Lösungsbuch zur Einführung in die Festigkeitslehre: Aufgaben, Ausführliche Lösungswege, Formelsammlung, 2. Auflage GERMAN

Volker Läpple Lösungsbuch zur Einführung in die Festigkeitslehre

Volker Läpple

Lösungsbuch zur Einführung in die Festigkeitslehre Aufgaben, Ausführliche Lösungswege, Formelsammlung 2., erweiterte Auflage Mit 339 Abbildungen STUDIUM

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1. Auflage Februar 2007 2., erweiterte Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner |GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0452-5

V

Vorwort zur 2. Auflage Die sichere Auslegung von Bauteilen und Anlagen gehört zu den Grundfertigkeiten eines Ingenieurs. Fehlerhaft dimensionierte Bauteile können zu schweren Schäden und hohen Kosten führen. Man denke beispielsweise an das Bersten eines Druckbehälters, den Einsturz einer Stahlkonstruktion oder den Bruch einer Radaufhängung. Obwohl für das Erbringen eines Festigkeitsnachweises heute leistungsfähige Rechenprogramme zur Verfügung stehen, so stellen sie dennoch nur Hilfsmittel dar. Die Interpretation der Rechenergebnisse und letztlich auch die Prüfung ihrer Plausibilität liegt nach wie vor in der Verantwortung des Konstrukteurs. Das grundlegende Verständnis für die Problemstellung sowie das Erfassen der wesentlichen Zusammenhänge darf nicht durch das Erlernen der Bedieneroberfläche einer Software ersetzt werden. Auch ist es kaum wirtschaftlich, Rechenprogramme bereits für die Auslegung erster Konstruktionsentwürfe einzusetzen. Gerade in diesem Stadium ist es jedoch wichtig zu wissen, ob ein Entwurf hinsichtlich Beanspruchung und Dimensionierung überhaupt Ziel führend ist und sich die Weiterentwicklung lohnt. Der Konstrukteur muss ein "Gespür" für die Zusammenhänge zwischen Beanspruchung, Verformung und Bauteilverhalten, insbesondere unter Berücksichtigung des eingesetzten Werkstoffs, sowie einen sicheren Blick für die kritischen d. h. höchst beanspruchten Stellen entwickeln. Diese Grundfertigkeit lässt sich nur durch das selbständige Lösen verschiedener Probleme erlernen. Die vielfältigen Übungsaufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad sollen helfen, dieses "Gespür" für das Bauteil zu entwickeln. Der vorliegende Band enthält zu allen Aufgaben des Lehr- und Übungsbuches ausführliche Lösungen und, dort wo sinnvoll, auch alternative Lösungsvorschläge. Damit wird es dem Studierenden ermöglicht, sein erlerntes Wissen zu überprüfen, anhand praxisorientierter Aufgaben anzuwenden und zu vertiefen. Er wird in der Lage sein, die Problemstellung zu analysieren, die wesentlichen Zusammenhänge zu erfassen, ein mathematisch-physikalisches Modell zu formulieren und eine geeignete Lösungsstrategie zu entwickeln. Darüber hinaus eignet sich der vorliegende Aufgaben- und Lösungsband für eine eigenständige Klausurvorbereitung. Auch Ingenieure in der Praxis finden wertvolle Hinweise für die Entwicklung von Lösungsstrategien zur Durchführung von Festigkeitsnachweisen. Gegenüber der 1. Auflage wurden lediglich einige wenige Fehler korrigiert und die Übungsaufgaben des Lehr- und Übungsbuches integriert. Den Übungsaufgaben wurde außerdem eine Schwierigkeitsbewertung hinzugefügt. Mein besonderer Dank gilt dem Vieweg-Verlag, insbesondere Herrn Dipl.-Ing. Thomas Zipsner, für die sorgfältige Drucklegung und die angenehme Zusammenarbeit. Gedankt sei an dieser Stelle auch allen Kollegen für die wertvollen Hinweise, die zur Verbesserung der vorliegenden 2. Auflage geführt haben. Anregungen für Ergänzungen sowie Verbesserungsvorschläge werden weiterhin stets gerne entgegen genommen. Schorndorf, im März 2008

Volker Läpple

VI Anmerkungen zur Bewertung der Schwierigkeit der Aufgaben Der vorliegende Aufgaben- und Lösungsband enthält mehr als 140 Aufgaben mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden zu allen Themengebieten. Die meist praxisorientierten Aufgaben ermöglichen es Ihnen, das erlernte Wissen zu überprüfen, anzuwenden und zu vertiefen. Weiterhin können die Aufgaben zur selbstständigen und gezielten Klausurvorbereitung eingesetzt werden. Es wird empfohlen, die Aufgaben parallel zu den einzelnen Kapiteln des Lehrbuchs durchzuarbeiten. Die Bewertung der Schwierigkeit der Aufgaben erfolgt gemäß der Symbolik: {{{{z Einfache Aufgabe. Die Lösung erfordert nur geringe einschlägige Vorkenntnisse und dient der Einführung in das Themengebiet. Häufig stehen einfache Formeln zur Lösung der Aufgabe zur Verfügung. {{{zz

Aufgabe mit mäßigem Schwierigkeitsgrad. Zur Lösung der Aufgabe sind Grundkenntnisse aus der Mechanik und Festigkeitslehre erforderlich. Weiterhin müssen bereits einfache Zusammenhänge und grundlegende Mechanismen verstanden werden.

{{zzz

Aufgaben mit mittlerem Schwierigkeitsgrad. Die Lösung erfordert ein fundiertes Basiswissen insbesondere auf den Gebieten der Mechanik und der Festigkeitslehre sowie die Fähigkeit, themenübergreifende Zusammenhänge und komplexere Mechanismen zu verstehen. Mathematische Grundkenntnisse sind zur Lösung der Aufgabe in der Regel erforderlich.

{zzzz

Schwierige Aufgabe. Die Aufgabe erfordert die Analyse der Problemstellung, die Entwicklung einer geeigneten Lösungsstrategie sowie das Aufzeigen und die Formulierung einer möglichen Lösung. Alternative Lösungen sind möglich. Vertiefte mathematische Kenntnisse sind zur Lösung der Aufgabe in der Regel erforderlich.

zzzzz

Sehr schwierige Aufgabe meist mit hohem Praxisbezug. Die Lösung erfordert vom Bearbeiter die Entwicklung einer eigenständigen Lösungsstrategie und sehr fundierte Kenntnisse, insbesondere aus der Festigkeitslehre. Vertiefte mathematische Kenntnisse sowie Grundkenntnisse aus der Werkstoffkunde sind Voraussetzung zur erfolgreichen Lösung der Aufgabe.

VII

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung ........................................................................................................................... 1 2 Grundbelastungsarten ...................................................................................................... 2.1 Formelsammlung zu den Grundbelastungsarten .......................................................... 2.2 Aufgaben....................................................................................................................... 2.3 Lösungen....................................................................................................................... Lösung zu Aufgabe 2.1 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.2 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.3 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.4 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.5 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.6 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.7 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.8 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.9 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 2.10 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.11 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.12 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.13 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.14 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.15 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.16 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.17 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.18 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.19 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.20 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.21 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.22 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.23 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.24 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.25 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.26 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.27 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.28 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.29 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.30 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.31 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.32 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.33 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.34 .............................................................................................. Lösung zu Aufgabe 2.35 ..............................................................................................

2 2 5 22 22 24 25 26 27 30 31 33 34 35 37 38 39 40 41 42 43 45 46 47 48 50 53 54 55 56 57 58 59 60 61 63 64 66 68

VIII

Inhaltsverzeichnis

3 Spannungszustand ............................................................................................................ 3.1 Formelsammlung zum Spannungszustand ................................................................... 3.2 Aufgaben ...................................................................................................................... 3.3 Lösungen ...................................................................................................................... Lösung zu Aufgabe 3.1 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 3.2 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 3.3 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 3.4 ................................................................................................ Lösung zu Aufgabe 3.5 ................................................................................................

69 69 71 74 74 76 78 80 83

4 Verformungszustand ........................................................................................................ 90 4.1 Formelsammlung zum Verformungszustand ............................................................... 90 4.2 Aufgaben ...................................................................................................................... 92 4.3 Lösungen ...................................................................................................................... 94 Lösung zu Aufgabe 4.1 ................................................................................................ 94 Lösung zu Aufgabe 4.2 ................................................................................................ 97 Lösung zu Aufgabe 4.3 ................................................................................................ 99 Lösung zu Aufgabe 4.4 ................................................................................................ 102 5 Elastizitätsgesetze ............................................................................................................. 104 5.1 Formelsammlung zu den Elastizitätsgesetzen .............................................................. 104 5.2 Aufgaben ...................................................................................................................... 106 5.3 Lösungen ...................................................................................................................... 110 Lösung zu Aufgabe 5.1 ................................................................................................ 110 Lösung zu Aufgabe 5.2 ................................................................................................ 112 Lösung zu Aufgabe 5.3 ................................................................................................ 113 Lösung zu Aufgabe 5.4 ................................................................................................ 115 Lösung zu Aufgabe 5.5 ................................................................................................ 117 Lösung zu Aufgabe 5.6 ................................................................................................ 121 Lösung zu Aufgabe 5.7 ................................................................................................ 122 Lösung zu Aufgabe 5.8 ................................................................................................ 123 6 Festigkeitshypothesen ...................................................................................................... 124 6.1 Formelsammlung zu den Festigkeitshypothesen ......................................................... 124 6.2 Aufgaben ...................................................................................................................... 126 6.3 Lösungen ...................................................................................................................... 134 Lösung zu Aufgabe 6.1 ................................................................................................ 134 Lösung zu Aufgabe 6.2 ................................................................................................ 136 Lösung zu Aufgabe 6.3 ................................................................................................ 138 Lösung zu Aufgabe 6.4 ................................................................................................ 140 Lösung zu Aufgabe 6.5 ................................................................................................ 142 Lösung zu Aufgabe 6.6 ................................................................................................ 145 Lösung zu Aufgabe 6.7 ................................................................................................ 147 Lösung zu Aufgabe 6.8 ................................................................................................ 151 Lösung zu Aufgabe 6.9 ................................................................................................ 155

Inhaltsverzeichnis

Lösung zu Aufgabe 6.10 Lösung zu Aufgabe 6.11 Lösung zu Aufgabe 6.12 Lösung zu Aufgabe 6.13

IX ..............................................................................................158 ..............................................................................................159 ..............................................................................................160 ..............................................................................................164

7 Kerbwirkung .....................................................................................................................169 7.1 Formelsammlung zur Kerbwirkung .............................................................................169 7.2 Aufgaben.......................................................................................................................170 7.3 Lösungen.......................................................................................................................178 Lösung zu Aufgabe 7.1 ................................................................................................178 Lösung zu Aufgabe 7.2 ................................................................................................180 Lösung zu Aufgabe 7.3 ................................................................................................181 Lösung zu Aufgabe 7.4 ................................................................................................183 Lösung zu Aufgabe 7.5 ................................................................................................186 Lösung zu Aufgabe 7.6 ................................................................................................188 Lösung zu Aufgabe 7.7 ................................................................................................192 Lösung zu Aufgabe 7.8 ................................................................................................194 Lösung zu Aufgabe 7.9 ................................................................................................199 Lösung zu Aufgabe 7.10 ..............................................................................................202 Lösung zu Aufgabe 7.11 ..............................................................................................206 8 Knickung ..........................................................................................................................209 8.1 Formelsammlung zur Knickung ...................................................................................209 8.2 Aufgaben.......................................................................................................................211 8.3 Lösungen.......................................................................................................................216 Lösung zu Aufgabe 8.1 ................................................................................................216 Lösung zu Aufgabe 8.2 ................................................................................................217 Lösung zu Aufgabe 8.3 ................................................................................................219 Lösung zu Aufgabe 8.4 ................................................................................................221 Lösung zu Aufgabe 8.5 ................................................................................................222 Lösung zu Aufgabe 8.6 ................................................................................................223 Lösung zu Aufgabe 8.7 ................................................................................................224 Lösung zu Aufgabe 8.8 ................................................................................................226 Lösung zu Aufgabe 8.9 ................................................................................................227 9 Schiefe Biegung .................................................................................................................228 9.1 Formelsammlung zur Schiefen Biegung ......................................................................228 9.2 Aufgaben.......................................................................................................................231 9.3 Lösungen.......................................................................................................................235 Lösung zu Aufgabe 9.1 ................................................................................................235 Lösung zu Aufgabe 9.2 ................................................................................................237 Lösung zu Aufgabe 9.3 ................................................................................................239 Lösung zu Aufgabe 9.4 ................................................................................................241 Lösung zu Aufgabe 9.5 ................................................................................................246

X

Inhaltsverzeichnis

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung......................................................... 248 10.1 Formelsammlung zum Querkraftschub ..................................................................... 248 10.2 Aufgaben.................................................................................................................... 251 10.3 Lösungen.................................................................................................................... 254 Lösung zu Aufgabe 10.1 ........................................................................................... 254 Lösung zu Aufgabe 10.2 ........................................................................................... 255 Lösung zu Aufgabe 10.3 ........................................................................................... 256 Lösung zu Aufgabe 10.4 ........................................................................................... 257 Lösung zu Aufgabe 10.5 ........................................................................................... 258 Lösung zu Aufgabe 10.6 ........................................................................................... 260 Lösung zu Aufgabe 10.7 ........................................................................................... 262 11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte ..................................................................... 264 11.1 Formelsammlung zur Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte ............................. 264 11.2 Aufgaben.................................................................................................................... 267 11.3 Lösungen.................................................................................................................... 268 Lösung zu Aufgabe 11.1 ........................................................................................... 268 Lösung zu Aufgabe 11.2 ........................................................................................... 269 Lösung zu Aufgabe 11.3 ........................................................................................... 270 Lösung zu Aufgabe 11.4 ........................................................................................... 271 12 Behälter unter Innen- und Außendruck ........................................................................ 272 12.1 Formelsammlung zu Behältern unter Innen- und Außendruck................................. 272 12.2 Aufgaben.................................................................................................................... 275 12.3 Lösungen.................................................................................................................... 286 Lösung zu Aufgabe 12.1 ........................................................................................... 286 Lösung zu Aufgabe 12.2 ........................................................................................... 287 Lösung zu Aufgabe 12.3 ........................................................................................... 289 Lösung zu Aufgabe 12.4 ........................................................................................... 291 Lösung zu Aufgabe 12.5 ........................................................................................... 293 Lösung zu Aufgabe 12.6 ........................................................................................... 295 Lösung zu Aufgabe 12.7 ........................................................................................... 297 Lösung zu Aufgabe 12.8 ........................................................................................... 301 Lösung zu Aufgabe 12.9 ........................................................................................... 303 Lösung zu Aufgabe 12.10 ......................................................................................... 308 Lösung zu Aufgabe 12.11 ......................................................................................... 313 Lösung zu Aufgabe 12.12 ......................................................................................... 315 Lösung zu Aufgabe 12.13 ......................................................................................... 317 Lösung zu Aufgabe 12.14 ......................................................................................... 319 Lösung zu Aufgabe 12.15 ......................................................................................... 324

Inhaltsverzeichnis

XI

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit .................................................................. 325 13.1 Formelsammlung zu Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit............................ 325 13.2 Aufgaben ....................................................................................................................330 13.3 Lösungen ....................................................................................................................349 Lösung zu Aufgabe 13.1 ...........................................................................................349 Lösung zu Aufgabe 13.2 ...........................................................................................351 Lösung zu Aufgabe 13.3 ...........................................................................................353 Lösung zu Aufgabe 13.4 ...........................................................................................354 Lösung zu Aufgabe 13.5 ...........................................................................................356 Lösung zu Aufgabe 13.6 ...........................................................................................358 Lösung zu Aufgabe 13.7 ...........................................................................................361 Lösung zu Aufgabe 13.8 ...........................................................................................363 Lösung zu Aufgabe 13.9 ...........................................................................................364 Lösung zu Aufgabe 13.10 .........................................................................................366 Lösung zu Aufgabe 13.11 .........................................................................................368 Lösung zu Aufgabe 13.12 .........................................................................................371 Lösung zu Aufgabe 13.13 .........................................................................................372 Lösung zu Aufgabe 13.14 .........................................................................................374 Lösung zu Aufgabe 13.15 .........................................................................................376 Lösung zu Aufgabe 13.16 .........................................................................................377 Lösung zu Aufgabe 13.17 .........................................................................................379 Lösung zu Aufgabe 13.18 .........................................................................................381 Lösung zu Aufgabe 13.19 .........................................................................................384 Lösung zu Aufgabe 13.20 .........................................................................................388 Lösung zu Aufgabe 13.21 .........................................................................................391 Lösung zu Aufgabe 13.22 .........................................................................................394 Lösung zu Aufgabe 13.23 .........................................................................................400 Lösung zu Aufgabe 13.24 .........................................................................................404 Lösung zu Aufgabe 13.25 .........................................................................................408 Lösung zu Aufgabe 13.26 .........................................................................................413

1

1 Einleitung Die Beanspruchbarkeit technischer Bauteile und Konstruktionen ist begrenzt. Es ist die Aufgabe der Festigkeitslehre, Konzepte bereitzustellen, die eine sichere und wirtschaftliche Bauteilauslegung unter Berücksichtigung von Art und Höhe der Belastung sowie von Geometrie und Werkstoffart erlauben. Bild 1.1 zeigt das Prinzip eines Festigkeitsnachweises. Ist die Art der Belastung sowie die Geometrie des Bauteils bekannt, dann lassen sich die Spannungen an jeder Stelle berechnen. Für einen Festigkeitsnachweis sind die Spannungen an den höchst beanspruchten Stellen von Bedeutung. Liegt ein mehrachsiger Spannungszustand vor, dann ist es erforderlich, aus den gegebenen Lastspannungen, die Vergleichsspannung zu berechnen. Die maximale Spannung bzw. die maximale Vergleichsspannung (maximale Beanspruchung des Bauteils) wird mit der Beanspruchbarkeit, also dem für das Werkstoffversagen relevanten Kennwert (z. B. Dehngrenze oder Zugfestigkeit) verglichen. Zwischen Beanspruchung und Beanspruchbarkeit muss ein ausreichender Sicherheitsabstand vorliegen. Ist diese Sicherheit zu gering (z. B. kleiner als 1,20 gegenüber einer plastischen Verformung), dann ist ein sicherer Betrieb nicht gewährleistet. Es ist dann erforderlich, entweder die Belastung zu vermindern, die tragende Querschnittfläche zu vergrößern oder einen Werkstoff mit höherer Festigkeit zu verwenden und den Festigkeitsnachweis erneut durchzuführen.

Prinzip eines Festigkeitsnachweises

2

2 Grundbelastungsarten 2.1 Formelsammlung zu den Grundbelastungsarten Zug

V

F A

Spannungsermittlung bei reiner Zugbeanspruchung

H

'L L0

(technische) Dehnung

V

E ˜H

Hookesches Gesetz bei einachsiger Beanspruchung

Hq

P ˜ H l

Poissonsches Gesetz

Druck

Vd

Fd A

Spannungsermittlung bei reiner Druckbeanspruchung

Hinweis: Ein Versagen unter Druckbeanspruchung kann bei duktilen Werkstoffen durch Fließen oder Knickung, bei spröden Werkstoffen durch Bruch oder Knickung erfolgen. Die Knickung wird in Kapitel 8 besprochen. Gerade Biegung

V ( z)

Mb ˜z I

Spannungsverteilung bei gerader, reiner Biegung

Vb

Mb Wb

Spannungsermittlung bei gerader, reiner Biegung

zS

¦ zi ˜ Ai i ¦ Ai

Teilschwerpunktsatz

i

3

2 Grundbelastungsarten

Schub (Abscherung)

W

Fa A

J

D

W

G ˜J

G

Mittlere Abscherspannung

S

Definition der Schiebung (Winkelverzerrung)

2

Hookesches Gesetz für Schubbeanspruchung

E 2 ˜ (1  ȝ)

Schubmodul

Hinweise: 1. Zugeordnete Schubspannungen wirken stets in zwei zueinander senkrechten Ebenen des betrachteten Volumenelements. Sie haben den gleichen Betrag und zeigen entweder auf die gemeinsame Kante hin oder von ihr weg. 2. Eine Schiebung J ist positiv anzusetzen, falls sich der ursprünglich rechte Winkel des Winkelelements vergrößert. Verkleinert sich der Winkel, dann ist die Schiebung negativ anzusetzen. Torsion kreisförmiger Querschnitte

Wt

Mt Wt

mit Wt Wt

M

Maximale Torsionsschubspannung 1)

S 16

für Vollkreisquerschnitt

D4  d 4 für Kreisringquerschnitt 16 D

S

˜

Mt ˜l G ˜ Ip

M (in Grad)

1)

˜d3

Verdrehwinkel 1)

180q

S

Umrechnung von

˜ M (in rad) Grad- in Bogenmaß

Nur gültig für gerade prismatische Stäbe mit Vollkreis- oder Kreisringquerschnitt.

Spannungsverteilung

Mohrscher Spannungskreis 1)

Mt Wt

Wt

Mb Wb

Wa

Duktiler Werkstoff: x Fließen: VbF Spröder Werkstoff: x Bruch: VbB

Fd A

Duktiler Werkstoff: x Fließen: WtF x Bruch: WtB Spröder Werkstoff: x Bruch: WtB

Spröder Werkstoff: x Bruch: WaB

Duktiler Werkstoff: x Bruch: WaB

Duktiler Werkstoff: x Fließen: VdF oder Vdp x Knickung: VK = FK / A Duktiler Werkstoff: x Bruch: VdB x Knickung: VK = FK / A

Fz A

Fa A

Vb

Vd

Vz

Werkstoffkennwert Duktiler Werkstoff: x Fließen: Re oder Rp 3) x Bruch: Rm Spröder Werkstoff: x Bruch: Rm

Grundgleichung

4)

SF = 1,2 ... 2,0 SB = 2,0 ... 4,0 SB = 4,0 ... 9,0

Rm

SB = 4,0 ... 9,0

SB = 2,0 ... 4,0

SB = 4,0 ... 9,0

Re/2 oder Rp/2 0,6 ... 0,9˜Rm 7)

| Rm 8)

0,6 ..0,9˜Rm 7)

6)

SF = 1,2 ... 2,0

SB = 4,0 ... 9,0 SK = 2,5 ... 5,0 ------Re oder Rp 5)

SF = 1,2 ... 2,0 SK = 2,5 ... 5,0

SB = 4,0 ... 9,0

---Re oder Rp ----

SF = 1,2 ... 2,0 SB = 2,0 ... 4,0

Sicherheitsbeiwerte 2)

-------

Ersatzwert

3)

2)

Erläuterung des Mohrschen Spannungskreises siehe Kapitel 3. Anhaltswerte, falls keine einschlägigen Berechnungsvorschriften vorliegen. 4) 5) In der Regel 0,2%-Dehngrenze (Rp0,2) In der Regel 0,2%-Stauchgrenze (Vd0,2) Mitunter auch 1,1 ... 1,2˜Re bzw. 1,1 ... 1,2˜Rp0,2 6) Für ideal spröde Werkstoffe: VbB | Rm ; für spröde metallische Werkstoffe: VbB > Rm , insbesondere für Gusseisen mit Lamellengraphit: VbB = 2,0 ... 2,5˜Rm 7) Faktor 0,6 für hochfeste Werkstoffe, Faktor 0,9 für niedrigfeste Werkstoffe. Insbesondere für Stähle mit Rm d 1800 N/mm2: WaB = 0,5˜Rm + 140 N/mm2 bzw. WtB = 0,5˜Rm + 140 N/mm2 8) Gültig für Gusseisen mit Lamellengraphit. .

1)

Torsion

Schub (Abscherung)

Biegung

Druck

Zug

Belastungsart

4 2 Grundbelastungsarten

Zusammenfassung der Grundbelastungsarten

5

2 Grundbelastungsarten

2.2 Aufgaben Aufgabe 2.1

{{{zz

Ein Zugstab aus Vergütungsstahl 34CrMo4 mit Kreisringquerschnitt (da = 25 mm, s = 2,5 mm) und einer Länge von l0 = 1,2 m (im unbelasteten Zustand) wird durch eine mittig angreifende statische Kraft von F = 60 kN auf Zug beansprucht. Werkstoffkennwerte 34CrMo4: Rp0,2 = 680 N/mm2 Rm = 1050 N/mm2 E = 208000 N/mm2 μ = 0,30 a) Ermitteln Sie die Normalspannung im Zugstab. b) Berechnen Sie die Sicherheiten gegen Fließen (SF) und gegen Bruch (SB). Sind die Sicherheiten ausreichend? c) Bestimmen Sie die Verlängerung 'l des Zugstabes bei der angegebenen Belastung. d) Die Verringerung des Außendurchmessers ('da) soll auf 0,01 mm begrenzt werden. Ermitteln Sie für diesen Fall den zulässigen Wert der Zugkraft F. e) Eine zweite Variante des Zugstabes aus derselben Stahlsorte (34CrMo4) soll eine Zugkraft von F* = 150 kN aufnehmen. Berechnen Sie die erforderliche Wandstärke s, falls der Außendurchmesser unverändert bleiben soll (da = 25 mm) und eine Sicherheit von SF = 1,4 gegenüber Fließen gefordert wird.

Aufgabe 2.2 Ein Zugstab mit Vollkreisquerschnitt und einer Länge von l0 = 1500 mm aus Vergütungsstahl C35E (Re = 430 N/mm2; Rm = 630 N/mm2; E = 210000 N/mm2) soll als Zuganker verwendet werden. Der Stab muss eine statische Betriebskraft von F = 15500 N aufnehmen. a) Ermitteln Sie den erforderlichen Durchmesser d des Zugstabes, damit die Betriebskraft mit Sicherheit aufgenommen werden kann (SF = 1,5 und SB = 2,0). b) Berechnen Sie für die Betriebskraft von F = 15500 N die Dehnung H sowie die Verlängerung 'l des Zugstabes. c) Bestimmen Sie diejenige statische Zugkraft FB, die zu einem Bruch des Zugstabes führt.

{{{{z

6

2 Grundbelastungsarten

Aufgabe 2.3

{{{zz

Ein Wassertank ist an vier Stahlbändern aus S275JR befestigt (siehe Abbildung). Die Masse des leeren Tanks beträgt mL = 2000 kg, die des gefüllten Tanks mV = 3600 kg (g = 9,81 m/s2). Die Stahlbänder haben eine Querschnittsfläche von 25 mm x 4 mm. Der Abstand der Stahlbänder vom linken und rechten Ende des Tankes beträgt jeweils a = 500 mm. Werkstoffkennwerte S275JR: Re = 265 N/mm2 Rm = 470 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30

a) Berechnen Sie die Spannung in den Bändern bei leerem und bei vollem Tank. b) Ermitteln Sie bei vollem Wassertank die Sicherheiten der Bänder gegen Versagen. Sind die Sicherheiten ausreichend? c) Um welchen Betrag 'l senkt sich der Tank beim Befüllen, falls die Länge der Bänder bei leerem Tank l0 = 1,5 m beträgt?

Aufgabe 2.4 Die Abbildung zeigt eine Zugstange mit Vollkreisquerschnitt aus Werkstoff S275JR (Re = 260 N/mm2; Rm = 480 N/mm2). Die Stange wird durch die Masse m belastet (g = 9,81 m/s2). a) Berechnen Sie den Durchmesser d der Zugstange, damit eine Masse von m = 2500 kg mit Sicherheit (SF = 1,5 bzw. SB = 2,0) aufgenommen werden kann. b) Bei einer alternativen Ausführung wird eine Zugstange aus der Gusseisensorte EN-GJL-300 (Rm = 300 N/mm2) mit einem Durchmesser von d = 20 mm verwendet. Ist die Sicherheit ausreichend, falls die Stange mit der Masse von m = 2500 kg belastet wird? c) Ermitteln Sie die zulässige Masse m für den Fall einer Zugstange aus Werkstoff EN-GJL-300, falls eine Sicherheit von SB = 4,0 gegen Bruch gefordert wird.

{{{zz

7

2 Grundbelastungsarten

Aufgabe 2.5

{{zzz

Das dargestellte Stabwerk ist an seinem linken Ende gelenkig gelagert und trägt an seinem freien, rechten Ende die Masse m = 1500 kg (g = 9,81 m/s2). Das Stabwerk wird in zwei Varianten gefertigt: Variante 1: Baustahl S275JR (Rm = 510 N/mm2; Re = 275 N/mm2; E = 210000 N/mm2) Variante 2: EN AW-Al Mg5-H14 (Rm = 350 N/mm2; Rp0,2 = 270 N/mm2; E = 70000 N/mm2) a) Berechnen Sie die Kraft FS am Zugstab. b) Ermitteln Sie die Spannung im Zugstab (Kreisringquerschnitt mit da = 50 mm und s = 5 mm). c) Errechnen Sie die Verlängerung 'l des Zugstabes, falls das Stabwerk aus S275JR bzw. aus EN AW-Al Mg5-H14 gefertigt wird. d) Bestimmen Sie die Belastung m1, die zu einem Bruch des Zugstabs führt, falls das Stabwerk aus S275JR bzw. aus EN AW-Al Mg5-H14 gefertigt wird. e) Berechnen Sie die Wandstärke s des Zugstabs (di = 40 mm), damit eine erhöhte Belastung von m2 = 3250 kg mit Sicherheit (SF = 1,5 bzw. SB = 2,0) aufgenommen werden kann, falls das Stabwerk aus S275JR bzw. EN AW-Al Mg5-H14 gefertigt wird.

Aufgabe 2.6 Die dargestellte gelenkig gelagerte Konstruktion soll durch ein Stahlseil aus einem Spannstahl gehalten werden. Das Stahlseil hat eine Querschnittsfläche von A = 100 mm2. Ermitteln Sie die zulässige Belastung F, falls die Verlängerung des Stahlseils auf 0,5 mm begrenzt werden muss. Werkstoffkennwerte des Spannstahls: Rp0,2 = 720 N/mm2 Rm = 950 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30

{{zzz

8

Aufgabe 2.7

2 Grundbelastungsarten zzzzz

Ein Vierkantprofilstab aus der unlegierten Vergütungsstahlsorte C60E+QT mit einer Kantenlänge von a = 36 mm wird aus Gründen des Korrosionsschutzes allseitig mit einer s = 7 mm dicken Lage aus der nicht rostenden Stahlsorte X6CrNiMoTi17-12-2 plattiert (kraftschlüssige Verbindung). Der hierdurch entstehende Verbundstab wird durch die im Flächenschwerpunkt S angreifende Zugkraft statisch beansprucht. Es kann für beide Stahlsorten ein linear-elastisch idealplastisches Werkstoffverhalten angenommen werden (siehe Abbildung). Eigenspannungen durch das Plattieren können vernachlässigt werden. Werkstoffkennwerte von C60E+QT: Re = 580 N/mm2 E = 212000 N/mm2 μ = 0,30 Werkstoffkennwerte von X6CrNiMoTi17-12-2: Rp0,2 = 240 N/mm2 E = 212000 N/mm2 μ = 0,30

a) Berechnen Sie die zulässige Zugkraft F1, damit Fließen mit einer Sicherheit von SF = 1,4 an keiner Stelle des Verbundstabes eintritt. b) Ermitteln Sie diejenige Zugkraft F2, die erstmals zu einem Fließen des Verbundstabes führt. c) Berechnen Sie die Spannungen im Vierkantprofilstab sowie in der Plattierung bei einer Zugkraft von F3 = 800 kN. Zur Kontrolle der Beanspruchung wird in Längsrichtung des Verbundstabes ein Dehnungsmessstreifen appliziert (siehe Abbildung). d) Ermitteln Sie die wirkende Zugkraft F4 bei einer Dehnungsanzeige von HDMS = 1,800 ‰.

9

2 Grundbelastungsarten

Aufgabe 2.8

{{zzz 2

2

Ein Stahlseil (Rp0,2 = 980 N/mm , E = 212 000 N/mm ) mit einem Durchmesser von 50 mm und einer Länge von 75 m wurde aus Gründen des Korrosionsschutzes mit einer thermoplastischen Kunststoffschicht (E = 12 500 N/mm2) mit einer Dicke von 3 mm ummantelt. Stahlseil und Kunststoffmantel können als fest miteinander verbunden betrachtet werden. Berechnen Sie für eine Zugkraft von F = 1250 kN die Verlängerung der Stahlseils sowie die Spannungen im Stahlkern und im Kunststoffmantel. Das Werkstoffverhalten des Kunststoffmantels kann als linear-elastisch betrachtet werden.

Aufgabe 2.9

{{{{z

Eine Stahlstütze aus Werkstoff S235JR mit Kreisringquerschnitt soll eine axiale Druckkraft von F = 120 kN aufnehmen. Die Stütze hat die Länge l0 = 1600 mm und einen Außendurchmesser von da = 100 mm. Werkstoffkennwerte S235JR: Re = 235 N/mm2 Rm = 390 N/mm2 E = 210000 N/mm2 a) Auf welche Weise kann die Stütze versagen? b) Berechnen Sie die mindestens erforderliche Wandstärke s, damit die Druckkraft F mit Sicherheit (SF = 1,5) aufgenommen werden kann (Berechnung nur gegen Fließen). c) Um welchen Betrag 'l verkürzt sich die Stütze für die in Teil b) errechnete Wandstärke unter Wirkung der Druckkraft von F = 120 kN?

10

Aufgabe 2.10

2 Grundbelastungsarten {{zzz

Die Abbildung zeigt eine einfache hydraulische Hebevorrichtung. Die maximale Belastung der Hebevorrichtung soll m = 10000 kg betragen (g = 9,81 m/s2). Die Kolbenstange wurde aus Vergütungsstahl C60E gefertigt. Eine mögliche Knickung der Kolbenstange soll nicht betrachtet werden. Werkstoffkennwerte C60E (vergütet): Rp0,2 = 580 N/mm2 Rm = 950 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Berechnen Sie den erforderlichen Durchmesser d der Kolbenstange (Vollkreisquerschnitt), damit Fließen mit Sicherheit (SF = 1,20) ausgeschlossen werden kann. b) Ermitteln Sie die Verkürzung 'l der Kolbenstange bei einer Belastung von m = 10000 kg und dem in Teil a) berechneten Durchmesser d (Länge im unbelasteten Zustand l0 = 1,5 m). c) Bei einer anderen Ausführung der Kolbenstange wird ein Durchmesser von d1 = 80 mm gewählt (Vollkreisquerschnitt). Berechnen Sie die maximale Belastbarkeit m* der Hebevorrichtung, falls die Durchmesservergrößerung der Kolbenstange maximal 0,015 mm betragen darf.

Aufgabe 2.11 Zwischen den ebenen, starren Druckplatten einer Hydraulikpresse werden drei eben aufeinander liegende Metallscheiben mit gleichem Durchmesser (d = 50 mm) jedoch aus verschiedenen Werkstoffen (Magnesium, Kupfer und Stahl) auf Druck beansprucht (siehe Abbildung). Bei der zunächst unbekannten Druckkraft F wird an einer Messuhr die gemeinsame Verkürzung 'l = 0,25 mm ermittelt. Scheibe 1: Magnesium: E = 45000 N/mm2 Scheibe 2: Kupfer: E = 120000 N/mm2 Scheibe 3: Stahl: E = 210000 N/mm2 a) Berechnen Sie die Druckkraft F. b) Ermitteln Sie die Spannungen in den einzelnen Metallscheiben. c) Berechnen Sie die Verkürzungen der einzelnen Metallscheiben unter Wirkung der Druckkraft F.

{{zzz

2 Grundbelastungsarten

Aufgabe 2.12

11 {{{zz

Der dargestellte Kastenträger aus Werkstoff S275JR ist beidseitig gelenkig gelagert und wird durch die statisch wirkende Kraft F = 25 kN auf Biegung beansprucht. Das Eigengewicht des Trägers sowie Schubspannungen durch Querkräfte sollen vernachlässigt werden. Berechnen Sie die mindestens erforderliche Wandstärke s, damit Fließen mit Sicherheit (SF = 1,5) ausgeschlossen werden kann. Werkstoffkennwerte S275JR: Re = 275 N/mm2 Rm = 540 N/mm2 E = 208000 N/mm2 μ = 0,30

Aufgabe 2.13

{{zzz

Ein einseitig eingespannter T-Träger aus dem unlegierten Baustahl S355J2 wird durch die statisch wirkende Kraft F = 1 kN auf Biegung beansprucht. Das Eigengewicht des Trägers, Schubspannungen durch Querkräfte sowie die Kerbwirkung an der Einspannstelle sollen bei allen Aufgabenteilen vernachlässigt werden. Abmessungen des T-Trägers: Werkstoffkennwerte S355J2: a = 1000 mm Re = 355 N/mm2 H = 60 mm Rm = 610 N/mm2 h = 40 mm B = 60 mm E = 212000 N/mm2 b = 20 mm μ = 0,30 a) Bestimmen Sie die Lage zs des Flächenschwerpunktes S und berechnen Sie das axiale Flächenmoment 2. Ordnung (Iy) sowie das axiale Widerstandsmoment (Wby) bezüglich der y-Achse. b) Ermitteln Sie die Sicherheit SF gegen Fließen für die höchst beanspruchte Stelle. c) Für eine Konstruktionsvariante soll die Länge des T-Trägers auf a* = 1500 mm erhöht werden. Die Belastung von F = 1 kN bleibt unverändert. Ermitteln Sie das mindestens erforderliche axiale Widerstandsmoment (W*by), falls eine Sicherheit von SF = 1,5 gegen Fließen gefordert wird.

12

2 Grundbelastungsarten

Aufgabe 2.14

{{zzz

Ein Rohr mit Kreisringquerschnitt und einer Länge von l = 2500 mm (Außendurchmesser da = 100 mm, Wandstärke s = 5 mm) aus Werkstoff S275JR (Re = 275 N/mm2 und E = 210000 N/mm2) ist an beiden Enden gelenkig gelagert und wird in der Mitte durch die statisch wirkende Einzelkraft F belastet. a) Skizzieren Sie den Verlauf des Biegemomentes Mb und berechnen Sie das maximale Biegemoment Mb max in Abhängigkeit der Kraft F. b) Ermitteln Sie die zulässige Durchbiegung fmax des Stahlrohres, damit Fließen mit Sicherheit (SF = 1,5) ausgeschlossen werden kann. c) Auf welchen zulässigen Betrag f*max muss die maximale Durchbiegung begrenzt werden, falls als Rohrwerkstoff die Gusseisensorte EN-GJL-350 (Rm = 350 N/mm2; VbB | 2,5˜ Rm und E = 100000 N/mm2) gewählt und eine Sicherheit von SB = 5,0 gegen Bruch gefordert wird? Hinweis: f

F ˜l3 48 ˜ E ˜ I

Aufgabe 2.15

{{zzz

Ein Stahlträger mit quadratischer Querschnittsfläche (B = 200 mm; b = 180 mm) aus Baustahl S355JR (Re = 355 N/mm2) wird beim Bau einer Stahlkonstruktion frei tragend vorgeschoben. Die Masse des Trägers beträgt q = 80 kg/m (Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2). Berechnen Sie die maximal mögliche freie Länge l des Stahlträgers, damit plastische Verformungen infolge des Eigengewichts mit Sicherheit (SF = 1,5) ausgeschlossen werden können. Kerbwirkung an der Einspannstelle, das Eigengewicht des Trägers sowie Schubspannungen durch Querkräfte dürfen vernachlässigt werden.

2 Grundbelastungsarten

Aufgabe 2.16

13 {{{zz

Ein Bauteil mit einer Masse von m = 1000 kg soll mit Hilfe des dargestellten Freiträgers gehalten werden. Der Abstand l zwischen Seilrolle und Einspannung beträgt 1,5 m. Der Durchmesser der Seilrolle kann gegenüber der Stablänge vernachlässigt werden (g = 9,81 m/s2). Kerbwirkung an der Einspannstelle sowie Schubspannungen durch Querkräfte sollen ebenfalls vernachlässigt werden. a) Berechnen Sie das erforderliche axiale Widerstandsmoment (Wb) des Freiträgers, damit die Masse m mit Sicherheit (SF = 1,5) gehalten werden kann, falls der Träger aus C35E (Re = 295 N/mm2) gefertigt wurde. b) Ermitteln Sie die Masse m*, die von einem baugleichen Träger aus der Gusseisensorte EN-GJL-300 (Rm = 300 N/mm2; VbB = 460 N/mm2) mit Sicherheit (SB = 4,0) gehalten werden kann, falls ein Vollkreisquerschnitt mit d = 50 mm gewählt wird.

Aufgabe 2.17

{zzzz

Die Abbildung zeigt die Querschnittsfläche einen Profilstabes. Sie entspricht einem gleichschenkligen Dreieck mit der Höhe h und der Breite b. a) Berechnen Sie das axiale Flächenmoment 2. Ordnung (Iy) sowie das axiale Widerstandsmoment (Wby) bezüglich der y-Achse (Achse durch den Flächenschwerpunkt S ). b) Ermitteln Sie das axiale Flächenmoment 2. Ordnung (Iy) und das axiale Widerstandsmoment (Wby) für ein gleichseitiges Dreieck mit der Kantenlänge b. c) Berechnen Sie die Werte für Iy und Wby für den Fall eines gleichschenkligen Dreiecks, jedoch bezüglich der y’-Achse (siehe Abbildung).

Aufgabe 2.18 Ermitteln Sie für den dargestellten Rechteckquerschnitt rechnerisch das axiale Flächenmoment 2. Ordnung sowie das axiale Widerstandsmoment: a) bezüglich der y-Achse (Iy und Wby). b) bezüglich der z-Achse (Iz und Wbz).

{zzzz

14

Aufgabe 2.19

2 Grundbelastungsarten {{zzz

Der dargestellte Rechteckquerschnitt hat eine Fläche von A = 72 cm2. Das axiale Flächenmoment 2. Ordnung bezüglich der ya-Achse (a = 5 cm) ist bekannt und beträgt Iya = 2664 cm4. Berechnen Sie das axiale Flächenmoment 2.Ordnung bezüglich der yb-Achse (b = 2 cm).

Aufgabe 2.20

{{zzz

Das dargestellte U-Profil setzt sich aus drei Rechtecken zusammen. a) Ermitteln Sie den Abstand zS des Flächenschwerpunktes S von der y‘-Achse. b) Berechnen Sie das axiale Flächenmoment 2. Ordnung (Iy) bezüglich der y-Achse (Achse durch den Flächenschwerpunkt S).

Aufgabe 2.21 Berechnen Sie für das dargestellte Profil die axialen Flächenmomente 2. Ordnung und die axialen Widerstandsmomente: a) bezüglich der y-Achse (Iy und Wby). b) bezüglich der z-Achse (Iz und Wbz).

{{zzz

2 Grundbelastungsarten

Aufgabe 2.22

15 {zzzz

Ein gelenkig gelagerter U-Profilstab aus der unlegierten Baustahlsorte S275JR wird durch eine statisch wirkende Zugkraft F beansprucht. Werkstoffkennwerte S275JR: Rp0,2 = 280 N/mm2 Rm = 550 N/mm2 E = 209000 N/mm2 μ = 0,30 Bei einem ersten zu untersuchenden Lastfall wirkt die Zugkraft F in horizontaler Richtung (x-Richtung). Der Kraftangriffspunkt befindet sich jedoch am unteren Ende der Querschnittsfläche (siehe Abbildung).

a) Berechnen Sie Lage des Flächenschwerpunktes (Maß zs) sowie das axiale Flächenmoment 2. Ordnung des U-Profils bezüglich der y-Achse (Iy). b) Berechnen Sie die zulässige Zugkraft F, falls an keiner Stelle der Querschnittsfläche I - I eine Spannung von Vzul = 150 N/mm2 überschritten werden darf. Bei einem zweiten zu untersuchenden Lastfall greift die Kraft F im Flächenschwerpunkt S unter einem Winkel von D = 25° zur Horizontalen (x-Richtung) an.

c) Ermitteln Sie die zulässige Zugkraft F, damit Fließen an der höchst beanspruchten Stelle mit einer Sicherheit von SF = 1,5 ausgeschlossen werden kann. Schubspannungen durch Querkräfte können vernachlässigt werden.

16

Aufgabe 2.23

2 Grundbelastungsarten {{{zz

Über eine einfache Laschenverbindung aus unlegiertem Baustahl E295 (Re = 295 N/mm2; Rm = 490 N/mm2; WaB = 150 N/mm2) soll eine Kraft von F = 35 kN übertragen werden. a) Ermitteln Sie den Durchmesser d des Bolzens, damit eine sichere Kraftübertragung erfolgen kann (SB = 2,0). b) Bestimmen Sie für den Bolzen gemäß Aufgabenteil a) die maximale Biegespannung Vb. Zwischen Bolzen und Laschen soll dabei ausreichend Spiel bestehen. Das Maß b soll 20 mm betragen. c) Berechnen Sie die maximale Flächenpressung p in der Laschenverbindung.

Aufgabe 2.24

{{{zz

Zur Verlängerung einer druckbeanspruchten Rohrstütze werden Bolzen aus C45 (Rm = 580 N/mm2; Re = 320 N/mm2) mit einem Durchmesser von d = 25 mm verwendet (siehe Abbildung). a) Ist die Sicherheit gegen Abscheren des Bolzens ausreichend, falls die maximal zulässige Druckkraft auf die Stützen F = 150 kN beträgt? Anstelle des Bolzens sollen die beiden Rohre durch Kleben miteinander verbunden werden. b) Ermitteln Sie die erforderliche Klebelänge lK, damit die Druckkraft F = 150 kN aufgenommen werden kann. Die zulässige Schubspannung in der Klebeverbindung WK zul darf 15 N/mm2 nicht überschreiten.

Aufgabe 2.25 An der Innenoberfläche eines zylindrischen Behälters aus Werkstoff G34CrMo4 (Rp0,2 = 600 N/mm2; Rm = 750 N/mm2) sind zur Auflage eines Zwischenbodens 4 um 90° gegeneinander versetzte Zapfen mit einer Breite b von jeweils 80 mm angegossen worden. Berechnen Sie die mindestens erforderliche Höhe h, damit bei einer Auflagekraft von FA = 2000 kN ein Bruch mit Sicherheit (SB = 2,5) ausgeschlossen werden kann. Normalspannungen aufgrund von Biegung sowie Kerbwirkung sollen vernachlässigt werden.

{{{{z

2 Grundbelastungsarten

Aufgabe 2.26

17 {{{{z

Aus einer Blechtafel aus der AluminiumLegierung EN AW-Al Mg3-H14 (WaB = 290 N/mm2) mit einer Dicke von t = 3 mm soll das dargestellte Teil ausgestanzt werden. Ermitteln Sie die mindestens erforderliche Stanzkraft FS.

Aufgabe 2.27

{{{zz

Der dargestellte Zugstab wird durch zwei Stahlnieten mit dem Anschlussblech verbunden (jeweils zweischnittige Nietverbindung). Ermitteln Sie den erforderlichen Durchmesser d der Nieten, damit eine statisch wirkende Zugkraft von FZ = 100 kN mit Sicherheit (SB = 3,5) aufgenommen werden kann. Als Werkstoff für die Nieten soll C22 verwendet werden (Scherfestigkeit WaB = 290 N/mm2).

Aufgabe 2.28

{{{{z

Die Abbildung zeigt die einschnittige Nietverbindung zweier Stahlbleche. Als Nietwerkstoff wurde die AluminiumLegierung EN AW-Al Zn5Mg3Cu-T6 gewählt. Die Scherfestigkeit der Legierung beträgt WaB= 380 N/mm2. Berechnen Sie den mindestens erforderlichen Durchmesser d des Niets, damit eine Kraft von FZ = 50 kN mit Sicherheit (SB = 3,0) übertragen werden kann. Kerbwirkung und Biegeanteile sollen vernachlässigt werden.

18

2 Grundbelastungsarten

Aufgabe 2.29

{{{{z

Ein Rohr aus Werkstoff S275JR mit einem Außendurchmesser da = 50 mm und einer Wandstärke von s = 6 mm wird durch ein Torsionsmoment Mt statisch beansprucht. Werkstoffkennwerte S275JR: Re = 295 N/mm2 E = 210000 N/mm2 2 Rm = 490 N/mm μ = 0,30

a) Skizzieren Sie qualitativ den Spannungsverlauf über der Querschnittsfläche. b) Ermitteln Sie das zulässige Torsionsmoment, damit ein Versagen mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann (SF = 1,2 und SB = 2,0). c) Berechnen Sie für den Fall aus Aufgabenteil b) die maximale Schubspannung im Querschnitt.

Aufgabe 2.30

{{{zz

Ein Torsionsstab aus Werkstoff S275JR (Werkstoffkennwerte siehe Aufgabe 2.29) mit Vollkreisquerschnitt und einer Länge von l = 2 m ist an einem Ende fest eingespannt. Am anderen Ende des Stabes ist eine Platte angebracht, an der vier tangential gerichtete, statisch wirkende Kräfte von je F = 900 N angreifen. Der Abstand der Wirkungslinien der Kräfte beträgt c = 700 mm. Die Kerbwirkung an der Einspannstelle kann vernachlässigt werden.

a) Dimensionieren Sie den Durchmesser d des Stabes so, damit Fließen mit einer Sicherheit von SF = 2,0 ausgeschlossen werden kann. b) Bestimmen Sie den mindestens erforderlichen Durchmesser d*, falls der Stab aus der Gusseisensorte EN-GJL-300 (Rm = 300 N/mm2; E = 110000 N/mm2; μ = 0,25) gefertigt wurde und eine Sicherheit von SB = 5,0 gegen Bruch verlangt wird. c) Ermitteln Sie den Verdrehwinkel M für die Fälle aus Aufgabenteil a) und b).

2 Grundbelastungsarten

Aufgabe 2.31

19 {{{zz

Ein Stab mit kreiszylindrischer Querschnittsfläche aus dem Vergütungsstahl 42CrMo4 mit den in der Abbildung gegebenen Abmessungen, ist an einem Ende fest eingespannt und wird an seinem anderen Ende durch das statisch wirkende, tangential angreifende Kräftepaar F auf Torsion beansprucht. Die Kerbwirkung an der Einspannstelle sowie im Bereich der Durchmesserveränderung kann vernachlässigt werden. Werkstoffkennwerte 42CrMo4: Rp0,2 = 1140 N/mm2 Rm = 1320 N/mm2 E = 205000 N/mm2 μ = 0,30

a1 a2 a3 c

= 50 mm = 25 mm = 65mm = 80 mm

da = 40 mm di = 15 mm d = 25 mm

a) Berechnen Sie die Kräfte F, die erforderlich sind, um den Stab um 2,5° zu verdrehen. b) Ermitteln Sie für die in Aufgabenteil a) berechnete Kraft F die Sicherheiten gegen Fließen (SF) in den einzelnen Abschnitten des Stabes.

Aufgabe 2.32

{zzzz

Berechnen Sie das polare Flächenmoment 2. Ordnung (Ip) sowie das Widerstandsmoment gegen Torsion (Wt): a) für einen Vollkreisquerschnitt mit Durchmesser d, b) für einen Kreisringquerschnitt mit Außendurchmesser da und Innendurchmesser di.

20

2 Grundbelastungsarten

Aufgabe 2.33

{zzzz

Die Abbildung zeigt ein einfaches Getriebe für eine Seilwinde (schematisch). Unter der Wirkung der zu übertragenden Torsionsmomente werden die beiden Wellen elastisch verdreht. l1 = 100 mm l2 = 200 mm d1 = 25 mm d2 = 35 mm D1 = 50 mm D2 = 100 mm

a) Ermitteln Sie allgemein den Zusammenhang zwischen dem Antriebsmoment Mt1 und dem Abtriebsmoment Mt2. b) Berechnen Sie das zulässige Abtriebsmoment Mt2, falls der Verdrehwinkel der Seilrolle MS = 3° gegenüber dem unbelasteten Zustand nicht überschreiten darf. Die Zahnräder sowie die Seilrolle sind als starre Scheiben zu betrachten. Als Werkstoff für die Stahlwellen wurde der Vergütungsstahl 36CrNiMo4 gewählt. Werkstoffkennwerte 36CrNiMo4 (vergütet): Rp0,2 = 900 N/mm2 Rm = 1120 N/mm2 E = 205000 N/mm2 μ = 0,30

Aufgabe 2.34 Ein kegelstumpfförmiges Bauteil (l = 2000 mm; D = 50 mm; d = 40 mm) aus der Federstahlsorte 54SiCr6 soll als Drehstabfeder eingesetzt werden. Ermitteln Sie das übertragbare Torsionsmoment Mt, falls der Verdrehwinkel des Stabes auf M = 5° begrenzt werden soll. Werkstoffkennwerte 54SiCr6: Rp0,2 = 1150 N/mm2 Rm = 1520 N/mm2 E = 205000 N/mm2 μ = 0,30

zzzzz

21

2 Grundbelastungsarten

Aufgabe 2.35

{{zzz

Zu Versuchszwecken wurde der abgebildete, abgesetzte Torsionsstab mit Vollkreisquerschnitt entwickelt. Die einzelnen Abschnitte setzen sich aus unterschiedlichen Werkstoffen zusammen. Werkstoff S235JR CuAl10Fe3Mn2 EN AW-Al Cu4Mg1-T6

Re bzw. Rp0,2

Rm

E

N/mm2

N/mm2

N/mm2

μ

240 330 350

450 590 560

210000 108000 68000

0,30 0,34 0,33

d1 = 30 mm d2 = 28 mm d3 = 26 mm l1 = 50 mm l2 = 80 mm l3 = 120 mm

Ermitteln Sie das zulässige Torsionsmoment Mt zul sowie den zulässigen Verdrehwinkel Mzul des Torsionsstabes, so dass Fließen mit einer Sicherheit von SF = 1,5 ausgeschlossen werden kann. Kerbwirkung an der Einspannstelle sowie an den Stellen der Querschnittsveränderung ist zu vernachlässigen.

22

2 Grundbelastungsarten

2.3 Lösungen Lösung zu Aufgabe 2.1 a) Berechnung der Normalspannung

V

F A

60 000 N

F

S 4

˜



d a2

 d i2



S 4



2

˜ 25  20

2

mm

339,53 N/mm 2 2

b) Festigkeitsbedingung (Fließen)

V d V zul

V SF

Rp0,2 SF 680 N/mm 2 339,53 N/mm 2

Rp0,2

V

2,00 (ausreichend, da S F ! 1,20)

Festigkeitsbedingung (Bruch)

V d V zul V

Rm SB

1 050 N/mm 2 339,53 N/mm 2

Rm

SB

V

3,09 (ausreichend, da S B ! 2,0)

c) Berechnung der Dehnung bzw. Verlängerung mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes

V 'l

E ˜H

E˜

V ˜ l0 E

'l l0

339,53 N/mm 2 ˜ 1 200 mm 208 000 N/mm 2

1,96 mm

d) Berechnung der Querkontraktion mit Hilfe des Poissonschen Gesetzes

Hq

P ˜ H l

mit H l 'd a da

V E P ˜

und H q

'd a folgt: da

V E

'd a E ˜ da P F mit V folgt schließlich: A

V



23

2 Grundbelastungsarten

F



'd a E S 2 2 ˜ ˜ d a  di da P 4







 0,01 mm ˜ 208 000 N/mm 2 S ˜ 252  20 2 mm 2 25 mm ˜ 0,30 4



49 008 N | 49 kN

e) Festigkeitsbedingung (Fließen)

V d V zul F*

S 4 di s

d

2 a

Rp0,2

 d i2



d a2 

4 ˜ F * ˜ SF S ˜ Rp0,2

da  di 2

SF

25 mm 2  4 ˜ 150 000 N ˜ 12,4

25 mm - 15,22 mm 2

S ˜ 680 N/mm

4,89 mm

15,22 mm



24

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.2 a) Versagensmöglichkeiten: Fließen und Bruch. Ermittlung der zulässigen Spannungen Fließen: V zul

Re SF

430 N/mm 2 1,5

286,7 N/mm 2

Bruch: V zul

Rm SB

630 N/mm 2 2,0

315 N/mm 2

Berechnung gegen Fließen, da kleinere zulässige Spannung. Festigkeitsbedingung

V d V zul Re SF

F A

Re SF

F

S 4

˜d2

4 ˜ F ˜ SF S ˜ Re

d

4 ˜ 15 500 N ˜ 1,5 S ˜ 430 N/mm 2

8,29 mm

b) Berechnung der Dehnung bzw. Verlängerung mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes

V

H

E ˜H

V

F A˜ E

E

15 500 N

S 4

˜ 8,29 mm ˜ 210 000 N/mm 2

0,00137 2

Mit H = 'l/l0 folgt dann für die Verlängerung des Zugstabes: 'l

H ˜ l0

0,00137 ˜ 1500 mm

2,05 mm

c) Bedingung für Bruch:

V FB A FB

Rm Rm

S 4

˜ d 2 ˜ Rm

S 4

˜ 8,29 mm 2 ˜ 630 N/mm 2

34 064 N

1,37 ‰

25

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.3 a) Berechnung der Kraft pro Stahlband Leerer Wassertank: FL Voller Wassertank: FV

mL ˜ g 4 mV ˜ g 4

2 000 kg ˜ 9,81 m/s 2 4 3 600 kg ˜ 9,81 m/s 2 4

4 905 N 8 829 N

Berechnung der Spannungen im Stahlband Leerer Wassertank:

VL

FL A

4 905 N 25 mm ˜ 4 mm

49,05 N/mm 2

Voller Wassertank:

VV

FV A

8 829 N 25 mm ˜ 4 mm

88,29 N/mm 2

b) Festigkeitsbedingung für Fließen (voller Tank)

V V d V zul SF

Re SF

Re

265 N/mm 2

Vv

88,29 N/mm 2

3,00

(ausreichend, da S F ! 1,20)

Festigkeitsbedingung für Bruch (voller Tank)

V V d V zul SB

Rm SB 470 N/mm 2 88,29 N/mm 2

Rm

Vv

5,32 (ausreichend, da S B ! 2,0)

c) Berechnung der Verlängerung der Stahlbänder infolge Befüllung (Hookesches Gesetz, einachsiger Spannungszustand) 'H

V V V L

88,29 N/mm 2  49,05 N/mm 2

E

210 000 N/mm 2

Mit H = 'l/l0 folgt schließlich: 'l

'H ˜ l 0

0,000187 ˜1 500 mm

0,28 mm

0,000187

26

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.4 a) Versagensmöglichkeiten: Fließen und Bruch Ermittlung der zulässigen Spannungen Fließen: V zul

Re SF

260 N/mm 2 1,5

173,3 N/mm 2

Rm 480 N/mm 2 240 N/mm 2 SB 2,0 Berechnung gegen Fließen, da kleinere zulässige Spannung.

Bruch: V zul

Festigkeitsbedingung

V d V zul F A

Re SF

m˜g

S 4

Re SF

˜d2

4 ˜ 2 500 kg ˜ 9,81 m/s 2 ˜ 1,5 S ˜ 260 N/mm 2

4 ˜ m ˜ g ˜ SF S ˜ Re

d

13,42 mm

b) Versagensmöglichkeit Bruch, da spröder Werkstoff Festigkeitsbedingung

V d V zul F A

Rm SB

m˜g

S 4 SB

Rm SB

˜d2

S 4

S 4

˜d2 ˜

Rm m˜ g

˜ 20 mm 2 ˜

300 N/mm 2 2 500 kg ˜ 9,81 m/s 2

3,84 (nicht ausreichend, da S B  4,0)

c) Versagensmöglichkeit Bruch, da spröder Werkstoff Festigkeitsbedingung

V d V zul m˜g

S 4 m

˜d2

S 4

Rm SB ˜d2 ˜

Rm g ˜ SB

S 4

˜ 20 mm 2 ˜

300 N/mm 2 9,81 m/s 2 ˜ 4

2 402 kg

27

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.5 a) Freischneiden des Stabwerks (ohne Lagerstellen)

Ermittlung des Winkels D (siehe Abbildung):

D

§ 1,8 m · ¸¸ arctan¨¨ © 2,0 m ¹

§a· arctan¨ ¸ ©b¹

41,99q

Ansetzen des Momentengleichgewichts um die Lagerstelle A liefert die Stabkraft FS: 6 MA

0:

FS ˜ sinD ˜ b FS

m ˜ g ˜ (b  c) 1500 kg ˜ 9,81 m/s 2 (2 m  1,2 m) ˜ sin 41,99q 2m

m˜ g b  c ˜ sinD b

35 195 N

b) Ermittlung der Zugspannung im Stab

VS

FS A

FS

S 4



d a2

35 195 N

 d i2



S 4

50

2

 40

2

mm

49,8 N/mm 2 2

c) Berechnung der Dehnung bzw. der Verlängerung des Stabes mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand) Für Stahl (E = 210 000 N/mm2):

VS 'l

E ˜H

E˜

'l mit l0 l0

a 2  b2

V S ˜ a 2  b2

49,8 N/mm 2 ˜ 2 000 2  1800 2 mm 2

E

210 000 N/mm 2

0,64 mm

Für die Al-Legierung (E = 70 000 N/mm2): 'l

V S ˜ a2  b2

49,8 N/mm 2 ˜ 2 000 2  1800 2 mm 2

E

70 000 N/mm 2

1,91 mm

28

2 Grundbelastungsarten

d) Bedingung für Bruch:

VS

Rm FS Rm A m1 ˜ g b  c 1 ˜ ˜ sin D b A

Rm

Für Stahl ergibt sich damit: b S 2 R ˜sinD ˜ d a  d i2 ˜ m bc 4 g



m1



S 2 000 mm 510 N/mm 2 ˜ sin 41,99q ˜ 50 2  40 2 mm 2 ˜ (2 000  1 200) mm 4 9,81 m/s 2





15 364 kg

Für die Aluminiumlegierung folgt auf analoge Weise:

S 2 000 mm 350 N/mm 2 ˜ sin 41,99q ˜ 50 2  40 2 mm 2 ˜ (2 000  1 200) mm 4 9,81 m/s 2



m1



e) Versagensmöglichkeiten: Fließen und Bruch Ermittlung der zulässigen Spannungen Für die Stahlkonstruktion folgt: Fließen: V zul

Re SF

275 N/mm 2 1,5

183,3 N/mm 2

Rm 510 N/mm 2 255 N/mm 2 SB 2,0 Berechnung gegenüber Fließen, da kleinere zulässige Spannung.

Bruch: V zul

Festigkeitsbedingung

V S d V zul FS A

Re SF

m2 ˜ g b  c ˜ b sinD

S

4

S 4

˜ (d a2  d i2 )



˜ d a2  d i2



Re SF m2 ˜ g b  c S F ˜ ˜ sinD b Re

10 544 kg

29

2 Grundbelastungsarten

4 m2 ˜ g b  c S F ˜ ˜ ˜  d i2 sinD b Re

da

S

4 3 250 kg ˜ 9,81 m/s 2 (2  1,2) m 1,5 ˜ ˜ ˜  40 mm 2 2 sin 41,99q 2m S 275 N/mm

46,15 mm

Damit errechnet sich die Mindestwanddicke s für die Stahlkonstruktion zu: s

da  di 2

46,15 mm  40 mm 2,0

3,07 mm

Für die Al-Konstruktion folgt: Fließen:

V zul

Bruch:

V zul

R p0,2 SF Rm SB

270 N/mm 2 1,5 350 N/mm 2 2,0

180 N/mm 2 175 N/mm 2

Berechnung gegenüber Bruch (!), da kleinere zulässige Spannung. Für den Außendurchmesser folgt in Analogie zur Stahlkonstruktion: da

2,0 4 3 250 kg ˜ 9,81 m/s 2 (2  1,2) m ˜ ˜ ˜  40 mm 2 2 S sin 41,99q 2m 350 N/mm

Damit errechnet sich die Mindestwanddicke s für die Al-Konstruktion zu: s

da  di 2

46,42 mm  40 mm 2

3,21 mm

46,42 mm

30

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.6 Freischneiden des Stabwerks (ohne Lagerstellen)

Berechnung der Dehnung H des Stahlseils

H

'l l0

'l a / cosD

0,5 mm 1500 mm / cos30q

0,000289

Berechnung der Zugspannung VS im Stahlseil mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

VS

E ˜H

210 000 N/mm 2 ˜ 0,000289

60,62 N/mm 2

Berechnung der Seilkraft FS FS

V S ˜ A 60,62 N/mm 2 ˜100 mm 2

6 062 N

Ansetzen des Momentengleichgewichts um A ergibt die Schnittkraft F1 6MA 0: FS ˜ sinD ˜ a F1

F1 ˜ b

FS ˜ sinD ˜

a b

6 062 N ˜ sin 30q ˜

1,5 m 2,9 m

1 567,8 N

Ansetzen des Momentengleichgewichts um B liefert die Kraft F 6MB 0: F1 ˜ (d  b) F

F1 ˜

F ˜ (d  c)

(d  b) (d  c)

1 567,8 N ˜

(4,5  2,9) m (4,5  3,3) m

2 090,4 N

31

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.7 a) Fließen tritt ein, sobald die Lastspannung die Dehngrenze Rp0,2 des austenitischen Werkstoffs X6CrNiMoTi17-12-2 erreicht. Festigkeitsbedingung

V d V zul F1 Ages F1

Rp0,2 SF Rp0,2 SF

240 N/mm 2 ˜ 50 mm 2 1,4

˜ Ages

428 571 N

428,6 kN

600 000 N

600 kN

b) Bedingung für Fließen des Verbundstabes F2 Ages F2

Rp0,2 240 N/mm 2 ˜ 50 mm 2

Rp0,2 ˜ Ages

c) Berechnung der (fiktiven) Spannung Vf im Verbundstab

Vf

F3 Ages

800 000 N

50 mm

320 N/mm 2

2

Da Vf > Rp0,2 wird die Plattierung bereits plastisch verformt, während der Vierkantprofilstab noch elastisch beansprucht ist (Vf < Re). Da die Spannung in der plastifizierten Plattierung die Dehngrenze Rp0,2 nicht überschreiten kann (linear-elastisch ideal-plastisches Werkstoffverhalten), beträgt die Spannung in der Plattierung VPL = Rp0,2 = 240 N/mm2. Berechnung des von der Plattierung aufzunehmenden Anteils des Zugkraft F3 F3 PL



Rp0,2 ˜ a  2s 2  a 2

Rp0,2 ˜ APL







240 N/mm 2 ˜ 50 2  36 2 mm 2

288 960 N

Berechnung des vom Vierkantprofilstab aufzunehmenden Anteils des Zugkraft F3 F3 VK

F3  F3 PL

800 000 N - 288 960 N

511 040 N

Berechnung der Spannung im Vierkantprofilstab

V VK

F3 VK

511 040 N

AVK

36 mm 2

394,32 N/mm 2

d) Aufgrund der formschlüssigen Verbindung muss die Dehnung der Plattierung der Dehnung des Vierkantprofilstabes entsprechen. Berechnung der Spannung in der Plattierung bei einer Dehnung von HDMS

V PL

H DMS ˜ E

0,0018 ˜ 212 000 N/mm 2

381,6 N/mm 2 (! R p0,2 )

32

2 Grundbelastungsarten

Damit ist die Plattierung bereits plastifiziert. Die zur Plastifizierung der Plattierung erforderliche Kraft errechnet sich zu F = 288960 N (siehe Aufgabenteil c). Berechnung der Spannung im Vierkantprofilstab bei einer Dehnung von HDMS

V 4 VK

H DMS ˜ E

0,0018 ˜ 212 000 N/mm 2

381,6 N/mm 2 ( Re )

Damit ergibt sich die Kraft F4VK zu: F4 VK

V 4 VK ˜ 36 mm 2

494 553,6 N

Berechnung der erforderlichen Gesamtkraft F4 F4

F4 VK  FPL

494553,6 N  288 960 N

783 513,6 N

783,5 kN

33

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.8 Berechnung der Längenänderung des Seiles Die Zugkraft F wird anteilig vom Stahlkern (FK) und vom Kunststoffmantel (FM) aufgenommen. Es gilt also: FK  FM

F

E K ˜ H K ˜ AK  E M ˜ H M ˜ AM

Da Kern und Mantel fest miteinander verbunden sind, gilt HK = HM = H und damit für die Zugkraft F: 'l F E K ˜ H ˜ AK  E M ˜ H ˜ AM E K ˜ AK  E M ˜ AM ˜ l0 Damit folgt für die Längenänderung des Seiles: F ˜ l0

'l EK ˜

S 4

˜ d K2  EM ˜

S 4



˜ d 2  d K2



1250 000 N ˜ 75 000 mm 2

212000 N/mm ˜

S 4

˜ 50 mm  12500 N/mm ˜ 2

2

S 4



˜ 56 mm - 50 mm 2

Berechnung der Zugspannung im Stahlkern

VK

EK ˜H K

EK ˜

'l l0

212 000 N/mm 2 ˜

221,9 mm 75 000 mm

Berechnung der Zugspannung im Kunststoffmantel 'l 221,9 mm V M EM ˜ H M E M ˜ 12 500 N/mm 2 ˜ l0 75 000 mm

627,2 N/mm 2

37,0 N/mm 2

2



221,9 mm

34

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.9 a) Zäher Werkstoff: Versagen durch Fließen oder Knickung b) Festigkeitsbedingung (Berechnung nur gegen Fließen gemäß Aufgabenstellung)

V d d V zul V dF

F A

Re SF

|

SF

Re SF

F

S 4



˜ d a2  d i2

d a2 

di s

da  di 2



4 ˜ F ˜ SF S ˜ Re

100 mm 2  4 ˜ 120000 N ˜ 12,5 S ˜ 235 N/mm

100 mm  95 mm 2

94,99 mm | 95 mm

2,5 mm

c) Berechnung der Verkürzung mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

Vd H 'l l0 'l

E ˜H

Vd E F A˜ E F ˜ l0

S 4



120000 N ˜ 1600 mm



˜ d a2  d i2 ˜ E

S 4





˜ 100 2  952 mm 2 ˜ 210000 N/mm 2

1,19 mm

35

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.10 a) Freischneiden der Hebevorrichtung und Ansetzen der Festigkeitsbedingung

Ansetzen des Momentengleichgewichts um A liefert zunächst die gesuchte Beanspruchung der Kolbenstange (FK): 6 MA

0:

FK ˜ sinD ˜ a

m˜ g ˜b 10000 kg ˜ 9,81 m/s 2 3,6 m ˜ sin 70q 1,2 m

m˜ g b ˜ sinD a

FK

313187,5 N

313,2 kN

Festigkeitsbedingung (Fließen):

V dp0,2

FK A

SF

SF

Rp0,2

4 ˜ FK S ˜d2 d

Rp0,2

|

SF 4 ˜ FK ˜ S F S ˜ Rp0,2

4 ˜ 313187,5 N ˜ 1,20 S ˜ 580 N/mm 2

28,7 mm

b) Berechnung der Verkürzung 'l mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (einachsig)

Vd

E ˜H

FK A

E˜

'l

'l l0

Rp0,2 l0 ˜ SF E

mit

FK A

Rp0,2 SF

580 N/mm 2 1500 mm ˜ 1,20 210000 N/mm 2

3,45 mm

c) Berechnung der Querkontraktion mit Hilfe des Poissonschen Gesetzes

Hq

P ˜ H l

'd d1

P ˜

Vd E

36

2 Grundbelastungsarten

'd d1 'd d1

P ˜

 FK A˜ E

P

1

˜

E S ˜d2 1 4

˜

m* ˜ g ˜ b sinD ˜ a

Damit folgt für die Masse m*: m*

'd E S ˜ d12 sinD ˜ a ˜ ˜ ˜ 4 d1 P g ˜b 0,015 mm 210 000 N/mm 2 S ˜ (80 mm) 2 sin 70q ˜ 1,2 m ˜ ˜ ˜ 80 mm 0,30 4 9,81 m/s 2 ˜ 3,6 m

21065 kg

37

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.11 a) Ansetzen des Hookeschen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand) Scheibe 1 (Mg):

V d1

E1 ˜ H 1

Scheibe 2 (Cu):

V d2

E2 ˜ H 2

Scheibe 3 (Stahl): V d3

E3 ˜ H 3

V d1 ˜ l1 'l1 o 'l1 l1 E1 V d2 ˜ l2 'l 2 E2 ˜ o 'l2 l2 E2 V d3 ˜ l3 'l E3 ˜ 3 o 'l3 l3 E3

E1 ˜

Es gilt: 'l

'l1  'l2  'l3 und V d1 V d2

F

V d3 V d

S ˜d2 4

damit folgt: 'l

F

V d1 ˜ l1



E1

V d2 ˜ l2 E2



4˜ F § l

V d3 ˜ l3

l ·

l

˜¨ 1  2  3 ¸ S ˜ d 2 ¨© E1 E2 E3 ¸¹

E3

S ˜ 50 mm 2 ˜ 0,25

S ˜ d 2 ˜ 'l

§l § 37,5 50,3 32,2 · mm l · l ¸¸   4 ˜ ¨¨ 1  2  3 ¸¸ 4 ˜ ¨¨ 2 © 45 000 120 000 210 000 ¹ N/mm © E1 E2 E3 ¹ 349169,3 N | 349,2 kN

b) Spannungen in den Metallscheiben

V d1 V d2

V d3 V d

4˜ F

4 ˜ 349169,3 N

S ˜d2

S ˜ 50 mm 2

177,8 N/mm 2

c) Berechnung der Verkürzungen Scheibe 1 (Mg):

'l1

Scheibe 2 (Cu):

'l2

Scheibe 3 (Stahl): 'l3 Probe: 'l

V d ˜ l1 E1

V d ˜ l2 E2

V d ˜ l3 E3

'l1  'l 2  'l 3

177,8 N/mm 2 ˜ 37,5 mm 2 45 000 N/mm 2

0,148 mm

177,8 N/mm 2 ˜ 50,3 mm 2 120 000 N/mm 2

0,075 mm

177,8 N/mm 2 ˜ 32,2 mm 2 210 000 N/mm 2

0,027 mm

0,148 mm  0,075 mm  0,027 mm

0,25 mm

38

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.12 Berechnung des maximalen Biegemomentes Mb max 6 MB = 0 FA ˜ l

3 F ˜ ˜l 4

3 ˜F 4 3 l M b max ˜F ˜ 4 4 FA

3 ˜ F ˜l 16

Berechnung der Widerstandsmomentes Wby bezüglich der y-Achse B4 b4  12 12 B 2

W by

B4 b4 6˜ B

Festigkeitsbedingung (Fließen)

V b d V zul

V bF

Mb W by

SF

3 ˜ F ˜l 16 B4 b4 6˜ B

b

4

B4 

|

Re SF

Re SF

9˜ F ˜l ˜ B ˜ SF 8 ˜ Re

4

( 100 mm) 4 

9 ˜ 25000 N ˜ 5000 mm ˜100 mm ˜1,5

69,47 mm s

B b 2

100 mm  69,47 mm 2

15,3 mm

8 ˜ 275 N/mm 2

39

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.13 a) Berechnung der Lage z des Flächenschwerpunktes S der Gesamtfläche mit Hilfe des Teilschwerpunktsatzes zS

20 mm ˜ 800 mm 2  50 mm ˜1200 mm 2

6 z i ˜ Ai 6 Ai

2000 mm 2

38 mm

Berechnung der axialen Flächenmomente der Teilflächen bezüglich der y1- bzw. y2-Achse I y1 I y2

b ˜ h 3 20 mm ˜ (40 mm) 3 106 667 mm 4 12 12 B ˜ H  h 3 60 mm ˜ (20 mm) 3 40 000 mm 4 12 12

Berechnung der axialen Flächenmomente der Teilflächen sowie der Gesamtfläche bezüglich der y-Achse durch den Gesamtflächenschwerpunkt S I yS1

2 I y1  zS1 ˜ A1

106 667 mm4  (18 mm) 2 ˜ 800 mm2

I yS2

2 I y2  zS2 ˜ A2

40 000 mm4  ( 12 mm) 2 ˜ 1200 mm2

I yS

I yS1  I yS2

365 867 mm 4  212 800 mm 4

365 867 mm4 212 800 mm4

578 667 mm 4

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes bezüglich der y-Achse Wby

578 667 mm 4 38 mm

I yS zmax

15 228 mm 3

b) Festigkeitsbedingung

V b d V zul M b V bF W by

SF

F ˜a W by

Re SF

SF

|

Re mit M b SF

R e ˜ W by F ˜a

M b max

F ˜a

355 N/mm 2 ˜15 228 mm 3 1000 N ˜1000 mm

5,41 (ausreichend, da S F ! 1,20)

c) Aus Aufgabenteil b) folgt: * Wby

F ˜ a ˜ SF Re

1000 N ˜ 1500 mm ˜ 1,5 355 N/mm 2

6338,0 mm 3

40

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.14 a) Berechnung des maximalen Biegemomentes Mb max F ˜l 4

F l ˜ 2 2

M b max

b) Festigkeitsbedingung

V b d V zul M b max

V bF

Wb

SF

F ˜l 4 ˜ Wb

Re SF

mit f

Re SF

mit F

48 ˜ E ˜ I ˜ f ˜ l 4 ˜Wb ˜ l

|

3

48 ˜ E ˜ I ˜ f folgt : l3

Re SF

da folgt weiterhin : 2

I Wb f max

Re ˜ l 2 6˜ E ˜ da ˜ SF

275 N/mm 2 ˜ (2500 mm) 2 6 ˜ 210000 N/mm 2 ˜100 mm ˜1,5

9,09 mm

c) Festigkeitsbedingung Mb Wb

V bB SB

|

2,5 ˜ R m SB

Mit den Umformungen aus Aufgabenteil b) folgt schließlich: f

* f max

2,5 ˜ R m ˜ l 2 6˜ E ˜ da ˜ SB

2,5 ˜ 350 N/mm 2 ˜ (2500 mm) 2 6 ˜100 000 N/mm 2 ˜100 mm ˜ 5,0

18,23 mm

41

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.15 Berechnung des maximalen Biegemomentes Mb an der Einspannstelle Mb

l 2

q ˜ g ˜l ˜

q ˜ g ˜l 2 mit q 2

80 kg/m

0,08 kg/mm

Festigkeitsbedingung

V b d V zul Mb Wb

V bF SF

q ˜ g ˜l 2 2 B4 b4 6˜ B

l

|

Re SF

Re SF

Re ˜ ( B 4  b 4 ) SF ˜3˜ q ˜ g ˜ B

355 N/mm 2 ˜ (200 4  180 4 ) mm 4 1,5 ˜ 3 ˜ 0,08 kg/mm ˜ 9,81 m/s 2 ˜ 200 mm

16 630 mm

42

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.16 a) Festigkeitsbedingung

V b d V zul Mb Wb

V bF SF

2˜m˜ g ˜l Wb Wb

|

Re SF

mit M b

2˜ m ˜ g ˜l

Re SF

2 ˜ m ˜ g ˜ l ˜ SF Re

2 ˜ 1000 kg ˜ 9,81 m/s 2 ˜ 1500 mm ˜ 1,5 295 N/mm 2

b) Festigkeitsbedingung

V b d V zul Mb Wb

V bB SB

2 ˜ m* ˜ g ˜ l

S 32 m*

˜d

3

V bB SB

V bB ˜ S ˜ d 3 S B ˜ 64 ˜ g ˜ l

460 N/mm 2 ˜ S ˜ (50 mm) 3 4 ˜ 64 ˜ 9,81 m/s 2 ˜ 1500 mm

47,95 kg

14,96 ˜ 104 mm 3

43

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.17 a) Berechnung der Breite b(z) der Teilfläche dA(z) b 2˜b ˜z h 3

b· § b 2˜¨ ˜z ¸ 2 ˜ 3¹ h ©

b( z )

Berechnung des Flächeninhaltes der Teilfläche dA(z) 2˜b · §b ¨ ˜z ¸ ˜ dz h 3 ¹ ©

b( z ) ˜ dz

dA( z )

Berechnung des axialen Flächenmomentes bezüglich der y-Achse durch Integration zwischen z = -1/3 h und z = 2/3 h 1

ǿy

³z

2

³

˜ dA

23

A

1

b˜

3h

2˜b · §b z2 ˜ ¨ ˜ z  ¸ ˜ dz 3 ¹ ©h h

3h

§ z3 2 2 · ¨  ˜ z ¸dz ¨h 3 ¸ ¹ 2  3h ©

³

1

h

2 º3 ª 1 b˜« ˜ z4  z3» 9 ¼23h ¬4˜h

ª§ 1 1 2 1 · § 1 16 2 8 ·º b ˜ h 3 ˜ «¨ ˜  ˜ ¸  ¨ ˜  ˜ ¸ » ¬© 4 81 9 27 ¹ © 4 81 9 27 ¹¼ b ˜ h3 36

ª 11 § 4 ·º b ˜ h3 ˜ «  ¨ ¸» 4 ˜ 243 © 243 ¹¼ ¬

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes Wby bezüglich der y-Achse Wby

Iy z max

b ˜ h3 36 2 ˜h 3

b ˜ h2 24

3 ˜b 2 Damit folgt für das axiale Flächenmoment Iy und für das axiale Widerstandsmoment Wby:

b) Bei einem gleichseitigen Dreieck gilt: h

Iy Wby

b ˜ h3 36 b˜h 24

b˜

 3 / 2 ˜ b

3

b4

36 2

b˜

32 3

 3 / 2 ˜ b

2

24

b3 32

44

2 Grundbelastungsarten

c) Berechnung des axialen Flächenmomentes bezüglich der y‘-Achse I y' mit zS

I y  zS2 ˜ A b˜h folgt : 2

1 ˜ h und A 3 2

I y'

b ˜ h3 § h · b ˜ h ¨ ¸ ˜ 36 2 ©3¹

b ˜ h3 b ˜ h3  36 18

b ˜ h3 12

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes bezüglich der y‘-Achse

Wby'

I y' z max

b ˜ h3 12 h

b ˜ h2 12

45

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.18 a) Berechnung der Breite b(z) der Teilfläche dA(z) b( z ) b

konst.

