Strömungstechnik Formelsammlung
Andreas Zimmer SS 98
Inhaltsverzeichnis 1.
Hydrostatik...
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Strömungstechnik Formelsammlung
Andreas Zimmer SS 98
Inhaltsverzeichnis 1.
Hydrostatik.................................................................................................................................... 4
1.1
Kolbendruck.................................................................................................................................. 4
1.2
Hydraulische Presse..................................................................................................................... 4
1.3
Schweredruck ............................................................................................................................... 4
1.4
Gesamtdruck ................................................................................................................................ 4
1.5
Druckkraft ..................................................................................................................................... 4
1.6
Wandkräfte ................................................................................................................................... 4
1.7
Kommunizierende Gefäße............................................................................................................ 4
1.8
Auftriebskraft................................................................................................................................. 5
2.
Strömung idealer Fluide .............................................................................................................. 5
2.1
Kontinuitätsgesetz ........................................................................................................................ 5
2.2
Energiegleichung nach Bernoulli .................................................................................................. 5
2.3
Ausfluß eines offenen Behälters ( Torricelli ) ............................................................................... 6
2.4
Ausfluß aus einem Druckbehälter (Torricelli) ............................................................................... 6
2.5
Meßgeräte ..................................................................................................................................... 6
3.
Strömung realer Fluide................................................................................................................ 7
3.1
Reibungs- bzw. Schubspannung.................................................................................................. 7
3.2
Kinematische Viskosität................................................................................................................ 7
3.3
Ähnlichkeitsgesetze (Kennzahlen) ............................................................................................... 7
3.4
Erweiterte Energiegleichung......................................................................................................... 8
4.
Strömungsdruckverluste und Reibungswiderstände .............................................................. 8
4.1
Allgemeine Umrechnung .............................................................................................................. 8
4.2
Druckverlust in laminaren Rohrströmungen ................................................................................. 8
4.3
Druckverlust in turbolenten Rohrströmungen............................................................................... 9
4.4
Druckverlust in nicht kreisförmigen Querschnitten ....................................................................... 9
4.5
Druckverlust an Rohrbögen und -einbauten................................................................................. 9
4.6
Widerstandskennlinie.................................................................................................................. 10
4.7
Reihen und Parallelschaltung von Widerständen....................................................................... 10
4.8
Fließformel für offene Kanäle ..................................................................................................... 10
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2
5.
Strömungsimpuls und Kräftegleichgewicht............................................................................ 11
5.1
Impulsgleichung.......................................................................................................................... 11
5.2
Impulsstromgleichung................................................................................................................. 11
5.3
Impulssatz................................................................................................................................... 11
5.4
Einfache Impulsbilanz.................................................................................................................. 12
5.5
Strömung mit Energiezufuhr........................................................................................................ 13
6.
Kompressible Strömung ........................................................................................................... 14
6.1
Zustandänderungen..................................................................................................................... 14
6.2
Thermische Zustandgrößen ( p, T, ρ )........................................................................................ 14
6.3
Kalorische Zustandgrößen ( u, h, s, χ, cV, cp)............................................................................. 15
6.4
Energiegleichung ......................................................................................................................... 16
6.5
Druckverlust................................................................................................................................. 16
6.6
Behälterausströmung (isentrope und reale Zustandsänderung)................................................. 16
6.7
Düse / Lavaldüse (isentrope und reale Zustandsänderung) ...................................................... 16
6.8
Diffusor (isentrope und reale Zustandsänderung)...................................................................... 17
7.
Strömungsmaschinen ............................................................................................................... 18
7.1
Gliederungskriterien..................................................................................................................... 18
7.2
Stutzenarbeit............................................................................................................................... 18
7.3
Leistung ...................................................................................................................................... 19
7.4
Wirkungsgrad............................................................................................................................... 19
7.5
Energieumsetzung im Laufrad..................................................................................................... 19
7.6
Ähnlichkeitsbedingungen............................................................................................................. 20
7.7
Kavitation ..................................................................................................................................... 20
7.8
Betriebsverhalten von Arbeitsmaschinen .................................................................................... 21
7.9
Reihen- und Parallelschaltung.................................................................................................... 21
7.10 Druckverlauf in Rohrsträngen mit Arbeitsmaschinen .................................................................. 22
8.
Sonstiges .................................................................................................................................... 22
8.1
Wärmeenergie, -arbeit ................................................................................................................ 22
8.2
Winkelfunktionen ........................................................................................................................ 22
8.3
Umrechnungen Druck................................................................................................................. 22
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3
1.
Hydrostatik
1.1
Kolbendruck p=
1.2
F A
[ Pa = N / m² ]
Pa : Pascal
F : Kolbenkraft
[ N = kg∙m / s² ]
N : Newton
A : Kolbenfläche
[ m² ]
p:
[ Pa = N / m² ]
Pa : Pascal
F : Kolbenkraft
hydrostatischer Druck
[ N = kg∙m / s² ]
N : Newton
A : Kolbenfläche
[ m² ]
s:
Weg des Kolben
[m]
p:
hydrostatischer Schweredruck
[ Pa = N / m² ]
ρ:
Dichte der Flüssigkeit
[ kg / m³ ]
g:
Erdbeschleunigung
[ 9,81 m / s² ]
h:
Flüssigkeitstiefe
[m]
Schweredruck p = ρ⋅g⋅h
1.4
hydrostatischer Druck
Hydraulische Presse F2 A 2 d22 s1 = = = F1 A1 d12 s2
1.3
p:
Pa : Pascal
Gesamtdruck pges = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h
pges :Absolutdruck
[ Pa = N / m² ]
Pa : Pascal
p0 : Systemdruck oberhalb der Flüssigkeit z.B. pB ρ:
1.5
g:
Erdbeschleunigung
[ 9,81 m / s² ]
h:
Flüssigkeitstiefe
[m]
p:
hydrostatischer Druck
[ Pa = N / m² ]
Pa : Pascal
F : Kraft
[ N = kg∙m / s² ]
N : Newton
A : Fläche
[ m² ]
Wandkräfte F = ρ ⋅ g ⋅ zs ⋅ A
1.7
[ kg / m³ ]
Druckkraft F = p⋅A
1.6
Dichte der Flüssigkeit
F : Wand- bzw. Bodenkraft
[ N = kg∙m / s² ]
A : projektzierte belastete Fläche
[ m² ]
ρ:
Dichte der Flüssigkeit
[ kg / m³ ]
g:
Erdbeschleunigung
[ 9,81 m / s² ]
N : Newton
zs : Schwerpunktabstand von der Spiegeloberfläche
[m]
p2 − p1 = ρ ⋅ g ⋅ ∆h
p:
hydrostatischer Druck
Pa : Pascal
ρ1 h2 = ρ2 h1
ρ:
Dichte der Flüssigkeit
[ kg / m³ ]
g:
Erdbeschleunigung
[ 9,81 m / s² ]
Kommunizierende Gefäße
∆h : Niveaudifferenz
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[ Pa = N / m² ]
[m]
4
1.8
Auftriebskraft FA = ρFl ⋅ g ⋅ V FG = ρK ⋅ g ⋅ V FG = m ⋅ g
FA : Auftriebskraft
[ N = kg∙m / s² ]
N : Newton
FG : Gewichtskraft
[ N = kg∙m / s² ]
N : Newton
ρFl : Dichte der Flüssigkeit
[ kg / m³ ]
ρK : Dichte des Körpers
[ kg / m³ ]
g:
[ 9,81 m / s² ]
2.
