Metodi di previsione statistica (UNITEXT Collana di Statistica e Probabilita Applicata)

{S(A)} C(A)

.

Usando sempre uno sviluppo in serie arrestato, come abbiamo fatto per le autocorrelazioni, si ottiene che 6 (A) e cjJ( A) sono asintoticamente non distorte e che:

dove c e una costante che dipende dal tipo di finestra usata, e K(A) e la coerenza. Cia mostra che in corrispondenza a frequenze per le quali la coerenza

180

9 Inferenza per processi stazionari

e molto piccola, Io stime delle quantita spettrali incrociate possono essere poco affidabili, dato che la varianza e molto grande. Per la stessa coerenza si puo considerare 10 stimatore:

che si dimostra essere asintoticamente non distorto con varianza, per N grande:

Var

{k (A)} ~ 2~CK (A){l -

K (A)} .

Nella stima cross-spettrale viene usata spesso una tecnica conosciuta come allineamento, che ha 10 scopo di diminuire la distorsione. La motivazione risiede nel fatto che la funzione di cross-covarianza rxy(h) non ha necessariamente i1 massimo in h == 0 come l'autocovarianza, rna puo averlo a un qualunque ritardo ko; allora nella stima lxy i valori massimi della finestra W M (h) (che si hanno per h vicino a zero) non vengono moltiplicati per i termini maggiori (e quindi pili informativi) di ixy(h), cosa che invece si ottiene con la funzione seguente "allineata":

Si puo ritenere quindi che fXY*(A) sia meno distorto: rna f;y(A) puo essere pensato come uno stimatore di:

;7f I:

"(xy

(h + ko ) ei>.h =

fxy

(A) e-i>'k o

h

pertanto si ricostruisce una stima dello spettro incrociato se si calcola e la si moltiplica per ei Ak o . Arriveremo cosl allo stimatore allineato:

f: (A) y

II nome "allineamento" deriva dalla osservazione che il risultato si ottiene calcolando una stima nel modo usuale su una serie doppia in cui una componente e sfasata temporalmente rispetto all'altra, in modo da renderle il pili correlate possibile (al ritardo zero). La tecnica dell'allineamento e valutata in modo diverso dai diversi autori, una delle critiche pili frequenti e che la determinazione dell'intero k o per il Quale rxy(ko) == max e lasciata alla stima, e quindi soggetta ad errore: percio l'uso dell'allineamento non e consigliato da tutti gli studiosi; la maggior parte dei software del settore 10 prevede come possibile opzione.

9.7 Stima dei parametri per processi ARMA

181

9.7 Stima dei parametri per processi ARMA Ricorrendo alla rappresentazione di Wold, le caratteristiche di secondo ordine del processo possono essere sintetizzate nella successione di pesi {h o, hI, ...} della decomposizione (6.7), e quindi l'inferenza potrebbe essere basata invece che sul correlogramma e sullo spettro, sulle stime dei parametri h j : cia pero non comporta grossi vantaggi poiche il numero di quantita diverse resta infinito. Se invece si considerano processi di tipo ARMA, la questione cambia completamente aspetto, poiche in alternativa a uri'infinita numerabile (correlogramma) 0 continua (densita spettrale) di incognite ci troviamo di fronte a un numero finito di parametri {¢I"",¢p,()l, ...,Oq} che racchiudono in se l'intero insieme delle caratteristiche di secondo ordine del processo. In questo caso risulta spesso conveniente concentrare l'attenzione sugli stimatori dei parametri autoregressivi e a somma mobile. Riprendiamo l'espressione di un processo ARMA(p, q) in funzione dei parametri:

Abbiamo usato la forma per processi a media nulla, in alternativa si calcolera la media aritmetica della serie e la si sottrarra ai dati. Vediamo che la linearita nei parametri suggerisce una immediata rassomiglianza con la teoria della regressione, e quindi possiamo sperare di estendere i risultati relativi al modello lineare, almeno nel caso dei ¢j che sono moltiplicati per quantita note; pili difficile si presenta la stima dei OJ i cui coefficienti Et-j sono quantita non osservate direttamente. Supponiamo come sempre di disporre di una serie storica (Xl, X2, ... , X N) realizzazione del tratto finito (X I, X 2, ..., X N) del processo, e costruiremo dunque stimatori dei parametri intesi come funzione delle variabili aleatorie (Xl, X 2,

... ,

X N ). Formuleremo inoltre, per ovvi

motivi, l'ipotesi che il processo sia stazionario e invertibile. II problema della stima dei parametri dei processi ARMA e stato molto studiato in letteratura, affrontandolo generalmente col metodo della massima verosimiglianza 0 con quello dei minimi quadrati. In pratica si cerca di adattare i risultati della teoria della regressione lineare, utilizzando gli stimatori dei minimi quadrati, cioe quei valori che, sostituiti nei parametri, rendono minima la somma dei quadrati dei residui di regressione. Nel caso che i dati siano distribuiti normalmente, questi stimatori risultano di massima verosimiglianza. Le difficolta principali che si incontrano nell'estendere la teoria della regressione risiedono nel fatto che Ie equazioni (9.15) coinvolgono valori passati, e quindi se scritte per (Zl, Z2, ... , Z N) dipendono anche da valori non osservati: una delle soluzioni pili semplici e quella di ipotizzare come noti un certo numero di valori precedenti all'inizio della rilevazione, oppure di utilizzare come valori iniziali per la stima le prime osservazioni (stime dette condizionate); un'alternativa e cercare di ricostruire le osservazioni precedenti alla rilevazione in funzione di quelle note (can una specie di previsione all'indietro, detta

182

9 Inferenza per processi stazionari

back-forecasting). Noi descriveremo soltanto Ie generalita del metodo condizionale, rimandando per approfondimenti al classico testo di Box e Jenkins (1970) 0 alIa letteratura successiva. Iniziamo con l'osservare che la (9.15) puo essere riscritta per i dati come: (9.16) Per risolvere l'indeterminazione relativa ai dati non osservati precedenti al primo istante di rilevazione, possiamo adottare l'approssimazione di assumere i valori incogniti relativi al passato pari alla propria media, e quindi porre: co ==

C-l == ... == C-q ==

0 , Zo ==

Z-l == ... == z_p ==

0.

Con questa convenzione, per mezzo della (9.16) possiamo calcolare iterativamente gli urti Cl, C2, ... , CN in funzione dei parametri {¢j , OJ} e dei dati (Zl' Z2, ... , ZN). Viceversa, l'equazione del modello (9.15), insieme con questa approssimazione, permette di calcolare iterativamente le (Zl' Z2, , Z N) in funzione delle (c1 , C2, ... , C N): ne segue che la relazione (c1 , C2, , C N) +------+ (Zl' Z2, ... , Z N) e biunivoca. Si puo inoltre controllare direttamente che 10 J acobiano di questa trasformazione e unitario, il che comporta l'uguaglianza tra la verosimiglianza delle Z e quella delle c. Dunque 10 stimatore di massima verosimiglianza si puo basare sulla massimizzazione della verosimiglianza delle c, che hanno il vantaggio di essere incorrelate. Se poi aggiungiamo l'ipotesi di norrnalita, esse sono anche indipendenti e la verosimiglianza si scrive: 2 (1),0) } L (Zl' ... , ZN 11>,0) == L (cl' ... , cN 11>,0) == (21ra 2)-lf exp { - 2a12 ~ ~ Ct

dove abbiamo sottolineato la dipendenza degli urti, calcolati secondo la (9.16), dai parametri scrivendo ct (¢, 0). La massimizzazione si ottiene evidentemente in corrispondenza del minimo della somma dei quadrati degli errori: N

S (¢, 0) ==

L c; (¢, 0)

(9.17)

t=l

tuttavia questa minimizzazione non puo avvenire facilmente per via analitica perche S(¢, 0) e una funzione non lineare di (¢, 0) (per rendersene conto basta usare la (9.16) per costruire iterativamente Cl, C2, ... : si vedra che a ogni istante successivo il grado complessivo di ct in (¢, 0) aumenta di uno). Per questo motivo e necessario ricorrere a metodi di ottimizzazione numerica. Questo aspetto ha rappresentato per molti anni un punto debole, rna i progressi pili recenti nelle capacita di calcolo degli elaboratori e nell'analisi numerica permettono di affermare che oggi la minimizzazione della (9.17) non rappresenta pili un problema, anche se in alcuni casi vi possono essere pili minimi locali, e va comunque tenuto presente che i valori dei parametri risultanti devono soddisfare le condizioni di stazionarieta e invertibilita.

9.7 Stima dei parametri per processi ARMA

183

La stima della varianza degli urti puo essere basata su quella osservata dei residui, corrispondente al minimo raggiunto dalla somma (9.17):

che risulta di massima verosimiglianza nel caso gaussiano. Come avviene nella regressione multipla, anche in questo caso 10 stimatore di massima verosimiglianza non e corretto, perche si puo dimostrare che E {S (¢, O)} == (N - p - q)(J2, quindi per ottenere la non distorsione bisogna dividere per N - p - q invece che per N. L'uso del metodo di massima verosimiglianza comporta come sappiamo notevoli proprieta, che assicurano la consistenza degli stimatori e la loro efficienza asintotica. Inoltre la variabilita puo essere valutata approssimativamente attraverso l'informazione di Fisher. Naturalmente il metodo si basa sulla ipotesi di normalita dei dati: tuttavia anche senza questa ipotesi la minimizzazione della somma dei quadrati (9.17) assume il significato dello scegliere i valori dei parametri che rendono minima la somma dei quadrati degli scostamenti tra dato Zt e spiegazione che se ne fornisce: cPl Zt-l +... +cPpZt-p +()l Et-l +...+()qEt-q. Pertanto corrisponde al metodo dei minimi quadrati. La totalita dei software statistici di serie temporali e in grado di applicare questa procedura, e quasi tutti permettono in alternativa di usare anche metodi non condizionali, 0 altre tecniche tra le molte proposte in letteratura: i risultati in genere non sono sostanzialmente differenti, almeno quando il numero di dati non e molto piccolo. E comunque pratica comune assicurarsi la disponibilita di almeno una cinquantina di dati per stimare anche i pili semplici modelli. II problema della stima si semplifica molto nel caso di processi autoregressivi puri: infatti la somma dei quadrati dei residui diventa:

Se ci limitiamo a sommare sugli istanti da p + 1 a v, abbiamo quantita note e lineari nei parametri e la minimizzazione puo avv nire facilmente derivando e uguagliando a zero le derivate. Le equazioni nom.ali risultano:

cPl ( ~ Zt-jZt-l) + cP2 ==

L

ZtZt-j

j

==

(~Zt-jZt-2)

+ ... + cPP ( ~ Zt-jZt- p )

1, ..., p

t

dove le sommatorie per t vanno da p + 1 aN. I coefficienti sono codevianze calcolate su intervalli leggermente variabili: se ignoriamo queste differenze, e dividiamo per N, otteniamo:

184

9 Inferenza per processi stazionari

dove: "(*

(h) =

~

N

1

2::

ZtZt-h

'Yj (h) = N

t=p+l

2:: N

Zt-jZt-j-h

t=p+l

sono due stimatori delle autocovarianze, leggermente diversi tra loro e leggermente diversi da i(·). La (9.18) ha una rassomiglianza immediata con Ie equazioni di Yule-Walker, che sono in realta uguali se scritte per i valori teorici dell'autocovarianza (0 l'autocorrelazione). Cia permette di adoperare le equazioni di Yule e Walker per la stima dei parametri autoregressivi:

dove f e il vettore delle autocorrelazioni stimate, e P la matrice di autocorrelazioni stimate. La differenza con il metodo dei minimi quadrati (e quindi di massima verosimiglianza condizionata gaussiana) risiede solo nell'adoperare le stime correnti: 1 N

i (h) = N

2::

ZtZt-h

t=h+l

invece delle ,*(j) e 1j(h). Come si puo ben comprendere, la stima dei parametri per processi puramente autoregressivi e stata sviluppata prima di quella dei processi ARMA, e la linearita permette di raggiungere risultati pili semplici: un risultato fondamentale dovuto a Mann e Wald (1943) e che per un processo AR(p) se le Et sono indipendenti allora la distribuzione asintotica di:

e normale

con media nulla e matrice di dispersione data da a 2 r;' dove

(rp)ij == ,(i - j) i,j == 1, ... ,p. Percio se indichiamo con il vettore delle stime, per N grande si ha:

¢ == (¢l' ¢2' ..., ¢p)'

Per i modelli puramente a somma mobile, si arriva a un risultato analogo partendo dalle proprieta degli stimatori di massima verosimiglianza e approssimando l'informazione di Fisher: per un processo MA(q), posta B== (B 1 , B2 , ... , Bq)' si ottiene:

E(B) ~ () mentre per i processi misti le espressioni delle varianze e covarianze tra lc stime assumono espressioni pili complicate. Per costruire intervalli (0 anche regioni) di confidenza si ammette l'approssimazione con la distribuzione normale, univariata 0 multipla.

9.7 Stima dei parametri per processi ARMA

185

Gli intervalli di confidenza per i singoli parametri possono essere costruiti usando stime dei loro scarti quadratici medi (calcolate sostituendo ai parametri le loro stime) e ricorrendo ai quantili della distribuzione t di Student con N - p - q gradi di liberta,

Esempio 9.4. Per un processo AR(1) il parametro coincide con l'autocorrelazione al ritardo 1, pertanto ci si puo aspettare che anche le stime coincidano, e in effetti la regola dei minimi quadrati da: N

¢1 ==

L

Zt Zt-l

_t=_~ _ _ ~ f

L

(1)

Z;_1

t=2

percio per N grande:

Risultati analoghi valgono per un processo M A(1) nella stima del parametro (). Questa stima pero non e esprimibile facilmente, in termini compatti, poiche proviene dalla minimizzazione numerica di Ec; (()) dove, come si ottiene facilmente: t

Et (())

==

L j=1

t-l

Zj

+ (J

L

j=1

t-2

Zj

+ (J2

L

Zj

+ ... + e':' ZI

.

j=1

Lo stimatore () soddisfa approssimativamente:

Per i processi misti e di ordine superiore le espressioni si complicano. A titolo di esempio per un processo autoregressivo del secondo ordine si ottiene (Box e Jenkins, 1970, Appendice A.7.5):

con la conclusione, forse inaspettata, che la variabilita degli stimatori dei due parametri e uguale e dipende solo da ¢2, e la covarianza tra i due stimatori ha segno opposto a ¢1.

10 I rnodelli rappresentativi

Questo capitolo e dedicato alla costruzione di modelli rappresentativi. Dopo aver motivato l'utilita dei modelli rappresentativi ai fini della previsione, si illustra la metodologia di costruzione dei modelli della classe ARIMA. Vengono illustrati, in ordine crescente di complessita, modelli per fenomeni stazionari, non stazionari, con stagionalita, e infine modelli dinamici per le relazioni tra due processi.

10.1 Introduzione II termine modello statistico e largamente usato, non solo in statistica rna in una ampia varieta di settori della scienza, per indicare un insieme di ipotesi, generalmente espresse in termini quantitativi, volte a spiegare e riprodurre alcuni aspetti del comportamento del fenomeno studiato. Nell'ambito dell'analisi delle serie temporali, un modello e costituito da una 0 pili equazioni che legano i valori contemporanei 0 ritardati di uno 0 pili processi, alcuni di essi anche non osservabili, con l'obiettivo di descrivere l'andamento nel tempo dei fenomeni considerati. Un esempio di modello e dato dall'equazione: (10.1)

che coinvolge il processo aleatorio che genera la serie rilevata, {Xt } , un processo non osservabile {Et} che si suppone avere una struttura semplice, spesso supposto un rumore bianco, e una funzione i cui argomenti comprendono un certo numero di valori precedenti dei due processi. La struttura di r..p e di {Et} determina il comportamento del processo {X t } in maniera completa, e quindi permette di studiarne l'evoluzione in modo pili dettagliato di quanto sia possibile basandosi soltanto su autocorrelazioni e spettro. II tema dei modelli statistici per serie temporali e estremamente vasto e la letteratura sull'argomento ha un'estensione considerevole, qui verranno svolte

188

10 I modelli rappresentativi

solo alcune considerazioni. E necessario innanzitutto spiegare il termine rappresentativi associato ai modelli: esso viene usato in contrapposizione a interpretativi e contraddistingue l'assenza di ipotesi esplicite sui legami di causalita tra fenomeni, 0 di altri vincoli legati a conoscenze a priori 0 teorie proprie di scienze sostantive. In altre parole, se il modello ha il compito di schematizzare in termini matematico-probabilistici le caratteristiche note (0 supposte tali) del fenomeno che si studia, si parla di modello interpretativo. Esempi rilevanti sono i modelli econometrici che spiegano un aggregato macroeconomico in funzione dei valori contemporanei 0 ritardati di altri aggregati; 0 ancora i modelli classici di decomposizione, in cui la serie e essenzialmente determinata dalla sovrapposizione di componenti deterministiche che riproducono il trend e le variazioni stagionali, da cui i dati effettivi si discostano per cause accidentali e non sistematiche, a cui viene attribuita natura stocastica. Particolare importanza hanno assunto nelI'ambito degli studi economici i cosiddetti modelli strutturali (Harvey, 1990) che rappresentano una evoluzione di questo schema. Un modello rappresentativo e invece costruito a partire dai soli dati, cercando di ridurre al minimo le ipotesi formulate sul comportamento del fenomeno e quindi partendo da una classe sufficientemente flessibile di possibili modelIi, e scegliendo quello che assicura, secondo criteri da precisare, la miglior rappresentazione della serie, nel senso che ne riproduce meglio l'andamento nel tempo. Va detto subito che, come si comprende facilmente, la distinzione tra modelli interpretativi e rappresentativi e solo una semplificazione concettuale, poichc nella costruzione di un modello si incorporano sempre ipotesi a priori, e d'altra parte anche la scelta dello schema interpretativo pili vincolante determina solo una classe di modelli, all'interno della Quale si cerca il pili rappresentativo. Inoltre e ovvio che qualunque modello interpretativo puo essere considerato come un elemento di un insieme di modelli rappresentativi, all'interno dei quali esso viene scelto adottando non un criterio di buon adattamento alla realta, rna di conformita alle ipotesi preliminari 0 alla teoria. Ci occuperemo qui solo di modelli rappresentativi, limitandoci a cons iderare la classe determinata da funzioni cp lineari e processo non osservabile a variabili incorrelate: in questo caso l'equazione (10.1) che definisce il model10 diventa uguale alla relazione soddisfatta da un processo autoregressivo a somma mobile: p

x,

==

L cPjX

t-

j=l

j

+ ct -

q

L

()jCt-j .

(10.2)

j=l

Per questo motivo si parla di modelli ARMA, anche se questo puo generare confusione tra il concetto di modello e quello di processo. Si potrebbe obiettare che e ragionevole attendersi da un modello interpretativo risposte pili precise di un modello rappresentativo, poiche esso sfrutta ipotesi pili precise; si puo peraltro ribattere che proprio questa caratteristica rende il modello interpretativo pili vulnerabile a errori nelle ipotesi iniziali.

10.1 Introduzione

189

E esperienza comune e ormai consolidata, che specie

dal punto di vista della previsione i modelli rappresentativi della classe ARMA forniscono risultati equivalenti e spesso migliori di pili approfonditi modelli interpretativi, poiche sono i dati stessi a trasmettere nel modello, se correttamente costruito, lc loro caratteristiche strutturali e dinamiche. Cia spiega anche il crescente interesse e consenso che la modellistica di tipo ARMA si e progressivamente guadagnata nel corso dell'ultimo quarto di secolo. L'assunzione principale per la costruzione di un modello ARMA consiste nell'ammettere che la serie temporale analizzata rappresenti una realizzazione finita di un processo aleatorio stazionario al secondo ordine, con misura spettrale assolutamente continua. Vedremo poi come la metodologia sia stata ampliata per comprendere anche i casi in cui queste ipotesi possono essere ritenute poco sostenibili, in quanto la serie presenta un trend non trascurabile, o forti variazioni stagionali (si parlera allora di modelli integrati 0 ARIM A, e di modelli stagionali e/ 0 moltiplicativi). I modelli ARMA ammettono anche una interpretazione in termini di distribuzioni condizionate. Se le {e.} sono normali, esse sono anche indipendenti e quindi Et non dipende da X t - 1 , X t - 2 , .... Percio prendendo la media condizionata ai valori assunti dal processo fino al tempo t - 1, dalla (10.2) si ha: E(Xt IXt -

p

1 , X t- 2 , ... )

==

q

L

cPjXt- j -

j=1

L

()jEt-j

j=1

in quanto la media condizionata di Et, data l'indipendenza,e uguale alIa media non condizionata E(ct) == O. Per la varianza condizionata si ha invece:

Var(XtIXt~l, Xt~2,' .. ) = E {[Xt - E(XtIXt- 1 , X t-2, . . .)]2} ==

E

(c;)

==

a2

.

Quindi il processo che segue la (10.2) ha media condizionata espressa dalla combinazione lineare di dati e urti precedenti con parametri cP e (), e varianza condizionata costante pari a (J2 . Nel resto del capitolo sara descritta a grandi linee la metodologia di costruzione dei modelli ARMA (e loro estensioni) secondo l'impostazione messa a punto da Box e Jenkins (1970), che e stata sviluppata e approfondita negli anni successivi da molti altri ricercatori, e si e dimostrata utile ed efficace per l'analisi di fenomeni dinamici in molti campi delle scienze sia umane sia naturali. Nella parte relativa alla previsione puntuale considereremo anche altri tipi di modelli che si basano su assunzioni pili precise 0 restrittive. Costruire un modello rappresentativo, secondo la metodologia di Box e Jenkins, significa scegliere quell'elemento della classe dei processi autoregressivi a somma mobile (10.2) stazionari e invertibili, al Quale i dati meglio si conformano, secondo un criterio di verosimiglianza. La scelta avviene in due fasi: 1. Scelta del valore degli ordini p e q (identijicazione).

190

10 I modelli rappresentativi

2. Scelta del valore dei parametri cP1' ..., cPP' 01, ..., 0q e a 2 (stima dei parametri). La prima fase, come vedremo, presenta i problemi concettuali pili complessi, rna fissati p e q il processo e determinato e la seconda fase puo avvenire con il metodo della massima verosimiglianza illustrato nel paragrafo 9.7. Una volta costruito il modello, con la determinazione di p, q e delle stime ¢1' ..., ¢P' 01,..., Oq, Box e Jenkins consigliano di verificarne l'adattamento calcolando una stima dei residui in funzione dei dati (Xl, X2, ... , XN): P

Et

== Xt

-

L

j=l

q

¢jXt-j

+

L

OjEt-j

t == P + 1, ..., N

j=l

Se il modello fosse corretto e stimato precisamentesenza alcun errore, ovvero nell'ipotesi che i dati provenissero effettivarnente da un processo aleatorio di quel tipo e con quei valori dei parametri, allora le Et sarebbero realizzazioni di un rumore bianco, quindi dovrebbero conformarsi alla ipotesi di avere media nulla, varianza costante e di essere incorrelate tra loro, ipotesi che possono essere verificate attraverso test statistici. Queste operazioni costituiscono la fase chiamata di verifica del modello (diagnostic checking nella terminologia di Box e Jenkins) che si conclude con l'accettazione del modello oppure con il suo rifiuto. In quest'ultimo caso, l'analisi dei residui aiuta a comprendere quali sono lc caratteristiche dei dati che non si riescono a spiegare e potra suggerire modelli alternativi: percio si ripete la fase di identificazione tenendo conto di questi risultati (il che portera spesso, rna non sempre, ad incrementare la scelta di p e q), e poi la stima dei parametri e la verifica. Si viene cost a concretizzare una procedura iterativa di affinamento successivo del modello, fino a determinarne uno statisticamente accettabile.Esamineremo adesso pili approfonditamente ciascuna fase.

10.2 Identificazione del modello Con il termine identificazione si intende, nell'ambito della procedura di costruzione di modelli ARMA secondo l'impostazione di Box e Jenkins, la scelta del valore da attribuire all'ordine autoregressivo p e all'ordine della somma mobile q. Nel corso degli anni si sono andate delineando tra gli analisti di serie storiche due diverse linee di pensiero nei confronti della costruzione dei modelli rappresentativi, e anche se questa distinzione non viene evidenziata frequentemente dai testi pili importanti, essa ha conseguenze sul modo di procedere e sulle tecniche usate per la identificazione: a) Identificazione come "scoperta". Dall'assunzione base che Ia serie sia una realizzazione finita di un preciso processo ARMA deriva che esiste uno e un solo modello esatto, e quindi la modellistica ARMA ha 10 scopo di

10.2 Identificaziane del modello

191

ricostruirlo, e la identificazione ha l'obiettivo di scoprire quali sono gli ordini p e q del processo che ha generato la serie. b) Identificazione come "approssimazione". La costruzione del modello e vista come un problema di scelta, nella classe dei modelli possibili (la classe ARMA a ordine finito), di quell'elemento che assicura la migliore spiegazione della serie osservata. Percio e necessario prima di tutto fissare un criterio attraverso il quale si giudica quanto il modello rappresenta i dati: sulla base di questo criterio si andra a cercare nella classe dei modelli quello che ne fornisce il valore ottimo. In questa ottica la identificazione diventa un problema di massimizzazione (0 minimizzazione) su uno spazio discreto, e il modello prescelto risulta la migliore approssimazione alla serie secondo un criterio esplicito. Si e detto che tra gli analisti non c'c una contrapposizione netta delle due impostazioni, e anche in letteratura questa distinzione non e frequentemente delineata con chiarezza. Agli inizi della modellistica contemporanea, tra le due guerre mondiali, la impostazione prevalente era nettamente quella per approssimazione. Dopo la seconda guerra mondiale, con i risultati di Wold sulla rappresentazione dei processi stazionari, sembra prevalere la impostazione della identificazione come scoperta, che e implicitamente abbracciata da Box e Jenkins. Negli anni successivi e stata via via rivalutata la impostazione per approssimazione, che a oggi e accettata in modo prevalente. La ragione di cia risiede essenzialmente nello sviluppo dell'analisi numerica e dell'informatica, che permette di risolvere in maniera esauriente il problema della scelta passando in rassegna virtualmente tutti i possibili modelli, valutandoli secondo un assegnato criterio quantitativo e scegliendo il migliore. A questo punto anche la impostazione basata sulla "scoperta" diventa un caso particolare di quella per approssimazione, caratterizzata da un criterio binario che assume valore Iogico "falso" su tutti i modelli tranne uno, su cui assume valore "vero". Inoltre la possibilita di scegliere esplicitamente un criterio permette di finalizzare la costruzione del modello agli scopi per cui 10 si vuole utilizzare, poiche non si puo escludere che, ad esempio, il modello che fornisce previsioni migliori sia diverso da quello che permette la migliore ricostruzione di dati mancanti 0 da quello che meglio descrive le variazioni stagionali. Bisogna pero riconoscere che questa possibilita di far dipendere la scelta del modello dagli scopi che ci si prefiggono e ancora poco sviluppata in letteratura. II modo di procedere fondamentale nella identificazione come scoperta consiste nel confronto tra andamento teorico nel modello, e andamento empirico stimato sui dati, di alcune funzioni che caratterizzano la dinamica: prima di tutte le autocorrelazioni e le autocorrelazioni parziali. Si stimano percia Ie autocorrelazioni ordinarie e parziali, e si analizza il correlogramma, comparandolo con le proprieta caratteristiche dei processi ARMA: 1. Un processo M A(q) ha autocorrelazione ordinaria nulla per ritardi superiori a q.

10 I modelli rappresentativi

192

2. Un processo AR(p) ha autocorrelazione parziale nulla per ritardi superiori ap;

3. un processo AR(l) ha autocorrelazione ordinaria di forma esponenziale negativa, un AR(2) pseudo-periodico ha un andamento periodico smorzato dell' au tocorrelazione ordinaria. 4. Un processo ARMA(p, q) ha un comportamento dell'autocorrelazione analogo a quello dell' AR(p) eccettuati i primi q ritardi. 5. L'andamento dell'autocorrelazione di un autoregressivo corrisponde a quello dell'autocorrelazione parziale di una somma mobile dello stesso ordine e viceversa. II correlogramma stimato, ordinario e parziale, deve percio suggerire la scelta di p e q. II problema sorge proprio perche non si conoscono i valori effettivi delle correlazioni, rna solo le loro stime, che forniscono informazioni imprecise, e possibilmente distorte (poiche il numero di dati e finito) e possono rendere assai problematico e incerto associare a ogni correlogramma un andamento tipico proprio di un particolare ordine (p, q). L'incertezza si puo valutare alla luce di misure come gli scarti quadratici medi delle stime i( h) e ir(h), rna anch'essi dipendono dai valori veri delle r(.) e 11"(.), e quindi vanno stimati con il pericolo di sottovalutarli (0 sopravvalutarli) gravemente. Pur prescindendo da questo problema, potremmo costruire intervalli di confidenza per tutte le stime riportate nel correlogramma e valutare Quale andamento teorico si adatta meglio. Questo procedimento risulta abbastanza percorribile nel caso di processi AR e MA puri, poiche in tal caso una delle due funzioni (ordinaria o parziale) si annulIa da un certo punto in poi, e si puo giudicare se un'autocorrelazione stimata e significativamente diversa da zero confrontandola con il valore k a / 2 / ViV. Pertanto al primo esame del grafico si va a verificare qual e il ritardo minimo a partire dal Quale le correlazioni stimate si mantengono all'interno della banda di confidenza tracciata attorno all'asse delle ascisse. Se si considera l'autocorrelazione ordinaria, questo ritardo da un'idea dell'ordine q sufficiente perche un modello MA puro possa riprodurre bene l'andamento, mentre se si guarda il correlogramma parziale, il ritardo minimo oltre il Quale si perde la significativita indica l'ordine p sufficiente per un modello AR puroo Generalmente si sceglie il pili piccolo dei due. Un esame pili approfondito potra suggerire come alternativa modelli misti, di ordine complessivamente inferiore. Esistono molte altre tecniche di identificazione del modello basate sul principio della scoperta, legate a varie funzioni il cui comportamento su processi ARMA e determinato dall'ordine. Le pili usate sono funzione del lag e hanno la particolarita di assumere valore nullo in corrispondenza all'ordine (e quasi sempre anche per ritardi superiori). Percio la tecnica si basa sulla stima di queste funzioni e sulla valutazione della loro significativita. Rientrano in questa logica: l'uso delle autocorrelazioni inverse, l'autocorrelazione estesa, il corner method e altri per i quali si rimanda alla letteratura (per esempio Box, Jenkins e Reinsel, 1994).

10.2 Identificazione del modello

193

Va sempre tenuto presente che l'incertezza legata al fatto che le quantita rilevanti sono solo stimate, non permette una messa a fuoco precisa e univoca dell'ordine (p, q), rna per ogni serie analizzata si arriva in genere a un ventaglio di modelli - cioe di coppie (p, q) - tutti egualmente plausibili alla luce dei dati. Tra di essi si sceglie basandosi sul principio della parsimonia, cioe preferendo il modello che ha il minor numero di parametri, poiche esso presentera minor difficolta nella fase di stima, e in genere si presta a una pili facile interpretazione ed e pili agevole controllarne caratteristiche e andamenti. Cia naturalmente avviene come prima scelta, salvo ritornare ad adottare modelli pili articolati nel caso che la successiva fase di verifica dovesse segnalare una inadeguatezza del modello pili semplice, come vedremo nel seguito. Passiamo adesso a sviluppare l'impostazione che vede la identificazione come una approssimazione. E necessario prima delimitare esattamente l'insieme delle soluzioni possibili - il che viene fatto in genere specificando un ordine massimo plausibile sia per la struttura autoregressiva, P, sia per quella a somma mobile, Q - e un criterio di scelta consistente in una funzione dei dati e dell'ordine: C(p, qIXI,X2, .. " XN), che, secondo l'uso generalizzato in letteratura, assume il significato di perdita, ed andra quindi minimizzato. La identificazione si pone quindi come un problema di minimo:

minC(p,qlxl,X2, ... ,XN) ,(p,q)

E

[O,P] x [O,Q].