Berechnung des Flächeninhaltes der Teilfläche dA(z) b ˜ dz

dA( z )

Berechnung des axialen Flächenmomentes bezüglich der y-Achse durch Integration zwischen z = -0,5˜h und z = 0,5˜h 0,5˜ h

ǿy

³

z 2 ˜ dA

³

0,5˜ h

z 2 ˜ b ˜ dz

b˜

 0,5˜ h

A

> @

b 3 z 3

0,5˜h  0,5˜h

³z

2

˜ dz

 0,5˜ h

b ˜ h3 § 1 1 · ˜¨  ¸ 3 ©8 8¹

b ˜ h3 12

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes Wby bezüglich der y-Achse b ˜ h3 Iy 12 b ˜ h2 Wby h z max 6 2 b) Die Berechnung des axialen Flächenmomentes bezüglich der z-Achse Die Berechnung erfolgt analog zu Aufgabenteil a. Man erhält: ǿz

h ˜ b 3 und 12

Wbz

h ˜ b2 6

46

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.19 Eine direkte Transformation des axialen Flächenmomentes Iya bezüglich der ya-Achse auf die yb-Achse mit Hilfe des Steinerschen Satzes ist nicht zulässig. Vielmehr muss als Zwischenschritt das axiale Flächenmoment bezüglich der Achse durch den Schwerpunkt (y-Achse) berechnet werden. Berechnung des axialen Flächenmomentes bezüglich der y-Achse (Iy) Iy

I ya  a 2 ˜ A

2 664 cm 4  (5 cm) 2 ˜ 72 cm 2

864 cm 4

Berechnung des axialen Flächenmomentes bezüglich der yb-Achse (Iyb) I yb

I y  b 2 ˜ A 864 cm 4  (2 cm) 2 ˜ 72 cm 2

1 152 cm 4

47

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.20 a) Berechnung der z-Koordinate des Flächenschwerpunktes mit Hilfe des Teilschwerpunktsatzes zS

6 zi ˜ Ai 6 Ai

50 mm ˜ 2 000 mm 2  10 mm ˜ 800 mm 2  50 mm ˜ 2 000 mm 2 2000 mm 2  800 mm 2  2 000 mm 2

43,33 mm

b) Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung der Teilflächen bezüglich der Einzelschwerpunktachsen I y1 I y2 I y3

20 mm ˜ (100 mm)3 1666 667 mm 4 12 40 mm ˜ (20 mm)3 26 667 mm 4 12 20 mm ˜ (100 mm)3 12

1 666 667 mm 4

Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung der Teilflächen bezüglich der y-Achse durch den Gesamtflächenschwerpunkt S I yS1 1666 667 mm4  (-6,67 mm)2 ˜ 2 000 mm2 I yS2

26 667 mm4  (33,33 mm)2 ˜ 800 mm2

I yS3

I yS1 1755 556 mm 4

1755 556 mm4

915 556 mm4

Das axiale Flächenmoment 2. Ordnung der Querschnittfläche bezüglich der y-Achse ergibt sich dann zu: I yS

I yS1  I yS2  I yS3 1 755 556 mm 4  915 556 mm 4  1 755 556 mm 4 4 426 667 mm 4

48

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.21 Festlegung der Teilflächen

a) Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 1 bezüglich der y-Achse: I yS1

14 cm ˜ (14 cm)3 12

3 201,3 cm 4

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 2 bezüglich der y-Achse: I yS2

10 cm ˜ (6 cm)3 12

180 cm 4

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 3 bezüglich der y3-Achse: I y3

10 cm ˜ (2 cm)3 12

6,6 cm 4

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 3 bezüglich der y-Achse: I yS3

2 I y3  zS3 ˜ A3

6,6 cm 4  (6 cm) 2 ˜ 20 cm 2

726,6 cm 4

Axiales Flächenmoment der Gesamtfläche bezüglich der y-Achse: I yS

I yS1  I yS2  2 ˜ I yS3

3201,3 cm 4  180 cm 4  2 ˜ 726,6 cm 4

1 568 cm 4

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes bezüglich der y-Achse Wby S

I yS z max

1568 cm 4 7 cm

224 cm 3

b) Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der z-Achse Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 1 bezüglich der z-Achse: I zS1

14 cm ˜ (14 cm)3 12

3 201,3 cm 4

49

2 Grundbelastungsarten

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 2 bezüglich der z-Achse: 6 cm ˜ (10 cm)3 500 cm 4 12 Axiales Flächenmoment 2. Ordnung von Teilfläche 3 bezüglich der z-Achse: I zS2

I zS3

2 cm ˜ (10 cm)3 12

166,6 cm 4

Axiales Flächenmoment der Gesamtfläche bezüglich der z-Achse: I zS

I zS1  I zS2  2 ˜ I zS3

3201,3 cm 4  500 cm 4  2 ˜ 166,6 cm 4

2 368 cm 4

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes bezüglich der z-Achse Wbz S

I zS y max

2 368 cm 4 7 cm

338,3 cm 3

50

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.22 a) Berechnung des Flächenschwerpunktes (Teilschwerpunktsatz)

zS

z1 ˜ A1  z 2 ˜ A2 A1  A2

22,5 mm ˜ 3600 mm 2  25,5 mm ˜ 2652 mm 2 3600 mm 2  2652 mm 2

14,11 mm

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Iy

80 mm ˜ 45 mm 3   8,39 mm 2 ˜ 3600 mm2 12 § 68 mm ˜ 39 mm 3 · ¨   11,39 mm 2 ˜ 2652 mm2 ¸ 180 721 mm4 ¨ ¸ 12 © ¹

b) Spannungsverlauf über die Querschnittfläche

mit V Z

F A

und V b ( z )

Mb ˜z Iy

Die außerhalb des Flächenschwerpunktes S angreifende Zugkraft F kann ersetzt werden durch eine im Flächenschwerpunkt angreifende Kraft F mit demselben Betrag und ein Biegemoment Mb = F ˜ zS. Die höchsten Spannungen treten entweder am unteren Ende (Abstand zS von der y-Achse) oder am oberen Ende (Abstand z*S von der y-Achse) auf. Beide Stellen sollen überprüft werden, wenngleich die obige Skizze die Vermutung nahe legt, dass sich die kritische Stelle am unteren Ende (Abstand zS von der Biegeachse) befindet.

51

2 Grundbelastungsarten

Berechnung der Spannung am unteren Ende der Querschnittfläche (Abstand zS von der y-Achse) § 1 z2 · F Mb F F ˜ zS  ˜ zS  ˜ zS F ˜ ¨  S ¸ VU Vz Vb ¨ A Iy ¸ A Iy A Iy © ¹ Festigkeitsbedingung:

VU

V zul

Damit folgt für die zulässige Zugkraft F am unteren Ende der Querschnittfläche (Fließen soll nicht eintreten): F

V zul

150 N/mm 2

1 zS2  A Iy

14,11 mm 2 1  948 mm 2 180 721 mm 4

69 568 N

69,6 kN

Berechnung der Spannung am oberen Ende der Querschnittfläche (Abstand zS von der y-Achse) §1 z · F M b * F F ˜ zS *  ˜ zS  ˜ zS F ˜ ¨  S ˜ zS* ¸ VO Vz Vb ¨ A Iy ¸ A Iy A Iy © ¹ Festigkeitsbedingung:

VO

 V zul

Damit folgt für die zulässige Zugkraft F am oberen Ende der Querschnittfläche (Fließen soll nicht eintreten): F

 V zul 1 zS ˜ zS*  A Iy

 150 N/mm 2 1 14,11 mm ˜ 30,89 mm  2 948 mm 180 721 mm 4

110 562,7 N

110,6 kN

Die Beanspruchung ist damit auf F = 69,6 kN zu beschränken. Eine Erhöhung der Zugkraft führt zuerst am unteren Ende der Querschnittfläche zu einer Überschreitung der zulässigen Beanspruchung. c) Verlauf des Biegemomentes

52

2 Grundbelastungsarten

Die höchst beanspruchte Stelle befindet sich an der Lagerstelle B und dort am oberen Ende der Querschnittfläche (Abstand z*S von der y-Achse). Berechnung der maximalen Spannung an der Stelle B

VB

F ˜ cos D M b max *  ˜ zS A Iy

Vz Vb

F ˜ cos D F ˜ sin D ˜ l1 *  ˜ zS A Iy

§ cos D sin D ˜ l1 * ·  ˜ zS ¸ F ˜¨ ¨ A ¸ I y © ¹

Festigkeitsbedingung

V B d V zul F

Rp0,2 SF Rp0,2

280 N/mm 2

§ cos D sin D ˜ l1 * ·  ˜ zS ¸ SF ˜ ¨ ¨ A ¸ Iy © ¹ 12 117,7 N 12,1 kN

§ cos 25q sin 25q ˜ 200 mm ˜ 30,89 mm ·¸  1,5 ˜ ¨¨ 2 ¸ 180 721 mm 4 © 948 mm ¹

53

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.23 a) Berechnung der Schubspannung Wa (zweischnittige Scherfläche)

Wa

F 2˜ A

2˜ F

F 2˜

S

˜d 2

S ˜d2

4 Festigkeitsbedingung

W a d W zul W aB

2˜ F

S ˜d

2

SB

Damit folgt für den Durchmesser d des Bolzens: d

2˜ F ˜ SB S ˜W aB

2 ˜ 35 000 N ˜ 2,0

S ˜150 N/mm 2

17,24 mm

b) Auf den Bolzen wirkt eine Streckenlast, die durch jeweils mittig angreifende Einzelkräfte ersetzt werden kann (siehe Abbildung).

Damit ergibt sich für das Biegemoment Mb sowie die maximale Biegespannung Vb: Mb

Vb

F ˜b 2

Mb Wb

b ˜F 2

S 32

˜d 3

16 ˜ F ˜ b

S ˜d

3

16 ˜ 35 000 N ˜ 20 mm

S ˜ 17,24 mm

3

696,2 N/mm 2 ! R e

Man erkennt, dass unter den gegebenen Annahmen, die Biegespannung in einer Laschenverbindung weitaus höhere Werte annehmen kann, im Vergleich zur Abscherspannung. c) Die maximale Flächenpressung p herrscht in der mittleren Lasche: p

F b˜d

35 000 N 20 mm ˜17,24 mm

101,5 N/mm 2

54

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.24 a) Berechnung der Schubspannung Wa (zweischnittige Scherfläche) F 2˜ A

Wa

2˜ F

F 2˜

S 4

˜d 2

S ˜d 2

Festigkeitsbedingung

W a d W zul W aB

0,8 ˜ R m

0,8 ˜ 580 N/mm 2

464 N/mm 2 (gewählt)

Damit folgt für die Sicherheit gegen Bruch:

W aB

2˜ F

S ˜d SB

2

SB

W aB ˜

S ˜d 2

464 N/mm 2 ˜

2˜ F

S ˜ 25 mm 2 2 ˜150 000 N

3,04 (ausreichend, da S B t 2,0)

b) Berechnung der Klebefläche AK AK

d K ˜S ˜ lK

mit d K

60 mm

Berechnung der Klebelänge lK

W zul ˜ A F Festigkeitsbedingung

W  W K zul F AK

W K zul

F d K ˜S ˜ lK lK

W K zul

F W zul ˜ d K ˜ S

150 000 N 15 N/mm 2 ˜ 60 mm ˜ S

53,1 mm

55

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.25 Berechnung der Schubspannung Wa im Zapfen (einschnittige Scherfläche)

Wa

FA / 4 b˜h

Festigkeitsbedingung

W a d W zul FA / 4 b˜h

W aB SB

W aB

0,8 ˜ R m

0,8 ˜ 750 N/mm 2

Damit folgt für die Höhe h des Zapfens: h

FA ˜ S B 4 ˜ b ˜W aB

2 000 000 N ˜ 2,5 4 ˜ 80 mm ˜ 600 N/mm 2

26,0 mm

600 N/mm 2 (gewählt)

56

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.26 Berechnung der abzuscherenden Fläche AS

3 mm ˜ 4 ˜ (20 mm  10 mm  10 mm  25 mm)

780 mm 2

Berechnung der Stanzkraft FS

W a t W aB FS AS

W aB

FS

W aB ˜ AS

290 N/mm 2 ˜ 780 mm 2

226 200 N

226,2 kN

57

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.27 Es kann angenommen werden, dass beide Nieten gleichmäßig mit FZ/2 belastet werden. Festigkeitsbedingung (zweischnittige Scherfläche)

W d W zul FZ / 2 2˜ A

4˜ d

W aB SB

FZ

W aB

S

SB

4

˜d 2

FZ ˜ S B S ˜W aB

100 000 N ˜ 3,5

S ˜ 290 N/mm 2

19,60 mm

58

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.28 Berechnung der Schubspannung Wa im Niet (einschnittige Scherfläche)

Wa

FZ A

S 4

FZ

4 ˜ FZ

˜d 2

S ˜d 2

Festigkeitsbedingung

W a d W zul 4 ˜ FZ

W aB

2

SB

4 ˜ FZ

W aB

2

SB

S ˜d S ˜d d

4 ˜ FZ ˜ S B S ˜W aB

4 ˜ 50 000 N ˜ 3,0

S ˜ 380 N/mm 2

22,42 mm

59

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.29 a)

b) Versagensmöglichkeiten: Fließen und Bruch Ermittlung der zulässigen Spannungen Fließen: V zul Bruch:

V zul

W tF

295 N/mm 2 2 ˜1,20

Re 2˜ SF

SF

122,9 N/mm 2

0,5 ˜ R m  140 N/mm 2 SB

W tB SB

0,5 ˜ 490 N/mm 2  140 N/mm 2 2,0

192,5 N/mm 2

Berechnung gegenüber Fließen, da kleinere zulässige Spannung. Festigkeitsbedingung (Fließen)

W t d W t zul Mt Wt

W tF

Mt

Wt ˜

SF

W tF

S d a4  d i4

SF

16

˜

2 010 349 Nmm

da

˜

Re 2 ˜ SF

S (50 4  384 ) mm 4 295 N/mm 2 16

˜

50 mm

2010 Nm

c) Berechnung der maximalen Schubspannung Wt

Wt

Mt Wt

W tF SF

Re 2 ˜ SF

295 N/mm 2 2 ˜1,20

122,9 N/mm 2

˜

2 ˜ 1,20

60

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.30 a) Berechnung des Torsionsmomentes Mt c Mt 4˜ F ˜ 4 ˜ 900 N ˜ 350 mm 1 260 000 Nmm 2 Festigkeitsbedingung (Fließen)

W t d W t zul M t W tF Re Wt SF 2 ˜ SF Mt Re S 3 2 ˜ SF ˜d 16

d

3

16 2 ˜ M t ˜ S F ˜ S Re

3

16 2 ˜ 1 260 000 Nmm ˜ 2,0 ˜ S 295 N/mm 2

44,31 mm

b) Festigkeitsbedingung (Bruch)

W t d W t zul W tB

Mt Wt d*

SB 3

Rm SB

16 M t ˜ S B ˜ S Rm

3

16 1 260 000 Nmm ˜ 5,0 ˜ S 300 N/mm 2

47,47 mm

c) Berechnung der Verdrehwinkel M S275JR: 1 260 000 Nmm ˜ 2000 mm Mt ˜l M t ˜l M 2 S E G ˜ ǿp ˜ d 4 210 000 N/mm ˜ S 44,31 mm 4 2 ˜ (1  P ) 32 2 ˜ (1  0,30) 32

M

4,72q

EN-GJL-300: Mt ˜l M G ˜ ǿp

M

0,0824

6,58q

Mt ˜l S E ˜ d4 2 ˜ (1  P ) 32

1 260 000 Nmm ˜ 2000 mm 110 000 N/mm 2 S ˜ 47,47 mm 4 2 ˜ (1  0,25) 32

0,1149

61

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.31 a) Berechnung der Verdrehwinkel M1, M2 und M3 für die einzelnen Abschnitte des Stabes M t ˜ a1 S 4 mit ǿ p1 d a  d i4 1. Abschnitt: M1 G ˜ ǿ p1 32



2. Abschnitt: M 2

M t ˜ a2 mit ǿ p2 G ˜ ǿ p2

3. Abschnitt: M3

M t ˜ a3 G ˜ ǿ p3

mit ǿ p3

S 32

S 32



˜ d a4 ˜d4

Für den gesamten Verdrehwinkel Mges gilt dann: Mt G

§a a · a ˜¨ 1  2  3 ¸ ¨ ǿ p1 ǿ p2 ǿ p3 ¸ © ¹

Mt a · 32 § a a ˜ ˜ ¨¨ 4 1 4  24  34 ¸¸ E / 2 ˜ 1  P S © d a  d i da d ¹

M ges

M1 M 2M 3

M ges

§ a a · 64 ˜ 1  P a ˜ F ˜ c ˜ ¨¨ 4 1 4  24  34 ¸¸ E ˜S da d ¹ © da  di

F

M ges ˜ E ˜ S ˜ 64 ˜ 1  P ˜ c §

F

2,5q ˜ S 205 000 N/mm 2 ˜ S ˜ ˜ 180q 64 ˜ 1  0,30 ˜ 80 mm

1

a2 a3 ·¸ ¨ a1 ¨ d4  d4  d4  d4 ¸ i a © a ¹ 1 50 mm 25 mm 65 mm   4 4 4 4 (40  15 ) mm 40 mm 25 mm 4

21 530 N

b) Ermittlung der Torsionsfließgrenze

W tF

Rp0,2

1140 N/mm 2 2

2

570 N/mm 2

Berechnung der Sicherheiten gegen Fließen in den einzelnen Abschnitten Mt F ˜c 21530 N ˜ 80 mm 139,8 N/mm 2 1. Abschnitt: W t1 4 4 4 Wt1 S d a4  d i4 ʌ (40  15 ) mm ˜ ˜ 16 40 mm 16 da S F1

W tF W t1

570 N/mm 2 139,8 N/mm 2

2. Abschnitt: W t2

Mt Wt2

S F2

W tF W t2

21530 N ˜ 80 mm 137,1 N/mm 2 ʌ 3 3 ˜ 40 mm 16 16 570 N/mm 2 4,16 (ausreichend, da SF2 t 1,20) 137,1 N/mm 2 F ˜c

S

˜ d a3

4,08 (ausreichend, da SF1 t 1,20)

62

2 Grundbelastungsarten

3. Abschnitt: W t3

S F3

Mt Wt3

W tF W t3

F ˜c

21530 N ˜ 80 mm 561,4 N/mm 2 ʌ 3 ˜d ˜ 25 16 16 570 N/mm 2 1,02 (nicht ausreichend, da S F  1,20) 561,4 N/mm 2

S

3

63

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.32 a) Berechnung des polaren Flächenmomentes Ip für einen Vollkreisquerschnitt

ǿp

³r

2

dA mit dA

2 ˜ S ˜ r ˜ dr

A

R

R

ǿp

2 ˜ S r 3 dr

³ 0

ªr4 º 2S ˜ « » ¬« 4 ¼» 0

S 2

˜ R4

S §d ·

4

ʌ ˜d4 32

˜¨ ¸ 2 ©2¹

Berechnung des Widerstandsmomentes gegen Torsion Wt für einen Vollkreisquerschnitt Wt

ǿp

ǿp

R

d 2

ʌ 3 ˜d 16

b) Berechnung des polaren Flächenmomentes Ip für einen Kreisringquerschnitt

ra

ǿp

³

r

3

2 ˜ S r dr ri

ªr4 º a 2S ˜ « » «¬ 4 »¼ ri

S 2



˜ ra4  ri4





ʌ ˜ d a4  d i4 32



Berechnung des Widerstandsmomentes gegen Torsion Wp für einen Kreisringquerschnitt Wt

ǿp da 2

ʌ d a4  d i4 ˜ 16 da

64

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.33 a) Ermittlung des Zusammenhangs zwischen den Torsionsmomenten Mt1 und Mt2 Schneidet man die beiden Zahnräder frei, dann muss infolge des Kräftegleichgewichts an beiden Zahnrädern die Schnittkraft Fz wirken. Es gilt daher: D2 2

M t2

FZ ˜

FZ

2 ˜ M t2 D2

und D FZ ˜ 1 2

M t1

2 ˜ M t2 D1 ˜ D2 2

M t2 ˜

D1 D2

b) Berechnung des Verdrehwinkels M1 aufgrund von Mt1 für die Welle 1 (Minuszeichen, da Drehrichtung im mathematisch negativen Sinn)

M1 mit G

M1

 M t1 ˜ l1 G ˜ I p1

E und I p1 2 ˜ (1  P ) 

S 32

˜ d14 folgt:

M t1 ˜ l1 S E ˜ ˜ d14 2 ˜ (1  P ) 32

Berechnung des Verdrehwinkels M‘2 von Welle 2 durch Abwälzen der beiden Zahnräder Verdreht sich die Welle 1 um den Winkel M1, dann wird auf Zahnrad 1 die Bogenlänge s1 abgewälzt: s1

D1 ˜ S ˜

M1 360q

Da auf beiden Zahnrädern die abgewälzten Bogenlängen gleich sein müssen, wird die Bogenlänge s1 auch auf Zahnrad 2 abgewälzt. Es gilt daher: s2

D2 ˜ S ˜

M´2 360q

 s1

Es ist zu berücksichtigen, dass die Verdrehwinkel M1 und M‘2 gegensinnig sind (daher das Minuszeichen). Damit folgt für den Verdrehwinkel M‘2:

65

2 Grundbelastungsarten

S

S · § ˜ M´2 ¨ D1 ˜ ˜ M1 ¸ 180q 180q ¹ © D1 M´2 M1 ˜ D2 D2 ˜

Berechnung des Verdrehwinkels M2 aufgrund von Mt2 für die Welle 2 (Drehrichtung im mathematisch positiven Sinn)

M2

M t2 ˜ l2 G ˜ I p2

mit G

M2

E und I p2 2 ˜ (1  P )

S 32

˜ d 24

folgt:

M t2 ˜ l2 E S ˜ ˜ d 24 2 ˜ (1  P ) 32

Berechnung des gesamten Verdrehwinkels MS von Welle 2 Dem Winkel M‘2 überlagert sich (gleichsinnig) der Winkel M2 infolge elastischer Verdrehung von Welle 2 durch das Torsionsmoment Mt2. Für den gesamten Verdrehwinkel MS der Seilrolle folgt damit:

MS M´2  M 2 M1 ˜

D1  M2 D2

M t1 ˜ l1 M t2 ˜ l2 D ˜ 1  S S E E 4 D2 ˜ ˜ d 24 ˜ ˜ d1 2 ˜ (1  P ) 32 2 ˜ (1  P ) 32 64 ˜ 1  P §¨ M t1 ˜ l1 D1 M t2 ˜ l2 ·¸ ˜¨ ˜  4 E ˜S D2 d 24 ¸¹ © d1

mit M t1

MS M t2

M t2 ˜

D1 folgt: D2

§ l D2 l · 64 ˜ 1  P ˜ M t2 ˜ ¨¨ 14 ˜ 12  24 ¸¸ E ˜S © d1 D2 d 2 ¹ E ˜S ˜ MS § l1 D12 l2 · ¨ ¸ 64 ˜ 1  P ˜ ¨ 4 ˜ 2  4 ¸ © d1 D2 d 2 ¹ 205 000 N/mm 2 ˜ S 2

˜

S

§ 100 mm § 50 mm · 200 mm ·¸ 180q ¨ ¸ 64 ˜ 1  0,30 ˜ ¨ ˜  ¨ 25 mm 4 ¨© 100 mm ¸¹ 35 mm 4 ¸¹ © 2 054 475 Nmm 2 054 Nm

˜ 3q

66

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.34 Berechnung des Durchmessers der Drehstabfeder in Abhängigkeit der Koordinate x d ( x)

D· § Dd ˜x ¸ 2˜¨ 2¹ © 2˜l

dD ˜xD l

Berechnung des polaren Flächenmomentes Ip(x) in Abhängigkeit der Koordinate x I p ( x)

S 32

˜ d 4 ( x)

S §d D

˜¨ 32 ©

l

· ˜ x  D¸ ¹

4

Die Drehstabfeder kann man sich aus Scheiben der Länge (Dicke) dx zusammengesetzt denken. Jedes Scheibenelement erfährt dabei den Verdrehwinkel dM : M t ˜ dx G ˜ I p ( x)

dM

Der gesamte Verdrehwinkel ergibt sich durch Integration über die gesamte Stablänge l: M

³ dM 0

M

³ 0

M

dM

Mt G Mt G

l

³I 0

1 ˜dx p ( x)

l

³S 0

l

dx

· §d D ˜¨ ˜ x  D¸ 32 © l ¹

4

4

32 ˜ M t G ˜S

³

32 ˜ M t G ˜S

3 § · ª§ d  D 1 · º ¸¸ ˜ «¨ ˜ ¨¨  ˜ x  D¸ » ¹ ¼» © 3 ˜ (d  D) / l ¹ ¬«© l 0

0

§d D · ˜ x  D¸ ¨ l © ¹

˜ dx l

M

3 ª §d D 32 ˜ M t ˜ l · º ˜ «1 / ¨ ˜ x  D¸ » 3 ˜ G ˜ S ˜ ( D  d ) «¬ © l ¹ »¼

32 ˜ M t ˜ l 1 · § 1 ˜¨ 3  3 ¸ 3 ˜ G ˜ S ˜ (D  d ) © d D ¹

l

0

67

2 Grundbelastungsarten

Damit folgt für das Torsionsmoment Mt: Mt

3 ˜ G ˜ S ˜ (D  d ) ˜M 1 · § 1 32 ˜ l ˜ ¨ 3  3 ¸ D ¹ ©d

3 ˜ S ˜ E ˜ (D  d ) 1 § 1 64 ˜ 1  P ˜ l ˜ ¨ 3  3 D ©d

3 ˜ S ˜ 205 000 N/mm 2 ˜ (50  40) mm § 1 1  64 ˜ 1  0,30 ˜ 2 000 mm ˜ ¨ ¨ 40 mm 3 50 mm 3 © 1328860 Nmm 1328,9 Nm

· ¸ ¹

˜M

˜

S

· 180q ¸ ¸ ¹

˜ 5q

68

2 Grundbelastungsarten

Lösung zu Aufgabe 2.35 Berechnung der zulässigen Torsionsmomente in den einzelnen Abschnitten Festigkeitsbedingung für Abschnitt 1 (Stahl):

W t d W t zul W tF

M t1 Wt1

SF Re1 S ˜ ˜ d13 2 ˜ S F 16

M t1

240 N/mm 2 S ˜ ˜ 30 mm 3 2 ˜ 1,5 16

424115 Nmm

424,1 Nm

474129 Nmm

474,1 Nm

Festigkeitsbedingung für Abschnitt 2 (Kupferlegierung): Re2 S ˜ ˜ d 23 2 ˜ S F 16

M t2

330 N/mm 2 S ˜ ˜ 28 mm 3 2 ˜ 1,5 16

Festigkeitsbedingung für Abschnitt 3 (Aluminiumlegierung): Re3 S ˜ ˜ d 33 2 ˜ S F 16

M t3

350 N/mm 2 S ˜ ˜ 26 mm 3 2 ˜ 1,5 16

402 621 Nmm

402,6 Nm

Das zulässige Torsionsmoment Mt zul beträgt damit: M t zul

M t3

402,6 Nm

Berechnung des Verdrehwinkels M der Welle unter der Wirkung von Mt zul Verdrehwinkel M1 für Abschnitt 1:

M1

M t zul ˜ l1

M t zul ˜ l1

402 621 Nmm ˜ 40 mm

G1 ˜ I p1

E1 S ˜ ˜ d14 2 ˜ 1  P1 32

210 000 N/mm 2 ʌ ˜ ˜ 30 mm 4 2 ˜ 1  0,30 32

0,00251 0,144q

Verdrehwinkel M2 für Abschnitt 2:

M2

M t zul ˜ l 2

402 621 Nmm ˜ 30 mm

E2 S ˜ ˜ d 24 2 ˜ 1  P 2 32

108 000 N/mm 2 ʌ ˜ ˜ 28 mm 4 2 ˜ 1  0,34 32

Verdrehwinkel M3 für Abschnitt 3: M t zul ˜ l 3 402 621 Nmm ˜ 50 mm M3 E3 S 68 000 N/mm 2 ʌ 4 ˜ ˜ d3 ˜ ˜ 26 mm 4 2 ˜ 1  P 3 32 2 ˜ 1  0,33 32 Der gesamte zulässige Verdrehwinkel ergibt sich dann zu:

M zul

M1  M 2  M 3

0,144q  0,285q  1,006q

1,435q

0,00497

0,285q

0,0176 1,006q

69

3 Spannungszustand 3.1 Formelsammlung zum Spannungszustand Einachsiger Spannungszustand

V x'

W x' y'

V 2

V 2

˜ 1  cos 2M

Normalspannung senkrecht zur Schnittebene E

Schubspannung in der Schnittebene E

˜ sin 2M

2

V· § 2 ¨ V x'  ¸  W x' y' 2¹ ©

§V · ¨ ¸ ©2¹

2

Gleichung Mohrscher Spannungskreis

Zweiachsiger Spannungszustand Normalspannung senkrecht zur Schnittebene Ex’

V x'

Vx  Vy 2



Vx Vy 2

˜ cos 2M  W xy ˜ sin 2M

Schubspannung in der Schnittebene Ex’

W x' y'

Vx Vy 2

˜ sin 2M  W xy˜ cos 2M

Gleichung des Mohrschen Spannungskreises 2

V Vy · § ¨¨ V x'  x ¸¸  W x'2 y' 2 © ¹

2

§ Vx Vy · 2 ¨¨ ¸¸  W xy 2 © ¹

Hinweis: Die Schubspannung Wxy ist positiv (negativ) anzusetzen, falls bei Blick in Richtung der Schubspannung die zugehörige Schnittebene rechts (links) von der Schubspannung liegt.

V H1

V H2

Vx Vy 2

Vx Vy 2

2

§Vx Vy  ¨¨ 2 ©

· 2 ¸  W xy ¸ ¹

§Vx Vy  ¨¨ 2 ©

· 2 ¸  W xy ¸ ¹

Berechnung der Hauptnormalspannung

2

Berechnung der Hauptnormalspannung

70

3 Spannungszustand

Berechnung der maximalen Schubspannung

§Vx Vy r ¨¨ 2 ©

W max

2

· 2 ¸  W xy ¸ ¹

r

V H1  V H2 2

Richtungswinkel zwischen der x-Achse und der ersten oder der zweiten Hauptspannungsrichtung

§  2 ˜W xy 1 ˜ arctan¨ ¨ V x V y 2 ©

M1;2

M 2;1 M1;2 

· ¸ ¸ ¹

S 2

Dreiachsiger Spannungszustand

S

§V x ¨ ¨W xy ¨¨ © W xz

W xy W xz · ¸ V y W yz ¸ ¸ W yz V z ¸¹

Spannungstensor

Betrag der Normalspannung in beliebiger (räumlicher) Schnittrichtung

V

V x ˜ cos 2 D  V y ˜ cos 2 E  V z ˜ cos 2 J



 2 ˜ W xy ˜ cos D ˜ cos E  W yz ˜ cos E ˜ cos J  W xz ˜ cos J ˜ cos D



Betrag der Schubspannung in beliebiger (räumlicher) Schnittrichtung

W

s2  V 2

& mit s

& S ˜n

& und n

§ cos D · ¨ ¸ ¨ cos E ¸ ¨ cos J ¸ © ¹

3 Spannungszustand

71

3.2 Aufgaben Aufgabe 3.1

{{{zz

Die Abbildung zeigt ein durch die Spannungen Vx = 200 N/mm2; Vy=100 N/mm2 und Wxy= 75 N/mm2 zweiachsig beanspruchtes Scheibenelement aus Werkstoff S235JR. a) Zeichnen Sie maßstäblich den Mohrschen Spannungskreis in der x-y-Ebene. b) Berechnen Sie die Hauptnormalspannungen VH1 und VH2 sowie die Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Hauptspannungsrichtungen. c) Ermitteln Sie die Spannungen Vx’ und Wx’y’ in der Schnittebene Ex’ sowie Vy’ und Wy’x’ in der Schnittebene Ey’ eines um den Winkel M = 30° zur x-Richtung gedrehten Flächenelementes (siehe Abbildung).

Aufgabe 3.2

{{zzz

Ein Stahlrohr mit einem Außendurchmesser da = 100 mm und einer Wandstärke s = 10 mm wird gleichzeitig durch die Zugkraft F = 425 kN und das Torsionsmoment Mt = 9250 Nm statisch beansprucht. a) Skizzieren Sie den Mohrschen Spannungskreis für die höchst beanspruchte Stelle. b) Ermitteln Sie die Hauptnormalspannungen, die Hauptschubspannungen und die jeweiligen Richtungswinkel zur x-Achse.

Aufgabe 3.3

{{{zz

Ein Blechstreifen wird zwischen zwei Druckplatten hindurch gezogen. Dabei entstehen an der höchst beanspruchten Stelle des Bleches die folgenden Spannungen: aus Zug: Vx = 200 N/mm2 aus Druck: Vy = -100 N/mm2 aus Reibung: Wxy = 40 N/mm2

72

3 Spannungszustand

a) Berechnen Sie die im Blech auftretenden größten Zug- bzw. Druckspannungen d. h. die Hauptnormalspannungen. b) Ermitteln Sie die Lage derjenigen Schnittebenen, in denen die größten Zug- bzw. Druckspannungen auftreten (Winkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Normalen zu diesen Schnittebenen).

Aufgabe 3.4 Die Abbildung zeigt das Maschinengestell für eine Einpressvorrichtung aus dem Gusseisenwerkstoff EN-GJL-350 (alle Maßangaben in mm). Das Maschinengestell wird durch die statisch wirkenden Arbeitskräfte F belastet. Zur Ermittlung der unbekannten Arbeitskräfte F wird in der Säulenmitte ein Dehnungsmessstreifen (DMS) appliziert. Aufgrund einer Montageungenauigkeit schließt die Messrichtung des DMS einen Winkel von 10° zur Säulenlängsachse ein. Werkstoffkennwerte EN-GJL-350: Rm = 350 N/mm2 E = 108000 N/mm2 μ = 0,25 a) Auf welche Weise wird der Querschnitt A-B durch die Arbeitskräfte F beansprucht? b) Ermitteln Sie den Betrag der Arbeitskräfte F für eine Dehnungsanzeige von HDMS = 0,1485 ‰ c) Ermitteln Sie für die höchst beanspruchte Stelle (im Querschnitt A-B) die Sicherheit gegen Bruch. Ist die Sicherheit ausreichend?

{zzzz

73

3 Spannungszustand

Aufgabe 3.5

zzzzz

Der Spannungszustand im Punkt P einer Hochdruckleitung wird durch die folgenden Spannungskomponenten beschrieben:

Vx = 500 N/mm2 Vy = 200 N/mm2 Vz = 300 N/mm2

Wxy = 250 N/mm2 Wyz = 100 N/mm2 Wxz = 400 N/mm2

a) Berechnen Sie die Normal- und Schubspannung in einer Schnittebene E1, deren Normalenvektor mit dem x-y-z-Koordinatensystem die Winkel D = 60°, E = 60° und J = 45° einschließt. b) Berechnen Sie die Normalspannung und die Schubspannung in einer Schnittebene E2, deren Normalenvektor mit dem x-y-z-Koordinatensystem die Winkel D = 40,833°, E = 69,773° und J = 56,291° einschließt. c) Berechnen Sie die Hauptnormalspannungen VH1, VH2 und VH3. d) Ermitteln Sie die Hauptspannungsrichtungen im x-y-z-Koordinatensystem. e) Bestimmen Sie rechnerisch und graphisch die Spannungen VE3 und WE3 in einer Schnittebene E3, deren Normalenvektor zu den Hauptspannungsrichtungen (zum Hauptachsensystem) die Winkel D = 50°, E = 50° und J = 65,4° einschließt.

74

3 Spannungszustand

3.3 Lösungen Lösung zu Aufgabe 3.1 a) Eintragen des Bildpunktes Px (Vx | Wxy) und des Bildpunktes Py (Vy | Wyx) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt VM. Kreis um VM durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohrsche Spannungskreis (siehe Abbildung). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Spannungskreises

VM

Vx Vy

200 N/mm 2  100 N/mm 2 2

2 2

R

§ Vx Vy · 2 ¸¸  W xy ¨¨ 2 ¹ ©

150 N/mm 2

2

§ 200  100 · 2 2 ¨ ¸  75 N/mm 2 © ¹

90,1 N/mm2

b) Berechnung der Hauptnormalspannungen VH1 und VH2

V H1 V M  R 150 N/mm 2  90,1 N/mm 2 V H2

V M  R 150 N/mm 2  90,1 N/mm 2

240,1 N/mm 2 59,9 N/mm 2

Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Achse und den Hauptrichtungen

M1;2

§  2 ˜ W xy · 1 ¸ ˜ arctan¨ ¨Vx Vy ¸ 2 © ¹

§ · 1  2 ˜ 75 N/mm 2 ¸ ˜ arctan¨ 2 2 ¨ ¸ 2 200 N/mm 100 N/mm  © ¹

28,2q

Der errechnete Winkel M kann der Richtungswinkel zwischen der ersten oder der zweiten Hauptrichtung sein. Eine Entscheidung ist mit Hilfe von Tabelle 3.1 (siehe Lehrbuch) möglich. Da es sich um Fall 1 (Vx > Vy und Wxy > 0) handelt, ist M der Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptspannungsrichtung (dies geht entsprechend auch aus dem Mohrschen Spannungskreis hervor). Es gilt also:

M1

28,15q

75

3 Spannungszustand

Für den Richtungswinkel M2 folgt dann:

M2

M1  90q 28,2q  90q 61,85q

c) Berechnung der Spannungen Vx’ und Wx’y’ in der Schnittebene Ex´ sowie der Spannungen Vy’ und Wy’x’ in der Schnittebene Ey´ Die gesuchten Spannungen in der Schnittebene Ex´ erhält man aus dem Mohrschen Spannungskreis, indem man ausgehend vom Bildpunkt Px den doppelten Richtungswinkel (2˜30°) mit dem Lageplan entsprechendem Drehsinn anträgt (Bildpunkt Px´). Die Koordinaten des Bildpunktes Px´ sind die gesuchten Spannungen Vx’ und Wx’y’ in der Schnittebene Ex´. Berechnung des Winkels E :

E

180q  2 ˜ M1  2 ˜ 30q 180q  2 ˜ 28,15q  2 ˜ 30q

63,7q

Berechnung der Spannungen Vx’ und Wx’y’:

V x' V M  R ˜ cos E W x' y'

R ˜ sin E

150 N/mm2  90,1 N/mm2 ˜ cos 63,7q 110,0 N/mm2

90,1 N/mm2 ˜ sin 63,7q 80,8 N/mm2

Die Spannungen in der Schnittebene Ey´ erhält man aus dem Mohrschen Spannungskreis, indem man ausgehend vom Bildpunkt Px den doppelten Richtungswinkel, also 2˜(30°+90°), mit dem Lageplan entsprechendem Drehsinn anträgt (Bildpunkt Py´). Die Koordinaten des Bildpunktes Py´ sind die gesuchten Spannungen Vy’ und Wy’x’ in der Schnittebene Ey´. Berechnung der Spannungen Vy’ und Wy’x’:

V y' V M  R ˜ cos E W y'x'

 R ˜ sin E

150 N/mm2  90,1 N/mm2 ˜ cos 63,7q 189,9 N/mm2

90,1 N/mm2 ˜ sin 63,7q

80,8 N/mm2

76

3 Spannungszustand

Lösung zu Aufgabe 3.2 a) Berechnung der Lastspannungen an der höchst beanspruchten Stelle (Außenrand)

Vz

F A

F

S 4

Wt

Mt Wt

˜



d a2

425 000 N  d i2



S 4

Mt

S

§ d4 ˜¨ a

16 ¨©

 d i4 da

· ¸ ¸ ¹



2

˜ 100  80

2

mm

150,3 N/mm 2 2

9 250 000 Nmm S §¨ 100 4  80 4 ·¸ mm3 ˜ ¸ 16 ¨© 100 ¹

79,8 N/mm 2

Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Eintragen der Bildpunkte Px (Vz | -Wt) und Py (0 | Wt) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Der Bildpunkt Py repräsentiert die Spanungen in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt VM. Kreis um VM durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohrsche Spannungskreis (siehe Abbildung). b) Berechnung der Hauptnormalspannungen VH1 und VH2

V H1; H2

2

Vz

§V · r ¨ z ¸  IJ 2t 2 © 2 ¹

2

150,3 § 150,3 · 2 2 N/mm 2 r ¨ ¸  79,8 N/mm 2 © 2 ¹

V H1 184,8 N/mm 2 V H2

34,5 N/mm 2

Berechnung der Hauptschubspannung Wmax 2

W max

§V · r ¨ z ¸  IJ 2t © 2 ¹

2

§ 150,3 · 2 2 r ¨ ¸  79,8 N/mm 2 © ¹

r 109,6 N/mm 2

77

3 Spannungszustand

Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Achse und den Hauptrichtungen

M1;2

§  2 ˜ W xy 1 ˜ arctan¨ ¨Vx Vy 2 ©

· ¸ ¸ ¹

§  2 ˜W t 1 ˜ arctan¨¨ 2 © Vz

§  2 ˜  79,8 N/mm 2 · 1 ¸ ˜ arctan¨ ¨ 150,3 N/mm 2 ¸ 2 © ¹

· ¸¸ ¹

23,4q

Der errechnete Winkel M kann der Richtungswinkel zwischen der ersten oder der zweiten Hauptrichtung sein. Eine Entscheidung ist mit Hilfe von Tabelle 3.1 (siehe Lehrbuch) möglich. Da es sich um Fall 4 (Vx - Vy { Vz - 0 = Vz > 0 und Wxy { Wt < 0) handelt, ist M der Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptspannungsrichtung (dies geht auch aus dem Mohrschen Spannungskreis hervor). Es gilt also:

M1

23,4q

Für den Richtungswinkel M2 folgt dann:

M2

M1  90q 23,4q  90q 113,4q

Berechnung der Richtungswinkel M3 und M4 zwischen der x-Achse und den Hauptschubspannungsrichtungen

M 3 M1  45q 23,4q  45q 68,4q M4

M1  45q 23,4q  45q 21,6q

78

3 Spannungszustand

Lösung zu Aufgabe 3.3 a) Der Spannungszustand (Vx, Vy, und Wxy) im Blechstreifen ist bekannt. Man kann daher den Mohrschen Spannungskreis konstruieren. Eintragen des Bildpunktes Px (Vx | Wxy) und des Bildpunktes Py (Vy | Wyx) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die VAchse im Kreismittelpunkt VM. Kreis um VM durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohrsche Spannungskreis (siehe Abbildung). Berechnung der Hauptnormalspannungen VH1 und VH2

V H1; H2

Vx Vy 2

§Vx Vy r ¨¨ 2 ©

2

· 2 ¸  W xy ¸ ¹ 2

200   100 § 200   100 · 2 2 N/mm 2 r ¨ ¸  40 N/mm 2 2 ¹ ©

V H1

205,24 N/mm 2

V H2

105,20 N/mm 2

b) Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Achse und den Hauptrichtungen

M1;2

§  2 ˜ W xy · 1 ¸ ˜ arctan¨ ¨Vx V y ¸ 2 ¹ ©

· §  2 ˜ 40 N/mm 2 1 ¸ ˜ arctan¨ 2 2 ¸ ¨ 2    200 N/mm 100 N/mm ¹ ©

7,47q

Der errechnete Winkel M kann der Richtungswinkel zwischen der ersten oder der zweiten Hauptrichtung sein. Eine Entscheidung ist mit Hilfe von Tabelle 3.1 (siehe Lehrbuch) möglich.

3 Spannungszustand

79

Da es sich um Fall 1 (Vx > Vy und Wxy > 0) handelt, ist M der Richtungswinkel zwischen der xRichtung und der ersten Hauptspannungsrichtung (dies geht auch aus dem Mohrschen Spannungskreis hervor). Es gilt also:

M1

7,47q

Für den Richtungswinkel M2 folgt dann:

M2

M1  90q 7,47q  90q 82,53q

80

3 Spannungszustand

Lösung zu Aufgabe 3.4 a) Beanspruchung: Zug und Biegung b) Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Zur Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises benötigt man die Spannungen in zwei zueinander senkrechten Schnittflächen. Bekannt sind die Spannungen in den Schnittflächen mit der x- und der y-Richtung als Normale. Eintragen der Bildpunkte Px (0 | 0) und Py (Vl | 0) in das V-W-Koordinatensystem. Px und Py repräsentieren die Spannungen in den Schnittflächen mit der x- und der y-Richtung als Normale. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser, damit ist der Mohrsche Spannungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Die Bildpunkte Px‘ und Py‘, welche die Spannungen in den Schnittflächen mit der x‘- bzw. y‘-Richtung als Normale repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkel 2˜D bzw. 2˜D + 180°, ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Aus dem Mohrschen Spannungskreis folgt für die Normalspannungen Vx‘ und Vy’:

V y' V x'

Vl 2

Vl 2

 

Vl 2

Vl 2

˜ cos 2D ˜ cos 2D

Vl 2

Vl 2

˜ 1  cos 2D ˜ 1  cos 2D

Berechnung der Dehnung in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand 1 Vl H y' { H DMS ˜ V y'  P ˜ V x' ˜ 1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D (1) E 2˜E





Zusammenhang zwischen äußerer Beanspruchung F und Längsspannung Vl (kein Biegeanteil, da DMS in neutraler Faser liegt)

Vl

F A

F b˜c

(2) in (1) eingesetzt und nach F umgeformt: F

2 ˜ E ˜ H y' ˜ b ˜ c

1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D

(2)

81

3 Spannungszustand

F

2 ˜ 108 000 N/mm 2 ˜ 0,0001485 ˜ 300 mm ˜ 200 mm 1  cos 20q  0,25 ˜ 1  cos 20q

999 971 N | 1000 kN

Alternative Lösung mit Hilfe des Mohrschen Verformungskreises Dehnungen in Längs- und Querrichtung

Hl { H y

Hq { P ˜ Hl

P ˜ H y

Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Schnittrichtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. der y-Richtung als Bezugsrichtung. Einzeichnen der Bildpunkte Px (Hq | 0) und Py (Hl | 0) in das H-J/2-Koordinatensystem ergibt den Mohrschen Verformungskreis (Hq = -μ ˜ Hl). Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser. Damit ist der Mohrsche Verformungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Bildpunkt Py‘, welcher die Verformungen in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) als Bezugsrichtung repräsentiert, erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels 2˜D , ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohrschen Verformungskreises erhält man:

HM R

Hl  Hq

Hl

2

2

Hl  Hq

Hl

2

2

˜ 1  P

˜ 1  P

Damit folgt für die Dehnung in y'-Richtung (Messrichtung des DMS)

H y { H DMS Hl

H R  R ˜ cos 2D

2 ˜ H DMS 1  P  1  P ˜ cos 2D

Hl 2

˜ 1  P  1  P ˜ cos 2D

2 ˜ 0,0001485 1  0,25  1  0,25 ˜ cos 20q

82

3 Spannungszustand

Berechnung der Spannung in Längsrichtung

Vl

E ˜H l

108 000 N/mm 2 ˜ 0,0001543 16,66 N/mm 2

Berechnung der Zugkraft F F

V l ˜ A V l ˜ b ˜ c 16,66 N/mm 2 ˜ 300 mm ˜ 200 mm 999 971 N | 1000 kN

c) Höchst beanspruchte Stelle: Innenseite der Säule, da Überlagerung von Zug- und Biegebeanspruchung Berechnung der Lastspannungen F 1000 000 N Vz 16,67 N/mm2 A 300 mm ˜ 200 mm

Vb

Mb Wb

b· § F ˜ ¨a  ¸ 2¹ © b ˜ c2 6

1000 000 N ˜ 500 mm 300 mm ˜ 200 mm 2 6

250 N/mm2

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung (Innenseite Querschnittfläche A-B)

V d V zul Vz  Vb SB

Rm SB

Rm Vz  Vb

350 N/mm2 16,67 N/mm2  250 N/mm2

1,31 (nicht ausreichend, da S B  4,0)

83

3 Spannungszustand

Lösung zu Aufgabe 3.5 a) Aufstellen des Spannungstensors (die Einheit N/mm2 wird der Übersichtlichkeit halber nachfolgend weggelassen): S

§ 500 250 400 · ¨ ¸ ¨ 250 200 100 ¸ ¨ 400 100 300 ¸ © ¹

Normalenvektor der Ebene E1 & nE1

§ cos D · ¨ ¸ ¨ cos E ¸ ¨ cos J ¸ © ¹

§ nx · ¨ ¸ ¨ ny ¸ ¨n ¸ © z¹

§ 0,5 · ¨ ¸ ¨ 0,5 ¸ ¨1 / 2 ¸ © ¹

& Ermittlung des Spannungsvektors s zur Schnittebene E1 & s

& S ˜ nE1

§ V x W xy W xz · § cos D · ¸ ¨ ¨ ¸ ¨W xy V y W yz ¸ ˜ ¨ cos E ¸ ¸¸ ¨ ¨¨ ¸ © W xz W yz V z ¹ © cos J ¹

§ 500 250 400 · § 0,5 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 250 200 100 ¸ ˜ ¨ 0,5 ¸ ¨ 400 100 300 ¸ ¨1 / 2 ¸ ¹ © ¹ ©

§ 657,84 · ¨ ¸ ¨ 295,71 ¸ ¨ 462,13 ¸ © ¹

& Berechnung des Betrags der Normalspannung V des Spannungsvektors s zur Schnittebene E1

V

& & s ˜ nE1

§ 657,84 · § 0,5 · ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ 295,71¸ ˜ ¨ 0,5 ¸ ¨ 462,13 ¸ ¨1 / 2 ¸ ¹ ¹ © ©

803,55 N/mm 2

& Berechnung des Betrags der Schubspannung W des Spannungsvektors s zur Schnittebene E1

W

2

s V

2

§ 657,84 · § 657,84 · ¸ ¨ ¸ ¨ 2 ¨ 295,71 ¸ ˜ ¨ 295,71¸  803,55 ¨ 462,13 ¸ ¨ 462,13 ¸ ¹ © ¹ ©

296,77 N/mm 2

b) Normalenvektor der Ebene E2 (die Einheit N/mm2 wird der Übersichtlichkeit halber nachfolgend weggelassen) & nE2

§ nx · ¨ ¸ ¨ ny ¸ ¨n ¸ © z¹

§ cos D · ¨ ¸ ¨ cos E ¸ ¨ cos J ¸ © ¹

§ 0,7566 · ¨ ¸ ¨ 0,3457 ¸ ¨ 0,5549 ¸ © ¹

84

3 Spannungszustand

& Ermittlung des Spannungsvektors s zur Schnittebene E2 & s

& S ˜ nE2

§ V x W xy W xz · § cos D · ¸ ¨ ¨ ¸ ¨W xy V y W yz ¸ ˜ ¨ cos E ¸ ¸¸ ¨ ¨¨ ¸ © W xz W yz V z ¹ © cos J ¹

§ 500 250 400 · § 0,7566 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 250 200 100 ¸ ˜ ¨ 0,3457 ¸ ¨ 400 100 300 ¸ ¨ 0,5549 ¸ ¹ ¹ © ©

§ 686,73 · ¨ ¸ ¨ 313,80 ¸ ¨ 503,71 ¸ © ¹

& Berechnung des Betrags der Normalspannung V des Spannungsvektors s zur Schnittebene E2

V

& & s ˜ nE2

§ 686,64 · § 0,7566 · ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ 313,75 ¸ ˜ ¨ 0,3457 ¸ ¨ 503,70 ¸ ¨ 0,5549 ¸ ¹ ¹ © ©

907,63 N/mm 2

& Berechnung des Betrags der Schubspannung W des Spannungsvektors s zur Schnittebene E2

W

2

s V

2

§ 686,64 · § 686,64 · ¨ ¸ ¸ ¨ 2 ¨ 313,75 ¸ ˜ ¨ 313,75 ¸  907,52 | 0 ¨ 503,70 ¸ ¨ 503,70 ¸ © ¹ ¹ ©

Da die Schubspannung W in der Schnittebene E2 zu Null wird, ist die Ebene E2 Hauptspan& nungsebene und die Normalspannung V Hauptnormalspannung. Hinweis: Bedingt durch Rundungsungenauigkeiten kann der Betrag der Schubspannung W geringfügig von Null abweichen. c) Aufstellen der Eigenwertgleichung 3 2 V Hi  I1 ˜ V Hi  I 2 ˜ V Hi  I 3

0

mit den Invarianten (Einheiten werden weggelassen): I1

V x V y Vz 500  200  300 1000

I2

2 2 2  W yz  W xz V x ˜ V y  V y ˜ V z  V z ˜ V x  W xy

500 ˜ 200  200 ˜ 300  300 ˜ 500  250 2  100 2  400 2 I3

77500

2 2 2  V y ˜ W xz  V z ˜ W xy V x ˜ V y ˜ V z  2 ˜ W xy ˜ W yz ˜ W xz  V x ˜ W yz

500 ˜ 200 ˜ 300  2 ˜ 250 ˜ 100 ˜ 400  500 ˜ 100 2  200 ˜ 400 2  300 ˜ 250 2 5 750 000

Damit lautet die Eigenwertgleichung: 3 2 V Hi  1000 ˜ V Hi  77500 ˜ V Hi  5 750 000 0

85

3 Spannungszustand

Allgemeine Form der kubischen Gleichung 3 2 V Hi  A ˜ V Hi  B ˜ V Hi  C

0

Koeffizientenvergleich ergibt für A, B und C: A

 I1

B

I2

C

I3

1000 77 500 5 750 000

Reduzierte Form der kubischen Gleichung u3  a ˜ u  b

mit a und b

B

A2 3

0 77500 

 1000 2 3

255 833,3

2 1 ˜ A3  ˜ A ˜ B  C 27 3 2 1 ˜  1 000 3  ˜  1 000 ˜ 77 500  5 750 000 27 3 42 490 741

Berechnung der Diskriminante D 2

D

§b· §a· ¨ ¸ ¨ ¸ ©2¹ © 3¹

3

2

§ 42 490 741 · §  255 833,3 · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 3 ¹ © © ¹

3

1,69 ˜ 1014  0

Da D < 0 hat die kubische Gleichung drei reelle Lösungen (u1, u2 und u3): u1

2˜ 

a ˜ cos M 3

mit M

§ b 1 ¨ arccos ¨  3 ¨ 2 ˜  a / 3 3 ©

· ¸ ¸¸ ¹

§  42 490 741 1 ¨ arccos ¨  3 ¨ 2 ˜   255833,3 / 3 3 © 1 arccos 0,853 3 10,482q u1

574,29 N/mm 2

u2

2˜ 

a ˜ cos(M  120q) 3

2˜ 

 255 833,3 ˜ cos(10,482q  120q) 3

2˜ 

a ˜ (M  240q) 3

u3

379,17 N/mm 2

· ¸ ¸¸ ¹

86

3 Spannungszustand

u3

2˜ 

 255 833,3 ˜ cos(10,482q  240q) 3

195,13 N/mm 2

Zwischen den Hauptnormalspannungen Vi und der Koordinate ui besteht die Beziehung: A V Hi ui  3 Damit folgt für die Hauptnormalspannungen Vi:  1000 N/mm 2 3

V H1 u1 

A 3

574,29 N/mm 2 

V H2

u2 

A 3

379,17 N/mm 2 

 1000 N/mm 2 3

45,84 N/mm 2

V H3

u3 

A 3

195,13 N/mm 2 

 1000 N/mm 2 3

138,21 N/mm 2

907,63 N/mm 2

Kontrolle:

V H1  V H2  V H3

I1

907,63  45,84  138,21 1000

Ordnen der Hauptnormalspannungen entsprechend ihrer algebraischen Größe liefert schließlich:

V1

907,63 N/mm 2

V2

138,21 N/mm 2

V3

45,84 N/mm 2

d) Die Hauptspannungsrichtungen (Di , Ei und Ji mit i = 1,2,3) erhält man durch Lösen des Gleichungssystems:

V x  V i ˜ cosD i  W xy ˜ cos E i  W xz ˜ cos J i

0

W xy ˜ cosD i  V y  V i ˜ cos E i  W yz ˜ cos J i

0

W xz ˜ cosD i  W yz ˜ cos E i  V z  V i ˜ cos J i

0

Für die erste Hauptspannungsrichtung (i = 1; V1 = 907,6 N/mm2) erhält man das homogene, lineare Gleichungssystem (die Einheit N/mm2 wird der Übersichtlichkeit halber weggelassen):

500  907,63 ˜ cos D1  250 ˜ cos E1  400 ˜ cos J 1 250 ˜ cos D1  200  907,63 ˜ cos E1  100 ˜ cos J 1 400 ˜ cosD1  100 ˜ cos E1  300  907,63 ˜ cos J 1

0 0 0

87

3 Spannungszustand

und umgeformt: 407,63 ˜ cosD1  250 ˜ cos E1  400 ˜ cos J 1

0

250 ˜ cosD1  707,63 ˜ cos E1  100 ˜ cos J 1

0

400 ˜ cosD1  100 ˜ cos E1  607,63 ˜ cos J 1

0

(1) (2) (3)

Die Gleichungen 1 bis 3 sind nicht unabhängig voneinander, so dass zur Bestimmung der Richtungswinkel D1, E1 und J1 eine weitere, unabhängige Gleichung herangezogen werden muss. Die dritte Gleichung kann dann zur Kontrolle verwendet werden. & Für die Richtungswinkel des (normierten) Normalenvektors ( n 1) gilt: cos 2 D 1  cos 2 E 1  cos 2 J 1

(4)

1

Aus Gleichung 2 folgt: cos E 1

0,3533 ˜ cos D 1  0,1413 ˜ cos J 1

(5)

Gleichung 5 in Gleichung 1 eingesetzt ergibt:  407,63 ˜ cos D1  250 ˜ 0,3533 ˜ cos D1  0,1413 ˜ cos J 1  400 ˜ cos J 1  319,31 ˜ cos D1  435,33 ˜ cos J 1 cos J 1

0

0

0,7335 ˜ cos D1

(6)

Gleichung 6 in Gleichung 5 eingesetzt ergibt: cos E1

0,3533 ˜ cos D1  0,1413 ˜ 0,7335 ˜ cos D1

cos E1

0,3533 ˜ cos D1  0,1037 ˜ cos D1

cos E1

0,4567 ˜ cos D1

(7)

Gleichung 6 und 7 in Gleichung 4 eingesetzt: cos 2 D1  0,4567 ˜ cos D1 2  0,7335 ˜ cos D1 2

1

2

1,7465 ˜ cos D1 1 cos D1 0,7567 D1 40,83q

Damit folgt aus Gleichung 7: cos E1

E1

0,4567 ˜ cos D1

0,3455

69,79q

Aus Gleichung 6 folgt: cos J 1

J1

0,7335 ˜ cos D1

0,5550

56,29q

Kontrolle der Ergebnisse mit Hilfe von Gleichung 3: 400 ˜ cos D1  100 ˜ cos E1  607,63 ˜ cos J 1 400 ˜ 0,7567  100 ˜ 0,3455  607,63 ˜ 0,5550 0

0

0 0

88

3 Spannungszustand

Die Richtungswinkel der Hauptnormalspannungen V2 = 138,21 N/mm2 (D2 , E2 und J2) und V3 = -45,84 N/mm2 (D3, E3 und J3) erhält man auf analoge Weise:

D2

89,78q

E2

32,17q

J2

122,16q

D3

49,17q

E3

113,89q

J3

50,27q

und

e) Rechnerische Lösung Normalenvektor der Ebene E3 (die Einheit N/mm2 wird der Übersichtlichkeit halber nachfolgend weggelassen): & nE3

§ cos D · ¨ ¸ ¨ cos E ¸ ¨ cos J ¸ ¹ ©

§ 0,6428 · ¨ ¸ ¨ 0,6428 ¸ ¨ 0,4163 ¸ © ¹

& Ermittlung des Spannungsvektors s zur Schnittebene E3

& s

& S H ˜ nE2

0 · § cos D · §V 1 0 ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ 0 V 2 0 ¸ ˜ ¨ cos E ¸ ¨ 0 0 V ¸ ¨ cos J ¸ 3¹ © ¹ © 0 0 · § 0,6428 · § 907,63 ¸ ¸ ¨ ¨ 138,21 0 ¸ ˜ ¨ 0,6428 ¸ ¨ 0 ¨ 0  45,84 ¸¹ ¨© 0,4163 ¸¹ 0 ©

§ 583,42 · ¸ ¨ ¨ 88,84 ¸ ¨  19,08 ¸ ¹ ©

& Berechnung des Betrags der Normalspannung VE3 des Spannungsvektors s zur Schnittebene E3

V E3

& & s ˜ nE3

§ 583,42 · § 0,6428 · ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ 88,84 ¸ ˜ ¨ 0,6428 ¸ ¨  19,08 ¸ ¨ 0,4163 ¸ ¹ ¹ © ©

424,17 N/mm2

89

3 Spannungszustand

& Berechnung des Betrags der Schubspannung W des Spannungsvektors s zur Schnittebene E3

W E3

s

2

2  V E3

Graphische Lösung

§ 583,42 · § 583,42 · ¸ ¸ ¨ ¨ 2 ¨ 88,84 ¸ ˜ ¨ 88,84 ¸  424,17 ¨  19,08 ¸ ¨  19,08 ¸ ¹ ¹ © ©

410,74 N/mm2

abgelesen: VE3 = 425 N/mm2 W E3 = 410 N/mm2

90

4 Verformungszustand 4.1 Formelsammlung zum Verformungszustand Definition von Dehnung und Schiebung l1  l0 l0

H

'l l0

J

D

S

Definition der (technischen) Dehnung

Definition der Schiebung

2

Vorzeichenregelung für Schiebungen Eine Schiebung ist positiv (negativ) anzusetzen, falls sich der ursprünglich rechte Winkel des betrachteten Winkelelementes vergrößert (verkleinert). Zweiachsiger Verformungszustand Dehnung in x’-Richtung

H x'

Hx  Hy 2



Hx Hy 2

˜ cos 2M 

J xy 2

˜ sin 2M

Schiebung mit der x’-Richtung als Bezug

J x'y'

Hx Hy

2

2

˜ sin 2M 

J xy 2

˜ cos 2M

Gleichung des Mohrschen Verformungskreises 2

H  H y · § J x' y' · § ¨¨ H x'  x ¸ ¨ ¸ 2 ¸¹ ¨© 2 ¸¹ ©

2

2

§ H x  H y · § J xy · ¨¨ ¸¸  ¨¨ ¸¸ © 2 ¹ © 2 ¹

2

91

4 Verformungszustand

H H1

H H2

Hx  Hy 2

Hx  Hy 2

2

§ Hx  Hy  ¨¨ © 2

· § J xy · ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ 2 ¸ ¹ ¹ ©

§ Hx  Hy  ¨¨ © 2

· § J xy · ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ 2 ¸ ¹ ¹ ©

2

2

Berechnung der Hauptdehnung

2

Berechnung der Hauptdehnung

Richtungswinkel zwischen der x-Achse und der ersten oder der zweiten Hauptdehnungsrichtung

M1;2

§  J xy 1 ˜ arctan¨ ¨ Hx  Hy 2 ©

M 2;1 M1;2 

· ¸ ¸ ¹

(Vorzeichen von Jxy entsprechend Vorzeichenregelung auf vorhergehender Seite)

S 2

Auswertung dreier beliebig orientierter Dehnungsmessstreifen

HA HB HC

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

  

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

˜ cos 2D  ˜ cos 2 E  ˜ cos 2J 

J xy 2

J xy 2

J xy 2

˜ sin 2D ˜ sin 2 E ˜ sin 2J

92

4 Verformungszustand

4.2 Aufgaben Aufgabe 4.1

{{zzz

Eine Rechteckscheibe (a = 10 mm; b = 8 mm) aus dem Vergütungsstahl 42CrMo4 wird in der dargestellten Weise elastisch verformt (a‘ = 10,02 mm; b‘ = 8,01 mm; D = 89,75°).

a) Berechnen Sie die Dehnungen Hx und Hy in x- und y-Richtung sowie die Schiebung Jxy. b) Ermitteln Sie die Dehnungen Hx' und Hy' sowie die Schiebungen Jx'y' und Jy'x' für ein um den Winkel M = 30° gedrehtes Flächenelement x rechnerisch, x graphisch. c) Berechnen Sie die Länge l‘ sowie den Winkel G des elastisch verformten, ursprünglich rechteckigen Flächenelementes mit der Seitenlänge l = 5 mm.

Aufgabe 4.2

{{zzz

Zur experimentellen Spannungsanalyse an Gashochdruckleitungen sollen die in der Abbildung dargestellten Messelemente eingesetzt werden. Am Messelement wurde eine 0°-45°-90° DMSRosette appliziert. Infolge einer Fertigungsungenauigkeit bei der Applikation schließt die A-Richtung der DMS-Rosette mit der Rohrachse (x-Richtung) einen Winkel von 8° ein. Nach Aufbringung des Innendrucks werden die folgenden Dehnungen gemessen:

HA = 0,862 ‰ HB = 0,224 ‰ HC = 0,472 ‰ a) Skizzieren Sie den Mohrschen Verformungskreis und ermitteln Sie die Dehnungen in xund y-Richtung (Hx und Hy) sowie die Schiebung Jxy mit der x-Richtung als Bezug. b) Ermitteln Sie die Hauptdehnungen HH1 und HH2 in der x-y-Ebene sowie die Winkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Hauptdehnungsrichtungen.

4 Verformungszustand

Aufgabe 4.3

93 {zzzz

Im Rahmen einer experimentellen Spannungsanalyse wird an einer Stahlplatte eine 0°-120°240° DMS-Rosette in der dargestellten Weise (siehe Abbildung) appliziert. Unter Betriebsbeanspruchung werden die folgenden Dehnungen gemessen:

HA = 0,0146 ‰ HB = 1,6230 ‰ HC = 0,2619 ‰ a) Zeichnen Sie maßstäblich den Mohrschen Verformungskreis und ermitteln Sie graphisch die Dehnungen in x- und y-Richtung (Hx und Hy) sowie die Schiebung Jxy. b) Bestimmen Sie graphisch die Hauptdehnungen HH1 und HH2 in der x-y-Ebene. Unter welchen Winkeln M1 und M2 zur x-Richtung wirken sie? c) Ermitteln Sie rechnerisch: x die Dehnungen Hx und Hy in x- und y-Richtung sowie die Schiebung Jxy. x die Hauptdehnungen HH1 und HH2 in der x-y-Ebene sowie die Winkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Hauptdehnungsrichtungen.

Aufgabe 4.4

{zzzz

Zur Ermittlung des Verformungszustandes (Hx, Hy und Jxy) eines durch Innendruck beanspruchten Behälters, werden an dessen Außenoberfläche drei Dehnungsmessstreifen in der dargestellten Weise appliziert. Unter Belastung werden die folgenden Dehnungen gemessen:

HA = 3,665 ‰ HB = 1,500 ‰ HC = -0,415 ‰ a) Zeichnen Sie maßstäblich den Mohrschen Verformungskreis und ermitteln Sie graphisch die Dehnungen in x- und y-Richtung (Hx und Hy) sowie die Schiebung Jxy. b) Bestimmen Sie graphisch die Hauptdehnungen in der x-y-Ebene. Unter welchen Winkeln M1 und M2 zur x-Richtung wirken die Hauptdehnungen? c) Ermitteln Sie rechnerisch: x die Dehnungen Hx und Hy in x- und y-Richtung sowie die Schiebung Jxy. x die Hauptdehnungen HH1 und HH2 in der x-y-Ebene sowie die Winkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Hauptdehnungsrichtungen.

94

4 Verformungszustand

4.3 Lösungen Lösung zu Aufgabe 4.1 a) Berechnung der Dehnungen in x- und y-Richtung (Hx und Hy) sowie der Schiebung Jxy

Hx Hy J xy

a'  a a b'  b b

D˜

10,02 mm  10 mm 0,002 2 ‰ 10 mm 8,01 mm  8 mm 0,00125 1,25 ‰ 8 mm

S 180q



S 2

89,75 ˜

S 180q



S 2

0,00436

4,36 ‰

b) Berechnung der Dehnung Hx’ sowie die Schiebung Jx’y’ Rechnerische Lösung:

H x'

H y'

J x' y'

Hx  Hy

Hx  Hy

Hx  Hy

Hx  Hy

˜ cos 2M 

J xy

˜ sin 2M 2 2 2 0,002  0,00125 0,002  0,00125  0,00436  ˜ cos 60q  ˜ sin 60q 2 2 2 0,0037 3,7 ‰ 

˜ cos 2M  90q 

J xy

˜ sin 2M  90q 2 2 2 0,002  0,00125 0,002  0,00125  0,00436  ˜ cos 240q  ˜ sin 240q 2 2 2 0,00045 0,45 ‰ 

H x  H y ˜ sin 2M  J xy ˜ cos 2M 0,002  0,00125 ˜ sin 60q  0,00436 ˜ cos 60q 0,00153 1,53 ‰

Da Jx’y’ < 0, handelt es sich gemäß der Vorzeichenregelung für Schiebungen um eine Winkelverkleinerung.

J y'x'

H x  H y ˜ sin 2M  90q  J xy ˜ cos 2M  90q 0,002  0,00125 ˜ sin 240q  0,00436 ˜ cos 240q 0,00153 1,53 ‰

Da Jy’x’ > 0, handelt es sich gemäß der Vorzeichenregelung für Schiebungen um eine Winkelvergrößerung.

95

4 Verformungszustand

Graphische Lösung: Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Richtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung. Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hx | Jxy/2) und Py (Hy | Jyx/2) in das H-J/2Koordinatensystem unter Berücksichtigung der Vorzeichenregelung für Schiebungen. Da die x- und die y-Richtung einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die H-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px und Py ist der gesuchte Mohrsche Verformungskreis (siehe Abbildung). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Verformungskreises

HM

Hx  Hy 2

0,002  0,00125 2 2

R

§ H x  H y · § J xy · ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¹ ¹ © © 0,002212

2

0,001625 2

§ 0,002  0,00125 · § 0,00436 · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 2 © ¹ © ¹

2

Berechnung des Winkels D zwischen x-Richtung und Hauptdehnungsrichtung HH1

D

arctan

J xy / 2 (H x  H y ) / 2

arctan

0,00436 / 2 0,002  0,00125 / 2

80,24q

Damit folgt für den Winkel E:

E

D  2 ˜M

80,24q  2 ˜ 30q

20,24q

Berechnung der Dehnung in x’-Richtung (Hx’)

H x'

H M  R ˜ cos E

0,001625  0,002212 ˜ cos 20,24q

0,0037

3,7 ‰

Berechnung der Dehnung in y’-Richtung (Hy’)

H y' H M  R ˜ cos E

0,001625  0,002212 ˜ cos 20,24q

0,00045 0,45 ‰

Berechnung der Schiebung mit der x’-Richtung als Bezugsrichtung (Jx’y’)

J x' y' / 2  R ˜ sin E J x' y'

0,002212 ˜ sin 20,24q

0,00153 1,53 ‰

0,0007652

96

4 Verformungszustand

Da Jx’y’ < 0, handelt es sich gemäß der Vorzeichenregelung für Schiebungen um eine Winkelverkleinerung. Berechnung der Schiebung mit der y’-Richtung als Bezugsrichtung (Jy’x’)

J y'x' / 2 J y'x'

R ˜ sin E

0,002212 ˜ sin 20,24q 0,0007652

0,00153 1,53 ‰

Da Jy’x’ > 0, handelt es sich gemäß der Vorzeichenregelung für Schiebungen um eine Winkelvergrößerung. c) Berechnung der Länge l´ des gedrehten, verformten Flächenelementes 'l H x' l 'l H x' ˜ l 0,0037 ˜ 5 mm 0,0185 mm damit folgt für l‘: l c l  'l 5 mm  0,0185 mm

5,0185 mm

Berechnung des Winkels G des gedrehten, verformten Flächenelementes

J x' y' G 

S 2

S

G

J x' y' 

G

89,91q

2

0,00153 

S 2

1,5693

97

4 Verformungszustand

Lösung zu Aufgabe 4.2 a) Es liegt eine 0°-45°-90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohrsche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden.

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Verformungskreises

HA  HC

HM

2

0,862 ‰  0,472 ‰ 2

0,667 ‰

H A  H M 2  H M  H B 2

R

0,862 ‰  0,667 ‰ 2  0,667 ‰  0,224 ‰ 2

0,484 ‰

Berechnung des Winkels D zwischen der Messrichtung von DMS A und der Hauptdehnungsrichtung HH1 tan D

D

HM  HB HA  HM

0,667 ‰  0,224 ‰ 0,862 ‰  0,667 ‰

2,272

66,24q

Damit folgt für den Betrag des Richtungswinkels E : E D  2 ˜ 8q 66,24q  16q 50,24q Berechnung der Dehnungen in x- und y-Richtung

Hx Hy

H M  R ˜ cos E H M  R ˜ cos E

0,667 ‰  0,484 ‰ ˜ cos 50,24q

0,977 ‰

0,667 ‰  0,484 ‰ ˜ cos 50,24q

0,357 ‰

Berechnung der Schiebung Jxy

J xy 2 Ȗxy

R ˜ sin E

0,744 ‰

0,484 ‰ ˜ sin 50,24q

0,372 ‰

98

4 Verformungszustand

Da die Schiebung Jxy > 0 ist, handelt es sich gemäß der Vorzeichenregelung für Schiebungen um eine Winkelvergrößerung. b) Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2

H H1 H M  R 0,667 ‰  0,484 ‰ 1,151 ‰ H H2 H M  R 0,667 ‰  0,484 ‰ 0,183 ‰ Ermittlung des Richtungswinkels M1 zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptdehnungsrichtung HH1

M1



E 2

25,12q

Ermittlung des Richtungswinkels M2 zwischen der x-Richtung und der zweiten Hauptdehnungsrichtung HH2

M2

M1  90q 25,12q  90q 64,88q

99

4 Verformungszustand

Lösung zu Aufgabe 4.3 a) + b)

abgelesen: Dehnungen Hx und Hy sowie Schiebung Jxy Hx = 1,01 ‰ Hy = HC = 0,26 ‰ Jxy = 1,84 ‰ (Winkelvergrößerung gemäß Vorzeichenregelung für Schiebungen) Hauptdehnungen und Richtungswinkel HH1 = 1,63 ‰ M1 = - 34° HH2 = - 0,36 ‰ M2 = 56° c) Berechnung der Dehnungen Hx und Hy sowie der Schiebung Jxy Für die Dehnungen in Messrichtung der Dehnungsmessstreifen gilt:

HA HB

HC

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2 Hx  Hy

2

 



Hx  Hy 2 Hx  Hy 2 Hx  Hy

2

˜ cos 2D  ˜ cos 2E 

˜ cos 2J 

J xy 2

J xy 2

J xy 2

˜ sin 2D

(1)

˜ sin 2E

(2)

˜ sin 2J

(3)

Zur Vereinfachung setzt man: v w

u

Hx  Hy 2

J xy 2

Hx  Hy 2

(4) (5) (6)

100

4 Verformungszustand

mit D = 30°, E = 150° und J = 270° sowie HA = 0,0146 ‰, HB = 1,6230 ‰ und HC = 0,2619 ‰ folgt aus den Gleichungen 1 bis 3: 0,0146 ‰ u  v ˜ cos 60q  w ˜ sin 60q 1,6230 ‰ u  v ˜ cos 300q  w ˜ sin 300q 0,2619 ‰ u  v ˜ cos 540q  w ˜ sin 540q

(7) (8) (9)

Damit ergibt sich das zu lösende lineare Gleichungssystem: (10) 0 , 0146 ‰ u  0 ,5 ˜ v  3 / 2 ˜ w 0,0146 ‰ u  0,5 ˜ v  3 / 2 ˜ w (11) 0,2619 ‰ u  v (12) Gleichung 10 und Gleichung 11 addiert: 1,6376 ‰ 2 ˜ u  v

(13)

Gleichung 12 nach v aufgelöst: v u  0,2619 ‰

(14)

Gleichung 14 in Gleichung 13 eingesetzt: 1,8995 ‰ 3 ˜ u u 0,63325 ‰

(15)

Gleichung 15 in Gleichung 14 eingesetzt: v 0,37127 ‰

(16)

Aus Gleichung 4 und Gleichung 5 folgt:

Hx  Hy

2 ˜ u und

(17)

Hx  Hy

2˜v

(18)

Gleichung 17 und 18 addiert, liefert:

Hx

u  v 1,004 ‰

(19)

Gleichung 17 und 18 subtrahiert, liefert:

Hy

uv

(20)

0,2619 ‰

Aus Gleichung 10 folgt: u  0,5 ˜ v  0,0146 ‰ w 3/2

0,63317 ‰  0,5 ˜ 0,37127 ‰  0,0146 ‰ 3/2

0,9286 ‰

Damit ergibt sich für die Schiebung Jxy aus Gleichung 5:

J xy

2 ˜ w 1,8572 ‰

Da die Schiebung positiv ist, handelt es sich entsprechend der Vorzeichenregelung für Schiebungen um eine Winkelvergrößerung.

