Höhere Mathematik 1. Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung, 6. Auflage

Springer-Lehrbuch

Springer Berlin Heidelberg New York Barcelona Hongkong London Mailand Paris Tokio

Kurt Meyberg

Peter Vachenauer

Hohere Mathematik 1 Differential- und Integralrechnung Vektor- und Matrizenrechnung

Sechste, korrigierte Auflage Mit 450 Abbildungen

Springer

Professor Dr. Kurt Meyberg Dr. Peter Vachenauer Technische Universitat Miinchen Zentrum Mathematik BoltzmannstraBe 3 85748 Garching Deutschland e-mail: [email protected]

1. korrigierter Nachdruck 2003

Mathematics Subject Classification (2000): ooA05, 00-01, ooA06

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Meyberg. Kurt:

H6here Mathematik I Kurt Meyberg; Peter Vachenauer. - Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Tokio: Springer (Springer-Lehrbuch) 1. Differential- und Integralrechnung. Vektor- und Matrizenrechnung. - 6 .• korrigierte Auf!.. - 2001 ISBN 3-540-41850-4

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ISBN 3-540-41850-4 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-66148-4 5. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte. insbesondere die der Obersetzung. des Nachdrucks. des Vortrags. der Entnahme von Abbildungen und Tabellen. der Funksendung. der Mikroverfilmung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speieherung in DatenverarbeitungsanIagen. bleiben. auch bei nur auszugsweiser Verwertung. vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspf!iehtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Stratbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Der Springer-Verlag ist nieht Urheber der Daten und Programme. Weder der Springer-Verlag noch die Autoren iibernehmen Haftung fiir die CD-ROM und das Buch. einschlieBlieh ihrer Qualitat. Handels- oder Anwendungseignung. In keinem Fall iibernehmen der Springer-Verlag oder die Autoren Haftung fiir direkte. indirekte. zufallige oder Folgeschaden. die sieh aus der Nutzung der CD-ROM oder des Buches ergeben. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ein Unternehmen der BertelsmannSpringer Science+Business Media GmbH http://www.springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1991. 1993. 1995. 1998. 1999. 2001 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Hande1snamen. Warenbezeiehnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeiehnung nieht zu der Annahme. daB solche Namen im Sinne der Warenzeiehen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden diirften. Satz: Datenerstellung durch den Autor unter Verwendung eines TJiX-Makropakets Einbandgestaltung: design & production GmbH. Heidelberg Gedruckt auf siiurefreiem Papier

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10

Vorwort zur sechsten Auflage Fur diese Aufiage war eine vollig neue Drucklegung mit anderen Zeichensatzen erforderlich. Wegen der anhaltenden Diskussion haben wir in diesem Zusammenhang allerdings noch nicht auf die neue Rechtschreibung umgestellt und wieder nur notige kleine Textkorrekturen vorgenommen. Wir bedanken uns bei Dipl. Math. D. EBERLEIN und cando math. D. HOLLISCH fUr ihre Unterstutzung bei der Bild- und Textkonvertierung. Ebenso freuen wir uns uber die freundlichen Hinweise, die wir immer wieder erhalten. Auch in Zukunft werden wir jeden wohlwollenden Verbesserungsvorschlag im gegebenen Rahmen berucksichtigen. Munchen, im Juni 2001

Kurt Meyberg

Peter Vachenauer

Vorwort zur ersten Auflage Dieses zweibandige Lehrbuch ist aus den Vorlesungen und Ubungen der Verfasser zur Hoheren Mathematik fur Ingenieure der Fachrichtungen Maschinenbau und Elektrotechnik an der Technischen Universitat Munchen hervorgegangen. Es ist in erster Linie als kompakter Begleittext zur viersemestrigen Grundvorlesung fUr die Studenten der Ingenieurwissenschaften und anderer technischphysikalischer Studienfacher (etwa Physik, Technomathematik und Informatik) konzipiert. Da die modeme Technik yom Ingenieur immer umfassendere und tiefere mathematische Kentnisse verlangt, gehen wir an einigen Stellen uber den ublichen Vorlesungsstoff der Grundkurse hinaus oder stellen einige Themen griindlicher dar, als es in den Vorlesungen moglich ist. Das betrifft im vorliegenden Band insbesondere in Kapitel 6 den Ausfiug in die abstrakte Welt der Vektorraume und in allen Kapiteln die starkere Berucksichtigung der wichtigsten numerischen Aspekte. Damit ist dieses Buch auch fur Studenten hoherer Semester zur Fortbildung und fur den Praktiker als N achschlagewerk geeignet. Die in Kapitel 1 dargestellte Vektorrechnung, insbesondere die Behandlung gebundener Vektoren, ist den Bedurfnissen der Technischen Mechanik angepaBt, sie kann fur andere Fachrichtungen abgekurzt oder ausgelassen werden. Andererseits besteht die Notwendigkeit, die algebraischen und nurrierischen Methoden bereits in den Grundkursen starker zu berucksichtigen. Die Lineare Algebra in Kapitel 6 ist unabhangig yom Vorhergehenden und kann vorgezogen, eventuell parallel mit den Kapiteln 2 - 5 behandelt werden. Der Praktiker erwartet von der Mathematik nicht nur Erkenntnis, sondem Resultate. Wir berucksichtigen die fur ihn besonders wichtige algorithmische Seite der. Mathematik durch im Druck hervorgehobene Uberblicke mit detaillierten Rechenschemata. Sie enthalten - in Schritten aufgegliedert - die Methoden zum Losen konkreter Aufgaben und konnen nicht zuletzt als Repetitorium zur Priifungsvorbereitung dienen.

VI

Vorwort zur ersten Auftage

Ferner fugen wir eine graBere Zahl von Programmen ein, die auf erprobten numerischen Algorithmen fuBen. Wir haben uns zur Darstellung dieser Programme fur die Programmiersprache GfA-Basic entschieden, da diese einerseits die zugrundeliegenden Algorithmen besonders gut erkennen laBt, andererseits aufgrund ihrer Strukturierung yom etwas geiibten Programmierer leicht in jede hahere Sprache ubersetzt werden kann. In erster Linie ist aber an den Einsatz der Programme auf studienbegleitenden Taschen- oder Kleinrechnern gedacht. Fur den verstandnisvollen Umgang mit den mathematischen Modellen der Physik und der Technik reicht die Fahigkeit im Anwenden fertiger Rezepte naturlich nicht aus. UnerlaBlich ist auch die Kenntnis der mathematischen Grundlagen und vielfaltigen Methoden, mit denen sie behandelt werden. Wir haben deshalb aIle wesentlichen Beweise ausgefuhrt. Der Studienanfanger kann einen Teil dieser Beweise und die mit * gekennzeichneten Abschnitte beim ersten Durcharbeiten auslassen; er sollte sich dafur verstarkt mit den zahlreichen ausfuhrlich vorgerechneten Beispielen und den einfacheren Ubungsaufgaben beschaftigen. Der etwas geubtere Leser wird die straffe Darstellung der anspruchsvolleren Beweise sic her schatzen. Fur ihn sollten auch die schwierigeren Aufgaben eine Herausforderung bedeuten. Die Verfasser sind den Kollegen und Mitarbeitern an der Technischen Universitat Munchen sehr dankbar, die durch ihre Hilfe, manch guten Rat und viele Gesprache uber Inhalte und Darstellung der "Ingenieurmathematik" zum Entstehen dieses Buches beigetragen haben. Insbesondere danken wir Prof. Dr. Chr. REINSCH, Prof.Dr.H.J. KROLL, Dr.S. WALCHER, Dipl.Math.M. BINDER, Dipl. Math. H. G RADL, Dipl. Math. R. NIEMCZYK, Dipl. Math. ST. SAUTTER und Dipl. Math. A. HUNDEMER, sie haben die Teile des Manuskripts gelesen, zahlreiche Druckfehler entdeckt und wertvolle Verbesserungsvorschlage beigetragen. Die Druckqualitat sollte zur guten Verstandlichkeit bestmaglich, der Preis studentenfreundlich sein, daher wurden die Druckvorlagen mit der hochaufiasenden TEX-Monotype-Variante der H. STUERTZ AG erzeugt. DaB sich dieser EntschluB trotz der anfangs zusatzlichen Pionierarbeit doch gelohnt hat, ist vor allem das Verdienst von Frau cando math. 1. ABOLD; sie hat den TEX-Quelltext mit Prazision, Geschmack und viel Einfallsreichtum erstellt und dabei nie ihre liebenswurdige Geduld verloren. Ihr gilt unser besonderer Dank. Ein Teil der Abbildungen konnte von cando ing. R. MATTUSCHAT auf einem 3D-CAD-Rechensytem am Lehrstuhl fur Konstruktion im Maschinenbau erstellt werden. Wir danken Prof. Dr. K. EHRLENSPIEL fur das freundliche Entgegenkommen. Ebenso dankend erwahnen wir die Studentinnen und Studenten T. ERIs, K. MATTUSCHAT und Frau cand.inf. A. SCHRAMM, die zusammen mit eHR. VACHENAUER die Skizzen fur die ubrigen Graphiken hingebungs- und kunstvoll auf den Bildschirm des ATARI-ST umsetzten. SchlieBlich gilt unser Dank auch dem Springer-Verlag fur die stets vorbildliche Zusammenarbeit, speziell Herm Dr. J. HEINZE, der die verschiedenen Entstehungsphasen dieses Buches mit lebhaft farderndem Interesse, Geduld und fachmannischem Rat verfolgt hat. Munchen, im September 1989

Kurt Meyberg

Peter Vachenauer

Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Zahlen und Vektoren ................................... . §1. Mengen und Abbildungen.........................................

1

1.1 Mengen - 1.2 Mengenoperationen - 1.3 Abbildungen

§2. Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.1 Bezeichnungen - 2.2 Ungleichungen - 2.3 Intervalle - 2.4 Schranken - 2.5 Der Betrag - 2.6 Die vollstandige Induktion - 2.7 Binomialkoeffizienten und die binomische Formel - Aufgaben

§3. Die Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.1 Kartesische Koordinatensysteme - 3.2 Winkel - 3.3 Sinus, Cosinus 3.4 Drehungen

§4. Vektoren............................................................

17

4.1 Kartesische Koordinatensysteme im Raum - 4.2 Vektoren - 4.3 Die Addition von Vektoren - 4.4 Die skalaren Vielfachen eines Vektors 4.5 Der Betrag - 4.6 Vektoren im Koordinatensystem

§s.

Produkte...........................................................

22

5.1 Der Winkel zwischen zwei Vektoren - 5.2 Das Skalarprodukt 5.3 Das Vektorprodukt - 5.4 Das Spatprodukt - Aufgaben

§6. Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

6.1 Parameterdarstellungen einer Geraden - 6.2 Die Koordinatengleichung en einer Geraden - 6.3 Die Momentengleichung der Geraden 6.4 Abstand Punkt-Gerade - 6.5 Abstand Gerade-Gerade - 6.6 Parameterdarstellungen einer Ebene - 6.7 Parameterfreie Darstellungen einer Ebene - 6.8 Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen - 6.9 Die Winkel zwischen zwei Ebenen und zwischen einer Ebene und einer Geraden Aufgaben

§7. Gebundene Vektoren...............................................

47

7.1 Gebundene Vektoren - 7.2 Ein System gebundener Vektoren 7.3 Die Reduktion eines Systems gebundener Vektoren - Aufgaben

§8. Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 8.1 Die Menge der komplexen Zahlen - 8.2 Die vier Grundrechenarten in C - 8.3 Die Konjugation und der Betrag komplexer Zahlen 8.4 Anwendungen

VIII

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 §1. Fnnktionen (Grundbegriffe). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

1.1 Funktionen - 1.2 Monotonie - 1.3 Das Rechnen mit Funktionen

§2. Polynome nnd rationale Fnnktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.1 Polynome - 2.2 Polynomnullstellen - Faktorisierung - 2.3 Polynominterpolation - 2.4 Der Graph - 2.5 Rationale Funktionen, Polynomdivision - 2.6 Der Definitionsbereich D - 2.7 Erganzung: Polynome iiber C - Aufgaben §3. Die Kreisfnnktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.1 Definition und einfache Eigenschaften - 3.2 Die Tangens- und Cotangensfunktion - 3.3 Die Polardarstellung komplexer Zahlen - 3.4 Anwendungen der De Moivre-Formeln - 3.5 Harmonische Schwingungen - Aufgaben §4. Zahlenfolgen nnd Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Folgen - 4.2 Definition des Grenzwerts; konvergente Zahlenfolgen

88

§S. Recbenregeln fur Grenzwerte nnd Konvergenzkriterien . . . . . . . . . 93 5.1 Rechenregeln - 5.2 Grenzwertbestimmung durch Abschatzung - 5.3 Monotone Folgen - 5.4 Die Exponentialfunktion - 5.5 Fiir Fortgeschrittene: Das Cauchy-Konvergenzkriterium - Aufgaben §6. Fnnktionengrenzwerte, Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103 6.1 Definitionen - 6.2 Die 6 elementaren Methoden der Grenzwertbestimmung - 6.3 Asymptoten - 6.4 Stetigkeit - Aufgaben

Kapitel 3. Differentiation............................................ 112 §1. Die Ableitnng einer differenzierbaren Fnnktion . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112 1.1 Die Definition der Ableitung - 1.2 Die geometrische Deutung der Ableitung: Tangentenanstieg - 1.3 Die analytische Deutung der Ableitung: Lineare Approximation - 1.4 Die physikalische Deutung der Ableitung: Geschwindigkeit - 1.5 Stetigkeit ist notwendig fiir Differenzierbarkeit - 1.6 Differentiationsregeln - 1.7 Die Differentiation der Polynome und der rationalen Funktionen - 1.8 Die Ableitung der Kreisfunktionen - 1.9 Die Kettenregel - 1.10 Hahere Ableitungen - Aufgaben

§2. Anwendnngen der Differentiation ................................. 121 2.1 Maxima und Minima einer Funktion - 2.2 Der Mittelwertsatz 2.3 Wendepunkte - 2.4 Die Regeln von De L'Hospital - 2.5 Kurvendiskussion - 2.6 Nullstellen und Fixpunkte - 2.7 Kubische Splines Aufgaben

IX

Inhaltsverzeichnis

§3. Umkehrfunktionen................................................. 139 3.1 Grundlagen - 3.2 n-te Wurzel, rationale Exponenten - 3.3 Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens - Aufgaben

§4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion ...................... 147 4.1 Die e-Funktion - 4.2 Die Kurve y = eX - 4.3 Exponentiell wachsende bzw. fallende Prozesse - 4.4 Der natiirliche Logarithmus 4.5 Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen - 4.6 Die Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh - Aufgaben

Kapitel4. Integration ................................................ 161 §1. Das bestimmte Integral. ........................................... 161 1.1 Die Definition des bestimmten Integrals - 1.2 Die geometrische Deutung - 1.3 Elementare Integrationsregeln und der Mittelwertsatz 1.4 Differentiation und Integration - Aufgaben

§2. Integrationsregeln................................................. 169 2.1 Linearitat - 2.2 Partielle Integration - 2.3 Die Substitutionsmethode - 2.4 Symmetrien beachten - 2.5 Ausblicke - Aufgaben

§3. Die Integration der rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 179 3.1 Die Partialbruchzerlegung - 3.2 Die Integration - 3.3 Die Integra-

V~~ :~),

ae-bc iO tion von R(e X ) - 3.4 Die Integration von R(X, 3.5 Die Integration von R(sin x, cos x) - 3.6 Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen - Aufgaben

§4. Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 185 4.1 Die Definition der uneigentlichen Integrale - 4.2 Ein KonvergenzTest - 4.3 Ein an beiden Grenzen uneigentliches Integral - 4.4 Ausnahmestellen im Innem des Integrationsintervalls - Aufgaben

§S. Kurven, Langen- und FIachenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 190 5.1 Die Parameterdarstellung - 5.2 Tangente und Normale - 5.3 Kurvenlange - 5.4 Kriimmung und Kriimmungskreis - 5.5 Die Polardarstellung einer ebenen Kurve - 5.6 Flacheninhalte - Aufgaben

§6. Weitere Anwendungen des Integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 204 6.1 Abkiirzende Redeweisen - 6.2 Das Volumen eines Rotationskorpers 6.3 Die Mantelftache - Aufgaben

§7. Numerische Integration ............................................ 206 Aufgaben

x

Inhaltsverzeichnis

KapitelS. Potenzreihen .............................................. 212 §1. Unendliche Reihen ................................................. 212 1.1 Grundbegriffe - 1.2 Absolute Konvergenz - Aufgaben

§2. Reihen von Funktionen ............................................ 221 2.1 GleiehmaBige Konvergenz - 2.2 GleiehmaBig konvergente Funktionenreihen - Aufgaben

§3. Potenzreihen....................................................... 226 3.1 Der Konvergenzradius - 3.2 Bereehnung des Konvergenzradius 3.3 Die Differentiation und Integration von Potenzreihen - 3.4 Die Potenzreihendarstellung einiger Funktionen - 3.5 Die Binomialreihe - 3.6 Potenzreihen mit dem Zentrum a =I 0 3.7 Koeffizientenvergleieh - Aufgaben

§4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen ............................... 237 4.1 Die Taylor-Formel- 4.2 Die Taylor-Reihe - 4.3 Methoden der Reihenentwieklung - Aufgaben §5. Anwendungen (an Beispielen) ..................................... 244 5.1 Grenzwertbereehnungen - 5.2 Naherungsformeln (Approximation) - 5.3 Die Reihendarstellung und Bereehnung einer Integralfunktion mit nieht elementar integrierbarem Integranden - 5.4 Potenzreihenansatz zur Lasung einfaeher Differentialgleiehungen - Aufgaben

Kapitel 6. Lineare Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 250 §1. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen ........................ 250 1.1 Was ist eine Matrix - 1.2 Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Zahlenfaktor - 1.3 Lineare G1eiehungssysteme und Matrizen 1.4 Das GauB'sehe Lasungsverfahren - Aufgaben

§2. Die Matrizenmultiplikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 265 2.1 "Zeile mal Spalte" - 2.2 Die Multiplikation zweier Matrizen 2.3 Reehenregeln - 2.4 Die Transponierte einer Matrix - 2.5 Invertierbare Matrizen - 2.6 Diagonal- und Dreieeksmatrizen - Aufgaben

§3. Vektorraume....................................................... 274 3.1 Der "abstrakte" Vektorraum - 3.2 Unterraume, Linearkombinationen, lineare HUl1e - 3.3 Basis und Dimension - Aufgaben

§4. Elementarmatrizen und elementare Umformungen. . . . . . . . . . . . . .. 286 4.1 Zeilenraum und Spaltenraum - 4.2 E1ementarmatrizen - 4.3 Der Rang und die P-Q-Normalform - 4.4 Reehenverfahren - Aufgaben

Inhaltsverzeichnis

XI

§s. Determinanten ..................................................... 299 5.1 Einfuhrung - 5.2 Definition der Determinante einer n x n -Matrix 5.3 Rechenregeln fur Determinanten - 5.4 Die Entwicklung von det A nach einer beliebigen Zeile oder Spalte - 5.5 Beispiele - 5.6 Anwendung en - Aufgaben

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 311 6.1 Lineare Abbildungen - 6.2 V = W = lRn - 6.3 Liingen und Winkel im lRn; Orthogonalitat - 6.4 Speziell: Spiegelungen und Drehungen 6.5 Das SCHMIDTsche Orthonormierungsverfahren - 6.6 Basiswechsel, Koordinatentransformation - 6.7 Eigenwerte, Eigenvektoren - 6.8 Die orthogonale Gruppe - Aufgaben

§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen ............... 339 7.1 Quadratische Formen - 7.2 Die Hauptachsentransformation 7.3 Quadriken - 7.4 Die nichtorthogonale Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix - 7.5 Positiv definite Matrizen - Aufgaben

Kapitel7. Funktionen in mehreren Variablen. Differentiation .. 359 §1. Kurven im lRn

.....................•••••.•••••.•••••..•••••••••••••

360

1.1 Parameterdarstellungen - 1.2 Das begleitende Dreibein, Krummung, Torsion - 1.3 Erganzung: Der natiirliche Parameter und die Frenetschen Formeln - Aufgaben

§2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veranderlicher . . . . . .. 370 2.1 Grundlagen - 2.2 Grenzwerte und Stetigkeit - 2.3 Partielle Ableitungen, der Gradient - 2.4 Die totale Ableitung und line are Approximation - 2.5 Einfache Anwendungen - 2.6 Die Richtungsableitung, der Anstieg und die Kettenregel - Aufgaben

§3. Anwendungen der Differentiation ................................. 391 3.1 Die Bedeutung des Gradienten - 3.2 Approximation h6herer Ordnung; die TAYLOR-Formel - 3.3 Implizite Funktionen - 3.4 Lokale Minima und Maxima - 3.5 Ausgleichsrechnung - 3.6 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen - Aufgaben

§4. Vektorwertige Funktionen ......................................... 418 4.1 Die Differentiation - 4.2 Die Kettenregel - 4.3 Raumliche Skalarenund Vektorfelder - 4.4 Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace-Operator - Aufgaben

Verzeichnis der Programme

3.

Programm NEWTON Interpolation...................................

XIII 68

Berechnung und Auswertung des Newton Interpolationspolynoms 4.

Programm BISECTION.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 109

Nullstellenbestimmung (f(x) 5.

= 0,

X E

Programm NEWTON Verfahren .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 134

Nullstellenbestimmung (f(x) = 0, x 6.

lR)

E

lR)

Programm KUBISCHE SPLINE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 136

Interpolation mit kubischer Spline-Funktion 7.

Programm ROMBERG Integration ..................................... 209

Berechnung von 8.

J:

Programm Vollst.

f(x )dx mittels Romberg-Extrapolation

Ellipt.

Integrale........................... 211

Berechnung der vollstandigen elliptischen Integrale E(k) und K(k) mit arithmetisch-geometrischem Mittel 9.

Programm GAUSS ..................................................... 296

Lasung des linearen Gleichungssystems Ax = b mit verbesserter LRZerlegung, Berechnung der Determinante von A

10. Programm LEVERRIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 333

Berechnung der Koeffizienten des Polynoms peA) = det(AE - A) 11. Programm JACOBI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 354

Berechnung aller Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix 12. Programm BAIRSTOW ................................................. 384

Berechnung aller komplexen Nullstellen eines reellen Polynoms 13. Procedure LINFIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 406

Bestimmung der Ausgleichslasung eines iiberbestimmten linearen Gleichungssystems 14. Programm NLSQ ...................................................... 407

Bestimmung der Ausgleichslasung eines iiberbestimmten nichtlinearen Gleichungssystems

Inhalt von Band 2 Kapitel 9. Gewohnliche Differentialgleichungen § 1. §2. §3. §4.

Einfiihrung Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Existenzsatze §S. Numerische Li::isung des Anfangswertproblems 1. Ordnung §6. Die Laplace-Transformation §7. Li::isung mittels Potenzreihenansatz §8. DGL-Systeme und DGLn hi::iherer Ordnung §9. Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten § 10. Stabilitat, periodische Li::isungen § 11. Rand- und Eigenwertprobleme Kapitel 10. Funktionentheorie § 1. §2. §3. §4.

Punktmengen in der komplexen Ebene Einige elementare Funktionen Gebrochen-lineare Funktionen Potenzreihen §S. Differentiation, analytische Funktionen §6. Integration §7. Anwendungen der Cauchy-Integralformel §8. Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem §9. Laurent-Reihen und Singularitaten § 10. Residuentheorie Kapitel 11. Fourier-Analysis § 1. §2. §3. §4.

Trigonometrische Polynome und Reihen Fourier-Reihen Konvergenz der Fourier-Reihe Anwendungen (an Beispielen) §S. Diskrete Fourier-Analysis §6. Die Fourier-Transformation Kapitel 12. Partielle Differentialgleichungen § 1. §2. §3. §4.

Einfiihrung Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung Lineare und quasilineare PDGn 2. Ordnung Trennung der Variablen §S. Li::isungen mit Laplace- und Fourier-Transformation §6. Li::isungen mit Green-Funktion

XV

Inhalt von Band 2

Kapitel 13. Variationsrechnung § 1. §2. §3. §4. §5. §6. §7. §8.

Funktionale und Variation Die Euler-Differentialgleichung fur I(y) = F(x, y, y')dx Naturliche Randbedingungen, Transversalitatsbedingung Variationsaufgaben mit allgemeineren Funktionalen Variation mit Nebenbedingungen Variationsrechnung mit Funktionen in mehreren Variablen Das Wechselspiel Variationsaufgaben - Differentialgleichungen Direkte Methoden

1:

Bezeichnungen 1. Die griechischen Buchstaben

Alpha ex Beta f3 Gamma y I) Delta Epsilon 8 Zeta ~

A B

r

~

E Z

Eta H 17 Theta tJ e Iota I Kappa K K Lambda A A My M f1,

Ny v Xi ~ Omikron 0 Pi JT p Rho (J Sigma

N ~

0 TI

P 2:

Tau r Ypsilon v Phi rp Chi X Psi 1/1 Omega ())

T Y
X 'l1 Q

2. Wichtige Mengen

IN={1,2,3,4, ... } Menge der natiirlichen Zahlen (--+ S. 3), lNo = IN U {O}, Menge der ganzen Zahlen (--+ S. 3), Z = {O, 1, -1,2, -2, ... } m
Kapitel 1

Zahlen und Vektoren

§ 1. Mengen und Abbildungen 1.1 Mengen. Zur Festlegung von Bezeichnungen erinnem wir zuerst an einige Begriffe aus der Mengenlehre. Von G. CANTOR stammt folgende Erklarung (1895): Unter einer Menge verstehen wir jede ZusammenJassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.

Wir werden Mengen mit GroBbuchstaben bezeichnen. Die Objekte der Menge A werden die Elemente von A genannt. Man schreibt a E A (bzw. a
= {a], a2, ... , an }

kennzeichnet eine Menge mit endlich vie len Elementen (endliche Menge). Hierbei kommt es nicht auf die Reihenfolge der Elemente an. Die haufigste Beschreibung einer Menge X geschieht durch die Angabe einer Eigenschaft E, die genau allen Elementen von X zukommt. In diesem Fall schreibt man bzw.

X X

= {x ; x = {x

E

hat die Eigenschaft E} , A ; x hat die Eigenschaft E} ,

wenn besonders hervorgehoben werden solI, daB die in X zusammengefaBten Elemente samtlich in der Grundmenge A liegen. Zur Vermeidung von Fallunterscheidungen wird die leere Menge 0 eingefuhrt; sie enthalt kein Element. B heiBt Teilmenge von A, in Zeichen B ~ A, wenn jedes Element von B auch ein Element von A ist. Man nennt die Mengen gleich, i.Z. A = B , wenn sowohI B ~ A als auch A ~ B gilt. Beziehungen der Form B ~ A heiBen (Mengen- )Inklusionen; die strikte Inklusion B S A bedeutet B ~ A und es gibt wenigstens ein a E A mit a
1.2 Mengenoperationen. Fur je zwei Mengen A und B sind der Durchn B , die Vereinigung A U B und das Komplement A \ B definiert durch

schnitt A

A n B := {x ; x E A und x E B }; AU B := {x ; X E A oder x E B }; A \ B := {x ; X E A und x
(Das Zeichen := bzw. =: bedeutet Gleichheit per definitionem, wobei der Doppelpunkt bei dem zu definierenden Ausdruck steht.) K. Meyberg et al., Höhere Mathematik 1 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

2

1. Zahlen und Vektoren

AnB

AuB

A\B

Abb. 1 - Venn-Diagramme

Zwei Mengen A und B, die kein gemeinsames Element besitzen, heiBen disjunkt, d.h. fur sie gilt An B = 0. Als direktes (oder kartesisches) Produkt der Mengen A und B bezeichnet man die Paarmenge A x B := {(a, b) ; a E A, bE B} ,

wobei es in (a, b) auf die Reihenfolge der Elemente ankommt, d.h. (a, b) = (a', b') genau dann, wenn a = a' und b = b'. Entsprechend werden geordnete n-Tupel (ai, a2, ... , an) und (bl, b2, ... , bn) mit Elementen ai, b i E Ai (i

=

1, 2, ... , n) als gleich bezeichnet, wenn sie "komponentenweise" ubereinstimmen, also wenn ai = b i gilt fur i = 1, 2, ... , n. Das direkte Produkt der Mengen AI, A2, ... , An ist Al

X

A2

X ... X

An := {(ai, a2, ... , an) ; ai

E

Ai

(i = 1,2, ... , n)} .

1m Fall Al = A2 = ... An = A schreibt man dafur An.

1.3 Abbildungen. A und B seien Mengen. Eine Abbildung (oder Funktion) f von A in (oder nach) B, in Zeichen f : A --+ B (oder elementweise x ~ f(x), X E A), ist eine Vorschrift, die jedem Element x E A genau ein Element f(x) E B zuordnet. Man nennt A den Definitionsbereich und die Elemente von A die Argumente der Abbildung f; f(x) heiBt das Bild von x unter f (oder Funktionswert von f an der Stelle x). Gehoren zu verschiedenen Argumenten stets verschiedene Bilder (d.h. XI i X2 :=:} f(xd i f(X2), bzw. aquivalent dazu: f(Xl) = f(X2) :=:} XI = X2), dann heiBt f injektiv. Fur jede Teilmenge C <; A bezeichnet man f(C) := {f(x) ; X E C} als Bild von C unter fund das ganze Bild f(A) als Wertebereich von f. 1m Fall f(A) = B sagt man, fist eine Abbildung von A auf B oder fist surjektiv. Man nennt die Abbildung f : A --+ B bijektiv, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist. Es ist also f : A --+ B genau dann bijektiv, wenn es zu jedem Element Y E B genau ein x E A gibt mit y = f(x). In diesem Fall existiert die mit f- l : B --+ A bezeichnete Umkehrabbildung, mit der jedem y E B das durch y = f(x) eindeutig bestimmte x E A zugeordnet wird. Die auf jeder Menge A erklarte Abbildung Id : A --+ A, Id(x) := x fur aIle x E A, heiBt identische Abbildung (oder Identitat) auf A. Zwei Abbildungen f : A --+ B und g : C --+ D sind genau dann gleich, i.Z. f = g, wenn gilt A = C, B = D und f(x) = g(x) fur aIle x EA.

3

§ 2. Die reellen Zahlen

Durch Einschrankung des Definitionsbereiches einer Abbildung j : A eine Teilmenge Ao S; A gewinnt man die Restriktion jlAo: Ao ~ B, UIAo)(x):= j(x) fur aIle x E Ao.

Abb. 2 -

~

B auf

f: A ->- B

§ 2. Die reellen Zahlen 2.1 Bezeichnungen. Die Menge aller reellen Zahlen wird mit 1R bezeichnet. Besonders gekennzeichnete Teilmengen von 1R sind IN

= {I, 2, 3, 4, ... }

lNo

(Menge der naturlichen Zahlen),

=IN U {O},

= { ... , -3, -2, -1,0,1,2,3, ... } (Menge der ganzen Zahlen), m
7l,

Neben den rationalen Zahlen, die man auch charakterisieren kann als diejenigen reellen Zahlen mit einer endlichen oder periodisch unendlichen Dezimalbruchdarstellung, gibt es in 1R die irrationalen Zahlen, die eine unendliche nichtperiodische Dezimaibruchdarstellung besitzen. Der periodische Dezimalbruch c = 0.blb2 ... bk = 0.blb2 . .. bkblb2 ... bkbl . .. hat die "gewohnliche" Bruchdarstellung 1b2 ... b k k c = b 99 ... 9 ; d enn 10 c - c = b 1b 2··· b k· ~

k-mal

Beispiele. Die Zahlen

~~,

0.12123, 0.17314

= 0.17314314. ..

sind rational,

0.12345 ... , 0.101001000 ... , h = 1.4142 ... sind irrational. Es gilt 17 314 314 D 0.314 = 999' 0.17314 = 100 + 100.999 . Zur Veranschaulichung von 1R dient die bekannte, von - nach + orientierte Zahlengerade, auf der jeder Punkt genau einer Zahl entspricht.

2.2 Ungleichungen. Unter einer Ungleichung (fur Zahlen x, y E 1R) verstehen wir einen GroBenvergleich der Form x < y (x ist kleiner als y, strikte Ungleichung) oder x :'S y (x ist kleiner oder gleich y, nicht strikte Ungleichung); eine andere Schreibweise hierfur ist y > x oder y 2: x. Die Ungleichung x :'S y

4

1. Zahlen und Vektoren

(bzw. x < y) gibt eine Abschiitzung der Zahl x nach oben durch y an, oder auch eine Abschatzung der Zahl y nach unten durch x. In der Praxis (und in diesem Buch) wird iiberwiegend mit Ungleichungen der Form x S y gearbeitet, ohne darauf zu achten, welcher der beiden hierin enthaltenen FaIle x < yoder x = y tatsachlich vorliegt; wesentlich ist die Aussage "x ist nicht groBer als y ". Fiir Abschatzungen einer Summe und eines Produkts sind x S y, asb

=:::}

x+asy+b,

x S y, Osa

=:::}

xa S ya

zu beachten. Ferner gilt xSy

{=}

-y S -x,

O<XSy

{=}

1 1 0<-
Beispiel. -3a - 2 S 5 S -3a +4 1 7 - - > a> - 3 - 3·

{=}

(-3a S 7 und 1 S -3a)

{=}

0

2.3 Intervalle. Seien a, b E lR mit a < b. Die Menge [a, b] := {x E lR ; a S x S b} heiBt abgeschlossenes Interval! mit Randpunkten a, b. 1m offenen Interval! (a, b) := {x E lR ; a < x < b} sind a, b nicht enthalten. Analog sind die halboffenen Intervalle (a, b] und [a, b) definiert. Zur Vermeidung von Fallunterscheidungen ist es giinstig, noch zwei Symbole -00,00 (minus Unendlich, Unendlich) einzufiihren und hierfiir -00 < x < 00 fiir aIle x E lR festzulegen. (-00, a] := {x E lR ; x sa}, (b, (0) := {x E lR ; b < x}. Analog (-00, a), [b, (0). Auch lR = (-00, (0) [alIt damit unter die offenen Intervalle. Das offene Intervall (a - c, a + c) (mit c > 0) heiBt c-Umgebung der Zahl (des Punktes) a E lR.

2.4 Schranken. Man nennt eine Menge S reeller Zahlen nach oben beschriinkt, wenn es eine Zahl b

E

lR gibt, so daB S

~ (-00, b].

In diesem Fall heiBt

b eine obere Schranke von S. Ganz entsprechend nennt man a E lR eine untere Schranke von S, und S nach unten beschriinkt, wenn S ~ [a, (0). Die Menge S ~ lR heiBt beschriinkt, wenn sie eine untere Schranke a und eine obere Schranke b besitzt. In diesem Fall gilt S ~ [a, b] . 1st S ~ lR nach oben beschrankt, so nennen wir die kleinste obere Schranke s das Supremum von S, in Zeichen s = sup S . Ebenso wie die anderen Schranken

braucht sup S nicht der Menge S anzugehoren; jedoch gibt es zu jeder beliebig kleinen Zahl c > 0 ein XES mit s - c < x S s . Andernfalls wiirde x S s - c fiir aIle XES gelten und wir hatten die noch klein ere Schranke s - c .

Beispiell.

sup[a,b]=sup[a,b)=b.

Beispiel 2.

sup {x

E


.Ji .

o o

5

§2. Die reellen Zahlen

Es ist keineswegs selbstverstandlich, daB die Menge der oberen Schranken von S S; (-00, b] eine kleinste Zahl enthalt. Dieses ist aber eine der Grundannahmen iiber die reellen Zahlen: Das Vollstandigkeitsaxiom. Jede nach oben beschriinkte Menge ree/ler Zahlen besitzt ein Supremum. Damit hat auch jede nach unten beschrankte Menge U S; 1R eine groJ3te untere Schranke (ein Infimum, i.Z. inf U). Man bestatigt leicht die Beziehung inf U = - sup { -u ; u E U}. Beispiel.

inf { 1 +

2.5 Der Betrag

k;n

E

o

1N } = 1 .

la I einer reellen Zahl a

E

1R ist definiert durch

falls a 2: 0 falls a < 0 .

lal := { a, -a,

Die folgenden Rechenregeln fiir Betrage ergeben sich unmittelbar aus der Definition: -Ial

:s a :s lal,

labl=lallbl, la I :s b

und

Aus -Ial :s a :s lal und -Ibl Also gilt fiir aIle a, b E 1R : (1)

I-al = lal ,

lal lba I =TbT b

{:::=} -

:s b :s

la+bl:s lal+lbl

(faIlsbiO),

:s a :s b

.

Ibl folgt -(Ial + Ibl)

:s a + b :s

lal + Ibl.

(Dreiecksungleichung) .

Es ist la - bl der Abstand der zu a und b gehorenden Punkte auf der Zahlengeraden; also gilt fiir aIle x, a, 8 E 1R, 8 > 0:

Ix - a I :s 8

(2)

{:::=}

a-&

a-

a

8

:s x :s a + 8

.

1R

a+&

Abb. 3 - Das Intervall {x E IR.; Ix - al

~

el

.

Wird fiir eine Zahl a E 1R ein Naherungswert Zi angegeben, so bedeutet die Schreibweise a = Zi ± 8 dasselbe wie la - Zil :s 8 . Beispiel.

Zi = 1.414215 ist ein Naherungswert fiir a =

~a :s Y'2 :s Zi 1.414215 ± 3 . 10-6 .

folglich

und damit IZi -

Y'21 :s

IZi -

Y'2.

Es gilt Zi2 2: 2,

~ I :s 0.000003

a

oder

Y'2 = 0

6

1. Zah1en und Vektoren

2.6 Die vollsHindige Induktion. Die Gultigkeit einer Aussage A(n) fur jede ganze Zahl n ::: no mit vollstandiger Induktion nachzuweisen bedeutet: 1. Der Induktionsbeginn: Man zeigt, daB A(n) fur n = no gilt. 2. Der Schluj3 von n auf n + 1 : Fur ein beliebiges n ::: no setzt man die Gultigkeit von A(n) voraus (Induktionsvoraussetzung) und leitet daraus die Gultigkeit von A(n + 1) abo Konnen beide Schritte ausgefuhrt werden, dann gilt A(n) fur aIle n ::: no. Denn nach dem ersten Schritt gilt A(no) , nach dem zweiten Schritt A(no + 1) und ebenso (immer wieder SchluB von n auf n + 1) A(no + 2), A(no + 3), Beispiel 1.

I

1+2+···+n= n(n+1) 2

(n

E

IN) .1

Beweis mit vollstandiger Induktion. Induktionsbeginn n = 1: 1 = 1 ~ 2 Schluj3 von n auf n + 1: Sei n E IN (beliebig) und die Formel richtig fur . n(n + 1) (n + 1)(n + 2) dleses n. Dann folgt 1 + 2 + ... + n + (n + 1) = 2 +n + 1 = 2 Das ist die zu beweisende Formel fur n + 1. Sie gilt also fur aIle n E IN . 0 Beispiel 2. Die Bernoulli-Ungleichung. Fur h (3)

1(1 +ht ::: 1+nh,

E

lR und aIle n

falls h :::

E

IN gilt

-1·1

Beweis mit vollstandiger Induktion. Induktionsbeginn n = 1: (1 + h) 1 Schluj3 von n auf n + 1 : Aus (1 + h t ::: 1 + nh (Induktionsvoraussetzung) und 1 + h ::: 0 folgt (1 +hr 1

:::

:::

1+ 1 . h .

o

(1 +nh)(1 +h)::: 1 + (n + 1)h.

Definition durch Rekursion. Diese Methode beruht auf dem Prinzip der vollstandigen Induktion: Eine GroBe An wird fur aIle n E lNo dadurch definiert, daB man 1. Ao festlegt, 2. Ak fur k ::s; n als bekannt ansieht und An+l durch diese ausdriickt. Beispiel 3. Die Potenzen an fur eine beliebige Basiszahl a ten n E lNo werden definiert durch a O := 1; a n +1 := ana.

E

lR und Exponen0

Beispiel 4. Die FakuWiten. Zu n E lNo wird n! (lies: n Fakultat) definiert durch O!:= 1; (n + 1)! := n! (n + 1). Demnach gilt n!

= {n(n -

1)(n - 2) .. ·2 . 1 ,n::: 1, 1 ,n = O.

7

§2. Die reellen Zahlen

So ist etwa 6! = 1 ·2·3·4·5·6 = 720, 9! mit wachsendem n schnell sehr groB .

= 362880.

Die FakuWiten werden 0

Als Permutationen einer Menge A bezeichnet man die bijektiven Abbildungen von A auf sich. 1st A endlich mit den n verschiedenen Elementen {al, ... , an}, so interpretiert man eine Permutation von A als Zuordnung der ai zu den n verschiedenen Platzen

*

* ),

*

t

t

t

l.Platz 2.Platz

il-ter Platz

so daB auf jeden Platz genau ein Element kommt; etwa (ai, a2, ... ,an) oder E IN gilt:

(a3, aI, a2, a4, ... ,an). Fiir jedes n (4)

Jede n-elementige Menge besitzt genau n! verschiedene Permutationen.

Beweis mit vollstandiger Induktion. Induktionsbeginn: (4) gilt fiir n = 1. Schluj3 von n auf n + 1: Es gibt (nach Induktionsvoraussetzung) n! Permutationen von {al, ... , an+l} mit al an der ersten Stelle. Ebensoviele mit al an der zweiten Stelle, etc.; das sind insgesamt n! (n + 1) = (n + I)! verschiedene

Permutationen.

0

Das Summen- und Produktzeichen. Fiir die Summe und das Produkt der Zahlen am, am+l, ... , an E IR (mit m :s n) schreibt man

Beispiel 5.

n

ak .

Man beachte die Unabhangigkeit yom Summationsindex, L ak

=L

n

am +am+1 + ... +an

= Lak

,

am· am+1 ... an

k=m

=

n

k=m

Die Definition durch Rekursion ersetzt die Piinktchen: n+l n Lak := (Lak) +an+l k=m k=m n

n

ai , femer I n k=m i=m L ak = L ak + L ak (m:s I :s n). Analoges gilt fiir das Produktzeichen. k=m k=m k=I+1 n

. t Z .B. IS

~ k~ -

n(n

+ 1) (-+ Bsp. 1), 2

k=l geometrische Summenformel:

(5)

t

k=O

qk

n= n

k

n!

(-+ Bsp. 3) und es gilt die

k=l

= 1 + q + q2 + ... + qn = {

1 _ qn+1 1- q

, falls q

¥ 1,

n+l

, falls q

= 1.

8

I. Zahlen und Vektoren

Zum Beweis multipliziere man die Gleichung im FaIle q =11 mit 1 - q durch. Mit vollstandiger Induktion erhalt man aus der Dreiecksungleichung (l): n

IL

(6)

n

ak

I :S L

k=m

iak i

o

.

k=m

2.7 Binomialkoeffizienten und die binomische Formel. Fiir zwei ganze Zahlen n, k mit 0 :S k :S n bezeichnet man die ganze Zahl - lies: n iiber k (7)

n! = n(n - 1) ..... (n - k + 1) ( n) '= k! k . k!(n -k)!

als Binomialkoejjizient. Der Name riihrt von der binomischen Formel her 2.2), die Bedeutung beruht auf

(~

Satz

Satz 2.1. Eine Menge mit n Elementen besitzt

(Z)

Teilmengen. Mit anderen Worten: Es gibt

Moglichkeiten, aus insgesamt n

(Z)

verschiedene k-elementige

Objekten genau k auszuwiihlen.

Beweis. Man findet samtliche k-elementigen Teilmengen der Menge S = {aI, a2, ... , an} - die ai paarweise verschieden - wenn man aus allen n! Anordnungen nur jeweils die ersten k Elemente nimmt. Die durch die Anordnung (Permutation) (ail' ai2' ... , aik' ... , aiJ bestimmte Teilmenge {ail"'" aik} von S tritt dabei k! (n - k)! - mal auf. 0 Beispiel 1. 1m Lotto ,,6 aus 49" gibt es

( 49) 6

= 49 . 48 . 47 . 46 . 45 . 44 = 13 983 816 1.2.3.4.5.6

verschiedene Moglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen

(~

Aufg. 9).

Aus der Definition (7) liest man sofort die Beziehung

und einfache Sonderfcille ab:

Ebenso bestatigt man mit (7) die Rekursionsformel (8)

Damit lassen sich die Binomialkoeffizienten durch Additionen berechnen:

o

9

§2. Die reelJen Zahlen

Beginnend mit n = I schreibt man die Zahlen dabei ist erstes und letztes Element durch Die Zahlen

(n; I)

der nachsten

(3) = (~) = I

(k) :

die folgenden Zahlen nach (8) als Summe der beiden dariiber stehen den Zahlen. Die Zeile wird

(k) : (5) k :

C~ I)

G: i)

in eine Zeile;

bestimmt.

1

Zeile werden "auf Lucke" gesetzt (---+ Schema). Man beginnt mit der etwas nach links versetz= und berechnet ten

I

(3), (D, ... G)

(~) :

2

q) :

abgeschlossen. mit I = Auf diese Weise entsteht das sogenannte Pascal-Dreieck.

3

1 .

3

4 5

6

6

4

10

15

Satz 2.2. Die binomische Formel. Fur beliebige Zahlen a, b

20

E

6

lR und jede ganze

Zahl n :::: 0 gilt

Beweis. Beim Ausmultiplizieren kommt b k so oft vor, wie man k Faktoren aus n Faktoren auswahlen kann, also

(~)-mal (---+

Satz 2.1). a n - k stammt aus den

anderen n - k Faktoren.

Beispiel 3.

(1 +xr

=

D

t

(~)Xk = 1 +nx + n(n,; 1) x 2+ ... +nx n- 1+xn.

k=O

Beispiel 4. 2 n

= (1 + l)n =

t (~) = (3)

D

+ (~) + ... + (~) .

k=O

Diese Formel hat eine schone Anwendung: Eine Menge mit n Elementen hat 2n verschiedene Teilmengen (---+ Satz 2.1, die leere Menge wird als O-elementige Menge mitgezahlt). D Aufgaben 1. Man schreibe

L 47 .1Ok~l

der geometrischen Reihe?

2k

als Dezimalbruch. We1chen Bruch liefert die Summenformel

10

I. Zahlen und Vektoren

2. Man ermittle siimtliche reellen Lbsungen und skizziere die zugehbrigen Bereiche auf dem Zahlenstrahl: b) 3-x<4-2x ;

a) v'2x-4-,.;:x=-T=I c)

x3 -

x2

< 2x - 2 ;

d) Ilxl - I - 511 < 1 ;

3. Skizziere die Bereiche der (x, y)-Ebene, fur we1che

a) Ixl:s Iyl ;

b) Ixl + Iyl :s 1

4. We1che reellen Zahlen x erfullen

a) Ix + 11 - Ix - 11 c) 6x 2

-

=1

b)

13x + 6 < 0 ;

1

1

x<

x +I

d) v'7x + 15 - v'1O - 2x = ~ ?

5. Man skizziere die Bereiche der (x, y)-Ebene: a) Ixl + Iyl = 2;

b)

Ixl:s 5 und Iyl:s 5

c)

Ixl:s 5 oder Iyl:s 5 .

( 753) 750 .

6. a) Man berechne den Wert des Binomialkoeffizienten

0) G) G) (i)

b) Verifiziere am Pascalschen Dreieck = + mittels vollstiindiger Induktion die Rekursionsformel

+

+

(n

und beweise

(k-I) ( k ) (n+k-I) ( n+k) k = k-I + k-I + ... + k-I 7. Man bestiitige mittels vollstiindiger Induktion fUr n b)

E

IN :

~ k2 ~

_ n(n + I)(2n + 1)

-

6

k=l

8. Hypothekenrechnung. Ein Darlehen uber 100TDM wird am Ende eines jeden lahres konstant mit der Rate A getilgt und die Restschuld mit 7% verzinst. Wie groB muB die Annuitiit A sein, wenn das Darlehen nach genau 20 lahren zuriickbezahlt sein soli? 9. Die 5 Grundaufgaben der Kombinatorik. Aus einem Alphabet mit n verschiedenen Buchstaben sollen Worte der Liinge k gebildet werden. Man zeige: Abhiingig davon, ob Buchstaben wiederholt auftreten durfen und ob man nach der Reihenfolge der Buchstaben unterscheidet, ist die Anzahl der verschiedenen Mbglichkeiten wie folgt gegeben:

a) Variationen (nach Reihenfolge wird unterschieden): nk

mit Wiederholung,

,

n(n - 1)·· . (n - k + 1), ohne Wiederholung (k:s n), k! mit festgelegter Auswahl: der r-te Buchstabe kommt kr-malvor, O:skr:sk, r=I, ... ,n, k 1 + .. ·+kn =k. k 1 ! .. ·kn ! ' b) Kombinationen (nach Reihenfolge wird nicht unterschieden): ( n+kk-I)

(~)

,

mit Wiederholung, ohne Wiederholung (k:s n) .

(Hiife im Fall von Wiederholungen: Man setze im Alphabet zwischen die Buchstaben je ein "I" und uber jeden fur das Wort ausgewiihlten Buchstaben ein " x ". Wie viele verschiedene (n - 1 +k)-stellige Muster II x x ... x Ix gibt es?) 1

11

§3. Die Ebene

10. Beim Romme spielt man mit 110 Karten; sechs davon sind Joker. Zu Beginn eines Spieles erhalt jeder Spieler genau 12 Karten in die Hand; in wieviel Prozent aller moglichen Falle sind darunter (a) genau zwei bzw. (b) mindestens ein Joker? 11. Ziihlprobleme der Statistik. Zur Beantwortung der Frage, ob in mehr als 60% aller Falle von vier Geschwistern mindestens zwei im gleichen Monat geboren sind, bieten sich zwei Losungswege an: a) Man unterscheidet die Individuen und zahlt die Variationen, wie sich 12 Geburtsmonate auf 4 Personen verteilen lassen (---+ Aufg. 9a). b) Man unterscheidet die Personen nicht und zahlt die moglichen 4-elementigen Kombinationen aus dem "Alphabet" der 12 Monate (---+ Aufg. 9b). Sind die Variationen in a) oder die Kombinationen in b) gleich wahrscheinlich? 12. Die polynomische Forme!.

Man zeige mit Aufg. 9a fur k, n

E

IN

§ 3. Die Ebene 3.1 Kartesische Koordinatensysteme. In einer Ebene E, die wir uns o.E. als Zeichenebene vorstellen, entsteht ein kartesisches Koordinatensystem (-+ Abb. 4, benannt nach RENE DESCARTES, 1596-1650) durch Vorgabe y eines Punktes 0 und zweier aufeinander senkrecht stehender Zahlengera"'f Yo = (xo.Yo) den, der x- und der y-Achse, deren » I g. I Nullpunkt jeweils in 0 liegt. DaIII I /I) I bei muB die y-Achse durch eine poI sitive Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) aus der x-Achse hervorgehen. xo X x-Achse Fiillt man fur einen (beliebigen) Punkt Po E E die Lote auf die Achsen, so Abb. 4 - Ein kartesisches bestimmen die beiden FuBpunkte die Koordinatensystem x- bzw. y-Koordinate Xo bzw. Yo von Po und man schreibt Po =(xo, yo). Der Punkt 0 =(0,0) heiBt Nullpunkt oder Ursprung des Koordinatensystems.

---------fl

Nach Festlegung eines kartesischen Koordinatensystems gibt es zu jedem Zahlenpaar (x, y) E lR? genau einen Punkt X E E mit X = (x, y) - und umgekehrt. Man kann somit Teilmengen von lR2 (etwa Losungsmengen von Gleichungen oder Ungleichungen) als Punktmengen in E veranschaulichen und umgekehrt geometrische Gebilde (Kurven oder Gebiete in E) durch Funktionen, Gleichungen oder Ungleichungen beschreiben.

12

I. Zahlen und Vektoren

Beispiel 1. Der Graph einer Funktion. Sei I S; 1R und f : I Funktion. Die Punktmenge

1R eine

---+

Gj:={(x,y);xEI, y=f(x)}={(x,f(x));xEI}

in der mit einem kartesischen Koordinatensystem versehenen Ebene heiBt der Graph der Funktion f oder die Kurve y = f(x). Der Graph der Funktion y = f(x - xo) + Yo entsteht aus G j durch die Parallelverschiebung der Ebene, die den Punkt (0,0) nach (xo, Yo) bringt. Dabei bleibt das Koordinatensystem fest. Die folgenden Kapitel bringen zahlreiche konkrete Beispiele. 0 Y

Y

---t------- ----- -------

y = f(x-xJ + Yo t---+-----~ Wertebereich f(D)

y =f(x)

x x

Definilionsbereich D

x

Abb. 5b - Die Kurve y = l(x - xo) + Yo

Abb. 5a - Die Kurve y = lex)

Beispiel 2. Kurven - Losungsmengen von Gleichungen. Sei C S; E eine Kurve und - nach Wahl eines kartesischen Koordinatensystems - X = (x, y) ein (beliebiger) Punkt auf C. Wird die zwischen x und y bestehende Abhangigkeit auf die Form F(x, y) = 0 gebracht, d.h. C = { (x, y) ; F(x, y) = O} ,

dann nennt man F(x, y) =0 die Gleichung der Kurve C. a) Die Gerade durch die Punkte A = (at, a2) und B = (bt, b2) die Gleichung

b)

Der Kreis urn A

=(aI, a2)

(A

=I B) hat

mit dem Radius r hat die Gleichung

(x - at)2 + (y - a2i = r2 .

c)

Es ist

x2

y2

-a 2 - -b 2 = 1, l- 2px = 0 die "Normalgleichung" einer Ellipse, einer Hyperbel bzw. einer Parabel =I 0; ---+ Kap. 6, §7).

(a > 0, b > 0, p

o

13

§3. Die Ebene

y

y

x

a

-a

x

x

Abb. 6 - Ellipse, Hyperbel, Parabel

Beispiel 3. Gebiete" Losungsmengen von Ungleichungen.

a)

Das Gebiet (die Halbebene) unterhalb (oberhalb) der Geraden 3x + 2y = 2 ist die Losungsmenge der Ungleichung 3x + 2y < 2 (3x + 2y > 2). Wenn die Gerade zum Gebiet gehort, ist < durch :::: (bzw. > durch ::::) zu ersetzen.

b)

Die Ungleichung x3 + ~ < 1 (bzw. > 1) besitzt als Losungsmenge das

2

..

c)

2

x2

y2

Innere (bzw. AuBere) der Ellipse :3 + 5' = 1. Wegen Ix - y I :::: 3 ¢==} - 3 :::: x - y :::: 3 besteht die Losungsmenge der Ungleichung Ix - yl :::: 3 aus dem Durchschnitt der beiden Halbebenen x - y :::: 3 (aIle Punkte oberhalb und auf der Geraden x - y = 3) und -3:::: x - y (aIle Punkte unterhalb und auf der Geraden y =x + 3).

o

3x+2y=2 y=x+3

y=x-3

Abb. 7 - Losungsmengen von Ungleichungen.

Regeln: 1. Zur Losung einer Ungleichung der Form F(x, y) < 0 bestimme man zuerst die Kurve F(x, y) = 0 ; die Losungsmenge liegt ganz auf einer Seite dieser Kurve (vorausgesetzt, Fist stetig, ----+ Kap. 7). 2. Die Losung eines Systems von Ungleichungen Fl(X, y) < 0, F2(X, y) < 0, ... , Fn (x, y) < 0 ist der Durchschnitt der einzelnen Losungsmengen; sie wird stiickweise berandet von den Kurven Fi (x, y) = 0 (i = 1, ... , n) (ebenfalls unter der Voraussetzung, daB die Fi stetig sind).

14

1. Zahlen und Vektoren

3.2 Winkel. Der Winkel

et entstehe durch Drehung eines Zeigers urn einen Die Lange des zugehorigen Einheitskreisbogens sei f

Punkt der Ebene. (~Abb. 8).

Abb. 8 - Das BogenmaB eines Winkels.

Wir nennen f, bzw. -f, das BogenmaJ3 von et und schreiben et = f, bzw. et = -f, wenn die Drehung im positiven Sinn (gegen Uhrzeigersinn), bzw. im Uhrzeigersinn, erfo1gt. Ein Winkel von aO besitzt bei positiver Orientierung das BogenmaB x

= l~Oa n

mit der Kreiszahl

= 3.141592653589793238462643 ... ::::;

272

2n ist der Umfang des Einheitskreises. Der zu et =f gehorende Kreisbogen mit dem Radius r hat die Lange fr (~ Kap. 4, §5). Mit jeder voUen Umdrehung wird der Winkel (genauer: das BogenmaB des Winkels) urn 2n vergroBert oder verkleinert.

3.3 Sinus, Cosinus. Wird in der mit kartesischen (x, y)- Koordinaten versehenen Ebene der yom Ursprung zum Punkt (1, 0) weisende Zeiger urn den Winkel gedreht (et im BogenmaB, et > 0: gegen den Uhrzeigersinn bzw. et < 0: im Uhrzeigersinn), dann bewegt sich die Spitze auf dem Einheitskreis (urn 0) bis zu eiy nem Punkte P, dessen Koordinaten mit cos et, sin et bezeichnet werden: P = (COSet, sinet). Die derart fur aIle et E 1R erklarten Funktionen et ~ cos et, et ~ sin et x heiBen Cosinus- bzw. Sinusfunktion. Wir benotigen diese "Kreisfunktionen" vorerst nur fur Dreiecksberechnungen und fur die DarsteUung von Drehungen der Ebene; die weiterfuhrende Behandlung erfolgt in Abb. 9 - x(a) =cos a , y(a)=sina Kap 2, §3. et

15

§3. Die Ebene

Hat der sich drehende Zeiger die Lange r, dann liegt nach der Drehung urn a aufgrund der Ahnlichkeit der Dreiecke ~ 0 R P und ~ 0 S Q die Spitze in Q =(a, b) mit (1 )

a

= r cos a,

b

= r sin a

.

Diese Formeln sind Grundlage aller Dreiecksberechnungen, sie bedeuten, etwas anders gelesen, daB im rechtwinkligen Dreieck ~ 0 S Q mit der Hypotenuse r, den Katheten a (Ankathete), b (Gegenkathete) die Beziehungen

~Q:(a,b) r

~Sinll

tI.LoSIl Abb. 10 - a

1

p

jb

~I s

aR 1

= r cos a,

b

= r sin a

ra =cos a, rb=.sm a

(2)

gelten (wobei zur Dreiecksberechnung die Winkel positiv gemessen werden). Fur den anderen Winkel fJ

= 1: 0 QS

In einem beliebigen Dreieck

gilt dementsprechend cos fJ

= ~,

sin fJ

=~ .

c

~ABC

(--+ Abb. 11) gelten

der Cosinussatz: a 2 = b2 + c 2 - 2bccosa; (3)

der Sinussatz: sin fJ sin y sin a -a- --b- = c

B

A Abb. 11 - Cosinus-, Sinussatz

Zum Beweis des Sinussatzes betrachte man eine Hohe, etwa he. Hierfur gilt = he =a sin fJ , etc. Den Cosinussatz beweisen wir in 5.2.

b sin a

Anhand der Definition und (2) sind leicht einige Funktionswerte anzugeben:

x

0

cosx

1

sinx

0

7f

6

7f

4

~v'3 ~v'2 1

2:

7f

7f

3

'2

1

0

2:

~v'2 ~v'3

1

Abb. 12 - Einige Sinus-, Cosinuswerte

16

1. Zahlen und Vektoren

3.4 Drehungen

o Drehung des Koordinatensysterns.

Das kartesische (x', y')-Koordinatensystern entstehe aus dem (x, y)-System durch eine Drehung urn den Ursprung mit dem Winkel ex (-+ Abb. 13). Hat ein Punkt X im urspriinglichen System die Koordinaten (x, y) und im gedrehten System die Darstellung X = (x', y'), so gelten die Transformationsformeln

(4)

=

x cos a + y sin a

x = x' cos a - y' sin a y = x' sin ex + y' cos ex

x' y'

X im ursprunglichen System;

X im gedrehten System

= -x sin ex + y cos ex

Beweis. OQ=x', QX=y', x = os - RS = x' cos ex - y' sin ex , y = RT + T X =x' sin ex + y' cos ex .

Eine Drehung urn -ex fuhrt vom (x', y')-System zum (x, y)-System zuriick; deshalb ergibt sich das rechte Formelpaar aus dem linken durch Vertauschung von x mit x', y mit y' und der Substitution ex durch -ex (und umgekehrt). Man beachte dabei cos( -ex) = cos ex, sine -ex) = - sin ex . D

R

x

S

x

Abb. 13 - Koordinatendrehung

Beispiel. Drehung des Koordinatensystems urn ex = ~ (Linksdrehung). Der Punkt X

=(x, y)

hat im gedrehten System die Darstellung X 1 h3

,

x=:rv .u

Speziell: M

= (2,3)

mit

1

+"2 Y '

erhiilt die neuen Koordinaten M

Deshalb besitzt der Kreis (x_2)2+(y_3)2 die Darstellung (x' -

= (x', y')

= 25

= (v3 +~, -1 + ~v3).

im gedrehten Koordinatensystem

(v3 + ~))2 + (y' - (~v3 -

1))2 = 25 .

Die "Umkehrformeln"

x = 1.2 Y'3x' -'

1. y' 2'

1, 1 h3 ' y=-x+-Y-'y

2

2

ergeben fur die Parabel y = x 2 im neuen System die Darstellung

~x'2 _

4

1.v3x'y' + 1.y'2 _ 1. x ' _

2

.J3 y' = 0 .

422

D

17

§4. Vektoren

® Drehung der Ebene.

Wir halten nun das kartesische Koordinatensystem fest und bilden jeden Punkt X = (x, y) durch eine Drehung mit Winkel a urn den Ursprung auf X' = (x', y') abo Dieser Bildpunkt besitzt in dem Koordinatensystem, das sich mit derselben Drehung aus dem (x, y)-System ergibt, die Koordinaten (x, y); demnach folgt aus (4) durch Vertauschung von x mit x' und y mit y': Die Drehung der Ebene urn den Winkel a (bei festem Koordinatensystem) (x,y)r-+ (X',y')

(5) I

.

= X cos a - y sm a . Y = x sm a + y cos a

X

/

Jr

Beispiel. Durch Drehung urn a = 6 geht der Punkt M = (2,3) tiber in M' (x

= (.J3 - ~, 1 + ~.J3), - 2)2 + (y - 3)2 = 25 in

der Kreis den Kreis

(x-(.J3-~))2+(y_(1+~.J3))2 = 25 und die Parabel C : y = x 2 in die Parabel C' mit der Gleichung .!.J3xy + '!y2 +.!x - .!.J3y

2

4

2

2

~x2 +

=0 .

0

x

Abb. 14 - Drehung einer Parabel

§4. Vektoren 4.1 Kartesische Koordinatensysteme im Raum bestehen aus drei sich in einem Punkt 0 (Nullpunkt oder Ursprung) rechtwinklig schneidenden Zahlengeraden gleicher Lingeneinheit und jeweils mit dem Nullpunkt im Schnittpunkt O. Man bezeichnet sie als X-, y- und z-Achse, derart, daB diese Achsen ein Rechtssystem bilden; d.h. die Drehung der positiven x-Achse urn 90° in die positive y-Achse, zusammen mit einer Verschiebung in Richtung der positiven z-Achse muB eine Rechtsschraubung darstellen (---+ Abbn. 15, 29). Die drei durch je zwei Achsen bestimmten Ebenen heiBen Koordinatenebenen, bzw. (x, y)-Ebene, (y, z)-Ebene und (z, x)-Ebene. Die Koordinaten Xo, Yo, zo eines Punktes Po gewinnt man aus den Schnittpunkten der entsprechenden Achsen mit den zu den Koordinatenebenen parallelen Ebenen durch Po

18

1. Zahlen und Vektoren

(~ Abb. 15). Man schreibt Po = (xo, YO, zo). Zu jedem Koordinatentripel gibt es genau einen Punkt des Raumes - und umgekehrt. z - Achse

x- Achse

y- Achse

Abb. 15 - Bin kartesisches Koordinatensystem im Raum

4.2 Vektoren. Zu je zwei Punkten P und Q des Raumes gibt es genau eine Parallelverschiebung (des Raumes), die P nach Q bringt (abbildet). Diese

Verschiebung wird mit PQ bezeichnet und heiBt "Vektor von P nach Q". Das Wort "Vektor" bedeutet so viel wie "Trager"; PQ "tragt" P nach Q. Der Vektor PQ wird dargestellt durch einen Pfeil, der von P nach Q zeigt (seine Lange ist der Abstand des Punktes P von Q). Wird unter PQ ein anderer Punkt R nach S verschoben, dann hat offenbar ItS dieselbe Wirkung wie PQ ; d.h. PQ = ItS. Zwei gleich lange und gleich gerichtete Pfeile im Raum stellen somit denselben Vektor dar. Anstelle "der Pfeil reprasentiert einen Vektor" sagt man kurz ist ein Vektor" und berucksichtigt, daB im Raum frei parallel verschoben werden kann und nicht an einen festen Anfangspunkt gebunden ist. Den zu gleich langen, aber entgegengesetzt gerichteten Vektor bezeichnen wir mit er macht die durch bewirkte Parallelverschiebung ruckgangig. Fur = PQ gilt = QP .

a

"a

a

a -a;

a

a

-a

II} Q

p

Abb. 16 - Die zu a,

b

entgegengesetzten Vektoren

-a,

-b.

Zur Vermeidung von Fallunterscheidungen wird der Nullvektor 6 eingefuhrt. 0 bezeichnet die "Verschiebung" des Raumes, bei der gar nichts bewegt wird; d.h. 6 = pP fur jeden Punkt P.

4.3 Die Addition von Vektoren. Fuhrt man anschlieBend an die Parallelver-

a

schiebung = PQ die Verschiebung b = QR. aus, so ergibt sich insgesamt die Parallelverschiebung = PR (~Abb. 17 a). Man nennt die Summe von und b und schreibt dafur = +b.

c

c

a

c a

19

§4. Vektoren

Raben die Pfeile a, b gleichen Anfangspunkt, so gewinnt man die Summe (geometrisch) nach der Parallelogrammregel (-+ Abb. 17b).

p

6

Abb. 17a -

Q

R

PQ + QR = "fiR

Abb. 17b - Parallelogramrnregel

Offenbar gelten fur beliebige Vektoren a, b,

(1)

a+b

a+O=a, a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c

c die folgenden Rechenregeln:

a + (-a)

= 0,

(Kommutativgesetz) , (Assoziativgesetz) .

Die Summe at + a2 + ... + an ist derjenige Vektor s (-+ Abb. 18a), der vom Anfangspunkt zum Endpunkt der aus at, a2, ... , an gebildeten Vektorkette zeigt. Die Differenz von Vektoren wird erklart durch

a - b := a+ (-b) . 5

Abb. 18a - S =

E

Lai

Abb. 18b - Vektordifferenz

Die Rechenregeln (1) garantieren, daB wir mit ,,+" und durfen, wie wir es vom Rechnen mit Zahlen gewohnt sind.

" so umgehen

4.4 Die skalaren Vielfachen eines Vektors. Zu einer reellen Zahl a 2: 0 und einem Vektor a bezeichnet a a (das a-fache von a) denjenigen Vektor, der aber die a-fache Lange. 1m Fall a < 0 setzt man dieselbe Richtung hat wie aa := -(Iala). Sonderfalle dieser Festlegung sind Oa = 0 und aO = 0 fur jede Zahl a und jeden Vektor a. Fur die auf diese Weise erklarte Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (einer Zahl) gelten offensichtlich die

a,

20

1. Zahlen und Vektoren

Rechenregeln (a, fJ

E

lR) :

a (fJa) = (afJ) a , a(a+b)=aa+ab, (a + fJ) a = a a + fJ a .

(2)

1.5Ci

1~5a

/10 0 /07 5

Abb. 19 - Skalare Vie1fache

a

a

(das ist fur = PQ die Lange der Strecke PQ) nennt man seinen Betrag und schreibt dafur lal (oft auch Iia II). Der Nullvektor hat keine positive Lange, d.h. 101 = O. Die Rechenregeln

4.5 Der Betrag. Die Lange eines Vektors

laal = lallal , la+bl:S lal+lbl

(3)

a

insbesondere I - I = la I , (Dreiecksungleichung)

folgen direkt aus den Definitionen. Die Dreiecksungleichung liest man aus der Abb. 17 abo In (3) bedeutet lal den Betrag der reellen Zahl a (--+ 2.5). Ein Vektor vom Betrag 1 heiBt Einheitsvektor. Zu jedem Vektor

a =10

gehort der Einheitsvektor in Richtung

a:

_

1 _

ao:= lala.

4.6 Vektoren im Koordinatensystem. Wir legen im Raum ein kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung 0 fest. Dadurch werden gleichzeitig drei ausgezeichnete Vektoren gegeben, namlich die Einheitsvektoren el, e2, e3 (oft auch I, ], k oder ex, ey , e z bezeichnet) in Richtung der positiven X-, y-, bzw. z-Achse (--+ Abb. 20). Wir nennen (el, e2, (3) eine kartesische Basis und bezeichnen das Koordinatensystem mit (O;el,e2,e3) .

a

Der Vektor = oA heiBt Ortsvektor des Punktes A =(ai, a2, a3) ; er ist, wie die Abb. 20 zeigt, eindeutig zerlegbar als Summe =al el + a2e2 + a3e3 . Abkiirzend schreibt man (bei festgelegtem Koordinatensystem)

a

21

§4. Vektoren

Man nennt aiei die Komponente von a in ei-Richtung (i = 1,2,3) und die Zahlen ai E 1R. die Koordinaten des Vektors a (bezuglich (O;el,e2,e3))'

Fur einen Vektor a in allgemeiner Lage, etwa a = PQ mit P = (Pl, PI, P3) und Q = (ql, q2, q3) gilt PQ = oQ - oP = qlel + q2e2 + q3e3 - PI el - P2 e2 - P3e3 = (ql - PI)el + (q2 - P2)e2 - (q3 - P3)e3 . Das ergibt die Koordinatendarstellung

Die Summe von Vektoren und die skalaren Vielfachen lassen sich aus der Koordinatendarstellung (4) bzw. (5) sehr einfach berechnen: 3

b=L

3

biei

===}

a + b = L(ai + bi)ei, aa

i=l

i=l

3

= L(aai)ei,

a

i=l

Folglich gilt

(6)

Mit dem Satz von Pythagoras liest man direkt aus Abb. 20 ab:

(7)

Beispiel.

( 2)

(0.5) ista+b= (2.5) 10) ~1 ,5a= (-1~

Fura= _~ ,b= ~1

,

E

1R. .

22

1. Zahlen und Vektoren

2a - 3b = (

2.5)

D

3 -24

Hinweis: Den Koordinatenwechsel, also den Ubergang von einem kartesischen Koordinatensystem zu einem anderen, behandeln wir in Kap. 6, 6.6.

§s.

Produkte

5.1 Der Winkel zwischen zwei Vektoren. Tragt man zwei von 0 verschieb von einem Punkt P aus ab, so bezeichnet man den kleinedene Vektoren ren der beiden positiv gemessenen Winkel, den die Pfeile a und b im Scheitel P bilden, als Winkel zwischen a und b, i.Z. 1:(a, b) , mit 0::; 1:(a, b) ::; n :

a,

Abb. 21 -

1: (ii, b)

Aus Abb. 21 liest man direkt als Rechenregeln ab: a)

b) c) d)

Man nennt

a

1: (a, b) = 1: (b, a) , 1:(a,ta)=O, faIlst>O,

1: (a, t a) =n, falls t < 0 , 1: (-a,b) = n - 1: (a,b) .

b,

orthogonal (senkrecht) zu

i.Z.

a

a ..1 b,

wenn

1: (a, b) = ~.

Obwohl zwischen dem NuIlvektor 6 und kein Winkel erklart wird, sagt man dennoch - zur Vermeidung von Fallunterscheidungen (---+ 5.2 (3)) - 6 ist orthogonal zu jedem belie big en Vektor; d.h. 6..1 fur aIle a.

a

a

or

~

Abb. 22 - Verschiedene Winkel

;#to -a

23

§ 5. Produkte

5.2 Das Skalarprodukt

a· b der Vektoren

a und b ist definiert durch

a . b := { I a II bI coos 1: (a,b) , falls a =I 0 und b =I 0 , falls a= 6 oder b = 6

a.

Das Skalarprodukt b, auch inneres Produkt genannt, ist eine Zahl (= Skalar). Andere gebrauchliche Schreibweisen fur a . b sind ab, oder sea, b) . Beispiele. Die Vektoren ei einer kartesischen Basis (-7 4.6) sind stets Einheitsvektoren und paarweise orthogonal, d.h. A --+ (1)

(J e3

= e2 . e2 = e3 . e3 = 1 , el . e2 = e2 . e3 = e3 . el = 0 .

e1 . e1

Wegen lei I = 1 gilt fur einen beliebigen Vektor = al el + a2e2 + a3e3 stets

a

(2)

a. ei = lal cos 1: (a, ei) =ai

(i=1,2,3).

Dies liest man mit ({Ji = 1: (a, ei) direkt aus Abb. 23 abo Damit erhalt man

Abb. 23 - Richtungscosinus

a =(a . edel + (a . e2)e2 + (a . e3)e3

.

Die Faktoren cos 1: (a, ei) nennt man Richtungscosinus von a, sie sind nach (2) genau die Kooordinaten des Einheitsvektors in Richtung insbesondere gilt

a,

D

Rechenregeln fur das Skalarprodukt: a) b) (3)

c)

a· b = b· a

(Kommutativgesetz) ,

(aa)· b = a· (ab) = a(a . b) (a + b) . c= a. c+ b . c

d)

a· b = 0

e)

lal=~a.a.

{:=::?-

a orthogonal zu b

(fur a

E

IR) ,

(Distributivgesetz) , (Orthogonalitatstest) ,

c

Beweis. a), b), d) und e) erg eben sich direkt aus der Definition. c) ist fur = 6 trivial erfullt. 1m FaIle ::j:. 6 legen wir o. E. die positive x-Achse in Richtung dann ist =ae1 mit a > 0 und mit (2), (3b) und §4(6) ergibt sich direkt

c,

c

a .c

c

= aa1, b . c= a b1, (a + b) . c = a (a1 + bd

.

D

24

I. Zahlen und Vektoren

Wegen (3b) und (3c) darf man Skalarprodukte wie gewohnt ausmultiplizieren (man sagt, das Skalarprodukt ist linear in beiden Faktoren ):

(4)

(ajul +a2u2 + ... +anu n)· (bjvj +b2V2 + ... +bmvm) = = albj(ul . VI) + ... +anbm(u n . Urn) .

Beachte. 1m allg. ist (a· b)c verschieden von a(b. c) = (b. c)a. Der eine Vektor ist parallel zu der andere parallel zu a.

c,

Anwendung. Beweis des Cosinussatzes (--7 §3 (3), --7 Abb. 11). 1m Dreieck !1ABC gilt BC = XC - AB und a = 1:(AB, XC). Mit (3c) und (3e) folgt

a 2 = IBCI2 = IXC -

ABI2 = (XC - AB). (XC - AB) D

a = I: a; e; ~

Die KOOfdinatenda<stellun g

G:),

b~

I: b; e; =

G:)

dCf

Vektoren a, b beziiglich einer kartesischen Basis (ej, e2, e3) ermoglicht mit (1) und (4) einfache Berechnungen von a· b und cos 1: (a, b): a· b

b)

cos 1: (a b)=

,

(5)

lal = Jar + a~ + aj ,

= albl + a2b2 + a3h ,

a)

a.~ =

lallbl

albl+a2 b 2+ a 3b3

Jar+a~+ajJbr+b~+bj'

faIlsa,biO,

insbesondere die Richtungscosinus c)

cos1:(a,eJ=

ai

Jar

0=1,2,3)

+a~ +aj

fiir die Basisvektoren el =

(D,

e2

=

(D,

e3

=

(D .

Beispieie. 1. In kartesischen Koordinaten berechnen wir mit (5) fiir

a. b = 2 . 6 -

4 . 3 + 0 . 4 = 0 ; also sind

lal=.J20, Icl=.J2. Damitergibtsich

a·c=2·1+(-4)·0+0·(-1)=2 und

cos 1: (a, c) = ~~

~

r;;;

v20v2 6

cos 1: (b, el) =

1Z1'

a und b orthogonal.

= ~; d.h. im BogenmaB 1: (a, c) = 1.2490458 .... v 10

~~

cos 1: (b, e2) =

v61 ist 1: (b, ed = 0.694738 ... ,

3

1Z1'

~~

cos 1: (b, e3) =

v61 1: (b, e2) = 1.17655 ... ,

4

1Z1'

v61

1m BogenmaB

1: (b, e3) = 1.0331l. ...

25

§ 5. Produkte

2. Sehnen- und Tangentenwinkel am Kreis. Die Gleichung x2 + i-I = 2ay bestimmt fur jedes a E lR einen Kreis durch die Punkte A = (-1, 0) und B = (1,0) mit Mittelpunkt M = (0, a). 1st C = (x, y) ein weiterer Punkt auf dem Kreis, so ergibt sich mit (5b) fur den Winkel y im I'3.ABC (-+ Abb. 24a) (x - l)(x + 1) + y2 cos y = J (x + 1)2 + y2 . J (x - 1)2 + y2

x 2 + y2 - 1 = -)7=(x=:2C=+====Cy2:;:::_=1=:)2C=+=4=y::::;;:2

Mit x 2 + i-I = 2ay erhalt man die konstanten Werte cos y =

a

y

~'

1 +a 2

und

falls y > 0

-a cos y = ~' falls y < 0 . 1 +a 2

Daraus liest man zweierlei ab: -

Auf jedem Kreisbogen iiber AB ist der Peripheriewinkel y konstant.

-

Gegeniiberliegende Winkel in einem Kreissehnenviereck ergiinzen sich zu n:.

~ AS

1 =

Der Vektor

IABI2

~ BC = (x - ~2 + y 2 (a1 ) in B, da ME· 1 = O. Der

+

IBcl 2

Richtung der Kreistangente schen der Tangente in B und der Sehne

AB

hat stets die

Winkel zwiist damit ebenfalls y.

r x

Abb. 24a - Sehnen-, Tangentenwinkel

Abb. 24b - Kugelkoordinaten

x

3. Die Kugelkoordinaten (r, 1/1, ({J) eines Vektor sind in einer kartesischen Basis (ih, e2, (3) wie folgt definiert (-+ Abb. 24b): r:= Ix I, 1/1 := 1: (x, (3) , ({J := Winkel der Drehung von el in Richtung Xl el + X2e2, (0::::: ({J < 2n:) . Wegen (5c) ist rcos1/! =x3 und rsin1/l =rJ1-cos 2 1/1 = IXlel +X2e21, d.h. Xl

=r

sin 1/1 cos ({J, X2

=r

sin 1/1 sin ({J, X3

=r

cos 1/1 .

o

Anwendung: Orthogonale Zerlegung. Yom Ort unabhangige Krafte werden in

der Physik als Vektoren dargestellt. Bewegt sich ein Massenpunkt unter der Kraft K vom Punkt P zum Punkt Q, so ist A=K.s=IKllslcos1:(K,s)

mit

s:=PQ

die dabei geleistete Arbeit. Stellt man K als Summe einer Kraftkomponente Ks in Richtung und einer dazu senkrechten Komponente Kf dar, so ist A alleine durch Ks bestimmt. Man definiert daher allgemein:

s

26

I. Zahlen und Vektoren

Orthogonale Zerlegung von

a tangs

b, falls b =10 .

mit den Komponenten (6)

in Richtung

b und

orthogonal zu

b

(--+ (12».

Abb. 25 - Orthogonale Zerlegung

Beweis. Offenbar weist

gonalitatstest (3d) zeigt

ab in Richtung b und es gilt a= ab + at. Der Ortho~ ~1- ~ ~ ~ a. b ~ ~ ab1- -1 b; denn a- . b = a . b - -~-(b . b) = O. 0 b Ibl 2

Beispiele 1. In jeder kartesischen Basis Uh, f2, (3) gilt fur = a] f] + a2f2 + a3f3 einfach ael =al fl und =a2f2 + a3f3 . Analog fur f2 und f3.

a

at

=}

-1 ~ (0.5 ) (1.5) . ab = Tb = 0 , at =a- ab = 3

-0.5

1.5

3. Keilnut-Reibung. Durch Ausformung einer keilformigen Nut laBt sich die Haftreibung zwischen zwei Maschinenteilen erhohen: Die Belastung K ruft senkrecht zu den Beruhrftachen die Gegenkrafte k und h hervor. Fur die orthogonalen Zerlegungen von k und h langs K gelten die Gleichgewichtsbedingungen:

inRichtungK :kk+hk+K=O, orthogonal zu K : k k + h k =0 . ~

~1-

~1-

~

Abb. 26 - Keilnut

Mit den Winkeln ex, f3 aus Abb. 26 heiBt dies

Ikl sin ex + Ihl sinf3

= IKI

bzw.

Ikl cos ex -Ihl cosf3

=0 .

Lost man dies nach Ikl und Ihl auf, so ergibt sich sich mit dem Reibungskoeffizienten fJ., fur die Keilnut-Reibungszahl fJ.,'

27

§5. Produkte

,

Ikl+lhl

f.L :=f.L

IKI

cosa+cos/3

=f.L sin(a+/3)

(~ Kap. 2, 3(5)). Fiir a = /3 erhalt man f.L' = 5.3 Das Vektorprodukt folgenden Eigenschaften: a) b)

ax b

--!!> Sill a

f.L, falls a

t- O.

o

zweier Vektoren a und b ist der Vektor mit

a x b =6, falls a=6 oder b =6 oder a parallel zu b.

In allen anderen Fallen ist a x b derjenige Vektor, der senkrecht auf und b steht, (2) mit dem (a, b, a x b) ein Rechtssystem darstellt (~ Abb. 28, Rechte-Hand-Regel) und CD dessen Betrag gleich dem Flacheninhalt F des von a, b aufgespannten Parallelogramms ist (~ Abb. 27).

a

CD

Abb. 27 - Vektorprodukt

Zur Festlegung der Richtung von

Abb. 28 - Rechte-Hand-Regel

a x b hat man zwei Hilfsmittel:

Die Rechte-Hand-Regel: Die ausgestreckte rechte Hand mit Zeigefinger in

a-

Richtung wird iiber den kleineren Winkel in Richtung b geschlossen; der abgespreizte Daumen zeigt in Richtung x b. M.a.W.: Weist von der rechten Hand der gestreckte Zeigefinger in Richtung und der abgewinkelte Mittelfinger in Richtung b, so zeigt der zum Zeigefinger rechtwinklig abgespreizte Daumen in Richtung x b (~Abb. 28).

a

a

a

Die Schraubregel: Eine aus der a-Richtung iiber den kleineren Winkel in

Richtung gedrehte Rechtsschraube mit Drehachse senkrecht zu sich in Richtung x b (~Abb. 29a).

a

Fiir den Betrag des Vektors

(7)

a x b gilt laut Definition

b-

a, b verschiebt

28

I. Zahlen und Vektoren

Beispiele. Fur die Vektoren

el x e] = 0

(8a) (8b)

fh , e2, e3 einer kartesischen Basis gilt stets

-

e3 , e) x e3 = -e2 , e2 x e] = -e3 , e2 e2 5 , e2 x e3 = el , e3 x e3 = 5 , e3 x el = e2 , e3 x b = -b2e] + ble2, falls b = hel + b2e2 + b3e3 .

,

~

e)

x x

~

e2

= =

(8a) folgt direkt aus der Definition und der Rechte-Hand-Regel. Fur (8b) betrachte man die zu e3 senkrechte Komponente von b, d.i. b) e) + b2e2 (~ Abb. 29b), sie besitzt die Lange Ibl sin -f(e3, b) und geht durch eine Drehung urn a = +~ in der (X),x2)-Ebene in den Vektor -b2eI +ble2 uber (~ 3.4 (5)). Dieser Vektor erfullt wegen (7) die Forderungen CD, CD, 0. 0

Beweis.

Abb. 29a - SchraubregeJ

Abb. 29b - Konstruktion von

e3 x b

ax (b x c) ¥ (a x b) xc. -e2 = el x e3 = el x (el x e2) ¥ (el x eI) x e2 = 0 .

Beachte. Das Vektorprodukt ist nicht assoziativ, da i. a.

So ist z.B.

Rechenregeln fur das Vektorprodukt:

a) b) c)

(9) d) e)

axa=O, a x b = -(b x a) , a(a x b) = (aa) x b = a x (ab) (fur a E IR), a x (b + c) = a x b+ a x c (a + b) x c = a xc + b x c (Distributivgesetze ), a x b = 5 {:==} a = 5 oder b = 5 oder a, b parallel la

x

bl 2= lal 21bl 2- (a· b)2 .

(Parallelitatstest),

Beweis. a), b), d) und e) ergeben sich leicht aus der Definition, wobei fur e) nur

(sin
a

29

§5_ Produkte

Aufgrund des Distributivgesetzes lassen sich Produkte in gewohnter Weise ausmultiplizieren (das Vektorprodukt ist in jedem Faktor linear): (ajUj+---+anun)x(bjv]+---+bmvm)=ajh(uj XVj)+---+anbmCu n xVm)_

Insbesondere erhiilt man in einer kartesischen Basis (ih, e2, e3) mit (8a) fur ii = a]ej + a2e2 + a3e3 und b = b]e] + hze2 + b3e3

ii x

b =(a2b3 -

a3b2)e] + (a3bj - ajb3)e2 + (ajb2 - a2bde3 _

In anderer Schreibweise: (10)

Als Gediichtnisstutze schreibt man (IO) oft in Form einer formalen 3-reihigen Determinante, die nach der Regel von SARRUS auszuwerten ist (~ Kap. 6,5.1):

( :~) (:~) I~~ :~ :~ I a3

x

=

b3

e3 a3

b3

Zwei nutzliche Identitiiten bestiitigt man leicht mit (10) (11)

a)

b)

ii x (b x c) =(ii . c)b - (ii . b)c

(~

(ii x b) . (c x d) =(ii . c)(b . d) - (b . c)(ii . d)

(Grassmann)

Speziell ergibt sich durch Vergleich von (IIa) mit (6) fur form fur die orthogonale Komponente von ii liings b: ~-L

a b-

(12)

I ~ ~ = --=;-b x (a

Ibl

2

Aufg. 2):

(Lagrange)

b =10

eine Produkt-

~

x b).

Beispiel 1. Der FHicheninhalt eines Dreiecks ABC ist F = i IAS x XC I . Fur A=(I,2,3), B=(-2,0,4), C=(-I,-1,2) ergibt sich mit (ge) F =

~I(=~) x C=~)I = ~,h4 -14 -

IF =

~ffs =4.330127...

0

Beispiel 2. Das Moment einer Einzelkraft K, die im Punkt A angreift, ist in bezug auf den Ursprung durch rno := oA x K gegeben (Einheit ist Nm, ~ §7). Fur A = (1, 2, 3) und

K=

(-~)

erhiilt man

rno

= (

-~).

0

30

I. Zahlen und Vektoren

5.4 Das Spatprodukt. Eine Kombination aus Skalarprodukt und Vektorprodukt ist das aus je drei Vektoren gebildete Spatprodukt

[ii,

b, c]

:= ii . (b x c) .

c

Satz 5.1. Der von den Vektoren ii, b, aufgespannte Spat (---+ Abb. 30a, aueh Parallelflaeh oder Parallelepiped genannt) hat das Volumen V = I [ii,

b, c] I .

Beweis. Die Grundftaehe mit den Kanten b, c hat den Flaeheninhalt F = Ib x cl (---+ Def. des x-Produkts). Die Hohe h des Spats beziiglieh dieser Grundftaehe betragt h = liiZ;xc I mit der Komponente von in Riehtung des auf der Grundftaehe senkreeht stehenden Vektors b xc. Mit (6) ergibt sieh

a

h

= I ii ~ (b : Ib

X

c) el 2

b x cl

und damit V

= F . h = Iii· (b x c)1 . ~

D

~

bx c

Abb. 30a - Spat

Abb. 30b - Tetraeder

Folgerungen

CD

Das Volumen eines Tetraeders mit den Kanten

a, b, c betragt

1 VSpat = 6 11[~b~~] VTetr = 6 a, ,e I .

TEST for lineare Unabhiingigkeit.

a,

Die Vektoren b, c sind nieht parallel} zu einer Ebene (man sagt, sie sind linear ~ [a, unabhangig)

CD

TEST for Reehtssystem. (a,

Beweis.

CD

b, c) ist ein Reehtssystem

~

b, c] =I O.

[a,b,c]

> O.

"Tetraedervolumen = ~ . Grundftaehe . Hohe" (---+ Abb. 30b).

o Nur dann bilden ii, b, c die Kanten eines eehten Spats mit Volumen =I O. CD An einer Skizze erkennt man, daB

(a,

b, c)

genau dann ein Reehtssystem ist,

31

§5. Produkte

wenn derWinkel zwischen a und bxc spitz ist, d.h. wenn O:s 1:(a,bxc):s ~ gilt. Das ist gleichbedeutend mit a· (b x c) = lallb x cl cos 1:(a, b x c) > O.

a L

L

L Ciei

Fur = aiei, b = biei und c = erhalt man mit (10) und (Sa)

0

(in kartesischen Koordinaten)

Dies ist der Wert einer dreireihigen Determinante (--+ Kap. 6, §S), namlich al

bl

[a,b,c] = Ia2 h a3

Beispiel 1. Fur die Vektoren

Fil, VI

~ ~(

I

.

0) ,

(=1)

a= b = (~~), c = c spannen einen Spat mit Volumen

(13) [a, b, c] = -12. a, b, ein Tetraeder mit Volumen VTetr

Be~picl 2.

CI

C2 b3 C3

=2

ergibt sich aus VS pat

auf.

= 12

1), "2 ~ - ~ (1), v, ~ ~ ( -;,)

und

o

gilt

IVil=l, Vi·vj=O,fiir i=j.j und [VI, V2, V3] = 1. VI, V2, V3 bildenein Rechtssystem, sie stellen die Basisvektoren eines gedrehten kartesischen Koordi0 natensystems dar (--+ Kap. 6, 6.6). Beispiel 3. Nichtorthogonale Zerlegung (--+ Abb. 31). Die drei Stabe eines Tragbockes fuhren von der Spitze S in Richtung der drei Einheitsvektoren =

el, b =

~ ( ~1)'

c=

~ (i 3 ).

a

In S zieht die Kraft

K = 60N(JJ

und ruft in A, B, C die Lagerreaktionen KA = aa, KB = {3b, Kc = yc hervor. a, {3, y ergeben sich aus der Gleichgewichtsbedingung

K + KA + KB+ Kc = K + aa + {3b + yc = 6 .

a, ax b skalar CD)

Multipliziert man diese Gleichung der Reihe nach mit b xc, Cx durch, so verschwinden je zwei Summanden (--+ Definition von x

(bxc).K+a(bxc).a=O =>

a=-[~'~'~]

=-20N,

(cxa).K+{3(cxa).b=O =>

{3=-[~'~'~]

=40v'2N,

[a,b,c]

(axb).K+y(axb).c=O => y=

[b,c,a]

[K,a'~]=_20vT1N. [c, a, b]

o

32

1. Zahlen und Vektoren

Abb. 32 - Wiirfel

Abb. 31 - Tragbock

Beispiel 4. Das grofite Quadrat in einem Worfel. 1m Wiirfel W (-+ Abb. 32) mit den 8 Ecken (±1, ±1, ±l) sind auf den Wiirfelkanten 4 Punkte ausgewahlt (-1 ~a,b~ 1): A = (1,a,-I), B=(b,I,-l), C=(-I,-a,l), D= ( -b, -1, 1). Die vier Punkte liegen stets in einer Ebene, da

[AB. BC, cD] = [

(7 ~ ~), (=~2::~)' (=~o:~) 1

= 2(b - 1)(1 - a) + 2(1 - a)(1 - b) ABCD ist stets ein Parallelogramm, da Flacheninhalt ist F =

lAB x BCI = 2J(1

AB = -cD

und

=0 . AD = BC.

Der

- a)2 + (1 - b)2 + (1 - ab)2 .

AC· ED = 0,

dh. 1 + a + b = O. ABCD ist ein Quadrat, wenn zusatzlich IACI = IEDI ,d.h. a 2 = b 2 ; das ist nur dann der Fall, ABCD ist eine Raute, wenn

wenn a

=b = - ~ . Dieses Quadrat hat den Flacheninhalt ~.

0

Aufgaben 1.

PI, P2 , •.• , P6 seien die Ecken eines reguliiren Sechsecks im Raum.

a) Man suche Bedingungen, welche die Lange und die gegenseitige Lage der Vektoren PI P2 und P2P3 bestimmen! b) Man bestimme P3 , P4 , Ps und P6 fur den Fall, daB PI = 0, P2 = (,J3, 1,0) und el ..L P2 P3 . 2. Man rechne (11) explizit mittels (10) fUr den Fall a = e3, trivialen Faile bleiben dann noch zu diskutieren? 3. Man bestatige [G,

b, c] = [b, c, G] = [c, G, b]

und

b = £lei + {Je2

[b, G, c] = -[G, b, c].

nacho Welche

33

§5. Produkte

4. 1m Wurfel mit den 8 Ecken (±I, ±I, ±I) bestimme man die Einheitsvektoren d1 , ••• , d4 in Richtung der vier Raumdiagonalen, fUr welche e3' di > (i = 1,2,3,4) und berechne aIle Winkel, die zwischen den di moglich sind.

°

5. Man berechne fur die Vektoren des

IR?

x langs

a) die orthogonale Zerlegung von

y

bzw. langs

Z,

b) folgende Ausdriicke und gebe eine geometrische Deutung:

y)y ; [x,y,z] ;

(x·

(x + y) x (x -

y) ;

(x + y + 2z) . z ;

(x x y) x Z- x x ()i x z) ; (4x . y)z -

()i . 3z)x

6. Ein Massenpunkt P bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w auf einer Kreisbahn (Mittelpunkt 0, Radius r). Der Ortsvektor der Geschwindigkeitsvektor und der Win(Iwl = w) bilden kelgeschwindigkeitsvektor ein Rechtssystem, der Beschleunigungsvektor ist = -w 2 Man zeige mit Ivl = wr

x,

a

w

.

v

x.

p

v = wx x, a= wx (w x x) .

7. Die 5 reguliiren konvexen Polyeder (konvexe Polyeder mit kongruenten Seitenftachen).

Polyeder Tetraeder Wurfel Oktaeder Dodekaeder 1kosaeder

Seitenftachen

Kanten

Ecken

4 gleichseitige Dreiecke 6 Quadrate 8 gleichseitige Dreiecke 12 regulare Funfecke 20 gleichseitige Dreiecke

6 12 12 30 30

4 8 6 20 12

1st das Oktaeder mit den Ecken (±I,O,O), (O,±I,O), (O,O,±I) und das Tetraeder mit den Ecken (1, I, I), (I, -I, -I), (-I, -1, I), (-I, I, -I) regular? Man berechne die Volumeninhalte.

34

1. Zahlen und Vektoren

§ 6. Geraden und Ebenen 6.1 Parameterdarstellungen einer Geraden. Ein Punkt X liegt genau dann auf der Geraden g durch A in Richtung i- 0 (---+ Abb. 33), wenn AX parallel ist zu d.h., wenn es eine Zahl t E lR gibt mit AX = tc. Man sagt hierzu: g hat die

c, c

(1)

c;

Punkt-Richtungsgleichung

AX = tc,

t

E

x p

lR.

Abb. 33 - Gerade durch A liings C

Die in (1) auftretende Variable t nennt man einen Parameter; zu jedem Parameterwert t = to gehort genau ein Punkt Xo auf g mit kfo = toe - und umgekehrt.

Wegen AX = PX darstellen durch

- PA

laSt sich g in bezug auf einen beliebigen Punkt P

I px = PA + tc,

(2)

t

E

lR.

I

Wird nun im Raum ein kartesisches Koordinatensystem (0; ih, e2, e3) festgelegt = CI el + cZe2 + C3e3 durch 2 verschiedene Punkte A = (aI, az, a3) , und wird B = (bI, bz, b3) bestimmt - d.h. Ci = b i - ai, i = 1,2,3 - dann geht (2) - mit P = 0 - uber in

c

I oX = 01 + tc = 01 +t(oB - 01),

(3)

t E lR

und ein Komponentenvergleich ergibt fur die Geradenpunkte X drei Gleichungen (4a) bzw. (4b)

Xi

= ai + tCi,

t E lR (i

Xi = ai + t(b i - ai), t

E

= 1,2, 3)

I = (Xl, Xz, X3)

die

Punkt-Richtungs-Gl.

lR (i = 1,2,3) Zwei Punkte-Gl.

Jede der Formeln (1)-(4b) nennt man eine Parameterdarstellung von g. Beispiel. Die Gerade g durch A = (1,0, -1) in Richtung eine Parameterdarstellung

c= el + ez + 2e3

hat

35

§6. Geraden und Ebenen

In Komponenten lautet sie:

= 1 + t, X2 = t, X3 = -1 + 2t . Zu den Parameterwerten t = 1, -1, 5 gehoren die Geradenpunkte BI = (2, 1, 1) , B2 = (0, -1, -3), B3 = (6,5,9). Demnach besitzt g ebenfalls die ParameterXI

darstellung (Zwei-Punkte-Gleichung in Komponenten) XI

=6 -

6t, X2

=5 -

6t, X3

=9 -

I2t .

D

6.2 Die Koordinatengleichungen einer Geraden. Lost man jede der Gleichungen aus (4b) nach t auf und setzt die Ausdrucke gleich, so erhalt man fUr die Gerade durch A = (ai, a2, a3) und B = (bl, b2, b3) eine parameterfreie Darstellung mit zwei Gleichungen: Koordinatengleichungen der Geraden durch A, B a)

b) (5)

c)

XI

-al bl - al

= b2 -a2 ,

X3 - a3 b3 - a3

= bl -

X2 - a2 b2 -a2

= b3 -

XI

X3 X2

= al , = a3, = a2,

X2 -a2

XI -

X3

= a3

,

falls b3

= a3, bl =I ai,

b2

=I a2,

al , X2 al

= a2

,

falls b2

= a2, b3 =I a3,

bl

=I ai,

= al

,

falls bl =al, b2 =la2, b3 =la3,

X3 - a3 , a3

= a2 = al X3 = a3

X2 XI

XI

falls bl falls b3 falls b2

, , ,

= ai, = a3, = a2,

b2 bl b3

= a2, b3 =I a3, = ai, b2 =I a2, = a3, hi =I al·

Aus der parameterfreien Zwei-Punkte-Form fur g findet man uber

t :=

~; :::: ~;

mit dem Index i , fur den b i =I ai gilt, zur Parameterform (4b) zuruck. Beispiel 1. Die Gerade Koordinatengleichungen

XI

=4 -

9t, X2

= 2,

X3

=1+t

(t

E

JR) hat die zwei

4-xl

- 9 - = X3 - 1, X2 = 2 . Beispiel 2. Die Gerade mit den Koordinatengleichungen

D

XI -

5

3

X2 + 1 = -7-

X3 =

4 besitzt die Parameterdarstellung xI=3+5t, x2=-I+7t, x3=4;

sie geht durch die Punkte (3, -1, 4) und (8, 6, 4) .

D

36

I. Zahlen und Vektoren

6.3 Die Momentengleichung der Geraden g

durch A

III

Richtung e

(-+ Abb. 33) lautet fur einen beliebigen Bezugspunkt P:

Momentengleiehung

(6)

=-* ~ px x e

= mp ~

AX = PX - PA genau (PX - PA) x c= 6 gilt (-+ §5 (9d)).

Es ist namlich

~ -=--* ~ mp=PAxe.

mit

dann parallel zu e, wenn

AX

x

c=

Die Darstellung (6) ist insbesondere dann zweckmaBig, wenn g die Wirkungslinie der Kraft c ist, die bezuglich P das Moment mp = PA xc besitzt (-+ §7). Nach §5 (12) ist ~

(7)

PS

1 ~ (-=--* ~) 1 ~ ~ = -I~ 2 e x PA x e = ~e x mp el lei

der Lotvektor von P auf g und demnach =-* Px

~ ~ = lel1~ 2 ex mp + te,

t

E

lR

,

eine Parameterdarstellung der durch die Momentengleichung (6) dargestellten Geraden g. Beispiel. 1m kartesischen Koordinatensystem (0; ih, e2, (3) hat die durch

bestimmte Gerade g die Richtung /4

(~)

x (::::

~)

=

/4 (

-~)

c = ( ~) . Ferner ist OS = ! 2 C x m = lei

3

der Lotvektor vom Ursprung 0 auf g, insbe-

sondere S = /4(5, -4, 1) ein Geradenpunkt. Demnach lautet eine Parameterdar5 2 1 D stellung von g: XI = 14 + t, X2 = -7 + 2t, X3 = 14 + 3t.

6.4 Abstand Punkt-Gerade. Der Lotvektor vom Punkt P auf die Gerade g durch A in Richtung

c ist PS

=

Ic112 C x (PA x c)

(-+ Abb. 33 und (7)), sein

Betrag gibt den Abstand d des Punktes P von g an; also gilt

(8)

37

§6. Geraden und Ebenen

Beispiel. Der Abstand des Punktes P = 1 + t, X2 = 1 - t, X3 = 2 betragt

= (15, -2,6)

von der Geraden g :

Xl

d=

=

1

v'I2+Ti

1(-I~) x (-~)I -4 0

~J(-4)2+(-4)2+112=Jl;3 ~8.746.

o

6.5 Abstand Gerade-Gerade. Der Abstand d der beiden Geraden -=-*-=-*~

Ox = OA+tu,

OX = oR + tv

(t

E

IR, U, v ¥ 0)

ist gegeben dureh a)

d

b)

d

(9)

= lAB x ul

lui ' = I[A!' U.:, v]1 lu x vi

falls U, falls

v parallel sind,

ux v¥ o.

Beweis. 1m ersten Fall wird der Abstand mit (8) bereehnet. 1m andem Fall (u, v nieht parallel) ist d der Betrag der Komponente von AB in := x Riehtung des Vektors der auf u und v senkreeht steht (---+ Abb. 34). Mit Formel (6) aus §5 - fur = AB, b = x V - folgt die 0 Behauptung.

n

a

u v,

u

Abb. 34 - Abstand zweier Geraden

Beispiel. Die Geraden gl:

Xl

g2:

Xl

= 2 + 3t, X2 = 4, X3 = -1 + t = t, X2 = 1 + t, X3 = 5 - 3t o

Foigerung aus (9). Die beiden Geraden

gl, g2 sehneiden sieh genau dann, wenn d = 0 ist. Sind gl und g2 nieht parallel, so haben sie also genau dann einen gemeinsamen Sehnittpunkt, wenn [AB, u, v] = o.

38

I. Zahlen und Vektoren

Der eindeutig bestimmte Sehnittpunkt Xs erftillt mit gewissen Zahlen tl, t2

E

lR .

Multipliziert man diese Beziehung vektoriell mit u bzw. ii dureh, so ergibt sich tlu x ii = AS x ii und t2u x ii = AS xu. Da u x ii =f 5 ist, kann hieraus leieht tl und t2 abgelesen werden; damit ist Xs bestimmt. XI = 0, X2 = 2t, X3 = 1 + t und

Beispiel. Ftir die beiden Geraden gl :

g2: xI=I+t, x2=2, x3=3+t gilt UXii=(J2 ) , AS=(i). Damitist [AS, U, ii]

= 0,

tl

= 1,

t2

= -1

und Xs

= (0, 2, 2)

der Sehnittpunkt.

D

6.6 Parameterdarstellungen einer Ebene. Wir betraehten die Ebene E mit dem "Aufpunkt" A und den (von 5 versehiedenen und nieht parallelen) Riehtungsvektoren U, ii (--+ Abb. 35). Ein Raumpunkt X liegt genau dann auf E , wenn sieh der Vcktor AX darstellen liiBt in der Form AX = tu + sii mit Zahlen t, S E lR. D.h. man hat (mit den beiden Parametem t, S E lR) Abb. 35 - Die Ebene E die (10)

Parameterdarstellung von E

AX =tu + sii

(t, S E lR) .

Wird ein kartesisehes Koordinatensystem (O;lh,/h,e3) festgelegt, so daB A = (ai, a2, a3), ii = Ujej + U2e2 + U3e3, ii = Vlej + V2e2 + V3e3, dann ist (10) iiquivalent zu den 3 Koordinatengleiehungen (10a)

xi=ai+tui+SVi

(i=1,2,3; t,SElR).1

Werden u und ii dureh die drei versehiedenen Punkte A = (aj, a2, a3), B = (b l , b2, b3), C = (Cl, C2, C3) bestimmt, u = AS, ii = XC (d.h. Ui = b i - ai, Vi = Ci - ai ), dann geht (10a) tiber in die Drei-Punkte-Gleichung der Ebene E

(10b)

xi=ai+t(bi-ai)+S(ci-ai) U=I,2,3; t,sElR)

mit A

= (aj, a2, a3),

B

= (b l , b2, h)),

C

= (CI, C2, C3)'

39

§6. Geraden und Ebenen

6.7 Parameterfreie Darstellungen einer Ebene. Ein Punkt X liegt genau dann auf E (E wie in 6.6, ~ Abb. 35), wenn die Vektoren = XC zu E parallel sind; genau in diesem Fall gilt (~ 5.4)

v

AX, u = AB ,

(11)

Dieses ist eine parameterfreie Drei-Punkte-Formel fur E in Determinantenform. (11) bedeutet, daB AX· (AB x XC) = O. ii:= AB x XC steht also senkrecht auf E ; man nennt ihn daher einen Normalenvektor von E und (12)

AX. ii = 0

(A Aufpunkt,

ii Normalenvektor von E)

eine Normalengleichung von E. In kartesischen Koordinaten entsteht hieraus fur X = (Xj, X2, X3), A =(aj, a2, a3) und ii =njej + n2e2 + n3e3 die (13)

Koordinatendarstellung von E . njXj +n2X2 +n3X3 = emIt c:= ajnj +a2n2 +a3n3 = --=--* OA· n-

Wird E wie in (12) bzw. (13) durch einen Aufpunkt A und einen Normalenvektor ii gegeben und ist P ein beliebiger Raumpunkt, dann stimmt der Lotvektor PS von P auf E uberein mit der Komponente von PA in Richtung ii. Also gilt (~ §5 (6» (14)

=-ZPS

= P-=-*A . n- -

liil 2 n. Abb. 36 - Der Abstand P von E

Insbesondere ist der

Abstand des Punktes P von der Ebene E

(15)

d

-=-*

-

= IPSI = IP~' nl Inl

1st liil = 1, so gibt bereits d = IPA. iii den Abstand von P und E. Man nennt die Darstellung (13) nach O. L. HESSE (1811-1874, 1868 TH Munchen) HESSE-Normalform der Ebene E njXj + n2X2 + n3X3

=c,

wenn ni + n~ + n~

=1

und c::::

o.

40

i. Zahien und Vektoren

Man gelangt von einer beliebigen Koordinatendarstellung (13) von E nach Division durch

±jni + n~ + n~

zur HEssE-Normalform.

1st nixi + n2x2 + n3x3 =e in HEssE-Normalform, so gilt: 1. Der Normalenvektor ii =ni(h +n2e2 +n3e3 weist, wird er in einem Punkt von E angetragen, vom Nullpunkt weg. 2. Es ist e der Abstand des Nullpunkts von E. 3. Ein beliebiger Punkt P hat von Eden Abstand d = Ie - oP . iii . 4. Falls 0 ~ E , gilt ee-

oP . ii oP . ii

> 0

{=}

0, P liegen auf derselben Seite von E,

< 0

{=}

E trennt 0 und P .

Beweis. Formel (14) mit P = 0 zeigt OS =(GA. ii)ii =eii, woraus man sofort 1. und 2. abliest. Die anderen beiden Behauptungen ergeben sich ebenfalls aus (14) (~ Abb. 36): PS = [(GA - oP). ii]ii = (e - oP . ii)· ii. 0 Bringt man die Koordinatendarstellung (13) einer nicht durch den Nullpunkt gehenden Ebene auf die Form (Aehsenabsehnittsform) ,

so kann man daraus sofort die ,,Achsenabschnitte" (d.h. die DurchstoBpunkte der Achsen durch E, ~ Abb. 37) ablesen: Ai

=(al1 ' 0, 0),

A2

= (0, a2' 0) ,

A3

= (0, 0, a3) ,

1

1

sofem aIle ai =I O. 1m Fall ai = 0 ist E parallel zur xi-Achse; entsprechendes gilt fur a2 = 0, a3 =0 .

Abb. 37 - Die Achsenabschnitte von E

SchlieBlich sei noch bemerkt, daB man aus einer (beliebigen) Koordinatendarstellung nixi + n2x2 + n3x3 = e der Ebene E leicht eine Parameterdarstellung findet. 1st etwa n3 =I 0, dann kann man Xi = t, X2 = s (beliebig aus lR) wahlen und X3 aus Parameterdarstellung

X3

= -.l(e n3

nit - n2s) berechnen. Das ergibt bereits die

41

§6. Geraden und Ebenen

der Ebene; sie enthalt den Aufpunkt A

= (0,0, -n3c )

Beispiel. Gegeben sei

5X2

E

durch

3Xl -

= -5. 5 - T v'2 X3 = 65 . -2"1 X l + 6X2

. · H ESSESC he N ormaIform h'lervon 1St DIe

Der Abstand des Ursprungs von E betragt Eden Abstand Idl mit

und die Richtungsvektoren

+ v'2x3

~.

Der Punkt P

= (4, 5, 6)

d= c - ('j"'p . ii = ~ - (-~ + 2i - 6f!) = 0.08088 ....

Weil d > 0, liegen 0 und P auf derselben Seite von E. Ferner ist x2

=S,

X3

= ~v'2( -5 -

hat von

3t

+ 5s) (s, t

diese liefert den Aufpunkt A

u=

E

und die Richtungsvektoren

( 1)

(0)

0

= t,

IR) eine Parameterdarstellung von E;

=(0, 0, -~v'2) -~J2'

Xl

v=

2

D

1

~J2' 2

6.8 Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen. Eine Gerade

g kann man auf-

fassen als Schnittgerade zweier nicht paralleler Ebenen El: E2:

+ n2X2 + n3x3 + m2x2 + m3x3

nlXl mlxl

= Cl , = C2 . ii = L~>iei'

m L miei

Das Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren = ist parallel zu beiden Ebenen, zeigt also in Richtung der Schnittgeraden. Kennt man einen Punkt A auf g, dann besitzt man sofort mit

OX = oA + t(ii

x m)

eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden g. Man beachte, daB sowohl (5) als auch die sich aus (6) durch Komponentenvergleich ergebenden Gleichungen - nach Umformung - die Gerade gals Schnittgerade von Ebenen beschreiben.

6.9 Die Winkel zwischen zwei Ebenen und zwischen einer Ebene und einer Geraden. Die Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen stimmen iiberein mit den beiden Winkeln, welche die dazu senkrecht verlaufenden Normalenrichtungen einschlieBen. Sind also ii 1, iiz N ormalenvektoren der Ebenen El, E2, dann sind ({Jl , eindeutig bestimmt durch (16) und ({J2 =IT - ({Jl die beiden (positiv gemessenen) Winkel zwischen El und E2. In der Regel wird nur ({Jl als "der Winkel zwischen E lund E2" bezeichnet.

42

1. Zahlen und Vektoren

Als Winkel zwischen einer Geraden g in Richtung und einer Ebene Emit Normalenvektor ii bezeichnet man den Winkel zwischen und der zu ii orthogonalen Komponente

c

c

! 2ii x (e xii)

Inl

(-+ §5 (12)) von

~~~

e.

/.

Fur diesen Winkel cp gilt (Skizze!) = ~ --): (e, Ii) und somit (-+ Kap. 2, §3 (4))

cp

Abb. 38 - Winkel Gerade-Ebene

Winkel zwischen Gerade und Ebene

.

(17)

Iii . el

sm cp = liil . lei .

Beispiel 1. Spharische Trigonometrie. Auf der Einheitskugel {X ; loXl = 1 } h, die im Raum sind durch drei Punkte A, B, C mit den Ortsvektoren drei Ecken eines spharischen Dreiecks gegeben. Die Seiten a, b, c des Dreiecks sind diejenigen GroJ3kreisbogen BC, CA, AB, fur die O:s a, b, c :s:rr erfiillt ist. Daher gilt

a,

e

a.

a,

cos c = h , cos a = h. e, cos b = e . sina = Ih x el, sinb = Ie x ai, sinc = la x hi

(18)

Die Winkel a, fJ, y des Dreiecks sind als Schnittwinkel der GroBkreisebenen durch a, b, c bestimmt, a

= -):(OAB, OAC), fJ = -):(OBC, OBA),

y

= -):(OCA, OCB)

,

daher ergibt sich mit der LAGRANGE-Identitat (-+ §5, (llb)) aus (16): cos a

= (a x h)_ . (a x c) = (a . a)(h . e) - (h . a)(a . e) la x bl . la x el

-'---------''--'-----'=_-'--------'---'--------:...

la x blla x el

c o B

A Abb. 39 - Spharische Dreiecke

43

§6. Geraden und Ebenen

Setzt man

a· a= 1

und (18) ein, so erhiilt man den

1. Cosinussatz der sphi.irischen Trigonometric

cos a

=cos c cos b + cos ot sin c sin b

Analog bestiitigt man vektoriell den 2. Cosinussatz der sphi.irischen Trigonometric

cos ot

=-

cos fJ cos y + cos a sin y sin fJ •

und den Sinussatz der sphi.irischen Trigonometric

sma sin ot

sin b sin c = sin fJ sin y

Beispiel 2. Grundaufgaben des CAD. Von der Einheitskugel mit Mittelpunkt (0,0, 1) solI ein SchriigriB in der Ebene X3 = bestimmt werden, indem man parallel zur Richtung + e2 - 2e3 beleuchtet. Die Abbildungsgleichung ergibt sich aus der Parameterdarstellung des Lichtstrahls durch den Punkt X = (x, y, z) :

°

el

G)

=

m{D, +

t

Abb. 40 - SchriigriB

de DicscrlriITt die Ebene

dem Bildpunkt mit den Koordinaten

Xl

=~ ,

X2

= 1],

X3

X3

=0

fut

t

= 3:.2

in

= 0, wobei

Diese beiden Gleichungen stellen eine lineare Abbildung des m? in den m? dar (~ Kap. 6). Urn den UmriB des Schattens zu bestimmen, bringen wir den + + (X3 - 1)2 = 1 Projektionsstrahl durch den Punkt (~, 1],0) mit der Kugel zum Schnitt (~ + t)2 + (1] + t)2 + (- 2t - 1)2 = 1

xl xi

und erhalten eine quadratische Gleichung fur t: 6t 2 + (2~ + 21] + 4)t + (~2 + 1]2)

=

°.

In UmriBpunkten trifft der Lichtstrahl die Kugel genau in einem Punkt, daher muB in diesen Punkten die Diskriminante (2~ + 21] + 4)2 - 4 . 6 . (~2 + 1]2)

44

1. Zahlen und Vektoren

verschwindeno Diese Bedingung stellt bereits die Gleichung des Umrisses dar: 5~2

+ 51']2 - 2~1'] - 4~ - 41'] - 4 = 0

(~, ~),

Das ist eine Ellipse mit Mittelpunkt

0

deren Achsen urn 45° gedreht sind

und deren Brennpunkt im Nullpunkt liegt (DANDELIN-Kugel)o

0

Darstellungen und Umrechnungen fiir Ebenen im Raum Darstellungen:

CD

Parameterdarstellung: x = a + tb +

CD

(X = (x, y, z) Punkt auf der Ebene,

a= oA,

A

sc,

t, s E lR; b x c=j. 0 Aufpunkt; b, c Richtungsvektoren

Koordinatengleichung: ax + by + cz + d = 0 ; ® n (x - xo) = 0 ; no x = do; Inol = 1, do?. 0

o 8

x := OX

:k::, I

, , , . ...

(a, b, c) =j. (0, 0, 0) n=j.O

0

(HESSE - Normalform)

0

Umrechnung:

(~) = n = b xc;

xo

= a; d = -n

0

xo ;

Nach x aufti::isen, falls a =j. 0 (nach y fur b =j. 0 bzwo nach z fur c =j. 0) und y, z ( x, z bzwo x, y) als Parameter s, t nehmeno Fur die Ebene x - y = 5 ZoB.: x-y=5 x=5+t y=t =} y= t

z=s

@ ---+@ @ ---+@ @ ---+@ @ ---+@ @ ---+@

d=

-n

0

z=

xo;

(!)

s

(jeweils fur den Fall a =j. 0, b =j. 0, c =j. 0 )

=

n

do

= In

do

= Idl/v'a 2 + b2 + c 2

0

xol/lnl; no

0

= (sgn(n ;

no

0

xo)/lnl) n

0

=(-(sgn(d))/v' a 2 + b2 + c2 )

Skalarprodukt explizit ausrechnen n = no , xo wie in

0

(nicht relevant)

@ ---+ @ bestimmen -

(!)

0

(nicht relevant)

0

0

45

§6. Geraden und Ebenen

Darstellungen und Umrechnungen fur Geraden im Raum Darstellungen:

CD

x := OX )

(X = (x, y, z) Punkt auf der Geraden g,

Parameterdarstellung:

x = a+ tb, t E IR.; b i 5 a= oA, A = (ai, a2, a3) Aufpunkt;

b Richtungsvektor

Koordinatengleichungen : ~

~

0

~

; nli ~ O~ n2 . x = d2 ; n2 i , (Darstellung als Schnitt zweier Ebenen)

. nl·x=dl g. { ~ ~

CD

Momentengleichung:

x x k = m; k i 5 mit k· m = 0

(g ist Wirkungslinie der Kraft k mit Moment oder PX x k = mp mit Moment mp = m - M x

m bzgl. k

0)

bzgl. P

Umrechnung:

CD . . . . 0 :

b1iO, b2iO und b3iO

=0, =0,

bl bl

b2 i 0 und b3 i 0 b2 0 und b3 i 0

=

=} =} =}

g:

;2

=Y b =zb;' (=t). g: Yb zb;' , x al . g: x ai, Y a2· xb1a 1

;2 =

=

=

=

(Analog die anderen Moglichkeiten) b =ih X n2 . Fur setze man in 0 x =0, falls b l i 0 ; y =0, falls b2 i 0 ; z =0 , falls b3 i 0 und lose 0 auf nach y, z (x, z bzw. x, y )

a

. { 3x + 7y + 9z - 5 = 0 2x + 4 y + 8z - 6 = 0

g.

b3 ,,0

~ z=0 ~

g;: l; : ~ ~ a

k=b; m=axb. b = k; a=10 , wobei g.

allg.

= (

~~)

Ip = 1-l12 (k x mp)

.

das Lot von P auf

m

k = nl

x n2; = d21h - dln2 . (Beachte: m= x x (n I x n2) = (x . n2)n I - (x . n dn2 ) Produkt ausschreiben, 2 der 3 skalaren Gleichungen sind nicht vom Typ 0 = 0 , sie bestimmen eine Darstellung 0 .

xx

0) (=D C£-~r) (=D =

=}

=

=}

g :

{~~-;~:~

0 1==0 .

46

1. Zahlen und Vektoren

Aufgaben 1. Die kartesischen Koordinaten der Ecken eines Tetraeders i";. im lR? seien A]=(l,l,l), A 2 =(1,-1,-1), A 3 =(-1,-1,J), A 4 =(-1,J,-1).

Man bestimme a) das Volumen des Tetraeders i";., b) eine Parameterdarstellung durch A 4 ,

der

Hohe

c) eine Gleichung fur die Ebene E durch A], A 2 , A 3 , d) das gemeinsame Lot und den Abstand der Kanten A]A 2 , A3A4. 2. Man bestimme das gemeinsame Lot und den kurzesten Abstand der beiden Geraden im lR?:

x= t (

und

~1 )

, t E JR. .

3. 1m JR.3 sind die Ebene E: x = y und die Gerade g: 10 - 2x = -5y = 10z -

Man bestimme eine Parameterdarstellung fUr E.

-

Vnter welchem Winkel trifft die Gerade g auf die Ebene E ?

gegeben.

4. 1m JR.3 soIlen sich die beiden Geraden g] und g2 schneiden: x-1= y+1 =_z+l. 2 )., ,

g2 :

x + 2 = y - 1 =z .

a) Wie groB muB )., sein ? b) Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt ? c) In welcher Ebene liegen g] und g2 ? d) Wie groB ist der Schnittwinkel zwischen g] und g2 ? 5. Gesucht ist die Gerade im Raum, die durch den Punkt 0 geht und mit den drei Ebenen 3x - 4y = 0,

y = 0,

z=0

gleiche Winkel einschlieBt. Wie groB ist dieser Winkel ? 6. Die Gerade g] trifft die Punkte (J, -1,1) und (-1, -1, -1), die Gerade g2 geht durch (-1,1,1) und (1,1, -1). Man berechne die Schnittpunkte mit der Ebene X3 = c und deMan bestatige, ren Verbindungsgerade gc. daB jede dieser Geraden gc auf der Fliiche F : x] + X2X3 = 0 liegt. Auf F liegt eine zweite Geradenschar, welche?

47

§ 7. Gebundene Vektoren

7. a) Welche Entfemung a auf der Erdkugel haben NEW YORK (4F n.B., 74° w.B.) und LISSABON (38° n.B., 9° w.B.) ? (Hilfe: Berechne die Ortsvektoren von NY und L im skizzierten Koordinatensystem mit Erdradius R = 6367 km ) b) Unter welchem Winkel y schneidet der GroBkreisbogen von New York nach Lissabon den Meridian in New York?

y

8. Man bestimme den SchattenriB des Wiirfels {(x, y, z) 0::: z ::: 2} unter der Projektion (18) (---+ Abb. 40).

E

1R? I xl < 1. Iyl < 1.

§7. Gebundene Vektoren

* 7.1

Gebundene Vektoren. Die bisher betrachteten Vektoren sind ,,frei" in dem Sinne, daB sie im ganzen Raum parallel verschiebbar sind; in der Mechanik beschreibt man damit raumlich homogene Krafte und Momente. Zur Darstellung von "Einzelkriiften", die punktformig an einem starren Korper angreifen und nur langs ihrer Wirkungslinie verschoben werden durfen, benotigt man den Begriff des - an eine Gerade - gebundenen Vektors im Raum:

Definition. Unter einem gebundenen Vektor versteht man ein Paar (ie, g) mit einem freien Vektor k und einer Geraden g. die - falls k =I 5 - in Richtung k verliiuft. Der Nullvektor k = 5 zusammen mit einer beliebigen Geraden heij3t gebundener Nullvektor.

1m Hinblick auf die ausschlieBliche Anwendung in der Mechanik nennen wir k Kraftvektor, g Wirkungslinie und jeden Punkt A der Geraden g AngriJfspunkt des gebundenen Vektors. 1st P ein beliebiger Punkt des Raumes und A ein Angriffspunkt, so heiBt (1)

~

k

p

9

Abb. 41 - Gebundener Vektor -:::-+.

mp := PA

~

xk

das Moment des gebundenen Vektors im Punkt P. Die Momentengleichung der Wirkungslinie lautet (---+ 6.3)

48

I. Zahlen und Vektoren

Definition 1. Als Wirkung des gebundenen Vektors im Punkt P definieren wir das geord2.

nete Paar "jreier" Vektoren (k,mp). Zwei gebundene Vektoren sind gleich, wenn es einen Punkt P gibt, in dem sie die gleiche Wirkung, d.h. den gleichen Kraftvektor und das gleiche Moment besitzen.

Kennt man die Wirkung (k, mp) im Punkt P, so erhiilt man die Wirkung in einem beliebigen anderen Punkt Q durch (2)

Beweis. 1st A ein Angriffspunkt des gebundenen Vektors, so gilt

mQ = QA x k = CPA. - PQ) x k = mp - PQ Be;"picl. Dcr Kraftvektor

k=

ist seine Wirkung im Punkt 0

( -

x

k.

0

D

greife im Pun kt A = (0. 1. 2) an; dann

= (0, 0, 0) :

(( -D' G) -D) -D' (3)) = ((

x (

Fur die Wirkung im Punkt P = ( -1, -1, -1) ergibt sich

(( -D' (3) -(=D -D) -D' (j)) x (

= ((

o

* 7.2 Ein System gebundener Vektoren

ist eine endliche Menge gebundener Vektoren. In der Mechanik beschreibt man damit in der Regel ein System von Einzelkriiften, die an einem starren Korper angreifen (Kraftsystem). Definition 1. 2.

Ein System von zwei gebundenen Vektoren heij3t Vektorwinder. Besteht das System aus n gebundenen Vektoren und sind (kl, m1p ) , (kn, mnP) deren Wirkungen im Punkt P, so ist nach dem Superpositionsprinzip die Wirkung des Systems im Punkt P das Vektorpaar (3)

n

n

i=1

i=1

(k,mp):= CL)i , LmiP).

k heij3t resultierender Kraftvektor, mP Moment des Systems im Punkt P. Die Addition von Wirkungen in einem Punkt P ist erktart durch (kl, mlP) + (k2, m2P) := (kl + k2' mlP + m2P) . 3.

Zwei Systeme von gebundenen Vektoren heij3en aquivalent, wenn es einen Punkt P gibt, in welchem beide Systeme die gleiche Wirkung besitzen.

49

§7. Gebundene Vektoren

Fur die Wirkung des Systems in einem anderen Punkt Q erhiilt man mit (2) und §5(8c) sofort

(4) Satz 7.1. Zwei Systeme von gebundenen Vektoren sind genau dann aquivalent, wenn sie in jedem Punkt P jeweils das gleiche Moment besitzen. Beweis. Seien

(k, mp) und (k', m~) die Wirkungen der Systeme im Punkt

P,

mp = m~ fur einen beliebigen Punkt Q mQ = mp - PQ x k =m~ - PQ x k' = mQ . Umgekehrt folgt aus mQ = m'Q fur jeden Punkt Q sofort mp = m~ und damit PQ x (k - k') = O. Dies ist fur beliebiges PQ nur moglich, falls k =k' . 0 dann folgt aus

k = k'

und

Satz 7.2. Jedes System von gebundenen Vektoren ist aquivalent zu einem Vektorwinder. Beweis. Sei P ein beliebiger Punkt, dann steHt

eines gebundenen Vektors dar, wenn

(k, mp) nur dann die Wirkung

(5)

Fur die Wirkung eines Kraftsystems ist (5) im aUg. nicht erfuIlt, daher zerlegen wir die Wirkung (6)

wobei 7 =I 0 senkrecht zu mp aber sonst beliebig gewiihlt ist. Wirkung eines gebundenen Vektors mit Angriffspunkt P.

(k - 7, 0)

ist

o

Definition. Ein Vektorwinder mit der Wirkung (0, mp) im Punkt P heij3t freies Moment.

Aus der Zerlegung (0,

m

mp) = (7, mp) + (-7,0)

mit 7=10 und 7· p = 0 erkennt man, daB ein freies Moment stets einem Paar von gebundenen Vektoren iiquivalent ist, deren Kraftvektoren gleichen Betrag und entgegengesetzte Richtung besitzen (Krajtepaar). Die Bezeichnung "frei" rechtfertigt Satz 7.3. Ein freies Moment hat in jedem Punkt die gleiche Wirkung. Beweis. Wegen Q.

k =0 ist QP xk =0, d.h.

mit (4) ist

mQ = mp

fur aIle Punkte 0

50

I. Zahlen und Vektoren

* 7.3 Die Reduktion eines Systems gebundener Vektoren

o

Reduktion im Punkt P: Die Darstellung (6) eines Vektorwinders ist nicht eindeutig, daher bevorzugt man in der Mechanik eine eindeutiger Zerlegung der Wirkung in P (7)

Ist (k, rn p) die Wirkung eines Systems gebundener Vektoren in P so heiBt (7) Reduktion des Systems in P. Fur ein Kraftsystem ist (k,O) die Wirkung der resultierenden Kraft mit Angriffspunkt P, (0, rn p) das resultierende Moment in P. Aquivalente Systeme besitzen in jedem Punkt des Raumes jeweils die gleiche Reduktion.

® Reduktion zur Vektorschraube.

Hat ein System gebundener Vektoren in einem Punkt A die Wirkung (k, rnA) mit k =J 0 und rnA = pk, so sagt man, das

System wirkt in A als Vektorschraube mit Steigungsparameter p.

Satz 7.4. Ein System gebundener Vektoren, das in einem (beliebigen) Punkt P die Wirkung (k, rnp) mit k =J 0 besitzt, wirkt in jedem Punkt der Geraden (8)

g:

als Vektorschraube mit dem Steigungsparameter

1

~

~

p = --=;-k . mp

Ikl 2

Man nennt g die Achse des Systems, sie ist eindeutig bestimmt.

Beweis. Wir zerlegen rn p orthogonal langs k (--+ §5 (6)), (9)

Das Moment in einem Punkt A besitzt gemaB (4) die Zerlegung ~

~

-=-*

~

~

(

~

-=-*

~)

mA = mp - PA x k = m"k + mii - PA x k ,

woraus man einerseits ersieht, daB rn" unabhangig ist von P und andererseits, daB rnA genau dann parallel ist zu k, wenn A auf der Geraden PX x k = rnii liegt. Wegen k x rnii = k x rnp besitzt diese (eindeutig bestimmte) Gerade g die angegebene Parameterdarstellung (--+ 6.3). Fur jeden Punkt A auf g gilt rnA

= rn"k = pk~

mit p

k· rnp = IkI"2

(--+

Abb. 42a).

D

51

§7. Gebundene Vektoren

Die Reduktion eines Systems gebundener Vektoren zur Vektorschraube: 1. Schritt: Wahl eines Bezugspunktes P. 2. Schritt: Berechnung der Wirkungen

(k i , miP)

III

P mit (1).

3. Schritt: Berechnung der Wirkung des Systems in P mit (3). 4. Schritt: 1st k = 0, so ist das System aquivalent zu einem freien Moment. Falls k i 0, dann wirkt das System in jedem Punkt der Achse (8) als Vektorschraube mit Steigungsparame-

ter p

= -J-k .mp . Mit (9) gilt Ikl 2

(k,

mp) = (k, mii) + CO, mrJ . z

/

/k Abb. 42a - Vektorschraube

y

Abb. 42b - Reduktion eines Kraftsystems

Beispiel. Gegeben ist das System zweier gebundener Vektoren mit Kraftvektoren k,

=

G),

1<2

=

(j)

und den AngrilTspunklen Q,

(1,0,0) (-+ Abb. 42b). 1m Punkt 0

=(0, 0, 0)

= (0, -1,0),

sind die Wirkungen

((~), (-I) G)) = ((~), (~)) , ((j), (~) (j)) ((j), 0)) x

x

=

Q2

=

52

I. Zahlen und Vektoren

Das System hat in 0 die Wirkung

(G) (J), (~) m = 84 (j) = (-~) +

Mit

+

(~)) = (( -~), (~))

lautet die Reduktion zur Vektorschraube

k

Der Lotvektor von 0 auf die Achse ist

~ ( _~) x (~) = ( - ~;~) , die Para-

meterdarstellung der Achse ist

oA=(-~j~)+t( ~), 1/2

Der Steigungsparameter ist p vor.

= 84 = - ~

tElR.

-2

< 0, daher liegt eine Linksschraube

o

Aufgaben 1. In den Ecken PI = (0,0,2), Pz = (0,1,0), P3 = (-1, 0, 0) einer dreieckigen Platte wirken in Abhiingigkeit von a die Einze1kriifte

a) Fiir we1che Werte von a ist das Kraftsystem iiquiva1ent zu einer Einze1kraft, wie 1autet diese?

1)

b) Man reduziere das Kraftsystem fiir jedes a auf eine Vektorschraube. Fiir we1che a ist der Drehsinn positiv?

2. Darstellung eines freien Moments als Hebel. Man rechne nach, daB ein freies Moment mit der Wirkung (0, m) stets iiquiva1ent ist zu einem Kriiftepaar mit den Kraftvektoren

und den Angriffspunkten 0 und A, wobei I' =

oA,

o

11'1 = 1 und

e

e· m= 0.

53

§8. Die komplexen Zahlen

§ 8. Die komplexen Zahlen 8.1 Die Menge der komplexen Zahlen. In der mit einem kartesischen (x, y)-Koordinatensystem versehenen Ebene stellen die Punkte der x-Achse

die reellen Zahlen dar. Wir gehen dazu uber, auch aIle anderen Punkte der Ebene als "Zahlen" aufzufassen. Dazu schreiben wir den Punkt z = (x, y) (genauer: das den Punkt reprasentierende Zahlenpaar) in der Form y z

= x + iy

imagincre Achse

.,...------ ............... / ix

--- ..... und nennen ihn eine komplexe Zahl \ iy ___ ::::.~~ z=x+iy mit Realtei! Re z := x und Imaiz=-y+ix \ I ginarteil 1m z := y. Die x-Achse \1 \I heiBt reelle Achse, die y-Achse wird I __ x imaginare Achse genannt. Abkurzend x reelie Achse schreibt man x = x + iO = (x, 0) (das sind die reellen Zahlen auf der reelAbb. 43 - Komplexe Ebene len Achse) und iy = 0+ iy = (0, y) (das sind die sogenannten rein imaginaren Zahlen auf der imaginaren Achse). Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. ---¥~

C := { x + i Y ; x, Y

E

----~----.

IR} .

Zwei komplexe Zahlen z = x+iy und w = u+iv (mit x, y, u, v E IR) sind genau dann gleich, wenn x = u und y = v gilt. 1st nichts anderes gesagt, so sind in z = x + iy die Zahlen x, y reell. Es ist ublich, den vom Ursprung 0 nach z weisenden Zeiger (Ortsvektor) ebenfalls mit z zu bezeichnen. Die Ebene, deren Punkte als komplexe Zahlen aufgefaBt werden, heiBt komplexe Zahlenebene.

8.2 Die vier Grundrechenarten in C. Die Summe und die Differenz komplexer Zahlen ist durch (x + iy) + (u + iv) := (x + u) + i(y + v) (x + iy) - (u + iv) := (x - u) + i(y - v)

definiert. Sie entspricht der Vektor-Summe bzw. Zeiger (-+ §4).

Differenz der zugehorigen

Die Zahl ix E C entsteht aus x E IR S; C (-+ Abb. 43) durch eine positive Drehung (gegen Uhrzeigersinn) des zugehorigen Zeigers um den Winkel 4. Die Multiplikation in C wird nun so erklart, daB generell der Zeiger i . z aus z durch eine positive Drehung um 4 hervorgeht. Wenn das uberhaupt moglich ist, wird man i 2 = i . i = -1 festlegen mussen. Deshalb wird das Produkt zweier

54

1. Zahlen und Vektoren

komplexer Zahlen definiert durch (x + iy)· (u + iv) := (xu - YV) + i(xv + yu) , insbesondere i 2 = -1 . Beachte: Addition, Subtraktion und Multiplikation werden formal wie gewohnt ausgefiihrt; dabei ist nur i 2 = -1 zu beachten. Die Ergebnisse werden in die Form a + ib (a, bE IR) gebracht. Wegen i(x + iy) = -y + ix stellt z ~ iz wie dar (-+ Abb.43). Die gewiinscht die positive Drehung urn den Nullpunkt urn Potenzen zn (z E Qj, n = 0, 1,2, ... ) sind wie iiblich durch zO := 1, Zl := Z, zn+l := zn Z erklart. Auch in Qj gilt die binomische Formel (-+ Satz 2.2)

2f

(z + wt

:t

=

(nlwn-k (n

E

IN) .

k=O

Beispiel.

(3 +0.5i)(2 -4i) +(i - 1)3

= 6+i -

12i - 2i2 +i3 - 3i 2+3i - 1 = 10 - 9i .

o

Die Division durch w E Qj, w =I 0, ist in Qj wie folgt erklart. Man schreibt q = ~ (= z : w), wenn wq = z gilt. Fiir z = x+iy und w = u+iv =I 0 berechnet man x+iy u+iv

(x+iy)(u-iv) -iv)

= (u+iv)(u

xu+yv

= u2+v2

yu-xv.

+ u 2 +v 2 I .

Beachte: Durch die Erweiterung mit u - i v wird der Nenner reell. Beispiele.

4-5i

8- i 7- i

4 + 5i

4

= (4-5i)(4+5i) = 41 =

(8 - i)(7 + i) 49 + 1

57

5. + 41 1 ; 1.

= 50 + 50 1 •

o

Durch z-n := ~ (z =I 0, n E IN) sind die Potenzen mit negativen Exponenten z erklart. Man verifiziert leicht, daB in Qj die iiblichen, aus IR bekannten Rechengesetze gelten; etwa zw = wz, z(ws) = (zw)s, z(w + s) = zw + zs, zm+n = zmzn (z =I 0; m, n E Z) und andere. Auch in Qj ist eine Division durch 0 nicht moglich.

8.3 Die Konjugation und der Betrag komplexer Zahlen z = x - iy (x, Y E IR) die zu z = x + iy konjugierte komplexe Zahl.

Man nennt Beispiele.

T= -i, 2 = 2,

z

4 + 2i = 4 - 2i, 3 - 2i = 3 + 2i .

o

Fiir den Ubergang z ~ zu konjugiert komplexen Zahlen (das ist die Spiegelung an der rellen Achse) gelten die folgenden Rechenregeln:

55

§8. Die komplexen Zahlen

= 2" + w; Zw =2" w; (~) = ~ (w:f. 0) ; z= z; Re z = i(z + 2"); 1m z = (z - 2") .

+w

z

1i

Die Lange des Zeigers z = x + iy wird mit Izl bezeichnet und heiBt Betrag der komplexen Zahl. Man rechnet leicht nach:

Izl = J

x2

+ y2

= ..Jii,

z = x + iy ; (w:f. 0); 12"1 = Izl· falls

Izl Izwl = Izllwl; Itvz I = TWT

Ferner gilt die Dreiecksungleichung Iz + wi :s Izl + Iwl, die sich leicht mit vollstandiger Induktion auf n Summanden verallgemeinern laBt. n

n

I I>kl :s

(1)

k=l

Beispiele.

L

IZkl .

k=l

12 + 3 i I = .J4 + 9 = .JI3 ; 1(2 + 3i)(1 + i)1 = 12 + 3i 111 + i I = .JI3.J2 = .J26 .

Ii I = I - i I = 1 ;

o

8.4 Anwendungen: 0 Quadratische Gleichungen. Ursprunglich wurden die komplexen Zahlen zur einheitlichen Behandlung der quadratischen Gleichungen (2)

ax2

+ bx + c = 0

(mit a, b, c

E

1R, a:f. 0)

eingefuhrt. Die Gleichung X2 + 1 = 0 hat offenbar in 1R keine Losung, wohl aber in {j, namlich x = ±.J=T = ±i , und es gilt x 2 + 1 = (x - i)(x + i) . Allgemein gilt: Die Gleichung (2) besitzt in {j die beiden (nicht notwendig verschiedenen) Losungen (3)

Xl

= -~ + ~Jb2 2a 2a

4ac,

= -~ - ~Jb2 2a 2a

X2

4ac ,

wobei ..jd die positive Quadratwurzel von d E 1R bezeichnet, sofern d > 0, andernfalls ..jd = i...!=d. Ferner bestatigt man leicht durch Nachrechnen ax 2 + bx

+ c = a(x -

Xl)(X -

X2) .

Beispiele. 1. Fur die quadratische Gleichung x2 + .J2x + 1 = 0 ergeben sich mit

(3) die beiden Losungen:

Xl

= '{ (-1 + i)

2. Damit hat x4 + 1 = (x 2 + .J2x + I)(x 2 Losungen: Xl

= '{ (1 + i),

X2

= '{ (1

- i), X3

-

und X2 .J2x

= '{(-I + i)

= '{(-I -

i).

+ 1) = 0 die vier komplexen und X4

= '{(-I -

i).

0

56

1. Zahlen und Vektoren

Bemerkung. Bei der numerischen Losung einer quadratischen Gleichung per Computer sollte man (wegen der Rechnung mit endlich vielen Dezimalstellen) auf die mogliche Ausloschung fiihrender Stellen achten. Dies tritt immer dann auf, falls b 2 - 4ac > 0 und lacl sehr klein ist, und zwar in (3) bei XI, falls b > 0, bzw. X2, falls b < 0 (-+ Kap. 7,2.5, Procedure Quadr-Gleichg).

G) Netzwerke mit Wechselstrom.. In Wechselstromkreisen hat man Spannungen u(t) und Strome }(t), die zeitlich sinus- bzw. cosinusformigen Verlauf besitzen, u(t)

=Uo cos(wt + a),

}(t)

= }o cos(wt + fJ)

.

Diese reellen Augenblickswerte faSt man auf als Realteile der komplexen Augenblickswerte

= uo[cos(wt + a) + i sin(wt + a)] , I(t) = }o[cos(wt + fJ) + i sin(wt + fJ)] .

U(t)

Der Vorteil dieser Betrachtungsweise ergibt sich bei den linearen Grundelementen, bei den en der Widerstand unabhangig von der Stromstarke ist (Ohm scher Widerstand, Kapazitat, Induktivitat). Fur diese kann man namlich in der komplexen Schreibweise einheitlich das Ohmsche Gesetz U(t) = Z I(t)

beweisen mit einem konstanten komplexen Widerstand Z, der wie folgt erklart ist: Z

=R

Kapazitat C

Z

= _1_ = __I_i

Induktivitat L

Z

= iwL

--c::J-- Widerstand

---1 f--

R

iwC

wC

.

Ein lineares Netzwerk ist ein Stromkreis, der diese drei Elemente in irgendeiner Zusammensetzung enthalt. Mit den KIRCHHOFFschen Regeln ergibt sich fur die Zusammenschaltung zweier komplexer Widerstande Z I , Z2 als Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand) Z bei Reihenschaltung ~ Z

= ZI + Z2,

Parallelschaltung 1 l I Z _ Z1 Z 2 Z = Z I + Z2' - Z I + Z2 .

z,

Z, Abb. 44 - Schaltungen

Zum komplexen Widerstand Z heiSen Re Z Wirkwiderstand, 1m Z Blindwiderstand und IZI Scheinwiderstand oder Impedanz.

57

§8. Die komplexen Zahlen

Beispiel. An der elektrischen Schaltung (-+ Abb.45) mit Rl = 48Q, R2 = 22Q , C = 20MF, L = 155mH wird eine Wechselspannung U von U e!! = 220V und 50Hz angelegt. Der komplexe Widerstand des Stromkreises ist

Damit ftieBt der Effektivstrom Ie!!

_ U -w

Legt man eine Wechselspannung mit der Frequenz 104.41Hz an, so verhiilt sich der Stromkreis wie ein ohmscher (reeller) Widerstand; denn fur 2

w LC

L - CR~ = ----;:. R:j

~ ~

3.24A, da IZI

R:j

67.92Q.

L

c

u

~-----;,rv·~------~

L-CRr

verschwindet Im Z; dh. Z

e!!

126Q.

Abb. 45 - Stromkreis

o

In spiiteren Kapiteln werden zahlreiche weitere Anwendungen der komplexen Zahlen behandelt (-+ Kap. 2, §3, Kap. 3, 1.10, Kap. 6, § 1 und Band 2, Kap. 10).

KapiteI 2

Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

§ 1. Funktionen (Grundbegriffe) 1.1 Funktionen. Bis auf wei teres diskutieren wir nur reelle Funktionen einer reellen Veranderlichen f : D ~ lR, x r-+ f(x), mit der Variablen (oder dem Argument) XED S; lR. Jede solche Funktion wird durch den Graph (die Kurve) y = f(x) veranschaulicht, er (sie) besteht aus denjenigen Punkten (x, y)einer mit kartesischen (x, y)- Koordinaten versehenen Ebene - mit XED und y = f(x) (~Abb. 5). Funktionen (bzw. die Zuordnungsvorschrift) werden vorgegeben durch: a) Tabellen, etwa bei Versuchsreihen der MeBwert met) zur Zeit t; b) einen Text, in dem die Zuordnungsvorschrift verbal formuliert wird;

c) d)

eine Formel, etwa f(x) =x 2 • Wenn nicht naher spezifiziert wird, ist D die Menge aller x, fur welche die angegebene Formel sinnvoll ist; einen Graphen; beispielsweise bei den Aufzeichnungen eines MeBgerates oder Rechners mit graphischer Ausgabe. Jedoch sind so erklarte Funktionen nur innerhalb der MeBgenauigkeit festgelegt.

Beispiel 1. Lineare Funktionen f(x) = ax + b mit x E lR und Konstanten a, b E lR hat als Graph die Gerade b

durch (0, b) und (-a' 0), falls a 7' o. 1m Fall a = 0 ist f eine konstante Funktion f(x) = b fur aIle x E lR, ihr Graph ist die zur x-Achse parallele Gerade y = b. D

y

y=ax+b y=b

x Abb. 46 - Lineare Funktion

Beispiel 2. Quadratische Funktionen a) Der Graph der Funktion f : lR ~ lR, f(x) = x 2 , ist die Normalparabel. In Abb. 47 sind zu verschiedenen a-Werten die Parabeln y = ax 2 eingetragen. b) Der Graph der quadratischen Funktion f(x) = ax 2 + bx + c (mit a 7' 0) ist ebenfalls eine Parabel, deren Normalform (damit auch der Scheitel) mittels quadrati scher Erganzung bestimmt wird: K. Meyberg et al., Höhere Mathematik 1 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

Abb. 47 - Quadratische Funktion

59

§ 1. Funktionen (Grundbegriffe)

Y = ax 2 +bx +c _ 2 2b b2 b2 -a(x +2a X + 4a 2 - 4a 2 )+C

. b b2 mIt Xo = - -2a' Yo = c - 4a . Es handelt sich also urn eine verschobene Parabel y = ax 2 , deren Scheitel im Punkt (xo, YO) liegt. In der Mechanik tritt beispielsweise eine quadratische = a(x - xoi + YO

Funktion auf im einfachen "Weg-Zeit-Gesetz" set) schrag en Wurf y = x tan ({J

-

2

V

2

g

cos

2

({J

Beispiel 3. Die Wurzelfunktion f(x) = ~ ist definiert auf

= IR+ = {x E IR ; x 2: O}. Es ist y = ~ die eindeutig bestimmte Zahl y 2: 0, die y2 = x erfiillt. So D

= ~bt2 + vt + So

oder beim

o

x2

y

berechnet man etwa mit der Erdbeschleunigung g beim freien Fall die Fallzeit taus der Fallhohe h:

o

t=J2h/g.

x Abb. 48 - Wurzelfunktion

Viele Funktionen besitzen gewisse Symmetrie-Eigenschaften. Sei D S; IR symmetrisch zum Nullpunkt (x E D =* - XED ). Man nennt eine Funktion f : D -+ IR gerade (bzw. ungerade), wenn f( -x) = f(x) (bzw. f( - x) = - f(x)) fur alle XED gilt. Beispielsweise sind f(x) x2n , g(x)=cosx geradeund p(x)=x2n+l, q(x)=sinx ungerade(nEIN). y

x x

Abb. 49a - Gerade Funktion

Abb. 49b - Ungerade Funktion

1.2 Monotonie. Ein fur weiterfuhrende Untersuchungen (-+ Konvergenz, Umkehrfunktion) wichtiger Begriff ist die Monotonie.

60

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

Definition. Man nennt eine Funktion f: D --+ lR (mit D S; lR) a) monoton wachsend (bzw. monoton fallend), wenn fur aile Xl, X2 E D mit X2 > Xl die Ungleichung f(X2)::::: f(XI) (bzw. f(X2):S f(xd) gilt. b) streng (oder strikt, echt) monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend), wenn fur aile Xl, X2 E D mit X2 > Xl die strikte Ungleichung f(X2) > f(xd (bzw. f(X2) < f(XI)) gilt. Der Graph einer monoton wachsenden Funktion ist (bei wachsendem x) ansteigend oder zumindest nicht fallend; der Graph einer monoton fallenden Funktion ist nirgends ansteigend. y

x

x

x

streng monoton

monoton

monoton

wachsend

wachsend

lallend

x

streng monoton lallend

Abb. 50 - Monotone Funktionen

Beispiele. f(x) = x 2 ist auf lR_ = {x E lR ; X :s O} strikt monoton fallend und auf lR+ = {x E lR ; X ::::: O} strikt monoton wachsend. Die Sinusfunktion (--+ §3) JT

JT

•

JT

3JT

ist auf dem Intervall [-2' 2] stnkt mono ton wachsend und auf [2' 2"""] strikt D monoton fallend. 1.3 Das Rechnen mit Funktionen. Zu Funktionen f : D --+ lR, g : D --+ lR (mit gleichem Definitionsbereich) definiert man die Summe f + g, die Differenz f - g, das Produkt fg und das a-fache af (mit Zahlenfaktor a E lR) "punktweise" durch U:!::g)(x):= f(x):!::g(x), (af)(x):= af(x), XED. Der

Quotient l.(x) := f((X)) ist nur erklart fur die XED mit g(x) i O. Mit g gx dem Produkt sind auch die Potenzen von f : D --+ lR erklart, namlich rex) := f(x)n (n E IN).

r

Beispiele. Mit f(x) =x 2 + I, g(x) = sin X entstehen (2f + 3g)(x) = 2x2 + 2 + 3 sinx, g\x) = sin 5 X = (sinx)5 und f2 x4 + 2x2 + I -:-:-"---=-(x) = (diese Funktion ist nur definiert fur die X E lR 4f-5g 4x 2 +4-5sinx mit 4x 2 + 4 i 5 sin X ). D Zu Funktionen f : I --+ lR und g : D --+ lR mit g(D) S; I kann man die Komposition h = fog bilden, definiert durch hex) := f(g(x)), XED. (In f(x) wird X ersetztdurch g(x).)

61

§ 2. Polynome und rationale Funktionen

Beispiel. Mit f(x) = sin X, g(x) g(f(x)) = (sinx)3 +5.

= x3 + 5

entsteht f(g(x))

sin(x 3 + 5), D

§ 2. Polynome und rationale Funktionen 2.1 Polynome. Eine Funktion f : IR ->- IR heiBt ein Polynom vom Grad n, wenn es Zahlen ao, aj, ... , an E IR gibt, an i 0, so daB n

f(x)

(1)

= ao +alx + a2x 2 + ... + anx n = Lakxk k=O

fur aIle x E IR gilt. Die ak heiBen Koeffizienten des Polynoms. Das Nullpolynom f(x) = 0 (fur aIle x E IR) hat keinen Grad; jedoch wird in der Sprechweise "f ist ein Polynom vom Grad :::: n " das Nullpolynom eingeschlossen. Das Rechnen mit Polynomen in der Summendarstellung (1) ist sehr ubersichtlich; man addiert und multipliziert in der ublichen Weise und ordnet die Ergebnisse jeweils nach wachsenden (oder fallenden) x-Potenzen. Insbesondere n

n

n

L ak xk ± L bkx k = L(ak ± bk)X k . k=O k=O k=O n

In f(x) = L akxk sind die Koeffizienten ak eindeutig bestimmt; denn es gilt: k=O

Satz 2.1. Koeffizientenvergleich n

n

Lakxk k=O

= Lbkx k

{=}

ak

= bk

(0:::: k:::: n) .

k=O

Beweis. Aus ao + ajX + ... + anx n = bo + bjx + ... + bnx n folgt mit x = 0 sofort = bo. Damit folgt weiter aj + a2x + ... + anX n - j = bj + b2X + ... + bnx n - j fur aIle x i 0, die aber beliebig klein werden konnen. Deshalb gilt auch al = bl , ~. D

ao

Beispiel 1. Es gilt x4 + 3x 2 + 7x + 2 = ax 4 + (3fJ + u)x 3 + 3x 2 + yx + w

genau dann, wenn a

= 1,

3 fJ + u

= 0,

y

= 7,

w

=2 .

Beispiel 2. In einer Faktorisierung x 3 + ax 2 + bx + c = (x -

Xl

)(x - X2)(X - X3)

D

62

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

gilt notwendig a = -(Xl + X2 + X3),

b = XlX2 + X2X3 + X3XI,

C

= -XIX2X3 ,

was man durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich bestatigt.

0

Wird ein Funktionswert eines Polynoms aus der Summendarstellung (1) ben

rechnet, f(xo) = :L:>kX§, benotigt man dafiir 2n - 1 Multiplikationen und k=O

n Additionen; berechnet man jedoch die Werte aus der Horner-Darstellung

(W. G.

HORNER,

1756-1837)

f(x) = ( ... «anx + an-dx + an-2)x + ... + at)x + ao

(2)

I

- von innen nach auGen - so wird der Rechenaufwand auf n Multiplikationen und n Additionen reduziert. Das spart nicht nur Zeit, sondem halt auch Rundungsfehler klein und vermeidet unnotig groGe Zwischenergebnisse. Die Berechnung der Funktionswerte nach (2) beinhaltet gleichzeitig die Division durch Polynome der Form x - b : Satz2.2. Sei f(x)=anxn+"'+alx+ao, an =1-0, n~1 undbElR. Fur die Zahlen Cn := an, Cn-l := cnb + an-I, Cn-2 := cn-lb + an-2, ... , Cn-k .Cn-k+lb + an-k , ... ,Co := clb + ao gilt (3)

Co

= feb)

und f(x)

=(x -

b)(cnx n- l + Cn_IX n- 2 + ... + C2X + Cl) + feb) .

Beweis. feb) = Co ersieht man aus (2). Die Zerlegung (3) bestatigt man durch Ausrechnen der rechten Seite; man beachte dabei an = en, an-l = Cn-l - cnb , ... , ao = f(b) - bCI . 0

Die Berechnung der Ci erfolgt auf dem PC nach dem Programm Horner oder bei Handrechnung nach dem Homer-Schema: an

+ Cn =an

Beispiel.

f(x)

an-2

an-l

= 6x 6 -

7

2!

anb Cn-l

7

2!

cn-lb Cn-2

3x 5 + 2x 2 + 4, b

Nullen aufzufiillen!)

6

Also gilt f(2) = 300 und f(x)

-3

= (x -

0

0

ao

al

7

2!

=2

7

2!

C2b Cl

7

2!

clb feb)

("fehlende" Koeffizienten sind mit 2

0

4

2)(6x 5 + 9x 4 + 18x 3 + 36x 2 + 74x + 148) + 300.

0

§2. Polynome und rationale Funktionen

, Programm HORNER }

63

Input "b= ", B C(N)=A(N) For I=N-1 To 0 Step -1 C(I)=C(I+1)*B+A(I) Next I Print "f(";B;")=";C(O) End

---------------

Input "Polynomgrad ",N Dim A(N),C(N) For I=N To 0 Step -1 Print I;".Koeffizient" Input A(I) Next I

Wendet man dieses Schema auf das Polynom cnx n- J+ ... +CJ an und fiihrt rekursiv wie in Programm HORNER vollstandig fort, so erhiilt man aIle Koeffizienten Pk des umgeordneten Polynoms f(x)

= Pn(x -

b)n + Pn-l(X - b)n-l + ... + Po .

, Programm HORNER vollstaendig Input "Polynomgrad ",N Dim A(N),C(N) For I=N To 0 Step -1 Print I;".Koeffizient" Input A(I) Next I Input "b= ",B For K=O To N C(K)=A(K)

Beispiel.

Next K Print "f(b) -" For K=O To N-1 C(N)=A(N) For I=N-1 To K Step -1 C(I)=C(I+1)*B+C(I) Next I Print C(K);"*(x-b)''';K;''+'' Next K Print A(N);"*(x-b)''';N End

6x 6 - 3x 5 + 2x2 + 4 = 6(x - 2)6 + 69(x - 2)5 + 330(x - 2)4 + +840(x - 2)3 + 1202(x - 2i + 920(x - 2) + 300.

0

2.2 Polynomnullstellen - Faktorisierung. Als Nullstelle einer Funktion

f : D -+ IR bezeichnet man jede Lasung der Gleichung f(x) = 0 in D. In praktischen Anwendungen sind die Werte technischer GraBen sehr oft als Nullstellen von Polynomen bestimmt: Resonanzfrequenzen, Widerstandsanpassung, UmriB von Fliichen. Eine Zahl b E IR ist nach (3) genau dann eine Nullstelle des Polynoms f, wenn f(x) den Linearfaktor x - b enthiilt, d.h. wenn es ein Polynom h gibt mit f(x) = (x - b )h(x). Der Faktor x - b kann durchaus mehrfach vorkommen, niimlich dann, wenn auch h(b) = 0 gilt und deshalb h(x) von der Form h(x) = (x - b)hJ(x) ist. Man nennt b E IR eine I-fache Nullstelle von fund I die Vielfachheit von b, wenn der Faktor x - b genau I-mal in f(x) aufgeht; d.h. wenn es ein Polynom g gibt mit

(4)

f(x)=(x-big(x)

und g(b)=lO.

Jede weitere Nullstelle c =I b von fist auch NuIlsteIle von g, also gilt analog g(x)=(x-clg](x), g](c)=lO,etc.

64

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

Beispiel. x 5 - 5x 4 + 14x 3 - 22x2 + 17x - 5 eine dreifache Nullstelle.

= (x

- 1)3(x 2 - 2x + 5); x

=1

ist D

Satz 2.3. a) Sind bl, b2, ... , b r die verschiedenen reellen Nullstellen des Polynoms n

f(x)

=L

akxk,

Grad f ::: 1, der jeweiligen Vielfachheit II, ... , I r , dann gilt die

k=O

Produktdarstellung

(5) mit einem Polynom q vom Grad n -/\ - h - ... -Ir, das in 1R keine Nullstelle besitzt. b) Jedes Polynom vom Grad n, n ::: 1 , hat hochstens n Nullstellen.

Beweis. a): (5) ergibt sich durch wiederholte Anwendung von (4). Die Behauptung b) bestatigt man mit einem Gradvergleich: Grad f = n = 1\ + 12 + ... + Ir + Grad q , bzw. Anzahl der Nullstellen =1\ + 12 + ... + Ir =n - Grad q :s n. D Beispiel. f(x) = (x - li(x +4)3(x - 17)(x 2 + 1)(x 2 +x +4) hat in 1R nur die 2-fache (doppelte) Nullstelle x = 1, die 3-fache Nullstelle x = -4 und die einfache Nullstelle x = 17 , da (x 2 + 1)(x 2 + X + 4) in 1R stets positiv ist. D Regel: Kennt man eine Nullstelle b des Polynoms f, so wird zunachst die Faktorisierung f(x) = (x - b )h(x) (mit dem Horner-Schema) hergestellt. Dadurch wird die Suche nach den anderen Nullstellen von f erleichtert; die Gleichung h(x) =0 ist haufig einfacher zu lasen. Beispiel. f(x) = X4 + 2x 3 - 3x 2 - 4x + 4 hat offenbar die Nullstelle XI = 1 . Mit "Horner" erhalt man f(x) = (x - 1)(x 3 + 3x 2 - 4). Der Faktor hex) = x 3 + 3x 2 -- 4 hat ebenfalls die Nullstelle 1, hex) = (x - 1)(x 2 +4x 1·4). Also gilt f(x) = (x - 1)2(x + 2)2; f hat die doppelte Nullstelle XI = 1 und die doppelte D Nullstelle X2 = -2. Die Nullstellen eines quadratischen Polynoms bestimmt man mit der bekannten Formel (3) aus Kap. 1, §8, wobei darauf zu achten ist, ob nur reelle oder auch komplexe Nullstellen gesucht sind. Ahnliche Formeln, aber wesentlich komplizierter, gibt es fur Polynome vom Grad 3, 4 (man findet sie in den einschlagigen Formelsammlungen). Fur allgemeine Polynome vom Grad ::: 5 gibt es nachweislich keine entsprechenden Formeln. Ein allgemeingultiges Naherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung wird erst in Kap. 3, §2 behandelt. Dagegen lassen sich die rationalen Nullstellen eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten sehr leicht bestimmen. Zuerst verwandelt man die Gleichung anx n + ... + alx + ao = 0 mit ai E
65

§2. Polynome und rationale Funktionen

Satz 2.4. Rationale Nullstellen. Die rationalen Nullstellen eines Polynoms f(x)

=

anx n + ... + alx + ao mit ai E 71, findet man unter den Briichen

in

E(a, b

E 71,),

denen a ein Teiler von ao und b ein Teiler von an ist.

Beweis. Sei c:=

E(in gekurzter Bruchdarstellung) eine Nullstelle von

f. Aus

0= anCn+an_lCn-l+ .. ·+alc+aO entsteht 0 =anan+an_lan-lb+ ... +alabn-1+aob n . Hieraus sieht man: ana n ist Vielfaches von b und aob n Vielfaches von a. a und b sind als teilerfremd vorausgesetzt, daher muB b Teiler von an und a Teiler von ao sein. 0 Beispiel. Die rationalen Nullstellen von f(x) = 12x4 -4x 3 +6x 2 +x -1 liegen in 1 1 1 1 1 1 der Menge {±:1, ±2' ±:3' ±4' ±6' ± 12}· Man findet durch Einsetzen f(:3) =

o und

f(x)

= (4x 3 + 2x + 1)(3x -

1).

0

2.3 Polynominterpolation. Die Interpolation in der einfachsten Form befaBt sich mit dem Problem, zu verschiedenen MeBpunkten (Xi, Yi), 0 :s i :s n und Xi =j. Xj fur i =j. j, eine "schone", dem Problem angepaBte und/oder leicht handhabbare Funktion f zu bestimmen, deren Graph y = f(x) durch diese Punkte geht. Wir sagen, f interpoliert diese Punkte. Diese Aufgabe ist fur n + 1 Punkte und Polynome vom Grad :s n eindeutig losbar. Es gilt

, 2 +..... +.-\

x

5

X

Abb. 51 - Interpolation

Satz 2.5. Zu n + 1 beliebigen Stiitzpunkten (Xi, Yi)- mit Xi =j. Xj for i =j. j- gibt es genau ein Polynom Pn vom Grad :s n mit Pn(Xi) = Yi for 0 :s i :s n. Beweis. Der Ansatz Pn(x) = anXn+an_lXn-l+ .. ·+alx+aO mit noch unbekannten Koeffizienten ai E 1R. und Pn(Xi) = Yi entspricht einem System von n + 1 linearen Gleichungen (0

:s i :s n)

,

das eindeutig nach ao, ai, ... , an aufgelost werden kann (...... Kap. 6, 5.5).

0

Das im Beweis angegebene Konstruktionsverfahren des interpolierenden Polynoms Pn ist zwar (mit der notigen Algebra) recht einsichtig, jedoch fur praktische Rechnungen wenig geeignet. Besser ist das

66

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

Newton-Interpolationsverfahren (Isaac NEWTON, 1642-1727). Hierbei wird das interpolierende Polynom Pn(x) angesetzt in der Newton- oder InterpolationsJorm Pn(X)

(6)

= ao + aleX - XO) + a2(X - XO)(X -

Xl)

+ ...

+ an(x - XO)(X - Xl)'" (X - xn-d.

Die Forderung Pn(Xi) = ao, ai, ... , an der Form Yo

(0:::; i :::; n) ergibt ein Gleichungssystem fur

Yi

=

YI

ao =ao+al(xi -xo)

Y2

xo)

=ao + al (X2 -

+ a2(x2

- XO)(X2 - Xl)

Yn =ao+al(X n -xo)+···+an(Xn -XO)(Xn -XI)"'(Xn -xn-d,

das schrittweise von oben nach unten gelost wird: ao = Yo, al = Yl - Yo , etc. Xl - Xo Eine systematische Darstellung dieses Losungswegs wurde bereits von NEWTON im Schema der dividierten DiJferenzen angegeben: Xo

Yo

'/-----' YI

Xl

X2

'/-----'

Yo, 1

'/-----' Xn

YO,1,2

'/-----'

YI,2,3

'/-----'

Yl,2

Y2

'/-----'

'/-----'

YO,I,2,3

'/-----'

Y2,3

YO,l,2, ... ,n

'/-----'

'/-----'

Yn-2,n-l,n

Yn-l,n

Yn

Man entwickelt dieses Schema spaltenweise von links nach rechts. Neben den "Stutzwerten" Yi stehen die ersten dividierten Differenzen YI - Yo YO,l=XI-XO'

Yl,2

Y2 -

= X2 -

YI

Xl , ... ,

Yn-l,n

Yn - Yn-I Xn-l .

= Xn -

In der nachsten Spalte stehen die zweiten dividierten Differenzen YO,l,2

=

Yl,2 - YO,l X2 - Xo '

Yl,2,3

=

Y2,3 - Yl,2 X3 - Xl

Yn-2,n-l,n

=

Yn-l,n - Yn-2,n-l Xn - Xn-2 '

dann die dritten dividierten Differenzen YO,I,2,3

=

Yl,2,3 - YO,I,2 X3 - Xo '

Yl,2,3,4

= Y2,3,4 X4 _

Yl,2,3

Xl

'

t

e c.

Mit etwas Rechnung (bzw. vollstandiger Induktion) bestatigt man diese Koeffizienten stehen auf der obersten Schragzeile. D.h.

ai

= YO,l, ... ,i ;

67

§2. Polynome und rationale Funktionen

Pn(X)

=Yo + YO) (x -

XO) + YO.I.2(X - XO)(X -

+ YO,I. ... ,n(X - XO)(X -

XI)' ..

XI)

+ ...

(x - Xn-I)

ist das eindeutig bestimmte Polynom vom Grad :S n mit Pn(xJ = Yi (0 :S i :S n) . Bemerkungen. 1. Das Newton-Verfahren erlaubt den schnellen Ubergang von n + 1 zu n + 2 Stutzstellen, Von den Xi wird keine Anordnung vorausgesetzt. Wird zu den durch Pn(x) interpolierten Punkten (Xi, Yi) (0 :S i :S n) ein weiterer Punkt (Xn+l, Yn+d hinzugenommen, braucht das vorhandene Dif-

ferenzenschema nur durch eine weitere untere Schragzeile erganzt zu werden. Pn+I(X) = Pn(x) + YO),2, ... ,n+I(X - xo)(x - XI)'" (x - xn) ist das gesuchte neue Interpo1ationspolynom. 2. Das Differenzenschema, bzw, die Koeffizienten des interpolierenden Polynoms Pn(x) sind besonders einfach bei aquidistanten Stutzstellen Xi = Xo + ih (0 :S i :S n) zu berechnen, vgl. Programm NEWTON Interpolation. Beispiel. Fur die FlieBgrenze

F (in 100kg/cm2 ) eines kohlenstoffarmen Stahles in Abhangigkeit von der Temperatur T (in 100CO) ergibt ein Versuch folgende Tabelle: T 123456 F 30 27 25 24 21 19 4

Zu bestimmen ist ein Polynom p(x)

=L

akxk mit p(T;)

= Fi ,

O:s i :S 4.

k=O

Das Newton-Schema 1

30

2

27

3

25

4

24

5

21

-3 -2

I

2 1

-1

2

-1

0

I

1

-8

-2

-3 gibt das Polynom in Interpolationsform: p(x)

= 30 -

1

1

3(x - 1) + 2(x - 1)(x - 2) - s(x - l)(x - 2)(x - 3)(x - 4) ,

31 7 . 1 5 das III Summendarstellung p(x) = -Sx4 + 4x3 - gX 2 + 4x + 31 lautet. Dieses 0 Polynom weicht beim 6. MeBwert erheblich ab: P4(6) = 10.

68

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

, Programm NEWTON Interpolation

,

F(K)=(F(K)-F(K-1))/I/H Next K Next I , -- Funktionswerte Input "p(x) for x= ";X P=F(N) U=X-Z For I=N-1 To 0 Step -1 P=P*(U-I*H)+F(I) Next I Print P End

-----------------------------

Input "Grad= "; N Input "Step= ";H Input "XO = ";Z Dim F(N) For 1=0 To N Print "F"+Str$(I)+"= " Input F(I) Next I , -- Koeffizienten -For 1=1 To N For K=N To I Step -1

Darstellungsformen der Polynome; Rechenvorteile: 1)

Summendarstellung f(x) = anx n + an_lX n-

1

+ ... + alX + aO ;

ubersichtliches Rechnen, Koeffizientenvergleich. 2)

Horner-Form f(x) = ( ... (anx +an-l)x

+ ... +al)x +ao ;

Berechnung von feb) und der Zerlegung f(x)

3)

= (x -

b)(cnx n- l

+ ... + Cl) + feb).

Produktdarstellung f(x)

= (x -

bdl ... (x - bri'q(x) ;

Nullstellen mit Vielfachheit. 4)

Newton-Form f(x) = Yo

+ Yo, I (x - xo) + ... + YO,I, ... ,n(x - xo)··· (x - Xn-l) ;

die Kurve Y = f(x) geht durch (Xi, Yi) (0 SiS n). 5)

Taylor-Form (--+ Kap. 5, Satz 4.5)

Entwicklung urn Stelle x = b.

2.4 Der Graph eines Polynoms f(x) = anx n + ... + alX + ao (mit an =I 0, n :::: 1 ) nahert sich wegen f( x)

= a nxn(l + an-l anx

+ ... + ~) anxn

fur groBe Ix 1-Werte der Kurve Y = anxn. Die grundsatzliche Gestalt des Graphen von f(x) ist also fur groBe Ixl-Werte durch das Vorzeichen von an und dadurch bestimmt, ob n gerade oder ungerade ist (-7 Abb. 52). 1st b eine Nullstelle von f, so zeigt die Zerlegung f(x) = (x - b)1 g(x) mit

69

§2. Polynome und rationale Funktionen

g(b) =I 0, daB sich die Kurve y = f(x) beim Durchgang von x durch b so verhalt wie die Kurve !J (x) = (x - bY g(b) ; d.h. - Vorzeichenwechsel, falls I ungerade, - kein Vorzeichenwechsel, falls I gerade. y

x

an>O Grad n ungerade

Grad n gerade Abb. 52 - Polynome. qualitativer Veriauf

2.S Rationale Funktionen, Polynomdivision. Der Quotient zweier Polynome f(x)

= p(x) = anx n + ... +alX +ao q(x)

bmx m + ... + bjX +bo

heiBt rationale Funktion. Die Polynome sind spezielle rationale Funktionen (q(x) = 1 ), sie werden deshalb auch ganz rationale Funktionen genannt. Beispiel. Die Van-der-Waals-Zustandsgleichung fUr den Druck p, das Volumen Y und die Temperatur T eines realen Gases lautet

(p + ;2) (V -

b)

= RT

(konstantes a, b, R) .

Bei konstanter Temperatur ist der Druck eine rationale Funktion des Volumens: p

=

p

(Y)= RTy2-aY+ab y2(Y-b)

D

Satz 2.6. Jede rationale Funktion p(x) _ anx n + ... +ajx +ao q(x) bmxm+···+bjx+bo mit Ziihlergrad > Nennergrad liij3t sich darstellen in der Form

(7)

p(x) q(x)

=hex) + rex)

q(x) ,

mit einem Polynom h(x) (dem ganzen Anteil der rationalen Funktion ) und einem Restpolynom rex) mit rex) = 0 oder Grad r < Grad q.

Beweis und Rechenverfahren. Polynomdivision mit Rest. offenbar giiltigen Zedegung (8)

p(x) q(x)

an n-m pj(x) +-bm q(x)

--=-x

Man beginnt mit der

70

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

mit dem Polynom PI (x) := p(x) - ~: x n- m q(x), welches (wenn es von Null verschieden ist) einen kleineren Grad als P hat. 1st PI (x) = 0 (Nullpolynom) oder Grad PI < Grad q, dann ist die Division mit Rest bereits beendet. Andemfalls (PI (x) = Ckxk + ... + Co, Ck -::j. 0 und k 2:: Grad q ) wiederholt man den Rechenschritt (8) fur PI (x) und erhiilt q(x)

p(x) an n-m Ck k-m P2(X) --=-x +-x +-q(x) bm bm q(x)

mit P2(X) = PI (x) - ~: x k- mq(x) ; etc. Zusatz: Ein Koeffizientenvergleich zeigt, daB die Zerlegung (7) eindeutig ist.

0

Beispiel. Die Polynomdivision mit Rest verliiuft nach folgendem Muster: (x I2

+x6 +x + 1)

xI2 _

18 2

3 4

4

1 2

2

9 8

: (2x 4 + 3) = -x - -x + -x + - +

~x8 2

- l2 x 2 + X _ .!2. 8 2x4 +3

t

3 (= PI(X)) 2 3 8 + _x 9 4 _x 2 4 9 x 6 + -x 4 +x + 1 (= P2(X)) 4 x 6 _ ~x2 2 9 3 -x 4 - -x 2 + X + 1 4 2 9 4 27 -x8+ x 6+ x +l

anx n-m bm

4x -g 3 2

19 8

-x 2 + x - -

(= rex))

0

Das Polynom d(x) heiBt Teiler des Polynoms p(x), wenn es ein Polynom po(x) gibt mit p(x) = d(x)po(x). Ebenso wie fur rationale Zahlen ist es auch fur die rationalen Funktionen wichtig, die gemeinsamen Teiler des Ziihlers und des Nenners zu kurzen. Die Berechnung eventuell vorhandener gemeinsamer Polynomteiler von p(x) und q(x) basiert auf der folgenden Beobachtung in (7): Falls Grad P 2:: Grad q und