(10.3)

Notiamo come questa impostazione e passibile di immediate generalizzazioni dell'insieme delle soluzioni possibili, ad esempio quella in cui si specifica anche che alcuni parametri sono vincolati a zero, per cui il modello e determinato dall'elenco dei ritardi ai quali compare un parametro autoregressivo o a somma mobile: in pratica, invece che da (p, q), il modello e caratterizzato dal vettore (hI, h 2 , ... , h p, k l , k 2 , ... , kq) con 1 hI < h 2 < ... < h p P, 1 < k 1 < k 2 < ... < kq < Q e ha la forma:

<

Zt == ¢IZt-h 1

+ ¢2 Zt-h + ... + ¢pZt-h + ct 2

p

<

()ICt-k 1

-

•.• -

()qct-k q

e si parla in questo caso di modelli subset. Una volta fissata la parametrizzazione del modello, e noi adotteremo la pili semplice (10.2), le varie procedure differiscono per la scelta della funzione da minimizzare C (p, qlxl, X2, ... , XN ): queste funzioni vengono direttamente chiamate con il nome di criteri, a volte anche criteri automatici per sottolineare che la scelta e basata su una procedura analitica invece che basarsi sulla sensibilita e sull'esperienza della statistico come nella impostazione precedente. La tecnica dei criteri di identificazione e legata indissolubilmente al nome di H. Akaike, che ha introdotto i criteri FPE (1969) e AIC (pubblicato a livello internazionale nel 1974 anche se ideato qualche anna prima). II criterio FPE (final prediction error) si applica alla costruzione di modelli autoregressivi puri, e parte dal considerare come criterio da minimizzare la varianza residua del processo. Essa dipende dai parametri cPj che vanno stimati, e quindi si crea un circolo vizioso. L'idea che riesce a superarlo e quella

194

10 I modelli rappresentativi

di immaginare di avere due realizzazioni indipendenti, di lunghezza N, dello stesso processo autoregressivo di ordine p, (Xl, X2,.··, XN) e (YI' Y2,···, YN). Usiamo la prima per stimare i parametri ottenendo i ¢j (x), j == 1, ... , p, e con questi parametri calcoliamo i residui sui dati {Yt}, e la varianza residua. La varianza residua teorica risulta:

= Ey

(rt - LcPjrt-j f + LLEx{[¢j(X) - cPj][¢k(X) - cPk]h(j j

= a

2

k)

k

+ E { (¢ -

cP)' rp ( ¢ - cP) }

dove si e usata l'indipendenza tra (XI, ... ,XN ) e (YI, ... ,YN ) e si sono indicati in forma vettoriale i parametri e le autocovarianze. Ricordando (paragrafo 9.7) che il vettore ¢ e, per N grande, normale con media ¢ e varianza -ka2r p- l , la forma quadratica risulta (a2/1V) volte un chi quadro con p gradi di liberta, e la sua media e quindi pari a a 2 pl N. Pertanto il risultato finale e a 2 (1 + piN). A questo punto, per il calcolo effettivo dobbiamo stimare a 2 , e preferiamo 10 stimatore corretto N (;2 I (N - p), dove (;2 e 10 stimatore di massima verosimiglianza. Akaike propone di calcolare queste quantita sui dati dell'unica serie a disposizione per differenti valori dell'ordine, stimando a 2 con la varianza residua osservata dopo aver adattato un modello autoregressivo di quell'ordine: (10.4) dove

e i ¢j (j == 1, ... , h) sono stimati con il metodo dei minimi quadrati. Se i dati provengono da un processo autoregressivo di ordine p, calcolando la (10.4) per valori crescenti, da 0 fino a p, otterremo valori decrescenti, poiche l'adattamento e sempre migliore, mentre al crescere di h oltre p la varianza residua non risentira di grosse riduzioni (in quanto abbiamo gia spiegato tutta la dinamica lineare presente nei dati), mentre il termine (N +h)/(N -h) cresce e quindi 10 FPE tendera ad aumentare. Pertanto si cerchera quel valore di h in corrispondenza al quale FPE(h) raggiunge il suo valore minima. II nome FPE sta per Final Prediction Error perche la varianza residua puo essere anche considerata (come vedremo) come errore quadratico medio di previsione, e l'aggettivo "finale" si riferisce alla ipotesi delle due realizzazioni indipendenti.

10.2 ldentificazione del modello

I- - - parametri ---o----Iog.verosim. -Ale

195

I

Fig. 10.1. Andamento del criterio Ale in funzione del numero di parametri

II criterio AIC (Asymptotic Information Criterion) estato introdotto in un contesto pili generale di adattamento di modelli statistici, e ha visto applicazioni in molti campi, non soltanto relativi alle serie temporali. Esso deriva da considerazioni legate alla teoria dell'informazione, rna puo essere interpretato come un procedimento simile al FPE, basato sulle due realizzazioni, nel Quale il criterio di ottimalita e la massimizzazione della verosimiglianza, 0 equivalentemente la minimizzazione di una funzione pari a -2 volte illogaritmo della verosimiglianza. Lo sviluppo analitico (si veda Brockwell e Davis, 1987) porta a una quantita che si ottiene sottraendo dal numero dei parametri il logaritmo della verosimiglianza massimizzata. In questo modo, adottando modelli di ordine crescente, sia il numero di parametri sia la massima verosimiglianza aumentano, descrivendo una situazione schematizzata nella Fig. 10.1 in cui il criterio mostra un minimo definito e permette la identificazione. Se indichiamo con L (x I¢1, ... , ¢P'() 1, ... , ()q) la verosimiglianza dei dati sotto l' ipotesi che essi provengano da un processo ARMA(p, q), e con

L,,q == (¢,B)EA max L(xl¢, ()) la verosimiglianza massimizzata, dove A e la regione ammissibile di stazionarieta e invertibilita, il criterio AIC si puo scrivere nel nostro caso:

AIC(p, q) == -2 loge Lp,q

+ 2(p + q)

e si parla a volte di verosimiglianza penalizzata. Sorge il problema di calcolare la verosimiglianza, per la quale si ammette l'approssimazione con la distribuzione normale. Allora, come abbiamo visto nel paragrafo 9.7, si puo scrivere: L(xlq" B)

=

(27r(T2)-N/2 exp { -

2~2 S(q,Ji)}

.

196

10 I modelli rappresentativi

Massimizzando rispetto a (¢, ()) e a 2 si ottiene &2 == S (¢, B)/ N, da cui L == (21r&2)-N/2 exp{ -N/2}, cosl che logL == -(N/2) log(&2) + N/2. Pertanto, trascurando la costante additiva N /2 e sostituendo:

AlC(p, q) == N log{&2 (p, q)} + 2(p + q)

(10.5)

dove si e scritto &2 (p, q) per sottolineare che e la varianza residua calcolata dopo aver adattato un modello ARMA(p, q). I due criteri FPE e AlC pur essendo ricavati secondo logiche diverse, sono approssimativamente equivalenti per N grande, quando si sceglie tra modelli autoregressivi. lnfatti usando l'approssimazione log(l + x) ~ x (valida per x piccolo) possiamo scrivere:

logFPE(h) = logo-h

+ log (~ ~ ~)

= log o-h + log ( 1 + ~ ) - log ( 1 -

~)

~ logo-h + 2h/N = ~AIC(h) pertanto i due criteri raggiungono il minimo in corrispondenza allo stesso ordine. Come si puo notare, la scelta di FPE 0 AlC come criterio C(p, qlx) da minimizzare comporta la stima completa, per ogni possibile coppia (p, q), dei parametri sia autoregressivi sia a somma mobile, quindi comprensibile che 1'uso di questi criteri si sia diffuso solo dopo che i metodi numerici di stima sono diventati sufficientemente affidabili e veloci, e la disponibilita di potenza di calcolo rilevante si e generalizzata. Dalla fine degli anni 70 sono state proposte in letteratura innumerevoli variazioni e generalizzazioni, e molti sono stati anche i tentativi di sistemare la materia e di organizzarla in un quadro unitario. Accenniamo brevemente solo alla recente, elegante impostazione di Taniguchi e Kakizawa (2000). Essi considerano una funzione (generica) g che caratterizza il processo (potrebbe essere la funzione di autocorrelazione 0 la densita spettrale, 0 la successione dei pesi hj nella rappresentazione (6.7) di Wold). Consideriamo una classe di c Rm} dipendenti da m parametri scalari, e modelli parametrici {Me, () E sia fe la forma assunta da g in corrispondenza al modello Me. Per esempio se g e la funzione di autocorrelazione e la classe di modelli e quella degli autoree la regione di gressivi puri stazionari con a 2 == 1, allora () == (¢1, ... , ¢m), stazionarieta dei parametri e fe e la funzione di autocorrelazione teorica di un processo autoregressivo con parametri dati da (). L'aderenza del modello Me al processo viene giudicata attraverso il valore di una misura di discrepanza D(g, fe) che assume un unico minimo se g coincide con fee L'obiettivo e di determinare la scelta parametrica che minimizza la discrepanza, cioe l'elemento ()o di e tale che

e

e

e

D(g,fe o )

==

minD(g,fe). eE8

10.2 Identificazione del modello

197

eo

II valore rappresenta la scelta ottima. Tuttavia, sulla base della realizzazione finita osservabile (Xl, X2,"" XN) noi non abbiamo la conoscenza completa di g, che puo essere pero stimata attraverso uno stimatore gN. Allora dovremo cercare il parametro che realizza la minima discrepanza da gN, cioe quel valore ON per il quale

D(gN,fe )==minD(gN,fe). N eE8 In questo modo la scelta di ON dipende dai dati, si viene quindi a descrivere uno stimatore ON(XI , ... ,XN). Per misurare l' adattamento del modello possiamo considerare la discrepanza media E{D(g,feN)}, dove la media e presa rispetto a (X I, ... , X N ). II criterio da rendere minimo (al variare del numero dei parametri m) e quindi la discrepanza media E{D(g, feN)}' che pero naturalmente va stimata. Particolarizzando la scelta della funzione g, della discrepanza D(·,·) e del modo di stimare la media, Taniguchi e Kakizawa ottengono criteri equivalenti al FPE, al AIC e a molti altri. Ad esempio il criterio AIC si ottiene se si assume che il processo sia un ARMA(p, q) gaussiano, si prende come funzione 9 la densita spettrale, () == (cPI' cP2' ... , cPP' ()l, ()2, ... , ()q- (J'2), per fe la densita spettrale del modello:

f (A) e

11 - () Ie iA 21r 11 - cPI e i A 2

== ~

-

-

i qAI 2

()

qe

cPpeiPA

1

2

e come stimatore di 9 il periodogramma:

'" (') 21r1" L.-t N

gN /\

N

==

2

Xte

i At

t=l

e infine come misura di discrepanza:

D(g,f(})

=

J

{logf(}(,\)+

;(}~'~\}d'\.

-7r

Questa breve descrizione mette in luce un altro importante aspetto della procedura di identificazione: il valore del criterio C(p, qlx) da rendere minimo dipende in genere da quantita proprie del processo che genera i dati e quindi ignote. Per questo in realta cio che rendiamo minima e una stima del valore del criterio e la bonta del procedimento e condizionata dalle proprieta degli stimatori usati: in particolare e difficile assicurare la consistenza, cioe far sl che quando N tende all'infinito l'ordine scelto converga in probabilita al valore che minimizza il valore teorico del criterio. Da questo punto di vista diverse critiche sono state rivolte al criterio AIC, mostrando che in molti casi l'ordine scelto e superiore a quello che assicura il minimo (si parla di overfitting 0 sovra-parametrizzazione) . Sono stati allora proposti alcuni criteri che assicurano la consistenza se applicati su processi ARMA(p, q) gaussiani. I pili usati sono il criterio di Schwarz (1978) e il criterio di Hannan e Quinn (1979). II criterio di Schwarz e

198

10 I modelli rappresentativi

fornito da:

SCH(p, q) == N log &2(p, q) + (p + q) log N

(10.6)

e sostituisce il termine 10gN, crescente con N, al fattore 2 dell'AIC: esso e una modifica semplificata, rna sostanzialmente equivalente, di un criterio proposto precedentemente da Akaike e suscettibile di interpretazione in termini bayesiani, detto BIC (Bayesian Information Criterion, Akaike, 1979). II criterio di Hannan e Quinn e invece:

HQ(p, q) == log &2 (p, q) + (p + q)2c(10g log N) / N

(10.7)

dove C > 1. II criterio e motivato dalla proprieta di consistenza forte dello stimatore dell'ordine ottenuto con il minimo HQ. Questo risultato rientra in una serie di studi sui criteri di identificazione svolti da Hannan (in realta per processi multivariati) che ha dimostrato risultati del tipo seguente: se il processo generatore dei dati e un ARMA(p, q), e CN e una successione che tende a pili infinito quando N ---+ 00, allora 10 stimatore dell'ordine ottenuto minimizzando il criterio log &2 + (p + q)CN/ N e consistente. Questo risultato mostra la consistenza del criterio di Schwarz che si ottiene ponendo CN == 10gN, mentre evidentemente non vale per il criterio AIC che rientra nella forma di Hannan solo ponendo CN == 2. Hannan ha anche dimostrato che se

· In . f{ 1im

N -too

CN

2 log log N

}

>1

e

allora 10 stimatore fortemente consistente, e questo spiega la struttura del criteria di Hannan e Quinn. Sono stati proposti molti altri criteri in letteratura, sui quali non ci soffermeremo, che si rifanno sostanzialmente alla forma di verosimiglianza gaussiana penalizzata e quindi sono del tipo N log &2 (p, q) + (p + q)1f N, e contrastano la componente crescente in funzione del numero dei parametri, generalmente lineare, con una componente decrescente legata alla varianza residua. Rientra in questo schema anche una procedura per la scelta dell'ordine di un model10 autoregressivo puro, basata sulla varianza residua, che ha costituito uno dei primi metodi usati per la scelta dell'ordine, facilmente applicabile poiche legato alla stima ricorsiva dei parametri autoregressivi con il metodo di Durbin che ci e servito per stimare Ie autocorrelazioni parziali (paragrafo 9.4). Esso permette, sulla base delle stime delle autocorrelazioni, di stimare i parametri di un modello autoregressivo di or dine m in maniera ricorsiva, con m crescente:

f(m

m

+ 1) - E

j=l

cPm,jf(m + 1 - j) A


A

j=l

¢m+1,j == ¢m,j - ¢m+1,m+1¢m,m+1-j,

j == 1,2, ... , m

10.2 Identificazione del modena

199

mentre per la stima della varianza residua si puo ottenere:

Al crescere dell'ordine la varianza residua inizialmente decresce sensibilmente, rna una volta raggiunto l'ordine "vero" la diminuzione ulteriore etrascurabile, poiche non e pili dovuta a un aumento della capacita esplicativa del modello. Percio nell'adattare modelli di ordine crescente ci si fermer a quando il passaggio all'ordine immediatamente superiore non garantisce pili una diminuzione apprezzabile della variabilita residua. Si sceglie cioe il primo valore (ovvero il pili piccolo perche la procedura iterativa e crescente) p per il quale

ovvero I¢P+l,p+ll < VE· Si verifica facilmente che questo modo di procedere equivale ana minimizzazione del criterio N log + P7rN ponendo 7rN == N log{1/ (1 - E) }. Infatti nel passare dan'ordine p all' ordine p + 1 questo criterio C(p) cresce 0 decresce a seconda che

a;

C(p + 1) - C(p) == N log a;+l - Nloga;

+ 7rN == Nlog

(ah _1_) 1

O"p

1- E

2: 0 <

che equivale a

Si puo anche verificare che questa procedura equivale approssimativamente a usare il criterio FPE se E == 2/(N + 1). Dal punto di vista pratico, ai fini della costruzione effettiva di un modello sulla base di una serie temporale osservata, la scelta tra i molti criteri non si presenta facile: i risultati teorici di Hannan invitano a scegliere un peso 7rN crescente con N, rna cia e rilevante solo nella pratica ripetuta di costruzione di modelli su serie con numerosita differente, e non aiuta nella scelta dell'ordine per un singolo caso. II valore 7rN == 2 corrisponde al criterio di Akaike, e supera ampiamente il log log N (scelta che assicura la consistenza forte) per serie fino a 1000 osservazioni; tuttavia e dimostrato che in molti casi tende a suggerire ordini troppo elevati. Di conseguenza e consigliabile esaminare il comportamento del criterio per valori del peso 7rN anche leggermente superiori, aumentandolo fino a 3 0 4 0 fino a log N se e superiore, valutando la stabilita dell'ordine risultante. Se questo cambia al variare di 7rN, un modo di procedere omogeneo allo spirito della metodologia di Box e Jenkins equello di adottare il modello pili parsimonioso (col minor numero di parametri) lasciando poi alla fase di verifica dell'adattamento il compito di suggerire la eventuale necessita di ampliare gli ordini.

200

10 I modelli rappresentativi

Un'ultima considerazione di importanza pratica non trascurabile riguarda l'insieme di valori ammissibili per l'ordine (p, q), e in particolare i valori massimi plausibili P e Q nella (10.3). Se si considerano ordini molto grandi in rapporto alIa numerosita N della serie, si raggiunge una situazione in cui l'insieme degli N dati viene spiegato in funzione di quasi altrettanti parametri, e questo comporta (per Ie proprieta stesse dei minimi quadrati) una varianza residua vicina a zero; poiche nel criterio di identificazione compare illogaritmo della varianza residua ( e log z tende a -00 se z tende a zero), il termine log fJ2 tende rapidamente ad assumere valori negativi molto grandi in modulo, trascinando il criterio verso meno infinito indipendentemente dalla grandezza di p e q. Di conseguenza accade che, se P e Q sono molto grandi, l'andamento osservato e diverso da quello della Fig. 10.1: il criterio presenta un minimo assoluto in corrispondenza dell'ordine (P, Q) e un minimo interno solo relativo. Per questo motivo si raccomanda spesso, nell'uso dei criteri automatici, di fermarsi al "primo minimo" al crescere dell'ordine, cioe di selezionare i valori di (p,q) corrispondenti al minimo interno. Esempio 10.1. Consideriamo la serie delle macchie solari di cui abbiamo gia svolto l'analisi spettrale nell'esempio 9.3. Abbiamo considerato solo 100 dati, e abbiamo adattato modelli autoregressivi puri con ordine crescente. I risultati riportati nella tabella seguente elencano per ogni ordine la varianza residua stimata e il valore dei criteri FPE, AlC, Schwarz e Hannan-Quinn (con c == 1.5); in corrispondenza all'ordine zero e riportata la varianza della serie. ordine yare res. o 1300 1 444 2 245 3 247 4 247 5 249 6 245 7 217 8 213

FPE 1300 453 255 262 267 275 277 249 250

AlC 717 611 554 556 558 561 562 552 553

SCH 717 614 559 564 569 575 578 570 573

H-Q 717 615 562 569 575 582 587 580 585

20

169

253 553 605 635

48

26

74 421 546 545

Tutti i criteri presentano un minimo relativo in corrispondenza all'ordine p == 2 e poi cresco no all'aumentare dell'ordine, anche se non in modo monotono. Pertanto i criteri indicano univocamente la scelta di un modello AR(2). Per illustrare il comportamento limite dei criteri, abbiamo riportato i valori stimati per ordini elevati p == 20 e p == 48, che risultano generalmente inferiori ai minimi relativi ottenuti per p == 2; al di la dell'ordine 48 la varianza residua diventa praticamente nulla.

10.3 Stima dei parametri e verifica del modello

201

10.3 Stima dei parametri e verifica del modello Una volta deciso l'ordine (p, q), la stima dei parametri cPl' cP2' ... , cPP' ()1, ()2, ... , ()q, (J2 viene effettuata con i metodi di stima che abbiamo illustrato nel paragrafo 9.7, assumendo che la serie sia una realizzazione finita di un processo ARMA(p, q). Ricordiamo che abbiamo sempre considerato processi a media nulla, e quindi il modello e stato costruito per gli scarti dalla media. In alternativa si puo considerare il processo non depurato dalla media J-L, che segue il modello

dove c == J-L(1- cPl - cP2 - ... - cPp)· La costante c puo essere stimata sostituendo le stime dei parametri autoregressivi e la media osservata x:

rna gran parte dei software ne prevedono la stima congiunta simultaneamente con gli altri parametri. Durante la procedura di stima, per ogni parametro viene stimato anche il relativo scarto quadratico medio. I valori standardizzati ¢j/a(¢j) e OJ/a(Oj), confrontati in valore assoluto con i quantili della distribuzione t di Student a (N - p - q) gradi di liberta, forniscono una idea di quali stime dei parametri siano significativamente diversi da zero. Nel caso che ve ne siano alcune non significative, diversi software permettono di ripetere la stima vincolando i corrispondenti parametri a zero, e diminuendo cost il numero dei parametri. Puo inoltre accadere nel caso di modelli misti che gli operatori AR e MA stimati presentino un fattore in comune, cioe che posto:

si abbia

(B)

==

C(B)ep* (B)

dove C(B) ha grado inferiore e equivalente al seguente:

0

8(B)

==

C(B)8* (B)

uguale al min(p, q). Allora il modello stimato

ep* (B)Xt

==

8* (B)ct

il Quale ha ordine inferiore e va quindi preferito per la maggiore parsimonia. Percio esempre opportuno, dopo la stima, fattorizzare i polinomi (B) == 1 - 1.28B + 0.32B2 ha radici (risolvendo l'equazione di

202

10 I modelli rappresentativi

secondo grado) pari a circa 2.92 e 1.0S, e si puo scrivere quindi &(B) (1 - BI2.92)(1 - Bl1.0S) ~ (1 - 0.35B)(1 - 0.93B) mentre il polinomio MA e 8(B) == (1 - 0.39B). Poiche 10 scarto quadratico medio stimato per 01 e

V(1-

{}i)/N

C:::'.

0.92/VN, se la serie e lunga per esempio N

=

120 dati si ot-

tiene 8"(0 1 ) ~ O.OS, quindi (1- 0.39B) e (1- 0.35B) possono essere considerati equivalenti e semplificando si ottiene il nuovo modello (1-0.93B)X t == Et che e un AR(l) di struttura parametrica pili semplice pur offrendo sostanzialmente la stessa spiegazione dei dati. Vengono anche calcolati i residui osservati formula:

Et

p

Et

==

Xt -

L

¢jXt-j -

j=l

C+

ottenuti iterativamente con la q

L

OjEt-j .

(10.S)

j=l

Tutti i metodi di stima garantiscono che la somma dei residui e zero (a un grado di approssimazione dipendente anche dall'elaboratore, rna comunque sufficiente ai fini pratici), e la somma dei quadrati viene usata per stimare la varianza residua (generalmente la versione non distorta): ---2 _

(J -

N

1 ~ ---2 ~Et - P- q t

.

La varianza residua viene confrontata con la varianza della serie attraverso un indice mutuato dall'analisi di regressione denominato coefficiente di

determinazione R 2 :

R2 == 1 -

8"2 /1(0) .

II valore di R2 varia tra 0 e 1 e misura la parte di variabilita "spiegata" dal modello. Nella sua interpretazione si deve tener presente che il valore ottenuto e una stima del quoziente teorico R 2 , e inoltre che esso si riferisce al modello che abbiamo scelto, percio su R2 possono influire due tipi di distorsione: 1. II rapporto 8"2/1(0) potrebbe essere una stima distorta di (J2/,(0). 2. II modello che abbiamo scelto (cioe l'ordine che abbiamo identificato) potrebbe non essere ottimale, e quindi il (J2 che andiamo a stimare potrebbe non essere quello minimo raggiungibile all'interno della classe ARMA. Queste considerazioni suggeriscono di valutare con cautela le stime del coefficiente di determinazione; d'altra parte sarebbe sbagliato concludere che un R2 piccolo e segno di errata costruzione del modello, poiche la serie puo essere stata generata da un processo ARMA caratterizzato da un valore teorico piccolo di R 2 == 1 - (J2 I, (0); in tal caso se la identificazione e corretta e la stima poco distorta, il valore di R2 non puo essere che piccolo. Ad esempio per un AR(l) il coefficiente R 2 e uguale a ¢2: se abbiamo una serie generata da un AR(l) con parametro ad esempio ¢ == 0.5, risulta R 2 == 0.25 e anche un modello correttamente identificato non potra avere un coefficiente di determinazione maggiore.

10.3 Stima dei parametri e verifica del modello

203

In conclusione, un R2 modesto puo significare sia che la procedura non e stata compiuta correttamente, sia che la serie proviene da un processo con struttura lineare dinamica poco pronunciata: per discernere queste due alternative si deve effettuare una verifica di conformita del modello, argomento che passiamo adesso a trattare. Le operazioni volte a controllare la bonta del modello si rivolgono essenzialmente ai residui osservati (10.8) con 10 scopo di verificare se essi soddisfano Ie ipotesi alla base del modello stesso, e fondamentalmente quella di incorrelazione. Ricordando infatti la interpretazione del modello come filtro lineare , si vede che l'effetto delle strutture autoregressiva e a somma mobile e quello di introdurre una dipendenza lineare dinamica nei dati, e se questa forma di dipendenza non e pili presente nei residui, si puo pensareche il modello ipotizzato sia corretto; viceversa, se nei residui si ravvisa ancora dipendenza lineare, cia significa che essa non e stata spiegata esaurientemente dalle parti autoregressiva e a somma mobile costruite: in tal caso ci porremo anche il compito di trovare modelli pili accurati. II controllo statistico della incorrelazione (0 come si usa anche dire della bianchezza) dei residui si puo condurre in ambedue i domini, temporale e frequenziale (anche se i metodi pili correnti appartengono al primo) e si basa sulle stime delle autocorrelazioni e del periodogramma dei residui osservati Et:

fc(h)

==

LEtEt+h/LE; t

t 2

I (.\) == _1_ ~ 21rN

c

e

E e i At ~ t t

II modo di procedere pili usato quello di costruire test statistici in cui l'ipotesi nulla stabilisca che i residui provengono effettivamente da variabili incorrelate, cia che viene assimilato alla correttezza del modello costruito. Percio se l'ipotesi non viene rifiutata dal test, il modello e accettato come sufficientemente rappresentativo della serie. Questo tipo di problematica (i cosiddetti test di bianchezza) estata sviluppata inizialmente in modo indipendente dalla costruzione dei modelli rappresentativi, e i risultati possono essere applicati direttamente ai residui osservati, tenendo conto pero che il modo con cui essi sono stati calcolati (10.8) fa s) che esistano vincoli che legano i loro valori. Nel dominio temporale il risultato fondamentale al Quale ci possiamo riferire e la normalita asintotica delle stime delle autocorrelazioni del rumore bianco: se f == {f(1), f(2), ... ,f(M)}', allora VHf tende a una normale multipla a M dimensioni standardizzata (con medie nulle e matrice di dispersione idcntita). Pertanto possiamo costruire una distanza complessiva del vettore dall'origine calcolandone la somma dei quadrati, che diventa una variabile chi quadrato se la standardizziamo moltiplicandola per N:

204

10 I modelli rappresentativi

Poiche ogni allontanamento dalla "bianchezza" comporta che almeno qualche autocorrelazione teorica sia diversa da zero, ci aspettiamo che la statistica QM tenda ad avere valori pili grandi se il processo non e bianco, e quindi un test di bianchezza si puo basare sulla regione di rifiuto QM > X~,(l-a) (quantile a livello 1-0: della variabile chi quadro con M gradi di liberta.). Questo modo di procedere puo essere esteso ai residui, rna il fatto di averli calcolati dopo aver stimato i parametri comporta che il vettore rE: == {rE:(l),rE:(2), ... ,rE:(M)}', sotto l'ipotesi che il modello sia corretto, si distribuisca in maniera asintoticamente normale con media nulla, rna matrice di dispersione con rango M -p-q. Ne risulta che la statistica QM si distribuisce sotto l'ipotesi nulla come un chi quadrato con M - p - q gradi di Iiberta (Box e Pierce, 1970). Si ottiene cost il test di Box e Pierce detto portmanteau (baule, valigia):

e C a e il quantile a livello (1- 0:) della distribuzione chi quadrato con M - p - q gradi di liberta. Le approssimazioni adottate, pero, fanno sl che per N finito spesso il test abbia una significativita empirica (frequenza di rifiuto dell'ipotesi nulla quando e vera) inferiore al valore nominale 0:, e questo ha portato a considerare una maggiore precisione nel valutare la varianza degli stimatori delle autocorrelazioni. Se si usa la formula

Var{rE:(h)}

==

(N - h)/{N(N + 2)}

si ottiene cosi una versione diversa del test, proposta da Ljung e Box (1978):

QM== N(N + 2)

M

L rE:(h)2 /(N -

h)

(10.9)

h=l

che e pili usata della precedente. Anche in questo caso il modello viene accettato se il valore calcolato della (10.9) non supera il quantile del chi quadrato con M - p - q gradi di liberta. Meno chiaro e meno trattato in letteratura e il problema di come scegliere il valore di M, cioe quante autocorrelazioni "mettere in valigia" (fermo restando che il loro numero deve essere considerevolmente superiore a p+q), poiche la potenza del test sotto ipotesi alternative dipende dalla forma di queste: in genere si puo dire che se applicato a un processo che abbia autocorrelazioni diverse da zero fino al ritardo k, e poi nulle, la potenza del test aumenta al crescere di M fino a k, e poi tende a diminuire per valori superiori. Percio il valore di M va scelto superiore a tutti i ritardi in corrispondenza dei quali si sospetta che ci sia autocorrelazione, rna non troppo elevato. Ad esempio, la pratica per dati mensili che possono essere soggetti a stagionalita suggerisce di scegliere per M un valore di almeno 12, spesso viene scelto 24; in dati trimestrali con la eventuale presenza di cicli economici congiunturali (solitamente con periodi fino a sette-otto anni) si sccglicra un M tra 20 e 30, e cost via, compatibilmente con la numerosita della serie.

10.3 Stima dei parametri e verifica del modello

205

II test di Ljung e Box e molto diffuso e praticamente tutti i software per la costruzione di modelli ARMA ne forniscono il risultato. Sono stati proposti in letteratura molti altri test, i quali in genere hanno potenza superiore a quello di Ljung e Box, rna hanno una distribuzione di probabilita sotto l'ipotesi nulla pili complicata 0 difficilmente tabulabile. Citeremo soltanto quelli basati sulla differenza tra autocorrelazioni ordinarie e parziali (Pukkila, 1984; Baragona e Battaglia, 2000a). Be il processo e rumore bianco allora r(h) == 7f(h) (== 0) per ogni h, mentre per tutti i processi non bianchi Ie funzioni di autocorrelazione ordinaria e parziale differiscono almeno per qualche ritardo: questo suggerisce di usare le stime delle differenze, f( h) - ir( h), per costruire una somma dei quadrati simile al test portmanteau. II vantaggio e che sotto l'ipotesi nulla la varianza di f (h) - ir (h) e dell' ordine di 1I N 2 , mentre quella di f (h) e di ordine II N, percio le differenze sono molto pili sensibili all'allontanamento dalla bianchezza. L'inconveniente e invece nel fatto che N{f(h) - ir(h)} non ha una distribuzione asintoticamente normale (tende invece alla differenza tra due chi quadro indipendenti) e quindi il calcolo dei valori critici del test e pili difficile. Da segnalare infine il recente test proposto da Peiia e Rodriguez (2002) basato sul determinante della matrice di autocorrelazione stimata dei residui, che ha dimostrato buone proprieta di potenza. Nell'ambito del dominio frequenziale, il controllo della bianchezza dei residui consiste nel verificare l'ipotesi che la densita spettrale possa essere considerata costante. II problema puo essere posta in termini di confronto tra la distribuzione spettrale normalizzata teorica G(A), ad andamento lineare tra -7f e 7f, e quella empirica basata sul periodogramma:

G(A) =

i: i: I(w)rlliJ /

I(w)dw .