Strömung idealer Fluide
2.1
Kontinuitätsgesetz •
V = A ⋅ v = konst •
m = A ⋅ v ⋅ ρ = konst A1 ⋅ v 1 = A 2 ⋅ v 2 d12 ⋅ v1 = d22 ⋅ v2
2.2
Erdbeschleunigung
⋅
V : Volumenstrom
[ m³ / s ]
⋅
m : Massenstrom
[ kg / s ]
v:
[ m / s]
Strömungsgeschwindigkeit
A : Strömungsquerschnitt
[ m² ]
ρ:
Dichte
[ kg / m³ ]
d:
Rohrdurchmesser
[m]
Energiegleichung nach Bernoulli g⋅ z +
p v2 + = konst ρ 2
v:
Strömungsgeschwindigkeit
[ m / s]
ρ:
Dichte
[ kg / m³ ]
p:
hydrostatischer Druck
[ Pa = N / m² ]
g:
Erdbeschleunigung
[ 9,81 m / s² ]
z:
Ortshöhe von der Null-Linie
[m]
Pa : Pascal
Anwendung: 1. 2. 3. 4.
In der Skizze Ebenen festlegen und in Strömungsrichtung numerieren, eine davon zur Null-Linie erklären. Bernoulli-Gleichung aufschreiben. Komponenten überprüfen: Was ist bekannt, unbekannt, konstant, gleich und Null ist. z.B. horizontale Strömung z1 = z2 =0, Staupunktströmung v2 = 0 Rest der Bernoulli-Gleichung aufschreiben.
Energieform
v2 v2 p p g ⋅ z1 + 1 + 1 = g ⋅ z 2 + 2 + 2 ρ ρ 2 2
Druckform
ρ ⋅ g ⋅ z1 + p1 +
Höhenform
z1 +
ρ ⋅ v12 2
= ρ ⋅ g ⋅ z 2 + p2 +
v12
ρ ⋅ v 22 2
v 22
p1 p + = z2 + 2 + g⋅ρ 2⋅g g⋅ρ 2⋅g
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5
2.3
Ausfluß eines offenen Behälters ( Torricelli ) v = ϕ⋅ 2⋅g⋅h
v:
Strömungsgeschwindigkeit
[ m / s]
g:
Erdbeschleunigung
[ 9,81 m / s² ]
h:
Spiegelhöhe über der Öffnung
[m]
ϕ : Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert, ϕ < 1 ⇒ reale Strömung
t=
2 ⋅ A0
⋅
µ ⋅ AM ⋅ 2 ⋅ g
(
z0 −
z1
)
t:
[s] [ m² ]
AM : Mündungsquerschnittsfläche
[ m² ]
µ:
2.4
Zeit für komplettes Leerlaufen
A0 : Behälterquerschnittsfläche Einschnürungsfaktor, µ < 1 ⇒ reale Strömung
z0 : Spiegelhöhe über dem Ausfluß
[m]
z1 : Höhe des Behälterbodens über dem Ausfluß
[m]
Ausfluß aus einem Druckbehälter (Torricelli) p v = ϕ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ h + ü ρ
v:
Strömungsgeschwindigkeit
[ m / s]
g:
Erdbeschleunigung
[ 9,81 m / s² ]
h:
Spiegelhöhe über der Öffnung
[m]
ρ:
Dichte
[ kg / m³ ]
pü : Überdruck im Behälter pü = pabs – pB ϕ : Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert, ϕ < 1 ⇒ reale Strömung
2.5
Meßgeräte Piezorohr
⇒
mißt den statischer Druck pstat
Pitot-Rohr
⇒
mißt den Totaldruck (Gesamtdruck) ptot
Prandtl-Rohr
⇒
mißt den dynamischer Druck pdyn durch Integration von Piezo- und Pitot-Rohr und errechnet daraus Strömungsgeschwindigkeit v
Venturi-Rohr
⇒
mißt den statischen Druck an zwei verschiedenen Querschnitten und errechnet daraus Strömungsgeschwindigkeit v*
p tot = p stat + p dyn v= v* =
2 ⋅ (p tot − p stat ) ρ 2 ⋅ g ⋅ ∆h 1 − A 2 A 1
2
v:
Strömungsgeschwindigkeit
[ m / s]
g:
Erdbeschleunigung
[ 9,81 m / s² ]
∆h : Spiegelhöhedifferenz in den Piezo-Rohren
[m]
ρ:
[ kg / m³ ]
Dichte
A2 : kleinerer Querschnitt
[ m² ]
A1 : größerer Querschnitt
[ m² ]
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6
3.