~~~ ~

= h(x) +

~~:~,

dann ist d(x) genau dann ein

gemeinsamer Teiler von p(x) und q(x), wenn d(x) gemeinsamer Teiler von q(x) und r(x) ist.

Beweis. Aus p(x) = d(x)po(x), q(x) = d(x)qo(x) folgt rex) = p(x)-h(x)q(x) = d(x)(po(x)-h(x)qo(x)). Und umgekehrt, aus q(x) = d(x)qo(x), rex) = d(x)ro(x) folgt p(x) = d(x )(h(x )qo(x) + ro(x)) . 0

71

§2. Polynome und rationale Funktionen

Mittels Polynomdivision wird also die Bestimmung der gemeinsamen Teiler von p und q auf die Bestimmung der gemeinsamen Teiler der Polynome kleineren Grades q und r reduziert. Dieser Reduktionsschritt muB gegebenenfalls mehrfach wiederholt werden (Euklidischer Algorithmus fUr Polynome). Beispiel. Fur die rationale Funktion X4 - 2x 3

f(x)

-

2x2 - 2x - 3

= x 4 -3x 3 -7x 2 +1Sx+18

suchen wir die gekurzte Bruchdarstellung. Die gemeinsamen Teiler der Polynome p(x) = x4 - 2x 3 - 2x2 - 2x - 3 und q(x) = x4 - 3x 3 -7x 2 + ISx + 18 bestimmen wir mit dem Euklidischen Algorithmus: p(x) q(x) q(x) rex) rex) rl (x)

= 1 + rex) q(x)

mit rex) =x 3 +Sx 2 -17x - 21 ,

=x

mit rl(x)

_ 8 + rl(x) rex)

= SO(x 2 -

2x - 3) ,

1 = SO (x + 7) .

Also ist rl (x) = SO(x 2 - 2x - 3) der (dem Grad nach) grofite gemeinsame Teiler von r, rl , also auch von q, r und von p, q. Wir kurzen x 2 - 2x - 3: f(x)

x2 + 1

= (x + 2)(x -

o

3) .

2.6 Der Definitionsbereich D einer rationalen Funktion f(x) = p(x) liegt q(x)

erst endgiiltig fest, wenn p und q keinen gemeinsamen Teiler mehr besitzen. Dies sei jetzt der Fall; dann haben p und q keine gemeinsamen Nullstellen und es ist D = {x E IR ; q(x) =I O}. Eine l-fache Nullstelle des Nenners, q(x) = (x - biql(X) mit ql(b) =I 0, heiBt l-facher Pol von f. Der Graph pCb) 1 y = f(x) hat in der Niihe von x = b angeniihert die Gestalt y = ql (b) . (x _ bY' x

=I b. Das Verhalten fur groBe Ixl-Werte ersieht man aus f(x)=

axn+···+ao n bmx m + ... + bo

=

anxn(1+···+aa~,,)

b m xm(1 + ...

n

+~) brnxm

Abb. 53 - Pol I. und 2.0rdnung

~

a --'!!"x n- m bm

72

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

* 2.7 Erganzung: Polynome iiber

C

sehen formal genau so aus wie uber 1R;

es sind Funktionen der Form

=anZ n + an_IZ n- 1 + ... + alZ + ao (z E C) mit eindeutig bestimmten Koeffizienten ai E C (i =0, ... , n). Das Rechnen mit fez)

"komplexen" Polynomen (Addition, Multiplikation, Werteberechnung mit dem Homer-Schema, Division mit Rest, Euklidischer Algorithmus) verlauft zu den bisher fur reelle Koeffizienten dargestellten Verfahren vollstandig analog. Es gibt zahlreiche (beliebig viele) Polynome mit reellen Koeffizienten, die in 1R keine Nullstellen besitzen, etwa x 2 + 1, x 2 + X + 1. 1m Gegensatz dazu gilt der (aus historischen Grunden so genannte) Satz 2.7. Fundamentalsatz der Algebra. Zujedem Polynom fez) = anZ n + .. ·+ao mit ai E C, n 2: 1, an =I 0, gibt es eine Zahl W E C mit few) = O. D.h., jedes nicht konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten hat in C eine Nullstelle.

Ein Beweis dieses wichtigen Satzes wird mit den Mitteln der Funktionentheorie erst in Band 2 erbracht. n

1st nun fez)

=L

akl

=I const und

WI E


k=O

sich, wie in 2.2 ausgefuhrt wurde, der Linearfaktor z - WI wenigstens einmal abspalten: fez) = (z - wd1g(z) , II 2: 1, g(wI) =I O. II heiSt Vielfachheit von WI. Falls g(z) =I const, gilt (aus gleichem Grund) g(z) = (z - w2i2 gl (z), etc. Deshalb lautet eine andere Version des Fundamentalsatzes n

Satz 2.S. Der Faktorisierungssatz. Jedes komplexe Polynom fez) (n 2: 1, ak E C, an =I 0 ) besitzt die

(9)

Faktorisierung iiber C: fez) = an(z - wd ll (z - w2i2

•••

=L

akz k

k=O

(z - wd 1k

mit den verschiedenen Nullstellen Wi E
Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten kann als reelles Polynom (Definitionsbereich ist 1R) oder als komplexes Polynom (mit Definitionsbereich C) aufgefaSt werden. Fur diese gilt: Satz 2.9. Mit jeder Nullstelle w eines Polynoms f mit reellen Koeffizienten ist auch die konjugiert komplexe Zahl w eine Nullstelle von f; d.h. die nicht reellen Nullstellen von f treten stets als konjugierte Paare w und w auf Beweis. Fur ak E 1R gilt ak = ak, daher folgt an wn + ... + a I W + ao an w n + ... + a I w + ao = 0 .

o

73

§2. Polynome und rationale Funktionen

Satz 2.10. Faktorisierungssatz fUr relle Polynome n

Jedes reelle Polynom f(x)

=L

akxk (n:::: 1, ak

E

lR, an

1- 0 )

besitzt die

k=O

Faktorisierung iiber lR: f(x) an(x - bdl ... (x - b r i'(x 2

=

+ ClX + dd 1 ••• (x 2 + CsX + ds)k,

mit den reellen Nullstellen b i der Vielfachheit Ii (i = 1, ... , r ) und den quadrati1, ... , s ), die in lR keine schen Polynomen x 2 + CiX + d i der Vielfachheit k i (i Nullstelle haben.

=

Beweis. Man braueht nur in der Faktorisierung (9) die zu jedem nieht reellen NulIstelIenpaar Wi, Wi gehorigen Faktoren (x - Wi )(x - Wi) auszumultiplizieren: (x - Wi)(X - Wi) = x 2 + CiX + d i mit Ci := -(Wi + wJ = -2Rewi E lR und d i := WiWi = IWil2 E lR.

0

Beispiel. Die komplexe Faktorisierung von x4 + 1 lautet (--+ 3.4) x4

+ 1 = (x + w)(x - w)(x + w)(x - w) mit W = ~v'2(l + i).

Die reelle Faktorisierung dagegen ist x4 + 1 = (x 2

-

v'2x

+ 1)(x 2 + v'2x + 1).

0

Diese Faktorisierung wird im Verfahren von BAIRSTOW zur numerisehen Bestimmung aller Nullstellen eines reellen Polynoms verwendet (--+ Kap. 7, 2.5). Aufgaben 1. Die folgenden Ausdriicke bestimmen jeweils eine Funktion. Man vereinfache, bestimme den maximalen Definitionsbereich und skizziere den Graphen

a)

J;~; +J::~ r;;2

b)

~'

yx=2-yX+2 c)

[(H -~v'X x+

+

2x+2

(x + 1)2 - X (x-l)2+x

y2)J2 + ..j(x

2

•

(1 _

.!) X

+ 2)2 - 8x.

2. Fur die Funktion f(x) = 2 - xl bestimme man

x-

a) den maximalen Definitionsbereich und den zugehorigen Bildbereich, b) die IntervaIle, auf welchen c) die Intervalle, auf welchen

f f

monoton faIlt bzw. wiichst, < O.

Man zeige' u + v = 1 ----' feu) + f(v) =-1 . 2 --,' 2 . Welche Symmetrie des Graphen von f driickt sich hierin aus? Graphen.

Man skizziere den

74

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

3. Mittels Polynomdivision berechne man den ganzen Anteil von a) q(x)=

x 7 - 3x 3 + 1 x2+x+l '

b) q(x)=

x9

x 7 - 3x 3 + 1 x 3 +x2 +1

-

4. Man betrachte die Funktionen a(x)=Vx+1000-,J,X, x::,:O;

b(x)=~ -,J,X

, x::': 0;

C(X)=jx+ 1;00-,J,X, x::,:O.

a) Man bestiitige, daB fur 0:,:: x :':: 106 gilt a(x) > b(x) > c(x) ,

und berechne direkt mit dem Taschenrechner a(10 99 ), b(10 99 ), c(10 99 ). b) Man forme die Funktion auf Bruchdarstellung urn, so daB bei Rechnung mit endlich vielen Dezimalstellen keine Ausl6schung mehr auftritt und bestiitige fUr x > 1099 a(x) < b(x) < c(x) .

5. a) Fur das Polynom p(x) = 7x7 + 3x 3 + 200x 2 - 50x + 20 bestimme man mittels Hornerschema den Funktionswert p( -2) und den ganzen Anteil von

(:~~)'

b) Wie lautet die Entwicklung von p(x) nach Potenzen von (x + 2) ? c) Wie lautet die Newton-Form von 1, ... , X6 = 6.

p(x)

uber den Stutzstellen Xo

0,

Xl

6. a) Mit Hilfe eines Taschenrechners bestimme man den Wert von q(t) = t 2 - 12345678t - 12345678

an der Stelle

t

= 12345679 auf dreierlei Art:

mit der Tastenfolge mit der Tastenfolge mit dem Horner-Schema.

[ZJ

o

2

fUr t 2

t

fUr

,

t2 ,

Welcher Wert ist richtig? b) Warum liefert die einfache Aufl6sungsformel bei zehnstelliger Rechnung nur eine der Nullstellen des Polynoms x 2 - 1234567x + 2 = 0 auf acht Dezimalstellen genau? - Mit der Beziehung XlX2 = 2 (VIETA) leite man einen Algorithmus ohne AuslOschung her. 7. Einer vierstelligen Wertetafel fur die Fehlerfunktion y = erf (x) entnimmt man x y

0 0.5 1.5 0 0.4613 0.7468 0.8561

Man stelle dazu das Newton-Interpolationspolynom 3. Grades P3(X) auf, berechne damit P3(0.9) und vergleiche mit dem Wert erf (0.9) = 0.7062 .

-----.--!D(xl

o

2

x

§3.

75

Die Kreisfunktionen

8. a) Zu folgender Wertetabelle bestimme man das interpolierende Polynom P6(X) in Newton-Form. x

1-3

-2 -1

0

1

2 3

o 0 0

b) Wie lautet die Produktdarstellung fUr P6(X) , wie die Summendarstellung? 9. We1che ganzzahligen Werte kommen als Nullstellen Xo fUr das Polynom p(x) = X4 + 9x 3 + 29x2 + 39x +

18

in Frage? Man spalte sukzessive mit Hilfe des Homer-Schemas fUr jede Nullstelle Xo den Linearfaktor x - Xo ab und gebe schlieBlich fUr p(x) die Produktdarstellung. 10. Fur einen Bleiakkumulator (12 Y, 40 Ah) gilt bei 4 A Ladestrom:

Q (Ladezustand %) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 U (Batt. Spannung V) 12.57 12.69 12.97 13.11 13.20 13.29 13.41 13.61 14.77 Mit Hilfe von Prograrnm NEWTON Interpolation bestimme man das zugehorige 1nterpolationspolynom und skizziere es fur 0 < Q < 100. 1st das Polynom fur Q < 20 und Q > 100 realistisch? 11. Zur Darstellung elektrostatischer Potentiale benotigt man die sogenannten LEGENDRE-Polynome Pn(x), die man rekursiv definiert: Po(x) (n

= 1;

+ I)Pn +1(x) =

(2n

P1(x)=x;

+ l)x

Pn(x) - nPn-1(x) ,

n=I,2,3, ....

Man bestimme P2(x), ... , Ps(x) und berechne mit einem Rechner PIO(0.33).

§ 3. Die Kreisfunktionen Die Kreis- oder Winkelfunktionen, auch trigonometrische Funktionen genannt, spielen nicht nur in der Geometrie (Dreiecksberechnung) eine wichtige Rolle, sie dienen im besonderen MaBe zur Beschreibung und Berechnung aller erdenklichen periodischen Vorgange (Schwingungen).

3.1 Definition und einfache Eigenschaften. Je nach Zielsetzung gibt es verschiedene (natiirlich aquivalente) Definitionen der Kreisfunktionen. Wir bevorzugen hier die anschaulich geometrische Definition, die fiir die Anwendungen auf Drehbewegungen zugeschnitten ist. Sei x E IR. Wird im (u, v)-Koordinatensystem der von (0,0) nach (1,0) weisende Zeiger urn den Winkel x gedreht (gegen Uhrzeigersinn, falls x 2: 0 , sonst

76

2. Funktionen. Grenzwerte. Stetigkeit

im Uhrzeigersinn), dann fallt die Zeigerspitze auf einen Punkt P (-+ Abb. 9 mit =x), dessen Koordinaten mit u =cos x, v = sin x bezeichnet werden;

a

P = (cosx, sinx) .

Die derart definierten Funktionen x f--+ cos x, X f--+ sin x (x E IR) heiBen Cosinus- bzw. Sinusfunktion. Hat der Zeiger die Lange r, so fallt nach der Drehung die Spitze auf Q = (u' , v'), u' =r cos x, v' =r sin x (-+ Kap. 1, 3.3). Der Definition entnimmt man sofort folgende Eigenschaften:

(1)

a)

- 1 ::s cos x

::s 1 ,

b)

cos( -x) = cos x ; sin( -x) = - sin x ;

c)

(cosx)2 + (sinx)2

d)

cos(x

+ 2kn)

-1

::s sin x ::s

1.

cos ist gerade. sin ist ungerade.

= 1.

=cos x

, sin(x

+ 2kn) = sin x (k

E

Z)

d.h. cos und sin sind 2n-periodisch.

Die Nullstellen der Sinusfunktion im Intervall [0, 2n] sind 0, n, 2n; wegen (1d) unterscheiden sich alle anderen Nullstellen hiervon nur urn Vielfache von 2n . Entsprechendes gilt fiir die Cosinusfunktion: (2)

sin x = 0

{=::=}

x

E

=0

{=::=}

x

E

cosx

{O, ±n, ±2n, ±3n.···} n 3 5 {±2' ±2"n, ±2"n, ... }

Wegen der 2n-Periodizitat (ld) entstehen die Graphen y = sinx, y = cosx aus den iiber einem Intervall der Breite 2n liegenden Teilgraphen durch eine Verschiebung nach links oder rechts urn ganzzahlige Vielfache von 2n. y y=.in x

x

y y=cos x

x

Abb. 54 -

y

= sin x.

y

= cos x

§3.

Satz 3.1. Das Additionstheorem. Fur aile x, y cos(x + y) sin(x + y)

(3)

77

Die Kreisfunktionen E

lR gilt

= cosx cos y - sinx sin y, = sin x cos y + cos x sin y .

Beweis. Man wende Formel (4) aus Kap. I, §3 auf die Drehung mit Winkel y an, bei der p = (cos x, sin x) in pi = (cos(x + y), sin(x + y)) iibergeht. 0 Der Spezialfall y = ~ bzw. y = - ~ ergibt sin(x + ~ ) = cos x,

(4)

cos(x - ~)

= sin x ,

was besagt, daB die Kurve y = cos x mit der nach links urn ~ verschobenen Sinuskurve iibereinstimmt, bzw. daB eine reine Sinusschwingung nichts anderes ist als eine urn ~ phasenverschobene Cosinusschwingung (-->- 3.5). In den Formelsammlungen findet man zahlreiche trigonometrische Identitiiten (Formeln); sie lassen sich aIle aus dem Additionstheorem ableiten. a)

= cos x cos y + sin x sin y , = sin x cos y - cos x sin y ; x+y x-y sinx + sin y = 2 sin - - cos - 2 2 x-y x+y sinx - sin y = 2 sin - - cos - 2 2 x+y x-y cosx + cos y = 2 cos -2- cos -2- , x+y . x-y cosx - cosy = - 2' Slll-- Slll-- . 2 2' 2 2 cos(2x) = cos x - sin x = 2 cos2 x-I sin(2x) = 2 sin x cos x , I + cos x = 2 cos 2 2'X ' cos(x-y)

sin(x - y)

b)

(5) c)

1 - cosx

= 2 sin 2 ::' .

2' (Formeln der Winkelverdopplung und -halbierung).

Beachte. r(x):= [f(x)]n ,d.h. sin 2 x

= (sinx)2,

cos 2 x

= (cosx)2, etc.

Beweis. a): In (3) wird y durch -y ersetzt. x+y x-y x+y x-y b): Mit x = -2- + -2- folgt aus (3) sinx = sin -2- cos -2- + x+y. x-y Eb . . y+x y-x y+x. y-x cos -2- Sill -2- . enso Sill y = Sill -2- cos -2- + cos -2- Sill -2- . Addition bzw. Subtraktion fiihrt mit (1 b) auf die zwei Formeln fur sin. Ersetzt man hierin x, y durch x + ~, y + ~, so erhiilt man die Formeln fiir cos.

78

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

c): Die ersten beiden Formeln ergeben sich sofort aus (3) mit y = x und (1c). Ersetzt man hierin x durch ~, dann erhiilt man die restlichen Gleichungen. D Weitere Formeln, insbesondere komplizerte und solche, die bei der Uberlagerung harmonischer Schwingungen auftreten, behandelt man besser nach Ubergang ins Komplexe mit den De Moivre-Formeln (-+ Satz 3.2).

3.2 Die Tangens- und Cotangensfunktion sind definiert durch SIll X

Jr

tanx := cosx ' xi (2k + 1)2 (k cosx cot x := - . - , x i kJr (k E ~) .

E ~) ,

SIll X

Fur jedes x stellen tan x und cot x Tangentenabschnitte am Einheitskreis dar (-+ Abb. 55) und es gilt: x

tan x

cotx

0

0

nicht def.

T{

~v'3

v'3

T{

1

1

v'3

~v'3

0 "4 T{

"3 T{

"2

nicht def.

1 - - - - - cot x

------tl

,1 \

tan x

_-¥-_ _--'--x_s_in_x-'---+\

j

/1

,I

0

Abb. 55 - tan, cot am Kreis

Die Eigenschaften beider Funktionen ergeben sich sofort aus (1) - (5):

(6)

= - cot x

a)

cot( -x) tan und cot sind ungerade ;

b)

tan(x+Jr)=tanx, cot(x + Jr) =cotx tan und cot sind Jr-periodisch ; tan x +tany tan(x + y) = fur aIle "zuliissigen" x, y I-tanxtany Additionstheorem .

c)

tan(-x)=-tanx,

Die geometrische Bedeutung beider Funktionen liest man im rechtwinkligen Dreieck L'l 0 S Q (-+ Abb. 10) mit a = r cos a, b = r sin a fur a > 0 ab: tan a

b

Gegenkathete

= a = ---CAC=-n--;k-a---;th'---e-t-e-

cot a

=~ = b

Ankathete Gegenkathete'

§3.

79

Die Kreisfunktionen

y

y=co! x

y=!an x

x

Abb. 56a -

y = tan x ,

Abb. 56b - Y

=COl X

3.3 Die Polardarstellung komplexer Zahlen. In Kap. 1, §8 wurden die komplexen Zahlen C = {z = x + iy ; x, y E lR} in kartesischen Koordinaten mit

=(x + u) + iCy + v) und der Multiplikation (x + iy)· (u + iv) =(xu - yv) + i(xv + yu) eingefuhrt. z 1---+ i z stellt eine Drehung urn ~ dar, speziell isU 2 = -1, der Addition (x + iy) + (u + iv)

iy) = -y + ix (-+ Abb. 43). Die komplexe Zahl z = x + i y i- 0 ist auch eindeutig bestimmt durch den Betrag Izl := Jx 2 + y2 (= Lange der Strecke von 0 nach z) und durch die Phase oder das Argument arg z := cp (= Winkel zwischen positiver reeller Achse und Strahl von 0 nach z). Fur z = 0 ist arg z nicht erklart. Die Phase cp ist keineswegs eindeutig, bei jeder vollen Umdrehung vermehrt oder vermindert sie sich urn 2T(.

i(x

+

x

Z Abb. 57 -

z = JzJeil'

:s T( . = 1m z

Der Hauptwert von arg z ist die Phase von z, fur die -T( < cp

Man kann also z = x + i y i- 0 festlegen durch x = Re z, y oder durch r = Izl und cp = arg z. Wegen x = r cos cp, y = r sin cp (-+ Abb. 57) ergibt sich die sog. Polardarstellung (7)

z = r(coscp + i sincp) mit r = Izl und cp = argz

Mit der von L.

EULER

(1707-1783) eingefuhrten Abkurzung

I wird daraus z = Izlei'P .

ei'P:= cos cp + i sin cp

80

2. Funktionen. Grenzwerte, Stetigkeit

Bemerkungen 1. Vorerst ist eirp = cos q;+i sin q; nur als eine zweckmaBige, durch die folgenden Rechenregeln gerechtfertigte Abkiirzung anzusehen. Zusammenhange mit der komplexen e-Funktion ergeben sich spater. 2. Die komplexen Zahlen eirp = cos q; + i sin q; haben den Betrag r = 1, sie liegen auf dem Einheitskreis urn den NUllpunkt (-+ Abb. 58). 3. Wachst q; = wt + ex linear mit der Zeit t, so stellt z(t) = ei(aJt+a) die Bewegung eines auf dem Einheitskreis mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (j) kreisenden Punktes dar, der sich zur Zeit t = 0 in e ia befindet (-+ Abb. 61). Umrechnungsformeln. (-+ Kap. 3, 3.3), d.h.

Bezeichnet arccos den Hauptwert des Arcuscosinus

q; = arc cos u

{:=:}

cos q; = u und O:s q; :S

JT ,

so gilt Kartesische Darstellung

a)

Beispiele.

Polardarstellung

Gegeben z = x + iy 10 (x, y Mit r = J x 2 + y2 und

gilt b)

+=

E

lR).

arccos ~ , falls y 2:: 0

q;

={

z

= re irp .

r x

- arccos r

Gegeben z = re irp . Mit x = r cos q;, gilt z =x+iy.

' falls y <

0

y = r sin q;

eiJr / 2 = i; eiJr = -1; e2Jri = 1; 1 + i = he iJr / 4 ; 1 + .J3i = 2e iJr / 3 ;

4 - 3.5i = ~.JT13e-iO.71883 .

0

Satz 3.2. Formeln von De Moivre (1667-1754). Fiir aUe q;,1/I

E

-.

c) e'rp

lR gilt 1 = e-'rp. = -.e'rp

Beweis. a): Mit (3) gilt: eirp ei 1/J =(cosq;+isin1/l)(cos1/l+isinq;) = (cos q; cos 1/1- sin q; sin 1/1) + i (cos q; sin 1/1 + sin q; cos 1/1) = cos( q; + 1/1) + i sine q; + 1/1)

=e (rp+1/J) . i

b) folgt aus a) mit 1/1 = q;, 1/1 = 2q; , . .. (vollstandige Induktion). c): eirp = cos q; + i sin q; = cos q; - i sin q; = cos( -q;) + i sine -q;) = e -irp auBerdem folgt aus a) eirpei(-rp) = eiO = 1 .

,

0

§3.

81

Die Kreisfunktionen

3.4 Anwendungen der De-Moivre-Formeln

CD Die Multiplikation und Division komplexer Zahlen gestaltet sich in der Polardarstellung mit den Formeln (8) besonders vorteilhaft:

Fur z

= Izlei'P,

(9)

a) zw

w

= Iwle i1jJ t-

= Izllwle i('P+1jJ)

0 und n

E

~ gilt

,

D

Geometrische Deutung der Formeln (9) a) Die Multiplikation mit w = ei1jJ bewirkt eine Drehung urn den Nullpunkt mit dem Winkel 1/1 (-7 Abb. 58). Die Drehung erfolgt gegen den Uhrzeigersinn, falls 1/1 > 0, bzw. im Uhrzeigersinn, falls 1/1 < 0 . b) Die Multiplikation mit w = Iwle i1jJ stellt eine Drehungstreckung dar, falls w t- 0 und w t- 1. Das ist eine Drehung urn den Winkel 1/1 verbunden mit einer Streckung im Verhaltnis 1: Iwi. y

x

x

Abb. 59 - Kreisteilung n = 9

G) Die n-ten Wurzeln von p(x)

= xn -

a

mit n

E

a E C. Jede komplexe Nullstelle des Polynoms IN , d.h. jede komplexe L6sung z der Gleichung

zn - a

heiEt n-te Wurzel von a.

=0

,

va bezeichnet die Menge dieser Nullstellen.

Fur a = 1 spricht man von den n-ten Einheitswurzeln. Mit ~k := ei 2~k gilt (10)

n!1

vi

= {~o,

~l, ~2, ... , ~n-d

·2n = { 1, e'n,

·4n

.2n(n-l) }

e'n, ... , e'-n-

.

Diese n Zahlen erfullen aIle wegen (8) die Gleichung zn = 1 , sie liegen auf dem Einheitskreis, bilden die Ecken eines regelmaEigen n-Ecks und gehen nachein-

82

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

ander durch eine Drehung urn den Winkel 2:: aus der I hervor (-+ Abb. 59). Wegen Satz 2.8 kann es keine weiteren NuIlstellen von zn - 1 geben. Fur a

= laleil"

mit -rr < cp :::: rr bildet man zunachst die reelle Wurzel

'VIal

und erhalt mit (10) und w := 'VIaIe i rr als n-te Wurzel von a:

va={W'~lw,

...

~n-lW}·1

CD

Trigonometrische Formeln kann man sehr einsichtig aus Formeln fur uber einen Vergleich entsprechender Realteile (bzw. Imaginarteile) herleiten.

eil"

Beispiel.

Mit (8) ist cos 3cp + i sin 3cp = (cos cp + i sin cp)3 = cos 3 cp + 3i cos 2 cp sin cp + 3 cos cp(i sin cp)2 + i 3 sin 3 cp = (cos 3 cp - 3 cos cp sin 2 cp) + i (3 cos 2 cp sin cp - sin 3 cp) • Wegen cos 2 cp + sin 2 cp = 1 gilt daher cos 3cp

=4 cos3 cp -

3 cos cp

sin 3cp

=3 sin cp -

4 sin 3 cp .

o

3.5 Harmonische Schwingungen. Bine Funktion f : 1R -+ 1R heiBt periodisch mit der Peri ode 21, wenn f(x + 2l) = f(x) fur aIle x E 1R gilt. Die Sinus- und Cosinusfunktion sind 2rr-periodisch. In der Abb. 61 sind zwei weitere periodische Funktionen dargestellt. y

y

x

x

Abb. 60 - Periodische Funktionen

Definition. Als Schwingung bezeichnet man einen Vorgang, der durch eine periodische Funktion des" Zeitparameters" t E 1R beschrieben wird. Eine durch (11)

set)

= Acos(wt +a),

t

E

1R ,

mit festen A, w, a E 1R dargestellte Schwingung heij3t rein oder harmonisch. A heij3t Amplitude (Schwingungsweite), wt + a die Phase, a die Nullphase und w die Kreisfrequenz der Schwingung. Die Schwingungsdauer (Periode) betragt T

=

2; ,die Schwingungszahl oder Frequenz v = ~ = 2: .

Man deutet set) als ,,Auslenkung" zur Zeit t, d.i. bei einer geradlinigen Schwingung eines Massenpunktes die momentane Entfemung aus der Gleichgewichtslage. Wegen cos(wt + a) = sin(wt + a + ~) kann jede harmonische Schwingung auch als "reine Sinusschwingung" dargestellt werden. Man achte dabei aber auf die veranderte Phase.

§3.

83

Die Kreisfunktionen

Beispiel. Spannung Vet) = Vocoswt und Strom starke let) WechseIstroms sind harmonische Schwingungen. Komplexe Darstelluug. Wegen der DeMoivre-Formeln (8) vereinfacht sich die Behandlung harmonischer Schwingungen ganz erheblich, indem man set) = A cos(wt + a) (bzw. set) = A sin(wt+a) ) aIs RealteiI (bzw. ImaginarteiI) der komplexen Kreisbewegung

= locos(wt+a)

eines 0

y

x z(t) := A cos(wt + a) + i A sin(wt + a)

= Aei(wt+a) =(Aeia)eiwt

(12)

auffaBt. Man nennt (12) die komplexe Form und den Faktor a := Ae ia die komplexe Amplitude der Schwingung. Zeigerdiagramm. In der komplexen Zahlenebene beschreibt z(t) = aei(wt+a) , t E lR, die Bewegung eines mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w urn den NuIlpunkt kreisenden Zeigers der Lange Ja J = A, der fur t = nach a = Ae ia weist. s(t) = A cos(wt + a) ist die Projektion des Zeigers auf die x-Achse.

5

°

Abb. 61 - Kreisbewegung

Die Uberlagerung von Schwinguugen erfoIgt nach dem Superpositionsprinzip, wonach sich die Wirkungen, d.h. die momentanen Auslenkungen zu jeder Zeit addieren. Bei harmonischen Schwingungen fuhrt dies in der komplexen DarsteIlung auf die vektorieIle Addition der zugehorigen Zeiger. Drehen sich die Zeiger aIle mit derselben WinkeIgeschwindigkeit w, so gilt dies auch fur den resultierenden Zeiger (---+ Abb. 62a). Laufen die Zeiger mit unterschiedlicher Frequenz urn, so ist die Uberlagerung im aIlg. nicht mehr periodisch. Satz 3.3. Die Uberlagerung zweier gleichfrequenter harmonischer Schwingungen ist wieder eine harmonische Schwingung derselben Frequenz. Es gilt Al cos(wt + al) + A2 cos(wt + a2) mit

A

a=

= A cos(wt + a)

= .;(AI cos al + A2 cos a2)2 + (AI sin a] + A2 sin a2)2

1

arccos

- arccos

Alcosal+A2cosa2

Alcosal~A2cosa2 A beliebig

und

, falls Al sin al + A2 sin a2 2': 0, At=- 0, , falls Al sin al + A2 sin a2 < 0, At=- 0, , falls A

= 0.

84

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

Beweis. Fur die komplexe Darstellung der Uberlagerung ergibt sich mit (8)

Betrag A und Argument a des komplexen Zeigers Aleic'l +A2eia2 = (AI cosal + A2cos(2)+i(AI sinal +A2sin(2) ergeben sich mit den Formeln aus 3.3. D

Abb. 62b - n + 1 Zeiger gieicher Lange

Abb. 62a - Addition von zwei Zeigern

Beispiele 1. ccoswt+dsinwt=Acos(wt+a) mit A=Jc 2 +d 2 und a=arg(c-id).

2. In der Wellenoptik (-+ Beugung am Spalt, 6.4, Aufgabe 10) benotigt man die Amplitude und Nullphase der Uberlagerung von n+ 1 Schwingungen mit gleicher Amplitude A, gleicher Frequenz w und den Nullphasen 0,0,20, ... no. Diese lassen sich am Zeigerdiagramm (-+ Abb. 62b) ablesen oder in komplexer Darstellung berechnen: z(t)

= Ae iwt + Aei(wt+S) + ... + Aei(wt+nS) = Ae iwt

[1 + eiS + (e iS )2 +.,' + (eiS)n]

. 1 - (e is)n+1 = Ae'WI 1 - e i8 = Ae

iWi

e

2'I SIll . TV n+lo) e in+1s( 2 .8

e' '2 ( - 2i sin ~)

Die Uberlagerung hat die Amplitude A Mit w = 0 und A = 1 erhiilt man (13)

in+1s( _in+18 2 2

in+1S) 2

. e e -e = Ae,wt --;'----c,----.,.---'i

=

(

A

4(e-i~

_ ei~)

, TV n+IO) SIll '8

SIll 2:

e

i(wt+118)

2.

sinn+lo n 2 und die Nullphase -20. sin §.2

sin 0 + sin 20 + ' , , + sin no =

sin n+lo sin "0 2. 8 2 SIll 2:

D

HTegen 'h d'Ie SuperH' WI = WI + 2 W2 + WI -2 w2 W2 = WI + 2 W2 - WI -2 w2 r'B a t SIC position zweier komplexer Schwingungen stets als Produkt darstellen:

§3.

85

Die Kreisfunktionen

(14) Man spricht hier von einer modulierten Schwingung mit modulierter (komplexer) Amplitude aCt)

=ale ' -

. (1)1-(1)2

2-

t

. Wl-(V2 t

+a2e-I-2- .

Eine modulierte Schwingung ist im allg. nicht periodisch. Verhaltnis der beiden Kreisfrequenzen WI, W2 rational, d.h.

1st jedoch das WI nl (mit W2 n2 nl,n2 E IN), dann besitzen die beiden Schwingungen ZI(t) = ale iw1t und . Peno . de T := 21m 2rrn2 Z2 () t = a2e iwt· 2 eme gememsame -I = - ; denn wegen WI W2 e iW1T = ei21rn1 = 1 gilt eiW1(t+T) = e iw1t , ebenso e iW2 (t+T) = e iw2t . In diesem Fall stellt die Uberlagerung tatsachlich eine (nicht notwendig harmonische) Schwingung mit Peri ode T dar.

Abb. 63 - set) = cos t + cos 4t

Unterscheiden sich die beiden Kreisfrequenzen WI und W2 nur sehr wenig, d.h. ist Q := IWI - w21 im VerhaItnis zu WI sehr klein, dann beschreibt die Uberlagerung (14) eine "hochfrequente Schwingung" mit Kreisfrequenz ~ WI , deren Amplitude sich zwischen dem minimalen Wert a := Iiall - la211 und dem maximalen Wert A := jail + la21 periodisch mit der "Niederfrequenz" Q andert. Ein solches Pulsieren der Amplitude vom Wert a iiber A bis a nennt man Schwebung,

*

heiBt SchwebungsJrequenz. 1m Falle al

quente Schwingung harmonisch und ihre Kreisfrequenz

2~

Abb. 64 - s(t) = cos lOt + cos lIt

= a2

WI

~ W2

ist die hochfre-

86

2.

Funktionen. Grenzwerte. Stetigkeit

Man beachte: Bis hierher wurde nur die Superposition gleichgerichteter harmonischer Schwingungen betrachtet. Die Schwingungen erfolgen (ausschlieBlich) entweder parallel zur x-Achse oder zur y-Achse. Etwas anders ist der Sachverhalt bei der Uberlagerung ebener Schwingungen mit verschiedenen Schwingungsrichtungen. Die Uberlagerung von Sl(t) = Sl(t) S2(t)

(:~)

= S2(t) (:~)

(Schwingung langs a =

(:~))

und

(Schwingung langs b = (:~))

wird durch set) = (Sl(t)a l + S2(t)b l ) Sl (t)a2 + s2(t)b2

dargestellt. Dieses ist eine Kurve der Ebene. Die sich aus der Uberlagerung von Sl(t)

=(AI COS(Wlt +ad)el

S2(t)

= (A2 COS(W2t + (2))e2

ergebenden Kurven set)

= (AI COS(Wlt +

,

ad)

A2 COS(W2t + (2)

heiBen Lissajous-Figuren (benannt nach J. A. LISSAJOUS, 1822-1880).

Abb. 65 - x(t) = sin t, yet) = sin(2t -

:rr

'4)

Aufgaben 1. Man bestatige

sin 4rp = 8 cos 3 rp sin rp - 4 cos rp sin rp cos 4rp = 8 cos 4 rp - 8 cos 2 rp + 1 sin4 rp =

~(COs 4rp -

4 cos 2rp + 3)

1

cos 4 rp = S(cos rp + 4 cos 2rp + 3) und berechne damit sin ;6 ' cos ;6 und tan ;6 . 2. Man rechne mittels der Beziehung 2 cos a = eifX + e- ifX nach: (2 cos a) 5 = 2 cos 5a + 40 cos 3 a - 10 cos a . Setze a = ~ und bestimme die Werte fur cos( ~) und sine ~) mit Hilfe der Faktorisierung x 5 - 5x 3 + 5x + 2 = (x 2 - X - 1)2(x + 2) .

§3.

87

Die Kreisfunktionen

3. Eine kubische Gleichung x 3 + ax 2 + bx + c = 0 wird mit z:= x + ~ in eine Gleichung ohne quadratischen Anteil umgeformt: Z3 -

pz +q = 0 .

a) Man zeige, daB im Fall 4 p3 - 27 q2 > 0 mit r = cos cP = ; ; die Zahlen chung ( *) sind.

Zk

= 2

r::

3

y r

cP + 2kn cos --3--

j (~)

3

und cP definiert durch

(k = 0, 1, 2) Losungen der Glei-

b) Man berechne die Losungen von x 3 + 9x 2 + 23x + 14 = O. 4. Man bestatige mit vollstandiger Induktion nach n, daB fur sin a

=I 0

sin(2na) cos a + cos 3a + ... + cos(2n - l)a = -2~'--'. sma

5. Man bestimme - nach Umformung in Produkt- oder Polynomdarstellung - samtliche Losungen im Interval! 0::5 x < 2n von a) sin2x-cos2x=1,

b)

sinx+sin2x+sin3x=0

6. Die drei Spannungen in einer Drehstromleitung mit Null-Leiter Mp sind R = U sin wt; S = U sin (wt + 2; ) ;

T = U sin (wt +

4;) .

a) Wie lauten diese Spannungen in komplexer Darstellung ? Zeige, daB stets R + S + T = 0 .

y T

b) Bestimme Amplitude und Phase von S - R, T - S, R - T. 7.

a) Man berechne Real- und Imaginarteil sowie Betrag und Argument von (

2 +i ) 1-(1+i)2

9

'

( ~)99 1 -/

(~(l + iv3»"

,

n = 0,1,2, ".

b) Man skizziere als Punktmengen in Q:: {z E Q:: ; z = 3 - i + 5e it {z

z

E

,

0 ::5 t ::5 n} ;

{z E Q:: ; Iz - 1 - i I ::5 3 }

Q:: ; Z5 = I} .

= te it ,

t::: 0 ;

1

Re(Z-)

=1

1(1 +i)z+(I-i)1 =5. 8. Mittels komplexer Darstellung berechne man die Amplitude A und die Nul!phase cp von s(t) = A sin(wt + cp) = sin(wt + CPI) + 2 sin wt

fUr CPI = 2 und w = 10. Fur we1che Werte von CPI ist A maximal bzw. minimal?

88

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

9. Die amplitudenmodulierte Schwingung Set) = A·

(1 +mcos(27Tnt)). cos (27TNt)

,

t

E

IR

s

ist eine additive Uberlagerung von reinen Schwingungen. Welche Frequenzen treten in dieser Superposition auf? (N Tragerfrequenz, n Modulations!requenz, m Modulationsgrad)

Unterdriickt man die Triigerschwingung (Doppelseitenband (DSB) - Modulation im Stereosignal), so erhalt man s(t) = S(t)-Acos(27TNt) .

-

Man bestimme samtliche Nullstellen von Set) und set) fur 0 < m < 1 . Fur welche Werte von N, n haben Set) und set) dieselben Nullstellen? Stimmen in diesem Faile auch die Vorzeichenwechsel uberein? Man skizziere s(t) und Set) fur A = 4, m = 0.5, n = 1, N = 5 und begriinde: Aus set) kann die Tragerfrequenz w = 27T N nicht decodiert werden. (Deshalb wird ein Pilotton geringer Intensitat zusatzlich ubertragen.)

§4. Zahlenfolgen und Grenzwerte Die charakteristische Methode der Analysis ist die Bildung von Grenzwerten. Wir fiihren den Grenzwertbegriff anhand reeller Zahlenfolgen ein und iibertragen anschlieBend die dabei gewonnenen Erkenntnisse auf Grenzwerte von Funktionen.

4.1 Folgen. Unter einer PaIge reeller Zahlen (oder reellen Zahlenfolge) versteht man eine auf INo = {O, 1,2, ... } erklarte reellwertige Funktion; d.h. jedem n INo ist ein an E lR zugeordnet. Man schreibt hierfiir

E

(an)nElN oder (an)noo:o, oder auch ao, aI, a2, ...

Die Zahlen an heiBen die Glieder der Folge. Die direkte Vorschrift n 1-+ an bezeichnen wir als explizites Bildungsgesetz der Folge (es handelt sich meist urn eine Formel, mit der an aus n direkt zu berechnen ist). Demgegeniiber ist die rekursive Definition der an (-+ Kap. 1, 2.6) als implizites Berechnungsgesetz zu verstehen. Bemerkung. Das erste Glied einer Folge braucht nicht immer ao zu sein. Durch Umbenennung, etwa bo := as, bI := a6 , ... , bn := as+n , erreicht man, daB auch as, a6, a7, ... eine Folge im Sinne der Definition darstellt; wir bezeichnen sie mit (a n)noo:5 (allgemein: (an)noo:no).

89

§4. Zahlenfolgen und Grenzwerte

Beispiele an explizit definiert: 1. an := c (n:::: 0, c E IR konstant); c, c, c, c, ... 2. a n := n, n:::: 0; 0,1,2,3, ... 3. an:=ao+nd (n::::O,dEIR); ao,ao+d,ao+2d, ... Es handelt sich hier urn eine arithmetische Folge: an+l - an = d (konstant). 4. a n := aoqn (n:::: 0, q =I 0 konstant); ao, aoq, aoq2, ...

5.

Dieses ist eine geometrische Folge: a~:l = q (falls ao =I 0 ). an :=(_lt 4n

;:/::1

an rekursiv definiert: 6. ao:= 1, an+l = (n

7. 8.

1

(n::::O).

+ l)an (n:::: 0) , 2

ao:= 2, an+l = lean + an) (n:::: 0), ao:= 1 , an+l = sin an

(n:::: 0) .

D

Eine Zahlenfolge heiBt beschrankt, wenn samtliche Folgenglieder in einem endlichen Intervall liegen, wenn also Kl :::: an :::: K2 oder lanl :::: K gilt fur aIle n :::: 0 mit gewissen Konstanten Kl, K2 bzw. K. Jede solche Konstante Kl bzw. K2 heiBt untere bzw. obere Schranke der Folge (an)n:::O. Von den im Beispiel genannten Folgen sind 1., 4. (falls Iq I :::: 1), 5., 7. und 8. beschrankt, die anderen Folgen sind nicht beschrankt.

4.2 Definition des Grenzwerts; konvergente Zahlenfolgen Definition. Man sagt, die reelle ZahlenJolge (an)n:::O, strebt (oder konvergiert) gegen den Grenzwert a E IR, und man schreibt lim an = a (kurz lim an = a ) n-->oo

oder an ---+ a Jur n ---+ 00 (kurz an ---+ a), wenn es zu jeder beliebig kleinen vorgegebenen Schranke E > 0 einen Index no E 1N gibt, so daJ3 gilt Ian - a I <

E

for alle n :::: no .

Anschaulich: (an)n:::O konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn in jedem noch

so kleinen Intervall mit Mittelpunkt a (" E-Umgebung") ab einem genugend groBen Index - der i.a. von der Wahl der Intervallbreite abhangt - schlieBlich aIle Folgenglieder an (n :::: no) liegen. 0 12

,

00

0 19

,

Q-C

+ Q

0 20

,

as

0 18

0 11

Q+C

Abb. 66 - an E (a - E. a + E) fiir aile n :::: no = 18

Von einer Zahlenfolge, die einen Grenzwert besitzt (d.h. die gegen einen Grenzwert strebt) sagt man, sie konvergiert oder sie ist konvergent. Jede gegen 0 konvergierende Folge heiBt Nullfolge. Nicht konvergente Folgen nennt man divergent.

90

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

Satz 4.1. Fiir jede konvergente ZahlenJolge (an)n,::O gilt a) Eindeutigkeit des Grenzwerts: 1st lim an =a und lim an =b, so gilt a = b. b) Konvergente Zahlenfolgen sind beschrankt, d.h., es gibt eine Konstante K mit Ian I ::s: K Jiir alle n E IN . Beweis. a): 1m Fall a i b wiirden gleichzeitig schlieBlich alle Folgenglieder beliebig nahe sowohl bei a als auch bei b liegen; das ist unmoglich. b): Jede E-Umgebung des Grenzwerts und die endlich vielen Folgenglieder auBerhalb dieser E-Umgebung fallen zusammen in ein endliches Intervall. 0 Definition. Man sagt, eine Folge (an)n,::o divergiert (bestimmt) gegen den uneigentlichen Grenzwert 00 (oder strebt gegen 00) i.Z.

lim an =

n-+oo

oder an -+

00

00

(jiir n

-7 00) ,

wenn die Zahlen an in positiver Richtung iiber aile Schranken wachsen; d.h., wenn zu jedem noch so groj3en K die Ungleichung an > K Jiir schliej3lich aile an (ab einem Index no) gilt. Analog ist lim an = -00 (bzw. an -7 -00) definiert. n-+oo

I

a gg

a 30

,

,

a2 c

a 101 a lllO a 1D2 c

c

c

K Abb. 67 - an > K fiir schlieBlich aIle an Chier ab no = 100 )

lim -nl

Beispiel 1.

n-+oo

=0

o

.

Beispiel 2. Die geometrische Folge. Fiir jede reelle Zahl x gilt

(1)

lim xn = n-+oo

I

, falls Ix I < 1, , falls x > 1, unbestimmt , falls x ::s: -1. 0

00

Beweis. Die Aussagen sind anschaulich klar. Zur Einiibung der Definition beweisen wir den ersten Fall: Fiir x = 0 ist alles klar, fiir 0 < Ix I < 1 setzen wir 1 Ixl = 1 + p mit p > 0 und erhalten Ix In

1

= (1 + p)n

1 1 + np + ... + pn < np .

Nun sei E > 0 (beliebig klein aber fest) vorgegeben. Wahlt man no 1 Ixl . no > Ep = EO _ Ix I) , so 1st Ixn - 01 = Ixn I < E fiir alle n ~ no·

E

IN mit

o

91

§4. Zahlenfolgen und Grenzwerte

Beispiel 3. Die geometrische Reihe. Mit der geometrischen Summenformel (---+ Kap. 1, §2(5)) gilt fUr jede reelle Zahl x l_xn+l Sn

= 1 + x + ... + xn =

{

1- x n+l

, falls x i I , falls x

=1

Daher konvergiert die Folge (snk::o wegen (1) fur Ixl < 1 gegen den Grenzwert

-1_1_. Sie divergiert bestimmt fur x :::: 1 gegen -x

00

und hat fur x S -1 keinen 00

Grenzwert. Statt lim Sn schreibt man 1 + x + x 2 + . .. oder "xn, so daB n~oo

~

L xn := 1 + x + x 00

Z+x3

+ ... + xn + ...

n=O

(2)

N

:= lim "~xn N->oo

n=O

1

=

1

--

I-x

, falls Ixl < 1

00 , falls x :::: 1 unbestimmt , falls x S -1

Mit x = E.q und Ipi < Iq I ergibt sich 1 + E. + (E.)2 + ... q q speziell 1 + + + ~ + ... = 2 .

i i

= _1_ = -qq- -p ' l-E. q

0

Anwendung. Die Eisblume. 1906 hat HELGE VON KOCH (1870-1924) eine beeindruckende Figur mit endlichem Flacheninhalt untersucht, deren Rand ein Fraktal ist und keine endliche Lange besitzt. Die Konstruktion veranschaulicht eine auf einem winterlichen Fenster wachsende Eisblume. To

