ÏÅÐÅÄÌÎÂÀ. Íàâ÷àëüíî-ìåòîäè÷íèé ïîñiáíèê äî ïðàêòè÷íèõ çàíÿòü ç êóðñó Éìîâiðíiñòü i ñòàòèñòèêà" ïðèçíà÷åíèé äëÿ ñòóäåíò...
192 downloads
337 Views
292KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÏÅÐÅÄÌÎÂÀ. Íàâ÷àëüíî-ìåòîäè÷íèé ïîñiáíèê äî ïðàêòè÷íèõ çàíÿòü ç êóðñó Éìîâiðíiñòü i ñòàòèñòèêà" ïðèçíà÷åíèé äëÿ ñòóäåíòiâ äðóãîãî òà òðåòüîãî êóðñiâ ôàêóëüòåòiâ íåìàòåìàòè÷íèõ ñïåöiàëüíîñòåé. Çìiñò òåì òà ïîðÿäîê ¨õ ðîçìiùåííÿ âiäïîâiä๠ó÷áîâié ïðîãðàìi. Ó ìåòîäè÷íîìó ïîñiáíèêó ïîäàíi çàäà÷i, ðîçâ'ÿçîê ÿêèõ íåîáõiäíèé äëÿ óñïiøíîãî îâîëîäiíííÿ ìàòåðiàëîì êóðñó. Ñòðóêòóðà êîæíîãî çàíÿòòÿ ïîñiáíèêà òàêà: ñïî÷àòêó ñòèñëî íàâåäåíi òåîðåòè÷íi ôàêòè ç âiäïîâiäíî¨ òåìè, äàëi ìiñòèòüñÿ äâi ãðóïè çàäà÷. Ó ïåðøó ãðóïó À âõîäÿòü çàäà÷i äëÿ àóäèòîðíî¨ ðîáîòè, ãðóïà  ìiñòèòü çàäà÷i äëÿ äîìàøíüîãî çàâäàííÿ. Ùîäî çàãàëüíî¨ ñòðóêòóðè ïîñiáíèêà ñëiä çàçíà÷èòè òàêå. Ïåðøi äâà âñòóïíi çàíÿòòÿ ñòîñóþòüñÿ êîìáiíàòîðèêè. Òóò êîðîòêî ïîäàíî ìàòåðiàë, ÿêèé íåîáõiäíèé äàëi - ïðè îá÷èñëåííi éìîâiðíîñòåé ó äèñêðåòíèõ ïðîñòîðàõ. Íàñòóïíi ðîçäiëè ìiñòÿòü ìàòåðiàë ç êóðñó òåîði¨ éìîâiðíîñòåé: âèïàäêîâi ïîäi¨ òà ¨õ éìîâiðíîñòi; âèïàäêîâi âåëè÷èíè, ¨õ ðîçïîäiëè òà ÷èñëîâi õàðàêòåðèñòèêè. Çàêëþ÷íi òðè çàíÿòòÿ ç ìàòåìàòè÷íî¨ ñòàòèñòèêè, äåìîíñòðóþòü çàñòîñóâàííÿ éìîâiðíiñíèõ çàêîíiâ äî ðiçíèõ ñòàòèñòè÷íèõ ìîäåëåé. Ðîçãëÿäàþòüñÿ íàéáiëüø ïîøèðåíi ñòàòèñòè÷íi ìåòîäè, ïðîïîíóþòüñÿ äëÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i, ÿêi âèíèêàþòü íà ïðàêòèöi. Çãiäíî ó÷áîâîìó ïëàíó, íà ïðîòÿçi òðèìåñòðó ïðîâîäÿòüñÿ äâi êîíòðîëüíi ðîáîòè äëÿ ïåðåâiðêè çíàíü ñòóäåíòiâ. Çàäà÷i äëÿ íèõ ïiäáèðàþòüñÿ òîãî æ ðiâíÿ ùî i âìiùåíi â ïîñiáíèêó.
3
Çàíÿòòÿ 1. Îñíîâíèé ïðèíöèï êîìáiíàòîðèêè.Âïîðÿäêîâàíi ìíîæèíè. Ïåðåñòàíîâêè, ðîçìiùåííÿ òà êîìáiíàöi¨ ç n ïî k. Íåõàé ïîòðiáíî âèêîíàòè îäíó çà îäíi¹þ k äié. ßêùî ïåðøó äiþ ìîæíà âèêîíàòè n1 ñïîñîáàìè, äðóãó - n2 ñïîñîáàìè, i òàê äî k -¨ äi¨, ÿêó ìîæíà âèêîíàòè nk ñïîñîáàìè, òî âñi k äié ðàçîì ìîæóòü áóòè âèêîíàíi n1 · n2 · ... · nk ñïîñîáàìè. Îçíà÷åííÿ. Íåõàé ìíîæèíà ìiñòèòü n åëåìåíòiâ. Áóäåìî íàçèâàòè ¨¨ âïîðÿäêîâàíîþ, ÿêùî êîæíîìó åëåìåíòó ìíîæèíè ïîñòàâëåíî ó âiäïîâiäíiñòü äåÿêå ÷èñëî (íîìåð åëåìåíòà) âiä 1 äî n òàê, ùî ðiçíèì åëåìåíòàì âiäïîâiäàþòü ðiçíi ÷èñëà. Îçía÷åííÿ. Ïåðåñòàíîâêàìè íàçèâàþòüñÿ ðiçíi âïîðÿäêîâàíi ìíîæèíè, ÿêi âiäðiçíÿþòüñÿ ëèøå ïîðÿäêîì åëåìåíòiâ. Òåîðåìà. Êiëüêiñòü ïåðåñòàíîâîê ìíîæèíè, ÿêà ìiñòèòü n åëåìåíòiâ, äîðiâíþ¹ Pn = n! = n · (n − 1) · ... · 1.
Îçíà÷åííÿ. Âïîðÿäêîâàíi k -åëåìåíòíi ïiäìíîæèíè ìíîæèíè iç n
åëåìåíòiâ íàçèâàþòü ðîçìiùåííÿìè iç n åëåìåíòiâ ïî k. Òåîðåìà. ×èñëî ðîçìiùåíü iç n åëåìåíòiâ ïî k äîðiâíþ¹:
Akn = n(n − 1)...(n − k + 1) =
n! (n − k)!
Îçíà÷åííÿ. Êîìáiíàöiÿìè iç n åëåìåíòiâ ïî k íàçèâàþòüñÿ k -åëåìåíòíi ïiäìíîæèíè n-åëåìåíòíî¨ ìíîæèíè. Òåîðåìà. ×èñëî âñiõ k -åëåìåíòíèõ ïiäìíîæèí ìíîæèíè ç n åëåìåíòiâ äîðiâíþ¹ n! Cnk = k!(n − k)!
4
À1 1. Íà âåðøèíó ãîðè ìîæíà ïiäíÿòèñÿ äåñÿòüìà ñïîñîáàìè. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ïiäíÿòèñÿ i ñïóñòèòèñÿ ç ãîðè? 2. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà iç 28 êiñòî÷îê äîìiíî âèáðàòè äâi òàê, ùîá ¨õ ìîæíà áóëî ïðèêëàñòè îäíàêîâèìè ïîëîâèíàìè? 3. 5 âèäiâ êîíâåðòiâ i 4 âèäè ìàðîê. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âèáðàòè êîíâåðò ç ìàðêîþ äëÿ âiäñèëêè ëèñòà? 4. Êóáèê êèäàþòü 5 ðàçiâ. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè âií ìîæå âèïàñòè? Ñêiëüêè òàêèõ ñïîñîáiâ, êîëè ç'ÿâëÿ¹òüñÿ òî÷íî îäíà îäèíèöÿ? 5. Ó ðîçèãðàøi ïåðøîñòi ç ôóòáîëó áåðóòü ó÷àñòü 12 êîìàíä. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæå áóòè ðîçïîäiëåíå ìiæ íèìè çîëîòî i ñðiáëî? 6. 4 ÷îëîâiêè i 6 æiíîê. Êîæåí ÷îëîâiê îäðóæó¹òüñÿ ç îäíi¹þ ç æiíîê. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà öå çðîáèòè? 7. Ñêiëüêè ¹ ÷îòèðèöèôðîâèõ ÷èñåë, êðàòíèõ 5? 8. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè 5 ëþäåé ìîæóòü ñòàòè â ðÿä? À ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè - ïî êîëó? 9. Íåõàé ¹ 10 ÷îëîâiê. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âèáðàòè ç íèõ êîìiñiþ ç 3-õ ÷îëîâiê? Ñêiëüêè ¹ òàêèõ ñïîñîáiâ, ÿêùî ¹ äîäàòêîâà óìîâà: ùîá îäèí iç íèõ áóâ ãîëîâà êîìiñi¨. 10. Êóáèê ïiäêèäàþòü 10 ðàçiâ. Ñêiëüêè ¹ òàêèõ âèïàäêiâ, êîëè ïðè 3-õ iç 10 ïiäêèäàíü âèïàä๠øiñòêà? 11. Ç êîëîäè ç 52 êàðò âèòÿãóþòü 6 êàðò. Ñêiëüêè ¹ âèáiðîê, ó ÿêèõ à) ¹ õî÷à á îäèí òóç? á) ¹ 3 ÷îðíèõ i 3 ÷åðâîíèõ êàðòè? â) íåì๠æîäíîãî òóçà? ã) ¹ òî÷íî îäèí òóç? 12. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà çà k äíiâ ñêëàñòè m iñïèòiâ? 13. n êîìàíä , êîæíà êîìàíäà ãð๠ç êîæíîþ ïî îäíié ãði. Ñêiëüêè iãîð áóäå çiãðàíî? 14. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà îáðàòè ïðåçèäåíòà, âiöå-ïðåçèäåíòà, ñêàðáíèêà òà ñåêðåòàðÿ íàóêîâîãî òîâàðèñòâà ç 25 ÷îëîâiê? 15. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæóòü âèïàñòè 3 ãðàëüíi êóáèêè? Ó ñêiëüêîõ âèïàäêàõ õî÷à á íà îäíîìó êóáèêó âèïàä๠6? Ó ñêiëüêîõ âèïàäêàõ íà îäíîìó êóáèêó âèïàä๠6, à íà iíøîìó - 3?
5
Â1 1. 10 êîðîáîê i 6 êóëü. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçêëàñòè êóëi ïî êîðîáêàõ? 2. Ñêiëüêè 3-öèôðîâèõ ÷èñåë ìîæíà ñêëàñòè ç öèôð âiä 1 äî 5? Ñêiëüêè ç íèõ äiëèòüñÿ íà 5? 3. Íà çáîðàõ ÍàÓÊÌÀ ìàþòü âèñòóïèòè: Ïðåçèäåíò, Ðåêòîð, ñåêðåòàð, âèêëàäà÷. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè âîíè ìîæóòü âèñòóïàòè? Ñêiëüêè ¹ âàðiàíòiâ âèñòóïó à) ÿêùî Ïðåçèäåíò âèñòóï๠ïåðøèé? á) ÿêùî çà Ïðåçèäåíòîì çðàçó âèñòóï๠Ðåêòîð? â) ÿêùî ðåêòîð âèñòóï๠íå çðàçó çà Ïðåçèäåíòîì? 4. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçìiñòèòè íà øàõîâié äîøöi 8 òóð, ùîá æîäíà ç íèõ íå áèëà iíøó? 5. 10 ÷îëîâiêiâ i 10 æiíîê. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçñòàâèòè ¨õ â ðÿä òàê, ùîá ïîïåðåäó êîæíî¨ æiíêè ñòîÿâ îäèí ÷îëîâiê? 6. Ñêiëüêè ìîæíà çðîáèòè ïåðåñòàíîâîê ç n åëåìåíòiâ , ó ÿêèõ äàíi äâà åëåìåíòè íå ñòîÿòü ïîðó÷? 7. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âïîðÿäêóâàòè ìíîæèíó <1,2,...,2n> òàê, ùîá êîæíå ïàðíå ÷èñëî ìàëî ïàðíèé íîìåð? 8. Ñêiëüêè ¹ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë, ìåíøèõ 100, öèôðè ÿêèõ éäóòü ó çðîñòàþ÷îìó ïîðÿäêó? 9. Ñêiëüêè ¹ ï'ÿòèçíà÷íèõ ÷èñåë, â ÿêèõ êîæíà íàñòóïíà öèôðà áiëüøà çà ïîïåðåäíþ? 10. Ó âèùié ëiçi ¹ 18 êîìàíä. Ñêiëüêè ìîæå áóòè òðiéîê ïðèçåðiâ? A ÿêùî äâi îñòàííi êîìàíäè éäóòü ç âèùî¨ ëiãè? 11. 10 ïðåäìåòiâ, ó ïîíåäiëîê - 6 ðiçíèõ óðîêiâ. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ñïëàíóâàòè ðîçêëàä íà ïîíåäiëîê? À ÿêùî óðîêè ìîæóòü áóòè îäíàêîâi? 12. 2 òî÷êè À i Â. ÀÂ=4,5 ì. Íàä òî÷êîþ  - òî÷êà Ñ, ÂÑ=1,5 ì, âèñîòà ñõîäèíêè 30 ñì, øèðèíà 50 ñì. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ïîáóäóâàòè ñõîäè âiä À äî Ñ? 13. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ñêëàñòè òðèêîëiðíèé ñìóãàñòèé ïðàïîð, ÿêùî ¹ 6 êîëüîðiâ? À ÿêùî îäíà ñìóãà îáîâ'ÿçêîâî æîâòà?
6
Çàíÿòòÿ 2. Êîìáiíàöi¨ òà ïåðåñòàíîâêè ç ïîâòîðåííÿìè. Ôîðìóëà âêëþ÷åíü-âèêëþ÷åíü. Òåîðåìà. Íåõàé k1 , k2 , ..., km - öiëi íåâiä'¹ìíi ÷èñëà i k1 +k2 +...+km =
n. Êiëüêiñòü ñïîñîáiâ, ÿêèìè ìîæíà ìíîæèíó, ÿêà ìiñòèòü n åëåìåíòiâ, ðîçáèòè íà m ïiäìíîæèí, êiëüêiñòü åëåìåíòiâ ó ÿêèõ âiäïîâiäíî k1 , k2 , ..., km , äîðiâíþ¹ Cn (k1 , k2 , ..., km ) =
n! . k1 !k2 !...km !
Îçíà÷åííÿ. Ïîñëiäîâíîñòi äîâæèíè n, ó ÿêèõ k1 åëåìåíòiâ 1-ãî òèïó, k2 åëåìåíòiâ 2-ãî òèïó, ..., km åëåìåíòiâ m-ãî òèïó íàçèâàþòüñÿ ïåðåñòàíîâêàìè ç ïîâòîðåííÿìè. Òåîðåìà. Êiëüêiñòü ðiçíèõ ïåðåñòàíîâîê ç ïîâòîðåííÿìè äîðiâíþ¹ Cn (k1 , k2 , ..., km ) =
n! . k1 !k2 !...km !
Îçíà÷åííÿ. Êîìáiíàöiÿìè iç m åëåìåíòiâ ïî n åëåìåíòiâ ç ïîâòîðåííÿìè íàçèâàþòü ãðóïè ïî n åëåìåíòiâ, êîæåí ç ÿêèõ íàëåæèòü îäíîìó ç m òèïiâ. Òåîðåìà. Êiëüêiñòü ðiçíèõ êîìáiíàöié iç m åëåìåíòiâ ïî n ç ïîâòîðåííÿìè äîðiâíþ¹ n n fm = Cm+n−1 . Òåîðåìà. Íåõàé êiëüêiñòü åëåìåíòiâ ó êîæíié ç ìíîæèí A1 , ..., An - ñêií÷åííà. Òîäi N (A1 ∪ ... ∪ An ) =
X
N (Ai1 ) −
1≤i1 ≤n
(−1)k−1
X
X
N (Ai1 ∩ Ai2 ) + ...+
1≤i1
N (Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik ) + ...+
1≤i1
(−1)n−1 N (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ), äå N(A) - êiëüêiñòü åëåìåíòiâ ó ìíîæèíi À.