Strömung realer Fluide
3.1
Reibungs- bzw. Schubspannung τ=
3.2
FR v = η⋅ A l
τ:
Schubspannung
[ N / m² ]
FR : Scherkraft
[N]
A : Strömungsquerschnitt
[ m² ]
η : dynamische Viskosität
[ Pa⋅s ]
v:
Strömungsgeschwindigkeit
[ m / s]
l:
charakteristische Länge
[m]
Kinematische Viskosität ν=
η ρ
ν: η:
kinematische Viskosität
[ m² / s ]
νWasser (20 °C) = 1⋅10-6
νLuft (20 °C) = 15⋅10-6
dynamische Viskosität
[ Pa⋅s ]
-3
ρ:
3.3
ηWasser (20 °C) = 1⋅10
ηLuft (20 °C) = 1,8⋅10-5
Dichte
[ kg / m³ ]
Ähnlichkeitsgesetze (Kennzahlen)
Re = Fr =
v ⋅l ν v2 g⋅l
v Ma = a
Re : Renolds-Zahl
a=
p⋅χ ρ
<
2320
⇒
laminare Strömung
Re
>
2320
⇒
turbolente Strömung
Fr : Froude-Zahl Fr
<
1
gilt für offene Kanalströmungen mit natürlichem Gefälle ohne Schwallbildung
Ma : Mach-Zahl
a = χ ⋅ Ri ⋅ T a = χ ⋅p ⋅ v
Re
Ma <
0,33
⇒
inkompressibles Fluid
Ma >
0,33
⇒
kompressibles Fluid
v:
Strömungsgeschwindigkeit
l:
charakteristische Länge
[m]
ν:
kinematische Viskosität
[ m² / s ]
Schallgeschwindigkeit
[ m / s]
aLuft = 340 m/s
aWasser = 1455 m/s
a: χ:
[ m / s]
Isentropenexponent
Ri : individuelle Gaskonstante
[ J / (kg⋅K) ]
p:
[ Pa = N / m² ]
Druck
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Pa : Pascal
7
3.4
Erweiterte Energiegleichung p1
g ⋅ z1 +
Druckverlust
ρ ⋅ g ⋅ z1 + p1 +
Verlusthöhe
z1 +
ρ ⋅ g ⋅ z1
hydrostatischer Druck
p1
statischer Druck
ρ ⋅ v 12 2
ρ
+
v 12 p v2 = g ⋅ z 2 + 2 + 2 + YV 2 2 ρ
spez. Enegieverlust
ρ ⋅ v 12 ρ ⋅ v 22 = ρ ⋅ g ⋅ z 2 + p2 + + ∆p V 2 2
p1 v2 p v2 + 1 = z2 + 2 + 2 + hV g⋅ρ 2⋅g g⋅ρ 2⋅g
dynamischer Druck, Staudruck
4.
Strömungsdruckverluste und Reibungswiderstände
4.1
Allgemeine Umrechnung ∆ p V = ρ ⋅ YV = ρ ⋅ g ⋅ h V
4.2
∆pV: Druckverlust
[ Pa ]
YV :
spez. massebezogener Energieverlust
[ J / kg ]
hV :
Verlusthöhe
[m]
ρ:
Dichte
[ kg / m³ ]
g:
Erdbeschleunigung
[ 9,81 m / s² ]
Druckverlust in laminaren Rohrströmungen vmit =
1 ⋅ vmax 2
l ∆p V = λ ⋅ d λ=
ρ 2 ⋅ ⋅ vmit 2
64 Re •
∆p V = R l ⋅ V
Rl =
128 ⋅ η ⋅ l π ⋅ d4
∆pV : Druckverlust
[ Pa ]
vmit : gemittelte Strömungsgeschwindigkeit
[m/s]
vmax : maximale Strömungsgeschwindigkeit
[m/s]
λ:
Rohrreibungszahl
Re :
Reynoldszahl
Re = v⋅d / ν
ρ:
Dichte
[ kg / m³ ]
Rl :
laminarer Rohrwiderstand
V:
Volumenstrom
•
[ m³ / s ]
η:
dynamische Viskosität
[ Pa⋅s ]
l:
Länge
[m]
d:
Durchmesser
[m]
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8
4.3
Druckverlust in turbolenten Rohrströmungen vmit = 0,83 ⋅ vmax ∆p V = λ ⋅
l ρ 2 ⋅ ⋅v d 2
d λ = f Re , k ∆p V = R t ⋅ V! 2
8⋅λ ⋅ρ⋅l Rt = π2 ⋅ d5
4.4
∆pV : Druckverlust
[ Pa ]
vmit : gemittelte Strömungsgeschwindigkeit
[m/s]
vmax : maximale Strömungsgeschwindigkeit
[m/s]
λ:
(Bild 5.2)
Rohrreibungszahl siehe Moody-Diagr.
Re :
Reynoldszahl
Re = v⋅d / ν
ρ:
Dichte
[ kg / m³ ]
Rl :
turbolenter Rohrwiderstand
V:
Volumenstrom
[ m³ / s ]
k:
Rauhigkeitswert
(Bild 5.3)
l:
Länge
[m]
d:
Durchmesser
[m]
•
Druckverlust in nicht kreisförmigen Querschnitten Allgemein gilt, daß der kreisförmige Durchmesser durch einen hydraulisch vergleichbaren Durchmesser ersetzt wird.
d =ˆ dgl =
4⋅A U
dgl :
gleichwertiger (hydraul.) Durchmesser
[m]
A:
Querschnitt
[ m² ]
U:
Umfang
[m]
a:
Höhe des Kanals (offener Kanal: a = Spiegelhöhe) [ m ]
b:
Breite des Kanals
D1 :
Innendurchmesser vom Außenrohr
[m]
d2 :
Außendurchmesser vom Innenrohr
[m]
a:
Höhe des Kanals
[m]
b:
Breite des Kanals
[m]
Rechteckkanal:
A = a ⋅b
U = 2 ⋅ (a + b )
[m]
Kreisring:
D12 ⋅ π d22 ⋅ π − 4 4 U = D1 ⋅ π + d2 ⋅ π A=
Elipse:
A = π ⋅ 2a ⋅ 2b U ≈ π ⋅ (2a + 2b )
4.5
Druckverlust an Rohrbögen und -einbauten
∆p V = ζ ⋅
ρ 2 ⋅v 2
∆p V = R ⋅ V! 2 R=
8⋅ζ⋅ρ π2 ⋅ d4
∆pV : Druckverlust
[ Pa ]
ζ:
Widerstandsbeiwert
(Bild 5.4 – 5.9)
ρ:
Dichte
[ kg / m³ ]
R: V! :
Einzelwiderstand Volumenstrom
[ m³ / s ]
λ:
Rohrreibungszahl siehe Moody-Diagr.