Si puo dimostrare che, essendo 10 stimatore G(A) una media di periodogrammi, risulta consistente e quindi non c' e bisogno di ricorrere agli stimatori con finestra. Per il test di uguaglianza tra distribuzione teorica ed empirica si ricorre ai risultati di Kolmogorov e Smirnov sul confronto tra distribuzioni di probabilita, che possono essere estesi anche al caso presente. In pratica approssimeremo l'integrale con una sommatoria, calcolando il periodogramma dei residui alle frequenze di Fourier Aj == 27fj IN (per Ij < m == IN 12l): 1

I j ==

1

~ v 27fN

L E ex p(i27fj t IN ) t

2

t

e la stima dello spettro normalizzato cumulato:

k == -m + 1, ... , m mentre la misura spettrale teorica per il rumore bianco e naturalmente G(Ak) == (k + m)IN. Ricordiamo che asintoticamente lc I j sono chi quadrati

206

10 I modelli rappresentativi

I Rifiutare Ho 0.5

O~_"":'-_-------------------'

Fig. 10.2. Misura spettrale teorica e stimata e test di bianchezza

indipendenti, cost si possono applicare i risultati di Kolmogorov e Smirnov:

dove TIn sono i quantili tabulati, per esempio TIn ~ 1.36 per ex == 0.05. Accetteremo l'ipotesi quindi se la distanza tra G e G si mantiene sempre entro i limiti della disuguaglianza, cioe se

altrimenti rifiuteremo l'ipotesi nulla. II test ha anche una immediata rappresentazione grafica: sul rettangolo (-1T, 1T) X (0,1) si traccia la diagonale ascendente e due linee a distanza ±Tla 2/ N, e poi si disegna la spezzata a gradini che congiunge i punti {Ak' G(Ak)}' Se la spezzata in qualche punto esce fuori dalla banda centrale si rifiuta l'ipotesi di rumore bianco (si veda la Fig. 10.2). Va tenuto presente tuttavia che gli urti su cui viene calcolato il periodogramma sono ottenuti in base alle stime dei parametri ¢ e (), e quindi anche sotto l'ipotesi nulla la distorsione delle stime dei parametri puo introdurre autocorrelazione spuria nelle Et, provocando valori pili elevati delle differenze G(Ak) - G(Ak) e di conseguenza una maggiore ampiezza empirica del test rispetto allivello nominale, pertanto i risultati vanno sempre giudicati con cautela (considerazione peraltro valida anche per le procedure nel dominio temporale). In conclusione, se si eportati ad accettare l'ipotesi che i residui provengano da un processo rumore bianco, si considerera il modello accettabile; in caso

vi

10.4 Modelli per serie non stazionarie in media

207

contrario, un esame dei residui puo suggerire modelli alternativi. In linea di principio, se la serie {Et} non egiudicata bianca, si puo ipotizzare che essa sia rappresentabile come processo lineare, e che possa essere ben approssimata da un modello ARMA di ordine autoregressivo Q e a somma mobile (3:

dove {Ut}

e un rumore bianco. Riportando questo risultato sui dati, poiche &(B)Xt == 8(B)ct

moltiplicando ambo i membri per M(B) si ottiene:

M(B)&(B)Xt == 8(B)N(B)Ut che descrive il processo osservato {X t } come un processo autoregressivo a somma mobile di ordine (p + Q, q + (3), e quindi suggerisce una modifica all'identificazione volta a incrementare gli ordini. In pratica l'autocorrelazione dei residui puo suggerire un andamento generale di tipo autoregressivo puro (e allora si aumenta l'ordine della struttura autoregressiva) oppure la significativita dei valori relativi soltanto a uno 0 pili ritardi (e in tal caso si incrementa l'ordine della parte a somma mobile). Sulla scorta di queste informazioni si ripete il ciclo di costruzione del modello, articolato nelle fasi di identificazione, stima e verifica. Va sottolineato infine che se ci si affida a criteri di adattamento complessivo, come il test di Ljung e Box 0 quello di bianchezza dello spettro, si potranno generalmente trovare pili modelli, anche di ordine diverso, che si adattano ugualmente bene alla stessa serie: tra di essi ce ne puo essere uno che spiega meglio I'andamento delle frequenze basse e uno che riproduce meglio quelle alte, oppure un modello che ha autocorrelazioni residue molto piccole per certi ritardi, e un altro che Ie ha piccole se si guardano ritardi diversi. La scelta tra questi, se sono di ordini differenti, e guidata in genere dalla parsimonia: scegliere quello con minor numero di parametri. Se cia non e sufficiente, puo capitare che determinate frequenze, 0 determinati ritardi, abbiano una importanza 0 un significato particolare, e allora si privilegia la bonta di rappresentazione riferita a quegIi elementi specifici. Tuttavia nella gran parte delle applicazioni cia non accade, ed e necessario essere disposti ad ammettere l'esistenza di una molteplicita di modelli il cui adattamento complessivo e di qualita equivalente, e le cui differenze sono difficili da discernere. In ultima analisi, la scelta tra pili modelli equivalenti puo esser affidata al valore di un criterio automatico (FPE, AIC, BIC, ...), adottando ovviamente il modello che presenta il valore minimo.

10.4 Modelli per serie non stazionarie in media Si incontrano frequentemente serie le cui caratteristiche appaiono in contrasto con Ie ipotesi fondamentali di base che abbiamo assunto. I fattori principali

208

10 I modelli rappresentativi

che fanno sorgere queste preoccupazioni, e che si riscontrano molto spesso specie nelle serie economiche, sono il trend e la stagionalita. Una serie presenta un trend quando i suoi dati tendono ad assumere valori crescenti, 0 decrescenti, al trascorrere del tempo, in modo tale che se ne considerassimo il grafico ordinato per il verso opposto delle ascisse (cioe con il tempo che scorre verso sinistra invece che verso destra) si ravviserebbe un andamento completamente diverso. A volte anche Ie oscillazioni dei valori della serie tendono a diventare pili ampie al trascorrere del tempo (si parla di trend in varianza). Queste caratteristiche portano a ritenere che per il processo che genera i dati non valga l'ipotesi di costanza della media e/o della varianza, e in tal caso non si possono definire autocorrelazioni e spettro. II dibattito sul problema della stazionarieta ha impegnato per anni i ricercatori dividendoli tra coloro che negavano validita ai metodi dell' analisi moderna delle serie temporali in questa situazione, e coloro che proponevano metodi per trattare adeguatamente e preliminarmente il trend, in modo da poter poi impiegare i metodi propri dei processi stazionari. Dal punto di vista logico, la dicotomia puo essere ricomposta osservando, con Kendall, che sulla base di un numero finito di dati N, non e possibile stabilire se essi provengono da un processo stazionario oppure no: infatti la tendenza crescente 0 decrescente, che si manifesta nel finito sugli N dati, potrebbe essere originata da una componente ciclica di ampiezza rilevante e periodo superiore a N istanti. Percio il quadro di riferimento che abbiamo costruito nei capitoli precedenti si presta ad analizzare anche serie con trend, pur se in tale ambito dovremo sviluppare metodi specifici per trattare questa caratteristica che in genere ha rilevanza macroscopica e introdurrebbe distorsioni molto pesanti nelle stime. Infatti, se adoperiamo direttamente su serie con trend i metodi di stima che abbiamo costruito finora, vedremo che la densita spettrale stimata presenta un picco elevatissimo alla frequenza zero e densita trascurabile alle altre frequenze, mentre il correlogramma ci fornisce tutte stime positive e molto elevate a qualunque ritardo; in sostanza un quadro scarsamente informativo. Ai fini del trend si possono riconoscere, come accennato nel Cap. 2, due impostazioni: • •

Stima del trend mediante una funzione deterministica del tempo. Filtraggio della serie per rimuovere il trend.

Nel primo caso viene scelta una funzione di t, generalmente lineare oppure polinomiale (0 anche di forma pili complicata, ad esempio esponenziale 0 10gistica) e viene adattata alla serie stimandone i coefficienti con il metodo dei minimi quadrati, che sotto condizioni piuttosto deboli risulta efficiente (si veda ad esempio Hannan, 1960). I residui di questo adattamento costituiscono la serie stazionaria che viene ulteriormente analizzata con i metodi consueti. Nella impostazione alternativa, invece, si sottopone la serie a filtraggio in modo che la serie output non presenti pili la tendenza in media. I filtri usati sono del tipo alle differenze prime yt == X; - X t - 1 , eventualmente applicati ripetutamente. Come abbiamo visto nella parte dedicata al filtraggio, questo

10.4 Modelli per serie non stazionarie in media

209

procedimento e in grado di rimuovere una componente deterministica polinomiale nel tempo, rna puo essere utile anche quando la evoluzione tendenziale della serie e meno precisa e netta. II procedimento basato sul filtraggio, per la non necessita di ipotesi a priori e per la sua struttura lineare, e il pili omogeneo alla impostazione di Box e Jenkins e li ha portati a suggerire la costruzione di modelli ARMA sui dati preventivamente filtrati alle differenze yt == (1- B)d X t , considerando strutture autoregressive a somma mobile applicate alla {yt} e quindi del tipo:


==

C

+ 8(B)ct

.

(10.10)

La (10.10) viene chiamata modello autoregressivo a somma mobile integrato di ordine (p, d, q) per {Xt } , e la relativa classe di modelli viene indicata con ARIMA(p, d, q). La sigla stessa fa comprendere che l'ordine di differenziazione d viene considerato, al pari di p e q, come un valore da identificare. La sua scelta ricade quindi nella fase di identificazione; se si adotta il principio di approssimazione puo essere incorporata nella procedura basata su criteri automatici senza alcuna modifica. Se invece si adotta il principio della scoperta, la decisione sul valore di d viene effettuata come primo passo, prima di quella relativa ape q: si considerano i grafici delle serie output risultanti dall'applicazione di varie possibilita (in genere d == 0, 1 oppure 2, quasi mai superiori) e si esaminano anche la varianza e il correlogramma, optando per quel valore di d a cui corrisponde la serie pili stabile, la varianza pili piccola e il correlogramma con valori meno significativi nel complesso. Una volta scelto l'ordine di differenziazione d, sulla serie filtrata si pro cede alla identificazione di p e q esattamente nel modo visto precedentemente. La stima dei parametri viene effettuata sui dati filtrati Yt == (1- B)d Xt, e la fase di verifica non subisce alcuna modificazione. Dal punto di vista matematico il modello ARIMA(p, d, q) riportato in (10.10) non e qualitativamente diverso da un ARMA, rna ha la particolarita che il polinomio di ritardo applicato ai dati, cioe q>( B) (1- B)d, ha grado p + d ed esattamente d radici coincidenti e uguali a uno (le radici di (1 - z)d == 0), mentre le altre hanno modulo maggiore di uno (per questo si parla anche di radici unitarie). La qualificazione di integrati deriva a questi modelli dalla considerazione seguente. Se Yt == (1 - B)xt, la serie si puo esprimere in funzione dei dati stazionari attraverso la espressione formalmente inversa: x, == Yt+Yt-l +Yt-2+· .. che analogamente, per processi in tempo continuo, diventa un integrale (come la differenziazione va a corrispondere a una derivata). Da qualche tempo e invalso l'uso, specie in econometria, di chiamare integrate le serie non stazionarie che si prestano a essere depurate del trend mediante differenziazione, e pili precisamente si indica con la simbologia X, I(d) un processo che, una volta filtrato d volte, risulta stazionario (in senso debole). In realta Box e Jenkins propongono l'uso delle differenze in un insieme pili vasto di situazioni, oltre che quello di serie con trend: infatti essi osservano che i modelli ARIMA sono indipendenti dal livello "locale" della serie, in quanto r-;»

210

10 I modelli rappresentativi

Fig. 10.3. Serie C di Box e Jenkins (1970)

<1?(B)(l - B)d(Xt

+ k) == <1?(B) (1 -

B)dX,

per ogni k

quindi essi sono adatti per processi che mostrano variazioni di natura omogenea innestate su un livello variabile lentamente, che puo non seguire un andamento tendenziale preciso e netto, come abbiamo supposto prima, rna anche un andamento di tipo qualunque, con variazioni di diversa durata e verso, e anche di natura stocastica e non deterministica. In tal caso l'incremento tra un dato e l'altro non tendera ad assumere un segno no un valore preciso, e nel modello (10.10) il termine costante c non viene inserito (cioe viene assunto nullo). In questo caso si parla di modelli per trend stocastico: essi possono risultare utili per serie che presentino variazioni non monotone lente, rna di grande importanza, nellivello medio. Tale caratteristica sarebbe meglio studiata considerandola come componente di lungo periodo, corrispondente quindi a una elevata densita spettrale aIle bassissime frequenze, rna spesso la numerosita insufficiente dei dati non permette una inferenza sufficientemente precisa su queste componenti, e quindi si preferisce ricorrere a un modello ARIMA. Va notato che il modello (10.10) con c == 0 e sostanzialmente indipendente dalle variazioni lente dellivello medio, e quindi aiuta a spiegare solo il comportamento di periodo medio e breve: si parla percio di trend stocastico nel senso di "non sistematico" ovvero imprevedibile sulla base del modello. In questo caso (c == 0) la media delle differenze e nulla e quindi il livello non mostra tendenza crescente 0 decrescente. Se invece la serie ha un trend pronunciato, per rappresentarla sara necessario considerare anche la costante c tra i parametri da stimare. Esempio 10.3. La serie indicata come Serie C in Box e Jenkins (1970) riporta la temperatura rilevata ogni minuto in un processo chimico, ha 226 osservazioni e il grafico e riportato nella Fig. 10.3. Box e Jenkins identificano due

10.4 Modelli per serie non stazionarie in media

211

modelli alternativi: un ARIMA(1,1,0) oppure un ARIMA(0,2,2): la differenziazione (una 0 due volte) e necessaria per eliminare l'andamento di fondo, ben visibile, rna non assimilabile a un trend crescente ne decrescente. Infatti i modelli adattati non presentano la costante. E chiaro che questo andamento potrebbe essere interpretato come componente pseudo-periodica di periodo corrispondente a diverse decine di minuti, e si potrebbe tentare di adattare un processo pseudo-periodico AR(2). Se si segue questa strada le stime di massima verosimiglianza risultano ¢1 == 1.79 e ¢2 == -0.815 e la conseguente stima dello pseudo-periodo e:

Tuttavia l'arcocoseno ha valori prossimi a zero, e una variazione anche piccola delle stime dei parametri produce drastici cambiamenti nella stima del periodo. Dai paragrafi precedenti si ha che gli scarti quadratici medi stimati sono

o-(¢l) = o-(¢2) = J(l -

¢~)/N ~ 0.038. Una variazione di solo un centesimo

in pili 0 in meno nella stima di ¢1, ferma restando ¢2, porta a stimare 10 pseudo-periodo con valori tra circa 47 e infinito. In sostanza in questi casi la stima e largamente inaffidabile e puo essere opportuno ricorrere ai modelli integrati. Nell'ambito dell'Econometria, quando si usano i modelli lineari anche a fini interpretativi, riceve uno speciale interesse il problema delle radici unitarie. Anche se 10 stesso operatore alle differenze e efficace sia per un processo con trend deterministico lineare del tipo X, == a + bt + Zt, sia per un processo con trend stocastico del tipo (1 - B)Xt == C + ct, e quindi su entrambi si puo costruire un modello ARIMA, tuttavia l'interpretazione che si puo dare dei due tipi di processi e delle loro caratteristiche e molto diversa. II processo a trend deterministico rappresenta una oscillazione aleatoria (Zt) con caratteristiche stazionarie attorno a una funzione deterministica (a + bt). Al contrario, per il processo generatore di una serie integrata, (1 - B)Xt == C + Ut, dove {Ut} e stazionario (rna non necessariamente rumore bianco) si puo scrivere X, == X t - 1 + Ut + c, e iterando: t

x, == X o + ct + L

Uj

j=1

percio anch'esso rappresenta una oscillazione aleatoria attorno a una retta deterministica (X o + ct) rna il termine aleatorio e (U1 + U2 + ... + Ut) e quindi ha varianza indefinitamente crescente nel tempo. Inoltre, se si considerano le Ut come innovazioni del processo, e si scrive il processo in forma di media mobile (finita 0 infinita), si vede che nel caso di trend deterministico il coefficiente di ct in X t + h tende a zero al crescere di h, mentre nel caso di trend stocastico il coefficiente di Ut in X t + h e sempre uguale a uno qualunque sia h (si dice anche che nel primo caso gli shock sono transitori, nel secondo sono permanenti) ,

212

10 I modelli rappresentativi

Fig. 10.4. Realizzazione di un processo con trend deterministico e di uno con trend stocastico (linea piu marcata)

il che corrisponde a proprieta differenti del fenomeno. Un esempio dei due andamenti differenti e riportato nella Fig. 10.4. Per questo motivo il problema di distinguere se una serie proviene da un processo con radici unitarie ha suscitato molto interesse in letteratura e sono stati proposti svariati test statistici. Essi si distinguono essenzialmente per la scelta dell'ipotesi privilegiata (ipotesi nulla). Test per l'ipotesi nulla di radice unitaria. II test pili diffuso e semplice e quello di Dickey e Fuller (1979) che prende in considerazione un modello AR(1) e 10 stimatore del parametro:

L'ipotesi nulla diventa allora: Hi, : ¢ == 1 e sotto H o il processo e descritto dalla equazione X, == X t - 1 + ct, cioe un ARIMA(0,1,0). Sotto l'ipotesi Hi, la distribuzione dello stimatore ¢ (si ricordi che ha valori minori di uno) e diversa da quella che ha nel caso stazionario (asintoticamente normale con media ¢ e varianza (1- ¢2)jN ), e in particolare si avvicina al valore uno con velocita maggiore rispetto al caso stazionario, di ordine N invece che V"N. Dickey e Fuller hanno dimostrato che la variabile N (¢ - 1) ha, sotto l'ipotesi nulla che il processo sia un ARIMA(0,1,0), una distribuzione non degenere rna non gaussiana, di cui hanno tabulato i quantili. Pertanto il test consiste nello stimare ¢, calcolare la statistica N (¢ - 1) e rifiutare l'ipotesi nulla di radice unitaria se il valore ottenuto e piccolo, inferiore al quantile tabulato (ad esempio il valore al 5 per cento e pari a -1.94). II test e stato esteso al caso pili generale di processo autoregressivo di ordine p > 1 : fJJ(B)Xt == Ct; qui l'ipotesi nulla di radice unitaria e descritta da Hi; :

10.4 Modelli per serie non stazionarie in media

213

4)(1) == O. Se vale H o, allora4)(B) == (l-B)C(B), dove C(B) ha radici fuori del cerchio unitario, e quindi il processo soddisfa l'equazione C(B)(l- B)Xt == Et ovvero: X, - X t - 1 == Cj(Xt - j - X t - j- 1 ) + Et

L j

e anche la seguente ponendo p == 1: p

X, - X t -

1

== (p - 1)Xt - 1 +

L Cj(X

t-

j - X t - j- 1 )

+ Et

.

j=l

II test consiste nello stimare sui dati quest 'ultima equazione e nel verificare l'ipotesi nulla Hi, : p == 1. In realta si puo dimostrare che effettivamente p == 1 - 4)(1). La distribuzione sotto l'ipotesi nulla e la stessa del caso precedente (p == 1) e il test viene chiamato ADF (augmented Dickey Fuller) . Se la serie pero mostra un trend evidente, e necessario inserire la costante nella equazione autoregressiva, e in tal caso la distribuzione sotto l'ipotesi nulla e diversa, e il quantile da usare cambia (rna anche questi ultimi sono stati tabulati). II test e stato esteso anche a modelli con la parte a somma mobile (Said and Dickey, 1985). Esistono poi vari altri test per le radici unitarie (molto diffuso ad esempio e il test di Phillips e Perron). Per approfondimenti e per le tavole dei quantili si rimanda per esempio a Hamilton (1994). Test per l'ipotesi nulla di stazumarieto: La scelta di attribuire il ruolo di privilegiata all'ipotesi di radice unitaria deriva dalla particolarita della distribuzione del parametro autoregressivo sotto questa ipotesi, rna e stata spesso criticata poiche contraria alla pratica corrente in inferenza di accettare l'ipotesi pili semplice e conveniente ai fini dell'analisi (quindi in questo caso la stazionarieta) a meno che i dati non la confutino in maniera evidente. Per questo, sono stati proposti anche test in cui l'esistenza di radici unitarie assume il ruolo di ipotesi alternativa. Uno dei pili noti e il test di Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin (1992) (spesso chiamato test KPSS) . Si assume che il processo X, soddisfi Ie seguenti equazioni: X; rt

== a t + ri + Et == rt-l + u,

(10.11)

a;,

dove a e una costante, {Ut} e un rumore bianco con varianza e {Et} e un processo stazionario a media nulla rna non necessariamente bianco. Fissato un valore iniziale ro, il processo segue un trend lineare definito dalla retta "n + a t perturbato da oscillazioni aleatorie pari, al tempo t, a Et + (Ul + U2 + ... + Ut), e quindi si comporta come un processo a radici unitarie a meno che le Uj non == O. Percio l'ipotesi nulla di siano tutte nulle, il che corrisponderebbe a radici non unitarie, ovvero di stazionarieta puo essere sintetizzata da Hi; : == 0, mentre l'alternativa HI : > 0 implica un comportamento da radici unitarie. La statistica proposta e uno stimatore di esso si ottiene stimando il modello (10.11) e calcolandone i residui stimati tt. Posto:

a;

a;

a;

a;,

214

10 I modelli rappresentativi

la stima di

a; viene data da:

e la sua distribuzione sotto l'ipotesi nulla e stata ricavata dagli autori: e una distribuzione non standard di cui sono stati calcolati i quantili. L'ipotesi di stazionarieta si rifiuta ovviamente (e si conclude per Ie radici unitarie) se la statistica e maggiore del quantile al livello di confidenza scelto.

a;

10.5 Modelli per serie non stazionarie in varianza e ad eteroschedasticita condizionata Infine, si possono incontrare serie le cui oscillazioni tendono a crescere nel tempo, inducendo a sospettare che la varianza sia crescente. Un semplice modello di questa situazione si ha considerando il processo X; == c( t) Zt dove {Zt} e stazionario, e c(t) una funzione non aleatoria crescente del tempo: infatti Var{Xt } == C(t)2,z(O). In questa situazione un rimedio semplice ed efficace consiste nel prendere i logaritmi dei dati. II processo yt == 10g(Xt ) infatti, ha media non costante E(yt) == E{log(Xt ) } == logc(t) + E{log(Zt)} rna varianza costante V ar{yt} == V ar{log( Zt) l Un procedimento pili flessibile che generalizza l'applicazione dellogaritmo e la classe di trasformazioni di potenza detta di Box e Cox (Box e Cox, 1964):

yt(a) ==

{~{Xf - 1} 10g(Xt )

a#O a==O

che al variare di a descrive Ie trasformazioni di potenza, inversa e logaritmica (come limite per a tendente a zero). Naturalmente cio apre il problema di scegliere il valore dell'esponente a. Assumendo la normalita dei dati e la loro indipendenza si puo dimostrare che la log-verosimiglianza rispetto ad a si puo scrivere: N

logL(a) = -2Iogs2(a)

+ (a -

1) LlogXt t

dove 8 ( a) e la varianza stimata dei valori trasformati, percio una stima di massima verosimiglianza di a si potrebbe ottenere massimizzando L(a) attraverso metodi numerici iterativi. Tuttavia generalmente i dati di una serie storica non sono indipendenti e quindi la verosimiglianza scritta e solo una approssimazione. Una procedura pili semplice e prudente consiste invece nel valutare l' andamento della serie e dei correlogrammi per alcuni valori tipici 2

10.5 Modelli per serie eteroschedastiche

215

(ad esempio 0.5, 0, -0.5, -1) e scegliere quello che garantisce il comportamento pili stabilizzato e la varianza pili piccola. E da tenere sempre presente che ogni trasformazione modifica la interpretazione dei dati: questi, in alcuni casi, una volta trasformati possono assumere un significato difficilmente percepibile. II problema e meno rilevante per la trasformazione logaritmica che spesso e facilmente interpretabile: ad esempio agire, come spesso si fa, con il logaritmo e poi le differenze prime, porta alla trasformazione Yt == log(Xt) - 109(Xt-l) == log(Xt/Xt-l), che e spiegabile in termini di rapporto: se poi la variazione Xt - Xt-l e piccola rispetto al livello Xt, sfruttando la approssimazione log(1 + z) ~ z si ha:

Yt == log(Xt/Xt-l) == log (1

+ _Xt_-_Xt_-_l) Xt-l

Xt - Xt-l Xt-l

ovvero Yt rappresenta approssimativamente la variazione relativa rispetto alla osservazione precedente. Quando invece la trasformazione di Box e Cox usa coefficienti diversi da zero, il significato dei dati trasformati puo porre seri problemi interpretativi. D'altra parte e di tutta evidenza come Ie autocorrelazioni dei dati trasformati non abbiano una relazione precisamente esprimibile e controllabile con le autocorrelazioni dei dati originali, e una trasformazione puo distorcere in maniera irrimediabile la struttura di dipendenza dinamica del fenomeno rilevato. Se ne conclude che le trasformazioni di potenza nell'ambito delle serie temporali andrebbero adottate con estrema cautela e possibilmente evitate, cercando sempre di comparare i benefici che ne possono derivare quanto a stabilizzazione della varianza, con le distorsioni incontrollabili introdotte nella struttura autocorrelativa. Negli ultimi venti anni e stata studiata una forma specifica di instabilita in varianza, che si nota in particolare nei fenomeni relativi al mercato finanziario. Se esaminiamo la serie dei rendimenti di un titolo (si chiama serie dei rendimenti la serie delle differenze prime dei logari mi dei valori di un titolo) si osserva spesso un comportamento caratterizzato da media costante rna alternarsi di periodi con varianza moderata e altri cor varianza elevata (si parla di volatility clustering, si veda la Fig. 10.5). In tal caso, anche se il processo puo considerarsi globalmente stazionario, e importaite cercare di costruire un modello che rappresenti questi mutamenti nelle caratteristiche della variabilita, Inoltre spesso i dati di questo tipo presentano distribuzione non normale, poiche sono pili frequenti della normale i dati molto elevati in valore assoluto e i dati molto vicini a zero (distribuzioni leptocurtiche, a volte dette a code pesanti); generalmente queste serie hanno autocorrelazioni vicine a zero, e quindi struttura lineare molto debole, rna cio non implica l'indipendenza dei dati (poiche non hanno distribuzione gaussiana). Sono stati proposti modelli rappresentativi particolarmente studiati per questo tipo di fenomeni, che vengono chiamati a eteroschedasticiia condizionata e sono stati introdotti per primo da Engle nel 1982; essi sono indicati

216

10 I modelli rappresentativi 4 3 2

a -1 -2 -3

Fig. 10.5. Esempio di serie dei rendimenti di un titolo

con la sigla ARCH (autoregressive conditional heteroscedastic) . Tali modelli si applicano a serie con dati non normali e autocorrelazione trascurabile; se invece la serie mostra una struttura dinamica lineare non trascurabile, si puo prima costruire un modello ARMA e poi adattare sui residui un modello ARCH. L'idea fondamentale del modello ARCH e che la varianza a un certo istante t sia influenzata dai dati relativi agli istanti precedenti, e quindi si puo rappresentare l'andamento della varianza a un certo istante condizionatamente ai valori assunti dal processo ai tempi precedenti. Quindi, contrariamente ai modelli ARMA che hanno varianza condizionata costante e pari a (J2, qui assumiamo che la varianza condizionata possa cambiare, e cerchiamo di rappresentarne l'andamento in funzione dei dati precedenti. Consideriamo, dunque, un processo aleatorio {Yi} a media nulla: E(Yi) == 0 e varianza E(~2) == ,(0), e indichiamo con

ht

==

E{Y?lrt-l, rt-2' ... }

la sua varianza condizionata alla storia precedente del processo. La forma pili semplice per rappresentare la dipendenza di ht dai dati precedenti e quella lineare. Nel modello ARCH si assume che la varianza condizionata dipenda linearmente dai quadrati delle osservazioni precedenti (considerati come misura, in prima approssimazione, della variabilita mostrata dal processo): (10.12) Possiamo riferirci direttamente alla distribuzione condizionata di Yi dati Yi-l, Yi-2, .... La (10.12) ne rappresenta la varianza, ed e naturale assumere anche la media nulla: E{YiIYi-l, rt-2' ... } == o. Nel modello ARCH si assume in aggiunta che questa distribuzione condizionata sia gaussiana per cui

10.5 Modelli per serie eteroschedastiche

217

possiamo scrivere, se {ct} indica un processo formato da variabili normali standardizzate indipendenti: (10.13) Le equazioni (10.12) e (10.13) definiscono il modello ARCH(p) , di ordine p. II processo {It} descritto da questo modello ha media nulla, e la sua varianza (non condizionata) ,(0) si puo ricavare prendendo la media rispetto a It-1, It-2, ... di ambo i membri della (10.12):

+ olE(~~l) + ... + opE(~~p) == 00 + 01,(0) + ... + Op,(O)

,(0) == E{~2} == E{h t } == da cui

,(0) ==

1-

00

00 01 -

02 -

... -

op

.

Sui valori dei parametri si pongono le condizioni 0i > 0 (i == 0,1, ... ,p) per assicurare la positivita delle varianze condizionate, e 01 + ... + Op < 1 per la positivita della varianza non condizionata. Si verifica inoltre che la distribuzione di probabilita di It presenta caratteristiche leptocurtiche, poiche la sua curtosi e maggiore di 3. Lo possiamo controllare facilmente almeno nel caso del pili semplice modello di ordine p == 1: ht == 00 + 01 ~~ 1. Intanto per il momento quarto si ha:

poiche ht e indipendente da et (dipende solo da E t -1 , et - 2, ... ) e inoltre dato che le ct sono normali standardizzate, E(ci) == 3E(c;) == 3. Inoltre

E(~4) == 3E(h;) == 3E (00 + 01~~1)2

== 3 {06 + 20001E(~~1) + oi E(~~l)}

e data la stazionarieta E(~4) == E(~~l)' da cui

Ricordando che ,(0) == 00/(1 - 01) e sostituendo si ottiene:

Ne consegue che questo modello si presta effettivamente a rappresentare serie che presentano caratteristiche di non norrnalita a code pesanti. Naturalmente si pone il problema di identificare il modello ARCH(p) (scelta di p) e di stimare i parametri OJ, per questo scopo la via pili semplice e

218

10 I modelli rappresentativi

di considerare i dati al quadrato {y;} e di usare la metodologia che abbiamo visto prima, per costruire su quei dati un modello autoregressivo. Infatti, se poniamo ~2 == ht + Ut la (10.12) si puo scrivere: P

~2 == ao

+ Laj~~j +Ut j=1

ne consegue che le {~2} seguono un modello autoregressivo di ordine p. Una importante estensione di questi modelli (proposta da Bollerslev nel 1986) e costituita dalla introduzione nell'equazione che definisce la varianza condizionata (10.12) di ulteriori termini autoregressivi: p

i; == Laj~~j j=1

q

+ L(3jht - j

.

j=1

I relativi modelli sono chiamati GARCH(p, q) (ARCH generalizzati) e permettono una maggiore parsimonia. Si puo dimostrare che essi implicano che i quadrati dei dati seguano un modello ARMA(p,q). Anche i modelli ARCH e GARCH vengono impiegati a fini previsivi, sfruttando la metodologia per lc previsioni locali dei modelli ARMA che verra illustrata nel prossimo capitolo. Va tenuto presente pero che lc previsioni non riguarderanno i valori futuri della serie, rna la loro variabilita, la cui previsione e di speciale interesse nello studio dei mercati finanziari (e che in questo ambito e definita pili frequentemente con il termine volatilita).

