Ubungsbuch Regelungstechnik. Klassische, modell- und wissensbasierte Verfahren 3. Auflage

Serge Zacher

Übungsbuch Regelungstechnik

Serge Zacher

Übungsbuch Regelungstechnik Klassische, modell- und wissensbasierte Verfahren 3., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 292 Abbildungen, 99 Aufgaben mit Lösungen und 16 MATLAB-Simulationen

Studium Technik

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Die ersten beiden Auflagen erschienen unter dem Titel Musteraufgaben Regelungstechnik im Eigenverlag des Autors.

3., überarbeitete und erweiterte Auflage Januar 2007 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Reinhard Dapper / Imke Zander Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0236-1

V

Vorwort zur 3. Auflage

Das Buch beinhaltet klausurrelevante Muster-Aufgaben mit Lösungen, die Lehrinhalte besser verstehen und Sicherheit für eine bevorstehende Prüfung verschaffen sollen. Die Aufgaben des Buches sind in fünf Kapitel gegliedert und nach dem Schwierigkeitsgrad in fünf Kategorien von der einfachsten Stufe M bis zur höchsten Stufe MNOPQ eingeteilt. Bei allen Aufgaben sind die Lösungsschritte lückenlos angegeben. Das Buch beinhaltet eine kompakte Formelsammlung, die die Lösung erleichtern soll. Die Formelsammlung und einige Lösungen des vorliegenden Buches sind mit HTML programmiert, mit Flash MX animiert und im Internet unter www.vieweg.de

www.szacher.de

ausgestellt. Damit eignet sich das Buch zum Selbststudium bzw. zum E-Learning, was mit dem Übergang zu Bachelor-Studiengängen und damit zu kürzeren Studienzeiten besondere Bedeutung gewinnt. In den ersten drei Kapiteln sind die Methoden der klassischen, modellbasierten und wissensbasierten Regelungstechnik behandelt. Das vierte Kapitel besteht aus gemischten Aufgaben, die für eine bestimmte Regelstrecke, wie Temperatur- oder Füllstandsregelstrecke, mit verschiedenen Methoden gelöst werden. Gegenüber der 2. Auflage findet man hier auch die Aufgaben zur Zustands- und Mehrgrößenregelung, zur adaptiven und nichtlinearen Regelung, die mit höheren Schwierigkeitsgraden bezeichnet sind. Das Kapitel 5 unterstützt die Lösungen mit Simulationsprogrammen, die mit MATLAB / Simulink von The Math Works Inc. erstellt sind. Die Aufgaben sind für Studenten der Elektrotechnik und des Maschinenbaus geeignet. Bei der Gestaltung von Lösungswegen wurden auch die Probleme der mathematischen Behandlung von Regelkreisen berücksichtigt, die häufig bei Studenten berufsintegrierter ingenieurtechnischer Studiengängen an Fachhochschulen (BIS und KIS) auftreten. Als eine FH-interne Broschüre mit 30 Aufgaben entstand das vorliegende Buch aus überarbeiteten alten Klausuren und hat sich in drei Jahren rasant zu einer Sammlung aus mehr als hundert Aufgaben und MATLAB-Simulationen entwickelt. Dass nun die dritte Auflage des Buches im Vieweg Verlag erscheint, weist einerseits auf das Interesse von Studenten zu klassischen und neuen Kapiteln der Regelungstechnik. Andererseits kann es dem Erfolg des Lehrbuches von M. Reuter, S. Zacher „Regelungstechnik für Ingenieure“ verbucht werden, nach dessen Themenbereichen und Lösungsmethoden die Übungsaufgaben behandelt wurden, so dass das vorliegende Buch als Ergänzung zum erwähnten Lehrbuch dienen kann. Damit soll auch das Hauptziel des Faches Regelungstechnik erreicht werden, nämlich die Kenntnisse zur Aufbau und Einstellung von industriellen Regelkreisen zu erwerben. Für die Anwendung von theoretischen Kenntnissen in die Industrieprakxis gibt es am Markt mittlerweile eine Fülle von digitalen Reglern, die als Kompaktregler oder auf einer Hutschiene montiert bzw. mittels einer Schalttafelmontage ausgeführt werden.

VI

Vorwort zur 3. Auflage

Nach Reglerausführung kann man alle am Markt vorhandene ca. 250 Reglertypen in folgende Gruppen aufteilen: x

Kompaktregler bzw. Einzelregler, die über Regelalgorithmen, wie Temperatur-, Druck-, Position- oder Füllstandsregelung verfügen. Meist werden bei solchen Regler die Parameter durch die Selbsoptimierung ermittelt und automatisch als Standardwerte übernommen (Beispiel: PID-Regler T16 von Wachendorff).

x

Prozessregler, die neben Regelalgorithmen auch mit anderen Funktionen, wie Formeleditor und Visualisierung, ausgestattet sind und die in die Bedienoberfläche eines Prozessleitsystems eingebunden werden können (Beispiel: JUMO IMAGO 500).

x

Universalregler, die für alle Branchen geeignet und mit gleichen Funktionen wie Prozessregler ausgestattet sind (Beispiel: JUMO mTRON-Reglermodul).

x

Spezialregler, die für einzelne Industriebranchen, wie Verpackungstechnik, oder für spezielle Regelungsaufgaben, wie Motorregelung, ausgeführt und optimiert sind (Beispiel: RFS von Eurotherm für Verpackungstechnik, Kunststofftechnik usw.)

Unter sind einige Firmen-Hersteller in einer Liste erfasst. ABB Automation Products Advantech Germany B&R Industrie-Elektronik Barby & Kühner Mess. u.R. Berghof Automationstechnik Brankhorst Hi-Tec Bürkert dresden elektronik ingen. Eckelmann Elotech Industrieelektronik EPH Elektronik Erhardt + Leimer ESR Pollmeier Eurotherm Deutschland

Gefran Deutschland GEMÜ Gebr. Müller Ap. GMC-Instruments Gräbner Elektronik Hengstler Hesch Schröder Honeywell JUMO KFM-Regelungstechnik LinMot NTI maxon motor ag Omron Electronics Phoenix Contact Pleiger Elektronik

PMA Prozess- und Ma. Progea SAMSON Mess- und Regel. Schuhmann Messtechnik Siemens Stange Elektronik Tele Steuergeräte TR Systemtechnik uwe electronic VIPA Wachendorff Prozesstechn. Wandfluh Hydraulik & Ele. Watlow Ziehl industrie-elektronik

Zum Schluss möchte ich den beteiligten Mitarbeitern und Mitarbeiterinnen des Vieweg Verlags, Frau Imke Zander und Frau Elisabeth Lange, insbesondere dem Programmleiter Technik, Herrn Ewald Schmitt, und dem Lektor, Herrn Reinhard Dapper, für die stets gute und jederzeit konstruktive Zusammenarbeit herzlich danken. Zum Dank bin ich auch dem ehemaligen Mitarbeiter des Verlages, Herrn Günter Schenk, verpflichtet, der mich bei jedem Messeauftritt zur Verfassung dieses Übungsbuches angeregt hat. Wiesbaden, im Dezember 2006

Serge Zacher

VII

Inhaltsverzeichnis Formelzeichen .................................................................................................................. X Aufgabe Lösung 1. Klassische Regelungstechnik................................................................... 1............... 75 1.1 Dynamisches und statisches Verhalten ............................................ 1............... 75 1.2 Statische Kennlinie........................................................................... 2............... 76 1.3 Statisches Kennlinienfeld ................................................................. 2............... 76 1.4 Grafische Linearisierung .................................................................. 2............... 77 1.5 Analytische und grafische Linearisierung ........................................ 3............... 77 1.6 Linearisierung und Wirkungsplan.................................................... 4............... 79 1.7 Maximaler Proportionalbeiwert ....................................................... 4............... 79 1.8 Analytische Linearisierung............................................................... 5............... 80 1.9 Arbeitspunkt..................................................................................... 5............... 80 1.10 Übertragungsfunktion ...................................................................... 5............... 80 1.11 Beharrungszustand ........................................................................... 6............... 81 1.12 Bleibende Regeldifferenz und Regelfaktor ...................................... 6............... 82 1.13 Reeller Regelfaktor .......................................................................... 6............... 82 1.14 Bleibende Regeldifferenz ................................................................. 7............... 82 1.15 Parallelschaltung .............................................................................. 7............... 83 1.16 Wirkungsplan und Sprungantwort ................................................... 7............... 84 1.17 Windkraftanlage ............................................................................... 8............... 84 1.18 Regelkreisverhalten .......................................................................... 9............... 85 1.19 Hurwitz-Stabilitätskriterium (1) ....................................................... 9............... 86 1.20 Hurwitz-Stabilitätskriterium (2) ....................................................... 9............... 86 1.21 Nyquist-Stabilitätskriterium (1)...................................................... 10............... 86 1.22 Nyquist-Stabilitätskriterium (2)...................................................... 10............... 87 1.23 Nyquist-Stabilitätskriterium (3)...................................................... 11............... 88 1.24 Phasenreserve (1) ........................................................................... 12............... 89 1.25 Phasenreserve (2) ........................................................................... 12............... 89 1.26 Phasenreserve (3) ........................................................................... 13............... 92 1.27 Betragsoptimum ............................................................................. 14............... 93 1.28 Symmetrisches Optimum ............................................................... 14............... 93 1.29 Optimale Reglereinstellung (1) ...................................................... 14............... 93 1.30 Optimale Reglereinstellung (2) ...................................................... 15............... 94 1.31 Optimale Reglereinstellung (3) ...................................................... 15............... 94 1.32 Optimale Reglereinstellung (4) ...................................................... 16............... 95 1.33 Optimale Reglereinstellung (5) ...................................................... 16............... 96 1.34 Zweipunktregler (1)........................................................................ 17............... 96 1.35 Zweipunktregler (2)........................................................................ 17............... 97 1.36 Reaktor mit Wärmeaustauscher...................................................... 18............... 98 1.37 Kaskadenregelung (1) .................................................................... 18............... 99 1.38 Kaskadenregelung (2) .................................................................... 19............... 99

VIII 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.61

Inhaltsverzeichnis Kaskadenregelung (3) .....................................................................19............. 100 Kaskadenregelung (4) .....................................................................20............. 100 Kaskadenregelung (5) .....................................................................20............. 101 Lageregelung...................................................................................21............. 103 Quasikontinuierliche Regelung (1) ................................................22............. 104 Quasikontinuierliche Regelung (2) ................................................22............. 105 Digitale Regler (1)...........................................................................23............. 106 Digitale Regler (2)...........................................................................24............. 107 Digitale Regler (3)...........................................................................24............. 108 Digitalisierung (1) ...........................................................................25............. 109 Digitalisierung (2) ...........................................................................25............. 112 Differenzengleichung......................................................................26............. 115 z-Übertragungsfunktion...................................................................26............. 117 Digitale Zweipunktregler (1)...........................................................27............. 119 Digitale Zweipunktregler (2)...........................................................27............. 119 Molekularfilter ................................................................................28............. 120 Diagonalregler.................................................................................29............. 121 Entkopplungsregler (1)....................................................................29............. 123 Zwei-Tank-System ..........................................................................30............. 124 Mehrgrößenregelung: Stabilität.......................................................30............. 129 Entkopplungsregler (2)....................................................................31............. 131 Entkopplungsregler (3)....................................................................31............. 133 Entkopplungsregler (4)....................................................................32............. 135

2. Modellbasierte Regelung ........................................................................33............. 136 2.1 Dead-Beat-Regler.............................................................................33............. 136 2.2 Kompensationsregler (1) ..................................................................33............. 136 2.3 Smith-Prädiktor ................................................................................33............. 137 2.4 Kompensationsregler (2) ..................................................................34............. 139 2.5 Kompensationsregler (3) ..................................................................34............. 140 2.6 Kompensationsregler und Smith-Prädiktor ......................................34............. 141 3. Wissensbasierte Regelung ......................................................................35............. 142 3.1 Klimaanlage .....................................................................................35............. 142 3.2 Schwerpunktmethode .......................................................................36............. 143 3.3 Aktuelle Stellgröße...........................................................................36............. 145 3.4 Ofenheizung .....................................................................................37............. 145 3.5 Statische Kennlinie des Fuzzy-Reglers ............................................38............. 145 3.6 Stabilität des Regelkreises mit dem Fuzzy-Regler ...........................38............. 146 3.7 Einzelschicht-Perceptron (1) ............................................................39............. 148 3.8 Einzelschicht-Perceptron (2) ............................................................39............. 148 3.9 Mehrschicht-Perceptron ...................................................................40............. 149 3.10 Mustererkennung..............................................................................41............. 150 3.11 KNN-Programmierung mit IEC .......................................................41............. 150 3.12 Stabilitätsgrenze ...............................................................................42............. 151

Inhaltsverzeichnis

IX

4 Gemischte Aufgaben............................................................................... 43............. 152 4.1 Roboterregelung .............................................................................. 43............. 152 4.2 Regelung eines Robotergelenkes..................................................... 45............. 157 4.3 Überschleifen und Pendeln eines Schweißroboters......................... 47............. 162 4.4 Mobiltelefon .................................................................................... 48............. 164 4.5 Temperaturregelung ........................................................................ 51............. 168 4.6 Füllstandsregelung .......................................................................... 55............. 172 4.7 Werkzeugmaschine (1).................................................................... 57............. 176 4.8 Werkzeugmaschine (2).................................................................... 60............. 178 4.9 Stoffbahn ......................................................................................... 63............. 182 4.10 Reglerprüfstand ............................................................................... 65............. 184 4.11 Festplatten-Controller...................................................................... 66............. 191 4.12 Invertiertes Pendel........................................................................... 67............. 196 4.13 Zustandsregelung ............................................................................ 68............. 198 4.14 Mehrgrößenregelung ....................................................................... 69............. 205 4.15 Identifikation (1) ............................................................................. 71............. 215 4.16 Identifikation (2) ............................................................................. 71............. 215 4.17 Identifikation (3) ............................................................................. 72............. 217 4.18 Adaptive Regelung: Gain Scheduling ............................................. 73............. 219 4.19 Adaptiver Zustandregler.................................................................. 73............. 220 4.20 Nichtlineare Regelung..................................................................... 74............. 222 5 MATLAB-Simulationen ........................................................................................... 225 5.1 Simulationen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik .............................. 225 5.1.1 Simulation zu Aufgabe 1.15: Parallelschaltung........................................ 225 5.1.2 Simulation zu Aufgabe 1.16: Wirkungsplan und Sprungantwort............. 226 5.1.3 Simulation zu Aufgabe 1.20: Hurwitz-Stabilitätskriterium ...................... 227 5.1.4 Simulation zu Aufgabe 1.21: Nyquist-Stabilitätskriterium ...................... 228 5.1.5 Simulation zu Aufgabe 1.28: Symmetrisches Optimum........................... 229 5.1.6 Simulation eines Regelkreisverhaltens ..................................................... 231 5.1.7 Simulation zu Aufgabe 1.37: Kaskadenregelung ..................................... 232 5.1.8 Simulation zu Aufgabe 1.43: Quasikontinuierliche Regelung ................. 234 5.1.9 Simulation eines Kreises mit dem Zweipunktregler................................. 236 5.2 Simulationen zum Kapitel 2: Modellbasierte Regelung..................................... 238 5.2.1 Simulation zu Aufgabe 2.1: Dead-Beat-Regler ........................................ 238 5.2.2 Simulation zu Aufgabe 2.3: Smith-Prädiktor ........................................... 239 5.3 Simulationen zum Kapitel 3: Wissensbasierte Regelung ................................... 243 5.3.1 Simulation zu Aufgabe 3.1: Klimaanlage................................................. 243 5.3.2 Simulation zu Aufgabe 3.4: Ofenheizung ................................................ 244 Literaturverzeichnis...................................................................................................... 247 Formelsammlung .......................................................................................................... 249 Sachwortverzeichnis ..................................................................................................... 257

X

Formelzeichen a0, a1, a2, a3 Koeffizienten der Differentialgleichung b

Koeffizient, Schnittpunkt einer Geraden mit der Ordinaten-Achse

b0

Koeffizient der Differentialgleichung

C0, C1

Integrierkonstanten

C(s), C(0)

Koppelfaktor, statischer Koppelfaktor

c0

Koeffizient der Differentialgleichung

D, D1, D2

Hauptdeterminate, Teildeterminanten

d

Muster-Ausgang eines Neurons

e

Regeldifferenz

eakt

aktuelle Regeldifferenz eines Fuzzy-Reglers

e(f)

bleibende Regeldifferenz e(t) bei t o f

f

Funktion, Frequenz

G

Erfüllungsgrad eines Fuzzy-Regels

G(jZ)

Frequenzgang

_G(jZ)_dB

Amplitudengang in dB

G(s)

Übertragungsfunktion

G0(s)

Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises

GM(s)

Übertragungsfunktion des gewünschten Regelkreisverhaltens

GR(s)

Übertragungsfunktion des Reglers

GS(s)

Übertragungsfunktion der Regelstrecke

Gv(s)

Übertragungsfunktion des Vorwärtszweigs

Gw(s)

Führungsübertragungsfunktion

Gz(s)

Störübertragungsfunktion

H

Durchhang, Sollwert eines Dead-Beat-Reglers

i, iE

Strom

J

Massenträgheitsmoment

j

1

imaginäre Einheit

KDR

Differenzierbeiwert des Reglers

KIS, KIR

Integrierbeiwert der Strecke, Integrierbeiwert des Reglers

KPRkrit

kritischer Proportionalbeiwert des Reglers

K0

Kreisverstärkung

Formelzeichen KPR

Proportionalbeiwert des Reglers

KPr

Proportionalbeiwert des Smith-Prädiktors

KPS

Proportionalbeiwert der Strecke

KPw

Proportionalbeiwert des geschlossenen Kreises (Führungsverhalten)

KPSy

Proportionalbeiwert der Strecke beim Stellverhalten

KPSz,KPz

Proportionalbeiwert der Strecke beim Störverhalten

L

Leistung, Länge

l

Länge

M

Moment, Masse, Matrix von Messwerten

m

Steigung einer Geraden, Masse, Zugehörigkeitsfunktion

N ( xˆe )

Beschreibungsfunktion eines nichtlineares Gliedes

n

Drehzahl, Anzahl von Halbwellen, Ordnung der Übertragungsfunktion

P

Leistung, Gewicht, Parameter

p

Druck, Polstelle

Q

Durchflussmenge

RF

reeller (statischer) Regelfaktor

T

Zeitkonstante, Periodendauer

TA

Abtastzeit

Tan, Taus

Anregelzeit, Ausregelzeit

TE

Ersatzzeitkonstante

Tg

Ausgleichszeit

Tn

Nachstellzeit

TR

Verzögerungszeitkonstante des Reglers

Tt

Totzeit

Tu

Verzugszeit

Tv

Vorhaltzeit

Tw

Zeitkonstante des geschlossenen Kreises (Führungsverhalten)

t

Zeit

U, UR, US

Spannung, Spannung am Reglerausgang, am Streckenausgang

UM

Spannung am Eingangs eines Motors

ümax

maximale Überschwingweite

u

Spannung, Stellgröße, Eingangsvektor

V

Ventil, Volumen, Verstärkungsgrad

W

Gewicht eines Neurons

XI

XII

Formelzeichen

w

Führungsgröße, Sollwert

wˆ

Höhe des Eingangssprungs der Führungsgröße

X

Regelgröße, Weg

XE

Regelbereich eines Kreises mit Zweipunktregler

X0

Regelgröße im Arbeitspunkt

x

Regelgröße (Abweichung vom Arbeitspunkt), Weg

x(t)

Sprungantwort, Zustandsvektor

x(f)

Beharrungswert bei t o f

xˆe

Amplitude der Eingangsschwingung eines nichtlinearen Gliedes

xB

Sättigungszone eines nichtlinearen Gliedes

xd

Schaltdifferenz eines Zweipunktreglers

xk

digitalisierte Ausgangsgröße, Lösung der Differenzengleichung

x0

Amplitude der Dauerschwingung

Y

Stellgröße

Y0

Stellgröße im Arbeitspunkt

y

Stellgröße (Abweichung vom Arbeitspunkt), Ausgang eines Neurons

yakt

aktuelle Stellgröße eines Fuzzy-Reglers

Z

Störgröße

Z0

Störgröße im Arbeitspunkt

z

Störgröße (Abweichung vom Arbeitspunkt), Nullstelle

zˆ

Höhe des Eingangssprungs der Störgröße

'

Kennzeichnung von Größenänderung

)

Winkel

)0

Winkel im Arbeitspunkt

-

Dämpfungsgrad

D

Aktivierung, Winkel

DR

Phasenreserve

K

Lernschrittkonstante

M

Winkel (Abweichung vom Arbeitspunkt), Phasenverschiebungswinkel

MZ)

Phasengang

Q

Ausgangsgröße eines verdeckten Neurons

T

Schwellenwert eines Neurons

Z

Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit

ZD

Durchtrittskreisfrequenz

1

Aufgaben

1 Klassische Regelungstechnik 1.1 Dynamisches und statisches Verhalten ...................................................... M Die Stellgröße Y(t) = UR einer Regelstrecke wurde stufenweise in regelmäßigen Abständen vergrößert. Der zeitliche Verlauf der mit dem Sensor gemessenen Regelgröße (Abstand) X(t) = US ist unten im Diagramm dargestellt. UR

X ,Y / V 10 8

X(t)

6 MontageRoboter

Y(t)

Sensor

4

X US

2 UR = Y Stellgröße

US = X Regelstrecke Regelgröße

0

1

2

3

4

5

t/s

a) Skizzieren Sie die statische Kennlinie der Regelstrecke X = f(Y), indem Sie zunächst die Messpunkte in das Diagramm X = f(Y) eintragen und dazwischen einen glatten Verlauf annehmen. b) Linearisieren Sie die Kennlinie grafisch im Arbeitpunkt Y0 = 4 V durch eine Tangente und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente X = mY + b. c) Durch Parallelverschiebung von Koordinatenachsen Y und X in Arbeitspunkt (Y0, X0) beschreiben Sie die linearisierte Gleichung (Tangente) mit Hilfe von kleinen Abweichungen vom Arbeitspunkt x und y in folgender Form: (X X0) = m(Y  Y0) bzw. x = my. Die Variablen x und y sind: x = X  X0 und y = Y  Y0. d) Schätzen Sie den maximalen Fehler zwischen linearisierter und wirklicher Kennlinie im Intervall (1 V d Y d 7 V) ab.

2

Aufgaben

1.2 Statische Kennlinie....................................................................................... M Das dynamische Verhalten einer Regelstrecke wird mit folgenden DGL beschrieben: T ˜ X (t )  X (t )

K ˜ Y 2 (t ) mit K = 1,5 und T = 0,6 s

Geben Sie die statische Kennlinie X = f(Y) an und linearisieren Sie die Kennlinie rechnerisch und grafisch für kleine Abweichungen x und y vom Arbeitspunkt Y0 = 2.

1.3 Statisches Kennlinienfeld .........................................................................MN Das statische Kennlinienfeld einer Regelstrecke ist gegeben, wobei X, Y und Z entsprechend die Regel-, Stell- und Störgröße sind. Im Arbeitspunkt sind gegeben: Y0 = 900 min-1

X /mm 250 200 Z= 970 1/min 150

Z= 950

X0 = 150 mm

Z= 900 Z= 880 Z= 850

100

a) Linearisieren Sie die Strecke für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt.

50

Z= 820

b) Bestimmen Sie die Abweichung der Regelgröße x der linearisierten Strecke vom Arbeitspunkt

850

900

950

Y / 1/min

Y = 950 min-1 Z = 950 min-1.

1.4 Grafische Linearisierung..........................................................................MN Das statische Kennlinienfeld einer Regelstrecke ist gegeben, wobei X, Y und Z entsprechend die Regel-, Stell- und Störgröße sind. Nach der Linearisierung für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt X0, Y0 und Z0 entstand die folgende Gleichung: x = 0,375y + KPz z a) Wie groß sind X0, Y0 im Arbeitspunkt, wenn Z0 = 40 ist? b) Wie groß ist KPz?

X Z = 10 5

Z = 20 Z = 30

4

Z = 40 3

Z = 50

2

Z = 60

1

0

2

4

6

8

10

Y

1 Klassische Regelungstechnik

3

1.5 Analytische und grafische Linearisierung ..............................................MN Ein Roboter mit drei Gelenken ist im Bild gezeigt. a) Das Gelenk 1 wird durch die Gleichung  (t )  5$  (t )  A(t ) 2$

M 3 2 E

0,8U (t )  0,1B (t )  0,5U (t )%(t )

beschrieben, wobei A, U und B entsprechend die Eingangs-, Ausgangs- und Störgröße des Gelenkes 1 sind. Die Werte im Arbeitspunkt sind gegeben: U0 = 0,4 B0 = 2

1 D

b) Das statische Kennlinienfeld des Gelenks 2 ist im Bild neben gegeben, wobei UM, :, und ) entsprechend die Eingangs-, Ausgangs- und Störgröße des Gelenkes 2 sind. Linearisieren Sie die Strecke für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt UM = 50

)0 = 70 und bestimmen Sie die Proportionalbeiwerte KPu und KPM der linearisierten Gleichung: Z

Bestimmen Sie die linearisierte Gleichung des statischen Verhaltens der Strecke für kleine Abweichungen D, u und E vom Arbeitspunkt A0, U0 und B0. : 1000

) = 50

900

) = 60

800

) = 70 ) = 80

700

) = 90

600 500 30

40

50

60

70 UM

K Pu ˜ u M  K PM ˜ M

c) Das statische Verhalten des Gelenkes 3 wird durch die Gleichung X = 2Y˜) beschrieben, wobei X, Y und ) entsprechend die Regel-, Stell- und Störgröße sind. Nach der Linearisierung für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt X0, Y0 und )0 entstand die folgende Gleichung: x = 160y + 100M. Wie groß sind X0, Y0 und )0 im Arbeitspunkt?

4

Aufgaben

1.6 Linearisierung und Wirkungsplan ...................................................... MNO Das nichtlineare Kennlinienfeld einer Regelstrecke ist neben gegeben. Die Stellgröße und Störgröße im Arbeitspunkt sind:

X

Z=23 Z=24

Z=20

5

Z=25

4

Y0 = 4

Z=26 3

Z0 = 24

2

Der Wirkungsplan unten zeigt das linearisierte Verhalten der Strecke für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt.

1

Berechnen Sie die Proportionalbeiwerte KP1 und KP2 für den unten gezeigten Wirkungsplänen.

0

2

4

6

10 Y

8

z

a) y

KP1

+

KP2 

z

b) y

x



+

KP1

x KP2

1.7 Maximaler Proportionalbeiwert..............................................................MN Die statische Kennlinie einer Regelstrecke ist neben im Bild gezeigt, wobei sind: X - Regelgröße Y - Stellgröße Z - Störgröße

X E Z1= 0,1

10 D

Z2= 0,2

8 F

a) In welchem Arbeitspunkt A, B, C, D oder E oder F ist der Proportionalbeiwert KPsy der Strecke maximal? b) Linearisieren Sie die statische Kennlinie der Strecke im Arbeitspunkt F und bestimmen Sie die Proportionalbeiwerte KPSy und KPSz. c) Bestimmen Sie den Proportionalbeiwert KP1 im Arbeitspunkt C, wenn der Wirkungsplan der Strecke gegeben ist (s. Bild rechts) und KP2 = 11,5 beträgt.

Z3= 0,3

6 C

Z4= 0,4

4

Z5= 0,4

2 B A 0

2

4

6

8

10

z y

KP1

+



x KP2

Y

1 Klassische Regelungstechnik

5

1.8 Analytische Linearisierung ......................................................................MN In welchem Arbeitspunkt befindet sich die linearisierte Regelstrecke x

K Py ˜ y  K Pz ˜ z mit Parametern KPy = 2 und KPz = 5,

wenn das statische Verhalten der nichtlinearen Regelstrecke durch die Gleichung X

8 Y

2

 3˜ Z 2

beschrieben wird?

1.9 Arbeitspunkt..............................................................................................MN X /mm

Das nichtlineare Kennlinienfeld der Regelstrecke ist im Bild rechts gegeben. Nach der Linearisierung der Regelstrecke ergibt sich der Proportionalbeiwert:

250 200

KPz = 0,5 mm/min-1

150

Bestimmen Sie, in welchem Arbeitspunkt A, B oder C die Regelstrecke linearisiert wurde und bestimmen Sie den Proportionalbeiwert KPy in diesem Arbeitspunkt.

100

A

B C

Z= 1200 1/min Z= 1100 Z= 1000 Z= 900 Z= 800

50 0 800

1000

1200

Y / 1/min

1.10 Übertragungsfunktion ............................................................................MN Eine PC-Festplatte wird mit der folgenden DGL beschrieben: a2 x(t )  a1 x (t )  a0 x(t )

b0 ˜ y (t )

wobei sind: a2 = 0,01; a1 = 0,004; a0 = 10; b0 = 0,05.

Y

a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion der Regelstrecke. b) Wie groß ist der Dämpfungsgrad der Regelstrecke? c) Bestimmen Sie die Sprungantwort x(t) der Regelstrecke, wenn die Stellgröße y(t) sprunghaft um y = 1 geändert wird.

X

6

Aufgaben

1.11 Beharrungszustand .................................................................................... M z(s) w(s)

e(s)

GS1(s) GR (s)



x(t)



GS2(s)

+

x(s)

5 4 3

Gegeben ist die Sprungantwort eines Regelkreises mit dem P-Regler bei einem Störsprung zˆ 5 und die Teilstrecken mit KPS1 = 2 und KPS2 = 0,9: K PS1 K PS 2 G S1 ; GS 2 1  sT1 1  sT2

2 1 0 0

1,0

2,0

t (sec)

Wie groß ist der Proportionalbeiwert KPR des Reglers?

1.12 Bleibende Regeldifferenz und Regelfaktor .............................................. M Gegeben ist die Sprungantwort eines Regelkreises x(t) nach dem Eingangssprung der Führungsgröße wˆ 9 .

x(t) 10 8 6

a) Wie groß ist die bleibende Regeldifferenz?

4

b) Wie groß ist der reelle Regelfaktor RF ?

2 0

10

20

30

40

50

t/s

60

1.13 Reeller Regelfaktor .................................................................................... M Die Sprungantwort eines Regelkreises x(t) ist neben gezeigt.

x(t) 4

Der reelle (statische) Regelfaktor ist RF(0) = 0,5.

2

Wie groß ist der Eingangssprung der Führungsgröße w ? 0

1,0

2,0

3,0

4,0

t/s

1 Klassische Regelungstechnik

7

1.14 Bleibende Regeldifferenz........................................................................MN Der Wirkungsplan des Regelkreises mit einem P-Regler mit KPR = 3 ist unten gezeigt. Die Parameter der Regelstrecke sind gegeben: T1 = 0,1 s

KPS = 30

w

+

e

T2 = 0,6 s

z

KPS ,T1

KPR

T3 = 0,4 s

1,T2

+

y

KPG = 0,01

KPG

1,T3

-1

KIS = 1 s

KIS

x

+



Wie groß ist die bleibende Regeldifferenz e(f): a) bei einem Eingangssprung der Störgröße zˆ 9 ? Die Führungsgröße ist dabei konstant bzw. wˆ 0 . b) bei einem Eingangssprung der Führungsgröße wˆ 9 ? Die Störgröße ist dabei konstant bzw. zˆ 0 .

1.15 Parallelschaltung................................................................................. MNO Der Wirkungsplan einer Regelstrecke als Parallelschaltung ist unten gezeigt. Die Parameter der Teilstrecke (P-T1-Glied) sind gegeben: KP1 = 3 und T1 = 8 s. Bestimmen Sie die Kennwerte (Proportionalbeiwert und Zeitkonstanten) der Übertragungsfunktion der Gesamtstrecke, deren Stellgröße y und Regelgröße x ist.

KP1 , T1 +

y

x

+ 1.16 Wirkungsplan und Sprungantwort ............................................... MNOP Gegeben sind der Wirkungsplan und die Sprungantwort einer Regelstrecke mit der Stellgröße y und der Regelgröße x bei einem Sprung der Eingangsgröße yˆ = 0,5. Gegeben ist KPS3 = 2. Bestimmen Sie die Parameter K IS1 und K PS2.

x(t) 3,0

KIS1 +

y KPS2

+

KPS3

2,0 x 1,0

0

0,5

1,0

1,5 t /s

8

Aufgaben

1.17 Windkraftanlage ................................................................................ MNO Der Wirkungsplan einer Regelstrecke mit Regelgröße x(t) bzw. u(t), Stellgröße y(t) bzw. M(t) und Störgröße z(t) bzw. iE(t) ist unten gezeigt.

M

KPS2 iE

M

M

KPS1 , T1

M

KIS +

+

u

+



KPS3

u

KPS1 = 1,7

Gegeben sind:

T1 = 0,5 s

KPS2 = 0,1

KIS = 2 s-1

KPS3 = 0,1

a) Welche der unten gezeigten Kurven entspricht der Sprungantwort der Regelgröße x(t) bzw. u(t) beim Stellverhalten, d. h. bei einem Sprung der Eingangsgröße von Mˆ = 0,5? b) Nun wird die Regelstrecke mit einem Regler GR(s) geregelt. Der Regler hat die Übertragungsfunktion K DR ˜ s ˜ (1  sTv )(1  s ˜10Tv )

G R ( s)

und soll vollkompensiert werden. Die Kennwerte des Reglers sind: Tv = 0,5 s und KDR = 2,35 s Welche der unten gezeigten Kurven entspricht der Sprungantwort der Regelgröße x(t) bzw. u(t) beim Eingangssprung der Störgröße iE(t) von iˆE = 100? x(t)

x(t)

x(t)

10

10

10

5

5

5

0

1

t

0

2

t

0

x(t)

x(t)

x(t)

10

10

10

5

5

5

0

4

t

0

5

t

3

0

t

6

t

1 Klassische Regelungstechnik

9

1.18 Regelkreisverhalten ................................................................................MN Der Wirkungsplan einer Regelstrecke und die Parameter sind im Bild unten gezeigt. KPS = 0,2 y

T1 = 0,2 s

z 1, T2 = 2,5 s 1, T3 = 1,8 s

+

KIS = 0,25 s -1 x

+

Die Strecke soll mit dem P-Regler geregelt werden. Bestimmen Sie die bleibende Regeldifferenz: a) nach einem Sprung der Störgröße zˆ KPR = 4 beträgt.

0,2 , wenn der Proportionalbeiwert des Reglers

b) nach einem Sprung der Führungsgröße wˆ Reglers KPR = 10 beträgt.

2 , wenn der Proportionalbeiwert des

1.19 Hurwitz-Stabilitätskriterium (1) .............................................................. M Die Regelung erfolgt nach folgender DGL: x(t )  a 2 ˜ x(t )  a1 ˜ x (t )  (1  2 ˜ K PR ) ˜ x(t )

b0 ˜ w(t )  c0 ˜ z (t ) ,

wobei sind: x(t) – Regelgröße

w(t) – Führungsgröße

z(t) – Störgröße

Die Parameter der DGL sind gegeben: a2 = 0,2

a1 = 3

b0 = 0,1

c0 = 0,8

Für welche KPR - Werte wird der Regelkreis stabil?

1.20 Hurwitz-Stabilitätskriterium (2) ...........................................................MN Eine instabile Regelstrecke GS(s) soll mit dem P-Regler GR(s) = KPR geregelt werden, wobei x(t) – Eingangsund x(t) – Ausgangsgrößen sind. Die Streckenparameter sind gegeben: GS ( s ) KPS = 4

K PS (1  sT1 )(sT2  1) T1 = 1 s

T2 = 1,5 s

Für welchen Bereich von KPR wird der Regelkreis stabil?

10

Aufgaben

1.21 Nyquist-Stabilitätskriterium (1) .............................................................. M Der Wirkungsplan einer Regelung der Sendeleistung eines Handy ist mit folgenden Parametern gegeben: KIS = 0,1 s-1, KPS = 50 und Tt = 0,1 s. Prüpfen Sie die Stabilität des geschlossenen Kreises, wenn KPR = 1 ist. KPR

KIS

KPS

Tt

w

x

+



1.22 Nyquist-Stabilitätskriterium (2) MNOPQ Der angenäherte Amplitudengang eines aufgeschnittenen Regelkreises mit dem P-Regler mit KPR = 1 ist unten gezeigt. a) Prüfen Sie die Stabilität des geschlossenen Kreises. Hinweis: Tragen Sie den Phasengang in das Diagramm ein. G0 dB 20dB

0dB

M(Z)

0,1

1

10

Zs-1

Zs-1

-90° -180° -270° -360°

b) Nun wird der Regelkreis mit einem PID-Regler mit KPR = 1 geregelt. Bestimmen Sie die Zeitkonstanten des Reglers Tn und Tv nach der Kompensationsregel. Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die Parameter der Übertragungsfunktion des Kreises mit dem P-Regler bzw. die Zeitkonstanten der Regelstrecke.

1 Klassische Regelungstechnik

11

1.23 Nyquist-Stabilitätskriterium (3) ........................................................ MNO Das Bode-Diagramm eines offenen Regelkreises mit KPR = 4 ist unten gegeben.

G0 dB 60dB 40dB 20dB 0dB M(Z)

0,01

0,1

1

0,01

0,1

1

10 Zs-1

Zs-1

-90° -180° -270° -360° a) Welche der unten gezeigten Sprungantworten des geschlossenen Regelkreises entspricht dem oben gezeigten Bode-Diagramm? (Die Antwort begründen). Tragen Sie die richtige Antwort in das Diagramm 6, falls alle Diagrammen 1 bis 5 falsch sind. x(t)

x(t)

w

x(t) w

w

x

3

x 1

0

t

2

0

t

x(t)

x(t) w

x

0

t

x(t) x

w

6

w

x 0

4

t

0

5

t

0

b) Bei welchem Wert von KPR befindet sich der Regelkreis an der Stabilitätsgrenze?

t

12

Aufgaben

1.24 Phasenreserve (1) ....................................................................................MN Gegeben ist das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises mit dem P-Regler mit KPR = 1. Bestimmen Sie den Proportionalbeiwert des P-Reglers KPR, bei dem die Phasenreserve des Kreises DR = 45° erreicht.

G0 dB 0dB

-20dB

0,1

1

10

-40dB

Zs-1

Zs-1

M(Z) -90° -180° -270° -360°

1.25 Phasenreserve (2) .........................................................................MNOPQ Gegeben ist der Regelkreis, der aus einer P-T1-Regelstrecke und einen I-Regler gebildet ist. Der Proportionalbeiwert der Regelstrecke ist KPS = 2, die Zeitkonstante T1 = 1 s. a)

Bestimmen Sie den Integrierbeiwert KIR des Reglers so, dass die Phasenresreve des Regelkreises DR = 45° beträgt.

b) Wie groß ist dabei der Dämpfungsgrad des Regelkreises? c)

Wie ändert sich die Phasenreserve, wenn die Regelstrecke mit einer Totzeit von Tt = 0,4 s ergänzt wird?

1 Klassische Regelungstechnik

13

1.26 Phasenreserve (3) ................................................................................ MNO Der Füllstand eines Reaktors wird mit dem P-Regler geregelt.

Y

Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke ist gegeben: GS ( s )

.. .. .. ..

K IS  sTt ˜e s

Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises mit KPR = 1 ist unten gezeigt.

X

W

a) Bestimmen Sie den Proportionalbeiwert KPR des P-Reglers, bei dem die Phasenreserve DR = 45° erreicht wird. b) Nun wird die Totzeit Tt der Regelstrecke verdoppelt, d. h. Tt* 2 ˜ Tt . Wie soll der Proportionalbeiwert des P-Reglers geändert werden, um auch in diesem Fall die Phasenreserve DR = 45° zu behalten?

G0 dB 20dB

0dB

M(Z)

0°

 90°

 180°

 270°

1

10

100

1

10

100

Zs-1

Zs-1

14

Aufgaben

1.27 Betragsoptimum......................................................................................MN Der Wirkungsplan eines Regelkreises mit dem PID-Regler ist unten gezeigt. G1 ( s)

K PS 1  sT1

G2 ( s )

1 1  sT2

G3 ( s)

1 1  sT3

G4 ( s )

1 1  sT4

z G3(s) w +

e

y

GR(s)

 G2(s)

G1(s)

x G4(s)

+



Gegeben sind: KPS = 50

T1 = 0,1 s

T2 = 0,05 s

T3 = 0,2 s

T4 = 0,01 s

Bestimmen Sie die optimale Einstellung des PID-Reglers nach dem Betragsoptimum.

1.28 Symmetrisches Optimum .......................................................................MN Das Bild zeigt einen Regelkreis mit dem PID-Regler, der optimal eingestellt werden soll. KPR , Tn , Tv e

w

KPS , T1

1, T2

1, T3

1, T4

KIS

y

x



Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke ist gegeben: GS ( s )

K PS K IS , s (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )(1  sT4 )

wobei sind: KPS = 0,5

KIS = 1 s-1

T1 = 1 s

T2 = 0,5 s

T3 = 3 s

T4 = 8 s

Berechnen Sie die optimalen Kennwerte des Reglers KPR , Tn und Tv .

1.29 Optimale Reglereinstellung (1) ..............................................................MN Unten ist der Wirkungsplan einer Regelstrecke gezeigt, die mit einem PID-Regler geregelt werden soll. Ergänzen Sie den Wirkungsplan mit dem Regler und der Rückführung. Bestimmen Sie die optimalen Kennwerte des Reglers nach einem geeigneten Verfahren. y

KPS = 0,2 T1 = 2,5 s

T2 = 0,5 s

T3 = 2,1 s x

1 Klassische Regelungstechnik

15

1.30 Optimale Reglereinstellung (2) MN Das Bild unten zeigt einen Regelkreis mit dem PID-Regler. KPR, Tn, Tv w +

GS(s)

x



Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke mit Parametern T1 = 5 s

KPS = 0,9

T2 = 10 s

T3 = 1 s

ist gegeben: GS ( s )

K PS 2

(1  sT1 ) (1  sT2 )(1  sT3 )

Berechnen Sie die optimalen Kennwerte des Reglers KPR , Tn und Tv.

1.31 Optimale Reglereinstellung (3) ......................................................... MNO Motor

Sensor

Roboterhand

x

y

Die Position einer Roboterhand wird mit einem PID-Regler geregelt. Der Wirkungsplan des Regelkreises ist unten gezeigt. Die Parameter der Regelstrecke sind: KPS = 30

w

+

T1 = 0,1 s

KPS ,T1

KPR ,Tn ,Tv y



T2 = 0,6 s

1,T2

T3 = 0,4 s

KPG

1,T3

-1

KPG = 0,01

KIS

KIS =1 s

x

Regler

Bestimmen Sie die Kennwerte des PID-Reglers nach einem optimalen Verfahren.

16

Aufgaben

1.32 Optimale Reglereinstellung (4) .......................................................... MNO Der Wirkungsplan einer Regelstrecke und die Parameter sind unten gezeigt. Die Regelstrecke soll mit dem PD-Regler geregelt werden. KPS = 0,2 y

T1 = 0,2 s

z 1, T2 = 2,5 s 1, T3 = 1,8 s

+

KIS = 0,25 s -1 x

+

a)

Ergänzen Sie die Skizze oben so, dass daraus ein Regelkreis mit dem PD-Regler entsteht.

b) Bestimmen Sie die Kennwerte des PD-Reglers nach einem optimalen Verfahren.

1.33 Optimale Reglereinstellung (5) .......................................................... MNO Der Füllstand eines Reaktors wird mit dem PI-Regler geregelt. Der Wirkungsplan des Füllstandsregelkreises ist unten gezeigt. Die Parameter der Füllstandsregelstrecke sind: KPS = 0,6 T1 = 0,1 s T2 = 0,6 s KIS = 1,75 s-1

KPR w

+

 GR(s)

KPS ,T1

1,T2

KIS

Füllstand f



Bestimmen Sie die optimalen Kennwerte des volkompensierten PI-Reglers nach einem geeigneten Verfahren.

1 Klassische Regelungstechnik

17

1.34 Zweipunktregler (1) ................................................................................... M

w

+

ymax

e

-

ymin

y

Die Temperatur eines Ofens wird mit einem Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz geregelt. Die Regelstrecke besteht aus einem P-T1-Glied mit Zeitkonstante T1 = 15 s und einem Totzeitglied mit Tt = 5 s.

x P-T1

Tt

Die maximal erreichbare Temperatur bei dem eingeschalteten Regler ist 90 °C, die minimale Temperatur beim ausgeschalteten Regler ist 20 °C. Bestimmen Sie die Amplitude der Arbeitsschwingung x0 der Regelgröße x(t), wenn die Führungsgröße wS = 55° C beträgt.

1.35 Zweipunktregler (2) ........................................................................ MNOP Die Strecke soll mit einem Zweipunktregler geregelt werden. Die Sprungantwort der Strecke bei dem Sprung der Stellgröße von uS = 26 auf uS = 36 ist unten gezeigt. a) Mit welcher Grundlast UGL wird der Regelvorgang ohne bleibender Regeldifferenz erfolgen, wenn der Sollwert MMsoll = 1,8 ist? Der Zweipunktregler hat keine Schaltdifferenz. Wie groß ist dabei die Amplitude der Dauerschwingung x0? Hinweis: Mit Hilfe einer Grundlast soll die symmetrische Lage des Sollwertes innerhalb des gesamten Regelbereiches erreicht werden. b) Bestimmen Sie die Amplitude der Arbeitsschwingung x0 der Regelgröße x(t), wenn der Sollwert MMsoll = 1,5 ist und der Zweipunktregler die Schaltdifferenz xd = r 0,3 hat. MM (t) 3,0 2,4 1,8 1,2 0,6 0 36 34 32 30 28 26

10

20

30

40

50

20

30

40

50

60

70

t /ms

uS (t)

10

60

70 t /ms

18

Aufgaben

1.36 Reaktor mit Wärmeaustauscher.................................................... MNOP Die Wärmezufuhr eines Reaktors erfolgt durch Dampf über einen Wärmeaustauscher. Die Hauptregelgröße ist die Reaktionstemperatur X, die Hilfsregelgröße ist die Wassertempertur X1 am Eingang des Reaktors.

Gegeben ist der Wirkungsplan der Kaskadenregelung mit folgenden Parametern: KPS1 = 0,1

T1 = 18 s

KPR2 , Tn2

T2 = 16 s KPS1, T1

KPR1, Tn1, Tv1

1, T2

KPS3, T3 x

x1

y

w

T3 = 2 s

KPS3 = 0,1





Der Folgeregler (Hilfsregler) GR1(s) ist mit folgenden Parametern eingestellt: KPR1 = 60

Tn1 = 18 s

Tv1 = 16 s

Bestimmen Sie die optimale Einstellung des Führungsreglers (Hauptreglers) GR2(s).

1.37 Kaskadenregelung (1)......................................................................... MNO KPR2 , Tn2 w2

KIR1 w1

e



 GR2(s)

KPS1

x1

KPS2, T2

x2

GR1(s)

Bestimmen Sie die optimale Einstellung des Reglers GR2(s) nach dem Betragsoptimum, wenn K IR1 = 2,5 s-1; KPS1 = 0,2; KPS2 = 0,08 und T2 = 1,5 s gegeben sind.

1 Klassische Regelungstechnik

19

1.38 Kaskadenregelung (2)..................................................................... MNOP Ergänzen Sie den unten gezeigten Wirkungsplan der Regelstrecke so, dass daraus eine Kaskadenregelung für die Hilfsregelgröße x1 mit einem PFolgeregler (Hilfsregler) mit KPR1 = 10 und einem P-Führungsregler mit KPR2 = 30 entsteht.

y

z

KPS = 0,08 T1 = 9 s

T2 = 1 s x1

T3 = 0,2 s



KIS = 0,2 s -1 x

+

Wie groß wird die bleibende Regeldifferenz e(f) bei einem Sprung der Störgröße von der Höhe zˆ = 2 (dabei ist w = 0)?

1.39 Kaskadenregelung (3)......................................................................... MNO Der Wirkungsplan einer Kaskadenregelung und die Parameter sind unten gezeigt. KPS2 = 3

KPS1 = 5

KPR1 , Tn1

KPR2 , Tn2 w2

w1

e



 GR2(s)

T1 = 3 s

KPS1, T1

T2 = 1,5 s

x1

KPS2, T2

x2

GR1(s)

Kompensieren Sie den Folgeregler GR1(s) und bestimmen Sie den Proportionalbeiwert KPR1 so, dass die Zeitkonstante des Folgeregelkreises Tw1 = T1/20 wird.

20

Aufgaben

1.40 Kaskadenregelung (4)......................................................................... MNO Die aus zwei Gliedern bestehende Regelstrecke ist gegeben: GS1

K IS1 s

GS2

K PS2 1  sT2

KIS1 = 1 s-1

KPS2 = 0,5

T2 = 0,9 s

Die Strecke wird mit dem Kaskadenregler geregelt. z w2

w1

GR2(s)

+

+



GR1(s)

GS1(s)

x1

GS2(s)

x2



Der Folgeregler ist P-Regler mit KPR1 = 10. Der Führungsregler ist I-Regler mit Nachstellzeit Tn2 = 0,1 s. Die Übertragungsfunktion des I-Reglers ist wie folgt gegeben: G R2 ( s)

K PR 2 sTn2

Bestimmen Sie den Proportionalbeiwert des Führungsreglers KPR2 so, dass die Sprungantwort mit der Überschwingweite kleiner als 5% erfolgt.

1.41 Kaskadenregelung (5)..................................................................MNOPQ Gegeben ist der Wirkungsplan einer Kaskadenregelung mit Parametern: KPR2 e2

w2

a)

w1

KPR1 = 10

KIS1= 1 s-1

z x1

KIS2= 0,5 s-1

x2

Bestimmen Sie den optimalen Proportionalbeiwert KPR2 des Führungsreglers nach einem geeigneten Verfahren.

b) Unabhängig von der Lösung zum Punkt a) ist gegeben KPR2 = 5. Wie groß ist dabei der Dämpfungsgrad des Hauptregelkreises? c)

Wie groß ist die bleibende Regeldifferenz e2(f) bei einem Sprung der Störgröße z = 0,5, wenn KPR2 = 5 ist?

d) Wie groß wird die Regelgröße x2(f) im Beharrungszustand nach einem Sprung der Führungsgröße von wˆ 2 0,2 ? Dabei ist zˆ 0 .

1 Klassische Regelungstechnik

21

1.42 Lageregelung MNOPQ Zur Lageregelung von elektrischen Antrieben und Industrierobotern werden häufig Kaskadenstrukturen verwendet. Dabei wird ein schnellerer Anstieg des Drehmoments erreicht, weil neben dem Verfahrwinkel auch die Winkelgeschwindigkeit und Antriebsmoment zusätzlich zurückgeführt werden.

Bearbeitungskraft

Msoll

Werkstück Maschinentisch

ML Kaskadenregler

Stromrichter

M MM

uM

DrehmomentMessung

uZ

ZIst

WinkelgeschwindigkeitsMessung

uIst

MIst

Verfahrwinkel Messung

Der Wirkungsplan der Lageregelung einer Antriebsmaschine mit Kaskadenstruktur ist unten dargestellt. Der Verfahrwinkel MIst ist Hauptregelgröße mit dem Sollwert MSoll. Die Hilfsregelgrößen sind die Vorschubgeschwindigkeit ZIst und das Motordrehmoment MM. Die Parameter der Regelstrecke sind: KP4 = 0,4

KP3 = 1,2 KPR3

MSoll

+

 GR3

T3 = 0,00984 s

KPR2, Tn2

+



GR2

+ 

KPR1 uS

KP3, T3

GR1

T4 = 0,004 s ML MM 

KP4, T4

KI2 = 0,2 s-1

ZIst

KI2

MIst

+

Die Lageregelung soll mit folgenden Reglern erfolgen: x

Der erste unterlagerte Momentenregler GR1(s) ist P-Regler mit KPR1 = 6

x

Der zweite unterlagerte Winkelgeschwindigkeitsregler GR2(s) ist PI-Regler

x

Der Führungsregler (Hauptregler) GR3(s) ist P-Regler mit KPR3 = 2,5

Bestimmen Sie a)

die optimalen Kennwerte des Reglers GR2(s)

b) die bleibende Regeldifferenz MIst(f) beim Störverhalten, wenn der P-Hauptregler mit KPR2 = 5 eingestellt und der Eingangssprung der Störgröße ML = 0,5 ist.

22

Aufgaben

1.43 Quasikontinuierliche Regelung (1)  MNOP Der Wirkungsplan eines Regelkreises mit dem analogen P-Regler mit KPR = 2,5 ist mit folgenden Parametern gegeben: KIS = 0,2 s-1 KPS = 0,4

+

KIS

KPR

w

KPS

x

 GR(s)

Der analoge P-Regler wird durch einen digitalen P-Regler mit der Abtastzeit TA ersetzt. Wie groß darf die Abtastzeit TA gewählt werden, damit der geschlossene Kreis stabil bleibt? Hinweis: Der Kreis wird quasikontinuierlich betrachtet und untersucht.

