Elektrodynamik 001

I

Inhaltsverzeichnis I Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.5.1 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5 2.5.6 2.5.7 2.6 2.7 2.8 2.9

Empirische Grundlagen der Elektrodynamik Relativistische Bewegungsgleichungen . . . . . Die homogenen M AXWELLschen Gleichungen . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die inhomogenen M AXWELLschen Gleichungen Grundgleichungen der Elektrodynamik . . . . . Ladungs- und Stromdichte einer Punktladung . . 
. . . . . . . . . . . . . . . Distributionen im

. . . . . . .

. . . . . . .

1 . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen Der M INKOWSKIraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Feldstärketensor  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die 4-dimensionale Form der Grundgleichungen der Elektrodynamik . L ORENTZgruppe und P OINCARÉgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformationsgesetz für Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operationen auf Tensorfeldern, die mit  vertauschen . . . . . . . . . Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permutation der Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gradient  Hochziehen eines Tensorindexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weitere invariante Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nichtlineare invariante Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativistische Invarianz der elektrodynamischen Grundgleichungen . . Passive L ORENTZtransformationen: Koordinatenwechsel . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L ORENTZtransformationen, Bahnkurven und invariante Teilgebiete des M INKOWSKIraumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatenwechsel und Feldstärketensor . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 7 11 16 18 19 20 23 23 25 26 30 31 32 36 36 37 37 38 39 40 42 43 49 53 56 59 61 63

INHALTSVERZEICHNIS

II 2.10

Eine Bemerkung zu L ORENTZtransformationen mit Zeitspiegelung . .

67

3 3.1

Erhaltungsgrößen Der Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69 74 80

4 4.1 4.2

N OETHERtheoreme und Prinzip der kleinsten Wirkung Die elektromagnetischen Vektorpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Wirkungsfunktional der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . .

86 86 88 90

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen 98 Vektorpotentiale und Eichbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Die retardierten Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Die Vektorpotentiale einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . . 106 Die Abstrahlung von Energie und Impuls durch eine beschleunigte Ladung109 Die Strahlungsrückwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Literaturverzeichnis

119

Verzeichnis der Übungen

120

Index

121

TEIL I ELEKTRODYNAMIK UND SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE

3

1

Empirische Grundlagen der Elektrodynamik

Zur Notation



 bezeichnet das Skalarprodukt zweier Vektoren im  . 

 bezeichnet das Vektorprodukt zweier Vektoren im  .  Für jede Funktion  auf bezeichnet  den Vektor mit den Komponenten:













 

Für jedes Vektorfeld !

(

"#%$&!' und ,.-0/!



auf

die Funktion

das Vektorfeld4 mit den Komponenten

(54

6 798

4 7 ! 7

4

mit

<

ist "#%$&!

! 



%)+*

,.-0/1!23

8



?> 7 ;:=< N  ?> 

falls sonst

@ .A CB E>GF >EH >EI >KJML  D   

ist das Signum der Permutation

>

1 Empirische Grundlagen der Elektrodynamik

4

1.1

Relativistische Bewegungsgleichungen

In einem elektromagnetischen Feld wirkt auf einen geladenen Körper die L ORENTZkraft O

F

 Y QP2RSUT V XW  ! [Z V

(1.1)

ist die Lichtgeschwindigkeit,

P

die Ladung des Körpers.

Das Vektorfeld S heißt elektrisches, das Vektorfeld hängen von Ort und Zeit ab:

S\]S

 + Y

1^_!`Q!



Y

!

magnetisches Feld.

S

und

!



Die Bewegungsgleichung für den geladenen Körper lautet also OMb

"

"Y

a

(1.2)

Nach N EWTON ist cedaf , wobei d die Teilchenmasse ist. Für ein konstantes elektrisches Feldb S allein folgt als Bewegungsgleichung somit

dh g QPiS

(1.3)

Es ergibt sich sofort durchb einfache Integration

W ? Y 2   d

P S

Y

Tjf0k

? Y b l W X l  Y P Y l W Xlnmm S o T fikpmm md m

Somit gilt für

Dies bedeutet, daß für große Zeiten die Geschwindigkeit beliebig groß wird. Der empirische Befund ergibt aber, daß alle Teilchengeschwindigkeiten stets kleiner als V sind. Nach E INSTEIN muß daher

z Fts l ful v 9Udafpqr V v9wyx

(1.4)

1.1 Relativistische Bewegungsgleichungen

5

gesetzt werden. Jetzt folgt aus der Bewegungsgleichung

"

"Y

d W

 PiS { F|s'}? ~ } z z Q € z‚ x

(1.5)

durch einfache Integration

W q V Y P Y f0k…q V ‰  ˆ  z { Fts'}ƒ ~ } z z  d V S T { t z F sQ† ‡z  z€ „ € x x b und damit Y ˆ  W q V  {F z ?Y TŠl‹ˆ Xl v  x Y W

V Wie verlangt, ist jetzt l lŒ ( l W lŽ V gilt nur für 

).

Wir wollen uns davon überzeugen, daß dieses Resultat tatsächlich für ein allgemeines elektromagnetisches Feld gilt. Aus

F d W

 P R SQT V ‘ +W !  Z Q " { F|s }? ~ z } z  z € x folgt durch Skalarproduktbildung b ’ d W

+W " Y QP S +•W  " { Fts;}ƒ ~ z } z  z”“ € x "Y

(1.6)

Die linke Seite ist gleich

"

"Y

also

"

"Y

d Vv { F|s }? ~ } z z €z  x d Vv  P S +•W  { F|s }? ~ } z z Q €z  x

b (1.7)

1 Empirische Grundlagen der Elektrodynamik

6 Durch Integration ergibt sich

b

› ˜

d Vv d Vv S •W  œ   T "  2 œ P z { F|s'}—~ –™˜[š } z z {t F s'} † ‡ z }  z k €z  € x x Y Y Die linke Seite wird für endliche Zeiten nur für l W

Xlž V unendlich. Die rechte Seite kann nur unendlich werden, falls das S -Feld Singularitäten besitzt. Wird dies Y W

XlpŒ V gelten. ausgeschlossen, so muß für endliche Zeiten l Offensichtlich stellt

› ˜

P

k

 "œ S •W œ  

O

› ˜

 "œ •W œ 

k

die geleistete Arbeit dar. Um ein Teilchen auf Lichtgeschwindigkeit zu bringen, müßte somit eine unendliche Arbeit in endlicher Zeit geleistet werden, was physikalisch ausgeschlossen ist. Wir schließen hieraus, daß im allgemeinen elektromagnetischen Feld die Teilchengeschwindigkeiten tatsächlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit bleiben. In der N EWTONschen Theorie ist die geleistete Arbeit gleich der Änderung der kinetischen Energie:

dH

 Y s d H l f0kžl v  l W X l v

› ˜ k

O

 "œ +W œ 

Wir haben stattdessen nun gefunden:

› ˜

O

s d Vv d Vv W  œ    " œ z { F|s'}—~ –™˜[š } z z {t F s'} † ‡ z }  z k €z  € x x

Definieren wir die sogenannte relativistische kinetische Energie 

d Vv  k Ÿ  { F|s'}? ~ z } z  z € x

k

durch (1.8)

so gilt nun analog zur N EWTONschen Mechanik, daß die geleistete Arbeit gleich der Änderung der relativistischen kinetischen Energie ist.

1.2 Die homogenen M AXWELLschen Gleichungen

 k

hat die Eigenschaft, für W

ten Ruheenergie zu werden:

N 

7

nicht zu verschwinden, sondern gleich der sogenann-

 N  k W  ¡Ud V v }† } Für kleine € gilt überdies b d  k Ud V v T H l W l v In dieser Näherung ist also kinetischen Energie.

1.2

(1.9)

(1.10)

 k

gleich der Ruheenergie plus der N EWTONschen

Die homogenen M AXWELLschen Gleichungen

Die Felder S und ! genügen Gesetzen, die sich in der mathematischen Form partieller Differentialgleichungen ausdrücken lassen. Zunächst ergibt der empirische Befund die homogenen M AXWELLschen Gleichungen

,.-0/SQT V

F

!Y

N b

"#¢$c!\



(1.11)

N

(1.12)

O

gelten allgemein die Integralsätze von G AUSS und

Für differenzierbare Vektorfelder S TOKES:

S TOKES: Sei £ eine 2-dimensionale Fläche im wird, so gilt: O O

›

¥§¦

›­ sƒss©¨ s ¨ ,C-0/ " ª¬«h

G AUSS: Sei ® ein Gebiet im

›¯



s¨

¦

”

, die durch die Kurve

s¨ " V «

, das durch die Fläche £

› s¨ s¨   " "#¢$|!¡2 ! " ª¬« ¥ ¦

¤

begrenzt

(1.13)

begrenzt wird, so gilt: (1.14)

Die Erklärung der hier auftretenden Symbole und der Beweis der entsprechenden Identitäten sollen zunächst unterbleiben und stattdessen die entsprechenden Formeln für Kreisscheibe und Vollkugel angegeben werden.

1 Empirische Grundlagen der Elektrodynamik

8 Wir betrachten die Fläche

J

µ´ 

^ ²  2Tj³ k …¶ ´9¾ ´9¾ N2· ´ · HiÀ ·¹¸ º µ´ ³ k ¡¼b »‘-Ž½ * o T ½.#[¿ v ¾ F | ¾ ¾  N l  l  * v  ¸ O Dies ist die Kreisscheibe mit dem Radius µum ´ ´ den Mittelpunkt  . Die Randkurve ¤ ¸ von £ ist durch die Punkte V ”=ÁT k  gegeben. Für jedes solche Vektorfeld £°`±

N¡·

und jede solche Kreisscheibe gilt dann:

O › ƒs sps©¨ s ¨ ,.-0/ " ª «  à ¥ ¦  k O ›­ s ¨ s ¨ › " V «  vGÄ ¦ k ›



› vGÄ k

› vGÄ k

O

,.-0/

O 





µ ´ ¾ ¾ ´ 2Tj³ k .  Å * v    ³ "p³ "

ÁT

¸ µ ´ WV µ ´  ´ k    "



ÁT

µ ´ ¸ ´ ¸ µ ´ Æ k   W k   "

O 

und der S TOKESsche Satz für Kreisscheiben lautet explizit

› › Gv Ä ,C-0/ à k k

O



¸

› vGÄ

 O 



k

µ ´ ¾ ¾ ´ ÁT²³ k   Å * v   0³ "p³0" 

ÁT

µ ´ ´ ¸ µ ´ Æ k   W k   "

Als nächstes betrachten wir die Vollkugel

®K`±

N¡·

J

³

k ? Ç ¾ l  l

?Ç ´ 

^ ²  2Tj³ k X¶ ·¹¸ N2·hÈ\· À N¡· ´ · iH À ´ Çt ´9¾ ´9¾ Ç ¾ 3 ¡ɽ.#%¿ »‘-Ž½ T* o½.#%b ¿ v To»‘-Ž½ 

F | ¾ ¾ËÊ  N @„Ì für ÎÍ  

(1.15)

1.2 Die homogenen M AXWELLschen Gleichungen

O

9

J 

?Ç ´ ¸ £j ±

^ _  2T k  ¶ , und jetzt gilt für jedes O O › s¨ s¨ › Ä › vGÄ E Ç ´ ? Ç ´ ¸ Ç ´ Ç ¸ "ª¬«h 2  T k    k   v ½.#%¿ " " (1.16) ¥ ¦ k k

Die Randfläche von Vektorfeld :

®

ist

Der G AUSSsche Satz für Vollkugeln lautet jetzt explizit

O

›¯

 " " #¢$ 

¸ v

› Ä › vGÄ

O



k k



¸ ? Ç ´  E Ç ´  Ç ´ Ç k   k  ½.#%¿ " "

ÁT

(1.17)

O

Mathematische Nebenbemerkung

In den Integranden beider Flächenintegrale trittJ das Skalarprodukt des Vektorfeldes 



F

£ auf. Für die Kreisscheibe ist dabei Ï  l Ï X  Ž l  mit einem¾ Vektor mit und ¾   Ï 0  * v  , für die Kugel Ï 0 k . Dieses Ï  steht in beiden Fällen senkrecht auf der jeweiligen Fläche. Außerdem findet man in beiden Integralen die sogenannten Flächenelemente

´ "ªah³"p³‚" Ç Ç ´ ¸ "ªa v ½.#%¿ " " 

Mit ihrer Hilfe können die Flächeninhalte Ð £2Ñ[ von Teilgebieten Kreisscheibe, respektive der Kugel bestimmt werden:

›

¥+Õ

£2ÑÓÒÔ£

der

"ªa‰Ð×Ö£ Ñ¢Ø

In unseren beiden BeispielenO gilt also O

›

¥ ¦

s¨

s¨ › "ª¬«h Ï    "ª

b

Tatsächlich gilt diese Formel bei geeigneter Definition der Flächennormale und des Flächenelements immer.

1 Empirische Grundlagen der Elektrodynamik

10

Anwendung auf die M AXWELL-Gleichungen Die Anwendung des S TOKESschen Satzes auf Gleichung (1.11) auf Seite 7 ergibt

F

s

V Y

›

¥

s¨

¦

›­ s¨ ! "ª«h

s¨

¦ Ÿ

s¨ S " V « s¨

s¨

Die dabei auftretende Größe  ‰Ù ¥ ! "ª« heißt auch der Fluß von ! durch die ¦ Fläche £ . Damit kann man Gleichung (1.11) auch folgendermaßen schreiben:

F

s

V Y Î

›­

s¨

¦

s¨ S " V «

(1.18)

Wird die Kurve ¤ durch einen (ideal dimensionslosen) Draht realisiert, so ist die rechte Seite die Ringspannung im Draht, und wir erhalten das FARADAYsche Induktionsgesetz. Offenbar folgt aus Gleichung (1.12) auf Seite 7 für jede Randfläche £

›

s¨

¥ ¦

s¨ N ! "ª « 

(1.19)

das heißt, der gesamte magnetische Fluß durch eine geschlossene Fläche verschwindet. Aus (1.18) und (1.19) folgen umgekehrt auch die Gleichungen (1.11) und (1.12) auf Seite 7. Wird in (1.18) das Kurvenintegral nach S TOKES wieder in ein Flächenintegral umgerechnet, O so ergibt sich

›

s¨

¥ ¦

s¨ "ª¬« N O F ! mit  V Y To,.-0/S

Wir untersuchen diese Formel nun für den Spezialfall der Kreisscheibe:

› › vGÄ Ã k k

O

µ ´ ¾ ¾ ´ ÁTj³ k .  Å * v  ³0"p³‚" (1.20) O  Å ¾ ¾  Nehmen wir nun an, das Skalarprodukt u * v sei im Mittelpunkt  der Kreisscheibe größer (oder kleiner) als 0. Dann garantiert die Stetigkeit dieser Funktion, N





daß der Integrand in (1.20) auf hinreichend kleinen Kreisscheiben ebenfalls größer

Übungen

11

O (beziehungsweise kleiner) als 0 ist. In diesen hinreichend kleinen Gebieten wäre dann also auch¾ das und Gleichung (1.20) falsch. Deshalb ¾ Integral ¾ N von 0¾ verschieden u Å * v ?  gelten. * und v können aber (sofern man die Normierung muß und die Orthogonalität berücksichtigt) beliebig gewählt ¾ werden. ¾ Das¾ hat zur Folge, O beliebigen Einheitsvektor Ú Ÿ    gelten muß, daß die Aussage für jeden O Û  einer Orthonormalbasis. *Dasv Skalarprodukt@ insbesonders auch für die Basisvektoren eines beliebigen Vektors mit einem solchen Basisvektor Û ist aber gerade die .  KomponenteO des Vektors O in der entsprechenden Basis. Also gilt N





 @ F H I J  u   +^ 

u Û   



O was gleichbedeutend mit 

u¡

N

und somit

F

N V Y !]Tj,.-0/S\ ist. Analog schließen wir jetzt aus

›

s¨

¥ ¦ auf

›¯

s¨ N ! "ª¬«h

b   N " "#¢$c!22 ¸

(1.21)

Diesmal wir für ® eine Vollkugel mit Mittelpunkt  und Radius . Sei  wählen N N ¸ "#¢$c! Ü&Ý (oder gilt wieder für alle in ® , falls nur hinreichend N Œ ), dann N klein ist, "#%$&!oÝ (oder Œ ) im Widerspruch zu (1.21). Also folgt (1.12) auf Seite 7. Die Gleichungen (1.18) und (1.19) sind also den Gleichungen (1.11) und (1.12) vollkommen äquivalent.

Übungen Aufgabe 1.1 — Integralsätze

O

12

1 Empirische Grundlagen der Elektrodynamik

Ÿ ” ¨ 

Sei

ein Vektorfeld.

Kurvenintegrale

Sei V

Ÿ  Þ1 Û  ¨



݇

A  V ß

eine Kurve mit

›

s¨ € ¦

ݾ

€ ¦

Ist ª

äã Ñ 1œ åŒ ›æ

€ ¦

O Ist

s¨

€ ¦

längs V ist durch

V 

 œ u WV œ  t⠜

bezeichnen wir die Kurve

Es gilt ebenfalls: O

›

O

Gs V   s  œ 0 V Þ TÎÛ œ . äã äã N ã ä ã  ä ã ist mit ª Ñ œ1åÝ , so gilt O œ eine Reparametrisierung O b für V œ 0 V ª œ  › s¨ s¨ s¨ s¨ " «h " « sowie A .V ã ” A  V  € ¦ N O so gilt: O b s¨ s¨ › s¨ s¨ " «h s " « und A .V ã ¬ A  V  € ¦

erklärt. Mit Falls œ¬aª

›á s¨ " «  à s V

s¨ " h « 

s ›

s¨

O

s¨ " «

b und A

ç € ¦  ¨ , dann gilt:b Uè0,Ëé0O "„ , mit  Ÿ › s¨ s¨ " «h‰  V  ÛX s   V  Þ  € ¦

Flächenintegrale

Ÿ

. Die Länge von V ist durch

  à Ž WV œ  u WV œ   z " œ O x

gegeben. Das Integral von

O

 Ì N l WV œ Xl 

Gs V  ¬ A V 

b ¨ ”





Ì N

 Þ Û ¬êh Þ Û  Sei  eine Abbildung mit m mmCëíì…î œ * œ v  ì…î z œ * œ v ñð mmm  * * v v Die Abbildung  sei überdies überall injektiv mit der möglichen Ausnahme von RandìXï ìXï x

Übungen

13

punkten. òc#%ó%" gilt



Æ

heißt Fläche in

›

s¨

O

s¨ ›á á › z "ª «  à à x z¬÷

¦

b

  à à mm  œ * œ v   œ * œ v ñ ö mm " œ * " œ v œv mm x z m‘m õ œ *

über 

Das Integral von

parametrisiert durch  . Für den Flächeninhalt ô

݇ z

݇

  ô c ò #%ó[" Æ O



ist durch

Ox

   œ * œ v 

î definiert.

    œ œ  œ œ  ö‘ø " œ * " œ v œ* * v œv * v õ

(1.22)

b x G s Gs Ÿ  Þ Û ê¹ Þ Û  ¨  gegeben durch Mit Gs  Æ  bezeichnen  wir die Fläche Æ * * v v Æ œ * œ v 0a œ v œ *  äã ã N Es folgt: Sei ª œ œ  eine Reparametrisierung mit "ùX/ú Ý , so ist für ã äã ã  äã * ã v Å ì © û ü  œ * œ v 09 ª œ * œ v  O O b ìXïƒý•þ › æ s¨ s¨ › s¨ s¨   ã "ª¬«h "1ª« ô =Qô = und ¦ ¦ Ist "pùX/ú

Œ

N

î

dann gilt:

Åì û©ü  ìXïƒý þ  ô =Qô  Ñ 

› und

s¨

O

Õ ¦

î s¨ "1ª « 

V  œ Q * Gs V    œQ

 . Þ œ  œ Û

î

¦

ƒs sps©¨ s ¨ ,.-0/ " ª”«U

¦

V  œ ¬Q  Û * v Gs Väÿ   œ¬Q

v v ÿ ( › ¢)+* € ¦ ü

s¨ "1ª «

î

so gilt der Satz von S TOKES:

O

s¨

ç

î

Setzen wir:

›

›

O

s¨

O

s¨ " «

œ  Þ * œ 

b

14

 O › s¨

was wir mit derO Randkurve

›

¦

sƒsps©¨ s ¨ ,.-0/ " ª¬«h

î

Ÿ

ÿ V  )Ž*  b s¨ " «

von 

kurz schreiben können:

ì…î

Volumenintegrale



¦




1 Empirische Grundlagen der Elektrodynamik

¨





b N

 Þ Û |êU Þ Û |êQ Þ  Û   Sei eine Abbildung mit "pùX/ ú Die Ý * * v v ì ü von RandAbbildung  sei überdies überall ”injektiv mit der möglichen Ausnahme ì…ïƒý þ parametrisiert durch . Für den Volumeninhalt punkten. òc#%ó%" 3 heißt Gebiet in Ð gilt







b z ›á á › á ›    Ð ò&#[ó%" 3¬ à à à p" ùX/ : Ê  œ * œ v œ   "œ * "œ v "œ  œ x z  ¨ Das Integral einer Funktion  Ÿ über ist definiert durch x b z › ›á ›á ›á      (1.23) 9"  à à à "pùX/”: Ê  œ * œ v œ    œ * œ v œ "œ * "œ v "œ  œ x z b  und diese Definition ist invariant unter Reparametrisierungen des Gebiets œ¬ª œ Ñ  x Õ Ý N mit "ùX/”ú ìÅû©ü Wir betrachten ìXï ý þ jetzt die Flächen:    * œ * œ v ” Û* œ* œv    v œ * œ v ” œ* Ûv œv      œ * œ v ” œ* œv Û  Gs ÿ  Þ   œ * œ v ” * œ* œv Gs   .Þ b  Å œ * œ v ” œ* v œv Gs   .Þ   Å œ * œ v ” œ* œv 















 

     











Übungen

15

Es gilt jetzt der Satz von G AUSS:



›

wobei

O

(  " 

"#¢$



›

s¨

O

› s¨ "ª « 

¦

%)+*

‰¦

s¨

O

s¨ "1ª «

î0ü ì 
 )Ž*   der (orientierte) Rand von 

ist.

(a) Überprüfen Sie, daß die Definition (1.22) des Flächenintegrals für eine Kreisscheibe, mit der Parametrisierung



Ÿ  N ¸ +ê² N iH À  ¨

 mit





k ß  ¼»‘-Ž½



Þ J

¾ ¾Ê   

¾

b



* Tν.#%¿

  ³



 ¬ Þ Tj³ k 

lÉ ¾ v

und



zu

  6 Ê @ Í2

O › › vGÄ s¨ "1ª«h à ³"³ " h  Þ Tj³ k   ¾   ¦ k k ¾ ¾ ¾ î führt, wobei     die Einheitsnormale der Kreisscheibe ist. * v ›

s¨

O

F H 







(b) Zeigen Sie, daß die Definition (1.22) des Flächenintegrals für eine Kugelschale, mit der Parametrisierung



Ÿ  N À ºêÓ N iH À  ¨

 mit



k ¬  ɽ.#%¿



»‘-Ž½

 



 ¾

l¼

* Tν.#%¿



½.#%¿

¾

¸ ß Þ T v Tλ‘-Ž½

 k 



3¾ 

und

E¾ ¾ ¾ F "ùX/ * v  ”   T

und

¸ J

CÞ J



  Ê @ Í2

¾ ¾Ê   

F H I 

1 Empirische Grundlagen der Elektrodynamik

16 zu

›

 î



s¨

O

¦ ¸

݀ v

› vGÄ "

Ok 

führt, wobei

 "

½C#%¿

k

ê

 "

›Ä s¨ "ª¬«h ¸ v .½ #%¿ k





 0

O





" U

k



 



   k  

ê



Öµ½.#[¿

› vGÄ

O

O

* 

Öñ»‘-Ž½ O Þ

¸ T

v 

 Tν.#%¿

 k 

O

 Ø To»‘-Ž½

¾  @ F H I     

 0

Ø

ist.

(c) Überprüfen Sie auch, daß die Definition (1.23) des Volumenintegrals für eine Kugel, mit der Parametrisierung

 mit

Ÿ  N ¸ ºêÓ N À º êK N iH À  ¨



k ¬  ɽ.#%¿



»‘-Ž½

¾

* Tν.#%¿





   ³ 

 & Þ Tj³ k 



3¾ 

l

½.#%¿

¾

v Tλ‘-Ž½

 



und

Þ J



  Ê @ Í¡

¾ C¾ Ê   

F H I 

und

E¾ ¾ ¾ F "pùX/ * v  ”§T

zu

 führt.

1.3

›



› ›Ä  9"  à ³ v p" ³ ½.#%¿ k k

 "

› vGÄ k

"



 

   Þ ² T ³ k 

Die inhomogenen M AXWELLschen Gleichungen

Die Gleichungen (1.11) und (1.12) auf Seite 7 beschreiben den empirischen Befund noch nicht vollständig:

1.3 Die inhomogenen M AXWELLschen Gleichungen

17

Man findet weiter die inhomogenen M AXWELLschen Gleichungen

s

,.-0/!

V

F

 V

SY 



"#¢$cS× Í



Ù¥

À



Í b

(1.24)

À

(1.25)

ist s ¨ ein s ¨Vektorfeld und wird Stromdichte genannt. Für eine gegebene Fläche £ Í "1ª « die Ladung an, die pro Zeiteinheit durch die¯ Fläche fließt.

¦



gibt



" die Gesamtladung ist die Ladungsdichte, das heißt, für ein Gebiet ® ist Ù in diesem Gebiet. Das Vektorfeld Í und die Dichte sind im allgemeinen beide auch zeitabhängig.





Aus den beiden inhomogenen M AXWELLgleichungen ergibt sich direkt ein Zusammenhang zwischen den Größen und Í , der die physikalische Beziehung zwischen ihnen widerspiegelt. Denn wenn man die Divergenz von Gleichung (1.24) ausrechnet, so ergibt sich:

V

À

"#¢$”ÍÁ¼"#¢$&,.-0/!

s

F

V Y "#¢$&S

Hierbei wurde im letzten der partiellen Ableitungen O O Summanden die Vertauschbarkeit verwendet, um die Divergenz in die Zeitableitung hineinzuziehen. Für jedes Vektorfeld gilt nun aber "#¢$&,.-0/ von Seite 3 leicht nachrechnet. Also b folgt

À

V

s

"#¢$”ÍÁ



N

, was man anhand der Definitionen

F

V Y "#%$cS

(1.26)

Y

Dividiert man nun Gleichung (1.25) durch c und bildet die partielle Ableitung nach , so erhält man

V

À

Y



F

 V Y "#¢$|S

(1.27)

Addition der Gleichungen (1.26) und (1.27) ergibt dann die sogenannte Kontinuitätsgleichung:



Y TÎ"#¢$”Í= N

(1.28)

Die physikalische Aussage dieser Beziehung wird deutlicher, wenn die Gleichung über ein kompaktes Gebiet ® mit der Randfläche £ integriert und der G AUSSsche Satz

1 Empirische Grundlagen der Elektrodynamik

18 angewendet wird:

›¯ Y

" 

Es gilt also:



s › s¨ s¨ Í 1" ª« ¥ ¦

  !s Ladung, die aus ®

Zeitliche Änderung der Ladung in ®

1.4

herausfließt.

Grundgleichungen der Elektrodynamik

Die Gleichungen (1.11) und (1.12) auf Seite 7, sowie (1.24) und (1.25) auf der vorhergehenden Seite sind die Grundgleichungen zur Beschreibung von elektromagnetischen Feldern und ihrer Wechselwirkung mit geladenen Teilchen: M AXWELLgleichungen

,.-0/SQT €* s ,C-0/! €*

N ì ì ˜  ÿ €Ä Í ì ì

#" %$

˜ 

"#¢$c!' "#%$&S`



N b À



Diese werden noch durch die L ORENTZ-E INSTEINschen Bewegungsgleichungen für eine Punktladung mit Masse d und Ladung P ergänzt:



d  "

"Y



F W



X W   Z  { Fs'}ƒ ~ } z z QP  R S   T V  !   € zM ü x

Gegenstand der theoretischen Elektrodynamik ist die Untersuchung i). der mathematischen Form der Grundgleichungen selbst. Dabei gilt das Interesse vor allem den Invarianzeigenschaften unter Symmetrietransformationen und dem Auftreten von Erhaltungsgrößen. ii). der Bewegungsformen geladener Teilchen im elektromagnetischen Feld. iii). der Lösungsstruktur und damit der Orts- und Zeitabhängigkeit elektromagnetischer Felder, die von den Grundgleichungen erzwungen wird. (Hierbei wird sich vor allem der Wellencharakter als besonders interessant erweisen).

1.5 Ladungs- und Stromdichte einer Punktladung

19

iv). Schließlich wird noch untersucht, wie sich diese Grundgleichungen verändern, wenn man die elektromagnetischen Felder nicht wie bisher im Vakuum betrachtet, sondern den Einfluß von materiellen Medien (Gasen, Flüssigkeiten oder Festkörpern) und ihren Eigenschaften berücksichtigt. Bevor wir jedoch mit dem ersten Punkt dieser Liste beginnen, müssen wir noch unser Gleichungssystem vervollständigen. Denn bisher haben wir zwar ein gekoppeltes Gleichungssystem, in dem die Felder die Bewegung der geladenen Punktteilchen bestimmen, aber die Felder selbst werden aus den noch unspezifizierten Größen Í und abgeleitet. Erst wenn wir angeben können, wie und Í von den Punktteilchen abhängen, erhalten wir ein geschlossenes System von Differentialgleichungen, das weiter untersucht werden kann.





1.5

Ladungs- und Stromdichte einer Punktladung

Als erster Versuch kann der Beitrag einer Ladung P zur Ladungs- und Stromdichte in  der Form

‚ ”UP

 s ª     s Í ”hf  P  ª  



geschrieben werden. Dabei bezeichnet ª   die Verteilung Einheitsladung um   einer

 F normiert, um die Teilchens. Diese ist durch = Ù " ª den Schwerpunkt des  ‚ Beziehung zwischen  und der Gesamtladung zu erhalten.





Der Versuch, ª   für eine echte Punktladung anzugeben, führt allerdings zunächst auf ein mathematisches Problem. Wir können ¨ die Punktladung als Grenzfall einer N ansetzen und erhalten damit für homogen geladenen Kugel vom Radius Þ für Þ á die Ladungsverteilung á

(  ª ” ó%#'& k ª á   á · + ,  *  l l Þ  mit ª ”*) N á sonst á ( ›      ª å"  ó%#'& k ª  å"  

.

›





F

( á

/&

á 

Das Problem ist nun, daß der Grenzwert ª   ”]ó%# kuª   nicht als gewöhnliche   gelten müßte, daß einerseits Funktion erklärt da für ª Ì N werden kann,   an allenF N  Punkten  der Wert ª  ist, andererseits aber das Integral Ù=" ª 

1 Empirische Grundlagen der Elektrodynamik

20

sein muß, was jedoch für gewöhnliche Funktionen nicht möglich ist.

Dieses Problem tritt allgemein á auf, wenn man versucht, Punktladungsdichten als Grenzwert von endlich ausgedehnten  Ladungsdichten zu erhalten. Es ist also unabhängig von der speziellen Wahl der ª   , die wir hier nur der größtmöglichen Einfachheit halber getroffen haben.

0

( ó%#'& k ª

Die Idee zur Lösung dieses Problems ist, dieá gewöhnlichen Funktionen in einen größeren Raum Ñ einzubetten, in dem derá Grenzwert

ª

tatsächlich existiert.

1.5.1 Distributionen im

132

Allgemein definieren wir zunächst den Raum der temperierten Testfunktionen b durch

0




¡

ª

5476Q J




u^+/,˪

kompakt



0




(1.29)

Dabei bezeichnet Hülle aller /,˪ den Träger Ì N der Funktion ª , also die ´„J abgeschlossene  ”
J ”
 verschwinden also , für die ª   gilt. Alle Funktionen Punkte

außerhalb ´J  eines  
Ableitungen ”
endlichen Gebiets. Damit gilt dann auch, daß sämtliche  nur auf einem endlichen Gebiet ungleich Null sind.  ist offenbar der ein Vektorraum unendlicher Dimension.

0

0

Wir betrachten jetzt eine lineare Abbildung wann sie stetig ist:

8 Ÿ0

 ”
¨ 

0

und wollen definieren,

:9 J 0  heißt Nullfolge, falls es ein kompaktes Gebiet ; Ò ”
gibt, so daß Ÿ /,˪:9=Ò¹ô . i). <>= á Ableitungen Ö  Ø@? AA Ö %B á Ø@? B ª:9 streben in ii). ª:9 und alle partiellen ì ì ; gleichmäßig gegen Null. ì wenn x ì ª  eine Nullfolge Definition 2) 8 heißt stetig C 8 ª  ist eine Nullfolge, ‚ x ist. Ÿ0 
 ¨ Definition 3) Eine stetige lineare Abbildung 8  ”
heißt auch Distribution  ), und der Vektorraum der (oder stetiges, lineares Funktional auf 0 Distributionen wird mit 0 Ñ bezeichnet. á Definition 1)

ª

Nach diesen Vorbereitungen kehren wir zu unserem Problem, Strom- und Ladungsverteilung im zu definieren, zurück und identifizieren die Funktionen ª mit Elementen

1.5 á Ladungs- und Stromdichte einer Punktladung

ªÚ

0

aus dem á Raum

Ñ Ö



21

Ø :á

›   ´= Úª ñ ´  Ÿ  " ª  

D

´

0



für alle á aus dem Raum \Ö

Ø

. Es gilt also:

F › á  ´= Úª ñ ´ ¡ ÿ   "   Þ Ä } } á á ´„J á  á für alle Ö Ø. á Ú ñ´ ” ´= N  , und wir erhalten für Ÿ Qó%# Ú : µ´  ´= N  k ª k ª Esá folgt ó%# ´„J ¨ für alle . Tatsächlich sind die linear und stetig, also á Funktionen ª Ú Ÿ J ªÚ Ñ. á Das bedeutet: Die Funktionen ª konvergieren zwar gegen keine Funktion, aber die zugehörigen Distributionen ª Ú konvergieren gegen eine wohldefinierte Distribution

E

0 ( /& 0

8 0

8

8 0

8

/&

F(

8

. Genau diese Distribution wollen wir als die Ladungsverteilung einer Punktladung definieren. Die Physiker führten hierfür das Symbol damit als

8 

µ´

›

¡



 "







 b

ein und schreiben die Distribution

 = ´  ´= N   Ÿ  

8

(1.30)

 nennt man auch „Deltafunktion“. Diese Schreibweise erinnert stärker an die á Grenzwertbildung á





¡

F( ó%#'& k ª

 

á angestrebt wurde, und wir behalten sie bei, weil sie überdies sehr die ursprünglich praktisch ist. (Natürlich ist die -Funktion selbst unabhängig von der obigen Grenz¨ wertbildung ª Ú erklärt.)





Wenn wir nun das Argument in

›

 "





 á



verschieben, so gilt formal:

 s Þ Æ ´  )  ç ›     "

HG%I

Damit erklären wir die Distribution





 = ´  ´ Þ =   T Þ ¡ 

 s Þ .

1 Empirische Grundlagen der Elektrodynamik

22



KJ

Die Gleichung (1.30) wie allgemein die -Funktion in ´„J × zeigt,
erklären ist. Für  setzen wir einfach

›

Ï

Dimensionen zu




 ´= ´= N "
  Ÿ   b

und entsprechend

›




 s ´= ´Æ Þ "
Þ   Ÿ  



Da wir zunächst nur





Für ein bewegtes Punktteilchen (Bahnkurve Stromdichte definieren:

‚  ”QPL

 3  .

benutzen, verabreden wir die Schreibweise Ü

? Y  )

können wir jetzt Ladungs- und

  s  Y    Y  s ? Y Í  ”QP W    

M

Für ein System von Ï Teilchen bedeutet das also:

‚  ”  Í  ”  

(


%)+* (
%)+*

P



  s ? Y   

N

 Y  s ? Y P  W      

(1.31)

(1.32)

23

2

Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

2.1

Der M INKOWSKIraum

k  V Y und definieren einen Raumzeitpunkt durch das 4-Tupel

k

* Ÿ 

v



Wir setzen

O

PQQR V TAS UU

(2.1)

k

bestehend aus und den drei cartesischen Raumkoordinaten. Die Menge der Punkte ÿ bildet den Vektorraum Ð  . Mit Ð  wird dann der Dualraum, das heißt der Vektorraum der linearen Funktionen von Ð , bezeichnet.