101

4 Verformungszustand

Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2

H H1; H2

Hx  Hy 2

§ Hx Hy r ¨¨ © 2

2

· § J xy · ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ 2 ¸ ¹ ¹ ©

2

2

H H1 H H2

1,004  0,2619 § 1,004  0,2619 · § 1,8572 · ‰r ¨ ¸ ¸ ¨ 2 2 © ¹ © 2 ¹ 1,6332 ‰

2

‰

0,3669 ‰

Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Hauptdehnungsrichtungen

M1;2

§  J xy · 1 ¸ ˜ arctan¨ ¨ Hx  Hy ¸ 2 © ¹

· § 1  1,8572 ‰ ¸¸ ˜ arctan¨¨ 2 © 1,004 ‰ - 0,2619 ‰ ¹

34,10 ‰

Um zu entscheiden, ob es sich um den Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten oder der zweiten Hauptdehnungsrichtung handelt, wird Tabelle 4.1 (siehe Lehrbuch) angewandt. Da es sich um Fall 1 (Hx > Hy und Jxy > 0) handelt, ist M der Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptdehnungsrichtung, also:

M1

34,10q

Für den Richtungswinkel M2 zwischen der x-Richtung und der zweiten Hauptdehnungsrichtung folgt dann:

M2

M1  90q 34,09q  90q 55,90q

102

4 Verformungszustand

Lösung zu Aufgabe 4.4 a) + b)

abgelesen: Dehnungen Hx und Hy sowie Schiebung Jxy: Hx = 4 ‰ Hy = -1 ‰ Jxy = 0 Hauptdehnungen und Richtungswinkel:

HH1 = Hx = 4 ‰ M1 = 0 HH2 = Hy = -1 ‰ M2 = 90° c) Berechnung der Dehnungen Hx und Hy sowie der Schiebung Jxy Analog zu Aufgabe 4.3 folgt für das zu lösende Gleichungssystem mit D = 15°, E = 45° und J = 70° sowie HA = 3,665 ‰, HB = 1,500 ‰ und HC = -0,415 ‰: 3,665 ‰

u  v ˜ cos 30q  w ˜ sin 30q

(1)

1,500 ‰

u  v ˜ cos 90q  w ˜ sin 90q

(2)

0,415 ‰

u  v ˜ cos 140q  w ˜ sin 140q

(3)

Damit ergibt sich das zu lösende lineare Gleichungssystem: 3,665 ‰

u  3 / 2 ˜ v  0,5 ˜ w

1,500 ‰

u

0,415 ‰

u  0,766 ˜ v  0,643 ˜ w

w

(4) (5) (6)

(4) - 0,5˜(5): 2,915 ‰

0,5 ˜ u  3 / 2 ˜ v

0,643˜(5) - (6): 1,3795 ‰ 0,357 ˜ u  0,766 ˜ v 0,357˜(7) + 0,5˜(8): 1,7304 ‰ 0,6922 ˜ v v 2,5 ‰

(7)

(8)

(9)

103

4 Verformungszustand

Gleichung 9 in Gleichung 7 eingesetzt ergibt: u

2,915 ‰  3 / 2 ˜ 2,5 ‰ 0,5

1,5 ‰

Damit folgt für die Dehnungen Hx und Hx:

Hx

uv

4 ‰

Hy

uv

1 ‰

Aus Gleichung 5 folgt: w u  1,500 ‰

0‰

und damit:

J xy

2˜w

0‰

Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2 Da Jxy = 0 ist, fallen die x- und y-Richtung mit den Hauptdehnungsrichtungen zusammen, es folgt daher sofort: H H1 H x 4 ‰

H H2

Hy

1 ‰

Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Hauptdehnungsrichtungen

M1;2

§  J xy · 1 ¸ ˜ arctan¨ ¨ Hx Hy ¸ 2 © ¹

0

(da Jxy = 0)

Um zu entscheiden, ob es sich um den Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten oder der zweiten Hauptdehnungsrichtung handelt, wird Tabelle 4.1 (siehe Lehrbuch) angewandt. Da es sich um Fall 1 bzw. Fall 4 handelt, ist M der Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptdehnungsrichtung, also:

M1

0q

Für den Richtungswinkel M2 zwischen der x-Richtung und der zweiten Hauptdehnungsrichtung folgt dann:

M2

M1  90q 0q  90q 90q

104

5 Elastizitätsgesetze 5.1 Formelsammlung zu den Elastizitätsgesetzen Formänderungen durch einachsige Normalspannung Hookesches Gesetz für Normalspannungen

σ = E ⋅ε = E ⋅

l1 − l0 Δl = E⋅ l0 l0

Poissonsches Gesetz

ε q = − μ ⋅ ε l und ε q =

d1 − d 0 Δd = d0 d0

Formänderungen durch Schubspannungen

τ = G ⋅γ G=

Hookesches Gesetz für Schubbeanspruchung

E 2 ⋅ (1 + μ )

Zusammenhang zwischen den elastischen Werkstoffkonstanten E, G und μ

Formänderungen beim ebenen (zweiachsigen) Spannungszustand

(

)

(

)

1 ⋅ σ x − μ ⋅σ y E 1 ε y = ⋅ σ y − μ ⋅σ x E

εx =

εz = −

σx = σy =

μ E

(

⋅ σx +σy

E 1− μ2 E

1− μ2 σz = 0

Hookesches Gesetz für Normalspannungen (nach den Dehnungen aufgelöst)

)

(

)

(

)

⋅ εx + μ ⋅εy ⋅ εy + μ ⋅εx

τ xy = G ⋅ γ xy bzw. γ xy =

Hookesches Gesetz für Normalspannungen (nach den Spannungen aufgelöst)

τ xy Hookesches Gesetz G

für Schubbeanspruchung

105

5 Elastizitätsgesetze

Formänderungen beim allgemeinen (dreiachsigen) Spannungszustand Hookesches Gesetz für Normalspannungen (nach den Dehnungen aufgelöst)

[

(

)]

εx =

1 ⋅ σx − μ ⋅ σy +σz E

εy =

1 ⋅ σ y − μ ⋅ (σ z + σ x ) E

εz =

1 ⋅ σz − μ ⋅ σx +σy E

[

[

(

]

)]

Hookesches Gesetz für Normalspannungen (nach den Spannungen aufgelöst)

(

)

(

)

(

)

σx =

E 1+ μ

ª º μ ⋅ «ε x + ⋅ εx + εy + εz » 1 − 2μ ¬ ¼

σy =

E 1+ μ

ª º μ ⋅ «ε y + ⋅ εx + ε y + εz » μ 1 2 − ¬ ¼

σz =

E 1+ μ

ª º μ ⋅ «ε z + ⋅ εx + εy + εz » μ 1 2 − ¬ ¼

Hookesches Gesetz für Schubbeanspruchung

τ xy = G ⋅ γ xy bzw. γ xy = τ xz = G ⋅ γ xz bzw. γ xz =

τ yz = G ⋅ γ yz bzw. γ yz =

τ xy G

τ xz G

τ yz G

106

5 Elastizitätsgesetze

5.2 Aufgaben Aufgabe 5.1

{{zzz

Eine rechteckige Scheibe aus unlegiertem Baustahl (E = 210 000 N/mm2; μ = 0,30) mit den Seitenlängen a = 210 mm und b = 125 mm sowie der Dicke t = 6 mm wird durch die unbekannten Kräfte Fx und Fy statisch belastet (siehe Abbildung). Zwei an der Oberfläche der Scheibe applizierte Dehnungsmessstreifen liefern die folgenden Werte: DMS A: εx = 0,743 ‰ DMS B: εy = 0,124 ‰ a) Berechnen Sie aus den Dehnungen die unbekannten Kräfte Fx und Fy. b) Skizzieren Sie den Mohrschen Spannungskreis für die x-y-Ebene. Ermitteln Sie die Spannungen σx’, σy’ sowie τx’y’ und τy’x’ eines um den Winkel ϕ = 30° zur x-Richtung gedrehten Flächenelementes (siehe Abbildung).

Aufgabe 5.2

{{zzz

Eine Scheibe aus Werkstoff 15MnNi6-3 mit einer Dicke von 20 mm wird durch die unbekannten Kräfte Fx und Fy statisch beansprucht. Zur Spannungsermittlung wurde eine 0°-90° DMS-Rosette appliziert. Die Messrichtung von DMS A schließt dabei mit der x-Achse einen Winkel von α = 15° ein (siehe Abbildung). Unter Belastung werden die folgenden Dehnungen gemessen: DMS A: εA = 0,275 ‰ DMS B: εB = - 0,530 ‰ Werkstoffkennwerte 15MnNi6-3: Re = 400 N/mm2 Rm = 580 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Skizzieren Sie den Mohrschen Verformungskreis und berechnen Sie seinen Mittelpunkt (εM) und Radius (R). b) Berechnen Sie die unbekannten Kräfte Fx und Fy.

5 Elastizitätsgesetze

Aufgabe 5.3

107 {zzzz

Ein scheibenförmiges Bauteil aus der legierten Einsatzstahlsorte 15MnNi6-3 wird im Betrieb einer statischen Beanspruchung unterworfen. Es herrscht ein ebener Spannungszustand. Werkstoffkennwerte 15MnNi6-3: Re = 430 N/mm2 Rm = 660 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 Mit Hilfe einer 0°-45°-90° DMS-Rosette werden bei einer unbekannten Belastung die folgenden Dehnungen gemessen: DMS A: εA = 0,702 ‰ DMS B: εB = - 0,012 ‰ DMS C: εC = - 0,364 ‰ Berechnen Sie die an der Scheibe angreifenden Spannungen σx, σy sowie τxy.

Aufgabe 5.4

{zzzz

An der Oberfläche einer Stahlplatte aus der Baustahlsorte S275JR (E = 210000 N/mm2; μ = 0,30) wurde eine 0°-45°-90° DMS-Rosette appliziert, die mit der x-Richtung einen Winkel von 22° einschließt (siehe Abbildung). Unter Belastung wurden die folgenden Dehnungen gemessen: DMS A: εA = -0,251 ‰ DMS B: εB = -0,410 ‰ DMS C: εC = 0,368 ‰ a) Ermitteln Sie die Dehnungen εx und εy in x- und yRichtung sowie die Schiebung γxy. b) Berechnen Sie die Hauptdehnungen εH1 und εH2. Unter welchen Winkeln ϕ2 und ϕ2 (zur xRichtung gemessen) wirken die Hauptdehnungen? c) Berechnen Sie die Hauptnormalspannungen σH1 und σH2 in der x-y-Ebene.

108

Aufgabe 5.5

5 Elastizitätsgesetze {zzzz

Eine Stahlplatte aus Werkstoff S275J0 (Dicke t = 15 mm) wird durch die unbekannten Kräfte Fx und Fy belastet (siehe Abbildung). Zur Ermittlung der Kräfte wird eine 0°-45°-90° DMS-Rosette in der skizzierten Weise auf der Oberfläche appliziert. Werkstoffkennwerte S275J0: Rm = 275 N/mm2 Rp0,2 = 520 N/mm2 E = 205000 N/mm2 μ = 0,30 a) Berechnen Sie die unbekannten Kräfte Fx und Fy für eine Dehnungsanzeige von: DMS A: εA = 0,7551 ‰ DMS B: εB = 0,7160 ‰ DMS C: εC = 0,2693 ‰ b) Berechnen Sie die Dehnungen εA, εB und εC für Fx = Fy = 500 kN. c) Ermitteln Sie die Dickenänderung Δt der Stahlplatte aufgrund der Beanspruchung gemäß Aufgabenteil b (Fx = Fy = 500 kN).

Aufgabe 5.6

{{{zz

Eine einseitig eingespannte Platte aus der Aluminium-Legierung EN AW-AlCuMg1 (Rp0,2 = 250 N/mm2; Rm = 380 N/mm2; E = 72000 N/mm2; μ = 0,33) mit der Länge l = 650 mm, der Breite b = 150 mm und der Dicke s = 5 mm wird in Längsrichtung durch die Kraft F = 112,5 kN belastet (siehe Abbildung). a) Berechnen Sie die Längenänderung Δl der Platte in x-Richtung. b) Ermitteln Sie die Verlängerung Δl* der Platte in x-Richtung für den Fall, dass die Längskanten so geführt werden, dass die Breite b konstant bleibt.

109

5 Elastizitätsgesetze

Aufgabe 5.7

{{{zz

Ein Blechstreifen aus unlegiertem Baustahl (E = 210000 N/mm2; μ = 0,30) besitzt eine Dicke von s = 25 mm und eine Breite von b = 80 mm (siehe Abbildung). Der Blechstreifen kann sich in x- und zRichtung reibungsfrei verformen, wird aber zwischen zwei starren Platten so geführt, dass eine Verformung in y-Richtung nicht möglich ist. Berechnen Sie die Spannungen in x- und y-Richtung (σx und σy) sowie die Dehnungen in xund z-Richtung (εx und εz), falls der Blechstreifen mit einer Zugkraft von F = 420 kN in xRichtung belastet wird.

Aufgabe 5.8

{{{zz

Auf einem polierten Rundstab aus einer Kupfer-Zinn-Legierung mit dem Durchmesser d = 50,00 mm gleitet ein Ring mit dem Innendurchmesser di = 50,015 mm. Der Stab ist durch die axiale Druckkraft F belastet. Werkstoffkennwerte der Legierung: Re = 250 N/mm2 Rm = 450 N/mm2 E = 116000 N/mm2 μ = 0,35

Kupfer-Zinn-

Berechnen Sie die Druckkraft F die gerade zu einer Blockierung der Gleitbewegung des Ringes führt.

110

5 Elastizitätsgesetze

5.3 Lösungen Lösung zu Aufgabe 5.1 a) Berechnung der Spannungen in x- und y-Richtung (σx und σy) Die Messrichtung der Dehnungsmessstreifen fällt mit den Wirkungsrichtungen der Kräfte Fx und Fy zusammen. Die Spannungen in x- und y-Richtung (σx und σy) lassen sich daher sofort mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand berechnen. 210 000 N/mm 2 E σx = ε μ ε ⋅ + ⋅ = ⋅ (0,743 + 0,30 ⋅ 0,124 ) ⋅10 −3 x y 2 2 1− μ 1 - 0,30

(

)

= 180 N/mm 2

σy =

E 1− μ 2

(

)

⋅ ε y + μ ⋅ε x =

210 000 N/mm 2 1 - 0,30 2

⋅ (0,124 + 0,30 ⋅ 0,743) ⋅10 −3

= 80 N/mm 2

Berechnung der Kräfte Fx und Fy in x- und y- Richtung Fx = σ x ⋅ b ⋅ t = 180 N/mm 2 ⋅125 mm ⋅ 6 mm = 135 000 N = 135,0 kN Fy = σ y ⋅ a ⋅ t = 80 N/mm 2 ⋅ 210 mm ⋅ 6 mm = 100 900 N = 100,9 kN

b) Zur Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises benötigt man zweckmäßigerweise die Spannungen in zwei zueinander senkrechten Schnittflächen. Bekannt sind die Spannungen in den Schnittflächen mit der x-Richtung und der y-Richtung als Normale. Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (σx | 0) und Py (σy | 0) in das σ-τ-Koordinatensystem ergibt den Mohrschen Spannungskreis (siehe Abbildung). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Spannungskreises

σx +σ y

180 N/mm 2 + 80 N/mm2 = 130 N/mm 2 2 2 σ x − σ y 180 N/mm 2 − 80 N/mm 2 R= = = 50 N/mm 2 2 2

σM =

=

5 Elastizitätsgesetze

111

Berechnung der Spannungen σx’ und σy’ sowie τx’y’ und τy’x’ des gedrehten Flächenelementes Die Spannungen σx’ und τx’y’ erhält man aus dem Mohrschen Spannungskreis, indem man ausgehend vom Bildpunkt Px den doppelten Richtungswinkel 2⋅ϕ (= 2⋅30°) mit dem Lageplan entsprechendem Drehsinn anträgt (Bildpunkt Px´). Die Koordinaten des Bildpunktes Px´ sind die gesuchten Spannungen σx’ und τx’y’. Berechnung der Spannungen σx’ und τx’y’:

σ x' = σ M + R ⋅ cos(2 ⋅ ϕ ) = 130 N/mm2 + 50 N/mm2 ⋅ cos 60° = 155,0 N/mm2

τ x' y' = R ⋅ sin(2 ⋅ ϕ ) = 50 N/mm2 ⋅ sin 60° = 43,3 N/mm2

Die Spannungen σy’ und τy’x’ erhält man aus dem Mohrschen Spannungskreis, indem man ausgehend vom Bildpunkt Px den doppelten Richtungswinkel 2⋅(ϕ + 90°) also 2⋅(30°+90°), mit dem Lageplan entsprechendem Drehsinn anträgt (Bildpunkt Py´). Die Koordinaten des Bildpunktes Py´ sind die gesuchten Spannungen σy’ und τy’x’. Berechnung der Spannungen σy’ und τy’x’:

σ y' = σ M − R ⋅ cos 60° = 130 N/mm2 − 50 N/mm2 ⋅ cos 60° = 105,0 N/mm2 τ y'x' = − R ⋅ sin 60° = −50 N/mm2 ⋅ sin 60° = −43,3 N/mm2

112

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.2 a) Die Schnittflächen mit der x- und y-Richtung als Normale sind schubspannungsfrei, daher erfährt ein achsparalleles Flächenelement auch keine Schiebung (Winkelverzerrung). Die Bildpunkte Px und Py, welche die Verformungen mit der xbzw. y-Richtung als Bezugsrichtung repräsentieren, fallen daher mit der ε-Achse zusammen, d.h. die x- und die y-Richtung sind gleichzeitig Hauptdehnungsrichtungen. Der Mohrsche Verformungskreis lässt sich damit entsprechend der Abbildung auf einfache Weise konstruieren. Die Bildpunkte PA und PB, welche die Verformungen mit der A- bzw. B-Richtung als Bezugsrichtung repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkels (2⋅15° bzw. 2⋅15° +180°) ausgehend von der nunmehr bekannten x-Richtung (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Verformungskreises

εM = R=

εA + εB 2

=

0,275 ‰ + (-0,530 ‰) = −0,1275 ‰ 2

ε A − ε M 0,275 ‰ − (-0,1275 ‰) = 0,4648 ‰ = cos 2α cos(2 ⋅15°)

b) Berechnung der Dehnungen in x- und y-Richtung (εx und εy)

ε x = ε M + R = −0,1275 ‰ + 0,4648 ‰ = 0,3373 ‰ ε y = ε M − R = −0,1275 ‰ − 0,4648 ‰ = −0,5923 ‰ Berechnung der Spannungen in x- und y-Richtung durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

σx =

(

)

E 210 000 N/mm 2 ε μ ε ⋅ + ⋅ = ⋅ (0,3373 + 0,30 ⋅ (- 0,5923)) ⋅ 10 − 3 x y 2 2 1− μ 1 - 0,30

= 36,8 N/mm 2

σy =

(

)

E 210 000 N/mm 2 ε μ ε ⋅ + ⋅ = ⋅ (- 0,5923 + 0,30 ⋅ 0,3373) ⋅ 10 − 3 y x 1− μ2 1 - 0,30 2

= −113,3 N/mm 2

Berechnung der Kräfte Fx und Fy in x- und y- Richtung Fx = σ x ⋅ Ax = 36,8 N/mm 2 ⋅ 300 mm ⋅ 20 mm = 220 800 N = 220,8 kN Fy = σ y ⋅ Ay = -113,3 N/mm 2 ⋅ 600 mm ⋅ 20 mm = -1359 600 N = −1 359,6 kN

113

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.3 Es liegt eine 0°-45°90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohrsche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden.

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Verformungskreises ε +ε 0,702 ‰ + (-0,364 ‰) εM = A C = = 0,169 ‰ 2 2 R= =

(ε A − ε M )2 + (ε M − ε B )2 (0,702 ‰ − 0,169 ‰ )2 + (0,169 ‰ + 0,012 ‰ )2

= 0,5629 ‰

Berechnung des Winkels α zwischen der Messrichtung von DMS A und der Hauptdehnungsrichtung εH1 § εM − εB © εA − εM

α = arctan¨¨

· § 0,169 ‰ + 0,012 ‰ · ¸¸ = arctan¨¨ ¸¸ = 0,3396 © 0,702 ‰ − 0,169 ‰ ¹ ¹

α = 18,76° Damit folgt für den Richtungswinkel β : β = 50° − α = 50° − 18,76° = 31,24° Berechnung der Dehnungen in x- und y-Richtung

ε x = ε M + R ⋅ cos β = 0,169 ‰ + 0,563 ‰ ⋅ cos 31,24° = 0,650 ‰ ε y = ε M − R ⋅ cos β = 0,169 ‰ − 0,563 ‰ ⋅ cos 31,24° = −0,312 ‰ Berechnung der Normalspannungen σx und σy in x- und y-Richtung durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

σx =

(

)

210 000 N/mm 2 E ε μ ε ⋅ + ⋅ = ⋅ (0,650 ‰ − 0,3 ⋅ 0,312 ‰ ) ⋅ 10 −3 x y 1− μ2 1 - 0,30 2

= 128,4 N/mm 2

σy =

(

)

210 000 N/mm 2 E ⋅ εy + μ ⋅εx = ⋅ (- 0,312 ‰ + 0,3 ⋅ 0,650 ‰ ) ⋅ 10 − 3 2 2 1− μ 1 - 0,30

114

5 Elastizitätsgesetze

σ y = −27,0 N/mm 2 Berechnung der Schiebung γxy mit der x-Richtung als Bezugsrichtung

γ xy 2

= − R ⋅ sin β = −0,563 ‰ ⋅ sin 31,24° = −0,292 ‰

γ xy = −0,584 ‰

(Winkelverkleinerung gemäß Vorzeichenregelung für Schiebungen)

Berechnung der Schubspannung τxy durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes für Schubbeanspruchung

τ xy = G ⋅ γ xy =

(

)

210 000 N/mm 2 E ⋅ γ xy = ⋅ - 0,584 ‰ ⋅ 10 − 3 = −47,2 N/mm 2 2 ⋅ (1 + μ ) 2 ⋅ (1 + 0,30)

115

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.4 a) Es liegt eine 0°-45°90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohrsche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden.

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Verformungskreises

εM = R= =

εA + εC 2

=

−0,251 ‰ + 0,368 ‰ = 0,0585 ‰ 2

(ε M − ε A )2 + (ε M − ε B )2 (0,0585 ‰ − (− 0,251) ‰ )2 + (0,0585 ‰ − (− 0,410) ‰ )2

= 0,562 ‰

Berechnung des Winkels α zwischen der Messrichtung von DMS A und der Hauptdehnungsrichtung εH2 § εM − εB © εM − εA

α = arctan¨¨

· § 0,0585 ‰ − (− 0,410 ) ‰ · ¸¸ = arctan¨¨ ¸¸ = 56,55° © 0,0585 ‰ − (− 0,251) ‰ ¹ ¹

Berechnung des Winkels β (siehe Mohrscher Verformungskreis)

β = 180° − 2 ⋅ 22° − α = 180° − 44° − 56,55° = 79,45° Berechnung der Dehnungen in x- und y-Richtung (εx und εy)

ε x = ε M + R ⋅ cos β = 0,0585 ‰ + 0,562 ‰ ⋅ cos79,45° = 0,161 ‰ ε y = ε M − R ⋅ cos β = 0,0585 ‰ − 0,562 ‰ ⋅ cos79,45° = −0,044 ‰ Berechnung der Schiebung mit der x-Richtung als Bezugsrichtung (γxy)

γ xy / 2 = R ⋅ sin β = 0,562 ‰ ⋅ sin79,45° = 0,5520 ‰ γ xy = 1,104 ‰ (Winkelvergrößerung gemäß Vorzeichenregelung für Schiebungen) b) Berechnung der Hauptdehnungen εH1 und εH2

ε H1 = ε M + R = 0,0585 ‰ + 0,562 ‰ = 0,620 ‰ ε H2 = ε M − R = 0,0585 ‰ − 0,562 ‰ = −0,503 ‰

116

5 Elastizitätsgesetze

Berechnung der Richtungswinkel ϕ1 und ϕ2 zwischen der x-Achse und den Hauptdehnungsrichtungen εH1 und εH2

ϕ1;2 =

§ − γ xy 1 ⋅ arctan¨ ¨ εx − εy 2 ©

· 1 − 1,105 ‰ ¸ = ⋅ arctan§¨ ¨ 0,161 ‰ − (− 0,044 ‰ ) ¸ 2 © ¹

· ¸¸ = −39,72° ¹

Der errechnete Winkel ϕ kann der Richtungswinkel zwischen der ersten oder der zweiten Hauptdehnungsrichtung sein. Um zu entscheiden, ob es sich um den Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten oder zweiten Hauptdehnungsrichtung handelt, wird Tabelle 4.1 (siehe Lehrbuch) angewandt. Da es sich um Fall 1 handelt (εx > εy und γxy > 0) ist ϕ der Richtungswinkel zwischen der x-Achse und der ersten Hauptdehnungsrichtung. Dies ist auch aus dem Mohrschen Verformungskreis ersichtlich. Es gilt also:

ϕ = ϕ1 = −39,72° Für den Richtungswinkel ϕ2 folgt dann:

ϕ 2 = ϕ1 + 90° = −39,72° + 90° = 50,28° c) Berechnung der Hauptspannungen σH1 und σH2 Die Hauptspannungen errechnet man aus den Hauptdehnungen mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand:

σ H1 = =

σ H2 = =

E ⋅ (ε H1 + μ ⋅ ε H2 ) 1− μ2 210 000 N/mm 2 ⋅ (0,620 + 0,30 ⋅ (− 0,503)) ⋅ 10 −3 = 108,3 N/mm 2 1 − 0,30 2 E ⋅ (ε H2 + μ ⋅ ε H1 ) 1− μ2 210 000 N/mm 2 ⋅ (− 0,503 + 0,30 ⋅ 0,620 ) ⋅ 10 −3 = −73,2 N/mm 2 1 − 0,30 2

117

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.5 a) Es liegt eine 0°-45°-90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohrsche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden.

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Verformungskreises

εM = R= =

εA + εC 2

=

0,7551 ‰ + 0,2693 ‰ = 0,5122 ‰ 2

(ε B − ε M )2 + (ε M − ε C )2 (0,7160 ‰ − 0,5122 ‰ )2 + (0,5122 ‰ − 0,2693 ‰ )2

= 0,3170 ‰

Berechnung des Winkels α zwischen der Messrichtung von DMS B und der Hauptdehnungsrichtung εH1 § εM − εC · § 0,5122 ‰ − 0,2693 ‰ · ¸¸ = arctan¨¨ ¸¸ = 50,0° ε − ε M¹ © 0,7160 ‰ − 0,5122 ‰ ¹ © B

α = arctan¨¨

Da der Winkel zwischen der Messrichtung von DMS B und der x-Richtung dem Winkel α entspricht (50°), fallen die x- und y-Richtungen mit den Hauptdehnungsrichtungen zusammen. Dieses Ergebnis hätte man auch ohne Berechnung erhalten. Da an der Stahlplatte keine Schubspannungen wirken, müssen x- und y-Richtung gleichzeitig Hauptspannungsrichtung und damit auch Hauptdehnungsrichtung sein (isotroper Werkstoff vorausgesetzt). Für die Dehnungen in x- und y- Richtung (εx und εy) folgt:

ε x = ε M + R = 0,5122 ‰ + 0,3170 ‰ = 0,8292 ‰ ε y = ε M − R = 0,5122 ‰ − 0,3170 ‰ = 0,1952 ‰ Berechnung der Normalspannungen σx und σy durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

σx = σy =

E 1− μ2 E 1− μ

2

(

)

205 000 N/mm 2 0,8292 ‰ + 0,30 ⋅ 0,1952 ‰ ⋅ = 200 N/mm 2 2 1000 1 − 0,30

(

)

205 000 N/mm 2 0,1952 ‰ + 0,30 ⋅ 0,8292 ‰ ⋅ = 100 N/mm 2 1000 1 − 0,30 2

⋅ εx + μ ⋅εy = ⋅ εy + μ ⋅εx =

118

5 Elastizitätsgesetze

Damit folgt für die Kräfte Fx und Fy: Fx = σ x ⋅ a ⋅ t = 200 N/mm 2 ⋅ 250 mm ⋅ 15 mm = 750 000N = 750 kN

Fy = σ x ⋅ b ⋅ t = 100 N/mm 2 ⋅ 500 mm ⋅ 15 mm = 750 000N = 750 kN

b) Berechnung der Spannungen in x- und y-Richtung

σx =

Fx 500 000 N = = 133,3 N/mm 2 b ⋅ t 250 mm ⋅ 15 mm

σy =

Fy a ⋅t

=

500 000 N = 66,6 N/mm 2 500 mm ⋅ 15 mm

Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Die Schnittflächen mit der xund y-Richtung als Normale sind schubspannungsfrei. Die Bildpunkte Px und Py, welche die Spannungen in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen daher mit der σAchse zusammen d. h. die x- und die y-Richtung sind gleichzeitig Hauptspannungsrichtungen. Der Mohrsche Spannungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren (siehe Abbildung). Aus dem Mohrschen Spannungskreis folgt:

σM = R=

σx +σy 2

σx −σy 2

=

=

133,3 N/mm 2 + 66,6 N/mm 2 = 100 N/mm 2 2

133,3 N/mm 2 − 66,6 N/mm 2 = 33,3 N/mm 2 2

Ermittlung der Normalspannungen σx’ (≡σB) und σy’ eines um den Winkel ϕ = 25° gedrehten Flächenelementes

σ x' ≡ σ B = σ M + R ⋅ cos 50° = 100 N/mm 2 + 33,3 N/mm 2 ⋅ cos 50° = 121,43 N/mm 2 σ y' = σ M − R ⋅ cos 50° = 100 N/mm 2 − 33,3 N/mm 2 ⋅ cos 50° = 78,57 N/mm 2 Berechnung der Dehnung εx’ (≡εB) mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spanungszustand) 1 121,43 N/mm2 − 0,30 ⋅ 78,57 N/mm2 ε x' ≡ ε B = (σ x' − μ ⋅ σ y' ) = = 0,000477 E 205000 N/mm2 = 0,477 ‰

119

5 Elastizitätsgesetze

Ermittlung der Normalspannungen σx* (≡ σA) und σy* (≡ σC) eines um den Winkel ϕ = -20° gedrehten Flächenelementes

σ x * ≡ σ A = σ M + R ⋅ cos 40° = 100 N/mm2 + 33,3 N/mm2 ⋅ cos 40° = 125,53 N/mm2 σ y* ≡ σ C = σ M − R ⋅ cos 40° = 100 N/mm2 − 33,3 N/mm2 ⋅ cos 40° = 74,47 N/mm2 Berechnung der Dehnungen εx* (≡εA) und εy* (≡εC) mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spanungszustand)

ε x* ≡ ε A =

125,53 N/mm 2 − 0,30 ⋅ 74,47 N/mm 2 1 (σ x* − μ ⋅ σ y* ) = E 205000 N/mm 2

= 0,000503 = 0,503 ‰

ε y* ≡ ε C =

74,47 N/mm 2 − 0,30 ⋅ 125,53 N/mm 2 1 (σ y* − μ ⋅ σ x* ) = E 205000 N/mm 2

= 0,000179 = 0,179 ‰

Alternative Lösung: Berechnung der Dehnung in x- und y-Richtung (εx und εy) mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand )

εx =

1 133,3 N/mm 2 − 0,30 ⋅ 66,6 N/mm 2 ⋅ (σ x − μ ⋅ σ y ) = = 0,000553 = 0,553 ‰ E 205000 N/mm 2

εy =

1 66,6 N/mm 2 − 0,30 ⋅ 133,3 N/mm 2 ⋅ (σ y − μ ⋅ σ x ) = = 0,000130 = 0,130 ‰ E 205000 N/mm 2

Die Schnittflächen mit der x- und yRichtung als Normale sind schubspannungsfrei, daher erfährt ein achsparalleles Flächenelement auch keine Schiebung (Winkelverzerrung). Die Bildpunkte Px und Py, welche die Verformungen mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung repräsentieren, fallen mit der ε-Achse zusammen, d. h. die x- und die y-Richtung sind gleichzeitig Hauptdehnungsrichtungen. Der Mohrsche Verformungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren (siehe Abbildung). Aus dem Mohrschen Verformungskreis folgt:

εM = R=

ε H1 + ε H2 2

ε H1 − ε H2 2

=

=

εx + εy 2

=

0,553 ‰ + 0,130 ‰ = 0,3415 ‰ 2

0,553 ‰ − 0,130 ‰ = 0,2115 ‰ 2

120

5 Elastizitätsgesetze

Damit folgt für die Dehnungen in A-, B- und C-Richtung:

ε x* ≡ ε A = ε M + R ⋅ cos 40° = 0,3415 ‰ + 0,2115 ‰ ⋅ cos40° = 0,503 ‰ ε y* ≡ ε C = ε M − R ⋅ cos 40° = 0,3415 ‰ − 0,2115 ‰ ⋅ cos40° = 0,179 ‰ ε x' ≡ ε B = ε M + R ⋅ cos 50° = 0,3415 ‰ + 0,2115 ‰ ⋅ cos50° = 0,477 ‰ c) Die Verminderung der Plattendicke ergibt sich aus dem Hookeschen Gesetz für den zweiachsigen Spannungszustand Berechnung der Dehnung εz in z-Richtung

εz = −

μ E

⋅ (σ x + σ y ) = −

(

)

0,30 ⋅ 133,3 N/mm 2 + 66,6 N/mm 2 = - 0,000293 2 205 000 N/mm

Damit folgt für die Verminderung der Plattendicke Δt: Δt = ε z ⋅ t = 0,000293 ⋅ 15 mm = - 0,0044 mm = −4,4 ȝm

121

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.6 a) Es wirkt nur die Zugkraft F und die Platte kann sich frei verformen. Es liegt daher ein einachsiger Spannungszustand vor. Berechnung der Verlängerung Δl der Platte Hookesches Gesetz (einachsiger Spannungszustand):

σ x = E ⋅ε = E ⋅

Δl l

F Δl = E⋅ b⋅s l

Damit folgt für die Verlängerung Δl der Platte: Δl =

F ⋅l 112 500 N ⋅ 650 mm = = 1,354 mm E ⋅ b ⋅ s 72 000 N/mm 2 ⋅ 150 mm ⋅ 5 mm

b) Eine Verformung in y-Richtung ist voraussetzungsgemäß nicht möglich. Damit tritt zusätzlich eine Spannung in y-Richtung auf. Der Spannungszustand ist nunmehr zweiachsig. Berechnung der Verlängerung Δl* der Platte Hookesches Gesetz (zweiachsiger Spannungszustand):

(

)

(1)

(

)

(2)

1 ⋅ σ x − μ ⋅σ y E 1 ε y = ⋅ σ y − μ ⋅σ x E

εx =

Mit der Randbedingung: εy = 0 folgt aus Gleichung 2:

σ y = μ ⋅σ x

(3)

Gleichung 3 in Gleichung 1 eingesetzt liefert:

εx =

(

)

(

σ 1 ⋅ σ x − μ 2 ⋅σ x = x ⋅ 1 − μ 2 E E

)

(4)

Mit εx = Δl* / l und σx = F/A folgt aus Gleichung 4:

(

)

Δl * F = ⋅ 1− μ2 l E⋅A F ⋅l Δl * = ⋅ 1− μ2 E ⋅b⋅ s 112500 N ⋅ 650 mm = ⋅ 1 − 0,332 = 1,354 mm ⋅ 1 − 0,332 = 1,207 mm 2 72000 N/mm ⋅ 150 mm ⋅ 5 mm

(

)

(

)

(

)

122

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.7 Berechnung der Spannung in x-Richtung

σx =

420 000 N F F = = = 210 N/mm 2 A b ⋅ s 80mm ⋅ 25mm

Berechnung der Dehnung in x-Richtung Da eine freie Verformung des Blechsteifens in y- Richtung nicht möglich ist, tritt zusätzlich eine Spannung in y-Richtung auf. Der Spannungszustand ist also zweiachsig. Hookesches Gesetz (zweiachsiger Spannungszustand): 1 ε x = ⋅ σ x − μ ⋅σ y (1) E 1 (2) ε y = ⋅ σ y − μ ⋅σ x E

(

)

(

)

Mit der Randbedingung εy = 0 folgt aus Gleichung 2:

σ y = μ ⋅σ x

(3)

Gleichung 3 in Gleichung 1 eingesetzt liefert: 1 ε x = ⋅ σ x − μ 2 ⋅σ x E

(

εx =

)

(

σ x ⋅ 1− μ2 E

) = 210 N/mm ⋅ (1 − 0,30 ) = 0,00091 = 0,91 ‰ 2

2

210 000 N/mm 2

Berechnung der Spannung in y-Richtung Die Spannung in y-Richtung ergibt sich aus Gleichung 1:

σy =

σ x − E ⋅ ε x 210 N/mm 2 - 210 000 N/mm 2 ⋅ 0,00091 = = 63 N/mm 2 0,30 μ

Berechnung der Dehnung in z-Richtung Die Dehnung in z-Richtung erhält man ebenfalls aus dem Hookeschen Gesetz für den zweiachsigen Spannungszustand: μ 0,30 ε z = − ⋅ σ x +σ y = − ⋅ (210 + 63) N/mm 2 = −0,00039 = −0,39 ‰ E 210 000 N/mm 2

(

)

123

5 Elastizitätsgesetze

Lösung zu Aufgabe 5.8 Das Hookesche Gesetz (einachsiger Spannungszustand) liefert den Zusammenhang zwischen der Druckkraft F und der Stauchung des Rundstabes in Längsrichtung (εl):

σ l = E ⋅ εl

(1)

Das Poissonsche Gesetz liefert den Zusammenhang zwischen der Stauchung in Längsrichtung (εl) und der Querdehnung (εq):

ε q = −μ ⋅ ε l

(2)

Gleichung 2 in Gleichung 1 eingesetzt:

σ l = E ⋅ εl = −

E

μ

⋅ εq

mit σl = F / A und εq = Δd / d folgt:

F E Δd =− ⋅ A μ d E ⋅ A Δd ⋅ =− F =− μ d =−

E⋅

π 4

μ

⋅d 2

⋅

Δd π ⋅ d ⋅ E ⋅ Δd =− d 4⋅μ

ʌ ⋅ 50 mm ⋅116 000 N/mm 2 ⋅ 0,015 mm = −195 228 N = −195,2 kN 4 ⋅ 0,35

124

6 Festigkeitshypothesen 6.1 Formelsammlung zu den Festigkeitshypothesen Normalspannungshypothese (NH) Vergleichsspannung nach der NH (in Hauptnormalspannungen)

V V NH

V1

Vergleichsspannung nach der NH (in Lastspannungen bei zweiachsigem Spannungszustand)

V V NH

Vx Vy 2

§Vx Vy  ¨¨ 2 ©

2

· 2 ¸  W xy ¸ ¹

Vergleichsspannung nach der NH (in Lastspannungen bei Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion) 1)

V V NH

2

Vb

§V ·  ¨ b ¸  W t2 2 © 2 ¹

Schubspannungshypothese (SH)

V V SH

V V SH

Vergleichsspannung nach der SH (in Hauptnormalspannungen)

V1  V 3

V x  V y

2



Vergleichsspannung nach der SH (in Lastspannungen bei zweiachsigem Spannungszustand)

2 4 ˜ W xy

2 Gilt nur, falls V x ˜ V y d W xy

V VSH

V VSH

1)

Vx Vy 2

V b2

2

§Vx Vy · 2 ¸  W xy  ¨¨ ¸ 2 © ¹

 4 ˜W t2

Vergleichsspannung nach der SH (in Lastspannungen bei zweiachsigem Spannungszustand) 2 Gilt nur, falls V x ˜ V y ! W xy

Vergleichsspannung nach der NH (in Lastspannungen bei Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion) 1)

An die Stelle der Biegebeanspruchung kann auch eine Zug- oder Druckbeanspruchung treten. An die Stelle der Torsionsbeanspruchung kann auch eine Abscherbeanspruchung treten.

125

6 Festigkeitshypothesen

Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH)

V VGEH

1)

1 2

˜

V 1  V 2 2  V 2  V 3 2  V 3  V 1 2

Vergleichsspannung nach der GEH (in Hauptnormalspannungen)

V VGEH

2 V x2  V y2  V x ˜ V y  3 ˜ W xy

Vergleichsspannung nach der GEH (in Lastspannungen bei zweiachsigem Spannungszustand)

V VGEH

V b2  3 ˜ W t2

Vergleichsspannung nach der GEH (in Lastspannungen bei Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion) 1)

An die Stelle der Biegebeanspruchung kann auch eine Zug- oder Druckbeanspruchung treten. An die Stelle der Torsionsbeanspruchung kann auch eine Abscherbeanspruchung treten.

126

6 Festigkeitshypothesen

6.2 Aufgaben Aufgabe 6.1

{{zzz

Ein Rundstab aus der Gusseisensorte EN-GJL-300 mit einem Durchmesser von d = 30 mm (Vollkreisquerschnitt) wird durch die statisch wirkende Längskraft F1 = 50 kN und das statische Torsionsmoment Mt1 = 450 Nm belastet. Die Zugfestigkeit des Werkstoffs beträgt Rm = 370 N/mm2. a) Ermitteln Sie die höchst beanspruchten Stellen im Stabquerschnitt. b) Berechnen Sie die Zugspannung Vx im Stabquerschnitt. c) Ermitteln Sie die maximale Schubspannung Wxy im Stabquerschnitt. d) Charakterisieren Sie den Spannungszustand an der höchst beanspruchten Stelle, indem Sie den Mohrschen Spannungskreis skizzieren (qualitativ). e) Berechnen Sie die Sicherheit gegen Versagen. Ist die Sicherheit ausreichend? f) Berechnen Sie die statische Längskraft F2, die bei gleichbleibendem, statisch wirkendem Torsionsmoment Mt1 = 450 Nm zu einem Bruch des Rundstabes führt. g) Ermitteln Sie das statische Torsionsmoment Mt2, welches bei gleichbleibender, statisch wirkender Längskraft F1 = 50 kN zum Bruch führt. h) Ermitteln Sie die Kurvengleichung aller V-W-Kombinationen, die zu einem Bruch des Stabes führen würden. Zeichnen Sie diese Kurve in das V-W-Koordinatensystem aus Abschnitt d) ein.

Aufgabe 6.2 Eine vergütete Welle mit Vollkreisquerschnitt aus der Vergütungsstahlsorte C35E (Re = 410 N/mm2; Rm = 660 N/mm2) mit einem Durchmesser von d = 50 mm wird auf unterschiedliche Weise beansprucht: 1. Durch das statisch wirkende Torsionsmoment Mt = 1500 Nm und die statische Zugkraft Fz = 100 kN, 2. durch das statisch wirkende Torsionsmoment Mt = 1500 Nm und die statische Druckkraft Fd = -100 kN, 3. durch das statisch wirkende Torsionsmoment Mt = 1500 Nm und das statische Biegemoment Mb = 1000 Nm.

{{zzz

6 Festigkeitshypothesen

127

a) Berechnen Sie die durch die Einzelbelastungen (Fz, Fd, Mt und Mb) erzeugten Lastspannungen an der höchst beanspruchten Stelle. b) Skizzieren Sie jeweils maßstäblich für die drei Belastungsfälle den Mohrschen Spannungskreis. c) Ermitteln Sie für alle drei Belastungsfälle die Hauptnormalspannungen an der höchst beanspruchten Stelle. Berechnen Sie jeweils getrennt für die drei Belastungsfälle: d) Die Vergleichsspannung VV an der höchst beanspruchten Stelle nach der GEH und der SH. e) Ermitteln Sie für die einzelnen Belastungsfälle, unter Zugrundelegung der GEH, die Sicherheit gegen Fließen.

Aufgabe 6.3

{{zzz

Auf eine vertikale Turbinenwelle mit dem Durchmesser d = 90 mm (Vollkreisquerschnitt) aus Vergütungsstahl C45E (Re = 490 N/mm2; Rm = 710 N/mm2) wirkt im Betrieb zunächst ein statisches Torsionsmoment von Mt = 14000 Nm und eine statisch wirkende Zugkraft von F = 890 kN. a) Berechnen Sie die Sicherheit gegen Fließen. Ist die Sicherheit ausreichend? Um ein höheres Torsionsmoment aufnehmen zu können, wird eine vergütete Welle aus der legierten Vergütungsstahlsorte 30CrMoV9 (Rp0,2 = 900 N/mm2; Rm = 1100 N/mm2) eingebaut. b) Auf welchen Betrag Mt* kann dadurch das Torsionsmoment bei gleicher Zugkraft (F = 890 kN) und gleicher Sicherheit gesteigert werden, falls Fließen ausgeschlossen werden soll?

Aufgabe 6.4

{{zzz

Eine Stellspindel aus dem legierten Vergütungsstahl 34CrNiMo6 hat einen zylindrischen Schaft mit dem Durchmesser d = 30 mm und eine Länge von l = 650 mm. Die Kerbwirkung des Gewindes soll unberücksichtigt bleiben. Werkstoffkennwerte 34CrNiMo6: Rp0,2 = 1000 N/mm2 Rm = 1200 N/mm2 E = 210000 N/mm2

128

6 Festigkeitshypothesen

a) Im Normalbetrieb ist die Spindel durch die Zugkraft F = 280 kN statisch beansprucht. Berechnen Sie die Zugspannung in der Spindel. Um welchen Betrag verlängert sich die Spindel dabei? b) Beim Verstellen der Spindel wirkt zusätzlich zu der Kraft F noch ein statisches Torsionsmoment, dessen Größe mit Mt = 2000 Nm angenommen wird. Berechnen Sie die durch das Torsionsmoment Mt erzeugte Schubspannung Wt in der Spindel. c) Zeichnen Sie für die Beanspruchung aus F und Mt maßstäblich den Mohrschen Spannungskreis und berechnen Sie die Hauptnormalspannungen. Bei einem Verstellvorgang klemmte die Spindel und brach. Die Untersuchung der Bruchfläche ergab, dass der Werkstoff offenbar durch eine falsche Wärmebehandlung versprödet wurde (Anlassversprödung). Die Zugfestigkeit Rm der versprödeten Spindel betrug 1800 N/mm2. d) Berechnen Sie unter der Voraussetzung einer unveränderten Zugkraft von F = 280 kN das Torsionsmoment beim Bruch.

Aufgabe 6.5

{zzzz

Eine Platte aus der Aluminium-Legierung EN AW-Al Zn5Mg3Cu mit einer Dicke von t = 15 mm wird durch die unbekannten Spannungen Vx, Vy und Wxy elastisch beansprucht (siehe Abbildung). Zur Ermittlung der Spannungen wird eine 0°45°-90° DMS-Rosette in der skizzierten Weise auf der Oberfläche appliziert. Werkstoffkennwerte für die Aluminiumlegierung EN AW-Al Zn5Mg3Cu: Rp0,2 = 380 N/mm2 Rm = 550 N/mm2 E = 75000 N/mm2 μ = 0,33 a) Berechnen Sie die unbekannten Spannungen Vx, Vy und Wxy für eine Dehnungsanzeige von: DMS A: HA = 3,159 ‰ DMS B: HB = 0,552 ‰ DMS C: HC = -0,479 ‰ b) Bestimmen Sie Richtung und Betrag der Hauptnormalspannungen. c) Ermitteln Sie die Dickenänderung der Stahlplatte aufgrund der Beanspruchung gemäß Aufgabenteil a). d) Berechnen Sie die Sicherheit gegen Fließen (SF). Ist die Sicherheit ausreichend? Das Werkstoffverhalten kann annähernd als duktil angesehen werden.

6 Festigkeitshypothesen

Aufgabe 6.6

129 {zzzz

Im Rahmen einer experimentellen Spannungsanalyse wurde am Übergang zwischen Zylinder und Stutzen eines Druckbehälters aus der Stahlsorte 36CrNiMo4 (Rm = 1150 N/mm2; Rp0,2 = 850 N/mm2; E = 210000 N/mm2; μ = 0,30) die folgenden Dehnungen gemessen:

Ht = 0,900 ‰ Ha = -0,500 ‰ H45 = 0,840 ‰ a) Berechnen Sie mit Hilfe der gemessenen Dehnungen die Hauptdehnungen HH1 und HH2 sowie die Hauptnormalspannungen VH1 und VH2. Ermitteln Sie außerdem die Winkel der Hauptdehnungen bzw. Hauptnormalspannungen zur Behälterlängsachse (Axialrichtung). b) Berechnen Sie an der Messstelle die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH). c) Ermitteln Sie für die Stutzenabzweigung die Sicherheit gegen Fließen. Ist die Sicherheit ausreichend?

Aufgabe 6.7

{zzzz

Zur Überprüfung der Belastung eines Zugankers mit Vollkreisquerschnitt (‡ 30mm) aus der Vergütungsstahlsorte 30CrNiMo8 wird ein Dehnungsmessstreifen appliziert. Versehentlich wird der Dehnungsmessstreifen schräg (D =15°) zur Längsachse angebracht (siehe Abbildung). Werkstoffkennwerte 30CrNiMo8: Rp0,2 = 1020 N/mm2 Rm = 1390 N/mm2 E = 204000 N/mm2 μ = 0,30 a) Berechnen Sie für eine Zugkraft von F1 = 320 kN die Dehnungsanzeige (HDMS). b) Bestimmen Sie die Zugkraft F2 bei einer Dehnungsanzeige von HDMS = 3,000 ‰. c) Ermitteln Sie die Zugkraft F3 bei Fließbeginn des Zugankers sowie die zugehörige Anzeige des Dehnungsmessstreifens.

130

Aufgabe 6.8

6 Festigkeitshypothesen {{zzz

Ein einseitig eingespannter, abgewinkelter Rundstab mit Vollkreisquerschnitt (d = 30 mm) aus der legierten Vergütungsstahlsorte 41Cr4 (Rp0,2 = 780 N/mm2, Rm = 1050 N/mm2) wird zunächst nur durch die statisch wirkende Einzelkraft F1 = 5 kN beansprucht (F2 = 0). Die Kerbwirkung an der Einspannstelle sowie Schubspannungen durch Querkräfte sind für alle Aufgabenteile zu vernachlässigen. a) Berechnen Sie das Biegemoment Mb und das Torsionsmoment Mt an der Einspannstelle. b) Berechnen Sie die Sicherheit gegen Fließen an der Einspannstelle. Ist die Sicherheit ausreichend? c) Berechnen Sie die zusätzliche, statisch wirkenden Kraft F2, die zu einem Bruch des Stabes an der Einspannstelle führt. Bei einer preisgünstigeren Ausführung wurde für den gebogenen Rundstab der Baustahl S235JR (Re = 245 N/mm2; Rm = 440 N/mm2) verwendet. d) Berechnen Sie den Durchmesser d so, dass bei ansonsten gleichen Abmessungen, die Kraft F1 = 5 kN mit Sicherheit (SB = 2) aufgenommen werden kann, d. h. kein Bruch eintritt. Die Kraft F2 soll nicht mehr wirken (F2 = 0).

Aufgabe 6.9 Die Abbildung zeigt eine Anhängerkupplung für Kraftfahrzeuge (Seitenansicht und Draufsicht) mit Vollkreisquerschnitt aus der Vergütungsstahlsorte 34CrMo4 (Rp0,2 = 800 N/mm2; Rm = 1080 N/mm2; E = 210000 N/mm2). Um während eines Fahrversuchs die Stützkraft FS, die Zugkraft FZ und die Querkraft FQ zu ermitteln, wurden im Querschnitt A-A Dehnungsmessstreifen in Achsrichtung in der dargestellten Weise appliziert. Bei der Auswertung des Versuchs ergaben sich die folgenden maximalen Dehnungswerte: DMS A: HA = 2,2312 ‰ DMS B: HB = 0,7761 ‰ DMS C: HC = -2,0372 ‰ DMS D: HD = -0,5821 ‰

zzzzz

6 Festigkeitshypothesen

131

Die Kerbwirkung an der Einspannstelle sowie eine Schubbeanspruchung aus FS und FQ sind zu vernachlässigen. a) Berechnen Sie die Zugkraft FZ. b) Berechnen Sie die Stützkraft FS. c) Berechnen Sie die Querkraft FQ. d) Für einen Sicherheitsnachweis an der Stelle 1 (bei DMS A, siehe Abbildung) im Querschnitt A-A werden die folgenden statisch wirkenden Kräfte angenommen: FS = 2 kN FZ = 40 kN FQ = 5 kN Ermitteln Sie für die Stelle 1 die Sicherheiten gegen Fließen und Bruch.

Aufgabe 6.10

{{zzz

Zwei identische Stäbe mit Vollkreisquerschnitt werden mit einem stetig zunehmenden Torsionsmoment Mt bis zum Bruch belastet. Der linke Stab wurde aus dem unlegierten Baustahl S275JR gefertigt, der rechte Stab hingegen aus der Gusseisensorte EN-GJL-250. Zeichnen Sie den zu erwartenden Bruchverlauf in die Abbildung ein und erklären Sie mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreises und der in Betracht kommenden Festigkeitshypothese die unterschiedlichen Bruchformen.

Aufgabe 6.11

{{zzz

Der dargestellte Winkelhebel mit Vollkreisquerschnitt (d = 50 mm) aus dem Vergütungsstahl C45E wird durch die senkrecht wirkende Kraft F = 10 kN statisch beansprucht. Werkstoffkennwerte C45E (vergütet): Rp0,2 = 460 N/mm2 Rm = 750 N/mm2 E = 209000 N/mm2 μ = 0,30 Berechnen Sie die Sicherheit gegen Fließen (SF) an der Einspannstelle. Ist die Sicherheit ausreichend? Die Kerbwirkung an der Einspannstelle sowie Schubspannungen durch Querkräfte können vernachlässigt werden. Alle Maßangaben in mm.

132

Aufgabe 6.12

6 Festigkeitshypothesen {zzzz

An einem plattenförmigen Bauteil aus Werkstoff C60E wurde für eine experimentelle Spannungsanalyse eine 0°-120°-240° DMS-Rosette appliziert, deren A-Richtung mit der x-Richtung einen Winkel von 30° einschließt. Unter Belastung wirken am Bauteil die folgenden Spannungen (Vorzeichen für Schubspannung gemäß spezieller Vorzeichenregelung): Vx = 250 N/mm2 Vy = 130 N/mm2 Wxy = 150 N/mm2 Werkstoffkennwerte C60E: Rp0,2 = 570 N/mm2 Rm = 780 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Ermitteln Sie die Dehnungen in A-, Bund C-Richtung (Messrichtung der Dehnungsmessstreifen). b) Berechnen Sie die Hauptnormalspannungen VH1 und VH2. Welchen Winkel schließen die Hauptnormalspannungen zur x-Richtung ein? c) Berechnen Sie die Sicherheit der Stahlplatte gegen Fließen. Ist die Sicherheit ausreichend? d) Berechnen Sie den Betrag der Schubspannung Wxy, die bei gleich bleibender Normalspannung (Vx = 250 N/mm2 und Vy = 130 N/mm2) zu einem Fließen der Stahlplatte führt.

Aufgabe 6.13

{zzzz

Ein zweifach abgewinkelter Hebel aus dem Vergütungsstahl 30CrNiMo8 wird durch die Kräfte F1 = 25 kN und F2 = 200 kN statisch beansprucht. Die Kraft F1 wirkt unter einem Winkel von D = 60° zur Horizontalen, während die Kraft F2 in Achsrichtung (x-Richtung) wirkt (siehe Abbildung). Schubspannungen durch Querkräfte sowie Kerbwirkung im Bereich des Einspannquerschnitts sollen für alle Aufgabenteile vernachlässigt werden. Der Winkelhebel hat im Bereich des Einspannquerschnitts einen Vollkreisquerschnitt (‡ 50 mm).

6 Festigkeitshypothesen

133

Werkstoffkennwerte 30CrNiMo8 (vergütet): Rp0,2 = 1050 N/mm2 Rm = 1420 N/mm2 E = 209000 N/mm2 μ = 0,30 a) Ermitteln Sie die Lastspannungen im Bereich des Einspannquerschnitts (x = 0). b) Berechnen Sie die Sicherheit gegen Fließen (SF) an der höchst beanspruchten Stelle des Einspannquerschnitts. Ist die Sicherheit ausreichend? Zur Kontrolle der Beanspruchung wird auf der Oberseite des Hebels im Bereich des Einspannquerschnitts (x = 0) ein Dehnungsmessstreifen (DMS) appliziert. Infolge einer Fertigungsungenauigkeit schließt die Messrichtung des DMS mit der Längsachse des Hebels (x-Achse) einen Winkel von M = 15° ein (siehe Abbildung). c) Berechnen Sie die Anzeige des Dehnungsmessstreifens für die gleichzeitige statische Belastung aus F1 = 25 kN und F2 = 200 kN.

134

6 Festigkeitshypothesen

6.3 Lösungen Lösung zu Aufgabe 6.1 a) Die höchst beanspruchten Stellen befinden sich an der Außenoberfläche, da die Torsionsschubspannung Wt nach außen hin linear zunimmt. b) Berechnung der Zugspannung im Rundstab

Vx {Vz

F A

50 000 N

S

70,7 N/mm 2

˜ 30 mm

2

4

c) Berechnung der Schubspannung im Rundstab

W xy { W t

M t1 Wt

450 000 Nmm

S 16

84,9 N/mm 2

˜ 30 mm

3

d) Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Eintragen des Bildpunktes Px (Vz |Wt) und des Bildpunktes Py (0 |-Wt) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohrsche Spannungskreis. e) Spröder Werkstoff: Versagen durch Bruch Festigkeitsbedingung Ansetzen der Normalspannungshypothese (NH), da spröder Werkstoff: R V V NH V 1 d m SB Aus dem Mohrschen Spannungskreis (Aufgabenteil d) errechnet sich die Hauptnormalspannung V1 zu:

V1

Vz

2

§V ·  ¨ z ¸  W t2 2 © 2 ¹

127,3 N/mm 2

2

70,7 N/mm 2 § 70,7 · 2 2  ¨ ¸  84,92 N/mm 2 2 © ¹

135

6 Festigkeitshypothesen

Damit folgt für die Sicherheit SB gegen Bruch: SB

370 N/mm 2 127,3 N/mm 2

Rm

V V NH

2,91 (nicht ausreichend, da S B  4,0)

f) Festigkeitsbedingung Ein Bruch tritt ein, sobald die Vergleichsspannung (berechnet nach der NH) die Zugfestigkeit erreicht: V V NH V 1 Rm 2

Vz

§V ·  ¨ z ¸  W t2 2 © 2 ¹

Rm

Auflösen nach der Zugspannung Vz: 2

§Vz · 2 ¨ ¸ Wt 2 © ¹

V Rm  z 2

quadrieren

2

V · § ¨ Rm  z ¸ 2 ¹ ©

2

§V · 2  Rm ˜ V z  ¨ z ¸ Rm © 2 ¹

§Vz · 2 ¨ ¸ Wt © 2 ¹ §Vz · 2 ¨ ¸ Wt © 2 ¹

W t2

2 Rm  Rm ˜ V z

Vz

2 Rm  W t2 Rm

2

2

Damit folgt schließlich für die Zugkraft F2: F2 F2

S ˜ d 2 Rm2  W t2 4

˜

Rm

247773 N

 ˜

 2

S ˜ 30 mm 2 370 N/mm 2  84,9 N/mm 2 4



2

370 N/mm 2

247,8 kN

g) Aus Aufgabenteil f) ergibt sich der Zusammenhang:

W t2

2 Rm  Rm ˜ V z

Damit folgt für die Schubspannung Wt bzw. das Torsionsmoment Mt2:

W t2 Wt

2 Rm  Rm ˜ V z

Rm ˜ Rm  V z

M t2 M t2

S ˜d3

˜ Rm ˜ Rm  V z

16 1 764,1 Nm

S ˜ 30 mm 3 16

˜ 370 ˜ 370  70,7 N/mm 2

h) Aus Aufgabenteil f) ergibt sich der gesuchte Zusammenhang zwischen Wt und Vz:

W t (V z )

Rm ˜ Rm  V z

136

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.2 a) Berechnung der Lastspannungen durch Fz:

Vx { Vz

Fz A

durch Fd:

Vx { Vd

 Fz A

durch Mt:

W xy { W t

Mt Wt

durch Mb: V x { V b

Mb Wb

100 000 Nmm

S

50,9 N/mm2

˜ 50 mm 4 100 000 Nmm 2

S

˜ 50 mm 4 1500 000 Nmm

S

˜ 50 mm 16 1000 000 Nmm

S 32

50,9 N/mm2

2

61,1 N/mm2

3

81,5 N/mm2

˜ 50 mm

3

b) Die Konstruktion der Mohrschen Spannungskreise erfolgt analog zu Aufgabe 6.1 (Konstruktionsbeschreibung siehe Lösung zu Aufgabe 6.1d).

c) Lastfall 1 Berechnung der Hauptnormalspannungen:

V H1; H2 V H1

Vz

2

§V · r ¨ z ¸  W t2 2 © 2 ¹

91,7 N/mm 2

V H2  40,7 N/mm 2 V H3 0

2

50,9 N/mm 2 § 50,9 · 2 2 r ¨ ¸  61,1 N/mm 2 © 2 ¹

137

6 Festigkeitshypothesen

Lastfall 2 Berechnung der Hauptnormalspannungen:

V H1; H2 V H1

2

Vd

§V · r ¨ d ¸  W t2 2 © 2 ¹

2

 50,9 N/mm 2 §  50,9 · 2 2 r ¨ ¸  61,1 N/mm 2 2 © ¹

40,7 N/mm 2

V H2  91,7 N/mm 2 V H3 0 Lastfall 3 Berechnung der Hauptnormalspannungen:

V H1; H2

2

Vb

§V · r ¨ b ¸  W t2 2 © 2 ¹

V H1

114,2 N/mm 2

V H2 V H3

32,7 N/mm 2

2

81,5 N/mm 2 § 81,5 · 2 2 r ¨ ¸  61,1 N/mm 2 2 © ¹

0

d) und e) Ordnen der Hauptnormalspannungen gemäß: V1 := max{VH1, VH2, VH3}

V3 := min{VH1, VH2, VH3} V3 < V2 < V1 und Ansetzen der Schubspannungs- bzw. Gestaltänderungsenergiehypothese:

V V SH

V VGEH

V1  V 3 1 2

˜

V 1  V 2 2  V 2  V 3 2  V 3  V 1 2 Lastfall 1

Lastfall 2

Lastfall 3

V1 = 91,7 N/mm2 V2 = 0 V3 = -40,7 N/mm2

V1 = 40,7 N/mm2 V2 = 0 V3 = -91,7 N/mm2

V1 = 114,2 N/mm2 V2 = 0 V3 = -32,7 N/mm2

VV SH

132,4 N/mm2

132,4 N/mm2

146,9 N/mm2

VV GEH

117,5 N/mm2

117,5 N/mm2

133,6 N/mm2

SF = Rp0,2 / VV GEH

3,49

3,49

3,07

138

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.3 a) Berechnung der Lastspannungen

Vx {Vz

Fz A

W xy { W t

Mt Wt

890 000 N

S

139,9 N/mm 2

˜ 90 mm 4 14 000 000 Nmm 2

S 16

97,8 N/mm 2

˜ 90 mm

3

Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Die Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises erfolgt analog zu Aufgabe 6.1 (Konstruktionsbeschreibung siehe Lösung zu Aufgabe 6.1d).

Berechnung der Hauptnormalspannungen 2

Vz

§V · r ¨ z ¸  W t2 2 © 2 ¹

V H1; H2

2

139,9 N/mm 2 § 139,9 · 2 2 r ¨ ¸  97,8 N/mm 2 © 2 ¹

ı H1 190,2 N/mm 2 ı H2

-50,3 N/mm 2

ı H3

0

Ordnen der Hauptnormalspannungen V1 := max{VH1, VH2, VH3} = 190,2 N/mm2

V3 := min{VH1, VH2, VH3} = -50,3 N/mm2 V3 < V2 < V1 damit folgt V2 = 0 Festigkeitsbedingung (Fließen) unter Verwendung der SH

V V SH d V zul V1  V 3 SF

Re SF

Re SF

Re

V V SH

Re V1  V 3

490 N/mm 2 (190,2  50,3) N/mm 2

2,04 (ausreichend, da S F ! 1,20)

139

6 Festigkeitshypothesen

Falls mit der GEH gerechnet wurde: SF = 2,23

Alternative Lösung Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese kann auch unmittelbar aus Gleichung 6.17 im Lehrbuch (Zugbeanspruchung mit überlagerter Torsion) errechnet werden:

V z2  4 ˜ W t2

V V SH SF

Re

V V SH

139,9 2  4 ˜ 97,8 2 N/mm 2

Re V1 V 3

490 N/mm 2 240,48 N/mm 2

240,48 N/mm 2

2,04 (ausreichend, da ! 1,20)

b) Festigkeitsbedingung (Fließen)

V V SH d

Rp0,2 SF

V z2  4 ˜ W t2 Wt

1 ˜ 2

Rp0,2 SF 2

§ Rp0,2 · 2 ¨ ¸ ¨ S ¸ Vz © F ¹

1 ˜ 2

2

§ 900 N/mm 2 · ¨ ¸  139,9 N/mm 2 ¨ ¸ 2 , 04 © ¹





2

209,5 N/mm 2

Damit folgt für das Torsionsmoment Mt*: M t*

W t ˜ Wt

S ˜d3 16

˜W t

S ˜ 90 mm 3 16

˜ 209,5 N/mm 2

29 946,9 Nm

Falls mit der GEH gerechnet wurde (SF = 2,23): Mt* = 31 286,1 Nm

140

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.4 a) Berechnung der Zugspannung in der Spindel Fz A

Vx {Vz

280 000 Nmm

S 4

396,1 N/mm 2

˜ 30 mm

2

Berechnung der Verlängerung der Spindel mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand): 'l l0

Vz

E ˜H

'l

V z ˜ l0

396,1 N/mm 2 ˜ 650 mm

E

210 000 N/mm 2

E˜

1,226 mm

b) Berechnung der Schubspannung aus Torsion Mt Wt

W xy { W t

2 000 000 Nmm

S 16

377,3 N/mm 2

˜ 30 mm

3

c) Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Die Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises erfolgt analog zu Aufgabe 6.1 (Konstruktionsbeschreibung siehe Lösung zu Aufgabe 6.1d).

Berechnung der Hauptnormalspannungen

Vz

ı H1

624,2 N/mm 2

ı H2

228,1 N/mm 2

ı H3

2

§V · r ¨ z ¸  W t2 2 © 2 ¹

V H1; H2

2

396,1 N/mm 2 § 396,1 · 2 2 r ¨ ¸  377,3 N/mm 2 © 2 ¹

0

d) Festigkeitsbedingung Anwendung der NH, da voraussetzungsgemäß spröder Werkstoff:

V V NH

V1

Rm

Rm

141

6 Festigkeitshypothesen

Damit folgt aus der Festigkeitsbedingung: 2

Vz

§V ·  ¨ z ¸  W t2 2 © 2 ¹ 2

§Vz · 2 ¨ ¸ Wt © 2 ¹ 2

§Vz · 2 ¨ ¸ Wt 2 © ¹

Rm

V Rm  z 2 V · § ¨ Rm  z ¸ 2 ¹ © 2

quadrieren 2

Wt

V · §V · § ¨ Rm  z ¸  ¨ z ¸ 2 ¹ © 2 ¹ ©

Mt

Wt ˜ W t

S ˜d3 16

˜W t

2

2

2

396,1 · § 396,1 · § 2 2 ¨1800  ¸ ¨ ¸ N/mm 1589,7 N/mm 2 ¹ © 2 ¹ ©

S ˜ 30 mm 3 16

˜ 1589,7 N/mm 2

8 427,5 Nm

142

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.5 a) Es liegt eine 0°45°-90° DMSRosette vor. Daher kann der Mohrsche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden. Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Verformungskreises

HM R

HA  HC 2

3,159 ‰   0,479 ‰ 1,34 ‰ 2

H A  H M 2  H M  H B 2 3,159 ‰  1,34 ‰ 2  1,34 ‰  0,552 ‰ 2

1,982 ‰

Berechnung des Winkels D zwischen der Messrichtung von DMS A und der Hauptdehnungsrichtung HH1 § H  HB arctan¨¨ M © HA  HM

D

· ¸¸ ¹

§ 1,34 ‰  0,552 ‰ · ¸¸ arctan¨¨ © 3,159 ‰  1,34 ‰ ¹

23,42q

Damit folgt für den Winkel E zwischen der x-Richtung und der Hauptdehnungsrichtung HH1 E D  2 ˜ 20q 23,42q  40q 63,42q Berechnung der Dehnungen in x- und y-Richtung (Hx und Hy)

Hx Hy

H M  R ˜ cos E 1,34 ‰  1,982 ‰ ˜ cos 63,42q 2,227 ‰ H M  R ˜ cos E 1,34 ‰  1,982 ‰ ˜ cos 63,42q 0,453 ‰

Berechnung der Schiebung Jxy mit der x-Richtung als Bezug

J xy 2

J xy

R ˜ sin E

1,982 ‰ ˜ sin 63,42q 1,773 ‰

3,545 ‰

(Winkelvergrößerung gemäß Vorzeichenregelung für Schiebungen)

Berechnung der Normalspannungen Vx und Vy durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Vx

E



˜ Hx  P ˜Hy 1 P2



75 000 N/mm 2 1  0,332

˜ 2,227  0,33 ˜ 0,453 ˜ 10  3

200 N/mm 2

143

6 Festigkeitshypothesen

E

Vy



˜ Hy  P ˜Hx 1 P2



75 000 N/mm 2 1  0,332

˜ 0,453  0,33 ˜ 2,227 ˜ 10  3

100 N/mm 2

Berechnung der Schubspannung Wxy durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes für Schubspannungen

W xy

G ˜ J xy

E ˜ J xy 2 ˜ 1  P

75 000 N/mm 2 ˜ 3,545 ˜ 10  3 2 ˜ 1  0,33

100 N/mm 2

Die Schubspannung wirkt entsprechend der Abbildung zu Aufgabe 6.5. b) Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2

H H1 H M  R 1,34 ‰  1,982 ‰ 3,322 ‰ H H2 H M  R 1,34 ‰  1,982 ‰ 0,642 ‰ Ermittlung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Hauptdehnungsrichtungen Aus dem Mohrschen Verformungskreis folgt: 2 ˜ M1

M1

E 31,71q

2 ˜M2

M2

63,42q

(gemäß der eingezeichneten Drehrichtung im math. negativen Sinn)

2 ˜ M1  180q

63,42q  180q 116,58q

58,29q (gemäß der eingezeichneten Drehrichtung im math. positiven Sinn)

Berechnung der Hauptspannungen VH1 und VH2 Die Hauptspannungen errechnet man aus den Hauptdehnungen mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand: E ˜ H H1  P ˜ H H2 V H1 1 P2 75 000 N/mm 2 1  0,332

V H2

E 1 P2

˜ 3,322  0,33 ˜  0,642 ˜10 3

261,77 N/mm 2

˜ H H2  P ˜ H H1

75 000 N/mm 2 2

˜  0,642  0,33 ˜ 3,322 ˜ ˜ 10 3

38,23 N/mm 2

1  0,33 Anmerkung: Alternativ können die Hauptspannungen auch aus den in Aufgabenteil a) errechneten Lastspannungen Vx und Vy und Wxy ermittelt werden (Gleichungen 3.38 und 3.39 in Kapitel 3.3.2.3 im Lehrbuch).

c) Die Verminderung der Plattendicke ergibt sich aus dem Hookeschen Gesetz für den zweiachsigen Spannungszustand

144

6 Festigkeitshypothesen

Berechnung der Dehnung Hz in z-Richtung

Hz



P

˜ (V x  V y )

E



0,33 75 000 N/mm

2



˜ 200 N/mm 2  100 N/mm 2



- 0,00132

Damit folgt für die Verminderung der Plattendicke 't:

't

Hz ˜t

0,00132 ˜ 15 mm

0,0198 mm

19,8 ȝm

d) Berechnung der Vergleichsspannung VV mit Hilfe der Schubspannungshypothese

V V SH

V1  V 3

mit V1 = VH1 und V3 = 0 folgt:

V V SH V1 261,77 N/mm 2 Anmerkung: Das gleiche Ergebnis erhält man auch mit Gleichung 6.16 im Lehrbuch. Festigkeitsbedingung V V SH d V zul

V1

Rp0,2 SF

Damit folgt für die Sicherheit gegen Fließen (SF): SF

Rp0,2

V1

380 N/mm 2 261,77 N/mm 2

1,45

(ausreichend, da SF > 1,20)

145

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.6 a) Es liegt eine 0°-45°-90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohrsche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden.

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Verformungskreises

Ha  Ht

HM

2

0,50 ‰  0,90 ‰ 2

0,20 ‰

H t  H M 2  H 45  H M 2

R

0,90 ‰  0,20 ‰ 2  0,84 ‰  0,2 ‰ 2

0,9485 ‰

Berechnung des Winkels D zwischen der Tangentialrichtung und der Hauptdehnungsrichtung HH1

D

§ H  HM arctan¨¨ 45 © Ht  HM

· ¸¸ ¹

§ 0,84 ‰  0,2 ‰ · ¸¸ arctan¨¨ © 0,90 ‰  0,20 ‰ ¹

42,44q

Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2

H H1 H M  R 0,2 ‰  0,9485 ‰ 1,149 ‰ H H2 H M  R 0,2 ‰  0,9485 ‰ 0,749 ‰ Ermittlung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der Axialrichtung und den Hauptdehnungsrichtungen HH1 und HH2 Aus dem Mohrschen Verformungskreis folgt: 2 ˜ M1 180q  D 180q  42,44q 137,56q

M1

68,78q

2 ˜M2

M2

D

(gemäß der eingezeichneten Drehrichtung im math. positiven Sinn) 42,44q

21,22q (gemäß der eingezeichneten Drehrichtung im math. negativen Sinn)

146

6 Festigkeitshypothesen

Berechnung der Hauptspannungen VH1 und VH2 Die Hauptspannungen errechnet man aus den Hauptdehnungen mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand:

V H1

E

˜ H H1  P ˜ H H2

1 P2

210 000 N/mm 2 1  0,30 E

V H2

2

˜ 1,149  0,30 ˜  0,749 ˜ 10  3

213,2 N/mm 2

˜ H H2  P ˜ H H1

1 P2

210 000 N/mm 2 1  0,30

2

˜  0,749  0,30 ˜ 1,149 ˜ ˜ 10  3

93,2 N/mm 2

b) Berechnung der Vergleichsspannung VV mit Hilfe der Gestaltänderungsenergiehypo-

these

1

V V GEH mit V 1

2

V 1  V 2 2  V 2  V 3 2  V 3  V 1 2

213,2 N/mm 2

V H1

V2

˜

0 93,2 N/mm 2

V 3 V H2 folgt: 1

V V GEH

2

˜ 213,2 2   93,2 2   93,2  213,2 2 N/mm 2

272,1 N/mm 2

c) Festigkeitsbedingung

V V GEH d V zul V V GEH

Rp0,2 SF

Damit folgt für die Sicherheit gegen Fließen (SF): SF

Rp0,2

850 N/mm 2

V V GEH

272,1 N/mm 2

3,12

(ausreichend, da SF > 1,20)

147

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.7 a) Berechnung der Spannung in Längsrichtung (Zugrichtung)

Vl

F1 A

S 4

F1

4 ˜ 320 000 N

˜d2

ʌ ˜ 30 mm

2

452,71 N/mm 2

Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Zur Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises benötigt man die Spannungen in zwei zueinander senkrechten Schnittflächen. Bekannt sind die Spannungen in den Schnittflächen mit der x- und der y-Richtung als Normale.