I

2

~

~~~~~_4~~~ Abb. 68 - Die Von-Koch-Eisblume

Ausgangsfigur To ist ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlange a. In diskreten Schritten bilden sich daraus rekursiv die Figuren T1 , Tz, ... Tn, . .. nach dem Gesetz: Ersetze jedes geradlinige Berandungsstiick durch vier Strecken, indem iiber dem mittleren Drittel ein gleichseitiges Dreieck auJgesetzt wird (---+ Abb. 68).

92

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

Fur die Figur Tn gilt: Umfang Un = 1Un-1 = ... = (1)nuo = (1)n 3a, Anzahl der Randstrecken Kn = 4Kn_1 = ... = 4 nKo = 4 n . 3 , Flacheninhalt der zuletzt aufgesetzten Dreiecke ~n = ~~n-I = ... = (~)n Flacheninhalt Fn

1a 2 ,

= 1 a 2 + n£: (4i ·3· (~tI1)a2 = (1 + 1n£: (~r) 1 a 2 . 1=0

1=0

Mit (1) und (2) ergibt sich fur die von-Koch-Eisblume Too: Uoo = lim Un = 00 und Foo = lim Fn = (1 + 19~4) 1a 2 = ~~a2. n~oo

0

n~oo

Beispiel 4. Die harmonische Reihe. Die Folge Sn = 1 + ! + ... + k (n > 1) wachst fur n ---+ 00 uber aIle Grenzen, denn S2k+! =

1+ 12 + (13 + 1) + (1 + ... + 1) + ... + (_1_ + ... + _1_) 4 5 8 2k + 1 2k+1

> 1 + 1 + 2 . 1 + 4 . 1 + ... + 2k . _1_ = k + 3

-

2

4

8

2k+1

2'

Es gilt also

l+!+~+k+···=fk=oo

(3)

n=1

Beachte. Diese Folge (Sn)n:::1 wachst nur sehr langsam. Die numerische Berechnung der Folgenglieder fur gro8e Indices, SlOOO =7.4854, SSOOO = 9.094508, SlOOOO = 9.787605 , kann zur falschen Vermutung Sn ---+ 10 fuhren. Definition. 1st (an)n:::O eine Folge und no < nl < n2 < ... eine aufsteigende Indexfolge, dann heif3t die Folge ana' an!, an2 , ... Teilfolge der Folge (an)n:::O. Beispiele 1. ao, a3, as, a7, ... und a6, a]2, a18, a24, ... sind Teilfolgen von (an)n:::O. 2. Die gestrichene harmonische Reihe. Streicht man in der harmonischen Reihe (3) jeden Summanden, dessen Nenner n in Dezimaidarstellung eine o enthalt, so ergibt sich eine konvergente Tei1fo1ge der divergenten Folge (Sn)n:::1 aus Beispiel 4: 1)(1 II 1)(1 I) + ... I ( T+"'+9 + n+'''+YG+2T+'''+GG + m+'''+999

:s 9· 1 + 92 . to + 93 . 160 + ... = 9 'L( -fo)n = 90 . 00

n=O

o

Aus den Definitionen folgt direkt: Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen denselben Grenzwert. Beispiel.

lim

n->oo

k= 0

==}

lim

n->oo

~ = O.

n

o

§S. Rechenregeln fur Grenzwerte und Konvergenzkriterien

93

§s. Rechenregeln fur Grenzwerte und Konvergenzkriterien 5.1 Rechenregeln. Aus gegebenen Folgen (an)n:o:O, (bn)n:o:o werden durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division neue Folgen gewonnen: Cn

a

:= an + bn ; dn := an - bn ; en := anbn ; fn := b:

(sofem bn i 0) .

Wiederholte Anwendung dieser Operationen kann bereits zu recht komplizierten Folgen fiihren. Eine vorgegebene Folge ist in der Regel zuerst daraufhin zu analysieren, aus welchen einfachen (bzw. bekannten) Folgen sie sich zusammensetzt. Satz 5.1. Grenzwertregeln. Sind (an)n:o:O, (bn)n:o:o konvergente ZahZenfoZgen mit lim an = a und lim bn = b dann gilt: n---+oo

a) b)

n---+oo

lim (an ± bn) =a ± b,

n-->oo

lim (anb n) =ab, insbesondere lim(can )

n-->oo

= ca

(c

E

lR),

c)

ist a i 0, dann gibt es nl E IN mit an i 0 for alle n :::: nl und for die 17 Z 1 = a-1 , l'1m -bn = -a b' 1'0 gen (an) n:O:nj , (b n)n:o:nj gl'Z t l'1m -a

d)

lim lanl = lal,

n---+oo

e)

n

n---+oo an

n-->oo

lim ~ = Fa (falls alle an :::: 0).

n-->oo

Beweis. Wir geben nur die wesentlichen Beweisschritte an. Aus Ian - a I -+ 0 und Ibn - b I -+ 0 ergibt sich mit der Dreiecksungleichung (-+ Kap. 1, 2.5) a): Ian + bn - (a + b)1 :s Ian - al + Ibn - bl -+ 0; b): lanbn - abl = lanbn - anb +anb - abl :s lanllb n - bl + Iblla n - al -+ 0, dabei ist zu beachten, daB die an beschrankt sind (-+ Satz 4.1). c): 1st a i 0, dann enthalt das Intervall (a - I~I, a + I~I) nicht den Nullpunkt, aber ab einem Index n I samtliche Folgenglieder an, n :::: n I . Fur diese an gilt 1 1 a - an 1an - -I a = 1--1 aa n :s canst Ian - al-+ O. d) folgt aus Ilanl - jail :s Ian - al. e): Sind aIle an :::: 0, so ist auch a :::: O. 1. Fall: a = o. Wahle € > 0 (beliebig klein) dazu no E IN , so daB an < €2 gilt fur aIle n :::: no. Fur diese n gilt auch ~ < € ; d.h. ~ -+ 0 . 2. Fall: a > O. In diesem Fall gilt r;;-

r;: _

Ivan - val -

IFn - .jall.jan + .jal _ Ian - al Ian - al 0 r;: r;; < r;;a -+ . IFn + val IFn + val Vu

Beispiele 1.

lim n n+ 1

n---+oo

= lim

n---+oo

(1 + -n1 )

= 1 + n---+oo lim.!. = 1 . n

D

94 2.

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

Aus

}i~ n ~ I = I , }i~ (~) n = 0 ,

+

lim 2n I n-->oo n 2

= n--+oo lim (~+~) =0 n n2

folgt

lim [2n + I + (~)n_n_] = O. n-->oo n2 5 n+I r-----

3.

o

lim n-->oo

Eine Warnung. Aus der Existenz von lim (an ± bn) folgt i.a. nicht die Konvern--+oo genz der einzelnen Folgen (an)n:,:o bzw. (bn)n:,:o. EbenfaBs folgt aus lanl ~ lal i.a. keineswegs an ~ a, was man sofort mit den Gegenbeispielen an := (-It, bn := (_l)n+l belegen kann. 5.2 Grenzwertbestimmung durch Abschatzung. Eine wichtige Methode, Information uber den noch unbekannten (moglichen) Grenzwert einer Folge (an)n:,:o zu bekommen, besteht darin, fur die Folgenglieder an "geeignete" Abschatzungen der Form bn :s an :s Cn mit leichter zuganglichen Folgen (bn)n:,:o, (cn)n:,:O zu ermitteln. Satz 5.2. Das Vergleichskriterium. Lassen sich for n 2: nl die Glieder der Folge (an)n>o nach oben und unten abschiitzen durch bn :s an :s Cn mit lim bn = n----+oo lim Cn = c, dann ist die Folge (an)n>o konvergent und es gilt lim an n400

n----+oo

Beweis. Zu jedem E > 0 gilt c graBen n, also an ~ c . Beispiele. 1. )i~

2.

(si~ n )2 = 0;

E

:s bn :s an :s

:s c + E fur aBe hinreichend 0

denn fur aBe n 2: I gilt O:s

(si~n?

:s

k.

lim 2n = 0; denn fur n > 3 gilt n 2 :s 2n (einfacher Beweis mit vollstan-

n-+oo

n

diger Induktion) und damit O:s ;

3.

Cn

= C.

lim n-->oo

nJn = I; n

denn fur an :=

:s

Vii -

k. I gilt (~ Kap. I, Satz 2.2)

2 = (a n + l)n = I + nan + n(n-l) a n + ... + ann> 2

und damit 0 :s a; :s (~ Satz S.le).

~

(fur n 2: 2). Es folgt a;

~

I +

n(n-l) 2 an 2

0 und darum an

~

0 0

Satz 5.3. Limesbildung erhiilt schwache Ungleichungen. Fur zwei konvergente Folgen (an)n:,:o, (bn)n:':o mit an :s bn fur aile n 2: n 1 gilt lim an :s lim bn . n-+oo

n-+oo

Beweis. Fur Cn := bn -an 2: 0 ist lim Cn 2: 0 nachzuweisen. Ware lim Cn < 0, dann muBten die

n-+oo

Cn

n-+oo

ab einem Index N negativ sein, das ist ein Widerspruch. 0

95

§5. Rechenregeln fiir Grenzwerte und Konvergenzkriterien

Vorsicht! Limesbildung erhaIt strikte Ungleichungen i.a. nieht: Aus lim an =a , lim b n = b und an < b n fur aIle n 2: nl folgt i.a. nicht a < b sondem nur a ::: b. Man erkennt dies beispielsweise an an := 0, b n :=

k.

5.3 Monotone Folgen. GemaE 1.2 heiEt eine Zahlenfolge (an)n;o:o genau dann monoton wachsend (bzw. monoton faIlend), wenn an+l 2: an (bzw. an+l::: an ) fur aIle n 2: 0 gilt.

· '1 Belsplee.

an:=n,

b 1 1 1 1 n:= +'2+3'+"'+fi'

cn :=

1 +n+21+"'+nl 1 1 1

sind monoton wachsende Folgen. Die Folge d n := (1 -

k) (1 -

~) ... (1 -

Beaehte: an monoton wachsend

~

n

~ 1),

n 2: 2, ist monoton faIlend.D

-an monoton fallend.

Satz 5.4. Das Monotoniekriterium. ]ede monoton wachsende oder monoton Jallende beschriinkte ZahlenJolge ist konvergent.

Beweis. Sei (an)n;o:o monoton wachsend, a := sup{ an ; n 2: O} die kleinste obere Schranke der an (~ Kap. 1, 2.4) und E > 0 (beliebig klein). Da a - E keine obere Schranke der Folge ist, gibt es wenigstens ein Folgenglied aN mit a - E < aN ::: a. Aufgrund der Monotonie gilt dann a - E < aN ::: an ::: a fUr aIle n 2: N , also an ~ a. Der Fall an monoton fallend wird analog behandelt, jedoch mit a := inf{ an ; n 2: O} , oder man geht zu -an uber. 0

.

1

1

1

Beispiel 1. DIe Folge a n := 1 + 22 + 3 2 + ... + n 2

= ~l L k2 '

n 2: 1 ,

k=l

ist monoton wachsend und beschrankt, denn fur n > 1 gilt O<~< - n2

-

1

n(n - 1)

= ___ l n - 1

n

und damit

l) (l - l) - l) =2- l <2 . 3 + ... + (_1_ n-1 n n-

o -< an_ < 1 + (1 - 2 + 2

Mit dem Monotoniekriterium existiert lim an ; mittels Fourier-Reihen Kap. 11, § 1) zeigt man

mit der Kreiszahl

JT

= 3.14 ....

n->oo

(~

Bd. 2,

o

96

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

1 1 1 ~ 1 Beispiel 2. Die Foige bn := 1 + IT + 2! + ... + n! = ~ k! ' n 2: 0, ist monoton k=O

wachsend. Sie ist auch beschrankt und damit konvergent, denn aus 1 1 0< k! = 1 .2.3 ... k

:s

1 1 .2.2 ... 2 =

1 2k-1

(k 2: 2)

ergibt sich fur n 2: 2 die Abschatzung

(l)k =3.

1 1 1 1 1 00 2<1+-+-+···+-<1+1+-+···+--<1+" I! 2! n! 2 2n - 1 ~ 2 k=O

Durch den Grenzwert dieser Foige ist die Eulersche Zahl e definiert: (1)

e :=

L k'1 = 00

k=O

•

.

hm n..-..?oo

(nL k'1) . k=O

•

Die Ungleichung 2 :s bn :s 3 gilt fur aIle n 2: 1, sie bIeibt mit Satz 5.3 auch in der Grenze n --* 00 erhalten, daher erhalt man Cohne Rechnung) die grobe Abschatzung 2 :s e :s 3. Die auBerordentlich rasche Konvergenz der Foige (bn)n,,:o verdeutlicht eine 11-stellige Rechnung: bo = 1 b7 = 2.7182539683 bl = 2 bs = 2.7182787699 b2 = 2.5 b9 = 2.7182815256 b3 = 2.6666666667 blO = 2.7182818011 b4 = 2.7083333333 bll = 2.7182818262 b5 = 2.7166666667 b12 = 2.7182818283 b6 = 2.7180555556 b13 = 2.7182818284 0 Beispiel 3. Die Foige

Cn

:= (1 +

~) n ,

n 2: 1 .

Anwendung: In der Zinsrechnung ist Cn der Faktor, urn den sich ein Kapital beim Zinssatz 100% in einem Jahr erh6ht, wenn n-mal aufgezinst wird: Jahrlich monatlich taglich jede Minute

= (1 + 1)1 =2 , = (1 + i2)12 = 2.61303529022 .. . C365 = (l + 3~5?65 = 2.71456748202 .. . C525600 = (1 + 521600)525600 = 2.71827924257 .. . CI

C12

(Diese Werte Iiefert das Programmpaket

MAPLE

V mit variabler Stellenanzahl.)

1. Behauptung. Die Foige C n ist monoton wachsend. Beweis. Mit der Bernoulli-Ungleichung C--* Kap. 1, §2) foIgt ~ = (n + 1)n (n Cn-l

nn

2: n

_1)n-1

nn-l

~ 1 (1 - ~)

= _n_(n + 1YCn _1)n = _n_(l _ .l)n n - 1 n2n n - 1 n2

= 1,

das bedeutet Cn 2: Cn-l .

97

§5. Rechenregeln fiir Grenzwerte und Konvergenzkriterien

Tip: Man versuehe stets, die Frage naeh der Monotonie einer Folge (an)n~o uber an+l - an 2: 0 (bzw. :::: 0) oder - falls an > 0 - a~:l 2: 1 (bzw. :::: 1) zu beantworten. 2. Behauptung. Es gilt en :::: e, n 2: 1 , mit der Eulersehen Zahl e. Beweis. Fur n 2: k 2: 1 gilt ( n) ~ = n(n - 1) ... (n - k + 1) k nk k! n k =

und deshalb en =

~ (1 k!

(-* Kap. 1,2.7)

_1.) (1 _ ~) ... (1 _ k - 1) < ~ n n n - k!

1 n (n) 1 (1 + n) = L k nk:::: L n

n

1

k! :::: e .

k=O k=O Naeh dem Monotoniekriterium besitzt die Folge en einen Grenzwert :::: e. 3. Behauptung. lim en = e . n--+oo Beweis. Sei N 2: 1 beliebig aber fest gewiihlt, so gilt fur alle n > N

Die Ungleiehung bleibt aueh fur n -* aus Bsp. 2 gilt

00

bestehen (-* Satz 5.3), d.h. mit b N

. ( l)n . N 1( N)N N 1 hm 1 + -n 2: n--+oo~k! hm '"' - 1 - -n = '"' - = bN n--+oo ~k! k=O k=O

.

Dies gilt fur jedes N 2: 1 und damit ist - wieder wegen Satz 5.3 -

lim en > n--+oo lim bN = e. Wegen Behauptung 2 mussen beide Grenzwerte gleieh sein. 0 N--+oo Die Euler-Zahl e

(2)

. (1 + n1)n = hm . Ln -k'1 = 1 + -1'1 + -2'1 + -3'1 + ...

= n---+oo hm

n---+oo.

•••

k=O e = 2.71828 1828459045235360287 ....

Bemerkung. Beide Folgen streben zwar gegen e, jedoeh ist die Folge der Summen

~ 1 1 + IT 1 + 2! 1 + ... + n! 1 ~ k! =

Eulers~~en

. Beree hnung der zur na"herungswelsen

Zahl viel besser geeignet als die Folge der Produkte denn diese konvergiert auBerordentlieh langsam.

(1 + k)

n ,

98

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

Beispiel 4. Von der durch

ao:= 1 , rekursiv definierten Folge zeigt man leicht, daB sie beschrankt (0 < an < 2 ) und monoton wachsend ist. Der noch unbekannte Grenzwert sei a. In diesem Fall (und vielen ahnlich gearteten Fallen) fuhrt die Rekursionsformel auf eine a bestimmende Gleichung. Aus an --+ a, also auch an+! --+ a, und den Rechenregeln fur Grenzwerte folgt

= 6~1 :aa) ; d.h., nur lim an =2 . n->oo

a

a

=2

oder a

= -3.

Wegen an ::: 0 ist a ::: 0, daher bleibt D

5.4 Die Exponentialfunktion. 1m vorhergehenden Abschnitt wurde am Beispiel der Zahl e gezeigt, daB wichtige Zahlen als Grenzwerte von Zahlenfolgen definiert sind. Dasselbe trifft auch fur Funktionen zu. Von L. EULER wurde die e-Funktion (oder Exponentialfunktion) x H- eX eingefuhrt; sie ist einer der fundamentalen Bausteine der Analysis. Fur jedes x E lR sei eX := lim

n->oo

(1 + ::.)n ,x n

E

lR.

Damit das eine sinnvolle Definition ist, muB gezeigt werden, daB fur jedes x

E

lR

die Folge an := (1 + ~ t, n ::: 1, konvergiert. Fur Konvergenzbetrachtungen durfen wir o.E. zusatzlich n ::: Ix I annehmen. Fur diese n sind aIle an positiv und es gilt an ::: an+! , was man ebenso beweist wie die Monotonie der Folge (1

+

k)n

(--+ 5.3, Beisp. 3).

Nun wird eine Fallunterscheidung 1. Fall. x::: O. Fur n > -x und x ::: 0 gilt 0 < dem Monotoniekriterium foIgt die 2. Fall. x > 0 . Die Konvergenz der Folge bn := Folge anb n

= (1

x2

- 2'

n

r

x ::: 0, x > 0 vorgenommen.

1 + ~ ::: 1 , also auch 0 ::: (1 + ~ t ::: 1. Mit Konvergenz gegen einen Grenzwert -=I 0 . (1 - ~

t

ist gesichert (--+ 1. Fall). Fur die

gilt (fur n > x) nach der Bernoulli-Ungleichung die 2

Abschatzung 1 ::: anb n ::: 1 - : ' woraus (mit dem Vergleichskriterium) anb n --+ 1 foIgt. Die Grenzwertregeln ergeben nun · - I' anbn _ lim anbn _ I1m an - n-+oo 1m -b- I'1m b - -1'-n 1m bn n

n->oo

Also hat auch in diesem Fall an einen Grenzwert. Bemerkung. Was der Wert eX mit der x-ten Potenz der Zahl e zu tun hat, wird erst in Kap. 3, §4 vollstandig geklart werden. Statt eX schreibt man haufig

§5. Rechenregeln fiir Grenzwerte und Konvergenzkriterien

99

. Eine andere Darstellungsform, die wegen der

exp x, exp x := eX := lim (1 + ~n t n-->oo

schnelleren Konvergenz zur Berechnung von eX besser geeignet ist, besprechen wir in Kap. 5.

* 5.5 Fiir Fortgeschrittene: Das Cauchy-Konvergenzkriterium

(A.L. CAUCHY, 1789-1857). Es ermoglicht Riickschliisse auf das Konvergenzverhalten einer Zahlenfolge aus den Abstanden der Folgenglieder:

Satz 5.4. Cauchy-Kriterium. Eine Zahlenfolge (an)n:o:o ist genau dann konvergent, wennfur aUe hinreichend groflen Indizes m, n die Dijferenzbetrage (Abstande) lam - ani beliebig klein werden; d.h. wenn es zu jeder (noch so kleinen) positiven Zahl E einen Index NE gibt, derart dafl lam - ani <

gilt fur alle m, n :::: NE .

E

Die angegebene Bedingung ist notwendig; denn wenn aIle Folgenglieder schlieBlich in der t-Umgebung yom Grenzwert liegen, haben diese voneinander hoehstens den Abstand E. Es ist sieher einleuehtend, daB die genannte Bedingung auch hinreichend fiir die Konvergenz ist. Zum (nicht ganz einfachen) Beweis wird das VoIlstandigkeitsaxiom benotigt. Wir lassen ihn aus. Beispiel. Die alternierende harmonische Reihe. 1m Gegensatz zur harmonischen Reihe (~ §4, Beispiel 4) ist die Summenfolge a

.= 1 n·

n

.!. +.!. -.!. + ... + (_I)n-l.!. 2 3 4 n

="(_I)k+l.!. ~ k k=l

(bei wechselnden ("altemierenden") Vorzeichen) konvergent. Beweis. Wir untersuchen fiir m > n , also m = n + k , die Differenz a k - a = (-It[_I- - _1_ + _1_ - ... + (_l)k-,_l_]. Den Ausdruek n+ n n+1 n+2 n+3 n+k innerhalb der Klammem kann man in der Form 1 1 1 1 (n + 1 - n + 2) + ... + ( n + k - 1 - n + k ) , falls k gerade, bzw. 1 1 1 1 (n + 1 - n + 2) + ... + ( n + k - 2 n + k - 1) + n + k ' falls k ungerade, schreiben. In jedem Fall ist er positiv. Also gilt

1

1

lan+k -anl =n+l-n+2+ .. ·+(-1) (3)

1

1

1

k-l

1

n+k

1

1

= n+l -(n+2 - n+3)-(n+4 - n+5)-'"

1

< n+1 .

o

100

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

Bemerkung. Der noch unbekannte Grenzwert sei a. Aus (3) folgt fur k -+

die Abschatzung la - an I <

~1 . n+

00

Also wird a durch das Folgenglied an mit

. . ± --1' 1 einer Genauigkeit von ± ~1 approxlmlert, Die Folge an a = an n+ n+ o konvergiert sehr langsam gegen a =In2, (-+ Kap. 5, 2.4). Aufgaben l. a) Man suche ein Bildungsgesetz nachstehender drei Foigen, priife auf Monotonie, Be-

schriinktheit, Konvergenz und bestimme ggf. den Limes: - 3, -2, -1,0,

J

1 3

4' 9'

5

7

9

16' 25' 36' ...

0, -1,

1

1

I

1

2' -2, 4' -3, 8' -4, 16""

./5, )5./5, 5)5./5, . .. . b) Gibt es eine konvergente Foige (an).,.o, die aile ganzen Zahlen als Werte annimmt? 2. Man berechne die Grenzwerte a)

r n~~

(n - 1)3

b)

2n 3 + 3n + 1

r

~

n

1

n~~~ k(k + 1) k=l

c)

lim

n-+oo

~ " i ( i + 1) n- ~

.

i=l

3. Die Foige (an)n"O geniigt der Rekursion :

3 an+l = J(an) = 4 - - ; - an

n = 0, 1,2, ....

a) Man berechne die beiden Fixpunkte a der Rekursion, das sind die beiden L6sungen der Gleichung x = J(x) , und bestimme fUr beide Werte a A(an) := an+l - a = J(a n) - J(a) an - a an - a

Welcher der Fixpunkte ist anziehend, d.h.

sowie A:= lim A(X) . x--+a

IAI < 1 , welcher abstoj3end, d.h. IAI

>

1?

°

b) Man zeige, daB fUr den anziehenden Fixpunkt a gilt: ao < 3, ao t- 1 =? < A(an) < 1 =? (an)n"O ist monoton und beschriinkt =? lim an = a . n-+oo

4. Analog zu Aufgabe 3 untersuche man die beiden Foigen auf Monotonie und Beschriinktheit und berechne den Limes:

1

a) ao = 1; an+l = 1 + an'

b) ao = 1; an+l =

n = 0, 1,2, ...

~, n

= 0,1,2, ...

und zeige

1+----=Jl+)I+~ . 1 1+--1 + '.

101

§5. Rechenregeln fur Grenzwerte und Konvergenzkriterien

n--+oo:

6. n gleich groBe, iibereinandergestapelte Bretter der Lange 2 m sollen nach einer Seite hin soweit wie moglich verschoben werden, ohne daB der Stapel umkippt. Man numeriere die Bretter von oben nach unten und berechne iiber die Rechenregeln fUr Schwerpunkte die maximale Verschiebung Sn des obersten Brettes gegeniiber dem n-ten. Berechne Sso und SIOO • Was ergibt sich fUr Sn in der Grenze

2.

n-t

n.

n--+oo?

2m

r

Sn

7. Mit einem programmierbaren Rechner vergleiche man fUr x = 1, 2, -10 und n = 10, 100, 1000, ... die Konvergenz von an(x) gegen den Grenzwert eX . (an auch als Produkt berechnen!)

= (1 + ~

und bn(x)

= 1 + ;!

8. Beim Evakuieren eines Behiilters vom Volumen V mittels einer Pumpe vom Hubraum K kann der Druck wegen des Volumens S der AnschluBrohre nicht beliebig klein gemacht werden. Man bestimme (mit dem Boyle-MariotteGesetz) den Druck Pn im Rezipienten nach n Pumpschritten, wenn zu Beginn iiberall der AuBendruck Po herrscht. Ablauf eines Schrittes: HI schlieBen, H2 offnen, Kolben von A nach B, H2 schlieBen, HI offnen, Kolben von B nach A,

+ ... +

~n!

B

Was ergibt sich fUr lim Pn ? n-+oo

9. Ein Kondensator Kl (Kapazitat C l ) mit Spannung Ko und Ladung Qo soll mit Hilfe eines Kondensators K2 (Kapazitat C 2 ) sukzessive entladen werden: n. Schritt: Kl und K2 parallel legen (Spannungsausgleich), CI Verbindungen losen, C2~ K2 kurzschlieBen (Entladen).

T'--__~J

I

a) Mit dem Kondensatorgesetz Q = C . U berechne man Ladung Qn und Spannung Un von Kl nach dem n-ten Entladungsschritt.

Uo b) Man gebe an, wie groB N mindestens sein muB, damit Un < 100 . (Wahle z.B. C l = 1001LF, C2 = 5fLF) c) Man zeige, daB Qn und Un konvergieren und berechne den Grenzwert.

102

2. Funktionen. Grenzwerte, Stetigkeit

10. Man zeige: Aus lim an n-+oo

=a

folgt stets lim

allg. falsch; man gebe dafiir ein Beispiel. 11. Man zeige:

k

a) Die Folge d n := (1 + )"+1, b) Fiir n = 1, 2, ." gilt 1+

n::::

n-+oo

al+"'+a n n

= a.

Die Umkehrung ist im

1 , ist monoton fallend.

1.+ 1.- + " I! 2!

.+

< (1 + .!. )"+1 n! n

~

12. Die Vennehrung einer Population mit beschranktem Lebensraum hangt sehr empfindlich von der freien Wachstumsrate r ab, wie bereits das einfachste Modell von P .F .VERHULST (1845) zeigt: Die (auf die grojJtmogliche Populationszahl bezogene) relative Anzahl Xn von Individuen in der n-ten Generation genugt fur 0::0 r ::0 4 dem rekursiven Entwicklungsgesetz: Xn+1

a) Man zeige:

0::0

Xo

= r·

::0 1

Xn .

(1 - x n ) , 0::0

=}

Xn

::0

n = 0, 1,2, .... r

4

n = 1,2, ...

b) Man bestimme die beiden Fixpunkte und bestatige, daB fiir 0 ::0 r < 3 stets ein Fixpunkt anziehend ist; femer zeige man fUr 0 < Xo < 1 analog wie in Aufgabe 3: Fiir 0::0 r ::0 1 stirbt die Population stets monoton aus. Fiir 1 < r ::0 2 strebt Xn schlieBlich monoton gegen ein positives Gleichgewicht. Fiir 2 < r < 2./2 strebt Xn schlieBlich oszillierend gegen ein positives Gleichgewicht. c) Mit dem Anfangswert Xo = 0.1 und den zwei Werten r = 3.2 bzw. r = 4 berechne man die Folgenglieder Xn fiir n = 1, 2, ... ,20 und iiberpri.ife am Graphen von n

f-+ Xn :

Fur 3 < r < 1 + .J6 R; 3.4495 pendelt die Bevi:ilkerungszahl schlieBlich zyklisch zwischen zwei verschiedenen positiven Werten. Fur 3.57 < r ::0 4 verhalt sich die beschrankte Folge (xn )n~O total chao tisch, d.h. scheinbar indeterministisch.

. __ ._---_. __ .... _.+._--_. __ .. _-_. __ ._+-_. __ ._-,--_. __ .---

1

2

3

3.4495 4

103

§6. Funktionengrenzwerte. Stetigkeit

§ 6. Funktionengrenzwerte, Stetigkeit 6.1 Definitionen. Gegeben seien I <; IR ein Intervall, a E I U {-oo, oo} und f : I \ {a} ~ IR. Auch wenn f an der Stelle x = a erkHirt ist, interessiert dieser Wert im Moment nicht. Wir fragen vielmehr nach dem Verhalten der Funktionswerte f(x), wenn sich x mit x =I a der Stelle x = a nahert: Definition. f(x) hat for x gegen a den rechtsseitigen Grenzwert (bzw. linksseitigen Grenzwert) c, in Zeichen lim f(x) = c (bzw. lim f(x) = c), wenn x-+a+

x-+a-

fur jede Zahlenfolge (xn)nO':O aus I mit Xn ~ a und a < Xn fur aile n (bzw. Xn ~ a und Xn < a for aile n) die Zahlenfolge (f(xn))nO':O gegen c strebt. f(x) hat for x gegen a den Grenzwert c, in Zeichen lim f(x) = c, wenn gilt

lim f(x)

x-+a+

x ..... a

= x-+alim f(x)=c.

Diese Definiton gilt nicht nur fur endliche Werte a und c, sondern auch fur a, c E {-oo, oo}. Dabei ist aber fur a = 00 nur ein linksseitiger Grenzwert und fur a = -00 nur ein rechtsseitiger Grenzwert moglich; man schreibt lim f(x)=c

x-+(X)

lim f(x)=c,

x-+-oo

d.h. in diesen Fallen schreibt man kein nachgestelltes ,,+" bzw. Ferner sind folgende Schreibweisen ublich:

=c

{::::::::}

f(x)

~

c fur x

~

a ;

lim f(x)=c

{::::::::}

f(x)

~

c fur x

~

a, a<x

{::::::::}

=c

{::::::::}

f(x)

~

c fur x

~

a, x < a

{::::::::}

lim f(x)

x"'" a

x----+a+

lim f(x)

x-+a-

Fur lim f(x) x ..... a

=c

=c ; f(a-) = c .

f(a+)

sagt man auch, daB bei der Annaherung von x gegen a die

Funktionswerte f(x) gegen c streben (entsprechend bei der Annaherung von rechts (a < x) bzw. links (x < a) ). y

Beispiel 1. Die Entier-Funktion. Zu E IR bezeichnet [x] die groBte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. Zum Beispiel [0.5] = 0, [3.8] = 3, [-2.7] = -3. Fur jede ganze Zahl m E 7l, gilt

y

=

[x]

x

lim [x]

x-+m-

=m -

1, lim [x] x--+m+

= m.

0---

x

D

Abb. 69 - y = [x I

104

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

Beispiel 2. Die fur aIle x =j. 0 erklarte Funktion f(x) = sin ~ hat fur x --.. 0 weder einen linksseitigen noch einen rechtsseitigen Grenzwert. Dagegen gilt lim g(x) = 0 fur die ebenfalls fur x =j. 0 erklarte Funktion g(x) = x sin.!. . x

x---+o

Abb. 70 - Y =

B'

'13

I·

2x

elsple e .

x~~+ x 2

_

Abb. 71 -

r

r x1 = -00, x.!.Tr x22x_ 4 x1 = 00, x.!.W-

00,

x!..~ ~ = x!..~ 2"x -

x~~+

4 =

. 1

SIn X

x2

I'

-

4

I'

(1

=

y=x

. 1

SIn -

X

o

-00 ,

x2) = 00 .

o

6.2 Die 6 elementaren Methoden der Grenzwertbestimmung. Die Grenzwert-Regeln und Konvergenz-Satze fur Foigen lassen sich leicht auf Funktionengrenzwerte ubertragen:

o Grenzwert-Arithmetik, Grenzwert-Regeln Satz 6.1. Aus lim f(x) = c, lim g(x) = d und c, dE R folgt a) b)

c)

x-+a

x-+a

lim [f(x) ± g(x)] = c ± d,

x---+a

lim f(x)g(x) = cd, insbesondere lim af(x) = ac (a

x-+a

.

f(x)

hm - ()

x---+a

g x

= -dc

x-+a

E

R),

(falls d =j. 0).

Diese Regeln gelten auch for a

= ±oo

(aber nur for endliche Grenzwerte c, d ).

Beispiel 1. Aus lim x = 2 folgt x---+2

lim _x;:-3_+_3:--x_+_5 = 23 + 3 . 2 + 5 = 19 . x---+2 x 2 - 2x + 1 22 - 2 ·2+ 1 Beispiel 2. Aus lim sinx = 1 x---+o

folgt

x

lim x---+o

'

o

lim.JT+X - 1 =.!. (s.u.) und lim(x _5)2 = 25 x 2 x---+o

x---+o

(h+! -

1) sinx =

x 2 (x - 5)2

J.-

50 .

o

105

§6. Funktionengrenzwerte, Stetigkeit

® Funktionsterme umformen (kiirzen oder erweitern) Beispiel 1. lim xn - 1 = lim(x n - 1 + x n- 2 + ... + x + 1) = n . 1 x--+ 1

o

x--+ 1 X -

Beispiel 2.

Fx+T -

lim

1 = lim

x

x--+o

(Fx+T - 1)(Fx+T + 1) x(Fx+T + 1)

x--+o

= lim x--+o

1

Fx+T + 1

= -21 .

o Beispiel 3. Fur x cosx - 1 x

Fur x

~

i

0 gilt

(cosx - 1)(cosx + 1) cos 2 X - 1 x(cosx + 1) x(cosx + 1) sinx 1 . =--x-·cosx+l· SlllX . =-'---------;------'-'---,-.,.----'-

=

x(cosx + 1)

0 strebt auf der rechten Seite der erste Faktor gegen 1

zweite gegen

~

(~

(2)), der

und der dritte gegen O. Also gilt · cosx - 1 0 11m =

(1)

x--+o

X

.

o

o Funktionsterme "einschniiren" Satz 6.2. Vergleichskriterium. Wenn g(x):::: f(x) :::: h(x) for aile x in der Niihe von a gilt (bzw. fur alle hinreichend groj3en x) und wenn g(x) ~ c, h(x) ~ c fur x ---+ a (bzw. x ~ 00), dann gilt auch lim f(x) = c (bzw. lim f(x) = c). X---7-Q

x---+oo

Beispiel. Fur die Flacheninhalte der drei skizzierten Figuren gilt: Kleines Dreieck:

i sin x cosx,

Kreissektor:

~. 12 n

groBes Dreieck:

i

2n

= ~2 '

tan x .

Damit ist sin x cos x :::: x :::: tan x , d.h. sinx 1 cosx :::: -x- :::: cosx . Aus lim cos x = 1 folgt mit Satz 6.2

Abb. 72 - Fliichenvergleich

x--+o

(2)

· sin x 1 11m--=

x--+o

X

o

106

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

o Monotoniekriterium anwenden (---+ Satz 5.4), Anwendung in Kap. 4, §1. o L'Hospital-Regel anwenden (---+ Kap. 3, Satz 2.9). CD Reihendarstellungen anwenden (---+

Kap. 5, §5).

=a eine vertikale Asymptote der Kurve y = f(x), wenn beim Grenzubergang x ---+ a, x < a oder x ---+ a, x > a die Funktionswerte f(x) gegen 00 oder -00 streben. b) Die Gerade y = c heiBt horizontale Asymptote der Kurve y = f(x), wenn lim f(x)=c oder lim f(x)=c gilt. 6.3 Asymptoten. a) Man nennt die Gerade x

x---+-oo

x~oo

c) Als schrage Asymptote der Kurve y = f(x) bezeichnet man die Gerade y = px + q , falls p i 0 und f(x) - (px + q) ---+ 0 fur x ---+ 00 oder x ---+ -00. Mit den Grenzwert-Regeln sieht man, daB diese Bedingung gleichbedeutend ist mit f~x) ---+ p und f(x) - px ---+ q (fur x ---+ 00 oder x ---+ -00). Deshalb erfolgt die Bestimmung einer schragen Asymptote in zwei Schritten: 1. Schritt: Man priift, ob

f~x)

fur x ---+ 00 oder x ---+ -00 gegen eine Konstante p i 0 strebt. 1st dies der Fall, dann 2. Schritt: Man untersuche mit diesem p die Funktion f(x) - px fur x ---+ 00 bzw. x ---+ -00. Falls lim (f(x) - px) = q (bzw. lim (f(x) - px) = q), dann

= px + q

ist y

x---+oo

Asymptote der Kurve y

Beispiel. Die Kurve y

= x(x -11)

f(x)

=

f(x)

= f(x).

x---+-oo

mit

_ x(x-1l

y-~

hat die vertikale

x+ Asymptote x -1 und die schrage x - 2, denn fur Asymptote y x ---+ 00 (und x ---+ -00) gilt f(x) x-I - - = - - ---+ 1 und f(x)-x = x x+l _2_x_ ---+ -2. x+l

= =

1.... ····

Bemerkung: Die schrage Asymptote erkennt man auch aus der Darstellung f(x)

= x-2+~ x+

(Polynomdivision). 0

6.4 Stetigkeit. Sei 1 <; lR ein Intervall. Man nennt eine Funktion f: 1 ---+ lR E 1 stetig, wenn bei der Annaherung x ---+ Xo die Funktionswerte f(x) gegen f(xo) streben. Also

in Xo

f in Xo stetig :

-¢:=:}

lim f(x)

X---+Xo

= f(xo)

1st Xo ein Randpunkt von 1, so ist x ---+ Xo nur als einseitige Annaherung,

107

§6. Funktionengrenzwerte. Stetigkeit

d.h.

lim f(x) als einseitiger Grenzwert zu verstehen. Die Funktion f heiBt

x----*xo

auf I stetig, wenn sie in jedem Punkt Xo E I stetig ist. Die Stetigkeit von f : I ---+ lR auf I bedeutet anschaulich, daB der Graph y = f(x) iiber I eine

zusammenhangende Linie darstellt (ohne Liicken und Spriinge); er kann aber durchaus eine oder mehrere Spitzen besitzen.

Beispiele. 1. Die Entier-Funktion f(x) = [x] (---+ 6.1) ist in allen offen en Intervallen (m, m + 1) mit m E Z stetig und hat in allen x =m E Z Unstetigkeitsstellen (Sprungstellen).

=}

2. f(x) ist stetig in allen Punkten x =I O. Da f(O) nicht definiert ist, stellt sich die Frage nach der Stetigkeit in x =0 iiberhaupt nicht. 3. f(x)

= Ix list iiberall stetig (mit einer Spitze in

x

= 0).

o

Stetige Fortsetzung. 1st eine Funktion f in Xo E I zunachst nicht definiert und existiert der Grenzwert lim f(x) = c, dann wird diese Definitionsliicke durch x---?xo

die Festsetzung f(xo):= c behoben. f(x) ist damit in Xo stetig. Beispiele

Die Definitionsliicken der Funktionen

sinx

f(x)=-x-' x;t: 0,

g(x)

= R+J-l 2 x

werden mit f(O):= 1, g(O) := f, g, h auf ganz lR stetig.

i

'

x

;t: 0 ,

xn - 1

= -x-1 '

h(x)

x

;t: 1 ,

und h(1) := n behoben (---+ 6.2). Danach sind

Die Definitionsliicke x = 0 von sin} laBt sich nicht stetig beheben. . x := -xsin x tntt . · SpaIt fun k' DIe bon SlllC in der Intensitatsverteilung von Licht der WeIlenlange A auf, wenn es senkrecht auf einen Spalt der Breite a auftrifft und in aIle Richtungen f3 gebeugt wird (---+ Aufg. 10): I(f3)

= 10 sinc2cnt sin f3)

.

,

,

/

/

\

I \ \

\ I I

I I

sin x Abb. 74 - y = x

0

Aus den Grenzwertregeln von Satz 6.1 folgt Satz 6.3. Rechenregeln fur stetige Funktionen a) Sind fund g auf einem Intervall I S; lR stetig, so gilt das auch for f + g , IXf

(IX E

lR) und f g. Ferner ist

f

stetig in allen x

E

I mit g(x)

=I O.

b) Sind f : I ---+ lR, g : D ---+ lR stetig mit g(D) S; I, dann ist auch die Komposition h : D ---+ lR, h(x) = f(g(x)) auf D stetig.

108

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

Zum Beweis von Teil b) ist nur zu beaehten, daB mit x ........ Xo gegen g(xo) strebt, dann aueh f(g(x» ........ f(g(xo».

E

D zunaehst g(x) D

Die Tragweite dieses einfaehen Satzes wird bereits in den folgenden Anwendungen deutlieh. Satz 6.4 a) Jedes Polynom p(x)

=anx n + ... + alX + ao

b) Jede rationale Funktion f(x) Beweis. Offenbar ist g(x)

=

= ~i~~ x

ist auf ganz 1R stetig.

ist in allen x

tiberall stetig.

E

1R mit q(x),.:O stetig.

Dann sind aueh g2(x)

= D

Ein Beispiel einer "etwas versehaehtelten" Funktion, die mit Satz 6.3 als stetig erkannt wird - da die einzelnen Bestandteile stetig sind - ist etwa f(x)

= J x 5 + 6x + sin4 x + sin(x2) Fx + cos 2(3x 4 + 1) . x 2

J

(x :::: 0) .

Die folgenden Eigensehaften einer stetigen Funktion (tiber einem abgeschlossenen Intervall) werden mehrfaeh als wiehtige Beweismittel benotigt. Satz 6.5. Fiir jede auf einem abgeschlossenen Intervall a ::s x ::s b stetige Funktion f gilt: a) Schrankensatz. Es gibt eine Schranke K mit If(x)1 < K for alle x E [a, b) (Man sagt, fist auf [a, b) beschriinkt}. b) Satz vom Maximum und Minimum. Es gibt stets Werte xo, Xl in [a, b), so daj3 f(xo)::S f(x) ::s f(XI) fiir alle x E [a, b) ( f nimmt auf [a, b) sein Minimum und sein Maximum an}. c) Zwischenwertsatz. Zu jeder Zahl c zwischen dem Minimum f(xo) und dem Maximum f(XI) (d.h. f(xo)::S c ::s f(xr)} gibt es wenigstens ein x E [a, b) mit f(x) = c (jeder Wert zwischen dem Minimum und dem Maximum wird angenommen). d) Die gleichmaBige Stetigkeit. Zu jeder beliebig kleinen Zahl t: > 0 gibt es eine von t: abhiingige Schranke 0 > 0, so daj3 zwei Funktionswerte sich um hochstens t: unterscheiden, sobald die Argumente aus einem Teilintervall der Breite 8 stammen, i.Z.

Ix - x'i

::s 0

=}

If(x) - f(x')1

::s t:

.

Der Beweis dieses (bis auf d» so einleuchtenden Satzes ist nieht einfaeh; er benotigt wesentlieh das Vollstandigkeitsaxiom und andere hier nieht behandelte Eigensehaften der reellen Zahlen (Satz von der Intervallsehaehtelung). Wir lassen ihn aus. Ais einfaehe Folgerung aus dem Zwisehenwertsatz notieren wir

109

§6. Funktionengrenzwerte. Stetigkeit

Satz 6.6. f(a)f(b) -Nullstellen-Test a) 1st f : [a, b] -+ lR stetig und haben f(a) und feb) entgegengesetzte Vorzeichen ( f(a)f(b) < 0), dann gibt es wenigstens eine Nullstelle x im Innern von [a,b] (also a<x
b) Jedes Polynom mit einem ungeraden Grad (2: 1) hat in lR wenigstens eine Nullstelle. Anwendung: Das Bisektionsverfahren. Wenn dureh diesen Test die Existenz einer N ullstelle im Intervall [a, b] gesiehert ist, kann diese dureh das Bisektionsverfahren mit be1iebig vorgegebener Genauigkeit eingegrenzt werden.

Man wahle aj :=

a;

, Programm BISEKTION , -----------------Eps=1.0E-06 II

f>O

b. 1st das Pro-

dukt f(aj)f(b) ::s 0, so 1iegt eine Nullstelle in [aj, b], sonst in [a, all. Nun ha1biere man das betreffende Teilintervall und fahre so fort, bis die Lange des letzten Intervalls unter der vorgegebenen Genauigkeit liegt.

Input IIA=

y

,A

Input "B= ",B Fa=Fn F(A) Fb=Fn F(B) If Fa*Fb>O Then Print "f(a)f(b) positiv!" End Endif Repeat Gosub Bisect Until Abs(A-B)<Eps print print "Nullstelle im Intervall:"

x f
Procedure Bisect C=(A+B)*O.5 Fc=Fn F(C) If Fc*Fa<=O Then B=C Fb=Fc Else A=C Fa=Fc Endif Return

print II [II ; A; II ,II; B; II] II

End

+ 1. Mit a = -1 und b = 0 ist f(a)f(b) < O. Mit dem Programm BISEKTION erhait man eine Nullstelle 1m Intervall (-0.75487804413, -0.75487709045). 0 Beispiel.

f(x)

= x5 + X

110

2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit

Aufgaben 1. Man bestimme - falls vorhanden - die Grenzwerte lim x-+oo

x. x + SlDX

r

1 - cosx x2 . 4x 3 - 2X2 +x hm --::--;,-----::-x-+o 3x 2 + 2x r .Jf+X - 1 x~ x

x~

r

sin(sin x) x~ x

r

. sin Ixl I1m -X + ~

Ixl

x~x

x--+-?f

. e- x2 _I+x 2 hm 4 X

x----+o

r

x2

x~ x 2 -

r

.

-

5x + 6

12x + 20

Jx2+1

lim x-+!

eX - e-

(_I __ 3_) 1- x 1- x

X-+oo

. sinx I1m--

;~'(~ _x)ta&nx --f

,JX

2. Man berechne ,,~aI' sin a f'ur a 1m . Gra d rna, B d .. h

a = I~O x, und bestimme damit lim h . a J" (¥-+o a

gleichschenklige Dreiecke.

3. Fur die Funktion I(x) =

x x x-I '

ermittle man - abhangig von E > 0 Xo =I 1 - ein 8, so daB fiir aile x Ix - xol < 8 gilt: I/(x) - l(xo)1 < E. groB ist 8 fiir E = 0.01 und Xo = 2, 1.1, Xo = 0.999 ?

3

lim x(Jx2+1 - x)

x~~ x~o

eX+x- X

h m - - -X

x---+oo

=I

fur

C(

Y

h

a

I,

und mit Wie Xo =

X.x

4. An einer Gleichspannungsquelle mit konstantem Innenwiderstand Ri miBt man bei offenen Klemmen die Spannung E. Die Spannung U, die sich im Betrieb einstellt, hangt vom Lastwiderstand RL abo a) Skizziere und diskutiere U = U(Rd, 0 < RL < 00. Bei we1chem RL ist U maximal? (Spannungsanpassung). b) Skizziere und diskutiere die Ausgangsleistung N = U . I = N(Rd, 0 < RL < 00 . We1che Leistung kann hochstens abgegeben werden? (Leistungsanpassung). 5. a) Ist die Funktion {x}:= I[x + ~ ] - x I stetig? (Skizze!) Begrunde die Antwort iiber {x + n} = {x}, n ganzzahlig. b) Mit dem Zwischenwertsatz zeige man: Fur eine stetige Funktion gibt es stets ein Xo E [a, b] mit I(xo) = Xo . 6. Die Abbildung durch eine Linse geniigt der Beziehung 1 1 1 -+-=b g I (b Bild-, g Gegenstands-, I Brennweite) a) Man bestimme b = beg) als Funktion von g. b) Wo ist beg) stetig, welche Asymptoten besitzt es?

I:

[a, b] -+ [a, b]

111

§6. Funktionengrenzwerte, Stetigkeit

7. Man bestimme (soweit moglich) den groBtmoglichen Definitionsbereich, die Nullstellen, die Pole, die Symmetrie zu den Achsen, das Verhalten fUr x ---+ ±oo, die Asymptoten und die Bereiche mit f < 0, f > O. SchlieBlich ist eine sorgfiiltige Skizze des Graphen von f anzufertigen: a)

X4

f(x)

= (x 2 _

1)lxl

.. we Iche x 1st . f() 8. a) Fur x

b)

x = 11 -+ 22 cos COSX

f(x)

= Ix 2 -

II + Ixl- I

. ?. Berec hne I'1m f() stetlg x. X-+1(

. ht demert, fi . . h f"ur · 1 - .JCOsX b) Wo 1st r;; mc we Icher Grenzwert ergl'bt SIC 1 - cos VX

X

---+ 0 ?•

9. Gegeben ist die Funktion f(x) = x4 - X - 10. Man erstelle eine Vorzeichentabelle fiir x = 0, 1,2, ... und ermittle die Anzahl der positiven Nullstellen von f(x). Mit dem Bisektionsverfahren bestimme man diese Nullstellen auf 10- 2 genau. 10. Beugung am Spall Man denke sich in einem Spalt der Breite a im Abstand ~ voneinander n + 1 punktformige Lichtquellen angeordnet, die in aile Richtungen kohiirentes Licht der Wel-

lenliinge A und der Amplitude

~1 n+

abstrahlen.

Beobachtet man die Schwingungen in den Punkten A o, ... , An, so ergibt sich als Phasenverschiebung zwischen zwei benachbarten Strahlen 8 = 2na sin.B

nA

und als gesamte Phasendifferenz ~ = n 8. Die Amplitude An und die Nullphase an der Gesamtstrahlung in Richtung .B kann man direkt aus Beispiel 2 von 3.5 iibemehmen: A sin n;18 An(8) = n + 1 - .-0sm 2:

a) Man erweitere Ziihler und Nenner mit

~

und berechne fUr festes n

An(O) := lim An(8) . 0-+0

b) Fiir die Abhiingigkeit der Amplitude An von der Phasendifferenz der Grenze n ---+ 00 genau die Spaltfunktion. Man bestiitige

A(~):=

lim

n-'!-oo

An(~)

I

A sin(~/2)

=

~/2 A

~

, falls

~

'I 0 ,

, falls

~

=0

.

ergibt sich in

Kapitel 3

Differentiation Die Differentialrechnung wurde - unabhangig voneinander - von GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) und ISAAC NEWTON (1642-1727) entwickelt. Sie stellt eines der vielseitigsten Hilfsmittel in der mathematischen Behandlung der Naturwissenschaften (einschlieBlich der Technik) dar.

§ 1. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion 1.1 Die Definition der Ableitung. Die Funktion f I ~ IR definiert und Xo E I.

sei auf dem IntervaIl Man sagt, fist in Xo dijferenzierbar, wenn

~~(x)

der "Differenzenquotient"

:= f(x) - f(xo) = -hI [f(xo + h) - f(xo)] fur

X - Xo h -+ 0 einen endlichen Grenzwert besitzt. Dieser Grenzwert (sofern er existiert) wird mit f'(XO) bezeichnet. Ferner sagt man, fist auf I differenzierbar, wenn f' (x) in jedem Punkt X E I existiert. In diesem Fall ist x r+ f' (x) eine auf I erklarte Funktion, die man die Ableitung von f nennt eX

X -+ Xo, bzw.

und mit f' bezeichnet. Fur f'ex) schreibt man auch f(x)' ,

d~~), d~f(x).

Den Ubergang von f zu f' nennt man dijferenzieren oder ableiten. f': I -+ IR, f'(X):= lim -hI [f(x h~O

+ h) - f(x)] = dfd(x) = dd f(x). X

X

Beispiele.

(1)

Funktion

Ableitung

f(x)

f'ex)

a) b) c )

=c (konstant) f(x) =ax +b f(x) =xn

d)

f(x)=.jX

=0

f'(x)=a

=nx n- 1 f'ex) = 1_1 f'ex)

2~

(n E IN) (x> 0)

Beweis. a) ist ein Sonderfall von b). Fur f (x) = ax + b und aIle Xo f'(XO)

= lim

x~xo

f(x) - f(xo) x - Xo

= lim a =a. x~xo

E

IR gilt

c): Mit der binomischen Formel folgt

lim (x + h)n - xn = lim(nxn-1 + n(n - 1) xn-2h + ... + nxhn-2 + hn-1) = nx n- 1 .

h~O

d ):

h

~-Fa x - Xo

2

h~O

1

= ~ + Fa

1

-+ 2 tv::xo yAU

K. Meyberg et al., Höhere Mathematik 1 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

f" 0 ur x -+ Xo, Xo > .

o

113

§ 1. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion

- 0.jQ = l'1m Beachte. He vvegen I·.jX 1m X--7O+

X -

X--7O+

1Iv V X

=

00

. d'Ie Wurze Ifun k"tIOn 1St

III

x

=0

nieht differenzierbar, obwohl der Graph in x = 0 eine (senkreehte) Tangente besitzt (-7 1.2).

1.2 Die geometrische Deutung der Ableitung: Tangentenanstieg. Wir betraehten bezuglieh kartesiseher (x, y)Koordinaten die Kurve y = f(x) in y der Niihe von x = Xo. Es ist tan

~~ = ~~~) der Anstieg der Sekante dureh (xo, f(xo)) und (x, f(x)). Der

=

Grenzwert f'(xo)

~y (sofem

lim

LlX

t.X--70

er existiert) gibt dann den Anstieg der Kurventangente in (xo, f(xo)) an. D.h.: 1st f in Xo differenzierbar, dann lautet die Tangente an den Graph y

x

x

Abb. 76 - Sekante, Tangente

= f(x)

in (xo, f(xo))

y = f'(xo)(x - xo) + f(xo) .

(2)

1.3 Die analytische Deutung der Ableitung: Lineare Approximation. Zu einer gegebenen differenzierbaren Funktion f : I -7 IR wird diejenige Gerade g(x) = m(x - xo) + f(xo) dureh (xo, f(xo)) gesueht, die f in der Niihe von Xo am besten approximiert. Unter "bester Approximation" verstehen wir hier die

= 0, die besagt, daB der relative Fehler nahe Xo X - Xo klein ist und mit x -7 Xo gegen 0 strebt. Wir tragen g(x) = m(x - xo) + f(xo) ein und erkennen, daB beste Approximation bei m = f'(xo) vorliegt. D.h.,

Bedingung lim f(x) - g(x) X--7XO

f(x)

(3)

R:j

f'(xo)(x - xo) + f(xo) bzw. f(xo + h) R:j f(xo) + f'(xo)h ist nahe Xo die beste lineare Approximation an f.

Beispiel. Fur f(x) = ~ ergibt sieh nahe Xo > 0 Jxo +

Mit Xo fur

v'2

= 1.96, R:j

1.4 +

h

= 0.04

2~8

v'2 = 1.41421356...

. 0.04

h

R:j

Fo + 2Jxoh

.

liefert das bereits einen reeht guten Niiherungswert

= 1.4142857 ....

Der auf 7 Stellen genaue Wert ist 0

114

3. Differentiation

1.4 Die physikalische Deutung der Ableitung: s

Geschwindigkeit. Sei die von einem Massenpunkt bei geradliniger Bewegung zur Zeit t

= set)

zuruckgelegte Strecke, a.E. mit s(O) = O. Der Differenzenquatient ~: gibt die Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall t bis to (bzw. to bis t) an. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt to ergibt sich aus dem Grenziibergang t ~ to: l' set) =s.() to = 1m t

v () to

1-+10

-

s(to) t0

Bemerkung. Wird das Argument einer Funktion f nicht mit x, sondern mit bezeichnet, dann schreibt man fur die Ableitung j(t).

t

Beispiel. Das Weg-Zeit-Gesetz eines bewegten Massenpunktes sei set) = at 2 + E lR.). Seine Geschwindigkeit zur Zeit t ist dann

bt + c (mit Konstanten a, b, c v(t)=s(t)=2at+b (~(5)).

0

Der Geschwindigkeitsbegriff laBt sich naturlich auch auf aIle anderen zeitlich variablen Prozesse ubertragen: Wachstumsgeschwindigkeit, Zerfallsgeschwindigkeit, Reaktiansgeschwindigkeit, etc.

1.5 Stetigkeit ist notwendig fur Differenzierbarkeit. Es ist zwecklos, die Ableitung einer Funktion an einer Unstetigkeitsstelle zu suchen, es gilt namlich Satz 1.1. Jede in Xo

E

I difJerenzierbare Funktion f : I

~

lR. ist dort notwendig

auch stetig.

Beweis. 1st f in Xo differenzierbar, so gilt lim [f(x) - f(xo) - f'(xo)(x - xo)] = X---+Xo

O. Wegen

lim f(x)

X---+Xo

lim f'(xo)(x - xo)

X---+Xo

= f(xo) .

=

0 folgt dann

lim [f(x) - f(xo)]

X---+Xo

=

0, also 0

Man beachte aber, daB Stetigkeit keineswegs hinreichend ist fur Differenzierbarkeit. So ist etwa die Funktian f(x) = Ix I in der Spitze x = 0 stetig, aber nicht differenzierbar. Der linksseitige Grenzwert (bei x ~ 0- ) des Differenzenquotienten I~ list vam rechtsseitigen Grenzwert (x ~ 0+) verschieden. Auch g(x) = Fx ist in x = 0 stetig, aber nicht differenzierbar (~ 1.1).

1.6 Differentiationsregeln. Mit den folgenden Regeln gelingt es, die Ableitung zusammengesetzter Funktianen aus den Ableitungen ihrer einzelnen "Bausteine" zu ermitteln.

l15

§ 1. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion

Satz 1.2. Sind Funktionen f, g : I --+ lR in x a)

I differenzierbar, dann gilt:

= f'(x) + g'(x) , [cf(x)]' = cf'(x) fiir aile c E lR , [f(x)g(x»), = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

[f(x) + g(x)]'

b) c)

(4)

E

(f(X»), g(x)

d)

= f'(x )g(x) -

f(x )g'(x) g(x)2

(Produktregel) , (falls g(x)

i 0;

Quotientenregel) ,

(_1)' __

insbesondere g(x)

-

g'(x) g(x)2

(falls g(x)

i

0) .

Beweis (mit den Grenzwertregeln Kap. 2, Satz 5.1). Sind f, g in Xo differenzierbar, dann gilt fur x --+ Xo : ~(f(x) + g(x» _ ~f(x) ~g(x) f'() '() a) ~x - ~x + ~x ---7Xo + g Xo . e)

~f~~g(x)

= f(x)

~i~) + g(x) ~~~)

---7-

b) ist ein Sonderfall von e). ~_1_ _1_ _ _ 1_ d) g(x) = g(x) g(xo) = g(x) - g(xo) ~x X - Xo x - Xo Wegen

~g? = f(x)· g(~)

f(xo)g'(xo) + g(xo)f'(xo).

1 g(x )g(xo)

---7-

g'(xo) g(xO)2 .

folgt aus diesem Spezialfall mit der Produktregel die

allgemeine Quotientenregel.

0

Eine Mehrfaehanwendung dieser Differentiationsregeln ergibt fur n in x differenzierbare Funktionen fi und konstante Faktoren Ci (i = 1, 2, ... , n) die Formeln 4e) [CI!I(X) + ... + Cn fn (x)]' = cd; + ... + cnf~(x) 4f) [fl(x)h(x)", fn(x)]' = f{(x)h(x)", fn(x) + !I(x)f~(x)h(x) ... fn(x) + ... + fl(X)'" fn-I(X)f~(x) .

1.7 Die Differentiation der Polynome und der rationalen Funktionen. Jedes Polynom ist uberall differenzierbar.

(5)

p(x) p'(x)

= anx n +an_IX n- 1 + ... +alX +ao, dann ist = nanx n- J + (n - 1)a n_lX n- 2 + ... + 2a2x + aJ .

Beweis. Mit (4e) und (le,a). Beispiel.

(4x 7 + 3x 5 + 2x 3 + 3)'

D

= 28x 6 + 15x 4 + 6x 2

D

116

3. Differentiation

= ~~~ ~

Jede rationale Funktion f(x)

kann man nun, falls q(x) i 0, mit (5) und

der Quotientenregel differenzieren. Insbesondere folgt so (6)

(-1)' =- -

n xn+! (n

xn

E

IN ' xi 0),

1

speziell

x2

.

1.8 Die Ableitung der Kreisfunktionen. Die Sinus- und die Cosinusfunktion sind auf IR differenzierbar. Es gilt

, = cos x , , . cos x = - SIll X , , 1 tan x = (cosx )2 .

a) b) (7)

SIll X

c)

,

d)

cot x

n

(x i (2k + 1)2) ,

1

= - (.SIll X )2

(xikn).

Beweis. a): Mit dem Additionstheorem (-+ Kap. 2, §3) und den bekannten . sin h . cos h - I h = 0 (-+ Kap. 2, §6) folgt Grenzwerten hm -h- = 1, hm h-->O

h-->O

ddx sinx

= lim -hI [sin(x + h) -

sinx]

h-->O

= h-->O lim -hI [ sin x cos h + cos x sin h . [. cos h =l~ SIllX h

1

sin x]

sin h ]

+ cosxh-

= cosx

.

b) analog; c) und d) mit der Quotientenregel. Beispiel. [(x 2 + 5 sinx) cosx]' 2x cos x - x 2 sin x + 5 cos 2x .

D

=(2x + 5 cosx) cosx -

(x 2 + 5 sinx) sin x

= D

1.9 Die Kettenregel. Die Komposition x f--+ f (g(x)) zweier differenzierbarer Funktionen ist ebenfalls differenzierbar und es gilt (8)

:x f(g(x))

= f'(g(x)) . g'(x).

Beweis.

~f(g(x)) ~x

= ~f(g(x)) . ~g(x) ~g(x)

~x

-+

f'( ( )) '( ) g x g x .

D

§ 1. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion

117

Bemerkung. In f (g(x)) heiBt f die auBere, g die innere Funktion. Dementspreehend liest man die reehte Seite von (8) als "Ableitung der auJ3eren Funktion an der Stelle g(x) multipliziert mit der Ableitung gl (x) der inneren Funktion".

Die Differentiation einer "gesehaehtelten" Funktion x 1-+ hex) gesehieht demnaeh in mehreren Sehritten: 1. Schritt: Das Erkennen der auBeren Funktion fund der inneren Funktion g, so daB hex) = f(g(x)). 2. Schritt: Die Differentiation von f an der Stelle g(x); d.h., man bildet f'(X) und ersetzt x dureh g(x). 3. Schritt: Das Nachdifferenzieren. Darunter versteht man die Multiplikation von f' (g(x)) mit der Ableitung gl der inneren Funktion. Insgesamt: h'(x)

= f'(g(X)) . gl(X).

Bei mehrfaeher Sehaehtelung ist entspreehend oft naehzudifferenzieren: hex)

= f(P(q(x)))

=}

h'(x)

= f'(P(q(x)))P'(q(X))q/(X).

Beispiele 1. In h(x) = (x 4 + 6x + 5)3 ist f(x) = x 3 die auBere und g(x) = X4 + 6x + 5 die innere Funktion. Die Ableitung (2. und 3. Sehritt zusammen): h/(x) = 3(x 4 + 6x + 5)2. (4x 3 + 6). 2. In hex) = eosf(x) ist cos die auBere und f die innere Funktion: h/(x) =

= - f'(X) sin f(x). Speziell :x eos(ax+b) = -a sin(ax+b). Ebenso :x sin(ax + b) = a eos(ax + b) . Die Funktion hex) = [sin(x 4 + 2xi]5 ist mehrfaeh gesehaehtelt mit der auBeren Funktion f(x) = x 5 und der gesehaehtelten inneren Funktion -(sin f(x)), f'(X)

3.

g(x) = sin(x 4 + 2x i . Die Ableitung: h'(x) = 5g(x)4 . gl(X) = 5[sin(x 4 + 2x )2]4 . eos(x4 + 2x)2 . 2(x 4 + 2x) . (4x 3 + 2) . D

1.10 Hijhere Ableitungen. Die Ableitung der Ableitung von f bezeiehnen wir, falls sie existiert, mit

1"

und fUr :X<:xf(x)) sehreiben wir ::2 f (X).

Wir definieren allgemein d2 /O)(x) := f(x), /l)(X):= f'(X), f(2)(X):= !"(x) = dx 2 f(x), ... , f(n)(x):=

:x /n-l)(x)

= ::n f(x)

(n

= 0,1,2, ... ).

Man sagt, fist n-mal differenzierbar (bzw. stetig differenzierbar), wenn die n-te Ableitung /n)(x) existiert (bzw. existiert und stetig ist). Man beaehte, daB eine differenzierbare Funktion nieht notwendig aueh zweimal differenzierbar ist. Dazu betraehte man f(x) = xlxl mit der Ableitung f'ex) = 21xl.

118

3. Differentiation

= 3x 6+2x 4 -7x+ 1 gilt p'(x) = 18x 5+8x 3 - 7, = 90x 4 + 24x2, p(3)(x) = 360x 3 + 48x, p(4)(x) = 1080x 2 + 48, = 2160x, p(6)(x) = 2160, p(7)(x) = O. Allgemein gilt: Die n-te Ab-

Beispiell. Fur das Polynom p(x) pl/(x) p(5)(x)

leitung eines Polynoms yom Grad k, k < n , verschwindet (d.h., sie ist Null): p(x)

=akxk + ... + ao,

dn

k < n ::::} dxn p(x)

=0 .

o

Beispiel 2. Ein nach s(t) = A cos(evt + a) schwingender linearer Oszillator hat die Geschwindigkeit v(t) = s(t) = -evA sin(cvt + a) und die Beschleunigung b(t) = v(t) = _ev 2A cos(evt + a) = -ev 2s(t). Er erfullt das HooKE-Gesetz: "Die rucktreibende Kraft mb ist proportional zur Auslenkung s". 0 Beispiel 3. In der komplexen Ebene laSt sich die Spitze eines Zeigers der Lange r, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ev urn den Nullpunkt kreist, durch z(t)

mit z(O)

=a


E

=ae iwt = a(cosevt + i sincvt), t E 1R , (Anfangslage zur Zeit t = 0) und la I = r

darstellen

(~ Kap. 2, 3.3). Die Ableitung nach t, z(t) := :tx(t) + i :t y(t), gibt die Bahngeschwindigkeit an. Mit (7a,b) und der Kettenregel ergibt sich z(t)

Der Zeiger

=a( -ev sin evt + iev cos cvt) =aieve iwt = ievz(t)

z eilt dem Zeiger

.

z urn ~ voraus. Die Geschwindigkeit hat den

Betrag v = Izl = lievzl = evr. Mit a = 1 lautet diese Differentiationsregel (9)

Wir betrachten einen Wechselstrom mit komplexer Spannung U(t) = Uoe iwt und komplexer Stromstarke I(t) = Ioe iwt in den Grundelementen (~ Kap. 1, §8). CD Ohmscher Widerstand (mit Widerstand R), G) Kondensator (mit Kapazitat C), CD Induktionsspule (mit Induktivitat L). Fur diese drei Elemente gilt einheitlich das Ohmsche Gesetz U(t) mit Z

=R

(Fall

CD), Z = lev . lc

(Fall G)), Z

= Z . I(t)

= ievL

(Fall

CD ).

Beweis. Zu CD : Man wendet das reelle Ohmsche Gesetz auf Realteil und Imaginarteil an und erhalt U = RI . Zu G) : 1m Kondensator ist die Stromstarke proportional zur Anderungsgeschwindigkeit der Spannung; d.h. mit (9) I(t)

= C :t U(t) = ievCU(t) .

119

§ I. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion

Setzt man Z:= . Ie ' so wird daraus U lW

Zu

= ZI .

CD : In def Spule ist die induzierte Spannung proportional zur Anderungs-

geschwindigkeit des Stroms; d.h mit (9) U man Z:= i wL setzt.

=L

:t

let)

= iwLI(t) = Zl(t) , wenn D

Aufgaben 1. Man bilde die Ableitung x 3 cosx

,

cos(x 3 )

cos 3 X ,

(x + 2)

JI + f(x)2

xFx

1 + f(x) x 3Jx(x 3 -

JxJxJx x

~ + 6) + (Jx3

4'cos'3 ,

tan J2 - sin 2 x

cos(sin(cosx)) ,

sin 2 (x 2 )

-

cosx

,

,

tan Ixl

cos Jx + cot(tan x)

lR. sind folgende Funktionen differenzierbar? 2 2 f() = x - x + x X x2 _ 1 '

2. Fur welche x a)

(a 2 + X2)2 (a 3 + X 3)2 x2

- 2)7 + 26 ,

va + x . J a 2 - x 2

,

X + va 2 +X2 X Jr

Ix 3 1

E

3

b)

f(x)=lx2-11+lxl-l

c)

f(x)

= .j3~1

+

~

,

.

Man berechne fur diese x den Wert von f' (x) und stelle die Tangentengleichung an die Kurve y = f(x) im Punkt (2, f(2)) auf. 3. Man bestatige durch vollstandige Induktion die LEIBNlz-Regei

(f(x)g(x))(n)

=

t (Z)

f(k)(x)g(n-k)(x),

k~O

und berechne damit f10)(x) fur f(x) = x sinx. 4. Meridianschnitt eines Springbrunnens Vom Ursprung des (x, y)-Koordinatensystems aus fiiegen Wasserteilchen mit (betragsmaBig) gieicher Anfangsgeschwindigkeit v nach allen Richtungen a in die obere Halbebene (0 < a < Jr). Fur die Tropfchenbahn gilt ( t: Zeit; g: Erdbeschleunigung) x(t) = (v cos a)t ; . 1 2 y(t)=(vsma)t-'2 gt .

(n

= 0, 1,2, ... )

120

3. Differentiation

a) Wie lautet die (x, y)-Gleichung der Bahnkurve? (Man eliminiere t!) b) Bestimme aus j(t) = 0 den Scheitel (xs, Ys) und die positive Nullstelle (XN' 0) der Kurve. Fur welche ct ist XN bzw. Ys maximal? c) Auf welcher Kurve E liegen die Scheitelpunkte aller Bahnen? (Gefragt ist die (x, y)-Gleichung und eine Skizze!) d) Die Hullftache des Springbrunnens ist ein Drehparaboloid. Man bestimme die (x, y)Gleichung des Meridians P. Hilfe: Jedes Tropfchen trifft die Flache hochstens einmal. 5. Fur die LEGENDRE-Polynome (~ Kap. 2, §2, Aufg.II) gilt die Darstellung von RODRIGUES Pn(X) = 2}n! [(X2 - I)"](n) , n = 0, 1,2, .... a) Man bestimme die Koeffizienten von Pn(x). b) Pn(x) genugt der Legendre-Differentialgleichung: [(X2 - I) . P~l' = n(n + I)Pn

Zum Nachweis wende man die Leibniz-Regel an auf [en + 1)2x . (X2 -

und [(x2 - 1) . (X2 _ l)n](n+2)

1)"](n+1)

und bestatige ,

Pn+1 6.

= ~ pI! + (n + 2)x P' + n + 2 P

2(n + I) n

n+1

ell· h ... fn)' fl . h ... fn

d h f{ urc fl'

n

2

n

Logarithmische Ableitung

Sei stets (fl·

h··· fn)(x)

> O. Man stelle

f~ , fn dar.

7. Man berechne y(1) und y'(I) aus x2y(x)3 _ 3(x2 + 1)2 = x3 y (x) - 6

und stelle die Tangentengleichung im Punkt (1, y(I)) auf. 8. Eine dijferenzierbare aber nicht stetig dijferenzierbare Funktion f(x)

= { x 2 Soin }

,x

=I 0

,x =0 Man berechne - soweit vorhanden - die Grenzwerte f'(O) = lim -hI (f(h)- f(O)) und h-'»O

1

lim f'(x) .

,

x-+O

, I

I

I

/

K

121

§2. Anwendungen der Differentiation

§ 2. Anwendungen der Differentiation 2.1 Maxima und Minima einer Funktion. Man sagt, eine auf D

S;

lR

erHirte Funktion f hat in a E D ein globales (oder absolutes) Maximum, wenn f(x) :::: f(a) fur alle XED gilt. In diesem Fall heiBt a eine globale Maximalstelle und f(a) das globale Maximum von f. Die Zahl bED heiBt lokale (oder relative) Maximalstelle von f, dementspreehend feb) ein lokales (oder relatives) Maximum, wenn es ein (evtl. kleines) Intervall I mit Mittelpunkt b gibt, so daB f(x) :::: feb) fur alle x E In D. Ganz analog sind globales und lokales Minimum, globale und lokale Minimalstelle definiert. "global" bezieht sieh immer auf den ganzen Definitionsbereieh, "lokal" nur auf die unmittelbare Umgebung des betreffenden Punktes. Jedes Minimum und jedes Maximum heiBt aueh ein Extremum. Man beaehte: Xo Minimalstelle von f {::::::::} Xo Maximalstelle von - f . y

globales Maximum

globales Minimum

b

a

x

Abb. 77 - Funktion mit 5 lokalen und 2 globalen Extremstellen

Bezuglieh der Lage von Extremalstellen gilt: Satz 2.1. 1st f eine auf dem offenen Intervall I dijferenzierbare Funktion, so gilt Xo E I

lokale Extremstelle von f

~

f' (xo)

=0

.

Beweis. Wir nehmen an, Xo sei eine Maximalstelle in (xo - c:, Xo + c:) (c: > 0). Mit f(x) - f(xo) :::: 0 fUr Xo - c: < x < Xo gilt f'(XO) x - Xo

Ebenso f'(XO)

= x~xo+ lim ~f(x) ~x

< 0 und folglieh f'(XO)

-

= O.

=

lim ~~(x) :::: O.

X~Xo-

,-"x

0

Die Bedingung f'(XO) = 0 (der Graph y = f(x) hat in (xo, f(xo)) eine waagereehte Tangente) ist zwar notwendig fur ein Extremum, aber noeh nieht hinreiehend. Beispielsweise hat f(x) = x 3 in x = 0 eine waagereehte Tangente (f'(0) =0) aber kein Extremum. Der Satz gibt aueh keine Auskunft uber Extremalstellen an den Intervallenden, an Spitzen oder an anderen Stellen, in den en f nieht differenzierbar ist. Das bedeutet:

122

3. Differentiation

Die Kandidaten for Extremalstellen von f: I -+ lR sind:

(1)

a) b) c)

die Randpunkte von I (das sind hochstens zwei Zahlen); die Punkte aus I, in denen f nicht differenzierbar ist; die stationaren Punkte aus dem Innern von I (x E I heiBt stationarer Punkt, wenn f'(X) = 0 gilt).

Jeder dieser Kandidaten ist dann auf Extremaleigenschaften zu tiberpriifen. Der groBte bzw. kleinste Funktionswert an den Stellen aus a), b), c) liefert das globale Maximum bzw. Minimum von f. Rinweis: Die Extremalstellen echt monotoner Funktionen findet man bereits aus a). Beispiel 1. Aus einer rechtwinkligen Blechplatte der Seitenlangen 16 em und 10 em solI eine quaderformige oben offene Wanne mit maximalem Volumen geformt werden. Abb. 78 - Blechzuschnitt

Losung. Das Volumen des aus der Platte geformten Quaders der Rohe x ist Vex) = (10 - 2x)(16 - 2x)x = 4x 3 - 52x 2 + 160x (0:::: x :::: 5). Wegen V(O) = V(5) = 0 sind die Randpunkte keine MaximalstelIen, diese sind unter den stationaren Punkten aus (0,5) zu suchen. Punkte aus b) kommen nicht vor. V'(x) = 12x2 - 104x + 160 = 0 hat in (0,5) nur eine Losung x = 2. Dieses ist dann die MaximalstelIe; das maximale Volumen betragt V(2) = 144 em 3 • 0 Beispiel 2. Nach dem FERMATschen Prinzip ist der Lichtweg w(x)

= 11 +12 = v'a 2 +x2 + -/b 2 + (e -

eines von A = (0, a) tiber den (noch unbekannten) Reftexionspunkt X = (x,O) nach B = (e, b) gehenden Lichtstrahls minimal. Die Minimalstellen von w - die es mit Sicherheit gibt - sind unter den stationaren Stellen Wi (x) = ~ -

-/b

(e - x) 2 + (e - x)2

=0

a 2 +x2

zu suchen. Man

x)2

y

b

a x

c

x

Abb. 79 - Lichtreflexion

findet so den eindeutig bestimmten Reftexionspunkt mit x = cab und erhalt a+ x e-x auBerdem wegen cos Ol = I1 und cos f3 = ---z;- als Bedingung cos Ol = cos f3 . Dies ist das Spiegelungsgesetz:

Ol

= f3 .

o

123

§2. Anwendungen der Differentiation

2.2 Der Mittelwertsatz. Die folgenden Beobachtungen bilden das Fundament weiterfilhrender Uberlegungen. Satz 2.2. Der Mittelwertsatz. 1st die Funktion f auf dem abgeschlossenen Interval! [a, b] stetig und auf dem offenen Interval! (a, b) dijferenzierbar, dann gibt es (wenigstens) einen inneren Punkt Xo E (a, b) mit fl(xo) = feb) - f(a) b-a

Beweis. Die Funktion F(x)

= f(x) -

(x - b/(bi

=~(a)

hat in [a, b] wenig-

stens eine Extremalstelle Xo (--+ Satz vom Maximum und Minimum, Kap. 2, Satz 6.5). Wegen F(a) = F(b) liegt diese Extrema1stelle Xo in (a, b), somit gilt FI(XO) = 0 (--+ Satz 2.1). 0

Bemerkungen 1. Anschaulich bedeutet der Mittelwertsatz, daB fUr mindestens ein Xo E (a, b) die Kurventangente parallel zur Sehne AB ist. 2. Nach dem Mitte1wertsatz wird bei der durch s = f(t) beschriebenen geradlinigen Bewegung zu mindestens einem Zeitpunkt to im Zeitintervall a ::: t ::: b die durchschnittliche Geschwindigkeit v = feb) - f(a)

y

a

x.

x

b-a

tatsachlich erreicht; veto)

= j(to) = v.

Abb. 80 - Mittelwertsatz

Als erste Anwendung des Mittelwertsatzes stellen wir einige Eigenschaften der Funktion f, bzw. des Graphen y = f(x) zusammen, die man an fl ablesen kann. Satz 2.3. Fur eine auf dem Interval! I dijferenzierbare Funktion f gilt: a) fl (x) > 0 aUf I ===> fist auf I echt monoton wachsend (der Graph steigt); b)

fl(x) < 0 auf I

c)

0 auf I fl(x)::: 0 auf I fl(x) = 0 auf I

===>

fist auf I echt monoton fal!end (der Graph fiillt);

d) e)

fl(x)

~

{:::::=}

f ist auf I monoton wachs end

{:::::=}

f ist auf I monoton fallend;

{:::::=}

f ist aUf I konstant.

124

3. Differentiation

Beweis. a): Nach dem Mittelwertsatz - und der Voraussetzung - gibt es zu zwei Zahlen Xl, X2 E J mit X2 > Xl ein Xo zwischen Xl, X2 mit f(X2) - f(xt} = f'(xo) > o. Das X2

-Xl

zeigt f(X2) - f(xd > 0, also f(X2) > f(xj) . Die anderen Aussagen werden in der " , * " Richtung vollig analog bewiesen. Zum Beweis der Behauptung ,,~" benotigt man nur die Definitionen. So gilt beispielsweise f(x) - f(xo) > 0 (x, Xo E J) f··ur X

-xo

x Abb. 81 - Monotoniebereiche

-

monoton wachsendes fund deshalb f'(xo)

= lim Ll~(x) ~ o. uX X--+Xo

o

e) erhalt man auch als einfache Folgerung aus c) und d).

Fur zwei auf einem Intervall J differenzierbare Funktionen fund g folgt nach Teil e) des Satzes (mit f - g an stelle f): f'(x)=g'(x) auf J

(2)

Die Konstante c aus I(x) c

= f(xo) -

~

f(x)=g(x)+c auf J (mit einer Konstanten c

= g(x) + claSt

sich mit jedem Xo

E

1R.).

E

J bestimmen:

g(xo) .

Beispiel 1. Ein sich mit der Geschwindigkeit set)

= vet) = at + b

bewegender Massenpunkt erfullt ein Weg-Zeit-Gesetz der Form set)

geradlinig

= iat2 +

Denn offenbar hat so(t) = iat2 + bt dieselbe Ableitung wie set) , was (nach (2» set) = so(t) + c nach sich zieht. 0 bt + c mit c

= s(O).

Beispiel 2. Fur die auf J flex) =

1

(.JT+X2)3

= (-00, 00)

definierte Funktion f(x) =

> 0; folglich ist f echt monoton wachsend.

x .JT+X2

gilt

o

Beispiel 3. Behauptuug: Jede lineare Pendelbewegung, fur die das HOoKEsche Gesetz gilt (die rucktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung), ist eine harmonische Schwingung. Beweis. Bezeichnet s = set) die Auslenkung zur Zeit t, dann gibt s die (zur Kraft proportionale) Beschleunigung an, und das Hookesche Gesetz erscheint in der Form set) = -u}s(t) , bzw. s(t)+w2s(t) =0 .

125

§2. Anwendungen der Differentiation

Wir multiplizieren mit 2s und erhalten nach der Kettenregel ;/s(t)2 + ah(t)2) = 0 und deshalb (---+ Satz 2.3 e) s(t)2 + uis(t)2 1. Fall. s(O)

aIle t. 2. Fall.

= s(O) = O.

=c

(mit einer Konstanten c

In diesem Fall ist c

s(O), S(O) beliebig.

= 0,

E

JR) .

also auch set)

= set) = 0

fiir

Fiir die Funktion so(t) := set) - s(O) cos evt -

=0

bs(O) sin evt verifiziert man leicht so(t) + ev 2so(t) Also gilt so(t) = 0 fiir aIle t (---+ Fall 1).

und so(O)

= so(O) = O.

Fiir beide FaIle gilt daher set) = s(O) cos evt + bs(O) sin evt .

D

Der Satz 2.3 hilft auch, die Extremalstellen unter den stationaren Punkten (fl(x) = 0) herauszufinden: Satz 2.4. 1. Extremwert-Test Eine auf dem offenen Interval! (a, b) diJferenzierbare tioniiren Punkt Xo E (a, b) ein lokales Maximum (bzw. die Ableitung fl(x) unmittelbar links von Xo (d.h. in E > 0) positiv, rechts von Xo negativ (bzw. links negativ,

Beweis. 1st unmittelbar links von Xo die Ableitung positiv, dann wachst dart die Funktion; rechts neben Xo fallt sie wieder, also ist Xo lokale Maximalstelle. D

y

"~l' f>J I \<0

Die stationaren Punkte der Funktion f(x) = x\/l~, Ixl < 1, also die Losungen der Gleichung 3 . d f l() x = 2x - 3x = 0 sin Beispiel.

v'f=X2

'

=

II,

Offenbar ist f(O)

=0

XI

=0,

X2

X3

=

-II .

Funktion f hat im stalokales Minimum), wenn (xo - E, xo) mit kleinem rechts positiv) ist.

I I

x Abb. 82 - Lokales Maximum

das globale Minimum. Bei

X2

=

II

hat die Ableitung

fl(x) denselben Vorzeichenwechsel wie der Faktor 2 also von + nach -. Demnach gehort zu X2 ein lokales Maximum. Da f gerade ist (y = f(x) 3x 2 ,

-II

liegt symmetrisch zur y-Achse), handelt es sich bei X3 = ebenfalls urn eine lokale Maximalstelle. D Wenn die zweite Ableitung f" nicht zu kompliziert ist, kann man die stationaren Punkte auch mit dem folgenden Test auf eine Extremaleigenschaft untersuchen.

126

3. Differentiation

Satz 2.5. 2. Extremwert-Test 1st j auj (a, b) zweimal stetig differenzierbar und Xo E (a, b) ein stationiirer Punkt, dann gilt: a) j" (xo) < 0 ===> j hat in xo ein lokales Maximum, b) f"(xo) > 0 ===> j hat in Xo ein lokales Minimum.

Beweis. Aus f"(xo) < 0 und der Stetigkeit von j" folgt j" < 0 auf einem (evtl. sehr kleinem) Intervall mit Mittelpunkt Xo. Nach Satz 2.3b ist j' dort echt monoton fallend und hat wegen j'(XO) = 0 in Xo einen Vorzeichenwechsel 0 von + nach -. Mit Satz 2.4 folgt die Behauptung. Bemerkung. Auch der zweite Extremwert-Test ist nur fUr innere Punkte des Intervalls zuHissig. AuBerdem gibt er keine Auskunft iiber innere Punkte mit j'(X) = j"(X) =0 (--+ Kap. 5, Satz 4.3). Beispiel. Wir betrachten die Funktion j(x) = x + 2 sin x im Intervall [-2n, 2n] mit den beiden globalen Extrema j(-2n) = -2n (Minimum), j(2n) = 2n (Maximum) an den Intervallenden. Die zweite Ableitung j" (x) = -2 sin x ist an den stationaren Punkten (das sind Losungen von j' (x) = 1 + 2 cos x = 0)

-jn

= ~n, X2 = negativ, also liegen dort lokale Maxima. Die anderen sind 10kale Minimalstellen. 0 beiden stationaren Punkte X3 = -~n, X4 =

Xl

jn

= j(x) kann man am Vorzeichen von j" erkennen. 1st namlich j" > 0 auf einem Intervall, dann wachst dort j' echt monoton (--+ Satz 2.3); was offenbar nur bei einem linksgekriimmten Graphen moglich ist (--+ Abb. 83). Also gilt:

2.3 Wendepunkte. Auch das Kriimmungsverhalten der Kurve y

Satz 2.6. Kriimmungs-Test a) j" > 0 ===> Die Kurve y = j(x) ist konvex von unten (Linkskriimmung). b) j" < 0 ===> Die Kurve y = j(x) ist konvex von oben (Rechtskriimmung). Diejenigen Punkte, in denen y = j(x) von einer Linkskriimmung in eine Rechtskriimmung oder von Rechtskriimmung in Linkskriimmung iibergeht, heiBen Wendepunkte. Die Kandidaten for Wendepunkte von j: I --+ 1R sind:

a) b)

die Punkte aus I, in denen j" nicht existiert; die Punkte aus I, in den en j" = 0 .

Satz 2.7. Wendepunkt-Test. j"(XO) = 0, j"'(xo) =I 0 ===> j hat in Xo einen Wendepunkt. Beweis. Nach Satz 2.5 ist Xo Extremalstelle von j', also ein Wendepunkt.

0

127

§ 2. Anwendungen der Differentiation

Beispiel. Die kritische Temperatur To, oberhalb der man ein Gas nicht mehr verftussigen kann, wird mit der Zustandsgleichung nach VAN DER WAALS

(p + ;2) (V -

b)

= RT

so bestimmt, daB die Kurve p

RTo

= p(V) = V

a

- b - V2

einen Wendepunkt mit horizontaler Tangente besitzt. Aus p'(V) = p"(V) = 0 ergeben sich die Bedingungen RTo

-----=:-.:(V - b)2

2a = V3'

RTo (V - b)3

3a = V4

und als Losungen das kritische Volumen V = Vo = 3b und die kritische Temperatur

~

2~:R'

f">O 'f"
DaB es sich tatsachlich urn einen Wendepunkt handelt, ersieht man nun a =j. 0 . aus p "'() Vo = -SIbs D To =

Abb. 83 - Konvexitatsbereiche

2.4 Die Regeln von De L'Hospital. Die folgende Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes (~ 2.2) bildet die Grundlage einiger nutzlicher, dem Marquis DE L'HosPITAL (1661-1704) zugeschriebener Regeln zur Berechnung von Grenzwerten der Form lim f((X)) mit f(xo) X--+Xo

(bzw. mit f(x) ~

00,

g

x

g(x) ~

00

= g(xo) = 0;

wir nennen sie vom Typ -00

fur x ~ Xo vom Typ ~).

Satz 2.8. Verallgemeinerter Mittelwertsatz Sind f, g im offenen Intervall a < x < b differenzierbar, in a :s x :s b stetig und g' (x) =j. 0 in a < x < b, dann gibt es wenigstens eine Stelle ~, a < ~ < b, mit feb) - f(a) g(b) - g(a)

f'(~)

= g'(~)'

Beweis. Zunachst beachte man, daB wegen der Voraussetzung g'(x) =j. 0 notwendig g(b) =j. g(a) gilt (~ Satz 2.2). Damit ist die Funktion F(x) := f(x) - feb) - f(a) g(x) g(b)-g(a)

erklart. Wegen F(a) = F(b) gibt es nach dem Mittelwertsatz ein undbmitF'(~)=O.

~

zwischen a D

128

3. Differentiation

Satz 2.9. L'Hospital-Regel Sind f, g auf dem Intervall a < x < b difJerenzierbare Funktionen, g' (x) =I 0, mit den beiden folgenden Eigenschaften a) f(x) -+ 0, g(x) -+ 0 oder f(x) -+ 00, g(x) -+ 00 fur x -+ b- (-+ Kap. 2, 6.1),

b) lim f'(x)=L mit LElRU{-oo,oo},danngilt x->b-

g'(x)

lim f(x)

(3)

x->b-

g(x)

= lim

f'(x) g'(x)

x->b-

Entsprechendes gilt fur die Grenzprozesse x -+ a+, x -+

Beweis. 1. Fall (Typ

g).

00,

x -+

-00.

Fur die linksseitige Annaherung x -+ b-, gelte

f(x) -+ 0, g(x) -+ O. Durch feb) = g(b) = 0 setzen wir fund g auf (a, b) stetig fort. Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz gibt es dann zu jedem

x, a < x < b, ein

~

zwischen x und b mit

(3); denn mit x -+ b strebt auch

~

~&? = ~;i:?

.

Das zeigt bereits

gegen b.

2. Fall (Typ ~). f(x) -+ 00, g(x) -+ 00 fur x -+ b-. Nach Satz 2.8 gibt es fUr je zwei Stellen z, x mit a < Z < x < b ein ~ E (z, x) so daB gilt f'(~)

g'(~)

=

f(x) - fez) g(x) - g(z)

1 _ fez) f(x) f(x) = g(x) . 1 _ g(z) g(x)

Mit z gehen wir so nahe an b heran, daB sich

f'(~) von lim g'(~)

big wenig unterscheidet (-+ Kap. 2, §5); im Fall lim f;((X)) = x->b g x

~;&?

x->b

f'(x) belieg'(x)

00

bedeutet das

> N zu beliebig vorgegebener Grenze N > O. Nun halten wir

wahlen x so nahe bei b, daB der Bruch (11 und damit

~&?

be1iebig nahe bei

~;~?

jg~)/(1- ;i~~)

z fest und

be1iebig nahe bei

liegt. Das zeigt die Behauptung.

Die anderen Feille. Der Beweis verlauft vollig analog fur die rechtsseitigen Grenzwerte x -+ a. Die FaIle x -+ 00, x -+ -00 werden uber die Substi-

tution y

= },

y -+ 0 , auf die bereits bewiesenen FaIle zuruckgefuhrt.

0

Es kommt haufig vor, daB man den zur Anwendung der L'Hospital-Regeln benotigten Wert lim f;((X)) selbst erst mit dieser Regel ermittelt, sofem f', x->b

g X

g' an stelle f, g die Voraussetzungen des Satzes erfullen. Das laBt sich gegebenenfalls fortsetzen auf hohere Ableitungen.

129

§ 2. Anwendungen der Differentiation

. X3 - X2 - 5x - 3 . 3x 2 - 2x - 5 16 hm = hm =-. 3x 2 - 7x - 6 x~3 6x - 7 11

Beispiel 1.

o

x~3

Beispiel 2. Die Molwarme eines zweiatomigen Gases ist bei festem Volumen als Funktion der absoluten Temperatur T gegeben durch c(T)

(To I T) 2 e To / T

=R

(e To / T

1)2

_

mit der Gaskonstanten R und der charakteristischen Temperatur To. Es interessieren die Grenzwerte T -+ 0 und T -+ 00, Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir x :=

~ , Die L'Hospital-Regel ergibt , x2ex

,

}~I1J+ c(T) = }~~ R (eX _

1)2 =

,

2x +x2

}~~ R 2(eX - 1)

=x~oo lim R 2 + 2x =x~oo lim R l.. =0 2e x eX ' c(T) I1m

T ~oo

R ( x 2 ex1)2

= I'1m

eX -

x~o+

= I'1m

x~o+

+ xR -1X e

=R ,

(Die hier als bekannt vorausgesetzten Eigenschaften der e-Funktion sind = eX, lim eX = 00, -+ §4,)

(ex)'

0

x~oo

Beispiel 3. Der Beweis der Grenzwertformel lim sin x = 1 mit der L'Hospitalx~o x ' sin x = I'1m -1cos x=l ) 1st , erstaunI'1Ch em ' fac h ; man b e denke ab er, Rege I ( I1m -xx~o

x~o

daB diese Formel bereits zum Nachweis von (sin x)'

= cosx

benotigt wurde,

0

Bemerkung. Haufig ist zur Grenzwertberechnung nach der L'Hospital-Regel eine vorhergehende Umformung niitzlich, etwa

f(x)g(x)

= f(x)

(g(~))'

/

f(x) - g(x)

= f(x)g(X)(g(~)

- Ax))

Beispiel 4. (Zur In-Funktion vgl. § 4 )

r

[I x + 1 ]

r

In(x + 1) - In(x - 1) x~~ x n x - I = x~~ 1

x

Beispiel 5.

lim x~o

(! __smx ,_1_) = lim sin smx x

x~o

= lim

x~o

x

x, - x

1

= lim X+T HOO

= lim

x~o

- sin x , 2 cos x - x sm x

1

-:x=-r = 2 1

- x2

cosx -

'

o

!

x cosx + smx

=0

,

o

130

3. Differentiation

2.5 Kurvendiskussion. Urn eine Vorstellung zu bekommen, was sich bei einem durch y = f(x) beschriebenen Vorgang abspielt, ist es in jedem Fall niitzlich, den Verlauf der Kurve y = f(x) zu diskutieren und zu zeichnen (Kurvendiskussion). Mit den bisher entwickelten Hilfsmitteln geschieht das unter folgenden Gesichtspunkten: Diskussion der Kurve y = f(x)

o

® CD

o o

°

Definitionsbereich und evtl. Wertebereich von f festlegen. Symmetrie testen: f gerade oder ungerade? (--+ Kap. 2, §1) Stetigkeit priifen, Polstellen berechnen. (--+ Kap. 2 §6, Satz 2.9) Nullstellen von f, Vorzeichen von y bestimmen. (--+ 2.6)

f' berechnen, Nullstellen von f' bestimmen.

Extremalstellen, Monotoniebereiche ermitteln. (--+ Satze 2.3, 2.4, 2.5) (j) f" berechnen, Nullstellen von f" bestimmen. CD Wendepunkte, Konvexitatsbereiche bestimmen. (--+ Satze 2.6, 2.7)

®

Verhalten fiir x --+ ±oo untersuchen, schrage und horizon tale Asymptoten berechnen. (--+ Kap. 2 §6, Satz 2.9) @ Eine Skizze des Graphen anfertigen.

Beispiel.

0-0 klar. 0:

y

=cos 3 X + sin 3 x, O:s x :s 2Jr .

Nullstellen von f: cos3 X = - sin 3 x {=:::} cos x Vorzeichen von y: X I 0 :s x < ~Jr I ~Jr < X < y + -

= - sin x ~Jr I ~Jr

0,O:

1. Ableitung: y' = 3cos 2 X· ( - sinx)+3 sin 2 xcosx y' = 0: x = ~, ~Jr; 0; Jr; ~, iJr. Vorzeichen von y': x

O:::x<~

y'

-

y

'"

Extrema:

~ <

x < ~

~<x
+

/

'"

/ n

~n

+

'"

/

0

1f

Y

1

1

-1

-)2'

-1

1

Max.

h Min.

1

Typ

Max.

Min.

Max.

Min.

Max.

glob.

10k.

glob.

glob.

10k.

glob.

glob.

x

4"

1f

"2

ill" 1

:s 2Jr

< ~n ~n<x:::2n

-

+

X

+

= ~Jr

x

= 3 sinxcosx(sinx -cosx)

in in < x

n < x <

-

<

{=:::}

2ll"

131

§2. Anwendungen der Differentiation

0,0:

2. Ableitung: y" = 3[cos2 x(sinx - cosx) - sin 2 x(sin X = 3(sinx + cosx)(3 sinx cosx - 1)

-

cosx) + sin x cos x(cosx + sin x)]

y" = 0: sin x = - cos x oder sin 2x = ~ . a=~n; b=~n; c~.116I4n; d~.38386n; e=c+n; f=d+n.

Vorzeichen von y": x y" y

O:::::x
~

Wendepunkte:

~

~

~

~

~

l.lI6I4n 1.38386n ~n -.86066 ... -.86066... 0

x y

--~~~--~~~~-+~~~~~~~~~~~-r~

(0 entfallt @

y

x

Abb. 84 - y = cos 3 x + sin 3 x

Bemerkung. Mit den iiblichen trigonometrischen Identitaten zeigt man: y = sin 3 x + cos3 X = k(COS 3x - sin 3x) +

1 =2.J2[3 cos(x -

n

~(cosx + sinx)

n

"4) - cos(3(x - "4))] .

Es liegt also eine Uberlagerung von zwei harmonischen Schwingungen der Form y=Alcoswlt+A2cosw2t mit Al :A2=3: 1 und WI :w2=1:3 vor. 0

2.6 Nullstellen und Fixpunkte. In vielen praktischen Rechnungen benatigt

man die Nullstellen einer stetigen bzw. differenzierbaren Funktion f. Nur in wenigen Fallen gelingt eine explizite formale Lasung der Gleichung f(x) = O. 1st dies nicht maglich, so bestimmt man Naherungslasungen durch die Konstruktion einer Folge x n , n = 0,1,2, ... , die gegen eine Nullstelle konvergiert. Manchmal ist es giinstiger, die Nullstellenbestimmung als Fixpunktproblem zu sehen. Dabei heiBt eine Zahl x* E [a, b] ein Fixpunkt der auf [a, b] erklarten Funktion f, wenn f(x*) = x* gilt. Es hangt vom Standpunkt ab, ob man Fixpunkte oder Nullstellen sucht. Denn jeder Fixpunkt von fist Lasung von

132

3. Differentiation

f(x) - X = 0, und umgekehrt ist jede Nullstelle von f g , g(x) := f(x) + x. Grundlage der Fixpunktberechnung ist

ein Fixpunkt von

Satz 2.10. Direkte Fixpunktiteration. Hat eine auf [a, b] stetig differenzierbare Funktion f folgende beiden Eigenschaften: a) a :s: f(x) :s: b fur alle X E [a, b], b) es gibt eine Konstante K mit If' (x) I :s: K < 1 fur alle x E [a, b] , dann gilt: 1. Existenz. Es gibt genau ein x* E [a, b] mit f(x*) =x*. 2. Berechnung. Die Iterationsfolge (4)

xn+! := f(x n) (n = 0, 1, 2, 3, ... )

mit beliebigem Startwert Xo

3. Abschatzung.

IXn - x*1

:s:

E

[a, b] konvergiert gegen den Fixpunkt x*.

1 ~ K IXn - xn-Ii (n = 1,2,3, ... ). y=f(x)

y=x

y=x

xn +1=f(x n )

xn+ 1=f(x n)

\f'(x)J
\f'(x)\~K)l

y=f(x)

Abb. 85a - Konvergente Iteration

Abb. 85b - Divergente Iteration

Beweis. 1. Die Existenz eines Fixpunktes: Falls f(a) = a oder f(b) = b, dann ist nichts mehr zu zeigen. 1m Fall a < f(a), f(b) < b hat F(x) := f(x) - x wegen F(a) > 0 und F(b) < 0 in (a, b) wenigstens eine Nullstelle x* (---+ Zwischenwertsatz, Kap. 2, Satz 6.5), f(x*) = x*. Eindeutigkeit des Fixpunktes: Giibe es zwei verschiedene Fixpunkte x*, z, so giibe es nach dem

Mittelwertsatz ein ~ zwischen x* und z mit 1 = x: - z = f(x*~ - f(z)

x -z

x -z

=

f'(~), im Widerspruch zur Voraussetzung If'(x)1 < 1. 2. Aus der Definition der x n , dem Mittelwertsatz und der Voraussetzung b) folgt fur den Fixpunkt x*

IXn - x*1 = If(xn-l) - f(x*)1 = If'(nllxn-l - x*1

:s:

Klxn-l - x*1 ,

folglich IX n - x*1 :s: K 2 1xn_2 - x*1 :s: ... :s: Knlxo - x*l. Wegen K n ---+ 0 (mit n ---+ 00 ) zeigt das IX n - x* I ---+ 0, bzw. lim Xn = x* . n--+oo

3. Aus der zuvor bewiesenen Ungleichung IX n - x*1 :s: Klxn-l - x*1 folgt Ixn-x*1 :s: Klxn-l-Xn+Xn-x*1 :s: Klxn-Xn-ll+Klxn-x*l, damit die Behauptung. D

133

§2. Anwendungen der Differentiation

Bemerkung. Die Ungleichung in Punkt 3 ist eine "a posteriori Abschatzung", mit der man aus zwei berechneten Werten auf den Abstand zum Fixpunkt schlieBen kann.

Gesucht wird eine Lasung der Gleichung x

Beispiel.

= ex2 - 2

Die Funktion

f(x) = ex2 - 2 erfullt uber [0, ~] die Voraussetzung des Fixpunktsatzes, namlich o :s ex2 - 2 :s ~ fur 0 :s x :s ~ (---+ §4) und If'(x)1 = 12xex2 - 21 :s ~ = K < 1. Wir setzen die zum Fixpunkt x* fiihrende Iteration mit dem Startwert Xo = 0.25 in Gang: Xl = 0.144063656, X2 = 0.138173428, ... , Xs = 0.137934839, X6 = 0.137934826. Die a posteriori Abschatzung fur den Naherungswert X6 ergibt IX6 - x*1 :s e':21x6 - xsl = 3.59E - 8. D

Das Newton-Verfahren verwendet zur Naherungslasung von f(x) = 0 nicht die naheliegende Fixpunktiteration fur g(x) := x + f(x), sondem fur F(x) = x-

;,~:~

(vorausgesetzt f'(x) =I 0 auf [a, b]). Denn im Gegensatz zur direkten

Fixpunktiteration (4) konvergiert die zugeharige Iterationsfolge (5)

Xo E [a, b]

unter schwacheren Voraussetzungen an f, sofem nur der Startwert Xo hinreichend nahe bei der Nullstelle liegt. (1st beispielsweise f zweimal stetig differenzierbar, f(x*) = 0, f'(x*) =I 0, dann erfullt F in einem x* enthaltenden Teilintervall die Voraussetzung des Fixpunktsatzes 2.10). AuBerdem strebt im Konvergenzfall die Iterationsfolge (5) schneller gegen die Nullstelle, denn es liegt "quadratische Konvergenz" vor: I

Xn+l

-

*1 < I -

X

Xn

-

*12M· X ,

M - Max von II"(x)1 auf [a, b] - Min von If'(x)1 auf [a, b]

Dies bedeutet: 1st Xn hinreichend nahe bei x*, so verdoppelt sich in jedem folgenden Schritt die Anzahl der richtigen Nachkommastellen der Dezimalbruchdarstellung von Xn+l . Beweis. Aus f(x*)

=0

und dem Mittelwertsatz folgt

*1 - f(x*) IXn+l - X*1 = IXn - f(x n)f'(x - x n)

:s

IX n - x* 111 -

;g})

< Ix - x*121 1"(17) I n f'(x n)

I

(mit

~

zwischen x* und x n)

(mit 17 zwischen

~

und x n )

.

D

Geometrische Deutung des Newton-Verfahrens (---+ Abb. 86) Die Kurventangente y(x) = f'(xn)(x - x n) + f(x n) schneidet die x-Achse in f(x n ))· Im gunstlgen .. . FIll· Xn+l = Xn - f'(x a legt Xn+l na··h er an der Nu11 ste11e a1s xn . n

134

3. Differentiation

Naturlich kann das Newton-Verfahren durchaus divergente Folgen liefern; das kann an der Funktion liegen oder am ungunstig gewiihlten Startwert Xo. In der Praxis wird die Ableitung f'ex) sehr oft durch Differenzenquotienten approximiert und die Folge Xn (n = 1, 2, ... ) mit einem Xo moglichst nahe der Nullstelle berechnet. Sobald sich von einem Index m an die Zahlen Xm, Xm+!, Xm+2 nicht mehr wesentlich unterscheiden, nimmt man Xm+2 als Niiherungslosung der Gleichung f(x) = O.

y

x Abb. 86 - Newton-Verfahren

Dx=-F*Dx/(F-Fl) X=X+Dx Xa=Abs(X)

'Programm NEWTON-Verfahren

,------------------------Input "Startwert";X Eps=lE-5 Repeat Dx=Eps If Abs(X»Eps Then

XA<=l Then XA=l Endif Until Abs(Dx)<Eps*Xa Or Abs(F)<Eps Print X End If

Dx=X*Eps Endif Gosub Funktion Fl=F X=X+Dx Gosub Funktion

, ------------------------------Procedure Funktion Return

Beispiel. Das Polynom f(x) = x 3 + x 2 + 2x + 1 hat Nullstelle ( f(O) = 1, f( -1) = -1, f'(X):f 0). Fur

Xn+!

= Xn -

f(x n) !'(x n)

= Xn -

x~ + x; + 2xn + 1

3x; + 2x n + 2

III

[-1,0] genau ellle

(n=I,2,3,4)

erhiilt man in lO-stelliger Rechnung mit dem Startwert Xo = -0.5 die Werte X! =-0.5714285714, x2=-0.569841298, x3=-0.569840291, X4=X3. Das zeigt bereits f(x*) = 0 mit x* "'" X4 = -0.569840291. Nach Abfaktorisierung des Linearfaktors x - X4 (---+ Horner-Schema, Kap. 2, 2.1), x2 + 0.43015 9709x + 1.754877666 = 0 ,

ergeben sich aus der Losungsformel fUr quadratische Gleichungen Niiherungswerte fUr die beiden anderen (komplexen) Nullstellen z -0.215079854 + i 1.307141279 und z = -0.215079854 - i 1.307141279. D

135

§2. Anwendungen der Differentiation

* 2.7

Kubische Splines. Die Interpolation von MeBpunkten (xo, YO) , ... , (xn, Yn) durch ein Polynom p(x) vom Grad ::; n mit Yi := p(x;) (---+ Kap. 2, §2) hat den Nachteil, daB die Kurve Y = p(x) zwischen den MeBpunkten mi::iglicherweise zu sehr schwankt (---+ Abb. 87b). In diesem Abschnitt bestimmen wir eine Kurve Y = f(x), die mi::iglichst "sanft" durch die Punkte hindurchgeht.

Definition. Zu n+1 Stiitzpunkten (Xi,Yi) (i=O,l, ... ,n) mit Xo < Xl < X2 < ... < Xn heij3t die Funktion S : [xo, xn] ---+ lR eine kubische Spline-Funktion (durch diese Punkte), wenn sie folgende 3 Eigenschaften besitzt: sex;) = Yi (i = 0, 1, ... , n), (2) s ist zweimal stetig diJferenzierbar in (xo, x n), s ist iiber jedem Teilintervall Xi ::; X < Xi+! ein Polynom yom Grad::; 3 (die KoeJfizienten hiingen yom jeweiligen Teilintervall ab).

CD CD

Die Bestimmung einer Spline-Funktion

o Der Ansatz.

Zu den gegebenen Punkten (Xi, Yi) mit Xo < betrachten wir n Polynome s;(x)

= Yi + bi(X -

X;) + Ci (X - Xi)2 + d i (X - Xi)3 (i

mit noch unbekannten Koeffizienten b i Hierfur gilt bereits S(Xi)

= Si(X)

< ... < Xn

= 0, 1, ... , n -

1)

d i und setzen

, Ci,

,

falls Xi::::: X < Xi+1

=Si (Xi) =Yi

(0 ::; i ::; n - 1) .

sex)

Xl

G) Die Berechnung der Koeffizienten. Die Forderung nach dem stetigen Ubergang an den Stellen XI, ... , Xn-I und s(xn) = Yn bedeutet Si(Xi+l) = Si+I (Xi+I) = Yi+1 (0::; i ::::: n - 1). Die zweimalige stetige Differenzierbarkeit ist gewahrleistet, sofem S;(Xi+I)= lim s'(x)= lim s'(x)=s;+I(Xi+I) X--+Xi+l+

X--+Xi+l-

und ebenso

fur 0 ::; i ::::: n - 2 erfullt sind. Diese Bedin-21 sl/(xn) = lim -21 s:_1 (x) = Cn-I + 3dn-1 (xn - xn-d

S;'(Xi+I) = S;~I (Xi+l)

gungen, zusammen mit Cn =

x--+xn -

und ergeben folgende Gleichungen: (6)

(0 ::; i ::; n - 1) (0 ::; i ::; n - 1)

(7) (8) h i-ICi-! + 2(h i-I + h) i Ci + h iCi+I

=

- Yi-I] ( 1 3[ Yi+!h.- Yi - Yi h. ::::: 'I I

I-I

::;

n - 1) .

Gibt man Co, Cn E lR belie big vor, dann ist das line are Gleichungssystem (8) eindeutig nach den anderen Koeffizienten CI, ... , Cn-I aufli::isbar (---+ Kap. 6, § 1). Damit werden aus (6) und (7) die bi und di berechnet.

136

3. Differentiation

8

Zuriick zurn Ansatz: Mit den in ® bestimmten Koeffizienten hi, Ci, d i (0 :S i :S n - 1) bildet man wie in 0 angegeben, die Funktion s; dieses ist eine kubische Spline-Funktion.

@ Erganzung. Wahl von

Co und C n • Liegen keine weiteren Bedingungen vor, erleichtert die Wahl Co = Cn = 0 die Rechnungen. In diesem Fall miindet die Kurve mit Kriimmung 0 (-+ Kap. 4, §5(8)) in die Endpunkte (xo, Yo), (xn, Yn) ein. Diese sog. natiirliche kubische Spline-Funktion So ist unter allen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen g, die (xo, Yo), ... , (xn, Yn) interpolieren, die "glatteste" in dem Sinne, daB gilt

Die natiirliche Spline-Funktion Y = So (x ) stellt daher angenahert die Gestalt eines reibungsfrei durch die Punkte (Xi, Yi) (i = 0, ... ,n) gelegten elastischen Stabes dar. 'Programm KUBISCHE SPLINE ,------------------------

Input "Punktezahl=";N N=N-1 Dim X(N),Y(N),B(N),C(N),D(N) For 1=0 To N Print "X"+Str$(I)+"="; Input X(I) Print "Y"+Str$(I)+"="; Input Y(I) Next I ,------Koeffizienten-------M=N-l S=O For I=O To M D(I)=X(I+l)-X(I) R=(Y(I+l)-Y(I))/D(I) C(I)=R-S S=R Next I S=O R=O C(O)=O C(N)=O For 1=1 To M C(I)=C(I)+R*C(I-l) B(I)=(X(I-l)-X(I+1))*2-R*S

S=D(I) R=S/B(I) Next I For I=M To 1 Step -1 C(I)=(D(I)*C(I+1)-C(I))/B(I) Next I For 1=0 To M S=D(I) R=C(I+1)-C(I) D(I)=R/S C(I)=C(I)*3 B(I)=(Y(I+1)-Y(I))/S-(C(I)+R)*S Next I ,----------Funktionswert--------Print "s(x) for x="; X Q=Sgn(X(N)-X(O)) K=-1 Repeat I=K K=K+1 Until (Q*X
137

§2. Anwendungen der Differentiation

Bemerkung. Die Aufiosung des 1inearen Gleiehungssystems fur die mit dem G Auss-Algorithmus (--+ Kap. 6, § 1).

Ci

erfolgt

Beispiel. Den Un terse hied zur Polynominterpolation erkennt man sehr deutlieh, wenn die zu interpolierenden Funktionswerte absehnittsweise auf einer Geraden liegen. Fur n = 8 und Xi

Yi

1-40

4

-3 -2 -1 0 1 2 3 0 0 0 1 0 0 0 0

ergibt die Interpolation mit einer natiirliehen kubisehen Spline-Funktion (co = Cs = 0) und die Newton-Interpolation sehr untersehied1iehe Funktionen:

,Jfr

y

x

.

x

Abb. 87a Interpolierende Spline-Funktion

Abb. 87b Interpolierendes Polynom

o Aufgaben 1. Man diskutiere gemiiB 2.5 die Funktionen f(x), x x3

-

x2

2X2 -

+x

tan x . (cos 2 X

-

sin 2 x)

lR.

Ix 2 -

(x 2 - 1)lxl Ix -11

1

E

II + Ix I - 1

sinxJl-k 2 sin 2 x (O
TtiXT

2. Man berechne die lokalen und globalen Extrema von a)

f(x) = J(x - a)2

b) g(x) = Ix -

al + Ix

im Interval! a:S x

+ (x - b)2 + (x - c)2 , - bl

:s b

+ Ix

-

cl ,

fur a < c < b .

3. Man berechne die lokalen und globalen Extrema der Funktion f(x) auf [-4,4] f(x) = {

3 - (x + 3)2 3 + (x + 1)3 I(x - 1)(x -

:s x :s -2 :s x < 0 , 0 :s x :s 4 .

, -4 , -2

3)1

4. Die Funktion P(rp) =

. 2

(1 -

Sill rp COS rp)5

f3

(mit einer Konstanten f3, 0 < f3 < 1) tritt bei der Energieberechnung eines beschleunigten relativistischen Teilchens auf. Man bestimme ihre Extremalstel!en.

138

3. Differentiation

5. Man wende den Mittelwertsatz auf (x 2 (-+ I, Aufg. 5)

-

I)n an und zeige, daB das Legendre-Polynom

n = 0, 1,2, ... , in -I < x < I genau n paarweise verschiedene Nullstellen besitzt.

6. Aus dem Kreis mit Radius R ist ein Sektor so auszuschneiden, daB der aus dem restlichen Teil geformte Kreiskegelmantel ein maximales Volumen bestimmt. 7. Je n von N (= n . m) gleichen Spannungsquellen (Leerlaufspannung E, innerer Widerstand r) werden fur eine Stromversorgung in m Blacken parallelgeschaltet. Man berechne die Stomstiirke [, die durch den Lastwiderstand R fiieBt, als Funktion [(n) von n E IN. Uber die Funktion [(x), x E lR, bestimme man das optimale n, so daB [ in Abhiingigkeit von N, r und R maximal wird. 8. Eine WHEATSTONE-Widerstands-MeBbriicke hat die Daten: MeBdraht: Liinge I = lOcm; spez. Widerstand p = 15 c% ; Vergleichsrheostat R = 100Q. 1m Gleichgewicht ist der Strom durch Ri Null, d.h. Z·(l-x)=R·x.

a) Man skizziere und diskutiere Z = Z(x), 0::: x < I, sowie x = x(Z) . b) Wie genau muB man x ablesen, wenn Z auf ±0.5Q genau bestimmt sein soli? Wiihle hierzu x = O.Scm und x = 9.Scm ! c) Fur welche x wird - bei bekannter Ablesegenauigkeit - der maximale absolute Fehler I~ZI bzw.

±~x

der maximale relative Fehler I ~ZZ I minimal? d) Das Anzeigegeriit soli bei kleiner Verstimmung aus dem Gleichgewicht maximale Leistung aus der Briicke ziehen. Wie groB muB dazu der Innenwiderstand Ri sein? (Innenwiderstand der Stromquelle ist Null) Skizziere und diskutiere das optimale Ri als Funktion von x. - Bei welcher Stellung x ist das optimale R; am graBten? 9. Auf einer 30m langen Briicke steht, 21m vom linken Aufiager entfemt, ein Auto mit 3m Radstand und gleichen Achslasten F = nOON. Die Briicke hat eine konstante spez. Liingenbelastung qo = 14400N/m und die BiegeW F F steifigkeit E [ = 6 . 109Nm2 . Mit x und w in m lautet die Biegelinie (Spline-Funktion mit Polynomen 4. Grades)

~:'m~

w(x)

=

I

Wl(X) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e , 0::: x < 21, Wll = AX4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E , 21 ::: x < 24, Wlll(x)=ax 4 +j3x 3 +yx 2 +oX+E , 24::: x < 30.

139

§3. Umkehrfunktionen

so daB w(x), w'(x) und w"(x) stetig fUr 0:::: x :::: 30. w(O)

= w" (0) = w(30) = w" (30) = 0

E/W(4)(X)=Qo,

lim

E---+O+

(Auftager ohne Spannung) (Biegegleichung)

x121, x124

[w;~(21 + E) -

w;'(21 - E)]

[w;~1(24 + E) - w;~(24 €-+o+ lim

= EF/

(Querkraft springt bei Punktlasten)

E)] = EF/

a) Bestimme die 15 Koeffizienten und skizziere w, w', w",

Will,

W(4).

b) Bestimme die Nullstelle von w' mittels Newton-Verfahren. Wie groB ist die maximale Durchbiegung der Briicke? c) An welcher Stelle ist das Belastungsmoment IE/w"l maximal? 10. Man berechne die Grenzwerte

(,J cos ax - ,Jcos bx) . ~

lim ( _ 1 _~) sin 2 x x2 . e- x - I hm - - x - ,

x---+o

I.

. In2(1 + x) - sin 2x I1m 2

lim

x->o

. e- x2 hm

x->o 1m x->o

In(1-x)+x2 --'-----:--'----." (1 + X)5 - 1 + x 2

lim In(a + b~) x->oo

,JC + dx

(b, d > 0)

_

X

1 + x2

4

x--+o

x

x->o

1-

e- x

lim [In(l+.!.)-_1 ] x x+1

x->oo

Hilfe: L'Hospital-Regel und (eX)' = eX und (In Ixl)' = 11. Mit dem Newton-Verfahren bestimme man

T(

i,

x

10

(-+ §4.).

auf 6 Stellen genau aus der Gleichung

tan ~ 4 - cot ~ 4 =0 .

§3. Umkehrfunktionen Unser Vorrat elementarer Funktionen muG erweitert werden, damit wir auch einfache Gleichungen der Form y = f(x) nach x aufiosen konnen.

3.1 Grundlagen. Sei f

eine auf I S; lR erklarte Funktion und D S; I. Man sagt, fist iiber D umkehrbar, wenn zu jedem y E f(D) die Gleichung y = f(x) genau eine Losung XED besitzt. In diesem Fall gibt es eine Umkehrfunktion g : f(D) --+ D, sie ordnet jedem y E f(D) die durch y = f(x) eindeutig bestimmte Zahl XED zu; d.h., (1)

x=g(y)

{::=:}

y=f(x).

Besitzt f iiber D die Umkehrfunktion g : f(D) gemaG laut (1): (2)

f(g(y» = y fiir aIle y

E

--+

D, dann gilt definitions-

f(D) ,

g(f(x» = x fiir aIle XED.

140

3. DitTerentiation

Aus diesen Beziehungen erkennt man sofort, daB g(y) = x eindeutig durch y = f(g(y)) = f(x) gelost wird. Also ist auch g uber feD) umkehrbar mit Umkehrfunktion f. Bemerkung. Die Umkehrfunktion zu f Lehrbuchem haufig mit f- I bezeichnet: f- I : f(I) ~ I, f-I(x)

Beispielsweise sin- I x

= arcsin x ,

: I

=y

~ x

wird m anderen

f(I)

~

= fey)

.

= arcoshx (~ 3.3, 4.6). Dabei f(x)-l = Ax) verwechselt wird.

cosh- I x

besteht aber die Gefahr, daB f-I(x) mit

= ax + b

Beispiel 1. Die lineare Funktion f(x) umkehrbar; die Umkehrfunktion ist y

1-+

g(y)

(mit a =I 0) ist uber ganz IR

= ~(y -

b), y

E

IR.

0

Beispiel 2. Die Gleichung y = x 2 (y 2: 0) hat i.a. zwei Losungen; deshalb ist die Quadratfunktion uber IR nicht umkehrbar. Uber IR+ = {x E IR ; x 2: O} hat sie aber die Umkehrfunktion gl (y) =.JY und uber IR_ = {x E IR ; x :s O} die 0 Umkehrfunktion g2(y):= -.JY. Wird die Umkehrfunktion durch explizites Aufiosen der Gleichung y = f(x) in der Form x = g(y) berechnet, ist zum SchluB zweckmaBigerweise x mit y zu vertauschen. Wir erhalten die iibliche Darstellung y = g(x), in der wir g mit anderen Funktionen, deren Argumente einheitlich mit x bezeichnet wurden, vergleichen oder kombinieren konnen. Vielfach schopft man aber die notigen Informationen uber die Umkehrfunktion g aus anderen Quellen (vgl. dazu den folgenden Satz), dann kann g die wichtige Rolle eines "Gleichungslosers" ubernehmen: y

= f(x)

===}

g(y)

(beidseitig g anwenden)

Satz 3.1. Hauptsatz iiber Umkehrfunktionen a) Existenz. I) Jede strikt monotone Funktion f: D

~

= g(f(x)) = x

.

IR ist umkehrbar.

=I 0

2) Jede iiber einem Intervall I stetig dijferenzierbare Funktion mit f' (x)

for aUe x

E

list (iiber I ) umkehrbar.

b) Der Graph. 1st f iiber D umkehrbar mit Umkehifunktion g : feD) dann liegen die Graphen y

= f(x),

y

= g(x)

~

symmetrisch zur Geraden y

IR,

= x.

c) Die Ableitung. Die Umkehifunktion g : f(I) ~ IR einer iiber einem Intervall I S; IR umkehrbaren und dijferenzierbaren Funktion fist in allen x E f(I) mit f' (g(x)) =I 0 dijferenzierbar und es gilt (3)

141

§3. Umkehrfunktionen

a1): 1st f auf D strikt monoton, dann folgt aus Xl < x2 sofort f(Xl) < f(X2) oder f(X2) < f(xj). Deshalb gibt es zu jedem y E feD) genau ein XED mit y = f(x). 2): Die Ableitung f' (x) ist uber I stets positiv oder stets negativ; andernfalls gabe es nach dem Zwischenwertsatz (---+ Kap. 2, Satz 6.5) eine Nullstelle. Demnach ist f strikt monoton (---+ Satz 2.3) und somit umkehrbar. b): Man beachte zunachst, daB im kartesischen (x, y)- Koordinatensystem ein Punkt (a, b) bei der Spiegelung an der 45°-Achse y = x in (b, a) ubergeht (---+ Abb. 88). Wird demnach der Graph G f = {(x, f(x)) ; xED} an Beweis.

dieser Achse gespiegelt, so entsteht {(f(x),x); xED} = {(y,g(y)); Y feD)} = G g •

y=x

E

c): Die Differenzierbarkeit von g ersieht man aus der Symmetrie der Graphen y = f(x), y = g(x). Beidseitige Differentiation der Identitat f(g(x)) = x (---+ (2)) ergibt mit der Kettenregel f'(g(x))g'(x) = 1 . D Abb. 88 - Umkehrfunktion

Beispiel. Die Funktion f(x) = x 5 +x (x E IR) hat eine uberall positive Ableitung f' (x) = 5x 4 + 1 ; sie ist demzufolge umkehrbar. Da die Gleichung x 5 + x = y mit "formalen" Manipulationen nicht nach x auflosbar ist, kann man vorerst

noch nicht viel uber die Umkehrfunktion g sagen. Immerhin kennt man nach (3) die Ableitung g'(x)

= 5g(x~4 + 1 '

damit auch g"(X), g"'(X), ... , was eine

Reihendarstellung von g ermoglicht (---+ Kap. 5).

D

3.2 n-te Wurzel, rationale Exponenten. Zu n

E IN betrachten wir die Potenzfunktion fn (x) =xn, x E IR. 1. Fall: n gerade, n = 2k. In diesem Fall ist fn nicht uber ganz IR umkehrbar, y = X2k = (-x )2k. Wegen f~ (x) > 0 fur x > 0, ist aber fn uber IR+ = {x E IR ; x 2: O} umkehrbar (---+ Satz 3.1). Demnach hat die Gleichung y = xn zu jedem y E f(IR+) = IR+ in IR+ genau eine Losung, sie heiBt n-te Wurzel von y, i.Z. x = VY. Es ist gn : IR+ ---+ IR+, gn(x) = Vi die Umkehrfunktion von fn : x t-+ xn uber IR+ . 2. Fall: n ungerade, n = 2k + 1. Mit einem ungeraden Exponenten n ist die Potenzfunktion uber ganz IR strikt monoton wachsend, f~ (x) = (2k + 1)X 2k > 0 fur x =I 0 (---+ Satz 2.3). Demnach ist zu jeder ungeraden Zahl n E IN die n-te Wurzel fur aIle x E IR erklart.

y=

n

r::

'IX {==}

n

Y =x

{x -> 0 , n

E

x E IR

,n

E

IN gerade IN ungerade .

142

3. Differentiation

Fur jede nichtnegative reelle Zahl x ::::: 0 ,jedes n

E

IN und m

E 7J.,

setzt man

(4) Damit ist nun die Potenzfunktion frx(x) := x" (x ::::: 0) fUr jeden rationalen Exponenten a E Q erklart. Zur Vermeidung von Fallunterscheidungen wird einheitlich der Definitionsbereich lR+ = {x E lR ; x ::::: O} festgelegt. Aus der Definition ergeben sich leicht die Potenzregeln (5)

(fur aIle x,Y::::: 0, a,{3 E Q). Fur einen beliebigen rationalen Exponenten a (6)

Q gilt die Ableitungsformel

(x> 0)

Beweis. Formel (3) mit f(x)

zuerst einmal :x<xft) =

~x'ff dx

E

= xn ,

g(x)

.1

= Vi = xn1

II = kxft-I. n(x n )n-I

zeigt (fur n

n

IN)

Mit der Kettenregel folgt nun

= ~(xft)m = m(xft)m-l . '!'xft-1 = m x'ff- 1 . dx

E

0

n

Beispiel. Die Funktion y(h)

= h(a 2 + h 2)-3/2,

(h ::::: 0) ,

gibt die Beleuchtungsstarke der Lampe B im Punkt A an. In welcher Rohe h ist B zu befestigen, damit es in A moglichst hell wird? Abb. 89 - Beleuchtungsstarke

Losung. Wegen y(O) = 0, y(h) ---+ 0 (fur h ---+ (0) und y(h) > 0 (h i 0) muG es zwischen h = 0 und h = 00 wenigstens eine Maximalstelle geben; diese ist nach 2.2 unter den stationaren Stellen zu suchen. besitzt fur h > 0 nur die Losung hi

-

= v2 ~,

y'(h)

= (aa: +- h~h:/2 =0 )

dies ist eine Maximalstelle.

0

3.3 Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens. Die Kreisfunktionen sin, cos und tan sind sicherlich nicht global (d.h. uber dem gesamten Definitionsbereich) umkehrbar. So hat etwa die Gleichung sin x = 0.5 unendlich viele Losungen Xk = ~ + 2krr, k = 0, ±1, ±2, .... Uber gewissen Teilintervallen sind sie aber strikt monoton und deshalb dort umkehrbar (---+ Satz 3.1).

143

§3. Umkehrfunktionen

G) Die Sinusfunktion ist iiber dem Grundintervall - ~ :::: x :::: ~ strikt monoton wachsend; die zugehorige Umkehrfunktion, definiert auf [-1, 1] mit Werten in

[-~, ~ ] ' heiSt Arcussinus-Funktion (i.Z. arcsin). Sie ist definiert durch arc sin : [-1, 1] y = arcsin x

~

[- ~,

sin y = x und

{=::}

~]

n n - -2 < - y < - -2 .

Der Graph y = arc sin x (-1 :::: x :::: 1) ergibt sich aus dem Sinusbogen y = sin x, - ~ :::: x :::: ~, durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x (~ Satz 3.1 und Abb. 90a). arc sin lost Gleichungen der Form y = sin x fiir x

E [ -

~, ~ ] nach x auf. So

erhalt man etwa aus dem Brechungsgesetz sin a = n sin fJ (mit dem Brechungsindex n) den Winkel a als Funktion von fJ in der Form a = arc sin(n sin fJ) • arc sm ist im offenen Intervall (-1, 1) differenzierbar. Es gilt d. -d arcsmx = x

(7)

1

y

~'

1 - x2

-1<x<1.

d. 1 Beweis. Formel (3) liefert zunachst dx arc sm x = cos( arc sin x) .

cos y

= )1 -

(sin y)2, falls

N' un 1st

~ < y :::: ~, daher ergibt sich (7) wegen

o

sin(arcsinx) = x.

Uber dem Intervall (2k - l)~ :::: x :::: (2k + l)~, k E ~, nennt man die Umkehrfunktion der Sinusfunktion den k-ten Zweig vom Arcussinus. arcsinkx: [-1,1] . arcsmk X

=

~ [(2k-1)~,(2k+1)~J

{kn + arcsinx kn - arcsin x

, falls k gerade, , falls k ungerade.

Solange keine Verwechslungen zu befiirchten sind, nennen wir den nullten Zweig des Arcussinus, den Hauptzweig oder Hauptwert, kurz "den" Arcussinus.

CD Die Cosinusfunktion

cos ist iiber jedem Intervall kn :::: x :::: (k + 1)n, k E ~ , strikt monoton und besitzt daber dort eine Umkehrfunktion, den k-ten Zweig vom Arcuscosinus. Den nullten Zweig, den Hauptzweig oder den Hauptwert, nennen wir kurz "den" Arcuscosinus. arccosx

=y

arccos: [-1, 1] ~ [O,n] {=::} x = cosy und 0:::: y :::: n

144

3. Differentiation

Die Ableitungsfonnel d dx arccosx =

(8)

v'1=X2

(-1 < x < 1)

findet man ganz analog wie (7). rr

'2

n:

-1 Abb. 90a y = arcsin x

Abb. 90b y = arccos x

Beispiel 1. Ein Schrank der Breite b und der Lange I solI durch eine Tur der Breite B in einen Gang der Breite L geschoben werden (l > B > L > b) . Der Winkel rp, bei dem sich der Schrank wie skizziert verkantet, ist L = arccos T'

Solange b :S B cos rp, d.h. bl:S B L gilt, gleitet der Schrank durch die Tur (---+ Aufg. 7). D rp

Abb. 91 - Verkanteter Schrank

Beispiel 2. Tschebyschev-Polynome. Aus den Additionstheoremen (---+ Kap. 2, §3) folgt fur aIle n E IN die Rekursion cos(n+1)y+cos(n-l)y = 2cosnycosy . Mit voIlstandiger Induktion zeigt man damit, daB es zu jedem n E IN ein Polynom Pn(x) vom Grad n gibt mit cos ny = Pn (cos y). Demnach ist (mit cos y = x fur y = arccos x ) Tn(x) := cos(n arccosx),

Ixl < 1 ,

ein Polynom in x vom Grad n. Mit den ublichen Differentiationsregeln und (8) bestatigt man leicht (x 2 - 1)T~'(X) +xT~(x) - n2Tn(X) = 0

fUr aIle x, Ix I < 1 .

Abb. 92 - Tschebyschev-Polynome

145

§3. Umkehrfunktionen

Die Poly nome Tn oszillieren auf dem Intervall [-1, 1] mit ihren Werten zwischen -1 und +1. Mit der Rekursion Tn+l (x) = 2xTn(x) - Tn-l (x) und To = 1 , Tl = x ergeben sich To(x) = 1 ; Tl(X)=X; T2(X) = 2x2 - 1

=4x 3 T4(X) = 8x 4 -

T3(X)

3x ; 8x 2 + 1 ;

o

Ts(x) = 16x s - 20x3 + 5x .

o Desgleichen besitzen die Tangens- und Cotangensfunktion tiber den offenen

Intervallen ((2k - 1)2' (2k + 1)2) bzw. (2b, (2k + I)IT) , k = 0, ±1, ±2, ... , jeweils eine Umkehrfunktion. Wir behandeln nur die Hauptwerte (k =0) . IT IT tan : (- 2' 2) -+ IR ist strikt monoton, also umkehrbar. Die Umkehrfunktion heiBt Arcustangens. IT

IT

IT

IT

arctan: IR -+ (-2' 2) arctanx

=y

Der Arcuscotangens arccot: IR d.h.

arccotx

tan y = x und

{=}

=y

-+

-

IT

2

< y <

IT

2 .

IR ist Umkehrfunktion von cot: (0,

arc cot : IR -+ (0, IT) cot Y = x und

{=}

°

< y < IT •

Die Ableitungen ergeben sich wieder aus (3): (9)

d -d arctan x x

1

= -1--2 +x

y

Abb. 93 y = arctan x

'

d 1 - arc cot x = - - dx 1 +x2

(x E IR).

y

Abb. 94 y = arccat x

IT) -+

IR,

146

3. Differentiation

Beispiel. Wir suchen denjenigen Punkt X = (x,O) mit x 2: 0, von dem aus die Strecke von (1, 1) nach (2, 2) unter maximalem Winkel cp erscheint. Aus cp = a - fJ , x-2 cota = -2-' cot fJ =x - 1 folgt cp

= cp(x) = arccot[(x -

y (1,1)

x

2)/2] - arccot(x -1).

x

Wegen cp(O) = cp( (0) = 0 und cp(x) 2: 0 existiert eine Maximalstelle xo, fi.ir die nach 2.1 cpl(XO) = 0 sein muB. · .. L" D Ie posItive osung Xo

=2

von

die gesuchte Maximalstelle. Von Jr maximalen Winkel cp(2) = "4 .

Abb. 95 - Maximales rp

0

1/2 1. = cp I() x = - 1 + (x _ 2)2 /4 + 1 + (x _ 1)2 1St Xo = (2, 0) aus erscheint die Strecke unter dem 0

Aufgaben 1. a) Fur die Umkehrfunktion g von f(x) = x 5 + x berechne man g'(O), ... ,g(4\O) . b) Man zeige, daB f(x) = tan x - x im Intervall (- ~, ~) umkehrbar ist und bestatige, daB Umkehrfunktion g(x) die Gleichung g'(x) = (g(x) +X)-2 erfiillt. 2. Man berechne die Ableitungen

.~

arc SIn

y ""1+"X2

x2 arc tan -r=:::;=== Jx 2 +x + 1

sin(2 arc tan x)

x~+arcsinx ,

arcsin(sin Ixl)

arctan x + arc cot x

3. Man stelle arcsinx und arccos(-x) a!s Funktion von arccosx dar. 4. Man differenziere und skizziere den Graphen von f(x) = arcsin

~2 l+x

g(x) = 2 arctan x

und driicke damit f(x) durch g(x) aus. 5. Wie viele verschiedene Werte nimmt die Funktion x+a F(x) = arctan x + arctan a - arctan 1 _ ax

fur ax =/1 an? Man berechne diese in Abhangigkeit von a. 6. Man diskutiere gemaB 2.5 die Funktion f(x), x a)

f(x)=arccosI9~xx21,

b)

E

lR,

f(x)=arctanl;~:I·

7. Ein geradlinig begrenzter Kanal der Breite 10 m miindet rechtwinklig in einen 5 m breiten Bach. Vom Kana! aus sollen Baumstamme in den Bach gefliiBt werden.

147

§3. Umkehrfunktionen

a) Man berechne die Lange £(cp) eines einzelnen Baumstammes (von vemachlassigbarer Dicke), der sich beim Winkel cp verkantet und skizziere £ = £(cp) fUr 0° < cp < 90° . Wie lang darf ein Stamm hochstens sein, ohne zu verkanten? b) Man berechne die Breite b(cp) eines 11 m langen FloBes, das sich beim Winkel cp verkantet und skizziere b = b( cp) fUr 0° ::: cp ::: 90°. Wie breit darf das FloB hochstens sein, ohne zu verkanten? Differenzierbarkeit von b(cp) beachten!

---

Erdachse

Aufg. 7

8.

Sonnenlicht

Aufg. 8

Ldngster Tag im Jahr. Man rechne nach: Bei Sommersonnenwende ist die Sonnenscheindauer in einem Ort mit der geographischen Breite iJ hochstens J(fJ) = 12[1 +

~arcsin(cotfJo

tanfJ)] Stunden, falls IfJl::: fJ o .

fJ o = 66°30' bezeichnet die geographische Breite des nordlichen Polarkreises.

9. Das skizzierte Schubkurbelgetriebe hat den Kurbelradius £ (£ > 2r). Man wahle M = (0, 0) und bestimme

r

und die Pleuellange

a) die Lage s des KreuzkopJes B als Funktion s = s(cp) ; b) den Winkel CPm, fUr den sich B in der Mitte der Ruhelagen Tl und T2 befindet, c) die Konstanten a,b,c derApproximation S(cp)=a+bcoscp+ccos2cp, so daB S(O) = s(O) , S'(O) = s'(O) , SI/(O) = sl/(O) , S(n) = s(n) ; d) die maximale Kreuzkopfgeschwindigkeit und die maximale Kreuzkopfbeschleunigung aus der Approximation s = S(cp). e) Fur r = 1, £ = 5 skizziere man S, S', SI/ und berechne das Maximum von Is - SI (Approximationsfehler).

B

148

3. Differentiation

o Der Regenbogen. M'It dem B rec hungsgesetz von 1.

S NELLIUS sina sin 8 = R ergl·b· t SIC h f"ur den Streuwinkel rp eines Lichtstrahls in einem Wassertropfchen mit kreisformigem Querschnitt rp

= 1(8) = 28 -

. sin 8 4arcslD( ~) .

Man rechne dies explizit nach! Man diskutiere die Funktionen 1(8) und 1'(8) fUr 0 ::s 8 ::s ~ und bestimme naherungsweise 80 mit 1'(80 ) = 0 fUr R = 1.331 (rotes Licht). (80 ist der Winkel mit starkster Streuintensitat, er bestimmt bei einem Regenbogen die Hohe tiber dem Erdboden.)

§ 4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion 4.1 Die e-Funktion. Eine in der Theorie und der Praxis gleichermaBen besonders wichtige Funktion ist die von L. EULER eingefuhrte Exponentialfunktion, kurz e-Funktion genannt (--i> Kap. 2, §5): eX := exp(x) := lim

n-+oo

(1 + ~)n n

(x E IR) .

Satz 4.1. Die wichtigsten Eigenschaften der e-Funktion a) Positivitiit. eO = 1, eX > 0 fiir alle x E IR. b) Die Ableitung. Die e-Funktion ist iiberall dijferenzierbar und es gilt (1)

(xc

lR).1

c) Charakterisierung durch eine Differentialgleichung. Jede auf einem Intervall I ~ IR dijferenzierbare Funktion, welche f' (x) = af(x) (x E I) eifiillt, ist von der Form f(x) = ce ax , mit einer Konstanten c E IR.

d) Die Funktionalgleichung der e-Funktion (X,YEIR), (XEIR)

Beweis. a): Aus der Definition sieht man sofort eO = 1 und eX :::: 0 fur aIle x. DaB tatsachlich eX > 0 gilt, fo1gt aus der Stetigkeit (Fo1gerung aus b)) und aus der Beziehung eX e -x = 1 (Sonderfall Y = -x in d)).

149

§4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion

b): Es ist naheliegend, (1) folgendermaBen zu beweisen: ddx eX

= ddX

lim (1 + ~n)n

n--->oo

= n--->oo lim dd X

(1 + ~)n n

= n--->oo lim (1 + ~)n-l = eX n

.

Das ist zwar richtig, es muB aber begrundet werden, daB im vorliegenden Fall die Grenzubergange dd und lim vertauscht werden durfen. Das ist nicht ganz x n---+oo einfach (--+ Kap. 5, §2). Wir beweisen (1) wie folgt: Nach dem Mittelwertsatz gibt es zu jedem n E IN ein ~n zwischen x und x + h , so daB gilt

Mit den Grenzwert-Regeln (--+ Kap. 2, Satz 5.1) folgt hieraus

Nehmen wir zunachst 0 < h < 1 an, also x hinreichend groBe n

woraus bei n --+

00

:s ~n :s x + h :s x + 1 , dann gilt fur

(mit dem soeben ermittelten Grenzwert)

entsteht. Hieraus erkennt man zuerst (nach Multip1ikation mit h) lim (e x+h

h-+O+

-

eX)

=0

und dann lim

h-+O+

-hI (e x+h -

eX)

= eX . Vollig analog verlauft die

1inksseitige Annaherung h --+ 0-. Damit ist (1) bewiesen. c): Aus (eXe- x )' = eXe-x - eXe- x = 0 f01gt eXe- x = Cl mit einer Konstanten Cl E lR (--+ Satz 2.3e), die sich leicht mit der Wahl x = 0 zu Cl = 1 bestimmen laBt. Also gilt (2)

Nun gehen wir aus von f mit f' = af und betrachten die Funktion g(x) := f(x)e- ax . Da g'(x) = f'(x)e- ax + f(x)(-ae aX ) = e-ax(f'(x) - af(x» = 0, folgt g(x) = f(x )e- ax = C mit einer Konstanten c, woraus mit (2) die Behauptung f(x) = ce"x folgt. d): Fur jedes y E lR erfullt f(x) := e X+Y die Bedingung f' = f. Deshalb gibt es (nach Teil c» eine Konstante c = c(y) mit e X +Y = c(y)e X fur aIle x. Die Wahl x =0 zeigt c(y) = e Y • 0

150

r

3. Differentiation

DaB es sich bei exp(x) Eulerzahl e

= lim

n~oo

(3)

= }i.~ (1

+~

l.)n = 2.71828 ... n

(1 +

= [expxY

exp(rx)

tatsachlich urn die x-te Potenz der handelt, folgt aus

(fur x

E

lR, r


E

Beweis. Aus der Funktionalgleichung (---+ Satz 4.1 d) erhalt man leicht mit vollstandiger Induktion exp(nx) = [expxr (n E IN) und damit expx =

exp(n~) = (exp ~ t, bzw.

exp( ~ x)

ex~x

exp(~) = (expx)ft. Fur

= (exp ~)m = (exp x)!ft.

m, n E IN folgt dann

Diese Beziehung zusammen mit exp( -x)

zeigt die Gultigkeit von (3) fur alle r

E


= 0

Der Sonderfall x = 1 in (3) zeigt, daB exp(r) = er die r-te Potenz der Zahl e = exp(1) ist. Fur eine beliebige Zahl x und jede Folge rationaler Zahlen rn ---+ x ergibt sich nun aufgrund der Stetigkeit der e-Funktion

= exp(x) = n---+oo lim exp(rn) = lim ern, n-+oo

eX

womit die Exponentialschreibweise nachtraglich gerechtfertigt ist.

4.2 Die Kurve y

=eX.

(---+ Abb. 96)

Die e-Funktion ist wegen (ex)' = eX > 0 uberall echt monoton wachsend (---+ Satz 2.3), ihr Graph linksgekrummt (---+ Satz 2.6). Ferner gilt a)

lim eX x~oo

(4)

b)

eX

lim n

x-+oo X

= 00

lim eX

,

= 00

x---+-oo

(n

E

=0

,

IN) .

Beweis. a): Fur x > 0 gilt (1 + ~ t : : 1 +x (---+ Bernoullische Ungleichung) fur aIle n E IN , also auch eX :::: 1 + x. Mit x ---+ 00 wachst eX uber aIle Grenzen. Die andere Behauptung folgt aus

lim eX = lim e- X = lim

x---+-oo

x-+oo

x-+oo

~.

e

b): Der Grenzwert (vom Typ ~) kann mit der L'Hospital-Regel (---+ Satz 2.9) bestimmt werden: .

eX xn

hm -

x~oo

. eX . eX =x~oo hm -n-1 = ... = hm - = 00 nx x~oo n!

o

.

Die Grenzwertformel (4b) besagt, daB die e-Funktion mit x ---+ anwachst als jede noch so hohe x-Potenz.

00

schneller

151

§4o Die Exponential- und Logarithmusfunktion

4.3 Exponentiell wachsende bzw. fallende Prozesse In zahlreichen Wachstums- oder Abnahmeprozessen aus der Natur, Technik und anderen Bereichen kann man - aufgrund entsprechender Hypothesen und Versuche - davon ausgehen, daB die den Prozess zur Zeit t beschreibende GroBe u(t) einer Differentialgleichung der Form it(t) = au(t) genugt, welche besagt, daB die Wachstumsgeschwindigkeit (oder Abnahmegeschwindigkeit, falls a < 0) it(t) = duet) I h Vierhool ~ stets 1m g elc en a tlllS zur 0

0

y =exp x

0

-1 Abbo 96 -

vorhandenen "Menge" u(t) steht.

y = eX

N ach Satz 4.1 c) verlauft jeder derartige Prozess "exponentiell", d.h. es gilt u(t) = ce Qt mit einer Konstanten c, die man in der Regel mit t = 0 (sonst t = to) zu c = u(O) bestimmt. Beispiel 1. Radioaktiver Zerfall. Aufgrund von Beobachtungen geht man davon aus, daB fur N(t) Atome eines zerfallenden Stoffes die Anzahl l!,.N der Zerfalle in einem kleinen Zeitintervall l!,.t gegeben ist durch l!,.N = -kN M . Mit der (vemunftigen) Annahme, daB die Funktion N differenzierbar ist, ergibt sich hieraus N(t) = -kN(t) (k > 0 ist die - yom Material abhangige Zerfallskonstante.) Satz 4.1 c) fuhrt sofort zum Zerfallsgesetz 0

N(t)

= N(O)e- kt

Die Halbwertszeit T ist definiert durch N(T) e kT

=2

0

0

= ~N(O),

Mit der Logarithmusfunktion heiBt dies: T

=

d.h.

i In 2 .

1

= 2' bzw. D

Beispiel 2. Das Newtonsche Abkiihlungsgesetz. Eine Substanz der Temperatur T(t) wird in ein Medium der Temperatur U(t) eingetaucht. Fur die Temperaturdifferenz pet) := T(t) - U(t) fand I. Newton (in zahlreichen Versuchen)

~~

= "AP. ("Die Abkuhlungsgeschwindigkeit ist proportional zur Temperatur-

= P(O)e At , bzw. T(t) = (T(O) - U(O))e At + U(t)

differenzo") Folglich gilt pet)

D

0

Beispiel 3. Exponentielle Sattigung. Aus dem Ohmschen Gesetz ergibt sich fur die Strom starke let) beim Einschalten eines Gleichstroms die Beziehung L dl + lR dt

mit dem Anfangswert 1(0)

=0

0

=E

Fur die Funktion u(t):= l(t) -

E R gilt dann

152

3. Differentiation

it(t) = i(t) =

i-

fI(t) = -fu(t). Damit ist u(t) =

= ~(l- e-~t)

I(t)

u(O)e-~t

und

.

D

4.4 Der natiirliche Logarithmus. Da die e-Funktion uber lR strikt monoton

= (0,00)

wachst, besitzt sie eine auf exp(lR) natiirlichen Logarithmus In.

[ In: (0,00) -+ lR,

y

definierte Umkehrfunktion, den

= Inx

{=}

eY

= x.

[

Insbesondere gilt (-+ §3 (2» In(e X)

(5)

=x

fur aIle x

E

lR;

elnx

=x

fUr aile x > 0 .

Die Graphen y = In x, y = eX Iiegen symmetrisch zu y = x (-+ Satz 3.1). Aus der Definition und der Abb. 97 Iiest man sofort ab: In 1 = 0, In x < 0, falls 0 < x < 1 , In x > 0, falls x > 1 , In ist echt monoton wachsend, lim lnx = 00, x->oo

= -00, Graph y = In x

lim lnx

X->O+

der oben. Ferner gilt:

x

ist konvex von Abb. 97 - y = In x

Satz 4.2. a) Die In-Funktion ist iiberall dijferenzierbar; fiir alle x > 0 gilt d 1 dx lnx = :x

(6)

b) Die Funktionalgleichung der In -Funktion

Iln(XY)=lnx+ln y

In

x

y = In x

- In y

(x, Y > 0). I

Beweis. a): Die Differentiationsregel (3) aus § 3 ergibt in diesem Fall

~ Inx =

1 = 1 = 1 exp'(lnx) exp(lnx) x' b): Fur x, y E (0,00) sei u := Inx, v := In y, dann gilt x = eU dx

,

y = eV und

In(xy) = In(eUe V ) = In(e u +V ) = u + v = lnx + Iny. Der Sonderfall x =

In

1

y = -In y.

y1

zeigt D

153

§4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion

Die In-Funktion wachst mit x -+ n-te Wurzelfunktion, denn es gilt

wesentlich schwacher gegen

00

Inx · I1m -= 0

x-+oo

'!fi

00

ais jede

'

was man leicht mit der L'HospitaI-Regei nachweisen kann. Beispiel 1. Fur die Zerfallskonstante k und die Reichweite R von a- TeiJchen gilt das Gesetz von GEIGER und NUTTAL:

Ink = a + bIn R

(mit gewissen Konstanten a, b) .

Aus kT = In 2 (-+ 4.3) folgt In k + In T = In(kT) = In(ln 2) und damit eine Beziehung In(ln 2) = a + bIn R + In T zwischen Reichweite und Halbwertszeit. 0 Beispiel 2. Das psychophysische Grundgesetz von WEBER und FECHNER. Ein Reiz der Intensitat R verursacht eine Empfindung der Intensitat E(R).

Versuche ergeben /)..E = a /)..RR mit einer Konstanten a.

/)..R -+ 0 fuhrt auf

~~ = a . ~ ,

also auf E(R) = a In R + c (-+ (6) und §2 (2». Als Reizschwelle bezeichnet man den Wert Ro mit E(Ro) = 0 und E(R) > 0 falls R > Ro. Damit ergibt sich c = -a In Ro und E(R)

= a In R -a In Ro = a In

:0 .

Das lang-

same Anwachsen der In-Funktion verlangt in Bereichen hoher Intensitat eine ganz erhebliche Anderung von R, urn E(R) merklich zu beeinfiussen. 0

4.5 Allgemeine Exponentialfonktionen ond Logarithmen. Sei a > O. Die Formel (ex)' = erx (-+ (3» mit x = In a ergibt a r = erlna fur jede rationale Zahl T E
I

(7)

a X := e x1na , (a > 0).

I

Man nennt x t--J>- aX (x E lR) die Exponentialfunktion ZUT Basis a. Samtliche Eigenschaften dieser Funktion Ieitet man aus der Definition (7) und den Eigenschaften der In-Funktion und der e-Funktion her. Insbesondere aX = lim a rn fur jede Folge rationaler Zahlen

Tn

aXa Y = ax+Y ;

(8)

(abY

= aX In a

= aXbx

;

(ax)Y

= a XY

;

(X,YElR, a,b>O);

In(aX)=xIna

d _ax dx

n--+oo

-+ x. Ferner:

'

(x E lR, a > 0) .

Fur jede reelle Zahl a E lR ist nach (7) die Potenzfunktion f(x) = xO< = eO< Inx fur aIle x > 0 definiert. Mit (1), (6) und der Kettenregel berechnen wir die Ableitung: f' (x) = eO< Inx ~ = axo<-I . Damit ist endlich die Differentiationsregel

154

3. Differentiation

~(xo:) = axo:- I

(9)

dx

fur aIle a

E

IR bewiesen.

Beispiel 1. Das PorssoN-Gasgesetz. Experimentell stellt man fest, daB zwischen dem Druck P und dem Volumen V eines Gases bei einem reversiblen

adiabatischen Prozess die Beziehung

°

~ + y ~:

=

° besteht (mit einer vom

Gas abhangigen Konstanten y). Nach Division durch ~t --7 wird daraus

°= !!... + P

Es folgt In(pVY) =

C,

V

Y-

V

d

d

dt

dt

~t

und Grenzubergang

= - (In P + Y In V) = - In(p V Y) .

bzw. p(t)V(t)y = C (= eC , konstant).

o

Beispiel 2. Die allgemeine Hohenformel ) y - 1 Po P = Po ( 1 - - - - gh y Po

Y~I

beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Druck p und der Hohe h in einem gasgefullten Behalter. Uns interessiert der Grenzwert y --7 1 (Annaherung an ein ideales Gas). Mit x := ~1 und a := - Po gh wird dieser Grenzubergang in p

aY = Po x--..oo lim (1 + -x

y -

Po

beschrieben. Mit der L'Hospital-Regel finden wir

lim x In(1 + ~) = a und damit lim (1 + ~ Y = lim eX In(l +a/x) = ea . Demzufolge x x---+oo X x---+oo geht mit y --7 1 die allgemeine Hohenformel in die barometrische Hohenformel

x---+oo

p

= poe - f!I; g huber.

0

°

Zu jeder Basis a > ist die Exponentialfunktion f(x) =aX = exlna umkehrbar, denn zu jedem Y E f(IR) = (0, 00) ist die Gleichung y = exlna eindeutig nach x aufiosbar: x = ~~~ . Nach Vertauschung von x mit y (--7 3.1) ergibt sich die explizite Form der Umkehrfunktion loga - sie heiBt Logarithmus zur Basis a (10)

loga x =

lnx

-1- ,

na

x E (0,00),

aus der man sofort die Rechenregeln abliest

(--7

Satz 4.2):

d 1 -Iogax = -1- . dx x na

Beachte. Wegen aX = eX In a steht hinter jeder allgemeinen Exponentialfunktion die e-Funktion, und hinter jedem allgemeinen Logarithmus loga der naturliche Logarithmus In. Auch so kompliziert aussehende Funktionen wie etwa

§4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion

155

h(x) = f(x)g(x) (aIle f(x) > 0) sind einfache Kompositionen aus f, g, exp und In: h(x) = eg(x)lnf(x).

4.6 Die Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh. Die Funktionen sinus hyperbolieus, eosin us hyperbolicus und tangens hyperbolicus sind fur aIle x E 1R definiert durch

(11)

. eX - e- X smh x := 2 eX + e- x coshx := 2 eX - e- X sinh x tanh x := - - = - - cosh x eX + e- X

Diese recht einfachen Kombinationen aus eX und e- x haben ihrer praktischen Bedeutung wegen einen eigenen Namen bekommen. Beispiel. Ein homogenes, nur durch das Eigengewicht belastetes Seil hat die Form einer Kettenlinie x-b y(x) = a cosh(-a-) + e .

Hierin sind a, b, c konstant, a > 0 (-+ Aufg. 7 und Band 2).

D

Abb. 98 - Hyperbelfunktionen

In den Rechenregein besteht eine Analogie zu den Kreisfunktionen. Mit (11) und den Rechenregein fur die e-Funktion verifiziert man leicht a) sinh(-x)= -sinh(x) , cosh(-x) = coshx , (12)

b) sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y , cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y , c) cosh 2 X

-

sinh 2 x = 1 .

Aus der Formel (12 c) erklart sich der Zusatz "hyperbolicus" im Namen. Ein Punkt mit den kartesischen Koordinaten x = cosh t, Y = sinh t Iiegt auf der Hyperbel x 2 - y2 = 1. Auch die Differentiation dieser "Hyperbelfunktionen" bereitet keine Muhe:

156

3. Differentiation

sinh' x = cosh x, cosh' x = sinh x, tanh' x =

(13)

Beispiel 1. Ftir die Kettenlinie gilt y"

1

2

cosh x

=aJl+Y'2.

Beispiel 2. Ein Fallschirmspringer hat nach

7

t

D

Sekunden den Fallweg s(t) =

2

In(cosh ~~) zurtickgelegt. Seine Gesehwindigkeit ist v(t) = s = Vo tanh Wegen lim tanh t = 1 gilt lim v(t) = Vo . Das Bewegungsgesetz lautet

~~ .

t-+co

(--7-00

D

Die Funktion sinh ist tiber lR echt monoton wachsend, also umkehrbar. Die Umkehrfunktion wird mit arsinh bezeiehnet und area sinus hyperbolicus genannt. Der hyperbolisehe cosinus ist sowohl tiber [0,00) als aueh tiber (-00,0] umkehrbar (aber nieht tiber ganz lR). Wegen der Symmetrie gentigt es, die zu dem "Zweig" tiber [0,00) geharende Umkehrfunktion zu untersuehen, sie heiBt area cosinus hyperbolicus (i.Z. areosh). Die expliziten Darstellungen arsinhx arcoshx

(14)

= In(x + H+l) ,

=In(x + Jx2=1) ,

-00 < x < 00

1:s x < 00

dieser Funktionen gewinnt man durch Aufiasen der Gleiehungen y bzw. --+

y

=

eX + e- X

3.1): Aus y

2

=

= eX - 2 e-

X

- - - - 00 - - -

nach x (mit an schlie Bender Vertausehung von x und y

eX - e- X

2

folgt die quadratische Gleiehung (eXi - 2ye X-1

=0

ftir eX, somit eX = y +.JY2+1. Die zweite formale Lasung der quadratischen Gleiehung ist wegen eX > 0 sinnlos. Es folgt x = arsinh y = In(y +.JY2+1) . Die andere Gleiehung in (14) folgt analog. Die Umkehrfunktion des hyperbolisehen Tangens artanhx

1

= "2 In

l+x

I-x

(-1 < x < 1)

spielt in den Anwendungen keine so groBe Rolle. Mit (14), (6) und der Kettenregel bereehnet man die Ableitung:

(15)

dd arsinh x = X

d

-d

X

arcoshx

=

Jx2+1

x2 + 1

1

~

vx 2

-

1

(x E lR) ,

(x > 1) .

157

§4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion

Die elementaren Funktionen und ihre Ableitungen

/'

/

ax Cl -

XCi

Bemerkungen 1

sinx

cosx

cosx

- sinx 1 cos 2 x 1 - sin 2 x 1

tan x

--

cotx arcsin x arccosx arctan x arc cot x

-

E 7l.,

E 7l.,

Ixl < 1 Ixl < 1

v"f=X2

1 I +x2 1 --I +x2 --

aX

aX Ina

In Ixl

-

loga x

--

sinhx

coshx

coshx

sinh x

arcoshx

x =j. kn, k

1

eX

arsinhx

n x =j.(2k+ 1)2' k

v"f=X2

eX

tanh x

Def. Bereich abh. von a

aX

1

loga x

lnx = -1-' na

1 COSh2 x 1

Jx2+T 1

v'?-=1

a>O

x =j. 0

x

1 x Ina

= ex1na ,

x> 1

x,a > 0

158

3. Differentiation

Aufgaben 1. Man diskutiere gemaB 2.5 die Funktionen f(x) , x E lR, f(x) = x 4 e x f(x)=x x

f(x) = In

,

,

f(x) = In(e 3X + eX - I) f(x) = earetan x 3

Ix - Jx2=11 ,

f(x) =

Xl/x

f(x) =

1. In II + 5x 33 I

f(x)

2

=I

,

1- 5x

e ax + eax

2. Man bestimme die Grenzwerte

~Il

lim x 2 [ln(1 + -xl) -

x+

x----++oo

r

sinh x

x1~oo eoshx

. eax _ e bx . eax _ e bx hm ---::---:;lim eX - I x----++oo eX - 1 Saubere Fallunterseheidung hinsiehtlieh a, b! x-+o

lim (1.)'

lim xl/(l-x)

X----+O+ X

x----+1

'

lim (e(Jx _ hX)I/x

lim(eosx)l/x2

x-+o

x-+oo

lim (2a + x)' x-++oo a + x

II m ( - - - - ) . x-+o x 2 sinh 2 x

.

I

I

3. Man zeige, daB die von A.EINSTEIN eingefUhrte Funktion strikt monoton fallt:

x> 0 . 4. Man bereehne die Ableitung von f(x) fur

5.

Die Strahlungsdichte eines sehwarzen Strahlers ist naeh M.PLANCK

( T: Temperatur in 0 K; A WeIlenlange in em; A konstant) Man bestimme die globalen Maximalstellen Am (fur festes T) und die Konstante K des Versehiebungsgesetzes von WIEN Am' T = K . Wie graB ist Am bei Sonnentemperatur T = 6.000° K ? (Hilfe: Setze x =

Al.:~ m

und wende das Newton-Verfahren an.)

6. a) Man verbessere die Naherung Xo = 0.6 fUr die Lasung der Gleichung f(x) = x . eX - I = 0 dureh einen Newton-Sehritt. b) Man begriinde, warum es mit dem Newton-Verfahren besser ist, die Gleiehung in der Form g(x) = x - e- x = 0 zu Jasen. (Hilfe: Betrachte die Quotienten I f' und gil I g' ) Wie lautet in diesem FaIle das rekursive Bildungsgesetz Xn+l = r(x n ) fur die Folge der Naherungswerte des Verfahrens ?

r

159

§4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion

7. Hangt ein Seil nur unter der Last seines Gewichtes G, so beschreibt es eine Kettenlinie: y(x) = b

X + C) + a cosh ( -a,

s

a> O.

Die Spannkraft S ist in jedem Punkt des Seiles tangential gerichtet, ihre Horizontalkomponente ist liber die gesamte Lange e des Seiles hinweg konstant: H = a .

AI-_ _~

f.

a) Man rechne nach: y(x) genligt der Differentialgleichung ay" = ~ . b) Ein Seil, 100 N/m schwer, soll zwischen den Punkten A (0 m, 100 m) und B(300m, 192.Sm) hangen, so daB es in A horizontal einmlindet. Man ermittle die drei Bestimmungsgleichungen flir a, b, c, lose nach a auf und bestatige:

~ = 3~0

erflillt die Gleichung 1 +

~;g ~ = cosh ~

Diese Gleichung ist mit dem Newton-Verfahren zu lasen! Wie groB sind somit die Spannkrafte in A und B? Bestimme daraus das Gewicht G und schlieBlich die notige Seilliinge S. Man bestatige flir a, b > 0 die Beziehungen Ina X

x = -1Inb = Ina e . In x, nb a

e.

x > O.

Als Diimpfungsmaj3 zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung eines elektrischen Schaltkreises definiert man die Einheit Dezibel (dB)

U2

a = 20· InlO U j

•

In welchem

Verhaltnis stehen U j und U2 , wenn a = 3, 6, 20, 40 oder 60 dB ? 1

9. Man drlicke die maglichen Umkehrfunktionen von y = sechx := - - durch die cosh x In-Funktion aus und skizziere sie. 10. Als (linear) gediimpfte Schwingung bezeichnet man flir a > 0 g(x) = e- ax

.

Xc:: 0 .

sin(wx + cp),

Man bestimme Nullstellen, Extrema und Wendepunkte von g(x). Fi.ir welche x beriihrt g(x) die Kurven y = ±e-ax ? Man skizziere die Graphen y = g(x), y = e- ax flir a = w = 1 , 't' rn = ~ 4·

,

y = _e- ax

1= I(U)

= Is· (e U/ UT

-

1),

1_ _I

o

11. Bei einer Silizium-Gleichrichterdiode Typ IN4001 gilt zwischen Spannung U und Stromstarke I die Beziehung -100V < U < 1.5V

~I

0

u

I

:s SA

Bei T = 25°C ist UT = 47m V und Is = 30nA . Skizziere die Kennlinie im (U,I)-Koordinatensystem. Wie nimmt die Spannung U zu, wenn sich der Strom 1 verzehnfacht ? Berechne den Gleichstromwiderstand R r

= ~~

bei 1 = 2A.

=~

und den differentiellen Widerstand

160

3. Differentiation

12. Wachstumsgesetze (-+ 4.3). Man bestatige: a) 1st T die Zeit, in der sich N(t) jeweils verdoppelt, so gilt fiir unbeschranktes N(t) = N(0)2 t / T

exponentielles Wachstum:

N(t) N(t)

und

In2

T

b) Besitzt N(t) eine Sattigungsgrenze Noo := lim N(t) und wachst das Verhaltnis t->co

"besetzter zu freier Lebensraum" Nco~t~(t) exponentiell mit der Verdoppelungszeit T, so gilt das logistische Gesetz: N(t) = N(O)i/ T

Nco Nco + N(0)(2 t / T - 1)

und

N(t) = In2(1_ N(t») N(t) T Nco

Fiir 0 < N(t) < iNoo ist N(t) > 0, fiir ~Noo < N(t) < Noo ist N(t) < 0 (beschleunigtes bzw. gebremstes Wachstum). Jahr

1970

Mrd. Menschen

3.632

c) Erdbeviilkerung:

1st zwischen 1850 und 1950 das Modell a) mit T R:j 100 Jahren akzeptabel? Ab 1950 nimmt man Modell b) mit T = 28 Jahren. Was ergibt sich fiir N oo ? 13. TSCHEBYSCHEV-Polynome (-+ 3.3, Bsp. 2) lassen sich auf ganz lR, fortsetzen:

T. (x) ._ n

.-

{COS (n

arccosx) cosh (n arcosh x)

, falls 0 ::: x ::: 1 ' , f aII s 1 < x

n = 0, 1, 2, . .. .

a) Man bestimme aile n Nullstellen Xk und aile n + 1 Extremstellen in Ix I ::: 1 (k = 0, 1, 2, ... n ) und lese die Alternanteneigenschaft ab: Tn(~k+l)

=

-Tn(~k),

~k

von Tn (x)

k = 0,1, ... , n - 1.

b) Mit cosncp = ~(einl" + e-inl"), cosh ncp = i(enl" + e-nl") und der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion (-+ 4.1) bestatige man Tn+I(X) Tn (x)

=2x Tn(x) -

= H(x +

Tn-l(x)

(Rekursionsfonnel)

Jx2=1r + Jx2=1n· (x -

c) Tschebyschev-Polynome treten bei Tschebyschev-Filtern der Elektrotechnik im Nenner der Ubertragungsfunktion auf:

U212

1U

1

1 + E2 (w) = fn(w) := 1 + E2Tn2(w) .

Man bestimme mittels b) die explizite Darstellung sowie die Extremstellen von f4(W) (gleichmaBige Welligkeit in 0::: w ::: 1 , steiler Abfall fiir w > 1 ).

1

Aufg. 12 -

Logistische Funktion

Aufg. 13 -

Funktion !4(W)

w

Kapitel4

Integration Mit der Integration last man das Umkehrproblem, aus der Ableitung I' die urspriingliche Funktion I zu rekonstruieren. Die wesentliche, zur Lasung fiihrende Idee stammt aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (-+ Kap. 3, §2): Zu jeder Zerlegung a = Xo < XI < ... < Xn-I < Xn = X des Intervalls [a, x], auf dem I differenzierbar ist, gibt es Zwischenpunkte ~i E [Xi-I, Xi] , so daB gilt I(Xi) - I(Xi-l) = 1'(~i)(Xi -

Xi-I)

(i = 1,2, ... , n) .

Summation dieser Gleichungen ergibt n

I(x) - I(xo)

=L

1'(~i)(Xi - Xi-I) .

i=I

Da man die ~i nicht kennt, ersetzt man sie durch beliebige Zwischenpunkte aus [Xi-I, X;], und erreicht so bei hinreichend feiner Zerlegung des Grundintervalls [a, x] durch die entsprechende Summe eine gute Approximation von I(x) - I(xo). Es wird sich zeigen, daB der auf diesen Ideen beruhende Integralbegriff das geeignete Mittel ist zur Berechnung von BogenHingen, Flachen- und Rauminhalten, Arbeit, Potentialen, Momenten, magnetischem FluB , Zirkulation und vielem anderen.

§ 1. Das bestimmte Integral 1.1 Die Definition des bestimmten Integrals. Sei I eine auf dem Intervall

[a, b] definierte, beschrankte Funktion, die an hachstens endlich vielen Stellen nicht stetig ist (derartige Funktionen nennt man stiickweise stetig). Durch Einfiigen von n - 1 Teilpunkten

a

= Xo

<

Xl

< ... < Xn-l < Xn

=b

wird [a, b] in n Teilintervalle [Xi-I, x;] zerlegt, sodann wird in jedem Teilintervall irgendein Zwischenpunkt ~i mit Xi-l :'S ~i :'S Xi ausgewahlt und schlieBlich die Summe

Y

n

(1)

Zn :=

L 1(~i)(Xi -

xi-d

i=I

x Abb. 99 - Riemann-Summe

berechnet. Man nennt Zn eine Zwischensumme oder Riemannsche Summe von I (nach B. RIEMANN, 1826-1866). K. Meyberg et al., Höhere Mathematik 1 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

162

4. Integration

Man kann zeigen, daB lim Zn existiert, sofem nur die maximale Intervallbreite n--> 00

der einzelnen Unterteilungen mit n -+ 00 gegen Null. strebt. AuBerdem ist dieser Grenzwert unabhangig davon, wie die Teilpunkte und die Zwischenpunkte gewahlt werden. Der fur aIle derartigen Teilungsfolgen gemeinsame Grenzwert wird mit I(x) dx bezeichnet und heiBt das bestimmte Integral von I iiber [a, b] , die Randpunkte heiBen Integrationsgrenzen.

f:

(2)

Urn die Konvergenz der FoIge (Zn)n::::l einzusehen, setzen wir vereinfachend I als stetig voraus und eine Folge immer feiner werdender Unterteilungen von [a, b], in der die (n + l)-te Unterteilung aus der n-ten durch Hinzunahme weiterer Teilpunkte entsteht. Hierzu bilden wir fur n = 1, 2, 3, . .. mit mi := Minimum von I auf [Xi-I, x;] ,

y

Mi := Maximum von I auf [Xi-I, Xi] ,

die Untersummen n

Sn :=

L mi(xi -

Xi-I) ,

x

i=1

und die Obersummen

y

n

Sn :=

L Mi(Xi -

Xi-I) .

i=1

Mit globalem Minimum m und globalem Maximum M von I auf [a, b] gilt m ::::; mi ::::; I(~;) ::::; Mi ::::; M und somit (3)

x Abb. 100 - Unter- und Obersummen

m(b - a) ::::; Sn ::::; Zn ::::; Sn ::::; M(b - a) .

Man sieht leicht, daB die Folge (Sn)n::::l der Untersummen monoton wachst und die Folge der Obersummen (Sn)n::::1 monoton fallt. Weil beide Folgen beschrankt sind (-+ (3)), konvergieren sie (-+ Monotonie-Kriterium, Kap. 2, Satz 5.4). Aufgrund der Stetigkeit von I gilt fur beliebig kleines E > 0 die Abschatzung o : : ; Mi - mi ::::; E fur aIle i , sobald nur samtIiche Teilintervalle hinreichend klein sind (-+ Kap. 2, Satz 6.Sd). Damit sieht man Sn - Sn -+ 0 (mit n -+ 00) und es folgt lim Sn = lim Sn . Mit dem Vergleichskriterium (-+ Kap. 2, Satz 6.2) folgt n~oo

n~oo

lim Sn

n~oo

Beachte: Das bestimmte Integral

= lim

n-7-OO

lb

Zn

= lim

n----*OQ

Sn .

I(x) dx ist eine Zahl!

163

§ I. Das bestimmte Integral

Die "lntegrationsvariab1e" kann be1iebig bezeichnet werden:

lb

f(x)dx

=

lb

f(t)dt

=

lb

f(u)du .

Zur Vermeidung von Fallunterscheidungen setzt man

r f(x)dx := 0; Ja

l

a

f(x)dx:= -

b

[b f(x)dx, falls

Ja

a < b .

1.2 Die geometrische Deutung 1) 1st f uber [a, b] stetig, f(x):::: 0 fur alle x

E

n

sche Summe Zn

=L

[a, b] , dann ist die Riemann-

f(~i)(Xi -Xi-I) eine Summe von Rechteckftachen, die den

i=1

F1acheninhalt I des von der Kurve y = f(x), der x-Achse und den Geraden X = a, x = b begrenzten Flachenstucks approximiert. Je feiner die Zerlegung ist, um so genauer ist die Approximation. Also gilt (-+ (2))

(4)

1

=

lb

y f(x)dx .

Y= f (x)

(Genau genommen wird hierdurch erst der Flacheninhalt definiert.) 2) Verlauft die Kurve y = f(x) ganz unterhalb der x-Achse ( f(x) :s 0 fur aIle x E [a, b]), kann man mit (4) den entsprechenden Flacheninhalt berechnen: 1=

lb -

f(x)dx

=

-lb

f(x)dx;

x Y= -f (x) Abb. 10 1 - Flacheninhalt mit Formel (4)

d.h.

Ib

f(x)dx

= -1

.

3) Begrenzt y = f(x) Flachenstucke oberhalb und unterhalb der x-Achse, dann ist f(x) dx die Summe der mit einem Vorzeichen versehenen Flacheninhalte; ,,+" fur die oberhalb der x-Achse liegenden Teile, ,,-" fur die unterhalb der x-Achse liegenden Teile. y

f:

x Abb. 102 - Flache zwischen y = 0 und y = f(x) , mit Vorzeichen

164

4. Integration

D

Beispiel 3. Fur die in der Abb. 103 skizzierte stuckweise lineare Funktion f gilt

1

4f (X)dx=-lt+h-h=-h=-I.

D

~2

y=x

~Y=C ~ --.I'--~'-"--'-+-b---x Y

y~, x

Abb. 103

~

Zu den Beispielen I, 2 und 3

1.3 Elementare Integrationsregeln und der Mittelwertsatz. Samtliche betrachteten Funktionen seien auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stuckweise stetig. Aus (2) ergeben sich direkt die folgenden Regeln: b

[a f (x)+fJg(x)]dx=a ib f(x)dx+fJ i bg (X)dX

(5)

I

(6)

ib f(x)dx = i

(7)

f(x) :::: g(x) (a:::: x:::: b)

c

f(x)dx

+ lb f(x)dx (a:::: =}

c:::: b)

(a,fJEIR); ;

Ib f(x)dx :::: Ib g(x)dx . a

a

Satz 1.1. Integralabschiitzungen. 1st die Funktion f stetig aUf [a, b], so gilt (8)

m :::: f(x) :::: M

(a:::: x :::: b)

lib

(9)

f(x)dx

=}

I:::: i

m(b - a):::: ib f(x)dx :::: M(b - a) ;

b1f (X)ldX (a:::: b).

Beweis. (8) folgt aus (7) und der bekannten Formel fc~ c dx = c(b - a) . Zu (9): Fur aIle x gilt -If(x)1 :::: f(x) :::: If(x)l, daher folgt mit (7) die If(x)1 dx :::: f(x)dx :::: If(x)1 dx. D Ungleichung -

1:

1:

1:

165

§ 1. Das bestimmte Integral

Es folgt eine fur die weitere Theorie wichtige Anwendung. Satz 1.2. Mittelwertsatz der Integralrechnung Sind die Funktionen I, gaul [a, b] stetig, g(x) 2': 0 for al!e x gibt es wenigstens eine Stelle ~ E [a, b] mit

lb

I(x )g(x) dx = I(n

lb

E

[a, b], dann

g(x) dx .

Beweis. Mit dem Minimum m und dem Maximum M von I auf [a, b] gilt mg(x) ::::: I(x)g(x) ::::: Mg(x) und damit m g(x)dx ::::: I(x)g(x)dx :::::

f:

f:

1:

f:

1:

M g(x) dx. Deshalb ist I(x )g(x) dx darstellbar in der Form e g(x) dx , mit einer Zahl e zwischen m und M, zu der es nach dem Zwischenwertsatz (---+ Kap. 2, Satz 6.5c) wenigstens eine Stelle ~ E [a, b] gibt mit e = I(~). 0

Der Spezialfall g(x) = 1 zeigt

lb

(10)

I(x)dx =

I(~)(b -

a) mit geeignetem

~ E [a, b] .

Beispiel. Die spezifische Warme e eines Korpers hangt von seiner Temperatur Tab, e = e(T). Unter der mittleren spezifischen Warme im Temperaturbereich 1 Tl ::::: T ::::: T2 versteht man das Integralmittel c:= T _ T 2

nach (10) an wenigstens einer Stelle T

em.

E

1

IT2 e(T) dT , welches TJ

[Tl, T2] "angenommen" wird;

c= 0

1.4 Differentiation nnd Integration. Der in der Ein1eitung zu diesem Kapite1 skizzierte Weg, aus I = F' die Funktion F zu konstruieren, fiihrt auch zu einer einfachen Methode, bestimmte Integrale auszuwerten. Definition. Man nennt eine auf dem Interval! I dif.{erenzierbare Funktion F eine Stammfunktion von I, wenn F'(x) = I(x) for al!e x E I gilt. Satz 1.3. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 1st I eine aul dem Interval! I stetige Funktion, a, bEl, dann gilt: a) Existenz von Stammfunktionen. Die durch Fa(x):=

l

x

I(t)dt

(x

E

1)

definierte Integralfunktion ist eine Stammlunktion von I; d.h.

(11)

:x

(l

x

I(t)dt) = I(x).

Jede andere Stammlunktion von I hat die Form F(x)

= Fa (x ) + e,

c E IR.

166

4. Integration

b) Integralberechnung. Mit einer beliebigen Stammfunktion F von f gilt (12)

Ih f(x)dx

=F(x) 1::= F(b) -

F(a).

Beweis. a): Aus (6) und (10) folgt Fa(x+h)-Fa(x)

= Ix+hf(t)dt-Ixf(t)dt =

mit einer Zahl

~h,

die mit h

F~(x) =

lim

h~O

~

x h + f(t) dt =

-hI [Fa(x +h) - Fa(x)]

= IX

f(~h)h

0 gegen x strebt. Deshalb gilt

Jede weitere Funktion F mit F' F(x) = Fa (x) + c mit c E IlL b): Nach Teil a) gilt F(x)

l

=f

=

F~

= lim f(~h) = f(x). h~O

hat nach Kap. 3, § 2 (2) die Form

f(t)dt+c fur x

bzw. IX f(t)dt = F(x) - F(a) fur alle x

E

E

I. Mit x

=a

folgt F(a)

= c,

I, insbesondere fur x = b.

0

Berechnung des bestimmten Integrals. Ih f(x )dx I. Schritt:

Man bestimmt eine Stammfunktion F von f (Probe: F'(x) = f(x))'

2. Schritt:

Man berechnet Ih f(x)dx

=F(x) 1:= F(b) -

F(a).

Wir befassen uns im folgenden mit den Methoden, zur stetigen Funktion f eine Stammfunktion explizit zu ermitteln. Definition. Die Menge aZZer Stammfunktionen von f wird mit net und heiflt unbestimmtes Integral von f.

J f(x) dx

bezeich-

J f(x) dx besteht nach Teil a) des Hauptsatzes aus allen Funktionen der Form F(x) + c mit c E IR und einer (festen) Stammfunktion F von f. Man schreibt dafur f(x) dx = F(x) + c. DefinitionsgemaB gilt

J

(13)

!

f(x)dx

= F(x)+c

Aus jeder Differentiationsformel F'

-<===> F'(x) = f(x).

= fist demnach sofort das unbestimmte

167

§ I. Das bestimmte Integral

Integral von f abzulesen; so findet man zunachst die folgenden Grundintegrale. Die Differentiationsformeln entnehmen wir Kap. 3.

F(x)

F'(x) = f(x)

1 x n+l --

xn

n+1

J J J} J J J J J J ~ J J J J Jv'l+X2 =In(x+~) 1 0-=11 J

Bemerkg.

f(x)dx =F(x)+c

xn dx = _l_xn+!

n+1

+c

n =t-1

dx = In tx t + c

In txt - cosx

sinx

sinx

cosx

tan x

cos 2 X

cotx

- sin 2 x

arcsin x

lln 1 +x 2 1- x

1- x2

1 ax 7i e

cos x dx = sin x + c

_1_ dX =tanx+c

x

cos 2 x

_1- dx = - cot x + c sin 2 x dx

= arcsin x + c

dx 1 +X2

= arctan x + c

dx 1 - x2

=

2

=t (2k + l)n x

sinh x

sinh x

cosh x

In(x+~)

=t2kn

txt < 1

In 1 + x + c 1- x

txt < 1

eax dx

coshx

=to

sin x dx = - cos x + c

~

arctan x

x

a

=to

sinhxdx = cosh x + c

cosh x dx = sinh x + c

+c

dx

dx = In x + V x· .JX2=]""

I

+c

txt> 1

mM Beispiel 1. Die von der Gravitationskraft K(x) = Y-2- langs [a, b] geleistete x

Arbeit betragt A

r

= Ja

K(x)dx

[b

= ymM Ja

dx x2

1 b

1

= ymM(-i) la= ymM(-(j -

1

b) .

0

168

4. Integration

Beispiel 2.

I :x b

a

1

dx

Ibl = In Ibl -In lal = In raT '

vorausgesetzt, [a, b] enthiilt nieht den Nullpunkt. Insbesondere ergibt sieh so die Integraldarstellung der In-Funktion:

f

x

=

Inx

dt

(x > 0) .

D

= -eosx 1~/2= 1 .

D

T

1

Beispiel 3. ["/2

10

I

b

sinxdx

d

-1 x 2 = arc tan b - arc tan a . Speziell erhiilt man die Integraldar+x stellung des Areustangens:

Beispiel 4.

a

f x

aretanx =

dt

1 + t2

(x E JR.) .

D

o

Aufgaben 1. a) Man berechne F'(x) und FI/(x) von F(x) =

l ~dt, x

-1::s x ::s 1.

b) Mit einfachen Unter- und Obersummen bestiitige man 0.496 < F(0.5) < 0.500;

0.733 < F(J) < 1.00 .

2. Man berechne die Integra1e durch Rationa1machen des Nenners

11

f 2x2~+4dx, I

0

X

dx

yX+.JX+T

3. Man bestiitige flir zweima1 stetig differenzierbares f(x)

Ib

xj"(x)dx = bf'(b) - feb) + f(a) - af'(a) .

4. Fur a, f3 : [a, b] -+ [a, b] differenzierbar und f auf [a, b] stetig berechne man (J(x)

:x

(f

f(t)dt)

a(x)

5. Was ist fa1sch an

1 2

-I

dx x2

= _ .lI2 =1.? X

-I

2'

169

§2. Integrationsregeln

6. Man berechne mit Polynomdivision

f

X + 1 x- 2 dx,

X2 -

7. (FaBregel von J. KEPLER, 1571-1630) Man bestatige, daB der Flacheninhalt S des Bereiches, der von der x-Achse, den Geraden x = a und x = b und der kubischen Parabel Y = p(x) =ax 3 + fJx 2 + yx + 8 begrenzt wird, gegeben ist durch

b-a S = -6-(YO + 4YI + Y2) , wenn Yo

= p(a),

YI

a+b = P(-2-)

und Y2

8. Man diskutiere die Kurve Y = F(x) =

= pCb) .

1 x

t(t - l)e- t2 dt .

y

9. Ein biegeweiches Seil nimmt bei einer spezifischen Langenbelastung q(x) die Form der Seilkurve y(x) = c

1(1" x

x

q(t) dt) du

an. Man berechne die Seilkurve a) fiir eine Hiingebriicke mit konstantem q(x) = qo , b) fiir die Kettenlinie (Seil unter Eigenlast) q (x) = cosh x , c) f"

() ur q x

= {ql q2

,O:s x :s 1 ,1 < x ,q I

=I q2·

§ 2. Integrationsregeln Die 3 Regeln der Differentiation (Linearitat, Produktregel und Kettenregel) ergeben mit § 1 (13) Regeln zur Berechnung unbestimmter Integrale.

= f(x) , G'(x) = g(x) folgt fur aIle a, b E lR af(x)+bg(x) =aF'(x)+bG'(x) = (aF(x)+bG(x))'. Das bedeutet fUr das Integral j(af(x) + bg(x))dx = aF(x) + bG(x) + c; man schreibt dafur

2.1 Linearitat. Aus F'(x)

f (af(x) + bg(x))dx

(1)

= af

f(x)dx + b f g(x)dx .

Beispiel. f(anxn+ ... +alx+ao)dx=an f xndx+···+al f xdx+ao f dx an n+l al 2 = n + 1x + ... + 2 x + aOx + c .

D

170

4. Integration

2.2 Partielle Integration. Fur je zwei auf einem Intervall I stetig differenzierbare Funktionen u, v ist uv wegen (uv)' = u'v+uv' eine Stammfunktion von u'v+uv'. Nach §1 (13) bedeutet das u(x)v(x)+c = j(u'(x)v(x) + u(x)v'(x))dx = j u'(x)v(x)dx + j u(x)v'(x)dx, bzw.

f

(2)

u'(x)v(x)dx

= u(x)v(x)

f

-

u(x)v'(x)dx .

Fur das bestimmte Integral lautet die entsprechende Formel

lab u'(x)v(x)dx

(3)

= u(x)v(x)

I: - j

u(x)v'(x)dx .

a

Die Berechnung eines Integrals mit Formel (2) bzw. (3) nennt man partielle Integration. Sie gestattet, Integrale der Form j f(x )g(x) dx mit dem Ansatz f(x) = u' (x), g(x) = v(x) auf das oft leichter berechenbare Integral j u(x )v' (x) dx zurUckzufiihren. Beispiel 1.

f

xe x dx

= xe x -

f

eX dx

= (x -

l)e X + c ;

o

(Ansatz: u'(x)=e x , v(x)=x; u(x)=e x , v'(x)=l) Beispiel 2.

f

x 2 sinxdx = _x 2 cosx +2

f

x cosx dx ,

(Ansatz: u'(x)=sinx, v(x)=x 2 ; u(x)=-cosx, v'(x)=2x)

f

insgesamt:

x cos x dx

f

= x sin x

f

sin x dx

= x sin x + cos x + c ;

x 2 sin x dx = _x 2 cosx + 2x sinx + 2cosx + c .

Beispiel 3.

f

-

eax sin bx dx =

~eax sin bx -

=

~eax sin bx -

*f *[~eax

eax cos bx dx

cos bx +

*f

eax sin bx dX] , (a

o

¥ 0) .

Zweimalige partielle Integration (beide Male mit u'(x) = e ax ) fuhrt wieder zum gleichen Integral, jedoch auf der rechten Seite mit einem anderen Faktor als auf

171

§2. Integrationsregeln

der linken Seite. Man kann deshalb die Gleichung nach dem gesuchten Integral aufiosen und erhiilt

f

e

ax . (b ) d _ ae ax sin(bx) - be ax cos(bx) sm x x 2 b +C a + 2

.

So ist beispielsweise im Zeitintervall 0 :S t :S]( das Integra1mittel der Auslenkung eines nach yet) = e- 3t sin 2t schwingenden Punktes

r

-=! ()d = e- 3 f(-3Sin2t-2coS2t)I Jr =~(1- -3Jr) y ]( 10 y t t 13]( 0 13]( e .

0

Beispiel 4. Mit dem Ansatz u'(x) = 1 erhiilt man

speziell

f

f

v(x)dx =xv(x) -

f

lnx dx

arcsin x dx

f

=x lnx =x

xv'(x)dx ;

x +c ,

arcsin x + ~ + c .

o

Beispiel 5. Bei Integralen der Form Sn := An := En :=

1 b

1b 1b

(SinX t dx ,

en :=

xn sinx dx ,

Bn :=

xnexdx ,

Ln :=

1b 1b 1b

(cosxtdx , xn cosx dx , (lnxtdx

liefert die sich anbietende partielle Integration jeweils eine Rekursionsformel. Wir erliiutem das am Beispiel

r/

Sn := 10

2

Aus der Definition liest man sofort So partielle Integration (mit u'(x) Sn(x)

= sinx,

r/

2

= 0, 1,2, ... )

.

= ~, Sl = 1 abo Fiir vex) = (sinxt- 1 )

r/

= -(cosx)(sinxt- 1 1~/2 + 10 = (n - 1) 10

(n

(sinxtdx

2

n ::0: 2 ergibt eine

(n - 1)(cosx)2(sinxt- 2dx

(1- (sinx)2)(sinx)n- 2dx = (n - 1)(Sn-2 - Sn) .

Das bedeutet Sn

n-1 = -n-Sn-2

(n ::0: 2) .

172

4. Integration

Aus dieser Rekursionsformel ergibt sich

Sn

n-l n-l n-3 = -nSn - 2 = -n- . n _ 2 Sn-4 =

n-ln-3n-5 . . IT ----2--4Sn-6' etc., schheBhch (wegen So = -2 ' SI = 1) fur gerades n, n n - nn =2k,

= (2k -

1)(2k - 3) .. ·3 . 1 . !!.2k(2k - 2) .. ·4 . 2 2

S2k

und fur ungerades n, n = 2k + 1 , 2k(2k - 2) .. ·4 . 2 S2k+1 = (2k + 1)(2k - 1) ... 5.3 . 1 . Bemerkung. Aus diesen beiden Formeln folgt eine interessante bereits 1656 von J. WALLIS angegebene Darstellung der Kreiszahl IT.

Wegen 0 ~ sinx ~ 1 im Intervall [0, ~] gilt dort (sinx)2k+1 ~ (sinx)2k ~ (sinx)2k-1

(k

= 1,2,3, ... )

und damit S2k+1 ~

S2k

~ S2k-l, bzw.

S2k-1 1 < S2k --<-- S2k+1 - S2k+1 Hierin werden die oben berechneten Werte fur die Sn eingetragen. Nach einfa.. (2k - 1)(2k - 3) ... 3 . 1 2 IT 2k + 1 cher Umformung erhalt man 1 ~ (2k+ 1)[ 2k(2k _ 2) ... 4.2 ] 2' ~ ~ . Mit dem Vergleichskriterium (-+ Kap. 2, Satz 6.2) folgt

!!.- _ lim _1_ [ 2·4 .... 2k ]2 2 -

k--+oo

2k + 1 -::03 -.5~·.-.(-;::;2:-:-k---l:;-C-)

.

2.3 Die Substitutionsmethode. Aus der Kettenregel :xF(g(x)) = F'(g(x))g'(x) folgt mit §I(l3) und F'(x)

(4)

/

= f(x)

f(g(x))g'(x)dx

= F(g(x)) + c.

Fur das bestimmte Integral erhiilt man damit

(5)

Ib

g(b)

f(g(x))g'(x)dx = F(g(b)) - F(g(a)) = /

f(t)dt.

g(a)

Es gibt zwei Versionen der Substitutionsmethode; beide haben das Ziel, Integrale mit Hilfe von (4) bzw. (5) auszuwerten.

173

§2. Integrationsregeln

f

1. Version: Berechnung von

J(g(x))g'(x)dx.

1. Schritt: Substitution g(x) = t und g'(x)dx = dt.

2. Schritt: Berechnung der Stammfunktion

J J(t) dt = F(t) + c .

3. Schritt: Rucksubstitution t = g(x), F(t) = F(g(x)). Insgesamt:

f

f

J(g(x ))g'(x) dx =

J(t) dt = F(t) + c = F(g(x)) + c .

Beispiel 1.

f ~g?dX= f~t =lnltl+c=lnlg(x)l+c

(6)

(fur jede stetig differenzierbare Funktion g ohne Nullstellen). Beispiel 2.

f

Beispiel 3.

(In;)2 dx =

f

t 2 dt =

e sinx cosx dx =

Beispiel 4.

f

f

f

~t3 +c = ~(lnx)3 +c.

cp)k dx

t dt

Fur jede ganze Zah1 k

i

D

e t dt = e t + c = esinx + c .

kf sin(kx + = kf sin = - kcos

sin(kx + cp) dx =

D

(k

i

D

0)

t +c = -

kcos(kx +

cp) + c .

0 fo1gt damit (oder bereits direkt aus (5))

fo2Tl

sin(kx+cp)dx =0

mit den beiden Spezia1fallen (cp = 0, cp = -n)

(7)

[2Tl

10

sin(kx) dx = 0,

[2Tl

10

cos(kx) dx = 0

(k

i

0, ganz) .

174

4. Integration

Aus den trigonometrischen Identitaten sinmx sinnx =

Kap. 2, §3(5))

(~

~[cos(m -

n)x - cos(m +n)x] ,

sinmx cosnx

= ~[sin(m +n)x + sin(m -

n)x] ,

cosmx cosnx

1 = 2"[cos(m +n)x + cos(m -

n)x]

folgen nun mit (7) die wichtigen Orthogonalitiitsrelationen der Sinus- und Cosinusfunktion: Fur ganze Zahlen m, n 2: 0 gilt

1 =1

10r2rc sinmx sinnx dx =

(Sa)

10r

2rc

(Sb)

0

~

, falls m = n , falls min , falls m = n

=0 i

, falls m =n 2rr , falls min ~ , falls m = n

cosmx cosnxdx

10r2rc sinmx cosnx dx =0 .

(Sc)

0

=0 i

0

o

2. Version: Berechnung von 1. Schritt: Substitution x

f

f(x)dx.

= g(t) ,

dx

= g'(t)dt

umkehrbaren Funktion g.

f

2. Schritt: Berechnung

3. Schritt: Aufiosung x

f

Beispiell.

F(x) =

f

f(g(t))g'(t) dt

= H(t) + c .

= get)

nach t, d.h. t

= h(x) , dann ist

f(x)dx

= H(h(x))+c.

e3x

-2--1 dx eX -

1. Schritt: Die Substitution x

= In t,

dx

= } dt

2. Schritt: Die Integralberechnung:

f t/~

mit einer geeigneten,

1 dt =

f(

1 + t2

= t + 2"1 In

~ 1) =

fuhrt auf F(ln t)

f f

I tt -+ 11 I +c

dt +

t2

=

d~ 1 dt

(~ Tabelle) .

f

t 2 t~ 1 dt.

175

§ 2. Integrationsregeln

3. Schritt: Die Riicksubstitution t = eX bringt F(x)=e x + F(x) =

Beispiel 2.

f ~dx

1

2 Inl (Ixl

~

eX - 1 e X +ll+c.

o

1).

1. Schritt: Die Substitution x = sint, dx = costdt (-~ ~ x ~ ~) fiihrt auf

F(sin t) = 2. Schritt:

f

fJ

1 - sin 2 t cos t dt =

cos 2 t dt

f

cos 2 t dt (cos t :::: 0 iiber

= !(t + sin t cos t) + c

[-~, ~])

.

(---+ Aufgabe 1)

3. Schritt: Die Riicksubstitution t = arc sin x fiihrt auf F(x) =

f ~dx

= !(arcsinx

+x~)+c.

Hinweis. Zur Berechnung eines bestimmten Integrals

li3

o

f(x) dx mit der Sub-

stitutionsmethode ist es haufig giinstiger, direkt von (5) in der Form

li3

f(x)dx

=

lb

f(g(t))g'(t)dt

= F(g(t))

I:

auszugehen, wobei a, b aus a = g(a), fJ = g(b) zu bestimmen sind. Durch die im I.Schritt ebenfalls vorzunehmende Substitution der Grenzen (a durch a, fJ durch b) erspart man sich die Riicksubstitution.

- 10r

Beispiel.

I _

1

dx (l +x2)2 .

Die Substitution x = tan t, dx o = tan 0, 1 = tan '4n: ) ergeben 1=

1~ o

n:

ili

cos 2 t(1 +

. Sill

= _1_2dt cos t

2

2

t)

und die neuen Grenzen 0,

1 = 1~ cos 2 t dt = 2(t + sintcost)

cos 2 t

~4

(mit

1~/4

0

1

o

= 8+4'

2.4 Symmetrien beachten. Haufig lassen sich bestimmte Integrale leichter auswerten, wenn Symmetrie-Eigenschaften des Integranden erkannt und beriicksichtigt werden. Fiir eine gerade Funktion f mit f( - x) = f(x) gilt

f

a

-a

f(x)dx

=2 t

10

f(x)dx ,

176

4. Integration

i:

und fur eine ungerade Funktion g mit g( -x) = - g(x) gilt g(x)dx = 0,

gl -x) =-glx) Abb. 104b - Ungerade Symmetrie

Abb. l04a - Gerade Symmetrie

was man sofort aufgrund der geometrischen Deutung (-+ 1.2) einsieht, aber auch mittels der Substitution x = -t, dx = -dt leicht bestatigen kann. Beispiele.

I

lC I 2

-lC/2

cos x dx

=2

IolC/2

cos x dx

0

=2 ;

1

5 (sinhx)dx

-5

=0 .

D

2.5 Ausblicke. Man sagt, "die Differentiation gehort zum Handwerk, die Integration zur Kunst".

Die Ableitung einer Funktion, die sich aus den bisher behandelten "elementaren" Funktionen zusammensetzt, kann man mit den bekannten Regeln direkt berechnen. Anders verhalt es sich bei der Integration. Man kann zwar mit geschickten Ansatzen und zum Teil "trickreichen" Substitutionen neben den Grundintegralen noch zahlreiche weitere Integrale berechnen (-+ §3); doch sehr viele Integranden widersetzen sich allen Tricks, sie besitzen (nachweislich) keine aus den elementaren Funktionen zusammengesetzte Stammfunktion. In diesen Fallen liefert das

= IX

Integral F(x)

f(t)dt neue, noch nicht erfaBte Funktionen. Dazu gehoren

etwa (-+ §7 und Kap. 5, §5): a) Der Integralsinus · := SIX

lox -tsint d t o

Wegen lim sin t = 1 ist der Integrand bei 1-+0

t

b) Die Fehleifunktion <})(x):=

r

2 0i 10

2

e- I dt

(0::::: x < 00) . t =

0 durch 1 zu ersetzen.

(0::::: x < 00) .

177

§2. Integrationsregeln

c) Die elliptischen Integrate und deren Umkehrfunktionen (die elliptischen Funktionen). F (x, k) :=

r

---,==d=t====:0;= Jl-k 2 sin2t

10

(O::ex < (0)

::e x

(0

::e k 2

Fur die Konstante kist 0

< (0)

< 1 vorausgesetzt.

Aufgaben 1. Man berechne durch partielle Integration

f sin 2 xdx

f cos 2 xdx

und gebe je eine Rekursionsformel fUr f sinn xdx ,

2. Man berechne die Integrale

1" fb f

cos(3t - 5) dt ,

3. Es sei E n :=

11

f cos n xdx .

1"

cosx d _" 5 + sin 2 x x,

f x 2 cosxdx ,

dX ,

sin2x d 3 + sin 2 x x,

f

dx

.Jf=X2 arc sin x

xne x dx, n = 0,1,2, ...

a) Man berechne Eo, E 1 , E2 und stelle En rekursiv durch E n- 1 dar. b) Mit einem Taschenrechner berechne man damit E 16

1st dieser Wert zuverliissig?

•

c) Man zeige: Die Folge der En fiillt monoton und es gilt e e n + 2 < En < n + 1 . d) Man setze E 25 = 0, berechne daraus tiber die Rekursionsformel riickwiirts E 16 mit einem Taschenrechner (Riickwiirtsrekursion). 4. a) Man bestiitige tiber das Symmetrieverhalten der Funktion (x - ~)f(sinx):

1"

b) Mit der Substitution t = If

xf(sinx)dx =

-

~

1" 1"

x berechne man

f(sinx)dx

o

5. a) Man berechne mittels partieller Integration (u'(x)

f~dX,

f~dX'

1

x sinx 2 dx. + cos x

= 1)

f~dX

178

4. Integration

b) Man berechne den Flacheninhalt F der schraffierten Sektoren als Funktion von x und stelle x als Funktion von F dar. (Interpretation von "area" bei arcosh x )

6. Eine zweistufige Rakete fur kleine Satelliten hat die Kenndaten: Leermasse

Treibstoffmasse

Verbrauch

Schubkraft

1. Stufe

5000kg

125000kg

1000kg/s

2.45 . 106 N

2. Stufe

2000kg

16000kg

80kg/s

2.48 . 105 N

F

Die Rakete wird vertikal gestartet; ist der Treibstoff der 1. Stufe verbraucht, so wird deren Hulle abgestoBen. Setzt man vereinfachend g = 9, 81 m/s2 (unabhangig von der Hahe) fur den Flug konstant, so gilt fiir die Beschleunigung der Rakete

.. F h(t) = vet) = bet) = met) - g . a) Bestimme die Funktion met) (= Gesamtmasse zur Zeit t). b) Welche Geschwindigkeit v hat die Rakete 125 s bzw. 325 s nach dem Start? c) Welche Hahe h wird nach 125 s bzw. 325 s erreicht? d) Skizziere m(t), b(t), vet) und h(t) fiir 0 S t

s

325 s .

7. Mittels partieller Integration rechne man fiir die LEGENDRE-Polynome (-+ Kap. 2, §2, Aufg. 11, Kap. 3, §1, Aufg. 5) Pn(x)

= 2}n! ::n (x 2 -

n=O,I,2, ...

1)"

die Orthogonalitatsrelation nach

t

i-I

Pn(x)Pm(x)dx =

{~

, n -=I m 2n+l,n=m

8. Fiir einen Wechselstrom J(t) mit der Periode T definiert man drei Mittelwerte:

iT ~ iT iT (-f1

Effektivwert

Jeff :=

Integralmittel

1 :=

Gleichrichtwert

III := T1

Berechne die drei Mittelwerte

0

2

J (t) dt)

J(t)dt

0

IJ(t)1 dt .

1/2

179

§3. Die Integration der rationalen Funktionen

a) fur den sinusformigen Strom l(t) = 10 sin 2;t , b) fUr den "Siigezahn" -Strom: c) fur den "Batterie-Ladestrom" 1

. 2rrt

let) = maxi 0, "R(IUo sm

mit U B und

1

T

=

14V, U o

TI -

= 20V,

R

U B )}

= 0.5Q

= 50hz.

9. a) Mit der Substitution cos x = cos 2 rp bestatige man

1

"/2

o

b) Man substituiere sin t

=cos 2 1jr

2 rn mit k2 = 1:. 2' sinx = cos .,..

d

~

yCOSX

=

v2F(~2 ' /Iii)

.

und zeige

.

c) Man substituiere x = sin t und bestatige

§ 3. Die Integration der rationalen Funktionen 3.1 Die Partialbruchzerlegung. Fur die Integration einer echt gebrochen rationalen Funktion ist deren Zerlegung in eine Summe sogenannter Partialbruche (oder Stammbriiche) wichtig. Wir gehen aus von einer rationalen Funktion f(x)

= :i;~

mit Polynomen p(x), q(x) ohne gemeinsamen Polynomfaktor

(~ Kap. 2, §2), Grad p(x) < Grad q(x), und erstellen die Partialbruchzerlegung wie folgt: 1. Schritt: Die Produktdarstellung von q(x) herstellen.

q(x)

= c(x -

bl)kl (x - b2)k2 ... (x - b r )kr ql (x )/1 ... qs(x )1.,

mit den paarweise verschiedenen reellen Nullstellen bi der Vielfachheit ki und verschieden quadratischen Polynomen qj(x), die in 1R keine Nullstelle besitzen (~ Kap. 2, Satz 2.3). 2. Schritt:

Der Partialbruchansatz.

Die zu jedem Linearfaktor x - b von q (x) (b E {b 1, ... , br }) der Vielfachheit k und zu jedem quadratischen Faktor Q E {q\, ... , qs} der Vielfachheit 1 gebilde-

180

4. Integration

ten Funktionen der Form Al

x-b BIX + C I Q(x)

(mit Koeffizienten Ai, B j , C j tialbruchansatz wird nun

E

:~~ ~

(x - b)2

(X-b)k'

B2X + C2 Q(x)2

B1x+CI Q(x)l

:~~ ~

1R.) nennt man Partialbriiche von

. 1m Par-

als Summe all dieser Partialbruche mit noch un-

bekannten Koeffizienten Ai, B j, C j dargestellt. (Die Existenz der Partialbruchzerlegung wird mit Mitteln der Funktionentheorie gezeigt werden, ~ Bd. 2.) 3. Schritt: Koeffizientenberechnung (Einsetzmethode, KoeJfizientenvergleich).

Man multipliziert die Ansatzgleichung mit q(x) und erh1ilt auf beiden Seiten ein Polynom. Nun ergeben sich Bestimmungsgleichungen fur die Unbekannten Ai, B j, C j, . .. des Partialbruchansatzes durch Gleichsetzen der Koeffizienten entsprechender x -Potenzen links und rechts (~ Kap. 2, Satz 2.1) oder durch Einsetzen spezieller x -Werte (etwa x =bl, b2, ... ). Beispiel 1. Fur f(x)

= (x x_

2 +x + 1 . 1)3(x _ 2) lautet der Partlalbruchansatz

AI A2 A3 B f(x) = x-I + (x - 1)2 + (x - 1)3 + X - 2

Geweils nur bis zu der Potenz, mit welcher der entsprechende Faktor im Nenner vorkommt). Multiplikation mit dem Nennerpolynom (x - 1)3(x - 2) fuhrt auf x 2 + x + 1 = Al (x - 1)2(x - 2) + A2(X - l)(x - 2) + A3(X - 2) + B(x - 1)3 . Einsetzmethode: Die speziellen Werte x = I, x = 2, x = 3, x = 0 ergeben die Bestimmungsgleichungen 3 = -A3, 7 = B, 13 = 4AI + 2A2 + A3 + 8B , 1=-2AI+2A2-2A3-B. Darausfolgt AI=-7, A2=-6, A3=-3, B=7, x 2 +x + I -:-(x-----:-l-:-;)3;-:"(x----=2::-:-)

7

= - x---l -

6

3

7

(x - 1)2 - (x - 1)3 + x---2 .

KoeJfizientenvergleich: Zuerst wird die rechte Seite obiger Gleichung nach fallen-

den x -Potenzen geordnet. x 2 + x + I =(AI + B)x 3 + (-4AI + A2 - 3B)x 2 + (SAl - 3A2 + A3 + 3B)x +(-2AI +2A2 - 2A3 - B).

Der Koeffizientenvergleich ergibt Al +B = 0, -4AI +A2-3B A3 + 3B = I, -2AI + 2A2 - 2A3 - B = I . Beispiel 2. Der Partialbruchansatz fur f(x)

= (x _

x+l 1)2(x2 + 1)3

= I,

SAI-3A2+ D

181

§3. Die Integration der rationalen Funktionen

lautet

f (x)

Al A2 =- + (x-I? x-I

+

BIX+Cl B2X+C2 B3X+C3 + 2 + --=",------7x 2 +1 (x +I? (x 2 +1)3

Nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom (x - 1)2(x 2 + 1)3 entsteht die Polynomgleichung x + 1 =AI(x - 1)(x 2 + 1)3 + A2(x 2 + 1)3 + (Blx + Cr)(x - 1)2(x 2 + 1)2 + (B2X + C2)(X - 1)2(x 2 + 1) + (B3X + C3)(X - 1)2 ,

aus der man durch Einsetzen spezieller x -Werte (x = 1,2,0, ... ) oder iiber einen Koeffizientenvergleich die Ai, B j, C j bestimmt. Man erhiilt

1. (

x +1 = 2 __ 5 _ + 5x + 3 + 6x + 2 + 4x - 4) 0 (x-I)2(x 2 +1)3 8 (x-I? x-I x 2 +1 (x 2 +I? (x 2 +1)3 .

Bemerkung: Hiiufig fiihrt eine Kombination aus Einsetzmethode und Koeffizientenvergleich am schnellsten zum Ziel.

3.2 Die Integration einer gebrochen rationalen Funktion R(x) geschieht in mehreren Schritten: 1. Schritt: Mittels Polynomdivision (-+ Kap. 2, §2) wird R(x) dargestellt in der Form R(x) = g(x) + p(x) q(x)

mit dem ganzen Polynomanteil g(x), den Polynomen p(x), q(x) ohne gemeinsamen Polynomfaktor und Grad p(x) < Grad q(x). Falls p = 0 , kann sofort integriert werden, sonst geht es weiter mit dem 2. Schritt: Die Partialbruchzerlegung von

~i~ ~

erstellen (-+ 3.1).

3. Schritt: Die Integration des ganzen Anteils g(x) (miihelos, -+ 2.1) und der Partialbriiche; dieses geschieht mit den folgenden Formeln, die man durch Differenzieren bestiitigen kann. (1) (2)

f~= f x-a

In Ix

- al + c

dx 1 1 (k > 1) . (x - a)k = - k - 1 (x _ a)k-I + c

In den Formeln (3)-(6) wird p2 - 4q < 0, in (5) und (6) k > 1 vorausgesetzt. (3)

(4) (5)

f f f

dx 2 x + px + q

=

ax + b 2 dx x + px + q

2 J4q - p2

arctan

2x + P +c J4q _ p2

= -2a In Ix 2 + px + q I + (b -

ap

-2)

f

dx x + px + q

-,20----

dx 2x + P (x 2 + px + q)k - (k - 1)(4q - p2)(x 2 + px + q)k-I 2(2k - 3) + (k -1)(4q - p2)

f

dx (x 2 + px +q)k-l

182

!

(6)

4. Integration

ax +b dx (x 2 + px + q)k

=_

a 2(k - 1)(x 2 + px + q)k-l

+(b- ap 2

)!

dx (x 2 + px +q)k

Die Rekursionsforme1 (5) ist gegebenenfalls mehrfach anzuwenden, bis das quadratische Polynom im Nenner nur noch einfach vorkommt. 4. Schritt: Das Integral ! R(x) dx als Summe der Teilintegrale darstellen.

Beispiel. R(x)

=

3x 5 - 2x4 + 4x 3 + 4x 2 - 7x + 6 (x _ 1)2(x2 + 1)2

1. Schritt entfiillt, da Ziihlergrad < Nennergrad und weder x - I noch x 2 + 1 gekiirzt werden kann. 2. Schritt: Die Partialbruchzerlegung ergibt

1 2 2x+l 4 R(x) = x-I + (x - 1)2 + x 2 + 1 + (x 2 + 1)2 3. Schritt: Die Integration der Partialbriiche.

! !

!

!

x

~ 1 = In Ix -

11 + c ,

2dx 2 (x - 1)2 = - x-I + c ,

~~ : ~ dx = ! 4dx (x2+1)2

x 22: 1 dx + ! x:: 1 2x

= x 2 +1

+2

!

dx x 2 +1

= In Ix 2 + 11 + arctan x + c , 2x

= x 2 +1

+2arctanx+c.

4. Schritt:

!

2 ~ 2 R(x)dx=-x_l + x 2 +1 +lnlx-ll+1nlx +11+3arctanx+c.

Ein 5. Schritt, zur Probe die rechte Seite zu differenzieren, beruhigt das Gemiit!

o

Erganzung: 1m folgenden geben wir elmge weitere Funktionstypen an, deren Integration mit einer passenden Substitution ebenfalls auf diesem Wege durchfiihrbar ist.

3.3 Die Integration von R(e X). In einem Integral der Form! R(eax)dx mit einer rationalen Funktion R fiihrt die Substitution e ax dx = ;t dt, aUf! R(eQX)dx = ! R(t) ;t dt.

= t,

d.h.

x

= -a1 In t '

183

§3. Die Integration der rationalen Funktionen

Beispiel.

f __

dx___ = eX+e X

f _I_I} t+T

3.4 Die Integration von R (x,

dt

= arctan t + e = arctan eX + e

V~~ : ~),

ae - be

.

=I O. Mit

D

R(x, y) solI

ein rationaler Ausdruck in x und y bezeichnet werden; d.h. R(x, y) entsteht aus x, y und Konstanten alIein durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. R(x, f(x)) bedeutet, daB y in R(x, y) durch f(x) ersetzt wurde. Ein Integral vom Typ Substl'tutl'on t

f

R (x,

V~~ : ~) dx

(mit ae - be

= Vax +b d h = etk - b ex + e' . . x a _ etk'

Integral einer in Beispiel.

f

t

d

x =

k(

ae -

=I 0) wird mit der

b) t k- 1 dt e (a _ etk )2 ' zum

rationalen Funktion.

1 - .JX dx x + .JX

=

f

1 - t 2t dt t2 + t

= 41n It + 11 -

=2

f

2t + e

1 - t dt 1+t

= 41n(.JX + 1) -

2.JX + e . D

3.5 Die Integration von R(sinx, cosx)

mit rationalem Ausdruck R(x, y)

wird iiber die Substitution x . sm x

=2 arctan t 2t

= 1 + t2

'

,

dx

cos x

2 = -+t 12 dt 1-

t2

= 1 + t2

und daraus folgend (-J[ < x < J[) ,

ebenfalls auf die Integration einer rationalen Funktion zuriickgefiihrt. Beispiel

f

dx cos x

=

f

1 + t 2 2 dt 1 _ t2 1 + t2

= In

I 11 _+ tt I +e = In I 11 _+ tan ~ tan ~ I +e .

D

3.6 Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen. Integrale der Form

f

tion u

=ax + f3,

f

R(x,

v'ax 2 + bx + e) dx, dx

= a1 du

R(u, v'u2+l)du,

a

=I 0, lassen sich mit einer linearen Substitu-

in eine der folgenden Normalformen umwandeln.

f

R(u,

~)du,

f

Die Substitution u = sinh t, bzw. u = cosh t, bzw. u Integrale des in 3.3 und 3.5 behandelten Typs.

R(u,

~)du

= sin t

fiihrt weiter auf

184

4. Integration

Beispiel.

fJ = f

4x 2 + 12x + 5 dx = 2

2

ex 2+ 3) 2

2x + 3 u =-2-

r:;--;

V u2 - 1 du;

=uJu2=! -

f/

1 dx

-

=cosh t,

du

=sinh tdt

In(u + Ju2=!) + C

=2x 2+3 / e x 2+3)2 -1

-

In[2x 2+3 +/(2X 2+3r

-1] +c. o

Aufgaben 1. Man berechne die Integrale

f f

f f

X2 - 2x + 3 dx , x 2 - 3x +2 X4 - 5x 3 - 30x 2 - 36x (x + 1)3(x2 _ 4) dx,

2. Man berechne

f 3. Flir das Integral

f f (x 4 _ 2X2

f

x+l d x3 +X2 +x x, X4 (x

+ 3x 2 + X + 1 d + 1)(x 2 + 1)2 x.

3ex + 4e- x + 2 dx 1 - e 2x

3 sinx

~4cosx

+ 2)xarctan(x2 _ 1) dx

~ dx

x + x2 - 1 Man suche moglichst viele davon.

'

'

(Subst. y = x 2 - 1 ) .

gibt es mindestens 8 verschiedene Losungswege.

4. Man berechne durch die angegebene Substitution

f

f

.Jtanxdx

cos x + sin x dx .Jsin2x

(t = tanx) , (t =

Jf

"4 -

x) .

5. Man zeige: Gilt q(x) = (x - Xl)··· (x - x n ) mit Xi =I Xj flir i Grad p < Grad q , dann lautet die Partialbruchzerlegung p(x) _ ~ P(Xi) _1_ q(x) - ~ q'(Xi) x - Xi i=1

=I j und ist zusatzlich

185

§4, Uneigentliche Integrale

§4. Uneigentliche Integrale 4.1 Die Definition der uneigentlichen Integrale. Die Funktion f sei auf

dem rechts offen en Intervall a :s x < b erklart und auf jedem abgeschlossenen Teilintervall [a, c], c < b, stiickweise stetig, bE lRU{oo} . Durch die Definition c

b

(1)

/

f(x)dx .-

}iT- /

f(x)dx ,

bzw. /

f(x)dx .- lim /

a

a

a

a

c

00

e-+oo

f(x)dx

wird der Integralbegriff erweitert auf a) Integranden f(x), die bei der Annaherung x -+ b- nicht beschrankt sind; b) unbeschrankte Integrationsintervalle [a, 00) . In diesen beiden Fallen nennt man die in (1) definierten Integrale uneigentlich (uneigentlich an der oberen Grenze). Bei entsprechenden Verhaltnissen sind die an der unteren Grenze uneigentlichen Integrale definiert durch b

b

b

f(X)dX:= lim /f(X)dX;

/

/

c-*a+

e

a

b

f(x)dx:=

c!ll!loo/ f(x)dx

.

e

-00

SolI betont werden, daB keine Ausnahmesituation vorliegt, dann nennt man die bisher betrachteten bestimmten Integrale eigentlich. Man sagt, ein uneigentliches Integral konvergiert (bzw. divergiert), wenn der zugehorige Grenzwert existiert (bzw. nicht existiert). Beispiel 1.

f oo -

I'1m fe =c-+oo 1

dx

1

{I

10

X

lim

C-+O+

I'1m 1n c = 00 =e-+oo

E

lR, a =11 .

a

1 [I

lim ( _ In c)

C-+O+

c

roo dx = lim _1_[1 x e-+oo a-I

1

X

d: = II d: =

Beispiel 2. Sei a

11

dx

Iaoo~ ] I

_1 ] ca - I

=

. -- -- - 1 = -dx = hm o xa c-->O+ a-I ca - I 1

00 1

=00

(divergiert) , (divergiert) .

1 , falls a > 1 (konvergiert) , falls a < 1 (divergiert)

1_ a

, falls a > 1 (divergiert) , falls a < 1 (konvergiert)·

o

186

4. Integration

y

y

Abb. [05a -

x

1

dx = 00 x

00

I

Beispiel 3.

Abb. 105b -

lim sin c 10t:oo cos x dx = c~oo

1

x

00

I

dx

-5

x1. 2 -

o

divergiert.

4.2 Ein Konvergenz-Test. Aufgrund der klaren Verhaltnisse bei der Funktion

J"

f(x) = (bei festem a > 0, x funktion gewahlt.

~ Beispiele 1 u. 2) wird sie geme als Vergleichs-

Satz 4.1. Vergleichskriterium 1st f

auf [a, (0) und g auf (0, b] stetig und sind a, K E JR, dann gilt:

1

If(x)1

:s: K x'" ,

Ig(x)1

:s: K x'" '

1

a:S:x
0<

x:s: b,

O
1

00

=}

f(x) dx konvergiert,

fob g(x) dx

=}

konvergiert.

Beweis. Die monoton wachsende Funktion F(c) := f~ If(x)1 dx ist nach oben

durch K r: xl", dx beschrankt und hat deshalb fur c (~ Kap. 2, 5.4 Monotoniekriterium). Anschaulich: Nach der Voraussetzung liegt der Graph y = If(x)1 zwischen den beiden Kurven y = 0 und

00

einen Grenzwert

K = x'"

(x:::: a). Laut Beispiel 2 ist der gesamte Flacheninhalt zwischen diesen Kurven endlich. Also ist auch die schraffierte Flache endlich, f:lf(x)1 dx < 00. Dieselben Uberlegungen mit f(x) + If(x)1 an stelle von If(x)1 zeigen, daB f: U (x) + If (x )I) dx konvergiert. Deshalb konvergiert schlieBlich

y

~

f: f(x)dx = r:U(x)

Abb. 106 - Vergleichskriterium

+ If(x)l)dx - f:lf(x)1 dx.

187

§4. Uneigentliche Integrale

o

Die Konvergenz des Integrals fur g wird analog bewiesen. Beispiel.

hr si~ x dx.

Zunachst einmal, wegen lim sin x = 1 ist der Inte-

JO

x~o

x

grand bei x = 0 durch 1 zu ersetzen. Das Integral ist an der unteren Grenze eigentlich. Mit f~f(x)dx = f~f(x)dx + f~f(x)dx braucht nur die Konvergenz des zweiten Summanden gezeigt zu werden. · partIe . 11er IntegratlOn . erh"l cos x d x. M It a t man -1. sm x d x = - -1 cos X Ie1 2-

fe

X

I

fe

X

I

x

Mit c ~ 00 strebt der erste Summand gegen cos 1 ; fur den zweiten Summanden liefert das Vergleichskriterium die Konvergenz. . {'XO sin x . [00 sin x 7T Also konverglert 10 -x- dx. Es gilt 10 -x- dx ="2 (~ Band 2). 0 4.3 Ein an beiden Grenzen uneigentIiches Integral ist wie folgt definiert:

Ib

f(x)dx :=

Ie

f(x)dx +

= u------+a+ lim r iu 1m Fall a

= -00, b = 00

L:

fb

(mit a < c < b)

f(x)dx

IV f(x)dx .

f(x)dx + lim

c

v---+b-

bedeutet das

f(x)dx :=

L~ f(x)dx + foo f(x)dx

=U---+-OO}u lim r

f(x)dx + lim

v-+oo

IV f(x)dx . C

Es wird ausdrucklich darauf hingewiesen, daB auf der rechten Seite die beiden Grenzwerte unabhangig voneinander zu bestimmen sind; nur wenn beide Grenz-

Ib

werte existieren, dann konvergiert Beispiel 1.

L:

f(x) dx bzw.

f(x) dx .

f-00oo ~-fO-00 ~+ 10[00 ~-2 10[00 ~ 1+x2

-

1+ x2

= 2 lim

arctan v

v~oo

1+x2

=7T

-

1+x2

o

•

Beispiel 2. Die Energiedichte Uv einer monochromatischen Strahlung eines schwarzen Korpers der (absoluten) Temperatur T wird nach dem Strahlungsgesetz von M. PLANCK berechnet: U _ v -

87Th 2 C

v3

hv e kT -

1

(mit der Lichtgeschwindigkeit c, den Konstanten h und k). Die Integration

188

4. Integration

uber aIle Frequenzen ergibt die gesamte Energiedichte

[CO

= Jo

U

8n k4T4 [CO

x3

= -;;ZJ;3 Jo eX -1 dx

Uvdv

(x

hv

= kT)

.

Das an beiden Grenzen uneigentliche Integral ist konvergent, da die beiden Teilintegrale nach Satz 4.1 konvergieren. Mit einer Potenzreihenentwicklung erhalt man den Wert:

[CO

n 4

x3

Jo eX -

1 dx

= 15

(-+ Kap. 5, §5, Aufg. 9). Insbesondere folgt damit das T 4 -Gesetz von J. STEFAN und L. BOLTZMANN: U = aT4 (mit einer Konstanten a). 0

Beispiel 3. Die Gamma-Funktion. Zu den besonders wichtigen "hoheren" Funktionen gehort die Gamma-Funktion

Dieses ist ein an beiden Grenzen uneigentliches Integral, dessen Konvergenz wie folgt nachgewiesen wird: a) Das Integral

11

e- t t x - 1 dt ist an der unteren Grenze nur uneigentlich fur 0 <

x < 1. In diesem Fall garantiert wegen e- t t x - 1 :s t x das Vergleichskriterium (-+ Satz 4.1) die Konvergenz. b) Die Konvergenz von t 2t x - 2

-et - -+ 0 mit

lco

:s t- 2

=

l co

E

a:= 1 - x < 1,

gilt.

die 0

=tx- 1 )

bestatigt man leicht die Funktio-

r(x+l)=xr(x) (x >0),

e- t dt

r(n + 1) = nr(n)

fur aIle n

,

Kap. 3, §4(4)) fur aIle hinreichend graBen

Mit partieller Integration ( u' = e- t , v nalgleichung der Gamma-Funktion.

aus der mit r(1)

= t- a

e- t t x - 1 dt folgt ebenfalls aus Satz 4.1, da wegen

t -+ 00, (-+

Abschatzung e- f t x - 2

1

=1

speziell

=n(n -

l)r(n - 1)

= ... = n!r(1) =n!

IN folgt.

4.4 Ausnahmestellen im Innern des Integrationsintervalls. Besitzt der Integrand im Innem des Definitionsintervalls endlich viele Ausnahmestellen a = < Xl < ... < X n - l < Xn = b (Unstetigkeitsstellen oder Lucken), dann setzt

Xo

189

§4. Uneigentliche Integrale

r

man

1n

Lnr 1x ' f(x)dx ,

f(x)dx:=

;=1

a

Xi-l

wobei die Summanden der rechten Seite eigentliche oder uneigentliche Integrale der zuvor behandelten Art sind. Gelegentlich arbeitet man auch mit dem Cauchyschen Hauptwert CHW

wenn f

{b f(x)dx := lim (

Ja

£~o+

r-£

f(x)dx +

Ja

r

f(x)dx) ,

lc+£

nur in c eine Ausnahmestelle (Singularitat) hat.

lb

moglich, daB das uneigentliche Integral

f(x) dx

=

l

c

Es ist durchaus

f(x) dx

+

Ib

f(x) dx

nicht konvergiert, dagegen der C H W existiert.

{3 dx 1

Beispiel.

10

x -

= {I

10

dx 1 + x -

sich fur den C H W {3 dx 1 10 x -

{3 dx 1 konvergiert nicht, dagegen ergibt

11

x-

= lim (In E' + In 2 -

In E')

8-+0+

= In 2 .

0

Aufgaben 1. Man untersuche, ob folgende Integrale eigentlich oder uneigentlich sind, teile falls notig den Integrationbereich auf, teste auf Konvergenz und berechne ihren Wert, falls moglich:

t

2xdx

10

(x 2

('Xl

1)2

,

xdx

1

2

x,

J X2~

1 W+l j 3

x

o

d

1

dx

00

sin2 x d

00

OO

v'1+X4

12

,

-

'

1

e

dx xlnx .

2. Man bestimme den Inhalt der Flache zwischen der Kurve y = xe _x 2/2, x 2: 0, und ihrer Asymptote. 3. Man ermittle den Bereich des Parameters p, fur welchen das Integral

j OO( 1

x _~ ) dx 2x2 + 2p x +1

konvergiert. 4. Man bestatige

rOO 12

1

dx {kOnVergent fUr a > 1 x(ln x)" = divergent fUr a :::: 1

5. Man bestatige 00

a)

o

e

_

sf

s cos wt dt = -2--2 S +w

1 o

00

e-st

sin wt dt =

~ s +w

(s > 0),

190

d)

4. Integration

1""

1""

(ai-b),

sin 2 x dx = sinx dx x2 0 x (Tip: 2 sin 2 x = 1 - cos 2x , partiell integrieren).

o

6. Mit dem Wert a)

2ab(a + b)

r(n +

r (!)

=.;n

zeige man

(2n)! f 2) = 4n n! 'In, I

b) i:e-x2/2dX=..fhi

(Subst. t=!X2, x>O).

7. Die Hermite-Polynome Hn(x) (CH. HERMITE, 1822-1901) sind erklart durch 2 dn 2 Hn(x) = (-I)"e x dxn (e- X )

•

Man bestatige fur ein beliebiges Polynom p(x) vom Grad n - 1 , daB i : e- x2 Hn(x)p(x)dx = 0 ,

d.h. die Hn bilden ein Orthogonalsystem (---+ Kap. 6, 6.3 und Band 2) bzgl. des Skalarproduktes < f, g> := i : e- x2 f(x)g(x) dx .

8. FlieBt durch den zwischen Xl und X2 (auf der x-Achse) eingespannten elektrischen Leiter der Strom I, so gilt fUr das magnetische Feld H im Punkt P(O, a) nach dem Gesetz von BlOT u. SAVART

Wie groB ist H fur

Xl

---+ -00 und X2 ---+ 00 .

§ 5. Kurven, Langen- und FIachenmessung Mit den Mitteln der Differential- und Integralrechnung soIlen nun geometrische Eigenschaften ebener Kurven analytisch untersucht werden. Kurven im Raum werden in Kap. 7, § 1 behandelt.

5.1 Die Parameterdarstellung. Die aIlgemeinste und fiir unsere Zwecke giinstigste Beschreibung einer ebenen Kurve erfolgt mit zwei differenzierbaren Funktionen x(t), yet) (a :s t :s b). In einem festen kartesischen Koordinatensystem durchlauft der sich mit t stetig verandemde Punkt pet)

= (x(t), y(t»,

a:S t

:s b

eine Kurve. Man nennt die vektorwertige Funktion

,

191

§S. Kurven, Liingen- und Fliichenmessung

(1)

ret)

~ = (X(t») = rCt) yet)

y

bzw. das System der beiden Gleichungen (2)

x=x(t), y=y(t) (a::::t::::b) ,

eine Parameterdarstellung dieser Kurve, x t den Parameter und [a, b] das ParameAbb. 107 - Ebene Kurve terintervall. Man sagt, daB die Kurve mit wachsendem in positiver Richtung durchlaufen wird. Deutet man t als Zeit, so beschreibt die Parameterdarstellung (2) die Bewegung eines Massenpunktes auf der Kurve. Damit ist klar, daB eine Kurve unendlich viele verschiedene Parameterdarstellungen besitzt; es konnen auf ihr ganz verschiedene Bewegungen stattfinden. Ein Graph y = f(x) (a :::: x :::: b) besitzt die Parameterdarstellung (3)

x=t, y=f(t) (a::::t::::b)

oder auch x = gCt), y = f(g(t» mit einer auf [a,,8] differenzierbaren Funktion g mit g([a,,8]) = [a, b]. Von einer Parameterdarstellung x =x(t), y = yet) kann man i.a. nur stiickweise zu einer expliziten Darstellung y = f(x) oder x = h(y) iibergehen; namlich dann, wenn wenigstens eine der beiden Gleichungen nach t aufgelost werden kann (t = t(x) =} y = y(t(x» =: f(x». Beispiel 1. Die Gerade durch die Punkte (xo, yo), (Xl, yd besitzt die Parameterdarstellung (-+ Kap. 1, §6)

x

= Xo + t(XI

- xo) ,

y

= Yo + t(YI

- YO) (t

E IR) .

o

Beispiel 2. Der Kreis urn (xo, YO) mit dem Radius r (-+ Abb. 108)

x

= Xo + r cos t, x2

y2

Beispiel 3. Die Ellipse a 2 + b 2 x

= a cos t,

Y

= Yo + r sin t

=1 Y

(0:::: t :::: 2:rr) .

(-+ Abb. 109) hat die Parameterdarstellung

= b sin t

(0::::

t ::::

2:rr) .

y

x Abb. 108 - Kreis

o

Abb. 109 - Ellipse

o

192

4. Integration

Beispiel 4. Zykloiden. RoUt ein Kreis K mit dem Radius r ohne zu gleiten auf der x-Achse, dann beschreibt ein mit K fest verbundener Punkt P, der vom Kreismittelpunkt den Abstand a hat, eine Zykloide (oder Radkurve). Wenn wir von der in Abb. 110 gezeigten Nullage ausgehen, besitzt die Zykloide die ParameterdarsteUung

= rt - a sin t, Y = r - a cos t (0 :s t < <Xl) als Parameter.

(4)

x

mit dem RoUwinkel t Denn nach dem Abrollen urn den Winkel t liegt der Kreismittelpunkt in XM = rt, YM = r und P ist nach PI = (x(t), y(t)) gewandert:

=XM y(t) = YM -

x(t)

=rt - a sin t , a cos t = r - a cos t .

(~ ~. t= 0

t

r

2rrr x

p

a sin t

Abb. 110 - Zykloide

Rollt der Kreis (mit dem Punkt P) nicht auf der x-Achse sondem auf dem Kreis x 2 + y2 = p2 , dann ist die Bahn des Punktes Peine Epizykloide mit der Parameterdarstellung p +r x=(p+r)cost-acos-r-t, y

. = ( p + r ) sm t

-

. p+r a sm -r- t

1m Sonderfall p =r =a entsteht die Herzlinie (Kardioide) x = a(2 cos t - cos 2t), y

.

=a(2 sin t -

y

Abb. III - Epizykloide

sin 2t) . y

Abb. 112 - Cardioide

Beim Abrollen im Innem der p-Kreise entsteht die Hypozykloide

= (p Y = (p -

x

die fi.ir a

=r = £4

p-r r) cos t + a cos - r - t , r) sin t - a sin p ~ r t ,

die Astroide ergibt.

193

§5. Kurven, Liingen- und Fliichenmessung

x

x

Abb. 113 - Hypozykloide

o

Abb. 114 - Astroide

5.2 Tangente und Normale. Zu jeder Parameterdarstellung ret) =

(X(t)) yet)

einer Kurve K definiert man y r(t):= lim -hI [ret +h) - ret)] h--,>O

=

(~~~D

(wobei der Punkt die Ableitung nach t bedeutet). Als Grenzvektor von x "Sekantenvektoren" (-+ Abb. 115) ist dieser Vektor parallel zur KurventanAbb. liS - Sekantenvektor gente im Punkt (x(t), y(t)) . Beschreibt ret) die Bewegung eines Massenpunktes, dann gibt ret) die Geschwindigkeit dieses Punktes (zur Zeit t) an. 1st in einem Kurvenpunkt (x(t), yet)) der Vektor ret) = vektor verschieden, dann weist er in die positive Tangentenrichtung. Der hieraus durch eine positive Drehung (entgegen Uhrzeigersinn) urn 90° entstandene Vektor net) :=

(~;;))

(A

E

yom Null-

y

gibt die posi-

tive Normalenrichtung in diesem Punkt an, Demnach besitzen Tangente und Normale (in diesem Kurvenpunkt zur Zeit t) die Parameterdarstellungen Tangente Normale

(~~~~)

x = x(t) + Ai(t) x

= x(t) -

1R ist der Geradenparameter,

t

x Abb. 116 - Norrnalenrichtung

y = yet) + Ayet) ,

Ay(t), y

= yet) + Ax(t)

fester Parameter des Kurvenpunktes).

194

4. Integration

5.3 KurvenHinge. Die Parameterdarstellung x

= x(t),

y

= yet)

(a S t S b)

einer Kurve heiBt regular, wenn die Funktionen t t-+ x(t), t t-+ yet) iiber [a, b] stetig differenzierbar sind und x(t)2 + y(t)2 =f 0 fiir a S t :::: b gilt, dabei sind x(a) und x(b) als einseitige Ableitungen zu verstehen. Satz 5.1. a) Die Lange eines Kurvenbogens mit regularer Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t), X(t)2 + .Y(t)2 =f 0, a S t S b, betragt (5) b) Der Graph y die Lange

= J(x)

einer stetig dijferenzierbaren Funktion J: [a, b]

--7

IR hat

(6)

Beweis. a): Wir zerlegen das Parameterintervall [a, b] durch aquidistante Zwischenpunkte a = to < tl < ... < tn = b, ti+1 - ti = 6..t, in n Teilintervalle. Uber jedem dieser Intervalle [ti, ti + 6..t] wird der Kurvenbogen ersetzt durch die

Sehne der Lange 6..s

= J(6..x)2 + (6..y)2 =JX(~i)2 + .Y(lJi)2 6..t

y

~i, lJi zwischen ti und ti + 6..t Mittelwertsatz). Summation und der Grenziibergang 6..t --7 0 (bzw. n --7 (0) ergeben die Behauptung.

mit (--7

x Abb. 117 - Bogenliinge

b) ist ein Spezialfall von a), denn es ist x = t, Y = J(t) eine stetig differenzierbare Parameterdarstellung der Kurve y = J(x) . 0 Beispiel 1. Der Zykloidenbogen x hat nach (5) die Lange r

[27r

10

=ret -

sin t), Y

fox J 1 + 4t 2 dt =

§2, Aufg. 5).

t

2

Beispiel 2. Der Bogen der Normalparabel y

(--7

cos t) (0 S t S 2n)

J(1 - cos t)2 + sin t dt = 2r 10[27r sin 2" dt = 8r .

Lange L(x) =

=r(l -

i

=x2

o

iiber [0, x] hat nach (6) die

[2xJ 1 + 4x 2 + In (2x

+ .J 1 + 4x2) ]

o

195

§5. Kurven, Langen- und Flachenmessung

= x(t), y = yet) mit a :::; t :::: b eine zweimal differenzierbare Parameterdarstellung einer Kurve mit x(t)2 + y(t)2 =I 0 fur aIle t. Mit cp(t) bezeichnen wir den positiv gemes5.4 Kriimmung und Kriimmungskreis. Es sei x

it

senen Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Richtung des Tangentenvektors

(~~~~);

set) :=

J x( T)2 + y( T )2dT ist die Lange des Kurven-

bogens uber dem Parameterintervall [a, t] (--+ (5». Tangentenrichtung uber dem Intervall [t, t + ;:"'t], bezogen auf die Anderung der Bogenlange, also !~, ist offenbar ein gutes MaB fur die durchschnittliche Krummung der Kurve uber diesem Teilintervall. Man nennt

Die Anderung ;:"'cp der

Y

K '= lim ;:"'cp(t) = cp(t) . "'HO ;:"'s(t) set)

x

die Krummung der Kurve im Punkt P = (x(t), y(t». (--+ L'Hospital-Regel)

Abb. 118 - Kriimmung

Satz 5.2. a) Die Krummung einer Kurve mit zweimal stetig diJferenzierbarer Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t), a:::; t :::; b, fur die uberal! x(t)2 + y(t)2 =I 0 gilt, betragt im Kurvenpunkt pet) = (x(t), yet»~ K(t)

(7)

= x(t»)i(t) -

b) Die Krummung des Graphen y f: [a, b] --+ lR im Punkt (x, f(x»

K(X)

(8)

Beweis. a): (--+

cp

Fur set) =

§1(1». Aus sincp(t)

= x.~ - ~: x

+y

y(t)x(t)

-J"r(~x=(t~)2=+=yO=·(=t)~2)¢3

= f(x)

einer zweimal diJferenzierbaren Funktion betragt

=

f"(x)

Jo + f'(x)2)3

J: JX(T)2 + YCT)2dT

=

gilt set) = Jx(t)2 + y(t)2

yet) , coscp(t) Jx(t)2 + y(t)2

. Mit diesen Werten ergibt sich fur

K

=~ s

b) ist ein Spezialfall von a); die Parameterdarstellung x gestellten Voraussetzungen.

=

x(t) folgt Jx(t)2 + y(t)2

die angegebene Formel.

= t,

Y

= f(t)

erfullt die D

Wegen s = J x 2 + y2 > 0 haben K und cp dasselbe Vorzeichen. Kap. 3, Satz 2.3 zeigt:

196

4. Integration

K

> 0 :::} rp nimmt zu :::} die Kurve ist (bzgl. der positiven Richtung)

K

< 0 :::} rp nimmt ab :::} die Kurve ist (bzgI. der positiven Richtung)

Iinksgekriimmt. rechtsgekriimmt. Man beachte, daB sich bei entgegengesetzter Durchlaufrichtung das Vorzeichen von K andert.

)(

Abb. 119a -

K

Abb. 119b -

> 0 ; Linkskriimmung

Beispiel 1. Die Kriimmung der Ellipse x im Punkt (x(t), yet)) : (x,

y) = (~a sin t, bcost), K

=

xy ~ yx J (x 2 + y2)3

=

(x,

J

= a cos t,

Y

K

< 0 ; Rechtskriimmung

= b sin t

y) = (~a cost,

~b

(O::s

t

::s 2n)

sint) ,

ab

(a 2 sin 2 t + b2 cos 2 t)3 '

Insbesondere hat ein gegen Uhrzeigersinn umlaufender Kreis mit dem Radius r in jedem Punkt die Kriimmung K = f . 0 Beispiel 2. Die Kriimmung der NormalparabeI y = x 2 betragt

2

o

Einen durch den Kurvenpunkt P = (x(t), yet)) gehenden Kreis nennt man den zu P gehorigen Kriimmungskreis der Kurve, wenn er dort dieselbe Kriimmung und dieselbe Tangentenrichtung wie die Kurve besitzt. Der Radius r des Kriimmungskreises, der sogenannte Kriimmungsradius der Kurve in P, betragt nach Bsp. I, falls K =I 0 , r

1 = TKT

Der Mittelpunkt des Kriimmungskreises (XM, YM) liegt auf der Normalen im

1

Abstand TKT von P. Unter Beriicksichtigung der Orientierung (bzw. des Vorzeichens von K) ergibt sich

197

§5. Kurven, Liingen- und Fliichenmessung

1

XM=X(t)-K

1

YM=y(t)+K

. x(t)2 + y(t)2 =x(t)-y(t).()",() '()"() x(t)2 + y(t)2 X t Y t - Y txt

.J

yet)

, x ( t ? + Y(t)2 =y(t)+x(t),(),,() '()"() .jx(t)2 + y(t)2 x t Y t - Y txt x(t)

Durchlauft t das Parameterintervall, dann beschreibt (x M, YM) eine Kurve, die sogenannte Evolute der gegebenen Kurve,

= t,

Beispiel. Die Evolute der Parabel x XM

=X -

, x 2 + y2 Y ,,, ,,, xy-yx

= -4t 3

aus der man durch Elimination von YM

= 3(x:)~ + ~

t

,

YM

x + y2 2 1 = Y + x' xy-yx ," ,,, = 3t + -2 2

'

die explizite Darstellung

erhalt, eine nach W,

Abb, 120 - Kriimmungskreis

Y = t 2 hat die Parameterdarstellung

NEIL

(1637-1670) benannte Parabel.

D

Abb. 121 - Evolute der Parabel

5.S Die Polardarstellung einer ebenen Kurve. Der Polardarstellung komplexer Zahlen (~ Kap, 2, §3) entspricht in der reellen Ebene die Darstellung der Punkte in Polarkoordinaten, J eder Punkt P = (x, y) der mit kartesischen Koordinaten versehenen Ebene ist eindeutig bestimmt durch den Abstand r des Punktes P yom Ursprung und durch den Polarwinkel (oder Drehwinkel) cp derjenigen Drehung, die (r, 0) nach (x, y) y bringt (~ Abb, 122), Man nennt r, cp die Polarkoordinaten des Punktes p, Der Ursprung (d.i, der Pol) hat die Polarkoordinaten r = 0, cp beliebig. Man beachte auch, daB r, cp und r, cp + 2kn (k ganz) denselben Punkt r x o beschreiben. Es bestehen die folgenden Beziehungen (~ Kap. 2, §3): Abb. 122 - Polarkoordinaten

198

4. Integration

a) (9)

x

b)

= r cos cp,

r =

y

Jx 2 + y2

,

= r sin cp cp =

,

X

, falls y :::: 0 arccos r 2:rr _ arccos ~ , falls y < 0 unbestimmt , falls r =0

{

Die Spitze eines urn den Nullpunkt kreisenden Zeigers, der mit dem Drehwinkel cp auch seine Lange verandert, r = r( cp), liegt auf einer Kurve. Die Polarkoordinaten der Kurvenpunkte sind r(cp), cp (a::::: cp::::: f3). r=r(cp),

y

a:::::cp:::::f3,

x

heiSt Polardarstellung der Kurve; die Achse, von der aus cp gemessen wird, hier die x-Achse, heiSt Polarachse.

Abb. 123 - Polardarstellung einer Kurve

Parameterdarstellung der Kurve r

(10)

x

= r(cp) cos cp

,

y

=r( cp),

a ::::: cp ::::: f3 :

= r(cp)sincp

mit dem Polarwinkel cp, a ::::: cp ::::: f3 , als Parameter. Mit dieser Parameterdarstellung kann man Tangenten, Normalen, Bogenlange, Kriimmung etc. berechnen. Insbesondere ergibt sich aus (10) und (5): Bogenliinge der Kurve r

(11)

L

=

J

r(cp)2 +

= r(cp),

a::::: cp ::::: f3:

(d~~»)2 dcp .

Ci

Beispiel 1.

r = c (const.) ist die Polardarstellung eines Kreises urn O.

Beispiel 2. Archimedische Spirale. r = acp (a > 0, 0 ::::: cp < (0) ist die Polardarstellung einer Spirale. Die Bogenlange nach einem Umlauf betragt L

= fa2"

J(acp)2 + a 2dcp

= ~[2:rrJl + (2:rr)2 + In(2:rr + V~1-+--,-:c(2-:rr=)2)]

0 Abb. 124 - Archimedes Spirale

0

199

§5. Kurven, Liingen- und Fliichenmessung

Beispiel 3. Herzlinie. Durch r = a(1 + cos fP) (a > 0, O::s fP ::s 2rr) ist eine Epizykloide (~ 5.1, Bsp. 4) bestimmt, denn mit (l0) ist a

a

a

Y=2(2sinfP+sin2fP), 0::SfP::s 2rr .

x=2+2(2cosfP+cos2fP), Die Kurve hat den Umfang L = a

!a 2n J(1 + cos fP)2 + sin

2 fP

dfP = Sa .

D

5.6 FHicheninhalte

o Die FHiche zwischen zwei Graphen Satz 5.3. Sind f, g : [a, b] ~ IR. stetig, a < b, dann betragt der Inhalt der von den vier Kurven y = f(x), y = g(x), x = a, x = b berandeten Flache

(12)

F

=

lb

If(x) - g(x)ldx .

Beweis. Ein Streifen tiber x der Breite ~x hat angenahert den Flacheninhalt If(x) - g(x)l~x. Die Summation und der Grenztibergang ~x ~ 0 zeigen die Behauptung (~ 1.2, Abb. 125). D Beispiel. Die Flache zwischen den beiden Parabeln 4y = x 2 und

[0,4] betragt

i

F = 10 4(2v'X - ix2)dX = [2. ~A - i .~x3J: = 136 .

= 4x tiber D

y K

4

CP=~

+Ilcp cp cp=!l

Abb. 125 - Flache zwischen Parabeln

Abb. 126 -

Sektorflache

® SektorfHichen in Polarkoordinaten Satz 5.4. 1st r : [a,,8] ~ {r E IR.; r 2: O} stetig, a < ,8, dann betragt der Inhalt der in Polarkoordinaten von den drei Kurven r = r( fP), fP = a und fP = ,8 berandeten Sektorflache (~ Abb. 126) (13)

Iff!

F=2

ex

r(fPidfP.

200

4. Integration

Beweis. Die Sektorftache zwischen den Winkeln cp und cp + I'1cp hat angenahert den Flacheninhalt eines Kreissektors mit Radius r(cp), d.i. I'1F =

i

~: r(cp)2n:

=

r( cp )2I'1cp. Summation und Grenziibergang I'1cp --+ 0 ergeben wie in 1.1 die

Behauptung.

D

Beispiel. Bei einem Umlauf (0 ::S cp ::s 2n:) begrenzt die Archimedische Spirale r

= acp

eine Sektorftache mit dem Inhalt F

=

i1

2rr

a 2cp 2dcp

= ~a2n:3 .

D

© Sektorflachen in Parameterdarstellung = x(t), y = y(t), a ::S t ::S b, eine stiickweise stetig difJerenzierbare Parameterdarstellung eines ebenen Kurvenstiicks K, das von jedem Ursprungsstrahl hochstens einmal getroffen wird (jedem Polarwinkel cp entspricht hochstens ein Parameterwert t ), dann betragt der Inhalt der durch K begrenzten Sektorflache (--+ Abb. 126) Satz 5.5. Leibniz-Sektorformel. 1st x

(14)

F

=

i lib

[x (t).Y(t) - y(t)x(t)] dt

I·

() t yet) dcp _ 1 xy - yx l'st . D' S b t't t' Bewels. Ie u s I u IOn cp = cp t = arc an x(t)' dt - 1 + (y/x)2 x2 umkehrbar, daher ergibt sich (14) aus (13) mit der Substitutionsregel. D

= a cos t, = ::2 10 [ab cos2 t + ab sin 2 t]dt = abn: .

Beispiel. Der Inhalt der Ellipse x F

1

Y

= b sin t

(O::s t ::S 2n:) betragt

(2rr

D

Bemerkung. Man kann (14) auch mit einer Dreieckszerlegung der Sektorftache herleiten: Das Dreieck mit den Ecken (0,0), (x, y), (x + I'1x, Y + l'1y) hat den I'1x ) 1 . Inhalt I'1F = ::21 det ( xy xy + + l'1y = ::2(xl'1y - yl'1x), wenn der Polarwmkel von (x, y) nach (x + I'1x, y + l'1y) zunimmt (--+ Kap. 6, 5.1).

Satz 5.6. Formel (14) gilt auch for den Inhalt Feiner Flache, die von einer geschlossenen, iiberschneidungsfreien Kurve mit stiickweise stetig difJerenzierbarer Parameterdarstellung x =x(t), y = y(t), a::S t ::S b, berandet wird. Beweis. Wir nehmen zuerst an, daB es einen Punkt P = (u, v) in der Flache gibt, so daB die von P ausgehenden Strahlen die Randkurve in nur einem Punkt schneiden. Dann ist xp(t) := x(t) - u, yp(t) := yet) - v eine Parameterdarstellung der Kurve in einem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung P,

§5. Kurven, Langen- und Flachenmessung

auf die die Flachenformel (14) anwendbar ist. Wegen =

IbY(X

Yi)dt-u

Ib

ydt+v

Ib

I

201 b

(X pyp

- ypip)dt =

idt und y(a)=y(b), x(a)=x(b) folgtfiir

diesen Fall die Behauptung. Der allgemeine Fall laBt sich (was hier nicht ausgefiihrt wird) durch eine geeignete Zerlegung der Flache auf dies en Sonderfall zuriickfiihren (fiir Fortgeschrittene ~ Kap. 8, 3.5). 0

= R cos3 t + 2, F = ~J~Jf (xy -

Beispiel. Die von der Astroide x

= R sin 3 t + 3 (O:s t :s 2n) yi) dt = ~n R2 = 6nr 2 wegen y

begrenzte Flache hat den Inhalt R = 4r; das ist der 6-fache Inhalt des kleinen, im Innem abrollenden Kreises (~ 5.2, ~ Abb. 114). 0 Aufgaben 1. Man berechne fur die ebene geschlossene Schlinge y mit der Parameterdarstellung x = 3t 2

-

Y = 3t 3

1,

-

t ;

y

1

It I ::0 v'3

den Inhalt der von y umrandeten Flache und den Umfang.

-1

x

2. a) Man stelle die durch die Gleichung x3 +

i - 3xy = 0

beschriebene Kurve in Polarkoordinaten dar, skizziere die Kurve und berechne den Flacheninhalt der Schlinge. (Blatt des DESCARTES) b) Bestimme die Bogenlange der in Polarkoordinaten gegebene Kurve r = a sin 3 ~,

0::0 cp < 2:rr,

a > 0 .

3. a) Bestimme die Polardarstellung r = r(cp) fUr die Ellipse fUr die Hyperbel

E x 2 + 4l = 4, H: x 2 - 4y2 = 4.

b) Liegt der Pol p = 0 im Brennpunkt, so hat ein Kegelschnitt nach KEPLER die Polardarstellung p

p

= 1 + E cos 1{1

(p > 0, E:O: 0) .

Wie lautet die (~, 1)-G1eichung. Man berechne p und E fur die Ellipse E und bestimme mit dieser Darstellung den Flacheninhalt von E.

~----~~~--~--­ x

202

Integration

4.

4. Die Lemniskate hat in Polarkoordinaten die Darstellung rZ

=cos 2rp ;

a) Man berechne den Inhalt der umschlossenen Flache. b) Man zeige fiir die Bogenlange e: Das Integral (11) ist uneigentlich. Substituiert man ...fi sin rp = sin 1jf , so erhalt man ein eigentliches Integral

e =2...fi . K (~) "" 2...fi . 1.854074679

.

K(k) bezeichnet ein vollstandiges elliptisches Integral (-.. §7, Aufg. 1,2).

5. LISSAJOUS-Figuren in der Ebene haben die Form (-.. Kap. I, 3.5)

Man wahle

(Xl

= (Xz = 0

(bzw.

= 0,

(Xl

(Xz

= ~),

und skizziere die LISSAJOUS-

. f"ur W2 = WI, W2 = 2WI, W2 = 2wI 3 . Flguren Welche Werte liefert die Sektorenformel fiir die Flacheninhalte?

6. a) Man gebe fiir die Gerade y = ax + h die Polardarstellung r = r(rp).

b) Man berechne den Flacheninhalt des n- Blattes r = I cos nrp I (0::: rp ::: 2n) . 7.

Fiir die allgemeine Polardarstellung einer Kurve r = r(t), rp = rp(t), a < bestatige man die Formeln fiir die Bogenlange s und die Sektorfiache F: s

=

Ib .J;-z

+ r2ipZ dt,

F

=~

Ib

< h,

rZ(t)ip(t) dt .

Wie lautet die Formel fiir die Kriimmung? Teste die Ergebnisse fiir die Kurven rp = t, r = t, 0::: t ::: 1 und rp = cosh t, r = e', -00 < t < 00 . 8. Ehene Bewegung in Polarkoordinaten x(t)

= (x(t») = r(t) (C?srp(t») y(t)

sm cp(t)

.

Man driicke x, x und v = Ixl durch ;-, ;:, ip und ip aus, fiihre die vom Ort abhangige Basis er

._ (cosCP)

.-

.

sm cp

e '- ( - sin CP)

ein und bestatige fur die Radial- und Transversalkomponenten von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung:

9. Man bestimme fiir die Kurve in Parameterform x

= 6 cos t + 2 cos 3t,

a) den Inhalt der begrenzten Flache,

Y

= 6 sin t + 2 sin 3t

(0 ::: t ::: 2n)

203

§5. Kurven, Liingen- und Fliichenmessung

b) die Gleichung der Tangente im Punkt mit t =

1'

c) die t-Werte, fur welche die Tangente parallel zur x-Achse oder zur Geraden y = x verliiuft, d) die Bogenliinge, e) eine sorgfiiltige Skizze. 10. In Scheitelpunkten einer Kurve ist die Krummung extremal. Krummungskreise in den Scheitelpunkten von 64

Man bestimme die

y =lnx .

Y=16+x 2

II. Man bestimme die Evolute a) der Ellipse 4x 2 + 9l = 36, b) der Hyperbel xy = 4, c) der Zykloide x = t - sin t, Y = I - cos t (t

E

IR) .

12. Ein Teilchen jiiegt frei in einem zentralen Kraftfeld vom Punkt Po(r aus liings der ebenen Kurve rp = rp(r) =

(1)

I, I' .j

d

P, J2-1 p.j p2 + 2p - 1

= .,fi -

1, rp

= 0)

r:::.,fi - 1 ,

ins Unendliche (r, rp: Polarkoordinaten). Die Flugzeit ist t = t(r) =

(2)

J2-1

d

p p

p2 + 2p - 1

,

r > .,fi - I

a) Fi.ir den Teilchenfiug (1), (2) berechne man rp'(r), v =.jx2 + y2 mit Aufg. 8 als Funktion von r. Wie groB ist lim v(r) ?

t'(r) und bestimme daraus

,--+00

b) Man fiihre die Integration in (1) durch und lose auf nach r = r(rp). c) Welche Richtung hat die Asymptote an die Flugbahn und wie lange dauert der Flug; d.h. wie groB ist lim rp(r) und lim t(r) ? r-">-oo

r--+oo

13. Fur die horizon tale Richtcharakteristik ei..)... I (. ).. ner A ntenne mit vier 2'-Dlpo en 1m 2'Abstand ubereinander) hat man die Formel (rp Polarwinkel) C(rp)

I

= cos(~ sin rp) sin(4~ sin rp) 4cosrpsin(~ sinrp)

I

.

a) Man setze C(rp) stetig auf [0,27T] fort, bestimme die Nullstellen und berechne C'(rp).

y

b) Mit Hilfe eines Rechners berechne man Lage und Amplitude der "Keulen der Charakteristik" und skizziere r = C( rp) .

204

4. Integration

§6. Weitere Anwendungen des Integrals 6.1 Abkiirzende Redeweisen. Urn schneller zu weiteren Resultaten zu gelangen, fuhrt man einige abkurzende Bezeichnungen und Redeweisen ein. Zur Berechnung einer reellen GroBe G mit Hilfe der Integralrechnung wird diese in kleine Bestandteile dG, die man Elemente nennt, zerlegt. Die Summation aller Elemente dG wird ebenfalls Integration genannt und man schreibt G = J dG. Die Kunst des Integrierens besteht darin, fur die Elemente d G eine von einem Parameter x abhiingige Anniiherung der Form dG ~ f(x)t...x, a :'S x :'S b, anzugeben, die so beschaffen ist, daB die Riemannsche Summe f(x )t...x beim Grenzubergang t...x ....... 0 gegen G konvergiert. Man erhiilt demnach G = f(x)dx. Als Kuriform fur diesen Rechengang schreibt man dG = f(x)dx, woraus durch Integration G = f(x)dx folgt. In diesem Zusammenhang ist es ublich, eine kleine Parameterdifferenz t...x mit dx zu bezeichnen, wenn beabsichtigt ist, im Verlauf der Rechnung den Grenzubergang t...x ....... 0 durchzufuhren. Statt t...f(x) ~ f'(x)t...x ( ....... Kap. 3, 1.3) schreibt man df(x) = f'(x)dx. So wird beispielsweise das Langenelement ds einer in kartesischen Koordinaten durch x = x(t), y = yet) (a:'S t :'S b) gegebenen Kurve in der Form

L

J:

(1)

J:

ds

= Jx(t)2 + y(t)2 dt

dargestellt (....... 5.3); speziell fUr den Graph y

= f(x) :

ds = Jl + f'(x)2dx .

(2)

6.2 Das Volumen eines Rotationskorpers. Von einem dreidimensionalen Korper sei (nach Wahl eines geeigneten kartesischen Koordinatensystems) fur jedes x E [a, b] der Fliicheninhalt F = F(x) des Querschnitts bey kannt (....... Abb. 127). Das Volumen t... V einer dunnen Scheibe der Dicke t...x betriigt niiherungsweise F(x )t...x . In Kurzform: dV = F(x)dx; die Integration ergibt z (3)

V=

f

dv=lb F(x)dx.

Speziell - mit F(x) = nf(x)2- gilt

Abb. 127 - Volumen Drehkorper

Satz 6.1. Ein durch Drehung der Kurve (der Kontur) y die x-Achse erzeugter Rotationskorper hat das Volumen (4)

= f(x),

a :'S x :'S b, um

205

§6. Weitere Anwendungen des Integrals

Ein Kreiskegel entsteht (nach passender Wahl des Koordinatensystems) durch Rotation der Kontur Y = XX urn die x-Achse. Das Volumen ergibt sich mit (4) zu

Beispiel 1.

V

r2

r

= n h 2 10

X

2

dx

2h

= nr "3 .

y

z

(Allgemein: Volumen einer Pyramide

= Grundftiiche mal %Rohe.)

0

Abb. 128 - Kreiskegel

Beispiel 2. Torus. Wird aus dem Rotationskorper, der durch Drehung des oberen Kreisbogens Yl = R + J r2 - x 2 (urn die x-Achse) entsteht, der "innere" Korper

entfemt, der sich durch Drehung von Y2 = R - J r2 - x 2 ergibt, so erhiilt man den in Abb. 129 gezeigten Torus (Reifen) mit dem Volumen V =n

f:

= 4n R

(Y~ -

f:

y

y

Y5)dx

z

J r2 - x 2 dx

= 2n 2r2 R .

o Abb. 129 - Torus

6.3 Die Mantelftache des Drehkor-

pers mit der Kontur Y = f(x), a :s :s x :S b, berechnen wir wie folgt: die Mantelftiiche d Meiner dunnen Scheibe der Dicke dx wird angeniihert durch die Mantelftiiche eines Zylinders mit dem Radius f(x) und der Mantelhohe ds = J 1 + f'(x)2 dx (---+ Abb. 130 und (2)). Das bedeutet

y

z

dM = 2nf(x)Jl + f'(x)2dx ;

die Integration ergibt

Abb. 130 - Mantel Drehkiirper

206

4. Integration

Beispiel. Die Mantelflache des in 6.2, Beisp. 2, betrachteten Torus berechnen wir aus M = Ml +M2 mit den beiden aus Yi = R+(-1)iJr 2 -x 2 (i = 1,2)

erzeugten Mantelflachen M

= 2n i~ (Yl + Y2)j 1 + Y? dx = 4n R i~ j

(In der Rechnung wurden Y?

= y~2,

Yl + Y2

= 2R

1 + Y? dx und

= 4n 2r R

i~ j

.

1 + Y? dx

= nr

(i = 1, 2) - Lange des Halbkreisbogens - beriicksichtigt.)

o

Bemerkung. (4) und (5) sind Spezialfalle der GULDIN-Regel (--.. Kap. 8, §4). Aufgaben 1. Man berechne das Volumen der Karper, die man durch Rotation erhiilt

a) Hyperbel xy = a 2 (0 < a :5 x < (0) urn x-Achse, b) Kardioide r =a(l +costp) urn Polarachse (dV = 2; r3 sintpdtp). 2. Man berechne das Volumen des Karpers, der von den Fliichen x 2 + l = ax, x - z = 0 , x + z = 0 begrenzt wird, indem man Schnitte senkrecht zur x-Achse legt. 3. Man berechne die Mantelfliiche der Karper, die man durch Rotation erhiilt a) y = sinx (0:5 x :5 n) urn x-Achse, b)

l

= 2px

(0:5 x :5 a) urn x-Achse,

c) r = a( 1 + cos tp) urn Polarachse (dM = 2n r.Jr2 +r12 sintpdtp). 4. Ein Becher besitzt die Form eines geraden Kreiszylinder mit Radius r, seine Achse ist urn den Winkel a gegen die Waagerechte geneigt. Er ist mit soviel Wasser gefiillt, daB auf dem Boden ein Kreisabschnitt mit dem Zentriwinkel 2tp benetzt ist. - Man berechne das Wasservolumen V . Hilfe: Man lege - abhiingig von der Hahe h - Schnitte senkrecht zur Achse, bestimme den Fliicheninhalt S(h) , driicke h und S(h) durch den sich mit h iindemden Zentriwinkel 21/f aus und berechne V = foH S(h) dh als Integral iiber 1/f.

§7. Numerische Integration

* Unter numerischer Integration (auch numerische Quadratur genannt) versteht man

die naherungsweise Berechnung eines bestimmten Integrals, gestiitzt auf endlich viele Funktionswerte Yi = f(~J (i = 1, 2, ... ,n) , in der Form

207

§7. Numerische Integration

mit "Gewichtsfaktoren" gi. tiber die Giite der Approximation muB eme Abschatzung des Restgliedes Auskunft geben:

Die primitive Methode der Approximation des Integrals n

Riemann-Summen Zn =

L

J:

f(x) dx

durch

f(~;)(Xi - Xi-I) (--+ 5.1) spielt in der Praxis keine

i=I

J:

groBe Rolle, da die Konvergenz Zn --+ f(x) dx i.a. nicht besonders gut ist. Bei der Approximation des Integrals nach der Trapez-Regel geht man von einer aquidistanten Teilung des Grundintervalls a = Xo < XI < ... < Xn = b aus (Schrittweite h := b ~ a , Stiitzstellen Xi := a + i h (i = 0, 1, ... , n)) und ersetzt die Kurve y = f(x) iiber jedem Teilintervall [Xi-I, xd durch die (Xi-I, f(Xi-r)), (Xi, f(Xi)) verbindende Sehne. Mit Yi := f(x;) ergibt sich so die Approximation

lb f(x)dx~h(~+YI+"'+Yn-I+~)'

(1)

Anschaulich: Die Flache unter der Kurve wird durch eine Summe von Trapezfiachen approximiert. Fiir praktische Rechnungen ist die

y

h b;

Schrittweite n := a besonders giinstig. Sie erlaubt eine schnelle Berechnung der Naherungssummen:

x

Abb. 131 - Trapezsumme

T. . = h [f(a) + feb)] o· 0 2 2'

Tn : =h n [ f~a) + f(a + h n) + ... + f(a + (2n - l)h n) +

f~)],

n

= 1,2, ....

Urn von Tn nach Tn+1 zu gelangen, braucht man nur die bei der Schrittweitenhalbierung hn+1 =

~

neu hinzugekommenen Teilpunkte zu beriicksichtigen.

Mn:=hn[f(a+h2)+f(a+3h2n)+···+f(a+(2n+I_1)~)J Tn+I

1 = "2[Tn + Mn]

liefert

.

Deshalb berechnet man in der Praxis der Reihe nach To, Mo, TI = i(To + Mo), M, , T2 = i(T, + Mr), M2, ... , so weit, bis sich Tn und Tn+1 nicht mehr merklich unterscheiden.

208

4. Integration

Bei gehobenen Anspruchen bestimmt man n aus der Restgliedabschatzung

{b

IJa

f(x)dx-Tnl:s

(b-a)3 M

3

4n+l

mit M = max { If" (x) I ; a :S x :S b} (die hier nicht bewiesen wird): Man gibt eine Genauigkeit e (etwa e = 10-7 ) vor und bestimmt das kleinste n mit (b-a)3 M

lb

Mit diesem n gilt dann

3

f(x) dx

4n+! < e .

= Tn ± e .

Romberg-Extrapolation. Fur praktische Rechnungen mit hoher Genauigkeit konvergiert die Folge Tn (n = 0, 1,2, ... ) noch zu langsam. AuBerdem verfiilschen die beim Einsatz eines Rechners unvermeidlichen Rundungsfehler fUr groBe n das Ergebnis. Deshalb berechnet man To, Tl, T2, ... , Tn fUr nur wenige n und fuhrt anschlieBend die sogenannte Romberg-Extrapolation durch, die zu einem wesentlich besseren Ergebnis fuhrt. Die Idee ist einfach: Man bildet aus den Tn andere Folgen, die i.a. schneller gegen den Integralwert konvergieren. Aus Tn,o:= Tn (n = 0,1,2, ... ) berechnet man Tn,J:=

Tn ,2 := Tn.k :=

4Tn 0 - Tn-l 0

'4-1'

4

42Tn

12 _

Tn-J

1

'

damit

(n=I,2,3, ... ), 1

(n = 2, 3,4, , .. )

4kTn k-l - Tn-l k-l ' 4k _ l '

(

n =

etc; allgemein

k k 1 ) , + ,... .

Ohne Beweis: 1st der Integrand f in [a, b] genugend oft differenzierbar, so ist Tn,k eine bessere Approximation des Integrals als Tn,k-I .

= iOn 10)2 = 2.650947928 ... aus To,···, T6 mit anschlieBender Romberg-Extrapolation berechnet:

Beispiel. Es wird I/o l~x dx

n

Tn

Tn.l

Tn,2

Tn,3

Tn.4

Tn.5

Tn,6

0 1 2 3 4 5 6

1.036163292 1.912875540 2.366921161 2.559871380 2.625551439 2.644362875 2.649285546

2.205112956 2.518269702 2.624188120 2.647444792 2.650633354 2.650926437

2.539146818 2.631249348 2.648995237 2.650845924 2.650945976

2.632711293 2.649276917 2.650875300 2.650947564

2.649341880 2.650881569 2.650947847

2.650883074 2.650947912

2.650947928

Wie man sieht, kommt T6,5 dem wahren Wert ausreichend nahe.

o

210

4. Integration

Aufgaben 1. 1st I die Liinge des mathematisehen Pendels und a der maximale Auslenkwinkel, so ergibt sich die Sehwingungsdauer T (........ Band 2) mit g = 9. 80655m/ S2 aus dem vollstandigen elliptischen Integral K(k) =

1"/2 J

---r====d==x==:= I - k 2 sin 2 x

o

T=4[fK( Sin I) .

(1)

Eine gebriiuehliehe Niiherung fur kleine a ist

T 2n[f .

(2)

=

a) Man bestimme die fur eine Standuhr mit 2-Sekunden-Pendel notige Liinge I aus (2) und aus (1) mit a = 4°. Dazu bereehne man K(k) niiherungsweise mit der Simpson-Regel fur 2 und 4 Teilpunkte. b) Wie groB ist die Gangabweiehung pro Woehe, wenn I naeh (2) bestimmt ist? e) (Mit PC) Man bereehne K (k) fur k = sin 89.5° mit Programm Romberg und vergleiche mit dem Tabellenwert 6.127778830. Warum ergibt sieh eine so groBe Abweiehung? 2. Das vollstandige elliptische Integral I (a, b) =

1"/2 ---r====:=d==x=:==~ -J o

a 2 eos 2 x + b 2 sin 2 x

(0 < b < a)

liiBt sich naeh C. F. GAUSS uber die beiden Folgen ausdriieken

=a bo = b ao

,

al

,

bl

I = 'l(ao + bo) = Jaob o

1 = 'l(al + h) b2 =;;;:h;

,

a2

die gegen einen gemeinsamen Grenzwert, das sog. M(a, h) von a und b konvergieren: I(a, b) =

n

arithmetisch-geometrische Mittel

1

'2 . M(a, b)

(Dies fuhrt zu einem auBerordentlieh sehnellen und genauen numerisehen Verfahren.) a) Fur al = ~(a + b), b l = M zeige man mit der Substitution . 2a sin 1{1 sm x = -----'------,,--(a + b) + (a - b) sin 2 1{1

1o -J ,,/2

xl"

d a 2 eos 2 x + b2 sin 2 x -

b) Vnter Beriieksichtigung von lim

n---+oo

I(a, b)

an

0

/2 ---;:::.:;;===:=d:::::1{1====;;==:;;==

Jai eos

2

1{1 +

bi sin 2 1{1

= lim bn = M(a, b) folgt aus a) n-+oo

= I(M(a, b), M(a, b» = M(a, b)-l . ~

e) Teste das naehfolgende Programm in Aufgabe Ie.

211

§7. Numerische Integration

Numerische Berechnung der vollstandigen elliptischen Integrale

f

K(k)

=

o

fJ

nI2,-_ _ __

nl2

dx

J1-k 2 sin 2 x

,

E(k)

=

1 - k 2 sin 2 X dx (O:s k < 1)

o

, Programm Vollst.Ellipt.Integrale , --------------------------------

C=(A-B)/2 E=E+O*C*C A=A1 B=B1 0=2*0 Until C<1.0E-09 Print "K(k)=";Pi/2/A Print "E(k)=";Pi/2/A*(1-E/2) Else Print "Fail" Endif End

Input "k";K If K<1 Then A=1 B=Sqr(1-K*K) C=K 0=2 E=C*C Repeat A1=(A+B)/2 B1=Sqr(A*B)

3. Die Kontur Z des Wankelmotors hat die Form einer Hypotrochoide. Sie ist die Bahn des Punktes A, wenn der Uiuferkreis K L auf dem (mit dem Gehause G starr verbundenen) Kreis KG abrollt. a) Man bestimme die Parameterdarstellung x(t), yet) von Z mit dem Winkel t gemaB Skizze. Fiir weJche Werte von alb liegen die Punkte B und C ebenfalls auf Z? (Rollbedingung: at = bcp . Beriihrbedingung: 0, M L, P auf einer Geraden.) b) Fiir a = 3, b = 2, d = 7 bestatige man x (t) = -

. 3

Sill

. 1

"2 t + 7 Sill "2 t

1

3

yet) = 7 cos"2t - cos "2t,

,

0:::: t

:::: 4n .

Man bestimme den Flacheninhalt Fund den Umfang U von Z, indem man U auf ein elliptisches Integral E( .J0.84) zuriickfiihrt und entweder den Tabellenwert 1.1507. .. oder obiges Programm verwendet.

Kapitel5

Potenzreihen Eine besonders wirkungsvolle Methode zur Lasung zahlreicher Probleme ist die

=L 00

Darstellung einer Funktion I als unendliche Reihe I(x)

Ik(X) mit geeig-

k=O

neten, wohlbekannten Funktionen !k; etwa als Potenzreihe mit Ik(X) = akxk , oder als Fourier-Reihe mit Ik(X) = ak cos kx + bk sin kx .

Eine besondere Rolle spielen dabei die Potenzreihen: sie sind von einfacher Bauart, lassen sich leicht manipulieren (d.h. addieren, multiplizieren, differenzieren, integrieren, ... ) und haben vielseitige, weitreichende Anwendungen. Bevor wir uns mit Potenzreihen befassen kannen, ist zu klaren, was man unter einer unendlichen Summe ao + a] + a2 + . .. von Zahlen ai E lR versteht.

§ 1. Unendliche Reihen 1.1 Grundbegriffe. Die aus einer Zahlenfolge ao, a], a2, . .. gebildete Summenfolge (sn)n:::O mit n

Sn :=

L ak = ao + a] + ... + an

(n 2: 0)

k=O

L ak 00

heiBt unendliche Reihe, sie wird mit

(bzw. mit ao+a] +a2+· .. ) bezeichnet.

k=O

D.h.

L ak := (sn)n:::O . 00

ao + a] + a2 + ... =

k=O

n

Die Zahlen ai heiBen Glieder der Reihe und die Summen Sn =

L ak

deren

k=O

Der Definition entsprechend sagt man, die Reihe konvergiert (bzw. divergiert), wenn (Sn)n,,:O konvergiert (bzw. divergiert).

Partialsummen.

1m Fall lim Sn = lim n--"J-oo

n~oo

(t

ak ) =

S

k=O

(mit

S E

lR U {-oo, oo} ) nennt man

Wert (oder die Summe) der unendlichen Reihe und schreibt

K. Meyberg et al., Höhere Mathematik 1 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

S

den

213

§ 1. Unendliche Reihen

wobei man sich der dadurch hervorgerufenen Doppeldeutigkeit des Symbols

L ak 00

durchaus bewuBt ist.

k=O

L ak : 00

Die beiden Bedeutungen des Symbols

k=O

L ak 00

a)

(alleinstehend) bezeichnet die Folge der Partialsummen

k=O

Sn

=ao + al + ... + an

(n::: 0) .

L ak =s

n

00

b)

Die Gleichung

bedeutet lim

n ..... oo

k=O

L ak =

S.

k=O

L qk = 1 + q + q2 + q3 + . .. 00

Beispiele 1. Die geometrische Reihe

Glieder ak = l wurde gezeigt:

(k ::: 0) und fur

Lqk

={

k=O

, falls Iq I < 1

1 ~q

, falls q ::: 1 (unbestimmt) divergent , falls q ::::: -1

L k=l

00

-q

----

00

2. Die harmonische Reihe

und den Wert

Iq I < 1 die Summe -1_1_. In Kap. 2, §4 I

00

(1)

besitzt die

k=O

k= 1+ ~ + ~ +. ..

hat die Glieder ak

=

k

(k::: 1)

(--+ Kap. 2, §4). 00

3. Die alternierende harmonische Reihe "'( -ll+ 1l L... k

die Glieder ak = (-1 )k+l

k

k=l

= 1 _l2 + l_l +3 4

. .. hat

(k::: 1); sie konvergiert (--+ Kap2. , §5) gegen den

L( _l)k+l k=In 2. 00

Grenzwert In 2 (--+ §4); d.h.,

0

k=l

Der Konvergenznachweis durch Berechnung der Summe, wie im Fall der geometrischen Reihe, ist die Ausnahme. Die Berechnung der Summe ist i.a. schwierig und erfordert spezielle Methoden. In der Regel gelingt es aber, die Konvergenz oder Divergenz anhand der folgenden Tests (Kriterien) nachzuweisen. Das Cauchy-Konvergenzkriterium (--+ Kap. 2, Satz 5.4) auf Reihen ubertragen lautet:

214

5. Potenzreihen 00

Satz 1.1. Die Reihe L

ak ist genau dann konvergent, wenn es zu jeder noch so

k=O

kleinen Zahl ISn -sml

E

> 0 einen Index NE gibt, so daj3 gilt

= lam+l +am+2+···+anl

<

E

fiiralle m,n::: NE (o.E. n > my.

Als unmittelbare Folgerung ergibt sich eine notwendige Konvergenzbedingung: Satz 1.2. Die Glieder einer konvergenten unendlichen Reihe bilden eine Nullfolge. Beweis. In Satz 1.1 nehme man m n > NE ; d.h. an -+ 0 .

L

kk) muB scheitern; ( -k'

k=l

n->oo

ISn - sn-ll

= Ian I <

E

00

fiir aIle

kk k! einen endlichen Grenzwert zu bestimmen,

ist keine Nullfolge.

k:':l

Die Bedingung lim an

1:

D

Beispiel. Jeder Versuch, fiir .

=n -

=0

D

ist zur Konvergenz der Reihe notwendig, aber i.a.

nicht hinreichend, wie das Beispiel der harmonischen Reihe zeigt. Fiir alternierende Reihen (das sind solche, in denen aufeinanderfolgende Reihenglieder verschiedene Vorzeichen haben) ist diese Bedingung beinahe auch hinreichend (-+ Aufg. 5). Es gilt: Satz 1.3. Leibniz-Kriterium fUr alternierende Reihen Fur jede monoton fallende Nullfolge ao, a), a2, . .. konvergiert die alternierende Reihe 00

L(-I)kak = ao - al +a2 - a3 + - .... k=O

n

Fur die Approximation der Summe s durch die Partialsummen Sn gilt die Fehlerabschiitzung

Is - snl :S= an+l (n

= L( -l) kak k=O

= 0,1,2, ... ) .

Beweis. Der Beweis mit dem Cauchy-Kriterium (Satz 1.1) verHiuft v6Ilig analog 1

zu dem in Kap. 2, §5 ausgefiihrten Spezialfall ak = k (alternierende harmoniD sche Reihe). Beispiel. Die Sinusfunktion besitzt die Reihendarstellung .

smx =x -

x3

x5

x7

3T + 5! - 7! + - ...

1 . .. (-+ §3). Fur x = 10 erglbt das

. 1 1 1 1 sm 10 = 10 - 3!103 + 5!10 5 -+ .. ·=0.099833416±E mit dem Fehler E = Is - s31 <

a4

=

7!~07

< 10- 10 •

D

215

§ 1. Unendliche Reihen

Beachte: Die angegebene Abschatzung gilt i.a. nur fur konvergente alternierende • •• 00 1 1 1 Jr2 Relhen . Fur '~ " -k 2 = 1 + -22 + -32 + ... = -6 (--+ Kap. 2, §5) beispielsweise k=l

berechnet man

S200

= 1.639946548,

was yom Summenwert s

(2~1)2 = 2.475186258E -

"wesentlich" weiter entfemt ist als

= 1.644934067

05.

Die Rechenregeln fur Folgen sind leicht auf Reihen zu ubertragen. So gilt insbesondere: Satz 1.4. Rechenregeln fur konvergente Reihen. Fur aile c 00

00

00

Lak =a, k=O

Lbk =b (a,b k=O

Beispiel. Aus ~ ~ k12

= Jr62

k=l

E

=*

lR)

L(ak k=O

und ~ ~ (k-+1i1 k=l

E

lR gilt

± bk) =a ± b,

= In 2 -

00

L(cak) k=O

= ca

1 + (k_1)k) 1 folgt ~ ~ ( k2 +1 k=l

Jr2

.

= o

6 +ln2 - 1.

Eine Warnung. Elementare Manipulationen, die bei endlichen Summen den Summenwert nicht andem, sind bei unendlichen Reihen ("unendlichen Summen") nicht uneingeschriinkt erlaubt.

o

Klammern Jortzulassen ist i.a. nicht erlaubt. 00

Beispiel. Die Reihe L ak mit ak

= (1

=0

- 1)

ist konvergent, der Grenzwert

k=O

L ak = (1-1)+(1-1)+··· = O. Durch Fortlassen der Klammem entsteht hieraus 00

k=O

00

die divergente Reihe 1 - 1 + 1 - 1 + - ... und den Partialsummen

®

=L

b k mit bk

k=O

Sn

= 0 , falls n ungerade,

Sn

= (_1)k

(k

= 0, 1, ... )

= 1 , falls n gerade.

0

Klammern zu setzen ist i.a. ebenJalls nicht erlaubt.

L bk 00

Man betrachte das vorhergehende Beispiel: Aus der divergenten Reihe

L ak . Jedoch gilt: 00

entsteht durch Klammerung die konvergente Reihe

k=O

Satz 1.5. In einer konvergenten Reihe darj man beliebig Klammern setzen: s

=ao + al + a2 + ... =(ao + ... + akl) + (akl+l + ... + ah) + ...

k=O

216

5. Potenzreihen

Beweis. Die Partialsummen s~ = (ao + ... + akl) + ... + (akn_l+l + ... + akJ der "geklammerten" Reihe bilden eine Teilfolge der konvergenten Folge Sn = ao + al + ... + an, n :::: 0; sie konvergieren deshalb gegen denselben Grenzwert s (--7 Kap. 2, §4). 0

o

Eine Umordnung der Glieder (Summanden) ist ohne Zusatzvoraussetzungen nicht erlaubt.

Beispiel. Fur die altemierende harmonische Reihe (s.o.) gilt mit Satz 1.4:

=1 +i In 2 = 0 ~ In2 = In2

I

I I + 5I 0 + 'I I 1 4 + 0 + 0 + 0

1

+ '31 1 + "2 + 0 "2

4

1 + 0 + '3

1

"2

1 + 5 + 0 + 'I1

I

I

I

I

+ 9 10 + IT 1 1 8" + 0 + 10 + 0 8"

I

4

1 1 + 9 + 0 + IT

UiBt man die Nullen weg, so entsteht die Reihe in der letzten Zeile durch Um0 ordnung aus der Reihe in der ersten Zeile.

1.2 Absolute Konvergenz. Die Sachlage vereinfacht sich, wenn aIle Reihenglieder :::: 0 sind.

L ak 00

Definition. Die Reihe

L 00

Betri.i.ge

heij3t absolut konvergent, wenn die Reihe der

k=O

lakl = laol + lall + la21 + ... konvergiert.

k=O

Reihen, die zwar konvergieren, aber nicht absolut konvergieren, nennt man bedingt

konvergent. Die altemierende harmonische Reihe ist ein Beispiel fur bedingte Konvergenz. Es gilt Satz 1.6. Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent (im gewohnlichen Sinn).

L 00

Beweis. 1st

lak I konvergent, dann gibt es (--7 Satz 1.1, Cauchy-Kriterium)

k=O

zu E > 0 einen Index N E, so daB laml + lam+ll + ... + lanl < E fur m, n :::: NE , n > m. Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt lam + a m+1 + ... + an I :s lam 1+ lam+11 + ... + lanl < E fur m, n :::: N E , was wiederum nach Satz 1.1 die

L ak 00

Konvergenz der Reihe

nach sich zieht.

o

k=O

Die wesentlichen Kriterien fur absolute Konvergenz basieren auf der folgenden Beobachtung.

217

§ 1. Unendliche Reihen 00

Satz 1.7. Die Reihe L

ak ist genau dann absolut konvergent, wenn die Folge der

k~

Partialsummen Sn :=

laol + la11 + ... + Ian I

00

(d.h. die Reihe L

lakl ) beschriinkt ist.

k=O

Beweis. Da die Folge (Sn)n:::O offenbar monoton wiiehst, folgt die Behauptung sofort aus dem Monotoniekriterium (~ Kap. 2, §5). D Beispiel. 1 L ka k=l 00

(2)

{

Beweis. 1. Fall a > 1. Zu n gilt. Es folgt Sn

:s S2"'-1

konvergiert , falls a > 1 divergiert , falls a :s 1

E

IN wird m

= 1 + (ia + 31a) + ... +

:s 2 m -

IN so gewiihlt, daB n

E

1

((2m~1 )a + ... + (2m ~ 1)a )

2 4 2m - 1 00 1 m < 1 + - a + - a + ... + < ~ (-) 4 2 (2m- I )", - L 2a- 1 m~

:s

D

2 = -,:---;-----,2",-1 - 1 1

a

In diesem Fall sind die Partialsummen groBer oder gleieh 00 1 den entspreehenden Partialsummen der harmonise hen Reihe k und es gilt k=l 00 1 D ka = 00 (falls a :s 1 ). 2.

Fall a

1.

L

L

k=l 00

Beachte:

L

~1

00

=

00,

aber

k=l

L kLE

hat fUr jedes noch so kleine

k=l

endlichen Wert. Die Konvergenz ist fur kleine

E

E

> 0 einen

aber sehr langsam.

Als einfache Folgerung aus Satz 1.7 ergibt sich das nutzliche Vergleichskriterium: Satz 1.S. Vergleichskriterium oder Majorantenkriterium Besteht fiir die Reihenglieder die Abschiitzung

o :s lakl :s bk

fiir k :::: ko , dann gilt 00

00

a)

Lbk konvergent k=O

::::}

00

b)

Llakl=oo k~

Lak k=O

absolut konvergent ,

00

::::}

Lbk k=O

= 00

218

5. Potenzreihen 00

Beweis. a): Es geniigt, die Konvergenz der "Restreihe" L lakl nachzuweisen, 00 k=ko deren Partialsummen nach Voraussetzung durch bk beschrankt sind. Mit Satz k=O o 1.7 folgt die Behauptung. b) ist unmittelbar klar.

L

Lb 00

Eine Reihe

k , die den Voraussetzungen des Satzes 1.8 geniigt, heiBt eine k=O 00 Majorante der Reihe L ak . k=O

Beispiel.

f

k=l

2s~~~~; ~)1

sin(k3 + 3) I I2k3 + 2k + 1 :s

1 2k3

ist absolut konvergent; denn es gilt

(k 2: 1) und

1~ 1 . k 3 konverglert (---+ (2)).

"2

t=t

o

Ein Vergleich mit der geometrischen Reihe fiihrt zu einem besonders anwendungsfreundlichen Konvergenz-Test. Satz 1.9. Das Quotieutenkriterium. 1st ak =I 0 fur alle k 2: ko und konvergiert die Folge der Quotienten a~:l, dann gilt: 00

a)

lim Iak+l I < 1 k-+oo ak

=>

Lak k=O

b)

lim Iak+ 1 I > 1 k-+oo ak

=>

Lak k=O

ist absolut konvergent ,

00

konvergiert nicht .

Beweis. a): Nach Voraussetzung gibt es eine Zahl q, 0

Ia~:l I :s q

:s

q < 1, so daB

fiir aIle k ab einem kl . Fiir diese k, k = kl + I , folgt lak1+Ii

:s qlakl+(l-l)l :s ... :s q1lak11

.

Das Majorantenkriterium (mit bk1+1 := lakllql ) bestatigt die Behauptung. b): In diesem Fall ist (adk,,=o keine Nullfolge und deshalb die Reihe nicht konvergent (---+ Satz 1.2). 0 ak+l k Bemerkung. An der divergenten harmonischen Reihe mit Cik k+l ---+ 1 erkennt man, daB in a) die Bedingung < 1 nicht durch :s 1 ersetzt werden darf.

Falls lim Ia~+l I = 1 , dann ist Satz 1.9 nicht anwendbar. k-+oo k

219

§ 1. Unendliche Reihen

Beispiele. Die folgenden Reihen konvergieren fur jedes x 00 Xk x2 x3 x4 1. k! = 1 +x + 2T + 3T + 4! + .... k=O 00 x2k+! x3 x5 X7 2. (_1)k (2k + I)! =x - 3T + 5T - 7T + - .... k=O 00 x2k x2 x4 x6 3. L(-I)k (2k)! = 1 - 2! + 4! - 6! + - .... k=O

E

1R absolut:

L L

Beweis. Mit dem Quotientenkriterium: 1. Mit ak

= ~~

wird

2. Mit ak = (_1)k 3. analog.

Ia~:1 I = Ik : 11 ~ 0

(2~2:+~)!

wird

~ 00 . Ia~:l I = I(2k + 2~;2k + 3) I ~ 0 fur k

fur k

~ 00 . D

Ohne Beweis zwei nur for absolut konvergente Reihen gultige Rechenregeln:

L 00

L 00

Satz 1.10. Cauchy-Produkt. Fur absolut konvergente Reihen ak und bk k=O k=O gilt die Produktformel

Beispiel.

(f ~~) (f i~) = f +? k=O

k=O

(x

n=O 4.1).

n.

=

n n-k) L L k~/-k)! n=O k=O 00

(

=

k

)n. Das ist die Beziehung ex+Y

Ln=O n!1 (nLk=O (~) xkyn-k )

= eX

00

. eY

(~

=

§3(5) und Kap. 3, D

L ak 00

Satz 1.11. Umordnungssatz. 1st die Reihe

L 00

menwert s, dann konvergiert jede aus standene Reihe ebenfalls gegen s. k=O

Beispiel.

absolut konvergent mit Sumk=O ak durch Umordnung der Glieder ent-

111111 11111 1--+---+---+--+··· = 1+---+-+---+- ... 4 9 16 25 36 49 9 4 25 49 16

D

220

5. Potenzreihen

Aufgaben I. Man untersuehe, ob folgende Reihen konvergieren: 1 3 4 5 2'+4+5+6+'" , 1·2 1·2·3 1 + - - + - - - + .. · 1·3 1·3·5

a) e)

I+~+..i.+~+ ...

e)

2!

3!

4!

2

4

6

8 + Sf + ...

b)

:3 + 9' + 27

d)

1 1 1 1 + 100 + 200 + 300 + ...

f)

1 __1_+_1___1_+ ...

v'2 v'3

v'4

2. Die beiden Reihen 00

00

~

Lqn und

L

n=O

n=O

qn 1 +q"

(q > 0)

sind entweder beide konvergent oder beide divergent. Vergleiehskriterium.

Man begriinde dies mit dem

L 00

3. Man zeige mit dem Quotientenkriterium, daB die Reihe giert.

kqk-l fur Iq I < 1 konver-

k=l

4. a) Warum konvergiert die Reihe

n)?

~ ((-I)n L

2n+ 1 . n +2

n=O

b) Ab welchem Index No unterseheiden sieh die Partialsummen

5. Fur die Reihe

t

an

mit

an

=

SN

yom Grenzwert

1~0?

der Reihe sieher urn weniger als

k+ (-.Yn

n

zeige man:

n=l

a) Die Reihe ist alternierend und lim

n-+oo

an

=0.

b) Die Reihe divergiert. Warum ist das Leibniz-Kriterium nieht anwendbar? 6. Man untersuehe auf Konvergenz

t

a)

n=l

v'n+I -fo fo

e)

b)

d)

1 3! 5! 7! -+--+---+ + ... 2 2·4 2·4·6 2·4·6·8

7. Man untersuehe, ob die folgende Reihe konvergiert und bestimme gegebenenfalls ihren Summenwert 1 1 1 ~+2·3·4+~+"·

8. Man untersuehe, fur welche p die folgenden Reihen konvergieren

L nP(.Jn'+l 00

a)

n=1

00

2,.fii + fn"=l) ;

~

b) L

n=1

(n!)p (3n)!

221

§ 2. Reihen von Funktionen

9. Fur welche positiven u, v konvergiert die Reihe

L: (1+u)(2+u)···(n+u) (1 + v)(2 + v) . (n + v) OO

~--~~~~--~

?

n=l

a) Dazu betrachte man zunachst die zwei Faile v - u = 1 und v - u = 2 und kurze geeignet. b) Die Konvergenz flir v - u > I zeige man mit dem verseharften Quotientenkriterium von E. KUMMER (1810-1893): 1st an > 0

(n:::: 1) und gibt es eine Foige positiver Zahien (en)n"l , so daj3

L: an . 00

en - en+l a~:l :::: a > 0, dann konvergiert die Reihe

n=l

(Tip: Wahle en = n + v )

§ 2. Reihen von Funktionen

* 2.1 GleichmaBige Konvergenz.

Ausgehend von einer auf einem Intervall I S; lR erklarten Funktionenfolge (Funktionensystem) fa, f1, h, . .. bildet man zu jedem x E I die Zahlenfolge fa (x ), II (x), h(x), ... und bezeichnet im Fall der Konvergenz den Grenzwert mit f(x). Man sagt, die Funktionenfolge (Ah:::o konvergiert auf I punktweise gegen f, wenn fiir jedes x EIder Grenzwert f(x) = lim A(x) existiert. Die Konvergenzgeschwindigkeit bzw. die Giite k--+oo

der Approximation von f(x) durch A(x) (k::: ko) ist i.a. von Punkt zu Punkt verschieden; dadurch gehen oft gemeinsame Eigenschaften aller fk bei der Grenzwertbildung verloren. Definition. Eine Funktionenfolge fa, II, h, . .. konvergiert gleichmaBig auf I gegen die Funktion f : I ---7- lR, wenn sieh zu jeder beliebig kleinen Fehlerschranke E > 0 ein fiir aIle x E I gemeinsamer Index N = N, finden liiJ3t, so daJ3 gilt n::: N

===}

If(x) - fn(x)1 <

fiir aUe x

E

E

I .

Anschaulich: Fiir n ::: N liegen aIle Graphen y = fn(x) im "E-Schlauch" urn y=f(x).

~fI'l a

x

Abb. 132a - gieichmiiBig

b

a

x

b

Abb. 132b - nieht gieiehmiiBig

Die Bedeutung der gleichmaBigen Konvergenz zeigt sich in den folgenden Satzen.

222

5. Potenzreihen

Satz 2.1. Die Stetigkeit der Grenzfunktion. Sind aile Funktionen fn

(n:::: 0) auf dem Intervall I stetig und konvergiert die Folge der fn auf I gleichmaJ3ig gegen f, dann ist auch die Grenifunktion f stetig.

Beweis. Sei

£ > 0; wegen der gleichmaBigen Konvergenz gibt es einen Index N, so daB RN(X) := IfN(X) - f(x)1 < £ fiir aIle x E I. Damit erhalt man fiir beliebige x, Xo E I die Abschatzung

If(x) - f(xo) I = If(x) - fN(X) :::: RN(X)

+ fN(X) - f(xo) + fN(XO) - fN(Xo)1

+ IfN(X) - fN(Xo)1 + RN(XO)

:::: I fN(X) - fN(Xo)1 + 2£

Da fN stetig ist ergibt sich deshalb fiir x --+ Xo auch f(x) --+ f(xo).

D

Satz 2.2.

Die Integration der Grenzfunktion. Konvergiert die Folge stetiger Funktionen fn, n :::: 0, auf dem Interval! I gleichmiiJ3ig gegen f : I --+ IR., dann gilt fur aile a, bEl

I

a

Beweis. Sei

£

b

(lim fn(x))dx = n--+oo

Ib a

f(x)dx = lim

n--+oo

Ib a

fn(x)dx .

> 0 und N E IN so gewahlt, daB fiir aIle n :::: N und aIle

gilt (0.E. b =I a). Mit der Integralabschatzung (--+ Kap. 4, § I (9)) folgt dann fiir n :::: N

x E I die Abschatzung If(x) - fn(x)1 < b ~ a

lIb

-Ib

f(x)dx

fn(x)dx I ::::

Ib

If(x) - fn(x)ldx <

£ .

D

Satz 2.3. Die Differentiation der Grenzfunktion. Sind alle Funktionen fn, n :::: 0, auf I stetig differenzierbar, konvergiert die Folge fn (x), n :::: 0, punkt. . weise gegen f(x) und konvergiert die Folge der Ableitungen f~, n:::: 0, auf I gleichmiiJ3ig, dann ist auch die Grenzfunktion f differenzierbar und es gilt f'(x) = (lim fn(x))' = lim f~(x) . n--+oo

n--+oo

Beweis. Die Grenzfunktion g(x) := lim

n ....HX)

f~ (x)

ist nach Satz 2.1 stetig. Satz 2.2

und der Hauptsatz der Differential . . und Integralrechnung (--+ Kap. 4, Satz 1.3) ergeben fiir a, x E I

I

a

x

g(t)dt = lim

n--+oo

IX f~(t)dt = lim [fn(x) a

Durch Ableiten folgt f' (x)

n--+oo

= g(x) = n->oo lim f~ (x) .

fn(a)] = f(x) - f(a) . D

In den folgenden Abbildungen mit speziellen Funktionenfolgen (--+ Aufgaben 1., 2., 3.) ist zu erkennen, daB die punktweise Konvergenz allein die erwahnten Eigenschaften der Grenzfunktion i.a. nicht erzwingt.

223

§ 2. Reihen von Funktionen

y

y

3 2 1

If20 1 1

f

1 X

2

X

Abb. 133 - Gegenbeispiele I, 2 und 3

Gegenbeispiel 1. fn (X) = Xn, O:s X :s 1 . Die fn sind stetig, aber die Grenzfunktion ist in

X

Gegenbeispiel 2. g n(x) = :;:: arc tan nx, - 1 :s x :s 1 . AIle gn sind differenzierbar, aber die Grenzfunktion g(x) in x

=0

o

= 1 nicht stetig.

nicht differenzierbar.

= n-+co lim gn(x) = Ixl

ist

o

1 Gegenbeispiel 3. Der Graph von h n hat die Knickpunkte (0,0), (n,n) und (.?, 0). Fur die Grenzfunktion h(x) = lim h n(x) = 0 gilt n-+co n

0=

[1 h(x)dx =J lim

Jo

n-+co

t

Jo

o

hn(x)dx = 1 .

* 2.2

Gleichmafiig konvergente Funktionenreihen. Von besonderer Bedeutung ist die gleichmaBige Konvergenz bei der Darstellung einer Funktion f als co

unendliche Reihe, f(x)

co

=L

L

fk(X). Naturlich sagt man, die Reihe fk(X) k=O k=O konvergiert auf I gleichmaBig gegen f(x), wenn die Folge der Partialsummen Sn := fo + !I + ... + fn auf I gleichmaBig gegen f konvergiert. Die Satze 2.1, 2.2, und 2.3 werden in der folgenden Weise ubertragen: co

Satz 2.4. Konvergiert die Reihe gleichmaj3ig gegen f, dann ist

L

fk(X)

stetiger Funktionen

k=O co

f(x) =

L

fk(X)

k=O

ebenfalls stetig und fur aile a, bEl gilt

1b(CO?;

fk(X)

)

dx

=1b

f(x)dx

=?;

co (

1b

fk(X)dx

)

fk

auf I

224

5. Potenzreihen

Satz 2.5. Sind al!e Funktionen ik (k

~

0) auf I stetig differenzierbar, konver-

00

giert die Reihe L

L

fk(X) auf I punktweise gegen f(x) und konvergiert die Reihe

k=O

00

f{(x) der Ableitungen auf I gleichmafiig, dann gilt

k=O

Die gleichmiiBige Konvergenz ergibt sich meist aus Satz 2.6. M-Test. Gilt for jede Funktion der auf dem Interval! I S; lR definierten Funktionenfolge (ikh":.o eine Abschatzung 00

Ifk(X)1 ::: Mk (const.)for al!e x

L

E

00

dann ist die Funktionenreihe

I undfiir die Zahlenreihe LMk < k=O

00 ,

fk(X) auf I gleichmafiig und absolut konvergent.

k=O

Beweis. N ach dem Majorantenkriterium (-+ Satz 1.8) ist die Reihe punktweise

L 00

konvergent. Sei f(x):=

fk(X) der jeweilige Summenwert. Da es zu

k=O

L 00

~

> 0

n

00

Mk - L Mk I ::: E , falls n > NE , folgt fur k=n + ! k=O k=O NE und aIle x E I die einheitliche Abschatzung

ein NE gibt, so daB aIle n

E

If(X) -

Mk

= IL

n

00

k=O

k=n+!

L fk(X) I = I L L

00

fk(X)1 :::

L

k=n+!

00

lik(x)l:::

L

Mk <

0

E .

k=n+!

00

cO;2kx konvergiert gleichmaBig (und absolut) auf lR; k=! 00 1 (fur aIle x) und k 2 ist konvergent. 0 k=!

Beispiel 1. Die Reihe denn

I CO;2kx I::: :2

L

Beispiel 2. Mit {x} werde der Abstand der reellen Zahl x zur nachsten ganzen Zahl bezeichnet. Da x 1--+ {x} stetig ist, sind fur jedes k ~ 0 die Funktionen fk(X) := Ifk(X)1 :::

he

L 00

1

l~k

l~k {lO kx}

stetig. Mit

(fur aIle x) ist die Rei-

10k {lOk x } nach dem M-Test gleich-

~.

1 k=O maBig auf lR konvergent und stellt mit Abb. 134 - y = {x} Satz 2.4 eine auf lR stetige Funktion dar. Es liiBt sich zeigen, daB diese Funktion trotzdem nirgends differenzierbar ist.

X

0

225

§2. Reihen von Funktionen

Aufgaben 1. Fiir folgende Folgen stetiger Funktionen fn, gn, h n (n E IN) bestimme man die Grenzfunktion, untersuche auf gleichmaBige Konvergenz und Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit der Grenzfunktion. Eine sorgfaltige Skizze ist empfohlen.

b)

fn(x) = x n , 0 S x s 1 2x gn(x) = ""iT arctan(nx), -1 :::: x:::: 1

c)

fn(x) =

a)

2.

I

n2x 2n - n 2x

(Gegenbeispiel 1). (Gegenbeispiel 2).

,Osxsl/n ,1/n S x:::: 2/n ,2/nsxsl

o

(Gegenbeispiel 3).

Gegen welche Funktion f(x) konvergiert die Funktionenfolge .t~ (x)

= nxe- nx ,

1st die Konvergenz gleichmaBig? (Dazu betrachte man das Maximum von fn!) Gilt lim

n-+oo

11 0

fn(x)dx =

11

3. Man wiederhole Aufg. 2 fiir die Folge fn(x) lim lim

n-+oo a-+oo

l

a

0

2

00

fn(x)dx =

0

lim fn(x)dx? n-+oo

= nx2 e- x/n ,Os x

1

00

0

sa. Gilt

lim fn(x)dx?

n-+oo

00

(1 :x2)k und g(x) = Lxk(l - x).

4. Man betrachte f(x) = L

k=1

k=O

a) Fiir welche x sind fund g erklart, fiir welche x stetig? b) In welchen Intervallen darf gliedweise differenziert und integriert werden? 00

5. Man zeige,

,,~ ~x +n

konvergiert in jedem abgeschlossenen Intervall gleichmaBig.

n=l

6. Das Konvergenzkriterium von P.G.L. DIRICHLET (1805-1859) lautet:

1st (an)n?:1 eine monoton fallende Nullfolge und sind die Summen L 00

so konvergiert die Reihe L

anbn .

n=l

Man zeige damit, daB die Reihe

al sin x + a2 sin 2x + a3 sin 3x + ... unter der Bedingung

im Intervall [a, b] mit 0 < a, b < 7T gJeichmaBig konvergiert. (Hilfe: Man verwende FormeJ (13) von Kap. 2, §3)

k=l

bk beschriinkt,

226

5. Potenzreihen

§ 3. Potenzreihen Eine unendliche Reihe der Form

mit x E IR (variabel) und ak E IR (konstant) nennt man eine Potenzreihe, die Zahlen ak (k :::: 0) heiBen KoeJfizienten der Potenzreihe. Es handelt sich also urn

L 00

eine Funktionenreihe

fk(X) mit fk(X)

= akxk

(k

= 0,1,2, ... ).

k=O

L xk = I + x + x 2 + . .. 00

Beispiele. 1. Die geometrische Reihe

enten •

ak

= 1 (k :::: 0) . •

2. DIe Relhe

hat die Koeffizi-

k=O

2k+!

L( -1)k (2kx + I)! = x 00

k=O

x3

x5

X7

.

.

3T + Sf - 7! + - ... hat dIe Koeffiztenten

1

1

1

ao=O, al=l, a2=0, a3=-3!' a4=0, a5=S!' a6=0, a7 =-7!"" k 1 (a2k=0, a2k+l=(-I) (2k+l)!)'

Beachte: Fehlende x-Potenzen haben Koeffizienten O.

D

Es ist das Ziel, eine Funktion f auf einem Intervall I durch eine Potenzreihe

L ak xk (x 00

darzustellen, f(x) =

E

I) .

k=O

3.1 Der Konvergenzradius. An einer Potenzreihe interessieren zu allererst die Menge M :=

! x

E

IR ;

f

ak xk konvergiert

k=O

I

und die Zahl R '= { sup{ Ix I , x EM} , falls M beschrankt ist .

00

,

falls M unbeschrankt ist.

Man nennt R den Konvergenzradius der Potenzreihe. Es gibt die drei Moglichkeiten R=O,

O
R=oo.

L k !x k

hat den Konvergenzradius R

00

Beispiel 1. Die Reihe

= 0,

sie konver-

k=O

giert nur fur x =0 (fur x =I 0 ist k!x k keine Nullfolge). Also ist M = {O}, R = sup M =0 .

D

227

§3. Potenzreihen

L 00

Beispiel 2. Die geometrische Reihe xk hat den Konvergenzradius R denn fUr diese Reihe ist k=O M = {x ; Ix I < I} und R = sup{ Ix I ; Ix I < 1 } = 1 .

L 00

Beispiel 3. Die Reihe

M unbeschrankt und R

= 1, D

k

~! konvergiert fur aIle x E lR (~ § 1), demnach ist

k=O

= 00 .

D 00

Satz 3.1. Die Konvergenz der Potenzreihen. Fur eine Potenzreihe L dem Konvergenzradius R gilt a)

R

=0

<===}

Die Reihe konvergiert nur fur x

b) 1st R > 0 und P 00

E

akxk mit

k=O

= O.

lR mit 0 < p < R, dann konvergieren die Reihen

00

Lak xk und Lkakxk-l absolut und gleichmaj3ig auf dem abgeschlossenen k=O k=l Interval! -P:'S x:'S p. 00

c)

Fur aile x mit

Ix I >

R ist die Reihe L akxk divergent. k=O

Beweis. Fur a) ist nichts zu beweisen. b): Zu p < R gibt es gemaB der Definition des Supremums ein Xo EMmit p < Ixol :'S R. Nach Satz 1.2 gibt es eine Konstante C, so daB lakxgl :'S C fUr aIle k 2: 0 gilt. Fur Ix I :'S P und aIle k folgt dann lakxkl = lakllxolkl~lk < Cqk Xo -

mit q := IP...I < 1. Xo

00

Nach dem M-Test ist Lakxk auf -p :'S x :'S p absolut und gleichmaBig konk=O vergent. 00

Ebenso sieht man Ikakxk-ll :'S Ckqk-l. Fur L kakxk-l folgt die absolute und k=l

gleichmaBige Konvergenz auf - p :'S x :'S p wiederum mit dem M-Test Aufg.3). c) folgt direkt aus der Definition von R.

(~

§ 1, D

Aufgrund dieses Satzes ist die Konvergenzmenge M fallweise das offene, halboffene oder abgeschlossene Intervall (sofem M =I {O} ): M=(-R,R);

M=[-R,R);

M=(-R,R];

M=[-R,R].

Man nennt M das Konvergenzintervall der Potenzreihe. Ob in den Randpunkten x = - R, x = R Konvergenz oder Divergenz vorliegt, ist von Fall zu Fall zu entscheiden.

228

5. Potenzreihen

3.2 Berechnung des Konvergenzradius. Fur zahlreiche Potenzreihen kann man den Konvergenzradius R aus den Koeffizienten der Reihe berechnen:

CD

ak =1'

k-+oo

I

00,

dann gilt

R-lim I~I - k-+oo ak+1 .

(1)

(2)

I k+ I existiert oder ist

0 fur k 2: ko und lim aa k

In regelmaBigen Abstanden seien em oder mehrere

(regelmaj3ige Lucken):

00

Koeffizienten Null; d.h. L

akxk

=

00

xr(a r + ar+lx l

+ ar+21X2l + ... )

k=O

bnx ln ,

n=O

aIle b n =1' O. Falls auch lim Ibb n n---+-oo

Substitution y := xl aus

= xr L

CD

(2)

I n+l

R =

I

existiert oder

00

ist, dann folgt mit der

l'I m Ib n- I n-+oo bn+1 .

0)

(allgemeiner Fall): Gelingt die R-Bestimmung nicht mit (1) oder (2), versuche man es mit der folgenden allgemeingultigen Formel:

R = sup B,

(3)

mit B := {r 2: 0 ; die Folge (Ian Irnk:o ist beschrankt} ,

=00

wobei man naturlich R Beweis.

CD

setzt, wenn B nach oben unbeschrankt ist.

Nach dem Quotientenkriterium konvergiert (divergiert) die Reihe,

falls lim la k+1x:+ 1 < 1 (> 1). D.h., sie konvergiert, falls Ixl < lim k-+oo

akx

1

I~I

k-+oo ak+l

I k+l I·

und divergiert, falls Ix I > lim aa k k-+oo

00

0) Fur Ixl

< R ist L

lanxnl

konvergent, insbesondere die Folge (Ianllxnno::o

n=O

beschrankt (--+ Satz 1.2); also gilt R :::: sup B. 1st nun rEB und Ix I < r, 00

dann sieht man wie im Beweis zu Satz 3.1 (mit r anstelle Ixol), daB LanX n n=O

konvergiert. Das bedeutet r < R fur aIle rEB und somit sup B :::: R. Insgesamt folgt R = sup B . 0 Beispiel 1. Die Reihe

L 00

kk

k! xk (mit ak

kk

= k!

) hat den Konvergenzradius

k=l

R

· I-a ak I l' kk(k + I)! l'1m ( -kk1 )k = -1 11m =k-+oo =k-+oo 1m k.'Ck + l)k + I =k-+oo k+1 + e

D.h., die Reihe konvergiert fur jedes x auBerhalb

[-~,~].

Speziell: die Reihe

E (-

L 00

k=l

~, ~) 6

(--+ Kap., 2 §5) .

und divergiert fur aIle x

(O.~!k)

k

konvergiert, die Reihe

229

§3. Potenzreihen 00·

,,(O.37k) ~ k!

k

d' . Iverglert.

(Die Reihe konvergiert im Randpunkt x

k=l

= _le

e.

· . f"ur x = 1 ) d lVerglert

und

o

Beispiel 2. Die Potenzreihen

haben nach (1) den Konvergenzradius R = 1. In den Randpunkten x = 1 ist ihr Konvergenzverhahen sehr verschieden:

= -1 ,

x

00

L

xk divergiert fur x

=1

und x

= -1 ,

k=O

~Xkk ~

konvergiert fur x

= -1

konvergiert fUr x

=1

und divergiert fUr x

=1 ,

k=l

~xk

~ k2

und x

= -1 .

k=l

o

Beispiel 3. Die Reihe mit regelmaBigen Lucken

=x 3

G- /:2 + 3~~3 - ... ) 1

=x 3 ( 5 -

y

y2

y3

2 . 52 + 3 . 53 - 4· 54 + ...

)

hat nach (2) den Konvergenzradius

R=

.

hm

n--+oo

(n+l)·5n+l n ·5 n

~ = v5 .

o

Beispiel 4. Die Koeffizientenfolge der Potenzreihe 00

Lxk2 = 1 +x +x4 +x9 +x16 + ... k=O

weist immer groBer werdende Lucken auf. Zur Bestimmung von R sind weder (1) noch (2) anwendbar; aber (3) fuhrt sehr schnell zum Ziel. Offenbar ist fur r ~ 0 die Folge 1, r, r 4 , r 9 , . .. genau dann beschrankt, wenn r :::: 1. D.h. R = sup B = 1. 0

230

5. Potenzreihen 00

3.3 Die Differentiation und Integration von Potenzreihen. Sei L akxk k=O eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0 und Summe f(x), falls Ixl < R. Man sagt, die Funktion f wird auf (- R, R) durch die Potenzreihe dargestellt.

Satz 3.2. Die Differentiation einer Potenzreihe. Eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion fist im offenen Konvergenzintervall - R < x < R, R > 0, beliebig oft differenzierbar. Die Ableitungen erhiilt man durch gliedweise Differentiation: 00

f'(X)

=L

kakxk-l

= al + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 + ...

k=l

(4)

00

f"(x)

=L

k(k - l)ak xk - 2 = 2a2 + 2· 3a3x + 3 . 4a4 x2 + ... ,

k=2

00

00

etc. Die abgeleiteten Reihen L kakxk-l, L k(k - l)akxk-2 , . .. haben siimtlich k=l k=2 den Konvergenzradius R.

Beweis. Jedes x

E

Ix I ::: p < R,

dem L akxk und die Reihe der Ableitungen L kakxk-l k=O k=O

(-R, R) liegt in einem abgeschlossenen Teilintervall 00

III

00

00

gleichmaBig konvergieren (--+ Satz 3.1). Mit Satz 2.5 folgt f'ex)

= Lkakxk-l. k=O

Speziell gilt auch R ::: Rl , wenn Rl den Konvergenzradius der Ableitung be00

00

zeichnet. Andererseits ist fiir Ix I < R I die Reihe L kakxk = x L kakxk-l k=l k=l absolut konvergent und deshalb konvergiert wegen lakxk I ::: Ikakxk I auch die 00

Reihe L akx k ; d.h. Rl::: R, also insgesamt R k=l

= Rl .

o

Beispiel. Die geometrische Reihe liefert mit (4)

1 __ ='"'xk 00

I-x

~

= 1 + x + x 2 + x 3 + ...

, Ixl < 1

k=O 00

=Lkx k - 1 =1+2x+3x 2 +4x 3 + ... , Ixl<1 (1 - x)2 k=l 00 1 = ~ Lk(k - l)x k- 2 = ~(2 + 2· 3x + 3· 4x 2 + ... ), Ixl < 1 (1 - x)3 k=2

o

231

§3. Potenzreihen

Satz 3.3.

Die Integration einer Potenzreihe. Fur aUe a, b aus dem offenen 00

=L

KonvergenzintervaU (- R, R) der Potenzreihe f(x)

akxk gilt

k=O

Insbesondere ist (mit a

=0,

b

=x ) 00

P(x) := L k: 1 xk+l k=O eine Stammfunktion von f auf (- R, R) ; der Konvergenzradius von Fist ebenfalls

R. Der Beweis ergibt sich aus den Satzen 3.1 und 2.4. Wegen pi beiden Reihen nach Satz 3.2 denselben Konvergenzradius.

=f

haben die 0

3.4 Die Potenzreihendarstellung einiger Funktionen. Ais erste Anwendung der Satze 3.2, 3.3 ergibt sich: 00 1 eX=Lk!xk

a)

k=O

b) (5)

c)

. SlllX

COSX

5 X7 ~ (-1)k 2k+l = x -x-3 +x ± .. ·,xElR 3 ! 5! - (2k + l)!x 7!

=L

k=O

~ (-I)k 2k

=L

k=O

(2k)!x

00 ( l)k d) In(1 +x) = L k-+ 1 xk+l k=O

e)

arctanx

=""" _-_l)k_ x2k+l L2k+1 00

(

x2

x3

x4

x3

x5

x7

=

X -

2 + 3" - 4 ± ... , Ix I < 1

=

X -

3" + 5 - ""7 ± ... , Ix I < 1

k=O

00

Beweis. a): e(x):= L

k

~! besitzt den Konvergenzradius

= 00

R

(-+ 3.1), stellt

k=O

also eine auf ganz lR definierte, differenzierbare Funktion dar. Die Ableitung 00

wird mit (4) berechnet: e'(x) Kap. 3, §4.1 folgt e(x)

= ce x

2

= 1 +x + ~!

=L

;!x k- 1

k=l mit c

= e(O) = 1 .

()._ ~ (-l)k 2k+l _ x3 x5 b) .' D'Ie R'h el e s x .- L (2k + 1)! x - x - 3T + Sf Konvergenzradius R

k=O

= 00

3

+ ~! + ...

-

= e(x).

Nach

x7

7! + . .. hat den

(-+ 3.1) und stellt demnach auf ganz lR eine beliebig

232

5. Potenzreihen

oft differenzierbare Funktion dar. Fur die nach (4) berechnete zweite Ableitung /I

(

x2

x6

x4

)'

erkenntman s (x)= 1- 2! + 4! -6T+'"

x3 x5 =-x+3T-sr+-···=-s(x).

N ach Kap. 3, 2.2 folgt s(x) =s(O) cos x + s' (0) sin x = sin x . c) ergibt sich durch Differentiation aus b). d) und e) erhiilt man durch gliedweise Integration der speziellen geometrischen 1 00 1 00 Reihen (x = -t, bzw. x = _t 2 ) - - = "'( _t)k bzw. - - = "'( -lh2k .0 1 +t ~ 1 +t 2 ~ k=O

k=O

Bemerkung. Mit der Taylor-Formel (--+ Satz 4.1) kann man leicht zeigen, daB (5d) und (5e) auch noch fur x = 1 gelten. Damit erhiilt man

i 1n 2

=1 -

i

~- ~+~- +

+

H

Jr 1 1 1 1 -=1--+---+--+···

4

•

3

5

7

9

3.5 Die Binomialreihe stellt die Verallgemeinerung der binomischen Formel (1 + x)n

= 1 + nx + n(n 2-

1)

2

x + ... + xn, n

Fur alle x mit Ix I < 1 und alle a (1 + x)" = (6)

f

(%)Xk = 1 + ax +

k=O

E

E

IN dar:

lR gilt

a(a2~ 1) x 2 + a(a - ~!(a -

2) x 3 + ...

. (a)._ a(a - l)(a - 2)· .. (a - k + 1) k .k! .

wobe1

Beweis. Nach (1) hat die Reihe g(x) :=

f

(%)xk den Konvergenzradius l.

k=O

Fur -1 < x < 1 weist man durch gliedweise Differentiation (1 + X )g' (x) nacho Fur h(x) := (1g~xl)" ergibt sich damit h' (x) h(O) = 1 zeigt hex)

= 1, bzw.

g(x)

= 0,

also h(x)

=ag(x)

= const .

= (1 +x)".

0

Formel (6) ist recht vielseitig; sie enthiilt zahlreiche interessante Spezialfiille: H·1erf··ur gl'It (a) (n - k + 1) -- 0 , I. a - nI N E . k -_ (n) k -_ n(n - 1)(n - 2)··· k!

falls k > n (der Ziihler enthiilt den Faktor (n - n) die zuvor erwiihnte binomische Forme!. 2. (

Fur a = 1) 2 2

i

= 0),

lauten die "Binomialkoeffizienten"

= 1(1_1) 2 2 = _ _1.. fur 2! 8'

k > 2

-

(1) 2 k

und (6) ist in der Tat

(t)

= 1,

(t) = ~,

... (1_k+1) = 1(1_1)(1_2) 2 2 2 2 = k!

233

§3. Potenzreihen

= (-1)

(7)

k-l

1 . 3 . 5 ... (2k - 3) . 2 . 4 ... (2k) . Deshalb gllt

~ = 1 + ~X - ~X2 + /6X3 - 1~8X4 + -

3. Fur a

= -2"1

1 und (-k

ist

... , falls Ixl < 1.

i ) = (-Ill. 3 ·5· .. (2k -

2·4·6··· (2k)

1) (fur

k 2: 1 ), also gilt

(8)

3.6 Potenzreihen mit dem Zentrum a of 0 • Eine unendliche Reihe der Fonn

(9) heiBt Patenzreihe mit dem Zentrum (ader Entwicklungspunkt) a, die Zahlen ak heiBen ihre Koeffizienten. Die bisher betrachteten Potenzreihen haben das Zentrum a = O. Fur theoretische Uberlegungen genugt es, sich auf den Fall a = 0 zu beschranken; denn die Potenzreihe (9) mit dem Zentrum a geht durch die

L akl 00

Substitution z := x - a in die Potenzreihe

mit dem Zentrum 0 uber.

k=O

Als Konvergenzradius der Reihe (9) bezeichnet man den Konvergenzradius R der entsprechenden Reihe mit Zentrum O. Wegen Ix - a I < R <===} a - R < x < a + R gilt fur den Konvergenzradius von (9):

L ak(x 00

1.

x E (a - R, a

+ R)

===}

a)k konvergiert,

k=O

L ak(x 00

2.

x

f/

[a - R, a

+ R]

===}

a)k divergiert.

k=O

Ganz offensichtlich ist es bereits wegen des groBeren Spielraums fur die Variable x von Bedeutung, eine Funktion f als Potenzreihe mit beliebigem Zentrum

L ak(x 00

a darzustellen, f(x) =

k=O

a

l.

1st f(x) aus f(x - a) durch elemen-

tare Umformungen berechenbar, dann kann man diese Darstellung aus der mit dem Zentrum 0 gewinnen, andernfalls ist nach dem im nachsten Paragraphen beschriebenen Verfahren (--+ 4.3) vorzugehen.

234

5. Potenzreihen

Beispiele 1. Wegen eX = eae x - a folgt die Darstellung der e-Funktion als Potenzreihe mit Zentrum a direkt aus (5):

=L 00

eX

x

E

IR .

k=O

2. Ebenso sin x

a

~! (x - a)k,

= sin(x -

a + a)

= sin(x

- a) cos a + cos(x - a) sin a . sin a 2 cos a 3 =sllla+(cosa)(x-a)-~(x-a) -}lex-a) + ... ,

xEIR.D

3.7 Koeffizientenvergleich. Falls eine Funktion I iiber (a-R, a+R), R > 0, 00

als Potenzreihe I(x) = L

ak(x - a)k mit Zentrum a darstellbar ist, kann man

k=O

mit (4) sofort die Koeffizienten berechnen: In der n-ten Ableitung 00

/n)(x) = L k(k - 1) ... (k - n + 1)ak(X - a)k-n k=n =n(n -1)·· ·Ian +(n + I)n·· ·2an+l(x -a)+···

setzt man x

=a

und erhalt I(n)(a)

=n tan . Also gilt

Satz 3.4. Eindeutigkeits-Satz fur Potenzreihen. 00

Aus I(x) lolgt

00

= Lak(X -

a)k

k=O

= Lbk(X -

a)k lur aile x

E

(a - R, a + R), R > 0,

k=O I(k)(a) ak = bk = -k-!-

(10)

(k = 0,1,2, ... ) .

Die beiden wichtigsten Interpretationen des Satzes 3.4 sind: a) Wenn es iiberhaupt moglich ist, I iiber (a - R, a + R) als Potenzreihe darzu00

stellen, dann nur als Taylor-Reihe l(x)=L I k=O

(k)

k~a)(x-a)k (~§4).

b) Wird eine Funktion I auf zwei verschiedene Weisen als Potenzreihe mit Zentrum a dargestellt, dann sind die Koeffizienten entsprechender (x - a)-Potenzen gleich. Durch diesen sogenannten KoeJfizientenvergleich gelangt man haufig zu nicht-trivialen Beziehungen. Beispiel 1. Fiir

ct,

f3

E

IR und aIle n

E

IN gilt

235

§3. Potenzreihen

Beweis. Mit (6) und der Produktformel von Cauchy (--7- Satz 1.10) folgt

f Ct ~

.B)xn = (1 +x)"+tJ = (l +x)"(l +xi

n=O

Ein Koeffizientenvergleich liefert die Behauptung.

D

Anwendung. Lineare Differenzengleichungen. Von einer Folge (ak)k:::o (in der Praxis meist MeBwerte zu diskreten Zeitpunkten) seien zunachst nur n Startwerte ao, al bis an-l bekannt und die nachfolgenden Glieder rekursiv durch

(11)

(k?:.n)

bestimmt (aIle Koeffizienten al, ... an E 1R). Zur Losung dieser sogenannten Differenzengleichung betrachtet man die erzeugende Funktion der Folge (akh:::o, das ist die Potenzreihe mit den Folgengliedern als Koeffizienten

I>k Xk 00

(12)

f(x) :=

.

k=O

1st A := max {Iai I ; I ::::: i ::::: n} > 0, dann besitzt diese Reihe einen Konvergenzradius R?:. (13)

n~

> O. Dies folgt mit 3.2 (3) aus der Abschatzung

lakl ::::: C (nAl+ l - n , k?:. n,

c:= max{lail; 0 ::::: i ::::: n - I},

die man mit vollstandiger 1nduktion zeigt, indem man in (11) die Dreiecksungleichung anwendet. Mit Satz 1.4 kann man wie folgt aufsummieren: f(x) alxf(x)

= ao =

+

alx + a2x 2 + ... + akxk + .. . alaOX + a]alX 2 + ... + alak_lxk + .. .

= Wegen (11) gilt Ak = 0 fur k ?:. n, daher ist f(x) eine rationale Funktion: f(x)

(14)

= Ao + AlX + ... + An_lx n- l 1 + alX + ... anx n

mit

Diese rationale Funktion wird in konkreten Fallen zunachst in Partialbruche zerlegt. Stellt man dann noch jeden einzelnen Teilbruch mit der geometrischen

~ a = -~ L (~)k, Ixl 00

Reihe x

k=O

< lal, und ihren Ableitungen dar, so erhalt

man eine zweite Potenzreihendarstellung von fex). Der Koeffizientenvergleich

236

5. Potenzreihen

mit (12) gibt schlieBlich eine explizite Formel fur die Folgenglieder

ak

Beispiel 2. Die Fibonacci-Zahlen (LEONARDO ca. 1170-1250) sind erkHirt durch die Rekursion

FIBONACCI,

ao

:= 0,

al:=

1,

DA

PISA, genannt

+ ak-2

ak:= ak-I

(k ~ 0) .

(k ~ 2) .

Die ersten 11 Folgenglieder sind 0, 1, 1,2,3,5,8, 13,21,34,55. Setzt man in (11) n = 2 und 0(1 = 0(2 = -1 , so ergibt sich mit (14) als erzeugende Funktion 00

f(x)

= L..~ ak xk = 1 -x-x x 2 k=O

Mit den Nullstellen des Nenners f(x)

=

XI ~

X2 (x

XI = -~(1

-

(Ixl<~).

Js) und

X2

= -~(1 + Js)

gilt

~\2 - X ~IXI) = Js ~ [(;1 Y- (;2 YJ xk .

Der Koeffizientenvergleich liefert hieraus die explizite Darstellung

o

k=0,1,2, ...

Anfgaben I. Man bestimme den Konvergenzbereich und untersuche das Verhalten am Rande: a)

00 x2n+1 I(x) = L(-l)n 2n + I ; n=O 00

c)

L

n=l

~ 3nxn L..--J(3n-2).2 n '

b)

n==l

~(_l)" _ _ x--== L..3n (n + 1)01+1

d)

n=l 00

00

e)

L(-1)"3 2n (x _ 1)2n+1

Ln!x n

f)

n::::l

n=l 00

g)

L

n=l

2n

00

(2n)"xn . ' n.I

00

nnxn (n!?

~

h)

X 5n +1

L..- 1+ 2n n=l

Bezeichne sm(x) die mote Partialsumme von a), so bestimme man ein (von m abhiingiges) N E IN, so daB 1/(1) - sm(l)1 < 10- 2 flir aile m > N gilt. 2. Man bestimme durch Multiplikation der entsprechenden geometrischen Reihen die Po· h. . klung von I _1 tenzrel·henentwlc x . 11 +x2 K samt onvergenzb erelc 3. Man

bestimme

den

x9 2.3 . 5 .6. 8 . 9

± ... 00

4. Man bestiitige

Konvergenzradius

y(x)

=

und zeige: y(x) erflillt die Differentialgleichung y" + xy = 0

~n2xn = x+x

L..-

von

2

(I-x)

3

fur

Ixl

< 1.

n=1 5. Man lose die Differenzengleichung ak - 5ak_1 + 6ak-2

=0

(k > 1), ao

= 0,

at

=I .

237

§4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen

§4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen 4.1 Die Taylor-Formel. In diesem Paragraphen befassen wir uns mit der Approximation einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion f durch das soge-

L n

nannte note Taylor-Polynom Tn(x, a) :=

(k)

f

k~a) (x

- a)k (nach B. TAYLOR,

k=O

1685-1731) und klaren damit u.a. die noch offene Frage, unter welchen Bedingungen eine gegebene Funktion durch eine Potenzreihe darstellbar ist. Satz 4.1. Taylor-FormeI. Fur jede auf dem offenen Interval! I S; IR (n + I)-mal stetig difJerenzierbare Funktion fund a, x E I gilt f'(a) f(n)(a) f(x) = f(a) + -l!-(X - a) + ... + -n-!-(x - at + Rn+I(X, a) mit dem Restglied Rn+! (x, a)

(1)

= ,1

n.

l

x

a

(x - t)n jCn+!)(t)dt (nach CAUCHY),

bzw. _ f(n+l)(o n+! mit ~ zwischen x und a Rn+!(x, a) - (n + I)! (x - a) (nach LAGRANGE).

Beweis. Wegen f(x)

= f(a) +

l

X

l

f'(t)dt gilt die Formel fiir n

= O.

2-mal stetig differenzierbar, folgt hieraus mittels partieller Integration ( u v

= f')

f(x)

= f(a)+ f'(a)(x-a)+

x

1st f

=t -

x ,

(x-t)fl/(t)dt. Weitere partielle Integration

f"(a) 1 ergibt f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + 2T"""(x - a)2 + 2!

l a

x

(x - t)2 f"'(t)dt. Man

sieht, daB fortlaufende partielle Integration zur angegebenen Formel fiihrt. Die Darstellung des Restgliedes nach Lagrange ist nun eine Konsequenz des Mittelwertsatzes der Integralrechnung (-+ Kap. 4, Satz 1.2)

1, l n.

a

x

f(n+ll(t)(x - ttdt =

1,n. f(n+!)(~) l

a

x

(x - ttdt =

jCn+!)(~( (x (n + 1).

- at+! .

D

Deutung der Taylor-FormeI. Sind die Werte einer Funktion f : I -+ IR und ihrer ersten n Ableitungen in einem Punkt x = a aus dem Innem des Intervalls I bekannt, dann wird mit p(x)

f(n)(a)

= Tn(x, a) = - -n.I-(x -

a)n + ... + f'(a)(x - a) + f(a)

ein Polynom bestimmt, das die Funktion in einer Umgebung des Punktes x = a gut approximiert. Die Kurven y = p(x) und y = f(x) gehen beide durch (a, f(a)), sie haben dort dieselbe Steigung, dieselbe Kriimmung (-+ Kap. 3, §2)

238

5. Potenzreihen

und aIle Eigenschaften gemeinsam, die sich aus den Ableitungen bis zur Ordnung n ergeben: p(k) (a ) = f(k)(a) (1 s k s n) . Die Bedeutung der Taylor-Formel besteht darin, daB der bei dieser Approximation gemachte Fehler If(x) - Tn(x, a)1 = IRn+l(X, a)1 durch die Kenntnis des Restgliedes abgeschatzt werden kann. x x2 xn e~ n+I Beispiele. 1. e = 1 + x + -2' + ... + , + ( 1) , x

.

n.

n

Ix lsI die Abschatzung I

+

So ergibt sich etwa fiir

.

x xn 1 e~ n+I e n+l e - l - x - · · · - n ! =(n+I)!lxl s(n+I)!lx l

Bei einem tolerierten Fehler, etwa ±1O-7 , ist n (in Abhangigkeit von x) so 1 .1st d · · d aB (n +e I)! Ix In+I s 101 gl·1t. F··ur x = 10 zu bestlmmen, as b erelts 7 5 erfiillt (d.h. eta = 1 + /0 + 102I .2! + ... + 1O/.5! ± 10-7 ), fiir x = 1 sind mehr Summanden zu beriicksichtigen, man muB bis n = 10 gehen:

fiir

n=

e = 1 + 1\ + ... +

1~!

± 10-7

1m Fall Ix I > 1 zerlegt man x = Xo + Xl mit Xo eX = eXOe XI .

E

Z, IXII < 1 und berechnet

. x3 x 5 x 71 1sin ~ 81 1 8 2. 1SIll X - X + 3T - 5! + 7! = ---s!x s 8! Ixl . Man beachte, daB die in Satz 1.3 angegebene Abschatzung des Summenwertes D einer alternierenden Reihe unter Umstanden scharfer ist (~ Aufg. 5). n

=5

9

13

17

21

25

29 33

37

41

45

49

53

57

61

x

n

= 3

7

11

15

19 23

27

31

35

39

43

47

51

55

59

Abb. 135 - Taylor-Polynome von sinx

Einfache Folgerungen aus der Taylor-Formel: Satz 4.2. Jede auf einem offenen Interval! I (n + I)-mal diJferenzierbare Funktion mit f(n+l)(x) = 0 for alle x E list ein Polynom vom Grad S n. Beweis. Aus der Restgliedformel nach Lagrange ersieht man Rn+ I (x, a) deshalb gilt f(x) = Tn(x, a) (mit einem a E I).

= 0, D

239

§4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen

Satz 4.3. 3. Extremwert-Test. 1st die Funktion f auf dem Interval! In-mal stetig dijferenzierbar und a E I mit f'ea) a) b)

= j"(a) = ... = f(n-l)(a) = 0,

jCn)(a)

i

0, dann gilt:

a Extremalstelle ¢=} n gerade; n gerade, f(n)(a) < 0 ===> a lokale Maximalstelle, n gerade, f(n)(a) > 0 ===> a lokale Minimalstelle.

Beweis. Da jCn)(~) und f(n)(a) fur ~ nahe a dasselbe Vorzeiehen haben, liest man alles aus der in diesem Fall besonders einfaehen Taylor-Formel ab: f(x) - f(a)

= f(n)~o (x -

a)n .

n. 1st n ungerade, dann hat die reehte Seite, so aueh die linke, fur x < a und x > a versehiedene Vorzeiehen. 1st n gerade, dann gilt stets (x - a)n > 0 (fur x i a) und aus jCn)(a) < 0 folgt f(x) < f(a) fur aBe x nahe bei a, x i a. D Beispiel. Fur f(x) = x4 - 8x 3 + 24x2 - 32x + 19 gilt f'(2) jC4)(2) = 24 > 0; also ist x = 2 eine lokale Minimalstelle.

= f"(2) = j"'(2) = 0, D

4.2 Die Taylor-Reihe. Es sei f eine auf dem offen en Intervall I S; lR beliebig oft differenzierbare Funktion fund a E I . Die unendliehe Reihe

heiBt Taylor-Reihe von f mit Zentrum (oder Entwicklungspunkt) a. 00

Gilt f(x)=L.: f

(k)

k~a)(x-ai

fura-R<x
k=O

f liij3t sich um (den Entwicklungspunkt) a als Taylor-Reihe darstellen bzw. f liij3t sich um a in eine Taylor-Reihe entwickeln.

Naeh Satz 3.4 gilt: Bine konvergente Potenzreihe mit Summe 00

f(x) = L.:ak(X -ai,

Ix -al

< R,

k=O

ist bereits die Taylor-Reihe von f urn a; ak

j
= -k-!-

Speziell: Das Polynom p(x)

(k

= 0, 1,2, ... ) .

= anx n + ... +a IX +ao

=0 fur k > n) ist bereits p(k) (0) ak = -k-!- (O:'S k :'S n) .

(ak

die Taylor-Entwieklung von p(x) urn den Punkt 0;

240

5. Potenzreihen

Gegenbeispiel. Es ist durchaus moglich, daB die Taylor-Reihe von f urn a nur fur x = a konvergiert oder eine von f(x) verschiedene Summe besitzt. Etwa fur f(x):= {e- l /x2 , falls x =10 o , falls x = 0 stellt die Taylor-Reihe Tf(x, 0) = 0 (wegen jCk)(O) = 0 fur alle k f verschiedene Funktion dar.

~

0) eine von

o

Satz 4.4. Darstellung einer Funktion als Taylor-Reihe. 1st f aUf dem Intervall I beliebig oft dif{erenzierbar und a for diejenigen x E I gegen f (x) ,

E

I, dann konvergiert die Taylor-Reihe genau (k)

00

f(x) = L

k~a)(x -

f

a)k ,

k=O

fur die das Restglied Rn(x,a)

= f(n)~~)(x_a)n n.

mit n

~

00 gegen 0 strebt. Dies

ist sicher dann der Fall, wenn es Konstanten A, B gibt, so daft fur alle x und aile n E IN die Abschiitzung I jCn\x) I :::: AB n gilt.

E

I

Beweis. Die Taylor-Formel (1) lautet f(x) - Tn(x, a) = Rn+I(X, a) mit der n-ten Partialsumme Tn(x, a) der Taylor-Reihe. Also gilt f(x)

= n--?oo lim Tn(x, a)

¢=}

lim Rn(x, a)

n-+oo

=0 .

Besteht die angegebene Abschatzung, so gilt IRn(x, a)1 :::: A

B~ (x -ar ~ n.

Reihe

=

eB(x-a)

L 00

n( B x

n=O

0 (fur n

~a

n.

)n

~

00); denn die Glieder der konvergenten

bilden eine Nullfolge.

0

Satz 4.5. Die Taylor-Form eines Polynoms. Jedes Polynom p(x) = anx n + ... + E 1R in die Taylor-Form

alx + ao liiftt sich um jeden Punkt a (2)

p(x)

= p(n)(a) (x _ n!

at + p(n-I)(a) (x - at-I + ... + pl(a)(x - a) + pea)

(n-I)!

"entwickeln Dieses ist die einzige Moglichkeit, p(x) als Potenzreihe mit Zentrum a darzustellen. H.

Beweis. Aus p(n+l)(x) fur aIle x.

=0

fur aIle x folgt Rn+l(X, a)

=0

und p(x)

= Tn(x, a) 0

n

Mit der Taylor-Entwicklung (2) des Polynoms p(x)

= Lakxk k=O

urn a lassen sich

samtliche Funktionswerte berechnen, sobald man fur eine einzige Stelle x = a die Werte p(a), pl(a), p"(a), ... , p(n)(a) kennt.

241

§4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen

Beispiel. Von einem geradlinig, gleichformig beschleunigten Massenpunkt (allgemeines Weg-Zeit-Gesetz s(t) = bt 2 + vt + c) kennt man dessen Lage s(a), Geschwindigkeit s(a) und Beschleunigung s(a) zur Zeit t = a. Der Punkt

bewegt sich nach dem Weg-Zeit-Gesetz s(t) =

s~) (t -

a)2 + s(a)(t - a) + s(a).O

4.3 Methoden der Reihenentwicklung

o Mit der Taylor-Formel (1) und dem Nachweis

Rn(x,a) -+ 0 (-+ Satz 4.4). Dieses Verfahren ist schwerfallig. Es ist oft gunstiger, nach ®-® zu verfahren.

® Bekannte Reihen differenzieren oder integrieren . .

Beispiel. (vgl. auch 3.4, 3.5). Aus

1 v'f=X2

12 1·3 4 1·3·5 6 = 1 +"2 x + 2.4 x + 2.4. 6 x + ...

(fur Ix I < 1 ) (-+ §3(8)) folgt durch Integration 1·3 5 1·3·5 7 . 1 3 arcsmx=x+ 2 . 3 x +2.4.5 x +2.4.6.7x + ... , fallslxl
o

©

Als Summe undloder Produkt von Funktionen mit bekannter Reihenentwicklung darstellen

Beispiele I

x

1. coshx=2(e +e

-x

1 (

)=2

x2 x3 x2 l+x+2! +31+ ... + 1 - x +2!

3

x -31+'"

)

.

Dies ergibt - analog fUr sinhx = ~(eX - e- X): x2

x4

x6

cosh x = 1 + 2! + 4! + 6T + . . . .

x3

x5

x7

x

smh x = x + 31 + Sf + 7T + . .. , x

E E

IR . IR .

o

242

@

5. Potenzreihen

Unbestimmter Ansatz

I

Beispiel.

eX x- 1 ' falls x

f(x) :=

="B L..- nX

1

, falls x

i- 0

=0

00

Man setzt an eX x- 1 X = (Bo

k

k

und erhalt aus

k=O

Bl

B2

2

B3

x2

3

x3

+ TT x + 2T x + 3TX' + .. ·)(x + 2! + 3T + ... )

Bo 2 B2 Bl Bo 3 =Box + (B 1 + 2T)x + ( 2T + 2T + 3T)x + ...

durch Koeffizientenvergleich Bo

= 1,

Bl

Bo

+2

B2 BI Bo = 0, 2T + 2T + 3T = 0

Man berechnet damit Bo = 1, Bl = -~, B2 = ~, B3 = 0, B4 bleibt, den Konvergenzradius R der so bestimmten Reihe 1

1

1

2

= - 3~ , ....

Es

4

1 - 2 . 1! x + 6 . 2! x - 30 . 4! x + ... zu ermitteln. Das ist gar nicht so einfach. In Band 2 zeigen wir R = 2n . Ubrigens, die Bk heiBen Bernoulli-Zahlen (nach J. BERNOULLI, 1654-1705). D

® Potenzreihen in Potenzreihen einsetzen Es wird eine Potenzreihenentwicklung der Funktion h(x) := f(g(x)) bestimmt, 00

00

fur den Fall, daB f(x) = Lakxk (Ixl < Rd, g(x) = Lbnx n (Ixl < R2)

r

k=O

bekannt sind. Man kann zeigen: Werden die Polenzen g(xl'

= (~b"X"

(--+ Satz 1.1 0),

n=O

nach dcm Cauchy-Produkl hcrcchnel

00

g(X)k

=L

bknx n ,

n=O

dann

f(g(x)) = fak (fbknxn) k=O

n=O

nach steigenden x-Potenzen geordnet, so erhalt man die in einer Umgebung von o konvergierende Potenzreihenentwicklung von h(x):

243

§4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen

Beispiel.

f(x)

= eX,

g(x)

= eX,

hex)

= f(g(x)) = ee x

=L 00

•

Aus f(x)

k

~! und

k=O

Bemerkungen. 1. Unabhangig von der allgemeinen Theorie kann man die Kon-

vergenz der Reihen

f

~~

leicht mit dem Quotientenkriterium nachweisen.

k=O

2. Der Eindeutigkeitssatz

Satz 3.4) zeigt

(~

(n

= 0, 1,2, ... ) ,

spezieU

o

Aufgaben 1. Man entwickle das Polynom

X4 -

5x 3 + 5x 2 + X + 2 nach Potenzen von (x - 2) .

2. Man gebe die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt a = 0 :

3.

a)

Vl+x;

b)

In(l-x+x2);

c)

In a +x. a-x'

d)

_1_ .In I-x

(_1_) I-x·

a) Man bestimme die Taylor-Reihe um a = 0 fiir f(x) = -1_1_ und gebe die Darstel-

-x

lung des allgemeinen Restgliedes in der Lagrangeschen Form. b) Welche Darstllung liefert die Summenformel der geometrischen Reihe? 4. Aus der Binomialreihe leite man mittels Differentiation die Taylor-Reihe von arsinhx um a = 0 her.

5. Algorithmus zur Berechnung von sin x fur einen 8-stelligen Digitalrechner a) Bestimme ein y mit · b)B estImme

z

c) Setze u =

"3' -"6::: u

z

. mIt

If

-"2 ::: y

<

If If -"2 ::: z ::: "2 If

:::

3lf

""2 ' so daB sin y = sin x .

,so dB a sin z = sin y .

If "6 ' und stelle sin z durch sin u dar.

244

5. Potenzreihen

d) In - ~ 6 -< u -< ~ 6 stelle man sin u auf 7 Nach-Komma-Stellen dar durch das passende Taylor-Polynom. Wie viele Glieder der Taylor-Reihe sind zu beriicksichtigen? 6. Man bestimme die ersten fiinf GJieder der Taylor-Reihe urn a = 0 von a) g(x)=(1+sinxY.

b) h(x)=lncoshx.

7. Durch den Ansatz 1 cosx =EO -

E2

2T x

2

E4 4 (-I)"E2n 2n +4T X -+ ... + (2n)! x + ...

Ixl

JT

<"2 '

sind die Euler-Zahlen E2n erkliirt. Man bestiitige die Rekursionsformel E2n E 2n - 2 Eo 0!(2n)! + 2!(2n - 2)! + ... + (2n)!0! = 0

und berechne damit Eo, E 2 ,

•.. ,

ElO ..

8. Man entwickle nach Potenzen von x und bestimme den Konvergenzbereich: a)

b) g(x) = 3,.12 +x 2 .

f(x) = + 3 ;

x +

. d'Ie Funk' + X)2 9. Gegeben 1st hon y (x ) -- (1~' - 1 :s x < 1 .

vl-x 3 a) Bestimme die Taylor-Polynome 1., 2. und 3. Grades im Punkte a = 0 und skizziere sie zusammen mit y(x).

b) Mit Hilfe des Restgliedes in Lagrange-Form gebe man eine Schranke fiir den relativen Fehler, wenn man y(x) fiir Ixl:s 0.5 durch das Taylor-Polynom 2. Grades urn a = 0 ersetzt. 10. Man bestiitige, daB (

2 _

sin(Marcsinx)=!fx- MM 3 !

1)

(

x 3 + MM

2 _

1)(

5!M

2 _

32 )

Ixl < 1 .

X5± ...

§S. Anwendungen (an Beispielen) 5.1 Grenzwertberechnungen xln(1-x)_

sin 2 x Man kann x 2 (x

x2 x3 x(-x-'2-3-"') (x -

i

3

x x 3T + .. ·)(x - 3T + ... ) 3

0) kiirzen und erhiilt lim x x-+O

(fiir Ix I < 1,

ln~ \

- x)

SIn X

~

§3(5))

= -1 .

Bemerkung. Diese Methode hat gegeniiber der L'Hospital-Regel den Vorteil,

daB man keine Ableitungen berechnen muB (sie konnen gelegentlich recht kompliziert werden) und daB man einen guten Einblick in das Konvergenzverhalten bekommt.

245

§5. Anwendungen (an Beispielen)

5.2 Naherungsformeln (Approximation) Beispiel 1. Nach A.

betragt die Energie eines "relativistischen" mo (mo Ruhemasse, v Geschwindigkeit,

EINSTEIN

=

Teilchens der Masse m

)1 _(¥)2 = me 2 .

e Lichtgeschwindigkeit) E E kin := me 2 - moe 2 . Aus

---;::==

~

Die kinetische Energie ist definiert als

= 1 + !x 2 + ~x4 + ~x6 + ... 2

ergibt sich (mit x E kin =

8

(falls Ix I < 1, --+ §3(8))

16

= ¥) die Naherungsformel ~mov2 + ~mov2(¥)2

o

(+Terme hoherer Ordnung) .

Beispiel 2. Fur den Fall mit Luftwiderstand gilt das Weg-Zeit-Gesetz v2 t set) = ~lncosh gv g 0

mit der Grenzgeschwindigkeit vo Aus In cosh x

= t-+oo lim vet) .

= -x2! - -2x4 + ... 4! 2

(--+ Aufgabe 6, §4)

ergibt sich die Naherungsformel fUr kleine Werte von

~

set) ~

v5

g

(g2t 2

g4 t 4 )

2v2 - 12v4

o

0

t

o

.

5.3 Die Reihendarstellung und Berechnung einer Integralfunktion mit nicht elementar integrierbarem Integranden Beispiel 1. Eine Entwicklung der Fehleifunktion (--+ Kap. 8, 4.5)

r

2

(x) = 10 e- t dt 00

ergibt sich aus der gliedweisen Integration der Reihe e- t2 (t E IR) : (1)

(X

(x)

= 10

2

e- t dt

00

2k

= L(-I/~! k=O

x2k+1

= L(-1)\!(2k + 1)'

x

E

IR .

k=O

Diese Reihendarstellung gestattet die Berechnung der Funktionswerte bis zu jeder gewunschten Genauigkeit, wobei man aber bei der Approximation des Funktionswertes durch die n-te Partialsumme n umso groBer wahlen muB, je weiter sich x vom Nullpunkt entfemt. 0

246

5. Potenzreihen

Beispiel 2. Zur Berechnung des elliptischen Integrals F(cp, k)

= ['I'

Jo

)1 -

dt k 2 sin 2 t

wird zuerst der Integrand als Reihe dargestellt, dann gliedweise integriert. Mit x = _k 2 sin 2 t ergibt sich aus §3(8)

= 1 + .!.k2 sin 2 t + ..L.:1k4 sin4 t + ~k6 sin6 t + ...

1

) 1 - k 2 sin 2 t F(cp,

Speziell fur cp

2

2 .4

k) =cp + ~k2fo'P sin 2 tdt + ;

=~

2 .4 .6

:;

k4fo'P sin 4 tdt + ....

erhiilt man fur das vollstandige elliptische Integral

K(k) := F(~, k) die Reihe

Ebenso verf
fox cos(t 2)dt, fox sin(t 2)dt

= fox si~ t dt,

der

(die in der Optik eine Rolle

spielen) und anderer, nicht elementar integrierbarer Funktionen (--+ Aufg. 4).

o

5.4 Potenzreihenansatz zur Losung einfacher Differentialgleichungen Beispiel. Wir suchen die Auslenkung s = set) aus der Nullage eines Schwingers, der die Bewegungsgleichung

set) + t 2set) = 0 erfullt, der zur Zeit hat (o.E. Vo = 1 ),

t

=0

durch s s(O)

=0

=0,

geht und dort die Geschwindigkeit Vo s(O)

=1 .

Deutung dieser Bewegungsgleichung: Die rucktreibende Kraft ist zu jedem Zeitpunkt proportional zur Auslenkung. Aber der Proportionalitiitsfaktor ist nicht konstant (wie beim Hookeschen Gesetz) sondem hat die Form mt 2 . Insgesamt nimmt die rucktreibende Kraft mit t (zum Quadrat) zu und mit kleiner werdender Auslenkung abo Mit dem Ansatz 00

set) = I>ktk k=l

= alt + a2t 2 + a3t3 + . . .

(beachte s(O) = 0)

247

§5. Anwendungen (an Beispielen)

erhiilt man aus

S + t 2S = 2a2 + 2 . 3a3t + 3 . 4a4t 2 + ... + (n + l)(n + 2)a n+2tn + ... + alt 3 + a2t 4 + ... + an_2tn + ... = 0

durch Koeffizientenvergleich 2a2 = 0, 2· 3a3 = 0, 3· 4a4 = 0, 4· 5as + al

= 0, ... ; allgemein

(n + 1)(n + 2)an+2 + an-2 = 0 .

Wegen

= s(O) = 1,

al

= a3 = a4 = 0

a2

al

folgt damit

=1 1

as = - 5.4 a9

a13

=

1 00--:0:--:;-----;-

9·8·5·4

= -

15

1

etc. 13 . 12·9·8·5 ·4 ' 19 1

s(t)=t- 4 . 5 t +4.5.8.9 t -4·5·8·9·12·13 t

13

Bei der Berechnung der Werte set) mussen mit wachsendem Reihenglieder beriicksichtigt werden.

+ ... t

immer mehr

s

Abb. 136 - Nichtlineare Schwingung

D

Aufgaben 1. Mit den Taylor-Reihen berechne man die Grenzwerte · (1 1) ' a) I1m -.- - -X--l x->o smx e -

b) I'1m 1 - cos . 2x , x->o X smx

c) lim (1 - x) tan 7!..2 x ,

d)

x->!

e)

lim sin(2n . e . n!) ,

n->oo

lim n . sin(2n . e . n!) .

n->oo

2. Das Potential eines Dipols ist bestimmt als Grenzwert h --+ 0 zweier Punktladungen mit entgegengesetzt gleich groBer Ladung q im Abstand 2h Vex y z) = lim ( ,.

h-+O

J (x -

q h)2 + y2 + Z2

Man berechne V tiber die Taylor-Reihen.

q

J(x + h)2 + y2 + Z2

) .

~ 2h

248

5. Potenzreihen

3. Fur die Oberflache eines Drehellipsoids mit den Halbachsen a und b = a~ gilt (-+ Aufg. 3, Kap. 8, §4)

0=2a 2n(1

+(i + E) arctan E) .

Man gebe damit eine Naherungsformel fur E > 0 in Form einer Reihenentwicklung nach E (Anwendung in der Vermessungskunde: Obeiflache des Geoids). 4. a) Man gebe die Taylor-Reihe urn a = 0 samt Konvergenzbereich fur die Funktionen Si(x) =

l

x

si~t

dt

(lntegralsinus) und Jo(x)

= n1

1" 0

1

cos(x sin e)

Y

de

(Besselfunktion) (Mittelwert einer Jrequenzmodulierten Schwingung in Abhangigkeit des Frequenzhubes x ).

x 10

b) Wieviele Summanden sind niitig, urn Si(n) bzw. Jo(l) auf funf Dezimalstellen nach dem Komma genau zu bestimmen? Berechne damit Si(n) und Jo(1) in dieser Genauigkeit. c) Man bestatige: Jo(x) genugt der gewiihnlichen Differentialgleichung

5. In der raumlichen Potentialtheorie tritt die Entwicklung

=L ()()

I

.JI - 2xz + Z2

n=o

Pn(x)zn

auf. Man bestimme die Faktoren Po, PI, P2 und vergleiche mit den LEGENDREPolynomen (-+ Aufg. II, Kap. 2, §2). 6. Fur die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels hat man (-+ Aufg. I, Kap. 4, §7) eine zweite Darstellung

fil"

- Vg

T - 4

0

drp

.J2(cos rp - cos a)

wobei a den maximalen Auslenkungswinkel bezeichnet. Man entwickle den Integranden nach Potenzen von cos rp , fiihre die Integration nach rp durch und gebe eine Reihenapproximation fur T als Funktion von a. 7. Ein L = 200 m langes Stuck einer Eisenbahnschiene soli ausgewechselt werden. Das Ersatzteil ist urn 2 cm zu lang. Auf welche maximale Hiihe h knickt das ungekurzte Stuck beim Einbau aus, und welche Gegenkraft F entsteht an den StoBstellen?

249

§S. Anwendungen (an Beispielen)

Die exakte Theorie der Knicklinie liefert fur L, e, h, a, F (vgl. Skizze) die vier Gleichungen Lk = K(k) = h ek = KI(k) = h F

1"/2 "/2

0

= (2hk) 2 E 1

. a k =sm 2

d1jf

\tit - k2 sin2 1jf

1 vi 0

k2 . 2

1 - 2 sm 1jf d1jf 1 - k2 sin 2 1jf

(El =Biegesteifigkeit) ;

.

a) Man verwende fur K(k) die Entwicklung (2) und entwickle KI(k) analog nach k. Wie groB ist fur 0.:::: k .:::: 0.02 der Fehler hochstens, wenn man die Reihen jeweils nach k4 abbricht (Grobe Restgliedabschiitzung!). Diese Polynomapproximationen seien K(k) und KI(k). b) Man lose L·KI(k)=e·K(k) nach k aufund berechne h und F aus k,e und L fur E 1 = 3 . 105 Nm 2 .

=L 00

8. Man bestimme mittels Potenzreihenansatz y(x)

anx n und Koeffizientenvergleich

n=O

eine zweiparametrige Schar von Losungen der linearen Differentialgleichung (x 2

-

l)y" (x) = 6y(x) .

Fur welche Werte von yeO) und y'(0) ist y(x) ein Polynom? 9. a) Mit der geometrischen Reihe bestatige man die Reihenentwicklungen

b) Mittels wiederholter partieller Integration berechne man explizit FI (x), ... F4(X) und leite fur die folgenden an beiden Grenzen uneigentlichen Integrale ab:

I I

I lnx o x-I dx

.

=!~ F2 (x) =L 00

k=1

I

3

~

1

k2

7[2

=""6

-,.!~ F4(X) -, - 3. L 00

o x-I dx - 3.

(~

Kap. 2, 5.3) ,

(~

Kap. 11, 3.1) .

4

~-~

k4 - 15

k=1

c) Man leite mittels geeigneter Substitution hieraus die Werte ab: (~

Kap. 4, 4.3) .

Kapitel 6

Lineare Algebra Zur sachgerechten mathematischen Behandlung zahlloser Probleme der Technik, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder zur Berechnung von Fachwerken in der Statik, zur Lasung (Optimierung) von Transportproblemen, zur qualitativen und quantitativen Diskussion mechanischer dynamischer Systerne (Differentialgleichungssysteme) bedient man sich der Matrizenrechnung. Eine zeitgemaBe Darstellung dieses Kalkuls erfordert einige Begriffe aus der Theorie "abstrakter" Vektorraume, ohne die auch die hahere Ingenieurmathematik heute nicht mehr auskommt. Die Grundlagen sollen aber weitgehend recht "konkret" dargestellt werden. 1m Vordergrund steht die Anwendung von Matrizen bei linearen Gleichungssystemen, linearen Abbildungen, Koordinatentransformationen und quadratischen Funktionen.

§ 1. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1.1 Was ist eine Matrix? Eine Matrix vom Typ m xn (oder eine m xn-Matrix) ist ein rechteckiges Zahlenschema der Form

(1)

A=

(

al.l a21

