Freistrahlturbinen: Hydromechanik und Auslegung (VDI-Buch)

Zh. Zhang Freistrahlturbinen

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Zh. Zhang

Freistrahlturbinen Hydromechanik und Auslegung

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Dr.-Ing. Zhengji Zhang Grimsel Hydro Kraftwerke Oberhasli AG 3862 Innertkirchen Switzerland [email protected]

ISBN 978-3-540-70771-4

e-ISBN 978-3-540-70772-1

DOI 10.1007/978-3-540-70772-1 Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © 2009 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Satz und Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einband: WMXDesign, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Geleitwort

Die Wasserkraft gehört zu den ältesten Energiequellen der Menschheit. Ihre Nutzung lässt sich bis in das Altertum zurückverfolgen. Schon vor mehr als 3000 Jahren haben Bauern hydromechanische Energie zum Antrieb von Schöpfrädern für Bewässerungen in der Landwirtschaft verwendet. Noch heute drehen sich in Hama/Syrien altertümliche Wasserräder, so genannte Norias, die aus Holz gefertigt sind und Durchmesser von mehr als 20 m erreichen. Die Technologie zur Stromerzeugung aus Wasserkraft hat ihre Ursprünge in den Anfängen der Industrialisierung. Forschungen auf diesem Gebiet haben bis heute nichts von ihrer Aktualität eingebüßt. Die in dem vorliegenden Buch behandelte Pelton-Turbine findet ihren bevorzugten Einsatzbereich bei Fallhöhen von ca. 200 m bis 2000 m. Bereits bei einer Fallhöhe von 1000 m erreicht der in die Turbine eintretende Wasserfreistrahl eine Strömungsgeschwindigkeit von 500 km/h. Diese Zahl verdeutlicht, welch hohen Belastungen Turbinenbauteile ausgesetzt sind und kennzeichnet zugleich die große Bandbreite der ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen, die zur zuverlässigen Auslegung von Freistrahlturbinen herangezogen werden müssen: die Festkörpermechanik, die Schwingungslehre, die Werkstofftechnik, die Hydromechanik, die Strömungstechnik und die Messtechnik sind einige der klassischen Disziplinen des Maschinenbaus. Bislang liegt in der Literatur noch kein zusammenfassendes Werk zum Themenkomplex der Freistrahlturbine vor. Es ist ein großes Verdienst von Herrn Dr. Zhang, dass die vorliegende Monographie diese wichtige Informations- und Wissenslücke schließt. Das vorliegende Buch enthält umfassende analytische Betrachtungen zu Strömungsvorgängen in realen Pelton-Turbinen. Die Strömungsvorgänge vom Injektor bis zum Schaufelaustritt werden systematisch erfasst und mit Hilfe experimenteller Befunde analytisch dargestellt. Auf dieser Basis lassen sich Wirkungsgrade der hydraulischen Anlagen ermitteln und in Kenntnis der Zusammenhänge gezielt verbessern. Es ist bemerkenswert, dass Herr Dr. Zhang seine analytischen Darstellungen zu den hydromechanischen Vorgängen durch eigene laseroptische Untersuchungsergebnisse an Freistrahlen von PeltonTurbinen ergänzt.

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Geleitwort

Die vorliegende Monografie enthält viel Wissenswertes und darüber hinaus viele Ansatzpunkte für weitere Forschungsarbeiten. Ich bin überzeugt, dass dieses Buch von Ingenieuren, die in der Hydromechanik und Energietechnik arbeiten, dankbar begrüßt wird. Rostock, im Mai 2008

Prof. Dr.-Ing. Alfred Leder

Vorwort

Freistrahlturbinen, auch als Pelton-Turbinen bezeichnet, werden seit über 100 Jahren zur Umwandlung hydraulischer Energie in mechanische Arbeit sowie zur Erzeugung von Elektrizität eingesetzt. Obwohl die über diese lange Zeit gesammelten Erfahrungen dazu beigetragen haben, dass Pelton-Turbinen heute sehr leistungsfähig und effizient sind, fehlten bisher fundierte physikalische Erklärungen zur Hydromechanik dieses Turbinentyps. Um das allgemeine Fachwissen über Pelton-Turbinen zu erweitern, wurden bei den Kraftwerken Oberhasli AG (KWO) im Rahmen von Forschungs- und Entwicklungsarbeiten gezielte Untersuchungen zur Hydromechanik von Pelton-Turbinen durchgeführt. Die daraus gewonnenen Erkenntnisse bilden den Hauptbestandteil des vorliegenden Buches. Der Autor stellt die wesentlichen Erkenntnisse der Hydromechanik von PeltonTurbinen aus ingenieurwissenschaftlicher Sicht dar und stützt sich dabei sowohl auf eigene Untersuchungen als auch auf die jahrzehntelange Erfahrung mit dem Betrieb von Pelton-Turbinen bei der KWO ab. Im Sinne eines Nachschlagewerks werden die Strömungsprozesse und alle relevanten hydromechanischen Aspekte der PeltonTurbine möglichst vollständig wiedergegeben. In der Praxis finden diese theoretischen und hydromechanischen Grundlagen sowohl bei der Auslegung als auch beim Betrieb von Pelton-Turbinen Anwendung. Das vorliegende Fachbuch unterstützt die gezielte Weiterentwicklung der PeltonTurbine sowie deren hydraulische Optimierung und mechanischen Dimensionierung. Es richtet sich an Entwicklungs- und Design-Ingenieure der Turbinen-Hersteller, an die Kraftwerksbetreiber und an Interessierte aus dem Bereich der Lehre und Forschung im Fachbereich „Strömungsmaschinen“. Die im Buch dargestellten Beispiele können im Fach „Allgemeine Strömungsmechanik“ zur Studentenausbildung verwendet werden. Der Autor dankt Herrn Dr. G. Biasiutti, Direktor der KWO, der KWO-Geschäftsleitung sowie der Leitung von Grimsel Hydro für die großzügige Unterstützung bei der Erstellung und Herausgabe dieses Fachbuchs. Ein besonderer Dank gilt auch Herrn J. Müller von Grimsel Hydro für die wertvollen Diskussionen und Beiträge

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Vorwort

aus seiner langjährigen Erfahrung aus dem Betrieb und in der Instandhaltung von Pelton-Turbinen. Ein großes Dankschön gilt auch Herrn Prof. Dr.-Ing. A. Leder von der Universität Rostock für seine fachliche Beratung und Herrn Dipl.-Ing. A. Paulus von der KWO für die sprachliche Berichtigung des Textes. Innertkirchen, im Mai 2008

Dr.-Ing. Zh. Zhang

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Arbeitsprinzip von Pelton-Turbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Umwandlung von hydraulischer Energie in mechanische Energie . . 1.2 Pelton-Turbinen und ihre Spezifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Geometrische Spezifikation des Pelton-Rades . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Hydromechanische Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Hydromechanische Spezifikation der Pelton-Turbine . . . . . . 1.2.4 Bauform von Pelton-Turbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Parameterbezeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 15 15 17 21 23 24

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Injektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Strömungsbeschleunigung in der Düse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Durchflusszahl ϕD0 und die Düsenkennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Durchflusszahl ϕDe und Gesetzmäßigkeit der Düsenkennlinie . . . . . . 2.4 Reynoldszahl-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Strömungskräfte und Gleichgewichtszustand in der Düse . . . . . . . . . 2.5.1 Außenregelnder Servomotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Innenregelnder Servomotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Wasserstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Laser-Doppler-Anemometrie (LDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Axial-symmetrischer Wasserstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Strahlerweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Sekundärströmungen im Wasserstrahl und Strahlqualität . . . . . . . . . .

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Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Aufprallen runden Wasserstrahls auf ebene Platte . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Mindestschaufelzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Wasserstrahl-Schaufel-Interaktion und ihre Spezifikation . . . . . . . . . 4.4 Koinzidenz- und Symmetriebedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 54 56 59

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Inhaltsverzeichnis

4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Schaufelzahl des Pelton-Rades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativlaufbahn des Wasserstrahls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strömungsablösung beim Eintritt am Schaufelausschnitt . . . . . . . . . . Stoßfreie Bedingung am Schaufelrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stoßkraft und ihre Leistung beim Eintritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Ablenkung der Strömung an der Schaufelmittelschneide . . . 4.9.2 Ablenkung der Strömung an der Ausschnittsschneide . . . . . .

61 64 66 67 69 70 73

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Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.1.1 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.1.2 Wasserfilmrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2 Relativströmung und Invarianzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2.1 Einfluss des Druckgradienten infolge der Oberflächenkrümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2.2 Strahlschichtverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2.3 Invarianzgleichung und Euler-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.2.4 Beispiel: Relativströmung in einer Halbkreisschaufel . . . . . . 87 5.3 Kraftwirksamkeit und die Leistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.3.1 Zentrifugalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.3.2 Coriolis-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.3.3 Impulskraft aus Änderung der Strömungsrichtung . . . . . . . . . 99 5.3.4 Gesamte Wirkung von Impuls-, Zentrifugalund Coriolis-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

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Wasserausbreitung in der Schaufel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.1 Relativdurchfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2 Breite und Höhe des Wasserfilms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.3 Überdruck unter dem Wasserfilm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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Austrittsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.1 Geschwindigkeitsverhältnis am Schaufelaustritt . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.2 Allgemeine Austrittsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.3 Austrittsbedingung für Vertikalturbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.3.1 Bedingung für die Austrittsströmung in der Wurzelzone . . . . 118 7.3.2 Bedingung für die Austrittsströmung im Ausschnittsbereich 123 7.3.3 Auswirkung des Spritzwassers im Fall km > km,max . . . . . . . 124

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Austrittsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.1 Drallverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.1.1 Einfluss der Austrittsstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.1.2 Einfluss des Austrittswinkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.1.3 Einfluss der Strahlschichtlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 8.1.4 Drallverlust des gesamten Wasserstrahls . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Inhaltsverzeichnis

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8.2 Reibungseffekt am Schaufelrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.3 Ablenkungseffekt am Schaufelrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 9

Reibungseffekte und FFT-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.1 Reibungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.2 Direkte Reibungseffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9.3 Reibungseffekte durch Änderung der Druckverteilung . . . . . . . . . . . . 143 9.4 Gesamte Reibungseffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.5 Das Theorem der Strömungsreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10 Reibungsbehaftete Querströmung durch die Schaufel . . . . . . . . . . . . . . 149 10.1 Kombinierte hydraulische Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.2 Reale Drallverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.3 Hydraulische Dissipation und Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.4 Beispiel zum Einfluss von Reibungseffekten auf den Wirkungsgrad 154 11 Reibungsbehaftete Längsströmung durch die Schaufel . . . . . . . . . . . . . 157 11.1 Kinematische Gleichung der Strömung in der rotierenden Schaufel 157 11.2 Dynamische Gleichungen und Leistungsberechnungen . . . . . . . . . . . 161 11.3 Auswirkungen von Strömungskräften und die hydraulische Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11.3.1 Stoßkraft am Schaufeleintritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 11.3.2 Impulskraft in der Schaufel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 11.3.3 Zentrifugal-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 11.3.4 Coriolis-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 11.3.5 Direkte Reibungskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.3.6 Hydraulische Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.3.7 Gesamtwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 12 Ventilations- und Radreibungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 12.1 Pelton-Turbinen mit horizontaler Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 12.2 Pelton-Turbinen mit vertikaler Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.3 Auslaufversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 13 Leistungsverlust durch Lagerreibungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 14 Hydraulischer und mechanischer Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 14.1 Hydraulischer Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 14.2 Mechanischer Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 15 Reale hydraulische Wirkungsgradkennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 15.1 Kritische Laufzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 15.2 Reaktionsgrad des Wasserstrahls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 15.2.1 Reaktionsgrad im kritischen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 15.2.2 Reaktionsgrad im überkritischen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . 191

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Inhaltsverzeichnis

15.2.3 Beispiel zum Reaktionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 15.3 Reale hydraulische Wirkungsgradkennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 16 Durchgangsdrehzahl und Beschleunigungsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 16.1 Theoretische Durchgangsdrehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 16.2 Reale Durchgangsdrehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 16.2.1 Mechanische Verlustkennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 16.2.2 Effektive hydraulische Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 16.2.3 Reale Durchgangsdrehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 16.3 Beschleunigungsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 16.3.1 Unterkritischer Bereich: n < n c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 16.3.2 Überkritischer Bereich: n > n c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 16.3.3 Gesamter Beschleunigungsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 17 Hydraulische Auslegung von Pelton-Turbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 17.1 Dimensionierung des Pelton-Rades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 17.2 Ellipsenförmiges Schaufelprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 18 Mehrdüsige Pelton-Turbinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 18.1 Mindestversatzwinkel zwischen Wasserstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 18.2 Düsenschutzdach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 19 Geometrische und hydraulische Ähnlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 19.1 Geometrische Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 19.2 Hydraulische Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 20 Modellversuch und Wirkungsgradaufwertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 20.1 Wirkungsgradaufwertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 20.2 Reynolds-Zahl und Strahlkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 21 Schaufelfestigkeit und Ähnlichkeitsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 21.1 Dynamische Spannung im Schaufelwurzelbereich . . . . . . . . . . . . . . . 229 21.2 Ähnlichkeitsgesetze in der Schaufelbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Anhang 1: Parameterbezeichnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Anhang 2: Definitionen der abgeleiteten Größen und Kennzahlen . . . . . . . . 241 Anhang 3: Spezifische Drehzahl und ihre Anwendung in Pelton-Turbinen 243 Anhang 4: Spezifikation des Strahlstücks für eine Schaufel . . . . . . . . . . . . . . 245 Anhang 5: Spezifikation der Schaufelstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Einleitung

In der Natur ist die hydraulische Energie eine für die Umwandlung in mechanische Arbeit direkt nutzbare Energieform. Sie wird heutzutage vorwiegend zur Erzeugung von Elektrizität genutzt. Im ökologischen Aspekt stellt die hydraulische Energie wegen ihrer Erneuerbarkeit eine sehr breite Perspektive für die Zukunft dar. Weltweit werden auch in Zukunft weitere Wasserkraftanlagen gebaut werden. Die hydraulische Energie stellt bereits in vielen Ländern die Hauptform der nutzbaren Energie dar. In Norwegen z. B. besteht fast die gesamte Stromproduktion aus Wasserkraft. Nach Angaben des Bundesamtes für Energie (BFE 2004) stammt in der Schweiz ca. 60% der gesamten Stromproduktion aus Wasserkraft. In diesem Sinne kann man die Wasserkraft als einen Reichtum der Menschheit bezeichnen. Die hydraulische Energie in der Natur existiert hauptsächlich in zwei Formen: als Fließwasser in Flüssen und als Speicherwasser in Stauseen. Dementsprechend werden zur Erzeugung der Elektrizität verschiedene Arte hydraulischer Turbinen verwendet. Von den verschiedenen hydraulischen Turbinen zählen die Freistrahlturbinen, die auch als Gleichdruckturbinen oder Pelton-Turbinen bezeichnet werden, zu den wichtigsten und wohl am weitesten verbreiteten Turbinen (siehe Abbildung). Die erste Pelton-Turbine wurde von Lester Allan Pelton im Jahr 1879 erfunden und erfolgreich getestet. Die Turbine wird hauptsächlich in Berggebieten eingesetzt, wo der Wasserbestand, z. B. in Form eines Stausees, einige hundert Meter bis zu 1800 Meter über den Maschinen liegt. Die Leistungen reichen von weniger kW bis zu über 400 MW (Angehrn 2000). In der Schweiz kommen in den Alpengebieten vorwiegend Pelton-Turbinen zum Einsatz, zum Teil bereits seit über 80 Jahren. Pelton-Turbinen bestehen im Wesentlichen aus einem Laufrad mit becherförmigen Schaufeln und einem oder mehreren Düsen/Injektoren, die die Frei- bzw. Wasserstrahlen erzeugen. Die Energieübertragung vom Wasserstrahl auf das PeltonRad geschieht durch die Interaktion zwischen dem energetischen Wasserstrahl und den rotierenden Schaufeln, die auch als Pelton-Schaufeln bezeichnet wer-

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

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Abb. 1 Zweidüsige Pelton-Turbine der Kraftwerke Oberhasli (KWO) Fallhöhe H = 670 m, Durchfluss Q˙ = 8.25 m3 /s, Drehzahl n = 428.6 U/min, Leistung P = 48.6 MW

den. Aufgrund derartiger hydraulischer und mechanischer Interaktionen lässt sich die Technologie von Pelton-Turbinen in Hydraulik und Strukturmechanik aufteilen. Beide Kategorien repräsentieren ein breites Technologiespektrum und umfassen die gesamten Aspekte (Wirkungsgrad, Zuverlässigkeit, Lebensdauer usw.) und Komponenten eines Turbinensystems, die vielfach untereinander zu berücksichtigen sind. So liegt beispielsweise einerseits bei der Auslegung von Schaufelprofilen das Ziel vor, den maximalen hydraulischen Wirkungsgrad zu erreichen, andererseits muss die Materialsicherheit inklusive der Lebensdauer gewährleistet werden.

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A Hydraulik von Pelton-Turbinen A1 Allgemeines Bei Pelton-Turbinen gilt die Hydraulik als Kerntechnologie, die die Art und den Umfang zur Ausnutzung der hydraulischen Energie beschreibt. Die Hydraulik von Pelton-Turbinen befasst sich demzufolge mit der Erzeugung des Wasserstrahls und dem Verfahren des Leistungsaustausches zwischen dem Wasserstrahl und dem Pelton-Rad, wobei hierbei das Ziel ist, die maximal zur Verfügung stehende hydraulische Energie auszunutzen. Betrachtet man den aktuellen Stand der Technik, sowohl im Neubau als auch in der Erneuerung von Pelton-Turbinen, so wird bei Pelton-Turbinen heutzutage ein hydraulischer Wirkungsgrad von 90% erreicht. Das Erreichen dieser relativ hohen Wirkungsgrade von Pelton-Turbinen geht vor allem auf die praxisnahe Verbesserung der Wasserstrahlbeschaffenheit sowie experimentelle und betriebliche Optimierungen der Interaktion zwischen Wasserstrahlen und Pelton-Schaufeln zurück. In zahlreicher Fachliteratur zu Strömungsmaschinen, wie z. B. Thomann (1931), Pfleiderer und Petermann (1986), Quantz und Meerwarth (1963), Bohl (2004, 2005), Menny (2005), Giesecke und Mosonyi (2005) und Sigloch (2006) sind allgemeine Betriebsbedingungen und Auslegungsregeln für Pelton-Turbinen zu finden. Trotz der Bedeutung und der langen Geschichte von Pelton-Turbinen hat die allgemeine Hydromechanik offenbar noch keine eingehende Anwendung in diesem ingenieurwissenschaftlichen Gebiet gefunden. Zumindest sind physikalische Strömungsvorgänge in Pelton-Turbinen noch nicht so gut verstanden worden wie es bei anderen Strömungsmaschinen, beispielsweise Pumpen und Francis-Turbinen, der Fall ist. Bei der hydraulischen Auslegung einer PeltonTurbine haben somit zusätzlich zu den allgemeinen Regeln die Erfahrungen bezüglich verschiedener hydraulischer Aspekte immer eine große Rolle gespielt. Selbst die Schaufelzahl einer Pelton-Turbine wird z. B. nur aus Erfahrungen bzw. aus Versuchen bestimmt, ohne dafür grundlegende theoretische Erkenntnisse zu geben. Die Hauptgründe für die bemerkbare Wissenslücke bezüglich der Hydromechanik von Pelton-Turbinen sind nach Zhang und Casey (2007c) die komplexen Strömungsverhältnisse sowohl im Wasserstrahl als auch in der instationären Interaktion zwischen der Wasserströmung mit freier Oberfläche und den rotierenden Pelton-Schaufeln. Diese Strömungseigenschaften unterscheiden sich grundsätzlich von denjenigen in anderen Strömungsmaschinen und zeigen zugleich den Schwierigkeitsgrad in der analytischen Beschreibung der Strömungsvorgänge, insbesondere wenn aus instationären Strömungsvorgängen die mittlere Leistung ermittelt werden soll.

A2 Entwicklungen aus experimentellen Methoden Die hydraulische Optimierung von Pelton-Turbinen hat in erster Linie die Erzielung eines maximalen Wirkungsgrades zum Ziel. Wegen der Schwierigkeiten

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bei der Berechnung von Strömungsprozessen sind bisherige Untersuchungen an Pelton-Turbinen fast ausschließlich auf experimentelle Methoden und Modellversuche beschränkt. Dabei beziehen sich experimentelle Untersuchungen vor allem auf den Wasserstrahl und die Strömungen in den Schaufeln, während Modellversuche hauptsächlich zu Strömungsvisualisierungen und Wirkungsgradmessungen dienen. In experimentellen Untersuchungen von Wasserstrahlen haben seit langem konventionelle Methoden unter Anwendung von Pitot-Rohren und Techniken zur Visualisierung von Strömungen eine wichtige Rolle gespielt. Die Pitot-Rohre werden zur Messungen von Strömungsverteilungen in Wasserstrahlen verwendet. Man findet entsprechende Anwendungen in Forschungsarbeiten u. a. von Berntsen et al. (2001) und Brekke (2005). Die Fotografien und ähnlichen Methoden zur Strömungsvisualisierung werden sehr oft verwendet, vor allem um die Beschaffenheit und Stabilität des Wasserstrahls zu untersuchen. An einer im Betrieb befindlichen PeltonTurbine haben Staubli und Hauser (2004) z. B. die fotografische Methode zur Bestimmung der Strahlerweiterung direkt angewendet, obwohl die erkennbare Strahlerweiterung nur ein scheinbares Phänomen darstellt. Sowohl Messtechnik auf der Basis von Pitot-Rohren als auch die Fotografie liefern keine Aussagen mit hinreichender Genauigkeit und liefern somit kaum Erkenntnisse zur Strahldynamik. Neue weiterführende Erkenntnisse über Wasserstrahlen konnten unter Anwendung eines Laser-Doppler-Anemometers (LDA), das eine störungsfreie optische Messung ermöglicht, von Zhang et al. (2000a, 2000b, 2001, 2003b) erzielt werden. Insbesondere konnten die gegen Null gehenden Sekundärströmungen in einem Wasserstrahl aus der Dual-Messmethode (DMM) nach Zhang (2002, 2005a) exakt bestimmt werden. Das aus Messungen bestätigte Vorhandensein von Sekundärströmungen in einem Wasserstrahl erklärt grundsätzlich die Beobachtungen von Strahlinstabilität und -störungen. Wesentliche Eigenschaften von Wasserstrahlen und ihre experimentelle Untersuchung mittels LDA-Messtechnik sind von Zhang und Casey (2007c) zusammengefasst worden. Experimentelle Messungen von Strömungen in den Pelton-Schaufeln sind mit großen Schwierigkeiten verbunden, da die Strömungen dort schwer zugänglich sind. Es sind daher vor allem Strömungsvisualisierungen zur Interaktion von Wasserstrahl und rotierenden Pelton-Schaufeln sowie vom Abströmen des Wassers aus den Schaufeln bekannt. Die instationäre dynamische Ausbreitung des Wasserfilms in einer rotierenden Schaufel konnte bisher jedoch noch nicht messtechnisch erfasst werden. Sehr oft wurde deswegen davon ausgegangen, dass die Relativgeschwindigkeit in einer rotierenden Schaufel konstant bleibt. Dies entspricht der reibungsfreien Strömung und dem Fall mit Vernachlässigung der Zentrifugalkraft. Unter Umständen ist diese Annahme jedoch nur bedingt gültig, wenn es um die qualitative Aussage über die Strömungsausbreitung in einer rotierenden Schaufel geht. Im Gegensatz dazu muss auch klar gestellt werden, wann und wofür die genaue quantitative Kenntnis über die Wasserausbreitung in der rotierenden Schaufel gebraucht wird. Zur Bestimmung der hydraulischen Leistung der Wasserströmung in der Schaufel genügt im Prinzip die Betrachtung von Strömungen jeweils am Schaufelein- und austritt.

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Seit Beginn dieses Jahrhunderts sind neben Strömungsmessungen hauptsächlich Messungen von Druckverteilungen auf den Schaufeloberflächen von Modellturbinen durchgeführt worden. Die entsprechenden Druckmessungen in rotierenden Pelton-Schaufeln wurden z. B. von Angehrn (2000), Kvicinsky et al. (2002) und Perrig et al. (2006) veröffentlicht. Die Druckmessungen in einer auf den Boden des Labors fixierten Pelton-Schaufel wurden von Zoppé (2006) durchgeführt. Exakterweise dürften Messergebnisse zu einer fixierten Pelton-Schaufel nicht auf eine rotierende Schaufel übertragen werden, da die Kraftverhältnisse, die die Strömung in der Schaufel bestimmen, nicht gleich sind. Die meisten Messungen an Pelton-Turbinen sind bei Modellversuchen durchgeführt worden. Da es keine hinreichend analytische Kenntnisse zu Strömungsverhältnissen in Pelton-Turbinen gegeben hat, sind Modellversuche der einzige Weg, um die hydraulische Auslegung einer Prototyp-Pelton-Turbine zu überprüfen und hinsichtlich des größtmöglichen Wirkungsgrades zu optimieren. Aus experimentellen Untersuchungen an verschiedenen Pelton-Rädern konnte Taygun (1946) z. B. die optimale Schaufelzahl eines Pelton-Rades in Abhängigkeit von der Radgeometrie ermitteln. Die jahrzehntelangen und im großen Umfang durchgeführten Modellversuche haben dazu beigetragen, dass Pelton-Turbinen heutzutage vielfach einen hydraulischen Wirkungsgrad von 90% aufweisen können. Die weitere Optimierung des Wirkungsgrades durch Modellversuche scheint jedoch schwierig zu sein, da das mögliche Verbesserungspotential weder aus Strömungsvisualisierung noch aus Messungen des Systemwirkungsgrades aufgeklärt bzw. identifiziert und quantifiziert werden kann. Wegen der mit Modellversuchen verbundenen hohen Kosten und vor allem wegen der Fortschritte bei analytischen Berechnungen sowie computergestützten Simulationen verlieren Modellversuche zunehmend ihre ursprüngliche Bedeutung.

A3 Entwicklungen aus numerischen CFD-Methoden Eine andere aktuelle Methode zur Untersuchung von Strömungen in Pelton-Turbinen ist die numerische Simulation, basierend auf rechnergestützten Verfahren, auch als „Computational Fluid Dynamics (CFD)“ bezeichnet. Die Anwendung der CFDMethode in den hydraulischen Berechnungen von Pelton-Turbinen begann gegen Ende der 90ger Jahre des letzten Jahrhunderts und gewinnt zunehmend an Bedeutung. Auf die entsprechenden Untersuchungen, z. B. von Kubota et al. (1998), Parkinson et al. (2002, 2005), Muggli et al. (2000, 2003), Mack und Moser (2002), wird hiermit verwiesen. Haupteinsatzbereiche der numerischen Berechnungen stellen Interaktionen zwischen Wasserstrahl und rotierenden Pelton-Schaufeln sowie die Ausbreitung des Wasserfilms in den rotierenden Schaufeln dar. Dies sind die Gebiete, die für experimentelle Messungen bisher schwer zugänglich sind. Die numerischen Berechnungen dürften somit als eine nützliche Alternative für die Untersuchung von Strömungen in Pelton-Turbinen betrachtet werden, vorausgesetzt, dass die Berechnungen zuverlässig sind und zur klaren Aussage über Wirkungs-

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gradverbesserung als Zielaufgabe führen können. Bis zur Erfüllung dieser Anforderungen liegt jedoch noch ein langer Weg vor uns. Da es zu den Strömungsvorgängen in rotierenden Pelton-Schaufeln keine direkten Vergleichsmessungen gibt, können numerische Berechnungen nicht ohne weiteres validiert werden. Die oben erwähnten Druckmessungen an der Innenseite einer Pelton-Schaufel von Kvicinsky et al. (2002), Perrig et al. (2006) und Zoppe et al. (2006) wurden alle zum Zweck der Validierung numerischer Berechnungen durchgeführt. Die Genauigkeit von CFDBerechnungen ist vor allem dadurch gefährdet, dass zusätzlich zum angenommenen Turbulenzmodell die freien Oberflächen des Wasserstrahls und -films in der Schaufel immer als finite Bereiche mit homogener Zwei-Phasen-Strömung angenommen werden müssen. Ferner können mit CFD-Methoden zwar die Strömungen, z. B. in der Schaufel, berechnet werden, jedoch die physikalischen Zusammenhänge nicht erklärt werden. Dies hat zur Folge, dass zu jeder Änderung der Betriebs- oder Auslegungsparameter eine neue CFD-Berechnung absolviert werden muss.

A4 Entwicklungen aus analytischen Methoden Aufgrund der Tatsache, dass Pelton-Turbinen aus ihrer langen Geschichte mit ständigen hydraulischen Optimierungen heutzutage einen recht hohen Wirkungsgrad aufweisen können, ist eine weitere Erhöhung des Wirkungsgrades fast nur möglich, wenn man aus der grundlegenden Analyse von Strömungsvorgängen in PeltonTurbinen das mögliche Verbesserungspotential aufzeigen kann. Das bedeutet nichts anderes als dass man alle möglichen Verlustquellen in einer Pelton-Turbine zunächst aufspüren und die entsprechenden Verluste möglichst genau abschätzen muss. Die dazu notwendigen analytischen Ausarbeitungen und die daraus folgenden Ergebnisse, auch wenn unter bestimmten Annahmen hergeleitet, gelten im Sinne der zielgerichteten hydraulischen Optimierung als wegweisend. Zur analytischen Beschreibung der physikalischen Strömungsvorgänge in einer Pelton-Turbine sollen im Grund genommen die Euler- und Lagrange-Methoden kombiniert verwendet werden. Das ist dadurch begründet, dass die instationäre Ausbreitung des Wasserfilms mit freier Oberfläche in erster Näherung durch Verfolgung der Bewegung eines Wasserteilchens in einer rotierenden Schaufel beschrieben werden kann. In der Tat stellt die Lagrange-Methode in diesem Fall eine vergleichbare Methode wie in der allgemeinen Mechanik dar, denn die Bewegung eines Wasserteilchens im Wasserfilm mit freier Oberfläche erfolgt bei annähernd konstantem Druck. Wie bei einer festen Partikel spielen lediglich Zentrifugal-, Coriolisund Trägheitskräfte eine Rolle, die Druckkraft ist von untergeordneter Bedeutung. Die entsprechenden Bewegungsgleichungen konnten zwar allgemein erstellt werden, sind jedoch für lange Zeit nicht weitergehend betrachtet worden. Kishioka und Osawa (1972) können als eine der wenigen Forschergruppen bezeichnet werden, die mit analytischen Untersuchungen versucht haben, Strömungsvorgänge in einer rotierenden Pelton-Schaufel zu beschreiben und den Verlust in Zusammenhang mit verschiedenen Strömungsformen in der betrachteten Schaufel

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zu bestimmen. Offenbar wurde wegen des komplexen Zusammenhangs in der Strömungsmechanik sowie der damit verbundenen Schwierigkeiten bei den Berechnungen die Analyse nicht weiter verfolgt. Zur Beschreibung von Wasserströmungen in rotierenden Schaufeln sind neue analytische Untersuchungen von Zhang und Müller (2005b, 2006b, 2007d) sowie Zhang (2007a, 2007b) durchgeführt worden. Die aus Untersuchungen abgeleitete Strahlschichtmethode in Verbindung mit der sogenannten Invarianzgleichung erleichtert massiv die Strömungsberechnungen in Pelton-Schaufeln. Insbesondere ging aus den Untersuchungen hervor, dass die Reibung zwischen Wasserströmung und Schaufeloberfläche die größte Verlustquelle in einer Pelton-Turbine darstellt. Der entsprechende Zusammenhang mit dem Reibungseffekt ist als Gesetz der Strömungsreibung in Pelton-Turbinen, in Englisch als Flow Friction Theorem (FFT), bezeichnet worden. Das FFT-Gesetz liefert erstmalig die physikalische Bestätigung, dass zu Gunsten des Wirkungsgrades die Schaufeloberfläche so glatt wie möglich beschaffen sein soll. Darin kann gegenwärtig auch das größte Potential zur Erhöhung des Systemwirkungsgrades gesehen werden.

A5 Weitere hydraulische Aspekte Weitere hydraulische Aspekte für Pelton-Turbinen stellen Regulierungen des Wasserdurchflusses der Injektoren durch Servomotoren dar, sowie die Bestimmung der Stellkraft des Servomotors, die Interaktion zwischen Wasserstrahl und PeltonSchaufeln am Schaufeleintritt, die hydraulische Strahlkraft beim Impulsaustausch, die Austrittsbedingung des Wassers aus den Schaufeln, der minimale Versatzwinkel zwischen zwei benachbarten Düsen (Injektoren) bei einer mehrdüsigen PeltonTurbine, die Schaufelform, das Spritzwasser, die Gestaltung des Turbinengehäuses sowie die Durchgangsdrehzahl des Pelton-Rades beim Lastabwurf auf der Seite des Generators. Alle genannten Aspekte sind bei der hydraulischen Auslegung von Pelton-Turbinen relevant. Manche von ihnen können einfach berechnet werden, bei anderen sind nach wie vor Erfahrungswerte von hoher Bedeutung. Erwähnenswert ist unter diesen Punkten die von Zhang und Müller (2007d) abgeleitete genaue Bestimmung der Durchgangsdrehzahl des Pelton-Rades im Fall der Lastabwurf. Dabei kann auch der gesamte Beschleunigungsprozess des Pelton-Rades bis zum Erreichen der Durchgangsdrehzahl genau berechnet werden.

B Strukturmechanik von Pelton-Turbinen Parallel zur hydraulischen Auslegung von Pelton-Turbinen ist das mechanische Design ein wichtiger Sektor bezüglich der Funktionalität und der Zuverlässigkeit aller Maschinenkomponenten einschließlich Verteiler, Injektor, Laufrad, Turbinengehäuse und so weiter. Insbesondere erfordert die periodische Belastung der Pelton-

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Schaufeln rationale mechanische Auslegung und Anwendung des geeigneten Materials sowie Fehlerfreiheit in der Fertigung. Als Peripherien müssen alle mechanischen Komponenten wie Servomotor, Kupplung und Ablenker in Übereinstimmung mit den entsprechenden hydraulischen Beanspruchungen entworfen werden. Von besonderer Bedeutung bei der mechanischen Auslegung von Pelton-Turbinen ist die Berechnung der mechanischen Festigkeit der Pelton-Schaufeln, die unter periodischer und extrem hoher mechanischer Belastung stehen. Zu den größten Problemen im Betrieb von Pelton-Turbinen zählen Rissbildungen, Materialermüdung und Sandabrasionen bei den Pelton-Schaufeln. Die letzteren sind stark von der Sandhaltigkeit im Triebwasser und der hydraulischen Fallhöhe abhängig. In kritischen Fällen muss man mit der Verkürzung der Wartungsperiode der PeltonSchaufeln rechnen. Als sehr wirksam gegen Abrasion hat sich die Verschleißbeschichtung der Schaufelinnenfläche mit harten Materialien gezeigt, welche heutzutage zunehmend in die Praxis angewandt werden. Es muss darauf geachtet werden, dass die Verschleißbeschichtung oft eine rauhe Oberflächenstruktur hinterlässt, die zur Erhöhung des hydraulischen Wirkungsgrades, wenn immer möglich, geglättet werden sollte. Die Verschleißbeschichtung wird heute vielmehr auch bei der Nadeloberflächen und den Oberflächen der Düsenmundstücke angewendet, da die ebenfalls sehr häufig von den Abrasionsvorgängen betroffen sind. Rissbildung und Materialermüdung treten am häufigsten im Bereich der Schaufelwurzel auf, wo die größte Materialbeanspruchung infolge des größten Biegmomentes der Schaufel zu verzeichnen ist. Zur Materialfestigkeit von Pelton-Schaufeln gibt es zahlreiche Untersuchungen. Darunter sind z. B. Untersuchungen von Grein et al. (1984, 1986a). Aus den gesammelten Erfahrungen im Betrieb von PeltonTurbinen kennt man mittlerweile die obere Grenze der Materialbeanspruchung. Sie ist offenbar vom verwendeten Material sowie dem Fertigungsverfahren abhängig. Während früher Pelton-Räder fast nur aus Stahlguss gefertigt oder die Schaufeln mit Schrauben an einer Grundscheibe befestigt wurden, werden Pelton-Räder heutzutage oft aus Schmiedscheiben rostfreien Stahls gefräst, sodass die Belastbarkeit der Pelton-Schaufeln und daher die Lebensdauer deutlich gestiegen sind. In Zusammengang mit der Entwicklung der Finite-Elemente-Methode (FEM) zur Berechnung von Materialbeanspruchungen können heutzutage die Schaufelfestigkeiten unter jeder Belastung sehr genau berechnet werden. FEM-Berechnungen sind somit zur Vorhersage der Schaufelbelastbarkeit bereits in der Auslegungsphase unentbehrlich geworden.

C Zielsetzung dieses Fachbuches Das vorliegende Fachbuch befasst sich mit der Funktionsweise und den Auslegungskriterien von Pelton-Turbinen auf einem breiten Spektrum der Hydromechanik, um weitgehend ein vollständiges Bild dieser Hydro-Technologie darzustellen und die wichtigsten Fachkenntnisse zusammenzufassen. Auf der hydraulischen Seite einer Pelton-Turbine werden, ausgehend von den Wasserstrahlen, sämtliche Prozesse bis

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zur Leistungsabgabe systematisch beschrieben. Dies bildet den Schwerpunkt dieses Buches. Die detaillierten mathematischen Beschreibungen hydraulischer Prozesse dienen zum einen zu quantitativen Angaben von Einflüssen verschiedener Betriebsund Auslegungsparameter auf das Betriebsverhalten und zum anderen zum Aufzeigen der Zusammenhänge zwischen verschiedenen physikalischen Vorgängen in einer Pelton-Turbine. Da sehr viele Strömungsvorgänge in Pelton-Turbinen und ihre Wirkung auf den Leistungsaustausch explizit und genau dargestellt werden können, sollen die entsprechenden Gesetze zur genauen Spezifizierung der Erfahrungsdaten in der hydraulischen Auslegung einer Pelton-Turbine dienen. Insbesondere können sie zur Vereinfachung und Leistungsverbesserung der numerischen Simulationen beitragen. Zumindest können direkte Rechenergebnisse unter bestimmten Randbedingungen zur Validierung der herkömmlichen numerischen Berechnungen herangezogen werden. Aus Sicht des Autors dieses Buches sowie aus bisherigen erfolgreichen Versuchen des Verfassers besteht ferner die Perspektive, numerische Berechnungsmethoden unter Berücksichtigung ausgearbeiteter Strömungsgesetze für Pelton-Turbinen direkt und speziell weiter zu entwickeln, anstatt wie bisher immer von den Navier-Stokes-Gleichungen ausgehen zu müssen. Da ungenaue Turbulenzmodellierungen und unrealistische Zwei-Phasen-Strömungsmodelle an den freien Oberflächen des Wassers (Freistrahl und Wasserfilm) nicht benötigt werden, können daher wesentlich hochwertigere Berechnungsergebnisse erwartet werden.

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Kapitel 1

Arbeitsprinzip von Pelton-Turbinen

1.1 Umwandlung von hydraulischer Energie in mechanische Energie In Wasserkraftwerken mit Pelton-Turbinen liegt die hydraulische Energie in Form von Potentialenergie vor, die aus der geodätischen Höhendifferenz zwischen der oberen Lage der Wasserquellen und den tiefer liegenden Turbinen zur Verfügung steht. Diese Höhendifferenz wird in der Terminologie der Wasserkraftmaschinen als Fallhöhe H bezeichnet. Die Umwandlung dieser Potentialenergie in Nutzleistung über Pelton-Turbinen geschieht zuerst durch Umwandlung der Potentialenergie in kinetische Energie in Form von Wasserstrahlen auf Höhe der Pelton-Turbinen. Unter Vernachlässigung von Verlusten im Injektor errechnet sich die Strahlgeschwindigkeit nach der Bernoulli-Gleichung zu  C0 = 2g H (1.1) mit H als Nettofallhöhe am Eintritt des Injektors. Die Umwandlung der kinetischen Energie des Wasserstrahls in mechanische Energie geschieht durch Interaktion zwischen dem Wasserstrahl und den rotierenden Schaufeln der Pelton-Turbine. Der Einfachheit halber wird zuerst eine geradlinige Schaufelbewegung bei einer konstanten Geschwindigkeit U angenommen (Abb. 1.1). Diese Vereinfachung hat zur Folge, dass im System nur die Kraft aus Impulsänderung resultiert. Die Interaktion zwischen Wasserstrahl und Schaufel wird im bewegten System direkt betrachtet. Für das Strömungsverhältnis am Eintritt der Schaufel (Index 1) ist mit C1 = C0 die Relativgeschwindigkeit gegeben durch W1 = C1 − U

(1.2)

Der Wasserstrahl breitet sich in der Schaufel aus. Die Änderung der Strömungsrichtung des Wassers längs der Schaufeloberfläche bewirkt nach dem Impulssatz eine Druckzunahme unter dem Wasserfilm. Gemäß der Bernoulli-Gleichung mit kon-

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1 Arbeitsprinzip von Pelton-Turbinen

Abb. 1.1 Interaktion und Leistungsaustausch zwischen einem Wasserstrahl und der linear bewegten Schaufel

stanter Totalenergie verringert sich bei Zunahme der Wasserfilmdicke die entsprechende Geschwindigkeit. An der Oberfläche des Wasserfilms herrscht stets Atmosphärendruck und daher stellt sich unter Voraussetzung einer reibungsfreien Strömung auch eine konstante Geschwindigkeit ein, die aus Gl. (1.2) hervorgeht. Die Druckverteilung und daher die Geschwindigkeitsverteilung im Wasserfilm werden in Abschnitt 5.1.2 sowie Abschnitt 6.3 genauer betrachtet. Sobald das Wasser den Schaufelaustritt (Index 2) erreicht, bzw. die Schaufel unter dem Winkel β2 erlässt, steht es unter dem Umgebungsdruck. Die Relativgeschwindigkeit des Wassers stellt sich wieder auf den Anfangswert nach Gl. (1.2) ein (W2 = W1 = W ). Die Absolutgeschwindigkeit kann durch vektorielle Addition ausgedrückt werden: C22 = U 2 + W 2 + 2U W cos β2

(1.3)

Nach dem Impulssatz steht die Richtungsänderung innerhalb der Strömung stets mit einer entsprechenden Kraft in Verbindung. Diese Kraft ist nichts anderes als die Druckkraft unter dem Wasserfilm. Wird die Strömung zwischen Ein- und Austritt der bewegten Schaufel betrachtet, so berechnet sich die summierende Kraftkomponente in der Richtung der Schaufelbewegung nach dem Impulssatz zu FSch = m˙ w · (W1 − W2 · cosβ2 ) = m˙ w · W (1 − cosβ2 )

(1.4)

Der Index bei FSch bezieht sich auf die Schaufel. Der Massenstrom des Wassers in der Schaufel wird durch die Relativgeschwindigkeit (W ) bestimmt und mit m˙ w bezeichnet. Dieser Massenstrom steht mit dem Massenstrom des Absolutsystems (m˙ c ) im folgenden Zusammenhang: m˙ w = W/C0 · m˙ c

(1.5)

Die Gleichung zeigt, dass der Wasserstrahl im Relativsystem um den Faktor κ = C0 /W > 1 längs ausgedehnt wird. Das heißt, dass ein Strahlstück, welches innerhalb einer Sekunde aus der Düse austritt, κ Sekunden braucht, um komplett in die Schaufel einzutreten. Der Faktor κ kann daher auch als ein Zeitfaktor angesehen

1.1 Umwandlung von hydraulischer Energie in mechanische Energie

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werden. Dementsprechend ist nach Gl. (1.4) die Wechselwirkungskraft zwischen Wasserstrahl und Schaufel auszudrücken durch FSch = m˙ c · W 2 /C0 · (1 − cosβ2 )

(1.6)

Die Arbeitsleistung im Relativsystem errechnet sich zu Pw = FSch · U = m˙ c · W 2 /C0 · (1 − cosβ2 ) · U

(1.7)

Die Bedingung für maximale Arbeitsleistung kann zwar aus dPw /dU = 0 zu U/C0 = 1/3 berechnet werden, diese Bedingung ist jedoch nicht die Bedingung für eine maximale Umwandlung der im Wasserstrahl vorhandenen Energie. Zur Berechnung der Arbeitsleistung wird daher die spezifische Arbeit (J/kg) aus der Interaktion zwischen Wasserstrahl und Schaufel betrachtet. Aus der Düse tritt eine Einheitsmasse des Wassers (1 kg) innerhalb der Zeit tc = 1/m˙ c aus. Das gleiche Wasser braucht eine Zeitdauer von tc κ, um komplett in die Schaufel einzutreten. Die durch Interaktion zwischen Wasserstrahl und Schaufel geleistete spezifische Arbeit ergibt sich aus der Multiplikation der Arbeitsleistung mit der Zeit: e = Pw tc κ

(1.8)

Unter der Betrachtung der Gl. (1.7) sowie κ = C0 /W und m˙ c tc = 1 errechnet sich die geleistete spezifische Arbeit e = U W (1 − cosβ2 )

(1.9)

Die maximal geleistete spezifische Arbeit ergibt sich aus der Bedingung de/dU = 0 mit W = C0 − U zu: U = 0.5C0

(1.10)

Unter dieser Bedingung beträgt die geleistete spezifische Arbeit aus Gl. (1.9) 1 e = C02 (1 − cosβ2 ) 4

(1.11)

Die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers aus der Schaufel ergibt sich aus Gl. (1.3): 1 C22 = C02 (1 + cosβ2 ) 2

(1.12)

Aus Gl. (1.11) ist zu erkennen, dass die maximal geleistete spezifische Arbeit sich ergibt, wenn für den Austrittswinkel am Schaufelaustritt β2 = 180◦ gilt: 1 e = C02 2

(1.13)

Sie ist gleich der im Wasserstrahl vorhandenen spezifischen kinetischen Energie. Dementsprechend ist aus Gl. (1.12) C2 = 0

(1.14)

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1 Arbeitsprinzip von Pelton-Turbinen

die so sein muss, wenn die im Wasserstrahl vorhandene kinetische Energie an die bewegte Schaufel gänzlich abgegeben wird. Bei der praktischen Auslegung von Pelton-Turbinen kann die Austrittsgeschwindigkeit C2 nicht Null werden, da das Wasser von der Schaufel wegströmen muss, um den Weg für die nachkommende Schaufel frei zu machen. Dementsprechend ist der Austrittswinkel oft mit β2 ≈ 170◦ festgelegt. Die mit C2 = 0 verbundene kinetische Energie des wegströmenden Wassers muss daher als ungenutzt bzw. als Verlust betrachtet werden. Dieser Verlust wird in der Praxis oft als Austrittsverlust bezeichnet. Das in Abb. 1.1 dargestellte Modell ist ein hydraulisches Modell, bei dem für eine reibungsfreie Strömung der Austrittsverlust als einziger Verlust auftritt. Der hydraulische Wirkungsgrad ist definiert als das Verhältnis der geleisteten spezifischen Arbeit zur spezifischen kinetischen Energie im Wasserstrahl. Aus Gl. (1.9) mit W = C0 − U wird dieser berechnet zu   U U e ηh = 2 = 2 · 1 − (1.15) (1 − cosβ2 ) C0 C0 C0 /2 bzw. mit k = U/C0 zu ηh = 2k (1 − k) (1 − cosβ2 )

(1.16)

In Abb. 1.2 ist der hydraulische Wirkungsgrad gemäß Gl. (1.16) in Abhängigkeit vom Geschwindigkeitsverhältnis k dargestellt, wobei der Austrittswinkel zum β2 = 180◦ angenommen wurde. Der maximale hydraulische Wirkungsgrad ergibt sich erwartungsgemäß bei k = 0.5 zu ηh,max = 0.5 (1 − cosβ2 )

(1.17)

Kann der hydraulische Reibungsverlust in der Wasserfilmströmung nicht vernachlässigt werden, muss die Berechnung des hydraulischen Wirkungsgrades entsprechend abgeändert werden. Dies wird in den Kapiteln 9, 10 und 14 ausführlich beschrieben.

Abb. 1.2 Wirkungsgradkennlinie des Bewegungssystems nach Abb. 1.1 mit β2 = 180◦

1.2 Pelton-Turbinen und ihre Spezifikation

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1.2 Pelton-Turbinen und ihre Spezifikation Eine Pelton-Turbine besteht im Wesentlichen aus einem oder mehreren Injektoren (Düsen) zur Generierung des Wasserstrahls sowie einem Laufrad mit Schaufeln (auch als Becher bezeichnet) zur Übertragung der Wasserkraft (Abb. 1.3). Die Injektoren haben zweierlei Aufgaben auszuführen. Zum einen wandelt das Düsenmundstück eines Injektors die Druckenergie des Wassers in kinetische Energie um. Zum anderen reguliert der Injektor über einen zugehörigen Servomotor den Durchfluss. Der Leistungsaustausch schließlich geschieht zwischen dem Wasserstrahl und dem Pelton-Rad. Da das Pelton-Rad rotiert, treten in der Strömung Zentrifugalund Coriolis-Kräfte auf. Das Strömungsverhalten innerhalb der Schaufel unterscheidet sich daher von demjenigen der geradlinigen Schaufelbewegung. Die in Abschnitt 1.1 eingeführten Grundlagen zur Energieumwandlung gelten jedoch ohne weiteres auch für die Pelton-Turbine. Zusätzlich werden Pelton-Turbinen durch folgende Spezifikationen von Parametern und Kennzahlen beschrieben.

1.2.1 Geometrische Spezifikation des Pelton-Rades Gemäß Abb. 1.4 wird ein Pelton-Rad hauptsächlich durch folgende Parameter dimensioniert: Strahlkreisdurchmesser Dm = 2Rm , Radinnendurchmesser Db = 2Rb , Radaußendurchmesser Da = 2Ra , Spitzenkreisdurchmesser Ds = 2Rs , Durchmesser des Nebenschneidekreises Dc = 2Rc , Schaufelzahl N, Schaufelbreite B, Schaufelaustrittswinkel β2 , Grundkreisradius der Schaufelmittelschneide (auch als Hauptschneide bezeichnet) rs . Die Auslegung eines Pelton-Rades hängt von der hydraulischen Spezifikation der Turbinenanlage ab. Ausgehend von den allgemeinen Anhaltspunkten in der Auslegung, welche durch hydraulische Kennzahlen (Abschnitt 1.2.2) festgelegt sind, wird das Pelton-Rad zusätzlich unter der Berücksichtigung des Generators und dessen Drehzahl dimensioniert. Mehr dazu ist in Kapitel 17 zu finden. Der Austrittswinkel β2 wird unter Umständen durch die Austrittsbedingung (Kapitel 7) festgelegt, während die Optima von Schaufelzahl aus Koinzidenz- und Symmetriebedingungen (Kapitel 4) hergeleitet wird.

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1 Arbeitsprinzip von Pelton-Turbinen

Abb. 1.3 Pelton-Turbine mit zwei Injektoren, Kraftwerk Kleintal

1.2 Pelton-Turbinen und ihre Spezifikation

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Abb. 1.4 Parameterbezeichnung eines Pelton-Rades

1.2.2 Hydromechanische Kennzahlen Im Strömungsmaschinenbau verwendet man diverse Kennzahlen, um die Maschinen zu dimensionieren und deren Leistungen zu quantifizieren. Bei Pelton-Turbinen verwendet man jedoch nur wenige Kennzahlen, die für die geometrische und hydraulische Auslegung sowie für die Berechnung der Turbinenleistung ausreichend sind. Die wichtigsten Kennzahlen sind hier zusammengestellt.

A Laufzahl km Die Laufzahl wird auch als spezifische Umfangsgeschwindigkeit des Pelton-Rades bezeichnet. Sie ist definiert als Verhältnis der Umfangsgeschwindigkeit Um auf dem Strahlkreis (Rm in Abb. 1.4) zur Strahlgeschwindigkeit C0 km =

Um Um =√ C0 2g H

(1.18)

18

1 Arbeitsprinzip von Pelton-Turbinen

Die Laufzahl stellt einen der wichtigsten Parameter bei der Auslegung von PeltonTurbinen dar. Sie hat die gleiche Bedeutung wie der k-Wert in Gl. (1.16) und repräsentiert den Wirkungsgrad in ähnlicher Form wie in Abb. 1.2 dargestellt. In der Praxis ist die Laufzahl bisher immer im Bereich zwischen 0.45 und 0.48 festgelegt worden, wodurch der maximal mögliche hydraulische Wirkungsgrad erzielt werden kann. Bei allgemeiner Betrachtung von Strömungsmaschinen wird oft die Druckzahl in der Form ψ = Y/(Um2 /2) verwendet, wobei Y = g H als Stutzenarbeit bezeichnet wird. Die Ableitung ergibt, dass zwischen der Laufzahl und der Druckzahl folgender Zusammenhang besteht:  km = 1/ψ (1.19) Aus diesem Grund wird zur Beschreibung einer Pelton-Turbine auf die Verwendung der Druckzahl verzichtet. B Schaufelauslastung ϕB Die Schaufelauslastung repräsentiert den Wasserdurchfluss bezogen auf eine Düse ( Q˙ D ) und somit die hydraulische Auslastung jeder einzelnen Pelton-Schaufel. Die Schaufelauslastung ist als dimensionslose Kennzahl definiert durch ϕB =

Q˙ D √ π/4 · B 2 2g H

(1.20)

mit B als Innenbreite der Schaufel. √ Da der aus einer Düse austretende Durchfluss Q˙ D = π/4 · d02 2g H (mit d0 als Strahldurchmesser) ist, berechnet sich die Schaufelauslastung zu  ϕB =

d0 B

2 (1.21)

Die Schaufelauslastung in dieser Form repräsentiert ein geometrisches Verhältnis zwischen dem Wasserstrahl und der Schaufeldimension. In dieser Form lässt sich durch Gl. (1.21), im Unterschied zu Gl. (1.20), direkt eine Aussage über die Schaufelauslastung treffen. Aus diesem Grund wird im vorliegenden Buch die vorteilhaftere Definition der Schaufelauslastung ϕB nach Gl. (1.21) bevorzugt. Die Schaufelauslastung dient zum einen zur Darstellung des Durchflusses in dimensionsloser Form und zum anderen zur Festlegung der Schaufelbreite. Die Schaufelbreite wird meistens dadurch festgelegt, dass beim Nenn- bzw. Maximaldurchfluss der Strahldurchmesser d0 etwa 1/3 der Schaufelbreite B beträgt. Daraus ergibt sich das Auslegungskriterium der Schaufellbreite zu ϕB = 0.09 bis 0.11.

1.2 Pelton-Turbinen und ihre Spezifikation

19

C Spezifische Drehzahl nq Ein weiterer Parameter zur Auslegung des Pelton-Rades ist die spezifische Drehzahl, die hier direkt aus der Fachliteratur, z. B. von Pfleiderer und Petermann (1986), übernommen wird. Sie ist definiert durch  Q˙ D n q = n 3/4 (1.22) H Nach dieser Definition ist die spezifische Drehzahl weder dimensionslos noch entspricht sie der Dimension der Drehzahl (1/min oder 1/s). Um Missverständnisse zu vermeiden, werden mit Q˙ D und H bei der spezifischen Drehzahl diejenigen dimensionslosen Größen bezeichnet, die jeweils auf den Volumenstrom Q˙ D = 1 m3 /s und die Fallhöhe H = 1 m bezogen sind. Somit haben n und n q die gleiche Einheit, entweder 1/s oder 1/min. In der vorliegenden Arbeit wird die spezifische Drehzahl n q vorwiegend mit der Einheit 1/s verwendet. Als Alternative zur spezifischen Drehzahl wird in der Fachliteratur die Schnellläufigkeit verwendet, die definiert ist durch   Q˙ D Q˙ D ny = n = n 3/4 (1.23) 3/4 Y (g H ) Damit die Schnellläufigkeit dimensionslos bleibt, muss die Drehzahl in 1/s gegeben sein. Zwischen der spezifischen Drehzahl n q und der Schnellläufigkeit n y ergibt sich aus Gln. (1.22) und (1.23) folgender Zusammenhang n q = g 3/4 n y = 5.54n y

(1/s)

(1.24)

oder davon ausgehend n q = 333n y

(1/min)

(1.25)

Die spezifische Drehzahl oder die Schnellläufigkeit wird hauptsächlich dort verwendet, wo bei gegebenem Durchfluss und gegebener Fallhöhe eine Pelton-Turbine bezüglich der Düsenzahl, Drehzahl und Raddimension ausgelegt werden soll. Die genaue Vorgehensweise bei der Auslegung einer Pelton-Turbine mittels der spezifischen Drehzahl wird in Kapitel 17 ausführlich beschrieben. In Anbetracht ingenieurwissenschaftlicher Anwendungen wird im Rahmen dieses Buches ausschließlich die spezifische Drehzahl nach Gl. (1.22) verwendet. Es soll hier vermerkt werden, dass die spezifische Drehzahl gleichzeitig das Durchmesserverhältnis δ = Dm /d0 , auch Durchmesserzahl genannt (Sigloch 2006), darstellt. Dies √ kann aus Gl. (1.22) abgeleitet werden, indem der Durchfluss durch Q˙ D = 14 πd02 2g H ersetzt wird und die Laufzahl nach Gl. (1.18) verwendet wird: n q = g 3/4

km √ 1/4 2 π

d0 d0 = 2.63km Dm Dm

(1/s)

(1.26)

20

1 Arbeitsprinzip von Pelton-Turbinen

Hierdurch wird die Bedeutung der spezifischen Drehzahl veranschaulicht. Da die Laufzahl quasi eine Konstante ist, repräsentiert die spezifische Drehzahl ausschließlich das Durchmesserverhältnis Dm /d0 . Unter der Betrachtung der Schaufelauslastung nach Gl. (1.21) kann die spezifische Drehzahl auch angegeben werden durch nq =

B B (2g)3/4 √ √ = 2.63km ϕB √ k m ϕB Dm Dm 2 π

(1.27)

Unter dem Nennbetrieb, bei dem auch ϕB ≈ 0.11 gilt, repräsentiert die spezifische Drehzahl nach Gl. (1.27) die geometrische Auslegung des Pelton-Rades durch das geometrische Verhältnis B/Dm . Da die spezifische Drehzahl gemäß ihrer Definition nach Gl. (1.22) direkt aus dem Durchfluss und der Nettofallhöhe berechnet wird, ist sie für die Auslegung von Pelton-Turbinen durch die Angaben von Q˙ D und H besonders geeignet. Aus diesem Grund wird die Durchmesserzahl δ = Dm /d0 im vorliegenden Buch nicht verwendet. D Charakteristischer Schaufelstellungswinkel αo Der Schaufelstellungswinkel αo gemäß Abb. 1.5 stellt einen Winkel dar, bei dem die Nebenschneide der Schaufel die Strahlschicht auf der Strahlachse schneidet. Dieser Winkel hat eine spezielle Bedeutung, da von ihm die sogenannte Durchgangsdrehzahl einer Pelton-Turbine abhängt. Während die Berechnung der Durchgangsdrehzahl erst in Kapitel 16 behandelt wird, sollen die Eigenschaften dieses Winkels und dessen Zusammenhang mit der spezifischen Drehzahl bereits hier erläutert werden. Bei Pelton-Turbinen sind die Schaufelgeometrien oft ähnlich. Insbesondere liegt das Verhältnis der Schaufellänge zur Schaufelbreite zwischen 0.8 und 0.9. Wird demzufolge die Differenz Dc − Dm = 0.85B angenommen, dann ist nach Abb. 1.5: cosαo = Rm /Rc =

1 1 + 0.85B/Dm

Abb. 1.5 Geometrischer Zusammenhang des Schaufelstellungswinkels αo

(1.28)

1.2 Pelton-Turbinen und ihre Spezifikation

21

Zum Ersetzen von B/Dm wird Gl. (1.27) eingesetzt. Daraus ergibt sich √ k m ϕB cos αo = √ km ϕB + 0.32n q

(1.29)

bzw. bei mittlerem Nennbetrieb mit km = 0.47 und ϕB = 0.11 cos αo =

1 1 + 2n q

(1.30)

Die Anwendung des charakteristischen Schaufelstellungswinkels αo wird in Kapitel 15 zur Berechnung der realen Wirkungsgradkennlinie und in Kapitel 16 zur Bestimmung der Durchgangsdrehzahl ausführlich erläutert.

E Umfangsgeschwindigkeit der Ausschnittsschneide Eine andere häufig gebrauchte Geschwindigkeit bei den Strömungsberechnungen ist die Umfangsgeschwindigkeit der Nebenschneide des Ausschnitts. Dazu erhält man zuerst aus Gln. (1.28) und (1.30) eine weitere Beziehung zum Durchmesser des Nebenschneidekreises: Dc /Dm = 1 + 2n q

(1.31)

Das Verhältnis der entsprechenden Umfangsgeschwindigkeit zur Strahlgeschwindigkeit ist gegeben durch Um Uc Uc Dc = = km C0 C 0 Um Dm

(1.32)

bzw. infolge Gl. (1.31)   Uc = km 1 + 2n q C0

(1.33)

1.2.3 Hydromechanische Spezifikation der Pelton-Turbine Die wichtigsten Betriebsparameter einer Pelton-Turbine sind die Laufzahl km und die Schaufelauslastung ϕB , während die spezifische Drehzahl nur die Form des Pelton-Rades angibt. Zum einen beschreiben die Laufzahl und Schaufelauslastung die hydraulische Ähnlichkeit zwischen zwei Pelton-Rädern mit geometrischer Ähnlichkeit und somit gleicher spezifischer Drehzahl (siehe Kapitel 19). Zum anderen bestimmen die Laufzahl und Schaufelauslastung zusammen den hydraulischen Wirkungsgrad einer Pelton-Turbine. In Hinsicht auf den maximalen Wirkungsgrad wer-

22

1 Arbeitsprinzip von Pelton-Turbinen

den Betriebspunkte einer Pelton-Turbine durch die Laufzahl zu km = 0.45 ∼ 0.48 und die Schaufelauslastung zu ϕB = 0.09 ∼ 0.11 festgelegt. Zur Beschreibung der hydraulischen Interaktion zwischen dem Wasserstrahl und den Schaufeln in einer Pelton-Turbine wird grundsätzlich der gleiche Formalismus verwendet, wie er in Abschnitt 1.1 für die geradlinige Schaufelbewegung beschrieben wurde. Die Relativgeschwindigkeit am Schaufeleintritt wird mit W1 = C0 −Um angenommen. Analog zu Gl. (1.6) ist die Wechselwirkungskraft auf einer Schaufel gegeben durch FSch = m˙ c C0 (1 − km)2 (1 − cosβ2 )

(1.34)

Im Gegensatz zur geradlinigen Bewegung einer Schaufel wird bei Pelton-Turbinen zu jedem Wasserstrahl nicht nur eine Schaufel beaufschlagt. Da die Leistung des Pelton-Rades der Leistung des Wasserstrahls entsprechen soll, berechnet sich die Zahl der Schaufeln, die unter einem Wasserstrahl stehen, aus 2λ =

m˙ c C0 = m˙ w W1

(1.35)

Dabei bezeichnet man λ als Multischaufelziffer. Diese wird in Kapitel 4 ausführlich behandelt. Dementsprechend ist zu einem Wasserstrahl die Strahlkraft auf das Pelton-Rad gegeben durch: FT = 2λFSch = m˙ c

C02 (1 − km)2 (1 − cosβ2 ) W1

(1.36)

Wegen W1 = (C0 − Um ) = C0 (1 − km) ist dann FT = m˙ c C0 (1 − km) (1 − cosβ2 )

(1.37)

Die Leistung, die der Wasserströmung aus einer Düse entspricht, wird berechnet aus P = FT · Um = m˙ c C02 km (1 − km) (1 − cosβ2 )

(1.38)

Die maximale Leistung ergibt sich aus der Bedingung dP/dkm = 0: km = 0.5

(1.39)

Der hydraulische Wirkungsgrad ergibt sich somit als ηh =

P 1 ˙ c C02 2m

= 2km (1 − km) (1 − cosβ2 )

(1.40)

Formelmäßig entspricht dieser Ausdruck der Gl. (1.16). Der Grund dafür ist, dass unter der Beziehung W1 = C0 − Um der senkrechte Eintritt des Wasserstrahls in die Schaufeln angenommen wurde. Daher kann Gl. (1.40) auch als direkt von Gl. (1.16)

1.2 Pelton-Turbinen und ihre Spezifikation

23

übernommen angesehen werden. Wegen der Annahme W1 = C0 −Um gilt Gl. (1.40) somit nur für die Darstellung des Arbeitsprinzips einer Pelton-Turbine und für die grobe Aussage über den hydraulischen Wirkungsgrad. Insbesondere gibt das Geschwindigkeitsverhältnis κ = C0 /W1 , das in Gl. (1.5) auch als Zeitfaktor bezeichnet wurde, die Anzahl der Schaufeln an, die gleichzeitig von einem Wasserstrahl beaufschlagt sind. In Kapitel 4 und 6 wird dieser Faktor durch die Multischaufelziffer λ = κ/2 ersetzt, die aus unterschiedlichen Aspekten berechnet wird. In der Tat stellen die Gleichungen für FT , P und ηh lediglich das Arbeitsprinzip einer Pelton-Turbine dar. Sowohl die Strahlkraft als auch der Leistungsaustausch in einer Pelton-Turbine mit rotierenden Schaufeln verhalten sich etwas anders als in nicht rotierenden Schaufeln. Die Interaktion zwischen dem Wasserstrahl und den Schaufeln ist nun nicht mehr konstant, sondern ändert sich mit der Zeit. Aus der Betrachtung einer geradlinig bewegten Schaufel in Abschnitt 1.1 ist hervorgegangen,  dass zum Erzielen der maximalen Leistung das Geschwindigkeitsverhältnis U C0 bei 0.5 zu finden ist. Im praktischen Betrieb von Pelton-Turbinen liegt die Laufzahl km für maximale Wirkungsgrade jedoch zwischen 0.45 und 0.48. Es wird bewusst darauf geachtet, dass das Wasser nach dem Energieaustausch mit den rotierenden Schaufeln noch genügend kinetische Energie besitzt, um aus den Schaufeln austreten zu können. Der damit verbundene Verlust wird als Drallverlust bezeichnet. Der vollständige Ausdruck des hydraulischen Wirkungsgrades wird in Kapitel 14 dargestellt, nachdem die einzelnen hydraulischen Verluste inklusive Reibungsverlusten behandelt wurden.

