Probleme de algebra

IOAN PURDEA COSMIN PELEA ˘ PROBLEME DE ALGEBRA Edit¸ia a II-a rev˘azut˘a ¸si completat˘a 2007 Cuprins Prefat¸˘ a ...

Author: Ioan Purdea | Cosmin Pelea

45 downloads 1029 Views 2MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

IOAN PURDEA

COSMIN PELEA

˘ PROBLEME DE ALGEBRA

Edit¸ia a II-a rev˘azut˘a ¸si completat˘a

2007

Cuprins Prefat¸˘ a

I

ENUNT ¸ URI

1 Relat¸ii. Funct¸ii

i

1 3

2 Grupoizi. Semigrupuri. Grupuri

29

3 Inele ¸si corpuri

55

4 Semigrupuri ¸si inele de fract¸ii

69

5 Divizibilitatea ˆın monoizi comutativi cu simplificare ¸si ˆın domenii de integritate

73

6 Spat¸ii vectoriale

79

7 Corpuri comutative. Teoria lui Galois

99

II

˘ SOLUT ¸ II, INDICAT ¸ II ¸si RASPUNSURI

103

1 Relat¸ii. Funct¸ii

105

2 Grupoizi. Semigrupuri. Grupuri

149

3 Inele ¸si corpuri

189

4 Semigrupuri ¸si inele de fract¸ii

223

5 Divizibilitatea ˆın monoizi comutativi cu simplificare ¸si ˆın domenii de integritate

229

6 Spat¸ii vectoriale

243

7 Corpuri comutative. Teoria lui Galois

279

Bibliografie

293

CUPRINS Index

297

Prefat¸˘ a Aceast˘a culegere de probleme urmeaz˘a structura cursului ,,Algebr˘ a” de Ioan Purdea ¸si Ioana Pop ([34]), ap˘arut ˆın 2003 la Editura GIL, Zal˘au, ¸si are la baz˘a activitatea ¸si experient¸a celor doi autori, a unuia de peste 45 de ani, iar a celuilalt de aproape 10 ani, ˆın predarea algebrei la Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a a Universit˘a¸tii ,,Babe¸s-Bolyai” din Cluj Napoca, precum ¸si lect¸iile ¸tinute de ace¸stia pentru profesorii de matematic˘a din gimnaziu ¸si liceu la cursurile de perfect¸ionare ˆın specialitate. Lucrarea de fat¸˘a se adreseaz˘a student¸ilor de la sect¸iile de matematic˘a, informatic˘a, matematic˘a ¸si informatic˘a. matematic˘a ¸si fizic˘a, fizic˘a, precum ¸si student¸ilor din ˆınv˘a¸t˘amˆantul tehnic ¸si economic. De asemenea, se adreseaz˘a profesorilor de matematic˘a pentru preg˘atirea examenului de definitivat ˆın ˆınv˘a¸t˘amˆant, a examenului de gradul II ¸si a concursului de ocupare a catedrelor vacante. ˆIn bogatul material din aceast˘a carte se g˘asesc probleme care pot fi abordate cu succes ¸si de c˘atre elevii de liceu. Lucrarea are dou˘a p˘art¸i: prima cuprinde enunt¸urile problemelor ¸si, acolo unde este necesar, unele preciz˘ari de natur˘a teoretic˘a, iar partea a doua cuprinde solut¸ii, indicat¸ii ¸si r˘aspunsuri. Cele peste 830 de probleme sunt distribuite ˆın 7 capitole, acelea¸si capitole ca cele din cursul ment¸ionat, ¸si este urm˘arit˘a succesiunea paragrafelor din fiecare capitol al cursului. Pentru toate problemele cu grad mediu sau sporit de dificultate am prezentat ˆın cea de a doua parte fie solut¸ia complet˘a, fie am furnizat indicat¸ii am˘anunt¸ite pentru rezolvarea lor. Mult¸umim colegilor Rodica Covaci, Septimiu Crivei ¸si Simion Breaz pentru ajutorul acordat la preg˘atirea manuscrisului pentru tipar.

Autorii

i

ii

˘ PREFAT ¸A

Partea I ENUNT ¸ URI

1

Capitolul 1 Relat¸ii. Funct¸ii 1.1. Fie A o mult¸ime cu m elemente ¸si B o mult¸ime cu n elemente. S˘a se determine num˘arul: a) elementelor lui A × B; b) submult¸imilor lui A × B; c) relat¸iilor ˆıntre elementele lui A ¸si B. 1.2. Fie mult¸imile A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 2, 3, 4} ¸si relat¸iile binare (A, B, R1 ), (B, C, R2), (B, C, R3 ) cu graficele R1 = {(1, 3), (2, 3), (1, 2)}, R2 = {(3, 1), (1, 4), (3, 4)} ¸si R3 = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 3)}. S˘a se determine: a) relat¸ia universal˘a ˆıntre elementele mult¸imilor A ¸si B, complementara ei ¸si complementara relat¸iei (A, B, R1 ); b) reuniunea si intersect¸ia relat¸iilor (B, C, R2 ) ¸si (B, C, R3); c) relat¸iile (A, C, R2 ◦ R1 ) ¸si (B, B, R1 ◦ R2 ); −1

−1

−1

d) relat¸iile (B, A, R1 ), (C, B, R2 ), (C, A, R2 ◦ R1 ).

1.3. Fie ≤ relat¸ia de inegalitate ˆın R ¸si ≥ inversa sa. S˘a se reprezinte ˆıntr-un sistem de coordonate ortogonal graficul: a) relat¸iei ≤ ; b) relat¸iei ≥ ; c) intersect¸iei relat¸iilor ≤ ¸si ≥ ; d) reuniunii relat¸iilor ≤ ¸si ≥ ; e) complementarei relat¸iei ≤ . 1.4. Fie < relat¸ia de inegalitate strict˘a ˆın N. S˘a se determine relat¸iile <2 , <3 ¸si produsele (compusele) < ◦ > , > ◦ < .

Dac˘ a A ¸si B sunt mult¸imi fixate atunci, adesea, o relat¸ie (binar˘ a) ρ = (A, B, R) ˆıntre elementele mult¸imilor A ¸si B se identific˘ a cu graficul s˘ au R.

1.5. Fie ρ graficul unei relat¸ii ˆıntre numere reale. S˘a se indice transformarea geo−1 −1 metric˘a ce ne conduce de la ρ la ρ . S˘a se construiasc˘a ρ0 ˆın cazul ˆın care √ ρ0 = {(x, y) ∈ R2 | y = 3 x}. 1.6. Fie R1 , R2 ⊆ A × B. S˘a se arate c˘a −1

−1

R1 = R2 ⇔ R1 = R2 . 3

4

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.7. Fie ρij ⊆ Rn × Rn (i, j = 1, . . . , n) relat¸iile definite astfel: (a1 , . . . , an )ρij (b1 , . . . , bn ) ⇔ a1 + · · · + ai = b1 + · · · + bj . S˘a se determine relat¸iile ρi =

n \

ρij (i = 1, . . . , n), ρ =

j=1

n \

′

ρii ¸si ρ =

i=1

n \

ρij .

i,j=1

1.8. Fie R, S, T ¸si Rk (k ∈ N∗ ) relat¸iile definite ˆın N astfel: mRn ⇔ m|n (m divide pe n); mSn ⇔ m < n; mRk n ⇔ |m − n| = k.

S˘a se determine R2 , S ◦ R, T 2 , R ◦ Rk , Rk ◦ R, Rk ◦ S, S ◦ Rk , Rk ◦ R1 . 1.9. Fie C[a, b] = {f : [a, b] → R | f este continu˘a} ¸si ρ1 , ρ2 , ρ3 relat¸iile definite pe C[a, b] prin: f ρ1 g ⇔ ∀x ∈ [a, b], f (x) ≤ g(x); f ρ2 g ⇔ f (a) = g(a), f (b) = g(b); f ρ3 g ⇔ ∀x ∈ [a, b], f (x) 6= g(x).

S˘a se determine ρ21 , ρ22 , ρ23 , ρ2 ◦ ρ1 , ρ3 ◦ ρ2 , ρ2 ◦ ρ3 .

1.10. Fie A = {1, 2, 3, 4} ¸si fie pe A relat¸iile R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (4, 4), (4, 3)}, S = {(2, 4), (3, 4), (1, 1)}, S ′ = {(4, 4), (1, 4)}. S˘a se determine relat¸iile (S ∩ S ′ ) ◦ R, (S ◦ R) ∩ (S ′ ◦ R), R ◦ (S ∩ S ′ ), (R ◦ S) ∩ (R ◦ S ′ ). 1.11. Fie mult¸imile A = {a1 , a2 , a3 , a4 }, B = {b1 , b2 , b3 , b4 , b5 }, X = {a2 , a4 }, Y = {b1 , b2 , b4 , b5 } ¸si R = {(a1 , b2 ), (a3 , b5 ), (a1 , b3 ), (a2 , b4 )} ⊆ A × B. S˘a se determine −1

−1

R(X), Rha2 i, R(Y ), Rhb5 i, pr1 R, pr2 R. 1.12. Fie ρ relat¸ia binar˘a definit˘a ˆın N astfel: mρn ⇔ m divide pe n. −1

S˘a se determine ρh1i, ρ ({4, 9}), pr1 ρ, pr2 ρ. 1.13. Fie ρ = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y 2 ≤ 1}. S˘a se determine ρh−1i, ρh0i, ρh1i, ρh2i, ρ([0, 1]), pr1 ρ, pr2 ρ. 1.14. Fie A, B ⊆ R, X ⊆ A, Y ⊆ B, ρ ⊆ A × B. S˘a se dea interpretarea geometric˘a −1 pentru fiecare dintre mult¸imile ρ(X), ρ (Y ), pr1 ρ, pr2 ρ. S˘a se analizeze cazurile particulare X = {x}, Y = {y}. 1.15. Fie A, B dou˘a mult¸imi, R ⊆ A × B ¸si X ⊆ A. S˘a se arate c˘a [ R(X) = Rhxi. x∈X

5 1.16. Fie A, B mult¸imi, R1 , R2 ⊆ A × B. S˘a se arate c˘a −1

−1

R1 = R2 ⇔ ∀x ∈ A, R1 hxi = R2 hxi ⇔ ∀y ∈ B, R1 hyi = R2 hyi. 1.17. Fie A, B mult¸imi, R ⊆ A × B, a ∈ A ¸si X ⊆ A. S˘a se arate c˘a: a) Rhai = 6 ∅ ⇔ a ∈ pr1 R; b) R(X) = R(X ∩ pr1 R); c) R(X) = ∅ ⇔ X ∩ pr1 R = ∅. 1 1 2 2 1.18. Fie ρ = {(x, y) ∈ R × R | x + y = 1}, X = −2, ¸si Y = − , 1 . S˘a se 2 2 determine ρ(X ∩ Y ) ¸si ρ(X) ∩ ρ(Y ). 1.19. Fie ρ = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y 2 = 1}, ρ′ = {(x, y) ∈ R × R | x > 2} ¸si X = [0, 3]. S˘a se determine (ρ ∩ ρ′ )(X) ¸si ρ(X) ∩ ρ′ (X). 1.20. Fie X = {z ∈ C | |z| = 1} ¸si ρ1 , ρ2 , ρ3 relat¸iile binare definite ˆın C astfel: z1 ρ1 z2 ⇔ |z1 | = |z2 |; z1 ρ2 z2 ⇔ arg z1 = arg z2 sau z1 = 0 = z2 ; z1 ρ3 z2 ⇔ z1 = z2 ,

(unde arg zi ¸si zi sunt argumentul redus, respectiv, conjugatul num˘arului complex zi (i = 1, 2)). S˘a se determine ρk (R), ρk (X) ¸si ρk hii (k = 1, 2, 3). 1.21. Fie A, B dou˘a mult¸imi, X, X ′ ⊆ A ¸si Y ⊆ B. S˘a se arate c˘a: −1

a) X × Y = Y × X; b) Y 6= ∅ ⇒ pr1 (X × Y ) = X; c) X 6= ∅ ⇒ pr2 (X × Y ) = Y ; d) x ∈ X ⇒ (X × Y )hxi = Y ; e) x ∈ / X ⇒ (X × Y )hxi = ∅; f) X ∩ X ′ 6= ∅ ⇒ (X × Y )(X ′ ) = Y ; g) X ∩ X ′ = ∅ ⇒ (X × Y )(X ′ ) = ∅. 1.22. Fie A, B, C trei mult¸imi, R ⊆ A × B, S ⊆ B × C, X ⊆ A, Y, Y ′ ⊆ B ¸si Z ⊆ C. S˘a se arate c˘a: a) S ◦ (X × Y ) = X × S(Y ); −1

b) (Y × Z) ◦ R = R(Y ) × Z; c) Y ∩ Y ′ 6= ∅ ⇒ (Y ′ × Z) ◦ (X × Y ) = X × Z; d) Y ∩ Y ′ = ∅ ⇒ (Y ′ × Z) ◦ (X × Y ) = ∅. 1.23. Fie A o mult¸ime. S˘a se determine o relat¸ie omogen˘a ρ pe A astfel ˆıncˆat s˘a fie ˆındeplinit˘a condit¸ia: a) ρ ◦ (A × A) = A × A; b) (A × A) ◦ ρ = A × A; c) ρ ◦ (A × A) ◦ ρ = A × A; d) (A × A) ◦ ρ ◦ (A × A) = A × A; −1 e) ρ ◦ ρ = A × A.

6

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.24. Fie A, B, C trei mult¸imi, R ⊆ A × B ¸si S ⊆ B × C. S˘a se arate c˘a: −1

a) S ◦ R = {(a, c) ∈ A × C | Rhai ∩ S hci = 6 ∅}; [ −1 b) S ◦ R = Rhbi × Shbi. b∈B

1.25. Fie A, B, C mult¸imi, R ⊆ A × B ¸si S ⊆ B × C. S˘a se arate c˘a: −1

a) pr1 (S ◦ R) = R(pr1 S) ⊆ pr1 R; b) pr2 (S ◦ R) = S(pr2 R) ⊆ pr2 S; c) S ◦ R = ∅ ⇔ pr2 R ∩ pr1 S = ∅; d) S ◦ R ⊆ pr1 R × pr2 S.

1.26. Fie A, B mult¸imi ¸si R ⊆ A × B. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele condit¸ii sunt echivalente: a) pentru orice x ∈ A, Rhxi = 6 ∅; −1

b) ∆A ⊆ R ◦ R; c) pr1 R = A; d) dac˘a A′ este o mult¸ime ¸si P1 , P2 ⊆ A′ × A atunci (R ◦ P1 ) ∩ (R ◦ P2 ) = ∅ ⇔ P1 ∩ P2 = ∅; e) dac˘a A′ este o mult¸ime ¸si P ⊆ A′ × A atunci R ◦ P = ∅ ⇔ P = ∅; f) dac˘a X1 , X2 ⊆ A atunci R(X1 ) ∩ R(X2 ) = ∅ ⇔ X1 ∩ X2 = ∅; g) dac˘a X ⊆ A atunci h) dac˘a Y1 , Y2 ⊆ B atunci

R(X) = ∅ ⇔ X = ∅; −1

−1

Y1 ∪ Y2 = B ⇔ R(Y1 ) ∪ R(Y2 ) = A; i) dac˘a Y ⊆ B atunci

−1

−1

R(Y ) ∪ R(CB (Y )) = A.