1.44 Quasikontinuierliche Regelung (2) .............................................MNOPQ Die Regelstrecke ist gegeben: GS ( s)

K PS  sT2 e 1  sT1

KPS = 0,8

T1 = 0,5 s

T2 = 0,4 s

Der Regelkreis wird mit einem digitalen PID-Regler mit Abtastzeit TA = 0,2 s geregelt und darf als quasikontinuierlicher Kreis behandelt werden. Wie groß ist die Phasenreserve, wenn der Regler mit KPR = 1,25; Tn = 0,5 s und Tv =0,05 s eingestellt wird. Tragen Sie die Lösung in das unten gezeigte Diagramm ein. G0 dB 20dB

0dB

M(Z) -90° -180° -270° -360°

0,1

1

10

Zsec-1

Zsec-1

1 Klassische Regelungstechnik

23

1.45 Digitale Regler (1) ........................................................................MNOPQ Der Wirkungsplan eines Regelkreises mit dem analogen PD-Regler ist unten gegeben. Der PD-Regler ist vollkompensiert und mit Kennwerten KPR = 208,5 Tv = 0,01 s eingestellt. KPR , Tv w

KPS , T1

1, T2

KIS x

e



Das Bode-Diagramm zeigt den Frequenzgang G0(jZ) des aufgeschnittenen Regelkreises.

G0 dB 20dB

0dB

1

10

100

Zsec-1

Zsec-1

M(Z) -90° -180° -270° -360°

Der analoge PD-Regler soll durch einen digitalen Kompaktregler mit gleichen Kennwerten ersetzt werden. Der digitale Regler mit Abtastzeit TA = 0,033 s führt zur Entdämpfung des Regelkreises und folglich zu Dauerschwingungen. Bestimmen Sie KPR des digitalen Reglers so, dass der digitale Regelkreis gleiche Phasenreserve besitzt wie der analoge Kreis.

24

Aufgaben

1.46 Digitale Regler (2) ........................................................................MNOPQ Der neben gezeichnete Regelkreis mit KPS1 = 2

KPS2 = 0,9

T1 = 0,1 s

T2 = 0,2 s

z(s) w(s)

T3 = 0,6 s GS1

K PS1 ; 1  sT1

GS2

K PS2 (1  sT2 )(1  sT3 )

e(s)

GS1(s) GR (s)



 +

GS2(s)

x(s)

soll mit einem digitalen PI-Regler mit der Abtastzeit TA = 0,2 s geregelt werden. Bestimmen Sie die Reglereinstellung so, dass im geschlossenen Kreis die Phasenreserve von DR = 45° erreicht wird. Hinweis: Quasikontinuierliche Regelung.

1.47 Digitale Regler (3) MNOPQ Der angenäherte Amplitudengang eines aufgeschnittenen Regelkreises mit dem analogen P-Regler mit KPR = 1 ist unten gezeigt.

G0 dB 20dB

0dB

0,1

1

10

Zs-1

Zs-1

M(Z) -90° -180° -270° -360° a)

Bestimmen Sie den optimalen Wert von KPR nach dem Betragsoptimum.

b) Nun wird der Regekreis mit einem digitalen P-Regler mit KPR = 1 geregelt. Die Abtastzeit des Reglers beträgt TA = 0,1 s. Bestimmen Sie, für welchen Bereich von KPR der geschlossene Regelkreis mit dem digitalen Regler stabil wird. Hinweis: Der Regelkreis darf quasikontinuierlich behandelt werden.

1 Klassische Regelungstechnik

25

1.48 Digitalisierung (1) ........................................................................MNOPQ Digitalisieren Sie die folgenden regelungstechnischen Grundglieder nach der Rechteckregel mit der linken Intervallgrenze und konfigurieren Sie die digitaliserten Algorithmen mittels IEC-Funktionsbausteinen ADD (Addition), MUL (Multiplikation), SUB (Subtraktion), LIMIT (Begrenzung) usw.: a) P-Regler

GR ( s)

K PR

b) I-Regler

GR ( s )

K PR sTn

K IR s

c) PI-Regler

GR ( s )

K PR 

K PR sTn

d) P-T1-Strecke

GS ( s )

K PS 1  sT1

e) I-T1-Strecke

GS ( s)

K IS s(1  sT1 )

K PR 

K IR s

Bilden Sie aus den obigen Funktionsbausteinen zwei Regelkreise, die unten gegeben sind, bestimmen Sie die optimalen Kennwerte von Reglern nach dem Betragsoptimum und simulieren Sie die Sprungantworten von Regelkreisen: f) PI-Regler mit P-T2-Strecke (Reihenschaltung von zwei P-T1-Gliedern): T1 = 6 s

KPS = 0,8

T2 = 81 s

g) P-Regler mit I-T1-Strecke (Reihenschaltung von einem I- und einem P-T1-Glied): KIS = 0,1 s-1

T1 = 0,5 s

1.49 Digitalisierung (2) ........................................................................MNOPQ Eine P-T1-Strecke soll mit dem digitalen PD-T1-Regler geregelt werden. Die Parameter der Strecke und die Kennwerte des Reglers sind gegeben: KPS = 0,5

T1 = 0,2 s

KPR = 8

Tv = 0,2 s

TR = 0,03 s

a) Die Abtastzeit des Reglers beträgt TA = 0,01 s. Bestimmen Sie die Phasenreserve des Regelkreises. Hinweis: Quasikontinuierliche Regelung. b) Die Abtastzeit des Reglers beträgt TA = 0,1 s. Bestimmen Sie die Differentialgleichung des geschlossesen Regelkreises, digitalisieren Sie diese nach der Rechteckregel mit der linken Intervallgrenze, so dass der Geschwindigkeitsalgorithmus gebildet wird: xk 1

xk  'xk

c) Nach dem Algorithmus des vorherigen Punktes bestimmen Sie die bleibende Regeldif ferenz ek bei t o f bzw. k o f nach dem Sollwertsprung w 2 . Hinweis: Im Beharrungszustand ist xk+1 = xk.

26

Aufgaben

1.50 Differenzengleichung ...................................................................MNOPQ Eine P-T1-Strecke soll mit dem digitalen PI-Regler geregelt werden. Die Parameter der Strecke und die Kennwerte des Reglers sind unten gegeben: KPS = 0,5 T1 = 0,4 s

KPR = 2 Tn = 0,4 s

x

w

 Die Abtastzeit des Reglers beträgt TA = 0,01 s. Digitalisieren Sie die Differentialgleichung des geschlossenen Regelkreises nach der Rechteckregel mit der linken Intervallgrenze, bestimmen Sie homogene und partielle Lösungen der Differezengleichung und berechnen Sie die Sprungantwort des Kreises von  k = 0 bis k = 160 bei einem Eingangssprung der Führungsgröße w 2 .

1.51 z-Übertragungsfunktion ..............................................................MNOPQ Gegeben ist der Regelkreis, bestehend aus einer P-T1-Strecke und dem digitalen PRegler mit der Abtastzeit TA = 0,01 s. w

e

+



x

P-Regler Abtast-/Halteglied

Die Parameter der Strecke und die Kennwerte des Reglers sind unten gegeben: KPS = 0,4

T1 = 0,1 s

a) Bestimmen Sie die z-Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises. b) Bestimmen Sie den kritischen Proportionalbeiwert KPRkrit des P-Reglers, bei dem sich der geschlossene Regelkreis an der Stabilitätsgrenze befindet. c) Wie groß wird die bleibende Regeldifferenz nach dem Eingangssprung der Führungs größe w 2 , wenn der P-Regler mit dem Proportionalbeiwert KPR = 10 eingestellt ist? Zum Vergleich bestimmen Sie die bleibende Regeldifferenz des analogen Kreises (P-Regler mit P-T12-Strecke) mit gleichen Parametern. Hinweis: Die z-transformierte Übertragungsfunktion der Regelstrecke soll gemeinsam mit dem Halteglied ist GHS ( z )

K PS

1 a mit a za

T  A e T1

bestimmt werden.

Die z-transformierte Übertragungsfunktion des P-Reglers ist GR ( z )

K PR .

1 Klassische Regelungstechnik

27

1.52 Digitale Zweipunktregler (1)..................................................................MN Gegeben ist die Regelstrecke GS ( s)

K PS mit KPS = 0,75; T1 = 4,5 s. 1  sT1

Die Strecke wird mit einem digitalen Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz geregelt. Die Parameter des Zweipunktreglers sind: x

Abtastzeit

TA = 0,2 s

x

Stellgrößen

ymax = 24 V ymin = 0 V

Welche der unten gezeigten Sprungantworten (x0 ist die Amplitude der Dauerschwingung) entsteht nach dem Eingangssprung w = 9 V? Hinweis: Die Regelstrecke darf quasikontinuierlich behandelt werden. x(t)

x(t)

24

24

x0= 0,2

x(t)

x0= 0,2

24 3

12

12 1

0

t

12 2

0

x(t)

x(t) 24

24

12 4

t

6

12 0

0

x(t)

x0= 0,27

24

x0= 0,27

t

t

12 5

0

x0= 0,2

t

0

x0= 0,27 t

1.53 Digitale Zweipunktregler (2).............................................................. MNO Die unten gezeigte Regelstrecke wird mit einem digitalen Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz geregelt. Die Regelstrecke besteht aus einem P-T1-Glied mit der Zeitkonstante T1 = 17 ms und einem Totzeitglied mit Tt = 10 ms.

w

+

e

-

ymax ymin

y

x P-T1

Tt

Der maximal erreichbare Wert der Regelgröße beim eingeschalteten Regler ist 2,4, der minimale Wert beim ausgeschalteten Regler ist 0. Wie groß darf die Abtastzeit TA des Reglers werden, damit die Amplitude der Dauerschwingung der Regelgröße x0 < 1,0 wird, wenn die Führungsgröße w = 1,2 ist?

28

Aufgaben

1.54 Molekularfilter .............................................................................MNOPQ Im Bild links ist der Ausschnitt aus dem Prozessbild einer verfahrenstechnischen Anlage gezeigt. Der Farbstoff (Stoff B) soll aus der vermischten Flüssigkeit (A+B) mittels eines Molekularfilters getrennt werden. Der Molekularfilter besteht aus den in einer Plastikpatrone zusammengefassten Hohlfaser-Membranen. Das Stoffgemisch fließt quer zur Filtermembran und verursacht eine Druckdifferenz, welche den Durchfluss durch den Filter bestimmt. Die Änderung des Durchflusses beeinflusst die Konzentration der Lösung, die ihrerseits die Filtratsrate und folglich die Druckdifferenz beeinträchtigt. Die Druckdifferenz ist die Regelgröße X1, der Durchfluss ist die Regelgröße X2. Die Stellgrößen Y1 und Y2 sind die Hübe von Stellventilen. Der Wirkungsplan des Filters als MIMO-Regelstrecke ist unten gezeigt. KP11 , T11 y1

x1

+ +

KP12

KP11 = 2 T11

=5s

KP12 = 3 KP21

KP21 = 5 KP22 = 1,5

KP22 , T22

y2

+

+ x 2

T22 = 2,5 s

Bestimmen Sie die Sprunganworten von Regelgrößen x1(t) und x2(t), wenn sich beide Eingangsgrößen y1(t) und y2(t) gleichzeitig sprungförmig ändern, nämlich: yˆ1

0,5

yˆ1

0,8

1 Klassische Regelungstechnik

29

1.55 Diagonalregler ..............................................................................MNOPQ Gegeben ist eine MIMO-Regelstrecke in P-kanonischer Struktur mit: KP11 = 0,5

K22 = 0,4

KP12 = 0,2

KP21 = 0,1

T11 = 1,1 s

T22a = 6 s

T22b = 19 s

T21 = 8 s

 w1

G11 ( s )

K P11 1  sT11

G12 ( s)

K P12

G22 ( s )

K P22 (1  sT22a )(1  sT22b )

G21 ( s )

K P21 1  sT21

e1

+

GR1(s)

y1

G11(s)

x1

+ +

G12(s)

w2

+

G21(s) e2

+

y2

GR2(s)

G22(s)

+

x2



Die Regelstrecke wird mit dem Diagonalregler geregelt, wobei GR1(s) I-Regler und GR2(s) PI-Regler sind. Bestimmen Sie die optimalen Kennwerte KIR1 und KPR2, Tn2 nach einem geeigneten Verfahren (Betragsoptimum oder symmetrisches Optimum).

1.56 Entkopplungsregler (1)....................................................................... MNO

w1

KPR1 = 2 Tv1 = 5s

K11 = 0,5 T11 = 5s

e1

x1

+

+

+

K12 = 5 T12 = 5s

K21 = 0,6 T21 = 5s KPR2 = 0.5 Tv1 = 5s w2

+

e2

-

K22 = 10 T22 = 5s

Der Wirkungsplan eines Regelkreises ist gegeben. Ergänzen Sie den Wirkungsplan mit Blöcken und Parametern so, dass daraus eine vollständig entkoppelte Regelung entsteht.

+ + x2

30

Aufgaben

1.57 Zwei-Tank-System .......................................................................MNOPQ Ein System aus zwei Tanks, die miteinander verbunden sind, ist unten gezeigt. Die Regelgrößen sind Füllstände X1 und X2. Die Stellgrößen sind Hübe von Stellventilen Y1 und Y2. Ändert sich der Füllstand in einem Tank, so wird diese Änderung über das Verbindungsrohr zum Änderung des Füllstandes des zweiten Tanks führen.

Beschreiben Sie das Zwei-Tank-System mit DGL bzw. mit Übertragungsfunktionen in Pkanonische Form.

1.58 Mehrgrößenregelung: Stabilität .................................................MNOPQ Unten ist ein Regelkreis mit einer MIMO-Regelstrecke in P-kanonischer Struktur geKP22 = 2 KP12 = 1 KP21 = 0,5 zeigt: KP11 = 1 T11 = 1 s 

KPR1, Tn1

T22 = 2 s K11 , T11

e1

w1

x1

+

+

+

K12

K21

KPR2, Tn2 w2 +

e2

K22 , T22

+ +

x2



Bestimmen Sie, bei welchen Proportionalbeiwerten KR1 und KR2 der geschlossene Mehrgößenregelkreis stabil wird, wenn beide PI-Einzelregler vollkompensiert sind.

1 Klassische Regelungstechnik

31

1.59 Entkopplungsregler (2)................................................................MNOPQ Unten ist eine MIMO-Regelstrecke in V-kanonischer Struktur und der Entkopplungsregler mit Abgriffsorten an Regeldifferenzen e1 und e2 gezeigt. a) Bestimmen Sie die optimalen Kennwerte KPR2, Tn2 und die Übertragungsfunktion GR12(s) des Entkopplungsreglers. b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion GR12(s) des Entkopplungsgliedes, wenn Abgriffsorte nicht e1 und e2, sondern die Rückführgrößen x1 und x2 sind.

 w1

KPR1 , Tv1

K1 = 1 T1 = 0,5s

e1

K11 = 0,5 T11 = 5s

+ +

+

KI = 4s-1 x1

+

 K12 = 2

GR12(s) K21 = 5 GR21(s)

KPR2 ,Tn2 w2

+



+

e2

+



K22 = 2,5 T22 = 4s

KP = 2 TP = 0,5s

x2

+

1.60 Entkopplungsregler (3)................................................................MNOPQ Eine MIMO-Regelstrecke ist gegeben: KP11 = 1,25

T11 =1,5 s

KP12 = 3

T12 =5 s

KP21 = 1,67

T21 =8 s

KP22 = 5

T22 = 0,1 s

KP11 ,T11 y1 KP12 ,T12

K IR1 s

G R2 ( s)

x2

+

KP21 ,T21

Die Hauptregler sind I-Regler: G R1 ( s)

+

K IR2 s

a) Entwerfen Sie einen Diagonalregler. b) Bestimmen Sie Übertragungsfunktionen von Entkopplungsgliedes GR12(s) und GR21(s).

KP22 ,T22 y2

+ +

x2

32

Aufgaben

1.61 Entkopplungsregler (4)................................................................... MNOP Unten ist der Wirkungsplan eines entkoppeltes Regelkreises mit einer Strecke in Vkanonischer Struktur gezeigt. Die Abgriffsorte von Eingangssignalen der Entkopplungsglieder GR12(s) und GR21(s) sind die Regeldifferenzen e1 und e2. Die Übertragungsfunktionen und die Parameter der MIMO-Regelstrecke sind gegeben: G11 ( s) G22 ( s)

w1

K P11 1  sT11 K P22 1  sT22

K P12 1  sT12

V21 ( s)

K P21 1  sT21

KP11 = 1

KP22 = 2

KP12 = 1

KP21 = 0,5

T11 = 1 s

T22 = 2 s

T12 = 0,1 s

T21 = 0,1 s



e1

+

+

GR11(s) +

+

w2

+

V12 ( s)

e2

G11(s)



GR12(s)

V12(s)

GR21(s)

V21(s)

+ + GR22(s) +

x1



x2 G22(s)



Die beiden Hauptregler sind I-Regler: GR11 ( s ) GR 22 ( s)

K R11 s K R 22 s

Bestimmen Sie die Kennwerte von Hauptreglern KR11 und KR22, sowie die Übertragungsfunktionen von Entkopplungsgliedern GR12(s) und GR21(s).

33

2 Modellbasierte Regelung 2.1 Dead-Beat-Regler......................................................................................MN Die Regelstrecke besteht aus zwei Gliedern: GS1

K IS1 s

K IS2 s

GS2

KIS1 = 2 s-1

KIS2 = 0,8 s-1

Die Stellgröße ist begrenzt. Der maximal mögliche Wert der Stellgröße ist ymax = 10. Die Regelgröße soll aus einem Anfangszustand von x(0) = 2 in einen Endzustand x(f) =18 überführt werden. Wie groß ist die Ausregelzeit taus, wenn die Regelung ohne Überschwingungen erfolgt?

2.2 Kompensationsregler (1)  MNOP Der Temperatur eines Reaktors soll mit dem Kompensationsregler geregelt werden. Die Regelstrecke wird durch ein P-T1-Glied mit T1 = 2 s und KPS = 0,8 angenähert. Die gewünschte Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises hat auch ein P-T1Verhalten mit Tw = 0,05 s und KPw = 0,2. Skizzieren Sie den Wirkungsplan des Regelkreises mit dem Kompensationsregler. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des Kompensationsreglers GR(s).

2.3 Smith-Prädiktor MNOPQ Gegeben sind die Streckenparameter des unten gezeichneten Regelkreises: GS1

z(s) w(s)

e(s) 

GS1(s) GR (s)

 +

GS2(s)

K PS1 ; 1  sT1

x(s)

GS 2

K IS2 s (1  sT2 )(1  sT3 )(1  sT4 ) KPS1 = 2

KIS2 = 0,01 s

T1 = 0,1 s

T2 = 0,6 s

T3 = 3 s

T4 = 12 s

-1

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion und die optimale Einstellung: a) eines analogen PID-Reglers. b) eines analogen PD-Reglers. c) eines digitalen modellbasierten Reglers (Kompensationsregler oder Smith-Prädiktor) mit der Abtastzeit TA = 0,2 s, wenn die gewünschte Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises mit KPw = 0,2 gegeben ist: G wsoll ( s) K Pw .

34

Aufgaben

2.4 Kompensationsregler (2)  MNOP Die Übertragungsfunktion und die Parameter der Regelstrecke sind gegeben: GS ( s )

K PS (1  sT1 )(1  sT2 )

KPS = 0,9

T1 = 0,2 s

T2 = 1,2 s

Die gewünschte Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises ist auch gegeben: GM ( s)

K Pw 1  sTw

KPw = 0,2

Tw = 0,1 s

Prüfen Sie, ob das gewünschte Verhalten mit dem PD-T1-Regler mit folgenden Kennwerten erreicht werden kann: Proportionalbeiwert

KPR = 0,28

Vorhaltzeit

Tv = T1 + T2 = 0,2 s + 1,2 s = 1,4 s

Verzögerungszeit

TR = 0,125 s

2.5 Kompensationsregler (3)  MNOP Der Wirkungsplan einer Regelstrecke mit KPS = 1,8; T1 = 7,5 s und T2 = 13,5 s ist unten gezeigt. Ergänzen Sie den Wirkungsplan mit dem Kompensationsregler und bestimmen Sie seine Übertragunsfunktion und die Kennwerte, wenn das folgende Verhalten des Regelkreises gewünscht ist: KPS ,T1 1, T2 1 GM ( s ) mit s T 2 , 5 y x 2 (1  sT ) Welche Phasenreserve hat der Regelkreis mit dem Kompensationsregler?

2.6 Kompensationsregler und Smith-Prädiktor  MNOP Die Regelstrecke GS ( s )

K PS  sTt e 1  sT

mit KPS = 8

T= 8 s

Tt = 0,5 s

soll mit einem Kompensationsregler nach dem folgenden Verhalten des Regelkreises geregelt werden: GM ( s)

K Pw  sTMt e 1  sTw

mit KPw = 0,8

Tw = 1 s

TMt = 0,5 s

a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des Kompensationsreglers GR(s). b) Bestimmen Sie, welchen Wert die Stellgröße (Reglerausgang) im Beharrungszustand  y(f) bei t o f nach dem Sprung des Reglereingangs von e 1 annimmt.

35

3 Wissensbasierte Regelung 3.1 Klimaanlage........................................................................................... MNO Die Belüftung eines Produktionsraums wird mit dem Fuzzy-Regler geregelt. Über eine Luftzufuhr werden die klimatischen Bedingungen in dem Produktionsraum konstant gehalten. Der Fuzzy-Regler hat zwei Eingänge (Temperatur- und Luftfeuchtigkeitsmesser) und einen Ausgang (Luftzufuhr). Die Zugehörigkeitsfunktionen sind unten gezeigt. m

sehr kalt

1,0

kalt

norm

sehr warm warm

m trocken

normal

feucht

1,0

0,5

0,5

0,0

10

0

10

20

30

40

50

0,0 10

20

Temperatur

30

40

50

Luftfeuchtigkeit m

schwach aus

Die Regelbasis besteht aus 15 Regeln, die unten in einer Matrix gezeigt sind.

1,0

Die Komponenten von Prämissen aller Regeln sind miteinander mit dem logischen Operator UND verknüpft, z. B.

0,5

Wenn die Temperatur warm und die Feuchtigkeit trocken sind, dann wird die Luftzufuhr mittel.

mittel

stark

0,0 20

30

40

50

60

Luftzufuhr

Luftfeuchtigkeit

Temperatur

trocken normal feucht

sehr kalt kalt norm warm sehr warm stark mittel schwach mittel stark mittel schwach aus schwach mittel stark mittel schwach mittel stark

Bestimmen Sie nach der Schwerpunktmethode, welche aktuelle Stellgröße (Luftzufuhr) vom Fuzzy-Regler für die folgende Klimasituation im Raum ausgegeben wird: x

aktuelle Temperatur = 20

x

aktuelle Luftfeuchtigkeit = 40

36

Aufgaben

3.2 Schwerpunktmethode ........................................................................... MNO Gegeben ist ein Fuzzy-Regler mit zwei Eingängen e1, e2 und einem Ausgang y. Die Fuzzy-Kennlinien und die Regelbasis sind unten gezeigt: m

m small

middle

m norm

slow

big

quick

1,0

1,0

1,0

0,5

0,5

0,5

0,0

0,0 0

20

40

60

80

100 %

30

40

50

60

70%

e2

e1

0,0 20

minus

10

zero

0

plus

y

10 %

e1

e2

small plus plus minus

slow norm quick

middle minus zero minus

big minus minus zero

Bestimmen Sie den aktuellen Wert der Stellgröße yakt für die folgenden aktuellen Werte von Regeldifferenzen: e1 = 30% e2 = 45%

3.3 Aktuelle Stellgröße MNO Der aktuelle Wert der Stellgröße yakt wird nach der Schwerpunktmethode berechnet: Wenn e = negativ, dann y = small Wenn e = null, dann y = zero Wenn e = positiv, dann y = big Wie groß ist yakt bei eakt = 0,3? m(e)

negativ null

positiv

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

m(y)

0

0,2

0,4

0,6

e

zero

small

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

2

4

6

8

big

10

y

3 Wissensbasierte Regelung

37

3.4 Ofenheizung........................................................................................... MNO

Die modernen Regler mit dem Prädikat „Kompaktregler der Extraklasse“, wie z. B. JUMO IMAGO 500 lassen mathematische oder logische Verknüpfungen in einem eigenen Formeleditor erstellen. Somit werden einfache Funktionen, wie Min-, Max- oder Mittelwert und aufwändige Formeln, wie Fuzzy-Algorithmen, beschrieben. Beispielsweise soll ein Ofen mit dem Fuzzy-Algorithmus,0wie in dem Wirkungsplan neben gezeigt, geregelt werden. Die Strecke wird wie ein P-T1Glied beschrieben. Die Sprungantwort des Regelkreises nach dem Führungssprung wˆ = 2 ist unten gezeigt. Der aktuelle Wert der Stellgröße yakt wird nach der bekannten Formel der Schwerpunktmethode berechnet.

x(t), w(t) 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

w(t) x(t)

Die Fuzzy-Regelbasis und die Fuzzy-Sets sind gegeben: Wenn e = zero, dann y = small. Wenn e = positiv, dann y = big.

0

1

2

4 t/s

3

Wie groß ist yakt bei t = 3 s? m(e)

m(y)

positiv

zero

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 e

0

0,2

0,4

0,6

small

0 2,5

big

12,5

Hinweis: Die Lösung kann entweder aus den Zugehörigkeitsfunktionen oder direkt aus dem Regelkreis ery halten werden.

38

Aufgaben

3.5 Statische Kennlinie des Fuzzy-Reglers................................................ MNO negativ

0,2

0 0,2 m(y) minus zero plus

10 5

Die Zugehörigkeitsfunktionen Reglers sind gegeben.

m(e) null positiv 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

0

5

10

eines

Fuzzy-

Die Regelbasis: 1. Wenn e = negativ, dann y = minus 2. Wenn e = null,

dann y = zero

3. Wenn e = positiv, dann y = plus

e

Bestimmen Sie die statische Kennlinie des FuzzyReglers im Intervall

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

0,3 d e d 0,3 .

y

3.6 Stabilität des Regelkreises mit dem Fuzzy-Regler  MNO Gegeben ist der Regelkreis, bestehend aus der Regelstrecke GS ( s )

K PS K IS mit KPS = 6; T1 = 0,1 s; T2 = 0,5 s; KIS = 1 s-1 s (1  sT1 )(1  sT2 )

und dem Fuzzy-Regler mit den unten gezeigten Fuzzy-Kennlinien. Die aktuelle Stellgröße wird nach der Schwerpunktmethode berechnet. m(e)

negativ null

positiv

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

m(y)

small

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,2

0,4

0,6

e

0

2

4

zero

6

8

big

10

y

Die Regelbasis besteht aus 3 Regeln: If e = negativ, then y = small If e = null,

then y = zero

If e = positiv, then y = big. Prüfen Sie die Stabilität des geschlosenen Regelkreises bei kleinen Regeldifferenzen 0 d e d 0,1 und stabilisieren Sie ggf. den Regelkreis durch die Änderung von Kennwerten des Fuzzy-Reglers.

3 Wissensbasierte Regelung

39

3.7 Einzelschicht-Perceptron (1)MN Ein künstliches neuronales Netz (KNN) mit einer einzelnen Neuronenschicht ist gegeben. Das Netz wurde trainiert, die Eingänge in zwei Klassen, +1 und 1, aufzuteilen. Die Kennwerte sind:

W1

x1

T

W1 = 4



x2

D

+

W2

y

W2 = 5

D

0

+

Die Transferfunktion:

y

T =2

D > 0 und y = 1 bei D < 0.

y = 1 bei

Bestimmen Sie die Grenze zwischen Eingangsklassen r 1, die das KNN gelernt hat.

3.8 Einzelschicht-Perceptron (2)MN Welche logische Funktion (AND, OR, XOR) hat das unten gezeigte Perceptron gelernt? Tv =  2,2

x1 W =  6,4 W =  6,4

+ +

Ty =  6,3



W =  4,2

v1

W =  9,4

+



+

W =  4,2

y +

x2

Die Eingänge x1, x2 und der Ausgang y sind binär (0, 1). Das verdeckte Neuron besitzt die statische sigmoide Kennlinie: v1

1 1  eD

Das Ausgangsneuron hat die Zweipunkt-Kennlinie: ­ °° y 1 ® °y 0 ¯°

wenn wenn

½ D y ! 0° ° ¾ D y  0° ¿°

Hinweis: Da die Neuronen nur zwei Werte annehmen können, überprüfen Sie alle möglichen Eingangskombinationen (0, 0); (0, 1); (1, 0); (1, 1). Die Aktivierungswerte werden wie folgt berechnet: Dv

6,4 ˜ x1  6,4 ˜ x2  (2,2)

Dy

4,2 ˜ x1  4,2 ˜ x2  9,4 ˜ v1  (6,3)

40

Aufgaben

3.9 Mehrschicht-Perceptron MNO Ein Mehrschicht-Perceptron mit zwei Eingängen, zwei verdeckten Neuronen und einem Ausgangsneuron wurde trainiert, das Stabilitätsgebiet D eines Regelkreises zu erkennen. Für instabile Regelkreise gilt d = +1, für stabile d = 1.

Alle Neuronen haben Zweipunkt-Kennlinien (y = +1 oder y = 1). Jedes verdeckte Neuron bildet eine Teilgrenze. x2 = KPR C T

v1 0,5

-

y

D

1

ver dec kte Neu s ron v

A

x1

s eckte verd v 2 n o Neur

B

0,5 x2 x1 = Tn

v2

0

Damit teilen die verdeckten Neuronen die (KPR, Tn)-Ebene in 4 Bereiche A, B, C, D auf, wie in der Tabelle unten gezeigt ist. verdeckte Neuronen Aktivierung Werte v1 v2 Dv1 Dv2 >0 >0 +1 +1 <0 >0 +1 1 >0 <0 +1 1 <0 <0 1 1

Ausgangsneuron Aktivierung Werte y D >0 +1 >0 +1 >0 +1 <0 1

Verhalten des Regelkreises nach Teilgebieten instabil (B) instabil (C) instabil (A) stabil (D)

Bestimmen Sie, mit welchem Schwellenwert T das Stabilitästsgebiet vom Perzeptron korrekt erkannt wird.

3 Wissensbasierte Regelung

41

3.10 Mustererkennung MNO Ein künstliches neuronales Netz (siehe Bild zu Aufgabe 3.8) mit den folgenden Anfangsgewichten und dem Schwellenwert

x2 20

W1 = 8 W2 = 100 T = 1500

10

soll trainiert werden, um das neben gezeigte Diagramm zu erkennen:

-200 -100 0

100 200

x1

300

-10

d = 1 bei Kreis -20

d = + 1 bei Kreuz Die Lernschrittweite ist K = 0,025.

a) Welche Gewichte W1neu und W2neu werden nach dem ersten Lernschritt mit x1 = 200 und x2 = 20 eingestellt? b) Hat das KNN nach dem ersten Schritt korrekt gelernt oder soll das Lernen fortgesetzt bzw. sollen die Gewichte weiter verändert werden?

3.11 KNN-Programmierung mit IEC MNO Das im Bild oben gezeigte künstliche neuronale Netz wurde nun beim Schwellenwert T = 1600 zu folgenden Gewichten trainiert: W1 =  2 und W2 = 99,5. Das KNN erkennt die Streckensituation (d = 1 bei Kreis, d = + 1 bei Kreuz) und gibt das entsprechende Stellsignal y = 1 bei Kreis und y = + 1 bei Kreuz aus. Konfigurieren Sie den Vorwärts-Algorithmus (keine Backpropagation) des KNN mit IEC-Funktionsbausteinen aus der unten gezeigten Bibliothek.

X1 X2

X1 X2

DIV_INT

MUL_INT X1 X2 SUB_INT X1 X2

EQ_INT

AND_BOOL

ADD_INT Y

X1 X2

Y

X1 X2

OR_BOOL

Y

X1 X2 X3

Y

X1 X2 X3

GE_INT

LE_INT Y

Y

X1 X2 X3

Y X

Y

LT_INT Y

X1 X2 X3

REAL_TO_INT Y

Y

X

INT_TO_REAL Y

42

Aufgaben

3.12 Stabilitätsgrenze MNO W1

x1

T 

W2

x2

y

D

+

0

+

y

D

Die Transferfunktion:

KPR 5

y = 1 bei D > 0 und y = 1 bei D < 0 a) Die Grenze zwischen stabilen und instabilen Gebieten ist im Bild rechts gezeigt. Die Gewichte des erfolgreich trainierten Neurons betragen: W1 = 14

Ein Neuron mit zwei Eingängen x1 = Tn und x2 = KPR (siehe Bild links) wurde trainiert, die stabile Kreise (d = 1) von instabilen Regelkreisen (d = +1) zu unterscheiden.

3 1 0

instabil

nze Gre stabil Tn

W2 = 20

Nach bestimmter Zeit ändern sich die Parameter der Regelstrecke, und die Grenze zwischen Klassen nimmt eine neue Position ein, wie im Bild unten gezeigt ist. KPR 5

instabil

Dementsprechend wurde das Neuron erneut trainiert und mit neuen Gewichten W1 und W2 eingestellt, um die neue Klassenverteilung zu erkennen. Der Schwellenwert T wird dabei nicht geändert.

ze en r G

3 stabil

1 0

Tn

Bestimmen Sie den neuen Wert des Gewichtes W2, mit dem die Grenze im Bild rechts korrekt erkannt wird. b) Die Grenze zwischen stabilen und instabilen Gebieten ist oben im Bild rechts gezeigt. Gegeben ist, dass der Schwellenwert des korrekt trainierten Neurons T = 5 ist. Nach bestimmter Zeit verschiebt sich die Grenze zwischen Klassen parallel nach oben, wie unten im Bild links gezeigt ist. KPR

instabil 5

Mit welchem Schwellenwert T wird das Neuron auch die neue Klassenverteilung im Bild unten links korrekt erkennen, falls die Gewichte W1, W2 dabei unverändert bleiben.

nze Gre

3 1 0

stabil Tn

43

4 Gemischte Aufgaben 4.1 Roboterregelung................................................................................ MNOP Ein Roboter mit drei Gelenken ist im Bild rechts gezeigt. Prinzipiell kann man folgende Regelungsarten unterscheiden:

M

Kraftregelung, um definierte Kräfte/ Drehmomente auf die Arbeitsumgebung anzuwenden.

x

x

Lageregelung, d.h. eine gewünschte Roboterbewegung unabhängig von Kräften/Momenten zu garantieren.

x

Hybride Regelung, d.h. Mischformen, bei denen zwischen Lage- und Kräfteregelung aufgabenspezifisch umgeschaltet wird.

3 2 E

1 D

Bei der Regelung eines Roboters geht es um die: x

externe Regelung bzw. die Regelung des industriellen Fertigungsprozesses.

x

interne Regelung bzw. die Regelung von Gelenken des Roboters. Dafür werden die Messwerte über die Gelenkwinkel D, E, M und Gelenkgeschwindigkeiten Z1, Z2, Z3 erfasst.

Die interne und externe Roboterregelung sind im Wirkungsplan unten gezeigt. Die Parameter sind gegeben: KPM = 3,5

KPu = 2,8

KIE = 0,9 s-1

KP4 = 0,2

T1 = 0,073 s

T2 = 0,069 s

T3 = 0,021 s

T4 = 0,009 s

M KPR2, Tn2

w +



KPR1, Tv1 +



uM

KPM , T2 KPu , T1



KIE

E

KP4, T4 x

+

4.1.a) Bestimmen Sie die optimalen Kennwerte des PI-Reglers KPR2 und Tn2 nach einem geeigneten Verfahren, wenn KPR1 = 25,5 und Tv1 = 0,073 s sind.

44

Aufgaben

4.1.b) Nach einer sprunghafter Änderung Mˆ

0,1 erreicht der Roboterarm im Behar-

rungszustand die Position x(f) = 0,0056. Wie groß wird dabei der Winkel E(f)? 4.1.c) Anstelle des PI-Reglers wird der Fuzzy-Regler mit den unten gezeigten Fuzzy-Sets eingesetzt, wobei e die Regeldifferenz und y die Stellgröße sind. m(e)

small middle

m(y)

big

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

slow

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,2

0,4

e

0,6

0

2

very fast

fast

4

6

8

10

y

Die Regelbasis: Regel 1: If e = small, then y = slow Regel 2: If e = middle, then y = fast Regel 3: If e = big, then y = very fast Bestimmen Sie die statische Kennlinie des Fuzzy-Reglers. 4.1.d) Ergänzen Sie den unten gezeigten Wirkungsplan der Regelung von Gelenken 2 und 3 des Roboters so, dass daraus die vollständige Entkopplung entsteht. Die beiden Hauptregler in jeweiligen Regelkreisen sind PD-Regler. Bestimmen Sie die Kennwerte der Regler. w3

 GR3(s)

+

uM3

1, T33

KP3 , T3

+

KI3

Z3

M

 KPE3 , TE3

KPM2 = KPE3 = 3,5 KP2 = KP3 =2,8

E

KI2 = KI3 = 0,9 s-1 T2 = T3 = 0,002 s

M

T22 = T33 = 0,021 s TM2 = TE3 = 0,069 s

w2

+

GR2(s)



uM2

KPM2 , TM2

KP2 , T2

 +

1, T22

KI2

Z2

E

4 Gemischte Aufgaben

45

4.2 Regelung eines Robotergelenkes...................................................... MNOP KPM , T2

M KPu , T1 w

+

Controller



uM

KIE

1, T3

E

Z

+



Der Wirkungsplan des Regelkreises für die Regelung eines Gelenks des Roboters ist im Bild oben gezeigt. Die Parameter der Regelstrecke sind gegeben: KIE = 0,9 s-1

KPu = 2,8

KPM = 3,5

T1 = 0,120 s

T2 = 0,069 s

T3 = 0,021 s

4.2.a) Das Robotergelenk wird mit dem P-Regler geregelt. Bestimmen Sie den kritischen Proportionalbeiwert des Reglers KPRkrit, bei dem sich der Regelkreis an der Stabilitätsgrenze befindet. 4.2.b) Ermitteln Sie anhand der Ziegler-Nichols-Tabelle den Proportionalbeiwert des P-Reglers. 4.2.c) Nun wird der P-Regler mit KPR = 8,5 eingestellt. Wie groß ist die bleibende Regeldifferenz nach dem Sprung Mˆ 0,1 ? 4.2.d) Der Regler in dem oben gezeigten Wirkungsplan ist ein PD-Regler. Ermitteln Sie die Einstellparameter des Reglers nach dem Betragsoptimum. 4.2.e) Das Robotergelenk soll mit dem PI-Regler geregelt werden. Berechnen Sie die optimalen Kennwerte des Reglers KPR und Tn nach einem geeigneten Verfahren. 4.2.f) Das Robotergelenk in dem oben gezeigten Wirkungsplan wird nun mit dem PIDRegler geregelt. Ermitteln Sie die Einstellparameter des Reglers nach dem symmetrischen Optimum. 4.2.g) Das Robotergelenk soll mit dem Fuzzy-Regler geregelt werden. Die Ein- und Ausgangs-Fuzzy-Sets sind unten gezeigt. m(e)

m(y)

positiv

zero

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 e 0

small

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,2

0,4

0,6

0

2,5

big

12,5

y

46

Aufgaben

Die Regelbasis des Fuzzy-Reglers: Wenn e = zero,

dann y = small

Wenn e = positiv, dann y =big Bestimmen Sie den statischen Proportionalbeiwert des Fuzzy-Reglers im Intervall 0,2 < eakt < 0,4. Die Stellgröße yakt wird nach der Schwerpunktmethode berechnet. 4.2.h) Das Robotergelenk wird mit dem PID-Regler mit KPR = 6,32 geregelt. Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises ist unten gegeben. Wie soll der Proportionalbeiwert KPR des Reglers geändert werden, um die maximale Phasenreserve zu erreichen? G0 dB 20dB

0 dB

0,1

1

10

Zs-1

Zs-1

M(Z) -90° -180° -270° -360°

4.2.i) Anstelle des analogen PID-Reglers wird der digitale PID-Regler mit KPR = 6,32 und mit der Abtastzeit TA = 0,002 s eingesetzt. Bestimmen Sie die Phasenreserve, wenn der Regelkreis quasikontinuierlich betrachtet werden kann.

4 Gemischte Aufgaben

47

4.3 Überschleifen und Pendeln eines Schweißroboters MNO Bei der Programmierung der Roboterbewegung strebt man meist nicht das exakte Anfahren der Bahnstützpunkte an, sondern verrundet die Roboterbahn, um eine kontinuierliche Bewegung zu erreichen (Überschleifen). Die Steuerung berechnet eine Bahn zwischen zwei Punkten und führt die Sollwerte dem Lageregelkreis zu. Beim Bahnschweißen ist es außerdem meist vorteilhaft, die programmierte Bewegung durch eine sinusförmige oder dreieckförmige Pendelfunktion zu überlagern. Die Kaskadenregelung eines Roboters ist im Wirkungsplan unten gezeigt. Die folgenden Parameter sind gegeben: KPR1 = 25,5

Tv1 = 0,120 s

KPM = 3,5

KPu = 2,8

KIE = 0,9 s

-1

w x

T1 = 0,120 s Pendeln

T3 = 0,021 s

T2 = 0,069 s

M w +

e

Überschleifen

KPR1, Tv1

Hauptregler

+



uM

KPM , T2 KPu , T1



1, T3

Z

KIE

E

+



4.3.a) Der Hauptregler ist ein PD-Regler. Bestimmen Sie die optimalen Kennwerte des Reglers KPR2 und Tv2 nach einem geeigneten Verfahren mit Überschwingen kleiner 5%. 4.3.b) Unabhängig vom vorherigen Punkt ist gegeben: KPR2 = 100 Wie groß wird die bleibende Regeldifferenz e(f) beim Störverhalten, d. h. nach dem Eingangssprung der Störgröße Mˆ 10 ? 4.3.c) Der Hauptregler ist modellbasierter Kompensationsregler. Die gewünschte Pendelung des Schweißbrenners ist durch die folgende Übertragungsfunktion gegeben GM ( s )

1 2 2

1 s T

mit T 2

0,00013 s 2

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des Kompensationsreglers und zeigen Sie, welcher Reglertyp (P-, I-, PD-, PI-, PID) dafür eingesetzt werden kann.

48

Aufgaben

4.4 Mobiltelefon........................................................................................... MNO LAusbreitung

Feststation



LZentrale

LSoll +



Mobilstation

LHandy

Sender

+

Le SHT

Höher-Tiefer -Taster

Register Höher-Tiefer-Signal

Das Mobiltelefon besteht aus zwei Teilen: ein Register als I-Glied mit Integrierkonstante KIR und einen Sender als P-Glied mit dem Proportionalbeiwert KPS. Die Sendeleistung LHandy des Mobiltelefons wird während Freiraumausbreitung gedämpft. Dadurch wird die Empfangsleistung der Zentrale geschwächt, d. h. LZentrale = LHandy – LAusbreitung. Die Empfangsleistung LZentrale wird von einem Höher-Tiefer Taster mit dem Sollwert LSoll (die gewünschte konstante Leistung) geregelt und als ein Höher-Tiefer-Signal SHT an die Handy gesendet. Der linearisierte Höher-Tiefer Taster wird durch eine Gerade mit der Steigung KHTT approximiert und stellt damit ein P-Glied dar. Der Wirkungsplan der Sendeleistungsregelung ist unten gegeben: KIS = 0,1 s-1, KPS = 50 und KPR = 0,5. z2

KPR w +

+

e 

KIS

KPS

+

z1 

x

+

Bestimmen Sie die folgenden Parameter: 4.4.a) den Dämpfungsgrad des Regelkreises? 4.4.b) den statischen Regelfaktor des Regelkreises? 4.4.c) die Regelgröße x(f) im Beharrungszustand nach einem Sprung der Führungsgröße von wˆ 0,2 ? Dabei sind zˆ1 0 und zˆ 2 0 . 4.4.d) die bleibende Regeldifferenz e(f) nach einem Sprung der Störgröße zˆ1 Dabei sind wˆ 0 und zˆ 2 0 .

0,1 ?

4 Gemischte Aufgaben

49

4.4.e) Wie groß wird die bleibende Regeldifferenz e(f) nach einem Sprung der Störgröße zˆ 2 0,5 ? Dabei sind wˆ 0 und zˆ1 0 . 4.4.f) Die Regelung der Sendeleistung eines Handy mit einem P-Regler erfolgt nach folgender DGL, wobei x(t) die Regelgröße, w(t) die Führungsgröße, z(t) die Störgröße sind: T1T2x(t )  T1 x(t )  T2 x(t )  x (t )

 K PR K PS K IS w(t )  K PR K PS K IS x(t )  K Pz z (t )

Die Parameter der Regelstrecke sind gegeben: KIS = 0,1 s-1, KPS = 50, T1 = 0,1 s und T2 = 0,05 s. Ermitteln Sie anhand der Ziegler-Nichols-Tabelle den KPR-Wert des P-Reglers. 4.4.g) Wie groß kann KPR eingestellt werden, bei dem der geschlossene Kreis stabil ist, wenn die Abtastzeit des Reglers TA = 0,2 s beträgt? KPR

KIS

KPS

Tt

w +

x 

4.4.h) Ein künstliches neuronales Netz mit Gewichten W1 = 4

W2 = 100

und dem Schwellenwert

T = 1500 wurde trainiert, die Leistungsverluste LAus bei Ausbreitung einer Mobilkommunikation zu erkennen und das an die Handy gesendete Höher-Tiefer-Signal r 1 einzustellen. Die Leistung LAus ist von Luftdruck x1 und Lufttemperatur x2 abhängig, die dem Netz als Eingänge vorgegeben werden. Überprüfen Sie, ob das Netz im Bereich 200 d x1 d 300 korrekt trainiert wurde, wenn gegeben ist, dass das gleiche HöherTiefer-Signal für zwei Zustände von Luftdruck x1 und Lufttemperatur x2 gesendet wird: der 1. Zustand

der 2. Zustand

­ x1 100 ® ¯ x 2 10 ­ x1 200 ® ¯ x 2 20

x2 20 10 x1 -200 -100 0 -10 -20

100 200

300

50

Aufgaben

4.4.i) Die Sendeleistung soll mit einem künstlichen neuronalen Netz (KNN) geregelt werden.

Tv = 0,5

y1

Die Struktur des zweischichtigen KNN ist rechts gezeigt. Die Eingänge des Netzes y1 und y2 sind Signale des Höher-Tiefer-Tasters:

W1

1

+ +

 v

1 W2v

W2 1

Signal 0 bei „tiefer“ Signal 1 bei „höher“

T = 0,5

W1v

W3v

y2

 + + L + H

2 1

Der Ausgang des KNN ist die Sendeleistung LH und ist auch binär (0 oder 1). Auch die Transferfunktionen mit folgendem Algorithmus sind binär: Wenn Aktivierung D > 0 ist, dann ist der Ausgang LH bzw. v gleich “1“ (normal) Wenn Aktivierung D < 0 ist, dann ist der Ausgang LH bzw. v gleich “0“ (leise / laut) Die Regelbasis ist unten gegeben: Zustand 1 2 3 4

Sendeleistung LH leise leise normal laut

y2 tiefer tiefer höher höher

y1 tiefer höher tiefer höher

Überprüfen Sie, welche Zustände (1, 2, 3 oder 4) vom Netz korrekt angesteuert werden. 4.4.j) Nun ist ein Fuzzy-Regler mit zwei Eingängen LSoll und LZentrale und einem Ausgang SHT gegeben. Die Eingangs-Zugehörigkeitsfunktionen sind unten gezeigt. m

nacht

vormittag

tag

1,0 0,5 0,0

0

20

40

60

80

100% LSoll

m

leise

norm laut

m

1,0

1,0

0,5

0,5

0,0 30

neg

kein

10

0

pos

0,0 40

50

60

70% LZentrale

10% SHT

LZentrale

LSoll

nacht leise norm laut

kein neg neg-groß

vormittag pos kein kein

tag pos-groß pos kein

Bestimmen Sie die Ausgangsgröße SHT des Fuzzy-Reglers nach der Schwerpunktmethode für aktuelle Werte von LSoll = 30% und LZentrale = 45%.

4 Gemischte Aufgaben

51

4.5 Temperaturregelung ................................................................................MN

Die Temperatur TA eines Lüfters wird mit der Umgebungstemperatur TE verglichen. Daraus wird die Temperaturdifferenz TA  TE gebildet, die in Spannung UT umgewandelt wird. Die Aufgabe der Regelung besteht darin, die Spannung UT konstant zu halten. Der Sollwert UTsoll wird von einem Potentiometer gegeben (das Potentiometer ist im Bild unten nicht gezeigt). a220 V a220 V

NetzspannungsStabilisator

Luft

UAUE

UA

TA Y=UH

X = UT

Heizwendel

Verstärker

UE

Tyrotakt

Luft

TE M Z=UM

Das statische Kennlinienfeld der Regelstrecke UT = f(UH, UM) ist gegeben. Beim Arbeitspunkt sind in das Diagramm auch die statischen Kennlinien von zwei P-Reglern, nämlich R1 und R2, mit unterschiedlichen Proportionalbeiwerten § 'U H · ¸¸ K PR ¨¨ © 'U M ¹ 0 eingetragen.

UT /V 10

UM = 4 V

8

UM = 6 V

6

UM = 8 V

4

UM = 10 V R1

2

0

R2 2

4

6

8

10 UH /V

52

Aufgaben

4.5.a) Linearisieren Sie die Strecke für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt UM0 = 6 V

UH0 = 6 V

und bestimmen Sie die Werte von KPSy und KPSz. 4.5.b) Die Strecke soll mit einem P-Regler geregelt werden. Wie groß ist der Proportionalbeiwert KPR des P-Reglers mit der statischen Kennlinie R2? Wie groß ist der statische Regelfaktor RF, wenn R1 die statische Kennlinie des Reglers ist. 4.5.c) Der Wirkungsplan des Lüfters als der Regelstrecke ist unten gegeben.

uH

KPS = 0,75 T1 = 3 s

T2 = 5 s

T3 = 20 s

uT

Welche Sprungantwort entsteht nach dem Eingangssprung uH = 24 V? UT(t)

UT(t)

UT(t)

24 V

24 V

24 V

12 V

12 V

12 V 1

0

t

UT(t)

2

0

t

UT(t)

24 V

3

0

t

UT(t)

24 V

24 V 5

12 V

6

12 V 4

0

t

12 V

0

t

0

t

4.5.d) Unten sind der Eingangssprung y(t) = uH und die Sprungantwort x(t) = uT des Lüfters gegeben. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion der Regelstrecke und deren Parameter. Temperatur x(t)

y(t) 10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

0

t/s

0

10

20

30

40

50

60

t/s

4 Gemischte Aufgaben

53

4.5.e) Der Wirkungsplan der Temperaturregelung mit dem PI-Regler ist unten gezeigt. Der Regler soll kompensiert werden. Bei welchem Proportionalbeiwert KPR des PI-Reglers wird der geschlossene Kreis stabil? KPS = 0,75 T1 = 3 s

KPR , Tn uH

uTsoll

T2 = 5 s

T3 = 20 s

uT

Hinweis: Bestimmen Sie die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises und prüfen Sie diese nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium. 4.5.f) Nun wird die Temperaturdifferenz mit dem PID-Regler geregelt und zwar mit der Motorspannung UM als Stellgröße (siehe den Wirkungsplan unten). KPR , Tn , Tv uTsoll

KPS , T1

1, T2

uM

+

1, T3

uT



Der Proportionalbeiwert der Regelstrecke ist gegeben: KPS = 0,75. Das Bode-Diagramm der Regelstrecke ist unten gezeigt. Bestimmen Sie die Kennwerte des Reglers nach dem Betragsoptimum. 0

~G~dB 50

100

M

0

90° 180°

270° 10-2

10-1

100

Z

54

Aufgaben

4.5.g) Die Temperaturdifferenz soll mit einem Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz geregelt wird. Die Stellgröße (Heizung) wird mit der Spannung UH eingeschaltet (24 V) oder ausgeschaltet (0 V). a220 V Luft

UAUE

UA

TA Y=UH

X = UT

Heizwendel

Verstärker

UE

TE

Luft

M Z=UM

Als Zweipunktregler wird eine SPS mit folgenden Ein-/Ausgangsadressen konfiguriert: x

UT (Regelgröße X)

Adresse

%3:00002

x

UH (Stellgröße Y)

Adresse

%0:00001

x

UTsoll (Führungsgröße W)

Adresse

%3:00004

Die Sprungantwort der Regelstrecke bei einem Sprung UH = 24 V ist im Bild unten gezeigt. Bestimmen Sie die Amplitude der Arbeitsschwingung x0, wenn zur Adresse %3:00004 einen Wert von 16000 eingegeben wird. x (t)=UT / V

T1

10 7,5 5,0 2,5 Tt 0

10

20

30

40

50

60

70 t/ s

10

20

30

40

50

60

70 t/ s

y(t)= UH / V 24 12 0

4 Gemischte Aufgaben

55

4.6 Füllstandsregelung....................................................................................MN Menge QA

Das Bild links zeigt einen Reaktor, dessen Füllstand geregelt werden soll.