O

Tensoren

Ein B -fach ko- und A -fach kontravarianter Tensor (kurz ist eine multilineare Abbildung

W Ÿ X Ð ê AY AZ  ê Ð [ ê X Ð

 B .A

 -Tensor) der Stufe (B T A )

(2.2) AY\AZ  ê Ð bX[  bXb ¨ bXbXb 7 -mal -mal 4 J J  das heißt, für ] Ð ]  Ð  ist W ] * ] 7 ]  ]   in jedem Argument linear.  * W ist durch seine Werte auf^ einer Basis A ù ^ von Ð und der dazu dualen Basis ù ^ F H I N ^ _ =¬  ) von Ð  festgelegt, das heißt durch die (definiert durch ù ù 9 3 9 | ” 9 @ 9 c W bXbXb bXbXb Zahlen ^ ^ed (Tensorkomponenten) mit W ^9 9^ c d Ÿ  W  ùA^ ùA^ed ù 9 ù 9 c  (2.3) xax `b`b`b`b` ` bXbXb b x ]  bXbXb ] xx `b`b^ `b`b`` ùA4 ^ ]  x ]  9 ù 9 4 W  ] * ] 7 ]  ]    W ^9 9^ c d ] ^ AAF] ^7 d ]  9 AAF]  9@c * * * x x `b`b`b`b` ` x x

 ê4

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

24

Hierbei ist zu beachten, daß wir hier, wie im folgenden immer, die E INSTEINsche Summenkonvention benutzen: E INSTEINsche Summenkonvention Über gleiche gegenständige griechische Indices wird von 0 bis 3 summiert.

4

Die Menge dieser Tensoren bildet einen Vektorraum Ð aus dem eben gesagten leicht zu sehen ist. Die M INKOWSKImetrik Auf Ð definieren wir für je zwei Vektoren Stufe durch:

j

g i h J

Ð

7

mit der Dimension



Af

4

7

, wie

den 2-fach kovarianten Tensor 2.

  Ÿ Þ k k s ( Þ s   Û (2.4)  Û   Þ k Û k ?Þ1 Û  %)+*   ist symmetrisch, dasJ heißt   N  º , und nicht ausgeartet, das heißt, wenn  gilt, ist ‚ . für festes und alle Ð heißt M INKOWSKImetrik in Ð . Definitionen:  Ÿ    und nennen dies M IN Wir schreiben auch å KOWSKIskalarprodukt.   Ð p heißt M INKOWSKIraum.  Þ  s ” Þ k Û k Bemerkung: definiert keine euklidische Norm, denn  Û  ist  Ž ) * indefinit.

j g ih

j

ih h h lj j g ig h kj g g 3m j g ih kj g ih j j g ih

g

j

.




Die Geometrie des M INKOWSKIraums ist nicht euklidisch.

jL^e9 kj  A^ %9

Es folgt, daß für eine Basis Ü ù ù Ž eine umkehrbare Matrix ist. Wir bezeichnen mit die Matrixelemente der dazu inversen Matrix und fassen diese Zahlen als die Komponenten eines kontravarianten Tensors 2-ter Stufe auf.

j ^e9

Definition:

 A^  s¹heißt von ÐnCoj ùA^ ù%90¬ ^pF^e9 F ?@ Orthonormalbasis F H I < ù

<



.

jL^9 qj ^9 < ^MF^9

mit

< k

F

und

Offenbar ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. Numerisch gilt also in diesem  Fall für die Komponenten: • .



2.2 Der Feldstärketensor

Der Feldstärketensor r

2.2

 B .A

Ein jedes

O

25

8

 B .A in Ð ist einebXbXAbbildung J  -Tensorfeld b durch bXbXb Ð ein  -Tensor und damit       ù ù ù

Ÿ Ð

¨

4 Ð 7

, das heißt,

8 O 

ist für

8 O ^9 @9 :^ c d l8 O A^ A^ed 9 ù 9@c  (2.5) x `b`b` eindeutig bestimmt. Für eine feste Basis und x variables O erhalten wir also Funktionen x @ x b ` b ` ` O von , und diese Funktionen bestimmen das Tensorfeld eindeutig. Betrachten wir nun die Funktionen

 k



O

s

¡

+k 

O

 Ÿ 

s



O

 Ÿ 

s



O

 Ÿ 

N

4



  +kk wobei S



und !



 Y S   4 (

@

s s² + Y 

 ! 8 º) *

s

F H I ^

(2.6)

@ . A F H I  ^

(2.7)



(2.8)

die Komponenten des elektrischen und magnetischen Feldes sind.

Wir bestimmen durch diese Funktionen eindeutig ein kovariantes Tensorfeld zweiter Stufe, indem wir verlangen, daß für die Standardbasis

t^e9  O 

2Q

H^9

gilt. Wegen  • Feldstärketensor.

s



O   ùA^ ù%9Ž  9F^ ist  O



(2.9) antisymmetrisch.



heißt in der Physik kurz der

Wir bleiben in der Folge bei der Standardbasis und bilden

 

^9  O ^9  O

uj ^ev Hv#9  O  uj ^ev  v 9  O ¡wj ^ev j 9\x  v%x  O

 Ÿ   Ÿ 

^9  O

b

(2.10)



(2.11)

F F

 -Tensorfeldes Jetzt fassen wir die Funktionen   als Komponenten  N H eines   -Tensorfeldes auf, und zwar  als Komponenten eines und die Funktionen  stets bezüglich der Standardbasis und der dazu dualen Basis von Ð  . Mit Hilfe der M INKOWSKImetrik können wir also aus dem Tensorfeld  ein einfach ko- und einfach kontravariantes, sowie ein zweifach kontravariantes Tensorfeld bilden.

^9 O

Aus den partiellen Ableitungen von Tensorfelder:

H^9  O 



bilden wir jetzt noch zwei weitere

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

26

i). Das einfach kontravariante Tensorfeld (das heißt das Vektorfeld) Komponenten(i) :





"#¢$&=

O  9

y^ ^e9  O





"#¢$&

mit den



(2.12)

ii). Das 3-fach kovariante schiefe Tensorfeld " , für dessen Komponenten gilt:



"Æ



O . #^ z{ ^ z#{ z ^#z{  C  "Æ x}O |  ^ | ^ z ^  | x

Ausgedrückt durch S



und !

O ^^ H^ ^ ^  O t^ _ _

?>    >ÓJ  "Æ .  z für    b   z  s x Ÿ  T

z N¡· x  · I falls Œ Œ x * v Ÿ 

<

^ ^ ^ O _

L 

H^ ^ ^ z   O x



(2.13)

ergibt sich nun

"#¢$cÆ k U"#%$&S F  s  "#%$&ÆGÜ V Y S  T ,.-0/!¡

(2.14)

sowie



2.3

s

"#¢$c! 4 b 4 4 F (4  s  "Æ k 7  7 R V Y ! T ,.-0/SÁ Z  ) * 8 "Æ   *v

(2.15)

Die 4-dimensionale Form der Grundgleichungen der Elektrodynamik



Wir fassen nun noch und Í zu einem einfach kontravarianten Tensorfeld (oder Vektorfeld) in Ð zusammen, indem wir

{  ü |

~ k O ~  und  O

 O O

  ” V   ”ÎÍ  

(2.16) (2.17)

:€

Beachten Sie, daß die partielle Ableitung nach eine kovariante Komponente ist, daß also der Index dort unten steht. In dieser Formel muß also entsprechend der E INSTEINschen Summenkonvention über summiert werden

2.3 Die 4-dimensionale Form der Grundgleichungen der Elektrodynamik als Komponenten des Vektorfeldes dann Viererstromdichte.

~ O



in der Standardbasis ansehen.

~ O

27



heißt

Mit dieser Definition gilt dann offenbar für die M AXWELLgleichungen:



Homogene M AXWELLgleichungen

N

,.-0/1SUT €* ˜  N "#¢$cì !  ì

#"

C

"Š

N

(2.18)

und entsprechend



Inhomogene M AXWELLgleichungen

,C-0/!

s

€* ˜  "#¢$&ì SÉ ì

ÿ

%$





€ ÄÀ Í

C

"#%$& 

ÿ

ۀ

~

b (2.19)

Komplizierter ist es, die vierdimensionale Form der Bewegungsgleichung abzuleiten. Für ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld gilt die Bewegungsgleichung

d "

F W



‘ •W !    Z  Q P S •  T R V { F|s'}? ~ } z z €z  x

"Y

woraus

d Vv  P S +•W  Q " { F|s'}? ~ z } z  z € x  Y  folgt.

 ist die Bahnkurve des Teilchens im

(1.6)

"Y

(1.7)

als Funktion der Zeit.

ƒ ƒ „ /„ ‚

Wir parametrisieren diese Bahnkurve jetzt in willkürlicher Weise‡ um, indem wir

k  V Y als Funktion eines neuen Parameters ansehen, wobei  – š Ý N sein soll. Es folgt, daß eine Funktion von wird. Für die Differentiation nach gilt also die k k Kettenregel ( Ñ : Ableitung von nach )

‚

"

T‚ "



kÑ " V " Y

‚

‚

(2.20)

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

28

b

oder

"

V "  1 k Ñ"

"Y

T‚

(2.21)

‚

Aus (1.6) folgt dann ( Ñ : Ableitung von nach )

F Vä Ñ  + Y  Y d V "  P R S •T  k Ñ !

 Z { F|s'}  Õ } z z Q

k Ñ " Ñ  k Ñ  ‡ Õz  x

T‚

oder

Ñ " P {  + Y k Ñ d V   T V S " { 1 k Ñ v s  z l Ñ lv x

T‚

Für (1.7) auf der vorhergehenden Seite gilt dann

V " 1 k Ñ "

T‚

d Vv PV  1 k S  Ñ z z Ñ Fts }  Õ } z Z  ‡Õ R  x

‹Š

‰ˆ

b

oder

kÑ P " V  V S  Ñ d " { k Ñv s  z l Ñ lv x

T‚

ˆ

Š

Wir haben aber die Raumzeitpunkte durch

k

O 

PQQR

v* V

 AS UU

eingeführt. Offenbar beschreibt also

O ‚i2 QP RQ 

‡†

…

‚

k  —

*  —

v  —

  —

‚ V ‚ AS U ‚ U

…

†

Ñ ! 

Y  

b

2.3 Die 4-dimensionale Form der Grundgleichungen der Elektrodynamik

29

jetzt eine Kurve in der Raumzeit. Mit Hilfe der M INKOWSKImetrik ergibt sich b zunächst

O O O O ˆ Ñ ÑŠ w j2Ö Ñ

Weiter folgt

s ÑØ  k Ñv m Ñ mv m m O

F " "

V d  " Ñ Ñ z " O x wobei k‚Ÿ  P S  Ñ V O P { Ÿ k und   V S  Ñ T O

T‚ O O

y‚

^

^

Š

ˆ

^

…

†

Ñ ! 

ƒƒ „ O

läßt sich vollständig durch den Feldstärketensor und ausdrücken. Denn durch Einsetzen der Definitionen (Gleichungen (2.6) bis (2.11)) überprüft man leicht die O Identität

für

_

^

^9 O ‚ 9 T‚ ‚

   " P i i  V  " N F H I  .

O Mg ^

g

O ^9 g 9

Zweckmäßigerweise ÿ die lineare Abbildung    definieren wir jetzt noch für jeden Vektor Ÿ    9  . Für die Bahnkurve in Ð  gilt dann in kompakter Schreibweise: Relativistische Bewegungsgleichung

F " " "  P   V icR d i” V  " Ñ Ñ z " " x  — heißt Vierergeschwindigkeit.

T‚ O O

Definition:

O T‚ ‚

O ‚

O  Z T‚ —‚ 

(2.22)

O ƒƒ „ ‚

In dieser Bewegungsgleichung ist jetzt noch die Wurzel aus dem Quadrat der Vierergeschwindigkeit im Nenner störend. Allerdings hatten wir ja die Parametrisierung der Bahnkurven durch bis auf die Positivität der Ableitung willkürlich  vollkommen  i i beliebig vorgewählt. Diese Freiheit können wir nun nutzen, um zuschreiben. Danach liegt dann allerdings die Parametrisierung fest!

‚

O O ˆ ƒ ƒ „ ‚ ƒ ƒ „ ‚ Š

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

30

Hierzu sind zwei Vorschriften allgemein in Gebrauch: i).

‚

ist die Bogenlänge der Kurve

Ÿ

C

O  —‚  " O  —‚ äøŒ "T‚ "y‚

F

"

÷

ii). Alternativ wird der Parameter œ¬

„€

(2.23) benutzt. Dann nennt man œ die Eigenzeit.

Wir verwenden die Konvention (2.23) und erhalten als Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld  :

O  —‚  T‚ " O  " O  ‚— "T‚ i‚  ø Œ "y‚ " d V v " v

mit

2.4

÷

P

V 

O ‚— R " O  i‚  Z "T‚

 

F

L ORENTZgruppe und P OINCARÉgruppe

j ih g

liWir betrachten den M INKOWSKIraum Ð mit dem metrischen Tensor . Eine J Ð Ÿ , die invariant läßt, für die also gilt, daß für alle neare Abbildung   ”  ist, heißt L ORENTZtransformation. Die Menge der L ORENTZtransformationen bildet eine Gruppe, die sogenannte L ORENTZgruppe, und wird mit bezeichnet. Falls ù eine Basis von Ð ist, gilt

Ž ih

j Ž g Ž h qj g  A^ Ž ù ^ wŽ ^9 ù 9 ¬

und aus der Invarianz vonb

j

j

(2.24) folgt

Ž ^9 Ž ^9 ÕÕ j 9\9 Õ lj ^^ Õ (2.25) ^ Für die duale Basis ù b ergibt sich daraus Ž  ù ^ wŽ ^9 ù 9 (2.26) J  J    J Für O Ð definieren wir j O  Ð  durchŸ j ¨ O  g+ Ÿ q j O gº für alle g Ð und Ð ÐÆ . j O  ist linear in O und, da erhalten so eine lineare Abbildung j j nicht ausgeartet ist, ein Vektorraumisomorphismus. Es existiert also das Inverse { ü | (i)

Die wir mit dem gleichen Buchstaben bezeichnen.

2.4 L ORENTZgruppe und P OINCARÉgruppe

jç*

31

j  ùA^”qjL^e9íù 9 und j ç *  ù ^ ”qj ^e9 ù%9 . Nun gilt j  Ž O   gº¡lj  Ž O gº¡wj R O ç Ž * g Z  R ç Ž *  j  O  Z  gº

Ÿ Ð= ¨ Ð

. Speziell folgt

das heißt

j‘%Žo ç Ž *  #j

b (2.27)

Durch Bildung des Inversen b folgt:

ç

Ž *  çj *

ç



j * ’Ž





(2.28)

Das cartesische Produkt ê Ð wir das Produkt der Elemente 

*

Ž* g

*

Ž * Ž v Ž * g v Tg *  GF ” N definieren. Offenbar ist  die Gruppeneins und H“



 *  v  ç

Žv gv

versehen jetzt mit einer  Gruppenstruktur, indem Ÿ   wir Ÿ  und    durch die Formel

v

(2.29)

ç s ç Z * R *

(2.30) Ž g Ÿ  g  . Die so definierte Gruppe heißt P das Inverse von   Ž º gruppe und wird J von uns mit • bezeichnet. • operiert auf Ð in folgender Weise: Für  • setzen wir    O 2wŽ O T–g (2.31)  Daraus folgt  *  “  v    *  v   . Der Beweis ist einfach:       *  “  v   O ² *  Ž v O Tg v ¡wŽ * Ž v O T–Ž * g v T–g *   *  v  O  

* 

Ž

OINCARÉ

q.e.d.

2.4.1 Transformationsgesetz für Tensorfelder Ziel ist es zu zeigen, daß die M AXWELLschen Gleichungen und die Bewegungsgleichung geladener Teilchen invariant unter diesen Transformationen sind. Hierzu ist zunächst zu definieren, wie die P OINCARÉgruppe auf Tensorfeldern und reellwertigen Funktionen in Ð operiert. Wir verabreden zunächst, daß ein Tensorfeld nullter Stufe eine reellwertige Funktion Fälle  B .A ist, um damit dieseJ beiden  gemeinsam zu behan  -Tensorfeld und  c º definieren wir dann deln. Für jedes beliebige

•

Ž g

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

32

W

 B .A

bXbXb u durch bXbXb  -Tensorfeld 4      Ÿ bXbXb     * bXbX7 b * ç ç Ÿ   R 7 *  *  * *

ein neues

— — — W O ˜— W O Ž— Ž— Ž —

(2.32)

Z

ist, daß also für zwei Tensorfelder gleicher Stufe ™  Wb inTœW šplinear W gilt. Außerdem folgt

˜™ W T›š W *

Es  folgt hieraus, daß 



Ž —

4

  * v”       v * * v

v

W

Wir können leicht die Komponenten von  durch die Komponenten von drücken. Beachten wir (2.24) und (2.26) auf Seite 30, so folgt



W O ^9 9@^ec d  bXbXb bXbXb W O žbb A^ bXbXb ùA^ed ù 9 ù 9 bXc bX b @bb W O ŸŽ ^ x Ž¬ù ^ d x Ž ç * ù 9 Ž ç * ù 9 c Z

            x  ù x     |R ßù {      ù Õ

bXbXb

bXbXb

W

(2.33) aus-

(2.34)

Õd Õ ç Z 9 ç Z 9c ^ ^ 9 c * Ž ^ AAiŽ ^ d R Ž 9 Õ A AuR Ž * 9 cÕ ^ x x x 9 @ 9 c Õ Õ Õ Õ ç x 9 6 69  x ^ ^ ç x  W ^ Õ 6 6 ^ c Õd   O  Ž ^ AAiŽ d ^ed R Ž * Z Õ AA1R Ž * Z Õ 9x 9c x `b`b` x x x `b`b` x Übungen

O

W

x

^d 9

ù Õ ù Õ

x ù Ձ

Aufgabe 2.1 — Teilchenbewegung in einem konstanten elektromagnetischen Feld Die Bewegungsgleichung für ein Punktteilchen der Masse konstanten elektromagnetischen Feld  ist gegeben durch

O

 Ñ Ñ œ ¬

P

 d V

O

 Ñ œ 

d

und Ladung

P

in einem

(2.35)

Übungen

O



¢¡ ¡ O

33

O



œ und wobei Ñ œ0 Eigenzeit œ ist, das heißt ›

V œD

a£ A£

ˆ

ï

O

O

ÿ ¨

Ÿ b

die Bahnkurve, parametrisiert durch die

Š

  Ñ ˆ  Ñ 1ˆ  z ⠈ x

Hierbei ist ? ƒ die M INKOWSKI-Metrik und  ist eine konstante lineare Abbildung, die durch die Komponenten  des Feldstärketensors wie folgt definiert ist:





— ^

^9

^9 — 9

Q

Einmalige Integration von (2.35) liefert natürlich

O

™ O

 Ñ œ ¬



O

œ•T

Ñk

mit

O

Ñk 

const.

ÿ J

und

™

b P



d V

(a) Zeigen Sie, daß

O 

™ œ¼ù\¤ ¥ œ 

RP O

j

k¬T

› k

\¤ ¥

ï ⠈ù

s

™ Æ O Ñk V ˆ



S

eine Lösung der Bewegungsgleichung (2.35) für die Anfangsbedingung

O

ist.





N

O



k

\¤M¥  œ ™ =

œ0Qù (b) Zeigen Sie, daß ist. Hinweis: Zeigen Sie: â

J

für alle

O

O

ÿ N Ñ ¬ œ

Ñk

eine L ORENTZ–Transformation

 — 

 œ  œ B  N J ÿ für alle .  Berechnen Sie œ für die Spezialfälle: N N N N N3N b S N\N N !N s N S N N\N s !N ! N3N   und \ ! ! N N N N N N3N !  œ Æ durch Entwicklung in eine Potenzreihe. Hinweis: Berechnen Sie ù ⠜

— i¦

(c)

const.

PQQR

O

Bemerkung:

VSAU U

\¤ ¥ ™

PQQR

VSAU U

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

34

Man kann zeigen, daß der allgemeine Fall eines konstanten Feldes durch geeignete L ORENTZtransformationen auf diese beiden Fälle zurückzuführen ist.

Aufgabe 2.2 — Teilchenbewegung in einer elektromagnetischen Welle Wir betrachten einen elektromagnetischen Feldstärketensor der Form

O   g i h ”]ô  ˜¦” g Ü ‹§  ih s ‹§  g Ü -¦” ihå &½.#%¿  ¨¦ O  T–i (2.36) ÿ b für alle g ih J §   N ô J heißtJ ÿ die Amplitude,sΦF J ÿ mit ˜¦ i¦º  N heißt der wobei ˜¦ ©„ § mit -§  ©§  heißt der (raumartige) Polarisa(lichtartige) Wellenvektor, J heißt die Phase. Hierbei ist  die M -Metrik. tionsvektor und  (a) Berechnen Sie die Tensorkomponenten H^9 von (2.36) in der Standardbasis. (b) Zeigen Sie, daß  aus (2.36) eine Lösung der  M ~ N gleichungen in Vakuum (das heißt für die Ladungs–Stromdichte gilt O 0 ):   â O N N "#%$c= O  Æ ¬ 



INKOWSKI

AXWELL

darstellt. (c) Zeigen Sie, daß für das elektrische Feld S , dessen Komponenten durch

O

 Y  S  + ¬Q+k  

@



F H I 

gegeben sind und für das magnetische Feld ! , dessen Komponenten durch

 Y ! 7 + ¬

s

F ( Ê Ê H Ê  7  6 )•* 8  

O

gegeben sind, gilt:

ǻ

B

»

B

B 

F H I 

b

ǻ

S Q!

b l S9lŽ'l !l @ F H I Hierbei ist B der Vektor mit den Komponenten B    S

!

Wir transformieren jetzt die elektromagnetische Welle (2.36) mittels einer L ORENTZ-

Übungen

35

Transformation:

O   g i h ”Q  Ž O   Žg Ž h    (d) Zeigen Sie, daß Ž  Æ O  wieder die Form (2.36) besitzt, wobei der Wellenvektor ç ç durch Ž * ¦ und der Polarisationvektor durch Ž * § gegeben ist. Ž



 =



Die Bewegungsgleichung für ein Punktteilchen der Masse elektromagnetischen Feld  der Gleichung (2.36) lautet

O

¦ § O Š § ¦ O Š ˆ ˆ O O ¡¡

d

und Ladung

˜¦ O –

 s ô P    ‚  Ñ Xå½.#[¿    T i Ñ Ñ œ  Ñ V d   ¨ ÿ œ und Ÿ die Bahnkurve, parametrisiert wobei Ñ œ0 Eigenzeit œ ist, das heißt, ï b › V œD ï Ñ  ˆ Ñ  ˆ1 z ⠈ k x

O

ˆ

O

O

-¦ O

¦ O ˜ ¦ O ˆ Ñk Š œ_T

folgt.

-¦ O

k 

 Ñk   N Ì N  Wegen  Ñk   können wir œ0 ” k  schreiben. (f) Zeigen Sie, daß der Fall

˜¦ O

-¦ O

O

mit

O

k|

O

N

k­  ® œ

­ Ñ Ñ ®  d V” ˜Pi¦ô O Ñk  Ö ˆ  § ­ Ñ ®  Š ¦ s § ® ® wobei ­ Ñ 0¯¡ ­ ¡@°  ist, folgt.

(h) Zeigen Sie jetzt, daß aus (2.38)

mit

™ 

ˆ

const.

J

s 

mit



folgt.

und

O

Ñk 

®p œ0 - ¦” O

ؕ½.#%¿

®  ™

 Piô »‘-Ž½ T —•T ” V ”  d Ñk

˜¦ O



ausgeschlossen ist.

(g) Zeigen Sie, daß aus (2.37)

§  ­ Ñ ®  Š

in dem

(2.37) durch die

Š

(e) Zeigen Sie, daß aus (2.37)

  

P

® –T i 



O

N Ñ 

˜¦ O

    œ  Ñk œ¡T

(2.38)

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

36

(i) Setzen Sie das Resultat aus (h) in (2.38) ein, und zeigen Sie, daß die Lösung der Bewegungsgleichung (2.37) durch

O 

) ±

P—ô œ d V  Ñk 

¨¦ O

õ

F

¦ O Š

-¦ O – Ø—Ø ö ¦

H Piô ½C#%¿¡Ö Ö  Ñk œ_T  k  T d V” ” Ñk 

˜¦ O

ˆ

§ s²™ ¦ ½C#%¿¡Ö ”¦ O Ñk Š œ_T -¦” O k  T– ؟³ ˆ ¦ O Ñk Š œ_T -”¦ O k  Ø T›¶ Tµ´¹Ö  ˆ J ÿ ¦ ´   F , -”¦ ¶   N und ‹§  ´   ™ gegeben ist, wobei ´ ¶ mit ˜ T



b Versu-

chen Sie auch, dieses Resultat zu interpretieren.

2.5

Operationen auf Tensorfeldern, die mit ·¹¸ vertauschen

Wir stellen uns jetzt die Aufgabe, Operatoren zu finden, die mit der Aktion der P OIN CARÉgruppe vertauschen. Denn wenn wir wissen, daß eine Gleichung für Tensorfelder nur aus solchen Operatoren aufgebaut ist (wie sich herausstellen wird, gilt dies für die M AXWELLgleichungen), so folgt daraus, daß man eine Lösung der Gleichung nur noch POINCARÉtransformieren muß, um weitere Lösungen zu finden.

¨

Als Beispiel dafür nehmen wir die Operatoren  " und  Abschnitt 2.2 rein formal eingeführt haben. Wir werden zeigen:

¨

"#¢$c

, die wir in

  "DU"i    "#¢$¡U"#¢$+  Um diese Aussagen beweisen zu können, führen wir die Operatoren auf fünf grundlegende, einfach strukturierte Operationen zurück, die mit der Operation der P OIN CARÉgruppe vertauschen, die also POINCARÉinvariant sind. Aus diesen Operatoren können dann fast alle anderen POINCARÉinvarianten Operatoren aufgebaut werden. Wir beginnen mit dem

2.5.1 Tensorprodukt  B .A   respektive B Ñ .A Ñ  Tensorfelder Für  B die bXbXb Xb bXb T B Ñ .A T A Ñ  -Tensorfeld 4 4  Ñ  Ö * 7 u7 Õ   Õ Ø Ÿ  *

W»ºœW O —

— \f —

— f

W

und

W Ñ

ist das Tensorprodukt als das

(2.39)

2.5 Operationen bXauf bXb Tensorfeldern, bXbXb die mit 

W  O  ˜ —

Ÿ 

*



4

— —



vertauschen bXbXb

— W O — Af

 Ñ  Ö 7 *

7  *

4

— Af — f

bXbXb

7 u7 Õ  *

4 4  ÕØ

— f

37

definiert. Die Tensorkomponenten werden also einfach multipliziert. Wie leicht zu erkennen ist, gilt

  Ö

W»ºœW

Ñ Ø j 

Wȼ   W

wenn man die Definition von 

Ñ



(2.40)

explizit einsetzt.

2.5.2 Permutation der Argumente 4  bXbXb und seienbX> bXb J‚L 7 > Ñ J„L . Wir setzen Sei ein B .A  -Tensorfeld 4  Õ   bX bXb   bXŸ bXb   * 7 * 4 {  Ÿ  – š –7 š  Ֆ š  Ֆ š  * *

W

‹¼H½½ W O ˜— W O —½

— — — —½ —½

(2.41)

—½

¼½#½ ¼H½½

•

und erhalten ein neues Tensorfeld derselben Stufe. Es es ist leicht zu sehen, daß auch Õ Õ   für  J gilt, wenn man wieder nur die Definition für diese Operation   von  (Gleichung (2.32) auf Seite 32) einsetzt.



N 4

N

.A Bemerkung: Für ein rein kovariantes B  oder rein >J„L kontravariantes>J„L  Tensorfeld mit , da ja keine schreibt man auch einfach 7 respektive weiteren Argumente vertauscht werden können.

¼½

2.5.3 Kontraktion  B s¹F .A s F O  B .A  -Tensorfeld, bXbXb dann bezeichnet bXbXb Sei ein  -Tensorfeld 4 man das     Ö * bX7 bXç b *   ç bXØ bXb Ÿ  4 (2.42) * *  Ÿ   Öù * 7 ç * ù  ç Ø * *

W

— W O — W O ^ — als Kontraktion von W .

—

—

—

^ —

—

W gilt offenbar:  W  O 9 6 6 9@c¿¾ Ÿ W  O O ^ 6 9 6 O 6 9@c¿¾   ^ 6 6 ^ di¾   ^ 6 ^ 6 6 ^ di¾ O x `b`bzu ` bXbXx b x daß  bXbX b x x `b`b`b`b` ` 4 x gilt: Es ist wieder leicht x `b`b` sehen, x W   O ”Ö — * — bXbX7 b ç —  —  ç bXbXØ b  4 * * *  — — — — ^ ²  W O ”Ö?ù ^ * 7 ç * ù   ç Ø * *

Für die O Komponenten der Kontraktion von

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

38

bXbXb

bXbXb

  

O

WO

O Ž— W O —

bXbXb

Ž—

*

Ž —

bXbXb *

Ž —

ç ç    R Xb * bX b 7 ç * bXbX* b  * *4  ²  ”Ö * 7 ç *   ç Ø * * ç Im vorvorletzten Schritt wurde dabei Ö *Ø  



2.5.4 Gradient

Â

—

—

Ž À^ Ž

—

^ 3 À Á Á

4

*

ç Z *

benutzt.

˜Ä ÅÇÆ©È˜É -Tensorfeld, dann definieren wir das ĘÅ7ÊwË:Æ©È˜É -Tensorfeld ̑à durch (2.43) Ę̑ÃÍÉċÎÏÉ>ĘÐÑ\ÆAÒAÒAÒÆ ÐÓAÔ Ñ Æ ÐÖÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÖ×Õ ÉØÚÙ ØÚÙ Û Y ÃÜÄ-ÎÜÊ Y Ð Ñ ÉĘÐÝ:ÆAÒAÒAÒ%Æ ÐÓAÔ Ñ Æ ÐÖÕÑ ÆAÒAÒAÒ%Æ ÐÖ×Õ ÉeÞÞ ÞÞ ß'à‰á Û und nennen dieses Tensorfeld den Gradienten von à . Die Komponenten des Gradienten lassen sich aus den Komponenten von à leicht æ berechnen, wenn man für âŸã und â ãÕ die Basisvektoren äAåæ@Æ@ä%ç einsetzt. Es folgt sofort: Ę̑ÃÍÉċÎÏÉ åçFè@è ébébêbêbêbêbê ê é é ç@å:ë ìží è Ù î å è ÃÜċÎÏÉ å:çFèžð ébébêbêbêbêbê ê é é ç@å:ë ìží è îTï Sei

Ã

4

W   O |RTŽ¬ù ^ Ž — * Ž — 7 ç Ž ç * ù ^ Ž ç * —  Ž ç * —  ç Z * * bXbXb bXbXb * 4 W    O  R ù%À Ž — * Ž — 7 ç ùAÁ Ž ç * —  Ž ç * —  ç Z Ž À ^ R ç Ž * Z ^ * * bXbXb * bXbXb Á 4 ç ç W    O |Rù À Ž — * Ž — 7 ç ù À Ž * —  Ž * —  ç Z 

ein

Für den Gradienten gilt nun

Ìñ Õ ÃÜċÎÏÉ>ĘÐÍÑAÆAÒAÒAÒÆ ÐÓAÔ Ñ Æ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒÆ Ð ×Õ ÉÖÙ Ù Û Y ÄòñÇÕ ÃÍÉÄ‹Î»Ê Y ÐÑiÉ‰Ä˜Ð Ý ÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÓAÔ Ñ Æ ÐÖÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÖ×Õ É ÞÞ ÞÞ ß'à‰á Û Ù Û Y ÃÜÄóñ Õ Ä‹ÎÜÊ Y ÐÑiÉ@ÉKôŸõöÐ Ý ÆAÒAÒAÒ#Æ©õöÐÓAÔ Ñ Æ\÷ õ Ñ Õ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒÆ\÷ õ Ñ Õ Ð ×Õ Z ÞÞ ÞÞ ß'à>á Û

2.5 Operationen auf Tensorfeldern, die mit

ñÕ

vertauschen

39

Ù Û Y ÃÜċõÎÜʖøkÊ Y õÐÍÑ ÉAôTõÐ Ý ÆAÒAÒAÒ#Æ©õÐùÓ\Ô Ñ Æ\÷ õ Ñ Õ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒÆ\÷ õ Ñ Õ Ð ×Õ Z ÞÞ ÞÞ ß'àá Û Ù Û Y ÃÜÄóñ Õ ÎÜÊ Y õöÐ Ñ É ô õöÐÝeÆAÒAÒAÒ#Æ©õöÐÓAÔ Ñ Æ ÷ õ Ñ Õ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ ÷ õ Ñ Õ Ð ×Õ Z ÞÞ ÞÞ ß'à>á Û Ùw̑ÃÜÄ¿ñ Õ ÎÏÉ ô õÐÍÑAÆAÒAÒAÒÆ©õÐÓAÔ Ñ Æ\÷ õ Ñ ÕAÐÖÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ\÷ õ Ñ Õ\Ðù×Õ Z Ù²ñ Õ Ì‘Ã¹Ä-ÎÏÉÄ˜Ð Ñ ÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÓAÔ Ñ Æ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%Æ Ð ×Õ É ú Ì ñ Õ Ù²ñ Õ Ì Also ist auch der Gradient POINCARÉinvariant.

2.5.5 Hochziehen eines Tensorindexes Sei

Ã

-Ä ÅÇÆ©È-É -Tensorfeld. Wir definieren ûÜà durch das ĨőüË:Æ©ÈTÊwË#É -Tensorfeld ċûÜÃÍɉċÎÏÉý‡Ð Ñ ÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÖÓ ÷ Ñ Æ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒÆ Ð ×Õ Ô Ñiþ ؑ٠ØÚÙÿÃÜċÎÏɏô ÷ Ñ Ä˜Ð ÕÑ ÉÇÆ ÐÍÑAÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÖÓ ÷ Ñ Æ Ð ÝÕ ÆAÒAÒAÒÆ Ð ×Õ Ô Ñ Z Ò (2.44)

ein

à «ûÜÃ

Die Operation 
bezeichnen wir als Hochziehen eines Index. Diese Bezeichansieht: nung wird sofort klar, wenn man sich die Komponenten von

ċûÜÃÍɉċÎÏÉ åçFè@è@ébébêbêbêbêbê ê é é ç å ë ìí  è è ÙwÃÜċÎÏÉ ççFðé å ébêbè@êbêébéêbç êbê ë é í å èì è çFè˜ç

Ã

Ä-őü Ë:Æ©ÈTÊwË#É ôû÷ Ñ Ã  Z ċÎÏÉćÐÏÑ%ÆAÒAÒAÒ%Æ ÐÖÓ Æ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%Æ Ð ×Õ ÉØ Ù ØÚÙÿà  ċÎÏÉ>Ä˜Ð Ý ÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÖÓÆ Ä¨ÐÏÑFÉyÆ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒÆ Ð ×Õ É

ûÜÃ

Entsprechend kann man das Herunterziehen von Indizes als Inverses von ( sei ein -Tensorfeld):

Auch für diese Operation gilt Beweis:

û

ñ Õ ûÙkû ñ Õ , woraus sofort ñ Õ û ÷ Ñ kÙ û ÷ Ñ ñ Õ

Äòñ Õ ûÜÃÍÉÄ-ÎÏÉýaÐÏÑ%ÆAÒAÒAÒ%Æ ÐÖÓ ÷ Ñ Æ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ Ð ×Õ Ô Ñ þ Ù

definieren

(2.45)

folgt.

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

40

٠ċûÜÃÍÉ>Äóñ Õ ÎÏɏôTõÐÑ%ÆAÒAÒAÒ%Æ©õÐÖÓ ÷ Ñ Æ\÷ õ Ñ Õ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ\÷ õ Ñ Õ Ð ×Õ Ô Ñ Z Ù ÃÜÄóñ Õ ÎÏÉ ô ÷ Ñ ô>÷ õ Ñ Õ Ð ÕÑ Z Æ©õöÐÍÑ%ÆAÒAÒAÒ%Æ©õöÐÖÓ ÷ Ñ Æ ÷ õ Ñ Õ Ð ÝÕ ÆAÒAÒAÒ#Æ ÷ õ Ñ Õ Ð ×Õ Ô Ñ Z  Ý Ý 

Ù ê ÃÜÄóñ Õ ÎÏÉöôŸõ ÷ Ñ Ä˜Ð ÕÑ ÉÇÆ©õöÐÍÑAÆAÒAÒAÒ#Æ©õöÐÓ ÷ Ñ Æ\÷ õ Ñ Õ Ð ÝÕ ÆAÒAÒAÒ#Æ\÷ õ Ñ Õ Ð ×Õ Ô Ñ Z Ù ñÇÕ ÃÜċÎÏÉ ô ÷ Ñ Ä¨ÐÕÑ ÉyÆ ÐÑ%ÆAÒAÒAÒ%Æ ÐÓ ÷ Ñ Æ ÐÖÝÕ ÆAÒAÒAÒ%Æ ÐÖ×Õ Ô Ñ Z ٠ċû ñ Õ ÃÍÉ>ċÎÏÉ ý ÐÍÑAÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÓ ÷ Ñ Æ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ Ð ×Õ Ô Ñiþ

2.5.6 Weitere invariante Operatoren

û»Æ©û ÷ Ñ Æ aÆiÌ

ñ

Da die Operatoren   und  mit der Operation der P OINCARÉgruppe kommutieren, gilt das natürlich auch für Operatoren, die aus Summen und Produkten dieser Operatoren bestehen.

 ã ûÜÆ©û Õ ÜÙ#ñ Õ .