1.27. Fie A, B mult¸imi ¸si R ⊆ A × B. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele condit¸ii sunt echivalente: a) pentru orice x ∈ A, Rhxi cont¸ine cel mult un element; −1

b) R ◦ R ⊆ ∆B ; c) dac˘a B ′ este o mult¸ime ¸si S1 , S2 ⊆ B × B ′ atunci (S1 ∩ S2 ) ◦ R = (S1 ◦ R) ∩ (S2 ◦ R); d) dac˘a B ′ este o mult¸ime ¸si S1 , S2 ⊆ B × B ′ atunci S1 ∩ S2 = ∅ ⇒ (S1 ◦ R) ∩ (S2 ◦ R) = ∅;

7 e) dac˘a B ′ este o mult¸ime ¸si S ⊆ B × B ′ atunci (S ◦ R) ∩ (CB×B′ (S) ◦ R) = ∅; f) dac˘a Y1 , Y2 ⊆ B atunci −1

−1

Y1 ∩ Y2 = ∅ ⇒ R(Y1 ) ∩ R(Y2 ) = ∅; g) dac˘a Y ⊆ B atunci

−1

−1

R(Y ) ∩ R(CB (Y )) = ∅;

h) dac˘a Y ⊆ B atunci −1

−1

−1

R(Y ) ∩ CA ( R(Y )) = R(CB (Y )).

1.28. Fie A, B mult¸imi, R ⊆ A × B ¸si X, X ′ ⊆ A. S˘a se arate c˘a dac˘a pentru orice −1

y ∈ B sect¸iunea Rhyi are cel mult un element atunci

R(CA (X)) = pr2 R \ R(X) ¸si R(X ∩ X ′ ) = R(X) ∩ R(X ′ ). 1.29. Fie A, B, C mult¸imi, R1 , R2 ⊆ A × B ¸si S ⊆ B × C. S˘a se arate c˘a dac˘a −1

pentru orice z ∈ C sect¸iunea S hzi are cel mult un element atunci S ◦ (R1 ∩ R2 ) = (S ◦ R1 ) ∩ (S ◦ R2 ).

1.30. Fie R ⊆ B × C. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) X1 , X2 ⊆ B, X1 6= X2 ⇒ R(X1 ) 6= R(X2 ) ; b) pentru orice mult¸ime A ¸si orice relat¸ii binare R1 , R2 ⊆ A × B avem R ◦ R1 = R ◦ R2 ⇒ R1 = R2 . 1.31. Fie R ⊆ A × B. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: −1

−1

a) Y1 , Y2 ⊆ B, Y1 6= Y2 ⇒ R(Y1 ) 6= R(Y2 ); b) pentru orice mult¸ime C ¸si orice relat¸ii binare R1 , R2 ⊆ B × C avem R1 ◦ R = R2 ◦ R ⇒ R1 = R2 .

1.32. S˘a se arate c˘a dac˘a f = (A, B, F ) este o funct¸ie atunci pr1 F = A. 1.33. S˘a se precizeze dac˘a sunt sau nu egale funct¸iile: a) f : R → R, f (x) = x2 ¸si g : R → (0, ∞), g(x) = x2 ; b) f : R → R, f (x) = x2 ¸si g : (−∞, 0] → R, g(x) = x2 ; c) f : R → R, f (x) = x2 ¸si g : R → R, g(t) = t2 . 1.34. Fie f : R → R, f (x) = x2 ¸si X1 = (−1, 0], X2 = [0, 1]. S˘a se determine f (X1 ∩ X2 ) ¸si f (X1 ) ∩ f (X2 ). 1.35. a) Fie A, B ⊆ R ¸si F o mult¸ime de puncte din plan. Ce condit¸ii trebuie s˘a ˆındeplineasc˘a F pentru a fi graficul unei funct¸ii cu domeniul A ¸si codomeniul B? b) Fie A = [1, 4], B = [1, 3]. Sunt mult¸imile F ¸si G indicate ˆın figurile urm˘atoare graficele unor funct¸ii cu domeniul A ¸si codomeniul B?

8

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI) y

y

3

3

G F 1

O

1

1

4

O

x

4

1

1.36. Fie F, G ⊆ A × B graficul unor funct¸ii definite pe A cu valori ˆın B. Sunt −1

F ∪ G, F ∩ G, CA×B (F ) grafice de funct¸ii definite pe A cu valori ˆın B? Dar F este graficul unei funct¸ii cu domeniul B ¸si codomeniul A? 1.37. Fie F ¸si G cu semnificat¸ia din problema precedent˘a. S˘a se dea condit¸ii necesare ¸si suficiente pentru ca F ∪ G (F ∩ G, respectiv CA×B (F )) s˘a fie grafice de funct¸ii −1

cu domeniul A ¸si codomeniul B, iar F s˘a fie graficul unei funct¸ii cu domeniul B ¸si codomeniul A. 1.38. Fie f : A → B o funct¸ie ¸si F graficul s˘au. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) f este injectiv˘a; −1

b) pentru orice y ∈ B, F hyi cont¸ine cel mult un element; c) pentru orice y ∈ B, ecuat¸ia f (x) = y (cu necunoscuta x) are cel mult o solut¸ie ˆın mult¸imea A. 1.39. Fie A, B ⊆ R, f : A → B o funct¸ie ¸si F graficul s˘au. a) S˘a se arate c˘a f este injectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a orice paralel˘a la Ox, dus˘a printr-un punct din B, cont¸ine cel mult un punct din F . b) S˘a se arate c˘a dac˘a f este strict monoton˘a atunci f este injectiv˘a. Este adev˘arat˘a reciproca acestei afirmat¸ii? 1.40. Fie f : A → B o funct¸ie ¸si F graficul s˘au. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) f este surjectiv˘a; b) pr2 F = B; −1

−1

c) pentru orice y ∈ B, F hyi cont¸ine cel put¸in un element, adic˘a F hyi = 6 ∅; d) pentru orice y ∈ B, ecuat¸ia f (x) = y (cu necunoscuta x) are cel put¸in o solut¸ie ˆın A. 1.41. Fie A, B ⊆ R, f : A → B o funct¸ie ¸si F graficul s˘au. S˘a se arate c˘a f este surjectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a orice paralel˘a la Ox, dus˘a printr-un punct din B, cont¸ine cel put¸in un punct din F .

9 1.42. S˘a se dea cˆate un exemplu de funct¸ie care are: a) exact dou˘a retracte (diferite) ; b) o infinitate de retracte (diferite). 1.43. S˘a se dea cˆate un exemplu de funct¸ie care are : a) exact dou˘a sect¸iuni (diferite) ; b) o infinitate de sect¸iuni (diferite). 1.44. S˘a se dea un exemplu de funct¸ie injectiv˘a a c˘arei invers˘a (considerat˘a ca ¸si relat¸ie) nu este o funct¸ie. 1.45. S˘a se dea un exemplu de funct¸ie surjectiv˘a a c˘arei invers˘a (considerat˘a ca ¸si relat¸ie) nu este o funct¸ie. 1.46. Fie A ¸si B mult¸imi finite cu m, respectiv n elemente. Cum trebuie s˘a fie m ¸si n pentru ca s˘a existe cel put¸in a) o funct¸ie injectiv˘a f : A → B ; b) o funct¸ie surjectiv˘a f : A → B ; c) o funct¸ie bijectiv˘a f : A → B ? 1.47. Fie A o mult¸ime finit˘a ¸si f : A → A. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) f este injectiv˘a ; b) f este surjectiv˘a ; c) f este bijectiv˘a. 1.48. Fie n ∈ N, n ≥ 2 ¸si f : R → R, f (x) = xn . Este f bijectiv˘a? ˆIn caz afirmativ s˘a se determine f −1 . 1.49. Pentru o funct¸ie f : A → B se consider˘a funct¸iile −1

f∗ : P(A) → P(B), f∗ (X) = f (X) ¸si f ∗ : P(B) → P(A), f ∗ (Y ) = f (Y ) (unde P(A) este mult¸imea submult¸imilor lui A). S˘a se arate c˘a sunt echivalente afirmat¸iile: a) f este injectiv˘a; b) f∗ este injectiv˘a; c) f ∗ ◦ f∗ = 1P(A) ; d) f ∗ este surjectiv˘a; e) f (X1 ∩ X2 ) = f (X1 ) ∩ f (X2 ), pentru orice X1 , X2 ⊆ A; f) f (C(X)) ⊆ C(f (X)), pentru orice X ⊆ A. 1.50. Cu notat¸iile din problema anterioar˘a, s˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) f este surjectiv˘a; b) f∗ este surjectiv˘a; c) f∗ ◦ f ∗ = 1P(B) ; d) f ∗ este injectiv˘a; e) C(f (X)) ⊆ f (C(X)), pentru orice X ⊆ A.

10

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.51. Fie f : A → N. Cu ajutorul lui f , definim funct¸ia f de la mult¸imea submult¸imilor finite X ale mult¸imii A la N astfel:  X  f (x) , dac˘a X 6= ∅ f(X) = x∈X  0 , dac˘a X = ∅. a) S˘a se arate c˘a dac˘a Xi (i = 1, . . . , n) sunt mult¸imi finite atunci ! n n [ X X X f Xi = f (Xi ) − f (Xi ∩ Xj ) + f(Xi ∩ Xj ∩ Xk ) i=1

i=1

1≤i<j≤n

− · · · + (−1)n+1 f

n \

i=1

!

1≤i<j
Xi .

b) Not˘am cu |X| num˘arul de elemente ale unei mult¸imi finite X. S˘a se arate, folosind pe a), c˘a dac˘a Xi (i = 1, . . . , n) sunt mult¸imi finite atunci n n [ X X X |Xi| − |Xi ∩ Xj | + |Xi ∩ Xj ∩ Xk | Xi = i=1 i=1 1≤i<j≤n 1≤i<j
1.52. Fie A ¸si B dou˘a mult¸imi finite cu m, respectiv n elemente. S˘a se determine num˘arul : a) funct¸iilor care au domeniul A ¸si codomeniul B; b) funct¸iilor injective care au domeniul A ¸si codomeniul B; c) funct¸iilor bijective care au domeniul A ¸si codomeniul B; d) funct¸iilor surjective care au domeniul A ¸si codomeniul B.

1.53. Fie n un ˆıntreg pozitiv. Exist˘a o funct¸ie f : R → R care verific˘a una dintre condit¸iile: a) f (xn ) = x pentru orice x ∈ R? b) [f (x)]n = x pentru orice x ∈ R? 1.54. Fie g : R → R o funct¸ie par˘a sau periodic˘a. Exist˘a o funct¸ie f : R → R astfel ca f (g(x)) = x pentru orice x ∈ R? 1.55. S˘a se arate c˘a o funct¸ie f : A → B are o sect¸iune (invers˘a la dreapta) unic˘a dac˘a ¸si numai dac˘a f este bijectiv˘a. 1.56. a) S˘a se dea un exemplu de funct¸ie injectiv˘a care nu are nici o retract˘a (invers˘a la stˆanga). b) S˘a se dea un exemplu de funct¸ie injectiv˘a care de¸si are o retract˘a unic˘a, totu¸si nu este bijectiv˘a. c) Fie f : A → B ¸si |A| > 1. S˘a se arate c˘a f are o retract˘a unic˘a dac˘a ¸si numai dac˘a f este bijectiv˘a.

11 1.57. S˘a se arate c˘a pentru orice funct¸ie f : A → B cu A 6= ∅ exist˘a o funct¸ie g : B → A astfel ˆıncˆat f ◦ g ◦ f = f. Esta g unic˘a? 1.58. Fie A ¸si B dou˘a mult¸imi. S˘a se arate c˘a exist˘a o biject¸ie ˆıntre mult¸imea relat¸iilor cu domeniul A ¸si codomeniul B ¸si mult¸imea funct¸iilor cu domeniul A ¸si codomeniul P(B). 1.59. Fie A ¸si B dou˘a mult¸imi. S˘a se arate c˘a exist˘a o funct¸ie bijectiv˘a ˆıntre mult¸imea R a relat¸iilor binare cu domeniul A ¸si codomeniul B ¸si mult¸imea F a funct¸iilor F : P(A) → P(B) care au proprietatea c˘a pentru orice familie (Xi )i∈I de ! [ [ submult¸imi ale mult¸imii A, F Xi = F (Xi ). i∈I

i∈I

1.60. Fie f : R → R, f (x) = cos x ¸si g : R → R+ = [0, +∞), g(x) = x2 . S˘a se determine o funct¸ie h : R+ → R astfel ˆıncˆat f = h ◦ g. Este funct¸ia h unic˘a? 1.61. Fie f : R → R, f (x) = sin x ¸si g : R → R+ , g(x) = x2 . Exist˘a o funct¸ie h : R+ → R astfel ˆıncˆat f = h ◦ g? 1.62. Fie f : R → R, f (x) = cos x, A = [−2, +∞) ¸si g : A → R, g(x) = 2x + 1. S˘a se determine o funct¸ie h : R → A astfel ˆıncˆat f = g ◦ h. Este funct¸ia h unic˘a? 1.63. Fie f : R → R, f (x) = sin x, A = [0, +∞) ¸si g : A → R, g(x) = 2x + 1. Exist˘a o funct¸ie h : R → A astfel ˆıncˆat f = g ◦ h? 1.64. S˘a se arate c˘a pentru orice dou˘a mult¸imi A ¸si B exist˘a o funct¸ie bijectiv˘a ϕA,B : A × B → B × A cu proprietatea c˘a oricare ar fi funct¸iile f : A → A′ ¸si g : B → B ′ urm˘atoarea diagram˘a este comutativ˘a ϕA,B

A×B f ×g

B×A /

.

g×f

A′ × B ′

ϕA′ ,B′

B ′ × A′ /

1.65. S˘a se arate c˘a pentru orice mult¸imi A, B ¸si C exist˘a o funct¸ie bijectiv˘a ϕA,B,C : (A × B) × C → A × (B × C) cu proprietate c˘a oricare ar fi funct¸iile f : A → A′ , g : B → B ′ ¸si h : C → C ′ urm˘atoarea diagram˘a este comutativ˘a (A × B) × C (f ×g)×h

(A′ × B ′ ) × C ′

ϕA,B,C

/

ϕA′ ,B′ ,C ′

/

A × (B × C)

f ×(g×h)

.

A′ × (B ′ × C ′ )

1.66. Fie f : A → B, g : A′ → B ′ , X ⊆ A, X ′ ⊆ A′ , Y ⊆ B, Y ′ ⊆ B ′ . S˘a se arate c˘a: ′

′

−1

−1

−1

(f × g)(X × X ) = f (X) × g(X ) ¸si f × g(Y × Y ′ ) = f (Y ) × g (Y ′ ). S˘a se generalizeze aceste rezultate, luˆand ˆın locul perechilor (f, g), (X, X ′) ¸si (Y, Y ′ ) familii indexate cu aceea¸si mult¸ime de indici.