1.2.4 Bauform von Pelton-Turbinen Die in der Praxis vorkommenden Ausführungsformen von Pelton-Turbinen charakterisieren sich durch die Ausrichtung der Turbinenachse. Turbinen mit horizontalen Achsen werden als Horizontalturbinen (Abb. 1.6a) und solche mit vertikalen Achsen als Vertikalturbinen (Abb. 1.6b) bezeichnet. Eine horizontale Ausrichtung ist nur für Turbinen mit maximal zwei Düsen geeignet. Vertikalturbinen können mit bis zu sechs Düsen betrieben werden. Der größte Vorteil der vertikalen Anordnung besteht darin, dass die Düsen symmetrisch über den Umfang verteilt werden können. Dadurch wird eine einseitige Lagerbelastung vermieden, die bei nur einer Düse oder bei horizontaler Lage der Turbine unvermeidlich ist. Bei Turbinen mit zwei oder mehr Düsen ist jedoch zu beachten, dass keine Kollisionen zwischen den Wasserstrahlen in derselben Schaufel stattfinden. Der Versatz zwischen zwei benachbarten Injektoren muss groß genug sein, um störungsfreie Interaktion zwischen dem Wasserstrahl und den Schaufeln sowie störungsfreien Abfluss des Wassers aus den Schaufeln zu gewährleisten. Das entsprechende Kriterium wird in Kapitel 18 erarbeitet. Bei der Auslegung von Vertikalturbinen muss außerdem darauf geachtet werden, dass das Wasser nach dem Austritt aus den oberen Schaufelhälften nicht wieder auf dem Rad landet. Das entsprechende Kriterium wird in Kapitel 7 ausgearbeitet.

24

1 Arbeitsprinzip von Pelton-Turbinen

Abb. 1.6 Anordnung von Pelton-Turbinen im Kraftwerk Oberhasli (KWO)

1.2.5 Parameterbezeichnung Neben den in Abb. 1.4 dargestellten geometrischen Parametern eines Pelton-Rades sind sämtliche geometrische und hydraulische Parameter von Injektoren und Laufrädern in Anhang 1 zusammengestellt. Alle anderen abgeleiteten Größen und Kennzahlen sind in Anhang 2 zusammengefasst.

Kapitel 2

Injektor

Der Injektor in einer Pelton-Turbine stellt die wichtigste Komponente dar, die die Druckenergie des Triebwassers in die kinetische Energie in der Form des Wasserstrahls mit hoher Qualität umwandelt und den Durchfluss reguliert. Abb. 2.1 zeigt das Grundprinzip eines Injektors, der vor allem aus dem Düsenmundstück und der Regelnadel in Verbindung mit einem Servomotor besteht. Beim Großteil der PeltonTurbinen liegt der Servomotor außerhalb der Druckleitung. Aufgrund der hydraulischen Optimierung werden die Düsen vielfach mit einem Steigungswinkel von ca. 42◦ bis 45◦ konstruiert. Die Regelnadeln weisen normalerweise einen Steigungswinkel von ca. 25◦ auf. Der Strömungsverlust des Injektors liegt gewöhnlich in der Größenordnung von 1% bis 2%. Er wird nur berücksichtigt, wenn der Systemwirkungsgrad betrachtet wird. Die Umwandlung der Druckenergie in die kinetische Energie wird durch die Bernoulli-Gleichung ausgedrückt, nach der die Geschwindigkeit des Wasserstrahls eine Funktion der Nettofallhöhe am Eintritt des Injektors ist:  C0 = 2g H (2.1)

Abb. 2.1 Dimensionierung und Parameterbezeichnung eines Pelton-Injektors mit außenregelndem Servomotor

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

25

26

2 Injektor

Ein idealer Wasserstrahl besitzt eine gleichmäßige Geschwindigkeitsverteilung in jedem Querschnitt und weist einen konstanten Querschnittsverlauf ohne Strahlerweiterung auf. Im Allgemeinen weicht ein realer Wasserstrahl in einer PeltonTurbine von diesen idealen Merkmalen ab. Dies konnte allein aus der Beobachtung des Wasserstrahls bestätigt werden. Die eingehenden Untersuchungen und die ausführliche Charakterisierung von Wasserstrahlen wurden unter der Anwendung von Lasermethoden systematisch durchgeführt und bereits von Zhang und Casey (2007c) zusammengefasst. Die wichtigsten Eigenschaften eines realen Wasserstrahls werden in Kapitel 3 beschrieben.

2.1 Strömungsbeschleunigung in der Düse Die Düse des Injektors dient zur Beschleunigung des Wassers bzw. zur Umwandlung von Druckenergie in kinetische Energie. Aus dem konstanten Durchfluss durch die Düse Q˙ = cm A = const ergibt sich die Beschleunigung der mittleren Geschwindigkeit längs der Düse im inkompressiblen Fall als Funktion der Düsengeometrie und der Geschwindigkeit selbst: dcm cm d A =− dx A dx

(2.2)

In der Tat ist die Strömungsbeschleunigung in der Düse nach Abb. 2.2 nicht gleichmäßig, was zur Stromlinienkrümmung führt. Die Strömung im Querschnitt A kann als gleichmäßig und daher als Potentialströmung angenommen werden. Am Düsenaustritt im unmittelbaren Bereich der Gehäuseoberfläche B herrscht der Umgebungsdruck. Dort erreicht die Strahlgeschwindigkeit den maximalen Wert von √ C0 = 2g H, wenn die Wirkung der Grenzschicht vorerst vernachlässigt wird. Da

Abb. 2.2 Beschleunigungen der Strömung und die Stromlinienkrümmung in der Pelton-Düse

2.1 Strömungsbeschleunigung in der Düse

27

entlang der Nadeloberfläche die Strömung noch weiter beschleunigt und daher die Geschwindigkeit kleiner als C0 ist, ist die Geschwindigkeitsverteilung am Düsenaustritt nicht gleichmäßig. Die Beschleunigung der Strömung vom Querschnitt A zum Querschnitt B ist daher in Richtung senkrecht zur Nadeloberfläche unregelmäßig. Entlang der Nadeloberfläche ist die Beschleunigung geringer als auf der Gehäuseseite der Düse. Bezogen auf das lokale Koordinatensystem in Abb. 2.2 ist die Stromliniengleichung gegeben durch cy dy = dx cx

(2.3)

Es wird hier zuerst der allgemeine Fall betrachtet, wobei sich das Geschwindigkeitsverhältnis c y /cx in der Strömung von Ort zu Ort ändert, d. h. c y /cx = f (x, y). Davon ausgehend ergibt sich aus Gl. (2.3) die folgende Ableitung:   ∂c y ∂c y dy d2 y 1 ∂cx ∂cx dy + cx − cy − cy (2.4) = 2 cx dx 2 cx ∂x ∂y dx ∂x ∂y dx Nun wird eine Stromlinie betrachtet, für die Gl. (2.3) wieder gilt. Zusätzlich wird die Potentialströmung mit ∂c y /∂ x = ∂cx /∂y angenommen. Unter diesen Bedingungen sowie der allgemeinen Kontinuitätsbedingung ∂cx /∂ x +∂c y /∂y = 0 vereinfacht sich Gl. (2.4) zu  c2y ∂cx c y ∂cx d2 y cx 2 = 1 − 2 −2 (2.5) cx ∂ x dx cx ∂y Es wird nun ein Koordinatensystem ξ − η festgelegt, bei dem die ξ -Achse mit der Tangente der Stromlinie zusammenfällt. Das ist äquivalent zu einem mitbewegten Koordinatensystem. Wegen cη = c y = 0 und cξ = cx = c ergibt sich aus Gl. (2.5) d2 η 1 dc = dξ 2 c dη

(2.6)

Diese Gleichung gilt nur für die Betrachtung längs einer Stromlinie, denn sie ist erhalten worden aus Gl. (2.4), wobei für eine Stromlinie wieder Gl. (2.3) betrachtet wurde und die Bedingung längs der Stromlinie mit cη = 0 verwendet worden ist. Wegen der ungleichmäßigen Strömungsverteilung in der Düse, d. h. dc/dη = 0, ist aus obiger Gleichung zu schließen, dass im Bereich zwischen Querschnitten A und B alle Stromlinien gekrümmt sind (d2 η/dξ 2 = 0). Die obige Betrachtung kann erweitert werden, um die Strömung unter dem Einfluss von Reibung an der Düsenwand zu berechnen. Detaillierte Berechnungen wurden durchgeführt und veröffentlicht (Zhang 2003a), als der sogenannte Fallhöheneffekt (head effect) untersucht wurde.

28

2 Injektor

2.2 Durchflusszahl ϕD0 und die Düsenkennlinie Der Injektor der Pelton-Turbine generiert einerseits einen Wasserstrahl mit hoher Geschwindigkeit gemäß Gl. (2.1) und reguliert den Durchfluss andererseits. Die Regulierung des Durchflusses geschieht durch die Verstellung der Regelnadel in der Düse. Zur Beschreibung des Durchflusses ( Q˙ D ) durch eine Düse wird die sog. Durchflusszahl verwendet, die häufig folgendermaßen definiert ist ϕD0 =

4 Q˙ D √ π · D02 2g H

(2.7)

Dabei ist D0 der konstante Durchmesser des Düsenmundes. Die Nettofallhöhe wird mit H bezeichnet. Die physikalische Bedeutung der Definition in Gl. (2.7) wird nachfolgend veranschaulicht. Der Wasserstrahl weist seinen engsten Querschnitt dort auf, wo alle Stromlinien parallel laufen und daher konstanter Druck herrscht. An diesem engsten Querschnitt, der auch als Einschnürstelle des Wasserstrahls bezeichnet wird, kann die Bernoulli-Gleichung für die Geschwindigkeitsberechnung verwendet werden. Der Durchfluss eines Wasserstrahls wird somit berechnet aus  1 Q˙ D = πd02 2g (H − h v ) 4

(2.8)

Dabei wird der Fallhöhenverlust im Injektor durch h v angegeben, d0 bezeichnet den Strahldurchmesser an der Strahleinschnürstelle. Der Fallhöhenverlust im Injektor ist gegenüber der Nettofallhöhe ein sehr kleiner Wert, d. h. h v /H  1. Unter dieser Bedingung lässt sich Gl. (2.8) umformen zu   1 hv  1 2g H (2.9) Q˙ D = πd02 1 − 4 2H Durch Einsetzen in Gl. (2.7) ergibt sich dann ϕD0 =

  1 hv 1 − 2H D02 d02

(2.10)

Bei der Vernachlässigung des Fallhöhenverlustes im Injektor stellt die Durchflusszahl in der Tat das Querschnittsverhältnis vom Wasserstrahl zum Düsenmund dar. Als bezogener Durchfluss ist die Durchflusszahl offensichtlich eine Funktion des Nadelhubs. Ferner ist zu erwarten, dass die Durchflusszahl auch von der Düsengeometrie abhängt. Abb. 2.3a zeigt die aus Kalibrierungen erhaltenen Durchflusszahlen von einer Düse in Abhängigkeit vom Nadelhub, wobei drei Nadeln mit jeweils verschiedenen Steigungswinkeln in die Düse eingebaut wurden. Bei gleichem Nadelhub weist die Düse mit Stumpfnadel (großer Steigungswinkel) den größeren Durchfluss auf. Dies ist darauf zurückzuführen, dass für gleiche Nadelhübe die effektive Öffnungsfläche am Düsenaustritt entsprechend größer ist (Abb. 2.3b). Derar-

2.2 Durchflusszahl ϕD0 und die Düsenkennlinie

29

Abb. 2.3 Durchflusskurven als Funktion des Nadelhubs. Vergleich zwischen drei verschiedenen Nadelwinkeln nach Zhang (2003a)

tige effektive Öffnungsflächen können gemäß Abb. 2.3b folgendermaßen berechnet werden:   s ADe = π 1 − · sin 2αN D0 s · sin αN (2.11) 2D0 Diese Gleichung kombiniert den Nadelhub und den Nadelsteigungswinkel. Werden die in Abb. 2.3a dargestellten Durchflusszahlen gegenüber der effektiven Öffnungsfläche (ADe /AD0 ) aufgetragen, so ergibt sich eine vereinigte Durchlasskurve, wie sie in Abb. 2.4 veranschaulicht ist. Die Einflüsse von Nadelsteigungswinkel αN und Nadelhub s auf den Durchfluss sind dadurch als Einfluss der effektiven Öffnungsfläche der Düse erfasst worden. Damit wurde gezeigt, dass die effektive Öffnungsfläche einen charakteristischen Parameter für den effektiven Durchfluss darstellt ϕD0 = f (ADe ). Mit anderen Worten heißt das, dass allein die effektive Düsenöffnung nicht aber der Nadelsteigungswinkel den Durchfluss bestimmt. Zu beachten ist, dass dabei der Düsenwinkel konstant bleibt. Wie allgemein bei Düsen ist der Strahlquerschnitt und somit die Durchflusszahl nach Gl. (2.7) praktisch unabhängig vom wirksamen Druck bzw. von der am Injektoreintritt herrschenden Fallhöhe. Im praktischen Betrieb von Pelton-Turbinen

30

2 Injektor

Abb. 2.4 Darstellung der Durchflusskurven aus Abb. 2.3a als Funktion der effektiven Öffnungsfläche der Düsen nach Zhang (2003a)

wurde jedoch eine kleine Abhängigkeit der Durchflusszahl von der Fallhöhe festgestellt, die man als Fallhöheneffekt bezeichnet hat. Wie in Abschnitt 2.4 gezeigt wird, handelt es sich dabei um einen von der Reynolds-Zahl abhängigen Effekt. Für einen konkreten Injektor ist die oben definierte Durchflusszahl lediglich vom Nadelhub s abhängig. Wie bereits in Abb. 2.3a gezeigt wurde, lässt sich diese Abhängigkeit aus Messungen bestimmen. Mit hinreichender Genauigkeit lässt sich die Durchflusszahl in Abhängigkeit vom Nadelhub (als Düsenkennlinie bezeichnet) durch eine quadratische Funktion annähern:  2 s s ϕD0 = a +b D0 D0

(2.12)

wobei D0 der Durchmesser des Düsenmundes ist. Die Konstanten a und b sind durch Kalibrierung zu bestimmen. Häufig ist die Düsenkennlinie für eine Prototypturbine direkt aus dem Durchflussverhältnis gegeben  

Q˙ D s s H k1 + k2 = (2.13) smax smax HN Q˙ D,N Dabei beziehen sich HN und Q˙ D,N auf den Nennbetriebspunkt. Zwischen Gln. (2.12) und (2.13) kann gewechselt werden, da die Konstanten a, b, k1 und k2 in folgenden Beziehungen zueinander stehen: 1

smax ·a ϕD0,N D0   1 smax 2 k2 = ·b ϕD0,N D0

k1 =

(2.14) (2.15)

2.3 Durchflusszahl ϕDe und Gesetzmäßigkeit der Düsenkennlinie

31

Dabei ist die Nenndurchflusszahl ϕD0,N nach Gl. (2.7) zu berechnen. Offensichtlich hängen beide Konstanten k1 und k2 von der Angabe der Nenndurchflusszahl und daher des Nenndurchflusses ab. Eine weitere Darstellung der Düsenkennlinie ist gegeben durch  2 s s Q˙ D ˙ Q1 = √ = m1 · + m2 smax smax H

(2.16)

Der Vergleich mit Gl. (2.13) liefert die folgenden Zusammenhänge: Q˙ D,N m 1 = k1 √ HN Q˙ D,N m 2 = k2 √ HN

(2.17) (2.18)

Die durch Gl. (2.16) dargestellte Düsenkennlinie hat den Nachteil, dass für geometrische ähnliche Düsen die Konstanten m 1 und m 2 nicht konstant bleiben. Dies liegt daran, dass m 1 und m 2 nicht dimensionslos sind.

2.3 Durchflusszahl ϕDe und Gesetzmäßigkeit der Düsenkennlinie Aus dem Beispiel, das in Abb. 2.4 gezeigt wurde, geht hervor, dass die Durchflusskurven bei einer Düse mit verschiedenen Nadeln durch die Benutzung der effektiven Öffnungsfläche am Düsenaustritt eindeutig dargestellt werden können. Aus diesem Grund kann die Durchflusszahl auch in Bezug auf die effektive Öffnungsfläche definiert werden: ϕDe =

Q˙ D √ ADe 2g H

(2.19)

Unter der Annahme kleiner Strömungsverluste im Injektor, d. h. h v /H  1, und analog zu Gl. (2.10) lässt sich Gl. (2.19) umformen zu   πd02 1 hv ϕDe = 1− 4 ADe 2H

(2.20)

Sie stellt das Verhältnis des Strahlquerschnitts zur effektiven Öffnungsfläche der Düse dar, da die Wirkung des Fallhöhenverlustes vernachlässigbar klein ist. Der Vergleich mit Gl. (2.10) zeigt den Zusammenhang zwischen den beiden Definitionen der Durchflusszahl: ϕD0 4 ADe ADe = = 2 ϕDe AD0 π · D0

(2.21)

32

2 Injektor

Es handelt sich um einen geometrischen Umrechungsfaktor. Die praktische Bedeutung dieser Umrechnung soll genauer erläutert werden. Es wird eine Düse betrachtet, in der eine Nadel mit einem Steigungswinkel von αN1 eingebaut ist. Für diese Düse wird angenommen, dass die Düsenkennlinie ϕD0,1 = f (s/D0 , αN1 ) aus Kalibrierungen bekannt ist. Davon ausgehend kann die Düsenkennlinie ϕD0,2 = f (s/D0 , αN2 ) der gleichen Düse jedoch mit einer anderen Nadel (Steigungswinkel αN2 ) unmittelbar berechnet werden. Die bekannte Düsenkennlinie ϕD0,1 wird nach Gl. (2.21) zuerst auf ϕDe umgerechnet: ϕDe = ϕD0,1

AD0 ADe,1

(2.22)

Nachdem die Kennlinie in dieser Darstellung unabhängig von der Nadel bzw. dessen Steigungswinkel ist, gilt sie auch für die Düse, in der eine Regelnadel mit dem Steigungswinkel αN2 eingebaut ist. Ausgehend von Gl. (2.22) wird die Kennlinie wieder in die Form ϕD0,2 für die Düse mit einer zweiten Nadel umgerechnet: ϕD0,2 = ϕDe

ADe,2 ADe,2 = ϕD0,1 AD0 ADe,1

(2.23)

Diese Gleichung stellt die Gesetzmäßigkeit der Düsenkennlinie dar. Der Umrechnungsfaktor ist lediglich eine geometrische Größe, die nach Gl. (2.11) leicht bestimmt werden kann.

2.4 Reynoldszahl-Effekt Der Durchfluss durch einen Injektor wird aus der Durchflusszahl nach Gl. (2.7) oder mit dem Diagramm (Abb. 2.3a) bestimmt. Theoretisch gelten die Durchflusszahl und ihre grafische Darstellung nach Abb. 2.3 sowohl für die Modellturbine bei niedrigen Fallhöhen als auch für ihren Prototyp bei großen Fallhöhen. Im praktischen Betrieb von Pelton-Turbinen wurde jedoch ein Unterschied von bis zu 5% zwischen den Düsenkennlinien der Modellturbinen und den jeweiligen Prototypen festgestellt (Keck 2000). Konkret heißt das, dass bei gleichem Düsenöffnungsverhältnis die Durchflusszahl bei größeren Fallhöhen abnimmt. Dieses Phänomen wurde früher als Fallhöheneffekt bezeichnet. Die Ursache für diesen Effekt war lange Zeit unbekannt. Nach Gl. (2.10) ist der Unterschied in der Durchflusszahl sicherlich nicht einfach auf den Fallhöhenverlust im Injektor zurückzuführen, denn dieser Verlust liegt in der Größenordnung von nur etwa 1%. Der Unterschied muss im Strahlquerschnitt liegen. Das heißt, dass das Verhältnis von Strahlquerschnitt zur Düsenmundfläche von der Fallhöhe abhängen muss, wenn die Fallhöhe vorerst als einzige Variable betrachtet wird. Dies bedeutet wiederum, dass die Stromlinien zwischen dem Düsenmund und dem engsten Querschnitt (Einschnürstelle) des Wasserstrahls nicht ähnlich verlaufen. Die Ursache dieses nicht-ähnlichen Stromlinienverlaufes liegt somit in der Düse. In einer Untersuchung nach Zhang et al.

2.5 Strömungskräfte und Gleichgewichtszustand in der Düse

33

(2000b) wurde darauf hingewiesen, dass die Grenzschicht auf der Seite des Düsengehäuses dafür verantwortlich ist. Davon ausgehend wurde von Zhang (2003a) eine detaillierte Analyse zum sogenannten Fallhöheneffekt gemacht. Die Analyse zeigte, dass nicht allein die Fallhöhe bei einer gegebenen Düse die gesuchte Ursache ist, sondern auch der Dimensionsunterschied zwischen einer Modelldüse und der Prototypdüse wirksam wird. Aus diesem Grund soll der sogenannte Fallhöheneffekt als Reynoldszahleffekt interpretiert werden. Die Analyse von Zhang (2003a) konnte mittels Laser-Doppler-Messverfahrens experimentell bestätigt werden.

2.5 Strömungskräfte und Gleichgewichtszustand in der Düse Die Regelnadel in der Düse dient dazu, die Öffnung der Düse und somit den Durchfluss zu regulieren. Weil die Nadel beim Wasserdurchfluss unter der Wirkung der Strömung steht, erfolgt die Regulierung stets gegen die Strömungskraft. Diese Kraft, die von der Nadelstellung abhängig ist, hat je nach Hub eine Schließ- oder Öffnungstendenz. Aus Sicherheitsgründen muss sich die Düse in jeder Situation selbsttätig schließen können. Die Verstellung der Nadel in der Düse erfolgt meist durch einen Servomotor, der z. B. durch Öldruck betrieben wird. Zur Auslegung des Servomotors sowie aus Sicherheitsgründen muss das Kraftverhältnis rund um die Nadel zu jeder Nadelposition bekannt sein. Von der Strömung her erfährt die Nadel sowohl eine Kraft zum Düsenöffnen als auch zum Düsenschließen. Zur Erleichterung der Nadelverstellung, vor allem bei einem großen Nadelhub, baut man fast immer eine Druckfeder in den Servomotor ein. Die gesamte Strömungskraft muss stets mit der Stellkraft des Servomotors und der Federkraft in Gleichgewicht stehen. Die Strömungskraft, die auf die Nadel wirkt, ist die integrierte Druckkraft an der gesamten Nadeloberfläche. Die exakte Berechnung dieser Strömungskraft ist rechnerisch sehr aufwendig. Auf der einen Seite führt die Strömungsbeschleunigung in der Düse zum Abbau des statischen Druckes in Richtung des Düsenaustritts. Auf der anderen Seite ist aufgrund der Stromlinienkrümmung im Zwischenraum zwischen dem Düsengehäuse und der Nadel der statische Druck quer zur Strömung nicht konstant. Der Einfachheit halber kann an jedem Strömungsquerschnitt der mittlere Druck verwendet werden, der aus der Bernoulli-Gleichung bestimmt wird. Die Anwendung der Bernoulli-Gleichung setzt voraus, dass der Strömungsquerschnitt längs des Strömungskanals zur jeder Nadelstellung bekannt sein muss. Die Totalkraft auf die Nadel besteht aus mehreren Teilkräften, die einzeln betrachtet werden müssen. Dabei ist zwischen innen- und außenregelnden Servomotoren zu unterscheiden.

34

2 Injektor

2.5.1 Außenregelnder Servomotor Die Injektoren von Pelton-Turbinen sind überwiegend mit Servomotoren ausgestattet, die außerhalb der Druckleitung liegen (Abb. 2.1). Der Vorteil dieser Bauart ist die leichtere Zugänglichkeit für Reparatur- und Wartungsarbeiten am Servomotor. Es muss jedoch damit gerechnet werden, dass die Druckleitung vor jedem Injektoreinlauf gekrümmt sein muss. Wie noch in Kapitel 3 gezeigt werden wird, beeinflusst eine derartige Druckleitungskrümmung stark die Strahlqualität. Die auf die Nadeloberfläche wirkende Strömungskraft wird als Nadelkraft bezeichnet. Zu jeder Düsenöffnung befinden sich die Nadelkraft, die Kraft am Ausgleichskolben sowie die Federkraft und die Stellkraft auf der Seite des Servomotors im Gleichgewicht. Ziel der Berechung der Kräfteverhältnisse in einer Pelton-Düse ist es, die notwendige Stellkraft beim Servomotor aus dem Kräftegleichgewicht zu ermitteln.

A Nadelkraft Zur Bestimmung der Nadelkraft muss die Strömungskraft, d. h. der statische Druck über dem Nadelkopf integriert werden. Die Integration kann mit numerischen Methoden leicht durchgeführt werden, indem längs des Strömungskanals die Nadeloberfläche in etwa 50 bis 100 Querschnittszonen aufgeteilt wird. (1) Nadelkraft aus dem Innendruck der Düse Der auf die Nadeloberfläche wirkende statische Druck hängt von der lokalen Strömungsgeschwindigkeit und somit vom Strömungsquerschnitt in der Düse ab. Zur Berechnung dieses Strömungsquerschnitts wird nach Abb. 2.5 der Querschnitt senkrecht zur Mittellinie (in der Tat die mittlere Mantelfläche) des Strömungskanals be-

Abb. 2.5 Bestimmung des Strömungsquerschnittes und des Druckes in der Düse

2.5 Strömungskräfte und Gleichgewichtszustand in der Düse

35

trachtet. Als Mittellinie gilt die Linie, die den Strömungsquerschnitt in Innen- und Außenringquerschnitten mit gleichem Inhalt teilt. Der Einfachheit halber kann die jenige Linie als Mittellinie betrachtet werden, die an jeder Stelle den gleichen Abstand jeweils zu Nadeloberfläche und Düsengehäuse hat. Nach Abb. 2.5 ist es die Strecke oc = od. Mit dem Steigungswinkel ϕ der Mittellinie wird der Strömungsquerschnitt an der Stelle o berechnet aus  A = π yc2 − yd2 /cos ϕ (2.24) Der Ursprung der y-Koordinate liegt auf der Düsenachse. Der mittlere statische Druck an diesem Querschnitt ergibt sich entsprechend der Bernoulli-Gleichung als:  ˙ 2 1 QD p = ptot + p0 − ρ (2.25) 2 A Dabei ist ptot der Totalüberdruck, der der Nettofallhöhe am Eintritt des Injektors entspricht. Es ist zu erwähnen, dass der Atmosphärendruck einbezogen werden soll, denn bei der Anwendung des Impulssatzes entfällt der vorhandene Atmosphärendruck nicht automatisch. Der Durchfluss Q˙ D ist eine Funktion der Nadelstellung. Zur Berechnung der Nadelkraft muss daher zu jeder Nadelstellung der entsprechende Durchfluss aus der Düsenkennlinie (Abschnitt 2.2 und 2.3) bekannt sein. Der statische Druck nach Gl. (2.25) gilt bei der Nadel jedoch für die Stelle d und nicht für den Punkt a. Die entsprechende Lageverschiebung ist x = od · sin ϕ

(2.26)

Die Berechnung des statischen Druckes kann schrittweise längs der Nadeloberfläche durchgeführt werden. Abb. 2.6 zeigt beispielhaft den Verlauf des gerechneten statischen Druckes in der Düse für eine bestimmte Nadelstellung. Die Anströmung bewirkt auf die Nadel zuerst eine Schließtendenz. Nach dem Überströmen der Stelle des größten Nadeldurchmessers bis zum Düsenaustritt erzeugt die Druckkraft auf der Nadel dagegen eine Öffnungstendenz. Es wird hier vereinbart, dass für die vorliegende Berechnung die resultierende Kraft als positive betrachtet wird, wenn sie zu einer Schließtendenz bei der Nadel führt. Die gesamte Druckkraft, die innerhalb der Düse auf der Nadel angreift, ergibt sich aus der Summe aller elementaren Kräfte: FN,In = −

m

pi Ai sin αi

(2.27)

i=1

Dabei wird angenommen, dass die Nadeloberfläche in Längsrichtung in m elementare ringförmige Flächen Ai unterteilt ist. Der Steigungswinkel der jeweiligen elementaren Fläche ist αi . Weil der positive Steigungswinkel αi nach Abb. 2.5 eine elementare Kraft mit Öffnungstendenz zeigt und diese Kraft nach der Vereinbarung negativ sein soll, ist in Gl. (2.27) ein Minuszeichen vor der Summation verwendet worden.

36

2 Injektor

Die Berechnung nach Gl. (2.27) gilt für eine Nadelstellung. Für den ganzen Öffnungsbereich, d. h. für die Nadelstellung von Null bis Maximum, muss die Berechnung wiederholt werden, wobei der Nadelhub als Parameter zu variieren ist. Die entsprechende Berechnung kann z. B. mit Hilfe der Tabellenkalkulation leicht durchgeführt werden. Als Beispiel ist in Abb. 2.7 die Nadelkraft als Schließkraft (Kurve 1) aus Berechnungen nach Gl. (2.27) gegenüber der Nadelstellung dargestellt. Im gesamten Öffnungsbereich der Düse stellt die integrierte Nadelkraft die positive Schließkraft dar.

Abb. 2.6 Druckverlauf in der Düse bei einer bestimmten Öffnung

Abb. 2.7 Beispiel zum Kraftverhältnis in einem Injektor mit außenregelndem Servomotor 1 Innere Nadelkraft (Schließtendenz) 2 Rückstoßkraft (Öffnungstendenz) 3 Ausgleichskolbenkraft (Öffnungstendenz) 4 Federkraft (Schließtendenz, ohne Vorspannung) 5 Stellkraft des Servomotors

2.5 Strömungskräfte und Gleichgewichtszustand in der Düse

37

(2) Rückstoßkraft Eine weitere Kraft auf der Nadel ist die Kraft rund um den Außenteil der Nadel infolge der Strömungseinschnürung. Dass diese Kraft tatsächlich existiert, lässt sich mit dem Impulssatz zeigen. Dazu wird nach Abb. 2.8 ein Kontrollraum zwischen dem ringförmigen Düsenaustritt (Index 1) und der Einschnürstelle des Wasserstrahls (Index 0) festgelegt. Der ringförmige Austrittsquerschnitt wird nach Gl. (2.11) berechnet aus:   s A1 = π 1 − · sin 2αN D0 s · sin αN (2.28) 2D0 Zwischen Querschnitt 0 und 1 wird der Impulssatz angewendet. Die von der Nadel auf die Strömung wirkende Kraft, die nach Abb. 2.8 in die Strömrichtung gerichtet ist, ergibt sich nach dem Impulssatz als FR = p0 AD0 + ρ A0 C02 − p1 A1 cos αN − ρ Q˙ D C1 cos αN

(2.29)

Dabei bezeichnet A0 den Strahlquerschnitt an der Einschnürstelle. Mit der mittleren Geschwindigkeit im Querschnitt 1 C1 = Q˙ D /A1 berechnet sich der statische Druck nach Gl. (2.25) zu 1 p1 = ptot + p0 − ρC12 2

(2.30)

An der Einschnürstelle 0 wird die Strahlgeschwindigkeit aus der Bernoulli-Gleichung berechnet: C02 =

2 ptot ρ

(2.31)

Werden die Gl. (2.30) und (2.31) in Gl. (2.29) eingesetzt, so ergibt sich daraus 1 Q˙ 2 FR = (2 A0 − A1 cos αN ) ptot + (AD0 − A1 cos αN ) p0 − ρ D cos αN 2 A1

Abb. 2.8 Bestimmung der Rückstoßkraft FR

(2.32)

38

2 Injektor

Weil sowohl der Querschnitt A1 als auch der Durchfluss Q˙ D und somit der Strahlquerschnitt A0 = Q˙ D /C0 sich mit dem Nadelhub ändern, ist die Kraft FR ebenfalls vom Nadelhub abhängig. Diese Kraft ist gleich der Kraft, die von der Strömung auf die Nadel mit einer Öffnungstendenz wirkt. Sie wird daher als Rückstoßkraft bezeichnet. Im betrachteten Beispiel nach Abb. 2.7 ist diese Kraft durch die Kurve 2 dargestellt. Im geschlossenen Zustand der Düse ( Q˙ D = 0, A1 = 0, A0 = 0) ist die entsprechende Kraft: FR = p0 AD0

(2.33)

Aus Gl. (2.32) ist zu erkennen, dass die Wirkung des Atmosphärendrucks nicht automatisch entfällt. Im Rechenbeispiel nach Abb. 2.7 erkennt man die Größenordnung der Wirkung des Atmosphärendrucks, indem die Rückstoßkraft FR im geschlossenen Zustand der Düse größer als Null ist. Sie ist jedoch meistens wegen p0  ptot vernachlässigbar. (3) Gesamte Nadelkraft Die gesamte Nadelkraft setzt sich aus der integrierten Nadelkraft in der Düse (Schließtendenz) und der Rückstoßkraft am Düsenaustritt (Öffnungstendenz) zusammen: FN = FN,In − FR

(2.34)

Die Nadelkraft bei der geschlossenen Düse kann auf einfache Weise bestimmt werden. Im geschlossenen Zustand herrscht in der Düse konstanter Druck, der gleich dem Totaldruck ptot ist, von dem aus eine Schließkraft resultiert. Gemäß Abb. 2.9 und mit R0 = D0 /2 wird diese Schließkraft berechnet aus   FN,0 = ( ptot + p0) π R02 − rS2 − p0π R02 = ptotπ R02 − rS2 − p0πrS2 (2.35) Der zweite Term auf der rechten Seite der Gleichung ist gegenüber dem ersten Term zwar vernachlässigbar, deutet jedoch darauf hin, dass die Wirkung des Atmosphärendrucks in der Kraftberechnung auch hier nicht automatisch wegfällt. Das ist der Grund, warum zum Totalüberdruck (entspricht der Nettofallhöhe) in der Düse der Atmosphärendruck theoretisch stets mitberechnet werden muss. Weil der Wasserdruck bei einer Pelton-Turbine meistens mehrere hundert bis über tausend Meter

Abb. 2.9 Geschlossener Zustand der Düse

2.5 Strömungskräfte und Gleichgewichtszustand in der Düse Abb. 2.10 K D -Werte aus Berechnungen der Nadelkraft im Injektor mit außenregelndem Servomotor

39

KD 700 600 500 400 300 200 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

s/D0

Wassersäule beträgt, kann die Wirkung des Atmosphärendrucks hinsichtlich der Nadelkraft gegenüber diesem hohen Totaldruck und der daraus resultierenden Druckkraft vernachlässigt werden. Die Kraft, die aus Gl. (2.35) berechnet wurde, gilt zugleich als die Asymptote der Integrationsberechnungen, wenn die Nadel sich schrittweise auf die Schließstellung der Düse bewegt. Sie kann daher verwendet werden, um die Genauigkeit der Integration zu überprüfen. Für die Abschätzung der Nadelkraft, die im Grund genommen nach Gl. (2.34) zu berechnen ist, kann der folgende allgemeine Ansatz verwendet werden (Bohl 2005):  FN = K D D02 − dS2 g H (2.36) Dabei handelt es sich bei K D um eine geometrische Konstante. Aus Berechnungen nach Gl. (2.34), die beide Teile der Gesamtnadelkraft beinhaltet, wurden die K D Werte ermittelt, wie sie in Abb. 2.10 dargestellt sind. Mit dS in Gl. (2.36) ist der Durchmesser der Nadelstange nach Abb. 2.9 bezeichnet worden (dS = 2rS ).

B Ausgleichskolbenkraft Nach Abb. 2.1 wirkt der Wasserdruck direkt auf eine Seite des Ausgleichskolbens. Der wirksame Druck ist der statische Druck in der Strömung. Die Kraft auf den Ausgleichskolben wirkt sich somit als eine Öffnungskraft bei der Nadel aus und wird entsprechend Abb. 2.1 berechnet aus:   π 2 1 2 2 FK = DK − d S (2.37) ptot − ρc 4 2 Dabei wird 1/2ρc2 als der dynamische Druck in der Strömung bezeichnet. Er ist direkt vom Durchfluss und daher von der Nadelstellung abhängig. Weil dieser dynamische Druck gegenüber dem Totaldruck sehr klein ist, ist die Kraft FK in der obi-

40

2 Injektor

gen Gleichung fast unabhängig von der Nadelstellung. Dies ist auch aus Abb. 2.7, Kurve 3 ersichtlich.

C Federkraft Aus den vorhergehenden Betrachtungen und zusammen mit Abb. 2.7 ist ersichtlich, dass die gesamte Wirkung von Nadelkraft, Rückstoßkraft und Ausgleichskolbenkraft nicht in allen Fällen eine resultierende Kraftkomponente in Schließrichtung ergibt, vor allem im Bereich mit großer Düsenöffnung. Um die Düsen in jedem Betriebszustand gegenüber der Strömungskraft sicher schließen zu können, sind fast bei allen Servomotoren von Pelton-Turbinen Druckfedern eingebaut, die vor allem bei großer Düsenöffnung die Regulierung bzw. das Schließen der Düse sicherstellen sollen. Je nach der erforderlichen Federkraft wird die Druckfeder oft bereits im Zustand der geschlossenen Düse um s0 vorgespannt. Nach dem Hookschen Federsatz berechnet sich die Federkraft zu jeder Nadelstellung s aus FF = R · (s0 + s)

(2.38)

Dabei ist die Federrate mit R (N/mm) bezeichnet worden. Die daraus gerechnete Kraft in Abhängigkeit vom Nadelhub am bereits betrachteten Beispiel ist als Kurve 4 in Abb. 2.7 dargestellt worden.

D Stellkraft Die aus Nadelkraft, Ausgleichskolbenkraft und Federkraft zusammengesetzte Kraft muss eine Schließtendenz im ganzen Öffnungsbereich der Düse aufweisen, damit sich die Düse in jeder Situation selbst schließen kann. Die Gesamtschließkraft berechnet sich somit als F = FN,In − FR − FK + FF

(2.39)

Sie gilt zugleich als Stellkraft, die der Servomotor aufbringen muss. In Abb. 2.7 ist diese Kraft als Kurve 5 dargestellt. Sie bewirkt im ganzen Bereich des Nadelhubs eine Schließkraft. Bei großen Öffnungen der Düse ist die resultierende Schließkraft deutlich kleiner. Würde diese Kraft negativ, so müsste eine stärkere Druckfeder verwendet werden.

2.5.2 Innenregelnder Servomotor Bei der Auslegung des Injektors wird der Servomotor gelegentlich in die Druckleitung eingebaut. Der Vorteil einer derartigen Auslegung besteht darin, dass die Druckleitung am Injektoreinlauf nicht zwingend gekrümmt werden muss. Die Zu-

2.5 Strömungskräfte und Gleichgewichtszustand in der Düse

41

strömung zum Injektor bleibt somit ungestört. Der Nachteil ist jedoch die schlechte Zugänglichkeit für Wartungsarbeiten und Revisionen. Ein Injektor mit innenregelndem Servomotor ist in Abb. 2.11 skizziert. Zur Bestimmung der erforderlichen Stellkraft muss die Nadelkraft wie auch die Federkraft gegeben sein. Die Bedingung, dass sich die Düse in jeder Situation selbstständig schließen können muss, gilt auch hier. Bei der Nadelkraft handelt es sich vor allem um eine integrierte Kraft, die eine Öffnungstendenz aufweist, und eine Kraft am Rücken der Nadel, die eine Schließtendenz bewirkt. Die Bestimmung der Öffnungskraft aus der Integration der Druckkraft erfolgt nach dem gleichen Verfahren, wie es im Abschnitt 2.5.1 für die Injektoren mit außenregelnden Servomotoren beschrieben wurde. An einem zweiten Rechenbeispiel ist die daraus gerechnete Nadelkraft in Abb. 2.12 als Kurve 1 dargestellt (Öffnungstendenz). Die Rückstoßkraft kann aus

Abb. 2.11 Injektor mit innenregelndem Servomotor

Abb. 2.12 Beispiel zum Kraftverhältnis in einem Injektor mit innenregelndem Servomotor 1 Innere Nadelkraft (Öffnungstendenz) 2 Rückstoßkraft (Öffnungstendenz) 3 Nadelrückenkraft (Schliesstendenz) 4 Federkraft (Schliesstendenz, ohne Vorspannung) 5 Stellkraft des Servomotors

42

2 Injektor

Gl. (2.32) berechnet werden, wie sie in Abb. 2.12 als Kurve 2 gezeigt ist. Die Kraft am Rücken der Nadel bewirkt eine Schließtendenz. Infolge des dort vorliegenden konstanten statischen Drucks ( p) wird diese Kraft berechnet aus   1 1  2 FB = ptot + p0 − ρc2 π DN − DS2 (2.40) 2 4 Die Geschwindigkeit muss aus dem Durchfluss und dem konstanten Strömungsquerschnitt an der entsprechenden Stelle berechnet werden. Die Gesamtschließkraft berechnet sich aus F = −FN,In − FR + FB + FF

(2.41)

In Abb. 2.12 ist diese Kraft durch Kurve 5 bezeichnet. Sie gilt auch als die Stellkraft, die der Servomotor aufbringen muss.

Kapitel 3

Wasserstrahl

Der Wasserstrahl aus der Düse eines Injektors ist hoch dynamisch und unterliegt einem intensiven Austausch mit der Umgebungsluft, sodass die Wasserstrahlströmung in der Regel auch hoch turbulent ist. Die Kenntnisse über den Wasserstrahl sind fast ausschließlich aus experimentellen Messungen gewonnen worden. Die Messung der Geschwindigkeitsverteilung im Wasserstrahl geschah nahezu ausschließlich durch Anwendung von Pitot-Rohren (Berntsen 2001, Brekke 2005). Die Genauigkeit dieser Messmethode ist sehr beschränkt. So ist man damit z. B. nicht in der Lage, die Geschwindigkeit vor der engsten Stelle (Einschnürstelle) des Wasserstrahls zu messen, wo die Stromlinien gekrümmt sind. Die fotografische Methode diente vor allem dazu, die Strahlerweiterung und die Instabilität des Wasserstrahls zu untersuchen. Sowohl Messungen mit Pitot-Rohren als auch Visualisierungen durch fotografische Aufnahmen sind nicht in der Lage, die hydrodynamischen Eigenschaften des Wasserstrahls vollständig darzustellen. Ein entscheidender Fortschritt bei experimentellen Messungen von Wasserstrahlen konnte durch Lasermessmethoden, namentlich der Laser-Doppler-Anemometrie (LDA) verzeichnet werden (Zhang 2000a, 2000b, 2001, 2003b). Eine Zusammenfassung der wichtigsten Kenntnisse aus den Messungen findet man bei Zhang und Casey (2007c). Die Untersuchungen haben dazu beigetragen, dass die hydraulischen Eigenschaften des Wasserstrahls systematisch aufgeklärt werden können. Die folgenden Abschnitte befassen sich nach einer kurzen Erläuterung in die LDA-Technik mit der allgemeinen Charakterisierung des Wasserstrahls und dessen Eigenschaften, die ursprünglich aus experimentellen Untersuchungen an einer Modelldüse festgestellt wurden. Weil es sich vor allem um allgemeine Eigenschaften von Wasserstrahlen handelt, ist es nicht nötig, zwischen Modellturbinen und ihren Prototypen zu unterscheiden.

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

43

44

3 Wasserstrahl

3.1 Laser-Doppler-Anemometrie (LDA) Die LDA-Methode ist eine weit verbreitete Methode zur Strömungsuntersuchung. Sie ist sehr genau, störungsfrei und zeitlich hoch auflösend. Detaillierte Beschreibungen zum Prinzip und Anwendung der LDA-Methode findet man z. B. bei Durst et al. (1987), Albrecht et al. (2003) und Ruck (1987). Die Entwicklung der LDAMethode in den letzten drei Dekaden umfasst einerseits Hard- und Softwareentwicklungen, andererseits die Entwicklungen, die auf Anwendungsmethoden spezifiziert sind (Zhang 2002, 2004a, 2004b, 2005a). Zur Messung eines Wasserstrahls im Wasser verwendeten Richter und Leder (2006) sowie Hüttmann et al. (2007) tauchbare LDA-Systeme. Die Anwendung der LDA-Methode bei Wasserstrahlmessungen im Rahmen der Pelton-Turbinen geschieht durch das Anbringen eines durchsichtigen Keilstückes auf dem Wasserstrahl nach Abb. 3.1, wodurch die rauhe und turbulente Oberfläche des Wasserstrahls geglättet wird. Das störungsfreie Eindringen der Laserstrahlen in den Wasserstrahl wird dadurch gewährleistet. Die Störung der Strömung durch das Keilstück beschränkt sich auf die turbulente Grenzschicht im Bereich des Keilstückes, deren Dicke weniger als 0.1 mm beträgt. Wie aus Untersuchungen hervorgeht, ermöglicht die LDA-Methode höchstgenaue Messungen im Wasserstrahl, auch in Bereichen mit Stromlinienkrümmungen. Ferner zeichnet sich die LDA-Methode als die einzige effektive Methode aus, um Sekundärströmungen im Wasserstrahl exakt messen zu können. Dazu ist die Dual-Mess-Methode (DMM) speziell entwickelt (Zhang 2001, 2002) und allgemein erweitert (Zhang 2005a) worden. Basierend auf LDA-Messungen an Wasserstrahlen aus einer Modelldüse werden im Folgenden die wichtigsten Eigenschaften eines Wasserstrahls erläutert.

Abb. 3.1 Wasserstrahl und Anordnung der LDAMessungen (Zhang 2000b)

3.2 Axial-symmetrischer Wasserstrahl

45

3.2 Axial-symmetrischer Wasserstrahl Obwohl die strömungstechnischen Eigenschaften des Wasserstrahls in einer PeltonTurbine stark von der Zuströmung am Injektoreintritt abhängen, wird hier zuerst die einfachste Zuströmung betrachtet, und zwar jene, die sich in einem geraden Kreisrohr ausbildet. Die Zuströmung ist daher axial-symmetrisch. In Abb. 3.2 sind Geschwindigkeitsverteilungen an verschiedenen Querschnitten längs des Wasserstrahls dargestellt√ worden, wobei die axialen Geschwindigkeiten durch den theoretischen Wert von 2g H normiert sind. Daraus können folgende allgemeine Eigenschaften eines Wasserstrahls festgestellt werden: 1. Im Zentrum des Wasserstrahls ist ein klar getrenntes Geschwindigkeitsdefizit (Delle) zu erkennen, das auf die Grenzschichtentwicklung an der Nadeloberfläche zurückzuführen ist. Dieses Geschwindigkeitsdefizit gleicht sich zwar im Verlauf des Wasserstrahls größtenteils aus, beeinflusst jedoch die Interaktion mit Pelton-Schaufeln spürbar. Die mit dem Geschwindigkeitsdefizit verbundenen hydraulischen Verluste können aus Messungen am zweiten Messquerschnitt (2D0 ) bestimmt werden, wo die Stromlinien gerade und parallel sind. Berechnungen zufolge beträgt dieser Verlust ca. 0.3%. Da die Düsenöffnung im betrachteten Fall dem Nennbetrieb entspricht, gilt dieser Verlust in der Größenordnung allgemein für den Düsenbetrieb mit dem Nenndurchfluss. Die ungleichmäßige Geschwindigkeitsverteilung im Strahlquerschnitt bedeutet zugleich auch, dass für die Berechnungen von Massenstrom, Impuls und Energie jeweils die mittleren Geschwindigkeiten gemäß folgender Berechnungen

Abb. 3.2 Geschwindigkeitsverteilung in einem Freistrahl aus einem Injektor mit geradem Einlauf

46

3 Wasserstrahl

verwendet werden müssen: 8 C¯ M = 2 d0

d0 /2

c·r · dr 0

8 C¯ I = 2 d C¯ M 0

CE2 =

(3.1)

8 d02 C¯ M

d0 /2

c2 ·r · dr

(3.2)

0 d0 /2

c3 ·r · dr

(3.3)

0

Die entsprechenden Berechnungen am zweiten Messquereschnitt gemäß Abb. 3.2 zeigen, dass der Unterschied zwischen drei mittleren Geschwindigkeiten sehr 2 = 1.0004). Aus diesem Grund ist es prakklein ist (C¯ I /C¯ M = 1.0001, CE2 /C¯ M tisch nicht notwendig, zwischen drei mittleren Geschwindigkeiten zu unterscheiden. 2. Im ersten Messquerschnitt nimmt der Geschwindigkeitsverlauf von der Delle zum Strahlrand linear zu. Die veränderliche Geschwindigkeit deutet darauf hin, dass das Einschnüren des Wasserstrahls bis auf dieser Messstelle noch nicht abgeschlossen ist. Da die Stromlinien wegen des Strahleinschnürens gekrümmt sind, nimmt der Druck zum Inneren des Wasserstrahls zu. Folglich nimmt die Geschwindigkeit ab, da die Totalenergie konstant bleibt. Das ist auch der Grund, warum die normierte mittlere Geschwindigkeit an diesem Strahlquerschnitt sichtbar kleiner als Eins ist. Es soll hier erwähnt werden, dass eine derartige Geschwindigkeitsverteilung am Querschnitt mit der Strahleinschnürung nicht mit einem Pitot-Rohr gemessen werden kann. Die Anwendung eines Pitot-Rohrs setzt voraus, dass die Stromlinien dort gerade und parallel sind. Die aus der LDA-Methode gewonnenen genaueren Ergebnisse im Wasserstrahl zeigen zugleich, dass aus solchen Messungen die Stelle, an der der engste Strahlquerschnitt liegt, identifiziert werden kann. 3. Der in Abb. 3.2 am ersten Messquerschnitt dargestellte lineare Verlauf der Geschwindigkeitsverteilung im Außenbereich außerhalb des Strahlkerns ist nach 2) ein Beweis dafür, dass die Stromlinien dort gekrümmt sind. Es wird hier gezeigt, dass auf eine derartige Stromlinienkrümmung aus Messungen zurückgerechnet werden kann, ähnlich wie in Abschnitt 2.1 bei der Betrachtung der Stromlinienkrümmung in der Düse. Der Wasserstrahl wird in einem zylindrischen Koordinatensystem betrachtet. Da der Wasserstrahl keine Umfangsgeschwindigkeit besitzt, ist die Stromlinie gegeben durch r =

cr dr = dz cz

(3.4)

3.2 Axial-symmetrischer Wasserstrahl

47

Unter der Berücksichtigung, dass die Geschwindigkeiten cr und cz im Allgemeinen Funktionen des Ortes, d. h. r  = f (r, z) sind, ergibt sich aus Gl. (3.4)      d2r 1 ∂cr ∂cr dr ∂cz ∂cz dr + − cr + r = 2 = 2 cz ∂z ∂r dz ∂z ∂r dz dz cz 

(3.5)

Um sich auf die Stromlinien zu beschränken, wird die Beziehung dr /dz = cr /cz aus Gl. (3.4) in die obige Gleichung eingesetzt. Ferner wird eine Potentialströmung angenommen, für die dann ∂cr /∂z = ∂cz /∂r gilt. Unter diesen Bedingungen reduziert sich Gl. (3.5) mit cr /cz  1 zu r  =

1 ∂cz cz ∂r

(3.6)

Der Krümmungsradius der Stromlinien errechnet sich dann aus r  1 ∂cz 1  = 3/2 ≈ r = R cz ∂r 1 + r 2

(3.7)

Da der Geschwindigkeitsgradient ∂cz /∂r aus Messungen nach Abb. 3.2 bestimmt werden kann, lässt sich der Krümmungsradius der Stromlinien direkt berechnen. Tabelle 3.1 zeigte die aus Messungen berechneten Krümmungsradien der Stromlinien am ersten Messquerschnitt, wobei die Fallhöhe jeweils 10, 20, und 30 Meter beträgt. Tabelle 3.1 Krümmungsradius der Stromlinien am ersten Messquerschnitt in Abb. 3.2. Fallhöhe ∂cz /∂r 10 m 20 m 30 m

Nadelhub s = 16 mm Krümmungsradius R (m)

37.7 55.0 61.1

0.37 0.37 0.39

Es ist ersichtlich, dass aufgrund des fast gleichen Krümmungsradius die Stromlinien bei verschiedenen Fallhöhen unverändert bleiben. Die Strahlströmungen sind daher ähnlich. Die Krümmung der Stromlinie hat außerdem zur Folge, dass der Druck zur Strahlachse hin zunimmt. Der entsprechende Druckgradient kann aus der Impulsgleichung bestimmt werden. Die Euler-Gleichung in radialer Richtung ist in diesem Fall −

1 dp ∂cr ∂cr = cr + cz ρ dr ∂r ∂z

(3.8)

Der Wasserstrahl gilt als Potentialströmung und ist damit drehungsfrei. Die ∂cz r entsprechende Bedingung ist gegeben durch ∂c ∂z − ∂r = 0. Da aus Gl. (3.7)

48

3 Wasserstrahl ∂cz ∂r

=

cz R

gilt, erhält man somit

cz ∂cr = ∂z R

(3.9)

Der Druckgradient im Wasserstrahl an der beschriebenen Messstelle errechnet sich aus Gl. (3.8) mit cr ≈ 0 zu c2 1 dp ∂cz = −cz =− z ρ dr ∂r R

(3.10)

Dieser Druckgradient wirkt analog zum Strömungsfeld in einem Potentialwirbel (siehe auch Abschnitt 5.1.2). 4. Abgesehen von der Geschwindigkeit im Randbereich des Wasserstrahls bleibt die Geschwindigkeit im Wasserstrahl bis zu 7D0 konstant. Aus dem Massenerhaltungssatz geht hervor, dass der Strahldurchmesser nahezu unverändert bleiben sollte. Dass dies auch der Realität entspricht, zeigt der nächste Abschnitt. Durch Messungen am Wasserstrahl für die einfachste Einlaufbedingung am Injektor konnten in diesem Abschnitt die wichtigsten Eigenschaften von Strahlströmungen erläutert werden.

3.3 Strahlerweiterung Durch Messungen (Abb. 3.2) konnte festgestellt werden, dass die Strahlgeschwindigkeit und daher der Strahldurchmesser über die Messlänge fast unverändert geblieben sind. Aufgrund von Beobachtungen und fotografischen Aufnahmen spricht man jedoch häufig von einer Strahlerweiterung um ca. 0.2◦ bis 0.5◦. Eine derartige Strahlerweiterung kann in dieser Größenordnung nicht vorliegen. Wird angenommen, dass die Strahlerweiterung nach Abb. 3.3 durch α beschrieben wird, so ergibt sich aus dem konstanten Durchfluss Q˙ = AC¯ die Änderung der mittleren Geschwindigkeit längs des Wasserstrahls mit dC¯ C¯ d A =− dz A dz

Abb. 3.3 Definition der Strahlerweiterung

(3.11)

3.4 Sekundärströmungen im Wasserstrahl und Strahlqualität

49

Der Strahlquerschnitt wird aus A = π · r 2 berechnet. Daraus ergibt sich dr dA = 2π · r = 2π · r tan α dz dz

(3.12)

Die spezifische kinetische Energie des Wasserstrahls ist gegeben durch e = C¯ 2 /2. Ihre Änderung längs des Wasserstrahls berechnet sich aus dC¯ de =2 ¯ edz Cdz

(3.13)

Durch Einsetzen der Gln. (3.11) und (3.12) in Gl. (3.13) und mit d0 = 2r0 als Strahldurchmesser erhält man schließlich die Änderung der kinetischen Energie längs des Wasserstrahls in folgender Form: e z = −8 tan α · e d0

(3.14)

Für eine typische Lauflänge des Wasserstrahls von z/d0 = 4 und einen Strahlerweiterungswinkel von 0.2◦ errechnet sich somit der Energieverlust gemäß Gl. (3.14) zu 11%. Dieser Verlust ist in der Tat unrealistisch. Ein Verlust an kinetischer Energie von 1% auf einer Strecke von z/d0 = 4 setzt nach Gl. (3.14) eine Strahlerweiterung von lediglich 0.02◦ voraus. Aus dieser Abschätzung lässt sich schließen, dass die in der Praxis beobachtete Strahlerweiterung sich nur auf die Strahloberfläche beschränkt und daher im Hinblick auf den Energieverlust unbedeutend ist. Vielmehr kommt diese scheinbare Strahlerweiterung durch turbulenten Impulsaustausch mit der Umgebungsluft Zustande.

3.4 Sekundärströmungen im Wasserstrahl und Strahlqualität In der Praxis befinden sich Injektoren von Pelton-Turbinen meist nach stark gekrümmten Rohrbogen (Abb. 1.3). Bei Vertikalturbinen mit mehreren Injektoren ist dies wegen der notwendigen Verteilleitung immer der Fall. Die Zuströmung zu jedem Injektor wird von der individuellen Rohrkrümmung stark beeinflusst. Sie ist nicht mehr rotationssymmetrisch, sondern weist Sekundärstruktur mit Vordrallzellen auf. Vom Prinzip her werden alle axialen Unregelmäßigkeiten oder Störungen in der Strömung durch die Strömungsbeschleunigung in der Düse wirksam abgebaut. Dies konnte dadurch bestätigt werden, dass Störungen durch Rippen bzw. künstlich verstärkte Störungen im Injektor keine Spuren im Wasserstrahl hinterlassen haben (Zhang 2000b). Die in der Strömung vorhandenen Vordrallzellen zeigen jedoch ein anderes Verhalten. Nach dem Drallerhaltungssatz für reibungsfreie Strömungen bleibt die damit verbundene Strömungsrotation auch im Wasserstrahl erhalten. Abb. 3.4 zeigt die entsprechenden Sekundärströmungen an den Querschnitten jeweils direkt nach der Krümmung und im Wasserstrahl, die für eine 90◦ -Krümmung

50

3 Wasserstrahl

Abb. 3.4 Sekundärströmung in der Strömung vor dem Injektor nach einem 90◦ -Rohrbogen und im Freistrahl, nach Zhang und Casey (2007c)

vor dem gleichen Modellinjektor gültig sind, wie er für die Versuche in Abb. 3.2 verwendet wurde. Die hohe Auflösung sehr geringer Geschwindigkeiten in der Sekundärströmung im betrachteten Strahlquerschnitt wurde durch die von Zhang (2001, 2002, 2005a) entwickelte Dual-Mess-Methode (DMM) erzielt. In Abb. 3.4 sind zwei strukturierte Strömungsrotationen im Wasserstrahl zu erkennen, die mit der Struktur der Sekundärströmung am Injektoreintritt identisch sind. Obwohl die Sekundärbewegung des Wassers im Wasserstrahl sehr schwach ist, kann sie die Strahlqualität entscheidend beeinflussen. Die Sekundärbewegungen des Wassers im Wasserstrahl sind so orientiert, dass diese Strömungen auf der Seite des Wasserstrahls aufeinander treffen, die der Innenseite des Rohrbogens entspricht. Aufgrund der freien Oberfläche des Wasserstrahls tendiert das Wasser beim Zusammentreffen dazu, dem Wasserstrahl lokal zu entweichen. Dadurch wird an der Oberfläche des Wasserstrahls eine visuell gut erkennbare und stabile Längssträhne aus Wassertropfen gebildet. Derartige Längssträhnen gelten vor allem als Störfaktor für die mechanischen Teile der Maschinen. Trifft die Strähne auf die Schaufel, so können lokale Beschädigungen am Material hervorgerufen werden. Bei mehrdüsigen Pelton-Turbinen müssen die Düsen jeweils vor Tropfenschlag durch andere

3.4 Sekundärströmungen im Wasserstrahl und Strahlqualität

51

Abb. 3.5 Schutzdachbeschädigung durch Tropfenschlag

Düsen geschützt werden. Das in der Praxis häufig verwendete Schutzdach leidet direkt unter dem starken Tropfenschlag und trägt Schäden davon (Abb. 3.5). Zur Verbesserung der Strahlqualität in Pelton-Turbinen ist vor allem die Bildung von Strähnen an der Strahloberfläche zu unterdrücken. Da die Ursache der Strähnenbildung stromauf am Einlauf des Injektors liegt, sollte die Anwendung von Rohrbögen mit scharfen Krümmungen möglichst vermieden werden. Der Einbau eines dichten Gitters vor dem Injektoreintritt bzw. in diesem, zum Abbau des Dralls, ist nicht immer realistisch, da dadurch zusätzliche Verluste verursacht werden und die Gefahr der Düsenverstopfung erhöht wird. Aus diesem Grund ist die drallbehaftete Strömungsstruktur im Wasserstrahl schwer zu eliminieren.

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Kapitel 4

Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad

4.1 Aufprallen runden Wasserstrahls auf ebene Platte Das Aufprallen eines runden Wasserstrahls auf eine ebene Platte unter einem Winkel θ stellt ein grundlegendes Modell der Wasserstrahltechnik dar (Abb. 4.1). Um die Ausbreitung des Wasserfilms längs der Platte zu berechnen, sind der Masse-, Impuls- und Energieerhaltungssatz zu verwenden. Für die reibungsfreie Ablenkung und Verbreitung des Wasserfilms lässt sich aus dem Energiesatz schließen, dass die Fließgeschwindigkeit des Wassers auf der Platte gleich der Strahlgeschwindigkeit

Abb. 4.1 Aufprallen eines Rundstrahls auf eine ebene Platte und die Ausbreitung des Wasserfilms

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

53

54

4 Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad

ist. Die Strömungsverteilung über den Umfang sowie in der radialen Ausbreitung ist nach dem Impulssatz zu berechnen, wobei die Integration des Massenstromes längs eines beliebigen Kreises den Massenstrom des Rundstrahls wiedergeben muss. Die erste exakte Berechnung wurde von Hasson und Peck (1964) aufgestellt. Die Verteilung der Filmhöhe auf einem zentrischen Kreis ist gegeben durch 2r · h sin3 θ = R2 (1 − cosθ cos ϕ)2

(4.1)

Der Mittelpunkt des Kreises ist zugleich der Staupunkt des Wasserstrahls auf der Platte und liegt exzentrisch zur Strahlachse mit einer Distanz s, die folgendermaßen zu berechnen ist: s = cos θ R

(4.2)

Die Kraft, die der Wasserstrahl mit einer Geschwindigkeit C auf die Platte ausübt, kann durch den Impulssatz bestimmt werden. Da die Strömung als reibungsfrei angenommen wird und daher keine Kraftkomponente in der Ebene der Platte existiert, steht die resultierende Kraft senkrecht zur ebenen Platte. Unter Anwendung des Impulssatzes in der Richtung senkrecht zur ebenen Platte errechnet sich die Strahlkraft zu FSt = π R 2 · ρC 2 sin θ

(4.3)

Diese Kraft wird auch als Stoßkraft bezeichnet. In der Nähe des Staupunktes herrscht unter dem Wasserfilm ein Überdruck, dessen Integration über der Platte gleich der Strahlkraft nach Gl. (4.3) sein muss. Zur Bestimmung der Druckverteilung in unmittelbarer Nähe des Staupunkts sei auf die Untersuchung von Taylor (1960) hingewiesen.

4.2 Mindestschaufelzahl Eine grundlegende Frage bei der Auslegung von Pelton-Turbinen ist, wie viele Schaufeln mindestens verwendet werden müssen, damit kein Wasser des Wasserstrahls ungenutzt das Schaufelrad durchströmen kann. Die Vorbedingung zur Bestimmung der Mindestschaufelzahl ist, dass die Turbine im Normalbetrieb läuft. Nach Abb. 4.2 soll die äußerste Strahlschicht die möglichste sein, in der das Wasser zum Teil die Schaufeln durchschleusen wird. Somit wird die Mindestschaufelzahl mit dieser Strahlschicht bestimmt. Der letzte Wassertropfen (am Punkt b), der von der Schaufel B noch entweicht, muss die voreilende Schaufel A spätestens bei deren Stellung A erreichen. Die dazu benötigte Zeit beträgt 2t = 2 ·

Rc · sin αb C0

(4.4)

4.2 Mindestschaufelzahl

55

Abb. 4.2 Bestimmung der kleinsten Schaufelzahl aus Betrachtung der äußersten Strahlschicht

Da diese Zeit die maximal erlaubte Zeit darstellt, muss die entsprechende Drehung der Schaufel A nach Abb. 4.2 die folgende Bedingung erfüllen: 2t · ω < 2αb − αs

(4.5)

bzw. mit αs = 2π/N als Schaufelteilungswinkel: 2t · ω < 2αb −

2π N

(4.6)

Zusammen mit Gl. (4.4) und wegen ω Rc = Uc wird die minimal erforderliche Schaufelzahl bestimmt durch π Nmin = (4.7) αb − Uc /C0 · sin αb Unter der Bedingung 2Uc ≈ C0 für den Normalbetrieb wird dies vereinfacht zu Nmin =

2π ≈ 2π Rc /t 2αb − sin αb

(4.8)

Dabei wurden zur Vereinfachung 2αb ≈ 2t/Rc und sin αb = t/Rc verwendet. Eine ähnliche Berechnung findet man auch bei Raabe (1989). In der Praxis ist die verwendete Schaufelzahl viel höher als nach Gl. (4.8) minimal notwendig. Liegt z. B. bei einer Pelton-Turbine die Mindestschaufelzahl nach obiger Gleichung bei 14, ist die verwendete Schaufelzahl oft bei 20 oder 21. Die optimale Schaufelzahl bei einer Pelton-Turbine richtet sich stets nach dem maximalen Wirkungsgrad und ist von mehr Betriebsparametern als nur der oben gezeigten Bedingung abhängig. Ein aus der Praxis sehr gut bewährtes Kriterium zur Bestimmung der optimalen Schaufelzahl wird in Abschnitt 4.5 beschrieben.

56

4 Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad

4.3 Wasserstrahl-Schaufel-Interaktion und ihre Spezifikation Die Schaufeln einer Pelton-Turbine unterliegen einer periodischen Beaufschlagung durch den Wasserstrahl. Zur Auslegung der Schaufeln und Optimierung des Betriebes soll das entsprechende Strahlstück für eine einmalige Beaufschlagung einer Schaufel bestimmt werden. Zu diesem Zweck wird der Schaufeleintritt nach Abb. 4.3 durch eine gerade Kante angenähert, deren Kreisdurchmesser Dc geringfügig kleiner als der Spitzkreisdurchmesser ist (siehe auch Abb. 1.4). Die Schaufel beginnt mit dem Schneiden des Wasserstrahls an der Stelle a auf der oberen Seite des Strahls. Die entsprechende Schaufelstellung ist durch αa gekennzeichnet und wird berechnet aus cosαa =

Rm − d0/2 Dm − d 0 = Rc Dc

(4.9)

Analog zur Gl. (1.30) in Kapitel 1 kann die Schaufelstellung αa in obiger Gleichung unter den Betriebsbedingungen km = 0.47 und ϕB = 0.11 auch als Funktion der spezifischen Drehzahl ausgedrückt werden: cosαa =

1 − 0.81n q 1 + 2n q

(4.10)

Nachfolgend und zu der Zeit tb schneidet die gleiche Schaufel den Wasserstrahl an der Stelle b auf der unteren Seite des Strahls. Das heißt, dass das Wasserteilchen, das sich zur Zeit t = 0 an der Stelle b befindet, die Schaufelschneide zur Zeit t = tb erreichen wird. Die entsprechende Schaufelstellung berechnet sich zu cosαb =

Dm + d 0 Dc

Abb. 4.3 Definition des Strahlstückes abcd und Schaufelstellungen

(4.11)

4.3 Wasserstrahl-Schaufel-Interaktion und ihre Spezifikation

57

bzw. in Funktion der spezifischen Drehzahl mit cos αb =

1 + 0.81n q 1 + 2n q

(4.12)

Die Schaufelstellung αo1 , bei der die Schaufel die Strahlachse schneidet, wurde bereits in Kapitel 1 als eine spezielle Schaufelstellung angegeben, siehe Gl. (1.30). Abb. 4.4 zeigt die gerechneten speziellen Schaufelstellungen αa , αo1 und αb in Abhängigkeit der spezifischen Drehzahl. Bei Pelton-Turbinen mit hoher spezifischer Drehzahl beginnt das Eintreten des Wasserstrahls in die Schaufel deutlich früher als bei Pelton-Turbinen mit niedriger spezifischer Drehzahl. Die sich daraus ergebenen Probleme beim Wassereintritt in die Schaufel werden in den Abschnitten 4.7 und 4.8 behandelt. Das Strahlstück, das in eine Schaufel eintritt, ist in Abb. 4.3 durch das Parallelogramm abcd bezeichnet. Die Schnittlinie ab kann als eine gerade Linie angesehen werden (Anhang 4). Die Form dieses Strahlstücks ist durch die Längen s1 und s2 definiert. Mittels der Berechnungen aus Anhang 4 sind diese Längen jeweils gegeben durch   s1 d0 1 1  = −1 (4.13) Dm Dm km 2 /D − 1 (Dc m ) und 1 π s2 = · Dm km N

(4.14)

Das Längenverhältnis s1 /s2 berechnet sich nach Anhang 4 aus 0.5 s1 ≈ s2 1 + nq und beträgt im Allgemeinen zwischen 0.43 und 0.46.

