ОПРЕДЪЛЕШЕ BJilflHIfl ИЗМЪНЕНШ ЭЛЕМЕНТОВЪ ЗЁМНАГО СФЕ РОИДА НА КООРДИНАТЫ ТОЧЕКЪ ЕГО ПОВЕРХНОСТИ.
М. 0. Хандрикова. (Читано 19 Января 1865 г.).
Въ ряду геодезическихъ вопросовъ весьма почетное игЬсто занимаетъ вопросъ объ опред^ленш координатъ какой-нибудь точки земнаго сфероида по коордянатамъ другой данной точки и^разстояшю ея отъ этой последней. Решете этого вопроса изв'Ьстньшъ образомъ зависитъ отъ элементовъ зем наго сфероида, за которые принимаются обыкновенно длина большой полуоси и эксцентриситетъ эллиптическаго мериÄiaHa земли. Неизб'Ежная неточность или, лучше сказать, до некоторой степени неопределенность этихъ величинъ, за висящая главнымъ образомъ отъ различныхъ неправильно стей земнаго сфероида, можетъ БЛЕЯТЬ на вычислеше коор динатъ точекъ земной поверхности по изв^стнымъ даннымъ; а потому опред^леше ТЕХЪ дифференщальныхъ коэффищентовъ, которыми представляется вл{яше изм^нетя элементовъ земнаго сфероида на координаты точекъ его поверхности, должно считать весьма важнымъ дополнешемъ къ р-Ьшешю указаннаго нами вопроса. Бессель въ своемъ мемуары «Ueber den Einfluss der Unre gelmässigkeiten der Figur der Erde, auf geodätische Arbeiten und ihre Vergleichung mit den astronomischen Bestimmungen» даетъ выражешя этихъ коэффищентовъ въ зависимости отъ эллиптическихъ интеграловъ трехъ видовъ. Намъ кажется, что
— UÙ —
интегралъ третьяго вида вошелъ въ выражеше коэффищента — вел'6дств1е ошибки сделанной Бесселемъ при вывод*. Убедиться въ этомъ и найти точныя выражешя коэффищентовъ можно сл-Ьдующимъ образомъ. Если отъ поверхности съ элементами а и е перейдемъ къ поверхности съ элементами a -f- $а, е + Se, то широта ср точ ки земнаго сфероида, ея долгота w считаемая отъ мерид1ана другой данной точки и азимутъ а выходящей геодезиче ской кривой изменятся въ <р + #ç, w + ^ > а + ^ гд * очевидно 1
da
de
* dw * . dw * àw=-r-. оа 4-т- . ое da de л doc r, . d a л 6а = т -.оа + - г . об аа ае ЕСЛИ назовемъ чрезъ 5 разстояше между двумя точками на сфероид* и чрезъ и приведенную широту одной изъ нихъ, т <> для определение разности долготъ этихъ точекъ, какъ из вестно, им'Ьемъ w =/VT = \ / 1 — е . cos ад (fco й
кроме того
(8).... s=a Гу/Г=^
? отн
IÜ V
ооГо!
Л Л
° с я т с я къ определяемой точк-6, а
На этихъ
Ъ ц 1е Н т о в ъ
шл2и. ^;
ВЬ1В0 Ъ
— ™
х ъ
выраже
* Упомянутыхъ диффервшрадьвых»
и ?