12

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.67. Fie f : A → B, g : A → B ′ , Y ⊆ B, Y ′ ⊆ B ′ . Se consider˘a funct¸ia h : A → B × B ′ , h(x) = (f (x), g(x)). S˘a se arate c˘a −1

−1

−1

h (Y × Y ′ ) = f (Y ) ∩ g (Y ′ ).

S˘a se generalizeze acest rezultat, luˆand ˆın locul perechilor (f, g) ¸si (Y, Y ′ ) familii indexate cu aceea¸si mult¸ime de indici. 1.68. Fie f : A → B ¸si g : A′ → B ′ cu A 6= ∅ = 6 A′ . S˘a se arate c˘a: a) f × g este injectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a f ¸si g sunt injective; b) f × g este surjectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a f ¸si g sunt surjective. 1.69. S˘a se arate c˘a exist˘a funct¸ii F : A × B → A′ × B ′ care nu sunt de forma F = f × g, unde f : A → A′ ¸si g : B → B ′ . 1.70. Fie A1 ¸si A2 dou˘a mult¸imi. Reuniunea a dou˘a mult¸imi disjuncte de acela¸si cardinal cu A1 ¸si A2 se nume¸ste reuniune disjunct˘ a a lui A1 cu A2 . De exemplu ◦

A1 ∪ A2 = ({1} × A1 ) ∪ ({2} × A2 ) este o reuniune disjunct˘a a lui A1 cu A2 . Funct¸iile ◦

◦

q1 : A1 → A1 ∪ A2 , q1 (a1 ) = (1, a1 ) ¸si q2 : A2 → A1 ∪ A2 , q2 (a2 ) = (2, a2 ) se numesc inject¸iile canonice. S˘a se arate c˘a: ◦ a) A1 ∪ A2 ˆımpreun˘a cu inject¸iile sale canonice are urm˘atoarea proprietate de universalitate: pentru orice mult¸ime B ¸si orice funct¸ii u1 : A1 → B, u2 : A2 → B exist˘a ◦ o singur˘a funct¸ie u : A1 ∪ A2 → B astfel ˆıncˆat diagrama ; B cG ww O GGG GGu2 u GG ww GG w ww q1 q 2 ◦ / o A u1 www

A1

A1 ∪ A2

2

s˘a fie comutativ˘a, adic˘a u ◦ q1 = u1 ¸si u ◦ q2 = u2 . ◦ b) Pentru orice mult¸ime B ¸si orice funct¸ii u′ , u′′ : A1 ∪ A2 → B avem u′ ◦ q1 = u′′ ◦ q1 ¸si u′ ◦ q2 = u′′ ◦ q2 ⇒ u′ = u′′ . c) Proprietatea de universalitate a reuniunii disjuncte determin˘a reuniunea disjunct˘a pˆan˘a la o biject¸ie. 1.71. Fie mult¸imile A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} ¸si fie f : A → B, g : B → A funct¸iile definite prin x 1 2 x 1 2 3 f (x) 2 3 g(x) 1 1 2 S˘a se determine funct¸ia f g : AA → B B . 1.72. S˘a se arate c˘a funct¸ia f : A1 → A2 este injectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pentru B orice mult¸ime B funct¸ia f 1B : AB a. 1 → A2 este injectiv˘

13 1.73. S˘a se arate c˘a funct¸ia g : B2 → B1 este surjectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice mult¸ime A funct¸ia 1gA : AB1 → AB2 este injectiv˘a. 1.74. Fie f : A1 → A2 ¸si g : B2 → B1 dou˘a funct¸ii. S˘a se arate c˘a: a) dac˘a f este injectiv˘a ¸si g este surjectiv˘a atunci f g este injectiv˘a ; b) dac˘a f este surjectiv˘a ¸si g este injectiv˘a, iar B2 6= ∅ atunci f g este surjectiv˘a. 1.75. S˘a se arate c˘a pentru orice mult¸imi A1 , A2 , B funct¸ia B ϕ : (A1 × A2 )B → AB 1 × A2 , ϕ(u) = (p1 ◦ u, p2 ◦ u)

(unde p1 , p2 sunt proiect¸iile canonice ale produsului) este bijectiv˘a, iar dac˘a f1 : A1 → A′1 , f2 : A2 → A′2 ¸si g : B ′ → B sunt funct¸ii atunci diagrama (A1 × A2 )B (f1 ×f2 )g

(A′1 × A′2 )B

′

ϕ

ϕ′

/

/

B AB 1 × A2

′

f1g ×f2g

A′1 B × A′2 B

′

(unde ϕ′ se define¸ste analog cu ϕ) este comutativ˘a. 1.76. Fie A, B1 , B2 trei mult¸imi. Dac˘a f : B1 × B2 → A ¸si y ∈ B2 atunci fie fy : B1 → A funct¸ia definit˘a prin fy (x) = f (x, y), iar F : B2 → AB1 funct¸ia definit˘a prin F (y) = fy . S˘a se arate c˘a funct¸ia ϕ : AB1 ×B2 → (AB1 )B2 , ϕ(f ) = F este bijectiv˘a, iar dac˘a h : A → A′ , g1 : B1′ → B1 , g2 : B2′ → B2 sunt funct¸ii atunci diagrama ϕ / (AB1 )B2 AB1 ×B2 (hg1 )g2

hg1 ×g2

′

′

A′ B1 ×B2

ϕ′

/

′

(A′ B1 )B2 ′

(unde ϕ′ se define¸ste analog cu ϕ) este comutativ˘a. 1.77. Fie R ⊆ A × A. S˘a se arate c˘a : a) R este reflexiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice x ∈ A, x ∈ Rhxi; b) dac˘a R este simetric˘a atunci pr1 R = pr2 R; c) dac˘a R este simetric˘a ¸si tranzitiv˘a atunci pentru x ∈ pr1 R avem xRx; d) R este o relat¸ie de echivalent¸˘a dac˘a ¸si numai dac˘a R este simetric˘a, tranzitiv˘a ¸si pr1 R = A. 1.78. S˘a se g˘aseasc˘a gre¸seala ˆın urm˘atoarea ,,demonstrat¸ie” a afirmat¸iei: o relat¸ie simetric˘a ¸si tranzitiv˘a este o relat¸ie reflexiv˘ a (adic˘ a este o relat¸ie de echivalent¸˘a): ,,Dac˘a R ⊆ A × A este simetric˘a atunci xRy implic˘a yRx, iar din xRy ¸si yRx (ˆıntrucˆat R este tranzitiv˘a) urmeaz˘a xRx”.

14

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.79. S˘a se arate c˘a axiomele care definesc not¸iunea de relat¸ie de echivalent¸˘a sunt independente, adic˘a nici una dintre ele nu este o consecint¸˘a a celorlalte dou˘a. 1.80. S˘a se arate c˘a dac˘a relat¸iile R, S ⊆ A × A sunt reflexive atunci R ◦ S ¸si S ◦ R sunt reflexive. 1.81. Fie R, S ⊆ A × A dou˘a relat¸ii simetrice. S˘a se arate c˘a R ◦ S este simetric˘a dac˘a ¸si numai dac˘a R ◦ S = S ◦ R. 1.82. Fie R, S ⊆ A × A dou˘a relat¸ii binare omogene tranzitive. S˘a se arate c˘a dac˘a R ◦ S = S ◦ R atunci R ◦ S este tranzitiv˘a. 1.83. O relat¸ie R ⊆ A × A se nume¸ste circular˘ a dac˘a xRy ¸si yRz ⇒ zRx. S˘a se arate c˘a R este o relat¸ie de echivalent¸˘a dac˘a ¸si numai dac˘a R este reflexiv˘a ¸si circular˘a. 1.84. Fie R ⊆ A × A, A′ ⊆ A ¸si R′ restrict¸ia lui R la A′ , adic˘a R′ = R ∩ (A′ × A′ ). S˘a se arate c˘a dac˘a R este o relat¸ie de echivalent¸˘a atunci R′ ⊆ A′ × A′ este o relat¸ie de echivalent¸˘a. 1.85. Fie A = {1, 2, 3, 4}, ρ1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (1, 3), (3, 2), (3, 1)}, ρ2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 4)}, π1 = {{1, 2}, {3}, {4}} ¸si π2 = {{1, 2}, {1, 3, 4}}. a) Sunt ρ1 ¸si ρ2 relat¸ii de echivalent¸˘a pe A? ˆIn caz afirmativ, s˘a se determine mult¸imea cˆat corespunz˘atoare. b) Sunt π1 ¸si π2 partit¸ii ale lui A? ˆIn caz afirmativ, s˘a se determine relat¸ia de echivalent¸˘a corespunz˘atoare. 1.86. S˘a se determine partit¸iile ¸si relat¸iile de echivalent¸˘a ale mult¸imii A = {1, 2, 3}. 1.87. Fie A o mult¸ime. S˘a se arate c˘a diagonala ∆A (relat¸ia de egalitate pe A) ¸si relat¸ia universal˘a A × A sunt relat¸ii de echivalent¸˘a pe A ¸si s˘a se determine mult¸imile cˆat corespunz˘atoare. 1.88. Fie ρ1 , ρ2 relat¸iile definite pe C astfel: z1 ρ2 z2

z1 ρ1 z2 ⇔ |z1 | = |z2 |; ⇔ arg z1 = arg z2 sau z1 = 0 = z2 .

S˘a se arate c˘a ρ1 ¸si ρ2 sunt relat¸ii de echivalent¸˘a ¸si s˘a se determine mult¸imile cˆat C/ρi (i = 1, 2). S˘a se reprezinte geometric clasele de echivalent¸˘a determinate de relat¸iile ρi . 1.89. Fie ρ1 , ρ2 relat¸iile definite pe C prin zρ1 t ⇔ z ¸si t au aceea¸si parte real˘a; zρ2 t ⇔ z ¸si t au aceea¸si parte imaginar˘a. S˘a se arate c˘a ρ1 ¸si ρ2 sunt relat¸ii de echivalent¸˘a ¸si s˘a se determine mult¸imile cˆat C/ρi (i = 1, 2). S˘a se reprezinte geometric clasele de echivalent¸˘a.

15 1.90. Fie ρ1 , ρ2 relat¸iile definite pe R prin xρ1 y ⇔ [x] = [y] (x ¸si y au aceea¸si parte ˆıntreag˘a); xρ2 y ⇔ {x} = {y} (x ¸si y au aceea¸si parte fract¸ionar˘a). S˘a se arate c˘a ρ1 ¸si ρ2 sunt relat¸ii de echivalent¸˘a ¸si c˘a exist˘a o biject¸ie ˆıntre R/ρ1 ¸si Z, precum ¸si ˆıntre R/ρ2 ¸si [0, 1). 1.91. Fie n ∈ N∗ ¸si Mn (R) mult¸imea matricelor p˘atrate de ordinul n cu elemente din R. S˘a se arate c˘a relat¸ia definit˘a ˆın Mn (R) prin AρB ⇔ det A = det B este o relat¸ie de echivalent¸˘a ¸si c˘a exist˘a o biject¸ie ˆıntre Mn (R)/ρ ¸si R . 1.92. Fie A 6= ∅ ¸si R ⊆ A × A. S˘a se arate c˘a R este o relat¸ie de echivalent¸˘a pe A dac˘a ¸si numai dac˘a pr1 R = A ¸si exist˘a o familie (Ai )i∈I de submult¸imi nevide disjuncte ale mult¸imii A astfel ˆıncˆat [ R= Ai × Ai . i∈I

1.93. ˆIn raport cu care dintre operat¸iile de: reuniune, intersect¸ie, inversare ¸si complementare este ˆınchis˘a mult¸imea E(A) a relat¸iilor de echivalent¸˘a pe o mult¸ime A? 1.94. Fie Ri ⊆ Ai × Ai (i = 1, 2) relat¸ii de echivalent¸˘a. S˘a se arate c˘a relat¸ia R ⊆ A1 × A2 , definit˘a prin (a1 , a2 )R(a′1 , a′2 ) ⇔ a1 R1 a′1 ¸si a2 R2 a′2 este o relat¸ie de echivalent¸˘a ¸si c˘a exist˘a o biject¸ie ˆıntre mult¸imile (A1 × A2 )/R ¸si (A1 /R1 ) × (A2 /R2 ). 1.95. Fie f, g : R → R, f (x) = x2 , g(x) = x4 . S˘a se arate c˘a ker f = ker g ¸si s˘a se stabileasc˘a o biject¸ie ˆıntre R/ ker f ¸si R+ = [0, +∞). 1.96. Fie f, g : C → C, f (z) = z 2 , g(z) = z 4 . S˘a se arate c˘a ker f 6= ker g ¸si c˘a exist˘a biject¸ii ˆıntre mult¸imile C/ ker f , C/ ker g ¸si C. 1.97. Fie A o mult¸ime finit˘a cu m elemente (m ∈ N∗ ) ¸si E(A) mult¸imea relat¸iilor de echivalent¸˘a ˆıntre elementele mult¸imii A. S˘a se determine num˘arul elementelor mult¸imii E(A). −1

1.98. O relat¸ie R ⊆ A × B se nume¸ste difunct¸ional˘ a dac˘a R ◦ R ◦ R = R. S˘a se arate c˘a inversa unei relat¸ii difunct¸ionale este o relat¸ie difunct¸ional˘a. 1.99. Fie D mult¸imea dreptelor din plan ¸si R = {(d1, d2 ) ∈ D × D | d1 este perpendicular˘a pe d2 }. S˘a se arate c˘a relat¸ia (D, D, R) este difunct¸ional˘a.