~~~ ::: ~~:)

amI

a m2

.

a mn

Die Zahlen au E lR heiBen Komponenten (oder Elemente) der Matrix A. Wir schreiben abkurzend (2)

oder nur A = (aU), wenn der Typ feststeht. Die m x I-Matrizen (bzw. 1 x n -Matrizen) heiBen Spaltenmatrizen oder Spaltenvektoren (bzw. Zeilenmatrizen oder Zeilenvektoren), sie haben die Form

,=

(I) ,

b,w, "=('1"2"",'")'

(Bei nur einer Zeile oder Spalte benatigt man i.a. keinen zusatzlichen Zeilenindex oder Spaltenindex.) Die Matrix A =(aU )mxn besteht aus m Zeilenvektoren (mit je n Komponenten) (1 ::S i ::S m) K. Meyberg et al., Höhere Mathematik 1 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

251

§ I. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

bzw. aus n SpaItenvektoren (mit je m Komponenten)

Sj

:= (

jj a2j a )

.

(1

sjs

n) .

amj

Je nachdem, ob wir die Zeilen oder die Spalten von A hervorheben wollen, schreiben wir

Die (i, j)-Komponente au gehort dem i-ten Zeilenvektor Zi und dem j-ten Spaltenvektor sj an. Man sagt, aij steht im Schnittpunkt der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte (i Zeilenindex, j Spaltenindex). Man kann zur Verdeutlichung die Komponenten einer Matrix durch Kommata trennen, man muB es aber nicht. Zwei Matrizen A = (aij), B = (f3ij) heiBen gleich, i.Z. A = B, wenn sie yom gleichen Typ m x n sind und wenn auBerdem aij = f3ij gilt fiir aIle i, j mit Isism,ISjSn.

Beispiel. Die Matrix A =

lenvektoren

Zj

= (1,3,5),

(~ ~ ~) Z2

= (2,0,4)

ist yom Typ 2 x 3, sie hat die Zeiund die Spaltenvektoren

SI

= (~), S3 = (~). Es gilt A = (~ : {) genau dann, wenn Y = 2, a = 3, u = 0, f = 5, v = 4 (Komponentenvergleich). Man

S2

femer A

i

(~ ~ ~ ~).

= (~), x

= 1,

beachte 0

Die Menge aller m x n-Matrizen mit Komponenten aus lR bezeichnen wir mit lRmxn, femer lRn := lRnxl (Spaltenvektoren), lRn := lR lxn (Zeilenvektoren).

1.2 Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Zahlenfaktor.

Fiir A = (aij), B = (f3ij) aus lRmxn und jede Zahl A E lR sind die Summe A + B

252

6. Lineare Algebra

und das Ajache AA komponentenweise definiert:

(

all al2 ... aln) a21 a22 ... a2/1

., . .. .

...

+

(fJll fJI2 ... fJln) fJ2l fJ22 ... fJ2n

. . .. . .

amI ct m 2 ... ct mn

.

..

f3ml f3m2 ... fJmn

(

(3)

all + fJll, a21 + fJ2l,

al2 + fJl2 , a22 + fJ22 ,

, aln + fJln )

~

~

~

amI

:=

fJml , a m2

a2n + fJ2n

fJm2, ... , a mn

fJmn

all al2 ... aln) ( Aall, Aa12, ... , Aaln) a21 a22 ... a2/1 Aa21, Aa22, ... , Aa2n A ( .. .:= .. .

a~l a~2

...

a~m

Aa~nl , Aa~2'

... ,

A~mn

(432)+(6-3-1)=(1001)

Beispiel.

lOa

213

4 3 2) 0.5 ( lOa

a

3f32a

1.5 = (2 0.5 0

1)

0.5a

o

.

Fur die n x 1-Matrizen (Spaltenvektoren) und die 1 xn-Matrizen (Zeilenvektoren) sehen diese Verknupfungen wie folgt aus:

(4)

a2 132 a2 + 132 (131) (al+f3l) . ( al) ··· + ... = .. an

f3n

+

an + f3n

,

A

a2 Aa2 (al) (Aal) = . , . . .. .

(al +

an

+

Aan

131, a2 132, ... , an (a), a2, ... , an) (131,132, ... , f3n) = A(a), a2, ... , an) = (Aa), Aa2, ... , Aan) .

+f3n)

Aus

sieht man, daB sich jeder Spaltenvektor a Form

E lR,n

eindeutig darstellen laBt in der

253

§ 1. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

mit den Vektoren

Das System (el, ... , en) der ei analog hierzu wird das aus e~

:= (1,0,0, ... , 0),

E

lRn heiBt natiirliche Basis des lRn. Vollig

e;:= (0, 1,0, ... , 0) , ... ,

e~:=

(0, ... , 0, 1)

bestehende System (e~, ... , e~) von Zeilenvektoren des lRn die naturliche Basis des lRn genannt. (4) zeigt, daB die Matrizenaddition und die Multiplikation mit Skalaren (Zahlenfaktoren) spaltenweise ausgefuhrt werden kann: Fur A = (aI, a2, ... , an) und B = (bl, b2, ... , b n) aus lRmxn (mit den Spaltenvektoren ai, b i E lRm) gilt A + B = (al + bl, a2 + b2, ... , an + b n )

AA = (Aal, Aa2,.'" Aan )

,

•

(Analog fur Zeilen). Zu jeder Matrix A = (au )mxn bezeichnet man (-l)A = ( -au) mit -A und erklart damit die Differenz zweier m x n-Matrizen B-A:=B+(-A).

Die Matrix 0, 0, ... , 0) 0,0, ... ,0 ( o : = .. ..

.

.

E

lRmxn ,

0,0, ... ,0 deren samtliche Komponenten Null sind, heiBt Nullmatrix (vom Typ m x n). Die Nullmatrix 0 E lRn (bzw. 0 E lRn ) wird auch - den sonstigen Bezeichnungen angepaBt - Nullvektor genannt. Es ist klar, daB sich die Rechengesetze fur Zahlen auf Addition, Subtraktion und A-fache von Matrizen ubertragen. Man bestatigt leicht die folgenden grundlegenden Rechenregeln: a)

(5)

A +B

=B + A

flir al\e A, B E JRmxn

b) (A + B) + C = A + (B + C) C) A+O=A d) A+(-A)=O

fiir aile A, B, C E JRmxn

e)

(AfL)A = A(fLA)

fiir aIle A, J1,

f)

lA =A

fiir aile A E JRmxn

g)

(A + fL)A = AA + fLA A(A + B) = AA + AB

fiir aile A, J1, E JR,

h)

fiir aile A und der NuIImatrix 0 E JRmxn fiir aile A E JRmxn E

fiir aile A E JR,

JR,

A

E JRmxn

A, BE JRmxn A, BE JRmxn .

254

6. Lineare Algebra

1.3 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen. Augenfallig ist das Auftreten von Matrizen in linearen Gleichungssystemen. Ein lineares Gleichungssystem mit m linearen Gleichungen fur n Unbekannte XI, ... ,Xn hat die Form allxl

+ a12 x 2 + ... + alnXn = fh

a21 X l

+ a22X2 + ... + a2n Xn = fh

(6)

mit den KoeJfizienten aij E IR und den Absolutgliedern fli E IR . (Kommt eine Unbekannte in einer Gleichung nicht vor, dann hat sie dart den Koeffizienten 0.) Fur (6) schreibt man

(a~l~~: a~2~~~

(7)

... . ..

aln) a2n

···

a mn

(Xl). (fll. ) X2

fl2

..

..

Xn

flm

oder kurz (8)

Ax=b

mit der KoeJfizientenmatrix A = (aij) E IR mxn , dem Spaltenvektor x mit den unbekannten Komponenten Xi und dem Spaltenvektor b der rechten Seite. In der i-ten Zeile der Koeffizientenmatrix stehen die Koeffizienten der i-ten Gleichung, die j-te Spalte von A "gehort" zur Unbekannten Xj (dart stehen die Koeffizienten von X j ) ( 1 ::S i ::S m, l::s j ::S n ). Das lineare Gleichungssystem (6) bzw. (8) heiSt homogen, wenn b = 0 (d.h. = fl2 = ... = flm = 0) gilt, andemfalls inhomogen.

fll

Beispiel 1. 1m abgebildeten Netzwerk mit bekannten Widerstanden Ri Q gel-

ten nach den KIRCHHOFFschen Gesetzen fur die gerichteten Gleichstrome die folgenden Bedingungen

ft

+/z /z

- h - 14 ft +h - Is - Rift + R2/z + R3h - R3h + R4 /4 - Rs/s

=1

=0

I

I

=0 =0 =0

Abb. 137 - Stromkreis 1

Die Koeffizientenmatrix hiervon lautet ("fehlende" Koeffizienten sind Null)

o

-1

o o

R4

0 o -1 0 -Rs

)

.

o

255

§ I. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Beispiel 2. Fur die Bewegung eines Massenpunktes P seien die kartesischen Koordinaten des Geschwindigkeitsvektors i, y, z in Abhangigkeit von den Ortskoordinaten x, y, z gegeben: i(t)=

2x(t)+3y(t)-

yet) =

x(t) + yet)

z(t)

= -3x(t) + 5y(t)

z(t)

+ 7z(t) .

Diejenigen Punkte, in denen die Geschwindigkeit i = VI, Y erreicht wird, berechnet man aus dem linearen Gleichungssystem

-1) 2 1 3 0 ( 1 -3 5 7

(X) y = (VI) V2. z

V2, Z

V3

o

V3

Ein Spaltenvektor C E IRn mit den Komponenten CI, Cl, ... , Cn E IR heiBt eine Losung des Systems (6) bzw. (8), wenn fur Xi = Ci (1 sis n) die m Gleichungen in (6) tatsachlich erfuIlt sind; bzw. - was dasselbe ist - wenn Ac = b gilt. Haufig wird eine Li::isung in der Form Xl = CI, Xl = Cl , ... , Xn = Cn angegeben. Ein homogenes System Ax = 0 besitzt stets mindestens eine Li::isung, namlich die Nullosung (oder triviale Losung) Xl = Xl = ... = Xn = O. Nicht jedes System ist li::isbar. Es treten die drei folgenden FaIle auf:

o

Das Gleichungssystem besitzt keine Losung. Beispiel. 3xI + 2X2 = 1 3XI + 2Xl = 2

o

®

Das Gleichungssystem besitzt genau eiue Losung. Beispiel. 3xI + 2X2 = 1 3XI + Xl = 5 (XI = 3, Xl = -4)

©

o

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Losungen.

Beispiel.

3XI

+ 2X2

Fur jede Zahl A ist

Xl

=1 =

~(1

- ZA), x2 = A eine Li::isung.

o

Zwei lineare Gleichungssysteme Ax = b, Bx = c fur Xl, ... , Xn (nicht notwendig mit derselben Anzahl von Gleichungen) heiBen iiquivalent, wenn sie dieselbe Li::isungsmenge besitzen. Ein nach CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855) benanntes Li::isungsverfahren basiert auf der Beobachtung, daB bei folgenden Umformungen das Gleichungssystem (6) in ein dazu aquivalentes ubergeht:

CD

(3)

CD

Vertauschung zweier Gleichungen. Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl a =I 0 . Addition (bzw. Subtraktion) des Vielfachen einer Gleichung zu (bzw. von) einer anderen.

256

6. Lineare Algebra

Da diese Umformungen mit Umformungen vom gleichen Typ riickgangig gemacht werden konnen, andem sie nichts an der Losungsmenge. Diese Umformungen werden iibersichtlicher, wenn sie an der sogenannten erweiterten Koejjizientenmatrix

(9)

(Alb) :=

fh) /h

all ( a21 :

f3m

ami

ausgefiihrt werden. Man erweitert A urn die von den anderen Koeffizienten durch einen senkrechten Strich getrennte Spalte der Absolutglieder. Die den Gleichungsumformungen CD, CD, CD entsprechenden Veranderungen der Matrix (Alb) heiBen elementare ZeilenumJormungen, das sind: CD Vertauschen zweier Zeilen. CD Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl a =I 0 . CD Addition (bzw. Subtraktion) des a-fachen einer Zeile zu einer anderen. Also gilt Entsteht (Blc) aus (Alb) durch endlich viele elementare Zeilenumformungen, dann sind Ax = b und Bx =c aquivalent.

1.4 Das GauB'sche Losungsverfahren 1) Das homogene System Ax = o. In diesem Fall formen wir nur die "einfache" Koeffizientenmatrix

A=

(~~: ~~~ ::: ~~:) .

amI

a m2

a mn

urn, die rechte Seite des Gleichungssystems bleibt ja bei den Umformungen CD, CD, CD konstant gleich 0 (Nullvektor). Das GauB-Verfahren (die sogenannte Gauj3'sche Elimination) besteht aus zwei Teilen

o

®

der Vorwartselimination, der Riickwartssubstitution.

o Die Vorwartselimination.

Man bringt durch eventuelle Zeilenvertauschung eine Zahl =I 0 an die erste Stelle der ersten Spalte und annulliert die darunterstehenden Zahlen durch Subtraktion eines passenden Vielfachen der neuen ersten Zeile von der zweiten, dritten, ... . D.h., ist - nach eventuell vorhergehender Zeilenvertauschung - all =I 0, dann subtrahiert man das a21 -fache der ersten all Zeile von der zweiten, das a31 -fache der ersten Zeile von der dritten, etc. all

257

§ I. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Auf diese Weise entsteht aus A eine Matrix B der Form

B=

(w

* ... * * * ... *) 0···0**···* 0 0···0**···*

o

: : ..

o

: : : :. ...

(- * * * ... *)

=

Al

0···0**···*

mit einer (m - 1) x n-Matrix AI, deren vordere s Spalten Null sind, s 2: 1 (beim ersten Eliminationsschritt konnen unter Umstanden auch in anderen Spalten unterhalb der ersten Zeile lauter Nullen entstehen). An der _ -Stelle steht eine Zahl =j. 0, tiber die an den *-Stellen stehenden Zahlen wird nichts Naheres gesagt. 1m Fall Al = 0 (Nullmatrix) ist die Elimination bereits beendet. Andemfalls (AI =j. 0) wiederholt man im 2. Eliminationsschritt denselben Rechenschritt an der ersten von Null verschiedenden Spalte von Al (die erste Zeile von B bleibt unverandert), etc., bis man nach hochstens m - l-Eliminationsschritten zu einer Matrix M gelangt, die eine sogenannte Zeilenstufenform besitzt: * ... * ... * * ... * ... * r

(10)

M=

0 0

0 0

0

0

* ... *1 01 0 0 0 0 0

0

1m - r

Es stehen an den _ -Stellen Zahlen =j. 0 , an den *-Stellen irgendwelche sich aus der Rechnung ergebenden Zahlen, an allen anderen Stellen in M nur die Null. Kennzeichen der Zeilenstufenform:

• In jeder Zeile stehen links vor _ nur Nullen. • Liest man von oben nach unten, so rtickt _ pro Zeile um mindestens eine Stelle nach rechts.

Das homogene Gleichungssystem Mx =0 ist aquivalent zu Ax

=0 .

® Die Riickwartssubstitution erlautem wir zuerst an einem Beispiel. Aus

A sei durch Vorwartselimination (elementare Zeilenumformungen) die folgende Matrix entstanden: XI

M -

-

(

X2

X3

X4

Xs

+ + + + + OJ -2 3 4 2) 0 0 [IJ I -4 000E]3 00000

258

6. Lineare Algebra

Das Gleiehungssystem Mx = 0 lautet explizit

+ 3X3 + 4X4 + 2xS = 0 2X3 + X4 - 4xS = 0 X4 + 3xs = 0

2X2

Xl -

(11)

Es besehreibt nur die Abhiingigkeit der zu den _ -Stellen geharenden Unbekannten Xl, X3, X4 (man nennt sie die abhangigen Variablen) von X2, Xs, die man nun, da sie keiner weiteren Bedingung unterworfen sind, als unabhangige Variable (oder freie Parameter) ansieht, die jeden beliebigen Wert annehmen kannen. Wir setzen X2 = AI, Xs = A2 (Ai E lR. variabel) , bringen im Gleiehungssystem Mx = 0 die freien Variablen auf die reehte Seite Xl

=2X2 =4xs X4 = 3xs

+ 3X3 + 4X4 2X3 + X4

2xs

=2Al =

2A2 4A2 3A2

und bereehnen daraus der Reihe naeh (von unten nach oben) Abhiingigkeit von AI, A2. X4

= 3A2,

X3

1 = 2'A2,

XI

X4,

X3,

XI

in

= 2AI - 15.5A2 .

