungsschleife 386 R¨ uckstellmoment 119 ff R¨ uckwirkungsfreiheit 171 S¨ agezahnumsetzer (u/t-Umsetzer) 352 S¨ agezahn-Multiplizierer 350 ff S¨ agezahngenerator 268 S¨ agezahnspannung 267, 352 Steigungsfehler 353 Sample & Hold-Schaltung 332 ff Sampling 329 ff Sampling-Oszilloskop 273 Sampling-Pulse 330 Satellitenkommunikation 599 Satellitennavigation 404 ff Galileo 408 GPS 404 St¨ orfaktoren 411 SBAS (Satellite Based Augmentation Systems) 407 Sch¨ atzfilter 441 Sch¨ atzwert 100 ff, 423

Sch¨ atzwerteverteilung 101 Schaltschwelle 190, 313 Scheinleistung 223 Scheinwiderstand 245, 247 Messung 247 Scheitelfaktor 143 Scheitelwert 143 Schering-Meßbr¨ ucke 250 Schermodul 394 Scherwelle 394 Schirmbild 268, 269 Schließungswiderstand 122 Schmitt-Trigger invertierender 190 Schnittstelle -nkonverter 567, 602 CAMAC 494 IEC-Bus 494 parallele 510 ff PrimSens 586 PXI-Bus 494 RS232C 494 RS422 494 RS485 494 serielle 490, 495 ff USB 494, 509 ff VME-Bus 494 VXI-Bus 494 Schrittgeschwindigkeit 506 Schrotrauschen 207 Schutzschirm (Guard) 372 schwachergodisches Signal 430 Schwankung 100 ff Schwebungsfrequenz-Zeitexpander 378 Schwingbedingung 386, 387 Schwingkreisfrequenz 385 Schwingquarz 393 Admittanz 394 Alterungsrate 397 AT-Schnitt 393 CT-Schnitt 393 DT-Schnitt 393 Ersatzschaltbild 394 Fehler 396 Frequenzfehler 396 GT-Schnitt 393 G¨ ute 395 HT-Schnitt 397

Index Impedanz 394 Kurzzeitkonstanz 397 Langzeitstabilit¨ at 398 NT-Schnitt 393 Parallelresonanz 393 Schaltzeichen 394 Schnittwinkel 396 Schwingungsform 394 Serienresonanz 393 Temperaturabh¨ angigkeit 396 ff Temperaturkoeffizient 396 Verlustwiderstand 395 Schwingung Differentialgleichung 385, 388 ged¨ ampfte 388 harmonische 385, 396 instabile 389 Schwingungserzeuger 384 Schwingungsgehalt 144 Schwingungsgr¨ oße 385 SCPI-Programmiersprache 622 ff Befehle 622 ff Datenformate 625 Syntax 622 ff Sekund¨ arklemmen 153 Sekund¨ arkreis 153 Sekund¨ arspule 151 Sekund¨ arwicklung 152, 153 Selbstinduktivit¨ at 129 Sensor induktiver 257 kapazitiver 257 serieller Bus 493 Serienresonanz eines Schwingquarzes 393 ff Settling Time 328, 333 Shannonsches Abtasttheorem 275, 331 Shunt 138 Signal abgetastetes 330 amplitudenanaloges 10 amplitudenmoduliertes 9 bin¨ ares 297 Codierung 343 Decodierung 343 digitales 10 elektrisches 4 Energiesignal 429 ergodisches Signal 429

677

frequenzanaloges 10 frequenzmoduliertes 9 Kenngr¨ oßen 424 Leistungssignal 429 nicht-sinusf¨ ormiges 424 pulsdauermoduliertes 10 station¨ ares 423 station¨ ares Signal 429 stochastisches 434 Visualisierung 263 zeitanaloges 10 Zeitverlauf 263 Signal/Rausch-Verh¨ altnis 208 ff, 361 Delta-Sigma-Umsetzer 349 Gewinn 348 Signaldarstellung 263 ff Signaleigenschaft Messung 427 Signalflußweg 5 Signalleistung 211, 437 Signalprozessor digitaler 414 Signaltreue 171 Signifikanzniveau 467 Signum-Funktion 255 Silizium-Mikromechanik 261 Siliziumdiode Rauschgenerator 216 Siliziumdioden 145 Single-Slope-Umsetzer 352 ff Slave-Flip-Flop 310 Slew-Rate 181, 333 Slope-Schalter 267 Smart Home 639 SMU Messung kleiner Str¨ ome 371 Spaltfunktion 286 Spannband 119, 123 Spannung 14 induzierte 121 verkettete 230 Spannungs-Frequenz-Umsetzer 355 ff Spannungseisen 232 Spannungsfehler 157 Spannungsfolger 186 Spannungsmessung 140, 141 ff, 192, 219, 235 Fehler 235 Spannungsquelle