16

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.100. Fie f : A → B o funct¸ie ¸si F graficul s˘au. S˘a se arate c˘a relat¸ia f = (A, B, F ) −1

−1

¸si inversa sa f = (B, A, F ) sunt relat¸ii difunct¸ionale. 1.101. Fie R ⊆ A × B. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) relat¸ia (A, B, R) este difunct¸ional˘a; b) dac˘a a1 , a2 ∈ A ¸si Rha1 i ∩ Rha2 i = 6 ∅ atunci Rha1 i = Rha2 i; −1

−1

−1

−1

c) dac˘a b1 , b2 ∈ A ¸si Rhb1 i ∩ Rhb2 i = 6 ∅ atunci Rhb1 i = Rhb2 i; d) exist˘a familiile (Ai )i∈I , (Bi )i∈I de submult¸imi disjuncte ale mult¸imii A, respectiv ale mult¸imii B, astfel ˆıncˆat [ R= Ai × Bi . i∈I

1.102. Fie R ⊆ A × A. S˘a se arate c˘a R este o relat¸ie de echivalent¸˘a dac˘a ¸si numai dac˘a R este o relat¸ie difunct¸ional˘a reflexiv˘a. 1.103. S˘a se arate c˘a dac˘a R ⊆ A × B este o relat¸ie difunct¸ional˘a atunci: −1

a) R ◦ R este o relat¸ie de echivalent¸˘a pe pr1 R; −1

b) R ◦ R este o relat¸ie de echivalent¸˘a pe pr2 R; −1

−1

c) exist˘a o biject¸ie ˆıntre mult¸imile cˆat pr1 R/ R ◦ R ¸si pr2 R/R ◦ R. S˘a se deduc˘a de aici c˘a pentru orice funct¸ie f : A → B exist˘a o biject¸ie ˆıntre mult¸imile A/ ker f ¸si f (A). 1.104. Fie A, B dou˘a mult¸imi, A′ ⊆ A, B ′ ⊆ B, ρ1 o relat¸ie de echivalent¸˘a pe A′ ¸si ρ2 o relat¸ie de echivalent¸˘a pe B ′ . S˘a se arate c˘a dac˘a F este graficul unei biject¸ii −1

f : A′ /ρ1 → B ′ /ρ2 atunci R = F2 ◦ F ◦ F1 ⊆ A × B (unde F1 , F2 sunt graficele funct¸iilor canonice pρ1 : A′ → A′ /ρ1 , respectiv pρ2 : B ′ → B ′ /ρ2 ) este o relat¸ie difunct¸ional˘a pentru care pr1 R = A′ ¸si pr2 R = B ′ . 1.105. S˘a se arate c˘a axiomele ce definesc not¸iunea de relat¸ie de ordine (part¸ial˘a) sunt independente, adic˘a nici una dintre ele nu este o consecint¸˘a a celorlalte dou˘a. 1.106. Fie A o mult¸ime. S˘a se arate c˘a intersect¸ia dintre mult¸imea relat¸iilor de echivalent¸˘a pe A ¸si mult¸imea relat¸iilor de ordine pe A este format˘a numai din relat¸ia de egalitate. 1.107. S˘a se dea cˆate un exemplu de mult¸ime: a) ordonat˘a care nu este total ordonat˘a; b) total ordonat˘a care nu este bine ordonat˘a; c) bine ordonat˘a; d) ordonat˘a care nu este dirijat˘a; e) dirijat˘a care nu este total ordonat˘a. 1.108. Fie A o mult¸ime, A′ ⊆ A ¸si ρ ⊆ A × A. S˘a se arate c˘a: a) dac˘a ρ este o relat¸ie de ordine pe A atunci restrict¸ia ρ′ a lui ρ la A′ , adic˘a ρ′ = ρ ∩ (A′ × A′ ), este o relat¸ie de ordine pe A′ ; −1 b) ρ este o relat¸ie de ordine (total˘a) pe A dac˘a ¸si numai dac˘a ρ este o relat¸ie de ordine (total˘a) pe A.

17 1.109. S˘a se arate c˘a relat¸ia de divizibilitate ˆın Z este o relat¸ie de preordine, dar nu este nici relat¸ie de ordine ¸si nici relat¸ie de echivalent¸˘a. S˘a se determine relat¸ia de echivalent¸˘a indus˘a de aceast˘a preordine ¸si relat¸ia de ordine ˆın mult¸imea cˆat. S˘a se g˘aseasc˘a o biject¸ie ˆıntre mult¸imea cˆat ¸si N. 1.110. a) S˘a se determine toate relat¸iile de ordine pe mult¸imile A = {a}, B = {a, b} ¸si C = {a, b, c}. b) Cˆate mult¸imi ordonate neizomorfe cu 1, 2 ¸si 3 elemente exist˘a? c) S˘a se determine relat¸iile de ordine total˘a de la punctul a). d) ˆIn fiecare mult¸ime ordonat˘a de la punctul a) s˘a se determine elementele minimale, elementele maximale, cel mai mic element ¸si cel mai mare element. 1.111. Fie (A, ≤) o mult¸ime ordonat˘a. S˘a se arate c˘a (A, ≤) este izomorf˘a cu o submult¸ime a mult¸imii ordonate (P(A), ⊆). 1.112. Fie A ¸si B dou˘a mult¸imi. S˘a se arate c˘a funct¸ia −1

f : P(A × B) → P(B × A), f (ρ) = ρ este un izomorfism de ordine pentru relat¸ia de incluziune.

1.113. S˘a se arate c˘a : a) dac˘a ˆıntr-o mult¸ime ordonat˘a exist˘a cel mai mic (cel mai mare) element atunci acesta este singurul element minimal (maximal); b) unicitatea elementului minimal (maximal) nu implic˘a faptul c˘a acesta este cel mai mic (cel mai mare) element. 1.114. Fie R mult¸imea relat¸iilor de ordine pe o mult¸ime A. S˘a se arate c˘a relat¸iile de ordine total˘a pe A coincid cu elementele maximale din (R, ⊆). 1.115. S˘a se arate c˘a dac˘a ρ este o relat¸ie de ordine pe A atunci exist˘a o relat¸ie de ordine total˘a ρ′ pe A astfel ˆıncˆat ρ ⊆ ρ′ , adic˘a orice ordonare poate fi extins˘a la o ordonare total˘a. 1.116. S˘a se arate c˘a orice mult¸ime ordonat˘a finit˘a verific˘a condit¸ia minimalit˘a¸tii ¸si condit¸ia maximalit˘a¸tii. 1.117. S˘a se arate c˘a orice mult¸ime total ordonat˘a finit˘a este bine ordonat˘a. 1.118. S˘a se arate c˘a orice mult¸ime total ordonat˘a (A, ≤) care verific˘a condit¸ia minimalit˘a¸tii ¸si condit¸ia maximalit˘a¸tii este finit˘a. 1.119. S˘a se arate c˘a dac˘a (A, ≤) este o mult¸ime bine ordonat˘a ¸si f : A → A este o funct¸ie injectiv˘a cresc˘atoare atunci nu exist˘a nici un a ∈ A astfel ˆıncˆat a > f (a). 1.120. S˘a se arate c˘a ˆıntre dou˘a mult¸imi bine ordonate exist˘a cel mult un izomorfism. 1.121. S˘a se demonstreze c˘a o mult¸ime total ordonat˘a A este bine ordonat˘a dac˘a ¸si numai dac˘a A nu are nici o submult¸ime izomorf˘a cu mult¸imea ˆıntregilor negativi ordonat˘a de relat¸ia ≤ obi¸snuit˘a. 1.122. S˘a se arate c˘a orice dou˘a mult¸imi finite total ordonate care au acela¸si num˘ar de elemente sunt izomorfe.

18

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.123. Fie (Ai , ρi ) (i = 1, 2) dou˘a mult¸imi ordonate. S˘a se arate c˘a : a) A1 × A2 este ordonat˘a de relat¸ia ρ definit˘a astfel: (a1 , a2 )ρ(a′1 , a′2 ) ⇔ a1 ρ1 a′1 ¸si a2 ρ2 a′2 . Din faptul c˘a ρ1 , ρ2 sunt ordon˘ari totale rezult˘a c˘a ρ este o ordonare total˘a? b) ρ este cea mai mare relat¸ie de ordine pe A1 × A2 pentru care proiect¸iile canonice sunt cresc˘atoare. c) (A1 × A2 , ρ) are urm˘atoarea proprietate de universalitate: pentru orice mult¸ime ordonat˘a (A, R) ¸si orice funct¸ii cresc˘atoare u1 : A → A1 , u2 : A → A2 exist˘a o singur˘a funct¸ie cresc˘atoare u : A → A1 × A2 astfel ˆıncˆat triunghiurile urm˘atoarei diagrame s˘a fie comutative A KKK uu KK u1 KK u KK uu u K% zuu p1 p2 / A2 o A1 × A2 u2 uuu

A1

.

d) Proprietatea de universalitate a lui (A1 × A2 , ρ) determin˘a pe (A1 × A2 , ρ) pˆan˘a la un izomorfism (de ordine). 1.124. S˘a se generalizeze problema precedent˘a pentru o familie oarecare de mult¸imi ordonate. S˘a se deduc˘a din generalizarea punctului a) al problemei anterioare c˘a dac˘a (A, ≤) este o mult¸ime ordonat˘a ¸si I este o mult¸ime oarecare atunci relat¸ia ≤ definit˘a prin f ≤ g ⇔ ∀i ∈ I, f (i) ≤ g(i) este o relat¸ie de ordine pe mult¸imea de funct¸ii AI . S˘a se examineze cazul particular cˆand I = R = A.

1.125. Fie (A, ρ1 ), (B, ρ2 ), (C, ρ3 ) mult¸imi ordonate, f : A → B ¸si g : B → C. S˘a se arate c˘a: a) dac˘a f ¸si g sunt cresc˘atoare atunci g ◦ f este cresc˘atoare; b) dac˘a f ¸si g sunt descresc˘atoare atunci g ◦ f este cresc˘atoare; c) dac˘a una dintre funct¸iile f ¸si g este cresc˘atoare ¸si cealalt˘a descresc˘atoare atunci g ◦ f este descresc˘atoare. 1.126. S˘a se dea un exemplu de funct¸ie bijectiv˘a ¸si cresc˘atoare care nu este un izomorfism de ordine. S˘a se arate c˘a orice funct¸ie bijectiv˘a ¸si cresc˘atoare al c˘arei domeniu este o mult¸ime total ordonat˘a este un izomorfism de ordine. 1.127. Fie (A, ≤) o mult¸ime ordonat˘a ¸si a, b ∈ B. Vom spune c˘a b este un succesor imediat sau un element imediat urm˘ ator al lui a dac˘a a < b ¸si nu exist˘a nici un x ∈ A astfel ˆıncˆat a < x < b. Dual se define¸ste not¸iunea de predecesor imediat sau element imediat anterior al lui a. S˘a se arate c˘a ˆıntr-o mult¸ime bine ordonat˘a orice element, diferit de cel mai mare element (dac˘a acesta exist˘a), are un succesor imediat. Este adev˘arat˘a afirmat¸ia dual˘a? 1.128. Fie (A, ≤) o mult¸ime ordonat˘a ¸si X ⊆ B ⊆ A. S˘a se arate c˘a: a) dac˘a exist˘a inf A X ¸si inf B X atunci inf B X ≤ inf A X; b) dac˘a exist˘a supA X ¸si supB X atunci supB X ≥ supA X.

19 1.129. Cˆate latici se pot defini pe o mult¸ime format˘a dintr-un element, din dou˘a elemente, din trei elemente? 1.130. S˘a se arate c˘a: a) o mult¸ime ordonat˘a (L, ≤) este o latice dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice submult¸ime finit˘a nevid˘a X ⊆ L, exist˘a inf X ¸si sup X. b) orice latice finit˘a (L, ≤) este o latice complet˘a ¸si s˘a se determine inf ∅ ¸si sup ∅. 1.131. S˘a se arate, folosind teorema de caracterizare a laticilor complete ([34, Teorema 1.6.8]), c˘a (N, ≤) nu este o latice complet˘a. 1.132. S˘a se arate c˘a: a) orice lant¸ (mult¸ime total ordonat˘a) (A, ≤) este o latice ¸si orice submult¸ime a lui A este o sublatice. Este (A, ≤) o latice complet˘a? b) o latice (A, ≤) este un lant¸ dac˘a ¸si numai dac˘a orice submult¸ime a lui A este o sublatice. 1.133. S˘a se dea cˆate un exemplu de latice: a) care are cel mai mic element, dar nu are cel mai mare element; b) care are cel mai mare element, dar nu are cel mai mic element; c) care nu are nici cel mai mic element ¸si nici cel mai mare element; d) care are cel mai mic ¸si cel mai mare element. 1.134. S˘a se arate c˘a (N, |) (mult¸imea N ordonat˘a de relat¸ia de divizibilitate) este o latice ¸si c˘a N∗ ¸si submult¸imea {2k | k ∈ N} sunt sublatici. Este (N, |) o latice complet˘a? Dar (N∗ , |)? 1.135. S˘a se arate c˘a orice sublatice complet˘a L′ a unei latici complete (L, ≤) cont¸ine pe cel mai mic element al lui L ¸si pe cel mai mare element al lui L.

1.136. Fie A o mult¸ime ¸si B ⊆ A. S˘a se arate c˘a (P(A), ⊆) este o latice complet˘a ¸si c˘a P(B) este o sublatice a laticii (P(A), ⊆) care este sublatice complet˘a dac˘a ¸si numai dac˘a A = B. 1.137. S˘a se arate c˘a (RR , ≤), unde ≤ este relat¸ia definit˘a astfel: f ≤ g ⇔ ∀x ∈ R, f (x) ≤ g(x), este o latice, iar submult¸imea D(R, R) ⊆ RR format˘a din funct¸iile derivabile pe R este o mult¸ime dirijat˘a, dar nu este o sublatice a lui RR . Este D(R, R) o latice? 1.138. a) Fie (A1 , ρ1 ) ¸si (A2 , ρ2 ) dou˘a mult¸imi ordonate. S˘a se arate c˘a dac˘a (A1 , ρ1 ) ¸si (A2 , ρ2 ) sunt latici (complete) atunci A1 × A2 este latice (complet˘a) ˆın raport cu relat¸ia ρ definit˘a prin (a1 , a2 )ρ(a′1 , a′2 ) ⇔ a1 ρ1 a′1 ¸si a2 ρ2 a′2 . b) Examinat¸i cazul particular (A1 , ρ1 ) = (N, ≤), (A2 , ρ2 ) = (N, |). c) S˘a se generalizeze punctul a) pentru o familie oarecare de latici ¸si s˘a se deduc˘a din aceast˘a generalizare c˘a dac˘a (L, ≤) este o latice (complet˘a) atunci pentru orice mult¸ime I, mult¸imea LI este o latice (complet˘a) ˆın raport cu relat¸ia ≤ definit˘a prin f ≤ g ⇔ ∀i ∈ I, f (i) ≤ g(i). d) S˘a se deduc˘a din c) prima parte a problemei anterioare.

20

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.139. S˘a se arate c˘a exist˘a funct¸ii cresc˘atoare ˆıntre latici, care nu sunt omomorfisme de latici. 1.140. Fie f : A → B o funct¸ie. S˘a se arate c˘a: −1

a) funct¸ia f ∗ : P(B) → P(A), f ∗ (Y ) = f (Y ) este un omomorfism de latici; b) funct¸ia f∗ : P(A) → P(B), f∗ (X) = f (X) este un omomorfism de latici dac˘a ¸si numai dac˘a f este injectiv˘a. 1.141. Fie A = {1, 2, 3} ¸si B = {n ∈ N | n|30}. S˘a se g˘aseasc˘a: a) un izomorfism ˆıntre mult¸imile ordonate (P(A), ⊆) ¸si (B, |); b) toate izomorfismele lui (P(A), ⊆) pe (B, |). 1.142. S˘a se arate c˘a ˆın orice latice (L, ≤) sunt verificate urm˘atoarele propriet˘a¸ti: (a ∨ b) ∧ c ≥ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c), ∀a, b, c ∈ L (subdistributivitate); a, b, c ∈L, a ≤ c ⇒ a ∨ (b ∧ c) ≤ (a ∨ b) ∧ c (submodularitate). 1.143. O latice (L, ≤) se nume¸ste modular˘ a dac˘a pentru orice a, b, c ∈ L a ≤ c ⇒ a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c. S˘a se arate c˘a pentru o latice (L, ≤) urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) L este modular˘a; b) pentru orice a, b, c ∈ L avem a ∨ [b ∧ (a ∨ c)] = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c); c) pentru orice a, b, c ∈ L, a ≤ b, a ∨ c = b ∨ c, a ∧ c = b ∧ c ⇒ a = b; d) L nu cont¸ine nici o sublatice izomorf˘a cu laticea

numit˘a (laticea) pentagon. 1.144. Fie L o latice modular˘a ¸si a, b ∈ L. S˘a se arate c˘a funct¸iile: ϕa : [b, a ∨ b] → [a ∧ b, a], ϕa (x) = a ∧ x , ϕb : [a ∧ b, a] → [b, a ∨ b], ϕb (y) = y ∨ b sunt izomorfisme de latici ¸si ϕ−1 a = ϕb .