(Bild 5.2)
l:
Länge
[m]
d:
Durchmesser
[m]
l ζ=λ⋅ d vom Skript-Server der FH-Köln: http://skript.vt.fh-koeln.de/
9
4.6
Widerstandskennlinie ! ) auf einen Mit der Widerstandskennlinie kann man auf einfache Weise von einem unbekannten Betriebsfall (V 1 ! ) extrapoliert werden (siehe Bild 5.10). Zweiten (V 2
∆p1 ∆p2 = !2 V! 12 V2 4.7
∆pV : Druckverlust
[ Pa ]
V! :
[ m³ / s ]
Volumenstrom
Reihen und Parallelschaltung von Widerständen Reihe:
R ges = R1 + R2 + " + Rn
R:
Einzelwiderstand
∆pges : Gesamtdruckverlust
[ Pa ]
V! :
Volumenstrom
[ m³ / s ]
1
R:
Einzelwiderstand
Rn
∆pges : Gesamtdruckverlust
[ Pa ]
V! :
Volumenstrom
[ m³ / s ]
hV :
Verlusthöhe
[m]
ρ:
Dichte
[ kg / m³ ]
∆pges = R ges ⋅ V! 2 Parallel:
1 R ges
1
=
R1
+
1
+"+
R2
∆pges = ∆p1 = ∆p2 = ∆pn ∆pges = R1 ⋅ V! 12 = R 2 ⋅ V! 22 V! ges = V! 1 + V! 2 + # + V! n V! ges = V! 1 =
4.8
∆pges R ges ∆p1 R1
Fließformel für offene Kanäle Bernouli-Sonderfall (p1=p2=pB):
v12 v2 = z 2 + 2 + hV 2⋅g 2⋅g
z1 +
g: v: z:
Erdbeschleunigung Strömungsgeschwindigkeit Ortshöhe von der Null-Linie
[ 9,81 m / s² ] [ m / s] [m]
Allgemein gilt die Darcy-Gl.:
hV = λ≈
l v2 ∆p V =λ⋅ ⋅ dgl 2 ⋅ g ρ⋅g 1
dgl 2 ⋅ lg 3,1 ⋅ k
2
∆pV: Druckverlust
[ Pa ]
hV :
Verlusthöhe
[m]
ρ:
Dichte
[ kg / m³ ]
g:
Erdbeschleunigung
[ 9,81 m / s² ]
λ:
Rohrreibungszahl siehe Moody-Diagr.
(Bild 5.2)
l:
Länge
[m]
dgl :
gleichwertiger (hydraul.) Durchmesser
[m]
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10
Fließgefälle (v1=v2=v bei konstanten Querschnitt):
z1 − z 2 hV = = sin α l l v2 λ J= ⋅ dgl 2 ⋅ g
J:
J=
Gefälle
z:
Ortshöhe von der Null-Linie
[m]
hV :
Verlusthöhe
[m]
g:
Erdbeschleunigung
[ 9,81 m / s² ]
λ:
Rohrreibungszahl siehe Moody-Diagr.
(Bild 5.2)
l:
Länge
[m]
dgl :
gleichwertiger (hydraul.) Durchmesser
[m]
Empirische Fließformel für prakt. Anwendung von Manning-Strickler:
J=
v2 2 rgl ⋅ KMS
rgl =
dgl 4
=
KMS : Fließzahl
(Tab. 5.12 b)
rgl :
[m]
gleichwertiger (hydraul.) Radius
A U
5.
Strömungsimpuls und Kräftegleichgewicht
5.1
Impulsgleichung I=m⋅v
5.2
Impuls
m:
Masse
[ kg!m / s ] [ kg ]
v:
Strömungsgeschwindigkeit
[m/s]
!I : V! :
Impulsstrom = Stromkraft eines Strahls
[ kg!m / s² = N ]
Volumenstrom
[ m³ / s ]
m:
Massenstrom
[ kg / s ]
v:
Strömungsgeschwindigkeit
[ m / s]
ρ:
Dichte
[ kg / m³ ]
Impulsstromgleichung !I = m ! ⋅v !I = ρ ⋅ V! ⋅ v !I = ρ ⋅ A ⋅ v 2
5.3
I:
⋅
Impulssatz $ $ ∑ !I + ∑ F = 0 $ $ $ $ $ ∑ F = Fp + FW +FG + FR
!I :
Impulsstrom = Stromkraft eines Strahls
[ kg!m / s² = N ]
F:
äußere Kräfte
[N]
Fp :
Druckkraft
FW :
Wandkraft
FG :
Gewichtskraft
FR :
Reibungskraft
Fp = p!A
[N] [N]
FG = m!g
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[N] [N]
11
5.4
Einfache Impulsbilanz Da der Impulsstrom und die Kräfte Vektoren sind, ist die Impulsbilanz in allen Koordinatenrichtungen (x, y, z) separat durchzuführen. Der eintretende Impulsstrom wirkt positiv und der austretende Impuls als Reaktionskraft wirkt entgegengesetzt. Wandkräfte wirken als Reaktionkräfte stets senkrecht zur Wandfläche. Die Schubkraft (FS) ist der resultierenden Wandkraft entgegengesetzt gerichtet und im Betrag gleich groß.