Mit

÷ Ñ ÆÜÆiÌ3Æ   ÄeÙ Ë:ÆAÒAÒAÒ#Æ »É

gilt also für



Ø Ù "!ã Ñ  ã à

auch

Beispiele:

Wir haben in Gleichung (2.9) auf Seite 25 den Feldstärketensor $ mit den Tensorkomponenten $ eingeführt, das heißt ein &% ' -Tensorfeld komponentenweise definiert. Hierzu treten, ebenfalls komponentenweise definiert,

Hå ç Ä-ÎÏÉ

Ä  Æ É å å ( $( ċÎÏÉ und i). das ĞË:Æ%Ë#É -Tensorfeld mit den Komponenten $ ç Ä-ÎÏÉÖÙ å å ( ç ç *+$ ( ċÎÏÉ . ii). das Ä)'MÆ%É -Tensorfeld mit den Komponenten $ çöċÎÏÉùÙ * Der Vergleich der Tensorkomponenten zeigt:

7ç å ċÎÏÉ haben wir genau die Tensorkomponenten von û"$ definiert, das heißt û"$ ċÎÏÉ>ÄäAåTÆ@ä ç ÉùÙ,$ ç å ċÎÏÉ , å Ý ii). und mit $ çöċÎÏÉ wurden die Tensorkomponenten von ü û $ eingeführt, das heißt å$ ç ċÎÏÉÏÙ ü û Ý $ Ä-ÎùÉ>Ää å Æ@ä ç É . i). Mit $

2.5 Operationen auf Tensorfeldern, die mit

ñÕ

vertauschen

41

Hieraus wurden außerdem noch zwei weitere Tensorfelder gebildet:

Ä  Æ É

iii). Das schiefe &- ' -Tensorfeld chung (2.13) auf Seite 26):

Û $ mit den Komponenten (vergleiche GleiÄ@Ä Û $ÚÉ>ċÎÏÉ@É å./ è10 å./ ð 0 å./32 0 ØÚÙ54  Ä@Ä Û $ ÉÄ-ÎÏÉ@É å è å ð å 2 Ä@Ä Û $ ÉċÎÏÉ©É å è å ð å 2 ØÚÙ î $Hå ð å å 2 è ċÎÏÉ ü î $tå è å å 2 ð ċÎÏÉ Ê î $tå è å å ð 2 Ä-ÎÏÉ îTï îŸï îTï falls '7698; Ñ :98 Ý :<8>=?6@iv). Das ÄA'MÆ%Ë#É -Tensorfeld ÛCBED $ mit den Komponenten (vergleiche Gleichung (2.12) auf Seite 26):

Ä@Ä ÛCBFD Ú$ ÉÄ-ÎÏÉ@É ç Ù î å $ å ç ĘÎÏÉ îŸï

Wir behaupten nun, daß sich auch diese Operatoren auf die angegebenen CARÉinvarianten Operatoren zurückführen lassen: i).

Ñ G JILK 2 4   MÌ $ ÛFür$ÜÙ dieHÝ Tensorkomponenten gilt nämlich NO7P

IQK 2

4 M Ì$

ċÎÏÉ RS å

Ù

P

è å ð å 2 P IQK 2 Ù

ii).

POIN -

ÛVBED $5Ù Wü 

Ì û Ý$

4  Ä-ÌM$ 4

ĘÎÏÉ@É å./ è10 å./ ð 0 å./32 0

å î ./ è10 $ ‹Ä ÎÏÉ å ./ ð 0 å./T2 0

îTï Ù % ô î $tå ð å å 2 è Ä-ÎÏÉ ü î $Hå è å eå 2 ð Ä-ÎÏÉ Ê î $tå è å å ð 2 ċÎÏÉ Z U îTï îŸï îTï IQK 2

Auch dies kann wieder komponentenweise nachgerechnet werden:

ý  Ì û Ý $ ‹Ä ÎÏÉ þ å Ù ý Ì û Ý $ ‹Ä ÎÏÉ þ ċä ç Æ@ä ç Æ@ä å É Ù î ç ý˜û Ý $ ‹Ä ÎÏÉ þ ċä ç Æ@ä å É îTï

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

42

Ù ü î ç $ ç å -Ä ÎùÉ îTï Indem wir nun sofort klar, daß

ñ Õ ÛCBED ñÇÕ Û

Û$

und

ÛCBED

$



als Produkte dieser Operatoren geschrieben haben, ist

Ù CÛ BED ñ Õ Æ Ù Û ñÇÕ

(2.46) (2.47)

gilt.

2.5.7 Nichtlineare invariante Operatoren Die im letzten Abschnitt betrachteten Operatoren sind alle linear. Wir können mit Hilfe des Tensorprodukts auch nichtlineare Operatoren auf Tensorfeldern, die der Bedingung YX X genügen, konstruieren.

ñÕ Ù ñÕ

Beispiele: i).

X &Ä $ ÉÖÙZ$\[U$

macht aus dem (2,0)-Tensorfeld ein (4,0)-Tensorfeld. Dafür gilt

dann

ñ Õ X Ä&$ É Ùœñ Õ Ä)$][^$ É Ùœñ Õ $_[»ñ Õ $ Ù X ¿Ä ñ Õ $ÚÉ ii).

X &Ä $ ÉÏÙ` AÄ $_[¢û"$

É , was in Komponenten X )Ä $ É å ç Ù`$(:åa$ :* ç diesem Fall bleibt die Stufe des Tensorfeldes erhalten. Auch hier gilt wieder

ñÇÕ X Ä&$ÚÉÖٛñÇÕY*Ä)$][¢û"$ É Ù Ù] ñ Õ Ä)$][¢ûb$ÚÉÖÙc*Äóñ Õ $][»ñ Õ û"$ É Ù Ùc*Ä¿ñ Õ $][¢û ñ Õ $ÚÉÖÙ X Äòñ Õ $ É

(*

bedeutet. In

Übungen

43

iii). Die Funktion X Z$ als X &$

Ä ÚÉ>ċÎÏÉÖÙ

Ä&$ ÉùÙ¯( üd Ý ý $_[¢û Ý $ þ , die sich aus den Tensorkomponenten (*$ *

ergibt.

Die P OINCARÉinvarianz zeigt man wieder genauso wie in Beispiel ii).

ebf+gUf+hVikjHlnmpo

ÜÆ©û»ÆiÌkÆ

In der Praxis schreibt niemand die oben definierten Operationen  [ und so weiter wirklich explizit aus, sondern es werden nur die Endprodukte in der Form von Tensorkomponenten benutzt. Beispiel:

Éå Ù î å $ ( * $ ( * îTï Am Indexbild erkennt man sofort: Dieses ĞË:Æ' É -Tensorfeld wird durch zweifache Anwendung von û auf $ , Tensorieren mit $ , zweifache Kontraktion und anschlieX AÄ $

ßende Bildung des Gradienten erzeugt. Also gilt

ÄòñÇÕY$ É Ù›ñÇÕ X Ä&$ ÉyÒ X

Für kompliziertere Tensorfelder gilt dies natürlich auch. Es bedarf nur einer gewissen Übung, um aus den Tensorkomponenten die einzelnen Operationen herauszulesen.

Übungen Aufgabe 2.3 — Multilineare Algebra Sei q ein r -dimensionaler (reeller oder komplexer) Vektorraum. Der Raum der linearen Funktionen auf q (mit Werten in s oder t ) wird mit q bezeichnet und stellt wieder einen Vektorraum gleicher Dimension dar. q heißt Dualraum zu q . Falls X aq"
uq eine lineare Abbildung ist und vq , so setzen wir für alle wvq

Ø

ïÕ

Õ

Õ

Ä X Õ ï ÕAÉ\Ä-âyÉÏÙ ï Õ:Ä X âÇÉyÒ (a) Zeigen Sie: (i) X Õ definiert eine lineare Abbildung X Õ Øaq Õ
uq Õ ; (ii) Es gilt: Ä Xvx É Õ Ù x YÕ XÕ und Ñ Ñ (iii) XÕ ÷ Ù X ÷ Õ . X Õ heißt die zu X adjungierte Abbildung.

Õ

â

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

44

äAåTÆ µÙ Ë:ÆAÒAÒAÒ#Æ r

Sei 8 ist durch

eine Basis von

ä å Ää ç ÉùÙUy çå Æ

wobei y

q

åÙ z Ë ' ç{

. Die zu

äAå

duale Basis

ä å Æ 8µÙ!Ë:ÆAÒAÒAÒÆ r

äå Ù X åçäç

Õ

5Ùc| Õ ä å .

(E INSTEINsche Summenkonvention!). Berechnen Sie X

Õ , das heißt den Raum

Wir untersuchen jetzt den Raum der linearen Funktionen auf q . q . Sei w}q . Wir setzen für alle vq :

ÕÕ

q

falls 8 sonst

eindeutig definiert. (b) Sei X

von

â

ï Õ Õ â Õ ÕLÄ ï Õ ÉLÙ ï Õ Ä-âyÉ â
â Õ Õ vq Õ Õ ist ein linearer Isomorphismus. (c) Zeigen Sie: Die Abbildung n Wir werden vermöge dieses Isomorphismus die Räume q und q Õ Õ , das heißt die â }q Elemente âwvq und â Õ Õ vq Õ Õ , in der Folge stets identifizieren. Ein Vektor w repräsentiert somit stets ein Vektor â Õ ~ Õ q Õ Õ und umgekehrt. Tensoren Eine Funktion

ÖØa„ qd€vqW‰ …‡€‚† ƒƒ€vq ˆ -mal

Å

€Š„ q Õ }€ q Õ ƒ… €‹† ƒƒ€}q ˆ Õ
s Œ -mal

È

Ä-ÅÇƩȘÉ

heißt -fach kovarianter und -fach kontravarianter Tensor auf q oder kurz Tensor, falls für alle q , in jedem Argument vq linear ist. Sei  ein   -Tensor. Wir setzen:

âNã â ãÕ Õ Ã Ä-â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ%ÆiâŸÓ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æiâ ×Õ É Ã Ä-Å Æ©È É ÄÃ"[œÃ  É\Ä-âÑ%ÆAÒAÒAÒÆiâŸÓpÆiâŸÓAÔ Ñ ÆAÒAÒAÒ#ÆiâTÓ\ÔÓ  Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æiâ ×Õ Æiâ ×Õ Ô Ñ ÆAÒAÒAÒ#Æiâ ×Õ Ô ×  É Ùlà Ä-â Ñ ÆAÒAÒAÒÆiâŸÓpÆiâTÕÑ ÆAÒAÒAÒÆiâT×Õ É Aà  Ä-âŸÓAÔ Ñ ÆAÒAÒAÒ%ÆiâTÓ\ÔYÓ ‡ÆiâT×Õ Ô Ñ ÆAÒAÒAÒ#ÆiâT×Õ Ô ×  É und erhalten einen Ä-ŠʖÅa‹Æ©ÈNʖ1È /É -Tensor. (d) Zeigen Sie: Es gilt Äb à [¢à  >É [›à  iÙqbà [Äà Q[œà  'É . (e) Zeigen Sie:

ÛÙlà å @è êbêbê å ë Fç èžêbêbê ç ì ä çFè

wobei

[]ƒƒŽ[œä ç ì [œäAå è []ƒƒ[œäAå ë

à å @è êbêbê å ë Fç èaêbêbê ç ì Ùlà Ä ä Fç è ÆAÒAÒAÒ#Æ@ä ç ì Æ@ä å è ÆAÒAÒAÒ#Æ@ä å ë ÉyÒ

Æ

Übungen Die Zahlen

à å @è êbêbê å çë è êbêbê ç ì

45

Ã

heißen die Tensorkomponenten von .

(f) Zeigen Sie: Diese (k,l)-Tensoren bilden einen Vektorraum der Dimension r

ÓAÔ × .

Øaq"
uq umkehrbar und linear. Wir setzen: Ñ Ñ Ä X Õ ÃÍÉ\Ä-â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ#ÆiâTÓ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%Æiâ ×Õ ÉÖÙlÃ Ä X â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ#Æ X âŸÓ Æ X ÷ Õ â ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%Æ X ÷ Õ â ×Õ ÉyÒ (g) Zeigen Sie: XÕ stellt eine lineare Transformation des Raumes der Ä-ÅÇÆ©È˜É -Tensoren dar und es gilt: (i) Ä X}x É Õ Ù x Õ X Õ ; Ñ Ñ (ii) XÕ ÷ Ù X ÷ Õ und (iii) XÕ Ä" à [œà /ÉLÙ Ä XÕ ÃÍÉ [Ä XÕ à /É . Berechnen Sie die Tensorkomponenten von XÕ Ã . Sei X

Kontraktion

-Ä ÅÇÆ©È-É -Tensor und äAåyÆMÄ8µÙ Ë:ÆAÒAÒAÒ#Æ rHÉ eine Basis von q . Wir setzen: à ‘ Ä-âÑ%ÆAÒAÒAÒ#ÆiâŸÓ ÷ Ñ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒÆiâ ×Õ ÷ Ñ ÉÖÙwà Ä-âÑ%ÆAÒAÒAÒ#Æ@äAåyÆAÒAÒAÒ#ÆiâTÓ ÷ Ñ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%Æ@ä å ÆAÒAÒAÒ%Æiâ ×Õ ÷ Ñ ÉyÒ ‘ å (Beachte: à hängt von der Position von äAå und ä in den Argumenten ab!) ‘ ‘ ‘ (h) Zeigen Sie: à hängt nicht von der Wahl der Basis ab, und es gilt: XÕ Ã Ù Ä X Õ ÃÍÉ . Sei ’ ein symmetrischer, kovarianter Tensor zweiter Stufe, das heißt ’Ä Æ “ŸÉLZ ï Ù ’ÇÄ “ÇÆ ï É , und ’ ist nicht ausgeartet, das heißt, daß aus ’ÇÄ ÆiâÇÉLÙ#' für alle âvq , folgt ÙZ' . ï ï Ø q"
uq Õ , definiert durch ’ÇÄ ï É\Ä-âÇÉL#Ù ’ÇÄ ï ÆiâÇÉ für alle (i) Zeigen Sie: Die Abbildung ’¹V âw}q , ist ein linearer Isomorphismus. Sei

Ã

ein

Transformationen von ko– und kontravarianten Tensoren vermittelt durch ’

à ein Ä-ÅÇÆ©È-É -Tensor. Wir setzen à  Ä-â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ%ÆiâŸÓAÔ Ñ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æiâ ×Õ ÷ Ñ ÉÍØóÙwà Ä-â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ%ƕâN” ãžÆAÒAÒAÒ#ÆiâTÓAÔ Ñ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%ÆJ’ÇÄ-âŸã‡É ÆAÒAÒAÒ#Æiâ ×Õ ÷ Ñ É und erhalten einen Ä-Å Ê Ë:Æ©ÈÖüË#É -Tensor. ( âN” ã bedeutet, daß dieses Argument fehlt). Sei

Ebenso ist

à   -Ä â>Ñ#ÆAÒAÒAÒ%ÆiâŸÓ ÷ Ñ ÆiâyÕÑ ÆAÒAÒAÒ#ÆiâT×Õ Ô Ñ ÉÍØóÙ ØÚÙÿà Ä-â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ%ÆJ’ ÷ Ñ Ä-â ãÕ É ÆAÒAÒAÒ#ÆiâŸÓ ÷ Ñ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%ÆJ–â ãÕ ÆAÒAÒAÒÆiâ ×Õ Ô Ñ É ein Ä-őü Ë:Æ©ÈTÊwË#É -Tensor. Weiterhin sei äAå eine Basis von q und ’:å ٗ’ÇÄäAåÇÆ@ä É . ç ç

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

46

à . (k) Zeigen Sie: Falls X eine Isometrie von ’ ist, das heißt, ’Ä X Æ X Ÿ ï “ ÉLÙZ’Ä ï Æ “ŸÉ alle Æ “˜vq , so gilt: Ä XÕ ÃÍəiÙ XÕ Ã und Ä XÕ ÃÍə ©Ù XÕ Ã  . ï (j) Berechnen Sie die Tensorkomponenten von

Ã



und

für

Sei jetzt q reeller r -dimensionaler Vektorraum und ’ ein symmetrischer nicht ausge,4 ny , arteter Tensor zweiter Stufe auf V. Es gibt eine Basis von q mit ’ wobei

äAå

4ã

äAå

Ù«Ë

4©ã>Ù

ÇÄäAåÇÆ@ä ç ÉLÙ @å Få ç

˂6<š6<

üË^›:<H69r

heißt Orthonormalbasis von

q

.

(l) Berechnen Sie die Tensorkomponenten von Orthonormalbasis.

à 

und

Ã



bezüglich dieser speziellen

Aufgabe 2.4 — Schiefe Tensoren Sei q

ein r -dimensionaler Vektorraum. Die Abbildung

ÖØa„ qœ€bq…‡€ž† ƒƒV€bq ˆ k-mal

â ã :Ù!Ë:ÆAÒAÒAÒÆiÅ


Ÿs

Å

à Ä-â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ%ÆiâŸÓÉ in jedem Argument  ‹v¡>Ó (¡Ó ist die Menge der

heißt schiefer, kovarianter Tensor der Stufe , falls ( ) linear ist und für jede Permutation Permutationen von Elementen) gilt:

Å Ã Ä-â   Ñ ÆAÒAÒAÒ#Æiâ   Ó ÉÖÙU4#Ä) tɇà Ä-â>Ñ#ÆAÒAÒAÒ#ÆiâTÓ:ÉyÆ wobei 4Ä) tÉ das Signum der Permutation   ist. Man kann zeigen, daß die Menge dieser Tensoren à einen Vektorraum X Ó der à  X Ó und à   X ÓY ist das £ -Produkt wie folgt erklärt: Dimension &ý ¢ Ó þ bildet. Für 7 à £qà Y X ÓAÔYÓ  und b Ä"à £qPà  É\Ä-âÑ%ÆAÒAÒAÒÆiâŸÓAÔYÓ ÉùÙ Ù IQK Å¥4#)Ä ¤ Å t É ¤ à Ä-â   Ñ ÆAÒAÒAÒÆiâ   Ó É‡Ã  Ä-â   ÓAÔ Ñ ÆAÒAÒAÒ%Æiâ   ÓAÔYÓ  É Ò ìaípì  Zeigen Sie:

Übungen

47

Ãb£ à  Ù!Ğü7Ë#É Ó ¦ Ó  à  £qà ; à £ Ä Ã  å £qà   ÉLÙ ÄÃ"£ à  ɐ£qà   ; (ii) b (iii) Falls ä (8µÙ!Ë:ÆAÒAÒAÒ#Æ r ) eine Basis des Dualraumes q Õ ä å è £bƒƒ£ ä åeì Æ Ä8Ñ:<8 Ý ƒƒ:<8‰ÓLÉ eine Basis von X Ó . (i)

von q

ist, so ist

Aufgabe 2.5 — Wichtige Tensorfelder, die aus dem Feldstärketensor abgeleitet werden können

Ä  Æ É

(a) Wir fassen die Metrik als konstantes &% ' -Tensorfeld zweiter Stufe auf. Zeigen Sie, daß gilt, wobei ein Element der P OINCARÉ-Gruppe ist.

ñÕ Ù

ñöÙ!ċõ ÆiøÖÉ

Im M INKOWSKI-Raum q betrachten wir die schiefen, kovarianten Tensoren 4-ter Stufe. Diese bilden einen 1-dimensionalen reellen Vektorraum. Sei 8 ,' % - eine ,4 ay mit 4 4 ,4 ,4= Orthonormalbasis von q , das heißt

ÄäAåyÆ@ä ç ÉLÙ ©å Få ç

äAåTÆ#Ä µÙ MÆ%Ë:Æ  Æ É Ùá !Ë:Æ AÑ Ù Ý Ù TÙ!ü7ËÒ

(b) Zeigen Sie: Es gibt genau einen schiefen, kovarianten Tensor § 4-ter Stufe mit = , und für jede andere Orthonormalbasis ƒ 8 #' % § gilt:

pÄä á Æ@ä Ñ Æ@ä%ÝÆ@ä ÉLÙ ü Ë

ä å Æ#Ä µÙ MÆ%Ë:Æ  Æ É

§ Ää  Æ@ä Ñ Æ@ä Ý Æ@ä = ÉùÙ©¨^§ Ää Æ@ä Ñ Æ@ä%Ý:Æ@ä = ÉyÒ á á (c) Wir fassen § als konstantes ĪNÆ' É -Tensorfeld auf. Zeigen Sie, daß für die Komponenten von § 8 Ñ%Æ 8 Ý Æ 8>#= É keine Permutation von falls Ä8 Æ  ® ' á ist, ) Ä ' M % Æ : Ë  Æ %    Æ  É #§ åž« å è å:ðaå 2 Ù ¬­ falls 8>( Ùcù   Ä&° É , wobei  žb¡~± eine Permutation ü­¯ w§ Ä) tÉ von Ä)M' Æ%Ë:Æ % Æ- É mit Signatur #4 Ä)t  É ist, ' Æ pª É -Tensorfeld mittels gilt. Ebenso definieren wir ein konstantes Ä)M § å 燲´³ Ù å#å  ç\ç  ²´²  ³´³  § å  ç  ²  ³  Ò Bemerkung: Diese etwas unnatürliche Definition von § wurde gewählt, weil in Ñ= den meisten Physiklehrbücher § á Ý Ù¬ÊwË gesetzt wird.

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

48 Sei $

der Feldstärketensor. Wir setzen

ęµ$ ‡É å ç ċÎÉÖÙ %Ë § å Yç ²³ $ ²´³ ‹Ä ÎÍÉyÒ (d) Zeigen Sie: Die Funktionen ™Ä µ$Úɇå ç feldes

µ$

stellen die Komponenten eines

dar und es gilt:

Ä&% Æ' É -Tensor-

ñ Õ Ä™µ$ ÍÉ Ù Û äƒ¶#ċõöɵÄóñ Õ $ÚÉ Berechnen Sie ™Ä µ$ÚÉ ã@Æ#ęµ$ É ã ÓMÄiÆiÅùÙ Ë:Æ% Æ-É , und stellen Sie den Zusammenhang ã á mit den Komponenten des elektrischen Feldes · und des magnetischen Feldes x ã dar. Bemerkung: ™Ä µ$ É heißt der duale Feldstärketensor. In den meisten Physiklehrbücher wird dieser Tensor mit ¸$ bezeichnet. å Ù ª¹&· Æ x7º Ò Zeigen (e) Berechnen Sie ™Ä µ$ ɇå $‚²%ç , und zeigen Sie, daß ™Ä µ$ ɇå $‚² Z ² ² å å Ý Ý Ù % Yý » · » ü » x » þ Ò Sie auch, daß $Hå $ ² Ù ü ™Ä µ$ É‡å ™Ä µ$ É ² , ² ² (f) Zeigen Sie:

¼$ c Ù '

gilt dann und nur dann, wenn

ÛCBFD ęµ$ ÉÍÙc' gilt. Wir definieren die Komponenten des sogenannten Energie-Impuls-Tensors durch:

½ÚÄ)$

É

Ä1½ÚÄ)$ @É É‡å ç Ù ªQË ¾À¿ $ å ³ $ ³ ç Ê ª Ë $ ²´³ $ ²´³ å çÁ Ò (g) Zeigen Sie, daß ½ÚÄóñ Õ $ÚÉLÙ ñ Õ ½ÚÄ)$ É gilt. (h) Zeigen Sie:

Ä ÛCBFD ½ É ç Ù ªQË ¾u¿ %Ë $ ²³ Ä ¼ $ É ²´³#ç Ê Ä CÛ BED $ É ³ $ ³%ç Á Ò Anregung: Berechnen Sie die Komponenten 1Ä ½ÚÄ)$ É@É å für die elektromagnetische ç Welle mit dem Feldstärketensor

$

ċÎÍÉ\Ä-øÏÆ ÉÖÙ X Ä ¹ i Æiø

º ¹ l ÆÂ º ü@¹ l

Æiø

º ¹ i Æ º ɚà FB Ä Ä ¹ i

Æ©Î º <Ê y:É

2.6 Relativistische Invarianz der elektrodynamischen Grundgleichungen für alle

2.6

49

øÖÆŠ,s ± Ò

Relativistische Invarianz der elektrodynamischen Grundgleichungen

Das Interesse an diesen invarianten Operatoren kommt aus den M AXWELLschen Gleichungen selbst. Denn wir können nun mit Hilfe dieses Formalismus folgende bemerkenswerte Tatsache beweisen:

ÎãNÄ %ã˜É

Kovarianz der M AXWELL-L ORENTZ-E INSTEIN-Gleichungen &Å die Bahnkurven Sei $ ein elektromagnetischer Feldstärketensor und seien von Æ geladenen Teilchen. $ genüge den M AXWELLschen Gleichungen für die Viererstromdichte, die durch die Æ Punktladungen erzeugt wird, und für jedes Teilchen gelten die E INSTEIN -L ORENTZschen Bewegungsgleichungen mit dem Feldstärketensor $ .

ñÕ

Dann genügt $ den M AXWELLschen Gleichungen für eine Viererstromdichte, die durch Æ Teilchen mit den Bahnkurven Ç &Å AÅ erzeugt wird. Die neuen Bahnkurven erfüllen ferner die E INSTEIN -L ORENTZschen Bewegungsgleichungen mit dem Feldstärketensor $ .

Î ã Ä ã ÉùÙ ñ Õ ÷ Ñ Î ã Ä ã É

ñÕ

Diesen Sachverhalt bezeichnet man auch als Kovarianz der M AXWELL-E INSTEIN L ORENTZ-Gleichungen. Wir haben also folgenden Satz von Gleichungen, dessen Kovarianz wir zeigen wollen:

Û $ ċÎÏÉùÙ]' ªQ¾ ċÎÏÉÇÆ $ ‹ Ä Ï Î ù É Ù È"É ÛVBED mit

É und

á Ä ï Æ Ê©É Ù

ÈYË

P È Ì <

ĘÎÏÉùÙ ã Ñ>Í &ã yÄ ï ü ï ãNÄÊ©É@É à

(2.18) (2.19)

(1.31)

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

50

P

ã Ä Æ Ê©É Ù<Î ã Ä-ÎÏÉÖÙ Ì ã yÄ ü ã Ä&Ê@É@É ‘ ÄÊ@ÉyÆ (1.32) ï ãà Ñ Í ï ï ï sowie 3ã È Û Å#ã Ë ðè Û Å#ã ÎãMÄÏÅ%ã˜ÉÖÙ Í È ã $ Ä-ÎãNÄ&Å%ã˜É@É Û Å#ã ÎãŸÄ&Å%ã˜É ÆÙ :Ë ÆAÒAÒAÒÆÆÜÆ (2.22) Û ¹‹Î ã Æ©Î ã º Û Û å Ù $ å ĘÎÏÉMâ ç für alle â>Ò mit AÄ $ ċÎÏÉNâyÉ ] ç É

ñÕ

Betrachten wir zunächst die M AXWELLschen Gleichungen (2.18) und (2.19). Aus auf beiden Seiten der (2.46) und (2.47) auf Seite 42 folgt dann, wenn man mit Gleichungen operiert,

CÛ BED ñÇÕY$ Ù

ªQ¾ È

ñÕ É

und

Û ñÇÕ$ Ùc'MÒ

(2.48)

Damit haben wir schon gezeigt, daß der transformierte Feldstärketensor die homogenen M AXWELLgleichungen erfüllt. Um die Aussage über die inhomogenen überprüfen zu können, müssen wir É noch genauer untersuchen, aber zuvor wollen wir uns erst noch die Bewegungsgleichungen (2.22) ansehen.

ñÕ Wenn wir in diesen ÎãNÄAÅ#ã‹É durch Î ¸ ãNÄAÅ#ã-É Ø›Ù›ñ Õ ÷ Ñ ÎãŸÄ&Å#ã-É zunächst Î ¸ ã ÄAÅ#ã‹ÉùÙn÷ õ Ñ Î ã Ä&Å#ã-ÉƟΠã ÄAÅ#ã˜É Ù Û Å#ã ÎãNÄ&Å%ã˜É Û Ð Ð Î ¸ ã Æ Î ¸ Lã Ñ Ù Î ã Æ©Î ™ã Ñ Æ weil õ eine Isometrie ist.

ersetzen, erkennen wir

Damit ist die linke Seite von Gleichung (2.22) gleich

÷ õÓÑ Ò 3ã È Û Å#ã ¹-Î  Æ©Ë Î  ðè Û Å#ã ÎãŸÄ&Å#ã-ÉLÔ Ò Û ã ãº Û Ersetzen wir nun noch auf der rechten Seite $ durch ñ Õ $ æ Ñ sich Õ Ö õ ÷ $ ċιÄAÅ#ã‹É©É Î×Ä&Å#ã-É , also ãÍ È ñÇÕY$ Ä Î¹¸ Ä&Å ã É@É Î ¸  ÄAÅ ã É Ù Í È ã ÷ õ Ñ $lċιÄ&Å ã É©É Î  ÄAÅ ã ÉyÆ was leicht durch Einsetzen nachzurechnen ist.

und

Îã durch θ ã , so ergibt

2.6 Relativistische Invarianz der elektrodynamischen Grundgleichungen Also haben wir insgesamt

÷õ Ñ

Ò  ã È Û %Å ã Ë Û ‹¹ Î ã Æ©Î ã º

Ûðè ÎãŸÅ Ä&ã Å%ã˜É Ô Ù Í È ã ÷ õ Ñ $ ‹Ä ÎÜÄ&Å ã É@ÉMÎ  &Ä Å ã ÉÇÆ Û

was wegen Gleichung (2.22) bedeutet, daß auch die neuen Bahnkurven den E INSTEIN -L ORENTZschen Bewegungsgleichungen genügen.

ñÕ

51

θ ãNÄAÅ%ã-ÉØóÙ ñ Õ ÷ Ñ ÎãNÄ&Å%ã˜É

Nun bleibt nur noch zu zeigen, daß É genau die Viererstromdichte ist, die von Punktladungen mit den neuen Bahnkurven ¸ &Å erzeugt wird:

Î ãŸÄ %ã˜É ñÇÕ É Ä‹ÎÆ©ÎÑ%ÆAÒAÒAÒ%Æ©Î Ì ÉÙÙ Ø É ô Î Æ ÷ ñ Ñ Õ ÎÑ%ÆAÒAÒAÒ%Æ ÷ ñ Ñ Õ Î ÌvÚ (2.49) ã Wir sind offenbar gezwungen, É á und É als Distributionen im M raum auf± zufassen, das heißt, für jede Testfunktion Ûv;s sind die Distributionen y Ä ü ãMÄ&Ê@ÉbÉ Ó ï ï und yÄ ü ï ï ãŸÄ Ê©É@aÉ Ü ã Ä Ê@É zu untersuchen. INKOWSKI

Betrachten wir zunächst

Ý

Ý

Ý = Û ï Û

ý ï Æ ï á þ y ô ï ü ï ã ô ï È á ÚÚ Ý Ù Û ï á Û ô ï ã ôùï È á Ú Æ ï á Ú Ò Wir parametrisieren jetzt um: á Ù ãá ÄAÅ ã É¥Þ ï ã Ù ï ã &Ä Å ã É ï ï Ý Ý ± ÎdÛÚÄ-ÎÏÉ+yÄ ü ãNÄÊ@É©ÉÖÙ ï ï Û Û Å%ã ï ãá  Ä&Å#ã-CÉ Û ý ï ãŸ&Ä Å%ã˜ÉyÆ ï ãá ÄAÅ#ã˜É þ Ý Ù Û Å%ã ï ãá  &Ä Å#ã-CÉ ÛÚċÎãNAÄ Å#ã-É@É Ý Ý ± Ù Û Å ã Û Î ï ãá  &Ä Å ã CÉ y ± ċΠü Î ã ÏÄ Å ã É©ÉßÛÚÄ-ÎÏÉqÒ Û

± ÎdÛÚÄ-ÎÏÉ+yÄ

ï ü ï ãNÄÊ@É©ÉÖÙ

Ûïá

Analog folgt:

Ù

Ý

± ÎdÛÚÄ-ÎÏÉ ‘ ãÓ ÄÊ©ÉßyÄ ü ãMÄ)Ê©É@É ï ï ï Û Ý Ý ± Ó È #Å ã Û Û Î ï ã  Ä&Å#ã-ÉCyY±ÏċΠü

Ù

Ý

Ó  Ä&Å#ã˜ÉßÛ ˜Ä ÎãMÄAÅ#ã‹ÉiÉ ã Û ï ÎãMÄÏÅ%ã-É©ÉßÛÚÄ-ÎÏÉ È

Å%ã

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

52

Wir können deshalb den Beitrag des  -ten Teilchens zum Viererstrom in der Form

Ý

Û Å#ã}Î ã ÄAÅ%ã-ÉßyY±ÏċΠü ÎãNAÄ Å#ã-É@É schreiben, wobei Î ã Ä&Å ã É die Bahnkurven im M Í

ãÈ

(2.50)

INKOWSKIraum in beliebiger Parametrisierung darstellt. Für die totale Viererstromdichte gilt dann

Ý

ã Û Å%ãÎ ã Ä&Å#ã-ÉCyY±ÏċΠü ÎãMÄÏÅ%ã˜É@ÉyÒ Wir untersuchen nun ñ Õ É für ñv;à : ñ Õ É Ä‹ÎÏÉÖÙ ÷ õ PÑ É Ä‹õÎÜʖøÉ Ý Ù È ã Í ã Û Å ã y ± ĘõÍÎÜʖø»ü Î ã Ä&Å ã É@É ÷ õ Ñ Î ã Ä&Å ã É Ñ Nun gilt aber das Lemma: yY±ÏÄ-õÎ üdÂpÉÏÙZyY± ý˜Î ü õ ÷  þ . Beweis: Nach Variablentransformation áÙ3õÍÎ gilt, wegen » ƒä ¶Tõ » Ù!Ë , Û Ý ± Ý ± ÎÛ yY±Ä-õÎ dü  CÉ ÛÚċÎÏÉùÙ Û áâyY±LAÄ áÜdü  CÉ Û ô÷ õ Ñ á Ú d ÙUÛ ô ÷ õ Ñ Â É

ċÎÏÉ Ù

P

È

Í

Ù Hieraus folgt dann:

P

Ý

Û

Ú

± ÎWyY±

ô Îöü ÷ õ Ñ

Â Û Ú

ĘÎÖÉ

Ñ ã ÅÛ ã y ± ˜Ä õÍÎÜʖøÜü Î ã Ä&Å ã É@É ÷ õ Î ã ÄAÅ ã É ã P Í Ý Ù È ã]Í ã Û Å#ãyY± ô ÎÏÊ ÷ õ Ñ øÍüw÷ õ Ñ ÎãŸÄ&Å%ã˜É Ú Û Å#ã ¿ ÷ õ Ñ ÎãNÄAÅ%ã-É Á Û

ñÇÕ É Ä‹ÎÏÉÖÙ

È

Ý

(2.51)

(2.52)



2.7 Passive L ORENTZtransformationen: Koordinatenwechsel

P

53

Ñ Ñ Ñ ÎãNÄ&Å#ã˜É ñ ã ÅÛ #ãyY± ôTÎ ü ô ÷ õ ÎãNÄAÅ#ã-ÉÇü÷ õ ø Û ÷ Á ÚvÚ Û Å#ã7¿ Õ ãP ]Í Ý È Ù ]ã Í ã Û Å#ãyY± ôTÎöü ÷ ñ Ñ Õ ÎãŸÄ&Å%ã˜É Ú Û Å ã ô ÷ ñ Ñ Õ ÎãMÄ&Å#ã˜É Ú Û Das bedeutet gerade, daß ñ Õ É Ä‹ÎÏÉ genau die Viererstromdichte ist, die von Teilchen Ñ mit den Bahnkurven ñ ÷ ι&Ä Å#ã-É erzeugt wird. Õ Wir haben also in der Tat gefunden, daß Lösungen der M -E -L Ù

È

Ý

AXWELL

INSTEIN

O

RENTZ-Gleichungen

durch P OINCARÉtransformationen wieder in Lösungen dieser Gleichungen überführt werden.