21 1.145. O latice (L, ≤) se nume¸ste distributiv˘ a dac˘a pentru orice a, b, c ∈ L avem (a ∨ b) ∧ c = (a ∧ c) ∨ (b ∧ c). S˘a se arate c˘a pentru o latice (L, ≤) urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) L este distributiv˘a; b) pentru orice a, b, c ∈ L avem (a ∧ b) ∨ c = (a ∨ c) ∧ (b ∨ c); c) pentru orice a, b, c ∈ L a ∨ c = b ∨ c, a ∧ c = b ∧ c ⇒ a = b; d) L este modular˘a ¸si nu cont¸ine nici o sublatice izomorf˘a cu laticea

numit˘a (laticea) diamant. 1.146. S˘a se arate c˘a orice lant¸ este o latice distributiv˘a. 1.147. S˘a se arate c˘a laticea (N, |) este distributiv˘a. 1.148. S˘a se arate c˘a orice sublatice a unei latici modulare (respectiv distributive) este o latice modular˘a (respectiv distributiv˘a) ¸si c˘a orice imagine omomorf˘a a unei latici modulare (respectiv distributive) este o latice modular˘a (respectiv distributiv˘a). 1.149. S˘a se determine toate laticile neizomorfe cu cel mult 5 elemente. Care dintre acestea sunt modulare? Dar distributive? 1.150. O latice (L, ≤) se nume¸ste latice (algebr˘ a) Boole dac˘a este distributiv˘a, are cel mai mic ¸si cel mai mare element (notate cu 0, respectiv 1) ¸si pentru orice x ∈ L exist˘a x′ ∈ L astfel ˆıncˆat x ∧ x′ = 0 ¸si x ∨ x′ = 1 (numit complement al lui x). S˘a se arate c˘a ˆıntr-o latice Boole fiecare element are complement unic. 1.151. Fie M o mult¸ime. S˘a se arate c˘a mult¸imea P(M) a submult¸imilor mult¸imii M, ordonat˘a cu incluziunea, formeaz˘a o latice Boole. 1.152. Fie P mult¸imea formulelor (expresiilor) calculului propozit¸ional ¸si p, q ∈ P. S˘a se arate c˘a relat¸ia ρ definit˘a ˆın P prin p ρ q dac˘ a ¸si numai dac˘ a p → q este identic adev˘arat˘a (tautologie) este o relat¸ie de preordine. Fie ≡ echivalent¸a determinat˘a de ρ ¸si ≤ relat¸ia de ordine indus˘a de ρ pe mult¸imea cˆat P/ ≡ (vezi [34, Teorema 1.8.16]). S˘a se arate c˘a (P/ ≡, ≤) este o latice Boole.

22

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.153. Fie B o latice (algebr˘a) Boole, ai ∈ B (i ∈ I) ¸si a′i complementul lui ai . S˘a se arate c˘a: _ ^ a) dac˘a unul dintre elementele ai , a′i exist˘ a atunci exist˘a ¸si cel˘alalt ¸si i∈I

i∈I

_

i∈I

b) dac˘a unul dintre elementele

^

ai ,

i∈I

ai

!′

_

=

^

a′i ;

i∈I

a′i exist˘ a atunci exist˘a ¸si cel˘alalt ¸si

i∈I

^

i∈I

ai

!′

=

_

a′i .

i∈I

1.154. Fie A o mult¸ime ¸si P(A) mult¸imea p˘art¸ilor sale. O submult¸ime C ⊆ P(A) se nume¸ste sistem de ˆınchidere pe A dac˘a pentru orice submult¸ime D ⊆ C avem \ X ∈ C. X∈D

S˘a se arate c˘a: a) orice sistem de ˆınchidere pe A cont¸ine pe A; b) dac˘a C este sistem de ˆınchidere pe A atunci (C, ⊆) este latice complet˘a. 1.155. Fie A o mult¸ime infinit˘a, Pf (A) mult¸imea submult¸imilor finite ¸si Pi (A) mult¸imea submult¸imilor infinite ale lui A. Sunt Pf (A) ¸si Pi (A) sisteme de ˆınchidere pe A? 1.156. Fie A o mult¸ime. O funct¸ie J : P(A) → P(A) se nume¸ste operator de ˆınchidere pe A dac˘a verific˘a urm˘atoarele condit¸ii: i) pentru orice X ⊆ A avem X ⊆ J(X), adic˘a J este extensiv; ii) pentru orice X, Y ⊆ A cu X ⊆ Y avem J(X) ⊆ J(Y ), adic˘a J este cresc˘ator; iii) pentru orice X ⊆ A avem J(J(X)) = J(X) (ceea ce este echivalent cu faptul c˘a J ◦ J = J), adic˘a J este idempotent. O submult¸ime X ⊆ A se nume¸ste ˆınchis˘ a relativ la J dac˘a J(X) = X, iar J(X) se nume¸ste ˆınchiderea lui X relativ la J. S˘a se arate c˘a: a) X ⊆ A este ˆınchis˘a dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a X ′ ⊆ A astfel ˆıncˆat X = J(X ′ ); b) condit¸ia iii) din definit¸ia operatorului de ˆınchidere poate fi ˆınlocuit˘a cu iii’) J(J(X)) ⊆ J(X), ∀X ⊆ A. 1.157. Fie A mult¸ime ¸si R ⊆ A × A o relat¸ie de preordine. S˘a se arate c˘a funct¸ia J : P(A) → P(A), J(X) = R(X) este un operator de ˆınchidere pe A. 1.158. Fie A o mult¸ime ¸si J, J ′ doi operatori de ˆınchidere pe A. S˘a se arate c˘a: a) J ′ ◦ J este un operator de ˆınchidere dac˘a ¸si numai dac˘a J ◦ J ′ ◦ J = J ′ ◦ J; b) dac˘a J ′ ◦ J = J ◦ J ′ atunci J ′ ◦ J este un operator de ˆınchidere.

23 Fie A o mult¸ime. Spunem c˘ a un operator de ˆınchidere J este algebric dac˘ a pentru orice X ⊆ A ¸si orice a ∈ J(X) exist˘ a o submult¸ime finit˘ a X ′ ⊆ X astfel ˆıncˆ at a ∈ J(X ′ ). Au loc urm˘ atoarele afirmat¸ii: i) Dac˘ a C este un sistem de ˆınchidere pe A atunci \ JC : P(A) → P(A), JC (X) = {Y ∈ C | X ⊆ Y } este un operator de ˆınchidere pe A (vezi [33, Teorema 1.5.6]). ii) Dac˘ a J este un operator de ˆınchidere pe A atunci CJ = {X ⊆ A | J(X) = X} este un sistem de ˆınchidere pe A(vezi [33, Teorema 1.5.7]). iii) Corespondent¸a C 7→ JC realizeaz˘ a o biject¸ie ˆıntre mult¸imea sistemelor de ˆınchidere pe A ¸si mult¸imea operatorilor de ˆınchidere pe A ¸si inversa sa este dat˘ a de corespondent¸a J 7→ CJ (vezi [33, Teorema 1.5.8]).

Spunem c˘ a un sistem de ˆınchidere C este algebric dac˘ a operatorul de ˆınchidere JC este algebric. Un sistem de ˆınchidere \ C este algebric dac˘ a ¸si numai dac˘ a pentru orice D ⊆ C X ∈ C (vezi [33, Teorema 1.5.13]). nevid˘ a ¸si dirijat˘ a superior avem X∈D

1.159. Fie Rr mult¸imea relat¸iilor reflexive ˆıntre elementele unei mult¸imi nevide A. S˘a se arate c˘a: a) Rr este un sistem de ˆınchidere algebric pe A × A; b) Rr este o sublatice a laticii (P(A × A), ⊆), dar nu este o sublatice complet˘a; c) dac˘a Fr este operatorul de ˆınchidere definit de Rr ¸si ρ ⊆ A × A atunci Fr (ρ) = ρ ∪ ∆A . 1.160. Fie Rt mult¸imea relat¸iilor tranzitive ˆıntre elementele unei mult¸imi A. S˘a se arate c˘a : a) Rt este un sistem de ˆınchidere algebric pe A × A; b) Rt nu este, ˆın general, o sublatice a laticii (P(A × A), ⊆); c) dac˘a Ft este operatorul de ˆınchidere definit de Rt ¸si ρ ⊆ A × A atunci [ Ft (ρ) = ρn . n∈N∗

1.161. Fie Rs mult¸imea relat¸iilor simetrice ˆıntre elementele unei mult¸imi A. S˘a se arate c˘a: a) Rs este o sublatice complet˘a a laticii complete (P(A × A), ⊆); b) dac˘a Fs este operatorul de ˆınchidere definit de Rs ¸si ρ ⊆ A × A atunci −1

Fs (ρ) = ρ ∪ ρ . 1.162. Fie Ra mult¸imea relat¸iilor antisimetrice ˆıntre \ elementele unei mult¸imi A. S˘a se arate c˘a dac˘a ρi ∈ Ra , i ∈ I ¸si I 6= ∅ atunci ρi ∈ Ra , dar (ˆın general) Ra nu i∈I [ este un sistem de ˆınchidere ¸si ρi ∈ / Ra . i∈I

24

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

1.163. Fie Rp mult¸imea relat¸iilor de preordine ˆıntre elementele unei mult¸imi A. S˘a se arate c˘a: a) Rp este un sistem de ˆınchidere algebric pe A × A, dar (ˆın general) nu este o sublatice a laticii (P(A × A), ⊆); b) dac˘a Fp este operatorul de ˆınchidere definit de Rp ¸si ρ ⊆ A × A atunci ! [ Fp (ρ) = ρn ∪ ∆A . n∈N∗

1.164. Fie A o mult¸ime ¸si E(A) mult¸imea relat¸iilor de echivalent¸˘a pe A. S˘a se arate c˘a: a) E(A) este un sistem de ˆınchidere algebric pe A × A, dar (ˆın general) nu este o sublatice a laticii (P(A × A), ⊆); b) dac˘a Fe este operatorul de ˆınchidere definit de E(A) ¸si ρ ⊆ A × A atunci " # [ n −1 Fe (ρ) = ρ∪ ρ ∪ ∆A . n∈N∗

1.165. Fie Fr , Fs , Ft , Fp ¸si Fe operatorii de ˆınchidere din problemele 1.159, 1.160, 1.161, 1.163 ¸si 1.164. S˘a se arate c˘a: a) Fr ◦ Ft , Ft ◦ Fs , Fr ◦ Fs ¸si Fr ◦ (Ft ◦ Fs ) sunt operatori de ˆınchidere; b) Fr ◦ Ft = Fp ¸si Fr ◦ (Ft ◦ Fs ) = Fe . 1.166. S˘a se arate c˘a mult¸imea sistemelor de ˆınchidere pe o mult¸ime A este un sistem de ˆınchidere pe P(A). Este acest sistem de ˆınchidere algebric?

1.167. Fie A o mult¸ime, O(A) mult¸imea operatorilor de ˆınchidere pe mult¸imea A ¸si J, J ′ ∈ O(A). S˘a se arate c˘a: a) mult¸imea O(A) este ordonat˘a de relat¸ia ≤ definit˘a prin J ′ ≤ J ⇔ ∀X ⊆ A, J ′ (X) ⊆ J(X);

b) (O(A)), ≤) este o latice complet˘a; c) dac˘a J ′ ◦ J este un operator de ˆınchidere atunci

sup(J ′ , J) = J ′ ◦ J.

1.168. Fie O(A), respectiv S(A) mult¸imea operatorilor, respectiv sistemelor de ˆınchidere pe o mult¸ime A. S˘a se arate c˘a funct¸ia ϕ : O(A) → S(A), ϕ(J) = J(P(A))

este un antiizomorfism ˆıntre (O(A), ≤) ¸si (S(A), ⊆).

1.169. Fie (A, ≤) ¸si (B ≤) dou˘a mult¸imi ordonate. Se spune c˘a o pereche de funct¸ii ϕ : A → B, ψ : B → A este o corespondent¸˘ a Galois dac˘a verific˘a urm˘atoarele condit¸ii: pentru x, x1 , x2 ∈ A ¸si y, y1, y2 ∈ B x1 ≤ x2 ⇒ ϕ(x1 ) ≥ ϕ(x2 ); y1 ≤ y2 ⇒ ψ(y1 ) ≥ ψ(y2 ); x ≤ ψ(ϕ(x)), y ≤ ϕ(ψ(y)). S˘a se arate c˘a dac˘a (ϕ, ψ) este o corespondent¸˘a Galois atunci ϕ ◦ ψ ◦ ϕ = ϕ ¸si ψ ◦ ϕ ◦ ψ = ψ.