V1 Produkt A

M

Menge QB

V2

Der aktuelle Füllstand F wird in die Spannung AI1 umgewandelt. Der Sollwert W wird vom Potentiometer AI3 manuell eingegeben.

Produkt B

AI1 Füllstand F

+

F

AV1

Die Zufluss-Ventile V1 und V2, sowie der Motor M (Mixer) werden mit binären Signalen angesteuert.

Sollwert W

Messumformer

Ventilhub Y

AI3

Das Stellventil AV1 soll mit einem P-Regler geregelt werden.

Regler

4.6.a) Skizzieren Sie den Wirkungsplan der Füllstandsregelung.

Produkt-Ablauf Produktmenge QP

4.6.b) Unten sind der Eingangssprung y(t) und die Sprungantwort x(t) einer Regelstrecke gegeben. Im Anfangszustand ist y(t) = 0 und x(t) = 10. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion der Regelstrecke und deren Parameter.

Füllstand x(t)

Abflussventilhub y(t) 10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

0

t/s

0

10

20

30

40

50

60

t/s

56

Aufgaben

4.6.c) Der Füllstand f(t) beträgt im Anfangszustand 10V. Nachdem das Ventil y(t) sprunghaft geöffnet wird, ändert sich der Füllstand wie im Diagramm unten gezeigt ist. Ventilhub y(t)

Füllstand f(t) 10

10 8

8

6

6

4

4

2

2

0

t

0

1

2

3

4

5

t

Welcher Wirkungsplan unten entspricht der oben gegebenen Sprungantwort? K D = 1,67 T1 = 5 s

y

f

K PS = 1,67

y

f



1

y

f

4

y

K IS = 1,3 s -1 f

K IS = 2,0

f

y 7

K IS = 0,33 y 8

K IS = 1,3 s -1 y 6

5

s -1

s -1 f

f



3

2

K D = 8,33 T1 = 5 s

K PS = 1,67

y

y 9

f



K IS = 0,33 s -1

f



Unabhängig von vorherigen Aufgaben wird die Regelstrecke mit folgender Übertragungsfunktion beschrieben: G0 (s)

K PR ˜ K PS ˜ K IS mit KPS = 0,1; T1 = 1 s; T2 = 5 s; KIS = 2,5 s-1 s ˜ (1  sT1 ) ˜ (1  sT2 )

4.6.d) Der Füllstand wird mit dem P-Regler geregelt. Bestimmen Sie den Proportionalbeiwert des P-Reglers nach der Ziegler-Nichols-Tabelle. 4.6.e) Die Regelung erfolgt mit dem PD-Regler. Bestimmen Sie die Kennwerte des PDReglers nach einem geeigneten Verfahren. 4.6.f) Der PID-Regler wird für die Füllstandsregelung eingesetzt. Bestimmen Sie die Kennwerte des PID-Reglers nach einem geeigneten Verfahren und konfigurieren Sie den Funktionsbaustein PIDP1 mit den berechneten Kennwerten.

4 Gemischte Aufgaben

57

4.7 Werkzeugmaschine (1) ................................................................................ M Der Fertigungsablauf einer Werkzeugmaschine wird mit einem Regler geregelt. Die wichtigste Prozessgröße ist dabei die Position der Vorschubachse. Die Drehbewegungen der Antriebsmotoren werden in Gewindespindel-Mutter-System in eine translatorische Bewegung umgesetzt. Die Linearführung erfolgt mit Kugelrollspindel (siehe das Schema unten). Bearbeitungskraft Werkstück Maschinentisch

MB

M MM , ZIst

ML, MR

MIst

kr

Im weiteren werden folgende Variablen verwendet: MIst = Drehwinkel (Istwert, Regelgröße)

MM = Motordrehmoment

ZIst = Winkelgeschwindigkeit

ML = Lastmoment

ZIst = Beschleunigung

MB = Beschleunigungsmoment

kR = Reibungskoeffizient

MR = Reibungsmoment

X [Nm]

Z = 1,5 Nm Z = 1,4 Nm

5 Z = 1,3 Nm 4

Z = 1,2 Nm

3

Z = 1,1 Nm

4.7.a) Das Kennlinienfeld (links) des mechanischen Teils der Regelstrecke soll für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt X0 = 3 Nm, Y0 = 800 1/min linearisiert werden, wobei

2

X - Regelgröße (ZIst) 1

Y - Stellgröße (MM) Z - Störgröße (ML). 700

750

800

850

900

950

Y [1/min]

Bestimmen Sie die Proportionalbeiwerte KPy und KPz.

58

Aufgaben

4.7.b) Der mechanische Teil der Arbeitsmaschine stellt sich eine Kreisstruktur (Eingang MM, Ausgang ZIst) mit Gegenkopplung dar. Der Lastmoment ML wird vernachlässigt.

 ML

MM

+

MB



KP1

. ZIst

KI1

ZIst

KP2

MR

Das Vorwärtsglied ist Reihenschaltung aus zwei Gliedern: x

P-Glied mit dem Proportionalbeiwert KP1 = 8,5

x

I-Glied mit der Integrierkonstante

KI1 = 1,5 s-1

Das Rückführungsglied ist P-Glied mit dem Proportionalbeiwert KP2 = 4. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion GM(s) der Kreisstruktur. 4.7.c) Unabhängig vom Punkt a) stellt sich die Übertragungsfunktion GM(s) ein P-T1Glied mit KPM = 0,4 und TM = 0,05 s dar:

KPM, TM MM

K PM GM (s) 1  sTM

ZIst

Wie groß wird die Ausgangsgröße x(f) = ZIst im Beharrungszustand nach einem Eingangssprung von MM = 0,3? 4.7.d) Unabhängig vom Punkt c) ist der Winkelgeschwindigkeitsregelung mit dem PI-Regler gegeben.

w

e

+

PI-Regler

y



KPM, TM

einer

x

+

 GR ( s)

z

KPE, TE

Wirkungsplan

K PR (1  sTn ) s Tn

Die Parameter der Regelstrecke sind gegeben: KPE = 0,3

TE = 0,015 s

KPM = 0,4

TM = 0,05 s

Bestimmen Sie die optimale Reglereinstellung (d. h. die Kennwerte KPR und Tn des PIReglers) nach dem Betragsoptimum.

4 Gemischte Aufgaben

59

4.7.e) Unabhängig vom Punkt 4.7.d ist der PI-Regler einer Winkelgeschwindigkeitsregelung mit Kennwerten KPR = 5 und Tn = 5ms eingestellt. Die Parameter der Strecke sind: KPE = 0,3

KPM = 0,4

TE = 15ms

TM = 50ms

KPR, Tn

w

y

e

+

z

KPE, TE

KPM, TM



x

+



Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Kreises ist dabei: s 3 ˜ Tn TE TM  s 2 ˜ Tn (TE  TM )  s ˜ Tn (1  K PR K PE K PM )  K PR K PE K PM

0

Überprüfen Sie mit Hilfe des Hurwitz-Stabilitätskriteriums die Stabilität des geschlossenen Regelkreises. Unabhängig von vorherigen Aufgaben wird ein P-Regler eingesetzt.

z

KPR

w

e

+



KPM, TM



P-Regler

x

+

Die Sprungantworten mit und ohne Regler nach einem Sprung der Störgröße z=5 sind gegeben. Die Führungsgröße ändert sich dabei nicht, d. h. w = 0. 4.7.f) Wie groß ist die bleibende Regeldifferenz? 4.7.g) Wie groß ist der reelle Regelfaktor RF? š

z 4

xo.R.(t) 3

xm.R.(t)

2 1

0

20

40

60

80

t /ms

60

Aufgaben

4.8 Werkzeugmaschine (2) ................................................................................ M

Der Kompaktregler vereint die Regelalgorithmen mit den Anzeige- und Bedienfunktionen, wie z. B. der oben im Bild rechts gezeigte (mit freundlicher Genehmigung von JUMO) Prozess- und Programmregeler IMAGO 500. Das Bild oben links zeigt den Support einer Werkzeugmaschine, der durch die Spindel mit der Gewindesteigung a [mm/Umdr] translatorisch bewegt wird. Der Werkzeugschlitten wird von einem Gleichstrommotor angetrieben. (Die Ankerinduktivität sei vernachlässigbar klein). Die Spindel dreht sich mit der Drehzahl n(t) mit Dimension [1/min]. Der vom Werkzeugschlitten zurückgelegte Weg x(t) in [mm] ist die Regelgröße. Die Stellgröße ist die Klemmenspannung des Motors y(t) in [V]. Als Regelstrecke wird die Werkzeugmaschine mittels einer Reihenschaltung von zwei Gliedern, P-T1-Glied für den elektrischen und I-Glied für den mechanischen Teil, wie unten gezeigt, aufgefasst. Die Zeitkonstante des P-T1-Gliedes ist gegeben: T1 = 0,05 s Der Proportional- und Integrierbeiwert sind von der Gewindesteigung a abhängig. y(t)

KPS , T1

n(t)

KIS

K PS

x(t)

Ke K IS

K m ˜ a mit K m

-1

Ke 0,2 ˜ a 5,43 [mm/Umdr˜Vmin]

-1

2 [s /min ]

N [1/min] 1200

4.8.a) Die statische Kennlinie des elektrischen Teils der Regelstrecke ist rechts gezeigt. Der Eingang ist die Spannung Y [V], der Ausgang ist die Drehzahl N [1/min]. Die Kennlinie soll für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt Y0 = 35 V linearisiert werden. Bestimmen Sie die Gewindesteigung a.

1150

1100 1050 1000 950 20

25

30

35

40

Y [V]

4 Gemischte Aufgaben

61

4.8.b) Unabhängig vom Punkt 4.8.a ist die Gewindesteigung gegeben: a = 1 mm/Umdr Es wird nur der elektrische Teil der Strecke (P-T1-Glied) betrachtet: Ke =5,43 [mm/Umdr˜Vmin] T1 = 0,05 s Welche Sprungantwort entspricht dem Eingangssprung yˆ = 1,84 [V]? a)

n 50 min -1

n

T1

0

b)

n

e)

T1

0

n

c)

T1

f)

n

T1

t n

g)

1sec t

t /sec

t /sec

d)

n

1sec

t /sec

t /sec

n 100 min -1

T1

1sec

t

h)

T1

1sec

t

4.8.c) Im Bild unten ist der Wirkungsplan der Drehzahlregelung mit dem P-Regler gezeigt. z

KPR w

+

e

 GR(s)

yR

+

y

1, TR

KPS ,T1 n GS(s)

Die Gewindesteigung und die Zeitkonstante sind: a = 3 mm/Umdr TR = 0,01 s Alle anderen Streckenparameter sind in der Aufgabenstellung gegeben. Bestimmen Sie die optimale Reglereinstellung des P-Reglers nach dem Betragsoptimum.

62

Aufgaben

4.8.d) Der Wirkungsplan der Positionsregelung mit dem PD-Regler ist unten gezeigt. Die Parameter der Regelstrecke sind in der Aufgabenstellung gegeben. Der PD-Regler soll kompensiert werden. z

KPR ,Tv w

+

yR

e

 GR(s)

y

+

KPS ,T1

KIS n

x

GS(s)

Für den Werkzeugschlitten mit der Gewindesteigung a = 3 mm/Umdr stellt die Störübertragungsfunktion das P-T2-Glied dar, d. h. Gz ( s)

 K Pz . (1  sTw )(1  sT1 )

Bestimmen Sie KPR so, dass KPz = 0,02 wird. 4.8.e) Nun wird der betrachtete Werkzeugschlitten durch einen neuen mit der Gewindesteigung a = 1 mm/Umdr ersetzt, die Kennwerte KPR und Tv des PD-Reglers bleiben jedoch unverändert, wie im Punkt 4.8.a. Wie ändert sich der Proportionalbeiwert KPz des Kreises mit dem neuen Werkzeugschlitten? 4.8.f) Die Gesamtstrecke wird mit einem PI-Regler geregelt. Die Streckenparameter sind in der Aufgabenstellung gegeben, die Gewindesteigung ist a = 5 mm/Umdr. Der Proportionalbeiwert KPR des PI-Reglers ist gegeben: KPR = 0,17 Bei welchen Werten der Nachstellzeit Tn wird der geschlossene Kreis mit der unten gegebenen charakteristischen Gleichung stabil? s 2Tn (1  sT1 )  K PR K PS K IS (1  sTn )

0

4 Gemischte Aufgaben

63

4.9 Stoffbahn....................................................................................................... M In der Textilindustrie wird oft die Stoffbahn über Walzen geführt. Erleiden Stoffbahnen beim Aufbereiten Längeänderungen oder weisen die abführenden und die zuführenden Walzen verschiedene Drehgeschwindigkeiten ZG und ZZ auf, entsteht zwischen den Walzen einen Durchhang H (siehe Bild unten). Um eine Faltenbildung und ein Reißen der Stoffbahn zu vermeiden, wird der Durchhang H (Regelgröße) konstant gehalten. Zuführende Walzen

Abführende Walzen Stoffbahn

x(t)

ZZ

Getriebe

ZG Motor ZM

Lichtstrom

Fotozelle

+

UF



Durchhang H

+

 UA

Die Drehgeschwindigkeit ZG der abführenden Walze soll über einen Motor mit der Ankerspannung UA (Stellgröße) eingestellt werden. Von einer analogen Lichtschranke, auf die je nach der Größe des Durchhanges verschiedene Lichtströme und entsprechende Spannungen UF (Messgröße) auftreten, soll die Regeldifferenz Ue = UH  UF gebildet und dem Regler weiter gegeben werden. Die Drehgeschwindigkeit ZZ der zuführenden Walze wird als Störgröße betrachtet. Im Arbeitspunkt beträgt die Drehgeschwindigkeit ZG0 = 900 1/min, der Durchhang (Führungsgröße) ist dabei H0 = 100 mm.

64

Aufgaben

4.9.a) Das nichtlineare Kennlinienfeld der Regelstrecke ist rechts gegeben. Bestimmen Sie die Proportionalbeiwerte KPy und KPz der linearisierten Regelstrecke für kleine Abweichungen vom folgenden Arbeitspunkt:

X /mm 250 200 150

X0 = 100 mm Y0 = 900 1/min

100

Z= 1200 1/min Z= 1100 Z= 1000 Z= 900 Z= 800

50 0 800

1000

1200

Y / 1/min

4.9.b) Die Regelstrecke (siehe Kennlinienfeld oben) wird mit einem P-Regler mit dem Proportionalbeiwert KPR = 0,5 min-1 /mm geregelt. Im geregelten Zustand befindet sich die Regelstrecke im folgenden Arbeitspunkt: Y0 = 900 1/min Z0 = 900 1/min Wie groß wird der reelle Regelfaktor RF bei einem Sprung der Störgröße von zˆ

100 min -1 ?

4.9.c) Gegeben sind der Wirkungsplan und die Sprungantwort einer Regelstrecke bei einem Eingangssprung y = 0,5. Die Übertragungsfunktion G2(s) ist gegeben: G2 (s)

1 s

y

G1(s) + G2(s) –

x

x(t) 2,5 2,0 1,5

Bestimmen Sie die Kennwerte der

1,0

Übertragungsfunktion G1(s).

0,5 0

1,0

2,0

t /s

4 Gemischte Aufgaben

65

4.10 Reglerprüfstand  MNO Der Wirkungsplan des Regelkreises mit verschiedenen Reglertypen A, B, C sowie für verschiedene Konfigurationen der Regelstrecke D und E ist unten gezeigt. KPR , Tn , Tv KPS = 0,08 1, T2 = 8 s T1 = 0,6 s

w +

KIS2 = 0,5 s-1

z

A

B

+

KIS1 = 0,2 s-1

D x

+

 GR(s)

1, T3 = 1 s E

C

Kompensationsregler

GR ( s)

s ˜ K R (1  sTn )(1  sTv ) (1  sTR )

mit TR = 0,2 s

4.10.a) Für den Zweig CD mit Kennwerten des Reglers KR = 2 s

Tn = 8 s

Tv = 1 s

prüfen Sie die Stabilität des geschlossenen Kreises mit Hilfe des Hurwitz-Kriteriums. 4.10.b) Der Regelkreis AE soll optimal eingestellt werden. Berechnen Sie die Kennwerte des Reglers. 4.10.c) Der Regelkreis CE soll optimal eingestellt werden. Berechnen Sie den optimalen Kennwert des Reglers KR. 4.10.d) Bestimmen Sie die Phasenreserve aus dem Bode-Diagramm G0(jZ) des aufgeschnittenen Regelkreises AE mit dem PID-Regler mit folgenden Kennwerten: KPR = 9

Tn = 14,3 s

Tv = 1 s

4.10.e) Die Regelstrecke BE besteht aus folgenden Gliedern: x

P-T1-Glied mit KPS = 0,08 und TE = 8 s

x

Totzeitglied mit Tt = 1,6 s

x

I-Glied mit KIS1 = 0,2 s-1

Die Strecke wird mit einem Zweipunktregler mit Schaltdifferenz xd = r 10 geregelt. Wie groß wird die Amplitude der Arbeitsschwingung x0 beim Sollwert w = 50, wenn die Stellgröße des Reglers ymax/min = r 625 beträgt?

66

Aufgaben

4.11 Festplatten-Controller .................................................................MNOPQ Eine Festplatte soll mit einem Regler geregelt werden. Die Regelgröße ist die Position des Kopfes x. Die Stellgröße ist der Strom des Elektromagnets i. Feder Lese/Schreibe-Kopf

i

x

Harddisk

Stellgröße

Z Motor

Die Regelstrecke wird mit folgender DGL beschrieben: Jx(t )  Cx (t )  Rx(t ) wobei sind:

K M ˜ i (t )

J = 0,01 kgm

Trägheitsmoment der rotierenden Massen

C = 0,004 Nms

Dämpfungsbeiwert

R = 10 Nm

Federkonstante

KM = 0,05 Nm

Drehmoment des Motors

4.11.a)

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion der Regelstrecke.

4.11.b)

Prüfen Sie die Stabilität der Regelstrecke.

4.11.c)

Wie groß ist der Dämpfungsgrad der Regelstrecke?

4.11.d)

Bei welchem Wert von KPRkrit befindet sich der Regelkreis mit dem PI-Regler an der Stabilitätsgrenze, wenn die Nachstellzeit des PI-Reglers Tn = 1 s ist?

4.11.e)

Bestimmen Sie die Sprungantwort des Regelkreises mit dem PI-Regler, wenn die Kennwerte wie folgt gegeben sind: KPR = 20 und Tn = 1 s

4.11.f)

Nun wird die Strecke mit dem PD-Regler mit der Vorhaltezeit Tv = 1 s geregelt. Wie soll KPR gewählt werden, damit nach dem Einheitsprung der Führungsgröße die bleibende Regeldifferenz e(f) d 0,0001 wird?

4.11.g)

Bestimmen Sie die Sprungantwort des Regelkreises mit dem PD-Regler, wenn die Kennwerte wie folgt gegeben sind:

4.11.h)

Die gewünschte Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises ist gegeben: K Pw GM ( s ) mit KPw = 20 und Tw = 1 s. 1  sTw Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des modellbasierten Reglers.

KPR = 20 und Tv = 1 s

4 Gemischte Aufgaben

67

4.12 Invertiertes Pendel ......................................................................... MNOP Der senkrecht stehende Stab befindet sich auf einer Plattform, die fest zu einem Förderband gebunden ist. Durch die Bewegungen des Bandes bzw. der Plattform nach links und nach rechts soll der Stab stabilisiert werden. Regelgröße ist der Winkel X, der mit einem Sensor erfasst wird. Stellgröße Y ist die auf die Plattform wirkende Kraft.

X

Pendel Führungsstangen Rollen

Band Y

Motor

UM

Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke ist gegeben: GS ( s)

K PS (1  sT1 )( s 2T22  1)

mit KPS = 25 T1 = 10 s T2 = 0,25 s 4.12.a)

Prüfen Sie die Stabilität der Regelstrecke nach dem Hurwitz-Kriterium.

4.12.b)

Prüfen Sie die Stabilität des Regelkreises mit dem P-Regler nach dem NyquistStabilitätskriterium, wenn der Proportionalbeiwert der Reglers KPR = 1 ist.

4.12.c)

Das inverse Pendel soll mit dem vollkompensierten PID-Regler mit dem Proportionalbeiwert KPR = 1 stabilisiert werden. Prüfen Sie die Stabilität des geschlossenen Regelkreises und ggf. fügen Sie eine Nullstelle in die Übertragungsfunktion des offenen Kreises ein und zwar so, dass der Regelkreis stabil wird.

4.12.d)

Bestimmen Sie die Sprungantwort des nach dem Punkt 4.12.c eingestellten Regelkreises und bestimmen Sie die Gütekriterien ( Überschwingung, Dämpfungsgrad, Ausregelzeit, Anregelzeit).

68

Aufgaben

4.13 Zustandsregelung.........................................................................MNOPQ •

u(t) +



+

y(t)

x(t)

x(t) B

C

u(t)  Eingangsvektor

+

y(t)  Messvektor

A

x(t)  Zustandsvektor K

4.13.a) Die Regelstrecke besteht aus zwei I-Gliedern: K IS1 K IS2 ˜ mit K IS1 s s

GS ( s )

K IS2

1 s -1

Entwerfen Sie einen Regelkreis mit dem Dämpfungsgrad - zwischen 0,3 und 0,4. Hinweis: für 0,3 < - < 0,4 soll der Regelkreis z. B. folgende Polstellen beinhalten: p1

1  2 j

p2

1  2 j

4.13.b) Bestimmen Sie die Koeffizienten der Rückführung K für das System x (t ) y (t )

A ˜ x(t )  B ˜ u (t ) C ˜ x (t )  D ˜ u (t )

1· §1 ¸ mit A ¨¨ 5  6 ¸¹ ©

B

§2 · ¨¨ ¸¸ © 5,5 ¹

C

§ 0· ¨¨ ¸¸ , ©1¹

wenn die gewünschten Polstellen wie folgt gegeben sind: p1

2  j

p2

2  j

4.13.c) Prüfen Sie die Steuerbarkeit und die Beobachtbarkeit des folgenden Systems: ­ x1 2 x1 ° ® x 2 3x1  4 x2  3,5u °y x 1 ¯ 4.13.d) Entwerfen Sie einen Zustandsbeobachter für das System x (t ) y (t )

A ˜ x(t )  B ˜ u (t ) C ˜ x(t )

mit gewünschten Polstellen: p1

p2

3

§  2 1· ¸ mit A ¨¨ ¸ © 0  1¹

B

§0· ¨¨ ¸¸ ©1¹

C

§1· ¨¨ ¸¸ © 0¹

4 Gemischte Aufgaben

69

4.14 Mehrgrößenregelung ...................................................................MNOPQ Produkt-Zulauf

Ventil V1 Ventil AV2

Heizen

AO1

AI1 y1

x2

F

AI2

FüllstandIstwert

T

x1

Kühlen

TemperaturIstwert

Ventil V4 Ventil AV1

AO2

y2

Produkt-Ablauf

Im Bild oben ist ein doppelwandiges Reaktionsgefäß gezeigt, dessen Füllstand x1 und die Temperatur x2 geregelt werden. Im Innenraum des Gefäßes befindet sich das Produkt. Das Füllen des Gefäßes erfolgt mit dem Ventil V1, zum Leeren dient das Ablaufventil AV1. In den Zwischenraum wird ein Heizmittel bzw. ein Kühlmittel hineingepumpt. Das Stellventil für die Temperaturregelung ist AV2. Die Steuerung des Kühlmittels erfolgt mittels des Ventils V4. Das Reaktionsgefäß als Regelstrecke hat zwei Regelgrößen, Füllstand x1 und Temperatur x2, die mit Hilfe von Sensoren AI1 und AI2 aufgenommen werden. Die Regelstrecke hat auch zwei Stellgrößen, y1 und y2, wie unten im Wirkungsplan gezeigt ist. KIS1 y1

y2

AO1 Ventil AV1

Ventil AV2 AO2

Füllstand



AI1

x1

+

KP12

KP21 ,T21

1, Tt21

KP22 ,T22a

1, T22b

 +

Temperatur

AI2

x2

Da die beiden Regelgrößen, x1 und miteinander x2, durch die Blöcke G21(s) und G12(s), wie im Wirkungsplan gezeigt, gekoppelt sind, handelt es sich hier um eine MIMORegelstrecke in P-kanonischer Struktur.

70

Aufgaben

Die Füllstandregelstrecke ist I-Glied mit der Übertragungsfunktion G11 ( s )

K IS1 s

KIS1 = 0,1 s

mit

1

.

Für das Temperaturverhalten wird das Reaktionsgefäß wie eine Reihenschaltung von zwei P-T1-Gliedern dargestellt: G22 ( s )

K P22 (1  sT22a )(1  sT22b )

KP22 = 0,8 T22a = 6 s T22b = 98 s Das erste Verkopplungsglied G21(s) beschreibt den starken Einfluss des Füllstands auf die Temperatur: G21 ( s )

K P21 ˜ e  sTt 21 1  sT21

KP21 = 0,58 T21 = 94 s Tt21 = 36 s Das zweite Verkopplungsglied ist P-Glied mit einem relativ kleinen Proportionalbeiwert G12 ( s)

K P12 mit KP12 = 0,01,

d. h. der Einfluss der Temperatur auf den Füllstand ist wesentlich kleiner. Es werden verschiedene Möglichkeiten der Regelung des Reaktionsgefäßes untersucht: 4.14.a)

Der Füllstand und die Temperatur werden mit zwei separaten Regelkreisen geregelt. Bestimmen Sie die optimalen Kennwerte des P-Füllstandreglers und PI-Temperaturreglers.

4.14.b)

Entwerfen Sie einen Diagonalregler und bestimmen Sie seine Kennwerte.

4.14.c)

Prüfen Sie die Stabilität des MIMO-Regelkreises mit dem Diagonalregler mit Kennwerten, berechnet nach dem Punkt 4.14.b.

4.14.d)

Entwerfen Sie die entkoppelte Regelung mit dem P-Füllstandsregler und dem PI-Temperaturregler.

4 Gemischte Aufgaben

71

4.15 Identifikation (1) .....................................................................................MN Die experimentell ermittelte Sprungantwort x(t) einer Regelstrecke nach einem Eingangssprung y(t) ist unten gezeigt. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion und die Parameter der Regelstrecke.

4.16 Identifikation (2) ................................................................................. MNO Gegeben ist die experimentell ermittelte Matrix von Messwerten M, wobei y(t) und x(t) die Ein- und Ausgangsgrößen der zu identifizierenden Regelstrecke sind.

t

y(t)

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

0.0 0.0 0.0 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0 40.0

x(t) 10.550 10.367 10.587 12.841 14.726 16.663 18.490 20.909 23.381 26.052

t

y(t)

x(t)

t

y(t)

x(t)

5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0

40 40 40 40 40 40 40 40 40 40

28.803 32.279 36.350 40.884 45.918 51.755 57.803 64.763 70.954 76.111

10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 15.0

40 40 40 40 40 40 40 40 40 40

80.713 83.968 86.113 87.791 88.583 88.782 89.166 89.440 89.758 89.895

Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion und die Parameter der Regelstrecke.

72

Aufgaben

4.17 Identifikation (3) ..........................................................................MNOPQ Das Bild unten zeigt einen Stoßdämpfer, der als Regelstrecke 2. Ordnung (m = 2) identifiziert werden soll. Die Regelgröße ist die Position des Wagens x. Die Stellgröße ist durch die Unregelmäßigkeit des Weges u bedingt. Gegeben ist die Matrix von Messwerten M (siehe Tabelle unten) bzw. der experimentell * aufgenomene und gefilterte Sprungantwort des Ausgangsvektors x . k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

x(k)

u(k) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Wagen

0 0.1094 0.3704 0.6844 0.9709 1.1788 1.2884 1.3060 1.2552 1.1667 1.0699 0.9872 0.9316 0.9082 0.9283 0.9573

x Stoßdämpfer

u

Der Stoßdämpfer soll im Zustansdraum wie folgt beschrieben werden: * * * x Ax  Bu * * * y C x  Du Es wird angenommen, dass C = [ 1 1] und D = 0 sind.

* Bestimmen Sie die Modellparameter a1, a2, b1, b2 bzw. den Parameter-Vektor P nach dem LMS-Verfahren (Least Mean Squares): * P

ª a1 º «a » « 2» « b1 » « » ¬b2 ¼

* y

* M˜P

Ÿ

* P

* (M T M ) 1 M T ˜ x

4 Gemischte Aufgaben

73

4.18 Adaptive Regelung: Gain-Scheduling ............................................... MNO Die Programmregler, wie z. B. TSC / PSC von Wachendorff Prozesstechnik, verfügen über Programmier-, Bedien- und Kontrollfunktionen, die auch eine Anpassung an veränderlichen Streckenparameter ermöglichen. Die Parameter der Strecke werden vom Regler über Selbstoptimierung ermittelt. Die Algorithmen können in vier verschiedenen Programmen gespeichert und nach einem Zeitplan abgearbeitet werden. Die nachfolgende Aufgabe soll zeigen, wie die Kennwerte des Reglers an die zeitlichen Änderungen optimal nach dem Gain-Scheduling-Algorithmus angepasst werden können. Der Wirkungsplan einer I-T1-Strecke, die mit dem P-Regler optimal geregelt werden soll, ist unten gezeigt. Die Streckenparameter K und T sind nicht konstant, sondern ändern sich abhängig von einem Parameter u wie in der Tabelle angegeben. Bestimmen Sie die Kennwerte des P-Reglers so, dass

u

T

K

0

2

1

400

4.9

2.5

800

22

11

die Regelung bei allen Werten von u optimal erfolgt. z

KPR w



e

+

 GR(s)

1 ,T

K x

+

GS(s)

Bestimmen Sie die Kennwerte des P-Reglers so, dass die Regelung bei allen Werten von u optimal erfolgt.

4.19 Adaptiver Zustandsregler .............................................................. MNOP Gegeben ist eine instabile Regelstrecke, die mit proportionaler Rückführung geregelt werden soll, wie unten im Bild gezeigt ist. u

1

k

+

 +

1 1 + sT2

1  sT1

x

k1

+ k2

Die Parameter der Regelstrecke T1 und T2 sind nicht konstant, sondern ändern sich mit der Zeit. Die Parameteränderung ist viel langsamer als die Ausregelzeit, so dass T1 und T2 zu jedem Zeitpunkt konstant betrachtet werden: T1 = 15 + 0,8˜t

T2 = 35 + 0,08˜t

Bestimmen Sie die Koeffizienten k1, k2 und k so, dass zu jedem Zeitpunkt die Regelung mit der optimalen Dämpungsgrad ca. - = 0,7 erfolgt. Dafür sollen die Polstellen p1

a  bj

p2

a  bj

folgende Werte besitzen: a = 1 und b = 1.

74

Aufgaben

4.20 Nichtlineare Regelung .................................................................MNOPQ Der Wirkungsplan eines Regelkreises mit einer I-T2-Strecke und einem Messfühler ist unten gezeigt. Die Strecke wird mit dem P-Regler geregelt. Die Parameter der Regelstrecke sind gegeben: KIS = 2 s-1

KPS = 0,25

T1 = 1 s

T2 = 4 s

z KPR

w

+

+ +

 GR(s)

KPS , T1

KIS

1 , T2

GS1(s)

GS3(s)

GS2(s) xa

xB N (xe)

x

xe

KPM GM(s)

Der Messfühler verhält sich als linearer P-Glied mit dem Proportionalbeiwert KPM = 1 mit Sättigung (siehe statische Kennlinie unten). xa xB 0

xe

 xB

a)

Wie ist das Stabilitätsverhalten des Regelkreises, wenn der P-Regler mit KPR = 5 eingestellt ist?

b) Bei welchem Wert von KPR treten im Regelkreis keine Dauerschwingungen auf?

75

Lösungen

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik Lösung zu Aufgabe 1.1 a) Die statische Kennlinie X = f(Y) ist im Bild unten gezeigt. b) Im Arbeitspunkt A wird die Tangente eingetragen. Die Steigung der Tangente ergibt (10  8)V 2 § 'X · 0,67 sich aus dem Steigungsdreieck: m K Py ¨ ¸ © 'Y ¹ X X 0 (7  4)V 3 Y Y0

X /V

Aus dem Diagramm kann man den Wert b = 5,2 V ablesen.

10 X0= 8

Damit ist die Gleichung der Tangente

A

6

m ˜Y  b

X

0,67 ˜ Y  5,2V .

bzw.

4

c) Verschiebt man den Koordinatenanfang in Arbeitspunkt A, wird die Tangente durch die Gleichung x m ˜ y beschrieben, wobei sind:

2

0

X

2

Y0= 4

6

8

Y/V

x

( X  8) V

y

(Y  4) V

d) Bei Y = 1 V hat die nichtlineare Regelstrecke den Ausgangswert X = 4 V (siehe das Diagramm). Der Ausgang der linearisierten Regelstrecke wird aus dem Diagramm als die Ordinate der Tangente bei Y = 1 V abgelesen, nämlich X = 5,9 V. Der Fehler zwischen linearisierten und wirklichen Regelstrecken bei Y = 1V beträgt 5,9 V  4 V = 1,9 V. Für Y = 7 V gilt 10 V  9,3 V = 0,7 V. Damit wird der maximaler Fehler von der Linearisierung gleich 1,9 V bei y = 3 V und beträgt 16% von der Ordinate des Arbeitspunktes. Im Arbeitspunkt ist der Fehler von der Linearisierung gleich Null.

76

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.2 Für das statische Verhalten gilt: X (t )

X (t )

0.

Aus der gegebenen DGL T ˜ X (t )  X (t )

K ˜ Y 2 (t )

entsteht damit die statische Kennlinie K ˜ Y 2 bzw. X

X

1,5 ˜ Y 2 .

Die grafische Linearisierung: K PSy

§ 'X · ¨ ¸ © 'Y ¹ 0

12  0 3 1

6

Die analytische Linearisierung: K PSy

§ dX · ¸ ¨ © dY ¹0

(2 ˜ 1,5 ˜ Y ) 0

2 ˜ 1,5 ˜ Y0

2 ˜ 1,5 ˜ 2

6

Lösung zu Aufgabe 1.3 a) Im Arbeitspunkt wird eine Tangente zur Kennlinie eingetragen. Daraus folgt: K PSy

§ wX · ¨ ¸ © wY ¹0

200  150 mm / min 1 875  900

50 mm / min 1  25

2 mm / min 1

Zwei Punkte Z1 und Z2 mit gleichen Ordinaten Y0 = 900 min-1 werden gewählt, z. B. Z1 = Z0 + 20 min-1 = 900 min-1 Z2 = Z0  20 min-1 = 860 min-1. Daraus folgt: K PSz

§ wX · ¨ ¸ © wZ ¹ 0

180  110 mm / min 1 900  860

70 mm / min 1 40

1,75 mm / min 1

b) Die Antwort ergibt sich aus der linearisierten Gleichung: x

K PSy ˜ y  K PSz ˜ z

2 mm / min 1 ˜ y  1,75 mm / min 1 ˜ z

y

(950  900) min -1

50 min -1

z

(950  880) min -1

70 min -1

x

2 mm / min 1 ˜ 50 min -1  1,75 mm / min 1 ˜ 70 min -1

22,5 mm

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

77

Lösung zu Aufgabe 1.4 X

Aus der gegebenen Gleichung x

K PSy ˜ y  K PSz ˜ z

5

bzw.

Z = 20

1

2

4

x

3

0,375 y  K PSz ˜ z 0,375

3

Dann werden verschiedene Punkte

2

folgt: K PSy

B A2

stellen, welcher davon die Tangente mit der folgenden Steigung hat: K PSy

Z = 60

C 1

z. B. Punkte A1, A2, A3, um festzu-

§ 'X · ¸ ¨ © 'Y ¹ 0

Z = 40 Z = 50

A3

auf der Kennlinie Z0 = 40 geprüft,

Z = 30

A1

0

2

4

6

0,71

8

10 Y

0,375

Tangente 1 zum Punkt A1:

K PSy

50 7,8  0,8

Tangente 2 zum Punkt A2:

K PSy

2  0,5 40

Tangente 2 zum Punkt A2:

K PSy

2,6  1,1 60

0,375 0,183

Der gesuchte Arbeitspunkt ist damit der Punkt A2. Für diesen Punkt wird der Proportionalbeiwert KPSz mittels zwei Punkten B und C bestimmt: K PSz

§ 'X · ¨ ¸ © 'Z ¹ 0

XB  XC Z B  ZC

2,7  1,4 30  50

1,3  20

0,065

Lösung zu Aufgabe 1.5 (t ) a) Für das statische Verhalten gilt: A

A (t )

0 . Damit entsteht:

A 0,8 ˜ U  0,1 ˜ B  0,5 ˜ U ˜ B Daraus folgt die linearisierte Gleichung x

K PSu ˜ u  K PSE ˜ E

mit K PSu

§ wA · ¨ ¸ © wU ¹0

(0,8  0  0,5 ˜ B) 0

0,8  0,5 ˜ 2

K PSE

§ wA · ¨ ¸ © wB ¹ 0

(0  0,1  0,5 ˜ U ) 0

0,1  0,5 ˜ 0,4

0,2 0,1 .

78

b)

Lösungen

K PSu

§ ': ¨¨ © 'U M

K PSM

§ ': · ¸¸ ¨¨ © 'M ¹ 0

· ¸¸ ¹0

750  620 50  20 : B  :C M B  MC

130 30

4,3

850  700 60  80

150  20

7,5

: ) = 50

1000

) = 60

900 B

) = 70

800 A 700

) = 80 ) = 90

C

600 500 30

40

50

60

70 UM

c) Aus der gegebenen Gleichung der linearisierten Regelstrecke x

K PSy ˜ y  K PSM ˜ M 3 ˜ y  5 ˜ M

folgt K PSy

3 und K PSM

5.

Andererseits gilt K PSy

§ wX · ¨ ¸ © wY ¹0

2 ˜ )0

160

K PSM

§ wX · ¨ ¸ © w) ¹ 0

2 ˜ Y0

100 ,

woraus folgt )0 Y0

160 2 100 2

80 50 ,

d. h. der Arbeitspunkt befindet sich im Punkt C: X 0

700

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

79

Lösung zu Aufgabe 1.6 Die Tangentensteigung aus dem Kennlinienfeld ist K PSy X

Z = 23

5

K PSz

Z = 25 4 Z = 26

A 2

C

1

a) 0

2

4

6

§ 'X · ¨ ¸ © 'Z ¹ 0

3  1,5 23  25

0,75 .

Aus dem Wirkungsplan ergibt sich: K P1

10 Y

8

0,3 .

Aus dem Wirkungsplan ist es in beiden Fällen K P2 K Pz bzw. K P2 0,75 (es wird nur den Betrag berücksichtigt, weil das Vorzeichen „“ bereits im Wirkungsplan eingetragen wurde).

B

3

2,1  0,9 40

Für Punkte B und C gilt

Z = 24

Z = 20

§ 'X · ¨ ¸ © 'Y ¹ 0

K Py

0,3

b) Aus dem Wirkungsplan ergibt sich entsprechend der Regel für die Reihenschaltung: K PSy

K P1 K P2

§ 'X · ¨ ¸ © 'Y ¹ 0

2,1  0,9 40

0,3 Ÿ

K P1

K PSy K P2

0,3 0,75

0,4

Lösung zu Aufgabe 1.7 a) Die maximale Steigung hat die

X E 10

Tangente zum Punkt C, d. h.

Z1= 0,1

D

K PSy

Z2= 0,2

8 F 6

Z3= 0,3 Z4= 0,4 Z5= 0,4

2 B

K PSz

A 0

2

4

6

8

10 Y

K PSz

c) Im Punkt C aus dem statischen Kennlinienfeld: K PSy Aus dem Wirkungsplan: K PSy

K P1K P2

max

b) Im Punkt F ist die Steigung der Tangente § 'X · 0. K PSy ¨ ¸ © 'Y ¹ 0

C 4

§ 'X · ¸ ¨ © 'Y ¹ 0

Ÿ

K P1

§ 'X · ¨ ¸ © 'Z ¹0 20

84 0,2  0,4

10  0 § 'X · ¨ ¸ © 'Y ¹ 0 5,2  2,2 K PSy 3,3 0,29 K P2 11,5

3,3

80

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.8 Es gilt im Arbeitspunkt:

8 ˜ 2 ˜ Y0

K PSy

§ wX · ¨ ¸ © wY ¹ 0



K PSz

§ wX · ¨ ¸ © wZ ¹ 0

3 ˜ 2 ˜ Z0



Y04

8˜2 Y03

2

5,

woraus folgt: Y03

8

Ÿ

Y0

2

Z0

5 6

Ÿ

Z0

0,83

Lösung zu Aufgabe 1.9 K PSz

§ 'X · ¨ ¸ © 'Z ¹ 0

Für Punkt A:

K PSz

Für Punkt B:

K PSz

Für Punkt C:

K PSz

150  50 1000  800 130  70 1000  800 120  70 1000  800

0,5 mm˜min 0,3 mm˜min 0,25 mm˜min

Antwort: Der Arbeitspunkt ist Punkt A. In diesem Punkt ist:

K PSy

§ 'X · ¨ ¸ © 'Y ¹ 0

150  100 800  900

0,5 mm˜min

Lösung zu Aufgabe 1.10 a) Zuerst wird die gegebene DGL a2 x(t )  a1 x (t )  a0 x(t )

b0 ˜ y (t )

in Normalform gebracht: a2 a x(t )  1 a1 x (t )  x(t ) a0 a0

b0 ˜ y (t ) a0

a2 a0

0,01 10

a1 a0

0,004 10

0,001 ˜ x(t )  0,0004 ˜ x (t )  x(t )

0,001 0,0004 und 0,005 ˜ y (t )

b0 a0

0,05 10

0,005

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

81

Daraus folgt die Übertragungsfunktion der Regelstrecke als P-T2-Glied: GS ( s )

0,005 0,001 ˜ s 2  0,0004 ˜ s  1

b) Die Standardform eines P-T2-Gliedes mit dem Dämpfungsgrad - und der Kennkreisfrequenz Z0 ist unten gezeigt: GS ( s)

K PS 1 2 2s  s 1 Z0 Z02

Aus dem Vergleich mit der Übertragungsfunktion der Festplatte folgen zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten: ­ 1 °° 2 0,001 Z ® -0 2 ° 0,0004 ¯° Z0

­ 2 °° Z0 ® 2° °¯ Z0

Ÿ

1 0,001

Ÿ

0,0004

Z0 31,6 s -1 - 0,0062

c) Die Sprungantwort der Regelstrecke nach einem Einheitssprung ist unten gezeigt. MATLAB-Skript Gs = tf (0.005, [0.01, 0.004, 10]); % b0 = 0,05; a2 = 0,01; % a1 = 0,004; a0 = 10; t = 0:0.001:2.0; % von t = 0 bis t = 2 % mit 't = 0.001 T = t'; x = step (Gs, T); plot (T, x, ’k’); grid;

Lösung zu Aufgabe 1.11 Aus der Sprungantwort folgt, dass die Regelgröße im Beharrungszustand bei t o f ist x(f) 1 (bei Störverhalten sind zˆ x (f )

 K PS1 K PS2 ˜ zˆ 1  K PR K PS2

5 und wˆ

0 ). Aus dem Wirkungsplan:

2 ˜ 0,9 ˜ (5) 1  K PR ˜ 0,9

Ÿ

1

Ÿ

K PR

8,89

82

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.12 Aus dem Diagramm für Sprungantwort nach dem Sprung wˆ 9 : x (f ) 8 Daraus folgt: wˆ  x(f)

a)

e(f )

b)

RF (0)

98 1

wˆ  xm.R. (f) wˆ

98 9

1 9

0,11

Lösung zu Aufgabe 1.13 Aus der Sprungantwort nach dem Sprung wˆ bestimmt man x (f )

4.

Setzt man diesen Wert als xm.R. (f) in die Formel des reellen Regelfaktors, so ergibt sich: RF (0)

wˆ

wˆ  xm.R. (f) wˆ

xm.R. (f) 1  0,5

4 0,5

0,5

Ÿ

wˆ  xm.R. (f)

Ÿ

wˆ  0,5 ˜ wˆ

0,5 ˜ wˆ

xm.R. (f)

8

Lösung zu Aufgabe 1.14 Im Beharrungszustand ist die Eingangsvariable des I-Gliedes gleich Null. Aus dem Übertragungsverhalten für P-Glieder im Beharrungszustand xaus (f)

K P xein (f)

xein (f)

Ÿ

1 xaus (f) KP

werden alle Variablen der Reihenschaltung bis zum Eingang des Störsignals auch gleich Null.

w e

+ 

z

KPS ,T1

KPR y

1,T2 y1

+ y2

0

KPG

KIS

1,T3 0

0

x

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

83

Im Beharrungszustand gelten folgende Zusammenhänge: a) für Störverhalten zˆ y2 (f)  zˆ

9 und wˆ

0:

Ÿ

y 2 (f )

0

0  zˆ

y1 (f)

 zˆ

y (f )

1 ˜ y1 (f) K PS

1 ˜ (9) K PS

e (f )

1 ˜ y (f ) K PR

1 ˜ (0,3) K PR

y 2 (f )

 zˆ

y 2 (f )

0

9

9

b) für Führungsverhalten wˆ y2 (f)  zˆ

Ÿ

9 und zˆ

9 30



0,3 3

0,3

0,1

0:

y 2 (f )

Ÿ

0



y1 (f)

0

y (f )

1 ˜ y1 (f) K PS

1 ˜0 K PS

0

e(f )

1 ˜ y (f) K PR

1 ˜0 K PR

0

0  zˆ

Ÿ

Lösung zu Aufgabe 1.15 Die Übertragungsfunktion der Parallelschaltung von zwei Gliedern GS1 ( s )

K P1 1  sT1

GS2 ( s) 1 ist GS ( s )

GS1 ( s)  GS2 ( s )

GS ( s )

K P1 1 1  sT1

K PS Tv

1  K P1 T1 1  K P1

K P1  1  sT1 1  sT1

1 3 2s

4

§ T1 · ¸ (1  K P1 ) ˜ ¨¨1  s 1 K P1 ¸¹  © 1  sT1

K P1 (1  sTv ) 1  sT1

84

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.16 Aus dem Diagram für PI-Glied wird abgelesen: K PS ˜ yˆ 1,5 und Tn

1,25 s

K · § Aus dem Wirkungsplan ergibt sich: GS ( s ) ¨ K PS2  IS1 ¸ ˜ K PS3 s ¹ © Diese Übertragungsfunktion wird in Form eines PI-Gliedes gebracht, woraus die gesuchten Parameter resultieren:

GS ( s )

K PS3 ( K IS1  sK PS2 ) s K PS3 K IS1 ˜

GS ( s )

K PS3 K IS1 ˜

K PS

Tn

K PS2 K IS1

§ K K PS3 K IS1 ¨¨1  s PS2 K IS1 © s

K PS2 § K ¨1  s PS2 ¨ K IS1 © K IS1 K s ˜ PS2 K IS1

K PS2 K IS1

1,25 s

· ¸ ¸ ¹

K PS2 K PS3

Ÿ K IS1

1,5 1,25 s

· ¸ ¸ ¹

K PS (1  sTn ) sTn

1,5 yˆ

3 Ÿ

K PS2

1,5

1,2 s -1

Lösung zu Aufgabe 1.17 a) Es gilt für die Regelgröße u ( s )

GS ( s )

K PS1 ˜ 1  sT1

* K PS3

T3*

GS ( s ) ˜ Mˆ , wobei GS ( s ) wie folgt bestimmt wird:

K IS s K 1  IS ˜ K PS3 s 1

* K PS1 K PS3 ˜ 1  sT1 1  sT3*

Ÿ P-T2-Glied

1 10 0,1

K PS3 1 K IS K PS3

5s

Im Beharrungszustand erreicht die Regelgröße den Wert u (f )

lim GS ( s )˜ Mˆ s o0

* K PS1 K PS3 ˜ Mˆ 1,7 ˜10 ˜ 0,5 8,5 , d.h. die Anwort - Kurve 5

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

85

* K DR ˜ s ˜ (1  sTv ) ˜ (1  s10Tv ) ˜ K PS1 ˜ K PS3

b) Für den aufgeschnitten Kreis: G 0 ( s )

(1  sT1 )(1  sT3* )

Nach der Kompensation mit Tv = T1 = 0,5 s kürzen sich auch 10Tv = 5 s = T3* , so dass für G vz ( s ) K PS2 Störverhalten G z ( s ) Ÿ Ÿ Ÿ P-T1-Glied * 1  G 0 ( s ) 1  sK DR K PS1 K PS3 lim G z ( s )˜ iˆE

Im Beharrungszustand: u (f)

K PS2 ˜ iˆE

0,1 ˜100 10 Ÿ Kurve 1

s o0

Lösung zu Aufgabe 1.18 KPR w

e

y

z

KPS = 0,2 T1 = 0,2 s y1

1, T2 = 2,5 s 1, T3 = 1,8 s y3 y2 +

KIS = 0,25 s -1

+

y4

x

Diese Aufgabe wird nach der Faustformel gelöst, wie die Aufgabe 1.14. 0,2 und wˆ

a) Im Beharrungszustand beim Störverhalten mit zˆ y 4 (f )

0 (Eingang des I-Gliedes)

y 4 (f )

y3 (f)  zˆ

y1 (f)

y 2 (f )

y (f )

1 ˜ y1 (f) K PS

e(f )

1 ˜ y (f ) K PR

Ÿ

y3 (f)

y4 (f)  zˆ

y3 (f)

1 ˜ (1) K PR





0,2 0,2

y 4 (f )

0 (Eingang des I-Gliedes)

y 4 (f )

y3 (f)  zˆ

y1 (f)

y 2 (f )

1 ˜ y1 (f) K PS

0,2

1 4

1

0,25

a) Im Beharrungszustand beim Führungsverhalten wˆ

y (f )

0  0,2

0,2

1 ˜ (0,2) K PS

Ÿ

y3 (f)

0:

y3 (f)

2 und zˆ

y4 (f)  zˆ

00

0:

0

0

1 ˜0 K PS

0

Ÿ

e(f )

1 ˜ y (f ) K PR

1 ˜0 K PR

0

86

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.19 1. Hurwitz-Bedingung: 1  2 ˜ K PR z 0

Ÿ K PR z 0,5

2. Hurwitz-Bedingung: 1  2 ˜ K PR ! 0

Ÿ K PR  0,5

3. Hurwitz-Bedingung: a1 ˜ a 2  a 3 ˜ a 0 Ÿ 0,2 ˜ 3 ! 1 ˜ (1  2 K PR ) Ÿ K PR ! 0,2 Antwort: 0,2  K PR  0,5

Lösung zu Aufgabe 1.20 Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen und des geschlossenen Regelkreises: G0 (s)

K PR K PS (1  sT1 )( sT2  1)

G w ( s)

G0 ( s) 1  G0 ( s)

K PR K PS (1  sT1 )( sT2  1)  K PR K PS

Die charakteristische Gleichung 2. Ordnung des geschlossenen Regelkreises: (1  sT1 )( sT2  1)  K PR K PS

0

Ÿ

s 2 T1T2  s (T2  T1 )  ( K PR K PS  1)

0

Es gelten folgende Hurwitz-Bedingungen: 1. Bedingung: T2  T1 z 0 und K PR K PS  1 z 0 Ÿ

T2 z T1 und K PR K PS z 1

2. Bedingung: T2  T1 ! 0 und K PR K PS  1 ! 0 Ÿ

T2 ! T1 und K PR K PS ! 1

Die Bedingung T2 ! T1 ist für gegebene Werte erfüllt. Aus der Bedingung K PR K PS ! 1 folgt die Antwort: K PR ! 0,25 .