Die derart bestimmte (parameterabhiingige) Lasung

(

~~) X3

X4 Xs

=

(2AI

-A~5'5A2)

0.5A2 3A2 A2

=Al

(i) 0 0

g'5) (_l + A2 0.5 3

0

1

( AI, A2 E lR.) heiSt allgemeine Losung, jede spezielle Wahl der Parameter AI, A2 ergibt eine spezielle (oder partikuliire) Lasung. So ergibt etwa Al = 1, A2 = 0 die spezielle Lasung Xl = 2, X2 = 1 , X3 = X4 = Xs = 0 . 0

Allgemein: • Die in (10) zu den Spalten ohne _ -Stelle geharenden Unbekannten sind die freien Variablen, sie werden der Reihe naeh gleieh AI, A2, ... , An-r gesetzt. • 1m (10) zugeordneten Gleichungssystem bringt man die freien Variablen auf die reehte Seite, ersetzt sie durch den ihnen zugewiesenen "Wert" Ai und berechnet der Reihe nach von unten nach oben die zu _ -Stellen geharenden abhangigen Variablen (in Abhiingigkeit von AI, A2, ... , An-r). Die derart bestimmte Lasung heiSt allgemeine Losung des Systems, jede spezielle Wahl fur die AI , ... , An-r ergibt eine spezielle (oder partikuliire) Lasung. Beispiel. Xl 2xI -

4X2

+ 2X3

3X2 -

3XI - 7X2 + X2 -

=0

X3 -

5X4

X3 -

5X4

X3 -

X4

=0

=0 =0

259

§ 1. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Die GauB-Elimination fiihrt von der Koeffizientenmatrix A

=

(23I -4-3-7 -121-5-50) o

Die Unbekannten substitution ergibt X2

X3,

zu

M- (

_

1 -1 -1 X4

sind frei wahlbar:

= X3 + X4 = Al + A2,

XI

X3

= 4X2 -

OJ -4 2 0) 0 OJ -1 -1 0

0 0 0 000

o

= Al , 2X3

X4

= A2.

Die Riickwarts-

= 2AI + 4A2

.

Die allgemeine Lasung lautet

Spezielle Parameterwerte ergeben spezielle Lasungen.

o

Man nennt die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen (also die Anzahl der • Stellen) in der aus A mittels GauB-Elimination erzielten Zeilenstufenmatrix M (--+ (10)) den Rang von A, i.Z. Rang A. In §4 wird gezeigt, daB Rang A nur von der Matrix A und nicht von den speziellen Eliminationsschritten abhangt. Satz 1.1. n - Rang A Variable frei wiihlbar. Sei A E IR mxn . a) Das homogene Gleichungssystem Ax = 0 hat genau dann als einzige Losung XI = ... = Xn = 0, wenn Rang A = n gilt (n = Anzahl der Unbekannten). b) Die allgemeine Losung des linearen Gleichungssystems Ax =0 enthiilt n - Rang A freie Variable. c) 1st die Anzahl der Gleichungen kleiner als die Anzahl der Unbekannten (m < n), dann besitzt Ax = 0 von Null verschiedene Losungen. Beweis. b): Es gibt n - Rang A Spalten in M ohne. -Stelle. Jede der zu

dies en Spalten geharenden Variablen ist "frei". a): Gibt es in jeder Spalte eine • -Stelle (d.h. Rang A = n), dann gibt es keine freie Variable, die Riickwartssubstitution zeigt Xn = 0, Xn-l = 0 , ... , XI = 0 . c): Aus Rang A :s m (--+ (10)) und m < n folgt n - Rang A :::: n - m :::: 1. Also enthalt die allgemeine Lasung von Ax = 0 wenigstens eine freie Variable, etwa Xk = A. Die Wahl A = 1 ergibt die von Null verschiedene Lasung Xl = * , ... , Xk = 1 , ... , Xn = * . 0 2) Das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax = b. In diesem Fall besteht der Lasungsweg aus drei Teilen: der Vorwartselimination an der erweiterten Matrix (Alb), CD einer Lasbarkeitsentscheidung, der Riickwartssubstitution.

o o

260

o

tion

6. Lineare Algebra

Die erweiterte Koeffizientenmatrix (Alb) wird mittels GauB'scher Elimina(~ 1) in (Mid) umgewandelt, mit M in Zeilenstufenform.

• * * * * * ... * . .. * * ... * (12)

(Mid)

=

0 0

0 0

0

0

.. . 0

01

• * ... * 0

Or

0 0

Om

0 0

0

Or+l

® Die Losbarkeitsentscheidung.

1st eine der Zahlen Or+l, ... , Om in (12) von Null verschieden, etwa nach Zeilenvertauschung Or+l ::j. 0, dann ist Mx = d, also auch Ax = b , nicht losbar. Denn die (r + l)-te Gleichung in Mx = d gibt den Widerspruch oXl + ... + 0 Xn = Or+1 ::j. 0 . 1m Fall Or+l = ... = Om = 0 berechnet man die Losungen mittels

CD Riickwartssubstitution,

vollig analog wie im homogenen Fall. Dieser Schritt kann dadurch vereinfacht werden, daB man zuerst die spezielle (partikulare) Losung Vo E lR,n berechnet, in der die freien Variablen samtlich den Wert Null haben, und dann die allgemeine Losung des homogenen Systems Mx = 0 bestimmt. Denn es gilt Satz 1.2. Sei A E lR,mxn, b E lR,m. a) Losbarkeitstest. Das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax dann losbar, wenn gilt Rang (Alb) = Rang A . b) Struktur der Losungsmenge. 1st das System Ax allgemeine Losung darstellen in der Form

=b

=b

ist genau

losbar, dann liiJ3t sich die

v = Vo +u mit einer speziellen Losung Vo und der allgemeinen Losung u des zugehorigen homogenen Systems. c) Anzahl der freien Variablen. 1st Ax = b losbar, dann enthiilt die allgemeine Losung (n - Rang A) freie Variable (n = Anzahl der Unbekannten).

Beweis. a): Die Bedingung Or+l = ... = Om = 0 (~ (12)) ist gleichbedeutend damit, daB die aus A und (Alb) erzielten Zeilenstufenmatrizen eine gleiche Anzahl von. -Stellen besitzen, also mit Rang A = Rang (A Ib) . b): Mit Au = 0 und Avo = b gilt auch A(vo + u) = b und andererseits folgt aus Av = b, Avo = b, daB die Differenz u := v - Vo das homogene System Ax = 0 D lost. c) folgt aus Teil b) und Satz 1.1.

261

§ I. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Beispiel 1. Die KIRCHHOFFschen Regeln fiir elektrische Stromkreise lauten: · S d { Teilstrome in jedem Knoten }. N ZZ D Ie umme er T'Z . •d M 1el spannungen tn Je er asch e 1St u.

Urn das lineare Gleichungssystem fiir die fiinf Teilstrome des skizzierten GleichR R u stromkreises fiir R = 300 Q, U = V = 300 V, W = 200 V zu bestimmen, wahlen R wir die Stromrichtung wie skizziert. Von den drei Knotenbedingungen lauten zwei: It + l) - h - Is = 0 und l) + 14 - Is = O. Dazu nehmen wir drei Maschenbedingungen: l)R - W + IsR = 0, 3RIt - U V+Rh =0 und V+W-l)R-hR+2I4R = Abb. 138 - Stromkreis 2 O. AIle weiteren moglichen Bedingungen hangen linear von diesen 5 Gleichungen abo Mit den gegebenen Zahlenwerten erhalt man fiir die fiinf Strome in der MaBeinheit Ampere das Gleichungssystem

(9~O

-1 -1 1 0 1 -1 0 1 0 300 0 300 300 0 0 0 600 300 300 -600 0 500

2~l

Der E1iminationsschritt 0 liefert

(1o -1 I

0 -1 0 1 1 -2 0 5/3 0 1 1 -1 o o 0 0 1 -2 o 0 0 0 1 8/39

1

-~/3

Das Gleichungssystem hat also eine eindeutige Losung (It, h h h, Is)

1 = 39(17,27,18, -10, 8) . tY

Beispiel 2. Auf das skizzierte ebene Fachwerk mit 4 Staben und 4 Knoten wirken zwei Krafte P und Q ein, sie rufen in jedem Stabende eine Reaktion in Richtung des Stabes hervor; in den festen Auftagern CD und 8) sind It bzw. If die Reaktionen. Die Gleichgewichtsbedingungen lauten

o

'0

i

--===. I..:»----~ Abb. 139 - Ebenes Fachwerk

. k en d en K raJte ';F, • N u. ZZ · Summe a zz er {auf. einen D Ie . Knoten} WIT 1St tn etnem Stab

x

262

6. Lineare Algebra

Sie liefern ein lineares Gleichungssystem fur die Komponenten der Lagerreaktionen und die skalaren Stabkrafte Si (Si > 0: Zugstab, Si < 0: Druckstab): Knoten

CD

KnotenG)

SI ( _ SI

S4 (

~ ) +P =0

~)

(~)

+

S2 (

~)

+

S3

KnotenG)

S2 ( -

KnotenG)

S3

d.h.

~) +

+ Q =0

(~) +A=O

(0) -1 + (-1)0 + -=0-

0 0 1 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0

B

S4

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 -PI 0 -P2 0 -Ql 0 -Q2 0 0 0 0 0 0 0

mit dem Unbekanntenvektor x = (SI, S2, S3, S4, AI, A2, BI, B2)'

Elimination liefert hieraus 1 0 0 0 0 0 0 0 P2 1 0 0 0 0 0 0 -Ql 00100100 0 o 0 0 1 0 0 0 0 - PI o 0 0 0 1 0 0 0 -Ql 00000101 0 o 0 0 0 0 0 1 0 - PI o 0 0 0 0 0 0 0 P2 + Q2

o

Der Rang der Matrix A des Systems ist stets 7. Man hat also zwei FaIle zu unterscheiden: a) P2 + Q2 =I 0: Rang(Alb) = 8 > Rang A, das System ist nicht losbar: Die Resultante von P und Q besitzt eine Komponente =I 0 in y-Richtung, die nicht auf die Lager ubertragen werden kann; das Stabwerk ist kinematisch unbestimmt. b) P2 + Q2 = 0: Rang (Alb) = 7 = Rang A. Es existiert eine einparametrige Losungsschar:

nD=(=n+A(-D; OD=(=~:)+Am AI, BI, SI, S2 und S4 sind eindeutig bestimmt; wegen der festen Ein-

spannung kann S3 und A2 nicht eindeutig aus P und den; das Stabwerk ist statisch unbestimmt.

Q bestimmt wero

263

§ 1. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Aufgaben I. Man lOse die linearen Gleiehungssysteme a)

7y

3

-lOx + 14y

-6

5x

c)

x + 2y + 3z = 4 4x + 5y + 6z = 0 7x + 8y + 9z = 4

e)

Xl 2XI + X2 Xl + 2 X2 3XI - 3X2

b)

d)

z=1

2x 2x -x

+ 4y - z = I + 8y + 3z = 2

-

Xl 2XI Xl Xl

+ 2X2 + X2 + 2X2 + X2

+ +

X3 X3 + 2X3 + X3

+ X4 = + 2X4 = + X4 = + X4 =

0 0 0 0

+ X3 X4 + 4xs = 2 + X3 + X4 - Xs = 5 + 3X3 + 8X4 + Xs = 1 + X3 - 18x4 + 9xs = 8 .

2. Man bestimme - abhangig von ex - samtliehe Losungen des linearen Gleiehungssystems im lR,4:

a)

(i 1]~~4 6}+ 7~) 45

7

30

Xl +X2 +X3 +X4 Xl - X2 - X3 - X4 b) Xl + X2 - X3 - X4 3Xl + X2 + X3 - X4

0

3. 1m skizzierten Quadrat ist in den 8 Kastehen mit * eine reelle Zahl einzusetzen, so daB die 3 Zeilensummen, die 3 Spaltensummen und die Diagonalsummen den Wert 15 haben.

= ex = ex - 4 = ex + 1 = 0

* 9 * * * * * * *

4. Fur welche Werte von t sehneiden sieh die vier Ebenen im lR,3: y +z = 0; 2x - y + z = 0; X + Y = 2t ; 2(x - y) + t(z + I) = o?

5. Man sehreibe das lineare Gleichungssystem

L(i - k)x; = I, k = 1,2, ... , n in Matrii::::ol

zenform explizit aus und bestimme dureh Gauss-Elimination die allgemeine Losung fUr n=l, n=2, n=3.

6. Man bestimme reelle Zahlen

(0 ::::: i ::::: n + I) , fur die gilt

xj_I-2xj+Xj+I=0 (l:::::i:::::n),

Xo=o, 7.

Xj

xn+I=1

Dimensionsanalyse des Stromungswiderstandes eines Schiffes.

1m egs - MaBsystem gilt fur die Einheiten: Diehte des Wassers Sehiffsgesehwindigkeit benetzte Oberflaehe Sehiffsmasse Bremsverzogerung

p

v 0

em- 3 em 1 em 2

gl gO gO

memo

gl

b

gO

em 1

seeO see- 1 seeo seeO see- 2

Welche Formeln des Typs p
or m S bE

=K

sind vom MaBsystem her moglieh, wenn K eine dimensionslose Zahl sein soli? Welche Formeln ergeben sieh fur die Widerstandskraft W = mb ?

264

6. Lineare Algebra

8. a) Fur das skizzierte Fachwerk mit 7 Staben und 5 Knoten stelle man das Iineare Gleichungssystem fur die 10 skalaren GroBen 5 1 , ... ,57 , AI, B I , B2 auf. (~ Beisp. 2, A2 = 0) b) Wie lautet die Losung fur PI = ION, P2 = 20N, P3

71 A

y

= 30N .

c) Man lose das Gleichungssystem fur allgemeine Lasten PI, P2 , P3 und lese die 7 x 3-Matrix E der EinflujJzahlen ab, so daB

/ -+

B

9. Der Massenausgleich 2. Ordnung einer k-Zylindermaschine liefert fUr die Impulse (II), (I2) und die Momente (M 1), (M 2) der 1. und 2.0rdnung die Bedingungen: (Kurbelwinkel a;, Massen m; > 0, Massenschwerpunkt in z = 0; Z; f. Zj fur i f. j , k> 1.) k

(Ml)Lm;z;Sinel; =0, Lm;z;coseI; =0. ;=1

(12)

L

i=1

i=1 m;

sin 2e1;

= 0,

i=l

L

L m;z;

i=1

k

111; cos 2e1;

= O.

(M2)

sin 2e1; = 0,

L

111; Z; cos 2e1; = O.

;=1

1=1

z

k=6 , \

. \

I I

' .... _.1,1 a

2

, ex

5

a) Wie lautet die Matrix A des homogenen Jinearen Gleichungssystems, das die Vektoren rn = (ml, ... , mk) und rnz = (mIZI, ... , mkZk) erfUllen mussen? Warum ist rnz nie ein Vielfaches von rn? Welchen Rang darf A bei Massenausgleich hochstens haben? b) Bestimme A, Rang A und lose Ax =0 fur die 2 Faile: 4 Zylinder: Zundfolge 1 - 3 - 4 - 2, al = a4 = 0; a2 = Ct3 = 1800 ; 6 Zylinder: Zundfolge 1 - 5 - 3 - 6 - 2 - 4, al = a6 = 0; as = a2 a3 = a4 = 2400 • 1st in beiden Fallen Massenausgleich zweiter Ordnung moglich? c) Gibt es fur den ublichen Aufbau einer Vierzylindermaschine

= 120

0 ;

265

§2. Die Matrizenmultiplikation

Kurbelwinkel ai, so daB Massenausgleich zweiter Ordnung vorliegt? 10. Fur den skizzierten Wechselstrornkreis stelle man das komplexwertige lineare Gleichungssystem fUr die 3 Teilstrome ii, i 2 , i3 auf und lose es fur die aufgepragten Quellstrome i" und h. 11. Numerische Problematik bei linearen Gleichungssystemen a) Man lose

( 1044.005 696) 174 116

(X) = (696) Y

116'

b) Man "lose" mit dem Taschenrechner ( 1044.0045 696.0028) 174.0008 116.0005

(X) = (696.0034) y

116.0006'

c) Die Losung von b) erfullt gleichzeitig die beiden linearen Gleichungssysteme ( 1044 696) 174 116

(X) = (696) . 116' Y

Man bestatige dies, bestimme diese gemeinsame Losung und lose damit b).

§ 2. Die Matrizenmultiplikation 2.1 "Zeile mal Spalte". Das Produkt ab eines Zeilenvektors a E IRn und eines Spaltenvektors b E IRn (beide mit n Komponenten Qq, a2, ... , an bzw. fll, fl2, ... , fln ) ist definiert durch

(1)

ab~ (a•. a, ..... a·l CJ

:= atilt + a2{h + ... + anfJn =

L ai fJi i=l

Beachte: Das Produkt "Zeile mal Spalte" ist eine Zahl.

o

Beispiel 2. Eine lineare Gleichung alxl + a2x2 + ... + anxn = fl schreibt man kurz als Produkt a x = fl, mit dem Zeilenvektor a = (al, ... , an) und dem Spaltenvektor der Unbekannten x. 0

266

6. Lineare Algebra

Man verifiziert muhelos die folgenden Rechengesetze: (aj

+ a2)b = aj b + a2b,

a(bj

+ b2) = ab j + ab2

a(ab) = (aa)b = a(ab) ,

(2)

fur alle a, aj, a2 E

lR n

(Zeilen),

b, bj, b2 E lRn (Spalten),

a E lR .

2.2 Die Multiplikation zweier Matrizen. Das Produkt einer m x n-Matrix

(Zeilendarstellung, -+ 1.1)

mit einer n x r-Matrix B

=(f3ij )nxr =(Sj, S2, ... , sr)

(Spaltendarstellung, -+ 1.1)

ist definiert durch ZjSl ZjS2 Z2S1 Z2S2 AB := ( . .. .

(3)

... ...

zjsr) Z2Sr E lR mxr . ..

..

ZmSj

.

ZmS2

ZmSr

Die i-te Zeile von AB ist (ZiSl, ZiS2, ... , ZiSr) (l s i s m), die j-te Spalte (

ZlSj ) Z2S' :}

s

(l

ZmSj (cij)mxr

AB

=

j

s

r).

Demnach berechnet sich die (i, j)-Komponente von

nach derVorschrift "i-te Zeile mal j-te Spalte":

(4)

Beachte: AB ist nur erklart fur A E lRmxn und B E lRnxr , d.h." Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B". In diesem Fallliegt AB in lRmxr. Man sagt kurz: "m x n mal n x r ergibt m x r " . Beispiel.

o i o 0

(~

2 0

4 0 4 1

o

D(;

17) 10 7 17

.

o

267

§2. Die Matrizenmultiplikation

.. .

SI

4Sj

...

Sr

4Zl

---+

-lJ-

ZISI

---+

Zi

Zm

::::}

ZISr

ZiSj

ZmSj

ZmSr

Abb. 140 - Schema der Matrizenmultiplikation.

Die in (3) enthaltenen Sonderfalle r = 1 bzw. m = 1 stellen wir gesondert heraus: Fur A E lRmxn , S E lRn bzw. B E lRnxr, Z E lRn gilt

(5)

A,=

(~D

'

zB =(U"U2,' ",U,),

Damit ergibt sich die ubersichtliche Spalten- hzw. Zeilendarstellung des Produkts (---+ (3»

(6)

AB =(As I , AS2, ... , Asr )=

ZIB) B

(

Z2

:

'

zm B wenn A die Zeilen

Zi

(1::: i ::: m) und B die Spalten

2.3 Rechenregeln. Das fur A

Sj

(1::: j ::: r) hat.

= (aij)mxn

und den Spaltenvektor x (5) und (1) explizit berechnete Produkt Ax lautet

(7)

al2 a22

·

··

... ...

aln) (XI) a2n X2

(allXI a2jXI

+ +

al2X2 + a22 x 2 +

amjXj

+

am2X2

...

.,

. .. .

a m2 ... a mn

Xn

... + ... +

+ ... +

E

lRn mit

ajnXn ) a2n Xn amnXn

In der bisher nur als Abkurzung verstandenen Schreibweise Ax = b fur ein lineares Gleichungssystem, erhalt die linke Seite jetzt mit (7) die richtige Deutung. Die rechte Seite in (7) kann man auch schreiben als Xjaj + ... + Xnan mit den Spaltenvektoren ai von A. Also gilt fur A = (al, ... , an) E lRmxn, X E lRn die nutzliche Multiplikationsformel (8)

Ax = Xjaj

+X2a 2 + ...

+xnan

•

I

268 Hierin

6. Lineare Algebra

= ei (d.h.

X

Xi

= 1, Xi = 0 fiir j

i

i ) eingetragen, zeigt

( i -te Spalte von A,

(9a)

1:::: i :::: n) .

Ebenso erhalt man ( i -te Zeile von A,

(9b)

1:::: i :::: m) ,

e;

wobei = (0, ... , 0, 1,0, ... , 0) mit 1 an der i-ten Stelle. Die Matrix E:= n

(0101 ...".:0) 0

E

IR nxn

: ". ".

o ...

0 1

heiBt n x n-Einheitsmatrix, sie hat die Spaltendarstellung En = (el, ... , en) mit den Vektoren ei der natiirlichen Basis des IRn. Besteht keine Unklarheit iiber n , dann schreiben wir kurz E statt En. Satz 2.1. IR nxr , C

Rechenregeln. Fiir aile Matrizen A, AI, A2 E IR mxn , B, BI, B2 E E IRrxs gilt:

a)

= AlB + A2B , a(AB) = (aA)B = A(aB) A(BC) = (AB)C ,

(AI + A2)B

b) c) d)

EmA

Aber e)

= AEn = A

im

A(BI + B2)

(a

E

= ABI + AB2

,

IR) ,

.

allgemeinen

ABiBA.

Beweis. Direktes Nachrechnen (wird vereinfacht mit (3), (2), (6) und (9)).

D

Wiederum gewahrleisten diese Rechenregeln, daB man im wesentlichen wie gewohnt mit Matrizen rechnen kann. Wegen c) kann man in einem Matrizenprodukt mit mehr als zwei Faktoren auf Klammerungen verzichten: ABC:= (AB)C = A(BC), ABCD := (AB)(CD) = «AB)C)D = .... Das Matrizenprodukt ist aber nicht kommutativ; d.h., im allgemeinen gilt AB i BA , selbst wenn beide Produkte erklart sind (--+ Aufg. 1). Fiir die aus lauter Nullen bestehende Matrix 0 (vom geeigneten Typ) gilt selbstverstandlich OA = AO = O. Ferner gilt: (alAI

+ .. ·akAk)(fhBl + ... + f3I BI) = alf31AlBl + ... +akf3I A kBI

fiir aIle Ai E IRmxn, B j E IRnxr, ai, f3j E IR. Auch fiir die Potenzen Ak einer (quadratischen) n x n-Matrix AO := E, Ak+l := Ak A

(d.h. Ak = A A··· A , k mal)

gelten die iiblichen Rechenregeln Ak Al

= Ak+l,

(Aki

= Akl

fiir k, IE lNo.

269

§2. Die Matrizenmultiplikation

2.4 Die Transponierte einer Matrix. Jeder m x n-Matrix

= (Cii})

zugeordnet ist die transponierte Matrix AT (die Transponierte von A), deren He Zeile aus den Koeffizienten der i-ten Spalte von A besteht (1 :s i :s n). Explizit: zu Cill

Cil2

Cil n

Ci2l

Ci22

Ci2n

Ciml

Cim2

Ci mn

t

t

A=( AT

)

t

CD CD ist die Transponierte

A

0

definiert durch

AT

:=

ICill , ICil2 ,

Ci22,

ICil n ,

Ci2n,

*- CD Cim2 I *- CD

Ci21 ,

Ciml

*-0

I

Ci mn

Beachte: Die Transponierte einer m x n-Matrix ist eine n x m-Matrix. Speziell:

fh)T ( ;: = (P., p" ... , P.l . Aus den Spalten von A werden die Zeilen von aus den Zeilen von A die Spalten von AT. Beispiele. (1.2 3 4)' =

m'(D'

=([0,"),

AT,

G: l 4)T ex

=

dabei werden gleichzeitig

(~3 0~ ~) 2 .

D

4 ex 4

4

Es gelten folgende Rechenregeln:

(10)

a) b) c) d)

(A

= AT + BT (CiA)T = CiA T (ATl = A (ABl = BT AT + Bl

fur fur fur fur

aIle aIle alle aIle

A, B E

lRmxn

A E

lRmxn

A E

lRmxn

A E

lRmxn

, Ci E

lR

, BE

lRnxp

Beweis. a), b), c) sind direkt aus der Definition ersichtlich, d) ist mit (3) leicht nachzurechnen; dabei ist zu beachten

270

6. Lineare Algebra

o Definition. Eine n x n-Matrix A heij3t symmetrisch, wenn AT schiefsymmetrisch, falls AT = - A .

Fiir A =

(OIij)

=A

gilt, sie heij3t

ist (OIil,OIi2, ... ,OIin) die i-te Zeile von A und die i-te Zeile von AT (entstanden aus der i-ten Spalte von

E

(OIli, 0I2i, ... , OIni)

lRnxn

A). Also gilt

AT = A ~ AT = - A ~

OIij =OIji OIij

= -01 ji

(1 ~ i ~ n, 1 ~ j ~ n) , (1 ~ i ~ n, 1 ~ j ~ n) .

Insbesondere gilt OIii = 0 fiir die Diagonalelemente einer schiefsymmetrischen Matrix. Fiir jede Matrix A E lRn xn sind nach (10) die Matrizen A + AT, AA T symmetrisch und A - AT schiefsymmetrisch. Die Einheitsmatrix ist symmetrisch. Eine symmetrische Matrix A = AT = (OIij) ist wegen OIij = 01 ji symmetrisch zu der durch 0111, ... , OI nn bestimmten Diagonalen. Beispiele.

C D(-j 2 42 3 6

( -1 0 01 2) 3 -2 -3 0 '

J)

2 -1 2 0 0 3 3 -7 -1 1 -3 0 -4 4 0 0 -2

(-1

-D

(symmetrisch)

(schiefsymmetrisch)

o

Symmetrische Matrizen spielen in der Theorie der quadratischen Formen eine wichtige Rolle (---+ §7). Wir werden in §4 die Transponierte einer Matrix heranziehen, urn Ergebnisse iiber Zeilen einer Matrix auf entsprechende Aussagen fiir Spalten (und umgekehrt) zu iibertragen.

2.5 Invertierbare Matrizen. In diesem Abschnitt betrachten wir "quadratische" n x n-Matrizen.

Mit E bezeichnen wir stets die Einheitsmatrix

E = (e I, ... , en) .

Definition. Eine n x n-Matrix A heij3t invertierbar, wenn es eine n x n-Matrix B gibt, so daj3 gilt AB = BA = E. In diesem Fall ist die Matrix B eindeutig bestimmt, sie wird meist mit A-I bezeichnet (d.h. A- I := B), und heij3t inverse Matrix oder die Inverse von A.

Die Eindeutigkeit der Inversen liefert der

271

§2. Die Matrizenmultiplikation

Satz 2.2. Wenn es zur Matrix A E lR,nxn zwei Matrizen B, C BA = AC = E, dann ist A invertierbar und B = C = A-I.

E

lR,nxn gibt mit

Beweis. B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C. Also gilt BA = AB = E und es gibt zu A keine andere Matrix mit dieser Eigenschaft; d.h. es ist B = A -I .

o

Beispiele. 1. Die Einheitsmatrix E

2. Fur A = AB

(~ ~)

= BA = E,

E lR,2x2

=E E

ist invertierbar, E- I = E .

mit ad - be =I 0 und B = ad

also ist A invertierbar, A-I

~ be ( _~

= B.

b) gilt

-a

o

Satz 2.3 a) Die Inverse einer invertierbaren n x n-Matrix A ist invertierbar; (A -I )-1 = A. b) Das Produkt AB zweier invertierbarer n x n-Matrizen ist invertierbar; (A B)-I = B- 1 A-I. c) Die Transponierte AT einer n x n-Matrix ist genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist. In diesem Fall gilt (A T)-I = (A -I f . Beweis. a), b): Zu den Matrizen A -I, AB erfiillen A bzw. B- 1 A-I die Bedingung AA -1 = A-I A = E, B- 1 A -I(AB) = (AB)B- l A-I = E. Sie sind deshalb nach Satz 2.2 die eindeutig bestimmten Inversen von A-I und AB. c) folgt durch Transponieren von AA -1 = A -I A = E bzw. von AT (AT)-I = (AT)-I AT = E. mit (lOd). 0 Fur endlich viele invertierbare n x n-Matrizen AI, ... , Ak folgt damit (11)

I

(AI A 2'" Ak)-1

= Ak l ... All All. I

(Man beachte in (l1) die Anderung der Reihenfolge.) Die Bedeutung der invertierbaren Matrizen fur lineare Gleichungssysteme ergibt sich daraus, daB jede Matrizengleichung AX=B

mit B, X

E

lR,nxk

mit einer invertierbaren n x n-Matrix A eine eindeutig bestimmte Lasung X = A -I B besitzt. (Man multipliziere die Gleichung beidseitig von links mit A-I.) Satz 2.4. Fur eine n x n-Matrix A sind folgende Aussagen iiquivalent (d.h., ist eine der Aussagen wahr, so gilt das aueh fur aile anderen): a) A ist invertierbar. b) Es gibt eine n x n-Matrix B mit AB = E. c) Es gibt eine n x n-Matrix C mit C A = E. d) Ax = 0 :::} x = 0, e) Rang A = n.

272

6. Lineare Algebra

Beweis. a) =} c): Man nehme C = A - I . c) =} d): Ax = 0 =} C Ax = Ex = x = 0 . d) e)

=} =}

e): Satz 1.1. b): N ach Satz 1.2 ist jedes lineare Gleichungssystem Ax = b mit b E lR,n

eindeutig losbar; insbesondere gibt es zu den Vektoren ei der natiirlichen Basis des lR,n genau einen Vektor b i mit Abi = ei. Also gilt fiir die n x n-Matrix B = (b l , ... , b n) die Gleichung AB = (Ab], ... , Ab n) = (el, ... , en) = E. b) =} a): Aus AB = E folgt BT AT = E. Der bereits bewiesene SchluB "c) =} e) =} b)" garantiert die Existenz einer n x n-Matrix D mit AT D = E . Also ist AT und damit A invertierbar (-+ Satz 2.2, Satz 2.3). Am Beweisschema a)

=}

c)

=}

d)

=}

e)

=}

b)

=}

a)

erkennt man, daB tatsachlich samtliche Aussagen aquivalent sind.

o

2.6 Diagonal- ond Dreiecksmatrizen. In einer quadratischen n x n-Matrix

A = (aij) nennt man die Zahlen aii (1 ::S i ::S n) Diagonalelemente; man sagt, sie stehen auf der Diagonalen von A. Unterhalb der Diagonalen stehen aij mit i > j , oberhalb die Zahlen aij mit i < j. Man nennt A eine untere (bzw. obere) Dreiecksmatrix, wenn sie hochstens auf und unterhalb (bzw. oberhalb) der Diagonalen von Null verschiedene Elemente hat.

A=

Die Diagonale von A.

....~ al n

A=

Eine obere Dreiecksmatrix.

o

0

ann

o A=

Eine untere Dreiecksmatrix.

Die Transponierte einer oberen Dreiecksmatrix ist eine untere Dreiecksmatrix (und umgekehrt). Satz 2.5. Eine (untere oder obere) Dreiecksmatrix ist genau dann invertierbar, wenn samtliche Diagonalelemente von Null verschieden sind.

273

§2. Die Matrizenmultiplikation

Beweis. Mit einer Dreiecksmatrix A hat das homogene Gleichungssystem

Ax = 0 genau dann nur die triviale Losung x = 0, wenn aBe Diagonalelemente =I 0 sind. Die Behauptung folgt nun aus Satz 2.4. 0 SpezieBe Dreiecksmatrizen sind die Diagonalmatrizen

D;ag (a, • a2 • ...• a") Sind aBe

(Xi

,=

(1

=I 0, dann gilt · ((Xl, Dlag

... ,

(Xn

)-1 = D·lag (1 , -1, ... , (Xn -1 ) (Xl (X2

Die Berechnung der Inversen anderer Matrizen erfolgt in §4.4. Zum vertieften Studium der Matrizen werden einige Begriffe und Ergebnisse der im nachsten Paragraphen dargesteBten Theorie der Vektorraume benotigt. Aufgaben 1. Fur a = (1, 2, 5, 0, 6, 3), b = (2,1,1,8,4, -1), c = (1, 0, 2, -1,0,2) berechne man die Produkte a b T , aTb, (a c T ) b, a (cTb).

n~ ~t :D .

2. Man priife, ob AB = BA , falls

A=

3. Welche Matrizen B

= (~ ~)

1 -3 B =( 0

o o

sind mit A

= (~ ~)

-1

1 0 0

2 1 0

~)

b) aile C=lO mit CA=O, c) aile D mit AD = DA. 5. Man bestatige durch vollstandige Induktion nach n: (

o)n

1 1 1 1 0 1

o o

=

(1

n

0 1 0 o

~n(n n

1

o

'

1

vertauschbar. d.h. wann gilt

AB = BA? Dazu lose man das 4 x 4-Gleichungssystem fUr a, b, c, d.

2 4. In lR3x3 bestimme man fur die Matrix A=G 2 1 a) aile B=lO mit AB=O,

22 ) -2

I))

274

6. Lineare Algebra

6. pO, A = (

r .~. : f1 0

AB

= BA

E

~

E

lR.3x3 mit

mID

expli,it d,B

= fJoE + fJIA + ... + fJn_1An-1

B

(~ ~ ~)

7. Man berechne die Inverse von A

R""" "ig'

(~003 ~ ~) A (~001 ~ ~) =

und

01~)

und bestimme damit ein

(! ~ ~). 234

8. Man rechne nach, daB E - N E lR.n xn eine Inverse der Form E + N + ... + N k wenn N k = 0 ist. Wie lautet (E - N)-1 fur

1

besitzt,

N=(!~:o~l' 9. Man rechne nach, daB fUr A =

(~ ~ ~)

gilt:

A3

-

4A2

+ 3A = E und bestimme

I 1

daraus A-I als Polynom in A. 10. Man zeige fur A, B

E

lR.nxn

E - AB invertierbar

~

E - BA

invertierbar.

§ 3. Vektorraume 3.1 Der "abstrakte" Vektorraum. Immer wieder trifft man in der Mathematik auf Mengen, deren Elemente man addieren und mit einem Zahlenfaktor multiplizieren kann; etwa die raumlichen ("geometrischen") Vektoren, die m xnMatrizen (mit den Sonderfallen m = 1, n = 1 ) oder die Menge aller auf einem Intervall definierten Funktionen f : I ~ IR. Man beobachtet, daB fur diese Rechenoperationen dieselben grundlegenden Regeln gel ten, die auch das Rechnen mit Vektoren des Anschauungsraumes beherrschen (~ § 1 (5)). Zur einheitlichen Herleitung der sich daraus ergebenden Konsequenzen wurde der Begriff des (abstrakten) Vektorraumes eingefuhrt.

275

§3. Vektorraume

Definition. Eine nichtleere Menge V, in der man zu je zwei Elementen a, b E V eine Summe a + b E V und zu jedem Element a E V und zu jedem Zahlenfaktor A E JR das A-fache Aa E V bilden kann, heij3t ein JR- Vektorraum (oder Vektorraum iiber JR, bzw. linearer Raum iiber JR), wenn folgende acht Rechengesetze (die Vektorraum-Axiome) erfiillt sind: (V. I ) Die Addition ist kommutativ; d.h. for alle a, b E V gilt a + b = b + a. (V.2) Die Addition ist assoziativ; d.h. fiir alle a, b, C E V gilt (a + b) + c =

a + (b + c). Es gibt ein Element 0 E V, Nullelement oder Nullvektor genannt, mit a + 0 = a fiir alle a E V . (VA) Zu jedem a E V gibt es genau ein mit -a bezeichnetes Element in V mit a + (-a) = O. (y'5) I a =a fiir alle a (Zahlenfaktor I E JR). (V.6) A(fLa) = (AfL)a for alle A, fL E JR, a E V. (Y.7) A(a + b) = Aa + Ab fiir alle A E JR, a, bE V. (y'S) (A + fL)a = Aa + fLa for alle A, fL E JR, a E V. Die Elemente eines Vektorraumes nennt man Vektoren; statt a + (-b) schreibt man a - b (Dijferenz).

(y'3)

Die Axiome (V.I)-(Y.S) garantieren, daB man mit Summen, Differenzen und Vielfachen wie gewohnt rechnen darf. Wegen (Y.2) kann man in endlichen Summen aj + a2 + ... + an auf Klammern verzichten und aus den Distributivgesetzen (Y.7), (y'S) folgt (A] + A2 + ... + Ak)(aj + a2 + ... + an) = A]a] + ... + Akan (Ai E JR, a j E V). AuBerdem gelten die Vorzeichenregeln -a=(-1)a,

-(-a)=a,

-(a+b)=(-a)+(-b)=-a-b,

etc.

Mit den Einzelheiten wollen wir uns nicht aufhalten. Das Nullelement wird uberall einheitlich mit 0 bezeichnet. Bei Gefahr der Verwechslung schreibt man Ov fur den Nullvektor in V. So gilt Aa = Ov

~

A = 0 oder a = Ov .

Beispiel 1. Ein Vergleich von (5), § I, mit (Y.1)-(Y.S) zeigt, daB die Menge aller x n-Matrizen, zusammen mit der komponentenweisen Addition und skalaren Multiplikation ein JR- Vektorraum ist. Insbesondere sind m

(Zeilenvektorraum) mit (aj, ... ,an) + (13],···, f3n) = (al + 131, ... , an + f3n) , A(a], ... , an) = (Aa], ... , Aan ) (A E JR) und (Spaltenvektorraum)

276

6. Lineare Algebra

mit

(

:;) + an

(~) (:;:~;) =

,

A (:;) =

(~;)

an

Aan

an + f3n

f3n

(A

E

lR)

lR3

lR-Vektorraume. (mit diesen Verknupfungen) ist ein mathematisches Modell des Raumes der "geometrischen" Vektoren (-+ Kap. 1, §4). 0 Beispiel 2. IPn:={aO+aIX+···+anXn;aiElR (i=O, ... ,n)}, die Menge aller reellen Polynome vom Grad S n ist mit der ublichen Addition und skalaren Multiplikation von Polynomen ein Vektorraum (mit dem Nullvektor p(x) = 0 fur aIle x, und dem zu q(x) = aO+alX+" '+anx n "entgegengesetzten" 0 Vektor -q(x) = -aD - alx - ... - anx n ). Beispiel 3. Fur jedes Intervall I S; lR ist ~0(I) := { / : I -+ lR; / stetig} ,

die Menge aller auf I stetigen reellen Funktionen, mit der ublichen "punktweisen" Addition / + g und skalaren Multiplikation Af von Funktionen (f + g)(x) := lex) + g(x) ,

(Af)(x):= Af(x)

ein Vektorraum mit Nullvektor 0, O(x) = 0 fur aIle x E I, und dem zu jedem / E ~0(I) entgegengesetzten Vektor - /, (- /)(x) = - /(x) fUr aIle x E I. 0

3.2 Unterraume, Linearkombinationen, lineare Hiille. 1m folgenden sei V ein lR-Vektorraum (etwa lRn

,

IPn oder ~o(I)).

Definition. Eine nichtleere Teilmenge U S; V heij3t Unterraum (oder linearer Teilraum) von V, wenn mit je zwei Elementen u, v E U auch deren Summe u + v in U liegt und wenn mit jedem u E U und A E lR das A-/ache AU eben/alls in U liegt. D.h., wenn gilt: u, v E U ===> u + v

E U,

u E U, A E

AU E

(U.l) (U.2)

lR ===>

U.

Ein Unterraum "erbt" vom umfassenden Vektorraum die Addition und skalare Multiplikation (man sagt, er ist "abgeschlossen" bezuglich dieser Operationen) und ist damit selbst ein lR-Vektorraum. Denn mit a E U liegt nach (U.2) der Vektor -a = (-1)a in U, und auch a + (-a) = 0 E U nach (U.l). AIle anderen Vektorraumgesetze sind fur Elemente aus U ebenfalls erfullt, da sie ja nach Voraussetzung fur aIle Elemente aus V gelten. Hierin liegt einer der Griinde, sich beim Studium der Vektorraume nicht nur auf lRn zu beschranken, meistens werden Unterraume des lRn von Bedeutung sein und fUr diese solI die Theorie angewendet werden.

277

§3. Vektorriiume

Beispiel 1. Jeder Vektorraum V besitzt die "trivialen" Unterraume U (Nullraum) und U = V . Beispiel 2. Zu jedem Vektor v

= {O} 0

V ist

E

lRv := {av ; a

E

lR}

ein Unterraum von V. 1m Spezialfall V = lR3 besteht lRv aus allen zu v parallelen Vektoren (einschlieBlich des Nullvektors). 0

Be;'piel 3.

Vorsiche

u,~ { U

,~ {

(;D

un

E JR4

E

; 2a I + 3.2 +.4

JR.4 ; 2a I + 3.2 + .4

~ O) ist Unlerraum von

~ I} ist k,in Untcrraum.

Beispiel 4. Fur jede m x n-Matrix A

E

lRrnxn ist

Kern A := {x

E

lRn

JR4.

0

Ax = O} ,

;

die Losungsmenge eines homogenen Gleichungssystems, ein Unterraum von lRn. Beweis. Wegen 0 E Kern A ist die Menge nicht leer. Sind u, v E Kern A und A E lR dann gilt A(u + v) = Au + Av = 0 + 0 = 0 und A(AU) = A(Au) = AO = 0, also liegen auch u + v und AU in Kern A . 0 Definition. Jede aus endlieh vielen Vektoren VI, V2, ... , Vk der Form

E

V gebildete Summe

k

Laivi = alvl +a2v2 + ... +akvk i=1

mit den Koejfizienten ai E lR heij3t eine Linearkombination der Vi. Eine solehe Linearkombination wird trivial genannt, wenn siimtliehe ai gleieh Null sind. Die Menge aller Linearkombinationen der Vi, k

Lin(vI, ... , Vk) := {

~ aivi ; ai E lR (1::s i ::s k) }

,

heij3t lineare Hiille der Vi.

Ohne Muhe sieht man, daB die lineare Hulle Lin(vI, ... , Vk) ein Unterraum von V ist, denn k

k

(L aiVi) + (L {3i V;) ;=1

;=1

k

k

= L(a; + {3;)V; ;=1

,

A(La;v;) ;=1

k

=L(Aa;)v; ;=1

278

m.

6. Lineare Algebra

Be;,.;e!. Fii, d;c Vckto<e"

=

V,

Lin(vI, V2, V3)

V2

=(

-D ·

V3

=

m au,

JR4

gW

= {avi + fJV2 + yV3 ; a, fJ, Y E lR} _

-

1(

a+fJ+Y) a +2y . -fJ;3 y ,a,fJ,YElR

l o

Dieses ist ein Unterraum von lR4.

1m nachsten Paragraphen werden uns insbesondere die lineare Biille der Zeilenvektoren (Zeilenraum) und die lineare Biille der Spaltenvektoren (Spaltenraum) einer m x n-Matrix interessieren. Definition. Man sagt, ein Unterraum U von V wird von den Vektoren VI, V2, ... , Vk erzeugt, oder (VI, V2, ... ,Vk) ist ein Erzeugendensystem von U, wenn

Beispiel 1. Die Vektoren el = (1,0,0,0), e2 = (0, 1,0,0), e3 = (0,0, 1,0) , e4 = (0,0,0,1) erzeugen den Vektorraum lR4. Derselbe Vektorraum wird aber auch erzeugt von den Vektoren el + e2, el - e2, el + e2 + e3, el - e2 + e4 (aber auch von zahllosen anderen Systemen). Allgemein: Die Vektoren ei (1 :s i :s n) der natiirlichen Basis des lRn erzeugen lRn (analog fiir lRn). 0 Beispiel 2. Der Unterraum {

(~) E lR

3 ;

3x + y + z = 0 } <; lR 3 (eine Ebene durch den Nullpunkt)

wird erzeugt von den Vektoren UI

=(

-l) ,

U2

= (- ~) .

o

Beispiel 3. Der Vektorraum {f E ~o(lR) ; 1"(x) + f(x) = 0 fiir aIle x E lR}

wird erzeugt von den Funktionen hex) = sinx, hex) = cosx; denn nach Kap. 3, 2.2, Beispiel 3 ist jede differenzierbare Funktion f : lR --+ lR, welche die Gleichung 1" + f = 0 erfiillt, eine Linearkombination aus sin und cos. 0 Beachte. Wegen VI = 1 Vj + OV2 + ... + OVk, V2 = OVj + 1 V2 + ... + OVk, etc., liegen die Vektoren Vi selbst in der von ihnen erzeugten linearen Biille, Vi E Lin(vj, ... , Vk).

279

§3. Vektorriiume

Es stellt sich nun die Frage, unter welchen Voraussetzungen zur Erzeugung von U =Lin(vI, V2, ... , Vk) tatsachlich samtliche Vektoren Vi benotigt werden.

Definition. a) Endlich viele Vektoren VI, V2, ... , Vk des JR.- Vektorraumes V heij3en linear abhangig, wenn es Zahlen ai, a2, ... , ak E JR. gibt, die nicht samtlich gleich Null sind, so daj3 gilt al VI + a2V2 + ... + ak Vk = O. b) Die Vektoren VI, V2, ... , Vk heij3en linear unabhangig, wenn sie nicht linear abhangig sind; d.h., alvl+a2v2+···+akvk=O,* al =a2=···=ak=0.

Urn die Vektoren VI, ... , Vk E V auf lineare Unabhangigkeit bzw. lineare Abhangigkeit zu iiberpriifen, ist (mit noch unbekannten Xi E JR.) die Gleichung (1)

zu betrachten. Laut Definition gilt:

o VI, ... ,

Vk

® VI, ... , Vk

linear abhangig {::::::::} (1) besitzt eine Losung XI =ai, ... , Xk =ak mit wenigstens einem ai =j. O. linear unabhangig {::::::::} (1) ist nur durch Xl = ... = Xk = 0 losbar.

Die Sonderfalle k = 1, k = 2 : V E V linear unabhangig {::::::::} (av = 0 '* a = 0) {::::::::} V =j. 0 u, V linear abhangig {::::::::} es gibt a, f3 E JR., nicht beide gleich Null, mit au + f3v =0 {::::::::} u = -

Abb. 141a - linear abhiingig

~v

(falls a =j. 0) oder V = -

~u

(falls f3 =j. 0).

Abb. 141 b - linear unabhiingig

Allgemein gilt: Die Vektoren VI, ... , Vk E V sind genau dann linear abhangig, wenn einer von ihnen als Linearkombination der anderen darstellbar ist. Beweis. Aus al VI + ... + akvk = 0 mit mindestens einem Koeffizienten folgt Vi

= - ai1 (aivi + ... + ai-l Vi-l + ai+IVi+1 + ... + akvk) . Vi = f3Ivl + ... + f3i-Ivi-1 + f3i+IVi+1 + ... + f3kvk (Vi fehlt

1st umgekehrt rechten Seite), dann gilt

Der Koeffizient bei Vi ist =j. 0, also sind die Vektoren linear abhangig.

ai

=j. 0

auf der

0

280

6. Lineare Algebra

Ferner ergeben sich aus der Definition leicht die folgenden Eigenschaften: a) (2)

b) c)

Jedes endliche System von Vektoren, das linear abhangige Vektoren enthalt, ist linear abhangig. Jedes endliche System von Vektoren, das den Nullvektor enthalt, ist linear abhangig. Jedes Teilsystem eines Systems linear unabhangiger Vektoren ist linear unabhangig.

Beweis. a) Sind (nach eventueller Anderung der Reihenfolge) in VI, V2, ... , Vk die ersten I Vektoren linear abhangig, aivi + .. ·+a/v/ = 0 mit wenigstens einem Koeffizienten ai =I 0, dann gilt auch al VI + ... +a/v/ +0 V/+I + ... +0 Vk = 0 (nicht aIle Koeffizienten =I 0 ). b) ist ein Sonderfall von a), 1 0 = 0 . c) Ware ein Teilsystem linear abhangig, dann wurde das nach a) auch fur das gesamte System gelten. D Beispiel 1. Die Vektoren VI = (1,2,3), V2 = (0,2,1), V3 = (1,4,4) des lR3 sind linear abhangig. Es gilt VI + V2 - V3 = 0 bzw. V3 = VI + V2. Das besagt anschaulich, daB V3 parallel zu der von VI, V2 aufgespannten Ebene liegt. D Beispiel 2. Die Vektoren el, e2, ... , en der naturlichen Basis des lRn (bzw. des lRn , -+ 1.1) sind linear unabhangig. Denn die Gleichung

hat als einzige Lasung

Xl

=

X2

= ... =

Xn

=0.

D

Satz 3.1. a) In einer Matrix in Zeilenstufenform (-+ (10), § 1) sind die von Null verschiedenen Zeilenvektoren linear unabhiingig. b) In einer Matrix in (analoger) Spaltenstufenform

sind die von Null verschiedenen Spaltenvektoren linear unabhiingig.

Beweis. a): Sind Zl = (0, ... ,0, ali, ... , al n ), Z2 = (0, ... ,0, a2j, .. , a2n), ... , Zr = (0, ... , 0, a rs , . , a rn ) die von Null verschiedenen Zeilen der Zeilenstufenmatrix (1 :s i < j < ... < s :s n, ali =I 0, a2j =I 0, ... , a rs =I 0), dann folgt aus (Nullvektor in lRn )

281

§3. Vektorriiume

komponentenweise XI ali = 0, also XI = 0; dann X2a2j = 0, also = ... = Xr = O. b) folgt aus a) durch Ubergang zur Transponierten.

X2

= 0, etc.,

X3

0

In einer n x n-Matrix A = (al, ... , an) sind die Spaltenvektoren ai E lRn genau dann linear unabhangig, wenn Ax = Xlal + ... + Xnan = 0 (---+ (8), §2) nur die Losung x = 0 besitzt. Das ist genau dann der Fall, wenn A invertierbar ist (---+ Satz 2.4). Also gilt: Satz 3.2. Fur eine n x n-Matrix A sind die folgenden Aussagen iiquivalent: a) A ist invertierbar. b) Die Spalten von A sind linear unabhiingig. c) Die Zeilen von A sind linear unabhiingig. Zur Aquivalenz von c) mit a) beachte man nur, daB die Zeilen von A zu Spalten von AT werden (---+ Satz 2.4). Nun sei wieder Vein beliebiger lR-Vektorraum. Satz 3.3. Fur Vektoren VI, ... , Vb W E V gilt: a) Lin(vI, ... ,vk,w)=Lin(vI, ... ,Vk) ~ wELin(vI, ... ,vd. b) Die Vektoren VI, ... , Vk sind linear unabhiingig ~ Zur Erzeugung von Lin (VI, ... , Vk) kann kein Vi (1 :s i :s k) weggelassen werden (in diesem Fall nennt man (VI, ... , Vk) ein minimales Erzeugendensystem). Beweis. a) ,,::::}": wELin(vI, ... ,vk,w)=Lin(vI, ... ,Vk). ,,{= ": Falls w = aivi + ... +akVk, dann gilt k

AIVI + ... + AkVk + fJ.,W =

LAivi

i=1

k

+ fJ.,

Laivi

i=1

k

=

L(Ai

+ fJ.,ai)Vi

i=1

fur alle Ai, fJ., E lR. Also ist jede Linearkombination von VI, ... , Vb W bereits eine Linearkombination von VI, ... , Vk; w wird zur Erzeugung der linearen Hulle nicht benotigt. b): Nach a) kann man genau dann ein Vi E {VI, ... , vd zur Erzeugung der Hulle weglassen, wenn sich Vi als Linearkombination der anderen darstellen laBt. Das ist genau dann der Fall, wenn VI, ... , Vi, ... , Vk linear abhangig sind. 0

3.3 Basis und Dimension Definition. Ein System (n-Tupel) (VI, V2, ... , v n ) von Vektoren aus V heij3t eine Basis des lR- Vektorraumes V, wenn gilt: (B.l) Die Vektoren VI, V2, ... , Vn sind linear unabhiingig. (B.2) Die Vi erzeugen V, d.h. V = Lin(vI, V2, ... , vn ). Die Bedeutung einer Basis ergibt sich aus folgender Eigenschaft:

282

6. Lineare Algebra

Satz 3.4 1st (VI, V2, ... ,Vn ) eine Basis von V, dann gibt es zu jedem Vektor a E V genau ein n-Tupel reeller Zahlen (lXI, 1X2, ... , IXn) mit

Ferner sind je m Vektoren aus V linear abhiingig, falls m > n . n

Beweis. Naeh (B.2) ist jeder Vektor a

der L

Vi

.BiVi

V als Linearkombination a =

darstellbar. Diese Darstellung ist eindeutig; denn aus a folgt

= 1,2, ... , n

L(lXi -

.BJVi

=0

(naeh (B.1)). Nun nehmen wir m Vektoren eindeutig dar in der Form i

E

und deshalb

WI, W2, ... , Wm

lXi -.Bi

=0

bzw.

=L

L

lXiVi

i=1

lXiVi =

lXi =.Bi

fiir

aus V, m > n, stellen diese

WI =lXllVI +1X2IV2+"'+lXnIVn W2 = IXl2VI

+ IX22V2 + ... + IXn2Vn

und bestimmen dazu reelle Zahlen daB gilt:

AI, ... , Am ,

die nieht samtlieh Null sind, so

1X2lAI

+ 1X12A2 + ... + IXlmAm + IX22A2 + ... + 1X2mAm

IXnlAI

+ IXn2A2 + ... + IXnmAm

IXllAI

= =

0 0

=0 .

Wegen m > n ist das stets moglieh (---+ Satz 1.1). Mit diesen Zahlen

Ai

gilt

A) W) + ... + Am Wm = (allA) + ... + a)mAm)v) + ... + (anI A) + ... + anmAm)vn

= OVI + ... +OVn = 0 Also sind die Vektoren Beispiel 1.

V

= ill?

WI, ... , Wm

.

(m > n) linear abhangig.

o

(Vektoren einer Ebene) ansehaulieh:

/v,~/ Abb. 142a - Basis in 1R.2

Abb. 142b - Keine Basis in IR. 2

o Beispiel 2. Die natiirliehe Basis (el' e2, ... , en) des lRn (bzw. lRn, ---+ 1.1) ist

eine Basis im Sinne der obigen Definition. Wesentlieh allgemeiner gilt:

283

§3. Vektorraume

Satz 3.5. Die Zeilen (bzw. Spalten) einer invertierbaren n x n-Matrix bilden eine Basis des IRn (bzw. IRn). Beweis. Sei A = (al, ... , an) mit den Spalten ai E IR n invertierbar. Naeh Satz 3.2 sind ai, a2, ... , an linear unabhangig. Also gilt (B.l). Nun sei v E IR n (beliebig). Mit (al, ... , anl := A -Iv zeigt Formel (8), §2 v = A(A -Iv) = alai + ... + ana n

o

Damit ist aueh (B.2) naehgewiesen.

Beispiel 3. Die Polynome 1, x + 1, (x + 1)2, ... , (x + It bilden eine Basis des IR- Vektorraumes 1P naIler Poly nome vom Grad ::::: n. Denn es gilt 1. Aus ao·l+al(x+l)+··+a n(x+lt=O fiiralle x folgt ao=al =···=an=O (also gilt (B.1)). n 2. Jedes p E 1P n laBt sieh naeh Kap. 5, §3 in der Form p(x) = ai(x + lY darstellen (das ist (B.2)). i=O 0

L

Definition. Ein Vektorraum V heij3t endlichdimensional oder endlich erzeugt, wenn es endlich viele Vektoren WI, ... , Wr E V mit V = Lin(wI, W2, ... , w r ) gibt. 1m folgenden werden fundamentale Eigensehaften endliehdimensionaler Vektorraume zusammengestellt. Satz 3.6. Basiserganzungssatz. In einem endlichdimensionalen Vektorraum V =I to} bilden linear unabhiingige Vektoren VI, ... , Vk bereits eine Basis (VI, ... , Vk), oder man kann sie durch Hinzunahme weiterer Vektoren UI, ... , Uf zu einer Basis (VI, ... , Vb UI, ... , Uf) von V ergiinzen. Beweis. Sei V = Lin(wI, ... , w r ). Offenbar gilt dann aueh V Lin(vI, ... , Vb WI, ... , w r ) (-+ Satz 3.3). Nun lassen wir all die Wi weg, die zur Erzeugung dieser linearen Hulle nieht benotigt werden. Das sind entweder aIle, in diesem Fall gilt bereits V = Lin(vl, ... , Vk) und (VI, ... , Vk) ist eine Basis von V, oder es gilt - wenn wir die verbleibenden Wi mit ul, ... , uf bezeiehnen - V = Lin(vl, ... , Vk, Ul, ... , UI), worin kein weiterer Vektor Uj weggelassen werden kann. Behauptung: (VI, ... , Vb Ul, ... , Uf) ist eine Basis von V. Beweis. Da naeh Konstruktion (B.2) erfiillt ist, braueht nur (B.1) naehgewiesen zu werden: Nehmen wir an, VI, ... , Vk, UI, ... ,Uf waren linear abhangig. Dann gabe es Zahlen ai, fi j , nieht aIle gleieh Null, mit (3)

Hierin miiBte aufgrund der linearen Unabhangigkeit der Vi wenigstens ein fij von Null versehieden sein. In diesem Fall konnte man (3) naeh dem entspreehenden Uj aufiosen und Uj bei der Erzeugung von Lin(vI, ... , Vb UI, ... , Uf) weglassen (-+ Satz 3.3). Das ist aber naeh Konstruktion nieht mehr moglieh. 0

284

6. Lineare Algebra

Satz 3.7. BasisIange = Dimension. Jeder endlich erzeugte Vektorraum V =I {O} besitzt eine (endliche) Basis (VI, ... , v n ). 1st (WI, ... , w m ) ebenfails eine Basis von V, dann gilt m = n. Die gemeinsame "Lange" nailer Basen von V heij3t die Dimension von V, abgekiirzt Dim V. Zur Vermeidung von Fallunterscheidungen setzt man Dim {O} = O. Beweis. V enthalt nach Voraussetzung wenigstens einen Vektor V = VI =I O. Satz 3.6 mit k = 1 zeigt die Existenz einer Basis (VI, ... , v n ) von V. Nach Satz 3.4 sind je n + 1 Vektoren aus V linear abhangig. 1st nun (WI, ... , w m ) eine weitere Basis, so gilt deshalb m ::: n. Ein Rollentausch (beginne mit der Basis (WI, ... , w m ) und nehme dann die Basis (VI, ... , v n ) hinzu) zeigt n ::: m. Insgesamt m = n . 0 Beispiele.

(4)

Dim lR n = Dim lRn = n, Dim lP n = n + 1 (-+ 3.1, Bsp. 2), Dim {f : lR -+ lR ; f zweimal stetig differenzierbar mit f" + f = O} = 2 Dim [

(~)

E

lR3 ; 3x + y + z

I

=0 =2 .

In jedem der Beispiele ist eine Basis entsprechender Lange bekannt.

Folgerung. 1st r die Maximalzahllinear unabhangiger Vektoren aus Vk, dann gilt

o VI, V2, ... ,

Beweis. N ach eventueller U mnumerierung seien V I, ... , V r linear unabhangig und VI, ... , vr , Vj (fur r + 1 ::: j ::: k) linear abhangig. Aus Satz 3.3 folgt Lin (VI, ... , Vk) = Lin (VI, ... , vr ) ; (VI, ... , vr ) ist eine Basis dieser linearen Hulle und deshalb gilt r = Dim Lin (VI, ... , Vk) . 0 Satz 3.8. In einem lR- Vektorraum V der Dimension n gilt: a) Je n linear unabhangige Vektoren aus V bilden bereits eine Basis von V. b) Jedes Erzeugendensystem von V mit n Elementen ist eine Basis von V. c) Je n + 1 Vektoren aus V sind linear abhangig. Beweis. a): Es braucht nur (B.2) nachgewiesen zu werden. Das geschieht wie im Beweis von Satz 3.5. b): Sei V = Lin (WI, ... , w n ). Durch Fortlassen der Wi, die zur Erzeugung nicht benotigt werden, entsteht eine Basis der Lange n (-+ Satz 3.3, Satz 3.7). Also darf kein Wi weggelassen werden. c): -+ Satz 3.4. 0

§3. Vektorriiume

285

Beispiel. Je 4 Vektoren des lR?, 7 Vektoren des lR6, ... , n + 1 Vektoren des lRn sind linear abhangig (ohne Rechnung!). 0 Satz 3.9. Dimension der Unterraume. Jeder Unterraum U eines endlichdimensionalen Vektorraums V ist endlichdimensional; im Fall U =f. V gilt Dim U < Dim V . Beweis. Sei U =f. {OJ und (Ul, ... , Ur) ein System mit der groBtmoglichen Anzahl linear unabhangiger Vektoren aus U. Nach Satz 3.8 c) gilt r ::; n. Fur jeden beliebigen Vektor U E U sind die r + 1 Vektoren Ul, ... , Ur, U linear abhangig und deshalb U als Linearkombination der Ui darstellbar; d.h. U=Lin(Ul, ... ,Ur ) . Folglichist (Ul, ... ,Ur ) eine Basis von U, r=DimU::; n = Dim V. 1m Fall r = n ist das nach Satz 3.8 a) bereits eine Basis von V, also U = V. 0 Mit Satz 3.9 ist gesichert, daB die Satze 3.6-3.8 fur jeden Unterraum eines endlichdimensionalen Vektorraumes V anwendbar sind. Beispiel. Sei A E lRnxn, A =f. O. Nach Satz 3.9 besitzt der Unterraum Kern A := {x E lRn ; Ax = O} des lRn wenigstens eine Basis (Ul, ... , Uk) mit k < n Vektoren. Jede andere Basis von Kern A besteht nach Satz 3.7 ebenfalls aus k linear unabhangigen Losungsvektoren von Ax = O. Ein einfaches Verfahren zur Berechnung einer Basis von Kern A wird in 4.4 angegeben. 0 Aufgaben 1. We1che der folgenden Mengen sind lineare Teilraume des R n : a) {x;xl=a}, aER; b) {X;Xl=0}U{X;X2=0}; c) {x; XI ~ O} ; d) {x; XI = O} n {x ; X2 = O} ; e) {x; X I . X2 = O} ; f) {x; Ix I = 1 } ?

2. Es seien U, V Unterraume des RIO mit Dim U = 5, Dim V = 7. Welche Moglichkeiten gibt es fur Dim Lin(ul , ... , U r , VI, ... , vs ), fur Ui E U, Vj E V (1 ::'0 i ::'0 r ::'0 5, 1 ::'0 j ::'0 s ::'0 7)? Man gebe fur jede Moglichkeit explizit ein Beispiel an. 3.

Die Vektoren a = (1, -2, 5, -3l, b = (2,3,1, -4l und c = (3,8, -3, _5)T erzeugen einen linearen Teilraum W des R4. Bestimme die Dimension von W. Man vervollstandige diese Basis zu einer Basis des R 4 .

4. Durch die vier Polynome wird ein Vektorraum V erzeugt pet) = t 3 - 2t2 + 4t + I , ret) = t 3 + 6t - 5 , q(t) = 2t 3 - 3t 2 + 9t - 1 , set) = 2t 3 - 5t 2 + 7t + 5 Man bestimme Dim V und gebe eine Basis fiir Van.

5. Fiir we1che a, {3

E

R sind die Vektoren des R3 linear unabhangig?

a) (a 2 ,1,{3), ({3,-1,1); b) (a, 0, I), (0, a, 2), (3,2, {3) .

286

6. Lineare Algebra

6. Man gebe jeweils 3 verschiedene Basen der folgenden Vektorraume an: a) 1R?;

b) V

= {(a, tl, y) E 1R? ; 2a + 3tl = O} ;

c) V

= {p(x)

E

lP n

p(1)

;

= O} .

§4. Elementarmatrizen und elementare Umformungen 4.1 Zeilenraum und Spaltenraum. Sei A eine Zl, ... ,

Zm

E

IR.n und den Spalten al, ... , an

E

IR.m

•

m x n-Matrix mit den Zeilen Man nennt

m

Lin (Zl,

... ,

zm)

= {L Aizi

; Ai

E

IR.}

={LAiai ; Ai

E

IR.}

i=l

den Zeilenraum von A und n

Lin(al, ... , an)

i=l

den Spaltenraum von A. Nach der Folgerung zu Satz 3.7 ist die Dimension des Zeilenraumes (Spaltenraumes) gleich der Maximalzahl linear unabhangiger Zeilen (Spalten) von A. Da beim Transponieren aus den Zeilen Spalten und aus den Spalten Zeilen werden, spiegeln sich aIle Eigenschaften des Zeilenraumes (Spaltenraumes) von A wieder im Spaltenraum (Zeilenraum) von AT. Wegen Ax =

n

L

Xiai

(fur x

IR. n , ---+ (8), §2) gilt:

E

i=l

(1)

Spaltenraum von A

= {Ax ; X E IR.n } ,

Zeilenraum von A = {yT A ; y

Satz 4.1. Fiir aile A Q E IR.nxn gilt:

E

E

IR.m} .

IR.mxn und alle invertierbaren Matrizen P

E

IR. mxm ,

A und A Q haben denselben Spaltenraum, A und P A denselben Zeilenraum.

= (AQ)(Q-I x ) = AQx' mit x' = Q-lx liegt jedes Element des Spaltenraumes von A im Spaltenraum von AQ und umgekehrt (---+ (1)). Der analoge SchluB mit yT A = yT p- l P A liefert die Behauptung fur den Zeilenraum. 0

Beweis. Wegen Ax

4.2 Elementarmatrizen. Zeilen- und Spaltenraum einer Matrix werden mit elementaren Zeilen- bzw. Spaltenumformungen vom Typ CD, CD, CD untersucht. Typ CD: Vertauschung zweier Zeilen (Spalten). Typ CD: Multiplikation einer Zeile (Spalte) mit Zahlenfaktor oj 0 . Typ CD: Addition des Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen.

287

§4. Elementarmatrizen und elementare Umformungen

Hinter diesen Umformungen verbergen sich Multiplikationen mit besonderen invertierbaren Matrizen, den sogenannten Elementarmatrizen.

CD,

Definition. Eine m x m-Matrix E heiJ3t Elementarmatrix vom Typ wenn sie aus der m x m-Einheitsmatrix E durch eine elementare ZeilenumJormung vom Typ hervorgeht. Wir sagen, E gehort zu dieser UmJormung.

CD

Beispiele (fur m

=3). 0 1 0

GD=(~ ~) (::2)=(~ ~) GD=(~ ~) Cl+Cle e2e3 3) - C ~)

(Typ 0; el

-?-

1 ed·

(Typ 0; e2

-?-

ae2).

1 0 0

(Typ CD; el

-?-

e2, e2

0 0 1 0 0

(Typ CD; el

-?-

el + ae3).

0

Cl

(Cl

¥ 0)

0

-?-

el).

D

Satz 4.2. a) Entsteht A aus A E IR mxn durch eine elementare ZeilenumJormung (bzw. SpaltenumJormung), dann gilt (2)

A

= EA

= AET)

(bzw. A

mit der zugehorigen Elementarmatrix E. b) Die Elementarmatrizen sind invertierbar, die Inversen sind ebenJaUs Elementar-

matrizen.

c) Entsteht M bzw. N aus A E IR mxn durch endlich viele elementare Zeilen- bzw. SpaltenumJormungen, dann gibt es invertierbare Matrizen P E IRmxm , Q E IR nxn

mit (3)

M=PA,

N=AQ.

P ist Produkt von Elementarmatrizen, ebenso Q. Beweis. a): A entstehe aus A (mit den Zeilen Zi) durch die Zeilenumformung Zi -?- Zi + aZj (a E IR, i =j. j) vom Typ Die Formeln (6) und (9) aus §2 zeigen, wenn el, ... em die Zeilen der m x m-Einheitsmatrix E bezeichnen,

CD.

elA

Zl

A=

Zi + aZj

Zm

=

eiA +aejA emA

el

=

ei +a ej

em

A=EA

288

6. Lineare Algebra

Analog fur die anderen Typen. Entsteht dagegen A aus A dureh eine Spaltenumformung, dann entsteht AT aus AT dureh die gleiehartige Zeilenumformung, also AT = EAT, bzw. A = AET (---+ (10), §2). b): Eine Elementarmatrix Z kann mit einer elementaren Zeilenumformung in E zuruekverwandelt werden; Z = E . Naeh (2) gilt E = EZ , also Z-1 = E . e) ergibt sieh dureh Mehrfaehanwendung von (2). 0 Beziehung (3) zusammen mit Satz 4.1 ergibt die Folgerung. Der Zeilenraum einer Matrix andert sieh nieht bei elementaren Zeilenumformungen, der Spaltenraum nieht bei elementaren Spaltenumformungen.

Wird nun die Matrix A naeh dem GauB-Verfahren (Vorwartselimination, ---+ § 1) mit elementaren Zeilenumformungen umgewandelt in eine Matrix M in Zeilenstufenform und in ganz analoger Weise mit Spaltenumformungen (Vorwartselimination mit den Spalten von links naeh reehts) in eine Matrix N in Spaltenstufenform,

(4)

1

dann bilden naeh Satz 3.1 und obiger Folgerung die von Null versehiedenen Zeilen von M (bzw. Spalten von N) eine Basis des Zeilenraumes von A (bzw. Spaltenraumes von A). Insbesondere gilt r (5)

p

=Dimension des Zeilenraumes A =Maximalzahl linear unabhangiger Zeilen von A

,

= Dimension des Spaltenraumes von A = Maximalzahl linear unabhangiger Spalten .

Damit erhalt die in § 1 gegebene Definition " Rang A

=Anzahl der • -Stellen in

M"

eine neue Fassung: Rang A

=Dimension des Zeilenraumes von

A

Ferner gibt es naeh Satz 4.2 invertierbare Matrizen P, Q mit M = P A, N = AQ.

289

§4. Elementannatrizen und elementare Umformungen

(~s ~)

4.3 Der Rang und die P-Q-Normalform.

E

IR mxn bezeichnet die

Matrix, die an den ersten s Diagonalstellen eine 1 und sonst nur Nullen hat. Satz 4.3. Fur jede m x n-Matrix A gilt

= Spaltenrang". Rang A = Dimension des Zeilenraumes von

a) "Zeilenrang

A

=Dimension des Spaltenraumes von A

.

b) Die Dimensionsformel. Rang A + Dim(Kern A) = n. c) Die P-Q-Normalform. Es gibt invertierbare Matrizen P

E

(~ ~)

,

PAQ =

d) Eine Basis von Kern A. Sind P E IR mxm , Q = (q!, mit P A Q = qr+!, ... , qn

... ,

IRmxm, Q

r

E

IR nxn , derart daj3

=Rang A

.

qn) E IR nxn invertierbare Matrizen

(~s ~), dann gilt

s = r und die letzten n - r Spalten

von Q bilden eine Basis von Kern A.

Beweis. c): Offenbar kann man die Matrix M = P A aus (4) mit elementaren Spaltenumformungen, was nach Satz 4.2 der Multiplikation von rechts mit einer invertierbaren Matrix Q entspricht, umwandeln in

PAQ=(~ ~), d): x

E

Kern A

{:=}

Ax

=0

{:=}

= Rang

PAQ(Q-1x)

O)(~l) ;n

( Es o 0

r

=

omIt .

A .

=0 -1

y:= Q x

Yl = ... = Ys = 0 und Ys+l,···, Yn {:=}

E

IR beliebig

x = Q(Ys+l es+l + ... + Ynen) = Ys+l qs+l + ... + Ynqn

(9), §2). Also erzeugen die linear unabhangigen Vektoren qs+!, ... , qn den Unterraum Kern A und bilden deshalb eine Basis von Kern A (~ Satz 3.2). Insbesondere ist Dim (Kern A) = n - s, d.h. s ist eindeutig bestimmt durch s = n - Dim (Kern A). In Verbindung mit c) ergibt dies r = n - Dim (Kern A) (das ist Teil b) und s = r . a): Mit N = AQ aus (4) wird durch elementare Zeilenumformungen (~

PAQ=(~ ~),

p = Dim (Spaltenraum)

290

6. Lineare Algebra

mit einer invertierbaren Matrix P. N ach dem soeben bewiesenen Teil c) gilt p = Rang A . Damit ist alles bewiesen. D Folgerungen. Fur A

gilt

E lR,mxn

=

(6)

Rang AT Rang A , Rang(PAQ) = Rang A

(7)

fur aIle invertierbaren P E lR,mxm, Q E lR,nxn.

Beweis. Da die Zeilen von AT aus den (transponierten) Spalten von A bestehen, gilt

Rang AT

= Maximalzahl linear unabhangiger Spalten von

=Rang A

A

.

= Rang PAQ, dann hat eine P!(PAQ)Q! = (~s ~). Sie ist

Sei s

"P-Q-Normalform" von PAQ die Gestalt

wegen (P!P)A(QQd = PI(PAQ)QI aber

auch eine "P-Q-Normalform" von A, also gilt s

= r = Rang A.

D

Formel (7) bildet die Grundlage schneller Rangberechnungen; sie besagt (mit Satz 4.2): Der Rang einer Matrix andert sich nicht sowohl bei elementaren Zeilen- als auch bei elementaren Spaltenumformungen. Beispiel. Die Matrix

1 -1 A= ( 2

4 1

2

1 2

-l-D

hat, wie man schnell mit elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen feststellt, den Rang 4. Demnach bilden die Zeilen eine Basis des lR,4 und die Spalten eine Basis des lR,4. A ist invertierbar. D

4.4 Rechenverfahren. Aus den Matrizen A

= (aij) E lR,mxn,

mit gleicher Zeilenzahl bilden wir eine m x (n + k)-Matrix

B

= (f3ij) E lR,mxk

all

(8)

(A, B):=

(

: am!

Umgekehrt kann man eine Matrix durch eine (gedachte) Trennung zwischen zwei Spalten auf diese Weise in zwei "Blocke" zerlegen. Ganz analog ist fur Matrizen A E lR,mxn, C E lR,kxn gleicher Spaltenzahl die Matrix

(~)

definiert. Wiederholung solcher Zusammensetzungen bzw. Trennung

291

§4. Elementarmatrizen und elementare Umformungen

zwischen Spalten und/oder Zeilen fuhrt auf die sogenannten Blockmatrizen (

Atl

.. , Atk) ,

All

Alk

wobei die nebeneinander stehenden Matrizen Ail, ... , Aik gleich viele Zeilen und die untereinander angeordneten Matrizen A lj , ... , Alj gleich viele Spalten haben (1 :S i :S I, 1:s j :S k) . Besitzen A, B die Spaltendarstellungen A = (ai, ... , an), B = (b l , ... , b k ) , so ist (A, B) = (al, ... , an, bl, ... , b k ) (entsprechend fur Zeilen) und nach der Multiplikationsformel (6), §2, gilt fUr aIle P E lRmxm, Q E lR nxn P(A, B) = (PA, PB) ,

(9)

A) Rechenverfahren, die nur Zeilenumformungen erfordern:

An zwei Matrizen gleicher Zeilenzahl A E lRmxn, B E lRmxk werden wie im nebenstehenden Schema gleichzeitig dieselben elementaren ZeilenumJormungen ausgefUhrt, bis man zu (M, N) gelangt. Dann gibt es nach Satz 4.2 eine invertierbare m x m-Matrix P mit (M, N) = P(A, B) = (P A, P B) , d.h. (10)

M=PA,

A

B

elementare Zeilenumformungen

{. MIN

N=PB.

Mit einer speziellen Wahl der Anfangs- undloder Enddaten kann eine explizite Darstellung von P erreicht werden.

o Berechnung von Mit B

=E E

P mit M mxm lR zeigt (10)

M=PA,

=PA

(~ Satz

A

N=P.

D.h., dieselben elementaren ZeilenumJormungen, die A in M umwandeln, Juhren gleichzeitig von E zur invertierbaren m x m-Matrix P mit M

= PA

, bzw.

A

= p- 1 M

4.2)

.

P ist ein Produkt von Elementarmatrizen.

E

elementare Zeilenumformungen

{.

M

I

P

292

6. Lineare Algebra

Beispiel.

A

E

1 -4 2 0 2 -3 -1 -5 3 -7 1 -5

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 -4 2 0 0 5 -5 -5 0 5 -5 -5

1 -2 -3

0 1 0

0 0 1

1

0

0 0 1

1 -4 2 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0

2

-s

I

s

-1 -1

'-,.-'

=M

Also gilt (PA

Protokoll

=P

= M): o

® Berechnung der Inversen (Zeilenverfahren, GauB-lordan-Verfahren) Jede invertierbare Matrix A E IR nxn liij3t sich allein durch elementare Zeilenumformungen in die n x n-Einheitsmatrix E umwandeln. Denn mit A ist auch die mittels Vorwartselimination aus A entstandene Zeilenstufenmatrix MI =

(••0 ...•*)

invertierbar (Rang A = Rang MI = n), aIle Diagonalelemente sind =I 0 (---+ Satz 3.1). Die RiickwartselimiA nation (von unten nach oben) und E Normierung der Diagonalstellen zu 1 GauB-Elimination fiihrt von MI zu E. (Vorwarts- und Nach @ - mit M = E - ergibt sich Riickwartselimination E = P A , also P = A -I .

Da mit P auch A = p- I ein Produkt von Elementarmatrizen ist, haben wir auBerdem das niitzliche Beweismittel:

im I.Block)

E

t I

A

Satz 4.4. Jede invertierbare n x n-Matrix ist darstellbar als Produkt von n x nElementarmatrizen.

293

§4. Elementannatrizen und elementare Umfonnungen

Beispiel. A

1

2

2

1

3 0

1

0

2

1

0 0

0 0

0

1

1

0 1 0

0 0

0 0

0 1

0

0 0 1

-1

0 1 0

0 0 1

1

0

-2 I

1

0 0 1

-2

1 2 3 0 -3 -6 0 0 3 2

1

0 0 1

1 2 3 0 -3 -6 0 -2 -1

1

Protokoll

E

2

3 -3 2

3 4

Z2 - 2Z1 Z3 - ZI

Z3 -

2

-1

ZI - Z3

I

2

-~(Z2 + 2z3)

3

9 9 -3 I 2 I 9 -9 3 2

-9

I

3 Z3

I

4

9

ZI - 2Z2

3 2 4 I -3 9 9 I 2 I 9 -9 3

1

~Z2

Damit gilt:

9

9-3

~

t)

I

2

I

3)-1 -_(-~

1 2 (2 1 o 1 0 2

9

-9

o

3

© Matrixgleichungen (Gau6-Verfahren) Das in 0 beschriebene Verfahren liefert bei allgemeiner rechter Seite B E lRnxk die eindeutig bestimmte Lasung X = A -I B der Matrixgleichung AX = B (X, B E lRnxk, A E lRnxn invertierbar). Denn mit M = E zeigt (10) N = A-lB.

A

B

(Vorwarts- und Riickwartselimination im A-Block)

~

@ Die LR-Zerlegung Bringt man eine invertierbare n x n-Matrix A nach 0 nur mit Vorwartselimination (Zeilenumformungen vom Typ 0) auf eine obere Dreiecksmatrix M, und kommt man dabei ohne Zeilenvertauschungen aus, dann beobachtet man auf der rechten Seite (des Rechenschemas) nur Veranderungen unterhalb der Diagonalen; d.h. P ist eine untere Dreiecksmatrix mit lauter Einsen auf der Diagonalen. Es ist eine einfache Ubung nachzuweisen (etwa anhand 0), daB auch p- I dieselbe Gestalt hat. Die Formel A = p-I M (~0) besagt in dies em Fall:

294

6. Lineare Algebra

A besitzt eine Produktzerlegung A = LR in eine untere Dreiecksmatrix L = p- 1 (mit lauter Einsen aUf der Diagonalen) und eine obere Dreiecksmatrix R = M (mit Diagonalelementen =I 0 ).

Diese sogenannte LR- oder Dreieckszerlegung ist sehr vorteilhaft fur die Auflasung der Matrixgleichung AX = B, insbesondere dann, wenn diese fur verschiedene rechte Seiten zu lasen ist: Man berechnet zuerst die Matrix Y (vom gleichen Typ wie X) mit LY = B und damit X aus RX = Y. Diese Rechnungen gestalten sich aufgrund der Dreiecksform von Lund R recht einfach. (-+ Programm GAUSS) In der Praxis wird die LR-Zerlegung sehr oft direkt aus dem Ansatz A = LR bestimmt. (-+ Aufgabe 5) Beispiel. An dem zu Vorwartselimination A

123) ( 2 10

= ( -21

®

0 1 ~ -~

102

angegebenen Beispiel kann man bereits nach der ablesen:

= p- l M

0)-1(1 o 0-32-63) = (100)(1 210 0-32-63) 1 003 1~1 003

D

B) Rechenverfahren, die nur Spaltenumformungen erfordern,

verlaufen nach folgendem Schema an A A.

I

Cl

E lR mxn

und C

elementare Spaltenumformungen an A und gleichzeitig an C

-+

E lR kxn :

~.

Nach Satz 4.2 gibt es eine invertierbare n x n-Matrix Q gleicher Spaltenzahl mit

(Z)=(~)Q=(~~)

(-+(9)),also

M=AQ, N=CQ.

SO berechnet man etwa die "Transformationsmatrix" Q nach diesem Schema mit C = E (der n x n-Einheitsmatrix).

® Eine Basis fiir

Kern A (Spaltenverfahren)

Sei A E lRmxn. Wir bestimmen fur den Lasungsraum Kern A des homogenen linearen Gleichungssystems Ax =0 wie folgt eine Basis:

~ E

Vorwartselimination fUr Spalten (von links nach rechts) im A-Block; diese Spalten-+ umformungen gleichzeitig an E ausfiihren

~

Q

mit N = (VI, ... , v r , 0, ... ,0) in Spaltenstufenform (-+ (4), mit Vi =I 0, r = Rang A) und Q = (ql, ... , qr, qr+l, ... , qn) (Spaltendarstellung). Nach Satz 4.3 gilt: (11)

(qr+ l, qr+2, ... , qn)

ist eine Basis von Kern A .

Die allgemeine Lasung von Ax = 0 lautet x =

)'-l qr+l

+ ... + An-rqn

(Ai E

lR) .

§4. Elementannatrizen nnd elementare Umfonnungen

295

Beispiel. Fiir die Matrix

A=U

6

2

9

-3 10 )

6

5 34 58 -9 -10 -3

49~a

ist in Abhangigkeit von a eine Basis von Kern A zu bestimmen: -3 3 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 3 6 9 0 2 6 10 10 0 2 0 0 0 2 6 0 2 0 0 15 34 58 3 15 4 13 18 15 4 1 -2 15 4 1 0 -9-10-349+a -+ -9 8 2440+a -+ -9 8 0 a -+ -9 8 0 a -2 3 17 1 -2 -3 1 -2 3 11 1 0 0 0 1 -3 -11 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -3 -5 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Fall 1: a i 0 => Rang A =4; Kern A = {O} . Fall 2: a = 0 => Rang A = 3; Dim Kern A = 1 .

o

Eine Mischung aus dem GauB-Verfahren (---+ § 1) und dem vorstehenden Spaltenverfahren zur Losung von Ax = 0 ergibt eine iibersichtlich strukturierte Losung der inhomogenen linearen Gleichung Ax = b (A E lRmxn, b E lRm, b i 0) : Man beginnt mit dem GauB-Verfahren; d.h., (Alb) wird mit elementaren Zeilenumformungen umgewandelt zu (Mid) mit M in Zeilenstufenform. Mx = d besitzt genau dieselben Losungen wie Ax = b. 1m Fall der Losbarkeit (Rang M = Rang (Mid)) berechnet man zuerst die spezieUe (partikulare) Losung vo, in der die freien Variablen den Wert Null haben. Dann bestimmt man mit dem Spaltenverfahren eine Basis (UI, ... , u n - r ) von Kern M (= Kern A ), was wegen der Dreiecksform von M recht einfach ist. Damit wird die allgemeine Losung von Ax = b dargestellt in der Form (---+ Satz 1.2) x=VO+)qUI+"'+An-rU n - r

(AiElR,

r=RangA).

1m nachfolgenden Programm GAUSS ist das Prinzip der LR-Zerlegung realisiert, wobei aber zusatzlich Zeilenvertauschungen vorgenommen (und gespeichert) werden, so daB in jedem GauB-Eliminationsschritt das betragsgroBte Element einer Restspalte zum .-Element (Pivot-Element) wird. Urn bestmogliche numerische Ergebnisse zu erzielen, wird das Gleichungssystem zunachst aquilibriert, indem jede Gleichung durch die Lange des entsprechenden Zeilenvektors von A dividiert wird. Mit der fertigen "LR-Zerlegung" kann die Riickwartssubstitution mit verschiedenen rechten Seiten wiederholt werden.

296 , Programm GAUSS , -------------Print "DIMENSION N="; Input N M=N-1 Dim A(M,M),B(M),C(M) Print "A ZEILENWEISE:" For 1=1 To N For J=l To N Print "A"+Str$(I)+Str$(J); Input A(I-1,J-1) Next J Next I , ---- Zeilen skalieren ----For 1=0 To M y=o For s=o To M Y=A(I,S)*A(I,S)+Y Next S If Y=O Then Print " A singulaer" End Else C(I)=l/Sqr(Y) Endif Next I , ------ LR-Zerlegung D=l For K=O To M L=K X=O V=K For I=K To M Y=-A(I,K) U=I Gosub Scalar2 A(I,K)=-Y Y=Abs(HC(I)) If Y>X Then X=Y L=I Endif Next I If L<>K Then

6. Lineare Algebra

, ---- Zeilenvertauschung D=-D For J=O To M Y=A(K,J) A(K,J)=A(L,J) A(L,J)=Y Next J C(L)=C(K) Endif

,

--------------------------

C(K)=L D=D*A(K,K) Exit If X<1.0E-09 U=K X=A(K,K) If K<M Then For J=K+1 To M Y=-A(K,J) V=J Gosub Scalar2 A(K,J)=-Y/X Next J Endif Next K If Abs(D)<1.0E-09 Then Print "A SINGULAER" End Endif Print "D=II;D

,

----------------------------

Repeat Print "RECHTE SEITE·· For 1=1 To N Print "B"+Str$(I); Input B(I-1) Next I For 1=0 To M Y=C(I) If I<>Y Then X=B(I) B(I)=B(Y) B(Y)=X Endif Next I

297

§4. Eiementannatrizen und elementare Umformungen

, -------------------------------

U=O For 1=0 To M Y=B(I) V=I-1 Gosub Scalar1 B(I)=-Y/A(I,I) Next I V=M For I=M To 0 Step -1 Y=B(I) U=I+1 Gosub Scalar1 B(I)=-Y Next I Print "ERGEBNIS" For 1=1 To N Print "X"+Str$(I)+"=";B(I-1) Next I Print "Neue rechte Seite (j/n)" Input R$ Until R$="n"

Procedure Scalar1 If U<=V Then For S=U To V Y=Y+A(I,S)*B(S) Next S Endif Return , ------------------------------Procedure Scalar2 If K>O Then For S=O To K-1 Y=Y+A(U,S)*A(S,V) Next S Endif Return

Aufgaben 1. Fur die fo1genden Matrizen bestimme man a) den Rang r (Zeilen- u. Spa1tenumformungen!), b) eine Basis des Zeilenraumes, c) eine Basis des Spaltenraumes,

d) Matrizen P, Q, so daB P A Q =

(~!

12 3) (456

C

3 01 -1) -3 1 2 -2

=~

=!)

3 2 3 -4 -7 -3 3 8 -7-8

789

2. Mitte1s Zei1enverfahren

(~ ~):

® berechne -

1 -1 2 3

(

o 1

o o

1 0 0 1

0 1 1 0 0 1

0 0

falls moglich - die lnversen von

U j) 3 -1 5 -1 4 -3 -5

(1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 ) 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10

und stelle die 3 x 3-Matrix als Produkt von E1ementarmatrizen dar. 3. Man lose die Matrixg1eichung AX = B gemaB Verfahren @, analog dazu BY berechne schlieBlich zur Kontrolle X Y fur a)

A=

(~

o

;

=~ ),

4 -3

B =

(~! ~); 2 3 -4

=A

und

298

6. Lineare Algebra

b) A

=(

~

2 --'2

1

3

5 -2 21)

-2 -4

o

3

,B

( 12 -10-1 -2

=

-1 0

0 2

2 1

2 2

©

4. a) Mittels ZeilenumJormungen bestimme man gemiiB fiir A eine untere Dreiecksmatrix P und eine obere Dreiecksmatrix R, so daB P A = R und leite daraus die LR-Zerlegung von A ab:

-3) =

6

9 6 0 34 58 13 -9 -10 -3 50

(I~

A=

2

=

b) Man bestiitige, daB A besitzt!

13)

6 0 4 3 16

G

5. a) Man bestimme die LR-Zerlegung:

H=

(*)

LR

=

invertierbar ist aber keine LR-Zerlegung

1/5)

1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 1/5 1/6 1/7 1/8

C'

°

=e'© ' 131

132

141

142

c* OJ (~. **)

143

= LR =

)C°'" '" ' ') r22

r23

r33

r24

r34

r44

durch Zeilenverfahren direkt aus (*): LR ausmultiplizieren und aufliisen nach 6. Man bestimme - abhiingig von et - mittels Spaltenverfahren fUr die Matrizen A 2 3

( ~31 ~

37

14

30

)

2 6et +7 2et +8

(~

rll,

121 , 131 , •••.

® eine Basis von

Kern A

j i _j)

7. Man zeige fiir eine invertierbare Matrix A a)

A=A T

b)

A

= _AT

=}

A-I=(A- I?,

=}

A-I

= _(A-I?

8. Es seien A E lRmxn und B einem Beispiel:

E

.

lRnxm mit AB = O. Man beweise oder widerlege mit

a) Es gilt auch BA = 0, b) Rang A = n c) Rang A

=m

=} =}

B =0,

B

=0 .

9. Man zeige, daB jede invertierbare Matrix allein durch elementare Zeilenumformungen vom Typ 0) auf die Form Diag(1, ... , l, d) mit d 7' 0 gebracht werden kann.

299

§5. Detenninanten

10. Pseudo-Inverse einer Matrix A welche

E

lRmxn nennt man eine Matrix A+

E

lRnxm, fur

A+AA+=A+

(i)

AA+ A = A .

(ii)

a) Man zeige: Fur A =

(~ ~)

ist AT eine Pseudo-Inverse.

b) Man bestatige: Sind P E lRmxm, Q =E lRnxn invertierbar und A+ Pseudo-Inverse von A, so ist B+ = Q-l A + p- 1 Pseudoinverse von B = P A Q . c) Man bestimme eine Pseudoinverse fUr

(

~ ~)

und

(

~ ~ ~).

§ 5. Determinanten 5.1 Einfiihrung. Determinanten wurden bereits 1678 von G. W. LEIBNIZ eingefiihrt, sie waren aber - aufgrund ihrer komplizierten Berechnung - fur lange Zeit als magisches Rechenmittel verrufen und nur den Kannem vorbehalten. Man kann mit ihnen elementargeometrische GraBen auBerst elegant beschreiben, die Lasung eines linearen Gleichungssystems mit invertierbarer Koeffizientenmatrix direkt als Funktion der Koeffizienten darstellen und schlieBlich den Test " Rang A < n " bei einer n x n-Matrix auf eine bloBe Nullabfrage zuriickfiihren. 2-reihige Determinanten.

zwei Vektoren a

Das von

= (:~),

b

y

= (~~)

der (x, y)-Ebene erzeugte Parallelogramm hat nach Kap. 1, §5.3 den Flacheninhalt e, Abb. 143 - Paralieiogrammfiiiche

Es ist F = a] fh - a2fh :::: 0, wenn die Drehung von a nach b iiber den kleineren Winkel positiv (gegen den Uhrzeigersinn) erfolgt, andemfalls gilt - F = adh - a2fh .:s O. Die Zahl (1)

I

det A := aIth - a2fh

heiBt Determinante der 2 x 2-Matrix A dem Schema

= (:~ ~~).

Man berechnet sie nach

300

6. Lineare Algebra

Es ist det A = ± F = 0 genau dann, wenn a, b parallel sind (oder einer der beiden der Nullvektor ist). Damit ist gezeigt: (

~~) , (~~)

linear abhangig

~

det

(~~ ~~) =0

~

det A =I 0

bzw., aquivalent dazu A

Beispiel.

(;

det (;

= (~~ ~~)

invertierbar

~) = 1 . 5 -

2.3

= -1 =I

O. Die Matrix ist invertierbar;

~)-I =(-1)(_; -~).

Ferner: Der Flacheninhalt des von (;) und ( gramms betragt F

~)

aufgespannten Parallelo-

= I det A I = 1 .

o

3-reihige Determinanten. Ein Spat mit den beziiglich einer kartesischen Basis dargestellten Kanten al =

(~~:) , a2 = (~~~) Ct31

Ct32

hat nach Kap. 1, §5.4 das Volumen (2)

V = I[a" a2, a3]1

Die bisher als Spatprodukt bekannte Zahl det A := [aI, a2, a3] heiBt auch Determinante der 3 x 3-Matrix

=

= =

Es gilt V det A > 0, wenn (aI, a2, a3) ein Rechtssystem ist. V det A 0 genau dann, wenn der Spat entartet ist, d.h. wenn aI, a2, a3 linear abhangig sind. In anderen Worten: Rang A < 3 ~ det A = 0, bzw. Rang A = 3 ~ A invertierbar ~ det A =I 0 . Die auf der rechten Seite von (2) eingeklammerten Faktoren erkennt man als Determinanten gewisser 2 x 2-Matrizen. D.h.,

301

§5. Determinanten

(3)

Anschaulich:

Abb. 144 - 3 x 3-Determinante

Fur 3 x 3-Matrizen gibt es die nach dem franzosischen Mathematiker P. F. SARRUS (1798-1861) benannte Regel:

+

+

+

all

al2

al3

a21

X an

~

X a32

/ a3l

X a23 X a33

all

/ a2l a3l

al2 a22

~

a32

Man schreibt die ersten beiden Spalten noch einmal rechts neb en A, addiert die langs der '\. -Diagonalen zu bildenden Produkte und subtrahiert die langs ? berechneten Produkte. Man erhalt

Beispiel.

A=H

-2 3 1 -2 6 5

0

)

-2 3

~

/

-2 1 6

X

X

3 -2 5

X

X

0 -2 3

/ ~

-2 1 6

det A = 0 + 12 - 36 - 9 - 0 - 20 = -53. Die Matrix ist invertierbar, die Spalten bilden eine Basis des IR?, aber kein Rechtssystem. Der von den Spalten (in kartesischen Koordinaten) aufgespannte Spat hat das Volumen V = I det A I = 53 . o Bemerkung. Die Regel von SARRUS laBt sich nicht auf die in 5.2 definierten n-reihigen Determinanten mit n > 3 ubertragen.

5.2 Definition der Determinante einer n x n -Matrix. Als Verallgemeinerung der beiden Sonderfcille n folgende

= 2,

n

=3

ergibt sich fur beliebiges n

E

IN die

302

6. Lineare Algebra

Rekursive Definition der Determinante det A, A

=(aij) E lR,nxn •

Fur n = 1, d.h. A = (all), ist detA := all. Fur n :::: 2 ist (Entwicklung von det A nach der ersten Spalte) det A := all det All - a21 det A21 + a3l det A31

(4)

- + ... + (_l)n+l anl det AnI, wobei Ail die (n -1) x (n -I)-Matrix bezeichnet, die aus A durch Entfemen (Streichen) der ersten Spalte und der i-ten Zeile entsteht (1 S i sn).

Fur det A ist ebenfalls die Bezeichnung IA I ublich. Die folgende Abbildung veranschaulicht (4):

Abb. 145 - Entwicklung nach der 1. Spalte

Beispiel. A --

(~0 2

A21

2 0 -2 1 6 3 4 3

1)

_~

, All

1

(-2 1 0) 6 3 -2 4 3 1

= ( 26 03 -21) , A3l = ( -22 01 01) , A41 = ( -22 431

detA =

=

431

1· detAIl - 3· detA21 +0· detA31 - 2· detA41 3·24 - 2· (-16) = -72 .

= -32 -

6 D

Bemerkung. Wendet man (4) rekursiv in (4) auf det Ail (1 SiS n) an, so ergibt sich zum SchluB die sogenannte vollstandige Entwicklung der Determinante detA

=

'~ "

(_I)E(i)a·II laol2 2' .. a'inn,

wobei sich die Summe uber aIle Permutationen i = (i 1, ... , in) der Zahlen 1,2, ... , n erstreckt, und E(i) gleich der Anzahl der Vertauschungen ist, die erforderlich sind, urn (il, ... , in) in die natiirliche Reihenfolge zu bringen. Die vollstiindige Entwicklung besteht aus n! Summanden. Da mit wachsendem n die Fakultiit n! rapide ansteigt (7! = 5040), sucht man nach Eigenschaften, die eine schnellere Berechnung von det A, etwa durch Ruckfuhrung auf den folgenden Spezialfall, erlauben.

303

§5. Detenninanten

Satz 5.1. Fiir eine obere Dreiecksmatrix gilt all

det

* :.. * ) *: =alla22 ... ann

O. a22 ..

(

o

0 ann

Speziell: det E = 1, det(aE) = an (E

E

]Rnxn).

= ... = anI = 0 reduziert sich (4) auf det A = all det (a2~ .. ';nn) = alla22 det (a3~ .. ';nn) = ... = alla22 ... ann.

Beweis. Wegen a2]

Beispiele.

det

(

3 4 1 0 0

o o

0

2)

4o 5

_~ ~

= -6

7o 03 42 42 11) ( det 0 0 5 -1 2 = 0 .

;

o o

0 0 0 0

D

D

4 3 0 6

5.3 Rechenregeln fur Determinanten. Der folgende Satz enthiilt die grundlegenden Eigenschaften der Determinante. Satz 5.2. a) det ist linear in jeder Zeile. Damit ist gemeint: 1. Ein gemeinsamer Faktor einer Zeile von A kann aus det A herausgezogen werden. 2. Besteht eine Zeile von A aus einer Summe, Zi = a + b, dann besitzt det A die entsprechende Summenzerlegung. In Formeln: Zl

det

aZi

Zl

=a det

Zi

Zl

,

det

a +b

= det

a

Zl

+ det

b

b) det ist alternierend. Das bedeutet: Entsteht A aus A E ]Rnxn durch Vertauschung zweier Zeilen, dann gilt det A = - det A; insbesondere det A = 0, falls A zwei gleiche Zeilen enthiilt. Beweis. a) beweist man leicht mit vollstiindiger Induktion (n = 1, 2, ... ) und der Rekursionsformel (4). b): Wegen der alternierenden Vorzeichen erkennt man an (4) (ebenfalls mit vollstiindiger Induktion), daB sich bei Vertauschung zweier benachbarter Zeilen das Vorzeichen iindert. Da man die Vertauschung zweier beliebiger Zeilen von A stets durch eine ungerade Anzahl von Vertauschungen benachbarter Zeilen erzielen kann, ist nun alles bewiesen. Sind zwei Zeilen von A gleich, so gilt mit einer Vertauschung dieser beiden Zeilen det A = - det A; das ist nur mit det A = 0 moglich. D

304

6. Lineare Algebra

Satz 5.3. Die Reehenregeln fur Determinanten. Fur aile A, B E lR nxn gilt: a) Die Anderung bei elementaren Zeilen- bzw. Spaltenumformungen. Entsteht A aus A durch eine elementare Zeilen- oder SpaltenumJormung vom Typ dann andert sich die Determinante wie Jolgt:

CD,

Typ Typ Typ

(5)

(j): det A = - det A det A = a det A det A =det A .

CD: CD:

,

(Faktor a =I 0) ,

b) Symmetrie in Zeilen und Spalten.

I

det AT

= det A

;

insbesondere gilt Satz 5.2 entsprechend Jur Spalten. e) Multiplikationssatz.

(6)

det(AB)

=(det A)(det B)

.

°. =I °;

d) Invertierbarkeits-Test. A invertierbar ~ det A aquivalent dazu: Rang A < n ~ det A =

Beweis. a): Fur die Zeilenumformungen yom Typ (j) und CD stehen die Formeln in Satz 5.2. Fur Typ CD (Zi --+ Zi + aZj ) verwendet man die Linearitat in der

i-ten Zeile und det (

%) ~ O. Die Giilligkeil diese. Formeln bei Spaltenu mfo.-

mung en ergibt sich ruckwirkend, sobald b) bewiesen ist. d): Mit elementaren Zeilenumformungen laBt sich A in eine obere Dreiecksmatrix M umwandeln. Nach (5) gilt det M = Y det A mit y =I 0. Damit: A invertierbar ~ samtliche Diagonalelemente in M sind =j: 0(--+4.40) ~ detM=l0(--+Satz5.1) ~ detA=l0. c): (5) (fur Zeilenumformungen) zeigt fur A = E wegen det E = I, daB es sich bei den Koeffizienten jeweils urn die Determinante der zugehorigen Elementarmatrix E handelt (A = EA, --+ Satz 4.2); deshalb laBt sich (5) in der einheitlichen Form det(EA) = det E . det A

(7)

angeben. Also gilt (6) fur Elementarmatrizen, damit auch fur aIle endlichen Produkte von Elementarmatrizen und deshalb (--+ Satz 4.4) fur aBe invertierbaren A, B.

1st A oder B nicht invertierbar, so auch AB nicht und es gilt det AB = det A det B = b): 1st A nicht invertierbar, so gilt nach d) det A = = det AT. Wegen Satz 4.4 und (6) braucht nur noch det E = det ET fur jede Elementarmatrix nachgewiesen zu werden. Das geschieht direkt: Fur E yom Typ (j) oder CD gilt ET = E ,

°.

°

305

§5. Detenninanten

fur j;; vom Typ 0 ist auch j;;T eine Elementarmatrix vom Typ 0, hierfur gilt det j;; = 1 = det j;;T (---+ (5)). D

Folgerungen aus dem Multiplikationssatz.

a)

(8)

b)

det(AB) det(A k)

c)

det(A -I)

d)

e)

=det(BA) =(det A)k (k E IN) =(det A)-I, falls A invertierbar =det A, fur aIle invertierbaren C E lRnxn .

det(C- 1 AC) Der Kiistchensatz. Fur eine Blockmatrix (---+ 4.4) der Form A

=

(g g)

bzw. A

= (~ ~)

mit k x k-Matrix B, (n - k) x (n - k)-Matrix D, o Nullmatrix und C jeweils vom passenden Typ gilt det A = det B det D .

= det A det B = det B det A det(A k) = (det A)(det A k - I ) = ... = (detA)k. 1 = det E = det A -I A = (det A -I )(det A). det( c- I AC) = det(AC)C- 1 = det A . Man rechnet leicht

Beweis. a): det(AB)

b): c): d): e):

= det(BA) .

nach, mit jeweils E vom passenden Typ. Der zweite Faktor kann mit elementaren Zeilenumformungen vom Typ 0 (welche die Determinante nicht andern)

. (B0 E0)

III

umgewandelt werden. Aus det

(B0 E0) = det B, det (E0 D0) =

det D (einfache Ubung) und dem Multiplikationssatz folgt nun die Behauptung. D

5.4 Die Entwicklung von det A nach einer beliebigen Zeile oder SpaIte. Die Matrix A = (aj,al, ... ,aj_l,aj+I, ... ,an ) entsteht aus A =

(al, ... , aj, ... , an) durch j - 1 sukzessive Vertauschungen benachbarter Spalten. Also gilt det A = (-l)j-1 det A. Entwickelt man andererseits erneut det A mit (4), dann ergibt sich die sogenannte Entwicklung von det A nach der j-ten Spalte: n

detA = 2)-I)i+jaij detAij i=1

306

6. Lineare Algebra

wobei Aij die (n - 1) x (n - 1)-Matrix bezeichnet, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j -ten Spalte entsteht. Wegen det AT = det A hat man ebenso die Entwicklung von det A nach der i-ten Zeile: n

= 2) _l)i+ j aij det Aij

det A

.

j=l

5.5 Beispiele. Zur Berechnung von det A (fur n

> 3) ist es zweckmaBig, zuerst mit elementaren Umformungen moglichst viele Nullen zu erzeugen. Dabei sind die Regeln (5) zu beachten.

Beispiel 1. (---+ (8e))

det

(

1 3 -5 4 2 2

0 0

Beispiele 2.

det

(~~ 1 2

det

-1 2 0

= det (!

(~ ~ ~) =0 +a31

= 1 . det

detA31

= det

1

(~ ~ ~

0 4 3

o

=Zl + Z2);

(Z3

334

j)

~~1

det (

0

!) =

-1

-3

3 0 4 5 0 o -6

o 0

o

1 4)

o

1 2

C!) =5;

j)

= det

5

(~ ~ ~) = -

4 3

45 ,

5

die Matrix ist invertierbar; sowohl Zeilen als auch Spalten sind linear unabhangig. 0 Beispiel 3. (Die Vandermonde-Determinante)

det

(i ~ ~~) = (b 1

det

Z

Z2

(i

0

=(y -

x )(z - x) det

=(y -

x )(z - x )(z - y) .

Analog

y

~ x l ~ xx2) =det (~ =;

Z - X

Z2 -

~:;) = (y -

2

x )(z - x) det

(

i ~)

307

§5. Detenninanten

wobei auf der rechten Seite das Produkt iiber alle Differenzen x j - Xi mit i < j zu bilden ist. Diese Determinante ist genau dann =I 0, wenn die XI, ... , Xn paarweise verschieden sind. Diese nach A. VANDERMONDE (1735-1796) benannte Determinante bzw. Matrix tritt beispielsweise bei der Polynominterpolation auf, wenn man die Koeffizienten des Polynoms p(x) = ao + alx + ... + an_IX n- 1 mit p(x;) = Yi (1:s i :s n) aus dem Gleichungssystem ao+xial+x;a2+" .+x~-Ian-I =Yi (1:s i :s n) berechnet.

o

Beispiel 4. Mit Rechenschema@ zur LR-Zerlegung (---+ 4.4) berechnet man

°

= ( 2123) 1 0 = (1 1 0)(1 102 * 1 det A = det L det R = det R = -9 . A

also gilt

-3

*) 3

o

5.6 Anwendungen

CD Die Cramer-Regel (G.

CRAMER, 1704-1752). Mit einer invertierbaren Matrix A = (aI, ... , an) E lRnxn und bE lRn hat das Gleichungssystem Ax =b die Losung

(9)

(die i-te Spalte von A wird durch b ersetzt), 1 :s i

:s n.

L

Beweis. Wir tragen b = Ax = Xiai anstelle von al ein und verwenden die Linearitat von det in der ersten Spalte:

det(b, a2, ... , an)

=det(xlal + ... + xna n , a2, ... , an) n

=LXi det(ai, a2,···, an) i=1

=XI det(al, ... , an) =Xl det A

,

die anderen Summanden sind Null, weil jeweils zwei gleiche Spalten vorhanden sind; X2, ... , Xn ebenso. 0 Man sollte (9) nicht zur vollstandigen Auflosung eines Systems mit vielen Unbekannten verwenden (Rechenaufwand)! Die Formel ist aber gut geeignet zur Berechnung einzelner Unbekannter und besonders giinstig zur Weiterverarbeitung, wenn im Gleichungssystem zusatzliche Parameter enthalten sind.

308

6. Lineare Algebra

Beispiele 1. 2x + 3y=

3

5x -7y=-1

==:}

x=

det

(_~

det

-;) = 18

G_;)

y=

29 '

det

(~

det

(~

-D = 29 .

-;)

17

2. Man benotigt nur X2 aus folgendem 4 x 4-G1eichungssystem:

5xI -3xI 5xI

+ 3X2 + 2X3 + 5X2 + 6X3 - 5X4 3X2 + X3- X4 + 3X2 + 4X3 + x4

=4 =1 =0 =0

==:}

X2 =

4 ( -35 1 det ~ 0 0

(5

2 6

-~)

1 -1 4 1

95 = -156 .

3 2 -3 5 6 ~ 3 -1 1 3 4

det

-~)

D

CD Die Adjunkte von

A. Sei zunachst A E IRnxn invertierbar und A -I = (f3ij)

=

(bl, ... , b n ), dann erfiiIlt b j wegen = (Abl, ... , Abn ) = E = (el, ... , en) das G1eichungssystem Ab j = ej. Bestimmt man die i-te Komponente f3ij von b j mit der Cramer-Regel (9) und entwickelt den Zahler nach der i-ten Spalte (--')0 5.4), dann ergibt sich AA- I

1

1

. .

f3ij = det A det(al, ... , ai-I, ej, ai+l, ... , an) = det A (-l)'+J det Aji

Man beachte die Anderung der Indexreihenfolge (Aij ist die Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und J-ten Spalte entsteht). Man nennt A * := (a7) mit a'0 = (_1)i+ j det A ji die AdJunkte von A. Sie stellt bis auf einen Faktor die inverse Matrix von A dar: (10)

A -I

1 A* 1 (( l)i+ j d A ) - det A - det A et ji ij

Beachte. A * ist auch im FaIle det A = 0 definiert. In numerischen Rechnungen mit groBem n sind in jedem FaIle die Verfahren aus 4.4 vorzuziehen.

CD FHicheninhalte und Volumina punkten Ai = (Xi, Yi, Zi) ~

~

(--')0 5.1). Ein Tetraeder im IR3 mit den Eck-

(1:s i :s 4)

hat das Volumen V =

~

il

det(a, b, c)1 mit

a = A I A 2 , b = A,A3, C = A,A 4 . Eine leichte Umformung der Determinante ergibt eine ,,4-Punkte-Forme1" 1 XI YI ( V =1. det 1 X2 Y2

6

Zl) Z2

1 X3 Y3 Z3 1 X4

Y4

Z4

309

§S. Detenninanten

8) Kegelschnitte. Ein Kegelsehnitt in der (x, y)-Ebene hat eine Gleiehung der Form

=0 ,

alx 2 + a2Y 2 + a3 x y + a4X + asy + a6

in der nieht aIle Koeffizienten ai Null sind. Da ein Koeffizient zu normiert werden kann, sind im allgemeinen zur Bestimmung der Koeffizienten 5 verse hiedene Punkte auf der Kurve erforderlieh. Die Punkte Ai = (Xi, Yi) (1::s i ::s 5) und der "allgemeine" Punkt X = (x, y) auf dem Kegelsehnitt liefem ein lineares Gleiehungssystem

alxs2 + a2Ys2 + a3 xsys + a4XS + aSY5 + a6 = 0

fUr a], ... , a6. Da dieses eine von Null versehiedene Lasung besitzt, muG die Determinante der Koeffizientenmatrix Null sein. Das ergibt die sogenannte 5-Punkte-Gleichung fiir den allgemeinen Kegelschnitt X2 l xy x? Y? XlYl ( det .. .. ..

x Xl

Yl

Xs2 Ys2 XsYs

Xs

Ys

.

.

.

1)

Y

1

... ... ... = 0

.

1

Bemerkung. Spezielle Kegelsehnitte sind dureh weniger als 5 Punkte festgelegt. So hat beispielsweise ein Kreis die Gleiehung a(x2 + l) + bx + cy + d = 0 , er ist dureh 3 versehiedene Punkte festgelegt. Genau wie zuvor ergibt sieh:

det (

X2 + l

x Y Xl Yl x2 + Y2 X2 Y2 x32 + Y32 X3 Y3

x~ + Y~

1) 1

1

=0

1

ist die Gleiehung des Kreises dureh die Punkte (Xi, Yi) ,

i = 1,2, 3 .

Beispiel. Der Kreis dureh die Punkte (0,0), (1,3), (2, -1) hat die Gleiehung

det

(

X2 ~ l 10 5

also: 7(x2 + l)

-

~ ~ ~) 1

3 1

2 -1 1

25x - 15y

= O.

= - det

(X2 + l 5

10

Y) = 0 ,

x 2 -1 1 3

o

Weitere, besonders wiehtige Anwendungen werden in den folgenden Paragraphen behandelt.

310

6. Lineare Algebra

Aufgaben 1. Man berechne die Determinanten der Matrizen 1/2 1/3 ( 1/3 1/4 1/4) 1/5 ,

-rSina) , r sma r cosa

( rc~sa

1/4 1/5 1/6

a) mitte1s Entwicklung nach der ersten Zeile; b) mitte1s e1ementarer Umformungen bis zur oberen Dreiecksgestalt. 2. Man berechne die Determinante der Matrizen 1/2 ( 1/3 1/4 1/5

1/4 1/5 1/5) 1/6 ' 1/6 1/7

1/3 1/4 1/5 1/6

1/7 1/8

3. Man lose mit der Cramer-Regel Ax = b mit

(D D

-1 0 2 0 A = ( ; -4 -4 3 -2 2 4. Man beweise 1 2 3 4 234 ( a) det n~ 4 1 2

b) det ( :

n-2 n-1 n-1 n n

b=

1) .

,,(n-l)

= (-1) ---r-

(n + 1)nn-1

-'--~-

2

n- 1

~

1 2n -

1

5. Man gebe fiir die Gleichungen einer Ebene durch 3 Punkte im lR? eine Darstellung mittels 4 x 4-Determinate. 6. Man beweise fiir zwei Spaltenvektoren a, b

E

JRn

det(E + ab T) = 1 + aTb . 7. a) Fiir die Flache eines ebenen Dreiecks mit den Seiten a, b, c gilt bekanntlich die HERON-Formel: F = vls(s - a)(s - b)(s - c) mit s =

Man rechne nach, daB hierfiir die folgende Formel gilt:

~(a + b + c)

.

311

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte

F2

=-

/6 det

(;~ ~ ~ ~)

.

1 1 1 0 b) Fur das Volumen V des Tetraeders mit den Kantenliingen a, b, e, p, q, r (Reihenfolge aus der Skizze) gilt:

Welchen Inhalt hat der Tetraeder mit den KantenHingen a = 1 em; b = 2 em; e = 3 em; p = 4 em; q = 3 em und r

= 2 em ?

8. Seien Yi: lR ---+ lR (i = 1,2,3) dreimal differenzierbar und Losungen der linearen Differentialgleichung Y;" (x) + al (x )y;' (x) + a2(x )y; (x) + a3(x )Yi (x) = 0 die sog. WRONSKI-Determinante.

§ 6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte Nach den linearen Gleichungssystemen behandeln wir nun als zweiten wichtigen Anwendungsbereich der Matrizen die linearen Abbildungen. 1m JRn sind das die Zuordnungen x I--'? Ax (x E JRn und fester n x n-Matrix A). 1m Hinblick auf allgemeine Anwendungen ist es aber erforderlich, die grundlegenden Begriffe und Bezeichnungen in beliebigen Vektorraumen und unabhangig von speziellen Basen zu formulieren.

6.1 Lineare Abbildungen. Seien V, W Vektorraume iiber JR. Mit einer Abbildung f : V ---+ W ("von V in W ") wird jedem Vektor v E Vein eindeutig bestimmter Vektor w = fey) E W, das sogenannte f-Bild von v zugeordnet. Definition. Eine Abbi/dung f : V ---+ W heij3t linear, wenn gilt: (L1) fist homogen; d.h. f(av) = af(v) fur alle a E JR, v E V, (L2) fist additiv; d.h. feu + v) = feu) + fey) fur alle u, v E V. Andere Bezeichnungen for eine lineare Abbildung sind: lineare Transformation, linearer Operator, Vektorraumhomomorphismus.

Gleichwertig mit (L 1), (L2) ist (1)

312

6. Lineare Algebra

fur alle (Xi E lR, Vi E V (1:s i :s n; n E IN ), was besagt, daB das f-Bild jeder Linearkombination gleich der entsprechenden Linearkombination der einzelnen f -Bilder ist. Beispiele. Lineare Abbildungen sind: 1. Die Nullabbildung 0: V -+ V, O(v):= O. 2. Die identische Abbildung Id : V -+ V, Id(v):= V • 3. Die Projektion Pi : lRn -+ lR, Pi(X):= Xi (i-te Komponente von x). 4. Die Multiplikation mit einer festen m x n-Matrix A I : lRn -+ lRm,

I(x):= Ax .

5. Der Differentiationsoperator :x : '(f1(I) -+ '(f0(I), :x f(x) := f'(X). '(f0(I) bzw. '(f1(I) bezeichnet den Vektorraum aller auf dem Intervall I ~ lR stetigen bzw. stetig differenzierbaren Funktionen. 6. Das Integral f

1--*

lb

f(x)dx, f E '(f°(a, b).

Keine linearen Abbildungen sind: 7. Die Parallelverschiebung ta : V -+ V, ta(v) := v + a (mit festem Vektor a to). 8. f: lR2 -+ lR2, f(x, y) := (x 2, X + y) (quadratisch in der 1. Komponente).

Lineare Abbildungen in der Technik: 9. Die Werkstoffbeanspruchung eines elastischen Korpers, auf den von auBen Krafte wirken, wird in der linearen Elastostatik durch den Spannungstensor S beschrieben. Dieser bestimmt fUr jeden inneren Punkt Peine lineare Abbildung, die den Normalenrichtungen Abb. 146 - Dreiachsiger Spannungsn von (idealisierten) Schnittebenen E zustand 3 durch P den Spannungsvektor t E lR zuordnet, d.h. in kartesischen Koordinaten: t = Sn mit S = (;; ;; ixz

Fur Inl = 1 ist t:= lim

D.A-+O

"?A kM , wenn

L\

i yZ

~::)

.

Uz

kM die Kraft bezeichnet, die auf

ein Flachenstuck in Emit Schwerpunkt P und Flacheninhalt ~A wirkt (-+ Aufg. 7, §7). to.Fur einen Unearen elektrischen Vierpol (-+ Abb. 147) gilt zwischen Ein- und Ausgang die Beziehung

313

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte

, 0-7 u, [ R,

o

I

R3

R2

~

2 I

u2

I

0

Abb. 147 - Vierpol

Man verifiziert leicht, daB zu linearen Abbildungen f, g : V --+ W und a E IR auch die Sum me f + g : V --+ W, (f + g)(v) := fey) + g(v), und das a-fache af : V --+ W, (af)(v):= af(v), linear sind. Mit dieser Addition und skalaren Multiplikation ist die Menge aller linearen Abbildungen von V in W Hom(V, W) := {f; f: V --+ W linear}

selbst wieder ein IR-Vektorraum (Raum der Homomorphismen). Auch sieht man leicht ein, daB die Hintereinanderausfuhrung ("Komposition") zweier linearer Abbildungen insgesamt ebenfalls linear ist; d.h., fur zwei lineare Abbildungen f : V --+ W, g : U --+ V ist auch fog: U --+ W,

(f

0

g)(u) := f(g(u)) ,

linear.

1st V em endlichdimensionaler IR-Vektorraum und B = (VI, V2, ... , v n ) eine Basis von V, dann laBt sich jeder Vektor V E V eindeutig in der Form V = al VI + ... + an Vn mit ai E IR darstellen. Man nennt (2)

VB := (

al )

:

E

IR n

(falls

an

V

=

L aivJ n

,=1

den Koordinatenvektor von V E V bezuglich B. Die lineare Abbildung v f-+ VB (von V in IRn) heiBt Koordinatenabbildung bzgl. B. Mit ihr ubertragt man Probleme aus V zur rechnerischen Behandlung in den IR n und umgekehrt mit der (inversen) Abbildung (al, ... , an)T --+ al VI + ... + an Vn nach V zuruck.

6.2 V

= =

W IRn. Von nun an betrachten wir nur noch lineare Abbildungen des IR n in sich. Diese lassen sich in einfacher Weise durch Matrizen beschreiben. Es wurde bereits erwahnt, daB mit einer festen n x n-Matrix A die Abbildung x f-+ Ax linear ist. Jede lineare Abbildung des IR n sieht so aus! Satz 6.1. Darstellung einer linearen Abbildung in der natiirlichen Basis

Gegeben sei eine lineare Abbildung f : IR n --+ IRn. Mit der Matrix F = (f(el), ... , f(e n )) , deren Spalten aus den Bildem der natiirlichen Basisvektoren bestehen, gilt f(x) = Fx . Man nennt F die Abbildungsmatrix von f

beziiglich der natiirlichen Basis.

Beweis. Fur x =x I e1 + ... + Xnen folgt mit (1) und der Multiplikationsformel (8) aus §2 bereits die Behauptung: f(x) =Xl f(e1) + ... + xnf(en ) = Fx. 0

314

6. Lineare Algebra

Man beachte: Wegen A = (Ael, Ae2, ... , Aen ) ist die Matrix A E IR nxn die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung I : IRn ~ IRn , lex) = Ax, bzgl. der natiirlichen Basis. Die Darstellung in einer anderen Basis erfolgt in 6.4. Beispiel. Die Abbildung f: IR3 ~ IR3 , f((x, y, zl) = (x, y + 2z, sie besitzt beziiglich (el' e2, e3) die Abbildungsmatrix F

= (f(el), f(e2),

f(e3))

0) = (01 0 1 2 ,d.h. o

01

f beschreibt eine Scherung des IR3 , bei

f(x)

= (10

Z)T

ist linear,

0 0) 0 0 21 x. 1

der alle Vektoren mit z = 0 auf sich abgebildet werden. Allgemein bezeichnet man die lineare Abbildung I f : IR3

~ IR3 ,

f(x)

= x + (b . x)a

, I

als Scherung in Richtung a senkrecht zu b, wenn a, b zwei Vektoren des IR3 mit a· b = 0 bezeichnen. Die Abbildungsmatrix lautet E + a b T . 0

Abb. 148 - Scherung

Sind f, g : IR n ~ IRn lineare Abbildungen mit den Abbildungsmatrizen F = (f(el), ... , f(e n )) , G = (g(el), ... , g(en )) , dann gehort zur zusammengesetzten linearen Abbildung fog: IRn ~ IRn , (f 0 g)(x) = f(g(x)) (erst g, dann f anwenden), die Abildungsmatrix FG (das Matrizenprodukt). Denn nach Satz 6.1 gilt f(g(x)) = Fg(x) = F(Gx) = (FG)x. Ebenso verifiziert man sofort, daB zu f + g und af die Abbildungsmatrizen F + G und aF gehoren. Eine lineare Abbildung f: IRn ~ IRn heiBt invertierbar (oder umkehrbar), wenn es zu jedem Y E IRn genau ein x E IR n gibt mit f(x) = y (vgl. Kap. 1, §l). Man sieht sofort wegen f(x) = Fx, daB f genau dann invertierbar ist, wenn die Abbildungsmatrix F invertierbar ist. In diesem Fall hat die zu f inverse Abbildung f- I : IRn ~ IRn (f(x) wird unter f- I wieder auf x abgebildet) die Abbildungsmatrix F- I ; d.h. f-I(x) = F-Ix. Geometrische Eigenschaften der linearen Abbildung f : IRn ~ IRn spiegeln sich in algebraischen Eigenschaften der Abbildungsmatrix F, f(x) = Fx, wieder: Die Anderung des Volumens. Zu n Vektoren b l , ... , b n des IRn bezeichnet man die Menge aller Linearkombinationen Albl + .. ·+Anbn mit O.:s Ai.:s 1 (i = 1, ... ,n) als n-Spat (mit den Kanten bl, ... , b n ). Ein 2-Spat ist ein (evtl. ausgeartetes) Parallelogramm, ein 3-Spat mit linear unabhangigen Kanten steHt einen "gewohnlichen" Spat dar. In Ubereinstimmung mit den Verhaltnissen in IR2, IR3 (~ §5.1) nennt man V = I det(bl"'" bn)1 das Volumen des von bl, ... , b n aufgespannten n-Spats. Dnter einer linearen Abbildung f : IRn ~ IRn mit der Abbildungsmatrix F wird

315

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte

der von b l , ... , b n E lRn aufgespannte n-Spat abgebildet auf den n-Spat mit den Kanten f(bl), ... , f(b n). Wegen f(b i ) = Fbi und den Formeln (8, §2), (6, §5) ergibt sich fur das Volumen VI des Bildspats VI = I det (f(bJ), ... , f(bn))1 = I det (Fbi, ... , Fbn)1

= I det F(b], ... , bn)1 = I det F det (b], ... , bn)1 = I det FI . V .

Demnach ist I det FI der Volumenverzerrungsfaktor der linearen Abbildung f. Man nennt f volumentreu, wenn I det F I = 1 gilt. Die im obigen Beispiel betrachtete Scherung ist volumentreu (-+ §5, Aufg. 6).

6.3 Langen und Winkel im lRn; Orthogonalitat Definition. Seien x, y

I

E

lRn , x

= (X], ... , xn)T,

y

= (Yl, ... ,xnl.

Die Zahl

x·Y:=X TY=XIYl+X2Y2+···+ XnYn

heij3t Skalarprodukt (ader inneres Produkt) der Vektoren x, y, und Ixl :=

rx:x = JXf +xi + ... +x;

heij3t Betrag (oder Lange) des Vektars x. x ist normiert (oder Einheitsvektor), wenn Ixl = 1.

Be;.,.ele. x =

(D · CD F

=>

X'F 2.(-1)+0.3+ 1.5+4-(-3) = -9.

ffi ~ 4.582576, Iyl = ,,) 1 + 9 + 25 + 9 ~ 6.633250. Die der naturlichen Basis sind Einheitsvektoren; zu jedem Vektor x -:f. 0

Ixl = ,,)22 + 12 + 4 2 =

Vektoren .

]st

1 IXTx

ei

.

normIert.

D

Rechenregelu (wie in lR2 a) b)

c) (3)

d) e) f)

g) h)

X·

Y

,

=y. x

lR3 ): Fur aBe x, y, Z

E

lRn und aBe a

E

lR gilt:

,

a(x·y)=(ax)·y=x·(ay), X·

(y + z)

=x . y + x . Z

,

x . x > 0 fur aBe x -:f. 0 , Ixl = 0

-<==::}

x=0 ,

laxl = lallxl , Ix· yl :s Ixllyl (CAUCHY-SCHWARzsche Ungleichung) , Ix + yl :s Ixl + Iyl (Dreiecksungleichung).

Beweis g): Die Ungleichung ist erfuBt fur y = o. Sei also y -:f. o. Fur aBe A E lR folgt aus a)-d) O:s (x - AY) . (x - AY) = x . x - 2A(X . y) + A2y . Y .

316

6. Lineare Algebra

Die Wahl A = x . y ergibt 0 lyl2

:s (x· x)(y . y) -

(x· y)2 , das ist die Behauptung.

h): Mit g) folgt

Ix + yl2 = (x + y). (x + y) = Ixl2 + 2x· y + lyl2

:s Ixl2 + 21xllyl + lyl2 =(Ixl + lyl)2

o

.

Aufgrund der Ungleichung (3g) gilt fur x =J 0, y =J 0 stets -1 :s I:I'I~I :s 1, deshalb gibt es genau einen Winkel cp mit 0 :s cp :s

JT

x·y

und cos cp = Ixllyl .

1: (x, y) := cp = arccos I:I'I~I (O:s cp :s JT)

Definition. Fur x, y =J 0 nennt man

den Winkel zwischen x und y. Ferner nennt man x, y E lR,n orthogonal, wenn x . y = 0 gilt. Der Nullvektor ist orthogonal zu allen Vektoren des lR,n. Definition a) Eine lineare Abbildung f : lR,n -+ lR,n heij3t orthogonal, wenn sie das Skalarprodukt invariant laj3t; d.h. wenn fur aUe x, y E lR,n gilt:

f(x) . fey) = x . y . b) Eine Matrix A

E lR,nxn

heij3t orthogonal, wenn gilt: AT A

=E

(also AT

= A -)

.

c) Eine Basis B = (b), ... , b n ) heij3t orthogonal, wenn die Vektoren b i paarweise orthogonal sind; d.h., wenn fur i =J j gilt

bi . b j = 0 .

Die Basis B heij3t orthonormal, wenn sie orthogonal ist und alle Basisvektoren normiert sind; d.h.,

bi . b j

=0

fur i =J j

und Ib i I = 1 .

Beispiele

1. Die naturliche Basis (e), ... , en) ist eine Orthonormalbasis des lR,n. 2. Sind a, b E lR,3 orthonormal, a· b = 0, lal = Ibl = 1 , dann ist (a, b, c) mit 0 c := a x b stets eine orthonormales Rechtssystem des lR,3 (-+ Kap. 1, §4). Den Zusammenhang zwischen diesen drei Orthogonalitatsbegriffen klart Satz 6.2. Fur eine Matrix A E lR,nxn sind aquivalent: a) A ist orthogonal. b) (Ax)· (Ay) = x . y fur aUe x, y E lR,n. c) Die Spalten von A bilden eine orthonormale Basis des lR,n. Insbesondere ist eine lineare Abbildung f : lR,n -+ lR,n genau dann orthogonal, wenn die Abbildungsmatrix F = (f(e), ... ,f(en » orthogonal ist.

317

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte

Beweis. a)

=> b): Aus

=E

AT A

folgt

(Ax)· (Ay) = (Axl(Ay) = x T AT Ay = x T Ey = x T Y =

X·

Y.

b) => c): Fur x = ei, Y = ej und ai := Aei (i-te Spalte von A) ergibt sich ai . aJ

T

= ei e j =

{I, falls i = j 0 , falls i i j

c) => a): Aus ai' ai = aT ai = 1 und ai . aj = aT aj = 0 (falls i i j ) folgt mit der 0 Produktformel (4, §2) fur die Matrix A die Gleichung AT A = E. Bemerkungen 1. Fur eine orthogonale Matrix A ist die Inverse sehr einfach zu berechnen. Es gilt (definitionsgemaB!) A -I = AT . 2. AT A = E {==} AA T = E (-+ (10), §2) {==} Die Zeilen von A sind

orthogonal; wobei das Skalarprodukt (und jeder damit verbundene Begriff) fUr Zeilenvektoren x, y E lRn durch X· Y := xyT definiert ist. 3. A E lRnxn orthogonal => det A = ±1 . Denn aus AT A = E folgt 1 = det E = det AT det A = (det A)2. 4. Jede orthogonale lineare Abbildung f : lRn -+ lRn ist volumentreu, da I det FI = 1 (F Abbildungsmatrix von f) (-+ Bern 3.), liingentreu , da If(x)1 = J f(x) . f(x) = -JX:X" = lxi, . f(x) . fey) x .y wmkeltreu , da cos 1:(f(x), fey)) = If(x)llf(y)1 = Ixllyl = cos 1:(x, y).

6.4 Speziell: Spiegelungen und Drehungen sind neben den Parallelverschiebungen die wichtigsten langentreuen Abbildungen. Sie sind nur dann linear, wenn sie den Ursprung auf sich abbilden.

o Spiegelungen im Raum.

Dazu gehort die Punktspiegelung s : x -+ -x mit der Matrix S = - E . Interessanter sind jedoch die Spiegelungen an Ebenen durch den Ursprung: 1st a = (aI, a2, a3)T ein Einheitsvektor, dann lautet die Spiegelung an der Ebene a· x = 0 : Is: lR3 -+ lR3

,

sex)

=x -

2(x . a)a.

I

Man bestatigt leicht s(x)· s(y) =x· y und s(s(x)) = x, daher ist die Abbildungsmatrix S wegen S-I = S = ST stets eine symmetrische und orthogonale Matrix:

Abb. 149 - Spiegelung im 1R3

1 - 2a 2

S

= (s(ed, s(e2), s(e3)) = ( -2ala~ - 2ala3

Fur diese Spiegelungen im lR 3 gilt det S = -1 (-+ §5, Aufg. 6).

318

6. Lineare Algebra

® Drehungen der Ebene d : m? -+

m? ,

d

urn den Nullpunkt lauten in kartesischen Koordinaten

(x)y = (xx C?S cp - y sin cp) Slllcp + ycoscp

, Drehwinkel cp ,

(-+ Kap. 1, §3.4). Die Abbildung d ist linear mit der orthogonalen Abbildungsmatrix (der "Drehmatrix") D

Wegen (:

~~: :

: :

= (C?S cp Slllcp

- sin cp), coscp

;~~ : ) =cos cp (~ )

(4)

d(x)

det D

+ sin cp ( -

~)

= (coscp)x+ (sincp)x*

wobei x* aus x durch eine positive Drehung urn

=1

2f

hat man

, entsteht.

o Drehungen im Raum

erfolgen stets urn eine Achse, diese sog. Drehachse wird durch die Wahl eines Richtungsvektors a =j. 0 (auf der Achse) orientiert. a weist in die positive Achsenrichtung. Blickt man in diese Richtung, dann erfolgt eine positive Drehung (Drehwinkel cp :::: 0) im Uhrzeigersinn (-+ Abb. 29). Die Koordinatenachsen eines kartesischen Koordinatensystems sind stets durch die zugehorigen Basisvektoren orientiert. a) Die Drehung urn die x-Achse besitzt wegen (4) die Abbildungsgleichung dl(X)

= x el + (y cosa -

z sina)e2 + (y sin a + z cosa)e3

und die Abbildungsmatrix

o

cosa sina

-2na) . cosa

Zur Drehung urn die y- bzw. z-Achse gehoren die Drehmatrizen D2(f3) = (

COS f3 0 sin f3 ) 0 1 0 , - sin f3 0 cos f3

Man kann zeigen, daB sich jede Drehung urn eine beliebige Achse durch den Nullpunkt als Hintereinanderausfuhrung von Drehungen urn die Koordinatenachsen darstellen laBt, d.h. fur ihre Matrix D lassen sich a, f3, y bestimmen, so daB D = D3(Y )D2(f3)D1 (a) (erst urn die x-Achse, dann urn die y-Achse und schlieBlich urn die z-Achse drehen). a, f3, y heiBen die Cardan-Winkel der Drehung (benannt nach CARDANUS, 1501-1576). Die Euler-Winkel der Drehung werden in 6.6 behandelt. b) 1st von einer Drehung d : m? -+ m? der Richtungsvektor a =j. 0 der Drehachse (durch den Nullpunkt) und der Drehwinkel cp :::: 0 bekannt, dann wird d (in kartesischen Koordinaten) dargestellt durch

319

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte

(5)

d(x)

Beweis. Wir zerlegen mit der Komponente Xa riehtung und r = x - Xa. Xa bleibt bei der Drehung naeh (4) iiber in d(r)

x· a sin cp eoscp) lal 2 a + Tal a x x .

= (eoscp)x + (l -

x = Xa + r in AehsenDer Vektor fest, r geht

x

= (eos cp)r + (sin cp )r*

mit dem aus r dureh eine (positive) Drehung urn Zf gewonnenen Vektor r*

=

I!I

a x r. Mit d(x)

r =x - (a·x)a

= Xa + d(r)

folgt (5) aus Formel (6), Kap.l, §5.

axx=r*

Abb. 150 - Drehung im lR3 ,

D

lal

= 1

Die Abbildungsmatrix (die Drehmatrix) D beziiglieh der gegebenen kartesisehen Basis lautet (mit a = (aI, a2, a3)T und lal = 1 ): coscp+(l-coscp)ai, (l-coscp)ala2-a3sincp, (l-coscp)a1a3+a2sincp) ( (1 - cos cp)ala2 + a3 sin cp, cos cp + (1 - cos cp)a;, (1 - cos cp)a2a3 - al sin cp (1 - cos cp)ala3 - a2 sin cp , (1 - cos cp)a2a3 + al sin cp, cos cp + (1 - cos cp)a~

Da die aus el, e2, e3 dureh Drehung entstandenen Vektoren e~ = d(el), e; = d(e2), e~ = d(e3) ebenfalls eine kartesisehe Basis bilden, gilt sieher ,,==>" in der Charakterisierung

I

D ist Drehmatrix

DT D

{::=:::::}

=E

und det D

=1 . I

Die Aussage ,,¢=", daB jede orthogonale 3 x 3-Matrix D mit det D Drehung besehreibt, wird erst in 6.8 gezeigt werden.

=1

eine

Folgerung. 1st eine Drehmatrix D = (dij) ;:f E vorgegeben, so kann man dureh Vergleieh mit der obigen expliziten Matrixdarstellung den Drehwinkel und die Drehaehsenriehtung zu (5) bestimmen: (6)

eoscp=~(SpurD-l)

mit SpurD:=dll+d22+d33.

Damit ist eindeutig der Drehwinkel von D mit 0.::: cp .::: Als dazugeharende Drehaehsenriehtung nimmt man

JT

bestimmt.

eine Lasung a mit lal = 1 von (D - E)a = 0, falls cp = (7)

a=

I!I

d mit d:=

(~~~ =~~~), d21 - d12

falls cp ;:f

JT •

JT ,

320

6. Lineare Algebra

Beispiel. Nach einer Drehung urn die x-Achse mit a =

z-Achse mit y = dungsmatrix

~

wird noch urn die

% gedreht. Zur resultierenden Abbildung gehort die Abbil-

So wird beispielsweise der Punkt P = (1, 1, 1) - genauer: der Ortsvektor

(~) -

75P =

abgebildet auf pi = (x', y', Zl) mit

( ~;) z'

=D

(i) = (i~~ji:~)) iej3 + 1)

1

Mit den Drehmatrizen D3, DI ist auch D orthogonal und es gilt det D = 1 . Nach dem noch zu beweisenden Satz (-+ 6.8) stellt deshalb D eine Drehung dar, deren Drehwinkel

also


= 53.64743528° ,

sin

Aus (7) liest man die Achsenrichtung ab:

o

a = (0.529904075, 0.219493454, 0.819160725f .

6.5 Das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren (E. SCHMIDT, 18761959) ermoglicht den Ubergang von einer beliebigen Basis zu einer giinstigen Orthonormalbasis. Wir gehen aus von linear unabhangigen Vektoren bl, ... , b k E lR,n (k :s n) und berechnen daraus der Reihe nach eine Orthonormalbasis Cl, ... , Ck der linearen Hiille Lin (b l , ... , bk) . 1 Man setzt CI := Ibll b l und berechnet die zu Cl orthogonale Komponente c; = b2 - (b2 . CI)CI von b2. Normie1 IcI · HT' • d rung ergl'b t C2 := Ic; 2 vvelter Wlr

b2

nun der zu CI und C2 orthogonale Vektor c~ = b3 - (b3 . C2)C2 - (b3 . cdcI berechnet und normiert: C3:=

IC~31 c~ .

Abb. 151 - Orthonormierung in lR.2

1

Etc.: c~ = b4 - (b4' C3)C3 - (b4' C2)C2 - (b4' CI)CI, C4 := Ic~lc4' ... ' bis

c~ = bk -

k-l

L(b k • Ci)Ci, Ck = i=1

I;~I<'

321

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte

In jedem Schritt wird ein zu den vorher berechneten Ci orthogonaler Vektor yom Betrag 1 bestimmt und man sieht leicht, daB CI, ... , Ck E Lin (bl, ... , b k ) linear unabhangig sind. Bemerkungen. 1. Ein Beispiel und eine Anwendung dieses Verfahrens behandeln wir in 7.2. 2. Fur eine invertierbare n x n-Matrix B = (b l , ... , bn ) ergibt das Orthonormierungsverfahren (fur bl, ... , b n ) die Zerlegung Q = BR, bzw. B = QR- I , mit der orthogonalen Matrix Q = (CI, ... , cn) und einer oberen Dreiecksmatrix R. Diese sog. QR-Zerlegung wird in vielen numerischen Verfahren bevorzugt, da die Transformation x r-+ Qx langentreu ist. 6.6 Basiswechsel, Koordinatentransformation. Es ist zu unterscheiden zwischen den Koordinaten eines Vektors bezuglich einer Basis und den Koordinaten eines Punktes in einem affinen Koordinatensystem.

o Vektorkoordinaten. Sei B = (b

l , ... , b n ) eine (beliebige) Basis des lRn, die wir gleichzeitig als invertierbare n xn-Matrix ansehen. Die eindeutig bestimmten Koeffizienten x; E lR der Zerlegung x = xi bl + ... + x~ b n heiBen Koordinaten des Vektors x E lR n , und man nennt

XB

=X=

CJ

falls x =x;b, +

+x;b, ,

den Koordinatenvektor von x E lRn bezuglich B. Die Koordinatenabbildung x r-+ XB ist linear (-+ 6.1). Aus der nutzlichen Multiplikationsformel (8, § 2) ergibt sich sofort

x;b, +

+x;b, = B

C)

= Bxs

'

Damit gilt fur die Koordinatentransformation beim Basiswechsel von (el, ... , en) nach B (8)

Substitutionsformel: Transformationsformel:

x XB

= BXB, = B-Ix

=(bl, ... , b n):

Beispiel. Die Euler- Winkel 1/1, e, cp einer Drehung des lR3 sind (-+ Abb. 152) durch drei Drehungen yom Typ DI und D3 erklart:

CD Drehung urn die x3-Achse mit Winkel 1/1, CD Drehung urn das Bild der xI-Achse mit Winkel e,

0) Drehung urn das Bild der x3-Achse mit Winkel cp.

322

6. Lineare Algebra

1m Gegensatz zu den Cardan-Winkeln (~ 6.4, Beisp. 3) ist diese Bestimmung nicht auf ein ortsfestes, sondern im 2. und 3. Schritt auf ein gedrehtes Koordinatensystem bezogen. In diesem FaIle stellt man einen festen Vektor x durch seine Koordinatenvektoren x', x", x"' in den 3 gedrehten Basen dar und erhiilt mit (8)

Abb. 152 - Euler-Winkel

0) x" = D3(CP)X"' . Setzt man 0) in

CD und CD in CD ein, so folgt x = D3(1jJ)DI(8)D3(CP)X"' .

Dies ist die Substitutionsformel (8) fiir die durch d gedrehte Basis. In der Basis el, e2, e3 hat daher d die Darstellung x r+ D3(1jJ)DI(1jJ)D3(CP)X mit der Abbildungsmatrix

1/1 cos cp - sin 1/1 cos e sin cp - cos 1/1 sin cp - sin 1/1 cos e cos cp sin 1/1 sin e ) sin 1/1 cos cp + cos 1/1 cos e sin cp - sin 1/1 sin cp + cos 1/1 cos (j cos cp - cos 1/1 sin e sin e sin cp sin e cos cp cos e

COS (

. D

®

Punktkoordinaten. Begriffe der anschaulichen Geometrie des IR3 werden in den IRn iibernommen. Die Zeilen-n-Tupel X = (Xl, ... , Xn), Xi E IR, nennt man Punkte des n-dimensionalen reellen Punktraumes IRn. Zu jedem Punkt X

~ (x), ...• x")

P

= (PI, ... ,Pn)

geho,t de, Vckto, x

~

OJ

E

lR" - und umgckchrt.

1st

ein fester Punkt, dann heiSt

fiX

:=x-p=

(

Xl X2 -

PI)

:

P2

Xn - Pn Ortsvektor des Punktes X in bezug auf P. Demnach ist x = des Punktes X in bezug auf den Nullpunkt 0 = (0, ... , 0) .

OX

der Ortsvektor

Definition. Ein affines Koordinatensystem K = (P; b l , ... ,bn ) des Punktraumes IRn besteht aus einem Jesten Bezugspunkt P = (PI, ... , Pn) und einer Basis B = (bl' ... ,bn ) des IRn. Die Koordinaten des Ortsvektors fiX beziiglich der

x;

Basis B,

fiX =x;b l

+ ... +x~bn ,

heifJen Koordinaten des Punktes X im Koordinatensystem K; man schreibt X K = (x;, ... ,x~).

323

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte

e1

e2 Abb. 153 - Affine Koordinaten

Die Definitionen und (8) ergeben

(9)

(

;:) =(x-p)s=B-I

(~:~;:)

xn

Xn

Pn

Wir fassen dies fur den wichtigen Spezialfall n = 3 noch einmal zusammen: Satz 6.3. Koordinatenwechsel im Raum Ubergang vom kartesischen "Inertialsystem" 1= (O;eI, e2, e3) zum affinen (i.a. schiefwinkligen) Koordinatensystem K = (P; b l , b2, b3).

1st P = (PI, P2, P3) E IR3, (bI, b2, b3) = B E IR 3x3 die Darstellung bezuglich I und sind (Xl, X2, X3) und (x;, x~, x~) die 1- bzw. K -Koordinaten

dcs Punktcs X, so ghit x := Substitutionsformel:

x

Transformationsformel: x'

G)' x'{D

= Bx' + P , = B- 1(x - p)

und P=

G:)

.

Bemerkungen. 1. Genugt eine Flache im IR3 in I -Koordinaten der Gleichung Q(x) = 0, so hat sie mit der Substitutionsformel im K -System die Darstellung Q(Bx' + p) = 0 (-+ 7.3, 7.4). 2. Bei der Parallelverschiebung des initialen Achsenkreuzes in den neuen Ursprung P erhalt X die neuen Koordinaten =Xi - Pi (i = 1,2, 3) .

x;

3. Bei der Drehung des Achsenkreuzes mit der Drehmatrix D erhalt X die neuen Koordinaten

= (Del, De2, De3)

Aufgrund dieser Transformationsformel wird von manchen Autoren die Inverse D- I = DT als Drehmatrix dieser Koordinatentransformation bezeichnet.

324 Beispiel.

6. Lineare Algebra

entstehe aus

(e~,e;,e~)

(el,e2,e3)

durch die Drehung

D

=

D3(~)Dl(~) (-+ 6.4). Wird das gedrehte Koordinatensystem noch in den Punkt P = (1,2,3) verschoben, dann hat der Punkt X = (x, y, z) im neuen Koordinatensystem (P; e;, e;, e;) die Koordinaten

1) 1(

(X y' = DT Y - 2 ="2 ( XI)

~

-~y'6

~~ - ~~

z- 3

z'

~

~y'6

0) (X - 1) 1

v'3

y- 2 z- 3

,

d.h. X'

= ~(~(x -

1) + hey

y' =

1.( -1.J6(x 2 2

z' =

~(~h(x -

-

2»

1) + 1.J6(y - 2) + (z - 3» 2

1) -

~h(y -

2) + .v3(z - 3» .

o

o Abbildungsmatrix.

Zu jeder n x n-Matrix A gehort die lineare Abbildung f : R n -+ Rn, f(x) = Ax, dabei ist A die Abbildungsmatrix von f beziiglich der natiirlichen Basis (-+ Satz 6.1). Der Wechsel zu einer anderen Basis bringt zusatzIiche Erkenntnisse:

Definition. Seien f : R n -+ R n eine lineare Abbildung und B eine Basis des Rn. Die Matrix

= (bl, ... , b n)

in deren Spalten die Koordinatenvektoren (bzgl. B) der Bilder f(b i ) stehen, heij3t Abbildungsmatrix von f beziiglich B.

Satz 6.4. Die Anderung der Abbildungsmatrix beim Basiswechsel Es seien A eine n x n-Matrix und B = (b l , ... , b n) eine Basis des Rn. Die Abbildungsgleichung y = Ax lautet in Koordinaten beziiglich B YB = (AX)B = CXB

(10)

mit der Abbildungsmatrix C = «AbdB, ... , (Abn)B). Ferner gilt C = B- I AB .

(11) n

Beweis. Aus x

= I:>; bi

n

foIgt (Axh

= Lx;(Abih = «AbdB, ... , (Abnh)XB.

i=1 i=1 Daher ist in (10) C = «AbdB, ... , (Abn)B) zu setzen. Mit Formel (8) ergibt 0 sich hieraus C = (B- 1Ab l , ... , B- 1Abn) = B- 1A(b l , ... , b n) = B- 1AB .