$ $ $ $ $ !I − !I + F − F + F = 0 1 2 D1 D2 W
Index 1 : Eintritt Index 2 : Austritt
ρ ⋅ A1x ⋅ v12x − ρ ⋅ A 2 x ⋅ v22 x + p1x ⋅ A1x − p2 x ⋅ A2 x + FWx = 0
Berechnung von p1 bzw. p2 :
ρ ⋅ A1y ⋅
p1 − p 2 = ζ ⋅ ρ ⋅
v12y
− ρ ⋅ A2 y ⋅
v22 y
+ p1y ⋅ A1y − p2 y ⋅ A 2 y + FWy = 0
v2 2
Rohrbögen (Bild 6.1):
FWx = A x ⋅ ρ ⋅ v2 + A x ⋅ p1 FWy = A y ⋅ ρ ⋅ v2 + A y ⋅ p2 − (m ⋅ g) Fres = FWx 2 + FWy 2
bei 90° −Bögen
Düsenschub bzw. Rückstoß an Düsen (Bild 6.2):
v2 =
2 ⋅ p1ü d4 ρ ⋅ 1 − 24 + ζ 2 d1
FS = − A2 ⋅ ρ2 ⋅ v22 − ( A2 ⋅ p2 + A1 ⋅ ρ1 ⋅ v12 + A1 ⋅ p1) FW = −FS =
2 ⋅ A2 ⋅ p1ü d4 1 − 2 + ζ2 4 d1
Rückstoß einer Düse an einem Behälter (Bild 6.2):
FW = −FS =
2 ⋅ A 2 ⋅ (p1ü + ρ ⋅ g ⋅ h) (1 + ζ 2 )
Rückstoß Querschnittserweiterung von A1 auf A2 (Bild 6.3):
FW = −FS = − A2 ⋅ (ρ ⋅ v22 + p2 ) + A1 ⋅ (ρ ⋅ v12 + p1) p1 − p 2 =
(
ρ ⋅ v22 ⋅ (1 + ζ 2 ) − v12 2
)
Senkrechter Strahlstoß auf eine ebene Platte (Bild 6.4): "
ruhende Wand (u=0 Geschwindigkeit der Wand)
FW = !I = A ⋅ ρ ⋅ v 2 "
bewegte Wand (u≠0 Geschwindigkeit der Wand)
FW = !I = A ⋅ ρ ⋅ (v − u)2 Schub von Propeller- und Strahltriebwerken (Bild 6.5):
FS = m2 ⋅ v2 − m1 ⋅ v1 Strahlstoßkräfte auf geneigte Wände siehe Bild 6.6
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12
5.5
Strömung mit Energiezufuhr Wird einer Strömung auf dem Weg von # nach $ von außen Energie hinzugeführt Ezu (Pumpe, Ventilator) oder nach außen abgeführt Eab (Turbine) ist dies wie folgt zu berücksichtigen:
g ⋅ z1 +
p1 v12 p v2 + E∗zu = g ⋅ z2 + 2 + 2 + E∗ab + 2 2 ρ ρ
g⋅ z :
spez. Lageenergie bezogen auf eine Bezugshöhe
p : ρ
spez. Druckenergie
v2 : 2
spez. Kinetische Geschwindihkeitsenergie
E∗zu :
spez. zugeführte Energie (Pumpe, Ventilator)
E∗ab :
spez. abgeführte Energie (Turbine)
Da die Energiewandlung in der Strömungsmaschine nicht verlustfrei erfolgt, ergibt sich die tatsächliche aufzuwendene bzw. gewonnene Arbeit aus dem Wirkungsgrad.
E∗zu = E zu ⋅ ηzu E∗ab =
Eab ηab
Energieformen:
E:
spez. Energie
η:
Wirkungsgrsd
H:
Förderhöhe der Pumpe
Lageenergie
m⋅g⋅h
Druckenergie
V ⋅ p = m/ρ ⋅ p
Bewegungsenergie
½ ⋅ m ⋅ v2
Innere Energie
m⋅u
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[ J / kg ] [m]
13
6.
Kompressible Strömung
Kompressible Strömungen treten nur bei Gasen und Dämpfen ab einer Machzahl Ma > 0,3 (siehe Kap. 3.3) auf. Die meisten realen Gase können als ideale Gase bis auf Wasserdampf angesehen werden. Typische Beispiele für kompressible Strömung: •
Gas- und Dampfströmungen in Rohrleitungen bei großen Durchsätzen
•
Ausströmung von Gasen und Dämpfen aus Druckbehältern ( p > 2 bar )
•
Düsen und Diffusorströmungen
•
Strömungen mit großem Wärmeaustausch
•
Kompressoren- und Turbinenströmungen
6.1
Zustandänderungen
Kompression:
Expansion:
Dissipation:
isochore:
•
Dichte wird erhöht
•
mechanische Arbeit muß zugeführt werden
•
Dichte wird verringert
•
Energie wird freigesetzt und als technische Arbeit genutzt
•
Umwandlung von potentieller Energie in Wärme bzw. Verlustenergie (Druckverlust)
•
nicht umkehrbar
•
in adiabaten Systemen führt Dissipation zur Temperaturerhöhung
•
V = konstant
•
Gay-Lussac: p1 / T1 = P2 / T2
•
„Wärmewirkung auf ein ideales Gas bei konstanten Volumen führt allein zur Änderung der inneren Energie“.
isobare:
•
p = konstant
•
Gay-Lussac: V1 / T1 = V2 / T2
•
„Bei einer isobaren Zustandsänderung tritt die Änderung der inneren Energie und die Volumenänderungsarbeit auf“.
•
T = konstant
•
Boyle-Mariotte:
•
„Keine Wärmeisolierung - die Temperatur bleibt gleich, weil die Wärme nach außen abgegeben wird.“
isentrope:
•
∆q = 0
(adiabate)
•
„Verlustfreier Idealprozeß, gut isoliertes System – keine Wärme fließt über die Grenzen nach außen “.
isotherme:
6.2
p1 ⋅ V1 = p2 ⋅ V2
Thermische Zustandgrößen ( p, T, ρ ) p = Ri ⋅ T ρ
ρ=
1 m = υ V
R i = cp − c V
P:
Druck
[ Pa ]
ρ:
Dichte
[ kg / m³ ]
Ri :
spez. Gaskonstante
[ J / (kg⋅K) ]
m:
Masse
[ kg ]
T:
absolute Temperatur
[K]
υ:
spez. Volumen
[ m³ / kg ]
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14
6.3
Kalorische Zustandgrößen ( u, h, s, χ, cV, cp) Spezifische innere Energie u Sie bezeichnet den Energiezustand des ruhenden Systems, d.h. die nicht sichtbare Bewegungs- und Potentiaenergie der Mohlekühle.
u=
U m
∆u = c V ⋅ ∆ T
u:
spez. Innere Energie
[ J / kg ]
U:
innere Gesamtenergie
[J]
∆T :
Temperaturdifferenz
[K]
cV :
isochore spez. Wärmekapazität
[ J / (kg⋅K) ]
K : Kelvin
Spezifische Enthalpie h Die Enthalpie bezeichnet das Arbeitsvermögen eines ruhenden idealenStoffes im Zustand # gegenüber einem beliebigen Vergleichzustand $.