2.7

Passive L ORENTZtransformationen: Koordinatenwechsel

å

Bisher haben wir Bewegungsgleichungen und Feldgleichungen stillschweigend in q `s ± mit festen Standardkoordinaten beschrieben. Bezüglich der Standardbasis gilt

»Ù äAå

ï

ÄäAåTÆ@ä ç É ÙU4©å•yFå ç

(2.53)

sowie

å (2.54) ï ‹Ä ÎÏÉ ÙU4@å ÄäAåyÆ©ÎÏÉ für alle Î9ãqùÒ å Wir betrachten nun ein anderes Koordinatensystem  , das wie folgt entsteht: Der ï Nullpunkt in q wird um ø verschoben und die neuen Koordinaten werden analog zu (2.54) bezüglich einer Orthonormalbasis  ä å  definiert, das heißt ý ä å Æ@ä ç þ Ù 4 å y å ç sowie

å

ï ċÎÏÉ ÙU4 å ý˜ä å Æ©Î ü²ø þ

Î ùÒ

für alle <bq

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

54

äÝ

ä=

ä

é

æ

Ñ ä

á

ä Ý

ä Ñ

æ@çèå

å ä =

ä

äƒå ÙkõÍäAå und somit Ñ Ñ Ñ ï å ˜Ä ÎÖÉ ÙU4@å Ÿô äAåTÆ\÷ õ ċΠü²øÉ Ù ï å ô>÷ õ ċΠü²øÉ Ù ï å ô ÷ ñ Õ Î (2.55) Ú Ú Ú É ;à . mit ñö٫ċõ Æiø˜ Die neuen Koordinaten gehen also durch die zu ñ inverse P transformation aus den alten Koordinaten hervor, und der oben beschriebene Koordinatenwechsel entspricht der zu ñ inversen P transformation. Für Felder und Bahnkurven

Es gibt eine eindeutig bestimmte L ORENTZtransformation gilt

õ

á

mit

OINCARÉ

OINCARÉ

bedeutet dies nach den Resultaten des letzten Abschnitts, daß Bewegungsgleichungen und Feldgleichungen auch in den gestrichenen Koordinaten erfüllt sind, wenn dies in den ungestrichenen Koordinaten zutrifft. Mathematisch ist der Koordinatenwechsel deshalb uninteressant und wird wie im letzten Abschnitt beschrieben, allerdings . Der Koordinatenwechsel wird jedoch durch folgende mit der Ersetzung ;
Überlegungen physikalisch interessant:

ñ ñ÷Ñ

ø

Beide Koordinaten müssen durch Messungen entstanden sein und zwar durch zwei Beobachter, die sich die Punkte ê beziehungsweise als Koordinatenursprung zuweisen. Winkel und Längen messen beide mit Ortskoordinaten ,  bezüglich je drei räumlichen Achsen beziehungsweise ƒ , sowie mit Zeitkoordinaten beziehungsweise  , die durch zwei im allgemeinen verschiedene Uhren definiert sind und formal durch Zeitachsen und ƒ ausgedrückt werden.

ïá

äá

äAã

ä

äã

á

ã ã ï ï

ïá

Wir wollen den Koordinatenwechsel nun etwas detaillierter untersuchen. Unter den oben auftretenden P OINCARÉtransformationen finden sich wohlvertraute Transformationen wieder i). die räumliche Translation, ii). die zeitliche Translation, iii). Drehungen des dreidimensionalen Raums.

2.7 Passive L ORENTZtransformationen: Koordinatenwechsel

55

Interessanter ist das folgende Beispiel

ñq٫ċõ!ÄA°ÉÇÆ' É Nëë

mit

O?ì‡í Ãî°pà BFÄ î˜° '‹' õ5ÄÏ°ÉÖÙ Ã BFÄ ' î;° ì‡í Ã' î° '‹Ë;'' RƒS ïï (2.56) ' ' ' Ë õ5Ä&°É ist für alle ° eine LORENTZtransformation, das heißt, für alle øùÆÂnq ist Ä-õ!Ä&°ÉNøùÆ©õ!ÄA° Éßp ÉÏÙ Ñ Ä¨øÖÆMÂ É . Ferner läßt õ!ÄA° É die ä Ý - und ä´= -Achse unverändert. Überdies gilt õ!ÄA ° É ÷ Ùkõ!Ğü° É å . Setzt man dies in die Formel für die neuen Koordinaten ein, so ergibt sich, nach

ï

aufgelöst:

Ñ (2.57) ï áÑ Ù«Ä ì‡í Ãî}°É ï  á ÊÄ)à BFÄ î˜°É ï  Ñ (2.58) ï ã Ù«)Ä Ã ãBðÄ îw°É ï  á ÊwÄ ì‡í Ãî°É ï  (2.59) ï Ù ï  Æ Ä&ÙU% Æ-ÉÒ ã Ù 'ÚÄ eÙ!Ë:Æ% Æ-É liest an seiner Uhr die Zeit ʙ©Ù  á´ñ È ab. In den Der Beobachter mit  ` ï ã ï gestrichenen Koordinaten befindet er sich in Ruhe (  ÙZ' !). In den ursprünglichen ï Koordinaten scheint er sich jedoch zu bewegen, und zwar mit der Geschwindigkeit Ñ Ñ ï Ùï È Ê Ù ÜÈ Ù Ã BFÄ Ãî;î°° ò Ù ¶ó Ä î°ÏÒ (2.60) ì‡í áï Hieraus folgt

Ë ðÆ KË ü õÖ ð

ì‡í Ãî°

Ù ô

à BFÄ î;°

Ù

ô õÖ

Ò ËKü õÖ ðð

(2.61)

(2.62)

õ!Ä É

Wir sind deshalb versucht zu schließen, daß die Transformation A° die Koordinaten eines gleichförmig bewegten Beobachters beschreibt. Allerdings gilt zusätzlich bei dieser Transformation

ÊÖÙ ô ʙ

Æ ËKü õÖ ðð

(2.63)

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

56

Ë ñ ËKü õÖ ðHð ö Ë .

das heißt, die Zeit des bewegten Beobachters ist kleiner ô als die Zeit des unbewegten und zwar um den geschwindigkeitsabhängigen Faktor

Die Uhr des bewegten Beobachters scheint also langsamer zu gehen. Dies ist ein entscheidender Unterschied zu den G ALILEItransformationen der klassischen Mechanik, die ebenfalls die Koordinaten eines bewegten Beobachters beschreiben, aber die Zeitkoordinaten immer fest lassen. Solche Transformationen lassen nun aber die M AXWELL-Gleichungen gerade nicht invariant. Sie können deshalb keine erlaubten Koordinatenwechsel sein und müssen durch die eben geschilderten L OR ENTZtransformationen ersetzt werden. Anders ausgedrückt: Die Struktur der Gesetze der Elektrodynamik erzwingt eine grundlegende Änderung unserer Vorstellung von Raum und Zeit, wie sie in der N EWTON schen Mechanik ausgebildet wurde. Sie führt auf die Redefinition des Begriffs des gleichförmig bewegten Beobachters und beschreibt diesen durch Koordinatenwechsel, die durch L ORENTZtransformationen erzeugt werden.

Übungen Aufgabe 2.6 — Die L ORENTZtransformationen Wir versehen den s

±

P=

mit einem Skalarprodukt

¹L÷‹Æƒ÷ º :

ØÚÙ å ’eå ç â å Å ç àá wobei Nëë Në O â áÑ i ëO Å áÑ Ð Ù ââ Ý RƒS ïï Æ Ù ÅÅ Ý RƒS ïï Þk’:å ç cÙ '‘Ä89ÙUø |TÉ Æ’ á@á Ù Ë:Æk’:ãòãtÙ ü7ËÄÙ Ë:Æ% Æ-É Ò â= Å= metrik. ¹L÷-ƒÆ ÷ º heißt M falls ¹˜ÐÆ Ð º Z Definition: Ð heißt lichtartig, Ù ' und ÐcÙcø ' , Ð heißt zeitartig, falls ¹˜ÐÆ Ð º ö ' , Ð heißt raumartig, falls ¹˜ÐÆ Ð º :7' . ¹˜ÐÆ i º

INKOWSKI

Übungen

57

Für die Standardbasis

Nëë

Ë

O

äá Ù

' ƒR ïï ' S '

äAå

Æ ä:ÑÙ

Nëë

Nëë

O '

O '

Ë Rƒïï Æ ä Ý Ù 'S '

' ƒR ïï ËS

Æ ä´=µÙ

'

Nëë

O '

' ƒR ïï 'S

Ë

Æ

gilt also

äá äã

ist zeitartig,

ÄÖÙ :Ë Æ% Æ-É Ò ± Ñ Ý = Im s definiert ù›ÙZú á £,ú £,ú £ãú die Determinantenfunktion ù¹Ä‹ÎÑAÆ©Î Ý Æ©Î=:Æ©Î×±É mit ù¹Ää Æ@ä:Ñ%Æ@ä Ý Æ@ä´=#ÉLÙ Ê Ë . Die L gruppe û ist die Gruppe aller linearen á õ Øüs ±
ýs ± mit ¹‹õöÐÆ©õ i º ٞ¹˜ÐÆ i º . Transformationen (a) Zeigen Sie: Falls õÍä Ùqä , so gilt: á á Nëë O Ë 'â'"' õ–þ Ù ž¸ Ó Ä-Å Ù Ë:Æ %É Æ wobei ¸ Ù ''  RƒS ïï ist raumartig

ORENTZ

'

ÑÙ

und Z die Raumspiegelung bezeichnet, mit Drehung ist. (b) Zeigen Sie: Durch

ċõÄ&°É@ÐÍÉ á ċõ&Ä °É@ÐÍÉ Ñ Ä‹õ&Ä °É@ÐÍÉ Ý Ä‹õ&Ä °É@ÐÍÉ =

Ù

ì‡í ÃîHÄ&°ÉMâ á Ê^à FB Ä î>Ä&°ÉMâ Ù]à BFÄ ‰î Ä&° ÉMâ á Ê ì‡í à îtÄ&°ÉMâ

Ùwâ Ý Ùwâ =

wird eine L ORENTZtransformation (c) Zeigen Sie, daß mit

à BðÄ î>Ä&°ÉùÙ


ËKü » Ü Ä» ñ » Ü È » È É Ý Æ ñ

õÄ&°É , (°

Ý Ù!Ë ÿ , und žv¡H Ä&-É

eine

Ñ Ñ

Û äƒ¶ŸõÄ&°ÉLÙÊwË Ë ì‡í ÃîHÄ&°ÉùÙ
ËKü Ä » Ü » È É Ý Æ ñ ;s

) mit

erklärt.

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

58

=

âãÙ ï ã

âáÙ ïáÙ



ÈÊ, mit Ünws und für È
in eine G ALILEItransformation übergeht. Sei

õ

eine L ORENTZtransformation und

õÏä á Ù Ù und sei 

NO

O

Nëë

ñ áÑ ñ Ý Rƒïï ñ S

õÄ&°É

der 4-Vektor mit

ñ=

eine Drehung mit

ñ ÝÑ



die L ORENTZtransformation

NO

»ñ » ' RS '

ñ = RS Ù Ã BQÄ Äóñ á Éß Æ ñ ô = Ý wobei » ñ » Ù G ã Ñ Äóñ ã É . Setze °ÙUó à BðÄ î>Ä » ñ » É . à (d) Zeigen Sie:

²Ù à BQÄ Äóñ á É ¸ õ Ä&°Épä á wÙ õÍä á Ò (e) Zeigen Sie: Es gibt zwei Drehungen ¸ Ñ und ¸ Ý , so daß õ–Ù à B Q Ä Äóñ á É ¸ ÑiõÄ&°ÉM¸ Ý Ó Æ mit ÅùÙ!Ë für ƒä ¶#ċõÉLÙ¯üË und Åù, Ù % für Û ƒä ¶ċõöÉLÙ¬ÊwË . Û ü wird die Zeitspiegelung und durch ü7Ë ÿ die Raumzeitspiegelung erklärt. Durch w Diejenigen Elemente õ , die keine Spiegelungen enthalten, bilden eine Untergruppe û Ô von û , die Gruppe der eigentlich orthochronen L transformationen. Die Generatoren von û Ô : Sei X Q -Metrik ¹L÷-ƒÆ ÷ º , das heißt, Ø s ± i
ýs ± ± linear und schief bezüglich der M für alle ÐÆ ˜s gilt: ¹˜ÐÆ X i º Ùu_ ü ¹ X ÐÆ i º Ò Sei û  die Menge dieser linearen, schiefen Transformationen. Wir setzen Ãtå ç в٠äA¥å ¹ä ç Æ Ð º ü ä ç ¹äAåyÆ Ð º Æ 'M698W:@|,6@- Ò ORENTZ

INKOWSKI

2.8 Invariante Teilgebiete des M INKOWSKIraumes Weiterhin wird der Kommutator von X und x

59

definiert durch

X Æ x ØÚÙ Xvx ü x X für alle X Æ x  û  Ò ÷ (f) Zeigen Sie: û  ist ein 6-dimensionaler Vektorraum mit Basis Ãtå . ç (g) Zeigen Sie X Æ x  û  für X Æ x  û  . ÷ (h) Berechnen Sie die Kommutatoren Ãtå Æ@Ã ç ²´³ ÷ . (i) Zeigen Sie: õ‘ÙwäHÄ X Éaû Ô . Deswegen heißen Ãtå die Generatoren von û Ô . ç (j) Berechnen Sie äHÄMà å ÉaÎ für beliebiges Î . ç 2.8

L ORENTZtransformationen, Bahnkurven und invariante Teilgebiete des M INKOWSKIraumes ° É [vergleiche GleiHilfe der oben betrachteten L ORENTZtransformation õ!ÄA

Mit chung (2.56) auf Seite 55], können sämtliche anderen L ORENTZtransformationen beschrieben werden. Es gilt für beliebiges :

õ

õ

läßt sich stets in der Form

õ¢Ù t4 Ä-õöÉß7Ñiõ5ÄA°ÉC Ý Ó (2.64) schreiben, wobei 4HċõÉù, Ù Ã BQÄ Ä Ää á Æ©õÏä á É@É und ä á der Einheitsvektor in Zeitrichtung ist. 7Ñ und  Ý sind zwei Raumdrehungen. bezeichnet die Raumspiegelung und Å ist entweder gleich 1 oder 2. ½kÙ üc heißt Zeitspiegelung und ?½3Ù ü Ë ÿ Raumzeitspiegelung. Wir erkennen, daß jede L ORENTZtransformation die Form

(2.65) ¢õ Ùè Ñ õ!ÄA°ÉCµÝƒ ã Æ ÖÙ Ë:Æ% Æ- Æ ª mit ùÑ Ù Ë ÿFÆH Ý Ù` öÆH =Tي½ Æ ±yÙZ ?½ besitzt. Die Gruppenelemente, die keine Spiegelung enthalten, bilden eine Untergruppe, die Gruppe der eigentlich orthochronen L transformationen û Ô . ORENTZ

Der M INKOWSKIraum selbst läßt sich in disjunkte Teilgebiete zerlegen, die invariant unter den eigentlich orthochronen Lorentztransformationen sind. Diese sind (sehen Sie bitte auch Abbildung 2.1 auf der nächsten Seite):



½

Ô Ù  <Î bq7Þ ‹Ä ΏƩÎÉ ö 'MÆ ï á Ô Ù  Î<bq7Þ ‹Ä ΏƩÎÉÖÙc'MÆ ï á  Ù #<Î bq—Þ Ä-Î Æ©ÎÏɘ:9'

ö 'V ö 'V

(2.66) (2.67) (2.68)

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

60

 ½

÷ Ù  <Î bq7Þ ˜Ä ΏƩÎÏÉùÙc'MÆ ï á ÷ Ù  <Î bq7Þ ˜Ä ΏƩÎÏÉ ö 'MÆ ï á

á Ô

 Ô

÷

(2.70)

Ñ

0



(2.69)

 Ô 



:@'  :@'V

 ÷

 ÷

Abbildung 2.1: Invariante Unterräume des M IN KOWSKI raums unter der eigentlich orthochronen L ORENTZ gruppe. Für die Bezeichnungen beachten Sie bitte die Gleichungen (2.66) bis (2.70) und den darauf folgenden Text.

 Ô

Ô

Die Vereinigung dieser Gebiete ergibt zusammen mit dem Nullvektor den gesamten in ½ beziehungsweise M INKOWSKIraum. Bei Zeitspiegelungen werden ½ und   transformiert (und umgekehrt).Vektoren in heißen raumartig, Vektoren in  und  lichtartig und zwar positiv beziehungsweise negativ lichtartig, je nachdem ob sie in  oder  liegen. Vektoren in ½ und ½ nennt man zeitartig und zwar wieder positiv oder negativ, wenn sie aus ½ oder ½ sind.

÷

÷ Ô

÷

ø

Ô

Ô

÷

÷

Ô

÷

Für positiv zeitartige Vektoren und raumartige  gibt es stets jeweils mindestens eine eigentlich orthochrone L ORENTZtransformation mit

Nëë

õ

õø!Ù

O ¹-øÖÆiø º ðè ' ƒR ïï ' S '

(2.71)

beziehungsweise

õ˜Â Ù

O

Nëë

' '

'

Ğü ÄÏÂNÆÂMÉ@É ðè

S

Rƒïï

Ò

(2.72)

2.9 Koordinatenwechsel und Feldstärketensor

61

ÎãNÄ #ã-É

&Å haben wir stets vorausgesetzt, Für die von uns betrachteten Bahnkurven × &Å  &Å ö ' und  AÅ ö ' gilt, das heißt, der Tangentenvektor daß × &Å liegt stets in ½ . Falls wir È &Å durch die Bogenlänge parametrisieren, gilt und ZÅ ñ heißt die Eigenzeit. Der Grund für diese Bezeich &Å  AÅ nung liegt in folgender Tatsache: In der Nähe des Parameterwertes Å gilt für AÅ die lineare Approximation

‹Ä Î ã Ä #ã˜ÉyÆ©Î ã Ä #ã˜É@É Î ã á Ä #ã‹É Ô Î ã Ä ãÉ Î ã Ä ãÉ Ä-Î ã Ä #ã-ÉÇÆ©Î ã Ä #ã‹É©ÉÖÙ Ë \ãAÙ #ã

ÎãMÄÏÅ á Ê<ù7Å:ÉwÎãNÄ&Å á ɉÊ9ù7ÅKÎ ã &Ä Å á ÉÒ

á

ÎãNÄ #ã-É

õ

Nach der Bemerkung zu Formel (2.71) auf der gegenüberliegenden Seite gibt es eine eigentlich orthochrone L ORENTZtransformation mit

ÎãMÄÏÅ á Ê<ù7Å:É wÎãNÄAÅ á É>Ê¢õ

!"" Nëë Ë O

ٛñ Õ # ñöÙ«Ä-õµÆ©ÎãMÄ á @É É

Nëë

Ë

O

' ƒR ïï ù7Å ' S '

$&%%

' ƒR ïï ù7Å ' 'S '

!"" Nëë Ë O

ٛñ Õ #

'

' ƒR ïï  È ( 'S ù 

$&%%

' Æ ñ

AÅ eine P OINCARÉtransformation ist. Interpretieren wir als wobei Koordinatenwechsel, so besagt die letzte Gleichung, daß wir lokal (das heißt für jedes feste Å bei hinreichend kleinem ù7Å ) für jede Bahnkurve ein Beobachtungssystem finden können, in dem das Teilchen ruht und seine Uhr die Zeit ù angibt. Natürlich stellt dies nur eine Näherung der tatsächlichen Bewegung dar, die um so schlechter ist, je stärker das Teilchen beschleunigt wird.

á

2.9

(

Koordinatenwechsel und Feldstärketensor

Wir wollen nun untersuchen, welche Konsequenzen unsere Koordinatenwechsel für den Feldstärketensor selbst haben. Wir beschränken uns auf reine L ORENTZtransformationen . Im Standardkoordinatensatz gilt also

õ å ï ‹Ä ÎÏÉ ÙU4@å ÄäAåyÆ©ÎÏÉ

(2.54)

und für die gestrichenen Koordinaten gilt:

å ô ÷õ Ñ Î  ý ‹ Ä Ï Î É U Ù @ 4 å ä © Æ Î Ù þ å ï ï å

Ú

(2.73)

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

62

Die beiden Basen werden ferner durch

ä å ÙõÏäAå

(2.74)

ineinander transformiert. Im ersten Koordinatensatz ist der Feldstärketensor komponentenweise durch

‹Ä ÎÏɉÄäAåTÆ@ä ç ÉÖÙc$Hå ç ý ï á Æ ï Ñ Æ ï Ý Æ ï = þ Æ ã Ñ Ý = mit $tã Ùuüd$ ã‰Ù üw· ý á Æ Æ Æ þ Æ ï ï ï ï á á Ó ý áÆ ÑÆ ÝÆ =þ sowie $ ã × Ù üw§ ã × Ó x ï ï ï ï $

definiert worden. Im zweiten Satz wird ein anderer Feldstärketensor

)–Ä-ÎÏÉÖý-ä å Æ@ä ç þ cÙ $ å  ç ý ï  á Æ ï  Ñ Æ ï  Ý Æ ï  = þ

(2.9) (2.6)

)–ĘÎÏÉ

(2.7)

(2.75)

komponentenweise durch

$ ã

Ù üW$  ã Ù wü ·  ã ý ï  á Æ ï  Ñ Æ ï  Ý Æ ï  = þ á á $ ã  × Ù üw§ ã × Ó x  Ó ý ï  á Æ ï  Ñ Æ ï  Ý Æ ï  = þ

(2.76) (2.77)

erklärt. Wir fordern, daß in beiden Koordinatensystemen das gleiche Tensorfeld definiert wird und lediglich die Form seiner Komponenten in den verschiedenen Koordinaten verändert erscheint.

»Ù*) gelten, und wir erhalten sofort, wegen ä å ÙõÏäAå Ùwõ ç å ä ç Æ Ñ ( ô÷ õ Ñ * Ò $tå ç ý ï á Æ ï Ñ Æ ï Ý Æ ï = þ Ùc$ (  * ý ï  á Æ ï  Ñ Æ ï  Ý Æ ï  = þ ô÷ õ Ú å Ú ç

Es muß also $

(2.74) (2.78)

Neben den veränderten Koordinaten erkennen wir aus dieser Formel noch eine zweite bemerkenswerte Tatsache, daß nämlich auch die Komponenten des Feldstärketensors bei Koordinatenwechsel ineinander transformiert werden. Was ein elektrisches oder was ein magnetisches Feld ist, hängt vom Beobachtungssystem ab. Wir wählen zur = Illustration ein konstantes elektrisches Feld im gestrichenen System mit ·  ,· ö ' A° wie in Formel (2.56) auf Seite 55. Es ergibt und ·  x  `' sonst, sowie sich durch Einsetzen in die Formel (2.78) sofort:

ãÙ +Ù

õ Ùkõ!Ä É

· = c Ù $ =

á Ù

ì‡í Ãîv°b·

Ù

(2.79)

Übungen

63

x Ý ÙU$ùÑÏ= Ù üãà BFÄ î;°"· · ã Ù x + Ùc' sonst

(2.80) (2.81)

Das für den bewegten Beobachter (gestrichene Koordinaten) konstante, rein elektrische Feld erscheint dem unbewegten Beobachter in Begleitung eines Magnetfeldes. Eine weitere Konsequenz unserer Koordinatentransformation betrifft die Beschreibung von elektromagnetischen Wellen. Koordinatenfrei werden diese als spezielle Lösung der stromfreien M AXWELLschen Gleichungen durch folgende Tensorfelder ausgedrückt:

ċÎÏÉAÄ-øÏÆÂpÉ Ù X Ä Ä i ÆiøÉ Ä l Æ ÉÖü Ä i ÆÂ É Ä l ÆiøÉ@É ì‡í ÃÄ Ä i Æ©ÎÏÉtÊ<°É

$

i

(2.36)

Die Amplitude lichtartiger Vek° sind reelle Zahlen, ein positiver X und die Phase l l l i l tor und raumartig mit setzen ,r , i ƒ , r l ƒ und erhalten. Wir a für zwei Koordinatensysteme, die allgemein durch  in Beziehung stehen:

Ä Æ ÉÏÙ ü Ë ÅLåÖÙ Ä Æ@äAåŸÉ >åÙ Ä Æ@äAåŸÉ Å å Ù ý @Æ ä åMþ å å Ù ý å Æ@ä åNþ Ñ ï ‹Ä ÎÏÉùÙ ï ý õ ÷ ċΠü²øÉ þ $ ċÎÏÉ>Ää å Æ@ä ç É ÙU$ å ç ý ï á Æ ï Ñ Æ ï Ý Æ ï = þ Ù X -Ä Å å r ç ü²Å ç r å É ì‡í Ã-,%Å * ï * Ê<°/.‘Æ $ ċÎÏÉLý‹ä å Æ@ä ç þ ÙZ$ å  ç ý ï  á Æ ï  Ñ Æ ï  Ý Æ ï  = þ Ù X ý‡Å å r ç ² ü Å ç r å þ ì‡í à , Å * ï  * Ê<°  . Æ mit °ki, Ù °kʖÅLå 0 å .

Interessanterweise ändert sich nicht die Form der Feldstärketensorkomponenten in den beiden Koordinatensystemen, lediglich die Werte der auftretenden Parameter sind verschieden. Von besonderem Interesse ist die Kreisfrequenz

ÖØÚÙÅ á È

(2.82)

mit der (bei festen räumlichen Koordinaten) die ebene Welle zeitlich oszilliert. Offensichtlich ist dies ebenfalls eine Größe, die vom Beobachter abhängt: In den È. gestrichenen Koordinaten gilt offenbar  a È ø

à iÙkÅ 3Ù Å á á

Übungen Aufgabe 2.7 — Der Feldstärketensor des C OULOMBfeldes Wir betrachten einen elektromagnetischen Feldstärketensor der Form

$

ċÎÏÉ\Ä-øÍÆÂpÉùÙ21Äžüd¹-ÎÆ©Î º Ê ¹ 3iÆ©Î º Ý É ÷ 2ð Ä ¹-ΏÆiø º 4¹ 3FÆ º ü@¹43FÆiø º -¹ ÎÆ º É

(2.83)

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

64

±

øÏÆ

‹Æƒ÷ º die M 43F5Æ 3 º Ù!Ë .

für alle ÂHws . Hierbei ist ¹J÷ ger Einheitsvektor, das heißt ¹

INKOWSKI-Metrik

Hå ç

(a) Berechnen Sie die Tensorkomponenten $

3

und a˜s

ã Ä Æ Ê@ÉÏÙc$ ã ċÎÏÉ Æ ï á

ist ein zeitarti-

von (2.83) in der Standardbasis.

(b) Berechnen Sie die Komponenten des elektrischen Feldes durch

·

±

·

, die gegeben sind

ÄÙ Ë:Æ% Æ-É

sowie die Komponenten des magnetischen Feldes, die gegeben sind durch

P=

Ó Ä Æ Ê@ÉÏÙ ü Ë § ã Ó$tã ċÎÏÉ Æ ï % ã Ñ + + é+ à

x

Ä-Å Ù«Ë:Æ% Æ-ÉyÒ

Zeigen Sie, daß insbesondere gilt:

Ë aÈ Æ· Ä Æ Ê@É Èá ï ã der Vektor mit den Komponenten È Æ#ÄeÙ Ë:Æ% Æ-ÉyÒ (c) Sei nun speziell 3LÙqä . Zeigen Sie, daß in diesem Fall · dem elektrostatischen á Ä ï Æ Ê©ÉùÙ = Hierbei ist È ;s x

C OULOMBfeld einer Punktladung magnetische Feld x verschwindet.

1

im Koordinatenursprung entspricht und das

Wir transformieren jetzt den Feldstärketensor des C OULOMBfeldes (2.83) mittels einer (aktiven) L ORENTZ-Transformation:

ċõՇ$ÚÉ\ċÎÍÉ\Ä-øùÆÂMÉùÙc$ ċõÍÎÏÉ\ċõøùÆ©õ˜ÂMÉ (d) Zeigen Sie, daß Ä‹õ Õ $ É\ċÎÍÉ wieder die Form (2.83) besitzt, wobei der zeitartige Ñ Vektor durch õ ÷ 3 gegeben ist. (e) Wir betrachten nun speziell den Boost des statischen C feldes aus (c) Ñ in 1-Richtung ä:Ñ , also den Fall 3:Ù3õÄ&°É ÷ ä . Berechnen Sie für diesen Fall das á x . Zeigen Sie, daß dieses Feld elektrische Feld · und das magnetische Feld OULOMB

dem einer bewegten Punktladung entspricht, und geben Sie die Richtung und Geschwindigkeit der Ladung an.

Aufgabe 2.8 — Elektromagnetische Wellen

Übungen

65

Wir beschreiben eine elektromagnetische Welle durch den Feldstärketensor mit den Komponenten

ĘÅLå•r ç ²ü Å ç r>åMÉ ì‡í à , Å ³ ï ³ Ê<° . Þ (2.84) i ± heißt Wellenvektor und l ;s ± Phase, ;s X ;s heißt Amplitude, ° s heißt å å ål Polarisationsvektor. Es gilt: Åå Å ÙZ'tÙ3ÅLå•r , r>åQr Ù ü*Ë und eine Welle dieser ± ein zweiter Vektor mit Form heißt linear polarisiert. Seien X Æ °kƒ;s und ƒ˜s å å å r å r Ù*üË und Å å r ` Ù 'tZÙ r å r und $  å ç ċÎÏÉùÙ X  ý˜ÅL•å r  ç ü Å ç r  å þ ì‡í à , Å ³ ï ³ ^ Ê ° . (2.85) $tå ç

ċÎÏÉùÙ

X

der Feldstärketensor einer zweiten ebenen Welle. Sie ist wieder eine Lösung der M AXWELL-Gleichungen bei verschwindender Viererstromdichte, und das gleiche gilt auch für

)å ç cÙ $Hå ç Ê<$  å ç Ò (a) Zeigen Sie, daß )å eindeutig in der Form ç )å ç cÙ $ Ô å ç ^Ê $ ÷ å ç mit

$76Hå ç

Ù X 6 ÅLå98Er ç

Ê ° ì‡í à , Å ³ ï ³ <

6.

¨pr  ç Ã ðB Ä

, Å ³ ï ³ 9Ê ° 6 .;: ü Ä8=<À|TÉ

geschrieben werden kann, wobei

ªX

Ý Ù X Ý Ê X Ý 6

6

¨<% X}X  à FB Ä &Ä °5üd°  Éyƶó Ä °

6 Ù

X à FB Ä °,¨ X  ‡ì í à k°  X ì‡í à °9> X  à FB Ä ° 

Ò

(b) Begründen Sie, daß $ die stromfreien M AXWELL-Gleichungen erfüllt. Zeigen Sie, daß das elektrische Feld, das zu $ gehört, für feste Raumpunkte als Funktion der Zeit auf einem Kreis liegt. $ heißt deshalb zirkular polarisierte Welle und zwar wird $ rechts- und $ links-zirkularpolarisiert genannt.

Ô

6

6

÷ Ù6 ,° á ¨
(c) Setzen Sie jetzt: °

ï

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

66

geschrieben werden kann, wobei

 X Ñ

 X Ý

Ù X Ô Ê X ÷ l  Ñ Ù ì‡í Ã¥y l Êpà BFÄ y l  Ù X Ô ü X ÷ l  Ý u Ù üWà BFÄ y l Ê ì‡í à y l  Æ Ð l ã l 

das heißt, es gilt: Æ + Ñ Ù ü yFã + Æ#ÄiÆÏÎÙ Ë:Æ%É . Berechnen Sie das elektrische Feld, das zu ) gehört und zeigen Sie, daß dies für feste Raumpunkte als Funktion ï der Zeit auf einer Ellipse liegt. ) heißt deshalb elliptisch polarisierte Welle. Für einen bewegten Beobachter sei der Feldstärketensor durch

$  å ç Ä ï  á Æ ï  Ñ Æ ï  Ý Æ ï  = ÉÖÙ X

ý Å  åQr  ç ²ü Å  ç r  å þ ì‡í à , Å  ³ ï  ³ Ê9° .

gegeben. Der unbewegte Beobachter sieht deshalb den Feldstärketensor

$tå ç

Ä ï á Æ ï Ñ Æ ï Ý Æ ï = ÉÖÙ

X

Ä-Ååür ç ²ü Å ç r>å É ì‡í à , Å ³ ï ³ Ê9° .

wobei

Å å Ù ÷ õ Ñ åç Å  ç Æ r å Ù ÷ õ Ñ åç r  ç und ï å Ù ÷ õ Ñ åç ï  ç Ò Für jeden Beobachter wird die Kreisfrequenz der Welle durch à Ù3Å  È , beziehungsweise  à @Ù¹aÅ  á  È erklärt. Sei jetzt õ áÑ Ùkõ Ñ Ùcà BFÄ îw°ÏÆ©õ á Ùkõ ÑÑ Ù ì‡í áÃî°ÏÆ©õ ÝÝ Ùqõ == Ù!Ë å Ù ' sonst. Die Geschwindigkeit desá bewegten á Beobachters ist dann durch und õ ç Z È ÜÙ ¶ó Ä îv° ä:Ñ gegeben. (d) Zeigen Sie, daß allgemein gilt:

ÛÙ@?Çà  žÄ ËKüBA ì‡í Dà C‰ÉµÆ mit A!Ù » ÜÈ » ?Ü٫ĞËKüEA Ý É ÷ ðè Æ wobei C der Winkel zwischen Ü und a Å  ist. Zeigen Sie, daß insbesondere ÛÙlà  FËËn>¨AA für Ü*GÅ 4Ä CK,Ù 'MÆ beziehungsweise ¾tÉ , und Û@Ù ?Çà  Æ für ÜIHoÅ gilt. Dies nennt man den linearen, beziehungsweise quadratischen

2.10 Eine Bemerkung zu L ORENTZtransformationen mit Zeitspiegelung

67

KJ

D OPPLER-Effekt. Erläutern Sie diese Bezeichnung, indem Sie den Grenzfall » Ü » È diskutieren.

Hinweis:

ì‡í ÃHÄ&°,¨LAÉÖÙ ì‡í à ° ‡ì í ÃMAN><à BFÄ ° à BFÄ Ä&°,¨LAÉÖÙUà BFÄ ° ì‡í Mà AZ¨ ì‡í ÃV°

à BFÄ Ã BFÄ

A A

2.10 Eine Bemerkung zu L ORENTZtransformationen mit Zeitspiegelung

ñÙ«Ä‹õµÆiøÉ

õ

õ‘Ùkõ á tã

kann im allgemeinen eine L ORENTZtransEine P OINCARÉtransformation formation mit einer Zeitspiegelung enthalten. Allgemein gilt ja

wobei

ùÑÙ Ë Fÿ Æ

Ý Ù]

Nëë

Ù

= @ Ù ½Ù

k±µÙ] ‹½wÙ

Ë

O ' ' '

O

Nëë

ü7Ë ' ' '

ü–Ë ÿ

' ' ' ' ' ' ü7Ë ' ' ' ü7Ë ' ' ' Ë ' ' ' Ë ' ' ' Ë

ü7Ë

õá tċõöÉùÙ Ä Ä‹ä Æ©õÍä É@É ñ ÷ Ñ Õ ÎãŸÄ #ã-É á á ô ô ÷ ñ Ñ Õ Îã Ú  ÄAÅ#ã‹É Ú á

Rƒïï

Raumspiegelung,

Rƒïï

Zeitspiegelung,

S S

und eine eigentlich orthochrone L ORENTZtransformation ist. = und ± treö ' ) die Größe ten genau dann auf, wenn für die feste Zeitachse ( sign gleich ist. Bei der Transformation der Bahnkurve in 4 &Å ist in diesem Fall die zeitliche Komponente des zugehörigen Tangentenvektors negativ:

ü7Ë

ä á Ä ä á Æ@ä á É

:9'

Bei der Herleitung der vierdimensionalen Bahngleichung haben wir darauf achten müssen, daß diese Komponente immer positiv sein soll. Zunächst bedeutet dies, daß

68

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

ñ ÷ Ñ Õ ÎãMÄ %ã-É

ÏÅ physikalisch nicht erlaubt sind, also Zeitspiegelungen in die Bahnkurven der oben beschriebenen Form nicht stattfinden dürfen. Wir können aber zusätzlich die Spiegelung des Kurvenparameters Å ´
WÅ vornehmen; danach gilt wieder: ¸ AÅ vÅ hat ¸  &Å ö ' und stellt eine physikalisch erlaubte Bahnkurve dar. Für die Eigenzeit bedeutet diese zusätzliche Transformation, daß sie ebenfalls gespiegelt wird. Offenbar ist dies physikalisch auch sinnvoll, bedeutet jedoch, daß $ Å die MAXWELLschen Gleichungen nicht mehr zusammen mit ¸ &Å und die E INSTEIN-L ORENTZschen Bewegungsgleichungen erfüllt. Dies leistet aber $ . Der allgemeine Fall einer P OINCARÉtransformation des Feldes jetzt gerade $ und der Bahnkurven &Å läßt sich also physikalisch korrekt so definieren:

Ù ñ ÷ Ñ Õ Î ãNĞü %ã˜É

Ä Î ã Ä #ã-É©É á

%ã ü %ã

ÎãNÄ #ã‹ÉØ

ñÕ Ñ ÎãŸÄ #ã-ÉÖÙ ñ ÷ Õ Î ãNĞü #ã-É üñ Õ ñ ÎãŸÄ %ã˜É Ñ Ist ñÙ«Ä‹õµÆiøÉ , so gehen $ in 4tċõöÉñ Õ $ und die Bahnkurven ÎãNÄAÅ#ã‹É in ñ ÷ ÎãŸÄ&4tċõöÉßÅ#ã-É Õ über. Wichtig in diesen Formeln ist die folgende Tatsache: Wegen 4tċõ Ñ %õ Ý ÉÖ, Ù 4tÄ-õ Ñ ‡É  4tÄ-õ Ý É gilt wieder, daß die Hintereinanderschaltung zweier Transformationen ñ ÕÑ und ñ ÝÕ wie bisher der Transformation ÄóñÇn Ý ©ñ Ñ É Õ entspricht.