7
À2 1. 3 âàãîíè i 10 ëþäåé. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ¨õ ðîçñàäèòè ïî âàãîíàõ? 2. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçäàòè êiñòî÷êè äîìiíî ÷îòèðüîì ÷îëîâiêàì? 3.  ãîñòi ïðèéøëî 20 ÷îëîâiê ó êàëîøàõ. Êîëè âîíè éøëè äîäîìó, êîæåí âçÿâ ñîái ïî 2 êàëîøi. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà áóëî öå çðîáèòè? À ÿêùî êîæåí âçÿâ ñîái îäíó ïðàâó i îäíó ëiâó? 4. 10 äiòåé i 20 îäíàêîâèõ ïîäàðóíêiâ. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçïîäiëèòè ïîäàðóíêè ìiæ äiòüìè? À ÿêùî êîæíà äèòèíà îòðèìó¹ õî÷à á îäèí ïîäàðóíîê? 5. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçêëàñòè 10 áiëèõ, 12 ÷îðíèõ è 5 ñèíiõ êóëü ó 4 êîðîáêè? 6. Ñêiëüêè ðiçíèõ ðîçâ'ÿçêiâ ó öiëèõ íåâiä'¹ìíèõ ÷èñëàõ ì๠ðiâíÿííÿ: x1 +x2 +. . .+x10 = 21? À ñêiëüêè òàêèõ ðîçâ'ÿçêiâ ó íàòóðàëüíèõ ÷èñëàõ? 7. n ñèãíàëüíèõ ïðàïîðöiâ i ê ìà÷ò. Çíà÷åííÿ ñèãíàëó çàëåæèòü âiä ïîðÿäêó ïðàïîðöiâ íà ìà÷òàõ. Ìà÷òè ìîæóòü áóòè ïîðîæíi. Ñêiëüêè ìîæå áóòè ðiçíèõ ñèãíàëiâ? 8. Iç 100 ñòóäåíòiâ âîëîäiþòü àíãëiéñüêîþ - 28, íiìåöüêîþ - 30, ôðàíöóçüêîþ - 42, íiìåöüêîþ i ôðàíöóçüêîþ - 30, àíãëiéñüêîþ i íiìåöüêîþ - 10, àíãëiéñüêîþ i ôðàíöóçüêîþ - 5, âñi òðè ìîâè çí๠3 ñòóäåíòè. Ñêiëüêè ñòóäåíòiâ íå çíàþòü æîäíî¨ ìîâè? 9.  êëàñi 45 øêîëÿðiâ. Ç íèõ 25 õëîïöiâ, 30 â÷àòüñÿ íà ”4” i ”5”, ñïîðòñìåíiâ - 28. Õëîïöiâ, ÿêi â÷àòüñÿ íà ”4” i ”5” - 16, õëîïöiâ, ÿêi çàéìàþòüñÿ ñïîðòîì - 18, ñïîðòñìåíiâ, ÿêi íàâ÷àþòüñÿ íà ”4” i ”5” - 17,
8
õëîïöiâ, ÿêi çàéìàþòüñÿ ñïîðòîì i âîäíî÷àñ â÷àòüñÿ íà ”4” i ”5” - 15. Çíàéòè ïîìèëêó â öié iíôîðìàöi¨. 10. n êîíâåðòiâ ç àäðåñàìè i n ëèñòiâ. Ëèñòè âêëàëè â êîíâåðòè íàâìàííÿ. Ñêiëüêè ìîæå áóòè âèïàäêiâ, êîëè õî÷à á îäíà ëþäèíà îòðèì๠ñâié ëèñò? Â2 1. Ñêiëüêè ñëiâ ìîæíà ñêëàñòè iç áóêâ ñëîâà 'åêîíîìiêà' ? 2. Ïðè ãði â ïðåôåðàíñ 32 êàðòè ðîçäàþòüñÿ òðüîì ëþäÿì ïî 10 êîæíîìó, i 2 çàëèøàþòüñÿ. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà öå çðîáèòè? 3. 10 ïîäðóæíiõ ïàð, 5 ÷îâíiâ, â êîæíèé ç ÿêèõ ìîæå ñiñòè ïî 4 ëþäèíè. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçïîäiëèòè ëþäåé ïî ÷îâíàõ, òàê, ùîá ó êîæíîìó ÷îâíi áóëî 2 ÷îëîâiêè i 2 æiíêè? 4. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçäàòè 52 êàðòè ÷îòèðüîì ãðàâöÿì òàê, ùîá êîæåí ç íèõ îòðèìàâ ïî 3 êàðòè òðüîõ ìàñòåé i ïî 4 êàðòè ÷åòâåðòî¨? 5. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ðîçäàòè 18 ðiçíèõ ïðåäìåòiâ 5 ëþäÿì òàê, ùîá ÷åòâåðî îòðèìàëè ïî 4 ïðåäìåòè, à ï'ÿòèé - 2 ïðåäìåòè? À êîëè òðî¹ îòðèìóþòü ïî 4 ïðåäìåòè, à 2 - ïî 3? 6. Ñêiëüêè ¹ n-çíà÷íèõ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë , ó ÿêèõ öèôðè ðîçìiùåíi ó íåñïàäíîìó ïîðÿäêó? 7. Ñêiëüêè êiñòî÷îê äîìiíî ìîæíà ñêëàñòè iç öèôð âiä 0 äî 6? 8. Íà êíèæíié ïîëèöi ¹ 12 êíèã. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âèáðàòè 5 êíèã òàê, ùîá íå áðàòè äâi ñóñiäíi? 9.  êëàñi 35 ó÷íiâ, ç íèõ: 20 âiäâiäóþòü ìàòåìàòè÷íèé ãóðòîê, 11 - ôiçè÷íèé, 10 - æîäíîãî ãóðòêà íå âiäâiäóþòü. Ñêiëüêè ó÷íiâ âiäâiäóþòü ìàòåìàòè÷íèé i ôiçè÷íèé ãóðòêè? Ñêiëüêè - ëèøå ìàòåìàòè÷íèé? 10. Éäå êàðàâàí iç 9-òè âåðáëþäiâ. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ïåðåñòàâèòè âåðáëþäiâ òàê, ùîá ïîïåðåäó êîæíîãî âåðáëþäà éøîâ iíøèé, íiæ ðàíiøå? 11. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âïîðÿäêóâàòè ìíîæèíó {1,2,..., n} òàê, ùîá êîæíå ÷èñëî êðàòíå 2 i êîæíå êðàòíå 3 ìàëî íîìåð êðàòíèé 2 i 3 âiäïîâiäíî? 12. Ñêiëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà ïîñëàòè n ðiçíèõ ôîòîêàðòîê â k ðiçíèõ êîíâåðòàõ, ÿêùî æîäåí êîíâåðò íå ïîâèíåí áóòè ïîðîæíié? 9
Çàíÿòòÿ 3. Ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié. Âèïàäêîâi ïîäi¨. Êëàñè÷íå îçíà÷åííÿ éìîâiðíîñòi. Îçíà÷åííÿ. Ñòîõàñòè÷íèì íàçèâàþòü åêñïåðèìåíò, ðåçóëüòàòè ÿêîãî
íå ìîæíà ïåðåäáà÷èòè íàïåðåä. Áóäåìî ââàæàòè, ùî êîæíîìó òàêîìó åêñïåðèìåíòó ïîñòàâëåíî ó âiäïîâiäíiñòü ìíîæèíó Ω, òî÷êè ÿêî¨ - âñi ìîæëèâi ðåçóëüòàòè åêñïåðèìåíòó. Îçíà÷åííÿ. Ìíîæèíó Ω íàçèâàþòü ïðîñòîðîì åëåìåíòàðíèõ ïîäié, à òî÷êè ¨¨ - åëåìåíòàðíèìè ïîäiÿìè. Êîæíié ïîäi¨, ÿêà ñïîñòåðiãà¹òüñÿ â åêñïåðèìåíòi, ìîæíà ïîñòàâèòè ó âiäïîâiäíiñòü äåÿêó ïiäìíîæèíó A ïðîñòîðó Ω. Òàêi ïiäìíîæèíè áóäåìî íàçèâàòè âèïàäêîâèìè ïîäiÿìè, à òî÷êè ω ∈ Ω, ÿêi íàëåæàòü A, íàçèâàþòü åëåìåíòàðíèìè ïîäiÿìè, ùî ñïðèÿþòü A. Êîæíié âèïàäêîâié ïîäi¨ A ïîñòàâèìî ó âiäïîâiäíiñòü ÷èñëî P(A) (áóäåìî íàçèâàòè éîãî éìîâiðíiñòþ âèïàäêîâî¨ ïîäi¨ A), ÿêå ì๠òàêi âëàñòèâîñòi:
(1) P(A) ≥ 0; (2) P(Ω) = 1; (3) ßêùî {Ai } - ïîñëiäîâíiñòü âèïàäêîâèõ ïîäié òàêà, ùî Ai ∩ Aj = ∅ (j 6= i), òî
∞ S
i=1
Ai - òàêîæ âèïàäêîâà ïîäiÿ i
P(
∞ [
Ai ) =
i=1
∞ X
P(Ai ).
i=1
Îçíà÷åííÿ.(Êëàñè÷íå îçíà÷åííÿ éìîâiðíîñòi.) Ðîçãëÿíåìî ñòîõàñòè÷-
íèé åêñïåðèìåíò ç n îäíàêîâî ìîæëèâèìè íàñëiäêàìè (Ω = {ω1 , ..., ωn }). Íåõàé ïîäi¨ À ñïðèÿþòü m iç öèõ íàñëiäêiâ (A = {ωi1 , ..., ωim }). Òîäi
P(A) =
10
m . n
À3 1. Ãðàëüíèé êóáèê ïiäêèäàþòü 2 ðàçè. Îïèñàòè ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié. Îïèñàòè ïîäi¨: À - ñóìà î÷îê, ùî âèïàëè, äîðiâíþ¹ 8; T S  - õî÷à á îäèí ðàç âèïàëî 6. Îïèñàòè ïîäi¨ A B, A B, A\B. 2.  êîðîáöi ¹ òðè êóëi: ÷åðâîíà, çåëåíà òà ñèíÿ. Ç êîðîáêè ïîñëiäîâíî äiñòàþòü äâi êóëi ç ïîâåðíåííÿì. Îïèñàòè à) ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié â òàêîìó åêñïåðèìåíòi, á) ïîäi¨: À - ç'ÿâèëàñü õî÷à á îäíà çåëåíà êóëÿ,  - ñèíÿ êóëÿ íå ç'ÿâèëàñü æîäíîãî ðàçó. ¯ B, ¯ A ∩ B, A ∪ B, A\B. Îïèñàòè ïîäi¨: A, 3. Ìîíåòó ïiäêèäàþòü äîòè, äîêè äâi÷i íå ç'ÿâèòüñÿ ãåðá. ßêèì áóäå ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié â òàêîìó åêñïåðèìåíòi? Îïèñàòè ïîäi¨: À - åêñïåðèìåíò çàêií÷èòüñÿ ïðè ïåðøîìó ïiäêèäàííi;  - åêñïåðèìåíò çàêií÷èòüñÿ äî ï'ÿòîãî ïiäêèäàííÿ. ¯ B ∩ A, B\A. Îïèñàòè ïîäi¨: A, 4. Íåõàé À, Â, Ñ - âèïàäêîâi ïîäi¨. Çíàéòè âèðàçè äëÿ ïîäié: à) âiäáóëîñü ëèøå À; á) âiäáóëîñü ëèøå À i Â; â) âiäáóëèñü óñi ïîäi¨; ã) âiäáóëàñü õî÷à á îäíà ïîäiÿ; ä) âiäáóëàñü ëèøå îäíà ïîäiÿ; å) íå âiäáóëîñü æîäíî¨ ïîäi¨; æ) âiäáóëîñü ëèøå äâi ïîäi¨; ç) âiäáóëîñü õî÷à á äâi ïîäi¨. 5. Êóáèê ïiäêèäàþòü 2 ðàçè. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ñóìà î÷îê, ùî âèïàëè, äîðiâíþ¹ 8? 6. Ó ëiôòi 7 ïàñàæèðiâ, ëiôò çóïèíÿ¹òüñÿ íà 10 ïîâåðõàõ. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî êîæåí ïàñàæèð âèéäå íà îêðåìîìó ïîâåðñi? 7. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî: à) 4 êàðòè, âèáðàíi ç êîëîäè ó 52 êàðòè, áóäóòü ÷åðâîíî¨ ìàñòi; á) 2 áóäóòü ÷åðâîíî¨ ìàñòi, à 2 - ÷îðíî¨; â) ñåðåä íèõ áóäå òî÷íî îäèí òóç; ã) ñåðåä íèõ áóäå õî÷à á îäèí òóç; ä) íå áóäå àíi æîäíî¨ õðåñòîâî¨ êàðòè, àíi êîðîëÿ; ¹) ¹ õî÷à á äâi êàðòè îäíàêîâî¨ ìàñòi. 11
8. 10 êóëü, 5 êîðîáîê. Êóëi ðîçêëàäàþòü â êîðîáêè íàâìàííÿ. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî â êîæíó ç êîðîáîê ïîêëàäóòü ïî 2 êóëi? 9. 10 äiòåé i 20 îäíàêîâèõ ïîäàðóíêiâ. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî êîæíà äèòèíà îòðèì๠õî÷à á îäèí ïîäàðóíîê? 10. Ìà¹ìî ÷èñëà âiä 1 äî 10. Ðîçãëÿíåìî ïåðåñòàíîâêó öèõ ÷èñåë. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî õî÷à á îäíå ÷èñëî ñòî¨òü íà ìiñöi ç íîìåðîì, ùî äîðiâíþ¹ öüîìó ÷èñëó? Â3 1. Ìîíåòó ïiäêèíóëè òðè÷i. Îïèñàòè: a) ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié â òàêîìó åêñïåðèìåíòi, á) ïîäi¨: À - ç'ÿâèâñÿ õî÷à á îäèí ãåðá,  - ðåøiòêà íå ç'ÿâèëàñü æîäíîãî ðàçó. ¯ B, ¯ A ∩ B, A ∪ B, A\B. Îïèñàòè ïîäi¨: A, 2. Ìîíåòó ïiäêèäàþòü äîòè, äîêè âîíà äâi÷i íå âïàäå îäíi¹þ ñòîðîíîþ. ßêèì áóäå ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié â òàêîìó åêñïåðèìåíòi? Îïèñàòè ïîäi¨: À - åêñïåðèìåíò çàêií÷èòüñÿ íà íåïàðíîìó êðîöi;  - åêñïåðèìåíò çàêií÷èòüñÿ äî øîñòîãî ïiäêèäàííÿ. ¯ B ∩ A, B\A. Îïèñàòè ïîäi¨: A, 3. Çðîáëåíî 3 ïîñòðiëè. Ïîçíà÷èìî ïîäi¨ Ai - ïðè i-îìó ïîñòðiëi ¹ âëó÷åííÿ. Âèðàçèòè ÷åðåç Ai òàêi ïîäi¨: à) âiäáóëîñÿ 3 âëó÷åííÿ; á) æîäíîãî ðàçó íå âëó÷åíî; â) ¹ íå áiëüøå äâîõ âëó÷åíü; ã) ¹ õî÷à á îäíå âëó÷åííÿ; ä) ¹ âëó÷åííÿ ëèøå ïðè ïåðøîìó ïîñòðiëi; å) ïðè ïåðøîìó òà äðóãîìó ïîñòðiëàõ âëó÷åíü íå áóëî. 4. Ïîäiÿ Ñ â äâà ðàçè áiëüø éìîâiðíà íiæ ïîäiÿ À, à ïîäiÿ  ì๠òàêó æ éìîâiðíiñòü ÿê À i Ñ ðàçîì. Âñi ïîäi¨ íåñóìiñíi i â îá'¹äíàííi äàþòü âåñü ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié. Îá÷èñëèòè éìîâiðíîñòi À,  òà Ñ. 5. 25 ñòóäåíòiâ. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ó äâîõ iç íèõ äåíü íàðîäæåííÿ çáiãà¹òüñÿ?
12
6. Ìîíåòó ïiäêèäàþòü 3 ðàçè. ßêà âiðîãiäíiñòü òîãî, ùî à) ãåðá ç'ÿâèòüñÿ äî òðåòüîãî ïiäêèäàííÿ? á) ãåðá ç'ÿâèòüñÿ äâi÷i? 7. Ãðàëüíèé êóáèê ïiäêèäàþòü 6 ðàçiâ. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âèïàäóòü óñi öèôðè? 8. Äîâåñòè, ùî áiëüø éìîâiðíî ïðè ïiäêèäàííi 4-õ ãðàëüíèõ êóáèêiâ îäåðæàòè ïðèíàéìíi îäíó îäèíèöþ, íiæ ïðè 24 ïiäêèäàííÿõ äâîõ êóáèêiâ îòðèìàòè ïðèíàéìíi îäèí ðàç 2 îäèíèöi. 9. Íàâìàííÿ âèáèðàþòü îäèí ç ðîçâ'ÿçêiâ ðiâíÿííÿ x1 +. . . +x10 =20 (xi ìîæóòü íàáóâàòè öiëèõ íåâiä'¹ìíèõ çíà÷åíü). ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, à) ùî â öüîìó ðîçâ'ÿçêó x1 =0; á) ùî âñi xi > 0? 10. n êîíâåðòiâ ç àäðåñàìè i n ëèñòiâ. Ëèñòè íàâìàííÿ êëàäóòü ó êîíâåðòè. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî õî÷à á îäíà ëþäèíà îòðèì๠ñâié ëèñò? 11. Ãðàâåöü â "Ñïîðòëîòî"ç 49 âèäiâ ñïîðòó ïîâèíåí âèáðàòè 6. ßêà éìîâiðíiñòü ïîâíîãî âèãðàøó (âãàäàíî âñi 6 âèäiâ)? ßêà éìîâiðíiñòü âèãðàøó (âèãðàø îòðèìó¹ òîé, õòî ïðàâèëüíî âêàçàâ õî÷à á òðè âèäè)?