25 1.170. Fie A ¸si B dou˘a mult¸imi, iar ϕ : P(A) → P(B), ψ : P(B) → P(A) o corespondent¸˘a Galois ˆıntre (P(A), ⊆) ¸si (P(B), ⊆). S˘a se arate c˘a: a) funct¸ia J : P(A) → P(A), J(X) = ψ(ϕ(X)) este operator de ˆınchidere pe A; b) funct¸ia J ′ : P(B) → P(B), J ′ (Y ) = ϕ(ψ(Y )) este operator de ˆınchidere pe B; c) egalitatea f (X) = ϕ(X) define¸ste o funct¸ie f : {X ⊆ A | J(X) = X} → {Y ⊆ B | J ′ (Y ) = Y } care este un antiizomorfism de ordine ¸si f −1 (Y ) = ψ(Y ). 1.171. Fie R ⊆ A × B o relat¸ie binar˘a, ϕ : P(A) → P(B), ψ : P(B) → P(A) funct¸iile definite prin ϕ(X) = {y ∈ B | ∀x ∈ X, xRy} ¸si ψ(Y ) = {x ∈ A | ∀y ∈ Y, xRy}, pentru orice X ⊆ A ¸si Y ⊆ B. S˘a se arate c˘a: ϕ(X) =

\

Rhxi ¸si ψ(Y ) =

x∈X

\

−1

Rhyi,

y∈Y

iar ϕ ¸si ψ formeaz˘a o corespondent¸˘a Galois ˆıntre (P(A), ⊆) ¸si (P(B), ⊆). 1.172. Dac˘a ˆın problema anterioar˘a se ia A = R = B ¸si ˆın locul lui R relat¸ia ≤, s˘a se g˘aseasc˘a sistemele de ˆınchidere definite de operatorii de ˆınchidere ϕ ◦ ψ ¸si ψ ◦ ϕ (vezi problema 1.170). 1.173. Spunem c˘a dou˘a mult¸imi X ¸si Y sunt echivalente (¸si scriem X ∼ Y ) dac˘a exist˘a o funct¸ie bijectiv˘a f : X → Y . O mult¸ime echivalent˘a cu N se nume¸ste mult¸ime num˘arabil˘a. S˘a se arate c˘a mult¸imile N∗ , Z, N × N, Q+ = {x ∈ Q | x > 0} ¸si Q sunt num˘arabile. 1.174. S˘a se arate c˘a dac˘a X este o mult¸ime infinit˘a ¸si x0 ∈ X atunci X ∼ X \ {x0 }. 1.175. S˘a se arate c˘a mult¸imile R, [a, b], (a, b], [a, b), (a, b) (a, b ∈ R, a < b), [0, 1] sunt echivalente. 1.176. Fie f : I → J o funct¸ie bijectiv˘a ¸si fie (Ai )i∈I , (Bj )j∈J dou˘a familii de ◦ ◦ [ [ mult¸imi astfel ˆıncˆat Ai ∼ Bf (i) pentru orice i ∈ I. S˘a se arate c˘a: a) Ai ∼ Bj , b)

Y i∈I

Ai ∼

Y

i∈I

j∈J

Bj .

j∈J

1.177. Fie mult¸imile A1 , A2 , B1 , B2 astfel ˆıncˆat A1 ∼ A2 ¸si B1 ∼ B2 . S˘a se arate c˘a B2 1 AB 1 ∼ A2 . 1.178. Fie (Xi )i∈N o familie de mult¸imi num˘arabile indexat˘a dup˘a mult¸imea nu◦ [ merelor naturale. S˘a se arate c˘a mult¸imea Xi este num˘arabil˘a. i∈N

26

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

Relat¸ia ∼ este reflexiv˘ a, simetric˘ a ¸si tranzitiv˘ a. Asociem fiec˘ arei mult¸imi X un simbol |X| numit cardinalul mult¸imii X, caracterizat prin proprietatea |X| = |Y | ⇔ X ∼ Y. Cardinalul mult¸imii ∅ se noteaz˘ a cu 0, cardinalul submult¸imii {0, 1, . . . , n − 1} a mult¸imii N se noteaz˘ a cu n, iar cardinalul mult¸imii N se noteaz˘ a cu ℵ0 . Din problemele anterioare rezult˘ a c˘ a egalit˘ a¸tile ◦ [ Y Y X |Ai | = Ai , |Ai | = Ai , |B||A| = B A i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

nu depind de alegerea reprezentant¸ilor Ai , A, B ai cardinalelor |Ai |, |A|, |B| (i ∈ I), fapt care permite definirea ca mai sus a sumei, produsului, respectiv, ridic˘ arii la putere a cardinalelor. Amintim aici faptul c˘ a adunarea ¸si ˆınmult¸irea cardinalelor sunt asociative, comutative, ˆınmult¸irea este distributiv˘ a fat¸˘ a de adunare (vezi [7, Cap.3]) ¸si produsul a dou˘ a cardinale poate fi exprimat cu ajutorul sumei astfel: m·n = m | +m {z+ · ·}· = n | + n{z+ · ·}· . n

m

De asemenea, amintim c˘ a ridicarea la putere a cardinalelor satisface urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti: dac˘ a m, n, p, (mi )i∈I , (mi )i∈I sunt cardinale atunci Y i∈I

mi

!n

=

Y i∈I

(mni ) ,

Y

(mni ) = m

0 1 BX ni CA i∈I

, (mn)p = mn·p.

i∈I

1.179. Fie m = |X|, n = |Y | dou˘a numere cardinale. Scriem m ≤ n dac˘a exist˘a o funct¸ie injectiv˘a f : X → Y . S˘a se arate c˘a: a) relat¸ia ≤ nu depinde de alegerea reprezentant¸ilor; b) dac˘a pentru cardinalele m1 , m2 , n1 , n2 avem m1 ≤ n1 ¸si m2 ≤ n2 atunci m1 + m2 ≤ n1 + n2 . 1.180. Fie m ¸si n dou˘a cardinale. Scriem m < n dac˘a m ≤ n ¸si m 6= n. S˘a se arate c˘a: a) dac˘a m < n atunci exist˘a un cardinal p > 0 astfel ˆıncˆat n = m + p; b) m ≤ n dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a un cardinal p astfel ˆıncˆat n = m + p. 1.181. Dac˘a m ¸si n sunt dou˘a cardinale cu 1 < m, 1 < n atunci m + n ≤ m · n. 1.182. Cardinalul 2ℵ0 se noteaz˘a cu c ¸si se nume¸ste puterea continuului. S˘a se arate c˘a au loc urm˘atoarele egalit˘a¸ti: 1) ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 ; 2) ℵ0 + ℵ0 + · · · = ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 ; | {z } 2

3) c = c ; 4) c

ℵ0

= c ; 5) c + c = c ; 6)

ℵℵ0 0

ℵ0

= c ; 7) ℵ0 · c = c .

1.183. S˘a se arate c˘a mult¸imile R, R2 , . . . , Rn (n ∈ N∗ ) ¸si C sunt de puterea continuului.

27 1.184. Cardinalul unei mult¸imi infinite se nume¸ste cardinal infinit. S˘a se arate c˘a dac˘a m este un cardinal infinit atunci: a) m2 = m ; b) m + m = m ; c) pentru orice cardinal n cu proprietatea c˘a 1 ≤ n ≤ m avem m + n = m ¸si m · n = m. Reamintim c˘ a dou˘ a mult¸imi bine ordonate (X, ≤) ¸si (Y, ≤) sunt izomorfe dac˘ a exist˘ a atoare. ˆIn acest caz f : X → Y o funct¸ie bijectiv˘ a pentru care f ¸si f −1 sunt cresc˘ scriem (X, ≤) ≈ (Y, ≤). Relat¸ia ≈ astfel obt¸inut˘ a este reflexiv˘ a, simetric˘ a ¸si tranzitiv˘ a. Asociem fiec˘ arei mult¸imi bine ordonate (X, ≤) un simbol o(X, ≤), numit ordinalul mult¸imii bineordonate (X, ≤), caracterizat de proprietatea o(X, ≤) = o(Y, ≤) ⇔ (X, ≤) ≈ (Y, ≤) . Cardinalul unei mult¸imi bine ordonate de ordinal α se noteaz˘ a cu α ¸si se nume¸ste cardinalul ordinalului α. Elementele mult¸imii {α | α = m} se numesc ordinale corespunz˘ atoare cardinalului m.

1.185. a) S˘a se arate c˘a toate ordinalele corespunz˘atoare unui cardinal finit sunt egale. b) S˘a se arate c˘a (pentru cardinale infinite) exist˘a mai multe ordinale corespunz˘atoare aceluia¸si cardinal. Ordinalul mult¸imii vide se noteaz˘ a cu 0, ordinalul mult¸imii {1, 2, . . . , n} (n ∈ N∗ ) se noteaz˘ a cu n, iar ordinalul lui (N, ≤) se noteaz˘ a cu ω.

1.186. Fie (A, ≤), (B, ≤) dou˘a mult¸imi bine ordonate de ordinale α, respectiv β ¸si fie relat¸ia ≤ definit˘a pe produsul cartezian A × B prin (a1 , b1 ) ≤ (a2 , b2 ) ⇔ a1 < a2 sau (a1 = a2 ¸si b1 ≤ b2 ) (numit˘a ordonare lexicografic˘a). S˘a se arate c˘a: a) mult¸imea (A × B, ≤) este bine ordonat˘a; b) dac˘a mult¸imile bine ordonate (A′ , ≤) ¸si (B ′ , ≤) sunt izomorfe cu (A, ≤), respectiv (B, ≤) atunci mult¸imile bine ordonate (A × B, ≤) ¸si (A′ × B ′ , ≤) sunt izomorfe — ceea ce permite definirea produsului β · α al ordinalelor β ¸si α astfel: β · α este ordinalul mult¸imii bine ordonate (A × B, ≤). 1.187. Fie (I, ≤) o mult¸ime bine ordonat˘a, pentru fiecare i ∈ I, (Ai , ≤) o mult¸ime bineordonat˘a de ordinal αi ¸si relat¸ia ≤ definit˘a pe

◦ [

Ai prin

i∈I

(i1 , a′ ) ≤ (i2 , a′′ ) ⇔ (i1 = i2 ¸si a′ ≤ a′′ ˆın Ai1 ) sau i1 ≤ i2 . S˘a se arate c˘a: a) mult¸imea

◦ [

i∈I

Ai , ≤

!

este bine ordonat˘a;

b) dac˘a f este un izomorfism de ordine ˆıntre mult¸imile bine ordonate (J, ≤) ¸si (I, ≤) ¸si pentru fiecare i ∈ I mult¸imile bine ordonate (Ai , ≤) ¸si (Bf (i) , ≤) sunt izomorfe

28

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

atunci mult¸imile bine ordonate

◦ [

i∈I

ceea ce permite definirea sumei

X

Ai , ≤



¸si 

◦ [

j∈I



Bj , ≤ au acela¸si ordinal —

αi a familiei de ordinale (αi )i∈I astfel:

i∈I

ordinalul mult¸imii bine ordonate

!

◦ [

i∈I

!

X

αi este

i∈I

Ai , ≤ ;

c) dac˘a α ¸si β sunt dou˘a ordinale atunci ordinalul α + β nu este ˆıntotdeauna egal cu ordinalul β + α.

Capitolul 2 Grupoizi. Semigrupuri. Grupuri 2.1. S˘a se dea dou˘a exemple de grupoizi care nu sunt semigrupuri ¸si s˘a se cerceteze dac˘a au elemente neutre. 2.2. S˘a se dea un exemplu de grupoid care are dou˘a elemente neutre la stˆanga (dreapta). Exist˘a grupoizi care au dou˘a elemente neutre la stˆanga diferite ¸si un element neutru la dreapta? Exist˘a grupoizi care au dou˘a elemente neutre? 2.3. S˘a se dea exemplu de grupoid cu element neutru ˆın care exist˘a un element cu dou˘a simetrice diferite. Exist˘a semigrupuri cu aceast˘a proprietate? 2.4. S˘a se dea un exemplu de grupoid cu element neutru ˆın care exist˘a un element simetrizabil cu care nu se poate simplifica. Exist˘a semigrupuri cu aceast˘a proprietate? 2.5. Fie ∗ operat¸ia definit˘a pe R prin x ∗ y = x + y + xy. S˘a se arate c˘a (R, ∗) este un monoid comutativ ¸si c˘a intervalul [−1, +∞) este o parte stabil˘a a lui (R, ∗). 2.6. Fie λ ∈ R ¸si ∗ operat¸ia definit˘a pe R prin

x ∗ y = xy − 2x − 2y + λ. S˘a se determine valorile parametrului real λ pentru care intervalul (2, +∞) este o parte stabil˘a ˆın (R, ∗).

2.7. Pe R se define¸ste operat¸ia ∗ astfel

x ∗ y = xy + 2ax + by, ∀x, y ∈ R.

S˘a se determine a, b ∈ R astfel ˆıncˆat (R, ∗) s˘a fie un semigrup comutativ.

2.8. Fie m, n, p trei numere ˆıntregi ¸si ∗ operat¸ia definit˘a ˆın Z prin x ∗ y = mxy + n(x + y) + p.

i) S˘a se determine o condit¸ie necesar˘a ¸si suficient˘a pentru ca operat¸ia ∗ s˘a fie asociativ˘a. ii) S˘a se determine condit¸ii necesare ¸si suficiente pentru existent¸a elementului neutru ˆın (Z, ∗). iii) S˘a se determine m, n ¸si p astfel ˆıncˆat (Z, ∗) s˘a fie grup. 29

30

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

2.9. Fie M o mult¸ime ¸si ◦ compunerea funct¸iilor. i) S˘a se determine ˆın (M M , ◦) elementele inversabile la stˆanga (dreapta), elementele inversabile, elementele cu care se poate simplifica la stˆanga (dreapta) ¸si elementele cu care se poate simplifica. ii) Cum trebuie s˘a fie M pentru ca elementele inversabile la stˆanga s˘a coincid˘a cu cele inversabile la dreapta ¸si cu cele inversabile? iii) S˘a se ˆıntocmeasc˘a tabla operat¸iei ◦ ˆın cazul M = {0, 1} ¸si s˘a se g˘aseasc˘a ˆın acest caz elementele cerute la punctul i). 2.10. Fie A o mult¸ime finit˘a cu n elemente. S˘a se determine: i) num˘arul operat¸iilor (binare) pe A; ii) num˘arul operat¸iilor (binare) comutative pe A; iii) num˘arul operat¸iilor (binare) pe A care admit element neutru; iv) num˘arul operat¸iilor comutative ¸si cu element neutru ce se pot defini pe A. 2.11. Fie ϕ o operat¸ie pe mult¸imea A ¸si B ⊆ A o parte stabil˘a ˆın (A, ϕ). Operat¸ia ϕ′ : B × B → B definit˘a prin (∗)

ϕ′ (b1 , b2 ) = ϕ(b1 , b2 ), ∀b1 , b2 ∈ B

se nume¸ste operat¸ia indus˘a de ϕ pe B. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a ϕ este asociativ˘a, respectiv comutativ˘a, atunci ϕ′ este asociativ˘a, respectiv comutativ˘a; ii) dac˘a B nu este stabil˘a atunci formula (∗) nu define¸ste o operat¸ie ˆın B. 2.12. S˘a se dea un exemplu de submult¸ime a lui Z care nu este stabil˘a relativ la + ¸si s˘a se arate c˘a + nu induce o operat¸ie pe aceast˘a mult¸ime. S˘a se determine p˘art¸ile stabile finite ale lui (Z, +). 2.13. S˘a se determine p˘art¸ile stabile finite ale semigrupului (Z, ·). 2.14. Fie (A, ·) un grupoid. S˘a se arate c˘a mult¸imile B1 = {a ∈ A | (ax)y = a(xy), ∀x, y ∈ A}, B2 = {a ∈ A | (xa)y = x(ay), ∀x, y ∈ A}, B3 = {a ∈ A | (xy)a = x(ya), ∀x, y ∈ A} sunt p˘art¸i stabile ˆın (A, ·) ¸si c˘a (A, ·) este un semigrup dac˘a ¸si numai dac˘a A coincide cu una dintre mult¸imile B1 , B2 , B3 . 2.15. S˘a se arate, folosind problema anterioar˘a, c˘a operat¸ia · definit˘a pe mult¸imea A = {a, b, c, d, f } prin tabla · a b c d f

este asociativ˘a.