69

3

Erhaltungsgrößen

Wir haben im letzten Kapitel die Invarianz der M AXWELLschen Gleichungen unter der Aktion der P OINCARÉgruppe studiert. Diese Gruppe wird durch 10 reelle Parameter beschrieben und ersetzt die G ALILEIgruppe der klassischen Mechanik. Bekanntlich führt die G ALILEIinvarianz auf zehn Erhaltungsgrößen: Energie, sowie die jeweils drei Komponenten von Impuls, Drehimpuls und Schwerpunkt. Analog ist die Situation in der M AXWELL-E INSTEIN-L ORENTZ-Theorie. Allerdings tritt die Schwierigkeit auf, daß hier die elektromagnetischen Felder zusätzlich zu den Erhaltungsgrößen beitragen. Diese Beiträge sind durch Integrale über räumliche Flächen im M INKOWSKIraum q definiert, und wir wollen uns erst mit solchen Integralen näher bekannt machen.

Ø

O

Zunächst sei Û šqâ
ýs eine reellwertige Funktion und ein offenes Gebiet in Falls eine P OINCARÉtransformation mit ist, so gilt wegen ƒ¶ u¨

ñ

Ý

ñÙ«Ä˜õ ÆiøÉ

Ý

P ñÇՃÛ3Ù Q  P tÛ Ò

Û ä Tõ Ù wË

q

.

ñÚÄROùÉ istå das transformierte Gebiet, das heißt jedes ÎM=O geht über in ñ Î . Sei  ċÎÏÉ ein kontravariantes Vektorfeld, S eine 3-dimensionale Fläche in q Õund die Punkte in S seien (fast überall) eindeutig parametrisiert durch ιÄA°ùÑ\Æ° Ý Æ°=#É mit °‰ã  0pãaUÆ T ã /V sÄ eÙ Ë:Æ % Æ -É . POINCARÉ

Das Integral von 

Ý

über

S

Ý èÝ ðÝ 2

ist durch die Formel

(3.1) u Ù Y ü X X X § ô *ċÎÏÉyÆ î °ùÎ Ñ Æ î ° Î Ý Æ î °kÎ = Û ° = Û °tÝ Û ° Ñ W Zè Zð Z2 î î î Ú erklärt. Dieser Ausdruck ist invariant unter Reparametrisierung. § ist der kovariante, schiefe Tensor aus der Aufgabe 2.5 auf Seite 47, und à ٠ü§ heißt die Volumenform von q .



S

ÄÆ[ÏÉùÙ!Ë:Æyñ á S \ Ù #<Î bq7Þ¹Æ©Î ü Î á º Ùc'

Beispiel: Eine raumartige Fläche ist wie folgt definiert: Seien ö ' , dann ist:

Î á [Æ 7q

fest,

(3.2)

3 Erhaltungsgrößen

70

ä Ø Ù] und ergänzen ä  zu einer Orthonormalbasis: ä  Ù] , ä ã á die ý-ä å Æ@ä ç á þ Ù ©åayFå ç und §Íċäƒ Æ@äƒÑ Æ@á äƒÝ Æ@äƒ= ÉÖÙ ülË . Für ÎM^S gilt dann á

Wir setzen  mit ƒ ƒ ,4 Parametrisierung

P=

βÙwÎ á Ê ã Ñ °tã‹ä ã °‰ãZs à P= Ý Ý `Ô Ý_ Ý W  Ù ü _ Û °ùÑ Û ° Ý Û °=;§ Ò  Ò Î²ÙwÎ á Ê ã à Ñ ä ã °tã Ô Æ@ä Ñ Æ@ä Ý Æ@ä = Ô ÷ wegen  ĘÎÖÉÏc Ù  å ċÎÏÉpä å ist das gleich P= Ý Ô`Ý_ Ý Ù ü °ùÑ ° Ý °=ƒ Ò Î ÙkÎ Ê ä ã °‰ã Ô § ý ä  Æ@ä Ñ Æ@ä Ý Æ@ä = þ á ãà Ñ á _÷ Û Û Û á Ý Ô`Ý _ Ý Ù °ùÑ Û ° Ý Û °k=˜ á ċιÄ&°ÖÑ%Æ° Ý Æ°=#É@É (3.3) Û ÷`Ô __ Ý Ý Ý Ù °ùÑ Û ° Ý Û °k= &Ä *ċιAÄ °ÖÑAÆ° Ý Æ°k=#ÉiÉyÆ[ÏÉ Û ÷_ Falls ñöÙ Ä-õ ÆiøÉ P transformation und õ eigentlich orthochron ist, OINCARÉ

gilt überdies

Ý

Ý

W ñ Õ  Ù Q W

Sei

O



ein offenes Gebiet mit Randfläche

S

(3.4)

. Es gilt dann der

71 G AUSSsche Satz in 4 Dimensionen

Sei

ÛCBED Ùbadha cfg e e

und

O V

SÝ Ý  ýï þ iml nrq s

q

ein Gebiet mit Randfläche

Ý

P ÛCBED  Ù W

Ý

S

, dann gilt:



(3.5)

ýï á þ Ý Ê ýï Ñþ Ý Ê

S

Wir betrachten ein Gebiet, dessen Randfläche durch zwei raumartige Flächen sowie durch eine Fläche 7= gegeben ist, für deren Punkte = ö ;s gilt (siehe Abbildung 3.1), es gilt dann

SkÝÑ und ýï þ Ý Ê

nj

s

ikj npo Abbildung 3.1: Gebiet

Ý

Ý

Falls  Unter dieser Voraussetzung folgt somit

Ý

Ý

im Minkowskiraum.

Ý

Ù W  ü W  Ê W »Ò 2 ð è å ċÎÏÉ genügend rasch für å  ï
 

W

Ý

t

Ý

verschwindet, gilt

u B v(wyx _{z W 2 Ù,' .

P CÛ BED  Ù W è  ü W ð ÜÆ wobei O durch die raumartigen Flächen SkÑ und S Ý begrenzt wird.

(3.6)

3 Erhaltungsgrößen

72

wÙZ' , so gilt für zwei beliebige raumartige Flächen: V Û E B D Ý Ý  Ù  Wè Wð

Ist überdies

(3.7)

Wählen wir nun speziell

S3ÑÍÙuÎ<"qMÞ ï á Ù È ÊiÑ  S ÝKuÙ <Î "qMÞ ï á Ù È ÊaÝ  mit konstantem ʇã , so gilt nach Formel (3.3) auf Seite 70 mit °‰ã#Ù ã ï Ý Ý  Ù Û = ï  á ċÎÏÉ Þ « Ö æ Wæ Þg à ß sowie

Ý

Ý

=  ï

= Û á ċÎÏÉ ÞÞ g « à Ö ß è Ù Û ï  á ċÎÏÉ ÞÞ g « à Ö ß ð =  ċÎÏÉ « Ö hängt also nicht von der Zeit ab, sie ist eine ErhaltungsDie Größe z ï á Þg Û größe. Überdies ist sie Þ à ß invariant: Zunächst finden wir Ý = Ý Ý (3.8) ò Ä Ç ñ Õ Y  É ‹ Ä Ï Î É Ù Ç ñ Y Õ  Ù »Æ á ÞÞ g « Ö W Û ï  W Q

Þ à ß wobei S wieder die Fläche mit á Ù È Ê ist und ñÚ4Ä S É die transformierte ï Fläche. Letztere ist auch wieder raumartig. S und ñÚÄ|S É begrenzen daher ein Gebiet POINCARÉ

POINCARÉ

O , wie oben aufgeführt, und es folgt Ý Ý Ý W  ü Q  W  Ù P ÛCBED  cÙ '

Die beiden letzten Formeln zeigen, daß in der Tat die Identität

Ý

gilt.

Û

=  ï

á ‹Ä ÎÏÉ ÞÞ g « à Ö ß Ù

Ý

=

Û ï ÄóñÇÕY É á ‹Ä ÎÏÉ ÞÞÞ g « à Ö ß

Wir betrachten die Viererstromdichte als Beispiel:

(3.9)

73 Beispiel:

ċÎÏÉÖÙ È G ãÌ Ñ Í ã}z yY±ÏĘΠü ÎãMÄ&Å#ã˜É@ÉMÎ ã ÄÏÅ%ã-É Û Å#ã . à Es gilt CÛ BED É Ù`' , denn P Ý å å È Ì î å É Ù ã Ñ Í ã Î ã Ä&Å ã É î å y ± ċΠü²Î ã Ä&Å ã É@É Û Å ã îŸï îŸï àP Ý Ù ü È^ã Ì Ñ>Í ã Û Å%ã yY±ÏċΠü ÎãŸÄ&Å%ã˜É@É Û Å#ã Û Pà Ù ü È^ã Ì Ñ>Í ãa&Ä „ yY±ÍċΠü²…‡† ÎãMÄ~ É@ˆ É üㄠyY±ÏÄ-Î ü …‡Î† ãNĞü=É@ˆ É É à àá àá Ù 'MÒ c Ù É

Wir setzen

Ý

1ÄÊ©ÉÖÙ ÈË P

É Ý

á ý È ÊFÆ ï Ñ Æ ï Ý Æ ï = þ Û = ï Ý

Ù ã Ì Ñ Í ã Û = ï y ± -Ä Î ü Î ã Ä&Å ã É©É Î ã á Ä&Å ã É Û Å ã Pà Ý Ý_ = Ì Ù ã Ñ>Í ã Û ï Û ï ãá yY±Tý˜Î ü²Îãý ï ã%á þ#þ Ò à ÷_

Nach der Variablentransformation

ï ãÇü ï ã ý ï ãá þ “ ãá Ù ï ãá ü „…‡È †Ê ˆ gà « “Lã‰Ù

folgt dann

P

Ý

P

1ÄÊ©É Ù ã Ì Ñ>Í ã Û ± “MyY± Ä)“ŸÉ Ù ã Ì Ñ>Í ãaÆ à à das heißt, die Gesamtladung 1 ist nicht von der Zeit abhängig und (natürlich) POINCARÉinvariant.

3 Erhaltungsgrößen

74

Wir verschaffen uns jetzt ein solches kontravariantes Vektorfeld  nach einem speziellen Rezept. Sei ½ ein kovariantes symmetrisches Tensorfeld 2. Stufe mit Komponenten ½ für das gelte(i) :

œÄ‹ÎÏÉ Çå ç ċÎÏÉ î å ½ å ç ċÎÏÉÖÙc' îŸï ½Çå ç ċÎÏÉÖ_ Ù ½ ç åċÎÏÉ (Symmetrie) Sei wÄ-ÎùÉ ein Vektorfeld mit î (  * ċÎÏÉ‰Ê î *  (7ċÎÏÉ ÙU' îŸï îTï Dann gilt:  å ċÎÏÉ Ù_½ å ç Ä-ÎÏÉ ç Ä-ÎùÉ erfüllt ÛCBED ,Ù ' . Denn: î å Ä ½ å ç Ä-ÎùÉ  ç ċÎÏÉ©ÉÖÙ „ ô î å ½ …‡† å ç ċÎÏÉ Ú ˆ  ç ċÎÏÉ>ʽ å ç î å  ç ċÎÏÉ îŸï îŸï îŸï àá Ë å Ù % ½ ç „ ô î å  ç Ä-ÎÏÉ>…‡Ê † î ç TåċÎÏÉ Ú ˆ îTï îTï àá Ù 'MÒ c = wieder eine Erhaltungsgröße. Damit liefert z  á ċÎÏÉ « Ö Þ Û g ß ï wir nun genau ein solches Tensorfeld ½ Für die ElektrodynamikÞ àwerden entsprechenden Vektorfelder

3.1



(3.10) (3.11)

(3.12)

(3.13)

und die

konstruieren.

Der Energie-Impuls-Tensor

Zunächst führen wir den Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes ein:

Ľ€[‚'É å ç ØÚÙ ªQË ¾ ¿ $ å ³ $ ç ³ Ê ª Ë $

( * $ ( * å çÁ

/ æ 0 Heben der Indices sei, wie eingeübt, mit Hilfe der Metrik definiert und ausgeführt.

(3.14)

3.1 Der Energie-Impuls-Tensor

75

Er erfüllt

Ä ÛCBED ½€[‚'É ç Ù ªQË ¾ ô %Ë $ ²³ Ä Û $ É ²´³%ç Ê Ä VÛ BED $ÚÉ ³ $ ³#ç Ú Ò

(3.15)

Beachten wir die M AXWELLschen Gleichungen und heben den Index | , so folgt

Ä ÛCBED ½ €[‚'É ç Ä-ÎÏÉÖÙ«ü ÈË $ ³ ç ċÎÏÉ É ³ ċÎÏÉ P

Ù«ü ã Ñ>Í ã à

Ý

$ ³ç

Ä-ÎÏÉ+yY±ÏċΠü ÎãŸÄ&Å#ã-É@É ï  ³ AÄ Å%ã-É Û Å#ã Wegen der yY± -Funktion können wir Î in $ ç durch ÎãNAÄ Å#ã‹É ersetzen, und die Bewe³ Ì

gungsgleichungen liefern dann zusätzlich

Ä ÛCBED ½ €[‚'É ç Ä-ÎÏÉÖÙ P Ý Ù ü ã Ì Ñ 3ã È Ý Û #Å ã¥yY± Ä-Î ü²ÎãMÄ&Å#ã-É@É Û Å%ã ¹-Î  Ä&Å#ã˜ÉyÆ©Ë Î  Ä&Å#ã˜É ðè ï ã ç Ä&Å%ã˜ÉÇÒ ã º Û ã à

Hier kann partiell integriert werden, und man erhält, wegen

mit

½

ƒ

Û Å#ã yY±ÏÄ-Î ü ÎãNÄ&Å%ã˜É©É Ùuü ï ã ( Ä&Å%ã˜É î ( yY±ÏÄ-Î ü Î ãNÄ&Å#ã-É©ÉyÆ îTï Û Ä CÛ BED ½€[‚'É ç Ä-ÎÏÉ Ùuü î å ½ ƒ å ç ċÎÏÉÇÆ îTï P å½ ƒ ç Ø Ù Ì 3ã È Ý Ý Å%ã yY±Ä-Î ü ÎãN&Ä Å%ã˜É©É ï ã å Ä&Å%ã˜É ï ã ç Ä&Å%ã˜É Ò Û ¹‹Î ã &Ä Å%ã˜ÉyÆ©Î ã &Ä Å%ã˜É º ðè ãà Ñ

(3.16)

(3.17)

heißt der Energie-Impuls-Tensor der materiellen Teilchen und mit

½;„4…†„ؑÙ@½y€[‚pÊp½

ƒ

(3.18)

wird der Energie-Impuls-Tensor des Gesamtsystems aus Teilchen und Feld bezeichnet. Erhaltungsgrößen erhalten wir jetzt mit Hilfe des speziellen Vektorfeldes

 å ċÎÏÉØ Ù‡0 å œÊ Ã çå ï ç Æ

(3.19)

76

0å

wobei der Tat

konstant und

à çå

3 Erhaltungsgrößen konstant mit

Ãtå ç

schief ist. In diesem Falle gilt offenbar in

î (  * ‹Ä ÎÏÉ‰Ê î *  ( ċÎÏÉ ÙU'MÒ îŸï å å îTï ي½ „|…†ç„  ç , so ist, falls ½ „|…†„ genügend rasch im Unendlichen verschwinSetzen wir  det,



Ý

Ù

Ù Ý

á ‹Ä ÎÏÉ ÞÞ g « à Ö ß Û = ï ½ „|á …†² „ ĘÎÖˆÉ  ² ċÎÏÉ Þ « Ö Û ï Ñ Û ï Ý Û ï = Þg à ß 

(3.20)

unabhängig von der Zeit, das heißt eine Erhaltungsgröße.

 explizit ein, so lautet (3.20) voll ausgeschrieben Ý   Ù Û = ï , ½ „|á …†å „ ċÎÏÉ0påʽ „|á …†å „ ċÎÏÉ ï ç Ãtå ç . « Ö gà ß Ý Ù Û = ï ô ½ „4á …†å „ Ä-ÎÏÉ0påÊ %Ë , ½ „4á …†å „ ċÎÏÉ ï ç üž½ „4á …†ç „ Ä-ÎùÉ ï å . Ãtå ç Ú « Ö Ò gà ß 0 å und Ãtå ç waren völlig beliebig gewählt. Wir schließen hieraus: Die folgenden Größen sind unabhängig von der Zeit Ä ©ÆiÅùÙ Ë:Æ % Æ -É Ý

á )Ä Ê©ÉÖÙ Û = ï ½ „|á@…†á „ ċÎÏÉ Þ « Ö (3.21) gÞ à ß ã )Ä Ê©ÉÖÙ Ý = ½ „|á …†ã „ ċÎÏÉ « Ö (3.22) ÞÞ g à ß Û ï ‰ á ã ÄÊ@É Ù ü ‰ ã á Ä)Ê©ÉÖÙ Ý = ý ½ „4á@…†á „ ċÎÏÉ ã üâ½ „4á …†ã „ Ä-ÎÏÉ á þ « Ö (3.23) ï ï gà ß Û ï ‰ ã Ó Ä)Ê©É Ùuü ‰ Ó ã Ä)Ê©ÉÖÙ Ý = , ½ „|á …†ã „ Ä-ÎÏÉ Ó üâ½ „|á …†Ó „ Ä-ÎÏÉ ã . « Ö (3.24) ï ï gà ß Û ï Setzen wir den Ausdruck für

Wir bemerken nochmals: Auf der rechten Seiten ergeben sich konstante Werte. Jetzt können wir uns davon überzeugen, daß die klassischen Erhaltungssätze für Energie, Impuls, Schwerpunkt und Drehimpuls in der Tat weiter gelten. Sie erscheinen allerdings in modifizierter Form und werden maßgeblich dadurch beeinflußt, daß das elektromagnetische Feld zu den Erhaltungsgrößen beiträgt.

3.1 Der Energie-Impuls-Tensor

77

Wir betrachten zunächst den Beitrag des Materietensors zu den Erhaltungsgrößen = als Funktion der Zeit aus. Die 3und drücken ihn durch die Bahnkurven im s dimensionale Integration eliminiert dabei die yY± -Funktion, und man erhält nach einiger Rechnung:

P

¹Ó È Ý ƒá Ù Ì  Ý ðè Ó à Ñ ô ËKü ,‹Š õ ì ֌ ß Š. Ú P ¹ÓÜ Óã ÄÊ©É ƒ ã Ù È Ì  Ý ðè Ó à Ñ ô ËKü ,‹Š õ ì ֌ ß Š. Ú P ‰ ƒá ã Ù È Ý Ì ¹Ó ãÓ ÄÊ@ÉüW檆 Óã Ä&Ê@É þ ý è ð  ï Ý Ó à Ñ ô‰ËKü ,‹Š õ ì Ö ß Š . Ú P ‰ ã +ƒ Ù È<Ì ¹Ó Ü Óã Ä)Ê@É ï +Ó ÄÊ©ÉüžÜ +Ó )Ä Ê@É ï ãÓ ÄÊ©É . , è ð  Ý Ó à Ñ ô ËKü ,‹Š õ ì ÖŒß Š . Ú

Für den Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes, ausgedrückt durch · und x , findet man zunächst

€[á@‚ á Ù  Ë ¾ , » · » Ý Ê » x » Ý . Æ ½ €~á ‚ ã Ù@½ €~㠂 á Ù ªQË ¾ · Æ x ã Æ ½ €[㠂+ Ù ü ªQË ¾ ßô · ã · + Ê x ã x + ü %Ë yFã + , » · » Ý Ê ½

Sein Beitrag zu den Erhaltungsgrößen ist

Ý = Ë

[€ á ‚ Ù  ¾ Û ï , » · ĘÎÖÉ » Ý Ê » x ĘÎÏÉ » Ý . « Ö Æ gà ß Ý

€[㠂 Ù ªQË ¾ Û = ï ·wċÎÏÉÇÆ x ċÎÏÉ ãg « Ö Æ à ß

»x »Ý . Ú

Ò

3 Erhaltungsgrößen

78

‰ €~á ‚ ã Ù Ë Ý = Ò ã » · Ä-ÎùÉ » Ý Ê » x ċÎÏÉ » Ý ü á · Ä-ÎÏÉyÆ x ċÎÏÉ ã Ô Æ ï ªQ¾ Û ï ï % « Ö g ‰ €[ã +‚ Ù Ë Ý = , · ĘÎÏÉyÆ x ĘÎÏÉ ã + ü ·wċÎÏÉÇÆ x ċÎÏÉ + ã . « Ö Ò à ß ï ï gà ß ªQ¾ Û ï Wir finden somit, ƒ á Ù G ÓÌ Ñ ½>Ó ist die Summe der relativistischen Bewegungsenergien der einzelnen Teilchen.à Sie ist selbst keine Erhaltungsgröße. Addiert man jedoch Ñ = , » · » Ý Ê » x » Ý . « Ö , so ist die Summe zeitlich konstant: den Beitrag €[á ‚ Ù †Ž z Û ï gàß

á c Ù ƒ á pÊ €[á ‚ Ù const.

€[á ‚ ist demzufolge natürlich als Energiebeitrag des elektromagnetischen Feldes zu interpretieren. Dieser erscheint als Integral über  Ø Ù †Ñ Ž , » · » Ý Ê » x » Ý . . Diese Funktion wird auch als Energiedichte des Feldes bezeichnet. ã ã Die Komponenten ƒ ñ È und €[‚ ñ È faßt man am besten zu jeweils einem Vektor ƒ beziehungsweise /€[‚ zusammen, für die dann gilt P

ƒ Ù Ì ñTã‡Æ ãà Ñ Ý = Ë

/€[‚yÙ ªQ¾ È Û ï · Æ x Ò ñTã ist der uns wohlbekannte relativistische Teilchenimpuls und somit ƒ der Gesamtimpuls aller Teilchen. Er allein ist wieder nicht zeitlich konstant. Addiert man aber /€[‚ , so gilt

Ùc ƒ Ê^ €~‚yÙ const. Wieder liegt die Interpretation von /€[‚ auf der Hand: /€[‚ ist der Impuls des elektromagnetischen Feldes.

Wir setzen jetzt noch

P

 ƒ ÚØ Ù Ì ¹Ó ÓpÆ Ó à Ñ ‰ô ËKü ,`Š õ ì Ö  ß Š . Ý ðè ï Ú Ý  €[‚ØÚÙ  Ë ÈFÝ = , » ·wċÎÏÉ » Ý Ê » x ċÎÏÉ » Ý . Ò ¾ Û ïï

(3.25)

(3.26)

3.1 Der Energie-Impuls-Tensor Aus der zeitlichen Konstanz von

Ä  ƒ Ê  €~‚/Éüd ‹ÊÖÙ  á Ù

ƒ

79

‰ ƒ ã Ê ‰ €[‚ ã folgt á á const.

(3.27)

 €[‚

ist offenbar bis auf einen Faktor der relativistische Schwerpunkt der Teilchen, als Schwerpunkt des elektromagnetischen Feldes anzusehen. Gleiund somit ist chung (3.27) ist dann nichts anderes als der verallgemeinerte Schwerpunktsatz.

‰ ã + ØÙ ‰ ƒ ã + Ê ‰ €[ã +‚ P Ý = Ë Ì û ØÚÙ ï Ó Æ‹ñyÓ Ê ªQ¾ È Û ï ï Æ · Æ x7  Óà Ñ

Aus den restlichen Erhaltungsgrößen

folgt: (3.28)

ist eine Erhaltungsgröße. Der erste Term ist offenbar der gesamte Teilchendrehimpuls, und wie bei den anderen Erhaltungsgrößen liegt die Interpretation des zweiten Terms wieder auf der Hand: Es ist der Drehimpuls des Feldes selbst. Addiert man ihn zum Teilchendrehimpuls, erhält man eine Erhaltungsgröße û .

ÎÖÓÙ ñ ÷ Ñ Õ ÖÎ Ó

Wir betrachten jetzt die transformierten Bahnkurven ¸ sowie die transformierten Felder $ . Wir haben auf den Seiten 51 bis 53 gezeigt, daß É der zu den transformierten Bahnkurven gehörende Strom ist. Analog gilt dies bei exakter Kopie des Beweises auch für ½ . Gleichfalls ist(i) ½ der Energie-Impuls-Tensor des transformierten elektromagnetischen Feldes $ . Hieraus folgt: ½ ist der Energie. Sei  Š½ wie Impuls-Tensor zum Feld $ und zu den Bahnkurven =  « Ö die P OINCARÉinvarianz zuvor. Nach (3.9) auf Seite 72 gilt für

ñÕ

Ý

=  ï

ñÕ ƒ ñÕ

ñÕ

Ý

ñ Õ €[‚

ñ ÷ Ñ Õ ÎÖÓ z Û ï á ċÎÏÉ Þ g Þ àß = ¿Ä ñÇÕY É Ä‹ÎÏÉ á ÞÞ g « Ö Ò Û ï Þ à ß

á -Ä ÎÏÉ ÞÞ g « à Ö ß Ù Andererseits ist Äóñ Õ  É å Ù Äóñ Õ ½ É å ç Ä¿ñ Õ  É ç Ò ( Für Äóñ Õ  É gilt aber, wegen  ċÎÏÉÖÙN0 ʢà ( ç ç ç ç ï ‘ } ( ‘ ( ñ Õ  ç Ùwõ * ç [ý 0 * ʢà * ( ý¨õ ï Ê T þ#þ ‘ ‡Ù 0 ç ʢà ç ‘ ï Æ wobei

Û

0 ç ØÚÙuõ * ç Ä 0 * ʜà * ( T ( ÉÇÆ

/ æ 0 Beweis siehe Aufgabe 2.5 auf Seite 47.

ñ Õ Ä‹ÎÏÉ

ñ Õ |„ …†„ å å Ù çç

(3.9)

(3.29) und

ñÙ¬Ä‹õ ÆÂMÉ , (3.30) (3.31)

3 Erhaltungsgrößen

80

à ç ‘ ÚØ Ùuõ * ç õ ( ‘ à * ( Ò (3.9) und‰ (3.29) auf der vorhergehenden Seite implizieren für die Erhaltungsgrößen

 å und  å ç , die zu den transformierten Feldern und Teilchenbahnen gehören, daß

 å 0 å Ê ‰  å ç à å ç U Ù å 0påÊ ‰ å ç Ãtå ç Ò Hieraus folgt sofort

‰ oder

( *

 å õ ( å Ùc (

õ å ( õ ç * Ê %Ë ý  ( õ å ( T ç Wü  ( õ ç ( T å þ Ù ‰ å ç

(3.32) (3.33)

( Ù ô ÷ õ Ñ Ú å ô>÷ õ Ñ Ú * ô ‰ å ç ü %Ë ÄRT ç å üW ç T å É Ú Ò (3.33) ç Wegen (3.32) und RÄ ’5ÆU’ÜÉ ö ' kann man nun immer ein Beobachtungssystem finden, ã Ù ' (eÙ Ë:Æ % Æ -É gilt. Außerdem kann auf Grund von in dem ‹ Z der Ursprung des ‰ ã(3.33) Ù ' (eÙ!‰ Ë:Æ % Ñ Æ Ý -É ergibt. Beobachtungssystems immer so gelegt werden, daß sich  á ` Ù ø ' , aber Eine dann noch verbleibende Drehung kann so gewählt werden, daß nur  ` ‰ ãÓ sonst  Ù,' ist. Ein solches Beobachtungssystem, dem nur die Gesamtenergie ‹ á Z Ù ø ' und eine Dre‰ Ñ Ý ø ' nichtin verschwinden und alle anderen Erhaltungsgrößen himpulskomponente  ÙZ

‰

( *

gleich Null sind, nennt man das Schwerpunktssystem (englisch Center of Mass System oder kurz CMS). Solche Koordinaten sind natürlich für die Rechnung sehr günstig, da sehr viele Größen schon ohne langwieriges Rechnen als 0 bekannt sind.

Übungen Aufgabe 3.1 — Energie-Impuls-Tensor Der Energie-Impuls-Tensor wurde definiert durch:

Ä1½ÚÄ)$ @É É‡å ç Ù ªQË ¾À¿ $ å ³ $ ³ ç Ê ª Ë $

²´³ $ ²´³

åçÁ Ò

Übungen

81

·

(a) Zeigen Sie, daß mit den Feldern gegeben ist durch:

und

x

die Energiedichte

“ÍÄ ï Æ Ê@ÉÏÙ  Ë ¾ ý » ·qÄ ï Æ Ê©É » Ý Ê » x Ä ï Æ Ê©É » Ý þ

“Ä ï Æ Ê©É Ø¹Ù—½ á@á

(b) Zeigen Sie auch, daß

½ wobei

”

Ë á ã Ù ÈD” ã Æ ˜s =

”ãÙ

mit den Komponenten

È Qª ¾ ·

Ä ï Æ Ê©É Æ x Ä ï Æ Ê©É ã

der P OYNTING-Vektor genannt wird. Dieser hat die physikalische Bedeutung einer Energiestromdichte. Der Energie-Impuls-Tensor einer Punktladung der Masse  , die sich auf einer Bahnkurve bewegt, wobei die Eigenzeit mit ¹   º È ist, wird definiert durch:

Äï TÉ  ‹Î ÄTÉ Æ©Î ÄTÉ Ù Ý _ å½ ƒ ç Ä)áÖÉÖÙ] È Ý ¼   å ÄTÉ  ç ÄTÉ+y  ± Ä)á5ü ÎöÄTÉ@ÉyÒ _÷ ï ï ã (c) Zeigen Sie, daß für die Komponenten ½ ƒ á@á beziehungsweise ½ ƒ á Impuls-Tensors der Punktladung ÈÝ ½ ƒ á@á Ä “Ç Æ Ê@ÉùÙ ô   ð ypÄ “ ü ï Ä Ê@É@ÉyÆ ËKü Š|g • Ö ß ð Š beziehungsweise

‘Ó ô  ï ÄÊ@ É ð ypÄ“ ü ï ÄÊ@É@É ËKü Š|g • Ö ß ð Š ˜ÄTÉLÙ– g ÄTÉ und ‘ ÄÊ@ÉLÙ– g ÄÊ@É .

Ë Ó È ½ ƒ á Ä “ÇÆ Ê@ÉùÙ gilt. Hierbei ist

ï

–˜—

ï

–ß

Aufgabe 3.2 — Relativistische Zweiteilchenkinematik

des Energie-

3 Erhaltungsgrößen

82

In der Vorlesung wurde gezeigt, daß im feldfreien Fall die Erhaltungsgrößen

(

Ý ¼= ( ï ½ ƒá

Ù ÈË

einen Vierervektor

P

ċÎÏÉ ÞÞ

’Ù ô

á Ú

« Ö

Þg à ß bilden, wobei

ÈÝ Ë 3  ã Ì

á Ù È ½ ã mit ½ ã Ù  ð ðè Æ æ ãà Ñ õ , Ë ü Š Ö ßð Š . P 3ãÜ

Ù Ì ñTã mit ñTãtÙ  ð ðè Ò æ ãà Ñ , Ëöü Š õ Ö ðß Š . Hierbei ist ½ã , beziehungsweise ñyã die (relativistische) kinetische Energie, respektive der (relativistische) Impuls des  -ten Teilchens. Für ½ ƒ ċÎÍÉ
\½ ƒ  ċÎÏÉLÙ²Äóñ Õ ½ ƒ É\ċÎÍÉ wurde gezeigt, daß heißt

’

sich wie ein kontravarianter Tensor 1. Stufe transformiert, das

٠ć÷ õ Ñ É åç ç Ò (a) Zeigen Sie: ÄR’!UÆ ’»É ist eine P Teilchen: ę š Æ[ š©ÉùÙ] ãÝ  È Ý

å
å

und

½ãtÙ

ô

 ãÝ YÈ ±

OINCARÉ-Invariante

und es gilt für ein einzelnes

Ê È Ý » yñ ã » Ý Ò

’ ÄR’!ÆU’ÜÉ › ¢[¥§¦ R ¢ § ¥ ¦ ¢ ¤ £ È ª  « ¬ © besitzt. Wir schreiben auch: £  œE­Uœ*® , das heißt, Form œ{Ÿž¡  ¨ «`¬ œB­Uœ¯® ist das Quadrat der gesamten kinetischen Energie in CM-System.

ö ' , so daß (b) Zeigen Sie, daß ein zeitartiger Vektor ist, das heißt es ein Bezugsystem (das “(C)enter of (M)ass (S)ystem”) gibt, in dem die

Wir betrachten jetzt die elastische Zweiteilchenreaktion

¬4° ­ ± ®`² 4¬ °*³ ­ ± ³ ®µ´ 4¬ °*¶ ­ ± ¶ ®‹² 4¬ °9· ­ ± · ®    

Übungen

83

wofür die Energie-Impuls-Erhaltung gilt:

¸ ² ¸³ ¸¶² ¸·   -invarianten M Die L -Variablen sind definiert durch ¹»º  «¬ ¸ ² ¸ ³ ­ ¸ ² ¸ ³ ®µ «`¬ ¸ ¶ ² ¸ · ­ ¸ ¶ ² ¸ · ® ¼ º  «¬ ¸   ¸ ¶ ­ ¸   ¸ ¶ ®µ «`¬ ¸ ³ ¸ · ­ ¸ ³ ¸ · ® ¿¯º  «¬ ¸  ¾½ ¸ · ­ ¸  µ½ ¸ · ®µ «`¬ ¸ ³ ½ ¸ ¶ ­ ¸ ³ ½ ¸ ¶ ®;À ½ ½  ½  ½ ¼ (c) Berechnen Sie ¹ ­ ­ ¿ (in Termen von °9Á ­± Á ­ £ Á ) und zeigen Sie, daß ¹ ² ¼ ² ¿  È ³- ° ³ ² ° ³³ ² ° ³¶ ² ° ·d³ à ­   ¼ das heißt, ¹ ­ ­ ¿ sind nicht unabhängig. ¢R¥f¦ ® ³ . (d) Zeigen Sie, daß ¹  ¢~Ä ¬ £   ÅÊÆ]ÒÓÈÊÉÒÔ ËÌÍ Î ORENTZ

ANDELSTAM

Å ÆÑÐÈÊÉËÐ ÌÍ Î

Õ ËÌ Í Å Æ]ÇdÈÊÉÇËÌÍ Î

£ R¢ ¥f¦  ¤Ö ¹

(3.34)

ÅÊÆ]ÏdÈÊÉÏËÌ Í Î

Abbildung 3.2: Zweiteilchenstoß im CMSystem

× ¢R¥§¦

Um den Streuprozeß kinematisch festzulegen, muß neben der SchwerpunktsenerÈ auch noch der Streuwinkel im Schwerpunktsystem angegegie ben werden, siehe Abbildung 3.2. Diese Ablenkung drückt man durch die 4-erImpulsüberträge von Teilchen 1 auf 3 aus.

¸

 ½

¸¶

3 Erhaltungsgrößen

84

³ × ¢RÝ ¥f¦ Þ ± ¢R¥f¦ ÞÞ ± ¢[¶ ¥§¦ Þ ­ ½EÙµÚ˜Û Ü   wobei ¼†Ø ÔÈ ß ³ ¬ £ ¢R¥f¦ £ ¶ ¢R¥f¦ ® ³ ¬ Þ ± ¢R¥§¦ Þ Þ ± ¢R¶ ¥f¦ Þ ® ³ ½   ½   ½ Für die Teilchen 1 und 4 gelten die entsprechenden Formeln mit der Invarianten ¿ . (f) Berechnen der Invarianten ¹ , ° und °*³ die kinetischen Energien ¢£ R¥f¦ und £ Sie ¢³ R¥§¦ mitderHilfe   Teilchen 1 und 2 im Schwerpunktsystem:   ³ È ³ ° ³³ È ³ ¹ ° [ ¢ § ¥ ¦ ²  Èß £   Ý Ö ¹½   ³³ È ³ ° ³ È ³ ¹ ° [ ¢ § ¥ ¦ ² Ý Ö ¹½   Èß £ ³  ¢R¥f¦ Þ und Þ ± ¢[³ ¥§¦ Þ mit Hilfe der Zeigen Sie, daß entsprechend die Impulsbeträge Þ ± Invarianten geschrieben werden können als   ¢Þ ± [¥§¦ Þ  Þ ± ¢R³ ¥§¦ Þ  ¬R¹ ¬4° ² °*³ ® ³ È ³ ®KÝ ÄàÖ ¬R¹¹ ¬4° °*³ ® ³ È ³ ®KÄà ½  ½ ½     (g) In einem 2-Teilchen-Stoßexperiment befindet sich oft eines der Teilchen (Teilchen 2) anfangs im Labor in Ruhe. Stellen Sie die kinetische Energie £=áãâUä sowie den Impulsbetrag Þ ± áåâæä Þ des bewegten Teilchens (Teilchen 1) mit Hilfe der   Invarianten ¹ , ° und °*³ dar:    ³ È ³ ° ³³ È ³ ¹ ° Èß £ áãâUä  ½ Ý   ° ³ ½ È   ³ È ³ ® Äà ¬R¹ ¬4° °*³ ® ³ È ³ ® Äà R ¬ ¹ 4 ¬ ° * ° ³ ² ® Þ ± áãâUä Þ  ½   Ý °*³YÈ ½   ½   Wir betrachten nun den Zerfall eines Teilchens der Masse ç in zwei Teilchen mit den Massen ° und °*³ : ¬ çè­  ±`®¾´ ¬4° ­± ®`² ¬4° ³ ­± ³ ®     (e) Zeigen Sie, daß gilt:

¼  †¼ Ø

Übungen Es gilt die Energie-Impuls-Erhaltung:

85

¸  ¸ ² ¸³ (3.35)   (h) Wann ist ein solcher Zerfall kinematisch möglich? Zeigen Sie, daß im Ruhesystem der Masse ç die Zerfallsenergien £ und £ ³ der Teilchen 1 und 2 folgendermaßen   sind: durch die Massen ç , ° und °*³ bestimmt ³ç È ³ ² °   ³ È ³ ° ³³ È ³ Ýç  È ½ Èß £    ³³ ³³ ³³ ç È ² °Ý ³ È È ° È Èß £ ³  ç ½   (i) Zeigen Sie, daß in diesem Bezugssystem ebenfalls die Impulsbeträge Þ ± Þ und Þ ± ³ Þ   durch die Massen ç , ° und °*³ bestimmt sind:   ¬ ç ³ È ³ ¬4° ² °*³ ® ³ È ³ ®KÄà ¬ ç ³ È ³ ¬4° °*³ ® ³ È ³ ®KÄà ³ Þ± Þ  Þ± Þ  Ýç È ½   ½ ½    

86

4

N OETHERtheoreme und Prinzip der kleinsten Wirkung

4.1

Die elektromagnetischen Vektorpotentiale

é ¬ ê ® ist ein Tensorfeld 1. Stufe, das der Bedingung ëìîí  ï ì ñ í ï í;ñ ì Dï ð ½ ïMð

Das Vektorpotential

(4.1)

genügt.