Lösung zu Aufgabe 1.21 Die Übertragungsfunkiton des aufgeschnittenen Kreises: G0 ( s)

K PR

K IS K PSe  sTt s

Bei KPR = 1 ist KI0 = KPRKPSKIS = 5 s-1. Da es sich hier um ein I-Glied handelt, hat die Durchtrittsfrequenz ZD den gleichen Wert wie KI0, d. h. ZD = 5 s-1. Der Phasengang des I-Gliedes ist eine Gerade bei 90°, die durch das Totzeitglied nach unten gekrümmt wird, so dass der Phasenwinkel bei ZD = 5 s-1 beträgt M(ZD) = 90°  ZD Tt = 90° (5˜0,1) Rad = 90° 28,65° = 118,65° und damit oberhalb 180° liegt. Der Regelkreis ist stabil.

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

87

Lösung zu Aufgabe 1.22 a) Der geschlossene Regelkreis ist nach dem Nyquist-Stabilitätskriterium stabil, da der Phasengang des aufgeschnittenen Regelkreises bei der Durchtrittsfrequenz (ca. 0,55 s-1) oberhalb der 180°-Linie liegt. 1 1 1 K G0 dB I0 T T1 T 2 3 20dB

0,1

0 dB

Zs-1

10

1

Zs-1

M(Z) -90° -180° -270° -360°

b) Aus dem Amplitudengang wird abgelesen: KI0 = 0,8 s-1

T1 = 1/0,4 = 2,5 s

T2 = 1/1 = 1 s

T3 =1/4 = 0,25 s

Die Übertragungsfunktion des Kreises mit P-Regler: G0 (s)

K I0 (1  sT2 ) 2 s (1  sT1 )(1  sT3 ) 2

Die Übertragungsfunktion des Kreises mit dem PID-Regler: G0 (s)

K PR K I0 (1  sT2 ) 2 (1  sTn )(1  sTv ) s 2 Tn (1  sT1 )(1  sT3 ) 2

Die Kompensation erfolgt nach der Regel: Tn = Tgrößte = T1 = 2,5 s

Tv = Tzweitgrößte = T3 = 0,25 s

88

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.23 a) Nach dem Nyquist-Stabilitätskriterium ist der geschlossene Regelkreis stabil, da der Phasengang des aufgeschnittenen Regelkreises bei der Durchtrittsfrequenz (ca. 2,2 s-1) unterhalb der 180°-Linie liegt. Einem instabilen Verhalten entspricht die Sprungantwort mit ungedämpften Schwingungen, also das Diagramm 5. b) Um den Regelkreis zu stabilisieren, soll die 0-dB-Linie nach oben um 20 dB verschoben werden, wie im Bild unten gezeigt ist. Dabei ist die Phasenreserve MR = 0 und der Regelkreis befindet sich an der Stabilitätsgrenze. G0

dB

60dB 40dB

'dB = 20 dB

Neue 0-dB-Linie

20dB 0dB M(Z)

0,01

0,1

1

0,01

0,1

1

10 Zs-1

Zs-1

-90° -180° -270° -360°

Der Proportionalberweit des Reglers wird wie folgt berechnet: 'dB = 20 dB bzw. 20˜lg('K) = 20 dB

Ÿ

'K = 10

KRRneu = KPRalt / 'K = 4 / 10 = 0,4. Antwort: der Regelkreis befindet sich an der Stabilitätsgrenze bei KPRkrit = 0,4. Bei KPRkrit > 0,4 wird der geschlossene Regelkreis instabil.

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

89

Lösung zu Aufgabe 1.24 G0 dB 0dB

Zs-1

0,1

-20dB

1

'dB = 42 dB

10 Neue 0-dB-Linie

-40dB

Zs-1

M(Z) -90° -180°

DR = 45°

-270° -360° Wie in der vorherigen Aufgabe soll die 0-dB-Linie verschoben werden, in diesem Fall um 'dB = 42 dB nach unten, um die Phasenreserve von 45° zu erreichen. Daraus folgt: 20˜lg('K) = 42 dB

Ÿ 'K = 125,9

Ÿ KRRneu = KPRalt ˜'K = 1˜125,9 = 125,9

Lösung zu Aufgabe 1.25 a) Die Übertragungsfunktion des I-Reglers:

GR (s)

Die Übertragungsfunktion der P-T1-Strecke:

GS ( s )

K IR s K PS 1  sT1

Damit ist die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises: G0 ( s ) G R ( s ) ˜ GS ( s)

Ÿ

G0 (s)

K IR K PS s (1  sT1 )

Unter Annahme KI0 = 1 s-1 werden folgende Parameter berechnet: K I0

K IR K PS

2 s-1

1 / T1 = 1 / 1s = 1 s-1 Daraus ergibt sich das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises.

90

Lösungen

G0 dB

KI0 = 2 s-1

20dB

0dB

20 dB/Dek neue 0-dB-Linie 'dB = 6 dB 10

1

0,1

Zs-1

40 dB/Dek M(Z)

0°

0,1

1

1/Tt = 2,25 s-1

Zs-1

10

 90° M Totzeit  180°

DR = 45°

ohne Totzeit 57,3°

DR mit Totzeit

mit Totzeit 270°

Der Integrierbeiweit des I-Reglers wird für 'dB = 6 dB wie folgt berechnet: Ÿ

20˜lg('K) = 6 dB

'K =1,996

Ÿ

K IRneu

K IRalt ˜

1 'K

0,5 s-1

b) Der Dämpfungsgrad wird aus der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises berechnet:

G0 ( s ) 1  G0 ( s )

Gw (s)

G w ( s)

K IR K PS s (1  sT1 ) K K 1  IR PS s (1  sT1 )

K IR K PS 2

s T1  s  K IR K PS

K IR K PS § · T1 1 K IR K PS ¨¨ s 2 s  1¸¸ K IR K PS © K IR K PS ¹

1 T 1 1 s2 s 1 K IR K PS K IR K PS

Aus dem Vergleich mit der Standardform eines P-T2-Gliedes 1

Gw ( s ) s

2

1 Z02

s

21 Z0

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

91

folgt das System aus zwei Gleichungen, woraus der Dämpfungsgrad bestimmt wird: T1 K IR K PS

­ 1 ° 2 ° Z0 ® ° 2° Z0 ¯

Ÿ

1 K IR K PS

-

1 K IR K PST1

bzw. für KIR = 0,5 s-1; KPS = 2 und T1 = 1 s 1 0,5 ˜ 2 ˜ 1

-

1

c) Wird in Regelkreis eine Totzeit eingeführt, ändert sich der Phasengang wie im BodeDiagramm gezeigt ist, d. h. zu jedem Wert der Phase M(Z) wird die Phase des Totzeitgliedes addiert: M mitTotzeit (Z) wobei MTotzeit (Z)

MohneTotzeit (Z)  MTotzeit (Z)

ZTt ist.

Zum Beispiel, bei der Frequenz 1 Tt

Z

ist die Phase des Totzeitgliedes: MTotzeit



1 ˜ Tt bzw. MTotzeit Tt

Bei der Frequenz MTotzeit

Z

S Tt

 S Rad oder MTotzeit

1 Rad oder MTotzeit

57,3q.

ist die Phase der Totzeit

MTotzeit



S ˜ Tt Tt

bzw.

180q.

Um die Phasenreserve zu bestimmen, soll der Phasenwinkel bei der Durchtrittsfrequenz ZD betrachtet werden. Aus dem Bode-Diagramm kann man erkennen, dass für die neue 0-dB-Linie gilt: ZD

1 s-1

MTotzeit (ZD )

1 ˜ Tt

0,44 Rad bzw. MTotzeit (ZD )

0,44 ˜ 57,3q

25,2q

Aus dem Bode-Diagramm folgt für die Durchtrittfrequenz ZD 1 s-1, dass die Phasenreserve D R 45q des Regelkreises ohne Totzeit um MTotzeit (ZD ) 25,2q verschlechtert wird: D Rmit Totzeit

D R  MTotzeit

45q  25,2q 19,8q

92

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.26 a) Aus dem Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises bestimmt man, dass die 0-dB-Linie um 'dB = 10 dB nach oben verschoben werden soll, um die Phasenreserve von D R 45q zu erreichen (Punkt A). Daraus ergibt sich der Proportionalbeiweit KPR: 20˜lg('K) = 10 dB

G0

Ÿ

'K = 3,2

Ÿ

K PRalt ˜

K PRneu

1 'K

1 3,2

0,31

dB

20dB b) neue 0-dB-Linie a) neue 0-dB-Linie 'dB = 15 dB

'dB = 10 dB

0dB 10

1

M(Z) 0° 1

Zs-1

100

Zs-1

100

10

-90°

DR = 45°

B

A

-180° Regelkreis mit Tt Regelkreis mit 2Tt -270°

b) Wird die Totzeit Tt verdoppelt, d.h. Tt* Totzeitgliedes: M*t

ZTt*

2 ˜ Tt* , verdoppelt sich der Phasenwinkel des

2 ˜ Mt

Der Phasengang wird demensprechend nach unten verschoben, z. B. im Punkt A wird der Phasenwinkel des Totzeitgliedes nicht 45°, sondern 90° betragen. Um die Phasenreserve von D R 45q zu erreichen (Punkt B), soll die 0-dB-Linie um 'dB = 15 dB nach oben verschoben werden, d. h. 20˜lg('K) = 15 dB

Ÿ

'K = 5,6

Ÿ

K PRneu

K PRalt ˜

1 'K

1 5,6

0,18 .

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

93

Lösung zu Aufgabe 1.27 Der PID-Regler in der multiplikativen Form: G R ( s )

K PR (1  sTn )(1  sTv ) sTn

Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises: G0 ( s) G0 (s)

GR ( s ) ˜ G1 ( s ) ˜ G2 ( s ) ˜ G4 ( s )

K PR (1  sTn )(1  sTv ) K PS 1 1 ˜ ˜ ˜ sTn 1  sT1 1  sT2 1  sT4

Kompensation mit

Tn = Tgrößte = T1 Tv = Tzweitgrößte = T2

G0 ( s )

K PR ˜ K PS (Grundtyp A) sTn ˜ (1  sT4 ) Tn 2 ˜ K PS ˜ T4

Nach dem Betragsoptimum: K PRopt

T1 2 ˜ K PS ˜ T4

0,1 s 2 ˜ 50 ˜ 0,01 s

0,1

Lösung zu Aufgabe 1.28 G0 (s)

K PR K PS K IS (1  sTn )(1  sTv ) 2

s Tn (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )(1  sT4 )

 für aufgeschnittenen Kreis

Die Kompensation nach dem symmetrischen Optimum Tv = Tzweitgrößte = T3 = 3 s, dann die Bildung der Ersatzzeitkonstante: TE = T1 + T2 + T4 = 1 s + 0,5 s + 8 s = 9,5 s Tn = 4TE = 38 s Nach dem symmetrischen Optimum: K PR

1 2 K PS K ISTE

1 2 ˜ 0,5 ˜ 1 s-1 ˜ 9,5 s

0,1

Antwort zu Aufgabe 1.29 K PR K PS (1  sTn )(1  sTv ) wird mit Tn = 2,5 s und sTn (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 ) Tv = 2,1 s kompensiert, woraus sich der Grundtyp A des Betragsoptimums ergibt: Die Übertragungsfunktion G0 ( s )

K PR

Tn 2 K PST2

2,5 s 2 ˜ 0,2 ˜ 0,5 s

12,5

94

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.30 Zuerst wird die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises bestimmt: G0 (s)

K PR K PS (1  sTn )(1  sTv ) sTn (1  sT1 ) 2 (1  sT2 )(1  sT3 )

Nach der Kompensation mit Tn = Tgrößte = T2 = 10 s Tv = Tzweitgrößte = T1 = 5 s ergibt sich: G0 (s)

K PR K PS sTn (1  sT1 )(1  sT3 )

Um die diese Übertragungsfunktion in Form eines Grundtyps A darzustellen, soll die Ersatzzeitkonstante gebildet werden. Da die Bedingung T3 t 5T1 erfüllt ist, gilt es: TE = T1 + T3 = 1 s + 5 s = 6 s Nach dem Betragsoptimum für Grundtyp A berechnet man den Proportionalbeiwert des Reglers: K PR

Tn 2 K PSTE

10 s 2 ˜ 0,9 ˜ 6 s

10 10,8

0,93

Lösung zu Aufgabe 1.31 Die Übertragunsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises ist unten gezeigt: G0 ( s )

K PR K PS K PG K IS (1  sTn )(1  sTv ) s 2Tn (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

Da im Kreis zwei Glieder mit I-Anteilen vorhanden sind, handelt es sich um den Fall des symmetrischen Optimums. Dementsprechend wird die Kompensation Tv = Tzweitgrößte = T3 = 0,4 s gemacht und dann die Ersatzzeitkonstante gebildet (die Bedingung T2 > 5 T1 ist erfüllt): TE = T1 + T2 = 0,1 s + 0,6 s = 0,7 s Die Nachstellzeit des Reglers wird nach der Formel Tn = kTE bei k = 4 berechnet: Tn = 4TE = 2,8 s Nach dem symmetrischen Optimum: K PR

1 2 K PS K PG K ISTE

1 2 ˜ 30 ˜ 0,01 ˜ 1 s -1 ˜ 0,7 s

2,38

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

95

Lösung zu Aufgabe 1.32 KPS = 0,2 T1 = 0,2 s

KPR ,Tv w

y

e

z 1, T2 = 2,5 s 1, T3 = 1,8 s y1 y3 y2 +

+

KIS = 0,25 s -1 y4

x

Die Übertragungsfunktionen von einzelnen Gliedern des Regelkreises: GR ( s ) G1 ( s )

K PR (1  sTv ) K PR 1  sT1

G2 ( s )

1 1  sT2

G3 ( s )

1 1  sT3

G4 ( s)

K IS s

Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises als Reihenschaltung: G0 ( s )

GR ( s ) ˜ G1 ( s ) ˜ G2 ( s ) ˜ G3 ( s ) ˜ G4 ( s )

G0 ( s )

K PR K PS K IS (1  sTv ) s (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

Die Kompensation erfolgt mit Tv = Tgrößte = T2 = 2,5 s. Da die Bedingung T3 > 5T1 erfüllt ist, kann die Ersatzzeitkonstante gebildet werden: TE = T1 + T3 = 0,2 s + 1,8 s = 2 s Setzt man nun die bereits ermittelten Werte von Tv und TE in die Formel für die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises, so ergibt sich: G0 ( s)

K PR K PS K IS s ˜ (1  sT1 )

Dies entspricht dem Grundtyp A. Der optimale Proportionalbeiwert des Reglers KPR wird nach dem Betragsoptimum berechnet: K PRopt

K PRopt

1 2 ˜ K PS ˜ K IS ˜ TE 1 2 ˜ 0,2 ˜ 0,25s 1 ˜ 2 s

5

96

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.33 Die Übertragungsfunktionen von Teilstrecken: K PR 1  sT1

G1 ( s )

1 1  sT2

G2 ( s )

G3 ( s )



K IS s

Da die Strecke mit „“ Vorzeichen behaftet ist, soll auch die Übertragungsfunktion des Reglers negativ vorkommen, um die Mittkopplung im Regelkreis zu vermeiden: 

GR ( s )

K PR (1  sTn ) sTn

Die Übertragungsfunktionen des aufgeschnittenen Regelkreises als Reihenschaltung: K PR K PS K IS (1  sTn )

G0 ( s)

s 2Tn (1  sT1 )(1  sT2 )

Da im Regelkreis zwei Glieder mit I-Anteil vorhanden sind, handelt es sich hier um den Fall des symmetrischen Optimums. Die Bedingung T2 > 5 T1 ist erfüllt, es wird die Ersatzzeitkonstante gebildet: TE = T1 + T2 = 0,1 s + 0,6 s = 0,7 s Die Kennwerte des Reglers werden nach dem symmetrischen Optimum berechnet: Tn = 4TE = 2,8 s 1 2 K PS K ISTE

K PR

1 2 ˜ 0,6 ˜ 1,75 s -1 ˜ 0,7 s

0,68

Lösung zu Aufgabe 1.34 Gegeben sind: Tu = Tt = 5 s Tg = T1 = 15 s XE = 90°  20° = 70° Der Sollwert wS = 55° befindet sich in der Mitte des Regelbereiches XE = 70°, d.h. es handelt sich hier um symmetrische Lage der Führungsgröße und die angenäherte analytische Lösung ist möglich: x0

X E Tu ˜ 2 Tg

70q 5 s ˜ 2 15 s

11,7q

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

97

Lösung zu Aufgabe 1.35 a) Der Sollwert Mmsoll = 1,8 liegt nicht in der Mitte des Regelbereiches XE = 3. Die symmetrische Lage des Sollwertes wird erreicht, wenn XE um 20% gekürzt wird, so dass XE = 3,0 – 0,6 = 2,4 wird. Der maximale Wert der Stellgröße uS = 36  26 = 10 soll dafür auch um 20% kleiner sein, d. h. die Grundlast wird UGL = 2 betragen. Tg

MM (t) 3,0 2,4

x0

Tu

Tu

MMsoll

1,8 Tu

Tu

1,2

x0

0,6 0 36 34 32 30 28 26

Tu

10

20

30

40

50

60

70

t /ms

uS (t)

UGL 10

20

30

40

50

70 t /ms

60

Ermittlung der Amplitude der Dauerschwingung x0 : x grafische Lösung (siehe Diagramm oben) x0 = 0,9 x analytische Lösung bei Tu = 10 ms und Tg = 17 ms: x0

X E Tu ˜ 2 Tg

3,0  0,6 10 ms ˜ 2 17 ms

0,7

b) Die oben gegebene Formel gilt nur für Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz. Im Fall eines Zweipunktreglers mit Schaltdifferenz wird die Amplitude der Dauerschwingung x0 grafisch ermittelt, wie unten gezeigt wird. Aus dem Diagramm folgt x0 = 0,9. MM (t) 3,0 Umschaltpunkt des Reglers

2,4 1,8 1,2

xd

x0

Tu xd

x0

Umschaltpunkt des Reglers

0,6 0

Tu

MM soll

Tu

10

20

30

40

50

60

70

t /ms

98

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.36 Die optimale Einstellung einer Kaskadenregelung wird normalerweise vom Folgeregelkreis angefangen: G01 ( s )

K PR1K PS1 (1  sTn1 )(1  sTv1 ) . sTn1 (1  sT1 )(1  sT2 )

Nach der Kompensation Tn1 = T1 = 18 s Tv1 = T2 = 16 s ist die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Folgeregelkreises G01 ( s )

K PR1K PS1 . sTn1

Daraus folgen zuerst die Übertragungsfunktion des geschlossenen Folgeregelkreises 1

Gw1 ( s ) 1

1 G01 ( s )

1 Tn1 1 s K PR1K PS1

1 1  sTw1 Tn1 K PR1K PS1

Tw1

18 s 60 ˜ 0,1

3s

und dann die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Führungsregelkreises: G02 ( s )

K PR2 (1  sTn2 ) 1 ˜ sTn2 1  sT

w1

˜

K PS3 1  sT3

Nach der Kompensation Tn2 = Tw1 = 3 s ergibt sich der Grundtyp A: G02 ( s )

K PR2 K PS3 sTn2 (1  sT3 )

Nach dem Betragsoptimum: K PR2

Tn2 2 ˜ K PS2 ˜ T2

3s 2 ˜ 0,1 ˜ 2 s

7,5

Die optimale Einstellung des Führungsregelkreises: KPR2 = 7,5

Tn2 = 3 s

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

99

Lösung zu Aufgabe 1.37 G01 ( s )

K IR1 K PS1 s

Gw1 ( s )

K IR1K PS1 s  K IR1K PS1

Tw1

1 K IR1K PS1

K IR1K PS1 K IR1K PS1 (1  sTw1 ) 1

2,5s

1

2s

˜ 0,2

Daraus folgt für Hauptregelkreis G02 ( s )

K PR2 (1  sTn2 ) 1 ˜ sTn2 1  sT

˜ w1

K PS2 1  sT2

Nach der Kompensation Tn2 = Tw1 = 2 s ergibt sich Grundtyp A: G02 ( s )

K PR2 K PS2 sTn2 (1  sT2 )

Nach dem Betragsoptimum: K PR2

Tn2 2 ˜ K PS2 ˜ T2

2s 2 ˜ 0,08 ˜ 1,5 s

8,3

Lösung zu Aufgabe 1.38 G01 ( s )

K PR1K PS 1  sT1

Gw1 ( s)

K PR1K PS 1  sT1  K PR1K PS K w1 Tw1

K IR1K PS (1  K PR1K PS )(1  sTw1 )

K PR1K PS 1  K PR1K PS

10 ˜ 0,08 1  10 ˜ 0,08

0,44

T1

9s 1  10 ˜ 0,08

5s

1  K PR1K PS

Nach der Faustformel: Wenn der Eingang des I-Gliedes im Beharrungszustand gleich null ist, dann x1 (f) zˆ 2 und e (f )

1 ˜ x1 (f) K PR2 K w1

1 ˜2 30 ˜ 0,44

0,15 .

100

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.39 Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Folgeregelkreises: K PR1K PS1 (1  sTn1 ) . sTn1 (1  sT1 )

G01 ( s)

Nach der Kompensation Tn1 = T1 = 3 s wird die Übertragungsfunktion vereinfacht: K PR1K PS1 . sTn1

G01 ( s )

Daraus folgt die Übertragungsfunktion des geschlossenen Folgeregelkreises: Gw1 ( s )

Tw1

K PR1

1

1 Tn1 1 s K PR1K PS1

1 1 G01 ( s ) T1 20

Tn1 K PR1K PS1 K PS1 20

1 1  sTw1

5 20

0,25

Lösung zu Aufgabe 1.40 Für den Folgeregelkreis mit dem P-Regler und der I-Strecke: G01

GR1GS1

K PR1K IS1 s

Gw1

G01 1  G01

K PR1K IS1 s  K PR1K IS1

Tw1

1 K PR1K IS1

1 10 ˜ 1 s 1

1 1  sTw1 0,1 s

Für den Führungsregelkreis mit I-Regler: G02

GR 2Gw1GS2

K K PR 2 1 ˜ ˜ PS2 sTn2 1  sTw1 1  sT2

Da T2 > 5 Tw1 ist, wird die Ersatzzeitkonstante gebildet: TE = T2 + Tw1 = 0,9 s + 0,1 s = 1 s Es führt zum Grundtyp A des Betragsoptimums: G02

K PR2 K PS2 ˜ sTn 2 1  sTE

Ÿ

K PR 2

Tn 2 2 ˜ K PS2TE

0,1 s 2 ˜ 0,5 ˜ 1 s

0,1

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

101

Lösung zu Aufgabe 1.41 a) Entwurf der optimalen Einstellung des Führungsreglers: G01 ( s )

K PR1K IS1 s

Gw1 ( s )

G01 ( s ) 1  G01 ( s )

Tw1

1 K PR1K IS1

G02 ( s ) K PR 2

1

1

1 1 G01 ( s )

1

1 1  sTw1

s K PR1 K IS1

0,1 s

K PR2 K IS2 Ÿ Betragsoptimum, Grundtyp A s (1  Tw1 ) 1 1 10 2 K IS2Tw1 2 ˜ 0,5 ˜ 0,1

b) Der Dämpfungsgrad des Führungsregelkreises bei KPR2 = 5: G02 ( s )

Gw 2 ( s )

Gw 2 ( s )

K PR2 ˜

1 1  sTw1

1 1 1 G02 ( s)

˜

K IS2 s K PR2 K IS2

1 s (1  sTw1 ) 1 K PR2 K IS2

K PR2 K IS2  s  s 2Tw1

K PR2 K IS2 § · Tw1 1 s  1¸¸ K PR2 K IS2 ¨¨ s 2 K PR2 K IS2 © K PR2 K IS2 ¹

Daraus folgt das System aus zwei Gleichungen: ­ 1 ° 2 ° Z0 ® ° 2° Z0 ¯

Tw1 K PR2 K IS2

Ÿ

1 K PR2 K IS2

-

1 K PR2 K IS2Tw1

bzw. für KPR2 = 5; KIS2 = 0,5 s-1 und Tw1 = 0,1 s -

1 5 ˜ 0,5 ˜ 0,1

1 0,5

2

102

Lösungen

c) Die bleibende Regeldifferenz beim Störverhalten mit zˆ

0,5 :

Im Beharrungszustand wird die Eingangsvariable des I-Gliedes gleich Null. Daraus folgt: x1 (f)

 zˆ

0,5

Weiterhin gilt es für den Folgeregelkreis: x1 (f)

K Pw ˜ w1 (f)

Ÿ

w1 (f)

1 ˜ x1 (f) K Pw

Der Proportionalbeiwert des geschlossenen Folgeregelkreises 1 1  sTw1

Gw1 ( s ) ist K Pw

1 , woraus folgt:

w1 (f)

1 ˜ ( zˆ ) K Pw

0,5

Ähnlich gilt es für den P-Führungsregler mit K PR2 w1 (f)

5:

K PR2 ˜ e2 (f) ,

woraus die gesuchte bleibende Regeldifferenz bestimmt wird: e2 (f)

1 ˜ w1 (f) K PR2

1 ˜ (0,5) 5

0,1 .

d) Die Regelgröße x(f) im Beharrungszustand beim Führungsverhalten mit wˆ 0,2 : Im Beharrungszustand wird die Eingangsvariable des I-Gliedes gleich Null. Da zˆ 0 ist, folgt daraus: x1 (f) w1 (f)

e2 (f)

0 1 K Pw 1 K PR2

˜ x1 (f)

0

˜ w1 (f)

0

Für die bleibende Regeldifferenz gilt bekanntlich e2 (f)

wˆ  x2 (f) ,

woraus die gesuchte Regelgröße bestimmt werden kann: x2 ( f )

wˆ  e2 (f)

0,2 .

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

103

Lösung zu Aufgabe 1.42 a) Die optimale Einstellung des Reglers GR2(s)

MSoll

+

KPR3

 GR3

KPR1

KPR2, Tn2

+



+

GR2



KP3, T3

uS

MM

KP4, T4

ZIst

KI2

MIst

GR1

Die Übertragungsfunktionen des inneren Folgekreises: G01 ( s )

Gw1 ( s)

Gw1 ( s )

K PR1K P3 1  sT3 1 1 1 G01 ( s)

K PR1K P3 K PR1K P3  1  sT3

K PR1K P3 § · T3 ¸¸ ( K PR1K P3  1) ˜ ¨¨1  s 1  K K PR1 P3 © ¹

K Pw1 1  sTw1 K PR1K P3 1  K PR1K P3

K Pw1

Tw1

T3 1  K PR1K P3

6 ˜ 1,2 1  6 ˜ 1,2 0,00984 1  6 ˜ 1,2

0,88

0,0012 s

Die Übertragungsfunktionen des zweiten (mittleren) Folgekreises: G02 ( s)

K PR2 (1  sTn2 ) K P4 K Pw1 sTn2 (1  sT4 )(1  sTw2 )

Nach der Kompensation mit Tn2 = Tgrößte = T4 = 0,004 s ergibt sich der Grundtyp A G02 ( s)

K PR2 K P4 K Pw1 sTn2 (1  sTw2 )

Die Reglereinstellung nach dem Betragsoptimum: K PR2

Tn2 2 ˜ K P4 ˜ K Pw1 ˜ Tw2

0,004 s 2 ˜ 0,4 ˜ 0,88 ˜ 0,0012 s

4,74

b) Die Übertragungsfunktionen des geschlossenen inneren Folgekreises Gw1(s) und des augeschnittenen zweiten (mittleren) Folgekreises G02(s) wurden im vorherigen Punkt bestimmt. Daraus ergibt sich für den geschlossenen zweiten Folgekreis:

104

Lösungen

G02 ( s ) 1  G02 ( s )

Gw2 ( s )

K P4 1  sT4 1  G02 ( s )

Gz2 ( s )

K PR2 K P4 K Pw1 sTn2 (1  sTw2 ) K K K 1  PR2 P4 Pw1 sTn2 (1  sTw2 )

K PR2 K P4 K Pw1 sTn2 (1  sTw2 )  K PR2 K P4 K Pw1

K P4 1  sT4 K PR2 K P4 K Pw1 1 sTn2 (1  sTw2 )

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Hauptregelkreises beim Störverhalten: K I2 s 1  G0 ( s )

Gz2 ( s ) ˜ Gz ( s )

sK P 4Tn2 (1  sTw2 ) K ˜ I2 [ sTn2 (1  sTw2 )  K PR2 K P4 K Pw1 ](1  sT4 ) s K 1  K PR3Gw2 ( s ) I2 s

Im Beharrungszustand resultiert dies in Null: lim Gz ( s) ˜ zˆ

x (f )

s o0

0

Damit ist die bleibende Regeldifferenz beim Störverhalten ( wˆ wˆ  x(f)

e (f )

0 ) auch gleich Null:

0

Lösung zu Aufgabe 1.43 Mit dem Einsatz eines digitalen Reglers wird die Totzeit Tt

TA 2

in der Regelkreis eingeführt. Es gilt nach dem Nyquist-Stabilitätskriterium im kritischen Zustand: KI0 = KPR KPS KIS = 2,5 ˜ 0,4 ˜ 0,2 s-1= 0,2 s-1 ZS

0,2 s 1

bzw. der Phasenwinkel M(ZS )

Ÿ

S

M(ZS )



S  MTt (ZS ) 2

Daraus werden die benötigten Totzeit und Abtastzeit berechnet: Tt

S 2 ˜ ZS

7,85 s

Ÿ

Der Kreis wird bei TA < 15,7 s stabil.

TA

2Tt

15,7 s



S  ZSTt 2

S

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

105

Lösung zu Aufgabe 1.44 Durch Einsatz des digitalen Reglers entsteht die Totzeit: Tt = TA /2 = 0,2 s˜/2 = 0,1 s Zusammen mit der vorhandenen Totzeit T2 = 0,4 s ergibt sich eine gesamte Totzeit von T2 + T1= 0,4 s + 0,1 s = 0,5 s Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises G0 ( s )

K PR (1  sTn )(1  sTv ) K PS ˜ ˜ e  s (T2 Tt ) sTn 1  sT1

nach der Kompensation mit Tn = T1 = 0,5 s wird G0 ( s )

K PR K PS (1  sTv )  s (T2 Tt ) ˜e . sTn

Daraus werden folgende Werte berechnet: K I0 1 Tv

K PR K PS Tn 1 0,05 s

1,25 ˜ 0,8 0,5 s

2 s 1

1 T2  Tt

20 s 1

1 0,4s  0,1s

2 s 1

Die Phasenreserve wird aus dem nachfolgenden Bode-Diagramm ermittelt: DR

90°  57,3° = 32,7° KI0=2

G0 dB 20dB

0dB

0,1

1/Tv = 20 1/(T2 + Tt )= 2

Zs-1

10

1

Zs-1

M(Z)

ohne Totzeit

-90° Mt =57,3° -180°

DR =32,7°

Mt =180°

-270° mit Totzeit (T2 + Tt ) -360°

106

Lösungen

Antwort zu Aufgabe 1.45 Die Phasenreserve des Kreises mit analogem Regler beträgt DAnalog = 60°. Die Totzeit wegen Abtastung: Tt = TA/2 = (0,033 s /2) = 0,0165 s Bei Z = 1 / Tt = (1 / 0,0165sec) = 60,6 s-1 entsteht die Phasenverschiebung von 57,3°. Bei Z = S / Tt = (S / 0,0165sec) = 190,3 s-1 entsteht die Phasenverschiebung von 180°. Das Bode-Diagramm des offenen Kreises mit digitalem Regler GDig ist unten skizziert. G0 dB 20dB Neue 0-dB-Linie 0dB

1

100

10

'dB

Zsec-1

Zsec-1

M(Z) -90° -180°

MAnalog

-57,3°

DDig = DAnalog MDig

-180°

-270° -360°

Um DDig = DAnalog = 60° zu erhalten, soll KPR um 'dB = 12 dB verkleinert werden, d. h. 'dB = 20 lg('K)

Ÿ

'K = 4

Ÿ

KPRneu = KPRalt / 'K = 208,5 / 4 = 52,1

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

107

Antwort zu Aufgabe 1.46 Der digitale PI-Regler mit der Totzeit Tt = TA /2 = 0,2 s˜/2 = 0,1 s: GR ( s )

K PR (1  sTn )  sTt ˜e sTn

Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises: G0 ( s)

K PS2 K PR (1  sTn ) ˜ ˜ e  sTt sTn (1  sT2 )(1  sT3 )

Nach der Kompensation mit Tn = T3 = 0,6 s wird G0 ( s )

K PR K PS2 ˜ e  sTt . sTn (1  sT2 )

Daraus werden folgende Werte unter Annahme KPR = 1 berechnet und in das BodeDiagramm eingetragen: K I0

K PR K PS2 Tn

1 ˜ 0,9 0,6 s

1 T2

1,5 s 1

1 0,2 s

5 s 1

1 Tt

1 0,1s

10 s 1

Der Proportionalbeiwert des Reglers wird aus dem nachfolgenden Bode-Diagramm ermittelt: 20˜lg('K) = 6 dB G0 dB

'K =1,996

KIo = 1,5 s-

20dB

0dB

Ÿ

Ÿ

K IRneu

K PRalt ˜ 'K

1,996

1/T2 = 5 s-1 1/Tt = 10 s-1

20 dB 'dB = 6 dB 0,1

1

10

Zs-1 neue 0-dB-Linie

40 dB M(Z)

0°

Zs-1

-90°

-180°

DR = 45°

ohne Totzeit 57,3° mit Totzeit

-270°

108

Lösungen

Antwort zu Aufgabe 1.47 a) Aus dem Amplitudengang wird abgelesen: KI0 = 3 s-1

T1 = 1 / 4 = 0,25 s

Die Übertragungsfunktion des Kreises mit dem analogen P-Regler: G0 ( s)

K I0 s(1  sT1 )

Damit gehört der Regelkreis zum Grundtyp A. Nach dem Betragsoptimum: K PR

1 2 ˜ K I0 ˜ T1

1 2 ˜ 3 ˜ 0,25 s

0,67

b) Nun wird der Regelkreis mit der Totzeit Tt = TA /2 = 0,1 s /2 = 0,05 s ergänzt. Der entsprechende Phasengang ist unten im Bode-Diagramm gezeigt. Daraus ergibt sich für die Stabilitätsgrenze nach dem Nyquist-Stabilitätkriterium: 20˜lg('K) = 15 dB

Ÿ

'K = 5,8

Ÿ

K IRneu

KI0 = 3 s1 1/ T1 = 4 s1

G0 dB 20dB

K PRalt ˜ 'K

1/Tt = 20 s-1 S/Tt = 62,8 s-1

20 dB/Dek 0dB

0,1 'dB = 15 dB

Zs-1

10

1 ZD

5,8

40 dB/Dek neue 0-dB-Linie

M(Z)

Zs-1

90° ohne Totzeit  180° 57,3°  270°

180° mit Totzeit Tt

 360°

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

109

Lösung zu Aufgabe 1.48 Digitalisierung von Algorithmen

a)

Grundglied

Übertragungsfunktion

P-Regler

GR ( s )

K PR

Differentialgleichung Differenzengleichung x(t ) K PR ˜ e(t ) xk 1

K PR ˜ ek

K PR e(t )dt Tn dx(t ) K PR ˜ e(t ) Tn dt x x Tn k 1 k K PR ˜ ek TA T xk 1 xk  K PR A ˜ ek Tn

³

x(t )

b)

GR ( s)

I-Regler

K PR sTn

x(t ) c)

GR ( s )

PI-Regler

K PR

(1  sTn ) sTn

³

K PR e(t )  K IR e(t )dt

xk 1

xkP- Anteil  xkP- Anteil 1 1

xk 1

K PR ek  xk  K IRTA ek

dx(t )  x(t ) K PS ˜ y (t ) dt x x T1 k 1 k  xk K PS ˜ yk TA T1

d)

P-T1-Strecke

GS ( s )

K PS 1  sT1

T1 xk 1 xk 1

T1xk  TA xk  K PSTA yk xk  K PS

T TA y k  A xk T1 T1

Konfigurierung mit IEC-Funktionsbausteinen: a) P-Regler SUB_INT w %3:00002 x %3:00003

e

MUL_REAL

y

INT_TO_REAL

REAL_TO_INT %4:00001

KpR

LIMIT_REAL 32000.0 32000.0

MN IN MX

Y

110

Lösungen

b) I-Regler w

SUB_INT

%3:00002 %3:00003 x

e

INT_TO_REAL

DIV_REAL Ki

KpR Tn

ADD_REAL

MUL_REAL e Ki TA

%4:00001 REAL_TO_INT

y0 yk

y

LIMIT_REAL

e

32000.0

w x K PR

KpR Ki

K PR Tn

TA

TA

32000.0

yk

Y

MN IN MX

c) PI-Regler P_REGLER SUB_INT w %3:00002 x %3:00003

y

ADD_INT

e

%4:00001

I_REGLER

d) P-T1-Strecke LIMIT_REAL

%4:00001 y

INT_TO_REAL

32000.0 32000.0

MUL_REAL

MN IN MX

xk

Y

REAL_TO_INT

MUL_REAL

SUB_REAL

ADD_REAL

y xk

KpS DIV_REAL 1 T1

TA

%4:00002

xk

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

Grundglied

111

Differentialgleichung Differenzengleichung dx(t )  x(t ) K IS y (t )dt T1 dt

Übertragungsfunktion

³

2

T1 e)

f)

I-T1-Strecke

GS ( s )

K IS s (1  sT1 )

T1

d x(t ) dt

2



xk 1  xk TA2

dx(t ) dt  T1

K IS y (t ) xk  xk 1 TA2

xk 1

2 xk 1  xk  K IS

K IS yk

TA2 yk T1

GR ( s )

K PR

(1  sTn ) sTn

xk 1

K PR ek  xk  K IRTA ek

GS ( s)

K PS1 K PS2 ˜ 1  sT1 1  sT2

xk 1

xk  K PS

G0 ( s)

GR ( s )GS ( s)

(1  sTn ) K PS1 K PS2 ˜ ˜ sTn 1  sT1 1  sT2

PI-Regler mit P-T2-Strecke

K PR

T TA y k  A xk T1 T1

Ÿ Grundtyp A Tn 2 K PS1K PS2T1

Kompensation: Tn = T2 = 81 s Betragsoptimum: K PR K PR

g)

P-Regler mit I-T1-Strecke

81 s 2 ˜ 0,8 ˜ 6 s

8,44

GR ( s )

K PR

xk 1

K PR ˜ ek

GS ( s )

K IS s (1  sT1 )

xk 1

2 xk 1  xk  K IS

G0 ( s)

GR ( s )GS ( s)

Betragsoptimum: K PR

K PR ˜

K IS s (1  sT1 )

1 2 K IST1

Ÿ

TA2 yk T1

Grundtyp A

1 2 ˜ 0,1 s -1 ˜ 0,5 s

10

112

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.49 a) Die Abtastzeit beträgt TA = 0,01 s und ist viel kleiner als die Zeitkonstante der Regelstrecke T1. Die Bedingung TA 

T1 2

ist erfüllt, und der Regelkreis kann quasikontinuierlich mit der Totzeit TA 2

Tt

0,01 2

0,005 s

betrachtet werden: G0 ( s)

K PR (1  sTv ) K PS ˜ ˜ e  sTt 1  sTR 1  sT1

KPR = 8 Tv = 0,2 s w

Digitaler PD-T1 Regler TR = 0,03 s Tt= 0,005 s

x

e

+



Totzeitglied

Nach der Kompensation mit Tv = T1 = 0,2 s ergibt sich G0 ( s )

K PR K PS  sTt ˜e 1  sTR

Nachfolgend ist das Bode Diagramm mit 20 ˜ lg( K PR K PS ) 1 TR

1 0,03

1 Tt

1 0,005

gezeigt.

KPS = 0,5 T1= 0,2 s

20 ˜ lg(8 ˜ 0,5) 12,04 dB

33,3 s-1

200 s-1 und

S Tt

3,14 0,005

628 s-1

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

G0

(1/ TR ) = 33,3 s-1 dB

20dB

113

(1/ Tt ) = 200 s-1 (S/ Tt ) = 628 s-1

20 dB/Dek 10dB 20 log(KPRKPS) = 12,04 dB 0dB M(Z) 0°

1

10

100

Zs-1

1

10

100

Zs-1

-90° -180°

1 Rad

DR

S Rad

-270°

Aus dem Bode-Diagramm wird die Phasenreserve nach dem Nyquist-Stabilitätskriterium beim Durchtrittsfrequenz (hier: ca. 120 s-1) abgelesen: DR

45q

b) Die Abtastzeit beträgt TA = 0,1 s. Da T1 = 0,2 s ist, wird die Bedingung Tt 

T1 2

nicht erfüllt. Der Regelkreis soll digitalisiert werden. Nun soll die DGL des geschlossenen Regelkreises ermittelt werden. Zunächst findet man dafür die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises G0 ( s )

K PR (1  sTv ) K PS ˜ , 1  sTR 1  sT1

die unter Beachtung Tv = T1 = 0,2 s vereinfacht wird: G0 ( s )

K PR K PS 1  sTR

Daraus folgen die Übertragungsfunktionen

114

Lösungen

Gw ( s )

Gw ( s )

1 1 1 G0 ( s )

1 1  sTR 1 K PR K PS

K PR K PS K PR K PS  1  sTR K Pw 1  sTw

K PR K PS § · TR ¸¸ (1  K PR K PS )¨¨1  s  K K 1 PR PS ¹ ©

K PR K PS 1  K PR K PS

mit K Pw

8 ˜ 0,5 1  8 ˜ 0,5

4 5

0,8

und die DGL des geschlossenen Kreises: Tw

dx(t )  x(t ) dt

K Pw ˜ w(t )

KPR = 8 Tv = 0,2 s w

e

+



Digitaler PD-T1 Regler TA= 0,1 s TR = 0,03 s

KPS = 0,5 T1= 0,2 s x

Abtast-/Halteglied

Digitalisierung nach der Rechteckregel mit der linken Intervallgrenze: Tw

xk 1  xk  xk TA

K Pw ˜ wk

Ÿ

Tw xk 1

§ · T T xk  ¨¨ K Pw A wk  A xk ¸¸ Tw Tw ¹ ©

xk 1 c) Im Beharrungszustand sind t o f und xk 1 xk

§ · T T xk  ¨¨ K Pw A wk  A xk ¸¸ Tw Tw © ¹

xk

K Pw wk

Nach dem Eingangssprung wk differenz ek

wk  xk

Ÿ

Tw xk  TA xk  K Pw TA wk

xk . Daraus folgt: K Pw

TA T wk  A xk Tw Tw

0

2 ensteht im Beharrungszustand die bleibende Regel-

wk  K Pw wk

(1  K Pw ) wk

(1  0,8) ˜ 2

0,4 .

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

115

Lösung zu Aufgabe 1.50 Zunächst wird die Übertragungsfunktion des augeschnittenen Regelkreises ermittelt: G0 (s)

K PR (1  sTn ) K PS ˜ . sTn 1  sT1

Unter Beachtung Tn = T1 = 0,4 s wird die Übertragungsfunktion vereinfacht: G0 ( s)

K PR K PS . sTn

Danach wird die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises bestimmt: Gw ( s )

1 sTn 1 K PR K PS

1 1 1 G0 ( s ) mit K Pw

1 und Tw

K Pw 1  sTw Tn K PR K PS

0,4 2 ˜ 0,5

0,4 s.

Aus dem Zusammenhang Gw ( s )

K Pw 1  sTw

x( s ) w( s )

folgt die algebraische Gleichung (1  sTw ) ˜ x( s)

K Pw ˜ w( s) ,

woraus die DGL des geschlossenen Regelkreises durch die Laplace-Rücktransformation ermittelt wird: Tw

dx(t )  x(t ) dt

K Pw ˜ w(t )

Die Digitalisierung der obigen DGL nach der Rechteckregel mit der linken Intervallgrenze führt zur Differenzengleichung Tw

xk 1  xk  xk TA

K Pw ˜ wk

Ÿ

§T · Tw xk 1  ¨¨ w xk  xk ¸¸ TA © TA ¹ § 0,39 · 0,39 ˜ xk 1  ¨¨  1¸¸ xk 0,01 © 0,01 ¹ 39 xk 1  38 xk

wk

K Pw ˜ wk

wk

116

Lösungen

Die Differenzengleichung in Normalform: xk 1  0,9744 xk

0,0256wk

Die homogene Lösung der Differenzengleichung ist xkh

C1 z1k

für k

0, 1, 2, ...

wobei z1 die Polstelle der entsprechenden charakteristischen Gleichung ist: z  0,9744

0

Ÿ

z1

0,9744

Für Eingangssprung stellt die partikuläre Lösung der Differenzengleichung xkpart eine Konstante C0 dar und wird durch Einsetzen xk stimmt: C0  0,9744 ˜ C0

0,0256 ˜ wk

Ÿ

C0

C0 in die Differenzengleichung be0,0256 ˜ 2 1  0,9744

2

Die Gesamtlösung der Differenzengleichung: xk

xkh  xkpart

C1 z1k  C0

C1 ˜ (0,9744) k  2

Die Konstante C1 wird aus der Anfangsbedingung für t lich bei t 0 soll x(0) 0 sein.

für k

0 bzw. k

Bei digitalisierten Systemen entspricht dies der Bedingung x0 Eingesetzt in die Lösung führt es zur Gleichung x0

C1 ˜ (0,9744) 0  2

0

Ÿ

C1

2 .

Damit ist die Gesamtlösung der Differenzengleichung: xk

2  2 ˜ (0,9744) k

MATLAB-Skript: for k = 1:160 xk = 2  2*(0.9744 ^ k) plot (k, xk, [ ‘s’, ‘k’ ] ) hold on end;

für k

0, 1, 2, ...

0, 1, 2, ...

0 bestimmt, näm-

0 bei k

0.

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

117

Lösung zu Aufgabe 1.51 a) Die z-transformierte Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen digitalen Regelkreises: G0 ( z )

wobei a

K PR K PS ˜

GR ( z )GHS ( z )

T  A e T1



e

0,01 0,1

1 a za

0,9048 ist.

Die z-transformierte Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises: G0 ( z ) 1  G0 ( z )

Gw ( z )

mit

1 a za 1 a 1  K PR K PS ˜ za K PR K PS ˜

b0

K PR K PS (1  a)

z1

a  K PR K PS (1  a)

K PR K PS (1  a) z  a  K PR K PS (1  a)

b0 z  z1

b) Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises z  z1

0

hat eine Polstelle bei z

z1

a  K PR K PS (1  a) .

Der Regelkreis wird stabil, wenn z1  1 . Für die Stabilitätsgrenze gilt z1 a  K PRkrit K PS (1  a)

1

Ÿ

­a  K PRkrit K PS (1  a ) ® ¯a  K PRkrit K PS (1  a )

1 1

Daraus folgt: K PRkrit

1 a K PS (1  a)

1  0,9048 0,4 ˜ (1  0,9048)

1,9048 0,4 ˜ 0,0952

c) Einem Beharrungszustand entspricht die Bedingung: t o f im Zeitbereich

s o 0 im Bildbereich z o 1 im z-Bereich, da z

e sT A ist.

50,02

1 bzw.

118

Lösungen

Analog dem Endwertsatz der Laplace-Transformation für kontinuierliche Systeme x (f )

lim Gw ( s ) ˜ wˆ

lim s ˜ x( s)

x(t ) t o f

s o0

s o0

gilt der folgende Endwertsatz für den z-Bereich: x (f )

z 1 ˜ x( z ) z o1 z

x(t ) t o f

lim

lim Gw ( z ) ˜ wˆ .

z o1

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises Gw ( z )

b0 z  z1

hat folgende Parameter bei KPR = 10: b0

K PR K PS (1  a ) 10 ˜ 0,4 ˜ (1  0,9048)

z1

a  K PR K PS (1  a)

0,3808

0,9048  0,3808 0,524

Nach dem Endwertsatz wird die Regelgröße x im Beharrungszustand beim Eingangssprung der Führungsgröße  w 2 den folgenden Wert erreichen: x (f )

lim Gw ( z ) ˜ wˆ

z o1

lim

z o1

b0 ˜ wˆ z  z1

b0 ˜ wˆ 1  z1

0,3808 ˜ 2 1,6 1  0,524

Die bleibende Regeldifferenz ist dabei e (f )

wˆ  x(f) 1  1,6

0,4 .

Für einen kontinuierlichen Regelkreis (P-Regler mit P-T1-Strecke) mit gleichen Kennwerten

Gw ( s )

G0 ( s ) 1  G0 ( s)

K Pw

K PR K PS 1  sT1 K K 1  PR PS 1  sT1

K PR K PS 1  K PR K PS

K PR K PS 1  sT1  K PR K PS

10 ˜ 0,4 1  10 ˜ 0,4

4 5

K Pw 1  sTw

0,8

beträgt die bleibende Regeldifferenz den gleichen Wert e (f )

wˆ  x(f)

wˆ  lim Gw ( s ) ˜ wˆ s o0

wˆ  K Pw ˜ wˆ

2  0,8 ˜ 2

0,4 .

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

119

Lösung zu Aufgabe 1.52 Zunächst stellt man fest, dass es sich in dieser Aufgabe um die symmetrische Lage der Führungsgröße w=9V bezüglich des Regelbereiches XE handelt. XE

x ( f )  x ( 0)

K PS ˜ ymax  0

0,75 ˜ 24 V 18 V

Dies bedeutet, dass die angenäherte analytische Lösung möglich ist: x0

X E Tu ˜ 2 Tg

In der Aufgabenstellung ist Tg = T1 = 4,5 s gegeben. Der digitale Regler hat die Totzeit Tu = Tt = TA /2 = 0,2 / 2 = 0,1 s. Somit wird die Amplitude der Dauerschwingung bestimmt: x0

18 V 0,1 s ˜ 2 4,5 s

0,2 V

Dem berechneten Wert von x0 und dem gegebenen Wert von w entspricht die Sprungantwort des Diagramms 3.

Lösung zu Aufgabe 1.53 Wegen Abtastung entsteht im Regelkreis die Totzeit Tt = 0,5˜TA, die zur eigenen Totzeit des Regelkrieses Tu addiert wird: Tu*

Tu + 0,5˜TA= 10 ms + 0,5˜TA.

Die Amplitude x0 der Dauerschwingung wird nach der Formel x0

X E Tu* ˜ 2 Tg

2,4 10ms  0,5 ˜ TA ˜ 2 17ms

berechnet und ist aus der Aufgabenstellung x0 < 1,0. Daraus folgt 1,2 ˜ (10ms  0,5 ˜ TA )  17ms und die Lösung: TA < 8,3 ms.

120

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.54 Aus dem Wirkungsplan der MIMO-Regelstrecke in P-kanonische Struktur gilt im Zeitbereich ­ x1 (t ) ® ¯ x2 (t )

x11 (t )  x12 (t ) x21 (t )  x22 (t )

und im Bildvereich: ­ x1 ( s ) ® ¯ x2 ( s )

x11 ( s )  x12 ( s ) x21 ( s )  x22 ( s )

­ x1 ( s) ® ¯ x2 ( s )

Ÿ

G11 ( s) yˆ1  G12 ( s) yˆ 2 G21 ( s ) yˆ1  G22 ( s ) yˆ 2

Setzt man die gegebenen Übertragungsfunktionen und Eingangssprünge G11 ( s )

K P11 1  sT11

G12 ( s)

K P12

 y1

0,5

G22 ( s )

K P22 1  sT22

G21 ( s)

K P21

 y2

0,8

in die obige Formel ein, so ergibt sich: ­ °° x1 ( s ) ® ° x2 ( s ) ¯°

K P11 yˆ1  K P12 yˆ 2 1  sT11 K P22 yˆ 2 K P21 yˆ1  1  sT22

In beiden Fällen entsprechen Sprungantworten einem PP-T1-Verhalten, wie unten im Bild gezeigt ist. Im Beharrungszustand erreichen Regelgrößen folgende Werte: ­ x1 (f) K P11 yˆ1  K P12 yˆ 2 2 ˜ 0,5  3,0 ˜ 0,8 3,4 ® ¯ x2 (f) K P21 yˆ1  K P22 yˆ 2 5 ˜ 0,5  1,5 ˜ 0,8 3,7 Das Simulink-Modell der MIMO-Regelstrecke ist unten gezeigt.

x1

T11 = 5 s KP11 y1= 1 KP12 y2= 2,4

0 x2

t T22 = 2,5 s KP22 y2= 1,2 KP21 y1= 2,5

0

t

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

121

Lösung zu Aufgabe 1.55 KPR1

+ w1

K11 , T11



e1

+

x1

+

K12

K21 , T21

KPR2 , Tn2 w2

+

K22 , T22a

1 , T22b

e2

+ +



Zunächst werden die einzelnen Regelkreise separat betrachtet: G01 ( s )

GR1 ( s ) ˜ G11 ( s )

K IR1 K P11 ˜ s 1  sT11

G02 ( s )

GR2 ( s ) ˜ G22 ( s)

K PR2 (1  sTn 2 ) K 22 ˜ sTn 2 (1  sT22a )(1  sT22b )

Nach der Kompensation mit Tn2

Tgrößte

T22b

18 s

ergeben sich folgende Übertragungsfunktionen für geschlossene Reglkreise: Gw1 ( s )

G01 ( s ) 1  G01 ( s)

K IR1K P11 s(1  sT11 )  K IR1K P11

Gw 2 ( s )

G02 ( s ) 1  G02 ( s )

K PR2 K 22 sTn 2 (1  sT22a )  K PR2 K 22

Dann wird der Koppelfaktor ermittelt

C (s)

G21 ( s ) ˜ G12 ( s ) G11 ( s ) ˜ G22 ( s )

K 21 1  sT21 K11 K 22 ˜ 1  sT11 (1  sT22a ) ˜ (1  sT22b ) K12 ˜

x2

122

Lösungen

und zwecks Vereinfachung durch den statischen Koppelfaktor ersetzt: C (0)

lim C ( s )

s o0

0,2 ˜ 0,1 0,5 ˜ 0,4

K12 K 21 K11K 22

0,1

Die resultierenden Regelstrecken sind damit: * (s) G11

G11 ( s ) ˜ [1  C (0) ˜ Gw2 ( s )]

* G22 (s)

G22 ( s ) ˜ [1  C (0) ˜ Gw1 ( s )] .