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Index

stromgesteuerte 192 Spannungsstoß 124 Spannungsverdopplung 148 Spannungsvergleich 236 Spannungsverst¨ arker 192 nicht-invertierender 184 Spannungswandler 155 ff Fehler 157 Zeigerdiagramm 157 Spannungszeigerdiagramm 228 Speicheroszilloskop digitales 287 ff speicherprogrammierbare Steuerung (SPS) 539 Daten- und Prozeß-Visualisierung 553 Geb¨ audeautomatisierung 640 integrierter Webserver 550, 552, 556 Interface analog 641 digital 643 drahtlos 644 energieautark 644 Programmiersprachen 539 ff AS 543 ff AWL 543 ff Bausteine 540 FBS 543 ff KOP 543 ff ST 543 ff Programmiertechnik 540 ff Vernetzung 549 Spektralanalyse 427 Spektralbereich 330 Spektralkomponenten 221 Sperrschicht 207 Sperrschichtkapazit¨ at 145 Spitze-Spitze-Wert 147 Spitzenwertgleichrichtung 147 Sprungantwort 60, 107 ff, 111, 283 normierte 120 Spule ideale 245 Spulend¨ ampfung 124 Spulenrahmen 118, 129 Standardabweichung 98 ff, 419 empirische 104, 456 Start/Stop-Verfahren 500 Startbit 500

Station¨ ares Signal 429 Steigungsfehler 325, 363 Stern-Dreieck-Umwandlung 244 Sternpunkt 224 ff k¨ unstlicher 224 ff Sternspannung 224 stochastischer Fehler 438 stochastisches Signal ¨ Ubertragung 439 St¨ oreinwirkung dynamische 438 St¨ orquelle 211 St¨ orsignal 413 St¨ orspannung 401 periodische 355 St¨ orspitze 327 St¨ orungen Erdschleife 488 galvanische Kopplung 489 Gegenmaßnahmen 490 ff induktive Kopplung 489 Mehrfacherdung 489 St¨ orungseinfluß 8 St¨ orunterdr¨ uckung 441 Stoffmenge 11, 12 Stopbit 500 Strahlablenkung elektrostatische 264 Strahlfokussierung 264 Streuung 100 ff Streuverlust 132 Str¨ omungsd¨ ampfung 135 Strom gewichteter 320 Strom-/Spannungsquellen mit R¨ uckmeßfunktion Source Measure Units (SMU) 369 Stromeisen 232 Stromempfindlichkeit 119, 123 Strommeßbereichserweiterung 141 Strommessung 138 ff, 193, 219, 235 Fehler 142, 235 Meßbereichserweiterung 138 ff Strommeßzange 158 ff Einf¨ ugeimpedanz 163 Ersatzschaltbild 160 Gleichstrom 168 ff Kompensationsschaltung 169 Kompensationsspule 169

Index Transferimpedanz 162 ff Wechselstrom 158 ff Stromschleife (20 mA) 509 Stromst¨ arke 11, 12 Stromteilerregel 237, 239 Stromvergleich 237 Stromverst¨ arker 194 Stromwandler 153 ff, 155 Fehler 154 Student t-Verteilung (t-Verteilung) 102, 472, 473 Stufenbreite 319 Stufenumsetzer 335, 335 ff inkrementaler 341 Subranging-Verfahren 337 ff Subtrahierer 174, 201 sukzessive Approximation 335 ff Superpositionsprinzip 325 Switch 593 Synchrongleichrichter 203, 254 Synchronzeichen 501 Systemtheorie 108, 438 T-Flip-Flop 312 taktflankengesteuertes 312 t-Verteilung (Student t-Verteilung) 102, 472, 473 t/U-Umsetzer 383 Taktvariable 307 Taktzyklus 339 Tastkopf 276 Korrekturnetzwerk 114 ff Teilerverh¨ altnis 276 ¨ Uberkompensation 277 Unterkompensation 277 Tauchankersystem 258 Tautologie 300 Temperatur 11, 12, 214 Temperatursensor 397 Test χ2 -Test 470 Korrelationskoeffizient 474 lineare Abh¨ angigkeit 472 Normalverteilung 469 Testverfahren 465 ff Tiefpaßfilter 177, 330, 344, 420, 424 ideales 331 Time-Division-Multiplizierer 350 ff Torzeit 374, 399