Eintragen der entsprechenden Bildpunkte Py (Vl | 0) und Px (0 | 0). Px und Py repräsentieren die Spannungen in den Schnittflächen mit der x- und der y-Richtung als Normale. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser. Damit ist der Mohrsche Spannungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Die Bildpunkte Px‘ und Py‘, welche die Spannungen in den Schnittflächen mit der x‘- bzw. y‘Richtung als Normale repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkel 2˜D bzw. 2˜D + 180°, ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Aus dem Mohrschen Spannungskreis folgt die Normalspannungen Vx‘ und Vy’:

V y'

V x'

Vl

V

V

Vl

V

V

l  l ˜ cos 2D ˜ 1  cos 2D 2 2 2 452,71 N/mm 2 ˜ 1  cos2 ˜ 15q 422,38 N/mm 2 2

l  l ˜ cos 2D ˜ 1  cos 2D 2 2 2 452,71 N/mm 2 ˜ 1  cos2 ˜ 15q 30,33 N/mm 2 2

148

6 Festigkeitshypothesen

Berechnung der Dehnung in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand

H y' { H DMS

1 ˜ V y'  P ˜ V x' E



0,002026

422,31 N/mm 2  0,30 ˜ 30,33 N/mm 2 204 000 N/mm 2



2,026 ‰

b) Für die Dehnung in Messrichtung des DMS ergibt sich aus dem vorhergehenden Aufgabenteil:

H y' { H DMS

1 ˜ V y'  P ˜ V x' E



Vl



1 ªV l V º ˜ « ˜ 1  cos 2D  P ˜ l ˜ 1  cos 2D » 2 E ¬2 ¼

˜ >1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D @

2˜ E

Damit folgt für die Spannung Vl in Längsrichtung:

Vl

2 ˜ 204 000 N/mm 2 ˜ 0,003 1  cos 30q  0,30 ˜ 1  cos 30q

2 ˜ E ˜ H DMS 1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D

670,38 N/mm 2

Für die Zugkraft F2 erhält man dann: F2

Vl ˜A Vl ˜ 473 863 N

S

˜d 2

670,38 N/mm 2 ˜

S

4 473,9 kN

4

˜ 30 mm 2

c) Berechnung der Zugkraft F3 bei Fließbeginn Festigkeitsbedingung für Fließen:

Vl

Rp0,2

F3 A

Rp0,2

Damit folgt für die Zugkraft F3: F3

R p0,2 ˜ A

S

˜d 2 4 720,9 kN

R p0,2 ˜

720 995 N

1 020 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 30 mm 2

Berechnung der Dehnungsanzeige HDMS bei Fließbeginn Die Berechnung erfolgt analog zu Aufgabenteil b):

H y' { H DMS

1 ˜ V y'  P ˜ V x' E



Vl 2˜ E



1 E

V ªV º ˜ « l ˜ 1  cos 2D  P ˜ l ˜ 1  cos 2D » 2 ¬2 ¼

˜ >1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D @

149

6 Festigkeitshypothesen

mit Vl = Rp0,2 folgt schließlich: Rp0,2

H DMS

2˜ E

˜ >1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D @

1020 N/mm 2 2 ˜ 204 000 N/mm 2

>1  cos 30q  P ˜ 1  cos 30q @

0,004564

4,564 ‰

Alternative Lösung mit Hilfe des Mohrschen Verformungskreises a) Berechnung der Dehnung in Längs- und Querrichtung unter der Wirkung von F1

Hl { Hy Hq { H x

Vl

452,71 N/mm 2

E

204 000 N/mm 2

P ˜ H l

0,30 ˜ 0,00222

0,00222

2,22 ‰

0,000666

0,666 ‰

Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Richtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung.

Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hq | 0) und Py (Hl | 0) in das H-J/2-Koordinatensystem. Da die x- und die y-Richtung einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser. Damit ist der Mohrsche Verformungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Den Bildpunkt Py‘, welcher die Verformungsgrößen in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) als Bezugsrichtung repräsentiert, erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels 2˜D (= 2˜15°), ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohrschen Verformungskreises erhält man:

HM R

Hl Hq 2

Hl Hq 2

2,22 ‰  0,666 ‰ 0,777 ‰ 2 2,22 ‰ -  0,666 ‰ 1,442 ‰ 2

Damit folgt die Dehnung in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS)

H y' { H DMS

H M  R ˜ cos 2D

0,000777  0,001442 ˜ cos 30q

0,002026

2,026 ‰

150

6 Festigkeitshypothesen

b) Für die Dehnung in Messrichtung des DMS ergibt sich aus dem vorhergehenden Aufgabenteil:

H DMS { H y' H M  R ˜ cos 2D Hl  Hq

Hl  Hq

˜ cos 2D 2 2 Hl  P ˜ Hl Hl  P ˜ Hl  ˜ cos 2D 2 2 H l ˜ 1  P  H l ˜ 1  P ˜ cos 2D 2

Hl 2



˜ >1  P  1  P ˜ cos 2D @

Damit folgt für die Dehnung Hl in Längsrichtung: 2 ˜ H DMS 2 ˜ 0,003 Hl 1  P  1  P ˜ cos 2D 1  0,30  1  0,30 ˜ cos2 ˜ 15q

Vl

204 0000 N/mm 2 ˜ 003286

E ˜ Hl

0,003286

670,38 N/mm 2

Für die Zugkraft F2 erhält man dann: F2

473 863 N

S

S

˜ d 2 670,38 N/mm 2 ˜ ˜ 30 mm 2 4 4 473,9 kN

Vl ˜ A Vl ˜

c) In Aufgabenteil c) wurde die Zugkraft F3 bei Fließbeginn berechnet (F3 = 720 995 N). Die Berechnung der Dehnungsanzeige HDMS erfolgt analog zu Aufgabenteil a) der alternativen Lösung. Berechnung der Dehnung in Längs- und Querrichtung bei Fließbeginn

Hl { H y

Vl

Rp0,2

E

E

Hq { H x

P ˜ H l

1 020 N/mm 2

204 000 N/mm 2 0,30 ˜ 0,005 0,0015

0,005

Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohrschen Verformungskreises erhält man:

HM R

Hl  Hq 2

Hl  Hq 2

0,005  0,0015 0,00175 2 0,005  0,0015 0,00325 2

Berechnung der Dehnungsanzeige HDMS bei Fließbeginn

H y' { H DMS

H M  R ˜ cos 2D

0,00175  0,00325 ˜ cos 30q

0,004564

4,564 ‰

151

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.8 a) Berechnung des Biegemomentes Mb sowie des Torsionsmomentes Mt an der Einspannstelle Mb

F1 ˜ a

5 000 N ˜ 0,1 m

Mt

F1 ˜ b

5 000 N ˜ 0,05 m

500 Nm 250 Nm

b) Berechnung der Lastspannungen aus Biegung und Torsion Mb Wb

Vx { Vb

Mb

S 32

W xy

Wt

Mt Wt

˜d

500 000 Nm

Mt

S 16

S

3

32

˜ 30 mm

250 000 Nm

˜d

3

S 16

188,63 N/mm 2

3

47,16 N/mm 2

˜ 30 mm

3

Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Eintragen des Bildpunktes Px (Vb | -Wt) und des Bildpunktes Py (0 | Wt) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert den Spannungszustand in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert den Spannungszustand in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohrsche Spannungskreis (siehe Abbildung). Berechnung der Hauptnormalspannungen VH1 und VH2

V H1; H2

Vb

V H1 199,76 N/mm 2 V H2

2

§V · r ¨ b ¸  IJ 2t 2 © 2 ¹

11,13 N/mm 2

2

188,63 § 188,63 · 2 2 N/mm 2 r ¨ ¸  47,16 N/mm 2 © 2 ¹

152

6 Festigkeitshypothesen

Berechnung der Vergleichsspannung VV mit Hilfe der Schubspannungshypothese

V V SH

V1  V 3

mit V1 = VH1 V2 = 0 V3 = VH2 folgt für die Vergleichsspannung VV SH:



V 1  V 3 199,76 N/mm 2   11,13 N/mm 2

V V SH



210,89 N/mm 2

Festigkeitsbedingung V V SH d V zul Rp0,2

V V SH

SF

Damit folgt für die Sicherheit gegen Fließen (SF):

SF

Rp0,2

780 N/mm 2

V V SH

210,89 N/mm 2

3,69

(ausreichend, da SF > 1,20)

Alternative Lösung Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese kann auch unmittelbar aus Gleichung 6.17 (Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion, siehe Lehrbuch) errechnet werden:

V b2  4 ˜ W t2

V V SH SF

188,632  4 ˜ 47,16 2 N/mm 2

780 N/mm 2 210,89 N/mm 2

Rp0,2

V V SH

210,89 N/mm 2

3,69 (ausreichend, da S F ! 1,20)

c) In Analogie zu Aufgabenteil b) folgt für die Hauptnormalspannungen:

V H1; H2

Vb Vz 2

2

§V Vz · 2 r ¨ b ¸  IJt 2 © ¹

Damit folgt für die Vergleichsspannung VV SH nach der Schubspannungshypothese unter Berücksichtigung von V1 = VH1, V2 = 0 und V3 = VH2:

V V SH

V1  V 3

Vb Vz 2

§ · 2 2 §V Vz · §V Vz · 2 ¨V Vz 2¸  ¨ b  ¨ b ¸  IJt  ¨ b ¸  IJt ¸ 2 2 2 © ¹ © ¹ ¨ ¸ © ¹

V b  V z 2  4 ˜ IJ 2t Anmerkung: Dieses Ergebnis hätte man auch direkt aus Gleichung 6.17 (siehe Lehrbuch) erhalten.

153

6 Festigkeitshypothesen

Festigkeitsbedingung (Bruch)

V V SH d Rm

V b  V z 2  4 ˜ IJ 2t V b  V z 2  4 ˜ IJ 2t

Rm

quadrieren

2 Rm

Damit folgt für die Zugspannung Vz:

1050 N/mm  4 ˜ 47,16 N/mm 2 2

2 Rm  4 ˜ IJ 2t  V b

Vz

2 2

 188,63 N/mm 2

857,13 N/mm 2

Für die Zugkraft F2 folgt dann schließlich: F2

Vz ˜ A Vz ˜

S 4

˜d2

857,13 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 30 mm 2

605 870 N

605,87 kN

d) Berechnung der Lastspannungen (Biegung und Torsion) Mb Wb

Vb

Wt

32 ˜ F1 ˜ a

Mb

S

˜d 32 Mt

Mt Wt

S 16

˜d

S ˜d3

3

16 ˜ F1 ˜ b

S ˜d3

3

Aus Aufgabenteil c) folgt für die Vergleichsspannung VV SH nach der Schubspannungshypothese (Vz = 0):

V V SH

V b 2  4 ˜ IJ 2t

Festigkeitsbedingung

V V SH d

Rm SB

V b 2  4 ˜ IJ 2t

Rm SB § Rm · ¨¨ ¸¸ © SB ¹

V b 2  4 ˜ IJ 2t 2

quadrieren 2

§ 32 ˜ F1 ˜ a · § 16 ˜ F1 ˜ b · ¨¨ ¸  4 ˜ ¨¨ ¸¸ 3 ¸ © S ˜d ¹ © S ˜d3 ¹

§ Rm ¨¨ © SB

2 1 ª§ 32 ˜ F1 ˜ a · § 16 ˜ F1 ˜ b ·º «¨  4˜¨ ˜ ¸» ¸ 6 S S © ¹»¼ ¹ d «¬©

· ¸¸ ¹

2

§ Rm ¨¨ © SB

· ¸¸ ¹

2

154

6 Festigkeitshypothesen

Damit folgt für den Durchmesser d:

d

ª 2 2º « §¨ 32 ˜ F1 ˜ a ·¸  4 ˜ §¨ 16 ˜ F1 ˜ b ·¸ » «© S S ¹ © ¹ » « » 2 § Rm · « » ¨¨ ¸¸ « » © SB ¹ ¬ ¼

6

2 ª § 32 ˜ 5000 N ˜100 mm · 2 § 16 ˜ 5000 N ˜ 50 mm · º «¨ ¸ » ¸  4˜¨ S S «© ¹ » © ¹ « » 2 2 (440 N/mm / 2) « » «¬ »¼

6

29,58 mm

155

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.9 a) Zuordnung der Dehnungsanzeigen zu den einzelnen Messstellen Messstelle

Belastung DMS A

DMS B

DMS C

DMS D

FZ

Hz AZ + Hb AZ

Hz BZ = Hz AZ

Hz CZ + Hb CZ =Hz AZ - Hb AZ

Hz DZ = Hz AZ

FS

Hb AS

0 1)

Hb CS = -Hb AS

01)

FQ

01)

Hb BQ

01)

Hb DQ = -Hb BQ

1)

neutrale Faser

Die Dehnungsmesssteifen A und C verformen sich nur durch die Beanspruchung aus FZ und FS (siehe Tabelle). Die Verformungen durch die einzelnen Beanspruchungen können linear superponiert werden. Es gilt:

HA

H z AZ  H b AZ  H b AS und

HC

H z CZ  H b CZ  H b CS

(1)

H z AZ  H b AZ  H b AS

(2)

Gleichung 1 und 2 addiert liefert für Hz AZ:

H z AZ

HA  HC

2,2312 ‰  2,0372 ‰ 2

2 0,097 ‰

Berechnung der Zugspannung Vz bzw. der Zugkraft FZ Hookesches Gesetz (einachsiger Spannungszustand):

Vz

E ˜ H z AZ

FZ

VZ ˜

S 4

210 000 N/mm 2 ˜ 0,097 ˜ 10 3

˜d2

20,37 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 50 mm 2

20,37 N/mm 2

39 996 N

b) Für die Dehnung des DMS A infolge Biegebeanspruchung aus FZ und FS (Hb AZ) folgt:

H b AZ  H b AS { H bA

H A  H z AZ

2,2312 ‰ - 0,097 ‰

2,1342 ‰

Berechnung der Biegespannung VbA bzw. der Kraft FS Hookesches Gesetz (einachsiger Spannungszustand):

V bA

E ˜ H bA

V bA

M bz Wbz

210 000 N/mm 2 ˜ 2,1342 ˜ 10 3

FS ˜ a  FZ ˜ b

S 32

˜d3

448,18 N/mm 2

156

6 Festigkeitshypothesen

Damit folgt für die Kraft FS: FS

§S · 1 3 ¨ ˜ d ˜ V bA  FZ ˜ b ¸ ˜ 32 © ¹ a

S FS

32

˜ 50 mm 3 ˜ 448,18 N/mm 2  39 996 N ˜ 120 mm 2 001 N

350 mm

c) Die Dehnungsmessstreifen B und D verformen sich nur durch die Beanspruchung aus FZ und FQ (siehe Tabelle). Die Verformungen durch die einzelnen Beanspruchungen können ebenfalls linear superponiert werden. Es gilt:

HB

H z BZ  H b BQ

H z AZ  H b BQ

(3)

Aus Gleichung 3 folgt für Hb BZ:

H b BQ

H B  H z AZ

0,7761 ‰  0,097 ‰

0,6791 ‰

Berechnung der Biegespannung VbB bzw. der Kraft FQ Hookesches Gesetz (einachsiger Spannungszustand):

V bB V bB

210 000 N/mm 2 ˜ 0,6791 ˜10 3

E ˜ H b BQ M by

FQ ˜ a

Wby

S 32

142,61 N/mm 2

˜d3

Damit folgt für die Kraft FQ: FQ

S 32

˜ d 3 ˜ V bA ˜

S FQ

32

1 a

˜ 50 mm 3 ˜ 142,61 N/mm 2 5 000 N

350 mm

d) Berechnung der Lastspannungen an der Stelle 1 (Messstelle von DMS A)

V zA

20,37 N/mm 2

(siehe Aufgabenteil a)

V bA

448,18 N/mm 2

(siehe Aufgabenteil b)

W tA

Mt Wt

FQ ˜ b

S 16

˜d

3

5 000 N ˜ 120 mm

S 16

24,45 N/mm 2

˜ 50 mm

3

Berechnung der Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese kann unmittelbar aus Gleichung 6.17 (Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion, siehe Lehrbuch) errechnet werden:

157

6 Festigkeitshypothesen

V bA  V zA 2  4 ˜ IJ 2tA

V V SH

448,18 N/mm

2

 20,37 N/mm 2

 4 ˜ 24,45 N/mm 2

2 2

471,09 N/mm 2

Festigkeitsbedingung (Fließen)

V V SH d V zul

Rp0,2 SF

Damit folgt für die Sicherheit gegen Fließen (SF): SF

Rp0,2

800 N/mm 2

V V SH

471,09 N/mm 2

1,69

(ausreichend, da SF > 1,20)

Analog folgt für die Sicherheit gegen Bruch (SB): SB

Rm

1 080 N/mm 2

V V SH

471,09 N/mm 2

2,29

(ausreichend, da SB > 2,0)

158

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.10 Der unlegierte (allgemeine) Baustahl S235JR ist ein duktiler Werkstoff. Das Versagen erfolgt durch einen (duktilen) Verformungsbruch nach vorausgegangener plastischer Verformung. Die plastische Verformung infolge von Versetzungsbewegungen findet bevorzugt in Ebenen mit der größten Schubspannung statt. Aus dem Mohrschen Spannungskreis ist ersichtlich, dass bei reiner Torsionsbeanspruchung die Ebenen mit der größten Schubbeanspruchung die x- bzw. y-Achse als Normale haben (Bildpunkte Px und Py im Mohrschen Spannungskreis). Ein Bruch ist demzufolge in diesen Ebenen zu erwarten.

Die Gusseisensorte EN-GJL-250 ist ein spröder Werkstoff. Das Versagen erfolgt durch einen (spröden) Trennbruch. Derartige Trennbrüche verlaufen stets senkrecht zur größten Normalspannung. Aus dem Mohrschen Spannungskreis ist ersichtlich, dass bei reiner Torsionsbeanspruchung diese Ebenen die x’- bzw. y’-Achse als Normale haben (Bildpunkte Px’ und Py’ im Mohrschen Spannungskreis). Ein Bruch ist demzufolge in Ebenen, die um 45° zur Längsachse gedreht sind, zu erwarten.

159

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.11 Berechnung der Lastspannungen an der Einspannstelle

Vb

F ˜ (a  c)

Mb Wb

S 32

Wt

˜d

S 16

S ˜ 50 mm 3

3

F ˜b

Mt Wt

32 ˜10 000 N ˜ 250 mm  100 mm

16 ˜ F ˜ b

˜d3

S ˜d

3

16 ˜ 10 000 N ˜ 200 mm

S ˜ 50 mm

3

122,23 N/mm2

81,49 N/mm2

Berechnung der Vergleichsspannung Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese kann unmittelbar aus Gleichung 6.17 (Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion, siehe Lehrbuch) errechnet werden:

V V SH

V b2  4 ˜ IJ 2t

122,23 N/mm  4 ˜ 81,49 N/mm 2 2

2 2

203,72 N/mm 2

Festigkeitsbedingung (Fließen)

V V SH d V zul

Rp0,2 SF

Damit folgt für die Sicherheit gegen Fließen (SF): SF

Rp0,2

460 N/mm 2

V V SH

203,72 N/mm 2

2,26

(ausreichend, da SF > 1,20)

160

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.12 a) Berechnung der Verformungen Hx, HJ und Jxy Hookesches Gesetz (zweiachsiger Spannungszustand)

Hx

1 ˜ (V x  P ˜ V y ) E

250 N/mm 2  0,30 ˜ 130 N/mm 2

Hy

1 ˜ (V y  P ˜ V x ) E

130 N/mm 2  0,30 ˜ 250 N/mm 2

210 000 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,001005 1,005 ‰

0,000262 0,2619 ‰

Hookesches Gesetz für Schubbeanspruchung

J xy

W xy

W xy

G

E 2 ˜ 1  P

150 N/mm 2 210 000 N/mm 2 2 ˜ 1  0,30

0,001857 1,857 ‰

Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Richtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung. Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hx | 0,5˜Jxy) und Py (Hy | 0,5˜Jyx) in das H-J/2-Koordinatensystem unter Berücksichtigung der Vorzeichenregelung für Schiebungen. Da die x- und die y-Richtung einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die H-Achse im Kreismittelpunkt HM. Kreis um HM durch die Bildpunkte Px und Py ist der gesuchte Mohrsche Verformungskreis (siehe Abbildung). Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohrschen Verformungskreises erhält man:

HM

Hx  Hy 2

1,005 ‰  0,2619 ‰ 2 2

R

§ H x  H y · § J xy · ¸ ¸ ¨ ¨ ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¹ ¹ © ©

2

0,6333 ‰ 2

§ 1,005 ‰  0,2619 ‰ · § 1,857 ‰ · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 2 © ¹ © ¹

2

1,00010 ‰

161

6 Festigkeitshypothesen

Berechnung des Winkels M zwischen x-Richtung und Hauptdehnungsrichtung HH1 2 ˜ M1

arctan

J xy / 2 (H x  H y ) / 2

arctan

 1,857 ‰ / 2 1,005 ‰  0,2619 ‰ / 2

68,19q

Damit folgt für den Winkel D zwischen der Messrichtung von DMS A und der Hauptdehnungsrichtung HH1:

D 180q  2 ˜ 30q  2 ˜ M1

180q  2 ˜ 30q  68,19q

51,80q

Für den Winkel E zwischen der Messrichtung von DMS B und der Hauptdehnungsrichtung HH1 folgt auf analoge Weise:

E

2 ˜ M1  2 ˜ 30q  2 ˜ 120q  360q

68,19  2 ˜ 30q  2 ˜ 120q  360q 8,19q

Mit den Winkeln D und E erhält man die Bildpunkte PA und PB welche die Verformungen mit der A- und C-Richtung als Bezugsrichtung repräsentieren. Für die Dehnungen in die entsprechenden Richtungen folgt dann:

HA

H M  R ˜ cos D

HB

H M  R ˜ cos ß 0,6333 ‰  1,0001 ‰ ˜ cos 8,19q 1,6230 ‰

0,6333 ‰  1,0001 ‰ ˜ cos 51,80q

0,0148 ‰

Der Bildpunkt PC fällt mit dem Bildpunkt Py zusammen, so dass gilt:

HC { H y

0,2619 ‰

In Analogie beispielsweise zu Aufgabe 5.5b) ist es auch möglich, aus den gegebenen Lastspannungen Vx, Vy und Wxy den Mohrschen Spannungskreis zu konstruieren. Mit Hilfe des Mohrschen Spannungskreise können dann die Normalspannungen in A-, B- bzw. C-Richtung (VA, VB und VC) und in die jeweils dazu senkrechten Schnittrichtungen (VA', VB' und VC') ermittelt werden. Die Dehnungen HA, HB und HC berechnen sich dann unter Anwendung des Hookeschen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand wie z. B. HA = (VA μ˜VA') / E. b) Berechnung der Hauptdehnungen HH1 und HH2

H H1 H M  R 0,6333 ‰  1,0001 ‰ 1,6334 ‰ H H2 H M  R 0,6333 ‰  1,0001 ‰ 0,3668 ‰ Berechnung der Hauptnormalspannungen VH1 und VH2 Die Hauptnormalspannungen errechnet man aus den Hauptdehnungen mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand:

V H1

E 1 P2

˜ H H1  P ˜ H H2

210 000 N/mm 2

V H2

˜ 1,6334  0,30 ˜  0,3668 ˜ 10  3 1  0,30 2 E ˜ H H2  P ˜ H H1 1 P2

351,55 N/mm 2

162

6 Festigkeitshypothesen

V H2

210 000 N/mm 2 ˜  0,3668  0,30 ˜ 1,6334 ˜ ˜ 10 3 1  0,30 2

28,45 N/mm 2

Da die Richtungswinkel zu den Hauptnormalspannungen mit den Richtungswinkel zu den Hauptdehnungen zusammenfallen (isotroper Werkstoff), ist eine Ermittlung der gesuchten Winkel aus dem Mohrschen Verformungskreis möglich. Ermittlung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der x-Richtung und den Hauptspannungsrichtungen VH1 und VH2

M1 34,10q (siehe Aufgabenteil a) M 2 M1  90q 55,90q c) Ordnen der Hauptnormalspannungen: V1 := max{VH1, VH2, VH3} = 351,55 N/mm2

V3 := min{VH1, VH2, VH3} = 0 V3 < V2 < V1 o V2 = 28,45 N/mm2 Berechnung der Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese

V V SH

351,55 N/mm 2  0

V1  V 3

351,55 N/mm 2

Festigkeitsbedingung Rp0,2

V V SH d V zul S F SH

S F SH

Rp0,2

570 N/mm 2

V V SH

351,55 N/mm 2

1,62 (ausreichend, da ! 1,20)

Alternative: Berechnung der Vergleichsspannung nach der GEH

V VGEH

1 2 1 2

˜

V 1  V 2 2  V 2  V 3 2  V 3  V 1 2

˜

351,55  28,45 2  28,45  0 2  0  351,55 2

N/mm 2

338,22 N/mm 2

Damit folgt für die Sicherheit gegen Fließen nach der GEH: Rp0,2 V V GEH d V zul S F GEH S F GEH

Rp0,2

V V GEH

570 N/mm 2 338,22 N/mm 2

1,68 (ausreichend, da S F ! 1,20)

d) Es liegt ein zweiachsiger Spannungszustand vor. Um eine Fallunterscheidung bei der Ermittlung der Vergleichsspannung (in Lastspannungen) zu vermeiden (siehe Lehrbuch Tabelle 6.1), ist es zweckmäßig, die Vergleichsspannung nach der GEH zu berechnen.

163

6 Festigkeitshypothesen

Für den zweiachsigen Spannungszustand ergibt sich die Vergleichsspannung nach der GEH in Lastspannungen zu: 2 V x2  V y2  V x ˜ V y  3 ˜ W xy

V V GEH

Bedingung für Fließen:

V V GEH

Rp0,2

Damit folgt: 2 V x2  V y2  V x ˜ V y  3 ˜ W xy 2 V x2  V y2  V x ˜ V y  3 ˜ W xy

W xy W xy

Rp0,2 2 Rp0,2

2  V x2  V y2  V x ˜ V y Rp0,2

3 304,41 N/mm 2

quadrieren

570 2  250 2  130 2  250 ˜ 130 N/mm 2 3

164

6 Festigkeitshypothesen

Lösung zu Aufgabe 6.13 a) Berechnung der Lastspannungen im Einspannquerschnitt Zugspannung F1x  F2 F1 ˜ cos D  F2 25 000 N ˜ cos60q  200 000 N V zug 108,23 N/mm 2 S 2 S A 2 ˜d ˜ 50mm 4 4 Schubspannung aus Torsion Mt F1z ˜ b F1 ˜ sin D ˜ b 25 000 N ˜ sin60q ˜ 100 mm 88,21 N/mm 2 Wt S 3 S 3 S Wt 3 ˜d ˜d ˜ 50mm 16 16 16 Biegespannungen

x Biegung um die z-Achse:

V bz

M bz Wbz

F1 ˜ cos D ˜ b

F1x ˜ b

S

˜d3 32 x Biegung um die y-Achse:

V by

M by

F1z ˜ a  c

Wby

S 32

S 32

25 000 N ˜ cos60q ˜ 100 mm

S

˜d3

32

F1 ˜ sin D ˜ a  c

S

˜d3

32

101,86 N/mm 2

˜ 50mm

3

25 000 N ˜ sin60q ˜ 300 mm

˜d3

S 32

˜ 50mm 3

529,28 N/mm 2

b) Ermittlung der höchst beanspruchten Stell im Einspannquerschnitt Höchst beansprucht ist die Stelle A. Dort überlagert sich die maximale Biege(zug)spannung mit der Zugspannung Vzug und der maximalen Schubspannung aus Torsion (Wt) Berechnung des Winkels E sowie der Koordinaten yA und zA M F1 ˜ cos D ˜ b E arctan bz arctan M by F1 ˜ sin D ˜ a  c cos60q ˜ 100 mm sin60q ˜ 300 mm d ˜ cos E 2

zA



yA

d ˜ sin E 2

10,89q

50 mm ˜ cos10,89q 24,55 mm 2 50 mm ˜ sin10,89q 4,72 mm 2 

165

6 Festigkeitshypothesen

Berechnung der Biegespannung an der Stelle A 1)  M by M bz ˜ yA  ˜ zA Iz Iy

V bA

F1 ˜ cosD ˜ b

S

˜d4

˜ yA 

F1 ˜ sin D ˜ a  c

S

˜d4

˜ zA

64 64 64 ˜ F1 ˜ cos D ˜ b ˜ zA  sin D ˜ a  c ˜ yA S ˜d4 64 ˜ 25000 N ˜ cos 60q ˜ 100 mm ˜ 4,72 mm  sin 60q ˜ 300 mm ˜ - 24,55 mm S ˜ 50 mm 4

V bA

538,98 N/mm2

Berechnung der Vergleichsspannung an der Stelle A

Anwendung der SH in Lastspannungen (Fall: Vx˜Vy < Wxy2):

V V SH

V bA  V zug 2  4 ˜W t2

538,98 N/mm

2

 108,23 N/mm 2



2



 4 ˜ 88,21 N/mm 2



2

670,82 N/mm 2

Festigkeitsbedingung Rp0,2 V V SH  V zul SF SF

Rp0,2

V V SH

1 050 N/mm 2 670,82 N/mm 2

1,57 (ausreichend, da S F ! 1,20)

Alternative Möglichkeit zur Berechnung der Biegespannung an der Stelle A V bA

Mb ˜r I

2 2 M by  M bz

S 64

˜d4

˜r

2 2 M by  M bz

S 32

˜d3

>F1 ˜ sin D ˜ a  c @2  >F1 ˜ cos D ˜ b@2 S 32

˜d3

32 ˜ F1 ˜ >F1 ˜ sin D ˜ a  c @2  >F1 ˜ cos D ˜ b@2 3 S ˜d 32 ˜ 25000 N ˜ sin 60q ˜ 300 mm 2  cos 60q ˜ 100 mm 2 3 S ˜ 50 mm

538,98 N/mm 2

c) Spannungsermittlung an der Messstelle des DMS An der Messstelle des DMS wirken die Spannungen Vzug, Vby und Wt. Die Biegespannung Vbz ist Null (neutrale Faser bezüglich Biegung um die z-Achse). An einem in Achsrichtung heraus getrennten Flächenelement wirken somit die Lastspannungen: 1)

Das Biegemoment Mby ist entsprechend der in der Statik üblichen Vorzeichenregelung negativ, das Biegemoment Mbz hingegen positiv anzusetzen.

166

6 Festigkeitshypothesen

in x-Richtung: V x V zug  V by 108,23 N/mm 2  529,28 N/mm 2 637,51 N/mm 2 und W t 88,21 N/mm 2 (vgl. spez. Vorzeichenregelung für Schubspannungen) in y-Richtung: V y 0 und W t 88,21 N/mm 2 (vgl. spez. Vorzeichenregelung für Schubspannungen)

Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises

Eintragen des Bildpunktes Px (Vx | Wt) und des Bildpunktes Py (0 | -Wt) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohrsche Spannungskreis (siehe Abbildung). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Spannungskreises

VM

Vx 2

637,51 N/mm 2 2 2

R

§Vx · 2 ¸  Wt ¨ © 2 ¹

318,76 N/mm 2 2

§ 637,51 N/mm 2 · 2 ¨ ¸  88,21 N/mm 2 ¨ ¸ 2 © ¹





330,74 N/mm 2

Berechnung der Spannungen eines um den Winkel M gedrehten Flächenelementes Um die Spannungen in Schnittebenen parallel bzw. senkrecht zur Messrichtung des DMS zu erhalten, dreht man das Flächenelement um den Winkel M = 15° im mathematisch positiven Sinn (Gegenuhrzeigersinn). Die Spannungen (Vx‘ und Wx’y’) in der Schnittebene mit der x’Achse als Normalenvektor erhält man aus dem Mohrschen Spannungskreis, indem man ausgehend vom Bildpunkt Px den doppelten Richtungswinkel (2˜M) mit gleichem Drehsinn anträgt (Bildpunkt Px’).

167

6 Festigkeitshypothesen

Die Koordinaten des Bildpunktes Px’ sind die gesuchten Spannungen Vx’ und Wx’y‘’ in der Schnittebene mit der x’-Achse als Normalenvektor. In analoger Weise erhält man, ausgehend vom Bildpunkt Py , die Spannungen Vy‘ und Wy’x’ in der Schnittebene mit der y’-Achse als Normalenvektor (Bildpunkt Py’). Aus dem Mohrschen Spannungskreis folgt: W 88,21 N/mm 2 D arctan t arctan Vx / 2 637,51 N/mm 2 / 2 E D  2 ˜ 15q 45,47q

15,47q

V x' V M  R ˜ cos E 318,76 N/mm 2  330,74 N/mm 2 ˜ cos 45,47q 550,71 N/mm 2

V y' V M  R ˜ cos E 318,76 N/mm 2  330,74 N/mm 2 ˜ cos 45,47q 86,82 N/mm 2

Berechnung der Dehnung in Messrichtung des DMS (x‘-Richtung) Ansetzen des Hookeschen Gesetzes (zweiachsig):

H x'

1 ˜ V x'  P ˜ V z ' E 550,71 N/mm 2  0,30 ˜ 86,82 N/mm 2 209 000 N/mm 2

H DMS

0,00251 2,510 ‰

Alternative Lösung mit Hilfe des Mohrschen Verformungskreises Berechnung der Dehnungen Hx bzw. Hy in x- bzw. y-Richtung sowie der Schiebungen Jxy bzw. Jyx mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung

Hx Hy

J xy J yx

Vx

637,51 N/mm 2

E

209 000 N/mm 2

P ˜ H x

0,30 ˜ 3,050 ‰

0,915 ‰

88,21 N/mm 2 209 000 N/mm 2 2 ˜ 1  0,30

W xy

Wt

Wt

G

G

E 2 ˜ 1  P

J xy

0,00305 3,050 ‰

0,001097 1,097 ‰

1,097 ‰

Bei Jxy handelt es sich gemäß der Vorzeichenregelung für Schiebungen um eine Winkelvergrößerung, bei Jyx hingegen um eine Winkelverkleinerung.

168

6 Festigkeitshypothesen

Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Richtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung.

Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hx | 0,5˜Jxy) und Py (Hy | 0,5˜Jyx) in das H-J/2-Koordinatensystem unter Berücksichtigung der Vorzeichenregelung für Schiebungen. Da die x- und die y-Richtung einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die H-Achse im Kreismittelpunkt HM. Kreis um HM durch die Bildpunkte Px und Py ist der gesuchte Mohrsche Verformungskreis (siehe Abbildung). Bildpunkt Px‘ , welcher die Verformungsgrößen in x‘-Richtung (Messrichtung des DMS) als Bezugsrichtung repräsentiert, erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels 2˜15° ausgehend vom Bildpunkt Px (gleicher Drehsinn zum Lageplan, also im Gegenuhrzeigersinn). Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohrschen Verformungskreises erhält man:

HM R

Hx  Hy

3,050 ‰  0,915 ‰ 2

2

H x  H M

2

§ J xy  ¨¨ © 2

· ¸ ¸ ¹

2

1,068 ‰

3,050  1,068 2  §¨ 1,097 ·¸

2

© 2 ¹

‰

2,056 ‰

Für den Winkel D folgt:

D

§  J xy / 2 · ¸ arctan¨¨ ¸ © Hx  HM ¹

§  1,097 ‰ / 2 · ¸¸ arctan¨¨ © 3,050 ‰  1,068 ‰ ¹

15,47q

Damit folgt für den Winkel E:

E

D  2 ˜ 15q 15,47q  30q 45,47q

Berechnung der Dehnung Hx‘ in Messrichtung des DMS Aus dem Mohrschen Verformungskreis erhält man für die Dehnungen Hx‘ in Messrichtung des DMS:

H x'

H M  R ˜ cos E

1,068  2,056 ˜ cos 45,47q

2,510 ‰

169

7 Kerbwirkung 7.1 Formelsammlung zur Kerbwirkung Formzahl

Dk

V max bzw. D k Vn

W max Wn

Definition der Formzahl

Bauteilverhalten spröder Werkstoffe

Vn d

Rm D k ˜ SB

Festigkeitsbedingung für gekerbte Bauteile aus spröden Werkstoffen

Bauteilverhalten duktiler Werkstoffe Äußere Beanspruchung bei Fließbeginn eines gekerbten Bauteils 1)

FF

Re

Dk

˜ An

Äußere Beanspruchung mit Erreichen einer vorgegebenen plastischen Verformung 1)

Fpl

npl ˜ FF

Plastische Stützziffer

n pl

1)

H ges HF

1

H pl HF

An die Stelle der (Zug-)Kraft F können auch andere äußere Belastungsgrößen wie zum Beispiel Druckkraft Fd, Biegemoment Mb, Torsionsmoment Mt oder Innendruck pi treten.

170

7 Kerbwirkung

7.2 Aufgaben Aufgabe 7.1

{{{{z

Die Abbildung zeigt drei gekerbte Rundstäbe aus dem Vergütungsstahl 42CrMo4, die auf unterschiedliche Weise elastisch beansprucht werden (Fz = 500 kN sowie Mb = 2500 Nm und Mt = 5000 Nm). a) Ermitteln Sie die Formzahlen Dk für die drei Kerbstäbe mit Hilfe geeigneter Formzahldiagramme. b) Berechnen Sie die Nennspannungen Vn und die maximalen Spannungen Vmax und skizzieren Sie die jeweiligen Spannungsverläufe.

Aufgabe 7.2

{{{{z

Ein mittig gelochter Flachstab aus Werkstoff 17MnMoV6-4 (E = 203000 N/mm2) wird durch die statisch wirkende Zugkraft F = 100 kN belastet. Im Kerbgrund wurde ein Dehnungsmessstreifen zur Ermittlung der Längsdehnung Hl appliziert (siehe Abbildung). Bei der Zugkraft von F = 100 kN wird eine Längsdehnung von Hl = 1,00 ‰ gemessen. Berechnen Sie aus dem Messwert für die Dehnung die Formzahl

Dk und überprüfen Sie das Ergebnis mit Hilfe eines geeigneten Formzahldiagrammes.

Aufgabe 7.3

{{{zz 2

Ein Halteband aus unlegiertem Baustahl S275JR (E = 210000 N/mm ; Re = 430 N/mm2) ist an seinem oberen Ende fest eingespannt und am unteren Ende durch die Kraft F statisch belastet (siehe Abbildung). Bei der Kraft F = 25 kN wurde an der höchst beanspruchten Stelle A in Längsrichtung die Dehnung Hl = 1,042 ‰ gemessen. a) Berechnen Sie die Formzahl Dk. b) Ermitteln Sie die Sicherheit gegen Fließen. c) Berechnen Sie die Zugkraft FF, die zum Fließen des Bandes führt. Um den Werkstoff besser auszunutzen, soll an der höchst beanspruchten Stelle des Haltebandes (im Kerbgrund) eine Gesamtdehnung von Hges = 0,30 % zugelassen werden. d) Mit welcher Kraft Fpl kann das Halteband dann beansprucht werden (linear-elastisch idealplastisches Werkstoffverhalten)? e) Berechnen Sie die Kraft Fvpl, die zum vollplastischen Zustand des Haltebandes führt.

7 Kerbwirkung

Aufgabe 7.4

171 {{zzz

Der Deckel eines Druckbehälters ist mit Hilfe von Dehnschrauben (S) aus Vergütungsstahl C45E (Rp0,2 = 490 N/mm2; Rm = 710 N/mm2; E = 210000 N/mm2) und Hülsen (H) aus der unlegierten Baustahlsorte S275JR (Re = 260 N/mm2; Rm = 420 N/mm2; E = 210000 N/mm2) befestigt (siehe Abbildung). Schraube: d1 = 12 mm l1 = 128 mm Hülse: d2 = 24 mm s2 = 3 mm l2 = 84 mm a) Im drucklosen Zustand wird jede Schraube mit einer statischen Zugkraft von FV = 24 kN vorgespannt. x Berechnen Sie die Längenänderung der Schraube sowie die Höhenänderung der Hülse. x Führt eine Steigerung der Vorspannkraft FV zuerst zu plastischen Verformungen in der Hülse oder in der Schraube? b) Während des Anziehens wird zusätzlich zu der als konstant anzunehmenden Vorspannkraft FV = 24 kN infolge Reibung noch ein Torsionsmoment Mt auf die Schrauben übertragen, das mit 40% des Anzugsmomentes MA anzunehmen ist. Berechnen Sie das maximal zulässige Anzugsmoment MA, falls die Gesamtbeanspruchung der Schrauben auf 2/3 ihrer 0,2%Dehngrenze Rp0,2 begrenzt werden muss. Nach Druckaufbringung erhöht sich die Zugkraft auf Fges = 36,5 kN je Schraube. In die Hülse muss außerdem nachträglich eine Querbohrung von 4,5 mm Durchmesser eingebracht werden. c) Überprüfen Sie, ob unter diesen Bedingungen noch ein sicherer Betrieb (Belastung durch Fges) gewährleistet ist, falls lokale Dehnungen bis Hges = 0,5 % als zulässig erachtet werden und eine Mindestsicherheit von Spl = 1,5 gefordert wird (das Torsionsmoment soll unberücksichtigt bleiben). Falls nein, auf welchen Wert muss dann die Schraubenkraft im Betrieb reduziert werden?

172

Aufgabe 7.5

7 Kerbwirkung {{{zz

Ein Halteband mit Querbohrung (d = 20 mm, b = 60 mm) aus der unlegierten Vergütungsstahlsorte C45E wird durch die Kraft F statisch auf Zug belastet (E = 210000 N/mm2; Re = 490 N/mm2; Rm = 710 N/mm2). a) Berechnen Sie die Kraft FF bei Fließbeginn des Haltebandes. b) Errechnen Sie die Nennspannung Vn bei Fließbeginn und skizzieren Sie die Spannungsverteilung. c) Die Gesamtdehnung an der höchst beanspruchten Stelle soll auf Hges = 0,5% beschränkt werden. Berechnen Sie für diesen Fall die zulässige Kraft Fzul (Spl = 1,5). d) Bei welcher Kraft FB ist mit dem Bruch des Haltebandes zu rechnen?

Aufgabe 7.6

{{zzz

Die dargestellte abgesetzte Welle aus Werkstoff 38Cr2 wird durch die statisch wirkende Kraft FZ und das statisch wirkende Torsionsmoment Mt beansprucht. Zur Ermittlung der Belastung wurden außerdem in hinreichendem Abstand vom Wellenabsatz zwei Dehnungsmessstreifen (DMS) in der dargestellten Weise appliziert. Die beiden Dehnungsmessstreifen stehen senkrecht zueinander. Werkstoffkennwerte 38Cr2: Rp0,2 = 510 N/mm2 Rm = 760 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Berechnen Sie die Dehnungen HA und HB in Messrichtung der DMS bei einer Belastung von FZ = 30 kN und Mt = 100 Nm. b) Ermitteln Sie für den Wellenabsatz für eine Beanspruchung gemäß Aufgabenteil a) die Sicherheit gegen Fließen. Ist die Sicherheit ausreichend? c) Bestimmen Sie das maximal übertragbare Torsionsmoment Mt* damit bei gleichbleibender Zugkraft (FZ = 30 kN) am Wellenabsatz Fließen mit Sicherheit (SF = 1,35) ausgeschlossen werden kann.

7 Kerbwirkung

Aufgabe 7.7 Ein Rundstab mit Vollkreisquerschnitt aus der unlegierten Vergütungsstahlsorte C45E (D = 32 mm, l = 420 mm, c = 120 mm) ist an seinem oberen Ende fest eingespannt und am unteren Ende mit einer Lasche verbunden (siehe Abbildung). Über die Lasche kann der Rundstab auf unterschiedliche Weise beansprucht werden. Die Kerbwirkung an der Einspannstelle soll vernachlässigt werden. Werkstoffkennwerte C45E: Re = 490 N/mm2 Rm = 720 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 Es sind verschiedene Lastfälle zu untersuchen: a) An der Lasche greift die statische Kraft F1 = 1250 N an (siehe Abbildung). Berechnen Sie die Spannung und die Dehnung an der höchst beanspruchten Stelle des Rundstabes. b) An der Lasche greift die statische Kraft F2 = 2250 N entsprechend der Abbildung an. Berechnen Sie die Sicherheit gegen Fließen. Ist die Sicherheit ausreichend? Anstelle der einseitigen wird eine symmetrische Lasche angebracht. Die Lasche wird durch die beiden statischen Kräfte F3 beansprucht. Außerdem wird in Stabmitte ein halbkreisförmiger Einstich mit dem Radius R = 3,2 mm eingearbeitet (siehe Abbildung). c) Berechnen Sie die zulässigen Kräfte F3, falls mit 1,4-facher Sicherheit keine plastische Verformungen auftreten dürfen. d) Berechnen Sie die zulässigen Kräfte F3 falls mit 1,4-facher Sicherheit die plastische Dehnung an der höchst beanspruchten Stelle auf Hpl = 0,2 % begrenzt werden soll.

173 {{zzz

174

Aufgabe 7.8

7 Kerbwirkung {zzzz

Die Abbildung zeigt eine abgesetzte Welle mit Vollkreisquerschnitt aus unlegiertem Vergütungsstahl C45E (Re = 340 N/mm2; Rm = 620 N/mm2; E = 205000 N/mm2; μ = 0,30).

Die Welle wird durch die mittig angreifende Querkraft F1 = 1050 N und das Torsionsmoment Mt = 72 Nm statisch beansprucht. Die Zugkraft F2 wirkt zunächst nicht (F2 = 0). a) Berechnen Sie das Biegemoment im Kerbgrund (Stelle I). b) Bestimmen Sie für die Kerbstelle I die Sicherheiten gegen Fließen (SF) und Gewaltbruch (SB). Sind die Sicherheiten ausreichend? Die Welle wird nun durch eine baugleiche Welle aus dem legierten Vergütungsstahl 50CrV4 ersetzt (Rp0,2 = 900 N/mm2; Rm = 1100 N/mm2; E = 205000 N/mm2; μ = 0,30). c) Ermitteln Sie das maximal übertragbare Torsionsmoment Mt* damit bei gleichbleibender Querkraft F1 kein Fließen im Kerbgrund eintritt (Zugkraft F2 = 0). Die Welle unterliegt nun einer unbekannten Betriebsbeanspruchung. Die Querkraft F1 und die Zugkraft F2 sowie das Torsionsmoment Mt sind nicht bekannt. Zur Ermittlung der Kräfte und des Torsionsmomentes werden in hinreichendem Abstand vom Wellenabsatz (die Kerbwirkung kann unberücksichtigt bleiben) in der skizzierten Weise eine 0°-45°-90° DMS-Rosette (R) sowie zwei einzelne DMS (E1 und E2) in Längsrichtung appliziert. Unter Belastung werden die folgenden Dehnungen ermittelt: HA = 1,300 ‰ HB = 0,065 ‰ HC = - 0,390 ‰ HD = 1,050 ‰ HE = 1,550 ‰ d) e) f) g)

Ermitteln Sie anhand der Dehnungswerte die Zugkraft F2. Berechnen Sie die Querkraft F1. Ermitteln Sie Betrag und Drehsinn des Torsionsmomentes Mt. Berechnen Sie unter Betriebsbeanspruchung die Sicherheit SF gegen Fließen im Kerbquerschnitt I (Rp0,2 = 900 N/mm2).

7 Kerbwirkung

Aufgabe 7.9

175 {zzzz

An einem Bauteil ist eine Dehnschraube aus dem Vergütungsstahl C35E zu überprüfen. Der gefährdete Querschnitt liegt im glatten, zylindrischen Teil des Schraubenbolzens (siehe Abbildung). Werkstoffkennwerte C35E (vergütet): Rp0,2 = 430 N/mm2 Rm = 740 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 Der Schraubenbolzen wird zunächst durch die Vorspannkraft F1 = 7860 N und zusätzlich durch das Torsionsmoment Mt1 = 11,78 Nm (bedingt durch das Anziehen der Schraube) beansprucht. a) Berechnen Sie die durch die Vorspannkraft F1 im gefährdeten Querschnitt (d0 = 10 mm) erzeugte Zugspannung Vz. Um welchen Betrag verlängert sich dabei der zylindrische Teil des Schraubenbolzens (l0 = 50 mm)? b) Berechnen Sie die durch das Torsionsmoment Mt1 im gefährdeten Querschnitt erzeugte maximale Schubspannung Wt. Um welchen Winkel M wird der zylindrische Teil des Schraubenbolzens dabei verdreht? c) Skizzieren Sie den Mohrschen Spannungskreis für die Außenoberfläche im glatten zylindrischen Teil des Schraubenbolzens. Ermitteln Sie die Hauptnormalspannungen sowie die Winkel zwischen den Hauptspannungsrichtungen und der Schraubenlängsachse. d) Berechnen Sie für den zylindrischen Teil der Dehnschraube das Torsionsmoment Mt2 bei Fließbeginn. Die Vorspannkraft soll als konstant angenommen werden (F1 = 7860 N). Die Schraube wird nun mit einer hydraulischen Vorspanneinrichtung eingebaut, so dass kein Drehmoment übertragen werden kann (Mt = 0). Außerdem werden jetzt Dehnschrauben mit einem halbkreisförmigen Einstich eingesetzt. Der Kerbradius R beträgt 1,5 mm (siehe Abbildung). e) Berechnen Sie zu zulässige Vorspannkraft F2, falls mit 1,5-facher Sicherheit (SF = 1,5) keinerlei plastische Verformungen auftreten sollen. f) Ermitteln Sie die Vorspannkraft F3, falls mit 1,5-facher Sicherheit die plastische Dehnung (Hpl) an der höchst beanspruchten Stelle auf 0,3 % beschränkt werden soll.

176

Aufgabe 7.10

7 Kerbwirkung zzzzz

Der dargestellte Ausleger aus den Werkstoffen E295 (Vierkantrohr) und S275JR (Vierkantprofilstab) wird an seinem rechten Ende durch die Einzelkraft F belastet. Kerbwirkung an der Einspannstelle sowie Schubspannungen durch Querkräfte sind bei den nachfolgenden Berechnungen zu vernachlässigen. Die Enden des Auslegers können als ideal starr betrachtet werden. Das Eigengewicht des Auslegers wird vernachlässigt. Für beide Werkstoffe (E295 und S275JR) soll linear-elastisch idealplastisches Werkstoffverhalten vorausgesetzt werden. Werkstoffkennwerte: Vierkantprofilstab S275JR: Re1 = 275 N/mm2 Rm1 = 500 N/mm2 E1 = 209000 N/mm2 μ1 = 0,30 Vierkantrohr E295: Re2 = 295 N/mm2 Rm2 = 750 N/mm2 E2 = 209000 N/mm2 μ2 = 0,30

a) Berechnen Sie das axiale Flächenmoment 2. Ordnung (Iy) sowie das axiale Widerstandsmoment (Wby) des Auslegers bezüglich der y-Achse. b) Ermitteln Sie diejenige Stelle am Ausleger, die mit zunehmender Erhöhung der Kraft F erstmals Fließen zeigt (Begründung !). Beachten Sie, dass der Vierkantprofilstab sowie das Rohr unterschiedliche Werkstoffkennwerte haben. Berechnen Sie die Kraft FF bei Fließbeginn des Auslegers. c) Berechnen Sie die Kraft Fpl, die erforderlich ist, um das Vierkantrohr bis zpl = 30 mm zu plastifizieren. d) Berechnen Sie die Kraft F*pl bei Fließbeginn des Vierkantprofilstabes. e) Ermitteln Sie die Kraft Fvpl mit Erreichen des vollplastischen Zustandes des Auslegers. f) Skizzieren Sie mit Hilfe der in Aufgabenteil b) bis e) berechneten Werte die Bauteilfließkurve des Auslegers in das vorbereitete Diagramm.

7 Kerbwirkung

Aufgabe 7.11

177

zzzzz

Der dargestellte Lagerzapfen aus dem legierten Vergütungsstahl 34CrMo4 (Rp0,2 = 800 N/mm2; Rm = 1000 N/mm2; E = 205000 N/mm2; μ = 0,30) wird durch die statischen Kräfte F1 und F2 sowie durch das statische Torsionsmoment Mt belastet. Zur Ermittlung der unbekannten Kräfte und des Torsionsmomentes werden in der skizzierten Weise eine 0°-45°-90° DMS-Rosette (R) sowie zwei einzelne DMS (E1 und E2) in Längsrichtung appliziert. Unter Belastung werden die folgenden Dehnungen ermittelt: HA = 1,60 ‰ HB = 0,00 ‰ HC = - 0,48 ‰ HD = 1,40 ‰ HE = 1,80 ‰ a) Ermitteln Sie anhand der Dehnungswerte die Zugkraft F1. b) Berechnen Sie die Querkraft F2. c) Ermitteln Sie Betrag und Richtung des Torsionsmomentes Mt. d) Bestimmen Sie die Sicherheit gegen Fließen im Kerbquerschnitt I. Ist die Sicherheit ausreichend?

178

7 Kerbwirkung

7.3 Lösungen Lösung zu Aufgabe 7.1 a) Ermittlung der Verhältniszahlen D d R d

50 40 5 40

1,25 0,125

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm: Stab 1 : D kz

2,03

Stab 2 : D kb

1,78

Stab 3 : D kt

1,40

b) Berechnung der Nennspannungen und der maximalen Spannungen Stab 1 : F An

Vzn V z max

500 000 N ʌ ˜ 40 mm 2 4

D kz ˜ V z n

397,9 N/mm 2

2,03 ˜ 397,9 N/mm 2

807,7 N/mm 2

Stab 2 : Mb Wbn

Vbn V b max

2 500 000 Nmm ʌ ˜ 40 mm 3 32

D kb ˜ V b n

397,7 N/mm 2

1,78 ˜ 397,9 N/mm 2

708,2 N/mm 2

Stab 3 :

Wtn W t max

Mt Wtn

5 000 000 Nmm ʌ ˜ 40 mm 3 16

D kb ˜ W t n

397,9 N/mm 2

1,40 ˜ 397,9 N/mm 2

557,0 N/mm 2

7 Kerbwirkung

Spannungsverläufe

179

180

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.2 Berechnung der maximalen Spannung mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

V max

E ˜ Hl

203 000 N/mm 2 ˜ 0,001 203 N/mm 2

Berechnung der Nennspannung F 100 000 N Vn An 150mm  15 mm ˜ 10 mm

74,07 N/mm 2

Berechnung der Formzahl Dk

Dk

V max Vn

203 N/mm 2 74,07 N/mm 2

2,74

Überprüfung der Lösung mit Hilfe eines Formzahldiagrammes Aus einem geeigneten Formzahldiagramm entnimmt man mit a = 7,5 mm; b = 70 mm und a/b = 0,1: Dk = 2,74

181

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.3 a) Berechnung der maximalen Spannung mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

V max

210 000 N/mm 2 ˜ 0,001042

E ˜ Hl

218,8 N/mm 2

Berechnung der Nennspannung F 25 000 N Vn 125 N/mm 2 b2 ˜ t 40 mm ˜ 5 mm Berechnung der Formzahl Dk V max 218,8 N/mm 2

Dk

125 N/mm 2

Vn

1,75

b) Festigkeitsbedingung (Fließen)

V max d V zul V max SF

Re SF 430 N/mm 2 218,8 N/mm 2

Re

V max

1,97 (ausreichend, da S F ! 1,20)

c) Fließbedingung

V max Re V n ˜ D k Re FF ˜Dk b2 ˜ t FF

Re

b2 ˜ t ˜ Re

Dk

40 mm ˜ 5 mm ˜ 430 N/mm 2 1,75

49 143 N

d) Berechnung der plastischen Stützziffer npl

npl

H ges HF

H ges Re / E

0,003 430 N/mm 2 / 210000 N/mm 2

Weiterhin gilt: npl Fpl

Fpl FF npl ˜ FF

1,21 ˜ 49143 N

59 484 N

1,21

182

7 Kerbwirkung

e) Berechnung des vollplastischen Zustandes Ein vollplastischer Zustand tritt ein, sobald die Nennspannung die Streckgrenze erreicht:

Vn Fvpl b2 ˜ t Fvpl

Re Re b2 ˜ t ˜ Re

40 mm ˜ 5 mm ˜ 430 N/mm 2

86 000 N

183

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.4 a) Berechnung der Verlängerung 'l1 der Schraube mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

V1

E ˜ H1

FV A1

E˜

'l1

'l1 l1

4 ˜ FV ˜ l1

4 ˜ 24 000 N ˜ 128 mm

˜ d12

ʌ ˜ 12 mm 2 ˜ 210000 N/mm 2

S

˜E

0,129 mm

Berechnung der Verkürzung 'l2 der Hülse mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

V2

E ˜H2

FV A2

E˜

'l2 l2 4 ˜ FV ˜ l2

'l2

˜ (d a2

S

4 ˜ 24 000 N ˜ 84 mm

 d i2 ) ˜ E

2

ʌ ˜ (30 - 24 2 ) mm 2 ˜ 210000 N/mm 2

0,038 mm

Berechnung der Zugkraft bei Fließbeginn der Schraube V Rp0,2 FFB1 A1

Rp0,2

FFB1

Rp0,2 ˜

S 4

˜ d12

490 N/mm 2 ˜

ʌ ˜ 12 mm 2 4

55 418 N

Berechnung der Druckkraft bei Fließbeginn der Hülse

V

Re

FFB2 A2

Re

S





ʌ ˜ d a2  d i2 260 N/mm 2 ˜ ˜ (30 2 - 24 2 ) mm 2 66162 N 4 4 Bei einer Steigerung der Vorspannkraft plastifiziert die Schraube zuerst. FFB2

Re ˜

b) Berechnung der Lastspannungen FV 4 ˜ FV 4 ˜ 24 000 N Vz A1 S ˜ d12 ʌ ˜ 12 mm 2

Wt

Mt Wt

16 ˜ M t

S ˜ d13

Festigkeitsbedingung (Fließen) 2 V V SH ˜ Rp0,2 3

212,2 N/mm 2

184

7 Kerbwirkung

Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese kann unmittelbar aus Gleichung 6.17 (Zugbeanspruchung mit überlagerter Torsion, siehe Lehrbuch) errechnet werden:

V z2  4 ˜ W t2

V V SH

Damit folgt aus der Festigkeitsbedingung für die Torsionsschubspannung Wt: 2 ˜ Rp0,2 3

V z2  4 ˜ W t2

2

2

§2 · 2 ¨ ˜ Rp0,2 ¸  V z ©3 ¹ 4

Wt

§2 2 2· ¨ ˜ 490 N/mm ¸  212,2 N/mm ©3 ¹ 4

124,18 N/mm 2

Berechnung des Torsionsmomentes Mt

Wt

16 ˜ M t

Mt Wt

Mt

S ˜ d13

S ˜ d13 16

S ˜ 12 mm 3

˜W t

16

˜ 124,18 N/mm 2

42132 Nmm

Berechnung des Anzugsmomentes MA MA

Mt 0,4

42132 Nmm 0,4

105330 Nmm 105,33 Nm

c) Ermittlung der Verhältniszahlen d D

4,5 30

0,15

Damit entnimmt man dem gegebenen Formzahldiagramm:

D kz

2,70

Ermittlung der plastischen Stützziffer npl

H ges HF

npl

H ges

0,005 2

260 N/mm / 210000 N/mm 2

Re / E

2,0096 | 2,0

Berechnung der Kraft FF bei Fließbeginn

V max

Re

FF ˜D k An FF

Re

Re ˜ An

Re ˜ S D  s  d ˜ s

Dk

Dk

260 N/mm ˜ ʌ ˜ 30 mm  3 mm  4,5mm ˜ 3 mm 2,70 2

23 204 N

185

7 Kerbwirkung

Weiterhin gilt: npl Fpl

Fpl FF npl ˜ FF

2,00 ˜ 23 204 N

46 408 N

Wird eine Sicherheit von Spl = 1,5 gefordert, dann ist die Beanspruchung auf Fzul = Fpl / Spl = 46408 / 1,5 = 30939 N zu begrenzen. Da die Betriebsbeanspruchung F = 36500 N beträgt, ist ein sicherer Betrieb nicht möglich.

186

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.5 a) Ermittlung der Formzahl Dk a 10 mm b 30 mm a/b 0,333

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

Dk

2,32

Fließbedingung V max Re

V n ˜Dk

Re

FF ˜Dk An

Re

FF

Re ˜ b  d ˜ t

Dk

490 N/mm 2 ˜ 60  20 mm ˜ 4 mm 2,32

33793 N

b) Darstellung des Spannungsverlaufes

Vn V max

FF An Re

33793 N 60  20 mm ˜ 4 mm

211,2 N/mm 2

490 N/mm 2

c) Berechnung der plastischen Stützziffer npl npl

H ges HF

H ges Re / E

0,005 2

490 N/mm / 210000 N/mm 2

1,464

187

7 Kerbwirkung

Berechnung der Kraft Fzul mit Erreichen einer Gesamtdehnung von Hges = 0,5% Fpl npl FF Fpl

npl ˜ FF

1,46 ˜ 33 793 N

49 468 N

Damit folgt für die zulässige Kraft: Fzul

Fpl S pl

49 468 N 1,5

32979 N

d) Mit einem Bruch muss gerechnet werden, sobald die Nennspannung Vn die Zugfestigkeit Rm erreicht:

Vn

Rm

FB An

Rm

FB

Rm ˜ An

710 N/mm 2 ˜ 60  20 mm ˜ 4 mm 113 600 N

188

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.6 a) Berechnung der Lastspannungen an der Messstelle der DMS (Außenoberfläche)

Vz

Fz A

Fz

S 4

Wt

Mt Wt

30 000 N

117,89 N/mm 2

˜d2

S

Mt

100 000 Nmm

S 16

˜d

3

4

˜ 18 mm 2

S 16

87,33 N/mm 2

˜ 18 mm

3

Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Eintragen der Bildpunkte Px (Vz | Wt) und Py (0 | -Wt) in das V-WKoordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen.

Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor (Ebene Ex). Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor (Ebene Ey). Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt VM. Kreis um VM durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohrsche Spannungskreis (siehe Abbildung). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Spannungskreises

VM

Vz 2

117,89 N/mm 2 2 2

R

§Vz · 2 ¨ ¸  IJt 2 © ¹

58,95 N/mm 2

58,95 2  87,33 2 N/mm 2

105,36 N/mm 2

Berechnung des Richtungswinkels D zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptspannungsrichtung §  87,33 N/mm 2 · § W t · ¸ ¸¸ arctan¨ arctan¨¨ ¨ 58,95 N/mm 2 ¸ 55,98q ©Vz / 2 ¹ © ¹ Damit folgt für den Richtungswinkel E zwischen der Messrichtung von DMS A und der ersten Hauptspannungsrichtung:

D

189

7 Kerbwirkung

E

D  2 ˜ 15q 55,98q  30q 25,98q

Berechnung der Normalspannungen VA und VB in Schnittebenen mit der A- bzw. B-Richtung (Messrichtung der DMS) als Normalenvektor

VA VB

Vz 2

Vz 2

 R ˜ cos E

117,89 N/mm 2  105,36 N/mm 2 ˜ cos 25,98q 153,66 N/mm 2 2

 R ˜ cos E

117,89 N/mm 2  105,36 N/mm 2 ˜ cos 25,98q 2

35,77 N/mm 2

Berechnung der Dehnungen in A- und B-Richtung (HA und HB) mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

HA

153,66 N/mm 2  0,30 ˜  35,77 N/mm 2 1 ˜ V A  P ˜ V B E 210 000 N/mm 2 0,000783 0,783 ‰

HB

1 ˜ V B  P ˜ V A E 0,000389

 35,77 N/mm 2  0,30 ˜153,66 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,389 ‰

Alternative Lösung mit Hilfe des Mohrschen Verformungskreises Berechnung der Dehnungen Hx bzw. Hy in x- bzw. y-Richtung unter Wirkung von FZ sowie der Schiebungen Jxy bzw. Jyx mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung Hx

Hy J xy J yx

Vx

Vz

E

E

117,89 N/mm 2 210 000 N/mm 2

P ˜ H x

0,000561 0,561 ‰

0,30 ˜ 0,000561 0,000168

W xy

Wt

Wt

87,33 N/mm 2

G

G

E 2 ˜ 1  P

210 000 N/mm 2 2 ˜ 1  0,30

J xy

0,168 ‰

0,001081 1,081 ‰

1,081 ‰

Bei Jxy handelt es sich gemäß der speziellen Vorzeichenregelung um eine Winkelvergrößerung, bei Jyx hingegen um eine Winkelverkleinerung. Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Richtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung.

Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hx | 0,5˜Jxy) und Py (Hy | 0,5˜Jyx) in das H-J/2Koordinatensystem.

190

7 Kerbwirkung

Da die x- und die y-Richtung einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser. Damit ist der Mohrsche Verformungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Bildpunkt PA, welcher die Verformungen in A-Richtung (Messrichtung des DMS A) als Bezugsrichtung repräsentiert, erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels 2˜15°, ausgehend vom Bildpunkt Px (gleicher Drehsinn zum Lageplan, also im Uhrzeigersinn). Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohrschen Verformungskreises erhält man:

HM R

Hx  Hy 2

0,561 ‰  0,168 ‰ 2 § J xy · ¸ ¸ © 2 ¹

2

H x  H M 2  ¨¨

0,196 ‰

0,561  0,196 2  §¨ 1,081 ·¸

2

© 2 ¹

‰

0,652 ‰

Für den Winkel D folgt:

D

§ J xy / 2 arctan¨¨ © Hx  HM

· ¸ ¸ ¹

· § 1,081 ‰ / 2 ¸¸ arctan¨¨ © 0,561 ‰  0,196 ‰ ¹

55,98q

Damit folgt für den Winkel E:

E

D  2 ˜ 15q 55,98q  30q 25,98q

Berechnung der Dehnungen HA und HB in A- bzw. B-Richtung

Aus dem Mohrschen Verformungskreis erhält man für die Dehnungen HA und HB:

H A H M  R ˜ cos E H B H M  R ˜ cos E

0,196  0,652 ˜ cos 25,98q

0,783 ‰

0,196  0,652 ˜ cos 25,98q

0,389 ‰

b) Ermittlung der Verhältniszahlen D 24 1,33 d 18 R 5 0,28 d 18 Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kz 1,40 D kt 1,16

191

7 Kerbwirkung

Nennspannungen auf Aufgabenteil a):

V zn

117,89 N/mm 2

W tn

87,33 N/mm 2

Berechnung der maximalen Spannungen V z max V zn ˜ D kz 117,89 N/mm 2 ˜ 1,40 165,05 N/mm 2

W t max

W tn ˜ D kt

87,33 N/mm 2 ˜ 1,16 101,30 N/mm 2

Da es sich um eine Zugbeanspruchung mit überlagerter Torsion handelt, ergibt sich die Vergleichsspannung nach der SH zu (siehe Gleichung 6.17 im Lehrbuch):

V V SH

V z2max  4 ˜ W t2max

165,052  4 ˜ 101,30 2

261,32 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V V SH SF

Rp0,2 SF Rp0,2

V V SH

510 N/mm 2 261,32 N/mm 2

1,95 (ausreichend, da S F ! 1,20)

c) Aus der Festigkeitsbedingung gemäß Aufgabenteil b) folgt: Rp0,2

V V SH

SF

V z2max  4 ˜ W t2max

Rp0,2 SF

Auflösen nach Wtmax ergibt: 2

W t max

§ Rp0,2 · 2 ¸ ¨ ¨ S ¸  V z max F © ¹ 4

2

§ 510 · ¨¨ ¸¸  165,052 1 , 35 © ¹ N/mm 2 4

169,91 N/mm 2

Damit folgt für das Torsionsmoment Mt*:

W t max M t* M t*

M t* ˜ D kt Wtn

W t max D kt

˜ Wtn

167,7 Nm

W t max S 3 ˜ ˜d D kt 16

169,91 N/mm 2 S ˜ ˜ 18 mm 3 1,16 16

167727 Nmm

192

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.7 a) Der Stab wird auf (gerade) Biegung beansprucht. Einspannquerschnitt ist höchst beansprucht. Berechnung der Lastspannung F1 ˜ l

Mb Wb

Vb

S 32

˜D

1 250 N ˜ 420 mm

S

3

32

163,2 N/mm 2

˜ 32 mm

3

Berechnung der Längenänderung (Hookesches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand)

Vb H

E ˜H

Vb

163,2 N/mm 2

E

210 000 N/mm 2

0,00078

0,78 ‰

b) Der Stab wird auf (gerade) Biegung und Torsion beansprucht. Einspannquerschnitt ist höchst beansprucht. Berechnung der Lastspannungen F2 ˜ l

Mb Wb

Vb

S 32

Wt

S

S

˜ D3

F2 ˜ c

Mt Wt

2 250 N ˜ 420 mm 32

293,75 N/mm2

˜ 32 mm 3

2 250 N ˜ 120 mm

S

41,96 N/mm 2

˜D ˜ 32 mm 16 16 Da es sich um eine Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion handelt, ergibt sich die Vergleichsspannung nach der SH zu (siehe Gleichung 6.17 im Lehrbuch): 3

V b2  4 ˜ W t2

V V SH

3

293,752  4 ˜ 41,96 2

305,50 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V V SH SF

Re SF Re

V V SH

490 N/mm 2 305,50 N/mm 2

1,60 (ausreichend, da S F ! 1,20)

c) Der Stab wird auf Torsion beansprucht. Einspannquerschnitt ist höchst beansprucht. Berechnung der Nennspannung Wtn

W tn

Mt Wtn

2 ˜ F3 ˜ c

S 16

˜ D  2 ˜ R 3

193

7 Kerbwirkung

Ermittlung der Formzahl Dkt R d D d

3,2

0,125

32  2 ˜ 3,2 32

1,25

32  2 ˜ 3,2

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm: Įkt

1,40

Festigkeitsbedingung

W tmax d W zul W tF mit W tF W tmax SF

Re 2 ˜ SF

W tn ˜ Įkt

2 ˜ F3 ˜ c

S 16 F3

Re 2

˜ D  2 ˜ R 3

˜ Įkt

Re 2 ˜ SF

Re ˜ S ˜ D  2 ˜ R 3 64 ˜ S F ˜ c ˜ Įkt

490 N/mm 2 ˜ S ˜ 32  2 ˜ 3,2 3 mm3 64 ˜ 1,4 ˜ 120 mm ˜ 1,40

1715,7 N

d) Berechnung der plastischen Stützziffer npl npl

1

H pl HF

1

H pl Re / E

1

0,002 2

490 N/mm / 210000 N/mm 2

Weiterhin gilt: npl Fpl Fpl zul

Fpl FF npl ˜ FF Fpl S pl

npl ˜ F3 ˜ S F 3 273,9 N 1,4

1,363 ˜ 1715,7 N ˜ 1,4 2338,5 N

3 273,9 N

1,363

194

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.8 a) Berechnung des Biegemomentes im Kerbgrund (Stelle I) F1 ˜a 2

Mb

1050 N ˜ 100 mm 2

52500 Nmm

52,5 Nm

b) Berechnung der Nennspannungen Mb Wbn

V bn

Mb

S

˜ 20 mm 3 32 72 000 Nmm

˜d3 32 Mt

Mt Wtn

W tn

52 500 N

S

S 16

S

˜ d3

16

66,85 N/mm 2

45,84 N/mm 2

˜ 20 mm 3

Ermittlung der Formzahlen D d R d

30 20 4 20

1,5 0,2

Damit entnimmt man geeigneten Formzahldiagrammen:

D kz 1,56 D kb 1,42 D kt 1,21 Berechnung der maximalen Spannungen

V b max W t max

V bn ˜ D kb W tn ˜ D kt

66,85 N/mm 2 ˜ 1,42

94,9 N/mm 2

45,84 N/mm 2 ˜ 1,21 55,5 N/mm 2

Da es sich um eine Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion handelt, ergibt sich die Vergleichsspannung nach der SH zu (siehe Gleichung 6.17 im Lehrbuch):

V b2 max  4 ˜ W t2max

V V SH

94,9 2  4 ˜ 55,52

146,0 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V V SH SF SB

Re R bzw. m SF SB Re

V V SH Rm

V V SH

340 N/mm 2 146,0 N/mm 2

2,33 (ausreichend, da S F ! 1,20)

620 N/mm 2 146,0 N/mm 2

4,25 (ausreichend, da S B ! 2,0)

195

7 Kerbwirkung

c) Fließbedingung

V V SH

Rp0,2

V b2 max  4 ˜ W t2max

2 Rp0,2  V b2 max

W t max M t* Wtn

Rp0,2

4 1 2 ˜ Rp0,2  V b2 max 2

˜ D kt

S

M t*

16

˜d3 ˜

1

D kt

1 2 ˜ ˜ Rp0,2  V b2 max 2

580 922 Nmm

S 32

˜

20 mm 3 ˜ 1,21

900 2  94,9 2 N/mm 2

580,9 Nm

d) Zuordnung der Dehnungsanzeigen zu den einzelnen Messstellen

F1

DMS A 0 1)

DMS B 0 1)

Messstelle DMS C 0 1)

F2

HzA

HzB

HzC = -μ˜HzA

HzD = HzA

HzE = HzA

Mt

0

HtB

0

0

0

Belastung

1)

DMS D

HbD

DMS E HbE = -HbD

neutrale Faser

Dehnungsmessstreifen A (DMS A) wird nur durch die Zugkraft F2 beansprucht (siehe Tabelle). Es gilt daher:

Vz

E ˜ HA

F2

S 4 F2

˜d2

S 4

E ˜ HA

˜ d 2 ˜ E ˜ HA

S 4

˜ 20 mm 2 ˜ 205 000 N/mm2 ˜ 0,0013

e) Die Dehnungsmessstreifen D und E verformen sich durch die Beanspruchung aus F1 (Biegung) und F2 (Zug). Das Torsionsmoment Mt hat keinen Einfluss auf ihre Dehnungsanzeige. Die Verformungen durch die einzelnen Beanspruchungen können linear superponiert werden. Es gilt:

H E H zE  H bE H zA  H bE und H D H zD  H bD H zA  H bE

(1) (2)

83 723 N

196

7 Kerbwirkung

Subtrahiert man Gleichung 2 von Gleichung 1, dann folgt für die Dehnung HbE aufgrund der Biegebeanspruchung durch F1:

H E  H D 1,55 ‰  1,05 ‰ 0,25 ‰ 2 2 Berechnung der Biegespannung (Hookesches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand): V b E ˜ H bE H bE

Mb Wb

E ˜ H bE

S

F1 ˜c 2 F1

32

˜ d 3 ˜ E ˜ H bE

S d3 16

˜

c

˜ E ˜ H bE

S 16

˜

20 mm 3 ˜ 205 000 N/mm 2 ˜ 0,00025 50 mm

1610,1 N

f) Es liegt eine 0°-45°90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohrsche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden. Schiebung Jxy { Jt mit der x-Richtung als Bezug kann nur durch das Torsionsmoment Mt, d. h. durch die Torsionsschubspannung Wt verursacht werden. Berechnung der Schiebung Jxy { Jt

Jt 2

Jt

· § H  HC H M  H B ¨ A  HB ¸ 2 ¹ © H A  H C  2 ˜ H B 1,30 ‰   0,39 ‰  2 ˜ 0,065 ‰ 0,78 ‰

Elastizitätsgesetz für Schubbeanspruchung

Wt

G ˜J t

E ˜J t 2 ˜ 1  P

205 000 N/mm 2 ˜  0,00078 61,5 N/mm 2 2 ˜ 1  0,30

Berechnung des Torsionsmomentes Mt

Wt Mt

Mt Wt

W t ˜ Wt

Wt ˜

S 16

˜d3

61,5 N/mm 2 ˜

S 16

˜ 20 mm 3

96 604 Nmm

96,6 Nm

197

7 Kerbwirkung

Die Schubspannung Wt bzw. das Torsionsmoment Mt führen für Jxy ({ Jt) zu einer Winkelverkleinerung entsprechend der Abbildung (Jt < 0). Damit ist die Drehrichtung des Torsionsmomentes Mt bei Blick von rechts auf den Wellenzapfen im Uhrzeigersinn (also entsprechend der Richtung der eingezeichneten Momentenpfeile in der Aufgabenstellung).

Alternative Lösungsmöglichkeit Anstelle der Verwendung des Mohrschen Verformungskreises kann die Schiebung Jxy ({ Jt) auch durch Lösen eines linearen Gleichungssystems (siehe Gleichung 4.32 im Lehrbuch) ermittelt werden. Für die Dehnungen in Messrichtung der Dehnungsmessstreifen gilt: Hx Hy Hx Hy J xy HA  ˜ cos 2D  ˜ sin 2D (1) 2 2 2

HB

HC

Hx Hy 2

Hx Hy 2





Hx Hy 2

Hx Hy 2

˜ cos 2E 

˜ cos 2J 

J xy

˜ sin 2E

(2)

˜ sin 2J

(3)

2

J xy 2

Zur Vereinfachung setzt man: Hx Hy u 2 Hx Hy v 2 w

J xy

(4) (5) (6)

2

mit D = 180°; E = 135° und J = 90° sowie HA = 1,30 ‰; HB = 0,065 ‰ und HC = -0,39 ‰ folgt aus den Gleichungen 1 bis 3: 1,300 ‰

u  v ˜ cos 360q  w ˜ sin 360q

(7)

0,065 ‰

u  v ˜ cos 270q  w ˜ sin 270q

(8)

 0,390 ‰

u  v ˜ cos 180q  w ˜ sin 180q

(9)

Damit ergibt sich das zu lösende lineare Gleichungssystem: 1,300 ‰ u  v

(10)

0,065 ‰ u  w

(11)

 0,390 ‰ u  v

Gleichung 10 und Gleichung 12 addiert: u 0,455 ‰ Aus Gleichung 11 folgt dann schließlich: w 0,065 ‰ - 0,455 ‰ 0,39 ‰ Damit folgt für die Schiebung Jxy ({ Jt):

J xy { J t

2 ˜ w 2 ˜ 0,39 ‰ 0,78 ‰

(12) (13)

198

7 Kerbwirkung

g) Berechnung der Nennspannungen

V zn

F2 An

V bn

Mb Wbn

W tn

F2

S

83 723 N

S

266,5 N/mm 2

˜d ˜ 20 mm 4 4 F1 / 2 ˜ a 1610,1 N / 2 ˜ 100 mm 2

S 32 Mt

Mt Wtn

S 16

˜d

˜d3

3

2

S

102,5 N/mm 2

˜ 20 mm 32 96 604 Nmm 61,5 N/mm 2 S ˜ 20 mm 3 16 3

Berechnung der maximalen Spannungen

V z max

V zn ˜ D kz

266,5 N/mm 2 ˜ 1,56

V b max

V bn ˜ D kb

102,5 N/mm 2 ˜ 1,42 145,6 N/mm 2

W t max

W tn ˜ D kt

415,7 N/mm 2

61,5 N/mm 2 ˜ 1,21 74,4 N/mm 2

Da es sich um eine Zug- und Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion handelt, ergibt sich die Vergleichsspannung nach der SH zu (siehe Gleichung 6.17 im Lehrbuch):

V V SH

V z max  V b max 2  4 ˜ W t2max

415,7  145,6 2  4 ˜ 74,42

580,69 N/mm 2

Festigkeitsbedingung V V SH d V zul

V V SH SF

Rp0,2 SF Rp0,2

V V SH

900 N/mm 2 580,69 N/mm 2

1,55 (ausreichend, da S F ! 1,20)

199

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.9 a) Berechnung der Zugspannung

Vz

F1 A

4 ˜ F1

4 ˜ 7 860 N

ʌ ˜ d 02

ʌ ˜ 10 mm 2

100 N/mm 2

Berechnung der Verlängerung 'l der Schraube mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

Vz

E ˜Hl

Vz

E˜

'l

Vz E

'l l0 ˜ l0

100 N/mm 2 210 000 N/mm 2

˜ 50 mm 0,024 mm

b) Berechnung der Torsionsschubspannung

Wt

Mt

S 16

˜d

11 780 Nmm 3

S 16

60 N/mm 2

˜ 10 mm

3

Berechnung des Verdrehwinkels M der Schraube

M

M t ˜ l0 G ˜ Ip

M

0,4256q

M t ˜ l0 E S ˜ ˜d4 2 ˜ 1  P 32

11 780 Nmm ˜ 50 mm 210 000 N/mm 2 S ˜ ˜ 10 mm 4 2 ˜ 1  0,30 32

c) Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Eintragen des Bildpunktes Py (Vz | Wt) und des Bildpunktes Px (0 | -Wt) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke von Px nach Py schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohrsche Spannungskreis (siehe Abbildung).