къ
тъ
Т-^-
—ш — Между величинами го, ш, а} и и и' существуетъ зависи мость, какъ между частями сферическаго треугольника, сто роны котораго суть 90°—и, 90°—и', a, a противуположные имъ углы а', 180° — а, со. Такой сферическШ треугольникъ даетъ еледуюющя соотношешя необходимыя для определешя искомыхъ коэффищентовъ sinu = cosu . cosa = cosu . costo = sinu'. smco = (3).... cose . sma = сош . sina = COSM . smco = sina . #ша = cosu . smoo =
sinur . cosa -f~ cosu' • s^na • cosed — sinu' . ш а -)- cosu' cosa cosa' COSM' cose —- ж ' . cosa' . sina — sinon'. cosa -j- cosa cosa . ш а sina . COSM -f- sinu' COSOL' . smco cost/ . sma' sina' . sina smto . со$ге' «г/га sina
Если въ разематриваемомъ треугольник* будемъ изменять уголъ со, то съ этимъ вместе изменятся, какъ можно допустить, стороны 90—и, а и уголъ а, сторона же 9 0 — и и уголъ а' останутся безъ перемены. Уголъ а', какъ данная вопроса, есть действительно постоянная величина, получаемая чрезъ непосредственныя измерешя; что же касается до и , то оно будетъ изменяться съ изменешемъ с, помня все это, чрезъ дифференцироваше перваго изъ уравненш (3) находимъ cosu . Su = Su' (cosu' cosa — sinu'. sina cosa') + Sa (cosu' cosa' cosa — sinu'. sina). Заметимъ, что характеристика d относится къ темъ изменешямъ, которыя происходятъ при переходе отъ одной точки сфероида съ данной поверхностью къ другой точке этой же поверхности, а характеристика S предъетавляетъ изменешя, сопровождавшая переходъ отъ точки поверхности съ элемен тами а и е къ точке поверхности съ элементами a -f- Sa, е + Se, другими словами, характеристика S представляетъ
— 442 —
измФнешя, завиеяпуя отъ перемены a m е. Если обратимъ внимаше на второе и третье изъ уравненШ (3), то предъидущее уравнеше можно представить въ вид* (4)
Su =
eosco Su' -f- cosa Sa
дифферанцируя второе и шестое изъ уравненШ (3), имФемъ — cosu . sina. Sa, — cosa sinu . Su = — (cosu' sina -j- s*nu' cosa cosa') Su' — sinu . Sa cosu . costx,. SOL — sinoi sinu . Su = — sinu' sind Su' исключая Su, имФемъ cosu SOL= \ cosu'sina. sina-\-sinu (cosa cosa sina—sino:'. cosa) \ Su -f- sinu . sina . Sa. Обращая внимаше на четвертое и осьмое изъ урувненш (3) приводимъ последнее къ виду (5)
cosu . SOL = simù Su' -\- sinu sina Sa
Дифференцируя наконецъ третье и седьмое изъ уравнешй (3) и обращая внимаше на первое изъ нихъ, находимъ — cosu . simù . Sio —• sinu cosoy. Su = — sinu Su' — (cosu' sina + sinu' cosa cosa') Sa cosu . costo S(Ù — sinu sintù . Su = sina' cosa . Sa. исключая Su, имФемъ cosu . (5co = sinu simù . Suf + j cosu' sina simù -{+ cosa (sinu' cosa' simù + sina . costù) \ Sa но по пятому и девятому изъ уравненШ (3) им*Еемъ отсюда (6) . . . . cosu . Siù — sinu. simù . Su' -f- sina . Sa. Такимъ образомъ мы видимъ, что дифференщалы Su, S(Ù и Sa выражаются по Su' и Sa., первый определится изъ выражешя tang и' = tang^' \/l —е 2 , которое даетъ (7)
Su' = —
т
1 —е
sinu' . cosu'
—m— остается определить второй, для этого обращаемся къ s = а \\/{
— е2 . cos2u da
дифференцируя это выражеше относительно характеристики 8, имФемъ 8а 2
а
J
e8ecos22uи %_ , (V\sinu.cosu8u Çe*.sinu.cosuàu , , .Г Ге8есо$
__ .
-
^. -.
гд$ г = y/i — е2 . cos2u. Интегрируя посл^дшй членъ по частямъ, заменяя 8и его величиной изъ выражешя (4») и помня, что знаки интеграла относятся къ характеристик* d, a не къ 8, находимъ s л л Ccos*u л . 2^ / fsinu.cosucosw , (8).... А0 = - ^ ô a — eèe I—— .ô<7 + eow I — da + /оч
. Ге2 .sinu . cos& . cosa . 8(5 л fл -f-1 • — — . da -f- г . о a — I OG . ar. При дифференцированш г относительно характеристики d за переменное должно считать одно и и потому dr=:
е2 . sinu . cosu . . du г
но дифференцируя первое изъ уравненШ (3) и обращая вниманш на второе изъ ГЕХЪ же уравненш, находимъ du=cosa,.d<5 поэтому /л\ (9) . . . . . .