Abb. 4.4 Spezielle Schaufelstellungswinkel in Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl (km = 0.47, ϕ B = 0.11)

(4.15)

58

4 Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad

Weiterhin ist es noch von Bedeutung, die Schaufelstellungswinkel αc und αd zu berechnen, bei denen jeweils die letzten Wasserteilchen der Stellen c und d des Strahlstücks abcd in die Schaufel eintreten. Aus Berechnungen in Anhang 5 sind diese Schaufelstellungswinkel jeweils gegeben durch αc = αa −

km (tan αo1 − αo1 ) + 2π/N 1 − km

(4.16)

αd = αb −

km (tan αo1 − αo1 ) + 2π/N 1 − km

(4.17)

und

Abb. 4.5 zeigt die für eine Pelton-Turbine (n q = 0.1 1/s) gerechneten 4 Schaufelstellungen. Während der Winkel αa nach Abb. 4.4 zwischen 30◦ und 45◦ variiert, sind die letzten zwei Schaufelstellungen (αc und αd ) praktisch annähernd symmetrisch zur 0-Stellung (α = 0). Dieser Sachverhalt deutet darauf hin, dass der Eintritt der mittleren Strahlschicht (auf der Strahlachse) etwa bei der senkrechten Schaufelstellung (α = 0) endet. Diese Kenntnis wird noch gebraucht, um die Schaufelzahl eines Pelton-Rades in Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl zu bestimmen (Abschnitt 4.5). Während des Eintritts des Wasserstrahls in die Schaufel durchläuft die Schaufel einen Winkelbereich von α = αd − αa . Diesem Winkelbereich muss eine besondere Beachtung beigemessen werden, wenn eine Pelton-Turbine mit zwei oder mehreren Injektoren ausgelegt werden soll. Damit es zu keiner gegenseitigen Störung zwischen zwei Wasserstrahlen kommt, muss der Versatzwinkel zwischen zwei In-

Abb. 4.5 Spezielle Schaufelstellungen, bei denen Wasserteilchen jeweils an den Stellen a, b, c und d auf dem Strahl (vgl. Abb. 4.3) in die Schaufel eintreten, n q = 0.1 1/s

4.4 Koinzidenz- und Symmetriebedingungen

59

jektoren deutlich größer als α sein. Die Verweilzeit des Wassers in der Schaufel kann ignoriert werden, da das Wasser die Schaufel größten Teils seitlich verlässt. Normalerweise beträgt der Winkelbereich α für den störungsfreien Betrieb einen Wert zwischen 40◦ bis 55◦ . Bei 6-düsigen Maschinen ist daher immer Vorsicht angebracht. Die gegenseitige Störung zweier Wasserstrahlen würde einerseits einen zusätzlichen Wirkungsgradverlust bewirken, und andererseits lokale mechanische Schäden verursachen. Die Kriterien zur Bestimmung des kleinsten Versatzwinkels zwischen zwei Injektoren werden in Kapitel 18 ausführlich behandelt. Nach Abb. 4.3 und 4.5 erhält die Schaufel den kompletten Wasserstrahl nur im Winkelbereich von αb bis αc . Der mittlere Winkel (αb + αc )/2 kann herangezogen werden, wenn die Strahl-Schaufel-Interaktion bewertet werden soll. Die ideale Strahl-Schaufel-Interaktion wird erzielt, wenn der Wasserstrahl zum größten Teil senkrecht in die Schaufel eintritt (Abb. 4.6). Dadurch wird die optimale Ausbreitung des Wasserstrahls in der Schaufel erreicht. Die Strömung verläuft dann längs der Schaufeloberfläche mit nahezu konstanter Umfangsgeschwindigkeit. Dies entspricht der Bedingung zur Erzielung eines maximalen hydraulischen Wirkungsgrades.

Abb. 4.6 Ausbreitung des Wassers in der Schaufel

4.4 Koinzidenz- und Symmetriebedingungen In der praktischen Anwendung von Pelton-Turbinen liegt die Laufzahl km im Bereich zwischen 0.45 und 0.48, wodurch maximale Wirkungsgrade erzielt werden können. Um den möglichen Hintergrund dieser Praxis darzustellen, wird eine dünne Strahlschicht betrachtet, die auf der Strahlachse liegt (Abb. 4.7). In Anhang 5 sind die Schaufelstellungswinkel αo1 und αo2 sowie ihre Differenz abgeleitet. Nach Gl. (a5.9) gilt αo1 − αo2 =

2π + km (tan αo1 − tan αo2 ) N

(4.18)

60

4 Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad

Abb. 4.7 Koinzidenzbedingung zur Interaktion zwischen dem Wasserstrahl und den rotierenden Schaufeln

Um eine stabile Interaktion zwischen einem Wasserstrahl und den rotierenden Schaufeln zu erreichen, sollten durchschnittlich zwei Schaufeln unter der Vollbeaufschlagung eines Wasserstrahls stehen (Abb. 4.7). Mit anderen Worten: beginnt eine Schaufel eine bestimmte Strahlschicht zu schneiden, muss die andere Schaufel, die um zwei Schaufelteilungen voreilt, von der Beaufschlagung der gleichen Strahlschicht entlastet werden. Zur Markierung des Eintritts wird nach Abb. 4.7 die Verbindungslinie zwischen der Spitze der Schaufelmittelschneide und der Drehachse des Pelton-Rades herangezogen (Anhang 5). Bei Betrachtung der Strahlschicht auf der Strahlachse nach Abb. 4.7 bedeutet die formulierte Bedingung zur Beaufschlagung, dass der Winkel αo1 −αo2 zweimal dem Schaufelteilungswinkel entsprechen soll. Diese Anforderung ist somit formuliert in der folgenden Gleichung mit λ = 1: αo1 − αo2 = 2λ · (2π/N )

(4.19)

Der Faktor λ wird als Platzhalter verwendet, um später reale Betriebsbedingungen berücksichtigen zu können, bei denen es sich nicht um die Beaufschlagung auf exakt zwei Schaufeln handelt. Die Bedeutung von λ lässt sich nun damit erklären, dass durchschnittlich eine Anzahl von 2λ Schaufeln gleichzeitig unter Vollbeaufschlagung eines Wasserstrahls stehen. Wird Gl. (4.19) in Gl. (4.18) eingesetzt und nach der Laufzahl km aufgelöst, ergibt sich: km =

2π 2λ − 1 N tan αo1 − tan αo2

(4.20)

4.5 Schaufelzahl des Pelton-Rades

61

Der Winkel αo2 wird durch Gl. (4.19) ersetzt. Daraus ergibt sich schließlich km =

2π 2λ − 1 N tan αo1 − tan (αo1 − 4λπ/N )

(4.21)

Diese Gleichung mit λ = 1 stellt eine Bedingung dar, bei der durchschnittlich zwei Schaufeln unter der Vollbeaufschlagung eines Wasserstrahls stehen, wie dies bereits in Abb. 4.7 veranschaulicht wurde. Wird diese Bedingung, Koinzidenzbedingung genannt, beispielsweise auf eine konkrete Pelton-Turbine mit 21 Schaufeln und αo1 = 33.5◦ (n q = 0.1) angewandt, so ist der Arbeitspunkt der Turbine bei km = 0.44 zu erwarten. In den meisten Anwendungen von Pelton-Turbinen liegt die Laufzahl km bekanntlich zwischen 0.45 und 0.48. Die oben dargestellte Herleitung erklärt somit den physikalischen Hintergrund der praktischen Betriebsbedingungen mit km < 0.5. Weil die in der Praxis auftretenden Werte der Laufzahl größer als erwartet sind, werden zumeist mehr als zwei Schaufeln von einem Wasserstrahl gleichzeitig beaufschlagt. Dies kann aus Gl. (4.21) festgestellt werden, indem sich z. B. mit λ = 1.05 eine Laufzahl von km = 0.47 ergibt, die im Bereich des realen Betriebspunkts liegt. Der Faktor λ wird somit als Multischaufelziffer bezeichnet und kann zum λ = 1.05 für eine mittlere spezifische Drehzahl von n q = 0.1 angenommen werden. Wie im nächsten Abschnitt noch gezeigt wird, ist die Multischaufelziffer eine Funktion der Laufzahl und der spezifischen Drehzahl eines Pelton-Rades. Es wurde im Zusammenhang mit Abb. 4.5 erwähnt, dass der mittlere Schaufelstellungswinkel zwischen αc und αd etwa Null sein soll. Das heißt, dass der Schaufelstellungswinkel αo2 praktisch Null ist: αo2 = 0

(4.22)

Diese Bedingung wird als Symmetriebedingung bezeichnet. Daraus kann z. B. die Schaufelzahl in Abhängigkeit der spezifischen Drehzahl eines Pelton-Rades bestimmt werden.

4.5 Schaufelzahl des Pelton-Rades Die Symmetriebedingung nach Gl. (4.22) wird auf Gl. (4.19) angewendet. Daraus ergibt sich die Schaufelzahl N=

4πλ αo1

(4.23)

Andererseits ergibt sich aus Gl. (4.20) mit αo2 = 0 km =

2π 2λ − 1 N tan αo1

(4.24)

62

4 Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad

Aus diesen letzten beiden Gleichungen lässt sich die Multischaufelziffer eliminieren. Die Schaufelzahl berechnet sich dann zu   2π (4.25) = f k m, nq αo1 − km tan αo1   Dabei wurde für die Funktion f k m , n q die Beziehung nach Gl. (1.30) verwendet. Aus Vergleich mit Gl. (4.8) für die Mindestschaufelzahl erkennt man den ähnlichen Aufbau der beiden Berechnungen. Die Schaufelzahl nach Gl. (4.25) zeigt ihre klare Abhängigkeit von der Laufzahl und der spezifischen Drehzahl eines Pelton-Rades. Die Multischaufelziffer wird bestimmt aus Gl. (4.23) und (4.25): N=

λ=

  1 1 = f k m, nq 2 1 − km(tan αo1 )/αo1

(4.26)

Mit dieser Multischaufelziffer kann die Schaufelzahl auch direkt aus Gl. (4.23) ermittelt werden. Ferner wird aus dem Ausdruck cos αo1 nach Gl. (1.30) der Ausdruck tan αo1 gebildet und anschließend in Gl. (4.24) eingesetzt. Daraus ergibt sich eine weitere Berechnungsformel für die Schaufelzahl: N=

π 2λ − 1  km n 1 + n  q

(4.27)

q

Diese Form der abgeleiteten Schaufelzahl verknüpft gleichzeitig die Laufzahl, die spezifische Drehzahl und die Multischaufelziffer. Zu einem gegebenen Pelton-Rad (N) unter bestimmter Betriebsbedingung (km , n q ) kann somit die reale Multischaufelziffer ermittelt werden. Davon ausgehend lässt sich das Betriebsverhalten der Pelton-Turbine bewerten. Abb. 4.8 und 4.9 zeigen jeweils die Multischaufelziffer und die Schaufelzahl in Abhängigkeit von der Laufzahl und der spezifischen Drehzahl. Für eine mittlere spezifische Drehzahl von n q = 0.11 und Laufzahl von km = 0.47 wird z. B. eine

Abb. 4.8 Multischaufelziffer in Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl und der Laufzahl unter Symmetriebedingungen

4.5 Schaufelzahl des Pelton-Rades

63

Abb. 4.9 Schaufelzahl in Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl und der Laufzahl unter Symmetriebedingungen. Zum Vergleich ist die empirische Berechnung nach Taygun (1946) für km = 0.47 dargestellt

Schaufelzahl von N = 22 bestimmt, was auch der Realität sehr gut entspricht. Die Multischaufelziffer ergibt sich dabei zu λ = 1.08. Bei Pelton-Rädern mit kleiner spezifischer Drehzahl und im Betrieb mit km gegen 0.5 gehend, tendiert die Multischaufelziffer zu Eins. Insbesondere für n q → 0 und km = 0.5 ergibt sich λ = 1. In diesem genannten Fall ist die vollkommene Koinzidenzbedingung erfüllt. Die Interaktion zwischen dem Wasserstrahl und den rotierenden Schaufeln ist dann vergleichbar mit der Interaktion zwischen dem Wasserstrahl und einer geradlinig bewegten Schaufel. Die obigen Berechnungen sind mit der Symmetriebedingung αo2 = 0 ausgeführt worden. Die daraus bestimmte Schaufelzahl für das Pelton-Rad mit großer spezifischer Drehzahl kann unter Umständen bei der mechanische Fertigung zu Problemen führen, da der Freiraum zwischen zwei benachbarten Schaufeln relativ eng wird. In solchen Fällen wird meist eine geringere Schaufelzahl als berechnet gewählt. Wird beispielsweise aus n q = 0.13 und km = 0.47 eine Schaufelzahl mit N = 21 berechnet, wählt man in der Praxis eine Schaufelzahl von N = 19. Nach Gl. (4.21) bedeutet dies eine geringe Änderung der Multischaufelziffer von λ = 1.11 auf λ = 1.10. Der Schaufelstellungswinkel αo2 wird nach Gl. (4.19) jedoch von αo2 = 0 auf αo2 = −4 verändert. Da diese Winkeländerung nicht besonders groß ist, ist die Schaufelzahl N = 19 anstatt N = 21 ohne weiteres zulässig. Zweifelsfrei lassen sich die in der Praxis auftretenden relativ niedrigen Schaufelzahlen mit der Maximierung des Wirkungsgrades begründen. Dabei können andere Einflussfaktoren, insbesondere der Reibungseffekt nach Kapitel 9, 10 und 11, eine große Rolle spielen. Aus einer früheren experimentellen Untersuchung wurde eine empirische Gleichung zur Bestimmung der Schaufelzahl von Taygun (1946) vorgeschlagen: 1 N = 15 + · Dm /d0 2

(4.28)

Unter der Anwendung der Beziehung nach Gl. (1.26) kann diese empirische Gleichung auch als Funktion der Laufzahl und der spezifischen Drehzahl dargestellt

64

4 Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad

werden: N = 15 + 1.3km/n q

(4.29)

Es kann nachwiesen werden, dass die gerundete Schaufelzahl nur sehr gering von der Laufzahl abhängt. Somit ist für eine mittlere Laufzahl von km = 0.47 N = 15 + 0.62/n q

(4.30)

Sie ist somit eine Funktion rein geometrischer Größen. Zum Vergleich ist die daraus berechnete Schaufelzahl in Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl bereits in Abb. 4.9 dargestellt worden. Es zeigt sich qualitativ eine sehr gute Übereinstimmung zwischen empirischen und theoretischen Werten. Die aus Koinzidenzbedingung bzw. Symmetriebedingung hergeleiteten Beziehungen zeigen die physikalischen Hintergründe für die Bestimmung der Schaufelzahl eines Pelton-Rades. Damit ist nun auch geklärt, warum die Laufzahl bei einer Pelton-Turbine stets im Bereich zwischen 0.45 und 0.48 liegt, also kleiner als 0.5 sein muss.

4.6 Relativlaufbahn des Wasserstrahls Die reale Interaktion zwischen dem Wasserstrahl und einer Pelton-Schaufel kann veranschaulicht werden, wenn sie in der bewegten Schaufel betrachtet wird. Dazu wird hier zunächst die relative Laufbahn eines Wasserteilchens, das in die Schaufel eintritt, berechnet. Das Wasserteilchen befindet sich nach Abb. 4.10 auf der Laufbahn, die um h von der Drehachse entfernt ist. Mit dem in der Abbildung eingezeichneten Koordinaten-System sind die Komponenten der Relativgeschwindig 0 des Wasserteilchens vor dem Eintritt in die Schaufel gegeben durch keit W

Abb. 4.10 Relative Laufbahn eines Wasserteilchens, das beim Schaufelstellungswinkel αe in die Schaufel eintritt

4.6 Relativlaufbahn des Wasserstrahls

65

W0x = C0x − Ux = C0 − ω · h

(4.31)

W0y = 0 − U y = −ω · R · sin α

(4.32)

Es wird angenommen, dass das betrachtete Wasserteilchen bei der Schaufelstellung αe an der Stelle Re = h/cos αe in die Schaufel eintritt (x = x e , y = h). Der Eintrittszeitpunkt wird mit Null fixiert. Die Laufbahn der Partikel vor dem Eintritt in die Schaufel ist demnach mit negativer Zeit zu berechnen. Da das Wasserteilchen vor dem Eintritt in die Schaufel sich auf der Bahn h = const d. h. R · cos α = const befindet, ist nach Gl. (4.31) W0x = const . Die Laufbahn des Wasserteilchens im relativen System ist dann beschrieben durch t x = xe +

W0x dt = x e + (C0 − ω · h) · t

(4.33)

0

t

t W0y dt = h − ω

y =h+ 0

R · sin αdt

(4.34)

0

Wegen R · sin α = −x e − C0 · t berechnet sich Gl. (4.34) zu t y = h +ω



1 (x e + C0 · t)dt = h + ω x e t + C0 t 2 2

 (4.35)

0

Durch Eliminieren der Zeit aus Gln. (4.33) und (4.35) kann die Laufbahn des betrachteten Wasserteilchens berechnet werden:   x − xe x − xe 1 xe + · (4.36) y = h +ω C0 − ω · h 2 1 − ω · h/C0 Die berechnete Laufbahn gilt jedoch nur für Wasserteilchen, die zur Zeit t = 0 an der Stelle x = x e und y = h in die Schaufel eintreten. Die Tangente der Laufbahn am Schaufeleintritt stimmt dort mit der Relativgeschwindigkeit (W0 ) überein, wie dies in Abb. 4.10 gezeigt ist. Der Eintrittswinkel γ des betrachteten Wasserteilchens in die Schaufel berechnet sich aus der Beziehung   W0y ω · xe tan γ = − (4.37) = W0x e C0 − ω · h Zur Auslegung des Pelton-Rades strebt man oft danach, die Schaufelmittelschneide mit zugehörigem Grundkreis rs so auszulegen bzw. soweit zu kippen, dass diese zur mittleren relativen Laufbahn des gesamten Wassers möglichst senkrecht steht. Die Strömungsausbreitung in der Schaufel sieht demnach so aus, wie sie bereits in Abb. 4.6 veranschaulicht wurde. Wird die Relativbewegung des Wasserteilchens für die Zeit t > 0 als unbeeinflusst von der Schaufel weiter betrachtet, so würde die Laufbahn des Wasserteil-

66

4 Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad

chens ihren Höhepunkt erreichen, bei der sich die Geschwindigkeitskomponente W y = 0 ergibt (Abb. 4.10). Das Wasserteilchen befindet sich jedoch auf der y-Achse, da sich nach Gl. (4.32) α = 0 ergibt.

4.7 Strömungsablösung beim Eintritt am Schaufelausschnitt Es wurde bereits in Abschnitt 4.3 gezeigt bzw. in Abb. 4.4 veranschaulicht, dass bei Pelton-Turbinen mit großer spezifischer Drehzahl die Schaufel mit dem Schneiden des Wasserstrahls sehr früh beginnt. Daraus ergibt sich, dass aufgrund des Geschwindigkeitsplans nach Abb. 4.11 die Relativgeschwindigkeit sehr „steil“ zur Schaufel gerichtet ist und die Strömung am Schaufeleintritt sich ablösen kann. Das an der Schaufeleintrittskante vorbeilaufende Wasser folgt dann der relativen Laufbahn, die bereits in Abschnitt 4.6 berechnet wurde, und trifft kurz darauf wieder auf die Innenfläche der Schaufel. Der Ort des Auftreffens des Wassers auf der Innenseite der Schaufel kann aus Abb. 4.11 bestimmt werden, indem innerhalb der gleichen Zeit die Schaufel um α = ωt verdreht und der Wasserstrahl um eine Strecke von x = C0 · t bewegt wird. Als Konsequenz dieser Tatsache werden Schäden an entsprechenden Stellen auf der Schaufelinnenseite durch das Aufprallen des Wassers entstehen. Diese Schäden sind bereits im praktischen Betrieb von Pelton-Turbinen mit großen spezifischen Drehzahlen beobachtet worden. Abb. 4.12 zeigt das systematische Ausbrechen von Verschleißbeschichtung auf der Schaufelinnenseite an der Stelle, wo das abgelöste Wasser in Form von Tropfen mit der Auswirkung ei-

Abb. 4.11 Strömungsablösung und Wiederauftrittsstelle a bei Pelton-Rädern mit grosser spezifischer Drehzahl

4.8 Stoßfreie Bedingung am Schaufelrücken

67

Abb. 4.12 Systematisches Ausbrechen von Beschichtungen an der Schaufelinnenseite einer Pelton-Turbine (n q = 0.13), verursacht durch den Hammereffekt von Wassertropfen

nes Hammereffekts wieder auftrifft. Der hohe periodische Tropfenschlag, im gezeigten Beispiel von 30 Hz, schwächt die Haftung der Verschleißbeschichtung und verursacht das Ausbrechen der Beschichtung nach kurzer Betriebszeit. Es ist daher ratsam, den Profilverlauf im Bereich des Schaufelausschnitts sorgfältig auszulegen, wenn die spezifische Drehzahl der Pelton-Turbine groß ist.

4.8 Stoßfreie Bedingung am Schaufelrücken In dem Moment, in dem der Wasserstrahl vom Ausschnitt der Schaufel eingeschnitten wird, wird der Wasserstrahl in zwei Teile geteilt. Ein Teil tritt in die Schaufel ein; der andere Teil fliegt an der Schneide des Ausschnitts vorbei. Bei ungünstiger Auslegung des Schaufelausschnitts kann es passieren, dass der zweite Teil des Wasserstrahls zum Teil auf den Schaufelrücken stößt. Hierfür sind insbesondere PeltonTurbinen mit hoher spezifischer Drehzahl anfällig, da nach Abb. 4.11 die Relativgeschwindigkeit am Schaufeleintritt sehr „steil“ ist. Das Anstoßen des Wasserstrahls auf den Schaufelrücken wird vor allem einen Wirkungsgradverlust verursachen und soll daher möglichst vermieden werden. Ein Kriterium dazu soll nachfolgend erarbeitet werden. Der Anhaltspunkt zur Auslegung des Profils am Schaufelausschnitt ist das Geschwindigkeitsverhältnis im Relativsystem. Es wurde bereits im letzten Abschnitt gezeigt, dass die steilste Relativgeschwindigkeit und daher der kritischste Strömungswinkel sich zum Beginn des Einschneidens des Wasserstrahls ergeben. Die entsprechende Schaufelstellung ist gegeben durch αa und das entsprechende Strömungsverhältnis ist in Abb. 4.13 dargestellt. Die Relativgeschwindigkeit weist in die Richtung, die durch den Winkel ϕa gegeben ist. Der Flächenverlauf am Schaufelrücken ist durch S bezeichnet, der einen festen Neigungswinkel von ψ gegenüber dem Positionsradius besitzt. Damit der Wasserstrahl am Schaufelrücken berührungsfrei abfließen kann, gilt die Bedingung ψ < ϕa . Der Strömungswinkel ϕa wird aus dem Geschwindigkeitsverhältnis am Schaufeleintritt ermittelt. Nach dem in Abb. 4.13 eingezeichneten Geschwindigkeitsplan

68

4 Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad

Abb. 4.13 Bedingung zur stoßfreien Strömung am Schaufelrücken in der Ausschnittszone: ψ < ϕa mit ϕa = π/2 − βa

berechnet sich der Strömungswinkel ϕa nach dem Sinussatz zu cosϕa =

C0 · sin αa W0

(4.38)

Dabei wurde die Beziehung sin (π − βa ) = sin βa = cos ϕa verwendet. Die Relativgeschwindigkeit berechnet sich nach dem Kosinussatz aus W02 = Uc2 + C02 − 2Uc C0 cos αa

(4.39)

bzw. W02 C02

=

Uc2 Uc cos αa +1−2 2 C0 C0

(4.40)

Wird Gl. (4.40) in Gl. (4.38) eingesetzt, ergibt sich cos2 ϕa =

sin2 αa (Uc /C0 )2 + 1 − 2 (Uc /C0 ) · cosαa

(4.41)

Diese Gleichung kann auch in Funktion der spezifischen Drehzahl dargestellt werden. Dafür werden Gl. (4.10) für αa sowie Gl. (1.33) mit km = 0.47 verwendet. Es ergibt sich aus Gl. (4.41)  2  2 1 − 1 − 0.81n q / 1 + 2n q cos ϕa = 2  0.22 1 + 2n q + 0.76n q + 0.06 2

(4.42)

4.9 Stoßkraft und ihre Leistung beim Eintritt

69

Abb. 4.14 Strömungswinkel am Schaufelrücken in Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl

Entsprechend dieser Gleichung ist die Abhängigkeit des Strömungswinkels von der spezifischen Drehzahl in Abb. 4.14 dargestellt. Es ist klar ersichtlich, dass der Strömungswinkel ϕa bei Pelton-Turbinen mit großer spezifischer Drehzahl sehr niedrig ist. Dies erschwert die stoßfreie Auslegung des Rückenprofils der Schaufel (ψ < ϕa ) in der Ausschnittszone. Da der Wasserstrahl auf den Rücken der Schaufel aufkommen wird und er dadurch eine Gegenkraft zur Schaufeldrehung verursacht, muss man mit einem Wirkungsgradverlust rechnen. Ferner wird auch an dieser Stelle vermehrt Abrasion auftreten. Es lässt sich anhand bestätigter Berechnungen zeigen, dass der betrachtete Strömungswinkel ϕa nur sehr schwach von der Laufzahl km abhängt. Für die praktische Anwendung kann der Strömungswinkel ϕa in Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl folgendermaßen angegeben werden: ϕa = 1500n 2q − 610n q + 63

(4.43)

Diese Gleichung stellt in der Tat eine gute Näherung zu Gl. (4.42) dar. Damit liegt nun eine Referenz zur Auslegung von Pelton-Schaufeln mit ψ < ϕa vor.

4.9 Stoßkraft und ihre Leistung beim Eintritt Der Eintritt des Wasserstrahls in die Schaufel geschieht sowohl an der Nebenschneide am Schaufelausschnitt als auch längs der Hauptschneide d. h. der Schaufelmittelschneide. An der Nebenscheide kann die Strömungsablösung bei einem Laufrad mit großer spezifischer Drehzahl auftreten, wie dies bereits in Abschnitt 4.7 erläutert wurde. Abgesehen davon sind sämtliche Eintrittsvorgänge, sowohl an der Nebenschneide als auch längs der Hauptschneide, mit einer Ablenkung der Strömung gekoppelt und somit stoßbehaftet. Im Vergleich zur stoßbehafteten Gitterströmung,

70

4 Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad

wo die Stoßverluste unvermeidlich auftreten und aus der Anwendung von Energieund Impulssatz exakt erfasst werden können, kann der stoßbehaftete Eintritt bei Pelton-Schaufeln als verlustfrei betrachtet werden. Ein derartiger Strömungsmechanismus basiert darauf, dass bei der Ablenkung der Strömung an einer Wand die veränderliche kinetische Energie in Druckenergie umgewandelt wird, die kurz darauf wieder als kinetische Energie frei gegeben wird. Die Umwandlung dieser Energien geschieht ohne räumliche Einschränkung. Eine derartige Strömung mit Ablenkung wurde bereits in Abschnitt 4.1 (Abb. 4.1) gezeigt. Dieser Prozess unterscheidet sich grundsätzlich von der stoß- und daher verlustbehafteten Gitterströmung und kann somit als verlustfrei erfasst werden.

4.9.1 Ablenkung der Strömung an der Schaufelmittelschneide Zur Erfassung dieses verlustfreien Prozesses wird die Eintrittsströmung längs der Schaufelmittelschneide betrachtet. Die Mittelschneide weist meistens einen Winkel ε von 10◦ bis 20◦ auf (Abb. 4.15) und steht im Allgemeinen schief sowohl zur Strahlgeschwindigkeit als auch zur Relativgeschwindigkeit. Der Einfachheit halber wird hier nur der Fall betrachtet, bei dem die Schaufelmittelschneide senkrecht zur Strahlachse steht. Aus der Ablenkung der Relativströmung um den Winkel ε resultiert eine Kraft, die auf die bewegte Schaufel wirkt und daher eine Leistung erbringt. Die Bestimmung der Stoßkraft erfolgt aus dem Impulssatz. Dazu wird anhand Abb. 4.15 ein x-y-z-Koordinatensystem festgelegt. Die x-y-Ebene liegt in der von Strahlachse und Schaufelmittelschneide aufgespannten Fläche, wobei die xund y-Achsen jeweils parallel zur Strahlachse und Schaufelmittelschneide stehen. Allgemein wird davon ausgegangen, dass die Relativgeschwindigkeit unter dem Neigungswinkel γ auf die Schaufelmittelschneide gerichtet ist. Zur Anwendung des Impulssatzes wird im Relativsystem die obere Hälfte der Schaufel betrachtet, in der der Relativdurchfluss und die Stoßkraft jeweils mit Q˙ w /2 und FSt /2 gegeben sind. Der Impulsstrom des Wasserstrahls vor der Ablenkung ist gegeben durch den Vektor mit drei Komponenten:   1 1 ˙ ρ Q w W0 cosγ , ρ Q˙ w W0 sin γ , 0 (4.44) I 0 = 2 2 Dabei gilt, dass die Relativgeschwindigkeit in der x-y-Ebene liegt. Nach derAblenkung des  Wasserstrahls wird der Impulsstrom durch den Impulsvektor I 1 = I1x , I1y , I1z angegeben. Die Stoßkraft liegt in der x-z-Ebene. Diese Annahme beruht darauf, dass die Schaufel im Bereich des Strahleintritts längs der y-Richtung keine Änderung aufweist und somit die entsprechende Kraftkomponente verschwindet. Die vektorielle Stoßkraft ist gegeben durch   1

1 1 ε ε (4.45) FSt = − FSt sin , 0, FSt cos 2 2 2 2 2

4.9 Stoßkraft und ihre Leistung beim Eintritt

71

Abb. 4.15 Strömungsablenkung an der Schaufelmittelschneide

Aus dem Impulssatz in der Form 12 F St = I 1 − I 0 können folgende Beziehungen erhalten werden: 1 ˙ ε I1x = ρ Q w W0 cos γ − FSt sin (4.46) 2 2 1 I1y = ρ Q˙ w W0 sin γ 2

(4.47)

1 FSt cos (ε/2) 2

(4.48)

I1z =

Um diese Beziehungen nach der Stoßkraft aufzulösen, wird der Energiesatz verwendet. Für die verlustfreie Ablenkung der Strömung bleibt die kinetische Energie des Wassers nach der Ablenkung erhalten. Dies kann ausgedrückt werden durch 2 2 2 2 2 2 I1x + I1y + I1z = I0x + I0y + I0z

(4.49)

72

4 Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad

Daraus ergibt sich die Stoßkraft FSt /2 = ρ Q˙ w W0 cos γ · sin (ε/2)

(4.50)

Sie ist auf die Strömung gerichtet. Die Kraft, die auf die Schaufel gerichtet ist, ist gegeben durch − F St /2. Die Umfangsgeschwindigkeit der Schaufel kann angegeben werden mit U = (U cos α, −U sin α, 0). Unter der Betrachtung von Strömungen in beiden Schaufelhälften errechnet sich die Leistung, die von der Stoßkraft auf beiden Schaufelhälften erbracht wird, zu PSt = −U · F St = 2ρ Q˙ w W0 U cosα cos γ · sin2 (ε/2)

(4.51)

bzw. infolge sin2 (ε/2) = (1 − cosε)/2 zu PSt = ρ Q˙ w W0 U cos α cos γ · (1 − cosε)

(4.52)

Die spezifische Arbeit, die durch die Stoßkraft geleistet ist, lässt sich berechnen aus eSt =

PSt = W0 U cos α cos γ · (1 − cosε) ρ Q˙ w

(4.53)

In Bezug auf die spezifische kinetische Energie C02 /2 des Wasserstrahls beträgt diese Arbeit einen prozentualen Anteil von ηSt =

eSt 1 2 2 C0

=2

W0 U cos α cos γ · (1 − cosε) C0 C0

(4.54)

Dies wird als Teilwirkungsgrad der Stoßkraft bezeichnet. Ein spezieller Fall ist gegeben, wenn der Schaufelstellungswinkel α = 0 ist und somit γ = 0 und W0 = C0 − Um gelten. Dies entspricht dem senkrechten Ausrichten der Relativströmung auf die Schaufelmittelschneide und ist somit äquivalent zur geradlinigen Schaufelbewegung. Mit km = Um /C0 ergibt sich aus Gl. (4.54) ηSt = 2km (1 − km) (1 − cosε)

(4.55)

Sie ist formell gleich der Gl. (1.16) bzw. Gl. (1.40). Somit wird ηSt als Teilwirkungsgrad bezeichnet. Zahlenmäßig, für beispielsweise km = 0.5 und ε = 15◦ , beträgt dieser Teilwirkungsgrad ηSt = 1.7%. Wird angenommen, dass 10% von der entsprechenden Leistung verloren geht, beträgt der Stoßverlust lediglich 0.17%. Die separate Betrachtung der Stoßkraft und deren Auswirkung dient dazu, den gesamten Leistungsaustausch zwischen dem Wasserstrahl und den rotierenden Schaufeln in zwei Prozessen zu unterteilen: stoßbehafteter Eintritt und kontinuierliche Strömung innerhalb der Schaufel bis zum Austritt. Der hydraulische Wirkungsgrad des kontinuierlichen Prozesses berechnet sich dann aus ηh,k = 2km (1 − km) · (cos ε − cos β2 )

(4.56)

4.9 Stoßkraft und ihre Leistung beim Eintritt

73

Zusammen mit dem Teilwirkungsgrad ηSt ergibt sich der gesamte Wirkungsgrad, der mit Gl. (1.40) übereinstimmt. Die Unterteilung des gesamten Prozesses in zwei Teilprozesse findet ihre Anwendung dort, wo Strömungseffekte wie Leistung, Wirkungsgrad usw. aus einer Integration der Strömung in der Schaufel ermittelt werden sollen. Dabei muss die untere Integrationsgrenze am Schaufeleintritt durch Angabe des realen Winkels ε, der ungleich Null ist, festgelegt werden. Ein vergleichbares Rechenbeispiel, bezogen auf den nächsten Abschnitt, wird in Kapitel 11 gezeigt, wo die Wirkung der Strömungsreibung auf die Relativströmung in der Schaufel durch Integration berechnet wird.

4.9.2 Ablenkung der Strömung an der Ausschnittsschneide Zur Berechnung der Stoßkraft an der Nebenschneide am Schaufelausschnitt wird die Schneide mit einer geraden Kante in z-Richtung nach Abb. 4.16 angenommen. Die x-Koordinate steht parallel zur Strahlachse. Da der Fall mit γ > γc die Strömungsablösung bei Eintritt in die Schaufel zeichnet und dies entsprechend Abschnitt 4.7 nicht vorkommen soll, wird hier nur der Fall mit γ < γc betrachtet. Abgesehen von der Strömungssingularität an der Eintrittskante steht die Umlenkungskraft oder Stoßkraft senkrecht zur Schaufeloberfläche. Dies hat zur Folge, dass ein Teil des Wassers in Abhängigkeit vom Winkelunterschied γ = γc − γ rückwärts läuft. Für die Berechnung der Strömung in der Schaufel müsste man dann nur das vorwärts strömende Wasser berücksichtigen. Da der Winkelunterschied γ

Abb. 4.16 Stoßkraft an der Nebenschneide am Schaufelausschnitt

74

4 Interaktion zwischen Wasserstrahl und Pelton-Rad

in der Tat einen sehr kleinen Wert darstellt, kann die rückwärts strömende Wassermenge vernachlässigt werden. Dies führt jedoch nach dem Impulssatz dazu, dass die Richtung der Stoßkraft leicht von der Normale der Schaufeloberfläche abweicht. Anstatt senkrecht zur Schaufeloberfläche stimmt sie dann mit der Winkelhalbierenden des Umlenkwinkels überein. Diese Betrachtungsweise ist bereits in Abb. 4.15 verwendet worden, wo die Stoßkraft um ε/2 von der Normale der Schaufeloberfläche abweicht. Im rotierenden System kann der Impulsstrom des Wasserstrahls vor der Umlenkung (Index 0) durch seine Komponenten dargestellt werden: I0x = ρ Q˙ w W0 cos γ

(4.57)

I0y = ρ Q˙ w W0 sin γ

(4.58)

Dabei kann der Relativdurchfluss aus Berechnungen im Abschnitt 6.1 bestimmt werden. Nach der Umlenkung des Wasserstrahls ist der Impulsstrom des Strahls gegeben durch (mit W1 = W0 ) I1x = ρ Q˙ w W0 cos γc

(4.59)

I1y = ρ Q˙ w W0 sin γc

(4.60)

Nach dem Impulssatz errechnet sich die Stoßkraft, die auf die Strömung wirkt, aus FSt,x = I1x − I0x

(4.61)

FSt,y = I1y − I0y

(4.62)

Die Umlenkung des Wasserstrahls am Eintritt des Schaufelausschnitts geschieht beim Schaufelstellungswinkel αb , der bereits in Abb. 4.2 bzw. Abb. 4.3 klar definiert wurde. Die Umfangsgeschwindigkeit der Nebenschneide des Ausschnitts ist somit gegeben durch Ux = Uc cos αb

(4.63)

U y = −Uc sin αb

(4.64)

Die Leistung, die von der Stoßkraft erbracht wird, errechnet sich aus dem entsprechenden Vektorprodukt   PSt = − F St · U c = − FSt,x Ux + FSt,y U y (4.65) Durch Anwendung von Gln. (4.57) bis (4.64) und wegen αb + γ = β0 wird die Leistung dargestellt in der Form von:   PSt = ρ Q˙ w W0 Uc cos β0 − cos(αb + γc ) (4.66)

4.9 Stoßkraft und ihre Leistung beim Eintritt

75

Die spezifische Stoßarbeit errechnet sich dann aus eSt =

  PSt = W0 Uc cos β0 − cos(αb + γc ) ρ Q˙ w

(4.67)

Gemäß Abb. 4.16 repräsentiert der Winkel αb + γc den geometrischen Einlaufwinkel am Schaufelausschnitt und wird daher durch β1 bezeichnet. In Bezug auf die spezifische kinetische Energie C02 /2 des Wasserstrahls ergibt die Stoßarbeit einen Teilwirkungsgrad von ηSt =

W0 Uc eSt = 2 2 (cos β0 − cosβ1 ) 2 C0 /2 C0

(4.68)

Mit km = Um /C0 ergibt sich somit 2 ηSt = 2km

W0 Rc (cos β0 − cosβ1 ) Um R m

(4.69)

Für β1 = β0 ist die Stoßarbeit gleich Null. Wie bereits im Abschnitt 4.9.1 angedeutet wurde, ist die separate Betrachtung der Stoßarbeit beim Eintritt deswegen notwendig, da diese Arbeit nicht durch Integrationsberechnung innerhalb der Schaufel vom Ein- bis zum Austritt erfasst werden kann. Ein Rechenbeispiel wird in Kapitel 11 gezeigt.

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Kapitel 5

Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

5.1 Grundgleichungen Die Wasserströmung in den rotierenden Schaufeln ist ein komplexer hydromechanischer Vorgang, der durch die Präsenz einer freien Oberfläche und den Einfluss von Zentrifugal- und Coriolis-Kräften sowie Reibungs-, Trägheits- und Druckkräften in der Wasserströmung charakterisiert wird. Diese Kräfte beeinflussen die Ausbreitung des Wassers in Pelton-Schaufeln und somit letztlich auch den hydraulischen Wirkungsgrad des Turbinensystems. Der Einfachheit halber wird zuerst die reibungsfreie Strömung betrachtet. Die reibungsbehaftete Strömung und der Einfluss der Reibung auf den hydraulischen Wirkungsgrad werden in den Kapiteln 9, 10 und 11 behandelt.

5.1.1 Bewegungsgleichung Die mit der Rotation des Pelton-Rades verbundene Zentrifugal- und Coriolis-Kraft, die sich auf die Bewegung des Wassers in Pelton-Schaufeln auswirken, sind für die Einheitsmasse des Wassers jeweils gegeben durch  F ct = −ω

× ω

× R

(5.1) und

. F Co = −2ω

×W

(5.2)

In den weiteren Berechnungen wird unter der Einheitsmasse diejenige Masse bezeichnet, deren Höhe gleich der Höhe des Wasserfilms in der Pelton-Schaufel ist (Abb. 5.1). Dies hat zur Folge, dass die Einheitsmasse unter konstantem Atmosphärendruck steht und daher als eine freie Festpartikel angesehen werden kann. Die

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

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78

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

Abb. 5.1 Strömungskräfte und Koordinatensystem auf die Bewegung eines Wasserteilchens in einer rotierenden Schaufel

Berechnung der Partikelbewegung kann dann nach den Gesetzen der Festkörpermechanik durchgeführt werden. Die Bewegung der betrachteten Einheitsmasse mit der Strömung in der rotierenden Schaufel ist dreidimensional und unterliegt der Zusammenwirkung von Zentrifugal- und Coriolis-Kraft sowie der Kraft, die von der Schaufeloberfläche auf die Strömung wirkt (Stützkraft). Nach dem Impulssatz ist die zeitliche Änderung des Impulses gleich der Summe der äußeren Kräfte. Für die Einheitsmasse wird dies ausgedrückt zu:

dW dWt W2 = t + n = F ct + F Co + F n dt dt rb

(5.3)

Die Stützkraft F n , die von der Schaufeloberfläche auf die Strömung wirkt, steht normal zur Schaufeloberfläche. Nach Gl. (5.3) besteht die Änderung der Relativgeschwindigkeit, bzw. Strömungsbeschleunigung, aus der Beschleunigung der Strömung längs der Schaufeloberfläche in Strömungsrichtung (tangential) und der Beschleunigung normal zur Schaufeloberfläche. Letztere entsteht infolge der Schaufelkrümmung und der daraus resultierenden Änderung der Strömungsrichtung. Diese zweite Beschleunigung ist zum Krümmungszentrum gerichtet. Demzufolge ist, wie in Abb. 5.1 dargestellt, die Normale der Schaufeloberfläche durch den nach dem Krümmungszentrum gerichteten Einheitsvektor n repräsentiert. Der Krümmungsradius wird mit rb bezeichnet. Die Bewegungsgleichung (5.3) stellt die Grundgleichung der Strömungsdynamik in einer rotierenden Schaufel dar. Davon ausgehend kann sowohl die relative Bewegung des Wasserfilms in der rotierenden Schaufel als auch die Leistung der jeweiligen Kräfte berechnet werden.

5.1 Grundgleichungen

79

5.1.2 Wasserfilmrotation In Gl. (5.3) wurde die Normalkomponente der Beschleunigung eines Wasserteilchens infolge der Flächenkrümmung durch W 2 /rb ausgedrückt. Die Relativbewegung des Wasserfilms in einer Pelton-Schaufel ist kongruent zur Schaufelform und erfährt folglich eine ständige Änderung der Strömungsrichtung. Nach dem Impulssatz resultiert aus dieser Änderung eine Umlenkungskraft, die senkrecht zur Strömungsrichtung auf das Wasser wirkt. Diese Umlenkungskraft ist nichts anderes als die Druckkraft unter dem Wasserfilm. Um die Kräfte- und Strömungsverhältnisse in derartigen Strömungen darzustellen, wird eine zweidimensionale Rotationsströmung gemäß Abb. 5.2a betrachtet. Ein Wasserfilm der Höhe h kreist an der Innenseite eines Kreisrohres mit Innenradius rb . Die kreisende Bewegung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Geschwindigkeit an der Oberfläche des Wasserfilms Wo ist und die Strömung keine radialen Geschwindigkeitskomponenten hat. Da die Umfangsgeschwindigkeit hin zur Rohroberfläche abnimmt, kann derartige kreisende Wasserfilmbewegung durch das Geschwindigkeitsfeld eines Potentialwirbels beschrieben werden. Nach der Euler-Gleichung für reibungsfreie Strömung im zylindrischen Koordinaten-System entsteht unter dem Wasserfilm ein Druckgradient von ∂p W2 =ρ . ∂r r

(5.4)

Des Weiteren ist der Druckanstieg im Wasserfilm an die Änderung der Umfangsgeschwindigkeit gekoppelt. Es wird angenommen, dass die Kopplung des Druckes mit der Geschwindigkeit im ganzen Wasserfilm durch die Bernoulli-Gleichung gegeben ist: p 1 2 + W = const ρ 2

(5.5)

Abb. 5.2 Potentialtheoretische Rotationsströmung und die Druckverteilung unter dem Wasserfilm

80

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

Durch Eliminieren des Druckes ergibt sich aus Gln. (5.4) und (5.5) die Differentialgleichung für das Geschwindigkeitsfeld in der Wasserfilmbewegung W dW + =0 r dr

(5.6)

Die Integration dieser Gleichung führt zur Geschwindigkeitsverteilung unter dem Wasserfilm: ro W = Wo (5.7) r Dies entspricht dem Geschwindigkeitsfeld eines Potentialwirbels, das der Bedingung der Drehungsfreiheit genügt. In der Strömungsmechanik wird oftmals aus dem Geschwindigkeitsfeld nach Gl. (5.7) die Anwendbarkeit der Bernoulli-Gleichung (5.5) im ganzen Strömungsfeld (anstatt sonst nur längs der Stromlinien) abgeleitet. In den obigen Ableitungen ist umgekehrt von der Bernoulli-Gleichung ausgegangen worden, da diese als allgemein bekannt gilt. Die Geschwindigkeit an der Oberfläche des Kreisrohres errechnet sich mit r = rb und unter der Anwendung von ro = rb − h und h/rb  1 zu   2h 2 2 Wb = Wo 1 − (5.8) rb bzw.

  h Wb = Wo 1 − rb

(5.9)

Der Überdruck an der Oberfläche des Kreisrohres beträgt nach Gl. (5.5) 1  h pb = ρ Wo2 − Wb2 = ρWo2 2 rb

(5.10)

Die Gesamtkraft, die auf die Hälfte des Rohres mit der Einheitslänge wirkt, beträgt nach Abb. 5.2b F = 2 pb · rb = 2ρWo2 · h

(5.11)

Die Betrachtung der Druckkraft auf die Rohrhälfte entspricht dem Sachverhalt bei einer Pelton-Schaufel, in der die Strömung um ca. 180◦ umgelenkt wird.

5.2 Relativströmung und Invarianzgleichung Zur Verfolgung der Wasserbewegung in einer rotierenden Schaufel muss die Bewegungsgleichung (5.3) gelöst werden. Aus Abschnitt 5.1 ist bekannt, dass die

5.2 Relativströmung und Invarianzgleichung

81

Coriolis-Kraft stets senkrecht zur Strömrichtung des Wassers wirkt. Dies bedeutet, dass diese Kraft nur die Strömrichtung, nicht aber den Geschwindigkeitsbetrag eines Wasserteilchens bzw. des Wasserfilms direkt beeinflusst. Wird die Bewegungsgleichung (5.3) mit dem tangentialen Einheitsvektor t (nach Abb. 5.1 auf der Stromlinie liegend) multipliziert, so fallen die Einflüsse von Coriolis- und Stützkraft jeweils weg und es ergibt sich daraus dWt = F ct · t

dt

(5.12)

Diese Gleichung weist darauf hin, dass der Betrag der Relativgeschwindigkeit eines Wasserteilchens inmitten der Wasserströmung in der Schaufel nur durch die Zentrifugalkraft beeinflusst wird. Die beiden Seiten der obigen Gleichung werden multipliziert mit Wt dt = d s · t ,

= d s erhalten ist. Es ergibt sich dann der aus der Relativgeschwindigkeit W dt  Wt · dWt = F ct · t d s · t = F ct · d s

(5.13)

Mit d s wird die infinitesimale fortlaufende Verschiebung des Wasserteilchens bezeichnet. Wegen Wt2 = W 2 wird die obige Gleichung neu formuliert zu   1 2 d W = F ct · d s (5.14) 2 Diese Gleichung zeigt, dass die Änderung der kinetischen Energie der Strömung längs der Schaufeloberfläche gleich der Arbeit ist, die von der Zentrifugalkraft geleistet wird. Dies ist insofern auch selbstverständlich, da die Zentrifugalkraft die einzige Kraft darstellt, die den Geschwindigkeitsbetrag beeinflusst. Das Vektorprodukt F ct · d s in der Gleichung kann unter Berücksichtigung des Winkels ε zwischen den beiden Vektoren F ct und d s nach Abb. 5.1 berechnet werden. Aus Gl. (5.14) ergibt sich somit   1 2 d W = Fct ds · cos ε (5.15) 2 Aus Abb. 5.1 erkennt man, dass sich ds · cos ε = dR als Projektion der infinitesimalen Bewegung d s des Wassers auf der Radialrichtung R abzeichnet. Somit geht Gl. (5.15) in die folgende Gleichung über   1 2 d W = Rω2 · dR (5.16) 2 Dabei wurde der Betrag der Zentrifugalkraft Fct = Rω2 aus Gl. (5.1) verwendet.

82

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

Integration der obigen Gleichung von R1 nach R2 führt zu  W22 − W12 = ω2 R22 − R12

(5.17)

Mit U = ω · R als lokale Umfangsgeschwindigkeit der Schaufel ergibt sich schließlich aus Gl. (5.17) W 2 − U 2 = W12 − U12 = W22 − U22 = E

(5.18)

Diese Gleichung wurde von Zhang (2007a) als Invarianzgleichung bezeichnet, mit E als Energieinvarianz. Nach Gl. (5.18) wird sich die Relativgeschwindigkeit eines Wasserteilchens in der rotierenden Schaufel nur ändern, wenn sich längs der Stromlinie die lokale Umfangsgeschwindigkeit auf der Schaufel ändert. Die praktische Bedeutung der Invarianzgleichung ist offensichtlich: ist das Strömungsverhältnis am Eintritt der Schaufel (Index 1) bekannt, dann können die Strömungen sowohl innerhalb der Schaufel als auch am Austritt der Schaufel (Index 2) unmittelbar berechnet werden, wenn die entsprechende Umfangsgeschwindigkeit dort bekannt ist. Die Invarianzgleichung (5.18) wurde aus der Annahme erhalten, dass der Druck im Wasserfilm konstant bleibt. Diese Annahme ist gerechtfertigt, wenn die Strömung am Schaufelaustritt, wo die Stromlinien geradlinig sind, durch die Invarianzgleichung bestimmt werden soll. Andernfalls ist die Annahme eines konstanten Druckes nicht ganz korrekt. Aufgrund der Schaufeloberflächenkrümmung ändert sich die Strömungsrichtung des Wassers. Daraus resultiert nach Gl. (5.4) ein Druckanstieg normal zur Schaufeloberfläche. Dementsprechend verringert sich die Relativgeschwindigkeit unter der Wasserfilmoberfläche nach Gl. (5.7). Unter der Berücksichtigung dieses Druckeffektes wird Gleichung (5.18) verallgemeinert zu p 1 2 + W − U 2 = const ρ 2

(5.19)

Diese Gleichung wird im Fachgebiet der Turbomaschinen als Bernoulli-Gleichung im relativen System oder gelegentlich auch als Rothalpiegleichung bezeichnet. Für Pelton-Turbinen, bei denen es sich um Gleichdruckturbinen handelt, geht Gl. (5.19) auf Gl. (5.18) zurück. An dieser Stelle soll darauf hingewiesen werden, dass die Wasserfilmströmung der Höhe h in einer rotierenden√Pelton-Schaufel überkritisch ist, da die Froude-Zahl gemäß der Definition Fr = W/ gh deutlich größer als Eins ist. Aus der Bedingung Fr > 1 folgt W 2 > gh, die in Anlehnung an die Invarianzgleichung nach Gl. (5.18) weiter ausgedrückt werden kann durch E 1 + (Rω)2 > gh

(5.20)

Für die Strömung in einer rotierenden Schaufel soll diese Bedingung nur dann überprüft werden, wenn E 1 < 0 ist. Dieser Fall ist bei Pelton-Turbinen durchaus realistisch, wie die Berechnungen in Kapitel 7 zeigen werden.

5.2 Relativströmung und Invarianzgleichung

83

5.2.1 Einfluss des Druckgradienten infolge der Oberflächenkrümmung Die Invarianzgleichung (5.18) wurde unter der Annahme abgeleitet, dass in der Wasserströmung konstanter Druck herrscht. Tatsächlich herrscht jedoch Überdruck unter der Oberfläche des Wasserfilms infolge der Oberflächenkrümmung, wie dies bereits mit Gl. (5.4) gezeigt wurde. Der Einfluss des Druckgradienten innerhalb des Wasserfilms auf die entsprechende Geschwindigkeitsverteilung ist an der tiefsten Schaufelstelle (Abb. 5.3) am größten, da dort die größte Oberflächenkrümmung zu finden ist. Zur Abschätzung des Krümmungseffektes wird Gl. (5.19) betrachtet, die die Krümmungseffekte komplett berücksichtigt. Wird der höchste Druck an der Schaufeloberfläche nach Gl. (5.10) abgeschätzt und in die Gl. (5.19) eingesetzt, so ergibt sich 1 2 h W − U 2 + Wo2 = const 2 rb

(5.21)

So lange die Filmhöhe gegenüber dem Krümmungsradius sehr klein ist, ist der zweite Term auf der linken Seite der obigen Gleichung zu vernachlässigen. Die Strömung kann dann auf einfacher Weise mit Hilfe der Invarianzgleichung nach Gl. (5.18) berechnet werden.

Abb. 5.3 Krümmung der Schaufeloberfläche an der tiefsten Stelle der Schaufel

5.2.2 Strahlschichtverfahren Die Interaktion des Wasserstrahls mit den rotierenden Pelton-Schaufeln ist instationär. Dies bedeutet, dass die Invarianzgleichung (5.18) nur zur Verfolgung von einzelnen Wasserteilchen mit eigenen Geschwindigkeiten U und W geeignet ist. Für ein komplettes Strahlstück der Länge s2 (Abb. 4.3) würde der Rechenaufwand erheblich größer werden. Die Erweiterung der Einsetzbarkeit der Invarianzgleichung

84

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

wurde von Zhang (2007a) abgeleitet. Dabei handelt es sich um das sogenannte Strahlschichtverfahren, dessen Einsetzbarkeit hier aufgezeigt werden soll. Nach Abb. 5.4 wird der Wasserstrahl in n flache Schichten geteilt. Die Wasserteilchen in einer Schicht, die einen Abstand h s zur Drehachse des Pelton-Rades hat, erreichen die Schaufel zu unterschiedlichen Zeiten und folglich an unterschiedlichen Orten mit unterschiedlichen Umfangs- und Relativgeschwindigkeiten. Werden die Geschwindigkeitsdreiecke am Schaufeleintritt betrachtet, so besteht nach dem Kosinussatz ein Zusammenhang zwischen den drei auftretenden Geschwindigkeiten W02 = C02 + U 2 − 2C0U cos α

(5.22)

Unter Berücksichtigung der Beziehung U cos α = Ru ω ·cos α = h s ω wird aus obiger Gleichung die Invarianzgleichung gebildet: E = W02 − U 2 = C02 − 2h s ωC0

(5.23)

Diese Gleichung zeigt, dass alle Wasserteilchen in der gleichen Strahlschicht mit h s = const (geometrische Konstante) den gleichen Wert von E = W02 −U 2 als Konstante haben, obgleich W0 und U nicht konstant sind. Aus diesem Grund ist unter Anwendung der Invarianzgleichung (5.18) schlussendlich eine kleine Anzahl von dynamischen Invarianzen E ausreichend, um komplette Strömungen sowohl in der Schaufel als auch außerhalb zu beschreiben. Die Energieinvarianz E ändert sich jedoch von Schicht zu Schicht. Diese Änderung kann anhand von Abb. 5.4 festgestellt werden. Für die Strahlschicht im Abstand y von der Strahlachse wird die Invarianzgleichung nach Gl. (5.23) entsprechend formuliert zu E y = W y2 − U y2 = C02 − 2 (Rm + y) ωC0

Abb. 5.4 Strahlschichtverfahren zur Erweiterung der Einsetzbarkeit der Invarianzgleichung

(5.24)

5.2 Relativströmung und Invarianzgleichung

85

Unter Berücksichtung der Laufzahl km = Rm ω/C0 , die bereits in Gl. (1.18) definiert wurde, ergibt sich aus Gl. (5.24)   Ey y (5.25) = 1 − 2km 1 + Rm C02 Die Energieinvarianz ändert sich somit linear von Schicht zu Schicht. Auf der Strahlachse bei y = 0 beträgt die Energieinvarianz Eo = 1 − 2km C02

(5.26)

Im unteren Bereich des Wasserstrahls (y ≈ d0 /2) berechnet sich die Energieinvarianz zu   Eb d0 1 + (5.27) = 1 − 2k m 2Rm C02 Da der Klammerausdruck eine Zahl darstellt, die deutlich größer als Eins ist, wird es oft vorkommen, dass E b kleiner als Null sein kann. Die Energieinvarianz bleibt mit der Wasserströmung bis zum Schaufelaustritt konstant. Unter der Anwendung von Gl. (1.26) kann die entsprechende Energieinvarianz als Funktion der spezifischen Drehzahl dargestellt werden: Eb = (1 − 2km) − 0.76n q C02

(5.28)

Negative Werte für die Energieinvarianz, die auf W < U hindeuten, sind somit bei großer Laufzahl und großer spezifischer Drehzahl gegeben. Dass dies in manchen Fällen Probleme mit sich bringen kann, wird in Kapitel 7 ausführlich erörtert. Es sei darauf hingewiesen, dass auf der Schnittlinie ab (Abb. 4.3) stets Uc = Rc ω = const gilt. Unter dieser Bedingung wird aus Gl. (5.24) folgende Differenz gebildet: 2 E y − E o1 = W y2 − Wo1 = −2ωC0 · y

(5.29)

Daraus ergibt sich für die Relativgeschwindigkeit 2 − 2ωC0 · y W y2 = Wo1

(5.30)

bzw. in Bezug auf die Strahlgeschwindigkeit W y2 C02

=

2 Wo1

C02

− 2km

y Rm

(5.31)

Diese Beziehung zeigt, dass ausgehend von der Relativgeschwindigkeit an der Stelle o1 auf der Strahlachse (Abb. 4.3) die Relativgeschwindigkeiten von sämtlichen Wasserteilchen auf der Schnittlinie ab während des Schneidens berechnet werden können. Für Wasserteilchen jeweils an der Stelle a (y = −d0 /2) und b (y = d0 /2)

86

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

sind die entsprechenden Relativgeschwindigkeiten jeweils auszudrücken durch 2 Wo1 Wa2 d0 = + km 2 2 Rm C0 C0

(5.32)

bzw. Wb2 C02

=

2 Wo1

C02

− km

d0 Rm

(5.33)

Die bisherigen Analysen in Hinblick auf die Invarianzgleichung basieren auf dem Energiesatz unter der Annahme der Reibungsfreiheit. Da die Reibung zwischen dem Wasserfilm und der Schaufeloberfläche keine nennenswerte Änderung der Relativgeschwindigkeit verursacht, ist die Zuverlässigkeit der abgeleiteten Theorien mathematisch verifizierbar.

5.2.3 Invarianzgleichung und Euler-Gleichung Die Invarianzgleichung beschreibt die Relativbewegung des Wassers in einem rotierenden System, beispielsweise in den Schaufeln einer Pelton-Turbine. Andererseits gilt die bekannte Euler-Gleichung allgemein für die Berechnung der spezifischen Arbeit bei allen Arten von Strömungsmaschinen. Es ist zu erwarten, dass zwischen der Invarianz- und der Euler-Gleichung ein Zusammenhang besteht, mit dem die eine aus der anderen abgeleitet werden kann. Für reibungsfreie Strömungen in PeltonTurbinen berechnet sich die umgewandelte spezifische hydraulische Energie (auch als spezifische Stutzenarbeit bezeichnet) als Differenz der spezifischen kinetischen Energie zwischen dem Ein- und dem Austritt: e=

1 2 C1 − C22 2

(5.34)

Die Euler-Gleichung, die allgemein für alle Arten von Strömungsmaschinen gilt, ist zur Berechnung der spezifischen Stutzenarbeit gegeben durch e = U1 Cu1 − U2 Cu2

(5.35)

Dabei stellen Cu1 und Cu2 die Komponenten der Absolutgeschwindigkeit C auf der Umfangsrichtung jeweils am Ein- und Austritt dar (Abb. 5.5). Mit der entsprechenden Beziehung Cu = C cos α geht aus Gl. (5.35) hervor e = U1 · C1 cos α1 − U2 · C2 cosα2

(5.36)

Durch Gleichsetzen der Gln. (5.34) und (5.36) ergibt sich C22 − 2U2 C2 · cos α2 = C12 − 2U1C1 · cosα1

(5.37)

5.2 Relativströmung und Invarianzgleichung

87

Abb. 5.5 Geschwindigkeitsplan zur Erläuterung des Zusammenhangs zwischen der Invarianz- und der Euler-Gleichung

Anschließend wird der Kosinussatz in der Form W 2 = C 2 + U 2 − 2CU cos α nach Abb. 5.5 in obiger Gleichung verwendet. Daraus folgt W22 − U22 = W12 − U12

(5.38)

Sie entspricht der bereits abgeleiteten Invarianzgleichung (5.18). An dieser Stelle soll die spezifische Stutzenarbeit in Pelton-Turbinen näher betrachtet werden. Der größte Teil des Wasserstrahls tritt annähernd senkrecht zur Mittelschneide in die Schaufel ein (Abb. 4.6). Unter dieser Eintrittsbedingung verlaufen die Wasserteilchen entlang der Schaufelkrümmung mit konstanter Umfangsgeschwindigkeit (U ). Gemäß der Invarianzgleichung muss die Relativgeschwindigkeit W während des ganzen Verlaufs in der Schaufel konstant bleiben. Infolge der Beziehung U Cu = U (U + W cos β) nach Abb. 5.5 wird Gl. (5.35) unter der Bedingung β1 = 0 in folgende Form umgewandelt e = U1 W1 (1 − cosβ2 )

(5.39)

Diese Gleichung ist äquivalent mit Gl. (1.9). Die spezifische Energie, die vom Wasser auf die Schaufel übertragen wird, ist schlussendlich nur eine Funktion des Abströmwinkels β2 für die Relativgeschwindigkeit und ist unabhängig vom Weg, den das Wasser zurücklegt. Bei der praktischen Auslegung von Pelton-Schaufeln wird der Abströmwinkel β2 am Schaufelaustritt ungefähr mit 170◦ festgelegt. Das Kriterium zur Festlegung dieses Winkels wird in Abschnitt 7.2 eingehend erläutert.

5.2.4 Beispiel: Relativströmung in einer Halbkreisschaufel Die Invarianzgleichung deutet darauf hin, dass die Relativgeschwindigkeit eines Wasserteilchens in einer rotierenden Schaufel vom Ort des Teilchens abhängt. Befindet sich das Wasserteilchen auf einer Laufbahn auf der Schaufeloberfläche mit konstanter Umfangsgeschwindigkeit, so bleibt auch die Relativgeschwindigkeit erhalten. Dieser einfachste Fall bedarf keiner weiteren Betrachtung.

88

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

Im Gegensatz dazu soll die allgemein veränderliche Relativgeschwindigkeit eines Wasserteilchens in einer rotierenden Schaufel anhand eines Beispiels näher betrachtet werden. Der Einfachheit halber wird nach Abb. 5.6 eine zweidimensionale, halbkreisförmige Schaufel herangezogen. Die Bewegung eines Wasserteilchens in der Schaufel nach Abb. 5.6a entspricht annähend dem Strömungsverhältnis einer Pelton-Turbine, bei der der Wasserstrahl vom Schaufelausschnitt abgefangen wird und in Richtung der Schaufelwurzel weiter fließt (Abb. 4.16). Um zu zeigen, dass die Relativbewegung eines Wasserteilchens in einer rotierenden Schaufel auch von der Bewegungsrichtung abhängt, wird der Fall nach Abb. 5.6b als Vergleich mitbetrachtet. Die Relativgeschwindigkeit des Wasserteilchens in der rotierenden Schaufel wird nach Gl. (5.18) aus bekannten Eintrittsdaten E = E 1 berechnet aus   W = E 1 + U 2 = E 1 + (ω R)2 (5.40) Die radiale Position des Wasserteilchens in der Schaufel wird mit R bezeichnet. Durch Anwendung des Kosinussatzes in der Form von R 2 = Ro2 + rb2 ± 2rb Ro cos τ an jeweils beiden Strömungen in Abb. 5.6 ergibt sich aus Gl. (5.40)     E1 rb2 W rb  = + 1 + 2 ± 2 cosτ (5.41) ω Ro Ro ω2 Ro2 Ro Dabei gilt das obere Vorzeichen für die Bewegung des Wasserteilchens in positiver t -Richtung (Abb. 5.6a). Der Winkel τ = 0 kennzeichnet dabei stets die Anfangsposition des Wasserteilchens beim Eintritt in die Schaufel.

Abb. 5.6 Beispiel zur Strömung in der Halbkreisschaufel Fall (a): Bewegung des Wasserteilchens längs der positiven t-Richtung Fall (b): Bewegung des Wasserteilchens längs der negativen t-Richtung

5.2 Relativströmung und Invarianzgleichung

89

Einsetzen der Relativgeschwindigkeit in der Form W = rb · dτ /dt in Gl. (5.41) führt zu rb 

dτ



E 1 + ω2 Ro2 + rb2 ± 2rb Ro cos τ

 = dt

(5.42)

Durch Integration folgt: τ 

rb 0

1



E 1 + ω2 Ro2 + rb2 ± 2rb Ro cos τ

 dτ = t

(5.43)

Diese Gleichung in Form einer Funktion von τ = f (t) stellt den zeitlichen Verlauf des Wasserteilchens in der rotierenden Schaufel dar. Für ein gegebenes Strömungsverhältnis am Schaufeleintritt (E 1 ) kann die Integration näherungsweise in Form einer Summation dargestellt und dann schrittweise berechnet werden. Um einen Vergleich zwischen den zwei Fällen nach Abb. 5.6 aufzuzeigen, wird hier die gleiche Eintrittsbedingung für die Wasserteilchen angenommen: die Eintrittsgeschwindigkeit ist doppelt so hoch wie die Umfangsgeschwindigkeit Uo , nämlich C0 = 2ω Ro . Unter diesem Umstand gilt für die Energieinvarianz am Schaufeleintritt E 1 = W12 − U12 = (C0 − ω R1 )2 − (ω R1 )2 = C0 (C0 − 2ω R1 ) .