Zwecks Vereinfachung werden Gw1(s) und Gw2(s) durch die Grenzwerte Gw1(0) und Gw2(0) im Beharrungszustand bei t o f bzw. s o 0 angenähert, d. h. Gw1 (0)

Gw 2 ( 0 )

lim Gw1 ( s )

K IR1K P11 K IR1K P11

lim Gw 2 ( s )

K PR2 K P22 K PR2 K P22

s o0

s o0

1

1

Die vereinfachten resultierenden Regelstrecken sind damit: 0,9 ˜ K P11 1  sT11

* G11 (s)

G11 ( s) ˜ [1  C (0)]

* G22 (s)

G22 ( s ) ˜ [1  C (0)]

0,9 ˜ K 22 (1  sT22a )(1  sT22b )

Die Reglereinstellung erfolgt nach dem Betragsoptimum, Grundtyp A: * G01 (s)

* GR1 ( s ) ˜ G11 (s)

* G02 (s)

* GR2 ( s ) ˜ G22 (s)

0,9 K IR1K P11 s(1  sT11 ) 0,9 K PR2 K 22 sTn 2 (1  sT22a )

Die optimale Kennwerte von beiden Reglern (Diagonalregler) sind: K IR1

K PR2

1 2 ˜ K11 ˜ T11

1 2 ˜ 0,5 ˜ 1,1 s

Tn2 2 ˜ K P 22 ˜ T22a

0,91 s -1

19 s 2 ˜ 0,4 ˜ 6 s

3,96

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

123

Lösung zu Aufgabe 1.56 Die Übertragungsfunktionen und der Wirkungplan des Entkopplungsreglers:

GR12 ( s )

G12 ( s ) G11 ( s )

K12 1  sT12 K11 1  sT11

K12 K11

5 0,5

10

GR 21 ( s )

G21 ( s ) G22 ( s )

K 21 1  sT21 K 22 1  sT22

K 21 K 22

0,6 10

0,06

C (s)

G12 ( s ) G21 ( s ) ˜ G11 ( s ) G22 ( s )

C ( 0)

lim C ( s )

K0

w1

s o0

1 1  C (s) KPR1 = 2 Tv1 = 5s

1 1  0,6

5 0,6 ˜ 0,5 10

0,6

2,5

K11 = 0,5 T11 = 5s

K0 = 2,5

+

e2

-

x1

+

KPR2 = 0.5 Tv1 = 5s

+

K12 K 21 ˜ K11 K 22

e1

+

w2

K 21 K12 1  sT12 1  sT21 ˜ K11 K 22 1  sT11 1  sT22

-

KPR12 = 10

K12 = 5 T12 = 5s

KPR21 = 0,06

K21 = 0,6 T21 = 5s

K0 = 2,5

+

-

+

K22 = 10 T22 = 5s

+ + x2

124

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 1.57 Das mathematische Modell der Regelstrecke stellt ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen dar, welches mit Hilfe von Bilanzgleichungen aus den physikalischen Gesetzen hergeleitet wird. Zunächst wird ein Beispiel mit dem einzelnen Tank betrachtet, wie neben im Bild gezeigt ist.

yzu Qzu X

Ist M die Masse im Behälter 1, so wird die zeitliche Änderung der Masse während einer Zeitspanne 't von der Änderungen des Zuflusses mzu und mab Abflusses abhängig:

A

x

yab

X0

Qab

'M

mzu ˜ 't  mab ˜ 't

Für die kurze Zeitspanne 't o dt wird es gelten: 'M 't

mzu  mab

Ÿ

dM dt

mzu  mab

Ÿ

M (t )

mzu (t )  mab (t )

Die so erhaltene Differentialgleichung kann man umschreiben, indem man an Stelle der Masse das Volumen einführt: M

ȡV

mzu

ȡQzu

mab

ȡQab

Hier sind: V - das Volumen der Flüssigkeit im Behälter, Qzu und Qab - die pro Zeiteinheit zu- bzw. abfließenden Mengen der Flüssigkeit. Aus der obigen Differentialgleichung wird: V (t )

Qzu (t )  Qab (t ) .

Auch diese DGL lässt sich umschreiben, indem man anstelle des Volumens den Flüssikeitsstand X einführt. Dafür bezeichnet man den Querschnitt des Tanks A: V (t )

A ˜ X (t )

Durch Differentiation nach der Zeit folgt daraus V (t )

A ˜ X (t )

und folglich A ˜ X (t )

Qzu (t )  Qab (t ) .

Man kann annehmen, dass die pro Zeit zufließende Menge Qzu proportional dem Ventilhub Y ist Qzu

k ˜ Yzu

und dass der Abfluss konstant ist:

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik Qab

Qab0

konst bzw. Yab

Yab0

125

konst.

Das mathematische Modell des Einzeltanks sieht damit wie folgt aus: A ˜ X (t )

k ˜ Yzu (t )  Qab0

Aus dieser DGL erhält man durch die Integration: 1 [k ˜ Yzu (t )  Qab0 ] dt  C A

³

X (t )

Im gewünschten Zustand wird das Zufluss-Ventil so eingestellt, dass der gewünschte Füllstand X = X0 erreicht wird: Qab0 und X (t )

k ˜ Yzu (t )

0

Daraus folgt 1 [k ˜ Yzu (t )  Qab0 ] dt  C A

³

X0 bzw. C

X0

Die mathematische Beschreibung der Füllstandsstrecke wird damit X (t )

1 [k ˜ Yzu (t )  k ˜ Yab (t )] dt  X 0 A

³

bzw. k [Yzu (t )  Yab (t )] dt . A

³

X (t )  X 0

Führt man die folgenden Bezeichnungen ein x(t )

X (t )  X 0

y (t ) Yzu (t )  Yab (t ) K IS

k , A

entstehen die DGL und die korrespodierende Übertragungsfunktion des I-Gliedes:

³

x(t )

K IS y (t ) dt

x( s )

K IS y(s) s

Ÿ

x( s )

GS ( s ) y ( s )

126

Lösungen

Die DGL des Zwei-Tank-Systems werden analog dem Beispiel für einen Einzeltank hergeleitet. Der Einfachtheit halber wird angenommen, dass alle Tanks den gleichen Querschnitt A haben und dass es beim 2. Tank keinen Abfluss nach außen gibt.

y1 Qzu A

x1 X1

A x2 X X02 2

Qab1 = Qzu2

X01

y2 Qab

Für den ersten Tank gilt A ˜ X 1 (t )

Qzu  Qab1

k ˜ Y1 (t )  Qab1 ,

wobei in diesem Fall an die Stelle der konstanten Abfluss Qab1 die pro Zeit abfließende Menge tritt, welche proportional der Differenzenhöhe X1  X2 ist: Qab1

ka ˜ ( X 1  X 2 )

Damit erhält man für den 1. Tank A ˜ X 1 (t )

k ˜ Y1 (t )  ka ˜ [ X 1 (t )  X 2 (t )] .

Für kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt (X01, Y01) gilt wie im vorherigen Beispiel A ˜ x1 (t )

ka x1 (t )  ka x2 (t )  ky1 (t )

bzw. in Normalform T11 ˜ x1 (t )

 x1 (t )  x2 (t )  K11 y1 (t )

mit Bezeichnungen: x1 (t )

X 1 (t )  X 01

y1 (t ) Y1 (t )  Y01 K11

k ka

T11

A ka

Die Bilanzgleichung für den zweiten Tank: A ˜ X 2 (t )

wobei Qzu2

Qzu2 (t )  Qab (t ) ,

ka ˜ ( X 1  X 2 ) und Qab

k ˜ Y2

Analog der vorherigen Herleitung erhält man für den 2. Tank A ˜ x 2 (t )

k a x1 (t )  ka x2 (t )  ky2 (t )

bzw. in Normalform

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik T22 ˜ x 2 (t )

127

x1 (t )  x 2 (t )  K 22 y 2 (t ) .

mit Bezeichnungen: x2 (t )

X 2 (t )  X 02

y2 (t ) Y2 (t )  Y02 K 22

k ka

T22

A ka

Die mathematische Beschreibung des Zwei-Tank-Systems stellt damit das folgende System von gewöhnlichen DGL dar: ­T11 ˜ x1 (t )  x1 (t )  x2 (t )  K11 y1 (t ) ® ¯T22 ˜ x 2 (t ) x1 (t )  x2 (t )  K 22 y2 (t ) Man erhält daraus die korrespondierende Laplace-Transformation: ­ (1  sT11 ) x1 ( s ) ­sT11x1 ( s )  x1 ( s )  x2 ( s )  K11 y1 ( s ) Ÿ ® ® ( ) ( )  ( )  ( ) sT x s x s x s K y s 1 2 22 2 ¯(1  sT22 ) x2 ( s ) ¯ 22 2

x2 ( s )  K11 y1 ( s ) x1 ( s )  K 22 y2 ( s )

1 K11 ­ °° x1 ( s) 1  sT x2 ( s)  1  sT y1 ( s ) 11 11 ® 1 K 22 ° x2 ( s ) y2 ( s ) x1 ( s)  1  sT22 1  sT22 ¯° bzw. die Übertragungsfunktion der MIMO-Regelstrecke in V-kanonische Form: ­ x1 ( s ) ® ¯ x2 ( s )

G11 ( s ) ˜ [V12 ( s ) x2 ( s )  y1 ( s )] G22 ( s ) ˜ [V21 ( s ) x1 ( s )  y2 ( s )]

mit folgendem Wirkungsplan und einzelnen Übertragungsfunktionen: K11 , T11

y1

x1

+ +

1/ K22

1/ K11

y2



+

K22 , T22

x2

G11 ( s )

K11 1  sT11

V12 ( s )

1 K11

G22 ( s )

K 22 1  sT22

V21 ( s)

1 K 22

128

Lösungen

Um das Zwei-Tank-System in P-kanonische Form darzustellen, soll das oben geschriebene Gleichungssystem ­ (1  sT11 ) x1 ( s ) ® ¯(1  sT22 ) x2 ( s )

x2 ( s )  K11 y1 ( s ) x1 ( s )  K 22 y2 ( s )

gelöst werden: x2 ( s ) ­ (1  sT11 ) x1 ( s )  ®  x1 ( s)  (1  sT22 ) x2 ( s ) ¯

K11 y1 ( s )  K 22 y2 ( s )

Nachfolgend ist die Lösung nach der Cramerschen Regel gezeigt. Zuerst wird die Hauptdeterminante bestimmt: D

1  sT11 1 1 1  sT22

D

§ · T T s ˜ (T11  T22 ) ˜ ¨¨1  s 11 22 ¸¸ T T  11 22 ¹ ©

(1  sT11 )(1  sT22 )  1 s (T11  T22  sT11T22 )

sTS1 (1  sTS2 )

mit TS1

T11  T22

TS2

T11T22 T11  T22

Dann bestimmt man die Teildeterminanten D1

K11 y1 ( s ) 1  K 22 y2 ( s) 1  sT22

K11 (1  sT22 ) y1 ( s )  K 22 y2 ( s )

D2

1  sT11 K11 y1 ( s ) 1  K 22 y2 ( s )

 K 22 (1  sT11 ) y2 ( s )  K11 y1 ( s ) ,

woraus die Lösung resultiert: x1 ( s)

D1 D

K 22 K11 (1  sT22 ) y2 ( s ) y1 ( s )  sTS1 (1  sTS2 ) sTS1 (1  sTS2 )   G11 ( s )

x1 ( s )

D2 D

G12 ( s )

K11 K (1  sT11 ) y1 ( s )  22 y2 ( s ) sTS1 (1  sTS2 ) sTS1 (1  sTS2 )   G21 ( s )

G22 ( s )

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

129

Lösung zu Aufgabe 1.58 Die Übertragungsfunktionen des Regelkreises sind gegeben: K P11 1  sT11

G11 ( s ) GR1

K PR1 (1  sTn1 ) sTn1

GR 2

K PR2 (1  sTn2 ) sTn2

G12 ( s)

K P12

G22 ( s )

K P22 1  sT22

G21 ( s )

K P21

Die Stabilität eines MIMO-Regelkreises mit dem Diagonalregler wird anhang von drei charakteristischen Gleichungen geprüft: -

für den ersten Hauptregelkreis bei dem abgeschalteten zweiten Regler

-

für den zweiten Hauptregelkreis bei dem abgeschalteten ersten Regler

-

für den gesamten gekoppelten Kreis

Damit soll das folgende System geprüft werden: ­ 1  GR1 ( s ) ˜ G11 ( s ) 0 °° 1  GR2 ( s )G22 ( s ) 0 ® °1  C ( s )G ( s )G ( s ) 0 °¯ w1 w2 Der erste Hauptregelkreis bei dem abgeschalteten zweiten Regler ist nach dem HurwitzStabilitätskriterium stabil 1

K PR1 (1  sTn1 ) K P11 ˜ sTn1 1  sT11

0

sTn1 (1  sT11 )  K PR1K P11 (1  sTn1 )

0

s 2 ˜ Tn1T11  s ˜ Tn1 (1  K PR1K P11 )  K PR1K P11    a2

a1

0,

a0

da alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung 2. Ordnung positiv sind. Dasselbe gilt für den zweiten Hauptregelkreis. Für den gesamten gekoppelten Regelkreis wird zuerst der Koppelfaktor berechnet: C (s)

G21 ( s ) ˜ G12 ( s ) G11 ( s) ˜ G22 ( s )

C (s)

K P21K P12 (1  sT11 )(1  sT22 ) K P11K P22

K P21 ˜ K P12 K P11 K P22 ˜ 1  sT11 1  sT22

130

Lösungen

Dann wird die Übertragungsfunktion des ersten geschlossenen Kreises unter Beachtung der Kompensation Tn1

T11 1 s

bestimmt: K PR1 ˜ (1  sTn1 ) K P11 ˜ 1  sT11 sTn1

G01 ( s )

GR1 ( s ) ˜ G11 ( s)

Gw1 ( s)

G01 ( s) 1  G01 ( s )

Gw1 ( s)

K PR1K P11 sTn1  K PR1K P11

mit K Pw1 1;

Tw1

K R1K P11 sTn1 K R1K P11 1 sTn1

GR1 ( s) ˜ G11 ( s ) 1  GR1 ( s) ˜ G11 ( s )

Tn1 K PR1K P11

1 K PR1

Ensprechend gilt für den zweiten Hauptregelkreis: Tn2 Gw 2 ( s )

K Pw1 mit K Pw2 1  sTw1

K Pw1 1  sTw1

1 K PR1K P11 ˜ K PR1K P11 § · Tn1 ¨¨1  s ¸ K PR1K P11 ¸¹ ©

1;

T22

2s

Tn 2 K PR2 K P 22

Tw 2

2 2 K PR2

1 K PR2

Damit ist die charakteristische Gleichung des gekoppelten Kreises 1  C ( s )Gw1 ( s )Gw 2 ( s ) 1

0

K P21K P12 (1  sT11 )(1  sT22 ) 1 1 ˜ ˜ K P11K P22 1  sTw1 1  sTw 2

0.

Nach einigen Vereinfachungen 1

1

1 0,5 ˜ 1 (1  sT11 )(1  sT22 ) ˜ ˜ 1 1 1˜ 2 1 s ˜ 1 s ˜ K PR1 K PR2 0,25 ˜ K PR1K PR 2 (1  sT11 )(1  sT22 ) ( s  K PR1 )( s  K PR2 )

0

0

( s  K PR1 )( s  K PR2 )  0,25 ˜ K PR1K PR2 (1  sT11 )(1  sT22 )

0

ergibt sich folgende Gleichung der 2. Ordnung: s 2 (1  0,5K PR1K PR2 )  s ( K PR1  K PR2  0,75K PR1K PR2 )  0,75K PR1K PR2

0

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

131

Nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium wird der Regelkreis stabil, wenn alle Koeffizienten dieser charakteristischen Gleichung positiv sind: 1.

a2 ! 0

Ÿ

1  0,5 ˜ K PR1K PR2 ! 0

2.

a1 ! 0

Ÿ

K PR1  K PR2  0,75 ˜ K PR1K PR2 ! 0

Ÿ

K PR1  K PR2 ! 0,75 ˜ K PR1K PR2

Ÿ

0,75K PR1 K PR2 ! 0

3.

a0 ! 0

Wird beispielsweise für den ersten Hauptregler K PR1 nach der 1. Bedingung bei K PR2 

2 K PR1

Ÿ

K PR1K PR2  2

Ÿ

K PR1K PR2 ! 0

4 gewählt, wird der Regelkreis

bzw. K PR2  0,5

stabil. Die 2. und die 3. Bedingung sind dabei erfüllt: 4  0,5  0,75 ˜ (4 ˜ 0,5) ! 0 .

Lösung zu Aufgabe 1.59 a) Die Einstellung des Reglers GR2(s) erfolgt nach dem Betragsoptimum. Die Übertragungsfunktionen von einzelnen Gliedern des zweiten (separaten) Regelkreises: GR2 ( s )

K PR2 (1  sTn2 ) sTn2

G 22 ( s )

K 22 1  sT2

Gp ( s )

Kp 1  sTp

Die Übertragungsfunktionen des aufgeschnittenen 2. Regelkreises als Reihenschaltung: G02 ( s )

K PR2 K 22 K p (1  sTn2 ) sTn2 (1  sT22 )(1  sT p )

Die Kompensation Tn2 = T22 = 4 s führt zum Grundtyp A: G02 ( s )

K PR2 K 22 K p sTn2 (1  sTp )

Nach dem Betragsoptimum: K PR2

Tn2 2 ˜ K 22 ˜ K p ˜ Tp

4s 2 ˜ 2,5 ˜ 2 ˜ 0,5 s

0,8

Die Signalübertragung vom zweiten Kreis zu dem ersten Kreis erfolgt auf zwei Wegen: 1. Weg: durch das Entkopplungsglied GR12(s) 2. Weg: durch die Reihenschaltung GR22(s), G22(s) und Koppelglied K12.

132

Lösungen

Die Übertragungsfunktion des Entkopplungsgliedes GR12(s) wird so gewählt, dass die Signale durch den beiden Wegen sich gegenseitig kompensieren: GR12 ( s )

GR22 ( s ) ˜ G22 ( s) ˜ K12 ˜

GR12 ( s)

K PR2 (1  sTn2 ) K 22 ˜ ˜ K12 1  sT22 sTn2

Unter Beachtung Tn2 = T22 = 4 s wird daraus die Übertragungsfunktion des Entkopplungsgliedes GR12(s) bestimmt: GR12 ( s )

mit K R12

K PR2 K 22 K12 sTn2

K PR2 K 22 K12 Tn2

K R12 s

0,8 ˜ 2,5 ˜ 2 4s

1 s -1

b) Wenn die Abgriffsorte von Entkopplungsgliedes nicht die Regeldifferenzen e1 und e2, sondern die Rückführgrößen bzw. die Regelgrößen x1 und x2 sind, ändert sich folgendermaßen die Signalübertragung vom zweiten Kreis zu dem ersten Kreis: 1. Weg: durch das Koppelglied K12 2. Weg: durch die Reihenschaltung GR12(s) mit der Teilstrecke GP(s) K12

 w1

GR12 ( s ) ˜

KPR1 , Tv1

KP 1  sTp

Ÿ

K1 = 1 T1 = 0,5s

e1

K11 = 0,5 T11 = 5s

+ +

+

GR12 ( s )

K12 (1  sTp ) KP

KI = 4s-1 x1

+

 K12 = 2

GR12(s) K21 = 5 GR21(s)

KPR2 ,Tn2 w2

+

+

e2





+

+

K22 = 2,5 T22 = 4s

KP = 2 TP = 0,5s

x2

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

133

Lösung zu Aufgabe 1.60 a) Entwurf des Diagonalreglers

 w1

KP11 , T11

KIR1 y1

e1

G11

+

x1

+

GR1

+

KP12 , T12 G12 KP21, T21 G21

KIR2 w2

+



KP22 , T11

y2

e2

+ +

G22

GR2

x2

Die gesamte MIMO-Strecke ist symmetrisch, so die Lösung anhand eines einzelnen Regelkreises gezeigt wird: G01 ( s )

GR1 ( s) ˜ G11 ( s )

Gw1 ( s )

G01 ( s ) 1  G01 ( s)

K IR1 K P11 ˜ s 1  sT11

K IR1K P11 s(1  sT11 )  K IR1K P11

Der geschlossene Reglkreis sowie der Koppelfaktor werden durch deren Grenzwerte bei t o f bzw. s o 0 angenähert: Gw1 (0)

C (0)

lim Gw1 ( s)

s of

lim C ( s)

s of

K IR1K P11 K IR1K P11

K12 K 21 K11K 22

1

3 ˜ 1,67 1,25 ˜ 5

0,8

Die resultierende Regelstrecke ist damit: * G11 (s)

G11 ( s ) ˜ [1  C (0) ˜ Gw2 ( s )]

0,2 K P11 1  sT11

Der Regelkreis mit der resultierenden Strecke * G01 (s)

* GR1 ( s ) ˜ G11 ( s)

0,2 K IR1K P11 s (1  sT11 )

134

Lösungen

wird nach dem Betragsoptimum für Grundtyp A eingestellt: K IR1

1

1 2 ˜ 0,5 ˜ 1,1 s

2 ˜ K11 ˜ T11

0,91

Ähnliche Formel gilt für den zweiten Regler: K IR2

Tn2 2 ˜ K P 22 ˜ T22a

19 s 2 ˜ 0,4 ˜ 6 s

3,96

b) Entwurf des Entkopplungsreglers

 w1

e1

KP11 , T11

KIR1 1 1C0 KPR12

+ GR11

x1

+

+

G11



+

KP12, T12

G12 KPR21

GR12

KIR2 w2

+

e2



1 1C0

KP21, T21

GR12

+

G21



KP22 , T22

+

+

x2

G22

GR22

Die Werte von KIR1 und KIR2 wurden im Punkt a) berechnet. 1 1 1  C0 1  0,8 Die Entkopplung erfolgt mit den folgenden Übertragungsfunktionen:

Für den im Punkt a) berechneten Koppelfaktor ergibt sich

GR12 ( s )

GR12 ( s )

G12 ( s ) G11 ( s )

K P12 1  sT12 K P11 1  sT11

K P12 1  sT11 ˜ K P11 1  sT12

G21 ( s ) G22 ( s)

K P 21 1  sT21 K P 22 1  sT22

K P 21 1  sT22 ˜ K P 22 1  sT21

3 1  sT11 ˜ 1,25 1  sT12

0,334 ˜

1  sT22 1  sT21

1 0,2

2,4 ˜

5.

1  sT11 1  sT12

Lösungen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

Lösung zu Aufgabe 1.61 Der erste Hauptregler wird nach dem Betragsoptimum, Grundtyp A, eingestellt: GR11 ( s ) ˜ G11 ( s)

G01 ( s )

1 2 ˜ K P11 ˜ T11

K R11

K R11 K P11 ˜ s 1  sT11

1 2 ˜1 ˜1 s

0,5 s -1

Die ähnliche Formel gilt für den zweiten Regler: 1

K R22

2 ˜ K P22 ˜ T22

1 2˜2˜2s

0,17 s -1

Die Entkopplung erfolgt durch die folgende Reglereinstellung: GR12 ( s )

GR22 ( s) ˜ GR22 ( s ) ˜ V12 ( s )

GR12 ( s )

K R22 K P22 K ˜ ˜ P12 s 1  sT22 1  sT12

GR12 ( s )

K R12 s (1  sT22 )(1  sT12 )

K R22 K P22 K P12 s (1  sT22 )(1  sT12 )

bzw.

mit K R12

K R22 K P22 K P12

T22

2s

T12

0,1 s

0,17 s -1 ˜ 2 ˜ 1 0,34 s -1

Analog gilt für den zweiten Entkopplungsglied GR21 ( s )

GR11 ( s ) ˜ G22 ( s ) ˜ V21 ( s )

GR21 ( s )

K R11 K P11 K P21 ˜ ˜ s 1  sT11 1  sT21

GR21 ( s )

K R21 s (1  sT11 )(1  sT21 )

K R11K P11K P21 s (1  sT11 )(1  sT21 )

bzw.

mit

K R21

K R11K P11K P21

T11 1 s T21

0,1 s

0,5 s -1 ˜ 1 ˜ 0,5

0,25 s -1

135

136

Lösungen

Lösungen zum Kapitel 2: Modellbasierte Regelung Lösung zu Aufgabe 2.1 Es ist im Bild unten gezeigt, wie die Stellgröße umgeschaltet werden soll, um das gewünschte optimale Verhalten zu erreichen. y

x H =16 H 2

ymax=10 t

0

ymax=10

x(f) =18

x(0) =2 0

taus taus 2 2

t

taus taus 2 2 taus

Aus der Aufgabenstellung folgt: x(f)  x(0) 18  2 16

H

Man setzt diesen Wert sowie die gegebene Stellgrößenreseve ymax = 10 in die Formel für die Ausgangsgröße des Dead-Beat-Reglers ein: H 2

t2 1 ˜ K IS1 ˜ K IS2 ˜ aus ˜ ymax 2 4

Daraus folgt die Lösung: 4H K IS1 ˜ K IS2 ˜ ymax

taus

4 ˜ 16 -1

2˜4 -1

2 s ˜ 0,8 s ˜ 10

4 s -1

2s

Lösung zu Aufgabe 2.2

w

+

Kompensationsregler GR (s) KPW , TW 1

e



KPS , T1 x

GS (s)

+ +

GW (s)

Strecke GS (s)

Lösungen zum Kapitel 2: Modellbasierte Regelung 1  sT1 1 ˜ 1 K PS 1 G w (s)

G R ( s)

G w (s) 1 ˜ 1  G w ( s ) GS ( s )

G R ( s)

K Pw ˜ (1  sT1 ) K PS ˜ (1  sTw  K Pw )

K Pw ˜ K PS (1  K Pw )

137 1  sT1 1 ˜ 1  sTw K PS 1 K Pw 1  sT1 Tw 1 s ˜ 1  K Pw

K PR (1  sTv ) 1  sTR

Der Kompensationsregler ist PD-T1-Glied mit folgenden Kennwerten: Tv

T1

TR

Tw 1  K Pw

K PR

2s 0,05 s 1  0,2

K Pw K PS (1  K Pw )

0,0625 s 0,2 0,8 ˜ (1  0,2)

0,3125

Lösung zu Aufgabe 2.3 a) Optimale Einstellung des Regelkreises mit dem analogen PID-Regler Aus der Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises G0 ( s )

K PR K IS2 (1  sTn )(1  sTv ) 2

s Tn (1  sT2 )(1  sT3 )(1  sT4 )

ist es ersichtlich, dass die Reglerienstellung nach dem symmetrischen Optimum erfolgen kann. Es wird zuerst die Kompensation gemacht: Tv = Tzweitgrößte = T3 = 3 s. Dann wird die Ersatzzeitkonstante gebildet, da die Bedingung T4 > 5T2 erfüllt ist: TE = T2 + T4 = 0,6 s + 12 s = 12,6 s Die Übertragungsfunktion entspricht nun dem Fall des symmetrischen Optimums: G0 (s)

K PR K IS2 (1  sTn ) s 2 Tn (1  sTE )

Daraus ergibt sich für k = 4: Tn = 4TE = 50,4 K PR

1 2 K IS2TE

1 2 ˜ 0,01 s -1 ˜ 12,6 s

3,97

138

Lösungen

b) Optimale Einstellung des Regelkreises mit dem analogen PD-Regler G0

K PR K IS2 (1  sTv ) s(1  sT2 )(1  sT3 )(1  sT4 )

Nach der Kompensation Tv = Tgrößte = T4 = 12 s bleiben noch zwei Zeitkonstanten im Regelkreis. Da die Bedingung T3 > 5T2 erfüllt ist, werden die Zeitkonstanten zusammengefasst: TE = T2 + T3= 0,6 s + 3 s = 3,6 s Für die Übertragungsfunktion G0

K PR K IS2 s(1  sTE )

folgt nach dem Betragsoptimum die optimale Einstellung des PD-Reglers: 1

K PR

2 K IS2TE

1 -1

2 ˜ 0,01 s ˜ 3,6 s

1 13,8 0,072

c) Entwurf des Regelkreises mit dem modellbasierten Regler Da der Regelkreis wegen Abtastung die Totzeit Tt

TA 2

0,1 s ,

besitzt, kann man dafür einen Smith-Prädiktor entwerfen. Die Übertragungsfunktion des Smith-Prädiktors ist GR ( s )

K Pr ( s ) 1  K Pr ( s )GS2 ( s )(1  e  sTt )

,

wobei für den Kompensationsregler gilt 0,2 s(1  sT2 )(1  sT3 )(1  sT4 ) ˜ 1  0,2 K IS2

K Pr ( s )

K Pw 1 ˜ 1  K Pw GS2 ( s )

K Pr ( s )

0,25 s(1  sT2 )(1  sT3 )(1  sT4 ) . K IS2

Daraus ergibt sich die gesuchte Übertragungsfunktion des Smith-Prädiktors: GR ( s )

s (1  sT2 )(1  sT3 )(1  sT4 ) 1 ˜ 4 K IS2 1  0,25 ˜ (1  e  sTt )

Lösungen zum Kapitel 2: Modellbasierte Regelung

139

Lösung zu Aufgabe 2.4 Setzt man in die Übertragungsfunktion des Kompensationsreglers 1 GM ( s ) ˜ GS ( s ) 1  GM ( s )

GR ( s )

die Übertragungsfunktion der Regelstrecke GS

K PS (1  sT1 )(1  sT2 )

und die gewünschte Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises GM (s)

K Pw , 1  sTw

so ergibt sich nach Vereinfachungen GM ( s ) 1  GM ( s )

K Pw 1  sTw K Pw 1 1  sTw

K Pw 1  K Pw  sTw

(1  sT1 )(1  sT2 ) K PS

1 GS ( s )

die gesuchte Übertragungsfunktion des Kompensationsreglers GR ( s )

K Pw (1  sT1 )(1  sT2 ) ˜ K PS 1  K Pw  sTw

GR ( s )

(1  sT1 )(1  sT2 ) ˜ K PS

GR ( s )

K PR

K Pw § Tw (1  K Pw )¨¨1  s 1  K Pw ©

(1  sT1 )(1  sT2 ) 1  sTR

|

K PR (1  sTv ) 1  sTR

· ¸¸ ¹ Ÿ

mit Kennwerten K PR

Tv

K Pw K PS (1  K Pw ) T1  T2

TR

0,2 0,9 ˜ (1  0,2) Tw 1  K Pw

0,28

0,1 s 1  0,2

0,125 s

PD-T1-Regler

140

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 2.5 Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke ist gegeben: GS

K PS (1  sT1 )(1  sT2 )

Die Übertragungsfunktion des Kompensationsreglers: 1 GM ( s ) ˜ GS ( s ) 1  GM ( s )

GR ( s )

1 (1  sT1 )(1  sT2 ) (1  sT ) 2 ˜ 1 K PS 1 (1  sT ) 2

GR ( s )

GR ( s )

(1  sT1 )(1  sT2 ) 1 ˜ 2 2 K PS s T  2sT

GR ( s )

K IR (1  sT1 )(1  sT2 ) s ˜ 1  sTR

(1  sT1 )(1  sT2 ) 1 ˜ K PS (1  sT ) 2  1

1 (1  sT1 )(1  sT2 ) ˜ T· 2 K PST § s ˜ ¨1  s ˜ ¸ 2¹ ©

Die Kennwerte: K IR

1 2 K PST

TR

T 2

Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises mit dem Kompensationsregler G0 ( s )

GR ( s )GS ( s)

G0 ( s)

1 ˜ 2T

K PS 1 (1  sT1 )(1  sT2 ) ˜ ˜ T· 2 K PST (1  sT1 )(1  sT2 ) § s ˜ ¨1  s ˜ ¸ 2¹ ©

1 T· § s ˜ ¨1  s ˜ ¸ 2¹ ©

K I0 s ˜ 1  sTR

Für das Bode-Diagramm werden folgende Werte berechnet: K I0

1 2T

1 TR

2 T

1 2 ˜ 2,5 s 2 2,5 s

0,2 s -1

0,8 s -1

Lösungen zum Kapitel 2: Modellbasierte Regelung

141

Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises mit dem Kompensationsregler ist unten gezeigt. Daraus ist es ersichtlich, dass die Phasenreserve 90° beträgt. G0 dB

KI0

1/TR

60dB 40dB

 20dB/Dek

20dB 0dB M(Z)

ZD 0,1

0,01

1

0,01

 40dB/Dek

1

Zs-1 Zs-1

 90° DR  180°  270°

Lösung zu Aufgabe 2.6 Die Totzeit der Strecke GS(s) und des geschlossenen Regelkreises GM(s) sind gleich: Tt

TMt

0,5

d. h. man kann einen Kompensationsregler problemlos einstellen:

GR ( s )

1 GM ( s ) ˜ GS ( s ) 1  GM ( s )

GR ( s )

K Pw 1  sT ˜ K PS 1  sTw  K Pw e  sTt

1 K PS  sTt e 1  sT

K Pw  sTt e 1  sTw ˜ K Pw  sTt 1 e 1  sTw

K Pw 1  sT ˜ K PS 1  sTw  K Pw e  sTt

Nach einem Sprung am Eingang des Reglers entsteht an dessen Ausgang: y ( s)

GR ( s) ˜ eˆ

Nach dem Sprung eˆ 1 wird es im Beharrungszustand bei t o f bzw. s o 0: y (f )

lim GR ( s) ˜ eˆ

s of

K Pw 1 ˜ ˜ eˆ K PS 1  K Pw

0,8 1 ˜ ˜ 1 0,5 8 1  0,8

142

Lösungen

Lösungen zum Kapitel 3: Wissensbasierte Regelung Lösung zu Aufgabe 3.1 Der Fuzzy-Regler hat zwei Eingänge, deren Fuzzy-Sets mit aktuellen Werten unten gezeigt sind. Bei der aktuellen Temperatur Takt = 20 ist die Eingangs-Zugehörigkeitsfunktion mnorm = 1, gleichzeitig hat die Eingangs-Zugehörigkeitsfunktion bei der aktuellen Luftfeuchtigkeit Fakt = 40 zwei aktive Werte: mnormal = 0,25 mfeucht = 0,5. m

sehr kalt

1,0

norm warm

kalt

m

sehr warm

trocken

normal

feucht

1,0 Gschwach Gaus

0,5

0,5 0,0

10

0

Temperatur

10

30

40

50

Takt

0,0 10

20

30

Luftfeuchtigkeit

50 Fakt

Aus der Regelbasis erkennt man, dass dabei die folgenden Regeln gelten: Regel A:

Wenn T = norm und F = normal, dann L = aus

Regel B:

Wenn T = norm und F = feucht, dann L = schwach

Luftfeuchtigkeit

Temperatur

trocken normal feucht

norm sehr kalt kalt warm sehr warm stark mittel schwach mittel stark aus mittel schwach schwach mittel schwach mittel stark stark mittel

Dementsprechend bildet man die Wertepaare und bestimmt daraus nach der UNDVerknüpfungsoperation (Minimum-Operator) die Erfüllungsgrade G für jede Regel: Regel A:

mnorm = 1 UND mnormal = 0,25

Ÿ Gaus = min{1; 0,25} = 0,25

Regel B:

mnorm = 1 UND mfeucht = 0,5

Ÿ Gschwach = min{1; 0,5} = 0,5

Lösungen zum Kapitel 3: Wissensbasierte Regelung

143

Da die Regeln nur teilweise erfüllt werden, schneiden die Erfüllungsrade G entsprechende Abschnitte von Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktionen ab und bilden eine Fläche. Nach der Fuzzy-Logik werden die Regeln gleichzeitig erfüllt, d. h. die Flächen werden nach der ODER-Operation (Maximum-Operator) verknüpft. m

aus

schwach

1,0 Gschwach

stark

mittel

0,5

Gaus 0,0 20

30 yakt

40

50

60

Luftzufuhr

Der aktuelle Wert yakt der Stellgröße wird nach der Schwerpunktmethode berechnet. Nach dieser Methode entspricht yakt dem Schwerpunkt der besagten Fläche und wird angenähert nach der folgenden Formel berechnet: yakt

Gaus ˜ yaus  Gschwach ˜ yschwach  Gmittel ˜ ymittel  Gstark ˜ ystark Gaus  Gschwach  Gmittel  Gstark

Im betrachteten Fall sind alle Erfüllungsrade bis auf Gaus und Gschwach gleich Null. Die Schwerpunkte von einzelnen Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktionen sind: yaus | 23 yschwach = 30 Daraus ergibt sich yakt

0,25 ˜ 23  0,5 ˜ 30 0,25  0,5

27,67

Lösung zu Aufgabe 3.2 Bei e1akt = 30% sind die Eingangs-Zugehörigkeitsfunktionen: msmall = 0,5 mmiddle = 0,5 Bei e2akt = 45% gelten: mslow = 0,25 mnorm = 1,0 Nach der Regelbasis sind dabei die folgenden Regeln aktiv:

144

Lösungen

Regel A:

Wenn e1 = small und e2 = slow, dann y = plus

Regel B:

Wenn e1 = small und e2 = norm, dann y = plus

Regel C:

Wenn e1 = middle und e2 = slow, dann y = minus

Regel D:

Wenn e1 = middle und e2 = norm, dann y = zero

Daraus ergeben sich die Erfüllungsgrade: Regel A:

msmall = 0,5 UND mslow = 0,25 Ÿ Gplus = min{0,5; 0,25} = 0,25

Regel B:

msmall = 0,5 UND mnorm = 1,0

Regel C:

mmiddle = 0,5 UND mslow = 0,25 Ÿ Gminus = min{0,5; 0,25} = 0,25

Regel D:

mmiddle = 0,5 UND mnorm = 1,0

Ÿ Gplus = min{0,5; 1} = 0,5 Ÿ Gzero = min{0,5; 1,0} = 0,5

m

m small

middle

m slow

big

norm

quick

1,0

1,0

0,5

0,5

0,0 0

20

40 e1akt

60

80

100% e1

30

40

50

60

e1akt

70% e2

minus zero

0,0 20 10

0

plus

10 %

yakt

Da die Ausgangs-Zugehörigkeitsfunktionen Singleton sind, kann man aus dem Diagramm genau ablesen: yminus = 10 yzero = 0 yplus = 10 Nach der Schwerpunktmethode wird der aktuelle Wert der Ausgangsgröße (Stellgröße) für aktive Regeln A, B, C, D berechnet: yakt

yakt

Gplus yplus  Gplus yplus  Gminus yminus  Gzero yzero Gplus  Gplus  Gminus  Gzero 0,25 ˜ 10  0,5 ˜ 10  0,25 ˜ (10)  0 ˜ 0,5 0,25  0,5  0,25  0,5

5 1,5

3,33

y

Lösungen zum Kapitel 3: Wissensbasierte Regelung

145

Lösung zu Aufgabe 3.3 Aus den gegebenen Zugehörigkeitsfunktionen für Eingangs- und Ausgangsgrößen ergibt sich bei eakt = 0,3: mnegativ = 0,5

Ÿ

msmall = 0,5



ysmall = 2

mnull

= 1,0

Ÿ

mzero = 1,0



yzero

=6

mpositiv = 0,5

Ÿ

mbig



ybig

= 10

= 0,5

Der aktuelle Wert der Stellgröße wird nach dem Schwerpunktmethode berechnet: yakt yakt

msmall ˜ ysmall  mzero ˜ yzero  mbig ˜ ybig msmall  mzero  mbig 0,5 ˜ 2  1 ˜ 6  0,5 ˜ 10 0,5  1  0,5

1 6  5 2

6

Lösung zu Aufgabe 3.4 Lösung aus dem Regelkreisverhalten: x(f) 1,8 Ÿ

y (f )

1 ˜ x (f ) K PS

1 ˜1,8 0,4

4,5

Lösung nach der Schwerpunktmethode bei t = 3 s für y small e (f )

2  x(f) 1  1,8

y akt

0,8 ˜ 2,5  0,2 ˜12,5 0,8  0,2

0,2 Ÿ

G zero

2,5 und y big

0,8 und G positiv

12,5 :

0,2

4,5

Lösung zu Aufgabe 3.5 Da hier immer nur eine Zugehörigkeitsfunktion aktiv ist, wird die aktuelle Stellgröße durch den entsprechenden aktiven Sigmoid-Wert bestimmt, z. B. bei eakt = 0: yakt

mnegativ ˜ yminus  mnull ˜ yzero  mpositiv ˜ yplus mnegtiv  mnull  mpositiv

Daraus folgt die statische Kennlinie:

mnull ˜ yzero mnull

yzero

y

Bei 0,3 d eakt d 0,1 10

Ÿ mnegativ = 1 und yakt = yminus = 10 Bei 0,1 < eakt < 0,1 Ÿ mnull Bei

= 1 und yakt = yzero = 0

5 e 0,4

0,2

0

0,1 d eakt d 0,3 Ÿ mpositiv = 1 Ÿ yakt = yplus = 10

10

0,2

0,4

146

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 3.6 Zuerst berechnet man den Proportionalbeiwert des Fuzzy-Reglers: K fuzzy

'y 'e

Für den aktuellen Wert eakt = 0,1: mnegativ = 1 mnull

Ÿ

= 0,4 Ÿ

mpositiv = 0

Ÿ

msmall = 1

ysmall = 2

bei

mzero = 0,4 bei

yzero

= 6

mbig

ybig

= 10

=0

bei

Die aktuelle Stellgröße wird nach der Schwerpunktmethode berechnet: yakt

yakt

msmall ˜ ysmall  mzero ˜ yzero  mbig ˜ ybig msmall  mzero  mbig 1 ˜ 2  0,4 ˜ 6  0 ˜ 10 1  0,4  0

2  2,4 1,4

Für den aktuellen Wert eakt = 0: mnegativ = 1

3,14 Ÿ

msmall = 1

Ÿ yakt = 2

Der Proportionalbeiwert des Fuzzy-Reglers im Intervall 0 d eakt d 0,1: K fuzzy

'y 'e

3,14  2 0,1  0

11,4

Für den Regelkreis mit der Strecke GS ( s )

K PS s (1  sT1 )(1  sT2 )

G0 ( s )

K PR K PS K IS s (1  sT1 )(1  sT2 )

Gw ( s )

K PR K PS K IS . s(1  sT1 )(1  sT2 )  K PR K PS K IS

gelten

Nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium wird der Regelkreis mit der charakteristischen Gleichung s 3T1T2  s 2 (T1  T2 )  s  K PR K PS K IS

0

stabil, wenn alle Koeffizienten positiv sind und die folgende Bedingung für das System 3. Ordnung erfült ist: a1a 2 ! a3 a 0

Ÿ (T1  T2 ) ! T2T1K PR K PS K IS

Lösungen zum Kapitel 3: Wissensbasierte Regelung

147

Daraus folgt T2  T1 T2T1K PS K IS

K PR 

0,5 s  0,1 s 0,5 s ˜ 0,1 s ˜ 6 ˜ 1 s 1

Ÿ

K PR  2

bzw. KPRkrit = 2, d. h. Kfuzzy soll um Faktor k verkleinert werden, so dass k

K fuzzy

11,4 2

K PRkrit

5,7 .

Dafür werden die Ordinaten ysmall, yzero and ybig um Faktor k verkleinert: 2 5,7

ysmall

0,35

yzero

6 5,7

1,05

ybigl

10 5,7

1,75

Nun ergibt sich die folgende Stellgröße des korrigierten Fuzzy-Reglers: - bei Regeldifferenz eakt = 0,1 msmall ˜ ysmall  mzero ˜ yzero  mbig ˜ ybig

yakt

yakt

msmall  mzero  mbig 1 ˜ 0,35  0,4 ˜ 1,05  0 ˜ 1,75 1  0,4  0

0,35  0,42 1,4

- bei Regeldifferenz eakt = 0 yakt

ysmall

0,35

Der Proportionalbeiwert des korrigierten Fuzzy-Reglers: K fuzzy

'y 'e

0,55  0,35 0,1  0

2

d.h. der Kreis erreicht die Stabilitätsgrenze. Der Regelkreis wird stabil bei k  5,7

bzw. bei Kfuzzy < KPRkrit.

0,55

148

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 3.7 Die Grenze zwischen den zu erkennenden Klassen entspricht der Geraden ax1  b

x2 mit a

b2

W1 W2



T W2

2 5



4 5

0,8

0,4

Lösung zu Aufgabe 3.8 Da die Eingangsneuronen binär sind und nur zwei Werte r 1 annehmen, kann man alle möglichen Eingangskombinationen (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) rechnerisch überprüfen. Dafür wird zuerst die Aktivierung des verdeckten Neurons nach der gegebenen Formel berechnet:

Dv

6,4 ˜ x1  6,4 ˜ x2  (2,2)

Ÿ

­ ° ° ® ° °¯

Dv Dv Dv Dv

6,4 ˜ 0  6,4 ˜ 0  2,2 2,2 6,4 ˜ 0  6,4 ˜ 1  2,2 4,2 6,4 ˜ 1  6,4 ˜ 0  2,2 4,2 6,4 ˜ 1  6,4 ˜ 1  2,2 10,6

Der Ausgang des verdeckten Neurons wird nach der sigmoiden Kennlinie berechnet:

v1

1 1  eD

Ÿ

­ v1 °v ° 1 ® ° v1 °¯ v1

0,91 0,01 0,01 0,00

bei ( x1; x2 ) (0; 0) bei ( x1; x2 ) (0; 1) bei ( x1; x2 ) (1; 0) bei ( x1; x2 ) (1; 1)

Die Aktivierung des Ausgangsneurons und dessen Ausgangswert: Dy

4,2 ˜ x1  4,2 ˜ x 2  9,4 ˜ v1  (6,3)

­ D y 4,2 ˜ 0  4,2 ˜ 0  9,4 ˜ 0,91  6,3 2,3 ° D y 4,2 ˜ 0  4,2 ˜ 1  9,4 ˜ 0,01  6,3 1,3 ° Ÿ ® ° D y 4,2 ˜ 1  4,2 ˜ 0  9,4 ˜ 0,01  6,3 1,3 ° D y 4,2 ˜ 1  4,2 ˜ 1  9,4 ˜ 0,00  6,3 2,1 ¯ ­ y 1, wenn D y ! 0 ½ ® ¾ ¯ y 0, wenn D y  0¿

Lösungen zum Kapitel 3: Wissensbasierte Regelung x1 0 0 1 1

x2 0 1 0 1

149

Die Ein-/Ausgangswerte des Netzes sind links in der Tabelle zusammengefasst.

y 0 1 1 0

Aus dieser Funktionstabelle ist die vom neuronalen Netz gelernte logische Funktion (XOR) ersichtlich.

Lösung zu Aufgabe 3.9 Aus den gegebenen Werten von verdeckten Neuronen werden die Aktivierungen und die Werte des Ausgangsneurons berechnet: D

0,5 ˜ v1  0,5 ˜ v2  T

y

1 , wenn D ! 0 und y

1 , wenn D  0

Damit ergibt sich für das gesamte Stabilitätsgebiet die folgende Tabelle, woraus ein System von vier Ungleichungen gebildet wird.

Teilgebiet A B C D

vedeckte Neuronen v1 v2 1 +1 +1 1

+1 +1 1 1

­ 0,5  0,5  T ! 0 ° 0,5  0,5  T ! 0 ° ® ° 0,5  0,5  T ! 0 °¯ 0,5  0,5  T  0 Setzt man z. B. T

Teilgebiet

Ausgangsneuron Ist-Wert y

Aktivierung D 0,5  0,5  T ! 0 0,5  0,5  T ! 0 0,5  0,5  T ! 0 0,5  0,5  T  0

Ÿ

+1 +1 +1 1

1  T  0

0,3 ein, so wird das Netz die Teilgebiete korrekt erkennen:

vedeckte Neuronen

Ausgangsneuron

v2

Aktivierung D

A

+1

1

0,5 ˜ 1  0,5 ˜ (1)  (0,3)

B

+1

+1

0,5 ˜ 1  0,5 ˜ 1  (0,3) 1,3

+1

0,5 ˜ (1)  0,5 ˜ 1  (0,3)

1

0,5 ˜ (1)  0,5 ˜ (1)  (0,3)

D

1 1

+1

Soll-Wert d +1

+1

+1

+1

+1

1

1

Ist-Wert y

v1

C

Soll-Wert d +1 +1 +1 1

0,3 0,3 0,7

150

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 3.10 a) Bei x1 = 200 x2 = 10 ist d = 1 (Kreis). Daraus folgt: D = W1 x1 + W2 x2  T = 8˜200 + 100˜10  1500 = 1100 > 0

Ÿ y = +1

' = d  y = 1 1 = 2 W1neu = W1 + K' x1 = 8 + 0,025˜(2)˜200 = 2 W2neu = W2 + K' x2 = 100 + 0,025˜(2)˜10 = 99,5 b)

a

b



W1 W2

T W2



2 99,5

1500 99,5

x2

0,02

20 10

15,07

-200 -100 0

Die Grenze ist im Bild eingetragen. Nach dem ersten Lernschritt erkennt das KNN

-10

die Musterverteilung korrekt.

-20

100 200

300

Lösung zu Aufgabe 3.11 Das FBD-Programm für das Netz mit gegebenen Kennwerten W1 =  2; W2 = 99,5 und T = 1600 ist unten gezeigt: D = W1 x1 + W2 x2  T

Wenn D > 0, dann y = +1 Wenn D > 0, dann y = 1

x1 %3:00002

MUL_INT

2˜10 W1

ADD_INT 16000

x2 %3:00003 99,5˜10 W2

GT_INT %4:00001

MUL_INT

0

x1

Lösungen zum Kapitel 3: Wissensbasierte Regelung

151

Lösung zu Aufgabe 3.12 a) Die Gleichung der Grenzgeraden des Neurons m ˜ Tn  b

K PR

erhält man aus der Gleichung der Aktivierungsfunktion bei D D W1 ˜ Tn  W2 ˜ K PR  T

0 bzw.

0,

woraus folgt 

K PR



mit m

W1 T ˜ Tn  W2 W2

0

T . W2

W1 und b W2

Die Anfangswerte des erfolgreich trainierten Neurons sind gegeben. Daraus berechnet man 

m

W1 W2



14 20

0,7 .

Aus dem ersten Diagramm des trainierten Neurons kann man ablesen, dass b 1 ist und folglich T W2

b

Ÿ

1

T 20

1

Ÿ

T

20 .

Nachdem sich die Parameter der Regelstrecke ändern, ändern sich die Gewichte W1 und W2 sowie die Lage der Geraden. Die neue Gleichung der Grenzgeraden ist K PR mit b*

m* ˜ Tn  b*

2.

Da der Schwellenwert des Neurons dabei nicht geändert wird, gilt b*

T

20

W2*

W2*

2,

woraus man den gesuchten Wert des Gewichtes erhält: W2*

T 2

20 2

10

b) Bei Parallelverschiebung der Grenzgeraden ohne Änderung von Gewichten wird der Schwellenwert nicht geändert, d. h. T = 5.

152

Lösungen

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben Lösung zu Aufgabe 4.1 4.1.a) Optimale Kennwerte des PI-Führungsreglers Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Folgeregelkreises: K PR1 (1  sTv1 ) ˜

G01 ( s)

K Pu K IE ˜ 1  sT1 s

Unter Beachtung Tv1

T1

0,073 s

folgt daraus K PR1K Pu K IE

G01 ( s)

s

und die Übertragungsfunktion des geschlossenen Folgeregelkreises Gw1 ( s )

mit

Tw1

1

1

1 1 G01 ( s)

s 1 K PR1K Pu K IE

1 K PR1K Pu K IE

1 25,5 ˜ 2,8 ˜ 0,9 s -1

1 1  sTw1

0,016 s .

Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Führungsregelkreises: G02 ( s )

K PR2 (1  sTn2 ) 1 K P4 ˜ ˜ sTn2 1  sTw1 1  sT4

Die Kompensation Tn 2

Tw1

0,016 s

führt zum Grundtyp A: G02 ( s )

K PR2 K P4 sTn2 (1  sT4 )

Der Führungsregler wird nach dem Betragsoptimum eingestellt: K PR2

Tn2 2 ˜ K P4 ˜ T4

K PR2

0,016 s 2 ˜ 0,2 ˜ 0,009 s

4,44

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

153

4.1.b) Beim Störverhalten mit dem Eingangssprung der Störgröße Mˆ Regelgröße im Beharrungszustand den Wert x (f )

0,1 erreicht die

0,0056 .

Aus der Beschreibung des dynamischen Verhaltens (die Laplace-transformierte Ein/Ausgang-Beziehung bzw. die Übertragungsfunktion) x( s )

G4 ( s) ˜ E( s)

Ÿ

K P4 ˜ E( s ) 1  sT4

x( s)

ergibt sich im Beharrungszustand bei s o 0 bzw. t o f x (f )

K P4 ˜ E(f)

E(f)

x (f ) K P4

0,0056 0,009 s

0,62 s -1

4.1.c) Nach der Schwerpunktmethode wird der aktuelle Wert der Stellgröße wie folgt berechnet: yakt

Gsmall ˜ ysmall  Gzero ˜ yzero  Gbig ˜ ybig Gsmall  Gzero  Gbig

wobei G die Erfüllungsgrade und y die Koordinaten von Singleton’s sind. Im betrachteten Fall gibt es zu jeder Regel nur eine Zugehörigkeitsfunktion m, d. h. die logischen Verknüpfungen nach UND oder OR entfallen und es wird einfach G = m.

m(e)

small middle

m(y)

big

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

slow

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,2

0,4

0,6 e

0

2

very fast

fast

4

6

8

10

y

Im Intervall 0 < eakt < 0,6 werden die Werte yakt berechnet und in der Tabelle unten zusammengefasst, z. B. für eakt = 0,05 msmall (e) = 0,5

Ÿ

mslow (y) = 0,5 = Gslow

mmiddle (e) = 0,25

Ÿ

mfast (y) = 0,25 = Gfast

yakt

Gslow ˜ yslow  Gfast ˜ yfast Gslow  Gfast

0,5 ˜ 0  0,25 ˜ 4 0,5  0,25

1,33

154

Lösungen

für eakt = 0,1 Ÿ

mmiddle (e) = 0,5 Gfast ˜ y fast Gfast

yakt

y fast

mfast (y) = 0,5 = Gfast 4

für eakt = 0,4 mmiddle (e) = 0,5

Ÿ

mfast (y) = 0,5 = Gfast

mbig (e) = 0,5

Ÿ

mfvery fast (y) = 0,5 = Gvery fast

yakt

eakt m(e)

y

Gfast ˜ y fast  Gvery fast ˜ y very fast Gfast

0

0,1 middle small = 1 = 0,5

m(y)

slow = 1

yakt

0

0,5 ˜ 4  0,5 ˜10 0,5  0,5

0,2 middle =1

0,3 middle =1

fast =0,5 fast =1

fast =1

4

4

10

7

0,4

0,5

siehe Beispiel oben

4

7

0,6

big = 1

big = 1

very fast =1 10

very fast =1 10

Die statische Kennlinie nach den berechneten Werten ist links im Bild gezeigt.

8 6 4 2 0

0,2

0,4

e

0,6

Die Kennlinie ist nicht optimal, weil ein optimaler Regler bei großen Regeldifferenzen e auch größere Verstärkungsgrade (Steigung der Kennlinie) besitzen soll, um die Regeldifferenz schnell zu beseitigen.

Und umgekehrt soll die Steigung der Kennlinie bei kleineren Regeldifferenzen klein sein, um die Überschwingungen zu vermeiden. Die Optimierung des Fuzzy-Reglers erfolgt durch Variierung von Fuzzy-Sets. Ein Beispiel ist unten gezeigt. m(e)

small middle

m(y)

big

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

slow

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,2

0,4

0,6

e

0

2

very fast

fast

4

6

8

10

y

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

155

Die Änderung von Eingangs-Zugehörigkeitsfunktionen führt zu den Änderungen von Stellgrößen in zwei Punkten: für eakt = 0,1 msmall (e) = 1

Ÿ

mslow (y) = 1 = Gfast

mmiddle (e) = 0,35

Ÿ

mfast (y) = 0,35 = Gfast

yakt

Gsmall ˜ ysmall  Gfast ˜ yfast Gsmall  Gfast

1 ˜ 0  0,35 ˜ 4 1  0,35

1,03

für eakt = 0,2 msmall (e) = 0,5

Ÿ

mslow (y) = 0,5 = Gfast

mmiddle (e) = 0,7

Ÿ

mfast (y) = 0,7 = Gfast

y akt

y

Gsmall ˜ ysmall  Gfast ˜ y fast Gsmall  Gfast

2,33

Die resultierende statische Kennlinie (Bild links) entspricht einem optimalen Regler mit dem nichtlinearen Verstärkungsgrad, so dass große Regeldifferenzen schneller beseitigt werden. Der Verstärkungsgrad wird kleiner, je mehr sich die Regelgröße dem Sollwert nähert, so dass die Überschwingungen möglichst vermeiden werden.

10 8 6 4 2 0

0,5 ˜ 0  0,7 ˜ 4 0,5  0,7

0,2

0,4

0,6

e

4.1.d) Entwurf des Entkopplungsreglers Da beide Einzelregelkreise identisch sind, wird hier nur die Einstellung eines Reglers GR3(s) beschrieben, die nach dem Betragsoptimum erfolgt. Die Übertragungsfunktionen von einzelnen Gliedern des ersten Regelkreises: GR3 ( s )

K PR3 (1  sTv3 ) K P3 1  sT3

GPS3 ( s )

1 1  sT33

GIS3 ( s )

K I3 s

Die Übertragungsfunktionen des aufgeschnittenen 2. Regelkreises als Reihenschaltung: G03 ( s )

GR 3 ( s )GPS3 ( s )GIS3 ( s )

K PR3 K P3 K I3 (1  sTv3 ) s (1  sT3 )(1  sT33 )

Die Kompensation TV3 = T33 = 0,021 s führt zum Grundtyp A:

156

Lösungen

G03 ( s )

K PR3 K P3 K I3 s (1  sT3 )

Nach dem Betragsoptimum: K PR3

1 2 ˜ K P3 ˜ K I3 ˜ T3

1 2 ˜ 2,8 ˜ 0,9 s -1 ˜ 0,5 s

0,4

Analog gilt für den zweiten Einzelregelkreis: K PR2

0,4

Tv2

0,021 s

Die Entkopplung erfolgt mittels Rückführgrößen, wie im Bild unten gezeigt ist.

w3

GR3(s)

+

1, T33

KP3 , T13



+

+

+

KI1 Z3

M



GR23(s)

KPE3 , TE3 E M

GR32(s) KP2 , T12

w2

+

GR2(s)

+ +



KPM2 , TM2

 +

In diesem Fall gilt für die Entkopplungsglieder: GR23 ( s ) V3 ( s )

GR32 ( s ) V2 ( s)

K pE3 1  sTE3 K pM2 1  sTM2

1, T23

KI2 Z2

E

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

157

Lösung zu Aufgabe 4.2 4.2.a) Der kritische Proportionalbeiwert des geschlossenen Regelkreises Die Übertragungsfunktionen des aufgeschnittenen und geschlossenen Kreises: G0 ( s )

K PR K Pu K IE s (1  sT1 )(1  sT3 ) K PR K Pu K IE

Gw ( s )

G0 ( s) 1  G0 ( s )

K PR K Pu K IE

s(1  sT1 )(1  sT3 ) K PR K Pu K IE 1 s(1  sT1 )(1  sT3 )

K PR K Pu K IE  s (1  sT1 )(1  sT3 )

Charakteristische Gleichung: K PR K Pu K IE  s (1  sT1 )(1  sT3 )

0

s 3 T1T3  s 2 (T1  T3 )  s˜ 1  K PR K Pu K IE ,  ,

 a3

a3

a2

a1

a2

0,00252

0

a0

a1 1

0,141

a0

2,52 ˜ K PR

Die erste und die zweite Bedingungen des Hurwitz-Stabilitätskriteriums sind bei positiven Proportionalbeiwerten erfüllt: 1. Bedingung:

a3 z 0

a2 z 0

a1 z 0

a0 z 0

2. Bedingung:

a3 ! 0

a2 ! 0

a1 ! 0

a0 ! 0

Die 3. Bedingung wird erfüllt, wenn a2 a1 ! a3a0 ist. Bei a2 a1 a3a0 befindet sich der Regelkreis an der Stabilitätsgrenze. Daraus ergibt sich der gesuchte kritische Wert des Proportionalbeiwertes: 0,141 ˜ 1 0,00252 ˜ 2,52 ˜ K PRkrit K PRkrit

0,141 0,00252 ˜ 2,52

22,2

4.2.b) Der Proportionalbeiwert des P-Reglers nach der Ziegler-Nichols-Tabelle: K PR

1 K PRkrit 2

K PR

22,2 2

11,1

158

Lösungen

4.2.c) Die bleibende Regeldifferenz beim Störverhalten mit Mˆ

0,1

Die Übertragungsfunktionen des Störverhaltens: K PM K IE s (1  sT2 )(1  sT3 ) K PR K Pu K IE 1 s (1  sT1 )(1  sT3 )

Gvz ( s ) 1  G0 ( s )

Gz ( s )

K PM K IE

1  sT1 ˜ K PR K Pu K IE  s(1  sT1 )(1  sT3 ) 1  sT2

Gz ( s )

Die Regelgröße im Beharrungszustand nach dem Grenzwertsatz: x (f )

§ K PM K IE 1  sT1 ·¸ ˜ lim ¨ ˜ zˆ s o 0¨ K PR K Pu K IE  s (1  sT1 )(1  sT3 ) 1  sT2 ¸ © ¹

lim Gz ( s) ˜ zˆ

s o0

K PM K IE

x (f )

K PR K Pu K IE

˜ zˆ

K PM K PR K Pu

˜ zˆ

3,5 ˜ 0,1 0,0147 8,5 ˜ 2,8

x (f )

Die bleibende Regeldifferenz: wˆ  x(f)

e (f )

0  0,0147

0,0147

4.2.d) Die optimale Einstellung des PD-Reglers K PR (1  sTv ) K Pu K IE

G0 ( s )

s(1  sT1 )(1  sT3 )

Kompensation: Tv

T1

0,12 s

Nach dem Betragsoptimum für Grundtyp A G0 ( s )

K PR K Pu K IE s(1  sT3 )

werden die optimale Kennwerte des PD-Reglers berechnet: K PR

1 2 K Pu K IET3

1 2 ˜ 2,8 ˜ 0,9 s -1 ˜ 0,021 s

9,45

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

159

4.2.e) Die optimale Einstellung des PI-Reglers K PR (1  sTn ) K Pu K IE

G0 ( s)

s 2Tn (1  sT1 )(1  sT3 )

Die Bedingung T1 t 5T3 ist erfüllt, so wird die Ersatzzeitkonstante gebildet: TE

T1  T3

0,12 s  0,021 s

0,141s

Nach dem symmetrischen Optimum für K PR K Pu K IE (1  sTn )

G0 ( s )

s 2Tn (1  sTE )

werden die optimalen Kennwerte des PI-Reglers berechnet: Tn

4T E

4 ˜ 0,141s

0,564 s

1 2 K Pu K IETE

K PR

1

K PR

2 ˜ 2,8 ˜ 0,9 s -1 ˜ 0,141 s

1,4

4.2.f) Die optimale Einstellung des PID-Reglers K PR (1  sTn )(1  sTv ) K Pu K IE

G0 ( s )

s 2Tn (1  sT1)(1  sT3 )

Kompensation: Tv

T3

0,021 s

Nach dem symmetrischen Optimum für K PR K Pu K IE (1  sTn )

G0 ( s )

s 2Tn (1  sT1 )

werden die optimalen Kennwerte des PID-Reglers berechnet: Tn

K PR

4T1

4 ˜ 0,12 s

1 2 K Pu K IETE

0,48 s

1 2 ˜ 2,8 ˜ 0,9 s -1 ˜ 0,12 s

1,65

160

Lösungen

4.2.g) Der statische Proportionalbeiwert des Fuzzy-Reglers im Intervall 0,2 < eakt < 0,4. m(e)

m(y)

positiv

zero

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 e 0

0,2

yakt

0,4

0

2,5

12,5

Ÿ

Ÿ

mzero = 0,8

Ÿ

Gsmall = 0,8

Ÿ

Ÿ

mpositiv = 0,2

Ÿ

Gbig = 0,2

0,8 ˜ 2,5  0,2 ˜ 12,5 0,8,0,2

4,5

Ÿ

Ÿ

mzero = 0,55

Ÿ

Gsmall = 0,55

Ÿ

Ÿ

mpositiv = 0,4

Ÿ

Gbig = 0,4

0,55 ˜ 2,5  0,4 ˜ 12,5 0,55  0,4

Wenn eakt = 0,4

yakt

ybig = 12,5

Gsmall  Gbig

Wenn eakt = 0,3

yakt

ysmall = 2,5

Gsmall ˜ y small  Gbig ˜ ybig

Wenn eakt = 0,2

yakt

0,6

big

small

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

6,71

Ÿ

Ÿ

mzero = 0,3

Ÿ

Gsmall = 0,3

Ÿ

Ÿ

mpositiv = 0,65

Ÿ

Gbig = 0,65

0,3 ˜ 2,5  0,65 ˜ 12,5 0,3  0,65

9,34

Der statische Proportionalbeiwert des Fuzzy-Reglers im Intervalls 0,2 < eakt < 0,4: K PRFuzzy K PRFuzzy

§ 'y · ¨ ¸ © 'e ¹ e § 'y · ¨ ¸ © 'e ¹ e

[0, 2;0,3]

4,5  6,71 0,2  0,3

[0,3;0, 4]

6,71  9,34 0,3  0,4

22,1

26,3

Der Regelkreis mit dem Fuzzy-Regler wird im betrachteten Intervall instabil, weil der kritische Proportionalbeiwert K PR 11,1 beträgt. Trotzdem kann der Regelkreis im gesamten Regelbereich stabil sein, da der Proportionalbeiwert des Fuzzy-Reglers nichtlinear bzw. nicht konstant ist.

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

161

4.2.h) Die Einstellung des PID-Reglers nach der maximalen Phasenreserve G0 dB 20dB neue 0-dB-Linie 0 dB

0,1

ZD

1

10

'dB

Zs-1

M(Z) Zs-1 -90° Dmax

DAnalog

-180°

Der Proportionalberweit des Reglers wird wie folgt berechnet: 'dB = 10 dB bzw. 20 lg('K) = 10 dB

Ÿ

'K = 3,16

KRRneu = KPRalt / 'K = 6,32 / 3,16 = 2. Antwort: der Regelkreis hat die maximale Phasenresreve DR = 80°, wenn KPR = 2 ist. 4.2.i) Die Phasenrerve des Regelkreises mit dem digitalen PID-Regler Die Durchtrittsfrequenz des Kreises mit analogem Regler wird aus dem Bode-Diagramm abgelesen und beträgt ZD = 3,5 s-1, die Phasenreserve ist dabei DAnalog = 30°. Die Totzeit wegen Abtastung ist Tt = TA/2 = (0,2 s /2) = 0,1 s. Dadurch entsteht bei der Durchtrittsfrequenz Z = ZD die Phasenverschiebung M t = ZD Tt = 3,5 s-1 ˜ 0,1 s = 0,35 Rad = 20°. Die Phasenreserve des digitalen Regelkreises ist DDigital = DAnalog ZD Tt = 30°  20° = 10°.

162

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 4.3 4.3.a) Die optimale Einstellung des PD-Reglers Der Folgeregelkreis: K PR1K Pu (1  sTv1 ) . (1  sT1 )(1  sT3 )

G01 ( s )

Die Kompensation: Tv1 = T1 = 0,12 s Der Folgeregelkreis mit dem vollkompensierten PD-Regler: K PR1K Pu 1  sT3

G01 ( s )

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Folgeregelkreises

G w1 ( s )

Gw1 ( s)

G 01 ( s ) 1  G01 ( s )

K PR1 K Pu 1  sT3 K K 1  PR1 Pu 1  sT3

K PR1 K Pu 1  sT3  K PR1 K Pu

K PR1K Pu § T3 (1  K PR1K Pu ) ˜ ¨¨1  s  K 1 PR1 K Pu ©

· ¸¸ ¹

K Pw1 1  sTw1

mit Parametern K PR1K Pu 1  K PR1K Pu

K Pw1 Tw1

T3 1  K PR1K Pu

25,5 ˜ 2,8 1  25,5 ˜ 2,8 0,021 s 1  25,5 ˜ 2,8

0,986 0,00029 s .

Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Führungsregelkreises: G02 ( s )

K PR2 ˜

K Pw1 K IE ˜ 1  sTw1 s

Nach dem Betragsoptimum, Grundtyp A: K PR2

1 2 ˜ K Pw1 ˜ K IE ˜ Tw1

1 2 ˜ 0,986 ˜ 0,9 s -1 ˜ 0,00029 s

1942,9

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

163

4.3.b) Die bleibende Regeldifferenz e(f) wird nach der Faustformel bestimmt, wie im Bild unten gezeigt wird. e(f) =

0,49 = 0,0049 KPR2

uM(f) =

12,5 = 0,49 KPR1

35 = 12,5 KPu M^ = 10 M

w +

KPR2

KPR1,Tv1

e +



uM

KPM M^ = 35 Z (f)= 0

KPM , T2

E(f)= konst KPu , T1

1, T3



KIE

Z

E

+



4.3.c) Der modellbasierte Regler mit dem gewünschten Verhalten GM ( s )

1 1  s 2T 2

für die Regelstrecke GS ( s )

K Pw1 K IE . ˜ 1  sTw1 s

Die Übertragungsfunktion des Kompensationsreglers: GR2 ( s )

1 GM ( s ) ˜ GS ( s ) 1  GM ( s ) 1 GM ( s) 1  GM ( s) 1 GS ( s )

1  s 2T 2 1 1 1  s 2T 2

1

1 2 2

11 s T

2 2

s T

s (1  sTw1 ) K Pw1K IE 1

GR2 ( s )

s (1  sTw1 ) 1 ˜ K Pw1K IE s 2T 2

1  sTw1 2

sT K Pw1K IE

2

T K Pw1K IE s



Tw1 2

T K Pw1K IE

164

Lösungen

Diese Übertragungsfunktion entspricht einem PI-Regler GR2 ( s )

K PR2 

K PR2

2

K PR2 sTn2

mit Tw1

0,00029 s

T K Pw1K IE

0,00013 s 2 ˜ 0,986 ˜ 0,9 s -1

2,51

Tw1 K PR2 Tn2

2

1

Ÿ

2

T K Pw1K IE

T K Pw1K IE 1

Tn2

T 2 K Pw1K IE Tn2

Tw1

0,00029 s .

Lösung zu Aufgabe 4.4 Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises: G0 ( s )

K PR ˜

K IS ˜ K PS s

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises: 1

G w ( s) 1

1 G0 ( s)

1 1 s ˜

1 K PR ˜ K IS ˜ K PS

1 1  sTw

4.4.a) Der geschlossene Regelkreis ist P-T1-Glied, so wird der Dämpfungsgrad -=1 4.4.b) Der statische Regelfaktor des Regelkreises mit einem I-Glied ist RF(0) = 0. 4.4.c) Die Regelgröße im Beharrungszustand nach dem Sprung der Führungsgröße w x (f )

lim G w ( s )˜ wˆ

K Pw ˜ wˆ

Ÿ

Bei KPw = 1 ist x(f) = 0,2.

s o0

4.4.d) Nach dem Sprung der Störgröße z1 = 0,1 wird die bleibende Regeldifferenz e(f) = 0, da die Störung nach dem I-Glied eingegeben wird.

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

165

4.4.e) Die bleibende Regeldifferenz nach dem Sprung der Störgröße zˆ 2

0,5

wird nach der Faustformel bestimmt, nämlich: I-Glied:

Die Eingangsgröße des I-Gliedes im Beharrungszustand ist bekanntlich gleich Null.

P-Regler: Die Ausgangsgröße des P-Reglers soll  zˆ2 betragen, damit die obere Bedingung für I-Glied erfüllt wird. Daraus folgt für die Eingangsgröße des P-Reglers bzw. für die Regeldifferenz: e (f )



1 ˜ zˆ2 K PR



1 ˜ 0,5 0,5

1 .

4.4.f) Die Einstellung des P-Reglers nach der Ziegler-Nichols-Tabelle Zuerst wird die DGL in regelungstechnischer Normalform dargestellt: T1T2x(t )  (T1  T2 ) x(t )  x (t )  K PR K PS K IS x(t )

 K PR K PS K IS w(t )  K Pz z (t )

Daraus folgt die charakteristische Gleichung: T1T2 ˜ s 3  (T1  T2 ) ˜ s 2  s  K PR K PS K IS mit Koeffizienten:

0

a3 = T1˜T2 a2 = T1+T2 a1 = 1 a0 = KPR˜KPS˜KIS

Nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium wird der kritische Proportionalbeiwert des Reglers bestimmt: a3 >0 a2 >0 a1 >0 a0 >0 und a2˜a1 > a3˜a0 d. h.

(T1+T2 ) > (T1˜T2)˜(KPR˜KPS˜KIS)

bzw. für die Stabilitätsgrenze (T1+T2 ) = (T1˜T2)˜(KPRkrit˜KPS˜KIS). Daraus folgt: K PRkrit

T1  T2 (T1 ˜ T2 ) ˜ K PS ˜ K IS

0,1 s  0,05 s (0,1 s ˜ 0,05 s) ˜ 50 ˜ 0,1 s 1

6

Anhand der Ziegler-Nichols-Tabelle ist der Proportionalbeiwert KPR des P-Reglers KPR = 0,5˜KPrkrit KPR = 3

166

Lösungen

4.4.g) Stabilitätsbereich des Regelkreises mit dem digitalen P-Regler Wegen Abtastung wird die Totzeit Tt in Regelkreis eingeführt: Tt

TA 2

0,2 s 2

0,1 s

Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises mit KPR = 1 ist unten gezeigt. Dabei ist der geschlossene Kreis stabil, da der Phasenwinkel bei Durchtrittsfrequenz ZD = 5 oberhalb der 180°-Linie liegt. Der Regelkreis bleibt solange stabil, bis die 0-dB-Linie nach unten um 'dB = 6 dB verschoben wird. Daraus ergibt sich der kritische Proportionalbeiwert: 20 lg('K) = 6 dB 'K =1,996 K PRneu

K PRalt ˜ 'K

1 ˜ 1,996 1,996 s-1

G0 dB 20dB

0dB

KIo

0,1

1

S Tt

1 Tt

10

Zsec-1

'dB

neue 0-dB Linie Zsec-1

M(Z) -90° 57,3° -180° -270° -360°

180°

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

167

4.4.h) Die Gleichung der Grenzgeraden für das künstliche neuronale Netz: 

x2

W1 T Ÿ x2 ˜ x1  W2 W2

ax1  b

Daraus folgt: a



4 100

0,04

b

1500 100

15

Da beide Punkte (x1 = 100; x2 = 10) und (x1 = 200; x2 = 20) oberhalb der Grenzgerade liegen, wurde das künstliche neuronale Netz korrekt trainiert. 4.4.i) Das Testen des künstlichen neuronalen Netzes: Dv

W1 y1  W2 y2  T

D W1v y1  W2 v v  W3v y2  T

Dv

y1  y2  0,5

D

y1  y2  2v  0,5 Sollwert

Ausgang

LHsoll

LH

0,5

0

0

1

1,5

0

0,5

1

1,5

1

0 0 Fehler!

1,5

1

0,5

0

Zustand

y1

y2

Dv

v

D

1

0

0

0,5

0

2

1

0

0,5

3

0

1

4

1

1

Das KNN erkennt nicht alle Zustände korrekt und soll weiter trainiert werden. 4.4.j) Regelung mit dem Fuzzy-Regler Die Ausgangs-Fuzzy-Sets sind Singletons. Bei LSoll = 30% und LZentrale = 45% sind folgende Regel aktiv: (mnacht = 0,5 und mleise = 0,25)

Ÿ Gkein = 0,25

(mvormittag = 0,5 und mnorm = 1,0)

Ÿ Gkein = 0,5

ykein = 0

(mnacht = 0,5 und mnorm = 1,0)

Ÿ Gneg = 0,5

yneg = 10

(mvormittag = 0,5 und mleise = 0,25)

Ÿ Gpos = 0,25

ypos = 10

bei ykein = 0

Nach der Schwerpunktmethode gilt: S HT S HT

Gkein ˜ ykein  Gkein ˜ ykein  Gneg ˜ yneg  Gpos ˜ ypos Gkein  Gkein  Gneg  Gpos 0,5 ˜ (10)  0,25 ˜ 10 0,25  0,5  0,5  0,25

1,67

0

168

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 4.5

UT /V

4.5.a) Die Linearisierung: K PSy K PSz

UM = 4 V

10

6,8V  0V 10V  1,5V

0,8

UM = 6 V

8 6,8

4,9V  3,5V 4V  8V

0,35

UM = 8 V

6 4,9

UM = 10 V

4 3,5

R1

2,8

2 1,2

0

1,5

R2 2

4

6

8

10

UH /V

4.5.b) Das statische Verhalten des Regelkreises mit dem P-Regler Es gilt für die für Kennlinie R2: K PR

10V  0V 8V  1,2V

'Y 'X

1,47

Der statische Regelfaktor wird nach folgender Formel bestimmt RF

1 1  K PR K PSy

,

wobei sind K PSy

6,8V  0V 10V  1,5V

K PR

'Y 'X

0,8

10V  0V 6V  2,8V

3,125 (für Kennlinie R1).

Daraus ergibt sich: RF

1 1  K PR K PSy

1 1  3,125 ˜ 0,8

0,29

4.5.c) Die Sprungantworten der Regelstrecke nach dem Sprung der Stellgröße uH = 24 V Die Strecke ist das P-T3-Glied mit x (f )

K PS ˜ Uˆ H

0,75 ˜ 24V 18V .

Die Lösung ist damit Sprungantwort 4.

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

169

4.5.d) Die Übertragungsfunktion der Temperaturregelstrecke

x(t)

Tu

K PS ˜ e  sTu 1  sTg

GS ( s )

Tg

8

Tu

10 s

6

Tg

20 s

KPS ^y

4

K PS ˜ yˆ

2 0

10

20

30

40

50

t/s

60

8

K PS

8 yˆ

K PS

1,33

4.5.e) Die Einstellung des PI-Reglers P-T3-Strecke:

GS ( s )

K PS (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

PI-Regler:

G R ( s)

K PR (1  sTn ) sTn

Offener Kreis:

G0 (s)

K PS K PR (1  sTn ) ˜ sTn (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

Nach der Kompensation mit Tn = T3 = 20 s wird: G0 (s)

K PR K PS sTn (1  sT1 )(1  sT2 )

G w ( s)

G0 ( s) 1  G0 ( s)

K PR K PS sTn (1  sT1 )(1  sT2 )  K PR K PS

Charakteristische Gleichung: sTn (1  sT1 )(1  sT2 )  K PR K PS 3

0

2

s ˜ Tn T1T2  s ˜ Tn (T1  T2 )  s ˜ Tn  K PR K PS ,    a3

a3

a1

a2

Tn ˜ T1 ˜ T2

20s ˜ 3s ˜ 5s

300 s

0

a0 3

a2 Tn ˜ (T1  T2 ) 20s ˜ (3s  5s) 160 s 2 a1 Tn 20 s a 0 K PR K PS K PR ˜ 0,75 Bei KPR > 0 sind nach Hurwitz-Kriterium die 1. und 2. Bedingung erfüllt: a3 z 0

a2 z 0

a1 z 0

a0 z 0

a3 > 0

a2 > 0

a1 > 0

a0 > 0

8 6

170

Lösungen

Die 3. Bedingung a2 ˜ a1 > a3 ˜ a0 bzw. Tn (T1  T2 ) ˜ Tn ! Tn T1T2 ˜ K PR ˜ 0,75 wird bei folgenden Werten von KPR erfüllt: K PR 

Tn (T1  T2 ) ˜ Tn TnT1T2 ˜ 0,75

160s 2 ˜ 20s 300s 3 ˜ 0,75

K PR  14,2

Ÿ

4.5.f) Die Einstellung des PID-Reglers Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises: G0 (s)

K PR (1  sTn )(1  sTv ) K PS ˜ sTn (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

Die Parameter der Strecke werden aus dem Bode-Diagramm wie unten gezeigt ausgelesen: T1 = 1/0,03 = 33,3 s

T2 = 1/0,15 = 6,66 s

T3 = 1/0,7 = 1,43 s

Dementsprechend kompensiert Tn die größte Zeitkonstante und Tv die zweitgrößte: Tn = T1 = 33,3 s Tv = T2 = 6,66 s

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

171

Nach dem Betragsoptimum für Grundtyp A wird der optimale Proportionalbeiwert KPR des Reglers berechnet: G0 (s)

K PR K PS sTn (1  sT1 )

Ÿ

K PR

Tn 2 ˜ K PST1

33,3 s 2 ˜ 0,75 ˜ 6,66 s

3,33

4.5.g) Das Verhalten des Regelkreises mit dem Zweipunktregler. Nach der Aufgabenstellung liegt der Sollwert w = 5 V symmetrisch im Regelbereich XE = x(f)  x(0) = 10 V  0 V = 10 V und der Zweipunktregler hat keine Schaltdifferenz. In diesem Fall gilt die angenäherte analytische Formel: X E Tt ˜ , 2 T1

x0

woraus sich bei gegebenen T1 = 10 s und Tt = 5 s die gesuchte Amplitude der Arbeitsschwingung ergibt: x0

10 V 5 s ˜ 2 10 s

2,5 V

Unten ist die Pendelamplitude grafisch ermittelt: 2x0 | 4,8 V x0 | 2,4 V x (t)=UT / V T1 10 7,5

Tt

Tt 2x0

w Tt

2,5

Tt

Tt

Tt

Tt 0

10

20

30

40

50

60

70 t/ s

10

20

30

40

50

60

70 t/ s

y(t)= UH / V 24 12 0

172

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 4.6 4.6.a) Der Wirkungsplan der Füllstandsregelung Produkt A Binäre Steuerung: Wenn e > 0, dann yS = 1

Revers

Sollwert AI3

V1 yS Produkt B V2

z

Produkt -Ablauf

Füllstand F

y

w

Regler

+



AV1



Reaktor



x

Messfühler AI1

4.6.b) Die Übertragungsfunktion der Füllstandsstrecke Die Sprungantwort entspricht einem I-Glied mit Totzeit

x(t) 10

Tt

8 6

'x = 10 4

10 s .

Der Integrierbeiwert KIS ist negativ und wird durch die Steigung der Kennlinie bestimmt: K IS ˜ yˆ ˜ 't

2

Bei yˆ 0

Tt

10

20

30

40

50 60

't = 40

Die gesuchte Übertragungsfunktion ist damit GS ( s )

K IS  sTt . ˜e s

t/s

'x

4 folgt daraus

K IS

'x 1 ˜ 't yˆ

K IS

10 40 s ˜ 4

0,0625 s 1

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

173

4.6.c) Die Sprungantwort der Füllstandsstrecke Aus dem Vergleich mit dem vorherigen Beispiel ergibt sich: Tt

0s 'x 1 ˜ 't yˆ

K IS

10 5s˜6

0,33 s

Die gesuchte Übertragungsfunktion ist im betrachteten Fall GS ( s)

K IS , s

was dem Zeitdiagramm 9 entspricht. 4.6.d) Die Einstellung des P-Reglers nach der Ziegler-Nichols-Tabelle Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises: G0 (s)

K PR ˜ K PS ˜ K IS s ˜ (1  sT1 ) ˜ (1  sT2 )

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises: Gw ( s )

G0 ( s) 1  G0 ( s)

K PR ˜ K PS ˜ K IS s ˜ (1  sT1 ) ˜ (1  sT2 )  K PR ˜ K PS ˜ K IS

Die charakteristische Gleichung 3.Ordnung s ˜ (1  sT1 ) ˜ (1  sT2 )  K PR ˜ K PS ˜ K IS 3

2

0

T1 ˜ T2 ˜ s  (T1  T2 ) ˜ s  s  K PR ˜ K PS ˜ K IS mit Koeffizienten: a3

T1 ˜ T2

5 s2

a2

T1  T2

6s

a1 1 a0

K PR ˜ K PS ˜ K IS

K PR ˜ 0,25 s 1

Nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium: a2 ˜ a1> a3 ˜a0 bzw. 6˜1 > 5 ˜0,25 ˜KPR Daraus folgt: KPR < 4,8

0

174

Lösungen

Der kritische Proportionalbeiwert des Reglers, bei dem sich der geschlossene Regelkreis im grenzstabilen Zustand befindet, ist KPRkrit = 4,8. Nach der Ziegler-Nichols-Tabelle wird: KPR = 0,5˜KPRkrit = 2,4 4.6.e) Die optimale Einstellung des PD-Reglers Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises: K PR ˜ (1  sTv ) ˜ K PS ˜ K IS s ˜ (1  sT1 ) ˜ (1  sT2 )

G0 (s) Kompensation:

Tv = Tgrößte = T2 = 5 s Damit ergibt sich die Übertragungsfunktion von Grundtyp A: K PR ˜ K PS ˜ K IS s ˜ (1  sT1 )

G0 ( s )

Der Proportionalbeiwert des Reglers nach dem Betragsoptimum: K PR

1 2 ˜ K PS ˜ K IS ˜ T1

1 2 ˜ 0,1 ˜ 2,5 s 1 ˜1 s

2

4.6.f) Die optimale Einstellung des PI-Reglers Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises: G0 ( s )

K PS K IS K PR (1  sTn ) ˜ sTn s (1  sT1 )(1  sT2 )

Dies ist ein Fall für symmetrisches Optimum, da zwei I-Glieder im Kreis vorhanden sind. Die Kompensation T n = T2 = 5 s darf nicht gemacht werden, weil der Regelkreis instabil wird. Da die Bedingung T2 t 5 T1 erfüllt ist, kann die Ersatzzeitkonstante gebildet werden TE = T1 + T2 = 1 s + 5 s = 6 s und damit

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

175

Tn = 4TE = 4˜6 s = 12 s. Nach dem symmetrischen Optimum: K PR

K PR

1 2 ˜ K PS K ISTE 1

0,33

2 ˜ 0,1 ˜ 2,5 s 1 ˜ 6 s

Die Kennwerte des Reglers werden für den Funktionsbaustein PIDP1 wie folgt umgerechnet: KP

K PR

0,33

KI

K PR Tn

0,33 5

KD

K PR Tv

0,066

0

Die Konfiguration des PI-Reglers sowie die binäre Steuerung der Zulauf-Ventile V1 (Adresse %0:00001) und V2 (Adresse %0:00002) ist unten im Bild gezeigt.

PIDP1 0 0

Sollwert % 3:00003

INT_TO_REAL

% 3:00002

INT_TO_REAL

Istwert 1 0.33 0.066 0.0 32000.0 0.0 16000.0

%3:00003 %3:00002

GT_INT

MAN HALT SP PV BIAS D_ON_X REVERS KP KI KD TD_LAG YMAX YMIN YMAN

Y ERR QMAX QMIN

%0:00001 MOVE

%0:00002

REAL_TO_INT

% 4:00002 Produkt_Ablauf

176

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 4.7 4.7.a) Die Proportionalbeiwerte der Regelstrecke X /Nm Arbeits5 punkt

Tangente

ZB = 1,4 Nm Z0 = 1,3 Nm

B

4

K PSy K PSy

ZC = 1,2 Nm

A

K PSy

3

'X

§ 'X · ¨ ¸ © 'Y ¹ 0 (5  1,4) Nm (920  700) min 1 Nm 0,016 min 1

C

2

K PSz

1

'Y 700

750 800 850 900

K PSz

950 Y 1/min

XB  XC § 'X · ¨ ¸ © 'Z ¹ 0 Z B  Z C (4  2) Nm 10 (1,4  1,2) Nm

4.7.b) Die Übertragungsfunktion des mechanischen Teils der Regelstrecke ist

mit

GM ( s )

Gv ( s ) 1  Gv ( s )Gr ( s )

Gv ( s )

K P1 ˜

GM ( s )

K I1 s K I1 ˜ K P2 1  K P1 ˜ s

K I1 und Gr ( s) s K P1 ˜

K P2 .

K P1K I1 s  K P1K I1K P2

Daraus ergibt sich GM ( s )

K P1K I1 § · s ¸¸ K P1K I1K P2 ˜ ¨¨1  K K K P1 I1 P2 ¹ ©

K PM 1  sTM

mit K PM

TM

1 K P2

0,25

1 K P1K I1K P2

1 8,5 ˜ 1,5 s 1 ˜ 4

0,0196 s 19,6 ms .

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

177

4.7.c) Die Ausgangsgröße des mechanischen Teils der Regelstrecke im Beharrungszustand: K PM ˜ yˆ1

x1 (f)

0,4 ˜ 0,3 0,12

4.7.d) Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises: GR ( s ) ˜ GE ( s) ˜ GM ( s )

G0 ( s )

K PR (1  sTn ) K PE K PM ˜ ˜ sTn 1  sTE 1  sTM

Nach der Kompensation Tn = Tgrößte = TM = 0,5 s ergibt sich der Grundtyp A: K PR K PE K PM sTn (1  sTE )

G0 ( s )

Der Proportionalbeiwert des PI-Reglers nach dem Betragsoptimum: K PR opt

Tn 2 ˜ K PE ˜ K PM ˜ TE

0,05 s 2 ˜ 0,3 ˜ 0,4 ˜ 0,015 s

13,9

4.7.e) Die gegebene charakteristische Gleichung des geschlossenen Kreises: s 3 ˜ Tn TE TM  s 2 ˜ Tn (TE  TM )  s ˜ Tn (1  K PR K PE K PM )  K PR K PE K PM     a3

a2

a1

a0

a3 = 5 ms˜15 ms˜50 ms = 3750 ms3 a2 = 5 ms˜(15 ms + 50 ms) = 325 ms2 a1 = 5 ms˜(1 + 5˜0,3˜0,4) = 8 ms a0 = 5˜0,3˜0,4 = 0,6 Der Kreis ist nach Hurwitz-Stabilitäskriterium stabil, da unter Beachtung KPR > 0 sind: - die 1. Bedingung erfüllt: a3 z 0

a2 z 0

a1 z 0

- die 2. Bedingung erfüllt: a3 > 0

a2 > 0

a1 > 0

a0 z 0 a0 > 0 2

- die 3. Bedingung erfüllt: a2 ˜ a1 > a3 ˜ a0 Ÿ 325 ms ˜8 ms > 3750 ms3˜0,6 4.7.f) Die bleibende Regeldifferenz: e(f) = w  x(f) = 0  xm.R(f) = 0  2 =  2 4.7.g) Der reelle Regelfaktor beim Störverhalten: RF = xm.R(f) / xo.R(f) = 2 / 3,5 = 0,57

0

178

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 4.8 4.8.a) Die Abhängigkeit des Proportionalbeiwertes der Regelstrecke von der Gewindesteigung: 43 0,2a

KPSy =

Um den Proportionalbeiwert der Regelstrecke im Arbeitspunkt zu bestimmen, wird die Tangente im Arbeitspunkt eingetragen. Daraus wird der Proportionalbeiwert KPSy =

1150  1050 35  20

6,67

und folglich die Gewindesteigung berechnet: a=

5,43 6,67 ˜ 0,2

4,07

4.8.b) Der Proportionalbeiwert des elektrischen Teils der Regelstrecke bei dem gegebenen Wert der Gewindesteigung a: KPS =

5,43 0,2a

27,15

Im Beharrungszustand erreicht die Ausgangsgröße der Regelstrecke (P-T1-Glied) n(f) = 27,15˜1,84 = 49,9. Die Antwort ist Bild „a“. 4.8.c) Die optimale Eintsellung des Drehzahlreglers Zunächst werden die Übertragungsfunktionen und die Parameter von einzelnen Gliedern des Regelkreises bestimmt: GR ( s)

K PR mit KPS =

Strecke: GS ( s )

K 1 ˜ PS 1  sTR 1  sT1

Regler:

5,43 0,2 ˜ 3

9,05 (P-Glied)

(Reihenschaltung von zwei P-T1-Gliedern)

Dann bestimmt man die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises als Reihenschaltung von Regler und Strecke: G0 ( s )

GR ( s )GS ( s)

K PR ˜

K 1 ˜ PS 1  sTR 1  sT1

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

179

Diese Übertragungsfunktion entspricht dem Grundtyp B, welcher mit der folgenden Formel optimal eingestellt wird (Betragsoptimum): K PR

(TR  T1 ) 2 1  2 ˜ K PS ˜ TR ˜ T1 K PS

Daraus ergibt sich für die gegebenen Werte von Parametern: KPR = 0,288

4.8.d) Die optimale Einstellung des Lagereglers Zuerst wird die Übertragungsfunktion G0(s) des aufgeschnittenen Regelkreises als Reihenschaltung von Regler und Strecke bestimmt: G0 ( s)

GR ( s)GS ( s)

K PR (1  sTv ) ˜

K PS K IS ˜ 1  sT1 s

Nach der Kompensation mit der größten Zeitkonstante der Regelstrecke Tv = T1= 0,05 s wird die Störübertragungsfunktion bestimmt Gz ( s )

Gvz ( s ) , 1  G0 ( s )

wobei G0(s) die kompensierte Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises G0 ( s )

K PR K PS K IS s

und Gvz(s) die Vorwärts-Übertragungsfunktion der Regelstrecke ist. Im betrachteten Fall ist Gvz(s) die Übertragungsfunktion der Regelstrecke: Gvz ( s )

GS ( s )

K PS K IS ˜ 1  sT1 s

Setzt man G0(s) und Gvz(s) in die Formel für die Störübertragungsfunktion, so ergibt sich:

Gz ( s)

Gz ( s)

K PS K IS ˜ 1  sT1 s K K K 1  PR PS IS s K PS K IS ( s  K PR K PS K IS )(1  sT1 )

Gvz ( s) 1  G0 ( s)

K PS K IS ˜ 1  sT1 s s  K PR K PS K IS s

180

Lösungen

Um KPz aus diesem Ausdruck zu bestimmen, soll die obige Übertragungsfunktion in die Normalform gebracht werden. Dafür wird im Nenner das Glied KPRKPSKIS ausgeklammert: Gz ( s )

K PS K IS § · 1 K PR K PS K IS ˜ ¨¨ s  1¸¸ ˜ (1  sT1 ) © K PR K PS K IS ¹

Gz ( s ) K PR

Gz ( s)

1 § · 1 ˜ ¨¨ s  1¸¸ ˜ (1  sT1 ) © K PR K PS K IS ¹

1 1 ˜ K PR § 1 ¨¨1  K K PR PS K IS ©

· s ¸¸ ˜ (1  sT1 ) ¹

Daraus erkennt man den Proportionalbeiwert und die Zeitkonstante 1 K PR

K Pz

Tz

1 , K PR K PS K IS

so dass die obige Übertragungsfunktion in Normalform dargestellt wird: Gz ( s )

K Pz (1  sTz )(1  sT1 )

Aus dem Ausdruck K Pz

1 K PR

folgt für den gegebenen Wert von KPz = 0,02 der gesuchte Proportionalbeiwert des Reglers: K PR

1 K Pz

1 0,02

50

4.8.e) Wird einen neuen Werkzeugschlitten mit einer anderen Gewindesteigung a eingesetzt, ändert sich KPz nicht, da KPS KIS = 54,3 konstant bleibt!

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

181

4.8.f) Die Stabilität des geschlossenen Regelkreises wird nach dem HurwitzStabilitätskriterium geprüft. Die gegebene charakteristische Gleichung wird zunächst als Polynom dargestellt: s 2Tn (1  sT1 )  K PR K PS K IS (1  sTn )

0

s 2Tn  s 3T1Tn  K PR K PS K IS  sTn K PR K PS K IS s 3T1Tn  s 2Tn  sTn K PR K PS K IS  K PR K PS K IS

0 0

In dem so erhaltenen Polynom der 3. Ordnung bezeichnet man die Koeffizienten: a3 s 3  a2 s 2  a1s  a0

0

a3

TnT1

a2

Tn

a1

Tn K PR K PS K IS

a0

K PR K PS K IS

Nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium für Systeme 3. Ordnung ist der geschlossene Regelkreises stabil, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: 1. Bedingung:

Alle Koeffizienten sind vorhanden a3 z 0

2. Bedingung:

a1 z 0

a0 z 0

Ÿ erfüllt

a0 ! 0

Ÿ erfüllt

Alle Koeffizienten sind positiv a3 ! 0

3. Bedingung:

a2 z 0 a2 ! 0

a1 ! 0

Das Produkt von Koeffizienten a2a1 („innere“ Koeffizienten des Polynoms) ist größer als Produkt von Koeffizienten a3a0 („äußere“ Koeffizienten): a2 a1 ! a3a0

Aus dieser Bedingung folgt Tn K PR K PS K IS ˜ Tn ! TnT1 ˜ K PR K PS K IS , woraus man nach der Kürzung von Tn die Stabilitätsbedingung bestimmen kann: Tn ˜ ! T1 Für den gegebenen Wert T1 = 0,05 s ergibt sich daraus: Tn > 0,05 s

182

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 4.9 4.9.a) Die Proportionalbeiwerte der linearisierten Regelstrecke: X /mm

K PSy

§ 'X · ¨ ¸ © 'Y ¹ 0

K PSy

(150  0) mm (800  1100) 1/min

K PSy

0,5

K PSz

§ 'X · ¨ ¸ © 'Z ¹ 0

K PSz

(150  50) mm (1000  800)1/min

K PSz

0,5

Kennlinie des Reglers

250 200 150

mm 1 / min

A 100

Z= 1200 min-1 Z= 1100 Z= 1000 Z= 900 Z= 800

C

50 B 0 800

1000

1200

Y / min-1

mm 1 / min

4.9.b) Der reelle (statische) Regelfaktor Aus dem Kennlinienfeld der Regelstrecke folgt, dass für einen Störsprung z =  100 min-1 sich ergibt xo.R (f) = 100 mm  50 mm = 50 mm (Punkt B). Die Kennlinie des Reglers mit KPR = 'Y / 'X = 100 min-1/ 200 mm= 0,5 min-1/mm wird in das Diagramm eingetragen. Damit wird die Regelstrecke zusammen mit dem Regler betrachtet, d. h. es handelt sich hier um die Regelgröße xm.R. . Für den Störsprung z = 100 min-1 ergibt sich aus dem Diagramm: xm.R (f) = 100 mm  70 mm = 30 mm Daraus folgt: RF

xm.R. (f) xo.R. (f)

30 mm 50 mm

0,6

(Punkt C)

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

183

4.9.c) Aus der Sprungantwort erkennt man, dass die Strecke ein PP-T1-Glied ist. x(t) T1 2,5 2,0 1,5 x(f)=KPS y^

1,0 KPS

Tv ^ y T1

0,5 0

1,0

2,0

t /s

Die entsprechende Übertragungsfunktion des PP-T1-Gliedes ist K PS ˜ (1  sTv ) . 1  sT1

GS ( s )

Die Parameter der Regelstrecke werden aus dem Zeitdiagramm (Sprungantwort) nach dem Schnittpunkt der Tangente mit dem Beharrungswert T1 1 s und dem Wert der Ausgangsgröße x(t) im Beharrungszustand x (f )

2

abgelesen: K PS ˜ yˆ

2

Aus dem letzten Ausdruck ergibt sich bei der gegebenen Sprunghöhe yˆ

0,5

der Proportionalbeiwert der Gesamtstrecke K PS

2,0 0,5

4.

Für den Anfangswert der Sprungantwort gilt aus dem Zeitdiagramm K PS ˜

Tv ˜ yˆ 1,0 , T1

woraus die Zeitkonstante Tv der Gesamtstrecke berechnet wird:

184

Lösungen 1,0 ˜ T1 K PS ˜ yˆ

Tv

1 ˜1 s 4 ˜ 0,5

0,5 s

Die gesamte Regelstrecke besteht laut Wirkungsplan aus zwei Teilstrecken und stellt die Reihenschaltung von G1(s) und 1 s

G2 ( s ) 1  G2 ( s )

1 1 s

1 1 s

dar. Damit ist die Übertragungsfunktion der gesamten Regelstrecke: GS ( s )

G1 ( s) ˜

1 1 s

K PS ˜ (1  sTv ) 1  sT1

Daraus ergibt sich die gesuchte Übertragungsfunktion: G1 ( s)

K PS ˜ (1  sTv ) (1  sT1 )(1  s )

Die Parameter: KPS = 4 Tv = 0,5 s T1 =1 s

Lösung zu Aufgabe 4.10 4.10.a) Die Stabilität des geschlossenen Regelkreises mit der Konfiguration CD, d. h. mit sK R (1  sTn )(1  sTv ) und mit der Strecke als Reidem Kompensationsregler GR ( s ) (1  sTR ) henschaltung von zwei P-T1 und zwei I-Gliedern: GS ( s)

K PS K IS1K IS2 2

s (1  sT1 )(1  sT2 )

Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises: G0 ( s )

sK R (1  sTn )(1  sTv ) K K K ˜ 2 PS IS1 IS2 (1  sTR ) s (1  sT1 )(1  sT2 )

Im Regelkreis sind zwei I-Glieder vorhanden, jedoch eins davon wird mit dem D-Glied kompensiert. Die gegebene Nachstellzeit des Reglers Tn = 8 s wird mit der größten Zeitkonstanten der Regelstrecke kompensiert: Tn

T2

8s

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

185

Somit wird die Übertragungsfunktion wie folgt vereinfacht: G0 ( s )

K R (1  sTv ) K PS K IS1K IS2 ˜ (1  sTR ) s (1  sT1 )

Für den geschlossenen Regelkreis gilt: Gw ( s )

G0 ( s ) 1  G0 ( s )

K R K PS K IS1K IS2 (1  sTv ) K R K PS K IS1K IS2 (1  sTv )  s (1  sTR )(1  sT1 )

Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises K R K PS K IS1K IS2 (1  sTv )  s (1  sTR )(1  sT1 )

0,

die wie Polynom 3. Ordnung dargestellt wird: s 3TR T1  s 2 (TR  T1 )  sTv K R K PS K IS1K IS2  K R K PS K IS1K IS2

0

Die Koeffizienten des Polynoms sind wie folgt bezeichnet und berechnet: 0,2 s ˜ 0,6 s

a3

TR T1

a2

TR  T1

a1

Tv K R K PS K IS1K IS2

a0

K R K PS K IS1K IS2

0,12 s 2

0,2 s  0,6 s

0,8 s 1 s ˜ 2 s ˜ 0,08 ˜ 0,2 s 1 ˜ 0,5 s 1

2 s ˜ 0,08 ˜ 0,2 s 1 ˜ 0,5 s 1

0,016

0,016 s 1

Nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium für Systeme 3. Ordnung ist der geschlossene Regelkreises stabil, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: 1. Bedingung:

Alle Koeffizienten sind vorhanden a3 z 0

2. Bedingung:

a2 z 0

a1 z 0

a0 z 0

Ÿ erfüllt

a0 ! 0

Ÿ erfüllt

Alle Koeffizienten sind positiv a3 ! 0

a2 ! 0

a1 ! 0

Auch die 3. Bedingung a2 a1 ! a3a0 ist erfüllt: 0,8 s ˜ 0,016 ! 0,12 s 2 ˜ 0,016 s 1

Ÿ

Daraus folgt, dass der geschlossene Kreis stabil ist.

0,8 s ! 0,12 s .