h=u+
p ρ
u:
∆h = cp ⋅ ∆T ∆h = h1 − h2
spez. Innere Energie
[ J / kg ]
h:
spez. Enthalpie
[ J / kg ]
∆T :
Temperaturdifferenz
[K]
cp :
isobare spez. Wärmekapazität
[ J / (kg⋅K) ]
K : Kelvin
Spezifische Wärmekapazität cV und cp Unter der spezifischen Wärmekapazität versteht man die Wärmemenge, die erforderlich ist, um eine Stoffmasse von 1 kg um 1 Grad zuerwärmen oder abzukühlen. Man unterscheidet isobare cp (p=konst.) und isochore cV (V=konst.) spez. Wärmekapazität. Das Verhältnis der beiden spez. Wärmekapazitäten nennt man Isentropenexponent χ.
cV =
Ri
Ri :
χ−1
cp = R i ⋅
χ χ−1
R i = cp − c V T1 υ 2 = T2 υ 1 χ=
χ −1
p = 1 p2
spez. Gaskonstante
[ J / (kg⋅K) ]
υ:
spez. Volumen
[ m³ / kg ]
p:
Druck
[ Pa ]
T:
absolute Temperatur
[K]
cp :
isobare spez. Wärmekapazität
[ J / (kg⋅K) ]
cV :
isochore spez. Wärmekapazität
[ J / (kg⋅K) ]
χ −1 χ
cp cv
Mollier-Diagramm ( h,s-Diagramm Bild 8.3 ) Nicht alle kompressiblen Stoffe können als ideale Gase aufgefaßt werden. Für den technisch wichtigen Stoff Wasserdampf, der sich nicht wie ein ideales Gas verhält, sind die mathematischen Zusammenhänge recht kompliziert. Die Zusammenhänge sind im Mollier-Diagramm (h,s-Diagramm) grafisch dargestellt. Neben der spez. Enthalpie spielt die spez. Entropie (s) eine wichtige Rolle. Spezifische Entropie s Die spezifische Entropie bezeichnet den Energieverlust (Dissipation) der duch irreversible Wärmeentwicklung bei realen Zustandsänderungen ensteht. Das Entropiedifferential ∆s ist also bei idealen verlustfreien Zuständen gleich null. Solche Zustandsänderungen heißen isentrop (gleichbleibende Entropie). Im h,s-Diagramm liegen isentrope Anfangs- und Endzustände dementsprechend auf einer vertikalen Linie.
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15
6.4
Energiegleichung v12 v2 + h1 ± E zu / ab = 2 + h2 + YV 2 2
[ J / kg ]
v:
Strömungsgeschwindigkeit
[m/s]
YV :
spez. massebezogener Energieverlust
[ J / kg ]
p:
Druck
[ Pa ]
Druckverlust p12 − p22 l T = λ ⋅ ⋅ v12 ⋅ mit p1 d Ri ⋅ T1 Tmit
1 = ⋅ (T1 + T2 ) 2
∆p V = p1 − p2 YV =
6.6
spez. Enthalpie
Ezu/ab :spez. Energie zufuhr /-abfuhr von außen [ J / kg = N!m / kg ]
( g⋅∆z = 0 )
6.5
h:
∆p V ρ
λ:
Rohrreibungszahl
l:
Länge
d:
Durchmesser
[m]
v:
Strömungsgeschwindigkeit
[ m / s]
Tmit : mittlere Temperatur
[K]
Ri :
[ J / (kg⋅K) ]
spez. Gaskonstante
∆pV: Druckverlust
[ Pa ]
YV :
[ J / kg ]
spez. massebezogener Energieverlust
Behälterausströmung (isentrope und reale Zustandsänderung)
v 2 = ϕ ⋅ 2 ⋅ ∆hs χ −1 2⋅χ p2 χ v2 = ϕ ⋅ ⋅ Ri ⋅ T1 ⋅ 1 − p χ−1 1
! 2 = µ ⋅ Ψ ⋅ A2 ⋅ 2 ⋅ ρ1 ⋅ p1 m
v:
Strömungsgeschwindigkeit
ϕ:
Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert,
Ψ=
Wenn
2 χ +1 χ p2 χ p2 χ ⋅ − χ − 1 p1 p1
p2 p 2 < p1 p1 Krit .
[ m / s]
ϕ < 1 ⇒ reale Strömung µ:
Einschnürungsfaktor, µ < 1 ⇒ reale Strömung
∆hs : isentropes spez. Enthalpiegefälle
[ J / kg ]
χ:
Isentropenexponent
Ri :
spez. Gaskonstante
[ J / (kg⋅K) ]
m:
Massenstrom
[ kg / s ]
Ψ:
Ausflußfunktion
⋅
6.7
[m]
dann ist Schallgeschwindigkeit bzw. überkritische Strömung (Strahl platzt auf) erreicht und Ψmax = konst (siehe Bild 8.6).
Düse / Lavaldüse (isentrope und reale Zustandsänderung) Düse
⇒
Querschnittsverjüngung, Konvergenz, Strömungsbeschleunigung bis v = a, Druckabfall
Lavaldüse
⇒
keine Geschwindigkeitsbegrenzung sondern Überschallströmung v ≥ a, zuerst Querschnittsverjüngung dann Querschnittserweiterung, im engesten Querschnitt Amin: v = a, Druckabfall. Austrittsdruck und -querschnitt müssen bei der Gestaltung aufeinander abgestimmt sein (siehe Tabelle Seite 8-13).
Der Massenstrom ist durch den engsten Querschnitt (Amin) bei kritischem Druck (pkrit -Lavaldruck) und kritischer Geschwindigkeit (vkrit) begrenzt. χ
pkrit
2 χ −1 = p1 ⋅ χ + 1
χ: pkri :
Isentropenexponent kritischer Druck
[ Pa ]
⇒ gilt natürlich auch für Behälterausströmung
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16
v 2 = ϕ ⋅ v12 + 2 ⋅ ∆hs χ −1 2⋅χ p2 χ 2 v 2 = ϕ ⋅ v1 + ⋅ Ri ⋅ T1 ⋅ 1 − p χ −1 1
!A =m !1=m ! 2 = µ ⋅ Ψ ⋅ A2 ⋅ 2 ⋅ ρ1 ⋅ p1 m min
Ψ=
6.8
2 χ +1 χ p2 χ p2 χ ⋅ − χ − 1 p1 p1
v: ϕ:
Strömungsgeschwindigkeit
[ m / s]
Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert, ϕ < 1 ⇒ reale Strömung
µ:
Einschnürungsfaktor, µ < 1 ⇒ reale Strömung
∆hs : spez. Enthalpiegefälle
[ J / kg ]
χ:
Isentropenexponent
Ri :
spez. Gaskonstante
[ J / (kg⋅K) ]
m:
Massenstrom
[ kg / s ]
Ψ:
Ausflußfunktion
⋅
Diffusor (isentrope und reale Zustandsänderung) Diffusor
⇒
Querschnittserweiterung, Divergenz, Strömungsverzögerung (Unterschallströmung) v < a, Druckanstieg bzw. Verdichtungsströmung.