13
Çàíÿòòÿ 4. Éìîâiðíîñòi â äèñêðåòíèõ ïðîñòîðàõ. Ãåîìåòðè÷íi éìîâiðíîñòi. Íåçàëåæíi âèïàäêîâi ïîäi¨. Íåõàé ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié äèñêðåòíèé: (Ω = {ω1 , ..., ωn , ...}). Êîæíié åëåìåíòàðíié ïîäi¨ ωk ïîñòàâèìî ó âiäïîâiäíiñòü íåâiä'¹ìíå ÷èñP ëî pk - éìîâiðíiñòü ωk . Ïðè÷îìó öi ÷èñëà òàêi, ùî k≥1 pk = 1. Iìîâiðíiñòþ ïîäi¨ A áóäåìî íàçèâàòè ñóìó éìîâiðíîñòåé åëåìåíòàðíèõ ïîäié, ùî ñïðèÿþòü A: X P(A) = pi . ωi ∈A
Íåõàé Ω - äåÿêà îáëàñòü íà ïðÿìié, ïëîùèíi, ÷è â ïðîñòîði. Äëÿ âèïàäêîâî¨ ïîäi¨ A ⊂ Ω âèçíà÷èìî éìîâiðíiñòü ¨¨ òàê:
P(A) =
m(A) , m(Ω)
äå m(·) - ìiðà íà ïðÿìié, ïëîùèíi ÷è â ïðîñòîði (äîâæèíà, ïëîùà ÷è îá'¹ì âiäïîâiäíî). Pîçãëÿäà¹ìî ëèøå âèïàäêè, êîëè 0 < m(Ω) < ∞. Îçíà÷åííÿ. Âèïàäêîâi ïîäi¨ A i B íàçèâàþòüñÿ íåçàëåæíèìè, ÿêùî
P(A ∩ B) = P(A)P(B). Òåîðåìà. ßêùî ïîäi¨ A i B1 , A i B2 íåçàëåæíi , à B1 i B2 íåñóìiñíi
(B1 ∩ B2 = ∅), òî ïîäi¨ A i B¯1 , A¯ i B¯1 , A i (B1 ∪ B2 ) íåçàëåæíi òàêîæ. Îçíà÷åííÿ. Âèïàäêîâi ïîäi¨ A1 , ..., An íåçàëåæíi ó ñóêóïíîñòi, ÿêùî äëÿ äîâiëüíîãî k, 1 ≤ k ≤ n i äîâiëüíîãî íàáîðó iíäåêñiâ i1 , ..., ik , 1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n :
P(∩km=1 Aim ) =
k Y m=1
14
P(Aim ).
À4 1. Éìîâiðíîñòi âèïàäàííÿ ãðàíåé "ôàëüøèâîãî"ãðàëüíîãî êóáèêà ïðîïîðöiéíi ÷èñëàì íà íèõ. Çíàéòè öi éìîâiðíîñòi. Çíàéòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî â ðåçóëüòàòi ïiäêèäàííÿ ç'ÿâèòüñÿ: à) ïàðíå ÷èñëî; á) íåïàðíå ÷èñëî. 2. Éìîâiðíiñòü âèãðàøó ïðè îäíîìó ïiäêèäàííi ãðàëüíîãî êóáèêà ð. Ãðàâåöü À ïî÷èíà¹. ßêùî âií íå âèãðà¹, òî ïðàâî ïiäêèíóòè êóáèê ïåðåõîäèòü äî Â. Ãðàâöi À i B ïî ÷åðçi ïiäêèäàþòü êóáèê äî âèãðàøó îäíîãî ç íèõ. Çíàéòè éìîâiðíîñòi âèãðàòè äëÿ À i Â. 3. Ñòåðæåíü äîâæèíè 3 ìåòðà çëàìàëè y ïåâíié òî÷öi. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî äîâæèíà êîðîòøî¨ ÷àñòèíè ìåíøå çà 1 ì? 4. Ñòië ðîçãðàôëåíî íà êâàäðàòè çi ñòîðîíîþ 8 ñì. Íà ñòië êèäà¹òüñÿ ìîíåòà ç ðàäióñîì 2 ñì. à) ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âîíà íå ïåðåòíå æîäíî¨ ç ñòîðií êâàäðàòiâ? á) ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âîíà íå ïåðåòíå äâîõ ñòîðií âiäðàçó? 5. Ïðîòÿãîì äîáè äî ïðè÷àëó ïiäõîäÿòü 2 ïàðîïëàâè: ïåðøèé ñòî¨òü 1 ãîäèíó, 2-èé - 2 ãîäèíè. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî æîäíîìó íå äîâåäåòüñÿ ÷åêàòè çâiëüíåííÿ ïðè÷àëó? 6. Íà âiäðiçêó [C,D] äîâæèíè 1 íàâìàííÿ âèáðàíi äâi òî÷êè À òà Â. Îá÷èñëèòè éìîâiðíîñòi òîãî, ùî: à) òî÷êà À áëèæ÷å äî òî÷êè Ñ íiæ Â; á) òî÷êà À áëèæ÷å äî òî÷êè  íiæ äî Ñ. 7. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ó âåäìåäÿ âëó÷àòü 2 ìèñëèâöi, ÿêùî ïåðøèé âëó÷๠ç éìîâiðíiñòþ 0.2, 2-èé - 0.4, 3-ié - 0.6? 8. Éìîâiðíiñòü âëó÷åííÿ â äåñÿòêó ç îäíîãî ïîñòðiëó 0,2. Ñêiëüêè ïîòðiáíî çðîáèòè ïîñòðiëiâ, ùîá âëó÷èòè â äåñÿòêó ç éìîâiðíiñòþ íå ìåíøîþ 0,9? Â4 1. Ãðàëüíèé êóáèê ïiäêèäàþòü äî ïåðøî¨ ïîÿâè øiñòêè. Çíàéòè âiðîãiäíiñòü òîãî, ùî à) åêñïåðèìåíò çàêií÷èòüñÿ íà íåïàðíîìó êðîöi, á) åêñïåðèìåíò çàêií÷èòüñÿ äî 6-ãî ïiäêèäàííÿ. 15
2.  ãðó "êðåïñ" ãðàþòü òàê: ãðàâåöü ïiäêèä๠äâà ãðàëüíi êóáèêè. ßêùî ñóìà î÷îê, ùî âèïàëè, 7 ÷è 11, âií âèãðà¹. ßêùî ñóìà 2, 3 ÷è 12, âií ïðîãðà¹. ßêùî ñóìà iíøà, âií ïðîäîâæó¹ ïiäêèäàííÿ äîòè, ïîêè íå âèïàäå öÿ ñóìà (â òàêîìó âèïàäêó âií âèãðà¹) ÷è äîêè íà âèïàäå ñiì (âií ïðîãðà¹). Îá÷èñëèòè éìîâiðíiñòü âèãðàøó. 3. Íåõàé Ω = {1, 2, . . . n}. Âñiì ÷èñëàì ïðèïèñàíi éìîâiðíîñòi ïðîïîðöiéíi ¨õ âåëè÷èíàì. Çíàéòè öi éìîâiðíîñòi. ßêà éìîâiðíiñòü ïîÿâè: à) ïàðíîãî ÷èñëà; á) íåïàðíîãî ÷èñëà; â) ÷èñëà, êðàòíîãî 9? 4. Ñâiòëîôîð ïðàöþ¹ òàêèì ÷èíîì: ÷åðâîíå ñâiòëî ãîðèòü 10 ñåê., æîâòå -5, çåëåíå - 8. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ìàøèíà ïðî¨äå ïåðåõðåñòÿ áåç çóïèíêè? 5. Îá÷èñëèòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî iç òðüîõ íàâìàííÿ âçÿòèõ âiäðiçêiâ äîâæèíè íå áiëüøî¨ çà 1 ìîæíà ïîáóäóâàòè òðèêóòíèê. 6. Ðàäióñ ìîíåòè 1 ñì. ßêà ì๠áóòè ¨¨ òîâùèíà, ùîá éìîâiðíiñòü ïàäiííÿ íà ðåáðî äîðiâíþâàëà 1/3? 7. Ïîäi¨ À1 , À2 , À3 , À4 , - íåçàëåæíi ó ñóêóïíîñòi. P (Ak ) = pk , k=1,2,3,4. Îá÷èñëèòè éìîâiðíîñòi òîãî, ùî: à) íå âiäáóäåòüñÿ æîäíà ç öèõ ïîäié; á) âiäáóäåòüñÿ õî÷à á îäíà ç öèõ ïîäié; â) âiäáóäåòüñÿ îäíà i ëèøå îäíà ç öèõ ïîäié. 8. Êîæåí ç òðüîõ ãðàâöiâ ïiäêèä๠ìîíåòó. ßêùî îäíà ç ìîíåò âïàäå iíøîþ ñòîðîíîþ íiæ iíøi äâi, ãðà ïðèïèíÿ¹òüñÿ. ßêùî íi, òî ãðàâöi çíîâó ïiäêèäàþòü ìîíåòè. Îá÷èñëèòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ãðà çàêií÷èòüñÿ äî 5-ãî ðàóíäó, ÿêùî: à) ìîíåòè ñèìåòðè÷íi; á) âèïàäàííÿ ãåðáà âäâi÷i áiëüø éìîâiðíå çà âèïàäàííÿ ðåøiòêè.
16
Çàíÿòòÿ 5. Óìîâíi éìîâiðíîñòi. Ôîðìóëà ïîâíî¨ éìîâiðíîñòi. Ôîðìóëè Áàé¹ñà. Îçíà÷åííÿ. Óìîâíîþ éìîâiðíiñòþ ïîäi¨ A ïðè óìîâi, ùî âiäáóëàñü
ïîäiÿ B, íàçèâàþòü âåëè÷èíó
P(A/B) =
P(A ∩ B) . P(B)
(Ðîçãëÿäà¹ìî ëèøå òi ïîäi¨ B, äëÿ ÿêèõ P(B) > 0). Îçíà÷åííÿ. Êàæóòü, ùî âèïàäêîâi ïîäi¨ Hi , i ≥ 1 óòâîðþþòü ïîâíó ãðóïó ïîäié, ÿêùî : S Hi = Ω, à) i≥1
á) Hi ∩ Hj = ∅ (i 6= j). Òåîðåìà. ßêùî Hi , i ≥ 1 - ïîâíà ãðóïà ïîäié i P(Hi ) > 0, i ≥ 1, òî äëÿ áóäü-ÿêî¨ âèïàäêîâî¨ ïîäi¨ A:
P(A) =
X
P(Hi )P(A/Hi ).
i≥1
Òåîðåìà. Íåõàé ïîäi¨ Hi , i ≥ 1 óòâîðþþòü ïîâíó ãðóïó ïîäié i P(Hi ) > 0, i ≥ 1. Òîäi, äëÿ áóäü-ÿêî¨ âèïàäêîâî¨ ïîäi¨ B òàêî¨, ùî P(B) > 0 : P(Hi )P(B/Hi ) P(Hi /B) = P . P(Hk )P(B/Hk ) k≥1
17
À5 1. Ïiäêèäàþòü äâà ãðàëüíi êóáèêè. Çíàéòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî: à) âèïàäå õî÷à á îäèí ðàç 6 î÷îê, ÿêùî âiäîìî, ùî ñóìà î÷îê ÿêi âèïàëè, äîðiâíþ¹ 8; á) ñóìà î÷îê áiëüøå 9, ÿêùî âiäîìî, ùî îäèí ðàç âèïàëî 5 î÷îê. 2. Ïiäêèäàþòü 3 ãðàëüíi êóáèêè. Çíàéòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî: à) õî÷à á îäèí ðàç âèïàäå 6 î÷îê, ÿêùî íà âñiõ òðüîõ êóáèêàõ âèïàëè ðiçíi ãðàíi; á) õî÷à á îäèí ðàç âèïàäå 6 î÷îê, ÿêùî íà âñiõ òðüîõ êóáèêàõ âèïàëè îäíàêîâi ãðàíi. 3. Äèòèíà, ÿêà íàðîäèëàñü, ç îäíàêîâèìè éìîâiðíîñòÿìè ìîæå áóòè õëîïöåì ÷è äiâ÷èíîþ. Ñiì'ÿ ì๠äâîõ äiòåé. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî îáî¹ - äiâ÷àòà, ÿêùî âiäîìî ùî: à) ñòàðøà ç íèõ - äiâ÷èíà; á) õî÷à á îäíà ç íèõ - äiâ÷èíà. 4. Äîâåñòè, ùî P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P (A1 ) ·
n−1 Q i=1
P (Ai+1 /A1 ∩ ... ∩ Ai ).
5.  óðíi ìiñòèòüñÿ 5 ÷îðíèõ, 6 áiëèõ, 8 ÷åðâîíèõ êóëü. Ïîñëiäîâíî áåç ïîâåðíåííÿ ç óðíè âèéìàþòü òðè êóëi. Îá÷èñëèòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî: à) ïåðøà êóëÿ - ÷îðíà, äðóãà - áiëà, òðåòÿ - ÷åðâîíà; á) ïåðøà êóëÿ - áiëà, äðóãà i òðåòÿ - ÷åðâîíi. 6. Âiäîìî, ùî êiëüêiñòü äàëüòîíiêiâ ñåðåä ÷îëîâiêiâ - 5 âiäñîòêiâ, ñåðåä æiíîê - 0.25 âiäñîòêiâ. Íàâìàííÿ îáðàëè ëþäèíó. à) ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âîíà - äàëüòîíiê? á) Âiäîìî, ùî ëþäèíà - äàëüòîíiê. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âií - ÷îëîâiê? 7. ßêèì ïî ïîðÿäêó íàéâèãiäíiøå âèòÿãàòè ëîòåðåéíèé êâèòîê? 8. n êîðîáîê, â êîæíié ç ÿêèõ k áiëèõ i m ÷îðíèõ êóëü. Ç ïåðøî¨ êîðîáêè ïåðåêëàäàþòü ó äðóãó íàâìàííÿ îáðàíó êóëþ. Ïîòiì iç äðóãî¨ êîðîáêè ïåðåêëàäàþòü â òðåòþ íàâìàííÿ îáðàíó êóëþ i ò.ä. ßêà éìîâiðíiñòü âèòÿãíóòè áiëó êóëþ ç îñòàííüî¨ êîðîáêè? 9. 5 êîðîáîê: 4 ìiñòèòü ïî 2 áiëèõ i 2 ÷îðíèõ êóëi i îäíà - 5 áiëèõ i 1 ÷îðíó. Íàâìàííÿ âèòÿãíóëè áiëó êóëþ. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ¨¨ âèòÿãíóëè ç 5-î¨ êîðîáêè? 10. 2 ïiäïðè¹ìñòâà: 1-øå ä๠20% áðàêó, 2-ãå - 10%. Ìàãàçèí îòðèìàâ áðàêîâàíèé âèðiá. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî éîãî âèãîòîâëåíî íà ïåðøîìó ïiäïðè¹ìñòâi? 18
Â5 1. Ó âåäìåäÿ, âáèòîãî 1 êóëåþ, ñòðiëÿëè 3 ìèñëèâöi. Éìîâiðíîñòi âëó÷åííÿ ìèñëèâöiâ: ïåðøîãî - 0.8 äðóãîãî - 0.7 òðåòüîãî - 0.6 Çíàéòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âåäìåäÿ âáèâ : à) ïåðøèé ìèñëèâåöü, á) äðóãèé ìèñëèâåöü, â) òðåòié ìèñëèâåöü. 2. Ñòðiëîê À âëó÷๠â ìiøåíü ç éìîâiðíiñòþ 0.6, ñòðiëîê  - ç éìîâiðíiñòþ 0.5, à Ñ - ç éìîâiðíiñòþ 0.4. Ïiñëÿ çàëïó ïî ìiøåíi âèÿâëåíî 2 âëó÷åííÿ. Ùî áiëüø éìîâiðíî: âëó÷èâ Ñ ÷è íi? 3. Ç äâàíàäöÿòè êâèòêiâ, ïðîíóìåðîâàíèõ ÷èñëàìè âiä 1 äî 12, îäèí çà iíøèì âèáèðàþòü äâà êâèòêè. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî íà öèõ êâèòêàõ: à) îáèäâà íîìåðè ïàðíi; á) îáèäâà íîìåðè íåïàðíi; â) ïåðøèé íîìåð - ïàðíèé, äðóãèé - íåïàðíèé? 4. Ó òðüîõ âiääiëåííÿõ áàíêó À,  òà Ñ ïðàöþ¹ 50, 75 òà 100 ïðàöiâíèêiâ i âiäïîâiäíî 50, 60 òi 70 âiäñîòêiâ ¨õ - æiíêè. Çâiëüíåííÿ ðiâíîìîæëèâå äëÿ âñiõ öèõ ïðàöiâíèêiâ. à) Îäíîãî ïðàöiâíèêà áóëî çâiëüíåíî. ßêà éìîâiðíiñòü, ùî öå æiíêà? á) Âiäîìî, ùî çâiëüíåíî æiíêó. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âîíà ïðàöþâàëà ó âiääiëåíi Ñ? 5.  ïðèìiñüêîìó ñåëèùi 10% æèòåëiâ ìàþòü íèçüêi ïðèáóòêè, 55% -ñåðåäíi, 35% -âèñîêi. Âiäîìî, ùî ïîñòiéíèìè êëi¹íòàìè ñóïåðìàðêåòà ¹ 80% æèòåëiâ ç íèçüêèìè ïðèáóòêàìè, 52% æèòåëiâ ç ñåðåäíiìè ïðèáóòêàìè i 8% æèòåëiâ, ÿêi ìàþòü âèñîêi ïðèáóòêè. Âèïàäêîâèì ÷èíîì îáðàíèé ïîêóïåöü ñóïåðìàðêåòó. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âií: a) ì๠íèçüêi ïðèáóòêè; á) ì๠ñåðåäíi ïðèáóòêè; â) ì๠âèñîêi ïðèáóòêè. ßêèé âiäñîòîê æèòåëiâ ñåëèùà ¹ êëi¹íòàìè öüîãî ñóïåðìàðêåòó? 6. 6 êîðîáîê: 4 ìiñòèòü ïî 2 áiëèõ i 2 ÷îðíèõ êóëi i äâi ïî 5 áiëèõ i îäíó ÷îðíó. Íàâìàííÿ âèòÿãíóëè áiëó êóëþ. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ¨¨ âèòÿãíóëè ç 5-î¨ êîðîáêè? 19
−λ k
7. Êîìàõà âiäêëàä๠k ÿ¹öü ç éìîâiðíiñòþ e k!λ . Éìîâiðíiñòü íàðîäæåííÿ ëè÷èíêè ç ÿéöÿ - p. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ç'ÿâèòüñÿ òî÷íî n ëè÷èíîê? 8. Ó ïåðøié êîðîáöi 3 áiëèõ i 2 ÷îðíèõ êóëi, ó äðóãié - 4 áiëèõ i 4 ÷îðíèõ. Ç ïåðøî¨ êîðîáêè ïåðåêëàäàþòü 2 äîâiëüíi êóëi â 2-ãó. Ïiñëÿ öüîãî ç äðóãî¨ êîðîáêè âèòÿãëè áiëó êóëþ. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ç ïåðøî¨ êîðîáêè â äðóãó ïåðåêëàëè 2 áiëèõ êóëi? 9. Ó ñêàðáíèöi áóëî 600 ðóáiíiâ i 500 äiàìàíòiâ. Îäèí äîðîãîöiííèé êàìiíü çàãóáëåíî. Íàâìàííÿ âçÿëè 90 êàìåíiâ. Âèÿâèëîñÿ, ùî ç íèõ 40 äiàìàíòè i 50 - ðóáiíè. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî çíèê äiàìàíò?