(5.44)

Aus der gegebenen Bedingung C0 = 2ω Ro vereinfacht sich Gl. (5.44) für beide Fälle jeweils mit R1 = Ro + rb und R1 = Ro − rb zu E 1 = 4ω2 Ro (Ro − R1 ) = ∓4ω2 Rorb

(5.45)

Dies ist nun in Gl. (5.43) einzusetzen. Daraus ergibt sich τ  0

1 (Ro /rb )2 + 1 ± 2Ro/rb (cosτ − 2)

dτ = ωt

(5.46)

Die Position des Wasserteilchens (τ ) in der Schaufel kann daher als Funktion der Zeit oder des Schaufeldrehwinkels ωt dargestellt werden. Unter der angegebenen Bedingung mit ω Ro /C0 = 0.5 ist τ zusammen mit der jeweils berechneten Relativgeschwindigkeit nach Gl. (5.41) in Abb. 5.7 dargestellt worden. Es ist ersichtlich, dass die Zeit, die ein Wasserteilchen zum Durchfließen der Schaufel benötigt, in beiden Fällen sehr unterschiedlich ist. Das Wasserteilchen, das die Schaufel vom kleinen zum großen Radius durchfließt, hat bereits zu Beginn eine größere Relativgeschwindigkeit W (b) als im umgekehrten Fall. Nach der Invarianzgleichung wird dieses Wasserteilchen noch während der Bewegung in der Schaufel weiter beschleunigt, wie auch aus Abb. 5.7 zu entnehmen ist.

90

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

Abb. 5.7 Unterschiedliche Bewegungen des Wasserteilchens in der rotierenden Schaufel gemäß Abb. 5.6 mit C0 = 2ωRo und rb /Ro = 0.1

Im erwähnten Beispiel der Strömung nach Abb. 5.6a ist die Energieinvarianz am Eintritt nach Gl. (5.45) negativ. Damit das Wasserteilchen in der Schaufel nicht zum Stehen kommt, muss am Austritt die Bedingung nach Gl. (5.20) erfüllt werden. Dementsprechend ist mit h ≈ 0: R22 > 4rb Ro . Mit R2 = Ro − rb ergibt sich √ rb /Ro < 3 − 2 2 ≈ 0.17.

(5.47)

(5.48)

Im gezeigten Beispiel beträgt der Wert des Verhältnisses rb /Ro 0.1.

5.3 Kraftwirksamkeit und die Leistungen Unter Vernachlässigung der Reibungskraft ist die Wechselwirkungskraft zwischen der Wasserströmung und den rotierenden Schaufeln die Stützkraft F n , die senkrecht zur Schaufeloberfläche steht, siehe Abb. 5.1. Sie ist die Summe der Normalkomponenten aller Volumenkräfte im Rotationssystem und stellt daher die wirksame Triebkraft zur Schaufelbewegung dar. Für Leistungsberechnungen aus Angaben aller wirksamen Volumenkräfte sollten daher nur die Kraftkomponenten normal zur Schaufeloberfläche berücksichtigt werden. Aus Multiplikation der Gl. (5.3) mit n

ergibt sich Fn =

W2

− Fct · n − F Co · n

rb

(5.49)

5.3 Kraftwirksamkeit und die Leistungen

91

Sie stellt die Kraft dar, die in Form des Druckanstiegs unter dem Wasserfilm existiert. Sie gilt daher als die Kraft, die während der Schaufelrotation von der Wasserströmung auf die Schaufel übertragen wird. Da diese Kraft stets senkrecht zur Schaufeloberfläche steht und im Allgemeinen nicht mit der Richtung der Schaufelbewegung, d. h. der Richtung der Umfangsgeschwindigkeit, übereinstimmt, ist bei dieser Kraft nur die Komponente in Umfangsrichtung der Schaufeldrehung für das Erbringen der Leistung wirksam. Unter Betrachtung der Einheitsmasse des Wassers wird die von der Stützkraft erbrachte Leistung entsprechend berechnet aus e˙ =

  de W2 = Fn · (−

n ) · U = − n · U + F ct · n n · U + F Co · n n · U

dt rb

(5.50)

Sie ist zusammengesetzt aus drei Teilleistungen, die im Folgenden einzeln betrachtet werden. Die Leistungsformulierung einer Volumenkraft (Zentrifugal- wie auch Coriolis-Kraft) nach Gl. (5.50) ist leicht zu verstehen, wenn man bedenkt, dass die Schaufel nur die Normal-Komponente der Volumenkraft aufnehmen kann. Diese in Richtung der Schaufelnormale wirkende Kraftkomponente wirkt auf die Leistung wiederum nur durch ihre Komponente in Richtung der Schaufelbewegung (U ). Die Arbeit, die von der Stützkraft Fn im Lauf der Zeit geleistet wird, ist aus der Integration über die Zeit zu berechnen: t e=

e˙dt

(5.51)

0

Die Totalarbeit, die beim Durchqueren des Wasserteilchens durch die Schaufel entsteht, ist aus der obigen Integration mit t = t2 zu e2 zu berechnen. Mit dem Index 2 ist hier der Schaufelaustritt bezeichnet. Für einen mittleren Massenstrom m˙ w , gemessen im rotierenden System, wird die Leistung mit P = m˙ w e2 berechnet.

5.3.1 Zentrifugalkraft Die Zentrifugalkraft für die Einheitsmasse ist in Gl. (5.1) gegeben. Ihre Komponente in −

n Richtung (hin zur Schaufeloberfläche) gilt als wirksame Kraft für die Schaufelbewegung und berechnet sich aus  Fct,−n = −ω

× ω

× R · (−

n) (5.52) Die entsprechende Leistung, die aus dieser Kraft resultiert, wird nach Gl. (5.50) berechnet aus:   e˙ct = −ω

× ω

× R · n n · U

(5.53)

92

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

Der Einfachheit halber und zum Aufzeigen des Mechanismus des Kraftaustauschs und der Leistungsabgabe in einem Rotationssystem werden hier die Zentrifugalkraft und ihre Wirkung nur in einer zweidimensionalen Schaufel bei zweidimensionaler Strömung betrachtet, die in Abb. 5.1 in der Zeichenebene liegt. Die dritte Koordinate stimmt mit der Drehachse des Rades überein. Für die Berechung des Vektorprodukts wird nach Abb. 5.1 ein lokales Koordinatensystem t-n-z festgelegt, wobei die z-Achse senkrecht zur Zeichenebene steht. In diesem Koordinatensystem können die jeweiligen Vektoren in Gln. (5.52) und (5.53) folgendermaßen dargestellt werden: n = (0, 1, 0) R = (−R sin ϕ, −R cos ϕ, 0) ω

= (0, 0, ω) U = (ω R cosϕ, −ω R sin ϕ, 0)

= (Wt , 0, 0) W

(5.54)

Dabei ergibt sich der Winkel ϕ zwischen U und t , der von der Strömungsrichtung unabhängig sein soll. Aus den entsprechenden Vektorangaben errechnen sich Gln. (5.52) und (5.53) jeweils zu Fct,−n = Rω2 cos ϕ

(5.55)

e˙ct = R 2 ω3 sin ϕ cos ϕ.

(5.56)

und

Diese Ergebnisse können auch direkt aus Abb. 5.1 erhalten werden, wenn dort als Zentrifugalkraft die Größe Fct = Rω2 direkt verwendet wird. Im Schaufelbereich, in dem ϕ < 90◦ gegeben ist, ist e˙ct > 0. Darunter ist zu verstehen, dass die Zentrifugalkraft eine positive Leistung bringt. Die von der Zentrifugalkraft geleistete Arbeit ab der Zeit t = 0 berechnet sich nach Gl. (5.51) zu t ect = ω

R 2 sin ϕ cos ϕdt

3

(5.57)

0

Der Einfluss der Relativgeschwindigkeit auf die Berechnung ist in dieser Gleichung nicht explizit dargestellt, bleibt jedoch wegen der Abhängigkeit von ϕ = f (W, t) bestehen. Mit ds = W dt als infinitesimale Bewegung des Wasserteilchens in der Strömung geht Gl. (5.57) über in s ect = ω

R 2 sin ϕ cos ϕ

3 0

1 ds W

(5.58)

5.3 Kraftwirksamkeit und die Leistungen

93

Die Relativgeschwindigkeit in der rotierenden Schaufel wird durch die Invarianzgleichung bestimmt. Ausgehend von der Energieinvarianz E 1 = W12 − U12 am Schaufeleintritt wird die Relativgeschwindigkeit zu  anderen Zeitpunkten aus der lokalen Umfangsgeschwindigkeit U = Rω mit W = E 1 + (Rω)2 berechnet. Entsprechend wird Gl. (5.58) s ect = ω

R 2 sin ϕ cos ϕ 

3 0

1 E 1 + (Rω)2

ds

(5.59)

Für die weitere Berechnung mittels Integration soll zwischen Strömungen in positiver und negativer t -Richtung unterschieden werden. Nach Abb. 5.1 gilt sin ϕds = ∓dR mit dem oberen Vorzeichen für die Strömung in positiver t -Richtung (siehe auch Abb. 5.6a). Somit folgt aus Gl. (5.59) R R 2 cos ϕ 

ect = ∓ω3 R1

1 E 1 + (Rω)2

dR

(5.60)

Die Integration kann analytisch durchgeführt werden, indem der Winkel ϕ als Funktion der Ortskoordinate R angegeben wird. Andernfalls muss die Integration schrittweise numerisch gelöst werden.

A Sonderfall 1: Halbkreisschaufel Zur Vereinfachung der Berechnung in Gl. (5.60) wird wiederum die Wasserbewegung in einer rotierenden Halbkreisschaufel nach Abb. 5.6 betrachtet. Nach dem Kosinussatz gilt die folgende Beziehung: Ro2 = R 2 + rb2 − 2Rrb cos ϕ

(5.61)

Daraus ergibt sich R cos ϕ =

  1 2 1 R2 rb − o R + 2rb 2 rb

(5.62)

Durch Einsetzen in Gl. (5.60) erhält man 1 ect = ∓ ω3 2

R  R1

   Ro2 R3 1 R  + rb − dR rb rb E 1 + (Rω)2

(5.63)

94

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

Nach der Lösung des Integrals ergibt sich  rb2 − Ro2 ω2 R12 − 2E 1  1 + E 1 + ω2 R12 (5.64) ect = ± ω 2 rb 3rb ω2   rb2 − Ro2 ω2 R 2 − 2E 1  + E 1 + ω2 R 2 − rb 3rb ω2 Ist die Strömung am Schaufeleintritt (R1 ) bekannt (E 1 ), so kann die spezifische Arbeit der Zentrifugalkraft in Abhängigkeit von der Position R der Einheitsmasse in der Schaufel berechnet werden. Dabei ist zu beachten, dass in dieser Gleichung E 1 und ω2 R12 nicht als zwei unabhängige Größen betrachtet werden sollen. Entsprechend ihrer Definition ist die Energieinvarianz am Schaufeleintritt folgendermaßen auszudrücken: E 1 = W12 − U12 = (W1 − U1 ) (W1 + U1 ) = (C0 − 2U1 ) C0 = (1 − 2ω R1/C0 ) C02 (5.65) Zum Umformen der Gleichung (5.64) werden nun folgende Abkürzungen eingeführt: r¯b =

rb , Ro

R R¯ = , Ro

R1 R¯ 1 = , Ro

ko =

ω Ro , C0

e∗ =

e , C02 /2

E1 E¯ 1 = 2 2 ω Ro (5.66)

Dabei bezieht sich die spezifische Arbeit auf die kinetische Energie, die das Wasserteilchen am Schaufeleintritt besitzt bzw. die im Wasserstrahl vorhanden ist. Die bezogene Größe kann daher auch als entsprechender Wirkungsgrad interpretiert werden. Um Missverständnisse bei der Verwendung von Symbolen zu vermeiden, wird hier das Geschwindigkeitsverhältnis ω Ro /C0 durch ko anstatt km erfasst, weil gemäß Gl. (1.18) das Symbol km eine klar definierte Bedeutung bei Pelton-Turbinen besitzt. Mit Gl. (5.66) vereinfachen sich Gln. (5.64) und (5.65) zu    1  ¯2 1 ∗ ect R1 − 2 E¯ 1 r¯b2 − 1 + = ± ko2 (5.67) E¯ 1 + R¯ 12 r¯b 3     1  ¯2 − r¯b2 − 1 + R − 2 E¯ 1 E¯ 1 + R¯ 2 3 mit  1  E¯ 1 = 2 1 − 2ko R¯ 1 ko

(5.68)

5.3 Kraftwirksamkeit und die Leistungen

Oder in allgemeiner Form:   ∗ ect = f r¯b , ko , R¯ 1 , R¯

95

(5.69)

∗ als Funktion von R¯ berechnet Mit Angaben von r¯b , ko und R¯ 1 kann die Arbeit ect 2 2 2 werden. Wegen der Beziehung R = Ro + rb ± 2rb Ro cos τ aus Abb. 5.6 lässt sich die geleistete Arbeit auch als Funktion von τ darstellen, wobei τ als Lage des Wasserteilchens in der Schaufel wiederum durch Gl. (5.43) mit der Zeit verknüpft ist. Für den Fall E 1 = 0 wird nachfolgend ein Beispiel gezeigt. Die spezifische Arbeit, die von der Zentrifugalkraft erbracht wurde, während das Wasserteilchen die Schaufel durchquert hat, ist mit R¯ = R¯ 2 = 1 ∓ r¯b zu berechnen.

B Sonderfall 2: E1 = 0 Es wird nun eine weitere Vereinfachung mit E 1 = 0 betrachtet. Diese Vereinfachung bedeutet, dass am Schaufeleintritt (Index 1) die Relativgeschwindigkeit W1 gleich der Umfangsgeschwindigkeit U1 ist. Nach der Invarianzgleichung mit E = E 1 = 0 muss die Relativgeschwindigkeit auch zu anderen Zeitpunkten immer gleich der lokalen Umfangsgeschwindigkeit sein, d. h. W = Rω. Mit E 1 = 0 ergibt sich aus Gl. (5.68) ko = 1/(2 R¯ 1 ). Dementsprechend vereinfacht sich Gl. (5.67) zu     1 3 1 1  2 ∗ ect R¯ 1 − R¯ 3 r¯b − 1 R¯ 1 − R¯ + (5.70) =± 2 3 4 R¯ 1 r¯b Infolge der Beziehung R 2 = Ro2 + rb2 ± 2rb Ro cos τ bzw. R¯ 2 = 1 + r¯b2 ± 2¯rb cos τ (Abb. 5.6) kann die normierte spezifische Arbeit nach Gl. (5.70) als Funktion der Lage τ eines Wasserteilchens in der rotierenden Schaufel und, aufgrund von Gl. (5.43), auch als Funktion der Zeit wiedergeben werden. Abb. 5.8 zeigt ein Beispiel für die Bewegung eines Wasserteilchens in positiver t -Richtung in einer Schaufel mit rb /Ro = 0.1. Zum Zeitpunkt, an dem der Drehwinkel ωt ≈ 9◦ ist, befindet sich das Wasserteilchen an der Stelle τm ≈ 96◦ . Ab dieser Position nimmt die geleistete Arbeit wieder ab. Das ist dadurch zu erklären, dass ab τm ≈ 96◦ dann ϕ > 90◦ wird und nach Gl. (5.56) e˙ct < 0 ist. Dies kann festgestellt werden durch ∗ de∗ d R¯ dect = ct =0 dτ d R¯ dτ

(5.71)

Daraus ergibt sich aus Gl. (5.70) mit dazugehörendem R¯ 2 = 1 + r¯b2 + 2¯rb cosτ : cos τm = −¯rb

(5.72)

Für r¯b = 0.1 ergibt sich somit τm = 96◦ . Wird das Wasserteilchen während des Durchlaufens durch die Halbkreisschaufel betrachtet, so ist die von der Zentrifugalkraft geleistete Arbeit mit R¯ = R¯ 2 = 1 − r¯b

96

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

Abb. 5.8 Bewegung eines Wasserteilchens in einer rotierenden Halbkreisschaufel und die von der Zentrifugalkraft geleistete spezifische Arbeit (normiert auf die kinetische Energie vor dem Schaufeleintritt), rb /Ro = 0.1, E 1 = 0

zu berechnen. Aus Gl. (5.70) mit R¯ 1 = 1 + r¯b ergibt sich dementsprechend ∗ ect,2 =

2 3



r¯b R¯ 1

2 =

2 3



rb R1

2 (5.73)

bzw. mit C0 = 2ω R1 (aus E 1 = 0) in expliziter Form 4 ect,2 = ω2rb2 3

(5.74)

Gl. (5.73) stellt eine spezifische Arbeit normiert auf die kinetische Energie dar, die das Wasserteilchen am Schaufeleintritt besitzt bzw. im entsprechenden Wasserstrahl vorhanden ist. Es ist dabei erkennbar, dass die von der Zentrifugalkraft geleistete spezifische Arbeit ect,2 im Vergleich zu der kinetischen Energie 12 C02 einen sehr kleinen Wert aufweist, da rb /R1 im Fall einer Pelton-Turbine im Allgemeinen sehr klein ist. Es kann nachgewiesen werden, dass man für die Strömung gemäß Abb. 5.6b das gleiche Ergebnis wie Gl. (5.74) erhält. In diesem Fall ist in Gl. (5.70) das negative Vorzeichen zu verwenden. Entsprechend ist R¯ 1 = 1 − r¯b . Mit der Bedingung E 1 = 0 gilt in diesem Fall stets C0 = 2ω R1 , jedoch mit R1 = Ro − rb .

5.3.2 Coriolis-Kraft Die Coriolis-Kraft der Einheitsmasse ist in Gl. (5.2) definiert. Analog zu Gl. (5.52) ist die Kraftkomponente in Richtung −

n (hin zur Schaufeloberfläche) folgendermaßen zu berechnen:

5.3 Kraftwirksamkeit und die Leistungen



· (−

FCo,−n = −2 ω

×W n)

97

(5.75)

Die von dieser Kraftkomponente erbrachte Leistung beträgt nach Gl. (5.50)  

· n n · U

e˙Co = −2 ω

×W (5.76) Es wird hier wiederum die zweidimensionale Strömung in einer zweidimensionalen Schaufel betrachtet, indem die Strömung in der Zeichenebene der Abb. 5.1 liegt. Im t-n-z Koordinatensystem nach Abb. 5.1 mit der dazugehörigen Vektordarstellung aus Gl. (5.54) errechnen sich die beiden Gleichungen jeweils zu FCo,−n = 2ωWt

(5.77)

e˙Co = 2Rω2 Wt sin ϕ = −2Rω2 Wr

(5.78)

und

in Radialrichtung wobei Wt sin ϕ = −Wr die Komponente der Geschwindigkeit W

( R) darstellt. Gleichung (5.78) stellt auch die Verknüpfung mit der Zentrifugalkraft (Rω2 ) dar. Die von der Coriolis-Kraft geleistete Arbeit berechnet sich zu t eCo =

t e˙Co dt = −2ω2

0

R · Wr dt

(5.79)

0

Mit Wr = dR/dt ergibt sich schließlich R eCo = −2ω

2

 R · dR = ω2 R12 − R 2 = U12 − U 2

(5.80)

R1

bzw. unter der Berücksichtigung von Gl. (5.66) erhält man die dimensionslose Form  ∗ eCo (5.81) = 2ko2 R¯ 12 − R¯ 2 Gl. (5.80) bzw. Gl. (5.81) zeigen, dass die Coriolis-Kraft für die Strömung in radialer Richtung hin zur Radachse (R < R1 ) positive Arbeit leistet. Diese Erkenntnis wird später gebraucht, um die Physik eines speziellen Strömungsmodells, das in Abschnitt 5.3.5 vorgestellt wird, vollständig zu verstehen. Gegenüber Gl. (5.60) für die geleistete Arbeit durch die Zentrifugalkraft ist die geleistete Arbeit durch die Coriolis-Kraft nur vom Anfangs- und Endzustand, nicht aber vom durchlaufenen Weg abhängig. Ferner ist die von der Coriolis-Kraft geleistete Arbeit unabhängig von der Geschwindigkeit des Wasserteilchens.

98

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

Für das Durchlaufen der Schaufel (nicht unbedingt kreisförmig) ist R = R2 in Gl. (5.80) einzusetzen, sodass sich folgendes ergibt:  eCo,2 = ω2 R12 − R22 = U12 − U22 (5.82) Es soll erwähnt werden, dass die Rechenergebnisse nach den Gln. (5.80) bis (5.82) nur für die vereinfachte Strömung in der Zeichenebene gemäß Abb. 5.1 gelten, wo die Schaufel zweidimensional dargestellt ist. Diese Bedingung ist bereits durch den Normalenvektor n = (0, 1, 0) bestimmt worden. Daher kann aus Gl. (5.82) keine Schlussfolgerung zum Fall U1 = U2 gemacht werden, da dies in der ebenen Strömung nach Abb. 5.1 nicht möglich ist.

A Sonderfall 1: Halbkreisschaufel Die in Abb. 5.6 dargestellte Halbkreisschaufel wird erneut betrachtet. Das Wasserteilchen bewegt in zwei verschiedenen Richtungen mit dem Eintritt bei R1 = Ro ±rb und Austritt bei R2 = Ro ∓ rb . Somit vereinfacht sich Gl. (5.82) zu eCo,2 = ±4rb Ro ω2

(5.83)

bzw. im Bezug auf die ursprüngliche kinetische Energie des Wasserteilchens ∗ eCo,2 =

eCo,2 1 2 2 C0

= ±8ko2

rb Ro

(5.84)

B Sonderfall 2: E1 = 0 Eine weitere Vereinfachung gilt für E 1 = 0, aus der sich W1 = U1 = C0 /2 und ko = Uo /C0 = 0.5Ro/R1 ergeben. Aus Gl. (5.81) folgt somit  1 R¯ 2 ∗ eCo = (5.85) 1− 2 2 R¯ 1

sowie aus Gl. (5.84) ∗ eCo,2 = ±2

Ro r b R1 R1

(5.86)

Im Fall der positiven Arbeit ist aus dem Vergleich mit Gl. (5.73) offensichtlich, dass die von der Coriolis-Kraft geleistete Arbeit deutlich größer ist als die von der Zentrifugalkraft geleistete Arbeit.

5.3 Kraftwirksamkeit und die Leistungen

99

5.3.3 Impulskraft aus Änderung der Strömungsrichtung Die Wasserströmung längs der Schaufeloberfläche ändert kontinuierlich ihre Richtung. Aus der damit verbundenen Impulsänderung resultiert eine Kraft unter dem Wasserfilm, die senkrecht zur Schaufeloberfläche wirkt. Nach Gl. (5.49) ist eine derartige Volumenkraft aus einer Impulsänderung formuliert als FI =

W2 rb

(5.87)

wobei mit rb der lokale Krümmungsradius der Stromlinien bezeichnet wird, die kongruent zur Schaufeloberfläche verläuft. Die von dieser Kraft erbrachte Leistung wird nach Gl. (5.50) berechnet aus e˙I = −

W2 n · U

rb

(5.88)

Es wird wiederum die zweidimensionale Strömung in einer zweidimensionalen Schaufel nach Abb. 5.1 betrachtet. Mit der entsprechenden Beziehung n · U = −ω R sin ϕ wird aus Gl. (5.88) e˙I =

W2 ω R sin ϕ rb

(5.89)

Die von der Impulskraft geleistete Arbeit ist dementsprechend t eI =

t e˙I dt =

0

W2 ω R sin ϕdt rb

(5.90)

0

Um die Integration durchzuführen, wird  wieder Gl. (5.12) betrachtet. Unter der Be  rücksichtigung der Zentrifugalkraft  F ct  = Rω2 und nach Abb. 5.1 ergibt sich   dWt 1 2



= Fct · t = Rω cos π + ϕ = −Rω2 sin ϕ dt 2

(5.91)

Diese Gleichung wird in Gl. (5.90) zur Eliminierung von dt eingesetzt. Daraus und mit W 2 = Wt2 ergibt sich: 1 eI = − ω

Wt

1 2 W dWt rb t

(5.92)

Wt1

Dabei gilt Wt als positiv, wenn die Strömungsrichtung mit dem Tangentevektor t

nach Abb. 5.1 übereinstimmt. Anderenfalls ist Wt negativ.

100

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

A Sonderfall 1: Halbkreisschaufel Wird eine kreisförmige Schaufel mit rb = const betrachtet, so ergibt sich aus Gl. (5.92) eI =

1  3 Wt 1 − Wt3 3ωrb

(5.93)

Unter Anwendung der Invarianzgleichung, aus derdie Relativgeschwindigkeit mit der lokalen Umfangsgeschwindigkeit zu Wt = ± E 1 + (ω R)2 berechnet werden kann, ergibt sich Gl. (5.93) zu  3/2  3/2  1 2 2 eI = ± E 1 + (R1 ω) (5.94) − E 1 + (Rω) 3ωrb bzw. in dimensionsloser Form als:  3/2  3/2  2k 2  eI∗ = ± o E¯ 1 + R¯ 12 − E¯ 1 + R¯ 2 3¯rb

(5.95)

In Anlehnung an das Strömungsbeispiel aus Abb. 5.6a gilt dabei das positive Vorzeichen für die Bewegung des Wasserteilchens längs des Tangentenvektors t . Zu beachten ist, dass E¯ 1 und R¯ 1 nicht unabhängig voneinander sind, sondern durch Gl. (5.68) miteinander verknüpft sind. B Sonderfall 2: E1 = 0 Unter der Eintrittsbedingung E 1 = 0 vereinfacht sich Gl. (5.94) zu eI = ±

ω2  3 R1 − R 3 3rb

(5.96)

Da aus der Bedingung E 1 = 0 gleichzeitig auch W1 = U1 = C0 /2 bzw. ω R1 = C0 /2 folgt, ergibt sich aus obiger Gleichung die entsprechende dimensionslose Form: eI∗ = ±

1  ¯ 3 ¯ 3 R1 − R 6¯rb R¯ 2

(5.97)

1

Für das Durchlaufen des Wasserteilchens durch die Schaufel (R = R2 ) wird die von der Impulskraft geleistete Arbeit berechnet mit eI,2 = ±

1 2 3 ω R1 − R23 3rb

(5.98)

Nach Abb. 5.6b wird hier ein konkretes Beispiel betrachtet, bei dem die Strömung der negativen t -Richtung folgt. Ein- und Austritt sind jeweils gekennzeichnet durch R1 = Ro − rb bzw. R2 = Ro + rb . Mit dem entsprechenden negativen Vorzeichen in

5.3 Kraftwirksamkeit und die Leistungen

Gl. (5.98) ergibt sich:   1 eI,2 = 2ω2 Ro2 + rb2 3

101

(5.99)

Es kann nachgewiesen werden, dass man das gleiche Ergebnis erhält, wenn die Strömung nach Abb. 5.6a der positiven t -Richtung folgt. Gl. (5.99) ist daher von der Strömungsrichtung des Wassers unabhängig. Zu beachten ist, dass die Bedingung E 1 = 0, die für beide Strömungsanordnungen zu Gl. (5.99) geführt hat, nicht die gleiche Strahlgeschwindigkeit verlangt. In beiden Fällen gilt zwar C0 = 2ω R1 , jedoch müssen jeweils R1 = Ro + rb und R1 = Ro − rb verwendet werden.

5.3.4 Gesamte Wirkung von Impuls-, Zentrifugalund Coriolis-Kraft Wie in Abschnitt 5.1.1 bereits gezeigt wurde, liegen in der Strömung längs einer rotierenden Schaufel die Zentrifugal- und Coriolis-Kräfte sowie die Kraft aus der Impulsänderung infolge der Änderung der Strömungsrichtung vor. Alle diese Kräfte, mit ihren jeweiligen Komponenten senkrecht zur Schaufeloberfläche, vereinigen sich zur Stützkraft. Der Beitrag jeder dieser einzelnen Kräfte zur Arbeitsleistung wurde bereits in den vorangegangenen Kapiteln aufgezeigt. In diesem Abschnitt soll die gesamte Wirkung sowie das Verhältnis zwischen einzelnen Wirkungen näher betrachtet werden. Da die Rechenergebnisse unter der Annahme der Halbkreisschaufel mit der Eintrittsbedingung E 1 = 0 explizit dargestellt werden konnten, werden diese Bedingungen hier weiter beibehalten. Die Summe aller drei einzelnen Leistungen, die jeweils in den Gln. (5.70), (5.85) und (5.97) ermittelt wurden, ist nach einer Umformung gegeben als ∗ ∗ e∗ = ect +eCo +eI∗ = ±

    3 1  ¯ 2 ¯ 2 1 1  2 3 ¯ ¯ ¯ ¯ r ¯ + R1 − R − 1 R − R + R − R 1 b 1 4 R¯ 12 r¯b 2 R¯ 12 (5.100)

Um diese Gleichung weiter zu vereinfachen, wird zuerst das positive Vorzeichen betrachtet. Dies entspricht dem Fall gemäß Abb. 5.6a, bei dem R¯ 1 = 1 + r¯b gilt. Somit ergibt sich aus Gl. (5.100) ∗ e+ = 1−

  R¯  ¯ 2 −1 r ¯ + R b 4 (1 + r¯b )2 r¯b 1

(5.101)

Analog dazu folgt aus Gl. (5.100) mit negativem Vorzeichen für den Fall aus Abb. 5.6b mit R¯ 1 = 1 − r¯b : ∗ = 1− e−

   R¯  ¯ 2 1 − r ¯ − R b 4 (1 − r¯b )2 r¯b 1

(5.102)

102

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

Beim Durchlaufen der Halbkreisschaufel, d. h. mit R¯ = R¯ 2 = 1 − r¯b für Abb. 5.6a und R¯ = R¯ 2 = 1 + r¯b für Abb. 5.6b ergeben sich Gln. (5.101) und (5.102) einheitlich zu ∗ ∗ e+ = e− =1

(5.103)

bzw. 1 e+ = e− = C02 2

(5.104)

Dies entspricht dem erwarteten Ergebnis. Beim Betrachten der Strahlströmung unter der Eintrittsbedingung E 1 = 0 heißt das, dass die kinetische Energie im Wasserstrahl komplett an die rotierenden Schaufeln abgegeben wird und der hydraulische Wirkungsgrad in beiden Fällen 100% beträgt. Die Umsetzung der kinetischen in die mechanische Energie ist in diesen beiden Fällen vollständig. Diese Aussage kann auch direkt aus der Invarianzgleichung erhalten werden. Wegen der Zwangbedin 2 und somit C 2 = 0. Die Absogung E 2 = E 1 = 0 ist am Schaufelaustritt U 2 = −W lutgeschwindigkeit und daher die kinetische Energie der Einheitsmasse am Austritt der Schaufel ist in beiden Fällen Null.

5.3.5 Beispiele Nachdem die Bewegung eines Wasserteilchens in einer rotierenden Schaufel eingehend analysiert worden ist, werden hier nun zwei Beispiele gezeigt, um die Eigenschaften einer derartig kombinierten Bewegung zu veranschaulichen.

Beispiel 1: Beiträge der einzelnen Kräfte zur Arbeitsleistung In obigen Abschnitten sind die Wirksamkeiten der Zentrifugal-, Coriolis- und Impulskräfte in rotierenden Schaufeln untersucht worden. Die Arbeit, die die einzelnen Kräfte in der Halbkreisschaufel unter der allgemeinen Eintrittsbedingung E 1 = 0 leisten, ist jeweils nach Gl. (5.67), (5.81) und (5.95) zu berechnen. Aus Gründen der einfacheren Anwendung werden diese Gleichungen nochmals in zusammenfassender Darstellung aufgelistet:    1  ¯2 1 ∗ ect R1 − 2 E¯ 1 r¯b2 − 1 + = ±ko2 (5.67) E¯ 1 + R¯ 12 r¯b 3     1  ¯2 R − 2 E¯ 1 E¯ 1 + R¯ 2 − r¯b2 − 1 + 3  ∗ (5.81) = 2ko2 R¯ 12 − R¯ 2 eCo

5.3 Kraftwirksamkeit und die Leistungen

eI∗ = ±

2 

2ko 3¯rb

E¯ 1 + R¯ 12

3/2

3/2  − E¯ 1 + R¯ 2

103

 (5.95)

Dabei gilt nach Gl. (5.68)  1  E¯ 1 = 2 1 − 2ko R¯ 1 ko

(5.68)

Das positive Vorzeichen in den Gleichungen gilt für die positive Bewegung des Wasserteilchens gemäß Abb. 5.6a und das negative Vorzeichen entsprechend Abb. 5.6b. Die sich daraus aufsummierende Arbeit für den allgemeinen Fall E 1 = 0 stellt die Totalleistungsabgabe des betrachteten Wasserteilchens der Einheitsmasse dar: ∗ ∗ e∗ = ect + eCo + eI∗

(5.105)

Es soll hier zwischen einzelnen Leistungen verglichen werden, wobei nach Abb. 5.6a und 5.6b zwischen zwei Fällen unterschieden werden soll. Der Einfachheit halber wird wiederum der zweidimensionale Wasserstrahl betrachtet, dessen Geschwindigkeit doppelt so hoch wie die Umfangsgeschwindigkeit der Schaufelmitte ist, d. h. C0 = 2ω Ro bzw. ko = 0.5. Nach Gl. (5.68) bedeutet dies für beide Fälle jeweils:   (5.106) E¯ 1+ = 4 1 − R¯ 1 = −4¯rb   ¯ ¯ E 1− = 4 1 − R1 = 4¯rb (5.107) Die Darstellungen der Ergebnisse in Abb. 5.9a und 5.9b zeigen die entsprechenden Arbeitsleistungen, die jeweils von der Zentrifugal-, Coriolis- und Impulskraft erbracht werden, als Funktion des Schaufeldrehwinkels. Eine derartige Darstellung mit ωt als Variable findet sich in gleicher Weise bereits in Abb. 5.7 und 5.8. Die Summe der gesamten Arbeit ist ebenfalls dargestellt. Aus der Darstellung wird ersichtlich, dass die Wirkung der Impulskraft auf die Arbeitsleistung dominiert. Während die Wirkung der Zentrifugalkraft in beiden Fäl-

Abb. 5.9 Wirksamkeit von Zentrifugalkraft, Corioliskraft und Impulskraft in einer rotierenden Halbkreisschaufel e = ect +eCo +eI , Parameterfestlegung C0 = 2ωRo , rb /Ro = 0.1 (a) Positivströmung nach Abb. 5.6a, (b) Negativströmung nach Abb. 5.6b

104

5 Strömungsmechanik in der rotierenden Schaufel

len als vernachlässigbar klein betrachtet werden darf, leistet die Coriolis-Kraft einen beträchtlichen Beitrag zur Arbeitsleistung sowohl in positivem als auch negativem Sinne. Bis zum Austritt ist die gesamte geleistete Arbeit je nach Strömungsrichtung ∗ = 0.983 bzw. e ∗ = 0.993. e+ − Beispiel 2: KWO-Gedankenmodell Zur Anwendung der Invarianzgleichung wurde bei den Kraftwerken Oberhasli (KWO) im Jahre 2005 ein Gedankenmodell entworfen, deren Lösung durch Anwendung der Invarianzgleichung schnell gefunden werden kann. Es handelt sich dabei um eine fiktive Turbine mit zweidimensionaler Becherform nach Abb. 5.10. Für einen zweidimensionalen Wasserstrahl mit einem Geschwindigkeitsverhältnis von U1 /C0 = 0.5 lautete die Frage, ob beide Schaufelhälfte A und B die gleichen Leistungen bzw. die gleichen Wirkungsgrade haben, wenn das Wasser um 180◦ reibungsfrei umgelenkt ist. Aus der vorgegebenen Bedingung mit U1 /C0 = 0.5 ist ersichtlich, dass am Schaufeleintritt die Bedingung U1 = W1 herrscht. Nach der Invarianzgleichung W 2 − U 2 = const , die im vorliegenden Fall W 2 − U 2 = 0 ist, muss auch am Schaufelaustritt selbiges (U2 = W2 ) gegeben sein, sowohl bei Schaufelhälfte A als auch B. Dies bedeutet, dass die Absolutgeschwindigkeit am Schaufelaustritt in beiden Fällen (A und B) gleich Null sein muss: C2 = 0. Das bedeutet wiederum, dass die am Schaufeleintritt vorhandene kinetische Energie in beiden Schaufelhälften komplett abgegeben wird. Die Wirksamkeit beider Schaufelhälften ist daher gleich. Dieses Resultat ist bereits in Abschnitt 5.3.4 durch Gl. (5.103) für die Halbkreisschaufel nachwiesen worden. Dass in beiden Schaufelhälften die gleichen Leistungen ausgetauscht werden müssen, lässt sich durch eine weitere Berechnung beweisen, deren Ergebnis in

Abb. 5.10 KWOGedankenmodell mit zweidimensionaler reibungsfreier Strömung

5.3 Kraftwirksamkeit und die Leistungen

105

Abb. 5.11 Verlauf der geleisteten Arbeit der Strömung in der Schaufel A und B im KWOGedankenmodell: E 1 = 0, rb /R1 = 0.2

Abb. 5.11 grafisch dargestellt ist. Aus dem Diagramm lässt sich erkennen, dass bei der Schaufelhälfte A die von der Wasserströmung geleistete Arbeit mit der Zeit bzw. Schaufeldrehung sanft zunimmt. Aufgrund der niedrigen Relativgeschwindigkeit erreicht das Wasser erst nach einer Schaufeldrehung von ca. 45◦ den Austritt. Dagegen leistet die Wasserströmung bei der Schaufelhälften B zuerst fast nichts. Erst kurz vor dem Austritt steigt die geleistete Arbeit drastisch an. Da die Relativgeschwindigkeit hier höher ist als diejenige in Schaufelhälfte A, erreicht das Wasser bereits nach einer Schaufeldrehung von etwa 30◦ den Austritt. Zum besseren Verständnis derartiger Strömungen soll die Wirkung der CoriolisKraft näher betrachtet werden. In der Schaufelhälfte A zeigt die Coriolis-Kraft in Richtung zur Schaufeloberfläche, sodass diese Kraft eine positive Arbeit leistet. Dagegen weist die Coriolis-Kraft in Schaufelhälfte B weg von der Schaufeloberfläche und leistet daher eine negative Arbeit. Unter der Berücksichtigung unterschiedlicher Impulskräfte ergeben sich schließlich in beiden Schaufelhälften die gleichen Endleistungen. Das fiktive Strömungsmodell kann erweitert werden, indem zwei unterschiedlich große Schaufelhälften verwendet werden. Unter den gleichen, wie ursprünglich formulierten Bedingungen, erhält man das gleiche Ergebnis.

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Kapitel 6

Wasserausbreitung in der Schaufel

6.1 Relativdurchfluss Die Ausbreitung des Wassers in Pelton Schaufeln erfolgt dreidimensional und wird mit dem Impulssatz berechnet. Die Fließgeschwindigkeit des Wassers in einer rotierenden Schaufel kann durch die Invarianzgleichung beschrieben werden, wie dies bereits in Abschnitt 5.2 abgeleitet wurde. Nach Gl. (5.23) verfügen alle Wasserteilchen in einer Strahlschicht über dieselbe Energieinvarianz. Werden Geschwindigkeitspläne am Schaufeleintritt für Wasserteilchen in einer Strahlschicht nach Abb. 6.1a betrachtet, so gilt wegen Ux = U cos α = ωh s = const : W0x = C0 − Ux = const

(6.1)

Diese Beziehung deutet darauf hin, dass sämtliche Wasserteilchen in einer Strahlschicht vor Eintreten in die Schaufel (Index 0) die gleiche konstante Geschwindigkeitskomponente W0x haben. Die entsprechenden Geschwindigkeitsdiagramme zu drei unterschiedlichen Zeitpunkten, an denen drei bestimmte Wasserteilchen in der betrachteten Strahlschicht jeweils in die Schaufel eintreten, sind in Abb. 6.1b dargestellt. Da die Dicke der Strahlschicht und somit der Querschnitt der betrachteten Strahlschicht konstant ist, muss der Durchfluss im relativen System während der Interaktion zwischen einer Strahlschicht und der rotierenden Schaufel konstant sein:  Q˙ w = A · W0x = const

(6.2)

Der in dieser Gleichung angegebene Durchfluss bleibt auch in der rotierenden Schaufel erhalten. Da dort immer mit dem Betrag der Relativgeschwindigkeit gerechnet wird, ist der Durchfluss in einer Schaufelhälfte entsprechend durch  Q˙ w /2 = d · h · W gegeben. Somit kann der elementare Filmströmquerschnitt als Produkt der Filmhöhe h und der elementaren Filmbreite d nach Abb. 6.2 berechnet werden: 1 W0x d · h = A · 2 W Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

(6.3)

107

108

6 Wasserausbreitung in der Schaufel

Abb. 6.1 Geschwindigkeitsplan von Wasserteilchen aus der gleichen Strahlschicht bei Eintritt in die Schaufel

Abb. 6.2 Allgemeine Ausbreitung des Wasserstrahls in der Pelton-Schaufel

Zu beachten ist, dass die Relativgeschwindigkeit W in der rotierenden Schaufel nicht nur von der veränderlichen Relativgeschwindigkeit W0 vor Wassereintritt in die Schaufel abhängt (siehe Abb. 6.1). Sie ändert sich entsprechend der Invarianzgleichung auch mit der lokalen Umfangsgeschwindigkeit und ist daher im Allgemeinen nicht konstant. Gemäß Gl. (6.2) ändert sich der Relativdurchfluss von Schicht zu Schicht, nicht nur aufgrund der Änderung des Querschnitts A, sondern auch aufgrund der Änderung der Geschwindigkeitskomponente W0x . Der Relativdurchfluss einer ganzen

6.1 Relativdurchfluss

109

Strahlhälfte ergibt sich aus der Integration der Gl. (6.2) zu d0 /2 A0 1 1 dA Q˙ w = W0x d A = (C0 − ωh s ) dy 2 2 2 dy 0

(6.4)

−d0 /2

 Mit h s = Rm + y und d A = 2 (d0 /2)2 − y 2 · dy als Querschnitt einer infinitesimal dünnen Strahlschicht nach Abb. 6.2 ergibt sich der entsprechende Relativdurchfluss mit 1 Q˙ w 1 = πd02 (C0 − ω Rm ) = πd02 W0x,o 2 8 8

(6.5)

Die repräsentative Geschwindigkeit ist W0x,o . Sie ist die x-Komponente der Relativgeschwindigkeit der Strahlschicht auf der Strahlachse. Weil diese repräsentative Geschwindigkeit unabhängig von der Schaufelstellung ist, ist der Relativdurchfluss nach Gl. (6.5) konstant und gilt für alle Schaufelstellungen, an denen der Wasserstrahl in die Schaufel eintritt. An dieser Stelle soll darauf aufmerksam gemacht werden, dass der Relativdurchfluss nicht als Produkt aus dem Betrag der Relativgeschwindigkeit (W ) und dem Strahlquerschnitt betrachtet werden darf, sondern nach Gl. (6.5) als Produkt aus der Geschwindigkeitskomponente W0x,o und dem Strahlquerschnitt. Der Relativdurchfluss nach Gl. (6.5) bleibt auch in der rotierenden Schaufel erhalten. Wie in Gl. (6.3) soll in der Schaufel stets mit dem Betrag der aus allen Strahlschichten gemittelten Relativgeschwindigkeit gerechnet werden. Der mittlere Querschnitt des Wasserfilms als Produkt der Filmbreite d und -höhe h ist dann gegeben durch h ·d =

Q˙ w 1 W0x,o = πd02 2W 8 W

(6.6)

Obwohl der Durchfluss konstant ist, ändert sich der Betrag der Relativgeschwindigkeit W zum einen mit der Änderung der Relativgeschwindigkeit W0 vor Wassereintritt in die Schaufel (Abb. 6.1) und zum anderen mit der lokalen Umfangsgeschwindigkeit nach der Invarianzgleichung. Diese Änderung wird beträchtlicher, je größer die spezifische Drehzahl einer Pelton-Turbine ist. Dies begründet sich dadurch, dass nach Abb. 4.4 das erste Volleintreten des Wassers in die Schaufel (αb ) sehr früh beginnt und daher die Relativgeschwindigkeit W0 bis zum letzten Volleintreten des Wassers in einem großen Bereich variiert. Wird aus den Durchflüssen im absoluten Wasserstrahl und in der Relativströmung das Verhältnis Q˙ c / Q˙ w gebildet, so ergibt sich mit Q˙ c /2 = πd02 /8 · C0 (für eine Schaufelhälfte) und Q˙ w aus Gl. (6.5) 2λ =

C0 1 Q˙ c = = C 0 − ω Rm 1 − km Q˙ w

(6.7)

110

6 Wasserausbreitung in der Schaufel

Dies kann als die Anzahl der Schaufeln betrachtet werden, die gleichzeitig von einem Wasserstrahl beaufschlagt werden. Der Faktor λ wird, wie in Kapitel 4, ebenfalls als Multischaufelziffer bezeichnet. Sie berechnet sich nach Gl. (6.7) aus dem Volumenstromverhältnis, während die Multischaufelziffer nach Gl. (4.26) aus dem geometrischen Zusammenhang zwischen Wasserstrahl und rotierenden Schaufeln hergeleitet wurde. Da bei normaler Auslegung einer Pelton-Turbine km < 0.5 ist, gilt hier λ < 1. Für Pelton-Rädern mit sehr kleiner spezifischer Drehzahl tendiert der Schaufelstellungswinkel αo1 nach Gl. (1.30) zu Null. Gl. (4.26) geht dann in Gl. (6.7) über. Das Strömungsverhältnis ist dann vergleichbar mit dem bei einer geradlinig bewegten Schaufel.

6.2 Breite und Höhe des Wasserfilms Für Berechnungen von z. B. Wirkungsgrad und Reibungseffekt (siehe Kapitel 9) kann der größte Teil des Wassers nach Abb. 6.3 als senkrecht in die Schaufel eintretend betrachtet werden. Als erste Annäherung kann angenommen werden, dass die Filmbreite linear mit dem zurückgelegten Weg des Wasserfilms zunimmt, das heißt d = d0 +

d2 − d0 s S

(6.8)

Dabei stellen d2 und S jeweils die Filmbreite am Schaufelaustritt und die Lauflänge des Wassers in der Schaufel vom Eintritt zum Austritt dar. Am Schaufeleintritt ist die Wasserfilmbreite gleich dem Strahldurchmesser d0 . Am Schaufelaustritt kann die Filmbreite im Fall des Nennbetriebs (d0 ≈ B/3) mit 0.85 der Schaufelbreite B abgeschätzt werden. Daraus ergibt sich d2,N ≈ 2.5d0

Abb. 6.3 Querausbreitung des Wasserstrahls in der Pelton-Schaufel

(6.9)

6.3 Überdruck unter dem Wasserfilm

111

Wird die Wasserfilmhöhe h längs der in Abb. 6.3 gekennzeichneten Filmbreite d als konstant angenommen, so errechnet sich h aus dem Massenerhaltungssatz nach Gl. (6.6) 1 1 W0x,o h = πd02 8 d W

(6.10)

Unter Annahme senkrechten Eintretens des Wasserstrahls in die Schaufel folgt das Wasser der konstanten Umfangsgeschwindigkeit zum Schaufelaustritt. Nach der Invarianzgleichung und unter Voraussetzung einer reibungsfreien Strömung (Kapitel 5) bleibt auch die Relativgeschwindigkeit W in der Schaufel unverändert erhalten. Es gilt somit W = W0x,o . Die Berechnung der Wasserfilmhöhe nach Gl. (6.10) vereinfacht sich zu 1 1 h = πd02 8 d

(6.11)

Damit ergibt sich im Nennbetrieb am Schaufelaustritt mit d2,N ≈ 2.5d0, siehe Gl. (6.9), für die Filmhöhe h 2,N =

π d0 20

(6.12)

√ √ Da bei Nennbetrieb d0 /B = ϕ B = 0.11 gilt, kann die Höhe des Wasserfilms am Schaufelaustritt ausgedrückt werden mit h 2,N ≈ 0.05B

(6.13)

Tatsächlich ist der Film in der Mitte bezogen auf die Filmbreite am dicksten. Infolge der realen Strömungsreibung verlangsamt sich die Relativgeschwindigkeit in der Schaufel um bis zu 10% (Kapitel 10), sodass die Filmhöhe zusätzlich größer wird. Diese reale Filmhöhe muss berücksichtigt werden, wenn der störungsfreie Austritt des Wassers aus der Schaufel durch Festlegung des Austrittswinkels gewährleistet werden soll. Näheres zur Austrittsbedingung wird in Kapitel 7 behandelt.

6.3 Überdruck unter dem Wasserfilm Wird der lokale Krümmungsradius der Schaufel durch rb bezeichnet, so lässt sich der Überdruck pb an der Schaufeloberfläche nach Gl. (5.10) berechnen. Unter Einbezug der Laufzahl-Definition nach Gl. (1.18) wird zur Berechnung des Überdrucks unter dem Wasserfilm der spezifische Überdruck eingeführt: cp =

pb 1 2 2 ρC0

= 2 (1 − km)2

h rb

(6.14)

112

6 Wasserausbreitung in der Schaufel

Dabei wurde die Annahme W = C0 − Um verwendet, die im Grunde genommen nur für senkrechtes Eintreten der mittleren Strahlschicht in die Schaufel gilt. Die Wasserfilmhöhe ist nach Gl. (6.11) zu berechnen. Daraus ergibt sich der spezifische Überdruck cp = (1 − km)2

π d02 4 rb d

(6.15)

Die Größenordnung von cp -Werten kann bei einer Schaufelströmung abgeschätzt werden. Hierfür wird der Nennbetrieb betrachtet, bei dem angenommen werden kann, dass am Schaufelboden der Krümmungsradius rb gleich 0.55d0 ist (Abb. 5.3). Die Filmbreite d lässt sich dort nach Gl. (6.8) abschätzen. Mit d2,N ≈ 2.5d0 und s ≈ S/2 ergibt sich die abgeschätzte Filmbreite zu 1.75d0. Daraus und mit km = 0.47 errechnet sich der spezifische Überdruck am Schaufelboden zu cp,N ≈ 0.23

(6.16)

Dieser Wert entspricht sehr genau dem gemessenen cp,N -Wert bei Angehrn (2000) und auch dem umgerechneten Messwert bei Perrig et al. (2006).

Kapitel 7

Austrittsbedingungen

Bei der Auslegung von Pelton-Turbinen ist es außerordentlich wichtig, dass das Wasser die Schaufeln sowie das Pelton-Rad störungsfrei verlassen kann. Der Betrag der Abfließgeschwindigkeit ist zwar ein Maß für den Drallverlust (siehe Kapitel 8), muss aber für den sicheren Abfluss des Wassers aus den Schaufeln groß genug sein. Die entsprechenden Austrittsbedingungen sind offensichtlich von der Bauart und Geometrie sowie dem Betrieb der Turbine abhängig. Sie sind beispielsweise unterschiedlich für horizontale und vertikale Pelton-Turbinen. Dies begründet sich dadurch, dass bei Pelton-Turbinen mit vertikalen Drehachsen das Wasser aus den oberen Schaufelhälften nicht wieder auf dem Rad landen darf. Dafür werden spezielle Austrittsbedingungen verlangt. Bevor dies ausführlich behandelt wird, soll zuerst allgemein gezeigt werden, wie die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers und deren Verteilung längs der Austrittskante der Schaufel verlaufen. Davon ausgehend wird die allgemeine Austrittsbedingung abgeleitet.

7.1 Geschwindigkeitsverhältnis am Schaufelaustritt Es wird hier die Wasserströmung für die Situation nach Abb. 7.1 betrachtet, bei der das Wasser hauptsächlich quer durch die Schaufel fließt. Die Laufzahl des Turbinenbetriebs ist km . Nach Gl. (5.25) ist die Verteilung der Energieinvarianz quer durch den Wasserstrahl gegeben durch   Ey y 1 + (5.25) = 1 − 2k m Rm C02 Je nach Laufradgeometrie und Betriebspunkt ist es möglich, dass Strahlschichten mit großen y-Werten negative Energieinvarianzen aufweisen. Da nach der Invarianzgleichung gemäß Gl. (5.18) diese negativen Energieinvarianzen bis zum Schaufelaustritt erhalten bleiben müssen, bedeutet dies, dass die lokale Relativgeschwindigkeit am Schaufelaustritt kleiner als die dortige Umfangsgeschwindigkeit ist (W2 < U2 ). Der entsprechende Geschwindigkeitsplan ist in Abb. 7.1 dargestellt. Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

113

114

7 Austrittsbedingungen

Abb. 7.1 Allgemeines Strömungsverhältnis am Schaufelaustritt. Bei hinreichend niedriger Laufzahl kann E > 0 und somit Cu2 < 0 im ganzen Bereich erreicht werden

Die negative Energieinvarianz des Wassers bedeutet somit nach vorwärts neigenden Wasserabfluss (Cu2 > 0) aus der Schaufel. Nur wenn die Laufzahl km genügend tief ausgelegt ist, wird E y > 0. Somit kann der nach rückwärts neigende Wasserabfluss (Cu2 < 0) längs der ganzen Austrittskante der Schaufel gewährleistet werden. Dass diese Austrittsbedingung für Pelton-Turbinen mit vertikalen Achsen notwendig ist, wird in Abschnitt 7.3 gezeigt.

7.2 Allgemeine Austrittsbedingung Damit das Wasser die Schaufeln verlassen kann, ohne die nachkommenden Schaufeln zu berühren, muss das Wasser mit der Austrittsgeschwindigkeit C2 eine seitliche Geschwindigkeitskomponente aufweisen, die nach Abb. 7.2 der x-Komponente entspricht. Es wird angenommen, dass mit dieser Geschwindigkeitskomponente das Wasserteilchen an der Oberfläche des Wasserfilms die Zeit t benötigt, um seitlich mindestens eine Strecke von h a zurückzulegen. Mit h a ist hier die Summe von Wasserfilmhöhe und Schaufelwanddicke bezeichnet. Die Austrittsbedingung kann daher folgendermaßen formuliert werden: C2x t > h a

(7.1)

Da der Wasserfilm bei Volllastbetrieb am dicksten ist, soll die Dicke h a immer auf Volllast (Nennbetrieb) bezogen werden. Innerhalb der Zeit t legt die nachkommende Schaufel eine Strecke von Tu zurück, während das betrachtete Wasserteilchen eine Strecke von Tc in der Gegenrich-

7.2 Allgemeine Austrittsbedingung

115

Abb. 7.2 Bestimmung der Austrittsbedingung an der Schaufel

tung zurücklegt. Im kritischen Fall muss die Zeit t in Gl. (7.1) gerade so groß sein, dass die Summe dieser zwei Strecken gleich der Schaufelteilung ist, das heißt   TS = Tu + Tc = U2 + C2y t (7.2) Daraus folgt t =

TS U2 + C2y

(7.3)

Nach dem Geschwindigkeitsplan in Abb. 7.2 gilt die Beziehung C2y = W2y − U2 . Somit wird aus Gl. (7.3) t =

TS W2y

(7.4)

Diese Zeitspanne wird in Gl. (7.1) eingesetzt. Mit C2x = W2x ergibt sich dann h a W2y <1 TS W2x

(7.5)

Wegen tan β2 = −W2x /W2y erhält man schließlich −

ha 1 · <1 TS tan β2

(7.6)

116

7 Austrittsbedingungen

Das ist die Bedingung, die erfüllt werden muss, damit das Wasser aus der Schaufel frei abfließen kann. Es kann nachgewiesen werden, dass sich die gleiche Bedingung ergibt, wenn der Wasserabfluss sich vorwärts neigt, d. h. C2y < 0 nach Abb. 7.2. Der aus Gl. (7.6) bestimmte Austrittswinkel hängt von der spezifischen Drehzahl einer Pelton-Turbine ab. Bei Pelton-Turbinen mit großer spezifischer Drehzahl (n q ) d. h. mit relativ enger Schaufelverteilung wird das Verhältnis h a /TS groß. Der Austrittswinkel β2 muss dann so ausgelegt werden, dass das Wasser mehr seitlich abgelenkt wird. Diese Abhängigkeit wird im Folgenden berechnet. Die Schaufelteilung TS in Gl. (7.6) wird in Anbetracht der Gl. (4.30) zur Bestimmung der Schaufelzahl berechnet aus TS =

π Dm π Dm = N 15 + 0.62/n q

(7.7)

Die Höhe des Wasserfilms beim Nennbetrieb wurde bereits in Gl. (4.30) angegeben. Mit der Annahme, dass die Höhe des Wasserfilms näherungsweise gleich der Schaufeldicke ist, also dass h a = 2h 2.N = 0.1B ist, ergibt sich aus Gl. (7.6)   0.62 0.1 B tan β2 > − 15 + (7.8) π Dm nq Für die weitere Berechnung wird Gl. (1.27) verwendet, um B/Dm durch die spezifische Drehzahl n q zu ersetzen. Da es sich um Nennbetrieb handelt, gilt wiederum ϕB = 0.11. Mit km = 0.47 erhält man aus Gl. (7.8)   tan β2 > − 1.2n q + 0.05 bzw. (7.9)   β2 < π − arctan 1.2n q + 0.05 (7.10) Die daraus gerechneten Grenzwerte des Schaufelaustrittswinkels in Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl sind in Abb. 7.3 dargestellt. Es ist ersichtlich, dass bei Pelton-Turbinen mit großer spezifischer Drehzahl die Strömung am Schaufelaustritt mehr abgelenkt werden muss als bei Pelton-Turbinen mit kleiner spezifischer Drehzahl. Zu bemerken ist, dass sowohl die Berechnung nach Gl. (7.10) als auch die grafische Darstellung in Abb. 7.3 nur für die Schaufeldicke gelten, die gleich der Höhe des Wasserfilms ist. Dies entspricht lediglich näherungsweise der praktischen Auslegung von Pelton-Schaufeln. Zur genauen Bestimmung des Schaufelaustrittswinkels β2 muss die Bedingung nach Gl. (7.6) direkt bezogen werden. Dabei ist die Höhe des Wasserfilms h 2,N = 0.06 B statt des Mittelwertes gemäß Gl. (6.13) zu verwenden, da der Film in der Mitte bezogen auf die Filmbreite am dicksten ist und die Höhe des Wasserfilms infolge der reibungsbedingten Verzögerung der Strömung zusätzlich größer wird. Andererseits verlässt das Wasser gegenüber dem geometrischen Austrittswinkel (180◦ − β2 ) um einen sogenannten Übertreibungswinkel von 5◦ bis 8◦ (Raabe 1989) die Schaufel. Da das Wasser zu Gunsten der Austrittsbedingung dementsprechend stärker seitlich abgelenkt wird, soll dies bereits bei der geometrischen Auslegung der Pelton-Schaufeln berücksichtigt werden.

7.2 Allgemeine Austrittsbedingung

117

Abb. 7.3 Schaufelaustrittswinkel in Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl, ermittelt mit der Annahme, dass die Schaufeldicke gleich der Dicke des Wasserfilms ist

In obigen Betrachtungen steht β2 für den Austrittswinkel, der stets von der Richtung der Umfangsgeschwindigkeit gemessen werden soll. Unter dieser Bedingung gelten die Berechnungen auch für die Auslegung des Austrittswinkels im Schaufelwurzelbereich und im Bereich des Schaufelausschnitts. Gemäß Gl. (7.6) muss man jeweils mit der entsprechenden Schaufelteilung TS rechnen. Oft ist es vorteilhaft, den Austrittswinkel bezogen auf die Schaufelaustrittskante anzugeben, die nach Abb. 7.4 eine Tangente zu einem Grundkreis mit dem Radius ra ist. Bei dieser Betrachtungsweise wird der Strömungsverlauf am Schaufelausschnitt wie auch im Wurzelbereich deutlich unterschiedlich zum Strömungsverlauf im Schaufelmittenbereich (bei Dm ). Wenn die Neigung der Schaufelaustrittskante durch δ bezeichnet ist, so berechnet sich der Strömungswinkel β  2 im Bereich des Schaufelausschnitts nach Abb. 7.4 β2 = 270◦ − δ − β2 Für beispielsweise β2 = 173◦ und δ = 7◦ ergibt sich β  2 = 90◦ .

Abb. 7.4 Bestimmung des Austrittswinkels bezogen auf die Schaufelaustrittskante

(7.11)

118

7 Austrittsbedingungen

Der Austrittsverlauf des Wassers steht also in diesem Fall senkrecht zur Schaufelaustrittskante. Im Schaufelwurzelbereich wird der Austrittswinkel β2 nach Abb. 7.4 entsprechend berechnet mit β2 = 270◦ + δ − β2

(7.12)

Für β2 = 165◦ und δ = 10◦ ergibt sich der Austrittswinkel β  2 = 115◦ . Gegenüber der Schaufelaustrittskante verläuft die Strömung also deutlich flach.

7.3 Austrittsbedingung für Vertikalturbinen Bei vertikalen Pelton-Turbinen tritt das Wasser aus den oberen Schaufelhälften nach oben aus. In der Auslegung sowie für den Betrieb von solchen Turbinen muss darauf geachtet werden, dass das Austrittswasser genügende Energie hat, um das Rad nach Abb. 7.5 gegen die Erdanziehungskraft über der Strecke T sicher zu verlassen. Zwei Aspekte müssen berücksichtigt werden: • Das Wasser aus dem Schaufelteil in der Wurzelzone hat die größte Strecke über das Turbinenrad zurückzulegen und stellt daher den kritischsten Fall dar. • Das Wasser aus dem Schaufelteil in der Nähe des Schaufelausschnitts muss rückwärts, d. h. gegen die Drehrichtung der Schaufel, gerichtet sein, damit es im ganzen Bereich längs der Schaufelaustrittskante rückwärts abfließt. Offenbar sind beide Aspekte mit der Laufzahl der Pelton-Turbine gekoppelt. Für den sicheren Betrieb einer Pelton-Turbine muss die Laufzahl hinreichend tief (nach Abschnitt 7.1) festgelegt werden, damit die Bedingungen der beiden Aspekte erfüllt werden können.

7.3.1 Bedingung für die Austrittsströmung in der Wurzelzone Damit das Wasser über der Strecke T störungsfrei abfließen kann, muss die kleinste Austrittsgeschwindigkeit C2 aus der Schaufel bestimmt werden. Die freie Bewegung des Wassers nach dem Austritt aus der Schaufel ist unter Berücksichtigung des Schwerkrafteinflusses zu berechnen. Nach dem festgelegten Koordinatensystem in Abb. 7.5 sind die beiden Geschwindigkeitskomponenten des „fliegenden“ Wassers jeweils berechnet zu C2x = C2x,0

(7.13)

C2y = C2y,0 − gt

(7.14)

mit C2x,0 und C2y,0 als jeweilige Geschwindigkeitskomponente am Schaufelaustritt.

7.3 Austrittsbedingung für Vertikalturbinen

119

Abb. 7.5 Bestimmung der Mindestschaufelaustrittsgeschwindigkeit bei einer Pelton-Turbine mit vertikaler Drehachse

Die Bahnlinie des fliegenden Wassers in Abhängigkeit von der Zeit t erhält man durch Integration der obigen Geschwindigkeiten als x = C2x,0 · t

(7.15)

1 y = C2y,0 · t − g · t 2 2

(7.16)

Die Bahnlinie ist daher in der Form y = f (x) gegeben. Für den störungsfreien Wasserflug muss die folgende Bedingung am Ende der Flugstrecke erfüllt werden: y = f (T ) > h a

(7.17)

Dabei stellt h a nach Abb. 7.5 die Summe der Wasserfilmhöhe und Schaufelwanddicke dar.

120

7 Austrittsbedingungen

Die nach Gl. (7.17) angegebene Bedingung wird auf die Gln. (7.15) und (7.16) angewendet. Dadurch erhält man T = C2x,0 · t

(7.18)

1 h a = C2y,0 · t − g · t 2 2

(7.19)

Eliminiert man die Zeit t und unter der Berücksichtigung von tan α2 = −C2y,0/C2x,0 lässt sich die Geschwindigkeit C2x,0 ermitteln aus 2 =− C2x,0

gT 2 (h a /T + tan α2 )

(7.20)

Das ist die kleinste Austrittsgeschwindigkeit, die das Wasser besitzen muss, um sicher vom Pelton-Rad wegspritzen zu können. Dies soll auf die Austrittsströmung aus der Schaufelwurzelzone angewandt werden, da dort die Flugstrecke des Wassers offensichtlich am größten ist. Es stellt sich die Frage, wie die kleinste Austrittsgeschwindigkeit nach Gl. (7.20) überhaupt erreicht werden kann. Es ist offensichtlich, dass dafür die Laufzahl km nach Abschnitt 7.1 hinreichend tief festgelegt werden muss. Die sich daraus ergebene tatsächliche Austrittsgeschwindigkeit aus der Schaufelwurzelzone soll dann mit dem erforderlichen Wert nach Gl. (7.20) verglichen werden. Dazu wird der Sinussatz für den Geschwindigkeitsplan entsprechend Abb. 7.5 angewendet: C2 =

sin β2 W2 sin α2

(7.21)

bzw. in der Form der Geschwindigkeitskomponente C2x,0 = C2 cos α2 =

sin β2 W2 tan α2

(7.22)

Die Aufgabe besteht nun darin, die Relativgeschwindigkeit im Bereich der Schaufelwurzel (W2 ) sowie den Strömungswinkel α2 sowohl in Gl. (7.20) als auch in Gl. (7.22) in Abhängigkeit von der Laufzahl zu bestimmen. Dazu kann die Invarianzgleichung verwendet werden. Aus der Realität wird nach Abb. 7.1 angenommen, dass das Wasser in der Strahlschicht y = −d0 /2 die Schaufelwurzel erreichen wird. Die Energieinvarianz, die diese Strahlschicht besitzt, ist nach Gl. (5.25) mit Dm = 2Rm :   E −d0 /2 d0 1 − (7.23) = 1 − 2k m Dm C02 Da die Energieinvarianz E −d0 /2 bis zum Austritt im Bereich der Schaufelwurzel (Index 2) erhalten bleibt, gilt somit   W22 − U22 d0 1 − (7.24) = 1 − 2k m Dm C02

7.3 Austrittsbedingung für Vertikalturbinen

121

Daraus kann die entsprechende Relativgeschwindigkeit berechnet werden aus   d0 = 2 + 1 − 2km 1 − Dm C02 C0

W22

U22

(7.25)

Mit dem Peripheriedurchmesser D2 der Schaufelwurzel und aus dem ZusammenD2 Um U2 2 hang U C 0 = C 0 · Um = k m Dm ergibt sich dann W22 C02

 2 = km

D2 Dm

2

  d0 + 1 − 2km 1 − Dm

Nun wird Gl. (7.26) in Gl. (7.22) eingesetzt. Daraus resultiert

    d0 sin β2 C2x,0 D2 2 2 = k + 1 − 2km 1 − C0 tan α2 m Dm Dm

(7.26)

(7.27)

Das ist der Zusammenhang, aus dem die zur Strahlschicht y = −d0 /2 gehörende Geschwindigkeit der Wasserströmung am Schaufelaustritt in Abhängigkeit von der Laufzahl bestimmt werden kann. Um zusammen mit der Bedingung nach Gl. (7.20) die gesuchte Laufzahl bestimmen zu können, muss der Austrittswinkel α2 sowohl in Gl. (7.27) als auch in Gl. (7.20) noch als Funktion der Laufzahl bestimmt werden. Dazu lässt sich der Sinussatz für den Geschwindigkeitsplan nach Abb. 7.5 einsetzen: W2 U2 U2 = = sin α2 sin (β2 − α2 ) sin β2 cos α2 − cosβ2 sin α2

(7.28)

Daraus erhält man tan α2 = bzw. mit

U2 C0

sin β2 U2 /W2 + cosβ2

(7.29)

= km DDm2 :

tan α2 =

sin β2 km (D2 /Dm ) (C0 /W2 ) + cos β2

(7.30)

Dabei kann W2 /C0 aus Gl. (7.26) berechnet werden. Somit ist auch der Zusammenhang α2 = f (km ) berechenbar. Die obigen Berechnungen bilden ein in sich geschlossenes System, um die kritische Laufzahl zu bestimmen, unterhalb derer die erforderliche Austrittsgeschwindigkeit C2x,0 nach Gl. (7.20) erreicht werden kann. Die Berechnung kann tabellarisch erfolgen, wie dies im folgenden Beispiel veranschaulicht ist. Anhand des Beispiels zeigt sich, dass die Austrittsbedingung nach Gl. (7.20) in allgemeinen Betrieben von Pelton-Turbinen bei weitem erfüllt wird.