Seine Existenz folgt aus

é

òë  ¨À

(2.18)

é

kann explizit wie folgt konstruiert werden:

íé ¬ ê m®  ó   òMô^ô ì ëìîí ¬ ô ê ® Ø ð

(4.2)

ist durch (4.1) nicht eindeutig bestimmt: Mit

é Ç ì Ié ì ² ï ì õ ¬ê ® ïMð mit einer beliebigen Funktion õ ºö ´ø÷ é ì ´ é Ç ì èé ì ² ï ì õ ¬ê ® ïDð heißt Eichtransformation.

é

erfüllt auch (4.3)

die Gleichung (4.1). Die Transformation (4.4)

¬Rù ­ ¨ ®

ú ÷û

Die oben abgeleiteten Beziehungen werden mathematisch gerne im sogenannten -Tensorfeld im auch Formenkalkül dargestellt. Zunächst heißt ein schiefes

4.1 Die elektromagnetischen Vektorpotentiale

87

ù

Differentialform -ter Stufe. Setzen wir

¬ ò úF® ì îì þ†ÿ º  ï ì ú ì Ä ì þ†ÿ ï ì Ä ú ì ì
ì þ ÿ ² ² à5üý ü à ïMð à üý ü à ½ ïDð à üý ü à ² ¬ ß ®  ìï þ†ÿ ú ì à5üý ü ì þ ½ ïMð à      ¬ ß ® á    ï
ì ú ì à üý ü ì  üý ü ì þ ÿ à ­ (4.5) ½ M ï ð á    ò so wird komponentenweise eine Differentialform ú der Stufe ù ² erklärt. ß Es gilt ò³  ¨­ (4.6) · sowie speziell im ÷ ± ò  ò ± dÀ  (2.47) ò ¨ ò ú  ist, so heißt ú exakt. Wegen ò ³  ¨ Falls ú , heißt ú geschlossen. Falls ú  ist jede exakte Form auch geschlossen. Im ÷ û gilt für singularitätenfreie Differentialformen stets auch die Umkehrung:

ò ¨ Falls ú

ú R¬ ù ß ® -ter Stufe mit ½ úL ò ú  À Ohne Beweis geben wir hier eine Formel für  ú  an ìú  ì þ ¬ê ®Ñ ó   òMô ú ì ì ì þ  ¬ ô ê ® ô 
 ì  À  ð Ø à5üý ü à à5üý ü à ù  ß , ú  ist die Funktion ó   òDô ì ¬ ô ê ì  ¬ ê ú  ®Ñ Ø ú ® ð

Beispiele: i).

P OINCARÉ-Lemma gilt, so gibt es eine Differentialform 

(4.7)

(4.8)

4 N OETHERtheoreme und Prinzip der kleinsten Wirkung

88

ù  Ý , ú  ist die 1-Form ó ì ú í ¬ê ®Ñ Ø   òMô ú ìîí ¬ ô ê ® ô ð ò ³  ¨ auch Allgemeinò ist  ú  nicht eindeutig ò bestimmt. Es gilt: Mit  erfüllt wegen ú úÇ kú  ² ú   die Gleichung ú úÇ , wobei ú   eine ¬Rù Ý ® -Form ist. ë Der Zusammenhang zwischen Vektorpotential é und ½ Feldstärketensor kann also kurz in der Form ë  òé (4.9) ii).

und die Eichtransformation in der Form

é ´ é Ç Ié ² ò õ

dargestellt werden.

ñì

(4.10)

é ñ

é

ñ ؝ º

ñÁ

Der Zusammenhang zwischen  ,  und wird üblicherweise durch die kontravari und bildet aus den von dargestellt: Man setzt anten Komponenten ein dreidimensionales Vektorfeld . Dann gilt

ñ  Èß ï ¼ ½ ñï ½   À 

 

(4.11) (4.12)

Übungen Aufgabe 4.1 — Das Vektorpotential

ú ¬ ê ®

eine schiefes, kovariantes Tensorfeld der Stufe Sei  ableitung von  nach $ , das heißt

ú

ù

ú 

und !#"

die Richtungs-

ú  ¬ê ® &¬ % h­ ÀhÀhÀ¤­ %  ®µ(' ¼ ú  ¬ê ² ¼ % ® &¬ % h­ ÀhÀhÀd­ %  ® Þ )  Ø À     ' Dann wird durch ¬ ú  ® ¬ê ® ¬&% ­hÀhÀhÀ¤­ %  ®µ  þ ÿ . 0¬ù / 13® 2 !#"4
5 ú 7 ¬ê ®  % *-8 ³9 ­hÀhÀhÀd­ % *-8  9 à ' à 6     * +-, à   !#"

Übungen

òú

ein Tensorfeld  der Stufe Ableitung und es gilt:

ò ³ú   ¨ À

¬Rù ² ® erklärt. Die lineare Abbildung ò ß

89 heißt die äußere

Für die Komponenten gilt:

¬ ò úF® ì îì þ†ÿ  ï ì ú ì Ä ìîþ†ÿ ï ì Ä ú ì ì
ìîþ†ÿ ²}² ¬ ®  ìîï þ†ÿ ú ì ìîþ À ;à :<:<: à ïDð à :<:<: à ½ ïMð à :<:<: à ½ ß Mï ð à à;:<:<:

Wir definieren für einen Feldstärketensor ein Vektorpotential durch

ñ ì ¬ê µ®  ó   òDô§ô ë ì ¬ ô ê ®;À Ø ð>= =

Bemerkung: Diese Formel gilt nur dann, falls schließt insbesondere das C OULOMB-Feld aus.

ë

keine Singularitäten besitzt! Dies

(a) Zeigen Sie, daß gilt:

ë ¬ ê ¾®  ¬ ò ñ ® ¬ê ®;À

(b) Zeigen Sie, daß für das elektrische Feld

ò  ¬ ­ ¼ ® Èß ï ¼ ñ]¬ ­ ¼ ® ½@? ð ½ ï ð und für das magnetische Feld ¼ ¼  ¬ ­ ®B  ñ]¬ ­ ® ð ¼ Øð   ¬ ­ ®} ñ ¬ê ® Þ C ¢ und ñ]¬ ­ ¼ ® das Vektorfeld mit den Komponenten gilt, ) Áñ ¬ê wobei  ® Þ C  ¢ ) ­ ¬ED ð  ß ­ Ý ­ F ® ist.  ¬ ð ¼ ­ ¬ ® für¼ 8 Ø 9 (c) Berechnen Sie das Vektorpotential é ð (i) ein homogenes elektrisches Feld  ¼  ð ­ ®}8 Ø G 9 ; ; (ii) ein homogenes Magnetfeld  ¬ ­ ®}H ð (iii) die elektromagnetische Welle ë/ìÓí ¬ê ®µ ñ ¬[ù -ì I‹í ù í I`ì ® 2 -ù J J L² K 7 À ½ ÚUÛ Ü ð -Feld mit dem Feldstärketensor (d) Erraten Sie ein Vektorpotential für das C 

¬ ð ­ ¼ ®µ

A

OULOMB

4 N OETHERtheoreme und Prinzip der kleinsten Wirkung

90

­  ß ) ë/ìÓí ¬ê ®µQP ð ìSRʳ í ð íTR ì À ¬ M ê ;­ N;O ½ M ê ­ ê O5® Ä ½

( MEN ;N;O

4.2

Das Wirkungsfunktional der Elektrodynamik

In der Mechanik stellt das Prinzip der kleinsten Wirkung ein besonders wirksames theoretisches Hilfsmittel dar. Aus ihm können die Bewegungsgleichungen abgeleitet werden und mit Hilfe der N OETHER-Theoreme das Verhalten der Lösungen unter Symmetrietransformationen, sowie die Konstruktion von Erhaltungsgrößen studiert werden.

é

ë  òé

Wir formulieren jetzt ein Wirkungsfunktional U für Teilchen und Felder in der Elektrodynamik mit Hilfe eines Vektorpotentials mit . Zunächst beachten die homogenen M AXWELLgleichungen automatisch erfüllt wir, daß wegen sind, das heißt, es gilt

òë  ¨À

ë  òé

(2.18)

Dem Wirkungsfunktional geben wir jetzt die Form(i)

¬ é ­ ê h­ ÀhÀhÀ¤­ êWV ® V   ó ò ¹ Á ê Á ¬R¹ Á ê Á ¬[¹ Á Ä ° Á È Á ñ ì ¬Rê Á ¬R¹ Á Á ì ¬R¹ Á 7   Á ®y­  ®[Z à ²]\ È ®˜® ð  ® 2YX  ½   ó ò · ëìîí ¬Rê ë ìÓí ¬ê (4.13) ß ® ®yÀ ½ ß_^T` È ð Wir verlangen: Die tatsächlichen Bahnkurven ê Áˆ¬R¹dÁ ® sind Extrema dieses Funktionals, das heißt, für beliebige Variationen a êÁˆ¬R¹¤Á ® , die nur in einem endlichen Parameterbereich von Null verschieden sein sollen, gelte mit der Abkürzung b dÁ c º  ê Á e ² Kfa ê¾Á ò ¬ c ò K U é ­ b ­hÀhÀhÀd­ b V c ® c  Ø  ¨ À (4.14)   Analog fordern wir: Für beliebige Variation aîé , die nur in einem beschränkten Raumgebiet von Null verschieden sein sollen, gelte mit der Abkürzung é ¬ K ® º U

5
6 Beachten Sie hjilkm

n ktsun i . nlo;prq nlov q

4.2 Das Wirkungsfunktional der Elektrodynamik

9é ²LKtaîé ò ¬ ¬ ê ò K U é K y® ­ h­ ÀhÀhÀÓ­ ê V ® c  Ø  ¨ À  

91

(4.15)

Hieraus folgen die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen für Teilchen und Felder. Nach Gleichung (4.14) auf der vorherigen Seite gilt zunächst mit

ê2 X Á ­ ê Á Z Äà °9ÁÈ ² \ È Á ñ ì ¬ ê Á ® Á ì 7 (4.16) ð ½ V ò ó ò ¹ Á w ì Á ìÁ w ìÁ Á ì  ¨  ò Uyx c Ø  ž-ï Á a ð ² ï Á a ð  © Á x K x  ½   ïDð ïDð x V ò w ì Á ìÁ}| ó ò ¹¤{Á z ìÁ w ì Á ò w ìÁ  ž-ï Á ž ò ¹¤Á ï Á © © ² ò ¹¤Á ï Á a ð À  Á a ð ïDð ì ½ ïDð ïMð    ìÁ Beitrag, da a ð Á außerhalb eines endlichen Intervalls Der letzte Term liefert keinen eine völlig beliebige Funktion ist, kann auch das restliche verschwinden soll. Da a ð Integral nur verschwinden, falls ò w ìÁ w ì Á ò ¹ Á ï Á  ï Á ~  ¨ ­ ß ­ Ý ­ FÀ (4.17) ïMð ïDð w Werten wir diese Gleichung für den expliziten Ausdruck für Á aus, so finden wir Á ž ï ì ñ í Á í ò ò ñ ì © ° Á È ò ò ¹dÁ ê ß ê ð Á ì  (4.18)  \È d ¹ Á ð M Á ­ Á O Äà ½ ïDð í Á  \ È ë/ìÓí ð Á (4.19) oder °9ÁÈ ³ ò ò ¹dÁ ê ß ê ê Á  Á ë ¬[ê/Á ® ê Á À (4.20) \ M Á ­ Á O Äà w

Á

Das heißt aber, daß die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen, die zu unserer Wirkung gehören, tatsächlich unsere alten Bewegungsgleichungen in 4-dimensionaler Form sind.

4 N OETHERtheoreme und Prinzip der kleinsten Wirkung

92

Variieren wir nun das Feld selbst nach Gleichung (4.15) auf der vorhergehenden Seite, so finden wir

Óé a

¨  ò ò U ¬ é ¬ K ®­ ê ­hÀhÀhÀ¤­ êWV ® c Ø K    V ó ò ¹¤Á Á ñ ì ¬ê ÁM¬R¹dÁ ê Á ì ¬[¹¤Á   Á ®5®  ® \È a ½   ó ò· ìÓí ¬ê í ì ë ì í ñ ñ © ï a ® ž ï a € ß ½ ` ó È ð ïDð ½ ïMð  Èß ò · ð a ñ í ¬ê ®‚ ½ V ó … ¬ê ê ÁM¬R¹dÁ Á í ¬R¹dÁ ò ¹¤Á u îì í ¬ ê  ë ì Á  „ƒ ‰® ˆ Á  \ a ½ ®5® 𠮇† ½ ß ` ïMïð Ù ó  ò · ì ¬ ñ í ë ìîí ¬ê ß ï a ®˜® ½ Ù ` È ð ïMð

verschwindet nun nach Voraussetzung außerhalb eines beschränkten Gebietes. Das letzte Integral können wir deshalb nach dem G AUSSschen Satz in ein Flächenintegral umwandeln, wobei die Fläche unser Gebiet umschließt. Der Integrand des Flächenintegrals verschwindet aber, da a dort Null ist. Beachten wir nun, daß a eine völlig beliebige Funktion ist, so kann das erste Integral nur identisch verschwinden, wenn tatsächlich

ñì

îé

ë ìÓì í í R¬ ê ï  Ù È` É ® ïMð mit V  ¬É ê ®Ñ È Á Á ó ò ¹¤Á a ·¾¬ê ê Á ® ê Á \ ½    gilt. Wir erkennen die inhomogenen M

(2.19)

(2.51)

AXWELLgleichungen

druck für den Viererstrom wieder.

± eine  P ê Á ê Á durch ±  

Sei

é

± é

OINCARÉtransformation.

und

durch

mit dem korrekten Aus-

ò ± éb± ò é

Im Wirkungsfunktional ersetzen wir nun . Es gilt zunächst und somit

4.2 Das Wirkungsfunktional der Elektrodynamik

ë ¬ ± é9®± ë ¬ é9® . Ebenfalls ist ± ë/ìÓí ± ë ìîí ]± ¬ ëìîíîë Óì í ® und damit ó ò · ë/ìÓí ë ìÓí ó ò · ëìîíîë ìÓí À ð± ±  ð

93

(4.21)

Weiter gilt

ò

ò  ê Á‰‹ ê Á ê Á ê Á ò ¹¤Á ±   ­ ò ¹¤Á ±    X  ­  Z sowie ì   ¬ ± ñ ® ì ž ±   ê Á © ž ±   ê Á ©   ñ ì ¬ê Á ® Á ì À ð Š



(4.22)

(4.23)

Somit finden wir insgesamt U

  ž ± é ­ ±   ê ­hÀhÀhÀÓ­ ±   ê V © ŒU ¬ é ­ ê ­hÀhÀhÀ¤­ ê V ;® À    

(4.24)

Hieraus folgt das

ë Sind der Feldstärketensor

êÁ ë ±

1. N OETHERtheorem

±   ê Á ë und die Bahnkurven ê Á sind Extrema der Wirkung Beweis: der Invari ê  Á , ë S.´@Wegen anz der Wirkung unter der Substitution ê Á ´@± ± ë gilt dies auch für die transformierten Felder und Bahnkurven; sie sind ebenfalls Extrema. und die Bahnkurven Lösungen der  M AXWELLE INSTEIN-L ORENTZ-Gleichungen, so gilt dies auch für und .

Damit gelten auch für diese die E ULER-L AGRANGE-Gleichungen, die andererseits gleich den M AXWELL-E INSTEIN-L ORENTZ-Gleichungen sind.

Á nennt man L funktion des D -ten Teilchens und îì í wWŽ ¬ ê ®m ß È ë/ìÓí ¬ ê ® ë [¬ ê ® ½ ß_^T`

Die Größe

w

AGRANGE

(4.25)

heißt L AGRANGEdichte des elektromagnetischen Feldes. Die totale L AGRANGEdichte wird durch w‘E’‰

¬Rê ®Ñ

wW&Ž

¬Rê ‹® ² Á ó w Á ¬Rê j® a ·¾¬[ê ê Á¬R¹dÁ ®5® ò ¹dÁ ½    

V

(4.26)

4 N OETHERtheoreme und Prinzip der kleinsten Wirkung

94

definiert. Sie hängt implizit von den Bahnkurven

¬ê ®m

w‘E’‰

w‘E’‰

¬ê ­Ué ­ ê h­ ÀhÀhÀd­ ê V ®  

ê Á und dem Feld é

ab: (4.27)

Und man überprüft wie oben leicht die Identität

¬ ± wW ’‰ ® ¬[ê ­U鯭 ê ­hÀhÀhÀd­ ê V ®Ñ w‘E’‰ ž ê ­± é ­  ±   ê ­hÀhÀhÀÓ­  ±   ê V © À (4.28)     Ø Sei nun ± c eine einparametrige Schar von P transformationen mit ±  . ߓ Speziell können wir die Form ± c ê ”Kf•k²e–˜—r™ ¬ úWK ® ê (4.29) mit t ú šœ›/ ú ›_š annehmen. Es folgt ½  c ±  ê ž  –˜—j™ ¬ KúF® ¬ê Kf• ®­ (4.30) ½ ½ OINCARÉ

ò

sowie

ò K ± c ê xx c Ø „ •k²Lú ê ”Ÿ ¬ê y® ­ ò  c ê xx  ò K ±   xx c Ø  ¬ •k²ú ê ®Ñ Ÿ ¬ ê y® À ½ ½ x  x

(4.31)

(4.32)

Offenbar gilt

ï c Ÿ{š ¬ ê ‹® ² ï š Ÿ c ¬ ê Ñ®  ¨ À ïMð ïDð

(3.12)

Wir differenzieren jetzt beide Seiten von (4.28) nach K und setzen K gleich Null. Mit den Bezeichnungen  

é º ë¡ º 

ò

ò K ± c é xx c Ø ò c ë xx  ò K ± xx c Ø x x 

ergibt sich Ÿ

c

ï c wW ’‰ ¬ê ®µ ïDð

(4.33)

(4.34)

4.2 Das Wirkungsfunktional der Elektrodynamik

95

ó °9Á)È X Ÿ ¬ê Á ®  ­ ê Á Z · ¬Rê ê Á ò ¹ Á  Á a ® M ê Á ­ ê Á O Äà ½   V ó Á ì § ¾· ¬ê ê Á ò ¹¤Á ì ¬Rê Á  ì ì ñ  ¬ ê Á R ¬ ê Á ñ ¬  ê Á ¨ Á   ² Á \ È£¢ ®jŸ ® ²¤Ÿ¦¥ ® ï ¥ ®ð a ® ½ M ï ð  V   ó ì  ² Á ò ¹¤Á w Áˆ¬Rê r® Ÿ ¬ê Á ® ï ì a ·¾¬ê ê Á ® ½ ïDð   ¡ ì ì Ó ì í ñ ¬Rê ® É ¬ê ® € ß È ë¡ ìîí ¬ê ® ë ¬Rê ® ½ ½ ` 

V

Die Ableitung von Ÿ kann durch partielle Integration eliminiert werden; benutzt man zusätzlich die Bewegungsgleichungen, so folgt Ÿ

ï c wW ’‰ ¬Rê ® ïDV ð ó Á ñ ì ¬ê Á ì [¬ ê Á ò ò · ¬ê ê Á  ò M©Ÿ ¬ê Á ®­ ê Á O ° Á È Á ¹  Á ²ª\ È ®Ÿ ® ˆ ¹¤Á a ® ƒ M ê Á ­ ê Á O Äà ½   V ó ì ²  Á ò ¹¤Á w Áˆ¬Rê ®rŸ ¬ê Á ® ï ì a ·¾¬ê ê Á ® ½ ïDð   ¡ ì ì Ó ì í ñ ¬Rê ® É ¬ê ® € ß È ë¡ ìîí ¬ê ® ë ¬Rê ®;À ½ ½ ` c

Andererseits gilt

ñ ¡ ì ¬ ê µ® «Ÿ c ï c ñ ì ² ñ š ú ìš ïMð í / ë Ó ì  í Ÿ ² ï ì ñ¬c Ÿ c ½ ïDð sowie 됡 ìîí ¬Rê ®«Ÿ š ï š ë/ìÓí ² ë š í ú ìš ² ë í šú ìš ïDð  ï ì ë í šrŸ š ² ï í ë ì šjŸ š ½ ïDð ïMð

4 N OETHERtheoreme und Prinzip der kleinsten Wirkung

96 und Ÿ

š

ïš ïMð

w  ’‰

¬ê µ®  Á ó ò ¹ Á w Á Ÿ ì ï ì a · ¬Rê ïMð    š ž ï š ë/ìÓí ¬Rê ® © € ß È Ÿ ½ ` ïMð 

V

ê Á® ½ ë ìÓí ¬ê ®yÀ

Setzt man alles in die letzte Gleichung ein und bringt alle Terme auf eine Seite, so ergibt sich

ì Áí ó Á  ò ­  ì ¨ Á½  ¹dÁ M ðê Á ­ ê ð Á O Äà °9Á)È Ÿ ¬ê ® ïMïð í a ·¾¬ê ½ ê Á ® V   Á ó ò ¹¤Á ž ò ò ñ ì ì © ·¾¬ê ê Á ñ ì ì ò ò ·¾¬Rê ê Á §  \ ¢ ¹ Á Ÿ a ½ ®‹² Ÿ ¹ Á a ½ ® ½ Á   È ë² /ìÓí Ÿ í É ì ² ß È ž ï ì ë í šSŸ š © ë ìÓí ß È Ÿ š ï š ëìîí ë ìÓí ½ ß_^T` ïDð ` ïDð Ù Die zweite Zeile verschwindet identisch und der Rest kann mit Hilfe der inhomogenen 

V

M AXWELLgleichungen in der Form

ìÓí ßÈ ï ì £  ’‰ ¬ê ®jŸ í ¬ ê Ñ®  ¨ ïDð

(4.35)

mit dem uns wohlvertrauten Energie-Impuls-Tensor von Teilchen und Feld geschrieben werden. Wir haben soeben bewiesen:

±

2. N OETHERtheorem

Ist c eine einparametrige Schar von P OINCARÉtransformationen, so gilt

¬ ± c w  ’‰ ® ¬Rê ­Ué ­ ê h­ ÀhÀhÀd­ ê‘V ¾®  w E’‰ 2 ê ­± c é ­ ±  c   ê ­hÀhÀhÀ¤­ ±  c   ê‘V     und hieraus folgt ìîí ï ì £  ’‰ ¬ê ®Ÿ í ¬ê ®µ ¨ ïMð

7

(4.28)

(4.35)

Wie wir aus dieser Beziehung Erhaltungsgrößen durch Integration über raumartige Flächen erhalten und wie sich diese Erhaltungsgrößen transformieren, ist aus Kapitel 3

4.2 Das Wirkungsfunktional der Elektrodynamik

97

bekannt.

õ ¬Rê ® ò éb9é ² õ V ì Áó  U 2 é Ç ­ ê ­hÀhÀhÀd­ ê V 7 Œ  U ¬ é ­ ê ­hÀhÀhÀd­ ê V ® Á \ È ò ¹dÁ ï ì õ ¬Rê ® ð Á     ½   ïDð V Á QU ¬ é ­ ê ­hÀhÀhÀÓ­ ê V ® Á \ È ¬ õ ¬Rê Áˆ¬­ ®5® õ ¬Rê Áˆ¬ ­ ®5®˜®   ½   ½ ½ Die Summe auf der rechten Seite ist aber nach Voraussetzung Null. Mit é ist also auch é Ç Extremum der Wirkung, was natürlich so sein muß, da é generell nur bis auf ² K ò õ , so erhalten wir eine eine Eichtransformation bestimmt ist. Setzten wir é Ç c Né ® einparametrige Schar von Eichtransformationen. Aus der Extremalbedingung ¨  ò ò U 2 é Ç c ­ ê ­hÀhÀhÀ¤­ ê V 7 x c Ø  ó ò · ï õ ¬ìê ® É ì ¬ê ® x K   x  ½ó ð ïDð x  ò · ð õ ¬ê ® ò É ¬Rê ® °Û ¯ ò É ¬ê ® gleich Null õ R ¬ ê ® schließen wir, da völlig beliebig gewählt werden kann, daß ò ¨ ist. É ¬Rê ®µ bedeutet, wie wir bereits gesehen haben, daß der°Û ¯ Viererstrom eine Erhaltungsgröße, nämlich die Gesamtladung des Systems, erzeugt. ±Û ¯ Neben den P OINCARÉtransformationen lassen auch die Eichtransformationen die Wirkung invariant. Es gilt nämlich für eine Funktion , die im Unendlichen Ç verschwindet, mit :

98

5

Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen

5.1

Vektorpotentiale und Eichbedingungen

In diesem Kapitel wollen wir uns damit beschäftigen, bei vorgegebener Strom- und Ladungsdichte Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen zu finden. Die homogenen M AXWELLschen Gleichungen sind durch den Ansatz

ë  ò *é ­

(5.1)

mit dem in Kapitel 4 die Vektorpotentiale eingeführt wurden, sofort erfüllt.

é

Wie wir in Kapitel 4 gesehen haben, ist die Existenz der Vektorpotentiale durch das P OINCARÉ-Lemma garantiert. Allerdings können wir noch einer Eichtransformation

é ´ é Ç Ié ² ò õ

mit einer willkürlichen Funktion ändern, denn es gilt

õ

unterwerfen, ohne den Feldstärketensor

ë

(5.2) zu

ò éÇ  ò é ² ò ³ õ  ë ­

wegen

ò³  ¨À

(5.3)

Diese Eichfreiheit bedeutet, daß die Vektorpotentiale einer zusätzlichen Bedingung unterworfen werden können. Wir fordern speziell

ì ï ì/ñ  ¨ ïMð

(5.4)

5.1 Vektorpotentiale und Eichbedingungen

99

ñì

Falls diese Bedingung gilt, sprechen wir von der L ORENTZeichung der Vektorpotentiale. Sie ist stets erfüllbar. Denn wenn nicht direkt dieser Bedingung genügt, so gilt für Ç

² òõ ì (5.5)  ïìñ ² õ­ ïDð wobei º  « ìÓí ï ì ï í (5.6) ïDð ïDð den D’A -Operator bezeichnet. Mit Hilfe des L operators ¶ ³  ² (5.7)  Á ï Á³  ïMð   läßt sich dieser offenbar auch in der Form ³ ² (5.8)  ï س ½ ïDð schreiben. In Gleichung (5.5) läßt sich õ stets so wählen, daß ìï ñ Ç ì  ¨ ïMð gilt. Gleichzeitig sehen wir, daß die Bedingung (5.11) auf der nächsten Seite noch immer Eichtransformationen mit Funktionen õ erlaubt, die der Gleichung õ ¨ éb9é ì ï ì ñÇ ïMð

LEMBERT

APLACE

genügen. Die inhomogenen M AXWELLschen Gleichungen werden jetzt zu Bestimmungsgleichungen für die Vektorpotentiale. Es ergibt sich unmittelbar:

ñ ì « ì c ï c ï š ñ š  Ù È"` É ì ½ ïDð ïDð

(5.9)

Liegt das Potential in L ORENTZeichung vor, so verschwindet der zweite Term der linken Seite und wir erhalten in diesem Fall

ñ ì  Ù È` É ì

(5.10)

5 Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen

100

Der D’A LEMBERT-Operator kommutiert mit der Aktion der P OINCARÉgruppe. Ebenso ist die Eichbedingung

ìï ñ ì  ¨ ïMð

(5.11)

manifest POINCARÉinvariant. Die Gleichung (5.10) auf der vorhergehenden Seite stellt also eine POINCARÉinvariante Beziehung zwischen der Viererstromdichte und dem Vektorpotential dar. Bei anderer Wahl der Eichbedingung ist dies nicht der Fall. Wir betrachten die sogenannte C OULOMBeichung:

¶

Á ¨ ñ Á ï Á  ïDð   Sie ist offensichtlich nicht 

POINCARÉinvariant. Dementsprechend ergeben die inhomogenen M AXWELLschen Gleichungen jetzt:

ñ Ø  Ù Èb` É Ø ½ Á ñ  Ù Èb` É Á ï Á ï Ø ñ Ø ½ ïMð ïDð ²

5.2

(5.12) (5.13)

Die retardierten Potentiale

In der Folge nehmen wir nun wieder an, daß die Vektorpotentiale in L ORENTZeichung vorliegen. Die Viererstromdichte schreiben wir in der Form

É

ì



ì Â ØÃ É ð ­ð ­

um die Abhängigkeit von der Zeit besonders zu isolieren.

ñ ³ì   Â ð ­ ð Ø Ã  Èß ó É ì ©´ ­ ð Ø Þ ð ´ Þ Ãtµ Þ ð ´ Þ ò ¶l´ (5.14) ½ ½ ½ eine spezielle Lösung der Ø Gleichung (5.10)ì auf derØ Ã vorhergehenden Seite definiert ist, falls für jedes feste ð die Stromdichte É ð ­ ð für Þ ð jÞ ¶¸· verschwindet. · ist hierbei eine hinreichend große, endliche Konstante. Wir wollen nun beweisen, daß durch die Formel

Der Beweis bedarf einiger Vorbereitungen:

5.2 Die retardierten Potentiale

֦

Zunächst wählen wir´»eine beliebige Funktion ¹ º setzen für ein festes :

101

¬4¿ ®

 ­ Ø Ã º Q ¹ Â Ø Þ ´ Þ Ãtµ Þ ´ Þ ð ð ð ½ ð½ ð½ Dann überzeugt man sich leicht, daß jetzt für alle  ð¾½ ¼ ¨ ¼ gilt. Speziell für  ß folgt hieraus ² ß ´Þ ¨ Þ ½´ ð ½ für  . ð¾½ ¼

in einer reellen Variablen

9

À

und

(5.15) ´

stets

In einem zweiten Schritt studieren wir die Lösungsfunktionen ¿ sogenannten P OISSONgleichung ²

¿

(5.16)

º ÷¶´ ÷

der

ºÀ ÷ ¶ ½ ´ø÷ ist Ùdabei eine vorgegebene Funktion, von der wir annehmen wollen, daß sie für hinreichend großes Þ Þ identisch verschwindet, das heißt, es gilt ¬À ð ®Ñ ¨ für alleð Þ ð Þ¨¶Á· À Setzen wir ¬¿ ð ®Ñ ó ò 0¶ ´ À ¬ ´ ® µ Þ ð ´ Þ ½ ¶ wobei über den gesamten ÷ zu integrieren ist, so gilt offenbar ¬¿ ð ®Ñ ó ò ¶ ´ À ¬ ´ ² ð ® µ Þ ´ Þ À ² ¨ für ´  ¨ , so folgt Benutzen wir jetzt die oben gefundene Identität  Ã
    ½ ó ² ò ¶ ´ ² ¬ ´ ² ® µ Þ´ Þ ¿ ¬ ® ð À ð ó ò ¶´ ² ¬´ µ ´ ¬ ´ ² ´ §  ² ð ® Þ Þ À ð ² ® Þß Þ ¢ À ½ ó ò 0¶ ´ ò ¬ ´  ®;À Û°¯¨Ä ¿

`À

(5.17)

102 Für festes

ð ´

ist das Vektorfeld

¬®º

Ä

À

֦

durch

¬ ´ ² ® ¬ ´  ´ß ÞÞ ð ½ À ð² ® ÞÞ ´



in

5 Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen

Ä

¬ ­ ÆÓ³ ® das Gebiet   ´Éº Å E¬ Æ ­ Æ ³ ® º ÈÇ ÷ ¶jÊ Þ ´ Þ‚Ë Æ Þ ´ ނ¶ Æ Y³ Í    Ì f mit den Randflächen Î º  Ç ´Ïº ÷ ¶ Ê Þ ´ Þ  Æ Í     Î ³rº  Ç ´Ïº ÷ ¶ Ê Þ ´ Þ  ÆÓ³ Í ­ definiert. Ist Å 0Æ

ó ò l¶ ´ ò ¬ ´ ¿ Ð ® Æ ´ ­ ±Ñ ¨ Ò 8ÔÓ Ó Ä 9 Û °¯»Ä Û Æd³   ´ ‰à Õ ó ´ ò´ ó ´ ò´ Ø  Ó Ð Ù ½  ½ ¿ Ó Ð Ä Ù ½  ½ ¿À àÛ±ÖØÑ × à Ä ½ ±Û Ö Ñ Ä Ä ¬ ´ ® verschwindet ebenso wie À ¬ ´ ® identisch für hinreichend große Þ ´ Þ . Der erste

so gilt offenbar ²

¬ 𠮝

Grenzwert liefert somit keinen Beitrag. Der zweite Term ergibt nach Formel (1.16) auf Ä Seite 9

³ ó ´ ò´ ó ó ³ ´ ´ Ø ò¹ ò× ¬ Æd³ Ø ;  ¿  Ó Ð Ø Æ ³ÜÛ Û M ² ® ­ O × Ó ÐÄ Ø Û±Ö Ñ Ù Ä ½ Ä ½ Ä ÚÛ Ö Ñ Ø Ø Ä ð Ú˜Û Ü

mit ´

Ø  ÝÞ UÚ Û Ü ‘×× ß˜ Ú ¹ ¹ À ߘÚUÛ  Ü × Ú˜Û Ü àá Ú

5.2 Die retardierten Potentiale Explizites Einsetzen von

103

ó³ Û ò ò ¬ Ø Ú˜Û Ü × ¹ 7×  Ù `À ð ®

ergibt

ó ´ ò´ ¬ ó Û Ø ÐÓ Ä Û±Ö Ñ Ù Ä ½ Ä  ½ ¿  À ð ®t Ø Ä

und damit

9

² ¿

½BÙ

`À

À

¬® ÞÞ ¬ ð Ñ®  ó ò ¶ ¬ ® Þ ð Þ ½

¿ ist also eine spezielle Lösung der P OISSONgleichung. ´ ´ Die Tatsache, daß für r¶â· identisch verschwindet, bedeutet, daß im Integral À ´ ´ ´ µ ¿ À

die Integration nur über ein endliches Gebiet zu erstrecken ist. Deshalb bleiben für alle hinreichend großen Beträge von die Funktion

ð

¹

¬ ð ®( Þ ð Þ ¿ ¬ ð ®

und ihre ersten Ableitungen beschränkt. Nun gilt aber: Liegt eine andere Lösung ¿ der P OISSONgleichung mit der gleichen Eigenschaft vor, so muß sie mit ¿ identisch sein. Wir skizzieren den Beweis: Die Differenz

õ º ”¿

erfüllt ²

õ  ¨À

½

¿ 

 ½ ð das Vektorfeld mit Ä ¬ ´ ®Ñ ´ ß  õ ¬ ´ ® õ ¬ ´ ®  ´ ß Þ ðÞ Þ ðÞ Ä ½ ½ ò  ¨ erfüllt. Zum Beweis½ wird ²  à  C   ¨ sowie ² õ  ¨ die Gleichung   °Û ¯»Ä ð

Hieraus folgt für festes , daß für

´

benutzt.