20
Çàíÿòòÿ 6. Äèñêðåòíi âèïàäêîâi âåëè÷èíè. Ðîçïîäiëè: áiíîìiàëüíèé, ãåîìåòðè÷íèé òà Ïóàññîíà. Îçíà÷åííÿ. Íåõàé Ai , i ≥ 1 - âèïàäêîâi ïîäi¨, òàêi, ùî ∪i≥1 Ai = Ω, Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j. Ôóíêöiþ ξ(ω), ω ∈ Ω áóäåìî íàçèâàòè äèñêðåòíîþ âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ, ÿêùî
∀i ≥ 1 ∃xi ∈ R (xi 6= xj , i 6= j) : ∀ω ∈ Ai ξ(ω) = xi (ξ(ω) - ñòàëà íà êîæíié ìíîæèíi Ai ). Îçíà÷åííÿ. Íàáið éìîâiðíîñòåé
pi = P(Ai ) = P{ω : ξ(ω) = xi } íàçèâàþòü ðîçïîäiëîì äèñêðåòíî¨ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè. Îçíà÷åííÿ. Íåõàé x ∈ R. Ôóíêöiþ
Fξ (x) = P{ω : ξ(ω) < x} =
X
pi
{i:xi <x}
íàçèâàþòü ôóíêöi¹þ ðîçïîäiëó âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ (ðîçãëÿäà¹òüñÿ ñóìà âñiõ òèõ pi , äëÿ ÿêèõ âiäïîâiäíi çíà÷åííÿ xi ìåíøi íiæ x). Îçíà÷åííÿ. Ïîâòîðíi íåçàëåæíi âèïðîáóâàííÿ íàçèâàþòü âèïðîáóâàííÿìè Áåðíóëëi, ÿêùî ó êîæíîìó âèïðîáóâàííi ¹ òiëüêè äâà ìîæëèâèõ ðåçóëüòàòè i éìîâiðíîñòi öèõ ðåçóëüòàòiâ íå çìiíþþòüñÿ â óñiõ âèïðîáóâàííÿõ. Ðåçóëüòàòè âèïðîáóâàíü Áåðíóëëi íàçèâàþòü "óñïiõîì"(Ó) i "íåâäà÷åþ"(Í) i éìîâiðíîñòi ¨õ ïîçíà÷àþòü âiäïîâiäíî ð i q=1-ð. Íåõàé ξ(ω) - êiëüêiñòü óñïiõiâ ó n âèïðîáóâàííÿõ Áåðíóëëi (öå äèñêðåòíà âèïàäêîâà âåëè÷èíà, ÿêà ìîæå ïðèéìàòè çíà÷åííÿ 0, 1, ..., n). Ðîçïîäië öi¹¨ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè:
pn (k) = P{ω : ξ(ω) = k} = Cnk pk q n−k íàçèâàþòü áiíîìiàëüíèì ðîçïîäiëîì. 21
Íåõàé ξ(ω) - âèïàäêîâà âåëè÷èíà, ÿêà äîðiâíþ¹ êiëüêîñòi âèïðîáóâàíü äî ïîÿâè ïåðøîãî óñïiõó â ñõåìi Áåðíóëëi ç 0 < p ≤ 1. Îñêiëüêè âèïðîáóâàííÿ íåçàëåæíi, òî
P{ξ(ω) = n} = q n p, n = 0, 1, 2, ... . Ðîçïîäië òàêî¨ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè íàçèâàþòü ãåîìåòðè÷íèì ðîçïîäiëîì. Îçíà÷åííÿ. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ(ω) ì๠ðîçïîäië Ïóàññîíà ç ïàðàìåòðîì λ (λ > 0), ÿêùî âîíà íàáóâ๠çíà÷åíü 0,1,... ç éìîâiðíîñòÿìè
P{ξ = n} =
λn e−λ n!
Îçíà÷åííÿ. Íåõàé ξ - äèñêðåòíà âèïàäêîâà âåëè÷èíà, ÿêà íàáóâà¹
çíà÷åííÿ x1 , x2 , ... ç éìîâiðíîñòÿìè p1 , p2 , ... . Ìàòåìàòè÷íèì ñïîäiâàííÿì ξ íàçèâàþòü òàêó âåëè÷èíó
Mξ =
X
pk x k ,
k≥1
ÿêùî ñóìà ó ïðàâié ÷àñòèíi ì๠çìiñò. Îçíà÷åííÿ. Äèñïåðñi¹þ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ íàçèâàþòü
Dξ = M(ξ − Mξ)2 =
X
(xi − Mξ)2 pi .
i≥1
À6 1. Ìîíåòó ïiäêèäàþòü 2 ðàçè. Îïèñàòè ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié, çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ êiëüêîñòi ãåðáiâ ùî âèïàëè. 2. Ìîíåòó ïiäêèäàþòü 3 ðàçè. Îïèñàòè ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié, çíàéòè ðîçïîäië âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè - ÷èñëà ïîÿâ ãåðáà, ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ öi¹¨ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè. 3. Iìîâiðíiñòü òîãî, ùî ëþäèíà âiêó 25 ðîêiâ íå âìðå ïðîòÿãîì ðîêó, ñêëàä๠0.998. Ïëàòà çà ñòðàõóâàííÿ - $10 çà ñóìó $1000. Çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ, ðîçïîäië ïðèáóòêó ñòðàõîâî¨ êîìïàíi¨. 22
4. Îäíîðóêèé áàíäèò. Ó äâîõ âiêîíå÷êàõ ãðàëüíîãî àâòîìàòó ç'ÿâëÿþòüñÿ ìàëþíêè: äçâiíî÷êè, âèøíi , ÿáëóêà. Âiðîãiäíîñòi ïîÿâè äëÿ äçâiíî÷êiâ - 0.4, âèøåíü - 0.5, ÿáëóê - 0.1. Ïëàòà çà ãðó - 5 öåíòiâ. Ãðàâåöü îòðèìó¹ âèãðàø: ÿêùî ç'ÿâëÿþòüñÿ äâà îäíàêîâi ìàëþíêè. Âèãðàøi: 2 äçâiíî÷êè - 50, 2 âèøíi - 10, 2 ÿáëóêà -5 öåíòiâ. Çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ, ðîçïîäië âèãðàøó. 5. Êóáèê ïiäêèäàþòü 3 ðàçè. Íåõàé ξ - ÷èñëî ïîÿâ øiñòêè. Çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ, ðîçïîäië âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ. 6. Íîâîáðàíåöü ðîáèòü 20 ïîñòðiëiâ ó ìiøåíü. Âëó÷๠âií ç éìîâiðíiñòþ 0.2 äëÿ îêðåìèõ ïîñòðiëiâ. Ñêiëüêè â ñåðåäíüîìó áóäå âëó÷åíü? 7. Íåõàé ξ ì๠áiíîìiàëüíèé ðîçïîäië ç ïàðàìåòðàìè 6 òà 0.5. Ïîêàçàòè, ùî ξ =3 íàéáiëüø éìîâiðíå çíà÷åííÿ. 8. Ìîíåòó ïiäêèäàþòü äî ïîÿâè ðåøiòêè. Îïèñàòè ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié, çíàéòè ðîçïîäië âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè - ÷èñëà ïîÿâ ãåðáà, ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ. 9. Ãðàëüíèé êóáèê ïiäêèäàþòü äî ïîÿâè 6. ξ - êiëüêiñòü ïiäêèäàíü äî çàâåðøåííÿ åêñïåðèìåíòó. Îá÷èñëèòè ðîçïîäië ξ , Åξ , Dξ , P(ξ >1). 10. Òðèâàëiñòü òåëåôîííî¨ ðîçìîâè âèìiðþ¹òüñÿ õâèëèíàìè i ì๠ãåîìåòðè÷íèé ðîçïîäië. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ðîçìîâà òðèâàòèìå 3 õâèëèíè, ÿêùî âîíà äî öüîãî âæå òðèâàëà 10 õâèëèí? 11.  ìàãàçèí çàõîäèòü â ñåðåäíüîìó 10 ïîêóïöiâ íà ãîäèíó. à) ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî çà îäíó ãîäèíó íå çàéäå æîäåí ïîêóïåöü? á) ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî çàéäå áiëüøå íiæ îäèí ïîêóïåöü? 12. Âiäîìî, ùî ñåðåäí¹ ÷èñëî àâàðié çà äåíü íà òðàñi Êè¨â-×åðíiãiâ 3. Íåõàé ξ - êiëüêiñòü àâàðié çà òèæäåíü. Âèçíà÷èòè ðîçïîäië ξ , Dξ . ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî çà òèæäåíü íå áóäå æîäíî¨ àâàði¨? 13. 20 âèðîáiâ, 10 ç ÿêèõ áðàêîâàíi. Âèáèðà¹òüñÿ 5 âèðîáiâ. ξ êiëüêiñòü áðàêîâàíèõ âèðîáiâ â öié âèáiðöi. Âèçíà÷èòè ðîçïîäië ξ (ãiïåðãåîìåòðè÷íèé ðîçïîäië), Eξ òà Dξ .
23
Â6 1. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ïðèéì๠òðè çíà÷åííÿ: 1, 0, -1 ç îäíàêîâèìè éìîâiðíîñòÿìè. Çíàéòè ¨¨ ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ. 2.Ôóíêöiÿ ðîçïîäiëó âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ âèçíà÷åíà òàê: 0, x ≤ 1 F (x) = 1/2, x ∈ (1, 3] 1, x > 3 Îá÷èñëèòè ðîçïîäië ξ , Eξ , Dξ , P (ξ < 2). 2. Òðè ðàçè ïiäêèäàþòü ìîíåòó. Éìîâiðíiñòü ïîÿâè ãåðáà - 2/3, ðåøiòêè -1/3. Çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ, ðîçïîäië êiëüêîñòi ãåðáiâ. 3. Íàéïðîñòiøèé âàðiàíò ãðè â ðóëåòêó ïîëÿã๠â ñòàâöi íà îäèí íîìåð âiä 0 äî 36, àáî çåðî. Çíàéòè î÷iêóâàíèé âèãðàø ïðè ñòàâöi çà ãðó $1 òà âèãðàøi çà âãàäàíèé íîìåð $36. 4. Êóáèê ïiäêèäàþòü 8 ðàç. Çíàéòè ðîçïîäië êiëüêîñòi ïîÿâ îäèíèöi, ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ. 5. Ìîíåòó ïiäêèäàþòü 4 ðàçè. Îïèñàòè ïðîñòið åëåìåíòàðíèõ ïîäié, çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ êiëüêîñòi ãåðáiâ ùî âèïàäóòü. 6. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ ì๠áiíîìiàëüíèé ðîçïîäië ç ïàðàìåòðàìè n òà p. Eξ =12, Dξ =4. Îá÷èñëèòè n òà p. 7. Âiäîìî, ùî ç 15 ôiðì 5 - áàíêðóòè. Ñïåöiàëiñò âêàçàâ 3 iç 5. Âèçíà÷èòè éîãî ïðîôåñiéíèé ðiâåíü. 8. Ç êîëîäè â 52 êàðòè âèéìàþòü äâi êàðòè ç ïîâåðíåííÿì. Åêñïåðèìåíò ïðîäîâæó¹òüñÿ äîòè, äîêè íå ç'ÿâëÿòüñÿ êàðòè ðiçíîãî êîëüîðó. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ - êiëüêiñòü åêñïåðèìåíòiâ â òàêié ñåði¨. Îá÷èñëèòè ðîçïîäië ξ , ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ, P(ξ >2). 9. Ñåðåäíÿ êiëüêiñòü òåëåôîííèõ äçâiíêiâ ó êîìïàíiþ çà ãîäèíó äîðiâíþ¹ 10. Îá÷èñëèòè éìîâiðíiñòü òîãî, ùî çà ãîäèíó: à) áóäå ëèøå îäèí äçâiíîê; á) íå áóäå æîäíîãî äçâiíêà; â) áóäå áiëüø íiæ 2 äçâiíêè. 10. Íåõàé ξ - âèïàäêîâà âåëè÷èíà ç ðîçïîäiëîì Ïóàññîíà ç ïàðàìåòðîì λ. Ïîêàçàòè, ùî P(ξ =k) ñïî÷àòêó çðîñòà¹, à ïîòiì ñïàä๠iç çðîñòàííÿì k, äîñÿãàþ÷è ìàêñèìóìó, êîëè k - íàéáiëüøå öiëå ÷èñëî, ÿêå íå ïåðåâèùó¹ λ.
24
Çàíÿòòÿ 7. Àáñîëþòíî íåïåðåðâíi âèïàäêîâi âåëè÷èíè. Îçíà÷åííÿ. Íåõàé ξ - âèïàäêîâà âåëè÷èíà ç ôóíêöi¹þ ðîçïîäiëó F(x) = P{ξ < x}. Êàæóòü, ùî ξ - àáñîëþòíî íåïåðåðâíà âèïàäêîâà âå-
ëè÷èíà, àáî ùî ξ ì๠ùiëüíiñòü ðîçïîäiëó p(·), ÿêùî iñíó¹ iíòåãðîâíà ôóíêöiÿ p(·) òàêà, ùî Z x p(t)dt. (1) F(x) = −∞
Ôóíêöiþ p(·) ó òî÷êàõ ¨¨ íåïåðåðâíîñòi ìîæíà çíàéòè òàê:
p(x) = F0 (x).