10.6 Modelli per serie stagionali Passiamo ora ad esaminare il tema della stagionalita, Le variazioni stagionali costituiscono un problema nella modellistica e nell'analisi delle serie temporali in generale poiche la loro rilevanza nel determinare l'andamento della serie e in genere preponderante, il che porta a ritenere che le ciclicita di natura stagionale apportino un contributo non infinitesimo alla varianza, facendo cadere l'ipotesi di misura spettrale assolutamente continua, sulla quale e basata la maggior parte della metodologia relativa all'inferenza. Abbiamo pero il grosso vantaggio di poter delimitare esattamente le frequenze interessate, ovvero quella corrispondente al periodo pari un anna e le sue armoniche. Gli effetti prodotti su una serie dai fattori stagionali possono rivestire interesse di per se stessi, oppure ci si puo prefiggere 10 scopo di depurare la serie dalla loro influenza (serie destagionalizzate). Anche nello studio della stagionalita convivono due impostazioni: • •

Stima dei fattori stagionali mediante una funzione deterministica del tempo. Filtraggio della serie per eliminare Ie variazioni stagionali.

10.6 Modelli per serie stagionali

219

Poiche il periodo stagionale espresso in unita del parametro temporale e diverso a seconda della cadenza di rilevazione dei dati, e necessario specificare quest'ultima prima di poter procedere negli sviluppi. Supporremo di avere a disposizione dati mensili, quindi il periodo fondamentale e dato da 12 unita di tempo. Le modifiche da introdurre in quanto segue per adattarlo a cadenze di rilevazione diverse sono in genere ovvie. Se si vuole adattare una funzione deterministica del tempo alle variazioni stagionali, la scelta pili ovvia cade sul polinomio trigonometrico

che permette, come sappiamo dall'analisi di Fourier (Appendice A), di riprodurre qualunque andamento periodico di periodo 12. I coefficienti aj e bj vengono stimati sulla serie mediante il metodo dei minimi quadrati, che anche in questo caso sotto alcune condizioni fornisce stimatori sostanzialmente efficienti (Hannan, 1960). Se la lunghezza N della serie e multipla di 12 e N == 12a, scrivendo t == 12i + j (al variare di i tra 0 e a - 1 e di j tra 1 e 12 l'indice t assume tutti i valori tra 1 e N) e usando le formule di ortogonalita riportate in Appendice si ottiene facilmente

aj =

2 2 a-I 12 N I:XtCOS(Ajt) = N I:I:X12i+kCOs[ij(12i+k)] t

1

1,=0 k=1

12

7r

="6 I:SkCOS(6jk) k=1

1

12

bj ="6 LSkSin(ijk) k=1

dove

1 a-I Sk

== -a I: Xl2i+k i=O

e la

media dei dati relativi al mese k-mo (k == 1,2, ... ,12). Sostituendo si ottiene: 12

St

6

= ~ ~ Sk ~ {COs( ~ jk) COs( ~jt) + sin( ~ jk) sin( ~ jt)} 6L..." k=1

L..." j=1

6

6

6

6

e ponendo ancora t == 12i + j si ha infine (ricordando I'ortogonalita): a-I

A

Sl2i+j

==

_

Sj

== -a1 '"""" Z:: Xl2i+j i=O

220

10 I modelli rappresentativi

Pcrcio concludiamo che con questo metoda la componente stagionale di ciascun mese e pari alIa media dei dati relativi al medesimo mese nei vari anni: procedimento che a prima vista sarebbe sembrato naturale, rna ingenuo e semplicistico. In realta questo metodo presuppone implicitamente che gli effetti stagionali rimangano costanti negli anni, caratteristica che risulta raramente confermata dall'esperienza empirica. Sono stati proposti innumerevoli altri metodi per la determinazione dei fattori stagionali, basati su funzioni pili complicate. Negli ultimi anni, poi, e stata sviluppata una nuova impostazione che considera Ie variazioni stagionali stesse come un processo aleatorio, che va a sommarsi a queIlo generatore dei dati: poiche si rileva solo la risultante della somma, ci si pone il problema, meritevole di un'approfondita analisi dal punto di vista probabilistico e statistico, di distinguere tra le due componenti, identificando per ciascuna di esse un appropriato modello della classe ARIMA. Questo metoda verra illustrato brevemente alla fine del presente paragrafo. L'altra possibilita (peraltro non e in rcalta una impostazione totalmente alternativa) e ricorrere a filtri che depurino la serie dalle componenti stagionali: le classi dei filtri pili frequentemente adoperati sono quell a dei filtri alle differenze e queIla delle medie mobili. Nel primo caso si sottrae a ciascun dato queIlo che si trova nella stessa posizione stagionale dell'anno precedente, nel secondo caso si sostituisce a ciascun dato una media locale (cioe di valori contigui nel tempo e centrati suI dato) di ampiezza un anno; in entrambe le situazioni il risultato (incremento tra mesi omologhi, oppure media annuale) non dovrebbe pili risentire dei fattori stagionali. Continuando a occuparci di dati mensili, il filtro aIle differenze che si usa e quello alle differenze dodicesime che abbiamo visto nel paragrafo 5.7: esso puo essere incorporato senza problemi in un modello autoregressivo a somma mobile, aggiungendo un fattore moltiplicativo del tipo (1 - B 12 ) nel polinomio autoregressivo, che anche in questo caso viene ad avere radici sul cerchio unitario: infatti Ie radici di (1- Z12) sono uguali a cos(1rk/6) +i sin(1rk/6), k == 1, ... ,12, quindi +1, -1 e Ie altre complesse (per approfondimenti si rimanda a Abraham e Box, 1978). Box e Jenkins hanno proposto una metodologia pili articolata che porta ai cosiddetti modelli stagionali moltiplicativi. La logica da cui essi partono e queIla di considerare le serie costituite dai dati relativi allo stesso mese di anni successivi e di costruire per queste modelli rappresentativi. Per esempio supponiamo che la prima osservazione si riferisca a gennaio e consideriamo la serie Yt == X12t+l che al variare di t descrive i dati di gennaio dei vari anni. Su di essa possiamo costruire un modello ARIMA:

Ritornando ai dati originali e ponendo Ut == V12t+ 1, e indicando s == 12t + 1, ogni operatore B sulla Y ha l'effetto di ritardare di 12 istanti la X e la v; percio si ottiene:

10.6 Modelli per serie stagionali

221

ovvero, in forma compatta, indicando con c1J* e 8* i polinomi relativi ai parametri c1Jj e 8 j rispettivamente:

Si puo ragionevolmente pensare che questo stesso modello sia valido anche per le serie dei dati di febbraio, di marzo e di tutti gli altri mesi, per cui si assume valido il modello per ogni S, cioe per ogni mese. Tuttavia la serie {vs} ha il ruolo di rumore bianco se ne consideriamo le osservazioni a distanza 12 e multipla, rna puo essere correlata per ritardi inferiori, poiche in tal caso risente dei legami infra-annuali. Percio si puo pensare di costruire per la serie {v s } un modello ARIMA usuale:

(1 - cPIB - ... - cP pBP)(1 - B)d vs == (1 - (jIB - ... - (jqBq)E s dove adesso {E s} e realizzazione di un processo a elementi completamente incorrelati: scriviamo anche:

Le due strutture possono essere combinate moltiplicando ambo i membri della prima per c1J(B)(1 - B)d:

c1J(B)(1 - B)dc1J*(B I2)(1 - B 12)DX s == c1J(B)(1 - B)d8*(B 12)vs == 8* (B 12)1J(B)(1 - B)d vs

== 8* (B 12)8(B)E s

.

Si ottiene cOSI ancora un modello della classe ARIMA, che e costruito moltiplicando tra loro due strutture, l'una di ordine (p, d, q) che agisce sui dati ritardati in maniera ordinaria, e l'altra di ordine (P, D, Q) che agisce sui dati mediante ritardi annuali:

II modello e detto moltiplicativo stagionale ed e anche spesso indicato con la sigla ARIMA(p, d, q) x (P, D, Q)12. E evidente che la struttura generale dei modelli moltiplicativi e molto articolata, e in realta ci si limita a considerare modelli con gli ordini pili piccoli, e specie per P, D, Q raramente si accettano valori diversi da 0 e 1. La identificazione e difficile, e in genere si comincia prima a decidere I'ordine D valutando nei vari casi l'andamento della serie, la sua varianza, Ie sue autocorrelazioni. E buona norma, comunemente seguita nelle applicazioni, valutare simultaneamente gli effetti delle differenziazioni stagionale e non stagionale, esaminando le caratteristiche delle serie che si ottengono dalla differenziazione (1 - B)d(1 - B 12)D per un ventaglio di coppie (d, D), e scegliendo quella che presenta la varianza pili piccola e il correlogramma con valori complessivamente meno distanti dallo zero. Empiricamente si e trovato che spesso la

222

10 I modelli rappresentativi

differenziazione dodicesima puo rendere non necessarie le differenze prime, e che molto raramente e opportuno scegliere un D maggiore di uno. Per quanto riguarda invece P e Q, un caso molto frequente e che sia necessario solo un termine nella somma mobile (P == 0, Q == 1): il fattore (1- 8B 12 ) bilancia una eventuale eccessiva energia del filtraggio alle differenze dodicesime che, come osservato precedentemente, puo indurre stime di r(12) negative nell'output. Se si adotta la logica di identificazione come approssimazione, si devono applicare i criteri automatici e quindi calcolare una misura per ogni possibile combinazione di (p, d, q, P, D, Q). Inoltre, poiche il numero di parametri cresce, e plausibile che non tutti contribuiscano in modo decisivo alla spiegazione della dinamica, percio potrebbe essere consigliabile esaminare anche modelli subset nei quali i parametri relativi a qualche ritardo sono vincolati a zero. La scelta dei ritardi da scartare potrebbe essere inserita nella identificazione del modello, che comprenderebbe la specificazione, oltre che degli ordini (p, d, q, P, D, Q), anche dei lags ai quali nel modello compaiono parametri. Si capisce come, specie in questo ultimo caso, 10 spazio delle possibili soluzioni per la identificazione diventa rapidamente molto grande, e per ogni modello da valutare e necessario stimare i parametri e la varianza residua. D'altra parte i metodi di ottimizzazione analitica non sono applicabili (non ci sono derivate da annullare perche il dominio e discreto) e l'unico metodo per arrivare all'ottimo sembra quello di verificare tutte le possibilita, il che puo comportare un dispendio computazionale troppo elevato. Per questo motivo negli anni pili recenti e stato proposto l'uso di metodi meta-euristici, che sono particolari algoritmi (in genere ispirati da analogie con la natura) specificamente studiati per risolvere problemi complicati (0 pili precisamente quelli in cui, per determinare l'ottimo, non si conosce alcun metodo oltre che verificare sequenzialmente tutte Ie possibilita). II problema della identificazione e stato affrontato con algoritmi genetici e simulated annealing (si veda ad esempio Gaetan, 2000, e Baragona e Battaglia, 2000). I risultati sembrano promettenti rna l'uso di questi metodi necessita di una attenta fase di taratura degli algoritmi che altrimenti rimangono frequentemente "intrappolati" in ottimi relativi. Esempio 10.4 (Modello airline). Un semplice modello, adoperato da Box e Jenkins per rappresentare il numero di passeggeri delle linee aeree internazionali (e per questo sovente detto modello airline) comprende Ie differenze prime e dodicesime applicate una volta sola, e fattori del tipo a somma mobile del primo ordine e si indica percio con ARIMA(O, 1, 1) x (0,1,1)12:

(1 - B)(l - B 12)Xt == (1 - BB)(l - 8B 12 ) Ct

.

Scritto in forma esplicita il modello e:

X t == X t -

1 -

Xt-

12

+ X t - 13 + e, -

ect-1 -

8ct-12

+ eect-13

e quindi la parte a somma mobile ha ordine complessivo 13. Se consideriamo i dati differenziati Z, == (1 - B)(l - B 12)Xt , la struttura autocorrelativa e

10.6 Modelli per serie stagionali

223

molto semplice perche si ottiene facilmente: IZ (0) ==

(1 + ( 2 )(1 + (2)a 2

IZ (1) ==

-0(1 + (2)a 2

Iz(11) == 08a 2

== -8(1 + (2)a 2 Iz(13) == 08a 2 .

IZ (12)

Sono diverse da zero solo lc autocorrelazioni ai ritardi 1, 11, 12 e 13. L'autocorrelazione al ritardo uno: T z (1) == -0/(1 + ( 2 ) ha 10 stesso valore di quella di un modello non stagionale, e cosi pure quella al ritardo 12 dipende nello stesso modo dal parametro stagionale 8: T z (12) == -8/(1 + (2). Le altre autocorrelazioni T z (11) e T z (13) sono uguali tra loro e uguali al prodotto tra T z (1) e T z (12).

II modello e invertibile se 101 < 1 e 181 < 1. Spesso questo modello e adeguato per rappresentare fenomeni che hanno un trend pronunciato e una st.agionalita rilevante, rna ambedue con caratteristiche non nette ne precise nc costanti nel tempo. Cio comporta in genere che una volta effettuata la differenziazione, le autocorrelazioni ai ritardi 1 e 12, molto elevate se stimate sui dati originali, presentano sui dati differenziati stime negative. Di conseguenza le strutture a somma mobile tendono a spiegare questo andamento, e i valori stimati per i parametri 0 e 8 sono generalmente positivi. Un differente tipo di filtri utile per la rimozione delle stagionalita e quello delle medie mobili, con il Quale a ogni dato si sostituisce la media su un intervallo circostante: 1 k Yt = 2k + 1 Xt-j .

L

j=-k

Se la lunghezza dell'intervallo e pari alla durata del cicIo stagionale, si puo ragionevolmente supporre che, poiche nella serie output tutti i dati sono medie che risentono in egual misura dei fattori stagionali, questi non abbiano pili effetti differenziali, e quindi non introducano pili variazioni nella serie. Nel caso di serie mensili, la periodicita della stagionalita e 12, numero pari che non permette di applicare direttamente la formula precedente, che e valida solo per un intervallo di lunghezza dispari 2k + 1. II problema viene generalmente risolto calcolando Ie medie mobili di ampiezza 12 in cui il centro dell'intervallo cade immediatamente prima 0 immediatamente dopo il dato considerato, e prendendone la semisomma: (_)

Yt

1(

== 12

Xt-6

+ Xt-5 + ... + Xt+5 )

(+) _ Yt -

1 12 (Xt-5

+ Xt-4 + ... + Xt+6)

224

10 I modelli rappresentativi

_ 1 ((_)

Yt -

2"

Yt

(+)) _ 1

+ Yt

-

24 Xt-6

~

1

+ 12

~ Xt-j

1

+ 24 Xt+6

.

j=-5

II filtro risultante viene detto a media mobile centrato ed e in realta un filtro simmetrico che coinvolge 13 termini: notiamo pero che Xt-6 e Xt+6 si riferiscono al medesimo mese (di due anni consecutivi) e cosl nel risultato ogni mese conta per un dodicesimo. Esaminiamo la funzione di trasferimento:

H(>..)

=

~

Cu

exp(-iu>")

= 11 { 1 + cos(6)..)

2

= 11

2

{ 1+2

t,

+2

t,

cosU>") }

cos(j>..) - COS(6)..)} .

Ricordando (si veda I' Appendice A) che

~ (.) 1 + 2 ~ cos J A j=l

==

sin (6 + ~) A

.

1

sin] 2 A)

==

[sin (6 A) cos ( ~ A)

_ sin( 6A) cos( ~ A)

si ottiene:

. (1)

SIn

2A

.

+ cos (6 A) sin ( ~ A) ] 1

sin] 2 A)

()

+ cos 6A

H(>..) = ~ sin(6'x) cos(A/2) . 12

sin(A/2)

La funzione di trasferimento (reale perche il filtro e simmetrico) ha un andamento sinusoidale (determinato da sin 6A) smorzato dal termine cotang(A/2) che decresce al crescere di A, rappresentato nella Fig. 10.6. II guadagno si annulIa in corrispondenza delle frequenze stagionali del tipo 1rj/6 (j == 1,2, ... ,6) rna assume valori apprezzabili solo in corrispondenza aIle frequenze piccole (quindi ciclicita di periodo maggiore di un anno). Di conseguenza la serie filtrata risentira delle ciclicita ad andamento pluriennale, rna sara poco influenzata dalle oscillazioni di frequenza inferiore: cia corrisponde alIa considerazione empirica che l'applicazione delle medie mobili ha l'effetto di "lisciare" la serie. Questa caratteristica costituisce da un certo punto di vista un vantaggio desiderabile, se si vogliono mettere pili in luce gli andamenti di fondo alleggerendo simultaneamente sia Ie stagionalita sia tutte lc componenti di periodo infra-annuale, rna rende d'altra parte lc medie mobili uno strumento di destagionalizzazione molto particolare, poiche l'effetto sui dati va ben oltre quello di agire sulla componente stagionale. Le medie mobili hanno pero l'indubbio vantaggio della fase nulla (contrariamente aIle differenze dodicesime) e pertanto non alterano i punti di svolta di eventuali cicli importanti non stagionali presenti nella serie.

10.6 Modelli per serie stagionali

225

Fig. 10.6. Funzione di trasferimento del filtro a media mobile a 12 termini centrata

II metoda delle medie mobili non e omogeneo alla impostazione ARIMA e non viene usato nella costruzione di modelli rappresentativi di tale classe. L' applicazione delle medie mobili ha tuttavia costituito (come accennato nel Cap. 2) la base di complessi metodi di depurazione delle stagionalita studiati inizialmente dal Bureau of Census degli Stati Uniti e che percio hanno preso il nome di metodi Census. Anch'essi possono essere interpretati come modellistica, poiche forniscono una decomposizione della serie in componenti contemporanee: serie == (cicIo-trend) + stagionalita + accidentalita, nella stesso modo di un modello statico (classico) di decomposizione. La prima versione di questo metoda venne sviluppata al Bureau of Census nel 1955, la seconda (Census II) nel 1957. Varie versioni con modifiche, ampliamenti, correzioni si sono succedute nel corso degli anni, e nelle varie versioni successive (fino alla cosiddetta variante X-II del Census II) sono stati adottati da molti organismi statistici nazionali. Un metoda molto diffuso, connesso con i precedenti rna legato anche alla moderna impostazione Arima, e stato sviluppato negli anni '80 cia Statistics Canada, ed e denominato X-ll-ARIMA: esso permette, attraverso applicazioni ripetute di medie mobili, e adottando modelli ARIMA per prevedere alcuni dati oltre l'ultimo rilevato, di stimare l'effetto della stagionalita e anche di fornire una valutazione del trend e di componenti cicliche pluriennali (particolarmente rilevanti nell'analisi congiunturale dell'economia). Una esposizione autorevole in italiano e contenuta in Bee Dagum (2002), alla Quale si rimanda per maggiori approfondimenti. Nel199S Findley et al. hanno introdotto alcuni cambiamenti, specie per quanto riguarda il trattamento dei dati anomali, e hanna chiamato illoro software X-12-ARIMA. Recentemente, come accennato prima, sono stati sviluppati modelli che possono considerarsi una evoluzione di quello classico di decomposizione, in

226

10 I modelli rappresentativi

cui si suppone che lc componenti trend, ciclo, stagionalita e irregolarita siano esse stesse generate da separati modelli ARIMA: si parla in tal caso di metodi ARIMA model-based (ad esempio Cleveland e Tiao, 1976, Bell e Hillmer, 1984). Fissiamo l'attenzione sulla sola stagionalita, supponendo che il processo {yt} sia formato additivamente da una parte stagionale {St} e una non stagionale {Nt}, e che queste obbediscano ai modelli ARIMA:

dove {at} ed {Ut} sono rumori bianchi indipendenti tra di loro (questa assunzione e essenziale). Segue immediatamente da yt == St + N, che il processo osservabile {yt} soddisfa l'equazione:

cPS(B)cPN(B)yt

==

cPN(B)8s(B)at + cPs(B)8N(B)Ut

e si puo dimostrare (data l'indipendenza tra i processi {at} ed {Ut}) che anch'esso obbedisce a un modello ARIMA: cP(B)yt == 8(B)ct in cui i polinomi cP(B) e 8(B) possono essere espressi in funzione dei polinomi cPs(B), cPN(B),

8s(B), 8 N(B).

Ora, i coefficienti di cP(B) e di 8(B) possono essere stimati a partire dalla serie storica osservata, e si pone il problema di risalire alle stime dei parametri della componente stagionale, cPs (B) e 8 s(B), e a quelli della componente non stagionale cPN(B) e 8 N(B). A questo scopo, ci si puo basare sia sul raggruppamento delle radici, a seconda del loro valore, sia nel dominio frequenziale decomponendo la densita spettrale in termini additivi, ciascuno dei quali responsabile di determinate bande (frequenze basse: trend; frequenze stagionali: stagionalita) e associando ciascuno di questi termini a un polinomio nel ritardo B che caratterizza la specifica componente. Si basa su una procedura di questo tipo il metodo SEATS di Gomez e Maravall (1996). Esso e implementato dal software TRAMO-SEATS (TRAMO e una fase propedeutica volta ad analisi preliminari, rimozione di dati anomali e ricostruzione di dati mancanti) che e stato recentemente adottato come metodo di destagionalizzazione tipico da diversi organismi ufficiali di statistica (anche dall'Istat). Per concludere, un'osservazione finale. Anche per i modelli ARIMA e stagionali il problema della molteplicita e rilevante: e possibile cioe in generale costruire sulla stessa serie pili modelli, anche con ordini diversi, che forniscono sostanzialmente le stesse misure di adattamento complessivo; tra l'altro accade a volte che tra modelli equivalenti alcuni prevedano la differenziazione, altri no. Se il metro di giudizio e l'accostamento ai dati, la distinzione tra l'uso di modelli ARMA e ARIMA, anche se concettualmente netta, nella pratica non e cost precisa. :E opinione comune di molti analisti (anche se non di tutti) di preferire modelli stazionari a modelli integrati se lc prestazioni sono pressappoco equivalenti. E infine il caso di osservare, per quanto concerne la molteplicita, che eventuali fattori comuni dei polinomi autoregressivi e a somma mobile, che avessero

10.7 Modelli lineari per Ie relazioni tra due processi

227

radici unitarie, non possono formalmente essere "semplificati" come si fa nel caso stazionario: ovvero, il modello

A(B)cI>(B)Xt == A(B)8(B)ft non

e equivalente a

cI>(B)Xt == 8(B)ft

se A(B) ha radici unitarie, poiche in tal caso non esiste il polinomio inverso di A(B) e quindi non e lecita la divisione per A(B). Tuttavia quasi sempre questa situazione si verifica quando si e operata sui dati una differenziazione non necessaria (sovradijJerenziazione) che spinge nella stima dei parametri a somma mobile verso strutture non invertibili, cia che suggerisce di costruire il modello sui dati non (0 meno ) differenziati.

10.7 ModeIIi Iineari per Ie relazioni tra due processi II presente volume non si occupa diffusamente di modelli rappresentativi per serie multivariate, un argomento che e stato molto sviluppato e approfondito in questi ultimi anni (si veda ad esempio Reinsel, 1997, e Liitkepohl, 1993). Accenneremo pero a un'estensione dei modelli ARIMA che permette di tenere conto dell'influenza di un'altra serie temporale su quell a che viene rappresentata, e che viene generalmente riferita alla denominazione di modelli a funzione di trasferimento. Si noti che il termine funzione di trasferimento non si riferisce qui al dominio frequenziale, rna ai coefficienti Vj che "trasferiscono" l'effetto di una serie sull'altra. Supponiamo di voler costruire un modello rappresentativo per il processo {yt} e che esso sia legato linearmente al processo {Xt} che puo essere osservato conternporanearnente a {yt}. Possiarno ipotizzare che il legarne lineare tra i due processi sia ben descrivibile attraverso un filtro lineare (fisicamente realizzabile) : yt ~

L hsX

t-

s == .l-I(B)Xt

s=O

che, come per i modelli precedenti, puo esser approssimato dal rapporto tra due polinomi finiti nel ritardo B di ordine rispettivamente r al numeratore e s al denominatore: H(B) ~ w(B)/J(B). Indicando poi con {Nt} il processo generato dalla parte di yt non spiegata linearmente da {Xt } , otteniamo il modello a funzione di trasferimento: 00

==

L

VjX t - j

+ s.

j=O

(si faccia attenzione che qui, contrariamente al solito, non e necessariamente == 1). Si supporra che {Nt}, detto rumore, sia completamente incorrelato

Vo

228

10 I modelli rappresentativi

con tutte le {Xt } , e che i processi {yt} e {Xt } siano stazionari (sottoponendo quindi, se necessario, le serie a una adeguata differenziazione, prima di costruire la funzione di trasferimento). II problema e naturalmente quello di identificare gli ordini res e di stimare i parametri Vi Questi sono legati aIle correlazioni incrociate tra {Xt } e {yt}. Anzi, se {Xt } fosse un rumore bianco, moltiplicando ambo i membri del modello per X t - h e prendendo la media otterremmo:

e quindi l'andamento dei parametri Vh sarebbe determinato da quello delle cross-covarianze (0 cross-correlazioni). Per sfruttare questa proprieta anche nel caso pili generale, possiamo costruire per {Xt } un modello ARMA:

Ora, ponendo

dal modello a funzione di trasferimento, premoltiplicando per
00

==

L VjEt-j + TJt . j=o

Percio si possono calcolare, sulla base delle serie osservate {Yt} e {Xt}, i risultanti valori di {J3t} e {Et} e le loro cross-covarianze risultano proporzionali ai parametri Vj. Cia permette l'identificazione del polinomio 5(B)-lw(B) con gli usuali metodi sviluppati per la identificazione degli ordini autoregressivo e a somma mobile sulla base delle autocorrelazioni. Se ad esempio solo i primi due valori, per i ritardi 1 e 2, delle cross-covarianze sono sensibilmente diversi da zero, si puo porre 5(B) == 1 e w(B) == Va - vlB - v2B2; se invece ad esempia Ie cross-correlazioni mostrassero un andamento esponenziale negativo si potrebbe porre 5(B) == 1 - rpB, w(B) == Va e cosl via. Resta pero da prendere in considerazione il processo dell'errore TJt, per il Quale abbiamo supposto la incorrelazione con {Xt } rna non necessariamente la bianchezza. Percio necessario calcolarne i valori sulla base dei dati {Yt} e {Xt} e di stime preliminari dei parametri Vj, ed adattare anche ad essi un modello ARMA:

e

dove {et}

e un

rumore bianco. Infine, notando che

8 x (B )

8 x (B ) IJ;(B)

N, = px(B) 'TJt = px(B) )"(B) et

10.7 Modelli Iineari per le relazioni tra due processi

229

si puo scrivere il modello a funzione di trasferimento nella forma seguente:

Una volta definita la struttura dei polinomi, in base agli ordini identificati nelle fasi della procedura appena delineata, si passa a una stima complessiva e simultanea di tutti i parametri con un metodo analogo a quello visto precedentemente, cioe minimizzando numericamente la somma dei quadrati dei residui, e si conclude il procedimento con un controllo della bianchezza di questi ultimi. II controllo deve riguardare sia l'autocorrelazione dei residui {et}, sia la cross-correlazione tra questi residui e la serie di input {Xt} 0 meglio i residui del modello a questa adattato, {Et}. Nei due casi si puo usare una forma di test portmanteau : M

M

Q1 == N

L Te,e(h )2

Q2 == N

L Te,c(h)2 h=1

h=1

che si distribuiscono, sotto l'ipotesi nulla di correttezza del modello, come chi quadrati approssimati con N - p* - q* e N - r - s gradi di liberta, dove p* l'ordine di ex(B){l(B), q* l'ordine di
e

e

dei parametri e un nuovo controllo diagnostico, e cost via iterativamente.

Esempio 10.5 (Serie M di Box e Jenkins). Box e Jenkins (1970) riportano come Serie M una rilevazione di volumi di vendita contemporanearnente a un altro fenomeno che viene ritenuto un indicatore anticipatore delle vendite. Si tratta di 150 dati riportati nella Fig. 10.7. Si vuole costruire un modello a funzione di trasferimento, in cui Yt sono le vendite e Xt I'indicatore. Adattiamo prima un modello alla serie dell'indicatore. Le sue autocorrelazioni ordinarie e parziali sono riportate nella Fig. 10.8 e indicano la sostanziale adeguatezza di un modello MA(l). La stima dei minimi quadrati porta a un valore 01 == 0.45. Pertanto
230

10 I modelli rappresentativi

Fig. 10.7. Serie M di Box e Jenkins. Vendite (linea continua), indicatore (linea tratteggiata)

o o

1--.5!71 I / - ,- ,

1

mnnnnnm nnn;mm..mlmmnmm

mmn~ml

I

_ - -I - - -I

•.•.•.•...•.•.....

(b)

(a)

Fig. 10.8. Autocorrelazioni stimate per la serie dell'indicatore: (a) ordinarie; (b) parziali

pari al rapporto tra T,8,c(4) e T,8,c(3), cioe circa 0.67. Consideriamo infine il modelIo per il rumore: calcolando i residui

N, == yt - 8(B)

-1

w(B)Xt == yt -

4.68 X t- 3 1 - 0.67B

e stimandone le correlazioni (si omettono i dettagli per brevita) si puo identificare su di essi un modello MA(l) con parametro stimato pari a circa 0.46. Si arriva quindi al modelIo completo:

yt

==

4.68 X t- 3 1 - 0.67B

+ (1 -

0.46B ) et .

A questo punto e anche possibile ristimare congiuntamente tutti i parametri per una maggiore efficienza. La stima finale, effettuata minimizzando la somma dei quadrati dei residui, fornisce il modello:

yt

4.72

== 1 _ 0.73B X t- 3

+ (1 -

0.48B)et

10.7 Modelli lineari per le relazioni tra due processi

231

0.8 ;"""""-.. . . . .- - - - - -.. . . . .- - -.. . . . .- -----., 0.6 0.4 0.2

-0.2

~-----------

........

Fig. 10.9. Correlazioni incrociate stimate per i residui della serie M

e il controllo diagnostico sui resid ui {et} non evidenzia allontanamenti significativi dalla bianchezza.

11

Deviazioni dalle ipotesi

Prendiamo qui in considerazione il caso in cui alcune delle ipotesi alla base della metodologia utilizzata nel capitolo precedente non siano soddisfatte, e alcune tecniche ideate per ovviare a tale inconveniente, adatte a tener conto di perturbazioni verificatesi sia nella dinamica propria del processo, sia nel procedimento di osservazione e rilevazione dei dati.