a a a a d a

b a b c d f

c a c b d f

d d d d a a

f d d d a a

31 2.16. Fie M o mult¸ime ¸si P(M) mult¸imea p˘art¸ilor sale. S˘a se determine un izomorfism ˆıntre grupoizii (P(M), ∪) ¸si (P(M), ∩). Sunt (P(M), ∪) ¸si (P(M), ∩) grupuri? 2.17. Fie (A, ·) un grupoid ¸si X, Y ⊆ A. Definim X · Y = {x · y | x ∈ X, y ∈ Y }. S˘a se arate c˘a: i) (P(A), ·) are un subgrupoid izomorf cu (A, ·); ii) X · Y = Y · X dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice x ∈ X ¸si y ∈ Y exist˘a x′ , x′′ ∈ X ¸si y ′, y ′′ ∈ Y astfel ˆıncˆat xy = y ′ x′ ¸si yx = x′′ y ′′ . Deducet¸i de aici c˘a (A, ·) comutativ implic˘a (P(A), ·) comutativ. iii) B este un subgrupoid ˆın (A, ·) dac˘a ¸si numai dac˘a B · B ⊆ B; iv) dac˘a B1 , B2 ⊆ A sunt p˘art¸i stabile ¸si B1 · B2 = B2 · B1 atunci B1 · B2 este parte stabil˘a; v) dac˘a Y1 , Y2 ⊆ A atunci X · (Y1 ∪ Y2 ) = (X · Y1 ) ∪ (X · Y2 ), (Y1 ∪ Y2 ) · X = (Y1 · X) ∪ (Y2 · X), X · (Y1 ∩ Y2 ) ⊆ (X · Y1 ) ∩ (X · Y2 ), (Y1 ∩ Y2 ) · X ⊆ (Y1 · X) ∩ (Y2 · X), iar dac˘a x ∈ A este un element cu care se poate simplifica ¸si X = {x} atunci ultimele dou˘a incluziuni devin egalit˘a¸ti; vi) dac˘a (A, ·) este un semigrup, respectiv un monoid, atunci (P(A), ·) este un semigrup, respectiv un monoid; vii) dac˘a A 6= ∅ atunci (P(A), ·) nu este grup, chiar dac˘a (A, ·) este un grup. 2.18. S˘a se arate c˘a mult¸imea S(N, +) a subgrupoizilor lui (N, +) formeaz˘a, ˆın raport cu incluziunea mult¸imilor, o latice complet˘a. S˘a se verifice c˘a pentru orice n ∈ N, nN = {nk | k ∈ N} este parte stabil˘a ˆın (N, +) ¸si s˘a se determine 2N ∧ 3N ¸si 2N ∨ 3N ˆın laticea (S(N, +), ⊆). Este S(N, +) sublatice ˆın (P(N), ⊆)? 2.19. Fie (A, ·) un grupoid. Un element x ∈ A se nume¸ste idempotent dac˘a x2 = x. S˘a se arate c˘a dac˘a (A, ·) este un semigrup comutativ ¸si orice element din A este idempotent atunci funct¸ia f : A → P(A), f (x) = xA (unde xA = {x} · A) este un omomorfism al lui (A, ·) ˆın (P(A), ∩) ¸si ˆın (P(A), ·). 2.20. O mult¸ime ordonat˘a (L, ≤) se nume¸ste semilatice ˆın raport cu ∨ dac˘a pentru orice a, b ∈ L exist˘a a ∨ b = sup(a, b). a) Dac˘a (L, ≤) este o semilatice ˆın raport cu ∨ atunci (L, ∨) este un semigrup comutativ ˆın care toate elementele sunt idempotente. b) Dac˘a (L, ∨) este un semigrup comutativ ˆın care toate elementele sunt idempotente atunci relat¸ia ≤ definit˘a pe L prin a≤b⇔ a∨b=b este o relat¸ie de ordine ¸si (L, ≤) este o semilatice ˆın care sup(a, b) = a ∨ b, ∀a, b ∈ L. c) Corespondent¸a (A, ·) 7→ (A, ≤) (unde x ≤ y ⇔ xy = y) realizeaz˘a o biject¸ie ˆıntre clasa semigrupurilor comutative cu toate elementele idempotente ¸si clasa semilaticilor ˆın raport cu ∨.

32

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

2.21. O mult¸ime ordonat˘a (L, ≤) se nume¸ste semilatice ˆın raport cu ∧ dac˘a pentru orice a, b ∈ L exist˘a a ∧ b = inf(a, b). a) Dac˘a (L, ≤) este o semilatice ˆın raport cu ∧ atunci (L, ∧) este un semigrup comutativ ˆın care toate elementele sunt idempotente. b) Dac˘a (L, ∧) este un semigrup comutativ ˆın care toate elementele sunt idempotente atunci relat¸ia ≤ definit˘a pe L prin a≤b⇔a∧b= a este o relat¸ie de ordine ¸si (L, ≤) este o semilatice ˆın care inf(a, b) = a ∧ b, ∀a, b ∈ L. c) Corespondent¸a (A, ·) 7→ (A, ≤) (unde x ≤ y ⇔ xy = x) realizeaz˘a o biject¸ie ˆıntre clasa semigrupurilor comutative cu toate elementele idempotente ¸si clasa semilaticilor ˆın raport cu ∧. 2.22. a) Dac˘a (L, ≤) este o latice atunci egalit˘a¸tile a ∨ b = sup(a, b), a ∧ b = inf(a, b) definesc pe L dou˘a operat¸ii (binare) ∨, ∧ care sunt asociative, comutative ¸si verific˘a legile de absorbt¸ie, adic˘a a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a. b) Dac˘a (L, ∨, ∧) este o structur˘a algebric˘a cu dou˘a operat¸ii (binare) asociative, comutative care verific˘a legile de absorbt¸ie atunci a∨b =b⇔ a∧b=a pentru orice a, b ∈ L, relat¸ia ≤ definit˘a prin a≤b ⇔a∨b=b ⇔a∧b=a este o relat¸ie de ordine ¸si (L, ≤) este o latice ˆın care sup(a, b) = a ∨ b, inf(a, b) = a ∧ b, ∀a, b ∈ L. c) Corespondent¸a (L, ∨, ∧) 7→ (L, ≤) (unde x ≤ y ⇔ x ∨ y = y) realizeaz˘a o biject¸ie ˆıntre clasa structurilor algebrice cu dou˘a operat¸ii (binare) asociative, comutative care verific˘a legile de absorbt¸ie ¸si clasa laticilor. 2.23. Fie a, b ∈ R ¸si f : C → R, f (z) = a|z| + b. S˘a se determine a ¸si b astfel ˆıncˆat f s˘a fie un omomorfism al lui (C, ·) ˆın (R, ·). 2.24. Fie (A, ·), (B, ·) grupoizi ¸si y0 ∈ B. i) Ce proprietate trebuie s˘a aib˘a y0 pentru ca funct¸ia constant˘a f : A → B, f (x) = y0 s˘a fie un omomorfism? ii) Ce condit¸ii trebuie s˘a verifice B pentru ca oricare ar fi grupoidul (A, ·) s˘a existe un omomorfism de la (A, ·) la (B, ·)?

33 2.25. Fie (A, ·), (B, ·) grupoizi, 1 ∈ A element neutru ˆın (A, ·) ¸si f : A → B un omomorfism. S˘a se arate c˘a: i) f (1) este un element neutru ˆın (f (A), ·); ii) dac˘a (B, ·) are un element neutru ¸si acesta apart¸ine lui f (A) atunci f este unital (adic˘a f (1) este unitatea lui (B, ·)); iii) dac˘a f este surjectiv atunci (B, ·) are element neutru ¸si f este unital. 2.26. Fie (A, ·), (B, ∗) grupoizi ¸si f : A → B omomorfism. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a A′ este un subgrupoid al lui (A, ·) atunci f (A′ ) este un subgrupoid al lui (B, ·), iar dac˘a grupoidul (A, ·) este comutativ, respectiv semigrup, monoid, grup atunci grupoidul (f (A′ ), ·) este comutativ, respectiv semigrup, monoid, grup; −1

ii) dac˘a B ′ este un subgrupoid al lui (B, ·) atunci f (B ′ ) este un subgrupoid al lui (A, ·).

2.27. S˘a se arate c˘a exist˘a grupoizi care nu sunt semigrupuri, dar se aplic˘a omomorf pe semigrupuri ¸si chiar pe grupuri. 2.28. Fie (A, ·), (B, ·) grupoizi ¸si f : A → B un omomorfism. i) Dac˘a un element x ∈ A este regulat (adic˘a cu x se poate simplifica) rezult˘a oare c˘a f (x) este regulat? ii) Dac˘a cei doi grupoizi au unitate ¸si x ∈ A este inversabil atunci cum trebuie s˘a fie f pentru ca f (x−1 ) = [f (x)]−1 ? 1 1 1 0 2 0 2 0 2.29. Fie A = , B = , C = , D = . 0 1 0 2 0 1 0 0 S˘a se determine subsemigrupurile hAi, hA, Di, hB, Ci ¸si hB, Di ale semigrupului (M2 (Z), ·). 2.30. a) Fie (A, ·) un grupoid ¸si X ⊆ A. S˘a se arate c˘a subgrupoidul lui (A, ·) generat de X este reuniunea tuturor submult¸imilor Xk ⊆ A (k ∈ N) obt¸inute astfel X0 = X, Xk+1 = Xk ∪ {x1 · x2 | x1 , x2 ∈ Xk }. b) Fie (A, ·), (B, ·) doi grupoizi ¸si X ⊆ A. S˘a se arate c˘a dac˘a f : A → B este un omomorfism atunci f (hXi) = hf (X)i. 2.31. Fie (A, ·), (B, ·) grupoizi ¸si fie X un sistem de generatori pentru (A, ·). S˘a se arate c˘a o funct¸ie a lui X ˆın B se extinde cel mult ˆıntr-un mod la un omomorfism al lui (A, ·) ˆın (B, ·). 2.32. a) Fie (A, ·) un semigrup, respectiv un monoid. S˘a se arate c˘a orice funct¸ie f : {1} → A se poate prelungi ˆın mod unic la un omomorfism, respectiv omomorfism unital al lui (N∗ , +), respectiv (N, +) ˆın (A, ·). b) Se poate prelungi funct¸ia g : {1, 2} → N, g(1) = 1 = g(2) la un endomorfism al lui (N∗ , +)? c) S˘a se determine subsemigrupul h2i generat de 2 ˆın (N, ·) ¸si s˘a se g˘aseasc˘a toate omomorfismele lui (N∗ , +) ˆın h2i. 2.33. Fie m, n ∈ Z, m < −1, n > 1. S˘a se determine endomorfismele f : Q → Q ale lui (Q, ·) pentru care avem f (Q) ⊆ {m, m + 1, . . . , n}.

34

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

2.34. Fie n ∈ N∗ , Mn (C) mult¸imea matricelor p˘atrate de ordinul n cu elemente din C ¸si A = (aij ) ∈ Mn (C). Care dintre funct¸iile fk : Mn (C) → C (k = 1, 2, 3) n X definite prin f1 (A) = det A, f2 (A) = aii ¸si f3 (A) = 1 sunt omomorfisme ale lui i=1

(Mn (C), ·) ˆın (C, ·)? Dar ale lui (Mn (C), +) ˆın (C, +)?

2.35. Fie f, g : C → C, f (z) = |z|, iar g(0) = 0 ¸si g(z) = arg z pentru z 6= 0. Sunt f ¸si g endomorfisme ale lui (C, +)? Dar ale lui (C, ·)? 2.36.Y a) Fie (Ai , · )i∈I o familie de grupoizi. S˘a se arate c˘a pe produsul cartezian P = Ai exist˘a o singur˘a structur˘a de grupoid (P, ·) pentru care proiect¸iile cai∈I

nonice pj : P → Aj , pj ((ai )i∈I ) = aj sunt omomorfisme. Mai mult, dac˘a fiecare (Ai , ·) este semigrup, respectiv grupoid comutativ, monoid, grup, atunci (P, ·) este, de asemenea, semigrup, respectiv grupoid comutativ, monoid, grup. b) S˘a se arate c˘a grupoidul (P, ·) de mai sus are urm˘atoarea proprietate de universalitate: pentru orice grupoid (B, ·) ¸si orice familie de omomorfisme ui : B → Ai , i ∈ I exist˘a un singur omomorfism u : B → P astfel ˆıncˆat diagrama B@ u

P

@@ u @@ j @@ pj

Aj /

s˘a fie comutativ˘a pentru orice j ∈ I. c) Dac˘a grupoidul (P ′ , ·) ¸si omomorfismele p′i : P ′ → A′i , i ∈ I au aceea¸si proprietate de universalitate ca ¸si (P, ·) ¸si omomorfismele pi , i ∈ I atunci grupoizii (P, ·) ¸si (P ′ , ·) sunt izomorfi, adic˘a proprietatea de universalitate a lui (P, ·) determin˘a pe (P, ·) pˆan˘a la un izomorfism. d) Fie (A, ·) un grupoid ¸si (Ai , ·) = (A, ·) pentru orice i ∈ I. S˘a se arate c˘a grupoidul (P, ·) = (AI , ·) are un subgrupoid izomorf cu (A, ·). 2.37. Fie A1 , A2 , A trei grupoizi, respectiv grupuri ¸si f1 : A1 → A, f2 : A2 → A dou˘a omomorfisme. S˘a se arate c˘a: a) submult¸imea S = {(a1 , a2 ) ∈ A1 × A2 | f1 (a1 ) = f2 (a2 )} este un subgrupoid, respectiv subgrup al produsului (A1 × A2 , ·), funct¸iile g1 : S → A1 , g1 (a1 , a2 ) = a1 , g2 : S → A2 , g2 (a1 , a2 ) = a2 sunt omomorfisme ¸si diagrama S

g1

A1 /

g2

f1

A2

f2

/

A

este comutativ˘a; b) tripletul (S, g1 , g2 ) are urm˘atoarea proprietate de universalitate: pentru orice grupoid S ′ ¸si orice omomorfisme g1′ : S ′ → A1 , g2′ : S ′ → A2 care fac comutativ