679

Tr¨ agerphase pseudozuf¨ allige Umtastung (BPSK) 403 Track-and-Hold-Schaltung 332 Tr¨ agheitsmoment 119, 123 Transformator 149 ff Ersatzschaltbild 153, 159 Grundgleichungen 159 idealer 152 Transformatorbr¨ ucke 150 Transientenrekorder 287, 609 Transmission Control Protocol (TCP) 592 Trennverst¨ arker 478 Triax-Kabel 371, 372 Trigger -arten 477 -eingang 270 -einrichtung 267, 268 -ereignis 267 -filter 270 -modul 287 -m¨ oglichkeiten 477 -schaltung 267 Fehler 401 Triggerung 267 IEEE-1588 614 PTP 614 Software-Trigger 614 Tunneldiode 77 u/f-Umsetzer 355 ff ¨ Ubertragungsfunktion 109, 386 ¨ ¨ Ubertragungsgeschwindigkeit (Ubertragungsrate) 506 ¨ Ubertragungsmedien Koaxialkabel 495 Lichtwellenleiter 495 verdrillte Leitungspaare 495 ¨ Ubertragungsrate 506 ¨ Ubertragungsverhalten 107 ff ¨ Uberabtastung (Oversampling) 344 ff ¨ Uberspannungsableiter 154 ¨ Ubersprechen 327 ¨ Ubertrager 149 ff Ersatzschaltbild 159 Grundgleichungen 159 idealer 152 ¨ Ubertragungsfunktion 177

680

Index

Umsetzungsgeschwindigkeit 337 UMTS 598 Universal Asynchronous Receiver Transmitter (UART) 504 Universal Synchronous and Asynchronous Receiver Transmitter (USART) 504 Universal-Vielfachmeßger¨ at 141 Univibrator 313 ff Unterabtastung 275 USB (Universal Serial Bus) 494, 509 USB-Datenlogger siehe Datenlogger USB-Meßger¨ ate 606 USB-Meßmodule 605 V.24-Schnittstelle 495 ff Varaktordiode 88 Varianz 99, 419, 455 ff, 456 Verbraucherleistung 220 Verbraucherspannung 220 Verbraucherstrom 220 Verbrauchertor 220 Vergleichsgr¨ oße 7 Vergleichsmessung 427 verkettete Spannungen 230 Verkn¨ upfung logische 299 NICHT 299 ODER 300 UND 299 Verlustfaktor 246, 250 Verluststrom 155 Verlustwiderstand dynamischer 394 Vernetzung standort¨ ubergreifend 596, 648 weltweit 649 Versorgungsspannungsunterdr¨ uckung 179 Verst¨ arker addierender 185, 195 differenzierender 187 integrierender 186 invertierender 175, 183 Modell 282 Rauschen 208 ff Rauschersatzschaltung 208 Schaltung 171 ff subtrahierender 185

Tiefpaßverhalten 283 Verzerrung 171 Verst¨ arkungs-Bandbreite-Produkt 180 Verst¨ arkungsfehler siehe Steigungsfehler Verteilungsfunktion 414 Vertikalablenkplatten 265 Vertrauensbereich 101 ff Vertrauensfaktor 99 ff Vertrauensgrenzen 102 Verz¨ ogerungsleitung 272, 480 Vibrationsmeßwerk 374 Vielfach-Diskriminator 334 ff kaskadierter 336 ff Vielfachmeßger¨ at 139 Vierpol 210, 213 Kettenschaltung 213 Rauscheigenschaften 214 ¨ Vierpol-Ubertragungsfunktion 56 Viertelbr¨ ucke 258 Villard-Schaltung 147 Virtual Private Network (VPN) 602 ff, 616 ff Tunneling 617 Virtuelle Instrumente 605 VME-Bus 494, 527 ff Volladdierer 305 Vollbr¨ ucke 260 Vollweg-Gleichrichterschaltung 150 aktive 195 Vollweg-Gleichrichtung 146 Voltmeterschaltung 192 Vorw¨ arts-Dualz¨ ahler asynchroner 316 synchroner 316 VXI-Bus 494, 527 ff Busgliederung 529 Commander 528 IEC-Bus 529 MXI-Bus 534 ff Resource Manager 528 Servant 529 Software 620 System Manager 528 Teilbusse 529 WAAS (Wide Area Augmentation System) 407 W¨ ageverfahren 335 ff