11.1 Perturbazioni nei dati e nella struttura I dati che si sottopongono all'analisi delle serie temporali solo raramente pro-

vengono da situazioni sperimentali ben definite nelle quali si possono controllare (almeno in parte) i fattori esterni e collaterali. Generalmente invece i dati provengono da rilevazioni, a volte campionarie, effettuate sulle manifestazioni di un fenomeno seguite nel corso del tempo. Se la durata della rilevazione e considerevole, puo spesso accadere che fattori esterni 0 strumentali mutino sensibilmente i lora effetti nel lungo periodo. Ad esempio nella misurazione di fenomeni naturali (per esempio i terremoti) e meteorologici, la precisione, e in alcuni casi la stessa metodologia di misura e rilevazione, sono cambiati. Questa considerazione e ancora pili rilevante se si guardano fenomeni relativi al comportamento umano (sociale, demografico, economico ...) sui quali, oltre alle modalita di misurazione, incidono in tempi lunghi l'evoluzione teenologica, 10 sviluppo economico, i cambiamenti politici e legislativi, in una parola la storia. Non e infrequente pertanto che le serie temporali osservate presentino variazioni strutturali macroscopiche, che non possono essere eliminate con i semplici metodi basati suI filtraggio che abbiamo esposto precedentemente, e che contraddicono l'ipotesi di sostanziale omogeneita nel tempo su cui e stata fondata l'analisi delle serie temporali. La letteratura statistica riporta numerosi tentativi di tener conto dei problemi qui accennati, a diversi livelli di approfondimento e con metodi di diversa

234

11 Deviazioni dalle ipotesi

complessita. II punto di vista pili ampio, rna anche di pili difficile realizzazione, e quello di adottare modelli pili complessi, che permettano di riprodurre andamenti non lineari e non stazionari. Cia richiede evidentemente strutture pili complicate, di pili difficile identificazione e stima, ed e uno dei campi pili trattati dalla ricerca attuale. Tra le molte proposte, citiamo a titolo di esempio l'analisi spettrale evolutiva (Priestley, 1988), nella Quale si suppone che 10 spettro vari lentamente allo scorrere del tempo, e i modelli a soglia ("threshold", Tong, 1990), con i quali si suppone che la serie obbedisca a pili regimi alternativi: quando il fenomeno e in un regime i dati vengono generati secondo un modello sufficientemente maneggevole (spesso un autoregressivo); si verificano pero transizioni da un regime all'altro (e quindi cambia il modello che genera i dati), il passaggio e determinato dalle variazioni di una variabile esterna, oppure da quelle subite in precedenza dallo stesso processo considerato (self-exciting threshold). La situazione pili semplice, rna frequente, si ha quando c'e un solo cambio di regime a un istante fissato, e i due modelli differiscono solo per il valore della costante: allora e come se a quell'istante cambiasse solo la media della serie, ferma restando la sua struttura dinamica; in questo caso si parla di cambio di livello (level shift) e si debbono costruire metodi per decidere se e quando esso si e verificato (si veda ad es. Tsay, 1988), oltre a stimarne l'ammontare. Uno strumento semplice ed effieace per valutare l'esistenza di non linearita e cambi di struttura, mutuato dall'analisi statistica esplorativa, e costituito dalla rappresentazione grafica, sul piano, delle coordinate (Xt, Xt+h) con t == 1, ... ,N - h e h fissato. Infatti la forma della nuvola di punti puo suggerire la natura della relazione tra Xt e Xt+h (in particolare, se la relazione e lineare la nuvola si dovrebbe disporre tendenzialmente attorno a una retta). L'esistenza di cambi nella struttura dinamica invece dovrebbe dar luogo a raggruppamenti dei punti della nuvola in clusters con forme diverse. II controllo grafico viene effettuato per tutti i ritardi h pili significativi, senz' altro per i primi (h == 1, 2, 3) e per quello corrispondente a un anna se la serie presenta stagionalita. Ad esempio, la Fig. 11.1a riporta il grafico della nuvola dei punti (Xt, Xt+l) per una serie simulata secondo un processo autoregressivo AR(l) con parametro ¢ == 0.8, e come si vede i punti tendono a disporsi nettamente secondo una retta. Nella Fig. 11.lb viene invece riportato l'analogo grafico per una serie simulata in accordo a un processo autoregressivo a soglia con due regimi, che seguono modelli autoregressivi di ordine uno con parametro di segno opposto, e come si vede si delineano due nuvole che tendono a disporsi secondo rette di coefficiente angolare opposto.

11.2 Perturbazioni dovute a fattori noti Molto studiato, e relativamente pili facile, e il caso in cui si voglia rappresentare l'infiuenza esercitata sulla serie da un fattore esterno, che ne provoca un brusco cambiamento, di effetto limitato a un solo istante oppure prolungato

11.2 Perturbazioni dovute a fattori noti

235

""

":

;-16

......

(a)

(b)

Fig. 11.1. Nuvole dei punti (Xt, Xt+l) : (a) serie autoregressiva AR(l) con parametro 0.8; (b) serie autoregressiva a soglia

a un gruppo di istanti consecutivi. Infatti avviene sovente che in una serie si riscontrino dati disomogenei con i loro precedenti e seguenti: spesso l'effetto e limitato a un dato, rna a volte si prolunga, diminuendo di intensita, nelle osservazioni successive. Un esempio edato nella Fig. 11.2 (dove si eesagerato l'effetto: spesso nelle serie reali non e cost facile accorgersi di questi eventi). Bisogna preliminarmente distinguere se e noto l'istante nel Quale si produce il cambiamento, oppure no. II primo caso si verifica quando sulla serie hanno effetto, per esempio, cambiamenti legislativi, 0 variazioni dei tassi ufficiali, 0 anche calamita naturali, eventi che possono essere localizzati precisamente e

Fig. 11.2. Serie con dati anomali ad effetto istantaneo (t==50) oppure prolungato (t==100)

236

11 Deviazioni dalle ipotesi

senza errore sull'asse temporale. Si tratta allora di stimarne gli effetti, e a questo fine una tecnica chiamata analisi di intervento (Box e Tiao, 1975) permette di farlo anche simultaneamente alla stima dei parametri di un modello ARIMA. La "intervention analysis" si basa sulla definizione di una variabile artificiale a valori binari 0 e 1. Se l'istante a cui si verifica l'evento esterno (0 "intervento") e to, allora la variabile artificiale ha valore nullo per t < to, valore 1 per t == to. I valori successivi a to saranno posti uguali a zero se si suppone che l'effetto sia limitato e si riassorba (come nel caso di uno sciopero o di una calamita), oppure uguali a 1 se si pensa che l'effetto del cambiamento sia permanente (come nel caso di nuova legislazione); naturalmente altri schemi sono possibili e plausibili. La variabile artificiale viene poi inserita nel modello con una funzione di trasferimento, e ne vengono identificati e stimati i pesi con il metodo accennato nel paragrafo precedente. Anche se la variabile artificiale non e evidentemente un ente aleatorio, i metodi di stima possono essere giustificati in base al criterio dei minimi quadrati. Diverse applicazioni hanno mostrato l'efficacia dell'analisi di intervento, che ormai e entrata a far parte integrante del com plesso della modellistica ARIMA anche per la sua semplicita di applicazione. Si deve solo tener presente che, poiche e raro poter formulare una ipotesi teorica precisa relativamente al modo come dovrebbero svilupparsi nel tempo gli effetti dell'evento sulla serie, e buona regola provare differenti andamenti della variabile artificiale. Un fattore rilevante di perturbazione con origine e motivazioni note si verifica quando si considerano fenomeni di natura economica e sociale misurati su scala mensile (0 plurimensile), ed e da far risalire al diverso comportamento umana nei diversi giorni della settimana 0 dell'anno, e per questo si parla di effetti di calendario. La distinzione di tali effetti rispetto a quelli stagionali risiede nel fatto che essi non si presentano sempre esattamente negli stessi tempi nei vari anni, e quindi non sono assimilabili a variazioni precisamente periodiche. Un esempio rilevante e l'effetto della Pasqua, che essendo una festa mobile, in alcuni anni cade in marzo, in altri in aprile. Percio se la Pasqua ha effetti su una serie che e rilevata mensilmente, qualche an no essi si eserciteranno sul dato di marzo, e altri anni su quello di aprile. Per questo motivo e opportuno adottare una variabile di intervento per gli effetti della Pasqua, la quale assume per ogni anna il valore uno in corrispondenza del mese appropriato. A volte si assume che la festa di Pasqua abbia un effetto anche nei giorni precedenti, e in tal caso, se essa cade nei primissimi giorni di aprile, si puo introdurre una variabile di intervento anche in marzo. Gli effetti di calendario pili rilevanti sono in genere ritenuti quelli che, su dati relativi alla produzione 0 al consumo, sono esercitati dalla diversa lunghezza dei mesi. La struttura del nostro calendario, con mesi di 28, 29, 30 e 31 giorni, fa sl che, se il manifestarsi del fenomeno e in qualche modo legato all'ampiezza del periodo di rilevazione, i dati mensili non siano perfettamente omogenei. II rimedio pili frequente e quello di considerare dati depurati della diversa lunghezza dei mesi, ottenuti semplicemente dividendo ogni osservazione mensile per il numero di giorni contenuti nel relativo mese, e moltiplicandoli

11.3 Dati anomali

237

per la durata media (pari a 365/12 == 30.416). Inoltre, in caso di dati sociali 0 economici, va considerato che in genere il comportamento umana e diverso nei vari giorni della settimana, e i mesi non contengono nello stesso numero i diversi giorni della settimana: possono essere quattro 0 cinque. Infine, in qualche mese possono presentarsi festivita infra-settimanali. Percio in sostanza potrebbe accadere che in un mese vi sono cinque domeniche, cinque sabati e una festivita infra-settimanale, mentre nel successivo non ci sono festivita e solo quattro sabati e quattro domeniche. La prima decisione da prendere e sull'opportunita 0 meno di eliminare gli effetti di calendario, e cia dipende dagli scopi dell'indagine statistica perche i dati trasformati possono assumere un significato diverso (ad esempio dalla misura della produzione si passa a quella della produttivita}, II modo pili semplice di depurare da questi fattori e di calcolare, per ogni mese compreso nella rilevazione, il numero di giorni lavorativi (intendendo con questa locuzione il numero di giorni del mese in cui il fenomeno rilevato si manifesta) , e poi dividere ogni dato mensile per il suo numero di giorni lavorativi. Questo procedimento naturalmente si presta a qualche critica, soprattutto per la difficolta di definire che cosa sia un giorno lavorativo e "quanto" lavorativi siano alcuni giorni particolari (in genere il sabato e il venerdi) in relazione al fenomeno rilevato, specie se complesso. Un metodo pili approfondito, inizialmente proposto da Young (1965) e usato nei programmi Census X-II e successivi, attribuisce a ogni giorno della settimana un effetto specifico additivo, e 10 stima con un modello di regressione:

dove Cit e il numero di volte che il giorno di tipo i (domenica, lunedi, martedl ecc.) si presenta nel mese t, e gli 0:i sono gli effetti dei vari giorni. Ovviamente si puo sottrarre l'effetto medio e quindi imporre che sia Ql + Q2+ ... + Q7 = 0 cosi che l'effetto di un determinato giorno, ad esempio 0:7 e dato dall'opposto della somma degli altri: 0:7 == -0:1 - 0:2 - ... - 0:6. In sostanza, poiche tutti i giorni compaiono almeno 4 volte, l'effetto differenziale dei fattori di calendario su ciascun mese e dato solo dai coefficienti relativi a quei giorni che nel mese compaiono 5 volte. Un esposizione pili approfondita di questo e altri metodi ancor pili articolati si puo trovare in Bee Dagurn (2002).

11.3 Dati anomali Pili complessa e la situazione nella quale non sia noto a priori l'istante in cui si verifica la perturbazione: in tal caso si parla di dati anomali 0 outliers, ed necessario non solo valutarne gli effetti (stima dell'outlier) rna anche determinare se e a quale istante si verificano (identificazione degli outlier). II verificarsi di un outlier e determinato da eventi inattesi 0 da cause sconosciute (e 10 studio degli outliers serve anche ad indagarle), rna essi potrebbero

e

238

11 Deviazioni dalle ipotesi

essere determinati anche da errori in fase di rilevazione, trasmissione, trascrizione, elaborazione. La loro importanza e aumentata anche dal fatto che possono produrre un effetto critico sulle stime delle autocorrelazioni e dei parametri dei modelli. Esempio 11.1.. Se si aggiunge la quantita wauna sola osservazione di una serie di N dati, si puo controllare abbastanza facilmente che la varianza stimata subisce un aumento di circa w2 / N mentre le autocovarianze stimate subiscono modifiche dell' ordine di w/ N: in sostanza si ha generalmente una distorsione verso 10 zero delle autocorrelazioni. Ma se le osservazioni perturbate sono due, a distanza h, le variazioni sono pili rilevanti, e specie l'autocorrelazione al ritardo h puo aumentare considerevolmente in valore assoluto. Ancora pili complicati e difficilmente descrivibili gli effetti sulla stima dei parametri di modelli ARIMA. Cia ha portato a sviluppare, come in altri campi della Statistica, Ie proposte di metodi robusti (si veda ad esempio Martin, 1980). In alternativa, nell'ambito della modellistica ARMA si cerca di formalizzare l'effetto degli outliers ampliando il modello. A questo fine, si usa distinguere, a seconda del permanere degli effetti, tra outliers additivi e innovativi (Fox, 1972). I dati anomali additivi sono perturbazioni che agiscono su un solo dato specifico, e possono essere riprodotti sommando al modello una costante moltiplicata per una funzione delta che assume valore 1 solo in corrispondenza all'istante perturbato, e zero altrimenti: (11.1)

rappresenta un modello ARMA con un outlier additivo di ampiezza w all'istante q, poiche q) == 1 per t == q, e s,(q) == 0 per t i=- q. Per riprodurre invece anomalie che si prolungano per un certo tempo si usa il concetto di outlier innovativo, che e una perturbazione limitata a un solo istante applicata pero al processo delle innovazioni {Et}:

s,(

(11.2)

Infatti se indichiamo con
e quindi l'effetto del verificarsi dell'outlier innovativo al tempo q e quello di modificare i dati successivi X, in ragione di ht - q volte la sua ampiezza w. Per quanto riguarda la stima dell'effetto w, se si suppone che i parametri (cP, 0) siano noti e che si verifichi un outlier all'istante q, si ottengono facilmente gli stimatori W}q) == Eq nel caso innovativo e

11.3 Dati anomali

239

nel caso additivo, dove i pesi 1fj sono i coefficienti di Bj nel polinomio H(B)-l della rappresentazione invertita (6.8) (si veda ad esempio Tsay, 1988). II problema rimane quello della identificazione, e a questo fine si usa calcolare Ie quantita W}q) e w~) per ogni possibile q e prendere in considerazione la pili grande in valore assoluto, dopo averle standardizzate. Sotto l'ipotesi di assenza di outliers, infatti il valore teorico di w e nullo e le statistiche W}q) e w~) si distribuiscono con media nulla e varianza rispettivamente q»)

87 = Var(wJ

= a 2 e 8~

=

Var(wf»)

2:j 1r;' Percio si usa identificare Iw~) 1/ SA eccedono una soglia fissata

= a2/

un outlier in t == q se Iw}q) 1/ Sf oppure (che nella pratica viene sempre scelta tra 3,3.5,4,4.5). II problema pero e reso pili complicato dal fatto che noi non conosciamo i valori veri dei parametri (¢, 0), rna dobbiamo usarne delle stime la cui precisione puo esser diminuita proprio dalla presenza di outliers. Inoltre sorge un'altra difficolta dovuta al cosiddetto mascheramento (masking): se in una serie ci sono pili outliers, ciascuno di essi contribuisce a distorcere la stima dell'altro, poiche le stime di w risentono di tutti i dati della serie (se additivo) e di tutti i dati precedenti a q (se innovativo). Per questi motivi il procedimento pili usato per il trattamento degli outliers eiterativo: si comincia col determinare la singola anomalia pili rilevante e il suo carattere (additivo 0 innovativo) andando a valutare qual ela pili significativa q tra le stime {wJ ) , w~), q == 1, ... ,N}. Se non ve ne sono che eccedono la soglia, si conclude che non vi sono outliers; in caso contrario si identifica l'outlier e il suo tipo in corrispondenza alla stima pili significativamente diversa da zero, e si rimuove il suo effetto dalla serie (sottraendo w~) da X q se e additivo, oppure sottraendo hjw}q) da X q+ j , per j == 0,1, ... ,N - q se e innovativo). Sulla serie depurata si ripete il procedimento andando a identificare un secondo eventuale outlier, e cosl via fino a che non si trovano pili stime significative delle anomalie. La procedura puo essere migliorata prevedendo di ristimare i parametri (¢, B) sulle serie successivamente depurate. Infine, quando l'identificazione dei dati anomali e completa, e stato consigliato di ripetere l'operazione di stima massimizzando numericamente la somma dei quadrati dei residui congiuntamente rispetto ai parametri (¢, B) e alle ampiezze degli outliers identificati (Chen e Liu, 1993).

Esempio 11.2. La serie A di Box e Jenkins (1970) riporta dati relativi alla concentrazione chimica di una sostanza in una reazione, e consta di 197 osservazioni. Box e Jenkins identificano un modello ARMA(l,l) oppure un ARIMA(O,l,l) che, stimati con la massima verosimiglianza, risultano: (1 - 0.9B)Xt == 1.59 + (1 - 0.58B)Et

oppure

(1 - B)Xt == (1 - 0.7B)Et

con varianza residua rispettivamente pari a 0.097 e 0.1 (e R 2 attorno a 0.37). La procedura di ricerca degli outliers evidenzia come residuo pili significativo quello a t == 64 in cui la stima di tipo innovativo da per i due modelli un valore

240

11 Deviazioni dalle ipotesi

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 Fig. 11.3. Serie A di Box e Jenkins. Evidenziati con un cerchio i dati anomali a t== 43 e 64.

simile ~ 1.11, pari a 3.73 (primo modelIo) 0 3.63 (secondo modello) volte 10 scarto quadratico medio stimato; una volta depurata la serie e ripetuta la procedura, la stima pili significativa si riferisce a t == 43 ed e l'anomalia additiva, stimata pari a circa -1 per entrambi i modelli (valore standardizzato pari a circa -3.7 per il primo modelIo e -3.6 per il secondo). In conclusione si identifica un outlier innovativo at == 64 e un additivo at == 43. Se ripetiamo la stima considerando congiuntamente i parametri e le anomalie dei due outliers, otteniamo per il primo modello: (1 - 0.91B)Xt == 1.68 + (1 - 0.47 B)ct

W}64) == 1.17 w~3) == -1.04

e per il secondo:

(1 - B)Xt == (1 - 0.63B)ct Le varianze residue finali (cioe dopo aver depurato dei due dati anomali) risultano circa 0.085 per il modelIo ARMA(l,l) e 0.09 per l'ARIMA(O,l,l). II grafico della serie e riportato nella Fig. 11.3, in cui sono evidenziati i dati identificati come outliers. Le procedure di ricerca degli outliers hanno incominciato a essere sviluppate a partire dagli anni 80 e sono ormai considerate come una tappa importante nell'analisi di una serie; l'ultima riedizione del volume di Box e Jenkins (Box, Jenkins e Reinsel, 1994) gli dedica un capitolo, e la maggior parte dei software pili moderni di serie temporali e in grado di sviluppare queste procedure. Naturalmente, il problema dei dati anomali e rilevante anche nel caso che non ci si ponga necessariamente nell'ottica della modellistica ARIMA, ed e stato affrontato anche indipendentemente dai modelli (in questo caso perde

11.3 Dati anomali

241

significato il concetto di outlier innovativo) attraverso l'uso di interpolatori lineari (ad esempio Baragona e Battaglia, 1992, a cui si rimanda per dettagli; osserviamo solo che la stima w~) gia introdotta e pari alla differenza tra il dato e l'interpolatore lineare); pili recentemente estato anche trattato in ottica bayesiana (McCulloch e Tsay, 1994; Barbieri, 1998). La identificazione di outliers multipli vista come problema di scelta di un sottoinsieme di istanti "anomali" all'interno dell'insieme (1,2, ... ,N) equivale a un problema di ottimizzazione combinatoria e puo essere affrontato con algoritmi meta-euristici (una proposta che adopera algoritmi genetici e in Baragona, Battaglia e Calzini, 2001). Un ultimo cenno merita, anche se non strettamente legata a deviazioni dalle ipotesi, la questione dei dati mancanti. Puo ben accadere, specie se Ie serie si riferiscono a intervalli di tempo molto lunghi, 0 a periodi del remoto passato, che le rilevazioni siano lacunose, e alcuni dati siano mancanti. II procedimento pili semplice sarebbe quello di trascurarli nella stima, rna questo equivale quasi sempre a porli uguali alla media della serie, e quindi costituisce una scelta molto precis a anche se a prima vista sarebbe sembrato il comportamento pili neutro. E' preferibile (dato che non si parla di campioni casuali, rna di serie temporali che hanno una dipendenza seriale) cercare di ricostruire Ie mancanze basandosi sul resto della serie. II metoda pili semplice e quello dell'interpolatore lineare, cioe stimare il dato mancante attraverso la migliore combinazione lineare degli altri dati (dove migliore significa ad errore quadratico medio minimo). Data la connessione con i metodi per i dati anomali, una procedura semplice per la ricostruzione dei dati mancanti si articola come segue: 1. Sia x; il dato mancante: attribuiamogli il valore artificiale zero (0 pari alla media, se non sono scarti). 2. Mediante il metodo per la ricerca degli outliers, stimare la anomalia additiva al tempo s: w~). 3. Ricostruire il dato mancante con X s == w~) (oppure w~) pili la media nel secondo caso). Questo modo di procedere corrisponde ad attribuire al dato mancante il valore del suo interpolatore lineare. Se il numero di dati mancanti e considerevole, naturalmente questo, come tutti gli altri metodi, fornisce risultati molto meno affidabili. II problema dei dati mancanti e stato affrontato in molte altre maniere e impostazioni (si veda ad esempio Damsleth, 1980; Ljung, 1982; Ferreiro, 1987; anche il filtro di Kalman, che sara illustrato in seguito, puo essere utilizzato a questo scopo).

12 Inferenza per catene di Markov e processi di punti

In questo capitolo svolgiamo l'inferenza per le catene di Markov e per i processi di punti, trattando i principali metodi per stimarne i parametri rilevanti.

12.1 Stima delle probabilita per catene di Markov Nelle catene di Markov abbiamo gia usato l'aggettivo ergodico per indicare le catene irriducibili e aperiodiche e in effetti per queste catene si puo dimostrare un teorema ergodico che si riferisce a questioni analoghe a quelle trattate prima, e legate alla stima delle quantita rilevanti per una catena di Markov che sono tutte funzioni delle probabilita: Pij

== Pr {Xn == i

IXn - l == j}

.

Consideriamo una catena con un numero finito di stati indicati con i naturali 1, 2, ... ,m, irriducibile aperiodica con distribuzione di equilibrio tt . Supponiamo che vi sia un istante iniziale t == 0, e che siano stati rilevati i valori del processo agli istanti 0,1, ... ,N indicati con (XO, Xl, ... , XN), e le frequenze empiriche delle transizioni da uno stato all'altro: N

nij

==

L

I [Xt

== i,

Xt-l

==

j],

i,j == 1, ... ,m

t=l

dove I[E] e la funzione indicatrice dell'evento E (uguale a 1 se E si verifica e uguale a 0 se E non si verifica). Poniamo inoltre: j == 1, ..., m .

Le nij forniscono le stime di massima verosimiglianza. Infatti la verosimiglianza dei dati, se la distribuzione iniziale di X o e posta uguale a

p?,

sara:

244

12 Inferenza per catene di Markov e processi di punti

L {Xo, Xl,

... ,

XN

Ip } == P~OPXIXOPX2Xl m

- ° II II

-

• • • PXNXN-l

==

m

Px o

nij Pij

i=l j=l

e la log verosimiglianza: log L

== log p~o +

L L nij log Pij j

i

da cui massimizzando rispetto aIle Pij (i, j == 1, ... , m) con i vincoli EiPij 1 (j == 1, ... , m) si ottengono Ie stime di massima verosimiglianza:

nij Pij == - . A

n·)

I relativi stimatori possono essere indicati con Ie lettere maiuscole. Se poniamo: se X k -

l

== j e X k == i

altrimenti possiamo scrivere: N

N i j ==

L z., (k) k=l N

N j == LNij i=l

La convergenza delle N j (tempo trascorso nella stato j) e assicurata dal teorema ergodico per le catene di Markov, il Quale assicura che per una catena ergodica, Nj/N converge in probabilita a 1["]. D'altra parte, fissato j, la (Nl j , N 2j , ... , N mj) e una variabile multinomiale, Ie cui componenti al erescere del numero di osservazioni tendono asintoticamente a normali. Combinando queste due proprieta si arriva a dimostrare una forma di consistenza e normalita asintotica per gli stimatori Pij == N ij / N j , di cui enunciamo solo la tesi: sia P == (Pll,P2l, ···,Pml,P12,P22, ···,Pm2, ···,Plm,P2m, ···,Pmm) e P == (Pll,P2l, ···,Pml, ···,Plm,P2m, ···,Pmm); al tendere di N all'infinito la variabile m 2-pla (1) Vii (p - p) converge a una normale multipla con medie nulle. Le varianze e covarianze asintotiche sono date da: lim N Cov {Pij,Pkl}

N---+oo

== 0,

A1,), Pk' A} · N C ov {p" Iim == -PijPkj --, )

N ---+00

1

1rj

In realta sia le Pij sia lc Pij soddisfano i vincoli del tipo

ii=k

EiPij

== 1, j == 1,2, ..., m

12.1 Stima delle probabilita per catene di Markov

245

_ Pij (1 - Pij) . · N V ar {A} 11m Pij -

N~oo

~

Pertanto possiamo trattare Ie stime delle probabilita, per N grande, come approssimativamente non distorte, e con variabilita proporzionale a 1/ Le formule asintotiche permettono di calcolare gli intervalli di confidenza approssimati. Basandosi sulla stessa teoria multinormale si riescono a costruire facilmente test delle ipotesi. Se consideriamo un'ipotesi che fissa esattamente le probabilita: Hi, : p?j i, j == 1, ..., m (naturalmente devono essere soddisfatti i vincoli Eip?j == 1, j == 1, ..., m), possiamo vedere il problema come confronto per ogni j fissato, tra frequenze empiriche nij e teoriche njp?j e quindi siamo portati a considerare gli indici chi quadro del tipo:

m.

j

== 1, ... ,m

e sommare gli m chi quadri cosi ottenuti:

Se l'ipotesi Hi; e vera, TN e somma di m chi quadrati indipendenti ciascuno con (m-l) gradi di liberta. In effetti si puo verificare che TN e asintoticamente uguale alla statistica del rapporto tra Ie massime verosimiglianze:

In particolare, possiamo sottoporre a verifica l'ipotesi di indipendenza: H o == 1f i, notando che la stima di massima verosimiglianza di 1f i sara n, / N, e dunque sotto Hi, si avra Pij == nj1ri == ninj / N. La statistica test risulta allora:

Pij

che si distribuisce asintoticamente come un chi quadro con m( m-l )-(m-l) == (m -1)2 gradi di liberta.

Esempio 12.1 (Giorni di pioggia a Tel Aviv). Gabriel e Neumann riportano queste frequenze osservate su un periodo di 27 anni (2437 osservazioni): iniziale asciutto pioggia successivo asciutto 1049 351 pioggia 350 687

246

12 Inferenza per catene di Markov e processi di punti

da cui noo == 1049, n01 == 350, n10 == 351, n11 == 687, no == 1399, n1 == 1038. Percio le stime della probabilita di transizione, calcolate attraverso la formula Pij == nij / nj, risultano:

P ==

[0.75 0.338] 0.25 0.662 .

Le probabilita stazionarie 1ro e 1r1 possono essere stimate attraverso i rapporti ottenendo ~ 0.575, ~ 0.425, che sono anche uguali all'autovettore della matrice P. Si puo verificare che con il test proposto l'ipotesi di indipendenza viene respinta anche a livelli d'ampiezza molto piccoli.

*0

nj/N,

*1

12.2 Inferenza per processi di Poisson Nel processo di Poisson omogeneo l'unico parametro e rappresentato dall'intensita Ache eproporzionale al numero medio di eventi in un intervallo, percio l'inferenza si presenta pili semplice. Supponiamo di aver osservato il processo per un intervallo di tempo di ampiezza to (diciamo da 0 a to) e che si siano realizzati n eventi agli istanti t1, t 2, ... , tn. Ricordiamo che i tempi di attesa X k tra il (k -I)-mo e il k-mo evento sono distribuiti in forma esponenziale negativa, e sono indipendenti. Pertanto la verosimiglianza, se assumiamo che vi sia un evento in t == 0, e posta Xj == tj - tj-1 (da cui Xl + X2 + + Xn == tn), si puo scrivere:

L ==

==

== X2, ,Xn == Xn,Xn+1 > to - t n} Xn)eA(to-t n) == Ane- Ato . Ane-A(Xl +X2+ ...+

Pr{X1

==

X1,X2

La stima di massima verosimiglianza si ottiene massimizzando rispetto a A, il che comporta A == nita. Pertanto 10 stimatore di massima verosimiglianza risulta: ,\ == N (0, to) . to

Ma N(O, to) ha una distribuzione di Poisson di parametro Ato, quindi:

A

Var(A) == - . A

to

Si puo verificare che la statistica "numero di eventi" e sufficiente e completa per A, ne segue che ,\ e 10 stimatore non distorto a varianza minima (MVUE). Supponiamo che invece di osservare il processo per un tempo fissato to, 10 osserviamo fino a raggiungere un certo numero di eventi fissato no, e che essi si verifichino negli istanti t 1, t 2, ... , t na. Ponendo come prima Xl == t1, Xj == tj - tj-1 (j == 2, ..., no) e supponendo un evento iniziale in t == 0, la verosimiglianza risulta:

12.2 Inferenza per processi di Poisson

247

quindi la stima di massima verosimiglianza si ottiene ponendo A == nO/tna e 10 stimatore di massima verosimiglianza risulta percio:

no

A

A==-T (no) dove T(no) e l'istante in cui si verifica l'no-esimo evento, la cui distribuzione come sappiamo e gamma di parametri no e A, e la cui media armonica si ottiene facilmente uguale a AI (no - 1). Percio:

{I} == -nono-- A .

E(A) == noE - (-) T no A

1

La distorsione si puo correggere facilmente ottenendo 10 stimatore non distorto: A* == no - 1

T (no)

che ha:

E(A*) == A

A2

Var(A*) == - - . no - 2

Poiche anche in questo caso T(no) e sufficiente e completa per A, 10 stimatore A* risulta quello non distorto a varianza minima. Un problema di inferenza che si pone spesso nei processi di punti e la verifica dell'ipotesi che i dati provengano da un processo di Poisson omogeneo, cioe con intensita A costante, contro l'ipotesi che I'intensita vari con il tempo, e cioe che la probabilita che avvengano eventi non sia costante. In questo caso si suppone che i dati provengano da un processo di Poisson non omogeneo con intensita A(t) variabile nel tempo e si procede sostanzialmente a verificare la stazionarieta in media e varianza, problema che si puo trattare secondo la teoria classica di Neyman e Pearson. Per i processi non omogenei ricordiamo (paragrafo 7.2) che la distribuzione del numero di e renti in un intervallo (s, t) ha una forma di Poisson con parametro pari a:

i(s,t)=

I

t

).. (U) dU

mentre per i tempi ai quali si verificano gli eventi si ha Pr( u < Ti. < U U du ITk - 1 == t) == A(u) exp (- ft A(y) dy) du, e la verosimiglianza si scrive:

+

Per effettuare il testdi omogeneita si assume come ipotesi nulla Ho : A(t) == A Vt e si considera il rapporto delle verosimiglianze, che puo risultare di facile o difficile risoluzione a seconda della forma funzionale di A( t) definita dalla ipotesi alternativa. Una scelta semplice e del tipo A(t) == A exp{ -Bt}, poiche in tal caso la verosimiglianza sotto l'ipotesi alternativa e:

248

12 Inferenza per catene di Markov e processi di punti

mentre quella sotto l'ipotesi nulla:

e quindi il rapporto di verosimiglianza dipende dalla statistica test:

Ora sotto Hi, e dato che N(O, to) == n, ciascun T, ha distribuzione uniforme tra 0 e to. Infatti:

e:

, T';

Pr (TI == tl, T2 == t2,

==

tn, N (0, to) == n)

==

Ae-A(tn-tn-l)e-A(to-tn) == Ane- At o In!