Îçíà÷åííÿ. Ðiâíîìiðíèì ðîçïîäiëîì íà âiäðiçêó [à,b] íàçèâàþòü ðîçïîäië ç ùiëüíiñòþ (
p(x) =
1 , b−a
ÿêùî x ∈ [a, b] ÿêùî x ∈ 6 [a, b].
0,
Ôóíêöiÿ ðîçïîäiëó ξ :
Fξ (x) =
1,
ÿêùî x > b ÿêùî x ∈ (a, b] ÿêùî x ≤ a.
x−a , b−a
0,
Îçíà÷åííÿ. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ ì๠ïîêàçíèêîâèé (åêñïîíåíöié-
íèé) ðîçïîäië ç ïàðàìåòðîì λ > 0, ÿêùî ùiëüíiñòü ξ âèçíà÷à¹òüñÿ çà ôîðìóëîþ (
p(x) =
λe−λx , ÿêùî x ≥ 0 0, ÿêùî x < 0.
Ôóíêöiÿ ðîçïîäiëó ξ :
(
F(x) = P{ξ < x} =
(2)
1 − e−λx , ÿêùî x ≥ 0 0, ÿêùî x < 0.
Îçíà÷åííÿ. Íîðìàëüíèì ðîçïîäiëîì N (a, σ 2 ) ç ïàðàìåòðàìè a òà σ 2
íàçèâàþòü ðîçïîäië ç ùiëüíiñòþ:
p(x) = √
(x−a)2 1 e− 2σ2 . 2πσ
25
Îçíà÷åííÿ. Íåõàé âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ ì๠ùiëüíiñòü ðîçïîäiëó
p(x), òîäi ìàòåìàòè÷íèì ñïîäiâàííÿì ξ íàçèâàþòü ÷èñëî: Mξ =
Z +∞ −∞
xp(x)dx,
ÿêùî iíòåãðàë ó ïðàâié ÷àñòèíi âèçíà÷åíèé êîðåêòíî (àáñîëþòíî çáiãà¹òüñÿ). Îçíà÷åííÿ. Äèñïåðñi¹þ àáñîëþòíî íåïåðåðâíî¨ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ íàçèâàþòü ÷èñëî: 2
Dξ = M(ξ − Mξ) =
Z +∞ −∞
(x − Mξ)2 p(x)dx.
A7 1. Ùiëüíiñòü ðîçïîäiëó âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ ì๠âèãëÿä:
p (x) =
0, x < 0
cx2 , x ∈ [0, 1] 0, x > 1
Îá÷èñëèòè ñ, ôóíêöiþ ðîçïîäiëó ξ , Eξ , Dξ. Íàìàëþâàòè ãðàôiê ùiëüíîñòi òà ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó ξ . Îá÷èñëèòè P (ξ < 1/3). 2. Ìiæ äâîìà ïóíêòàìè, âiäñòàíü ìiæ ÿêèìè 10 êì, ¨çäèòü àâòîáóñ ç çóïèíêîþ íà âèìîãó ó áóäü-ÿêîìó ìiñöi. Ùiëüíiñòü éìîâiðíîñòi ïîñàäêè ïàñàæèðà â òî÷öi õ (0 ≤ x ≤ 10) ïðîïîðöiéíà x(10 − x)2 . Âèçíà÷èòè öþ ùiëüíiñòü òà âiäïîâiäíó ôóíêöiþ ðîçïîäiëó. Íàêðåñëèòè ¨õ ãðàôiêè. Îá÷èñëèòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ òà äèñïåðñiþ ìiñöÿ ïîñàäêè. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ïàñàæèð çóïèíèòü àâòîáóñ ðàíiøå ïóíêòó ç êîîðäèíàòîþ Z. 3. Çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ i äèñïåðñiþ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ ðiâíîìiðíî ðîçïîäiëåíî¨ â ïðîìiæêó [1, 11]. Îá÷èñëèòè P (ξ > 9). 4. Âàãà àâòîìîáiëÿ m ðiâíîìiðíî ðîçïîäiëåíà ìiæ 998 êã i 1 ò. Çíàéòè ùiëüíiñòü, ôóíêöiþ ðîçïîäiëó , ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ òà äèñïåðñiþ m. 5. Îá÷èñëèòè Eξ òà Dξ äëÿ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè çi ùiëüíiñòþ p (x) = 12 e−|x| (ðîçïîäië Ëàïëàñà) 26
6. Ñòóäåíòè âèêîðèñòîâóþòü êîìï'þòåðè ó ñåðåäíüîìó 30 õâ. Âèçíà÷èòè ùiëüíiñòü, ôóíêöiþ ðîçïîäiëó ÷àñó âèêîðèñòàííÿ, íàìàëþâàòè âiäïîâiäíi ãðàôiêè. Çíàéòè âiðîãiäíiñòü òîãî, ùî ñòóäåíò ïðàöþâàòèìå çà êîìï'þòåðîì ìåíøå 30 õâ. 7. Ôóíêöiÿ ðîçïîäiëó ÷àñó ξ áåçâiäìîâíî¨ ðîáîòè êîìï'þòåðà ì๠âèãëÿä: ½
F (t) =
t
1 − e− T , t ≥ 0 0, t < 0
Çíàéòè ùiëüíiñòü ξ . Íàêðåñëèòè ãðàôiêè ùiëüíîñòi òà ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó ξ . Îá÷èñëèòè Eξ , Dξ . 8. ×àñ íàïèñàííÿ iñïèòó â ñåðåäíüîìó 3 ãîäèíè, ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ - 5 õâ. Âèçíà÷èòè ùiëüíiñòü, ðîçïîäië ÷àñó iñïèòó, íàìàëþâàòè ãðàôiêè âiäïîâiäíèõ ôóíêöié. Çíàéòè iìîâiðíiñòü òîãî, ùî à) åêçàìåí áóäå òðèâàòè ìåíøå 2 ãîä. 50 õâ. á) åêçàìåí áóäå òðèâàòè ìiæ 2 ãîä. 50 õâ. i 3 ãîä. 10 õâ. 9. Ñåðåäíÿ äîâæèíà êàðòêè - 3 ä, äèñïåðñiÿ - 0.01 ä. Êàðòêà ââàæà¹òüñÿ äåôåêòíîþ, êîëè äîâæèíà ¨¨ ìåíøà çà 2.98 ä. ßêà éìîâiðíiñòü: a) äåôåêòó? á) òîãî, ùî äîâæèíà êàðòêè áóäå áiëüøå 3.03 ä? 10. Äëÿ ÿêîãî çíà÷åííÿ a ôóíêöiÿ
p (x) =
a 1 + x2
¹ ùiëüíiñòþ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè. Îá÷èñëèòè: a) ôóíêöiþ ðîçïîäiëó öi¹¨ âåëè÷èíè. á) éìîâiðíiñòü òîãî, ùî âîíà ïîòðàïèòü â ïðîìiæîê (-1,1).
27
B7 1. Ùiëüíiñòü âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ ïðèéì๠îäíå é òå æ çíà÷åííÿ ó äâîõ ïðîìiæêàõ: (-2,1) i (4,5).  iíøèõ òî÷êàõ ùiëüíiñòü ñòàëà. Çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ ξ . 2. Ôóíêöiÿ ðîçïîäiëó ði÷íèõ ïðèáóòêiâ ξ îñiá, ÿêi îáêëàäàþòüñÿ ïîäàòêàìè ì๠âèãëÿä: (
F (x) =
³
´a
1 − xx0 , x ≥ x0 0, x < x0
Çíàéòè ùiëüíiñòü ξ , Eξ , Dξ . Âèçíà÷èòè ðîçìið ði÷íîãî ïðèáóòêó, ÿêèé äëÿ âèïàäêîâî âèáðàíîãî ïëàòíèêà ìîæå áóòè ïåðåâèùåíèé ç éìîâiðíiñòþ 0,5. 3. ×àñ ïîëüîòó äî Íüþ-Éîðêà âàðiþ¹òüñÿ âiä 2 äî 2.5 ãîäèí. Ïîáóäóâàòè ôóíêöi¨ òà ãðàôiêè: ùiëüíîñòi, ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó ÷àñó ïîëüîòó; çíàéòè ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ (ñåðåäíié ÷àñ ïîëüîòó ëiòàêà), äèñïåðñiþ, âiðîãiäíiñòü òîãî, ùî ëiòàê ïðèëåòèòü ðàíiøå íiæ çà 2 ãîä. 10 õâ. 4. ×àñ î÷iêóâàííÿ ïî¨çäà ó ìåòðî t çìiíþ¹òüñÿ âiä 0 äî 4 õâ. Çíàéòè ùiëüíiñòü, ôóíêöiþ ðîçïîäiëó, ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ, äèñïåðñiþ t; éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ÷åêàòè äîâåäåòüñÿ áiëüøå, íiæ 2 õâ. 5. Åëåêòðîííà ëàìïà ïðàöþ¹ â ñåðåäíüîìó 3 ðîêè. Âèçíà÷èòè ùiëüíiñòü, ôóíêöiþ ðîçïîäiëó ÷àñó ðîáîòè ëàìïè, íàìàëþâàòè ãðàôiêè âiäïîâiäíèõ ôóíêöié. Çíàéòè âiðîãiäíiñòü òîãî, ùî åëåêòðîííà ëàìïà ïðàöþâàòèìå íå ìåíøå íiæ òðè ðîêè. 6. Éìîâiðíiñòü âèÿâëåííÿ ïàðîïëàâà, ÿêèé çàòîíóâ, çà ÷àñ ïîøóêó t çàäà¹òüñÿ ôîðìóëîþ:
F (t) = 1 − e−γt , (γ > 0) Âèçíà÷èòè: à) ñåðåäíié ÷àñ ïîøóêó ïàðîïëàâà; á) éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ÷àñó íà ïîøóêè ïiäå áiëüøå ðîêó. 7.  ñåðåäíüîìó çà äåíü ÷åðåç áàíê ïðîõîäèòü $55000 çi ñòàíäàðòíèì âiäõèëåííÿì $10000. Çíàéòè ùiëüíiñòü, ôóíêöiþ ðîçïîäiëó. Çíàéòè âiðîãiäíiñòü òîãî, ùî ñóìà áóäå ìåíøà çà $50000.
28
8. Ñèñòåìàòè÷íà ïîìèëêà óòðèìàííÿ âèñîòè ëiòàêîì äîðiâíþ¹ +20ì, âèïàäêîâà ïîìèëêà ì๠ñåðåäí¹ êâàäðàòè÷íå âiäõèëåííÿ 75ì. Äëÿ ïîëüîòó ëiòàêó âiäâåäåíî êîðèäîð 100ì. ßêà éìîâiðíiñòü òîãî, ùî ëiòàê áóäå ëåòiòè à) íèæ÷å; á) âñåðåäèíi; â) âèùå êîðèäîðó, ÿêùî éîìó çàäàíà âèñîòà, ùî âiäïîâiä๠ñåðåäèíi êîðèäîðà? 9. Îáðîáêà ðåçóëüòàòiâ ïåðåïèñó, ïîêàçàëà, ùî ùiëüíiñòü âiêó ëþäåé, ÿêi çàéìàþòüñÿ íàóêîâîþ ðîáîòîþ, ìîæå áóòè çîáðàæåíà ôîðìóëîþ
f (x) = k (x − 22, 5) (97, 5 − x)3 (x - ÷àñ â ðîêàõ, 22, 5 ≤ x ≤ 97, 5). Âèçíà÷èòè â ñêiëüêè ðàçiâ êiëüêiñòü íàóêîâèõ ïðàöiâíèêiâ ó âiöi íèæ÷å ñåðåäíüîãî ïåðåâèùó¹ êiëüêiñòü íàóêîâèõ ïðàöiâíèêiâ ó âiöi âèùå ñåðåäíüîãî. 10. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ ðiâíîìiðíî ðîçïîäiëåíà íà âiäðiçêó [0,1]. Çíàéòè ùiëüíiñòü, ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ i äèñïåðñiþ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè η = 3ξ − 2.
29
Çàíÿòòÿ 8. Ñóìiñíi ðîçïîäiëè âèïàäêîâèõ âåëè÷èí. Íåçàëåæíiñòü. Êîåôiöi¹íòè êîâàðiàöi¨ òà êîðåëÿöi¨. Ðîçãëÿíåìî äâi äèñêðåòíi âèïàäêîâi âåëè÷èíè ξ i η, ÿêi âèçíà÷åíi íà îäíîìó ïðîñòîði åëåìåíòàðíèõ ïîäié Ω i ïðèéìàþòü çíà÷åííÿ xi , i ≥ 1, òà yj , j ≥ 1 ç éìîâiðíîñòÿìè pi , i ≥ 1 òà qj , j ≥ 1 âiäïîâiäíî. Òi òî÷êè ïðîñòîðó Ω, äëÿ ÿêèõ âèêîíóþòüñÿ îáèäâi óìîâè ξ(ω) = xi òà η(ω) = yj óòâîðþþòü âèïàäêîâó ïîäiþ {ω : ξ(ω) = xi , η(ω) = yj } éìîâiðíiñòü ÿêî¨ áóäåìî ïîçíà÷àòè òàê:
pij = P{ω : ξ(ω) = xi , η(ω) = yj }, i ≥ 1, j ≥ 1. Íàáið éìîâiðíîñòåé pij , i ≥ 1, j ≥ 1 íàçèâàþòü ñóìiñíèì ðîçïîäiëîì äèñêðåòíèõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ξ òà η. Äëÿ êîæíîãî ôiêñîâàíîãî i ìà¹ìî: X
pij = pi .
j≥1
Íåõàé f (·, ·) - äåÿêà ôóíêöiÿ äâîõ çìiííèõ. Òîäi f (ξ, η) - âèïàäêîâà âåëè÷èíà, à ¨¨ ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ ìîæíà îá÷èñëèòè òàê:
Mf (ξ, η) =
XX
f (xi , yj )pij .