Beispiel 1. Sei (-+ 6.4, 0) S E R3 x3 die Abbildungsmatrix der Spiegelung sex) = x - 2(x . a)a = Sx an der zu a E R 3 , lal = 1, orthogonalen Ebene.

§6. Lineare Abbi1dungen und Eigenwerte

325

Wir gehen iiber zu einer anderen kartesischen Basis B = (a, b, a x b) mit einem Einheitsvektor b orthogonal zu a. Aus sea) = -a, s(b) = b, sea x b) = a x b liest man sofort die Abbildungsmatrix 5' beziiglich B ab:

5'

=(

°° ° .

-1

0) 1 001

In Koordinaten beziiglich B wird die Spiegelung einfach durch y' = SiX' beschrieben. Ferner gilt 5' = B- 1 SB . D Beispiel 2. Wir betrachten die in 6.4, Beispiel 3 behandelte Drehung d(x) = Dx (mit der 3 x 3-Drehmatrix D) beziiglich einer kartesischen Basis B = (a, b, c) mit dem Einheitsvektor a in Richtung der Drehachse. Mit (4) gilt

d(a)=a,

d(b) = (cos
Hieraus liest man die Abbildungsmatrix beziiglich B ab: D'

= (~

° c?~ SIll

s~n

Es gilt (DX)B = D'XB und D' = B- 1DB. In §7 und in den Aufgaben sind weitere Beispiele angegeben.

D

Definition. Zwei n x n-Matrizen A, C heij3en ahnlich, wenn es eine invertierbare n x n-Matrix B gibt, so daj3 gilt C = B- 1 AB .

In Satz 6.4 ist die geometrische Bedeutung der Ahnlichkeit beschrieben. Am Beispiel der Spiegelung und der Drehung wurde deutlich, daB eine verhiiltnismiiBig komplizierte Abbildung mit Matrix A beziiglich einer "passenden" Basis eine Abbildungsmatrix C = B- 1 AB von recht einfacher Gestalt hat. Welche Eigenschaften der neuen Basis bewirken diese Vereinfachung? Sei A E lRnxn , B = (bl' ... ,bn ) eine Basis des lRn mit Abl = Abl (A E lR). Dann ist (Abl)B = Ael die erste Spalte der Abbildungsmatrix C , iiber die anderen Spalten ist noch nichts Niiheres bekannt. Immerhin hat man - gemiiB Satz 6.4 - schon folgende "Vereinfachung":

(12)

(an den *-Stellen stehen die Koordinaten von Ab2, ... , Abn beziiglich B). Falls auch Ab2 = ftb2 gilt (ft E lR), dann steht auf der rechten Seite von (12) in der zweiten Spalte der Vektor fte2 = (0, ft, 0, ... , ol . Die Fragestellung

326

6. Lineare Algebra

nach solchen Basisvektoren nennt man das algebraische Eigenwertproblem. Es tritt beispielsweise in der Elastomechanik auf bei der Bestimmung der Hauptspannungsrichtungen.

6.7 Eigenwerte, Eigenvektoren. Da die Behandlung des algebraischen Eigenwertproblems eng verbunden ist mit der Nullstellenbestimmung von Polynomen, lassen wir von jetzt an auch komplexe Zahlen als Skalare und Matrizen (also auch Zeilen- und Spaltenvektoren) mit komplexen Koeffizienten zu. Die bisherigen Ausfiihrungen iiber Vektoren und Matrizen bleiben unverandert giiltig, wenn lR, durch ~ ersetzt wird. Definition. Eine Zahl A E ~ heiJ3t Eigenwert einer Matrix A wenigstens einen Spaltenvektor b E ~n, b =I 0, gibt mit Ab

= Ab

E ~nxn,

wenn es

.

Jeder Vektor b =I 0, der diese Gleichung eifiillt, heiJ3t Eigenvektor von A zum Eigenwert A.

Beispiele.

1. Die Matrix A

Eigenvektor b

= (- ~

o

=~ ~) 1 0

hat den Eigenwert A = -2 mit zugehorigem

= ( _~ ) ; denn es gilt

Ab

= - 2b

und b =I 0 .

2. Jede Drehmatrix D E lR,3x3 hat den Eigenwert 1, jeder Vektor =I 0 parallel zur Drehachse ist Eigenvektor. D Zur Berechnung der Eigenwerte einer n x n-Matrix betrachtet man (mit einer Variablen A) das charakteristische Polynom von A

I

XA(A):= det(A - AE) .

Diese Determinante ist explizit zu berechnen und das Ergebnis nach fallen den A-Potenzen zu ordnen. Man erhalt (13)

XA(A)

= (-At + (Spur A)( _A)n-l + ... + det A

wobei Spur A , die Spur von A, definiert ist durch Spur A : = a II + a22 + ... + ann (= Summe der Diagonalelemente von A) .

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte

327

Satz 6.5. Es ist A E ~ genau dann ein Eigenwert der n x n-Matrix A, wenn A eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms XA, d.h., wenn det (A - AE) = 0 ist. Beweis. Es ist A E ~ genau dann Eigenwert, wenn das homogene lineare Gleiehungssystem (A - AE)x = 0 eine von Null versehiedene Losung besitzt. Das ist naeh Satz 1.1 genau dann der Fall, wenn Rang(A - AE) < n, also wenn det (A - AE) = 0 gilt (~ Satz 5.3). (Diese Ergebnisse gelten aueh iiber ~.) D Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren erfolgt daher in 2 Schritten:

Man bestimmt die (versehiedenen) N ullstellen AI, ... , Ar der "charakteristischen Gleiehung" XA (A) = det (A - AE) = 0, was gleichbedeutend ist mit der Erstellung der Produktdarstellung des charakteristischen Polynoms 1. Schritt.

(14) (~ Kap. 2, 2.2, der Leitkoeffizient von XA ist (-1 t). AI, ... ,Ar sind die Eigenwerte von A. Die Vie1fachheit k i der Nullstelle Ai heiBt algebraische Vielfachheit des Eigenwertes Ai. Demnach besitzt jede Matrix

n nicht notwendig verschiedene Eigenwerte; jeder Eigenwert kommt dabei so oft vor, wie seine algebraische Vielfachheit angibt. 2. Schritt. Zu jedem Eigenwert Ai (1 ::s i ::s r) berechnet man den Losungsraum des homogenen 1inearen G1eichungssystems (A - Ai E)x = O. Jede Losung ¥ 0 ist ein Eigenvektor zu Ai. V(Ai):= {b E ~n

;

(A - AiE)b = O} = Kem(A - AiE)

heiBt Eigenraum zum Eigenwert Ai (1::s i ::s r). Man nennt Dim V(Ai) (die Dimension des Eigenraumes) die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes Ai . Algebraische und geometrische Vielfachheit stimmen im allgemeinen nicht iiberein (~ Beispiel Ie und Aufgabe 14). Bemerkung. Wird die reehte Seite von (14) ausmultipliziert und das Ergebnis mit (13) verglichen, erhalt man

Spur A = klAI + ... + krAr , det A

(15)

= A~l A~2 ... A~'

,

mit den verschiedenen Eigenwerten Ai der algebraisehen Vielfaehheit ki (1 ::s i ::s r) . Formel (15) ist niitzlich fiir Rechenkontrollen; sie erlaubt auBerdem eine leichte Bereehnung eines Eigenwerts, wenn alle anderen bekannt sind. Beispiel 1.

Gegeben A

= (~ :)

E

IR2x2 .

328

6. Lineare Algebra

1. Sehritt. XA(A)

= det (a ~ A

d

~ A) = A2 -

(a +d)A+(ad - be)

= A2 - (Spur A)A + det A = (A - AI)(A - A2) , wobei AI, A2 mit der Losungsformel fur XA(A)

=0

bestimmt wird.

2. Sehritt. Mit jedem Eigenwert Ai (i = 1,2) wird ( a

~ Ai

d

~ AJ (~ ) = (~)

gelost und jeweils eine Basis des Losungsraumes angegeben. 1m Falle n = 2 gibt es somit vier verschiedene Hille:

oG)

CD

@

AI,A2 EIR ,AI7"" A2, Al = A2 E IR, geometrische Vielfachheit 2, Al A2 E IR, geometrische Vielfachheit 1, A2 = II E {;, Al 1. IR.

=

Konkrete Zahlenbeispiele zu jedem dieser Hille:

o

A

= (~

i)

hat die Eigenwerte Al

= -1,

eindimensional mit den Basisvektoren bl

A2

= 3,

= ( - ~ ),

b2

V(Ad,

V(A2) sind

= (~ ) .

G)

A

= (~ ~)

hat die Eigenwerte Al

= A2 = 3

mit Eigenraum V(AI)

CD

A

= (~ ~)

hat die Eigenwerte Al

= A2 = 2

(algebraische Vielfachheit 2);

der Eigenraum V(Ad

= {a (

6) ;

= IR2 .

a E IR} ist eindimensional (geometrische

Vielfachheit 1).

@

- sin rp) hat die beiden konjugiert komplexen Eigenwerte AI = cosrp cos rp + i sin rp, A2 = cos rp - i sin rp , also keinen reellen Eigenwert (falls rp 7"" 0, ±n, ±2n, ... ) und daher auch keinen reellen Eigenvektor. Die komplexen Eigenraume sind A

= (C?s rp sm rp

V(AI)

= {a ( _~ )

; a E {; }, V(A2)

= {a (

Beispiel 2. Jede obere (analog untere) Dreiecksmatrix

A= (

? ~2*

*) : : '. '. * o ... 0 an

al

."

i) ;

a E {;} .

D

329

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte

hat die Eigenwerte a], ... , an ; denn es gilt XA()..) = det (A - )"E) = (a] - )..)(a2 -)..) ... (an -)..) ( -7

Satz 5.1).

Die zugeharigen Eigenraume sind die Lasungsraume von

(A - ai E)x = 0, sie hangen ganz wesentlich von den *-Stellen in A abo 1st speziell A eine Diagonalmatrix (also alle *-Stellen gleich Null), dann ist ei ein Eigenvektor zum Eigenwert ai (1 :S i :S n) . D

Beispiel 3. Koppelschwingungen Zwei Linearschwinger mit Massen m], m2 und gleicher Federkonstanten c] sind iiber eine dritte Feder der Konstante C2 gekoppelt. Das Gesetz von HOOKE liefert fiir die Auslenkungen S](t) , S2(t) die Bewegungsgleichungen

-5_ l'

Abb. 154 - Linearschwinger

mit

C2 ml

+ c2

ci

)

m2. (m],m2,C] > 0, C2::: 0).

Der Ansatz

c~~~n = (coswt) (~~) = (coswt)v

fiihrt wegen cos wt

=1=

° auf das

Eigenwertproblem

Av = w2 v .

Schreibt man abkiirzend

A

= (

w~ -k~) 2

-k2

so lauten die Eigenwerte )..1,2

2

w2

'

J

= ~(wi + w~) ± ~(wi - w~)2 + kik~

wi ::: ki

.

Die Eigenwerte sind stets reell und wegen und w~ ::: k~ positiv, d.h. man hat zwei sogenannte Eigenschwingungen mit den Frequenzen W],2 = Jede Lasung der Bewegungsgleichungen kann als Superposition dieser beiden Eigenschwingungen geschrieben werden. Besonders einfach ist der Fall m 1 =m2 =m mit symmetrischem A: WI

=fj

W2 =

J

CI

v]

:2c 2 ,

V2

kz.

C)

(gleichphasige Schwingung)

= (_~)

(gegenphasige Schwingung)

=

D

330

6. Lineare Algebra

1m folgenden Satz steIlen wir niitzliche Beobachtungen zusammen.

Satz 6.6. Sei A E cnxn . a) Besitzt A den Eigenvektor b zum Eigenwert A, dann haben aA, Am, A + fJE, p(A):= amAm + ... + alA + aoE ebenfalls den Eigenvektor b, jedoch jeweils zum Eigenwert aA, Am, A+fJ, p(A)=amAm+ .. ·+aIA+ao. b) A und die Transponierte AT haben dasselbe charakteristische Polynom, deshalb besitzen sie dieselben Eigenwerte (jedoch i.a. mit verschiedenen Eigenriiumen). c) Die iihnlichen Matrizen A und B- 1 AB haben dasselbe charakteristische Polynom und deshalb dieselben Eigenwerte; b ist genau dann Eigenvektor von A, wenn B-Ib Eigenvektor von B- 1 AB ist. d) Es ist A genau dann invertierbar, wenn alle Eigenwerte =I 0 sind. 1st A ein Eigenwert von A mit Eigenvektor b, dann ist A-I Eigenwert von A -I mit demselben Eigenvektor b.

Beweis. a): Aus Ab = Ab folgt p(A)b = p(A)b . b): det (AT - AE) = det (A - AE)T = det (A - AE) (--+ Satz 5.3b). c): det(B-1AB - AE) = det B-I(A - AE)B = det B-Idet(A - AE)det B =det (A - AE) (--+ (8), §5). d): det A = A~l ... A~' =I 0 (--+ 15) {:=:?- aIle Ai =I O. Ferner: Ab = Ab

=}

fb = A-lb.

0

Bemerkung. Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms XA(A) = cn ( -A)n+ Cn _ 1 (-At-I + .. '+CI (-A)+CO sind Invarianten der n xn-Matrix A, bzw. Invarianten der zugehorigen linearen Abbildung x f-+ Ax, da sie sich gemaB Satz 6.4 und Satz 6.6, Teil c, bei einem Basiswechsel nicht andern. Beispiel.

= (aij) E IR3x3 , XA(A) = _A 3 + C2A2 - CIA + Co = (AI - A)(A2 - A)(A3 C2 = Spur A = all + a22 + a33 = AI + A2 + A3 , CI = det Iall a121 + det Iall a131 + det Ia22 a231 = AI A2 + AI A3 + A2A3 , a21 a22 a31 a33 a32 a33 A

A) .

Co = det A = AIA2A3 . co, Cl, C2 sind Invarianten der linearen Abbildung f(x) = Ax, x E IR3. Das bedeutet spezieIl fiir den Spannungstensor (--+ 6.1, Beisp. 9), der in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Matrix S

=

(IX (

Txy Txz

331

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte

dargestellt wird, daB in jedem anderen Koordinatensystem (mit gleichem Ursprung) die den GraBen

Co = det S

entsprechenden Werte gleich sind.

D

Zur Berechnung eines maximalen Systems linear unabhangiger Eigenvektoren der Matrix A genugt es, jeweils eine Basis der Eigenraume zu den einzelnen Eigenwerten zu bestimmen. Denn es gilt Satz 6.7. Eigenvektoren bl, ... , b r zu paarweise verschiedenen Eigenwerten AI, ... , Ar der Matrix A sind linear unabhiingig. Beweis. Aus al bl + ... + arb r =0 folgt durch Multiplikation mit A (von links) Alai bl + ... + Ararbr =O. Aus beiden Gleichungen ergibt sich (AI - A2)a2b2 + ... + (AI - Ar)arbr = 0 .

Ebenso (Multiplikation mit A und Vergleich) folgt hieraus (AI - A3)(A2 - A3)a3b3 + ... + (AI - Ar)(A2 - Ar)arbr

=0,

etc. Man gelangt schlieBlich zu (AI - Ar)(A2 - Ar )· .. (Ar-l - Ar )arbr = 0 folgt. Dies gibt ruckwarts eingesetzt ar-l = ... = al =0 .

ar

= 0, woraus D

Besonders gunstige Verhaltnisse liegen vor, wenn es im en eine Basis gibt, die vollstandig aus Eigenvektoren der Matrix A E enxn besteht. Satz 6.8. Besitzt eine Matrix A

E

e nxn

n linear unabhiingige Eigenvektoren

bl, ... , b n , Abi = Aibi, mit den nicht notwendig verschiedenen Eigenwerten AI, ... , An, dann bringt die Transformationsmatrix

(mit den Eigenvektoren als Spalten) die Matrix A auf Diagonalform; d.h., es gilt, wenn die Reihenfolge der Ai und der b i iibereinstimmt,

B- 1 AB =

(~ ~ ~ ~ 1 .....

o

0 ... 0 An

=: D .

332

6. Lineare Algebra

Die "Diagona1isierung" gemaB Satz 6.8 bringt beachtliche Rechenvorteile mit sich. Etwa bei der Berechnung der k-ten Potenzen von A:

Beispiel.

A

= (-~

-!

-1~)

001

1. Schritt: Die Eigenwerte.

det (A - AE) = (1 - A) (A - 2)A = 0

=}

Al = 0, A2 = 1, A3 = 2 .

2. Schritt: Die Eigenvektoren. Es sind drei homogene 1ineare G1eichungssysteme (A - Ai E)x = 0 (i = 1,2,3) zu lasen. In diesem Fall ergeben sich eindimensiona1e Eigenraume

3. Schritt: Die Diagona1isierung. Mit der (invertierbaren) Transformationsmatrix B

ergibt sich B- 1 AB =

=(bl, b2, b3) = (-~

(~ ~ ~) 002

= BDlooB-'

=

0

=: D , bzw. A = BDB- l

wir beispie1sweise A 100 : A 100

~ -~)

o -1

(-! j

•

Damit berechnen

-! )G~ zt) U-~ =D

-4 - 2 102 ) 2 101

.

D

1

Die numerische Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix ist i.a. ein schwieriges Problem. Man vermeidet dabei den Weg iiber die charakteristische G1eichung (-+ Programm JACOBI, §7). Zur Unterstiitzung von Handrechnungen dient das fo1gende Programm zur Bestimmung der Koeffizienten des Po1ynoms det(AE - A) fiir eine n x n-Matrix A, das auf den franzasischen Astronomen U. LEVERRIER (1811-1877) zuriickgeht. (Man beachte: Der Koeffizient von An ist stets I!)

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte ,---- Programm LEVERRIER-----Print "DIMENSION N="; Input N Dim A(N,N),B(N,N) Print "A ZEILENWEISE" For 1=1 To N For J=l To N Print "A"+Str$(I)+Str$(J); Input A(I,J) B(I,J)=A(I,J) Next J Next I For K=l To N-2 Exit If N=2 Gosub Shift For J=l To N For 1=1 To N B(I,O)=B(I,J) Next I For 1=1 To N X=O For L=l To N X=X+A(I,L)*B(L,O) Next L B(I,J)=X Next I Next J Next K

333

Gosub Shift S=O For L=l To N S=S+A(l,L)*B(L,l) Next L K=N Gosub Ausgabe End , --------------------------Procedure Shift S=O For 1=1 To N S=S+B(I,I) Next I S=S/K Gosub Ausgabe For 1=1 To N B(I,I)=B(I,I)-S Next I Return , --------------------------Procedure Ausgabe Print "C"+Str$(K)+"=";-S Return

* 6.8 Die orthogonale Gruppe.

Wir geben weitere wichtige Eigenschaften orthogonaler n x n-Matrizen (insbesondere fur n = 2, 3 ) an.

Definition. Die Menge alter orthogonalen n x n-Matrizen, O(n) := {A

E lR,nxn ;

AT A = E} ,

heij3t orthogonale Gruppe des lR,n, und die Teilmenge SO(n) := {A

E lR,nxn ; AT A

= E und det A = 1 } ,

heij3t spezielle orthogonale Gruppe oder Drehgruppe.

Man verifiziert leicht anhand der Definitionen: (16)

A, BE O(n) (bzw. SO(n))

=}

A-I, AB E O(n) (bzw. SO(n)) .

334

6. Lineare Algebra

Satz 6.9. Charakterisierung der orthogonalen Gruppen fUr n = 2, 3 a)

b)

0(2) besteht aus allen Matrizen der Form ( cP A

= (C?S cP SIll cp

A

= (- ~os cp

=1 ,

bzw.

sin cp) , falls det A cos cp

= -1

.

cos cp

,

Zu A E 0(3) gibt es ein kartesisches Koordinatensystem K = (0; e{, e~, eD, in der die orthogonale Abbildung x H- Ax, dargestellt wird durch

x'

H-

COS cp - sin cp 0 ) ( Si~cp co~cp ~ x' mit

A'quivalent hierzu ist die Aussage

0)

C?S cp - sin cp ( SIll cp cos cp 0 o 0 det A c)

E

=

(b) ~ d

mit det A

=1

und AT

+ c2 = 1 sein, d.h. die Spitze des Zeigers

= det A .

= pT AP

mit der orthogonalen Matrix P = (e{, e~, e~), det P A E SO(3) ~ A ist eine Drehmatrix (-+ 6.4).

Beweis. a): Fur A a2

1R)

falls det A

- sin cP )

SIll cp

E

= 1.

= A -I muB d = a, b = -c und (~) liegt auf dem Einheitskreis

(urn 0), also gibt es cp mit a = cos cp, c = sin cp . 1m Fall det A = -1 betrachtet man die orthogonale Matrix AI:=

(-~ ~) A

mit det Al = 1

b): 1. Fall: A E SO(3), d.h. AT A = E, det A = 1 . Dann hat A den Eigenwert A = 1 . Denn det(A - E) = (det AT)(det(A - E)) = det(A T A - AT) = det(E - AT) = det(E - A) = (_1)3 det(A - E), also det(A - 1· E) = O. Sei e~ ein normierter Eigenvektor von A zum Eigenwert 1. Dazu wahlen wir eine kartesische Basis P = (e{, e~, e~). Da A orthogonal ist, sind auch die Bilder Ae{, Ae~ orthogonal zu e~ = Ae~. Das bedeutet Ae{

=ae{ + be~

= ce{ + de~ Ae~ = e~ Ae~

mit gewissen Zahlen a, b, c, d. Man erhalt deshalb (-+ Satz 6.4)

335

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte

c = (~

~ ~) = pT AP

001

(man beachte p-l = pT). Da mit A auch C und deshalb ist und det

(~ ~) = det C = det A = 1

(~ ~)

orthogonal

gilt, folgt die Beh. aus a). x

H-

Ax

ist eine Drehung urn die in Richtung e~ weisende Achse (durch den Nullpunkt) mit dem Winkel cp. Damit ist auch c) bewiesen. 2. Fall: A E 0(3), det A = -1 . In diesem Fall gehe man iiber zur orthogonalen Matrix

1 0

0)

A = ( 0 l O A mit det A = 1 .

o

0 -1

X H- Ax ist eine Drehspiegeiung, d.h. darstellbar als eine Drehung, gefolgt von 0 einer Spiegelung (--+ Aufg. 9).

Folgerung. Die Hintereinanderausfiihrung zweier Drehungen des lR3

- urn i.a. verschiedene Achsen durch den Nullpunkt - ergibt eine Drehung; d.h. sind Dl, D2 Drehmatrizen, so ist auch D = D1D2 eine Drehmatrix. (Drehwinkel und Drehachse von D werden mit (6) und (7) bestimmt, --+ Bsp. in 6.4.)

Aufgaben 1. Welche der Abbildungen

ii:

lR 3 ---+ lR3 sind linear?

a) h(XI,X2,X3) = (sinxI,x2 +X3,0), b) h(XI, X2, X3) = (2xI + X2, 3X2, XI + x~) , c) h(xI, X2, X3) = (3X3 + 2X2, X3 + XI, X2 - 5xI) , d) f4(XI, X2, X3) e)

= (XI, X2 + 1, X3),

i's(xl, X2, X3) = (XI - X2, 17X3, Xl + X2 + X3) .

Wie 1autet gegebenenfalls die Abbildungsmatrix? 2. Fur die linearen Abbildungen fl' h : lR3 ---+ lR3 berechne man den Bildraum, Kern fi' fl 0 h, h 0 h, (fl 0 fl - Id) 0 (12 - 3 Id), f l- I ; fl (Xl, X2, X3) = (3XI, Xl - X2, 2XI + X2 + X3) , h(XI, X2, X3) = (Xl - X2, 2XI +X3, 0).

3. Gegeben cr T 8

sind drei lineare Abbildungen im lR3 Spiegelung an der Ebene X + 4y + 8z = 0 ; Scherung 1angs a = (1,2, -3l senkrecht b = (1, 1, 1)T : x r+ x + (x· b)a; Drehung urn die y-Achse urn a = ~ mit anschlieBender Drehung urn die z-Achse urn y = ~ .

Man bestimme a) die Abbildungsmatrizen S, T , D ; b) jeweils das Bild des Punktes (1,2,3);

336

6. Lineare Algebra

c) die Matrizen S-I und T- 1 uber die Umkehrabbildungen d) die Drehachse und den Drehwinkel von 1;; e) die Koordinaten des Punktes (1,2, -3) bezuglich (Del, De2, De3) .

der

4. Man bestiitige, daB B = (a, b, c) mit a = (1, I,ll, b = (1,1, ol Basis des IR? bestimmt und berechne XB fur x = (1, 2, 3l .

gedrehten

,

Basis

c = (0,1, 2)T eine

5. Die gegebene Matrix A kann auf zwei Weisen zu einer orthogonalen Matrix ergiinzt werden; wie lauten diese? a) Man berechne jeweils die Determinante von A.

o

b) Fur den Fall einer Drehung bestimme man die Drehachse und den Drehwinkel; falls eine Spiegelung vorliegt, die Ebene, an der gespiegelt wird. c) Wie lauten jeweils die Koordinaten des Punktes (1, 2, 3) in der Basis ( Ael , Ae2, Ae3) ? 6. Zwei orthogonale Abbildungen p und q des lR 3 sind zu betrachten, die jeweils aus zwei Elementar-Abbildungen zusammengesetzt sind: Abbildung p Abbildung q Drehung urn die z-Achse mit Drehung urn die z-Achse mit Winkel rp, Winkel rp, Spiegelung an der Ebene Spiegelung am Bild der Ebene y =0 . y =0 .

CD CD

a) Man bestimme die Abbildungsmatrix der beiden Spiegelungen sowohl - im Inertialsystem I = ( 0; el, e2, e3), als auch entsteht. - im gedrehten System B, das aus I durch

CD

b) Man leite daraus die Abbildungsmatrizen von p und q in lund B abo Welcher Typ von Abbildung liegt jeweils vor? 7. Durch geeignete Verschiebung des Koordinatenursprungs im lR 3 ist jede Abbildung x HDx+c, die aus einer Drehung und einer anschlieBenden Parallelverschiebung entsteht, stets als Schraubung darstellbar: Y

H-

o

a

Dx+c = m+Dy+va

Dy + va ,

wobei a, lal = 1, die Achsenrichtung der Drehmatrix D und v den Vorschub bezeichnet.

x

Man bestimme die Achsenrichtung a, den Vorschub v und den Drehwinkel 1; der Abbildung X

H-

1M (1 i-1 0) x+ (1) lO 2

.y2

0

0./2

3

8. Das kartesische (x, y, z)-Koordinatensystem wird zuerst 45° urn die y-Achse und dann besitzt der Punkt 45° urn das Bild der z-Achse gedreht. Welche Koordinaten (t;, Tj, (x, y, z) = (1, 2, 3) in der neuen Basis?

n

337

§6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte

9. Ais Drehspiegelung bezeichnet man im IR? eine Drehung urn 0 (Achsenrichtung a, lal = 1, Drehwinkel rp) mit anschlieBender Spiegelung an der Ebene x· a = 0 .

x

a) Man zedege x und y wie skizziert orthogonal langs a und leite daraus eine Vektorgleichung fur x !-+ y abo b) Man bestimme die Matrix D der Drehspiegelung und leite aus Spur D und D - DT Formeln fur cos rp und die Komponenten von a abo

Welche Ausnahmefalle sind zu beachten? 10. Man berechne die Achsenrichtung und den Winkel der Drehung mit den Euler-Winkeln 1/1 = 45°, e = 45°, rp = 90° . 0-10) (001) 11. Die Matrizen V = ( 1 0 0 , T = 1 0 0 beschreiben zwei Drehungen, die o 0 1 0 1 0 den Wurfel mit den acht Ecken (±I, ±l, ±I) in sich uberfUhren.

r ~~2

a) Man bestimme die Drehachsen von V und T und berechne V 2 , V 3 , V4 , V-I, T2, T 3 ,

3

T- I .

Welche Drehwinkel haben somit V und T? b) Berechne VT, (VT)2 , TV, (TV)2, die zugehorigen Drehachsen und Drehwinkel und bestatige die Beziehung VT = T 2V 3 .

~1

c) Begriinde: Durch geeignete Produkte von V und T erhalt man alle 24 Drehungen, die den Wurfel in sich abbilden (Hexaeder-Gruppe). 12. (Darstellung eines 4D- Wiirfels) Der Wurfel W = { x E ]R4 ; IXII ~ 1, IX21 ~ I, zunachst in Richtung des Vektors (1,1,1, _2)T in den 3-dimensionalen Teilraum X4 = 0 projiziert und anschlieBend parallel zu (2, 1, -4, O)T in die 2dimensionale Ebene X3 = X4 = 0 abgebildet. Man bestimme die Matrix A der gesamten Abbildung

I : ]R4 -+ ]R4, I(x) = Ax, x E ]R4 ,

und skizziere das Bild aller Kanten von W.

IX 31

< 1, 0 ~

X4

~ 2}

•

13. a) Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrizen A: A =

(5o 6) 5

B =

(

-2

~

wird

338

6. Lineare Algebra

b) Man bestimme - falls moglich - invertierbare Matrizen P und Q, so daB DA = P- 1 AP und DB = Q- 1 BQ Diagonalgestalt besitzen und berechne DA bzw. DB. Mit Hilfe von P ermittle man explizit A 100 . 14. Man berechne Eigenwerte und Eigenvektoren von

( 7-2 1) -2 10 -2 1 -2 7

,

Hilfe: Die dritte Matrix besitzt einen dreifachen Eigenwert.

12 20 -2 -10) -3 -4 1 -1 ( N= 9 14 -2 -4 3 6 0 -6

15. Die Matrix N ist nilpotent; denn N 3 = O. Welche Eigenwerte hat somit N? Man berechne aIle Eigenvektoren von N, N 2 und N 3 .

16. Zwei Matrizen A, B E IR.nxn heiBen simultan diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix P gibt, so daB p- 1 AP und p- 1 B P beide Diagonalgestalt besitzen. Man zeige: a) A, B simultan diagonalisierbar =} AB = BA . b) Hat A paarweise verschiedene Eigenwerte, so gilt AB = BA =} A, B simultan diagonalisierbar. 17. Fur den skizzierten linearen elektrischen Vierpol gilt zwischen Ein- und Ausgang die Beziehung

--

, - - - - - - - , ;2

t a) Man bestiitige, daB der Vierpol passiv ist, d.h. daB det A = 1 gilt und berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von A. Fur welche Werte von ~~ 1 , i I i 0 , hat man 11

Widerstandsanpassung, d.h.

Was ergibt sich fUr R1

= R2 = 1 Q,

R3

= 40 Q

i2

?

?

b) Der Vierpol heiBt symmetrisch, wenn R1 = R2. Zahlen g und Z, so daB cosh g A = ( 1 Z sinh g

U2

Fur dies en Fall bestimme man

Z sinh g ) cosh g

Man drlicke die Kettenmatrix Ander Kettenschaltung von n Vierpolen mit derselben Kettenmatrix A uber die Additionstheoreme von sinh, cosh durch g und Z aus und interpretiere Z als Wellenwiderstand aus dem Grenzubergang n --+ 00 .

symmetrischen

339

§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

§7. Symmetrische Matrizen nnd qnadratische Formen 7.1 Quadratische FormeD. Mit Hilfe von Matrizen gestaltet sich die Beschreibung und Behandlung von Funktionen in mehreren Veranderlichen besonders iibersichtlich. Bine auf einer Teilmenge D ~ lRn erklarte Funktion f : D --* lR, X H- f(x) =: f(XI, ... , xn) , wird als reelle Funktion der n reellen Veranderlichen Xl, ... , Xn bezeichnet. Die Vektorkoordinaten Xi werden auch als Ortskoordinaten des Punktes X = (Xl, ... , Xn) aufgefaBt. Jede derartige Funktion laBt sich unter entsprechenden Voraussetzungen nach einem Satz von TAYLOR (--* Kap. 7) in der Form n

f(XI, ... , xn)

= ao + L

n

aixi

+L

i=l

aijXiXj

+ Terme hoherer Ordnung in den Xi

i.j=1

=ao+aTx+xT Ax+···

mit ao

E

lR, aT

= (al, ... , an)

E

lRn , x T

= (XI, ... , Xn)

und A

= (aij)

E lR nxn

darstellen. Wegen XiX j = XiXi kann man hierin aij durch ~(aij +a ji) ersetzten. Es bedeutet daher keine Einschrankung, wenn man von einer symmetrischen Matrix A = AT ausgeht. Wir befassen uns hier mit den algebraischen Methoden, den Anteil p(x) = ao + aT x + x T Ax zu untersuchen. Definition. Eine Funktion p : lRn --* lR der Form n

n

p(x)=ao+aTx+xTAx=ao+ Laixi+ LaijXiXj i=1 i,j=1 mit ao E lR, aT E lRn, A = AT E lR nxn heij3t quadratisches Polynom in den Variablen XI, ... , Xn . 1m Fall ao = 0, a = 0, also p(x) = x T Ax, heij3t peine quadratische Form. 1st zusiitzlich A eine Diagonalmatrix, so heij3t p rein quadratisch.

Beispiel 1. Die Rotationsenergie T = ~wT I w eines starren Korpers ist eine quadratische Form in den Koordinaten Wi des Drehgeschwindigkeitsvektors I = IT der Tragheitstensor bezogen auf den Massenmittelpunkt (--* Aufg. 8). D

w;

Beispiel 2. Der Spannungstensor (--* 6.1, Beisp. 9)

eines unter Krafteinwirkung stehenden elastischen Korpers in einem Punkt P ist symmetrisch. Mit dem Normalenvektor n, Inl = 1, eines Schnittes durch P ist die Zerlegung Sn = s + t des Spannungsvektors in die zu n parallele Normalenspannung t und die dazu senkrechte Schubspannung s verbunden.

340

6. Lineare Algebra

n·s = 0 und n·t = It I zeigen n T Sn = It I ; d.h., def Betrag der Normalenspannung berechnet sich aus der quadratischen Form q(x) = x TSx. Gelegentlich sind auch 0 die Ellipsoide x T Sx = C (c E IR konstant, c > 0) von Interesse. Beispiel 3. Mit A = Diag(AI, ... , An) lautet die rein quadratische Form

o

(1)

Beispiel 4. Ein einfaches Problem der Ausgleichsrechnung ist die Bestimmung einer Geraden y = ax + b, die "moglichst genau" zwischen n MeBpunkten (Xi, Yi) verlauft, in dem Sinne, daB das quadratische Polynom n

q(u, v) := ~)Yi - uXi - v)2 in (u, v) = (a, b) ein Minimum annimmt. (Wir i=l

kommen darauf zuruck,

-')0

o

Kap. 7).

7.2 Die Hauptachsentransformation. Es ist q(x) = x T Ax die Darstellung der quadratischen Form q : IR n -')0 IR bezuglich der gegebenen naturlichen Basis. Der Ubergang zu einer anderen Basis B = (bl, ... , b n ) geschieht mit der Substitution x = By (-')0 (8), §6). YI, ... , Yn sind die Koordinaten des Punktes X = (XI, ... , xn) im Koordinatensystem (0; b l , ... , bn ). Dabei ergibt sich (2)

q(x) = q(By) = (By)T A(By) = yT (B T AB)y =: q(y) .

Definition. Als Hauptachsensystem der quadratischen Form q(x)

= x TAx

(bzw. bezeichnet man eine Orthonormalbasis der symmetrischen Matrix A = AT B = (bl, ... , b n ) des IR n , wenn q im Koordinatensystem (0; bl, ... , b n ) rein quadratisch ist. E IR nxn )

Bemerkung. Nach (2) und obigem Beispiel 3 ist eine Orthonormalbasis B genau dann ein Hauptachsensystem fur A, wenn BT AB eine Diagonalmatrix ist. Die folgenden Eigenschaften symmetrischer Matrizen garantieren, daB jede quadratische Form wenigstens ein Hauptachsensystem besitzt. Satz 7.1. Das Eigenwertproblem bei symmetrischen Matrizen Fur jede reelle symmetrische n x n-Matrix A

= AT

gilt:

a) Alle Eigenwerte von A sind reell. b) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten von A sind orthogonal. c) Algebraische und geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes sind gleich.

Beweis. a): 1st A E e ein Eigenwert und bEen (b =I 0) ein Eigenvektor von A, dann folgt aus Ab = Ab durch Ubergang zu den komplex konjugierten Vektoren (man nehme komponentenweise die konjugiert komplexen Zahlen)

341

§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

= Ab = Xt} und damit AbTt} = (Ablt) = b TATt} = b TAt} = XbTt}. Wegen bTt} = L Ib i l2 > 0 ergibt sich A = X, also A E IR. b): Aus Ab = Ab, Ac = fLC folgt Ab Tc = (Ab)T C = bT(AT c) = bT(Ac) = fLb Tc, was im Fall A =f fL die Orthogonalitat b Tc =0 nach sich zieht. At}

c): Sei fL E IR ein Eigenwert von A der algebraischen Vielfachheit k, XA (A) = (fL - Ai p(A) mit P(fL) =f 0 und (b l , ... , bl ) eine Basis des Eigenraumes V(fL), erganzt zu einer Basis B = (bl, ... , bl , bl+I , ... , b n ) des IRn. Man kann annehmen, daB die Matrix B orthogonal ist, andernfalls ist noch das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren (~ 6.5) anzuwenden. Beziiglich dieser Basis wird x r+ Ax dargestellt durch B- 1AB = BT AB (~ (11), §6) in der "Blockform"

o ···0

0

0

o ···0

fL 0

0

0

0

fL

0 fL BT AB

= (AbdB,""

(Ablh, ... , (Abn)B)

=

0

},

Al 0

0

Wesentlich ist, daB im rechten oberen I x (n - I)-Block lauter Nullen stehen; denn BT AB muB mit A symmetrisch sein. Damit gilt (3)

(fL - A)k p(A)

= XA (A) = XBT AB(A) =(fL -

Ai det (AI - AE) .

Ferner ist fL - A kein Faktor von det (AI - AE). Denn ware fL ein Eigenwert von AI,dannhatte BTAB einenEigenvektor cELin(el+I, ... ,en ) zumEigenwert fL und demzufolge A einen weiteren, von bl, ... , b l linear unabhangigen Eigenvektor Bc E Lin (bl+l, ... , b n ) zum Eigenwert fL, was Dim V(fL) = I Wldersprache. 0 Ein Vergleich der (fL - A)-Potenzen auf beiden Seiten von (3) zeigt 1= k . Satz 7.2. Die Hauptachsentransformation. Zu jeder quadratischen Form q(x) = x T Ax, bzw. zu jeder reellen symmetrischen n x n-Matrix A, gibt es wenigstens ein Hauptachsensystem. Man berechnet es wie folgt: Zu jedem der verschiedenen Eigenwerte Ai von A bestimmt man eine Orthonor-

malbasis (bii ), b~), ... , bZ)) von (A - Ai E)x = 0 (~ 6.5), 1 :s i :s r. Diese Teilbasen, in angegebener Reihenfolge zusammengesetzt, ergeben ein Hauptachsensystem _

(I)

(1)

B - (b l , ... , b k1 for das BT AB

'

(2)

(2)

b l , ... , b k2

' .•. ,

(r)

(r)

b l , ... , b k,

) ,

= Diag (AI, ... , AI, A2, ... , A2, ... ,Ar , ... , Ar ) '-,.-' '-,.-'

kl-mal gilt und demzufolge q(x)

'--v-'

k2-mal

= q(By) = Alyl + ... + Ar y;

kr-mal .

342

6. Lineare Algebra

Beweis. Nach Satz 7.1 a) und c) erhalt man durch die Zusammensetzung tatsachlich eine volle Basis des lRn. Wegen Satz 7.1 b) muB die Orthonormierung nur innerhalb der Eigenraume erfolgen. D Bemerkung. Die Bestimmung einer orthogonalen Matrix B, so daB BT AB Diagonalform hat, nennt man orthogonale Diagonalisierung der Matrix A.

Fur n = 2, 3 ergeben sich folgende Vereinfachungen: n=2: A2

-

Zu A =

(~ ~),

(a + e)A + (ae - b 2 )

Gleichung (A - AIE)x

= 0;

= O.

Moglichkeit ±c, c:= (

b =f 0, berechnet man die Losungen AI, A2 von

= (~~)

dazu eine normierte Losung b

der

Fur den anderen Hauptachsenvektor gibt es nur die

-~~ )

. Mit diesem (b, c) ist (0; b, c) ein kartesisches

Koordinatensystem. n=3: 1st A = AT E lR3x3 keine Diagonalmatrix, dann sind wenigstens zwei verschiedene Eigenwerte (Losungen von det (A - AE) = 0) Al =f A2 vorhanden. Man bestimmt entweder fur i = 1, 2 je eine normierte Losung b i von (A - Ai E)x = 0, oder, falls Al die Vielfachheit 2 hat, zwei normierte und orthogonale Losungen von (A - AIE)x = O. Die dritte Hauptachse ist parallel zu b3 := bl x b2. B = (bl' b2, b3) ist ein (kartesisches, d.h. rechtsorientiertes) Hauptachsensystem fur A. Beispiel 1. Die Matrix A =

GD

hat die Eigenwerte Al =

~(5

- ,J5). Eine Losung von (A - A1E)x = 0 ist x demnach ist (b, c) ein Hauptachsensystem fur A mit b

1 (2)

= J 10 + 2v's

1 + Js

Die quadratische Form q(x, y)

'

c

~(5 +,J5),

= (1, ~

+

~,J5l

A2 =

und

1 (-I-Js)

= J 10 + 2v's

2

= (x, Y)AG) = 2x2 + 2xy + 3y2

hat im Koordi-

natensystem (0; b, c) die Darstellung q(x, y)

wobei

= AIU 2 + A2V2 = ~(5 + ,J5)u 2 + ~5 - ,J5)v2 ,

G)=(b.C)(~)= JlO:2v'sC/Js

-1;

5)(~).

Beispiel 2. Die Rotationsenergie eines starren Korpers sei

D

343

§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Fonnen

mit dem Tragheitstensor

Aus det (J - AE)

=0

J)

C~ 1~

J =

ergeben sich die Eigenwerte (Haupttragheitsmomente) Al = 2,

A2 = 26,

A3 = 2 ,

dazu ein Hauptachsensystem (die Haupttragheitsrichtungen) bl =

~( -l),

b2=

~G)'

b 3 =b l Xb2=

~(=i)

0

Beispiel 3. Die quadratische Form q(x, y, z) = x 2 + 6xy - 2y2 - 2yz + Z2

ist durch die 3 x 3-Matrix

A

= (~ -; - ~) o

bestimmt.

1 Die Lasungen von det (A - AE) = 0 sind Al = 1, A2 = 3, A3 = -4. Jeweils

normierte Lasung von (A - Ai E)x

-1

=0

(i

= 1,2)

sind bl =

l O ,3) T, 117\(1,

vIO

1 T f1A(3, 2, -1) . Mit b3 := b l x b2 ist (bl, b2, b3) ein (kartesisches) v 14 Hauptachsensystem und b2 =

B

=

(

Jw

3

v'14 2

0

v'14

3

1

v'14

v'lO eine Drehmatrix mit BT AB =

(0103 0) 0 o

o

0 -4

7.3 Quadriken. Als Quadrik (oder Hyperfiiiche zweiter Ordnung) bezeichnet man die Menge aller Punkte X der Form p(x) A

= (XI, ... , xn) E lRn , die eine Gleichung erfiillen

= x T Ax + aT x + ,B = 0

,

lRn, ,B

E

= ATE lRnxn,

a

E

lR.

Die Quadrik liegt in Normalform vor, wenn x T Ax rein quadratisch ist und aT x + ,B durch keine affine Substitution verkiirzt werden kann. 1m Fall n = 2 hat man 9, im Fall n = 3 insgesamt 17 Typen von verschiedenen Normalformen, die in den folgenden Tabellen aufgefiihrt sind:

344

6. Lineare Algebra

Die Normalformen der Quadriken im IR3 (Konstante a, b, c, p alle

-::j:.

0)

Ellipsoid (evtl. Kugel) leere Menge zweischaliges Hyperboloid einschaliges Hyperboloid Punkt Kegel Rang A x2

=2

y2

a2 + b2

x2

a2 -

-

x2

y2

x2

y2

x2

y2

2pz

=0

= 0)

-

2pz = 0

a2 + b2 + 1 = 0

-+--1=0 a 2 b2

hyperbolisches Paraboloid

2py = 0

--- J,- 8~

elliptischer Zylinder hyperbolischer Zylinder

Ebenenpaar mit Schnittgerade Rang A = 1

~,~

x

leere Menge

Gerade

-

:'_

,

x

---+1=0 a2 b2

x2

-~--t--

elliptisches Paraboloid

J

y2

b2

(Ein Eigenwert

(Zwei Eigenwerte

~-, x

Y

= 0)

,-

parabolischer Zylinder paralleles Ebenenpaar leere Menge Ebene

Y

I

r---b

y

~ x

Y

§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

345

Die Normalformen der Quadriken im lR2 (Konstante a, b, p aile f. 0) Rang A x2

=2

y2

(Aile Eigenwerte f. 0)

-+--1=0 a2 b2

Ellipse (evtl. Kreis) leere Menge Hyperbel Punkt

*

Geradenpaar mit Schnittpunkt Rang A x2

-

=1

2py

=0

(Ein Eigenwert

= 0)

Parabel paralleles Geradenpaar leere Menge Gerade x = 0

Die Transformation einer Quadrik auf Normalform erfolgt in zwei Schritten: 1. Schritt: Die Hauptachsentransformation des quadratischen Anteils, BT AB = Diag (AI, ... , An) mit einem Hauptachsensystem B = (b l , ... , b n) von A, liefert tiber die Substitution x = By die Darstellung der Quadrik im Koordinatensystem (O;bl, ... ,bn ) durch (4)

AI yf + ... + An y~ + Yl Yl + ... + Yn Yn + fJ

mit gewissen Zahlen Yi

E

=0

1R .

2. Schritt: Mit der anschlieBenden Substitution Yi

, falls Ai = 0

Zi = ( Yi + {{i ' falls Ai =I 0 (d.i. eine quadratische Erganzung) werden die linearen Terme - falls moglich "wegsubstituiert". Diese Substitution entspricht einer Verschiebung des bereits gedrehten Koordinatensystems in einen anderen Ursprung (-+ (9), §6). Schrei-

346

6. Lineare Algebra

ben wir z = y + u, so folgt der Ubergang von den x-Koordinaten zu den zKoordinaten iiber die Substitution x

= By = B(z -

u)

= Bz -

Bu .

D.h. im Koordinatensystem (-(Bu)T; bl, ... , b n ) hat die Quadrik die Gleichung 2 0 AIZ2 1 + ... + ArZr + J.Lr+IZr+1 + ... + J.LnZn + Y =

(5)

,

wobei wir AI, ... , Ar =I 0 und Ar+1 = ... = An = 0 angenommen haben. 1st einer der Koeffizienten J.Lr+I, ... , J.Ln von Null verschieden, etwa J.Lk =I 0, kann man sogar y = 0 annehmen (andemfalls wird noch einmal ~k = Zk + L substituiert). J.Lk

Bemerkung. 1st A invertierbar, also Ai =I 0 (l S; i S; n), dann hat die transformierte Gleichung die Form AIZr + ... + AnZ~ + y = O. Mit jedem Punkt X = (ZI, ... , Zn) liegt auch (±Zl, ... , ±Zn) auf der Quadrik. Der neue Ursprung ist der Mittelpunkt (oder das Zentrum) der Quadrik. In diesem Fall ist das Zentrum m der Quadrik x T Ax + aT x + f3 = 0 die eindeutige Losung von Am = - ~ a

und es gilt y

m

= f3 + ~aT = ~~~ ~

mit der 4

x4-Matrix

Q:=

(~~T ~a).

Ganz allgemein (also A nicht notwendig invertierbar) kann man stets versuchen, zuerst Ax = -~a zu losen. Mit einer Losung m und der Substitution x = y+m, d.i. eine Verschiebung des Koordinatensystems in den Punkt M , vereinfacht sich die Gleichung der Quadrik zu yT Ay + Y = 0 mit y = f3 + ~aT m . Beispiel 1. Der Typ und die malform des Kegelschnitts q(x, 2x2 + 2xy + 3y2 = 1 ergeben allein aus den Eigenwerten der

y

Nory)

=

u

v

sich Ma-

trix A = (~ ~). Schritt 2 ist iiberftiissig. Mit Bsp. 1 von 7.2 liegt eine im (x, y)-System gedrehte Ellipse vor mit den Hauptachsenlangen a = .)2/(5 + ../5), b = .)2/(5 -

../5).

x

D

Abb. 155 -

2x2 + 2xy

+ 3y2

= 1

Beispiel 2. Es sind Typ und Normalform zu bestimmen fiir die Quadrik q(x, y, z) = _x 2

-l +Z2 +6xy +2xz+2yz -l2x +4y -

1. Schritt. Die Matrix A = A3

= O.

(-~

1

-i

~)

lOz -11 = 0 .

hat die Eigenwerte Al

1 1

= 3,

Dazu das Hauptachsensystem bl

=~

G),

b2

= ~ ( ~1 ) ,

b3

= bl

X

b2

=~ (

-l)

A2

= -4,

347

§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Fonnen

Mit der Substitution

geht die Gleichung der Quadrik iiber in 3(X')2 - 4(y')2 - 6v'3x' -

8.J2y' + 2.}6z' -

11

=0 .

2. Schritt. Durch quadratische Erganzung ergibt sich die Verschiebung x"

dazu

Z"

=

=x' - v'3,

y"

= y' +.J2 ,

z' -.}6 und man hat die Normalform 3(X")2 - 4(y")2 + 2.}6z" = 0 . z

x

Abb. I S6 - Hyperbolisches Paraboloid

Den Typ liest man durch Vorzeichenvergleich aus der Tabelle ab: Hyperbolisches Paraboloid. Die Normalform wird im Koordinatensystem (( v'3, -.J2, .}6)B T ; bl, b2, b3) angenommen. D Beispiel 3. Zur Quadrik p(x, y, z) = x 2 - yz - 2x + 3y - 3z + 4 = 0 gehort

die Matrix A A3 =

-"21

= (~

~ -1/~);

o -1/2

sie hat die Eigenwerte

0

mit den normierten Eigenvektoren

)1.}

= 1,

A2

= ~,

348

6. Lineare Algebra

Ergiinzung entsteht 0= p(x, y, z)

=(x' -

1 = x'2 + 2'y12 -

1)2 +

!(y' +

1 ~ 2'Z'2 - 2X' + 3v2y' + 4

3./2)2 - !Z'2 - 6

= (x"? + !(y'1)2 - !(z"? - 6 .

Es handelt sich also urn ein einschaliges Hyperboloid. Die gesamte Substitution y = B (XI) y' ( X) Z

z'

=B

(X"+l) y" - 3./2 z"

=~ v2

(../20 °1 0)1 (X") y" + (1) -3 0 -liz"

liefert die Normalform im Koordinatensystem ((1, -3, 3); b l , b2, b3) .

3

0

y

x Abb. 157 - Einschaliges Hyperboloid

* 7.4 Die nichtorthogonale Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix.

Die Hauptachsenbestimmung fiihrt auf ein Eigenwertproblem und damit auf eine Polynomgleichung det (A - AE) = O. Damit ist zwar die theoretische Kennzeichnung erledigt, jedoch ist die exakte Lasung dieser Gleichung in der Praxis oft gar nicht mit algebraischen Mitteln maglich. Man muB dann mit numerischen Niiherungsverfahren arbeiten. Die folgende nichtorthogonale Diagonalisierung kommt ohne Eigenwerte aus und ist stets mit rationalen Rechenoperationen durchfiihrbar. Man erhiilt zwar nicht die Hauptachsen, jedoch ist damit bei Quadriken eine schnelle Typbestimmung und bei quadratischen Formen ein wichtiger Positivtest maglich. Eine Vorbetrachtung: Sei S E lRnxn eine Elementarmatrix. Nach §4 entsteht SAS T aus A durch die zu S geharende elementare Zeilenumformung mit der anschlieBenden analogen elementaren Spaltenumformung. A --+ SAS T bezeichnen wir kurz als ZS-UmJormung ("Zeilen-Spalten-Umformung"). Die Hauptachsentransformation BT AB = Diag (AI, ... , An) ist mit einer Zerlegung von B in ein Produkt von Elementarmatrizen somit auch zu deuten als eine endliche Folge von ZS-Umformungen.

349

§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

Wir beschreiben nun ein Verfahren, das A mittels ZS-Umformungen ebenfalls auf Diagonalform bringt, jedoch i.a. nicht mit den Eigenwerten von A auf der Diagonalen: Gegeben A = (aij) E IRnxn , A = AT . Es sind drei FaIle zu unterscheiden:

-10M· ail Z[, Si --+ Si - GilS[ ali all -r . It den U m f ormungen Zi --+ Zi - Gil werden die Koeffizienten ali = ail (i = 2, ... , n) der ersten Zeile und der ersten SpaIte annulliert. all = 0, aber aii =J 0 fur ein i. Durch Vertauschen der i-ten mit der ersten Zeile und anschlieBend der i -ten mit der ersten SpaIte liegt 0 vor. CD aii = 0 (1 :s i :s n), aber aij = a ji =J 0 fur ein Indexpaar (i, j). Man addiert die j -te Zeile zur i-ten, dann die j -te Spalte zur i-ten und erhalt eine oder vor. Matrix, deren i -tes Diagonalelement 2aij =J 0 ist. Jetzt liegt t::\ \V

®

0

®

Auf diese Weise entsteht aus A mittels ZS-Umformungen eine Matrix der Form

( ~.

0)

0

Al

o

mit einer symmetrischen (n - 1) x (n - I)-Matrix A[, die in gleicher Weise weiterbehandelt wird, bis man zu Diag (a[, ... ,an) gelangt. Das Produkt der zu den Zeilenumformungen gehorenden Elementarmatrizen bezeichnen wir mit W T , dann gehort zu allen Spaltenumformungen die (invertierbare) Matrix W und es gilt (--+ Satz 4.2)

(6)

WT AW = Diag(a[, ... , an) .

Beispiel. E

A

1 -1 -2 -1 2 -2

-2 -2 3

1 3

3 1

-lJ. mit ZS-U mformungen -lJ. 0 0 1 0

0 0 0 0-17 0 0 89 0 0 0 17 Diag(a[, ... , an)

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

-lJ. nur Z-U mformungen -lJ.

0 0

6

0 1 4

29 17

8 17

[9 17

1 1

0 0 0 1

WT 0

350

6. Lineare Algebra

Anwendung zur schnellen Typerkennung einer Quadrik. Analog zu 7.3 wird die Gleichung einer Quadrik p(x) = 0 iiber eine Substitution x = Wy + u mit (6) und passendem u auf Normalform gebracht. An dieser Normalform kann man auf jeden Fall den Typ der Quadrik erkennen. Dieser ist gemaB 7.3 aus der Anzahl der positiven und der Anzahl der negativen Eigenwerte ablesbar.

Man nennt das Zahlentripel (p, q, s) mit der Anzahl p der positiven, q der negativen und s der "verschwindenden" (= 0) Eigenwerte von A die Signatur von A. (Vielfach heiBt p - q die Signatur.) Die Signatur laBt sich an jeder (nicht notwendig orthogonalen) Diagonalisierung ablesen; denn es gilt: Satz 7.4. Tragheitssatz von J. J. SYLVESTER, (1814-1897). 1st A E lR,nxn symmetrisch und W E lR,nxn invertierbar (det W =I 0), dann haben A und WT A W die gleiche Signatur. Beweis. Wegen p + q = r = Rang A (= Anzahl der Eigenwerte =I 0) und s n - r braucht nur noch gezeigt zu werden, daB A und WT A W dieselbe

=

Anzahl positiver Eigenwerte haben. Da sich bei orthogonaler Diagonalisierung die Eigenwerte nicht andem (--+ Satz 6.6c), kannen wir ausgehen von A

WT AW

= Diag(AI, ... , Ap, Ap+I, ... , Ar, 0, ... ,0)

,

=Diag(.BI, ... , .Bt, .Bt+l, ... , .Br, 0, ... ,0)

mit den positiven Eigenwerten AI, ... , Ap von A und .Bl, ... ,.Bt von WT A W . In p(x) = x T Ax = AIXf + ... + ApX; - IAp+llx;+1 - ... - IAr Ix; substituieren wir x

= Wy , d.h.

p(x) = p(Wy) = yTW T A Wy = .BIyf + ... + .Bt

Y; - 1.Bt+lIY;+1 -

... - l.Br Iy; .

Hierzu betrachten wir das homo gene lineare Gleichungssystem (in Xl, ... , Xn Xp+l = ... = Xr = 0,

)

YI = ... = Yt = 0 .

Ware p > t, dann hatte dieses System r - p + t = r - (p - t) < r ::::; n Gleichungen in n Unbekannten Xl, ... , Xn und damit wenigstens eine Lasung x =I 0 (--+ Satz 1.1). Fiir diese Lasung x wiirde p(x) = AIXf + ... + ApX~ = -Cl.Bt+IIY;+1 + ... + l.Br Iy;) gelten, also auch Xl = ... = XP = O. Das ist ein Widerspruch. Also gilt p ::::; t und aus gleichem Grund t ::::; p , somit t = P . 0

Bel·spl·el.

A -_

(

2~1 ~; 2 00 2

31 ) 20

wird mit ZS-Umformungen umgewandelt in

Diag (1, -4, 3, -16). Also besitzt A zwei positive und zwei negative Eigenwerte, Rang A = 4. Die Quadrik p(x) = x T Ax = 1 hat demzufolge in einem (noch nicht naher bestimmten) Hauptachsensystem die Gleichung (mit ai := ~, Ai Eigenwert).

o

351

§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Fannen

Bemerkung. Die nichtorthogonale Transformation der Gleichung p(x) = x T Ax+ + fJ = 0 auf Normalform laSt sich auch mittels quadrati scher Erganzung erreichen. aT x

Beispiel. Gegeben sei die Quadrik q(x, y, z)

= x 2 +6i -

Z2 +6xy+2xz +4x - 6y - 8z +5

=0

.

Diese wird (schrittweise) mit quadratischen Erganzungen umgeformt zu q(x, y, z)

= (x +3y+z +2)2 -

3(y +z +3)2 + (z +3? + 19

= (x')2 - 3(y,)2 + (Z,)2 + 19 = 0

mit x' := x + 3y + z + 2, y':= y + z + 3, z':= z + 3. Also liegt ein zweischaliges Hyperboloid vor. Die Umrechnung

liefert die Normalform der Flachengleichung (X,)2

3(y'?

(Z')2

----r9-19+19+ 1 =0

im (schiefwinkligen) Koordinatensystem ((1,0, -3);

(~),

(-I), (-~ )).

D

7.5 Positiv definite Matrizen. Die Bestimmung der Extremwerte einer reellen Funktion in n Veranderlichen ist eng verbunden mit der Frage, wann eine quadratische Form q(x) = x T Ax fur x =I 0 nur positive oder nur negative Werte annimmt (--+ Kap. 7). Definition. Eine quadratische Form q(x) = x T Ax, hzw. die zugehorige symmetrische Matrix A E lR,nxn, heij3t positiv definit (negativ definit), wenn aus x =I 0 stets q(x) > 0 (q(x) < 0) folgt. Die quadratische Form heij3t indefinit, wenn sie sowohl positive als auch negative Werte annimmt. Sie heij3t positiv (negativ) semidefinit, wenn stets q(x):::: 0 (q(x) :s 0) gilt. Beispiel 1. Der Tragheitstensor eines rotierenden starren Korpers ist positiv deD finit ( T =-W T J -W > 0, falls -W =I 0 ). Beispiel 2. In der speziellen Relativitatstheorie spielen die nach H.A. LORENTZ (1853-1928) benannten Transformationen

( ~:) = (~) z' t'

W

z ' WE t

lR,4x4

,

352

6. Lineare Algebra

des Raum-Zeit-Kontinuums lR,4, welche die quadratische Form q (x, y, z, t)

=x 2 + i

+ Z2

-

c2 t 2

invariant lassen (d.h. fur die q(x ' , y', Z', t' ) = q(x, y, z, t) gilt) eine wiehtige Rolle. Diese quadratisehe Form ist indefinit; es gibt "raumartige" Vektoren U E lR,4 mit q(u) > 0 und "zeitartige" Vektoren v E lR,4 mit q(v) < O. Satz 7.3. a) D = Diag (aI, ... , an) ist genau dann positiv definit, wenn aile ai positiv sind. b)

A = AT ist genau dann positiv definit, wenn WT A W fur irgend eine invertierbare n x n-Matrix W positiv definit ist.

e)

A = AT ist genau dann positiv definit, wenn siimtliche Eigenwerte von A positiv sind.

Beweis. a): q(x) = x T Dx = L aixl > 0 fur aIle x =I 0 {=} aIle ai > O. b): A positiv definit ===> x T (W T A W)x = (Wx)T A(Wx) > 0 fur aIle x =I 0 . WT A W positiv definit ===> (W-I)T (W T A W)W- I = A positiv definit. e) folgt aus a), b) mit einem Hauptaehsensystem W.

Beispiel. Die Matrix A

werte Al

= 1,

A2

=

( 1 2-2)

= 5 + v'24,

0

2 5 -4 -2 -4 5

ist positiv definit; denn die Eigen-

A3

sind positiv.

= 5 - v'24

o

Die Positivitat einer Matrix wird nur in Ausnahmefallen dureh Bereehnung der Eigenwerte entsehieden (man vgl. die 7.4 einleitenden Bemerkungen). Hingegen beinhaltet Satz 7.3 einen durehaus praktikablen Test: 1. PositivWitstest: Die reelle symmetrisehe n x n-Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn in einer (nieht notwendig orthogonal en) Diagonalisierung W TA W

= Diag (aI, ... , an) o

aIle ai positiv sind. Man beaehte: fur A Bedingung:

(aij)nxn gilt

A = AT positiv definit

eT Aei ===> au

= aii und damit die notwendige

> 0 (1 SiS n) .

1m folgenden gehen wir deshalb stets davon aus, daB die Diagonalelemente einer auf Positivi tat zu uberprufenden Matrix positiv sind.

353

§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

Sonderfall n

(~

ad

= 2:

~ b2)

Die Matrix A

b)

Beispiel.

A

..

. POSltlv de fi mt

= (_; -~)

d

a > 0 un d a - b 2 > 0 .

-¢::=:}

ist positiv definit; denn a

O. DiequadratischeForm (x, y)

wird mit einer ZS-Umformung in

umgewandelt. Also gilt:

( ab d

(7)

= (~ ~)

q(X'Y)=(X,Y)A(~)

=3 >

0 und det A

= 11

=3x2-4xy+5y2 nimmtfiir

1- (0, 0) nur positive Werte an.

Sonderfall n

= 3:

A

= (~~ a3

D

~~ ~~)

as

>

wird mit ZS-Umformungen in

a6

umgewandelt. Offenbar ist A genau dann positiv definit, wenn al > 0 und Al positiv definit ist. Aus (7) ergibt sich (nach leichter Umformung):

A

(8)

= (~~

~~ ~~)

a3

det(a 1 a 2

-¢::=:}a]>O,

Beispiel.

A

a2 a4

= (-; -~ - ~) 2 -1

det (_;

-~) > 0, det

positiv definit

as a6

»0,

detA>O.

ist positiv definit;

4

denn al

=

5 >

A = 83 > O.

0, D

Dieses Verfahren, mit Induktion auf n x n-Matrizen fortgesetzt, ergibt den 2. Positivitatstest (C. G. JACOBI, 1804-1851):

A = AT = (aij) E lR,nxn ist genau dann positiv definit, wenn die Determinanten der n "Hauptuntermatrizen" Hi positiv sind: HI

= all,

H2

all = ( a21

al2 )

an

, ... ,

Hk

11

= (a...

... aa"'klkk) , ... , Hn =A.

akl ...

354 Beispiel.

D;e Molnx A"

(~

0 2 1 0 0 8

1)

0

2 -3 2 2 2 2 9 -4 -3 2 -4 12

= 1 > 0, A = 16 > 0 .

det ( 01 01) und det

Lineare

6.

C~ ~)

Algebra

ist positiv definit; denn

0

det

1

0

4 > 0, del

0

all

0 2 1 0 0 8 2 2

=1 >

0,

= 16 >

D

0 0

Erganzung: Eine positiv definite Matrix A kann man mit ZS-Umformungen

auf die Einheitsmatrix E transformieren; hierbei kommt man ohne Zeilen- bzw. Spaltenvertauschungen aus. Daraus ergibt sich: A positiv definit

{=}

A = LL T mit einer invertierbaren unteren Dreiecksmatrix L.

1m vochergchcndcn Bcispkl gUl A" LL r mit L"

(l

0)

o 0 -1 0 o 0 o 2 00. -2 0 -2 3 0 -1 1

Dieses L hat sowohl positive als auch negative Eigenwerte. Man kann aber zeigen, daB es eine Zerlegung M MT mit einer unteren Dreiecksmatrix M gibt, die nur positive Diagonalelemente besitzt (CHOLESKY-Zerlegung). Das folgende Programm benutzt zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix ein Verfahren, dessen Grundidee auf J ACOBI zuriickgeht, namlich mit geeigneten Drehungen sukzessive die Elemente auBerhalb der Diagonalen betragsmaBig zu verkleinern. Uber das Produkt der Drehmatrizen sind die Eigenvektoren bestimmt, die stets ein Orthonormal system bilden. ,----- Programm JACOBI Print "DIMENSION N="; Input N M=N-l Dim A(M,M) Print "Mit Eigenvektor YIN "; Input 0$ If O$="Y" Or O$="y" Then Dim B(M,M) Endif

For 1=0 To M For J=I To M If O$="Y" Or O$="y" Then B(I,I)=l Endif Print "A"+Str$(I+l)+Str$(J+l); Input A(I,J) Next J Next I

§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

Repeat S=O For P=O To M-1 For Q=P+1 To M R=A(P,Q) A=A(P,P) B=A(Q,Q) A(P,Q)=O If (Abs(R)+Abs(A)<=Abs(A)) And (Abs(R)+Abs(B)<=Abs(B)) Then R=O Else E=(B-A)/2/R If E=O Then E=1 Else E=1/(E+Sgn(E)*Sqr(1+E*E)) Endif C=1/Sqr (1+E*E) D=C*E A(P,P)=A-E*R A(Q,Q)=B+E*R If P>O Then V=Q X=P For 1=0 To P-1 U=I W=I Gosub Rot Next I Endif If Q<>P+1 Then V=Q W=P For K=P+1 To Q-1 U=K X=K Gosub Rot Next K Endif

Q<>M Then U=Q W=P For J=Q+1 To M V=J X=J Gosub Rot Next J Endif If D$="Y" Dr D$="y" Then For J=O To M B=B(Q,J) A=B(P,J) B(P,J)=C*A-D*B B(Q,J)=D*A+C*B Next J Endif Endif S=S+Abs(R) Next Q Next P Until S=O , ------------------------------For 1=0 To M Print "X"+Str$(I+1)+"=" ;A(I, I) Next I If D$="Y" Dr D$="y" Then For 1=0 To M Print Str$(I+1)+".EIG.VECT:" For J=O To M Print B(I,J) Next J Next I Endif End If

,

-------------------------------

Procedure Rot B=A(U,V) A=A(W,X) A(W,X)=C*A-D*B A(U,V)=D*A+C*B Return

355

356

6. Lineare Algebra

Aufgaben 1. Man bestimme die Hauptachsenform der Quadriken a)

Q

b) Q

2x2 + 2y2 - Z2 - 2xy + 4xz + 4yz - 6(x + y + z) + 9 = 0 , 2X2 + 3y2 + 4z 2 - 4xy - 4yz + 2x + 2y + 2z + 3 = 0 .

Wie lautet die zugeh6rige Koordinatentransformation? 2. Man bestimme fur die Quadrik 9(x 2 +

l

+ Z2) + a(x + 2y + 2z - 1)2 = a

die Matrixdarstellung x T Ax + aT x + d = 0 , abhiingig von a eine Hauptachsenform mit zugeh6riger Koordinatensubstitution, den Fliichentyp fUr a = - 2 . 3. Gegeben ist die quadratische Form q(Xl, X2, X3) = x; + 8x~ + x~ - 4X1X2 + 2ax2x3 .

a) Fur welche Werte von a ist q positiv definit? b) Fur welchen Wert von a ist v = (1,0, I)T eine Hauptachsenrichtung von q? Fur diesen Fall bestimme man -

die Hauptachsenform fur q, die zugeh6rige Koordinatensubstitution, den Typ der Fliiche q(Xl, X2, X3) + 2Xl + X2 + X3 =

o.

4. Gegeben ist die Quadrik

und die Gerade

Q

a(xy + xz + yz) + z

g

x=y=z.

=0

a) Man bestiitige, daB g fUr aile Werte von a parallel zu einer Hauptachse von Q verliiuft, und lese daraus einen Eigenwert von Q abo b) Unabhiingig von a liegen stets zwei Geraden durch 0 ganz auf Q. Wie lauten diese? c) Fur welche a ist Q eine Rotationsfiiiche? d) Man bestimme eine Hauptachsenform von Q, die zugehorige Koordinatensubstitution und den Fliichentyp von Q in Abhiingigkeit von a. 5. Gegeben ist die Quadrik Q und die Gerade g

Q : (65 + 16a)x2 + (17 + 64a)y2 + (80 + a)z2+ + (1 - a)(64xy - 8xz + 16yz) + 126x + 72y + 72z = 0 , g : 2x + y = 8z + y = 0 . a) Fur welche Werte von a gibt es zwei Geraden durch 0, die ganz auf Q liegen? b) Man bestiitige, daB g fUr aile Werte von a parallel zu einer Hauptachse von Q verliiuft, und lese daraus einen Eigenwert von Q abo c) Aus der Tatsache, daB

Q fUr aile a

eine Rotationsfiiiche ist, bestimme man -

ohne die charakteristische Gleichung von Q aufzustellen - die Hauptachsenform von Q, die zugehorige Koordinatensubstitution und den Fliichentyp von Abhiingigkeit von a .

Q in

357

§7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6. Die Ellipse y ist als Schnitt des Ellipsoids Q mit der Ebene E bestimmt:

Q: x 2 +2/+3z 2 =1; E: 2x+y+2z=0. Zur Berechnung der Hauptachsen von y bestimme man b l • b2 • b 3 eines Basisvektoren 1). O-Koordinatensystems. in dem E die G1eichung l; = 0 besitzt.

a) die (~.

b) die zugehorige Koordinatensubstitution und die (~. 1). O·Gleichung von Q. c) die (~. 1)-Gleichung und die Hauptachsenform von y. 7. Ein zylindrischer Stahlstab (Radius r = 1cm, Liinge I = 1m) wird urn 10° verdrillt. Das HOOKEsche Gesetz liefert als Spannungstensor S mit der Materialkonstanten k = 13.6N/mm2 :

S =k (

~ ~ -~)

-y x

.

0

a) Man berechne die Hauptspannungen (Eigenwerte) und Hauptspannungsrichtungen (Eigenvektoren) von S fUr jeden Punkt (x. y. z) des Stabes. b) Die Normalspannung. d.i. der Betrag der Komponente von Sn liings n ergibt sich als quadratische Form in n : a(n)=nTSn.

Die Schubspannung, d.i. die dazu senkrechte Komponente lautet T(n) = I Sn - a(n)n I

1st T(n) auch eine quadratische Form in n ? In welchen Punkten des Stabes und fiir welche Schnitte ist a(n) bzw. groBten?

T(n) am

8. Eine zylindrische Schwungscheibe (r = h = 30 cm, Masse M = 1 kg) hat am Rand eine punktformige Unwucht der Masse m = 0.1 kg. In dem (korperfesten) skizzierten Koordinatensystem lautet der Triigheitstensor 1=

(~(3r2 + :h 2) + mh 2 -mrh

Rotiert die Scheibe mit dem (momentanen) Drehgeschwindigkeitsvektor

w, so hat sie

358

6. Lineare Algebra

die Rotationsenergie den Drehimpuls

T

l

= =

iw T 1w, 1w.

w

Bei freier Bewegung ist l konstant und rotiert urn l. Dies wird Nutation bezeichnet.

a) Man berechne 1 sowie lund T fur ~

OJ

=e3. ~

b) Man bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von 1. (Haupttragheitsmomente und Haupttragheitsachsen) c) Fur welche Richtungen der Drehachse W, Iwl = 1 , wird die Rotationsenergie maximal bzw. minimal? (Permanente Drehungen ohne Nutation)

Knobelecke

5 gleichgroBe reguliire Tetraeder sind so ineinander geschachtelt (-+ Skizze), daB die 20 Ecken zugleich die Eckpunkte eines regularen Dodekaeders bilden. Die Vereinigung der 5 Tetraeder steHt ein nicht konvexes Polyeder dar. Ihr gemeinsamer Durchschnitt ist ein 1kosaeder. Seine 12 Eckpunkte sind genau die einspringenden (konkaven) Ecken des Polyeders. Wieviele Ecken, Kanten und Seitenfiachen besitzt das Polyeder? Es gibt 12 Elemente der Gruppe SO(3) , die ein Tetraeder in sich uberfuhren und 60 Elemente in SO(3), die das Polyeder auf sich abbilden. Man bestatige dies.

Originalskizze von Prof. Armin Leutbecher

Kapitel7

Funktionen in mehreren Variablen Teil 1: Differentiation In der mathematischen Behandlung von Naturvorgiingen treten oft Funktionen auf, die von mehreren Variablen Xl, ... , Xn abhiingen (etwa von den Ortskoordinaten x, y, z, von der Zeit t, yom Druck p, ... ) und deren Wertebereich mehrdimensional ist. Zur Differentialrechnung mit diesen Funktionen benotigt man die gesamte in Kap. 6 entwickelte Lineare Algebra. Es ist daher vorteilhaft, d;e n Variablen zu dnrm variablen Spaltcnvek!or x =

OJ

E

lito ,"sam-

menzufassen. 1m folgenden untersuchen wir deshalb Funktionen f : D -+ lR,m, mit D S; lR,n , die jedem Spaltenvektor x = (Xl, ... , xnf E D einen mit f(x) oder f(XI .... , xn) bezeichneten Vektor in lR,m zuordnen. Hierfiir schreiben wir kiinftig

x=

(D ~

f(X1, ""x o )

=

C:J

lR,n heiBt Urbildraum, D Definitionsbereich, lR,m Bildraum und das Bild der Funktion fist f(D) = {f(x) ; xED}. Funktionen in mehreren Variablen, insbesondere wenn der Bildraum mehrdimensional ist, werden hiiufig als Abbildungen oder Transformationen (aus dem lR,n in den lR,m) bezeichnet.

Vereinbarung. Jede Funktion f: lR,n ;2 D -+ lR,m , mit der Spalten-

vektoren des lR,n auf Spaltenvektoren des lR,m abgebildet werden, ist zugleich eine Funktion, die jedem Punkt X = (Xl, ... , xn) mit zugehorigem Ortsvektor x = (Xl, ... , Xn)T E D den Vektor f(x) zuordnet. Wir schreiben dafiir f(X) := f(x) = f(XI, ... , xn) bzw. (Xl, ... , Xn) H- f(XI, ... , Xn). S1al1 "Punk! X

= (x,,, , "<0)

m;! Ortsvek!o< x

=

OJ

E

lRo

"

sagt man kurz "Punkt x E lR,n ". In diesem Sinne fassen wir lR,n als Punktraum und jede Teilmenge D S; lR,n als Punktmenge auf. Zuerst behandeln wir die Sonderfiille n = 1, d.h. f: lR, m

= 1 , d.h.

;2 I -+ lR,m

(Kurven im lR,m,

-+

§1) ,

f: lR,n ;2 D -+ lR,

(Skalarenfelder,

-+

§2) .

Der allgemeine Fall (m > 1, n > 1) liiBt sich hierauf zuriickfiihren (-+ §4). K. Meyberg et al., Höhere Mathematik 1 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

360

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 1: Differentiation

§ 1. Kurven im lRn 1.1 Parameterdarstellungen. In der Praxis hat man haufig das Problem, ein geometrisches Gebilde "Kurve" oder "Weg" analytisch, d.h. durch Funktionen, darzustellen. In der Ebene sind bereits einige Darstellungsarten bekannt: Die evtl. nur abschnittsweise explizite Darstellung y = f(x) als Graph einer Funktion, die Polardarstellung r = r(cp) (---+ Kap. 4, §5), die implizite Darstellung F(x, y) = 0 (etwa bei den Kegelschnitten) und die Parameterdarstellung (---+ Kap. 4, §5). Fur die allgemeine Behandlung eignet sich am besten die Parameterdarstellung mit der Vorstellung, daB die Kurve die Bahn eines bewegten Punktes darstellt, der zur Zeit t den Ortsvektor x(t) besitzt. Wir betrachten daher vektorwertige, auf einem Intervall I S; lR erklarte Funktionen x: I ---+ lRn • Jede derartige Funktion besteht aus n Komponentenfunktionen Xi : I ---+ lR (l:s i :s n) , d.h. x(t) =

(;;~:~)

,

tEl.

xn(t)

Der fur die Analysis grundlegende Grenzwertbegriff wird komponentenweise erklart:

lim (

X1(t)) X2(t)

.

/-'>10:

(Cl) C2

= .

:{:=::}

:

xn(t)

lim Xi(t)

/-+10

= Ci (l:s i :s n)

.

Cn

Dementsprechend heiBt x : I ---+ lRn in to E I (auf I) stetig, bzw. differenzierbar, wenn alle Komponentenfunktionen in to E I (auf I) stetig, bzw. differenzierbar sind. Aus gleichem Grunde ist die Ableitung komponentenweise zu berechnen. d 1 x(t)=-d x(t)=lim-h[x(t+h)-x(t)] t

h-*O

Xl(t)) X2(t)

= ( .:

xn(t)

mit Xi(t)

= :tXi(t).

Man nennt x(t) den Tangentialvektor von x an der Stelle tEl (---+ Kap. 4, §5 fUr n = 2). Stellt t ---+ x(t) das "Weg-Zeit-Gesetz" eines bewegten Punktes dar, dann bestimmt x(t) dessen Momentangeschwindigkeit, sie ist tangential zur Bahn. 1m Fall x(to) = 0 ist der Punkt zur Zeit t = to in Ruhe. Fur vektorwertige Funktionen x, y : I ---+ lRn und a, f3 E lR bestatigt man leicht

361

§1. Kurven im JRn

die folgenden Ableitungsregeln: a)

:t (ax(t) + (3y(t» (Linearitat) ,

b) :t [x(t)· yet)]

(1)

= axe,) + (3y(t)

=x(t). yet) + x(t) . yet)

(Produktregel fur das Skalarprodukt),

c) :t [x(t) x yet)] = x(t) x yet) + x(t) x yet) (Produktregel fur das x-Produkt, n = 3 ), d) :t [a(t)x(t)]

= a(t)x(t) + a(t)x(t)

(Produktregel for Multiplikation mit skalarer Funktion).

Insbesondere folgt wegen Ix(t)1 2 = x(t)· x(t) aus (1b): (2)

Ix(t)1

= const

(t

E

1)

==}

x(t)· x(t)

=0

fiir aIle tEl.

Die Parameterdarstellungen eignen sich, dem Begriff "Kurve" eine Bedeutung zu geben, die auch im lR,n (n::: 1) sinnvoll ist. Definition. Es sei G S; lR,n und [a, b] S; lR, ein abgeschlossenes lntervall. Wir nennen jede stetig dijferenzierbare Funktion x : [a, b] ---+ G ein Kurvenstiick in G mit Anfangspunkt x(a), Endpunkt x(b) und der Spur {x(t); a S t S b }. x(a), x(b) sind als einseitige Ableitungen zu verstehen. Ein Kurvenstuck x heif3t regular, wenn x(t) i 0 gilt fur aUe t E [a, b] . Bemerkungen. 1. Unter einer Kurve versteht man eine Kette von aneinanderhangenden Kurvenstiicken (---+ Kap. 8, §2). Fiir die Differentialrechnung beschranken wir uns auf Kurvenstiicke. 2. Statt "Spur eines Kurvenstiicks" sagt man oft kurz "ein Kurvenstiick". D.h. sowohl die Punktmenge {x(t) ; t E [a, b]} S; lR,n als auch die Funktion x : [a, b] ---+ lR,n werden a1s Kurvenstiick bezeichnet. Aus dem Zusammenhang wird stets klar sein, was gemeint ist. Steht die anschauliche Deutung im Vordergrund, dann nennt man x : [a, b] ---+ lR,n eine ParameterdarsteUung des Kurvenstiicks {x(t) ; a S t S b} .

Die zum Parameterwert bestimmte Zahl (3)

t E [a, b]

eines regularen Kurvenstiicks x: [a, b] ---+ lR,n

set) :=

11

Ix(t)ldt

heiEt Bogenlange des Kurvenstiicks iiber [a, t]. Fiir n = 2,3 ist das tatsachlich

362

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

die Lange des durch x parametrisierten Bogens "iiber" [a, t], wobei gegebenenfalls mehrfaches Durchlaufen einer Schleife beriicksichtigt wird. L(x):= s(b) ist die Lange des Kurvenstiicks x. Nach Kap. 4, Satz 1.3 gilt

~~

(4) Man nennt

(5)

(-7

= s(t) = Ix(t)1

Kap. 4, 6.1) ds := Ix(t)ldt das (skalare) Bogenelement, dx := x(t)dt das vektorielle Bogenelement von x.

(ds ist - in erster Naherung - die im Zeitintervall [t, t + dt] zuriickgelegte Weglange, dx ein zum Tangentialvektor x(t) paralleler Vektor der Lange ds.)

1.2 Das begleitende Dreibein, Kriimmung, Torsion. Die Bewegung eines Massenpunktes langs einer durch x : [a, b] -7 lR? parametrisierten Spur und die Auswirkung von Kraften und Momenten in den einzelnen Kurvenpunkten x(t) wird am besten in einem der Geometrie der Spur angepaBten begleitenden kartesischen Koordinatensystem (x(t); T, N, B) beschrieben, in dem sich auch die Vektoren T, N, B der kartesischen Basis mit dem Parameter t verandem. Wir setzen bei Bedarf fiir x Differenzierbarkeit von jeweils benotigter Ordnung voraus, femer sei x(t) i 0 fiir aIle t E [a, b] , d.h. x regular.

o Der Tangentenvektor T(t). 1st x(t) i 0 so nennt man den Einheitsvektor (6)

T(t) :=

Ix~t)1 x(t)

Tangenteneinheitsvektor

oder kurz den Tangentenvektor der Kurve an der Parameterstelle t. Die Gleichung (Parameterdarstellung) der Kurventangente in x(to) lautet X(A) = x(to) + AT(to)

(A E JR.) .

®

Der Hauptnormalenvektor N(t) und der Binormalenvektor B(t). 1st die Kurve x : [a, b] -7 JR.3 zweimal (komponentenweise) stetig differenzierbar und t E [a, b] eine Parameterstelle mit x(t) i 0 und T(t) i 0, so nennt man die nach (2) zu T(t) orthogonalen Einheitsvektoren

1

(7)

.

N(t) := -.-T(t) IT(t)1 B(t) := T(t) x N(t)

Hauptnormalen( einheits)vektor , Binormalen(einheits)vektor

und das Rechtssystem (T(t), N(t), B(t)) das begleitende Dreibein der Kurve an

363

§ 1. Kurven im IRn

der Parameterstelle t. Ferner heiBt die von T(t) und N(t) aufgespannte Ebene durch x(t),

lJ B(t)

SShm,e9"'~

rCA, p.,) = x(t) + AT(t) + p.,N(t)

x(t)

IR), die Schmiegebene der Kurve an der Stelle t. Man gewinnt sie als Grenzlage der Ebene durch x(t) und zwei weitere Kurvenpunkte. (A, p.,

E

© Die Kriimmung.

x(b)

,---- '\N(t)

T(t) P

x(a)

Abb. 159 - Beg1eitendes Dreibein

Die Anderungsrate Al

uS

~ T:=

( )I

S t\

-

s

() [T(td - T(t)] des t

Tangentenvektors, bezogen auf die Bogenlange, beschreibt anschaulich das mittlere Krummungsverhalten der Kurve im Parameterintervall [t\, t] (bzw. [t, tl1 ). Mit der L'Hospital-Regel erhalt man .

11m

I

~~T

/1-+1 uS

I

.

= -:--( )T(t) S t

den Kriimmungsvektor,

seine Lange ist mit (4) (8)

I· IT(t)1 K(t) := set) IT(t)1 = Ix(t)1

die Kriimmung

der Kurve an der Stelle t. Fur die Darstellung von x und x im begleitenden Dreibein sich aus (4), (6) und nach der Differentiation mit (1) und (8) x(t) x(t)

(9)

= s(t)T(t)

(T, N, B)

ergibt

,

=s(t)T(t) + s(t)2K(t)N(t)

.

Kinematische Deutung:

Stellt x : [a,b] -+ IR3 mit x(t) -=J 0 die Bewegung eines Massenpunktes dar, so ist dessen Geschwindigkeitsvektor x(t) = s(t)T(t) tangential zur Bahn (in Durchlaufrichtung) und dem Betrage nach gleich der Momentangeschwindigkeit s(t). Der Beschleunigungsvektor x(t) hat s(t)T(t) als Tangential- und s(t)2K(t)N(t) als Normalkomponente. Daraus liest man ab, daB

K~t)

lJB

Abb. 160 - Kinematik

als Radius eines Krummungskreises in der Schmiegebene gedeutet werden

kann, falls K(t) :f O.

364

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

Mit TxT = 0, TxN = B ergibt (9) x(t)xx(t) folgt Ix(t) x x(t)1 = s(t)3 K (t). Also gelten ( 10)

K

(11) X

x(t)

i

= Ix(t) ~ x(t)1 x(t)

X

K

=1

x(t)

0).

Bemerkungen. 1. Formel (10) ergibt fiir eine ebene Kurve Kriimmung

Wegen IB(t)1

( ) _ Ix(t) x x(t)1 t Ix(t)13 '

B(t)

(vorausgesetzt x(t)

= s(t)3 K (t)B(t).

= (l~Y+~~~)2

t ---+

X(t)) ( yg)

die

; d.h. die hier definierte Kriimmung stimmt mit der

in Kap. 4, 5.4 eingefiihrten Kriimmung nur bis aufs Vorzeichen iiberein. (Nur falls xy - yx > 0 ist, haben n (---+ Kap. 4, 5.2) und N dieselbe Richtung.) 2. Aufgrund der Formel (11) bestimmt man das begleitende Dreibein (T, N, B) in der Reihenfolge T

= I!I x,

B = Ix

~ xl x X x,

N = B x T.

@ Die Torsion. Das Herauswinden der Kurve aus der Schmiegebene wird durch die Anderungsrate des Binormalenvektors, bezogen auf die Bogenlange, beschrieben. Man nennt . 1 hm () ( ) [B(t]) - B(t)] -s t

t,-+tS t]

1 .

= s-:--( )B(t) t

den Torsionsvektor

:t

der Kurve an der Stelle t. Nach (2) ist B orthogonal zu B und wegen B = (TxN) = TxN+TxN = TxN auch orthogonal zu T, also parallel zu N. D.h., es gibt eine skalare Funktion r = ret) - man nennt sie die Torsion der Kurve x - mit 1 .

(12)

s(t)B(t)

= -r(t)N(t)

.

Es gilt (13)

ret) =

Beweis. Aus B· N

=0

1.

1·

s

s

det (x(t), x(t), x(t)) Ix(t) x x(t)12

folgt B· N + B . N

= 0,

deshalb fiihrt (12) auf .

r = --;-B· N = -;-B· N. Auf der rechten Seite setzen wir B aus (11) und N aus der nochmals differenzierten 2. Gleichung (9) ein und erhalten nach leichter Rechnung mit (10) die Behauptung. 0 Wir fassen zusammen:

365

§ I. Kurven im Jan

Satz 1.1. Eine dreimal dif.{erenzierbare Kurve Parameterstelle t mit x(t) x x(t) :;z! 0

[a, b] -+

X :

= !X~t)! x(t)

den Tangentenvektor

T(t)

den Binormalenvektor

B(t) = !x(t)

m?

besitzt an jeder

,

~ x(t)! x(t) x x(t)

,

den Hauptnormalenvektor N(t) = B(t) x T(t) , ( ) _ !x(t) x x(t)! t !x!3

die Kriimmung

K

die Torsion

r (t )

'

_ det(x(t), x(t), x'(t» -

!x(t) x x(t)!2

Beispiel. Die neutrale Faser einer Schraubenfeder wird dargestellt durch x(t)

= (~~f:)

mit 0 :::: t :::: 2Jfn, dabei ist r der Radius, 2Jf h die Ganghohe und n die Windungszahl.

x(O) x Abb. 161 - Schraub1inie

-rsint)

Mit x(t) = ( rc~st R:= !x(t)!

t) , 'X'(t) = (

-r cos , x(t)= ( -r~int

= Jr2 +h2

T(t)

1

= Ii

erhalt man

(-r t) sin rc~st

;

N(t)

=

r sin t )

-r~ost

(- t) cos -~nt

undderAbkiirzung

1 ( h sin t

B(t)=Ii

Kriimmung

K(t)

r = -2--2 r +h

(konstant),

Torsion

ret)

h = ~h2 r +

(konstant).

-h~ost

)

Eine Belastung F = - Fe3 mit der Schraubachse als Wirkungslinie (-+ Abb. 161, Kap. 1,7.1) erzeugt in jedem Punkt x(t) das Moment met)

= -x(t) x F = rF( _s~:t)

Dieses besitzt in der begleitenden Basis (T, N, B) die Zerlegung m

Fr2 Frh =(m· T)T + (m· N)N + (m· B)B = -RT + j?B .

366

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

Fr2 Man nennt mT := - R T die Torsionskomponente und komponente des Moments. (--+ Aufg. 7)

mB

Frh := ~ B die Biege0

Bemerkungen 1. Diese Ergebnisse sind nur auf reguHire Kurvenstucke x : [a, b] --+ lR? anwendbar. Besitzt x singuliire Stellen to E [a, b] mit i(to) = 0, so sind Grenzwertbetrachtungen t --+ to+ und t --+ to- durchzufuhren. Beispiel.

x(t) = (

ist in T(t)

t

=

=0

bei

t --+

,

t E

R,

singular, da li(O)1

~ ( It) 2

It I t

strebt bei

t~~)

t --+

+I

(fur

t

= O. i

0)

0- gegen T 1 = ( _~)

0+ gegen T2 =

(n.

,

---------t--------l~

T1

Abb. 162 - Neilsche Parabel

Obwohl wegen i(O) = 0 durch i keine Tan-

gentenrichtung festgelegt wird, besitzt die Kurve im Ursprung eine Tangente, namlich die y-Achse. 0 2. 1st K(t) = 0 fUr ein Teilintervall ex :::: t :::: fJ, dann stellt x uber [ex, fJ] eine Gerade dar; N, B werden dort nicht benotigt. 3. Falls ret) = 0 fur ex :::: ganz in der Schmiegebene.

* 1.3 Erganzung:

t ::::

fJ , dann verlauft das entsprechende Kurvenstuck

Der natiirliche Parameter und die Frenetschen Formeln.

Fur die Bewegung auf einer regularen Kurve ist die eindeutige Ortsbestimmung x(t) nicht nur durch Vorgabe der "Zeit" t, sondem auch durch den bis zu diesem Zeitpunkt zuriickgelegten Weg s = set) moglich. Denn wegen set) = li(t)1 > 0 ist s = set) als monotone Funktion (zumindest theoretisch) eindeutig nach t auflosbar, t = t(s) . Man sagt, die Kurve y : [0, L] --+ R3 ,

yes) := x(t(s)) ,

entsteht aus der regularen Kurve x durch Umparametrisierung auf Bogenliinge. Offenbar besitzen x und y dieselbe Spur. Uber y(s(t)) = x(t) kommt man zur ursprunglichen Parameterdarstellung zuruck. Die Kettenregel und (3) Kap. 3, §3 ergeben :s y(s)

= :s x(t(s)) =i(t(s)) :s t(s) = s(t~s)) i(t(s)) = T

.

Die Bogenlange als Parameter (man spricht yom natiirlichen Parameter) ist dadurch ausgezeichnet, daB der die Kurve begleitende Tangentialvektor :s y(s) konstant den Betrag I hat; dadurch ergeben sich besonders elegante Formeln:

367

§ 1. Kurven im Jan

Satz 1.2. Formeln von FRENET (1816-1900). Fur eine dreimal stetig differenzierbare, auf Bogenliinge parametrisierte Kurve y : [0, L] ~ ill? , die uberall eine Krummung K(S) =I 0 besitzt, gelten folgende Ableitungsformeln: dT ds = dN ds dB ds

(14)

+KN

= -KT =

+TB -TN

Beweis. In diesem Fall (s = 1, S = 0) lauten die Beziehungen (6), (9) und (12) dy dT d 2y dB T = -d ' -d = - 2 = KN -d = -TN. Nun braucht man nur noch N = B x T ds s s s nach s abzuleiten und erhaIt die dritte Ableitungsformel. 0 Damit kann man den Satz von S. LIE (1842-1899) beweisen, daB eine auf Bogenlange parametrisierte Kurve im wesentlichen durch K = K(S) und T = T(S) bestimmt ist. Durch das Differentialgleichungssystem (14) werden T(s), N(s), B(s) bei Vorgabe der Anfangslage T(O), N(O), B(O) und stetig differenzierbarer Funktionen K, T : [0, L] ~ lR bis auf langentreue Abbildungen eindeutig bestimmt (~ Band 2, Kap. 9, §8, Aufg. 19). Beispiel. Die Raumkurve

(COS t) x(t) ="2/ s!JI 1

y ,t

lR ,

E

Iiegt auf dem Kegel 2x2 + 2i - Z2 = 0 und hat als Projektion in die (x, y)Ebene eine logarithmische Spirale r =

~e\D

(r, cp Polarkoordinaten).

Wegen x(t)

ist set) =

1

= let

(COS t -

sin t sin t ,;r0s t

[too IX(T)I dT = e

t ,

)

Abb. 163 - Logarithmische Spirale

d.h. t = In(s), s > O. Mit der Bogenlange als

Parameter erhalt man aus der Darstellung y(,)

T

d

1

= dsY(s) = 1

(COS In s -

=

H~f~;) ,

sin In s ) sinlns,;r0slns ,

d

ds T

p

0

1 (- sin In s - cos In s ) cos In sO-sin In s ,

= 2s

368

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 1: Differentiation

dT 1 1 ( - sin In s - cos In s ) K(s)=l ds l= 2s Y'2, N= Y'2 coslns;sinlns , res)

1 r;:;

d

= Ids N +KTI = 2s y2

D

.

Aufgaben 1. Man berechne den Winkel, unter dem alle Tangenten der Kurve x(t)

= v'2,

yet)

= t 2 - ~ In t,

z(t)

= t 2 + ~ In t

(1:s t :s 2)

auf die (x, y)-Ebene treffen, und berechne ihre Bogenlange. 2. Gegeben ist die raumliche Spirale

X(t)=(~~~:), t~O. Man berechne das begleitende Dreibein (T,N,B) fur x. Wie groB ist die Kriimmung K und die Torsion T im Punkt O? Welche Kurve ergibt sich in der Projektion auf die Ebene z =0 ? 3. Man zeige, daB alle Geraden durch den Ursprung die (ebene) logarithmische Spirale r = e-rp unter konstantem Winkel treffen, wie groB ist dieser? 4. Gegeben ist die Epizykloide wet) __ ( cos 3t + 3 s. in t ) ,0:st:s2n. 3 cos t - Sill 3t a) Man bestimme die singularen Punkte (x = y = 0) und in diesen Punkten die Richtungen der Tangenten uber die miiglichen Grenzwerte lim yet) / x(t) . b) Man berechne die Bogenlange der Kurve und in jedem Punkt die Kriimmung. c) In welchen Punkten wird r = Iw(t)1 maximal? Skizziere w samt Durchlaufsinn.