0,00743

200

7 Kerbwirkung

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Spannungskreises

Vz

VM

2

50 N/mm 2 2

§Vz · 2 ¨ ¸ Wt 2 © ¹

R

50 2  60 2 N/mm 2

78,1 N/mm 2

Berechnung der Hauptnormalspannungen VH1 und VH2

V H1 V M  R 50 N/mm 2  78,1 N/mm 2 128,1 N/mm 2 V H2 V M  R 50 N/mm 2  78,1 N/mm 2

28,1 N/mm 2

Berechnung der Richtungswinkel M1 und M2 zwischen der y-Achse (Schraubenlängsachse) und den Hauptspannungsrichtungen §  2 ˜ W xy 1 ˜ arctan¨ ¨Vx Vy 2 ©

M1;2

· ¸ ¸ ¹



§  2 ˜  60 N/mm 2 1 ˜ arctan¨¨ 2 2 © 0  100 N/mm

·¸ ¸ ¹

25,1q

Der errechnete Winkel M kann der Richtungswinkel zwischen der ersten oder der zweiten Hauptrichtung sein. Eine Entscheidung ist mit Hilfe von Tabelle 3.1 (siehe Lehrbuch) möglich. Da es sich um Fall 3 (Vx < Vy und Wxy < 0) handelt, ist M der Richtungswinkel zwischen der x-Richtung und der ersten Hauptspannungsrichtung. Dies geht auch aus dem Mohrschen Spannungskreis hervor). Es gilt:

M2

25,1q

Für der Richtungswinkel M2 folgt dann: M1 64,9q d) Fließbedingung

V V SH

Rp0,2

Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese kann unmittelbar aus Gleichung 6.17 (Zugbeanspruchung mit überlagerter Torsion, siehe Lehrbuch) errechnet werden: 2 V z2  4 ˜ W t2

V V SH

Damit folgt aus der Festigkeitsbedingung für die Torsionsschubspannung Wt2:

V z2  4 ˜W t22 W t2

R p0,2

2  V z2 R p0,2

4

430 2  100 2 N/mm 2 4

Berechnung des Torsionsmomentes Mt2

W t2

M t2 Wt

Mt

S 16

˜d 3

209,1 N/mm 2

201

7 Kerbwirkung

M t2

S 16

S

˜ d 3 ˜W t2

16

˜ 10 mm 3 ˜ 209,1 N/mm 2

41060 Nmm

41,06 Nm

e) Ermittlung der Formzahl D d R d

10 1,43 7 1,5 0,21 7

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kz 1,75 Festigkeitsbedingung (Fließen)

V max d V zul Rp0,2

V max

SF

F2 ˜ D kz An F2

Rp0,2 SF

Rp0,2 S 2 1 ˜ ˜d ˜ SF 4 D kz

430 N/mm 2 S 1 ˜ ˜ 7mm 2 ˜ 1,5 4 1,75

6 304 N

f) Berechnung der plastischen Stützziffer npl npl

1

H pl HF

1

H pl Rp0,2 / E

1

0,003 430 N/mm / 210000 N/mm 2 2

Berechnung der Kraft FF bei Fließbeginn V max Rp0,2 FF ˜Dk An FF

Rp0,2

Rp0,2 S 2 ˜ ˜d Dk 4

430 N/mm 2 S ˜ ˜ 7mm 2 1,75 4

9 456 N ( S F ˜ F2 )

Berechnung der Kraft Fpl mit Erreichen von Hpl npl Fpl

Fpl FF npl ˜ FF

1,57 ˜ 9 456 N 14 846 N

Die zulässige Kraft (Spl = 1,5) beträgt dann schließlich: F3

Fpl S pl

14 846 N 1,5

9 897 N ( npl ˜ F2 )

1,57

202

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.10 a) Berechnung des axialen Flächenmoments 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Iy

B ˜ B 3 ( B  2s) ˜ ( B  2s)3 b ˜ b 3   12 12 12 4 2 400 833 mm

80 ˜ 803 60 ˜ 603 30 ˜ 303 mm 4  mm 4  mm 4 12 12 12

Berechnung des axialen Widerstandsmomentes bezüglich der y-Achse Wby

Iy B/2



2 400 833 mm 4 40 mm

60 020,8 mm 3

Hinweis: Nur Flächenmomente dürfen addiert oder subtrahiert werden, Widerstandsmomente nicht. b) Möglicher Fließbeginn: Außenoberfläche des Vierkantprofilstabs oder Außenoberfläche des Vierkantrohres, da die Werkstoffe eine unterschiedliche Streckgrenze haben. Die Dehnungsverteilung durch die Biegebeanspruchung ist bei elastischer Beanspruchung linear. Da die beiden Werkstoffe den gleichen E-Modul haben, ist gemäß V = E˜H auch die Spannungsverteilung linear. Berechnung der Spannung an der Stelle z = -15 mm für den Fall des Fließbeginns an der Außenoberfläche des Vierkantrohres d. h. V (z = -40 mm) = Re2 Es gilt (Strahlensatz):

V ( z)

Re2 ˜z  40 mm

Mit z = -15 mm folgt:

V (z

15 mm)

295 N/mm2 ˜ - 15 mm 110,63 N/mm2  40 mm

Da V (z = -15 mm) < Re1 plastifiziert das Vierkantrohr aus E295 (an seiner Außenoberfläche) zuerst. Berechnung der Kraft FF bei Fließbeginn durch Ansetzen der Festigkeitsbedingung

Vb Mb Wby FF

Re2 FF ˜ a Wby Re2 ˜

Wby a

Re2 295 N/mm 2 ˜

60 020,8 mm3 2 000 mm

8 853,1 N

203

7 Kerbwirkung

c) Berechnung von Fpl Es gilt: M

³ V ( z) ˜ z dA

mit:

V ( z)

Re2 ˜ z 0 d z d 30 mm ypl

V ( z)

Re2

 30  z d 40 mm

Das erforderliche Biegemoment Mges bei Fließbeginn des Vierkantrohres errechnet sich zu: M ges

MA  MB  MC

M ges

2 ˜ 10

30

³

 30

2 ˜ 10 ˜

Re2 ˜ z ˜ z dz  30 zpl

295 30

30

³

z 2 dz  30 ˜

 30

15

³

15

 40

Re2 ˜ z ˜ z dz  2 ˜ 80 Re2 ˜ z dz zpl

³

295 30

30

> @

 30  40

15

³z

2

³

dz  2 ˜ 80 ˜ 295 z dz

15 15 3

> @

1 1 1 196,67 ˜ ˜ z 3  295 ˜ ˜ z  47 200 ˜ ˜ 3 3 2  30 15

 30  40 2

>z @

 30

3 540 000 Nmm  663 750 Nmm  16 520 000 Nmm 20 723 750 Nmm

Die Kraft Fpl errechnet sich dann zu: Fpl

M ges a

20 723 750 Nmm 2 000 mm

10 361,9 N

d) Berechnung der Kraft Fpl bei Fließbeginn des Vierkantprofilstabes Der Vierkantstab beginnt zu fließen, sobald gilt:

V (- z 15 mm) Re1 Damit ergibt sich für z*pl unter Anwendung des Strahlensatzes (siehe Abbildung): Re2 Re1 * zpl

* zpl

15 mm 295 N/mm2 ˜ 15 mm 275 N/mm2

16,09 mm

204

7 Kerbwirkung

Es gilt:

V ( z)

Re2 * ˜ z für 0 d z d 16,09 mm ( zpl ) * zpl

V ( z)

Re2

für  16,09  z d 40 mm

Das erforderliche Biegemoment Mges bei Fließbeginn des Vierkantprofilstabes errechnet sich zu: M ges

MA  M B  MC  M D

M ges

2 ˜ 10

16,09

³

16,09

2 ˜ 10 ˜

Re2 ˜ z ˜ z dz  30 * zpl 16,09 2

295 16,09

³

15

³

15

z dz  30 ˜

16,09

Re2 ˜ z ˜ z dz  4 ˜ 10 * zpl

295 16,09

16,09

³

 40

³

³

Re2 ˜ z dz  2 ˜ 80 Re2 ˜ z dz

16,09

 30  30

15

z 2 dz  4 ˜ 10 ˜ 295

15

³

 40

³

z dz  2 ˜ 80 ˜ 295 z dz

16,09  30

15

> @

 30

> @

> @

1 1 1 1 366,69 ˜ ˜ z 3  550,03 ˜ ˜ z 3  11800 ˜ ˜ z 2  47 200 ˜ ˜ 3 16,09 3 2 2 15 16,09

 30  40 2

>z @

 30

1 018 293,2 Nmm  1 237 569,9 Nmm  3 782 560,2 Nmm  16 520 000 Nmm 22 558 423,3 Nmm

Die Kraft Fpl errechnet sich dann zu: M ges

22 558 423,2 Nmm 2 000 mm a e) Berechnung der Kraft Fvpl mit Erreichen des vollplastischen Zustandes Fpl*

11 279,2 N

Im vollplastischen Zustand herrscht im gesamten Vierkantrohr die Spannung Re2, im Vierkantprofilstab hingegen die Spannung Re1. Damit errechnet sich das Biegemoment Mvpl für den vollplastischen Zustand zu: M v pl

M v pl A  M v pl B  M v pl C  30

M v pl

2 ˜ 2 ˜ 10

³R

e2

 40

15

³

³

˜ z dz  2 ˜ 80 Re2 ˜ z dz  2 ˜ 30 Re1 ˜ z dz  30

0

 30

2 ˜ 2 ˜ 10 ˜ 295

³

0  30 2

> @

0

 40

15

³

³

z dz  2 ˜ 80 ˜ 295 z dz  2 ˜ 30 ˜ 275 z dz

1 1 11800 ˜ ˜ z  47 200 ˜ 2 2 0

 30  40 2

>z @

1  16 500 ˜ ˜ 2  30

0 15 2

>z @

0

205

7 Kerbwirkung

5 310 000 Nmm  1 856 250 Nmm  16 520 000 Nmm 23 686 250 Nmm

Die Kraft Fvpl errechnet sich dann zu:

Fv pl

M v pl a

23 686 250 Nmm 2 000 mm

11 843,1 N

f) Bauteilfließkurve Zur Ermittlung der Bauteilfließkurve muss zu den in Aufgabenteil b) bis e) berechneten Kräften die zugehörige Dehnung am Außenrand des Vierkantrohres ermittelt werden. Vierkantrohr beginnt zu fließen (aus Aufgabenteil b):

H 1 { H F2

Re2 E2

295 N/mm 2 209 000 N/mm 2

0,001411 1,411 ‰

Vierkantrohr ist bis zpl = -30 mm plastifiziert: H2 B / 2 zpl H F2

H2

 B/2 ˜ H F2 zpl

 40 ˜ 1,411 ‰  30

1,881 ‰

*

Vierkantrohr ist bis z pl = -16,09 mm plastifiziert (Vierkantprofilstab beginnt zu fließen):

H3 H F2 H3

B / 2 * zpl  B/2 ˜ H F2 * zpl

 40 ˜ 1,411 ‰  16,09

Vollplastischer Zustand: H v pl f Wertetabelle und Diagramm für Bauteilfließkurve H 1) ‰ 1,411 1,881 3,508 v 1)

F N 8853,1 10361,9 11279,2 11843,1

Außenrand Vierkantrohr

3,508 ‰

206

7 Kerbwirkung

Lösung zu Aufgabe 7.11 a) Zuordnung der Dehnungsanzeigen zu den einzelnen Messstellen DMS A

DMS B

F1

HzA

HzB

Messstelle DMS C HzC = -μ˜HzA

F2

0 1)

0 1)

0 1)

HbD= -HbE

HbE

Mt

0

HtB

0

0

0

Belastung

1)

DMS D

DMS E

HzD = HzA

HzE = HzA

neutrale Faser

Dehnungsmessstreifen A wird nur durch die Zugkraft F1 beansprucht (siehe Tabelle). Es gilt daher:

Vz

E ˜HA

F1

S 4

˜d

F1

E ˜HA

2

S

˜ d 2 ˜ E ˜HA

4

S 4

˜ 16 mm 2 ˜ 205 000 N/mm 2 ˜ 0,0016

65 948 N

b) Die Dehnungsmessstreifen D und E verformen sich nur durch die Beanspruchung aus F1 (Zug) und Mb (Biegebeanspruchung infolge F2). Die Verformungen durch die einzelnen Beanspruchungen können linear superponiert werden. Es gilt:

H D H zD  H bD H zA  H bE und H E H zE  H bE H zA  H bE

(1) (2)

Aus Gleichung 1 und 2 folgt für die Dehnung HbE aufgrund der Biegebeanspruchung durch F2: H E  H D 1,80 ‰  1,40 ‰ H bE 0,20 ‰ 2 2 Berechnung der Biegespannung (Hookesches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand):

Vb Mb Wb

E ˜ H bE E ˜ H bE

F2 ˜ a  b F2

S 32

˜ d 3 ˜ E ˜ H bE

d3 ˜ E ˜ H bE 32 a  b

S

˜

S 32

˜

16 mm 3 ˜ 205 000 N/mm 2 ˜ 0,0002 55 - 30 mm

659,5 N

207

7 Kerbwirkung

c) Es liegt eine 0°-45°90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohrsche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden. Die Schiebung Jxy { Jt mit der x-Richtung als Bezug kann nur durch das Torsionsmoment Mt, d. h. durch die Torsionsschubspannung Wt verursacht werden. Berechnung der Schiebung Jxy { Jt

Jt 2

Jt

§ H  HC · H M  H B ¨ A  HB ¸ 2 © ¹ H A  H C  2 ˜ H B 1,60 ‰   0,48 ‰  2 ˜ 0,00 ‰ 1,12 ‰

Elastizitätsgesetz für Schubbeanspruchung

Wt

205 000 N/mm 2 ˜  0,00112 88,31 N/mm 2 2 ˜ 1  0,30

E ˜J t 2 ˜ 1  P

G ˜J t

Berechnung des Torsionsmomentes Mt

Wt Mt

Mt Wt

W t ˜ Wt

Wt ˜

S 16

˜d3

88,31 N/mm 2 ˜

S 16

˜ 16 mm 3

71 021 Nmm

71,02 Nm

Die Schubspannung Wt bzw. das Torsionsmoment Mt führen für Jxy ({ Jt) zu einer Winkelverkleinerung entsprechend der Abbildung. Damit ist die Drehrichtung des Torsionsmomentes Mt bei Blick von rechts auf den Wellenzapfen im Uhrzeigersinn (also entgegen der Richtung der eingezeichneten Momentenpfeile in der Aufgabenstellung). d) Berechnung der Nennspannungen

V zn

F1 An

V bn

Mb Wbn

W tn

Mt Wtn

4 ˜ F1 S ˜d2

F2 ˜ a

S

4 ˜ 65948 N

S ˜ 16 mm 2

328,00 N/mm 2

659,5 N ˜ 55 mm

S

90,20 N/mm 2

˜d3 ˜ 16 mm 3 32 32 Mt 71021 Nmm 88,31 N/mm 2 S 3 S ˜d ˜ 16 mm 3 16 16

208

7 Kerbwirkung

Ermittlung der Formzahlen D 24 1,5 d 16 R 2 0,125 d 16 Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kz 1,75 D kb 1,58 D kt 1,32 Berechnung der maximalen Spannungen

V z max

V zn ˜ D kz

327,99 N/mm 2 ˜ 1,75 574,00 N/mm 2

V b max

V bn ˜ D kb

90,20 N/mm 2 ˜ 1,58 142,52 N/mm 2

W t max

W tn ˜ D kt

88,31 N/mm 2 ˜ 1,32 116,57 N/mm 2

Da es sich um eine Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion handelt, ergibt sich die Vergleichsspannung nach der SH zu (siehe Gleichung 6.14 im Lehrbuch):

V V SH

V z max  V b max 2  4 ˜ W t2max

574,00  142,12 2  4 ˜ 116,57 2 N/mm 2

753,49 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V V SH SF

Rp0,2 SF Rp0,2

V V SH

800 N/mm 2 753,49 N/mm 2

1,06 (nicht ausreichend, da S F  1,20)

209

8 Knickung 8.1 Formelsammlung zur Knickung Eulersche Knickfälle - Knickkraft

Knickspannung

VK

FK A

Knickspannung

Zulässige Spannungen Duktile Werkstoffe

V zul V zul

V dF SF

bzw.

VK SK

V d0,2 SF

mit SF = 1,2 ... 2,0

Versagen durch Fließen

mit SK = 2,5 ... 5,0

Versagen durch Knickung

mit SB = 4,0 ... 9,0

Versagen durch Bruch

mit SK = 2,5 ... 5,0

Versagen durch Knickung

Spröde Werkstoffe

V zul

V zul

V dB SB

VK SK

210

8 Knickung

Knicklänge

lK = 2 ˜ l

lK | 0,7 ˜ l

lK = l

Schlankheitsgrad

O

lK

Schlankheitsgrad (Definition)

I/A

Knickspannungsdiagramm

VK

S2 ˜E O2

Euler-Kurve

VK

a  b ˜ O  c ˜ O2

TetmajerGerade 1)

OG

S˜

E

V dP

Grenzschlankheitsgrad für elastische Knickung

Biegeknickung

V ges

1)

F  A

F ˜e §l F Wb ˜ cos¨ K ˜ ¨ 2 E˜I ©

· ¸ ¸ ¹

Koeffizienten der Tetmajer-Gleichung siehe Lehrbuch Kapitel 8.5.

lK = 0,5 ˜ l

8 Knickung

211

8.2 Aufgaben Aufgabe 8.1

{{{zz

Ein beidseitig gelenkig gelagerter Profilstab aus dem Vergütungsstahl C22 mit einer Länge von l = 2 m und einer quadratischen Querschnittsfläche (a = 50 mm) wird durch die im Flächenschwerpunkt angreifende, statisch wirkende Druckkraft Fd = 50 kN mittig beansprucht. Werkstoffkennwerte C22 (vergütet): Rp0,2 = 320 N/mm2 Rm = 460 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 Berechnen Sie die Knickkraft FK sowie die Sicherheit gegen Knickung (SK) und gegen Fließen (SF).

Aufgabe 8.2

{{zzz

Ein Profilstab aus der unlegierten Baustahlsorte S275JR mit einer Länge von l = 1200 mm und der dargestellten Querschnittsfläche, wird durch eine im Flächenschwerpunkt S angreifende Druckkraft Fd statisch beansprucht. Der Profilstab ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Werkstoffkennwerte S275JR: Re = 255 N/mm2 Rm = 510 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Berechnen Sie für den dargestellten Querschnitt die axialen Flächenmomente 2. Ordnung bezüglich der y-Achse (Iy) sowie bezüglich der z-Achse (Iz). b) Ermitteln Sie die zulässige Druckbelastung Fd des Profilstabes (SK = 4 und SF = 1,5). c) Berechnen Sie die Verkürzung 'l des Profilstabes unmittelbar vor dem Versagen.

212

8 Knickung

Aufgabe 8.3

{{zzz

Die Abbildung zeigt eine einfache hydraulische Hebevorrichtung bestehend aus Tragarm (T), einer beidseitig gelenkig gelagerten Kolbenstange (K) und einem Hydraulikzylinder (Z). Durch Veränderung des Drucks im Zylinder kann die Masse m am Ende des Tragarms angehoben oder abgesenkt werden. Das Eigengewicht von Tragarm und Kolbenstange darf vernachlässigt werden. Werkstoffkennwerte: Werkstoffkennwerte Re

[N/mm2] 2

Tragarm (S235JR) 235

Kolbenstange (C35E)

Zylinder (EN-GJL-350)

355

---

Rm

[N/mm ]

360

470

350

E

[N/mm2]

210000

210000

115000

μ

[-]

0,30

0,30

0,26

a) Berechnen Sie die Druckkraft Fd auf die Kolbenstange, falls die an den Tragarm angehängte Masse m = 1000 kg beträgt. b) Ermitteln Sie die Sicherheiten gegen Fließen (SF) und Knickung (SK) für die beidseitig gelenkig gelagerte Kolbenstange (K). Sind die Sicherheiten ausreichend? c) Berechnen Sie für die höchst beanspruchte Stelle des Tragarms (T) das Biegemoment Mb max. Berechnen Sie außerdem das Maß a des I-Profils des Tragarms, so dass die Sicherheit gegen Fließen an der höchst beanspruchten Stelle SF = 1,5 beträgt.

8 Knickung

Aufgabe 8.4

213 {{zzz

Der dargestellte Wandkran ist an seinem linken Ende gelenkig gelagert. An seinem freien, rechten Ende greift eine statisch wirkende Kraft F = 800 kN an. Der Kranausleger wird durch einen Stützstab aus unlegiertem Baustahl (S235JR) abgestützt und kann als beidseitig gelenkig gelagert angesehen werden. Werkstoffkennwerte S235JR: Re = 235 N/mm2 Rm = 440 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Berechnen Sie die Druckkraft Fd, die auf den Stützstab wirkt. b) Bestimmen Sie für die Querschnittsfläche des Stützstabes das axiale Flächenmoment 2. Ordnung bezüglich der y-Achse (Iy). c) Ermitteln Sie für den Stützstab die Sicherheiten gegen Fließen und gegen Knickung. Sind die Sicherheiten ausreichend?

Aufgabe 8.5 Eine Stahlstütze aus der unlegierten Baustahlsorte S235JR mit kreisförmigem Querschnitt (di = 50 mm; s = 5 mm) und einer Länge von l = 2500 mm wird durch die statisch wirkende, mittig angreifende Druckkraft F beansprucht. Die Stahlstütze kann an ihrem unteren Ende als fest eingespannt, an ihrem oberen Ende hingegen als frei beweglich betrachtet werden. Am oberen Ende der Stütze wurde außerdem eine Druckplatte montiert, die mittels eines Bolzens mit der Stütze verbunden ist. Der Bolzen aus dem unlegierten Vergütungsstahl C45E hat einen Vollkreisquerschnitt. Werkstoffkennwerte: S235JR: Re = 235 N/mm2 Rm = 380 N/mm2 A = 26 % E = 210000 N/mm2 C45E: Rp0,2 = 310 N/mm2 Rm = 620 N/mm2 WaB = 490 N/mm2 A = 16 %

{{{zz

214

8 Knickung

a) Berechnen Sie die zulässige Druckkraft Fd, damit Fließen der Stahlstütze mit einer Sicherheit von SF = 1,5 ausgeschlossen werden kann. b) Ermitteln Sie die Druckkraft Fd*, die zu einer Knickung der Stahlstütze führt. c) Berechnen Sie den erforderlichen Durchmesser d des Bolzens, damit bei einer Belastung von F = 25 kN ein Abscheren mit einer Sicherheit von SB = 2,0 ausgeschlossen werden kann.

Aufgabe 8.6

{{{zz

Ein Wendelbohrer (Durchmesser d = 12 mm) aus Schnellarbeitsstahl HS 6-5-2 (E = 208000 N/mm2) hat den in der Abbildung dargestellten idealisierten Querschnitt. Ermitteln Sie die maximale Länge l des Bohrers, damit die Knickkraft FK mindestens 2 kN beträgt. Hinweis: Das kleinste Flächenmoment 2. Ordnung (bezüglich der z-Achse) ergibt sich für den idealisierten Querschnitt zu: Iz

d4 §S · ˜ ¨  1¸ 64 © 2 ¹

Aufgabe 8.7

{{zzz

Die Stütze eines Stahlgerüsts aus Werkstoff S275J0 hat einen Kreisringquerschnitt und soll eine axiale Druckkraft von F = 150 kN aufnehmen. Die Länge der Stütze beträgt l = 1500 mm und der Außendurchmesser da = 100 mm. Die Stütze kann an ihrem unteren Ende als fest eingespannt und am oberen Enden als frei beweglich betrachtet werden. a) Berechnen Sie die mindestens erforderliche Wandstärke s, damit die Belastung von F = 150 kN mit der notwendigen Sicherheit (SF = 1,5 und SK = 3,0) ertragen werden kann. Die Druckkraft F soll zunächst als mittig angreifend (e = 0) betrachtet werden. b) Aufgrund von Montageungenauigkeiten ist es möglich, dass die Druckkraft außermittig angreift (e z 0). Bestimmen Sie die maximal zulässige Exzentrizität e, damit eine Sicherheit von SF = 1,2 gegen Fließen gegeben ist. Die Wandstärke der rohrförmigen Stütze soll s = 5 mm betragen. Werkstoffkennwerte S275J0: Re = 290 N/mm2 Rm = 560 N/mm2 E = 208000 N/mm2

8 Knickung

Aufgabe 8.8

215 {{{{z

Für ein Baugerüst werden Rohrstützen aus S235JR (Re = 240 N/mm2; Rm = 420 N/mm2 und E = 210000 N/mm2) verwendet. Die Länge der Stützen beträgt l = 3,50 m, der Außendurchmesser da = 60 mm und die Wandstärke s = 5 mm. Die Stützen werden statisch auf Druck beansprucht und sind so eingebaut, dass beide Enden als fest eingespannt betrachtet werden können (SF = 1,5; SK = 4,0). a) Berechnen Sie ist die zulässige Druckkraft Fd auf die Rohrstütze. b) Ermitteln Sie die Verkürzung 'l der Rohrstütze für die zulässige Belastung aus Aufgabenteil a).

Aufgabe 8.9 Ein warm gewalzter Stahlträger (IPE 300) aus S235JR hat eine Länge von l = 3,5 m und wird durch eine statisch wirkende, mittig angreifende, axiale Druckkraft F = 1300 kN belastet. Der Träger ist an seinem unteren Ende in einer Kugelpfanne gelagert und am oberen Ende vertikal geführt. Ermitteln Sie die Sicherheiten gegen Versagen. Werkstoffkennwerte: Re = 300 N/mm2 Rm = 530 N/mm2 E = 210000 N/mm2 Kenndaten zum Stahlträger (IPE 300): h = 300 mm b = 150 mm A = 53,8 cm2 Iy = 8360 cm4 Ix = 604 cm4

{{{zz

216

8 Knickung

8.3 Lösungen Lösung zu Aufgabe 8.1 Berechnung der Knickkraft (Knickfall 2) FK

S2˜

E˜I l2

S2˜

E a4 ˜ l 2 12

S2˜

210 000 N/mm 2

2000 mm 2

˜

50 mm 4 12

269 872 N

Berechnung der Sicherheit gegen Knickung Festigkeitsbedingung:

V d d V zul

VK SK

Fd A

FK 1 ˜ A SK

SK

FK Fd

269 872 N 50 000 N

5,40 (ausreichend, da S K ! 2,5)

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung: V d0,2 Rp0,2 V d d V zul | SF SF Fd A SF

Rp0,2 SF Rp0,2 Fd

˜A

Rp0,2 Fd

˜ a2

320 N/mm 2 ˜ 50 mm 2 50000 N

16 (ausreichend, da S F ! 1,20)

217

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.2 a) Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung der Teilflächen bezüglich der zur y-Achse parallelen Achsen durch die Teilflächenschwerpunkte: I y1 I y2 I y3

40 mm ˜ (15 mm)3 12 50 mm ˜ (25 mm)3 12 10 mm ˜ (15 mm)3 12

11 250 mm 4 65104,2 mm 4 2812,5 mm 4

Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung der Teilflächen bezüglich der y-Achse durch den Gesamtflächenschwerpunkt S: I y S1

I y1 11 250 mm 4

I y S2

I y2

I y S3

2 I y3  zS3 ˜ A3

65104,2 mm 4 2 812,5 mm 4  (20 mm) 2 ˜ 150 mm 2

62 812,5 mm 4

Das axiale Flächenmoment 2. Ordnung der Gesamtfläche bezüglich der y-Achse ergibt sich dann zu: I yS

I y S2  I y S1  2 ˜ I y S3

65 104,2 mm 4  11 250 mm 4  2 ˜ 62 812,5 mm 4

179 479,2 mm 4

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der z-Achse Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung der Teilflächen bezüglich der zur z-Achse parallelen Achsen durch die Teilflächenschwerpunkte: I z1 I z2 I z3

15 mm ˜ (40 mm)3 80 000 mm 4 12 25 mm ˜ (50 mm)3 260 416,7 mm 4 12 15 mm ˜ (10 mm)3 1 250 mm 4 12

Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung der Teilflächen bezüglich der z-Achse durch den Gesamtflächenschwerpunkt S: I z S1

I z1

80 000 mm 4

I z S2

I z2

260 416,7 mm 4

I z S3

I z3

1 250 mm 4

218

8 Knickung

Das axiale Flächenmoment 2. Ordnung der Gesamtfläche bezüglich der z-Achse ergibt sich dann zu: I zS

I z S2  I z S1  2 ˜ I z S3

260 416,7 mm 4  80 000 mm 4  2 ˜ 1 250 mm 4

182 916,7 mm 4

b) Versagensfall Knickung (Knickfall 2) Ausknicken erfolgt senkrecht zu derjenigen Querschnittachse mit dem kleinsten axialen Flächenmoment 2. Ordnung. Gemäß Aufgabenteil a) gilt dann: Imin = IyS. Festigkeitsbedingung:

VK

V d d V zul Fd A

SK

FK 1 ˜ A SK

S2 ˜ Fd

E ˜ I yS

S 2 ˜ 210 000 N/mm 2 ˜ 179 479,2 mm 4

l2

1200 mm 2 ˜ 4

SK

64 582 N

Versagensfall Fließen Festigkeitsbedingung: V d d V zul Fd A

V dF SF

|

Re SF

Re 255 N/mm 2 ˜ 950 mm 2 ˜A 161 500 N 1,5 SF Die zulässige Druckkraft beträgt also 64582 N. Fd

c) Berechnung der Kräfte die zum Versagen führen durch Fließen: FF = 1,5 ˜ 161 500 N = 242 250 N durch Knickung: FK = 4 ˜ 64 582 N = 258 328 N Versagen erfolgt also durch Fließen, sobald die Druckkraft Fd die Kraft FF = 242 250 N überschreitet. Berechnung der Verkürzung des Profilstabes mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

Vd

E ˜ H

'l



V d ˜ l0 E

E ˜ 

'l l0

Fd l0 ˜ A E



242 250 N 1 200 mm ˜ 950 mm 2 210 000 N/mm 2

1,46 mm

219

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.3 a) Berechnung der Druckkraft auf die Kolbenstange Freischneiden des Tragarmes und Ansetzen des Momentengleichgewichts um den Lagerpunkt A:

¦M

A

0

Fd ˜ b  m ˜ g ˜ a m˜ g ˜

Fd

a b

0 1000 kg ˜ 9,81 m/s 2 ˜

2500 mm 1000 mm

24 525 N

b) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung:

V d d V zul Fd V dF A

SF

|

Re SF

Fd

S 4 SF



˜ d a2  d i2

Re SF



Re S ˜ ˜ d a2  d i2 Fd 4





355 N/mm 2 ʌ ˜ ˜ 252  20 2 mm 2 24 525 N 4





2,56 (ausreichend, da S F ! 1,20)

Berechnung der Sicherheit gegen Knickung (Knickfall 2) Festigkeitsbedingung:

V d d V zul

VK SK

Fd A

FK 1 ˜ A SK

SK

FK Fd

E˜I l2 Fd

S2 ˜

S2 ˜E˜

S



˜ d a4  d i4 64 Fd ˜ l 2







ʌ ˜ 254  20 4 mm 4 64 24 525N ˜ 900 mm 2

S 2 ˜ 210 000 N/mm 2 ˜

1,18 (nicht ausreichend, da S K  2,5)

220

8 Knickung

c) Berechnung des Biegemomentes an der höchst beanspruchten Stelle Das maximale Biegemoment befindet sich an der Stelle B: M b max

m ˜ g ˜ a  b 1000 kg ˜ 9,81 m/s 2 ˜ 2500 mm - 1000 mm 14 715 000 Nmm 14 715 Nm

Berechnung des erforderlichen axialen Widerstandsmomentes Festigkeitsbedingung:

V b d V b zul M b max

V bF

Wby

SF

Wby

M b max ˜

|

Re SF

SF Re

14 715 000 Nmm ˜

1,5 235 N/mm 2

93 925,5 mm3

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Iy

a ˜ h13 a  t h23 a ˜ 96 mm 3 a  12 mm 72 mm 3  2˜ ˜  2˜ ˜ 12 2 12 12 2 12 a ˜ 73728 mm3  31104 mm3 ˜ (a  12 mm) a ˜ 42 624 mm3  373248 mm 4

Damit folgt für das Maß a des axialen Widerstandsmomentes bezüglich der y-Achse (Wby): W by

Iy h1 / 2

a ˜ 42 624 mm 3  373248 mm 4 96 mm / 2

888 mm 2 ˜ a  7 776 mm 3

Mit Wby = 93925,5 mm3 folgt schließlich für a: a

93 925,5 mm3  7 776 mm3 888 mm 2

97,0 mm

221

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.4 a) Berechnung der Druckkraft auf den Stützstab Freischneiden des Kranauslegers und Ansetzen des Momentengleichgewichts um den Lagerpunkt A:

¦M

A

0

Fdy ˜ b  Fdx ˜ c  F ˜ a

0

Fd ˜ cos 45q ˜ b  Fd ˜ sin 45q ˜ c  F ˜ a Fd

F ˜a cos 45q ˜ b  sin 45q ˜ c 800 000 N ˜ 2 000 mm 2 2 ˜ 1 200 mm  ˜ 200 mm 2 2 1 616,2 kN

0

1 616 244,1 N

b) Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung der Querschnittfläche des Stützstabes bezüglich der y-Achse Iy

250 mm 4  2 ˜ 117,5 mm ˜ 220 mm 3

12 116 997 500 mm 4

12 11 699,75 cm 4

c) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung:

V d d V zul Fd V dF

|

A

SF

SF

Re ˜ A Fd

Re SF

mit A

250 mm 2  2 ˜ 117,5 mm ˜ 220 mm

235 N/mm 2 ˜ 10 800 mm 2 1 616 244,1 N

1,57 (ausreichend, da S F ! 1,20)

Berechnung der Sicherheit gegen Knickung (Knickfall 2) Festigkeitsbedingung:

V d d V zul Fd A

SK

VK SK

FK 1 ˜ A SK FK Fd

S2˜

E ˜ Iy l2

S 2 ˜ 210 000 N/mm 2 ˜116 997 500 mm 4

1616 244,1 N ˜ 1650 mm 2 55,1 (ausreichend, da S K ! 2,5) Fd

10 800 mm 2

222

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.5 a) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung:

V d d V zul Fd V dF A Fd

|

SF

Re SF

Re S ˜ ˜ d a2  d i2 SF 4





235 N/mm 2 ʌ ˜ ˜ 60 2  50 2 mm 2 1,5 4





135 350 N 135,35 kN

b) Berechnung der Sicherheit gegen Knickung (Knickfall 1) Festigkeitsbedingung:

Vd d VK Fd* A Fd*

FK A

S2 E˜I

FK

S2 4

4

˜

l2

S2 4

E˜ ˜

S 64



˜ d a4  d i4



l2





ʌ ˜ 60 4  50 4 mm 2 64 2 500 mm 2

210 000 N/mm 2 ˜ ˜

c) Ansetzen der Festigkeitsbedingung:

W a d W zul W aB F 2˜ A 2˜ F S ˜d2

SB

W aB SB

Damit folgt für den Durchmesser d des Bolzens: d

2 ˜ F ˜ SB S ˜ W aB

2 ˜ 25 000 N ˜ 2,0 S ˜ 490 N/mm 2

8,06 mm

27 307 N

27,307 kN

223

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.6 Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der z-Achse (Iz = Imin) Iz

d4 §S · ˜ ¨  1¸ 64 © 2 ¹

12 mm 4 ˜ § S 64

· 4 ¨  1¸ 184,9 mm 2 © ¹

Berechnung Knickkraft Es handelt sich um Knickfall 3, da ein Ende des Wendelbohrers in der Maschine als fest eingespannt und das andere Ende am Werkstück als gelenkig gelagert angesehen werden kann. Letztere Annahme ist plausibel, da bereits bei geringer Druckbelastung die Bohrerspitze in den Werkstoff eindringt, so dass eine seitliche freie Beweglichkeit des Bohrers (würde Knickfall 1 entsprechen) nicht mehr gegeben ist. Bedingung: FK t 2000 N 2S 2 ˜

E ˜ Iz t 2000 N l2

ld

2S 2 ˜ E ˜ I z 2 000 N

2S 2 ˜ 208 000 N/mm 2 ˜ 184,9 mm 4 2 000 N

616,2 mm

224

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.7 a) Versagensfall Fließen Festigkeitsbedingung:

V d d V zul F V dF A

SF

Re SF

|

Re SF

F

S 4



˜ d a2  d i2 d a2 

di



4 ˜ F ˜ SF S ˜ Re

100 mm 2  4 ˜ 150 000 N ˜ 1,5 2

94,93 mm

ʌ ˜ 290 N/mm

Berechnung der erforderlichen Wanddicke s: d a  d i 100 mm  94,93 mm 2,53 mm s 2 2 Versagensfall Knickung (Knickfall 1) Festigkeitsbedingung:

VK

V d d V zul F A F

di

SK

FK 1 ˜ A SK

S 2 E˜I 4 4

˜

l

d a4 

2

˜

1 SK

S2 E S 4

˜

256 ˜ F ˜ l 2 ˜ S K 3

l

2

˜

64



S1

˜ d a4  d i4 ˜

K



S 3 ˜ E ˜ d a4  d i4



2

256 ˜ l ˜ S K

100 mm 4  256 ˜1503 000 N ˜ 1500 mm2

2

4

S ˜E

˜ 3,0

ʌ ˜ 208 000 N/mm

87,94 mm

Berechnung der erforderlichen Wanddicke s: d a  d i 100 mm  87,94 mm 6,03 mm s 2 2 b) Berechnung der Gesamtspannung aus Druck und Biegung (Gleichung 8.50, siehe Lehrbuch):

V ges

F  A

F ˜e § lK F Wb ˜ cos¨ ˜ ¨ 2 E ˜I ©

· ¸ ¸ ¹

mit l K

2 ˜ l (Knickfall 1)

225

8 Knickung

Festigkeitsbedingung:

V ges d V zul F  A

e

Re SF

F ˜e § lK F Wb ˜ cos¨ ˜ ¨ 2 E ˜I ©

· ¸ ¸ ¹

Re SF

§l § Re F · F ·¸ ¨¨  ¸¸ ˜ Wb ˜ cos¨ K ˜ ¨ 2 E ˜ I ¸¹ © SF A ¹ © F ª§ · ¸ ʌ 100 4  90 4 «¨ 290 N/mm 2 1 150 000 N ¸˜ mm 3  ˜ «¨ ʌ 150 000 N «¨ 1,2 100 2 2 2 ¸ 32 ˜ 100  90 mm ¸ ¨ «¬© 4 ¹





·º § ¸» ¨ 3000 mm 150 000 N ¸» ˜ cos ¨ ˜ ¨ 2 2 ʌ 4 4 4 ¸» 208 000 N/mm ˜ ˜ 100  90 mm ¸ ¨ 64 ¹»¼ ©





17,69 mm

226

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.8 a) Die Rohrstütze kann durch Fließen oder Knickung versagen. Versagensfall Fließen Festigkeitsbedingung:

V d d V zul F V dF A F

SF A˜

S 4

|

Re SF

S

Re SF

4





˜ d a2  d i2 ˜





˜ 60 2  50 2 mm 2 ˜

Re SF

mit d i

240 N/mm 2 1,5

da  2 ˜ s 138 200 N

138,2 kN

Versagensfall Knickung (Knickfall 4) Festigkeitsbedingung:

VK

V d d V zul F A F

SK

FK 1 ˜ A SK E˜I 1 4S 2 ˜ 2 ˜ SK l

2

E˜

4S ˜

210 000 N/mm 2

S 64



˜ d a4  d i4 l

S



2



˜

1 SK



˜ 60 4  50 4 mm 4 1 64 ˜ 2 4 3500 mm

2

4S ˜

55 728 N

55,73 kN

Die zulässige Druckkraft beträgt also Fd = 55,73 kN. b) Berechnung der Verkürzung der Rohrstütze mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (einachsiger Spannungszustand)

Vd

E ˜ H

'l



V d ˜ l0 E

E ˜ 

'l l0

Fd l0 ˜ A E



55 728 N

S 4





˜ 60 2  50 2 mm 2

˜

3 500 mm 210 000 N/mm 2

1,075 mm

227

8 Knickung

Lösung zu Aufgabe 8.9 Der Stahlträger kann durch Fließen oder Knickung versagen. Versagensfall Fließen Festigkeitsbedingung:

V d d V zul F V dF

|

A

SF

SF

Re ˜ A F

Re SF 300 N/mm 2 ˜ 5 380 mm 2 1300 000 N

1,24 (ausreichend, da S K ! 1,20)

Berechnung der Sicherheit gegen Knickung (Knickfall 3) Festigkeitsbedingung:

V d d V zul

VK SK

F A

FK 1 ˜ A SK

SK

FK F

2S 2 ˜

E ˜ I min l2 F

2S 2 ˜ 210 000 N/mm 2 ˜ 604 ˜ 10 4 mm 4 1300 000 N ˜ 3 500 mm 2

1,57 (nicht ausreichend, da S K  2,5)

228

9 Schiefe Biegung 9.1 Formelsammlung zur Schiefen Biegung Flächenmomente 1. Ordnung

³ z ˜ dA A

Flächenmoment 1. Ordnung bezüglich der y-Achse

³ y ˜ dA

Flächenmoment 1. Ordnung bezüglich der z-Achse

Hy

Hz

A

Flächenmomente 2. Ordnung Axiale Flächenmomente Iy

³z

2

˜ dA

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung bezüglich der y-Achse

³y

2

˜ dA

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung bezüglich der z-Achse

A

Iz

A

Polares Flächenmoment Ip

³r

2

˜ dA

Polares Flächenmoment

A

Gemischtes Flächenmoment I yz

³

 y ˜ z ˜ dA A

Gemischtes Flächenmoment bezüglich des y-z-Koordinatensystems

Parallelverschiebung des Koordinatensystems Axiales Flächenmoment I y'

I y  zS2 ˜ A

Axiales Flächenmoment 2. Ordnung bei einer Parallelverschiebung der Koordinatenachsen

Gemischtes Flächenmoment I y'z'

I yz  yS ˜ zS ˜ A Gemischtes Flächenmoment bei einer Parallelverschiebung der Koordinatenachsen

Anmerkungen zum gemischten Flächenmoment: 1. Das gemischte Flächenmoment ist in Bezug auf ein die Symmetrieachse beinhaltendes Koordinatensystem Null. 2. Das gemischte Flächenmoment ändert seinen Betrag nicht, falls nur eine Achse parallel verschoben wird.

229

9 Schiefe Biegung

Drehung des Koordinatensystems um den Flächenschwerpunkt IȘ I]

Iy  Iz 2 Iy  Iz 2



Iy  Iz



Iy  Iz

2 I y  Iz 2

˜ cos 2M  I yz ˜ sin 2M ˜ cos 2M  I yz ˜ sin 2M

˜ sin 2M  I yz ˜ cos 2M

I Ș]



M 1;2

§ 2 ˜ I yz 1 ˜ arctan¨ ¨ Iy  Iz 2 ©

2

· ¸ ¸ ¹

Richtungswinkel zwischen der y-Achse und der ersten bzw. zweiten Hauptachse

M 2;1 M 1;2  90q Hauptflächenmomente I1

I2

I y  Iz

2

I y  Iz

2

2

Maximales Flächenmoment 2. Ordnung (Hauptflächenmoment)

2

Minimales Flächenmoment 2. Ordnung (Hauptflächenmoment)

§ Iy  Iz · 2 ¸  I yz  ¨¨ ¸ 2 © ¹ § Iy  Iz · 2 ¸  I yz  ¨¨ ¸ 2 © ¹

Spannungsermittlung bei schiefer Biegung 1. Ermittlung der Lage der beiden Hauptachsen (1) und (2) der Querschnittfläche sowie der zugehörigen Hauptflächenmomente I1 und I2. 2. Festlegung eines a-b-Koordinatensystems: Die a-Koordinatenrichtung soll mit der Richtung der großen Hauptachse (a { (1)), die b-Koordinatenrichtung mit der kleinen Hauptachse zusammenfallen (b { (2)). Die bRichtung muss dabei aus der a-Richtung durch eine Drehung um 90° im mathematisch positiven Sinn (Gegenuhrzeigersinn) hervorgehen. 3. Einführung des Richtungswinkels D zwischen der aAchse und dem Biegemomentenvektor Mb. Der Winkel wird von der positiven a-Achse aus abgetragen und ist im mathematisch positiven Sinn positiv und in die Gegenrichtung negativ zu berücksichtigen.

230

9 Schiefe Biegung

§ cos D sin D · ˜b  ˜ a ¸¸ M b ˜ ¨¨ I2 © I1 ¹

Vx

Resultierende Biegespannung in einem Flächenelement dA (Koordinaten a und b bezüglich des Hauptachsensystems)

Nulllinie I1 ˜ tan D ˜ a I2

b( a )

E

Gleichung der Nulllinie im a-b-Koordinatensystem

§I · Winkel zwischen arctan¨¨ 1 ˜ tan D ¸¸ a-Achse und Null© I2 ¹ linie

Ermittlung der maximalen Biegespannung mit Hilfe der Nulllinie

V x max mit

M bN ˜ cmax IN

M bN

und I N

Maximale Biegespannung in der Querschnittfläche

M b ˜ cosE  D I1  I 2 I 1  I 2  ˜ cos 2 E 2 2

231

9 Schiefe Biegung

9.2 Aufgaben Aufgabe 9.1

{{zzz

Die Abbildung zeigt einen einseitig eingespannten Kastenträger mit Rechteckquerschnitt aus einem vergüteten Feinkornbaustahl (S890QL). Der Träger wird durch eine unter dem Winkel M = 30° schräg zur z-Achse angreifende Kraft F = 100 kN auf Biegung beansprucht. Die Wirkungslinie der Kraft geht durch den Flächenschwerpunkt. Schubspannungen durch Querkräfte, das Eigengewicht des Kastenträgers sowie eine eventuelle Kerbwirkung am Einspannquerschnitt sind zu vernachlässigen. Werkstoffkennwerte S890QL: Re = 890 N/mm2 Rm = 1050 N/mm2 E = 210000 N/mm2 P = 0,30 Abmessungen: l = 5000 mm h = 300 mm b = 200 mm

s = 20 mm

a) Ermitteln Sie die Lage der beiden Hauptachsen für die gegebene Querschnittsfläche. b) Berechnen Sie die axialen Flächenmomente zweiter Ordnung bezüglich der beiden Hauptachsen (Hauptflächenmomente I1 und I2). c) Ermitteln Sie die Lage der Nulllinie und bestimmen Sie Ort und Betrag der maximalen Biegespannung. d) Berechnen Sie für die gefährdete Stelle die Sicherheit gegen Fließen.

Aufgabe 9.2 Der abgebildete Träger aus einem warmgewalzten Flachstahl mit Rechteckquerschnitt (Flachstab EN 10058 - 100x60x4000 F S235JR) wird durch eine unter dem Winkel M = 22° schräg zur z-Achse angreifende Querkraft F = 10 kN auf Biegung beansprucht. Die Wirkungslinie der Kraft geht dabei durch den Schwerpunkt der Querschnittsfläche.

{{zzz

Abmessungen: a = 1500 mm c = 2500 mm b = 60 mm h = 100 mm

232

9 Schiefe Biegung

Schubspannungen durch Querkräfte sowie das Eigengewicht des Trägers sind zu vernachlässigen. Werkstoffkennwerte S235JR: Re = 245 N/mm2 Rm = 440 N/mm2 E = 210000 N/mm2 P = 0,30 a) Ermitteln Sie Ort und Betrag des maximalen Biegemomentes. b) Bestimmen Sie die Lage der beiden Hauptachsen des Rechteckquerschnitts. c) Ermitteln Sie die Lage der Nulllinie und bestimmen Sie Ort und Betrag der maximalen Biegespannung. d) Berechnen Sie für die höchst beanspruchte Stelle die Sicherheit gegen Fließen.

Aufgabe 9.3

{zzzz

Ein einseitig eingespannter, gleichschenkliger, scharfkantiger T-Profilstahl nach DIN 59051 (TPS 40) aus S355JR mit einer Länge von l = 2 m wird durch eine unter dem Winkel M = 20° schräg zur z-Achse angreifende Kraft F = 250 N auf Biegung beansprucht. Die Wirkungslinie der Kraft geht durch den Flächenschwerpunkt. Schubspannungen durch Querkräfte, das Eigengewicht des Bauteils sowie Kerbwirkung am Einspannquerschnitt sind zu vernachlässigen. Werkstoffkennwerte S355JR: Re = 360 N/mm2 Rm = 610 N/mm2 E = 207000 N/mm2 P = 0,30 Abmessungen: l = 2000 mm b = 40 mm h = 40 mm t = 5 mm

a) Ermitteln Sie die Lage des Flächenschwerpunktes (zS) sowie die Lage der beiden Hauptachsen für die gegebene Querschnittsfläche. b) Berechnen Sie die axialen Flächenmomente zweiter Ordnung bezüglich der beiden Hauptachsen (Hauptflächenmomente I1 und I2). c) Ermitteln Sie die Lage der Nulllinie und bestimmen Sie Ort und Betrag der maximalen Zugspannung sowie der maximalen Druckspannung. d) Berechnen Sie für die gefährdete Stelle die Sicherheit gegen Fließen.

9 Schiefe Biegung

Aufgabe 9.4

233 zzzzz

Ein einseitig eingespannter ungleichschenkeliger Winkelträger aus C60E+QT wird durch eine Einzelkraft F = 7000 N an seinem freien Ende belastet. Die Wirkungslinie der Kraft geht durch den Flächenschwerpunkt. Schubspannungen durch Querkräfte, das Eigengewicht des Winkelträgers sowie Kerbwirkung am Einspannquerschnitt sind zu vernachlässigen. Werkstoffkennwerte S355JR: Re = 590 N/mm2 Rm = 890 N/mm2 VdF | Re = 590 N/mm2 E = 209000 N/mm2 P = 0,30 Abmessungen: h1 = 120 mm h2 = 15 mm c1 = 15 mm c2 = 90 mm l = 2500 mm

a) Ermitteln Sie die Lage des Flächenschwerpunktes (yS und zS) sowie die Lage der ersten und zweiten Hauptachse für die gegebene Querschnittsfläche. b) Berechnen Sie die axialen Flächenmomente zweiter Ordnung bezüglich der beiden Hauptachsen (Hauptflächenmomente I1 und I2). c) Bestimmen Sie den Ort und berechnen Sie den Betrag der maximalen Zugspannung sowie der maximalen Druckspannung. d) Berechnen Sie für die gefährdete Stelle die Sicherheit gegen Fließen.

234

Aufgabe 9.5

9 Schiefe Biegung {zzzz

Ein einseitig eingespannter T-Profilstab aus der legierten Vergütungsstahlsorte 25CrMo4 (U = 7,78 g/cm3) wird durch zwei statisch wirkende Kräfte F1 = 1,5 kN und F2 = 4 kN beansprucht. Die Wirkungslinien der Kräfte gehen jeweils durch den Schwerpunkt der Querschnittsfläche. Schubbeanspruchung durch Querkräfte und Kerbwirkung an der Einspannstelle sind zu vernachlässigen. Das Eigengewicht des Profilstabes muss jedoch berücksichtigt werden. Berechnen Sie die Sicherheit gegen Fließen an der höchst beanspruchten Stelle. Ist die Sicherheit ausreichend? Werkstoffkennwerte S235JR: Re = 600 N/mm2 Rm = 830 N/mm2 E = 209000 N/mm2 μ = 0,30

235

9 Schiefe Biegung

9.3 Lösungen Lösung zu Aufgabe 9.1 a) Da es sich um einen Rechteckquerschnitt (symmetrische Querschnittfläche) handelt, fallen die Hauptachsen mit den Symmetrieachsen zusammen, d. h. das y-z-Koordinatensystem ist gleichzeitig Hauptachsensystem. Das maximale Flächenmoment 2. Ordnung ergibt sich bezüglich der y-Achse (y { (1)), das minimale Flächenmoment 2. Ordnung hingegen bezüglich der z-Achse (z { (2)). b) Berechnung der axialen Flächenmomente 2. Ordnung bezüglich der y- und z-Achse I1 { I y

b ˜ h 3 b  2s ˜ h  2 s 3  12 12 200 mm ˜ 300 mm 3 160 mm ˜ 260 mm 3  12 12

I2 { Iz

215 653 333 mm 4

h ˜ b 3 h  2 s ˜ b  2 s 3  12 12 300 mm ˜ 200 mm 3 260 mm ˜ 160 mm 3  12 12

111 253 333 mm 4

c) Berechnung des maximalen Biegemomentes Mb

F ˜ l 100 000 N ˜ 5 000 mm

500 ˜ 10 6 Nmm

Berechnung der Lage der Nulllinie

E

§I · arctan¨¨ 1 ˜ tan D ¸¸ I © 2 ¹ · § 215 653 333 mm 4 arctan¨¨ ˜ tan(30q) ¸¸ 4 ¹ © 111 253 333 mm arctan 1,12 48,22q

Die maximalen Biegespannungen treten an denjenigen Stellen der Querschnittfläche auf, die einen maximalen (senkrechten) Abstand zur Nulllinie haben. Im Falle des Rechteckprofils also an den Profileckpunkten A (+ VxA) und B (VxB = - VxA). Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt A der Querschnittfläche (maximale Zugspannung)

V xA

§ cos D sin D · M b ˜ ¨¨ ˜b  ˜ a ¸¸ I I2 © 1 ¹

236

9 Schiefe Biegung

V xA

§ · sin  30q cos 30q ˜ 150 mm ˜ 100 mm ¸¸ 500 ˜ 106 Nmm ˜ ¨¨ 4 4 111 253 333 mm © 215 653 333 mm ¹ 525,89 N/mm 2

Alternative Methode zur Spannungsermittlung am Profileckpunkt A Berechnung der Komponente des Biegemomentenvektors in Richtung der Nulllinie M bN

M b ˜ cosE  D 500 ˜ 10 6 Nmm ˜ cos- 48,22q - - 30q 474,94 ˜ 10 6 Nmm

Berechnung des axialen Flächenmomentes zweiter Ordnung bezüglich der Nulllinie IN

I1  I 2 I1  I 2  ˜ cos 2E 2 2 215 653 333  111 253 333 215 653 333  111 253 333 mm 4  mm 4 ˜ cos 96,44q 2 2 157 602 588,8 mm 4

Berechnung des senkrechten Abstandes des Profileckpunktes A von der Nulllinie (cmax) Aus der Abbildung ergeben sich die folgenden geometrischen Beziehungen:

E1

arctan

100 mm 150 mm

33,69q

E2

E  E1

d

100 mm 2  150 mm 2

c max

48,22q  33,69q 14,53q

cos E 2 ˜ d

180,28 mm

cos 14,53q ˜ 180,28 mm 174,51 mm

Berechnung der maximalen Biegespannung

V xA

M bN ˜ cmax IN

474,94 ˜ 10 6 Nmm ˜ 174,51 mm 157 602 588,8 mm 4

525,89 N/mm 2

d) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen an der höchst beanspruchten Stelle (Profileckpunkt A) Festigkeitsbedingung:

V xA d V zul V xA SF

Re SF Re

V xA 890 N/mm 2 525,89 N/mm 2

1,69 (ausreichend, da S F ! 1,20)

237

9 Schiefe Biegung

Lösung zu Aufgabe 9.2 a) Berechnung des maximalen Biegemomentes

Ansetzen des Momentengleichgewichtes um den Lagerpunkt A 6M A

0

FB ˜ a  c  F ˜ a FB

F˜

M b max

a ac FB ˜ c

0

10000 N ˜

1500 mm 1500 mm  2500 mm

3750 N ˜ 2500 mm

3 750 N

9 375 000 Nmm

9 375 Nm

Das maximale Biegemoment wirkt in der den Kraftangriffspunkt beinhaltenden Querschnittfläche. b) Da es sich um einen Rechteckquerschnitt (symmetrische Querschnittfläche) handelt, fallen die Hauptachsen mit den Symmetrieachsen zusammen, d. h. das y-z-Koordinatensystem ist gleichzeitig Hauptachsensystem. Das maximale Flächenmoment 2. Ordnung ergibt sich bezüglich der y-Achse (y { (1)), das minimale Flächenmoment 2. Ordnung hingegen bezüglich der z-Achse (z { (2)). Berechnung der Hauptflächenmomente I1 { I y

b ˜ h3 12

60 mm ˜ 100 mm 3 12

5 ˜ 10 6 mm 4

I2{ Iz

h ˜ b3 12

100 mm ˜ 60 mm 3 12

1,8 ˜ 10 6 mm 4

238

9 Schiefe Biegung

c) Momentenverhältnisse an der höchst beanspruchten Stelle:

Berechnung des Winkels E zwischen der a-Achse und der Nulllinie

E

§I · arctan¨¨ 1 ˜ tan D ¸¸ I © 2 ¹

· § 5 ˜ 106 mm 4 arctan¨¨ ˜ tan(22q) ¸¸ 6 4 ¹ © 1,8 ˜ 10 mm

48,29q

Die maximalen Biegespannungen befinden sich an denjenigen Orten der Querschnittfläche, die einen maximalen Abstand zur Nulllinie haben, hier also an den Profileckpunkten B (VxB) und A (VxA = -VxB). Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt B der Querschnittfläche (maximale Zugspannung)

V xB

§ cos D sin D · M b max ˜ ¨¨ ˜b  ˜ a ¸¸ I2 © I1 ¹ § cos 22q · sin  22q ˜ 30 mm ¸¸ ˜ 50 mm 9 375 000 Nmm ˜ ¨¨ 6 4 6 4 1,8 ˜ 10 mm © 5 ˜ 10 mm ¹

145,46 N/mm 2

Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt A der Querschnittfläche

V xA

V xB

145,46 N/mm 2

d) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung:

V d V zul V xB SF

Re SF 245 N/mm 2 145,46 N/mm 2

1,68 (ausreichend, da S F ! 1,20)

239

9 Schiefe Biegung

Lösung zu Aufgabe 9.3 a) Ermittlung der Lage der Hauptachsen Da es sich um eine symmetrische Querschnittfläche handelt, fällt eine der beiden Hauptachsen mit der Symmetrieebene zusammen. Die zweite Hauptachse ergibt sich als Senkrechte zur ersten Hauptachse durch den Flächenschwerpunkt. Berechnung der Lage des Flächenschwerpunktes (Teilschwerpunktsatz)

zS

t· § ht · § ¨ ¸ ˜ h  t ˜ t  ¨ h  ¸ ˜ b ˜ t 2 2 © ¹ © ¹ h  t ˜ t  b ˜ t 17,5 ˜ 35 ˜ 5  37,5 ˜ 40 ˜ 5 mm 28,17 mm 35 ˜ 5  40 ˜ 5

b) Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Iy

5 mm ˜ 35 mm 3  10,67 mm 2 ˜ 5 mm ˜ 35 mm 12 40 mm ˜ 5 mm 3  - 9,33 mm 2 ˜ 40 mm ˜ 5 mm 12 37 775,69 mm4  17 838,89 mm4 

55 614,6 mm4

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der z-Achse 35 mm ˜ 5 mm 3 5 mm ˜ 40 mm 3  12 12 Damit folgt für die Hauptflächenmomente: Iz

I1 { I y

55 614,6 mm 4

I2 { Iz

27 031,3 mm 4

27 031,3 mm 4

c) Berechnung des Winkels E zwischen der a-Achse und der Nulllinie

E

§I · arctan¨¨ 1 ˜ tan D ¸¸ © I2 ¹ · § 55 614,6 mm 4 arctan¨¨ ˜ tan 20q ¸¸ 4 ¹ © 27 031,3 mm 36,83q

Die maximalen Biegespannungen befinden sich an denjenigen Orten der Querschnittfläche, die einen maximalen Abstand zur Nulllinie haben, hier also an den Profileckpunkten A (VxA) und B (VxB).

240

9 Schiefe Biegung

Berechnung des maximalen Biegemomentes (Einspannquerschnitt) Mb

F ˜l

250 N ˜ 2000 mm

500 000 Nmm

Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt A der Querschnittfläche (maximale Zugspannung)

V xA

§ cos D · sin D M b ˜ ¨¨ ˜ b1  ˜ a1 ¸¸ I2 © I1 ¹ § cos 20q · sin 20q ˜ 11,83 mm ˜ (20 mm) ¸¸ 500 000 Nmm ˜ ¨¨ 4 4 27 031 mm © 55 614 mm ¹

226,5 N/mm 2

Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt B der Querschnittfläche (maximale Druckspannung)

V xB

§ cos D · sin D M b ˜ ¨¨ ˜ b2  ˜ a2 ¸¸ I I 2 © 1 ¹ § cos20q · sin 20q ˜ - 28,17 mm ˜ 2,5 mm ¸¸ 500 000 Nmm ˜ ¨¨ 4 4 27 031 mm © 55 614 mm ¹ 253,8 N/mm 2

Damit befindet sich die höchst beanspruchte Stelle am Profileckpunkt B (Druckspannung) d) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen am Profileckpunkt B Festigkeitsbedingung:

V xB d V zul V dF Re | V xB SF

SF

V dF V xB

SF

360 N/mm 2 253,8 N/mm 2

1,42 (ausreichend, da S F ! 1,20)

241

9 Schiefe Biegung

Lösung zu Aufgabe 9.4 a) Ermittlung der Lage des Flächenschwerpunktes (Teilschwerpunktsatz) yS

y1 ˜ A1  y 2 ˜ A2 A1  A2

7,5 mm ˜1 575 mm 2  45 mm ˜1 350 mm 2

zS

z1 ˜ A1  z 2 ˜ A2 A1  A2

52,5 mm ˜1 575 mm 2  112,5 mm ˜1 350 mm 2

1 575 mm 2  1 350 mm 2 1 575 mm 2  1 350 mm 2

24,81 mm 80,19 mm

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse 15 mm ˜ 105 mm 3  27,69 mm 2 ˜ 1575 mm2 12

Iy

90 mm ˜ 15 mm 3   32,31 mm 2 ˜ 1350 mm2 12 4 089 266,8 mm4



Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der z-Achse 105 mm ˜ 15 mm 3   17,31 mm 2 ˜ 1575 mm2 12

Iz 

15 mm ˜ 90 mm 3  20,19 mm 2 ˜ 1350 mm2 12 1 963 016,8 mm4

Berechnung des gemischten Flächenmomentes bezüglich des y-z-Koordinatensystems Hinweis: Für die Berechnung von Iyz sind die Vorzeichen der Teilflächenschwerpunktabstände (yS1; zS1; yS2 und zS2) zu beachten. I yz

0  yS1 ˜ zS1 ˜ A1  0  yS2 ˜ zS2 ˜ A2 - 17,31 mm ˜ 27,69 mm ˜ 1575 mm2  20,19 mm ˜ - 32,31 mm ˜ 1350 mm2 1 635 576,9 mm4

Berechnung des Richtungswinkels M zwischen der y-Achse und der ersten oder zweiten Hauptachse

M1;2

§ 2 ˜ I yz 1 ˜ arctan¨ ¨ Iy  Iz 2 ©

· ¸ ¸ ¹

§ · 1 2 ˜ 1 635 576,9 mm 4 ¸ ˜ arctan¨¨ 4 4 ¸ 2 © 4 089 266,8 mm  1 963 016,8 mm ¹

Bestimmung der ersten bzw. zweiten Hauptachse d 2IȘ dM





2 ˜ I y  I z ˜ cos 2M  4 ˜ I yz ˜ sin 2M

28,49q

242

9 Schiefe Biegung





2 ˜ 4 089 266,8 mm 4  1963 016,8 mm 4 ˜ cos 2 ˜ 28,49  4 ˜ 1 635 576,9 mm ˜ sin 2 ˜ 28,49 4

7 802 919,1  0

Da d 2 I Ș / dM 2  0 ist M {M1 der Richtungswinkel zwischen der y-Achse und der ersten Hauptachse. Für den Richtungswinkel zur zweiten Hauptachse folgt dann:

M 2 M 1 90q 28,49q  90q 118,49q b) Berechnung der Hauptflächenmomente I1 und I2 I1

I y  Iz 2

§ Iy  Iz  ¨¨ © 2

2

· 2 ¸  I yz ¸ ¹

4 089 266,8 mm 4  1963 016,8 mm 4 2 2

§ 4 089 266,8 mm 4  1963 016,8 mm 4 · ¸  1 635 576,9 mm 4  ¨¨ ¸ 2 © ¹





2

4 976 871,6 mm 4

I2

Iy  Iz 2

§ I y  Iz  ¨¨ © 2

2

· 2 ¸  I yz ¸ ¹

4 089 266,8 mm 4  1963 016,8 mm 4 2 2

§ 4 089 266,8 mm 4  1963 016,8 mm 4 · ¸  1 635 576,9 mm 4  ¨¨ ¸ 2 © ¹





2

1 075 412,1 mm 4

c) Berechnung des maximalen Biegemomentes (Einspannquerschnitt)

Mb

F ˜l

7 000 N ˜ 2500 mm 17,5 ˜ 106 Nmm

Berechnung des Winkels E zwischen der a-Achse und der Nulllinie Mit D = -M 1 = -28,49° folgt:

E

§I · arctan¨¨ 1 ˜ tan D ¸¸ I © 2 ¹

§ 4 976 871,6 mm 4 · arctan¨¨ ˜ tan  28,49q ¸¸ 4 © 1 075 412,1 mm ¹

68,29q

Die maximalen Biegespannungen befinden sich an denjenigen Orten der Querschnittfläche, die einen maximalen Abstand zur Nulllinie haben, also die Stellen A (VxA) und B (VxB = VxA).

243

9 Schiefe Biegung

Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt A der Querschnittfläche (maximale Zugspannung) Geometrische Verhältnisse am Winkelträger (siehe Abbildung): 24,81 mm c 28,23 mm cos D cos 28,49q e tanD ˜ c tan 28,49q ˜ 24,81 mm 13,46 mm g f - e 39,81 mm - 13,46 mm 26,34 mm h sinD ˜ g sin 28,49q ˜ 26,34 mm 12,57 mm a1 d  h 28,23 mm  12,57 mm 40,79 mm d

b1

cosD ˜ g

cos 28,49q ˜ 26,34 mm

23,16 mm

Damit folgt für die Spannung am Profileckpunkt A:

V xA

§ cos D · sin D M b ˜ ¨¨ ˜ b1  ˜ a1 ¸¸ I2 © I1 ¹ § cos  28,49q · sin  28,49q ˜ 23,16 mm ˜ 40,79 mm ¸¸ 17,5 ˜ 10 6 Nmm ˜ ¨¨ 4 4 1 075 412,1 mm © 4 976 871,6 mm ¹ 388,17 N/mm 2

Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt B der Querschnittfläche (maximale Druckspannung) Geometrische Verhältnisse am Winkelträger (siehe Abbildung): m

c - c1

24,81 mm - 15 mm

n

m sin D

9,81 mm sin 28,49q

9,81 mm

20,56 mm

244

9 Schiefe Biegung

p q

9,81 mm 18,07 mm tan 28,49q 80,19 mm - 18,07 mm 62,12 mm

m tan D zS  p sinD ˜ q

a2

sin 28,49q ˜ 62,12 mm

29,63 mm

r cos D ˜ q cos 28,49q ˜ 62,12 mm 54,59 mm b2 r  n 54,59 mm  20,56 mm 75,16 mm

Damit folgt für die Spannung am Profileckpunkt B: · § cos D sin D ˜ b2  ˜ a 2 ¸¸ M b ˜ ¨¨ I I 2 ¹ © 1 § cos  28,49q · sin  28,49q 17,5 ˜10 6 Nmm ˜ ¨ ˜  75,16 mm ˜  29,63 mm ¸ 4 ¨ 4 976 871,6 mm 4 ¸ 1 075 412,1 mm © ¹

V xB

462,26 N/mm 2

Alternative Methode zur Spannungsermittlung an den Profileckpunkten A und B

Berechnung des senkrechten Abstandes des Profileckpunktes A von der Nulllinie (cmax1) a12  b12

k

G

arctan

b1 a1

40,79 mm 2  23,16 mm 2 arctan

23,16 mm 40,79 mm

46,91 mm

29,58q

\

180q  G  E 180q  29,58q  68,29q 82,13q cmax 1 k ˜ sin \ 46,91 mm ˜ sin 82,13q 46,46 mm

Berechnung des Biegemomentenvektors MbN in Bezug auf die Nulllinie M bN

M b ˜ cosE  D 17,5 ˜10 6 Nmm ˜ cos68,29q - 28,48q 13,44 ˜10 6 Nmm

245

9 Schiefe Biegung

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der Nulllinie IN

I1  I 2 I1  I 2  ˜ cos 2E 2 2 4 976 871,6  1 075 412,1 4 976 871,6  1 075 412,1  ˜ cos2 ˜  68,29q mm 4 2 2 1 609 306,7 mm 4

Berechnung der Spannung am Profileckpunkt A

V xA

M bN ˜ cmax1 IN

13,44 ˜ 10 6 Nmm ˜ 46,46 mm 1 609 306,7 mm 4

388,17 N/mm 2

Berechnung des senkrechten Abstandes des Profileckpunktes B von der Nulllinie (cmax1) s

]

29,63 mm 2  75,16 mm 2

a22  b22 arctan

a2 b2

arctan

29,63 mm 75,16 mm

80,79 mm

21,52q

]  90q  E 21,52q  90q  68,29q 43,23q cmax 2 r ˜ sin N 80,79 mm ˜ sin 43,23q 55,33 mm

N

Berechnung der Spannung im Profileckpunkt B

V xB

M bN ˜ cmax 2 IN

13,44 ˜ 106 Nmm ˜ 55,33 mm 1 609 306,7 mm4

462,26 N/mm2

d) Zäher Werkstoff: VdF | Re Damit setzt Fließen zuerst am Profileckpunkt B ein, da |VxB| > VxA Festigkeitsbedingung

V xB d V zul V dF Re | V xB SF

SF

V dF V xB

SF

590 N/mm 2 462,26 N/mm 2

1,28 (ausreichend, da S F ! 1,20)

246

9 Schiefe Biegung

Lösung zu Aufgabe 9.5 Ermittlung der Lage der Hauptachsen Da es sich um eine symmetrische Querschnittfläche handelt, fällt eine der beiden Hauptachsen mit der Symmetrieebene zusammen. Die zweite Hauptachse ergibt sich als Senkrechte zur ersten Hauptachse durch den Flächenschwerpunkt. Berechnung der Lage des Flächenschwerpunktes (Teilschwerpunktsatz) zS

z1˜ A1  z 2 ˜ A1 A1  A2 42,5 ˜ 1275  92,5 ˜ 1500 mm 1275  1500

69,53 mm

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Iy

15 mm ˜ 85 mm 3  27,03 mm 2 ˜ 1275 mm2 12 100 mm ˜ 15 mm 3  - 22,97 mm 2 ˜ 1500 mm2 12 2 518 754 mm4 

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der z-Achse Iz

85 mm ˜ 15 mm 3 15 mm ˜ 100 mm 3  12 12

1 273 906 mm 4

Hauptflächenmomente I1 { I y

2 518 754 mm 4

I2 { Iz

1 273 906 mm 4

Berechnung der Gewichtskraft des Profilträgers G m ˜ g U ˜V ˜ g U ˜ A ˜ a ˜ g 0,00778 kg/cm 3 ˜ 27,75 cm 2 ˜ 400 cm ˜ 9,81 m/s 2

847,2 N

Berechnung der maximalen Biegemomente (am Einspannquerschnitt) in Richtung der y-Achse sowie der z-Achse M by M bz

a  F1 ˜ a 847,2 N ˜ 2 000 mm  1500 N ˜ 4 000 mm 2 F2 ˜ b 4000 N ˜ 2 500 mm 10 000 000 Nmm

G˜

7 694 344 Nmm

247

9 Schiefe Biegung

Berechnung des Winkels D zwischen der a-Achse und dem resultierenden Biegemomentenvektor

D

§M arctan¨ bz ¨ M by ©

· ¸ ¸ ¹

§ 10 000 000 Nmm · ¸¸ arctan¨¨ © 7 694 344 Nmm ¹

52,42q

Berechnung des Winkels E zwischen der a-Achse und der Nulllinie

E

§I · arctan¨¨ 1 ˜ tan D ¸¸ © I2 ¹

§ 2 518 754 mm 4 · arctan¨¨ ˜ tan 52,42q ¸¸ 4 © 1 273 906 mm ¹

68,74q

Die maximalen Biegespannungen befinden sich an denjenigen Orten der Querschnittfläche, die einen maximalen Abstand zur Nulllinie haben, hier also am Profileckpunkt A. Berechnung der Biegespannung am Profileckpunkt A der Querschnittfläche (maximale Zugspannung)

V xA

M by I1

˜ b1 

M bz ˜ a1 I2

7 694 344 Nmm ˜ 30,47 mm 2 518 754 mm 4 -

10 000 000 Nmm ˜  50 mm 1 273 906 mm 4

485,58 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen am Profileckpunkt A Festigkeitsbedingung:

V xA d V zul V xA SF

Re SF Re

V xA

600 N/mm 2 485,58 N/mm 2

1,24 (ausreichend, da S F ! 1,20)

248

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung 10.1 Formelsammlung zum Querkraftschub Grundgleichung

W l ( z) W q ( z)

Q ˜ H y ( z) b( z ) ˜ I y

Grundgleichung zur Ermittlung der Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Schubspannungsverteilung durch Querkraftschub ausgewählter Querschnitte Querschnittsfläche

Schubspannungsverteilung

Maximale Schubspannung

Rechteckquerschnitt

W q ( z)

3 Q § 4 ˜ z2 · ¨1  ¸ ˜ 2 b ˜ h ¨© h 2 ¸¹

W q max

mit W m

Vollkreisquerschnitt

3 Q ˜ 2 b˜h

3 ˜W m 2

Q A

Vertikalkomponente:

W q ( z)

4 Q ˜ 3 S ˜ r2

2· § ¨1  z ¸ ¨ r2 ¸ © ¹

Resultierende Randschubspannung:

W r ( z)

W q max

4 Q ˜ 3 S ˜ r2

mit W m

Q A

4 ˜W m 3

4 Q z2 1 ˜ ˜  3 S ˜ r2 r2

Kreisring (dünnwandig)

W (M )

Q ˜ cos M S ˜r ˜t

W max mit W m

Q S ˜ r ˜t Q A

2 ˜W m

249

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Anwendung auf dünnwandige Profilträger C-Profil

Horizontale Schubspannungen im Flansch

Q ˜c ˜K Iy

W hF (K )

W hF max

Q ˜b ˜K Iy

Vertikale Schubspannungen im Steg (-a d z d a)

Q Iy

W qS ( z ) 

I-Profil

ª t ˜ «b ˜ c ˜ F tS ¬

a2 2

W qS max

Q Iy

ª t a2 º ˜ «b ˜ c ˜ F  » tS 2 ¼ ¬

§ z 2 ·º ˜ ¨¨1  2 ¸¸» © a ¹¼»

Horizontale Schubspannungen im Flansch (0 d K d b/2)

Q˜c ˜K Iy

W hF (K )

W hF max

Q ˜c b ˜ Iy 2

Vertikale Schubspannungen im Steg (-a d z d a)

Q Iy

W qS ( z ) 

ª t ˜ «b ˜ c ˜ F tS ¬

a2 2

W qS ( z )

Q Iy

ª t a2 º ˜ «b ˜ c ˜ F  » tS 2 »¼ ¬

§ z 2 ·º ˜ ¨¨1  2 ¸¸» © a ¹¼»

Anwendung auf genietete Träger

W N max

4 Q ˜ H y ( z) ˜ t ˜ 3˜ n Iy ˜S r2

Maximale Schubspannung in den Gurtnieten eines Profilträgers unter Querkraftschub (gilt nur für die in der Abbildung dargestellten geometrischen Verhältnisse)

Hy(z) Flächenmoment 1. Ordnung (statisches Moment) der Restfläche AR bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Iy

Axiales Flächenmoment der gesamten Querschnittsfläche bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt

n

Anzahl paralleler Nieten

r

Radius des Niets

t

Nietteilung

250

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Anwendung auf geschweißte Träger

WS

Q ˜ H y ( z) t ˜ 2 a ˜ I y lS

Schubspannung in der Schweißnaht zwischen Gurt- und Stegblech eines Profilträgers unter Querkraftschub (zwei parallele Schweißnähte)

Hy(z) Flächenmoment 1. Ordnung (statisches Moment) der Restfläche AR bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Iy

Axiales Flächenmoment der gesamten Querschnittsfläche bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt

Vergleichsspannung in der Schweißnaht zwischen Gurt- und Stegblech eines Profilträgers unter Querkraftschub (zwei parallele Schweißnähte)

V V GEH mit

Vb

V b2  3 ˜ W s2 Mb ˜z I

und W S

Q ˜ H y ( z) t ˜ 2 a ˜ I y lS

Schubmittelpunkt In dünnwandigen, offenen Profilen (z. B. Abkantprofile aus Blech) können die Schubspannungen im Flansch (WhF) eine Verdrehung um die Längsachse bewirken. Die aus den Schubspannungen im Flansch (Abbildung a) resultierenden Flansch-Schubkräfte bewirken ein Kräftepaar, die eine Verdrehung des Profils um die Längsachse verursachen (Abbildung b). Diese Verdrehung kann verhindert werden, sofern die Wirkungslinie der Kraft F durch den Schubmittelpunkt M geht und dadurch ein den Flansch-Schubkräften entgegengesetzt wirkendes Drehmoment erzeugt (Abbildung c).

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

10.2 Aufgaben Aufgabe 10.1

{{zzz

Der dargestellte kurze Freiträger mit Rechteckquerschnitt der Breite b und der Höhe h wird an seinem rechten Ende durch die Einzelkraft F beansprucht. Berechnen Sie die Spannungsverteilung W (z) durch Querkraftschub in Abhängigkeit der Koordinate z und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit Tabelle 10.1. Kerbwirkung an der Einspannstelle ist zu vernachlässigen.

Aufgabe 10.2

{{zzz

Der dargestellte kurze Freiträger mit Vollkreisquerschnitt (Durchmesser d) wird an seinem rechten Ende durch die Einzelkraft F beansprucht. Berechnen Sie die Spannungsverteilung Wq(z) durch Querkraftschub in Abhängigkeit der Koordinate z und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit Tabelle 10.1. Kerbwirkung an der Einspannstelle ist zu vernachlässigen.

Aufgabe 10.3

{{zzz

Das dargestellte dünnwandige Kreisrohr (Außendurchmesser da, Wandstärke s) wird an seinem rechten Ende durch die Einzelkraft F beansprucht. Berechnen Sie die Spannungsverteilung W (M) durch Querkraftschub in Abhängigkeit der Koordinate M und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit Tabelle 10.1. Kerbwirkung an der Einspannstelle ist zu vernachlässigen.