5 Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen

104

õ

Mit ¿ und ¿  genügt auch dem oben genannten Beschränktheitskriterium. Hieraus läßt sich durch explizite Rechnung zeigen, daß das Flächenintegral von über die Î ­ gegen Null strebt, das heißt Kugel vom Radius Æ im Limes Æ Ä

´   ó ´ ò´   ¨    ¿  Ó Ð Ûà ±ÖãÑ × Ù à ½ Ä ½ ¨ analog wie oben ausgeführt: Für eine Kugel um mit Radius Æd³ gilt im Limes Æd³ ´ ð ó ´ ò´ Ø ½  ½ ¿  ` õ ¬ð ® Ó ÐÄ ±Û Ö Ñ Ù Ä Ä Ù Auf Grund des G schen Satzes finden wir deshalb: õ ¬ ® Ó Ð ó ½ ´  ò½ ´ ¿ Ó Ð Ä Ø ó ½ ´  ò½ ´ ¿ ½^Ù ` ð à ±ÛÖØÑ × Ù à Ä ½ ±Û Ö Ñ Ù Ä Ä ó  ò ©¶ ´ ò ¬ ´ ®Ñ ¨ Û°¯»Ä AUSS

Die Differenz unserer beiden Lösungen muß also in der Tat verschwinden, die Lösungen sind identisch. Jetzt sind wir in der Lage zu zeigen, daß durch die Formel (5.14) auf Seite 100 eine Lösung von (5.10) auf Seite 99 gegeben ist. Zunächst teilen wir in (5.14) das Integrationsgebiet auf

ñ ³ì   Â ð ­ ð Ø Ã  Èß ó ò ¶ ´ É ì ©´ ­ ð Ø Â C  àä{å ½ ó ì Ø ² Èß Â  Ã
 æ{å ò ¶0´ É Â ´ ­ ð C ñ ³ì  

Þ Ãfµ Þ ð ´ Þ ½ ½ Þð ´ ÞÃ µ Þð ´ Þ ½ ½ ½ Þð

´

Wenden wir den Operator jetzt auf an, so darf er im zweiten Summanden unter das Integral gezogen werden und annihiliert, wie zu Anfang des Abschnitts gezeigt wurde, den Integranden. Es gilt somit

ñ ³ì   

ó ò ¶ ´ ì ©Â ´ Ø ´ Ã µ Þð ´ Þ t Þ Èß Â ÃÂ ä{å É ­ ð Þ ð ½ ½ ½ C 

(5.18)

5.2 Die retardierten Potentiale

105

ì Â Ø Ã ó ò ¶ ´ ì ©Â ´ Ø Ãfµ ´  ð ­ ð  Èß É ­ ð Þ ð ½ Þ ist Lösung der P gleichung ì ì ²   Ù È` É ½ und man schließt in vollständiger Analogie zu (5.18) auf der vorherigen Seite ì ² ó ò ¶ ´ ì & ´ Ø Ãtµ ´ ²   Èß Â  Ã
 ä{å É ­ ð Þ ð Þ ½ ½ C ½ Das Hilfsfeld

(5.19)

OISSON

ñ ³ì   ¬ ð ® È>ß É ì ¬ ð ®µ ³ ½ ó ò ¶ ´ ì Â&´ Ø  ï Ø ³ Èß Â  Ã
 ä{å É ­ ð ïDð C ó ò ¶©´  ì  ´ Ø ² ß ­ ½ È Â C  Ã
 ä{å É ð

(5.20)

(5.21)

Aus (5.18), (5.20) und (5.21) folgt damit (5.22)

Þð

½ ½ Þ ½ ð½

Þ Ãtµ Þ ð ´ Þ ½ ½ ´ ÃÞ É Ø Â ´ ­ ð Ø ÃÓÃ µ Þ ð ´ Þ ½ ½ ´

(5.23)

´ ¨

Im ersten Summanden kann die zeitliche Differentiation unter das Integral gezogen werden. Der Integrand bleibt regulär und verschwindet deshalb für . . Im zweiten Summanden sorgt nun die Differenz im Integranden dafür, daß dieser auch für ´ regulär bleibt. Deshalb darf hier wieder die Differentiation unter das Integral gezogen werden und das Resultat verschwindet ebenfalls für . . Nun muß die Gleichung (5.18) auf der gegenüberliegenden Seite offensichtlich auch im Grenzwert . gelten, woraus sofort

𝠴 ¨

´ ¨

ñ ³ì    Ù È ` É ì

folgt.

ê ÷·

Die durch die Gleichung (5.14) auf Seite 100 definierten speziellen Lösungen werden als retardierte Potentiale bezeichnet. Der Grund dafür liegt darin, daß ihre Werte am º Raumzeitpunkt durch Integration der Viererstromdichte über Raumzeitpunkte

5 Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen

106

b gewonnen werden, die zeitlich früher liegen. Präzise gilt offenbar für diese Raumzeitpunkte

Ø  ð Þð ´ Þ « ¬ b ê½ ­ b ½ ê ® ¨ folgt. Die Raumzeitpunkte, die zum Wert von ñ ì³   ¬ê ® woraus » beitragen, liegen gerichteten Lichtkegel. ½ also½ auf dem von ê aus in die Vergangenheit ñ ³ ´

Ø

Abschließend wollen wir noch verifizieren, daß die L ORENTZbedingung erfüllt. ³ Wir finden durch einfache Variablentransformation des Integrals in (5.14) auf Sei te 100, daß alternativ in der Form

ñ

ñ ³ì    ­ Ø Ã  Èß ó ò ¶ ´ É ì 0 ´ ² ­ Ø Þ ´ Þ Ã}µ Þ ´ Þ ð ð ð ð ½ dargestellt wird. Hieraus folgt ìï ñ ³ì    ­ Ø Ã  Èß ó ò ¶ ´ ¬ ò É ® ©Â ´ ² ­ Ø Þ ´ Þ Ãtµ Þ ´ Þ ð ð ½ ð ð °Û ¯ ïM𠨝

als unmittelbare Konsequenz der Divergenzfreiheit des Viererstroms.

5.3

Die Vektorpotentiale einer bewegten Punktladung

Die Ergebnisse des letzten Abschnitts erlauben uns, die Vektorpotentiale einer bewegten Punktladung direkt zu berechnen. Nach Gleichung (2.51) auf Seite 92 hat die Viererstromdichte einer Punktladung die Form

ì ¬ È ó ò ¹
ç ì R¬ ¹ · ¬  ® \ ®a b è É b (

\

¬[¹ ®5®;À

½ é ê ¬R¹ ® beschreibt die Bahnkurve der Ladung im ÷ · mit einer beliebigen Parametrisierung durch ¹ . Setzen wir dies in die Gleichung (5.14) auf Seite 100 ein, so ergibt sich é zunächst, wenn wir wieder die Zeitabhängigkeit isolieren, ñ ì Âð ­ð Ø Ã  ó ò ¹ ò ¶ ´ ç ì ¬R¹ ¶ ¬ ´ ç ¬R¹ Â Ø Ø   \ ®a j ®5è® a ð Þ ð ´ Þ ç ¬[¹ ® Ãtµ Þ ð ´ Þ   ½ ½ ½ ½ ½

5.3 Die Vektorpotentiale einer bewegten Punktladung

107

ó ò ¹
ç ì R¬ ¹ Â Ø Ø ¬R¹ Ãfµ ç=¬[¹ ç ~ ¬ ¹ ç   \ ® a ð Þð j ®Þ ® Þð ®Þ   ½ ½ ½ ½ Ø Besitzt ¿ ¬R¹ ® an der Stelle ¹ seine einzige Nullstelle, so gilt die allgemeine Formel ó ò ¹ ¬R¹ ¬ ¬R¹ ¹ ¬R¹ Ø ® ¹ ® a ¿ ®5®Ñ Þ ¿  ¬R¹ Ø ® Þ j   Ø Ø ¨ Ø ìñ ¿ ¬[¹ ® . In unserem Fall ist ¿ ¬R¹ ® ð Þ ð ç=¬R¹ ® Þ ç ¬R¹ ® . Hieraus folgt für mit : ½ ½ ½ ñ ì  ­ Ø Ã  ç  ì ¬ ô Ó ® µ ¢ Þ ç ¬ ô Ó ® Þ ž ç  Ø ¬ ô Ó ® M ð ½ ç ¬ ô Ó ç=®y¬ ­ ô ç Ó  ¬ ô Ó ;® O © § ð ð \ ð½ ½ Þð ½ ® Þ mit Ø Ø ¬ô Ó º ¨ ô ç ¬ ç Ó ð ½ Þð ½ ® Þ ½ ®  À Beachtet man die letzte Bedingung, so kann dem Vektorpotential die manifest kovariante Form: ñ ì ¬ê ®Ñ ç  ì ¬ ô Ó ® µ « Â ê ¬ ô Ó ®æ­  ¬ ô Ó ® à (5.24) \ ½ é é ê mit Ø Ø ¬ô Ó º ¨ ô ç ¬ ç Ó (5.25) ð ½ Þð ½ ® Þ ½ ®  gegeben werden. ñ ì hängt also in zweifacher Weise vonô ê ab: ê erscheint einmal explizit in (5.24)ô und wieder implizit durch die Funktion Ó ¬Rê ® , die man erhält, wenn (5.25) nach Ó für festes ê aufgelöst wird. Die gefundenen Vektorpotentiale heißen auch L IÉNARD -W ICHERT-Potentiale einer bewegten Ladung. Sie bestimmen den Feldstärketensor 0

ëìîí R¬ ê (®  ï ì/ñ í ï yí ñ ì À ïDð ½ ïDð ô ë/ìÓí Man findet hier, daß nur die implizite ê -Abhängigkeit (über Ó ) zu gilt daher ëìîí  ï ô Óì ï ô ñ í ï ô Óí ï ô ñ ì ­ ïMð ï Ó ½ ïDð ï Ó

beiträgt. Es

5 Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen

108 sowie

« ¬ê «p¬ ï ô Ó ñ ì  ¢ ç ì  ç ì p« ¬Rê ½ëé ­ ­ é   Ê® ® ² ç ì « ¬Rê é 4­ é ­  ®  ® § µ « Â ê ­  à ½ ½êé é ï ëé é ½ êé é ½ Die Bedingung (5.25) impliziert «»¬ê ¬ ô Ó ®;­ ê ¬ ô Ó ®˜®( ¨ À ½ é ê ½ ìé ê Differenziert man nach , so folgt hieraus ð ì ç ì ¬ ô Ó ® « ê ¬ ô Ó ®y­  ¬ ô Ó ® à ï ô Óì  ¨ ð ½ ½ ê½ é é ïDð oder ô Óì ¬ ì ç ì ¬ ô µ « Â ê ¬ ô ¬ ô Ã Ó ®5® Ó ®;­  Ó ® À ï  ð ½ ë ìîí ½ é é ê ïMð Wir können deshalb in der Form ë ìîí  «p¬[ê \ س ì ¬ ì ç ì j® í í ¬ í ç í j® í ì î ² ð ½ ­ ® ð ½ ½ ½«»¬ é 4é­ Ê® … ì ì í í í ì ê ² « ¬R\ ê é ­é  ® ¶ ¬ ð ç ® ç  ¬ ð ç ® ç  † (5.26) ½ ½ ½ ½ é é ê schreiben, wobei ì ì ç ì «»«p¬¬[ê ê ­   ® í  ç  (5.27) ½ é ­é ® ê ½ ½ é é ê ô ô gesetzt wurde. ­ 4­   sind dabei Funktionen von Ó , und Ó selbst wird durch Auflösen von (5.25) é é eine é Funktion von ê . Bei bekannter Bahnkurve ¬[¹ ® ist damit das von der Punktladung erzeugte elektromagnetische Feld vollständig é bestimmt.

¹

«p¬ 4­ ®

Wir untersuchen jetzt den Feldstärketensor etwas näher. Dazu nehmen wir o.B.d.A. an, daß durch die Bogenlänge parametrisiert ist, das heißt es gilt   =1. Ferner wollen é wir zunächst die gleichförmige Bewegung der Ladung voraussetzen: é é

¬R¹ ®mN ¹ é  N . Die Berechnung von ô Ó ergibt nach (5.25) und somit  Ï ô Ó ¬[ê é ®m « ¬ N ­ ê ® ³ « ¬Rê ­ ê ®ñ Äà ² «p¬ NU­ ê ®;À ½ ï ð ½

\

5.4 Die Abstrahlung von Energie und Impuls durch eine beschleunigte Ladung

109

Gleichung (5.26) liefert deshalb das Feld

ëìîí  í
RÊì î ­ ì ìSR|í \ (5.28) ³ ð ð Ä »« ¬ N ­ ê ® « ¬Rê ­ ê ® ñ ½ ï ½ ¨ nur durch das wegen  5 den zweiten Term in (5.26) gegeben ist. RØ R ¨ Speziell füré die ruhende Ladung ist  und Á  . Das magnetische Feld verë ¨ Ý ß schwindet ( Á   , D ­ ù  ­ ­ F ) und das elektrische Feld besitzt die räumlichen ß Komponenten Á  ë Ø Á  Á µ Þ Þ¶  ð ð \

Wir erhalten also das wohlbekannte C OULOMBfeld einer ruhenden Punktladung. Für eine bewegte Punktladung verschwindet das magnetische Feld nicht. In Übung 2.7 haben wir aber gezeigt, daß die L ORENTZtransformation, die eine ruhende Ladung in eine gleichförmige Bewegung ÏN überführt, gleichfalls das C OULOMBfeld in den Feldstärketensor (5.28) transformiert. é

¬[¹ ® ¹

Þð Þ ´

Betrachtet man das Feld einer ruhenden oder bewegten Ladung bei großen Distanzen ­ ), so fallen in beiden Fällen die Komponenten des Feldstärketensors propor( tional zu  C  ab.

 Ä

Diese Situation ändert sich schlagartig, wenn die Ladung eine Beschleunigung erfährt. Neben dem zweiten Beitrag in (5.26), der die Beschleunigung nicht enthält und soeben für die gleichförmige Bewegung mit dem gewöhnlichen C OULOMBfeld identifiziert einen Term, der der Beschleunigung direkt wurde, enthält der erste Beitrag zu proportional ist. Außerdem produziert dieser Beitrag ein elektrisches Feld  ´ und ein ­ magnetisches Feld  , die immer senkrecht aufeinander stehen und beide für wie  Ã abfallen. Bei großen räumlichen Abständen von der Ladung überwiegt also dieser Feldanteil den C OULOMBbeitrag bei weitem. Umgekehrt ist natürlich bei sehr kleinen Abständen der C OULOMBanteil dominant.

ëìîí

Þ Þ´

 

Der durch die Beschleunigung hervorgerufene Anteil des Feldes heißt Strahlungsfeld, und im nächsten Abschnitt wollen wir die bemerkenswerte Tatsache, daß das Strahlungsfeld bei großen Abständen dominiert, weiter untersuchen.

5.4

£

ìÓí

 ’‰

Die Abstrahlung von Energie und Impuls durch eine beschleunigte Ladung

÷·

der Energie-Impuls-Tensor eines Systems von felderzeugenden Ladungen Sei und ihrem elektromagnetischen Feld.Î Wir wollen den Energie-Impuls-Inhalt einer beliebigen dreidimensionalen Fläche im definieren. Die Punkte in der Fläche

ê

110

5 Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen

Î

­ ³­ ¶

 

sind durch drei reelle Parameter K ‘K ‘K parametrisiert. Für festes K betrachten 8 c-9 wir das Vektorfeld ò mit den Komponenten ò

8 c-9

ì

 £

ìc

(5.29)

ì ¬Î › m®  óóµó ò ò ³ ò ¶ 8 c-9 ê*¬ ³ ¶ ê ê ê  K   K K ú ž ò ž K   ­K ­K ®;­ ï ï K   ­ ï ï K ³ ­ ï ï K ¶ © © À ì › ¬ Î ® ist also nach Kapitel 3 nichts anderes als das Flächenintegral von ò

und setzen

(5.30)

8 c-9

und unabhängig von der speziell gewählten Parametrisierung. In der Notation von Kapitel 3 gilt wegen (5.29) explizit

óóµó ò ò ³ ò ¶ . ì  ì ì ì ì c K ì K ì ³ K ì¶ K   K K à Ä £ ïMï ð   à Dï ï ð Ä ïDï ð À ½ Weiter erzwingt nach Kapitel 3 der G sche Satz wegen ò ò 8 c-9  ï ì £ ì c  ¨ ­ ïDð c Û°¯ Î ¬ ® verschwindet. daß › ì ¬Î › m® 

AUSS

œ Ø ¬ Î ®¼ ð 

Durch die Formel (5.30) wird komponentenweise jeder Fläche ein Vektor È zugeordnet. Speziell für die Fläche, deren Punkte die zeitliche Komponente besitzen, haben wir in Kapitel 3 diesen Vektor mit dem Gesamtimpuls unseres Systems identifiziert. In Analogie hierzu wollen wir durch die Formel (5.29) den Viererimpulsinhalt einer beliebigen dreidimensionalen Fläche erklären.

¬R¹ ®

In der Folge soll ein einzelnes geladenes Teilchen zusammen mit seinem nach Formel beschrieben und wir (5.26) erzeugten Feld vorliegen. Die Teilchenbahn sei durch ¡ ¡ nehmen an, daß die Bogenlänge ist und damit é gilt.

¹

«p¬ ­ ®  ß é é Das vierdimensionale Gebiet Å Ø Ø º Å  Ç ê ÷ ·Ê ð  ç ² Þ ð çr¬R¹ ® Þ ­ Þ ð rÞ ó Æ ­ ô ó ¹ ó ô ³ Í   ½ wird durch die Randfläche Î  Î Óô à ² Î Óô Ä ² Î ÓØ

5.4 Die Abstrahlung von Energie und Impuls durch eine beschleunigte Ladung

111

ºÄ  Ç ê º ÷ · Ê ð Ø  ç Ø Â ô ³ à ² x ð ç  ô ³ à x ­ Þ ð Þjó Æ Í (5.31) à õ ÷   ö ÷   ö x x ½ Ø Ø Î ÓØ º  Ç ê º ÷ · Ê ð  ç [¬ ¹ `® ² Þ ð ç ¬[¹ ® Þ ­ Þ ð Þ  Æ ­ ô ó ¹ ó ô ³ Í (5.32)   ½ Î Î ist geschlossen und für der Gesamtviererimpulsinhalt gilt deshalb œ ¬ µ ®  ¨, woraus œ  ΠÓô Ä Ã œ  ΠÓô à à èœ ¬ Î ÓØ ® ½ folgt. Im Limes Æ ´ ­ gilt (5.33) œ  Πô × Ä Ã œ  Πô × à à  Ó Ð œ ¬ Î ÓØ ® ½ ±ÖØÑ × Û Î ô Die Punkte ê der Flächen × Ä erfüllen nach (5.31) «  ê  ô ³ à ­ ê à õ  ô ³ Ãdà  ¨ ½ é ÷  ö ê½ é ÷  ö Î ô ê · einen Kegel von lichtund weisen zu positiven Zeiten hin. × Ä stellt also im ÷  ô ³ à besitzt: artigen Vektoren dar, der in die Zukunft à õ ý weist und seine Spitze in ô ÷  ö é ×Ä begrenzt, wobei offenbar gilt: Î Óô

øüù©ú øüù&ú û

ø®ù&ú

Ä

 lû

³

ûœý ô

×

à Ø

Î ô

à

Die Formel (5.33) beschreibt die Differenz zwischen dem Viererimpulsinhalt von × Î ô Î Ó und × als ein Integral über die Fläche , die für große Æ sowohl ins räumliche als auch ins zeitliche Unendliche wandert. Dieses Integral wollen wir nun im Limes Æ ­ berechnen.

´

5 Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen

112 Dazu seien die Punkte in

ð

¬ ­ ®Ñ

Æ I &þ l¹

und durch

Î Ó

Ø durch den räumlichen Anteil

Æ ÝÞ

þ ˜ß  þ ߘ þ

Ú˜Û Ü Ú Ú˜Û Ü ˜Ú Û Ü Ú þ

þ

Ø R¬ ¹ ¬R¹ ð  ð `® ² Þ ð º ½ Î ð ÓØ ® Þ dargestellt, das heißt ê wird durch ¹

àá

Ø

und räumliche Polarkoordinaten parametri-

siert.

Î Ó

Ø

ì ¬ Î ÓØ Æ ³ ó Ä ó Û ó ³ Û ò ¹ ò þ ò þ ç ¡ Ø M ç=¬R¹ ®;­ ç=¡ ¬R¹ ®;O  ¶ Á ì I Á › Ñ®  ô Ø Ø ¹ ½ Þð ð ½ ç ¬[¹ ® Þ ƒ Á  £ ˆ (5.34) U Ú

Û Ü ½   à Æ ­ Für ´ trägt der Energie-Impuls-Tensor des Teilchens natürlich nicht ô bei. Für das elektromagnetische Feld des Teilchens selbst ist die Formel (5.26) mit Ó  ¹ zu benutzen und ê in der obigen Parametrisierung einzusetzen. Für Æ ´ ­ fällt nur der Beitrag proportional zur Beschleunigung ÿ wie Ó ab. Der andere Beitrag verschwindet   des elektromagnetischen Feldes mit einer höheren Potenz. Der Energie-Impuls-Tensor é in (5.34) ist also für Æ ´ ­ nur mit Hilfe des beschleunigungsabhängigen Feldanteils zu berechnen. Für große Æ ergibt sich deshalb ³ ³ IìIí ìÓ
í p « ¬   ¡ · Y ­ ÿ ® \Æ ³ ƒ «»¬ ÿ ­ ÿ ®‹² ž «p¬  ¡ © ˆ µ «»¬ ­ ® ­ £ ½` ­é ® é é é Ù é Ø I wobei  den Vierervektor mit  ß und dem räumlichen Anteil I ¬þ l­ ¹® wie oben darstellt. Wir erhalten hiermit aus (5.34) ì Î Ø ¬ œ ®Ñ (5.35) ÓÐ ±ÖØ ÛÑ× ô ³ ³ ³ ó Äó ó ò ò ò » «  ¬  ­ Y ÿ ®  \ ô Ø Û Ø Û ¹ þ ¹ þ ƒ « ¬ ÿ Y­ ÿ ®‹² ž «»¬  ­ é ¡ ® © ˆ µ «»¬  ­ ¡ ® ¶ ½ Ù` à ژÛÊÜ é é é é Die Formel (5.30) ergibt in dieser Parametrisierung für ô

explizit:

5.4 Die Abstrahlung von Energie und Impuls durch eine beschleunigte Ladung

113

Wir schreiben deshalb

ô ³ ó Ä ò ¹ [¬ ¹ « ¬ ì Î Ø ¬ œ Ñ®  \ ô • ® ÿ Y­ ÿ ® (5.36) ÓÐ é é ±Û Ñ × ½ Ù` à Öã mit ³ ³ ó ó «  ¬  ­ ÿ ® ¡ ˆ µ « ¬ ­ ¡ ® ¶ ­ (5.37) þ ÝÞ Û Ûò þ ò ¹ • ¬R¹ ® º  ƒ Ø Ø Ú˜Û Ü ß ½ Þ « ¬ é ÿ Y­ é ÿ ® Þ Äà «é ¬ ­ é ® àá é ¡ ¡ ¡ ¨ folgt und damit ÿ ein wobei zu beachten ist, daß aus «»¬ ­ ®µ auch « ¬ ­Yÿ ® ß raumartiger Vektor (mit «»¬ ÿ ­Yÿ ® Ë é ) éist. Sei nun eine transformationé mit é éL ß é é Ø  ¡  Ý ¨¨ ß  «  – Þ à ¨á é ¨ ¨  ¶  ÿ Ý   Þ «»¬ ¡ é ­ ® Þ Äà Þ ¨ àá « – À é é ß Wir setzen      µ «»¬   ­;– Ø ®   ist ein lichtartiger Vektor mit I  Ø  , genau wie  selbst. Wir können deshalb den I ß räumlichen Anteil  , der ein Einheitsvektor ist, mit neuen Polarkoordinaten þ 4l­ ¹è in ORENTZ

der Form



þ [ ߘ è ¹  þ  ¹  ߘ þ  áà

Ú˜Û Ü Ú Ú˜Û Ü ˜Ú ÛÊÜ Ú schreiben. Aus (5.37) folgt dann durch Variablentransformation ³ ó ó    ;­ – ¶ à ³ 7 ³  ñ  • ¬R¹ ® º  Û Û ò þ  ò ¹    « 2 ß Ø Ø ½ I



ÝÞ

(5.38)

(5.39)

5 Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen

114 mit

þ þ ž ï þ  ï ¹ ¹  ï ¹  ï þ ¹  © µ « ¬   ­;– Ø ® ³ Ú˜Û Ü ï ï ½ ï ï þ ! Überraschenderweise ist ñ  ژÛÊÜ Beweis: Man überzeugt sich zunächst explizit davon, daß die Gleichungen ú ž – Ø ­  ­ ïþ  ­ ï ¹  ©  þ ÚUÛ Ü ï ï ò ú ž – Ø ­  ­ ï þ  ­ ï  ©  þ  ¹   Ü ÚUÛ Ü ï ï gelten. ú ist das schiefe Tensorfeld aus Kapitel 3 und invariant gegenüber L tranformationen. Hieraus folgt zunächst   – Ø ­  ­    ­    7 µ «»¬   ­;– Ø ® ¶ þ ˆ@ú 2 Ú˜Û Ü @ú 2     – Ø ­  ­   ­    7 2               7 «p¬   ;­ – Ø ®  ¶   @ú 2 – Ø ­  ­   ­    7 2           ½    ³   7 µ «»¬   ­;– Ø ® ³  þ 2         7 µ «»¬ ½  ;­ – Ø ® ژÛÊÜ ½ 

ñøº 

þ

ORENTZ

¬[¹ ®

Aus (5.38) auf der vorhergehenden Seite und (5.39) ergibt sich jetzt sofort, daß der  € räumliche Anteil von • verschwindet und nur der zeitliche Anteil gleich µ F ` ist, das heißt

 oder

•

¬[¹ ®(

¬R¹ ®Ñ •

€ F €

` –

F

 `



Ø

  ؝ –

€ F

` é

¡

¬R¹ ®

eingesetzt in (5.36) auf der vorhergehenden Seite und (5.33) auf Seite 111 ergibt dies ô Äò ¡ ó Ý ³   Πô à Πô à œ × Ä œ × à  F\ ô ¹ ¬R¹ ® « ¬ ÿ ¬R¹ ;® ­ ÿ [¬ ¹ †® ® ½ ½ à é é é

(5.40)

5.5 Die Strahlungsrückwirkung

115

ò ÂÎ ô à Mò ô ³ œ × Ä  ½

ô ³ folgt sofort Ý ³ ¡ ¬ ô ³ «»¬ ¬ ô ³ ¬ ô ³ ® ÿ ®y­-ÿ 5® ®y­ F \

Durch Differentiation nach

é

é

é

ein Ergebnis, das wir noch einmal in anderen Worten zusammen mit den Annahmen, unter denen es hergeleitet wurde, zusammenfassen wollen:

¬[¹ ®

Ein Teilchen der Ladung mit einer Bahnkurve , die durch die Eigenzeit \ parametrisiert ist, erzeugt ein elektromagnetisches Feld, dessen Form durch (5.26) é auf Seite 108 bestimmt ist. Für jedes sei der Energie-Impuls-InhaltÎ des ô (das heißt zukunftsorientierten Lichtkegels mit Kegelspitze in × mit ). Dann gilt die L ARMORsche Formel: é

¹  ô³ ò ò ¹ œ R¬ ¹ (® 

½

¹

Ý ³ ¡ R¬ ¹ «»¬ ~¬ ¹ R¬ ¹ ® ÿ ;® ­ ÿ 5® ® F \

œ R¬ ¹ ® [¬ ¹ ®

é

é

œ R¬ ¹ ® *œ Â Ä Ã

(5.41)

é

Es wird also über das vom Teilchen erzeugte Feld Energie und Impuls abgestrahlt, wobei die Rate, mit der diese Energie-Impuls-Änderung vonstatten geht, durch Gleichung (5.41) bestimmt ist.

5.5

Die Strahlungsrückwirkung

Die Tatsache, daß ein beschleunigtes Teilchen Impuls abstrahlt, wirft sofort die Frage auf, wie dieser abgestrahlte Impuls kompensiert wird, um die Energie-ImpulsErhaltung zu gewährleisten, die wir ja allgemein in Kapitel 3 bewiesen haben. Offenbar muß dies durch eine entsprechende Impulsänderung des Teilchens selbst bewirkt werden. Diese ist (mit der Bogenlänge )

ò ì #° È ³ ò ³ ¡ ì ë í ì ¬ ê*¬ ô ¡ í ò¹›  ò¹³ð  \ ˜® ® ð

¹

ë

ë

(5.42)

ë â ì ë 4ì í ¬ê*¬R¹ í ¬R¹ ë ®5® ð ê*¬[¹ ® ® ì muß also durch einen geeigneten Grenzprozeß definiert werden, beispielsweise ì ì í ¬ê*¬[¹ í ¬R¹ Ä ë   Ø (5.43)  •Ð ®`L² •/® ð ®yÀ Ä Û±Ö Ñ ì ê weitere Ableitungen von ê*¬R¹ ® erzeugt. Wir Zu erwarten ist, daß dieser Grenzprozeß können also annehmen, daß von und seinen höheren Ableitungen abhängt. Auf Grund der Translationsinvarianz kann eine direkte Abhängigkeit von ê sofort Ä

Hier tritt nun eine bedeutende Schwierigkeit auf. Der Feldstärketensor enthält neben  einem möglicherweise zusätzlich angelegten Feld immer auch einen Beitrag , der vom Teilchen selbst erzeugt wird, und durch die Formel (5.26) bestimmt ist. Bildet man nun nach Formel (5.42) , so ist dieser Ausdruck zunächst  am Punkt unendlich groß wird. nicht wohldefiniert, weil das Feld Ä

5 Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen

116

ê¡ ê

Àê ÀÀ

ausgeschlossen werden. Falls , ÿ und linear unabhängig sind, was bei allgemeiner Form der Bewegung angenommen werden kann, so bilden diese Vektoren, zusammen mit dem Vektor

ì  . ì c šœ› ¡ c ÿ š ÀÀÀ › ð ð ð ì · eine Basis im ÷ . Wir können deshalb ì ¡ ì ì ÀÀÀ ì ì Ä in der Form  K ð ² ð ÿ ² ð ²La
í ” Ä schreiben. Dabei müssen K ,  ,  und a invariante Funktionen der Ableitungen von ê sein. Überdies muß K bei Raumspiegelungen das Vorzeichen wechseln. í

LORENTZ

Nimmt man an, daß eine Abhängigkeit von den ersten drei Ableitungen alleine besteht, so ergibt sich zunächst a

 ¨

aus der einfachen Tatsache, daß keine LORENTZinvariante Funktion aus drei Vektoren gebildet werden kann, die bei Raumspiegelung das Vorzeichen wechselt. Wenn wir nun die physikalisch sinnvolle Forderung stellen, daß Abschnitt errechneten Strahlungsverlust exakt kompensiert, so folgtÄ

Ý ³ p« ¬ KE ² ðÿ ­ ðÿ ® F \ Außerdem muß offensichtlich ì ¡ì ¨  ð Ä gelten. Wegen

«»¬ ð ¡ ­ ð ¡ ®( ß ­ «»¬ ð ¡ ­ ð ÿ ®Ñ ¨ und (daraus folgend) « Â ð ¡ ­ Àð ÀÀ à  « ¬ ð ÿ ­ ð ÿ ® ½ findet man Ý ³ * F \

ì Ý ³  »« ¬ ê ê ¡ ì ÀÀÀ ì Ã ì  F\ ÿ ­ ÿ ® ð ð ²  ð ÿ ½

und somit

Ä

ì

den im letzten

5.5 Die Strahlungsrückwirkung

117

à ð ÿ ì  \ ë  ì í ð ¡ í ² FÝ \ ³  « ¬ ê ÿ r­ ê ÿ ® ð ¡ ì Àð ÀÀ ì à (5.44) ½ ½ In dieser neuen Bewegungsgleichung ist offenbar das vom Teilchen selbst erzeugte Feld und insbesondere sein Strahlungsverlust berücksichtigt. Sie enthält einen Term auf der rechten Seite, der der dritten Ableitung von ê*¬R¹ ® proportional ist, sowie auf der linken Seite als Koeffizienten der Viererbeschleunigung einen Faktor °>È ³  °#È ³ µ­ ½ der formal als eine Änderung der Teilchenmasse gedeutet werden kann. Streng Gleichung (5.42) geht somit über in

 °#È ³

genommen ist dies natürlich nur richtig, wenn  eine endliche Konstante ist. In diesem Fall hätten wir gefunden, daß die sogenannte Strahlungsrückwirkung, das heißt die Wirkung des vom Teilchen selbst erzeugten Feldes auf die Bewegung des Teilchens, auch zu einer Änderung der Teilchenmasse führt. wäre somit gar nicht die beobachtete Masse, sondern  . Für letztere allein wäre der experimentell bestimmte Wert einzusetzen.

°

°

ì

Nun ergibt aber jeder Versuch, streng durch einen geeigneten Grenzprozeß wie in (5.43) zu definieren, für  bestenfalls eine unendliche Zahl. Deshalb wurde auch Ä in diesem Abschnitt auf eine wesentlich mathematischere strengere Herleitung der Strahlungsrückwirkung verzichtet.

°

Will man dennoch der Gleichung (5.44) einen praktischen Sinn verleihen, so muß in jedem Fall zu dem physikalischen Kunstgriff Zuflucht genommen werden,  mit der experimentell bestimmten Masse zu identifizieren, ungeachtet der Tatsache, daß diese Größe einen endlichen Beitrag enthält. Dieser Kunstgriff wird als Massenrenormierung bezeichnet. Wenn wir ihn akzeptieren und  wieder durch ersetzen, aber darunter die experimentelle Masse verstehen, so erhalten wir als neue Bewegungsgleichung die sogenannte A BRAHAM-L ORENTZ-Gleichung

°

°

°#È ³ ð ÿ ì  ë  ì í ð ¡ í ² Ý ³  « ¬ ê ÿ r­ ê ÿ ® ð ¡ ì Àð ÀÀ ì à \ F \ ½

(5.45)

Allgemein kann zu dieser Gleichung gesagt werden, daß ihre Lösungsmannigfaltigkeit durch mehr Parameter bestimmt ist, als sie die ursprüngliche Bewegungsgleichung besitzt. Weil sie ein Differentialgleichung dritter Ordnung ist, ist eine Lösung nicht ¡ nur durch Vorgabe von und , sondern zusätzlich noch durch den Wert für einen festen Wert von bestimmt. Der Effekt wird der Beschleunigung ÿ besonders deutlich, wenn das angelegte Feld verschwindet. In diesem Fall ist für ÿ die allgemeine Lösung durch

ê*¬[¹ Ø ê¯¬R¹ Ø ® ®

ê*¬[¹ Ø ®

ê*¬R¹ Ø ®µ ¨ ê*¬R¹ ®m *ê ¬R¹ Ø ‹® ² ¬R¹ ¹ Ø ® ê*¡ ¬[¹ Ø ®;­ ½

¹Ø

5 Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen

118

das heißt durch die allgemeine Form einer gleichförmigen Bewegung gegeben. Man verifiziert dies direkt durch Einsetzen in (5.45). Ebenso findet man aber auch, daß

 ô Ø íY– ¦ ôô  à ê*¡ ¬[¹ ®Ÿ ÝÞ Ú   ô ب íY– ¦ öö à à  ˜Ú ÛÊÜ ¨ á Ý ³ ô Ø º  F °#\ È ³ mit ¨ beschreibt dies ein ruhendes Teilchen; für í  ¨ die Gleichung (5.45) erfüllt. Für í ½ erhält man eine Bewegung mit exponentiell anwachsender Beschleunigung! Diese unphysikalische, sogenannte „Run-away“-Lösung, kann durch Wahl der Anfangs¨ ÿ ¬ ® offenbar ausgeschlossen werden. Man sieht jedoch, daß im Fall eines bedingung ê* ߘ



angelegten Feldes die entsprechende Bestimmung der korrekten Anfangsbedingungen keinesfalls leicht fällt. Dazu betrachten wir ein angelegtes Feld, das nur in einem endlichen Raumzeitgebiet von Null verschieden ist (siehe Abbildung 5.1). Ein TeilKein Feld, keine äußere Beschleunigung, aber „Run-away“Lösung, auf Grund der Anfangsbedingungen.

Feld. Beschleunigung

! Kein Feld, keine Beschleunigung Abbildung 5.1: Eine Ladung passiert ein räumlich und zeitlich beschränktes Feld, und erhält dabei eine Beschleunigung, die anschließend zu einer „Run-away“-Lösung führt.

ê*¬[¹ Ø ® ¨

ê*¬R¹ ®

chen wird mit gleichförmiger Bewegung in ein solches Gebiet einlaufen, und es ist ÿ bei Eintritt in das Gebiet. Beim Verlassen des Gebiets muß aber ÿ keinesfalls mehr verschwinden. Es kann danach also eine unphysikalische exponentiell anwachsende Beschleunigung auftreten. Die Gleichung (5.45) ist also von eingeschränkter Aussagekraft. Tatsächlich muß wohl gesagt werden, daß im Rahmen der klassischen Elektrodynamik die Strahlungsrückwirkung nicht widerspruchsfrei beschrieben werden kann. Dies gelingt erst in der Quantenelektrodynamik .

119

Literaturverzeichnis

120

Verzeichnis der "Ubungen 1.1

Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1

Teilchenbewegung in einem konstanten elektromagnetischen Feld . .

32

2.2

Teilchenbewegung in einer elektromagnetischen Welle . . . . . . . .

34

2.3

Multilineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.4

Schiefe Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.5

Wichtige Tensorfelder, die aus dem Feldstärketensor abgeleitet werden können . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.6

Die L ORENTZtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.7

Der Feldstärketensor des C OULOMBfeldes . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.8

Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.1

Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.2

Relativistische Zweiteilchenkinematik . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.1

Das Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Index Fette Seitenzahlen bezeichnen die Definition des entsprechenden Begriffes. Kleine Seitenzahlen verweisen auf Bilder. Geneigte Seitenzahlen sind in den "Ubungen.