i≥1 j≥1
Îçíà÷åííÿ. Âèïàäêîâi âåëè÷èíè ξ1 , ..., ξk - íåçàëåæíi, ÿêùî äëÿ áóäü-
ÿêèõ x1 , ..., xk :
P{ξ1 = x1 , ..., ξk = xk } = P{ξ1 = x1 } · ... · P{ξk = xk }. Ðîçãëÿíåìî äâi àáñîëþòíî íåïåðåðâíi âèïàäêîâi âåëè÷èíè ξ i η , ÿêi âèçíà÷åíi íà îäíîìó ïðîñòîði åëåìåíòàðíèõ ïîäié Ω i ìàþòü ùiëüíîñòi p(x) òà q(x) âiäïîâiäíî. Òî÷êè ω ïðîñòîðó Ω, äëÿ ÿêèõ âèêîíóþòüñÿ îáèäâi óìîâè ξ(ω) < x i η(ω) < x óòâîðþþòü âèïàäêîâó ïîäiþ {ω : ξ(ω) < x, η(ω) < y}, éìîâiðíiñòü ÿêî¨ ïîçíà÷àþòü òàê:
F(x, y) = P{ω : ξ(ω) < x, η(ω) < y} 30
i íàçèâàþòü ñóìiñíîþ ôóíêöi¹þ ðîçïîäiëó. Ôóíêöiþ f (x, y) òàêó, ùî Z Z
F(x, y) =
{(t,s):t<x,s
f (t, s)dtds
íàçèâàþòü ñóìiñíîþ ùiëüíiñòþ ξ òà η. Iç îçíà÷åííÿ çðîçóìiëî, ùî ñóìiñíó ùiëüíiñòü ó òî÷êàõ ¨¨ íåïåðåðâíîñòi ìîæíà îá÷èñëèòè òàê:
f (x, y) =
∂ 2 F(x, y) . ∂x∂y
(3)
Íåõàé G(·, ·) : R2 → R - äåÿêà ôóíêöiÿ äâîõ çìiííèõ. Ìàòåìàòè÷íèì ñïîäiâàííÿì âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè G(ξ, η) áóäåìî íàçèâàòè âåëè÷èíó: +∞ Z +∞ Z
MG(ξ, η) =
G(x, y)f (x, y)dydx. −∞ −∞
Îçíà÷åííÿ. Áóäåìî êàçàòè, ùî ξ òà η - íåçàëåæíi, ÿêùî äëÿ áóäüÿêèõ x ∈ R, y ∈ R : f (x, y) = p(x)q(y). Íåõàé äëÿ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ξ òà η iñíóþòü ñêií÷åííi Mξ, Dξ, Mη, Dη. Îçíà÷åííÿ. Êîâàðiàöi¹þ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ξ òà η áóäåìî íàçèâàòè ÷èñëî: cov(ξ, η) = M[(ξ − Mξ)(η − Mη)] = M(ξη) − MηMξ, ÿêùî ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ ó ïðàâié ÷àñòèíi iñíó¹. Íåõàé Dξ 6= 0, Dη 6= 0. Îçíà÷åííÿ. Êîåôiöi¹íòîì êîðåëÿöi¨ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ξ òà η íàçèâàþòü ÷èñëî cov(ξ, η) r(ξ, η) = √ . DξDη
31
À8 1. Ïiäêèäàþòü äâi ìîíåòè. ξ - êiëüêiñòü ãåðáiâ, ùî ç'ÿâèëèñü, η - êiëüêiñòü ðåøiòîê. Çíàéòè ñóìiñíèé ðîçïîäië ξ òà η . Çàëåæíi ξ òà η ÷è íi? Çà ñóìiñíèì ðîçïîäiëîì îá÷èñëèòè ðîçïîäiëè äëÿ ξ òà η çîêðåìà. Ïiäðàõóâàòè êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ ξ òà η . 2. Ïiäêèäàþòü 2 êóáèêè; ξ - êiëüêiñòü øiñòîê, η - êiëüêiñòü ïàðíèõ ÷èñåë. Çíàéòè ñóìiñíèé ðîçïîäië ξ òà η . Çàëåæíi ξ òà η ÷è íi? Çà ñóìiñíèì ðîçïîäiëîì îá÷èñëèòè ðîçïîäiëè äëÿ ξ òà η çîêðåìà. Ïiäðàõóâàòè êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ ξ òà η . 3. Iç êîëîäè â 36 êàðòè âèòÿãóþòü 2 êàðòè. Çíàéòè êîåôiöi¹íòè êîâàðiàöi¨ òà êîðåëÿöi¨ ìiæ êiëüêîñòÿìè âèòÿãíóòèõ äàì òà êiëüêiñòþ ÷åðâîíèõ êàðò. 4. Îáñòåæåííÿ ïàðòi¨ îäíîòèïíèõ âèðîáiâ, ÿêi âèðîáëÿþòüñÿ íà òðüîõ ïiäïðè¹ìñòâàõ, íà áðàê äàëî òàêi ðåçóëüòàòè: ßêiñòü \ Ïiäïðè¹ìñòâî ßêiñíi Áðàêîâàíi
I 47 3
II 30 4
III 73 3
Âèçíà÷èòè, ÷è çàëåæèòü ÿêiñòü âiä òîãî, íà ÿêîìó ïiäïðè¹ìñòâi âèãîòîâëåíî âèðiá. Çíàéòè êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ ìiæ ÿêiñòþ i íîìåðîì ïiäïðè¹ìñòâà, äå âèãîòîâëåíî âèðiá. 5. Ñóìiñíèé ðîçïîäië âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ξ òà η âèçíà÷à¹òüñÿ òàáëèöåþ: ξ\η -1 0 1 1 0,1 0,1 0,1 2 0,2 0,3 0,2 Âèçíà÷èòè ðîçïîäiëè ξ òà η çîêðåìà. Îá÷èñëèòè Åξ , Åη , Dξ , Dη , E(ξ · η ), E(η 2 -ξ ). ×è ¹ ξ òà η çàëåæíèìè? Îá÷èñëèòè êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ ξ òà η . 6. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ íàáóâ๠çíà÷åíü 2,-1,1,2 ç iìîâiðíîñòÿìè 1/4 äëÿ êîæíîãî. Íåõàé η =ξ 2 . Çíàéòè ñóìiñíèé ðîçïîäië ξ òà η . ×è ¹ ξ òà η çàëåæíèìè? Îá÷èñëèòè êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ ξ òà η . 7. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà η âèçíà÷åíà ÿê ëiíiéíå ïåðåòâîðåííÿ ξ :
η = aξ + b (a 6= 0; a, b ∈ R). 32
Îá÷èñëèòè êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ ξ òà η . 8. Âåêòîð (ξ ,η ) ðiâíîìiðíî ðîçïîäiëåíèé âñåðåäèíi îäèíè÷íîãî êðóãà x2 + y 2 ≤ 1. Çíàéòè ñóìiñíó ùiëüíiñòü ξ òà η . Îá÷èñëèòè ùiëüíîñòi ξ òà η çîêðåìà. ×è ¹ ξ òà η çàëåæíèìè? Îá÷èñëèòè Åξ , Åη , Dξ , Dη , êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ ξ òà η . Â8 1. Ïiäêèäàþòü 2 êóáèêè; ξ - êiëüêiñòü øiñòîê, η - êiëüêiñòü íåïàðíèõ ÷èñåë. Çíàéòè ñóìiñíèé ðîçïîäië, ðîçïîäiëè ξ òà η . Îá÷èñëèòè êîåôiöi¹íòè êîâàðiàöi¨, êîðåëÿöi¨ ξ òà η . ×è ¹ ξ òà η çàëåæíèìè? 2. Iç êîëîäè â 52 êàðòè âèòÿãóþòü 2 êàðòè. Çíàéòè êîåôiöi¹íòè êîâàðiàöi¨ òà êîðåëÿöi¨ ìiæ êiëüêîñòÿìè âèòÿãíóòèõ äàì òà êîðîëiâ. 3.  ãðóïi ñòóäåíòiâ áóëî ïðîâåäåíî òåñòóâàííÿ ç äâîõ äèñöèïëií: ìàòåìàòèêè òà ôiçèêè. Ðåçóëüòàòè íàâåäåíî â òàáëèöi: Ôiçèêà \ Ìàòåìàòèêà Íå ñêëàëè Ñêëàëè
Íå ñêëàëè 6 1
Ñêëàëè 3 25
Âèçíà÷èòè êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ óñïiøíîñòi ñòóäåíòiâ ç öèõ äâîõ äèñöèïëií. 4. Ñóìiñíèé ðîçïîäië âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ξ òà η çàäàíî òàáëèöåþ:
ξ\η -1 1
0 0,15 0,15
1 0,2 0,1
2 0,1 0,3
Îá÷èñëèòè ùiëüíîñòi ξ òà η çîêðåìà. Îá÷èñëèòè Åξ , Åη , Dξ , Dη , Å(ξ +η ), E(ξ · η). ×è ¹ ξ òà η çàëåæíèìè? Îá÷èñëèòè êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ ξ òà η . 5. Âèïàäêîâà âåëè÷èíà ξ íàáóâ๠çíà÷åíü -1, 0, 1 ç éìîâiðíîñòÿìè 1/3 êîæíå. Çíàéòè ñóìiñíèé ðîçïîäië ξ 2 òà ξ 3 , òà ¨õ êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨. 6. Âèïàäêîâèé âåêòîð (ξ ,η ) ðiâíîìiðíî ðîçïîäiëåíèé âñåðåäèíi òðèêóòíèêà ç âåðøèíàìè â òî÷êàõ (0,0), (0,1) òà (1,0). Çíàéòè ùiëüíiñòü ñóìiñíîãî ðîçïîäiëó ξ òà η , ùiëüíîñòi ξ òà η çîêðåìà. Îá÷èñëèòè Åξ , Åη , Dξ , Dη , Å(ξ · η ), êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ ξ òà η . ×è ¹ ξ òà η íåçàëåæíèìè?
33
Çàíÿòòÿ 9. Îïèñîâà ñòàòèñòèêà. Ðîçòàøó¹ìî âèáiðêîâi çíà÷åííÿ ξ1 , ξ2 , ..., ξn ó ïîðÿäêó çðîñòàííÿ: ξ1∗ ≤ ≤ ... ≤ ξn∗ . Îçíà÷åííÿ. Ïîñëiäîâíiñòü ξ1∗ , ξ2∗ , ..., ξn∗ áóäåìî íàçèâàòè âàðiàöiéíèì ðÿäîì ïîñëiäîâíîñòi ξ1 , ξ2 , ..., ξn , à ¨¨ ÷ëåíè ξi∗ - ïîðÿäêîâèìè ñòàòèñòèêàìè. Îçíà÷åííÿ. Åìïiðè÷íîþ ôóíêöi¹þ ðîçïîäiëó íàçèâàþòü ôóíêöiþ
ξ2∗
ˆ n (x) = êiëüêiñòü òàêèõ ξk , ùî ξk < x . F n Öþ ôóíêöiþ ìîæíà çàïèñàòè ùå òàê:
ˆ n (x) = F
Pn
k=1 I{ξk <x} (ω)
n
.
Íåõàé âiñü ÎÕ ðîçáèòà íà ïðîìiæêè , ÿêi âiäïîâiäàþòü ãðóïàì ñïîñòåðåæåíü. Òàáëèöÿ ÷àñòîò ä๠êiëüêiñòü ñïîñòåðåæåíü äëÿ êîæíîãî ïðîìiæêó ðîçáèòòÿ. ßêùî öi êiëüêîñòi âèðàçèòè ó âiäñîòêàõ,âiä çàãàëüíî¨ êiëüêîñòi ñïîñòåðåæåíü,òî îòðèìà¹ìî âiäñîòêîâó òàáëèöþ ÷àñòîò. Ùå îäèí òèï òàáëèöi îòðèìó¹ìî, ÿêùî âiäñîòêè ïåðåâåñòè ó äîëi îäèíèöi. Ãðàôi÷íå çîáðàæåííÿ òàáëèöi ÷àñòîò ä๠ãiñòîãðàìà. ¨ áóäóþòü òàê: âiñü Îõ ðîçáèâàþòü íà ïðîìiæêè , ÿêi âiäïîâiäàþòü ãðóïàì ñïîñòåðåæåíü, i íà öèõ ïðîìiæêàõ áóäóþòü ïðÿìîêóòíi ñòîâïöi, âèñîòè ÿêèõ ïðîïîðöiéíi êiëüêîñòÿì ñïîñòåðåæåíü ó âiäïîâiäíèõ ãðóïàõ. ßêùî ïðîìiæêè ðiçíî¨ äîâæèíè, òî êîåôiöi¹íò ïðîïîðöiéíîñòi ñëiä ïîäiëèòè íà äîâæèíó ïðîìiæêà. Ùîá äîñÿãòè ïîâíî¨ âiäïîâiäíîñòi äî ùiëüíîñòi, êîåôiöi¹íò ïðîïîðöiéíîñòi ñëiä âèáðàòè òàê, ùîá ñóìà ïëîù óñiõ ïðÿìîêóòíèêiâ äîðiâíþâàëà 1. Ïîëiãîí ÷àñòîò îòðèìóþòü iç ãiñòîãðàìè, ç'¹äíóþ÷è ñåðåäèíè âåðõíiõ ñòîðií ñóñiäíiõ ïðÿìîêóòíèêiâ âiäðiçêàìè. Íàêîïè÷åíi òàáëèöi ÷àñòîò,ãiñòîãðàìè òà ïîëiãîíè óòâîðþþòüñÿ,ÿêùî êîæíîìó ïðîìiæêó ðîçáèòòÿ ñòàâèòè ó âiäïîâiäíiñòü êiëüêiñòü ñïîñòåðåæåíü,ùî ëåæàòü ó íüîìó òà çëiâà âiä íüîãî. Õàðàêòåðèñòèêè öåíòðàëüíî¨ òåíäåíö¨¨: ξ ∗ +ξ ∗ à) ñåðåäíié ðîçìàõ : 1 2 n ; 34
n P
ξi
á) ñåðåäí¹ : ξ¯ = i=1n ; â) ìîäà M0 - çíà÷åííÿ, ÿêå ó âèáiðöi çóñòði÷à¹òüñÿ íàé÷àñòiøå; ã) ìåäiàíà Md - ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ ó âàðiàöiéíîìó ðÿäi (ÿêùî êiëüêiñòü ñïîñòåðåæåíü ïàðíà ,òî öå ñåðåäí¹ àðèôìåòè÷íå äâîõ ïîñëiäîâíèõ ñåðåäíiõ çíà÷åíü). Õàðàêòåðèñòèêè ðîçêèäó (âiäõèëåííÿ âiä öåíòðàëüíî¨ òåíäåíö¨¨) âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè: à)ðîçìàõ: ξn∗ − ξ1∗ ; n 1 P ¯ 2; á)âèáiðêîâà äèñïåðñiÿ: sˆ2 = n−1 (ξi − ξ) i=1 √ â)âèáiðêîâå ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ: σ ˆ = sˆ2 ; ã)êîåôiöi¹íò âàðiàö¨¨: V = σξ¯ 100%. Îçíà÷åííÿ. Íåõàé p ∈ (0, 1). p-êâàíòiëëþ (êâàíòiëëþ ðiâíÿííÿ p ) íàçèâàþòü ðîçâ'ÿçîê dp ðiâíÿííÿ F(x) = p. Òîáòî P{ξ < dp } = p. Îçíà÷åííÿ. Âèáiðêîâîþ p-êâàíòiëëþ íàçèâàþòü îöiíêó dˆp = ξk∗ êâàíòiëi dp , äå k = np, ÿêùî np ∈ N i k = [np] + 1 â iíøîìó âèïàäêó. ßêùî ¹ ïàðè ñïîñòåðåæåíü (xi , yi ), i = 1, ..., n, òî ïðÿìà y = bx + a, ñóìà êâàäðàòiâ âiäñòàíåé ïî âåðòèêàëi ïàð ñïîñòåðåæåíü âiä ÿêî¨ íàéìåíøà, íàçèâà¹òüñÿ ëiíiéíîþ ðåãðåñi¹þ. Êîåôiöi¹íòè a òà b âèçíà÷àþòüñÿ çà ôîðìóëàìè:
n b=
n P
(xi yi ) −
i=1
n
n P i=1
xi
i=1 n P
x2i − (
n P i=1
a=
n P
i=1 n P
yi
i=1
n P
i=1
yi
xi )2 xi
−b n n Âèáiðêîâèé êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ îá÷èñëþþòü çà ôîðìóëîþ : n r=s n
n P i=1
x2i
n P
(xi yi ) −
i=1
−(
n P
i=1
n P i=1
s
xi
)2
35
n
xi
n P i=1
yi
n n P P yi2 − ( yi )2
i=1
i=1
À9 1. Â ðåçóëüòàòi îïèòóâàííÿ 22 êîðèñòóâà÷iâ êîìï'þòåðiâ ïðî òå ñêiëüêè ðàçiâ çà ðiê âîíè êóïóâàëè äèñêåòè, îòðèìàëè òàêi ðåçóëüòàòè :
1 0 12 9
2 2 13 2
3 5 14 4
4 0 15 0
5 3 16 2
6 1 17 9
7 8 18 3
8 0 19 0
9 3 20 1
10 1 21 9
11 1 22 8
Ïîáóäóâàòè: à) âàðiàöiéíèé ðÿä, åìïiðè÷íó ôóíêöiþ ðîçïîäiëó; á) òðè òàáëèöi ÷àñòîò; â) òðè òèïè ãiñòîãðàì òà ïîëiãîíiâ ÷àñòîò; ã) íàêîïè÷åíi ãiñòîãðàìè òà ïîëiãîíè ÷àñòîò. Îá÷èñëèòè: à) ÷èñëîâi õàðàêòåðèñòèêè öåíòðàëüíî¨ òåíäåíöi¨; á) ÷èñëîâi õàðàêòåðèñòèêè ðîçêèäó äàíèõ. 2.  ãðóïi ç 25 ñòóäåíòiâ ïðîâåëè îïèòóâàííÿ ïðî êiëüêiñòü êíèã, ÿêi áóëè ïðî÷èòàíi çà îñòàííi øiñòü ìiñÿöiâ. Çà ðåçóëüòàòàìè îïèòóâàííÿ:
1 6 14 6
2 24 15 20
3 14 16 20
4 11 17 9
5 33 18 33
6 15 19 15
7 15 20 10
8 8 21 6
9 14 22 11
10 10 23 20
11 8 24 8
12 27 25 6
13 15
ïîáóäóâàòè: à) âàðiàöiéíèé ðÿä, åìïiðè÷íó ôóíêöiþ ðîçïîäiëó; á) òðè òàáëèöi ÷àñòîò; â) òðè òèïè ãiñòîãðàì òà ïîëiãîíiâ ÷àñòîò; ã) íàêîïè÷åíi ãiñòîãðàìè òà ïîëiãîíè ÷àñòîò. Îá÷èñëèòè: à) ÷èñëîâi õàðàêòåðèñòèêè öåíòðàëüíî¨ òåíäåíöi¨; á) ÷èñëîâi õàðàêòåðèñòèêè ðîçêèäó äàíèõ. 3. Ðåçóëüòàòè òåñòóâàííÿ 145 îñiá äëÿ çàðàõóâàííÿ íà ðîáîòó: Ðåçóëüòàò Ê-ñòü îñiá
9 5
8 10
7 19
6 23 36
5 35
4 21
3 15
2 11
1 6
Ïîáóäóâàòè âiäñîòêîâi òàáëèöþ ÷àñòîò, ãiñòîãðàìó òà ïîëiãîí ÷àñòîò. Îá÷èñëèòè ÷èñëîâi õàðàêòåðèñòèêè öåíòðàëüíî¨ òåíäåíöi¨ òà ðîçêèäó äàíèõ. 4. Ó òàáëèöi íàâåäåíi äàíi ïðî îöiíêó òåñòó ïðè ïðèéîìi íà ðîáîòó i ïðîäóêòèâíiñòü ïðîòÿãîì ïåðøèõ òðüîõ ìiñÿöiâ äëÿ øåñòè ðîáiòíèêiâ: Îöiíêà Ïðîäóêòèâíiñòü
9 23
17 35