251

252

Aufgabe 10.4

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung {zzzz

Der dargestellte kurze Freiträger ist aus drei gleichen Stahlblechen (h = b = 300 mm, s = 30 mm) zusammengeschweißt. Die Nahtdicke beträgt a = 7 mm, die Nahtlängen jeweils lS = 30 mm und die Teilung t = 50 mm. Der Träger ist an seinem linken Ende fest eingespannt und an seinem rechten Ende durch die Kraft F = 100 kN belastet. a) Berechnen Sie die Schubspannung WS in der Schweißnaht. Normalspannungen in der Schweißnaht aufgrund der Biegebeanspruchung sowie Kerbwirkung an der Einspannstelle sollen vernachlässigt werden. b) Ist die Beanspruchung der Schweißnaht noch zulässig, falls die Schubspannung in der Naht Wzul = 85 N/mm2 nicht überschreiten darf?

Aufgabe 10.5

{zzzz

Zur Erhöhung der Beanspruchbarkeit eines einseitig eingespannten Trägers werden an der Ober- und Unterseite zusätzliche Verstärkungsbleche (250 mm x 20 mm) aufgenietet. Die Gurtnieten haben einen Durchmesser von dN = 12 mm. Die zulässige Spannung für den Nietwerkstoff beträgt Wzul = 120 N/mm2. Der Träger wird entsprechend der Abbildung durch die konstante Querkraft F = 60 kN sowie die konstante Streckenlast q = 25 kN/m belastet. Ermitteln Sie die mindestens erforderliche Nietteilung t, damit ein Abscheren der Gurtnieten vermieden wird.

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Aufgabe 10.6

253 zzzzz

Zum Bau einer Stahlbrücke sollen Träger entsprechend der Abbildung eingesetzt werden. Die zulässige Kraft F soll auf 150 kN begrenzt werden. Die Gurtplatten (300 x 20 mm) und die Stahlwinkel (60 x 60 x 10 mm) sind fest miteinander verschweißt. Die Stahlwinkel sollen hingegen mit dem Stegblech (200 x 30 mm) vernietet werden. Der Nietdurchmesser wurde mit d = 15 mm festgelegt. Die zulässige Schubspannung des Nietwerkstoffs beträgt Wzul = 150 N/mm2. Berechnen Sie die erforderliche Teilung t der Stegnieten, damit ein Abscheren ausgeschlossen werden kann.

Aufgabe 10.7

{{zzz

Für eine einfache Dachkonstruktion sollen zwei Bretter (250 x 30 mm) T-förmig miteinander verleimt werden. Die hieraus entstehenden T-Profile werden auf ihrer linken Hälfte durch die Streckenlast q = 100 kN/m belastet (siehe Abbildung).

a) Ermitteln Sie die Lage des Flächenschwerpunktes des T-Profils. b) Berechnen Sie das axiale Flächenmoment zweiter Ordnung bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt des T-Profils. c) Überprüfen Sie, ob die Belastung zulässig ist, falls die Schubspannung in der Leimschicht W = 25 N/mm2 nicht überschreiten darf.

254

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

10.3 Lösungen Lösung zu Aufgabe 10.1 Für die Schubspannungsverteilung durch Querkraftschub gilt:

W q ( z)

Q ˜ H y ( z)

mit b(z) = b = konstant

b( z ) ˜ I y

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung (statisches Moment) der Restfläche bezüglich der yAchse durch den Flächenschwerpunkt h/2

H y ( z)

³ ] ˜ dA

AR

³

] ˜ b ˜ d]

z

> @

h/2 b ˜]2 z 2

· b §¨ h 2 ˜  z2 ¸ ¸ 2 ¨© 4 ¹

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung des Gesamtquerschnitts bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Iy

b ˜ h3 12

Damit folgt für die Schubspannungsverteilung (siehe auch Tabelle 10.1 im Lehrbuch):

W q ( z)

Q ˜ H y ( z) b ˜ Iy

Q˜

· b §¨ h 2 ˜  z 2 ¸¸ 2 ¨© 4 ¹ b˜

b ˜ h3 12

4 ˜ z2 3 Q §¨ ˜ 1 2 2 b ˜ h ¨© h

· ¸ ¸ ¹

255

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Lösung zu Aufgabe 10.2 Für die Schubspannungsverteilung durch Querkraftschub gilt: Q ˜ H y ( z)

W q ( z)

b( z ) ˜ I y

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung der Restfläche bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt in Abhängigkeit der Koordinate M

³ ] ˜ dA ³ ] ˜ b(] ) ˜ d]

Hy

AR

AR

mit ] = r ˜ sinK; d] = r ˜ cosK ˜dK und b(] ) = 2˜r˜cosK folgt: S /2

H y (M )

2˜r

3

2

³ sin K ˜ cos K dK M

>

2  ˜ r 3 ˜ cos 3 K 3

@

S /2 M

2 3 ˜ r ˜ cos 3 M 3

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung des Gesamtquerschnitts bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Iy

S 64

S

˜d4

4

˜ r4

Damit folgt für die Schubspannungsverteilung Wq(M ) in Abhängigkeit der Koordinate M :

W q (M )

2 Q ˜ ˜ r 3 ˜ cos 3 M 3

Q ˜ H y (M ) b(M ) ˜ I y

b(M ) ˜

S 4

˜ r4

Q˜

2 3 ˜ r ˜ cos 3 M 3

2 ˜ r cos M ˜

S 4

˜ r4

4 Q ˜ ˜ cos 2 M 3 S ˜ r2

Berechnung der Schubspannungsverteilung W q(M ) in Abhängigkeit der Koordinate z Es gilt z r ˜ sin M und damit z 2 r 2 ˜ sin 2 M . Mit sin 2 M 1  cos 2 M folgt: z2



r 2 ˜ 1  cos 2 M



und damit: cos 2 M

1

z2 r2

Damit erhält man schließlich für die Schubspannungsverteilung in Abhängigkeit der Koordinate z (siehe auch Tabelle 10.1 im Lehrbuch):

W q ( z)

4 Q ˜ ˜ cos 2 M 3 S ˜ r2

4 Q ˜ 3 ʌ ˜r2

§ z2 ˜ ¨¨ 1  2 r ©

· ¸ ¸ ¹

256

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Lösung zu Aufgabe 10.3 Da es sich um einen dünnwandigen Kreisring handelt, ist es zweckmäßig, die Schubspannung in Abhängigkeit des Winkels M zu berechnen. Für die Schubspannungsverteilung durch Querkraftschub gilt: Q ˜ H y (M )

W (M )

b(M ) ˜ I y

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung der Restfläche bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt in Abhängigkeit der Koordinate M

³ ] ˜ dA

Hy

AR

mit dA = t ˜r˜ dK und ] = r ˜ sinK folgt: H y (M )

t ˜ r 2 sin K ˜dK

³

AR

Da die Verteilung der Schubspannungen symmetrisch zur z-Achse ist, darf nur zwischen den Grenzen K = M und K = S / 2 integriert werden: S /2

H y (M )

t ˜r2

³ sinK ˜ dK M

t ˜ r 2 ˜ > cosK @MS / 2

t ˜ r 2 ˜ cos M

Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung des Gesamtquerschnitts bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt 2S

Iy

³

] 2 ˜ dA

A

2 ³ r ˜ sin K ˜ t ˜ r ˜ dK

AR

2S

1 º ª1 r 3 ˜ t ˜ « ˜ K  ˜ sin 2K » 2 4 ¼0 ¬

r 3 ˜ t sin 2 K ˜ dK

³ 0

r 3 ˜ t ˜ S  0 S ˜ r 3 ˜ t

Berechnung der Schubspannungsverteilung in Abhängigkeit der Koordinate M

W (M )

Q ˜ H y (M ) b(M ) ˜ I y

Q ˜ t ˜ r 2 ˜ cos M b(M ) ˜ S ˜ r 3 ˜ t

Q ˜ cos M S ˜ r ˜ b(M )

mit b(M) = t = konstant, folgt schließlich (siehe auch Tabelle 10.1 im Lehrbuch): Q ˜ cosM IJ( M ) ʌ˜r ˜t

257

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Lösung zu Aufgabe 10.4 a) Berechnung der Schubspannung im Nahtbereich

W ( z)

Q ˜ H y ( z)

mit Q

b( z ) ˜ I y

F

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung der Restfläche (Gurtfläche AR) bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt 180

³ ] ˜ dA ³ ] ˜ b ˜ d]

H y (150 mm)

AR

150



> @

b ˜]2 2

180 150



300 mm ˜ 180 2  150 2 mm 2 2 1 485 000 mm3

Berechnung des axialen Flächenmomentes des Gesamtquerschnitts bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Iy





2 2 ˜ I y1  zS1 ˜ A1  I y2

· 30 mm ˜ (300 mm)3 § 300 mm ˜ (30 mm)3 2 ˜ ¨¨  (165 mm)2 ˜ 300 mm ˜ 30 mm ¸¸  12 12 ¹ © 558 900 000 mm 4

Berechnung der Schubspannung im Teilungsbereich zwischen Gurt- und Stegblech

W (150 mm) W

F ˜ H y (150 mm) b(150 mm) ˜ I y

100 000 N ˜ 1 485 000 mm3 300 mm ˜ 558 900 000 mm 4

0,8857 N/mm 2

Berechnung der Längsschubkraft Ft in der Teilungsebene Ft

W ˜b ˜t

Die Längsschubkraft muss von den Schweißnähten auf das Stegblech übertragen werden. In den Schweißnähten entsteht dadurch die Spannung:

WS

Ft 2 ˜ AS

W ˜b˜t 2 ˜ a ˜ lS

0,8857 N/mm 2 ˜ 300 mm ˜ 50 mm 2 ˜ 7 mm ˜ 30 mm

31,6 N/mm 2

Ergänzende Hinweise: 1. Für durchgehende Nähte ist t = lS. 2. Die Spannung in der Schweißnaht WS kann auch direkt aus Gleichung 10.31 (siehe Lehrbuch) berechnet werden.

b) W S  W zul = 85 N/mm2. Die Beanspruchung in der Schweißnaht ist zulässig.

258

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Lösung zu Aufgabe 10.5 Schubspannungen im Teilungsbereich zwischen Flanschblech des I-Trägers und dem aufgenieteten Verstärkungsblech Q ˜ H y ( z)

W ( z)

b( z ) ˜ I y

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung der Restfläche AR (aufgenietetes Verstärkungsblech) bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt 135

³

H y (115 mm)

³] ˜b

] ˜ dA

2

AR

> @

b2 ˜]2 2

˜ d]

115





250 mm ˜ 135 2  115 2 mm 2 2

135 115

625 000 mm3

Berechnung des axialen Flächenmomentes des Gesamtquerschnitts bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt









2 2 2 ˜ I y1  zS1 ˜ A1  2 ˜ I y2  zS2 ˜ A2  I y3

Iy

3

§ 250 mm ˜ (20 mm) · 2 ˜ ¨¨  (125 mm)2 ˜ 250 mm ˜ 20 mm ¸¸ 12 © ¹ § 200 mm ˜ (30 mm)3 · 30 mm ˜ (170 mm)3  2 ˜ ¨¨  (100 mm)2 ˜ 200 mm ˜ 30 mm ¸¸  12 12 © ¹ 289 765 833 mm 4

Berechnung der maximalen Querkraft Die maximale Querkraft Qmax herrscht im Bereich der Einspannstelle: Qmax

F  q˜a

60 kN  25 kN/m ˜ 1,2 m

90 kN

Berechnung der Schubspannung im Teilungsbereich zwischen Flansch und aufgenietetem Verstärkungsblech

W (115 mm) W

Qmax ˜ H y (115 mm) b2 ˜ I y

Die Schubspannung W erzeugt in der Teilungsebene innerhalb der Teilungslänge t die Längsschubkraft Ft: Ft

W ˜ b2 ˜ t

259

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Die Längsschubkraft muss von jeweils einem Paar paralleler Nieten auf den I-Träger übertragen werden. Jede der beiden einschnittig auf Abscherung beanspruchten Nieten erfährt damit die Längsschubkraft FN = Ft /2. Diese Schubkraft FN erzeugt im Nietquerschnitt (Vollkreisquerschnitt) die maximale Schubspannung WN max (siehe Tabelle 10.1 im Lehrbuch) 4 FN ˜ 3 AN

W N max

mit AN

S 4

˜ d N2

Festigkeitsbedingung

W N max d W zul Damit folgt letztlich für die Nietteilung t: 4 FN ˜ 3 AN

W zul

4 Ft / 2 ˜ 3 AN 2 W ˜ b2 ˜ t ˜ AN 3

W zul W zul

Q ˜ H y (115 mm) 2 ˜ ˜ b2 ˜ t W zul b2 ˜ I y 3 ˜ AN t t

3 ˜ AN ˜ I y 2 ˜ Q ˜ H y (115 mm)

˜ W zul

3 ˜ S ˜ d N2 ˜ I y 8 ˜ Q ˜ H y (115 mm)

˜ W zul

3 ˜ S ˜ (12 mm) 2 ˜ 289 765 833 mm 4 ˜ 120 N/mm 2 3 8 ˜ 90 000 N ˜ 625 000 mm

104,9 mm

Anmerkung: Dasselbe Ergebnis hätte man auch aus Gleichung 10.29 (siehe Lehrbuch) mit WNmax = Wzul und Auflösung nach der Nietteilung t erhalten.

260

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Lösung zu Aufgabe 10.6 Schubspannungen im Teilungsbereich Stahlwinkel und Stegblech Q ˜ H y ( z)

W ( z)

b( z ) ˜ I y

mit Q

zwischen

F

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung der Restfläche AR bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt Die Restfläche besteht aus Gurtblech und zwei Stahlwinkeln, daher gilt: Hy

H y Gurt  2 ˜ H y Winkel

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung des Gurtbleches bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt (siehe Aufgabe 10.5):





300 mm ˜ 120 2  100 2 mm 2 2

H y Gurt

660 000 mm3

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung des Stahlwinkels bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt: H y Winkel









60 mm 10 mm ˜ 100 2  90 2 mm 2  ˜ 90 2  40 2 mm 2 2 2 57 000 mm3  32 500 mm3 89 500 mm3

Damit folgt für das Flächenmoment 1. Ordnung der Restfläche AR bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt:

Hy

660 000 mm3  2 ˜ 89 500 mm3

H y Gurt  2 ˜ H y Winkel

839 000 mm3

Berechnung der axialen Flächenmomente der Teilflächen bezüglich der y-Achse I y1 I y2a I y2b I y3

300 ˜ 203 mm 4  110 mm 2 ˜ 6 000 mm 2 72 800 000 mm 4 12 60 ˜ 103 mm 4  95 mm 2 ˜ 600 mm 2 5 420 000 mm 4 12 10 ˜ 503 mm 4  65 mm 2 ˜ 500 mm 2 2 216 667 mm 4 12 30 ˜ 2003 mm 4 20 000 000 mm 4 12

Berechnung des axialen Flächenmomentes der Gesamtfläche Iy





2 ˜ I y1  4 ˜ I y2a  I y2b  I y3





2 ˜ 72 800 000 mm 4  4 ˜ 5 420 000 mm 4  2 216 667 mm 4  20 000 000 mm 4 196146 668 mm

4

261

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Berechnung der von den Stegnieten zu übertragenden Längsschubkraft Ft

W ˜ A W ˜b˜t

F ˜ Hy b ˜ Iy

˜b˜t

F ˜ Hy Iy

˜t

Die Längsschubkraft Ft muss von einer zweischnittig auf Abscherung beanspruchten Stegniete übertragen werden. In jeder Schnittfläche herrscht die Schubkraft FN = Ft / 2. Festigkeitsbedingung W N max d W zul 4 FN ˜ 3 AN

W zul

4 Ft / 2 ˜ W zul 3 S ˜d2 N 4 8 ˜ F ˜ Hy ˜ t 3 ˜ S ˜ d N2 ˜ I y t W zul ˜

W zul

3 ˜ S ˜ d N2 ˜ I y 8 ˜ F ˜ Hy

150 N/mm2 ˜

3 ˜ S ˜ 15 mm 2 ˜ 196146 668 mm4 8 ˜ 150 000 N ˜ 839 000 mm3

61,97 mm

262

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Lösung zu Aufgabe 10.7 a) Berechnung der Lage des Flächenschwerpunktes (Teilschwerpunktsatz) zS

125 mm ˜ 250 ˜ 30 mm2  265 mm ˜ 250 ˜ 30 mm2 250 ˜ 30 mm2  250 ˜ 30 mm2 195 mm

b) Berechnung des axialen Flächenmomentes 2. Ordnung bezüglich der y-Achse Iy

30 mm ˜ 250 mm 3  70 mm 2 ˜ 30 mm ˜ 250 mm 12 250 mm ˜ 30 mm 3  - 70 mm 2 ˜ 250 mm ˜ 30 mm 12 75 812 500 mm4  37 312 500 mm 4 

113 125 000 mm4

c) Berechnung der Lagerkraft FB 6MA

0:

FB ˜ l

F˜

FB

l 4

l q˜ F 2 4 4 20 000 N

100 000 N/m ˜ 0,8 m 4

Berechnung der maximalen Querkraft Qmax

l ˜q 2 20 000 N  0,8 m ˜ 100 000 N/m  FB 

60 000 N

Schubspannungen im Teilungsbereich zwischen den Brettern (in der Leimschicht bei z = -55 mm)

W ( z)

Qmax ˜ H y ( z ) b( z ) ˜ I y

Berechnung des Flächenmomentes 1. Ordnung der Restfläche AR bezüglich der y-Achse durch den Flächenschwerpunkt H y (-55 mm)





250 mm ˜ 85 2  55 2 mm 2 2

525 000 mm 3

263

10 Schubspannungen durch Querkräfte bei Biegung

Berechnung der Schubspannung im Teilungsbereich zwischen den beiden Brettern

W (-55 mm) W

Qmax ˜ H y (-55 mm) b1 ˜ I y

60 000 N ˜ 525000 mm3 250 mm ˜ 113125 000 mm4 1,114 N/mm2

Die Schubspannung W erzeugt im Teilungsbereich zwischen den beiden Brettern (in der Leimschicht) die Längsschubkraft Ft: Ft

W ˜ b1 ˜ l

Die Längsschubkraft muss von der Leimschicht übertragen werden. In der Leimschicht entsteht dabei die Schubspannung:

W Leim

Ft A

W ˜ b1 ˜ l b2 ˜ l

1,114 N/mm2 ˜

250 mm 30 mm

9,28 N/mm2

Da WLeim < 25 N/mm2 ist die Beanspruchung ist zulässig.

264

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte 11.1 Formelsammlung zur Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte Torsion dünnwandiger, geschlossener Hohlprofile

W max

Wt

Mt 1. Bredtsche Formel 2 ˜ Am ˜ t min

Torsion dünnwandiger, offener Hohlprofile Torsionsflächenmoment (Drillwiderstand) eines aus schmalen Rechtecken zusammengesetzten offenen Hohlprofils

It

1 ˜ 3

¦h ˜t i

3 i

i

Maximale Schubspannung bei Torsion eines aus schmalen Rechtecken zusammengesetzten offenen Hohlprofils

W max

Wt

Mt Wt

Beispiel

3 ˜ tmax ˜ Mt hi ˜ ti3

¦ i

Grundgleichungen zur Torsion ausgewählter Querschnitte

W max

Wt

Mt Wt

Maximale Torsionsschubspannung in einem geraden prismatischen Stab mit beliebiger Querschnittform

Torsionsflächenmomente It und Torsionswiderstandsmomente Wt bedeutsamer Querschnittflächen

Profil

Torsionsflächenmoment It

Torsionswiderstandsmoment Wt

Vollkreis It

Ip

It

Ip

S 32

˜d4

Wt

S 16

˜d3

Kreisring 1)

1)

dickwandig

S 32



˜ D4  d 4



Wt

D4  d 4 16 D

S

˜

265

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte Torsionsflächenmomente It und Torsionswiderstandsmomente Wt bedeutsamer Querschnittflächen

Profil

Torsionsflächenmoment Torsionswiderstandsmoment It Wt

Rechteck It

c1 ˜ h ˜ b3

Wt

c1 ˜ h ˜ b2 c2

mit 1 §¨ 0,630 0,052 ·¸ c1 ˜ 1  und c2 3 ¨© h / b (h / b)5 ¸¹

1

0,650 1  ( h / b) 3

Quadrat It

0,141 ˜ a 4

Wt

It

a 3 ˜ b3 ˜ 2 16 a  b 2

Wt

It

a4 46,2

0,208 ˜ a 3

Ellipse

S

S 16

˜ a ˜ b2

Gleichseitiges Dreieck

Wt

a3 20

Dünnwandiges, geschlossenes Kreisrohr (t = konst.) It

S 4

˜ d m3 ˜ t

Wt

S 2

˜ d m2 ˜ t

Dünnwandige offene Hohlquerschnitte 1)

It

1)

1 ˜ 3

aus schmalen Rechteckquerschnitten zusammengesetzt

¦h ˜t i

i

3 i

Wt

1 ˜ 3 ˜ t max

¦h ˜t i

i

3 i

266

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte

Torsionsflächenmomente It und Torsionswiderstandsmomente Wt bedeutsamer Querschnittflächen

Profil Dünnwandige, geschlossene Hohlquerschnitte mit veränderlicher Wanddicke 1)

Torsionsflächenmoment Torsionswiderstandsmoment It Wt

It

2 4 ˜ Am ds ³ t (s)

Wt

2 ˜ Am ˜ tmin

2 4 ˜ Am ˜t Um

Wt

2 ˜ Am ˜ t

Dünnwandige, geschlossene Hohlquerschnitte mit konstanter Wanddicke 2) It

1)

³ ds / t (s) ist das Linienintegral längs der Profilmittellinie.

2)

Um ist die Länge der Mittellinie.

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte

11.2 Aufgaben Aufgabe 11.1 Der dargestellte Kastenträger aus dem unlegierten Baustahl S235JR (Re = 240 N/mm2; Rm = 440 N/mm2) hat einen dünnwandigen Rechteckquerschnitt und wird durch das Torsionsmoment Mt = 500 Nm um die Stabachse statisch beansprucht. Berechnen Sie das Maß a, damit Fließen mit einer Sicherheit von SF = 1,5 ausgeschlossen werden kann.

Aufgabe 11.2 Der dünnwandige Kastenträger aus Aufgabe 11.1 (Werkstoff S235JR; Re = 240 N/mm2; Rm = 440 N/mm2) erhält einen schmalen, durchgehenden seitlichen Schlitz (siehe Abbildung). Das statisch wirkende Torsionsmoment Mt = 500 Nm um die Stabachse soll unverändert bleiben. Berechnen Sie für diese Variante das Maß a, damit Fließen mit einer Sicherheit von SF = 1,5 ausgeschlossen werden kann.

Aufgabe 11.3 Das dargestellte dünnwandige, geschlossene Trapezprofil aus EN AW-Al Zn5Mg3Cu -T6 (Rp0,2 = 500 N/mm2; Rm = 680 N/mm2) wird durch das statisch wirkende Torsionsmoment Mt = 250 kNm um die Stabachse beansprucht. Berechnen Sie das Maß a, damit Fließen mit einer Sicherheit von SF = 1,5 ausgeschlossen werden kann.

Aufgabe 11.4 Zwei dünnwandige Stahlrohre mit Kreisringquerschnitt (Werkstoff S355J0) werden durch die um die Stabachse wirkenden Momente Mt1 und Mt2 auf Torsion beansprucht (siehe Abbildung). Während eines der beiden Stahlrohre einen durchgehenden Schlitz hat, ist das andere Stahlrohr geschlossen. Berechnen Sie das Verhältnis Mt2 / Mt1 der übertragbaren Torsionsmomente, so dass kein Fließen eintritt.

267

268

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte

11.3 Lösungen Lösung zu Aufgabe 11.1 Da es sich um ein dünnwandiges, geschlossenes Hohlprofil handelt, kann die maximale Schubspannung mit Hilfe der 1. Bredtschen Formel berechnet werden. Mt 2 ˜ Am ˜ t min

W max { W t

Mt 2 ˜ 2a ˜ a ˜ 0,1 ˜ a

Mt 0,4 ˜ a 3

Festigkeitsbedingung

W t d W t zul Mt 0,4 ˜ a 3 a

3

W tF SF

Re 2 ˜ SF

2,5 ˜ M t ˜ S F Re / 2

3

2,5 ˜ 500 000 Nmm ˜ 1,5 240 N/mm 2 /2

25 mm

269

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte

Lösung zu Aufgabe 11.2 Die maximale Schubspannung eines dünnwandigen, offenen Hohlprofils berechnet sich gemäß: Mt 3 ˜ t max W max { W t ˜ Mt Wt hi ˜ ti3

¦ i

0,1 ˜ a

mit: t max

¦h ˜t

und

i

2 ˜ 2a ˜ 0,1 ˜ a 3  2 ˜ a ˜ 0,1 ˜ a 3

3 i

0,004 ˜ a 4  0,002 ˜ a 4

0,006 ˜ a 4

i

folgt für die maximale Schubspannung: M 3 ˜ 0,1 ˜ a Wt ˜ M t 50 ˜ 3t 4 0,006 ˜ a a Festigkeitsbedingung

W t d W t zul 50 ˜

Mt a3

a

3

W tF SF

Re 2 ˜ SF

50 ˜ M t ˜ S F Re / 2

3

50 ˜ 500 000 Nmm ˜ 1,5 240 N/mm 2 /2

67,9 mm

Ein Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 11.1 und 11.2 zeigt, dass offene Hohlprofile zur Übertragung von Drehmomenten ungeeignet sind.

270

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte

Lösung zu Aufgabe 11.3 Da es sich um ein dünnwandiges, geschlossenes Hohlprofil handelt, kann die maximale Schubspannung mit Hilfe der 1. Bredtschen Formel berechnet werden.

W max

Wt

Mt 2 ˜ Am ˜ t min

0,1 ˜ a

mit: t min

a˜a  2˜

Am

1 a ˜ ˜a 2 2

a2 

a2 2

3 2 ˜a 2

Damit folgt für die maximale Schubspannung: Mt 2 ˜ Am ˜ t min

Wt

Mt 3 2 2 ˜ ˜ a ˜ 0,1a 2

Mt 0,3 ˜ a 3

Festigkeitsbedingung

W t d W t zul Mt 0,3 ˜ a 3 a

3

W tF

Rp0,2

SF

2 ˜ SF

2 ˜ M t ˜ SF 0,3 ˜ Rp0,2

3

2 ˜ 250 000 000 Nmm ˜ 1,5 0,3 ˜ 500 N/mm 2

171 mm

271

11 Torsion nicht kreisförmiger Querschnitte

Lösung zu Aufgabe 11.4 Berechnung der maximalen Schubspannung für das dünnwandige, offene Stahlrohr 3 ˜ t max ˜ M t1 hi ˜ ti3

W max 1 W t1

¦

3˜ s

S ˜ dm ˜ s3

˜ M t1

3 ˜ M t1

S ˜ dm ˜ s2

i

Festigkeitsbedingung (Fließen):

W t1 d W tF 3 ˜ M t1

W tF S ˜ dm ˜ s2 S M t1 ˜ W tF ˜ d m ˜ s 2 3

Berechnung der maximalen Schubspannung für das dünnwandige, geschlossene Stahlrohr (1. Bredtsche Formel)

W max2 W t2

M t2 2 ˜ Am ˜ t min

M t2 2˜

S 4

˜ d m2 ˜ s

2 ˜ M t2 S ˜ d m2 ˜ s

Festigkeitsbedingung (Fließen):

W t2 d W tF 2 ˜ M t2 S ˜ d m2 ˜ s M t2

S

W tF ˜ W tF ˜ d m2 ˜ s

2

Berechnung des Verhältnisses der übertragbaren Torsionsmomente

S M t2 M t1

2

S 3

˜ W tF ˜ d m2 ˜ s ˜ W tF ˜ d m ˜ s 2

3 dm ˜ 2 s

272

12 Behälter unter Innen- und Außendruck 12.1 Formelsammlung zu Behältern unter Innen- und Außendruck Dünnwandige Behälter unter Innendruck d Tangentialspannung eines dünnwandigen Behälters unter Innendruck V t pi ˜ i 2˜s

Va

pi ˜

Vr



V V SH

di 4˜s

Vt

Axialspannung eines dünnwandigen Behälters unter Innendruck

2

pi 2

Radialspannung eines dünnwandigen Behälters unter Innendruck (Mittelwert)

pi ˜

dm 2˜s

Vergleichsspannung eines dünnwandigen Behälters unter Innendruck unter Anwendung der Schubspannungshypothese

Dünnwandige Behälter unter Außendruck d V t  pa ˜ a Tangentialspannung eines dünnwandigen Behälters unter Außendruck 2˜s

Va

 pa ˜

Vr



da 4˜s

Axialspannung eines dünnwandigen Behälters unter Außendruck (Mittelwert)

pa 2

Radialspannung eines dünnwandigen Behälters unter Außendruck

Dünnwandige Hohlkugel unter Innen- bzw. Außendruck d V t pi ˜ i Tangentialspannung einer dünnwandigen Hohlkugel unter Innendruck 4˜s

Vt

 pa ˜

da 4˜s

Tangentialspannung einer dünnwandigen Hohlkugel unter Außendruck

Dünnwandige Behälter mit elliptischer Unrundheit Biegespannung in der Wand eines unrunden, dünnwandigen Behälters 2

Vb

r

3 §d · ˜ pi ˜ ¨ i ¸ ˜ N ˜ f 4 © s ¹

mit

N

2 ˜ d max  d min d max  d min

und

f

1 2

3

1 P §d · ˜ pi ˜ ¨ i ¸ 2˜ E © s ¹ Die Biegespannung Vb überlagert sich der Tangentialspannung Vt. 1

§ r2 · r2 ˜ ¨¨ a2  1¸¸  pa ˜ 2 a 2 ra  ri ©r ¹

Radialspannung

Axialspannung

Vr

Va

TangentialVt spannung

pi FB

 ri

2

3 ˜ ra2

ra2

· ¸¸ ¹ ¸ ¸ ¹

2·

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

2 2 · Re §¨ § r · § c · ˜ ln¨ ¸  ¨¨ ¸¸  1¸ ¸ 3 ¨ © c ¹ © ra ¹ ¹ ©

2 Re §¨ § r · § c ˜ ln¨ ¸  ¨¨ ¨ c r 3 © © ¹ © a

2 Re §¨ § r · § c ˜ ln¨ ¸  ¨¨ 3 ¨ © c ¹ © ra ©

Re ˜

§ r2 · ˜ ¨¨1  i2 ¸¸ © r ¹

§ r2 · ˜ ¨¨1  i2 ¸¸ © r ¹

V ri

V ai

V ti ra2  ri2

ra2  ri2  pa ˜

 pi

pi ˜ ri2  pa ˜ ra2 ra2  ri2

pi ˜ ra2  ri2

2 ˜ ra2

V ra

V aa

V ta

r2  r2 2 ˜ ri2  pa ˜ a2 i2 ra2  ri2 ra  ri

 pa

ra2  ri2

p i ˜ ri2  p a ˜ ra2

pi ˜

Spannungen am Innenrand (r = ri) Spannungen am Außenrand (r = ra)

V ri

V ai

V ti

· ¸¸ ¹

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

2 Re §¨ § ri · § c ˜ ln¨ ¸  ¨¨ ¨ c 3 © ¹ © ra ©

2 Re §¨ § ri · § c ˜ ln¨ ¸  ¨¨ 3 ¨ © c ¹ © ra ©

¸ ¸ ¹

2·

2 2 · Re §¨ § ri · § c · ˜ ln¨ ¸  ¨¨ ¸¸  1¸ ¸ 3 ¨ © c ¹ © ra ¹ © ¹

V ra

V aa

V ta

2 · · ¸  1¸ ¸ ¸ ¹ ¹

2

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

· ¸ ¸ ¹ Re §¨ § c ˜ ¨¨ 3 ¨© © ra

Re § c ˜ ¨¨ 3 © ra

Re §¨ § c ˜ ¨ 3 ¨ ¨© ra ©

Spannungen am Innenrand (r = ri) Spannungen am Außenrand (r = c)

Teilplastischer Zustand unter Innendruck - vollplastischer Innenring (ri d r d c)

ri2  ri2

Innendruck bei Fließbeginn:

ra2

Vr

Radialspannung

 pi ˜

pi ˜ ri2  pa ˜ ra2 ra2  ri2

Va

Axialspannung

§ r2 · r2 ˜ ¨¨ a2  1¸¸  pa ˜ 2 a 2 r r a  ri © ¹

pi ˜

TangentialVt spannung

ri2 ra2  ri2

Spannungsverläufe

Elastischer Zustand unter Innen- und Außendruck

Berechnungsformeln für den dickwandigen Behälter

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

273

Vr

Radialspannung

Va

Vr

Axialspannung

Radialspannung

Tangentialspannung V t



§r · ˜ Re ˜ ln¨ a ¸ 3 © r ¹

2

·· ¸ ¸¸ ¹¹

·· ¸ ¸¸ ¹¹

˜ Re ˜ ln¨¨ ¸¸ © ri ¹

§ §r ˜ Re ˜ ¨¨1  ln¨ a 3 ©r ©

2

3

Re § §r ˜ ¨¨1  2 ˜ ln¨ a 3 © ©r

pi VPL

V ri

V ai

V ti



§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨c ¸ © ¹

§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨c ¸ © ¹

Re c 2 ˜ 3 ra2

Re c 2 ˜ 3 ra2

Re c 2 ˜ 3 ra2

V ra

V aa

V ta

Re c 2 ˜ 3 ra2

0

Re c 2 ˜ 3 ra2

2˜

V ri

V ai

V ti



3

2

§r ˜ Re ˜ ln¨¨ a © ri

· ¸¸ ¹

§r Re § ˜ ¨1  2 ˜ ln¨¨ a 3 ¨© © ri

·· ¸¸ ¸ ¸ ¹¹ ·· ¸¸ ¸ ¸ ¹¹

§ §r ˜ Re ˜ ¨1  ln¨¨ a ¨ 3 © ri ©

2

V ra

V aa

V ta

0

3

Re

3

2

˜ Re

Spannungen am Innenrand (r = ri) Spannungen am Außenrand (r = ra)

Vollplastischer Zustand unter Innendruck

Innendruck mit Erreichen des vollplastischen Zustandes: § ra · 2

§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨r ¸ © ¹

§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨r ¸ © ¹

Re c 2 ˜ 3 ra2

Re c 2 ˜ 3 ra2

Va

Axialspannung



Re c 2 ˜ 3 ra2

e ˜ ln¨ ¸  ¨¨ ¸¸  1¸ 3 ¨ ¨© ri ¸¹ © ra ¹ © ¹

TangentialVt spannung

pic

Zusammenhang zwischen Innendruck und Grenz- Spannungen am Innenrand (r = c) Spannungen am Außenrand (r = ra) 2 2 · radius c: §c· R §¨ § c · ¸

Teilplastischer Zustand unter Innendruck - elastischer Außenring (c < r d ra)

Fortsetzung: Berechnungsformeln für den dickwandigen Behälter

274 12.2 Dickwandige Behälter

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

275

12.2 Aufgaben Aufgabe 12.1

{{{{z

Ein Hochdruck-Hydraulikzylinder (Außendurchmesser da = 50 mm; Wandstärke s = 2,5 mm) aus 42CrMo4 ist für einen maximalen statischen Innendruck von pi = 25 MPa ausgelegt. Berechnen Sie die Spannungskomponenten in der Zylinderwand.

Aufgabe 12.2

{{{zz

Ein Druckspeichergefäß mit einem Innendurchmesser von di = 150 mm und einer Wandstärke von s = 10 mm soll in eine hydraulische Anlage eingebaut werden. a) Berechnen Sie den zulässigen statischen Innendruck pi, falls der Zylinder aus: 1. der unlegierten Baustahlsorte P295GH (Berechnung gegen Fließen; SF = 1,5) 2. der Graugusssorte EN-GJL-200 (Berechnung gegen Bruch; SB = 4,0) gefertigt werden soll. b) Ermitteln Sie für beide Werkstoffvarianten jeweils die mittlere Aufweitung des Behälters, d. h. die Vergrößerung des mittleren Behälterdurchmessers. Werkstoffkennwerte P295GH: Re = 310 N/mm2 Rm = 550 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 Werkstoffkennwerte EN-GJL-200: Rm = 200 N/mm2 E = 100000 N/mm2 μ = 0,25

Aufgabe 12.3 An einem beidseitig verschlossenen Rohr aus der unlegierten Stahlsorte C45E+QT mit einem Innendurchmesser von di = 140 mm und einer Wandstärke von s = 5 mm werden in Tangentialrichtung und in Axialrichtung Dehnungsmessungen durchgeführt. Werkstoffkennwerte C45E+QT: Rp0,2 = 420 N/mm2 Rm = 750 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30

{{{zz

276

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

a) Berechnen Sie den Innendruck p1, falls mit Hilfe der Dehnungsmessstreifen in Tangentialrichtung eine Dehnung von Ht1 = 0,8095 ‰ und in Axialrichtung Ha1 = 0,1905 ‰ ermittelt wird. b) Zusätzlich zum Innendruck p1 soll eine statische Zugkraft F1 in Axialrichtung des Rohres wirken. Berechnen Sie die zulässige statische Zugkraft F1, falls Fließen mit einer Sicherheit von SF = 1,5 ausgeschlossen werden soll. c) Bei einem zweiten Versuch wird der Druckbehälter durch einen unbekannten Innendruck p2 und eine unbekannte Längskraft F2 statisch beansprucht. Berechnen Sie den Innendruck und die Längskraft für eine Dehnungsanzeige von Ht2 = 0,2524 ‰ und Ha2 = 0,5743 ‰.

Aufgabe 12.4

{{{zz

Ein zylindrischer Druckbehälter mit einem Innendurchmesser von di = 500 mm und einer Wandstärke von s = 8 mm aus der Stahlsorte P355GH (Re = 355 N/mm2; Rm = 620 N/mm2; E = 210000 N/mm2; μ = 0,30) wird durch den Innendruck pi statisch beansprucht (Abbildung a). Die zulässige Tangentialspannung Vt im zylindrischen Mantel muss aus Sicherheitsgründen auf Vt = 250 N/mm2 beschränkt werden. a) Berechnen Sie den zulässigen statischen Innendruck. b) Ermitteln Sie die Axialspannung Va und die Radialspannung Vr in der Behälterwand. c) Berechnen Sie die Aufweitung des Druckbehälters am Außenrand, d. h. die Vergrößerung des äußeren Zylinderdurchmessers. d) Überprüfen Sie, ob eine ausreichende Sicherheit gegen Fließen vorliegt. Bei einer Variante des Druckbehälters wird ein axial beweglicher, druckdichter Deckel verwendet (Abbildung b). e) Berechnen Sie die erforderliche Haltekraft F, damit der Deckel keine axiale Verschiebung erfährt (pi = 8 MPa). f) Berechnen Sie für diese Variante die Tangential-, die Axial- und die Radialspannung im Bereich A der zylindrischen Behälterwand. g) Bestimmen Sie mit Hilfe des Mohr’schen Spannungskreises die maximale Schubspannung in der von Vt und Va aufgespannten Ebene (Zylindermantelfläche) für den geschlossenen Behälter sowie für den Behälter mit Deckel.

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Aufgabe 12.5

277 {{zzz

Ein beidseitig verschlossenes Rohrstück einer Hochdruck-Dampfleitung aus der warmfesten Stahlsorte 16Mo3 wird für eine Materialuntersuchung durch einen statischen Innendruck pi beansprucht. Der Innendurchmesser des Rohres beträgt di = 240 mm, die Wandstärke s = 16 mm und die Länge l = 2500 mm. An der Außenoberfläche des Rohres werden die Dehnungen Ht = 0,4048 ‰ (in tangentialer Richtung) und Ha = 0,0952 ‰ (in axialer Richtung) gemessen. Werkstoffkennwerte 16Mo3: Rp0,2 = 280 N/mm2 Rm = 570 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Berechnen Sie aus den experimentell ermittelten Dehnungswerten (Ht und Ha) die Tangentialspannung Vt und die Axialspannung Va. b) Ermitteln Sie den wirkenden statischen Innendruck pi. c) Berechnen Sie den zulässigen Innendruck, falls eine Sicherheit gegen Fließen von SF = 1,6 gefordert wird. Für eine zusätzliche Druckzuführung muss das Rohr mit einer Querbohrung mit t = 24 mm Durchmesser versehen werden. d) Berechnen für einen statischen Innendruck von pi = 10 MPa jeweils für die höchst beanspruchte Stelle: 1. die Sicherheit gegen Fließen, 2. die Sicherheit gegen das Erreichen einer plastischen Dehnung von Hpl = 0,30 %.

278

Aufgabe 12.6

12 Behälter unter Innen- und Außendruck {{zzz

An der Außenoberfläche eines Druckbehälters (di = 400 mm; s = 10 mm) aus der legierten Stahlsorte 13CrMo4-5 werden die Dehnungen Ht = 0,929 ‰ (in tangentialer Richtung) und Ha = -0,929 ‰ (in axialer Richtung) gemessen. Der Druckbehälter wird durch einen unbekannten Innendruck pi und eine unbekannte axiale Druckkraft F statisch beansprucht. Werkstoffkennwerte 13CrMo4-5: Rp0,2 = 380 N/mm2 Rm = 620 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Berechnen Sie aus den experimentell ermittelten Dehnungswerten (Ht und Ha) die Tangentialspannung Vt und die Axialspannung Va. b) Zeichnen Sie den Mohr’schen Spannungskreis für die durch Vt und Va aufgespannte Ebene (Zylindermantelfläche). Ermitteln Sie diejenigen Schnittflächen dieser Ebene, die keine Schubspannungen beinhalten. Welche Schnittflächen enthalten hingegen keine Normalspannungen? c) Berechnen Sie die Sicherheit gegen Fließen. Ist die Sicherheit ausreichend? d) Ermitteln Sie den Innendruck pi und die axiale Druckkraft F, die gemeinsam die Dehnungen Ht und Ha verursachen. e) Anstelle einer Beanspruchung aus Innendruck pi mit überlagerter Druckkraft F, kann derselbe Spannungszustand in der Behälterwand auch durch eine andere Beanspruchungsart erzeugt werden. Nennen Sie eine mögliche Beanspruchung und berechnen Sie deren Größe.

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Aufgabe 12.7

279 {zzzz

Die Abbildung zeigt einen beidseitig verschlossenen, dünnwandigen Hochdruckbehälter aus der unlegierten Vergütungsstahlsorte C45E (E = 210000 N/mm2, μ = 0,30). Der Außendurchmesser des Druckbehälters beträgt da = 160 mm und die Wandstärke s = 10 mm. An der markierten Stelle ("X") des Druckbehälters wird eine 0°-45°-90° DMS-Rosette appliziert. Der Behälter wird auf unterschiedliche Weise beansprucht.

Bei einem ersten Versuch wird der (drucklose) Behälter mit einer statischen Zugkraft von F = 500 kN belastet. a) Ermitteln Sie die Dehnungen in Axial-, Tangential- und in 45°-Richtung. b) Zeichnen Sie für die Beanspruchung durch die Zugkraft F den Mohr’schen Spannungskreis sowie den Mohr’schen Verformungskreis. Bei einem zweiten Versuch wird der Hochdruckbehälter mit einem statischen Innendruck von pi = 15 MPa beaufschlagt. c) Ermitteln Sie die Dehnungen in Axial-, Tangential- und in 45°-Richtung. d) Zeichnen Sie für die Beanspruchung durch den Innendruck pi den Mohr’schen Spannungskreis sowie den Mohr’schen Verformungskreis. Bei einem dritten Versuch wird der Behälter mit einem statisch wirkenden Biegemoment von Mb = 13500 Nm belastet. e) Ermitteln Sie die Dehnungen in Axial-, Tangential- und in 45°-Richtung. f) Zeichnen Sie für die Beanspruchung durch das Biegemoment Mb den Mohr’schen Spannungskreis sowie den Mohr’schen Verformungskreis. Bei einem vierten Versuch wird der Behälter schließlich mit einem statischen Torsionsmoment von Mt = 15000 Nm belastet. g) Ermitteln Sie die Dehnungen in Axial-, Tangential- und in 45°-Richtung. h) Zeichnen Sie für die Beanspruchung durch das Torsionsmoment Mt den Mohr’schen Spannungskreis sowie den Mohr’schen Verformungskreis.

280

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Aufgabe 12.8 Am Umfang eines dünnwandigen, beidseitig verschlossenen Hohlzylinders aus Werkstoff 34CrNiMo6 wurden an vier jeweils um 90° zueinander versetzten Stellen Dehnungsmessstreifen in gleicher Weise appliziert (siehe Abbildung). Der Hohlzylinder wird durch den Innendruck pi, das Biegemoment Mb und das Torsionsmoment Mt statisch beansprucht.

{zzzz Messstelle

1

2 und 4

3

Ha

[‰]

0,449

0,146

-0,156

Ht

[‰]

0,531

0,622

0,713

H45

[‰]

0,785

0,679

0,573

Werkstoffkennwerte 34CrNiMo6: Re = 270 N/mm2 Rm = 420 N/mm2 E = 205000 N/mm2 μ = 0,30

Berechnen Sie aus den Messergebnissen (siehe Tabelle) den Innendruck pi, das Biegemoment Mb und das Torsionsmoment Mt.

Aufgabe 12.9 Ein dickwandiges, an beiden Enden verschlossenes Rohrstück aus dem niedrig legierten Vergütungsstahl 20MnMoNi5-5 wird durch einen statischen Innendruck beansprucht. Zur Überwachung des Innendrucks sind auf der Außenoberfläche des Rohres zwei Dehnungsmessstreifen in der dargestellten Weise appliziert worden (siehe Abbildung).

{zzzz

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

281

Werkstoffkennwerte 20MnMoNi5-5: Rp0,2 = 340 N/mm2 Rm = 650 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Berechnen Sie den statisch wirkenden Innendruck, falls an der Außenoberfläche die Dehnungen HA = 0,158 ‰ und HB = 0,042 ‰ gemessen werden. Bestimmen Sie außerdem die Hauptnormalspannungen sowie die Hauptspannungsrichtungen. Das Rohrstück kann zunächst als elastisch beansprucht angesehen werden. b) Ermitteln Sie den Innendruck piFB bei Fließbeginn des Rohres. c) Um das Rohr höher auszunutzen, wird ein plastischer Bereich bis zum Radius c = 30 mm zugelassen. Berechnen Sie den nunmehr zulässigen Innendruck pic. Es kann ein linear-elastisch ideal-plastisches Werkstoffverhalten angenommen werden. d) Ermitteln Sie die Messwerte der Dehnungsmessstreifen an der Außenoberfläche (H*A und H*B) sofern der Innendruck pic aus Aufgabenteil c) wirkt. e) Skizzieren Sie mit Hilfe der Spannungswerte am Innenrand, am Radius c und am Außenrand, maßstäblich den Verlauf der Tangential-, Axial- und Radialspannung über der Wanddicke bei der Beanspruchung mit pic. f) Berechnen Sie die Eigenspannungen nach dem Entlasten an der Innenseite sowie an der Außenseite des Rohres.

Aufgabe 12.10

zzzzz

Ein dickwandiger Druckbehälter aus Werkstoff 30CrNiMo8 wird durch einen unbekannten statischen Innendruck pi und ein unbekanntes statisches Torsionsmoment Mt belastet. Zur Ermittlung der Belastung wird eine 0°-45°-90° DMS-Rosette unter 45° zur Rohrachse appliziert (siehe Abbildung). Nach dem Aufbringen der Belastung (pi und Mt) werden die folgenden Dehnungen ermittelt: DMS A: HA = 0,1496 ‰ DMS B: HB = 1,1657 ‰ DMS C: HC = 1,2904 ‰ Werkstoffkennwerte 30CrNiMo8: Rp0,2 = 980 N/mm2 Rm = 1450 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30

282

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

a) Berechnen Sie aus den experimentell ermittelten Dehnungen den Innendruck pi und das Torsionsmoment Mt unter der Voraussetzung eines elastisch beanspruchten Druckbehälters. b) Überprüfen Sie, unter Zugrundelegung der Gestaltänderungsenergiehypothese, ob bei der Belastung gemäß Aufgabenteil a), der Behälter überhaupt noch vollelastisch beansprucht war. Führen Sie den Nachweis für die Innen- und die Außenoberfläche des Rohres durch. Der Druckbehälter wird in einer zweiten Versuchsreihe nur noch durch einen statisch wirkenden Innendruck pi beaufschlagt. Das Torsionsmoment Mt wirkt nicht mehr (Mt = 0) c) Ermitteln Sie den Innendruck pi FB der zum Fließen des Druckbehälters führt. Verwenden Sie für Ihre Berechnung die Gestaltänderungsenergiehypothese. d) Bestimmen Sie den Innendruck pic der erforderlich ist, um den inneren Teil der Behälterwand bis in eine Tiefe von 10 mm (c = 60 mm) zu plastifizieren. Es kann ein linear-elastisches ideal-plastisches Werkstoffverhalten angenommen werden. e) Bestimmen Sie für den Innendruck pic (siehe Aufgabenteil d) die Dehnungsanzeigen von DMS A, DMS B und DMS C.

Aufgabe 12.11

{{zzz

Ein Druckbehälter mit di = 600 mm und s = 12 mm aus dem legierten Vergütungsstahl 50CrMo4 wird im Betrieb durch den statisch wirkenden Innendruck pi = 20 MPa sowie durch die statisch wirkenden Kräfte F1 = 900 kN und F2 = 1500 kN belastet. Im Rahmen einer experimentellen Spannungsanalyse werden vier Dehnungsmessstreifen appliziert. Die Messebenen von DMS B und DMS C fallen hierbei mit der neutralen Faser zusammen (siehe Abbildung). Werkstoffkennwerte 50CrMo4: Rp0,2 = 870 N/mm2 Rm = 1080 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Berechnen Sie die Dehnungsanzeigen der vier Dehnungsmessstreifen, falls der Druckbehälter durch den Innendruck pi sowie durch die Kräfte F1 und F2 beansprucht wird. Schubspannungen durch Querkräfte sollen vernachlässigt werden. b) Berechnen Sie, unter Verwendung der Schubspannungshypothese, die Sicherheit gegen Fließen an der höchst beanspruchten Stelle der Außenoberfläche. Ist die Sicherheit ausreichend? Hinweis: Versuchen Sie, zur weiteren Übung, aus den in Aufgabenteil a) errechneten Dehnungen die Kräfte F1 und F2 sowie den Innendruck pi zu berechnen.

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Aufgabe 12.12

283 {{zzz

Zur Ermittlung des unbekannten Innendrucks pi werden an einem dünnwandigen Hochdruckbehälter (di = 450 mm; s = 15 mm) aus Werkstoff P355GH zwei Dehnungsmessstreifen appliziert (siehe Abbildung). Ermitteln Sie den statisch wirkenden Innendruck pi für die folgenden Dehnungswerte: DMS A: HA = 0,1972 ‰ DMS B: HB = 0,5528 ‰ Werkstoffkennwerte P355GH: Rp0,2 = 400 N/mm2 Rm = 630 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30

Aufgabe 12.13

{zzzz

Ein Druckbehälter aus Werkstoff 16Mo3 (di = 300 mm; s = 15 mm) wird durch einen unbekannten Innendruck pi und ein zusätzliches, unbekanntes Torsionsmoment Mt beansprucht. Ermitteln Sie den Innendruck pi sowie den Betrag und die Wirkungsrichtung des Torsionsmomentes Mt, falls die auf der Behälteroberfläche applizierte DMS-Rosette (siehe Abbildung) die folgenden Messwerte liefert: HA = 0,2011 ‰ HB = 0,5715 ‰ HC = 0,3989 ‰ Werkstoffkennwerte 16Mo3: Rp0,2 = 275 N/mm2 Rm = 510 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30

Aufgabe 12.14

{zzzz

Für den Teleskopzylinder einer Aufzugsanlage soll ein Festigkeitsnachweis für die Stellen 1 bis 4 (siehe Abbildung) erbracht werden. Der Teleskopzylinder besteht im Wesentlichen aus zwei ineinander geführten Stahlrohren aus Werkstoff 42CrMo4 (di1 = 60 mm; s1 = 5 mm; di2 = 80 mm). Reibung sowie radiale Druckkräfte im Bereich der Dichtstellen können vernachlässigt werden. Außerdem soll das Eigengewicht vernachlässigt werden. Werkstoffkennwerte 42CrMo4: Rp0,2 = 780 N/mm2 Rm = 1090 N/mm2 E = 208000 N/mm2 μ = 0,30

284

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

a) Berechnen Sie den erforderlichen Innendruck pi, um die Last F = 150 kN in einer Höhe von h = 500 mm im Gleichgewicht zu halten. b) Ermitteln Sie unter Verwendung der Schubspannungshypothese die Sicherheit gegen Fließen (SF) in der Zylinderwand an der Stelle 1 für den Innendruck pi (siehe Aufgabenteil a). Ist die Sicherheit ausreichend, falls SF t 1,5 gefordert wird? c) Dimensionieren Sie für den in Aufgabenteil a) errechneten Innendruck pi, die Dicke s2 der äußeren Zylinderwand so, dass die Sicherheit gegen Fließen an der Stelle 4 der Sicherheit gegen Fließen an der Stelle 1 entspricht. d) Ermitteln Sie für den in Aufgabenteil a) errechneten Innendruck pi und die in Aufgabenteil c) berechnete Wanddicke s2 die Sicherheit gegen Versagen an der Stelle 3 des äußeren Zylinders. Zur Kontrolle des Innendrucks wird auf der Außenoberfläche des inneren Zylinders ein Dehnungsmessstreifen (DMS) appliziert. Durch eine Montageungenauigkeit schließt der DMS mit der Zylinderlängsachse einen Winkel von D = 15° ein (siehe Abbildung). e) Berechnen Sie den Messwert des Dehnungsmessstreifens für den Innendruck pi aus Aufgabenteil a). Der maximale Innendruck wird durch ein Überdruckventil auf pmax = 40 MPa begrenzt. Die Wanddicke des äußeren Zylinders wird zu s2 = 6 mm gewählt. f) Berechnen Sie für den Innendruck pmax = 40 MPa und eine Last von F = 150 kN die Sicherheiten gegen Fließen an den Stellen 1 und 4. Sind die Sicherheiten ausreichend, falls SF t 1,50 gefordert wird? Hinweis: Berücksichtigen Sie bei der Berechnung der Sicherheiten gegen Fließen die neue Position des inneren Zylinders und die mögliche Auswirkung auf die Spannungskomponenten. Für den Radius an der Stelle 2 kann eine Formzahl von Dk = 2,25 angenommen werden, die sich außerdem nur auf die Axialspannung überhöhend auswirken soll. g) Überprüfen Sie, ob für den Innendruck pmax = 40 MPa an der Kerbstelle 2 noch eine ausreichende Sicherheit gegen Fließen gegeben ist.

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Aufgabe 12.15

285 {{{zz

Weisen Sie rechnerisch für die Außenoberfläche eines dünnwandigen Druckbehälters aus einem duktilen Werkstoff (Streckgrenze Re) unter Innendruck nach, dass Fließen erst eintritt, falls die Tangentialspannung das 1,155-fache der Streckgrenze des Behälterwerkstoffs erreicht.

286

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

12.3 Lösungen Lösung zu Aufgabe 12.1 Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 50 mm 1,11  1,20 (dünnwandig) d i 45 mm Berechnung der Spannungskomponenten Tangentialspannung: 45 mm d V t pi ˜ i 25 N/mm 2 ˜ 225 N/mm 2 2 ˜ 2,5 mm 2˜s Axialspannung: d V a pi ˜ i 4˜s

Vt 2

225 N/mm 2 2

Radialspannung (Mittelwert): p V r  i 12,5 N/mm 2 2

112,5 N/mm 2

287

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.2 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 170 mm 1,13  1,20 (dünnwandig) d i 150 mm Berechnung des zulässigen Innendrucks für P295GH Festigkeitsbedingung: R V V SH d e SF Re SF

V1  V 3

pi ˜ d i § pi ·  ¨ ¸ 2˜s © 2 ¹ 2 ˜ s Re ˜ di  s SF

pi

Re SF 2 ˜ 10 mm 310 N/mm 2 ˜ 150 mm  10 mm 1,5

25,83 N/mm 2

25,83 MPa

Berechnung des zulässigen Innendrucks für EN-GJL-200 Festigkeitsbedingung:

V V NH d V1

Rm SB

pi ˜ d i 2˜s pi

Rm SB

Rm SB

2 ˜ s Rm ˜ di S B

2 ˜ 10 mm 200 N/mm 2 ˜ 150 mm 4,0

6,67 N/mm 2

6,67 MPa

b) Berechnung der Vergrößerung des mittleren Zylinderdurchmessers für P295GH Hookesches Gesetz für den dreiachsigen Spannungszustand:

Ht

1 ˜ V t  P ˜ V a  V r E pi E

§ d 1 ·· § d ˜ ¨¨ i  P ˜ ¨ i  ¸ ¸¸ 2 4 2 ¹¹ ˜ ˜ s s © ©

25,83 N/mm 2 210 000 N/mm 2

Ht 'd m

1 § pi ˜ d i p ·· § p ˜d ˜¨  P ˜ ¨ i i  i ¸ ¸¸ 4 2 ¹¹ E ¨© 2 ˜ s s ˜ ©

'U m Um

§ 150 mm § 150 mm 1 · · ˜ ¨¨  0,30 ˜ ¨¨  ¸¸ ¸¸ © 4 ˜ 10 mm 2 ¹ ¹ © 2 ˜ 10 mm S ˜ ' d m 'd m S ˜ dm dm

H t ˜ dm

0,000803

H t ˜ d i  s 0,000803 ˜  150 mm  10 mm 0,128 mm

288

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Berechnung der Vergrößerung des mittleren Zylinderdurchmessers für EN-GJL-200

Ht

'd m

§ d 1 ·· § d ˜ ¨¨ i  P ˜ ¨ i  ¸ ¸¸ ˜ s ˜ s 2 4 2 ¹¹ © © § 150 mm 1 · · 6,67 N/mm 2 §¨ 150 mm ˜  0,25 ˜ ¨¨  ¸¸ ¸¸ 2 ¨ 100 000 N/mm © 2 ˜ 10 mm © 4 ˜ 10 mm 2 ¹ ¹ pi E

H t ˜ dm

0,000446

H t ˜ d i  s 0,000446 ˜ 150 mm  10 mm 0,071 mm

289

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.3 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses da di

150 mm 140 mm

1,07  1,20 (dünnwandig)

Berechnung der Spannungen in Tangential- und Axialrichtung durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand, da Außenoberfläche)

V t1

E ˜ H t  P ˜ H a 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,8095 ‰  0,30 ˜ 0,1905 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

200 N/mm 2

Berechnung des Innendrucks p1 d V t1 p1 ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 5 mm ˜ V t1 ˜ 200 N/mm 2 p1 140 mm di

14,29 N/mm 2

14,29 MPa

b) Berechnung der Axial- und Radialspannung

V a1 V r1

200 N/mm 2 100 N/mm 2 2 2 p 14,29 N/mm 2  i 7,14 N/mm 2 2 2

Vt

Die Zugspannung Vz = F1 / A aus der Zugkraft F1 überlagert sich linear der Axialspannung aus Innendruck, so dass die gesamte Axialspannung größer wird, im Vergleich zur Tangentialspannung (Annahme). Es folgt also für die Hauptnormalspannungen:

V a ges

V a1 

F1 { V1 A

V r1 { V 3 Festigkeitsbedingung:

V V SH d V1  V 3 V a1 

Rp0,2 SF Rp0,2 SF

F1  V r1 A

Rp0,2 SF

290

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

F1

§ Rp0,2 ·  V r1  V a1 ¸¸ A ˜ ¨¨ © SF ¹ · § 420 N/mm 2 ˜ 150 2  140 2 mm 2 ˜ ¨¨  7,14 N/mm 2  100 N/mm 2 ¸¸ 4 1,5 ¹ © 393 709 N 393,7 kN

S





c) Berechnung der Spannungen in Tangential- und Axialrichtung durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand, da Außenoberfläche)

V t2

E ˜ H t2  P ˜ H a2 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,2524 ‰  0,30 ˜ 0,5743 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

98 N/mm 2

V a2

E ˜ H a2  P ˜ H t2 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,5743 ‰  0,30 ˜ 0,2524 ‰ ˜ 10  3 2 1 - 0,30

150 N/mm 2

Berechnung des Innendrucks p2 d V t2 p2 ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 5 mm p2 ˜ V t1 ˜ 98 N/mm 2 di 140 mm

7 N/mm 2

7 MPa

Berechnung der Zugkraft F2 d F V a2 p2 ˜ i  2 4˜s A d · § F2 A ˜ ¨ V a2  p2 ˜ i ¸ 4 ˜s¹ © § 140 mm · ¸ ˜ 150 2  140 2 mm 2 ˜ ¨¨150 N/mm 2  7 N/mm 2 ˜ 4 ˜ 5 mm ¸¹ 4 © 230 037 N 230 kN

S





291

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.4 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 516 mm 1,03  1,20 (dünnwandig) d i 500 mm Berechnung des Innendrucks pi d V t pi ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 8 mm pi ˜V t ˜ 250 N/mm 2 di 500 mm

8 N/mm 2

8 MPa

b) Berechnung der Axial- und Radialspannung

Va Vr

250 N/mm 2 125 N/mm 2 2 2 8 N/mm 2 p  i  4 N/mm 2 2 2

Vt

c) Berechnung der Vergrößerung des mittleren Zylinderdurchmessers (zweiachsiger Spannungszustand an der Behälteroberfläche)

Ht Ht 'd a

1 250 N/mm 2  0,30 ˜ 125 N/mm 2 ˜ V t  P ˜ V a E 210 000 N/mm 2 'U a S ˜ 'd a 'd a Ua S ˜ da da

H t ˜ da

0,00101 ˜ 516 mm

0,00101

0,522 mm

d) Berechnung der Sicherheiten gegen Fließen und Bruch Festigkeitsbedingung (Fließen)

V V SH d

Re SF

V1  V 3

Re SF

Vt Vr

Re SF

SF

Re Vt Vr

355 N/mm 2 250 N/mm 2  (4 N/mm 2 )

1,40 (ausreichend, da S F ! 1,20)

292

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

e) Berechnung der Haltekraft F F F pi A S ˜d2 a 4 F

S 4

˜ d a2 ˜ pi

S 4

˜ 516 mm 2 ˜ 8 N/mm 2

1 672 939 N

1 672,9 kN

f) Ermittlung der Spannungskomponenten

Vt Va

250 N/mm 2

Vr

 4 N/mm 2

(unverändert)

0 (unverändert)

g) Mohrsche Spannungskreise und maximale Schubspannungen Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen (nur Innendruck). Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptnormalspannungen. Die Bildpunkte Pt und Pa welche die Spannungen in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der VAchse zusammen und der Mohrsche Spannungskreis lässt sich auf einfache Weise konstruieren. Für die maximalen Schubspannungen erhält man: Geschlossener Behälter: W max 1

Behälter mit Deckel:

W max 2

Vt Va 2

250 N/mm 2  125 N/mm 2 2

Vt Va

Vt  0

Vt

2

2

2

125 N/mm 2

62,5 N/mm 2

293

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.5 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 272 mm 1,13  1,20 (dünnwandig) d i 240 mm Berechnung der Spannungen in Tangential- und Axialrichtung durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand, da Außenoberfläche)

Vt

E ˜ H t  P ˜ H a 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,4048 ‰  0,30 ˜ 0,0952 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

100 N/mm 2

Va

E ˜ H a  P ˜ H t 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,0952 ‰  0,30 ˜ 0,4048 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

50 N/mm 2

b) Berechnung des Innendrucks pi d V t pi ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 16 mm ˜V t ˜ 100 N/mm 2 pi di 240 mm

13,33 N/mm 2

13,33 MPa

c) Berechnung des zulässigen Innendrucks Festigkeitsbedingung (Fließen):

V V SH d

Rp0,2 SF

V1  V 3

Rp0,2 SF

pi ˜ d i § pi · Rp0,2  ¨ ¸ 2˜s © 2 ¹ SF d  s Rp0,2 pi ˜ i 2˜s SF pi

Rp0,2 SF

˜

2˜s di  s

280 N/mm 2 2 ˜ 16 mm ˜ 1,6 240 mm  16 mm

21,88 N/mm 2

21,88 MPa

294

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

d1) Ermittlung der Formzahl 24 mm t 0,1 d i 240 mm aus Formzahldiagramm abgelesen: Dk = 2,84 Festigkeitsbedingung: Rp0,2

V max

SF Rp0,2

V n ˜Dk

SF Rp0,2

p ˜ di ˜Dk 2˜s SF

SF

2 ˜ s ˜ Rp0,2

p ˜ di ˜ D k

2 ˜ 16 mm ˜ 280 N/mm 2 10 N/mm 2 ˜ 240 mm ˜ 2,84

1,31 (ausreichend, da S F ! 1,20)

d2) Berechnung der plastischen Stützziffer npl 1

npl

H pl HF

1

H pl

1

Rp0,2 / E

0,003 280 N/mm / 210000 N/mm 2 2

1,80

Berechnung des Innendrucks bei Fließbeginn (pF) Fließbedingung:

V max

Rp0,2

V n ˜Dk

Rp0,2

pF ˜ d i ˜ D k Rp0,2 2˜s 2 ˜ s ˜ Rp0,2 2 ˜ 16 mm ˜ 280 N/mm 2 pF 240 mm ˜ 2,84 di ˜ D k

13,15 N/mm 2

Berechnung des Innendrucks ppl mit Erreichen einer Dehnung von Hpl = 0,3% npl ppl

ppl pF npl ˜ pF

1,80 ˜ 13,15 N/mm 2

23,698 N/mm 2

Damit folgt für die Sicherheit gegen das Erreichen der Dehnung Hpl: S pl

ppl pi

23,698 N/mm 2 10 N/mm 2

2,37

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

295

Lösung zu Aufgabe 12.6 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 420 mm 1,05  1,20 (dünnwandig) d i 400 mm Berechnung der Spannungen in Tangential- und Axialrichtung durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand, da Außenoberfläche)

Vt

E ˜ H t  P ˜ H a 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,929 ‰  0,30 ˜  0,929 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

150,1 N/mm 2

Va

E ˜ H a  P ˜ H t 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜  0,929 ‰  0,30 ˜ 0,929 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

150,1 N/mm 2

b) Mohrscher Spannungskreis und maximale Schubspannungen Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen. Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptnomalspannungen. Die Bildpunkte Pt (Vt _ 0) und Pa (Va _ 0) welche die Spannungen in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der V-Achse zusammen und der Mohrsche Spannungskreis lässt sich auf einfache Weise konstruieren. x Ebene 1 und Ebene 2 sind schubspannungsfrei. x Ebene 3 und Ebene 4 sind frei von Normalspannungen.

296

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

c) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung (Fließen):

V V SH d

Rp0,2 SF Rp0,2

V1  V 3

SF Rp0,2

Vt Va SF

SF

Rp0,2

Vt Va

380 N/mm 2 150,1 N/mm 2  (150,1 N/mm 2 )

d) Berechnung des Innendrucks pi d V t pi ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 10 mm ˜V t ˜ 150,1 N/mm 2 pi 400 mm di

1,27 (ausreichend, da S F ! 1,20)

7,50 N/mm 2

7,50 MPa

Berechnung der Druckkraft F

Va F

di F  4˜s A V · § A ˜ ¨V a  t ¸ 2 ¹ © pi ˜

Vt 2



F A

§ 150,1 N/mm 2 ·¸ ˜ 420 2  400 2 mm 2 ˜ ¨¨  150,1 N/mm 2  ¸ 4 2 © ¹ 2 899 457 N 2 899,5 kN

S





e) Mögliche Beanspruchung zur Erzeugung desselben Spannungszustandes: Torsion (siehe Mohrscher Spannungskreis in Aufgabenteil b) Berechnung des Torsionsmomentes

Wt

Vt

150,1 N/mm 2

Mt Wt

Vt

Mt

V t ˜ Wt

Vt ˜

(siehe Mohrscher Spannungskreis)

S §¨ d a4  d i4 ·¸ ˜

16 ¨© 387 054 473 Nmm

150,1 N/mm 2 ˜

¸ ¹ 387,1 kNm da

S §¨ 420 4  400 4 ·¸

˜ 16 ¨©

420

¸ mm ¹

3

297

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.7 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 160 mm 1,14  1,20 (dünnwandig) d i 140 mm Berechnung der Spannungskomponenten für Zugbeanspruchung Axialspannung: F A

Va { Vz

F

S 4

˜



d a2

500 000 N  d i2



S 4



2

2



˜ 160  140 mm

106,1 N/mm 2 2

Tangentialspannung:

Vt

0

Berechnung der Dehnungen mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Ha

1 106,1 N/mm 2  0,30 ˜ 0 N/mm 2 ˜ V a  P ˜ V t E 210 000 N/mm 2

Ht

1 ˜ V t  P ˜ V a E

H 45

Ha  Ht 2

0,000505

0,505 ‰

0  0,30 ˜ 106,1 N/mm 2 0,000152 0,152 ‰ 210 000 N/mm 2 0,505 ‰   0,152 ‰ 0,177 ‰ (vgl. Mohrscher Verformungskreis) 2

b) Mohrscher Spannungs- und Verformungskreis bei Zugbeanspruchung Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen. Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptnormalspannungen. Die Bildpunkte Pt (0 _ 0) und Pa (Vz _ 0) welche die Spannungen in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der V-Achse zusammen. Der Mohrsche Spannungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren. Entsprechendes gilt für die Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises.

298

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

c) Berechnung der Spannungskomponenten bei Beanspruchung durch Innendruck Axialspannung: d 140 mm V a pi ˜ i 15 N/mm 2 ˜ 52,5 N/mm 2 4˜s 4 ˜ 10 mm Tangentialspannung: d 140 mm V t pi ˜ i 15 N/mm 2 ˜ 2˜s 2 ˜ 10 mm

105 N/mm 2

Berechnung der Dehnungen mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Ha Ht

H 45

1 ˜ V a  P ˜ V t E

52,5 N/mm 2  0,30 ˜ 105 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,0001 0,1 ‰

1 105  0,30 ˜ 52,5 N/mm 2 ˜ V t  P ˜ V a 0,000425 0,425 ‰ E 210 000 N/mm 2 H a  H t 0,100 ‰  0,425 ‰ 0,263 ‰ (siehe Mohrscher Verformungskreis) 2 2

d) Mohrscher Spannungs- und Verformungskreis bei Beanspruchung durch Innendruck Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen. Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptspannungen. Die Bildpunkte Pt (Vt _ 0) und Pa (Va _ 0) welche die Spannungskomponenten in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der VAchse zusammen. Der Mohrsche Spannungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren. Entsprechendes gilt für die Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises.

e) Berechnung der Spannungskomponenten bei Beanspruchung durch gerade Biegung Axialspannung: Mb Mb 13 500 000 Nmm Va { Vb 81,13 N/mm 2 4 4 Wb S 160 4  140 4 S da  di mm3 ˜ ˜ 32 160 da 32

299

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Tangentialspannung:

Vt

0

Berechnung der Dehnungen mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Ha Ht H 45

1 ˜ V a  P ˜ V t E

81,13 N/mm 2  0,30 ˜ 0 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,000386

0,386 ‰

1 0  0,30 ˜ 81,13 N/mm 2 ˜ V t  P ˜ V a 0,000116 0,116 ‰ E 210 000 N/mm 2 H a  H t 0,386 ‰   0,116 ‰ 0,135 ‰ (vgl. Mohr' scher Verformungskreis) 2 2

f) Mohrscher Spannungs- und Verformungskreis bei Beanspruchung durch (gerade) Biegung Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen. Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptnormalspannungen. Die Bildpunkte Pt (0 _ 0) und Pa (Va _ 0) welche die Spannungen in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der V-Achse zusammen. Der Mohrsche Spannungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren. Entsprechendes gilt für die Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises.

g) Berechnung der Spannungskomponenten bei Beanspruchung durch Torsion Berechnung des Torsionsmomentes: Mt Mt 15 000 000 Nmm Wt 45,07 N/mm 2 4 4 Wt S 160 4  140 4 S da  di ˜ mm 3 ˜ 16 160 16 da Tangentialspannung: Vt 0 Axialspannung:

Va

0

300

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Berechnung der Dehnungen mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes

Ha Ht J at

0 0

W at

Wt

Wt

G

G

E 2 ˜ 1  P

2 ˜ 1  P ˜W t E

2 ˜ 1  0,30 210 000 N/mm 2

˜ 45,07 N/mm 2

0,558 ‰

H 45

J at 2

0,000279

0,279 ‰

h) Mohrscher Spannungs- und Verformungskreis bei Beanspruchung durch Torsion Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten nur Schubspannungen. Die Bildpunkte Pt (Wt _ 0) und Pa (-Wt _ 0) welche die Spannungen in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der W-Achse zusammen. Der Mohrsche Spannungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren.

301

Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.8 Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 210 mm 1,05  1,20 (dünnwandig) d i 200 mm Für die Berechnung des Innendrucks sowie des Torsionsmomentes wird zunächst Messstelle 2 (neutrale Faser) gewählt. Berechnung der Tangetial- und Axialspannung (Hookesches Gesetz für den zweiachsigen Spannungszustand) Tangentialspannung (Messstelle 2):

V t2

E ˜ H t2  P ˜ H a2 1 P2

205 000 N/mm 2 ˜ 0,622 ‰  0,30 ˜ 0,146 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

149,99 N/mm 2

Berechnung des Innendrucks Die Tangentialspannung Vt2 kann nur durch die Beanspruchung aus Innendruck pi hervorgerufen werden. Daher gilt: d V t2 pi ˜ i 2˜s 2˜ s 2 ˜ 5 mm ˜ V t2 ˜ 149,99 N/mm 2 7,5 N/mm 2 7,5 MPa pi 200 mm di Berechnung des Torsionsmomentes An der Messstelle 2 liegt eine 0°-45°-90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohrsche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden (siehe Abbildung).