Abbildung Adjungierte . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Multilineare. . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Abfallverhalten Des Feldstärketensors Gleichförmige Bewegung . 109 Ruhende Ladung . . . . . . . . . 109 Ableitung Äußere . . . . . . . . . . . . . . . . . 87, 89 Komponenten . . . . . . . . . . . . . 89 P OINCARÉinvarianz . . . . . . . 87 Richtungs- . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 A BRAHAM-L ORENTZ-Gleichung 117 Aussagekraft . . . . . . . . . . . . . . . 118 Abstrahlung beschleunigter Ladungen 109 ff. Achse Zeit- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Äußere Ableitung . . . . . . . . . . . . 87, 89 Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . 89 P OINCARÉinvarianz . . . . . . . . . 87 Allgemeine Erhaltungsgröße . . . . . . 74

Amplitude Elektromagnetische Welle 34, 65 Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . 118 Antisymmetrie Des Feldstärketensors . . . . . . . . 25 Arbeit Im elektromagnetischen Feld . . 6 Klassisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Relativistisch . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Bahnkurve . . . . . . . . . . 61, 90, 106, 110 Bogenlänge. . . . . . . . . . . . . . 30, 61 Eigenzeit . . . . . . . . . 30, 33, 35, 61 Extremalprinzip . . . . . . . . . . . . . 90 Im M INKOWSKIraum . . . . . . . . 29 Parametrisierung . . . . . . . . . . 29

֦

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 27 Im Reparametrisierung . . . . . . . . . . 27 Tangentenvektor . . . . . . . . . . . . . 61 Transformation . . . . . . . . . . . . . . 67 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 Zeitspiegelung . . . . . . . . . . . . . . 68 Basis

÷·

Des Dynamische . . . . . . . . . . . . . 116 Duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 44 Orthonormal- . . . . . . 24, 46 f., 70 Standard- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

121

Index

122 Beobachter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Gleichförmig bewegter . . . . . . . 55 Beobachtungssystem . . . . . . . . . 62, 80 Beschleunigte Ladungen Abstrahlung . . . . . . . . . . . . . 109 ff. Beschleunigungsabhängiges Feld. 112 Bewegung Gleichförmige. . . . . . . . . . . . . . . 55 Bewegungsgleichung Klassische Für den geladenen Körper . . . 4 Mit Strahlungsverlust . . . . . . . 117 Relativistische. . . . . . . . . . . . . . . . 5 Für den geladenen Körper5, 27 Kovariante Form . . . . . . . 29, 91 Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Punktteilchen . . . . . . . . . . . . . 32 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . 30, 61, 110 Boost Eines C OULOMBfeldes . . . . . . 64 Eines Elektrischen Feldes . . . . 63 Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . 55 In -Richtung . . . . . . . . . . . 55, 57

ð

Center of Mass System . . . . . . . 80, 82 Streuwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 C OULOMBeichung . . . . . . . . . . . . . 100 Inhomogene M AXWELLgleichungen . . . . . 100 C OULOMBfeld . . . . . . . . . . 64, 89, 109 Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Feldstärketensor . . . . . . . . . . . 63 f.

-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Ì

D’A LEMBERT-Operator . . . . . . . . . . 99 Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

÷·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 im Determinantenfunktion. . . . . . . . . . . 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26, 41 Dichte Energie- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Energiestrom- . . . . . . . . . . . . . . . 81 Differential Kovarianz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Differentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Exakte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Geschlossene . . . . . . . . . . . . . . . 87 Differentielle Form Der homogenen M AXWELL-gleichungen . . . . . . . 7 Der inhomogenen M AXWELLgleichungen . . . . . . 17 Dilatation Zeit- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 20 f. Divergenz Eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . 3 Kovarianz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . . 26, 41 Von Divergenz der Selbstwechselwirkung 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87, 89 Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . 89 P OINCARÉinvarianz . . . . . . . . . 87 D OPPLER-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Linearer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Quadratischer . . . . . . . . . . . . . . . 67

ò ë R¬ ê ®

ë [¬ ê ®

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Index

123

Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Elektromagnetisches Feld . 78, 79 Gesamt- . . . . . . . . . . . . . . . . 76, 79 Der Materie . . . . . . . . . . . 77, 79 Drehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Raum- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 59 3-D Fläche Energie-Impuls-Inhalt. . . . . . . 109 Viererimpulsinhalt. . . . . . . . . . 110 Duale Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 44 Dualer Feldstärketensor . . . . . . . . . . 48 Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 47 Dynamische Basis

÷·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Effekt D OPPLER- . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Linearer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Quadratischer . . . . . . . . . . . . . 67 Eichbedingungen Für Vektorpotentiale . . . . . 98-100 Eichtransformation. . . . . . 86, 88, 97 f. Einparametrige Schar . . . . . . . . 97 Invarianz von . . . . . . . . . . . . . 98 Eichung C OULOMB- . . . . . . . . . . . . . . . 100 L ORENTZ- . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 P OINCARÉinvarianz . . . . . . 100 Eigentlich orthochrone L ORENTZtransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . 58 f. Eigentlich orthochrone L ORENTZtransformation . . . . . . . . . . . . . . . 59, 67 Eigenzeit . . . . . . . . . . 30, 33, 35, 61, 61 Zeitspiegelung . . . . . . . . . . . . . . 68

ë

Eindeutigkeit Der Lösung Der P OISSONgleichung . 103 f. Einparametrige Schar Eichtransformationen . . . . . . . . 97 P OINCARÉtransformationen . . 94, 96 E INSTEINsche Summenkonvention 24, 26, 44 Elastische Zweiteilchenreaktion . . . 83 , 82-85 Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Boost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Elektrisches Potential. . . . . . . . . 88, 89 Elektrodynamik Klassische Strahlungsrückwirkung . . . 118 QuantenStrahlungsrückwirkung . . . 118 Relativistische Invarianz . . 49, 93 Elektromagnetische Viererkraft . . . 29

124 Elektromagnetische Welle . . . . . 34, 63, 64-67 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . 34, 65 Elliptisch polarisierte . . . . . . . . 66 Energie-Impuls-Tensor. . . . . . . 49 Feldstärketensor Linear polarisiert . . . . . . . . . . 65 Kreisfrequenz . . . . . . . . . . . 63, 66 Linear polarisierte . . . . . . . . . . . 65 Linkszirkular polarisierte. . . . . 65 Phase . . . . . . . . . . . . . . . 34, 63, 65 Polarisationsvektor . . . . . . . 34, 65 Rechtszirkular polarisierte. . . . 65 Transformation . . . . . . . . . . 35, 63 Wellenvektor . . . . . . . . . . . . 34, 65 Zirkular polarisierte . . . . . . . . . 65 Elektromagnetisches Feld Arbeit im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . 78, 79 Einer Punktladung . . . . . . . . . . 108 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 78 Energie-Impuls-Tensor . . . 48, 74, 80 f. Komponenten . . . . . . . . . . . . . 77 Transformation . . . . . . . . . . . 48 Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . 78 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 78 L AGRANGEdichte . . . . . . . . . . . 93 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Schwerpunktskoordinaten . . . . 79 Elektrostatisches C OULOMBfeld . . 64 Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Elliptisch polarisierte elektromagnetische Welle. . . . . . . . . . . . . . . 66

Index Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Elektromagnetisches Feld . 78, 78 Gesamt- . . . . . . . . . . . . . . . . 76, 78 Klassische Kinetische . . . . . . . . . 6 Relativistische Kinetische . . 6, 82 Ruhe- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Schwerpunkts- . . . . . . . . . . . . . 83 Energie-Impuls-Beziehung Relativistische . . . . . . . . . . . . . . 82 Energie-Impuls-Erhaltung . . . . 83, 115 Energie-Impuls-Inhalt Einer 3-D Fläche . . . . . . . . . . . 109 Energie-Impuls-Tensor Der materiellen Teilchen 75, 81 f. Elektromagnetische Welle . . . . 49 Elektromagnetisches Feld . 48, 74, 80 f. Komponenten . . . . . . . . . . . . . 77 Transformation . . . . . . . . . . . 48 Totaler . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 109 Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Elektromagnetisches Feld . . . . 78 Energiestromdichte . . . . . . . . . . . . . . 81 " -Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 In 3 Dimensionen . . . . . . . . . . . . . 3 In 4 Dimensionen . . . . . . . . . . . 47 Erhaltung Der Gesamtladung . . . . . . . . . . . 73 Energie-Impuls- . . . . . . . . 83, 115 Erhaltungsgröße. . . . . . . 18, 72, 90, 97 Allgemeine . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Der Elektrodynamik . . . . . . . . . 76 P OINCARÉinvarianz . . . . . . . . . 72 Transformation . . . . . . . . . . . . . . 80 Erstes N OETHER Theorem. . . . . . . . 93

Index E ULER-L AGRANGE-Gleichungen . 91, 93 Exakte Differentialform . . . . . . . . . . 87 Experimentelle Teilchenmasse . . . 117 Extremalprinzip . . . . . . . . . . . . . . 90, 97 Für Bahnkurven . . . . . . . . . . . . . 90 Für Vektorpotentiale . . . . . . . . . 91

FARADAYsches Induktionsgesetz. . 10 Feld Arbeit im elektromagnetischen . 6 Beschleunigungsabhängiges . 112 C OULOMB- . . . . . . . . . . . . 89, 109 Elektrisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Elektromagnetisches Drehimpuls . . . . . . . . . . . . 78, 79 Einer Punktladung. . . . . . . . 108 Energie . . . . . . . . . . . . . . . 78, 78 Energie-Impuls-Tensor . 48, 74, 77, 80 f. Energiedichte . . . . . . . . . . . . . 78 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 78 L AGRANGEdichte . . . . . . . . . 93 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . 78 Schwerpunktskoordinaten . . 79 Impulsänderung eines Teilchens im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Magnetisches . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Strahlungs- . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Tensor- . . . . . . . . . . . . . . 25, 47, 86 Schiefes . . . . . . . . . . . . . . 87, 88 Vektor- . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 26

125 Feldstärketensor 25, 33, 41, 47-49, 86, 88, 89, 98 Abfallverhalten Gleichförmige Bewegung . 109 Ruhende Ladung . . . . . . . . . 109 Antisymmetrie . . . . . . . . . . . . . . 25 C OULOMBfeld . . . . . . . . . . . . 63 f. Der Elektromagnetischen Welle Linear polarisiert . . . . . . . . . . 65 Differential . . . . . . . . . . . . . . 26, 41 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . 26, 41 Dualer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Gemischter . . . . . . . . . . . . . . 25, 41 Komponenten. . . . . . . . . . . . 25, 62 Transformation. . . . . . . . . . . . 62 Kontravarianter . . . . . . . . . . 25, 41 Zeitspiegelung . . . . . . . . . . . . . . 68 Fernfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 f. Dreidimensionale Energie-Impuls-Inhalt . . . . 109 Viererimpulsinhalt. . . . . . . . 110 Parametrisierung . . . . . . . . . . . 110 Raumartige . . . . . . . . . . . . . . 70, 97 Parametrisierung . . . . . . . . . . 70 Flächenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Flächeninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 13 Flächenintegral . . . . . . . . 12-14, 69, 97 Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Reparametrisierung. . . . . . . . . . 13 Transformation . . . . . . . . . . . . . . 70 Flächennormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Fluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Form Differential- . . . . . . . . . . . . . . . . 87

126 Formel L ARMORsche . . . . . . . . . . . . . . 115 Formenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . 86-88 Funktional Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Wirkungs- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Transformation. . . . . . . . . . . . 93

G ALILEIinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . 69 G ALILEItransformation . . . . . . . 56, 58 G AUSS Satz von 7, 7-11, 15, 92, 104, 110 4 dimensional . . . . . . . . . . . . . 71 Gebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Vierdimensionales Viererimpulsinhalt. . . . . . . . 111 Geladener Körper Bewegungsgleichung. . . . . . . . . . 4 Kovariante . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Relativistische . . . . . . . . . . 5, 27 Gemischter Feldstärketensor. . . 25, 41 Gemischter Tensor . . . . . . . . . . . . . . . 23 Gesamtdrehimpuls . . . . . . . . . . . 76, 79 Gesamtenergie . . . . . . . . . . . . . . . 76, 78 Gesamtimpuls . . . . . . . . . . . 76, 78, 110 Gesamtladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Erhaltung . . . . . . . . . . . . . . . 73, 97 P OINCARÉinvarianz . . . . . . . . . 73 Gesamtsystem Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . 75 Geschlossene Differentialform . . . . 87 Geschwindigkeit Beim Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Vierer- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Index Geschwindigkeitstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . siehe Boost Gleichförmige Bewegung. . . . . . . . . 55 Feldstärketensor Abfallverhalten . . . . . . . . . . 109 Gleichung A BRAHAM-L ORENTZ- . . . . . 117 Aussagekraft. . . . . . . . . . . . . 118 BewegungsMit Strahlungsverlust . . . . . 117 Gleichungen E ULER-L AGRANGE- . . . . . 91, 93 Gradient Eines Tensorfeldes. . . . . . . . . . . 38 P OINCARÉinvarianz . . . . . . . . . 39 G REENsche Funktion Der P OISSONgleichungung . . 101 Grenzfall Nichtrelativistischer. . . . . . . . . . . 7 Gruppe L ORENTZ- . . . . . . . . . . . . . .30, 57 P OINCARÉ- . . . . . . . . . . . . . 31, 47

Herunterziehen Eines Tensorfeldindex . . . . . . . . 39 Eines Tensorindex . . . . . . . . . 45 f. Hochziehen Eines Tensorfeldindex . . . . . . . . 39 Eines Tensorindex . . . . . . . . . 45 f. Homogene M AXWELLgleichungen 86, 90 Differentielle Form . . . . . . . . . . . 7 Integralform . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kovariante Form . . . . . . . . . . . . 27 P OINCARÉinvarianz . . . . . . . . . 50

Index

Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Elektromagnetisches Feld . 78, 78 Gesamt- . . . . . . . . . . . . 76, 78, 110 Der Materie . . . . . . . . . . . 77, 78 Nichtrelativistischer. . . . . . . . . . . 4 Relativistischer . . . . . . . . . . . 4, 82 ViererP OINCARÉinvarianz . . . . . . . 82 Zeitartigkeit . . . . . . . . . . . . . . 82 Impuls-Erhaltung . . . . . . . . . . . . . . . 115 Impuls-Inhalt Einer 3-D Fläche . . . . . . . . . . . 109 ViererEiner 3-D Fläche . . . . . . . . . 110 Eines 4-D Gebiets . . . . . . . . 111 Impuls-Tensor EnergieTotaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Impulsänderung Eines Teilchens im Feld . . . . . 115 Induktionsgesetz. . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Inhomogene M AXWELLgleichungen Differentielle Form . . . . . . . . . . 17 Für Vektorpotentiale . . . . . . . . . 99 In C OULOMBeichung . . . . . . . 100 In L ORENTZeichung . . . . . . . . . 99 Kovariante Form . . . . . . . . . 27, 92 P OINCARÉinvarianz . . . . . . 50-53

127 Integral Flächen- . . . . . 12-14, 69, 97, 110 Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . 15 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Reparametrisierung. . . . . . . . 13 Transformation. . . . . . . . . . . . 70 Kurven- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Reparametrisierung. . . . . . . . 12 Volumen- . . . . . . . . . . . . . . . . 14 f. Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Reparametrisierung. . . . . . . . 14 Integralform der homogenen M AXWELLgleichungen . . . . . . . . . . 10 Integralsatz G AUSS . . . . . . . . . 7, 7-11, 92, 104 4 dimensional . . . . . . . . . . . . . 71 S TOKES . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 7-11 Invarianz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 G ALILEI- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 P OINCARÉ- . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Relativistische Der Elektrodynamik . . . . 49, 93 Translations- . . . . . . . . . . . . . . 115 Isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Kinematik Relativistische . . . . . . . . . . . 82-85 Kinetische Energie Der Materie . . . . . . . . . . . . . 77, 78 Klassische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Relativistische . . . . . . . . . . . . 6, 82 Klassische Elektrodynamik Strahlungsrückwirkung . . . . . 118 Kleinste Wirkung Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

128 Körper Bewegungsgleichung. . . . . . . . . . 4 Klassische . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Kovariante . . . . . . . . . . . . 29, 91 Relativistische. . . . . . . . . . . . . . 5 Relativistische im Feld . . . . . 27 Kommutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Komponenten Der Äußeren Ableitung . . . . . . 89 Des Energie-Impuls-Tensors Des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Des Feldstärketensors . . . . 25, 62 Transformation. . . . . . . . . . . . 62 Eines Tensorfeldes. . . . . . . . . . . 25 Eines Vierervektors . . . . . . . . . . 53 Tensor- . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 45 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . 17 Kontraktion Eines Tensorfeldes. . . . . . . . . . . 37 Eines Tensors . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kontravarianter Feldstärketensor . . 25, 41 Kontravarianter Tensor . . . . . . . . . . . 23 Koordinaten PolarRäumliche . . . . . . . . . . . . . . . 112 Koordinatentransformation 53, 54, 54, 62 Kovariante Form Der homogenen M AXWELLgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Der inhomogenen M AXWELLgleichungen . . . . . . . . . . . . . 27, 92 Der Viererstromdichte . . . . 52, 92 Kovarianter Tensor. . . . . . . . . . . . . . . 23

Index Kovarianz Der relativistischen Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Kraft L ORENTZ- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Vierer- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Kreisfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . 63, 66 Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 15 Flächenelement. . . . . . . . . . . . . . . 9 Flächenintegral . . . . . . . . . . . . . 15 Normalenvektor. . . . . . . . . . . 9, 15 Kugel Flächenelement. . . . . . . . . . . . . . . 9 Flächenintegral . . . . . . . . . . . . . 16 Normalenvektor . . . . . . . . . . . . . . 9 Volumenintegral. . . . . . . . . . . . . 16 Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Bogenlänge. . . . . . . . . . . . . . 12, 30 Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Kurvenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Reparametrisierung. . . . . . . . . . 12 Kurvenparameter Retardierter . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Laborsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Abstrahlung beschleunigter109 ff. Gesamt- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 GesamtErhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Ladungsdichte . . . . . . . . . 17, 22, 19-22 L AGRANGE-Gleichungen E ULER- . . . . . . . . . . . . . . . . 91, 93

Index L AGRANGEdichte Elektromagnetisches Feld . . . . 93 Totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 P OINCARÉtransformation . . 94 L AGRANGEfunktion Eines Teilchens. . . . . . . . . . . . . . 93 L APLACE-Operator . . . . . . . . . . . . . . 99 L ARMORsche Formel . . . . . . . . . . . 115 Lemma P OINCARÉ . . . . . . . . . . . . . . 87, 98 Lichtartiger Vektor . . . . . . . . 56, 60, 60 Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . 4 Lichtkegel Negativer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Positiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 L IÉNARD -W ICHERT-Potential . . . 107 Linear polarisierte elektromagnetische Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Linearer D OPPLER-Effekt . . . . . . . . 67 Linkszirkular polarisierte elektromagnetische Welle. . . . . . . . . . . . . . . 65 Lösung Der M AXWELLgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98-118 Der P OISSONgleichung Spezielle . . . . . . . . . . . . 103, 105 „Run-away“- . . . . . . . . . . . . . . 118 L ORENTZ-Gleichung A BRAHAM- . . . . . . . . . . . . . . . 117 Aussagekraft. . . . . . . . . . . . . 118 L ORENTZbedingung . . . . . . . . . . . . 106 L ORENTZeichung . . . . . . . . . . . . . . . 98 Inhomogene M AXWELLgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 P OINCARÉinvarianz . . . . . . . . 100 L ORENTZgruppe . . . . . . . . . . . . . 30, 57

129 L ORENTZkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 L ORENTZtransformation . . 30, 33, 35, 56-59, 59, 64, 67, 114 Eigentlich orthochrone 58, 59, 67 Generatoren. . . . . . . . . . . . . 58 f. Eines Flächenintegrals . . . . . . . 70

Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Magnetisches Potential . . . . . . . 88, 89 M ANDELSTAM-Variablen . . . 83 , 83 f. Masse Teilchen- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Experimenteller Wert . . . . . 117 Massenrenormierung. . . . . . . . . . . . 117 Materielle Teilchen Energie-Impuls-Tensor. .75, 81 f. Gesamtdrehimpuls . . . . . . . 77, 79 Gesamtenergie . . . . . . . . . . . 77, 78 Gesamtimpuls . . . . . . . . . . . 77, 78 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Schwerpunktskoordinaten . . . . 79 M AXWELLgleichungen Homogene . . . . . . . . . . . . . . 86, 90 Differentielle Form . . . . . . . . . 7 Integralform . . . . . . . . . . . . . . 10 Kovariante Form . . . . . . . . . . 27 P OINCARÉinvarianz . . . . . . . 50 Inhomogene Differentielle Form . . . . . . . . 17 Für Vektorpotentiale . . . . . . . 99 In C OULOMBeichung . . . . . 100 In L ORENTZeichung . . . . . . . 99 Kovariante Form . . . . . . . 27, 92 P OINCARÉinvarianz . . . . 50-53 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . 98-118

130 Mechanik N EWTONsche . . . . . . . . . . . . . . . 56 Metrik M INKOWSKI- . . 24, 29, 33 f., 47, 56, 58, 64 Metrischer Tensor . . . . . . . . . . . . . . . 24 M INKOWSKImetrik . . 33 f., 47, 56, 58, 64 M INKOWSKIraum . . . . . 24, 47, 60, 60 Bahnkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Bogenlänge. . . . . . . . . . . .30, 61 Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . 30, 61 Parametrisierung . . . . . . . . . . 29 P OINCARÉgruppe . . . . . . . . . . . 31 M INKOWSKIskalarprodukt . . . . 24, 56 Multilineare Abbildung . . . . . . . . . . 23

Index

Operation Der P OINCARÉgruppe Auf dem Tensorprodukt . . . . 37 Auf Tensorfeldern . . . . . . . . . 32 Im M INKOWSKIraum . . . . . . 31 Operator D’A LEMBERT- . . . . . . . . . . . . . 99 L APLACE- . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Operatoren Nichtlineare. . . . . . . . . . . . . . . . . 42 P OINCARÉinvariante . . . . . . . . . 49 Orthochrone L ORENTZtransformation Eigentlich . . . . . . . . . . . . 58, 59, 67 Generatoren. . . . . . . . . . . . . 58 f. Orthonormalbasis . . . . . . . 24, 46 f., 70



-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Nahfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Negativ lichtartiger Vektor. . . . . 60, 60 Negativ zeitartiger Vektor . . . . . 60, 60 Negativer Lichkegel . . . . . . . . . . . . 106 N EWTONsche Mechanik . . . . . . . . . 56 Nichtlineare Operatoren . . . . . . . . . . 42 Nichtrelativistischer Grenzfall . . . . . . 7 Nichtrelativistischer Impuls . . . . . . . . 4 N OETHER-Theorem Erstes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Zweites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 N OETHER-Theoreme . . . . . . . . . . . . 90 Normalenvektor Kreisscheibe. . . . . . . . . . . . . . 9, 15 Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Nullfolge In # . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Parametrisierung Einer Fläche . . . . . . . . . . . . . . . 110 Parametrisierung von Bahnkurven Im M INKOWSKIraum . . . . . . . . 29 Durch Bogenlänge . . . . . 30, 61 Durch Eigenzeit . 30, 33, 35, 61 Permutation Der Argumente eines Tensors. 46 Der Argumente eines Tensorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Signum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Phase Elektromagnetische Welle . 34, 63, 65 P OINCARÉ-Lemma . . . . . . . . . . . 87, 98

Index

131

P OINCARÉgruppe . . . . . . . . . . . . 31, 47 Operation Auf dem Tensorprodukt . . . . 37 Auf Tensorfeldern . . . . . . . . . 32 Im M INKOWSKIraum . . . . . . 31 P OINCARÉinvariante Operatoren . . 49 P OINCARÉinvarianz . . . . . . . . . . . . . 36 Der äußeren Ableitung . . . . . . . 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Von Der Erhaltungsgrößen. . . . . . . . 72 Der Gesamtladung . . . . . . . . . . . 73 Der homogenen M AXWELLgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Der inhomogenen M AXWELLgleichungen. . . . . . . . . . . . . . 50-53 L ORENTZeichung . . . . . . . . . . 100 Des Gradienten. . . . . . . . . . . . . . 39 Des Viererimpuls. . . . . . . . . . . . 82 P OINCARÉtransformation . . . . . 67, 92 Der totalen L AGRANGEdichte 94 Der Viererstromdichte . . . . 51, 53 Eines Flächenintegrals . . . . . . . 70 Einparametrige Schar . . . . . 94, 96 P OISSONgleichung . . . . . . . . . . . . . 101 Eindeutigkeit der Lösung . . 103 f. G REENsche Funktion . . . . . . . 101 Spezielle Lösung . . . . . . 103, 105 Polarisationsvektor Elektromagnetische Welle 34, 65 Polarisierte elektromagnetische Welle Elliptisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Linkszirkular . . . . . . . . . . . . . . . 65 Rechtszirkular . . . . . . . . . . . . . . 65 Zirkular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

òú

Polarkoordinaten Räumliche . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Positiv lichtartiger Vektor . . . . . 60, 60 Positiv zeitartiger Vektor . . . . . . 60, 60 Positiver Lichtkegel . . . . . . . . . . . . . 115 Potential Elektrisches . . . . . . . . . . . . . 88, 89 L IÉNARD -W ICHERT- . . . . . . 107 Magnetisches. . . . . . . . . . . . 88, 89 Retardiertes . . . . . . . . . . . 100, 105 Vektor- . . . . 86, 88, 88-90, 90, 98 Extremalprinzip . . . . . . . . . . . 91 Transformation. . . . . . . . . . . . 92 Variation . . . . . . . . . . . . . . 90, 92 P OYNTING-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . 81 Prinzip der kleinsten Wirkung . . . . . 90 Produkt - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ÌTensor- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Punktladung . . . . . . . . . . . . . . . . . 19-22 Elektromagnetisches Feld . . . 108 Vektorpotential . . . . . . 107, 106 f. Viererstromdichte . . . . . . . . . . 106 Punktteilchen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Relativistische Bewegungsgleichung . . . . . . . . 32

Quadratischer D OPPLER-Effekt . . . 67 Quantenelektrodynamik Strahlungsrückwirkung . . . . . 118

֦

Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Index

132

÷·

Dynamische Basis . . . . . . . . . . 116 Räumliche Polarkoordinaten . . . . . 112 Räumliche Translation . . . . . . . . . . . 54 Raum Dual- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 M INKOWSKI- . . . . . . . . . . . . . . 24 Raumartige Fläche . . . . . . . . . . . 70, 97 Parametrisierung . . . . . . . . . . . . 70 Raumartiger Vektor . . . . 56, 60, 60, 61 Raumdrehung . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 59 Raumspiegelung . . . . . 57, 59, 67, 116 Raumzeit . . . siehe M INKOWSKIraum Raumzeitpunkte. . . siehe Vierervektor Raumzeitspiegelung . . . . . . . 58, 59, 67 Rechtszirkular polarisierte elektromagnetische Welle. . . . . . . . . . . . . . . 65 Relativistische Bewegungsgleichung Für den geladenen Körper . . 5, 27 Kovariante Form . . . . . . . . . 29, 91 Kovarianz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Relativistische Invarianz der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . 49, 93 Relativistische Kinematik . . . . . 82-85 Relativistische Kinetische Energie . . 6, 82 Relativistische Energie-Impuls-Beziehung . . . . . . . 82 Relativistischer Impuls. . . . . . . . .4, 82 Renormierung Massen- . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Reparametrisierung Bahnkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Flächenintegral . . . . . . . . . . . . . 13 Kurvenintegral . . . . . . . . . . . . . . 12 Volumenintegral. . . . . . . . . . . . . 14

Retardierter Kurvenparameter. . . . 107 Retardiertes Potential . . . . . . . 100, 105 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . 88 Rotation eines Vektorfeldes . . . . . . . . 3 Ruheenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ruhende Ladung Feldstärketensor Abfallverhalten . . . . . . . . . . 109 Ruhesystem . . . . . . . . . . . . . . 55, 61, 85 „Run-away“-Lösung . . . . . . . . . . . . 118

Satz G AUSS . 7, 7-11, 15, 92, 104, 110 4 dimensional . . . . . . . . . . . . . 71 N OETHER . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Erster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Zweiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Schwerpunkts- . . . . . . . . . . . . . . 79 S TOKES . . . . . . . . . . . . 7, 7-11, 13 Schar Einparametrige Eichtransformationen . . . . . . 97 P OINCARÉtransformationen 94, 96 Schiefe Transformation . . . . . . . . . . 58 Schiefer Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . 46 f. Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Schiefes Tensorfeld . . . . . . . . . . 87, 88 Schwerpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 76 Der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Elektromagnetisches Feld . . . . 78 Schwerpunktsenergie . . . . . . . . . . . . 83 Schwerpunktskoordinaten Der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Elektromagnetischen Feld . . . . 79

Index

133

Schwerpunktssatz. . . . . . . . . . . . . . . . 79 Schwerpunktssystem . . . . . . . . . 80, 82 Streuwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Selbstwechselwirkung Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Signum Einer Permutation . . . . . . . . . . . 46 Skalarprodukt

֦

Im ....................... 3 M INKOWSKI- . . . . . . . . . . . 24, 56 Spiegelung Raum- . . . . . . . . . . 57, 59, 67, 116 Raumzeit- . . . . . . . . . . . 58, 59, 67 Zeit- . . . . . . . 58, 59, 60, 67, 67 f. Der Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . 68 Des Feldstärketensors . . . . . . 68 Von Bahnkurven. . . . . . . . . . .68 Standardbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Stetigkeit Von Funktionalen. . . . . . . . . . . . 20 S TOKES Satz von . . . . . . . . . . . . 7, 7-11, 13 Strahlungsfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Strahlungsrückwirkung . . 115 ff., 117 Einfluß auf die Teilchenmasse 117 In der Klassischen Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . 118 In der Quantenelektrodynamik 118 Streuwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Stromdichte . . . . . . . . . . . 17, 22, 19-22 Energie- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Vierer- . . . . . . . . . . . . . . 27, 73, 97 Summenkonvention E INSTEINsche . . . . . . . 24, 26, 44

Symmetrietransformation . . . . . 18, 90 System Beobachtungs- . . . . . . . . . . . . . . 62

Tangentenvektor einer Bahnkurve . 61 Teilchen Impulsänderung im Feld . . . . 115 L AGRANGEfunktion . . . . . . . . . 93 Materielle Energie-Impuls-Tensor75, 81 f. Gesamtdrehimpuls . . . . . 77, 79 Gesamtenergie . . . . . . . . . 77, 78 Gesamtimpuls . . . . . . . . . 77, 78 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . 77 Schwerpunktskoordinaten . . 79 Teilchenmasse. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Einfluß der Strahlungsrückwirkung . . . . . 117 Experimenteller Wert . . . . . . . 117 Teilchenzerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

134 Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 44-47 Energie-ImpulsDer materiellen Teilchen . . . 75, 81 f. Elektromagnetische Welle . . 49 Elektromagnetisches Feld . . 48, 74, 77, 80 f. Totaler . . . . . . . . . . . . . . . 75, 109 " - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 69 FeldstärkeAntisymmetrie . . . . . . . . . . . . 25 Feldstärke- 25, 33, 41, 47-49, 62, 86, 88, 89, 98 C OULOMBfeld . . . . . . . . . . 63 f. Differential . . . . . . . . . . . . 26, 41 Divergenz . . . . . . . . . . . . . 26, 41 Gemischter . . . . . . . . . . . . 25, 41 Kontravarianter . . . . . . . . 25, 41 Transformation. . . . . . . . . . . . 62 Zeitspiegelung . . . . . . . . . . . . 68 Herunterziehen eines Index . 45 f. Hochziehen eines Index . . . . 45 f. Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Metrischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Permutation der Argumente . . 46 Schiefer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 f. Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . 46 Transformation. . . . . . . . . . . . . . 45 Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Index Tensorfeld . . . . . . . . . . . . . . . 25, 47, 86 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Herunterziehen eines Index . . . 39 Hochziehen eines Index . . . . . . 39 Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Nullter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Operation der P OINCARÉgruppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Permutation der Argumente. . . 37 Schiefes . . . . . . . . . . . . . . . . 87, 88 Tensorkomponenten . . . . . . . . . . 24, 45 Eines Tensorfeldes. . . . . . . . . . . 25 Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . 37, 44 Testfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Theorem N OETHER- . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Erstes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Zweites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Totale L AGRANGEdichte . . . . . . . . . 94 P OINCARÉtransformation . . . . 94 Totaler Energie-Impuls-Tensor . . . . 75 Totaler Energie-Impuls-Tensor . . . 109

Index

135

Transformation Der Erhaltungsgrößen. . . . . . . . 80 Der Viererstromdichte . . . . . . . 51 Des Vektorpotentials . . . . . . . . . 92 Des Wirkungsfunktionals . . . . . 93 Eich- . . . . . . . . . . . . . . 86, 88, 97 f. Eines Flächenintegrals . . . . . . . 70 Eines Tensors . . . . . . . . . . . . . . . 45 Elektromagnetische Welle . 35, 63 G ALILEI- . . . . . . . . . . . . . . . 56, 58 Koordinaten- . . . . . . . . . 53, 54, 54 L ORENTZ- .30, 33, 35, 56-59, 59, 64, 67, 114 P OINCARÉ- . . . . . . . . . . . . . 67, 92 Schiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Symmetrie- . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Von Bahnkurven . . . . . . . . . . . . . 67 Translation Räumliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Zeitliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Translationsinvarianz . . . . . . . . . . . 115

Umeichung Invarianz von

ë

. . . . . . . . . . . . . 98

Variablen M ANDELSTAM- . . . . . . . 83 , 83 f. Variation Der Bahnkurve . . . . . . . . . . . . . . 90 Des Vektorpotentials . . . . . 90, 92

Vektor

֦

Im Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . 3 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . 3 P OYNTING- . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Vierer- . . . . . . siehe Vierervektor Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . 12, 26, 110 Flächenintegral . . . . . . . . . 69, 110 Transformation. . . . . . . . . . . . 70 Vektorpotential . 86, 88, 88-90, 90, 98 Eichbedingungen . . . . . . . . 98-100 Einer Punktladung . . . 107, 106 f. Extremalprinzip . . . . . . . . . . . . . 91 Inhomogene M AXWELLgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Transformation . . . . . . . . . . . . . . 92 Variation . . . . . . . . . . . . . . . . 90, 92 Vektorprodukt

֦

....................... 3 Im Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Der schiefen Tensoren . . . . . . . 46 Der Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . 45 Vierdimensionaler Satz von G AUSS71 4-D Gebiet Viererimpulsinhalt. . . . . . . . . . 111 Vierergeschwindigkeit. . . . . . . . . . . .29 Viererimpuls P OINCARÉinvarianz . . . . . . . . . 82 Zeitartigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Viererimpulsinhalt Einer 3-D Fläche . . . . . . . . . . . 110 Eines 4-D Gebiets . . . . . . . . . . 111 Viererimpulsübertrag . . . . . . . . . . . . 83 Viererkraft Elektromagnetische . . . . . . . . . . 29

136 Viererstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Viererstromdichte . . . . . . . . . . . . 27, 97 Einer Punktladung . . . . . . . . . . 106 Kovariante Form . . . . . . . . . 52, 92 Transformation . . . . . . . . . . 51, 53 Vierervektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . 53 Lichtartiger. . . . . . . . . . . 56, 60, 60 Raumartiger . . . . . . 56, 60, 60, 61 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . 24, 56 Zeitartiger. . . . . 56, 60, 60, 61, 64 Vollkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Volumenform . . . . . . . . . . . . . . . 69, 114 Volumeninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Volumenintegral . . . . . . . . . . . . . . . 14 f. Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Reparametrisierung. . . . . . . . . . 14

Welle Elektromagnetische 34, 63, 64-67 Amplitude . . . . . . . . . . . . 34, 65 Elliptisch polarisierte . . . . . . 66 Energie-Impuls-Tensor. . . . . 49 Feldstärketensor. . . . . . . . . . . 65 Kreisfrequenz . . . . . . . . . 63, 66 Linear polarisierte . . . . . . . . . 65 Linkszirkular polarisierte . . 65 Phase . . . . . . . . . . . . . 34, 63, 65 Polarisationsvektor . . . . . 34, 65 Rechtszirkular polarisierte . 65 Transformation . . . . . . . . 35, 63 Wellenvektor . . . . . . . . . . 34, 65 Zirkular polarisierte . . . . . . . 65 Wellenvektor Elektromagnetische Welle 34, 65

Index W ICHERT-L IÉNARD-Potential . . . 107 Wirkung Prinzip der kleinsten . . . . . . . . . 90 Wirkungsfunktional . . . . . . . . . . . . . . 90 Transformation . . . . . . . . . . . . . . 93

Zeitachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Zeitartiger Vektor . . 56, 60, 60, 61, 64 Zeitartigkeit Des Viererimpuls. . . . . . . . . . . . 82 Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Zeitliche Translation . . . . . . . . . . . . . 54 Zeitspiegelung . . . 58, 59, 60, 67, 67 f. Der Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . 68 Des Feldstärketensors . . . . . . . . 68 Von Bahnkurven . . . . . . . . . . . . . 68 Zerfall eines Teilchens . . . . . . . . . . . 84 Zerfallsenergien . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Ziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Zirkular polarisierte elektromagnetische Welle. . . . . . . . . . . . . . . 65 Links- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Rechts- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Zweiteilchenreaktion Elastisch . . . . . . . . . . . . . 83 , 82-85 Zweites N OETHER Theorem . . . . . . 96