122

7 Austrittsbedingungen

Beispiel: Die betrachtete Pelton-Turbine hat folgende Dimensionen: • • • • • •

Schaufelbreitverhältnis: B/Dm = 0.25; Wurzeldurchmesserverhältnis: D2 /Dm = 0.65; Austrittswinkel in der Schaufelwurzelzone: β2 = 170◦ ; Strecke zum Überqueren: T = 1.5 m; Dickenverhältnis: h a /T = 0.025; Fallhöhe: H = 300 m.

Bei Volllast wird d0 = B/3 angenommen. Die Ausdrücke von d0 /Dm in Gln. (7.26) und (7.27) werden dann durch 13 B/Dm ersetzt. Tabelle 7.1 zeigt den Rechenvorgang und Vergleich mit der erforderlichen Austrittsgeschwindigkeit, wobei in der letzten Zeile die verwendeten Gleichungen angegeben sind. Tabelle 7.1 Bestimmung der Austrittsgeschwindigkeit in der Schaufelwurzelzone im Vergleich mit den erforderlichen Sollwerten km

W2 /C0 U2 /W2 α2 (◦ ) (C2x /C0 )ist (C2x /C0 )soll

0.44 0.45 0.46 0.47 Gln.

0.52 0.55 0.51 0.57 0.50 0.60 0.48 0.63 (7.26) (7.32)

158.4 157.1 155.6 153.6 (7.31)

0.231 0.210 0.190 0.169 (7.27)

0.058 0.056 0.054 0.052 (7.20)

Bei der Berechnung des Winkels α2 in der Tabelle 7.1 ist darauf zu achten, dass für tan α2 < 0 der Winkel α2 > 90◦ ist. Dementsprechend folgt aus Gl. (7.29)   sin β2 α2 = π + arctan (7.31) U2 /W2 + cosβ2 Ferner errechnet sich das Geschwindigkeitsverhältnis U2 /W2 aus U2 C 0 Um D2 D2 C 0 = = km W2 W2 C0 Dm Dm W2

(7.32)

Die entsprechenden Rechenergebnisse sind in Abb. 7.6 veranschaulicht. Anhand des gezeigten Beispiels ist offensichtlich zu erkennen, dass die Bedingung für störungsfreies Abfließen des Wassers im Bereich der Schaufelwurzel für alle berechneten km -Werte bei weitem erfüllt ist. Obwohl es sich hier um ein Beispiel handelt, wird die entsprechende Bedingung erwartungsgemäß auch bei anderen Turbinen immer erfüllt. Dies kann man in der vorgeführten tabellarischen Berechnung durch Änderung aller relevanten Parameter schnell feststellen. Aus diesem Grund kann davon ausgegangen werden, dass der Abfluss des Wassers auch in der Wurzelzone der Schaufel problemlos erfolgt. Der Einfluss des Dickenverhältnisses h a /T in Gl. (7.20) ist übrigens vernachlässigbar klein.

7.3 Austrittsbedingung für Vertikalturbinen

123

Abb. 7.6 Reale und erforderliche Austrittsgeschwindigkeit in der Schaufelwurzelzone

Die Betrachtung gilt für das sichere Abfließen des Wassers aus den oberen Schaufelhälften. Im Fall, dass die Austrittsbedingung sehr ungünstig ist, können die oberen und unteren Schaufelhälften jeweils unterschiedlich ausgelegt werden, da die unteren Schaufelhälfte nicht an die behandelten Austrittsbedingungen gebunden sind. Eine derartige Auslegung wurde, soweit bekannt, praktisch noch nicht umgesetzt. Der Grund dafür dürfte in der Tatsache liegen, dass das Spritzwasser die Leistung der Pelton-Turbine nur geringfügig beeinflusst, wie dies in Abschnitt 7.3.3 noch gezeigt wird.

7.3.2 Bedingung für die Austrittsströmung im Ausschnittsbereich Nach Abb. 7.5 muss man insbesondere dafür sorgen, dass die absolute Austrittsgeschwindigkeit im Ausschnittsbereich ebenfalls rückwärts gerichtet ist. Quantitativ heißt das, dass die Energieinvarianz von der äußersten Schicht des Wasserstrahls (y = d0 /2, siehe auch Abb. 7.1) größer als Null sein muss. Das heißt wiederum, dass die Energieinvarianz des gesamten Wasserstrahls größer als Null wird. Dies wird nach Gl. (5.28) erreicht, wenn die folgende Bedingung für die Strahlschicht bei y = d0 /2 erfüllt ist nq Eb >0 = (1 − 2km) − 2 1.32 C0

(7.33)

Daraus erhält man die maximal zulässige Laufzahl km, max = 0.5 − 0.38n q

(7.34)

Diese Bedingung deutet darauf hin, dass bei Pelton-Turbinen mit großer spezifischer Drehzahl die Laufzahl km deutlich reduziert werden muss (Abb. 7.7). Für eine spezifische Drehzahl von n q = 0.1 muss die Laufzahl beispielsweise auf ca. km = 0.46

124

7 Austrittsbedingungen

Abb. 7.7 Maximale Laufzahl für störungsfreien Wasseraustritt im Bereich des Schaufelausschnitts für Turbinen mit vertikalen Drehachsen

reduziert werden. Dies entspricht wiederum einer Einstellung, die sich in der Praxis bereits sehr bewährt hat. Da die erforderliche Laufzahl nach Gl. (7.34) deutlich unter 0.5 liegt, wird die Bedingung für das sichere Wegfliegen des Wassers von der Schaufelwurzel über das Pelton-Rad automatisch erfüllt (Abschnitt 7.3.1). Die Laufzahl nach Gl. (7.34) gewährleistet somit das sichere Überqueren des Pelton-Rades im ganzen Schaufelbereich. Gl. (7.34) gilt daher als Auslegekriterium einer vertikalen Pelton-Turbine. Die hier erarbeitete Notwendigkeit, dass die Laufzahl km einen Wert kleiner als 0.5 annehmen soll, dürfte der zweite Grund sein, weshalb in der Praxis die Laufzahl üblicherweise mit einem Wert kleiner als 0.5 festgelegt wird. Dieser Sachverhalt gilt zumindest für vertikale Pelton-Turbinen. Als erster Grund sei hier an die Koinzidenz- und Symmetriebedingungen (Abschnitt 4.4) erinnert, aus denen die Laufzahl km bereits mit Werten kleiner als 0.5 ermittelt wurde.

7.3.3 Auswirkung des Spritzwassers im Fall km > km,max Es wurde gezeigt, dass für den störungsfreien Wasserabfluss die Bedingung km ≤ km,max erfüllt werden soll. Im Fall km > km,max landet ein Teil des Wassers aus den oberen Schaufelhälften wieder auf dem Pelton-Rad und muss von diesem auf maximal Um beschleunigt werden. Die dadurch verbrauchte spezifische Energie ist 1 2 1 2 2 Um . In Bezug auf die spezifische Energie 2 C0 des Wasserstrahls beträgt der ent2 sprechende Verlust dann ηi = km . Es wird hier angenommen, dass 5% des Wasser aus den oberen Schaufelhälften, oder 2.5% bezogen auf die Gesamtwassermenge in 2 der Turbine, das Rad nicht korrekt verlassen und daher einen Verlust von ηi = km bewirken. Der dadurch entstandene Verlust im Systemwirkungsgrad beträgt dann maximal (für km = 0.5) 2 η = 0.025 · ηi = 0.025 · km ≈ 0.6%

(7.35)

7.3 Austrittsbedingung für Vertikalturbinen

125

Dieser Verlust ist unbeträchtlich. Diese Abschätzung gilt auch allgemein für den Leistungsverlust durch Spritzwasser, das wiederum vom Pelton-Rad auf etwa Um beschleunigt wird, nicht nur in Vertikal-, sondern auch in Horizontalturbinen. Daraus lässt sich schließen, dass der Wirkungsgradverlust durch Spritzwasser nicht mehr als 1% bis 2% beträgt. Da das Auftreffen kleiner Wassermenge auf das Pelton-Rad als nicht folgenschwer zu bewerten ist, darf dann auch die Laufzahl den maximalen Wert nach Gl. (7.34) geringfügig übersteigen. Dadurch gewinnt man wiederum an hydraulischem Wirkungsgrad durch Reduktion des Austrittsverlustes.

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Kapitel 8

Austrittsverluste

Zur Bestimmung und Erhöhung des Systemwirkungsgrades von Pelton-Turbinen ist es unentbehrlich zu wissen, welche hydraulischen und mechanischen Verluste es gibt und wie solche Verluste bestimmt und vor allem auch effizient reduziert werden können. Die Bestimmung des Wirkungsgrades einer Pelton-Turbine erfolgte bis heute fast ausschließlich aus Messungen, entweder direkt in einem Kraftwerk durch thermodynamische Messungen nach der Norm IEC60041 oder auf einem Prüfstand mit einer Modellturbine. Aus solchen Messungen ist es jedoch nicht ohne weiteres möglich, Informationen zur Wirksamkeit einzelner Komponenten einer PeltonTurbine zu gewinnen sowie Aussagen über Einzelverluste wie Drall- und Austrittsverluste, Reibungsverluste, Ventilations- und Lagerreibungsverluste zu treffen. Um all diese Einzelverluste in einer Pelton-Turbine beurteilen zu können, werden, ausgehend von diesem Kapitel, zuerst die Drallverluste für reibungsfreie Strömungen in der Schaufel und die Verluste aufgrund des gestörten Abfließens des Wassers unmittelbar nach dem Austritt aus der Schaufel berechnet. Die anderen hier aufgezählten Verluste werden in den darauf folgenden Kapiteln behandelt.

8.1 Drallverluste Der Drallverlust steht in Verbindung mit dem Austrittsdrall des Wassers beim Verlassen der rotierenden Pelton-Schaufeln und entsteht dadurch, da das Wasser noch über kinetische Energie verfügt, die nicht mehr umgesetzt werden kann. Für eine geradlinig bewegte Schaufel als ein Sonderfall wurde ein derartiger Austrittsverlust bereits in der Berechnung des Wirkungsgrades nach Gl. (1.16), Kapitel 1, berücksichtigt. Zur Abschätzung der entsprechenden Verhältnisse in einer Pelton-Turbine wurde Gl. (1.40) verwendet, die direkt aus dem Rechenmodell für geradlinig bewegte Schaufeln übernommen wurde. Sie gibt die prozentuale Nutzung der im Wasserstrahl vorhandenen kinetischen Energie an. Der hydraulische Wirkungsgrad beträgt 100%, wenn der Drallverlust Null ist.

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

127

128

8 Austrittsverluste

Bei Pelton-Turbinen wird das Strömungsverhältnis so festgelegt, dass das Wasser aus jeder Schaufel seitlich abfließt, um den Weg für die nachkommende Schaufel frei zu machen. Die entsprechenden Kriterien sind bereits in den Abschnitten 7.2 und 7.3 behandelt worden. Der Drallverlust repräsentiert somit die kinetische Energie, die im Austrittswasser aus den rotierenden Schaufeln noch vorhanden ist. Der bestimmende Parameter für diesen Verlust ist die Laufzahl km . Im Vergleich zum Rechenmodell einer geradlinig bewegten Schaufel, bei dem alle Wasserteilchen das gleiche Geschwindigkeitsverhältnis (k = U/C0 ) haben, ist bei einer Pelton-Turbine mit rotierenden Schaufeln jedem Wasserteilchen ein eigener Eintritt (Ort und Zeit) in die Schaufel und daher ein individuelles Geschwindigkeitsverhältnis U/C0 und ein individueller Austritt (Ort und Zeit) aus der Schaufel zugeordnet. Dies hat zur Folge, dass die Gesamtleistung bzw. der Gesamtwirkungsgrad eines Wasserstrahls aus der Summierung aller einzelnen Leistungen von Wasserteilchen bestimmt werden muss. Es ist durchaus möglich, dass sich der dadurch bestimmte hydraulische Wirkungsgrad von dem nach Gl. (1.40) berechneten Wert mehr oder weniger unterscheidet. Zur Bestimmung des Drallverlustes wird das Austreten des Wassers aus der Schaufel betrachtet. Mit dem entsprechenden Geschwindigkeitsplan nach Abb. 8.1 ist die Absolutgeschwindigkeit zu berechnen aus C22 = W22 + U22 + 2W2U2 cos β2

(8.1)

Die damit verbundene kinetische Energie gilt als Verlust, die in Form des Wirkungsgradverlustes ausgedrückt werden kann ηDr =

C22 C02

(8.2)

In Hinblick auf den Drallverlust unterscheiden sich die Wasserteilchen in einem Wasserstrahl nach Gl. (8.1) schlussendlich in ihrem Strömverhältnis am Schaufelaustritt (U2 und β2 ). Diesbezüglich wird die Eigenschaft eines Wasserteilchens zuerst unter der Anwendung der Invarianzgleichung betrachtet.

Abb. 8.1 Austrittsgeschwindigkeitsplan

8.1 Drallverluste

129

Die Invarianzgleichung für ein Wasserteilchen in einer Strahlschicht, die nach Abb. 5.4 durch h s gekennzeichnet ist, wird aus Gl. (5.23) erhalten: E = W22 − U22 = C02 − 2h s ωC0

(8.3)

Daraus wird W22 bzw. W2 berechnet und anschließend in Gl. (8.1) eingesetzt. Als Absolutgeschwindigkeit am Schaufelaustritt ergibt sich  C22 = C02 + 2U22 − 2h sωC0 + 2U2 cosβ2 C02 − 2h s ωC0 + U22 (8.4) Der Drallverlust des betrachteten Wasserteilchens wird nach Gl. (8.2) berechnet aus    2 (8.5) ηDr = 1 − 2 h s ωC0 − U22 − U2 cos β2 C02 − 2h s ωC0 + U22 C0 Wird im Weiteren die Umfangsgeschwindigkeit U2 in dieser Gleichung durch U2 = R2 /Rm · Um ersetzt und die Laufzahl km = Um /C0 eingesetzt, erhält man somit ⎛ ⎞

2 R22 R R2 hs hs 2 2 ⎠ − km 2 − cosβ2 1 − 2km + km ηDr = 1 − 2km ⎝ (8.6) 2 Rm Rm Rm Rm Rm Dank der Verwendung der Invarianzgleichung ist der Drallverlust unabhängig vom Ort und Zeitpunkt des Eintritts des Wasserteilchens in die Schaufel. Nur die Lageposition h s der Strahlschicht, in der sich das Wasserteilchen befindet, ist relevant. Sind eine Strahlschicht sowie die Laufzahl km des Turbinenbetriebs vorgegeben, so wird der Drallverlust gemäß Gl. (8.6) nur als Funktion der Austrittsstelle und des entsprechenden Austrittswinkels dargestellt: ηDr = f (R2 /Rm , β2 )

(8.7)

Die entsprechende Abhängigkeit wird im Folgenden aufgezeigt.

8.1.1 Einfluss der Austrittsstelle Der Einfluss der Austrittsstelle (R2 ) des Wasserteilchens auf den Drallverlust nach Gl. (8.6) ist in Abb. 8.2 dargestellt worden, wobei der Austrittswinkel mit β2 = 170◦ angenommen wurde. Es ist ersichtlich, dass gegenüber dem Einfluss der Strahlschichtlagen die Austrittsstellen nur geringfügig den Drallverlust beeinflussen. Aus diesem Grund ist es für die Wirkungsgradberechnung ausreichend, den mittleren Wert R2 /Rm = 1 anzunehmen.

130

8 Austrittsverluste

Abb. 8.2 Abhängigkeit des hydraulischen Wirkungsgrades von der Strahlschichtlage und der Austrittsstelle des Wassers (km = 0.47, β2 = 170◦ )

8.1.2 Einfluss des Austrittswinkels Abb. 8.3 zeigt zusätzlich zum Einfluss der Strahlschichtlage noch den Einfluss des Austrittswinkels β2 eines Wasserteilchens auf den Drallverlust. Bei einer Änderung des Austrittswinkels von β2 = 172◦ auf β2 = 168◦ vergrößert sich der Drallverlust um etwa 0.6%. Bei der praktischen Auslegung von Pelton-Schaufeln verändern sich die Austrittswinkel über den Bereich, an dem der größte Teil des Wassers austritt, nur unwesentlich (β2 < 2◦ ). Somit ist es zulässig, für die Berechnung des Drallverlustes den mittleren Wert des Austrittswinkels an der Stelle R2 /Rm = 1 anzunehmen. Dies ist auch deshalb gerechtfertigt, da nach der Austrittsbedingung, die in Abschnitt 7.2 durch Gl. (7.6) bzw. (7.10) angegeben wurde, der gerechnete Austrittswinkel β2 für den ganzen Bereich des Schaufelaustritts geltend gemacht werden kann (β2 = const).

Abb. 8.3 Abhängigkeit des hydraulischen Wirkungsgrades von der Strahlschichtlage und dem Austrittswinkel des Wassers (km = 0.47, R2 /Rm = 1)

8.1 Drallverluste

131

Die Berechnungen und Darstellungen verdeutlichen, dass der Drallverlust bei einer Pelton-Turbine bei lediglich 1% bis 2% liegt. Wird nur die Strahlschicht h s /Rm ≈ 1 betrachtet und die Austrittsstelle mit R2 /Rm ≈ 1 angenommen, so vereinfacht sich Gl. (8.6) zu ηDr = 1 − 2km (1 − km ) (1 − cosβ2 )

(8.8)

Das zweite Glied auf der rechten Seite der Gleichung ist formell gleich der Gl. (1.40), die zur Anwendung auf den ganzen Wasserstrahl angenommen wurde. Der Einfluss des Austrittswinkels auf den Drallverlust kann auch als Einfluss der Austrittswinkeländerung gegenüber dem Austrittswinkel bei β2 = 180◦ darge◦ ◦ stellt  werden. Wegen β2 = 180 − β2  180 und somit cos β2 = − cos β2 ≈ − 1 − 12 β22 wird Gl. (8.8) für km = 0.5 umgeformt zu 1 ηDr = β22 4

(8.9)

Für β2 = 8◦ beispielsweise erhält man einen Drallverlust von ca. 0.5%. Wird β2 = 10◦ angenommen, ergibt sich ein Drallverlust von 0.75%. Eine Änderung des Austrittswinkels um 2◦ bewirkt somit eine Wirkungsgradänderung von ca. 0.25%.

8.1.3 Einfluss der Strahlschichtlage Aus den obigen Betrachtungen kann geschlossen werden, dass alle Wasserteilchen in einer Strahlschicht gleiche Auswirkungen auf den Drallverlust haben. Der Unterschied von Schicht zu Schicht in Hinsicht auf den Drallverlust ist nach Gl. (8.6) lediglich auf den Unterschied von km h s /Rm zurückzuführen. Unter allen Strahlschichten kann diejenige, die zum Drallverlust minimal beiträgt, durch den Zusammenhang d (ηDr )/dh s = 0 gefunden werden. Daraus ergibt sich aus Gl. (8.6) km

1 2 R22 hs = 0.5 + km sin2 β2 2 Rm 2 Rm

(8.10)

Da der zweite Term auf der rechten Seite der Gleichung vernachlässigbar ist, folgt aus Gl. (8.10): km

hs = 0.5 Rm

(8.11)

Diese Beziehung ist bereits in Abb. 8.2 und 8.3 veranschaulicht worden, wo sich für km = 0.47 der minimale Drallverlust bei der Strahlschicht h s /Rm = 1.06 ergibt.

132

8 Austrittsverluste

8.1.4 Drallverlust des gesamten Wasserstrahls Der Drallverlust einzelner Strahlschichten ist nach Gl. (8.6) berechenbar, wobei als mittlerer Austrittswinkel β2 und als Austrittsstelle R2 /Rm = 1 angenommen werden können. Der gesamte Drallverlust eines Wasserstrahls ist mittels folgender Integration berechenbar (Abb. 8.4): 8 ηDr = πd02

d0 /2

 η (d0 /2)2 − r 2 · dr

(8.12)

−d0 /2

bzw. in der Summenschreibweise für einen in n Schichten unterteilten Wasserstrahl: ηDr =

Dabei gilt

n  8r 2 2 η i (d0 /2) − ri πd02 i=1

 8r (d0 /2)2 −ri2 πd02

schicht darstellt.

Abb. 8.4 Schema zur Integration des hydraulischen Wirkungsgrades eines Wasserstrahls

Abb. 8.5 Vergleich zwischen gerechneten Wirkungsgraden aus dem direkten (vereinfachten) Rechenverfahren und dem Strahlschichtverfahren

(8.13)

als Gewichtungsfaktor, der den Flächenanteil einer Strahl-

8.2 Reibungseffekt am Schaufelrücken

133

Der Vergleich zwischen dem nach Gl. (8.13) berechneten Drallverlust und der Berechnung nach Gl. (1.40) als ein Beispiel zeigt einen Unterschied in der Größenordnung von 0.2%, siehe Abb. 8.5.

8.2 Reibungseffekt am Schaufelrücken In Kapitel 7 wurde die Austrittsbedingung zum freien Abfließen des Wassers bearbeitet. Nach Gl. (7.6) muss beispielsweise der geometrische Austrittswinkel β2 ausreichend kleiner als 180◦ sein. Andererseits nimmt der Drallverlust nach Gl. (8.9) zu, je mehr sich der geometrische Austrittswinkel β2 von 180◦ unterschiedet. In der praktischen Auslegung wird der geometrische Austrittswinkel β2 um 2◦ bis 3◦ größer, also dichter an β2 = 180◦ gewählt, als der aus Gl. (7.6) sich ergebene Wert. Der Grund dafür ist, dass das Abfließen des Wassers aus der Schaufel um den sogenannten Übertreibungswinkel stärker seitlich abweicht als von der Schaufelform vorgegeben. Weil in der Praxis manchmal Abnützungsspuren an der Schaufelrückenfläche beobachtet werden, soll daher die Wirkung des Wasseranpralls an den Rücken der nacheilenden Schaufel (Abb. 8.6) quantifiziert werden. Zum einen bremst das Wasser infolge der Reibung zwischen dem Wasser und der Schaufel die Schaufelbewegung, zum anderen lenkt der Rücken der Schaufel den Weg des Wassers ab. Beide Aktionen verursachen zusätzliche Verluste und reduzieren somit den Wirkungsgrad. Der Reibungseffekt wird im vorliegenden Abschnitt analysiert, während der Ablenkungseffekt im nächsten Abschnitt behandelt wird.

Abb. 8.6 Gestörter Abfluss des Wassers

134

8 Austrittsverluste

Die Relativgeschwindigkeit zwischen dem abfließenden Wasser und der rotierenden Schaufel wird zu W2 = C0 − Um angenommen. Mit einem Reibungsbeiwert von cf wird die Schubspannung an der reibenden Schaufelrückenfläche berechnet aus 1 1 τ = cf ρW22 = cf ρ (C0 − Um )2 2 2

(8.14)

Mit km = Um /C0 lässt sich die Schubspannung auch ausdrücken als 1 τ = cf ρC02 (1 − km)2 2

(8.15)

Die benetzte Fläche auf einer Schaufelrückseite ist nach Abb. 8.6 durch Af gegeben. Nach Gl. (6.7) befindet sich zu einem Wasserstrahl stets eine bestimmte Anzahl Schaufeln von 2λ = 1/(1 − km) (λ als Multischaufelziffer) im Leistungsaustausch mit dem Wasserstrahl. Die Gesamtreibungskraft unter einem Vollwasserstrahl wird somit berechnet aus Ff = 2τ Af · (2λ) = cf (1 − km) ρC02 Af

(8.16)

Die Leistung, die zur Überwindung dieser Reibungskraft benötigt wird, berechnet sich unter der Berücksichtigung des Winkels zwischen der Reibungskraft und der Schaufelgeschwindigkeit: Pf = Ff Um cos (π − β2 ) = cf (1 − km) ρC02 Af Um cos (π − β2 )

(8.17)

In Bezug auf die Strahlleistung P0 = 12 ρC02 · A0 C0 ergibt sich der entsprechende Wirkungsgradverlust. Durch Annäherung von cos(π − β2) ≈ 1 erhält man ηf =

Pf Af = 2cf km (1 − km ) P0 A0

(8.18)

Zur quantitativen Abschätzung der Reibungseffekte wird der Reibungsbeiwert mit cf = 0.02 angenommen. Für die Laufzahl km = 0.5 und ein Flächenverhältnis von Af /A0 = 0.5 wird der Wirkungsgradverlust infolge der Reibung an der Schaufelrückseite berechnet mit ηf = 0.005

(8.19)

Der Verlust beträgt also ca. 0.5%.

8.3 Ablenkungseffekt am Schaufelrücken Das Auftreffen des Wassers auf den Rücken der nachfolgenden Schaufel hat weiterhin einen Ablenkungseffekt nach Abb. 8.7 zur Folge. Da die Ablenkung des Wassers

8.3 Ablenkungseffekt am Schaufelrücken

135

Abb. 8.7 Ablenkungseffekt des Wassers auf der Schaufelrückseite

eine Kraft bewirkt, die eine Komponente entgegen der Schaufelbewegung aufweist, wird zur Überwindung dieser Kraft ein Teil der Wasserleistung benötigt. Dadurch entsteht ein zusätzlicher Leistungsverlust. Um den entsprechenden Wirkungsgradverlust zu bestimmen, wird der Impulssatz im Koordinatensystem ξ -η verwendet, das nach Abb. 8.7 mit der bewegten Schaufel rotiert. Die Interaktion zwischen dem Austrittswasser und der Schaufelrückseite wird im drehenden System betrachtet. Mit der Relativgeschwindigkeit von W2 ist der Impulsstrom des Austrittswassers vor der Ablenkung durch I = ρ( Q˙ w /2) · W2 gegeben, wobei der Durchfluss Q˙ w /2 sich auf eine Schaufelhälfte bezieht. Die Kraft, die auf das Wasser wirkt und somit das Wasser zur Ablenkung zwingt, wird durch die entsprechende Komponenten Fξ und Fη dargestellt. Ist die Ablenkung des Wassers durch den Ablenkungswinkel δ angegeben, so lassen sich die Komponenten der Ablenkungskraft nach dem Impulssatz berechnen: 1 Fξ = ρ Q˙ w W2 sin δ 2 1 ˙ Fη = ρ Q w W2 (cos δ − 1) 2

(8.20) (8.21)

Die Kraftkomponente, die auf die Bewegungsrichtung der Schaufel gerichtet ist, ergibt sich durch Koordinatentransformation mit θ = π − β2   Fu = −Fy = − Fη cos θ − Fξ sin θ (8.22) Zu dieser Kraft existiert eine gleichgroße Gegenkraft, die von der Strömung auf die Schaufel wirkt. Sie wird als Stoßkraft bezeichnet und wird berechnet mit 1 FSt = Fu = ρ Q˙ w W2 [cos θ − cos (θ + δ)] 2

(8.23)

Die Leistung, die zur Überwindung dieser Stoßkraft benötigt wird, ist dann gegeben durch Multiplikation mit der Umfangsgeschwindigkeit der Pelton-Schaufel

136

8 Austrittsverluste

1 PSt = FSt Um = ρ Q˙ w Um W2 [cos θ − cos(θ + δ)] 2

(8.24)

Die entsprechende spezifische Arbeit ergibt sich dann aus eSt =

PSt = W2 Um [cosθ − cos(θ + δ)] ρ Q˙ w /2

(8.25)

In Bezug auf die spezifische Energie des Wasserstrahls und unter der Annahmen W2 = C0 − Um wird der damit verbundene Wirkungsgradverlust berechnet aus ηSt =

eSt = 2km (1 − km ) [cos θ − cos(θ + δ)] C02 /2

(8.26)

wobei km = Um /C0 wieder verwendet wurde. Zur quantitativen Abschätzung dieses Verlustes werden die beiden Winkel θ = 10◦ und δ = 4◦ sowie die Laufzahl mit km = 0.5 angenommen. Es ergibt sich somit aus Gl. (8.26) ηSt = 0.7%

(8.27)

An dieser Stelle wird noch an den Drallverlust erinnert, der in Abschnitt 8.1 betrachtet wurde. Der Drallverlust in seiner einfachsten Form ist gegeben in Gl. (8.8). Wird Gl. (8.26) zur Gl. (8.8) addiert, so ergibt sich unter der Berücksichtigung β2 = π − θ ηDr + ηSt = 1 − 2km (1 − km) [1 + cos(θ + δ)]

(8.28)

Die gesamte Wirkung auf den Drallverlust ist gleich der Wirkung, die entsteht, als wenn das Wasser am Schaufelaustritt bei einem Winkel von (θ + δ) ausgeflossen wäre. In der obigen Betrachtung wurde stillschweigend davon ausgegangen, dass die gesamte Wasserströmung um den Winkel δ abgelenkt wird. Wenn die Wassermenge, die an der Rückseite der Schaufel abgelenkt wird, 50% des gesamten Wassers beträgt, dann reduziert sich der Wirkungsgradverlust nach Gl. (8.26) um 50%. Der hier berechnete Wirkungsgradverlust infolge der Strömungsablenkung gilt als ein Teilverlust. Der andere Teil ist bereits in Abschnitt 8.2 behandelt worden. Da die Summe dieser Verluste nicht verschwindend klein gegenüber dem Drallverlust ist, soll die Strömungsablenkung am Schaufelrücken möglichst vermieden werden. Dies bedeutet, dass der Austrittswinkel θ nach Abb. 8.7 ablenkungsfrei ausgelegt werden soll. Hierfür dürfte mit dem Winkel θ bzw. β eine Toleranz von ca. 1◦ bis 2◦ akzeptabel sein, da nach Gl. (8.9) die damit verbundene Zunahme des Drallverlustes unter 0.25% liegt.

Kapitel 9

Reibungseffekte und FFT-Theorem

Wasser kommt in der Natur als zähes Fluid vor und haftet in der Regel an festen Oberflächen. In Pelton-Turbinen tritt diese viskose Haftung in Form von Reibungskraft zwischen Wasserströmung und Schaufeloberfläche auf. Dies hat als unmittelbare Auswirkung eine Reduktion der Relativgeschwindigkeit in der Schaufel zur Folge. Außerdem kann die Reibung die rotierende Bewegung des Pelton-Rades als treibende oder bremsende Kraft beeinflussen. Im Endeffekt wirkt sich die Reibung auf den hydraulischen Wirkungsgrad der Pelton-Turbine aus. Der Auswirkung der Reibung in den rotierenden Schaufeln auf den hydraulischen Wirkungsgrad einer Pelton-Turbine liegen nach Zhang und Müller (2006b) bzw. Zhang (2007b) folgende Mechanismen zu Grunde: 1. Die Reibungskraft tritt im vorderen Teil der Schaufel als treibende und im hinteren Teil als bremsende Kraft auf. Dadurch wird unmittelbar positive bzw. negative Arbeit geleistet. 2. Die Reibung an der Schaufeloberfläche hat eine Geschwindigkeitsreduktion im Wasserfilm längs der Schaufeloberfläche zur Folge. Dies vermindert die Intensität des Energieaustausches zwischen dem strömenden Wasser und den PeltonSchaufeln. Als Konsequenz muss eine Reduktion des hydraulischen Wirkungsgrades sich ergeben. 3. Die Gesamtwirkung der Reibungskraft auf die Reduktion des hydraulischen Wirkungsgrades besteht aus dem direkten Reibungseffekt (1) und dem indirekten Effekt aus der reibungsbedingten Strömungsänderung in den Schaufeln (2). Diese drei Aspekte erfassen sämtliche hydraulische Reibungseffekte in PeltonTurbinen und werden im Folgenden ausführlich beschrieben.

9.1 Reibungszahl Da die Strömungsreibung nur in Pelton-Schaufeln direkt spürbar ist, wird sie zuerst für die Relativströmung in einer rotierenden Schaufel betrachtet. Die Ausbreitung

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

137

138

9 Reibungseffekte und FFT-Theorem

des Wasserfilms kennzeichnet sich nach Abb. 9.1 dadurch, dass die Filmbreite d und die -höhe h sich längs des Ausbreitungswegs s ändern. In Richtung der Strömung, in der nur die Reibungskraft und die Zentrifugalkraft ( F ct ) wirksam sind, wird der Impulssatz auf die Wasserströmung über die Strecke ds angewandt. Demnach ist die Änderung des Impulses gleich der Summe aller auf die Masse wirkenden Kräfte: 1 ρdhW · dW = ρdh · F ct · d s − cf ρW 2 d · ds 2 oder in vereinfachter Form   1 1 2 W = F ct · d s − cf W 2 · ds d 2 2h

(9.1)

(9.2)

Die Gleichung kann auch als Energiegleichung interpretiert werden. Die Änderung der kinetischen Energie ist somit gleich den Arbeiten, die von allen Kräften geleistet werden. In der obigen Gleichung ist cf der Reibungsbeiwert, der bei großen ReynoldsZahlen oder für Reynolds-Zahlen mit kleiner Variation als konstant angenommen werden kann. Dies gilt jedenfalls für bestehende Pelton-Turbinen, bei denen sich die Reynolds-Zahl in Abhängigkeit von der Fallhöhe nur sehr wenig ändert. Es ist jedoch zu beachten, dass es sich um eine Filmströmung mit freier Oberfläche handelt. Da die √ Froude-Zahl in derartigen Filmströmungen stets größer als Eins ist, d. h. Fr = W/gh > 1, handelt es sich um eine überkritische Filmströmung. Der entsprechende Reibungsbeiwert unterscheidet sich grundlegend vom Reibungsbeiwert in Grenzschichten von Rohrströmungen oder Gerinne- bzw. Filmströmungen mit Fr < 1. Für reibungsfreie Strömungen reduziert sich Gl. (9.2) auf Gl. (5.14), aus der die Invarianzgleichung abgeleitet wurde. Unter der Annahme, dass der größte Teil des Wassers quer durch die Schaufel fließt (Abb. 9.1) und daher U = Um = const angenommen werden darf, verschwindet die Komponente der Zentrifugalkraft längs der

Abb. 9.1 Querströmung durch die Schaufel und Parameterdefinitionen

9.1 Reibungszahl

139

Strömung in der Schaufel, sodass F ct · d s = 0 gilt. Gl. (9.2) vereinfacht sich dann zu   1 1 2 W = −cf W 2 · ds (9.3) d 2 2h Es soll hier erwähnt werden, dass es sich auf der rechten Seite der Gl. (9.2) um zwei unabhängige Glieder handelt, die die Relativgeschwindigkeit jeweils nur geringfügig beeinflussen. Dies gestattet die separate Betrachtung der Effekte der Zentrifugalkraft und der Reibung, wenn beide Effekte gleichzeitig vorhanden sind. Um das Endergebnis zu erhalten, müssen die beiden Teilergebnisse addiert werden. Für die weiteren Berechnungen wird hier die Reibungszahl eingeführt, die folgendermaßen definiert ist s cw =

cf · ds h

(9.4)

0

In Verbindung mit der Ausbreitung des Wasserfilms in der Schaufel ist die Reibungszahl eine Funktion der Filmhöhe und des Ausbreitungswegs. Aus Integration von Gl. (9.3) folgt   1 W = W1 e−cw /2 ≈ W1 1 − cw (9.5) 2 Die Näherungsform ergibt sich aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion und dem Abbruch nach dem ersten Glied, da cw  1 ist. Mit W1 wird die Relativgeschwindigkeit am Schaufeleintritt bezeichnet. Für weitere Berechnungen wird aufgrund von Gl. (9.5) eine zweite Approximation verwendet: 1 cf · W = cf · W1 − cf cw · W1 ≈ cf · W1 2

(9.6)

Dabei wird der Ausdruck 12 cf cw · W1 , der um eine Ordnung kleiner als cf · W1 ist, vernachlässigt. Zu beachten ist, dass diese Approximation nicht als W ≈ W1 interpretiert werden darf. Sie darf nur in der gegebenen Form verwendet werden, wo es sich um den Reibungseffekt in der gegebenen Größenordnung handelt. Andererseits hat die Reibungskraft in der Form τ = cf 21 ρW 2 zur Folge, dass ein Leistungsverlust im Zusammenhang mit der hydraulischen Dissipation während der Ausbreitung des Wasserfilms entsteht: E˙ Diss =

s

1 cf ρW 2 W d · ds 2

(9.7)

0

Es handelt sich in dieser Gleichung um die Dissipationsrate. Dabei bleibt der Integrationsverlauf s vorerst als Variable definiert, wie es bereits bei der Definition der Reibungszahl in Gl. (9.4) der Fall war.

140

9 Reibungseffekte und FFT-Theorem

Mit Q˙ w /2 = W hd als Volumenstrom in einer Schaufelhälfte und in Anbetracht der Approximation nach Gl. (9.6) erhält man aus Gl. (9.7) 1 Q˙ w E˙ Diss = ρW12 2 2

s

1 cf ds h

(9.8)

0

bzw. mit der oben definierten Reibungszahl 1 E˙ Diss = cw ρW12 Q˙ w /2 2

(9.9)

Da die Dissipationsrate in der Strömung direkt proportional zur Reibungszahl ist, kann diese Gleichung auch als Definitionsgleichung der Reibungszahl angesehen werden. Aus dem Leistungsverlust in der Relativströmung folgt eine Verlangsamung der Relativgeschwindigkeit und daraus eine Änderung der kinetischen  unmittelbar  Energie  E˙ = ρ( Q˙ w /2) · 12 W12 − W 2 , die auf eine Schaufelhälfte bezogen ist. Wird die Änderung der kinetischen Energie mit Gl. (9.9) gleichgesetzt, so folgt W 2 = W12 (1 − cw) Aus cw  1 ergibt sich die Relativgeschwindigkeit    1 W = W1 1 − cw ≈ W1 1 − cw 2

(9.10)

(9.11)

Dieses aus der Energiebetrachtung erhaltene Resultat stimmt mit dem Ergebnis der Impulsbetrachtung, Gl. (9.5), überein. Wird die gesamte Strömungsreibung vom Schaufeleintritt bis -austritt betrachtet, so errechnet sich die Reibungszahl aus S cw2 =

1 cf ds h

(9.12)

0

Folglich ist die Relativgeschwindigkeit am Schaufelaustritt W22 = W12 (1 − cw2)

(9.13)

In Kapitel 6 wurde die Ausbreitung des Wassers in der Pelton-Schaufel durch Gl. (6.8) angenähert. Mittels linearer Ausbreitung des Wassers wird die Filmhöhe aus der Massenerhaltung wie folgt bestimmt:   1 Wd W d2 − d0 = s (9.14) = d0 + h S Q˙ w /2 Q˙ w /2

9.2 Direkte Reibungseffekte

141

Der Durchfluss Q˙ w /2 bezieht sich auf eine Schaufelhälfte, entspricht also der Hälfte des Wasserstrahls und beträgt nach Gl. (6.5) Q˙ w /2 = 18 πd02 W0x,o . Da in der vorliegenden Betrachtung nach Abb. 9.1 von einem senkrechten Eintritt des Wasserstrahls in die Schaufel ausgegangen wird, gilt W0x,o = W1 . Gl. (9.14) wird in Gl. (9.12) eingesetzt, womit sich unter der Verwendung der Gl. (9.6) die Reibungszahl berechnen lässt: cw2 = 4cf

d0 + d2 πd02

·S

(9.15)

Die Reibungszahl in dieser Form kombiniert den Reibungsbeiwert, die Schaufelgeometrie, die durch den Schaufelparameter S bezeichnet wird und den Wasserdurchfluss, der durch die Strahldicke d0 gegeben ist. Sie ist jedoch unabhängig von der Drehung der Schaufel. Zahlenmäßig kann die Größenordnung der Reibungszahl angegeben werden. Im Nennbetrieb gilt nach Gl. (6.9) d2,N /d0 = 2.5. Für die Lauflänge der Strömung in der Schaufel S/d0 = 3 und einen Reibungsbeiwert von cf = 0.015 berechnet sich die Reibungszahl aus Gl. (9.15) zu cw2,N = 0.2. Für Teillastbetrieb wird die Reibungszahl entsprechend größer. Es soll erwähnt werden, dass die Filmströmung in der Pelton-Schaufel eine Art der schießenden Strömung mit einer Froude-Zahl größer als Eins (Fr > 1) darstellt und die Reibungsbeiwerte für derartige Strömungen allgemein nicht bekannt sind. Der angenommene Reibungsbeiwert zum cf = 0.015 ist recht hoch gegenüber den Reibungsbeiwerten z. B. in turbulenten Grenzschichtströmungen. Wie aus Gl. (9.13) hervorgeht, bewirkt eine Reibungszahl von cw2,N = 0.2 einen Verlust in der kinetischen Energie von 20% bzw. einen Geschwindigkeitsverlust von 10%. Ein derartiger Betrag für den Geschwindigkeitsverlust ist bereits in der Praxis angewendet worden, siehe z. B. Dixon (2005). Zur Vervollständigung der hydraulischen Kenntnisse in Pelton-Turbinen soll das Reibungsverhalten in der Grenzschicht von schießenden Strömungen noch mit Experimenten systematisch ermittelt werden.

9.2 Direkte Reibungseffekte Unter direkten Reibungseffekten versteht man Reibungsauswirkungen auf die Schaufelbewegung in Form von positiven und auch negativen Treibkraftkomponenten. In der vorderen Schaufelhälfte (β < π/2 nach Abb. 9.1) wirkt die Reibungskraft positiv auf die Schaufelbewegung. In der hinteren Schaufelhälfte (β > π/2) wirkt die Reibungskraft jedoch der Schaufelbewegung entgegen. In beiden Fällen ist die effektive Komponente der Reibungskraft diejenige in Richtung der Schaufelbewegung, die gegeben ist durch cf 21 ρW 2 cos β. Die von der Reibungskraft auf einer infinitesimal benetzten Fläche d · ds erzeugte Leistung wird nach Abb. 9.1 berechnet mit 1 dPw,d = cf ρW 2 cos β · Um d · ds 2

(9.16)

142

9 Reibungseffekte und FFT-Theorem

Mit dieser Schreibweise wird vereinbart, dass der positive Wert von dPw,d die positive Reibungsleistung darstellt, d. h., die Reibung trägt zur Leistungsabgabe bei. Aufgrund des Massenstroms m˙ w /2 = ρW dh in der Relativströmung in einer Schaufelhälfte folgt aus Gl. (9.16) dPw,d =

m˙ w 1 W Um cf cosβ · ds 2 2h

(9.17)

Aus Berechnung in Kapitel 6 bzw. nach Gl. (6.7) ist bekannt, dass in einer PeltonTurbine die durchschnittliche Anzahl der Schaufeln, die am Leistungsaustausch mit einem Wasserstrahl beteiligt sind, gleich 2λ = m˙ c /m˙ w ist (λ als Multischaufelziffer). Werden beide Seiten der Gl. (9.17) mit m˙ c /m˙ w multipliziert, so ergibt sich als Leistung in 2λ Schaufelhälften: dPd =

m˙ c 1 W Um cf cos β · ds 2 2h

(9.18)

Diese Leistung ist in der Ausgangsleistung der Turbine direkt erfassbar. Hieraus folgt, dass die Leistung nun in einem ortsfesten Koordinatensystem erfassbar ist. Unter Berücksichtigung der Approximation nach Gl. (9.6) ergibt sich durch Integration der Gl. (9.18) m˙ c 1 Pd = Um W1 · 2 2

S

1 cf cos β · ds h

(9.19)

0

 Diese Leistung wird als direkte Reibungsleistung auf die Leistung 0.5 m˙ c 21 C02 eines halben Wasserstrahls bezogen. Dadurch erhält man den direkten Beitrag der Reibungskraft auf den Wirkungsgrad: ηd =

Pd

S

1 = km (1 − km) cf cos β · ds  h 0.5 m˙ c 21 C02 0

(9.20)

Dabei wurden W1 = C0 −Um und die Laufzahl km = Um /C0 verwendet. Für PeltonSchaufeln mit komplexen Geometrien und einer daraus folgenden komplexen Funktion für β = f (s) ist die obige Integration durch Umwandlung in eine Summation schrittweise und tabellarisch leicht lösbar. Um nun eine quantitative Aussage über die direkte Auswirkung der Reibung auf den Wirkungsgrad zu geben, wird eine kreisförmige Schaufel mit konstantem Radius rb und geradem Austritt (β2 = 180◦) betrachtet. Die Höhe des Wasserfilms wurde bereits in Gl. (6.10) angegeben. Für das vorliegende senkrechte Eintreten des Wasserstrahls in die Schaufel gilt W0x,o = W1 . Somit erhält man 1 h = πd02 W1 /(W d) 8

(9.21)

9.3 Reibungseffekte durch Änderung der Druckverteilung

143

Zusammen mit der Filmbreite nach Gl. (6.8) führt Gl. (9.20) zu 1 ηd = 8 2 km (1 − km) πd0

S

  d2 − d0 s cos β · ds cf d 0 + S

(9.22)

0

wobei nach Gl. (9.6) für cf W = cf W1 verwendet wurde. Für eine kreisförmige Schaufel mit konstantem Radius rb gilt s = β · rb und für den Halbkreis S = π · rb . Somit geht Gl. (9.22) mit cf = const über in cf rb ηd = 8 km (1 − km) · 2 π d0

 π  d2 − d0 β cos βdβ d0 + π

(9.23)

0

Die Integration kann leicht durchgeführt werden. Als Lösung ergibt sich   cf d 2 rb ηd = −16km (1 − km) 2 −1 π d0 d0

(9.24)

Der aus der Reibungskraft resultierende Wirkungsgrad ist negativ. Das entspricht der Erwartung, denn im hinteren Teil der Schaufel (β > π/2), in dem die Reibungskraft bremsend wirkt, ist die Reibungsfläche größer als im vorderen Teil der Schaufel. Ein Zahlenbeispiel zu ηd wird in Kapitel 10, Abschnitt 10.4, angegeben.

9.3 Reibungseffekte durch Änderung der Druckverteilung Eine weitere direkte Auswirkung der Reibung zwischen Wasserfilm und Schaufeloberfläche ist das Abbremsen der Relativgeschwindigkeit während der Ausbreitung des Wasserfilms. Die dadurch bedingte Reduktion der Relativgeschwindigkeit hat zur Folge, dass der Druck als treibende Kraft an der Schaufeloberfläche abnimmt. Dies erkennt man auch, wenn Gl. (5.10) zur Berechnung des Überdrucks unter dem Wasserfilm betrachtet wird pb =

h ρW 2 rb

(9.25)

Dabei ist rb der lokale Krümmungsradius an der Schaufeloberfläche. Die mit diesem Überdruck verbundene Druckkraft wirkt senkrecht auf die Schaufeloberfläche. Die effektive Triebkraft zur Schaufelbewegung ist wiederum die Komponente der Druckkraft in Bewegungsrichtung der Schaufel. Die Leistung, die die Druckkraft in einer infinitesimalen Schaufelfläche d · ds erbringt, ist daher nach Abb. 9.1 zu berechnen aus dPw,p = pb sin β · Um d · ds =

h ρW 2 Um sin β · d · ds rb

(9.26)

144

9 Reibungseffekte und FFT-Theorem

Mit dem Massenstrom in der Relativströmung m˙ w /2 = ρhd W und ds = rb dβ wird Gl. (9.26) umgeschrieben zu dPw,p =

m˙ w W Um sin β · dβ 2

(9.27)

Wie bei Gl. (9.18) wird die obige Gleichung ins ortsfeste Koordinatensystem, daher dann auch für 2λ Schaufelhälften geltend, umgewandelt: dPp =

m˙ c W Um sin β · dβ 2

(9.28)

Diese Gleichung stellt die Leistung dar, die in der Ausgangsleistung der Turbine direkt messbar ist. Die Integration über den gesamten Ausbreitungsweg des Wasserfilms (vom Einbis zum Austritt) stellt die gesamte Leistung der Druckkraft dar: m˙ c Pp = Um 2

β2 W sin β · dβ

(9.29)

0

Zur Bestimmung des Reibungseffektes muss die Geschwindigkeit W als Variable betrachtet werden. Das heißt, dass sie nach Gl. (9.11) eine Funktion der lokalen Reibungszahl ist. Daraus folgt m˙ c Pp = Um W1 2

 β2  1 1 − cw sin β · dβ 2

(9.30)

0

Für einen späteren Vergleich (Abschnitt 9.5) wird diese Integration weiter berechnet. Unter Anwendung partieller Integration in der Form ∫ udv = uv − ∫ vdu lässt sich obige Gleichung mit u = 1 − 12 cw und v = cos β weiter umformen zu   cw2 Pp 1 1 = 1 − 1 − cw2 cos β2 − cos βdcw 2 2 (m˙ c /2)Um W1

(9.31)

0

Dabei wurde für s = 0 bzw. β = 0 die Reibungszahl cw = 0 eingesetzt. Der Integralausdruck auf der rechten Seite der Gleichung ist nichts anderes als der Integralausdruck aus Gl. (9.20), da nach Gl. (9.4) dcw = cf / h · ds gilt. Dementsprechend erhält man den von der Druckkraft beigetragenen Wirkungsgrad, indem die Leistung Pp aus Gl. (9.30) auf die Leistung eines halben Wasserstrahls bezogen ist: ⎡

⎤   cw2 1 1 = 2km (1 − km) ⎣1 − 1 − cw2 cos β2 −  ηp = cos βdcw ⎦ 2 2 0.5 12 m˙ c C02 0 Pp

(9.32)

9.4 Gesamte Reibungseffekte

145

Die Auswirkung der Strömungsreibung auf die Turbinenleistung bzw. den Turbinenwirkungsgrad ist in den letzten beiden Gleichungen veranschaulicht worden. Handelt es sich um eine reibungsfreie Strömung, so vereinfacht sich Gl. (9.32) zu ηp,0 = 2km (1 − km) (1 − cosβ2 )

(9.33)

Sie ist identisch zu Gl. (1.40). Dies deutete unmissverständlich darauf hin, dass in einer Pelton-Turbine der Leistungsaustausch zwischen der Wasserströmung und den sich bewegenden Pelton-Schaufeln letztlich durch die Wirkung der Druckkraft unter dem Wasserfilm geschieht. Es lässt sich auch erkennen, dass der Wirkungsgrad nach Gl. (9.32) eine Art des hydraulischen Wirkungsgrades ist. Der reibungsbedingte hydraulische Verlust durch den Druckkraftverlust ist dann ⎛ ⎞ cw2 1 1 ηp = ηp,0 − ηp = 2km (1 − km) ⎝− cw2 cos β2 + cos βdcw ⎠ (9.34) 2 2 0

Es wird hier wiederum eine kreisförmige Schaufel mit konstantem Radius rb und geradem Austritt β2 = π betrachtet. Die Integration in Gl. (9.32) wird berechnet, indem dcw = cf / h · ds und h = 18 πd02 W1 /(W d) nach Gl. (9.21) sowie die Filmbreite nach Gl. (6.8) eingesetzt werden: ηp 1 4cf = 2 − cw2 − 2km (1 − km) 2 πd02

S

  d2 − d0 s · ds cos β d0 + S

(9.35)

0

Weiter werden s = rb β und ds = rb dβ eingesetzt. Die Integration lässt sich dann leicht ausführen. Die Reibungszahl cw2 ist nach Gl. (9.15) zu berechnen. Mit S = π · rb ergibt sich schließlich aus Gl. (9.35)        4 4 d2 rb 1− 2 + 1+ 2 (9.36) ηp = 4km (1 − km) 1 − cf d0 d0 π π Darin ist die Reibung zwischen dem Wasserfilm und den Pelton-Schaufeln direkt durch den Reibungsbeiwert cf berücksichtigt worden. Ein entsprechendes Zahlenbeispiel findet sich in Kapitel 10.

9.4 Gesamte Reibungseffekte Die hydraulische Leistung einer Pelton-Turbine inklusive des Einflusses der Reibung erhält man direkt aus dem Impulssatz. Wenn der Eintrittswinkel des Wasserstrahls in die Schaufel mit β1 = 0 angenommen wird, berechnet sich die gesamte hydraulische Leistung einer Pelton-Turbine mit Ph = m˙ c (W1 − W2 cos β2 )Um

(9.37)

146

9 Reibungseffekte und FFT-Theorem

Der Hintergrund dieser Gleichung geht auf Abschnitt 1.2 des Kapitels 1 zurück, wo aus dem Impulssatz die hydraulische Leistung berechnet wurde. Für reibungsfreie Strömungen bleibt die Relativgeschwindigkeit konstant (W2 = W1 = W ). Die obige Gleichung reduziert sich dann auf Gl. (1.38). Da im vorliegenden Fall reibungsbehaftete Strömungen betrachtet werden, gilt nach Gl. (9.11) eine veränderliche Relativgeschwindigkeit. Somit beträgt die hydraulische Leistung     1 Ph = Um m˙ c W1 1 − 1 − cw2 cos β2 (9.38) 2 Diese hydraulische Leistung wird nun auf die Strahlleistung bezogen, woraus sich der hydraulische Wirkungsgrad ergibt:     Ph 1 (9.39) ηh = 1 = 2km (1 − km) 1 − 1 − cw2 cos β2 2 ˙ c C02 2m Als Referenzleistung wird die reibungsfreie Leistung Ph,0 verwendet, die mit cw2 = 0 aus Gl. (9.38) sofort erhältlich ist. Die durch Reibung verursachte Wirkungsgradreduktion berechnet sich somit aus ηµ =

Ph,0 − Ph 1 ˙ c C02 2m

= −cw2 · km (1 − km) cos β2

(9.40)

Aus dieser Darstellung lassen sich folgende Erkenntnisse herausstellen: 1. Es wird eine virtuelle Schaufel betrachtet, deren Austrittswinkel β2 < π/2 ist. Da die in der Schaufel befindliche Wasserströmung in Richtung der Schaufelbewegung durch die Reibung zusätzlich gebremst wird, erhöht sich der Leistungsaustausch zwischen dem Wasser und der beweglichen Schaufel. Die Reibung verhält sich als treibende Kraft und erzeugt zusätzliche Leistung (Ph > Ph,0 ). Entsprechend der Definition ist der hydraulische Verlust negativ ηµ < 0. 2. Unter der Annahme, dass der Schaufelaustrittswinkel β2 = π/2 ist, ergibt sich aus Gl. (9.40) ηµ = 0. Darunter ist zu verstehen, dass die Austrittsströmung, die die Schaufel senkrecht zur Schaufelbewegung verlässt, keinen Einfluss auf die Schaufelbewegung hat. Daher ist es auch gleichgültig, ob und wie die Strömung in der Schaufel durch die Reibung beeinflusst ist. Gesamt gesehen hat die Reibung keinen Einfluss auf die Leistungsbilanz, obwohl die Reibung als treibende Kraft wirksam ist. 3. Bei realen Pelton-Schaufeln ist der Austrittswinkel β2 > π/2. Daraus folgt ηµ > 0. Das bedeutet, dass die Reibungskraft an der Schaufeloberfläche den hydraulischen Wirkungsgrad stets negativ beeinflusst, obwohl die Reibung im Schaufelbereich β < π/2 scheinbar einen positiven Einfluss hat. 4. Für km = 0.5 und β2 ≈ π, wie dies bei realen Pelton-Turbinen annähernd der Fall ist, folgt aus Gl. (9.39) 1 ηh = 1 − cw2 4

(9.41)

9.5 Das Theorem der Strömungsreibung

147

oder, in Form des Wirkungsgradverlustes 1 d0 + d2 ηµ = cw2 = cf S 4 πd02

(9.42)

Diese Beziehung stellt den Mechanismus der Reibungseffekte auf den hydraulischen Wirkungsgrad einer realen Pelton-Turbine dar. Dabei wird die Beschaffenheit der Schaufeloberfläche durch den Reibungsbeiwert beschrieben. Die Länge des Strömungsweges ist durch S gegeben. Schließlich ist der Einfluss des Wasserstrahls durch den Strahldurchmesser erfasst worden. Nach der bei Gl. (9.15) gemachten Abschätzung der Reibungszahl zu cw2,N = 0.2 für den Nennbetrieb wird ein Verlust im hydraulischen Wirkungsgrad von ηµ = 5% erwartet. Ein Verlust in dieser Größenordnung muss als sehr beträchtlich angesehen werden, insbesondere wenn er in Relation zu den in Kapitel 8 bereits ausführlich beschriebenen Verlusten betrachtet wird. Liegt Teillastbetrieb durch Nadelschließung der Pelton-Düse vor, wird der Wirkungsgradverlust nach Gl. (9.42) infolge der Verringerung des Strahldurchmessers noch größer. Das ist logisch, da sich die Reibungsleistung nun auf eine kleinere Strahlleistung bezieht. Aus Gl. (9.42) ist zu erkennen, dass die Verringerung des hydraulischen Verlustes in einer Pelton-Turbine durch eine Reduktion des Reibungsbeiwertes an der Schaufeloberfläche erzielbar ist. Dies dürfte sehr wirksam sein, da sich die Reibung an der Schaufeloberfläche als größte Verlustquelle in einer Pelton-Turbine zu bestätigen scheint, wie dies auch bereits von Zhang und Müller (2006b) bzw. Zhang (2007b) festgestellt wurde und in Kapitel 10 noch gezeigt werden wird.

9.5 Das Theorem der Strömungsreibung In den vorhergehenden Abschnitten konnte der direkte Reibungseffekt, der auf die Druckkraft unter dem Wasserfilm wirkende Reibungseffekt sowie der gesamte Reibungseffekt mittels des Impulssatzes ausführlich beschrieben werden. Es existiert ein klarer Zusammenhang zwischen den drei Ausprägungen der Reibungskraft. Durch einen Vergleich zwischen Gln. (9.20), (9.32) und (9.39) wird folgende Beziehung gefunden: ηh = ηd + ηp

(9.43)

wobei die Integrationsteile in Gln. (9.20) und (9.31) aufgrund von dcw = cf / h · ds sich aufheben. Die in Gl. (9.43) dargestellte Beziehung kann auch in Form des Wirkungsgradverlustes wiedergeben werden. Die in Abschnitt 9.2 berechnete direkte Reibungsleistung ist bei Pelton-Turbinen stets negativ. Das bedeutet, dass die Reibungskraft einen direkten Wirkungsgradverlust bewirkt, der in der Form ηd = −ηd angegeben

148

9 Reibungseffekte und FFT-Theorem

wird. Aus Gln. (9.20), (9.33) und (9.40) erhält man dann die folgende Beziehung: ηµ = ηd + ηp

(9.44)

Der in Gl. (9.43) bzw. (9.44) dargestellte Zusammenhang wird als Theorem der Strömungsreibung der Pelton-Turbine bezeichnet, wie sie bereits von Zhang (2007b) als „Flow Friction Theorem (FFT)“ bezeichnet wurde. Eine weitergehende Betrachtung der Reibungseffekte und ein Zahlenbeispiel werden im nächsten Kapitel gezeigt.

Kapitel 10

Reibungsbehaftete Querströmung durch die Schaufel

Bei Pelton-Turbinen trifft der Wasserstrahl zum größten Teil annähernd senkrecht auf die Mittelschneide der Schaufel. Diese Strömungsanordnung bedingt, dass das Wasser in der Schaufel der konstanten Umfangsgeschwindigkeit zum Schaufelaustritt folgt und somit die Schaufel quer durchläuft. Da die Relativgeschwindigkeit dann weder von der Zentrifugal- noch von der Coriolis-Kraft beeinflusst wird, konnte im letzten Kapitel der Reibungseinfluss separiert werden. Dabei zeigte sich, dass sowohl die Zentrifugal- als auch die Coriolis-Kraft keine Leistung erbringen. Die Rechenergebnisse des letzten Kapitels werden hier näher betrachtet und quantifiziert.

10.1 Kombinierte hydraulische Verluste Der hydraulische Wirkungsgrad einer Pelton-Turbine unter Einbezug des Reibungseinflusses ist nach Gl. (9.39) zu berechnen. Daraus kann der hydraulische Verlust berechnet werden als ηh = 1 − ηh = 1 − 2km (1 − km) (1 − cosβ2 ) − cw2km (1 − km) cos β2

(10.1)

Dieser Verlust wird weiter in zwei Teile unterteilt: ηh = ηDr,0 + ηµ

(10.2)

Dabei sind die Teilverluste jeweils gegeben durch ηDr,0 = 1 − 2km (1 − km) (1 − cosβ2 )

(10.3)

ηµ = −cw2km (1 − km ) cos β2

(10.4)

und

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

149

150

10 Reibungsbehaftete Querströmung durch die Schaufel

Der erste Teilverlust entspricht dem reibungsfreien Drallverlust nach Gl. (8.8). Der zweite Teilverlust ist der reibungsabhängige Verlust, der bereits in Gl. (9.40) angegeben wurde. Der gesamte Wirkungsgradverlust lässt sich somit als Summe zweier Teilverluste berechnen. Da im Fall der reibungsbehafteten Strömung die Austrittsströmung von der Reibung in der Schaufel abhängt, repräsentiert Gl. (10.3) nicht den realen Drallverlust. In der Tat ist es auch nicht unbedingt nötig, den realen Drallverlust zu berechnen, wenn der kombinierte Wirkungsgradverlust bereits aus Gl. (10.2) auf einfache Weise bestimmt werden kann. Um doch einen Einblick in den realen Drallverlust zu haben, wird dieser in Abschnitt 10.2 betrachtet. Anhand Gl. (9.39) kann festgestellt werden, dass sich der maximale hydraulische Wirkungsgrad bei km = 0.5 ergibt. Nach Abb. 10.1, welche Gln. (10.2), (10.3) und (10.4) grafisch darstellt, sind nur schwache Abhängigkeiten der jeweiligen Verluste von der Laufzahl auffällig. Insbesondere ist der Verlust ηµ fast unabhängig von der Laufzahl. Die in der Praxis vorkommenden Betriebseinstellungen mit km = 0.45 bis 0.48 sind stets und vorwiegend auf die Koinzidenz- und Symmetriebedingungen nach Kapitel 4 sowie auf die Austrittsbedingung nach Kapitel 7 zurückzuführen. Die in Abb. 10.1 dargestellten Verluste gelten für die Reibungszahl cw2 = 0.2. Diese Reibungszahl wird gemäß Abschnitt 9.2 (Kapitel 9) mit einem Reibungsbeiwert von cf = 0.015 berechnet. Wie bereits dort erwähnt wurde, sind keine Angaben zum Reibungsverhalten in der schießenden Strömung mit Fr > 1 bekannt. Mit der angenommenen Reibungszahl von cw2 = 0.2 ist aus Abb. 10.1 ersichtlich, dass der Teilverlust ηµ im kombinierten Verlust nach Gl. (10.2) dominiert.