Berechnung der Schiebung Jat:

J at 2

J at

H  Ht · § H 45  H M ¨ H 45  a ¸ 2 ¹ © 0,590 ‰

0,146 ‰  0,622 ‰ · § ¨ 0,679 ‰ ¸ 2 © ¹

0,295 ‰

302

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Berechnung der Schubspannung unter Verwendung des Elastizitätsgesetzes für Schubbeanspruchung:

W at { W t

E ˜ J at 2 ˜ 1  P

G ˜ J at

205 000 N/mm 2 ˜ - 0,590 ˜ 10  3 2 ˜ 1  0,30

46,52 N/mm 2

Berechnung des Torsionsmomentes: Mt Wt Wt Mt

W t ˜ Wt

Wt ˜

S d a4  d i4 16

˜

da

46,52 N/mm 2 ˜

S 210 4  200 4 16

˜

210

mm 3

14 997 642 Nmm 14 998 Nm

Das Torsionsmoment wirkt entsprechend der Darstellung in der Aufgabenstellung. Berechnung der Biegespannung Messstelle 1 (oder 3) befindet sich außerhalb der neutralen Faser, so dass dort Spannungen aus Innendruck, Torsion und Biegung auftreten. Es genügt an der Messstelle 1 (oder 3) die Axialspannung zu betrachten. Berechnung der Axialspannung (Messstelle 1):

V a1

E ˜ H a1  P ˜ H t1 1 P2

205 000 N/mm 2 ˜ 0,449 ‰  0,30 ˜ 0,531 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

137,03 N/mm 2

Die Axialspannung an der Messstelle 1 ergibt sich durch Überlagerung der Axialspannung aus Innendruck und der Biegespannung, also:

Vt

di Vb 4˜s

V a1

pi ˜

Vb

V a1 

Vt 2

2

Vb

137,03 N/mm 2 

149,99 N/mm 2 2

62,04 N/mm 2

Berechnung des Biegemomentes: Mb Vb Wb Mb

V b ˜ Wb

Vb ˜

d a4  d i4 32 da

S

˜

62,04 N/mm 2 ˜

10 000 849 Nmm 10 000 Nm

210 4  200 4 mm3 32 210

S

˜

303

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.9 a) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 120 mm 3 ! 1,20 (dickwandig) di 40 mm Berechnung der Spannungen in Messrichtung der DMS (Anwendung des Hookesches Gesetz für den zweiachsigen Spannungszustand) 210 000 N/mm 2 E VA  H P H ˜  ˜ ˜ 0,158 ‰  0,30 ˜ 0,042 ‰ ˜ 10  3 A B 2 2 1 P 1 - 0,30 39,37 N/mm 2

VB

E ˜ H B  P ˜ H A 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,042 ‰  0,30 ˜ 0,158 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

20,63 N/mm 2

Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen. Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptnormalspannungen. Die Bildpunkte Pt und Pa welche die Spannungen in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der V-Achse zusammen und der Mohrsche Verformungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren. Die Bildpunkte PB und PA erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels (2˜10° bzw. 2˜10° + 180°) ausgehend von der nunmehr bekannten Axialrichtung (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Spannungskreises

VM R

VA VB 2

VA VB 2

˜

39,37 N/mm 2  20,63 N/mm 2 2 1 cos(2 ˜ M )

30 N/mm 2

39,37 N/mm 2  20,63 N/mm 2 1 ˜ 2 cos(2 ˜ 10q)

V t { V 1 V M  R 30 N/mm 2  9,97 N/mm 2

39,97 N/mm 2

V a { V 2 V M  R 30 N/mm 2  9,97 N/mm 2 Vr { V3 0

20,03 N/mm 2

9,97 N/mm 2

Für die Tangentialspannung in einem elastisch beanspruchten, dickwandigen Behälter (dickwandiges, beidseitig verschlossenes Rohr) unter Innendruck (pa = 0) gilt:

304

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Vt

pi ˜

ra2

ri2  ri2

· § r2 ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ¹ ©r

Am Außenrand ergibt sich mit r = ra:

Vt

pi ˜

2 ˜ ri2 ra2  ri2

Damit folgt für den Innendruck pi: pi

Vt ˜

ra2  ri2 2 ˜ ri2

39,97 N/mm 2 ˜

60

2



 20 2 mm 2

2 ˜ 20 mm

2

159,88 N/mm 2

159,88 MPa

b) Berechnung des Innendrucks bei Fließbeginn des Rohres pi FB

Rp0,2 ˜

ra2  ri2

340 N/mm 2 ˜

3 ˜ ra2

174,49 N/mm 2

60

2



 20 2 mm 2

3 ˜ 60 2 mm 2

174,49 MPa

c) Berechnung des Innendrucks bei einer zulässigen Plastifizierung des Innenrings bis zum Radius c = 30 mm (teilplastischer Zustand) pic

2 Rp0,2 §¨ § c · § c ˜ ln¨¨ ¸¸  ¨¨ 3 ¨ © ri ¹ © ra ©

306,41 N/mm 2

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

2 2 · 340 N/mm 2 §¨ § 30 mm · § 30 mm · ¸¸  1¸ ¸¸  ¨¨ ˜ ln¨¨ ¨ © 20 mm ¹ © 60 mm ¹ ¸ 3 © ¹

306,41 MPa

d) Berechnung der Tangential- und Axialspannung an der Außenoberfläche (r = ra) des Behälters (elastischer Außenring) Am Außenrand ergibt sich mit (r = ra):

Vt

· § r2 ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ¹ ©r

Rp0,2 c 2 ˜ 3 ra2

2

Rp0,2 c 2 ˜ ˜2 3 ra2

2 § 30 mm · ¸ ˜ 340 N/mm 2 ˜¨ 3 ¨© 60 mm ¸¹

98,15 N/mm 2

Va

Rp0,2 c 2 ˜ 3 ra2

340 N/mm 2 § 30 mm · ¸¸ ˜ ¨¨ 3 © 60 mm ¹

2

49,07 N/mm 2

Berechnung der Spannungen in Messrichtung der Dehnungsmessstreifen

VA

VA

Vt Va

Vt Va

˜ cos 2M 2 2 98,15 N/mm 2  49,07 N/mm 2 98,15 N/mm 2  49,07 N/mm 2  ˜ cos(2 ˜ 10q) 2 2 96,67 N/mm 2 

305

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

VB

Vt Va

V Va  t ˜ cos 2M 2 2 98,15 N/mm 2  49,07 N/mm 2 98,15 N/mm 2  49,07 N/mm 2  ˜ cos(2 ˜ 10q) 2 2 50,55 N/mm 2

Berechnung der Dehnungen in Messrichtung der Dehnungsmessstreifen (Anwendung des Hookeschen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand)

H A*

1 ˜ V A  P ˜ V B E

96,67 N/mm 2  0,30 ˜ 50,55 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,000388

H B*

1 ˜ V B  P ˜ V A E

50,55 N/mm 2  0,30 ˜ 96,67 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,000103 0,103 ‰

0,388 ‰

e) Berechnung der Spannungen am Innenrand (ri = 20 mm), am Radius c = 30 mm und am Außenrand (ra = 60 mm) Spannungsverlauf im vollplastischen Innenring (ri < r < c) x Tangentialspannung: V t

Rp0,2 §¨ § r · 2 § c ˜ ln¨ ¸  ¨ 3 ¨ © c ¹ ¨© ra ©

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

x Axialspannung:

Va

Rp0,2 §¨ § r · 2 § c ˜ ln¨ ¸  ¨ 3 ¨ © c ¹ ¨© ra ©

· ¸¸ ¹

x Radialspannung:

Vr

2 · Rp0,2 §¨ § r · 2 § c · ˜ ln¨ ¸  ¨¨ ¸¸  1¸ ¨ ¸ 3 © c ¹ © ra ¹ © ¹

2·

¸ ¸ ¹

Spannungsverlauf im elastischen Außenring (c < r < ra) x Tangentialspannung:

Vt

Rp0,2 c 2 ˜ 3 ra2

x Axialspannung:

Va

Rp0,2 c 2 ˜ 3 ra2

x Radialspannung:

Vr



· § r2 ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ¹ ©r

Rp0,2 c 2 ˜ 3 ra2

§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

306

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Spannungskomponente

vollplastischer Innenring r = ri = 20 mm

r = c = 30 mm

r = c = 30 mm

r = ra = 60 mm

2

2

2

98,15 N/mm2

86,19 N/mm

Tangentialspannung

elastischer Außenring

245,37 N/mm

245,37 N/mm

Axialspannung

-110,11 N/mm2

49,07 N/mm2

49,07 N/mm2

49,07 N/mm2

Radialspannung

-306,41 N/mm2

-147,22 N/mm2

-147,22 N/mm2

0 N/mm2

f) Spannungskomponenten am Innenrand, falls der gesamte Behälter elastisch verformt wäre (ideelle Spannungen)

V t id

V a id

§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨r ¸ © ¹ 383,01 N/mm pi ˜

ra2

ri2  ri2

 pi ˜

ra2  ri2 ra2  ri2

306,41 N/mm 2 ˜ 20 mm 2

pi ˜ ri2 ra2  ri2

60 mm  20 mm 2

2

V r id

pi ˜

ri 2 ra  ri2

§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

2

 pi ˜

ri2 ra2  ri2

306,41 N/mm 2 ˜

60 mm 2  20 mm 2 60 mm 2  20 mm 2

38,30 N/mm 2 § r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ © ri ¹

 pi

306,41 N/mm 2

Tatsächlich wirkende Spannungen am Innenrand (aus Aufgabenteil e)

V t 86,19 N/mm V a 110,11 N/mm V r 306,41 N/mm Eigenspannungen am Innenrand V t ei V t  V t id 86,19 N/mm 2  383,01 N/mm 2

296,86 N/mm 2

307

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

V a ei V a  V a id

110,11 N/mm 2  38,30 N/mm 2

V r ei V r  V r id

306,41 N/mm 2   306,41 N/mm 2

148,41 N/mm 2 0

Spannungskomponenten am Außenrand, falls der gesamte Behälter elastisch verformt wäre (ideelle Spannungen) § r2 · 2˜ r2 2 ˜ 20 mm 2 r2 V t id pi ˜ 2 i 2 ˜ ¨¨ a2  1¸¸ pi ˜ 2 i 2 306,41 N/mm 2 ˜ 60 mm 2  20 mm 2 ra  ri ra  ri © r ¹ 76,60 N/mm

V a id

pi ˜ ri2 ra2  ri2

V r id

0

306,41 N/mm 2 ˜ 20 mm 2 60 mm 2  20 mm 2

38,30 N/mm 2

Tatsächlich wirkende Spannungen am Außenrand (aus Aufgabenteil e)

V t 98,15 N/mm V a 49,07 N/mm V r 0 N/mm Eigenspannungen am Außenrand

V t ei V t  V t id V a ei V a  V a id V r ei V r  V r id

98,15 N/mm 2  76,60 N/mm 2 49,07 N/mm 2  38,30 N/mm 2 00 0

21,55 N/mm 2 10,77 N/mm 2

308

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.10 a) Es liegt eine 0°-45°-90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohrsche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden (siehe Abbildung).

Berechnung der Dehnungen in Tangential- und Axialrichtung (Ht und Ha) sowie der Schiebung Jt mit der Axialrichtung als Bezug H A  H C 0,1496 ‰  1,2904 ‰ HM 0,720 ‰ 2 2 H t { H B 1,1657 ‰ H a { H M  H B  H M 0,720 ‰ - 1,1657 ‰ - 0,720 ‰ 0,2743 ‰

J at 2

J at

HM HA

0,720 ‰ - 0,1496 ‰

0,5704 ‰

1,1408 ‰

Berechnung des Innendrucks Berechnung der Tangentialspannung unter Anwendung des Hookeschen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand. Annahme: Behälter ist elastisch beansprucht.

Vt

E ˜ H t  P ˜ H a 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 1,1657 ‰  0,30 ˜ 0,2743 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

288 N/mm 2

Tangentialspannung am Außenrand (r = ra) eines dickwandigen Behälters unter Innendruck:

Vt

pi ˜

pi

Vt ˜

ra2

ri2  ri2

ra2  ri2 2 ˜ ri2

§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

pi ˜

288 N/mm 2 ˜

2 ˜ ri2 ra2  ri2

75 mm 2  50 mm 2 2 ˜ 50 mm 2

180 N/mm 2

180 MPa

309

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Berechnung des Torsionsmomentes Elastizitätsgesetz für Schubspannungen:

W at { W t

210 000 N/mm 2 ˜ 1,1408 ˜ 10  3 2 ˜ 1  0,30

E ˜ J at 2 ˜ 1  P

G ˜ J at

92,14 N/mm 2

Berechnung des Torsionsmomentes: Mt Wt Wt Mt

W t ˜ Wt

Wt ˜

S d a4  d i4 16

˜

48 999 028 Nmm

92,14 N/mm 2 ˜

da

S 150 4  100 4 16

˜

150

mm3

49 000 Nm

b) Innenrand des Behälters Berechnung der Spannungskomponenten am Innenrand (r = ri = 50 mm) Tangentialspannung:

Vt

pi ˜

ri2 ra2  ri2

§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨r ¸ © ¹

180 N/mm 2 ˜

pi ˜

ra2  ri2 ra2  ri2

75 mm 2  50 mm 2 75 mm 2  50 mm 2

468 N/mm 2

Axialspannung: pi ˜ ri2 180 N/mm 2 ˜ 50 mm 2 ˜ ra2  ri2 75 mm 2  50 mm 2 Radialspannung:

144 N/mm 2

Va

Vr

 pi ˜

ra2

ri2  ri2

§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

 pi

180 N/mm 2

Schubspannung am Innenrand (Strahlensatz):

W ti

W ta ˜

ri ra

92,14 N/mm 2 ˜

50 mm 75 mm

61,43 N/mm 2

Berechnung der Hauptspannungen in der t-a-Ebene (Mantelfläche) Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Spannungskreises:

VM R

Vt Va 2

468 N/mm 2  144 N/mm 2 2

306 N/mm 2

V t  V M 2  W t2 (468 N/mm 2  306 N/mm 2 ) 2  (61,43 N/mm 2 ) 2

173,26 N/mm 2

310

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Damit folgt für die Hauptspannungen in der t-a-Ebene:

V H1 V M  R 306 N/mm 2  173,26 N/mm 2 V H2

479,26 N/mm 2

V M  R 306 N/mm 2  173,26 N/mm 2 132,74 N/mm 2

Ordnen der Hauptspannungen ergibt:

V 1 { V H1

479,26 N/mm 2

V 2 { V H2

132,74 N/mm 2  180 N/mm 2

V3 { Vr

Berechnung der Vergleichsspannung an der Innenoberfläche (Anwendung der Gestaltänderungsenergiehypothese)

V VGEH V VGEH

1 2 1 2

˜

V 1  V 2 2  V 2  V 3 2  V 3  V 1 2

˜

479,26  132,74 2  132,74  180 2   180  479,26 2

N/mm 2

571,19 N/mm 2

Es gilt: VV GEH < Rp0,2 Der Behälter ist damit am Innenrand noch elastisch beansprucht.

Außenrand des Behälters Berechnung der Spannungskomponenten am Außenrand (r = ra = 75 mm) Tangentialspannung:

Vt

pi ˜

ri2 ra2  ri2

§ r2 · ˜ ¨¨ a2  1¸¸ ©r ¹

180 N/mm 2 ˜

pi ˜

2 ˜ ri2 ra2  ri2

2 ˜ 50 mm 2

75 mm 2  50 mm 2

288 N/mm 2

311

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Axialspannung:

Va

pi ˜ ri2 ra2  ri2

˜

180 N/mm 2 ˜ 50 mm 2

75 mm 2  50 mm 2

144 N/mm 2

Radialspannung:

Vr

0

Schubspannung am Außenrand:

W ta

92,14 N/mm 2

Da an der Außenoberfläche ein zweiachsiger Spannungszustand vorliegt, kann die Vergleichsspannung nach der GEH auch direkt aus den Lastspannungen ermittelt werden (siehe Kapitel 6.4 im Lehrbuch):

V VGEH

V a2  V t2  V a ˜ V t  3 ˜ W t2

V VGEH

144 2  2882  144 ˜ 288  3 ˜ 92,14 2 N/mm 2 296,10 N/mm 2

Es gilt: VV GEH < Rp0,2 Der Behälter ist damit am Außenrand ebenfalls noch elastisch beansprucht. Anmerkung: Wie zu erwarten, ist die Vergleichsspannung am Außenrand niedriger im Vergleich zum Innenrand, da der Innenrand eines durch Innendruck beanspruchten Behälters stets die höchst beanspruchte Stelle darstellt. c) Berechnung des Innendrucks bei Fließbeginn des Rohres pi FB

Rp0,2 ˜

ra2  ri2

3

˜ ra2 2

314,3 N/mm

980 N/mm 2 ˜

(752  50 2 ) mm 2 3 ˜ 75 2 mm 2

314,4 MPa

d) Berechnung des Innendrucks bei einer zulässigen Plastifizierung bis c = 60 mm pic

2 Rp0,2 §¨ § c · § c ˜ ln¨¨ ¸¸  ¨¨ 3 ¨ © ri ¹ © ra ©

410,0 N/mm 2

2 · · ¸¸  1¸ ¸ ¹ ¹

2 2 · 980 N/mm 2 §¨ § 60 mm · § 60 mm · ¸¸  1¸ ¸¸  ¨¨ ˜ ln¨¨ ¸ ¨ © 50 mm ¹ © 75 mm ¹ 3 ¹ ©

410,0 MPa

e) Berechnung der Tangential- und Axialspannung an der Außenoberfläche (r = ra) des Behälters (elastischer Außenring)

Vt

R p0,2 c 2 ˜ 3 ra2

§ r2 · ˜ ¨ a2  1¸ ¨r ¸ © ¹

R p0,2 c 2 ˜ ˜2 3 ra2

2

2 § 60 mm · ¸¸ ˜ 980 N/mm 2 ˜ ¨¨ 7 5 mm 3 © ¹

724,23 N/mm 2

312

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Va

R p0,2 c 2 ˜ 3 ra2

980 N/mm 2 § 60 mm · ¸¸ ˜ ¨¨ 3 © 75 mm ¹

2

362,11 N/mm 2

Berechnung der Dehnungen in Tangential- und Axialrichtung unter Anwendung des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Ht

1 ˜ V t  P ˜ V a E

724,23 N/mm 2  0,30 ˜ 362,11 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,0029314

2,9314 ‰

Ha

1 ˜ V a  P ˜ V t E

362,11 N/mm 2  0,30 ˜ 724,23 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,0006897

0,6897 ‰

Da voraussetzungsgemäß kein Torsionsmoment mehr wirkt, sind die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Axial- und Tangentialrichtung schubspannungsfrei. Daher erfährt ein achsparalleles Flächenelement keine Schiebung (Winkelverzerrung). Die Bildpunkte Pa und Pt, welche die Verformungen mit der Axial- bzw. Tangentialrichtung als Bezugsrichtung repräsentieren, fallen daher mit der H-Achse zusammen, d. h. die Axial- und die Tangentialrichtung sind gleichzeitig Hauptdehnungsrichtungen. Der Mohrsche Verformungskreis lässt sich damit auf einfache Weise konstruieren (siehe Abbildung). Die Bildpunkte PA und PC, welche die Verformungen mit der A- bzw. C-Richtung als Bezugsrichtung repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkel 2˜45° bzw. 2˜45° +180° ausgehend von der nunmehr bekannten Tangentialrichtung (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Damit erhält man für die Dehnungen in A- und C-Richtung:

HA

HC

H t  Ha 2

2,9314 ‰  0,6897 ‰ 2

1,8106 ‰

Die Dehnung in B-Richtung ist identisch mit der Dehnung in Tangentialrichtung. Es gilt daher:

HB

Ht

2,9314 ‰

313

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.11 Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 624 mm 1,04  1,20 (dünnwandig) d i 600 mm Berechnung der Spannungskomponenten an der Außenseite (Messstellen der DMS) Spannungskomponenten aus Innendruck Tangentialspannung: d 600 mm V t pi ˜ i 20 N/mm 2 ˜ 500 N/mm 2 2˜s 2 ˜ 12 mm Axialspannung: dt 2

di 4˜s Radialspannung:

Va

pi ˜

Vr

0

500 N/mm 2 2

250 N/mm 2

Spannungskomponenten aus Biegebeanspruchung

Vb

Mb Wb

F1 ˜a 2 S d a4  d i4 ˜ 32 da

900 000 N ˜ 850 mm 2 S 624 4  600 4 ˜ mm3 32 624

Spannungskomponenten aus Zugbeanspruchung 1 500 000 N F2 F2 Vz S A S ˜ d2  d2 ˜ 624 2  600 2 mm 2 a i 4 4









110,44 N/mm 2

65,01 N/mm 2

Berechnung der Dehnungsanzeigen der DMS (zweiachsiger Spannungszustand)

HC

HB

1 ˜ V z  V a  P ˜ V t E 65,01 N/mm 2  250 N/mm 2  0,30 ˜ 500 N/mm 2 210 000 N/mm 2

1 ˜ V t  P ˜ V z  V a E 500 N/mm 2  0,30 ˜ 65,01 N/mm 2  250 N/mm 2 210 000 N/mm 2



HA

0,0007858



0,7858 ‰

0,0019309 1,9309 ‰

1 ˜ V z  V a  V b  P ˜ V t E 65,01 N/mm 2  250 N/mm 2  110,44 N/mm 2  0,30 ˜ 500 N/mm 2 210 000 N/mm 2

314

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

0,0002599

HD

0,2599 ‰

1 ˜ V z  V a  V b  P ˜ V t E 65,01 N/mm 2  250 N/mm 2  110,44 N/mm 2  0,30 ˜ 500 N/mm 2 210 000 N/mm 2 0,0013117 1,3117 ‰

b) Die höchst beanspruchte Stelle befindet sich an der Messstelle von DMS D. Da keine Schubspannungen auftreten, sind die Normalspannungen gleichzeitig Hauptnormalspannungen. Spannungen an der Messstelle von DMS D

V H1 V a  V z  V b

250 N/mm 2  65,01 N/mm 2  110,44 N/mm 2

500 N/mm 2

V H2 V t V H3 V r

0

Ordnen der Hauptspannungen: V 1 V H2 500 N/mm 2 425,45 N/mm 2

V 2 V H1 V 3 V H3

0

Festigkeitsbedingung (Verwendung der Schubspannungshypothese)

V V SH d V zul V1  V 3 SF

Rp0,2 SF

Rp0,2 SF

Rp0,2

V1  V 3

870 N/mm 2 500 N/mm 2  0

1,74 (ausreichend, da S F ! 1,20)

425,45 N/mm 2

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

315

Lösung zu Aufgabe 12.12 Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 480 mm 1,07  1,20 (dünnwandig) d i 450 mm Die Schnittflächen mit der Axial- und Tangentialrichtung als Normale sind schubspannungsfrei (nur Innendruck). Daher erfährt ein achsparalleles Flächenelement auch keine Schiebung (Winkelverzerrung). Die Bildpunkte Pa und Pt, welche die Verformungen mit der Axial- bzw. Tangentialrichtung als Bezugsrichtung repräsentieren, fallen daher mit der H-Achse zusammen, d. h. die Axialund die Tangentialrichtung sind gleichzeitig Hauptdehnungsrichtungen. Der Mohrsche Verformungskreis lässt sich damit entsprechend der Abbildung auf einfache Weise konstruieren. Die Bildpunkte PA und PB, welche die Verformungen mit der A- bzw. B-Richtung als Bezugsrichtung repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkel 2˜20° bzw. 2˜20°+180° ausgehend von der nunmehr bekannten Axialrichtung (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Verformungskreises H A  H B 0,1972 ‰  0,5528 ‰ HM 0,375 ‰ 2 2 H M  H A 0,375 ‰  0,1972 ‰ R 0,2321 ‰ cos 2D cos(2 ˜ 20q) Berechnung der Dehnungen in Tangential- und Axialrichtung (Ht und Ha)

Ht Ha

H M  R 0,375 ‰  0,2321 ‰ 0,6071 ‰ H M  R 0,375 ‰  0,2321 ‰ 0,1429 ‰

Berechnung der Spannungen in Tangentialrichtung durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Vt

E ˜ H t  P ˜ H a 1 P2 150 N/mm 2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,6071 ‰  0,30 ˜ 0,1429 ‰ ˜ 10  3 1 - 0,30 2

316 Berechnung des Innendrucks pi d V t pi ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 15 mm pi V t ˜ 150 N/mm 2 ˜ di 450 mm

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

10 N/mm 2

10 MPa

317

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.13 Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a 330 mm 1,1  1,20 (dünnwandig) d i 300 mm Es liegt eine 0°-45°-90° DMS-Rosette vor. Daher kann der Mohrsche Verformungskreis entsprechend Kapitel 4.4.2 (siehe Lehrbuch) auf einfache Weise konstruiert werden (siehe Abbildung).

Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Verformungskreises H A  H C 0,2011 ‰  0,3989 ‰ HM 0,3 ‰ 2 2 R

H B  H M 2  H M  H A 2 0,5715 ‰  0,3 ‰ 2  0,3 ‰  0,2011 ‰ 2

0,2890 ‰

Berechnung des Winkels D zwischen der Messrichtung von DMS B und der Hauptdehnungsrichtung HH1

D

§ H  HA arctan¨¨ M © HB  HM

· ¸¸ ¹

§ 0,3 ‰  0,2011 ‰ · ¸¸ arctan¨¨ © 0,5715 ‰  0,3 ‰ ¹

arctan 0,364

Damit folgt für den Richtungswinkel E:

E

90q  D  2 ˜ 10q

50q

Berechnung der Dehnungen in Tangential- und Axialrichtung

H t H M  R ˜ cos E H a H M  R ˜ cos E

0,3 ‰  0,289 ‰ ˜ cos 50q

0,4858 ‰

0,3 ‰  0,289 ‰ ˜ cos 50q

0,1142 ‰

20q

318

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Berechnung der Normalspannung in Tangentialrichtung (Vt) durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

Vt

E ˜ H t  P ˜ H a 1 P2

210 000 N/mm 2 ˜ 0,4858 ‰  0,3 ˜ 0,1142 ‰ ˜ 10  3 2 1 - 0,3

120 N/mm 2

Berechnung des Innendrucks pi d V t pi ˜ i 2˜s 2˜s 2 ˜ 15 mm 120 N/mm 2 ˜ pi V t ˜ 300 mm di

12 N/mm 2

12 MPa

Berechnung der Schiebung Jat mit der Axialrichtung als Bezugsrichtung

J at 2

J at

 R ˜ sin E

0,289 ‰ ˜ sin 50q

0,2213 ‰

(Winkelverkleinerung gemäß Vorzeichenregelung für Schiebungen)

0,4426 ‰

Berechnung der Schubspannung Wt durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes für Schubbeanspruchung 210 000 N/mm 2 E W at { W t G ˜ J at ˜ J at ˜ - 0,4426 ‰ ˜10 3 35,8 N/mm 2 2 ˜ 1  P 2 ˜ 1  0,30





Berechnung des Torsionsmomentes Mt Wt Wt Mt

W t ˜ Wt

Wt ˜

S d a4  d i4 16

˜

80 000 000 Nmm

da

35,8 N/mm 2 ˜

S 330 4  300 4 16

˜

330

mm 3

80 000 Nm

Das Torsionsmoment wirkt entgegen der in der Aufgabenstellung eingezeichneten Richtung.

319

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.14 a) Berechnung des Innendrucks pi

F A

F

S 4

150 000 N

S

˜ d i22

4

29,84 N/mm 2

29,84 MPa

˜ 80 mm

2

b) Berechnung des Durchmesserverhältnisses d a1 70 mm 1,17  1,20 (dünnwandig) d i1 60 mm Berechnung der Spannungskomponenten an der Stelle 1 Tangentialspannung: d i1 60 mm 29,84 N/mm 2 ˜ 179,05 N/mm 2 2 ˜ s1 2 ˜ 5 mm Axialspannung (erhält man durch Freischneiden des Deckels, siehe Abbildung):

Vt

pi ˜

 F  pi ˜

Va

S 4

S 4

˜ d i12



2 ˜ d a1  d i12



- 150 000 N  29,84 N/mm 2 ˜

S



S 4

˜ 60 mm 2



˜ 70 2  60 2 mm 2 4 64,27 N/mm 2

Radialspannung: p V r  i 14,92 N/mm 2 2 Hauptspannungen

V1 V t

179,05 N/mm 2

V2

Vr

14,92 N/mm 2

V3

Va

64,27 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V1  V 3 SF

Rp0,2 SF

Rp0,2 SF

Rp0,2

V1  V 3

780 N/mm 2 179,05 N/mm 2  (64,27 N/mm 2 )

3,21 (ausreichend, da S F ! 1,50)

320

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Bemerkung: Für Druckbehälterberechnungen wählt man aufgrund des Gefährdungspotenziales in der Regel einen höheren Sicherheitsbeiwert gegen plastische Verformung (SF t 1,50). c) Berechnung der Spannungskomponenten an der Stelle 4 Annahme: der äußere Zylinder ist dünnwandig. Tangentialspannung: d V t pi ˜ i2 2 ˜ s2 Axialspannung:

Va

0 (keine Reibung)

Radialspannung: p Vr  i 2 Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V1  V 3 pi ˜

Rp0,2 SF

Rp0,2 SF

d i2 § pi ·  ¨ ¸ 2 ˜ s2 © 2 ¹

Rp0,2 SF

§ d 1 · Rp0,2 pi ˜ ¨¨ i2  ¸¸ SF © 2 ˜ s2 2 ¹ Rp0,2 1 d i2  2 ˜ s2 2 pi ˜ S F s2

d i2 R § p0,2 1· 2 ˜ ¨¨  ¸¸ ˜ p S © i F 2¹

80 mm § 780 N/mm 2 1· 2 ˜ ¨¨  ¸¸ 2 © 29,84 N/mm ˜ 3,21 2 ¹

5,23 mm

Überprüfung, ob der Behälter tatsächlich dünnwandig ist d a2 90,45 mm 1,13  1,20 (dünnwandig) d i2 80 mm d) An der Stelle 3 herrscht kein Innendruck (Dichtungen), daher sind dort keine Spannungskomponenten aus Innendruck vorhanden. Da voraussetzungsgemäß außerdem keine Reibung auftritt, liegen auch keine Axialspannungen vor. Die Stelle 3 ist also spannungsfrei, d. h. VV = 0. Die Sicherheit gegen Fließen ist dementsprechend unendlich.

321

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

e) Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Die Schnittflächen mit den Flächennormalen in Tangential- und Axialrichtung enthalten keine Schubspannungen (nur Innendruck). Die Normalspannungen in diesen Schnittebenen sind dementsprechend Hauptspannungen. Die Bildpunkte Pt und Pa welche die Spannungen in diesen Schnittebenen repräsentieren, fallen dementsprechend mit der V-Achse zusammen und der Mohrsche Verformungskreis lässt sich auf einfache Weise konstruieren. Die Bildpunkte Pa' (Schnittfläche mit Flächennormale in a'-Richtung) und Pt' erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels (2˜15° bzw. 2˜15° + 180°) ausgehend von der nunmehr bekannten Axial- oder Tangentialrichtung (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Berechnung der Spannungen Va' und Vt'

V a'

V t V a



V t V a

˜ cos 2 2 179,05 N/mm 2  - 64,27 N/mm 2 179,05 N/mm 2  - 64,27 N/mm 2  ˜ cos2 ˜15q 2 2 -47,98 N/mm 2



V t'







V t V a

V V a  t ˜ cos 2D 2 2 179,05 N/mm 2  - 64,27 N/mm 2 179,05 N/mm 2  - 64,27 N/mm 2  ˜ cos2 ˜15q 2 2 162,75 N/mm 2









Berechnung der Dehnung in Messrichtung des Dehnungsmessstreifens 1 ˜ V a'  P ˜ V t' E  47,98 N/mm 2  0,30 ˜ 162,75 N/mm 2 208 000 N/mm 2

H a' { H DMS

0,000465

 0,465 ‰

f) Bei einem Innendruck von pmax = 40 MPa ist der innere Zylinder voll ausgefahren, d. h. in beiden Zylindern tritt zusätzlich eine Axialspannung aus Innendruck auf. Berechnung der Spannungskomponenten an der Stelle 1 Tangentialspannung: d 60 mm V t pmax ˜ i1 40 N/mm 2 ˜ 240 N/mm 2 2 ˜ s1 2 ˜ 5 mm

322

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Axialspannung:

Va

 F  pmax ˜

S 4

˜



2 d a1

S 4

˜ d i12

 d i12



- 150 000 N  40 N/mm 2 ˜

S 4



2

2

S 4



˜ 70  60 mm

˜ 60 mm 2

36,14 N/mm 2

2

Radialspannung: p V r  max 20 N/mm 2 2 Hauptspannungen

V1 V t

240 N/mm 2

V2

Vr

 20 N/mm 2

V3 Va

36,14 N/mm 2

Festigkeitsbedingung Rp0,2

V V SH d V zul V1  V 3 SF

SF

Rp0,2 SF

780 N/mm 2 240 N/mm 2  (36,14 N/mm 2 )

Rp0,2

V1  V 3

2,83 (ausreichend, da S F ! 1,50)

Berechnung der Spannungskomponenten an der Stelle 4 Tangentialspannung: 80 mm d 40 N/mm 2 ˜ V t pmax ˜ i2 266,67 N/mm 2 2 ˜ s2 2 ˜ 6 mm Axialspannung:

Va

 F  pmax ˜

S 4



S 4

˜ d i22

2 ˜ d a2  d i22



Radialspannung: p V r  max 20 N/mm 2 2 Hauptspannungen

V1 V t

266,67 N/mm 2

Vr

31,50 N/mm 2

V3 Va

 20 N/mm 2

V2

- 150 000 N  40 N/mm 2 ˜

S 4





S 4

˜ 80 mm 2

˜ 92 2  80 2 mm 2

31,50 N/mm 2

323

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Festigkeitsbedingung Rp0,2

V V SH d V zul V1  V 3 SF

SF

Rp0,2 SF

780 N/mm 2 266,67 N/mm 2  (20 N/mm 2 )

Rp0,2

V1  V 3

2,72 (ausreichend, da S F ! 1,50)

g) Spannungskomponenten an der Kerbstelle 2 Tangentialspannung:

Vt

240 N/mm 2

Axialspannung:

V a max

D k ˜ V an

D k ˜V a



2,25 ˜  36,14 N/mm 2



81,32 N/mm 2

Radialspannung: p V r  max 20 N/mm 2 2 Hauptspannungen

V1 V t

240 N/mm 2

V2

Vr

 20 N/mm 2

V3 Va

81,32 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V V SH d V zul V1  V 3 SF

Rp0,2 SF

Rp0,2 SF

Rp0,2

V1  V 3

780 N/mm 2 240 N/mm 2  (81,32 N/mm 2 )

2,43 (ausreichend, da S F ! 1,50)

324

12 Behälter unter Innen- und Außendruck

Lösung zu Aufgabe 12.15 Beim dünnwandigen Behälter unter Innendruck gilt für die Hauptnormalspannungen:

V1 { V t V2 { Va

Vt 2

V3 | 0 Berechnung der Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungsenergiehypothese 1

V VGEH

2 1 2 1 2

˜

V 1  V 2 2  V 2  V 3 2  V 3  V 1 2

˜

V t  V a 2  V a2  V t2

˜ 2 ˜ V t2  2 ˜ V t ˜ V a  2 ˜ V a2

V t2  V t ˜ V a  V a2 mit Va = 0,5˜Vt folgt:

V t2 

V VGEH

V t2 2



V t2 4

Fließen tritt ein, sobald gilt: V VGEH Re 3 ˜V t 2 2

Vt

3

Re

˜ Re

1,155 ˜ Re

3 2 ˜V t 4

3 ˜V t 2

325

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit 13.1 Formelsammlung Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit Vo V u

Vm

Mittelspannung

2

Vo Vu

Va

Spannungsamplitude

2

R

Vu Vo

Spannungsverhältnis

N

f ˜ 't

Schwingspielzahl

Wöhlerkurve x Bereich der quasi-statischen Festigkeit Zum Bruch führende Spannungsamplitude

V A max

Rm ˜

1 R 2

x Zeitfestigkeitsbereich Gleichung der Wöhlerkurve im Zeitfestigkeitsbereich

VA

§N · V A1 ˜ ¨¨ ¸¸ © N1 ¹

N

§V · N1 ˜ ¨¨ A ¸¸ © V A1 ¹



1 k

k

Neigungsexponent

k

§N · lg¨¨ 1 ¸¸ N  © 2¹ §V · lg¨¨ A1 ¸¸ © V A2 ¹

k

tan D

x Bereich der Dauerfestigkeit

V AD

konstant

326

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Dauerfestigkeitskennwerte unter rein wechselnder Beanspruchung Werkstoffsorte / Werkstoffgruppe

Dauerfestigkeitskennwert 1) Zug-DruckBiegeSchubTorsionsWechselfestigkeit wechselfestigkeit wechselfestigkeit wechselfestigkeit

VzdW Walzstahl, allgemein 3) 4) Einsatzstahl

4)

Nichtrostender Stahl Schmiedestahl

4)

2)

VbW

7) 8)

1,1 ... 1,3 ˜ VzdW

0,45 ˜ Rm

WsW

2)

WtW

0,577 ˜ VzdW

7) 8) 9)

0,577 ˜ VbW

0,40 ˜ Rm

5)

5)

1,1 ... 1,3 ˜ VzdW

0,577 ˜ V zdW

0,40 ˜ Rm

6)

1,1 ... 1,3 ˜ VzdW

0,577 ˜ V zdW

0,577 ˜ VbW

0,40 ˜ Rm

6)

1,1 ... 1,3 ˜ VzdW

0,577 ˜ V zdW

0,577 ˜ VbW

0,577 ˜ VbW

Stahlguss

0,34 ˜ Rm

1,15 ˜ VzdW

0,577 ˜ V zdW

k. A.

Gusseisen mit Lamellengraphit

0,30 ˜ Rm

1,50 ˜ VzdW

0,850 ˜ V zdW

0,8 ... 0,9 ˜ VzdW

Gusseisen mit Kugelgraphit

0,34 ˜ Rm

1,30 ˜ VzdW

0,650 ˜ V zdW

k. A.

Temperguss

0,30 ˜ Rm

1,40 ˜ VzdW

0,750 ˜ V zdW

k. A.

Al-Knetlegierungen

0,30 ˜ Rm

1,1 ... 1,3 ˜ VzdW

0,577 ˜ V zdW

k. A.

Al-Gusslegierungen

0,30 ˜ Rm

k. A.

0,750 ˜ V zdW

k. A.

1)

Werkstoffkennwerte sind in N/mm2 einzusetzen. Anhaltswerte für ungekerbte Proben mit polierter Oberfläche. 2) Werte nach [2]. Für N = 106 Schwingspiele. 3) Außer Einsatzstahl, nichtrostender Stahl und Schmiedestahl. 4) Nach DIN 743-3: VzdW | 0,4˜Rm; VbW | 0,5˜Rm; WtW | 0,3˜Rm (Torsionswechselfestigkeit). 5) Blindgehärtet. Der Einfluss einer Einsatzhärtung wird durch den Randschichtfaktor (Tabelle 13.4) berücksichtigt. 6) Vorläufiger Wert. 7) Anhaltswerte für zähe Werkstoffe. 8) 0,577 = 1/—3 (Gestaltänderungsenergiehypothese). 9) Experimentelle Ergebnisse deuten eher auf ein Verhältnis von WtW = 0,62˜VbW hin. k. A. = keine Angabe

Festigkeitsbedingung für ungekerbte Bauteile mit polierter Oberfläche unter reiner Wechselbeanspruchung

V a d V a zul

VW SD

Mittelspannungsempfindlichkeit M

tan D

V W  V Sch / 2 Definition der MittelspannungsempfindV Sch / 2 lichkeit

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Mittelspannungsempfindlichkeit unter der Wirkung von Normalspannungen

• Stahl: 1) • Stahlguss: • GJL: 2) • GJS: 3) • Temperguss: • Al-Knetlegierungen • Al-Gusslegierungen

MV = 0,00035 · Rm – 0,10 MV = 0,00035 · Rm + 0,05 MV = 0,5 MV = 0,00035 · Rm + 0,08 MV = 0,00035 · Rm + 0,13 MV = 0,001 · Rm - 0,04 MV = 0,001 · Rm + 0,20

Mittelspannungsempfindlichkeit unter der Wirkung von Schubspannungen

• Stahl 1) • Stahlguss: • GJL: 2) • GJS: 3) • Temperguss: • Al-Knetlegierungen • Al-Gusslegierungen

MW = 0,577 · MV MW = 0,577 · MV MW = 0,85 · MV MW = 0,65 · MV MW = 0,75 · MV MW = 0,577 · MV MW = 0,75 · MV

Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh (modifiziert) für duktile Werkstoffe

Für

VW Mı 1

V AD 1)

Vm d

VW Mı 1

:

V W  M ı ˜V m

auch für nichtrostende Stähle GJL: Gusseisen mit Lamellengraphit 3) GJS: Gusseisen mit Kugelgraphit 2)

327

328

Für

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

VW Mı 1

V AD

Für

 Vm d

3 ˜V W M c 1 : ˜ ı 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

M ıc  1  M ıc ˜ V m Mı 1

VW ˜

3 ˜V W M c 1 ˜ ı  Vm  f : 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

V AD

M ıc  1 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

VW

Für  f  V m 

V AD

˜

VW Mı 1

:

VW 1 Mı

Grenzkurve für plastische Verformung im DFS nach Haigh

V a (V m )

Rp0,2  V m

Grenzkurve für Bruch im DFS nach Haigh

V a (V m )

Rm  V m

Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh für spröde Werkstoffe

Dauernd ertragbare Schubspannungsamplitude für spröde Werkstoffe

V AD

§

V W ˜ ¨¨1  ©

Vm · ¸ Rm ¸¹

Dauernd ertragbare Normalspannungsamplitude für spröde Werkstoffe

§

W AD W W ˜ ¨¨1  ©

Wm WB

· ¸ ¸ ¹

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

329

Festigkeitsbedingung unter Schwingbeanspruchung ungekerbter Bauteile mit polierter Oberfläche unter der Wirkung einer von Null verschiedenen Mittelspannung

V a d V a zul

V AD SD

Einfluss der Oberflächenrauigkeit unter der Wirkung von Normalspannungen

Einfluss der Oberflächenrauigkeit unter der Wirkung von Schubspannungen

GJS: Gusseisen mit Kugelgraphit GS: Stahlguss

330

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

13.2 Aufgaben Aufgabe 13.1

{{{zz

Die Abbildung zeigt die Wöhlerkurve eines glatten, polierten Rundstabes aus der Vergütungsstahlsorte 25CrMo4 mit Vollkreisquerschnitt (d = 10 mm) für eine Ausfallwahrscheinlichkeit von PA = 50%. Der Rundstab unterliegt einer Zug-Druck-Wechselbeanspruchung. Werkstoffkennwerte 25CrMo4: Rp0,2 = 700 N/mm2 Rm = 900 N/mm2 E = 208000 N/mm2 μ = 0,30 a) Ermitteln Sie anhand der Wöhlerkurve die Zug-Druck-Wechselfestigkeit des Werkstoffs. b) Berechnen Sie den Neigungsexponenten k (k-Faktor) der Wöhlerkurve. c) Berechnen Sie die dauernd ertragbare Kraftamplitude FAD1 bei reiner Zugschwellbeanspruchung. d) Konstruieren Sie aus den gegebenen Daten das weiterentwickelte Dauerfestigkeitsschaubild nach Haigh und überprüfen Sie graphisch das Ergebnis aus Aufgabenteil c). e) Der Stab sei nun mit einer statischen Zugkraft von F = 20 kN vorgespannt. Berechnen Sie für diese Vorspannung die dauernd ertragbare Kraftamplitude FAD2.

Aufgabe 13.2 Für die unlegierte Vergütungsstahlsorte C45E+QT (Rm = 850 N/mm2) wurde an glatten, polierten Rundproben mit Vollkreisquerschnitt (d = 10 mm) eine Wöhlerkurve unter reiner Wechselbeanspruchung ermittelt.

{{{zz

331

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Eine statistische Auswertung ergab für eine Ausfallwahrscheinlichkeit von PA = 50% die folgenden Werte: VzdW = 350 N/mm2 k = 12,5 ND = 3˜106 a) Konstruieren Sie aus den gegebenen Zahlenwerten die Wöhlerkurve in das vorbereitete Diagramm. b) Berechnen Sie für eine Spannungsamplitude von VA = 450 N/mm2 und eine Prüffrequenz von f = 15 Hz die erforderliche Versuchsdauer bis zum Ausfall von 50% der bei dieser Beanspruchung geprüften Proben. c) Berechnen Sie die dauernd ertragbare Spannungsamplitude für eine statisch wirkende Mittelspannung von Vm = 150 N/mm2.

Aufgabe 13.3

{{{{z

Nennen Sie je ein Beispiel aus der technischen Praxis, für die nachfolgend genannten Beanspruchungsarten. a) Zug-Schwellbeanspruchung (Vu > 0). b) Reine Zug-Schwellbeanspruchung (Vu = 0). c) Reine Wechselbeanspruchung (Vu = -Vo). d) Druck-Schwellbeanspruchung (Vo< 0). e) Reine Druck-Schwellbeanspruchung (Vo = 0)

Aufgabe 13.4

a) Berechnen Sie für die Tangential-, für die Axial- und für die Radialspannungskomponente jeweils die Oberspannung Vo und die Unterspannung Vu. b) Berechnen Sie für die Tangentialspannung Vt: x die Spannungsamplitude Vta x die Mittelspannung Vtm x das Spannungsverhältnis R

10 pi (t)

Ø800

In einem dünnwandigen Gashochdruckbehälter (di = 800 mm, s = 10 mm) aus Werkstoff S620QL herrscht ein zeitlich veränderlicher Innendruck pi (siehe Abbildung). Werkstoffkennwerte S620QL: Rp0,2 = 620 N/mm2 Rm = 870 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30

{{{zz

pi 10 MPa 5 0

t

332

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

c) Zeichnen Sie ein Va-Vm- Diagramm und kennzeichnen Sie dort die Orte mit: x R = -1 x R = -0,5 xR=0 x R = 0,5 xR=1 xR=’

Aufgabe 13.5

{{{zz

Ein einseitig eingespannter Rundstab mit Vollkreisquerschnitt (d = 25 mm) und einer Länge von l = 500 mm aus der legierten Vergütungsstahlsorte 37Cr4 kann auf unterschiedliche Weise beansprucht werden. Die Oberfläche des Rundstabes ist gedreht (Rz = 12,5 Pm). Kerbwirkung an der Einspannstelle, Schubspannungen durch Querkräfte (Aufgabenteil b) sowie ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit dürfen vernachlässigt werden. Werkstoffkennwerte 37Cr4: Rp0,2 = 820 N/mm2 Rm = 950 N/mm2 VzdW = 415 N/mm2 VbW = 480 N/mm2 WtW = 240 N/mm2 E = 212000 N/mm2 μ = 0,30 Berechnen Sie die Sicherheit gegen Dauerbruch (SD) für die nachfolgenden Lastfälle. a) Rein wechselnde Zugkraft F. b) Rein wechselnde Querkraft Fq. c) Rein wechselndes Torsionsmoment Mt.

Aufgabe 13.6

{{{zz

Ein einseitig eingespannter Rundstab mit Vollkreisquerschnitt (d = 30 mm) aus der unlegierten Baustahlsorte S275JR unterliegt einer zeitlich veränderlichen Beanspruchung. Die Oberfläche der Welle ist gedreht (Rz = 6,3 μm). Kerbwirkung an der Einspannstelle sowie ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit dürfen vernachlässigt werden.

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

333

Werkstoffkennwerte S275JR: Rp0,2 = 290 N/mm2 Rm = 540 N/mm2 VzdW = 240 N/mm2 E = 210000 N/mm2 P = 0,30 a) Berechnen Sie die dauernd ertragbare Kraftamplitude FA1 für eine Schwingbeanspruchung mit einer statisch wirkenden Vorspannkraft von Fm = 150 kN (Abbildung a). b) Berechnen Sie die dauernd ertragbare Kraftamplitude FA2 für eine reine Zugschwellbeanspruchung (Abbildung b). c) Berechnen Sie die dauernd ertragbare Kraftamplitude FA3 für eine reine Druckschwellbeanspruchung (Abbildung c).

Aufgabe 13.7

{{{zz

Eine Dehnschraube aus der warmfesten, legierten Stahlsorte 13CrMo4-4 mit Vollkreisquerschnitt und geschliffener Oberfläche (Rz = 4 μm) steht im Zylinderblock eines Motors unter einer statischen Vorspannung von F1 = 12000 N. Bei jedem Arbeitstakt wird die Dehnschraube zusätzlich schwellend mit F2 = 25000 N belastet. Werkstoffkennwerte 13CrMo4-4: Rp0,2 = 300 N/mm2 Rm = 560 N/mm2 VzdW = 250 N/mm2 E = 209000 N/mm2 P = 0,30 a) Berechnen Sie den erforderlichen Durchmesser d der Dehnschraube, falls eine Sicherheit gegen Fließen von SF = 1,20 gefordert wird. b) Ermitteln Sie den notwendigen Durchmesser d, falls eine Sicherheit von SD = 2,80 gegen Dauerbruch gefordert wird.

334

Aufgabe 13.8

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit {{zzz

Ein einseitig eingespannter Freiträger (l = 200 mm) mit rechteckiger Querschnittsfläche (a = 25 mm; b = 50 mm) aus der Gusseisensorte EN-GJL-350 wird durch die statisch wirkende Kraft F1 = 120 kN sowie durch die zeitlich veränderliche, rein wechselnd wirkendee Kraft F2 beansprucht. Die Oberflächenrauigkeit des Stabes kann mit Rz = 200 μm angenommen werden. Werkstoffkennwerte EN-GJL-350: Rm = 400 N/mm2 VbW = 130 N/mm2 E = 108000 N/mm2 P = 0,25

Berechnen Sie die dauernd ertragbare Kraftamplitude F2 damit kein Dauerbruch eintritt. Es wird eine Sicherheit von SD = 5,0 gefordert. Kerbwirkung an der Einspannstelle, Schubspannungen durch Querkräfte sowie ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit dürfen vernachlässigt werden.

Aufgabe 13.9 Eine statisch vorgespannte, abgesetzte Torsionsfeder mit gedrehter Oberfläche (Rz = 25 μm) aus der Federstahlsorte 61SiCr7 wird im Betrieb durch ein zeitlich veränderliches Torsionsmoment beansprucht (siehe Abbildung). Ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit muss nicht berücksichtigt werden. Werkstoffkennwerte 61SiCr7: Rp0,2 = 1400 N/mm2 Rm = 1830 N/mm2 WtW = 490 N/mm2 E = 211000 N/mm2 μ = 0,30 Hat die Torsionsfeder im Bereich des Absatzes (Querschnitt I) eine ausreichende Sicherheit gegenüber Dauerbruch?

{{zzz

335

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Aufgabe 13.10

{{zzz

Der abgebildete, abgesetzte Bolzen aus der Feinkornbaustahlsorte S890QL mit polierter Oberfläche (D = 50 mm; d = 25 mm) wird einer ZugDruck-Wechselbeanspruchung ausgesetzt. a) Berechnen Sie den erforderlichen Radius R so, dass die Formzahl Dk = 2,0 wird. b) Ermitteln Sie die zulässige, rein wechselnd wirkende Zugkraft FW so, dass ein Dauerbruch mit einer Sicherheit von SD = 2,50 ausgeschlossen werden kann. Werkstoffkennwerte S890QL: Rm = 1050 N/mm2 Rp0,2 = 920 N/mm2 VzdW = 480 N/mm2 c) Berechnen Sie die zulässige Zugkraft FW, falls der baugleiche Bolzen aus der Gusseisensorte EN-GJL-300 hergestellt wurde. Es wird eine Sicherheit gegenüber Dauerbruch von SD = 4,0 gefordert. Die Oberfläche des Bolzens sei poliert. Werkstoffkennwerte EN-GJL-300: Rm = 320 N/mm2 VzdW = 100 N/mm2

Aufgabe 13.11

{{zzz

Der abgebildete Hebel mit Vollkreisquerschnitt aus einem schweißgeeigneten Feinkornbaustahl (S890QL) und gedrehter Oberfläche (Rz = 10 μm) ist auf der einen Seite mit einer dickwandigen Stahlplatte verschweißt. An seinem freien, rechten Ende wurde eine symmetrische Querlasche angebracht. Der Hebel kann durch die Querkraft F1 sowie durch das Kräftepaar F2 beansprucht werden. Es sind unterschiedliche Lastfälle zu untersuchen. Werkstoffkennwerte S890QL: Rp0,2 = 900 N/mm2 Rm = 1050 N/mm2 VbW = 480 N/mm2 WtW = 275 N/mm2 E = 212000 N/mm2 P = 0,30 F1

A-A Ød

A

Ø60

Rz 10

l = 1000

A

F2

a = 200

a = 200

F2

336

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

a) Die Kraft F1 wirkt rein schwellend zwischen 0 und 10 kN. Das Kräftepaar F2 wirkt zunächst nicht (F2 = 0). Berechnen Sie den mindestens erforderlichen Durchmesser d des Stabes, damit ein Dauerbruch mit einer Sicherheit von SD = 2,5 ausgeschlossen werden kann. b) Das Kräftepaar F2 wirkt rein wechselnd mit F2 = r 15 kN. Die Querkraft F1 wirkt nicht (F1 = 0). Berechnen Sie auch für diese Beanspruchung den mindestens erforderlichen Durchmesser d des Stabes, damit ein Dauerbruch mit einer Sicherheit von SD = 3,0 nicht auftritt. c) Die Kräfte F1 und F2 wirken statisch und treten gemeinsam auf, wobei stets gilt F1 = F2. Berechnen Sie die zulässigen Kräfte F1 = F2, damit bei einem Stab mit d = 60 mm kein Fließen eintritt (SF = 1,20).

Aufgabe 13.12

{{zzz

Eine einseitig eingespannte Blattfeder mit Rechteckquerschnitt (Breite b = 25 mm; Dicke t = 8 mm) und einer Länge von l = 1000 mm aus der vergüteten Federstahlsorte 54SiCr6 wird unter Einwirkung der Kraft F rein wechselnd beansprucht. Die maximale Durchbiegung der Feder wird durch zwei Anschläge (Abstand a) begrenzt. Die Oberfläche der Feder ist geschliffen (Rz = 6,3 μm). Werkstoffkennwerte 54SiCr6: Rp0,2 = 1300 N/mm2 Rm = 1550 N/mm2 VbW = 750 N/mm2 E = 207000 N/mm2 P = 0,30 Berechnen Sie den maximal zulässigen Abstand a der Anschläge, so dass die Blattfeder dauerfest ist (SD = 2,5). Hinweis: Die Durchbiegung f eines einseitig eingespannten Balkens berechnet sich zu: F ˜l3 f 3˜ E ˜ I

337

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Aufgabe 13.13

{{zzz

Eine Torsionsfeder aus der legierten Federstahlsorte 51CrV4 mit geschliffener Oberfläche (Rz = 4 μm) hat einen Kreisringquerschnitt. Der Außendurchmesser beträgt da = 25 mm, die Wandstärke s = 2,5 mm die Länge l = 1000 mm. Kerbwirkung an der Einspannstelle kann vernachlässigt werden. Werkstoffkennwerte 51CrV4: Rp0,2 = 1250 N/mm2 Rm = 1620 N/mm2 WtW = 420 N/mm2 E = 211000 N/mm2 P = 0,30 A

A-A

Torsionsfeder Mt

Ø60

Rz 4

2,5 A 1000

Ø25

a) Berechnen Sie das maximal zulässige statische Torsionsmoment Mt, damit kein Fließen eintritt (SF = 1,5). b) Berechnen Sie das maximal zulässige, rein wechselnd wirkende Torsionsmoment (Mta) damit ein Dauerbruch mit einer Sicherheit von SD = 2,2 ausgeschlossen werden kann. Ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit kann vernachlässigt werden. c) Berechnen Sie für die in Aufgabenteil a) und b) ermittelten Torsionsmomente die jeweiligen Verdrehwinkel M der Torsionsfeder.

Aufgabe 13.14

{{zzz

Ein Welle mit Vollkreisquerschnitt aus der Vergütungsstahlsorte 42CrMo4 mit geschliffener Oberfläche (Rz = 3,2 μm) und einem Durchmesser von d = 50 mm ist im Betrieb durch die statisch wirkende, außermittig angreifende Querkraft FQ = 10 kN beansprucht. Weiterhin kann eine horizontale Zugkraft FH auftreten. Schubspannungen durch Querkräfte sowie ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit können vernachlässigt werden.

338

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Werkstoffkennwerte 42CrMo4: Rp0,2 = 980 N/mm2 Rm = 1070 N/mm2 VbW = 530 N/mm2 a) Skizzieren Sie den Beanspruchungs-Zeit-Verlauf für die höchst beanspruchte Stelle bei umlaufender Welle. Berechnen Sie außerdem die maximale Spannungsamplitude. Die horizontale Zugkraft FH wirkt zunächst nicht (FH = 0). b) Überprüfen Sie, ob die Welle dauerfest ist, falls ein Sicherheitsfaktor gegen Dauerbruch (SD) von mindestens 3,50 gefordert wird (FH = 0). c) Berechnen Sie die Sicherheit gegen Dauerbruch (SD), falls die umlaufende Welle zusätzlich mit einer horizontalen Zugkraft von FH = 350 kN vorgespannt ist.

Aufgabe 13.15

{{zzz

Eine umlaufende Hohlwelle (da = 70 mm; s = 5 mm; l = 500 mm) aus der Vergütungsstahlsorte 42CrMo4 (Rm = 1180 N/mm2; Rp0,2 = 810 N/mm2 ;VbW = 590 N/mm2) mit gedrehter Oberfläche (Rz = 12,5 Pm) wird durch die axiale Zugkraft F1 = 100 kN statisch beansprucht.

Ermitteln Sie den maximal zulässigen Betrag zweier zusätzlicher, im Abstand c = 100 mm von den Lagerstellen wirkenden Querkräfte F2, damit ein Dauerbruch mit Sicherheit vermieden wird (SD = 2,50). Schubspannungen durch Querkräfte sowie ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit können vernachlässigt werden.

Aufgabe 13.16

{{zzz

Ein Rohr (Durchmesser D = 40 mm; Wandstärke s = 5 mm) mit Querbohrung (dB = 5 mm) aus der Gusseisensorte EN-GJL-300 wird auf Torsion beansprucht. Die Oberflächenrauigkeit des Rohres beträgt Rz = 200 Pm. Kerbwirkung an der Einspannstelle sowie ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit können vernachlässigt werden.

339

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Werkstoffkennwerte EN-GJL-300: Rm = 320 N/mm2 WtW = 80 N/mm2 a) Ermitteln Sie das zulässige Torsionsmoment Mt bei statischer Beanspruchung (SB = 4,0). b) Berechnen Sie das zulässige Torsionsmoment Mta bei einer rein wechselnden Beanspruchung, so dass kein Dauerbruch eintritt (SD = 2,50).

Aufgabe 13.17

{{zzz

Die Welle einer Werkzeugmaschine aus Werkstoff 38Cr2 wird durch die beiden Querkräfte FQ in der dargestellten Weise belastet. In der Mitte der Welle befindet sich ein halbkreisförmiger Einstich. Die Oberfläche der Welle ist gedreht (Rz = 25 μm). Ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit sowie Schubspannungen durch Querkräfte müssen nicht berücksichtigt werden. a b D d R

= 200 mm = 350 mm = 40 mm = 35 mm = 2,5 mm

Werkstoffkennwerte 38Cr2 (vergütet): Rp0,2 = 550 N/mm2 Rm = 780 N/mm2 VbW = 390 N/mm2 Die Welle steht still. Die beiden statisch wirkenden Querkräfte betragen jeweils FQ = 3900 N. a) Skizzieren Sie den Verlauf des Biegemomentes Mb und berechnen Sie das maximale Biegemoment Mb max. b) Berechnen Sie die Sicherheit gegen Fließen (SF) an der höchst beanspruchten Stelle. Ist die Sicherheit ausreichend? Die Welle läuft um. Die Kräfte FQ wirken statisch. c) Auf welche Weise kann die Welle nunmehr versagen? d) Berechnen Sie die Kerbwirkungszahl Ekb. e) Skizzieren Sie qualitativ den zeitlichen Verlauf der Biegespannung für die höchst beanspruchte Stelle. f) Berechnen Sie den zulässigen Betrag der Querkraft FQ, damit ein Versagen durch Dauerbruch mit Sicherheit ausgeschlossen werden kann (SD = 2,50)

340

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Aufgabe 13.18

{zzzz

Die dargestellte abgesetzte Antriebswelle aus der Feinkornbaustahlsorte S460M mit geschliffener Oberfläche (Rz = 12,5 μm) kann durch die beiden statisch wirkenden Kräfte F1 und F2 belastet werden. Ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit sowie Schubspannungen durch Querkräfte müssen nicht berücksichtigt werden. Werkstoffkennwerte S460M: Re = 460 N/mm2 Rm = 530 N/mm2 VbW = 280 N/mm2 E = 207000 N/mm2 μ = 0,30 a b D d R

= 350 mm = 100 mm = 45 mm = 30 mm = 6 mm

Die Welle steht zunächst still und es wirkt nur die statische Querkraft F1 = 10 kN (F2 = 0). a) Berechnen Sie das Biegemoment am linken Wellenabsatz (Stelle I). b) Ermitteln Sie für den Wellenabsatz (Stelle I) die Formzahlen für Zug- und für Biegebeanspruchung (Dkz und Dkb). c) Bestimmen Sie die Sicherheit gegen Fließen (SF) am Wellenabsatz. Ist die Sicherheit ausreichend? d) Berechnen Sie die maximal mögliche, zusätzliche, statisch wirkende Zugkraft F2 so dass Fließen am Wellenabsatz gerade noch nicht eintritt. Die Welle läuft um. Es wirkt nur die statische Querkraft F1 = 10 kN (F2 = 0). e) Berechnen Sie die Kerbwirkungszahl Ekb für den Wellenabsatz (Stelle I). f) Skizzieren Sie quantitativ den zeitlichen Verlauf der Biegespannung am Wellenabsatz. g) Berechnen Sie die Sicherheit gegen Dauerbruch (SD). Ist die Sicherheit ausreichend?

Aufgabe 13.19 Der abgebildete Bolzen mit Vollkreisquerschnitt aus der Vergütungsstahlsorte 25CrMo4 hat eine geschliffene Oberfläche (Rz = 6,3 μm) und ist am linken Ende fest eingespannt. Am rechten Ende kann der Bolzen durch die Kräfte F1 und F2 sowie durch das Torsionsmoment Mt beansprucht werden.

{zzzz

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

341

Kerbwirkung an der Einspannstelle sowie Schubspannungen durch Querkräfte sind zu vernachlässigen. Ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit muss nicht berücksichtigt werden. Werkstoffkennwerte 25CrMo4 (vergütet): Rp0,2 = 620 N/mm2 Rm = 920 N/mm2 VbW = 450 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Es wirkt zunächst nur die statische Zugkraft F1 = 700 kN. 1. Berechnen Sie die Zugspannung im Bolzen. 2. Ermitteln Sie die Verlängerung des Bolzens infolge der Zugkraft F1. 3. Berechnen Sie die Sicherheit gegen Fließen (SF). Ist die Sicherheit ausreichend? b) Es wirkt die rein wechselnde Kraft F2 = r 12,5 kN. Ermitteln Sie für die höchst beanspruchte Stelle die Sicherheit gegen Dauerbruch (SD). Ist die Sicherheit ausreichend? c) Es wirken nunmehr gleichzeitig die statische Kraft F1 = 700 kN und die rein wechselnde Kraft F2 = r 12,5 kN. Berechnen Sie die Sicherheiten gegen Fließen (SF) und gegen Dauerbruch (SD). d) Es wirkt nur das statische Torsionsmoment Mt. 1. Berechnen Sie das zulässige Torsionsmoment Mt damit Fließen des Bolzens an der höchst beanspruchten Stelle nicht eintritt. 2. Ermitteln Sie für das Torsionsmoment Mt den Verdrehwinkel M des Bolzens. e) Es wirken gleichzeitig die statische Kraft F1 = 700 kN und ein statisches Torsionsmoment Mt. Auf welchen Wert ist Mt zu begrenzen, falls eine Sicherheit gegen Fließen von SF = 1,5 gefordert wird? Für eine Konstruktionsvariante erhält der Bolzen an seinem rechten Ende einen Absatz. f) Es wirkt nur die statische Kraft F2 = 12,5 kN. Mit welchem Radius R muss der Absatz ausgeführt werden, damit die maximalen Spannungen in den Querschnitten I und II gleich groß werden? g) Es soll nun eine rein wechselnde Biegekraft F3 = r 12,5 kN wirken. Berechnen Sie für den Querschnitt II die Sicherheit gegen Dauerbruch, falls der Absatz mit einem Radius von R = 2,5 mm ausgeführt wird.

342

Aufgabe 13.20

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit {zzzz

Eine Antriebswelle mit geschliffener Oberfläche (Rz = 12,5 μm) aus der legierten Vergütungsstahlsorte 51CrV4 ist im Hinblick auf eine sichere Dimensionierung unter statischer und schwingender Beanspruchung an der Kerbstelle I zu überprüfen (siehe Abbildung). Ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit sowie Schubspannungen durch Querkräfte müssen nicht berücksichtigt werden.

Werkstoffkennwerte 51CrV4: Rp0,2 = 930 N/mm2 Rm = 1150 N/mm2 VbW = 570 N/mm2 Die Welle steht zunächst still. An der Welle greifen die statisch wirkenden Kräfte FQ = 50 kN und FH = 100 kN an (siehe Abbildung). a) Berechnen Sie das Biegemoment an der Kerbstelle I. b) Berechnen Sie das zusätzlich übertragbare statische Torsionsmoment Mt (bei gleichzeitiger Einwirkung der beiden Kräfte FQ und FH), damit Fließen im Kerbquerschnitt I mit Sicherheit (SF = 1,50) ausgeschlossen werden kann. In einem anderen Betriebszustand ist die Schwingfestigkeit der umlaufenden Antriebswelle zu überprüfen. Das Torsionsmoment soll hierbei vernachlässigt werden (Mt = 0). Die beiden Kräfte FQ = 50 kN und FH = 100 kN bleiben hingegen unverändert. c) Skizzieren Sie qualitativ den Spannungsverlauf in Abhängigkeit der Zeit im Kerbgrund bei umlaufender Welle. d) Ermitteln Sie die Kerbwirkungszahl Ekb für die Biegebeanspruchung. e) Berechnen Sie die Sicherheit SD gegen Dauerbruch. Ist die Sicherheit ausreichend?

Aufgabe 13.21

{zzzz

Eine an beiden Enden gelagerte, umlaufende Antriebswelle aus der legierten Vergütungsstahlsorte 36NiCrMo16 (D = 100 mm; a = 1000 mm) wird im Betrieb durch die statisch wirkenden Kräfte F1 = 70 kN und F2 = 480 kN belastet (siehe Abbildung). Die Welle hat eine gedrehte Oberfläche (Rz = 25 μm). Die Querbohrung sei zunächst (Aufgabenteile a und b) nicht vorhanden. Schubspannungen durch Querkräfte sowie ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit muss nicht berücksichtigt werden.

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

343

Werkstoffkennwerte 36NiCrMo16: Rp0,2 = 900 N/mm2 Rm = 1420 N/mm2 VbW = 710 N/mm2 E = 211000 N/mm2 μ = 0,30 a) Skizzieren Sie quantitativ den zeitlichen Verlauf der Spannung an der höchst beanspruchten Stelle (um-laufende Welle). b) Berechnen Sie die Sicherheiten gegen Fließen und gegen Dauerbruch für die umlaufende Welle. Sind die Sicherheiten ausreichend? Für eine Konstruktionsvariante erhält die Welle eine Querbohrung (d = 10 mm) an der in der Abbildung dargestellten Stelle. Die beiden Kräfte F1 = 70 kN und F2 = 480 kN bleiben unverändert. c) Ermitteln Sie die Kerbwirkungszahl Ekb für die Welle mit Querbohrung. d) Berechnen Sie die Sicherheit gegen Dauerbruch (SD) an der höchst beanspruchten Stelle. Ist die Sicherheit ausreichend?

Aufgabe 13.22

{zzzz

Zur Befestigung von Lagerdeckeln an Pleuelstangen sollen Dehnschrauben aus der Vergütungsstahlsorte 34CrNiMo6 verwendet werden. Für die Erprobung wird ein Dehnungsmessstreifen (DMS) am zylindrischen Schaft der Dehnschraube appliziert. Der Dehnungsmessstreifen schließt mit der Schraubenlängsachse einen Winkel von 12° ein (siehe Abbildung). Ein Torsionsmoment durch das Anziehen der Schraube soll zunächst nicht auftreten. Werkstoffkennwerte 34CrNiMo6: Rp0,2 = 1050 N/mm2 Rm = 1400 N/mm2 VzdW = 630 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Berechnen Sie die Dehnung in Messrichtung des DMS (HDMS) bei einer statischen Vorspannkraft von FV = 100 kN. b) Berechnen Sie den Betrag der zu FV zusätzlich wirksamen Betriebskraft FB bei einer Dehnung von HDMS = 2,500 ‰ in Messrichtung des DMS. c) Die Vorspannkraft FV = 100 kN soll weiterhin wirken. Ermitteln Sie die zusätzlich mögliche Betriebskraft FB1 damit im Kerbquerschnitt I keine plastischen Verformungen auftreten.

344

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Im Betrieb überlagert sich der statischen Vorspannkraft FV = 100 kN eine schwellende Betriebskraft FB2 = 50 kN (siehe Abbildung). d) Bestimmen Sie die Kerbwirkungszahl Ek für die Kerbstelle I der Dehnschraube. e) Ermitteln Sie für die Kerbstelle I die Sicherheit gegen Dauerbruch (SD). Ist die Sicherheit ausreichend? Die Oberfläche sei gedreht (Rz = 6,3 μm). Der Lagerdeckel kann als ideal starr angenommen werden. Ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit muss nicht berücksichtigt werden. Im Rahmen eines statischen Festigkeitsnachweises für die Dehnschraube soll zur Vorspannkraft FV = 100 kN ein zusätzliches Torsionsmoment Mt = 63 Nm (beide statisch wirkend) aufgebracht werden. f) Berechnen Sie die zulässige (zusätzlich zur Vorspannkraft wirkende) statische Betriebskraft FB3, damit Fließen an der Kerbstelle I der Dehnschraube mit Sicherheit (SF = 1,20) ausgeschlossen werden kann.

Aufgabe 13.23

{zzzz

Die dargestellte Antriebswelle mit gedrehter Oberfläche (Rz = 4 μm) aus der legierten Vergütungsstahlsorte 34Cr4 wird durch die statisch wirkende Zugkraft F1 und das statische Antriebsmoment Mt belastet. Außerdem kann im Betrieb noch eine Querkraft F2 auftreten (siehe Abbildung). Um eine Überbeanspruchung der Welle zu vermeiden, werden am zylindrischen Teil des Schaftes zwei Dehnungsmessstreifen (DMS A und DMS B) in der abgebildeten Weise appliziert. Werkstoffkennwerte 34Cr4: Rp0,2 = 690 N/mm2 Rm = 870 N/mm2 VbW = 430 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Während eines Probebetriebs betrug die statische Zugkraft F1 = 50 kN und das statische Torsionsmoment Mt1 = 500 Nm. Eine Querkraft F2 trat zunächst nicht auf (F2 = 0). Berechnen Sie die Dehnungen in Messrichtung der beiden Dehnungsmessstreifen (DMS A und DMS B).

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

345

b) Ermitteln Sie für die Kerbstelle I (durchgehende Querbohrung) die Formzahlen für Zugbeanspruchung (Dkz) und für Torsionsbeanspruchung (Dkt). c) Berechnen Sie das zulässige, statisch wirkende Antriebsmoment Mt2, damit bei der gegebenen statischen Zugkraft (F1 = 50 kN) an der Kerbstelle I plastische Verformungen mit Sicherheit (SF = 1,20) ausgeschlossen werden können (F2 = 0). In einem anderen Betriebszustand wird die umlaufende Welle durch die statisch wirkenden Kräfte F1 = 50 kN und F2 = 2,5 kN beansprucht. Das Antriebsmoment kann vernachlässigt werden (Mt = 0). d ) Ermitteln Sie die Kerbwirkungszahl Ekb für die Biegebeanspruchung. e) Berechnen Sie die Sicherheit gegen Dauerbruch (SD). Ist die Sicherheit ausreichend? Schubspannungen durch Querkräfte sowie ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit muss nicht berücksichtigt werden.

Aufgabe 13.24

{zzzz

Eine Welle aus der unlegierten Baustahlsorte E335 mit polierter Oberfläche kann durch die beiden Kräfte F1 und F2 beansprucht werden (siehe Abbildung). Zu untersuchen sind unterschiedliche Belastungsfälle. Werkstoffkennwerte E335: Re = 340 N/mm2 Rm = 600 N/mm2 VbW = 300 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 l = 850 mm a = 200 mm D = 45 mm d = 35 mm

346

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

a) Stillstehende Welle, F1 = 50 kN (statisch), F2 = 0. x Berechnen Sie die Spannungen und Dehnungen in den Querschnitten I und II. x Ermitteln Sie den Betrag der Verlängerung der Welle (ohne Berücksichtigung der Kerbwirkung an den Wellenabsätzen). x Bestimmen Sie die Sicherheit gegen Fließen in den Querschnitten I und II. Sind die Sicherheiten jeweils ausreichend? b) Stillstehende Welle, F1 = 0, F2 = 5 kN (statisch). Berechnen Sie die Spannungen im Querschnitt I sowie die Nennspannung im Querschnitt III (Kerbgrund). c) Ermitteln Sie für die Beanspruchung gemäß Aufgabenteil b) den erforderlichen Radius R der Kerbstelle so, dass die maximale Spannung an der Kerbstelle (Querschnitt III), die Spannung im Querschnitt I nicht übersteigt. d) Umlaufende Welle, F1 = 50 kN (statisch). Berechnen Sie für eine umlaufende Welle die zulässige, statisch wirkende Querkraft F2, sodass an der Kerbstelle (Querschnitt III) kein Dauerbruch eintritt (SD = 3,0). Schubspannungen durch Querkräfte sowie ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit muss nicht berücksichtigt werden.

Aufgabe 13.25 Die Dimensionierung eines abgesetzten Bolzens mit geschliffener Oberfläche (Rz = 6,3 μm) und Vollkreisquerschnitt aus der legierten Vergütungsstahlsorte 30NiCrMo8 soll überprüft werden. Um die Beanspruchung durch die Zugkraft FZ und das Torsionsmoment Mt zu ermitteln, wurden drei Dehnungsmessstreifen in hinreichender Entfernung von der Kerbstelle I in der dargestellten Weise appliziert (0°120°-240°-DMS-Rosette). Werkstoffkennwerte 30NiCrMo8: Rp0,2 = 1180 N/mm2 Rm = 1520 N/mm2 VzdW = 690 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30

zzzzz

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

347

a) Zur Überprüfung der Dehnungsmessstreifen wird eine statische Belastung von Fz1 = 170 kN und Mt1 = 500 Nm aufgebracht. Ermitteln Sie die Dehnungsanzeigen von DMS A, DMS B und DMS C. b) Im Betrieb wird der Bolzen einer unbekannten Betriebsbeanspruchung aus einer Zugkraft (Fz2) und einem unbekannten Torsionsmoment (Mt2) ausgesetzt. Es werden dabei die folgenden Dehnungen gemessen: HA = 1,798 ‰ HC = 0,816 ‰ DMS B fiel leider aus und lieferte keine Messwerte. Ermitteln Sie aus den beiden verbliebenen Dehnungsmesswerten die Zugkraft Fz2 sowie Betrag und Drehrichtung des Torsionsmomentes Mt2. c) Ermitteln Sie für die Beanspruchung gemäß Aufgabenteil b) an der Kerbstelle I die Sicherheit gegen Fließen (SF). Ist die Sicherheit ausreichend? Bei einer anderen Betriebsbeanspruchung tritt nur noch eine zeitlich veränderliche Zugkraft Fz3, jedoch kein Torsionsmoment mehr auf (Mt = 0). Eine Messung ergab den in der Abbildung dargestellten, sinusförmigen Dehnungs-Zeit-Verlauf am Dehnungsmessstreifen A. d) Überprüfen Sie, ob der Bolzen bei dieser Belastung im Bereich der Kerbstelle I eine ausreichende Dauerfestigkeit hat, falls SD > 3,0 wird gefordert wird. Ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit muss nicht berücksichtigt werden.

Aufgabe 13.26

{zzzz

Die Abbildung zeigt eine umlaufende Antriebswelle (‡50 mm) mit Querbohrung (‡10 mm) aus Werkstoff 34CrMo4. Die Welle hat eine gedrehte Oberfläche (Rz = 12,5 μm). Es soll überprüft werden, ob die Antriebswelle gegenüber unzulässiger plastischer Verformung und gegenüber Dauerbruch ausreichend dimensioniert ist. Während des Betriebs (umlaufende Welle) wirken die Kräfte FQ = 15 kN und FH = 250 kN (siehe Abbildung).

348

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Werkstoffkennwerte 34CrMo4: Rp0,2 = 820 N/mm2 Rm = 1050 N/mm2 VbW = 520 N/mm2 E = 210000 N/mm2 μ = 0,30 a) Berechnen Sie für die Kerbstelle I (Querbohrung) die Sicherheit gegen Fließen (SF). Ist die Sicherheit ausreichend? b) Berechnen Sie für die Kerbstelle I (Querbohrung) die Sicherheit gegen Dauerbruch (SD). Ist die Sicherheit ausreichend? Ein Einfluss der Bauteilgröße auf die Schwingfestigkeit sowie Schubspannungen durch Querkräfte müssen nicht berücksichtigt zu werden. c) Ermitteln Sie die zulässige Querkraft FQ1, damit bei einer gleich bleibenden Zugkraft von FH = 250 kN kein Fließen an der Kerbstelle eintritt (stillstehende Welle in der dargestellten Lage). d) Bestimmen Sie die zulässige Zugkraft FH1, damit bei einer gleich bleibenden Querkraft von FQ = 15 kN kein Fließen an der Kerbstelle eintritt (stillstehende Welle in der dargestellten Lage).

349

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

13.3 Lösungen Lösung zu Aufgabe 13.1 a) Berechnung der Zug-Druck-Wechselfestigkeit FW 32000 N 407,4 N/mm 2 V zdW S A 2 ˜ 10 mm 4 b) Wahl zweier Stützpunkte im Zeitfestigkeitsbereich der Wöhlerkurve P1: N1 = 102 und VA1 = Rm = 900 N/mm2 6 P2: N2 = 5˜10 und FA2 = 32 kN Damit folgt für die zugehörigen Spannungsamplituden: FA2

V A2

S 4

˜d

32000 N

S

2

4

407,4 N/mm 2

˜ 10 mm

2

Berechnung des Neigungsexponenten k

k

§N · lg¨¨ 1 ¸¸ N  © 2¹ §V · lg¨¨ A1 ¸¸ © V A2 ¹

§ 10 2 · ¸ lg¨¨ 5 ˜ 106 ¸¹ ©  § 900,0 N/mm 2 · ¸ lg¨¨ 2 ¸ 407 , 4 N/mm © ¹

13,65

c) Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 900 N/mm 2  0,1 0,215

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation)

V AD

V zdW  M ı ˜ V m

Mit VAD1 = Vm (reine Zugschwellbeanspruchung) folgt:

V AD1 V zdW  M ı ˜ V AD1 V AD1

V zdW Mı 1

407,4 N/mm 2 0,215  1

335,30 N/mm 2

Damit folgt schließlich für die dauernd ertragbare Kraftamplitude: FAD1

V AD1 ˜

S 4

˜d2

335,30 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 10 mm 2

26337 N

350

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

d)

Abgelesen: VAD1 = 340 N/mm2 Damit folgt: FAD1

V AD1 ˜

S

˜d2

4

340 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 10 mm 2

26704 N

e) Berechnung der Mittelspannung Vm

Vm

F

S 4

˜d

20000 N 2

S 4

254,65 N/mm 2

˜ 10 mm

2

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation)

V AD2

V zdW  M ı ˜ V m da V m 

V AD2

2

VW Mı 1

407,4 N/mm  0,215 ˜ 254,65 N/mm 2

352,69 N/mm 2

Damit folgt schließlich für die dauernd ertragbare Kraftamplitude FAD2: FAD2

V AD2 ˜

S 4

˜d2

352,69 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 10 mm 2

27700 N

351

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.2 a) Darstellung der Wöhlerkurve

Stützpunkte für die Zeitfestigkeitsgerade Punkt P1: N1 = ND = 3˜106 VA1 = VzdW = 350 N/mm2

Punkt P2: N2 = 103 (gewählt)

V A2

§N · V A1 ˜ ¨¨ 2 ¸¸ © N1 ¹



1 k

§ 103 · ¸ 350 N/mm 2 ˜ ¨¨ 6 ¸ 3 10 ˜ ¹ ©



1 12,5

664,12 N/mm 2

Anmerkung: Zum Einzeichnen der Zeitfestigkeitsgeraden kann anstelle der Verwendung des Stützpunktes P1 (103 / 664,12 N/mm2) auch der Steigungswinkel D (siehe Bild 13.20 im Lehrbuch) verwendet werden (D = arctan12,5 = 85,43°). Beim Einzeichnen ist jedoch auf gleiche Achsteilung von Ordinate und Abszisse zu achten, d. h. die Achslänge einer Dekade auf der Abszisse und der Ordinate müssen gleich sein (in obiger Abbildung aus Platzgründen nicht der Fall).

b) Berechnung der ertragbaren Schwingspielzahl für VA = 450 N/mm2 N

§V · N1 ˜ ¨¨ A ¸¸ © V A1 ¹

k

§ 450 N/mm 2 · ¸ 3 ˜ 10 ˜ ¨¨ 2 ¸ 350 N/mm © ¹

12,5

6

129 663 Lastwechsel

Berechnung der erforderlichen Versuchsdauer N 129 663 t 8 644,2 s 2,40 h f 15 1/s

c) Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 850 N/mm 2  0,1 0,1975

352

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation)

V zdW

V AD

V zdW  M ı ˜ V m da V m 

V AD

350 N/mm 2  0,1975 ˜ 150 N/mm 2

Mı 1 320,4 N/mm 2

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

353

Lösung zu Aufgabe 13.3 a) Die Zylinderkopfschrauben eines Motors erfahren infolge statischer Vorspannung und rein schwellendem Arbeitsdruck eine Zugschwellbeanspruchung. b) Ein rein schwellender Innendruck führt in einem Behälter in axialer, tangentialer und radialer Richtung zu einer reinen Zugschwellbeanspruchung (z. B. Befüll- und Entleerungsvorgänge einer Gasflasche). c) Eine umlaufende, durch eine statische Radialkraft beanspruchte Welle unterliegt einer reinen Wechselbeanspruchung, sofern keine statische Vorspannung wirkt (Umlaufbiegung). d) Ein Brückenpfeiler erfährt durch das Eigengewicht der Brücke und die zusätzliche, zeitlich veränderliche Verkehrsbelastung eine Druckschwellbeanspruchung. e) Die Kolbenstange eines einseitig wirkenden Hydraulikzylinders unterliegt einer reinen Druckschwellbeanspruchung, sofern bei jedem Lastwechsel der Innendruck pi zu Null wird.