, е . sinu cosu COSOL . dr=— , da r
внося это въ посл^днШ интегралъ выражешя (8), увидимъ, что онъ сократится съ предпосл1зднимъ и потому (8) обра щается въ
(10).... 0 = ^ - . Sa — ae . Sei . da a J r , и*? Çsinu. cosu. costo , , es 4- ae . ou \ da 4- ar. 6a. r
J
Н а ш а главная Ц-ЕЛЬ СОСТОИТЪ В Ъ определения к о э ф ф и щ е н d(D do dw товъ ~г > ~f, j ~ и т* Д-» ихъ будемъ знать, если разовьемъ выражешя полныхъ дифференщаловъ ç, w и а; для этого дифференцируя выражеше tang и = tang ср \/[ — е 2 , находимъ Г2
Sep см^
=
( /• T
--» Sa
l e 9
со^и. (1 — e )\V ~ *
sinu cosu . eSe I
^ ^ у^Т1Г7~Г
но легко видеть, что 2
c p ( l ~ e 2 . cos2?fl) cos2«« — e^cos^u поэтому J i — e2 iç —I .
sinu #
§u j ^
cosu
_ . e£e r v/l -• e 2
2
чтобы найти ~х и _х, сдФлаемъ это выражеше явною функщею Sa и
*? = - ^ i = i ! .^.cos*Sa + г3 а2 '
+ r«w^i
S
^-CO*M—cosu sinu'.com'+С~(([-ег) Çc^.d$
+ e2 « m « ' . cosu' P c o « " «««*>*»> .
rf
.
— U5 Дифференцируя выражейе w = J \ / ï - е'соЛ.
вЛ)
_ | 3 ö e J ~ _ . Ao + Jr.ctöa,.
или (12).... Sw= Çe*-sinu-C0SU'c°s<».Su' — e . 5e J
rf
| У шщ.сош.соЫс
.rfco-f r . £œ— I £co • dr.
Дифференцируя седьмое изъ уравненШ (3), имЪемъ cosio . cosK . dco — sinu. smoo . du = sma'. COSG . de HO d^ =
COSOL da
поэтому сош . cosu . dco = (sina COSG -f- smw smw . cosa) da но изъ разсмотр1шнаго треугольника им'Ьемъ sina! . COSG -f* smw cosa smw = cosco . m a поэтому предъидущее выражеше приводится къ (13) 4
do) =
. der. cosu Ером* того изъ выражешя (6) имъемъ siniù . sinu сч » , «ma ^ J
£со== _
аг* H
. да.
cosu cosu почему (12) принимаетъ видъ _ Çe*.sinu.co8U.co8(ù.8u' dc0_eJe &211. dco + _ i ^ a *г>га d<j . S(y
r
• è>c0
— U6 — или Sw? = j
Çe\ sinu . cosu . eosto ^ nCQS* _ _ 6 w . &> - eSej - _ . d© + г . J o r
e* - smAu . simo . COSOL , Su' . da
-P
исключая отсюда ou посредствомъ выражешя (7), diù посред ствомъ выражешя (13), £со посредствомъ выражешя (6) и Sa посредствомъ выражешя (10), им*емъ Sw^~eli^sinu'.cosu' 1—e2
[smU (сош J
sin
sin
* ~~ r
l!È^^Î^ — do
ь t . , Cda e. Se simù . sinu . , — eàecosu .«ma — - r. __ smu' а com' J r l—e cosu sim л ( Çcos2u , e Çsinu.costi.costù г.. eàe J I •. aa -f««mu .со^г« I — . . da ^ cosu J r 1-е2 J r «ma 5 . cos«« a 2 Изъ разсматриваемаго сферическаго треугольника находимъ sine.' . cosa = С05Ш sinon — siniù COSOL sinu кромФ того такъ какъ с о ш у / l —е 2 = г. coscp, то */\ |
С05О . 5ю =
веб
л* О
— —о sinoL Sa —- ••——sinm.sinu. sinu'cosu' r a \/i—e2 , sma . eoe V 1 — e \ foos и , -| r 1I . ^
e . 1 —e
r
(J
r
, , А т г е , cosw . cosu r ) smM ' . со^г* I •— . da } r
J
e . Se \/1 — e2 , . , Çda cosu . cosu sm% I — r J r e2e£e r.
y/r
. ,
, . , Çcosa sinu sinu
J
г
\
,
— 447 — или помня, что cosu' втш = sina т а , т а ' сот' = находимъ
(") +
сош
. sim
~*?^ = - ^ = 2 . ^ т « . г в 2 5 ^ а 1 — sina мод . мод' 4- i-
/,
в
V* —
(
Ü IС05
tt
лЛ
г J~~7~
~
, Î . ^ ? Çsinu. cosu. cosu , fl— e 2 \ л Cdn -)- e . smu . сом« I . (fc—xi Llcos*u [ z ?
J
e
r 2
•
r
C05Gr
ff
SW
Jr
, )
— -cos и . smu I . da[ r ) r j совершенно подобнымъже образомъ находимъ изъ выражешя (5) следующее: (15).... cos4ù* = — е&
— = = e2 r
I .