5. Die Raumkurve (Fenster der VIVIANI)

=(

~~~:t)

, O:s t :s 4n , 2 Sill '2 entsteht durch Verschneidung des Drehzylinders x 2 + l = I mit der Kugel (x + Ii + l + Z2 = 4. Man bestatige dies, berechne (T, N, B) fUr t = 0 und t = 2n und driicke die Bogenlange der Kurve durch das vollstiindige elliptische Integral x(t)

E(k) =

11

JI-k 2 sin 2 rpdrp

aus.

369

§ I. Kurven irn JRn

6. 1m StraBenbau wird der Ubergang von der Geraden in eine kreisformige Kurve durch Klothoiden-Bogen modelliert, da sie folgende natiirliche Parameterdarstellung besitzen: K

=

C •

s,

1

Kriimmung wachst proportional mit Bogenliinge.

Man bestimme daraus den Tangentenwinkel rp als Funktion rp(s) der Bogenlange und stelle damit x = xes) und y = yes) als Funktionen von s dar, so daB wie in der Skizze x(O) = yeO) = y'(O) = 0 und x'(O) = 1 . (Hilfe: K = I ddrps I ., X,2 + y,2 elementar losbar ! )

= 1·, tX' = tan rp

,.

Integrale fUr x und y sind nicht

7. Die neutrale Faser einer Schraubenfeder wird dargestellt durch x(t) =

C¥i:)

o :::s t

~F

:::s 2nn

( r: Radius, 2n h: Ganghohe, n: Windungszahl). a) Man driicke Kriimmung K und Torsion r von x(t) sowohl durch die Hohe H und die Lange L der Feder als auch iiber den Winkel a aus (vgl. Skizze).

LH 2rrnr

b) Eine Belastung F der Feder in Richtung der Schraubachse ruft im Federstahl primar Torsion hervor und reduziert die Hohe auf H(F). Die Torsionsgleichung lautet (in erster Naherung) GJ· [r - reF)] = F . r ( GJ: Torsionssteifigkeit, r(F): Torsion mit Last F). Man 1eite daraus eine Beziehung zwischen H(F) und F her und stelle die Federrate

c = lim

F-+O

F H - H(F)

in erster Naherung als Funktion von r, Lund G J dar c) Die Federbeine eines VW K70 (Baujahr 1972) haben die Daten Federstahl G J = 2.24 . 106 N cm 2 ; Vorderachse: r = 7.6cm , H = 12.6cm , n = 5.5 ; Hinterachse : r = 6.3 em , H = IS.7 em , n = 7.5 . Berechne jeweils die Lange des Federstahls und die Federrate c. Wie weit sinkt das Auto vorne und hinten ein, wenn es gleichmaBig mit 1500 N bela stet wird?

H (r «

1) .

370

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

8. 1m CAD werden ebene Kurven durch B-Splines dargestellt, da sie eine schnelle Beeinfiussung der Form durch wenige sogenannte Kontrollpunkte erlauben. 1m einfachsten Fall setzt man diese Kurven aus kubischen Kurvenstucken zusammen, fUr die man die B EZIER- BERNSTEIN - Darstellung verwendet. wet) ko, ... , k3

= (l E

t)3k o +

G)

t(I - t)2k 1 +

G)

t 2 (l - t)k2 + t 3k 3

O:'Ot:'Oi

lR? heiBen Kontrollpunkte von w.

a) Man rechne nach: w verbindet kl - ko ,in k3 ist sie k2 - k3 .

ko

und k 3

,

Tangentenrichtung in ko

ist

b) Warum liegt w ganz im (konvexen) Viereck mit den Ecken k o , kl' k 2 , k3? (Hilfe: Die Polynomfaktoren vor k o, ... , k3 sind positiv und in der Summe I.) c) Welche Bedingungen mussen fUr eine Kurve erfUllt sein, die aus zwei BezierKurvenstiicken WI, W2 zusammengestzt ist, damit x und x im gemeinsamen Kontrollpunkt stetig sind?

§ 2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veranderlicher 2.1 Grundlagen. Unter einer reellen Funktion von n reellen Veranderlichen

versteht man eine auf einer Teilmenge D ~ lRn erklarte Funktion f : D ~ lR mit Werten in lR. Sie ordnet jedem Punkt (bzw. Vektor) x = (XI, ... , xnl E D des Definitionsbereiches in eindeutiger Weise eine reelle Zahl z = f(x) = f(XI, ... , xn) zu. Fur Funktionen von 2 oder 3 Veranderlichen schreibt man ublicherweise auch f(x, y) bzw. f(x, y, z).

Die Zuordnung x 1.

1-+

f(XI, ... , xn) kann gegeben sein

durch eine explizite Rechenvorschrift, z.E. f(x,y)=3xy+2x+5y-7 (D=lR2),oder f(x, y, z) = e X +Y . 3z . sin(xz) + In(x2 + i) + 5z (D

=lR3 \

{OD,

2.

durch eine implizite Gleichung, z.B. bezeichne f(x, y) die eindeutig bestimmte positive Lasung z der Gleichung Z3 - X Z - Y =0 (x E lR, y > 0 ),

3.

durch eine kompliziertere Vorschrift, etwa in Form einer Differentialgleichung oder in Tabellenform.

Eine reellwertige Funktion f : lRn :2 D ~ lR wird haufig als Skalarenfeld oder Belegungsfunktion bezeichnet, insbesondere dann, wenn jeder Punkt XED mit

371

§2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veriinderlicher

der MaBzah1 f(x) einer ska1aren physikalischen GroBe (etwa Ladungsdichte, Temperatur) "belegt" ist. Als besonders vorteilhaft zur Diskussion einer Funktion f : IR.n ;2 D ---+ IR., erweist es sich, f auf gezielt gewahlten Teilbereichen von D zu untersuchen. Das sind in erster Linie • die Niveaumengen oder Niveauhyperfiiichen von f zum (konstanten) Niveau CEIR.: Nc := {x ED; f(x) = c} ,

•

aIle zu einer Koordinatenachse parallelen Geraden, die D treffen. erhalt damit die "partiellen" Funktionen von f:

Man

Xi r+ f(aj, ... , ai-I, Xi, ai+I, ... , an)

mit a = (ai, ... , an) E D konstant. Wie im FaIle n = 1 laBt sich jeder Funktion f: D ---+ IR. auch der Graph

rf

:= {(x, f(x)) ; xED}

s;: IR.n + 1

zuordnen.

Er besteht aus allen Punkten (XI, ... ,Xn,Xn+l) mit f(XI, ... , xn) und kann somit a1s Niveauhyperflaehe der Funktion F(XI, ... , x n, xn+j)

= Xn+1

=

Xn+1

- f(XI, ... , xn)

zum Niveau 0 angesehen werden. Wir nennen F(XI, ... , xn+d =0 die implizite und Xn+1 = f(XI, ... , xn) die exp1izite Darstellung des Graphen r f . All diese Begriffe sind fur n = 2 und n = 3 sehr ansehaulieh zu interpretieren: n = 2: Nc ist in der Regel eine ebene Kurve, "die Niveaukurve f(x, y) = c ". Man nennt f(x, y) = c die implizite Gleichung (oder Darstellung) dieser Kurve. Beschreibt etwa T = f(x, y) die Temperaturverteilung (Druekverteilung) auf einer Platte D s;: IR.2 , dann ist f(x, y) = To die Gleichung einer Isotherme (Isobare). 1st f(x, y) = c naeh y auflosbar in der Form y = h(x , c), dann nennt man dieses eine explizite Darstellung der Niveaukurve. Beispiele. 1. Die Gerade 2x+3y = 5 ist die Niveaukurve der Funktion f(x, y) 2x + 3 y zum Niveau c

=

=5. Die explizite Darstellung lautet y = - ~ + ~ . = r2 (r > 0) (---+ Abb. 165) ist die Niveaukurve X

2. Der Kreis x2 + y2 der Funktion f(x, y) = x2 + y2 zum Niveau r2. Diese Kurve ist nieht uberall exp1izit durch eine einzige Funktion y = h(x) darstellbar. Sie besteht vie1mehr

aus zwei Teilen, die explizit darstellbar sind: y = Jr2 - x2 und y = -Jr2 - x2 (-r :s X :s r). Allgemein ist ein Kegelschnitt ax2 + bl + cxy + dx + ey + f = 0 die Niveaukurve eines quadratischen Polynoms in x, y .

3. Jeder Graph y = h(x) einer (stetigen) Funktion der einen Variablen x kann als Niveaukurve F(x, y) = y - f(x) = 0 einer Funktion von zwei Veranderlichen

angesehen werden.

372

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

1m FaIle n = 2 wird der Graph r f als Flache im IR3 veranschaulicht. D ist Teilmenge der (x, y)-Ebene und tiber (x, y) E D liegt der Flachenpunkt (x, y, z) mit z = f(x, y). Die Graphen der "partiellen" Funktionen z = f(al, y) und z = f(x, a2) entstehen durch Schnitt des Graphen r f mit den zur z-Achse parallelen Ebenen: x = al bzw. y = a2. Zur Untersuchung des Graphen r f im Punkt (aI, a2) wird man auf diese beiden Schnittkurven zurtickgreifen.

Abb. 164 - Partielle Funktionen

Uber der Niveaulinie f(x, y) = c in D liegen aIle Punkte von r f mit derselben "Rohe" z = c. Sie ist die senkrechte Projektion der Schnittkurve der Flache z = f(x, y) mit der Ebene z = c in die (x, y)-Ebene (Hohenlinien einer Landkarte) .

•

::.:::;:::::':

I. . ~ . . .

:.,,,:,:,,:,':,::,::,,

z=f(x,y)

.•. . :.•. . . :.•. . :• •::. .. i.·.:i.:-• :.':.·:::• . . . . ;:'::'::";': . •::. . . '•. . .". .::•. ::,:::'::":':',':'-::':f:>::::': •. . . :. :•. '. . . :• . . '.:•. .•. . .:. . . . . .':. .:::.-:':. .': .: .':. '. :. :.•. :.••.. . . . . . •.:,.',.'/:/::>: '-":-:':,:'::,'.:"

:':,,:,-'

y

:::,'::'::

z=const. x

z=const.~

x

..<:::l

~ y Niveaulinie ~ Abb. 165 - Graph und Niveaulinie von f(x, y) = x 2 +

Nc ist (unter Zusatzvoraussetzungen an f) eine Flache im IR? , "die Niveauflache f(x, y, z) = c". Man nennt f(x,y,z) = c die implizite Gleichung (oder Darstellung) dieser Flache. 1st diese Gleichung fur einen Teilbereich explizit in der Form z = h(x, y, c) auflosbar, dann nennt man dieses eine explizite Darstellung des entsprechenden Flachenstticks.

i

0=3:

Abb. 166 - Niveaufliichen von

f

= 2x

+ 3y + 4z

Beispiele. 1. Die Ebene 2x + 3 y + 4z = 5 ist Niveauflache der linearen Funktion f(x, y, z) = 2x + 3y +4z 2. Niveauflache eines quadratischen Polynoms in drei Veranderlichen ist jede 0 Quadrik x T Ax + b T X + C =0 im IR? .

373

§2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Vedinderlicher

Der Graph r f einer Funktion von drei Variablen ist Teilmenge des IR4 und daher fiir eine Veranschaulichung von f nicht geeignet. 2.2 Grenzwerte ond Stetigkeit. Begriffe der anschaulichen Geometrie des IRl, lR?, IR3 wurden in Kap. 6, 6.3, fiir beliebige n E 1N in den IRn iibernommen. So wird der Abstand zweier Punkte x, y E IR n definiert durch n

Ix -

yl = L(Xi - Yi)2 . i=l

Zu festem a

E

IRn und r > 0 heiBt die Punktmenge UrCa) := {x

E

IR n ; Ix - al < r }

r-Umgebung von a.

Fiir n = 1 ist Urea) das offene Intervall a - r < x < a + r, fiir n = 2 besteht Urea) aus allen Punkten der Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt a und Radius r ohne Randpunkte, fiir n = 3 ist Urea) eine Kugel urn a mit dem Radius r ohne die Punkte der Kugeloberftache. Bereits fiir reelle, auf einem Intervall I S; IR definierte Funktionen ist nicht nur deren Verhalten im Innern von I, sondern auch in den Randpunkten von Bedeutung (--* Kap. 2, §5 und Kap. 3). Zur Beschreibung ahnlicher Sachverhalte im IR n benotigen wir einige Begriffe. Definition. Sei D eine Teilmenge des IRn. a)

Ein Punkt a E D heifit innerer Punkt von D, wenn es eine r-Umgebung von a gibt, die ganz in D enthalten ist.

b)

D heifit offen, wenn jeder Punkt von D ein innerer Punkt ist.

c)

Ein Punkt b E IR n heifit Randpunkt von D, wenn jede r-Umgebung von b sowohl mindestens einen Punkt aus DaIs auch mindestens einen nicht zu D gehorenden Punkt enthiilt. Die Menge aller Randpunkte von D heifit Rand von D und wird mit aD bezeichnet.

d)

Eine Menge heifit abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthiilt.

Beispiele 1. Die "offene" Kreisscheibe (ohne Rand) K

={(x, y) ; (x -

XO)2 + (y - yoi < r2 }

ist eine offene Menge mit dem Rand aK : (x - XO)2 + (y - YO)2

=r2 .

374

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 1: Differentiation

2. Das "Rechteck" Q = {(x,y); 2:s X < 3, -1 < y:s 2} (~Abb. 167a) ist weder offen noch abgeschlossen. AIle Punkte (x, y) mit 2 < x < 3 und -1 < y < 2 sind innere Punkte. Der Rand enthalt sowohl Punkte, die zu Q gehoren (etwa (2, y) mit -1 < y :s 2) als auch solche, die nicht zu Q gehoren (etwa (x,-l) mit 2:sx:s3). 0 Offene Mengen werden oft durch strikte Ungleichungen in der Form U = {x

E

lRn ; gl (x) < 0, ... , gr(x) < 0 }

beschrieben, wobei gl, ... , gr stetige Funktionen in n Veranderlichen sind. Fur x E au gilt gi(X) = 0 fur wenigstens ein i. (Kurz: U wird berandet von den Hyperfiachen gi(X) = 0.) uuaU={XElRn ;gl(X):sO, ... ,gr(x):sO}. y 2

1

1

-1 Abb. 167a - Randpunkte

Abb. 167b - Die Parabelfalte

Definition. Sei f: lRn :2 D ~ lR und a E D U aD. f hat in a den Grenzwert c E lR, in Zeichen

a)

lim f(x) = c

x-?a

(oder f(x)

~

c fiir x

~

a) ,

b)

wenn es zu jeder (beliebig kleinen) Schranke E > 0 eine r-Umgebung Urea) gibt, so dafi If(x) - cl :s E fiir alle XED n Urea) gilt. f heij3t in a E D stetig, wenn lim f(x) f(a) gilt.

c)

f heij3t auf D stetig, wenn f in allen a

x-?a

=

E

D stetig ist.

Die aus Kap. 2 bekannten Rechenregeln fur Grenzwerte und stetige Funktionen Summe, Produkt, Quotient stetiger Funktionen sind stetig. gelten auch hier: Beispiel. Die Projektionen Pi : lRn ~ lR, Pi(X) = Xi sind stetig. Aufgrund der soeben genannten Rechenregeln ist dann auch jede lineare Funktion l : lRn ~ lR, lex) = aT x = alxl + a2x2 + ... + anx n , jedes Polynom in n Variablen

und jede rationale Funktion f(x)

= q(x) p(x)

stetig, falls q(x) =I 0 .

o

375

§2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veranderlicher

Die Stetigkeit von f(x, y) in (xo, Yo) ergibt sich noch nicht aus der Stetigkeit der partiellen Funktionen x f--+ f(x, Yo) und y f--+ f(xo, y) . Gegenbeispiel. Die Parabelfalte (---+ Abb. 167b)

2xy2

- 2 - - 4 ' falls x > 0 , f( x, ) y:= { x + y ,falls x :s 0 .

o

Sowohl x

f--+

f(x,O)

=0

als auch y

;tu~2 4 (u > 0) sind stetig. x = i konstant 1. Daher ist f u +t v

Definition. a) Eine Menge D

f--+

f(O, y)

=0

und t

f--+

f(tu, tv)

=

Dagegen ist f(x, y) fur y > 0 auf der Parabel unstetig in (0,0). ~

D

lRn heij3t beschrankt, wenn es eine Konstante

K > 0 gibt mit Ixl < K for alle xED.

b) Die abgeschlossenen und beschriinkten Mengen des lRn nennt man kompakt.

Beispielsweise ist die "Vollkugel" urn a vom Radius r, Urea) := {x E lRn

(einschlieBlich des Randes Ix - al

;

Ix - al

:s r } ,

=r ) kompakt.

Ebenso wie im Fall einer Variablen (---+ Satz 6.5, Kap. 2) gilt (ohne Beweis): Satz 2.1 a) Satz vom Minimum und Maximum. Jede auf einer kompakten Menge D

b)

~

lRn stetige Funktion nimmt auf D ein Minimum und ein Maximum an; d.h., es gibt a, bED mit feb) :s f(x) :s f(a) fur alle XED. Satz von der gleichmaBigen Stetigkeit. Jede aUf einer kompakten Menge D ~ lRn stetige Funktion ist dort gleichmiij3ig stetig; d.h. zu E > 0 gibt es ein 8 > 0, so daj3 fur alle x, y E D gilt Ix - yl < 8 :::} If(x) - f(y)1 <

E .

Satz 2.1 ist im allgemeinen falsch, wenn D nieht kompakt ist (---+ eine Variable). 1st nun D beliebig und besitzt die stetige Funktion f : D ---+ lR in jedem Randpunkt a E aD einen Grenzwert c(a) = lim f(x) , so wird f durch x-+a

lex) '- {f(X)

.-

zu einer stetigen Funktion D U aD fortgesetzt.

c(x)

1 : D U aD

,falls XED ,falls x E aD ---+ lR auf der abgeschlossenen Menge

Eine wichtige Eigenschaft stetiger Funktionen ergibt sich leicht aus der Definition: 1st f : D ---+ lR stetig und f(a) > 0, dann gilt f(x) > 0 fur alle XED n Urea) mit geeignetem r > O.

376

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

~ lRn offen, f : D ---+ lR Existiert die Ableitung der "partiellen" Funktion

2.3 Partielle Ableitungen, der Gradient. Sei D und a

=(a], a2, ... , an) ED.

an der Stelle Xi = ai , so nennt man diese die partielle Ableitung von f im Punkte a; sie wird mit af(x)i ax'I x==a

oder

nach Xi

af (a) ax'l

bezeichnet. Das Zeichen "a" anstelle von "d" soIl verdeutlichen, daB von einer Funktion mit mehreren Variablen das Anderungsverhalten bezuglich einer einzelnen Veranderlichen untersucht wird, wobei fur das Differenzieren die anderen Variablen als Konstante anzusehen sind:

(1)

af(x) . 1 - a - := hm -t [f(x], ... , Xi Xi 1---+0

+ t, ... , x n )

= 1---+0 lim }[f(x + tei) -

-

f(x], ... , Xi,···, Xn)]

f(x)]

Fur die partiellen Ableitungen sind ebenfalls die Bezeichnungen fx; ublich, bzw. fx, fy, fz, ff,··· , wenn die Variablen x, y, z, t, ... lauten. Dementsprechend schreibt man fur die h6heren partiellen Ableitungen fxy

= (fx)y = aya (aaxf )

'

etc.

f heiBt partiell diJferenzierbar (bzw. stetig partiell diJferenzierbar), wenn aIle partiellen Ableitungen fx; existieren (und stetig sind).

Beispiele. 1. f(x, y) fAx, y) fxAx, y)

= x 2l

= 2 y 3x + ~, = 2y 3 -

+ y lnx

fy(x, y)

= 3x 2i

y 2 ' fyy(x, y) X

(X > 0)

+ lnx,

=6x 2 y,

fxy(x, y)

=6y 2X + x1 = fyx(x, y).

2. Der Schalldruck einer ebenen Schallwelle wird bestimmt durch p(x, y, z, t) = A sin(ax + f3y + yz - wt)

~~ = aA cos (ax + f3y + y z

- wt) beschreibt (bei fester Zeit) die Anderung in

x-Richtung.

~~

= -wA cos(ax + f3y + yz - wt) bestimmt am festen Ort (x, y, z) die zeitliche

(momentane) Anderung.

D

FaBt man die partiellen Ableitungen einer Funktion zu einem Vektor zusammen,

377

§2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veriinderlicher

so erh1llt man den Gradienten von f an der Stelle x:

grad f(x) :=

grad f(x) ist eine vektorwertige Funktion (ein "Vektorfeld" ~ §4): Jedem wird der Vektor grad f(x) E lRn zugeordnet (vorausgesetzt, fist partiell differenzierbar). X f--+

XED

Beispiel 3.

f(x, y, z)

=ex+2y + 2x sin z + Z2xy ,

fAx, y, z) ) gradf(x,y,z)= ( fy(x,y,z) fz(x,y,z)

=

(e X +2Y + 2 sin z + Z2 Y ) 2e x+2Y +z 2x 2xeosz+2zxy

o

f heiBt zweimal (k-mal) partiell differenzierbar, wenn alle zweiten partiellen Ableitungen (1 ~i,j ~n)

(alle k-ten Ableitungen fX;1 ... X;k) existieren. Sind s1lmtliehe dieser Ableitungen stetig, dann heiBt f zweimal (bzw. k-mal) stetig partiell dijferenzierbar. Wir bezeiehnen die Menge aller auf einer offenen Menge D S; lRn k-mal stetig partiell differenzierbaren Funktionen f : D ~ lR mit ,#k(D, lR) und nennen f E ,#k(D, lR) eine ,#k-Funktion. lR) := { f : D ~ lR; f k-mal stetig partiell differenzierbar} <&,o(D, lR) := { f : D ~ lR; fist stetig} <&,k(D,

In Beispiel 1 sahen wir fxy = fyx . Dies ist nieht immer der Fall: GegenbeispieI. Es sei f(x, y)

=

I

x y ::: ;:

°

~

,(x, y) (0, 0) . ,(x,y)-(O,O)

Da fur alle x, y E lR stets f(x, 0) = f(O, y) = 0, gilt fAO, 0) Fur (x, y) =I (0, 0) erh1llt man dureh Differentiation 4X2y2) x2 _ y2 x2 + y2 + (x2 + y2)2 ,

fx

=Y (

fv .

_ y2 =x ( x2 x2 + y2

-

4X2y2) (x2 + y2)2

...,..--;;--~-oo

= fy(O, O) = 0.

378

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 1: Differentiation

Damit folgt fur fxy

= ;y (~~)

fxy(O, 0) = lim fAO, y) - fx(O, 0) = lim _y2 =-1 y-.O Y y-.O y2

und andererseits 2 f yx (0 , 0) -- l'1m fy(x, 0) -x fy(O, 0) -_ l'1m x 2 -- 1 x-'O x-'O X

Satz 2.2 von

SCHWARZ

o

.

iiber die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen.

Fiir jede ~2-Funktion f: D --+ JR, D ~ JRn offen, gilt (2)

(l::e i,j ::en).

Beweis fur n = 2. Sei (xo, YO) E D und mit den Eckpunkten (xo, Yo), (xo + t, YO) , (XO,yo+t), (xo+t,yo+t) ganz in D enthalten ist. Fur

t E

JR so klein, daB das Quadrat Q y I - - r--

(xo+t

g(x) := f(x, Yo + t) - f(x, YO)

gilt g'(x) = fAx, Yo + t) - fAx, Yo) und durch Mehrfachanwendung des Mittelwertsatzes fur Funktionen einer Veranderlichen folgt

xo'Yo)

x

Abb. 168 - Zu fxy = fyx

h(t) := f(xo + t, Yo + t) - f(xo + t, YO) - f(xo, Yo + t) + f(xo, YO)

=g(xo + t) - g(xo) = g' (~I)t = [fx(~I, Yo + t) = fxy(~I' r/1 )t 2

fA~I, yo)]t

mit

~I zwischen Xo+t und Xo bzw. 171 zwischen yo+t und Yo. Ebenso - mit g(y) := f(xo + t, y) - f(xo, y) - folgt h(t) = g(yO + t) - g(yo) = fyx(~2, 172)t 2 mit (~2, 172) E Q und damit

fxy(~l' 17d

= fyx(~2' 172)

.

Aufgrund der Stetigkeit folgt beim Grenzubergang fxy(xo, YO)

= fyx(xo, YO) .

t

--+

0 die Behauptung: 0

Eine Mehrfachanwendung dieses Satzes zeigt etwa fUr eine Funktion in x, y, z fxyx = fxxy = fyxx, fxyz = fzyx = fyzx = ... , etc., vorausgesetzt, samtliche vorkommenden Ableitungen sind stetig.

379

§2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veranderlicher

2.4 Die totale Ableitnng nnd lineare Approximation. Die Approximation einer Funktion durch eine (einfachere) "Ersatzfunktion" ist ein zentrales Thema der Analysis. Zur Beschreibung der Approximationsgiite verwenden wir folgende Abkiirzung: Definition des" a-Symbols". Fur zwei Funktianen f, g Xo ED, k E IN , schreibt man f(x) = g(x) + a(lx - xol k)

(3)

IRn ~ D -+ IR und

(fur x -+ xo) ,

falls lim f(x) - g(x) = 0 X-+Xo

Ix - Xo Ik

Das so definierte a-Symbol ist keine eindeutig festgelegte Funktion. Die Gleichung f(x) = g(x) + a(lx - xol k) besagt, daB der bei der Approximation von f durch g in der Niihe des Punktes Xo gemachte Fehler R(x, xo) := f(x) - g(x) klein ist im Vergleich zu Ix - Xo Ik , in dem Sinne, daB lim IR(x, xOI~ x-+xo x - Xo Insbesondere folgt (4)

lim (f(x) - g(x)) ~~

= lim

~~

R(x, xo)

= lim

~~

Ix - xol k IR(x, xOI~ x-~

=0

gilt.

=0 .

/ / /

/ / g(x)=x \

Abb. 169a - 0(1)

,

Abb. 169b - o(lxl)

Abb. 169c - 0(lxI2)

Die Approximation einer differenzierbaren Funktion einer Variablen f : I -+ IR (I S; IR ein offenes Intervall) in der Umgebung von xo E I durch die lineare Funktion g(x) = f(xo)+ f'(xo)(x-xo) (-+ Kap. 3, §1.3) wird mit dem a-Symbol geschrieben als (5)

f(x)

= f(xo) + f'(xo)(x

- xo) + a(lx - xol)

Fiir Funktionen von mehreren Variablen gewiihrleistet die partielle Differenzierbarkeit allein noch nicht die analoge Approximation durch lineare Funktionen (-+ Aufg. 6). Definition. Sei D S; IRn offen. Eine Funktion f : D -+ IR heij3t in Xo E D total differenzierbar (oder linear approximierbar), wenn es einen Vektar a E IRn mit

(6) (fur x nahe xo) gibt.

f(x)

= f(xo) + a . (x -

xo) + a(lx - xol)

380

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 1: Differentiation

Satz 2.3. 1st f in xo E D total dijferenzierbar, d.h. f(x) o(lx - xol), dann gilt: a) fist in Xo stetig; b)

1 [f(xo lim -t

1-->0

+ tv) - f(xo)] = a . v (fur alle v

E lR,n, V

= f(xo) + a . (x -

xo) +

=I 0);

fist partiell dijferenzierbar und a eindeutig bestimmt als a = grad f(xo).

c)

Beweis. a) folgt aus (4). b): Fur Punkte der Geraden Xo + tv ergibt (6) f(xo + tv) - f(xo) = t a . v + o(ltvl). Division durch t mit anschlieBendem Grenzubergang t ~ 0 liefert die Behauptung. c): Man nimmt v

= ei

in b) und erhalt mit (1) af (xo) ax;

Koordinate von a).

= a· ei = ai

(die i-te 0

1m Sinne der Definition (6) bedeutet also f(x) = f(xo) + grad f(xo) . (x - xo) + o(lx - xol) die lineare Approximation von f(x) nahe bei Xo.

(7)

Anschauliche Deutung fiir n = 2: Die "uber" D <; Graph) z = f(x, y) wird in der Nahe des Flachenpunktes (xo, YO, f(xo, YO» durch die Ebene

lR,2

liegende Flache (der

z = f(xo, YO) + fx(xo, yo)(x - xo)+ + fy(xo, yo)(y - YO)

mit einem Fehler R(x, y)

=0

x

(>I(x - xO)2 + (y - YOp)

y

approximiert. Diese Ebene heiBt Tan= f(x, y) im Sie enthalt samtliche Flachentangenten (~ 3.1). 0

gentialebene der Flache z Punkt (xo, yo, f(xo, YO» .

- grad f(xo'YO)

(xo'YO)

Abb. 170 - Tangentialebene

Bemerkung. Uber die tatsachliche GroBe des Fehlers bei der Approximation von f(x) durch f(xo) + grad f(xo) . (x - xo) werden wir erst in 3.2 genauere Angaben machen. Vorerst reicht uns die qualitative Fehlerangabe o(lx - xo!) . Satz 2.4. Jede 'ffl-Funktion f : D ~

lR, (D

<;

lR,n offen) ist auf D (d.h.

in

allen Punkten von D) total dijferenzierbar.

Beweis fur n =2. Sei (xo, YO) ED. Fur aIle (x, y) aus einer (hinreichend kleinen) r-Umgebung Ur(xo, YO) <; D gilt mit dem Mittelwertsatz fur Funktionen

381

§2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veriinderlicher

einer Veranderlichen f(x, y) - f(xo, Yo) = f(x, y) - f(xo, y) + f(xo, y) - f(xo, Yo) =

mit

~

zwischen x und Xo, f(x, y)

I)

fx(~,

y)(x - xo) + fy(xo, I))(Y - Yo)

zwischen y und Yo. Es folgt

= f(xo, Yo) + grad f(xo, Yo) .

(

xo) + R(x, y)

X -

Y - Yo

mit der Funktion R(x, y)

= [fx(~, y) -

fxCxo, yo)](x - xo) + [fy(xo,

I)) -

fy(xo, YO)](Y - Yo)

= oC/(x - xO)2 + (y - YO)2) .

Die letzte Beziehung ergibt sich aus der Stetigkeit von fx und fy und aus Ix - xol < 1 Iy - Yol < 1 . J(x - xO)2 + (y - YO)2 - , J(x - xo)2 + (y - YO)2 Beispiele. 1. In der Umgebung von (1, 1) lautet die lineare Approximation der 'tfl-Funktion f(x, y) =x4 + 2x 3i + y: f(x, y)

= f(1,

1) + grad f(1, 1) .

(~ :=

i) +

o( J (x - 1)2 + (y - 1)2)

=4+ 10(x -1)+5(y -1)+o(J(x -1)2 +(y _1)2) .

Dementsprechend ist z = 4 + lO(x - 1) + 5(y - 1)

die Gleichung der Tangentialebene der Flache z (1,1,4).

=x4+2x 3i+Y

im Flachenpunkt

2. Die lineare Approximation der 'tfl-Funktion f(x, y, z) = e x+2y + z sin Y +x im Nullpunkt lautet f(x, y, z) = f(O, 0, 0) + fxCO, 0, O)x + fy(O, 0, O)y + fz(O, 0, O)z + o( J x 2 + y2 + Z2) D

2.5 Einfache Anwendungen. Fur einfache Naherungs- und Fehlerrechnungen wird in (7) der "o-Anteil" vemachlassigt und f(x) in der Nahe des Punktes xo durch f(xo) + grad f(xo) . (x - xo) ersetzt. Man schreibt dafur (8)

CD

f(x)

R:j

f(xo) + grad f(xo) . (x - xo) .

Naherungsrechnung. Beispiel. f(x, y) = x y = e y1nx wird in (1,3) angenahert durch f(x,y) R:j 1 +3(x -1)+O(y -1); speziell 1.023.01 R:j 1.06 D (der genaue Wert: 1.023 .01 = 1.061418168 ... ).

382

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 1: Differentiation

CD

Fehlerrechnung. Werden statt der wahren Werte x = (Xl, ... , xn) die Niiherungswerte Xo = (XOl, ... , XOn) gemessen, dann belasten die MeBfehler It..Xi I = IXi - XOi I den Funktionswert mit dem Fehler

It..f(x) I = If(x) - f(xo)1 = Igrad f(xo)'

:: L n

Iax/XO) af I It..x;I + o(lx -

(x -

XO)

+ o(lx -

xo!)1

xol) .

1=1

Sind fur die einzelnen Messungen Fehlerschranken It..Xi I :::: Si bekannt, so erhiilt man eine ungefahre Fehlerschranke S fur die Funktionswerte ( It..f(x) I :::: S)

Beispiel. Fur den EZastizitatsmoduZ E eines Stabes mit quadratischem Querschnitt gilt beim skizzierten Versuchsaufbau E = 4FZ 3h- 1a- 4 • Abb. 171 - Biegung MiSt man I = 50cm (auf 1%), a = 2cm (auf 1%), h = 2mm (auf 3%) und F = BON (auf 0.5% genau), so gibt die Fehlerrechnung (mit linearer Approximation) t..E lEI

Rj

1 mIEFt..F + E/t..l + Eht..h + Ea t..a I

< -

1-1+31-1+1-111-1+1-411-1 F I h a

Rj

0.105

t..F

t..l

t..h

t..a

Obiger Versuchsaufbau liefert E auf 10.5% genau, d.h. E

=203125.000± 21328.000 mm N2

.

Direktes Auswerten von E durch Eintragen der Intervallgrenzen liefert bei den gegebenen Genauigkeiten und MaGeinheiten 203125.000 - 20159.451 :::: E :::: 203125.000 + 22600.720.

0

CD

Newton-Verfahren zur niiherungsweisen Losung eines nichtlinearen Gleichungssystems im }R2 f(x,y)=O, g(x,y)=O

(mit '/&"l-Funktionen f, g): Mit einem Startwert (Niiherungswert) (xo, YO) ersetzt man mit (8) dieses System durch das line are Gleichungssystem f(xo, YO) + fxCxo, yo)(x - xo) + fy(xo, yo)(y - YO) = 0 g(xo, YO) + gxCxO, yo)(x - xo) + gy(xo, yo)(y - Yo) = 0 ,

383

§ 2. Reellwertige Funktionen mehrerer ree1ler Veriinderlicher

fur das man im Fall

~

:= det (fAx o, YO)

fy(xo, YO») gAxo, YO) gy(xo, YO)

i

0

mit der Cramerschen Regel (--+ Kap. 6, 5.6) eine verbesserte Naherung Xl

= Xo + 1 det (- f(xo, YO) fy(xo, YO») , ~ -g(xo, YO) gy(xo, YO)

YI

= Yo

+ 1 det (fAxo, YO) - f(xo, YO») ~

gx(xo, YO)

-g(xo, YO)

berechnet. Mit diesem Wert (XI, YI) als Startwert kann das Verfahren wiederholt werden. Zur Darstellung der Zahnjianken von Stirnradgetrieben verwendet man die Kreisevolvente y

Beispiel 1.

x(t)

=

(

r sin t - r t cos t

.

r cos t + rt sm t - r

(a,b)

)

(d.i. die Ortskurve des Endpunktes eines Fadens, der von einem Kreis abgewickelt wird). SoIl y die Punkte (0,0) und (a,b) verbinden, so fuhrt dies auf zwei nichtlineare Gleichungen fur r und t: fer, t) := r sin t - rt cos t - a = 0 g(r, t) := r cos t + rt sin t - r - b = O.

Abb. 172 - Zahnflanke

Lineare Approximation von fund g im Punkt (ro, to) liefert das lineare Gleichungssystem (

sin to - to cos to roto sin to ) (r - ro) (f(ro, to») cos to + to sin to - 1 roto cos to t - to + g(ro, to)

Hierbei ist die Determinante ~ = roto(sin to - to) stets Die Lasung (rl, tl) liefert eine verbesserte Naherung ( r\) tl

(ro)

1 (rotocosto

i

0

= .

0, sofem nur roto

-rotosinto) (f(ro,to»)

i

0.

= to - ~ 1 - cos to - to sin to sin to - to cos to g(ro, to) . (a, b) = (1, 1) und die Startwerte (ro, to) = (2,1.2) liefert ein kleines Rech-

Fur nerprogramm folgende rasch konvergierenden Naherungswerte: ro

=2

2.1259866695 = 2.1289130127 = 2.1289145239

rl = r2 r3

to = 1.2 = 1.1744908026 t2 = 1.1750438903 t3 = 1.1750426289

t\

384

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

Man beachte, daB dieses Verfahren keine eindeutige Lasung liefert: Mit dem Startwert (ro, to) = (1, 8) liefert obiges Programm nach 5 Schritten die Naherung r

= 0.18223,

t

= 8.4381

,

die fiir die technische Aufgabenstel0 lung nicht brauchbar ist. Abb. 173 - Kreisevolvente

Beispiel 2. Bairstow-Verfahren zur naherungsweisen Berechnung aller komplexen Nullstellen eines reellen Polynoms p(x) = aoxn + a1x n- 1 + ... + an (ai E lR., ao 7'" 0) . Ein quadratisches Polynom q(x) = x 2 - ux - V ist genau dann ein Teiler von p(x) , wenn in der Zerlegung (~ Kap. 2, 2.5 (7» p(x)

= (x 2 -

ux - v)h(x)

+ (ax + b)

die Koeffizienten a, b des Restes verschwinden, d.h. wenn u, v Lasungen sind von a=a(u,v)=O,

b=b(u,v)=O.

Dieses Gleichungssystem, das fiir n 0:: 2 stets eine Lasung in lR.2 besitzt (~ Kap. 2, Satz 2.10), wird mit dem zweidimensionalen Newton-Verfahren naherungsweise gelast. Die Berechnung von a(u, v) und b(u, v) erfolgt mit dem Homer-Schema (~ Kap. 2, §2). 1st eine Naherungslasung u, v gefunden, so gibt die quadratische Gleichung x 2 - ux - v = 0 zwei Nullstellen von p(x). Da das Homer-Schema gleichzeitig die Koeffizienten von h(x) liefert, kann der Algorithmus sofort an h(x) wiederholt werden. Die Wahl von giinstigen Startwerten Uo, Vo ist i.a. schwierig, daher muB mitunter mehrfach mit unterschiedlichen uo, Vo begonnen werden. , Programm BAIRSTDW , -----------------Input "Polynomgrad=";N Eps=1.0E-07 Steps=30 M=N Dim B(N),C(N) For I=O To N Print "a"+Str$(I) Input BCI) Next I While M>2 Start: Input "Startwerte UO= ,VO= ";U;V S=O

Repeat Bk=O Bk_l=O Ck=O Ck_l=O For K=O To M-l Ck_2=Ck_l Ck_l=Ck Bk_2=Bk_l Bk_l=Bk Bk=B(K)+U*Bk_l+V*Bk_2 C(K)=Bk Ck=Bk+U*Ck_l+V*Ck_2 Next K

§2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veranderlicher

385

, -------------------------------

Bk_2=Bk_1 Bk_1=Bk Bk=B(M)+U*Bk_1+V*Bk_2 C(M)=Bk Det=Ck_1*Ck_1-Ck_2*Ck If Det=O Then Print "Neue Startwerte!" Goto Start End if U=U+(Bk*Ck_2-Bk_1*Ck_1)/Det V=V+(Bk_1*Ck-Bk*Ck_1)/Det S=S+1 If S=Steps Then Print "Neue Startwerte!" Goto Start Endif Until Abs(Bk_1)+Abs(Bk)<Eps Gosub Quadr_gleichg M=M-2 For K=O To M B(K)=C(K) Next K Wend If M=1 Then Print "reelle Wurzel:";-B(1)/B(O) Else U=-B(1)/B(O) V=-B(2)/B(O) Gosub Quadr_gleichg Endif End

Procedure Quadr_gleichg X=U/2 Y=X*X+V W=Sqr(Abs(Y» If Y=O Then Print "doppelte Wurzel:";X Else Print "2 Wurzeln: lI ;

If Y>O Then If X>=O Then Print X+W;II, ";-V/(X+W) Else Print X-W;II, ";-V/(X-W) Endif Else Print X;

II

+-i* I1;W

Endif Endif Return

o

2.6 Die Richtungsableitung, der Anstieg und die KettenregeI. Die partiellen Ableitungen

;~. (x)

geben gemaB (1) die "momentane" Anderung der

I

Funktionswerte in Richtung der Koordinatenachsen (d.h. in ei-Richtung) an. Es ware unvemiinftig, sich auf diese Richtungen zu beschranken. Zu jedem Vektor v E lR,n, V =I 0, nennen wir den Grenzwert (9)

Jvf(x) := lim }[f(x + tv) - fex)] (-->0

(sofem er existiert) die Abfeitung von f an der Stelle x flings v. 1st vein Einheitsvektor (Ivl = 1 ), dann heiBt Jvf(x) die Richtungsabfeitung (oder Anstieg) von f an der Stelle x in Richtung v.

386

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

Bemerkung. Fur ov!(x) sind die Bezeiehnungen

~~ (x)

oder Dv f(x) eben-

falls weit verbreitet. Betraehtet man die Einsehrankung von f langs der Geraden x+tv (in Riehtung v), also h(t) := f(x + tv) , dann gilt h(O) = ov!(x) und deshalb ov!(x) > 0 ov!(x) < 0

f(x) nimmt in Riehtung v zu, f(x) nimmt in Riehtung v abo

=} =}

Eine anschauliche Deutung fur n = 2 : Die Sehnittkurve des Graphen z = f(x, y) mit der zur z-Aehse parallelen Ebene dureh die Gerade

(~~) +t (~~)

,

v = (~~)

,

Ivl

z = f(x,yl

=1 ,

besitzt die Parameterdarstellung x(t) = (

~: : ~~~

f(xo + tVi, Yo + tV2)

)

mit dem Tangentialvektor x(t)

=(

~~

ovf(xo, Yo)

)

Abb. 174 - Richtungsableitung

im Kurvenpunkt (xo, yo, f(xo, Yo)) . Die Tangente hat in der Tat den Anstieg D

ov!(xo, Yo) .

Eine physikalische Deutung fiir n = 2: Ein Massenpunkt uberquert eine ebene Platte mit konstanter Gesehwindigkeit v = (VI, V2)T (nieht notwendig Ivl = 1 ). Herrseht auf der Platte die Temperaturverteilung T = f(x, y), so gilt fur die momentane Temperaturanderung des Punktes in (xo, Yo)

lim -t1 [f(xo + tVI, Yo + tV2) - f(xo, Yo)] = Ov f(xo, Yo) .

D

1--'>0

Aus den Satzen 2.3 und 2.4 folgt: Satz 2.5. Fur jede auf der offenen Menge D S; lRn total differenzierbare Funktion f (insbesondere fur f E ~I(D, lR)) und fur jeden Vektor v E lRn, v =f 0, gilt n

Ov f(x)

(10)

= grad f(x) . v = L

fx; (x)v;

;=1

=

Mit Ivl 1 stellt (10) die Richtungsableitung (bzw. den Anstieg) von f Stelle x in Richtung v dar.

an der

387

§2. Reellwertige Funktionen mehrerer ree1ler Veriinderlicher

Beispiele. 1. Der Anstieg der Funktion J(x, y) = x 2 + i im Punkt (1,1) m Richtung des (Einheits-) Vektors v = (sin a, cosa)T betragt cosa) = (2, 2 (cosa) . a) . av!(x) = grad J(1, 1) '( . ). = 2(cos a + sm sm a sm a 2. Der mit der Geschwindigkeit v = (2, 4, 7)T (Einheiten vemachlassigt) einen Raum mit der Temperaturverteilung T = J(x, y, z) = 2xy + 4yz durchquerende Massenpunkt erfahrt im Punkt (1, 1, 1) die momentane Temperaturanderung a.t(l, [, [)" grndf(l, l, [), 3. Fur die durch A

= AT E JRnxn

m"mm

= 56,

bestimmte quadratische Form q gilt:

q(x) = x T Ax, avq(x) = 2 (Ax) . v , grad q(x) = 2Ax.

(11)

Beweis. avq(x)

= lim -t1 [q(x + tv) 1-*0

q(x)]

T Ax + x T Av + tv T Av) = 2(Ax)· v . = lim(v 1-*0

o

Die physikalische Deutung der Ableitung langs v legt es nahe, das Anderungsverhalten der Funktion J langs einer im Definitionsbereich verlaufenden Kurve (Bahn eines bewegten Punktes) zu untersuchen.

Satz 2.6. Die Kettenregel. Fiir jede ,&,l-Funktion J : D -+ JR, D S; JRn offen, undJiir jedes Kurvenstiick x: JR;2 [a, b] -+ D gilt

(12)

d dt J(x(t»

= dtd J (Xl (t), X2(t), ... , xn(t») =JXl (x(t»)Xj(t) + ... + JXn (X(t»)Xn(t) = grad J(x(t». x(t) .

Beweis. Aus der linearen Approximation (7) in einem Kurvenpunkt x(t) nahe Xo := x(to), J(x(t» - J(xo) = grad J(xo) . (x(t) - xo) + R(x(t), xo) mit dem Fehler R(x, xo) =o([x - xot) , ergibt sich nach Division durch t - to und Grenzubergang t -+ to die Behauptung; denn es gilt lim R(x(t), xo) t - to

Hlo

= lim Hlo

[xU) - xo[ . R(x(t), xo) t - to [x(t) - xo[

=0

.

o

388

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

Die Kettenregel benotigt man immer dann, wenn neue Variable eingefuhrt werden und die partiellen Ableitungen in bezug auf diese Veranderlichen zu berechnen sind. Beispiel 1. Polarkoordinaten im lR2 . Durch x = r cos cp, y Funktion f(x, y), (x, y) E D ~ lR 2 , transformiert in

= r sin cp

wird die

F(r, cp) := fer cos cp, r sin cp) .

Falls f E 'tf'2(D) , ergibt sich fur die partiellen Ableitungen von F aus der Kettenregel Fr = fx cos cp + fy sin cp , Frp = fxC-r sincp) + fy(r coscp) , Frr = fxx cos 2 cp + 2fxy cos cp sin cp + fyy sin 2 cp , Frrp = fxxC -r sin cp cos cp) + fXyr(cos 2 cp - sin 2 cp) + fyy(r sin cp cos cp) - fx sin cp + fy cos cp , Frprp = fxx (r2 sin 2 cp) + 2fxy( _r2 cos cp sin cp) + fvy (r2 cos 2 cp) - fxr cos cp - fyr sincp .

Lost man diese Beziehungen nach den partiellen Ableitungen von f erh1:llt man fur r =I 0

auf, so

~ Frp sin cp f y = Fr sm cp + r Frp cos cp fx = Fr cos cp -

.

1

und fur den LAPLAcE-Operator 1 1 l!..f := fxx + fyy = Frr + - Fr + -2 Frprp .

(13)

r

r

o

Beispiel 2. Kngelkoordinaten im lR3 • Durch

x

= r cos cp sin (),

y

= r sin cp sin (), z = r cos ()

(O:s cp < 2rr, O:s () :s rr)

erh1:llt man fur die Funktion f(x, y, z) F(r, cp, ()) := fer cos cp sin (), r sin cp sin (), r cos ()) .

Mehrfache Anwendung der Kettenregel und anschlieBendes Aufiosen ergibt fur den LAPLAcE-Operator l!..f := fxx + fyy + fzz = (14)

1 =Frr + -r2 Fr + r2 sm.1 2 () Frprp + 2r1 Fee + 2(cot())F e. r

o

389

§ 2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veranderlicher

Aufgaben

f

1. Gegeben sind die Funktionen f(x, y) = x 2 -

IR 2 --+ IR

i

= VIxYI

f(x, y)

'

f(x, y)

= Ixl + Iyl

a) Zur Veranschaulichung im IR3 bestimme und skizziere man - die Niveaulinien - die Graphen der Einschrankungen - den Graphen z = f(x, y)

(f(x, y) = const) (x = const bzw. y = const bzw. y/x = const) im Schragbild .

32 f . 32 f b) Soweit mi:iglich berechne man grad fund 6.j = 3x 2 + 3y2 und skizziere einige Gradienten. 2. a) Berechne die ersten und zweiten partiellen Ableitungen von

f

= In

Welchen Wert hat jeweils

vix 2 + y2;

j~x

f

= arctan

~ , x1

°.

+ fyy ?

b) Wie lautet jeweils die Gleichung der Tangentialebene im Punkt mit x

= 2,

y

=1 ?

c) Fur die Funktion f(x, y) = arctan ~, x 10, bestimme man - den Gradienten grad f im Punkt (1,2), -

die Richtungsableitung dvf im Punkt (1,2) mit v in Richtung von

~~,wenn 3. Die Funktion

z=

z=f(t-sint,I-cost), tEIR. f(p, q) ist definiert als die gri:iBte reelle Wurzel von Z2

+ pz + q =

°.

Wie lautet der Definitionsbereich von f; wie lauten die Hi:ihenlinien 3z 3z?. . 11 en Abl' partIe eltungen 3p' 3q

z = const. und die

4. Man berechne die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Funktion f(x, y, z)

=X· eXY / z

5. Fur f, g : IRn --+ IR rechne man nach:

f grad g , f 6.g + 2 (grad f) . (grad g) + g 6.f .

g grad f +

grad(f· g)

6.(f . g)

I

6. Gegeben ist die Funktion (Sinuskegel) f(x, y) =

-

(_~),

x3 - 3xi x2 + y2

' (x, y) 1(0, 0)

° ,

(x,y)=(O,O)

Man berechne gradf fur aile (x, y) E IR. Sind fx und fy in (0, 0) stetig? Besitzt f in (0, 0) eine Tangentialebene?

390

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 1: Differentiation

7. Die Funktion U = I(x, y), (x, y) E IR2, hat in Polarkoordinaten (r, cp) die Gestalt (Sinusparaboloid): U = F(r, cp) = I(r cos cp, rsincp) = r2 sin4cp . Man berechne: F,., F"" F,.,., F,."" F",,., Fcp", fUr r =0 , Ix, Iy ausgedriickt durch Fr , F"" - grad U in der Basis (el"' e",) , (---+ § 1, Aufgabe 5), IxxCO, 0), Ixy(O, 0), lyxCO, 0), lyy(O, 0) . 1st lyxCO, 0) = Ixy(O, 0) und ist Frrp(O, cp) = Frpr(O, cp)? 8. Die Funktion u(x, y, t) = sinx cos y cos(x + y) cos(x - y) cos wt

beschreibt fiir > 0 die Transversalschwingung einer biegeweichen Membran ]f in dem Quadrat Ixl + Iyl :':: "2 . a) Man zeige: gleichung

u lost die Schwingungs-

~:~ = c ~u = c O:~ + ~:~) 2

u

.

2

In welchem Zusammenhang stehen c und w?

x

b) In welchen Punkten ist zu allen Zeiten t stets u = 0 (Knotenlinie)? 9. Die Schnittkurve K der beiden Fliichen

z = I(x,

= 2x 3 y - X 2y 3 Z = g(x, y) = 3xy 3 +x 3 y2 y)

5

durchstoBt die x, y-Ebene in der Niihe des Punktes (xo, Yo) = (1, 1). Zur Verbesserung dieses Wertes bestimme man: a) die Tangentialebene von z = I(x, y) in (xo, Yo) ; b) die Tangentialebene von z = g(x, y) in (xo, Yo) ; c) den Schnittpunkt (Xl, Yl) der Schnittgeraden dieser beiden Ebenen mit der Ebene z =0; d) die Werte I(XI, Yl) und g(XI, Yl) . 10. Man zeige: Die Funktion

I : IR2

---+ IR

I(x, y) =

{ e -l/x 1

, X

10

, x =0

ist eingeschriinkt auf die Geraden y = mx, m E IR, stetig. 1st I iiber IR2 stetig? Man skizziere einige Niveaulinien von

I .

391

§3. Anwendungen der Differentiation

§ 3. Anwendungen der Differentiation 3.1 Die Bedeutung des Gradienten

CD

Richtung des starksten Anstiegs. Fur eine 'i'l-Funktion f : 1Rn ;2 D ~ 1R ist der Anstieg im Punkt XED in Richtung eines Vektors v E 1Rn, Ivl = 1 , gegeben durch Bvf(x) = grad f(x) . v = I grad f(x)1 cosa, wobei a den Winkel zwischen grad f(x) und v bezeichnet (~ §(10) und Kap. 1, §5). Dieser Anstieg ist am groBten fur cos a = 1 , d.h. fur a = O. Also gilt fur grad f (x) f. 0: Richtung von grad f(x) = = Richtung des maximalen Anstiegs der Funktion f

= Richtung mit groBtem Zuwachs von

f in x.

in x

Da f genau dann ansteigt, wenn - f abfallt, erhalt man damit gleichzeitig die Richtung des starksten Abnehmens ("AbfaIls") der Funktionswerte, namlich - grad f(x) . Speziell ergibt sich fur den Graphen einer 'i'l-Funktion f : ]R2 ;2 D ~ 1R: 1m Punkt (x, y) erfolgt der steilste Anstieg der Flache z = f (x, y) in Richtung von grad f(x, y). Die Ebene senkrecht zur (x, y)-Ebene durch den Flachenpunkt (x, y, f(x, y)) langs gradf(x, y) schneidet den Graphen in der "Fallinie".

(!; ) grad f(x,yJ Abb. 175 - gradf(x,y)

Anwendungen. 1. Die elektrische Feldstiirke E(x) im Punkt XED <; 1R3 hat die Richtung des starksten Spannungsabfalls in einem elektrostatischen Spannungsfeld U(x), da E(x) = - grad U(x) (~ Kap. 8, 2.5). Beispiel. Das Potential einer Punktladung in 0 ist U(x) mit der Feldstarke E(x)

c = TXT'

= -c grad _111 = ..!:.-...3 x . x Ixl

x f. 0, c

E

1R,

o

2. Das Gradientenveifahren zur Bestimmung von Maximum (oder Minimum) einer Funktion f. Ausgehend von einem Startwert Xo bestimmt man in Richtung von grad f(xo) (bzw. - grad f(xo) ) einen Punkt Xl = Xo + h grad f(xo) mit einer dem Problem angepaBten Schrittweite h > 0 (h < 0 ). 1m FaIle f(xd < f(xo) (bzw. f(X1) > f(xo)) ist man zu weit gegangen, man versucht es deshalb noch einmal mit halber Schrittweite: Xl

=Xo + 2h grad f(xo) .

392

7. Funktionen in rnehreren Variablen. Teil ): Differentiation

1st f(x)) > f(xo) (bzw. f(x)) < f(xo)), so nimmt man xl als neuen Startwert und wiederholt das Verfahren. Auf diese Weise nahert man sieh auf einem Streekenzug in D einer Maximal- (bzw. Minimal-) Stelle der Funktion. Diese Stelle hangt yom gewahlten Startwert ab und bestimmt nieht notwendig das globale Maximum (bzw. Minimum) von f auf D (---+ 3.4).

f(x) =1

--T-.f---t-

Minimum

Abb. 176 - Gradientenverfahren

Beispiel. Bei der Struktursynthese ebener Kurbelgetriebe stellt sieh

die Aufgabe, aus N MeBpunkten (Xi, Yi) in der Ebene eine Kreisbahn zu rekonstruieren. Da die Punkte fiir N > 3 im allgemeinen nieht auf einem Kreis liegen, bestimmt man die Mittelpunktskoordinaten x, Y und den Radius r als Minimalstelle der Fehlerquadratfunktion

L N

F(x, y, r) =

o

Abb. 177 - Interpolation mit Kreis

(.J(xi - x)2 + (Yi - y)2 - r)

2

i=!

Wahlt man die Startwerte iiber einen Kreis, der dureh drei der N Punkte (Xi, Yi) geht, so liefert das Gradientenverfahren fiir das skizzierte Beispiel naeh wenigen Sehritten eine brauehbare "Lasung". Zur Programmierung der Sehrittweitenhalbierung und des Abbruehkriteriums (---+ Programm NLSQ in 3.5). 0

® Tangenten und Tangentialebene

Sei D S; IRn offen und f : D ---+ IR eine ~!-Funktion, dann definiert f(x) = c (c E IR konstant) eine Hyperftaehe in D. Fiir jede parametrisierte Kurve t r-+ x(t) auf dieser Hyperftaehe gilt f(x(t)) = c (t E 1) , und mit der Kettenregel (12) von §2 folgt (1)

grad f(x(t)) . x(t) = 0 .

Diese Formel werten wir nun getrennt fiir n = 2 und n = 3 aus. n = 2: In jedem Punkt (xo, Yo) der Niveaukurve f(x, y) = c ist grad f(xo, Yo) orthogonal zur Kurventangente. Man sagt aueh, grad f(xo, Yo) ist im Kurvenpunkt (xo, Yo) orthogonal zur Niveaukurve f(x, y) = C. Diese Feststellung liefert fiir den Fall grad f(xo, Yo) =I 0 sofort die

393

§3. Anwendungen der Differentiation

(2)

Normalengleichung der Tangente an die Niveaukurve f(x, y) = c im Kurvenpunkt (xo, YO) :

+ fy(xo, yo)(y - Yo)

fAxo, yo)(x - xo)

=0 .

Speziell ergibt dieses fur den Graph y = f(x) einer Funktion in einer Veranderlichen, implizit dargestellt durch F(x, y) = y - f(x) = 0, die Gleichung der Kurventangente grad F(xo, YO)· (x - x o ) y - Yo

= 0, also

y - Yo - f'(xo)(x - xo)

= o.

n = 3: In jedem Punkt xo = (xo, Yo, zo) der durch f(x) = f(x, y, z) = c implizit dargestellten Flache ist grad f(xo) orthogonal zu den Tangenten samtlicher parametrisierten Flachenkurven durch diesen Punkt. Kurz: grad f(xo) ist orthogonal zu allen Tangenten an die Flache im Punkt Xo, bzw. grad f(x) ist in jedem Flachenpunkt orthogonal zur Niveauflache f(x) = c. Die Ebene, die von den Tangenten an Abb. 178 - Tangentialebene die Flache in einem Flachenpunkt aufgespannt wird, heiSt Tangentialebene. 1st grad f(xo) =I 0, so ist grad f(xo) . (x - xo) = 0 eine Normalengleichung, d.h. explizit Normalengleichung der Tangentialebene an die Niveauflache (3) f(x, y, z) = c im Flachenpunkt (xo, Yo, zo): fx(xo, Yo, zo)(x - xo) + fy(xo, Yo, zo)(y - Yo)

+ fz(xo, Yo, zo)(z - zo)

= o.

Speziell ergibt sich fur den Graph einer 'i:f 1_ Funktion z = f (x, y) , dargestellt als Niveauftache F(x, y, z) = z - f(x, y) = 0, die (bekannte, ~ 2.4) Gleichung der Tangentialebene

grad F(xo, Yo, zo) . z - Zo

(~ =~~) = 0, also

= fAxo, yo)(x -

z-

Zo

xo)

+ fy(xo, yo)(y - Yo) .

Beispiele 1. Die Kreistangente im Punkt (xo, YO) an (x - u)2 + (y - v)2 = r2 hat die Gleichung 2(xo - u )(x - xo) + 2(yo - v)(y - Yo) = o. Dieses kann mit der Kreisgleichung leicht umgeformt werden zur bekannten Formel (xo - u )(x - u)

2. Das Paraboloid

+ (Yo - v)(y - v) = r2 .

394

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil l: Differentiation

besitzt im Flachenpunkt (Xo, yo, zo) die Tangentialebene xo(x ~ xo) + yo(y ~ Yo) _ p(z - zo) a b

=0 .

Eine leichte Umformung erbringt XoX + YoY _ p(z + zo) a2 b2

=0 .

D

3.2 Approximation hijherer Ordnung; die TAYLOR-Formel. Wir verallgemeinern die TAYLOR-Formel fiir Funktionen einer Veranderlichen (---+ Kap. 5, §4) auf 'ifk-Funktionen f : lRn :;2 D ---+ lR in n 2: 1 Veranderlichen. Dazu betrachten wir fiir XED und v E lRn die Funktion h(t) := f(x + tv) (o:s t :s 1) der einen reellen Variablen t, vorausgesetzt, die ganze x mit x + v verbinden de Strecke liegt in D. Vereinfachend setzen wir deshalb voraus, daB D ein konvexes Gebiet ist, d.h. 1. D ist offen, 2. x, y ED=} x + t(y - x) E D fiir aIle t E [0, 1] .

x Abb. 179a - Konvexes Gebiet

Abb. 179b - Kein konvexes Gebiet

Die Taylor-Formel fiir h(t) an der Stelle t

=0

lautet

_ . 1 .. 1 (k) 1 (k+l) h(1)-h(O)+h(O)+ 2!h(0)+ ... + k!h (0)+ (k+l)!h (~k)

(4)

mit einer Zahl

~k

zwischen 0 und 1 (---+ Kap. 5, §4(1)). Die Ableitungen

h(l)(t) , bzw. h(l)(O), berechnen wir mit der Kettenregel. Sie lassen sich mit dem

Differentialoperator

a a av = VaXl l - + ... + V n Xn iibersichtlich darstellen, wobei zu beachten ist, daB av : 'ifl(D, lR) ---+ 'ifl-I(D, lR),

f(x)

(die Ableitung langs v) linear ist und a~f(x) Anwendung von av bedeutet. Man erhalt h(O)

= f(x)

h(t) = grad f(x + tv) . v ,

h(o)

v

h(t)

= I>i [grad fx,(x + tv) . v]

,

i=l

Diese Werte in (4) eingetragen ergeben:

av/(x) ,

= av(. .. (avf(x)) ... )

h(1)=f(x+v) , n

1--*

die l-malige

,

= a f(x) , h(O) = a; f(x),

etc.: h(l)(O)

= a~f(x)

.

395

§3. Anwendungen der Differentiation

Satz 3.1. Die Taylor-Formel fur n Variable. 1st D ~ lRn ein konvexes Gebiet, f E 'i!fk+l (D, lR), xED, dann gilt mit x + v EDdie Approximationsformel

f(x + v) (5)

= f(x) + av!(x) + 2!1 a; f(x) + ... + k!1 a! f(x) + Rk(X, v)

mit dem Restglied mit einer Zahl

~k

Rk(X, v) =

(k;

1)! a!+l f(x + ~kV)

zwischen 0 und 1

Die Taylor-Formel dient zur Approximation von f(x) in der Umgebung eines festen Punktes Xo E D durch ein Polynom, das sog. Taylor-Polynom 1

p(x) := f(xo) + av f(xo) + ... + k! a! f(xo)

(mit v := x - xo). Der dabei auftretende Fehler f(x) - p(x) geht schneller gegen Null als Ix - xol k ; es gilt (6)

f(x)

Beweis fur k

= 2.

= p(x) + o(lx -

xol k )

Mit der Taylor-Formel (5) und v l I n

f(x)-P(x)=3!a;f(xo+~2V)=3!

L

.

=x -

Xo gilt

ViVjvzfxixjx,(XO+~2V).

i.j.k=l

1st f eine 'itf3 -Funktion, so ist fXiXjX/XO + ~v) mit v -... 0 beschriinkt, ebenso

I~I :S 1 fur aIle i (v i 0) . Daherstrebt

f(x) - p(x) Ivl2

1"

Vi Vj

=3!~fxixjx,(XO+~2V)TVTTVTvl gegen 0

(v-...O).

o Fur eine 'itfk-Funktion (k:::: 2) heiBt die nach Satz 2.2 symmetrische Matrix fXIXI (x) , ... , Hf(x) := (fx,Xj(x)) = (

:

fXnXI (x),

die HESSE-Matrix von f im Punkt x. Wegen av f(x) = grad f(x) . v und a; f(x) = v T H f(x)v lautet die Taylorformel (5) (mit x = Xo, v = x - xo) in den vielbenutzten Spezialfiillen k = 0, 1, 2 wie folgt:

396

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

a) f(x)

= f(xo) + grad

f(x) . (x - xo)

x auf der Strecke von Xo nach x f(x) = f(xo) + grad f(xo) . (x - xo) + ~(x mit

(7)

b)

(Mittelwertsatz), xol Hf(x*)(x - xo)

mit x* auf der Strecke von Xo nach x, 1 T c) f(x) = f(xo) + gra d f(xo)· (x - xo) + :2(x - xo) Hf(xO)(x - Xo) +o(lx - xoI 2 ).

Die anschauliche Deutung von (7c) fUr n

= 2, 3

n = 2: Der Graph z = f(x, y) wird in einer Umgebung des FHichenpunktes (xo, Yo, f(xo, Yo» approximiert durch die Schmiegquadrik z

=f(xo, Yo) + fx(xo, yo)(x 1

xo) + fy(xo, yo)(y - YO)+

1

2

+ :2 fxx(xo, yo)(x - xo) + fxy(xo, yo)(x - xo)(y - Yo) + :2 fyy(xo, yo)(y - Yo)

2

.

Dieses ist, falls Hf(xO, Yo) =j. 0, ein Paraboloid oder ein parabolischer Zylinder. Man nennt den Flachenpunkt iiber (xo, Yo) flach, wenn die Schmiegquadrik eine Ebene ist (Hf(xo, Yo) = 0), der Punkt heiSt elliptisch (hyperbolisch, parabolisch), wenn die Schmiegquadrik ein elliptisches Paraboloid (bzw. ein hyperbolisches Paraboloid, ein parabolischer Zylinder) ist.

-

~\ L-) Abb. 180 - Elliptischer, hyperbolischer, parabolischer Fliichenpunkt

z Beispiel.

Der Affensattel

z =x 3

-

3xi

hat im Punkt (x,y) = (0,0) einen Flachpunkt mit der (x, y)-Ebene als Tangentialebene. Die Hesse-Matrix lautet Hf

= (-~~

=~~)

,

Abb. 181 - Affensattel

ihre Determinante -36(x 2 + y2) ist auSerhalb von (0,0) stets < 0, d.h. jeder Punkt der Flache mit (x, y) =j. (0,0) ist hyperbolisch. 0

397

§3. Anwendungen der Differentiation

n = 3: Die Niveauflache f(x, y, z) = c wird in der Niihe eines Fliichenpunktes (xo, yo, ZO) approximiert durch die Quadrik X - Xo ) (X - Xo grad f(xo, Yo, zo)· ( Y - Yo + ~ Y - Yo z - zo z - Zo

)T Hf(xo, yo, zo) (Xy --

Xo ) Yo = 0 . z - Zo

Beispiel. Als Schmiegquadrik besitzt die Niveauftiiche

x cos y + Y cos z + z cos x = 2 im Fliichenpunkt (0,0,2) ein zweischaliges Hyperboloid

o

x + (cos 2)y + (z - 2) - x 2 - (sin 2)y(z - 2) = 0 .

Bemerkung. Wird (auf irgend eine Weise) eine Approximation der Form f(x) = ao +

L ai(xi -

XOi) +

L aij(xi -

XOi)(Xj - XOj) + ... + o(lx - xol k )

i.j

ermittelt, dann sieht man leicht durch Differenzenbildung mit der Taylor-Formel, daB es sich hierbei bereits urn die Taylor-Approximation handelt. Diese Beobachtung erlaubt die Berechnung der Taylor-Approximation aus bekannten Reihenentwicklungen (-+ Kap. 5, 4.3). Beispiel.

ex+Y + sin(xy)

= 1 +x + y + ~(x + y)2 + i!(x + y)3 +xy -

+o(x2+y2)3/2).

i!(Xy)3+ 0

3.3 Implizite Funktionen. Urn eine Funktion g : lR,

;2 D -+ lR, mit den Methoden der Differentialrechnung zu diskutieren, war es bis hierher im konkreten Fall stets notig, daB g durch einen expliziten Formelausdruck y = g(x) mit y den elementaren Funktionen der Analysis (-+ Kap. 2 u. 3) darstellbar ist. Hat man dagegen den Zusammenhang zwischen x und y implizit durch eine reelle Gleichung f(x, y) = 0 gegeben, so ist "y als Funktion von x" noch nicht eindeutig festgelegt, da es zu eix x nem festen Xo mehrere Losungen y Abb. 182 - Implizite Funktion von f(xo, y) = 0 geben kann.

Definition. Sei f : lR,2 ::) D -+ lR,. Man sagt, durch f(x, y) = 0 ist auf dem Interval! I ~ lR, eine implizite Funktion g : I -+ K mit Werten in K ~ lR, erkliirt, wenn es zu jedem x E I genau ein y E K gibt mit (x, y) E D und f(x, y) = O. Dieses y wird mit g(x) bezeichnet.

Anschaulich: Der im Rechteck {(x, y) ; X E I, Y E K} verlaufende Bogen der Niveaulinie f(x, y) = 0 ist als Graph y = g(x) darstellbar.

398

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

Beispiele. 1. Durch f(x, y) = 3x + 2y - 1 = 0

(D = lR?) ist die implizite

Funktion g : IR ~ 1R, g(x) = ~(1 - 3x) erkHirt. In diesem Fall ist f(x, y) explizit fiir jedes x E IR eindeutig nach y auf/as bar.

=0

2. Durch f(x, y) = eY + l +x3 +x2 - 1 = 0 (D = 1R2 ) ist ebenfalls genau eine implizite Funktion g : IR ~ IR erklart; denn zu jedem x E IR hat die Gleichung eY + l = 1 - x 2 - x 3 genau eine Lasung y =: g(x) (h(y) := eY + y3 ist strikt monoton wachsend und hat als Wertebereich 1R). Durch formale Manipulation kann die Gleichung e Y + l +x 3 +x 2 -1 = 0 nicht nach y aufgelast werden. Ohne eine explizite Darstellung zu besitzen, ist daher nur die Existenz einer (eindeutig bestimmten) Funktion g gesichert mit eli(x) + g(x)3 + x 3 + x 2 - 1 = 0 .

3. Durch x 2 + i-I = 0 sind implizit zwei Funktionen g[ : [-1, 1] ~ [0, I] , g[(x) = ~ und g2 : [-1, 1] ~ [-1,0], g2(X) = -~ erklart. 0 Satz 3.2 fiber implizite Fuuktionen. Sei D s::; IR 2 offen und f : D ~ IR stetig partiell difJerenzierbar. 1st (xo, YO) E D ein Punkt der Niveaumenge f(x, y) = 0 mit fy(xo, YO) =j. 0, dann gibt es Intervalle I s::; IR und K s::; IR mit Mittelpunkt Xo bzw. Yo so daj3 gilt: a)

R={(X,Y);XEI, YEK}S::;D und fy(x,y)=j.Ofiiralle (x,Y)ER.

b)

Durch f(x, y) = 0 ist auf I eindeutig eine difJerenzierbare implizite Funktion g : I ~ K (mit Werten in K) erkliirt mit der Ableitung

(8)

g'(x)

=-

fAx, g(x)) fy(x, g(x))

= _ fAx, y) fY(x, y)

for aile x

E

I .

Beweis. Wir gehen aus von (xo, YO) = (0,0) und fy(O,O) > 0, was man durch Koordinatenverschiebung und evtl. Ubergang zu - f stets erreichen kann. a): Aufgrund der Stetigkeit von fy gilt fY(x, y) > 0 in einer ganzen Umgebung U = {(x, y); x 2 + i < c2 } (c > 0) des Nullpunkts. b): Wir betrachten nun f nur noch auf hO Rechtecken {(x, y) ; -a :s x :s a, -fJ :s f=O y :s fJ } , die ganz in U enthalten sind. Da die Funktion y ~ f(O, y) (mit f(O,O) = z x 0) echt monoton wachst (~ Kap. 3), gilt f(O, -fJ) < 0, f(O, fJ) > 0 und deshalb (wegen der Stetigkeit) f(x, -fJ) < 0, f(x, fJ) > 0 fiir ein hinreichend kleines InAbb. 183 - Zurn Beweis tervall -a:S x :s a . Mit solchem a wahlen wir I := (-a, a), K := (-fJ, fJ). Fiir x E I ist (wieder wegen fy(x, y) > 0) die Funktion y ~ f(x, y) echt monoton wachsend und deshalb gibt es genau ein y E K mit f(x, y) = O. Das zu x E I eindeutig bestimmte y mit f(x, y) = 0 wird mit g(x) be-

399

§3. Anwendungen der Differentiation

zeichnet. Fur jede Folge (Xn)no::l aus I mit Xn -+ x gilt g(x n ) -+ g(x) (wegen f(x n , g(x n » -+ f(x, y»; also ist g stetig. Fur x E I, Y = g(x), ~y = g(x + ~x) - g(x) und ~x hinreichend klein gilt nach dem Mittelwertsatz (-+ (7a» f(x + ~x, y + ~y) - f(x, y) = fxC~, 17)~X + fy(~, 17)~y mit ~ (bzw. 17) zwischen x und x + ~x (bzw. y und y + ~y). Aus f(x, g(x» = f(x + ~x, g(x + ~x» = 0 und der Stetigkeit der partiellen Ableitungen ergibt sich D

Bemerkuug. Zu Teil b) des Satzes sagt man auch: f(x, y) = 0 ist urn (xo, YO) lokal eindeutig durch eine implizite Funktion y = g(x) auftosbar. Das Wort "lokal" bezieht sich stets auf eine nicht niiher beschriebene Umgebung eines Punktes, hier (xo, YO) .

Nachdem die Differenzierbarkeit bewiesen ist, berechnet man die Ableitung mit der Kettenregel aus der Identitiit f(x, g(x» = 0 und fiihrt auch fiir die hoheren Ableitungen von g(x) so fort: f(x, g(x»

=0

=0

=}

fxCx, g(x» + fix, g(x»g'(x)

=}

(jx + fygt + (jx + fyg')y g' = 0

=}

(fxx + fyxg') + fyg" + (fxy + fyyg')g' = 0

etc. N ach g' bzw. gil aufgelost, erhiilt man g'(x)

= -j;

; g"(X) = - A(jxx +2fxyg' + fyyg,2), = - f\ (jxx (fy)2 - 2 fxY/x fy + fyy (fx)2) . y

Insbesondere gilt damit in Punkten mit g' (x) = 0 stets gil (x) = Die durch f(x, y) = 0 bestimmte implizite Funktion y hat in (x, y) eine horizontale Tangente, wenn f(x,y)=O,

fxCx,y) =0 ,

fix,y)=lO.

fxx(x, y) 0 x ist eine lokale Maximumstelle, wenn fy(x, y) > , fxx(x, y) 0 lokale Minimumstelle, wenn fy(x, y) < .

;x?, i ' y y x, y

= g(x)

d.h.

400

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

Beispiel. Fur die Funktion g(x) im obigen Beispiel 2 gilt g'(x)

= _ fAx, y) = _ 3x 2 + 2x

fy(x,y) eY +3 y2' wobei y durch f(x, y) = 0 aus x bestimmt ist. Fur x = 0 und x = - ~ ist g'(x) = O. Mit fxx(x, y) = 6x + 2 hat g(x) in 0 eine lokale Maximum- und in - ~ eine lokale Minimumstelle. 0

Abb.184- !(x,y)=eY +y3+ x 3+ x 2=1

Satz 3.2 gilt allgemein fur '/t'1-Funktionen f : IR n ;2 D eines Punktes (a], a2, ... , an) E D mit f(al,a2, ... ,an)=0,

---+

IR in einer Umgebung

fxJal, ... ,an)=lO:

Es gibt eine Umgebung U des Punktes (al, ... , an-d und ein offenes Intervall K S; IR, das an enthalt, so daB gilt a) R:= {(Xl, ... ,Xn-I,Xn); (Xl, ... ,Xn-l) fur aIle x E R .

E

U, Xn

E K} S;

D und fxn(x) =10

b) Zu jedem Punkt (Xl, ... ,Xn-l) E U gibt es genau eine Zahl Xn E K mit f(Xl, ... , Xn-l, xn) = O. Durch Xn := g(x], ... , Xn-l) ist eine partiell differenzierbare Funktion g : U ---+ K erklart mit den Ableitungen (9)

~(

aXi

) __ fXi(Xl, ... , xn) Xl,···,Xn-1 f Xn (XI, ... , Xn )

O:Si:sn-l).

Geometrische Deutuug fur n = 3. Die Niveaufiache f(x, y, z) = 0 einer '/t'l_ Funktion ist um jeden Flachenpunkt (a, b, c) mit fz(a, b, c) =I 0 (Tangentialebene nicht parallel zur z-Achse) lokal darstellbar als Graph z = g(x, y) einer '/t'l-Funktion g. Beispiel. Durch f(x, y, z) = x cos y + y cos z + z cos x - 2 Funktion z = g(x, y) erklart. Es gilt g(O, 0) = 2 gx g)'

(0 0) - _ fAO, 0, 2) __ cos y - z sin x I , fz(O, 0, 2) -ysinz+cosx (0.0.2)

=0 -

ist implizit eine

-1 ,

-2 (0 0) __ f),(0,0,2) - _ -xsiny+coszl , f z(0 , 0 , 2) --y . cos . SIll Z + cosx (0,0,2)

0

3.4 Lokale Minima und Maxima. Sei f : D ---+ IR eine Funktion von n Variablen. Ein Punkt a E D heiBt lokale (oder relative) Maximalstelle (bzw. Minimalstelle) von f, wenn es eine r-Umgebung Urea) = {x E IR n ; Ix - al < r} von a gibt, so daB fur aIle x E Ur n D gilt: f(x)

:s

f(a)

(bzw. f(a)

:s

f(x))

Gelten diese Ungleichungen jeweils fur aIle xED, dann heiBt a eine globale

401

§3. Anwendungen der Differentiation

(oder absolute) Maximal- bzw. Minimalstelle. Die Zahl f(a) heiBt (fallweise) lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein Extremum oder Extremwert (lokal oder global) ist ein Minimum oder ein Maximum.

z=flx,y)

Abb. 185 - Extremstellen von z = f(x, y)

Eine der Hauptaufgaben der angewandten Analysis ist die Bestimmung der Extremalstellen einer Funktion f(x) auf einem Bereich D. Man schreibt hierfiir f(x) = Extr!

(x

E D)

(bzw. f(x) = max! oder f(x) = min!). Je nachdem ob die Extremalstellen im Innern oder auf dem Rand von D liegen, hat man unterschiedliche Charakterisierungen: Satz 3.3. Lokale Extrema im Innern von D auf Ur(a) , a E IRn , eine 'G'l-Funktion, so gilt

1st f

a ist lokale Extremstelle von f

=}

grad f(a)

=o.

Beweis. Nach Voraussetzung besitzt die reelle Funktion einer Variablen h(t) := f(a + te;) in t = 0 eine (innere) 10kale Extremalstelle. Also gilt . 0= h(O)

af

= ax/a)

(1

-:s i -:s n).

o

Man nennt a E IRn einen stationaren Punkt von f, wenn grad f(a) = 0 gilt. Satz 3.3 besagt, daB man die inneren lokalen Extremalstellen unter den stationaren Punkten zu such en hat. Einen stationaren Punkt, der keine Extremalstelle ist, bezeichnen wir als Sattelpunkt. Zur Identifizierung eignet sich das folgende Ergebnis. Satz 3.4. Extremstellen-Test fUr n Variable 1st U S; IRn offen, a E U ein stationarer Punkt einer Funktion f E 'G'2(U, IR) und Hj(a) = (fxiXj(a)) E IRnxn die Hesse-Matrix von f in a, dann gilt:

a)

Hj(a) positiv definit

=}

a ist lokale Minimalstelle,

b)

Hj(a) negativ definit

=}

a ist lokale Maximalstelle,

c)

Hj(a) indefinit

=}

a ist Sattelpunkt.

Beweis. Mit grad f(a) (10)

=0

und (7) gilt fUr alle x in einer r-Umgebung von a

f(x) - f(a) = i(x - al Hj(a*)(x - a)

402

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

mit einem a* zwischen x und a. Hf(x) ist stetig und daher mit Hf(a) auch in einer ganzen Umgebung von a positiv definit (bzw. negativ definit, bzw. indefinit). In dieser Umgebung ist die rechte Seite von (10) im Fall a) stets positiv, im Fall b) stets negativ, also f(x) 2: f(a) bzw. f(x):s f(a). 1m Fall c) ist f(x) - f(a) in jeder Umgebung von a sowohl positiv als auch negativ. 0 Spezialfall n = 2. Sei a = (ai, a2) stationarer Punkt einer 'i:f2-Funktion f in 2 Variablen. Unter Berucksichtigung des Positivi tats-Tests (~ Kap. 6, 7.5) liefert in diesem Fall Satz 3.4 mit der Hesse-Matrix Hf(a)

= (fxx(a) fyx(a)

fxy(a)) fyy(a)

den Extremstellen-Test fur 2 Variable: a = (aj.a2) stationiirer Punkt, d.h.

fAa) = fy(a) = O.

det Hf(a) > 0, fxx(a) > 0 =}a 10kale Minimalstelle, det Hf(a) > 0, fxx(a) < 0 =}a lokale Maximalstelle, det Hf(a) < 0 =} a ist Sattelpunkt.

a) b) c)

Beispiel 1. (n = 2). Die Funktion f(x, y) = 2x4 + y4 _ 2x2 _ 2y2, (x, y)

E

IR? , hat 9 station are Punkte

aj

= (0, 0)

a3

=(0, -1) ,

,

1

as = ( .J2' 1) , 1 a7=(- .J2,0), -1.25

1

a9 = (- .J2' -1) .

Abb. 186 - Z = 2x4

-1

+ l- 2x2 - 2i

Fur diese Punkte gilt al

a2

a3

-4

-4

fyy(a;)

-4 -4

8

8

fxy(a;)

0

fxx(a;)

det Hf(a;)

a4 as a6 8 8 8

-4

8

8

a7 as a9 8 8 8

-4

8

8

0 0 0 0 0 0 0 0 16 -32 -32 -32 64 64 -32 64 64

Demnach hat f bei al ein lokales Maximum, bei as, a6, as, a9 lokale Minima und Sattelpunkte in a2, a3, a4, a7. 0

403

§3. Anwendungen der Differentiation

Der Fall det Hf(a) = O. Hier muB man direkt das Vorzeichenverhalten von f(x) - f(a) entweder langs Schnitten oder sogar in vollen Umgebungen von a untersuchen.

Beispiel 2 (n = 2). Fur die Funktion f(x, y) = (y - 2x2)(y - x 2), (x, y) E m? , ist (0,0) ein stationarer Punkt mit f(O,O) = 0 und det Hf(O, 0) = O. Obwohl die Funktion langs aller geraden Schnitte in (0,0) ein lokales Minimum besitzt, ist (0,0) ein Sattelpunkt, da f(x, y) < 0 fur aIle (x, y) mit x 2 < y < 2x2 und f(x,y) > 0 fur y > 2x2 oder y < x 2 . 0 Beispiel 3 (n = 3 ). u(x, y, t) = sin x cos y cos(x + y) cos(x - y) cos wt beschreibt fur t 2: 0 die Transversalschwingung einer biegeweichen Membran in dem Quadrat D: Ixl + Iyl :::: ~ (---+ §2, Aufg. 8). Wann und wo die graBte Auslenkung eintritt, ist bestimmt durch grad u(x, y, t) =O. Die Bedingung u, = 0 fuhrt auf sin x cos y cos(x + y) cos(x - y) sin (J)f = 0 , d.h. t = ~ (k E :&:) oder x = 0 oder y = ~ oder Ixl + Iyl = ~. Letzteres ist der Rand, x = 0 ist eine Knotenlinie. Differentiation nach x bzw. y liefert cosycosx[cos(x + y)cos(x - y) - 2sin 2 x]coswt ,

ux = uy

=-

sin x sin y[ cos(x + y) cos(x - y) + 2 cos 2 y] cos wt .

Da cos x und cos y nur im Rand verschwinden, bleibt nur der Fall y cos 2 x - 2 sin 2 x Fur

t

=~

= O.

Das liefert die beiden Punkte (x, y)

ist somit die maximale Auslenkung

u

= ±~-J3.

=0

und

= (± arccos fi, 0)

. 0

* 3.5 Ausgleichsrechnung.

Sind in der Praxis die Werte gewisser Konstanten x I, ... , Xn aus experimentellen Messungen zu bestimmen, so treten folgende Probleme auf: a) Jede Beobachtung birgt einen MeBfehler, daher werden zur Sicherheit stets mehr Messungen durchgefuhrt, als zur eindeutigen Bestimmung der Xi natig sind. b) 1m allgemeinen sind die Werte Xi nicht unmittelbar meBbar, sondern nur implizit uber die (bekannten) GesetzmaBigkeiten des Versuchsaufbaus aus den MeBgraBen Yl, ... , Ym ableitbar. Nach AbschluB der Messungen liegt somit ein iiberbestimmtes Gleichungssystem fUr die Xi vor: (11)

m > n. Ym

= fm(Xl,

... ,xn ).

Nimmt man an, daB jede der GraBen Yi mit derselben MeBunsicherheit behaftet ist, so wendet man seit C. F. GAUSS die Methode der kleinsten Quadrate an, urn eine "Lasung" x zu bestimmen, welche die unvermeidlichen Reste

404

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

Yi - fi(XI, ... , Xn) gleichmaBig minimiert, d.h. fur welche m

F(XI, ... , xn) :=

L

(Yi - fi(Xl, ... , Xn))2 = Min!

i=1

Man bezeichnet ein solches x als "im quadratischen Mittel beste" oder "ausgleichende" Lasung von (11) und unterscheidet zwischen linearen und nichtlinearen Ausgleichsproblemen, je nachdem ob aIle Funktionen fi linear in den Xi sind oder nicht.

CD Lineare Ausgleichsprobleme.

In diesem FaIle steIlt (11) ein uberbestimmtes

lineares Gleichungssystem dar,

Ax = y,

A

E

IRmxn, m > n ,

es fuhrt auf das Minimalproblem (12)

= lAx -

F(x)

yl2

= Min!

mit quadratischem Polynom F(x)

=(Ax -yl(Ax -

y)

= x T AT Ax -

2xT ATy+yTy .

Daher ist Satz 3.3 anwendbar und man erhalt als notwendige Bedingung fur die Lasung von (12) mit Formel (11) aus §2 grad F(x)

= 2AT Ax -

2AT Y =0 ;

das ist ein lineares n x n-Gleichungssystem

I

(13)

AT Ax = ATy .

Man nennt (13) die GauJ3-Normalgleichung des linearen Ausgleichsproblems (12). Beispiel. Wird ein Fahrzeug aus der Geschwindigkeit v auf Stillstand herabgebremst, so setzt man fur den Bremsweg Y eine quadratische Abhangigkeit von v an Y =av 2 +bv+c. Zur Bestimmung von a, b, c werden 5 Messungen durchgefiihrt Vi

Die Normalgleichung

[km/h]

9

17

17

25

35

Yi[m]

3

9

5

14

23

405

§3. Anwendungen der Differentiation

ergibt ohne MaGeinheiten das Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix 25

2064853 69055 2509 41214) ( 69055 2509 103 1420 54 2509 103 5

14

und eindeutiger Lasung a:;:,;;

0.012, b:;:,;; 0.259, c:;:,;; -0.525. D

/ /. 17

35 x

25

Abb. 187 - Ausgleichende Parabel

Allgemein gilt Satz 3.5 a)

b) c)

Das lineare Ausgleichsproblem (12) ist immer LOsbar. Die Losungen von (12) und (13) stimmen uberein. Fur zwei Losungen x, Xo von (12) oder (13) gilt stets Ax = Axo. 1st Rang A = n, so ist die AusgleichsLOsung eindeutig.

Beweis. a): Da F(x) 2: 0 fiir aIle x E tischen Polynoms F(x) die Gestalt afzf+·· .+a;z;+y2 besitzen (~ Kap. 6, 7.3). Der minimale quadratische Fehler ist also y2, er wird in den Punkten mit den z-Koordinaten ZI = ... = Zr = 0 angenommen. b): Mit Satz 3.3 erfiillt jede Minimalstelle Xo die Normalgleichung (13). 1st umgekehrt Xo eine Lasung von (13), so gilt AT (Axo - y) = 0, d.h. das Residuum r = Axo - y ist orthogonal zu allen Spalten von A und damit orthogonal zu Ax fiir jedes x E lR,n , folglich gilt (14)

lAx - yl2

= lAx -

lR,n ,

muG jede Normalform des quadra-

n=2

Abb. 188 - Lineare Ausgleichung

= lAx - Axol2 + Irl 2 2: y2 = r2 fiir x = Xo an.

Axo + Axo - yl2

Id .

Daher nimmt lAx - yl2 sein Minimum e): 1st x eine weitere Lasung von (12), so muB mit (14) lAx - Axol = 0 sein. Fiir RangA = n folgt aus A(x - xo) = 0 sofort x = Xo . D Der Satz zeigt bereits zwei Wege auf, wie man im konkreten Fall die Ausgleichslasung bestimmen kann: 1. Weg (Direkte Lasung der Normalgleiehung). Bereehne B = AT A, z = AT y und lase Bx = z mit Gauss-Elimination. 2. Weg CUber orthogonale Transformation). Mittels ebener Drehungen, Spiegelungen oder iiber das SCHMIDT-Orthogonali-

406

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

sierungsverfahren wird sukzessive eine orthogonale Matrix P berechnet, so daB P A obere Dreiecksgestalt besitzt, d.h.

Mit h := Py =

(~~),

hI

E lR,n,

h2

E lR,m-n

folgt damit (--+ Kap. 6, Satz 6.2)

lAx - yl2 = IPAx - pyl2 = IDx - hII2 + Ih212. Das Minimum wird also erreicht, wenn Dx = hi . Dieses n x n Gleichungssystem besitzt bereits Stufenform und ist daher leicht aufzulasen.

In der Anwendung ist der zweite Weg zwar aufwendiger, aber in den numerischen Ergebnissen dafur zuverHissiger. In der folgenden Procedure Linfi t wird (nach Weg 2) Ax = y uber sog. HOUSEHOLDER-Spiegelungen auf Stufenform gebracht. (Zur Vereinfachung wird die rechte Seite y als (n + l)-te Spalte einer m x (n + I)-Matrix A(I,K) gespeichert.) Procedure Linfit , ---- n Householder-Spiegelungen For 1=1 To N S=O For J=I To M S=S+A(J,I)*A(J,I) Next J I f S=O Then Print "Matrix singulaer" End Endif V=Sqr(S) If A(I,I»O Then V=-V Endif X(I)=V F=S-V*A(I, I) ACI,I)=ACI,I)-V For K=I+1 To N+1

® Nichtlineare Ausgleichsprobleme.

S=O For J=I To M S=S+A(J,I)*A(J,K) Next J S=S/F For J=I To M A(J,K)=A(J,K)-A(J,I)*S Next J Next K Next I , ----- Aufloesung ------------X(N)=A(N,N+1)/X(N) For I=N-1 To 1 Step -1 S=A(I,N+1) For J=I+1 To N S=S-A(I,J)*X(J) Next J X(I)=S/X(I) Next I Return

In diesem FaIle kann die "beste Lasung" von (11) meist nur angenahert bestimmt werden. Das einfachste Verfahren wurde bereits im Beispiel von 3.1 vorgesteIlt: Man wendet das Gradientenverfahren auf die Funktion F(x) = ly-f(x)1 2 an. In vielen Fallen ist es jedoch vorteilhafter, fur einen Naherungswert x, der verbessert werden solI, die lineare Approximation bereits in den Gleichungen (11) durchzufuhren:

§3. Anwendungen der Differentiation

YI = II (x) + grad /J (x) . (x - x)

Ym = 1m (x) + grad 1m (x) . (x -

+ o(lx - xl) ,

x) + o(lx - xl) .

Anstelle von Iy - f(x)1

=Min!

(15)

Iy - f(x) - /f(X)(X - x)1 2 = min!

gelast, wobei die m x n-Matrix

407

wird somit das lineare Ausgleichsproblem

_ /f(X) =

( (grad ~I (x)l ) :

(grad 1m (x)l n die Funktional- oder Jacobi-Matrix von f : lR -?- lRm an der Stelle x bezeichnet (-?- §4). Die Lasung x - x von (15) liefert dann die Richtung, in welcher der nachste verbesserte Niiherungswert x fur die Ausgleichslasung zu such en ist. Genauso wie beim Gradientenverfahren wird x durch fortschreitende Halbierung von x - x so bestimmt, daB Iy - f(x)1 < Iy - f(x)1 . 'Programm NLSQ ----------------Dim F(6),X(3),A(6,4),T(6),Y(6) M=6 N=3 For I=l to M Input "t(i), y(i)= ", T(I), Y(I) Next I Input "a,b,c= I1,A,B,C

Gosub F(A,B,C) FO=F L=O Repeat For I=l To M A(I,l)=l A(I,2)=Exp(C*T(I)) A(I,3)=B*T(I)*Exp(C*T(I)) A(I,4)=F(I) Next I Gosub Linfit Lambda=l Repeat A1=A+Lambda*X(1) B1=B+Lambda*X(2) C1=C+Lambda*X(3)

Gosub F(A1,B1,C1) Exit If F
NB. g(x)

i

=0

0 gibt es eine Zahl AO E lR, so daj3 gilt

grad f(a) + Ao grad g(a)

=0 .

Beweis. Sei a = (ai, ... , an). Wegen grad g(a) i 0 konnen wir (nach evtl. Umnumerierung) gXn (a) i 0 annehmen. Dann ist naeh dem Satz uber implizite Funktionen die Nebenbedingung g(Xl, ... , x n ) = 0 "lokal" (urn x = a) naeh Xn auftosbar, Xn = h(Xl, ... , Xn-l) . Die Voraussetzung besagt nun, daB f(Xl, ... , Xn-l, h(Xl, ... , Xn-l)) in (al, ... , an-I) ein lokales Extremum besitzt. Foiglieh gilt (-+ Satz 2.6 und Satz 3.2) 0= fx;(a) + fxn(a)hx;(aI, ... , an-d = fx/a) - fXn (a)gx; (a)gxJa)-I

Mit Ao := - fXn (a)gxn (a)-I folgt die Behauptung.

(1

:s i :s n -

1) . 0

Geometrische Interpretation. Unter den Annahmen von Satz 3.6 mussen die Gradienten von fund g in einem Extremalpunkt parallel sein.

410

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

1m FaIle n = 2 bedeutet dies, daB sich die Kurve g(x) = 0 und die Niveaulinie f(x) = f(a) im Extremalpunkt beruhren. AO heiBt Lagrange-Multiplikator und das sich aus dem Satz ergebende Losungsverfahren nennt man die

f= 5 f=4 f= 3 f= 2 f= 1 f= 0

Abb. 190 - Lagrange-Multiplikator

Lagrange- Multiplikatorregel 1. Schritt. Man bildet die Hilfsfunktion

L(xI, ... , Xn, A) III

= f(XI, ... , xn) + Ag(XI, ... , xn)

n + 1 Variablen XI, ... , Xn, A und berechnet grad L .

Man bestimmt die Losungen (al, ... , an, AO) des i.a. nichtlinearen Gleichungssystems grad L(xI, ... , Xn , A) =0, d.h.

2. Schritt.

LXI LX2

= fXI (XI, ... , xn) + Agxl (XI, ... , xn) = 0 = fX2(XI, ... , xn) + Agx2 (XI, ... , xn) =0

LXn LA

= fXn (XI, ... , xn) + Agx.(XI, ... , xn) = 0 = g(XI, ... ,xn) =0

3. Schritt. Man untersucht, welche der gefundenen Werte (al, ... , an) tatsachlich Extremalstellen sind. AO spielt keine Rolle mehr. Die Kriterien, ob ein Extremum vorliegt oder nicht, sind au Berst unhandlich. In den meisten praktischen Problemen lassen sich die Extrema unter gefundenen Punkten "aus physikalischen Grunden" oder durch direkten Vergleich der Funktionswerte erkennen. SchlieBlich sind noch die Punkte b, in denen f, g nicht differenzierbar sind oder fUr die grad g(b) =0 ist, getrennt zu untersuchen (--+ Abb. 189).

Vollig analog verf
=Extr!

unter den stationaren Punkten der Lagrange-Hilfsfunktion L(XI, ... , Xn , AI, ... , Ak)

= f(x) + Algi (x) + ... + Akgk(X)

.

Beispiel 1. Es ist das Volumen des groBten Quaders mit achsenparallelen Kanten x2 y2 Z2 innerhalb des Ellipsoids a 2 + b 2 + c2 = 1 zu bestimmen.

411

§3. Anwendungen der Differentiation

Das Problem

v = (2x)(2y)(2z) = 8xyz = max! wird mit der Multiplikatorregel gelost. 1. Schritt.

Die Hilfsfunktion:

2. Schritt. grad L = 0 : Lx

L(X,y,Z,A)

2x = 8yz + A2 a

=0

2y Ly = 8x z + A b2

=0

2z L z =8xY+A 2 =0 c x 2 y2 Z2 LA = - + - + - - 1 = 0 . a 2 b2 c 2 Multiplikation der ersten (2., 3.) Gleichung mit x (bzw. y, z) ergibt -4xyz = 2

2

2

= A~2 = A~2 = A~2 3x 2

'

also A i 0 (A = 0 fuhrt auf die Minimallosung V = 0)

und --;!l = 1 bzw. x =

abc y = .J3' z = .J3.

.J3'

Das maxim ale Volumen betragt

Vrnax

=

~.J3abc .

o

Beispiel 2. Es sind die Scheitelpunkte der Ellipse x 2 + xy + y2 = 5 zu bestimmen, das sind die Punkte mit groBten oder kleinsten Abstand zum Nullpunkt: f(x,y)=x 2 +y2=Extr!

NB. x2+xy+y2-5=0.

L = f + Ag = x 2 + y2 + A(X 2 + xy + y2 - 5) , Lx=2x+A(2x+y)

=0

Ly=2Y+A(X+2y)

=0

LA

= x 2 + xy + y2 -

5

=0 .

Offenbar muB A i 0 sein. yLx - xLy = 0 ergibt x 2 - y2 = 0, d.h. x = ±y. Aus x = y folgt x = ±j"i und aus x = -y folgt x = ±..)5. Die Scheitelpunkte sind also (j"i, j"i), Beispiel 3. Aus

(-j"i, -j"i) und (..)5, -..)5),

f(Xl, ... ,Xn)

= xfxi···x~ = max!

NB.

=0 2xfx2Xr ... x~ + A2x2 =0 2XIXixr ... x~ + A2xl

2xf ... X~_lXn + A2xn

x? + ... + x~ - 1

=0 =0

(-..)5,..)5) .

xr + ... + x~ -

1

=0

.

412

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

k.

folgt sofort -xl xi'" x; = AX? = Axi = ... = AX; , also x; = Wegen f(O) = 0 handelt es sich urn die laut Satz 2.1 vorhandenen MaximalsteIlen; d.h. fur aIle Punkte der Sphare x? + ... + x; = 1 gilt 2 2 xlx2 .. ·xn2

Sind a I,

... ,

::::

( 1 )n

n

.

an beliebige positive reelle Zahlen und b2 .= l'

a;

al + ... +a n

'Vala2' .. an ::::

al

+ ... +a n

n.

o

Das geometrische Mittel ist nie groBer als das arithmetischen Mittel. Beispiel 4. Es werden die Extremwerte der quadratischen Form q(x) auf der Sphare {x E JRn ; Ixl = I} gesucht ( A = AT E JRnxn ): x T Ax

= x T Ax

=Extr!

L(x, A) Mit der Lagrange-Hilfsfunktion entsteht das Gleichungssystem (-+ §2, (11)

=x T Ax + A(1 -

x T x)

= 2eT Ax - 2AX; = 0 LA = 1 - x T X = 0 ,

LXi

welches gleichbedeutend ist mit dem Eigenwertproblem Ax = Ax, Ixl Die Extremwerte sind also unter q(x) = x T Ax = AXT X = A zu suchen.

=1 .

Ergebnis. Der kleinste Eigenwert von A ist das Minimum, der groBte Eigenwert das Maximum der quadratischen Form q(x) = x T Ax auf der Sphare {x E JRn ; Ixl = I}. Diese Extrema werden fur die zugehorigen Eigenvektoren der Lange 1 angenommen. Anwendung in der Mechanik. Der maximale (minimale) Wert der Normalspannung (J = n T Sn, Inl = 1, in einem Punkt eines elastisch belasteten Korpers ist der groBte (kleinste) Eigenwert des Spannungstensors S. Die entsprechenden Eigenvektoren bestimmen die Hauptspannungsrichtungen. (-+ Kap. 6, 6.1, Bsp.9 und §7, Aufg. 7). 0 Zusammen mit der Charakterisierung von Extremstellen im Innem eines Gebiets (-+ 3.4) gilt fur das Extremalproblem einer Funktion f auf dem durch Hyperflachen g;(x) = 0 begrenzten Bereich U

= {x E JRn

; gl (x) :::: 0, ... , gr(x) :::: O}

413

§3. Anwendungen der Differentiation

Die Kandidaten fur Extremstellen von f: U ~ lR. sind a) die Ecken von U (falls vorhanden, eindeutige Losungen von moglichen Kombinationen gi(X) = gj(x) = ... = gk(X) = 0, sonst g/(x) < 0);

b)

c) d)

die Extremalstellen in den berandenden Kurven-, Flachen- und Hyperflachenstiicken von U, die man entweder mit der Lagrange-Multiplikatorregel oder durch Parametrisierung bzw. Einsetzen der entsprechenden Nebenbedingungen bestimmt; die stationaren Stellen von f im Innem von U: {x E lR.n ; gl (x) < 0, ... , gr(x) < O} ; die Punkte in U, in denen f nicht differenzierbar ist.

Der groBte bzw. kleinste Funktionswert an den Stellen a), b), c), d) liefert das globale Maximum bzw. Minimum von f auf U. Die Bestimmung der Ecken und der Stiicke, die U beranden, ist fiir n > 2 meist sehr schwierig, im lR.2 iiber eine Skizze von U zu erledigen. Beispiel. Gesucht sind die Extremwerte von f(x, y) = 3x 2 - 2xy + y2 auf der Kreisscheibe x 2 + y2 :::: 1 . Fall a) und d) treten nicht auf. c) Lokale Extremstellen im Innem x 2 + l < 1. fx = fy = 0; d.h. 6x - 2y = 0, 2y - 2x = O. Es gibt nur einen stationaren Punkt (x, y) = (0,0) im Innem. Da Hj(O, 0) =

= (_~

-~) positiv definit ist, besitzt f in

(0,0) ein 10kales Minimum.

b) Die Extremstellen auf dem Rand f(x, y) = Extr!

bestimmen wir mit der Multiplikatorregel: + A(X 2 + l- 1) . - 2y + 2AX = 0 , Ly = -2x +2y +2AY =0,

= 3x 2 Lx = 6x

L(x, y, A)

LA

=

2xy +

x2 +

l

l -

1

=0 .

Wie in Beispiel 4 ist ein Eigenwertproblem zu losen: Die Eigenwerte sind Al = 2 + ./2, A2 = 2 - ./2, dazu die normierten Eigenvektoren a=

J4 -

1 2./2

(1) 1 - J2'

b=

Globales Maximum in a, -a: f(a) = f( -a) Globales Minimum in 0: f(O) = 0 .

1

J 4 + 2./2

(1) 1 + J2

= Al = 2 +./2,

o

414

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

Aufgaben 1. Man bestimme fur die Funktion f(x, y) -

1 =x 2eY/\y-3)- 2l,

(x, y)

E

1R?,

gradf und die Hesse-Matrix H f ,

die Taylor-Annaherung 2.0rdnung im Punkt (0, 0) , -

den Typ der Flachenpunkte auf dem Graphen z = f(x, y) langs x = 0,

x=y = -.s

die Taylor-Reihe von f(x, y) samt Konvergenzbereich uber die Exponentialreihe. 2. Fur die Funktion f(x, y) =

l- 3xl +x3

z = x 2 exp (yj3)(y

- 3) - .si

bestimme man

a) die lokalen und die globalen Extremstellen und die Sattelpunkte, b) die Extremwerte auf {(x, y) : Ixl :s

~, Iyl:s 2) .

3 3 c) die Taylor-Reihe im Punkt (2' 2)·

I

3. Fur die Funktion sin 2Jx2+Y2

f(x,y) =

Jx22+y2

,(x,y)¥(O,O) , (x,y) = (0,0)

bestimme man: a) die Tangentialebene an den Graphen z = f(x, y) im Punkt (~, 0, 0). b) die Taylor-Entwicklung bis zur 2.0rdnung in (0,0) und (~, 0). 4. Man entwickle nach der Taylorformel bis zur 2. Potenz von x, y: a)

f(x, y) = x 2 sin xi urn (1, Jr),

b) f(x,y)=(x 2 -2l)·(4+xy)-1/2 urn (0,0), c)

f(x, y)

=x 2 -

cos(~) in (Jr, 1).

5. Man bestimme und skizziere den Bereich der Halbebene x > 0, in dem die HesseMatrix Hg(x, y) der Funktion g(x, y) = x y , x > 0, indefinit ist. 6. Man bestatige, daB y + 2x = e 2y /x fur x besitzt und bestimme deren gemeinsamen Man bestimme und diskutiere die Stellen Wie lauten die entsprechenden Antworten 7. Gegeben ist die Kurve g(x, y)

= 12i -

°

zwei verschiedene Aufl6sungen y = f(x) Definitionsbereich. mit f'ex) = und skizziere beide Graphen. fur die Aufi6sung x = g(y) ? >

20xi + 5x 4

°

= 0,

x > 0, y > 0.

a) In der Umgebung welcher Punkte ist implizit eine Funktion y = f(x) bestimmt? Berechne dort

!' = ~;

implizit.

b) In welchen Punkten der Kurve ist Wert von f".

!'

= O? Berechne fur diese Kurvenpunkte den

415

§3. Anwendungen der Differentiation

Nk sind die Niveaulinien U(x, y) = k) der Funktion

8. Die Cassini-Kurven f(x, y) = [(x + 1)2 +

II . [(X -

1)2 +

II , x, y E JR..

a) Auf welcher Kurve T liegen die Punkte mit Tangenten parallel zur x-Achse? Fur welche Werte von khat Nk genau 4 derartige Punkte? b) Fur den Fall k = I (Lemniskate) diskutiere man die Auftosungen nach y mit maximalem Definitionsbereich und bestimme man die Tangenten in (x, y) = (0,0) .

c) Fur welches k > 1 verschwindet die Kriimmung von Nk in den Punkten mit x = 0 (Rennbahnkurve)? Man skizziere die Kurve!

y

9. Die KEPLER-G1eichung 2n yt = ,/.'I'

-

. ,/. Esm 'I'

x

bestimmt den Ort eines Planeten auf einer A Ellipsenbahn in Abhangigkeit von der Zeit t nach dem 2. Kepler-Gesetz (0 < E < I numerische Exzentrizitat der Ellipse, 1jf = 1: AOQ, T Umlaufzeit). Man zeige, daB implizit genau eine Funktion 1jf = 1jf(t) definiert ist und bestimme ihre Extremstellen (-+ Band 2: Kap. 9, §3, Aufg. 11 und Kap. 11, 4.5). 10. Gilt fUr die 'i;fl-Funktion f: JR.3 -+ JR. im Punkt x f. 7" 0, fy 7" 0, fz 7" 0, so kann in einer Umgebung nach x, y und z aufgelost werden: x = x(y, z), y = y(x, z), z = z(x, y). Man zeige, daB fUr die Ableitungen dieser Funktionen ax . ay . ~ =-1 ay az ax

gilt und uberpriife dies an der Van-der-Waals-Gleichung f(p, V, T) = pV - RT . II. Wird eine Schraubenfeder belastet, so ruft dies Torsion und Biegung im Werkstoff hervor. 1st F die Belastung in Richtung der Schraubachse, so sind folgende KenngroBen der Feder Funktionen von F: Die Hohe H, der Radius r, die Windungszahl n, die Torsion T und die Kriimmung K. Die Werte fUr F = 0 seien Ho, ro, no, TO bzw. KO. Konstant bleiben bei Belastung L: die Lange, G J: die Torsions- und E J: die Biegesteifigkeit des Werkstoffes. Zerlegt man in jedem Punkt der Feder das Belastungsmoment M in M B: das Biegeund M r : das Torsionsmoment (-+ Bsp. in 1.2), so erhalt man drei implizite Gleichungen fur H(F), r(F) und n(F):

416

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 1: Differentiation

Die Torsionsgleichung GJ(eo - e) = -mT liefert (---+ §l (14» G J . ( Ho

Lro

J L2 -

Die Biegegleichung E J (KO

- K)

EJ . (

H2 0

~ Ju Lr

H2)

= F . r . Ju -

H2 .

= -m B ergibt

L2 - HJ L2 _ H2) ro r = - F .r .L .H .

n = n(F) ist bestimmt durch die Beziehung

a) Fur we1che Belastung Fmax ergibt sich aus (*) und (**) H(Fmax) = O? b) Man berechne aus (*), (**), (* * *) sin ao =

~o

H'(O), r'(O) und n'(O) und bestiitige (mit

) die gebriiuchlichen Niiherungen:

H'(O)· F = _Lr2(COS 2 a o + Sin 2 a o ). F EJ o GJ 3. (2 cos 2ao ) r-ro~r'(O)·F =ros m ao GJ - EJcos 2 ao ·F

H - Ho

n - no

~

~ n'(O)· F

=

2~ roL sin ao cosao[E1J

- dJJ . F .

12. Man lose im IR? I(x, y) = x 2 - xy + l- x = Extr! 1st hier auch ein Eigenwertproblem versteckt?

NB. g(x, y) = x 2 + l- 1 :::: O.

13. Gegeben ist die reelle Funktion I(x, y) = sin[rr(x 2 + y)] + cos(rry) uber dem Bereich (der reellen Ebene) A = {(x, y) ; 0:::: y :::: 1 - x 2 } • a) Man skizziere A. b) Man bestimme die stationiiren Punkte von z

= I(x, y)

im Innem von A.

c) Man diskutiere die Funktion g(x) := I(x, 0) in Ixl:::: 1. Gefragt sind: g'(x), gl/(x), die Symmetrie zu den Achsen, die Extrema, die Wendepunkte, die Monotonie- und Konvexitiitsbereiche sowie eine sorgfiiltige Skizze. (Hinweis: Fur u ~ .6532712 ist cos u = 2u . sin u ) d) Wo liegen die lokalen Extremstellen von z

= I(x, y)

=1 -

auf y

x 2 , y::: O?

e) Man ermittle Lage und Wert der global en Extrema von z = I(x, y) auf A und trage die Punkte in die Skizze von A ein. 14. Die groflte Raute in einem Wiiifel. Fur we1che Werte von a, b (-1 :::: a, b :::: +1)

ist das ebene Viereck mit den vier Ecken A=(1,a,-l), B=(b,I,-l), C=(-I,-a,I), D = (-b, -1, 1) ein gleichseitiges mit maximalem Fliicheninhalt? Tip: Lagrange-Multiplikatorenregel verwenden!

15. Von allen Vierecken mit gegebenen Seiten a, b, c, d (in der skizzierten Reihenfolge) ist das fliichengroBte stets ein SehnenvierMan zeige dies mittels Lagrangeeck. Multiplikatorregel.

~ .i.~ . . '

c

/

(j A

r

c

~

•

b

B

417

§3. Anwendungen der Differentiation

16. Fur eine Rinne mit Trapez-Querschnitt gebe man den Zusammenhang f(h, a, A, U) = 0 fur die Hohe h, den Neigungswinkel a, den Querschnittsinhalt A und U gemiiB Skizze. Man lose damit fiir 0< - h < - l!... 2 sina

O
die Optimierungsaufgaben: a) Maximaler Inhalt A bei vorgegebenem Umfang U = Un ! b) Minimaler Materialaufwand U bei festem Inhalt A = Ao ! -

In welchem Zusammenhang stehen die Losungen? (Dualitat)

17. Ein KFZ-Radlager mit 14 Kugeln soll so vorgespannt werden, daB sich bei einer vertikalen Belastung des Innenrings mit F = 3000N eine moglichst kleine maximale Kugelpressung einstellt: Jede Kugel des Lagers wird radial belastet, gepreBt und elastisch verformt: Die Vorspannung driickt den Innenring konzentrisch urn e [Mm] gegen den AuBenring, die Last F verschiebt ihn urn x [Mm] in x-Richtung nach unten. Die radiale Verformung 8; der i -ten Kugel lautet somit (in erster Niiherung) 8;=e+xcoslP;,

i=I,2, ... ,14.

Der Zusammenhang zwischen PreBlast F; und Verformung 8; ist nach G. HERTZ: F,1. =

C . (8·)3/2 '= 1 + .

{C8;/2 , falls 8; :::: 0 o

, falls

8; < 0

.

. _- 1" 2

,l

... ,

(C ist eine von der Form des Lagers abhiingige Konstante, hier C wie in der Skizze

lPl

=0

und

F = F(e, x) = C .

lP;+1

L 14

= 2~i

14

.

= 10 NMm- 3/ 2 .)

1st

, so erhiilt man:

(e + x cos

ni 3/2

T )+

.

cos

ni

T

i::::1

(Maximale Kugellast im Lager) a) Keine Vorspannung: Setze e = 0 und berechne x aus F = 3000N . Wie graB ist die maximale Kugellast Fl (0, x) , wie viele Kugeln sind belastet? b) Optimale Vorspannung: Man lose die Extremwertaufgabe Fl(e, x) = Min!,

F(e, x) = 3000N,

eo:::: 0, Xo > 0

mit der Lagrange-Multiplikatorregel! (Hilfe: Eliminiere den Multiplikator und leite eine Gleichung fur ~ her; diese ist mit dem Newton-Verfahren numerisch zu losen!) Ergebnis: e = 8.182Mm, x = 1O.88Mm. Die maximale Kugellast ist bei b) urn 11.2% kleiner als bei a). Dafur sind stets II Kugeln belastet.

418

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil

j:

Differentiation

§ 4. Vektorwertige Funktionen 4.1 Die Differentiation. Wir betrachten Funktionen (Abbildungen), die jedem Punkt (Ortsvektor) XED S; lR,n einen Vektor f(x) E lR,m zuordnen f(x) = (

JI (x) ) Iz(x)

.. .

II (XI, Xz,

... , Xn) ) Iz(xj,xZ, ... ,Xn)

(

=

.. .

Im(XI, XZ, ... ,Xn)

1m (x)

und iibertragen samtliche Begriffe aus §2 iiber die Komponentenfunktionen Ii auf die vektorwertige Funktion f: Definition. Fur f : lR,n ;2 D -+ lR,m und x, Xo E D gilt a) Der Grenzwert, die partielle Differentiation und die "klein-o "-Notation sind jeweils komponentenweise erklart (-+ 2.2-2.4): lim JI(x)

X---+Xo

lim fz(x)

af

X---+Xo

lim f(x) :=

-(x) := aXi

X----+Xo

al~ (x)

lim Im(x)

x---+xo

f(x) = o(lx - xol)

~

aXi Ik(X) = o(lx - xol), k = 1,2, ... , m .

b) fist genau dann stetig, partiell differenzierbar oder eine 'i!fr -Funktion, wenn samtliche Komponentenfunktionen Ik von f, k dijferenzierbar bzw. 'i!fr -Funktionen sind.

= 1, 2, ... , m,

stetig, partieU

c) f heif3t in Xo

E D total differenzierbar oder linear approximierbar, wenn es eine m x n-Matrix A und eine ganze r-Umgebung Ur(xo) = {x E lR,n Ix - xol < r} in D gibt, so daj3 lur aUe x E Ur(xo) gilt

f(x)

(1)

=f(xo) + A (x -

xo) + o(lx - xol) .

Aus (1) folgt die lineare Approximierbarkeit aller Komponentenfunktionen, d.h. Ik(X)

= A(xo) + grad Ik(XO) . (x -

xo) + o(lx - xol) , k

= 1, ... ,m

.

Definiert man daher die Funktional- oder Jacobi-Matrix von f in Xo grad II (xof ) grad fz(xO)T af af ali /f(XO) := ( . = (-a (xo) , ... , -a (xo)) = (-a. (xo)) :

XI

Xn

Xl

mxn

,

grad 1m (xof so ist die Matrix A in (1) mit Satz 2.3 eindeutig bestimmt als A = /f(XO).

§4. Vektorwertige Funktionen

419

Merke. Die Zeilen der Jacobi-Matrix sind die Gradienten der Komponenten von f (als Zeilenvektoren geschrieben), die Spalten der Jacobi-Matrix sind die partiellen Ableitungen des Spaltenvektors f. Satz 2.4 laBt sich leicht auf den Fall m > 1 ubertragen. Dagegen gilt der Mittelwertsatz und Satz 3.1 (die Taylor-Formel) nicht fur m > 1 ! Satz 4.1 Sei f : lRn ;2 D ~ lRm eine "G'l-Abbildung, dann gilt: a) fist fur aIle xED linear approximierbar. b) Schrankensatz. 1st D konvex (~ 3.2) und I grad fk(x)1 :s M fur aIle XED und k = 1,2, ... m, so gilt If(x) - f(xo) I :s Mix - xol fur aIle x, Xo ED. Man schreibt hierfur kurz (2)

f(x)

~

f(xo) + /f(XO) (x - xo)

mit einem Fehler o(lx - xol) .

Beispiel 1. Jede lineare Abbildung f : lRn ~ lRm mit f(x) = Ax, A E lRmxn ist total differenzierbar. Die Jacobi-Matrix ist gerade ihre Abbildungsmatrix (3)

/r(x)

=A

fur aIle x E lRn .

,

D

Beispiel 2. Polarkoordinaten. Der Streifen D der kartesischen (r,

)

= (rr C?s

so auf die kartesische x-Ebene abgebildet, daB zu jedem Punkt xi 0 genau ein (r,
/x(r,
= (~;, ~:) = ( ~~~: -; ;~~: )

Die Ableitungsregeln bestatigt man leicht mit (1): Fur x E lRn, vex), w(x) E lRm, f(x) E lR und a, f3 E lR gilt a) /av+{Jw(x)

=a /v(x) + f3 /w(x)

(Linearitiit) ,

b) /fv(x)

= f(x)/v(x) + v(x)/f(x) = f(x)/v(x) + vex) (grad f(x)l

(Produktregel fur Multiplikation mit skalarer Funktion),

(4) c) /vTw(x) = v(xl /w(x) + w(xl /v(x) (Produktregel fur das Skalarprodukt),

d) /vxw(x)

=vex) x

/w(x) - w(x) x /v(x) (Produktregel fur das x -Produkt, m = 3 ).

D

420

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

Beachte. In (4b) ist der zweite Summand kein Skalarprodukt, sondem eine m x n-Matrix ("Spalte x Zeile"). Das Produkt "Spaltenvektor x Matrix" in (4d) ist spaltenweise zu verstehen. Beispiel 3. Die quasilineare Abbildung f(x) = f(x)Ax mit der skalaren '1:f1Funktion f : lR,n :2 D -+ lR, und der konstanten Matrix A E lR,mxn besitzt die Jacobi -Matrix

o

,}'f(X) = f(x) A + (Ax)(grad f(x»T .

4.2 Die KettenregeI. Zwei Abbildungen f : lR,q

lR,n :2 D -+ lR,m, g: lR,m :2 G -+ mit f(D) S; G, nacheinander ausgefiihrt, ergeben das Kompositum

go f : D -+

lR,q,

(g 0 f)(x) := g(f(x» .

Satz 4.2. Die Kettenregel. Sind f : lR,n :2 D -+ lR,m in Xo E D und g : lR,m :2 G -+ lR,q in f(xo) E G linear approximierbar, dann ist das Kompositum g 0 f in Xo ebenfaUs linear approximierbar und es gilt (5)

Beweis. Dnter den Voraussetzungen folgt aus (1) g(f(x»

= g(f(xo» + ,}'g(f(xo»(f(x) - f(xo» + o(lf(x) - f(xo)l) = g(f(xo» + ,}'g(f(XO»,}'f(XO)(X - xo) + o(lx - xol) . o

Also ist g 0 f in Xo linear approximierbar und es gilt (5).

Anwendung: Basiswechsel. Wir legen im lR,n ein neues Koordinatensystem K = (P; bl, b2, ... , b n ) fest und wahlen auBerdem im lR,m eine neue Basis (WI, ... , w m ). Der Punkt x E lR,n hat im Koordinatensystem K den Koordinatenvektor y, der durch (6)

x

= By+p

mit der orthogonalen n x n-Matrix B = (bl, ... , b n ) und p = C5P bestimmt ist (-+ Kap. 6, 6.6). Analog hat ein Vektor v E lR,m beziiglich der Basis (WI, ... , w m ) den Koordinatenvektor WE lR,m , so daB (7)

v=Ww

mit der invertierbaren m x m-Matrix W =

(WI, ... ,

wm ) .

Bine Funktion f : lR,n ::J D -+ lR,m besitzt nach diesem Koordinaten- und Basiswechsel eine andere Darstellung g: lR,n ::J D* -+ lR,m: Setzt man v =f(x) , so ist g aus (6) und (7) implizit bestimmt durch v

= f(x) = f(By + p) = Ww = Wg(y)

.

421

§4. Vektorwertige Funktionen

Diese Gleichung ist nach w

= g(y)

auftosbar, so daB

y E D* {::::::} x

(8)

= By + p ED,

g(y) = W- 1f(By + p) .

Mit der Kettenregel (5) und (3) folgt sofort (9)

/g(Yo)

= W- 1 /r(xo)B

,

xo

= Byo + P .

Bemerkung. Mit (8) und (9) lassen sich sehr leicht Eigenschaften einer Funktion f untersuchen, die unabhangig von den gewahlten Koordinatensystemen im

Argument- und im Bildraum sind. Hierzu gehoren die Stetigkeit, die Differenzierbarkeit und geometrische Eigenschaften von Gradient und /r (-.. 4.3).

4.3 Raumliche Skalaren- und Vektorfelder. Der Anschauungsraum wird,

wie ublich, nach Wahl eines kartesischen Koordinatensystems I = (0; el, e2, e3) durch lR,3 und jeder raumliche Bereich durch eine Teilmenge D S; lR,3 dargestellt, wobei Punkte durch ihre Ortsvektoren charakterisiert werden. (-.. Vereinbarung zu Beginn Kap. 7) Ein Skalarenleld (eine Belegungsfunktion) I : lR,3 ;2 D -.. lR, ordnet jedem Punkt XED eine Zahl I(x) zu. Dnter einem (raumlichen) Vektorfeld verstehen wir eine Funktion v : D -+ lR,3, die jedem Punkt XED einen Vektor vex) zuordnet. Man stellt sich vor, daB in jedem Punkt XED der Vektor vex) (etwa ein Kraftvektor oder ein Geschwindigkeitsvektor) angeheftet ist. Eine Kurve in D heiBt Feldlinie des Vektorfeldes v, wenn der Vektor vex) in jedem Kurvenpunkt x parallel zur Kurventangente ist. Wir sprechen von (~ einem «f'r -Skalarenleld I bzw. 'tj'r ~ Vektorfeld v auf D, wenn I bzw. v ~ «f'r -Funktion, d.h. r-mal stetig partiell v(xT-;1 differenzierbar sind. Abb. 191 - Vektorfeld, Feldlinien

Beispiel 1. Die starre Drehung mit

konstanter Winkelgeschwindigkeit OJ urn eine Achse durch den Nullpunkt mit Richtungsvektor a = (ai, a2, a3l , lal = 1, wird (-.. Kap. 6, 6.4) dargestellt durch

a

x(t) = (cos OJt) xo+

+ (1 - cos OJt)(xo . a) a+ + sin OJt a x Xo ,

Abb. 192 - Starre Drehung

422

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

wobei Xo die Lage zur Zeit t =0 bezeichnet. Fur die Geschwindigkeit v(t) = x(t) gilt demnach v(t)

=w(- sinwtxo + sinwt (xo· a)a +coswt a x xo) = wax x(t)

.

Man nennt w = wa die vektorielle Winkelgeschwindigkeit. Damit hat das Geschwindigkeitsfeld einer gleichformigen Drehbewegung die Darstellung v(x) = w x x = wax x .

(10)

X 1-+ v(x)

= wax x

ist eine lineare Abbildung x

1-+

Vx mit konstanter Matrix

V E lR 3x3 , daher gilt (---+ (3) und Kap. 6, 6.1)

Offensichtlich ist V schiefsymmetrisch (V T = - V). Daher ist insbesondere D Spur /v(x) = 0 und damit div v = 0 fur aile x E lR3 (---+ 4.4). Beispiel 2. Das zentrale Kraftfeld. Eine Punktmasse M im Ursprung zieht (nach NEWTON) die Punktmasse m in X = (Xl, X2, X3), x = mit der Gravitations-

ox. ,

kraft

K(x)

c = ~x'

x;iO,

an (c = -ymM, y > 0) . Randelt es sich in 0 und X urn elektrische Ladungen der Starke Q bzw. q, so gilt (nach COULOMB) fur die elektrische Anziehungskraft dieselbe GesetzmaBigkeit mit c = kqQ, k > O.

Abb. 193 - Zentralfeld

Das zentrale Kraftfeld K(x) ist quasilinear (---+ Bsp. 3, 4.1), daher ergibt sich mit Ableitungsregel (4c) und der Einheitsmatrix E E lR3x3 fur x;iO

/K(X) ist stets eine symmetrische Matrix mit Spur /K(X) = 0 (---+ 4.4).

D

423

§4. Vektorwertige Funktionen

Beispiel 3. Der magnetische Wirbel. Ein gerader stromdurchftossener Draht hat die Richtung der e3-Achse. Nach AMPERE bildet sich das magnetische Feld

H(x)

= 1x 12 -

c

(e3'x )2 e3 x x

=~(-~~), 0 Xl +X2

(Xl, X2)

i

(0, 0), c > 0 .

Abb. 194 - Magnetischer Wirbe1

Dieses Feld ist wieder quasilinear (--+ Bsp. 3, 4.1) und mit der Ableitungsregel (4c) ergibt sich

Obwohl die Feldlinien wie in Bsp. 1 Kreise sind, ist /H(X) hier eine symmetrische Matrix, d.h. fUr (Xl, X2) i (0, 0) ist rot H(x) = 0 (--+ 4.4). AuBerdem ist fur (Xl, X2) i (0, 0) Spur JH(X) = 0, d.h. div H(x) = 0 . 0 Beispiel 4. Die laminare Rohrstromung. Eine ziihe Flussigkeit wird durch ein zur x2-Achse koaxiales Rohr vom Radius r mit geringer Geschwindigx J keit gepreBt, so daB eine laminare /y(x) Stromung eintritt. Das Geschwindigkeitsfeld wurde unabhiingig voneinAbb. 195 Rohrstromung ander urn 1850 von dem deutschen Ingenieur G. HAGEN und dem franzosischen Arzt POISEUILLE bestimmt zu

V(X"X2. x,)

=, (r2 - ~ -

r) .

x

xf + x~

:s r2,

c > 0 .

Die Jacobi-Matrix berechnen wir direkt: /v(x)

= C ( -2Xl0

o

0 0 0

0)

-2X3

0

/v(x) ist i.a. weder symmetrisch noch schiefsymmetrisch, jedoch ist mit = 0 auch hier div v = 0 (--+ 4.4). 0

Spur /v

424

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

4.4 Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace-Operator. Jedem ,/&"I-Skalarenfeld f : m? 2 D --+ JR. wird das Vektorfeld "Gradient" zugeordnet

grad f : D --+ JR.3,

grad f(x) :=

[

~(x)) aXI :;2 (x)

,

~(x) aX3

jedem ,/&,,2-Skalarenfeld f : JR.3 2 D --+ JR. mit dem Laplace-Operator ~, J.S. LAPLACE (1749 - 1827), das Skalarenfeld ~f: ~f

: D --+ JR. ,

~f(x)

2

2

2

a f a f a f = -2 (x) + -2 (x) + -2 (x) . aX aX aX l

2

3

Zu jedem ,/&"I-Vektorfeld v JR.3 2 D --+ JR.3 definiert man ein Skalarenfeld "Divergenz" div v und ein Vektorfeld "Rotation" rot v: . divv: D --+ JR. , dlV v(x)

aVI aV2 aV3 = -a (x) + -a (x) + -a (x) Xl X2 X3 aV3(x) - aX3 aV2(X)) aX2

(11) rot v : D --+ JR.3 , rot v(x)

= [ ~~~ (x) - ~~~ (x)

.

aV2 (x) - ~(x) aXI aX2

Mittels Volumen- und Oberftachenintegrale zeigt man (--+ Kap. 8), daB div v die "Quelldichte von v" und rot v die "Wirbeldichte von v" beschreibt. Beispiele. Fur die Vektorfelder der 4 Beispiele aus 4.3 gilt

Starre Drehung v(x)

Zentrales Kraftfeld

evaxx

clxl- 3 x

, x::;iO

divv(x)

0

0

, x::;iO

rotv(x)

2eva

0

, x::;iO

Magnetischer Wirbel v(x)

c (-X2) Xl

-2--2

XI +X2

0

X2I +x2::;i 0 2

divv(x)

0

, xr +xi::;i 0

rotv(x)

0

x 12 + x 22 ::;i 0

Laminare Rohrstromung

C(r2 - XJ - x~ )

,

x21 +x23<- r2

0

,

x2I +X23<- r2

2C(

x; ) -Xl

x 12 +x23<- r2

425

§4. Vektorwertige Funktionen

Samtliche 4 Vektorfelder sind in ihrem Definitionsbereich quellfrei (div v = 0) . Fur die starre Drehung hat rot vex) in jedem x konstant die Richtung der Drehachse und den Betrag 2w. Der magnetische Wirbel und das zentrale Kraftfeld sind in xt-0, die Rohrstromung nur langs der Rohrachse wirbelfrei. 0

I rot v I = 2ev

Abb. 196a - Starre Drehung

Abb. 196b - Magn.wirbel

I rot vi

=0, x

of. 0

Bereits die Darstellung der Felder /, v hangt yom gewahlten Koordinatensystem ab, aber noch vielmehr die durch partielle Ableitungen gewonnenen Felder grad /, /':;./, divv und rot v . 1m folgenden solI gezeigt werden, daB in einem festen Punkt X der Wert von div v und /':;./ sowie die durch grad / und rot v dargestellten Vektoren unabhangig yom gewahlten kartesischen Koordinatensystem I sind. Dazu die Darstellung mit der Jacobi-Matrix: grad /(xo) = /j(xol divv(xo) = Spur /v(xo)

(12)

(rot v(xo» x (x - xo) = [/v(xo) - /v(xol](x - xo). Beweis. Die beiden ersten Beziehungen liest man direkt aus den Definitionen abo Die dritte folgt aus der Tatsache, daB S = A - A T fur jede quadratische Matrix A schiefsymmetrisch ist (ST = -S) und fur jedes S E lR3x3 gilt ST

= -s

{:::=}

S =(

0

-Sl2 -S\3

Mit S folgt.

=A

- AT ist w

Sl20 S13) S23

-S23

= (:~~

{:::=}

Sx

0

= w x x mit w =

=::~) , so daB w = rot v(xo) fiir

a2l -

al2

(

-S23 ) S13

-Sl2

A

= /v(xo) o

Wegen (10) beschreibt x 1-+ Sx =W x x das Geschwindigkeitsfeld einer Drehung, daher der Name "Rotation". Da die Zerlegung A = hA+AT)+i(A-AT) einer Matrix in den symmetrischen und den schiefsymmetrischen Anteil eindeutig ist, nennt man das Drehfeld x 1-+ i(rot v(xo» x x den "Rotationsanteil der linearen Approximation x 1-+ /v(xo)x".

426

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil I: Differentiation

Satz 4.2. Transformationsformeln Sind I = (0; el, e2, e3), K = (P; b l , b 2, b 3) zwei kartesische Koordinatensysteme im Raum und ist p = oP E JR.3, B = (bl, b2, b3) E JR.3x3 die Darstellung von K beziiglich I, so gilt I

System Basis

=(bl, b2, b3), BT = B- 1 yT =(Yl, Y2, Y3) =(x T - pT)B

=(el, e2, e3) x T = (XI, X2, X3)

B

E

Punkt X Vektor

K

IT

v

W=BTv

f(x)

Skalarenfeld f:D-+JR.

g(y)

/f(x) Gradient

grad f(x)

Vektorfeld

v: D -+ JR.3

= f(By + p)

= /f(x)B gradg(y) = BT gradf(x) w(y) = BT v(By + p) /g(Y)

= /f(xl

vex)

= BT /v(x)B divw(y) =divv(x) rot w(y) = BT rot vex)

/v(x)

/w(Y)

Divergenz

divv(x)

Rotation

rotv(x)

Beweis. Bis auf die Divergenz und Rotation folgt alles aus den Formeln (6) (9). Dazu setze man beim Skalarfeld m = 1 und W = 1 und beim Vektorfeld m =n und W = B. divw(y)

=Spur /w(Y) = Spur(BT /v(x)B) =Spur /v(x) =divv(x)

.

( Spur A ist die Summe der Eigenwerte von A, BT AB und A haben die gleichen Eigenwerte, -+ Kap. 6, 6.7.) (rot w(y)) x z

= (/w(Y) -

/w(y)T)Z

= [BT (/v(x) -

/v(x)T)B] z

= BT [rotv(x) x (Bz)] = (BT rotv(x)) x (BTBz)

= (BT rotv(x))

xz .

(B T ist eine Drehmatrix, daher gilt BT (a x b) = (B Ta) x (BTb).)

o

Folgerung: Koordinateninvarianz. Der Wert von div vex) ist unabhangig vom Koordinatensystem, in dem man v darstellt und die partiellen Ableitungen berechnet. Dasselbe gilt fur die Richtung und die Lange von rot vex) und grad v(x). Unter geeigneten Differenzierbarkeitsvoraussetzungen bestatigt man leicht durch explizites Nachrechnen die

427

§4. Vektorwertige Funktionen

Rechenregeln: a) rot(grad f)

b) c) d) e) f)

div(rot v)

=0

"Gradientenfeld ist wirbelfrei" ,

=0

"Feld der Rotation ist quellfrei" ,

div(grad f) = ,6./ , div(fv)

= (grad f) . v + /

div v ,

rot(fv) = (grad f) x v + / rot v , rot(rot v) = grade div v) - ,6. v (Laplace - Operator komponentenweise).

Beispiel. Nach J.e. MAXWELL gilt im Vakuum fiir die (zeitabhangige) elektrische Feldstarke E(x, t) und die magnetische Feldstarke H(x, t) (SI-Einheiten mit den Feldkonstanten fLo = O.4n . 10-6 Him, EO = 8.854 . 10- 12 F/m) aH at

110-

t'"

= - rotE '

E0

aE

at = rotH,

divE = 0,

divH

=0 .

Diese vier partiellen Differentialgleichungen beschreiben die zeitabhangige Koppelung zwischen den Feldern E und H. Sind E(x, t) und H(x, t) beide 'tj'2_ Vektorfelder, so kann man mit Rechenregel f) und dem Satz von Schwarz je eine Differentialgleichung fiir E und H alleine herleiten: fLo rot

aa~ = rote -

andererseits ist mit Co

= ~ v fLoEo

a aE at at

Analog ergibt sich fiir

rot E)

1 a

= - (grad( div E) -

,6.E)

= ,6.E

,

(Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) 1

aH

2

= EO at rotH = EO rot at = co,6.E . a2 H H: -2- = c6,6.H. D.h. jede Komponente von

at erfiillt die 3-dimensionale Wellengleichung (Elektromagnetische Wellen) a2 u = c6 (a 2 u + a 2 u + a2 u) . ax? ax? ax~ at 2

Mit dem symbolischen Vektor ("Nabla-Operator")

E und H

D

V := (

at

l

aX2

)

a

lassen sich die vier Felder formal als Produkte schreiben

aX3

grad / = V / , ,6./ = V . V / , div v = V . v, rot v = V x v . Beim Umgang mit V ist jedoch Vorsicht geboten, man kann mit diesem formalen Vektor wegen der Produktregel der Differentiation nicht immer so rechnen, wie mit "echten" Vektoren (---+ Aufg. 5).

428

7. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 1: Differentiation

Aufgaben 1. Gegeben ist die Abbildung f:

f(x)

1R,z \ {OJ

1R?

-+

=(U(X,y») =_I_(X) , v(x,y) X2+y2 y

a) Fur welche Punkte x ist f(x) = x

x=lO.

(Fixpunkte)?

b) Man berechne die Jacobi-Matrix /r. In welchen Punkten x ist / r invertierbar.

2. Gegeben sind vier Geschwindigkeitsfelder im 1R,z

JX2 + y2)

(r =

(c, E, M konstant)

vex) = (u(x, y), vex, y)l laminar, translatorisch u =c laminare Gegenstromung : u = c . y isolierte QueUe u = E _x__

v = E-y-

Dipolstromung

V

v=O; v=O;

x2 + y2 y2 _ x2 u = M-:-"-,,-----;;c,.,,. (x2 + y2)2

(r > 0) ;

x2 + y2

= -M

(r > 0) ;

2xy (x2 + y2)2

a) Man skizziere jeweils das Vektorfeld samt einigen Stromlinien. b) Man berechne

/v,

div v, rot v .

3. Gegeben sind die Vektorfelder im

1R?

a) vex) = 2xye! + (3z 3 + x2)e2 + 9yz2e3 I 3x lire! - jXj5x (x =I 0) . Man berechne /v, div v und rot v .

b) vex) =

4. In kartesischen Koordinaten ist im

f(x) =

(x 2 ,

1R?

i, _XZ)T,

g(x) = (-y, x, ol

Man berechne V(f· g), V· (f x g) und V x (f x g). 5. Fur zwei

'6"!- Vektorfelder f, g im 1R? hat man mit der "Nabla-Schreibweise" div(f x g)

= V . (f x g)

.

Wendet man die Regeln flir das Spatprodukt an, so hatte man formal die Beziehung d.h.

V . (f x g)

= g . (V

div(f x g)

= g . rot f = -f . rot g

x f)

= -f . (V

x g) ,

.

Wie lautet die richtige Formel, die div(fxg) uber die Rotation von fund g ausdriickt? 6. Gegeben sind im 1R,z mit den kartesischen Koordinaten (x, y) die Transformation von Polar- auf kartesische Koordinaten u : (r, rp) 1-+ (x, y), die Kurve y(t): JR -+ JR2 mit der DarsteUung (r, rp) = (t2, wt) in Polarkoordinaten, das Skalarenfeld s : JR2 -+ JR mit sex, y) = x 2 - i . Man berechne die Jacobi-Matrizen /y

= y, /"

die explizite Darstellung von sou

und 0

/s = (gradsl ,

y und daraus direkt

mittels Kettenregel die Jacobi-Matrix von (s

0

u) und

:t

die Richtungsableitung von s in Transversalrichtung v IT Kurvenpunkt y ( 4w) .

:t

sou

sou

0

0

y ,

y ,

= el' = (- sin rp, cos rp)T

im

429

§4. Vektorwertige Funktionen

7. Man berechne div grad U und rot grad U fur die skalaren Felder im IR? a)

U(x) = zex

1.

Y ,

P'x

b) U (x) = Jij3' x

7' 0

, (Dipolpotential mit Achsenrichtung P E IR.- ).

8. Ein gerader prismatischer Stab der Lange L aus elastischem homogenen Werkstoff hat als Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck A mit der Hiihe h. Der Schwerpunkt des Stabes liegt im Koordinatenursprung (vgl. Skizze). Der Stab wird langs z urn den

« ~

Winkel rp verdrillt. Ein Punkt (x, y, z) mit Izl Naherung die Koordinaten x' = F(x) mit x'

(F)

=x

hat nach der Torsion in guter

- f!... yz L

y* = y + f!... xz L

z' = z +

2ih

(3ix - x 3 )

.

Den Verformungszustand beschreibt das Vektoifeld der Verschiebungen v = x' - x : v = vex) = F(x) - x .

(V)

a) In welche Flachen verwiilben sich die ebenen Schnitte x = 0 bzw. z = 0 durch die "Torsion" F (gefragt ist die Gleichung f(x', y*, z*) = 0 und der Name des Flachentyps)? Welche Punkte in den Schnitten bleiben fest? b) Man berechne die Funktionalmatrizen /F(X) und /,(x) und div v(x) , rot vex) . c) Man berechne (jeweils als Funktion von x): den Verzerrungstensor

V,

= ~(/, + /,T) ;

den Rotationstensor

R,

= ~(/, - /,T) ;

den Spannungstensor

S, = 2G V, , (G bezeichnet den Schubmodul) ;

die Spannungsvektoren in A : PA = S,

(~)

.

9. Man rechne explizit fUr zwei Vektorfelder vex), w(x) E ¥fl(IR 3 , IR 3 ) nach:

I

grad(v· w) =

Zur Kontrolle setze man v = (x, -y,

XZ)T

/,T W + / : v. I und w =

(Zl -

i, Xl -

Z2,

i - X 2 )T .

Kapitel 8

Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

§ 1. Parameterintegrale

1.1 Parameterintegrale. Die meisten h6heren Funktionen der Analysis treten

=

entweder als Integralfunktionen G(x)

l

x

g(t)dt auf (---* Kap. 4) oder sie

besitzen eine Integraldarstellung der Form F(x)

=

ld

f(x, y)dy ,

worin der Integrand vom Parameter x abhangt. Typische Beispiele hierfiir sind:

1

00

tx-1e- t dt (x> 0),

(---* Kap. 4, §4) ,

Die Gammafunktion

r(x):=

die Besselfunktionen

In(x):= IT o cos(x sint - nt)dt (n

1(' J

die Laplace-Transformierte F(x) :=

1

00

E

Z) ,

f(t)e- xt dt .

Die Differentiation und Integration dieser Darstellungen gelingt mit der Theorie von Funktionen im IR? (---* Kap. 7, §2).

o Eigentliche Parameterintegrale Satz 1.1. Grenzwertvertauschung mit bestimmtem Parameterintegral. Sei D [a,b] x [c,d] = {(x,y); a S x S b, c S y S d} ein abgeschlossenes Rechteck in lR,2 und f : D ---* lR, stetig. Dann gilt fur die Integralfunktion

=

F(x):= a)

Fist in [a, b] stetig,

b)

Satz von FUBINI,

lb

F(x)dx

=

ld

f(x, y)dy ,

lb (l d

f(x, Y)d Y ) dx

K. Meyberg et al., Höhere Mathematik 1 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

=

ld (l b

f(x, Y)dX) dy ,

431

§ 1. Parameterintegrale

c)

ist zusatzlich f auf [a, b] stetig partiell nach x dijferenzierbar, dann ist F dijferenzierbar mit der Ableitung d F'(x) = dx

(1)

jd c

f(x, y)dy =

jd

af ax (x, y)dy

c

Beweis. a): Aufgrund der gleichmaBigen Stetigkeit (--+ Kap. 7, Satz 2.1) von f auf D gibt es zu £ > 0 ein 8 > 0, so daB gilt: If(x, y) - f(xo, y)1 <

£

s8. f(xo, y)ldy s £ (d -

fiir aIle y, sofem nur Ix - xol

ld

Fiir diese x gilt dann IF(x) - F(xo)1 S I f(x, y) Also ist F stetig. c): 1st dariiberhinaus fx stetig, dann folgt mit dem Mittelwertsatz

mit

~

zwischen x und x + h. Nach a) (mit fx statt f) strebt die rechte Seite

bei h --+ 0 gegen

ld

fAx, y)dy .

b): Die Funktion H(x):=

ld (LX

f(t, Y)dt) dy erfiiIlt die Voraussetzung von

c). Mit (1) und Satz 1.3 von Kap. 4 folgt H'(x)

Lb (ld f(x, Y)dY ) dx = Lb H'(x)dx = H(b) Beispiel 1. F(x)

c) .

=

In sin~tx)

dt,

F'(x)

=

in

=

H(a)

cos(tx)dt,

ld

f(x, y)dy und damit

= H(b).

FI/(x)

=-

0

In

t sin(tx)dt .

o Beispiel 2. Die BESSEL-Funktionen

If" 10 cos(xsint-nt)dt

In(x):=n

(n=O,±1,±2, ... )

gehoren zu den besonders wichtigen Funktionen der angewandten Analysis. Sie wurden zuerst von F. W. BESSEL (1784-1846) zur Berechnung der Planetenbahnen verwendet. In der Folge kamen zahlreiche Anwendungen in den Ingenieurwissenschaften hinzu. Sie treten beispielsweise auf bei der Amplitudenberechnung der harmonischen Oberwellen in einer frequenzmodulierten Schwingung.

432

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Fur y(x):= y' (x)

10

7r

cos(x sin t - nt )dt , d.h.

= - 10 = -x

7r

10

IT y(x)

= In (x), gilt nach Satz 1.1

sin(x sin t - nt) . sin t dt 7r

cos 2 t cos(x sin t - nt)dt + n

10

7r

cos t cos(x sin t - nt)dt

(partielle Integration mit it = sin t, v = sin(x sin t - nt) ). Ferner gilt (ebenfalls mit (1)) yl/(X)=-Io cos(xsint-nt)sin 2 tdt, 7r

und somit x 2yl/(x) + xy'(x) + (x 2 - n2)y(x) = 0 .

D.h., die Besselfunktion In ist eine Losung der Bessel-Differentialgleichung (-+ Bd. 2)

5

10

n

o

Abb. 197 - Bessel-Funktion, abhiingig von x und n

Hangen im Parameterintegral auch die Integrationsgrenzen vom Parameter x ab, dann gilt statt (1) fur stetig differenzierbare Funktionen g, h die LEIBNlz-Regel (2)

d

d

l

h (X)

x g~)

f(x, y)dy =

l

h (X)

g~)

fAx, y)dy + f(x, h(x))h'(x) -

Beweis. Man wende auf F(x, u, v) :=

lV

f(x, g(x))g'(x).

I(x, y)dy mit u = g(x), v = hex) die

Kettenregel an (-+ Kap. 7, Satz 2.6): :x F(x, g(x), hex)) = Fx + Fuu' + Fvv' .

o

433

§ I. Parameterintegrale

Beispiel 1.

t

2

y dI da = - 10 t 2 sin(at 2 )dt + 2a cosa S

Beispiel 2. Fur x(t):=

(mit f: lR

~

kIt 10

o

f(u)sink(t - u)du

lR stetig) gilt

xU) =

11

f(u)cosk(t - u)du ,

x(t) = f(t) - k

Folglich ist x

.

= x(t)

11

feu) sin k(t - u)du .

eine Lasung der Schwingungsgleichung

x + k 2 x = f(t)

Bd. 2)

(~

mit den Anfangswerten x(O) = x(O) = 0 .

0

® Uneigentliche Parameterintegrale. Ein dem Satz 1.1 entsprechendes Ergebnis fur uneigentliche Integrale, also fur Integrale der Form

[ df(x,y)dy = lim [d-e f(x,y)dy, 8_0

c

C

[

00

c

f(x, y)dy

= lim

d-+oo

[d

f(x, y)dy ,

C

gilt nur unter der zusatzlichen Voraussetzung, daB einige der vorkommenden Integrale "gleichmaBig konvergieren". Wir gehen hier auf dies en Begriff nicht naher ein, sondem formulieren den entsprechenden Satz (ohne Beweis) in einer speziellen Form, die fur die meisten Anwendungen ausreicht. Satz 1.2. 1st f auf dem einseitig offenen " Rechteck" (dElRU{OO})

D={(x,y);a:sx:Sb, c:sy
stetig und stetig partiell nach x differenzierbar und gibt es Funktionen g, h : [c, d) ~ lR, fur die gilt

:s g(y)

I.

If(x, y)1

2.

die uneigentlichen Integrate

Id

g(y)dy,

und IfAx, y)1

Id

h(y)dy

:s hey) bzw.

fur aile (x, y) ED,

1

00

1

00

g(y)dy,

h(y)dy

konvergieren, dann konvergiert fur jedes x F(x):=

Id

E

f(x, y)dy

1 =1

[a, b] das uneigentliche Integral bzw.

F(x) :=

00

f(x, y)dy

und die dadurch definierte Funktion Fist differenzierbar mit der Ableitung (3)

F'(x)

=

Id

fAx, y)dy

bzw.

F'(x)

00

fAx, y)dy .

434

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Beispiel 1. F(x):=

ist fur jedes x

E

1

00

e- t2 cos(xt)dt

1R. konvergent und besitzt die Ableitung F'(x)

1

=

00

= -~F(x)

_te- t2 sin(xt)dt

(mit partieller Integration; it = te- t2 , v = sin(xt) ). Denn f(x, t) := e- t2 cos(xt) ist eine 'iifl-Funktion; es gelten die Abschatzungen

.:s e- t

If(x, t)1

2

,

= -te- t

IfAx, t)1

2

sin(xt).:s te- t

2

;

und fooo e- t2 dt, fooo te- t2 dt konvergieren wegen e- t2 < e- t fur t > 1 . (-+ Satz 1.2 mit g(t)

= e-t2 , h(t) = te-

t2

0

.)

Beispiel 2. Die Ableitung der Gammafunktion r(x)

=

1

00

e- t t x- I dt (x > 0)

laBt sich ebenfalls mit (3) berechnen. Die Abschatzungen, mit den en die Konvergenz des an beiden Integralgrenzen uneigentlichen Integrals nachgewiesen wurde, zeigen, daB die Voraussetzungen aus Satz 1.2 erfullt sind. r'(x) r"(x)

1 =1 =

00

e-ttX-llntdt ,

00

e-ttx-l(lnt)2dt.

0

1°

Gegenbeispiel. Das uneigentliche Integral e- st cos t dt konvergiert nicht gleichmaBig fur s 2: 0 : Einerseits liefert zweimalige partielle Integration 00

lim

[00

s"""*olo

e- st costdt

= lim - s12 = 0 s~o

+s

,

andererseits hatte man mit Satz 1.2 - falsch angewendet lim s~o

[00 e-st cos t dt = [00 lim e- st cos t dt = [00 cos t dt = lim sin t

10

d.h. lim sin t t"""*oo

10

10

s--+o

=0 , das ist ein Widerspruch.

t~oo

o

Aufgaben 1. Fur 0::: x ::: 1, y 2:: 0 ist die Funktion

a) Man diskutiere und skizziere x

t-+

I(x, y) = xy e- xy

gegeben.

I(x, y) fur festes y.

b) Man berechne g(x):= lim I(x, y) fur jedes x y-+oo

E

[0, 1]. Gilt

lim t/(x,Y)dX= tg(X)dx? y-+oo

10

;

Jo

435

§2. Kurvenintegrale 2

2. Man wiederhole Aufgabe 1 mit f(x, y) = \e- x / y Y 3. Man berechne a) F'(l) fiir F(x) =

j,

X2

,

0:::: x <

00,

0 < y <

00.

sx

xe+sds.

l/x

b) F(e), F'(e), F"(e) fiir F(x) =

IX In(x lny)dy,

x> 1.

1 (11

4. Man rechne direkt nach: Fiir die Funktion f(x, y) = (2 - xy)xye- xy ist

11 (1

00

f(x, Y)dY) dx

=I

00

f(x, Y)dX) dy .

5. a) Man bestatige fiir die BESSEL-Funktionen 1n(x) -

durch partielle Integration die Rekursionsformel: (i)

-

durch die Substitution

t

= :rr - r

(ii)

b) Mittels (i) und (ii) berechne man 1n(3) fiir -5:::: n :::: 5 rekursiv aus 10(3) = -0.2600519549 . .. und 1, (3) = 0.3390589585 ....

§ 2. Kurvenintegrale 2.1 Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion. Das bestimmte Integral

f; g(t)dt

einer reellen Funktion g : [0, a] -+ lR, stellt den einfachsten Fall eines Kurvenintegrals dar. Es ist interpretierbar als Integral tiber ein Skalarenfeld Hings der Strecke x(t) = tel, O:s t :s a. Die Verallgemeinerung auf beliebige Kurven im lR,n liefert ein Mittel, urn in der Physik die Masse und den Schwerpunkt von krummen Staben, die Arbeit in Kraftfeldem und die Zirkulation in Stromungsfeldem zu berechnen und in der Theorie von Vektorfeldem zu einem Gradientenfeld das Potential zu bestimmen. Definition. Sei D <; lR,n offen, w : [a, b] -+ D ein Kurvenstuck und f eine skalare Belegungsfunktion auf dem Kurvenstuck, so daj3 t f-+ f(w(t)) stetig ist. Dann heij3t (1)

i

fds :=

lb

das Kurvenintegral von f liings w.

f(w(t))lw(t)ldt

436

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Das Kurvenintegral besitzt im Fall n = 3 folgende anschauliche Deutung, aus der sich auch die Anwendungen ergeben. Das Kurvenstiick be sitze im Kurvenpunkt wet) die Belegung mit der skalaren GroBe (Masse, Ladung, ... ) f(w(t». Zur Berechnung der GesamtAbb. 198 - Kurvenintegral belegung wird das Kurvensttick durch Aufteilung des Parameterintervalls a = to < tl < ... < tm = b in Bogen tiber [ti-1, til (1::::: i ::::: m) der Lange l'l.Si = !w(t)!dt = !w(ri)!l'l.ti mit einem Zwischenwert ri (ti-l ::::: ri ::::: ti, --+ Kap. 4, § 1(1 0» zerlegt. Durch das Produkt

fL

f(w(r;)l'l.si

= f(w(r;))!w(ri)!l'l.ti

wird die Belegung des i-ten Bogens approximiert, die Gesamtbelegung durch n

Zn =

L

f(w(ri»!w(ri)!l'l.ti .

i=1

Dieses ist eine RIEMANN-Summe, die aufgrund der geforderten Stetigkeit mit n --+ 00 und Mi --+ 0 gegen das Integral f(w(t»)!w(t)!dt konvergiert.

f:

Berechnung des Kurvenintegrals I

=

i

f ds im lR? .

1. Schritt: Das Kurvenstiick parametrisieren,

wet)

= (x(t), yet), Z(t))T

, a::::: t ::::: b .

2. Schritt: Das Bogenelement durch Differentiation bestimmen,

ds 3. Schritt: Eintragen:

= !w(t)!dt = ) x2 (t) + y2(t) + Z2(t) dt . wet) im Integranden: f = f(w(t)) , das Bogenelement ds = !w(t)!dt , a, b als Integrationsgrenzen.

I =

lb

x

f(x(t), yet), z(t») 2(t) + y2(t) + z2(t)dt

als bestimmtes Integral ausrechnen (--+ Kap. 4). Mit der Sprechweise von Kap. 4, 6.1 lautet der Sachverhalt anschaulich: Das Bogenelement ds im Kurvenpunkt wet) tragt die Belegung dm = f(w(t»ds = f(w(t»!w(t)!dt ; die "kontinuierliche Summation" - also die Integration - ergibt die Gesamtbelegung M

=

i =i =lb dm

fds

f(w(t»)!w(t)!dt .

437

§ 2. Kurvenintegrale

Bemerkung. Was durch diese anschauliche Deutung unmittelbar einleuchtet, laBt sich auch explizit leicht beweisen: Durchlaufen zwei Kurvenstucke w : [a, b) --+ lRn und u : [c, d) --+ lRn dieselbe Spur {w(t) ; a :'S t :'S b} = {u(t) ; c :'S t :'S d} genau gleich oft, dann gilt

lb

Id

f(w(t)) Iw(t)1 dt =

f(u(t)) lit(t)1 dt .

Die Schreibweise fw f ds symbolisiert diese Unabhangigkeit von einer speziellen Parameterdarstellung.

Beispiel. Es ist die Masse M = fw pds der abgebildeten Schraubenfeder mit linearer Massendichte p(x, Y, z) = x 2i + Z2 zu berechnen. 1. Schritt: Das Kurvenstiick darstellen: x=2cost, y=2sint, z=~t, O:'St:'S4n. 2. Schritt: Das Bogenelement berechnen: ds = Ji2 +)12 + 2dt = ~.J17dt. 3. Schritt: Einsetzen und ausrechnen:

w(4rr)

, ,,

'.

x

z

M =

i

pds =

i

(x 2y2 + z2)ds =

---_ ....

w(O)

Abb. 199 - Schraublinie

1

4 ][ [(2 cos t)2(2

sin t)2 + it2Jiffi dt

= ~ffi( ¥n 3 + 8n) .

Beispiele fiir spezielle Integrationswege.

1. Das Integrallangs einer zur z-Achse parallelen Strecke. 1. Schritt: Die Strecke wet) = (xo, Yo, tf 2. Schritt: Das BogeneIement ds = dt .

3. Schritt: Einsetzen (und ausrechnen)

,

Zo:'S t :'S

1

fds =

w

2. Das Integral langs eines Graphen y

= g(x)

Zl .

t'

lZQ

f(xo, Yo, t)dt .

in der Ebene z = Zo .

1. Schritt: Das Kurvenstiick w(x) = (x, g(x), zof , a :'S x :'S b. 2. Schritt: Das Bogenelement ds = JI + g'(x)2dx. 3. Schritt: Das Integral

i =lb fds

f(x, g(x), zo)Jl + g'(x)2dx.

Es ist zweckmaBig, den Begriff des Kurvenintegrals auf Integrationswege zu erweitem, die aus (stetig differenzierbaren) Kurvenstiicken zusammengesetzt werden.

y

Abb. 200 - Kurve

o

438

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Definition. a) Unter einer Kurve

W in D S; IR n verstehen wir eine endliche Folge WI, ... , Wk von (stetig dijferenzierbaren) Kurvenstiicken Wi : [ai, b;] --+ D (i = 1, ... ,k)mit wi(bi)=Wi+l(ai+d (1:Si :sk-1).

b) Fiir eine aus den Kurvenstiicken WI, ... , Wk bestehende Kurve und for jede stetige Funktion f : Spur W --+ IR ist das Kurvenintegral von f llings W definiert durch {fds:= { fds+···+ { fds.

(2)

lw

lWk

JWI

Beispiel. Die Kurve W fuhrt, wie skizziert, auf achsenparallelen Strecken yom Ursprung 0 zum Punkt (xo, Yo, zo) , Belegungsfunktion sei f(x) = Ixl2 :

i

Ixl2ds

= Io

xO

z

(t 2 + 0 + O)dt+

+

10 (X5 + t

+

Io

YO

zO

2

+ O)dt+ Abb. 201 - Streckenzug

(X5 + Y5 + t 2 )dt

132

1 32

2

1 3

o

=~~+~~+~~+~~+~~+~~.

Durch die Anordnung auf IR ergibt sich eine Orientierung (Durchlaufrichtung) eines Kurvenstucks w: [a, b] --+ IR n bzw. der Spur yom Anfangspunkt hin zum Endpunkt. In der graphischen Darstellung wird das durch einen entsprechenden Pfeil gekennzeichnet. Eine aus Stucken Wi : [ai, b;] --+ IR n (1:s i :s k) bestehende Kurve wird yom Anfangspunkt WI (ad uber die "Verbindungspunkte" wi(b i ) =wi+l(ai+l) (1:s i :s k - 1) zum Endpunkt wk(bk) durchlaufen. Das zum Kurvenstuck W : [a, b] --+ IRn definierte Kurvenstuck (3)

W* :

[a, b] --+ IRn,

W*(t):= w(a + b - t) ,

hat die gleiche Spur wie w, sie wird jedoch von w*(a) = web) (Endpunkt von w) nach w*(b) = w(a) (Anfangspunkt von w) durchlaufen. Die zur Kurve w, bestehend aus den Stucken WI, ... , Wk , entgegengesetzt durchlaufenen Kurve w* besteht (der Reihe nach) aus wZ, ... , wI' Da in der Integraldefinition (1) die Durchlaufrichtung nicht eingeht, gilt offenbar (4)

{ fds = (

lw

}w*

fds.

Aus der Definition ergeben sich fur aIle Kurven a E IR, folgende Rechenregeln:

Abb. 202 - Durchlaufsinn W

in D, f, g

E

'fj'o(D, IR) ,

439

§ 2. Kurvenintegrale

i af ds = a i (5)

f ds ,

i (f + g)ds = i f ds + i

g ds .

(Linearitiit des Kurvenintegrals)

Ferner gilt fur jedes Kurvenstuck w : [a, b] -+ lR,n der Mittelwertsatz: (6)

mit einem Kurvenpunkt

x und der Kurveniange

L.

Beweis. Der Mittelwertsatz fur bestimmte Integrale (-+ Kap. 4, Satz 1.2) gibt i

fds

=

lb

f(w(t))lw(t)ldt

= f(x)

lb

Iw(t)ldt

o

= f(x)· L .

2.2 Anwendungen

CD BogenHinge.

Die Lange L(w) eines Kurvenstucks w : [a, b] -+ lR,3 betragt

nach Kap. 7, §1 (7)

L(w) = i ds =

lb

Iw(t)ldt =

lb .J

x(t)2 + y(t)2 + z(t)2dt

Eine aus den Kurvenstucken WI, ... , Wk bestehende Kurve hat die Lange L = L(wd + ... + L(wk)' wobei mehrfach durchIaufene Stucke entsprechend oft gezahlt werden.

®

Masse (oder Ladung, bzw. irgendeine Belegung). Stellt p(x, y, z) die Massendichte einer Kurve w (eines Seiles oder Drahtes) dar, so nennt man dm = p(x, y, z)ds ein Massenelement. Die Gesamtmasse betragt (8)

M

=i

dm

=i

o Momente und Massenmittelpunkt.

p(x, y, z)ds .

Die k-ten Momente (bezuglich der Koordinatenebenen) eines in (x, y, z) befindlichen Massenpunktes der Masse dm sind xkdm, /dm, zkdm. Demzufolge berechnen sich die k-ten Momente der Kurve w wie folgt:

440

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

i

Mx,k =

(9)

My,k

=

Mz,k =

Fur k

=1

i i

xkdm = /dm

i

i i

=

ldm =

Xkp(X, y, z)ds , /p(x, y, z)ds , lp(x, y, z)ds ,

sind das die statischen Momente, fur k

=2

die Triigheitsmomente,

Der Punkt S = (xs, Ys, zs), in dem eine Punktmasse der GroBe M (-+ (8)) dasselbe statische Moment wie w besitzt, bezeichnet man als Massenmittelpunkt (Schwerpunkt). Schwerpunkt S = (xs, Ys, zs) zur Massendichte p, (10)

=

Gesamtmasse M Xs=

i

pds :

~ ixpeX,Y,Z)dS,Ys= ~ iypeX,Y,Z)dS,Zs= ~ izpeX,Y,Z)dS.

1m Fall homogener Massenverteilung, p(x, y, z) = const, raUt der Massenmittelpunkt der Kurve w mit ihrem geometrischen Schwerpunkt zusammen.

i =ti

Der (geometrische) Schwerpunkt einer Gesamtlange L

(11)

x=

ti

x ds,

Y

=

S =(x, y, z) bei

ds :

y ds, z =

ti

z ds .

Man beachte: Sowohl der Massenmittelpunkt als auch der Schwerpunkt sind i.a. keine Kurvenpunkte. Beispiel. Die Schraubenlinie (-+ Abb. 199)

w(t)=(rcost,rsint,htl,

0::;t::;2nn,

hat die Bogenlange L

= fo2nn Jr2 + h 2dt = Jr2 + h 2 . 2nn = 2nnR

Fur ganzzahliges n ist _

1

x =y = 0

r

z = 2nnR 10

und mit der Hohe H

2nn

htRdt

4n 2 n 2 hR

,

R

= Jr2 + h 2 .

= 2nnh H

= 2. 2nnR = nnh = 2 '

ist

441

§ 2. Kurvenintegrale

d.h. sich

S = (0, 0,

~ H) liegt nicht auf w. Mit der Massenbelegung p

M Wieder ist Xs

1

=

2nn

ht . Rdt

= 2n 2 n 2 hR

=z

ergibt

.

= Ys = 0, und es ergibt sich mit Zs

= 2n 2n12 hR

als Massenmittelpunkt S

1

2nn

ht . ht . Rdt

0

= ~hnn = ~ H

=(0, 0, ~ H) .

o

2.3 Die Integration eines Vektorfeldes langs einer Kurve. Fur Vektoren

t Xi

x = (XI, ... , xnl, Y = (YI, ... , Ynl durch (--+ Kap. 6, 6.3)

X·

y

=

E

t X;)

1R.n ist das Skalarprodukt

Yi . Die Zahl Ixl

=(

X·

1/2

Y definiert

heiBt Betrag

des Vektors x und zu einem Einheitsvektor e (d.h. lei = 1) nennt man X· e die skalare Komponente von x in e-Richtung. Offenbar gilt x = (x . e)e + n mit dem zu e orthogonalen Vektor n = x - (x· e)e (--+ Kap. 1, §5(6) fur n = 3). w: [a, b] --+ D eine reguliire Kurve und Definition. Sei D S; 1R.n offen. v : D --+ 1R.n ein stetiges Vektorfeld. Man nennt (12)

i v . dx:=

lb

v(w(t)) . w(t)dt

das Kurvenintegral von v langs w.

T(t)

Bemerkungen 1. Mit T(t) :=

Iw~t)1 wet)

w(b)

(--+ Kap. 7,

§ 1) lautet (12)

i v . dx =

lb

i

=

[v(w(t)) . T(t)] Iw(t)ldt

(v· T)ds .

Abb. 203 - Integral eines Vektorfeldes

Es handelt sich also um das Kurvenintegral fw f ds der skalaren Tangentialkomponente f = v . T des Vektorfeldes liings der Kurve w .

2. Offenbar gelten fur stetige Vektorfelder u, v und a regeln (die Linearitiit):

E

i(U+V).dX= i u·dx+ i v·dx, (13)

i av . dx = a i v . dx .

1R. folgende Rechen-

442

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

3. Bei einer Anderung der "Integrationsrichtung", d.h. beim Ubergang von w zur entgegengesetzt durchlaufenen Kurve w* (---+ (3)) geht der Tangentialvektor T in - T tiber. Deshalb gilt

1

(14)

v· dx

w*

=

-1

v . dx .

w

4. SinngemaB zu (2) ist das Kurvenintegral von Vektorfeldem langs stiickweise regularer Kurven erklart. 5. Man nennt eine Kurve w geschlossen, wenn der Anfangspunkt mit dem Endpunkt zusammenfallt. In diesem Fall schreiben wir

i

fdS

bzw.

i

v·dx.

6. Die linke Seite von (12) wird mit dx = (dXl, ... , dXnl gem "explizit" folgender Form angegeben:

i

V·

dx

=

i

Mit indexfreier Schreibweise im

Vldxl + V2dx2 + ... + vndxn . lR,3 ,

d.h. mit x

= Xl,

Y

= X2, Z = X3 :

Berechnung des Kurvenintegrals im lR,3. A

=

i

v . dx

=

i

vldx + v2dy + V3 d Z .

1. Schritt: Das Kurvenstiick parametrisieren, wet) = (x(t), yet), z(t)) T , a:S t :s b . 2. Schritt: Das vektorielle Bogenelement berechnen,

dx

= w(t)dt = (.x(t), yet), Z(t))T dt

.

3. Schritt: Parameterdarstellung, vektorielles Bogenelement,

Parametergrenzen eintragen, A =

Ib

[VI (w(t)).x(t) + V2(W(t))y(t) + v3(w(t))z(t)]dt

als bestimmtes Integral ausrechnen (---+ Kap. 4). Beispiel 1. A

2. Schritt:

i

x2y dx + (x - z)dy + (xyz)dz

=x3 (0 :s x :s 2) in der Ebene z = 2 . Die Kurve x = t, Y = t 3 , z = 2, O:s t :s 2. dx = dt, dy = 3t 2dt, dz = 0 .

langs des Graphen y 1. Schritt:

=

III

443

§2. Kurvenintegrale

D

Beispiel 2. Das Integral iiber den isolierten Wirbel im lR? (-+ Kap. 7, 4.3) v(x,y)=

~ (-y) x +y x

, (x,y):;i(O,O),

langs des einmal positiv durchlaufenen Einheitskreises w urn (0,0). A

1. Schritt: x

1 w

v1dx + v2dy

1~(-ydx

=

w

x +Y

+xdy)

= cos t, Y = sin t, 0::::: t ::::: 2n . = - sin t dt, dy = cos t dt .

2. Schritt: dx

3. Schritt: A

=

1

=

2rr

[sin2 t + cos 2 t]dt

= 2n.

(-+ 2.5, letztes Beispiel)

D

2.4 Anwendungen und Beispiele

o Arbeit.

Die von einer Kraft K im Kurvenpunkt wet) langs des Weges dx = w(t)dt geleistete Arbeit betragt dA = K . dx = (K . T)ds . Demnach betragt die von K langs w geleistete Arbeit A= i

K·dx.

In einem elektrischen Feld E liefert das (negative) ,,Arbeitsintegral" den Spannungsabfailiangs w (-+ Kap. 7, 3.1): U

=-

i

E·dx.

Beispiel. Gefiihrte Bewegung. Gleitet ein Teilchen der Masse m im vertikalen Schwerefeld K = (0,0, -mgl nicht frei, sondem reibungsfrei langs einer Leitkurve w, so sind im Bewegungsgesetz die von der Massentragheit herriihrenden Scheinkriifte zu beriicksichtigen. Rechnet man im begleitenden Dreibein (T, N, B) von w (-+ Kap. 7, 1.2), so lautet die Bewegungsgleichung: mx

= K + FN N

+ FB B .

FN

B N+F~W

T1~ K Abb. 204 - Gefiihrte Bewegung

Das Kurvenintegral iiber dieses Kraftegleichgewicht zeigt in der Energiebilanz der Bewegung, daB FN und FB keinen Energiebeitrag leisten: i m(x· dx)

=i

K· dx + FN iN, dx + FBi B . dx ,

i m(x·x)dt= i K·dx+FN i(N'T)dS+FB i(B'T)dS.

444

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Integration der linken Seite ergibt mit vet) = Ix(t)1 und N . T = B . T = 0 : m

l\xx + yy +

zz)dt = im(x 2 + y2

+ z2)1~=a = im(v 2(b)

- v2(a)) =

i

K· dx .

Mit x = vT + v 2 K N (--+ Kap. 7, § 1(9)) erhalt man nach skalarer Multiplikation der Bewegungsgleichung mit N bzw. B: D

G) Zirkulation und FluB. In der Stromungslehre heiBt das Integral eines Geschwindigkeitsfeldes v langs einer geschlossenen Kurve w,

f

v . dx

=

f

T

(v· T)ds ,

die Zirkulation des Feldes v langs w. Es wird die skalare Tangentialkomponente von v langs w aufintegriert. Liegt w in einer Ebene, so bezeichnet man das Integral uber die Normalkomponente von v als Fluj3 des Feldes v durch w:

f

v . dn :=

f

Tangentialkomponente

n komponente

(v . n)ds .

Abb. 205 - FluB, Zirkulation

n bezeichnet dabei in jedem Kurvenpunkt

den auj3eren Normalenvektor, der aus T durch eine Drehung urn -90 0 ensteht. Er hat fur wet)

= (~~:~)

die Darstellung net)

=

h

(!;~~))

und weist

bei positivem Umlauf stets ins AuBere von w (--+ 3.5, Bsp.2). Der Mittelwertsatz (6) gibt die Deutung fur die physikalische Anwendung:

f

v . dx = (v(t) . T(r))L

Zirkulation langs w = (mittlere langs FluB durch w = (mittlere langs

;

f

v . dn = (vCt) . n(i))L .

skalare Tangentialkomponente von v w)· (Lange von w) , skalare Normalkomponente von v w)· (Lange von w).

Beispiel. Ebene Gegenstromung v=(cg)

, c>O.

Fur den positiv durchlaufenen Kreis w(t)=(cost,l+sint)T

ist

,OSts2rr, Abb. 206 - Gegenstromung

445

§2. Kurvenintegrale

die Zirkulation: der FluB:

1 v. dx = [27T (C(l + sint») . (- sint) dt = -lfC 'fw 10 0 cost ' 1 v. dn = [27T (C(1 + sint)) . (C?st) dt = 0 . 'fw 10 0 sm t

-1'

Lings w hat v die mittlere skalare Tangentialkomponente - ;; = Negative Zirkulation bedeutet, daB die Stromung langs w uberwiegend im Uhrzeigersinn verlauft. FluB=O bedeutet, es fiieBt genausoviel in das Kreisinnere hinein wie heraus (die Gegenstromung ist quellfrei: divv = 0). D

2.5 Das Potential eines Gradientenfeldes. In volliger Analogie zu den Verhaltnissen bei Funktionen in einer reellen Variablen (--+ Kap. 4, 1.4) liefert das Kurvenintegral das geeignete Mittel, zur ,,Ableitung" grad I einer Funktion I : JR.n :2 D --+ JR. von n Veranderlichen eine Stammfunktion zu rekonstruieren. Anstelle eines zusammenhangenden Intervalles ist hier als Definitionsbereich einer Funktion ein Gebiet im JR.n zu wahlen. Definition. Eine Teilmenge G S; JR.n heij3t Gebiet, wenn gilt: 1.

Gist offen, d.h. zu jedem Xo E G U.(xo) = {x ; Ix - xol < E} ganz in G.

2.

Gist zusammenhangend, d.h. zu je zwei Punkten xo, Yo aus G gibt es einereguliireKurve w:[a,b]--+G mit w(a)=xo, w(b)=yo.

liegt eine ganze

E-Umgebung

Definition. Sei G S; JR.n ein Gebiet. Man nennt ein VektOlfeld v E ¥f°(G, lRn) konservativ oder ein Potential-, bzw. ein Gradientenfeld, wenn es eine Funktion IE ¥fl(G, JR.) gibt mit vex) = grad I(x) (x E G) . In diesem Fall heij3t I Stammfunktion und U := (oder ein Potential) von v.

I

eine Potentialfunktion

Bemerkungen. 1. In einem konservativen Kraftfeld reprasentiert das Potential die potentielle Energie. Das Vorzeichen ist so gewahlt, daB v = - grad U in Richtung des starksten Potentialabfalls zeigt (--+ Kap. 7, 3.1). 2. Fur jede durch ein konservatives Kraftfeld K = - grad U hervorgerufene Bewegung x = x(t) leitet man aus dem Gesetz von NEWTON den Energieerhaltungssatz ab (daher die Bezeichnung "konservativ"):

o = mx -

K = mx + grad U ,

O=mx.x+gradU·x= :t [;x(t).x(t)+U(x(t))] , canst. = ; Ix(t)1 2 + U(x(t)) = "kinetische Energie + potentielle Energie"

446

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Satz 2.1. 1. Hauptsatz fur Kurvenintegrale. 1st v : G

--7 lR,n ein stetiges Gradientenfeld auf dem Gebiet G <; lR,n mit einer Stammfunktion f, dann gilt fur jede stuckweise reguliire Kurve w in G mit Anfangspunkt w(a) und Endpunkt web)

(15)

v· dx

i

= f(w(b)) -

f(w(a)) .

Beweis. Zunachst nehmen wir an, daB w aus einem regularen Kurvenstiick w: [a, b] --7 G besteht. Dafiir gilt (--7 Kap. 7, §2(12)) i

v·dx= igradf.dx=

r

Ja

=

lb

d

[dtf(w(t))]dt

gradf(w(t)) ·w(t)dt

= f(w(b))

- f(w(a)) .

Bei mehreren aneinanderhangenden Kurvenstiicken Wi : [ai, bd --7 G (1:::: i :::: k) ist dieses stiickweise anzuwenden. Mit wi(b i ) = wi+l(ai+d (1:::: i :::: k - 1) folgt die Behauptung. 0 Beispiel 1. Die von der Zentralkraft K U

= 1:1

[a, b]

--7

=

a

(x =I 0) mit dem Potential

-3 X

Ixl

langs einer nicht durch den Nullpunkt gehenden regularen Kurve w : lR,3

geleistete Arbeit betragt i

K· dx

=-

i

grad U . dx

= U(w(a)) -

o

U(w(b)) .

Beispiel 2. Das elektrische Feld (unrealistisch, dafiir leicht zu rechnen) E : lR,3

--7

lR,3,

E(x, y, z)

=(

~1++3~3 )

3z 2 x + 3y

besitzt das Potential U (x, y, z) = _(x 2 y + X Z3 + 3zy) . Der Spannungsabfall zwischen den Punkten P = (1, 1, 1) und Q langs einer (stiickweise) regularen Kurve wist wegunabhiingig: i

E· dx

=-

i

grad U . dx

= U(P) -

U(Q)

= (3, 4, 5)

= 466

(Einheiten wurden weggelassen). Ganz allgemein ist die Spannung in einem konservativen elektrischen Feld zwischen zwei Punkten P und Q gleich der entsprechenden Potentialdifferenz. 0 Bemerkung. Aus dem 1. Haupsatz folgt auch die bereits bekannte Tatsache (--7 Kap. 7, Satz 2.3), daB sich zwei Stammfunktionen eines konservativen Vektorfeldes nur um eine additive Konstante unterscheiden.

447

§2. Kurvenintegrale

Satz 2.2. Fur ein stetiges Vektoifeld v sind folgende Aussagen dquivalent:

E

'l:f°(G, lRn) auf einem Gebiet G S; lRn

a) v ist ein Potentialfeld. b) Fur alle reguldren Kurven w in G hdngt

i

v . dx nur vom Anfangs- und

Endpunkt von w abo (Man sagt, das Integral ist wegunabhangig.) c) Fur aile geschlossenen reguldren Kurven w in G gilt

f

v·dx=O.

Beweis. a) => b): -+ Satz 2.1. b) => c): Bine geschlossene Kurve w wird in Kurvenstucke WI, W2 unterteilt. N ach Voraussetzung gilt

=[

lWI

V·

dx

[

V·

dx = [

[

lw

Abb. 207 - Wegzerlegung

* v . dx und deshalb

lW2

V·

dx + [

lW2

lWI

V·

dx = [

V·

dx -

lWI

[ * v . dx = 0 .

lW2

c) => b): wird ebenso bewiesen. Man bildet aus zwei verschiedenen Kurven mit denselben Anfangs- und Endpunkten eine geschlossene Kurve. b) => a): Zu x, Xo E G (xo fest) wird f : G -+ lR definiert durch f(x) :=

l

x

Xo

v . dx:= [

Jw

V·

dx

mit einer beliebigen Xo mit x verbindenden regularen Kurve in G. Aufgrund der Voraussetzung ist diese Definition sinnvoll (wegunabhangig). Zu zeigen ist, daB grad f = v . Fur kleine h E lR liegt mit x die ganze x mit x + hel verbindende Strecke in G und es gilt f(x + hed - f(x) =

Io

h

=

l

x+he1

x

V .

dx

vI(x+tel)dt

° - Weg

b 2 8 Ab.

= vI(x+t*el)h

·· af f ur -

aX!

mit einem t* zwischen 0 und h (-+ Kap. 4, § 1(10)). Damit folgt

-aa f(x) = lim -hI [f(x + hed XI h-"O a

Ebenso zeigt man -a f(x) = Xi

V;

f(x)]

(x) , i = 2, ... , n .

= VI (x)

. D

448

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Ob ein 'i;fl-Vektorfeld V: G -+

]Rn

ein Potential besitzt, kann in der Umgebung

eines Punktes direkt an der JAcoBI-Matrix ","v(X) =

(aaVi (x)) Xl nxn

abgelesen

werden. U m diese Kennzeichnung auf ganz G zu iibertragen, muG eine Zusatzforderung getroffen werden: Definition. Ein Gebiet G S; ]Rn heij3t einfach zusammenhangend, wenn jede geschlossene, doppelpunktJreie Kurve in G stetig auf einen Punkt in G zusammengezogen werden kann, ohne daj3 G verlassen wird.

Beispiele im ]R2 a) Einfach zusammenhangend im ]R2 ist (anschaulich) jedes Gebiet ohne Loch; etwa ]R2 , das Innere eines Kreises, eine Halbebene. b) Nicht einfach zusammenhangend ist jedes Gebiet mit Lochern, etwa die "punktierte" Ebene ]R2 \ {O}, das Gebiet zwischen zwei ineinanderliegenden Kreisen.

Abb. 209 - einfaeh zusammenhiingend

- nieht einfaeh zusammenhiingend im JR2

o

Beispiele im ]R3 a) Einfach zusammenhangend ist jedes Gebiet ohne Henkel, etwa ]R3 , das Innere eines Quaders oder einer Kugel, ein von zwei konzentrischen Kugeln begrenztes Gebiet. Diese Gebiete bleiben einfach zusammenhangend, wenn jeweils endlich viele Punkte entfernt werden. Insbesondere ist der punktierte Raum ]R3 \ {O} einfach zusammenhangend. b) Nicht einfach zusammenhangend ist jedes Gebiet mit Henkeln; ein Torus, der ]R3 ohne eine Gerade oder ohne einen Kreis ist ebenfalls nicht einfach zusammenhangend.

Abb. 210 - einfach zusammenhiingend

- nieht einfaeh zusammenhiingend im JR3

o

449

§ 2. Kurvenintegrale

Satz 2.3.

2.

Hauptsatz fiir Kurvenintegrale. Ein "6'1-Vektoifeld v: G -+ lR,n auf

einem einfach zusammenhangenden Gebiet G feld, wenn die "Integrabilitatsbedingung"

","v(x) . (d.. h -;;-OV; e,,.f;;ll J '" t lst UXk

OVk = -;:;--, uX;

I,. k

= ","v(xf

~ lR,n

fur aUe x

ist genau dann ein PotentialE

G

= 1, ... , n ).

=grad f

mit einer "6'2-Funktion f : G -+ lR, folgt mit dem Satz oV; 0 0 0 0 OVj von Schwarz (-+ Kap. 7, Satz 2.2) -;;-- = -;;-- -;:;-- f = -;:;--( ---:- f) = -"- .

Beweis. Aus v

uXj

uXj UXi

uX;

Xl

uX;

Weiter zeigen wir, daB aus ","v(x) = ","v(xf fiir aIle x E G die "lokale Integrabilitat" folgt, indem wir zu jedem Xo E G und jeder r-Umgebung Ur(xo) ~ G ein Potential f zu v auf Ur(xo) explizit als Kurvenintegral (iiber die Xo mit x E Ur(xo) verbindenden Strecke) angeben: f(x):=

11

v(xo + t(x - xo)) . (x - xo)dt .

Hierfiir gilt grad f(x) = =

fal grad[v(w(t)). (x fa 1 [t ","v (w(t)f (x -

(komponentenweise Satz 1.1)

xo)]dt

xo) + v(w(t)) ]dt (-+ Aufg. 9, Kap. 7, §4)

= 1\t ","v(w(t))(x - xo) + v(w(t)) ]dt

(I d

= 10 dt [tv(w(t))]dt = tv(w(t))I~

(nach Voraussetzung) (-+ Kettenregel)

=vex) .

Fiir ein beliebiges x E G wahIt man als Integrationsweg w einen Streckenzug. Da G einfach zusammenhangend ist, hangt f(x) nicht vom gewahIten Steckenzug abo (Das zeigen wir nicht!)

Abb. 211 - Integrationsweg

o

Bemerkungen. 1. 1st G nicht einfach zusammenhangend, dann ist Satz 2.3 nur auf einfach zusammenhangende Teilgebiete G' ~ G anwendbar. Die jeweils auf den Teilgebieten G' existierenden Potentiale lassen sich i.a. nicht zu einem Potential auf G fortsetzen. Gegenbeispiel. Der auf G = ]R2 \ {O} definierte isolierte Wirbel vex, y) =

1 -2--2 X

+Y

(-y) X

450

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

aa~ = ~;.

erfullt die Integrabilitatsbedingung auf ganz G: Mit Satz 2.2 muBte A

=

f

v . dx

Er besitzt aber kein Potential

=0

sein auf dem Kreis w(t) =

(cos t, sin t), 0:::: t :::: 2:rr . Mit Bsp. 2 aus 2.3 ist aber A

= 2:rr .

D

2. Fur Vektorfelder im lR3 ist die Integrabilitatsbedingung ","v(x) = ","v(X)T gleichbedeutend mit rot v(x) =0 (---+ Kap. 7, 4.4). Deshalb lautet der zweite Hauptsatz im IR3:

G S; IR3 einfach zusammenhangendes Gebiet, v v Potentialfeld in G

~

E

)f1(G, IR3):

rot v = 0 fur aIle x

E

G.

3. Neben dem skalaren Potential eines Vektorfeldes im IR3 ist auch noch ein vektorwertiges Potential, das sog. Vektorpotential fur Vektorfelder definiert (---+ 5.4).

= 3). Die Beweise der Satze 2.2, 2.3 sind konstruktiv, da jeweils eine Stammfunktion angegeben wird. Man hat damit bereits als erste Moglichkeit: 2.6 Die praktische Bestimmung eines Potentials (n

(0

Methode mit Kurvenintegral 1. Schritt: Besitzt das )fl-Vektorfeld v: G ---+ IR3 ein Potential? rot v =j. 0 fUr ein x E G ===} kein Potentialfeld . 2. Schritt: rot v = 0 und G einfach zusammenhangend, dann wahlt man Xo E G fest und zu x E G eine geeignete Kurve w

i

in G, die Xo mit x verbindet. f : G ---+ IR, f(x):=

v . dx ist eine Stammfunktion.

Die bevorzugten Wege von Xo nach x, sofem sie in G verlaufen, sind die Strecke w(t)

= Xo + t(x f(x) =

xo), 0:::: t :::: 1 ; in diesem Fall gilt

10 1v(xo + t(x -

xo»· (x - xo)dt ;

ein Streckenzug, stuckweise parallel zu den Koordinatenachsen, etwa von (xo, Yo, zo) uber (x, yo, zo) und (x, y, zo) nach (x, y, z). Die Stammfunktion stellt sich dar als sogenanntes Hakenintegral x

f(X,y,Z)=l vI(t,yo,zo)dt+ xo

r V2(X,t,zo)dt+/ J yO

z

zo

v3(x,y,t)dt.

451

§ 2. Kurvenintegrale

® Ansatzmethode Man lost die drei partiellen Differentialgleichungen grad f =v zur Bestimmung von f durch dreimaliges unbestimmtes Integrieren; dazwischen muG zweimal partiell differenziert werden:

1. Schritt: Der Ansatz fx = VI, fy = V2, fz = V3 . 1st G einfach zusammenhangend? 2. Schritt: Durch unbestimmte Integration nach x (bei konstant ge-

haltenem y und z) fAx, y, z)

f(x,y,z)=

f

= VI (x, y, z)

lasen:

vI(x,y,z)dx+c(y,z).

Die "Integrationskonstante" c hangt von y und z abo 3. Schritt: Durch partielle Differentiation von f nach y und Ansatz fy

= V2 aay

eine Gleichung fur ;y c(y, z) herleiten:

f

VI (x,

y, z)dx + cy(y, z)

= fy = V2

.

Tritt in dieser Gleichung noch x auf, so ist rot v =I 0 , d.h. die Integrabilitatsbedingung verletzt ===> fertig!

4. Schritt: Durch unbestimmte Integration nach y das c(y, z) aus cy(y, z) = hey, z) := V2 - J vlydx bestimmen, c(y, z) =

f

hey, z)dy + d(z) ,

und oben eintragen:

f(x,y,z)=

f

vI(x,y,z)dx+

f

h(y,z)dy+d(z).

Die "Integrationskonstante" d hangt von

z

abo

5. Schritt: Durch partielle Differentiation von f nach z und Ansatz fz = V3 eine Gleichung fur d'(z) bestimmen. Tritt hierin noch y auf, ist rot v =I 0 ===> fertig!

6. Schritt: d(z) durch unbestimmte Integration nach z bestimmen. Beispiel 1. Zentralfelder besitzen die Form vex)

= 'P(ix -

zl)(x - z)

mit einer Funktion 'P E ~I (1R \ {O}, IR), die meist einen Pol in 0 besitzt. z ist das Zentrum und v ist auf IR3 \ {z} ein ~l-Vektorfeld. Wir setzen zur Kurze z =0, d.h. vex) ='P(lxl)x . v ist ein Potentialfeld, da G = IR3 \ {OJ einfach zusammenhangend ist und

452 (~

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

= E)

Kap. 7, §4(4a), A

",9\(x)

= I!I rp'(lxl)xx T + rp(lxl)E = c/v(x)T

.

Berechnung von f mit Methode 0: Wir wahlen einen Integrationsweg W von Xo ::f 0 nach x ::f 0, der aus zwei Kurvenstucken WI, W2 besteht: WI ist ein beliebiges regulares Kurvenstuck auf der Sphare urn 0 mit Radius Ixol, das Xo mit dem Punkt XI

= I~II x

verbindet.

W2

ist die

1 Strecke W2(t) = tTXTx, Ixol :s t :s Ixl .

Wegen V(WI(t»· WI(t)

=0

f(x) =

gilt

Abb. 212 - Integrationsweg

1

v . dx = {

Fur das Gravitationsfeld ist rpU)

Vex, y, z)

G

= IR3

dx = (IXI rp(t)tdt . llxol

= ; , d.h. t

l

U(x) = - f(x) = -

Beispiel 2.

V·

lW2

w

das Newton-Potential, gilt

lX I t I l

-dt = - - . Ixl Ixol

Ixol t 3

= (2y~::~S:e2Z) 2ye 2Z

,

o

G=IR.1.

ist einfach zusammenhangend! Rechnung mit Methode @:

1. Schritt: fx =

i

cosx, fy = 2y sinx

+ e 2z , fz = 2ye 2z .

2. Schritt: Die erste Gleichung zeigt f(x, y, z) = y2 sin x 3. Schritt: fy = 2y sinx + cy(y, z) = 2y sin x + e 2z 4. Schritt: c(y, z)

= ye 2Z + d(z)

5. Schritt: fz = 2ye 2z

===}

f(x, y, z)

+ d'(z) = 2ye 2z

===}

===}

+ c(y, z) .

cy(Y, z) = e 2z .

= y2 sin x + ye 2Z + d(z) .

d'(z) = O.

6. Schritt: d(z) = const.

Eine Stammfunktion lautet demnach f(x, y, z) = y2 sin x + ye 2z + const. Aufgaben 1. Man berechne Lange und geometrischen Mittelpunkt der Kurven 2 a) w(t) = (t, t 2 , 3tY, 0:::: t :::: 1,

b) w(t) = e-'(cost, sint, I)T, 0 < t <

(Xl

(Spirale),

c) w(t) = a(t - sint, 1 - cost, O)T , 0:::: t :::: 2lf (Zykloide), d) r

=a(l +cosrp),

0:::: rp:::: 2lf (Kardioide).

0

453

§2. Kurvenintegrale

2. Linienladung. Die Strecke w von - ~ bis ~ auf der x-Achse ist elektrisch homogen gel aden. Man berechne das Coulomb-Potential im Raumpunkt y als

-1 ~ 1;

V( y ) -

Was geschieht fiir y

~

w

Yo , falls Yo

Iy - xl

E W

,y E JR.3\ W .

?

3. Man berechne die ebenen Kurvenintegrale

v . dx fur die drei Wege

Wj

Verbindungsstrecke von (0, 1) und (1,2),

W2

wie skizziert,

(1,2)

W3(t) = (t, t 2 + 1), 0::: t ::: 1 ,

fur die beiden Vektorfelder

(O,n

a) v=(x 2 _y,/+X)T,

x

b) v=(x 3 -3x/,l-3yx 2 l.

4. Fur die Raumkurve (Viviani-Fenster) w(t):= (

1

cost) si.ntt ' 2sm 2"

0::: t ::: 4n ,

k . dx fiir das Vektorfeld k(x) = -lxl- 3 X

deute und berechne man

.

5. Fur das Vektorfeld des magnetischen Wirbels

V(X)=~(-y), x +y

berechne man zierten Wege

x

1

x

y

7"'0 ,

v . dx langs der drei skiz-

W

(5,0)

von (5,0) nach (-3,4).

x

6. Gegeben ist das raumliche Vektorfeld vex) = [In(1 + IxI2)]X,

X E JR.3 .

1

a) Man bestimme rot v(x). Besitzt vex) ein Potential in JR.3? b) Man berechne V(a) =

v· dx fiir die Verbindungsstrecke

W

von 0 nach a.

7. Fur welche Werte von a liegt ein Potentialfeld vor? vex) = ((

ay 2x T --)2 + 1, z) x-y )2' -(x-y

X E

JR.3,

x

7'" y

.

Welche maximal en Definitionsbereiche sind mbglich? 8. Fur welche Werte a, b, c, a, f3, y besitzt das Vektorfeld vex) ein Potential V(x)? vex) = (

1 X

+ Y +z

)3 (x + y - 3z, ax + by + CZ, ax + f3y + YZ)T

Man berechne Vex) und ein maximales einfach zusammenhangendes Definitionsgebiet G fur V(x).

454

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

§ 3. Die Integration tiber ebene Bereiche 3.1 Der FHicheninhalt. Der FHicheninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlangen ~x, ~y betragt ~x~y; daraus werden bekanntlich die Flacheninhaltsformeln fur Dreiecke, n-Ecke und elementarer Figuren abgeleitet. Wir befassen uns hier zunachst mit der Frage, welchen ebenen Bereichen uberhaupt ein Flacheninhalt zugeordnet werden kann. Sei k E 1N. Durch das Gitter achsenparalleler Koordinatenlinien x = n . 2- k , Y = n ·2- k (n = 0, ±1, ±2, ... ) wird die (x, y)-Ebene in Quadrate mit dem Flacheninhalt 2- 2k zerlegt. Sei M S; lR, 2 eine beliebige beschrankte Punktmenge der (x, y)-Ebene, sk(M) der Flacheninhalt aller Quadrate, die einschlieBlich ihres Randes ganz in M liegen (Anzahl . T2k), und Sk(M) der gesamte Flacheninhalt der (abgeschlossenen) Quadrate, die mindestens einen x Punkt von M enthalten. Offenbar gilt Abb. 213 - Fliichenausschopfung sk(M) ::::: SkCM);

sk(M)::::: Sk+! (M);

Sk+! (M) ::::: Sk(M) .

Also existieren (-+ Kap. 2, Satz 5.4) F;(M) := lim sk(M)

"der innere Inhalt" ,

FaCM) := lim Sk(M)

"der auBere Inhalt" .

k--'>oo

k--,>oo

Man nennt M Riemann-mefibar, wenn Fa(M) = F;(M) =: F(M); in diesem Fall heiBt F(M) der Flacheninhalt von M. Standardbeispiel einer nicht Riemann-meBbaren Menge ist M

mit F;(M)

= 0,

={(x, y) ; 0 ::::: x Fa(M) = 1 .

::::: 1, 0::::: y ::::: 1 und x, y E
Andererseits gilt (ohne Beweis) fur (-+ 2.5) Gebiete G C

lR,2:

Ein beschranktes Gebiet G S; lR,2 mit stiickweise reguliirem Rand besitzt einen Fliicheninhalt F = lim Sk( G) = lim Sk( G) . k--,>oo

k--'>oo

Fur jede Riemann-meBbare Menge M zusammen mit einer Menge N, die nur aus endlich vielen Punkten und endlich vielen regularen Kurvenstucken besteht, gilt (1)

insbesondere F(N)

F(M)

= O.

= F(M U N) = F(M \

N) ;

Man nennt deshalb N eine Nullmenge.

455

§3. Die Integration tiber ebene Bereiche

3.2 Definition ond einfache Eigenschaften des Doppelintegrals. 1m Hinblick auf die technischen Anwendungen beschranken wir uns bei den Integrationsbereichen fur Doppelintegrale auf einfach zu charakterisierende Mengen: Definition. Ein Bereich B S; m? heif3t regular, wenn 1. der Rand aB aus endlich vie len reguliiren Kurvenstiicken besteht, 2. das lnnere B \ a B ein nicht lee res, beschriinktes Gebiet im 3. B abgeschlossen ist, d.h. a B S; B .

m2

ist (---+ 2.5),

Es wird manchmal erforderlich sein, daB einzelne Punkte oder Kurvenstucke als Ausnahmemengen - herauszunehmen sind. Aus diesem Grunde lassen wir als lntegrationsbereich auch B \ N zu, wobei B ein regularer Bereich und N eine NulImenge darstelIt, die aus hochstens endlich vielen Punkten und/oder regularen (glatten) Kurvenstucken besteht. .

Abb. 214 - B \ N mit N = {(O, O)} U {(x, 0) ;

! ::: x::: I} U {x; Ixl = 1,

x::: O}, B = {Ixl ::: I}

Ferner sei f : B ---+ 1R eine beschrankte Funktion (d.h. m:.S f(x, y) :.S M fur aIle (x, y) E B ), die auf B \ N stetig ist. Durch ein Netz regularer Kurven wird B in n Teilbereiche Bl, ... , Bn zerlegt. Jeder Bereich Bi hat einen Durchmesser 8(Bd, definiert als Infimum der Durchmesser alIer Kreise, x die Bi ganz uberdecken. AuBerdem besitzt Bi gem. 3.1 einen FlacheninAbb. 215 - Zerlegung von B halt /)"Fi • Wir wahlen nun fur jedes i = 1, 2, ... ,n einen beliebigen Punkt (xt, yt) E Bi und bilden die RIEMANN-Summe n

(2)

Zn :=

L

f(xt, yt)/)"Fi

i=!

Dnter den gegebenen Voraussetzungen an fund B laBt sich - ahnlich wie beim Einfachintegral (---+ Kap. 4, § 1) - zeigen, daB bei standiger Verfeinerung des Netzes die Riemann-Summen Zn gegen einen festen Grenzwert konvergieren, der unabhangig ist von den einzelnen Zerlegungsfolgen und den ausgewahlten Punkten (xt, yt) E Bi , sofern nur der maximale Durchmesser 8max := max{ 8(Bi) ; 1 :.S i :.S n}

gegen Null strebt. Dieser fUr aIle Teilungsfolgen gemeinsame Grenzwert wird

456

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

II

mit

II

f(x, y)dF oder

B

f dF

B

bezeiehnet und heiBt Doppelintegral (oder Gebietsintegral, kurz: Integral) von f iiber B. Das Symbol dF heiBt Flachenelement. lim

[[ f(x, y)dF :=

(3)

11

Omax ---+

n---+oo

B

0

t

f(xt, yt) fl.Fi

i=l

Wegen (1) ist der EinftuB der Nullmenge N auf die Riemann-Summen unwesentlieh, also gilt

II

(4)

f

B

dF

=

II

f

dF .

B\N

Das hier eingefuhrte Integral ist "eigentlieh" im Gegensatz zu den "uneigentlichen" Integralen, in denen der Integrationsbereieh nieht besehrankt oder der Integrand auf dem Rand nieht definiert ist. Die geometrische Deutung

o FHicheninhalt.

Mit f(x, y) = 1 ist jede Riemann-Summe (2) gleieh dem Flaeheninhalt von B. Also gilt F =

(5)

lid

F

Flaeheninhalt von B .

B

® Volumen.

1st f(x, y) :::: 0 fur aIle (x, y)

(6)

V=

II

E

B , dann stellt

fdF

B

das Volumen des senkreeht auf der (x, y)Ebene stehenden Zylinderabsehnitts mit Grundftaehe B und der Deekftaehe z = f(x, y) dar. Denn das Volumen des auf Bi stehenden Zylinders der Hohe f(xt, yt) betragt fl. Vi = f(xt, yt)fl.Fi . Das Gesamtvolumen V wird dureh

x

n

Zn

=L

f(xt, yt)fl.Fi approximiert, d.h.

i=I

V

=n---+oo~ lim '"' f(xt, yt)fl.Fi .

Abb. 216 - Volumen unter Graph

f

457

§ 3. Die Integration iiber ebene Bereiche

Die Rechenregeln (7)

II(al+bg)dF=a II IdF+b II gdF, B

(8)

ergeben sich direkt aus der Definition:

B

(Linearitiit)

I(x, y) :S g(x, y) fUr alle (x, y)

E B

=> II I dF :S II g dF . B

(Monotonie) (9)

a,bEIR.

B

B

II IdF= II IdF+ II IdF. B

BJ

(Additivitiit)

falls B durch eine stuckweise regulare Kurve in zwei Teilbereiche Bl, B2 zerlegt wird

Abb. 217 - Additivitat

Als Mittelwert oder Integralmittel der Funktion I Zahl

auf B bezeichnet man die

~ IlldF B

mit dem Flacheninhalt F

= II dF

von B.

Wie 1m Fall einer Variablen

B

(-+ Kap. 4, Satz 1.2) beweist man den

Satz 3.1. Mittelwertsatz. 1st B zusammenhiingend und abgeschlossen, dann gibt es zu jeder stetigen Funktion I: B -+ IR einen Punkt (x*, y*) in B mit (10)

IlldF=/(x*,y*).F. B

3.3 Die Berechnung des Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten. Bei der Zerlegung der (x, y)-Ebene durch ein achsenparalleles Gitter entstehen Rechtecke mit Seitenlangen .6.x, .6.y und Flacheninhalt .6.F = .6.x.6.y. Versteht man das Integral I dF als Grenzwert von Riemann-Summen bezuglich derartiger Teilungen, dann schreibt man

I IB

II I(x, y)dxdy:= II I(x, y)dF B

B

und nennt dF = dxdy das Flachenelement in kartesischen Koordinaten. Fur eine groBe Klasse von Integrationsbereichen laBt sich die Berechnung des Gebietsintegrals auf zwei nacheinander auszufuhrende "Einfachintegrationen" zurUckfuhren.

458

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Definition. Wir nennen Bl S;;; 1R.2 einen Normalbereich vom Typ I, wenn es a, b E 1R. und 'i'l-Funktionen g, h : [a, b] ~ 1R. gibt mit g(x) :s h(x) und

y

y=h(x)

Bl={(x,y);a:sx:sb, g(x):sy:sh(x)}. Ein Normalbereich vom Typ II hat die Form B2

= {(x, y) ; l(y) :s x :s r(y), c:s y :s d}

mit c, dE 1R. und 'i'l-Funktionen I, r : [c, d] ~ 1R. mit l(y):s r(y). Abb. 218 - Normalbereiche

Satz 3.2. Die Integration iiber Normalbereiche a) Fiir jede stetige Funktion I : Bl ~ 1R. aul einem Normalbereich vom Typ I gilt (11)

II

I(x, y)dxdy

=

lb (l:x~)

Bl S;

1R.2

I(x, Y)dY) dx .

81

b)

(12)

Fiir jede stetige Funktion I : B2 gilt

II

I(x, y)dxdy =

~

1R. aul einem Normalbereich vom Typ II

ld (i~:Y)

I(x, Y)dX) dy .

B2

Beweis. a): Wir legen auf B = B1 ein Netz aquidistanter x- und y-Linien im Abstand tu bzw. t.y und indizieren die B ganz iiberdeckenden Rechtecke y 8 49 streifenweise (~ Abb. 219). ~ II Blk' B2k' ... , Bnkk seien die Rechtecke B B des k-ten Vertikalstreifens der Breite I I ~t\~ t.x, k = 1, ... ,m. Mit (x;,Yik) E Bik J?; X bilden wir die Riemann-Summe

"

/

a

b.x

b

Abb. 219 - Streifeniiberdeckung

die sich von Zn aus (2) nur urn die Anteile der in Abb. 219 schraffierten Randbereiche unterscheidet. Beim Grenziibergang (t.x)2 + (t.y)2 ~ 0 strebt dieser Unterschied gegen Null. Die innere Summe fiihrt in der Grenze t.y ~ 0

459

§3. Die Integration iiber ebene Bereiche

auf

j

h(X;)

f(xk' y)dy und man erkennt, daB die gesamte Doppelsumme beim

1j

g(x;)

b (

Grenzubergang (.6.xi+(.6.y)2 -+ 0 gegen

hex)

f(x,y)dy

)

dx strebt.

g(x)

a

b) analog mit Summation langs Horizontalstreifen. Ein beliebiger, stuckweise durch Graphen y Integrationsbereich B wird durch achsenparallele Schnitte in Normalbereiche Bl, B2, ... , Bn vom Typ I oder II zerlegt. Die Integration gelingt dann mit (9), (11), (12):

II

f dF =

B

II

f d F + ... +

~

II

f dF .

D

= g(x)

bzw. x

= r(y)

berandeter

Abb. 220 - Zerlegung in Normalbereiche

~

Man beachte: Die Zerlegung von B in Normalbereiche ist keineswegs eindeutig. Meist ist eine spezielle Aufteilunge fur die Integration am gunstigsten. Besitzt B sowohl eine Darstellung als Normal bereich vom Typ I als auch vom Typ II B = { (x, y) ; a

:s: x :s: b,

g(x):s: y

d~

:s: h(x)}

c~

={(x,y);c:s:y:s:d, l(y):s:x:s:r(y)},

a

b

Abb. 221 - Normalbereich Typ I u. II

dann gilt

Speziell erhalt man fur Rechtecke

den bekannten Satz von folge (-+ §1):

II

f dF

=

FUBINI

uber die Vertauschung der Integrationsreihen-

lb (l d

f(x, Y)dY) dx

=

ld (l b

f(x, Y)dX) dy .

R

Ferner ist erwahnenswert, daB sich aus (5) und (11) die bekannte Formel fur den Flacheninhalt des Normalbereichs B = { (x, y) ; a :s: x :s: b, g(x):s: y :s: h(x)} ergibt (-+ Kap. 4, §5(12)) F =

II

B

dF =

Ib (i:~) d Y)

dx =

lb

(h(X) - g(x))dx .

460

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

=

Berechnung des Doppelintegrals I

II

f(x, y)dxdy.

B

1. Schritt: Man stellt B als Normalbereich dar, bzw. zedegt B durch achsenparallele Schnitte in Normalbereiche,

B

= Bl U B2 U ... U Bm .

2. Schritt: 1st Bk vom Typ I, so berechnet man zuerst das Para-

meterintegral F(x) .-

lb

h :=

l

h (X)

f(x, y)dy und damit

g(x)

F(x)dx;

fur Bk vom Typ II ist h := G(y) :=

l

ld

G(y)dy mit

r (Y)

f(x, y)dx.

ley)

3. Schritt: I

=II + h

B sei berandet von y = x , xy = 1 und y = 2. Wir bestimmen

Beispiel 1.

a) den Fliicheninhalt F = b) V

=

auf B

II ~~ B

II

+ ... + 1m .

dxdy,

y 2

B

dxdy, das Volumen des

stehenden Zylinderabschnitts

x

2

mit Deckfliiche z = L x2

•

Abb. 222 - Bereich B

1. Schritt: Die Darstellung als Normalbereich vom Typ II, B 2. Schritt:

=[2

a)

F

b)

V=

/

2

1 ={(x, y) ; 1 :::: y :::: 2, y:::: x :::: y}

([;y = ~) = ~ - In 2 . (/y 2) /2 [-~2]X=V /2 dx ) dy Y2dx

[\y -

l/yX

1

dy

.

dy=

1

dy=

x=l/y

Aitemativ: Zedegt man B liings des Schnittes x vom Typ I, so ergibt sich V

=

II

B

f dxdy

=

[;2 ([:x ~~

.

dY) dx +

9 (_y+y3)dY=4

I

=1

in zwei Normalbereiche

[2 ([2 ~~

dY) dx

=

/ 1(-38 1/2

X

2 -

1 -3s )dx + X-

/2 (-38 I

X

2 -

9

X

z

k2.···.·.r·.*~ .• .• .•·.• ·. ·

~III

X~Y

= {(x, y); 0 :s x :s 1,0 :s y :s ~}

stehenden Zylinderabschnitts mit Deckftache

z = ~. Mit

Abb. 223 - Schnitt zweier Zylinder

(6) und (11) erhalt man

[f ~dxdy= [(t::;> ~dY)

Also gilt V

o

-3 )dx = 4-

Beispiel 2. Der Durchdringungskorper der beiden Zylinder x 2 + i = 1 und x 2 + Z2 = 1 besitzt aus Symmetriegriinden das Volumen V = 8 VI mit dem Volumen VI des auf dem Viertelkreis B

461

§3. Die Integration iiber ebene Bereiche

dx

= [(I-X'ldX = j

= 8VI = 136 .

o

3.4 Weitere Anwendungen und Beispiele. Wir stellen uns f : B -+ IR als eine Belegungsfunktion des ebenen Flachenstucks B vor, etwa die Flachendichte der Masse einer inhomogenen Platte, oder die Ladungs- oder Temperaturverteilung auf B. Fur die sich stan dig wiederholenden vier Schritte 1. Zerlegung von B in n Teilbereiche mit Flacheninhalt f:,.Fi 2. Approximation der Belegung eines solchen Bereichs durch

,

f:,.Mi := f(xt, ynf:,.Fi , 3. Approximation der Gesamtbelegung durch die Riemann-Summe n

n

i=1

i=1

4. Grenzubergang, verwenden wir wieder die bereits fur Einfachintegrale und Kurvenintegrale als zweckmaBig erkannte, abkiirzende Sprechweise (-+ Kap. 4, 6.1): - B ist in Fliichenelemente d F zerlegt, - das Fliichenelement im Punkt (x, y) tragt die Belegung dM - Gesamtbelegung von B ist M =

o Masse, Ladung (13)

II

dM =

B

M =

II

= f(x, y)dF,

f(x, y)dF.

B

II

fJ.,(x, y)dF

B

ist die Masse der Platte B mit ebener Massendichteverteilung fJ., : B -+ IR; bzw.

462

Q=

II

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

E(X, y)dF die Ladung auf B mit Ladungsdichte

E :

B

~ IR.

B

G) Momente und Massenmittelpunkt. Ein Flachenelement d F besitzt bei der Massendichte fL(x, y) die Masse dm = fL(x, y)d Fund demnach die k-ten axialen Momente xkdm = XkfL(X, y)dF, ldm = lfL(X, y)dF. Es ergeben sich die Gesamtmomente: (14)

Mx.k :=

II

xk fLeX, y)dF,

II

My,k:=

B

l

fLex, y)dF .

B

Das k-te polare Moment ist definiert durch (15)

MO,k :=

II

+ y2k fLeX,

Jx2

y)dF .

B

Ais Massenmittelpunkt (oder Schwerpunkt) der Flache (Platte) B bezeichnet man denjenigen Punkt S = (xs, Ys), in dem eine Punktmasse der GroBe M dieselben statischen (=ersten) Momente besitzt wie B: (16)

Xs

=~

II

x fLeX, y)dF,

Ys

B

=~

II

y fLeX, y)dF

B

(mit M aus (13)). Beispiel. Es soIl der Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) der zwischen den Geraden x = 2, y = 1 und dem Parabelbogen y = x2 eingespannten inhomogenen Platte B mit ebener Massendichte fL(x, y) = x2 + i bestimmt werden. a) B ist Normalbereich, B={(x,y);1:::;x:::;2,1:::;y:::;x 2 }.

b) Die Masse

=

(~

/] 2[

Abb. 224 - Massenschwerpunkt

(13), (11)):

yx 2 +

_1 y3 ]y=x 3

y=]

2

dx

1 6 + x4 = /2 (_x

]

3

1 3

x 2 - - )dx

1006 =-. 105

463

§3. Die Integration iiber ebene Bereiche

c) Die ersten axialen Momente Mx

=

My =

d) Der Schwerpunkt Xs

(~

12 (l 12 (l

(~

(14), (11)):

X2

(x 2 + y2)dY ) dx

X

X2

= 1~5

y(x2 + i)dY) dx =

;

2?i2 .

(16)):

1 = MMx = 1.761307 ...

,

1 Ys = M My = 2.280484 ...

D

o Der geometrische Schwerpunkt S = (x,)I)

des ebenen FHichenstiicks ergibt sich aus (16) mit f.1.(x, y) = f.1.0 (= const). Man erhiilt

Beispiel. Der geometrische Schwerpunkt des Normalbereichs B = {(x, y) ; a :::S x :::S b, O:::s y :::S g(x)}

hat die Koordinaten 1 [[ 1 x= F xdxdy= F

11

[b (

[g(x)

[b (

[g(x)

1a 10

xdy

[b

)

1 dx= F

1a

)

1 dx= F

1a

xg(x)dx

B

1 [[ 1 )1= F ydxdy= F

11

mit F =

lb

1a 10

ydy

[b 1 2 g (x)2dx

B

g(x) dx.

Speziell erhiilt

y

J

man fiir g(x) = r2 - x 2 iiber dem Intervall -r :::S x :::S r den Schwerpunkt S = (x,)I) = (0, zierten Halbkreises.

i~)

des skiz-

r x Abb. 225 - Geometrischer Schwerpunkt D

3.5 Der Satz von GREEN. 1m folgenden behandeln wir eine wichtige Beziehung zwischen dem Doppelintegral iiber ein Gebiet und dem Kurvenintegral liings dessen Randkurve. Damit ist neben 3.3 eine zweite Methode zur Berechnung von Doppelintegralen gegeben: Sei B S; lR 2 ein reguliirer Bereich, dessen Rand aB aus endlich vielen geschlossenen, stiickweise glatten Kurven WI, W2, ... , Wn besteht. Die Parametrisierung sei so, daB B stets links zur Durchlaufrichtung liegt (positiver Umlauf).

464

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

BB =WI

BB

= WI

UW2

Abb. 226 - Gebiete, positiv umlaufen

Unter dem Integral eines Vektorfeldes v langs

I

v· dx:=

aB

I

v· dx + ... +

WI

I

aB

verstehen wir die Summe

v· dx .

Wn

Satz 3.3. Satz von GREEN (1793-1841). Seien B, a B wie oben beschrieben und D S; lR? eine offene Menge mit B S; D, dann gilt fiir jedes ebene ~l_ Vektorfeld v : D -+ JR2

I

v . dx

{[ (ax - ay

= 11

aB

aV2

aVl) dxdy.

B

Beweis. 1. Spezialfall: V2(X, y) == 0 und B = {(x, y) ; a :::: x :::: b , g(x) :::: y :::: h(x) } Normalbereich yom Typ I. aB besteht aus WI(X)

= (gZX»)'

W2(Y)=(~)'

a:::: x :::: b ,

g(b)::::y::::h(b),

Abb. 227 - NormaIbereich, Typ I

und w), w4 mit den entgegengesetzt durchlaufenen Kurven W3(X)

= (hZX»)

, a::::x::::b;

W4(Y)=(~)'

g(a)::::y::::h(a).

Mit V2 = 0 gilt

1

v· dx

=[ =

Rechnung gibt

1w2

lb l (lh(X) a

vI(x,g(x»)dx + 0

=2. Spezialfall:

vldx + [ vldx -

1wI

aB

VI (x, y)

1B v .

b

a

g(x)

[ vldx -

1w3

-lb

[ vldx

1w4

vI(x,h(x»)dx - 0

aV1(x,y)dy ) dx=y

!Jr rdxdy. a B

y

== 0 und B Normalbereich vom Typ II: Bine anlage

dx

=

II ~;

B

dxdy .

465

§3. Die Integration iiber ebene Bereiche

Jeder Normalbereich I laSt sich in Normalbereiche vom Typ II zerlegen und umgekehrt, ebenso allgemeine Bereiche; daher ist alles durch Addition der beiden Spezialfcille zu beweisen. Die Kurvenintegrale uber die (stets zweimal in entgegengesetzter Richtung durchlaufenen) Hilfslinien heben sich weg. 0 Mit VI = 0, Sonderfcille:

V2

=X

bzw.

o Der Flacheninhalt von =

F

II

dxdy

Abb. 228 - Zerlegung Typ I in Typ II

V2

B,

I

=

B

® Fur die 2.

= -y,

VI

x

xdy

=-

aB

I

=0

etc. ergeben sich einige wichtige

ydx

=~

aB

-ydx + xdy .

aB

Momente der homogenen Platte B mit p.,(x, y)

mit v=(-x 2y,Ol bzw.

v=(0,~x3l

M x ,2

I

=-

I = -3 I

x 2y dx

aB

und analog M y .2

=

I

=~ 1

xy 2 dy

o Der geometrische Schwerpunkt von

iI

= 2~

xy dx

aB

I

=1

ergibt sich

x 3 dy

aB

aB

x =-

I

y 3 dx .

aB B ist

x 2 dy ,

aB

y=

iI

xy dy

= - 2~

aB

Ii

dx .

aB

Beispiel 1. Der geometrische Schwerpunkt des Bereiches, der von der Zykloide w (t) = a (2n - t + sin t )

1 - cos t

1

'

0 :'S t :'S 2n

und der Strecke W2(t)

= ( ~) ,

O:'S

t

:'S 2na ,

'Wh. rra

begrenzt wird, hat die Koordinaten faB y 2 dx ~ fo2n(1 - cost)3 dt +0 x =na und y = = 2

_ i

faBydx

X

Abb. 229 - Zykloide

a2fo)f(1-cost)2dt+0

5

= -a. 6

o

466

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Beispiel 2. Ebener Satz von Gauss. 1st u : D ---+ IR eine 'if?2 - Funktion, so ergibt ..

slch mIt

VI

= - -au ay

und V2

au = -ax

aV2 aVI - ax ay

sofort -

Satz von Green liefert somit

II

/':;.udxdy

B

I I =I =

2

2

a u = -aaxu2 + -ay2 = /':;.u.

n

y

y

-uydx + uxdy

aB

aB

=

Der

gradu· nds

aB

x anu ds .

aB

Hierbei bezeichnet n = (

-r)

Abb. 230 - Satz von Gauss

den Normalenvektor, der nach auGen weist und

normiert ist, wenn s t--+ (x(s), yes)) die Parametrisierung von aB mit der Bogenlange s darstellt. Liegt eine harmonische Funktion u mit /':;.u =0 vor, so ist das 1ntegralmittel tiber die Normalableitung anu langs aB stets Null (---+ 5.4).0 Aufgaben 1. Man skizziere den Integrationsbereich, berechne das Integral und vertausche die Integrationsreihenfolge:

2. Man berechne den geometrischen Schwerpunkt: a) Skizzierter ebener Bereich A, b) T={(X,Y)ElR.;/:::::2px, y::::,O, O:::::x:::::xo, p,xo>O}.

3. Man berechne den FlacheninhaIt des von der Astroide (-+ Abb. 114) x = cos 3 t, Y = sin 3 t, 0::::: t ::::: 2][ , begrenzten Bereichs. 4. Man skizziere die Bereiche und berechne die Schwerpunktkoordinaten: a) {(x,y);x 2 +/:::::20, y::::,x+2}

b) Berandung ist

.;x +.,fY = Fa,

a > 0, x = 0, y =

°.

5. Aus der Kugel x 2 + / + Z2 ::::: 4a 2 wird das zylindrische Loch x 2 + / ::::: 2ax ausgebohrt. Wie groB ist das Restvolumen? 6. Man berechne den Inhalt der Flache, die von der Hypozykloide mit 3 Spitzen berandet wird: x=a(2cost+cos2t);

y=a(2sint-sin2t).

467

§4. Die Integration tiber Fliichen im Raum

1 xd~x -+ yy~x fw

7. Man bereehne das Kurvenintegral Hilfe des Greensehen Satzes.

iiber eine gesehlossene Kurve w mit

8. Man bereehne mit dem Satz von Green den geometrisehen Sehwerpunkt des Bereiehs im 1. Quadranten, der von y = x, y = 1/x und y = berandet wird.

i

9. Das Tragheitsmoment eines ebenen Bereiches B beziiglieh einer Aehse ist Ip=

II

82 (x,y)dxdy,

B

wobei 82 (x, y) das Abstandsquadrat des Punktes (x, y) von der Aehse bezeiehnet. Man bereehne die Tragheitsmomente beziiglieh der x- und y-Aehse fiir die Bereiche mit den Berandungen . x2 y2 a) Ellipse a 2 + b 2 = 1 b) Quadrat Ix + yl + Ix - yl = 2 , e)

X4

+l

=x 2 + l.

10. Bei der Torsion von Korpem mit nieht kreisformigem Quersehnitt bleiben die Quersehnitte nieht eben (Theorie von ST. VENANT). Anstelle des polaren Tragheitsmomentes Ip tritt der Drillungswiderstand 1*. Am Beispiel eines prismatisehen Stabes (Quersehnitt: Gleiehseitiges Dreieek mit Hohe h) ergibt sieh aus dem Spannungsvektor P A (--+ Kap. 7, §4, Aufg. 9) J' =

2~

[II G)

x

C'O::~'2~:hY)1 dF .

a) Man bestimme den Drillungswiderstand 1*. b) Man bereehne Ip =

II(X

2

+ l)dF und bestatige, daB 1*

3

'~/p,

D.h.

die

A

Quersehnitt-Verwolbung reduziert den Torsionswiderstand!

§ 4. Die Integration fiber FHichen im Raum 4.1 Parameterdarstellungen. Neben die explizite Flachendarstellung als Graph z = h(x, y), (x, y) ED, und die implizite Darstellung als Niveauftache f(x, y, z) = const tritt nun die fiir Detailuntersuchungen besonders vorteilhafte Parameterdarstellung. Wir stellen uns vor, daB eine Flache im Raum durch stetige Verformung aus einer ebenen Flache hervorgeht. Da unter stetigen Funktionen aber sehr "pathologische" Bilder entstehen konnen, machen wir fiir unsere Zwecke angemessene Einschrankungen.

468

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Definition. Sei D ein reguLarer Bereich in einem Gebiet G der (u, v)-Ebene. Unter der Parameterdarstellung eines reguliiren Fliichenstiicks verstehen wir die Einschriinkung einer ¥fl-Funktion x : G -+ m?, x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)l auf D mit den Eigenschaften: 1. Fiir beliebige Punkte (u, v) =f (u l , Vi) aus D ist stets x(u, v) =f x(u l , Vi), 2. xu(u, v) x xv(u, v) =f 0 fiir aile (u, v) ED.

Die Punktmenge S = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ; (u, v) ED} ist das dargestellte reguHire Flachenstuck. Nach Voraussetzung 1. gibt es zu jedem Punkt (x, y, z) E S genau einen Punkt (u, v) des Parameterbereichs D mit x =x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v). Variiert man nur einen Parameter und halt den anderen fest, dann entstehen die beiden Kurvenscharen auf S

=const)

,

U f-+

x(u, v)

(v

V f-+

x(u, v)

(u = const) ,

die man als Parameterlinien v = const bzw. u = const bezeichnet. Mit der Voraussetzung 2. wird gefordert, daB die Tangentialvektoren au (u, v) ) ax xuCu, v) = (

~~ (u, v)

av(u,v) ax ) ,

xv(u, v) = (

au(u,v)

~~(U,V)

av(u,v)

an die Parameterlinien in allen Punkten (u, v)

E

D linear unabhangig sind.

v

+du u

Abb. 231 - Parameterlinien auf Fliichenstiick

Die von

Xu

und

Xv

aufgespannte Ebene durch den Flachenpunkt x(u, v) ist die

Tangentialebene mit der Parameterdarstellung

yeA, f.t) = x(u, v) + Axu(u, v) + f.tXv(u, v),

A, f.t

E

1R .

Der auf der Tangentialebene durch x(u, v) senkrecht stehende Einheitsvektor (1)

n:=

I

Xu X Xv

IXu

x

Xv

heiBt Fliichennormale (im betreffenden Punkt). Fur ein regulares Kurvenstuck

t f-+

(~g~),

to.:s t .:s

t) ,

im Parameterbereich

469

§4. Die Integration iiber Fliichen im Raum

D ist das Bild wet) := x(u(t), vet)) eine regulare Flaehenkurve, deren Tangentialvektor w = xuu + xvi; (-+ Kettenregel, Kap. 7, §2(l2)) ebenfalls in der

Tangentialebene (dureh x(u, v)) liegt. Die Bogenlange set)

=

it

Iw(t)1 dt ergibt

sieh wegen Iwl 2 = W . W = (xu' xu)u 2 + 2(xu . xv)ui; + (xv, xv)i;2 aus den metrischen Fundamentalgroj3en (2)

I

E:= XU . xu;

F:= XU . xv;

G:=

XV •

xv·

I

Diese bestimmen nieht nur die Langenmessung auf S, sondem aueh die Messung von Winkeln (-+ Aufg. 5,6) und Flacheninhalte (-+ (6)). Aus der Identitat la x bl 2 = lal 21bl 2 - (a· bi (-+ Kap. 1, §5) folgt (3)

[ Ixu x xvl2 = EG - F2 .

Bilden die Parameterlinien ein orthogonales Netz, d.h. schneiden sich in jedem Flachenpunkt x(uo, vo) die Parameterlinien u = uo, v = Vo unter einem rechten Winkel, dann gilt uberall F = 0 . Ais Rand des Flaehenstucks S wird das x-Bild des Randes von D bezeichnet:

as

:= {x(u, v) ; (u, v)

E

aD} .

Die Oberftache der in den technischen Anwendungen auftretenden dreidimensionalen Korper kann in der Regel nicht durch ein einziges regulares Flachenstuck dargestellt werden. Man denke etwa an einen Wurfel oder Zylinderstumpf mit Ecken und Kanten. Wir verstehen deshalb unter einer stiickweise reguliiren Fliiche S die Vereinigung endlich vieler regularer Flaehenstucke Sj, von denen je zwei langs einem oder mehrerer gemeinsamer Randstucke aneinanderstoBen, aber sonst keine anderen Punkte gemeinsam haben. Der Rand aS von S wird aus allen Randstucken gebildet, die nur zu einem der regularen Flachenstucke Sj gehoren. Man nennt S geschlossen, wenn as leer ist.

as=0 Abb. 232 - stiickweise reguliire Fliichen

4.2 Beispiele CD Ebenen. Fur a, bE m? mit a x b =j. 0 stellt x(u, v) = xo+ua+vb, (u, v) ED, ein Ebenenstuck dar. Die Parameterlinien u = const, v = const sind Geraden parallel zu b bzw. a. Xu = a, Xv = b. E = lal 2 , F = a . b, G = Ibl 2 .

470

o

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Graphen. Aus der expliziten Darstellung eines FHichenstiicks als Graph h E 'f?1(D, JR.), erhiilt man sofort die Parameterdarstellung

z =hex, y),

(4) x(x, y)

=(

~

hex, y)

),

(x, y) ED.

Parameterlinien sind die Schnitte mit den Ebenen x = const bzw. y = const .

x,

=

U) , (D ' x,

x, x x,

CD Drehflachen.

=

= (=~;)

,

E

Abb. 233 - z = hex, y)

=1 + h;

,

Aus einem reguliiren Kurvenstiick t

1--+

(xg»), to :s t :s tl , z(t)

ohne Doppelpunkte mit x(t) > 0 entsteht nach Kap. 6, §6, bei Drehung urn die z-Achse mit dem Winkel CPo (O:s CPo < 2:rr ) ein reguHires Fliichenstiick mit der Parameterdarstellung x(t, cp)

(5)

= (~~nos:

~~~n: ~) (xg») = (:~~~~~::) o

1

z(t)

z(t)

,

definiert auf D = {(t, cp) ; to :s t :s tl, 0 :s cp :s cpo}. Die Parameterlinien = const sind die Breitenkreise, cp = const die Meridiane.

t

Xt

x(t) cos CP)

= ( x(t! sin cp

, x"

=

( - x(t) sin CP) x(t) cos cp

0

z~)

"x .. = (:~F:;) E

=x2 + z?,

F

= 0,

G

,

=x 2

.

Da iiberall F = 0 gilt, bilden die Parameterlinien ein orthogonales Netz.

xp

x(t>(CC;>S cP ) Sin

cP

Abb. 234 - Drehfliiche

(x(t) > 0 wurde vorausgesetzt, damit die Regularitiitsbedingung IXt x x" I J x 2(x 2 + Z2) i 0 erfiillt ist.)

=

Da bei einer vollen Umdrehung die Meridiane cp = 0 und cp = 2:rr aufeinanderfallen, ist die gesamte Drehftiiche S (d.h. O:s cp :s 2:rr) nur stiickweise reguliir (man nehme etwa die beiden zu 0 :s cp :S:rr und :rr :s cp :s 2:rc gehorigen Fliichenstiicke). Der Rand as der gesamten Drehftiiche besteht aus den beiden Breitenkreisen cp 1--+ (x(t;)coscp,x(ti)sincp,z(ti)l, i =0, 1.

471

§4. Die Integration iiber Flnchen im Raum

Sonderfalle Der Kegelstumpf (nur die MantelfEiche) (--+ Abb. 235).

o

®

t

coscp )

t sin ~ ,ao ::; t ::; a, 0::; cp ::; 2n:, XI XXq; = b(1 - -) a Der Zylinderstumpf (die Mantelftache) (--+ Abb. 236).

x(t, cp) =

X( z,

cp)

(

= (~~~~:) , Zo ::; Z ::; ZI,

0 ::; cp ::; 2n:,

o Die Sphare (Kugeloberftache) mit Zentrum 0 x( 1/1, cp)

=(

r sin 1/1 cos cp )

r sin 1/1 sin cp r cos 1/1

X

zx

Xq;

(~t cos cp, ~t sin cp, t).

=(- r cos cp, - r sin cp, 0).

und Radius r (--+ Abb. 237).

,

0::;cp::;2n:.

1m Nord- und Siidpol ( 1/1 = 0, n: ) ist x'" X Xq; = 0, langs des Halbkreises cp = 0 ist die Darstellung nicht eineindeutig. Diese Ausnahmepunkte spielen aber als Nullmenge fiir das Oberftachenintegral keine Rolle. x'" x Xq;

E =

= (r2 sin 2 1/1 cos cp, r2 sin 2 1/1 sin cp, r2 sin 1/1 cos 1/1 l =(r sin 1/1 )x( 1/1, cp)

X'" . X'"

2

= r,

F G = = X'"O . Xq; = , 6

Xq; . Xq;

2 . 2 ,I,

= r sIn

'I'

.

.

z

Z

y

Abb. 235 - Kegelstumpf

Abb. 236 - Zylinderstumpf

Abb. 237 - Sphiire

@ Der Torus (die Ringftache) T entsteht durch Drehung des Kreises x = R + r sin 1/1, Z = r cos 1/1 , z o ::; 1/1 ::; 2n: mit festem "inneren" und "auBeren" Radius r bzw. R, r < R, (R + r sin 1/1) cos cp ) x( 1/1, cp) = ( (R + r sin 1/1) sin cp . r cos 1/1

(Nur stiickweise regular, Rand

aT

leer)

E=r2, F=O, G=(R+rsin1/l)2.

y

x Abb. 238 - Torus

o Die Wendelftache entsteht durch Schraubung einer Geraden, die die Schraub-

achse senkrecht schneidet; die Parameterdarstellung eines Flachenstiicks ist mit

a = const > 0:

472

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

x(r, cp)

Xr

=(

=(

cosCP) SI~ cP

Xr X x'P

E

r cosCP) . rO ::::: r ::::: rl r sm cP, < < acp CPo - cp - CPl

=(

,

X'P

=

(-rsinCP) r c~s cP ,

a sin cP ) -a ~os cP

=Xr . xr = 1,

F

=0,

Abb. 239 - WendelfHiche mit ro = -rl und 'Po = 0, 'PI = 4rr

G

=x'P . x'P =r2 + a 2

4.3 Der FHicheninhalt Sei x: lR? ;2 D ~ lR? , x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)l ,

die Parameterdarstellung eines regularen Flachenstiicks S. Ein kleines Teilstiick t:.S, berandet von den Parameterlinien u = uo, u = Uo + t:.u , v = vo, v = Vo + t:.v, laBt sich iiber die lineare Approximation (~ Kap. 7, §4(2» x(u, v)

Rj

Xv LV

Xu LU

x

Abb. 240 - FUichenelement

xu(U O, vo) xv(uo, VO») (u _ uo) ( Yu(uo, vo) Yv(uo, vo) +x(uo, vo) v - Vo Zu(uo, vo) Zv(uo, vo)

naherungsweise darstellen als Parallelogramm, das von den im Flachenpunkt x(uo, vo) angetragenen Vektoren xu(uo, vo)t:.u, xv(uo, vo)t:.v aufgespannt wird

und den Flacheninhalt t:.0 = Ixu(uo, vo) x xv(uo, vo)lt:.ut:.v

besitzt (~ Kap. 1, §3). Wird nun S durch ein Netz von Parameterlinien in n Teilstiicke t:.Sl, ... , t:.Sn zerlegt und jedes Teilstiick t:.Si durch das entsprechende Parallelogramm mit dem Flacheninhalt t:.O i = IXu(Ui, Vi) X Xv(Ui, vi)lt:.ut:.v approximiert, dann ergibt bei stets feiner werdender Teilung der Grenzwert (~ § 3, (3» lim n~oo

(t.u)2+(t.vP-->o

tIXU(Ui,Vi) i=1

X

Xv(Ui, vi)lt:.ut:.v = [{

JJ

Ixu

xXvldudv

D

den Flacheninhalt von S. Genau genommen ist dieses die Definition des Flacheninhalts von S; aufgrund der Voraussetzungen iiber S existiert der Grenzwert.

473

§4. Die Integration tiber Fliichen im Raum

Der Flacheninhalt O(S) eines regularen Flachenstiicks X : D -+ IR3 ist (6)

O(S) =

II

Ixu

X

xvldudv .

D

In der bewahrten Kurzform (-+ 3.4): Das von den benachbarten Parameterlinien u = Uo, u = Uo + du, v = Vo, v = Vo + dv berandete Flachenstiick bestimmt das skalare Fliichenelement (Obeifliichenelement)

I

(7)

dO

= Ixu x

xvldudv.

I

Der gesamte Flacheninhalt ergibt sich durch "Summation" iiber aIle Elemente. Mit den metrischen FundamentalgroBen E, F, G (-+ (3)) lautet die Oberftachenformel (6) O(S) =

(8)

II

J EG - F 2dudv

D

mit den SonderfaIlen (-+ 4.2 G), CD): Oberftacheninhalt des Graphen z = h(x, y) , (x, y) ED,

o

(9)

0=

II Jl+hi+h~dxdy.

D

CD Oberftacheninhalt der Drehftache (5) o=

(10)

II

mit CPO = 2n 11

J x 2(i 2 + z2)dtdcp

= 2n I

D

xJi

2

+ z 2dt .

to

Beispiel 1. Die Oberftache der Kugel mit dem Radius r. Mit E = r2, F = 0 , G =r2 sin 2 1/1 und D = {(1/1, cp); O:s 1/1 :S n, O:s cp:S 2n} (-+ 4.2c) ergibt sich aus (8) oder (10) 0=

II

rr

r21 sin 1/IId1/ldcp = 2nr 2 I sin 1/1 d1/l = 4nr2 .

D

0

D

Beispiel 2. Die Torusoberftache. Mit E = r2, F = 0, G = (R + r sin 1/1)2 und D = {(1/1, cp) ; 0 :S 1/1 :S 2n, O:s cp :S 2n} (-+ 4.2) erhalt man 0=

II D

2rr

r(R+rsin1/l)d1/ldcp =2nr I(R+rsin1/l)d1/l =4n 2rR. 0

D

474

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Beispiel 3. Der Graph z = xy stellt ein hyperbolisches Paraboloid dar. Der Oberftacheninhalt fur x 2 + i s 1 ergibt sich zu 0=

{{

.)1+x2+y2dXdy=11

11 O::ox2+y ::o1

-I

2

2

(l.J

I

_

X :

-~

.)1+X 2 + y2 d Y )dX

~3

=3'JT(v2 -1).

0

Mit (10) bestatigt man die 1. Regel von

GULDIN

(1577-1643):

Der Oberflacheninhalt einer Drehflache betragt 2JTroi mit der Lange und dem Drehachsenabstand ro des Schwerpunkts eines Meridianschnitts.

Beweis. Bei entsprechender Lage des Koordinatensystems gilt nach (10)

I

tl

0= 2JT

xds mit ds = ';:x2 + y2 dt, bzw.

to

ordinate i =

1

Y

It xds .

o = 2JTli

mit der Schwerpunktsko-

I

o

to

4.4 Das Oberfiachenintegral einer skalaren Funktion. 1st auf einem regularen Flachenstuck mit der Parameterdarstellung x : 1R? 2 D --+ 1R? eine skalare Belegungsfunktion gegeben, so "tragt" ein (von Parameterlinien eingeschlossenes) Flachenelement dO = Ixu x xvldudv (--+ (7)) die Belegung f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))lxu x xvldudv. Die Gesamtbelegung erhalt man durch Integration uber D. Definition. 1st x : lR,2 2 D --+ lR,3 eine Parameterdarstellung des reguliiren Flachenstucks S und f ein auf S stetiges Skalarenfeld, dann nennt man (11)

II S

fdO :=

II

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Ixu(u, v) x xv(u, v)1 dud v

D

das Oberflachenintegral von f uber S. Fur eine aus reguliiren Flachenstucken SI, ... , Sn bestehende stuckweise regulare Flache S definiert man das Oberflachenintegral durch

II s

fdO:=

II

SI

fdO+ .. ·+

II

fdO.

sn

Fur das Oberftachenintegral gelten offenbar die ublichen Rechenregeln: Linearitat, Monotonie, Additivitiit und der Mittelwertsatz: Das Integralmittel wird in einem Flachenpunkt angenommen; d.h. es gibt einen Punkt x(u*, v*) auf dem reguliiren Flachenstuck S mit

475

§4. Die Integration tiber Fliichen im Raum

(12)

f(x(u*, v*))

= O~S)

II

fdO .

s

Berechnung des Obeifliichenintegrals I

=

II

f dO. s 1. Schritt: Die Parameterdarstellung und den Parameterbereich angeben x : D --+- lR3 (evtl. stiickweise). 2. Schritt: Die partiellen Ableitungen

xu, Xv und das Oberftachenelement dO = Ixu x xvi dud v = J EG - p2 dud v berechnen. 3. Schritt: Eintragen und ebenes Doppelintegral iiber D ausrechnen:

II

II

=

fdo

s

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) IXu(u, v)

X

xv(u, v)1 dud v .

D

Beispiel 1. Das axiale Triigheitsmoment der Kugelschale x 2 + i + Z2

homogener Dichte und Gesamtmasse m urn die z-Achse ist (--+- 4.2c) I

=

II s

= R2

mit

(x 2 + i)· 4:R2 dO

II

2rr rr

= 4:R2

o

R2 sin 2 1/1 . R2 sin 1/1 d1/l dcp

= ~mR2

.

D

0

Beispiel 2. Fiir den geometrischen Schwerpunkt (x, y, z) des Teils der Flache 3z = 2(x 3/ 2 + y3/2) , der von den Ebenen x = 0, y = 0, x + y = 1 ausgeschnitten

wird, gilt

y = x mit

I

_

I-x

J ( J xJl +x + ydy)dx

x=O

y=O

26 - 15.)2

x=_._.--'-:--------=-----,-...,---'--I I-x 14 J ( J J1 + x + ydy)dX x=O

y=O

und I

I-x

J(J

z= x=O

y=O

~(x2/3 + y2/3)Jl + x + ydy)dx

J (T Jl +x + ydy)dx

x=O

y=O

= 61.)2 -

15ln(1 + .)2)

96(.)2 + 1)

D

476

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Beispiel 3. Das elektrostatische Potential U(a) einer homogenen mit Dichte p geladenen Flache S im Punkt a fj S ist nach COULOMB

=

U(a)

ff

Ix ~ aldO .

s

1st S der Kegelmantel (-+ Abb. 235) x 2 + i = Z2, O::s z ::s 1 , und a = (0, 0, 1) , so ergibt sich (-+ 4.2a) mit x(t) = (t cos cp, t sin cp, t), O::s t ::S 1, O::s cp ::S 27r ,

ff

1 2rr

U(a)

=

f

1

p h t dcpdt Jt 2 + (t - 1)2

1=0 ",=0

=pn . In (3 + 2h)

= 2hpn

0

../2t 2

tdt - 2t + 1

.

o Die eingangs angegebene Motivation fur die Definition zeigt auch wesentliche Anwendungsbereiche des Oberflachenintegrals auf.

o Der FHicheninhalt

=

ff

dO (-+ 4.3). s ® Masse, Ladung, Momente, Massenmittelpunkt. Bei gegebener Flachendichte p der Masse bzw. E der Ladung stellen M

0

=

ff ff

p(x, y, z)dO

die Gesamtmasse ,

E(X, y, z)dO

die Gesamtladung

s

Q=

s

der Flache S dar. Die k-ten Momente von S sind definiert als Mx.k

=

ff ff

xkp(x, y, z)dO ;

My,k

s

Mz,k =

=

ff

/p(x, y, z)dO ;

s

ip(x, y, z)dO .

s

Der Massenmittelpunkt hat die Koordinaten Zs

Fur den geometrischen Schwerpunkt (x,

x=

bff s

xdO;

y=

y, z) von S ergibt sich mit

bff s

1

= MMz,l

ydO;

z=

bff s

zdO .

p

=const

477

§4. Die Integration liber Fliichen im Raum

4.5 Die Transformationsformel fur Gebietsintegrale Definition. Eine Parameterdarstellung x : D ~ S, x = x(u, v), y = y(u, v), eines ebenen regularen Flachenstucks S heij3t auch Koordinatentransformation; d.h. 1. x = x(u, v), y = y(u, v) sind 'tfl-Funktionen, 2. aus x(u, v) x(u l , Vi) und y(u, v) y(u l , Vi) folgt (u, v) (u l , Vi), 3. IxuYv - XvYu I of 0 fur alle (u, v) ED. Die Parameterlinien heij3en dann Koordinatenlinien und man nennt das Netz der Koordinatenlinien ein (krummliniges) Koordinatensystem auf S.

=

=

=

Viele praktische Probleme auf S, insbesondere auch die Integration, lassen sich durch die Wahl eines dem Problem oder der Geometrie von S angepaBten Koordinatensystems vereinfachen. Wird nun ein Gebietsintegral I Is fdF als Grenzwert von Riemann-Summen berechnet, dann ist der Wert unabhiingig von den speziellen Zerlegungen von S (~ §3.2). Bei der Zerlegung durch die kartesischen Koordinatenlinien entsteht einerseits I Is f dF = I Is f(x, y)dxdy (~ §3.3). Andererseits fiihrt die Zerlegung liings der neuen Koordinatenlinien auf I Is fdF = I ID f IxuYv -xvYul dud v (~ 4.4). Mit der Funktional- oder JACOBI-Determinante B(x,y) '=det(xU(U,V) xv(U,V)) B(u, v) . Yu(u, v) yv(u, v)

ergibt sich deshalb Satz 4.1. Die Transformationsformel. Entsteht der regulare Bereich S ~

]R2

unter der Koordinatentransformation x = x(u, v), y = y(u, v) aus D, dann gilt for jedes auf S stetige Skalarenfeld f die Transformationsformel

II

(13)

s

f(x, y)dxdy

=

II

f(x(u, v), y(u, v))

I~~~: ~~ Idud v

.

D

Die Integration durch Substitution (Transformationsformel):

In •

II

s

f(x, y)dxdy ersetzt man

die Variablen x, y durch die Funktion x(u, v), y(u, v),

I ~~~: ~~ I dudv,

•

das Flachenelement dxdy durch

•

den Integrationsbereich S durch den Parameterbereich D.

Zusatz. Wegen §3 (4) darf man in (13) die Bereiche S und D durch S \ N bzw. D \ M mit Nullmengen M, N (gemiiB 3.1) ersetzen. Insbesondere bleibt

478

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

(13) gultig fur ,(?I-Transformationen x: D --+ S, die nur auf D \ M (mit einer Nullmenge M) beide Regularitatsbedingngen erfullen. Sonderfiille

CD Affine Koordinaten =au + bv + Xo,

x

II

(14)

Y

= eu + dv + Yo

f(x,y)dxdy=

II

mit ad - be

CD Polarkoordinaten

dF

= lad -

beldudv .

f(au+bv+xo,eu+dv+Yo)lad-beldudv.

x=rcos
II

0,

D

S

(15)

i

f(x,y)dxdy=

II

dF=rdrd
f(rcos
D

S

CD Elliptische Koordinaten =a cosh u cos v , y =a sinh u sin v,

x

dF

= a 2(cosh2 u -

y=li.. 6

a> 0 ,

.=0

cos 2 v)dudv .

.=rr f-+-~++-Hf-!4-f---t-;.

Beispiel 1. Ellipsenfliiche. Dnter der linearen Transformation x = au, .=1.Srr y = bv, a > 0, b > 0 entsteht Abb. 241 - Elliptische Koordinaten x2 y2 E: a 2 + b 2 :s 1 aus K : u 2 + v 2 :s 1. Also gilt (--+ (14)) F(E)

=

II

dxdy

=

E

II

abdudv

=ab:rr

D

.

K

Beispiel 2. Das Tragheitsmoment der homogenen Kreisscheibe K : x 2 + y2 :s 1 bezuglich der y-Achse betragt M = Po

II

x 2dxdy .

K

In Polarkoordinaten x = r cos
o<

M2

= Po

II

D

r2 cos 2 <prdrd
= Po

1

2 ][ cos 2
11

r3 dr

= Po i

= {(r,
.

D

§4. Die Integration tiber Flachen im Raum

In I

479

x

B.eispiel 3~ F~r die G AUSS- oder Normalverteilung F(x):= hm F(x) - 1 , d.h.

x-->oo

Beweis. Fur feR) :=

foR e- x2 dx

gilt

1 -2 f

=R-->oo lim feR)

e _t 2dt gilt

-00

und

mit dem Quadrat Q(R) (-+ Abb. 242). Fur die Viertelkreisftachen K(R) und K( -.fiR) (-+ Abb. 242) gilt nach Transformation auf Polarkoordinaten

II

e-(x 2 +y2 )dxdy

= 1"12 (foR e- r2 rdr) dcp = i(1 _

K(R)

e- R2 )

y

K(..fiR)

Also hat man i(1 - e- R2 ) ::s f(R)2 ::s i(1 - e- 2R2 ) und mit R -+

00

,

folgt die Behauptung.

Abb. 242 - Integrationsbereich

o Beispiel 4.

T

=

II

Das polare Tragheitsmoment (x 2 + y2)dxdy (p

y

= 1)

v=4

u=1 u=9

s

der in der Abb. 243 skizzierten Platte S wird mit der Transformation x 2 - y2 = U (1::s u ::s 9) xy = v (2::s v ::s 4)

3 Abb. 243 - Platte

auf "Hyperbelkoordinaten" bestimmt: x=x(u,v)=

~Ju+Ju2+4v2

,

2 +4v2 y=y(u , v)=_I-J-u+Ju -.fi

X

480

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

. a(x, y) mIt a(u,v)

1

2~u2+4v2

T=

. Aus der Transformationsformel (13) erhalt man dann

r9(r4~u2+4v2.

Jt

J2

1

2~u2+4v2

o

dV)du=8.

4.6 Das OberfHkhenintegral eines Vektorfeldes Definition. 1st S ein durch die Parameterdarstellung x : IR? ;:2 D -7 IR3 ge-

= IXu

IXu x Xv Xv in jedem Fliichenpunkt und vein auf S stetiges Vektorfeld, dann nennt man das Fliichenintegral der skalaren Normalkomponente v· n, also

gebenes reguliires Fliichenstiick mit der Normalenrichtung n

II

(16)

v· dO:=

s

II

(v· n)dO =

s

II

1

X

[v, Xu, xv]dudv ,

D

den FluB von v durch S. dO = nd 0 = Xu X Xv dud v nennt man vektorielles Oberfiachenelement von S (-7 (7)). Der Integrand auf der rechten Seite von (16) ist das Spatprodukt

[v, Xu, xv] = det

(~~ ~: ~:) V3

Zu

(-7 (11) und Kap. 1,5.4).

Zv

Physikalische Deutung. Fur das Geschwindigkeitsfeld v Flussigkeitsstromung stellt das Spatprodukt

einer stationaren

[v, xudu, xvdv] = [v, Xu, xv]dudv das Volumen der Flussigkeitsmenge dar, die pro Zeiteinheit durch das Oberflachenelement dO stromt. Also gibt der FluB

II

v· dO das Gesamtvolumen der

s Flussigkeitsmenge an, die pro Zeiteinheit durch S zu der durch n ausgezeichneten Seite hindurchstromt.

Abb. 244 - FluB durch S

Beachte. Wird der FluB zur anderen "Flachenseite" gesucht, dann ist n durch -n zu ersetzen.

481

§4. Die Integration iiber Flachen im Raum

Sonderfall: Der FluB des Vektorfeldes v durch den Graphen z (x, y) ED, betragt

[f

(17)

[f =II

dcl

vdO=

Gz~ DdXd

(-vJZx - V2Zy

= h(x, y) ,

Y

+ v3)dxdy

D

(mit

Vi

:= Vi(X, y, hex, y)) im Integranden, i = 1,2,3).

Beispiel 1. Der FluB des elektrischen Feldes E = c q3 x einer Punktladung q 1m Ursprung durch die Sphare S: Ixl

E· n

= cq R2

=R

Ixl

(von innen nach auBen) betragt wegen

auf S

II(E

·n)dO

=

s

II ~;dO = ~; II II

s

s

Beispiel 2. Wir berechnen den FluB

v . dO des Geschwindigkeitsfeldes

s

v(x,y,z)

=

(+)

a) durch das Flachenstiick S der Ebene x + 2y + 3z der Seite hin, die den Nullpunkt nicht enthalt), b) durch die Sphare S: x 2 + y2 +Z2 .. a): Uber D Z

=

~(4 -

= {(x,y);

o

dO =4ncq .

=r2

=4

im ersten Oktanten (zu

(von innen nach auBen).

1 0:::: x:::: 4,0:::: y:::: 2(4-x)} ist S der Graph von

x - 2y). Mit (17) ergibt sich

JJ[{ v·dO= Jo{4 ( J0{!(4-x) 2

s

I

4

=

(2

1 2 176 36 (80 + 8x - 7 x )dx = 27 .

o

b): In der Parameterdarstellung (---+ 4.2c) x( 1/1, cp)

=(

r r

2) )

9(4-x-2Y)+"3(x+y) dy

sin 1/1 cos cp ) sin 1/1 sin cp , r cos 1/1

dx

482

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Das Oberftachenelement ist dO rr

2rr (

jj(v.n)dO = j ( j

s

0

0

=r2 sin 1jJd1jJdcp , der FluB betragt daher

2r cos 1jJ ) ( sin 1jJ cos cp ) rsin1jJ(sincp+coscp) . sin1jJsincp r 2 sin1jJdcp)d1jJ 0 cos 1jJ

= -4 nr 3

o

3

4.7 Der Satz von

STOKES. Der Satz von GREEN besitzt eine Verallgemeinerung fiir raumliche zweiseitige Flachen, bei denen man eindeutig von einer unteren und oberen (bzw. inneren und auBeren) Seite reden kann. Ein regulares Flachenstiick x : lR? ;2 D ~ S ist stets zweiseitig. Wahlt man

das Vorzeichen fiir n

= ± IXu

1

X Xv

IXu x

Xv

einheitlich fiir aIle Punkte auf S, so

wird die Oberseite von S bestimmt: n im Flachenpunkt angetragen weist aus der Oberseite heraus. (~ Abb. 245). Eine stiickweise regulare Flache ist zweiseitig oder orientierbar, wenn sich die Oberseiten der Flachenstiicke Sk so wahlen lassen, daB sich der Umlaufsinn iiber die ,,Kanten" Sk n Sj hinweg "stetig fortsetzt" (~ Abb. 245). Das Mobius-Band ist nicht zweiseitig (~ Abb. 246).

Abb. 245 - Zweiseitige Flachen

Abb. 246 - Mobius-Band

Das folgende bedeutende Ergebnis laSt sich iiber die Projektionen in die Koordinatenebenen auf den Satz von GREEN zuriickfiihren (ohne Beweis). Wir wahlen eine fiir die Praxis ausreichende, anschauliche Sprechweise; die prazise Formulierung wiirde diesen Rahmen sprengen. Satz 4.2. Satz von STOKES (1819-1903). Sei Seine zweiseitige, stuckweise regulare Flache mit uberschneidungsfreier und geschlossener Randkurve as, die so durchlaufen wird, daJ3 S "links" liegt und der Umlaufsinn zusammen mit der Normalenrichtung n von Seine Rechtsschraubung ergibt (~ Abb. 247). Ferner sei U ~ lR? eine offene Menge, die S enthalt. Dann gilt fur alle '6' 1_ Vektorfelder v : U ~ lR3

(18)

is

v·dx= jj(rotv.n)dO.

s

Abb. 247 - Satz von Stokes

483

§4. Die Integration iiber Fliichen im Raum

Beispiel 1. 1st S ein ebener Bereich in der (x, y)-Ebene und v = (VI, V2, ol ein ebenes Vektorfeld, so folgt aus (I 8) der Satz von Green in der Ebene, da aV2

aVI

rotv·n= - - ax ay

o

mit n = (0,0, I)T . Beispiel 2. Sei v(x, y, z) = ( -

~~)

das Geschwindigkeitsfeld einer turbulenten

_Z3

Stromung im Zylinder x 2 + y2 = 1. Wir bestimmen die Zirkulation von v langs der Schnittkurve as des Zylinders mit der Ebene x + y + Z = 1 bzgl. der in der Abb. 248 angegebenen Umlaufrichtung. 1. Methode: Mit der Parameterdarstellung t

~~~

H- (

1 - sin t

von as die Zirkulation

:

-

x

Abb. 248 - Zylinderstriimung

O:s t :s 2:rr

),

cos t

,

1, V· dx gemaB (2.3) ausrechnen. fas

2. Methode: Mit der Integralformel

is V . dX = II(rotv.n)dO, s

~

der Parametrisierung x(x, y) = (

) , (x, y) E K (Einheitskreisscheibe), l-x-y und rot v = V x v = (0,0, 3(x 2 + i))T . Der Normalenvektor Xx x Xy = (1,1, Il weist in die richtige Richtung. Also gilt (nach Ubergang zu Polarkoordinaten)

f

v . dx =

as

II

[rot v,

Xx,

xy]dxdy = 3

K

II

(x 2

+ i)dxdy =

~:rr

K

o Man beachte, daB in (18) die Flache S durch jede andere in as eingespannte Flache (mit entsprechender "Oberseite") ersetzt werden kann:

II

rot v . dO =

II

rot v . dO . Abb. 249 - Gleicher Rand

as

484

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Beispiel. Fur die obere Hemisphare S : x 2 + l + Z2 = 1, z > 0 und die Einheitskreisscheibe K (Normalenrichtungen "nach oben") ergibt sich mit dem Vektorfeld v = (x, x + y, x + Y + zl :

II(rotv.n)do= II(rotv.e3)dxdY= s K

II (-~). (~)dXdY=n 1

K

D

1

Die vordergrundige Bedeutung von (18) ist, daB sich die schwierige Berechnung

1fas V· dx

einer Zirkulation

moglicherweise auf ein einfacheres Flachenintegral

zuruckfuhren laBt oder umgekehrt. Der wahre Nutzen der Formel zeigt sich aber erst in den theoretischen Anwendungen, insbesondere in der Hydrodynamik und der Elektrizitatslehre (-7 5.5). Koordinatennnabhangige Interpretation der Rotation: Mit dem Integralsatz von STOKES erhalt man fur jedes '7!fl_ Vektorfeld v: Sei S ein regulares Flachenstuck im Definitionsbereich von v, x ein Flachenpunkt und aSr die Randkurve der Flache Sr, die von einer Kugel urn x mit Radius r aus S ausgeschnitten wird (mit entsprechender Orientierung). Nach (18) und dem Mittelwertsatz fur Flachenintegrale gilt

f

V·

dx =

as, mit einem Punkt

II

n

Abb. 250 - Deutung von rot v

(rot v . n)dO = (rot v . n)(x)· O(Sr)

s,

x auf

Sr und der Oberftache O(Sr). Also gilt

(rot v . n)(x)

= ~~ OlSr)

f

V·

dx .

as,

Auf der rechten Seite steht die "Zirkulation pro Flacheneinheit" auf S in Form eines Differentialquotienten. Diese GroBe heiBt Wirbelstarke von v urn n: (rot v . n)(x) gibt irn Punkt x die Zirkulation des Vektorfeldes v pro Flacheneinheit an, fur jedes reguliire Fliichenstuck senkrecht zu n. Die Wirbelstarke (der Rotationseffekt) ist am groBten, wenn n in Richtung rot v zeigt.

485

§4. Die Integration tiber Flachen im Raum

Aufgaben 1. Das Paraboloid P hat die Parameterdarstellung

= 2"1 (u+V) u- v

, (u, v) E lR,2 . 2uv a) Man berechne Xu, Xv, Xu X Xv und damit die metrischen FundamentalgroBen E, Fund G. Welche Raumkurven werden durch u = const. und v = const. dargestellt? In welchen Punkten von P schneiden sich u- und v-Linien senkrecht? b) Welche Bogenliinge hat die Kurve C auf P mit der Parameterdarstellung x(u, v)

u

= 2t,

v

= 3t,

0:::: t :::: 1 ?

c) Welchen Oberfiiicheninhalt hat das Fliichenstuck auf P mit x 2 + l :::: 4 ? 2. Der Membranmantel eines Kiihltunns hat die Form eines einschaligen Rotationshyperboloids: Das Hyperbelstuck

x2 37 2

Z2

-

67 2 = I, -114:::: z :::: 32, x> 0,

wird urn die z-Achse gedreht. Wie graB ist die Oberfiiiche (Liingeneinheit m)? 3. Die Kuppel der Reaktorstation in Garching hat die Form eines halben Rotationsellipsoids (in m) I--

z :::: 0 .

T

Welchen Fliicheninhalt hat das Blechdach? Hilfe: Man verwende als Fliichenparameter Polarkoordinaten r, cp in der (x, y)-Ebene. 4. Wie graB ist die Oberfiiiche des Durchdringungskorpers der beiden Zylinder x 2 + l = 1 und x 2 + Z2 = 1 ? 5. Die Mercator-Projektion der Sphiire. Die Sphiire ohne Nord- und Siidpol besitzt die Parametrisierung 1 x(u, v) = --hcos v

(c~S u) Sill u sinh v

,

- I f ::::

u <

If

V E lR,

a) Man stelle u und v durch die geographische Liinge und Breite der Sphiire dar, d.h. durch cp und 1/1 in Kugelkoordinaten.

I-

1 80 ~

o -80

30 m

----"1

486

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

b) Man berechne Xu, Xv und zeige, daB (u, v) H- x(u, v) winkeltreu ist, d.h. E = G und F = O. Die Winkel in der (u, v)-Karte stimmen mit den Winkeln auf der Sphare iiberein. c) Die Kurve e auf der Sphare, die durch den Punkt X = (1,0,0) geht und jeden Meridian unter 60° schneidet, hat in der (u, v)-Karte die Gleichung u=

Wie oft trifft

e

.J3 v,

-00

< v <

00 .

auf den Nullmeridian? Berechne die Bogenlange von

e

(Kugel-

Loxodrome).

d) Man driicke das Integral fiir die Kugeloberfiache in dieser Parameterdarstellung aus. 6. Die Lambert-Parametrisierung der Sphare erhalt man durch Projektion der Sphare S : x 2 + l + Z2 = R2 von der z-Achse aus horizontal auf den beriihrenden Zylinder Z: x 2 + l = R2 : x= (

0')

~ =~: ::~ : ) ::

a) Man berechne xu, xv, Xu regular?

0 , u <2R,

~

- R, ""

xv. In welchen Punkten von S ist die Darstellung

X

b) Man bestatige, daB die Parametrisierung fiachentreu ist, d.h. in jedem regularen Punkt gilt Ixu x Xv I = 1 , und berechne darnit die Kugeloberfiache. c) Man setze R = 1 und in (L) der Reihe nach y = 0; z = 0; x = y ; x = z. Die vier resultierenden (u, v)Gleichungen bestimmen den Rand des Parameterbereiches U in der (u, v)Ebene, der das skizzierte Flachenstiick B auf S bestimmt. Man skizziere U und berechne damit den Flacheninhalt von B. 7. Welchen Flacheninhalt hat das Viviani-Fenster Sl U S2 : Sl : x 2 + l + Z2 = l; S2 :

x2

+ l = x;

x:::: 0;

Iz I ::0 1;

x2

x2 + l

:::: x

;

::::

1?

+ l + Z2

Vergleiche mit dem FJacheninhalt der Halbsphare und des Zylinders. (Hilfe: Sl: Lambert-Koordinaten; S2: Zy linderkoordinaten.)

(

8. Bezier-Fliichenstiicke finden beim rechneri-

schen Entwurf (CAD) einer Autokarosserie Anwendung. Man setzt die Blechhaut naherungsweise aus Flachenstiicken S zusammen, die jeweils durch 16 Punkte rkj, o ::0 j, k ::0 3 iiber die Formel X

=

L I>kj C) G) uj(l 3

3

j=O

k=O

u)3-jv\l - v)3-k

0::0 u, v ::0 1 ,

487

§4. Die Integration tiber Fliichen im Raum

bestimmt sind (bikubische Splines). Man bestatige: a) roo, r03, r30, r33 liegen auf S. b) Fur die Flachennormale in roo gilt: Xu

x

Xv

= 9 . (rlO - roo) x (rOJ - roo) .

c) Fur die gemischte partielle Ableitung gilt Xuv(O, 0) = 9(roo - rOJ - rlO + rll) .

9. Gegeben ist die Flache S : z

=8 -

Jx 2 + y2 3;

x2 +

l ::: 4

.

Das Vektorfeld v lautet in kartesischen Koordinaten v = (y3, 0, O)T . a) Man skizziere S. b) Mit dem Satz von STOKES berechne man mit einer zur z-Achse weisenden Normale n

ff

rot v . n dO.

s 11. Eine Parkhausauffahrt hat die Gestalt eines Wendelftachenstucks: x(t) = (rcost, rsint, t)T, 5m::::: r::::: 9m,

0::::: t::::: 2n

Man berechne den Flacheninhalt und vergleiche ihn mit dem Inhalt des Kreisringes, der den GrundriB der Flache bestimmt. 12. Gegeben ist das Mobius-Band M (2 + u cos v) cos 2 v ) x(u,v)= ( (2+uco~v)sin2v usmv

,

und das Vektorfeld des magnetischen Wirbels (-+ Kap. 7, 4.1) v = ( - 2-y --2' X +y

ff f

X -2--2 X +y

Man berechne a)

rot v . dO =

M

b)

V· dx

aM

ff

'

O)T,

[rot v,

X'I>

x 2 + y2 > 0 .

xvldudv ,

M

fUr die durch

Xu

x

Xv

bestimmte Rich-

tung auf aM. Warum ist (18) nicht anwendbar?

zr ~ :

y

488

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

§ 5. Die Integration tiber dreidimensionale Bereiche 5.1 Definition und einfache Eigenschaften des Dreifachintegrals. Die Ideen und Methoden aus §3 werden nun auf die Behandlung entsprechender raumlicher Probleme ubertragen.

o Das Volumen. Der (x, y, z)-Raum wird durch die zu den Koordinatenebenen parallelen Ebenen x

=n . 2-k ,

Y

=n . 2-k ,

Z

=n . 2-k

(n

=0, ±1, ±2, ... )

in Wurfel mit dem Volumen 2- 3k zerlegt. Fur eine beschrankte Menge M S; m? bezeichne sk(M) bzw. Sk(M) das Gesamtvolumen aller ganz in M enthaltenen Wurfel, bzw. aller Wurfel, die mit M wenigstens einen Punkt gemeinsam haben. Man nennt M Riemann-mej3bar (im m?) und V(M) das Volumen (oder den Inhalt) von M, wenn V(M) = lim sk(M) = lim Sk(M). k-+oo

k-+oo

Besteht eine Menge N S; m? nur aus jeweils endlich vielen Punkten, regularen Kurvenstucken und regularen Flachenstucken, so bezeichnet man sie wegen YeN) = 0 als (dreidimensionale) Nullmenge. Fur jede meBbare Menge M S; IR3 mit Volumen V(M) und jede Nullmenge N gilt (1)

V(M)

= V(M U N) = V(M \

N) .

Vollig ausreichend fur die Anwendung ist die Beschrankung auf regulare Bereiche B S; IR3 mit den Eigenschaften: 1. Der Rand aB (die "Oberflache" von B) besteht aus endlich vielen stuckweise regularen Flachen. 2. B \ aB (das "Innere" von B) ist ein nicht leeres, beschranktes Gebiet im IR3 (offen und zusammenhangend). 3. B ist abgeschlossen, d.h. aB S; B. Es laBt sich zeigen (ohne Beweis): Jeder regulare Bereich B S; IR3 ist Riemann-mej3bar mit einem Volumen V(B) i o.

® Das Volumenintegral.

B S; IR3 sei ein regularer raumlicher Bereich und f ein auf B stetiges Skalarenfeld (eine Belegungsfunktion). Zur Berechnung der "Gesamtbelegung" von B wird der Bereich durch regulare Schnittflachen in regulare Teilbereiche Xj)~r::.. Y BI, ... , Bn mit den jeweiligen VoluAbb. 251 - Bereichzerlegung men ~ VI, ... , ~ Vn zerlegt. Fur jedes i = 1, 2, ... , n wird die Belegung von Vi durch f(Xi, Yi, Zi)~ Vi (mit beliebigem

§5. Die Integration tiber dreidimensionale Bereiche

Punkt (Xi, Yi, Zi)

E

489

Vi) approximiert, die Gesamtbelegung durch die Riemann-

n

Summe Zn

=L

f(Xi, Yi, Zi)~ Vi.

i=1

Da B regular ist und f stetig, laBt sich zeigen, daB die Riemann-Summen bei stets feiner werdender Unterteilung gegen einen festen Grenzwert konvergieren, sofem der maximale Durchmesser Om ax der Teilbereiche dabei gegen Null geht. AuBerdem ist der Grenzwert unabhangig von der speziellen Form der Schnitte. Der Grenzwert

III fdV:=~~oo tf(Xi'Yi'Zi)~Vi B

6max ---+O 1=1

heiBt Dreifachintegral oder Volumenintegral von f iiber B. Das Symbol dV heiBt Volumenelement. Fiir das Volumenintegral gelten die iiblichen Rechenregeln: Linearitat, Monotonie, Additivitat und der Mittelwertsatz (-+ 3.2). Bildet man die Riemann-Summen beziiglich Schnittebenen parallel zu den drei Koordinatenebenen, dann bezeichnet man das Volumenintegral mit

III

fdxdydz

oder

B

III

f(x, y, z)dxdydz

B

und man sagt, dV = dxdydz sei die Darstellung des Volumenelements beziiglich kartesischer Koordinaten. LaBt sich B als Abschnitt eines geraden Zylinders darstellen mit dem regularen Bereich D der (x, y)-Ebene als Querschnitt, unten und oben begrenzt von den Graphen z = g(x, y) bzw. z = hex, y), d.h. B = {(x,y,z) ; (x,y) E D, g(x,y) :::: z :::: hex, y)} (D S; ill? regular, g, h

'/&'I-Funktionen) und faBt man in der Riemann-Summe die Summanden so zusammen, daB "saulenformig" zuerst iiber aIle in z-Richtung iibereinander liegenden Teilbereiche summiert wird, so erhalt man die Darstellung iiber ein Doppelintegral:

III

(2)

fdxdydz

=

[I

b j) X Abb. 252 - Siiulenintegral

h(X'V)

(

,c/')

)

f(x, y, z)dz

dxdy.

Analoge Formeln erhalt man fiir Zylinderabschnitte "iiber" den anderen Koordinatenebenen. 1st zusatzlich D ein ebener Normalbereich, etwa B

= {(x, y, z) ; a :::: x

:::: b, u(x):::: y :::: v(x), g(x, y) :::: z :::: h(x, y)} ,

490

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

dann folgt aus (2) und §3, (11)

III

(3)

b v(x) h(x.y)

Jdxdydz

=

1(1 (I

J(x, y, z)dz)dy)dx .

a u(x) g(x.y)

B

Fur den Sonderfall des Quaders B

={(x, y, z) ; Xo :'S x

ergibt sich der Satz von

IfI (4)

Zl }

Die Integrationsreihenfolge ist beliebig, d.h.

1UU

FUBINI:

Jdxdydz=

:'S XI, Yo:'S Y :'S Yl, zo:'S z :'S

J(X,y,Zld}+X

=[

[\l

Zl (XI ( YI

J(x,y,z)dy

)) dx

dz=···

5.2 Einfache Anwendungsbeispiele des Volumenintegrals ergeben sich aus den der Definition vorausgehenden Bemerkungen.

CD

Volumen.

Das Volumen eines regularen raumlichen Bereiches B

betragt V(B) =

(5)

III

C

IR3

dV .

B

Speziell: V(B)

=

II

(h(x, y) - g(x, y»)dxdy

D

fur den oben durch z = h(x, y) und unten durch z = g(x, y) begrenzten Abschnitt des geraden Zylinders mit Querschnitt D (--+ §3(6».

CD Masse, Momente, Schwerpunkt.

o Masse:

M

=

III

pd V , Massendichte p.

B

®

o

k-te Momente: Myz.k

=

III

xkp(x, y, z)dV; Mzx.k, Mxy.k analog.

B

Axiales Tragheitsmoment:

rex, y, z) des Punktes (x, y, z)

E

T = B.

III

r2 pdV

@ Der Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) von Xs

=

1

MMyz,l; Ys

1

= MMzx,l;

Zs

wird ebenso mit p == 1 bestimmt.

mit dem Achsenabstand

B

1

= MMxy,l.

B (variable Massendichte p):

Der geometrische Schwerpunkt

491

§S. Die Integration iiber dreidimensionaIe Bereiche

o Gesamtbelegung

Q

=

fff

bei spezifischer (auf die Volumen-

q(x, y, z)dV

B

einheit bezogener) Belegung q (etwa elektrische Ladung, Warme, etc.).

:s x, y, z :s

Beispiel 1. Das axiale Tragheitsmoment des Wurfels -1 z-Achse lautet

1=

11jch

=,1 (L~ +2l)dY) =~6

y2)dxdydz

dz

x2

Beispiel 2. Der Bereich B, der von dem Ellipsoid -

a2

Z2

berandet wird und in z

c2

Form

x2 a2

+

y2 < ~ < b2 - c x2

1

y2

y2

schneiden sich langs der Ellipse a 2 + b2 Volumen von B VCE) =

:s "2 1

x2

y2

1

0<

rn

x2

y2

-::;'I - -

ldZ)dXdY

v2

az+[;2

C

=

N ach Ubergang zu elliptischen Koordinaten x

o -< p -../2' < _1_

und dem

Damit ergibt sich fur das

x2

az+IJ2:SZ

=1

y2 b2

If ( / '"

dxdydz =

B

c2

0

(der Kegel und das Ellipsoid

= "2)' Cy/1

Iff

Z2

b2

.

0 liegt, ist darstellbar in der

/1 _ x 2 _ V a2

mit (x, y) aus dem Normalbereich a 2 + b 2 x2

~

y2

+- +-

1 urn die

pa cos rp,

y

=

pb sin rp ,

< 2:rr :

-'t'-

f f (f

2rr 1/.J2 c~

V(B)

=

1"=0 p=O

1dz)abpdpdrp

cp

f (p~

1/.J2

=2:rrabc

- p2)dp

=

~:rrabc(2 -../2) .

p=O

Fur die z-Koordinate des geometrischen Schwerpunkts erhalt man (unabhangig von a und b) z-

1 = V(B)

If! B

zdxdydz

= 6+3../2 16 c.

o

492

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

5.3 Die TransformationsformeI fiir Volumenintegrale. Sei B

S; IR? ein dreidimensionaler regularer Bereich. Dnter einer Koordinatentransformation auf X(U, v, B verstehen wir eine ~l-Abbildung (u, v, wl r+ x(u, v, w) = ( y(u, v, w) z(u, v, w) eines regularen Bereiches U des (u, v, w)-Raumes auf B mit den Eigenschaften 1. Fur beliebige Punkte (u, v, w) i (u ' , Vi, Wi) aus U ist stets x(u, v, w) i x(u ' , Vi, Wi). 2. Fur aIle (u, v, w) E U sind die Vektoren xu(u, v, w), xv(u, v, w), xw(u, v, w) linear unabhangig. Zu festem u = Uo stellt (v, w) r+ x(uo, v, w) die Koordinatenfliiche u = Uo dar; ebenso sind die anderen Koordinatenflachen v = Vo, w = Wo erklart. Der von "benachbarten" Koordinatenflachen ausgeschnittene Bereich, also das Bild des Quaders Uo Sus Uo + f':...u, Vo S v S Vo + f':... v, Wo S w S Wo + f':... w , wird mittels linearer Approximation angenahert durch einen Spat dargesteIlt, der von den drei im Punkt x(uo, vo, wo) angetragenen Vektoren xu(uo, Vo, wo)f':...u , xv(uo, vo, wo)f':...v, xw(uo, Vo, wo)f':...w aufgespannt wird. Das Volumen dieses Spats betragt

W))

f':... V

= I[xu, Xv, xw]lf':...uf':...vf':...w = I;t:~:~ I f':...uf':...vf':...w

mit der JACOBI-Determinante (oder Funktionaldeterminante) a(x, y, z) := det a(u, v, w)

(~: ~~ ~:) Zu

Zv

.

Zw

Analog wie im ebenen Fall beweist man Satz 5.1. Die Transformationsformel fUr Volumenintegrale. Entsteht der reguliire Bereich B S; IR? unler der Koordinatentransformation x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), Z = z(u, v, w) aus dem reguliiren Bereich U S; IR?, dann gilt fur jedes auf B stetige Skalarenfeld f die Transformationsformel

fff (6)

f(x, y, z)dxdydz =

B

=

fff

f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))

I ;(~:~: ~~ I dudvdw .

u

Man nennt dV

= I a(x, y, z) I dudvdw a(u, v, w)

das Volumenelement in B bezuglich der (u, v, w)-Koordinaten.

§5. Die Integration tiber dreidimensionale Bereiche

I I IB

493

I I IB\N

fdV = fdV fur jede (dreidimensionale) Nullmenge N gilt die Formel (6) auch fur Transformationen, welche obige "Regularitiitsbedingungen" 1. und 2. nur auf Bereichen der Form U \ M mit Nullmengen M erfiillen.

Zusatz. Wegen

Sonderfalle

CD Affine Koordinaten x

= Au + xo,

A

E

IR3x3 mit det Ai o. dV

fff

f(x)dxdydz

(3) Zylinderkoordinaten

x = r cos cp, y = r sin cp, z dV = rdrdcpdz .

fff

=

f(Au + xo)1 det Aldudvdw .

=z ,

=

fdxdydz

B

fff v

B

fff

=

= I det Aldudvdw .

x

f(r cos cp, r sin cp, z)rdrdcpdz .

Abb. 253 - Zylinderkoordinaten

v

(2) Kugelkoordinaten

= r sin 1/1 cos cp , =r sin 1/1 sin cp , z =r cos 1/1 (---+ 4.2). dV =r2 sin 1/Idrd1/ldcp .

x y

fff B

mit

fdxdydz

fff

=

](r, 1/1, cp)r2 sin 1/Idrd1/ldcp Abb. 254 - Kugelkoordinaten

v

](r, 1/1, cp) = f(r sin 1/1 coscp, r sin 1/1 sin cp, r cos 1/1)

8) AbgefJachte Drehellipsoid-Koordinaten x y

= a cosh 11 sin 1/1 cos cp = a cosh 11 sin 1/1 sin cp

z = a sinh 11 cos 1/1

0 :s 11, a > 0 , O:s 1/1 :s rr , , 0 :s cp :s 2rr . ,

dV = a3(cosh211-sin21/1) cosh 11 sin 1/Id l1 d 1/ldcp.

Abb.255 - Abgefiachte Drehellipsoid -Koordinaten

494

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Beispiel 1. Die 2. Regel von

GULDIN

Das Volumen eines Drehkorpers betriigt V = 2nroF mit dem Fliicheninhalt F des (auf einer Seite der Drehachse gelegenen reguliiren) Meridianschnitts und dem Drehachsenabstand ro des Fliichenschwerpunkts.

Beweis. Wir drehen urn die z-Achse und wahlen einen Meridianschnitt S in der (x, z)-Ebene. Vereinfachend nehmen wir an, daB S ein Normalbereich ist: S

= {(x, z) ; Zo :s z :s Zl,

g(z):s x

:s h(z)}

.

In Zylinderkoordinaten besitzt die Drehfigur B die Koordinaten zo :s z :s Zl, g(z) :s r :s h(z), 0 :s cp :s 2n; 2n

also gilt V

=

Abb. 256 - 2. Guldin-Regel

III = I (I (I = II ZI

h(z)

dV

BOzo

2n

rdr )dZ)dCP

g(z)

xdxdz

= 2nF·

s

J, II xdF .

0

s

Beispiel 2. Der abgebildete Kugelausschnitt hat in Kugelkoordinaten die DarsteUung

K=

{(r, cp,

7T

1/1) ; 0 :s r :s 1, 0 :s cp :s 27T , O:s 1/1 :s 12 }.

Also gilt

Abb. 257 - Kugelausschnitt

III

I(I (I 1

Jdxdydz =

0

K

2n

n/12

0

0

fer, cP, lj!)r2 sin lj!dlj! )dCP )dr .

0

Beispiel 3. Das axiale Tragheitsmoment der voUen Kugel K vom Radius R mit homogener Dichte der Gesamtmasse 1 urn die z-Achse betragt I =

III

(x 2 + y2)dxdydz .

K

In Kugelkoordinaten ergibt sich

II

2n n

I =

R

l(r 2 sin 2 lj! )r2 sin lj!drdlj!dcp = 2n .

000

5 1.5 R 5 . ± 3 = ..!n 15 R .

0

495

§5. Die Integration tiber dreidimensionale Bereiche

5.4 Der Divergenzsatz gibt eine wichtige Beziehung zwischen dem Volumenintegral iiber einen Bereich und dem OberfHichenintegral iiber dessen Randftache. Mit ihm wird deutlich, daB div v tatsachlich eine Quelldichte ist. Satz 5.2. Der Divergenzsatz von

GAUSS

Sei B ein regularer raumlicher Bereich mit einer Oberflache a B, die aus endlich vie len geschlossenen, stuckweise regularen orientierbaren Flachen besteht, die sich hochstens in Randpunkten treffen. Bezeichnet n die aus allen reguliiren Oberflachenstucken aus B nach auJ3en weisende Einheitsnormale, dann gilt fur aUe in einer Umgebung von B erkliirten '{j'l_ Vektorfelder v die Integralformel 111(diVV)dV=

II

(v·n)dO.

as

B

Beweisskizze. Zunachst sei B ein achsenparalleler Quader: B = {(x, y, z) ; O=:;x=:;a, O=:;y=:;b, O=:;z=:;c}. v ist die Summe der drei Vektorfel-

der Vjej, V2e3, V3e3. Mit div(V3 e3)= aV3 az

bestatigt man

III aa~dXdYdZ II (foG aa~dZ) II =

B

dxdy

DJ

[V3(X, y, c) - V3(X, y, O)]dxdy .

=

DJ

Die Grundftache Dj (mit n = -e3 ) bzw. die Deckftache D2 (mit n = e3 ) sind explizit darstellbar als Graph z = 0 bzw. z = c , deshalb gelten (~ §4(17))

II II

II = - II

(V3 e3 . e3)dO =

D2

V3(X, y, c)dxdy ,

D2

(V3 e 3 . -e3)dO

DJ

V3(X, y, O)dxdy .

DJ

Die jeweilige Normale n der anderen 4 Seitenftachen D3, ... , D6 ist orthogonal zu e3, d.h. n· e3 = 0, also gilt JJD, (V3e3 . n)d 0 = 0 (i = 3, ... , 6) und damit

III aa~

dxdydz

B

Ebenso zeigt man

III aa~dXdYdZ II =

B

aB

(V2 e2· n)dO ,

=

II

(V3 e3 . n)dO .

as

III aa~j B

dxdydz =

II

(vjej . n)dO .

aB

Die Addition dieser Ergebnisse liefert die angegebene Integralformel fiir Quader.

496

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

Beliebige Bereiche werden dann durch Quader "ausgeschopft", wobei sich die Integrale uber die "Zwischenwande" aufheben, da die zugehorigen Normalenvektoren entgegengesetzt gerichtet sind. 0 Koordinatenunabhangige Interpretation der Divergenz: N ach dem Divergenzsatz ist der FluB des Vektorfeldes v durch die Korperoberflache (von innen nach auBen) gleich dem Volumenintegral der Divergenz div v. Wendet man hierauf den Mittelwertsatz an, so ergibt sich fur den FluB durch eine ganz in B liegende Kugel Kr mit Mittelpunkt P = (x, y, z) E B, Radius r und Oberflache Sr

II

(v· n)dO =

s,

III

(divv)dV = divv(x*, y*, z*)· V(Kr)

K,

mit einem Punkt (x*, y*, z*) in Kr und dem Volumen V(Kr) = Damit ergibt sich divv(x, y, z) =

~~ v(kr )

II

f f fK, dV .

(v· n)dO

s,

("FluB pro Volumeneinheit" im Sinne eines Differentialquotienten). Die Divergenz miBt also den aus der Volumeneinheit heraustretenden FluB; d.h. (divv)(x,y,z) ist die Quelldichte von v im Punkt (x,y,z). Man nennt den Punkt (x, y, z) eine QueUe bzw. Senke, wenn div v(x, y, z) > 0 bzw. div v(x, y, z) < 0 . Das Vektorfeld v heiBt quellenfrei, wenn uberall divv(x,y,z)=0 gilt.

B,i'pM 1. Dc, FluB dc, Felde, vex, y, Kugel K : x 2 + y2 + Z2

II

z) (x ~'y) 0

durch die Ohe,flaehe dc,

(von innen nach auBen) betragt

:::: r2

(v· n)dO =

s

III

divvdV =

K

B,i,piel 2. Der FluB dc, Felde, v

III

dV =

~JTr3

.

o

K

0

(;:;)

dureh die Ohc,flaehe dc, Zylin·

derabschnitts B = { (x, y, z) ; x 2 + y2 :::: 1, -1:::: z :::: I} betragt

II S

(v· n)dO =

III

(divv)dV =

B

(nach Ubergang zu Zylinderkoordinaten). In diesem Beispiel ist wegen div v = x 2 + l auBerhalb der z-Achse ein Quellpunkt.

III

(x 2

+ l)dxdydz = JT

B

of 0 fur

(x, y)

of (0, 0) jeder Punkt o

§5. Die Integration iiber dreidimensionale Bereiche

497

Fur jedes Vektorfeld v mit divv = 1 HiBt sich das Volumen V(B) durch ein Oberftachenintegral berechnen; etwa mit v =xeI :

Speziell ergibt sich fur die obere Halfte der Einheitskugel V(B)

=

II x 2 +y 2

:o1

Bemerkung. 1st div v = 0 in einem Bereich B, erfullt B die Voraussetzungen des Divergenzsatzes und laBt sich die Oberftache von B stetig auf einen Punkt in B zusammenziehen, ohne daB dabei B verlassen wird, dann gibt es ein Vektorfeld w, das sog. Vektorpotential von v, so daB rot w = v (-+ Band 2).

* 5.5 Einige Anwendungen der Integralsatze CD Die Kontinuitatsgleichung der Hydrodynamik

Sei v das Geschwindigkeitsfeld einer stromenden Flussigkeit der (auch zeitlich variablen) Massendichte p. Ferner sei B ein regularer Testbereich (im Abb. 259 - Stromung Stromungsgebiet) mit der Oberftache S. Durch das Oberftachenelement dO tritt pro Zeiteinheit das Flussigkeitsvolumen (v·n)dO hindurch. Die gesamte durch S aus B herausstromende Masse betragt demnach pv . nd 0 . Wird in B keine Masse erzeugt oder vemichtet, so ist die zeitliche Anderung

I Is

:t I I IB

der Masse auch durch pdV gegeben (mit dem Minuszeichen, da der MassenftuB aus B heraus betrachtet wird), d.h. es gilt (mit den notigen Voraussetzungen fur § 1, Satz 1.1)

II(Pv.n)do+ s

III ~dV=O. B

Mit dem Divergenzsatz ergibt das

I I I [diV(PV) +

~ ] dV =0 .

B

Da diese Gleichung fur beliebige Testbereiche B gilt, folgt mit den Regularitatsvoraussetzungen fur jeden Punkt x die Kontinuitiitsgleichung div(pv) +

~ =0

,

die in der Hydrodynamik eine wichtige Rolle spielt. Fur eine stationiire (zeitunabhangige) Stromung gilt insbesondere PI = 0, also

498

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

div(pv) = O. 1st die Flussigkeit inkompressibel (d.h. p = const), dann gilt PI = 0, div(pv) = p div v und somit div v = 0; d.h. das Geschwindigkeitsfeld einer inkompressiblen Flussigkeit ist quellenfrei.

CD Die Warmeleitungsgleichung

In einem homogenen, erwarmten Korper der konstanten Massendichte p und konstanter spezifischer Warme (J herrsche zur Zeit t im Punkt (x, y, z) die Temperatur U = U(x, y, z, t). Dann speichert ein Volumenelement dV die Warmemenge dW = (JUpdV und die Gesamtwarme W in einem (regularen) Teilbereich B mit Oberfiache S betragt W=III(JPUdV. B

Der mit fortschreitender Zeit stattfindende Warmeaustausch dW wird als dt WarmefiuB durch die Oberfiache S gedeutet und berechnet sich nach einem Gesetz von FOURIER aus

dd~

= II k(grad U· n)dO

s

mit einer Konstanten k, der Warmeleitfahigkeit des Materials. (Hierin ist gradU nur bezuglich der Ortskoordinaten x,y,z zu bilden.) Mit dem Divergenzsatz und Satz 1.1 aus § 1 folgt nun I I I P(J

aa~ dV = dd~ = II k(grad U· n)dO s

B

= I I I k(div grad U)dV B

fur jedes Testvolumen B. Damit ergibt sich die Wiirmeleitungsgleichung

au k (a 2U a2u a2U) k at = (JP ax2 + ay2 + az2 = (Jpf!..U

.

CD Die MAxwELL-Gleichungen In einer zu CD und CD analogen Weise kann man aus den experimentell entdeck-

ten Grundgesetzen der Elektrizitatslehre die nach J. C. MAXWELL (1831-1879) benannten Hauptgleichungen des elektromagnetischen Feldes herleiten. (Heute werden diese Gleichungen meist an den Beginn der Elektrodynamik gestellt und daraus alle anderen Gesetze abgeleitet.) Das elektromagnetische Feld wird - in der Regel - durch 5 yom Ort x und von der Zeit t abhangige Vektorfelder beschrieben, die elektrische Feldstiirke E, die magnetische Feldstiirke H, die elektrische Fluj3dichte (Verschiebungsdichte) D, die magnetische Induktion B und die elektrische Stromdichte J.

499

§5. Die Integration tiber dreidimensionale Bereiche

In SI-Einheiten lautet das FARADAYSche Induktionsgesetz (fur jeden geschlossenen Weg C)

f

(7)

E . dx

=-

c

:t /

B . nd 0

s

und die Formel von BIOT-SAVART-AMPERE in der von MAXWELL 1865 korrigierten Form

f

(8)

H . dx

c

=/

J . nd 0 + /

s

s

:t

D . nd 0 .

Hierbei steIlt S ein regulares Flachenstuck dar, das von C (im Sinne des Satzes von STOKES) berandet wird. Der zweite Summand der rechten Seite, der im Gesetz von Ampere fur stationare Felder fehlt, wird seit MAXWELL Verschiebungsstrom genannt.

J

~D S

c

<0

H Abb. 260 - Faraday-Gesetz

Abb. 261 - Ampere-Gesetz

Wendet man den Satz von STOKES auf die Kurvenintegrale in (7) und (8) an, so hat man fur aIle zulassigen Testbereiche S / rot E . nd 0 s

=- ~ at /

B . nd 0

s

'

/ rotH·ndO= /(J+ :tD).ndO. s s Mit den notigen Voraussetzungen fur Satz 1.1 von § 1 kann gezogen werden, und es folgen fur jeden Punkt

(9)

rot E +

ata B = 0;

rot H

ata

unter das Integral

a =J + at D .

Da div rot v = 0 fur aIle 'i&"2 -Vektorfelder v gilt, folgt hieraus

:t

divB = 0,

div(J + :tD)

=0 .

Damit gelangt man mit den physikalischen Gesetzen fur elektrische und magnetische Ladungen, divD

=p

divB = 0

(COULoMB-Gesetz, p Ladungsdichte), (keine freie magnetische Ladung),

500

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

zu den Kontinuitiitsgleichungen: (10)

divJ +

~

divB=O .

=0

(9), (10) heiBen MAxwELL-Gleichungen der Elektrodynamik. In homogenen Medien gelten die Stoffgleichungen

J = O"E;

D = EE;

B = fLH

(Elektrische Leitfahigkeit 0" , Permitivitiit E, Permeabilitiit fL); damit reduzieren sich (9) und (10) zu vier Bestimmungsgleichungen fur E und H: rotE+fL;tH=O

a rotH=O"E+EatE;

diV(O"E+E;tE)=O; divH=O.

1st die Ladungsdichte p = 0, d. h. div E = 0, so folgen die Telegraphengleichungen (~ Kap. 7, §4, letztes Beispiel, in dem 0" = 0) fLE Hit + 0" fLH, = l'.H und fLE Elt + 0" fLE t = l'.E .

* 5.6 Orthogonale krummlinige Koordinaten ordinatentransformation

x(u, v, w)

(~

liegen vor, wenn fur eine Ko-

5.3)

=x(u, v, w)el + y(u, v, w)e2 + z(u, v, w)e3

in jedem Punkt die Tangentialvektoren xu, Xv und Xw paarweise orthogonal sind (el, e2, e3 bezeichnen die Basisvektoren des kartesischen Koordinatensystems). Mit den Maj3stabsfaktoren hJ :=

IXul, h2:= lxvi, h3:= Ixwl

erhiilt man mit (11)

in jedem Punkt ein orthogonales Dreibein (e u , e v , e w ); dieses ist rechtsorientiert, wenn man die Reihenfolge von u, v, w geeignet wiihlt: (12)

Beispiel 1. Zylinderkoordinaten u=r, v=cp, w=z;

hJ=l,

und in bezug auf die kartesische Basis e,

= (~~i:)

;

e,

= C~~F)

h2=r,

h3=1,

; m e,

=

Der Ortsvektor eines Punktes hat in seiner (e" e"" ez)-Basis die Darstellung X

= re, + ze z (~Abb. 262).

0

501

§S. Die Integration tiber dreidimensionale Bereiche

Beispiel 2. Kugelkoordinaten u=r,

v=1/I,

w=q;;

hl=l,

h2=r,

h3=rsin1/l,

und in bezug auf die kartesische Basis

er

= (~~~: ::~ cos 1/1

$) ; e= (~~~: ;~: $) ; e", = (~~~n:) Vr

-

Sill

Der Ortsvektor hat die Darstellung x =rer

1/1

0

(~Abb.

263).

D

y

" Abb. 262 - Zylinderkoordinaten

Abb. 263 - Kugelkoordinaten

Wegen (11) und (12) ist a(x,y,z) -h h h a(u, v, w) - I' 2' 3 ,

d.h. fur das Volumenelement gilt dV

= hlh2h3 dudvdw

.

Bezogen auf (e u , e v , e w) hat das Differential dx die Komponenten hi du, h2 dv, h3 dv ; denn mit der Kettenregel ist dx

(13)

= Xu du +xv dv +Xw dw = hleu du + h2ev dv + h3ew dw

.

Damit ist das Bogenelement wegen (12) ds =.Jdx· dx =

J

hTdu 2 + h~dv2 + h~dw2 .

Ein reguHires FHichenstuck S hat im (u, v, w)-Koordinatensystem die Darstellung u

=u(s, t),

v

= v(s, t),

w

= w(s, t)

mit (s, t) E D S; lR? Mit der Kettenregel und (11) ergibt sich aus x =x(u(s, t), v(s, t), w(s, t)) :

Man hat damit als vektorielles Oberfiiichenelement auf S Xs X

xtdsdt

a(v, w)

= ( h2 h 3 a(s,t)

a(w, u) a(u, v) ) e u +h3 h l a(s,t) e v +hlh2 a(s,t)eW dsdt

502

8. Funktionen in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

und als skala res Obelfiiichenelement auf S w))2 ( (l(w, u))2 ( (l(u, V))2 ( h2 h 3 (l(v, (l(s, t) + h3 h l (l(s, t) + hlh2 (l(s, t) dsdt.

dO=

Fur die Koordinatenfliichen u als Oberfliichenelemente dAl

= const,

= const

v

bzw. w

=dAleu =(h2h3dvdw)eu

= const

erhiilt man

,

dA2 = dA2ev = (h3hldwdu)ev , dA3 = dA3ew = (hlh2dudv)e w .

Fur eine skalare Funktion f v

= F(u, v, w)

und ein Vektorfeld

= Vl(U, v, w)eu + V2(U, v, w)e v + V3(U, v, w)ew

gelten die Formeln:

Beweis. Ergeben sich die Formeln fur div v und rot v aus den Siitzen von GAUSS und STOKES, indem man die Integrale auf (u, v, w)-Koordinaten transformiert, so sieht man unmittelbar mit df

=grad f

. dx

= au du + av dv + (lw dw (IF

(IF

(IF

und dx aus (13) und Komponentenvergleich die Darstellung fur grad f .

0

Beispiel. In kartesischen Koordinaten ist das Vektorfeld v =(y, -x, l)T und der Zylindermantel S : x 2 + i = 1, 0:::: z :::: 1 , gegeben. Als Komponenten von v in Kugelkoordinaten ergeben sich VI

= v· e r = (~rS!~n~s~~:V?) 1

und analog V2

= v . e", = -

sin 1/1 und V3

v = cos 1/1 e r

-

.

(~~~: ::~ ~) =cos 1/1 cos 1/1

= v . ecp = -r sin 1/1 ;

sin 1/1 e", - r sin 1/1 ecp .

503

§5. Die Integration iiber dreidimensionale Bereiche

Aus den Formeln (14) folgt divv

= r 2 sm ~ 1jJ [(r2 sin ljJVdr + (r sin ljJV2)1jf + (rV3)'P] = 0 .

Urn den FluB von v durch S in Kugelkoordinaten zu berechnen, benotigt man die Darstellung von S in Kugelkoordinaten: x2

+

y2

=

r2

sin 2 ,I, = 1 ergibt r = ~ 'I' sm,!, und aus 0 < -

: r r1jJ::s :rr '4::S 2' so daB S

< 1 erhiilt man

Z

-

1 ) : r; r :rr o ::s t = { (r,ljJ,rp)= (sins,s,t '4::s s ::s 2'

< 2:rr } .

Damit ist in Kugelkoordinaten

II

II 2I( 2n n/2

v· dO

=

s

(Vlh2 h 3 - V2 h 3h l

~:)dSdt

1=0 s=n/4

n/2

1. . cos s coss· -.--' sms - sms· -.-sm 2 s sm 2 s

=:rr

n/4

)ds = 0 .

D

Aufgaben 1. Man berechne den geometrischen Schwerpunkt a) des Tetraeders {(x, y, z) b) des Kegels {(x, y, z) 2. Man berechne

III

E

E

lR? ; 0 .:s x, O.:s

y, O.:s z, x + y + z .:s 1 } ,

lR? ; 0 .:s x 2 + l .:s a 2 z 2 , O.:s z .:s h), O.:s

a, h .

sin zd V liber das Tetraeder

v

mit den vier Seitenfliichen

112

z

x=O, y=O, z=O, x+y+2z=l.

3. Aus der Kugel x 2 + l + Z2 .:s 4a 2 wird das zylindrische Loch x 2 + l .:s 2ax ausgebohrt. Wie groB ist das Restvolumen? 4. Welcher Korper besitzt als axiales Triigheitsmoment zur z-Achse (ex > 0)

I I h

/z =

ztanex

J Z2 tan 2 ex -

I

y2 (x 2 + l) dxdydz

?

o -ztanex -Jz 2 tan 2 ex- y 2

Man berechne /z mittels Zylinderkoordinaten. 5. Man berechne das Volumen des Korpers K, der durch die drei Fliichen x = X = y; z = 0 begrenzt wird.

l

+ Z2

;

504

8. Funktioneu in mehreren Variablen. Teil 2: Integration

6. Man berechne das axiale Tragheitsmoment /z =

III

(x 2 + l)dV fur

v a) die obere Halbkugel yom Radius a und Mittelpunkt 0 (Kugelkoordinaten!), b) den Torus aus 4.2d (Toruskoordinaten, --+ §4, Aufgabe 2). 7. Die Kugelschale H = {Y E lR? ; R 1 :::: Iy I :::: R2 }, 0 < R 1 < R2 , ist elektrisch homogen geladen. Fur das Potential im Raumpunkt x gilt dann ct>(x) =

Iff

dYl dyz dY3 . Ix -yl

H

a) Mit r = lxi, p = Iyl und Ubergang zu Kugelkoordinaten zeige man, daB ct>(x) = VCr) mit VCr) =

1" 1 JRlt2 2 "

o

0

p2 sin ljr dp dcp dljr Jp2+r2-2rpcosljr

b) Man berechne VCr) und skizziere VCr) fur RI = 2, R2 = 4. (Fallunterscheidung: 0:::: r :::: R 1 , Rl :::: r :::: R 2 , R 2 :::: r .) 8. Gegeben ist der gerade Kreiskegel S aus 4.2a und das Vektorfeld v = (xz, xy, -zl . Man berechne und vergleiche die Ergebnisse (Divergenzsatz!): a)

III

div v dV ,

b)

II

v· dO

(dO weist ins AuBere von S).

as

s

9. Gilt der Satz von GauB auch fur ein Vektorfeld mit Singularitat, wenn man an dieser Stelle das Volumenintegral als uneigentlich interpretiert? Man berechne dazu explizit fur die Kugel X Z + l + ZZ :::: 1

II

v·ndO

(n auBereNormale) und

Ixl=1

a)

!iI]

III

divvdV fUr

E
x

v = TXT '

b)

v = -~ Ixl 3

(Gravitationsfeld).

Knobelecke

Wieviele Kanten und FHichenstiicke beranden den abgebildeten "Mobius-Ring"? 1st er zweiseitig, d.h. orientierbar?

Literaturverzeichnis Die nachfolgende Liste enthiilt neben einer Auswahl an Lehrbiichem zur Ergiinzung und Vertiefung des behandelten Stoffes auch Aufgabensammlungen und Handbiicher.

ANSORGE, R., H.-J. OBERLE: Mathematik fiir Ingenieure 1 - 3, Wiley/vCH-Verlag, Weinheim 2000. AUMANN, G.: Hahere Mathematik I - Ill, B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1970-71. BAULE, B.: Die Mathematik des Naturforschers und Ingenieurs I, II, Harri Deutsch, ThuniFrankfurt 1979. BOSCH, K.:

Mathematik-Taschenbuch, Oldenbourg, Miinchen 1998.

BRONSTEIN, LN., K.A. SEMENDJAJEW: Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch, ThuniFrankfurt 2000. BURG, K., H. HAF, F. WILLE: Teubner, Stuttgart 1992-98.

Hahere Mathematik fiir Ingenieure I - IV,

COURANT, R.: Vorlesungen iiber Differential- und Integralrechnung I, II, Springer 1971-72. DALLMANN, H., K.-H. ELSTER: Gustav Fischer, Jena 1991.

Einfiihrung in die Hahere Mathematik 1 - 3,

DRESZER, J.: Mathematik-Handbuch fiir Technik und Naturwissenschaften, Harri Deutsch, ThuniFrankfurt 1975. FELDMANN, C. ET AL.: Repetitorium der Ingenieurmathematik 1 - 2, Binomi-Verlag, Hannover 1993-94. FISCHER, G.:

Lineare Algebra, Vieweg, Braunschweig 2000.

FORSTER, 0.: Analysis 1 - 3, Vieweg, Braunschweig 1984-99. G IERING, 0., H. SEYBOLD:

Konstruktive Ingenieurgeometrie, Hanser, Miinchen 1987.

GUNTER, N.M., R.O. KUSMIN: Aufgabensammlung zur Haheren Mathematik I, II, Harri Deutsch, ThuniFrankfurt 1993. HAMMERLIN, G., K.-H. HOFFMANN: Springer Lehrbuch, Springer 1994.

Numerische Mathematik,

HEINHOLD, J. ET AL.: Einfiihrung in die Hahere Mathematik 1 - 4, Hanser, Miinchen 1976-80. HEUSER, H.:

Lehrbuch der Analysis 1,2, Teubner, Stuttgart 1998.

506 JANICH, K.:

8. Literaturverzeichnis

Lineare Algebra, Springer 2000.

JEFFREY, A.: Mathematik fur Naturwissenschaftler und Ingenieure 1,2, Verlag Chemie, Weinheim 1978-80. Joos, G., E.W. RICHTER: Hohere Mathematik fur den Praktiker, Harri Deutsch, ThuniFrankfurt 1994. KIRCHGASSNER, K., K. RITTER, P. WERNER: Eigenverlag, Stuttgart 1980-94.

Hohere Mathematik I - III, Skriptum,

KOECHER, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Grundwissen Mathematik 2, Springer 1999. KONIGSBERGER, K.: Analysis 1, 2, Springer Lehrbuch, Springer 2001. KREYSZIG, E.: Advanced Engineering Mathematics, J. Wiley, New York 1999. MARTENSEN, E.: Analysis I - V, B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim 1972-92. NEUNZERT, H. (HRSG.): Analysis 1,2, Mathematik fur Physiker und Ingenieure, Springer 1996-99. NIEDERDRENK, K., H. YSERENTANT: Funktionen einer Veriinderlichen, Rechnerorientierte Ingenieurmathematik, Vieweg, Braunschweig 1987. PRESS, W.H. ET AL.:

Numerical Recipes in Pascal, Cambridge University Press 1989.

RADE, L., B. WESTERGREN, P. VACHENAUER: Springer 1999. SAUER, R.:

Springers Mathematische Formeln,

Ingenieurmathematik 1,2, Springer 1968-69.

STOER, J., R. BULIRSCH: Introduction to Numerical Analysis, Springer 1996. STRUBECKER, K.: EinfUhrung in die Hohere Mathematik I - IV, 0ldenbourg, Munchen 1966-90. TORNIG, W., P. SPELLUCCI: Springer 1988-90.

Numerische Mathematik fUr Ingenieure und Physiker 1,2

TRINKAUS, H.L.: Probleme? Hohere Mathematik! Aufgabensammlung, Mathematik fur Physiker und Ingenieure, Springer 1993. WESTERMANN, TH.:

Mathematik fUr Ingenieure mit Maple 1, 2, Springer 2000.

WALTER, W.: Analysis 1, II, Grundwissen Mathematik 3, 4, Springer 1995-99. ZURMUHL, R., S. FALK: Springer 1997.

Matrizen, l.Teil: Grundlagen,2.Teil: Numerische Methoden,

Anhang: Pascal-Programme program Horner(input,output); const maxgrad 50; var N,I integer; A,C array[O .. maxgrad] of real; B real; begin write('Polynomgrad = '); read(N); for I:=N downto 0 do begin write(I:2,'.Koeffizient '); read(A[I]); end; write('b = '); read(B); C[N] : =A [N] ; for I:=N-l downto 0 do C[I] :=C[1+1]*B+A[1]; wri teln ( , f ( , , b, ') = " C[0] ) ; end.

program HORNERvollstaendig(input,output); const max grad 50; N,1,K var integer; C,A array[O .. maxgrad] of real; B real; begin write('Polynomgrad = '); read(N); for I:=N downto 0 do begin write(I:2,'.Koeffizient '); read(A[I]); end; write('b = '); read(B); for K:=O to N do C[K] :=A[K] ; writeln('f(x)= '); for K:= 0 to N-l do begin C[N] :=A[N]; for 1:= N-1 downto K do C[I]:=C[I+1]*B+C[1]; writeln (C[K], '*(x-b)-' ,K:2,' +'); end; writeln(A[N], '*(x-b)-', N:2); end.

program NEWTONinter(input,output); const maxgrad = 50; I,K,N var integer; P,X,H,Z,U real; array[l .. maxgrad] of real; F begin write('Grad '); read(N); write('Step = '); read(H); write('XO = '); read(Z); for 1:=0 to N do begin write('F',I:2,' = '); read(F[1]); end; for 1:=1 to N do for K:=N downto I do F[K]:=(F[K]-F[K-l])/I/H; write('p(x) for x ' ) ; read(X); P:=F[N]; U:=X-Z; for I:=N-1 downto 0 do P:=P*(U-1*H)+F[1]; writeln(P); end.

508

Anhang: Pascal-Programme

program Bisektion(input,output); const EPS = 1.0E-06; var A,B,Fa,Fb: real; function Fn(x:real):real; begin Fn:=x*(x*x*x*x+l)+l; end; procedure Bisect(var A,B,Fa,Fb: real); var C,Fc: real; begin C:=(A+B)*0.5; Fc:=Fn(C); if Fc*Fa<=O then begin B:=C; Fb:=Fc; end else begin A:=C; Fa:=Fc; end; end;

begin write('A '); read(A); writeln; write('B = '); read(B); writeln; Fa:=Fn(A); Fb:=Fn(B); if Fa*Fb>O then begin writeln('f(a)*f(b) positivi '); halt; end; while abs(A-B»=EPS do Bisect(A,B,Fa,Fb); writeln( 'Nullstelle im Intervall: [' ,A,' , ' ,B, '] '); end.

program NEWTDNverf(input,output); const EPS = 1.OE-5; var DX,X,Xa,Fl: real; function F(x:real):real; begin

F:=«x+l)*x+2)*x+l; end;

begin repeat begin Dx:=EPS; if abs(X»EPS then Dx:=X*EPS; Fl:=F(X); X:=X+Dx; Dx:=-F(X)*Dx/(F(X)-Fl); X:=X+Dx; Xa:=abs(X); if Xa<=l then Xa:=l; end; until (abs(Dx)«EPS*Xa)) or (abs(F(X))<EPS); writeln(X); end.

program KubischeSpline(input,output); const max = 50; M,N,I,K : integer; var X,Y,B,C,D :array[O .. max] of real; R,S,Q,Z,T :real; begin write('Punktezahl = '); read(N); writeln; N:=N-l; for I:=O to N do begin write('X' ,I:2,' '); read(X[I]); writeln; write('Y' ,I:2,' '); read(Y[I]); writeln;

Anhang: Pascal-Programme

end; M:=N-1; S:=O; for 1:=0 to M do begin D[IJ :=X[I+1J-X[IJ; R:=(Y[I+1J-Y[IJ)/D[IJ; C[IJ:=R-S; S:=R; end; S:=O; R:=O; C[OJ :=0; C[NJ :=0; for 1:=1 to M do begin C[IJ:=C[IJ+R*C[I-1J; B[IJ :=(X[I-1J-X[I+1J)*2-R*S; S:=D[IJ; R:=S/B[IJ; end; for I:=M downto 1 do C[IJ :=(D[IJ*C[I+1J-C[IJ)/B[IJ; for 1:=1 to M do begin S:=D[IJ; R:=C[I+1J-C[IJ; D[IJ :=R/S; C[IJ :=C[IJ*3; B[IJ:=(Y[I+1J-Y[IJ)/S-(C[IJ+R)*S; end;

write('S(x) for x = ');read(Z); writeln; if (X[NJ-X[OJ)=O then Q:=O else Q:=(X[NJ-X[OJ)/abs(X[NJ-X[OJ); K:=-1; repeat I:=K; K:=K+1; until (Q*Z
real;

begin

F:= In(x)/x; end;

begin write('Grenze A = '); read(A); writeln; write('Grenze B = '); read(B); writeln; H:=B-A; N:=1; X:=l; Fl:=F(X); X:=B; 1[0] :=H*(F1+F(X»/2; for K:=1 to 7 do begin S:=O; H:=H/2; N:=2*N; Q:=1; J:=1; while J
509

510

Anhang: Pascal-Programme

program VollstElliptInt(input,output); const pi = 3.14159265359; EPS = 1. OE-9; var A1,B1,E,K,A,B,C,D: real; begin write('K= '); read(K); writeln; i f K<1 then begin A:=1; B:=sqrt(1-K*K); C:=K; D:=2; E:=C*C; repeat begin A1:=(A+B)/2; B1:=sqrt(A*B); C:=(A-B)/2; E:=E+D*C*C; A:=A1; B:=B1;D:=2*D; end;

until C<EPS; writeln('K(k)= ',pi/2/A); writeln('E(k)= ',pi/2/A*(1-E/2)); end else writeln('fail'); end.

program GAUSS(input,output); const maxdim = 50; EPS = 1. OE-09; type Typ1 array[O .. maxdim,O .. maxdim] of real; Typ2 = array[O .. maxdim] of real; Typ3 = array[O .. maxdim] of integer; L,K,I,J,N,M,S,V,U,P integer; var A Typ1; B,C Typ2; F Typ3; Y,X,D real; E

char;

procedure Scalar1(U,V,I:integer; A:Typ1; B:Typ2; X:real; var Y:real) begin Y:=X; while U<=V do begin Y:=Y+A[I,U]*B[U]; U:=U+1; end; end;

procedure Scalar2(K,U,V: integer; A: Typ1; X: real; var Y: real); begin Y:=X; while K>O do begin K:=K-1; Y:=Y+A[U,K]*A[K,V]; end; end; begin write('DIMENSION N = '); read(N); writeln; M:=N-1; writeln('A ZEILENWEISE'); for I:= 1 to N do begin for J:=1 to N do begin write('A' ,I:2,J:2,' '); read(A[I-1,J-l]); end;

Anhang: Pascal-Programme

writeln; end; for 1:=0 to M do begin Y:=O; for S:=O to M do Y:=A[I,S]*A[I,S]+Y; if Y=O then writeln('A singulaer') else C[I] :=l/sqrt(Y); end; 0:=1; for K:=O to M do begin L:=K; X:=O; for I:=K to M do begin Scalar2(K,I,K,A,-A[I,K] ,Y); A[I,K] :=-Y; Y:=abs(Y*C[I]); if Y>X then begin X:=Y; L:=I; end; end;

if L<>K then begin 0:=-0; for J:=O to M do begin Y:=A[K,J]; A[K,J] :=A[L,J]; A[L,J] :=Y; end; F[L] :=F[K] ; end; F[K] :=L; O:=O*A[K,K]; if X<EPS then exit; if K<M then for J:=K+1 to M do begin Scalar2(K,K,J,A,-A[K,J] ,Y); A[K,J]:=-Y/A[K,K]; end; end;

if abs(O)<EPS then begin writeln('A singulaer'); halt; end; writeln( '0=' ,0); repeat writeln('RECHTE SEITE'); for 1:=1 to N do '); read(B[I-1]); writeln; end; begin write('B',I:2,' for 1:=0 to M do begin P:=F[I] ; if I<>P then begin X:=B[I]; B[I] :=B[P]; B[P] :=X; end; end; for 1:=0 to M do begin Scalar1(O,I-1,I,A,B,B[I] ,Y); B[I] :=-Y/A[I,I]; end; for I:=M downto 0 do begin Scalar1(I+1,M,I,A,B,B[I],Y); B[I] :=-Y; end; writeln('ERGEBNIS:'); for 1:=1 to N do writeln('X',I:2,'=' ,B[I-1]); writeln('Neue rechte Seite (j/n) ");read(E); until E='n';

end.

program LEVERRIER(input,output); const max 50; type Typ1 = array[O .. max,O .. max] of real;

511

512 var

Anhang: Pascal-Programme

I,J,K,L,N A,B X,S

integer; Typ1; real;

procedure Shift; var I integer; begin S:=O; for I:=1 to N do S:=S+B[I,I]; S:=S/K; writeln('C',K:2,' = ',-S); K:=K+1; for I:=1 to N do B[I,I] :=B[I,I]-S; end;

begin write('DIMENSION N = '); read(N); writeln; writeln('A ZEILENWEISE'); for I:=1 to N do begin for J:=1 to N do begin write('A',I:2,J:2,' '); read(A[I,J]); B[I,J] :=A[I,J] end;

end; writeln('C',O:2,' ',1:2); K:=1; while K<=N-2 do begin Shift; for J:=1 to N do begin for I:=1 to N do B[I,O] :=B[I,J]; for I:=1 to N do begin X:=O; for L:=l to N do X:=X+A[I,L]*B[L,O]; B[I,J] :=X; end; end; end; Shift; S:=O; for L:=l to N do S:=S+A[l,L]*B[L,1]; writeln ('C',K:2,' = ',-S); end.

program Jacobi(input,output); const maxgrad = 50; type Typ1 = array[l .. maxgrad,l .. maxgrad] of real; K,W,U,N,M,I,J,P,Q,V,X var integer; A,B Typl; S,R,F,G,E,C,D real; procedure Rot(C,D: real; U,V,W,X: integer; var A: Typ1); var F ,G: real; begin G:=A[U,V]; F:=A[W,X]; A[W,X] :=C*F-D*G; A[U,V] :=D*F+C*G; end;

Anhang: Pascal-Programme

begin write('DIMENSIDN N '); read(N); M:=N-1; for 1:=0 to M do begin for J:=I to M do begin if I=J then B[I,IJ :=1 else begin B[I,JJ :=0; B[J,IJ :=0; end; write('A',I+1:2,J+1:2,' = '); read(A[I,JJ); end;

end; repeat S:=O; for P:=O to M-1 do begin for Q:=P+1 to M do begin R:=A[P,QJ; F:=A[P,PJ; G:=A[Q,QJ; A[P,QJ :=0; if (abs(R)+abs(F)<=abs(F)) and (abs(R)+abs(G)<=abs(G)) then R:=O else begin E:=(G-F)/2/R; if E=O then E:=1 else if E>O then E:=1/(E+sqrt(1+E*E)) else E:=1/(E-sqrt(1+E*E)); C:=1/sqrt(1+E*E); D:=C*E; A[P,PJ :=F-E*R; A[Q,QJ:=G+E*R; if P>O then for 1:=0 to P-1 do Rot(C,D,I,Q,I,P,A); if Q<>P+1 then for K:=P+1 to Q-1 do Rot(C,D,K,Q,P,K,A); if Q<>M then for J:=Q+1 to M do Rot(C,D,Q,J,P,J,A); for J:=O to M do Rot(C,D,Q,J,P,J,B); end; S:=S+abs(R); end;

end;

until S=O; , ,HI, 1]); for 1:=0 to M do writeln('X' ,1+1:2,' for 1:=0 to M do begin writeln(I+1:2,'.Eigenvektor:'); for J:=O to M do writeln(B[I,JJ); end; end.

program BAIRSTDW(input,output); label Start; const maxgrad = 50; EPS=1.0E-07;

513

514 var

Anhang: Pascal-Programme

Steps=30; N,M,1,K B,C U,V,S,BK,BK1,BK2,CK,CK1,CK2,Det

integer; array[O .. maxgrad] of real; real;

procedure Quadr_gleichg(var U,V: real); var X,Y,W : real; begin X:=U/2; Y:=X*X+V; W:=sqrt(abs(Y)); if Y=O then writeln('doppelte Wurzel:' ,X) else begin write('2 Wurzeln: '); if Y>O then begin if X>=O then writeln(X+W,',',-V/(X+W)) else writeln(X-W,',' ,-V/(X-W)); end else writeln(X,'+-i*',W); end; end;

begin write('Polynomgrad = '); read(N); writeln;M:=N; for 1:=0 to N do begin write('a',1:2,' = '); read(B[1J); writeln; end; while M>2 do Start: begin write('Startwert UO '); read(U); writeln; write('Startwert VO '); read(V); writeln; S:=O; repeat BK:=O; BK1:=0; CK:=O; CK1:=0; for K:=O to M-l do begin CK2:=CK1; CK1:=CK; BK2:=BK1; BK1:=BK; BK:=B[KJ+U*BK1+V*BK2; C[KJ :=BK; CK:=BK+U*CK1+V*CK2; end; BK2:=BK1; BK1:=BK; BK:=B[MJ+U*BK1+V*BK2; C[MJ :=BK; Det:=CK1*CK1-CK2*CK; if Det=O then begin writeln('Neue Startwerte!'); goto Start; end; U:=U+(BK*CK2-BK1*CK1)/Det; V:=V+(BK1*CK-BK*CK1)/Det; S:=S+l; if S=Steps then begin writeln('Neue Startwerte! '); goto Start; end; until abs(BK1)+abs(BK)<EPS; Quadr_gleichg(U,V); M:=M-2; for K:=O to M do B[KJ :=C[KJ ; end; if M=l then writeln('reelle Wurzel: ',-B[lJ/B[OJ) else begin U:=-B[lJ/B[OJ; V:=-B[2J/B[OJ; Quadr_gleichg(U,V); end; end.

Anhang: Pascal-Programme

program NLSQ(input,output); const M 6; N = 3; P = 4;

type

var

array[O .. N] of real; array[O .. M] of real; array[O .. M,O .. P] of real; X Typ1; F,T,Y Typ2; A Typ3; I,L,J integer; Lambda,FO,FK,D,B,C,D1,Bl,C1 real; Typ1 Typ2 Typ3

function Fn(D,B,C: real;T: Typ2;Y: Typ2;var F: Typ2): real; var I integer; Q : real; begin Q:=O; for I:=1 to M do begin F[I] :=Y[I]-D-B*exp(C*T[I]); Q:=Q+F[I]*F[I]; end; Fn:=sqrt(Q); end; procedure Linfit(var X: Typ1; var A: Typ3); var I,J,K integer; S,F,V : real; begin for I:=1 to N do begin S:=O; for J:=I to M do S:=S+A[J,I]*A[J,I]; i f S=O then begin writeln('Matrix singulaer'); halt; end; V:=sqrt(S); if A[I,I]>O then V:=-V; XCI] :=V; F:=S-V*A[I,I]; A[I,I] :=A[I,I]-V; for K:=I+l to N+1 do begin S:=O; for J:=I to M do S:=S+A[J,I]*A[J,K]; S:=S/F; for J:=I to M do A[J,K] :=A[J,K]-A[J,I]*S; end; end;

X[N] :=A[N,N+1]/X[N]; for I:=N-l downto 1 do begin S:=A[I,N+1] ; for J:=I+1 to N do S:=S-A[I,J]*X[J]; X[I] : =S/X [I] ; end; end;

515

516

Anhang: Pascal-Programme

begin for 1:=1 to M do begin write('t(i)= '); read(T[1]); write('y(i)= '); read(Y[1]) end; write('a,b,c ='); read(D,B,C); FK:=Fn(D,B,C,T,Y,F); FO:=FK; L:=O; repeat for 1:=1 to M do begin A[1,1] :=1; A[1,2] :=exp(C*T[1]); A[1,3] :=B*T[1]*exp(C*T[1]); A[1,4] :=F[1]; end; Linfit(X,A); Lambda:=1; repeat D1:=D+Lambda*X[1]; B1:=B+Lambda*X[2]; C1:=C+Lambda*X[3]; FK:=Fn(D1,B1,C1 ,T,Y,F); if FK
Diagonalisierung 332 - nichtorthogonale 348 - orthogonale 342 Diagonalmatrix 273 Differential 501 Differentialquotient 112 Differentiationsregeln 114, 115, 361, 378, 386, 387 differentieller Widerstand 159 Differenzengleichung, lineare 235 Differenzenquotient 112 differenzierbare Funktion 112 Dimension 284 Dimensionsanalyse 263 Dipolstromung 428 direktes Produkt 2 Dirichlet 225 disjunkt 2 Distributivgesetz 23, 28 divergente Folge 89 Divergenz 424, 496 Divergenzsatz 495 dividierte Differenzen 66 Dodekaeder 33, 358 Doppelintegral 456 Doppelseitenband-Modulation 88 Drehachse 319 Drehellipsoid-Koordinaten 493 DrehfHiche 470 Drehgeschwindigkeitsvektor 357 Drehgruppe 333 Drehimpuls 358 Drehkorper 205, 494 Drehmatrix 319 Drehmatrix mit Euler-Winkel 322 Drehspiegelung 335, 337 Drehstreckung 81 Drehstromleitung 87 Drehung 16, 17,81,318,421 Drehwinkel 319 Drei-Punkte-Gleichung der Ebene 38, 39 Dreiecksmatrix 272 Dreiecksungleichung 5, 20, 315 Dreifachintegral 489 Drillungswiderstand 467

Namen- und Sachverzeichnis

Durchdringungskorper 461 Durchschnitt I Ebene, Parameterdarstellung 469 Ebenengleichungen 38 Effektivwert 178 e-Funktion 98, 148 Eigenraum 327 Eigenschwingungen 329 Eigenvektor 326 Eigenwert einer Matrix 326 einfach zusammenhangend 448 EinftuBzahlen 264 Einheitsmatrix 268 Einheitsvektor 20, 315 einparametrige Losungsschar 262 Einstein 158, 245 Einzelkrafte 47 Eisblume 91 Elastizitatsmodul 382 elektrische Feldstarke 391, 498 - FluBdichte 498 - Stromdichte 498 Elektromagnetische Wellen 427 Element einer Menge 1 elementare Zeilenumformungen 256 - Spaltenumformungen 286 Elementarmatrix 287 Ellipse 12, 191, 200, 345 Ellipsoid 344 elliptische Funktion 177 - Koordinaten 478 elliptischer Punkt 396 elliptisches Integral 177, 246 endlich erzeugt 283 endlichdimensional 283 Energiesatz 445 Entier-Funktion 103 Entwicklungspunkt einer Potenzreihe 233 Epizykloide 192, 368 Ersatzwiderstand 56 erweiterte Koeffizientenmatrix 256 erzeugende Funktion 235 Erzeugendensystem 278

519

Euklidischer Algorithmus fUr Polynome 71 Euler 79, 98, 148 Euler-Zahl e 96, 97 Euler-Zahlen 244 Evolute 197 Exponentialfunktion 98, 148 - zur Basis a 153 exponentielle Sattigung 151 Extrapolation 208 Extremum, Extremstelle 121, 401 Extremwert-Test 125, 126, 239, 399, 401 Fachwerke 261, 264 Faktorisierung eines Polynoms 63 Fakultat 7 Faraday 499 Fechner 153 Federbein 369 Fehlerfunktion 176, 245 Fehlerrechnung 382 Feldlinie 421 Fermat-Prinzip 122 Fibonacci 236 Fixpunkt einer Funktion 131 - einer Rekursion 100 Fixpunktiteration 132 Flache, implizit 372 - explizit 372 - Parameterdarstellung 467 - zweiseitig 482 - orientierbar 482 - regular 468, 469 - Rand 469 Flachenelement 456 Flacheninhalt 454, 456, 476 ftacher Punkt 396 Flachennormale 468 FluB eines Vektorfeldes 444, 480 Folge, implizit 88 - explizit 88 - konvergent 89 - monoton 95 - beschrankt 90 Formel, binomische 9

520

Namen- und Sachverzeichnis

- polynomische 11 Fourier 498 Fourier-Reihe 212 Frakta1 91 freie Parameter 258 - Variable 258, 260 freies Moment 49 Frenet 367 Frequenz 83 Fresnel 246 Fubini 430, 459, 490 Fundamentalsatz der Algebra 72 Funktion, Definition 2, 58, 359, 418 - stetige 106, 418 - gleichmaiiBig stetige 375 - differenzierbare 112 - total differenzierbare 379 - linear approximierbare 379 - partiell differenzierbare 376 - rationale 69 - ganz rationale 69 - implizite 397 - gerade 59 - ungerade 59 - periodische 82 - monotone 60 - beschriinkte 89 - partielle 374 - vektorwertige 418 Funktionaldeterminante 477, 492 Funktionalmatrix 407, 419 Funktionswert 2 Gamma-Funktion 188, 434 Gasgesetz 154 GauB 137, 210, 255, 403 GauB-Integralsatz 495 GauB-J ordan-Verfahren 292 GauB'sche Elimination 256 GauB-Normalgleichung 404 Gebiet 13, 445 Gebietsintegral 456 gebundene Vektoren 47 gebundener Nullvektor 47 gefiihrte Bewegung 443

gegenphasige Schwingung 329 Geiger 153 geometrische Folge 89, 90 - Progression 11 - Reihe 91, 213, 230 - Vielfachheit 327 geometrischer Schwerpunkt 440, 463, 490 gerade Funktion 59 Geradengleichungen 34 Gesamtwiderstand 56 Geschwindigkeit 114 Gewichtsfaktoren 207 gleichmiiBig konvergent 221 gleichmiiBige Stetigkeit 108, 375 gleichphasige Schwingung 329 Gleichrichtwert 178 Gleichung, lineare 265 - quadratische 55 Gleichungssystem, lineares 245 - nichtlineares 382, 403 - iiberbestimmtes 403 Glieder einer Folge 88 - einer Reihe 212 globales Maximum, Minimum 121, 413 Gradient 377, 424 Gradientenfeld 445 Gradientenverfahren 391 Graph 371 - einer Funktion 12, 371 - Parameterdarstellung 191, 470 Grassmann-Identitiit 29 Gravitationskraft 167, 422 Green 464, 482 Grenzwert einer Folge 89 - einer Funktion 103, 374 Grenzwert-Regeln 93, 104 Grenzwertvertauschung 430 groBter gemeinsamer Teiler 71 Grundintegrale 167 Guldin 206, 474, 494 Hagen 423 Hakenintegral 450 Halbwertszeit 151

Namen- und Sachverzeichnis

Hangebriicke 169 harmonische Fuynktion 466 - Reihe 92, 213 - Schwingung 83 Hauptachsensystem 340 Hauptachsentransformation 341 Hauptnormalenvektor 362 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 165 Hauptspannungen 357 Hauptspannungsrichtungen 357, 412 Hauptuntermatrizen 353 Hauptwert 79 Hermite 190 Heron 310 Hertz 417 Herzlinie 192, 199 Hesse 39 Hesse-Matrix 395 Hesse-Normalform 39 Hexaeder-Gruppe 337 Hi:ihenlinien einer Landkarte 372 homogenes lineares Gleichungssystem 254 Homomorphismus 311, 313 Hooke 329, 357 - sches Gesetz 118, 124 Homer 62 Homer-Darstellung eines Polynoms 62 Homer-Schema 62 Householder 406 Hyperbel 12, 345 Hyperbelfunktionen 155 hyperbolischer Punkt 396 Hyperboloid, einschalig 344, 348, 351 - zweischalig 344 Hyperfiache 371 - zweiter Ordnung 343 Hypotrochoide 211 Hypozykloide 192 identische Abbildung 2, 312 Ikosaeder 33, 358 imaginare Achse 53 Imaginarteil 53

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Impedanz 56 implizite Funktion 397 indefinit 351 Infimum 5 inhomogenes lineares Gleichungssystem 254 injektiv 2 Inklusion 1 inkompressibel 498 innerer Punkt 373 inneres Produkt 315 Integrabilitatsbedingung 449 Integral, bestimmtes 162 - unbestimmtes 166 - elliptisches 177 - vollstandig elliptisches 202, 210 - uneigentliches 185 - Kurven- 435 - Flachen- 474 - Gebiets- 456 - Volumen- 489 Integraldarstellung von Funktionen 168, 176, 430, 431 Integralfunktion 165 Integralmittel 165, 178, 457 Integralsatz von - Gauss 495 - Green 464 - Stokes 842 Integralsinus 176, 246, 248 Integrationsbereich, ebener 455 - raumlicher 488 Integrationsgrenzen 162 Integrationskonstante 166, 451 Integrationsregeln 164, 169, 439, 457, 489 Interpolation 66 - mit Kreis 392 Interpolationsform eines Polynoms 66 Intervalle 4 Invarianten einer Matrix 330 Inverse 270, 292, 308 inverse Abbildung 314 - Matrix 270 invertierbare Abbildung 314 invertierbare Matrix 270, 304

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Namen- und Sachverzeichnis

Invertierbarkeits-Test 304 Jacobi 353 Jacobi-Determinante 477, 492 Jacobi-Matrix 407, 419 Kardioide 192, 199, 206 kartesische Basis 20 kartesisches Blatt 201 - Koordinatensystem 11, 17 Kegel 344 Kegelschnitte, Determinantenform 309 - Kepler-Form 201 - Normalformen 345 Kegelstumpf 471 Keilnut 26 Kennlinie 159 Kepler 169, 201 Kepler-Gleichung 415 Keplersche FaBregel 209 Kern cincr Matrix 277 Kettenlinie 155, 169 Kettenmatrix 313 Kettenregel 116, 387 Keulen der Charakteristik einer Antenne 203 KFZ-Federbein 369 KFZ-Radlager 417 kinematisch unbestimmt 262 Kirchhoff 56 Kirchhoff-Regeln 261 Klothoide 369 Knicklinie 248 Knotenlinie 390 Koch-Eisblume 91 Koeffizienten einer Potenzreihe 226 - eines Gleichungssystems 254 Koeffizientenmatrix 254 Koeffizientenvergleich 61, 180, 234, 236 Kombination 10 Kombinatorik 10 Kommutativgesetz 19 kompakt 375 Komplement 1 komplexe Amplitude 83

- Schwingung 83 - Zahl 53, 79 - Zahlenebene 53 komplexer Widerstand 56 Komponente 21 Komponenten einer Matrix 250 Komponentenfunktionen 418 Komposition linearer Abbildungen 313, 134 - von Funktionen 60, 116 Kompositum 420 konjugierte komplexe Zahl 54 konservativ 445 konstante Funktion 58 kontinuierliche Verzinsung 96 Kontinuitatsgleichung 497, 500 konvergente Folgen 89 Konvergenzintervall 227 Konvergenzradius 226 konvex 126 konvexes Gebiet 394 Koordinate 21 Koordinaten, kartesische 17, 20 - affine 322 - Polar- 80, 197, 388 - Kugel- 388, 493 - Zylinder- 493 - elliptische 478 - hyperbolische 479 - krnmmlinige 492, 500 Koordinatenabbildung 313, 321 Koordinatendarstellung einer Ebene 39 - eines Vektors 21 Koordinatenfiache 492 Koordinatengleichung einer Geraden 35, 44 Koordinatenlinien 477 Koordinatensystem 11, 17, 477 Koordinatentransformation 321, 492 Koordinatenvektor 313, 321 Koordinatenwechsel 323 Kraftepaar 49 Kraftsystem 48 Kraftvektor 47 Kreis 191 Kreisfrequenz 83

Namen- und Sachverzeichnis

Kreisfunktionen 75, 116 Kreiskegel 205 Kreissehnenviereck 25, 416 Kreistangente 25 Kreisteilung 82 Kriimmung 126, 195, 363 Kriimmungskreis 196 Kriimmungsradius 196 Kriimmungsvektor 363 Kugel im JRn 375 Kugel-Loxodrome 486 Kugelkoordinaten 25, 388, 493, 504 Kiihlturm 485 Kummer 221 Kurve, explizit 12, 191 - implizit 12, 371 - Parameterdarstellung 190, 360 - entgegengesetzt durchlaufen 438, 442 - regu1iir 361 Kurvendiskussion 130 Kurvenintegral 435, 436, 442 Kurvenliinge 194 Kurvenstiick 361 L'Hospita1-Rege1 127 Ladung 461, 476 Lagrange 237 Lagrange-Identitiit 29, 42 Lagrange-Multiplikator 410 Lagrange-Multiplikatorregel 410 Lambert 486 laminare Rohrstromung 423 Liinge eines Kurvenstiicks 194 - eines Vektors 315 Liingene1ement 204 liingentreu 317 Laplace 388, 424 Laplace-Operator 388 leere Menge 1 Legendre-Polynome 75, 120, 178, 248 Leibniz 112, 119, 299 Leibniz-Regel 119, 432 Leibniz-Sektorformel 200 Leistungsanpassung 110 Lemniskate 202, 415

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Leverrier 332 Lie 367 linear abhiingig 279 - approximierbar 379, 418 - unabhiingig 31, 279 lineare Abbildung 311 - Approximation 113, 380, 418 - Ausgleichsprobleme 404 - Funktion 58 - Hulle 277 linearer Raum 275 - Teilraum 276 lineares Gleichungssystem 254 Linearfaktor eines Polynoms 63 Linearkombination 277 Linearschwinger 329 linksseitiger Grenzwert 103 Lissajous 86, 202 logarithmische Ableitung 120 - Spirale 367 Logarithmus zur Basis a 154 Logarithmusfunktion 152, 154, 168 logistisches Gesetz 160 lokales Extremum 121 Lorentz 351 Losbarkeitsentscheidung 260 Losbarkeitstest 260 LR-ZerJegung 293 M-Test 224 magnetische Feldstiirke 498 - Induktion 498 - Wirbel 423 magnetischer Wirbel 423 Mantelftiiche 205 Majorante 218 Masse 439, 461, 476, 490 Massenausgleich 2. Ordnung 264 Massenelement 439 Massenmittelpunkt 440, 462, 476, 490 MaBstabsfaktoren 500 Matrix, Typ 251 - Adjunkte 308 - iihnlich 325 - erweiterte 256

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Namen- und Sachverzeichnis

- quadratische 270 - Dreiecks- 272 - Diagonal- 273 - invertierbare 270 - symmetrische 270 - schiefsymmetrische 270 - Invarianten 330 - Rang 259, 288 - Signatur 350 - Spur 319 - Spaltenstufenform 280 - Zeilenstufenform 257, 280 - Spaltendarstellung 251 - Zeilendarstellung 251 Matrixgleichungen 293 Maximum unter Nebenbedingung 408 Maximum, Maximalstelle 108, 121, 375, 400, 401, 408 Maxwell 427, 498 Maxwell-Gleichungen 498 Mercator 485 Meridian 470 Methode der kleinsten Quadrate 403 metrischen FundamentalgroBen 469 Minimum 108, 121, 375, 400, 401, 408 Minimum unter Nebenbedingung 408 Mittelpunkt einer Quadrik 346 Mittelwertsatz 123, 165, 439, 457 Mobius-Band 482, 487, 504 Modulationsfrequenz 88 Modulationsgrad 88 modulierte Amplitude 85 - Schwingung 85 Molwarme 129 Moment einer Kraft 29 - eines gebundenen Vektors 47 - eines Kraftsystems 48 Momente 439, 462, 476, 490 Momentengleichung einer Geraden 36, 45 monoton fallend 60, 123 - wachsend 60, 123 monotone Folgen 95 Monotoniekriterium 95 Multiplikationssatz fiir Deterrninanten 304

Nabla-Operator 427 Nachdifferenzieren 117 natiirliche Basis 253, 282 natiirlicher Parameter 366 natiirliche Spline-Funktion 136 natiirlicher Logarithmus 152 n-Blatt 202 negativ definit 351 Neil 197, 366 Netzwerk 254 Netzwerke mit Wechselstrom 56 Newton 66, 112, 422, 445 Newton-Verfahren 133 - mehrdimensional 382 nichtlineare Ausgleichsprobleme 404, 406 - Gleichungen 382 nichtorthogonale Diagonalisierung 348 nilpotente Matrix 338 Niveaufiache 372 Niveauhyperfiachen 371 Niveaumengen 371 Norrnalbereich 458 Normale 193 Normalengleichung einer Ebene 39 - der Tangente 393 - der Tangentialebene 393 Normalenvektor 39 Norrnalform einer Quadrik 343, 344, 345 Normalkomponente 444, 480 Normalspannung 357, 412 Normalverteilung 479 normierter Vektor 315 n-te Wurzel 81, 141 Nullabbildung 312 Nullfolge 89 Nullmatrix 253 Nullmenge 454, 488 Nullphase 83 Nullstelle eines Polynoms 63 - C-fache 63 Nullstellen-Test 109 Nullvektor 253 numerische Integration 206 - Quadratur 206

Namen- und Sachverzeichnis

Nutation 358 Nuttal 153 Obere Schranke 4 Oberflachene1ement 473, 501, 502 Oberflachenintegral 474, 480 Obersummen 162 offene Menge 373 offenes Intervall 4 Ohmsches Gesetz 118 Oktaeder 33 Operator 311 orientierbare Flache 482 orthogonale Abbildung 316 - Diagonalisierung 342 - Gruppe 333 - Matrix 316 - Vektoren 22, 316 - Zerlegung 25 orthogonales Netz 469 Orthogonalitatsrelationen 174, 178 orthonorma1e Vektoren 316 Orthonormierungsverfahren 320 Ortsvektor 20, 322 a-Symbol 379 Parabel 12, 345 parabolischer Punkt 396 Paraboloid, elliptisch 344 - hyperbolisch 156, 344 Parallelflach 31 Parallelogrammregel 19 Parallelverschiebung 336 Parameter 34, 191 Parameterdarstellung ebener Kurven 191 - eines Kurvenstiicks 361 - eines Flachenstiicks 468 Parameterintegra1e 430, 433 Parameterlinien 468 Partialbruchzerlegung 179, 181 Partialbriiche 180 Partialsummen 212 partiell differenzierbar 376, 418 partielle Ableitung 376 - Integration 170

partikulare Losung 258 Pascal 11 Pascal-Dreieck 9 periodische Funktionen 82 Peripheriewinkel 25 Permutation 7 Phase 79, 83 Planck 158, 187 Poiseuille 423 Poisson 154 Po171 Pol des Polarkoordinatensystems 197 Polarachse 198 Polardarstellung ebener Kurven 197 - eines Kegelschnitts 201 - komplexer Zahlen 79 polare Momente 462 Polarkoordinaten 197, 388, 478 Polarwinkel 197 Polynom yom Grad n 61 Polynomdivision 69, 181 Polynomfaktorisierung 72, 73 polynomische Formel 11 positiv definit 351 Positivitatstest 352 Potential eines Dipols 247 Potential, eines Vektorfeldes 445 Potentialabfall 445 Potentialberechnung 450, 451 Potentialdifferenz 446 Potentialfeld 445 Potentialfunktion 445 Potenzen 6, 54, 142, 268 Potenzfunktion 142 Potenzreihe 212, 226 PQ-Normalform 289 prismatischer Stab 429 Produktdarstellung eines Polynoms 68 Produktregel 115, 361, 419 Projektion 312, 374 Pseudo-Inverse 299 Punkte 322 punktierte Ebene 448 Punktkoordinaten 322 Punktspiegelung 317 punktweise konvergent 221

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Namen- und Sachverzeichnis

QR-Zerlegung 321 quadratische Erganzung 59, 347, 351 - Form 339 - Funktion 58 - Gleichungen 55 quadratisches Mittel 404 - Polynom 339 Quadrik 343 Quelldichte 424, 496 Quelle 496 quellfrei, quellenfrei 425, 496 Quotientenkriterium 218 Quotientenregel 115 Radialkomponente 202 radioaktiver Zerfall 151 Rakete 178 Rand einer Menge 373 Rang einer Matrix 259, 289 rationale Funktion 69 rationalen Nullstellen eines Polynoms 64 Raute 416 Realteil 53 Rechte-Hand-Regel 27 rechtsseitiger Grenzwert 103 Rechtssystem 17, 26 Reduktion zur Vektorschraube 50 reelle Achse 53 Regenbogen 148 Regression, Ausgleichsrechnung 403 regulare Bereiche im IR? 488 - ebene Bereiche 455 regulares Flachenstiick 468 - Kurvenstiick 361 Reihe, konvergente 212 - absolut konvergente 216 - bedingt konvergente 216 - altemierende 214 - altemierend harmonische 99 - geometrische 91, 231 - harmonische 92 - von Funktionen 221 - gleichmaBig konvergente 221 - Taylor- 239

Reihendarstellung 231, 240 rein imaginare Zahlen 53 rein quadratische Form 339 reine Schwingung 83 Rekursion 6, 89, 91, 171, 177 relatives Extremum 121 Rennbahnkurve 415 Restglied, nach Cauchy 237 - nach Lagrange 237, 395 Restgliedabschatzung 208 Restriktion 3 Richtcharakteristik einer Antenne 203 Richtungsableitung 385 Richtungscosinus 23, 25 Riemann 161 Riemann-meBbar 454, 488 Riemann-Summe 161, 436, 455 Rodrigues 120 Rohrstromung 423 Romberg 208 Rotation 424, 484 Rotationsanteil der linearen Approximation 425 Rotationsenergie 358 Rotationskorper 204 Rotationstensor 429 Riickwartssubstitution 257, 260 Sarrus 29, 301 Sattelpunkt 401 Savart 190 Schalldruck 379 Scheinkrafte 443 Scheinwiderstand 56 Scherung 314 schiefsymmetrische Matrix 270 Schmidt 320, 341 Schmiegebene 363 Schmiegquadrik 396 Schrankensatz 108 Schraubenfeder 369, 415 Schraubregel 27 Schraubung 336 Schubkurbelgetriebe 147 Schubspannung 357

Namen- und Sachverzeichnis

Schwarz 378 schwarzer Karper 187 Schwebung 85 Schwebungsfrequenz 85 Schwerpunkt 440, 463, 490 Schwingung 83, 329 Schwingungsdauer 83, 248 Schwingungszahl 83 Sehnenviereck 25, 416 Sehnenwinkel 25 Seilkurve 169 Sektorflache 199 2-Sekunden-Pendel 210 semidefinit 351 Senke 496 Signatur einer Matrix 350 Silizium-Gleichrichterdiode 159 Simpson-Regel 209 simultan diagonalisierbar 338 singulare Stellen einer Kurve 366 Sinus hyperbolicus 155 Sinusfunktion 14,76, 116 Sinuskegel 389 Sinusparaboloid 390 Sinussatz 15, 43 skalare Komponente 441 Skalarenfe1d 370, 421 skalares Flachenelement 473, 502 Skalarprodukt 23, 315 Snellius 148 Spaltendarstellung des Produkts 267 - einer Matrix 251 Spaltenrang 289 Spaltenraum einer Matrix 286 Spaltenstufenform 280 Spaltenvektoren 250 Spaltenvektorraum 275 Spaltfunktion 107, 111 Spannungsabfall 443 Spannungsanpassung 110 Spannungsfeld 391 Spannungstensor 312, 330, 339, 429 Spannungsvektor 312, 429 Spat 314 Spatprodukt 30 spezielle Lasung 258

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spezielle orthogonale Gruppe 333 Sphare 412, 471 spharische Trigonometrie 42 spharisches Dreieck 42 Spiegelung 317 Spiegelungsgesetz 122 Spirale 367 Spline-Funktion 135, 487 Spur einer Matrix 319 - eines Kurvenstiicks 361 St. Venant 467 Stabkrafte 262 Stabwerk 262 Stammfunktion 165, 445 stationare Stramung 498 stationarer Punkt 122, 401, 402 statisch unbestimmt 262 statisches Moment 440 Stefan 188 Steigungsparameter 50 stetig partiell differenzierbar 376, 418 stetige Fortsetzung 107 - Funktion 106, 107, 374, 418 Stoffgleichungen 500 Stokes 482, 487, 499 Strahlung 158 strikte Ungleichung 3 stiickweise regulare Flache 469 stiickweise stetig 161 S tiitzpunkte 65 Summe einer unendlichen Reihe 212 Summendarstellung eines Polynoms 61 Superpositionsprinzip 48, 83 Supremum 4 surjektiv 2 Sylvester 350 symmetrische Matrix 270 Sagezahn 179 Tangens 78 Tangens hyperbolicus 155 Tangente 113 Tangentenanstieg 113 Tangenteneinheitsvektor 362 Tangentenvektor 362

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Namen- und Sachverzeichnis

Tangentialebene 380, 392, 468 Tangentialvektor 360 Tangentenwinkel 25 Taylor 237, 339 Taylor-Form eines Polynoms 240 Taylor-Formel 237, 395 Taylor-Polynom 237, 395 Taylor-Reihe 239 Teiler eines Polynoms 70 - graBter gemeinsamer 71 Teilfolge 92 Teilmenge 1 Telegraphengleichung 500 Tetraeder 30, 33, 308, 311, 358 Torsion 364 Torsionskomponente eines Moments 366 Torsionsvektor 364 Torus 205, 471 total differenzierbar 379, 418 totale Ableitung 379 Tragerfrequenz 88 Tragheitsmoment 343, 440, 490 Tragheitstensor 343, 357 Transformation 311 Transformationsformel fur Gebietsintegrale 477 - fur Volumenintegrale 492 transponierte Matrix 269 Transversalkomponente 202 - schwingung 403 Trapez-Regel 207 trignometrische Identitaten 77, 82 triviale Linearkombination 277 - Lasung 255 Tschebyschev-Polynome 144, 160 Typ einer Elementarrnatrix 286 - einer Matrix 250 iiberbestimmtes Gleichungssystem 403 Uberlagerung von Schwingungen 83, 84 Umgebung 4, 89, 373 Umkehrabbildung 2 Umkehrfunktion 139 Umordnung 219

Umparametrisierung auf Bogenlange 366 unabhangige Variable 258 unbestimmtes Integral 166 uneigentliches Integral 185 uneigentlicher Grenzwert 90 Unendlich 4 unendliche Reihe 212 ungerade Funktion 59 Ungleichung 3 untere Schranke 4 Unterraum 276 Untersummen 162 Urbildraum 359 Van der Waals 69, 126, 415 Vandermonde 307 Variation 10 Vektor 18, 275 Vektorfeld 421 vektorielles Bogenelement 362, 442 - Flachenelement 480, 501 Vektorpotential 450, 497 Vektorprodukt 27 Vektorraum, Definition 275 Vektorraumhomomorphismus 311 Vektorschraube 50 Vektorwinder 48, 49 Vereinigung 1 Vergleichskriterium 94, 105, 186, 217 Verhulst 102 Verschiebungsdichte 498 Verschiebungsstrom 499 Verzerrungstensor 429 Vielfachheit einer Nullstelle 63 - eines Eigenwerts 327 Vierpol 312 Vieta 74 Viviani-Fenster 368, 453, 486 vollstandige Entwicklung der Determinante 302 vollstandige Induktion 6 vollstandiges elliptisches Integral 202, 210, 246, 368 Vollstandigkeitsaxiom 5

Namen- und Sachverzeichnis

Volumen 488, 490 - des n-Spats 314 - unter Graph 456 - einer Rotationsfigur 204, 494 - einer Pyramide 205 Volumenelement 489, 492 Volumenintegral 489 volumentreu 315, 317 Volumenverzerrung 315 Vorschub 336 Vorspannung 417 Vorwartselimination 256

Wallis 172 Wankelmotor 211 Weber 153 Wellengleiehung 427 Wellenwiderstand 338 Wendelflache 471 Wendepunkte 126 Wert einer unendlichen Reihe 212 Wertebereich 2 Wheatstone 138 Widerstandsanpassung 338 Wien 158 Winkel 14, 42, 316 Winkelgeschwindigkeit, vektorielle 422 winkeltreu 317, 486 Wirbeldichte 424 Wirbelstarke 484 Wirkung des gebundenen Vektors 48 Wirkungslinie 47 Wirkwiderstand 56 Wronski 311 Wiirfel 33 Wurzel, n-te 81 Wurzelfunktion 59, 141 Warmeleitungsgleiehung 498

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Zahlen, natiirliche 3 - ganze 3 - reelle 3 - rationale 3 - irrationale 3 - komplexe 53, 79 - rein imaginare 53 - konjugiert komplexe 54 Zahlengerade 3 Zahnflanken von Stimradgetrieben 383 Zeilendarstellung des Produkts 267 - einer Matrix 251 Zeilenrang 289 Zeilenraum einer Matrix 286 Zeilenstufenform 257, 280 Zeilenvektoren 250 Zeilenvektorraum 275 Zentralfeld 451 Zentralkraft 422 Zentrum einer Potenzreihe 233 - einer Quadrik 346 Zerfallsgesetz 151 Zerlegung, orthogonale 25 - nieht orthogonal 31 Zirkulation 444 ZS-Umformung 348 zusammenhangend 445 Zweig yom Arcuscosinus 143 - yom Arcussinus 143 zweiseitige Flachen 482 Zwischensumme 161 Zwischenwertsatz 108 Zykloide 192, 194 Zylinder, elliptisch 344 - hyperbolisch 344 Zylinderkoordinaten 493, 503 Zylinderstumpf 471