Es gelten grundsätzlich dieselben Zusammenhänge wie bei den Düsen. Da jedoch p2 / p1 > 1 ist, muß mit geänderten Vorzeichen bei der Berechnung der Austrittsgeschwindigkeit gerechnet werden. Ausflußfunktion und Massenstromgleichung gelten durch math. Kompensation des Vorzeichenwechsels unverändert.
χ −1 2⋅χ p2 χ 2 v 2 = ϕ ⋅ v1 − ⋅ Ri ⋅ T1 ⋅ − 1 p χ −1 1
v:
Strömungsgeschwindigkeit
ϕ:
Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert,
[ m / s]
ϕ < 1 ⇒ reale Strömung µ:
Einschnürungsfaktor, µ < 1 ⇒ reale Strömung
∆hs : spez. Enthalpiegefälle
[ J / kg ]
χ:
Isentropenexponent
Ri :
spez. Gaskonstante
[ J / (kg⋅K) ]
m:
Massenstrom
[ kg / s ]
Ψ:
Ausflußfunktion
⋅
Hinweis für Behälter-, Düse-, Lavaldüse und Diffusorströmung: Fehlt eine Größe kann man sie nartürlich auch durch die Durchflußgleichung bestimmen.
•
m2 = A2 ⋅ v2 ⋅ ρ2
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17
7.
Strömungsmaschinen
7.1
Gliederungskriterien •
•
•
7.2
Art des Fluids: ⇒
Hydraulische Maschinen, inkompressible Flüssigkeiten, Wasserturbine und Pumpen.
⇒
Thermische Maschinen, kompressible Gase und Dämpfe, Gas- und Dampfturbinen oder Turboverdichter.
Durchströmungsrichtung: ⇒
Radialmaschinen, werden von innen nach außen oder von außen nach innen durchströmt.
⇒
Axialmaschinen, werden senkrecht zur Rotationsbewegung in Wellenrichtung durchströmt.
Art der Energieumwandlung: ⇒
Arbeitsmaschinen: mechanische Arbeit
⇒
Kraftmaschinen:
potentielle Energie
→
potentielle Energie
Pumpe und Verdichter
→
mechanische Arbeit
Turbinen
Stutzenarbeit Hydraulische Maschinen:
Yid = g ⋅ ∆z =
∆p ∆ v 2 + 2 ρ
Yid :
ideale Stutzenarbeit
[ J / kg ]
für ∆z = 0
∆p ∆v 2 + 2 ρ ∆p tot Yid = ρ Yid =
Thermische Maschinen:
Yid = ∆h +
∆v 2 2
für Entspannung (Turbine)
∆h = h1 − h2 χ −1 χ p2 χ ⋅ Ri ⋅ T1 ⋅ 1 − ∆h = p χ−1 1
für Verdichtung (Ventilator)
∆h = h2 − h1 χ −1 χ p2 χ ⋅ Ri ⋅ T1 ⋅ ∆h = − 1 p χ −1 1
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18
7.3
Leistung Arbeitsmaschinen:
! ⋅ Yid m η
P:
Leistung
[J/s=W]
Yid :
ideale Stutzenarbeit
[ J / kg ]
Fu ⋅ u Fu ⋅ r ⋅ ω M ⋅ ω = = η η η
! : m
Massenstrom
[ kg / s ]
Fu :
Umfangskraft
[N]
u:
Umfangsgeschwindigkeit
[m/s]
η:
Wirkungsgrad
ω:
Winkelgeschwindigkeit
! ⋅ Yid ⋅ η P=m
P:
Leistung
[J/s=W]
P = Fu ⋅ u ⋅ η P = Fu ⋅ r ⋅ ω ⋅ η = M ⋅ ω ⋅ η
Yid :
ideale Stutzenarbeit
[ J / kg ]
! : m
Massenstrom
[ kg / s ]
Fu :
Umfangskraft
[N]
u:
Umfangsgeschwindigkeit
[m/s]
η:
Wirkungsgrad
ω:
Winkelgeschwindigkeit
ηi :
innerer Wirkungsgrad (Strömungsverluste)
P= P=
ω = 2⋅π⋅f
W : Watt
[1/s]
Kraftmaschinen:
7.4
ω = 2⋅π⋅f
W : Watt
[1/s]
Wirkungsgrad η = ηi ⋅ ηvol ⋅ ηm
ηvol : volumetrischer Wirkungsgrad (Spaltleckageverluste)
7.5
ηm:
mechanischer Wirkungsgrad (Lagerreibung, Getriebeverluste)
Yid :
ideale Stutzenarbeit
u:
Umpfangsgeschwindigkeit u = r⋅ω
[m/s]
c:
absolute Strömungsgeschwindigkeit
[m/s]
w:
relative Strömungsgeschwindigkeit
[m/s]
cm :
Mediangeschwindigkeit
[m/s]
cu :
Umfangskomponente der Absolutgeschw. cu = c⋅ cosα [ m / s ]
k:
Verengungsfaktor
b:
Laufradbreite
[m]
D:
Laufraddurchmesser
[m]
Energieumsetzung im Laufrad Eulerische Hauptgleichung:
Yid = u2 ⋅ c2u − u2⋅c1u bei Axialmaschinen
Yid = u ⋅ (c2u − c1u )
Geschwindigkeitspläne (Bild 2.7)
u = π⋅D⋅n V! cm = ⋅ k A
[ J / kg ]
ARadial = π ⋅ D ⋅ b A Axial =
(
π ⋅ D2a − Di2 4
)
Sonstige Geschwindigkeiten aus den Winkelbeziehungen ( sin, cos, tan )
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19
7.6
Ähnlichkeitsbedingungen Zum Umrechnen von Betriebszustände oder Baugrößen einer Typenreihe (gleiche Konstruktionsmerkmale). Größenverhältnis:
V! I = kD3 ⋅ kn V!
kD =
II
YI ∆p totI = kD2 ⋅ kn2 = YII ∆p totII
Drehzahlverhältnis:
DI DII
kn =
nI nII
PI = kD5 ⋅ kn3 PII
7.7
Kavitation HHM (NPSHR)
Maschinenkennzahl (spezifische Maschinenhaltedruckhöhe), muß nicht berechnet werden,
HHA (NPSHA)
Anlagenkennzahl (spezifische Anlagenhaltedruckhöhe)
sondern wird angeben oder kann direkt abgelesen (Bild 3.4) werden.