== Ae- At 1 Ae- A(t 2 - t d

da cui:

n!

Pr (TI == t i- T2 == t2, ...,Tn == t n IN (0, to) == n) == t n . a La densita e uniforme nell'insieme 0 < t l < t2 < ... < t.; < to, ed uguale alla densita congiunta di un campione casuale ordinato di n unita da una variabile distribuita in modo uniforme tra 0 e to (si veda ad es. Azzalini, 2001, p. 324). D'altra parte le somma (TI + T2 + ... + Tn) non dipende dall'ordine degli addendi. Se ne puo concludere (si veda ad es. Cox e Lewis, 1966) che la variabile S == T I + T 2 + ... + T'; ha la stessa distribuzione della somma di n variabili indipendenti e somiglianti con distribuzione uniforme tra 0 e to. La uniforme ha densita lito, media to/2 e varianza t5/12; allora per il teorema centrale di convergenza S e approssimativamente normale per n grande, con: E (5) = nto 2

Var (5) = ntB 12

e cio permette di ricavare regioni di rifiuto. Se l'alternativa e unilaterale: HI : A(t) == Aexp( -Ot), 0 > 0 e quindi A(t) < A e decrescente, dovremo scartare i valori piccoli e la regione di rifiuto e del tipo: S

< -nto -z to ~ 2 a 12

Se invece l'alternativa e HI : A(t) == A exp( -Ot), 0 < 0, e dunque A(t) crescente e maggiore di A, allora rifiuteremo per valori grandi di S:

S> -nto +za to ~ . 2 12

e

12.2 Inferenza per processi di Poisson

249

Esempio 12.2. Consideriamo i dati seguenti che riportano il numero mensile di interruzioni in una rete di comunicazione per un periodo di quindici mesi:

mese

1 2

3

4

5

6

7

8

eventi 10 14 8 5 7 11 9 15 cumulati 10 24 32 37 44 55 64 79 stima intensita 10 12 10.6 9.25 8.8 9.16 9.88 11.3 mese

9

10 11 12 13

14

15

eventi 10 24 8 4 5 12 12 cumulati 89 113 121 125 130 142 154 stima intensita 9.14 9.87 11 10.4 10 10.14 10.26 La terza riga da il rapporto tra eventi cumulati e lunghezza del periodo complessivo, quindi costituisce 10 stimatore dell'intcnsita come 10 si puo calcolare alla fine di ciascun mese, basato su tutti i dati precedenti. Come si nota, all'aumentare delle informazioni disponibili la stima diventa sempre pili stabile. Esaminiamo pili da vicino gli ultimi quattro mesi domandandoci se si puo accettare l'ipotesi di una intensita costante (dai dati sembrerebbe crescente). Sono necessari i tempi nei quali si sono verificati gli eventi, che verranno espressi in giorni fissando l'origine dei tempi all'inizio del mese e considerando mesi di 30 giorni, di modo che l'intero periodo e di durata 120: Mese 12: eventi a 2.5,9.1,24,27.2 Mese 13: eventi a 8.4,10.1,19,26.9,27.5 Mese 14: eventi a 2.1,3.1,7.5,10,11.4,11.8,20.5,21.1,26,27.3,28,28.7 Mese 15: eventi a 0.3,1.1,1.9,4.5,5.3,5.7,13.5,15,20,20.9,25.6,28.1 La statistica test e la somma dei tempi di accadimento, che risulta pari a 2452.2 (si ricordi che ogni istante va misurato a partire dal tempo zero cioe dall'inizio del mese 12). Gli eventi totali sono n == 33 e il tempo totale di osservazione e di 120 giorni: quindi sotto l'ipotesi nulla di intensita costante la media e nto/2 == 1980 e la varianza nt5/12 == 39600, quindi 10 scarto quadratico medio e circa 199. Pertanto il valore standardizzato della statistica epari a circa 2.37 che comporta il rifiuto allo 0.01 dell'ipotesi nulla di costanza contro la unilaterale A( t) crescente.

Parte IV

Metodi di previsione puntuale

13 Previsioni per processi stazionari

Vengono introdotti alcuni metodi di previsione puntuale delle serie temporali. Dopo una breve esposizione della teoria della previsione dei processi aleatori stazionari, si espongono i metodi di previsione basati sui modelli della classe ARIMA, e si discutono brevemente anche metodi basati su altre impostazioni.

13.1 Teoria della previsione II problema della previsione puo essere formalizzato nell'ambito della teoria dei processi stocastici studiando le relazioni di un insieme di variabili che si riferiscono al passato e presente con una variabile del processo che si riferisce al futuro. Se supponiamo di trovarci all'istante t, e quindi di poter virtualmente conoscere le determinazioni assunte dalle variabili {X s, S ~ t}, rna ci interessa invece la variabile X t +£ che genera il valore che il processo assumcra tra Ristanti, e naturale riferirsi alla distribuzione condizionata di X t +£ dati {X s, S ~ t}, e se vogliamo sintetizzarla l'indice pili comune e la media E{Xt+£IXt,Xt - 1 , .. . }. Essa ha una ulteriore proprieta di ottimalita, come abbiamo gia accennato nel primo capitolo: supponiamo che si voglia attribuire un valore puntuale ana realizzazione futura (e quindi incognita) di X t +£: questo valore sara ovviamente funzione dei dati gia noti, percio questa operazione di prevedere il futuro descrive una statistica:

Si dice che tel' origine del previsore, e f e l' orizzonte di previsione. Quale funzione scegliere? Scegliamo come condizione la pili comunemente usata: l'errore che commettiamo

dovra avere media zero e media quadratica pili piccola possibile. Ne segue che
254

13 Previsioni per processi stazionari

Se indichiamo per brevita x: == (Xt , X t - 1 , ... ) e la media condizionata con Mt(f) == E{Xt+£IX t}, l'errore quadratico medio si puo scrivere: 2

E {Xt+£ -
2

+

+2E {[X t+£ - Mt(f)] [Mt(f) -
In questa situazione il previsore ottimo e lineare. Tuttavia, anche quando il processo non sia gaussiano, se il calcolo della media condizionata e troppo complicato (0 non e possibile perche non e nota la forma della distribuzione di probabilita) possiamo accontentarci di costruire il previsore lineare ottimo, cioe quella combinazione lineare di X t , X t - 1 , ... che assicura la minima differenza quadratica media rispetto ad X t+£: si parla percio di teoria della previsione lineare. La determinazione dei coefficienti Cj puo essere effettuata attraverso il metodo dei minimi quadrati, imponendo

Sviluppando il quadrato e la media si ottiene: 1

Per spiegarlo adottiamo la notazione EA(f) per indicare che la media e calcolata rispetto alla distribuzione di probabilita della variabile A. Si vede subito, poiche p(A,B) == p(A)p(BIA), che vale la regola E(A,B)(f) == EA{EB1A(f)}. Quindi il doppio prodotto da valutare risulta: t

[Xt +£ - M t (£)]} == = Ext {EXtHlxt {[Mt(£) - cp(Xt )] [XtH - Mt(£)]}} =

E(xt+€,xt) {[Mt (£) - cp(X

=

)]

t

Ext {[Mt(£) - cp(X )] EXtHlxt {[XtH - Mt(£)]}}

Ma poiche abbiamo posta

il secondo fattore risulta la media degli scarti dalla media e quindi qualunque sia x', percio si annulla l'intero termine.

e uguale a zero

13.1 Teoria della previsione

L cu,(u + £) + L L cucv,(u - v) 00

,(0) - 2

255

00

u=o

u=ov=o

ed eguagliando a zero le derivate rispetto ai

L cu,(h 00

u=o

00

u) == ,(£ + h),

Ch:

h == 0,1,2, ...

La soluzione di questo sistema (di infinite equazioni) non e semplice, anche se epossibile arrivarci passando al dominio frequenziale, e quindi invece di proseguire in questa impostazione (dovuta a Wiener), considereremo un approccio diverso, dovuto a Kolmogorov, che si basa sulla decomposizione di Wold, sotto l'ipotesi che la misura spettrale sia assolutamente continua. Allora possiamo scrivere:

L 00

x, == JL +

huct-u u=o ed esprimere in funzione delle {st} anche il previsore: X t(£) ==

L cuXt- u == JL + L guCt-u 00

00

u=o

u=o

per cui la media dell'errore al quadrato diventa:

avendo posta u == 8 - £. Poiche le {Ct} sono incorrelate con media zero e varianza uguale 0'2, si ha:

E {Xt+£ - X t(£)}2 == 0'2

£-1

00

s=o

s=£

L h; + 0'2 L (h s - gs_£)2 .

Questa espressione raggiunge il minimo rispetto ai gu quando il secondo addendo si annulla, ponendo h s == gs-£ (8 == £,£ + 1, ...) ovvero gu == h£+u. Pertanto la soluzione e: 00

x, (£) == /-l + L

h£+uct-u

(13.1)

u=o £-1

et(R) == X t+£ - Xt(R) ==

L hsct+£-s s=o

(13.2)

256

13 Previsioni per processi stazionari

il che permette di interpretare, nella decomposizione di Wold di X t +R, la parte relativa alle E gia realizzatesi come il previsore, e la parte relativa alle E non ancora realizzatesi come l'errore di previsione:

Xt+R == [Et+R

+ h1Et+R-1 + ... + hR-1Et+1] + [hREt + h£+lEt-1 + ...] + fL == == et(f) + Xt(f) .

II risultato si ottiene aneora pili faeilmente se si assume la gaussianita, poiche in tal easo X, (f) e la media eondizionata, le {Et} sono a media nulla, indipendenti tra loro e inoltre indipendenti dalle osservazioni preeedenti:

L hsEtH~s IX = t} == fL + L hsE {Et+£-s /X == fL + L hsEt+£-s .

Xt (£) = E {X t H

IX

t

}

t

= E {JL +

00

00

s=O

s=£

}

L' errore medio di previsione e (ovviamente) zero e la sua media quadratiea (detta anehe varianza di previsione) risulta: (13.3) La previsione puo poi essere espressa in funzione lineare del proeesso effettivamente rilevato, usando la forma invertita: posta H(B)-l == G(B), da X t == fL + H(B)Et segue Ct == G(B)(Xt - fL) == E j /'1;j (X t - j - fL). Sostituendo avremo:

L hR+uEt-u == fL + L L h£+u/'1;j(Xt- u- j - fL) . 00

Xt(R) == fL

+

00

u=O

00

(13.4)

u=Oj=O

Questa formula permette di calcolare direttamente il previsore sulla base dei dati per ogni orizzonte f, ed e la stessa espressione alla Quale e arrivato Wiener, anche se come vedremo tra poco non e sempre la forma pili comoda e eonveniente per ealeolare lc previsioni. II risultato del previsore permette una nuova interpretazione delle innovazioni {Et}, infatti ponendo f == 1 dalla (13.2) si ottiene et(l) == Ct+1. L'urto Et e quindi pari all'errore di previsione eon orizzonte uno dall'origine t - 1. Usando la forma invertita del processo Et == G(B)(Xt - fL), e ricordando ehe /'1;0 == 1, si rieava:

+ L /'1;j(Xt- j 00

Et == X, - u

fL)

j=l

e quindi, separando X; e scrivendolo per t

+ 1:

L /'1;j(Xt+1- j 00

X t+1 - fL == -

j=l

fL)

+ Et+1

.

13.2 Previsioni can modelli ARIMA

257

Questa espressione descrive il processo come somma di due parti incorrelate, di cui la prima e il previsore Xt(l) e la seconda l'errore di previsione ct+l, ed e particolarmente utile per processi autoregressivi puri, in cui il numero dei coefficienti f\;j e finito e f\;j == -¢j. Osserviamo infine che, data la Iinearita della media, per qualunque combinazione lineare di dati futuri si ha:

E

{LCkXt+k /X k>O

t

}

==

L ckE {Xt+k IX t} == L ckXt(k) .

Se ne deduce che la previsione lineare ottima di una combinazione lineare di dati futuri e fornita dalla identica combinazione lineare applicata ai previsori del processo. Per concludere e opportuno notare che i coefficienti dei previsori lineari qui introdotti, essendo questi calcolati come medie condizionate sotto l'ipotesi di normalita, dipendono solo dalle autocorrelazioni: quindi due processi che abbiano la stessa funzione di autocorrelazione avranno previsori lineari della stessa forma e con gli stessi parametri.

13.2 Previsioni con modelli ARIMA La teoria della previsione che abbiamo esposto brevemente nel paragrafo precedente produce una serie di risultati che se particolarizzati ai processi autoregressivi, a somma mobile 0 misti, sono stati analizzati nei dettagli da Box e Jenkins. Applicando questi risultati ai modelli ARIMA identificati e stimati su serie reali, si possono ottenere previsioni effettive dei valori futuri delle serie. Va tenuto presente che esse risentiranno sia della variabilita intrinseca del previsore ( cioe del fatto che la previsione risente di un errore aleatorio ineliminabile) sia della distorsione nelle stime dei parametri. Questo secondo aspetto, per la difficolta di analizzarlo a fondo, verra trascurato in quanto segue (ed eben poco trattato in letteratura). II contributo fondamentale di Box e Jenkins consiste nell'aver approfondito la natura iterativa e adattiva degli stimatori, nell' aver esteso il trattamento anche ai modelli integrati e stagionali, e nell'aver proposto metodi di calcolo efficienti. II punto di partenza sara per noi un modello completo ARIMA moltiplicativo di ordine (p, d, q) x (P, D, Q)s , che supponiamo correttamente identificato e stimato. Allora possiamo pensare che i dati siano realizzazione di un processo {Xt } che obbedisce ana relazione

Sviluppando i prodotti otteniamo un polinomio a somma mobile complessivo T(B) == 8(B)8*(BS) == 1 - tlB - ... - tbBb di grado b == sQ + q invertibile,

258

13 Previsioni per processi stazionari

e un polinomio autoregressivo complessivo F(B) == tP(B)tP*(B S ) ( l - B)d(l Bs)D == 1 - fIB - ... - faBa di grado a == p + sP + d + sD con d + sD radici sul cerchio unitario, e Ie altre di modulo maggiore di uno, quindi un polinomio non invertibile. Tuttavia, per evitare di appesantire la notazione, useremo ancora la simbologia precedente indicando con cPj invece che fj i parametri della struttura autoregressiva, e con OJ invece che tj quelli della struttura a somma mobile. Quindi il punto di partenza e il processo che obbedisce a:

dove 8(B) ha radici solo al di fuori del cerchio unitario, mentre tP(B) puo avere (se d > 0 oppure D > 0) anche alcune radici sul cerchio unitario. Lo strumento fondamentale della procedura trae la sua sernplicita dalla proprieta di linearita della media condizionata, e consiste nello scrivere lc equazioni che esprimono Xt+R in funzione dei dati, 0 degli urti, precedenti, e calcolare le medie condizionate di ambo i membri dell'equazione, ottenendo cosi il previsore lineare ottimo. In quanto segue supporremo, per semplificare le formule, che la media del processo (0 delle differenze se p > 0 0 P > 0) sia nulla (in caso contrario bisogna sostituire ai dati gli scarti). II legame tra X t +R e il suo passato puo essere espresso in tre forme diverse: 1. L'equazione aIle differenze corrispondente alIa forma ARIMA:

2. La forma in funzione completa degli urti -

detta a volte forma integrata

o forma MA( ex) ):

che in genere avra lunghezza infinita, a meno che il modello non sia un MA puro; i pesi 1fj corrispondono al polinomio P(B) == 1 + 1fIB + ... == tP(B)-18(B) e quindi se la serie e integrata, ovvero d =I 0 e/o D =I 0, non formano una serie convergente. 3. La forma invertita, a volte detta AR( ex) ):

dove i pesi 7T"j sono dati dal polinomio II(B) == 1 - 1rIB - 1r2B2 - ... == tP(B)8(B)-1 e sono sempre convergenti se il modello e invertibile, rna sono in numero infinito a meno che esso non sia autoregressivo puro. Se adesso applichiamo I'operatore media condizionata E{.IX t } alle equazioni, ci troveremo a dovere calcolare le medie condizionate di osservazioni e di urti relativi sia al futuro che al passato, che possiamo risolvere nel modo seguente:

13.2 Previsioni can modelli ARIMA

E { Xt+h IX,

==

259

Xt(h) , h > 0 Xt ,Xt- l == Xt-l,··· } == { h<0 Xt-Ihl' -'

E {Et+h} == 0, h > 0 Xt-l, ... } == { h<0 Et-Ihl ' _ in quanto la media dei valori gia realizzatisi e eguale ai valori effettivamente osservati Xt-Ihl ed Et-Ihl' mentre per gli urti futuri la media condizionata e uguale a quella non condizionata in quanto essi sono indipendenti dai dati precedenti. Nell'ottica della previsione, i valori calcolati degli urti relativi al passato si possono anche scrivere come errori di previsione a orizzonte unitario:

E { Et+h

IXt

==

x, ,Xt- l

==

A

Et-Ihl == Xt-Ihl - Xt-lhl-l(l) . Di conseguenza, applicando la media condizionata alle tre equazioni (e supponendo £ < a e £ < b) otteniamo:

X t(£) == cPlXt(£ - 1) + ... + cPR- lXt(l)+ + cPRXt + cPR+lXt-l + - ()REt - ()R+lEt-l -

+ cPaXt+R-a+ -

()bEt+R-b

+ 1/;R+lEt-l + 1/;R+2 Et-2 + ... 1) + ... + 1fR- lXt(l) + 1fR Xt + 1fR+lXt-l + ...

X t(£) == 1/;R Et X t(£) == 1f lXt(£ -

(13.5) (13.6) (13.7)

Nel caso che sia £ > b dalla prima equazione scompare la parte in (), e nel caso che sia £ > a scompare ovviamente la combinazione lineare dei dati passati cPRXt+ ... + cPaXt+R-a. Infine se £ == 1, nelle (13.5) e (13.7) non c'e la parte dipendente dai previsori a orizzonte inferiore a £. Le tre forme sono equivalenti rna a seconda della struttura del modello e dell'ordine puo essere pili conveniente usare l'una 0 l'altra. Mentre i parametri cP e 0 sono quelli che stimiamo direttamente, per usare le altre equazioni si devono calcolare i pesi 1/; 0 i pesi it . I pesi della rappresentazione a somma mobile 1/;j, che sono uguali a quelli della rappresentazione di Wold, sono definiti dalla eguaglianza tra le due strutture polinomiali nel ritardo B,
(1 - cPlB - ... - cPaBa)(l + 1/; lB + 1/;2B2

+ ...) == (1 -

OIB - ... - ObBb)

e per il principio di identita dei polinomi si possono calcolare eguagliando i coefficienti di ugual grado:

che esplicitando i pesi psi si possono scrivere 1/;1 == cPl - ()l

+ cP2 - ()2 1/;3 == cPl1/;2 + cP21/;1 + cP3 1/;2 == cPl1/;l

()3

260

13 Previsioni per processi stazionari

Per ottenere una formula generale possiamo porre 1/Jo == 1, 1/Jk == 0 per k < 0, ()k == 0 per k > b e scrivere:

Una tecnica analoga permette di calcolare i pesi della rappresentazione invertita 1T'j. I pesi 1/Jj sono anche utili per valutare la variabilita dei previsori, poiche la forma MA( (0) del previsore e la pili comoda per calcolarne la varianza essendo espressa in funzione di urti incorrelati. Si ottiene percio, analogamente alla (13.3):

Se si accetta che gli urti siano gaussiani, allora anche i previsori hanno distribuzione normale, e si calcolano immediatamente intervalli di previsione sommando e sottraendo aHa previsione la quantita ka / 2 IJ

J + 'l/Ji + ... 'I/J;-l 1

dove k a / 2 e il quantile della normale standardizzata allivello a/2. La espressione della varianza permette anche di riconoscere come aumenta l'incertezza al crescere dell'orizzonte: il passare dall'orizzonte h a quello h + 1 comporta un aumento della varianza pari a (J21/J~. Nella applicazione pratica bisogna tener presente che noi disponiamo di osservazioni solo dall'istante 1 in poi, mentre i previsori (13.6) e (13.7) possono contenere tutte le osservazioni 0 gli urti precedenti al tempo t. Evidentemente si devono prevedere dati non noti, e quindi si assume come origine l'ultimo istante noto N, percio nel previsore X N (R) i dati ignoti precedenti al primo compaiono con il termine 1fP+NXO+1fP+N+IX-l + .... Poiche la serie dei 1fj e convergente, questo termine e in genere trascurabile. Analogo ragionamento potrebbe essere applicato alla espressione MA( (0) del tipo (13.6), nel caso che il processo sia stazionario e quindi la serie dei pesi 1/Jj sia convergente. Se invece si e effettuata una differenziazione, ai valori non noti Ck , k == 0, -1, -2, ... si sostituira la loro media pari a zero, oppure si adoperano lc forme alternative (13.5) e (13.7). Queste ultime devono essere applicate in modo iterativo, calcolando il previsore per orizzonte uno, con questo il previsore a orizzonte due, poi usando i risultati ottenuti il previsore a orizzonte tre, e cosi via fino ad arrivare all'orizzonte voluto. Supponiamo invece che si voglia prevedere il processo a un istante fissato nel futuro, e sia man mana possibile rilevare dati sempre pili recenti, cioe spostare l'origine verso il punto da prevedere: come cambia la previsione? Per fissare Ie idee sia T l'istante da prevedere. Partendo dall'origine N « T) il previsore si scrive:

Se invece veniamo a conoscere anche il dato al tempo N l'origine in avanti a N + 1 e prevedere il dato X T con:

+ 1, potremo spostare

13.2 Previsioni can modelli ARIMA

X N+1(T - N - 1) == 'lfJT-N-1 EN+1

261

+ 'lfJT-NEN + 'lfJT-N+1EN-1 + ...

== 'lfJT-N-1EN+1 + XN(T - N) .

La differenza tra i due previsori e:

In sostanza nel passare dall'origine N alla N + 1 il previsore si modifica sommando una frazione 'lfJT - N -1 dell'errore di previsione a orizzonte uno registrato al nuovo istante N + 1; la varianza (errore quadratico medio) di previsione diminuisce della quantita 'lfJ}-N -1 a 2 . Procediamo adesso a particolarizzare i risultati ad alcuni dei pili semplici modelli. Modello AR(l). Poiche ¢1 == 1f1 e 'lfJj == ¢j, mentre i OJ sono tutti nulli, la prima e la terza forma del previsore coincidono:

(13.8) e quella in forma integrata

e:

X t (-tIJ ) -_

~£ tp Et A

+ tp~£+1 Et-1 + ... A

La varianza di previsione risulta

e poiche I¢I < 1 cresce esponenzialmente con £ fino a a 2 / (1-¢2) Dalla (13.8) si ottiene per ricorrenza:

== Var(X t +£).

£ == 1,2, ... quindi la previsione per un AR( 1) e fornita dalle potenze successive del parametro moltiplicate per l'ultimo dato noto, e si avvicina esponenzialmente (alternando di segno se ¢ < 0, oppure con 10 stesso segno di X, se ¢ > 0) ana media non condizionata (pari a zero). Se la media e diversa da zero e uguale a u, il previsore diventa £ == 1,2, ...

Modello AR (p). Se indichiamo con X, (£) anche i valori gia realizzati estendendo la definizione per £ negativo: Xt(f) == Xt+£, f ~ 0, allora l'equazione (13.5) si puo scrivere: (13.9) e il previsore X, (£), considerato come funzione di £, soddisfa la stessa equazione alle differenze soddisfatta dalle autocorre1azioni, e presenta percio 10

262

13 Previsioni per processi stazionari

stesso andamento (per esempio per p == 2 e ¢2 < 0 puo seguire un andamento sinusoidale smorzato). Le condizioni iniziali che determinano la soluzione particolare dell'equazione alle differenze sono fornite dal fatto che i valori di Xt(R) per Rnegativo sono noti e dati dalle osservazioni e quindi Xt(l!) == Xt-I£I' R==-1,-2, ... ,-p. Modelli autoregressivi integrati ARIMA [p.d, 0). Per questi modelli Ie differenze d-me Z; == (1 - B)d X, seguono 10 schema autoregressivo e quindi i previsori di Zt+£ tendono esponenzialmente a ritornare sullo zero, conseguentemente il previsore di X t+£ tende ad assumere la forma (1 - B)d Xt(R) == 0 dove l'operatore B agisce sull'orizzonte I!; ricordando che

si ottiene, al crescere dell'orizzonte:

e quindi Xt(R) si disporra secondo un polinomio di grado d - 1 il cui andamento e determinato dai valori iniziali Xt-k, k == 1, ... ,d. Ad esempio, per un ARIMA(l, 1,0) con un trend, rappresentato da:

(1 - ¢B) (1 - B) X, ==

C

+ Ct

posta JL == c] (1 - ¢), il modello si puo scrivere:

I pesi

1f

sono:

1fo

== 1, 1fl == 1 + ¢,

1f2

== -¢ e quindi:

da cui, per le differenze tra previsori, si ha:

tenendo conto che Xt(O) == Xt, X t (- l ) == Xt-l. Ora, se scriviamo la precedente equazione per I! == 1,2, ... ,k e sommiamo si ottiene: k

Xt(k) - Xt - kJL == (Xt - Xt-l - JL)

L ¢£ £=1

da cui

13.2 Previsioni can modelli ARIMA

263

che al crescere di k si dispone secondo una retta di coefficiente angolare pari a u: Modelli a somma mobile MA(q). In questo caso i pesi ~j sono dati direttamente dai -()j, e quindi si annullano per j > q. Pertanto Xt(R) == 0 per R > q, cioe il condizionamento ai dati passati non ha effetto se l'orizzonte supera l'ordine q. Per esempio per un MA(l) otteniamo X t (l ) == -()Et, X t (2) == 0 e cosl via, ed in genere conveniente calcolare le previsioni basandosi sulle stime degli urti. Modelli a somma mobile integrati A RIMA (O,d,q). Poiche Ie differenze (1B)d X, seguono un modello a somma mobile di ordine q, per orizzonti maggiori di q avremo (1 - B)d Xt(f) == 0, quindi la forma polinomiale di grado d - 1, che si raggiungeva asintoticamente nel caso autoregressivo, qui si raggiunge esattamente per R > q. Un caso particolarmente rilevante si ha per il modello

e

ARIMA(O, 1, 1):

Xt

-

X t - 1 ==

ct - ()ct-1 .

Scrivendolo per l'istante t + R e prendendo le medie condizionate, ricordando che E(Ct+flxt) == 0 se f > 0, avremo:

Pertanto le previsioni per tutti gli orizzonti sono costanti. Questo modello si comporta in modo particolare nell'aggiornamento delle previsioni. Poiche X t- 1(f) == Xt-1 - ()Et-1 e Xt(f) == Xt - ()Et, tenendo conto anche che Xt == Xt-1 + Et - ()Et-1 si ha:

quindi l'aggiornamento nel passare dalla origine t - 1 alla origine t avviene sommando una quota (1 - B) dell'errore di previsione osservato. Be vogliamo esprimere il previsore in funzione dei dati possiamo calcolare i pesi 7fj del polinomio II(B) == q>(B)8(B)-1, scrivendo q>(B) == 8(B)II(B) ed eguagliando i coefficienti di pari grado in B: poiche in questo caso q>(B) == 1 - B e 8(B) == 1 - BB si ha:

1 - B == (1 - ()B) (1 - 7f1B - 7f2B2 - ...) da cui

-1 == -B

o == ()7fj-1 Ne segue che

7f1

termini di grado 1 in B

-7f1

== 1 - (),

7fj 7fj

> 1 in B .

termini di grado j

== ()7fj-1 == ... == (1 -

())()j-1

Xt(R) == X t (l ) == (1 - ())Xt + (1 - ())()Xt-1 + (1 -

e dalla (13.7):

())()2 Xt_2

+ ...

II previsore e una media con pesi esponenziali (la somma dei pesi e pari a uno) delle osservazioni precedenti. Questa forma corrisponde al modello detto

264

13 Previsioni per processi stazionari

di livellamento esponenziale (exponential smoothing, 0 anche EWMA) che riprenderemo anche nel seguito. Modelli misti ARIMA(p, d, q). II comportamento del previsore e essenzialmente determinato, al crescere dell'orizzonte, dalla struttura autoregressiva, con l'eccezione dei previsori per i primi q orizzonti, sui quali incide anche la parte a somma mobile. Ad esempio per un ARMA(I, 1) il previsore a orizzonte uno e mentre per gli orizzonti da due in poi si riprende l'andamento esponenziale tipico dell'AR( 1): Se il processo eintegrato si avra anche in questo caso la convergenza all'andamento di fondo a seconda del grado di differenziazione. Segnaliamo la proprieta che per i modelli integrati (d > 0) la espressione (13.7) che descrive il previsore come combinazione lineare dei dati precedenti (e previsori per orizzonti inferiori) e sempre una media esatta, poiche la somma dei pesi 7rj e pari a uno. Infatti II(B) == q>(B)8(B)-1 e se q>(B) contiene un fattore (1 - B)d ha radici unitarie, percio q>(I) == O. Ne segue:

L7rj == 00

II(I) ==

1-7r1-7r2 -

...

== 0

=?

1.

j=1

Serie trasformate. Se la serie viene sottoposta alla trasformazione di potenza di Box e Cox (paragrafo 10.5): Yt =

~(x~ a

1)

allora il modello ARMA sara costruito sui dati trasformati {Yt} e anche la previsione si riferira alla stessa serie, ovvero, con i metodi qui illustrati si otterranno i valori Yt (£). Per ritornare alle previsioni espresse in funzione delle osservazioni originali si puo applicare aIle previsioni la trasformazione inversa:

Anche se questo e il metodo pili naturale, e stato dimostrato (Guerrero, 1993) che si ottiene cosi un previsore distorto, come e facilmente comprensibile perche se f(x) non e lineare allora E{f(X)} i- f{E(X)}. E stata anche proposta la forma corretta seguente:

dove f3

Yt(£).