20 29
19 33
20 43
23 32
à) Çíàéòè ðiâíÿííÿ ëiíiéíî¨ ðåãðåñi¨ äëÿ öèõ äàíèõ; á) Íàìàëþâàòè äiàãðàìó ðîçñiþâàííÿ i ïðÿìó ðåãðåñi¨; â) ßêó ïðîäóêòèâíiñòü ñëiä î÷iêóâàòè äëÿ ðîáiòíèêà, òåñòîâà îöiíêà ÿêîãî 16? ã) Îá÷èñëèòè êîåôiöi¹íòè êîðåëÿöi¨ ïðîäóêòèâíîñòi òà òåñòîâî¨ îöiíêè. 5. Äëÿ äâîõ ïðåäìåòiâ ñêëàñòè òàáëèöþ îöiíîê 10 ñòóäåíòiâ íà iñïèòi. à) Çíàéòè ðiâíÿííÿ ëiíiéíî¨ ðåãðåñi¨ äëÿ öèõ äàíèõ; á) Íàìàëþâàòè äiàãðàìó ðîçñiþâàííÿ i ïðÿìó ðåãðåñi¨; â) ßêó îöiíêó ñëiä î÷iêóâàòè ç äðóãî¨ äèñöèïëiíè, ÿêùî ç ïåðøî¨ îòðèìàòè 80 áàëiâ? ã) Îá÷èñëèòè êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ îöiíîê ç öèõ äâîõ äèñöèïëií. B9 1. Ðåçóëüòàòè îïèòóâàííÿ 25 âèêëàäà÷iâ ïðî ¨õ çàðïëàòó çà êâàðòàë òàêi:
1 12 14 14
2 11 15 15
3 19 16 26
4 16 17 9
5 22 18 20
6 8 19 16
7 13 20 18
8 16 21 21
9 17 22 21
10 15 23 16
11 20 24 9
12 14 25 15
13 17
Ïîáóäóâàòè: à) âàðiàöiéíèé ðÿä, åìïiðè÷íó ôóíêöiþ ðîçïîäiëó; á) òðè òàáëèöi ÷àñòîò; òðè òèïè ãiñòîãðàì òà ïîëiãîíiâ ÷àñòîò; â) íàêîïè÷åíi ãiñòîãðàìè òà ïîëiãîíè ÷àñòîò. Îá÷èñëèòè: à) ÷èñëîâi õàðàêòåðèñòèêè öåíòðàëüíî¨ òåíäåíöi¨; á) ÷èñëîâi õàðàêòåðèñòèêè ðîçêèäó äàíèõ. 2. Âiê (ó ðîêàõ) 25 êåðiâíèêiâ îñíîâíèõ ïiäðîçäiëiâ Íàöiîíàëüíîãî Áàíêó: 37
1 47 14 42
2 52 15 45
3 55 16 35
4 65 17 38
5 42 18 45
6 37 19 57
7 29 20 43
8 52 21 39
9 47 22 41
10 36 23 33
11 60 24 58
12 50 25 60
13 48
Ïîáóäóâàòè: à) âàðiàöiéíèé ðÿä, åìïiðè÷íó ôóíêöiþ ðîçïîäiëó; á) òðè òàáëèöi ÷àñòîò; òðè òèïè ãiñòîãðàì òà ïîëiãîíiâ ÷àñòîò; â) íàêîïè÷åíi ãiñòîãðàìè òà ïîëiãîíè ÷àñòîò. Îá÷èñëèòè: à) ÷èñëîâi õàðàêòåðèñòèêè öåíòðàëüíî¨ òåíäåíöi¨; á) ÷èñëîâi õàðàêòåðèñòèêè ðîçêèäó äàíèõ. 3. Êiëüêiñòü ïîìèëîê îïåðàòîðiâ ïðè íàáîði îäíàêîâèõ îá'¹ìiâ äàíèõ: Êiëüêiñòü ïîìèëîê Êiëüêiñòü îïåðàòîðiâ
0-2 1
3-5 3
6-8 5
9-11 4
12-14 2
Ïîáóäóâàòè âiäñîòêîâi òàáëèöþ ÷àñòîò, íàêîïè÷åíó ãiñòîãðàìó òà ïîëiãîí ÷àñòîò. Îá÷èñëèòè ÷èñëîâi õàðàêòåðèñòèêè öåíòðàëüíî¨ òåíäåíöi¨ òà ðîçêèäó äàíèõ. 4. Äàíi ïðî ïðèáóòîê ( â òèñÿ÷àõ $ ) ôiðì òà ¨õ âèòðàòè íà íàóêîâi äîñëiäæåííÿ âiäîáðàæåíî â òàêié òàáëèöi: Ôiðìà Ïðèáóòîê Âèòðàòè íà äîñëiäæåííÿ
1 50 40
2 60 40
3 40 30
4 50 50
5 70 50
6 65 55
7 80 60
à) Çíàéòè ðiâíÿííÿ ëiíiéíî¨ ðåãðåñi¨ äëÿ öèõ äàíèõ; á) íàìàëþâàòè äiàãðàìó ðîçñiþâàííÿ i ïðÿìó ðåãðåñi¨; â) ÿêi âèòðàòè íà íàóêîâi äîñëiäæåííÿ ñëiä î÷iêóâàòè, ÿêùî ïðèáóòîê ôiðìè ñòàíîâèòü 55000$ . ã) îá÷èñëèòè êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨. 5. Ïðîâåñòè ñïîñòåðåæåííÿ ïðîòÿãîì äâîõ òèæíiâ, ñêëàñòè òàáëèöþ êóðñiâ äâîõ âàëþò. à) Çíàéòè ðiâíÿííÿ ëiíiéíî¨ ðåãðåñi¨ äëÿ öèõ äàíèõ; á) Íàìàëþâàòè äiàãðàìó ðîçñiþâàííÿ i ïðÿìó ðåãðåñi¨; â) Çðîáèòè ïðîãíîç íà äâà äíi âïåðåä ïî êîæíié ç âàëþò; ã) Îá÷èñëèòè êîåôiöi¹íò êîðåëÿöi¨ êóðñiâ âàëþò. 6. Äëÿ äàíèõ iç çàäà÷i 4 çíàéòè êðèâó y = a + bx2 , ÿêà íàéêðàùå ¨õ íàáëèæà¹. ßêùî âèáðàòè òàêèé òèï çàêîíîìiðíîñòi, òî ÿêi âèòðàòè ñëiä î÷iêóâàòè ïðè ïðèáóòêó 55000$ ? 38
Çàíÿòòÿ 10. Îöiíþâàííÿ ïàðàìåòðiâ ðîçïîäiëiâ. Îçíà÷åííÿ. Îöiíêó θˆ ïàðàìåòðà θ íàçèâàþòü íåçìiùåíîþ, ÿêùî Mθˆ = θ.
(4)
Îçíà÷åííÿ. Ïîñëiäîâíiñòü îöiíîê {θˆn }, ïàðàìåòðà θ íàçèâàþòü àñèìï-
òîòè÷íî íåçìiùåíîþ, ÿêùî
Mθˆn → θ,
ïðè
n → ∞.
Îçíà÷åííÿ. Ïîñëiäîâíiñòü îöiíîê {θˆn } ïàðàìåòðà θ íàçèâàþòü êîí-
çèñòåíòíîþ, ÿêùî
P θˆn → θ
(òîáòî ∀ε > 0 : P{|θˆn − θ| > ε} → 0, n → ∞). Îçíà÷åííÿ. Íåçìiùåíó îöiíêó θ∗ ïàðàìåòðà θ íàçèâàþòü åôåêòèâíîþ, ÿêùî ˆ Dθ∗ = inf Dθ. ˆ Mθ=θ ˆ θ: Îçíà÷åííÿ. Íàäiéíèì ïðîìiæêîì äëÿ ïàðàìåòðà θ ç ðiâíåì íàäié¯ òàêèé, ùî íîñòi 1 − α (0 < α < 1) íàçèâàþòü âiäðiçîê (θ(ζ), θ(ζ))
¯ Pθ (θ(ζ) < θ < θ(ζ)) ≥ 1 − α. ¯ θ(ζ) òà θ(ζ) íàçèâàþòü âiäïîâiäíî íèæíüîþ òà âåðõíüîþ ìåæàìè íàäié¯ íîñòi. ßêùî θ(ζ) ≡ −∞, òî íàäiéíèé ïðîìiæîê (−∞, θ(ζ)) íàçèâàþòü ¯ ëiâîñòîðîííiì, à ÿêùî θ(ζ) ≡ +∞, òî ìà¹ìî ïðàâîñòîðîííié íàäiéíèé ïðîìiæîê (θ(ζ), +∞).
Íàäiéíi ïðîìiæêè äëÿ ïàðàìåòðiâ íîðìàëüíèõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí.
1) Íàäiéíèé ïðîìiæîê äëÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîäiâàííÿ θ ç ðiâíåì íàäiéíîñòi 1 − α, ïðè âiäîìîìó ñòàíäàðòíîìó âiäõèëåííi σ : Ã
!
d1− α d1− α ξ¯ − √ 2 σ, ξ¯ + √ 2 σ , n n
äå dα - êâàíòiëü íîðìàëüíîãî N (0, 1) ðîçïîäiëó ðiâíÿ α. 39
2) Íàäiéíèé ïðîìiæîê äëÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîäiâàííÿ θ ç ðiâíåì íàäiéíîñòi 1 − α, ÿêùî ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ íåâiäîìå: Ã
!
t1− α2 ,n−1 t α ˆ ξ¯ + 1−√2 ,n−1 Sˆ , √ S, n n äå t1−α,n−1 - êâàíòiëü ðiâíÿ 1 − α ðîçïîäiëó Ñòüþäåíòà ç (n-1) ñòóïåíåì 1 Pn ¯2 âiëüíîñòi, à Sˆ2 = n−1 i=1 (ξi − ξ) . 3) Íàäiéíèé ïðîìiæîê äëÿ äëÿ äèñïåðñi¨ σ 2 ç ðiâíåì íàäiéíîñòi 1 − α, ïðè âiäîìîìó ìàòåìàòè÷íîìó ñïîäiâàííi a : ξ¯ −
2
2
nˆ σ nˆ σ , 2 , 2 χ1− α ,n χ α ,n 2
2
äå χ2α,n - êâàíòiëü χ2 ðîçïîäiëó ç n ñòóïåíÿìè âiëüíîñòi ðiâíÿ α, à σ ˆ2 = P n 1 2 i=1 (ξi − a) . n 4) Íàäiéíèé ïðîìiæîê äëÿ äèñïåðñi¨ σ 2 ç ðiâíåì íàäiéíîñòi 1−α, ÿêùî ìàòåìàòè÷íå ñïîäiâàííÿ íåâiäîìå:
(n − 1)Sˆ2 (n − 1)Sˆ2 . , χ21− α ,n−1 χ2α ,n−1 2
2
5) Íàäiéíèé ïðîìiæîê ç ðiâíåì íàäiéíîñòi 1 − α äëÿ ðiçíèöi ìàòåìàòè÷íèõ ñïîäiâàíü a1 − a2 äâîõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ξ (ðîçìið âèáiðêè n) òà η (ðîçìið âèáiðêè m), ïðè âiäîìèõ ñòàíäàðòíèõ âiäõèëåííÿõ σ1 òà σ2 :
s
ξ¯ − η¯ − d1− α 2
σ12 σ22 ¯ + ; ξ − η¯ + d1− α2 n m
s
σ12 σ22 . + n m
6) Íàäiéíèé ïðîìiæîê ç ðiâíåì íàäiéíîñòi 1 − α äëÿ ðiçíèöi ìàòåìàòè÷íèõ ñïîäiâàíü a1 − a2 äâîõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ξ (ðîçìið âèáiðêè n) òà η (ðîçìið âèáiðêè m), ÿêùî ñòàíäàðòíi âiäõèëåííÿ îäíàêîâi, àëå íåâiäîìi:
s
s
n+m ¯ n + m ξ¯ − η¯ − t1− α ,n+m−2 s α ; ξ − η ¯ + t , s 1− ,n+m−2 2 2 nm nm äå
s2ξ =
n 1 X ¯ 2, (ξi − ξ) n − 1 i=1
s2η = 40
m 1 X (ηj − η¯)2 , m − 1 j=1
s2 =
1 [(n − 1)s2ξ + (m − 1)s2η ]. n+m−2 À10
1. Äëÿ îöiíþâàííÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîäiâàííÿ âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè ξ ˆ = çà ñïîñòåðåæåííÿìè x1 , x2 ,. . . ,xn ïðîïîíó¹òüñÿ çàñòîñóâàòè îöiíêó Θ x1 + xn + 5. Ó ÿêîìó ç âèïàäêiâ ìîæíà áóëî á çàñòîñóâàòè öþ îöiíêó? 3 Äîñëiäèòè ¨¨ âëàñòèâîñòi. 2. Ïðîâîäèëîñü îïèòóâàííÿ ãëÿäà÷iâ òåëåâiçiéíîãî êàíàëó ïðî òå, ñêiëüêè ÷àñó íà ãîäèíó äîöiëüíî âiäâîäèòè íà êîìåðöiéíó ðåêëàìó. Ïiñëÿ îáðîáêè ðåçóëüòàòiâ îòðèìàëè óñåðåäíåíó âiäïîâiäü - 8.20õâ. Íåõàé σ =4.5, îá÷èñëèòè 95% ïðîìiæîê íàäiéíîñòi äëÿ ÷àñó ðåêëàìè. 3. Ïåðåä ïî÷àòêîì ñåìåñòðó âèêëàäà÷ âèïàäêîâèì ÷èíîì îïèòàâ 15 ñòóäåíòiâ ïðî ¨õ âiê. Ðåçóëüòàòè îïèòóâàííÿ: 18, 23, 24, 20, 21, 19, 27, 24, 19, 20, 25, 20, 18, 26, 20. Ïîáóäóâàòè 95% ïðîìiæîê íàäiéíîñòi âiêó ñëóõà÷iâ, ÿêùî âiê íàáëèæåíî ðîçïîäiëåíèé çà íîðìàëüíèì ðîçïîäiëîì i à) ç ïîïåðåäíüîãî ñåìåñòðó âiäîìî, ùî ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ äîðiâíþ¹ 3; á) ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ íåâiäîìå. 4. Çà ðåçóëüòàòàìè åêñïåðèìåíòiâ îòðèìàëè òàêi äàíi : X(ñåð)=4.1, n=36 (êiëüêiñòü ñïîñòåðåæåíü). Ïðè âiäîìîìó ñòàíäàðòíîìó âiäõèëåííi σ =3 i ðiâíi çíà÷èìîñòi α=0.05 çíàéòè ïðîìiæîê íàäiéíîñòi äëÿ ñåðåäíüîãî. 5. Ïiäïðè¹ìñòâó íåîáõiäíèé äðiò, ÿêèé áè ìiã âèòðèìóâàòè íàâàíòàæåííÿ 10 êã. Çðîáëåíî 20 âèïðîáóâàíü ç äåÿêî¨ ïàðòi¨ ïîñòà÷àëüíèêà. Îòðèìàëè òàêi ðåçóëüòàòè:
1 10.3 11 10.9
2 10.2 12 11.6
3 10.3 13 10.7
4 9.9 14 9.9
5 11.1 15 10.5
6 9.8 16 10.3
7 10.5 17 11.9
8 10.0 18 10.4
9 11.5 19 10.1
10 10.3 20 10.6
à) Íåõàé âiäîìî, ùî äèñïåðñiÿ - 0.5. ×è ñëiä êóïóâàòè öåé äðiò, ÿêùî ïîòðiáíà íàäiéíiñòü 99%? 41
á) Íåõàé äèñïåðñiÿ íåâiäîìà. ×è ñëiä êóïóâàòè äàíèé äðiò, ÿêùî ïîòðiáíà íàäiéíiñòü 95%? 6. Çà äàíèìèì ïîïåðåäíüî¨ çàäà÷i: à) Ïðè âiäîìîìó ñåðåäíüîìó 10 êã i ðiâíi çíà÷èìîñòi α=0.05 çíàéòè ïðîìiæîê íàäiéíîñòi äëÿ äèñïåðñi¨. á) Ïðè íåâiäîìîìó ñåðåäíüîìó i ðiâíi çíà÷èìîñòi α=0.05 çíàéòè ïðîìiæîê íàäiéíîñòi äëÿ äèñïåðñi¨. B10 1. Çà ðåçóëüòàòàìè åêñïåðèìåíòiâ îòðèìàëè òàêi äàíi: X(ñåð)=2.2, n=16 (êiëüêiñòü ñïîñòåðåæåíü). Ïðè âiäîìié äèñïåðñi¨ 0.8 i ðiâíi çíà÷èìîñòi α=0.02 çíàéòè ïðîìiæîê íàäiéíîñòi äëÿ ñåðåäíüîãî. 2. Äàíî ÷èñëîâi äàíi, ÿêi ïîêàçóþòü ïëàòó çà íàâ÷àííÿ çà ðiê ó ðiçíèõ âóçàõ øòàòó Òåõàñ: 7.2, 4.9, 10.7, 6.4, 4.8, 4.7, 4.6, 6.0, 5.4, 4.8, 4.7, 8.3, 3.8, 4.8, 8.3, 6.4, 6.6, 4.5, 8.0, 3.6, 2.4, 8.5, 8.8, 7.7, 4.9, 8.6, 12.0, 4.9, 7.0, 11.0, 4.9, 3.9, 4.9, 4.4, 4.9, 8.0, 3.6, 7.4, 7.9, 4.9, 5.8, 3.9, 11.6, 10.3, 3.4, 3.9, 5.0, 3.9, 8.0, 3.5, 4.9, 5.8, 4.1, 3.9, 3.5, 3.9, 3.6 à) Íåõàé âiäîìî, ùî äèñïåðñiÿ - 0.5. Çíàéòè, ó ÿêèõ ìåæàõ ç iìîâiðíiñòþ 0,95 ëåæèòü ïëàòà çà íàâ÷àííÿ. á) Íåõàé äèñïåðñiÿ íåâiäîìà. Çíàéòè, ó ÿêèõ ìåæàõ ç iìîâiðíiñòþ 0,95 ëåæèòü ïëàòà çà íàâ÷àííÿ. 3. Äàíî öiíè çà óíöiþ ðiçíèõ øàìïóíiâ äëÿ äâîõ òèïiâ âîëîññÿ. Öiíè øàìïóíiâ äëÿ çâè÷àéíîãî âîëîññÿ:
1 69 16 85
2 9 17 44
3 23 18 87
4 22 19 17
5 8 20 11
6 12 21 23
7 32 22 50
8 12 23 65
9 18 24 51
10 74 25 35
11 19 26 14
12 63 27 20
13 49 28 28
14 37 29 8
15 55
Öiíè øàìïóíiâ äëÿ ñóõîãî âîëîññÿ:
1 79 17 16
2 63 18 23
3 19 19 20
4 9 20 64
5 37 21 28
6 49 22 18
7 20 23 32
8 16 24 81
9 55 25 85 42
10 69 26 45
11 23 27 50
12 14 28 8
13 9 29 13
14 87 30 21
15 44 31 9
16 13
Çíàéòè, ó ÿêèõ ìåæàõ ëåæèòü ç iìîâiðíiñòþ 0,95 öiíà êîæíîãî òèïó øàìïóíþ. 4. Äëÿ äàíèõ iç ïîïåðåäíüî¨ çàäà÷i îá÷èñëèòè ïðîìiæîê íàäiéíîñòi äëÿ äèñïåðñi¨, ÿêùî: à) ñåðåäí¹ âiäîìå i äîðiâíþ¹ 50. Ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,05; á) ñåðåäí¹ íåâiäîìå. Ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,05. 5. Äëÿ äàíèõ çàäà÷i 3 îá÷èñëèòè ïðîìiæîê íàäiéíîñòi äëÿ ðiçíèöi ñåðåäíiõ, ÿêùî: à) Äèñïåðñiÿ öiíè øàìïóíþ äëÿ çâè÷àéíîãî âîëîññÿ - 10, à öiíè øàìïóíþ äëÿ ñóõîãî âîëîññÿ - 20. Ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,01. á) Äèñïåðñi¨ îäíàêîâi, àëå íåâiäîìi. Ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,01. 6. Íåõàé âèáiðêîâå ñåðåäí¹ äîðiâíþ¹ 119.23. Íàñêiëüêè âåëèêà ì๠áóòè âèáiðêà, ùîá çíà÷åííÿ 120 íå ïîòðàïèëî â 95% ïðîìiæîê íàäiéíîñòi. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó, ÿêùî à) ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ - 30; á) îöiíêà ñòàíäàðòíîãî âiäõèëåííÿ - 27.19 .