Index Wahrscheinlichkeitsaussagen 98 Wahrscheinlichkeitsdichte 98, 99, 455 gemeinsame 455 Wahrscheinlichkeitsverteilung 455 WAN (Wide Area Network) 558 ff, 600 Wanderfeld-Ablenkplatte 286 Wattmeter elektronisches 352 Wechselgr¨ oße 221 Wechselspannungsverst¨ arker 203 idealer 203 Wechselstrom-Meßbr¨ ucke 249 ff Abgleich 253 Abgleichbr¨ ucke 249 ff Abgleichvorgang 254 Ausschlagbr¨ ucke 257 Halbbr¨ ucke 258 Viertelbr¨ ucke 258 Vollbr¨ ucke 260 Wegaufnehmer 258 Weicheisenkern 118, 127 Wheatstonesche Meßbr¨ ucke 242 Widerstand piezoresistiv 262 Widerstandsaufnehmer 235 Widerstandsmessung 132, 240 Widerstandsrauschen 205 Wien-Br¨ ucke halbautomatisch abgleichbare 256 Wien-Br¨ ucke 250, 256 halbautomatisch abgleichbare 256 Wien-Robinson-Br¨ ucke 251 Wiener-Filter 441 Wiener-Khintchine-Beziehungen 437 Windungszahl 118, 151 Winkel ebener 14 r¨ aumlicher 14 Winkelfehler 155, 157 Wirbelstrom 123, 128–130, 234 Wirkkomponente 245 Wirkleistung 222, 352 Wirkleistungsmessung 3-Leiter-System 227 4-Leiter-System 226 Einphasennetz 221 Wirkungsgrad 506, 507 Wirkwiderstand 247

Y-Faktor-Methode

681

216

Z¨ ahler Ereignisse 315 Fehler 398 rechnender 355, 382 Schaltungen 314 ff Vorw¨ arts 342 Vorw¨ arts-R¨ uckw¨ arts 342 Z¨ ahlratenmesser 384 Z¨ ahlverfahren 341 Zahlendarstellung 297 Zahlensystem 3, 297 ff Zahlenwert 11 Zahlenwertgleichungen 13, 15 Zeichengeschwindigkeit 506 Zeichenrahmen asynchroner 500 Zeiger 118, 119, 123 Zeigerdiagramm 154, 157, 248 Zeit 11 Zeit-Spannungs-Umsetzer 383 Zeitablenkung 267 Zeitbasis Fehler 399 verz¨ ogerte 269 Zeitbasisfehler 399, 400 Zeitdifferenzmessung 376 Zeitexpander 378 Zeitintervallmessung 376, 399 Zeitmessung 373, 376, 392 Fehler durch Rauschen 401 zeitvariante Bauelemente 73 Zeitzeichensender 401 DCF-77 398, 403 Kodierschema 404 Minutenprotokoll 404 Modulation 403 pseudozuf¨ allige Umtastung (BPSK) 403 Sekundenmarkierung 404 St¨ orerkennung 404 Tr¨ agerphase 403 Zerhacker-Verst¨ arker 203 Zielgr¨ oße 413 Zungenfrequenzmesser 374 Zusammengesetzte Systeme 110 Parallelschaltung 110 R¨ uckkoppelschaltung 110

682

Index

Serienschaltung 110 Zusatzrauschzahl 211 Zwei-Wattmeter-Verfahren Zweirampen-Umsetzer

integrierender 227

353 ff

Zweiweg-Gleichrichtung Zwischen-Codes

144 ff, 146

327, 328