Abb. 10.1 Wirkungsgradverluste und ihre Bestandteile in einer Pelton-Turbine aus Betrachtung der reibungsbehafteten Strömung in den rotierenden Schaufeln (cw2 = 0.2)

10.2 Reale Drallverluste Obwohl die Bestimmung des realen Drallverlustes nach Abschnitt 10.1 für Wirkungsgradbetrachtung nicht notwendig ist, soll ein Einblick in den realen Drallverlust gegeben werden. Der reale Drallverlust kann mittels der Änderung der Relativgeschwindigkeit in einer rotierenden Schaufel bestimmt werden. Die Relativströmung in der rotierenden Schaufel wurde durch Gl. (9.3) angegeben, deren Integra-

10.2 Reale Drallverluste

151

tion über dem ganzen Strömungsweg lautet 1 1 2 W1 − W22 = 2 2

S

1 cf W 2 · ds h

(10.5)

0

Es wird hier der Mittelwertsatz der Integration verwendet, sodass sich ergibt: W12 − W22

W 2 + W22 = 1 2

S

W 2 + W22 1 cw2 cf ds = 1 h 2

(10.6)

0

Dabei geht die Reibungszahl auf die Definition nach Gl. (9.12) zurück. Obige Gleichung kann nach der AustrittsgeschwindigkeitW2 aufgelöst werden: W22 =

1 − cw2/2 2 W = ΦW12 1 + cw2/2 1

(10.7)

Für den Fall einer sehr kleinen Reibungszahl cw2 /  1 ergibt sich Φ ≈ 1 − cw2 . Dies ist bereits in Abschnitt 9.1 bzw. bei Gl. (9.13) verwendet worden. Die Absolutgeschwindigkeit am Schaufelaustritt wird dann berechnet nach Abb. 9.1a in der Form C22 = W22 + U22 + 2U2 W2 cos β2

(10.8)

Zusammen mit Gl. (10.7) wird die Absolutgeschwindigkeit ausgedrückt als √ (10.9) C22 = ΦW12 + U22 + 2U2 W1 Φ cos β2 Wegen U2 = U1 = Um und W1 = C0 − Um sowie km = Um /C0 berechnet sich der reale Drallverlust mit ηDr =

C22 C02

√ 2 = Φ (1 − km)2 + km + 2km Φ (1 − km) cos β2

(10.10)

Für reibungsfreie Strömung ist Φ = 1. Offensichtlich unterscheidet sich der Drallverlust bei reibungsbehafteter Strömung vom Drallverlust bei reibungsfreier Strömung. Abb. 10.2 zeigt die nach Gl. (10.10) gerechneten Drallverluste an einem Beispiel, wobei zum Vergleich jeweils cw2 = 0 und cw2 = 0.2 (siehe Abschnitt 10.1) angenommen wurden. Offensichtlich verschiebt sich die Laufzahl für den minimalen Drallverlust nach unten, wenn eine reale Strömung mit Reibung betrachtet wird. Dies kann auch anhand von Gl. (10.10) bestätigt werden. Unter der gleichen Annahme cw2 = 0.2, aus der Φ = 0.818 berechnet wird, erhält man die Laufzahl für den minimalen Drallverlust aus Gl. (10.10) durch d (ηDr )/dkm = 0 mit √ Φ km,min = √ = 0.475 (10.11) 1+ Φ Obwohl dieses Ergebnis dem realen Betrieb von Pelton-Turbinen sehr gut entspricht, soll nicht gefolgert werden, dass die praktische Betriebseinstellung von

152

10 Reibungsbehaftete Querströmung durch die Schaufel

Abb. 10.2 Drallverlustvergleich zwischen reibungsfreier und -behafteter Querströmung in einer kreisförmigen Pelton-Schaufel, cw2 = 0.2, β2 = 170◦

Pelton-Turbinen bei km ≈ 0.475 dem Zweck der Drallverlustreduktion dient. Wie bereits in Abschnitt 10.1 angedeutet wurde, findet der kombinierte hydraulische Verlust sein Minimum stets bei km = 0.5. Dies entspricht wiederum dem Strömungsverhalten bei einer geradlinig bewegten Schaufel. Das ist insofern selbstverständlich, da für die Strömung nach Abb. 9.1 weder Zentrifugal- noch Coriolis-Kraft die Strömung beeinflussen. Ferner handelt es sich bei Abb. 10.2 mit km,min = 0.475 nur um einen mathematischen Extremwert. Tatsächlich ist die Abhängigkeit des Drallverlustes von der Laufzahl im Bereich von km,min = 0.475 so schwach ausgeprägt, dass sie im praktischen Betrieb von Pelton-Turbinen nicht wahrgenommen werden kann. Die Berechnung des Drallverlustes nach Gl. (10.10) kann für den Fall cw2 /2  1 vereinfacht werden. Infolge der daraus folgenden Annäherungen Φ ≈ 1 − cw2 und √ 1 − cw2 ≈ 1 − cw2/2 erhält man aus Gln. (10.10) und (10.11) jeweils ηDr = 1 − 2km (1 − km) (1 − cosβ2 ) − cw2 (1 − km) [1 − km (1 − cosβ2 )] (10.12) und km,min =

1 − cw2/2 2 − cw2/2

(10.13)

Für β2 ≈ π ergibt sich ηDr = 1 − (1 − km) [4km + cw2 (1 − 2km)]

(10.14)

Da bei Pelton-Turbinen die Laufzahl km stets nah bei 0.47 liegt und die Reibungszahl einen kleinen Wert darstellt, gilt cw2 (1 − 2km)  4km . Somit erhält man ηDr ≈ 1 − 4km (1 − km)

(10.15)

Diese Gleichung entspricht der Gl. (10.3). Das Ergebnis deutet darauf hin, dass der Einfluss der Strömungsreibung auf die Relativgeschwindigkeit und daher letztlich auf den Drallverlust vernachlässigbar ist.

10.3 Hydraulische Dissipation und Energiebilanz

153

An dieser Stelle soll nun die Bedeutung der Gl. (10.13) hinsichtlich des minimalen Drallverlustes näher erläutert werden. Der minimale Drallverlust soll sich nach Abb. 7.5 offensichtlich ergeben, wenn die Bedingung α2 = π/2 für die Austrittsströmung erfüllt wird. Dementsprechend wird aus Gl. (7.30) für tan α2 = ∞: km (D2 /Dm ) (C0 /W2 ) + cosβ2 = 0

(10.16)  Die Relativgeschwindigkeit W2 am Austritt wird durch W2 = W1 1 − 12 cw2 aus Gl. (9.13) ersetzt. Mit W1 = C0 (1 − km) und für β2 ≈ π sowie D2 = Dm erhält man aus Gl. (10.16) km =

1 − cw2 /2 2 − cw2 /2

(10.17)

Diese Gleichung entspricht der Gl. (10.13). Für cw2 = 0.2 ergibt sich km,min = 0.474.

10.3 Hydraulische Dissipation und Energiebilanz Es soll nun der reibungsabhängige hydraulische Verlust in Pelton-Turbinen nach dem Energieerhaltungssatz näher erläutert werden. Da in der betrachteten Querströmung in der Pelton-Schaufel die Änderung der Relativgeschwindigkeit nur durch Reibung hervorgerufen wird, kann die von der Strömungsreibung direkt verursachte spezifische Dissipation aus der Änderung der spezifischen kinetischen Energie berechnet werden: 1 2 eDiss = W1 − W22 (10.18) 2 Unter der Berücksichtigung von Gl. (9.13) ergibt sich 1 eDiss = cw2 W12 2

(10.19)

Sie wird auf die spezifische kinetische Energie des Wasserstrahls bezogen. Somit erhält man den entsprechenden Wirkungsgradverlust ηDiss =

W12 eDiss = c w2 C02 /2 C02

(10.20)

Wegen W1 = C0 − Um = C0 (1 − km) ist dieser Wirkungsgradverlust als Funktion der Laufzahl darstellbar: ηDiss = cw2 (1 − km)2 Dieser Wirkungsgradverlust wird als hydraulische Dissipation bezeichnet.

(10.21)

154

10 Reibungsbehaftete Querströmung durch die Schaufel

In Anbetracht der Gln. (10.1) und (10.12) kann die folgende Bilanzgleichung aufgestellt werden: ηDr + ηDiss = 1 − ηh

(10.22)

In Abschnitt 10.2 konnte bereits mit Gl. (10.15) die Ähnlichkeit ηDr ≈ ηDr,0 gezeigt werden. Aus dem Vergleich zwischen Gl. (10.21) und (10.4) ergibt sich für β2 ≈ π und km ≈ 0.5 ebenfalls die Ähnlichkeit ηµ ≈ ηDiss = cw2 /4

(10.23)

Dieser Betrag der reibungsabhängigen Verluste ist bereits in Kapitel 9 bei Gl. (9.41) angegeben worden. Da unter den Bedingungen β2 ≈ π und km ≈ 0.5 der Drallverlust nach Gl. (10.15) praktisch Null ist, stellt somit Gl. (10.23) den gesamten hydraulischen Verlust dar. Es bleibt nur noch, die Reibungszahl cw2 nach Gl. (9.15) zu bestimmen. Dies wurde bereits bei Gl. (9.15) für den Nennbetrieb kurz erläutert und wird im nächsten Abschnitt anhand eines Rechenbeispiels weiter veranschaulicht.

10.4 Beispiel zum Einfluss von Reibungseffekten auf den Wirkungsgrad Das Ausmaß der Reibungseffekte auf den hydraulischen Wirkungsgrad soll nun anhand eines Beispiels veranschaulicht werden. Der Einfachheit halber wird in diesem Beispiel eine kreisförmige Schaufel mit konstantem Radius rb betrachtet. Die Strömungswinkel am Schaufeleintritt und -austritt werden jeweils zu β1 = 0 und β2 = π festgelegt. Der Ausbreitungsweg des Wasserfilms ist gegeben durch S = π · rb . In Anlehnung an die Konventionen bei hydraulischen Berechnungen einer PeltonTurbine wird die Schaufelauslastung nach Gl. (1.21) verwendet. Sie ist für die vorliegende kreisförmige Schaufel entsprechend formuliert als ϕB = (d0 /B)2 = (d0 /4rb )2

(10.24)

Unter Verwendung dieses Parameters lässt sich die Reibungszahl nach Gl. (9.15) umformen zu   d2 1 cw2 = cf 1 + √ ·√ (10.25) B ϕB ϕB Als Referenz wird der reibungsfreie Wirkungsgrad mit dem Schaufelaustrittswinkel β2 = π betrachtet. Aus Gl. (9.39) folgt sofort ηh,0 = 4km (1 − km)

(10.26)

10.4 Beispiel zum Einfluss von Reibungseffekten auf den Wirkungsgrad

155

Unter der Anwendung des Parameters ϕB nach Gl. (10.24) werden Gln. (9.24), (9.36) und (9.39) jeweils umgeformt zu   cf d2 1 ηd = −ηh,0 2 − 1 (10.27) √ √ π B ϕB ϕB       cf 4 4 d2 1− 2 + 1+ 2 (10.28) ηp = ηh,0 1 − √ √ 4 ϕB B ϕB π π    cf d2 1+ √ (10.29) ηh = ηh,0 1 − √ 4 ϕB B ϕB Es lässt sich nachweisen, dass in diesen Darstellungen das FFT-Theorem der Strömungsreibung nach Gl. (9.43) erfüllt ist. Für die Verluste der Wirkungsgrade ergibt sich entsprechend:   cf d2 1 ηd = −ηd = ηh,0 2 (10.30) √ −1 √ π B ϕB ϕB      4 4 cf d2 1− 2 + 1+ 2 (10.31) ηp = ηh,0 − ηp = ηh,0 √ √ 4 ϕB B ϕB π π und

  d2 cf 1+ √ ηh = ηh,0 − ηh = ηh,0 √ 4 ϕB B ϕB

(10.32)

Die Verluste sind als Funktion der Schaufelauslastung dargestellt, deren Variation der Betriebseinstellung zwischen Nenn- und Teillast entspricht. Ein konkretes Beispiel wird hier betrachtet, bei dem die Wasserfilmbreite am Schaufelaustritt mit d2 = 0.8B und der Reibungsbeiwert mit cf = 0.015 (siehe Abschnitt 9.1) angenommen werden. Abb. 10.3 zeigt die entsprechenden hydraulischen Verluste in Abhängigkeit von der Schaufelauslastung. Aufgrund der weiteren Annahme km = 0.5 gilt hier ηh,0 = 1. Es ist aus der Darstellung ersichtlich, dass die direkte Auswirkung der Reibung auf den Wirkungsgrad gegenüber dem Reibungseffekt, der durch Verminderung des

Abb. 10.3 Wirkungsgradverluste infolge der Strömungsreibung in kreisförmigen Pelton-Schaufeln

156

10 Reibungsbehaftete Querströmung durch die Schaufel

Drucks unter dem Wasserfilm verursacht wird, sehr klein ist. Ferner nimmt der Wirkungsgradverlust mit der Verringerung der Schaufelauslastung (Richtung Teillast) zu. Das ist dadurch zu erklären, dass der Leistungsverlust infolge der Strömungsreibung bei Teillast auf eine entsprechend kleinere Leistung des Wasserstrahls bezogen ist. Der festgestellte Verlust des hydraulischen Wirkungsgrades infolge der Strömungsreibung ist beträchtlich. Insbesondere verdoppelt sich der Verlust, wenn der Reibungsbeiwert auf cf = 0.03 steigt. Bei abgenutzten Schaufeln mit angerauten Oberflächen steigen der Reibungsbeiwert und somit der hydraulische Verlust deutlich an. Aus diesen Ergebnissen lässt sich der Schluss ziehen, dass der Wirkungsgradverlust infolge der Strömungsreibung den Hauptverlust in einer Pelton-Turbine darstellt. Zum Vergleich beträgt der Drallverlust nach Abb. 8.5 lediglich 1 bis 2%, siehe Kapitel 8. Wie in Kapitel 12 noch gezeigt wird, sind auch die Ventilationsund Radreibungsverluste lediglich in der Größenordnung von weniger als 1%.

Kapitel 11

Reibungsbehaftete Längsströmung durch die Schaufel

Eine Längsströmung in der rotierenden Schaufel wird angetroffen, wenn der Wasserstrahl nach Abb. 4.16 vom Ausschnitt abgeschnitten wird und sich zur Schaufelwurzel hin ausbreitet. Tatsächlich läuft das Wasser nicht rein radial zur Schaufelwurzel. Das ist nicht nur wegen der geometrischen Schaufelauslegung, sondern auch wegen der Coriolis-Kraft, die stets senkrecht zur Strömungsrichtung wirkt und daher die Strömrichtung des Wassers ständig verändert. Zur Vereinfachung der Berechnung und vor allem zur Darstellung der Strömungsmechanik in solchen Fällen mit angenäherter radialer Strömung wird in diesem Kapitel die reine radiale Strömung betrachtet. Weil die Coriolis-Kraft die Bewegung dann nicht beeinflusst, wird die Bewegung des Wassers in der rotierenden Schaufel nur durch Zentrifugal- und Reibungskraft bestimmt. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Coriolis-Kraft keine Leistung erbringt. Sobald die Coriolis-Kraft eine Kraftkomponente senkrecht auf die Schaufeloberfläche hat, wird eine Leistung als Folgerung der Schaufelbewegung erbracht.

11.1 Kinematische Gleichung der Strömung in der rotierenden Schaufel Unter Berücksichtigung der Einflüsse von Zentrifugal- und Reibungskraft ist die Energiegleichung zur Wasserbewegung in einer rotierenden Schaufel bereits durch Gl. (9.2) allgemein formuliert worden:   1 2 1 d W = F ct · d s − cf W 2 · ds (9.2) 2 2h Der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung entspricht Gl. (5.14), deren Berechnung zur Gl. (5.17) geführt hat. Somit lässt sich die obige Gleichung integrieren 1  1 2 W − W12 = ω2 R 2 − R12 − 2 2

s cf

1 2 W · ds 2h

(11.1)

0

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

157

158

11 Reibungsbehaftete Längsströmung durch die Schaufel

Diese Gleichung zeigt explizit, dass die Relativgeschwindigkeit des Wassers in der rotierenden Schaufel sowohl von der lokalen Umfangsgeschwindigkeit der Schaufel als auch von der Reibung zwischen Wasser und Schaufeloberfläche abhängt. Für reibungsfreie Strömungen (cf = 0) ergibt sich daraus Gl. (5.18). Auf der anderen Seite reduziert sich die Berechnung nach Gl. (11.1) für die Strömung quer durch die Schaufel (U = const ) auf die Berechnung, die bereits in Kapitel 9 und 10 ausführlich behandelt wurde. Gl. (11.1) stellt eine rein kinematische Gleichung dar und wird verwendet, um die Strömung in der rotierenden Schaufel zu berechnen. Dazu sind einige Zwischenberechnungen für die radiale Position R notwendig. Der Einfachheit halber wird eine kreisförmige Schaufel angenommen, deren Krümmungsradius nach Abb. 11.1 durch rb bezeichnet ist. Die Annahme ist berechtigt, da das Längsprofil einer Pelton-Schaufel sehr gut durch ein kreisförmiges Profil wiedergeben werden kann. Als Ausgangslage wird nach Abb. 11.1a ein Wasserteilchen betrachtet, dessen Höhe gleich der Höhe des Wasserfilms ist. Das Wasserteilchen wird am Schaufeleintritt durch den Positionswinkel τ = 0 lokalisiert. Die entsprechende Zeit ist mit Null festgelegt. Die zeitabhängige Position des Wasserteilchens in der Schaufel wird berechnet aus rb dτ = W dt durch τ t=

rb dτ W

(11.2)

0

Die Integration ist über dem Positionswinkel τ zu berechnen. Der Grund dafür ist, dass die obere Integrationsgrenze als eine geometrische Größe oft vorgegeben ist. Insbesondere kann aus obiger Integration der Schaufeldrehwinkel direkt mit dem Positionswinkel des Wasserteilchens in der Schaufel gekoppelt werden: τ α = ωt = rb ω

1 dτ W

(11.3)

0

Nach Abb. 11.1b ist mittels des Kosinussatzes die radiale Position des Wasserteilchens in der Schaufel gegeben durch R 2 = rb2 + Ro2 − 2rb Ro cos(ψ − τ )

(11.4)

Der Winkel ψ gilt als ein fester Wert, da mit der angenommenen kreisförmigen Schaufel das Krümmungszentrum der Schaufel feststeht. Dieser Winkel kann aus der Bedingung τ = 0 und R = Rc nach Abb. 11.1a berechnet werden mit cosψ =

Ro2 + rb2 − Rc2 2rb Ro

(11.5)

Der Relativbewegungswinkel β des Wasserteilchens wird aus dem Kosinussatz berechnet mit

11.1 Kinematische Gleichung der Strömung in der rotierenden Schaufel

159

Abb. 11.1a,b Parameterbezeichnung zur Längsbewegung eines Wasserteilchens durch eine Pelton-Schaufel mit kreisförmigen Längsverlauf

cos β =

R 2 + rb2 − Ro2 2rb R

(11.6)

Zur Zeit t = 0 befindet sich das Wasserteilchen am Schaufeleintritt: cos β1 =

Rc2 + rb2 − Ro2 2rb Rc

(11.7)

Der Winkel β1 kennzeichnet den Winkel der Wasserteilchenbewegung am Schaufeleintritt, jedoch schon auf der Schaufel liegend. Der Relativbewegungswinkel des Wasserteilchens vor dem Eintritt ist gekennzeichnet durch β0 . Da normalerweise β1 = β0 ist, tritt bei Wassereintritt in die Schaufel bekanntlich die Stoßkraft auf, die eine entsprechende Leistung erbringt und bereits in Abschnitt 4.9 berechnet wurde. Zur Berechnung der gesamten hydraulischen Leistung muss diese Teilleistung berücksichtigt werden. Die obigen Gleichungen zeigen lediglich die geometrischen Zusammenhänge zwischen den geometrischen Parametern wie R, τ , α, ψ und β. Die zeit- oder ortsabhängige Relativgeschwindigkeit des Wasserteilchens im Wasserfilm wird aus Gl. (11.1) bestimmt, aus der sich, unter Berücksichtigung der Beziehung sin βds = −dR längs des Bewegungswegs s, ergibt 1  1 2 W − W12 = ω2 R 2 − R12 + 2 2

R cf R1

W2 dR 2h sin β

(11.8)

160

11 Reibungsbehaftete Längsströmung durch die Schaufel

Die Wasserfilmhöhe h kann analog zu Kapitel 6 ermittelt werden. Der Relativdurchfluss des gesamten Wasserstrahls ist nach Gl. (6.5) zu berechnen aus 1 Q˙ w = πd02 W0x,o (11.9) 4 Dabei bezieht sich die Geschwindigkeitskomponente W0x,o auf die Strahlschicht, die auf der Strahlachse liegt. Sie wird berechnet aus W0x,o = C0 −Um und bleibt für alle Wasserteilchen in der Strahlschicht konstant. Nach Abb. 11.2 ist die Breite des Wasserfilms in beiden Schaufelhälften durch d bezeichnet. Da der Durchfluss auch durch Q˙ w = hd W zu berechnen ist, ergibt sich beim Gleichsetzen mit Gl. (11.9) die Wasserfilmhöhe: h=

π d02 W0x,o 4 d W

(11.10)

Am Schaufeleintritt mit s = 0 ist nach Abb. 11.2 d ≈ d0 . Der Vergleich mit Gl. (6.6) lässt einen Unterschied in den Filmhöhen um den Faktor zwei erkennen. Dies liegt daran, dass im vorliegenden Fall der Wasserstrahl bei Eintreten in die Schaufel eine Breite von d0 für beide Schaufelhälften hat, während für Gl. (6.6) nach Abb. 6.3 die Filmbreite d0 für jede Schaufelhälfte gilt. Dieser Unterschied muss insbesondere berücksichtigt werden, wenn die Wasserausbreitung in der Schaufel deutlich anders als rein radial erfolgt. Der Einfachheit halber wird wiederum ein lineares Ausbreiten des Wasserfilms in beiden Schaufelhälften angenommen, sodass gilt d = d0 +

d2 − d0 s S

(11.11)

Mit d2 wird die Gesamtbreite des Wasserfilms am Schaufelaustritt bezeichnet. Aus der Annahme eines konstanten Reibungsbeiwerts wird Gl. (11.8) weiter abgeleitet zu 1  1 2 2cf W − W12 = ω2 R 2 − R12 + 2 2 πd02 W0x,o

Abb. 11.2 Längsströmung des Wassers durch eine Pelton-Schaufel

R R1

W 3d dR sin β

(11.12)

11.2 Dynamische Gleichungen und Leistungsberechnungen

161

Die Integration kann mittels Summationsberechnungen tabellarisch ausgeführt werden. Dies wird in Abschnitt 11.4 anhand eines Rechenbeispiels gezeigt.

11.2 Dynamische Gleichungen und Leistungsberechnungen Um das dynamische Verhalten der Strömung in der rotierenden Schaufel darzustellen, werden Beiträge von der jeweiligen Volumenkräfte und der Reibungskraft quantifiziert. Als Volumenkräfte wirken Zentrifugal- und Coriolis-Kraft mit ihren Komponenten senkrecht zur Schaufeloberfläche auf die Schaufel. Die Definition der Zentrifugal- und Coriolis-Kraft findet man jeweils in Gl. (5.1) und (5.2). Eine andere Volumenkraft ist die Kraft in Zusammenhang mit der Änderung der Strömungsrichtung längs der Schaufeloberfläche. Da die Änderung der Strömungsrichtung eine Änderung des Impulsstroms darstellt, wird die damit verbundene Kraft als Impulskraft bezeichnet. Dieser Kraft begegnete man bereits bei Gl. (5.10) sowie Gl. (9.25), wo sie als einzige effektive Kraft der Druckkraft unter dem Wasserfilm entgegengesetzt wurde. Nach Abb. 11.3 mit den dargestellten Kraftvektoren und der Schaufelnormale (

n ) stellt die Summe aller Kraftkomponenten senkrecht zur Schaufeloberfläche die Stützkraft dar. Für die Einheitsmasse gilt somit die spezifische Stützkraft Fn =

W2

− Fct · n − F Co · n

rb

(11.13)

Dabei wird rb als Krümmungsradius der Schaufeloberfläche bezeichnet. Die Reibungskraft, die aus der Schubspannung entsteht, wirkt direkt auf die Schaufel tangential zu deren Oberfläche in Richtung der Strömung. Die in einer

Abb. 11.3 Kräfteverhältnis bei der Längsbewegung eines Wasserteilchens in einer kreisförmigen Pelton-Schaufel. Fct , FCo und Fn wirken auf das Wasserteilchen; Fd wirkt auf die Schaufel

162

11 Reibungsbehaftete Längsströmung durch die Schaufel

infinitesimalen Reibfläche entstehende Reibungskraft erhält man durch 1 dFd = cf ρW 2 · d · ds 2

(11.14)

Da die Schaufel dreht, verrichten sowohl die normale Stützkraft als auch die Reibungskraft an der Schaufeloberfläche mechanische Leistungen. Zu beachten ist, dass die effektive Kraft für die Arbeitsleistung stets die Kraftkomponente in Umfangsrichtung der Schaufel ist. Die Leistungen, die jeweils durch spezifische Volumenkräfte und direkte Reibungskraft erbracht werden, berechnen sich aus e˙ =

  de W2 = Fn · (−

n ) · U = − n · U + F ct · n n · U + F Co · n n · U (11.15) dt rb

und 1 dPd = cf ρW 2 cos β · U · d · ds 2

(11.16)

Dabei handelt es sich in Gl. (11.15) um die spezifische Leistung, vergleichbar mit Gl. (5.50), während Gl. (11.16) die infinitesimale Leistung darstellt, die mit Gl. (9.16) vergleichbar ist. Um obige Gleichungen weiter zu bearbeiten, müssen sie durch die kinematische Gleichung (11.12) ergänzt werden. Die Leistungen erhält man aus Integration der Gln. (11.15) und (11.16) mit Schaufeleintritt und -austritt als Grenzwerte. Wie im letzten Abschnitt erwähnt wurde, leistet die Stoßkraft während des Wasserseintretens in die Schaufel bereits einen Beitrag zu der Arbeitsleistung, die zur gesamten Leistung mitgezählt werden soll.

11.3 Auswirkungen von Strömungskräften und die hydraulische Dissipation Um die Vektorberechnungen in Gl. (11.15) durchzuführen, wird ein Koordinatensystem t-n-z nach Abb. 11.3 festgelegt. Dabei weist die z-Koordinate in Richtung der Drehachse des Pelton-Rades. Die entsprechenden Geometrie- und Strömungsparameter sind schon in Kapitel 5 angegeben worden und werden hier nochmals angeführt: n = (0, 1, 0) R = (−R sin β, −R cosβ, 0) ω

= (0, 0, ω) U = (ω R cosβ, −ω R sin β, 0)

= (W, 0, 0) . W

(11.17)

11.3 Auswirkungen von Strömungskräften und die hydraulische Dissipation

163

11.3.1 Stoßkraft am Schaufeleintritt Das Eintreten des Wassers in die Schaufel an der Nebenschneide ist normalerweise immer mit einer Stoßkraft verbunden, wie dies bereits in Kapitel 4 behandelt wurde. Die entsprechende Leistung und der Teilwirkungsgrad sind jeweils aus Gln. (4.66) und (4.69) zu berechnen. Für die Vollständigkeit der Berechnung im vorliegenden Kapitel wird der Teilwirkungsgrad nach Gl. (4.69) in Bezug auf Abb. 4.16 noch einmal angeführt: 2 ηSt = 2km

W0 Rc (cos β0 − cosβ1 ) Um R m

(11.18)

Dieser Teilwirkungsgrad gilt als eine Ereignisgröße gegenüber anderen Prozessgrößen, die nur durch Integration berechnet werden können.

11.3.2 Impulskraft in der Schaufel Die mit der kontinuierlichen Umlenkung der Strömung verbundene Kraft wurde in Abschnitt 11.2 als Impulskraft bezeichnet. Die Arbeit, die im Laufe der Zeit durch diese Impulskraft geleistet wird, kann aus dem entsprechenden Term in Gl. (11.15) und nach Abb. 11.3 berechnet werden: t eI = −

W2 n · U dt = rb

0

t

W2 ω R sin βdt rb

(11.19)

0

Infolge der Beziehung W dt = ds mit s als Koordinate längs der Strömung sowie der Beziehung sin βds = −dR nach Abb. 11.3 wird Gl. (11.19) umgeformt zu R eI = −ω

W RdR rb

(11.20)

R1

Diese spezifische mechanische Arbeit wird auf die spezifische kinetische Energie 1 2 2 C0 des Wasserstrahls bezogen. Mit der k m -Definition nach Gl. (1.18) erhält man den entsprechenden Teilwirkungsgrad aus der Impulskraft in der Schaufel: ηI =

eI 2 = −2km C02 /2

R

1 W R dR r b Um R m

(11.21)

R1

Dabei ist nach Abb. 11.1 R1 = Rc die untere Integrationsgrenze. Da die obere Integrationsgrenze durch die Variable R angegeben ist, zeigt die obige Gleichung den

164

11 Reibungsbehaftete Längsströmung durch die Schaufel

Verlauf des Teilwirkungsgrades während des Durchströmens durch die Schaufel. Dies wird unten anhand eines Rechenbeispiels veranschaulicht. Die Integration kann durch Summation in Zusammenhang mit der kinematischen Gleichung (11.12) tabellarisch berechnet werden. Für eine reibungsfreie Strömung in einer kreisförmigen Schaufel reduziert sich die obige Gleichung auf Gl. (5.93).

11.3.3 Zentrifugal-Kraft Die Zentrifugalkraft ist durch Gl. (5.1) gegeben und beträgt Rω2 . Da zwischen der Zentrifugalkraft und der Normalen der Schaufeloberfläche nach Abb. 11.3 ein Winkel π − β gemessen wird, ergibt sich das Vektorprodukt F ct · n = −Rω2 cos β. Die Arbeit, die durch Zentrifugalkraft geleistet wird, wird aus dem entsprechenden Term in Gl. (11.15) berechnet: ect =

t 

R 1 3



Fct · n n · U dt = −ω R 2 cosβ dR W

0

(11.22)

R1

Dabei werden die Beziehungen W dt = ds und sin βds = −dR verwendet. Diese spezifische Arbeit wird auf die spezifische kinetische Energie des Wasserstrahls bezogen. Dadurch und in Anbetracht der km -Definition ergibt sich der entsprechende Teilwirkungsgrad aus der Zentrifugalkraft mit R 2 ηct = −2km R1

R 2 Um cos βdR 3 W Rm

(11.23)

Wie bei Gl. (11.21) stellt dieser Teilwirkungsgrad eine Prozessgröße dar.

11.3.4 Coriolis-Kraft Die Coriolis-Kraft ist durch Gl. (5.2) gegeben und beträgt 2ωW . Das entsprechende Vektorprodukt F Co · n wird nach Abb. 11.3 zu −2ωW berechnet. Durch Anwendung von Gl. (11.17) ergibt sich aus dem entsprechenden Term in Gl. (11.15) die Arbeit, die durch die Coriolis-Kraft geleistet wird, mit eCo =

t  0

t 2



FCo · n n · U dt = 2ω W R sin βdt 0

(11.24)

11.3 Auswirkungen von Strömungskräften und die hydraulische Dissipation

165

Unter der Berücksichtigung von W sin β = −Wr = −dR/dt vereinfacht sich die Berechnung zu R eCo = −2ω

2

RdR

(11.25)

R1

Die Integration lautet  eCo = ω2 R12 − R 2 = U12 − U 2

(11.26)

In Bezug auf die spezifische kinetische Energie des Wasserstrahls erhält man den entsprechenden Teilwirkungsgrad (mit R1 = Rc )  2  R2 Rc 2 (11.27) − ηCo = 2km 2 2 Rm Rm Es zeigt sich, dass dieser Teilwirkungsgrad unabhängig von dem Weg ist, den das Wasser verfolgt. Er ist auch unabhängig von der Strömungseigenschaft. Somit ist Gl. (11.27) identisch mit Gl. (5.81) bei reibungsfreier Strömung.

11.3.5 Direkte Reibungskraft Der direkte Effekt der Strömungsreibung auf die Arbeitsleistung lässt sich aus Gl. (11.16) ermitteln: 1 Pd = cf ρ 2

s W 2 U · d · cos βds

(11.28)

0

Durch Einsetzen der Beziehung sin βds = −dR ergibt sich 1 Pd = −cf ρ 2

R W 2U · R1

d dR tan β

(11.29)

Da die Wasserfilmbreite d sich nach Abb. 11.2 auf beide Schaufelhälften bezieht, gilt die obige Berechnung für die Reibungsleistung in einer kompletten PeltonSchaufel. Ferner wurde bereits in Kapitel 6 durch Gl. (6.7) die Anzahl der Schaufeln (2λ) angegeben, die von einem Wasserstrahl gleichzeitig beaufschlagt sind. Unter diesen Umständen lässt sich der Teilwirkungsgrad aus der Reibungskraft berechnen, indem die entsprechende Leistung auf die Leistung eines Wasserstrahls P0 bezogen wird:

166

11 Reibungsbehaftete Längsströmung durch die Schaufel

ηd =

2λPd π/4 · d02C0 · 12 ρC02

=−

3 4cf km 1 πd02 1 − km Um3

R R1

d W 2U dR tan β

(11.30)

Wie noch gezeigt wird, ist dieser Teilwirkungsgrad erwartungsgemäß negativ und vernachlässigbar klein, wenn die Integration mit R = R2 (bis zum Schaufelaustritt) berechnet wird. Ein vergleichbares Ergebnis ist bereits in Kapitel 10 für die Querströmung mit U = const erhalten worden.

11.3.6 Hydraulische Dissipation Die Reibungskraft zwischen Wasserfilm und Schaufeloberfläche ist durch Gl. (11.14) definiert worden. Die durch diese Reibungskraft erzeugte infinitesimale Dissipationsrate wird berechnet aus 1 d E˙ Diss = W dFd = cf ρW 3 d · ds 2

(11.31)

Die Dissipationsrate kann als Funktion des zurückgelegten Strömungswegs in der Schaufel dargestellt werden, indem die obige Integration ermittelt wird: 1 E˙ Diss = cf ρ 2

s W 3 d · ds

(11.32)

0

Da die Wasserfilmbreite d sich nach Abb. 11.2 auf beide Schaufelhälften bezieht, gilt die Berechnung für eine komplette Pelton-Schaufel. Ferner stehen nach Abschnitt 6.1 bzw. nach Gl. (6.7) stets 2λ Schaufeln unter der Beaufschlagung von einem Wasserstrahl. Die gesamte Dissipationsrate bei 2λ Schaufeln wird dann auf die Strahlleistung bezogen. Daraus ergibt sich der dissipative Wirkungsgradverlust  3 2λ E˙ Diss 4cf km 1 ηDiss = = W 3 d · ds P0 πd02 1 − km Um3 s

(11.33)

0

Aufgrund der Beziehung sin βds = −dR lässt sich die obige Gleichung auch schreiben als 3 4cf km 1 ηDiss = − 2 πd0 1 − km Um3

R R1

W 3d dR sin β

(11.34)

Sie stellt hier ebenfalls eine Prozessgröße zwischen Schaufeleintritt und -austritt dar. Für das Durchströmen des Wassers durch die Schaufel wird die obere Integrationsgrenze in obigen Gleichungen jeweils durch s = S und R = R2 ersetzt.

11.4 Beispiel

167

Wird die Breite d des Wasserfilms in Gl. (11.33) durch Gl. (11.10) ersetzt und die Näherung von cf W 2 ≈ cf W12 nach Gl. (9.7) eingesetzt, so wird aus Gl. (11.33) für das Durchströmen des Wassers durch die Schaufel 3 W12 km ηDiss = W0x,o 1 − km Um3

S

1 cf ds h

(11.35)

0

In Anbetracht der Definition der Reibungszahl nach Gl. (9.12) und aufgrund W0x,o = C0 − Um = C0 (1 − km) resultiert aus Gl. (11.35) 2 ηDiss = cw2 km

W12 W12 = c ≈ cw2 (1 − km)2 w2 Um2 C02

(11.36)

Diese Gleichung ist vergleichbar mit Gl. (10.21).

11.3.7 Gesamtwirkungsgrad Die Summierung aller Teilwirkungsgrade gibt den hydraulischen Wirkungsgrad des hydraulischen Systems bei rein radialer Strömung gemäß Abb. 11.1: ηh = ηSt + ηI + ηct + ηCo + ηd

(11.37)

Die Differenz dieses hydraulischen Wirkungsgrades zu dem 100%-Wert ergibt die Summe aus der reibungsabhängigen hydraulischen Dissipation und dem mit der Austrittsströmung verbundenen Drallverlust: ηDiss + ηDr = 1 − ηh

(11.38)

Wie das unten ausgeführte Rechenbeispiel zeigen wird, stellt ηDiss den dominanten Anteil im Gesamtverlust des betrachteten Strömungsmodells dar.

11.4 Beispiel Um die Rechenprozesse zur Bestimmung aller Leistungseffekte und Teilwirkungsgrade zu zeigen, wird ein Strömungsmodell mit kreisförmiger Schaufelform in Längsrichtung betrachtet. Dieses Strömungsmodell entspricht annähernd einer realen Pelton-Turbine. Die Spezifikationen dieser Turbine sowie des Strömungsmodells sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Die Berechnung wird durch Tabellenkalkulation durchgeführt, indem beispielsweise 20 Schritte vom Schaufeleintritt bis zum -austritt definiert werden. Tabelle 11.2 zeigt entsprechend das Rechenschema für die vorliegenden Berechnun-

168

11 Reibungsbehaftete Längsströmung durch die Schaufel

Tabelle 11.1 Parameterspezifikation einer Pelton-Turbine und des Strömungsmodells Spezifische Drehzahl n q Laufzahl km Schaufelauslastung ϕB = (d0 /B)2 Schaufelbreite B/Dm Strahldurchmesser d0 /Dm  Kreisdurchmesser der Nebenschneide Dc D m  Schaufelkrümmungsradius rb B Schaufelkrümmungszentrum Ro Rm Einlaufwinkel β1 Schaufelaustrittswinkel β2 Winkel ψ nach Gl. (11.5) Reibungsbeiwert cf

1/s – – – – – – ◦

◦ ◦

–

0.1 0.47 0.11 0.24 0.08 1.2 0.5 1.10 56 173 113 0.015

Tabelle 11.2 Schema zu Strömungsberechnungen in einer kreisförmigen Schaufel nach Abb. 11.1  2  2 R d h W C τ β α ηct ηCo ηI ηd ηh ηDiss Rm d0 Rm Um C0 0 4.5 9 .. . Gln.

1.20 1.19 1.17 .. . 11.4

0.95 1.02 1.10 .. . 11.6

1.00 1.06 1.12 .. . 11.11

0.120 0.115 0.111 .. . 11.10

1.375 0 0 0 0 0 0.02 0.982 0 1.342 0.01 0.004 0.013 0.040 0.000 0.08 0.924 0.0006 1.309 0.03 0.007 0.027 0.081 0.000 0.13 0.864 0.0012 .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . 11.12 11.3 11.23 11.27 11.21 11.30 11.37 – 11.34

gen, wobei der Strahlkreisradius (Rm ) und die entsprechende Umfangsgeschwindigkeit (Um ) als Bezugsgrößen verwendet werden. Die Absolutgeschwindigkeit C/C0 wurde an jeder Stelle aus dem entsprechenden Geschwindigkeitsplan ermittelt. Die Ergebnisse zur Strömung in der Schaufel sind in Abb. 11.4 dargestellt. Der Teilwirkungsgrad aus der Stoßkraft am Schaufeleintritt lässt sich im Diagramm bei τ = 0 mit ηSt = 2.0% ablesen. Offensichtlich leistet die Zentrifugalkraft bis zum Schaufelaustritt einen negativen und kleinen Beitrag zur Arbeitsleistung. Der direkte Reibungseffekt auf den hydraulischen Wirkungsgrad ist kleiner als 0.5%. Beim Erreichen des Schaufelaustritts (τ = 107◦ ) wird ein hydraulischer Wirkungsgrad von 98.1% erreicht. Der gesamte hydraulische Verlust beträgt ca. 1.9%. Dazu zählen der Drallverlust und die hydraulische Dissipation. In den ausgeführten tabellarischen Berechnungen wurden auch der Drallverlust sowie der Verlust durch Dissipation bestimmt. Abb. 11.5 zeigt die entsprechenden Ergebnisse in Abhängigkeit vom Drehwinkel α der Schaufel. Bis das Wasser den Schaufelaustritt erreicht, verdreht sich die Schaufel um einen Winkel von ca. 28◦. Der hydraulische Wirkungsgrad ist der gleiche wie in Abb. 11.4. Das Quadrat des Geschwindigkeitsverhältnisses (C/C0 )2 am Schaufelaustritt stellt den Drallverlust im betrachteten hydraulischen System dar. Wie aus Berechnungen hervorgeht, beträgt der Drallverlust lediglich 0.37%, während der Verlust aus Dissipation bei 1.5% liegt. Zusammen ist der Wirkungsgradverlust 1.9%. Dieses Ergebnis bestätigt zu-

11.4 Beispiel

169

Abb. 11.4 Beispiel zu Teil- und Gesamtwirkungsgraden von einem Strömungssystem nach Abb. 11.3. Parameterspezifikation gemäß Tabelle 11.1

Abb. 11.5 Beispiel zu Verläufen des Gesamtwirkungsgrades, der Absolutgeschwindigkeit und der reibungsabhängigen Dissipation in einem Strömungssystem nach Abb. 11.3

gleich die Beziehung nach Gl. (11.38). Aus Berechnungen mit dem angegebenen Reibungsbeiwert wurde die Reibungszahl mit cw2 = 0.076 erhalten. Damit wird aus Gl. (11.36) der Verlust infolge der Dissipation direkt zum ηDiss = 2.1% abgeschätzt. Dies stimmt mit dem Wert (1.9%) aus der Integration sehr gut überein. Das vorgeführte Rechenbeispiel deutet noch mal darauf hin, dass die Reibung zwischen Wasserströmung und Schaufeloberfläche die größte Verlustquelle in einer Pelton-Turbine darstellt. Mit tabellarischen Berechnungen können die Einflüsse aller anderen Parameter wie km , cf , β2 , usw. auf die Strömung bzw. den hydraulischen Wirkungsgrad auf einfache Weise untersucht werden. Es wurde z. B. in den beiliegenden Berechnungen festgestellt, dass der Drallverlust sehr schwach von der Strömungsreibung abhängt. Diese Erkenntnis wurde bereits in Kapitel 10 durch Gl. (10.15) aufgezeigt.

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Kapitel 12

Ventilations- und Radreibungsverluste

Ventilations- und Radreibungsverluste werden auch als innere mechanische Verluste bezeichnet. Sie entstehen dadurch, dass die Luft um das Pelton-Rad ununterbrochen zum Zirkulieren angeregt wird und die Drehung des Pelton-Rades durch die Luftreibung an der Radoberfläche gebremst wird. Die entsprechende Förderleistung für die Luftzirkulation und die Leistung zur Überwindung der Reibungskraft zählen somit zu den mechanischen Verlustleistungen in einer Pelton-Turbine. In der Realität sind die beiden Verluste so eng miteinander gekoppelt, dass sie nicht separat voneinander behandelt werden können. Da diese Verlustleistungen von der Gestaltung des Turbinengehäuses, der Raddimension und -drehzahl abhängen, ist ihre genaue Berechnung nicht möglich. Insbesondere kommt dem mit Spritzwasser angereicherten Luftgemisch eine besondere Rolle zu, da hierdurch die mittlere Dichte der zirkulierenden Nassluft beeinflusst wird. Das einfachste Modell, bei dem Ventilations- und Radreibungsverluste auftreten, ist eine unverschalte Drehscheibe in Luft. Aus Angaben, z. B. nach Dubs (1954), basierend auf früheren Erfahrungen, sowie nach IEC60041 (1991) werden die betrachteten Verluste berechnet mit   B 3 5 PVR = 75.6n D 1 + 1.8 · 10−3 (W) (12.1) D Mit B und D sind hier die Scheibendicke bzw. der -durchmesser bezeichnet. Bei der Drehzahl n ist die Einheit 1/s zu verwenden. Der Klammerausdruck berücksichtigt die gesamten freien Oberflächen der Drehscheibe. Es ist auffällig, dass die Ventilations- und Radreibungsverluste von der 3. Potenz der Drehzahl und der 5. Potenz des Raddurchmessers abhängen. Diese Gesetzmäßigkeit bedeutet aus dem Dimensionsvergleich nichts anderes als, dass der Zahlenfaktor in Gl. (12.1) die Dimension der spezifischen Dichte (kg/m3 ) hat. Daraus wird klar, dass diese Gleichung streng genommen nur für eine mittlere spezifische Dichte der Umgebungsluft gilt. Die aufgezeigte Gesetzmäßigkeit im Zusammenhang mit der Drehzahl und dem Scheibendurchmesser hat sich in der Praxis auch allgemein bewährt. Sie wird z. B.

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

171

172

12 Ventilations- und Radreibungsverluste

auch zur Bestimmung der Radreibungsverluste beim Radseitenraum in anderen Strömungsmaschinen verwendet (Pfleiderer 1986). Bei Pelton-Turbinen handelt es sich um ein beschaufeltes Rad in einem geschlossenen Raum. Wegen der Beschaufelung des Rades werden die Ventilations- und Radreibungsverluste deutlich höher als bei einer einfachen Drehscheibe. Da die Ventilations- und Radreibungsverluste bei einer Pelton-Turbine von der Gestaltung des Gehäuses abhängen, muss zwischen horizontalen und vertikalen Auslegungen von Pelton-Rädern unterschieden werden (Gerber 1956). Ferner handelt es sich bei Pelton-Turbinen stets um die Nassluft, die in der Tat eine Mischung von Luft und Spritzwasser darstellt und somit von Fall zu Fall unterschiedliche Dichte aufweisen kann.

12.1 Pelton-Turbinen mit horizontaler Achse Für Pelton-Turbinen mit horizontalen Drehachsen sind die charakteristischen Gestaltungsparameter in Abb. 12.1 dargestellt. Die Leistung, die zur Überwindung der Ventilations- und Radreibungsverluste benötigt wird, ist nach IEC60041 (1991) mit folgender Gleichung zu berechnen:  PVR = 15n D 3

5

Ba D

1/4 

Bio D

3/4 

Biu D

5/4 

Rio D

7/4 (W)

(12.2)

Abb. 12.1 Parameterdefinition für die Berechnung der Ventilations- und Radreibungsverluste in einer horizontalen Pelton-Turbine nach IEC 60041 (1991)

12.1 Pelton-Turbinen mit horizontaler Achse

173

Neben der gleichen Gesetzmäßigkeit wie in Gl. (12.1) sind hier die Einflüsse der Gehäuseparameter auf die Verluste berücksichtigt. Bei der Drehzahl n ist wiederum die Einheit 1/s zu verwenden. Für eine gegebene Pelton-Turbine wird Gl. (12.2) vereinfacht dargestellt mit PVR = a · n 3 D 5

(W)

(12.3)

Dabei gilt a als eine Konstante, die die Lufteigenschaft und Gestaltung des Turbinengehäuses kombiniert und die Dimension kg/m3 aufweist. Zum Vergleich mit Gl. (12.1) wird hier ein Zahlenbeispiel betrachtet. Für ein Turbinengehäuse mit Ba /D = 0.2, Bio /D = 0.3, Biu/D = 1 und Rio /D = 0.6 ergibt sich aus Gl. (12.2): PVR = 1.7n 3 D 5

(W)

(12.4)

Die Ventilations- und Radreibungsverluste bei einer Pelton-Turbine sind in diesem Beispiel ca. 16-mal größer als bei einer vergleichbaren Drehscheibe in der Luft. Dies ist nicht nur wegen der Verschalung, sondern vorwiegend wegen der Beschaufelung des Pelton-Rades so. Es soll darauf hingewiesen werden, dass Gl. (12.2) nur für eine mittlere spezifische Dichte der Nassluft gilt und somit lediglich eine beschränkte Genauigkeit in der Größenordnung von ±50% zu erwarten ist. Die Gültigkeit für nur eine mittlere spezifische Dichte ist aus dem Dimensionsvergleich ersichtlich. Die genauen Ventilations- und Radreibungsverluste sind von der Anlagengestaltung direkt abhängig und können z. B. durch sogenannte Auslaufversuche direkt bestimmt werden. Darauf geht Abschnitt 12.3 näher ein. Die Größenordnung der Ventilations- und Radreibungsverluste soll nun behandelt werden. Dafür wird der entsprechende Verlust auf die Nennleistung der PeltonTurbine P0,N = Zρg H Q˙ D, mit Z als die Düsenzahl, bezogen: ηVR =

PVR a n3 D5 = P0,N ρ Z g H Q˙ D

(12.5)

Für weitere Betrachtungen wird D ≈ Dc angenommen (Dc siehe Abb. 1.4 und 1.5). Es gilt mit der Nenndrehzahl n N der folgende Ausdruck: n 3N D 5 22.5 g 1.5 = π5 g H Q˙ D



πn N Dm √ 2g H

5 

H 3/4  n N Q˙ D

2

Dc5 5 Dm

(12.6)

Unter der Berücksichtigung der Gl. (1.31) für Dc /Dm zum Nennbetrieb sowie den Definitionen jeweils für km nach Gl. (1.18) und n q nach Gl. (1.22) erhält man aus obiger Gleichung  5 1 n 3N D 5 5 1 + 2n q = 0.57km n 2q g H Q˙ D

(12.7)

174

12 Ventilations- und Radreibungsverluste

Dementsprechend wird der Wirkungsgradverlust nach Gl. (12.5) für ρ = 1000 kg/m3 und mit n als eine Variable dargestellt durch 5 1 n 3 a 5 1 + 2n q ηVR = 0.57 · 10−3 km Z n 2q n 3N

(12.8)

bzw. allgemein für km = 0.47 durch ηVR = 1.3 · 10−5

5 1 n 3 a 1 + 2n q Z n 2q n 3N

(12.9)

Es wird hier die dimensionslose Ventilationszahl eingeführt, die folgendermaßen definiert wird:  5 1.5 1 + 2n q Vn = g (12.10) n 2q Der entsprechende Verlust wird dann ausgedrückt mit ηVR = 4.2 · 10−7Vn

a n3 Z n 3N

(12.11)

bzw. im Fall der Nenndrehzahl und für eindüsige Turbinen: ηVR,N = 4.2 · 10−7aVn

(12.12)

Die Ventilationszahl ist gemäß ihrer Definition eine Funktion der spezifischen Drehzahl, wie in Abb. 12.2 gezeigt ist. Es soll erwähnt werden, dass Gl. (12.11) keine vollständige Abhängigkeit der Ventilationsverluste von der spezifischen Drehzahl zeigt. Dies liegt daran, dass der Gestaltungsparameter a in Gl. (12.11) von der Ge-

Abb. 12.2 Ventilationszahl in Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl

12.2 Pelton-Turbinen mit vertikaler Achse

175

staltung des Turbinengehäuses und daher ebenfalls von der spezifischen Drehzahl des Turbinenrades abhängt. Für eine eindüsige Pelton-Turbine beispielsweise mit der spezifischen Drehzahl von n q = 0.1 und für die Gestaltungskonstante a = 1.7 entsprechend Gl. (12.4) errechnet sich der Verlust infolge der Ventilation und Radreibungen zu ηVR = 0.0055 (n/n N )3

(12.13)

Der Verlust beträgt im Nennbetrieb also 0.55%. Bei mehrdüsigen Pelton-Turbinen wird ein derartiger Verlust noch kleiner. In der obigen Betrachtung sind verschiedene Beziehungen zur spezifischen Drehzahl verwendet worden. Da alle diese Beziehungen nur zum Nenndurchfluss verwendet werden sollen, gelten die Berechnungen von Gln. (12.8) bis (12.13) nur für den Betrieb mit Nenndurchfluss. Die entsprechende Verlustleistung errechnet sich somit aus PVR = ηVR P0,N

(12.14)

Diese Verlustleistung ist von der Drehzahl, nicht jedoch vom Wasserdurchfluss abhängig.

12.2 Pelton-Turbinen mit vertikaler Achse Für Pelton-Turbinen mit vertikalen Drehachsen sind die charakteristischen Gestaltungsparameter in Abb. 12.3 dargestellt. Die Leistung, die zur Überwindung der Ventilations- und Radreibungsverluste benötigt wird, ist aus folgender Gleichung abzuschätzen (IEC 60041):  PVR = 22 · n D 3

5

Ba D

2/3 

Bi D

4/3 

Ri D

 (12.15)

Sie gilt im Grunde genommen nur für eine mittlere spezifische Dichte der Nassluft im Turbinengehäuse. Für ein verschaltes Turbinen-Rad mit Ba /D = 0.2, Bi /D = 0.3 und Ri /D = 1 errechnet sich die Verlustleistung aus Gl. (12.15) mit PVR = 1.5 · n 3 D 5

(12.16)

Diese Gleichung ist vergleichbar mit Gl. (12.4), die für Pelton-Turbinen mit horizontaler Drehachse gilt. Für die Berechnung der Wirkungsgradverluste können Gln. (12.9) und (12.11) direkt verwendet werden. Man braucht lediglich die geltende Konstante a zu verwenden. Zur genauen Bestimmung der Ventilations- und Radreibungsverluste wird die Methode des sogenannten Auslaufversuches im nächsten Abschnitt erläutert.

176

12 Ventilations- und Radreibungsverluste

Abb. 12.3 Parameterdefinition für die Berechnung der Ventilations- und Radreibungsverluste in einer vertikalen Pelton-Turbine nach IEC 60041 (1991)

12.3 Auslaufversuch Wie aus obigen Betrachtungen hervorgeht, hängen die Ventilations- und Radreibungsverluste sowohl von der Gestaltung des Turbinengehäuses als auch von der Geometrie des Pelton-Rades ab. Da die spezifische Dichte der Nassluft in Berechnungen nicht individuell berücksichtigt wird, können die Ventilations- und Radreibungsverluste fast in keinem Fall genau berechnet werden. Zur genauen Bestimmung der Ventilations- und Radreibungsverluste hat sich der sogenannte Auslaufversuch als besonders gut geeignet herausgestellt. Dabei wird auch der mechanische Verlust aufgrund der Lagerreibung mit bestimmt. In der Tat bilden Ventilations- und Radreibungsverluste zusammen mit dem Lagerreibungsverlust den gesamten mechanischen Verlust einer Pelton-Turbine. Da der Lagerreibungsverlust sich mit der Drehzahl anders verhält (Kapitel 13) als die Ventilations- und Radreibungsverluste, kann er aus dem Auslaufversuch separat bestimmt werden. Es wird hier das Prinzip des Auslaufversuches zur experimentellen Bestimmung der mechanischen Verluste gezeigt, während auf den Lagerreibungsverlust in Kapitel 13 noch näher eingegangen wird. Der Auslauf des Pelton-Rades startet, wenn alle Wasserstrahlen der PeltonTurbine abgelenkt werden und die Last auf der Seite des Generators abgeworfen wird. Die Drehung des Pelton-Rades verlangsamt sich aufgrund der Bremseffekte der Ventilation, Rad- und Lagerreibungen. Man führt einen Auslaufversuch durch, indem die zeitabhängige Drehzahl des Pelton-Rades in der Form n = f (t) gemessen wird. Werden das Massenträgheitsmoment des Rotationssystems (PeltonRad, Welle, Rotor des Generators) durch J und die Bremsenmomente jeweils von

12.3 Auslaufversuch

177

Ventilations- und Lagerreibung durch MVR und MLR bezeichnet, so ist nach dem Drehimpulssatz: J

dn = MVR + MLR dt

(12.17)

Das Bremsmoment MVR bezüglich Ventilation und Radreibung kann aus Gl. (12.4) bzw. (12.16) proportional zum Quadrat der Drehzahl gesetzt werden, sodass gilt MVR =

K VR 2 n 2π

(12.18)

Zur Bestimmung des Lagerreibungsmoments MLR werden hydrodynamische Gleitlager angenommen, die bei Pelton-Turbinen oft zum Einsatz kommen. Dafür kann z. B. nach Angaben gemäß Kapitel 13 folgender Ansatz für Schwerlastbereich getroffen werden: MLR =

K LR 0.5 n 2π

(12.19)

Somit ergibt sich aus Gl. (12.17) K VR 2 K LR 0.5 dn = n + n dt 2π J 2π J

(12.20)

Sobald der Drehzahlverlauf aus dem Auslaufversuch gemessen wird, kann die Funktion dn dt = f (n) gebildet und dargestellt werden. Die Darstellungen werden dann durch Funktion nach Gl. (12.20) angenähert. Daraus können zwei Konstanten K VR /J und K LR /J bestimmt werden. Ein derartiger Versuch wurde bereits von Taygun (1946) durchgeführt. Dabei wurde die Lösung der Differentialgleichung (12.20) auch angegeben. Um die Konstanten K VR und K LR zu bestimmen, muss das Massenträgheitsmoment bekannt sein. Im Fall, dass infolge der Lagerart und des Betriebsverhaltens der Gleitlager der Exponent in Gl. (12.19) nicht einfach zu 0.5 angenommen werden kann, empfiehlt es sich, durch präzise Auswertungen des Auslaufversuchs den bestgeeigneten Exponenten zu bestimmen. Bei Bedarf können der Auslaufkurve n = f (t) verschiedene Gesetzmäßigkeiten hinsichtlich der exponentiellen Funktion im Lagerreibungsverlust zugeordnet werden.

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Kapitel 13

Leistungsverlust durch Lagerreibungen

Bei Pelton-Turbinen werden fast ausschließlich Gleitlager verschiedenster Konstruktionen verwendet. Je nach der Bauart von Pelton-Turbinen unterscheidet man Radiallager für Querkräfte bei Horizontalturbinen und Axiallager für Längskräfte bei Vertikalturbinen. Die zur Anwendung kommenden Gleitlager bei PeltonTurbinen sind hydrodynamisch geschmiert. Hydrodynamische Gleitlager funktionieren nach dem Prinzip des Schmierkeils, der zwischen gleitenden Flächen selbständig entsteht und seine Tragfähigkeit durch den Druckaufbau erreicht. Dadurch werden sowohl die Reibung als auch der Verschleiß auf ein Minimum reduziert. Gegenüber den Wälzlagern sind hydrodynamisch geschmierte Gleitlager auch bei großer Last einsetzbar, haben lange Lebensdauer und laufen ruhiger. Die Tragfähigkeit von hydrodynamischen Gleitlagern hängt vom Druckaufbau im Schmierfilm und daher stark von der Betriebsdrehzahl und von der Schmierung ab. An dieser Stelle sei auf die detaillierte Beschreibung der hydrodynamischen Schmiertheorie in der Fachliteratur für Maschinenelemente, z. B. von Decker (2007) und Haberhauer (2007), hingewiesen. Im Zusammenhang mit dem vorliegenden Vorhaben werden nur Reibleistungen in hydrodynamisch geschmierten Gleitlagern näher betrachtet. Die Reibungskraft in einem Gleitlager ist nach dem Reibungsgesetz proportional der Belastungskraft: FLR = μFN

(13.1)

Entsprechend ist die Reibleistung gegeben durch Multiplikation der Reibungskraft mit der Gleitgeschwindigkeit: PLR = μFN u

(13.2)

Dabei wird μ als Reibungskoeffizient bezeichnet. Die gesamten Reibleistungen hängen somit nicht nur von den Lagerarten, der Lagerflächenbeschaffenheit sowie den Eigenschaften des Schmierstoffs und der Lagertemperatur, sondern auch von den Radial- und Axialbelastungen und der Betriebsdrehzahl ab. Die Abhängigkeit des Reibungskoeffizienten von der Betriebsdrehzahl ist durch die Stribeck-Kurve gemäß Abb. 13.1 beschrieben. Findet keine Relativbewegung statt, so herrscht HaftreiZ. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

179

180

13 Leistungsverlust durch Lagerreibungen

Abb. 13.1 Reibungskoeffizienten nach Stribeck (StribeckKurve)

bung bzw. Feststoffreibung. Beim Anfahren und Auslaufen der Maschine befinden sich die hydrodynamischen Lager zwangsläufig im Gebiet der Mischreibung. In diesen Betriebszuständen, in denen Festkörperberührungen auftreten, sind große Reibwerte und starker Verschleiß zu erwarten. Erst ab einer bestimmten Gleitgeschwindigkeit bzw. Betriebsdrehzahl bildet sich ein Schmierfilm zwischen den gleitenden Flächen. Die hydrodynamische Schmierung in Gleitlagern wird somit erreicht. Sie kennzeichnet einen Schmierzustand, auf dem der Betrieb von Gleitlagern bezüglich der Drehzahl abgestimmt werden sollen. Die im Schmierfilm vorhandene Reibung wird als Gleitreibung oder Flüssigkeitsreibung bezeichnet. Grundsätzlich ist der Verschleiß im Bereich der Flüssigkeitsreibung am geringsten. Der Wiederanstieg des Reibungskoeffizienten mit der Drehzahl ist auf die innere Reibung der Flüssigkeit zurückzuführen, da mit zunehmender Geschwindigkeit bzw. Drehzahl die Scherrate des Schmierstoffs zunimmt. Aufgrund dieses Schmierverhaltens wird die Reibleistung bei Flüssigkeitsreibung, gemäß Gl. (13.2), ausgedrückt PLR = K LR n q

(13.3)

Dementsprechend errechnet sich das Reibungsmoment mit MLR =

K LR q−1 n 2π

(13.4)

Dabei wird K LR als lagerspezifische Konstante bezeichnet. Sie ist eine Funktion der Lagerart, Lagerbelastung, dynamische Viskosität des Schmierstoffes und der Lagertemperatur. Um die Flüssigkeitsreibung zu erreichen, ist bei großer Lagerbelastung ein Schmierstoff mit höherer dynamischer Viskosität zu verwenden. Der Übergang von Mischreibung in die Flüssigkeitsreibung findet bei größerer Drehzahl statt, je größer die Lagerbelastung ist. Der entsprechende Zusammenhang ist durch die Sommerfeldzahl (So) gegeben (Decker 2007, Haberhauer 2007). Der Exponent q in Gl. (13.3) hängt ebenfalls von den geometrischen und betrieblichen Eigenschaften hydrodynamischer Gleitlager ab und liegt zwischen 1.5 und 2. Nach Vogelpohl (1967), siehe auch Haberhauer (2007), wird der Exponent q mit 1.5 für Schwerlastbereich (So > 1) und mit 2 für Schnellaufbereich (So < 1) gesetzt.

13 Leistungsverlust durch Lagerreibungen

181

Die lagerspezifische Konstante in Gl. (13.3) kann auf experimentellem Weg bestimmt werden. Ein in der Praxis sehr gut bewährtes Verfahren ist die Methode des Auslaufversuchs, die bereits im letzten Kapitel (Abschnitt 12.3) beschrieben wurde. Dazu braucht man lediglich den Exponenten q vorzugeben. Im Versuch von Taygun (1946) wurde z. B. q = 1.5 angenommen. Die in Gl. (13.3) dargestellte Abhängigkeit der Reibleistung von der Betriebsdrehzahl wird in Kapitel 16 verwendet, um die reale Durchgangsdrehzahl zu bestimmen. Ein weiterer vergleichbarer mechanischer Verlust ist der Reibungsverlust bei allen Wellendichtungen. Da Wellendichtungen nicht durch Tragkräfte belastet sind und ferner nur sehr kleine Gleitfläche aufweisen, sind die entsprechenden Verluste vernachlässigbar gegenüber den Verlusten von Gleitlagern. Aus diesem Grund wird im Rahmen des vorliegenden Buches nicht speziell auf die entsprechenden Verluste eingegangen. Beim sogenannten Auslaufversuch, der bereits in Kapitel 12 beschrieben wurde, werden entsprechende Verluste mit den Lagerreibungsverlusten wegen der vergleichbaren Gesetzmäßigkeit zusammen erfasst.

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Kapitel 14

Hydraulischer und mechanischer Wirkungsgrad

14.1 Hydraulischer Wirkungsgrad Der Ausgangspunkt zur Bestimmung des hydraulischen Wirkungsgrades einer Pelton-Turbine ist Gl. (1.40) in Kapitel 1. Diese Gleichung wurde von der Gleichung für die reibungsfreie Strömung in der Schaufel mit geradliniger Bewegung direkt übernommen und berücksichtigt nur den mit dem Austrittsdrall verbundenen Austrittsverlust. Da der Wirkungsgrad dort mit einer konstanten Laufzahl berechnet wird und in der Tat jedes Wasserteilchen ein eigenes Interaktionsverhältnis zur Schaufel hat, gilt die Berechnung als eine Annäherung. Ihr Vergleich mit Rechenergebnissen aus dem sogenannten Strahlschichtverfahren (Abschnitt 5.2.2) zeigte einen Unterschied von lediglich 0.2% (Abb. 8.5). Das bedeutendste Merkmal in Pelton-Turbinen ist, dass der beste Wirkungsgrad bei der Laufzahl von km = 0.45 bis 0.48 anstatt bei km = 0.5 liegt. Offenbar bedarf die Berechnung des Wirkungsgrades nach Gl. (1.40) einer Modifikation. Wenn der beste Wirkungsgrad einer PeltonTurbine beim Nennbetrieb mit der Laufzahl km,N zu finden ist, dann dürfte Gl. (1.40) für die kleine Variation der Laufzahl z. B. infolge der Fallhöhenschwankungen nach Zhang (2007a) modifiziert werden zu   km Ph km ηh = 1 − 0.5 = (14.1) (1 − cosβ2 ) P0 km,N km,N Die Gesetzmäßigkeit des Wirkungsgrades in Abhängigkeit von der Laufzahl bleibt erhalten. Der hydraulische Wirkungsgrad in dieser Form gilt nur für die reibungsfreie Strömung und berücksichtigt nach wie vor nur den Drallverlust (Kapitel 8). Der Einfluss der Reibung auf den Wirkungsgrad wurde bereits in Kapitel 9, 10 und 11 eingehend untersucht. Analog zu Gl. (14.1) wird Gl. (9.39) entsprechend modifiziert zu    km km 1 ηh = 1 − 0.5 1 − cosβ2 + cw2 cos β2 (14.2) km,N km,N 2 Der hydraulische Wirkungsgrad in dieser Form ist grundsätzlich komplett. Neben dem Austrittsverlust ist auch der Reibungsverlust berücksichtigt. Ferner ergibt sich Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

183

184

14 Hydraulischer und mechanischer Wirkungsgrad

der maximale Wirkungsgrad bei der Nennlaufzahl km,N , die dem Realbetrieb einer Pelton-Turbine entspricht. Zu beachten ist, dass nach Gl. (14.2) die Abhängigkeit des Wirkungsgrades von der Laufzahl nur für einen kleinen Variationsbereich der Laufzahl gilt. Die reale Wirkungsgradkennlinie in Funktion der Laufzahl im ganzen Variationsbereich bis zur Durchgangsdrehzahl wird in Kapitel 15 angegeben. Der hydraulische Wirkungsgrad nach Gl. (14.2) bezieht sich auf die Leistung des Wasserstrahls. Wenn der Wirkungsgrad sich auf die Nettofallhöhe vor der Düse beziehen soll, muss Gl. (14.2) noch mit dem Düsenwirkungsgrad multipliziert werden.

14.2 Mechanischer Wirkungsgrad Der mechanische Wirkungsgrad betrifft die Leistungsübertragung vom Turbinenrad auf die Welle, an deren Ende sich der Rotor des elektrischen Generators befindet. Die möglichen Widerstände in der Leistungsübertragung sind Ventilation und Radreibungen im Turbinengehäuse sowie Reibungen an den Wellenlagern und Dichtungen. Die entsprechenden Verluste sind bereits in den Kapitel 12 und 13 behandelt worden. Dabei handelt es sich bei den Wellenlagern, die bei Pelton-Turbinen zum Einsatz kommen, um hydrodynamische Gleitlager. Eine allgemeine Eigenschaft der mechanischen Verluste ist die Abhängigkeit von der Drehgeschwindigkeit der Welle, wobei nach Kapitel 12 und 13 es unterschiedliche Gesetzmäßigkeiten gibt: ηVR =

K VR n 3 P0

(14.3)

für Ventilations- und Radreibungsverluste und ηLR =

K LR n q P0

(14.4)

für Lagerreibungsverlust. Dabei gilt P0 als hydraulische Leistung der gesamten Wasserstrahlen. Der Exponent q in Gl. (14.4) erreicht gemäß Kapitel 13 einen Wert zwischen 1.5 und 2, abhängig von den geometrischen und betrieblichen Eigenschaften hydrodynamischer Gleitlager. Mit der Drehzahl als Variable geben die beiden Gleichungen mechanische Verlustkennlinien wieder. Offensichtlich werden die Verluste im mechanischen Wirkungsgrad größer, wenn die Turbinen mit Teillast betrieben werden. Aus diesem Grund ist es oft vorteilhaft, von der mechanischen Verlustleistung zu sprechen, die lediglich von der Drehzahl jedoch nicht von der Betriebseinstellung abhängig ist. Ausgehend von Gln. (14.3) und (14.4) wird der mechanische Wirkungsgrad berechnet mit ηm = 1 − ηVR − ηLR

(14.5)

Kapitel 15

Reale hydraulische Wirkungsgradkennlinien

Der hydraulische Wirkungsgrad, der nach Gl. (14.1) bzw. (14.2) zu berechnen ist, repräsentiert den Wirkungsgrad in Abhängigkeit von der Laufzahl in einem kleinen Variationsbereich um den Auslegungswert. Unter Umständen kann die Berechnung auch als gültig bis zur Laufzahl gleich Null verwendet werden, wenn eine gewisse Ungenauigkeit zulässig ist und eine qualitative Aussage über den Einfluss der Laufzahl gemacht werden soll. Die Gültigkeit der Berechnung ist jedoch nach oben dadurch begrenzt, dass ab einer bestimmten Laufzahl das Wasser teilweise die PeltonSchaufeln durchschleusen kann, ohne seine Energie an die Schaufeln abzugeben. Dieses Geschehnis verzerrt die Wirkungsgradkennlinie gegenüber der gerechneten Kennlinie nach Gl. (14.2). Die Laufzahl, bei der das Durchschleusen des ersten Wassertropfens auftritt und dadurch die Gültigkeit von Gl. (14.2) aussetzt, wird als untere kritische Laufzahl bezeichnet. Die obere kritische Laufzahl ist erreicht, wenn zum ersten Mal in allen Strahlschichten das Durchschleusen des Wassers auftritt. Unter der Berücksichtigung des teilweise aufgetretenen Durchschleusens von Wasser soll in diesem Kapitel die reale hydraulische Kennlinie einer Pelton-Turbine im oberen Bereich der Laufzahl berechnet werden.