186

Lösungen

4.10.b) Die optimale Einstellung des geschlossenen Regelkreises mit der Konfiguration AE, d. h. mit dem PID-Regler und einer Reihenschaltung von drei P-T1-Gliedern und einem I-Glied: GR ( s )

K PR (1  sTn )(1  sTv ) sTn

GS ( s )

K PS K IS1 s(1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises: K PR (1  sTn )(1  sTv ) K PS K IS1 ˜ sTn s (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

G0 ( s )

Da im Nenner der Übertragungsfunktion zwei I-Anteile vorhanden sind, wird das symmetrische Optimum für die optimale Reglereinstellung angewendet. Nach der Kompensation Tv

T3

1s

wird die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises folgendermaßen dargestellt: K PS K IS1 K PR (1  sTn ) ˜ sTn s (1  sT1 )(1  sT2 )

G0 ( s )

Da die Bedingung T2 t 5T1 erfüllt ist, wird die Ersatzzeitkonstante gebildet: TE

T1  T2

8,6 s

Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises wird in die für das symmetrische Optimum passende Form gebracht G0 ( s )

K PR K PS K IS1 (1  sTn ) s 2Tn (1  sTE )

,

so dass man die optimalen Kennwerte des Reglers nach der Kessler-Formel berechnen kann: Tn K PR K PR

4TE

34,4 s

1 2 K PS K IS1TE 1 2 ˜ 0,08 ˜ 0,2s 1 ˜ 8,6s

3,63

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

187

4.10.c) Die optimale Einstellung des Regelkreises mit der Konfiguration CE, d. h. mit: Regler: GR ( s )

sK R (1  sTn )(1  sTv ) (1  sTR )

Strecke: GS ( s )

K PS K IS1 s (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises und die Kompensation: Tn

T2

8s

Tv

T3

1s

G0 ( s )

sK R (1  sTn )(1  sTv ) K PS K IS1 ˜ (1  sTR ) s (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

G0 ( s )

K R K PS K IS1 (1  sTR )(1  sT1 )

Ÿ Ein Fall für Betragsoptimum, Grundtyp B.

(TR  T1 ) 2 1  2 K PS K IS1TR T1 K PS K IS1

KR

(0,2s  0,6s) 2

KR

2 ˜ 0,08 ˜ 0,2s

1

˜ 0,2s ˜ 0,6s



1 0,08 ˜ 0,2s 1

104,2 s

4.10.d) Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises AE: PID-Regler: GR ( s )

Strecke: GS ( s )

K PR (1  sTn )(1  sTv ) sTn

K PS K IS1 s (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises: G0 ( s )

K PR (1  sTn )(1  sTv ) K PS K IS1 ˜ sTn s (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

Nach der Kompensation Tv ergibt sich

T3

1s

188

Lösungen K PR K PS K IS1 (1  sTn )

G0 ( s)

s 2Tn (1  sT1 )(1  sT2 )

,

woraus die Parameter für das Bode-Diagramm berechnet werden: 9 ˜ 0,08 ˜ 0,2s 1 8s

K PR K PS K IS1 Tn

2 K I0

0,018 s  2

K I0 1 Tn

1 14,3 s

1 T1

1 0,6 s

1 T2

1 8s

0,018 s  2

0,135 s 1

0,07 s 1 1,67 s 1

0,125 s 1

Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises ist unten gezeigt. Daraus kann man ablesen, dass die Phasenreserve DR

30q

beträgt. 1/ T2 = 0,125 s1 1/ Tn = 0,07 s1

G0 dB 20dB

KI0 = 0,135 s1

1/ T1 = 1,67 s1

40 dB/Dek 0 dB

0,01

20 dB/Dek M(Z)

DR

 270°

40 dB/Dek Zs-1

 90° 180°

Zs-1

1,0

0,1

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

189

4.10.e) Das Verhalten des Regelkreises mit der Konfiguration BE, d. h. der Zweipunktregler mit Schaldifferenz xd = r 10, Stellgröße ymax = 625, ymin = 625 und die P-Tt-Strecke K PS K IS1  sTt ˜ ˜e 1  sTE s

GS ( s ) mit

KPS = 0,08

TE = 8 s

Tt = 1,6 s

KIS1 = 0,2 s-1

und mit der Führungsgröße w = 50. Zuerst wird die Sprungantwort der Regelstrecke (I-T1-Glied mit Totzeit) ohne Regler in das Zeitdiagramm unten eingetragen. Die Steigung der Kennlinie, die dem I-Anteil der Strecke entspricht, wird aus der Gleichung eines I-Gliedes bestimmt. Im betrachteten Fall ist die Sprungantwort K PS ˜ K IS1 ˜ ymax ˜ t ,

x(t )

z. B. wenn die Zeit t ändert sich um 10 s, erreicht die Ausgangsgröße x(t) den Wert: x(t ) bei t

10

K PS ˜ K IS1 ˜ ymax ˜ 10 s

x(t ) bei t

10

0,08 ˜ 0,2 s 1 ˜ 625 ˜ 10 s 100

x(t)

TE

100

10 s

80 60

10˜KIS1ymax

40 20

0

Tt 4

8

12

16

20

24

t /s

190

Lösungen

Dann werden der Sollwert und die Schaltdifferenzen in das Zeitdiagramm eingetragen, wie unten im Bild gezeigt ist. Daraus bestimmt man die Umschaltpunkte des Zweipunktreglers unter Beachtung von Schaltdifferenzen und der Totzeit. x(t)

TE

100

10 s

80 60 w

xd xd

40 20

Tt

Tt 4

8

12

16

x0

Tt Tt

Tt 0

x0

20

24

t /s

Die Amplitude der Dauerschwingung wird aus dem Diagramm abgelesen und beträgt ca. x0 = 22,5. Die Simulation mit dem MATLAB / Simulink ist unten gezeigt.

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

191

Lösung zu Aufgabe 4.11 4.11.a) Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke: GS ( s )

KM 2

Js  Cs  R

4.11.b) Nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium ist die Regelstrecke stabil, weil alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung 2. Ordnung Js 2  Cs  R

0

positiv sind. 4.11.c) Um den Dämpfungsgrad der Strecke zu bestimmen, wird die Übertragungsfunktion zunächst in die Standardform gebracht: GS ( s)

KM

1 KM ˜ R J s2  C s  1 R R

2

Js  Cs  R

Daraus folgt:

KM R

K PS

0,05 Nm 10 Nm

Z02

J R

0,01 kgm 10 Nm

2Z0

C R

0,004 Nms 10 Nm

1

K PS 2s  s 1 2 Z Z0 0 1

2

0,005 0,001 s2

0,0004 s

31,62 s-1

Ÿ

Z0

Ÿ

- 0,0062

Unten ist die Simulation der Sprungantwort der Regelstrecke gezeigt: GS ( s )

0,05 2

0,01s  0,004s  10

MATLAB-Skript Gw = tf (0.005, [0.01, 0.004, 10]); % b0 = 0,05; a2 = 0,01; % a1 = 0,004; a0 = 10; t = 0:0.001:2.0; % von t = 0 bis t = 2 % mit 't = 0.001 T = t'; x = step (Gw, T); plot (T, x, ’k’); grid;

192

Lösungen

4.11.d) Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke ist GS ( s)

K PS T22 s 2

 T1s  1

mit KPS = 0,005; T2 = 0, 03162 s; T1 = 0,0004 s.

Die Übertragungsfunktion des PI-Reglers ist GR ( s )

K PR (1  sTn ) mit Tn = 1 s. sTn

Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises: G0 ( s)

K K PR (1  sTn ) ˜ 2 2 PS sTn T2 s  T1s  1

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises: Gw ( s )

G0 ( s ) 1  G0 ( s )

K PR K PS (1  sTn ) sTn (T22 s 2

 T1s  1)  K PR K PS (1  sTn )

Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises: sTn (T22 s 2  T1s  1)  K PR K PS (1  sTn )

0

T22Tn s 3  T1Tn s 2  sTn  K PR K PS  K PR K PSTn s

0

2 T22Tn s 3  T, K PR K PS  1)Tn s  K PR K PS 1Tn s  (   

0

a2

a3

a3

T22Tn

a1

0,001s 2 ˜ 1s

a0

0,001 s 3

a2 T1Tn 0,0004s ˜ 1s 0,0004 s 2 a1 ( K PR K PS  1)Tn (0,005K PR  1) ˜ 1 s a0 K PR K PS K PR ˜ 0,005 Bei KPR > 0 sind nach dem Hurwitz-Kriterium die 1. und 2. Bedingung erfüllt: a3 z 0

a2 z 0

a1 z 0

a0 z 0

a3 > 0

a2 > 0

a1 > 0

a0 > 0

Die 3. Bedingung a2˜a1 > a3˜a0 wird bei folgenden Werten von KPR erfüllt: 0,0004 ˜ (0,005K PR  1) ! 0,001 ˜ 0,005K PR 0,0004 ˜ 0,005K PRkrit  0,0004 K PRkrit

0,001 ˜ 0,005K PRkrit

0,0004 (0,001  0,0004) ˜ 0,005

133,3

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

193

4.11.e) Die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises ist x( s )

Gw ( s ) w( s ) ,

wobei Gw ( s ) die Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit dem PI-Regler mit Kennwerten KPR = 20 und Tn = 1 s ist: Gw ( s )

Gw ( s )

K PR K PS (1  sTn ) T22Tn s 3

 T1Tn s 2  ( K PR K PS  1)Tn s  K PR K PS K PR K PS (1  sTn )

T22Tn s 3

 T1Tn s 2  ( K PR K PS  1)Tn s  K PR K PS

Die Sprungantwort des Regelkreises mit berechneten Parametern ist unten mit MATLAB simuliert. Daraus ist es ersichtlich, dass der Regelkreis stabil ist. MATLAB-Skript KPR = 20; Tn = 1; KPS = 0.005; T1 = 0.0004; T2 = 0.03162; b1 = KPR*KPS; b0 = KPR*KPS*Tn; a3 = T2*T2*Tn; a2 = T1*Tn; a1 = (KPR*KPS+1)*Tn; a0 = KPR*KPS; num = [b1,b0]; den = [a3,a2,a1,a0]; Gw = tf (num,den); t = 0 : 0.001 : 50.0; % von t = 0 bis t = 50 mit 't = 0.001; T = t'; x = step (Gw, T); plot (T, x, ’k’); grid;

194

Lösungen

4.11.f) Die Übertragungsfunktion des PD-Reglers ist K PR (1  sTv )

GR ( s ) mit

Tv = 1 s.

Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke ist GS ( s)

K PS T22 s 2

 T1s  1

mit KPS = 0,005; T2 = 0, 03162 s; T1 = 0,0004 s. Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises: G0 ( s)

K PR (1  sTv ) ˜

K PS T22 s 2

 T1s  1

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises: Gw ( s )

G0 ( s ) 1  G0 ( s )

K PR K PS (1  sTv ) T22 s 2

 T1s  1  K PR K PS (1  sTv )

Die bleibende Regeldifferenz wird mit Hilfe des Grenzwertsatzes berechnet: e (f )

wˆ  x(f)

e (f )

wˆ  lim

e (f )

wˆ 

wˆ  lim Gw ( s) ˜ wˆ

s o 0 T22 s 2

s o0

K PR K PS (1  sTv )  T1s  1  K PR K PS (1  sTv )

K PR K PS ˜ wˆ 1  K PR K PS

Aus der gegebenen Bedingung bei w = 1 e(f) d 0,01

wird der Proportionalbeiwert der Reglers ermittelt: 1

K PR K PS d 0,01 1  K PR K PS

K PR t

0,99 0,01 ˜ K PS

Ÿ

K PR t 19800

˜ wˆ

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

195

4.11.g) Die Regelgröße im Bildbereich: x( s )

Gw ( s ) w( s )

Gw ( s ) ist die Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit dem PD-Regler Gw ( s )

K PR K PS (1  sTv ) T22 s 2

 (1  Tv K PR K PS ) s  1  K PR K PS

mit Kennwerten KPR = 20 und Tv = 1 s. Die Sprungantwort im Zeitbereich wird mit Hilfe einer Simulation ermittelt. Das MATLAB-Skript und die Sprungantwort sind unten gezeigt. MATLAB-Skript KPR = 20; Tv = 1; KPS = 0.005; T1 = 0.0004; T2 = 0.03162; b1 = KPR*KPS; b0 = KPR*KPS*Tv; a2 = T2*T2; a1 = KPR*KPS*Tv+1; a0=1+KPR*KPS; num = [b1,b0]; den = [a2,a1,a0]; Gw = tf( num,den); t = 0 : 0.0001 : 0.01; % von t = 0 bis t = 0,01 mit 't = 0.0001; T = t'; x = step (Gw, T); plot (T, x, ’k’); grid;

196

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 4.12 4.12.a) Die Regelstrecke mit Polstellen GS ( s )

K PS (1  sT1 )(s 2T22

s1

 1)



1 T1

1 T2

s2

s3



1 T2

ist instabil, weil der reelle Teil von Polstelle s2 positiv ist. Das folgt auch aus dem Hurwitz-Kriterium, weil die Koeffizienten der charakteristischen Gleichung a2 und a0 negativ sind: s 3 T22T1  s 2 T22  s ˜ (T1 )  (, 1) , ,

 a3

a2

0

a0

a1

4.12.b) Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Kreises mit dem P-Regler GS ( s )

K PR K PS (1  sT1 )( s 2T22  1)

mit K PR

1

ist unten gezeigt. Bei (1/T1) sind die Änderungen des Amplituden- und Phasenganges wie üblich 20 dB und 90°. Bei (1/T2) ändert sich der Amplitudengang um 40 dB, der Phasengang hat an dieser Stelle keine Änderung, weil es bereits bei der Anfangsphase 180° berücksichtigt wurde. Der Regelkreis ist instabil, weil der Phasengang einen negativen Schnittpunkt im positiven Bereich des Amplitudenganges (von 0 bis ZD) hat, während G0(s) eine Polstelle in der rechten s-Ebene besitzt, d.h. die Nyquist-Stabilitätsbedingung ist nicht erfüllt. G0 dB

(1/ T1 ) = 0,1 s

(1/ T2 ) = 4 s

40dB 20 dB/Dek 20dB 20 log(KPRKPS) 0dB 0,01

60 dB/Dek 1

0,1

Zs-1

ZD

M(Z) Zs-1 90°  180°  270°

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

197

4.12.c) Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises mit dem PID-Regler: G0 ( s)

K PR (1  sTn )(1  sTv ) K PS ˜ sTn ( sT1  1)( sT1  1)(1  sT2 )

Nach der Kompensation Tn = T1 = 10 s Tv = T2 = 0,25 s ergibt sich G0 ( s)

K PR K PS . sTn ( sT1  1)

Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises: Gw ( s )

G0 ( s) 1  G0 ( s )

K PR K PS sTn ( sT1  1)  K PR K PS

Aus der charakteristischen Gleichung s 2 T, Tn )  K PR K PS nT1  s ˜ (

  a2

a1

0

a0

erkennt man, dass der Regelkreis instabil ist, weil a1 negativ ist. Fügt man eine neue Nullstelle in die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises G0 ( s )

K PR K PS (1  sTz ) sTn ( sT1  1)

ein, ändert sich die charakteristische Gleichung wie folgt: s 2 T, K PR K PSTz  Tn )  K PR K PS n T1  s ˜ (   a2

a1

0

a0

Die Zeitkonstante Tz wird so eingestellt, dass die Bedingung a1 > 0 erfüllt und der Regelkreis stabil wird: K PR K PSTz  Tn ! 0

Tz !

10 s 1 ˜ 25

Tz ! 0,4

Ÿ

Tz !

Tn K PR K PS

198

Lösungen

4.12.d) Die Sprungantwort wird mit MATLAB simuliert. Das MATLAB-Skript bei Tz = 5 s und die Sprungantwort sind unten gezeigt. KpR= 1; KpS = 25; Kp=KpR*KpS; Tn = 10; T1 = 10; Tz = 5; b1 = Tz*Kp; b0 = Kp; a2 = Tn*T1; a1 = b1  Tn; a0 = b0; den1 = [a2, a1, a0]; num1 = [0, b1, b0]; step (num1, den1)

Gütekriterien: x

Anregelzeit

TAn | 2 s

x

Ausregelzeit bei Toleranz r 0,4 %

TAus | 14 s

x

Bleibende Regeldifferenz

e(f) = 0

x

Dämpfungsgrad

- | 0,8

x

Maximale Überschwingweite

ümax = 15 %

Lösung zu Aufgabe 4.13 4.13.a) Die Polzuweisung für das System mit zwei I-Gliedern u k

+

 +

1 s

1 s

k1

+ k2

x

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

199

Die Übertragungsfunktion des inneren Regelkreises 1 s 1 1  ˜ k1 s

Gw1 ( s )

1 s  k1

1 § 1· k1 ¨¨1  s ¸¸ k1 ¹ ©

1 / k1 1  sTw

1 . k1

mit Tw

Die Übertragungsfunktion des Hauptregelkreises:

Gw ( s )

1 s 1 1  Gw1 ( s ) ˜ k 2 s

Gw ( s )

1 / k1 s (1  sTw )  k 2 / k1

Gw1 ( s )

Gw ( s )

Gw ( s )

1 / k1 s (1  sTw ) k 2 / k1 1 s (1  sTw ) 1 / k1 2

s (1 / k1 )  s  k 2 / k1

1 / k1 (1 / k1 )(s 2  k1s  k 2 ) 1 2

s  k1s  k 2

Die gewünschte Übertragungsfunktion mit Polstellen p1 Gw ( s )

1 ( s  p1 )( s  p2 )

1  2 j und p 2

1 2

s  s ( p1  p2 )  p1 ˜ p2

1 2

s  2s  5

1  2 j ist

.

Aus der Gegenüberstellung von beiden Übertragungsfunktionen 1

1

2

s  k1s  k 2

2

s  2s  5

ergeben sich die gesuchten Koeffizienten der Rückführung: k1 = 2 k2 = 5 Der Verstärkungsgrad k ergibt sich aus der Bedingung für den Beharrungszustand: 1 / k1 ˜k k 2 / k1 k=5

1

200

Lösungen

Das entsprechende Simulink-Programm ist unten gezeigt.

Die Sprungantwort mit dem gewünschten Dämpfungsgrad

4.13.b) Entwurf der Rückführmatrix K Das gegebene System ist instabil. Dies kann man mit Hilfe einer Simulink-Simulation mit gegebenen Matrizen feststellen: A = [ 1, 1; 5, 6]; B = [ 2; 5.5]; C = [ 0, 1]; D = 0;

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

201

Die Sprungantwort des gegebenen Systems ohne Rückführung (links) entspricht dem gegebenen instabilen System. Mit Rückführung (rechts) wird das System stabil.

Das MATLAB-Programm zur Ermittlung der Rückführmatrix K ist : A = [ 1, 1; 5, 6]; % B = [ 2; 5.5]; C = [ 0, 1]; D = 0; p1 = 2 + j;

p2 = conj(p1);

% gewünschte Polstellen

P = [p1; p2]

% gewünschte Pol-Matrix P = [2 + j, 2  j]

K = place(A, B, P)

% Rückführmatrix

Die somit berechnete Rückführmatrix ist K

§ 1,0602 · ¨¨ ¸¸ . ©  0,5673 ¹

Das entsprechende Simulink-Programm ist unten gezeigt.

202

Lösungen

4.13.c) Die Steuerbarkeit und die Beobachtbarkeit Ein System in allgemeiner Form mit den Dimensionen n, p und q = n + p, beschrieben durch Zustands- und Beobachtungsgleichungen, ist unten gezeigt: x (t )

A ˜ x(t )  B ˜ u (t )

y (t )

C ˜ x(t )  D ˜ u (t )

A [ n u n] ; B [ n u p ]

Dimensionen:

[q u q ] ; D [q u p ]

C

x(t ) [1 u n] Zustandsvektor u (t ) [1 u p] Eingangsvektor y (t ) [1 u q] Messvektor Das gegebene System wird in entsprechende Matrizenform umgewandelt: x1

2 ˜ x1  0 ˜ x2  0 ˜ u

x 2

3 ˜ x1  4 ˜ x2  3,5 ˜ u

y

A

Ÿ

x1  0 ˜ x2

2

0

3

4

0

B C

mit rank(A) = 2

3,5 1 0

Daraus werden die Steuerbarkeits- und Beobachtbarkeitsmatrix gebildet: die Steuerbarkeitsmatrix

Ÿ

C0

die Beobachtbarkeitsmatrix

Ÿ

Ob

0

0

3,5  14 0

1

3 4

mit rank(C0) = 1

mit rank(Ob) = 2

Das betrachtete System ist: a) beobachtbar, weil rank(Ob) = rank(A) ist. b) nicht steuerbar, weil rank (C0) z rank (A) ist. Die MATLAB-Befehle: A = [ 2, 0;

3, 4]; % Eingabe von Matrix

B = [ 0; 3.5]; C = [ 1, 0]; rank(A)

% Rang der Matrix A

Co = ctrb (A, B)

% Steuerbarkeitsmatrix C0

rank(Co)

% Rang der Matrix C0

Ob = obsv (A, C)

% Beobachtbarkeitsmatrix Ob

rank(Ob)

% Rang der Matrix Ob

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

203

4.13.d) Entwurf des Zustandsbeobachters 2. Ordnung Das gegebene System x (t ) y (t )

A ˜ x(t )  B ˜ u (t ) C ˜ x(t )

§  2 1· ¸ mit A ¨¨ ¸ © 0  1¹

B

§0· ¨¨ ¸¸ ©1¹

C

§1· ¨¨ ¸¸ © 0¹

wird für MATLAB wie folgt umgeschrieben: A = [2, 1; 0, 1] B = [ 0; 1] C = [ 1, 0] Daraus kann man mit dem Befehl eig(A) die Polstellen des gegebenen Systems ermitteln: s1 = 2 s2 = 1 Somit ist das gegebene System stabil. Die gewünschten Polstellen p1 = p2 = 3 befinden sich auch auf der reellen Achse im linken s-Halbebene, sind jedoch vom Koordinatenanfang weiter entfernt, was einer größeren Phasenreserve entspricht. Der Entwurf des Beobachters erfolgt nach folgenden Schritten. Zuerst wird die Rückführmatrix definiert: K

Danach definiert man die Modell-Matrix: AM

§ k1 · ¨¨ ¸¸ © k2 ¹ A  K ˜C

§  (2  k1 ) 1 · ¨¨ ¸.  1¸¹ ©  k2

Daraus kann man die folgende Matrix bilden s ˜ I  AM bzw. § 1 0 · §  (2  k1 ) 1 · ¸ ¸¸  ¨¨ s ˜ ¨¨  1¸¹ © 0 1 ¹ ©  k2

§ s  2  k1  1 · ¨¨ ¸, s  1¸¹ © k2

aus deren Determinante sich die charakteristische Gleichung des Modells ergibt: det( s ˜ I  AM )

0

bzw. ( s  2  k1 )( s  1)  (k 2 )

0

s 2  (3  k1 ) s  2  k1  k2

0

204

Lösungen

Die charakteristische Gleichung des Systems mit gewünschten Polstellen p1 = p2 = 3: ( s  s1 )( s  s2 )

( s  3)( s  3)

s 2  6s  9

0

Aus dem Vergleich von Koeffizienten dieser charakteristischen Gleichungen mit den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung des Modells folgt die Lösung: ­3  k1 6 ® ¯2  k1  k 2

9

Ÿ

k1 k2

3 4

Damit ist die Zustandgsleichung des Beobachters xM (t ) mit AM

AM ˜ x(t ) M  B ˜ u (t )  K ˜ [ y (t )  yM (t )]

§5 1 · ¨¨ ¸¸ und K ©  4  1¹

§ 3· ¨¨ ¸¸ © 4¹

MATLAB-Script: A = [2, 1; 0, 1]; B = [ 0; 1]; C = [ 1, 0]; p1 = 3 ; p2 = 3 ; P = [p1; p2] ; % gewünschte Polstellen P = [10 + 5j, 10  5j] Kob = acker(A’, C’, P);

% Rückführmatrix

K = Kob’;

% transponierte Rückführmatrix K = [3; 4]

AM = A  K*C

% Modell-Matrix AM= [5, 1; 4, 1];

subplot(311); plot(t,x); subplot(312);plot(t,xM); subplot(313); plot(t,xe);

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

205

Die Simulationsergebnisse sind links gezeigt.  Regelgröße x(t)

 Modellausgang xM(t)

 Messgröße y(t) bzw. xE(t)

Lösung zu Aufgabe 4.14 4.14.a) Die Regelung mit zwei Einzelkreisen

KPR1

+ w1

KIS1



e1

+

w2

+

+

K12

KPR2 , Tn2 e2

x1

K21 , T21

1 , Tt21

K22 , T22a

1 , T22b

+



x2



Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen 1. Einzelregelkreises G01 ( s )

K PR1 ˜

K IS1 s

und die entsprechende Übertragungsfunktion des geschlossenen 1. Einzelregelkreises

206

Lösungen

Gw1 ( s)

1

1

1 1 G01 ( s)

1 1 s ˜ K PR1K IS1

1 1  sTw1

mit Tw1

1 . K PR1K IS1

Der 1. Einzelregelkreis hat damit das P-T1-Verhalten und ist bei beliebigen Werten des Proportionalbeiwertes KPR1 stabil. Es gibt mehrere Gütekriterien, nach den der Proportionalbeiwert KPR1 gewählt werden kann, z. B. hier wird gewählt: K PR1 10 In diesem Fall wird die Zeitkonstante des geschlossenen Kreises Tw1

1 K PR1K IS1

1 10 ˜ 0,1 s -1

1s ,

was viel kleiner ist als die Zeitkonstanten der Temperaturregelstrecke. Für den 2. Einzelregelkreis G02 ( s )

K PR2 (1  sTn 2 ) K P 22 ˜ sTn 2 (1  sT22a ) (1  sT22b )

folgt nach der Kompensation Tn2 = T22b = 98 s der Grundtyp A G02 ( s )

K PR2 K P 22 , sTn 2 (1  sT22a )

woraus sich nach dem Betragsoptimum die optimale Einstellung des Reglers ergibt: K PR2

Tn 2 2T22a K P 22

K PR2

98 s 2 ˜ 6 s ˜ 0,8

10,2

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

207

4.14.b) Die Einstellung des Diagonalreglers Im Fall eines Diagonalreglers erfolgt die Einstellung von Einzelregelkreisen wie im vorherigen Punkt, nur nicht für die Originalstrecken GS11(s) und GS22(s), sondern für die Ersatzstrecken G*S11(s) und G*S22(s). Die Übertragungsfunktionen für Ersatzstrecken werden unter der Annahme hergeleitet, dass keine Änderungen von Störgrößen vorhanden sind und dass nur eine von beiden Führungsgrößen, w1 oder w2 sich ändert. Auf diese Weise kommt man zu folgenden Übertragungsfunktionen von Ersatzstrecken * G11 (s)

G11 ( s )[1  C ( s )Gw 2 ( s )]

* ( s) G22

G22 ( s )[1  C ( s )Gw1 ( s)] ,

die dann für den Entwurf von Einzelreglern GR1(s) und GR2(s) angewendet werden. Die auf diese Weise optimal eingestellte Einzelregler nennt man Diagonalregler, weil solche Struktur in der Matrixform einer Diagonalmatrix entspricht. Der Vorteil des Diagonalreglers bzw. der Vorteil der Reglereinstellung nach Ersatzstrecken besteht nämlich darin, dass die MIMO-Strecke optimal geregelt wird, wenn sich die Führungsgrößen w1 und w2 nicht gleichzeitig ändern. Ansonsten hat der Diagonalregler keine Vorteile gegenüber der Einstellung nach dem Punkt 4.14.a. Wie aus den obigen Formeln für G*S11(s) und G*S22(s) ersichtlich, soll der dynamische Koppelfaktor C(s) beim Entwurf des Diagonalreglers berücksichtigt werden. Im betrachteten Fall hat der dynamische Koppelfaktor eine komplizierte Form:

C ( s)

G21 ( s ) G12 ( s ) G11 ( s ) G22 ( s )

K P 21  sTt21 ˜ K P12 e 1  sT21 K IS1 K P 22 ˜ s (1  sT22a ) (1  sT22b )

Um den analytischen Entwurf des Diagonalreglers zu ermöglichen, wird C(s) üblicherweise durch den statischen Koppelfaktor C(0) ersetzt:

C (0)

lim C ( s) so 0

Im betrachteten Beispiel ist es nicht möglich, weil wegen eines I-Gliedes gilt

C (0)

lim C ( s )

s o0

K P 21  sTt21 e ˜ K P12 1  sT21 lim K P 22 s o 0 K IS1 ˜ s (1  sT22a ) (1  sT22b )

und es keinen Unterschied von Einzelreglern gibt: * (s) G11

G11 ( s )

* (s) G22

G22 ( s ) .

0

208

Lösungen

Aus diesem Grund wird der Koppelfaktor C(s) nicht durch den statischen Koppelfaktor C(0) ersetzt, sondern vereinfacht, indem das Totzeitglied durch ein P-T1-Glied angenähert wird: e  sTt21 |

1 1  sT t21

Daraus folgt:

C (s)

K P 21 K P12 ˜ 1  sT21 1  sTt 21 K IS1 K P 22 ˜ s (1  sT22a ) (1  sT22b )

C (s)

K P12 K P 21 s ˜ (1  sT22a ) (1  sT22b ) ˜ K IS1 K P 22 (1  sT21 )(1  sTt 21 )

CD ˜

s ˜ (1  sT22a ) (1  sT22b ) (1  sT21 )(1  sTt 21 )

mit CD

K P 21K P12 K IS1K P 22

Die nächste Vereinfachung besteht darin, dass man anstelle (1  sT22a ) (1  sT22b ) (1  sT21 )(1  sTt 21 ) unter Beachtung T22b | T21 Tt 21  T22a

T0

den folgenden Ausdruck betrachtet: 1 1  sT0 Der dynamische Koppelfaktor reduziert sich damit zu C (s)

sCD 1  sT0

mit CD T0

K P 21K P12 K IS1K P 22 Tt 21  T22a

0,58 ˜ 0,01 0,1 s -1 ˜ 0,8 36 s  6 s

0,0725 sec

30 s .

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

209

Danach bestimmt man die Übertragungsfunktionen von aufgeschnittenen Regelkreisen, wie es im Punkt 4.14.a bereits gemacht wurde: K IS1 s

G01 ( s )

K PR1 ˜

G02 ( s)

K PR2 K P 22 sTn 2 (1  sT22a )

mit Tn2 = T22b = 98 s. Dann ermittelt man die Übertragungsfunktionen des ersten geschlossenen Regelkreises

Gw1 ( s)

1 1  sTw1

mit

Tw1

1 (siehe Punkt 4.14.a) K PR1K IS1

und denen des zweiten geschlossenen Regelkreises: Gw 2 ( s )

Gw 2 ( s )

1 1 1 G01 ( s )

1 sTn 2 (1  sT22a ) 1 K PR2 K P 22

K PR2 K P 22 K PR2 K P 22  sTn 2 (1  sT22a )

Der Einfachheit halber werden anstelle Gw1(s) und Gw2(s) in die Übertragungsfunktionen von Ersatzstrecken * (s) G11

G11 ( s)[1  C ( s)Gw 2 ( s )]

* ( s) G22

G22 ( s )[1  C ( s )Gw1 ( s)]

die statische Grenzwerte Gw1(0) und Gw2(0) eingeführt: Gw1 (0)

Gw2 (0)

lim Gw1 ( s)

s o0

lim Gw2 ( s )

s o0

1 s o 0 1  sTw1 lim

lim

s o0

1

K PR2 K P 22 K PR2 K P 22  sTn 2 (1  sT22a )

1

210

Lösungen

Daraus ergibt sich * G11 (s)

G11 ( s )[1  C ( s )]

K IS1 § s ˜ CD · ¸ ˜ ¨¨1  s © 1  sT0 ¸¹

* (s) G22

G22 ( s )[1  C ( s )]

§ K P 22 s ˜ CD · ¸ ˜ ¨¨1  (1  sT22a ) (1  sT22b ) © 1  sT0 ¸¹

* G11 (s)

K IS1 (1  sT0  sCD ) s (1  sT0 )

* G22 (s)

K P 22 (1  sTv 0 ) (1  sT22a ) (1  sT22b )(1  sT0 )

bzw.

mit

Tv0

T0  CD

K IS1 (1  sTv0 ) s (1  sT0 )

30 s  (0,0725 s)

30,07 s .

Die Übertragungsfunktionen von aufgeschnittenen Einzelkreisen: G01 ( s )

* GR1 ( s )G11 (s)

K PR1K IS1 (1  sTv0 ) s (1  sT0 )

G02 ( s )

* GR 2 ( s )G11 (s)

K PR2 K P22 (1  sTn 2 )(1  sTv0 ) sTn 2 (1  sT22a ) (1  sT22b )(1  sT0 )

Kompensation : Tn 2

T22b

98 s

Die Übertragungsfunktionen von geschlossenen Einzelkreisen: Gw1 ( s )

K PR1K IS1 (1  sTv0 ) s (1  sT0 )  K PR1K IS1 (1  sTv0 )

Gw 2 ( s )

K PR2 K P22 (1  sTv 0 ) sTn 2 (1  sT22a )(1  sT0 )  K PR2 K P22 (1  sTv 0 )

Die charakteristische Gleichung des 1. Kreises: s (1  sT0 )  K PR1K IS1 (1  sTv0 )

0

s 2T0  s (1  K PR1K IS1Tv 0 )  K PR1K IS1 mit

a2

T0

30

a1 1  K PR1K IS1Tv0 a0

0

K PR1K IS1

1  K PR1 ˜ 0,1 ˜ 30,07 1  3K PR1

0,1K PR1

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

211

Die charakteristische Gleichung 2. Ordnung ist nach dem Hurwitz-Stabilitätskriterium stabil bei allen positiven Werten von KPR1. Hier wird gewählt: K PR1

3,5

Dabei beträgt der Dämpfungsgrad des 1. Einzelkreises a2 s 2  a1s1  a0 ­ a2 °a ° 0 ® ° a1 °¯ a0

Ÿ

0

1 Z02

s2 

21 0 Z0 s

1 Z02 2Z0

Ÿ

4-2

a12 a 2 a0

bzw. -

1  3K PR1 2 0,1T0 K PR1

1,7 .

Die charakteristische Gleichung des 2. Einzelkreises sTn2 (1  sT22a )(1  sT0 )  K PR 2 K P22 (1  sTv0 ) bzw.

a3 s 3  a2 s 2  a1s1  a0

mit

0

0 98 ˜ 6 ˜ 30 17640

a3

Tn 2T22aT0

a2

Tn 2 (T22a  T0 )

a1

Tn 2  K PR2 K P22Tv 0

a0

K PR 2 K P22

98 ˜ (6  30)

3528

98  K PR 2 ˜ 0,8 ˜ 30,07

98  24,06 K PR 2

0,8K PR 2 .

Die Stabilitätsbedingungen nach dem Hurwitz-Kriterium: 1. Bedingung:

ai z 0

2. Bedingung:

ai ! 0

3. Bedingung:

a2 a1 ! a3a0

Setzt man die Werte ein 3528 ˜ (98  24,06 K PR2 ) ! 17640 ˜ 0,8 K PR2 , so werden diese Bedingungen für alle positiven Werte von KPR2 erfüllt. Somit wird der optimale Wert KPR2 aus dem Punkt 4.9.a übernommen: K PR 2

10,2

212

Lösungen

Das Bild unten zeigt das Simulink-Programm des betrachteten Beispiels mit den gewählten Kennwerten von beiden Reglern.

Die Simulation bei getrennten Eingangssprüngen von Führungsgrößen w1 bei t = 10 s und w2 bei t = 90 s bestätigt, dass die Dämpfungsgrade von Einzelregelkreise den rechnerisch ermittelten Werten entsprechen (-1 = 1,7 beim 1. Kreis für x1 und -1 = 0,707 beim 2. Kreis für x2) und dass die Verkopplung zwischen beiden Kreisen minimal ist.

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

213

4.14.c) Die Stabilität des Regelkreises mit dem Diagonalregler Um die Stabilität eines MIMO-Regelkreises mit dem Diagonalregler zu prüfen, soll man die folgenden drei charakteristischen Gleichungen untersuchen: x

für den 1. Einzelkreis:

1  G01 ( s )

0

x

für den 2. Einzelkreis:

1  G02 ( s )

0

x

für die Verkopplung:

1  C ( s )Gw1 ( s )Gw 2 ( s )

Der 1. Einzelkreis 2

1

a2 s  a1s  a0 mit a2

T0

Der 2. Einzelkreis

30

0,1K PR1

a3 s 3  a2 s 2  a1s1  a0

0 mit a3

a1 1  3K PR1 1  3 ˜ 3,5 11,5 a0

0,1 ˜ 3,5

0

0,35

ist stabil (siehe Punkt 4.9.b).

Tn 2T22aT0

17640

a2

Tn 2 (T22a  T0 )

3528

a1

98  24,06 K PR 2

a0

0,8 K PR 2

0

98  24,06 ˜ 10,2

343,4

0,8 ˜ 10,2 8,16

ist stabil (siehe Punkt 4.9.b). Die Verkopplung 1  C ( s )Gw1 ( s )Gw 2 ( s ) mit C ( s )

sCD 1  sT0

Gw1 ( s)

1 1  sTw1

0

Gw 2 ( s)

K PR2 K P 22 K PR2 K P 22  sTn 2 (1  sT22a )

bzw. (1  sT0 )(1  sTw1 )( K PR2 K P 22  sTn 2  s 2Tn 2T22a )  sCD K PR2 K P 22

0

Mit T0 = 30; Tw1 = 1; KPR2 = 10,2; KP22 = 0,8; Tn2 = 98; T22a = 6; CD = 0,00725 ergibt sich 17640 s 4  21168s 3  38708 s 2  98,6 s  8,16

0,

deren Lösung mit MATLAB: a = [17640 21168 38708 98.6 8.16]; roots (a)

folgende Nullstellen mit negativen Realteilen hat:  0.5988 + 1.3538i  0.5988  1.3538i  0.0012 + 0.0145i  0.0012  0.0145i d. h. die Verkopplung und damit das Gesamtsystem ist stabil.

214

Lösungen

4.14.d) Entwurf des Entkopplungsreglers

KPR1

+ w1

KIS1



e1

+

GR12(s)

KPR2 , Tn2 w2

+

+

K12

GR21(s)

K21 , T21

1 , Tt21

K22 , T22a

1 , T22b

e2

+



Die Einstellung von Einzelreglern wird vom Diagonalregler übernommen: GR1 ( s)

K PR1

mit K PR1

GR 2 ( s)

K PR2 (1  sTn 2 ) mit K PR2 sTn 2

3,5 10,2

Tn2

98 s

Für die Entkopplungsglieder gilt es: GR12 ( s )

mit

mit

K D12

G12 ( s ) G11 ( s ) K P12 K IS1

K P12 K IS1 s

0,01 0,1 s -1

sK P12 K IS1

sK D12

0,1 s

K P21 K P21 ˜ e  sTt 21 (1  sT21 )(1  sTt 21 ) 1  sT21 | K P22 K P22 (1  sT22a )(1  sT22b ) (1  sT22a )(1  sT22b )

GR 21 ( s )

G21 ( s ) G22 ( s )

GR 21 ( s )

(1  sT22a ) K P21 (1  sT22a )(1  sT22b ) ˜ | K PR21 ˜ K P22 (1  sT21 )(1  sTt 21 ) (1  sTt 21 )

K PR21

0,725

x1



x2

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

215

Lösung zu Aufgabe 4.15 Aus dem Verlauf der Sprungantwort ist erkennbar, dass es sich um ein P-Glied mit Verzögerung größerer Ordnung, d.h. mit n t 2 handelt: GS ( s)

K PS (1  sT1 )(1  sT2 )...(1  sTn )

Die grafische Lösung nach der Tangentenmethode ist im Bild unten gezeigt. Es wird angenommen, dass die Regelstrecke aus einem P-T1-Glied und einem Totzeitglied besteht: GS ( s )

K PS  sTt e 1  sT1

Zunächst wird die Tangente zur Sprungantwort im Punkt mit der maximalen Steigung (Punkt A) eingetragen. Dann werden die Zeitkonstanten, wie im Bild gezeigt, abgelesen: T1 = 3,5 s Tt = 1,5 s Die Ein- und Ausgangsgrößen im Arbeitspunkt: Y0 = 50 X0 = 5 Im Beharrungszustand: Y1 = 90 X1 = 116 Die Abweichungen vom Arbeitspunkt sind: yˆ 90  50 40 x(f) 116  5 115 Daraus ergibt sich: K PS

x (f ) yˆ

2,875

Lösung zu Aufgabe 4.16 Die Messwerte-Datei wird als M.txt gespeichert und nach MATLAB importiert. Die Spalten der Matrix m werden als Variablen zeit, in und out dargestellt: zeit = M( : , 1); in =

M( : , 2);

out = M( : , 3); Aus dem Verlauf der Sprungantwort stellt man fest, dass die Regelstrecke wie ein P-T1Glied mit Totzeit approximiert werden kann:

216

Lösungen

GS ( s )

K PS  sTt e 1  sT1

Weiterhin kann man die Totzeit nach Pade oder nach Taylor mit Tp e  sTt | e  sTt |

1  sTp

Tt approximieren: 2

(nach Pade, 1. Ordnung)

1  sTp 1 (1  sTp ) 2

(nach Taylor, 2. Ordnung)

Nachfolgend wurde sich für die Vereinfachung nach Taylor entschieden. Damit ist die vereinfachte Übertragungsfunktion der Regelstrecke: GS ( s)

K PS  sTt K PS 1 e | ˜ 1  sT1 1  sT1 (1  sTp ) 2

Die Parameterschätzung wird mit Anfangswerten von T1, Tt und KPS angefangen, die nach dem Tangentenverfahren ermittelt werden: T1 = 5,5

Tp = 4,5

K = 0,8

Das entsprechende MATLAB-Skript: num = [K]; den = [T1*Tp^2

Tp^2+2*T1*Tp

T1+2*Tp

1];

step(num,den) Die Streckenparameter werden schrittweise geändert, bis die beste Annäherung an die experimentelle Sprungantwort erfolgt. Die gewählten Werte im betrachteten Fall sind: T1 = 0,1 s

Tt = 7 s

KPS = 0,8 s Um die Regelstrecke besser zu identifizieren, soll die Ordnung n des approximierenden Polynoms erhöht werden. Der Zähler num und der Nenner den werden mit Hilfe der Funktion pade von Control System Toolbox (MATLAB) für die Totzeit T berechnet: [num, den]=pade(T,n)

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

217

Lösung zu Aufgabe 4.17 Die experimentell aufgenommene Sprungantwort wird abgetastet und durch den Parameter-Vektor P beschrieben: ª x(k ) º « x(k  1) » « » « x(k  2)» « » ¬ x(k  3) ¼

ª  x(k  1) « x(k  2) « «  x(k  3) « ¬ x(k  4)

 x(k  2) u (k  1)  x(k  3) u (k  2)  x(k  4) u (k  3)  x(k  5) u (k  4)

u (k  2)º ª a1 º « » u (k  3) »» «a2 » ˜ u (k  4)» « b1 » » « » u (k  5) ¼ ¬b2 ¼

Zuerst wird die Matrix M von Messwerten nach MATLAB importiert und im Workspace gespeichert. Aus dieser Matrix werden dann die Zeit t, der Eingangssprung y und die Sprungantwort x als entsprechende Spalten 1, 2 und 3 extrahiert: t = M( : , 1); y = M( : , 2); x = M( : , 3); Die experimentell aufgenommene Sprungantwort wird grafisch dargestellt: plot(t, x, ’r’)

% ’r’ für red

Danach erfolgt die Identifikation nach folgendem MATLAB-Skript: u (1:laenge(x)) = 1

% Schrittlänge

K1 = 10000;

% Anfangswert von K1

K2 = 1;

% K2 liegt zwischen 1 und 0,95

m = 2;

% Ordnung der Strecke

p = zeros(2*m, 1);

% Anfangswerte des Parameter-Vektors p

E = eye(2*m);

% Einheitsmatrix der Dimension (2m x 2m)

P = K1 * E;

% Anfangswert der Güte-Matrix P

K3 = zeros(2*m, 1);

% Anfangswert von K3

K3_t = K3';

% Aktueller Wert von K3

N = 10;

% Für verschiedene Werte 1 < N < laenge(x)  1

for i = 1 : N for j = 0:(m2) K3 (mj, 1) = K3 (mj1, 1); K3 (2*mj, 1)=K3 (2*mj1, 1); end K3 (1, 1)=  x(i); K3 (m+1, 1) = u(i); K3_t = K3';

218

Lösungen p_korr = P*K3/(K3_t*P*K3 + K2);

% Korrektur-Vektor p_korr

p = p + p_korr * ( x(i+1)  K3_t * p);

% Aktueller Wert von p

P = (E  p_korr*K3_t) * P;

% Aktueller Wert der Güte-Matrix P

end p

% Der geschätzte Parameter-Vektor p

xm(1) = 0;

% Anfangswert der Regelgröße xm(1)

xm(2) = 0;

% Anfangswert der Regelgröße xm(2)

for i = 3:laenge(x)

% Modellausgang xm

xm(i) = p(1) * xm (i1)  p(2)*xm (i2) + p(3)* u(i1) + p(4)* u(i2); end plot (T, x, ‘r’, T, xm', 'k');

% Messwerte und Modellausgang

grid;

% Gitternetz

xlabel ('t/s');

% Achsen-Beschriftung

Nach der Ausführung des Programms ergeben sich die gesuchten Systemparameter: p= 1.4960 0.7030 0.1094 0.0978 Die resultierende Sprungantwort des Modells xm(t) bei N = 10 und die experimentell ermittelte Sprungantwort x(t) nach der Matrix M sind unten gezeigt. 1 .4

x(t) 1 .2

xm

1

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2

0 0

t /s 2

4

6

8

10

12

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

219

Lösung zu Aufgabe 4.18 Nach dem Betragsoptimum (Grundtyp A) K PR K s (1  sT )

G0 ( s )

wird der Proportionalbeiwert des P-Reglers wie folgt berechnet: 1 2 ˜ K ˜ 0,1 ˜ T

K PR

Die tabellarisch gegebene Parameteränderung der Regelstrecke T

2 a0

K

T 2

wird mittels einer exponentiellen Funktion approximiert: 

a0

200e

u 200

 199e



u 199

Setzt man die obigen Werte in die Formel für KPR, so ergibt sich die optimale Regelung bei allen Werten von Parameter u: 1

K PR 2˜

T ˜ 0,1 ˜ T 2

1 0,1 ˜ T 2

500e



u 200

 497,5e



u 199

Das MATLAB-Script und das Simulink-Modell des adaptiven Regelkreises sind unten gegeben: a0 = 200*exp(u/200)  199*exp(u/199); T = 2/a0; K = T/2; KPR = 1 / (2 * K * T * 0.1);

220

Lösungen

Lösung zu Aufgabe 4.19 Die Übertragungsfunktion des inneren Kreises: 1 1  sT1 k1 1 1  sT1

1 1  sT1  k1

1 und Tw1 1  k1

T1 , 1  k1

Gw1 ( s )

1 1 ˜ 1  k1 1  s T1 1  k1

Bezeichnet man K w1

so ergibt sich für den inneren Regelkreis: Gw1 ( s )

K w1 1  sTw1

Die Übertragungsfunktion des gesamten Kreises: K w1 (1  sTw1 )(1  sT2 ) k 2 K w1 1 (1  sTw1 )(1  sT2 )

Gw ( s )

1 1  sT2 k2 1  Gw1 ( s ) ˜ 1  sT2

Gw ( s )

K w1 (1  sTw1 )(1  sT2 )  k 2 K w1

Gw1 ( s ) ˜

Die Übertragungsfunktion des gesamten Kreises mit gewünschten Polstellen: Gw ( s )

k ( s  p1 )( s  p2 )

k ( s  a  bj )( s  a  bj )

k 2

s  2a ˜ s  ( a 2  b 2 )

Daraus folgt: K w1

k 2

2

2

s  2a ˜ s  ( a  b )

2

s T2Tw1  s(T2  Tw1 )  (1  k 2 K w1 )

bzw. k s 2  2a ˜ s  ( a 2  b 2 )

K w1 T2Tw1 T  Tw1 1  K w1k 2  s2  s ˜ 2 T2Tw1 T2Tw1

Im Beharrungszustand gilt es: kK w1 1  k 2 K w1

1

Ÿ

k

k1  k 2  1

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

221

Es ergibt sich nach der Polzuweisung-Methode: T2  Tw1 T2Tw1 1  k 2 K w1 T2Tw1

2a a 2  b2

Ÿ

k1

2aT1  (T1 / T2 )  1

Ÿ

k2

(a 2  b 2 )T1T2  k1  1

Für die Simulation wird zuerst im Command-Window von MATLAB das folgende Skript eingetragen, dann das unten gezeigte Simulink-Modell gestartet. Im betrachteteten Fall wird die Sprungantwort bei t = 30 s ermittelt. t = 30;

% Aktuelle Zeit t

T1 = 1.5 + 0.01* t;

% Zeitabhängigkeit des Streckenparameters T1

T2 = 3.5 + 0.1* t;

% Zeitabhängigkeit des Streckenparameters T2

a = 1 ;

% Realteil der gewünschten Polstellen p1, p2

b = 1;

% Imaginäre Teile der gewünschten Pollstel-

k1 = 2*a* T1 + (T1 / T2) 1;

% Rückführkoeffizient k1

k2 =  (a^2+ b^2)*T1*T2  k1 1;

% Rückführkoeffizient k2

k = k1 + k2 + 1;

% Verstärkungsgrad k des Vorwärtszweiges

len

Die berechneten Parameter des Regelkreises bei t = 30 s sind: T1 = 1,8 s T2 = 6,5 s k1 =  4,3231 k2 =  20,0769 k =  23,4

222

Lösungen

Die unten gezeigte Sprungantwort hat den gewünschten Dämpfungsgrad von - = 0,7 bei allen Werten von Streckenparametern T1 und T2.

Lösung zu Aufgabe 4.20 Hat die folgende Gleichung eine reelle Lösung, so entstehen in einem nichtlinearen Regelkreis die Dauerschwingungen mit der Frequenz Z und der Amplitude xˆe : N ( xˆe )



1 G0 ( jZ)

Die Beschreibungsfunktion N ( xˆe ) eines linearen Gliedes mit Sättigung ist N ( xˆe ) mit D1

arcsin

2 (D1  sin D1 ˜ cos D1 ) S xB . xˆe

Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises ist G0 ( s )

GR ( s )GS1 ( s )GS2 ( s )GS3 ( s )GM ( s )

G0 ( s )

K PR K PS K IS K PM s (1  sT1 )(1  sT2 )

K I0 , s (1  sT1 )(1  sT2 )

woraus sich der negative inverse Frequenzgang wie folgt ergibt: 

1 G0 ( jZ)



>

1  Z2 (T1  T2 )  jZ(1  Z2T1T2 ) K I0

@

Lösungen zum Kapitel 4: Gemischte Aufgaben

223

Nach Zweiortskurvenverfahren wird zuerst der Schnittpunkt des negativen inversen Frequenzgang mit der positiv reellen Achse bestimmt: ª 1 º Im « » ¬ G0 ( jZ) ¼

Ÿ

0



>

1 ˜ Z(1  Z2T1T2 ) K I0

@

0

Daraus folgt die Frequenz der Dauerschwingung: Zd

1 T1T2

0,5 s -1

Die Amplitude der Dauerschwingung wird aus der Gleichung für den entsprechenden Realteil berechnet: ª º 1 Re « » ¬ G0 ( jZd ) ¼



>

1 ˜  Z2 (T1  T2 ) K I0

@

a) Für KPR = 5 ergibt sich die Amplitude der Dauerschwingung: ª º 1 Re « » ¬ G0 ( jZd ) ¼

N

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0 0,2 0,4 0,6



>

1 ˜  Z2 (T1  T2 ) K PR K PS K IS K PM

0,8 1,0

xB x^

@

0,5 2 ˜ 5 5 ˜ 0,25 ˜ 2 ˜ 1

0,5

Wie das Diagramm links zeigt, ist der nichtlineare Regelkreis „im Kleinen“ stabil, d. h. wenn xˆe gegenüber dem kritischen Wert xˆe 0,5 anwächst, nimmt der Verstärkungsgrad der Nichtlinearität N ( xˆe ) ab, so dass die Amplitude der Dauerschwingung allmählich abklingen wird.

e

Jedoch wird der Regelkreis instabil, wenn die kritische Amplitude der Dauerschwingung xˆe 0,5 aus irgendwelchen Gründen abnimmt. In diesem Fall wächst N ( xˆe ) an und der Regelkreis wird instabil, so dass die Amplitude der Dauerschwingung den maximal möglichen Wert xˆe xB erreichen wird. b) Die Frequenz der Dauerschwingung Zd

1 T1T2

0,5 s -1

ist unabhängig vom Proportionalbeiwert des P-Reglers. Wird nun ª º 1 Re « » !1, ¬ G0 ( jZd ) ¼

224

Lösungen

gibt es keine reelle Lösung der Gleichung N ( xˆe )



1 G0 ( jZ)

bzw. keinen Schnittpunkt der Ortskurve N ( xˆe ) mit dem negativen inversen Frequenz1 , so dass die Antwort ist: gang  G0 ( jZ) 0,52 ˜ 5 !1 K PR ˜ 0,25 ˜ 2 ˜ 1

Ÿ

KPR < 2,5

Unten sind die Ortskurven für KPR = 5 (Stabilität im Kleinen) und KPR = 1,67 (unbegrenzte Stabilität, keine Dauerschwingungen) gezeigt.