== a£1{II a+Yt(£)} e a£ e10 scostamento quadratico medio del previsore

13.2 Previsioni can modelli ARIMA

265

L Fig. 13.1. Previsioni per la serie D di Box e Jenkins can un modello AR(l)

Esempio 13.1. 0 ltre a calcolare il valore numerico delle previsioni, risulta spesso chiarificatore disegnare un grafico in cui, assieme agli ultimi valori noti della serie, vengono riportate le previsioni con l'origine posta nell'ultimo dato conosciuto, e orizzonte crescente. Assieme al valore del previsore viene riportato l'intervallo di confidenza a livello 0.95 (a volte a livelli inferiori), ottenuto sommando e sottraendo alla previsione k O.025 volte il suo scarto quadratico medio, il che permette di valutare graficamente l'incertezza delle previsioni. Nella Fig. 13.1 sono riportate le previsioni effettuate con un modello AR(l) sulla serie D di Box e Jenkins (1970), relativa alla viscosita in un processo chimico. Come si vede, il previsore tende rapidamente alla media della serie. Notiamo la considerevole ampiezza dell'intervallo di confidenza, determinato dalla capacita esplicativa relativamente modesta del modello (R2 pari a circa 0.7). Nella Fig. seguente 13.2 sono riportate le previsioni per i consumi di acqua registrati a New York, anni 1898-1968. Ana serie e adattato un modello ARIMA(O, 1,3) incompleto:

(1 - B)Xt == 2.23 + Et

- 0.36Et-3

e si vede che dopo i primi tre orizzonti le previsioni si dispongono secondo una retta di coefficiente angolare pari a 2.23. I grafici delle figure 13.3a e 13.3b riportano le previsioni effettuate sulla serie C di Box e Jenkins (1970) effettuate con i due modelli alternativi identificati da questi autori, un ARIMA(l, 1,0) e un ARIMA(O, 2, 2) come si vede i risultati sono molto simili. Nella Fig. 13.4 compaiono le previsioni per la serie delle macchie solari, che presenta una pseudo-periodicita con un ciclo di 10-11 anni. Si e adattato un AR(2) e le previsioni mostrano l'andamento sinusoidale smorzato. Infine nella Fig. 13.5 e riportata la serie, anch'essa presa spesso come riferimento, dei passeggeri su

266

13 Previsioni per processi stazionari

/ Fig. 13.2. Previsioni per la serie del consumo idrico a New York con un modelIo J\ftI11J\(O,1,3)

(a)

(b)

Fig. 13.3. Previsioni per la serie C di Box e Jenkins. (a) modelIo AftI11A(l,l,O) (b) modelIo AftIMA(O,2,2)

linee aeree internazionali rilevati mensilmente dal 1949 al 1960 (serie G di Box e Jenkins, 1970), che presenta forte trend e stagionalita, ed eben adattata da un modello ARIMA(O, 1, 1) x (0,1,1)12:

(1 - B)(l - B 12)Xt == (1 - 0.4B)(1 - 0.61B 12 ) Et

.

Le previsioni seguono sia I'andamento crescente sia le caratteristiche stagionali della serie.

13.3 Previsioni con metodi adattivi La previsione con modelli della classe ARIMA e attualmente la procedura avanzata pili diffusa per la previsione di serie temporali univariate nelle situazioni in cui si disponga di una sufficiente capacita di analisi statistica e

13.3 Previsioni can metodi adattivi

toO tot t04 to6 to3 tlO tlt t14

us

tl3 ttO

ttt tt4

ns m

t30 tU tH t36

m

t40 t4t t44 t46 t43

m m

ts4

rss m

HO t6t H4

267

tss H3 m

Fig. 13.4. Previsioni per la serie delle macchie solari can un modello AR(2)

Fig. 13.5. Previsioni per la serie dei passeggeri delle linee aeree can un modello ARIMA(O, 1, 1) x (0,1,1)12

computazionale, e non siano disponibili conoscenze a priori 0 teorie sul fenomeno esaminato, che guidino la scelta verso modelli con maggior contenuto interpretativo. Nel caso che non si verifichino queste due condizioni, sono ovviamente disponibili altri metodi di previsione statistica, tra i quali vedremo alcuni esempi particolarmente rilevanti: esamineremo in particolare alcuni metodi detti adattivi (exponential smoothing, Holt-Winters) che sono caratterizzati da scmplicita e immediatezza di uso e sono suscettibili di applicazione automatica e routinaria, anche se la loro precisione non e in genere comparabile con gli ARIMA. Parleremo anche dei modelli cosiddetti strutturali (Harvey,

268

13 Previsioni per processi stazionari

1990), che possono essere considerati come una sintesi risultante dall'applicazione della teoria economica e degli sviluppi dei processi aleatori. Vedremo anche come in realta questi modelli possano essere considerati sostanzialmente come particolarizzazioni degli ARIMA. I metodi di tipo adattivo (0 perequativo) sono adeguati quando sia necessaria una previsione per la Quale la rapidita e facilita di calcolo sono elemento pili importante dell'accuratezza. Un esempio e la gestione di un magazzino di parti di ricambio in cui si debbano prevedere i livelli di centinaia 0 migliaia di articoli, a orizzonte breve e frequentemente (Granger, 1980). La logica che viene seguita in questi metodi e che esiste un livello medio da prevedere, che esso puo essere occasionalmente rna lentamente variabile, e che per seguirne I'evoluzione si utilizzano le informazioni pili recenti combinandole linearmente con i dati storici. In altri termini, cia che si prevede e un livello stabile e costante per la serie (che quindi e valido per ogni orizzonte) e all'arrivo di ogni nuovo dato l'informazione viene compenetrata con le precedenti, che sono sintetizzate dalla previsione stessa. Siano (Xl, X2, ... , XN) i dati, e P N la previsione effettuata usando i dati fino all' N -mo, e che e valida per tutti gli istanti successivi, quindi per ogni orizzonte k la previsione risulta X N (k) == PN , k == 1,2, .... Nel momento in cui si viene a conoscere il dato XN+I, la previsione viene modificata combinando linearmente la previsione precedente PN con il nuovo dato XN+I: PN+I

==

aXN+I

+ (1 -

(13.10)

a)PN

dove a e un coefficiente compreso tra 0 e 1 il cui valore bilancia l'importanza dell'andamento storico con quello della informazione pili recente. Questo metodo viene chiamato livellamento esponenziale (exponential smoothing) e permette l'aggiornamento iterativo della previsione, adattandola alla evoluzione della serie man mana che essa viene rilevata. Sostituendo nella (13.10) successivamente PN == aXN + (1 - a)PN-I, PN-I == aXN-I + (1 - a)PN-2 e cost via, si ottiene: PN+I

==

aXN+I

+ a(l

- a)xN

+ a(l - a)2 x N_ I + ... + a(l - a)kxN+I_k + (1 -

a)k+lpN_k .

Al crescere di k, il termine (1 - a )k+l tende a zero e possiamo quindi scrivere (sostituendo taN + 1 per omogeneita rispetto ai paragrafi precedenti)

L (1 00

Pt

==

aXt

+ a(l -

a)Xt-1

+ ... + a(l -

a)kxt_k

+ ... == a

a)kxt_k .

k=O

La formula precedente esprime la previsione come media aritmetica ponderata dei dati fino all'origine con pesi pari alle potenze successive di (I-a) (il fattore a enecessario perche ela somma dei pesi sia uno). Per questo motivo il metoda viene chiamato anche EWMA (media mobile ponderata esponenzialmente).

13.3 Previsioni con metodi adattivi

269

Se consideriamo un orizzonte unitario, l'errore di previsione si scrive et == e la previsione (13.10) puo essere scritta in funzione dell'errore di previsione ponendo Xt+1 == et + Pt: Xt+1 - Pt

Pt+l

== Pt + aet

che mostra come la previsione evolva aggiustandosi con una proporzione a dell'errore di previsione appena questo e rilevato. La procedura dipende dalla scelta del parametro di livellamento a: un valore di a vicino a zero indica che i dati pili recenti hanno una influenza limitata rispetto al com plesso delle informazioni storiche, e quindi la previsione si adatta lentamente ad eventuali cambiamenti nel comportamento della serie. Valori di a pili vicini a uno indicano invece una minore inerzia e una maggiore velocita nell'incorporare in Pt le informazioni pili recenti, poiche i pesi a(1 a)k decrescono pili rapidamente. La scelta del valore di a puo essere effettuata con metodi statistici, ad esempio scegliendolo in modo da rendere minimo l'errore quadratico medio di previsione osservato su un tratto iniziale della serie. Tuttavia spesso, e in coerenza con Ie caratteristiche di semplicita e immediatezza di questo metodo di previsione, a viene scelto empiricamente sulla base di considerazioni a priori sulla rapidita di evoluzione della serie. La gamma di valori pili usati va da 0.3 a 0.7. E necessario anche scegliere un valore iniziale per innescare la procedura iterativa, si pone di solito PI == Xl, e l'effetto del valore iniziale tende a scomparire al crescere di t. Come abbiamo visto al paragrafo precedente, la previsione effettuata con il metodo dell'exponential smoothing coincide con il previsore di un modello a somma mobile del primo ordine integrato ARIMA(O, 1, 1) con parametro () == (1 - a). Ne possiamo dedurre che questo metodo ha la proprieta di previsore lineare ottimo se applicato a un processo ARIMA(O, 1, 1), e in tal caso il valore da attribuire al coefficiente di livellamento e determinato dalla stima del parametro a somma mobile. Se la serie proviene invece da processi di struttura diversa, questo metodo non fornisce le previsioni lineari a errore quadratico medio minimo. La impostazione adattiva estata estesa anche per trattare serie che presentano trend e/o stagionalita, portando a un metodo di previsione pili articolato, riferito generalmente ai nomi di Holt e Winters. Nel caso si vogliano prevedere serie con trend rna senza stagionalita la previsione e effettuata secondo una retta che origina al livello medio, iii, previsto sostanzialmente come prima, e cresce secondo un coefficiente angolare c il cui valore eanch'esso costantemente aggiornato: (13.11)

e

Per calcolare il livello medio iii, si usa una equazione analoga al caso precedente: se si conoscono i dati fino al tempo t - 1, la previsione per l'istante t sara mt-l + Ct-l, come dalla (13.11). Questo valore viene ponderato con il dato Xt quando questo viene rilevato, e la combinazione lineare fornisce la nuova previsione del livello medio:

270

13 Previsioni per processi stazionari mt == aXt

+ (1 -

a)(mt-l

+ Ct-l)

.

(13.12a)

A sua volta, anche la stima (0 previsione) della pendenza c; viene adeguata ai valori osservati man mana che se ne viene a conoscenza: all'arrivo del dato t-mo il coefficiente angolare puo essere aggiornato, usando come valutazione corrente la differenza tra i due livelli medi attuale e precedente: iii, - iiu..« (che e l'inclinazione del segmento congiungente iii; a mt-l poiche la loro distanza in termini temporali e pari a uno): (13.12b) Le (13.12a) e (13.12b) permettono l'aggiornamento congiunto dei parametri della retta (13.11) che costituisce la previsione con il metodo di Holt e Winters. Qui i coefficienti di livellamento da scegliere sono due: a e (3, che riguardano separatamente il livello e la pendenza, e per la scelta dei quali si possono ripetere considerazioni analoghe al caso precedente. La effettiva costruzione delle previsioni avviene in modo iterativo, basandosi su valori iniziali di m2 e C2 che potrebbero essere posti semplicemente uguali ai primi dati: m2 == X2, C2 == X2 - Xl, oppure stimati adattando una retta a un sottoinsieme di dati iniziali. E stato dimostrato che il previsore generato dalla (13.11) risulta ottimo nel senso dell'errore quadratico medio di previsione se la serie proviene da un modello ARIMA(O, 2, 2). Una ulteriore estensione permette di tener conto della stagionalita, considerando una previsione che segue una retta con termini correttivi additivi (0 anche moltiplicativi) di natura stagionale. Supponiamo per fissare le idee che la serie sia rilevata mensilmente: allora oltre al livello medio iii; e al coefficiente angolare Ct, costantemente aggiornati, si calcolano anche dodici pesi stagionali Sj (uno per ogni mese) e ciascuno di essi viene aggiornato quando si osserva un dato del relativo mese. La previsione basata sui dati fino al tempo t si scrive: Xt(f)

==

mt

+ Ct f + St(f)

dove St(f) e l'ultimo peso stagionale calcolato relativo al mese analogo a t + f: quindi St(f) == St+£-l2 se 1 :::; f :::; 12, St(f) == St+£-24 se 13 :::; f :::; 24 e cosi via. Vediamo adesso gli aggiornamenti: le equazioni per il livello e la pendenza rimangono sostanzialmente analoghe, anche se nel calcolare il livello si deve eliminare I'effetto della variazione stagionale, e quindi come informazione corrente si usera il dato Xt dopo avergli sottratto la pili recente stima del peso stagionale, cioe St-l2:

+ (1 - a)(mt-l + Ct-l) Ct == (3(mt - mt-l) + (1 - (3)Ct-l .

iii; == a(Xt -

St-l2)

E necessario anche aggiornare i pesi

stagionali, attraverso una combinazione line are del valore precedente St-l2 con la valutazione derivante dalla osservazione al tempo t: essa puo essere assunta pari alla differenza tra il dato effettivo x, e illivello medio tru:

13.4 Previsioni con modelli strutturali

271

Fig. 13.6. Serie rappresentata da un modello ARIMA(l,l,O). Confronto tra previsioni Holt- Winters (linea continua) e previsioni ARIMA (linea tratteggiata)

Le tre equazioni permettono il calcolo iterativo delle previsioni evolvendo le valutazioni del livello medio, della pendenza e delle variazioni stagionali. In questo caso devono essere scelte tre costanti di livellamento, a, (3, r, e per avviare la ricorsione e necessario inizializzare sia iii; sia c-, sia avere dodici pesi iniziali 81, ... ,812 che possono essere stimati su un tratto iniziale della serie.

Esempio 13.2. Consideriamo una serie con trend crescente, ben rappresentata da un modello ARIMA(l, 1,0): (1 - 0.8B)(1 - B)Xt

== 0.03 + ct

e costruiamo le previsioni (ad orizzonte crescente fino a 20) sia con il modello ARIMA (linea tratteggiata) sia con il metodo di Holt e Winters dato dalla (13.11) (linea continua). Come si vede nella Fig. 13.6, il metodo adattivo ha estrapolato una retta con pendenza sostanzialmente determinata dagli ultimi dati, mentre Ie previsioni ARIMA si dispongono rapidamente su una retta il cui coefficiente angolare edeterminato dai parametri del modello (e 0.03/(10.8) == 3/20) che risentono del comportamento dell'intero insieme dei dati.

13.4 Previsioni con modelli strutturali Presentiamo qui una esposizione sommaria della problematica dei modelli strutturali che trovano largo uso negli studi economici, il cui sviluppo sta-

272

13 Previsioni per processi stazionari

tistico e dovuto principalmente ad Harvey, ai cui contributi si rimanda per approfondimenti (Harvey, 1990). La genesi di tali modelli e da farsi risalire alla controversia, che per molti anni ha acceso un appassionato dibattito in campo economico ed econometrico, tra previsioni basate solo sui dati, e quindi costruite secondo procedimenti statistico-probabilistici poggiati su un insieme minimo di ipotesi (come la impostazione ARMA), e procedimenti che fanno invece affidamento su assunzioni pili precise relative all'andamento dei fenomeni, originate dalla teoria economica. I modelli strutturali rappresentano un tentativo di sintesi, poiche si fondano su assunzioni precise relative aIle determinanti del fenomeno, rna incorporano anche componenti aleatorie definite in modo formale e probabilisticamente corretto, che permettono un trattamento inquadrabile nel solco della metodologia che abbiamo fin qui tracciato. Si vedra ben presto, peraltro, che i modelli strutturali si rivelano sostanzialmente particolari modelli ARIMA, e quindi la impostazione strutturale puo esser riguardata come una particolare forma di identificazione del model10 ARIMA, basata su una teoria a priori piuttosto che sulle proprieta stimate della serie analizzata. A seconda della natura e dell'andamento delle determinanti ipotizzate per il fenomeno {Xt } , si distinguono vari tipi di modelli strutturali, tra i quali accenniamo ai pili semplici. Madella a livello locale. II fenomeno tende a disporsi secondo un livello costante, rna soggetto a variazioni casuali, e i valori rilevati risentono anche di ulteriori componenti accidentali. Possiamo scrivere:

J-Lt ==

J-Lt-l

+ TIt

dove {Et} ed {TIt} sono due processi rumore bianco, indipendenti e con varianza rispettivamente e a~, illoro rapporto a~ (detto rapporto segnale-errore) indica in un certo senso la persistenza dellivello locale, poiche se esso e piccolo allora i valori degli TIt sono trascurabili, J-Lt ~ J-Lt-l e il processo oscilla attorno a un livello costante, mentre se e molto grande allora gli Et sono trascurabili, X; ~ J-Lt e il processo tende a comportarsi come una passeggiata aleatoria. Se consideriamo le differenze prime Zt == X; - X t - 1 otteniamo:

a;

Zt

/a;

== (1 - B)Xt == (1 - B)J-Lt + (1 - B)Et == TIt + Et -

Et-l .

Data l'indipendenza tra {TIt} ed {Et} si ottiene facilmente:

Pertanto l'autocorrelazione si annulIa oltre il ritardo 1, e il processo ha la struttura di una ARIMA(O, 1, 1). Pili precisamente, possiamo dire che, dato un processo che segue un modello strutturale a livello locale, esiste un processo ARIMA(O, 1, 1) che ha le medesime autocorrelazioni (e quindi i medesimi

13.4 Previsioni con modelli strutturali

273

previsori lineari). Notiamo pero che non tutti i processi ARIMA(O, 1, 1) sono interpretabili come modelli strutturali a livello locale, poiche, qualunque siano a; e a~, si avra sempre

che corrisponde a valori del parametro () della somma mobile compresi tra zero e uno, rna non negativi. Percio la classe dei modelli strutturali a livello locale corrisponde a una sottoclasse degli ARIMA (0, 1,1). Madella a trend lineare locale. In questo caso supponiamo che il livello medio abbia una tendenza misurata da una inclinazione che subisce anch'essa variazioni aleatorie. Quindi sempre X, == ILt + e, rna il livello ILt subisce un incremento: ILt == ILt-1 + Ct + T/t

e l'incremento stesso

e guidato da un Ct

==

processo markoviano:

Ct -1

+ (t

.

Si assume che {ft}, {T/t} e {(t} siano processi rumore bianco indipendenti tra loro. Anche in questo caso si puo pervenire a un'espressione complessiva per {Xt}, detta forma ridotta, considerando le differenze seconde: W t == (1 B)2 Infatti:

x..

Wt == (1 - B)2 X t == (1 - B)2 ILt

+ (1 -

B)2 f t ==

== (1 - B)Ct + (1 - B)T/t + (1 - B)2 f t == == (t + (1 - B)T/t + (1 - B)2 ct . Si verifica facilmente che il processo {Wt } ha autocorrelazioni nulle per ritardi maggiori di due, pertanto {X t } ha la struttura correlativa di un processo ARIMA(O, 2, 2). Anche in questo caso i processi ARIMA(O, 2, 2) che corrispondono a modelli con trend locale sono un sottoinsieme di tutti quelli invertibili, poiche per qualunque scelta di a;, a~, a~ si puo dimostrare che valgono sempre Ie condizioni -2/3 < r(1) < 0 e 0 < r(2) < 1/6. Madella strutturale di base (BSM). Oltre alle componenti precedenti, si prende in considerazione anche la stagionalita. Essa viene descritta attraverso pesi stagionali che vengono sommati a ciascun dato, come nel modello classico di decomposizione, rna supponiamo che anche la stagionalita risenta di perturbazioni aleatorie, percio se sommiamo i pesi relativi a un intero anna non si ottiene zero, rna un elemento di un processo rumore bianco: se anche qui supponiamo la rilevazione mensile, il processo e descritto da:

X t ==

/-Lt

+ St + ft

274

13 Previsioni per processi stazionari

dove, come prima, ttt

== ttt-l + Ct + T)t

Ct

==

Ct-l

+ (t

e per le stagionalita: St

dove

+ St-l + ... + St-ll == Vt

eun

rumore bianco indipendente da {Et}, {T)t} e {(t}. Notiamo che 12)St; B)Vt == (1 - B si giunge alla forma ridotta applicando simultaneamente Ie differenze prime e dodicesime. Posto {Vt}

Vt - Vt-l

== s, - St-12, ovvero (1 -

Wt == (1 - B)(l - B 12 )X t == X t

-

X t-

1-

X t-

12

+ X t - 13

otteniamo: Wt == (1 -

B 12)Xt ==

B)(l -

== (1 - B)(1 - B 12 )JLt + (1 - B)(1 - B 12 ) St + (1 - B)(1 - B 12 )Et == == (1 - B 12 ) (Ct + T)t) + (1 - B)2 Vt + (1 - B)(l - B 12 )Et . Tenendo conto che

ct

(1 - B

12

== Ct-l )Ct

+ (t

== Ct -

segue

Ct-12 == (t

+ (t-l + ... + (t-ll

.

Si deduceche W t e espresso come combinazione lineare di rumori bianchi con ritardo massimo 13, pertanto la sua autocorrelazione sara nulla per ritardi maggiori di 13. In conclusione Wt == (1- B)(l- B 12)Xt ha la struttura correlativa di un MA(13). Anche qui, non tutti i MA(13) invertibili corrispondono a modelli BSM, poiche per questi ultimi, quali che siano le varianze degli urti, valgono Ie condizioni r(h) > 0, h == 2,3, ... ,11, r(12) < 0, r(13) > 0, proprieta che comportano una restrizione sui valori dei parametri e. II modello implicato non e quindi moltiplicativo, tuttavia si puo argomentare (Harvey, 1990, p. 73) che non e molto diverso da un modello "airline" (0,1,1) x (0,1,1)12 almeno quando a~ e a~ sono piccole. Una ulteriore estensione dei modelli strutturali e la possibile introduzione di una componente ciclica; inoltre e possibile aggiungere facilmente l'effetto di altre variabili se si ritiene che possano influenzare il fenomeno, in una logica analoga a quella dei modelli a funzione di trasferimento. Osserviamo infine che nella forma strutturale Ie equazioni descrivono generalmente le componenti come processi markoviani, e cio rende questi modelli particolarmente adatti al trattamento nello spazio degli stati, che introdurremo nel prossimo paragrafo.

13.5 La previsione nello spazio degli stati e il filtro di Kalman Abbiamo visto in precedenza come un processo discreto in tempo discreto, rna non markoviano, puo essere rappresentato come una catena di Markov

13.5 Spazio degli stati e filtro di Kalman

275

ampliando il concetto di stato della catena, fino a indicare non solo il valore corrente, rna anche valori passati del processo. La stessa logica puo essere estesa a processi con valori continui, cercando di individuare un vettore di informazioni che sintetizzi, a ogni istante t, tutte le caratteristiche correnti del processo, di modo che il suo valore all'istante t + 1 dipenda solo da esse e da fattori da esse indipendenti. L'idea quindi e di pass are dal processo univariato {Xt } a un processo multivariato {at} che ingloba in se tutte Ie caratteristiche di {Xt}, e gode della propreta markoviana, di modo che at+1 e dato dalla combinazione lineare di at e di un termine aleatorio indipendente da at. Non possiamo pero ipotizzare di poter rilevare completamente il vettore di stato a a ogni istante, rna dobbiamo contentarci di pensare che quanto possiamo osservare, cioe Xi . sia solo una parte dell'intero stato at, e che possano eventualmente intervenire anche perturbazioni aleatorie nella osservazione. Percio ipotizziamo che il dato rilevato sia ottenuto da una combinazione lineare degli elementi del vettore di stato at, a cui si somma un disturbo aleatorio anch'esso indipendente da at e dalle precedenti osservazioni. Con queste assunzioni semplificatrici, rna che hanno il pregio della linearita, si formula 10 schema generale del modello nello spazio degli statio Sia at == (a1t,a2t, ... ,amt)' un vettore aleatorio am dimensioni, {''It} == {("l1 t, ... , "lkt)'} un rumore bianco vettoriale a k dimensioni con matrice di dispersione ETJ - il cui elemento alla riga i e colonna j e Cov{ "lit,"ljt} -, sia {Et} un rumore bianco (univariato) indipendente da {''It} e siano infine Tuna matrice m x m, R una matrice m x k, H un vettore 1 x m, tutti costanti. II modello nello spazio degli stati consta di una equazione di transizione che descrive 10 stato al tempo t in funzione lineare del suo valore precedente e del rumore bianco {''It}: (13.13) e una equazione di misura che specifica la relazione tra l'osservazione e 10 stato: (13.14) X t == H at + Et . Si verifica facilmente che il processo degli stati {at} e markoviano, e questo comporta una serie di conseguenze notevoli per Ie sue caratteristiche. Se aggiungiamo le ipotesi di distribuzione normale, diventa relativamente facile calcolare i previsori come media condizionata. In realta, sulla base di una serie storica osservata, non e possibile calcolare Ie previsioni della serie, senza effettuare previsioni (ovvero stime) anche dello stato, perche questo, come gia detto, non e osservabile. Kalman (1960) ha sviluppato una procedura iterativa per calcolare le previsioni (della serie e dello stato) in modo che ricorsivamente, man mana che si rilevano nuovi dati, esse possano esser facilmente aggiustate; con una procedura di questo tipo e anche possibile stimare i parametri del modello (matrici T, H, E TJ, e a;) e anche ricostruire dati mancanti all'interno della serie, come verra accennato alla fine di questo paragrafo. II complesso di queste procedure va sotto il nome di jiltro di Kalman, e adesso ne esporremo sommariamente

276

13 Previsioni per processi stazionari

alcuni elementi. Una esposizione pili completa e articolata si puo trovare ad esempio in Harvey (1990). L' assunzione di partenza e la norrnalita dei dati, che implica la linearita delle medie condizionate, e quindi la possibilita di applicare il risultato fondamentale della teoria della previsione (il previsore ottimo e dato dalla media condizionata della variabile da prevedere dato l'insieme di informazioni a disposizione) anche alle equazioni di transizione e di misura. Ovviamente, se applicati a processi non gaussiani, i risultati avranno ottimalita limitata solo alla classe delle procedure basate su combinazioni lineari. Avvertiamo che la teoria dei modelli nello spazio degli stati e del filtro di Kalman e sviluppabile in un contesto di pili ampia dimensione, in cui 10 stesso processo osservabile {Xt } puo essere multivariato, mentre qui verra trattato i1 caso pili semplice in cui la equazione di misura e scalare. Un'altra possibile estensione prevede che le matrici di costanti T, H, R varino anch'esse con il tempo t. Nell'andare a considerare le medie condizionate, si deve sempre ricordare che anche 10 stato at e una variabile non osservata, e quindi la sua media condizionata non degenera rna rimane una variabile aleatoria con dispersione strettamente positiva anche data l'osservazione al tempo t. Useremo la notazione comune nell'ambito del filtro di Kalman che e pero lievemente diversa da quella usata finora. In cio che segue va sempre ricordato che at e un vettore. Se supponiamo di prendere come origine l'istante t, e indichiamo sempre con x' == (Xt , X t - 1 , X t - 2 , ... ) l'insieme delle variabili gia realizzate e osservate, per effettuare previsioni sara necessario considerare 10 stato at+l e la sua distribuzione condizionata a x', che data la normalita sara una combinazione lineare delle X t - j , j == 0,1, ... e quindi normale (multivariata) anch'essa: indicheremo con at+llt la sua media: t} at+llt == E{ at+lIX . L'errore quadratico medio di previsione dello stato sara dato dalla matrice di dispersione del vettore degli errori at+ 1 - at+11t che e uguale alla dispersione della distribuzione condizionata di at+l dato x', e viene indicata con Pt+llt:

Pt+1l t == V ar{ at+lIXt} . La previsione del dato X t + 1 puo essere ricavata subito prendendo la media condizionata nella (13.14):

X t(1) == H at+llt .

e

L'errore di previsione dunque et+l == X t+ 1 - X, (1) == X t+ 1 - H at+llt, la sua media e nulla e la sua varianza si puo scrivere (ricordando l'indipendenza tra le X e Ie E):

St+l == E{(Xt+1

-

Hat+ljt)2Ixt} ==

== E{[Et+l + H(at+l - at+llt)]2Ix t} == == H Pt+11tH' + 0'2

13.5 Spazio degli stati e filtro di Kalman

dove

== 0-2

0-

2

e la

277

varianza del disturbo casuale nella equazione di misura: E(E;)

(2).

II valore della stato al tempo t + 1 e determinato dal disturbo 7]t+l, che e imprevedibile poiche non dipende da x-, e dallo stato precedente at, che non e "osservato" rna possiamo prevedere (0, se si vuole, stimare) condizionandolo ai dati a disposizione: in questo modo, passando dalla tappa intermedia della stima della stato corrente, possiamo sperare di semplificare la procedura previsiva: in realta questa si rivela I'idea chiave del filtro di Kalman. La distribuzione di at condizionata a x' e anch'essa normale, ne indichiamo la media con a(t) e la matrice di varianze e covarianze con P(t). II legame tra queste quantita e le precedenti si ricava facilmente prendendo la media condizionata su ambo i membri di at+1 == Tat + RT/t+l:

Pt+l/t == TP(t)T' + RETJR' .

at+Ilt == Ta(t)

(13.15)

Cercheremo ora di costruire una procedura ricorsiva per la previsione del10 stato, esprimendo il previsore at+Ilt in funzione del previsore al tempo precedente atlt-I' Cia e possibile perche atlt-I == E{ at IX t - l } si puo legare linearmente ad a(t) == E{atIXt} attraverso il condizionamento ulteriore al dato Xt. Infatti, poiche X t == (X t - I , Xt) possiamo scrivere:

Ricaveremo ora questa media partendo dal considerare la distribuzione congiunta di at e X, condizionata a xt-I. Per far questo scriviamo:

at == atlt-I

+ (at

X t == Hatlt-I

- atlt-I)

+ H(at

- atlt-I)

+ Et

dove at e X, sono espresse come combinazione lineare delle due variabili at/t-I e (at - atlt-I)' Ora, condizionando a Xt-I, la atlt-I e una costante, mentre at - atlt-I e normale con media zero e matrice di dispersione Ptlt- I . Ne segue che la distribuzione condizionata di (at, X t ) e normale multipla con medie atlt-I e H atlt-I, e varianze e covarianze date da:

Var(atl x t- I) == Pt1t- 1 Var(XtIX t- l ) == Vori Hcx; Cov( at, X, \X t -

I

)

+ Etl x

t- I )

==

HPtlt-IH'

== E{ (at - atlt-I) [(at - atlt-I)' H' == Pt1t-IH' .

+ 0-2

+ Et] Ixt - I }

Ora, ricordiamo la regola delle variabili gaussiane condizionate: la distribuzione di (AlB == b) e normale con media e varianza date da: 2

Si faccia attenzione che nel nostro caso Ie St, pur essendo espresse con la Iettera maiuscola (per uniformita con Ia notazione pili diffusa) sono scalari e non matrici.