15.1 Kritische Laufzahl Wegen der periodischen Interaktion zwischen Wasserstrahl und drehenden PeltonSchaufeln wird hier nur eine Schaufel betrachtet. Ihre Schneide am Schaufelausschnitt (als Nebenschneide bezeichnet) befindet sich auf dem Radius Rc . Wie in Abb. 4.3 veranschaulicht, beginnt die Schaufel bei der Schaufelstellung αa den Wasserstrahl abzuschneiden. Die Menge des Wassers, die in eine Schaufel eintritt, ist durch das Strahlstück abcd bezeichnet worden. Nach Gl. (4.14) ist die Länge dieses Strahlstücks gegeben durch s=

1 2π Rm · km N

(15.1)

Dabei bezeichnet N die Schaufelzahl eines Pelton-Rades. Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

185

186

15 Reale hydraulische Wirkungsgradkennlinien

Abb. 15.1 Positionsverhältnis des Wasserstrahls zu Pelton-Schaufeln

Nach Abb. 15.1 wird eine Strahlschicht der Dicke dy in einem Abstand y zur Strahlachse betrachtet. Diese Strahlschicht erreicht die Schaufel bei der Schaufelstellung α y (Position 1) und beginnt in die Schaufel einzutreten. Unter der normalen Betriebsbedingung kann diese Strahlschicht vollständig in die Schaufel eintreten, bevor die Schaufel zur Position 2 wechselt. Wenn das Pelton-Rad sich mit einer Geschwindigkeit dreht, die hinreichend höher als im Normalfall ist, dann könnte es passieren, dass ein Teil des Wassers der betrachteten Strahlschicht dem Eintritt in die drehende Schaufel ausweicht. Dieses Geschehen wird als Durchschleusen des Wasserstrahls bezeichnet. Als kritische Drehgeschwindigkeit des Pelton-Rades wird diejenige Geschwindigkeit bezeichnet, bei der der letzte Wassertropfen in einer Strahlschicht gerade bei der Schaufelposition 2 in die Schaufel eintritt. Für die betrachtete Strahlschicht bei y ist die entsprechende Bedingung formuliert mit s + 2Rc sin α y = C0 · t y

(15.2)

Dabei ist die Interaktionszeit zu t y = 2α y /ω gegeben, mit ω als Winkelgeschwindigkeit des Pelton-Rades. Zusammen mit Gln. (1.18) und (15.1) kann die kritische Laufzahl für die betrachtete Strahlschicht aus Gl. (15.2) berechnet werden. km,c =

α y − π/N Rm sin α y Rc

(15.3)

Diese kritische Laufzahl ändert sich von Schicht zu Schicht quer durch den Wasserstrahl. Aufgrund der Beziehung Rm + y = Rc cos α y d. h. α y = f (y) ist die kritische Laufzahl in obiger Gleichung eine Funktion von y, die die Strahlschicht angibt. Die entsprechende Abhängigkeit ist in Abb. 15.2 für ein konkretes Pelton-Rad dargestellt worden. Offensichtlich ist die untere kritische Laufzahl bei der Strahlschicht y/d0 = 0.5 zu finden. Mit der entsprechenden Schaufelstellung αb wird diese untere kritische Laufzahl berechnet mit km,c =

αb − π/N Rm sin αb Rc

(15.4)

15.1 Kritische Laufzahl

187

Abb. 15.2 Kritische Laufzahl eines Pelton-Rades in Bezug auf einzelne Strahlschichten

Diesbezüglich ist die kritische Laufzahl auch eine Funktion der Schaufelzahl. Die Gleichung kann daher zur Bestimmung der Mindestschaufelzahl verwendet werden, wenn zur Auslegung der Pelton-Turbine die Laufzahl vorgegeben ist. Aus Gl. (15.4) folgt dementsprechend Nmin =

π π = αb − km Rc /Rm · sin αb αb − Uc /C0 · sin αb

(15.5)

Diese Bestimmungsgleichung für die Mindestschaufelzahl ist bereits in Abschnitt 4.2 bei Gl. (4.7) gezeigt worden. Da in der praktischen Auslegung von Pelton-Turbinen die Schaufelzahl deutlich höher als minimal notwendig ist, siehe Abschnitt 4.5, wird das Durchschleusen des Wassers im Nennbetrieb nicht auftreten. Die obere kritische Laufzahl wird erhalten, wenn die Strahlschicht bei y/d0 = −0.5 aus Abb. 15.2 betrachtet wird. Der Bereich zwischen unterer und oberer kritischer Laufzahl wird als kritischer oder Übergangsbereich bezeichnet und muss speziell betrachtet werden, wenn die reale Wirkungsgradkennlinie im oberen Bereich der Laufzahl berechnet wird. Obwohl das Durchschleusen des Wassers bei der äußersten Strahlschicht y/d0 = 0.5 beginnt, ist das Ausmaß des Durchschleusens noch gering, denn die Strahlschicht am Strahlrand besitzt lediglich ein kleines Segment des Strahlquerschnitts. Aus diesem Grund und für praktische Anwendungen wird die mittlere kritische Laufzahl, die sich auf die mittlere Strahlschicht auf der Strahlachse bezieht, als kritische Laufzahl des gesamten Wasserstrahls bezeichnet. Somit  wird aus Gl. (15.3) mit y = 0 und unter der Berücksichtigung von cos αo = Rm Rc km,c =

αo − π/N tan αo

(15.6)

188

15 Reale hydraulische Wirkungsgradkennlinien

Dabei bezeichnet αo die Schaufelstellung, bei der die Schaufelschneide auf dem Radius Rc die Strahlschicht auf der Strahlachse (y = 0) abschneidet (entspricht der Schaufelstellung αo1 in Abb. 4.7). Da der Schaufelstellungswinkel αo nach Gl. (1.30) eine Funktion der spezifischen Drehzahl ist, wird Gl. (15.6) dementsprechend auch als Funktion der spezifischen Drehzahl dargestellt:   1 1 π 1 km,c = arccos −   (15.7)  2 1 + 2n q N nq 1 + nq Infolge km,c = π Dm n c /C0 und der Betriebslaufzahl km,Be = π Dm n N /C0 wird die entsprechende kritische Drehzahl berechnet mit n c = km,c n N /km,Be

(15.8)

15.2 Reaktionsgrad des Wasserstrahls Wenn die Drehgeschwindigkeit des Pelton-Rades soweit steigt, dass die kritische Laufzahl erreich wird, dann wird ein Teil des Wassers aus dem Strahl die drehenden Schaufeln durchschleusen, ohne Arbeit zu leisten. Damit diese Gegebenheit quantitativ erfassbar ist, wird nach Abb. 15.1 eine Strahlschicht bei y betrachtet. Die Menge des Wassers, die in eine Schaufel eintritt, ergibt sich aus   dQ + = C0 · t y − 2Rc sin α y · b · dy (15.9)  Die Schichtbreite ist gegeben mit b = 2 (d0 /2)2 − y 2 . Mit t y = 2α y /ω als die Dauer der Schaufelbewegung von der Position 1 nach Position 2 wird die obige Gleichung erweitert zu    dQ + = 4 C0 · α y /ω − Rc sin α y · (d0 /2)2 − y 2 · dy (15.10) Weiterhin wird die Strahlgeschwindigkeit C0 durch die Laufzahl nach Gl. (1.18) ersetzt. Daraus ergibt sich

   2   αy Rc y y 2 dQ + = 2Rm (15.11) − sin α y · d0 1 − 4 ·d k m Rm d0 d0 In dieser Berechnung ist sin α y selbst eine Funktion der Strahlschichtposition y. Um den Wasserteil dQ + direkt als Funktion von y darzustellen, wird nach Abb. 15.1 die folgende Beziehung verwendet: Rm + y = Rc cosα y

(15.12)

15.2 Reaktionsgrad des Wasserstrahls

189

die umgeformt wird zu   y Rm α y = arccos + Rc Rc Wegen

y Rc



(15.13)

Rm Rc

wird diese Gleichung linearisiert zu   1 1 y y Rm − α y ≈ arccos = αo − 2 Rc sin αo Rc 1 − cos αo Rc

bzw.

 sin α y = sin αo −

1 y sin αo Rc

 ≈ sin αo −

1 y tan αo Rc

(15.14)

(15.15)

Gln. (15.14) und (15.15) werden in Gl. (15.11) eingesetzt. Daraus ergibt sich mit cos αo = Rm /Rc      1 d0 1 αo y dQ + = 2Rm − tan αo − −1 km sin αo Rc km d0

 2   y y (15.16) ·d · d02 1 − 4 d0 d0 Zur Bestimmung der gesamten Wassermenge, die von der Schaufel abgefangen wird, soll die obige Gleichung über die Strahldicke integriert werden. Dabei müssen der kritische Bereich und der sich anschließende überkritische Bereich separat behandelt werden.

15.2.1 Reaktionsgrad im kritischen Bereich Der kritische Bereich der Laufzahl wurde bereits in Abb. 15.2 spezifiziert. Innerhalb dieses Bereichs ist jede kritische Laufzahl einer Strahlschicht yc zugeordnet. Bei einer kritischen Laufzahl mit entsprechender Zuordnung zur Strahlschicht yc unterliegen dann alle Strahlschichten mit y > yc einem teilweisen Durchschleusen. Von allen diesen Strahlschichten lässt sich die Wassermenge, welche wirksam mit der rotierenden Schaufel Leistung austauscht, durch Integration der Gl. (15.16) von yc bis zum Strahlrand y = 0.5d0 bestimmen: ⎡ ⎤

   2   y y y 1 α π o c c c ⎦ Q + (yc ) = Rm · d02 − tan αo ⎣ − 1− 2 − arcsin 2 km 4 d0 d0 2 d0 1 d03 − 6 tan αo



 3/2   yc 2 1 −1 1− 2 km d0

(15.17)

In dieser Gleichung hängen yc und km durch Gl. (15.3) und wegen α y = f (y) zusammen.

190

15 Reale hydraulische Wirkungsgradkennlinien

Die Gesamtwassermenge in allen Strahlschichten mit y > yc , welche durch einen Segmentquerschnitt nach Abb. 15.3 zusammengefasst sind, wird berechnet mit ⎛ ⎞

  yc 1 2π yc yc 2 d02 ⎠ Rm ⎝arccos − (15.18) Q (yc ) = s · Ac = · 1− km N d0 /2 d0 /2 d0 /2 4 Das Volumen des Wassers, das die rotierenden Pelton-Schaufeln durchschleust, ist dementsprechend Q (yc ) = Q (yc ) − Q + (yc )

(15.19)

Auf der anderen Seite ist die Gesamtwassermenge im ganzen Wasserstrahl der Länge s gegeben durch Q=

π 2 π 1 2π d0 · s = d02 Rm · 4 4 km N

(15.20)

Um die Wassermenge, welche wirksam mit der rotierenden Schaufel reagiert, prozentual anzugeben, wird der Reaktionsgrad des Wasserstrahls eingeführt, der nach Zhang und Müller (2007d) wie folgt definiert ist: ηQ =

Q (yc ) Q+ = 1− Q Q

(15.21)

Dieser Reaktionsgrad wird verwendet, um die reale Wirkungsgradkennlinie im kritischen Bereich der Laufzahl zu berechnen.

Abb. 15.3 Flächeninhalt eines Segmentes im kreisförmigen Strahlquerschnitt

15.2 Reaktionsgrad des Wasserstrahls

191

15.2.2 Reaktionsgrad im überkritischen Bereich Wenn die Drehgeschwindigkeit des Pelton-Rades bis zur oberen kritischen Laufzahl nach Abb. 15.2 zunimmt, unterliegen dann alle Strahlschichten dem Durchschleusen. Die wirksame Wassermenge, welche mit der rotierenden Schaufel die Leistung austauscht, kann durch die Integration der Gl. (15.16) von yc /d0 = − 12 bis yc /d0 = 12 oder direkt aus Gl. (15.17) mit yc /d0 = − 12 erhalten werden:   1 αo − tan αo Q + = π Rm · d02 2 km

(15.22)

Der entsprechende Reaktionsgrad des ganzen Wasserstrahls wird dann berechnet mit   Nαo Q+ tan αo ηQ = = 1 − km (15.23) Q π αo Wie noch gezeigt wird, kann dieser Reaktionsgrad wegen seiner einfachen Berechnung näherungsweise auch für den Übergangsbereich der Laufzahl verwendet werden.

15.2.3 Beispiel zum Reaktionsgrad Mit obigen Betrachtungen und der Einführung des Reaktionsgrades ist veranschaulicht worden, dass die reale Wirkungsgradkennlinie einer Pelton-Turbine in Bezug auf die Laufzahl in eine unterkritische, kritische und überkritische Zone unterteilt werden muss. Eine konkrete Pelton-Turbine wurde bereits in Abschnitt 15.1 im Zu-

Abb. 15.4 Reaktionsgrad in den drei Zonen der Laufzahl: unterkritische Zone (1), kritische bzw. Übergangszone (2) und überkritische Zone (3). Die Übergangszone kann gegebenenfalls durch Verlängerung der Zonen 1 und 3 ersetzt werden

192

15 Reale hydraulische Wirkungsgradkennlinien

sammenhang mit Abb. 15.2 betrachtet. Für diese Turbine wird nun der Reaktionsgrad des Wasserstrahls in den erwähnten drei Zonen berechnet. Während in der unterkritischen Zone der Reaktionsgrad gleich 1 ist, ist der Reaktionsgrad in der kritischen und überkritischen Zone jeweils nach Gl. (15.21) und (15.23) zu berechnen. Abb. 15.4 zeigt den berechneten Verlauf des Reaktionsgrades in allen drei Zonen der Laufzahl. Die kritische Zone (Zone 2) kann in Näherung durch eine Erweiterung der unterkritischen (Zone 1) und überkritischen Zone (Zone 3) ersetzt werden.

15.3 Reale hydraulische Wirkungsgradkennlinie Der in Gl. (14.2) angegebene Wirkungsgrad gilt im Prinzip nur für den Bereich unterhalb der kritischen Laufzahl. Ab der kritischen Laufzahl muss der Reaktionsgrad des Wasserstrahls bei der Berechnung des Wirkungsgrades berücksichtigt werden. Die Teilwassermenge, die mit rotierenden Pelton-Schaufeln reagiert, erbringt nur eine Partialleistung. Es kann angenommen werden, dass der entsprechende Wirkungsgrad stets nach Gl. (14.2) berechnet werden kann. Der Wirkungsgrad bezogen auf die Gesamtwassermenge des Wasserstrahls wird dann unter der Berücksichtigung des Reaktionsgrades berechnet:    km km 1 ηh = 1 − 0.5 1 − cosβ2 + cw2 cos β2 · ηQ (15.24) km,N km,N 2 Von der Struktur dieser Gleichung her ist zu erkennen, dass in der Berechnung des hydraulischen Wirkungsgrades alle drei Verluste berücksichtigt sind: • Drallverlust, • Reibungsverlust und • Wasserverlust. Da ein großer Wasserverlust eine Strömungsänderung innerhalb der Schaufel bewirkt, beispielsweise in Form einer Verringerung der Wasserfilmdicke, ändert sich nach Gl. (9.12) auch die Reibungszahl cw2 und daher der Reibungsverlust. Gegenüber dem Wasserverlust, der im überkritischen Bereich bis zu 100% werden kann, ist die Änderung der Reibungsverluste jedoch vernachlässigbar. Das heißt, dass in Gl. (15.24) der Wasserverlust dominiert, sobald dieser auftritt. Gl. (15.24) kann auch direkt als Funktion der Drehzahl dargestellt werden. Nach Gl. (1.18) hängt die Laufzahl von der Drehzahl und der Strahlgeschwindigkeit (somit von der Fallhöhe) ab. Es wird nun angenommen, dass die Turbine unter der Nennfallhöhe betrieben ist. Somit gilt km /km,N = n/n N Mit β2 ≈ π wird Gl. (15.24) umgeformt zu

(15.25)

15.3 Reale hydraulische Wirkungsgradkennlinie

    n 1 n 1 − 0.5 · ηQ ηh = 2 1 − cw2 4 nN nN

193

(15.26)

Ein Beispiel zur realen Wirkungsgradkennlinie einer Pelton-Turbine zeigt Abb. 15.5. Der Einfachheit halber wurde cw2 = 0 und β2 = π angenommen. Es handelt sich

Abb. 15.5 Reale Wirkungsgradkennlinie einer Pelton-Turbine (KWA) mit km,N = 0.470. Die Übergangszone ist gegeben bei km,c = 0.547 bis 0.687. Die Durchgangskonstante beträgt kR0 = 0.848

dabei um die gleiche Pelton-Turbine, die bereits in Abb. 15.2 und 15.4 betrachtet wurde. Die Laufzahl beim Nennbetrieb beträgt km,N = 0.47. Aus der Darstellung ist ersichtlich, dass die Wirkungsgradkennlinie der Pelton-Turbine ab km > 0.687 stark deformiert ist gegenüber der symmetrischen fiktiven Kennlinie, welche lediglich für geradlinige Schaufelbewegungen gilt. In der Abbildung wird auch gezeigt, wie genau der Wirkungsgrad im kritischen Bereich durch Anwendung des Reaktionsgrades nach Gl. (15.23) angenähert werden kann. Es muss erwähnt werden, dass in der praktischen Anwendung von Pelton-Turbinen selten Bedarf für genaue Berechnungen in diesem kritischen Bereich vorhanden ist. Aus diesem Grund darf der Reaktionsgrad nach Gl. (15.23) auch für den kritischen Bereich verwendet werden.

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Kapitel 16

Durchgangsdrehzahl und Beschleunigungsverlauf

Im Normalbetrieb wird eine Pelton-Turbine durch den elektrischen Generator belastet, der ein Gegenmoment an der Turbinenwelle verursacht und dadurch das dynamische Gleichgewicht des Rotationssystems gewährt. Fällt dieses Gegenmoment durch Lastabwurf beim Generator weg, so beginnt das Pelton-Rad unter voller Beaufschlagung des Wasserstrahls sich zu beschleunigen. Die maximal erreichte Drehzahl des Pelton-Rades wird als Durchgangsdrehzahl bezeichnet, bei der der Wasserstrahl nahezu komplett das Pelton-Rad durchschleust, ohne seine kinetische Energie an die Pelton-Schaufeln abzugeben. Die Durchgangsdrehzahl einer Pelton-Turbine ist ungefähr die zweifache Nenndrehzahl. Hinsichtlich der mechanischen Sicherheit und der Baukosten, hauptsächlich des Generators und gegebenenfalls der Getriebe, ist die Durchgangsdrehzahl ein wichtiger Faktor, der bereits in der Auslegungsphase einer Turbinenanlage berücksichtigt werden muss. Das Erreichen der Durchgangsdrehzahl mit vollem Durchschleusen des Wasserstrahls geschieht am rechten Ende der Wirkungsgrad- bzw. Leistungskennlinie, wo der Wirkungsgrad und die Leistung der Pelton-Turbine nahe bei Null liegen. Beim Vorliegen solcher Kennlinien kann die Durchgangsdrehzahl direkt bestimmt werden. Aufgrund der in Kapitel 15 berechneten realen Wirkungsgrad- bzw. Leistungskennlinie wird nun die Methode zur Bestimmung der Durchgangsdrehzahl in diesem Kapitel erläutert. Die Durchgangsdrehzahl wird auch als Durchbrenndrehzahl bezeichnet.

16.1 Theoretische Durchgangsdrehzahl Die Durchgangsdrehzahl eines Pelton-Rades ist eine Drehzahl, bei der nahezu kein Leistungsaustausch zwischen dem Wasserstrahl und den rotierenden Schaufeln stattfindet. Diese Bedingung kann auch dadurch ausgedrückt werden, dass beim Erreichen der Durchgangsdrehzahl der Reaktionsgrad des Wasserstrahls (siehe Kapitel 15) Null wird. Ein derartiger Zusammenhang zwischen der Durchgangsdrehzahl und dem Reaktionsgrad des Wasserstrahls führt zur sofortigen Bestimmung der Durchgangsdrehzahl. Aus Gl. (15.23) ergibt sich unter der Bedingung ηQ = 0 die Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

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196

16 Durchgangsdrehzahl und Beschleunigungsverlauf

der Durchgangsdrehzahl entsprechende Laufzahl mit kR0 =

αo tan αo

(16.1)

Die Benutzung des Index „R“ geht auf die Bezeichnung der Durchgangsdrehzahl nach Zhang und Müller (2007d) zurück, wo für die vorliegende Ableitung die Durchgangsdrehzahl als „runaway speed“ bezeichnet und bereits mit „R“ vermerkt wurde. Die Durchgangslaufzahl kR0 wird auch als Durchgangskonstante bezeichnet. Aus Vergleich mit Gl. (15.11) erkennt man, dass die gerechnete Durchgangskonstante des ganzen Wasserstrahls gleich der Durchgangskonstante der mittleren Strahlschicht auf der Strahlachse ist. Das heißt, dass man aus Gl. (15.11) mit dQ + = 0 und y = 0 das gleiche Ergebnis wie mit Gl. (16.1) erhält. Die Durchgangskonstante nach Gl. (16.1) stellt eine geometrische Größe des ˙ noch von der Schaufelzahl (N) Pelton-Rades dar. Sie ist weder vom Durchfluss ( Q) des Pelton-Rades abhängig. Da der charakteristische Schaufelpositionswinkel αo nach Gl. (1.30) durch die spezifische Drehzahl bestimmt werden kann, soll die Durchgangskonstante ebenfalls als Funktion der spezifischen Drehzahl dargestellt werden. Unter der Verwendung der Gl. (1.30) wird die Durchgangskonstante nach Gl. (16.1) ausgedrückt mit kR0 =

1 1 arccos 1+2nq   2 n 1+n  q q

(16.2)

In Abb. 16.1 ist die aus dieser Gleichung berechnete Durchgangskonstante gegenüber der spezifischen Drehzahl dargestellt. Bei Pelton-Turbinen mit niedrigen spezifischen Drehzahlen wird die Durchgangskonstante nahe bei 1 liegen. Ausgehend von der Definition der Laufzahl nach Gl. (1.18) lässt sich aus der Durchgangskonstante die Durchgangsdrehzahl bestimmen: n R0 = kR0

C0 π Dm

Abb. 16.1 Durchgangskonstante in Abhängigkeit der spezifischen Drehzahl von Pelton-Turbinen, gültig für km = 0.475 und φB = 0.11

(16.3)

16.2 Reale Durchgangsdrehzahl

197

Sie ist direkt proportional zur Strahlgeschwindigkeit, die wiederum nur von der Fallhöhe abhängt. Unter der Berücksichtigung der Betriebseinstellung bei km,Be = π Dm n N /C0 kann die Durchgangsdrehzahl auch ausgedrückt werden mit n R0 = kR0

nN km,Be

(16.4)

Die hier gegebene Durchgangsdrehzahl muss als theoretische oder reibungsfreie Durchgangsdrehzahl bezeichnet werden. Sie repräsentiert dadurch die maximal erreichbare Drehzahl eines Pelton-Rades. Bei dieser Drehzahl beträgt die Umfangsgeschwindigkeit des Rades (auf dem Strahlkreis): Um,R0 = kR0 · C0

(16.5)

Diese Gleichung zeigt, dass beim Erreichen der Durchgangsdrehzahl die Umfangsgeschwindigkeit des Pelton-Rades nicht gleich der Strahlgeschwindigkeit ist. Das erklärt zugleich, weshalb die Durchgangsdrehzahl nach Gl. (16.4) nicht einfach aus dem Verhältnis n N /km,Be zu berechnen ist. Die Durchgangskonstante kR0 wirkt als ein Faktor, der kleiner als Eins ist. Es wurde bereits in Abb. 15.5 ein Beispiel zur Berechnung der kompletten Wirkungsgradkennlinie gezeigt. Die reibungsfreie Durchgangskonstante wurde dort direkt mit kR0 = 0.848 erhalten. Das Verhältnis zum Nennbetrieb bei km,N = 0.47 ist 1.80, d. h. n R0 /n N = 1.80. Die reale Durchgangsdrehzahl einer Pelton-Turbine ist etwas tiefer als die reibungsfreie Durchgangsdrehzahl. Ihre Bestimmung verlangt die Kenntnisse des mechanischen Verlustes, um das Gleichgewicht zwischen der hydraulischen Leistung und dem mechanischen Verlust zu erstellen. Das Berechnungsverfahren zur Bestimmung der realen Durchgangsdrehzahl wird im nächsten Abschnitt beschrieben. Durch Anwendung der Durchgangskonstante nach Gl. (16.1) wird der Reaktionsgrad des Wasserstrahls nach Gl. (15.23) ausgedrückt mit     km n Nαo Nαo ηQ = 1− 1− = (16.6) π kR0 π n R0 Der Reaktionsgrad ist somit eine lineare Funktion der Drehzahl des Pelton-Rades.

16.2 Reale Durchgangsdrehzahl Die in Abschnitt 16.1 berechnete Durchgangsdrehzahl gilt für den Betrieb ohne mechanische Verluste und wird daher als theoretische Durchgangsdrehzahl bezeichnet. In Wirklichkeit verhalten sich Reibungskräfte durch Ventilation und in Wellenlagern als Bremskräfte, die auf das Pelton-Rad und die Welle wirken und mechanische Verluste verursachen. Die reale Durchgangsdrehzahl eines Pelton-Rades stellt somit eine Drehzahl dar, bei der das dynamische Gleichgewicht zwischen der Strahlkraft

198

16 Durchgangsdrehzahl und Beschleunigungsverlauf

und sämtlichen Bremskräften erreicht wird. Mit anderen Worten: die vom Wasserstrahl an die Pelton-Schaufeln abgegebene hydraulische Leistung muss gleich der gesamten mechanischen Verlustleistung sein. Aus diesem Gleichgewicht kann die reale Durchgangsdrehzahl bestimmt werden.

16.2.1 Mechanische Verlustkennlinie Zu den mechanischen Verlusten in einer Pelton-Turbine gehören Ventilations- und Radreibungsverluste sowie Verluste infolge der Lagerreibungen, wie sie bereits in Kapitel 12 und 13 behandelt und in Kapitel 14 zusammengefasst wurden. Meistens sind solche Verluste durch die zugehörigen Wirkungsgradangaben beim Nennbetrieb gegeben. Da sie als Leistungsverluste nur von der Wellendrehzahl abhängen, können sie mit den Nennbetriebsdaten für jede andere Drehzahl bestimmt werden. Nach Gl. (14.3) hängen Ventilations- und Radreibungsverluste von der dritten Potenz der Drehzahl ab. Dies gilt sowohl für vertikale als auch für horizontale Turbinen. Im Nennbetrieb mit der Nenndrehzahl n N wird der daraus resultierende Wirkungsgradverlust dargestellt durch ηVR,N =

K VR n 3N ρg HN Q˙ N

(16.7)

In dieser Gleichung wird das Verhältnis der Verlustleistung zur dritten Potenz der Drehzahl als Konstante K VR bezeichnet. Auf gleicher Weise wird aus Gl. (14.4) der Wirkungsgradverlust infolge der mechanischen Lagerreibung berechnet. Für hydrodynamische Gleitlager mit q = 2 ergibt sich ηLR,N =

K LR n 2N ρg HN Q˙ N

(16.8)

Dabei wird das Verhältnis der entsprechenden Verlustleistung zur zweiten Potenz der Drehzahl als Konstante K LR bezeichnet. Sofern die entsprechenden Verluste im Nennbetrieb bekannt sind, können aus den obigen Gleichungen die Konstanten K VR und K LR bestimmt werden, die zur Darstellung der Verlustkennlinie verwendet werden sollen. Die mechanische Verlustkennlinie lässt sich somit generell zusammenfassen als Pm = K VR n 3 + K LR n 2

(16.9)

Sie wird gebraucht, um zusammen mit der hydraulischen Leistungskennlinie die reale Durchgangsdrehzahl zu bestimmen.

16.2 Reale Durchgangsdrehzahl

199

16.2.2 Effektive hydraulische Leistung Der Betrieb einer Pelton-Turbine wird durch die hydraulische Fallhöhe H und den gesamten Durchfluss Q˙ definiert. Daraus ergibt sich die hydraulische Leistung mit ˙ Aus Gln. (15.26) und (16.6) ist die effektive hydraulische Leistung P0 = ρg H Q. oder die Leistungskennlinie gegeben durch      n n 1 N n Ph = 2 1 − cw2 αo P0 1 − 0.5 1− (16.10) 4 π nN n R0 n N oder in verkürzter Form    n n n 1− Ph = P˜ 1 − 0.5 nN n R0 n N mit

  1 N ˜ αo P0 P = 2 1 − cw2 4 π

(16.11)

(16.12)

Der Ausdruck P˜ ist eine Konstante, die die Rad-Parameter und die Strahlleistung kombiniert. Zum Zweck der Bestimmung der realen Durchgangsdrehzahl kann die Reibungszahl cw2 praktisch als Null angenommen werden, ohne die Berechnung wesentlich zu beeinflussen (Zhang 2007d).

16.2.3 Reale Durchgangsdrehzahl Die reale Durchgangsdrehzahl ergibt sich aus dem Gleichgewicht zwischen der mechanischen Verlustleistung und der effektiven hydraulischen Leistung. Aus Gln. (16.9) und (16.11) erhält man sogleich mit n = n R :   ˜ ˜ 0.5 P˜ 0.5 P P K VR n N − n 2R + K LR n N + n R − P˜ = 0 + (16.13) n N n R0 n R0 nN Aus dieser quadratischen Gleichung kann die reale Durchgangsdrehzahl n R bestimmt werden. Ihre grafische Bestimmung zeigt Abb. 16.2 an einem bekannten Beispiel, das bereits in Kapitel 15 verwendet wurde. Der Kreuzungspunkt der hydraulischen Leistungskennlinie und der mechanischen Verlustkennlinie repräsentiert die reale Durchgangsdrehzahl. Wie man aus dem Diagramm erkennen kann, ist die reale Durchgangsdrehzahl nur geringfügig kleiner als die verlustfreie Durchgangsdrehzahl. Unter dem Aspekt, dass die Durchgangsdrehzahl nicht unterschätzt werden darf, sollte immer die verlustfreie Durchgangsdrehzahl nach Gl. (16.3) bzw. (16.4) verwendet werden. Das ist zugleich besonders vorteilhaft, da die Berechnung extrem einfach ist.

200

16 Durchgangsdrehzahl und Beschleunigungsverlauf

Abb. 16.2 Bestimmung der realen Durchgangsdrehzahl am Beispiel des Kraftwerks Amsteg

Wie von Zhang und Müller (2007d) gezeigt wurde, ist die Ungenauigkeit der vorliegenden Methode zur Bestimmung der Durchgangsdrehzahl kleiner als 2%. Bei Anwendung der Gl. (16.13) sollen folgende Punkte berücksichtigt werden: • In der Berechnung des Parameters P˜ nach Gl. (16.12) gilt Q˙ als gesamter Durchfluss, der dem aktuellen Betrieb (Voll- oder Teillast sowie mehrdüsigem Betrieb) entspricht. • Wenn die Ordinate in Abb. 16.2 durch P0 auf Eins normiert wird, dann handelt es sich bei den Kennlinien um die Wirkungsgradkennlinien. Die entsprechende Darstellung wurde bei Zhang und Müller (2007d) gezeigt. • Die quadratische Gleichung (16.13) wurde aus Gl. (16.9) und (16.11) erhalten, wobei in Gl. (16.9) die Drehzahl jeweils in zweiter und dritter Potenz auftritt. Wird z. B. die Reibleistung der Lager in der Form n 1.5 dargestellt, dann wird 0.5 in Gl. (16.13) entsprechend n R vorkommen. In diesem Fall kann man den 0.5 Ausdruck n R in der Nähe der verlustfreien Durchgangsdrehzahl n R0 , wegen (n R0 − n R )  n R0 , wie folgt linearisieren:   nR 0.5 0.5 n 0.5 1 + (16.14) = [n − − n = 0.5n (n )] R0 R0 R R R0 n R0 0.5 wieder in eine quadratische Gleichung umgeDadurch wird Gl. (16.13) mit n R wandelt.

16.3 Beschleunigungsverlauf

201

16.3 Beschleunigungsverlauf Im Fall des Lastabwurfs beim Generator beginnt die Drehung des Pelton-Rades unter der Beaufschlagung der Wasserstrahlen sich zu beschleunigen, bis die stabile Durchgangsdrehzahl erreicht wird. Der Beschleunigungsverlauf hängt neben dem vom Wasserstrahl übertragenen Drehmoment auch noch von der Gesamtmassenträgheit des Pelton-Rades, der Welle und des Generatorrotors ab. Als eine Anlagenkenngröße ist die Gesamtmassenträgheit meist bekannt. Anderenfalls kann sie einfach berechnet werden. Zur Berechnung des Beschleunigungsverlaufs muss dann die hydraulische Strahlkraft in Abhängigkeit des Prozesses bzw. der Drehzahl des Pelton-Rades bekannt sein. Dafür ist analog zur Berechnung der hydraulischen Leistungskennlinie der Reaktionsgrad des Wasserstrahls zu berücksichtigen. Offensichtlich müssen dabei unterkritische und überkritische Drehzahlbereiche unterschiedlich behandelt werden. Der Übergangsbereich kann nach Abb. 15.4 der Einfachheit halber durch Verlängerung der unter- und überkritischen Bereiche eliminiert werden. Der dynamische Beschleunigungsverlauf der gesamten Rotationseinheit (PeltonRad, Welle und Rotor des Generators) unterliegt dem Drehimpulssatz. Bei Vernachlässigung der mechanischen Verluste ist die Drehbewegung beschreibbar durch J

dω Dm = FT · dt 2

(16.15)

Dabei ist das gesamte Massenträgheitsmoment der Rotationseinheit durch J gegeben. Die gesamte hydraulische Kraft wird mit FT bezeichnet. In der Tat handelt es sich dabei um die Kraftkomponente, die tangential auf den Strahlkreis Dm wirkt. Die hydraulische Kraft bezogen auf einen Wasserstrahl wurde bereits durch Gl. (1.37) angegeben. Bei der vorliegenden Berechnung handelt es sich um die gesamte hydraulische Kraft aller Wasserstrahlen. Dies muss entsprechend berücksichtigt werden. Unter der Berücksichtigung des Reaktionsgrades errechnet sich die wirksame hydraulische Kraft auf dem Pelton-Rad mit FT = m˙ c C0 (1 − km) (1 − cosβ2 ) · ηQ

(16.16)

Dabei gilt m˙ c für den gesamten Massenstrom im Betrieb der Pelton-Turbine. Gl. (16.16) wird in Gl. (16.15) eingesetzt. Daraus ergibt sich mit β2 ≈ π   m˙ c C0 Dm π Dm · n dn = 1− ηQ (16.17) dt 2π J C0 Für weitere Berechnungen muss zwischen unter- und überkritischen Bereichen unterschieden werden.

202

16 Durchgangsdrehzahl und Beschleunigungsverlauf

16.3.1 Unterkritischer Bereich: n < nc Der unterkritische Bereich ist durch die Drehzahlvariation von n N bis n c und den Reaktionsgrad ηQ = 1 gekennzeichnet. Dementsprechend ergibt sich aus Gl. (16.17) n nN

m˙ c · C0 Dm dn dn = t 1 − π Dm /C0 · n 2π J

(16.18)

Daraus folgt ln

2 m˙ c Dm 1 − π Dm /C0 · n N = t 1 − π Dm /C0 · n 2J

(16.19)

Um die Berechnung und Darstellung zu vereinfachen, wird hier die erste Anfahrzeitkonstante definiert durch τ1 =

2J 2 m˙ c Dm

(16.20)

Unter Anwendung der Beziehungen km,Be = π Dm n N /C0 für den anfänglichen Betrieb bei der Nenndrehzahl und km = π Dm n/C0 für den Beschleunigungsverlauf werden die entsprechenden Parameter in Gl. (16.19) durch die Laufzahlen ersetzt. Nach Umformung erhält man:   km = 1 − 1 − km,Be e−t /τ1

(16.21)

bzw. in der Form der Drehzahl n=

nN  km,Be

   1 − 1 − km,Be e−t /τ1

(16.22)

Die Zeit für die Beschleunigung des Pelton-Rades bis zum Erreichen der kritischen Drehzahl (n = n c ) berechnet sich aus Gl. (16.21) tc = τ1 ln

1 − km,Be 1 − km,c

(16.23)

16.3.2 Überkritischer Bereich: n > nc Im überkritischen Bereich der Drehzahl tritt das Durchschleusen des Wassers auf. Unter der Berücksichtigung des Reaktionsgrades, der durch Gl. (16.6) gegeben ist, ergibt sich die zeitliche Änderung der Drehzahl aus Gl. (16.17)

16.3 Beschleunigungsverlauf

203

   m˙ c C0 Dm Nαo π Dm · n n dn = 1− 1− dt 2π 2 J C0 n R0

(16.24)

bzw. in der Integrationsform n nc

m˙ c C0 Dm Nαo dn = (t − tc ) 2π 2 J (1 − π Dm /C0 · n) (1 − n/n R0 )

Die Integration kann leicht ausgeführt werden. Daraus ergibt sich   t − tc 1 − π Dm /C0 · n 1 − n c /n R0 = · ln 1 − π Dm /C0 · n c 1 − n/n R0 τ2

(16.25)

(16.26)

Dabei wird τ2 als die zweite Anfahrzeitkonstante bezeichnet, die für den überkritischen Bereich gilt und wie folgt definiert ist 1 = τ2



π Dm 1 − n R0 C0



m˙ c C0 Dm Nαo 2π 2 J

(16.27)

Um aus Gl. (16.26) die zeitabhängige Drehzahl zu berechnen, wird eine weitere Konstante verwendet, die folgendermaßen definiert ist: K=

1 − π Dm n c /C0 1 − km,c 1 − km,c = = 1 − n c/n R0 1 − n c /n R0 1 − km,c/kR0

(16.28)

Die zeitabhängige Drehzahl des Pelton-Rades im überkritischen Bereich ergibt sich dann aus Gl. (16.26) mit kR0 = π Dm n R0 /C0 als Durchgangskonstante: 1 − K exp



t −tc τ2



n  = n R0 c kR0 − K exp t −t τ2

(16.29)

16.3.3 Gesamter Beschleunigungsverlauf Mit obigen Berechnungen wurde gezeigt, dass der gesamte Beschleunigungsverlauf eines Pelton-Rades beim Lastabwurf aus unter- und überkritischen Bereichen besteht. Abb. 16.3 zeigt den berechneten Beschleunigungsverlauf an einem Beispiel, das bereits in Abb. 15.5 und 16.2 betrachtet wurde. Dabei wurde das Massenträgheitsmoment des gesamten Rotationssystems mit J = 105 kg m2 angenommen. Zum Vergleich ist auch der fiktive Beschleunigungsverlauf eingezeichnet, der unter der Annahme berechnet wurde, dass im ganzen Beschleunigungsverlauf bis zum Erreichen der Durchgangsdrehzahl der Reaktionsgrad des Wasserstrahls 100% beträgt.

204

16 Durchgangsdrehzahl und Beschleunigungsverlauf

Abb. 16.3 Beschleunigungsverlauf eines Pelton-Rades nach dem Lastabwurf

Der fiktive Beschleunigungsverlauf ist nichts anderes als die Erweiterung des Beschleunigungsverlaufs des unterkritischen Bereichs auf den ganzen überkritischen Bereich. Die sich daraus ergebende stabile Enddrehzahl entspricht der Drehzahl, die sich aus der symmetrischen Wirkungsgradkennlinie nach Abb. 16.2 ergibt. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass der reale Beschleunigungsverlauf deutlich unterschiedlich zum fiktiven Beschleunigungsverlauf ist.

Kapitel 17

Hydraulische Auslegung von Pelton-Turbinen

17.1 Dimensionierung des Pelton-Rades Zur hydraulischen Auslegung einer Pelton-Turbine sind das Nettogefälle des verfügbaren Wassers und die zu verarbeitende Wassermenge von fundamentaler Bedeutung. Aus diesen Angaben ergibt sich die potentielle Nutzleistung des Wassers. Die Auslegung einer Pelton-Turbine beginnt mit der Dimensionierung des PeltonRades, Festlegung der Drehzahl und Bestimmung der Düsenzahl. Dazu helfen die folgenden Anhaltspunkte aus dem Betrieb von Pelton-Turbinen: • Die Laufzahl km liegt im Bereich von 0.45 bis 0.48; • Die Schaufelbreite ist ungefähr gleich dem dreifachen Strahldurchmesser bei Volllast, gekennzeichnet durch B ≈ 3d0 bzw. ϕB ≈ 0.11; • Die spezifische Drehzahl bezogen auf eine Düse ist normalerweise auf n q < 0.13 beschränkt. Dieses Kriterium beruht darauf, dass am Schaufeleintritt keine Strömungsablösung auftreten soll, siehe Kapitel 4, Abschnitte 4.7 und 4.8. Nach Gl. (1.27) ist die Radform durch Dm /B > 3 gegeben. Wird eine kleine spezifische Drehzahl bevorzugt, so muss man nach Gl. (1.27) mit einem relativ größeren Pelton-Rad rechnen. Alle diese Anhaltspunkte müssen in einer bestimmten Form gekoppelt werden, um in der Anfangsphase der Turbinenauslegung die Raddimension, die Düsenzahl und die Drehzahl des Pelton-Rades festzulegen. Zu diesem Zweck ist die spezifische Drehzahl anzuwenden, die in Wirklichkeit die Radform wiedergibt (Kapitel 1). Unter der Berücksichtigung des gesamten Wasserdurchflusses und der Düsenzahl wird Gl. (1.22) umgeformt zu:  Q˙ nq = n √ (17.1) Z D · H 3/4 Zu einer angenommenen spezifischen Drehzahl n q < 0.13 können Düsenzahl und Drehzahl der auszulegenden Pelton-Turbine gekoppelt bestimmt werden. Zur Festlegung der Drehzahl sind die Netzfrequenz ( f ) und die Polpaarzahl ( p) des GeneraZ. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

205

206

17 Hydraulische Auslegung von Pelton-Turbinen

tors zu berücksichtigen, indem die Drehzahl auf die nächstgelegene Synchrondrehzahl des Generators gerundet werden soll: n = f/ p

(1/s)

(17.2)

Die Netzfrequenz ist üblicherweise mit 50 Hz genormt. In den USA und Kanada ist die Netzfrequenz zum Teil auch mit 60 Hz festgelegt. Für den Generator ist die minimale Polpaarzahl auf 2 begrenzt. Die entsprechende Drehzahl beträgt somit 25 in 1/s bzw. 1500 in 1/min. Unter Umständen kann diese Drehzahl zu hoch sein. Man erhöht dann beim Generator die Polpaarzahl, bis eine angemessene Drehzahl aus Sicht der hydraulischen und mechanischen Auslegung erreicht wird. Unter der Berücksichtigung von Gl. (17.2) können aus Gl. (17.1) verschiedene Kombinationen von Düsenzahl und Drehzahl der Pelton-Turbine zur Auswahl stehen. Zu jeder Kombination steht auch die Radgröße fest, die aus der Definition der Laufzahl nach Gl. (1.18) berechnet wird:  Dm = km 2g H /(π · n) (17.3) Die Schaufelgröße, die durch die Schaufelbreite B gegeben ist, wird aus Gl. (1.27) bestimmt: nq B = √ Dm 2.63km ϕB

(17.4)

Für die Normalbetriebswerte von ϕB = 0.11 und km = 0.47 ergibt sich schließlich B = 2.5n q Dm

(17.5)

Der obige Berechnungsprozess gilt im Grund genommen hauptsächlich für die Bestimmung der Düsenzahl und der Drehzahl der Turbine. Dabei sind die sich ergebende Radgröße und Schaufelbreite zu berücksichtigen. Um den Prozess dieser ersten Auslegung einer Pelton-Turbine darzustellen, wird hier ein Beispiel gezeigt. Aufgaben: Zum Bau eines Wasserkraftwerks mit einer Pelton-Turbine stehen die Fallhöhe H = 750 m und der Durchfluss Q˙ = 8 m3 /s zur Verfügung. Es ist die PeltonTurbine auszulegen, die eine spezifische Drehzahl von nicht mehr als 0.12 aufweisen soll. Lösung: – Für eine angenommene Düsenzahl berechnet sich die Drehzahl aus Gl. (17.1):    3/4 n = nq Z D · H Q˙ (a) – Polpaarzahl nach oben gerundet: p > 50/n – Synchronisierung der Drehzahl: n = 50/ p

(b) (c)

17.1 Dimensionierung des Pelton-Rades

207



Q˙ (d) Z D H 3/4 – Die Laufzahl wird mit km =  0.47 angenommen. Daraus folgt der Strahlkreisdurchmesser: Dm = 0.475 2g H/(πn) (e) – Schaufelbreite nach Gl. (17.5): B = 2.5 · n q Dm (f) – Spezifische Drehzahl nach Gl. (17.1): n q = n √

Die folgende Tabelle zeigt die entsprechenden Berechnungen jeweils für eine, zwei und drei Düsen. Dabei wird von einer spezifischen Drehzahl n q = 0.12 ausgegangen. Nach der Synchronisierung der Drehzahl wird die spezifische Drehzahl nach Gl. (d) erneuert gerechnet.

Tabelle 17.1 Rechenbeispiel zur Auslegung einer Pelton-Turbine mit H = 750 m und Q˙ = 8 m3 /s: n q = 0.12 Gln. (a) (b) (c) (d) (e) (f)

ZD n (1/s) Polpaar n (1/s) n (1/min) nq Dm B d0

1 6.1 9 5.56 333 0.110 3.30 0.90 0.290

2 8.6 6 8.3 500 0.116 2.20 0.64 0.205

3 10.5 5 10.0 600 0.114 1.83 0.52 0.167

3 10.5 6 8.3 500 0.095 2.20 0.52 0.167

In der letzten Zeile der Tabelle sind zusätzlich auch theoretische Strahldurchmesser angegeben worden, die aus dem Massenerhaltungssatz mit der Strahlge√ schwindigkeit C0 = 2g H berechnet wurden. Die Berechnung in den letzten zwei Spalten mit der Festlegung von drei Düsen dient zur Veranschaulichung, was passieren würde, wenn die Polpaarzahl des Generators um eins größer als nötig gewählt wird. Die Drehzahl wird von 600 U/min auf 500 U/min reduziert. Dadurch müsste der Strahlkreisdurchmesser Dm von 1.83 m auf 2.2 m vergrößert werden, was höhere Baukosten verursachen wird. Die kleinere spezifische Drehzahl erweist sich jedoch als vorteilhaft hinsichtlich der Interaktion zwischen dem Wasserstrahl und den PeltonSchaufeln sowie der Eintrittsbedingung, die bereits in Kapitel 4 (siehe Abschnitte 4.7 und 4.8) erläutert wurde. Gemäß den Berechnungen der obigen Tabelle und von der Dimension und Bauart her kann die Pelton-Turbine mit zwei Düsen gebaut werden. Die spezifische Drehzahl des Pelton-Rades beträgt dann 0.116, bei der die gesunde Eintrittsströmung gewährleistet werden kann. Der Vorteil der Auslegung mit zwei anstatt drei Düsen besteht darin, dass die Pelton-Turbine auch mit horizontaler Drehachse erbaut werden kann. Das Pelton-Rad hat einen Durchmesser von Dm = 2.2 m. Die Schaufelbreite beträgt B = 0.64 m.

208

17 Hydraulische Auslegung von Pelton-Turbinen

Das Beispiel zeigte die Methode zur Festlegung der Düsenzahl und der Drehzahl der Pelton-Turbine. Man kann durch Ändern der spezifischen Drehzahl, die als Ausgangsgröße vorgegeben ist, verschiedene Auslegungsmöglichkeiten leicht vergleichen. Zu einer getroffenen Wahl der Auslegung gemäß obiger Tabelle müssen sowohl der Strahlkreisdurchmesser Dm als auch die Schaufelbreite B noch optimiert werden. Dies erfolgt mittels eingehender Analysen sowohl hinsichtlich hydraulischer als auch mechanischer Aspekte. Wird z. B. die Pelton-Turbine vorwiegend im Teillastbereich betrieben, kann die Schaufelbreite B entsprechend verkleinert werden.

17.2 Ellipsenförmiges Schaufelprofil Das hydraulische Profil auf der Innenseite der Pelton-Schaufeln muss so ausgelegt werden, dass das Wasser sich möglichst stetig und gerichtet ausbreitet. Das Profil soll in erster Linie keine Unstetigkeit aufweisen. Das wird nicht nur von der Hydraulik sondern auch unter dem Aspekt der mechanischen Fertigung der Schaufeln, z. B. mittels Fräsmaschinen, verlangt. Die vollkommene Stetigkeit des Schaufelprofils wird erzielt, wenn das Profil in jedem Schaufelquerschnitt durch eine einzige mathematische Kurve beschrieben werden kann. Unter verschiedenen mathematischen Funktionen zeichnet sich das Ellipsenmodell offensichtlich als das am besten geeignete aus. Bei der Anwendung eines Ellipsenmodells ist zu bestimmen, wie die Ellipsenparameter festgelegt werden können und mit welchem Stück der Ellipse das Schaufelprofil angenähert werden soll. Die gesuchte Ellipse bzw. das passende Ellipsenstück muss die erforderlichen Randbedingungen erfüllen, die aus der Parameterbestimmung bei der Schaufelauslegung erstellt wurden. Nach Abb. 17.1 mit dem gezeigten Koordinatensystem können die zu erfüllenden geometrischen Randbedingungen wie folgt formuliert werden: • Am Schaufeleintritt: x 1 = 0, y1 = 0, Eintrittswinkel ε1 ; • Am Schaufelaustritt: x = x 2 , y = y2 , Austrittswinkel ε2 ; • Schaufeltiefe: h b .

Abb. 17.1 Geometrische Randbedingungen am Einund Austritt einer PeltonSchaufel. Schaufelbreite B = 2x2

17.2 Ellipsenförmiges Schaufelprofil

209

Um diese geometrischen Randbedingungen durch ein Teilstück einer Ellipse im gleichen Koordinatensystem zu erfüllen, bedarf die Ellipse in ihrer Grundform einer geeigneten Koordinatentransformation, die aus einer Translation und Rotation der Koordinaten besteht. Es wird hier von der Grundform einer Ellipse ausgegangen, die nach Abb. 17.2a mathematisch beschrieben ist durch x 2 y 2 + 2 =1 a2 b

(17.6)

Die Ellipse wird zuerst durch eine Translation (u, v) der Koordinaten ins Koordinatensystem x  − y  transformiert. Der Ursprung des neuen Koordinatensystems befindet sich nun auf der Ellipse, die gegeben ist durch 

x  − u a2

2



y  − v + b2

2 =1

(17.7)

Weiters wird das Ellipsenmodell samt Koordinaten x  und y  um einen Winkel ϕ gegenüber dem fixen Koordinatensystem x–y gedreht (Abb. 17.2b). In Bezug auf das fixe Koordinatensystem wird die Ellipse dann beschrieben durch (x cos ϕ + y sin ϕ − u)2 (−x sin ϕ + y cos ϕ − v)2 + =1 a2 b2

(17.8)

Das gesuchte Profil als ein Teilstück der transformierten Ellipse ist schematisch in Abb. 17.2c mit entsprechenden geometrischen Randbedingungen veranschaulicht. Die Transformationsgleichung enthält fünf Variablen (a, b, u, v und ϕ), die die vorgeschriebenen Randbedingungen erfüllen müssen. Um alle fünf Variablen festzulegen, müssen fünf Gleichungen aus gegebenen Randbedingungen erstellt werden. Dazu wird vereinbart, dass der Koordinatenursprung sich am Schaufeleintritt befindet.

Abb. 17.2a–c Koordinatentransformation einer Ellipse zur Erstellung des Schaufelprofils

210

17 Hydraulische Auslegung von Pelton-Turbinen

Randbedingung 1: Der Koordinatenursprung x 1 = y1 = 0 befindet sich auf der Ellipse, sodass mit x 1 = y1 = 0 am Schaufeleintritt gilt u 2 v2 + =1 a 2 b2

(17.9)

Randbedingung 2: Am Schaufeleintritt mit x 1 = y1 = 0 ist der Eintrittswinkel nach Abb. 17.1 bzw. Abb. 17.2c gegeben durch dy dx = tan ε1 . Somit ergibt sich aus Gl. (17.8) a2 u (cos ϕ + tan ε1 · sin ϕ) =− 2 v (− sin ϕ + tan ε1 · cos ϕ) b

(17.10)

Randbedingung 3: Am Schaufelaustritt ist x = x 2 und y = y2 . Dementsprechend erhält man aus Gl. (17.8) (x 2 cosϕ + y2 sin ϕ − u)2 (−x 2 sin ϕ + y2 cos ϕ − v)2 + =1 a2 b2

(17.11)

Randbedingung 4: Am Schaufelaustritt mit x = x 2 und y = y2 ist der Austrittswinkel gegeben durch dy dx = tan ε2 . Somit ergibt sich aus der Transformationsgleichung a2 (x 2 cos ϕ + y2 sin ϕ − u) (cosϕ + tan ε2 · sin ϕ) =− 2 b (−x 2 sin ϕ + y2 cos ϕ − v) (− sin ϕ + tan ε2 · cos α)

(17.12)

Randbedingung 5: Die Schaufeltiefe ist nach Abb. 17.2c gegeben durch h b = −yb . Die genaue Position des Tiefpunktes ist noch durch die Berechnung von x b zu bestimmen. Vorerst kann die entsprechende geometrische Randbedingung aus dy/dx = 0 abgeleitet werden. Aus Gl. (17.8) folgt dann a2 (x b cos ϕ + yb sin ϕ − u) cos ϕ = 2 (−x b sin ϕ + yb cos ϕ − v) sin ϕ b

(17.13)

Weil der tiefste Punkt auf der Ellipse liegt, müssen x b und yb nach Gl. (17.8) die folgende Bedingung erfüllen: (x b cosϕ + yb sin ϕ − u)2 (−x b sin ϕ + yb cos ϕ − v)2 + =1 a2 b2

(17.14)

Durch Einführung der Randbedingung fünf bezüglich der Schaufeltiefe tritt hier zusätzlich die Koordinate x b als eine Unbekannte auf. Von der Randbedingung eins bis fünf sind jedoch sechs Gleichungen aufgestellt worden, die ein geschlossenes System für die Lösungen von sechs Unbekannten (a, b, u, v, ϕ, x b ) darstellen. Weil

17.2 Ellipsenförmiges Schaufelprofil

211

die gleichzeitige Lösung aller Unbekannten schwer zu realisieren ist, wird die fünfte Randbedingung zunächst außer Betracht gelassen. Im Gleichungssystem unter den Randbedingungen eins bis vier wird der Rotationswinkel ϕ, der hier als Neigungswinkel der Ellipse bezeichnet wird, als vorgegeben betrachtet. Das reduzierte Gleichungssystem aus vier Gleichungen befasst sich dann mit vier Unbekannten (a, b, u, v). Die Betrachtung des Neigungswinkels ϕ als vorgegebene Größe bedeutet, dass der Neigungswinkel sich wie ein Steuerparameter verhält. Wie noch gezeigt wird, steuert der Neigungswinkel die Schaufeltiefe. Zur Lösung des Gleichungssystems mit den Randbedingungen 1 bis 4 werden folgende Größen gebildet: A = a 2 , B = b2 M = x 2 cos ϕ + y2 sin ϕ,

N = −x 2 sin ϕ + y2 cos ϕ

D1 = cos ϕ + tan ε1 sin ϕ, D2 = cos ϕ + tan ε2 sin ϕ,

E 1 = − sin ϕ + tan ε1 cosϕ E 2 = − sin ϕ + tan ε2 cosϕ

Dadurch wandelt sich das Gleichungssystem um in: u 2 v2 + =1 A B (M − u)2 (N − v)2 + =1 A B A u D1 =− v E1 B A (M − u) D2 =− B (N − v) E 2

(17.15) (17.16) (17.17) (17.18)

Aus diesem Gleichungssystem sind die Unbekannten A, B, u und v zu bestimmen. Aus Gln. (17.15) und (17.16) ergibt sich M − 2u AN =− BM N − 2v

(17.19)

Wegen Gl. (17.17) erhält man dann M − 2u D1 N · u = E1 M · v N − 2v

(17.20)

Gln. (17.17) und (17.18) werden kombiniert zu D1 u (M − u) E 1 = D2 v (N − v) E 2

(17.21)

Diese letzten zwei Gleichungen stellen ein Gleichungssystem für die Bestimmung der Unbekannten u und v dar. Gl. (17.21) wird nach der Unbekannten v aufgelöst zu

212

17 Hydraulische Auslegung von Pelton-Turbinen

v=

D1 E 2 N · u D2 E 1 M − D2 E 1 · u + D1 E 2 · u

(17.22)

Dies wird wiederum in Gl. (17.20) eingesetzt. Daraus ergibt sich u=

E 1 M (E 2 M − D2 N ) 2E 1 E 2 M − (D2 E 1 + D1 E 2 ) N

(17.23)

Durch Einsetzen in Gl. (17.22) erhält man auch die Unbekannte v v=

D1 N (E 2 M − D2 N ) (D2 E 1 + D1 E 2 ) M − 2D1 D2 N

(17.24)

Schließlich werden die Gln. (17.15) und (17.17) nach den Unbekannten A und B aufgelöst zu A = a 2 = u 2 − uv

D1 E1

(17.25)

B = b 2 = v 2 − uv

E1 D1

(17.26)

und

Das gesuchte ellipsenförmige Schaufelprofil, das die angegebenen Eintritts- und Austrittsbedingungen erfüllt, ist somit gefunden worden. Dabei verhält sich der Neigungswinkel ϕ als eine freie Variable, oder wie oben erwähnt, als ein Steuerparameter. Die Funktion dieses Steuerparameters wird in Abb. 17.3 gezeigt. Man sieht, dass dieser Parameter in Wirklichkeit nur die Schaufeltiefe steuert, während sämtliche Eintritts- und Austrittsbedingungen unverändert bleiben. Wird die Schaufeltiefe angegeben, dann steht auch der Neigungswinkel ϕ eindeutig fest, denn die ange-

Abb. 17.3 Funktion des Neigungswinkels als ein Steuerparameter zur Anpassung an die geeignete Schaufeltiefe

17.2 Ellipsenförmiges Schaufelprofil

213

gebene Schaufeltiefe kann ja nur bei einem bestimmten Neigungswinkel erhalten werden. Gleichzeitig wird auch die Position des tiefsten Punktes (x b , yb ) bestimmt. Dieser Zusammenhang wird hier noch gezeigt. Dazu werden die Gleichungen unter der Randbedingung fünf betrachtet. Für die Berechnung werden folgende Größen eingeführt: T1 = x b cos ϕ + yb sin ϕ − u T2 = −x b sin ϕ + yb cos ϕ − v

(17.27) (17.28)

Somit folgen aus Gln. (17.13) und (17.14) jeweils T1 a2 = 2 tan ϕ T2 b

(17.29)

T12 T22 + 2 =1 a2 b

(17.30)

und

Es wird T2 aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung eingesetzt und anschließend nach T1 ausgelöst. Daraus ergibt sich a 2 tan ϕ T1 = ±  a 2 tan2 ϕ + b 2

(17.31)

Es sind hier zwei Lösungen zu erwarten, da die Bedingung dy/dx = 0 an zwei Orten auf einer Ellipse erfüllt wird. Um die Lösung von T1 eindeutig zu bestimmen, wird Gl. (17.27) betrachtet. Da bei den meisten Schaufelauslegungen der effektive Eintrittswinkel ε1 − 90◦, s. Abb. 17.2, größer als der effektive Austrittswinkel 90◦ − ε2 ist, ist der Neigungswinkel ϕ > 0. Infolge yb < 0 und u > 0 ist es dann oft der Fall, dass T1 < 0 gilt. Mit den gleichem Regel wie für T1 erhält man aus Gl. (17.29) dann auch T2 : b2 T2 = −  a 2 tan2 ϕ + b 2

(17.32)

Aus Gln. (17.27) und (17.28) werden dann die Koordinaten des tiefsten Punktes gerechnet: x b = (T1 + u) cos ϕ − (T2 + v) sin ϕ

(17.33)

yb = (T1 + u) sin ϕ + (T2 + v) cos ϕ

(17.34)

Wie vorhin erwähnt, verhält sich der Neigungswinkel ϕ als ein Steuerparameter, mit dem die Schaufeltiefe verändert werden kann. Mit anderen Worten heißt das, dass für eine vorgegebene Schaufeltiefe der Neigungswinkel entsprechend eingestellt werden muss. Im Allgemeinen repräsentiert die Schaufeltiefe im Schaufel-

214

17 Hydraulische Auslegung von Pelton-Turbinen

Abb. 17.4 Längsschnitt eines ellipsenförmigen Schaufelprofils

querschnitt auf dem Strahlkreisdurchmesser (Dm ) eine Referenztiefe der PeltonSchaufeln. Diese Tiefe wird ausgehend von der Schaufelaustrittskante, s. Abb. 17.1, mit h 2 bezeichnet. Das Verhältnis der Schaufeltiefe zur Schaufelbreite am Querschnitt auf dem Strahlkreisdurchmesser (Dm ) beträgt normalerweise h2 = 0.275 − 0.285 B

(17.35)

Sobald der Neigungswinkel unter Berücksichtigung der Schaufeltiefe bestimmt ist, steht das ellipsenförmige Schaufelprofil fest, das die vorgeschriebenen Randbedingungen nach Abb. 17.1 bzw. Abb. 17.2c erfüllt. Der Krümmungsradius am Boden des Profils errechnet sich aus R=

a2 b

(17.36)

Ein Beispiel wurde bereits in Abb. 17.3 gezeigt, wo es sich um ein reales Schaufelprofil einer Pelton-Turbine der Kraftwerke Oberhasli (KWO) handelt. Das berechnete ellipsenförmige Profil mit einem Neigungswinkel von ϕ1 entspricht exakt dem vorhandenen Schaufelprofil. Dieser Vergleich bedeutet, dass das ellipsenförmige Schaufelprofil sich bereits in der Praxis durchgesetzt hat. Ein weiteres Beispiel zeigt Abb. 17.4, wo der Längsschnitt der betrachteten Pelton-Schaufel sich auf gleicher Weise durch ein ellipsenförmiges Profil sehr gut annähern lässt.

Kapitel 18

Mehrdüsige Pelton-Turbinen

18.1 Mindestversatzwinkel zwischen Wasserstrahlen Stehen im Bezugsgebiet hinreichende Wassermengen zur Verfügung, werden PeltonTurbinen oft mit zwei bis maximal sechs Injektoren ausgeführt (Abb. 18.1). Bei der Auslegung solcher Pelton-Turbinen ist der Mindestversatzwinkel zwischen zwei benachbarten Injektoren zu berücksichtigen. Der Wasserstrahl darf nur dann in die Schaufel eintreten, wenn die Schaufel nach der Beaufschlagung vom voreilenden Wasserstrahl bereits entleert ist. Der Mindestversatzwinkel zwischen zwei benachbarten Injektoren kann mit den Grundlagen aus Kapitel 4 ermittelt werden. Nach Abb. 4.3 ist das Strahlstück abcd, das in eine Schaufel eintritt, durch s1 und s2 definiert. Von der Schaufelposition αa , an der das erste Wasserteilchen der Strahloberfläche in die Schaufel eintritt, bis zur Schaufelposition αd , an der das letzte Wasserteilchen in die Schaufel eintritt, hat die Schaufel einen Drehwinkel von α zurück gelegt: α = αa − αd

(18.1)

Für den störungsfreien Betrieb muss der Versatzwinkel zwischen zwei Injektoren mindestens α sein. Die Zeit zur Schaufelentleerung braucht man vorerst nicht zu berücksichtigen, da das letzte Wasserteilchen an der Stelle d die Schaufel anderswo als am Schaufelausschnitt verlässt. Nach Abb. 4.3 und unter der Annahme αb − αd = αo1 − αo2 kann der Drehwinkel α auch wie folgt berechnet werden: α = (αo1 − αo2 ) + (αa − αb )

(18.2)

Im Abschnitt 4.4 wurde darauf hingewiesen, dass es aus Symmetriebedingungen den Schaufelstellungswinkel αo2 ≈ 0 gibt. Somit wird aus obiger Gleichung α = αo1 + αa − αb

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

(18.3)

215

216

18 Mehrdüsige Pelton-Turbinen

Abb. 18.1 Pelton-Turbine mit fünf Düsen. Kaftwerke Bieudron. Fallhöhe H = 1883 m, Durchfluss Q˙ = 25 m3 /s, Drehzahl n = 428 U/min, Leistung P = 423 MW

Das Ziel der weiteren Berechnungen soll darin liegen, dass die Winkeldifferenz α als Funktion der Laufzahl und spezifischer Drehzahl dargestellt werden kann. Die Betrachtung soll für den Nennbetrieb gelten, sodass die Schaufelauslastung mit ϕB = 0.11 angenommen werden kann. Aus Gl. (1.29), für die die Annäherung Dc − Dm = 0.85B gilt, erhält man mit αo = αo1 cosαo1 =

km km + n q

(18.4)

Mit gleicher Annäherung und aus Gln. (4.9) und (1.27) ergibt sich cosαa =

km − 0.38n q km + n q

(18.5)

18.2 Düsenschutzdach

217

Analog dazu erhält man aus Gl. (4.11) und (1.27) cos αb =

km + 0.38n q km + n q

(18.6)

Aus Gln. (18.4), (18.5) und (18.6) kann die Winkeldifferenz α gemäß Gl. (18.3) in Abhängigkeit von der Laufzahl und der spezifischen Drehzahl berechnet werden. Die Rechenergebnisse für drei verschiedene Laufzahlen sind in Abb. 18.2 dargestellt. Bei Pelton-Rädern mit großer spezifischer Drehzahl wird die Winkeldifferenz auch groß. Diese Winkeldifferenz muss berücksichtigt werden, wenn eine zweioder mehrdüsige Turbine ausgelegt werden soll. Der Versatzwinkel zwischen zwei benachbarten Düsen muss größer als der Winkel aus Abb.18.2 sein, damit keine Beeinflussungen zwischen den beiden Wasserstrahlen in einer Schaufel stattfinden können. Da in den obigen Berechnungen αo2 = 0 angenommen wurde, ist die berechnete Winkeldifferenz α etwa um 1◦ bis 3◦ kleiner als tatsächlich erforderlich. Für die Auslegung des Versatzwinkels zwischen zwei Düsen soll dies entsprechend berücksichtigt werden. Es ist aus der Berechnung noch zu erkennen, dass die Laufzahl die Winkeldifferenz α nur wenig beeinflusst. Wird die Laufzahl allgemein mit km = 0.47 verwendet, so gehen die obigen Gleichungen entsprechend auf Gl. (1.30), (4.10) und (4.12) zurück.