,
,
.
\sinu .cosu\sino)—
±-——_ (1—e2)
-
.
. . . , Çsinu . cosu . sinon.. sinu smu ; . с<ше I i
J
i cos^u ™* -
sm% . smu \
.
. civ
COSCÙda.
f
Разсматривая выразкешя (11), ( H ) и (15), мы ввдимъ, что дифференщальные коэффищенты dep d f dm dw da da d a ' * " ' "rfa' 5 Г ' rfe' rfe находятся въ зависимости отъ интеграловъ
Замътемъ, что второй изъ этихъ интеграловъ *™Г*^0*™ въ дифференщальные коэффищенты не иначе **** ^
— 448 —
жителемъ eosu', вводя этотъ постоянный множитель подъ знакъ интеграла, замъ'тимъ, что cosa = sinu' sinu -\- cosu' cosu .
COSCÖ
поэтому cosu' JÇsinu • com • сош udao — — IÇsinu • cos<s л„ • • Ç^u «ff — smu I r
. da
такимъ образомъ видимъ, что упомянутые дифферонщальные коэффициенты зависятъ отъ интеграловъ (sinu. cosa
Çcos%u
Г sin?и
, Çda
J — — • * . J—-*.J — - ^ J - . Be* они приводятся къ эллиптическимъ только перваго и втораго вида, Въ самомъ Д-ЁЛ* первый изъ этихъ интеграловъ можетъ быть преобразованъ слФдующимъ образомъ. Мы видели, что sinu = sinu' . cosa + cosu'. sina . cosa' полагая sinu = m . cosM cosu' cosv! = m . smM, получимъ sinu = m .cos (a — M), HO
cosa = cos (a — M + Щ = Cöf« (<* — M) cosM — sin (a — M) sinM если G — M = x, то (te = da и coscr $ггш = m . cos 2 a?. cosM — m . swM . sinx . co&r, и такъ какъ cos*u = 1 — m2 cos2x, то г = y/l — е2 -|- e2m2 —
e2.m2sin*x.
— 449 Полагая 2 em 1 — е2(1 — т 2 ) = я 2 и ^-Ç-=ft 2 , находимъ
J
smw. С05СГ . _
%ir
Ç
dx
cfcr= - . cosM ._ • ?= w J y l — y8¥smrx . *tnM I . -—- .
r
. соШ I n
m
J \ i — k2.sin2x.
n
J y/l — k*.$in*x
Полагая ut = ш?ф?), легко найдемъ, что
J ~7— ^^ sinu.cosG j
m
cosM
„Г/12
|\* -
. , E\
l+
, 1 ~,
Л
к) 'M' + P z <"'>J
, msiriM /i r-«—n— % i p - y 1 — k .sm x.
гд-fc подъ Е' и К разум^емъ полные эллиптичесше аргументы перваго и втораго вида Что касается до остальныхъ трехъ интеграловъ, то весьма легко видеть, что они зависятъ только отъ эллиптическихъ перваго и втораго вида. Если положимъ (1 — е ) I
da = Р
о* + в . smw , со$ге I ——
то выражешя (11), (14) и (15) приводятся къ
eSe
r^l—еЦ
£ср =—21—-— . _18 . со^а *
г
.Р
_
450 —
\/i —e*_ cöscp §w = — ILA -i
.
eSe
si_
w - wa
£a
sma J— sma smu smu'-\- - (P — cos и P')
л v/l — e2 s . . л 2 2 coscf . da = — -—g 2 smcc. «гше. èa eôe
I . , . smoLsmu ] smu cosur . smco —
r \/l откуда легко видеть, что искомые дифференщальные коэффищенты будутъ: dv x/l—е ^L = — 1 <ш rd da da
s dw v/l—es _ . C O sa; — = — -i -5. sma a da coscp. r a \/l — e2 s cos® r2 * à
m
d(p e { . . , , cosa ) 3- = = } «ш% . cosu — sswoo smw . cosu ч .P} r de r 2 y/1 — e 2 ( ) du) e. sincL ( . . . , 1 i 2 '\ ) • ) — sine, sinu sinu'4— / r(P — cos2и ПP') ( 1 соs ç y / l — e 1 <£a de
—e ( . , , sma. м/ш 2 ^г/гге cosu . smcor r.cosy\/{ — e (
Этими выражешями и определяется вл1яше изм^нетя элементовъ земнаго сфероида на координаты точекъ его повер хности.