278

13 Previsioni per processi stazionari

E(AIB == b) == E(A)

+ Cov(A, B)Var(B)-l{b -

E(B)}

Var(AIB == b) == Var(A) - Cov(A, B)Var(B)-lCov(B, A) . Identificando A con atlXt-l e B con XtlXt-lsi ottiene:

E(atl x t) == E(atI X t- l )+

+ Cov(at, XtlX t- l )Var(Xt IX t- l )-l{Xt -

E(Xt IX t- l)}

Var(atI X t) == Var(atI X t- l)- Cov(at, XtlX t- l )Var(Xt IX t- l )-lCov(Xt, atI X t- l) da cui:

+ Ptlt-lH'(HPtlt-lH' + a 2)-1(Xt - Hatlt-l) == Pt1t- l - Ptlt-lH'(HPtlt-lH' + a 2)- 1HPt1t- l .

a(t) == atlt-l P(t)

Usando la definizione dell'errore di previsione che abbiamo introdotto:

si puo anche scrivere:

a(t) == atlt-l

+ Ptlt-lH' S;let

P(t) == Ptlt-l - Ptlt-lH' s;' H Pt1t- l

(13.16)

e infine, utilizzando lc (13.15) che forniscono at+llt in funzione di a(t), si ottengono Ie formule ricorsive del filtro di Kalman:

at+llt == Tatlt-l

+ T Ptlt-lH' S;let

Pt+ll t == T(Pt1t- l - Ptlt-lH' s;' H Pt1t-l)T' + RErJR' . La ricorsione viene generalmente scritta in funzione della matrice K, detta guadagno di Kalman: diventando:

at+llt == Tatlt-l + Kie, Pt+l 1t == T Ptlt-lT' - KtStK~ + RErJR'

(13.17)

che illustra come Ia previsione per 10 stato si modifica in funzione lineare dell'errore di previsione della serie et. Possiamo calcolare facilmente anche le previsioni per orizzonte f > 1 a partire dall'origine t. Infatti scrivendo la equazione di transizione (13.13) per l'istante t + f e condizionando a X t otteniamo: (13.18)

13.5 Spazio degli stati e filtro di Kalman

279

che comporta un errore di previsione at+£ - at+£lt == T(at+£-l - at+£-llt) RrJt+£, da cui per la varianza di previsione:

+

(13.19) Applicando ripetutamente queste relazioni si ottengono Ie quantita espresse in funzione dei previsori a orizzonte unitario: £-1

at+£lt == T £- l at+llt ,

n

Ft+£lt

n (T')£-l == T£-l Ft+1lt

+ '""'" ~ TjR" LiTJ R'(T')j j=O

con TO == I. Le corrispondenti previsioni per i dati si calcolano di conseguenza applicando la media condizionata alla equazione di misura (13.14):

Xt(R) == Hat+£lt == HT£-lat+llt V ar{ x, (R)} == H Pt+£ltH' £-1

== HT£-l Pt+l1t(T')£-1 H'

+L

HTj RETJR'(T')j H'.

(13.20)

j=O

In conclusione con un modello nello spazio degIi stati la previsione puo avvenire ricorsivamente, con aggiornamento ogni volta che si viene a conoscere un nuovo dato: sono pero necessari valori iniziali alia e PliO, oppure quelli non condizionati a(O) e P(O), rna se il processo e stazionario la loro influenza diminuisce progressivamente allo scorrere del tempo. Passiamo ora a discutere il problema di come utilizzare la impostazione nello spazio degli stati per costruire Ie previsioni relative ai modelli che abbiamo introdotto, si tratta cioe di esprimerli nello spazio degli statio Per i modelli strutturali questa operazione non presenta in genere grandi difficolta, dato che la loro forma e gia di tipo markoviano. In particolare, il modello a livello locale:

J-Lt == J-Lt -1

- .

rJt

e gia direttamente nella forma richiesta identifica__ido 10 stato ponendo T == 1, R == 1 e H == 1. II modello con trend lineare locale:

X t == J-Lt

+ Et

;

J-Lt == J-Lt -1

+ Ct + rJt

;

Ct

e caratterizzato

==

Ct-1

at

con J-Lt e

+ (t

a ogni istante, oItre che daI Iivello medio J.Lt, anche dalla pendenza, percio il suo stato li comprende entrambi: at == (J-Lt, Ct)'. Inoltre il vettore dei disturbi dello stato dovra contenere sia gli rJt sia gli (t: rJt == (rJt, (t)'. Percio l' equazione di transizione si puo scrivere:

[1 1] [J-Lt - 1] + [rJt](t

== [ J-Lt] Ct 01

Ct-l

280

13 Previsioni per processi stazionari

mentre l'equazione di misura risulta:

Percio i parametri risultano: H==[10]

[~n

R=I=

.

Infine, il modello strutturale di base (BSM) contiene le stagionalita, quindi 10 stato deve comprendere, oltre a !-Lt e a Ct, anche il coefficiente stagionale St. Ma questo dipende dai coefficienti precedenti, poiche, sempre considerando rilevazioni mensili, si assume che

+ St-I + St-2 + ... + St-II == Vt

St

.

Dunque s, dipende dagli undici coefficienti precedenti St-I, ... ,St-II, non solo dall'immediato precedente come avviene per !-Lt e per Ct. Ne deduciamo che 10 stato deve comprendere (almeno) undici coefficienti stagionali consecutivi. Se poniamo possiamo scrivere le equazioni strutturali nel modo seguente: 1 1 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 0 0 -1-1-1 ... 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ...

!-Lt

Ct St St-I

000

St-IO

0

0

1

0 0 -1 0 0

!-Lt-I

(t

St-I

Vt

+

St-2

0

r]t

Ct-I

St-II

che rappresenta l'equazione di transizione ponendo

Inoltre, poiche X t ==

!-Lt

+ St + ct,

l'equazione di misura risulta: !-Lt

Ct St

X, == [1 0 1 0

0]

St-I

St-IO

Pertanto i parametri sono R == I e

+ ct

.

0

o

13.5 Spazio degli stati e filtro di Kalman

H==[1010

0];T==

11000 01000 o 0 -1 -1 -1 00100 0 0 0 1 0 ... 000

0

0

1

281

0 0 -1 0 0 0

Pili complicato e meno intuitivo e porre un modello ARIMA nella forma dello spazio degli stati: si possono proporre svariati metodi di procedere, che portano a rappresentazioni diverse. Per un modello puramente autoregressivo AR(p) e abbastanza naturale pensare che 10 stato comprenda p osservazioni consecutive: at ==

(Xt,Xt-l, ... ,Xt-p+l)'

e tenendo conto che X, == cPIXt-l + cP2Xt-2 + ... + cPpXt- p + ct si puo scrivere

cPl cP2 ...... cPP 1 0 0 0 0 1 0 ... 0

Xt X t- 1 X t- 2 X t- p+ 1

0 0 0

e l'equazione di misura

X t- 1 X t- 2 X t- 3

x.;

1 0

+

ct 0 0 0

e senza errore:

x,

Xt X t- 1 ==

[1 0 0 ... 0]

Xt-

2

Ma per i modelli misti 0 a somma mobile la costruzione non e cosl semplice, e si pone il problema, tra le molte possibilita, di scegliere la pili conveniente, che e ritenuta quella che ha 10 stato di dimensione minima. La questione e piuttosto complessa e legata alla estensione della "memoria" del processo. Un risultato importante (dovuto ad Akaike, 1974) che descriveremo pili in dettaglio e il seguente: un processo ARMA(p, q) puo essere rappresentato nello spazio degli stati con uno stato di dimensione max(p, q + 1) le cui componenti sono l' osservazione e i previsori a orizzonte crescente. In sostanza significa che i previsori di orizzonte da uno fino a max(p, q + 1)-1, insieme col dato corrente, racchiudono in se l'intero insieme di informazioni del passato che concorre a determinare le caratteristiche del processo a un certo istante. Supponiamo per semplicita che sia p 2: q + 1, in caso contrario ampliamo l'ordine autoregressivo aggiungendo parametri cPj uguali a zero, fino ad avere p == q + 1, e consideriamo il processo depurato dalla media Zt == X, - f-L e la sua rappresentazione di Wold:

282

13 Previsioni per processi stazionari 00

z, ==

L hkct-k k=O

II previsore a orizzonte f si puo scrivere come nella (13.1): Zt(f) == E {Zt+RIZ

t}

00

== L hR+uct-u u=O

Inoltre abbiamo gia visto la relazione tra i previsori dello stesso dato basati su origini successive:

Zt+l (f - 1) == E {Zt+RIZ

t+1}

00

00

== L hR+u- 1ct+l-u == hR-1ct+l + L hR+kct-k u=O

dove si

k=O

e cambiato l'indice di sommatoria ponendo k == u -

1. Ne segue (13.21 )

formula valida per ogni f > 1, e anche per f == 1 se poniamo Zt+ 1 (0) == Zt+ 1. Questa relazione puo essere utilizzata per la transizione da uno stato al successivo, rna ogni previsore e espresso in funzione di quello precedente con orizzonte superiore; per il previsore del pili grande orizzonte considerato e invece necessaria una formula che 10 esprima in funzione degli orizzonti inferiori. A questo fine viene in aiuto l'ipotesi che sia P > q, e quindi il previsore a orizzonte P segue, come sappiamo dalla (13.9), 10 schema autoregressivo: p

Zt(p) == LcPjZt(p-j). j=1 Sostituendo nella (13.21) scritta per f == p si ottiene: p

Zt+l(P - 1) == Zt(p)

+ hp- 1ct+l == L

j=1

cPjZt(p - j)+hp- 1ct+l .

In conclusione possiamo considerare 10 stato

e scrivere l'equazione di transizione:

Zt+l Zt+l (1) Zt+l (2) Zt+l(P - 2) Zt+l(P - 1)

0 0 0

1

0

0 0

1

0 0

0

1

0 0 0

0 0 0 o ... 1 cPP cPp-l cPp-2 ...... cPl

x

13.5 Spazio degli stati e filtro di Kalman

x

1

Zt Zt(l) Zt(2)

hI h2

+

Zt(p - 2) Zt(p - 1) Ovviamente l'equazione di misura

283

Et+l .

hp - 2 hp - l

e immediata, e senza errore:

Zt == (1,0,0, ... ,O)at . Pertanto i parametri di questa rappresentazione risultano: H == [1 0 . . . 0] R == [ 1 hI h2

T==

o o o

0 0

o

0

1

o

0

1

0

o 0

cPP cPp-l cPp-2

1

0

. . .

hp -

l ]'

o o o 1

cPl

e l'errore della stato e 'T/t = Et di dimensione uno. Abbiamo accennato come il filtro di Kalman possa essere di aiuto anche nella stima dei parametri: esso in particolare permette di calcolare, sotto l'ipotesi di normalita, la verosimiglianza dei dati, e quindi di applicare algoritmi di ottimizzazione per massimizzarla rispetto ai parametri. Se indichiamo genericamente con () l'insieme dei parametri, la verosimiglianza degli N dati (Xl, X2, ... , XN) si pUO scrivere:

L(Xl, X2,···, xNI()) == L(Xll())L(X21(), xl)L(X31(), Xl, X2) ... x x L(Xt+ll(), xt) ... L(XN I(), x N-1) dove come sempre x' == (Xl,X2, ... ,Xt). Ora, sotto l'ipotesi di norrnalita, L(xt+ll(), xt) e la densita di una gaussiana con media E(Xt+lIX t) == H at+llt e varianza St+l == H Pt+l1tH' + a 2 e quindi e uguale a:

Ne segue che la log-verosimiglianza dei dati si puo scrivere:

I parametri () sono naturalmente contenuti nelle quantita et e St, che possono essere calcolate rapidamente in modo ricorsivo con il filtro di Kalman; gli stimatori che si ottengono rendendo massima (con metodi numerici) la logverosimiglianza rispetto a () godono delle proprieta degli stimatori di massima

284

13 Previsioni per processi stazionari

verosimiglianza, inoltre questa impostazione si rivela particolarmente utile nell' ottica bayesiana. La logica del filtro di Kalman permette di calcolare abbastanza facilmente la distribuzione dello stato at condizionata non solo alle informazioni fino al tempo t - 1 oppure t, rna anche all'intero insieme di informazioni x N . Questa procedura (chiamata smoothing) puo essere utilizzata per ricostruire dati mancanti, 0 anche nella identificazione di dati anomali. In conclusione, possiamo dire che la rappresentazione nella spazio degli stati e l'utilizzo del filtro di Kalman costituiscono una impostazione alternativa alla modellistica tradizionale che trae la ragion d'essere dall'esigenza di previsioni "on line" 0 "in tempo reale" , rna puo fornire vantaggi anche in termini di stima 0 di ricostruzione di dati mancanti, a prezzo di una maggiore complicazione computazionale e a volte di una minore immediatezza interpretativa; i pregi di questa impostazione si apprezzano soprattutto quando si affronta 10 studio di processi multivariati.

13.6 La combinazione delle previsioni Abbiamo visto come sia possibile seguire diverse strade per costruire le previsioni, adattando modelli diversi. Tutti i metodi che abbiamo preso in considerazione assicurano la non distorsione delle previsioni, nel senso che sotto le adeguate ipotesi la media dell'errore di previsione e nulla. Per misurarne le prestazioni, e anche come criterio guida nella costruzione stessa dei previsori, abbiamo adottato l'errore quadratico medio che e largamente accettato come il criterio pili adeguato (anche se in alcuni casi, sempre pili rari, si fa ricorso all'errore medio assoluto). Pertanto i vari metodi di previsione possono essere confrontati in base al lora errore quadratico medio, e sembrerebbe naturale scegliere il metoda di previsione che assicura l'errore quadratico medio pili piccolo. A questo proposito sono pero rilevanti due osservazioni: prima di tutto, l'errore quadratico medio di un metodo non puo che venire stimato, e in genere questa stima e proprio un risultato del metoda stesso, percio la sua affidabilita (e quindi la distorsione, che potrebbe anche risultare verso il basso invece che verso l'alto) e legata alla bonta del metodo, che e proprio cia che si vuole misurare. Inoltre l'errore quadratico medio e una misura globale di efficacia del metodo, rna non edetto che nella concreta applicazione per costruire lc previsioni a un'origine fissata t, un metoda anche non ottimale non possa fornire una prestazione migliore di un altro che in teoria e migliore. Va segnalato infine che la nostra valutazione e affidata solo all'errore di previsione a orizzonte uno (previsione del dato immediatamente successivo all' origine della previsione), e l' ordinamento che essa induce sui metodi di previsione non e detto si mantenga uguale se dovessimo andare a considerare le previsioni a orizzonti pili am pi.

13.6 La combinazione delle previsioni

285

Per tutti questi motivi, molti autori (si veda ad esempio Granger, 1980) prendono in considerazione la possibilita di eseguire previsioni combinate, utilizzando pili metodi simultaneamente. Questa idea puo essere sviluppata in modo semplice, considerando la combinazione lineare dei previsori. Supponiamo di porci all'origine t e di dover prevedere il dato successivo X t + 1 , e di disporre di due previsori diversi, costruiti secondo metodi differenti, che indicheremo con F; e G t , non distorti. Se poniamo ep(t) == X t + 1 - Fi ed ec(t) == X t + 1 - G t , si ha E{ep(t)} == E{ec(t)} == O. Indichiamo con (J} == E{ ep(t)2} e (J~ == E{ ec(t)2} gli errori quadratici medi di previsione. Consideriamo la combinazione lineare convessa di F; e C, con coefficiente p: Ct == pFt + (1 - p)G t . Ovviamente C, e un previsore non distorto poiche E {ec (t)} == E {pep(t) (1 - p)ec (t)} == 0 e il suo errore quadratico medio di previsione e: (J~ ==

E{ec(t)2}

==

+

p2(J} + (1- p)2(J~ + 2p(1- p)E{ep(t)ec(t)} .

II valore ottimale di p e quello che rende minima questa quantita, e si ottiene facilmente derivando rispetto aped eguagliando a zero:

p*

== {(J~

- ,}/{(J} + (J~ - 2,}

dove si e indicata la covarianza con, == E{ ep(t)ec(t)}. Si noti che se la covarianza tra F; e G, e positiva, il valore ottimo p* puo risultare minore di zero, poiche puo accadere che E{ep(t)ec(t)} > (J~, mentre il denominatore di p* e sempre positivo essendo pari alla varianza di (Ft - G t ) . Analogamente, p* puo essere maggiore di uno. Sostituendo il valore ottimo di p* nel previsore combinato si ottiene la combinazione ottimale C;: il suo errore quadratico medio e:

E { ec* (t )

2} _ a}(ab - ,)2 -

,2

+ ab(a} - ,)2 + 2,(a} ((J~ + (Jb - 2,)2

,)(ab - r) _ -

(J~(Jb (J} + (J~ - 2, .

Si puo dimostrare che pertanto la varianza dell'errore del previsore combinato non e superiore alla pili piccola delle varianze dei previsori di partenza (3), quindi l'operazione di combinazione sarebbe sempre conveniente. Tuttavia va osservato che il coefficiente p* non puo essere determinato con precisione, poiche dipende dagli 3

Infatti ad esempio

E{eF(t)2} - E{ec* (t)2} == a} - (a}a~ - ,2)j(a} + a~ - 2,)

== (a} - ,)2 j(a} + a~ - 2,) ~ 0 e analogamente E{ ec(t)2} ~ E{ e~* (t)}.

286

13 Previsioni per processi stazionari

,

'I

,

,1

1

..', 'I

............ ............

;1

.:,

.'

; .'

.'

-,

,,

I

I

I ,,

I

I

.;

,I

,I

..."

'/,

"

,,'

'I

I--dati ----- previs. Arima ...._... previs. Holt-Winters - - previs. combinato I

Fig. 13.7. Combinazione delle previsioni ottenute con un modello ARMA e con il metodo di Holt-Winters

errori quadratici medi di previsione che sono incogniti, percio possiamo solo stimare il valore di p*, e non e assicurato, ne si puo affermare sulla base dei soli dati, che il risultante previsore combinato sia effettivamente migliore. Pertanto l'uso dei previsori combinati deve essere valutato in dipendenza della qualita delle stime degli errori quadratici medi.

Esempio 13.3. Abbiamo simulato una serie generata dal modena

(1 - 0.6B)(1 - B)Xt ==

Et .

Abbiamo calcolato previsioni a orizzonte uno e per origme crescente sia con il previsore ARIMA correttamente identificato e stimato sia col metodo Holt-Winters. La Fig. 13.7 riporta i risultati: la serie, Ie previsioni ARIMA e quelle del livellamento esponenziale di Holt-Winters. L'errore quadratico medio stimato su 20 previsioni e a} == 0.94 per l'ARIMA, ab == 1.20 per 10 Holt-Winters, mentre la covarianza osservata tra i previsori e 0.437. Pertanto possiamo stimare il coefficiente della combinazione p* == 0.603 e costruire il previsore combinato, ottenuto sommando a 0.603 volte il previsore ARIMA 0.397 volte il previsore Holt-Winters. Anche i risultati di questo previsore sono riportati nella Fig. 13.7, e si vede che presentano una prestazione leggermente migliore delle componenti, confermata anche dall'errore quadratico medio osservato che e 0.74.

14 Previsioni per catene di Markov e processi di punti

Si prende in considerazione la problematica della previsione puntuale per le catene di Markov, basata sulle distribuzioni di probabilita degli stati futuri, e poi il caso dei processi di punti, per i quali il problema previsivo si presenta con caratteristiche peculiari.

14.1 Previsioni nelle catene di Markov La particolare struttura delle catene di Markov, dovuta alla proprieta markoviana e allo spazio degli stati discreto, rende particolarmente agevole il compito della previsione, permettendo di valutare la distribuzione di probabilita delle variabili che generano i valori futuri della catena. Consideriamo una catena finita con m stati numerati da 1 a m, e supponiamo come sempre di aver osservato il processo negli istanti da t ~ 1 a t ~ N, e siano (Xl, X2, ... , X N) i valori rilevati: inoltre indichiamo per brevita con XN ~ k 10 stato in cui la catena si trova all'ultimo istante nota N. II valore che il processo assumera nell'istante immediatamente successivo, X N + I , ha una distribuzione di probabilita che dipende solo dal valore assunto per t ~ N, cioe XN ~ k, e si scrive

La distribuzione di probabilita (Plk' P2k, ... ,Pmk) (detta distribuzione predittiva) determina percio completamente le proprieta del valore futuro X N + I ed essa puo essere sintetizzata dagli usuali indici statistici (ad esempio la moda, oppure si puo calcolare 10 stato "medio" se la numerazione data agli stati e significativa; se ne possono calcolare anche misure di variabilita 0 mutabilita). E facile anche calcolare la distribuzione di probabilita dei valori successivi, usando le equazioni di Chapman e Kolmogorov:

288

14 Previsioni per catene di Markov e processi di punti

m

m

== L Pr {X N +2 == i IXN + 1 == j} Pr {X N + 1 == j IXN == k} == LPijPjk j=1

j=1

che sono gli elementi della matrice t». Analogamente, la distribuzione di probabilita del processo dopo s istanti dall'ultimo noto e data dalla colonna relativa allo stato k della matrice P", Al crescere dell'orizzonte s, come sappiamo, le colonne di P" convergono al vettore delle probabilita di equilibrio 1r e quindi la distribuzione predittiva converge alla distribuzione ergodica: lim Pr{XN +s == i

s---+oo

IXN == k} == Pr{X == i} == 1ri

.

Dal punto di vista della applicazione pratica, le quantita Pij e 1ri devono essere stimate usando i risultati del paragrafo 12.1 e quindi basandosi sulle stime

== nij/nj,

Pij

irj == nj/N

dove nij e il numero delle volte che si osserva un passaggio dallo stato j allo stato i nella serie osservata. Nel valutare i risultati si terra conto della variabilita di questi stimatori, la cui varianza e covarianza possono essere stimate come segue:

Una misura sintetica dell'errore di previsione puo essere calcolata usando un indice di dissomiglianza tra la distribuzione prevista e quella effettiva:

o,

== L. E (Pik - Pik)2 == L. Var (Pik) 1,

=

1,

L i Pik(l - Pik)/( N 1fk) = = N~k (1- L i P7k) .

Questa misura dipende dallo stato di origine k, un indice complessivo si ottiene se ne prendiamo la media con lc probabilita di equilibrio 1rk:

Naturalmente anche questa misura dipende dalle probabilita vere, e puo essere stimata usando Ie probabilita stimate

pOij.

Come si vede, queste mi-

sure coincidono con gli indici di eterogeneita delle distribuzioni condizionate Pr(X N + 1/XN ) . Percio maggiore e la incertezza nella transizione della catena, minore anche la precisione delle stime e la qualita complessiva della previsione.

e

14.2 Previsione per processi di punti

289

Esempio 14.1. Ritorniamo allo studio della piovosita a Tel Aviv, per il quale abbiamo gia stimato la matrice di transizione:

p

== [0.75 0.338] 0.25 0.662

dove il primo stato si riferisce al tempo asciutto, e il secondo alla pioggia. La stima delle probabilita di equilibrio e data dall'autovettore di P associato alla radice caratteristica 1, cioe, come abbiamo gia visto, (0.575,0.425). Se conosciamo il tempo fino a oggi, e oggi e asciutto, la distribuzione del tempo per domani si stima con Pr(asciutto)== 0.75, Pr(pioggia)== 0.25. Se invece oggi piove, la previsione per domani sara Pr(asciutto)== 0.338, Pr(pioggia)== 0.662. L'entropia relativa delle due distribuzioni ( - EPi log Pi diviso il suo massimo, quindi -(P1logPl + P210gp2)/ log 2) e circa 0.81 per la prima e 0.92 per la seconda. Se consideriamo l'orizzonte due (cioe il tempo di dopodomani) Ie distribuzioni di probabilita (colonne di p 2) diventano (0.647,0.353) in caso di oggi asciutto, e (0.478,0.522) in caso di oggi pioggia. L'entropia aumenta rispettivamente a 0.90 e 0.96. Per le previsioni del terzo giorno successivo (colonne di p 3 ) le distribuzioni diventano rispettivamente (0.605,0.395) e (0.535,0.465). Come sappiamo queste distribuzioni tendono a divenire somiglianti e uguali a quella di equilibrio, e gia a orizzonte 6 la differenza si avverte solo alla terza cifra decimale: cia significa che la conoscenza del tempo fino a 506 giorni prima non ha praticamente influenza (secondo il nostro modello) nel determinare la tendenza alla pioggia. Naturalmente in modo analogo e con ovvie modificazioni si possono calcolare le probabilita che si verifichino specifici eventi di interesse, come la probabilita che non piova per k giorni, 0 l'attesa media per un giorno di pioggia. Eventi di questo tipo hanno speciale interesse quando tra gli stati ve ne sono di riflettenti (0 assorbenti) che rivestono un particolare significato, come nel caso delle dighe.

14.2 Previsione per processi di punti II tema della previsione per i processi di punti presenta aspetti pili delicati e problematici rispetto alle serie temporali, determinati essenzialmente dalla diversa risposta che in questo campo si richiede a una previsione: non solo e non tanto infer ire I'intensita con cui un fenomeno si manifestcra, rna anche fare affermazioni sul se e quando quel fenomeno si vcrifichera, Con questa premessa, osserviamo che l'oggetto della previsione da un lato puo riferirsi al numero di eventi, e dall'altro riguardare i tempi di attesa tra un evento e il successivo. La scelta tra questi due sviluppi viene fatta generalmente dipendere dalla frequenza media degli eventi in rapporto alla scala temporale sulla quale avviene la previsione. Se l'orizzonte di previsione e grande rispetto alla intensit.a, di modo che il numero atteso di eventi neH'orizzonte

290

14 Previsioni per catene di Markov e processi di punti

e elevato, si preferisce spesso considerare come grandezza da prevedere il numero di eventi. Se invece il rapporto e opposto, di modo che per intervalli di lunghezza commensurabile con l'orizzonte ci si puo attendere che non si realizzino eventi, 0 al pili sono uno 0 due, allora e pili opportuno prendere in considerazione le previsioni relative alIa variabile "tempo fino al prossimo evento". Per chiarire con un esempio, se si parla di incidenti automobilistici in una determinata zona 0 arteria, e vogliamo costruire previsioni pluriennali, si considerera il numero annuale di incidenti. Se il nostro orizzonte e invece pili ravvicinato, dell'ordine ad esempio di giorni, si preferira impostare il problema con riferimento alIa domanda "quando avverra il prossimo incidente?" . Le due impostazioni portano a percorsi metodologici completamente diversi. Infatti nel primo caso, se seguiamo il numero di eventi su un intervallo di tempo sufficientemente ampio, si viene a determinare una successione di variabili che puo essere assimilata a un processo a parametro discreto, al quaIe si puo applicare, con Ie dovute cautele, la teoria della previsione lineare. Pili precisamente, consideriamo il numero di eventi che si verificano in intervalli di tempo di lunghezza m, indicando come prima con N(s, t) il numero di eventi occorsi tra set, e partendo dal tempo zero poniamo Zl == N(O, m), Z2 == N(m, 2m), Z3 == N(2m, 3m) e cost via. Ad esempio nel caso di un processo di Poisson omogeneo Ie Zj hanno una distribuzione di Poisson di parametro Am, e sono indipendenti, in situazioni pili articolate invece potranno essere autocorrelate; inoltre se Am non e troppo piccolo, si puo assumere che abbiano una distribuzione non troppo dissimile dalla gaussiana, e possiamo allora applicare la teoria della previsione lineare direttamente al processo {Zt, t == 0,1, ...}, sviluppando modelli del tipo di quelli esposti nel capitolo precedente. Tuttavia questa impostazione fornisce risposta solo a una parte delle esigenze previsive che possono sorgere di fronte a un processo di punti, soprattutto a que llc relative alIa conoscenza di tipo strutturale, alle tendenze di lungo periodo. E spesso necessario, in aggiunta, esaminare andamenti di pili breve periodo, e, ponendosi su un orizzonte rispetto al Quale gli eventi sono rari, esercitare una attivita di natura previsiva anche sulla localizzazione nel futuro dell'istante a cui si verifichera il prossimo evento. E generalmente questa l'ottica pili rilevante quando i processi di punti vengono adoperati per schematizzare situazioni eccezionali, come piene, uragani, e terremoti. Quest'ultimo argomento, la previsione dei terremoti, costituisce un tema molto importante e trattato approfonditamente nella letteratura probabilistica e statistica, una interessante e autorevole introduzione si trova in VereJones (1995). In tutti questi casi, per motivi comprensibili, I'intensita viene anche chiamata rischio. II problema pili ovvio e naturale in quest'ottica si puo schematizzare come segue: fissato un istante t come origine della previsione, e supposto di conoscere tutti gli istanti ai quali si sono verificati eventi prima di t, vogliamo fare affermazioni sul prossimo evento. E abbastanza evidente che dovremo abbandonare il quadro di riferimento della stima puntuale, poiche qualunque

14.2 Previsione per processi di punti

291

inferenza del tipo "il prossimo evento si verifica all'istante s" ha generalmente probabilita nulla. II problema viene a volte affrontato ricorrendo alla ricerca di indicatori anticipatori (leading indicators), cioe fenomeni diversi che hanno la caratteristica di verificarsi in anticipo rispetto a quello studiato. Questa tecnica ha trovato un largo impiego in economia (per maggiori informazioni, si veda ad esempio Granger, 1980) per prevedere le crisi congiunturali, rna in molti campi indicatori anticipatori non esistono 0 sono poco affidabili (per esempio nel caso dei terremoti). Quello che si puo tentare e invece una valutazione della distribuzione di probabilita della variabile aleatoria "tempo di attesa tra t e il prossimo evento", basata sull'insieme delle conoscenze disponibili fino al tempo t. A questo fine ci basiamo sul concetto di iniensiti: condizionata 0 rischio condizionato r(t) definito da: r(t)dt == Pr{Evento in(t, t + dt)IIt } dove, come sempre, It

e l'insieme delle informazioni disponibili fino al tempo

t. Se indichiamo con T* la variabile "tempo di attesa tra t e il primo evento dopo t" , la sua distribuzione condizionata si ottiene facilmente: Pr {T*

> ulld = Pr {N(t, t + u) = OIId = exp {

-l

u

r;(x)dx }

dove r;(x)dx == Pr{Evento in (t + x, t + x + dx)IIt , N(t, t + x) == O} e la valutazione di r; (x) puo porre qualche difficolta, tuttavia nel caso in cui sia stata assunta una forma analitica per il rischio condizionato, essa puo essere usata anche per approssimare r;(x) ponendo r;(x) ~ r(t + x). Nel caso del processo di Poisson omogeneo evidentemente il rischio e costante ed uguale a A, percio la variabile T* ha distribuzione esponenziale di parametro A qualunque sia l'origine: l'equivalenza tra il processo di Poisson e il rumore bianco si conferma anche in questo caso, portando a previsioni condizionate uguali a que llc incondizionate. Nei casi di maggior interesse applicativo si cerca invece di stimare il rischio in funzione del tempo e condizionatamente alla storia passata del processo. Un modo di procedere semplificato e quello di supporre che l'intensita sia variabile lentamente nel tempo, e quindi r(t) viene stimato con l'intensita media relativa al passato pili recente, del tipo

f(t) == N(t - s, t)j s scegliendo s sufficientemente grande in funzione della stabilita della stima. Se si dispone di rilevazioni contemporanee di pili fenomeni connessi, il rischio puo essere anche stimato in funzione di questi attraverso un modello di regressione (eventualmente generalizzato). C'e poi da considerare l'aspetto del condizionamento, cioe l'effetto della storia passata sulla intensita, Da questo punto di vista sono stati proposti

292

14 Previsioni per catene di Markov e processi di punti

Fig. 14.1. Numero annuale di terremoti di magnitudo superiore a 7, dal 1900 al 1998

diversi andamenti teorici che in genere vengono motivati dalla natura del fenomeno considerato. Ad esempio, a volte e adeguato ipotizzare che l'intcnsita cresca al crescere del tempo trascorso dall'ultimo evento. In alternativa, nella studio dei terremoti e usato il modello di Hawkes in cui si suppone invece che ogni evento produca un effetto di incremento dell'intensita media nel periodo successivo. Questo sembrerebbe in contraddizione con l'ipotesi precedente, rna non 10 perche bisogna considerare che spes so una scossa principa1e seguita da un certo numero di scosse secondarie. Be indichiamo con tl, t2, ... , t-. gli eventi verificatisi tra 0 e t, i due schemi portano alla seguente forma per i rischi:

e

e

r(t) r(t)

==

a +
==

a + g(t - tl)

+ g(t - t2) + ... + g(t - tn)

dove