354

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.4 a) Berechnung der Ober- und Unterspannungen - Minimaler Druck (aus Diagramm) piu = 5 MPa - Maximaler Druck (aus Diagramm) pio = 10 MPa Damit folgt für die Unter- und Oberspannung der jeweiligen Spannungskomponenten: Spannungskomponente

Oberspannung Vo

Unterspannung Vu

Vt

pi ˜

di 2˜s

400 N/mm2

200 N/mm2

Va

pi ˜

di 4˜s

200 N/mm2

100 N/mm2

1)

-10 N/mm2

-5 N/mm2

Vr = - p i 1)

am Innenrand

b) Berechnung von Spannungsamplitude, Mittelspannung und Spannungsverhältnis für die Tangentialspannungskomponente

V ta V tm R

400 N/mm 2  200 N/mm 2 100 N/mm 2 2 2 V to  V tu 400 N/mm 2  200 N/mm 2 300 N/mm 2 2 2 V tu 200 N/mm 2 0,5 V to 400 N/mm 2

V to  V tu

c)

Geradengleichung für konstantes Spannungsverhältnis R 1 R 1 R Va ˜ V m bzw. V m ˜Va 1 R 1 R

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

für R = -1 folgt: V m 0 (Ordinate) für R = -0,5 folgt: V a 3 ˜ V m (D 71,57q) für R = 0 folgt: V a V m (erste Winkelhalbierende) für R = 0,5 folgt: 1 Va ˜ V m (D 3

18,43q)

für R = 1 folgt: V a 0 (Abszisse, d. h. statische Beanspruchung) für R = v folgt: V a V m

355

356

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.5 a) Ermittlung des Oberflächenfaktors COV für Normalspannungen 0,83 aus Diagramm für Rz 12,5 ȝm und Rm

COı

950 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Zug-Druck-Wechselfestigkeit * V zdW

0,83 ˜ 415 N/mm 2

COı ˜ V zdW

344,45 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V a d V a zul F

S

˜d2

4

* V AD

* V zdW

SD

SD 344,45 N/mm 2 ˜ S ˜ 25 mm 2 4 ˜ 50 000 N

* ˜S ˜ d 2 V zdW

SD

4˜F

3,38 (ausreichend, da S D ! 2,50)

SD

b) Berechnung der korrigierten Biege-Wechselfestigkeit * V bW COı ˜ V bW 0,83 ˜ 480 N/mm 2 398,4 N/mm 2 Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung: V ba d V ba zul

Mb

S 32

˜d3

* V AD

* V bW

SD

SD 398,4 N/mm 2 ˜ S ˜ 25 mm 3 32 ˜ 400 N ˜ 500 mm

* V bW ˜S ˜ d 3

SD

32 ˜ Fq ˜ l

3,06 (ausreichend, da S D ! 2,50)

SD

c) Berechnung des Oberflächenfaktors COW für Schubbeanspruchung COIJ

0,91 aus Diagramm für Rz

12,5 ȝm und Rm

Berechnung der korrigierten Torsionswechselfestigkeit * W tW

COW ˜ W tW

0,91 ˜ 240 N/mm 2

Festigkeitsbedingung: W ta d W ta zul Mt

S 16

˜d3

* W AD

* W tW

SD

SD

218,4 N/mm 2

950 N/mm 2

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

SD

* W tW ˜S ˜ d 3

16 ˜ M t

218,4 N/mm 2 ˜ S ˜ 25 mm 3 16 ˜ 200 000 Nmm

3,35 (ausreichend, da S D ! 2,50)

357

358

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.6 a) Berechnung der Mittelspannung

Vm

Fm A

150 000 N

S

212,21 N/mm2

˜ 30 mm

2

4

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV für Normalspannungen COı

540 N/mm 2

6,3 ȝm und Rm

0,93 aus Diagramm für Rz

Berechnung der korrigierten Zug-Druck-Wechselfestigkeit * V zdW

COı ˜ V zdW

0,93 ˜ 240 N/mm 2

223,2 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı M ıc

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 540 N/mm 2  0,1 0,089 0,089 / 3 0,03 (nach FKM  Richtlinie)

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) M ıc  1  M ıc ˜ V m M ı 1

* V AD

* V zdW ˜

* V AD

223,3 N/mm 2 ˜

da

* V zdW

M ı 1

Vm 

* M c 1 3 ˜ V zdW ˜ ı 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

0,03  1  0,03 ˜ 212,21 N/mm 2 0,089  1

204,55 N/mm 2

Berechnung der dauernd ertragbaren Kraftamplitude Festigkeitsbedingung:

Va

* V AD

Va

204,55 N/mm 2

Damit folgt für die dauernd ertragbare Kraftamplitude:

FA1

V a ˜ A 204,55 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 30 mm 2

144 586 N 144,6 kN

Anmerkung: Berechnung der Oberspannung

Vo

Fm  FA1 A

150 000 N  144 586 N

S 4

416,75 N/mm 2

˜ 30 mm

2

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen SF

Rp0,2

Vo

290 N/mm 2 416,75 N/mm 2

0,7

Damit versagt das Bauteil nicht durch Schwingbruch, sondern durch Fließen.

359

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

b) Berechnung der dauernd ertragbaren Kraftamplitude * Da Va = Vm muss für V AD gelten (siehe Abbildung): * V AD

* V zdW  M ı ˜V m

Festigkeitsbedingung

Va

* V AD

Va

* V zdW  M ı ˜V m

Mit Vm = Va (reine Zugschwellbeanspruchung) folgt:

Va

* V zdW

Mı 1

223,2 N/mm2 1  0,089

204,96 N/mm2

Damit folgt für die dauernd ertragbare Kraftamplitude: FA2

V a ˜ A 204,96 N/mm2 ˜

S 4

˜ 30 mm 2

144 877 N 144,9 kN

Anmerkung: Berechnung der Oberspannung

Vo

Vm Va

2 ˜ 204,96 N/mm 2

409,92 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen SF

Rp0,2

Vo

290 N/mm 2 409,92 N/mm 2

0,71

Damit versagt das Bauteil nicht durch Schwingbruch, sondern durch Fließen. c) Berechnung der dauernd ertragbaren Kraftamplitude * Da Va = -Vm muss für V AD gelten (siehe Abbildung): * V AD

* V zdW  M ı ˜V m

Festigkeitsbedingung

Va

* V AD

Va

* V zdW  M ı ˜V m

Mit Vm = -Va (reine Druckschwellbeanspruchung) folgt:

Va

* V zdW

1 Mı

223,2 N/mm2 1  0,089

245,01 N/mm2

360

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Damit folgt für die dauernd ertragbare Kraftamplitude:

FA3

V AD ˜ A 245,01 N/mm2 ˜

S 4

˜ 30 mm 2

173184 N 173,2 kN

Anmerkung: Berechnung der Unterspannung

Vu

Vm Va

490,01 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen SF

V dF Rp0,2 | Vu Vu

290 N/mm 2 490,01 N/mm 2

0,59

Damit versagt das Bauteil nicht durch Schwingbruch, sondern durch Fließen.

361

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.7 a) Festigkeitsbedingung (Fließen)

V o d V zul Rp0,2

F1  F2

S 4

SF

˜d2

d

4 ˜ F1  F2

S

˜

SF Rp0,2

4 ˜ 12 000 N  25 000 N

S

˜

1,20 300 N/mm 2

13,73 mm

b) Berechnung von Spannungsamplitude und Mittelspannung

Va

Fa A

F2 2

2 ˜ F2

˜d2

S ˜d2

S 4

Vm

Fm A

F1 

S 4

F2 2

4 ˜ F1  2 ˜ F2 S ˜d2

˜d2

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,94 aus Diagramm für Rz

4 ȝm und Rm

560 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Zug-Druck-Wechselfestigkeit * V zdW

COı ˜ V zdW

0,94 ˜ 250 N/mm 2

235 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 560 N/mm 2  0,1 0,096

Zur Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude muss zunächst bekannt sein, ob

Vm d Vm !

* V zdW

M ı 1 * V zdW

M ı 1

oder ist.

Berechnung des Durchmessers d, so dass gilt:

Vm

* V zdW

Mı 1

4 ˜ F1  2 ˜ F2 S ˜d2

* V zdW

Mı 1

362

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

d

M ı  1 4 ˜ F1  2 ˜ F2 ˜ *

0,096  1 4 ˜ 12 000 N  2 ˜ 25 000 N ˜ S 235 N/mm2

S

V zdW

12,06 mm

Für d = 12,06 mm beträgt die Spannungsamplitude: 2 ˜ F2 2 ˜ 25 000 N 109,39 N/mm 2 Va S ˜ d 2 S ˜ (12,06 mm)2 und die dauernd ertragbare Amplitude: * V AD

Vm

* V zdW

Mı 1

235 N/mm 2 0,096  1

214,42 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch (für d = 12,06 mm) SD

* V AD Va

214,42 N/mm 2 109,39 N/mm 2

1,96

Da SD = 2,80 gefordert wird, muss der Durchmesser d > 12,06 mm sein. Damit errechnet sich * die dauernd ertragbare Amplitude V AD zu: * V AD

* V zdW  M ı ˜V m

Aus der Festigkeitsbedingung folgt:

Va d Va

* V AD

SD *  M ı ˜V m V zdW

SD

4 ˜ F1  2 ˜ F2 * V zdW  Mı ˜ 2 ˜ F2 S ˜d2 SD S ˜d2 2 ˜ F2 4 ˜ F1  2 ˜ F2 * ˜ S D V zdW  Mı ˜ 2 S ˜d S ˜d2 d

2 ˜ F2 ˜ S D  M ı ˜ 4 ˜ F1  2 ˜ F2 * S ˜ V zdW 2 ˜ 25 000 N ˜ 2,80  0,096 ˜ 4 ˜ 12 000 N  2 ˜ 25 000 N S ˜ 235 N/mm 2

14,23 mm

363

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.8 Berechnung der Mittelspannung F1 F1 120 000 N Vm A a ˜ b 25 mm ˜ 50 mm

96 N/mm 2

Berechnung der Spannungsamplitude M ba F2 ˜ l 6 ˜ F2 ˜ l V ba Wb a ˜ b2 a ˜ b2 6 Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,88 aus Diagramm für Rm

400 N/mm 2 und Grauguss

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COı ˜ V bW

0,88 ˜ 130 N/mm 2

114,4 N/mm 2

Berechnung der dauernd ertragbaren Spannungsamplitude (spröder Werkstoff !) * V AD

§

* ˜ ¨¨1  V bW

©

§ 96 N/mm 2 ·¸ 2 ¸¸ 114,4 N/mm 2 ˜ ¨1  ¨ 400 N/mm 2 ¸ 86,94 N/mm Rm ¹ © ¹

Vm ·

Festigkeitsbedingung (Dauerbruch) V ba d V ba zul * V AD

6 ˜ F2 ˜ l a ˜ b2

SD 2

F2

* a ˜ b V AD ˜ 6 ˜ l SD

25 mm ˜ 50 mm 2 86,94 N/mm 2 ˜ 6 ˜ 200 mm 5,0

905,7 N

Anmerkung: Berechnung der Oberspannung 6 ˜ F2 ˜ l 6 ˜ 905,7 N ˜ 200 mm Vo Vm  96 N/mm 2  a ˜ b2 25 mm ˜ 50 mm 2

113,39 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Bruch SB

Rm

Vo

400 N/mm 2 113,39 N/mm 2

3,52

Damit wird die erforderliche Sicherheit gegen Bruch (SB t 4,0) geringfügig unterschritten.

364

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.9 Ermittlung der Formzahl Dk D d

30 mm 25 mm

1,2

R d

2,5 mm 25 mm

0,1

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kt

1,30

Berechnung der Nennspannungen sowie der maximalen Mittelspannung Spannungsamplitude (Nennspannung) M ta M ta 500 000 Nmm 162,98 N/mm 2 W ta n S 3 S Wtn 3 ˜d ˜ 25 mm 16 16 Mittelspannung (Nennspannung und maximale Spannung): M tm M tm 1 000 000 Nmm 325,95 N/mm 2 W tm n S 3 S Wtn 3 ˜d ˜ 25 mm 16 16 W tm max W tm n ˜ D kt 325,95 N/mm 2 ˜ 1,30 423,73 N/mm 2

Bestimmung der Kerbwirkungszahl Ekt für Torsionsbeanspruchung Formzahl: Dk = 1,30 Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 4 1 4 1 F   0,47 mm -1 D  d R 30 mm  25 mm 2,5 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 1400 N/mm2): nF = 1,01 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekt: D kt 1,30 E kt 1,29 nȤ 1,01

Ermittlung des Oberflächenfaktors COW unter der Wirkung von Schubspannungen COIJ

0,82 aus Diagramm für Rz

25 ȝm und Rm

1830 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Torsionswechselfestigkeit * W tW

COIJ ˜ W tW

0,82 ˜ 490 N/mm 2

401,8 N/mm 2

365

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV MIJ M IJc

0,577 ˜ M ı





0,577 ˜ 0,00035 ˜ Rm  0,1 0,577 ˜ 0,00035 ˜ 1830 N/mm 2  0,1

0,31 / 3 0,10 (nach FKM  Richtlinie)

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * * W AD W tW ˜ * W AD

M IJc  1  M IJc ˜ W tm max MIJ 1

401,8 N/mm 2 ˜

da

* W tW

MW  1

 W tm 

0,10  1  0,10 ˜ 423,73 N/mm 2 0,31  1

* M c 1 3 ˜ W tW ˜ W 3 ˜ M Wc  1 M W  1

294,1 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung: W ta max d W ta zul

W ta n ˜ E kt SD

* W AD

SD

* W AD W ta n ˜ E kt

294,1 N/mm 2 162,98 N/mm 2 ˜ 1,29

1,40 (nicht ausreichend, da S D  2,50)

0,31

366

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.10 a) Berechnung des erforderlichen Radius R D 2,0 d D k 2,0 Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm: R 0,1 d R 0,1 ˜ d 0,1 ˜ 25 mm 2,5 mm b) Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek für den Wellenabsatz (S890QL) Formzahl: Dk = 2,0 Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 2 2 F 0,8 mm-1 R 2,5 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 920 N/mm2): nF = 1,03 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek: D k 2,00 Ek 1,94 nȤ 1,03

Festigkeitsbedingung (Dauerbuch)

V a max d V a zul V an ˜ E k V an ˜ E k V an

* V AD

SD

V zdW SD

V zdW SD ˜ E k

480 N/mm 2 2,50 ˜ 1,94

98,97 N/mm 2

Berechnung der zulässigen Kraftamplitude FW S S FW V an ˜ An V an ˜ ˜ d 2 98,97 N/mm 2 ˜ ˜ 25 mm 2 4 4

48581 N

48,6 kN

c) Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek für den Wellenabsatz (EN-GJL-300) Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rm = 320 N/mm2): nF = 1,30

367

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek: D k 2,00 1,54 Ek nȤ 1,30

Festigkeitsbedingung (Dauerbuch)

V a max d V a zul V an ˜ E k V an ˜ E k V an

* V AD

SD

V zdW SD

V zdW SD ˜ E k

100 N/mm 2 4,0 ˜ 1,54

16,23 N/mm 2

Berechnung der zulässigen Kraftamplitude FW S S FW V an ˜ An V an ˜ ˜ d 2 16,23 N/mm 2 ˜ ˜ 25 mm 2 4 4

7 969 N

7,97 kN

368

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.11 a) Berechnung der Spannungsamplitude F1 ˜l 2

M ba Wb

V ba

S

32

V bm

˜d3

16 ˜ F1 ˜ l S ˜d3

V ba

(reine Zugschwellbeanspruchung)

(reine Zugschwellbeanspruchung)

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen 0,85 aus Diagramm für Rz 10 ȝm und Rm

COı

1050 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Zug-Druck-Wechselfestigkeit * V bW

0,85 ˜ 480 N/mm 2

COı ˜ V bW

408 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV 0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1050 N/mm 2  0,1 0,27

Mı

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * Da Va = Vm muss für V AD gelten (siehe Abbildung): * V AD

* V bW  M ı ˜ V bm

Festigkeitsbedingung (Dauerbruch) V ba d V ba zul * V AD

V ba

SD * V bW  M ı ˜ V bm

V ba

SD Mit Vbm = Vba (reine Zugschwellbeanspruchung) folgt: * V bW  M ı ˜ V ba

V ba

SD * V bW

V ba

408 N/mm 2 2,50  0,27

SD  M ı

147,29 N/mm 2

Berechnung des erforderlichen Durchmessers d 16 ˜ F1 ˜ l S ˜d3

V ba d

3

16 ˜ F1 ˜ l V ba ˜ S

3

16 ˜ 10 000 N ˜ 1000 mm 147,29 N/mm2 ˜ S

70,19 mm

369

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

b) Berechnung der Spannungsamplitude 2 ˜ F2 ˜ a

M ta Wt

W ta

S 16

3

˜d

32 ˜ F2 ˜ a

(reine Torsionswechselbeanspruchung)

S ˜d3

Ermittlung des Oberflächenfaktors COW unter der Wirkung von Schubspannungen 0,92 aus Diagramm für Rz 10 ȝm und Rm

COIJ

1050 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Torsionswechselfestigkeit: * W tW

0,92 ˜ 275 N/mm 2

COIJ ˜W tW

253 N/mm 2

Festigkeitsbedingung (Dauerbruch)

W ta d W ta zul W ta

* W AD

* W tW

SD

SD

253 N/mm 2 3,0

84,3 N/mm2

Berechnung des erforderlichen Durchmessers d 32 ˜ F2 ˜ a S ˜d3

W ta d

3

32 ˜ F2 ˜ a W ta ˜ S

3

32 ˜ 15 000 N ˜ 200 mm 82,5 N/mm2 ˜ S

71,82 mm

c) Berechnung der Biegespannung F1 ˜ l

Mb Wb

Vb

S 32

˜d3

32 ˜ F1 ˜ l S ˜d3

Berechnung der Schubspannung aus Torsion

Wt

Mt Wt

2 ˜ F2 ˜ a

S 16

˜d3

32 ˜ F2 ˜ a S ˜d3

Berechnung der Vergleichsspannung Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese (SH) kann unmittelbar aus den Lastspannungen Vb und Wt (Biegebeanspruchung mit überlagerter Torsion) errechnet werden:

V V SH

V b2  4 ˜ W t2

Festigkeitsbedingung

V V SH d

Rp0,2 SF

370

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Rp0,2

V b2  4 ˜ W t2

SF 2

§ 32 ˜ F1 ˜ l · § 32 ˜ F2 ˜ a ·  4˜¨ ¨ 3 ¸ 3 ¸ © S ˜d ¹ © S ˜d ¹

2

Rp0,2 SF

Mit F1 = F2 = F folgt: 2

§ 32 ˜ l · § 32 ˜ a ·  4˜¨ F˜ ¨ 3¸ 3¸ ˜ d S © ¹ ©S ˜d ¹

2

Rp0,2 SF

S ˜ d 3 ˜ Rp0,2

Rp0,2

F

2

§ 32 ˜ l · § 32 ˜ a ·  4˜¨ SF ˜ ¨ 3¸ 3¸ ©S ˜d ¹ ©S ˜d ¹

2

32 ˜ S F ˜ l 2  4 ˜ a 2

S ˜ 60 mm 3 ˜ 900 N/mm 2 32 ˜ 1,20 ˜

1000 mm 2  4 ˜ 200 mm 2

14767 N

14,8 kN

371

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.12 Berechnung der Spannungsamplitude Vba Maximale Durchbiegung:

f max

at 2

a t  2 2

Berechnung der Kraftamplitude mit Erreichen der maximalen Durchbiegung Fa

f max ˜

3˜ E ˜ I l3

Berechnung der maximalen Biegespannung (im Einspannquerschnitt) mit Erreichen der maximalen Durchbiegung Fa ˜ l Wb

3˜ E ˜ I

V ba

M ba Wb

V ba

3˜ E t f max ˜ 2 ˜ 2 l

I da Wb

V ba

a  t 3˜ E t ˜ 2 ˜ 2 2 l

3 E ˜t ˜ a  t ˜ 2 4 l

f max ˜

l

3

˜

l Wb

t 2

Ermittlung der Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,85 aus Diagramm für Rz

6,3 ȝm und Rm

1550 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

0,85 ˜ 750 N/mm 2

COı ˜ V bW

637,5 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

V ba d V ba zul V ba

* V bW

SD * V bW

E ˜t 3 ˜ a  t ˜ 2 4 l * V bW

SD 2

a

l 4 ˜ ˜ t 3 SD E ˜ t

a

1000 mm 2 4 637,5 N/mm 2 ˜ ˜  8 mm 3 2,5 207 000 N/mm 2 ˜ 8 mm

213,3 mm

372

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.13 a) Festigkeitsbedingung

W t d W t zul Mt Wt

W tF SF Rp0,2

Mt S d a4  d i4 ˜ 16 da Mt

da W tF

2 ˜ SF

Rp0,2 2

S d a4  d i4 Rp0,2 16

˜

˜

da

2 ˜ SF

S 254  20 4 16

˜

25

mm3 ˜

1250 N/mm 2 2 ˜ 1,5

754 719 Nmm

754,7 Nm

b) Ermittlung der Oberflächenfaktors COW für Schubbeanspruchung COIJ

4 ȝm und Rm

0,94 aus Diagramm für Rz

1620 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * W tW

0,94 ˜ 420 N/mm 2

COIJ ˜ W tW

394,8 N/mm 2

Festigkeitsbedingung

W ta d W ta zul M ta Wt

* W AD

* W tW

SD

SD * W tW

M ta S d a4  d i4 ˜ da 16 M ta

SD

* S d a4  d i4 W tW

16

˜

da 4

M ta

˜

S 25  20 16

˜

25

SD

4

˜

394,8 N/mm 2 2,2

325 050 Nmm

325,1 Nm

c) Berechnung des Verdrehwinkels für den Fall der statischen Beanspruchung

M

Mt ˜l G ˜ IP

M (in Grad)

Mt ˜l E S ˜ ˜ d a4  d i4 2 ˜ 1  P 32



180q

S

˜ M (in rad)



180q

S

754 719 Nmm ˜ 1000 mm 211 000 Nmm2 S ˜ ˜ 254  204 mm4 2 ˜ 1  0,3 32

˜ 0,411 23,53q





0,411

373

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung des Verdrehwinkels für den Fall der Schwingbeanspruchung

M

M t ˜l G ˜ IP

M (in Grad)

M t ˜l S E ˜ ˜ d a4  d i4 2 ˜ 1  P 32



180q

S

˜ M (in rad)

325 050 Nmm ˜1000 mm



180q

S

211 000 Nmm 2 S ˜ ˜ 25 4  20 4 mm 4 2 ˜ 1  0,3 32



˜ 0,177 10,14q



0,177

374

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.14 a) Beanspruchungs-Zeit-Verlauf Umlaufbiegung führt zu einer reinen Zug-Druck-Wechselbeanspruchung

Vb Vb max Vba 0

t

Vb max Berechnung des maximalen Biegemomentes M b max

a ˜b ˜ FQ ab

500 mm ˜ 350 mm ˜ 10 000 N 500 mm  350 mm

2 058 824 Nmm

Berechnung der maximalen Spannungsamplitude

V ba

V b max

M b max Wb

M b max

S 32

˜d

3

2 058 824 Nmm

S 32

167,77 N/mm 2

˜ 50 mm

3

b) Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,92 aus Diagramm für Rz

3,2 ȝm und Rm

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

C Oı ˜ V bW

0,92 ˜ 530 N/mm 2

487,6 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V ba d V ba zul

1070 N/mm 2

375

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

V ba SD

* V AD

* V bW

SD

SD

* V bW V ba

(reine Biegewechselbeanspruchung)

487,6 N/mm 2 167,77 N/mm 2

2,91 (nicht ausreichend, da S D ! 3,5 gefordert)

c) Berechnung der Mittelspannung Vm FH FH 350 000 N Vm S 2 S A ˜d ˜ 50 mm 2 4 4

178,25 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1070 N/mm 2  0,1 0,275

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V bW

* V AD

* V bW  M ı ˜V m

* V AD

487,6 N/mm 2  0,275 ˜178,25 N/mm 2

da V m 

M ı 1 438,58 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung: V ba d V ba zul

V ba SD

* V AD

SD * V AD V ba

438,58 N/mm 2 167,77 N/mm 2

2,61 (ausreichend, da S D ! 2,50)

376

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.15 Berechnung der Mittelspannung 100 000 N F1 F1 Vm S S A ˜ d a2  d i2 ˜ 70 2  60 2 mm 2 4 4









97,94 N/mm 2

Berechnung der Spannungsamplitude M b max

V ba

F2 ˜ c d 4  d i4 ˜ a 32 da

Wb

S

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen 0,82 aus Diagramm für Rz 12,5 ȝm und Rm

COı

1180 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COı ˜ V bW

0,82 ˜ 590 N/mm 2

483,8 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV 0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜1180 N/mm 2  0,1 0,313

Mı

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V AD * V AD

*  M ı ˜V m V bW

da V m 

2

* V bW

M ı 1

483,8 N/mm  0,313 ˜ 97,94 N/mm 2

453,14 N/mm 2

Berechnung der Querkraft F2 Festigkeitsbedingung (Dauerbruch):

V ba d V ba zul F2 ˜ c

* V AD

S d a4  d i4

SD

32 F2

˜

da * V AD

˜

S d a4  d i4

S D ˜ c 32

˜

da

453,14 N/mm 2 S 70 4  60 4 mm 3 ˜ ˜ 2,50 ˜100 mm 32 70

28 090 N

28,1 kN

377

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.16 a) Ermittlung der Formzahl Dk d D dB D

30 mm 40 mm

0,75

5 mm 40 mm

0,125

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm

D kt

3,8

Festigkeitsbedingung

W t max  W t zul W tB

W t ˜ D kt

SB

Mt ˜ D kt Wtn

W tB SB

Rm da W tB SB

D4  d 4 ˜ Rm D 16 S B˜ ˜ D k

S

Mt

Wtn ˜ Rm S B˜ ˜ D k

Rm für Grauguss

˜

S 40 4  30 4 16

˜

40

mm3 ˜ 320 N/mm 2

4,0 ˜ 3,8

180 848 Nmm 180,8 Nm

b) Ermittlung des Oberflächenfaktors COW unter der Wirkung von Schubspannungen COIJ

0,90 aus Diagramm für Grauguss und Rm

320 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Schubwechselfestigkeit: * W tW

COIJ ˜ W tW

0,90 ˜ 80 N/mm 2

72 N/mm 2

Bestimmung der Kerbwirkungszahl Ekt Formzahl Dkt = 3,8 (aus geeignetem Formzahldiagramm für dB/D = 0,125 und d/D = 0,75) Berechnung des bezogenes Spannungsgefälles:

F

2 6  D dB

2 6  40 mm 5 mm

1,25 mm1

Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rm = 320 N/mm2): nF = 1,45 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekt:

Ek

D kt nȤ

3,8 1,45

2,62

378

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Festigkeitsbedingung

W ta max d W ta zul W ta ˜ E kt M ta ˜ E kt Wtn M ta

W t*AD

* W tW

SD

SD

* W tW

* W tW

SD ˜

S D4  d 4

S D˜ ˜ E kt 16 94 428 Nmm

˜

D 94,4 Nm

72 N/mm 2 S 40 4  30 4 ˜ ˜ mm3 2,50 ˜ 2,62 16 40

379

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.17 a) Biegemomentenverlauf

Berechnung des maximalen Biegemomentes FQ ˜ a

M b max

3 900 N ˜ 200 mm

780 000 Nmm

780 Nm

b) Die höchst beanspruchte Stelle befindet sich im Kerbgrund. Ermittlung der Formzahl Dkb D d

40 mm 35 mm

1,14

R d

2,5 mm 35 mm

0,07

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kb

2,1

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen im Kerbgrund Festigkeitsbedingung:

V b max d V b zul M b max Wbn

˜ D kb

V bF SF

mit VbF | Rp0,2 folgt: SF

Rp0,2 S 1 ˜ ˜d3 ˜ D kb 32 M b max

35 mm 3 550 N/mm 2 S ˜ ˜ 2,1 32 780 000 Nmm

1,41 (ausreichend)

c) Zusätzliche Versagensmöglichkeit: Dauerbruch infolge Umlaufbiegung. d) Ermittlung der Kerbwirkungszahl Ekb Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles:

F

2 2  d R

2 2  35 mm 2,5 mm

0,857 mm1

380

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 550 N/mm2) nF = 1,1 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb:

E kb

D kb

2,1 1,1

nȤ

1,91

e) Zeitlicher Verlauf der Biegespannung an der Kerbstelle (Umlaufbiegung d. h. reine Biegewechselbeanspruchung)

f) Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,82 aus Diagramm für Rz

25 ȝm und Rm

780 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

0,82 ˜ 390 N/mm 2

COı ˜ V bW

319,8 N/mm 2

Berechnung der zulässigen Querkraft FQ Festigkeitsbedingung:

V a max d V a zul V an ˜ E kb M ba Wbn FQ

˜ E kb

* V AD

* V bW

SD

SD

* V bW

* V bW

SD ˜

S

E kb ˜ S D ˜ a 32

˜d3

S 319,8 N/mm 2 ˜ ˜ 35 mm 3 1,91 ˜ 2,50 ˜ 200 mm 32

1409,6 N

381

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.18 a) Berechnung des Biegemomentes am linken Wellenabsatz

M bI

F1 ˜b 2

10000 N ˜ 100 mm 2

500 000 Nmm

500 Nm

b) Ermittlung der Formzahlen für Zugbeanspruchung (Dkz) und Biegung (Dkb) D 45 mm 1,5 d 30 mm R 6 mm 0,2 d 30 mm Aus geeigneten Formzahldiagrammen entnimmt man:

D kz D kb

1,55 1,42

c) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen am Wellenabsatz Festigkeitsbedingung (Fließen):

V b max d V b zul M bI ˜ D kb Wbn

V bF SF

mit VbF | Re folgt: SF

Re S ˜ ˜d3 M b ˜ D kb 32

S 460 N/mm 2 ˜ ˜ 30 mm 3 500 000 Nmm ˜ 1,42 32

1,72 (ausreichend, da S F ! 1,20)

d) Berechnung der Biegenennspannung an der Kerbstelle I

V bn

M bI Wbn

M bI

S 32

˜d

500000 Nmm 3

S 32

˜ 30 mm

3

188,63 N/mm 2

382

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Zusatzkraft F2 Festigkeitsbedingung: V b max  V z max d V bF mit V bF | Re

V bn ˜ D kb  V zn ˜ D kz Re  V bn ˜ D kb

V zn F2

Re

D kz S 4

S

˜d2 ˜

Re  V bn ˜ D kb

D kz

˜ 30 mm 2 ˜

4

460 N/mm 2  188,63 N/mm 2 ˜ 1,42 1,55

87627 N

e) Ermittlung der Kerbwirkungszahl Ekb für den Wellenabsatz Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles:

F

4 2  Dd R

4 2  45 mm  30 mm 6 mm

0,387 mm1

Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Re = 460 N/mm2): nF = 1,05 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb:

E kb

D kb nȤ

1,42 1,05

1,35

f) Darstellung des Spannungs-Zeit-Verlaufes bei umlaufender Welle Berechnung der (schädigungswirksamen) maximalen Biegespannungsamplitude:

V ba max

V ba n ˜ E kb 188,63 N/mm 2 ˜ 1,35 254,22 N/mm 2

Vb Vb max 0

t

Vb max

g) Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,90 aus Diagramm für Rz 12,5 ȝm und Rm

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COV ˜ V bW

0,90 ˜ 280 N/mm 2

252 N/mm 2

530 N/mm 2

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Festigkeitsbedingung

V ba max d V a zul SD

* V bW

V ba max

* V AD

* V bW

SD

SD

252 N/mm2 254,65 N/mm2

0,99 (nicht ausreichend, da S D  2,50)

383

384

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.19 a) Berechnung der Zugspannung F1 A

Vz

F1

S 4

700 000 N

˜d

S

2

4

247,57 N/mm 2

˜ 60 mm

2

Berechnung der Verlängerung des Bolzens (Hookesches Gesetz für einachsigen Spannungszustand)

H

Vz

'l l0 'l

E

Vz E

Vz E

˜ l0

247,57 N/mm 2 ˜ 180 mm 210 000 N/mm 2

0,2122 mm

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung:

V z d V zul Vz SF

Rp0,2 SF Rp0,2

Vz

620 N/mm2 247,57 N/mm2

2,50 (ausreichend, da S F ! 1,20)

b) Die höchst beanspruchte Stelle befindet sich am Einspannquerschnitt. Dort wirkt eine reine Biegewechselbeanspruchung. Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,89 aus Diagramm für Rz

6,3 ȝm und Rm

920 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

0,89 ˜ 450 N/mm 2

COı ˜ V bW

400,5 N/mm 2

Berechnung der Spannungsamplitude

V ba

Mb

F2 ˜ b

Wb

S 32

˜d

Festigkeitsbedingung

V ba d V ba zul V ba

* V AD

* V bW

SD

SD

3

12 500 N ˜ 170 mm

S 32

˜ 60 mm

3

100,21 N/mm2

385

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

SD

* V bW V ba

400,5 N/mm 2 100,21 N/mm 2

4,0 (ausreichend, da S D ! 2,50)

c) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung:

V o d V zul Rp0,2

V z  V ba SF

SF 620 N/mm 2 247,57 N/mm 2  100,21 N/mm 2

Rp0,2

V z  V ba

1,78 (ausreichend, da S F ! 1,20)

Mittelspannung (aus Aufgabenteil a):

Vm

247,57 N/mm2

Vz

Spannungsamplitude (aus Aufgabenteil b):

V ba

100,21 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 920 N/mm 2  0,1 0,222

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V bW

* V AD

* V bW  M ı ˜ V m da V m 

* V AD

400,5 N/mm 2  0,222 ˜ 247,57 N/mm 2

Mı 1 345,54 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V ba d V a zul V ba SD

* V AD

SD * V AD V ba

345,54 N/mm 2 100,2 N/mm 2

3,45 (ausreichend, da S D ! 2,50)

d) Berechnung des zulässigen Torsionsmomentes Festigkeitsbedingung (Fließen):

W t d W tF Mt Wt Mt

W tF S 16

mit W tF

˜d3 ˜

Rp0,2 / 2 folgt :

Rp0,2

S

2

16

˜ 60 mm 3 ˜

620 N/mm2 2

13147565 Nmm 13147,6 Nm

386

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung des Verdrehwinkels M t˜ l M G ˜ IP

mit G

E folgt : 2 ˜ 1  P M t˜ l S E ˜ ˜d4 2 ˜ 1  P 32

M

M (in Grad)

13147565 Nmm ˜ 180 mm 210 000 N/mm2 S ˜ ˜ 60 mm 4 2 ˜ 1  0,30 32 180q 180q ˜ M (in rad) ˜ 0,0230 1,32q

S

0,0230

S

e) Berechnung des zulässigen Torsionsmomentes Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese (SH) kann unmittelbar aus den Lastspannungen (Zugbeanspruchung mit überlagerter Torsion) errechnet werden:

V z2  4 ˜ W t2

V V SH

Festigkeitsbedingung: Rp0,2 V V SH d SF

V z2  4 ˜W t2

Wt Mt

§ Rp0,2 ¨ ¨ S © F

Rp0,2 SF 2

§ 620 N/mm 2 ¨ ¨ 1,50 ©

· ¸  V z2 ¸ ¹ 4

W t ˜ Wt W t ˜

S 16

2

· ¸  247,57 N/mm 2 ¸ ¹ 4





2

165,49 N/mm 2

˜d3

165,49 N/mm 2 ˜

S 16

˜ 60 mm 3

7 018 864 Nmm 7 018,9 Nm

f) Berechnung der (Biege-)Spannung im Querschnitt I-I

V bI

Mb Wb

F2 ˜ b

S 32

˜ D3

Berechnung der (Biege-)Spannung im Querschnitt II-II (Kerbgrund) F2 ˜ c V b max II V bn II ˜ D kb ˜ D kb S ˜d3 32

387

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Bedingung:

VbI

V b max II F2 ˜ c

F2 ˜ b

S 32

˜D

Dk

S

3

32

b §d· ˜¨ ¸ c ©D¹

˜d3

3

˜Dk

170 mm § 50 mm · ¸ ˜¨ 50 mm ¨© 60 mm ¸¹

3

1,968

Aus einem geeigneten Formzahldiagramm entnimmt man für D/d = 1,2 und Dkb = 1,968: R/d

0,05

und damit für den Radius R: R = 2,5 mm g) Bestimmung der Kerbwirkungszahl Ek Formzahl Dk = 1,968 Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 4 2 4 2 F   D  d R 60 mm  50 mm 2,5 mm

0,836 mm 1

Ermittlung der dyn. Stützziffer nF aus Bild 13.51 (Lehrbuch) mit Rp0,2 = 620 N/mm2: nF = 1,07 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek:

Ek

Dk

1,968 1,07

nȤ

1,84

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V ba max d V ba zul V ba n ˜ E k M ba Wbn SD

˜ Ek

* V AD

* V bW

SD

SD

* V bW

* V bW

SD ˜

S

E k ˜ F2 ˜ c 32

˜d 3

400,5 N/mm 2 S ˜ ˜ 50 mm 3 1,84 ˜12 500 N ˜ 50 mm 32

4,27 (ausreichend, da S D ! 2,50)

388

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.20 a) Berechnung des Biegemomentes an der Kerbstelle I Berechnung der Biegespannung:

Berechnung der Lagerkraft FB: FB ˜ a  b FQ ˜ a FB

FQ ˜

a

50 000 N ˜

a  b

250 mm 250 mm  150 mm

31 250 N

Biegemoment an der Kerbstelle I: M bI

FB ˜ c

31 250 N ˜ 80 mm

2 500 000 Nmm

2 500 Nm

b) Ermittlung der Formzahlen für Zug-, Biege- und Torsionsbeanspruchung D 60 mm 1,2 d 50 mm R 5 mm 0,1 d 50 mm Aus geeigneten Formzahldiagrammen entnimmt man:

D kz 1,70 D kb 1,62 D kt 1,30 Berechnung der Nennspannungen

V zn

FH An

FH

S

˜d

4

V bn

W tn

M bI Wbn Mt Wtn

100 000 N

S

2

4

M bI

S 32 Mt

S 16

˜d

˜d3

50,93 N/mm2

˜ 50 mm

2

2 500 000 Nm 3

S

˜ 50 mm 32 16 ˜ M t S ˜d3

3

203,72 N/mm2

389

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der maximalen Spannungen

V z max

V zn˜ D kz

50,93 N/mm 2 ˜ 1,70 86,58 N/mm 2

V b max

V bn˜ D kb

203,72 N/mm 2 ˜ 1,62

W t max

W tn ˜ D kt

330,02 N/mm 2

16 ˜ M t ˜ D kt S ˜d3

Berechnung der Vergleichsspannung aus den Lastspannungen mit Hilfe der SH (V z max  V b max ) 2  4 ˜ W t2max

V V SH

Berechnung des zulässigen Torsionsmomentes Festigkeitsbedingung:

V V SH d V zul Rp0,2

(V z max  V b max ) 2  4 ˜ W t2max

SF

2

1 ˜ 2

§ Rp0,2 · 2 ¨ ¸ ¨ S ¸  (V z max  V b max ) © F ¹

1 ˜ 2

§ 930 N/mm 2 · ¸  86,58 N/mm 2  330,02 N/mm 2 ¨ ¸ ¨ 1 , 50 ¹ ©

W t max

2





2

229,59 N/mm 2

Damit folgt für das zulässige Torsionsmoment Mt: Mt

S 16

˜d3 ˜

W t max D kt

S 16

˜ 50 mm 3 ˜

229,59 N/mm 2 1,30

4 334 552 Nmm

c) Beanspruchungs-Zeit-Verlauf

V Va max Vm max 0

t

d) Ermittlung der Kerbwirkungszahl Ekb für Biegebeanspruchung Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles:

F

4 2  Dd R

4 2  60 mm  50 mm 5 mm

0,436 mm 1

4334,6 Nm

390

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 930 N/mm2) nF = 1,02 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb:

E kb

D kb

1,62 1,02

nȤ

1,59

e) Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,82 aus Diagramm für Rz 12,5 ȝm und Rm

1150 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COV ˜ V bW

0,82 ˜ 570 N/mm 2

467,4 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1150 N/mm 2  0,1 0,30

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V AD * V AD

*  M ı ˜ V m max V bW

da V m max d

* V bW

Mı 1

2

467,4 N/mm  0,30 ˜ 86,58 N/mm 2

441,43 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V ba max d V ba zul V ba n ˜ E kb SD

* V AD

SD

* V AD

V ba n ˜ E kb

441,43 N/mm 2 203,72 N/mm 2 ˜ 1,59

1,36 (nicht ausreichend, da S D  2,50)

391

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.21 a) Ermittlung des Spannungs-Zeit-Verlaufes an der höchst beanspruchten Stelle Berechnung der Biegespannung:

F1 ˜b 2

M b max

Vb

M b max Wb

70000 N ˜ 500 mm 17 500 000 Nmm 17 500 Nm 2 M b max 17 500 000 Nmm 178,25 N/mm 2 S 3 S 3 ˜d ˜ 100 mm 32 32

Berechnung der Zugspannung:

Vz

F2 A

F2

S 4

˜d

480 000 N 2

S 4

61,12 N/mm 2

˜ 100 mm

2

Mittelspannung (Vm) und Spannungsamplitude (Va) der Schwingbeanspruchung:

Vm { Vz

61,12 N/mm 2

Va { Vb

178,25 N/mm 2

Darstellung des Beanspruchungs-Zeit-Verlaufes:

V Va Vm 0

t

b) Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung (Fließen):

V o d V zul

392

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Vb Vz SF

Rp0,2 SF

Rp0,2

Vb Vz

900 N/mm 2 178,25 N/mm 2  61,12 N/mm 2

3,76 (ausreichend, da S F ! 1,20)

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

25 ȝm und Rm

0,75 aus Diagramm für Rz

1420 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COV ˜ V bW

0,75 ˜ 710 N/mm 2

532,5 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1420 N/mm 2  0,1 0,40

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V AD * V AD

* V bW  M ı ˜V m

da V m d

* V bW

Mı 1

2

532,5 N/mm  0,40 ˜ 61,12 N/mm 2

508,05 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V a d V a zul SD

* V AD Va

* V AD

SD 508,05 N/mm 2 178,25 N/mm 2

2,85 (ausreichend, da S D ! 2,50)

c) Ermittlung der Kerbwirkungszahl Ekb für Biegebeanspruchung Ermittlung der Formzahl Dkb für die Biegebeanspruchung aus einem geeigneten Formzahldiagramm d D

10 mm 100 mm

0,1 und Biegebeanspruchung : D kb

2,35

Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles:

F

2 8  D d

2 8  100 mm 10 mm

0,82 mm-1

Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 900 N/mm2) nF = 1,03 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb:

E kb

D kb nȤ

2,35 1,03

2,28

393

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

d) Ermittlung der Formzahl Dkz für Zugbeanspruchung d D

0,1 und Zugbeanspruchung: D kz

2,50 (aus geeignetem Formzahldiagramm)

Berechnung der Biegenennspannung an der Kerbstelle (Querbohrung) F1 70000 N Mb ˜c ˜ 350 mm 12 250 000 Nmm 2 2 Mb Mb V bn { V ba 3 Wbn S ˜ D d ˜ D2  32 6 12 250 000 Nmm 150,29 N/mm 2 S ˜ 100 mm 3 10 mm ˜ 100 mm 2  32 6 Berechnung der Zugnennspannung F2 F2 V zn { V mn 2 An S ˜ D d ˜D 4

480 000 N

S ˜ 100 mm 2 4

70,03 N/mm 2

 10 mm ˜ 100 mm

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V bW

* V AD

* V bW  M ı ˜ V m max

* V AD

* V bW

* V AD

532,5 N/mm 2  0,40 ˜ 70,03 N/mm 2 ˜ 2,50

da V m max d

Mı 1

 M ı ˜ V mn ˜ D kz 462,47 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V a max d V a zul V bn ˜ E kb SD

* V AD

SD

* V AD V ba ˜ E kb

462,47 N/mm 2 150,29 ˜ 2,28 N/mm 2

1,35 (nicht ausreichend, da S D  2,50)

394

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.22 a) Berechnung der Spannung in Längsrichtung (Zugrichtung) FV FV 4 ˜ 100 000 N 392,98 N/mm 2 Vl 2 S A 2  ʌ ˜ 1 8 mm ˜d 4 Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Zur Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises benötigt man die Spannungen in zwei zueinander senkrechten Schnittflächen. Bekannt sind die Spannungen in den Schnittflächen mit der x- und der y-Richtung als Normale. Eintragen des Bildpunktes Px (0 | 0) und des Bildpunktes Py (Vl | 0) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen. Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor. Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohrsche Spannungskreis. Die Bildpunkte Px‘ und Py‘, welche die Spannungen in den Schnittflächen mit der x‘- bzw. y‘-Richtung als Normale repräsentieren, erhält man durch Abtragen der Richtungswinkel 2˜12° bzw. 2˜12° + 180°, ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan).

Aus dem Mohrschen Spannungskreis folgt die Normalspannungen Vx‘ und Vy’:

V y'

Vl

V

V

l  l ˜ cos 2D ˜ 1  cos 2D 2 2 2 392,98 N/mm 2 ˜ 1  cos2 ˜ 12q 375,99 N/mm 2 2

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

V x'

Vl

V

395

V

l  l ˜ cos 2D ˜ 1  cos 2D 2 2 2 392,98 N/mm 2 ˜ 1  cos2 ˜ 12q 16,99 N/mm 2 2

Berechnung der Dehnung in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) durch Anwendung des Hookeschen Gesetzes für den zweiachsigen Spannungszustand

H y' { H DMS

1 ˜ V y'  P ˜ V x' E





375,99 N/mm 2  0,30 ˜ 16,99 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,001766 1,766 ‰

Alternative Lösung mit Hilfe des Mohrschen Verformungskreises Berechnung der Dehnung in Längs- und Querrichtung unter Wirkung von FV 392,98 N/mm 2 0,00187 1,87 ‰ E 210 000 N/mm 2  P ˜ H l 0,30 ˜ 0,00187 0,000561 0,561 ‰

Vl

Hl { H y Hq { H x

Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Schnittrichtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der x- bzw. y-Richtung als Bezugsrichtung. Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hq | 0) und Py (Hl | 0) in das H-J/2-Koordinatensystem ergibt den Mohrschen Verformungskreis. Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser, damit ist der Mohrsche Verformungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Den Bildpunkt Py‘, welcher die Verformungen in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS) als Bezugsrichtung repräsentiert, erhält man durch Abtragen des Richtungswinkels 2˜12°, ausgehend vom Bildpunkt Py (gleicher Drehsinn zum Lageplan). Für den Mittelpunkt und den Radius des Mohrschen Verformungskreises erhält man: H l  H q 1,87 ‰  0,561 ‰ HM 0,6543 ‰ 2 2

R

Hl  Hq 2

1,87 ‰ - - 0,561 ‰ 1,216 ‰ 2

Damit folgt die Dehnung in y‘-Richtung (Messrichtung des DMS)

H y' { H DMS

H M  R ˜ cos 2D

0,6543 ‰  1,216 ‰ ˜ cos(2 ˜ 12q) 1,766 ‰

396

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

b) Berechnung der Dehnung in Messrichtung des DMS Aus Aufgabenteil a) folgt:

H y' { H DMS

1 ˜ V y'  P ˜ V x' E



Vl



1 ªV l V º ˜ « ˜ 1  cos 2D  P ˜ l ˜ 1  cos 2D » 2 E ¬2 ¼

˜ >1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D @

2˜ E

Damit folgt für die Spannung Vl in Längsrichtung:

Vl

2 ˜ E ˜ H DMS 1  cos 2D  P ˜ 1  cos 2D

2 ˜ 210 000 N/mm 2 ˜ 0,0025 1  cos 24q  0,30 ˜ 1  cos 24q

556,26 N/mm 2

Berechnung der Zugkraft Fges Fges

Vl ˜ A Vl ˜

S 4

˜d2

556,26 N/mm 2 ˜

S 4

˜ 18 mm 2

141 551 N

Berechnung der Betriebskraft FB1 FB1

Fges  FV

141 551 N - 100 000 N

41 551 N

Alternative Lösung mit Hilfe des Mohrschen Verformungskreises Für die Dehnung in Messrichtung des DMS ergibt sich aus dem vorhergehenden Aufgabenteil: H DMS { H y' H M  R ˜ cos 2D

Hl  Hq

Hl  Hq

˜ cos 2D 2 2 Hl  P ˜ Hl Hl  P ˜ Hl  ˜ cos 2D 2 2 H l ˜ 1  P  H l ˜ 1  P ˜ cos 2D 2

Hl 2



˜ >1  P  1  P ˜ cos 2D @

Damit folgt für die Dehnung Hl in Längsrichtung: 2 ˜ H DMS 2 ˜ 0,0025 Hl 1  P  1  P ˜ cos 2D 1  0,30  1  0,30 ˜ cos2 ˜ 12q

Vl

E ˜Hl

210 000 N/mm 2 ˜ 0,002649

c) Ermittlung der Formzahl Dk D d

24 mm 18 mm

1,33

R d

2,5 mm 18 mm

0,14

556,26 N/mm 2

0,002649

397

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kz 1,62 Berechnung der Sicherheit gegen Fließen im Kerbgrund Festigkeitsbedingung: V max d V zul

V n ˜ D kz

Rp0,2

FV  FB1 ˜ D kz An

S 4

FB1

Rp0,2

˜ d 2 ˜ Rp0,2

D kz

S  FV

4

˜ 18 mm 2 ˜ 10 50 N/mm 2  100 000 N

1,62

64 934 N

d) Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek für den Wellenabsatz Formzahl: Dk = 1,62 Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 2 2 F 0,8 mm -1 R 2,5 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 1050 N/mm2): nF = 1,02 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek:

Ek

Dk

1,62 1,02

nȤ

1,59

e) Berechnung der Nennspannungen Spannungsamplitude (Nennspannung): FB2 2

V an

Fa An

V mn

Fm An

S

50 000 N 2

S

98,24 N/mm 2

˜d ˜ 18 mm 4 4 Mittelspannung (Nennspannung und maximale Spannung): 2

FV 

S 4

V m max

FB2 2

100 000 N 

50 000 N 2

S

2

491,22 N/mm 2

˜ 18 mm 4 491,22 N/mm 2 ˜ 1,62 795,77 N/mm 2

˜d2

V mn ˜ D kz

2

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,85 aus Diagramm für Rz

6,3 ȝm und Rm

1400 N/mm 2

398

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der korrigierten Zug-Druck-Wechselfestigkeit * V zdW

0,85 ˜ 630 N/mm2

COı ˜ V zdW

535,5 N/mm2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı M ıc

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1400 N/mm 2  0,1 0,39 M ı / 3 0,39 / 3 0,13 (nach FKM  Richtlinie)

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) M ıc  1  M ıc ˜ V m max Mı  1

* V zdW

* V AD

* ˜ V zdW

* V AD

0,13  1 535,5 N/mm2 ˜  0,13 ˜ 795,77 N/mm2 0,39  1

da

Mı  1

 V m max d

* Mc 1 3 ˜ V zdW ˜ ı 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

331,88 N/mm2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung: V a max d V a zul

V an ˜ E k SD

* V AD

SD

* V AD V an ˜ E k

331,88 N/mm2 98,24 N/mm2 ˜ 1,59

2,13 (nicht ausreichen d, da S D  2,50)

Anmerkung: Die Sicherheit gegen Fließen beträgt SF = 1,1 und ist ebenfalls nicht ausreichend. f) Berechnung der Nennspannungen

V zn

FV  FB3 An

FV  FB3

S 4

W tn

Mt Wt

Mt

S 16

˜d

˜d2 63 000 Nmm

3

S 16

55,02 N/mm 2

˜ 18 mm

3

Ermittlung der Formzahlen Dkz und Dkt D d R d

24 mm 1,33 18 mm 2,5 mm 0,14 18 mm

Damit entnimmt man geeigneten Formzahldiagrammen:

D kz 1,62 (siehe oben) D kt 1,30

399

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der maximalen Spannungen

V z max

FV  FB3

V zn ˜ D kz

W t max

S

2

˜ D kz

˜d 4 55,02 N/mm 2 ˜ 1,30

W tn ˜ D kz

71,52 N/mm 2

Berechnung der Vergleichsspannung aus den Lastspannungen unter Anwendung der Schubspannungshypothese

V z2max  4 ˜ W t2max

V V SH

Berechnung der Betriebskraft FB3 Festigkeitsbedingung: V V SH d V zul Rp0,2

V z2max  4 ˜ W t2max

SF 2

§ Rp0,2 · 2 ¨ ¸ ¨ S ¸  4 ˜ W t max © F ¹

V z max

2

V zn ˜ D kz FV  FB3

S 4

˜d2

§ Rp0,2 · 2 ¨ ¸ ¨ S ¸  4 ˜ W t max © F ¹ 2

˜ D kz

§ Rp0,2 · 2 ¸ ¨ ¨ S ¸  4 ˜ W t max © F ¹ 2

FB3

S ˜ d 2 § Rp0,2 · ¸  4 ˜ W t2max  FV ˜ ¨ 4 ˜ D kz ¨© S F ¸¹ S ˜ 18 mm 2 4 ˜ 1,62

2

§ 1050 · 2 2 ˜ ¨¨ ¸¸  4 ˜ 71,52 N/mm  100 000 N 1 , 20 ¹ ©

35 596 N

400

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.23 a) Berechnung der Lastspannungen

Vy

F1 A

S 4

Wt

M t1 Wt

4 ˜ 50 000 N

F1 ˜D

ʌ ˜ 25 mm 2

2

16 ˜ 500 000 Nmm

M t1

S 16

˜D

101,86 N/mm 2

S ˜ 25 mm 3

3

162,97 N/mm 2

Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises Eintragen des Bildpunktes Px (0 | -Wt) und des Bildpunktes Py (Vy | Wt) in das V-W-Koordinatensystem unter Beachtung der speziellen Vorzeichenregelung für Schubspannungen.

Bildpunkt Px repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der x-Achse als Normalenvektor (Ebene Ex). Bildpunkt Py repräsentiert die Spannungen in der Schnittebene mit der y-Achse als Normalenvektor (Ebene Ey). Da die beiden Schnittebenen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, müssen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser liegen. Die Strecke PxPy schneidet die V-Achse im Kreismittelpunkt M. Kreis um M durch die Bildpunkte Px oder Py ist der gesuchte Mohrsche Spannungskreis. Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Spannungskreises

VM R

Vy 2 §Vy ¨ ¨ 2 ©

101,68 N/mm 2 2

50,84 N/mm 2

2

· ¸  IJ t2 ¸ ¹

50,84 2  162,97 2 N/mm 2

170,74 N/mm 2

Berechnung der Hilfswinkel D und E

Wt

D

arctan

E

180q  2 ˜ 30q  D

Vy /2

arctan

162,97 N/mm 2 50,84 N/mm 2

72,65q

180q  2 ˜ 30q  72,65q

47,35q

401

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Aus dem Mohrschen Spannungskreis folgt für die Spannungen VA und VB:

Vz

VA VB

2

Vz 2

 R ˜ cos E  R ˜ cos E

101,86 N/mm 2  170,74 ˜ cos 47,35q 64,75 N/mm 2 2 101,86 N/mm 2  170,74 ˜ cos 47,35q 166,60 N/mm 2 2

Berechnung der Dehnungen in A- und B-Richtung (Messrichtung der DMS) mit Hilfe des Hookeschen Gesetzes (zweiachsiger Spannungszustand)

H A { H DMS A

 64,75 N/mm 2  0,30 ˜ 166,60 N/mm 2 210000 N/mm 2

1 ˜ (V A  P ˜ V B ) E

- 0,000546 - 0,546 ‰

H B { H DMS B

1 ˜ (V B  P ˜ V A ) E

166,60 N/mm 2  0,30 ˜  64,75 N/mm 2 210000 N/mm 2

0,000885 0,885 ‰

b) Ermittlung der Formzahlen Dkz und Dkt d 5 mm 0,20 D 25 mm Damit entnimmt man geeigneten Formzahldiagrammen:

D kz 2,30 D kt 1,55 c) Berechnung der Nennspannungen F1 F1 50000 N V yn 136,66 N/mm 2 S 2 An S ˜ D 2 ˜ 25 mm  25 mm ˜ 5 mm d ˜D 4 4 M t2 M t2 W tn 3 Wtn S ˜ D d ˜ D2  16 6 Berechnung der maximalen Spannungen

V y max

V yn ˜ D kz 136,66 N/mm 2 ˜ 2,30 314,32 N/mm 2

W t max

W t n ˜ D kt

M t2 ˜ D kt S ˜D d ˜ D2  16 6 3

Berechnung des zulässigen Antriebsmomentes Mt2 Festigkeitsbedingung:

V V SH d V zul

402

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Rp0,2

V y2 max  4 ˜ W t2max 1 ˜ 2

W t max

SF 2

§ Rp0,2 · 2 ¨ ¸ ¨ S ¸  V y max © F ¹ 2

1 § 690 · ˜ ¨¨ ¸  314,32 2 N/mm 2 ¸ 2 © 1,20 ¹

240,74 N/mm 2

Weiterhin gilt:

W t max

M t2

M t2 ˜ D kt d ˜ D2  16 6 W t max § S ˜ D 3 d ˜ D 2 · ¸ ˜¨  6 ¸¹ D kt ¨© 16

S ˜ D3

240,74 N/mm 2 1,55

§ S ˜ 25 mm 3 5 mm ˜ 25 mm 2 · ¸ ˜¨  ¨ ¸ 16 6 © ¹

395 616 Nmm

395,6 Nm

d) Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb Formzahl: Dkb = 2,10 (aus geeignetem Formzahldiagramm für d/D = 0,20) Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 2 8 2 8 F   1,68 mm -1 D d 25 mm 5 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 690 N/mm2): nF = 1,1

Berechnung der Kerbwirkungszahl Ek: D kb 2,10 E kb 1,91 nȤ 1,1 e) Beanspruchungs-Zeit-Verlauf

403

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Spannungsamplitude (Nennspannung)

V ba n

F2 ˜ a d ˜ D2  32 6 2500 N ˜ 50 mm

Mb Wb

S ˜ D3

S ˜ 25 mm

3



32

5 mm ˜ 25 mm 6

2

123,38 N/mm 2

Berechnung der Mittelspannung (Nennspannung und maximale Spannung)

V mn

V yn 136,66 N/mm 2 (siehe Aufgabenteil c)

V m max { V y max

314,32 N/mm 2

(siehe Aufgabenteil c)

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,92 aus Diagramm für Rz

4 ȝm und Rm

870 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COı ˜ V bW

0,92 ˜ 430 N/mm 2

395,60 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 870 N/mm 2  0,1 0,21

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) * V AD * V AD

* V bW  M ı ˜ V m max da V m max d

* V bW

Mı 1

2

395,6 N/mm  0,21 ˜ 314,32 N/mm 2

329,59 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung: V ba max d V a zul

V ba n ˜ E kb SD

* V AD

SD

* V AD

V ba n ˜ E kb

329,59 N/mm 2 123,38 N/mm 2 ˜ 1,91

1,40 (nicht ausreichend, da S D  2,50)

404

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.24 a) Berechnung der Spannungen und der Dehnungen im Querschnitt I Berechnung der (Zug-)Spannung: F1 F1 4 ˜ 50 000 N 51,96 N/mm 2 VzI AI S ˜ d 2 ʌ ˜ 35 mm 2 4 Berechnung der Dehnung in Längsrichtung (Hookesches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand):

HlI

VzI E

51,96 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,000248

0,248 ‰

Berechnung der Querdehnung (Querkontraktion):

Hq I

P ˜ H l I

0,30 ˜ 0,248 ‰

-0,074 ‰

Berechnung der Spannungen und der Dehnungen im Querschnitt II Berechnung der (Zug-)Spannung:

V z II

F1 AII

S 4

F1

4 ˜ 50 000 N

˜ D2

ʌ ˜ 45 mm

2

31,44 N/mm 2

Berechnung der Dehnung in Längsrichtung (Hookesches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand):

H l II

V z2 E

31,44 N/mm 2 210 000 N/mm 2

0,000149

0,149 ‰

Berechnung der Querdehnung (Querkontraktion):

H q II

 P ˜ H l II

0,30 ˜ 0,149 ‰

-0,045 ‰

Berechnung der Verlängerung der Welle 'l 'lI  2 ˜ 'lII

H l I ˜ l  2 ˜ a  2 ˜ H l II ˜ a 0,000248 ˜ 850 mm  2 ˜ 200 mm  2 ˜ 0,000149 ˜ 200 mm

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen im Querschnitt I Festigkeitsbedingung:

V z I d V zul SF

Re

VzI

Re SF 340 N/mm 2 51,96 N/mm 2

6,54 (ausreichend, da S F t 1,20)

0,171 mm

405

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen im Querschnitt II Festigkeitsbedingung:

V z II d V zul SF

Re

V z II

Re SF 340 N/mm 2 31,44 N/mm 2

10,81 (ausreichend, da S F t 1,20)

b) Berechnung der Biegespannung an der Stelle A-A

MbI

VbI

F2 ˜ l 4 MbI

F2 l ˜ 2 2 MbI

S

Wb

32

˜d

5000 N ˜ 850 mm 4 1 062 500 Nmm

3

S

1 062 500 Nmm 252,42 N/mm 2

˜ 35 mm

3

32

Berechnung der Nennspannungen im Querschnitt III: F2 5 000 N ˜a ˜ 200 mm 500 000 mm M b III 2 2 M b III M b III 500 000 mm 118,79 N/mm 2 V b III S S Wbn 3 3 ˜d ˜ 35 mm 32 32 c) Bedingung:

VbI

V b III max

VbI

V b III ˜ D kb

F2 ˜ l 4

F2 ˜ a 2 ˜D kb S S 3 ˜d ˜d3 32 32 850 mm l D kb 2 ˜ a 2 ˜ 200 mm

2,125

406

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung des Radius R D d

45 mm 35 mm

D kb

2,125

1,29

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm: R 0,04 d R 0,04 ˜ d 0,04 ˜ 35 mm 1,4 mm d) Beanspruchungs-Zeit-Verlauf

Ermittlung der Formzahl Dkz D 1,29 d R 0,04 d

Damit entnimmt man einem geeigneten Formzahldiagramm:

D kz

2,45

Berechnung der Mittelspannung (Nennspannung und maximale Spannung)

V mn V m max

VzI

51,96 N/mm 2

V mn ˜ D kz

51,96 ˜ 2,45 127,32 N/mm 2

Berechnung der Spannungsamplitude (Nennspannung)

V ba n

F2 ˜ a 2

S 32

˜d3

16 ˜ F2 ˜ a S ˜d3

Bestimmung der Kerbwirkungszahl Ekb

Formzahl Dkb= 2,125

407

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 4 2 4 2 F   D  d R 45 mm  35 mm 1,4 mm

1,479 mm 1

Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Re = 340 N/mm2)

nF = 1,25 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb

E kb

D kb

2,125 1,25

nȤ

1,70

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 600 N/mm 2  0,1 0,11

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation)

V AD V AD

V bW  M ı ˜ V m max

da V m max d

2

300 N/mm  0,11 ˜ 127,32 N/mm

V bW Mı 1 2

286,00 N/mm 2

Berechnung der zulässigen Querkraft F2 Festigkeitsbedingung:

V a max d V a zul V AD

V ba n ˜ E kb

SD

16 ˜ F2 ˜ a ˜ E kb S ˜d3 F2

V AD

V AD S ˜ d 3 SD

˜

SD

˜

1

16 ˜ a E kb

286,00 N/mm 2 S ˜ 35 mm 3 1 ˜ ˜ 3,0 16 ˜ 200 mm 1,70

2 360 N

408

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.25 a) Berechnung der Lastspannungen

Vx

Wt

Fz1 A

Fz1

S

2

M t1 Wt

S

3

˜d 4 M t1

16

˜d

170 000 N

S

346,32 N/mm 2

˜ 25 mm 4 500 000 Nmm

S 16

2

162,98 N/mm 2

˜ 25 mm

3

Berechnung der Verformungen Hx, Hy und Jxy Hookesches Gesetz (einachsiger Spannungszustand): V x 346,32 N/mm 2 Hx 0,001649 1,649 ‰ E 210 000 N/mm 2 H y  P ˜ H x 0,30 ˜ 1,649 ‰ - 0,495 ‰

Hookesches Gesetz für Schubspannungen:

J xy

W xy

Wt

G

E 2 ˜ 1  P

162,98 N/mm 2 210 000 N/mm 2 2 ˜ 1  0,30

0,002018 2,018 ‰

Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises Zur Konstruktion des Mohrschen Verformungskreises benötigt man die Verformungen in zwei zueinander senkrechten Richtungen. Bekannt sind die Verformungen mit der xbzw. y-Richtung als Bezugsrichtung.

Einzeichnen der entsprechenden Bildpunkte Px (Hx | 0,5˜Jxy) und Py (Hy | 0,5˜Jyx) unter Berücksichtigung der Vorzeichenregelung für Schiebungen in das H-J/2-Koordiantensystem ergibt den Mohrschen Verformungskreis. Da die beiden Schnittrichtungen einen Winkel von 90° zueinander einschließen, liegen die Bildpunkte Px und Py auf einem Kreisdurchmesser. Damit ist der Mohrsche Verformungskreis festgelegt (siehe Abbildung). Berechnung von Mittelpunkt und Radius des Mohrschen Verformungskreises

HM R

Hx  Hy 2 § Hx  Hy ¨ ¨ 2 ©

1,649 ‰   0,495 ‰ 2 2

· § J xy · ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ 2 ¸ ¹ © ¹

2

0,577 ‰ 2

§ 1,649 ‰   0,495 ‰ · § 2,018 ‰ · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 2 © ¹ © ¹

2

1,472 ‰

409

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung des Hilfswinkels D

D

arctan

J xy / 2 (H x  H y ) / 2

arctan

2,018 ‰ / 2 1,649 ‰   0,495 ‰ / 2

43,26q

Berechnung des Hilfswinkels E E 120q  D 120q  43,26q 76,74q Berechnung des Hilfswinkels J J 180q  120q  D 120q  43,26q 16,74q

Damit folgt die Dehnungen in Messrichtung der Dehnungsmessstreifen:

H A H x 1,649 ‰ H B H M  R ˜ cosJ 0,577 ‰  1,472 ‰ ˜ cos16,74q 0,833 ‰ H C H M  R ˜ cosE 0,577 ‰  1,472 ‰ ˜ cos76,74q 0,915 ‰

Alternative Lösung Für die Dehnungen in Messrichtung der Dehnungsmessstreifen gilt (Gleichung 4.32 im Lehrbuch):

HA HB HC

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

  

Hx Hy 2 Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

˜ cos 2D *  ˜ cos 2E *  ˜ cos 2J * 

J xy 2

J xy 2

J xy 2

˜ sin 2D * ˜ sin 2 E * ˜ sin 2J *

Mit Hx = 1,649 ‰; Hy = -0,495 ‰ und Jxy = 2,018 ‰ sowie D* = 0°; E* = -120° und J* = 120° folgt:

HA HB

HC

Hx

1,649 ‰

1,649 ‰   0,495 ‰ 1,649 ‰   0,495 ‰  ˜ cos2 ˜  120q 2 2 2,018 ‰  ˜ sin 2 ˜  120q 0,833 ‰ 2 1,649 ‰   0,495 ‰ 1,649 ‰   0,495 ‰ ˜ cos2 ˜ 120q  2 2 2,018 ‰  ˜ sin 2 ˜ 120q 0,915 ‰ 2

b) Aus Gleichung 4.32 (siehe Lehrbuch) ergeben sich die folgenden Beziehungen:

HA HC

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

 

Hx  Hy 2 Hx  Hy 2

˜ cos 2D *  ˜ cos 2J * 

J xy 2

J xy 2

˜ sin 2D *

(1)

˜ sin 2J *

(2)

410

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Da nur eine einachsige Zugbeanspruchung in x-Richtung vorliegt, gilt für die Dehnung in yRichtung:

Hy

P ˜ H x

Mit D* = 0° folgt aus Gleichung 1:

HA

Hx

und damit:

Hx

HA

1,798 ‰

Mit J* = 120° folgt aus Gleichung 2:

HC

Hx  P ˜Hx



Hx  P ˜Hx

J xy

˜ sin 240q 2 J xy § Hx H 3 ·¸ ˜ 1  P  x ˜ 1  P ˜  0,5  ˜¨ 2 2 2 ¨© 2 ¸¹ 2

Hx ˜

2

˜ cos 240q 

1 3˜ P 3  ˜ J xy 4 4

Damit folgt für Jxy:

J xy

4 § 1 3˜ P · ˜ ¨HC  ˜Hx ¸ 4 3 © ¹

1  3 ˜ 0,30 4 § · ˜ ¨ 0,816 ‰ ˜ 1,798 ‰ ¸ 1,781 ‰ 4 3 © ¹

Berechnung der Zugkraft Fz2

V z2 Fz2

E ˜Hx

S

(einachsiger Spannungszustand)

˜ d 2 ˜ E ˜Hx

4 185 344 N

S

˜ 25 mm 2 ˜ 210000 N/mm 2 ˜ 0,001798 ‰

4 185,3 kN

Berechnung des Torsionsmomentes Mt2

W t { W xy M t2

E ˜ J xy 2 ˜ 1  P E S ˜ J xy ˜ ˜ d 3 2 ˜ 1  P 16

G ˜ J xy

W t ˜ Wt

210000 N/mm 2 S ˜ 0,001781 ‰ ˜ ˜ 25 mm 3 2 ˜ 1  0,30 16

441 243 Nmm

441,2 Nm

Da Jxy = 1,781 ‰ > 0 wird der ursprünglich rechte Winkel zwischen der x- und der y- Achse vergrößert. Dies kann nur durch ein Torsionsmoment erfolgen, mit Drehsinn entsprechend der Abbildung in Aufgabe 13.25.

411

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

c) Ermittlung der Formzahlen D 30 mm 1,2 d 25 mm R 5 mm 0,2 d 25 mm Damit entnimmt man geeigneten Formzahldiagrammen:

D kz 1,45 D kt 1,18 Ermittlung der Nennspannungen Fz2 4 ˜ Fz2 4 ˜ 185 344 N V xn A S ˜ d 2 S ˜ 25 mm 2

W tn

16 ˜ M t2 S ˜d3

M t2 Wt

377,58 N/mm 2

16 ˜ 441 243 N

143,82 N/mm 2

S ˜ 25 mm 3

Berechnung der maximalen Spannungen

V x max

377,58 N/mm 2 ˜ 1,45 547,49 N/mm 2

V xn ˜ D kz

W t max

W tn ˜ D kt

143,82 N/mm 2 ˜ 1,18 169,71 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Die Vergleichsspannung nach der Schubspannungshypothese (SH) kann unmittelbar aus den Lastspannungen (Zugbeanspruchung mit überlagerter Torsion) errechnet werden:

V x2 max  4 ˜ W t2max

V V SH

Festigkeitsbedingung:

V V SH d

Rp0,2 SF

V x2 max  4 ˜ W t2max SF

SF

Rp0,2 SF

Rp0,2

V x2 max

 4 ˜ W t2max

1180 N/mm2 547,492  4 ˜ 169,712 N/mm2

1,83

(ausreichend, da S F ! 1,20)

d) Berechnung der Spannungsamplitude (Nennspannung) H H 0,002  0,0015 V an E ˜ H a E ˜ O U 210 000 N/mm 2 ˜ 2 2

52,5 N/mm 2

412

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Mittelspannung (Nennspannung und maximale Spannung)

V mn

E ˜Hm

V m max

E˜

V mn ˜ D kz

HO  HU

0,002  0,0015 210 000 N/mm 2 ˜ 2 2 2 367,5 N/mm ˜ 1,45 532,88 N/mm 2

367,5 N/mm 2

Bestimmung der Kerbwirkungszahl Ekz

Formzahl Dkz = 1,45 Berechnung des bezogenes Spannungsgefälles: 2 2 F 0,4 mm -1 R 5 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rm = 1520 N/mm2):

nF = 1,01 Kerbwirkungszahl Ekz

E kz

D kz nȤ

1,45 1,44 1,01

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,85 aus Diagramm für Rz

6,3 ȝm und Rm

1520 N/mm 2

Berechnung der korrigierten Zug-Druck-Wechselfestigkeit * V zdW

COı ˜ V zdW

0,85 ˜ 690 N/mm 2

586,5 N/mm 2

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı M ıc

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1520 N/mm 2  0,1 0,432 M ı / 3 0,144 (nach FKM  Richtlinie)

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) M ıc  1  M ıc ˜ V m max Mı 1

* V AD

* ˜ V zdW

* V AD

586,5 N/mm 2 ˜

da

* V zdW

Mı 1

 V m max d

0,144  1  0,144 ˜ 532,88 N/mm 2 0,432  1

* M c 1 3 ˜ V zdW ˜ ı 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

391,81 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V a max d V a zul

V an ˜ E kz SD

* V AD

SD

* V AD V an ˜ E kz

391,81 N/mm 2 52,5 N/mm 2 ˜ 1,44

5,18 (ausreichend, da S D ! 3,0 )

413

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Lösung zu Aufgabe 13.26 a) Berechnung des Biegemomentes an der Kerbstelle I

Ermittlung der Lagerkraft FB: FB ˜ a  b FB

FQ ˜

FQ ˜ a

a ab

15 000 N ˜

150 mm 450 mm

5 000 N

Damit folgt für das Biegemoment an der Kerbstelle I: MbI

FB ˜ c

5 000 N ˜ 200 mm 1000 000 Nmm

Ermittlung der Formzahlen Dkz und Dkb d 10 mm 0,2 D 50 mm

Aus geeigneten Formzahldiagrammen entnimmt man:

D kz D kb

2,3 2,1

Berechnung der Biegenennspannung sowie der maximalen Biegespannung M bI M bI V bn Wbn S ˜ D 3 d ˜ D 2  32 6 1000 000 Nmm 123,38 N/mm2 S ˜ 50 mm 3 10 mm ˜ 50 mm 2  32 6

V b max

V bn ˜ D kb 123,38 N/mm2 ˜ 2,1 259,09 N/mm2

414

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Berechnung der Zugnennspannung sowie der maximalen Zugspannung FH An

V zn

FH

S ˜ D2 4

V z max

d ˜D

250 000 N

S ˜ 50 mm 2

170,82 N/mm

 10 mm ˜ 50 mm 4 170,82 N/mm ˜ 2,3 392,89 N/mm

V mn ˜ D kz

Berechnung der Sicherheit gegen Fließen Festigkeitsbedingung (Fließen):

V o max d V zul

V b max  V z max SF

Rp0,2 SF

Rp0,2

V b max  V m max 820 N/mm2 259,09 N/mm2  392,89 N/mm2

1,26 (ausreichend, da S F ! 1,20)

b) Bestimmung der Kerbwirkungszahl Ekb Maximale Mittelspannung:

V m max

V z max

392,89 N/mm2

Maximale Spannungsamplitude

V b an

V bn

123,38 N/mm2

Formzahl: Dkb = 2,1 Berechnung des bezogenen Spannungsgefälles: 2 8 2 8 F   0,84 mm 1 D d 50 mm 10 mm Ermittlung der dynamischen Stützziffer nF aus Bild 13.51 im Lehrbuch (Rp0,2 = 820 N/mm2)

nF = 1,05 Berechnung der Kerbwirkungszahl Ekb

E kb

D kb nȤ

2,1 1,05

2,0

Ermittlung des Oberflächenfaktors COV unter der Wirkung von Normalspannungen COı

0,83 aus Diagramm für Rz 12,5 ȝm und Rm

Berechnung der korrigierten Biegewechselfestigkeit * V bW

COı ˜ V bW

0,83 ˜ 520 N/mm 2

431,6 N/mm 2

1050 N/mm 2

415

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

Ermittlung der Mittelspannungsempfindlichkeit MV Mı M ıc

0,00035 ˜ Rm  0,1 0,00035 ˜ 1050 N/mm 2  0,1 0,27 M ı / 3 0,09 (nach FKM  Richtlinie)

Berechnung der dauernd ertragbaren Amplitude (Mittelspannungstransformation) M ıc  1  M ıc ˜ V m max Mı 1

* V AD

* V bW ˜

* V AD

431,6 N/mm 2 ˜

* V bW

da

Mı 1

 V m max d

0,09  1  0,09 ˜ 392,89 N/mm 2 0,27  1

* M c 1 3 ˜ V bW ˜ ı 3 ˜ M ıc  1 M ı  1

335,07 N/mm 2

Berechnung der Sicherheit gegen Dauerbruch Festigkeitsbedingung:

V a max d V a zul * V AD

V ba n ˜ E kb SD

SD

* V AD

V ba n ˜ E kb

335,07 N/mm2 123,38 N/mm2 ˜ 2,0

1,36 (nicht ausreichen d, da S D  2,50)

c) Bedingung für Fließbeginn

V max d Rp0,2 V b max  V z max

Rp0,2

V bn ˜ D kb  V z max V bn

Rp0,2

Rp0,2  V z max

D kb

820 N/mm 2  392,89 N/mm 2 2,1

203,38 N/mm 2

Damit folgt für das Biegemoment an der Kerbstelle: M bI

V bn ˜ Wbn

§ S ˜ D3

V bn ˜ ¨¨

© 32



d ˜ D 2 ·¸ 6 ¸¹

§ S ˜ 50 mm 3 10 mm ˜ 50 mm 2 · ¸ 1 648 459 Nmm 203,38 N/mm 2 ˜ ¨  ¸ ¨ 32 6 ¹ ©

Damit folgt für die Lagerkraft FB: M bI 1 648 459 Nmm 8242,3 N FB c 200 mm Hieraus ergibt sich die Querkraft FQ1 zu: ab 450 mm FQ1 FB ˜ 8 242,3 N ˜ a 150 mm

24 727 N

24,7 kN

416

13 Werkstoffermüdung und Schwingfestigkeit

d) Bedingung für Fließbeginn

V max d Rp0,2 V b max  V z max

Rp0,2

V bn ˜ D kb  V zn ˜ D kz V zn

Rp0,2

Rp0,2  V bn ˜ D kb

820 N/mm 2  123,38 N/mm 2 ˜ 2,1 2,3

D kz

243,87 N/mm 2

Damit folgt für die Zugkraft FH1: FH1

V zn ˜ An

§S ˜D2

V zn ˜ ¨¨ ©

4

·  d ˜ D¸ ¸ ¹

§ S ˜ 50 mm 2 ·  50 mm ˜10 mm ¸ 243,87 N/mm 2 ˜ ¨ ¨ ¸ 4 © ¹

356 906 N

356,9 kN