43
Çàíÿòòÿ 11. Ïåðåâiðêà ãiïîòåç. Ïåðåâiðêà ãiïîòåç ïðî ïàðàìåòðè íîðìàëüíèõ ðîçïîäiëiâ.
Íåõàé ðiâåíü çíà÷èìîñòi êðèòåðiþ α. 1. Ïåðåâiðêà ãiïîòåçè ïðî çíà÷åííÿ ñåðåäíüîãî a. à) Ó âèïàäêó, êîëè äèñïåðñiÿ σ 2 âiäîìà, ãiïîòåçó H0 : a = a0 , ïðèéìàþòü, ÿêùî |ξ¯ − a0 | √ < d1− α2 . σ/ n á) Ó âèïàäêó, êîëè äèñïåðñiÿ íåâiäîìà, ãiïîòåçó H0 : a = a0 , ïðèéìàþòü, ÿêùî |ξ¯ − a0 | < t1− α2 ,n−1 . ˆ √n S/ 2. Ïåðåâiðêà ãiïîòåçè ïðî ðiâíiñòü ñåðåäíiõ a1 òà a2 . Íåõàé ζ1 = (ξ1 , ..., ξn ) i ζ2 = (η1 , ..., ηm ) - äâi íåçàëåæíi âèáiðêè ç ãåíåðàëüíèõ ñóêóïíîñòåé ç ðîçïîäiëàìè N (a1 , σ 2 ) i N (a2 , σ 2 ) âiäïîâiäíî. a) ßêùî, äèñïåðñi¨ σ12 òà σ22 âiäîìi, ãiïîòåçà H0 , a1 = a2 âiäõèëÿ¹òüñÿ, ÿêùî |ξ¯ − η¯| q 2 > d1− α2 σ1 σ22 +m n i ïðèéìà¹òüñÿ â iíøîìó âèïàäêó. á) Ó âèïàäêó, êîëè äèñïåðñi¨ íåâiäîìi, àëå îäíàêîâi ãiïîòåçà H0 : a1 = a2 âiäõèëÿ¹òüñÿ, ÿêùî |ξ¯ − η¯| q ≥ t1− α2 ,n+m−2 , s n+m nm äå
s2ξ =
n 1 X ¯ 2, (ξi − ξ) n − 1 i=1
s2 =
s2η =
m 1 X (ηj − η¯)2 , m − 1 j=1
1 [(n − 1)s2ξ + (m − 1)s2η ]. n+m−2
44
Ïåðåâiðêà ãiïîòåçè ïðî âèä ðîçïîäiëó.
Íåõàé â ðåçóëüòàòi åêñïåðèìåíòó îòðèìàëè âèáiðêó ζ = (ξ1 , ..., ξn ) iç ãåíåðàëüíî¨ ñóêóïíîñòi ç íåâiäîìèì ðîçïîäiëîì F. G - çàäàíèé ðîçïîäië. Ïîòðiáíî ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó H0 : F = G. Ðîçiá'¹ìî îáëàñòü çíà÷åíü âèïàäêîâî¨ âåëè÷èíè íà ñêií÷åíó êiëüêiñòü ìíîæèí 4i , i = 1, 2, ..., r, ÿêi íå ïåðåòèíàþòüñÿ, i âèçíà÷èìî
χˆ2n =
µ r X n νi i=1
pi
n
¶2
− pi
,
äå pi = P{ξk ∈ 4i } îá÷èñëþþòüñÿ çà ãiïîòåòè÷íèì ðîçïîäiëîì G, à νi - ÷èñëî åëåìåíòiâ âèáiðêè, ÿêi ïîòðàïèëè ó ìíîæèíó 4i . Ìíîæèíè 4i âèáèðàþòü òàê, ùîá âñi pi > 0. Êðèòåðié χ2 ç ðiâíåì çíà÷èìîñòi α ïîëÿã๠ó òîìó, ùî ãiïîòåçà H0 âiäõèëÿ¹òüñÿ ïðè χˆ2n > χ21−α,r−1 i ïðèéìà¹òüñÿ â iíøîìó âèïàäêó.
Ïåðåâiðêà ãiïîòåçè ïðî íåçàëåæíiñòü âèïàäêîâèõ âåëè÷èí.
Íåõàé ξ òà η - äâi äèñêðåòíi âèïàäêîâi âåëè÷èíè, ÿêi ìîæóòü íàáóâàòè çíà÷åííÿ x1 , x2 , ..., xk òà y1 , y2 , ..., yl âiäïîâiäíî. Ïîòðiáíî ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó H0 : âèïàäêîâi âåëè÷èíè ξ òà η - íåçàëåæíi. Ïîçíà÷èìî νij - êiëüêiñòü ñïîñòåðåæåíü (ξ, η), ðåçóëüòàòàìè ÿêèõ ¹ (xi , yj ). Òîäi ðåçóëüòàòè íàøèõ n ñïîñòåðåæåíü ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäi òàáëèöi ñïðÿæåíîñòi îçíàê:
ξ\η x1 x2 .. .
P
y1 ν11 ν21 .. .
y2 ν12 ν22 .. .
xk νk1 Ñóìà ν·1
νk2 ν·2
... ... ... .. . ... ...
yl ν1l ν2l .. .
Ñóìà ν1· ν2· .. .
νkl ν·l
νk· n
P
äå ν·j = ki=1 νij , j = 1, 2, ..., l; νi· = lj=1 νij , i = 1, 2, ..., k. Ãiïîòåçà H0 âiäõèëÿ¹òüñÿ ïðè ðiâíi çíà÷èìîñòi α, ÿêùî
χˆ2n > χ21−α,(k−1)(l−1) ,
45
Ã
äå
χˆ2n
=n
!
2 k P l P νij
i=1 j=1
ν·j νi·
−1 .
À11 1. Çà ðåçóëüòàòàìè åêñïåðèìåíòiâ îòðèìàëè òàêi äàíi : X(ñåð)=4.1, n=36 (êiëüêiñòü ñïîñòåðåæåíü). Ïðè âiäîìîìó ñòàíäàðòíîìó âiäõèëåííi σ =3 i ðiâíi çíà÷èìîñòi α=0.05 ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî òå, ùî ñåðåäí¹ äîðiâíþ¹ 4. 2. Çà äàíèìè: 18,23,24,20,21,19,27,24,19,20,25,20,18,26,20 ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî òå, ùî ñåðåäíié âiê ñòóäåíòiâ êóðñó 21 ðiê. Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,02 i ðîçãëÿíóòè âèïàäêè: à) ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ äîðiâíþ¹ 3; á) ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ íåâiäîìå. 3. Äàíî öiíè çà óíöiþ ðiçíèõ øàìïóíiâ äëÿ äâîõ òèïiâ âîëîññÿ. Øàìïóíi äëÿ çâè÷àéíîãî âîëîññÿ:
1 69 16 85
2 9 17 44
3 23 18 87
4 22 19 17
5 8 20 11
6 12 21 23
7 32 22 50
8 12 23 65
9 18 24 51
10 74 25 35
11 19 26 14
12 63 27 20
13 49 28 28
14 37 29 8
15 55
Öiíè øàìïóíiâ äëÿ ñóõîãî âîëîññÿ:
1 79 17 16
2 63 18 23
3 19 19 20
4 9 20 64
5 37 21 28
6 49 22 18
7 20 23 32
8 16 24 81
9 55 25 85
10 69 26 45
11 23 27 50
12 14 28 8
13 9 29 13
14 87 30 21
15 44 31 9
16 13
à) Ïðè íåâiäîìèõ äèñïåðñiÿõ ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî ðiâíiñòü ñåðåäíiõ öií öèõ øàìïóíiâ. á) Ïðè âiäîìèõ äèñïåðñiÿõ σ12 = 5, σ22 = 7 ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî ðiâíiñòü ñåðåäíiõ öií öèõ øàìïóíiâ. 4. Íàâìàííÿ âiäiáðàíèì 10 äiòÿì ùîäíÿ äàâàëè àïåëüñèíîâèé ñiê. ×åðåç äåÿêèé ÷àñ áóëî çàôiêñîâàíî òàêå çáiëüøåííÿ âàãè äiòåé: 2; 1,2; 1,7; 2; 1,2; 0,4; 1,6; 1,4; 1,2; 1,7 Iíøié ãðóïi ç 10 äiòåé ùîäíÿ äàâàëè ìîëîêî. õíi çìiíè ó âàçi òàêi: 46
0,7; 1,7; 1,2; 1,4; 1,3; 1; 1; 1,2; 0,7; 1,4 ×è iñòîòíà ðiçíèöÿ ó çáiëüøåííi âàãè äëÿ ïåðøî¨ òà äðóãî¨ ãðóï. Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,01. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó, ÿêùî à) ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ ó ïåðøié ãðóïi -1,5, ó äðóãié 1,2. á) ñòàíäàðòíi âiäõèëåííÿ íåâiäîìi. 5. Ç 1871 ïî 1900 ð. ó Øâåéöàði¨ íàðîäèëèñü 1 359 671 õëîïåöü i 1 285 086 äiâ÷àò. ×è ïîãîäæó¹òüñÿ ãiïîòåçà ïðî òå, ùî éìîâiðíiñòü íàðîäæåííÿ õëîï÷èêà 0,5, ç öèìè äàíèìè? Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,01. 6. Êîíòðîëüíà ïåðåâiðêà íà ÿêiñòü çðàçêiâ ïðîäóêöi¨ òðüîõ ïiäïðè¹ìñòâ äàëà òàêi ðåçóëüòàòè: Ïiäïðè¹ìñòâî ßêiñíi Íåÿêiñíi Âñüîãî
1 29 1 30
2 38 2 40
3 53 7 60
Âñüîãî 120 10 130
Ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî òå, ùî ÿêiñòü äåòàëi íå çàëåæèòü âiä ïiäïðè¹ìñòâà, íà ÿêîìó äåòàëü âèðîáëÿ¹òüñÿ. Â11 1. Çà ðåçóëüòàòàìè åêñïåðèìåíòiâ îòðèìàëè òàêi äàíi : X(ñåð)=2.2, n=16 (êiëüêiñòü ñïîñòåðåæåíü). Ïðè âiäîìié äèñïåðñi¨ 0.8 i ðiâíi çíà÷èìîñòi α=0.02 ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî òå, ùî ñåðåäí¹ äîðiâíþ¹ 2. 2. Çà äàíèìè ïðî êiëüêiñòü íåñïëà÷åíèõ ðàõóíêiâ ïî ìiñÿöÿõ 4,18,11,7,7,10,5,33,9,12,3,11,10,6,26,37,15,18,10,21 ïåðåâiðèòè ãiïîòåçó ïðî òå, ùî ñåðåäíÿ êiëüêiñòü íåñïëà÷åíèõ ðàõóíêiâ çà ìiñÿöü ñòàíîâèòü 10. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó, ÿêùî: à) ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ äîðiâíþ¹ 3; á) ñòàíäàðòíå âiäõèëåííÿ íåâiäîìå. Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,01. 3. Äâà ïðèñòðî¨ îáðîáëÿþòü ñèðîâèíó. Âèìiðþâàííÿ ¨õ ïðîäóêòèâíîñòi çà ãîäèíó äàëè òàêi ðåçóëüòàòè:
47
14,1; 10,1; 14,7; 13,7; 14,0 i 14,0; 14,5; 13,7; 12,7; 14,1. ×è ìîæíà ââàæàòè, ùî ïðîäóêòèâíîñòi àãðåãàòiâ îäíàêîâi? Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,01. 4. Ïðè ïiäêèäàííi ãðàëüíîãî êóáèêà îòðèìàëè òàêi ðåçóëüòàòè: Öèôðà Êiëüêiñòü ïîÿâ
1 50
2 39
3 55
4 47
5 60
6 53
×è ìîæíà çà öèìè äàíèìè ïðèéíÿòè ãiïîòåçó ïðî ñèìåòðè÷íiñòü ãðàëüíîãî êóáèêà? Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,005. 5. Íàâìàííÿ îáðàíi ó÷íi áóëè ïîäiëåíi çà ¨õ êîëüîðîì âîëîññÿ (áiëÿâi; òåìíi) i êîëüîðîì î÷åé (áëàêèòíi, êàði): Òåìíi Áiëÿâi
Áëàêèòíi î÷i 31 40
Êàði î÷i 41 35
×è ìîæíà íà ïiäñòàâi öèõ äàíèõ çðîáèòè âèñíîâîê, ùî êîëið î÷åé çâ'ÿçàíèé ç êîëüîðîì âîëîññÿ? Âèáðàòè ðiâåíü çíà÷èìîñòi α=0,1.
48