1

Im KPR = 5

0,5

Z

/s

KPR = 1,67

xˆe xB f

0,2

5

1

0,4 0,5

N ( xˆe ) 1 0,4

1

s Z/

1,5

2

Re

225

5 MATLAB-Simulationen

5.1 Simulationen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik 5.1.1 Simulation zu Aufgabe 1.15: Parallelschaltung Der Wirkungsplan einer Regelstrecke als Parallelschaltung ist links gezeigt. Die Parameter der Teilstrecke (P-T1-Glied) sind gegeben:

KP1 , T1 +

y +

x

KP1 = 3 T1 = 8 s

Die gegebene Parallelschaltung wird wie unten gezeigt simuliert. Die Sprungantwort x wird bei dem Sprung der Stellgröße y = 0,5 simuliert und im Command Window mit dem Befehl plot(t, x) abgerufen.

Die Sprungantwort ist unten für zwei verschiedene Achsen-Skalierungen gezeigt. Es ergibt sich ein PP-T1-Glied mit dem Proportionalbeiwert KPS = 4 und mit der Zeitkonstante Tv = 2 s.

226

5 MATLAB-Simulationen

5.1.2 Simulation zu Aufgabe 1.16: Wirkungsplan und Sprungantwort x(t) 3,0

KIS1 +

y KPS2

+

KPS3

2,0 x 1,0

0

0,5

1,0

1,5

t /s

Der Wirkungsplan und die Sprungantwort der oben gezeigten Regelstrecke sind mit K PS2

1,5

K IS1

1,2 s -1

K PS3

2

bei einem Sprung der Eingangsgröße yˆ = 0,5 simuliert.

Die somit simulierte Sprungantwort ist im Bild links gegeben. Sie entspricht dem PI-Glied K PS (1  sTn ) sTn

GS ( s ) mit K PS Tn

3 1,25s .

5.1 Simulationen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

5.1.3 Simulation zu Aufgabe 1.20: Hurwitz-Stabilitätskriterium Der Regelkreis, besthend aus einer instabilen Regelstrecke GS

K PS (1  sT1 )( sT2  1)

KPS = 4

T1 = 1 s

T2 = 1,5 s

und dem P-Regler GR(s) = KPR wird mit folgenden Werten von KPR simuliert: x

bei K PR ! 0,25

Ÿ

der Kreis wird stabil

x

bei K PR d 0,25

Ÿ

der Kreis wird instabil

Sprungantwort bei KPR = 0,2

Sprungantwort bei KPR = 0,4

Sprungantwort bei KPR = 0,8

227

228

5 MATLAB-Simulationen

5.1.4 Simulation zu Aufgabe 1.21: Nyquist-Stabilitätskriterium Der Wirkungsplan ist mit folgenden Parametern gegeben: KIS = 0,1 s-1

KPS = 50

KPR

Tt = 0,1 s

KIS

KPS

Tt

w +

x 

Die Simulation erfolgt mit folgenden Werten von KPR: x

bei K PR

1

Ÿ

der Kreis ist stabil

x

bei K PR

3,16

Ÿ

der Kreis ist instabil

Die simulierten Sprungantworten sind unten gezeigt.

Sprungantwort bei KPR = 3,16

Sprungantwort bei KPR = 1

Der kritische Proportionalbeiwert KPRkrit des Reglers ergibt sich aus Bedingungen M(ZD ) woraus folgt

90q  ZDTt ZD

S 2Tt

180q 15,7 s -1

und ZD und K PR

K I0

K PR K PS K IS ,

15,7 K PS K IS

3,14 .

5.1 Simulationen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

229

5.1.5 Simulation zu Aufgabe 1.28: Symmetrisches Optimum Der Wirkungsplan unten zeigt den Regelkreis mit der Strecke KPS = 0,5 KIS = 1 s-1 T1 = 1 s T2 = 0,5 s T3 = 3 s T4 = 8 s und dem PID-Regler. Der Regler ist nach dem symmetrischen Optimum eingestellt: Tv = Tzweitgrößte = T3 = 3 s Tn = 4TE = 38 s K PR

1 2 K PS K ISTE

1 2 ˜ 0,5 ˜ 1 s-1 ˜ 9,5 s

0,1

Die Ersatzzeitkonstante TE beträgt TE = T1 + T2 + T4 = 1 s + 0,5 s + 8 s = 9,5 s. KPR , Tn , Tv

1, T2

1, T3

1, T4

KIS

y

e

w

KPS , T1

x



Der PID-Regler wird mit Hilfe eines Zero-Pole-Blocks von der Simulink-Bibliothek K ( s  z1 )( s  z 2 ) s ( s  p1 ) mit den folgenden Parametern dargestellt: x

Zeros

[ z1 z2 ]

x

Poles

[0

x

Gain

[K]

p1 ]

Für einen PID-T1-Regler mit Kennwerten KPR, Tn, Tv und eigene Zeitverzögerung T1 kann die Übertragungsfunktion wie folgt dargestellt werden:

230

5 MATLAB-Simulationen

K PR (1  sTn )(1  sTv ) sTn (1  sT1 )

GR ( s )

K PR Tn

§ § 1 · 1 · Tn ¨¨ s  ¸¸ ˜ Tv ¨¨ s  ¸¸ Tn ¹ Tv ¹ © ˜ © § 1· sT1¨¨ s  ¸¸ T 1¹ ©

Die Eingabeparameter des Zero-Pole-Blocks sind damit: K

K PR ˜ Tv T1

z1



1 Tn



0,1 ˜ 3 1 1 38

0,3 z2



1 Tv



1 3

p1



1 T1



1 1

1

Der simulierte Wirkungsplan des Regelkreises und die Sprungantwort sind unten gezeigt.

Die Sprungantwort entspricht dem symmetrischen Optimum mit folgenden Gütekriterien: - Überschwingweite ümax = 43% - Ausregelzeit Taus = 18TE = 171 s - Anregelzeit Tan = 4,7TE = 44,7 s

5.1 Simulationen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

231

5.1.6 Simulation eines Regelkreisverhaltens z2

KPR w +

+

e 

KIS

+

KPS

z1 

x

+

Der oben gezeigte Regelkreis mit KIS = 0,1 s-1 KPS = 50 KPR = 0,5 wird mit MATLAB / Simulink simuliert.

Es soll geprüft werden, ob die Regelgüteparameter der simulierten Sprungantwort den berechneten Werten, wie unten gegeben, entsprechen: x der Dämpfungsgrad -=1 x der statische Regelfaktor RF(0) = 0 x die Regelgröße im Beharrungszustand bei wˆ 0,2 ; zˆ1 0 und zˆ 2 0 (Führungsverhalten): x(f) = 0,2 Sprungantwort bei wˆ

0,2

232

5 MATLAB-Simulationen

x die bleibende Regeldifferenz beträgt e(f) = 0 bei wˆ 0 zˆ1

0,5

zˆ 2

0.

Sprungantwort bei zˆ1

0,5

Sprungantwort bei zˆ 2

0,5

x die bleibende Regeldifferenz beträgt e(f) = 1 bei wˆ

0

zˆ1

0

zˆ 2

0,5 .

5.1.7 Simulation zu Aufgabe 1.37: Kaskadenregelung Es wird der Wirkungsplan einer Kaskadenregelung mit Streckenparameter KPS1 = 0,2 KPS2 = 0,08 T2 = 1,5 s und mit Kennwerten des Reglers K IR1 = 2,5 s-1 simuliert.

K PR2 = 8,3

Tn2 = 2 s

5.1 Simulationen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

KPR1 , Tn1

KPR2 , Tn2 w2

w1

e 

 GR2(s)

KPS1, T1

x1

KPS2, T2

233

x2

GR1(s)

Das Simulationsprogramm mit Simulink ist unten gezeigt. Mit dem Befehl plot(t, x), eingegeben im Command Window von MATLAB, wird die Sprungantwort des Hauptregelkeirses (Führungsregelkreis) ausgegeben.

Wie die Sprungantwort des Regelkreises x 2 (t ) beim Eingangssprung wˆ 2 erfolgt die simulierte Regelung nach dem Betragsoptimum: - Dämpfungsgrad - = 0,7 - Überschwingweite ümax = 4,3% - Ausregelzeit Taus = 11T2 = 16,5 s - Anregelzeit Tan = 4,7T2 = 7 s Sprungantwort x 2 (t ) bei wˆ 2

1

1 zeigt,

234

5 MATLAB-Simulationen

5.1.8 Simulation zu Aufgabe 1.43: Quasikontinuierliche Regelung w

+

KPR

KIS

KPS

x

 GR(s)

Der Wirkungsplan des oben gezeigten Regelkreises mit den Streckenparametern KIS = 0,2 s-1 KPS = 0,4 wird zuerst mit dem analogen P-Regler mit KPR = 2,5 simuliert.

Die Sprungantwort des Regelkreises mit analogem P-Regler beim Eingangssprung wˆ 0 2 ist unten gezeigt.

Sprungantwort x(t ) bei wˆ 0

1

5.1 Simulationen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

235

Dann wird der analoge P-Regler durch den digitalen P-Regler mit verschiedenen Abtastzeiten TA ersetzt. Es ist folgendes Verhalten zu erwarten: x mit TA > 31,4 s

Ÿ der Kreis soll instabil sein

x mit TA = 31,4 s

Ÿ der Kreis soll sich an der Stabilitätsgrenze befinden

x mit TA < 31,4 s

Ÿ der Kreis soll stabil sein

Warum stimmen nicht die Simulationsergebnisse mit den berechneten Werten überein?

Unten sind die Sprungantworten mit digitalem P-Regler mit verschiedenen Abtastzeiten gezeigt:

mit Abtastzeit TA = 1 s

mit Abtastzeit TA = 4 s

mit Abtastzeit TA = 5 s

236

5 MATLAB-Simulationen

5.1.9 Simulation eines Kreises mit dem Zweipunktregler Die Regelstrecke eines Regelkreises ist das P-T1-Glied mit der Zeitkonstante T1 = 20 s und mit der Totzeit Tt = 5 s. Der Proportionalbeiwert der Strecke ist KPS = 2. Die Regelgröße soll mit einem idealen Zweipunktregler, d.h. ohne Schaltdifferenz bzw. ohne Hysterese, beim Sollwert w=1 konstant gehalten werden. Der ideale Zweipunktregler (ohne Schaltdifferenz bzw. Hysterese), wird mit dem RelayBlock aus der Simulink-Bibliothek simuliert. Die Parameter werden wie folgt eingegeben: Swich on point

eps

Swich off point

eps

Output when on

1

Output when off

0

Die Amplitude der Arbeitsschwingung kann nach der Faustformel x0

X E Tt ˜ 2 T1

berechnet werden. Bei gegebenen Werten von XE

2

Tt

Tt

5s

ergibt sich die Antwort: x 0

0,25 .

20 s

5.1 Simulationen zum Kapitel 1: Klassische Regelungstechnik

237

Aus der simulierten Sprungantwort (im Bild rechts) kann man den Wert der Amplitude abgelesen: x0

0,22

Nun wird der analoge Zweipunktregler durch einen digitalen mit der Abtastzeit TA ersetzt. Dadurch entsteht im Regelkreis eine zusätzliche Totzeit: TtR

TA 2

Der simulierte Regelkreis mit dem digitalen Zweipunktregler und die Sprungantworten bei verschiedenen Werten von Abtastzeit sind unten gezeigt. Man sieht, wie sich die Totzeit und Amplitude der Arbeitschwingung davon abhängig ändern.

Sprungantwort mit TA = 1 s

Sprungantwort mit TA = 5 s

238

5 MATLAB-Simulationen

5.2 Simulationen zum Kapitel 2: Modellbasierte Regelung 5.2.1 Simulation zu Aufgabe 2.1: Dead-Beat-Regler Die Regelstrecke besteht aus zwei I-Gliedern: GS1

K IS1 ; s

G S2

K IS2 s

mit KIS1 = 1,6 s-1 und KIS2 = 2,5 s-1

Die Stellgröße ist begrenzt. Der maximal mögliche Wert der Stellgröße ist ymax = 3,125. Die Regelgröße wird aus dem Anfangszustand von x(0) = 2 im Endzustand x(f) =2 mit der Ausregelzeit taus = 0,8 optimal (d. h. ohne Überschwingungen) überführt. Die Kennwerte wurden nach der folgenden Formel berechnet: §t x¨¨ aus © 2

· ¸¸ ¹

§t 1 ˜ K IS ˜ ¨¨ aus 2 © 2

2

· ¸¸ ˜ y max bzw. ¹

H 2

2

1 § 0,8s · ˜ 4 s 1 ˜ ¨ ¸ ˜ y max 2 © 2 ¹

Die MATLAB-Simulation mit folgenden Kennwerten ist unten gezeigt. Step input Step time Initial value Final value Sample time

Eingangsgröße y(t)

W1 0 0 3.125 0

W2 0.4 0 6.250 0

W2 0.8 0 3.125 0

Ausgangsgröße x(t)

5.2 Simulationen zum Kapitel 2: Modellbasierte Regelung

239

5.2.2 Simulation zu Aufgabe 2.3: Smith-Prädiktor Gegeben ist die Übertragungsfunktion der Regelstrecke GS

K IS s (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

mit folgenden Parametern: KIS = 0,01 s

-1

T1 = 0,6 s T2 = 3 s T3 = 12 s Die Strecke wird mit verschiedenen Reglertypen geregelt, wie nachfolgend gezeigt wird. a) Regelung mit dem PID-Regler, eingestellt nach dem symmetrischen Optimum: KPR = 3,97 Tn = 50,4 s Tv = 3 s Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises: G0 (s)

K PR K IS (1  sTn )(1  sTv ) 2

s Tn (1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

Der PID-T1-Regler

G R ( s)

K PR Tn

§ § 1 · 1 ¸¸ ˜ Tv ¨ s  Tn ¨¨ s  ¨ © Tn ¹ © Tv ˜ § 1 · sT1 ¨¨ s  ¸¸ © T1 ¹

· ¸ ¸ ¹

wird mit Hilfe des MATLAB-Zero-Pole-Blocks K ( s  z1 )( s  z 2 ) s ( s  p1 ) mit folgenden Parametern dargestellt: 1 Tn



1 50,4

1 T1



1 0,6

x

Zeros [ z1 z2 ]

 z1



x

Poles [ 0

p1 ]

 p1



x

Gain [ K ]

 K

K PR ˜ Tv T1

3,97 ˜ 3 19,9 0,6

z2



1 Tv



1 3

240

5 MATLAB-Simulationen

Das Simulink-Programm ist unten gegeben.

b) Regelung mit dem PD-Regler Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises: G0

K PR K IS2 (1  sTv ) s(1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 )

Kompensation: Tv = T3 = 12 s Ersatzzeitkonstante: TE = T1 + T2 = 0,6 s + 3 s = 3,6 s Nach dem Betragsoptimum: K PR

1 2 ˜ Tv ˜ K IS2

K PR

13,9

1 2 ˜ 3,6 s ˜ 0,01 s -1

Der mit dem Simulink programmierte geschlossene Regelkreis ist unten gezeigt.

5.2 Simulationen zum Kapitel 2: Modellbasierte Regelung

241

Der Zero-Pole-Block K ( s  z1 ) s ( s  p1 ) wird wie ein PD-T1-Regler und I-Teilstrecke eingestellt:

G( s)

K PR

§ 1 · ¸ Tv ¨¨ s  ¸ © Tv ¹ ˜ § 1· sT1 ¨¨ s  ¸¸ © T1 ¹

mit K

K PR ˜ Tv T1

z1



1 Tv



1 12

p1



1 T1



1 0,6

13,5 ˜12 s 0,6 s

270

Die Sprungantwort nach einem Eingangsprung der Führungsgröße wˆ 1 (Bild oben) entspricht dem Betragsoptimum. c) Regelkreis mit dem digitalen Smith-Prädiktor mit der Abtastzeit TA = 0,2 s für das gewünschte P-Verhalten des geschlossenen Kreises G wsoll ( s )

K Pw

mit KPw = 0,2 ist im Bild unten gezeigt. Strecke

Regler w

+

KPr

–

–

GS

e

-sTt

x

+ GS

-sTt – e

Das Totzeitglied e  sTt entspricht dem Transport Delay-Block mit Tt = 0,1 s.

242

5 MATLAB-Simulationen

Die Übertragungsfunktion des Kompensationsreglers KPr ist: K Pr ( s )

0,25 ˜ s(1  sT1 )(1  sT2 )(1  sT3 ) K IS

Das Simulink-Programm des Smith-Prädiktors ist unten gezeigt.

Die theoretisch ermittelten Kennwerte wurden während der Simulation nachgestellt. Um die Realisierung von Zero-Pole-Blöcken zu ermöglichen, wurden zusätzliche Polstellen eingeführt, deren Werte experimentell ermittelt wurden. Im Bild links ist die Sprungantwort des Regelkreises mit dem Smith-Prädiktor gezeigt. Der Regler ist für das gewünschte PVerhalten G wsoll ( s) mit KPw = 0,2 eingestellt.

K Pw

243

5.3 Simulationen zum Kapitel 3: Wissensbasierte Regelung 5.3.1 Simulation zu Aufgabe 3.1: Klimaanlage Um die Ausgangsgrößen des Reglers für verschiedene Eingängsgröße zu berechnen, wurde der Regler mit der Toolbox Fuzzy-Logic vom MATLAB programmiert. Die Simulationsergebnisse sind nachfolgend gezeigt.

Eingangs-Fuzzy-Sets, Variable: Temperatur

Eingangs-Fuzzy-Sets, Variable: Feucht

Ausgangs-Fuzzy-Sets: Variable: Zufuhr

Zufuhr

Feucht

50 40 30

0 20

40 30

40 20 Temperatur

Kennfeld des Fuzzy-Reglers mit MATLABToolbox FuzzyLogic

244

5 MATLAB-Simulationen

5.3.2 Simulation zu Aufgabe 3.4: Ofenheizung Die P-T1-Strecke mit KPS = 0,4 und T1 = 5 s soll mit dem Fuzzy-Regler ohne bleibende Regeldifferenz geregelt werden. Die Simulation mit der Fuzzy-Logic-Toolbox von MATLAB erfolgt in drei Schritten: x den Fuzzy-Regler mit fis-Editor als fis-Datei erstellen x den Regelkreis mit Simulink erstellen und den Fuzzy-Regler als FIS-Mask eintragen x die Variable des FIS-Mask-Blocks in Simulink deklarieren, z. B. a, und den Namen der fis-Datei zuweisen, z. B. pi_reg.fis. Dafür soll in MATLAB Command-Fenster die folgende Anweisung eingetragen werden: a = readfis ( ’control’ ); 1. Schritt:

Fuzzy-Regler mit fis-Editor erstellen (Datei pi_reg.fis)

Eingangs-Fuzzy-Sets: Regeldifferenz e

Eingangs-Fuzzy-Sets: Ableitung de/dt

Ausgangs-Fuzzy-Sets: Stellgröße y

Regelbasis: 1. If (e is Neg) and ([de/dt] is Neg) then (Ventil_44 is voll_Zu) (1) 2. If (e is M_Neg) and ([de/dt] is Neg) then (Ventil_44 is voll_Zu) (1) 3. If (e is Zero) and ([de/dt] is Neg) then (Ventil_44 is mittel) (1) 4. If (e is M_Pos) and ([de/dt] is Neg) then (Ventil_44 is Auf) (1) 5. If (e is Pos) and ([de/dt] is Neg) then (Ventil_44 is voll_Auf) (1) 6. If (e is Neg) and ([de/dt] is zero) then (Ventil_44 is voll_Zu) (1)

5.3 Simulationen zum Kapitel 3: Wissensbasierte Regelung

245

7. If (e is M_Neg) and ([de/dt] is zero) then (Ventil_44 is Zu) (1) 8. If (e is Zero) and ([de/dt] is zero) then (Ventil_44 is mittel) (1) 9. If (e is M_Pos) and ([de/dt] is zero) then (Ventil_44 is Auf) (1) 10. If (e is Pos) and ([de/dt] is zero) then (Ventil_44 is voll_Auf) (1) 11. If (e is Neg) and ([de/dt] is pos) then (Ventil_44 is voll_Zu) (1) 12. If (e is M_Neg) and ([de/dt] is pos) then (Ventil_44 is Zu) (1) 13. If (e is Zero) and ([de/dt] is pos) then (Ventil_44 is mittel) (1) 14. If (e is M_Pos) and ([de/dt] is pos) then (Ventil_44 is voll_Auf) (1) 15. If (e is Pos) and ([de/dt] is pos) then (Ventil_44 is voll_Auf) (1)

Stellgröße 40

0

40 1 2

0

0

de/dt

1

2

Kennlinienfeld

e renz ldiffe Rege

2. Schritt: Regelkreis mit Simulink erstellen Da die Regelung ohne bleibender Regeldifferenz erfolgen soll, wird der PI-Fuzzy-Regler programmiert. Zuerst wird die Ableitung de/dt der Regeldifferenz mit dem Blocks Derivative du/dt erstellt, dann wird die Ableitung de/dt zusammen mit der Regeldifferenz e dem FIS-Mask-Block Fuzzy:pi_reg über Multiplexer Mux als Vektor gegeben. Hinter dem FIS-Mask-Block wird ein I-Glied geschaltet, um die Funktion eines PIReglers zu erreichen. Der benutzerdefinierte Block Data ist auch eine Maske für die Ausgabe der Sprungantwort Figure mit dem Befehl plot (t, x).

246

5 MATLAB-Simulationen

3. Schritt: FIS-Variable dem Simulink-Block zuweisen: a = readfis (’pi_reg’); 4. Schritt: Simulationsparameter einstellen (hier: von 0 bis 40), dann Simulation starten. Anschließend den Befehl plot (t ,x) im MATLAB Command-Fenster eingeben. 2 1.8

Aus der links gezeigten Sprungantwort ist ersichtlich, dass der Regelkreis sich auf der Stabilitätsgrenze befindet.

1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

5. Schritt: Nachbesserung durch Variierung von Fuzzy-Sets Unten sind die variierten Ausgangs-Fuzzy-Sets und die daraus resultierenden Sprungantworten bei w = 1 gezeigt. 1.8

1.4

1.6

1.2

1.4

1 1.2

0.8

1 0.8

0.6

0.6

0.4 0.4

0.2

0.2 0

0

5

10

15

20

1. Korrektur

25

30

35

40

0

0

5

10

15

20

25

2. Korrektur

30

35

40

247

Literaturverzeichnis [1]

Angermann, A.; Beuschel, M.; Rau, M.; Wohlfahrt, U.: Matlab-Simulink-Stateflow. Verlag R.Oldenbourg, München / Wien, 2. Auflage, 2003

[2]

Bergmann, J.: Lehr- und Übungsbuch Automatisierungs- und Prozessleittechnik. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München / Wien, 1999

[3]

Beucher, O.: MATLAB und Simulink. Addison-Wesley, Pearson Studium, München, 2. Auflage, 2002

[4]

Bode, H.: MATLAB in der Regelungstechnik. B.G.Teubner Verlag, Stuttgart / Leipzig, 1998

[5]

Dorf, R.C.; Bishop, R.H.: Moderne Regelungstechnik, Person Education GmbH, München, 10. Auflage, 2005

[6]

Feindt, E.-G.: Computersimulation von Regelungen. Verlag R.Oldenbourg, München / Wien, 1999

[7]

Föllinger, O.: Regelungstechnik. Hütig Verlag, Heidelberg, 8. Auflage, 1994

[8]

Föllinger, O.: Optimale Regelung und Steuerung. R. Oldenbourg Verlag, 1994

[9]

Gassmann, H.: Regelungstechnik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 2. Auflage, 2001

[10] Geering, H. P.: Regelungstechnik. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 6. Auflage, 2004 [11] Glattfelder, A.; Schaufelberger, W.: Lineare Regelsysteme. Eine Einführung mit MATLAB. vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich, 1997 [12] Heidepriem, J.: Prozessinformatik. Oldenbourg Industrieverlag, München, Band 1, 2000; Band 2, 2001 [13] Hoffmann, J.: MATLAB und SIMULINK. Addison-Wesley-Longman Verlag, Bonn; 1998 [14] Kahlert, J.; Frank, H.: Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control. Vieweg Verlag, Braunschweig / Wiesbaden, 1993 [15] Karrenberg, U.: Signale, Prozesse, Systeme. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 3. Auflage, 2004 [16] Langmann, R.: Taschenbuch der Automatisierung. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München / Wien, 2004 [17] Latzel, W.: Einführung in die digitalen Regelungen. VDI Verlag, Düsseldorf, 1995 [18] Lunze, J.: Regelungstechnik mit Anwendungsbeispielen für MATLAB. Springer Verlag, Bd.1, 1996, Bd. 2, 1997 [19] Lutz, H; Wendt, W: Taschenbuch der Regelungstechnik. Verlag Harri Deutsch, 1995

248

Literaturverzeichnis

[20] Mann, H; Schiffelgen, H; Froriep, R: Einführung in die Regelungstechnik. CarlHanser Verlag, 1997 [21] Merz, L.; Jaschek, H.: Grundkurs der Regelungstechnik. R. Oldenbourg Verlag, 14. Auflage, München / Wien, 2003 [22] Philippsen, H.-W.: Einstieg in die Regelungstechnik. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München / Wien, 2004 [23] Reuter, M.; Zacher S: Regelungstechnik für Ingenieure. Vieweg Verlag, Braunschweig / Wiesbaden, 11. Auflage, 2004 [24] Roth, G.: Regelungstechnik. Verlag Hüthig, Heidelberg, 2. Auflage, 2001 [25] Samal, E.; Becker, W.: Grundriß der praktischen Regelungstechnik. Verlag R. Oldenbourg, München / Wien, 20. Auflage, 2000 [26] Scherf, H. E.: Modellbildung und Simulation dynamischer Systeme. Verlag R. Oldenbourg, München / Wien, 20. Auflage, 2003 [27] Schlüter, G.: Digitale Regelungstechnik interaktiv. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München / Wien, 2000 [28] Schlüter, G.: Regelung technischer Systeme interaktiv. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München / Wien, 2001 [29] Schulz, G.: Regelungstechnik. R. Oldenbourg Verlag, München / Wien, 2002 [30] Tilli, T.: Automatisierung mit Fuzzy-Logik. Franzis-Verlag, München, 1992 [31] Tröster, F.: Steuerungs- und Regelungstechnik für Ingenieure. Verlag R. Oldenbourg, München / Wien, 2001 [32] Überhuber, Chr.; Katzenbeisser, S.: MATLAB 6: Eine Einführung. Springer-Verlag, Wien, 2000 [33] Unbehauen, R.: Systemtheorie. Verlag R. Oldenbourg, München, Band I, 8. Auflage 2002, Band 2, 7. Auflage, 1998 [34] Unbehauen, H.: Regelungstechnik. Band 1-3, Vieweg Verlag, Braunschweig / Wiesbaden, Bd. 1, 13. Auflage, 2005, Bd. 2, 8. Auflage, 2000, Bd. 3, 6. Auflage, 2000 [35] Weber, W.: Industrieroboter. Methoden der Steuerung und Regelung. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, München / Wien, 2002 [36] Zacher, S.: Exercises to the closed-loop control. Verlag Dr. Zacher, Wiesbaden, 2004 [37] Zacher, S. (Hrsg): Automatisierungstechnik kompakt. Vieweg Verlag, Braunschweig / Wiesbaden, 2000 [38] Zacher, S.: SPS-Programmierung mit Funktionsbausteinsprache. VDE-Verlag, Berlin / Offenbach, 2000 [39] Zacher, S.: Duale Regelungstechnik. VDE-Verlag, Berlin / Offenbach, 2003

249

Formelsammlung Grundbegriffe und statisches Verhalten Übertragungsfunktion und Wirkungsplan Reihenschaltung:

y

G1 ( s ) ˜ G 2 ( s )

G( s)

G1(s)

G2(s)

lim x(t ) lim G W ( s ) ˜ wˆ

x (f )

x

t of

G1(s)

y

G1 ( s ) r G 2 ( s )

t o0

x

G V (s) 1  G V ( s )G r ( s )

y +

V0

x

GV(s)

K PR K PS K Pr Kreisverstärkung

–

Reeller Regelfaktor: em.R. (f) RF (0) eo.R. (f)

Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen G0(s) und geschlossenen Regelkreises:

+

e

GV(s)

GZ ( s )

Wirkungsplan w

G ( s) 1  G ( s)



e

+

Y (t )

Y0  y (t )

G (s)

K PZ

wf wY wf wZ

# 0

# 0

'X 'Y 'X 'Z

Ÿ

xm.R. (f) xo.R. (f)

statisches PT-Verhalten K PR K PS 1  K PR K PS

Ÿ K Pw ( s)

x

x Z

X0

y

0 0

RF (0)

x

–

X

K Py

wˆ  xm.R (f) wˆ

RF (0)

GVZ ( s ) 1  G0 ( s)

Linearisierung: X 0  x(t )

0

(mit I-Anteil )

Störverhalten:

Beispiel: dynamisches Verhalten 

X (t )

RF (0)

für Führungsverhalten für Störverhalten

Führungsverhalten:

GW ( s )

1 1  V0

G V (s) ˜ G r (s)

G0 ( s )

r Gr(s)

GV ( s ) 1  G0 ( s )

RF (0)

(Kreise ohne I-Anteil)

x

–

GW ( s )

wˆ  x(f)

e(f )

Gr(s)

w

s of

Bleibende Regeldifferenz:

G2(s)

Gegenkopplung: G( s)

s o0

lim x(t ) lim GW ( s ) ˜ wˆ

x(0)

Parallelschaltung: G( s)

Grenzwertsatz:

X0

Ÿ

Y

y 0 Y0

Y0

nichtlineare Ÿ linearisierte Funktion

0

X

f (Y , Z )

Ÿ x

K Py ˜ y  K PZ ˜ z

250

Formelsammlung

Dynamisches Verhalten Regelbarkeit Tg/Tu; Übergangsfunktion h(t) h (t)

h (t)

h (t) Tg

Tg

t

0 T =0 g Tu = 0

0 T =0 u T z0 g Tu= 0

groß = f

t

0

h (t)

P-T2-Glied: Sprungantwort

h (t) Tg

t Tu

0

t

0

Tu

Z 02

h (t)

-<1

-=1

h (t)

h (t)

0 Im

Im

t

t 0

Überschwingweite: ü max %

h (t)

Im

Re

Re

t

0 Im

e

TAus

t

ln 25 -Z 0

Re

Nyquist-Stabilitätskriterium:

N

1

ZD

0 dB

Z AR

Amplitudenreserve

M(Z)

180°

instabil

Z D

0 dB stabil

Z

ZS

Z

Phasenreserve

Ordnungsreduktion (ggf. nach Anwendung der Kompensation) unter der Bedingung Tgrößte t 5 ˜ ¦ Tikleine Ÿ TE

Ersatzzeitkonstante: Tgrößte  ¦ Tikleine i

1 -

a 3 ˜ s 3  a 2 ˜ s 2  a1 ˜ s  a 0

0

Stabilitätsbedingungen:

Grenze

M(Z)

180°

i

1 |

für System 3.Ordnung mit a3> 0

dB

ZS Z

DR

2

Hurwitz-Stabilitätskriterium

G 0(jZ)

dB

3,22 -Z 0

Anzahl der Halbwellen:

Im

-

G 0(jZ)

T - ˜Z 0 ˜ d 2

Ausregelzeit:

0

Re

Re

Z 0 1- 2

Zd

t 0

2S Zd

Eigenkreisfrequenz:

->1

h (t)

2s 1 Z0

Periodendauer: Td

Dämpfungsgrad - , Übergangsfunktion h(t), s-Ebene -=0

s2 

t Tu T =0 g Tu z 0 klein = 0

Regelbarkeit

-<0

1

Tg = 0

T < Tu g

T > Tu g

1

G( s)

1. Alle Koeffizienten vorhanden 2. Alle Vorzeichen positiv 3. a2˜ a1> a3˜ a0 Kompensationsregeln PI-/PID-Regler

PD-Regler

Tn

Tgrößte

Tv

Tv

Tzweitgrößte

Tgrößte

251

Regelgüte und Reglereinstellung Sprungantwort des Führungsverhaltens ümax

x(t)

Ziegler-Nichols-Verfahren, Schwingungsversuch mit P-Regler:

Einhüllende 1reXZ t 2 bis 4% Toleranzband, bezogen auf x(f)

x(f) Td/2 t 0

KPR

Tn

TV

P-

0,5˜KPRkr





PI-

0,4˜KPRkr 0,85˜Tkr



TAn TAus

PID- 0,6˜KPRkr

Grundtyp A (mit I-Anteil):

y

KPR

KPS ,TE

KIS

y

x

4 ˜ - ˜ TE -

1 2 ˜ K PS ˜ K IS ˜ TE

x

(T1  TE ) 2 4 ˜ - 2 ˜ T1 ˜ TE

1

Betragsoptimum für Grundtyp B:

2 für B.O.

Grundtyp A

1

1

1 ,T1

1

h(t)

ümax= 4,3%

KPS ,TE

KPR

Allgemein: K PR K PS

2

Betragsoptimum für Grundtyp A: für B.O. K PR

K PR K PS (1  sT1 )(1  sTE )

G0 (s)

1

Allgemein: K PR K PS K IS

h(t)

Grundtyp B (ohne I-Anteil):

K PR K PS K IS s ˜ (1  sTE )

G0 (s)

0,12Tkr

0,5˜Tkrit

K PR

(T1  T E ) 2 1  2 ˜ K PS ˜ T1 ˜ T E K PS

Grundtyp B

ümax= 4,3%

1 e(f) = 1+ K PR˜K PS K PR˜KPS

0

T An= 4,7˜T E

TAn= 4,7˜TE t

K PR

t

1+ K PR˜K PS

T Aus = 11˜T E

TAus = 11˜TE

B.O.-Sonderfall G 0 ( s )

0

x(f)=

K PR K PS s ˜ T n (1  sTE ) Tn 2 ˜ K PS ˜ T E

B.O. Annäherung für T1 !! T E : K PR |

T1 2 ˜ K PS ˜ T E

252

Formelsammlung

Reglereinstellung und Regelungsvarianten Symmetrisches Optimum (S.O.): G0 (s)

KIS

KPR ,Tn KPS ,TE

y

K PR ˜ K PS ˜ K IS ˜ (1  sT n )

x

2

s ˜ Tn ˜ (1  sT E ) Regelkreisverhalten des S.O.:

Kompensationsregeln für S.O.: Tn

k ˜ Tgrößte

Tv

Tzweitgrößte

k ˜ TE

Tn

k ˜ K PS ˜ K IS ˜ TE

Reglereinstellung nach dem S.O. für k = 4 Tn

4 ˜ TE

k G0(jZ)

dB

4 —k  20 dB/Dek KIo

Z

37q

ZD

1 2TE

x(t) ümax= 43,4%

40 dB/Dek

ZD

DR

Sprungantwort beim Führungsverhalten (Sprunghöhe w = 1)

 40 dB/Dek

1 Tn

1 2 ˜ K PS ˜ K IS ˜ TE

K PRopt

—k

0 dB

§ 90q  D R · cot 2 ¨ ¸ 2 © ¹

1

K PR

Bode-Diagramm des S.O.:

—k

k

r2 %

1

1 TE

M(Z)

Z

t 0 TAn= 3,1˜TE

DR

180°

TAus = 18˜TE

Kaskadenregelung: Folgeregelkreis: G 01 ( s )

Störgrößenaufschaltung:

G R1 ( s ) ˜ GS1 ( s )

z

Führungsregelkreis: G 02 ( s )

G R2 ( s ) ˜ G w1 ( s ) ˜ GS2 ( s )

X E Tu ˜ 2 Tg

+

4 ˜ T t (symmetr.Lage) G Z ( s )

T0

Regler mit Rückführung: GR ( s )

1 Gr ( s )

w

e

+

+ –

x

KV(s)of –

Gr(s)

GVZ (s)

GR (s)

GS(s)

–

+

Zweipunktregler ohne Schaltdifferenz: x0

GRZ (s)

–

G VZ ( s ) 1  G0 (s)

x

+

0 Ÿ G VZ ( s )

Quasikontinuierliche Abtastregelung: y

TA 

Tg 2

Ÿ Tt

Tg 2

0

253

Regelungstechnische Grundglieder Proportionale Glieder mit und ohne Verzögerung und Totzeitglied

Glied

Übertragungsfunktion, Differentialgleichung

P-Glied

G R ( s)

Sprungantwort (beim Streckeneingang yˆ oder beim Reglereingang eˆ ) und Bode-Diagramm

K PR

G dB

y(t)

K PR ˜ e

y

P-T1-

GS ( s)

Glied

20 log KPR

y(f) š KPR ˜ e

K PS 1  sT1

x(t)

P-T2Glied mit T2=T1

GS

aperiodisch (->1)

G(s)

Glied

K PS ˜ y

M(Z)

0,63˜x(f)

K PS 2s2  s 1 2 Z Z0 0

x(t) x(f) š KPS ˜ y

G dB

Tg

20 log KPS M(Z)

Tu

2x  x  x Z0 Z 02

K PS y

3dB Z -20 dB/Dek

-90°

t

6 dB Z -40 dB/Dek

t -180°

1

periodisch (0<-<1) 1

20 log KPS

K PS (1  sT1)2

M(Z)

-90°

G dB

K PS ˜ y

T12 x  2T1 x  x P-T2-

t

T1

x(f) š KPS ˜ y

T1 x  x

M(Z)

Z

x(t) x(f) š KPS ˜ y

GdB 0< -<1 Td

20 logKPS

t

M(Z)

0 -180°

-=0 0< -<1 ->1 Z -40dB/Dek -=0 0< -<1 ->1

254 Glied P-T3Glied mit T3=T2= =T1

Formelsammlung Übertragungsfunktion, DGL

Sprungantwort und Bode-Diagramm

K PS

GS

(1  sT1)3

aperiodisch (->1)

x(t) x(f) š KPS ˜ y

G dB

Tg

9 dB

20 log KPS

Tu

t

Z -60 dB/Dek

M(Z)

0

T13x  3T12 x  3T1 x  x K PS ˜ y

-270°

TtGlied

K PS ˜ e  sTt

GS ( s )

G dB

x(t)

K PS ˜ y (t  Tt )

x(t )

x(f)

(Hier: KPS = 1)

0dB M(Z)

š KPS ˜ y t

Tt

G dB

1 S Tt Tt

Z

-57,3°

-180°

Differenzierende Elemente Glied

Übertragungsfunktion,DGL

DGlied

GS ( s )

Sprungantwort und Bode-Diagramm

s˜ KD

G dB

x(t)

0dB

K D ˜ y

x

0

D-T1Glied

GS ( s)

T1 x  x

PDRegler

GR ( s )

s ˜ KD 1  sT1

K D ˜ y

t

G dB

x(t) x(0)

0dB

KD š ˜y T1 T1

t x(f)=0

K PR (e  Tv e)

G dB

y(f) 0

š KPR˜ e

1 KD

0dB

3dB Z

+20 dB/Dek Z

+90° 0°

K PR (1  sTv )

+20 dB/Dek Z M(Z)

+90° 0°

y(t)

y

1 KD

1 Tv 20 log KPR

+20 dB/Dek Z

t +90° 0°

Z

255

Glied

Übertragungsfunktion,DGL

PD-T1Regler mit Tv > T1

GR ( s)

K PR

1  sTv 1  sT1

Sprungantwort und Bode-Diagramm G dB

y(t)

1 Tv

1 T1 +20 dB/ Dek

T1 y  y

K PR (e  Tv e)

KPRTv ˜ š e T1 T1

š KPR˜ e t

PP-T11  sTv GS K PS Glied 1  sT1 mit T1 > Tv T1 x  x K PS ( y  Tv y )

x(t)

20 logKPR 0dB

Z

+90° 0°

Z

G dB

T1

1 T1

1 Tv -20 dB/Dek

20 log KPS

š KPS˜ y

Z

0dB KPS Tv ˜ š y T1 t

Z

0° -90°

Integrierende Elemente und Elemente mit I-Anteil Glied

Übertragungsfunktion, DGL

IStrecke

GS ( s ) x

Sprungantwort, Bode-Diagramm

K IS s

K IS ³ y (t )dt

x(t)

G dB

š KIS ˜ y

0dB

0

I-T1Strecke

GS ( s )

K IS s(1  sT1 )

t

1

KIS Z -20 dB/Dek M(Z)

-90°

G dB

x(t)

-20 dB/Dek KIS

T1 x  x

PIRegler

GR ( s)

y

K IS ³ y (t )dt K PR (1  sTn ) sTn

§ 1 K PR ¨¨ e  T n ©

Z -40 dB/Dek

š KIS ˜ y

M(Z) -90° -180°

t

0 T1

1

G dB

y(t)

· ³ edt ¸¸¹

š K PR˜ e š K PR˜ e

0 Tn

Tn

-20 dB/Dek 0dB t

0° -90°

1 Tn 20 log K PR Z

Z

256

Formelsammlung

Glied

Übertragungsfunktion, DGL

PIDRegler

GR

Sprungantwort, Bode-Diagramm

K PR (1  sTn )(1  sTv ) sTn

(multiplikative Form)

G dB

y(t)

dB

§ 1 K PR ¨¨ e  Tn ©

y

· ³ edt  Tve ¸¸¹

0 Tn

-20 Dek

š KPR˜e š KPR˜e

PIDT1Regler

K PR e 

GR

K PR (1  sTn )(1  sTv ) sTn (1  sT1)

T1 y  y 

K PR Tn

§ T · K PR ¨¨1  v ¸¸e  © Tn ¹

t

Tn

³ edt KPRTve

Tn

Z Z

1 1 1/T1 T TV dB n dB +20 Dek -20Dek 20 log KPR 0dB Z +90°

G dB

y(t)

T1

dB

+20 Dek

+90° -90°

KPR TV˜ š e T1

1 Tv

20 log KPR 0dB

K PR  sK PR Tv sTn (additive Form) GR

1 Tn

š KPR˜e t

-90°

Z

257

Sachwortverzeichnis A

B

Abgriffsort 31

Backpropagation 41

Abstand 1

Bahnstützpunkte 47

Abtastzeit 22, 46, 235

Begrenzung 25

Abweichung vom Arbeitspunkt 1

Beharrungszustand 6, 20, 34, 58

Addition 25

Belüftung 35

Adaptive Regelung 73

Beobachtbarkeit 68

Adaptiver Zustandsregler 73

Beschleunigungsmoment 57

Adresse 54

Betragsoptimum 14, 24, 29, 45, 53

Aktivierung 50

Bleibende Regeldifferenz 7, 9, 48, 59

Aktivierungswerte 39

Bode-Diagramm 10, 45, 53

Amplitude 17 Amplitudengang 10, 24

C

Analoger Regelkreis 23

Charakteristische Gleichung 53, 62

Analoger Regler 21 AND 39

D

Anfangsgewicht 41

Dampf 18

Anfangszustand 33

Dämpfungsgrad 5, 12, 48, 66

Ankerspannung 63

Dauerschwingung 17, 23, 27, 74

Anregelzeit 67

Dead-Beat-Regler 33, 238

Antrieb 21

Diagonalregler 29, 70

Antriebsmaschine 21

Differentialgleichung 25

Antriebsmoment 21

Differenzengleichung 26

Antriebsmotor 57

Digitaler Kompaktregler 23

Arbeitspunkt 1, 5

Digitale Regler 22 f, 234

Arbeitsschwingung 17, 54, 64, 237

Digitalisierte Algorithmen 25

Arbeitsumgebung 43

Digitalisierung 25

Aufgeschnittener Regelkreis 10

Drehbewegung 57

Ausgangsneuron 39

Drehgeschwindigkeit 63

Ausregelzeit 33, 67, 73

Drehmoment 1

258

Sachwortverzeichnis

Drehzahl 60

Flüssigkeit 28

Drehzahlregelung 6 1

Folgeregler 18

Druckdifferenz 28

Förderband 67

Durchfluss 28

Frequenzgang 23

Durchhang 63

Führungsgröße 7, 27

Dynamisches Verhalten 1 ff.

Führungsregelkreis 233 Führungsregler 18

E

Füllstand 13, 30, 69

Eingangsklassen 39

Füllstandsregelstrecke 16, 70

Eingangssprung 7

Füllstandsregelkreis 16

Einzelschicht-Petrceptron 39

Füllstandsregelung 55

Elektrischer Antrieb 21

Füllstandsregler 70

Elektromagnet 66

Funktionsbaustein 25, 55

Endzustand 33

Fuzzy-Kennlinie 36

Entdämpfung 23

Fuzzy-Logic Toolbox 243

Entkoppelte Regelung 29, 70

Fuzzy-Regler 35, 44, 243

Entkopplung 44 f

Fuzzy-Sets 44, 243

Entkopplungsglied 31 Entkopplungsregler 29, 31

G

Ersatzzeitkonstante 229, 240

Gain-Scheduling 73

Externe Regelung 43

Gegenkopplung 58 Gelenk 3, 43

F

Gelenkgeschwindigkeit 43

Farbstoff 28

Gelenkwinkel 43

Federkonstante 66

Geschwindigkeitsalgorithmus 25

Fertigungsprozess 43

Gewicht 41

Festplatte 5

Gewindespindel-Mutter-Sytem 57

Festplatten-Controller 66

Gewindesteigung 60

Feuchtigkeit 35

Gleichstrommotor 60

Filter 28

Grundglieder 25, 226

Filtermembran 28

Grundlast 17

Filtratsrate 28

Gütekriterien 67, 230

FIS-Mask-Block 244

Sachwortverzeichnis

259

H

K

Halteglied 26

Kaskadenregelung 18, 47, 232

Handy 48

Kennlinienfeld 57

Hauptregelkreis 233

Klassenverteilung 42

Hauptregler 18, 32, 44

Klimaanlage 35, 243

Hauptregelgröße 18

Kompaktregler 23

Heizmittel 69

Kompensationsregler 33, 47, 242

Heizung 54

Konzentration 28

Hilfsregelgröße 18

Kraftregelung 43

Hilfsregler 18

Kreisstruktur 58

Hoher-Tiefer-Taster 48

Kritischer Proportionalbeiwert 45

Hohlfaser-Membrane 28

Künstliches neuronales Netz 39, 49

Homogene Lösung 26

Kugelrollspindel 57

Hub 28, 30

Kühlmittel 69

Hurwitz-Stabilitätskriterium 9, 53, 59 Hybride Regelung 43

L

Hysterese 236

Lageregelung 21, 43 Lageregelkreis 47

I

Lastmoment 57

Identifikation 71

Least-Mean Squares-Verfahren 72

IEC-Funktionsbaustein 25

Lernschritt 41

Industrieroboter 21

Linearisierung 3 ff.

Instabiler Regelkreis 40

Linearisierung analytische 3, 5

Instabile Regelstrecke 9, 73, 227

Linearisierung grafische 2, 3

Integrierbeiwert 12, 60

Linke Intervallgrenze 25

Integrierkonstante 58

LMS-Verfahren 72

Interne Regelung 43

Logische Funktion 39

Intervallgrenze 25

Luftdruck 49

Invertiertes Pendel 67

Lüfter 51

I-Regler 12 ff.

Luftfeuchtigkeitsmesser 35

I-T1-Strecke 25

Lufttemperatur 49 Luftzufuhr 35

260

Sachwortverzeichnis

M

Ofenheizung 37, 244

MATLAB Fuzzy-Logic Toolbox 243

Operator UND 35

MATLAB-Simulation 225

Optimale Einstellung 18 ff.

Matrix von Messwerten 71

Optimale Kennwerte 14

Maximaler Proportionalbeiwert 4

Optimale Reglereinstellung 14

Mehrgrößenregelung 69

Optimaler Dämpfungsgrad 73

Mehrschicht Perceptron 40

OR 39

Messfühler 74 Messwerte 72

P

MIMO-Regelkreis 70

Parallelschaltung 7

MIMO-Regelstrecke 28

Parameter-Vektor 72

Mobiltelefon 48

Partielle Lösung 26

Modellbasierter Regler 66

PD-Regler 16, 44, 55

Modellbasierte Regelung 33, 238

Pendeln 47

Modellparameter 72

Perceptron 39

Molekularfilter 28

Phasengang 10

Momentenregler 21

Phasenreserve 22, 34, 47, 64

Motor 55, 63

PI-Regler 16, 43 f

Motordrehmoment 21

PID-Regler 10, 12, 55

Multiplikation 25

P-kanonische Struktur 29, 69

Mustererkennung 41

Polstellen 68, 73 P-Regler 6, 45, 55

N

Plastikpatrone 28

Nachstellzeit 62

Positionsregelung 62

Netz 39

Potentiometer 51, 55

Neuron 39 f

Prämisse 35

Neuronenschicht 39

Proportionale Rückführung 73

Nichtlineare Regelung 74

Prozessbild 28

Nyquist-Kriterium 228

P-T1-Regelstrecke 12 ff.

Nyquist-Stabilitätskriterium 10

P-T2-Strecke 25 ff

O

Q

Ofen 17, 37

Quasikontinuierliche Regelung 22 f

Sachwortverzeichnis

261

R

Sendeleistung 10

Reaktionsgefäß 69

Sendeleistungsregelung 48

Reaktionstemperatur 18

Sender 48

Reaktor 16, 18, 55

Sensor 1

Rechteckregel 25

Sigmoide Kennlinie 39

Reeller Regelfaktor 7

Simulationsprogramm 233

Regelbasis 35, 244

Simulink-Bibliothek 229

Regelbereich 17

Smith-Prädiktor 33, 239

Regeldifferenz 36, 44

Sollwert 17 ff.

Regelfaktor 7, 51, 59

Sollwertsprung 25

Regelgüteparameter 231

Sprungantwort 5

Regelkreisverhalten 9

Stabilität 10, 30, 59, 64

Reglerprüfstand 64

Stabilitätsgebiet 40

Regelstrecke 1 ff.

Stabilitätsgrenze 11, 26, 42

Register 48

Stabilitätsverhalten 74

Reibungsmoment 57

Statische Kennlinie 1, 38, 43, 51, 60

Reihenschaltung 25, 60, 70

Statisches Kennlinienfeld 2

Relay-Block 236

Statisches Verhalten 1

Roboterarm 44

Stellgröße 1 ff.

Roboterbahn 47

Stellventil 28, 30, 55, 69

Robotergelenk 45

Stellverhalten 8

Roboterhand 15

Steuerbarkeit 68

Roboterregelung 43

Stoff 28

Rückführgröße 31

Stoffbahn 63

Rückfuhrung 14, 68

Stoffgemisch 28

Rückführungsglied 58

Störgröße 3 Stoßdämpfer 71

S

Strom 66

Sättigung 74

Subtraktion 25

Schaltdifferenz 17, 27, 54, 64

Support 60

Schweißroboter 47

Symmetrisches Optimum 14, 45, 229

Schwellenwert 40 Schwerpunktmethode 36, 45

262

Sachwortverzeichnis

T

Wassertemperatur 18

Temperatur 17, 35, 69, 243

Weg 60, 72

Temperaturregelung 51, 69

Werkzeugschlitten 60

Temperaturregler 70

Wekzeugmaschine 57, 60

Trägheitsmoment 66

Windkraftanlage 8

Transferfunktion 42, 50

Winkelgeschwindigkeit 21, 57

Translatorische Bewegung 57

Winkelgeschwindigkeitsregelung 59

Totzeit 12, 236

Winkelgeschwindigkeitsregler 21

Totzeitglied 27

Wirkungsplan 4 ff. Wissensbasierte Regelung 35

U Übertragungsfunktion 5

X

Überschwingweite 20

XOR 39

Überschwingung 33, 67, 238 Überschleifen 47

Z

Unterlagerter Momentenregler 21

Zeitkonstante 12 Zeitverzögerung 229

V

Ziegler-Nichols 45, 56

Verdecktes Neuron 39

Zufluss-Ventil 55

Verfahrenstechnische Anlage 28

Zugehörigkeitsfunktion 37

Verfahrwinkel 21

z-Übertragungsfunktion 26

Verkopplungsglied 70

Zustandsraum 72

Verzögerungszeit 34

Zustandregelung 68 f

V-kanonische Struktur 31, 32

Zustandsbeobachter 68

Vorhaltzeit 34, 66

Zweipunkt-Kennlinie 39

Vorschubachse 57

Zweipunktregler 17, 27, 54, 64, 236

Vorschubgeschwindigkeit 21

Zwei-Tank-System 30

Vorwärtsglied 58 W Wagen 72 Walze 63 Wärmeaustauscher 18