Abb. 18.2 Mindestversatzwinkel zwischen zwei Injektoren bei mehrdüsigen Pelton-Turbinen

18.2 Düsenschutzdach Im Fall mehrdüsiger Pelton-Turbinen tritt es häufig auf, dass die Tropfenbildung bei einem Wasserstrahl aus einer Düse den Düsenhut der nachfolgenden Düse beschädigen wird. Die Bildung von Wassertropfen wurde bereits in Abb. 3.4 (Kapitel 3) veranschaulicht. Die Ursache für die Bildung von Wassertropfen ist die drallbehaftete Sekundärströmung im Wasserstrahl, die durch Krümmung der Druckleitung vor

218

18 Mehrdüsige Pelton-Turbinen

dem Einlauf des Injektors ausgelöst wird. Da die Krümmung der Druckleitung oft unvermeidlich ist, ist die Bildung von Wassertropfen fast nicht zu verhindern. Der Einbau eines Strömungsgleichrichters nach der Rohrkrümmung zur Abdämpfung des Dralls in der Strömung ist meist schwer zu realisieren. Der Grund ist nicht allein in unerwünschten Druckverlusterhöhungen, sondern auch in der Verstopfungsgefährdung des Injektors zu suchen. Um den Düsenhut vor dem Tropfenschlag zu schützen, werden oft sogenannte Düsenschutzdächer mit geneigten Wänden verwendet. Bei großen Fallhöhen werden die sich bildenden Wassertropfen so schlagkräftig, dass das Material der Düsenschutzdächer lediglich geringe Standzeiten erreicht. In der Praxis hat sich die Installation eines Wasserbeckens auf dem Düsenhut bewährt. Das ständig gefüllte Wasserbecken dient zur Absorption der Energie der Wassertropfen. Ein derartiges Wasserbecken wurde bereits in Abb. 3.5 vorgestellt. Wegen der ungenauen Positionierung des Wasserbeckens entstanden die Materialschäden am Beckenrand.

Kapitel 19

Geometrische und hydraulische Ähnlichkeiten

In den bisherigen Kapiteln sind die hydraulischen Aspekte von Pelton-Turbinen eingehend analysiert worden. Die gewonnenen Erkenntnisse tragen zur hydraulischen Auslegung von Pelton-Turbinen bei. Sie dienen zum einen zur Erkennung möglicher Potentiale bei der Erhöhung des hydraulischen Wirkungsgrades und zum anderen als Leitlinie bei der Ausführungsgestaltung. Es ist z. B. aus der Analyse hervorgegangen, dass die Strömungsreibung die größte Verlustquelle einer Pelton-Turbine darstellt. Zur Minimierung dieses Verlustes sollen die Schaufeloberfläche stets möglichst glatt gehalten werden. Dagegen spielt der Drallverlust nur eine untergeordnete Rolle und kann auch nicht weiter effizient verringert werden. In der langen Geschichte von Pelton-Turbinen sind Entwicklungen bezüglich hydraulischer Aspekte und Wirkungsgrade vorwiegend durch experimentelle Untersuchungen vorangetrieben worden. Insbesondere sind Strömungsoptimierungen hauptsächlich durch Modellversuche an Prüfständen erzielt worden. In Anbetracht der allgemeinen Ähnlichkeitsgesetze der Strömungsmechanik gelten die Ergebnisse aus Modellversuchen direkt für die Prototypen von Pelton-Turbinen. Vom Modellversuch wird daher die Einhaltung geometrischer und hydraulischer Ähnlichkeiten verlangt. Es ist jedoch auch bekannt, dass im Gegensatz zur geometrischen Ähnlichkeit die hydraulische Ähnlichkeit oft nicht vollständig gewährleistet werden kann. Für Pelton-Turbinen bedeutet dies, dass die hydraulische Ähnlichkeit z. B. bezüglich der Einhaltung der Reynolds-Zahl nicht gewährleistet ist. Für das ähnliche Strömungsverhalten in Pelton-Turbinen sind andere Parameter, wie die Laufzahl und Schaufelauslastung, wichtiger als die Reynolds-Zahl. Die Abweichung in Bezug auf die Reynolds-Zahl hat jedoch Konsequenzen bezüglich des Wirkungsgrades. Dies begründet sich dadurch, dass die Strömungsreibung in Pelton-Turbinen die größte Verlustquelle darstellt und das Verhältnis der Reibungskraft zu anderen Strömungskräften von der Reynolds-Zahl abhängt. Aus diesem Grund müssen entsprechende Bedingungen für die hydraulische Ähnlichkeit in Pelton-Turbinen ohne Einbezug der Reynolds-Zahl vereinbart werden. Die daraus resultierende Abweichung im hydraulischen Wirkungsgrad zwischen zwei ähnlichen Turbinen muss abgeschätzt werden. In der Terminologie der Pelton-Turbinen spricht man z. B. von der Wirkungsgradaufwertung, wenn aus dem Wirkungsgrad einer Modellturbine der

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

219

220

19 Geometrische und hydraulische Ähnlichkeiten

Wirkungsgrad der ähnlichen Prototypturbine ermittelt werden soll. In den beiden anschließenden Abschnitten werden die geometrischen und hydraulischen Ähnlichkeiten zweier Turbinen definiert, während die sogenannte Wirkungsgradaufwertung im nächsten Kapitel erläutert wird.

19.1 Geometrische Ähnlichkeit Bereits in Kapitel 1 wurde abgeleitet, dass die Form eines Pelton-Rades sich durch die spezifische Drehzahl angeben lässt. Dies basiert vor allem auf Gl. (1.27), bei der das Verhältnis der Schaufelbreite zum Raddurchmesser durch die spezifische Drehzahl festgelegt wird. Die Bestimmungsgleichungen von anderen geometrischen Parametern in Abhängigkeit der spezifischen Drehzahl sind in Anhang 3 zusammengefasst. Somit ist klar, dass die Form eines Pelton-Rades grundsätzlich durch die spezifische Drehzahl festgelegt wird. Da die spezifische Drehzahl einige Parameter, darunter z. B. die Schaufelzahl eines Pelton-Rades, trotz der Gln. (4.27) und (4.30), nicht exakt angibt, kann bei Pelton-Rädern mit gleicher spezifischer Drehzahl im Allgemeinen noch nicht von geometrischer Ähnlichkeit gesprochen werden. Die Geometrieähnlichkeit zweier Pelton-Räder gilt nur, wenn die zwei Räder die gleiche Schaufelzahl und bezüglich sämtlicher geometrischer Größen das gleiche Größenverhältnis haben. Derartige Geometrieähnlichkeit wird immer verlangt, wenn zu einer bestimmten Auslegung eines Pelton-Rades dessen hydraulisches Verhalten durch einen experimentellen Versuch mit einem geometrisch ähnlichen Modell bestimmt werden soll. Die vollkommene Geometrieähnlichkeit zwischen zwei Pelton-Turbinen umfasst auch Geometrieähnlichkeiten bei den Injektoren und deren Zulauf sowie der Gestaltung des Turbinengehäuses.

19.2 Hydraulische Ähnlichkeit In Kapitel 2 wurde die beschränkte Ähnlichkeit von Düsenströmungen gezeigt. Abgesehen vom Fallhöheneffekt auf den Durchfluss, welcher in Abschnitt 2.4 dem Reynoldszahleffekt zugeordnet worden ist, verhalten sich Wasserstrahlen bei ähnlichen Düsengeometrien gleich. Dies lässt sich daran erkennen, dass die dimensionslose Durchlasskurve sowie deren Berechnungsformel, z. B. nach Gl. (2.12), sowohl für das Modell als auch für den Prototyp der Pelton-Turbine gelten. Insbesondere gilt auch die erweiterte Ähnlichkeit, dass Düsen mit unterschiedlichen Nadelsteigungswinkeln dem gleichen Ansatz zur Durchflussermittlung folgen, wenn die effektive Düsenöffnungsfläche als Referenzfläche zur Berechnung der Durchflusszahl nach Gl. (2.19) verwendet wird. Dieses Ähnlichkeitsgesetz konnte bereits mit Abb. 2.4 belegt werden. Ein weiterer Anhaltspunkt für die hydraulische Ähnlichkeit des Wasserstrahls liegt im Strahl selbst. Innerhalb einer Reallauflänge des Wasser-

19.2 Hydraulische Ähnlichkeit

221

strahls kann die Strahlerweiterung nach Abschnitt 3.3 im Allgemeinen vernachlässigt werden. Strömungen in geometrisch ähnlichen Schaufeln verhalten sich aus Sicht der Strömungsmechanik ähnlich, wenn alle Kraftverhältnisse in den Strömungen gleich sind oder wenn die Bewegungsgleichungen im gleichen Verhältnis stehen. Aus solchen Ähnlichkeitsbedingungen erkennt man, welche dimensionslosen Kennzahlen eingehalten werden müssen. Der Einfachheit halber wird die folgende Betrachtung auf reibungsfreie Strömung beschränkt. Es wird die Strömung in einer rotierenden Schaufel an der Stelle betrachtet, wo die Strömung nach Abb. 19.1 durch die radiale Position R im Rotationssystem gekennzeichnet ist. Dort wird ein lokales zylindrisches Koordinatensystem festgelegt, dessen Ursprung im Krümmungszentrum der Schaufeloberfläche liegt. Da die Strömung sich kongruent zur Schaufeloberfläche verhält, verschwindet die radiale Komponente der Relativgeschwindigkeit. Die Euler’schen Bewegungsgleichungen werden verwendet, wobei für die radiale Komponente gilt: FR −

W2 1 ∂p =− ρ ∂r r

(19.1)

mit FR als summierende radiale Komponente aller vorhandenen Volumenkräfte. Im Rotationssystem sind bei Vernachlässigung der Schwerkraft nur die Zentrifugalund Coriolis-Kraft wirksam, die jeweils einen Betrag von Rω2 und 2ωW aufweisen. Darum können an Stelle der Kraftkomponente FR in Gl. (19.1) die entsprechenden Komponenten der Zentrifugal- und Coriolis-Kraft eingesetzt werden: G 1 Rω2 + G 2 2ωW −

W2 1 ∂p =− ρ ∂r r

Abb. 19.1 Ausbreitung des Wassers in der rotierenden Schaufel

(19.2)

222

19 Geometrische und hydraulische Ähnlichkeiten

Dabei gelten G 1 und G 2 als geometrische Faktoren jeweils für Zentrifugal- und Coriolis-Kraft. Für reine Längsströmung in der Schaufel, z. B. nach Abb. 11.3, werden die beiden Faktoren jeweils mit G 1 = cos β und G 2 = 1 ermittelt. Gl. (19.2) ist dann äquivalent mit Gl. (11.13). Für angenäherte zweidimensionale Querströmung nach Abb. 4.6 verlaufen sowohl die Zentrifugal- als auch Coriolis-Kraft parallel zur Oberfläche der Schaufel, sodass G 1 = 0 und G 2 = 0 gilt. An der Stelle der betrachteten Strömung in der Schaufel wird Gl. (19.2) über der Höhe h = rb − ro des Wasserfilms integriert. Der Überdruck unter dem Wasserfilm wird dann aus der Integration erhalten pb = ρ

rb 

 W2 dr G 1 Rω + 2G 2ωW + r 2

(19.3)

ro

Der erste Term der Integration ist unabhängig von der Integrationsvariable r , während aus der Integration des zweiten Terms sich die mittlere Relativgeschwindigkeit ergibt. Somit wird aus Gl. (19.3) pb = G 1 Rω2 h + 2G 2ω W¯ h + ρ

rb

W2 dr r

(19.4)

ro

Für die bleibende Integration wird der Mittelwertsatz der Integration verwendet: rb ro

W2 dr = W 2 r

rb ro

rb rb 1 h dr = W 2 ln = W 2 ln ≈ W2 r ro rb − h rb

(19.5)

Dabei wurde die Approximation aufgrund h  rb gemacht. Mit einer weiteren Annäherung von W 2 ≈ W¯ 2 ebenfalls wegen h  rb wird Gl. (19.4) in Bezug auf die spezifische kinetische Energie des Wasserstrahls neu dargestellt:   pb 2h W¯ 2 R 2 ω2 Rω R G (19.6) = + 2G + 1 2 R C02 rb W¯ 2 W¯ ρC02 /2 Offensichtlich besteht die hydraulische Ähnlichkeit zwischen zwei geometrisch ähnlichen Systemen, wenn in zwei Systemen die jeweiligen Strömungsgrößen von h/R, W¯ /C0 und Rω/W¯ gleich sind. Davon ausgehend sollen die bekannten Laufzahl und Schaufelauslastung abgeleitet werden. Es wird zuerst der Kehrwert des Verhältnisses Rω/W¯ d. h. W¯ /U betrachtet, mit U als Umfangsgeschwindigkeit. Aus der Invarianzgleichung nach Gl. (5.18) wird dieses Geschwindigkeitsverhältnis ausgedrückt durch W¯ 12 − U12 + U 2 W¯ 12 R12 R12 W¯ 2 = = − +1 U2 U2 U12 R 2 R 2

(19.7)

19.2 Hydraulische Ähnlichkeit

223

Das Geschwindigkeitsverhältnis W¯ 1 /U1 am Schaufeleintritt kann allgemein durch das Geschwindigkeitsverhältnis Um /C0 dargestellt werden, indem man den Geschwindigkeitsplan am Schaufeleintritt betrachtet. Somit ist das Geschwindigkeitsverhältnis W¯ /U in Gl. (19.7) letztlich eine Funktion des Geschwindigkeitsverhältnisses Um /C0 , das in bisherigen Betrachtungen als Laufzahl km bezeichnet wurde. Es gilt somit W¯ /U = f (km ). Analog dazu kann das Geschwindigkeitsverhältnis W¯ /C0 in Gl. (19.6) ebenfalls als Funktion der Laufzahl dargestellt werden. Zum Parameter h/R in Gl. (19.6) wird der Volumenstrom in der Schaufel betrachtet. In Kapitel 11 wurde im Zusammenhang mit Gl. (11.10) darauf hingewiesen, dass die entsprechende Beziehung zwischen der Wasserfilmdicke und dem Strahldurchmesser von der Ausbreitung des Wassers in der Schaufel abhängt. Allgemein kann diese Beziehung geschrieben werden als h π 1 d02 W0x,o =G R 8 R d W

(19.8)

Mit G als geometrischer Richtungsparameter. Für Längsströmung durch die Schaufel ist G = 2. Gl. (19.8) reduziert sich somit auf Gl. (11.10). Für die Strömung quer durch die Schaufel ist G = 1. Man erhält dann Gl. (6.6). Gleichung (19.8) verbindet den Wasserdurchfluss mit der Schaufelgröße. Da die Relativgeschwindigkeit W0x,o mit W0x,o = C0 − Um ausgedrückt werden kann (Kapitel 6) und somit das Geschwindigkeitsverhältnis W0x,o /W eine Funktion der Laufzahl ist, wird Gl. (19.8) umgeformt zu h π B B d02 =G · f (km ) R 8 R d B2

(19.9)

Da die Breite des Wasserfilms d z. B. nach Gl. (11.11) durch den Strahldurchmesser errechenbar ist, repräsentiert die rechte Seite der obigen Gleichung, bis auf die Funktion f (km ), die Geometrie eines Pelton-Rades und den Strahldurchmesser. Das Verhältnis d02 /B 2 ist in den bisherigen Betrachtungen als Schaufelauslastung ϕB bezeichnet worden. Somit wird Gl. (19.6) allgemein ausgedrückt mit cp =

pb = f (Geometrie,ϕB , km ) ρC02 /2

(19.10)

Aus dieser Beziehung kann geschlossen werden, dass zwischen zwei Pelton-Turbinen mit ähnlicher Geometrie die hydraulische Ähnlichkeit sich nur ergibt, wenn die jeweiligen Laufzahlen und Schaufelauslastungen in beiden Turbinen gleich sind. Die angegebene Gleichung repräsentiert das Leistungsverhältnis in einer PeltonTurbine, da der Leistungsaustausch zwischen dem Wasser und den rotierenden Pelton-Schaufeln letztlich aus der Druckverteilung unter dem Wasserfilm resultiert. Im Abschnitt 6.3 des Kapitels 6 wurde das entsprechende Verhältnis als spezifischer Überdruck bezeichnet, siehe dazu auch Gl. (6.14).

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Kapitel 20

Modellversuch und Wirkungsgradaufwertung

Aufgrund des komplexen Strömungsverhältnisses in Pelton-Turbinen sind Bestrebungen zur Verbesserung der Strömungsverhältnisse und zur Erhöhung des hydraulischen Wirkungsgrades seit langer Zeit vorwiegend auf den Modellversuch beschränkt geblieben. Die Übertragung der Beobachtung und Messergebnisse aus dem Modellversuch in den Prototyp setzt die geometrische und hydraulische Ähnlichkeit voraus. Aus dem letzten Kapitel ist bekannt, dass unter gegebener geometrischer Ähnlichkeit die hydraulische Ähnlichkeit zwischen zwei Turbinen sich nur ergibt, wenn in beiden Turbinen die Laufzahlen und Schaufelauslastungen jeweils gleich sind. Diese Bedingung für die hydraulische Ähnlichkeit gilt jedoch nur für die Vernachlässigung der Einflüsse von Schwerkraft und Reibungen in der Strömung. Der Einfluss der Schwerkraft besteht darin, dass zum einen der Wasserstrahl nach der Düse streng genommen nicht mehr gerade ausgerichtet ist; und zum anderen leistet die Schwerkraft am Wasser in der Schaufel zusätzliche Arbeit wegen der geodätischen Höhendifferenz des Wasser zwischen Ein- und Austritt. Dieser Einfluss muss berücksichtigt bzw. eliminiert werden, wenn es um den Wirkungsgrad geht, der oft bis auf 0.2% genau angegeben werden soll. Der Einfluss der Schwerkraft wird vernachlässigbar klein, wenn der Wasserdruck vor der Injektordüse groß genug ist. Somit kann der Wasserstrahlverlauf nach dem Düsenaustritt im betrachteten Abschnitt als geradlinig angenommen werden. Aus diesem Grund wird beim Modellversuch die Mindestfallhöhe vorgeschrieben. Nach IEC60193 (1999) liegt sie bei ca. 50 m. Eine direkte Auswirkung der Reibung zwischen Wasser und Schaufelinnenfläche ist die Verzögerung der Relativströmung in der Schaufel. Nach Kapitel 10 und 11 hat diese Strömungsverzögerung kaum Einfluss auf den Austritts- bzw. Drallverlust, sodass das Strömungsbild in der Schaufel annähernd unbeeinflusst bleiben wird. Dagegen wird nach Kapitel 9, 10 und 11 der Wirkungsgrad der Turbine von der Reibung beträchtlich beeinflusst. Der Reibungseffekt ist nach Gl. (14.2) in der Reibungszahl cw2 bzw. im Reibungsbeiwert cf enthalten und hängt somit von der Reynolds-Zahl ab. Wird ein Modellversuch zur Wirkungsgradbestimmung verwendet, so müssen streng genommen unterschiedliche hydraulische Wirkungsgrade bei der Modellturbine und deren Prototyp erwartet werden.

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

225

226

20 Modellversuch und Wirkungsgradaufwertung

Offensichtlich werden neben der Einhaltung der gleichen Laufzahl und Schaufelauslastung gemäß Kapitel 19 zusätzlich zwei weitere Bedingungen benötigt, um die Einflüsse der Schwer- und Reibungskraft auf den Turbinenwirkungsgrad zu erfassen. Während der Einfluss der Schwerkraft durch das Einhalten der Mindestfallhöhe eliminiert werden kann, wird der Einfluss der Reibungskraft auf den Wirkungsgrad offenbar durch die Reynolds-Zahl erfasst. Die Umrechnung des Wirkungsgrades von der Modellturbine auf den Prototyp wird als Wirkungsgradaufwertung bezeichnet.

20.1 Wirkungsgradaufwertung Lange Zeit wurde zur Umrechnung der Wirkungsgrade von Modellturbinen auf deren Prototypen die von Grein et al. (1986b) erfasste Aufwertungsmethode verwendet. Es handelt sich dabei um eine empirische Berechnung, die basierend auf den praktischen Betrieb von Pelton-Turbinen aus der Parameteranalyse mittels Π-Theorems hergeleitet wurde. Die Rechenmethode ist auch in die IEC60193 (1999) aufgenommen worden. In dieser Methode geschieht die Aufwertung der Wirkungsgrade von Modellturbinen auf deren Prototypen unter Anwendung von dimensionslosen Kennzahlen. Neben der bekannten Schaufelauslastung ϕB sind vor allem Reynolds-, Froude- und Weber-Zahl als Einflussparameter betrachtet worden. Man war der Meinung, dass diese drei Kennzahlen die Wirkungsgrade unabhängig beeinflussen. Diese Annahme ist von Zhang (2006a) widerlegt worden, nachdem z. B. die Weber-Zahl durch die Reynolds- und Froude-Zahl eindeutig interpretiert werden kann. Aus diesem Sachverhalt wurde die alte Aufwertungsmethode neu ausgewertet (Zhang 2006a). Die daraus erzielte Vereinfachung der Wirkungsgradaufwertung wird hier dargestellt, wobei die Weber-Zahl nicht mehr benutzt wird. In den vereinfachten Berechnungen sind lediglich die Reynolds- und FroudeZahl verwendet worden, die jeweils folgendermaßen definiert sind:

2g H Fr = (20.1) gB √ 2g H · B (20.2) Re = ν Dabei bezeichnen H und B die Nettofallhöhe bzw. die Schaufelbreite. Zwischen der Modellturbine und ihrem Prototyp werden entsprechende Verhältnisparameter wie folgt gebildet: FrP FrM ReP CRe = ReM CFr =

(20.3) (20.4)

20.2 Reynolds-Zahl und Strahlkraft

227

Die Aufwertung der Wirkungsgrade von der Modellturbine auf den Prototyp geschieht durch Berücksichtigung einer Differenz in den Wirkungsgraden: ηP = ηM + η

(20.5)

mit η =

 8.5 · 10−7  0.3 2 0.3 C 1 − C C − 1 + 5.7 · ϕ Re B Fr Fr ϕB2

(20.6)

Die entsprechenden Diagramme sind in Abb. 20.1 dargestellt. Es soll erwähnt werden, dass aus vorliegenden Berechnungen mit lediglich Reynolds- und FroudeZahlen gleiche Aufwertungsergebnisse erzielt werden wie mit der Aufwertung nach Grein et al. (1986b) bzw. nach IEC60193 (1999).

Abb. 20.1 Diagramme zur Aufwertung des Wirkungsgrades von der Modellturbine zum Prototyp

20.2 Reynolds-Zahl und Strahlkraft In diesem Abschnitt wird die physikalische Bedeutung der in Gl. (20.2) definierten Reynolds-Zahl gezeigt. Nach Gl. (1.34) mit β2 = 180◦ unterliegt die Schaufel einer Strahlkraft von FSch = 2m˙ c C0 (1 − km)2

(20.7) √ Der Durchfluss eines Wasserstrahls wird aus m˙ c =√ρπ/4 · d02 · 2g H berechnet. Durch Einsetzen in obige Gleichung folgt mit C0 = 2g H FSch = πgρ · d02 (1 − km)2 H

(20.8)

228

20 Modellversuch und Wirkungsgradaufwertung

In Anbetracht der Schaufelauslastung ϕB = d02 /B 2 wird aus Gl. (20.8) FSch = πgρ · ϕB (1 − km )2 H B 2

(20.9)

Aus dem Vergleich mit Gl. (20.2) erhält man dann FSch =

πρν 2 ϕB (1 − km)2 Re2 2

(20.10)

Die Reynolds-Zahl repräsentiert in Wirklichkeit nichts anderes als die Strahlkraft, die auf die Schaufel wirkt. Insbesondere für Wasser bei 20◦C sowie für ϕ = 0.11 und km = 0.47 ergibt sich 

Re FSch = 50 106

2 N

(20.11)

Aus Gl. (20.10) kann zur Reynolds-Zahl eine äquivalente dimensionslose Kennzahl, hier als Kraftzahl bezeichnet, definiert werden: FZ =

FSch π = ϕB (1 − km)2 Re2 2 2 ρν

(20.12)

Für ϕ = 0.11 und km = 0.47 erhält man FZ =

FSch ≈ 0.05 Re2 ρν 2

(20.13)

Obwohl die Kraftzahl die Strahlkraft auf eine Schaufel darstellt und aus der Reynolds-Zahl bestimmt werden kann, soll die Strahlkraft nach wie vor auf einfache Weise direkt aus Gl. (20.7) oder (20.8) berechnet werden.

Kapitel 21

Schaufelfestigkeit und Ähnlichkeitsgesetze

21.1 Dynamische Spannung im Schaufelwurzelbereich Die Schaufeln einer Pelton-Turbine unterliegen starker dynamischer und periodischer Belastung durch den Wasserstrahl und sind daher festigkeitsmäßig hoch beansprucht. Die größte Materialbelastung tritt im Schaufelwurzelbereich auf. Bei der Auslegung der Schaufelgeometrie muss immer darauf geachtet werden, dass die maximale Spannung am Querschnitt im Schaufelwurzelbereich einen vorgegebenen Wert nicht überschreiten darf. Die Kräfte, die auf eine Schaufel wirken, sind die periodische Strahlkraft und die konstante Fliehkraft. Zur Auslegung der Schaufelfestigkeit muss die Strahlkraft immer unter Volllast berechnet werden. Wie bereits im Abschnitt 1.2.3, ausgehend vom Relativsystem, abgeleitet wurde, siehe Gl. (1.34), tritt die größte Strahlkraft auf, wenn der Austrittswinkel mit β2 = 180◦ angenommen wird. Daraus folgt FSch = 2m˙ c C0 · (1 − km)2

(21.1)

Eine direkte Abschätzung der Strahlkraft auf die Schaufel ist aus Gl. (20.9) für ϕ = 0.11 und km = 0.47 gegeben FSch = πgρ · ϕB (1 − km)2 H ≈ 900H B2

(21.2)

Sie ist der Fallhöhe direkt proportional. Bei Pelton-Schaufeln verursacht diese Kraft ein Biegemoment, das am Schaufelquerschnitt im Schaufelwurzelbereich die größten Spannungen hervorrufen wird. Wegen der komplexen Schaufelgeometrie können die Spannungen und die Spannungsverteilung im Querschnitt im Grund genommen nur mit Finite-ElementeMethoden (FEM) genau berechnet werden. Es besteht jedoch oft das Bedürfnis, die maximale Spannung im Bereich der Schaufelwurzel auf einfache Weise abzuschätzen, bevor eine komplexe FEM-Berechnung durchgeführt wird. Zu diesem Zweck wird zuerst die dynamische Strahlkraft nach Gl. (21.1) betrachtet, die auf den Strahl-

Z. Zhang, Freistrahlturbinen DOI: 10.1007/978-3-540-70772-1, © Springer 2009

229

230

21 Schaufelfestigkeit und Ähnlichkeitsgesetze

kreis Dm = 2Rm wirkend angenommen wird. Wird nach Abb. 21.1 der Querschnitt betrachtet, der eine Entfernung zum Strahlkreis von L hat, so wird das Biegemoment am betrachteten Querschnitt berechnet mit M = FSch · L = 2m˙ c C0 · (1 − km)2 L

(21.3)

Dieses Biegemoment bewirkt Zug- und Druckspannungen am betrachteten Schaufelquerschnitt. Zur Abschätzung der Normalspannungen wird die lineare Verteilung der Spannungen am Querschnitt angenommen. Dies bedeutet nach Abb. 21.2 mit der entsprechenden Koordinatenfestlegung, dass die Normalspannungen linear um die neutrale Biegelinie B–B verteilt sind: σ = a (y − b)

(21.4)

Dabei wird die Entfernung der neutralen Biegelinie von der x-Achse durch b bezeichnet, die vorerst unbekannt bleibt. Ebenfalls unbekannt ist die Konstante a. Es ist verständlich, dass oberhalb der Biegeachse (y > b) Zugspannung und unterhalb (y < b) Druckspannung herrschen. Dies gilt nur, wenn die Normalspannung aus der Strahlkraft nicht mit der Zugspannung aus der Fliehkraft überlappt wird.

Abb. 21.1 Strahlkraft auf der Schaufel

Abb. 21.2 Schaufelquerschnitt zur Berechnung der Biegespannung

21.1 Dynamische Spannung im Schaufelwurzelbereich

231

Zur Bestimmung der Spannungsverteilung an einem Schaufelquerschnitt, d. h. zur Bestimmung der Unbekanten a und b in Gl. (21.4) wird der betrachtete Querschnitt in N vertikale Streifen mit einer konstanten Breite s unterteilt. Die unteren und oberen Kanten der Streifen sind jeweils durch y1 und y2 definiert. Weil am betrachteten Querschnitt nur das Biegemoment vorhanden ist, muss die Summe von Zug- und Druckspannungen gleich Null sein. Die entsprechende Bedingung ist somit formuliert durch ⎤ ⎤ ⎡ y ⎡ y 2 2 N N

⎣ σ · s · dy ⎦ = a · s ⎣ (y − b) · dy ⎦ = 0 (21.5) 1

1

y1

y1

Daraus ist die Bedingung zur Bestimmung der Konstante b gegeben durch N 

 (y2 − b)2 − (y1 − b)2 = 0

(21.6)

1

Die Konstante b muss iterativ berechnet werden. Dies kann leicht durchgeführt werden, z. B. mit Hilfe einer Tabellenkalkulation. Mit der berechneten Konstante b wird die neutrale Biegelinie b–b festgelegt. Die Bestimmung der Konstante a in Gl. (21.4) erfolgt aus der Bedingung, dass das über dem Schaufelquerschnitt integrierte Moment gleich dem Biegmoment nach Gl. (21.3) sein soll. Die entsprechende Gleichgewichtsbedingung ist dann gegeben durch ⎤ ⎡ y 2 N

⎣ σ · s (y − b) · dy ⎦ = M (21.7) 1

y1

Die Spannungsverteilung nach Gl. (21.4) wird eingesetzt. Aus der Berechnung der Integration erhält man aus Gl. (21.7) die Bedingung zur Bestimmung der Konstante a:  1  a· s (y2 − b)3 − (y1 − b)3 = M 3 N

(21.8)

1

Der Ausdruck auf der linken Seite ohne Konstante a repräsentiert das Flächenträgheitsmoment J des betrachteten Schaufelquerschnitts um b–b nach Abb. 21.2. Somit kann Gl. (21.8) auch geschrieben werden als a·J = M

(21.9)

Dadurch wird die Konstante a bestimmt. Die größten Zug- und Druckspannungen im betrachteten Querschnitt treten dort auf, wo maximale und minimale y-Werte der Streifen zu finden sind. Dementspre-

232

21 Schaufelfestigkeit und Ähnlichkeitsgesetze

chend ergeben sich aus Gl. (21.4) σmax,Zug = a (ymax − b)

(21.10)

σmax,Druck = a (ymin − b)

(21.11)

Da diese Spannungen stets an der Oberfläche der Schaufel auftreten, wo keine Schubspannung existiert, dürfen sie als Hauptspannung angesehen werden. Sie repräsentieren dadurch die maximalen Amplituden der dynamischen Wechselspannung, hervorgerufen durch die Strahlkraft. Neben der periodischen Strahlkraft muss zur Schaufelfestigkeit die konstante Fliehkraft berücksichtigt werden, die im Zusammenhang mit der Rotation der Schaufel und dem Schaufelgewicht steht. Zur Berechnung der Fliehkraft kann die Schaufelmasse m Sch auch näherungsweise auf dem Strahlkreis (R = Dm /2) liegend oder knapp darunter mit R = (Dm − 0.2B)/2 angenommen werden. Somit berechnet sich die Fliehkraft mit FFl = m Sch · Rω2

(21.12)

Die Masse einer Pelton-Schaufel kann berechnet werden, wenn die Schaufelauslegung konkret vorliegt. Daher kann zum Abschätzen der Schaufelmasse angenommen werden, dass das Materialvolumen einer Schaufel das 0.1 fache des Volumens von B 3 ist, mit B als die Schaufelinnenbreite. Die Masse einer Pelton-Schaufel wird dann abgeschätzt mit m Sch = 0.1 · ρ B 3

(21.13)

wobei ρ die spezifische Dichte des Schaufelmaterials ist. Für Stahl gilt ρ = 7850 kg/ m3 . Die aus der Fliehkraft resultierte Spannung am betrachteten Schaufelquerschnitt ( A) ist die konstante Zugspannung: σFl =

FFl A

(21.14)

die zur Gl. (21.10) addiert werden soll, um die maximale Zugspannung am Schaufelquerschnitt im Bereich der Schaufelwurzel zu bekommen. Die Überlappung der Spannungen (σmax,zug und σFl ) hat eine qualitative Form nach Abb. 21.3. Von Tur-

Abb. 21.3 Schematische Darstellung der statischen und dynamischen Spannungen im Bereich der Schaufelwurzel

21.2 Ähnlichkeitsgesetze in der Schaufelbelastung

233

binenbauern wird in der Regel verlangt, dass sie die mittlere Spannung σm und die dynamische Spannungsamplitude σa kennen. Diese berechnen sich mit σa = σmax,zug /2

(21.15)

σm = σa + σFl

(21.16)

und

21.2 Ähnlichkeitsgesetze in der Schaufelbelastung Statische und dynamische Belastungen von Pelton-Schaufeln gelten als Grundlage für die Bestimmung der Spannungszustände in den Schaufeln. Zur Berechnung der Spannungen sind aus obigen Betrachtungen nur die Schaufelgeometrie und die Strahlkraft relevant. Obwohl jede Pelton-Turbine bezüglich ihrer Radgeometrie und der spezifischen Drehzahl immer speziell ausgelegt wird, sind die Schaufelgeometrien bei Pelton-Turbinen mehr oder weniger immer ähnlich. Mit anderen Worten unterscheiden sich die Verhältnisse von Schaufelbreite, -länge und -tiefe von Fall zu Fall nicht wesentlich. Diese Ähnlichkeit kann ausgenutzt werden, um die Festigkeitsberechnung wesentlich zu vereinfachen. Liegt z. B. die Festigkeitsberechnung bei einem Pelton-Rad vor, kann davon ausgehend der Spannungszustand im Wurzelbereich der Schaufel eines anderen Pelton-Rades unter einer anderen hydraulischen Belastung abgeschätzt werden. Dieses Verfahren wird im Folgenden präsentiert. Es werden zwei Pelton-Räder mit ähnlichen Schaufelgeometrien jedoch unterschiedlichen Schaufelbreiten (B1 und B2 ) betrachtet. Aus Gln. (21.8) und (21.9) ist bekannt, dass das Flächenträgheitsmoment J eine Dimension von m4 hat. Aus diesem Sachverhalt erhält man B4 J2 = 24 J1 B1

(21.17)

Andererseits ergibt sich aus Gl. (21.3) mit L 2 /L 1 = B2 /B1 das folgende Verhältnis der Biegemomente  2 m˙ c,2 C2 1 − km,2 B2 M2 =  2 M1 m˙ c,1 C1 1 − km,1 B1

(21.18)

Aus Gl. (21.9) wird das Verhältnis a2 /a1 gebildet. Unter der Berücksichtigung von Gln. (21.17) und (21.18) erhält man folglich  2 B13 m˙ c,2 C2 1 − km,2 a2 M2 J1 = = 3   a1 M1 J2 B2 m˙ c,1 C1 1 − km,1 2

(21.19)

234

21 Schaufelfestigkeit und Ähnlichkeitsgesetze

Entsprechend ergibt sich aus Gl. (21.10) mit nis  2 B12 m˙ c,2 C2 1 − km,2 σmax,2 = 2   σmax,1 B2 m˙ c,1 C1 1 − km,1 2

(ymax −b)2 (ymax −b)1

=

B2 B1

das Spannungsverhält-

(21.20)

Dieses Verhältnis dient dazu, dass, ausgehend vom Spannungszustand bei einer Referenzschaufel (Index 1), der Spannungszustand bei einer geometrisch ähnlichen Schaufel (Index 2) direkt berechnet werden kann. Die Betriebsbedingungen, unter anderem die Fallhöhe und die Laufzahl, müssen jedoch nicht gleich sein. Im Vergleich mit Gl. (21.1) ist ersichtlich, dass es sich bei Gl. (21.20) um das Verhältnis der Strahlkräfte handelt: B 2 FSch,2 σmax,2 = 12 σmax,1 B2 FSch,1

(21.21)

Diese Beziehung wird als erstes Ähnlichkeitsgesetz bezeichnet. Es lässt sich leicht durch FE-Berechnungen an zwei ähnlichen Pelton-Schaufeln unterschiedlicher Dimensionen überprüfen. Wenn die Strahlkräfte im gleichen Verhältnis zum Quadrat der Schaufelbreite stehen, dann müssen sich in beiden Schaufeln gleiche Spannungen ergeben. Als Beispiel wurden entsprechende Berechnungen an zwei ähnlichen jedoch unterschiedlich dimensionierten (Maßstabfaktor 2.6) CAD Modellen einer Pelton-Turbine durchgeführt. Abb. 21.4 zeigt zum Vergleich die Berechungsergebnisse. Die für beide Modelle berechneten, fast exakt gleichen Spannungsverteilungen jeweils im Kerbenbereich der beiden Schaufeln bestätigen das abgeleitete Ähnlichkeitsgesetz nach Gl. (21.21). Gl. (21.20) wird weiter vereinfacht, indem verschiedene Betriebsbedingungen betrachtet werden. Fall 1: km,2 = km,1 und ϕB,2 = ϕB,1 Beide Turbinen laufen bei gleicher Laufzahl und unter gleicher Schaufelauslastung. Die Bedingung ϕB,2 = ϕB,1 bedeutet nach Gl. (1.21) die Gleichheit von d0,2 /d0,1 = B2 /B1 mit d0 als Strahldurchmesser. Dementsprechend errechnet sich das Verhältnis des Massenstroms: 2 B22 C2 m˙ c,2 π/4 · d0,2C2 = = 2 C m˙ c,1 π/4 · d0,1 B12 C1 1

Damit vereinfacht sich Gl. (21.20) mit C = σmax,2 H2 = σmax,1 H1

(21.22) √ 2g H als Strahlgeschwindigkeit zu (21.23)

Diese Beziehung wird als zweites Ähnlichkeitsgesetz bezeichnet. Es zeigt, dass die maximale Spannung in einem Schaufelquerschnitt in erster Linie linear von der Fall-

21.2 Ähnlichkeitsgesetze in der Schaufelbelastung

235

Abb. 21.4a–c Die aus FEM berechneten Spannungszustände im Schaufelwurzelbereich. Vergleich zwischen ähnlichen Belastungen an zwei ähnlichen Modellen. (a) Originalmodell, (b) Modell auf 1/2.6 reduziert, (c) Gesamtübersicht

höhe abhängt. Bei Pelton-Turbinen mit großen Fallhöhen (bis 1800 m) muss der Schaufelfestigkeit eine besondere Beachtung geschenkt werden. Fall 2: km = const, H = const und B = const Handelt es sich um eine Pelton-Turbine mit gegebener Schaufelbreite und mit konstanter Fallhöhe im Betrieb, dann ist aus Gl. (21.20) zum veränderlichen Durchfluss das Spannungsverhältnis gegeben durch σmax,2 m˙ c,2 = σmax,1 m˙ c,1

(21.24)

√ Unter der Berücksichtigung von m˙ c = ρW π/4 · d02 · 2g H sowie H1 = H2 und B = const wird aus Gl. (21.24): 2 d0,2 ϕB,2 σmax,2 = 2 = σmax,1 ϕB,1 d0,1

(21.25)

236

21 Schaufelfestigkeit und Ähnlichkeitsgesetze

Dieses Verhältnis wird als drittes Ähnlichkeitsgesetz bezeichnet. Es verknüpft die Spannungen in der Schaufel direkt mit der Schaufelauslastung. Die hier abgeleiteten Ähnlichkeitsgesetze stellen alle, für die Berechnung der maximalen Spannungen, die am Rand (ymax ) des Querschnitts auftreten, bekannten Gleichungen dar. Tatsächlich gelten sie auch für die Berechnung der Spannung in jedem beliebigen Punkt des Schaufelquerschnitts.

Anhang 1: Parameterbezeichnung

Symbol

Einheit

Bezeichnung

A A0 AD0 ADe B Ba C0 CRe CFr cf cw , cw2 cp d d0 d2 D0 Da Db Dc DD DK Dm DN Ds e e˙ E E˙

m2 m2 m2 m2 m m m/s

Fläche Querschnittsfläche des Wasserstrahls Düsenmundfläche Effektive Düsenöffnungsfläche Schaufelbreite innen Schaufelbreite außen Strahlgeschwindigkeit Reynoldszahlverhältnis Froudezahlverhältnis Reibungsbeiwert Reibungszahl Spezifischer Überdruck Wasserfilmbreite in der Schaufel Strahldurchmesser Wasserfilmbreite am Schaufelaustritt Düsenmunddurchmesser Außendurchmesser Laufrad Innendurchmesser Laufrad Durchmesser des Schaufelnebenschneidekreises Düsenkanaldurchmesser Entlastungskolbendurchmesser Strahlkreisdurchmesser Nadeldurchmesser Spitzenkreisdurchmesser (Mittelschneide) Spezifische Energie, spezifische Arbeit Spezifische Leistung Energieinvarianz Energiefluss

m m m m m m m m m m m m J/kg W/kg m2 /s2 J/s

237

238

Anhang 1: Parameterbezeichnung

Symbol

Einheit

Bezeichnung

F FSch Fct FCo g h h2 hb hs hv H I J J km km,c kR0 L m˙ c m˙ w M n nc nq n R0 nR N p P Q˙ Q˙ D ra rb rs R R s s s1 s2 S t

N N N/kg N/kg m/s2 m m m m m m N kg m2 m4

Kraft Strahlkraft auf Schaufel Spezifische Zentrifugalkraft Spezifische Corioliskraft Erdbeschleunigung Wasserfilmhöhe in der Schaufel Schaufeltiefe, gemessen von der Schaufelaustrittskante Schaufeltiefe, gemessen von der Mittelschneide Strahlschichtdistanz zur Radachse Fallhöhenverlust Fallhöhe Impulsstrom Massenträgheitsmoment Flächenträgheitsmoment Laufzahl Kritische Laufzahl Durchgangskonstante Hebellänge des Biegmoments bei Schaufeln Massendurchfluss im ortsfesten Koordinatensystem Massendurchfluss im Rotationssystem Drehmoment Drehzahl Kritische Drehzahl Spezifische Drehzahl Reibungsfreie Durchgangsdrehzahl Durchgangsdrehzahl Schaufelzahl Statischer Druck Leistung Durchfluss in einer Pelton-Turbine Durchfluss bezogen auf eine Düse Grundkreisradius der Schaufelaustrittskante Krümmungsradius der Schaufeloberfläche Grundkreisradius der Schaufelmittelschneide Radialkoordinate Radius Nadelhub Koordinate längs des Strömungswegs Strahlteillänge Strahllänge Länge des Strömungswegs von Schaufelein- bis -austritt Zeit

m kg/s kg/s Nm 1/s 1/s 1/s 1/s 1/s Pa W m3 /s m3 /s m m m m m m m m m m s

Anhang 1: Parameterbezeichnung

Symbol

Einheit

Bezeichnung

U Um W x, y, z Y Z

m/s m/s m/s

Umfangsgeschwindigkeit Umfangsgeschwindigkeit auf dem Strahlkreis Relativgeschwindigkeit Koordinate spezifische Stutzenarbeit Düsenzahl

α αD αN αs β γ ε εb η ηh ηm ηM ηP ηCo ηct ηd ηSt ηQ κ λ μ μ ν ξ ρ σ τ τ τ 1 , τ2 ϕ ϕDo ϕDe ψ ω ηDiss

m2 /s2 ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

kg/ms m2 /s kg/m3 Pa Pa s

1/s

239

Schaufelstellungswinkel Kontraktionswinkel des Düsengehäuses Nadelsteigungswinkel Schaufelteilungswinkel Relativströmungswinkel Strömungswinkel im Geschwindigkeitsplan Keilwinkel der Schaufelmittelschneide Geometrischer Winkel am Schaufelausschnitt Ordinate im ξ η-Koordinatensystem Hydraulischer Wirkungsgrad Mechanischer Wirkungsgrad Wirkungsgrad der Modellturbine Wirkungsgrad der Prototypturbine Teilwirkungsgrad aus Coriolis-Kraft Teilwirkungsgrad aus Zentrifugalkraft Teilwirkungsgrad aus direkter Reibungskraft Teilwirkungsgrad aus Stoßkraft Reaktionsgrad des Wasserstrahls Zeitfaktor Multischaufelziffer Reibungskoeffizient (Gleitlager) Dynamische Viskosität Kinetische Viskosität Abszisse im ξ η-Koordinatensystem Dichte Druck- bzw. Zugspannung Schubspannung Positionswinkel des Wasserteilchens in der Schaufel Anfahrzeitkonstante Winkel Durchflusszahl Durchflusszahl Druckzahl Winkelgeschwindigkeit Wirkungsgradverlust infolge hydraulischer Dissipation

240

Symbol ηDr ηVR ηLR ημ

Anhang 1: Parameterbezeichnung

Einheit

Bezeichnung Drallverlust Ventilations- und Radreibungsverluste Lagerreibungsverlust Reibungsabhängiger hydraulischer Verlust

Indizes 1 2 Co ct d D Diss Dr F Fl h LR m max n N N R R R Sch St t tot VR

Eintritt Austritt Coriolis Zentrifugal Direkte Reibung Düse Dissipation Drall Feder Fliehkraft Hydraulisch Lagerreibung Mechanisch / Mittelwert Maximalwert Normale Nennwert Nadel Reibung Durchgangsdrehzahl Rückstoß Schaufel Stoß Tangential Total Ventilations- und Radreibung

Anhang 2: Definitionen der abgeleiteten Größen und Kennzahlen

Begriffe Strahlgeschwindigkeit Laufzahl Durchflusszahl Düsen Schaufelauslastung Spezifische Drehzahl Spezifischer Überdruck Reaktionsgrad Durchgangskonstante Maximale Durchgangsdrehzahl

Froude-Zahl Reynolds-Zahl Kraftzahl

Definitionen √ C0 = 2g H Um nπ Dm = C0 C0 ˙ QD ϕD0 = π/4 · D02 C0  2 Q˙ D d0 = ϕB = B π/4 · B 2C0  Q˙ D n q = n 3/4 = 333n y H pb h cp = 1 2 = 2 (1 − km)2 rb 2 ρC0   n N 1− αo ηQ = π n R0 αo kR0 = tan αo nN n R0 = kR0 km,Be

2g H Fr = gB √ 2g H · B Re = ν FSch FZ = ρν 2 km =

Referenz Gl. (1.1) Gl. (1.18) Gl. (2.7) Gl. (1.21) Gl. (1.22) Gl. (6.14) Gl. (16.6) Gl. (16.1) Gl. (16.4)

Gl. (20.1) Gl. (20.2) Gl. (20.13)

241

242

Begriffe

Anhang 2: Definitionen der abgeleiteten Größen und Kennzahlen

Druckzahl∗

Definitionen  5 Vn = g 1.5 1 + 2n q /n 2q  Q˙ D ny = n (g H )3/4  2 ψ = Y/ Um2 /2 = 1/km

Durchmesserzahl∗

δ = Dm /d0

Turbinendurchflusszahl∗

ϕT =

Ventilationszahl Schnellläufigkeit∗

∗ nicht verwendet im vorliegenden Buch

4 Q˙ ϕB B 2 = Z 2U 2 π Dm k m Dm m

Referenz Gl. (12.10) Gl. (1.23)

Anhang 3: Spezifische Drehzahl und ihre Anwendung in Pelton-Turbinen

1. Grunddefinition und äquivalente Darstellungen (1/s) Grunddefinition  Q˙ D n q = n 3/4 H Gl. (1.22)

äquivalent 1 d0 Dm Gl. (1.26)

n q = 2.63km

äquivalent 2 B √ n q = 2.63km ϕB Dm Gl. (1.27)

Da die spezifische Drehzahl die geometrische Radform eindeutig wiedergibt, soll sie sich in der Grunddefinition immer aus dem Nenndurchfluss berechnen. Dementsprechend beziehen sich der Strahldurchmesser d0 und die Schaufelauslastung ϕB in den äquivalenten Darstellungen immer auf die Nennwerte des Betriebs. 2. Anwendung für km = 0.47, ϕB = 0.11 und Dc − Dm = 0.85B Anwendungen Strahldurchmesser d0 Schaufelbreite B

Berechnungen

Referenz

d0 /Dm = 0.81n q

Gl. (1.26)

B = 2.44n q Dm

Gl. (1.27)

Geschwindigkeit Uc

1 − 0.81n q 1 + 2n q 1 cos αo = 1 + 2n q 1 + 0.81n q cos αb = 1 + 2n q Dc /Dm = 1 + 2n q   Uc /C0 = km 1 + 2n q

Max. Laufzahl

km,max = 0.5 − 0.38n q

Schaufelstellung a Schaufelstellung o Schaufelstellung b Nebenschneide Dc

cos αa =

Gl. (4.10) Gl. (1.30) Gl. (4.12) Gl. (1.31) Gl. (1.33) Gl. (7.34)

243

244

Anhang 3: Spezifische Drehzahl und ihre Anwendung in Pelton-Turbinen

Anwendungen kritische Laufzahl Energieinvarianz Durchgangskonstante

Strahlteillänge s1 Strahllängenverhältnis Schaufelzahl (theoretisch) Schaufelzahl (praktisch) Referenzwinkel für stoßfreie Zuströmung Ventilationszahl

Berechnungen   1 1 π 1   arccos km,c = −  2 1 + 2n q N nq 1 + nq Eb = (1 − 2km) − 0.76n q C02 1 1 arccos 1+2nq kR0 =   2 n 1+n  q q 0.46n q s1 =   Dm nq 1 + nq 0.5 s1 ≈ s2 1 + nq π 2λ − 1  N= k m n 1 + n  q

Referenz Gl. (15.7) Gl. (5.28) Gl. (16.2)

Gl. (a4.10)

Gl. (a4.14) Gl. (4.27)

q

N = 15 + 1.3km/n q ≈ 15 + 0.62/n q

Gl. (4.29)

ϕa = 1500n 2q − 610n q + 63

Gl. (4.43)

 5 Vn = g 1.5 1 + 2n q /n 2q

Gl. (12.10)

Anhang 4: Spezifikation des Strahlstücks für eine Schaufel

Zur Berechnung der Interaktion zwischen dem Wasserstrahl und den rotierenden Schaufeln ist es notwendig, das Strahlstück zu quantifizieren, das in eine Schaufel eintritt. Dieses Strahlstück ist in Abb. a4.1 durch abcd bezeichnet worden. Der Einfachheit halber wird angenommen, dass die Schaufel einen ebenen Eintritt mit einem Radius von Rc hat. Dieser ebene Eintritt schneidet zur Zeit ta = 0 den Wasserstrahl an der Stelle a auf der oberen Strahlseite. Der entsprechende Positionswinkel der Schaufel ist mit αa bezeichnet, der folgendermaßen berechnet werden kann: cos αa =

Rm − d0 /2 Rc

(a4.1)

Zur Festlegung der Schnittlinie ab wird provisorisch ein lokales x-y Koordinatensystem an der Stelle a festgelegt. Zu der Zeit t > 0 befindet sich die Schaufelschneide (Radius Rc ) im Wasserstrahl und wird vom Wasserteilchen erreicht, das bei ta = 0

Abb. a4.1 Bestimmung des Strahlstücks abcd

245

246

Anhang 4: Spezifikation des Strahlstücks für eine Schaufel

an der Schnittlinie ab lag. Aus dieser Überlegung können folgende Beziehungen erstellt werden: x + Rc (sin αa − sin αt ) = C0 · t y = Rc (cos αt − cosαa )

(a4.2) (a4.3)

mit αt = αa − ωt. C0 ist die Strahlgeschwindigkeit. Aus diesen zwei Gleichungen wird die Zeit t eliminiert. Daraus ergibt sich: 

y + cos αa Rc

2

 +

2  C0 C0 x y + sin αa − αa + arccos + cosαa =1 Rc ω Rc ω Rc Rc (a4.4)

Das ist die Gleichung, die die Schnittlinie ab in der Funktion y = f (x) beschreibt. Um diese Gleichung zu vereinfachen, wird die Beziehung cos αa = (Rm − d0/2)/Rc 0 /2| verwendet. Wegen dR0 /2  RRmc und |y−d  RRmc wird Gl. (a4.4) linearisiert zu Rc c x = Rc



Rm C0 − ω Rc Rc

 

1 1 − (Rm /Rc )2

y Rc

(a4.5)

oder mit km = ω Rm /C0 zu 1 x = Rm (Rc /Rm )2 − 1



 1 y −1 km Rm

Für y = d0 ist nach Abb. a4.1 x = s1 . Somit wird aus Gl. (a4.6)   d0 1 1 s1  = −1 Rm Rm k (Rc /Rm )2 − 1 m

(a4.6)

(a4.7)

Die Länge des Strahlstücks s2 wird berechnet aus der Bedingung t =

s2 2π = C0 ω· N

(a4.8)

zu 1 2π s2 = · Rm km N

(a4.9)

mit N als Schaufelzahl der Pelton-Turbine. Unter der Berücksichtigung von Gln. (1.26) und (1.31) für die in der Praxis häufig auftretende Betriebseinstellung von km = 0.47 kann die Teillänge des Wasserstrahls in Gl. (a4.7) auch als Funktion der spezifischen Drehzahl dargestellt werden:

Anhang 4: Spezifikation des Strahlstücks für eine Schaufel

0.46n q s1 =   Dm nq 1 + nq

247

(a4.10)

Das Längenverhältnis s1 /s2 wird aus Gl. (a4.9) und (a4.10) berechnet: 0.068n q s1 =  N s2 nq 1 + nq

(a4.11)

Es wurde bereits in den Abschnitten 4.4 und 4.5 aus der sogenannten Koinzidenzbedingung sowie der Symmetriebedingung die Schaufelzahl gemäß Gl. (4.27) in Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl wie folgt abgeleitet N=

π 2λ − 1  k m n 1 + n  q

(a4.12)

q

Dabei bezeichnet man λ als die Multischaufelziffer. Diese Gleichung wird in Gl. (a4.11) eingesetzt. Daraus ergibt sich für km ≈ 0.47 0.45 (2λ − 1) s1 = s2 1 + nq

(a4.13)

und für λ ≈ 1.05 0.5 s1 ≈ s2 1 + nq

(a4.14)

Im Allgemeinen beträgt der Wert des Längenverhältnisses s1 /s2 zwischen 0.43 und 0.46.

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Anhang 5: Spezifikation der Schaufelstellungen

In Anhang 4 wurde das Strahlstück abcd, das in eine Schaufel eintritt, berechnet. Für die Beurteilung der Interaktion zwischen dem Wasserstrahl und den rotierenden Schaufeln ist es weiterhin von großer Bedeutung, die entsprechenden Stellungswinkel der Schaufel zu den Zeitpunkten zu berechnen, bei denen die jeweiligen Wasserteilchen des Wasserstrahls in die Schaufel eintreten. Nach Abb. a5.1 beginnt (t = 0) die Schaufel bei ihrer Stellung αa den Wasserstrahl an der Stelle a zu schneiden. Nachfolgend erreicht der Wasserpartikel der Stelle b auf der unteren Seite des Wasserstrahls die Schaufel beim Stellungswinkel αb (nicht in der Abbildung dargestellt). Diese zwei speziellen Schaufelstellungen können direkt aus Abb. a5.1 ermittelt werden:

Abb. a5.1 Strahlstück abcd mit den entsprechenden Schaufelstellungen

249

250

Anhang 5: Spezifikation der Schaufelstellungen

Rm − d0 /2 Rc Rm + d0 /2 cosαb = Rc cos αa =

(a5.1) (a5.2)

Das Wasserteichen im Mittelpunkt o1 der Schnittlinie ab erreicht die Schaufel bei der Schaufelstellung αo1 , die gegeben ist durch cosαo1 =

Rm Rc

(a5.3)

Die Zeitpunkte, bei denen alle anderen Wasserteilchen im Strahl die Schaufel erreichen, können entsprechend berechnet werden. Zur Markierung des Eintritts wird nach Abb. a5.1 die Verbindungslinie zwischen der Spitze der Schaufelmittelschneide und der Drehachse des Pelton-Rades herangezogen. Dies ist zwar etwas willkürlich, kann aber als nahe der Realität angesehen werden. Ferner vereinfacht die Vereinbarung die Berechnung auch erheblich. Ein Wasserteilchen im Strahl ist durch p(x, y) definiert und erreicht die Schaufel zur Zeit t. Die entsprechende Schaufelstellung ist gegeben durch αt = αa − ωt. Aufgrund der Distanzbeziehung nach Abb. a5.1 ergibt sich     d0 d0 C · t = x + Rm − · tan αa − Rm − + y · tan αt (a5.4) 2 2 Unter der Berücksichtigung von km = ω Rm /C0 und αa − αt = ωt wird die Funktion αt = f (x, y) in folgender Form dargestellt     αa − αt d0 d0 y x · tan αa + 1 − · tan αt = − 1− + (a5.5) Rm km 2Rm 2Rm Rm Es ist ersichtlich, dass für ein beliebiges Wasserteilchen, welches anfänglich (t = 0) bei p(x, y) lag, der Schaufelstellungswinkel αt , bei dem dieses Wasserteilchen die Schaufel erreicht, iterativ berechnet werden muss. Für Wasserteilchen auf der Strahlachse (y = d0 /2) jeweils an der Stelle o1 und o2 werden die entsprechenden Schaufelstellungswinkel berechnet aus   d0 s1 /2 αa − αo1 · tan αa + tan αo1 = − 1− (a5.6) Rm km 2Rm und

  d0 s1 /2 + s2 αa − αo2 · tan αa + tan αo2 = − 1− Rm km 2Rm

(a5.7)

Aus diesen zwei Gleichungen erhält man dann αo1 − αo2 s2 = + tan αo2 − tan αo1 Rm km

(a5.8)

Anhang 5: Spezifikation der Schaufelstellungen

251

Mit der Strahlstücklänge s2 /Rm , die in Anhang 4 mit Gl. (a4.9) berechnet wurde, wird aus Gl. (a5.8) αo1 − αo2 =

2π + km (tan αo1 − tan αo2 ) N

(a5.9)

Mit dieser Winkeldifferenz wird die sogenannte Koinzidenzbedingung zur Beschreibung der Interaktion zwischen dem Freistrahl und der Schaufel abgeleitet (Abschnitt 4.4). Da der Schaufelstellungswinkel αo2 normalerweise gegen Null geht, kann die Annäherung tan αo2 ≈ αo2 verwendet werden. Somit wird aus Gl. (a5.9) αo2 =

αo1 − km tan αo1 − 2π/N 1 − km

(a5.10)

Die Winkeldifferenz αo1 − αo2 wird dann auch ausgedrückt durch αo1 − αo2 =

km (tan αo1 − αo1 ) + 2π/N 1 − km

(a5.11)

Die Schaufelstellungswinkel αc und αd , bei denen die Wasserteilchen aus den ursprünglichen Stellen c und d aus dem Wasserstrahl in die Schaufel eintreten, können jeweils berechnet werden mit αc = αa − (αa − αc ) = αa − (αo1 − αo2 )

(a5.12)

αd = αb − (αb − αd ) = αb − (αo1 − αo2 )

(a5.13)

und

Dabei wurde (αa − αc ) = (αb − αd ) = (αo1 − αo2 ) angenommen. Die Winkeldifferenz (αo1 − αo2 ) ist aus Gl. (a5.11) zu entnehmen.

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Sachverzeichnis

A Ablenkungseffekt 134 Ablenkungskraft 135 Ablenkungswinkel 135 Abströmwinkel 87 Ähnlichkeit Geometrie- 220 hydraulische 219, 225 Ähnlichkeitsgesetz 219, 229, 233, 234, 236 Anfahrzeitkonstante 202, 203 Ausgleichskolbenkraft 39, 40 Auslaufversuch 176 Austrittsdrall 127, 183 B Beschleunigungsverlauf 195, 201–204 Bewegungsgleichung 77, 78 Biegemoment 229–231 C Coriolis-Kraft

77, 78, 81, 96, 97, 164

D direkte Reibungskraft 165 Dissipation 139, 153, 162, 166 Dissipationsrate 139, 140, 166 Drallerhaltungssatz 49 Drallverlust 127–132, 150–152, 192 Druckenergie 15, 25, 26, 70 Druckfeder 33, 40 Druckzahl 18 Dual-Mess-Methode (DMM) 44, 50 Durchflusszahl 28, 30–32

Durchgangsdrehzahl 7, 20, 21, 195–197, 199, 200 Durchgangskonstante 196, 197, 203 Durchmesserzahl 19, 20 Durchschleusen 185–187, 195 Düsenhut 217 Düsenmundstück 25 Düsenschutzdach 217 Düsenzahl 205 E Einlaufwinkel 75 Ellipsenmodell 208, 209 Energieerhaltungssatz 53 Energiegleichung 157 Energieinvarianz 82, 84, 85, 89, 113 Euler-Gleichung 47, 79, 86 F Fallhöheneffekt 27, 30, 32 Fallhöhenverlust 28 Federkraft 40, 41 Federrate 40 FEM 229 Flächenträgheitsmoment 231, 233 Fliehkraft 229, 230, 232 Flow Friction Theorem (FFT) 7, 137, 148, 155 Flüssigkeitsreibung 180 Froude-Zahl 82, 138, 226 G Gedankenmodell 104 Gleitlager 177, 179, 184 Gleitreibung 180 Grundkreis 65, 117

257

258

Sachverzeichnis

H

R

Hammereffekt 67 Horizontalturbinen 23, 125 hydraulische Leistung 145, 146, 199

Radreibung 184 Reaktionsgrad des Wasserstrahls 188, 190, 197 Reibleistung 179, 180, 200 Reibungsbeiwert 134, 138, 141, 145 reibungsfreie Durchgangsdrehzahl 197 Reibungskoeffizient 179 Reibungsleistung 142, 165 Reibungsverlust 181, 183, 192 Reibungszahl 137, 139–141, 150 Relativdurchfluss 70, 107–109 Reynolds-Zahl 30, 138, 219, 226, 227 Rotationsströmung 79 Rothalpiegleichung 82 Rückstoßkraft 37, 38, 40, 41

I Impulskraft 99, 100, 161, 163 Impulssatz 11, 12, 37, 54, 74 Impulsstrom 70, 74 Invarianzgleichung 7, 80, 82, 83, 86 K kinematische Gleichung 158 Koinzidenzbedingung 61, 63 kombinierter Wirkungsgradverlust Kraftzahl 228 kritische Drehzahl 188 kritische Laufzahl 121, 185, 186

150

L Lagerreibungen 179, 198 Laser-Doppler-Anemometrie (LDA) 44 Laufzahl 17, 19–23, 60–62 Leistungskennlinie 199

4, 43,

M Massenerhaltungssatz 48 Massenträgheitsmoment 176, 201 mechanische Energie 11 mechanische Leistungen 162 Mindestfallhöhe 225 Mindestschaufelzahl 54, 55, 187 Mindestversatzwinkel 215 Modellversuch 5, 219, 225 Multischaufelziffer 22, 23, 61–63, 110, 134 N Nadelhub 28–30, 36, 38 Nadelkraft 34–36, 38–41 Nadelsteigungswinkel 29 Nebenschneide 20, 21, 69, 73, 74 P Polpaarzahl 205, 206 Potentialströmung 26, 27, 47

S Schaufelauslastung 18, 20–22, 154 Schaufelaustrittswinkel 15 Schaufelbreite 15, 18, 20, 205–207, 214, 233 Schaufelfestigkeit 229 Schaufellänge 20 Schaufelmasse 232 Schaufelmittelschneide 15, 65, 69, 70 Schaufelprofil 208, 212, 214 Schaufelteilungswinkel 55, 60 Schaufeltiefe 208, 210–214 Schaufelzahl 15, 61–64 Schließkraft 36, 38, 40 Schnellläufigkeit 19 Schubspannung 134 Schutzdach 51 Spannungszustand im Wurzelbereich 233 spezifische Drehzahl 19–21, 62, 205, 207 spezifischer Überdruck 111, 112, 223 Spitzenkreisdurchmesser 15 Spritzwasser 7, 123, 125 Stoßarbeit 75 Stoßkraft 54, 69–74, 135, 163, 168 Strahleinschnürstelle 28 Strahlerweiterung 48, 49 Strahlkraft 7, 54, 227, 229 Strahlkreis 17 Strahlleistung 134, 146 Strahlqualität 49, 51 Strahlschichtverfahren 83, 84, 183 Strähnenbildung 51 Stribeck-Kurve 179 Stromliniengleichung 27 Strömungsablösung 66 Stutzenarbeit 18, 86, 87

Sachverzeichnis

259

Stützkraft 78, 90, 91, 161 Symmetriebedingung 59, 61, 63 Synchrondrehzahl 206

Ventilations- 171, 184, 198 Versatzwinkel 58, 215, 217 Vertikalturbinen 23, 118

T

W

Tropfenschlag

50, 51, 67

U Überdruck 80, 111, 143, 222 Übergangsbereich der Laufzahl 191 Übertreibungswinkel 116, 133 Umlenkungskraft 73, 79 V Ventilationszahl 174 Verlust Austritts- 14, 125, 127, 183 hydraulischer 45, 145–147, 149, 154, 155 Lagerreibungs- 127, 176, 177, 181, 184 mechanischer 198 Reibungs- 14

Wasserfilmhöhe 111, 160 Wasserverlust 192 Wirkungsgrad hydraulischer 3, 14, 22, 72, 137, 146, 149, 183, 185, 192 mechanischer 184 System- 124 Teil- 72, 75, 163 Wirkungsgradaufwertung 219, 225, 226 Wirkungsgradkennlinie 185, 187, 191, 193, 197 Z Zeitfaktor 12, 23 Zentrifugalkraft 77, 78, 81, 91, 92, 164 Zugspannung 230, 232