Bedingung für Kavitationsfreiheit:
NPSHA > NPSHR NPSHA = NPSHR ⋅ S A
NPSHR : spezifische Maschinenhaltedruckhöhe
[m]
NPSHA : spezifische Anlagenhaltedruckhöhe
[m]
SA :
Sicherheitsfaktor
Erforderliche geodätische Zulaufhöhe (Zulaufhöhe muß oberhalb des Saugstutzens liegen):
∆hz = NPSHA −
p0 − pD c2 Y − 0 + V 2⋅g g ρ⋅g
∆hz : geodätische Zulaufhöhe
[m]
p0 :
Druck im Saugstutzen
[ Pa ]
pD :
Dampfdruck
[ Pa ]
c0 :
Absolutgeschwindigkeit im Saugstutzen [ m / s ]
YV :
( Bild 5.1 )
spez. massebezogener Energieverlust
[ J / kg ]
Anlagendruckverluste werden angeben oder müssen aus den Rohr- und Einzelwiderständen berechnet werden. Erforderliche geodätische Saugfhöhe (Saughöhe muß unterhalb des Saugstutzens liegen):
∆hs = NPSHA +
p 0 − pD c2 Y + 0 − V 2⋅g g ρ⋅g
∆hs : geodätische Saughöhe
[m]
p0 :
Druck im Saugstutzen
[ Pa ]
pD :
Dampfdruck
[ Pa ]
c0 :
Absolutgeschwindigkeit im Saugstutzen [ m / s ]
YV :
spez. massebezogener Energieverlust
( Bild 5.1 )
[ J / kg ]
Anlagendruckverluste werden angeben oder müssen aus den Rohr- und Einzelwiderständen berechnet werden.
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20
7.8
Betriebsverhalten von Arbeitsmaschinen Bestimmung des Betriebspunktes im Kennfeld: Der Betriebspunkt läßt sich aus dem Maschinenkennfeld bestimmen, indem man zusätzlich die Anlagenkennlinie in das Diagramm einfügt. Der Schnittpunkt der Anlagenkennlinie mit der Maschinenkennlinie bei betrachteter Drehzahl bezeichnet man als Betriebspunkt, weil sich dort die Betriebscharakteristiken von Anlage und Maschine bei gleichen Volumenstrom treffen. Ändern sich die Anlagen-Reibungswiderstände (Anlagenkennlinie) z.B. durch Ventilstellung, so verändert sich der Betriebspunkt auf der Drosselkurve .
Bestimmung der Anlagenkennlinie:
∆p t = R * ⋅ V! 2
Für jeden Anlagen-Reibungswiderstand (Rmax geschlossene Drosselklappe, Rmin offene Drosselklappe) ist eine Tabelle zu erstellen. Die Werte sind dann in das Kennfeld einzutragen.
V! ∆p t Möglichkeiten der Maschinenregelung: •
Drosselregelung, ist im engeren Sinn keine Maschinenregelung, da die Anlagenkennlinie primär verändert wird. Zu beachten ist beiKennfeldern mit Totaldruckerhöhung (∆ptot = Y⋅ρ) , ob die Drosselung saug- oder druckseitig erfolgt, da die Fluiddichte druckabhängig ist.
•
Drehzahlregelung, ist die effektivste Art der Maschinenregelung, die Geschwindigkeitsdreicke optimal und der innere Wirkungsgrad maximal ist. Die optimale Drehzahl ergibt sich aus minimaler Leistung im Betriebspunkt. Drehzahl betriebene Antriebe bedeuten allerdings höhere Anschaffungskosten.
7.9
Reihen- und Parallelschaltung Reihenschaltung:
⇒
Druckverluste oder Totaldruckerhöhungen addieren sich
∆pges = ∆p1 + ∆p2 + ∆p3 R ges = R1 + R 2 + R 3 ⇒
Parallelschaltung:
Volumenströme addieren sich
V! ges = V! 1 + V! 2 + V! 3 1 R ges
=
1 R1
+
1 R2
+
1 R3
Die Ersatzkennlinie bei Anlagen und Maschinen können graphisch ermittelt werden, indem bei Reihenschaltung die Druckverluste oder Totaldruckerhöhungen addiert werden und bei Parallelschaltung die Volumenströme. Dir Ersatzkennlinien bei Anlagen können rechnerisch ermittelt werden, indem über ein Ersatzschaltbild der Ersatzwiderstand ermittelt wird. Bei Maschinen ist das nicht möglich.
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21
7.10
Druckverlauf in Rohrsträngen mit Arbeitsmaschinen Die Totaldruck-Extremwerte treten direkt vor oder hinter einer Arbeitsmaschine auf, Siehe hierzu Druck-Weg-Diagramm (Bild 7.7).
∆p tot = (p stat 2 − p stat 1) + (pdyn2 − pdyn1)
8.
Sonstiges
8.1
Wärmeenergie, -arbeit Q = m ⋅ c ⋅ (t 2 − t1 ) Q = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ
Q : Wärmeemergie
[J]
m : Masse
[m]
c:
spezifische Wärmekapazität
∆ϑ : Temperaturdifferenz
8.2
Winkelfunktionen sin α =
GK Hyp
cos α =
AK Hyp
tan ∂ =
8.3
[ kJ / kgK ] [ ° oder K ]
GK :
Gegenkathete
AK :
Ankathete
Hyp :
Hypotenuse
GK AK
Umrechnungen Druck 1 bar
=
105 Pa
1 Torr
=
133,3 Pa
1 Pa
=
10-5 bar
1 bar
=
750,06 Torr
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