35 p˘atratul diagramei S

g1′

′ g

g2′

S

~ ~~ ~~g2 ~ ~~ ~ f2

A2

/A > 1 ~ ~ ~ ~ ~~ g1 ~~

/

f1

A

exist˘a un omomorfism unic g : S ′ → S astfel ˆıncˆat g1′ = g1 ◦ g ¸si g2′ = g2 ◦ g ; c) proprietatea de universalitate a tripletului (S, g1 , g2 ) determin˘a pe S pˆan˘a la un izomorfism. 2.38. Fie (A, ·), (B, ·) grupoizi, respectiv grupuri ¸si f, g : A → B omomorfisme. S˘a se arate c˘a: a) submult¸imea E = {a ∈ A | f (a) = g(a)} este un subgrupoid, respectiv subgrup al lui (A, ·) ¸si f ◦ i = g ◦ i , unde i : E → A este omomorfismul de incluziune; b) perechea (E, i) are urm˘atoarea proprietate de universalitate: pentru orice grupoid (C, ·) ¸si orice omomorfism h : C → A care verific˘a egalitatea f ◦ h = g ◦ h exist˘a un omomorfism unic γ : C → E astfel ˆıncˆat h = i ◦ γ; c) proprietatea de universalitate a perechii (E, i) determin˘a pe E pˆan˘a la un izomorfism. 2.39. Fie (A, ·) un grupoid. S˘a se arate c˘a ∆A ¸si A × A sunt congruent¸e pe (A, ·) ¸si grupoidul cˆat (A/∆A , ·) este izomorf cu (A, ·). Cˆate elemente are mult¸imea suport a grupoidului cˆat (A/A × A, ·)? 2.40. Fie ρ1 ¸si ρ2 relat¸iile binare definite ˆın C astfel: z1 ρ1 z2 ⇔ arg z1 = arg z2 sau z1 = 0 = z2 ; z1 ρ2 z2 ⇔ |z1 | = |z2 |. Sunt ρ1 ¸si ρ2 congruent¸e pe (C, +)? Dar pe (C, ·)? ˆIn caz afirmativ s˘a se determine grupoidul cˆat. 2.41. a) Fie (G, ·), (G′ , ·) doi grupoizi ¸si f : G → G′ un omomorfism. S˘a se arate c˘a nucleul ker f al funct¸iei f este o congruent¸˘a pe (G, ·) ¸si c˘a grupoizii (G/ ker f, ·) ¸si (f (G), ·) sunt izomorfi. b) S˘a se arate c˘a funct¸ia f : C → R, f (z) = |z| este un omomorfism de la (C, ·) la (R, ·) ¸si s˘a se aplice punctul a) acestui omomorfism. c) S˘a se arate c˘a f : Mn (C) → C, f (A) = det A este un omomorfism de la (Mn (C), ·) la (C, ·) ¸si s˘a se aplice punctul a) acestui omomorfism. 2.42. a) Fie (A, ·) un grupoid, B un subgrupoid ˆın (A, ·) ¸si ρ o congruent¸˘a pe (A, ·). S˘a se arate c˘a ρ(B) este subgrupoid ˆın (A, ·), c˘a relat¸iile ρ′ = ρ ∩ (B × B) ¸si ρ′′ = ρ ∩ (ρ(B) × ρ(B)) sunt congruent¸e pe B, respectiv pe ρ(B) ¸si c˘a grupoizii cˆat B/ρ′ ¸si ρ(B)/ρ′′ sunt izomorfi. b) S˘a se arate c˘a B = {x ∈ R | |x| > 1} este un subgrupoid al lui (C, ·) ¸si s˘a se aplice punctul a) lui A ¸si congruent¸ei ρ2 din problema 2.40.

36

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

2.43. Fie n ∈ N ¸si ρn relat¸ia binar˘a definit˘a ˆın Z prin xρn y ⇔ ∃k ∈ Z : x − y = kn. Ment¸ion˘am c˘a ˆın locul notat¸iei xρn y se folose¸ste, ˆın general, notat¸ia x ≡ y(mod n), iar ρn se nume¸ste congruent¸a modulo n. S˘a se arate c˘a: a) ρn este o congruent¸˘a pe (Z, +) ¸si s˘a se determine grupoidul cˆat (Z/ρn , +); b) m|n ⇔ ρn ⊆ ρm . 2.44. Este congruent¸a modulo n (n ∈ N) o congruent¸˘a pe (Z, ·)? ˆIn caz afirmativ s˘a se determine grupoidul cˆat. 2.45. Fie (A, ·) un grupoid ¸si ρ o congruent¸˘a pe (A, ·). S˘a se arate c˘a grupoidul cˆat (A/ρ, ·) nu este, ˆın general, un subgrupoid al grupoidului (P(A), ·) introdus ˆın problema 2.17. 2.46. a) Fie (A, ·) un grupoid ¸si ρ1 ⊆ ρ2 dou˘a congruent¸e pe (A, ·). S˘a se arate c˘a exist˘a un unic omomorfism de grupoizi f : A/ρ1 → A/ρ2 astfel ˆıncˆat pρ2 = f ◦ pρ1 , iar dac˘a not˘am nucleul lui f cu ρ2 /ρ1 atunci grupoizii cˆat (A/ρ1 )/(ρ2 /ρ1 ) ¸si A/ρ2 sunt izomorfi. b) S˘a se aplice punctul a) lui (Z, +) ¸si congruent¸elor modulo 2 ¸si modulo 6. 2.47. Fie (A, ·) un grupoid. Un element a ∈ A se nume¸ste nongenerator al lui A dac˘a pentru orice X ⊆ A, hX ∪ {a}i = A ⇒ hXi = A. Un subgrupoid M 6= A al lui (A, ·) se nume¸ste maximal dac˘a pentru orice subgrupoid B al lui (A, ·), M ⊆ B ⇒ B = M sau B = A. S˘a se arate c˘a: a) mult¸imea F (A) a nongeneratorilor lui A formeaz˘a un subgrupoid al lui (A, ·), numit subgrupoidul lui Frattini; b) pentru orice automorfism f : A → A avem f (F (A)) ⊆ F (A); c) F (A) coincide cu intersect¸ia subgrupoizilor maximali ai lui (A, ·) (dac˘a nu exist˘a subgrupoizi maximali atunci aceast˘a intersect¸ie este A). 2.48. Fie (A, ·) un semigrup ciclic (adic˘a un semigrup generat de un element al lui A). Dac˘a exist˘a k1 , k2 ∈ N∗ diferite astfel ˆıncˆat ak1 = ak2 ¸si n este cel mai mic ˆıntreg pozitiv pentru care exist˘a un m ∈ N∗ , m < n astfel ˆıncˆat am = an , atunci perechea (m, n) se nume¸ste tipul lui (A, ·). S˘a se arate c˘a dac˘a (A, ·) este de tipul (m, n) atunci: i) am+q(n−m) = am pentru orice q ∈ N; ii) ak ∈ Kn−m = {am , am+1 , . . . , an−1 } pentru k ≥ n; Kn−m se nume¸ste partea periodic˘a a lui A; iii) A = {a, a2 , . . . , am , am+1 , . . . , an−1 }; iv) Kn−m este parte stabil˘a ˆın (A, ·) ¸si (Kn−m , ·) este grup.

37 2.49. S˘a se arate c˘a i) pentru orice m, n ∈ N∗ , m < n, exist˘a un semigrup ciclic de tipul (m, n); ii) toate semigrupurile ciclice de tipul (m, n) sunt izomorfe; iii) orice semigrup ciclic infinit este izomorf cu (N∗ , +). 2.50. S˘a se ˆıntocmeasc˘a tabla de operat¸ie a semigrupului ciclic de tipul (3, 7) ¸si s˘a se arate c˘a partea sa periodic˘a este un grup. 2.51. Fie (A, ·) un semigrup. Un element x ∈ A se nume¸ste regular dac˘a exist˘a x′ ∈ A astfel ˆıncˆat xx′ x = x. Dac˘a orice x ∈ A este regular atunci (A, ·) se nume¸ste semigrup regular. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a x este regular atunci exist˘a x ∈ A astfel ˆıncˆat xxx = x ¸si xxx = x; ii) un semigrup regular cu mult¸imea suport nevid˘a are elemente idempotente; iii) dac˘a M este o mult¸ime atunci semigrupul (M M , ◦) al transform˘arilor lui M (adic˘a al funct¸iilor f : M → M) este regular. 2.52. Fie (A, ·) un semigrup. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a (A, ·) este grup atunci exist˘a ˆın A un singur element idempotent; ii) dac˘a (A, ·) este regular ¸si A 6= ∅ atunci A are un singur element idempotent dac˘a ¸si numai dac˘a (A, ·) este grup. 2.53. Fie G = (−1, 1), x, y ∈ G ¸si (1)

x∗y =

x+y . 1 + xy

S˘a se arate c˘a: i) egalitatea (1) define¸ste o operat¸ie ∗ pe G ¸si (G, ∗) este un grup abelian; ii) ˆıntre grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive (R∗+ , ·) ¸si (G, ∗) exist˘a un αx − 1 . izomorfism f : R∗+ → G de forma f (x) = x+1 2.54. Fie x, y ∈ R ¸si x ∗ y = xy − 5x − 5y + 30. Este (R, ∗) grup? Dar (R \ {5}, ∗)? 2.55. Fie X o mult¸ime nevid˘a ¸si (G, ·) un grup. Dac˘a f, g ∈ GX atunci definim funct¸ia f · g : X → G prin (f · g)(x) = f (x) · g(x). S˘a se arate c˘a (GX , ·) este grup ¸si c˘a (GX , ·) are un subgrup izomorf cu (G, ·). 2.56. S˘a se arate c˘a un grupoid (G, +) este grup abelian dac˘a ¸si numai dac˘a verific˘a condit¸iile: i) (x + y) + z = x + (z + y), ∀x, y, z ∈ G ; ii) ∃0 ∈ G : ∀x ∈ G, 0 + x = x ; iii) ∀x ∈ G, ∃x′ ∈ G : x′ + x = 0 . 2.57. S˘a se arate c˘a un semigrup (G, ·) este grup dac˘a ¸si numai dac˘a G 6= ∅ ¸si a · G = G = G · a pentru orice a ∈ G. 2.58. Fie (G, ·) un grup ¸si x, y ∈ G. S˘a se arate c˘a: a) (x · y)−1 = x−1 · y −1 ⇔ x · y = y · x ⇔ (x · y)2 = x2 · y 2 ; b) x · y = y · x ⇒ (x · y)n = xn · y n , ∀n ∈ Z; c) x · y = y · x ⇒ xm · y n = y n · xm , ∀m, n ∈ Z.

38

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

2.59. Fie (G, ·) un grup ¸si f, g : G → G, f (x) = x−1 , g(x) = x2 . S˘a se arate c˘a: i) f este o biject¸ie; ii) f este automorfism dac˘a ¸si numai dac˘a (G, ·) este abelian; iii) g este omomorfism dac˘a ¸si numai dac˘a (G, ·) este abelian. 2.60. S˘a se arate c˘a un semigrup finit este grup dac˘a ¸si numai dac˘a mult¸imea suport este nevid˘a ¸si toate elementele sale sunt regulate. Grupurile infinite se pot caracteriza analog? 2.61. Fie R∗+ = {x ∈ R | x > 0}. S˘a se arate c˘a grupurile (R∗+ , ·) ¸si (R, +) sunt izomorfe. 2.62. Fie n > 1 ˆıntreg impar ¸si fie ∗ operat¸ia definit˘a pe R prin x∗y =

√ n

xn + y n .

S˘a se arate c˘a (R, ∗) este un grup izomorf cu (R, +). 2.63. S˘a se arate c˘a grupul (C, +) este izomorf cu (R × R, +), dar (C∗ , ·) nu este izomorf cu (R∗ × R∗ , ·). 2.64. Fie (G, ·), (G′ , ·) ¸si (G′′ , ·) trei grupuri. S˘a se arate c˘a au loc urm˘atoarele izomorfisme de grupuri: i) (G × G′ , ·) ≃ (G′ × G, ·); ii) ((G × G′ ) × G′′ , ·) ≃ (G × (G′ × G′′ ), ·) ≃ (G × G′ × G′′ , ·). 2.65. Fie (G, ·) un semigrup cu G 6= ∅ ¸si fie ta , t′a : G → G, ta (x) = ax, t′a (x) = xa (a ∈ G). S˘a se arate c˘a: i) dac˘a (G, ·) este grup atunci pentru orice a ∈ G funct¸iile ta , t′a sunt biject¸ii; ii) dac˘a pentru orice a ∈ G, ta ¸si t′a sunt surject¸ii atunci (G, ·) este grup. 2.66. Fie (G, ·) un semigrup, G 6= ∅, g ∈ G ¸si tg , t′g : G → G funct¸iile definite prin tg (x) = gx, t′g (x) = xg, iar T (G) = {tg | g ∈ G}, T ′ (G) = {t′g | g ∈ G}. S˘a se arate c˘a: i) T (G) ¸si T ′ (G) sunt subsemigrupuri ale lui (GG , ◦); ii) dac˘a (G, ·) este un monoid atunci (G, ·) este izomorf cu (T (G), ◦), iar funct¸ia f : G → T ′ (G), f (g) = t′g este o biject¸ie ¸si f (g1 · g2 ) = f (g2 ) ◦ f (g1 ), adic˘a f este antiizomorfism; iii) dac˘a (G, ·) este un grup atunci T (G) ¸si T ′ (G) sunt subgrupuri ale lui (SG , ◦) izomorfe cu (G, ·). 2.67. Fie (G, ·) un grupoid, End(G, ·) mult¸imea endomorfismelor grupoidului (G, ·) ¸si Aut(G, ·) mult¸imea automorfismelor lui (G, ·). S˘a se arate c˘a: a) End(G, ·) este un subsemigrup al semigrupului (GG , ◦); b) Aut(G, ·) este un subgrup al grupului simetric (SG , ◦).

39 2.68. Fie (G, +) ¸si (G′ , +) doi grupoizi ¸si f, g : G → G′ omomorfisme. S˘a se arate c˘a: a) funct¸ia f + g : G → G′ , (f + g)(x) = f (x) + g(x) este un omomorfism dac˘a ¸si numai dac˘a f (x) + g(x) = g(x) + f (x) pentru orice x ∈ G; b) dac˘a (G′ , +) este grup abelian atunci mult¸imea Hom(G, G′ ) a omomorfismelor lui (G, +) ˆın (G′ , +) este un grup abelian ˆın raport cu operat¸ia definit˘a mai sus. 2.69. Pe Q = {a1 + a2 i + a3 j + a4 k | a1 , a2 , a3 , a4 ∈ R} se define¸ste ˆınmult¸irea astfel: dac˘a q = a1 + a2 i + a3 j + a4 k ¸si q ′ = b1 + b2 i + b3 j + b4 k atunci qq ′ = (a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 − a4 b4 ) + (a1 b2 + a2 b1 + a3 b4 − a4 b3 )i + (a1 b3 − a2 b4 + a3 b1 + a4 b2 )j + (a1 b4 + a2 b3 − a3 b2 + a4 b1 )k. S˘a se arate c˘a: i) (Q, ·) este un monoid necomutativ; ii) grupul elementelor inversabile din (Q, ·) coincide cu Q∗ = Q \ {0}; iii) H = {−1, 1, −i, i, −j, j, −k, k} este un subgrup al lui (Q∗ , ·) (numit grupul cuaternionilor); iv) (Q∗ , ·) are un subgrup izomorf cu (C∗ , ·). 2.70. S˘a se arate c˘a H = {z ∈ C | |z| = 1} este un subgrup al lui (C∗ , ·), dar nu este subgrup al lui (C, +) ¸si s˘a se dea un exemplu de alt subgrup H ′ al lui (C∗ , ·) astfel ˆıncˆat H ∪ H ′ s˘a nu fie subgrup al lui (C∗ , ·). 2.71. Fie (G, ·) un grup, fie X ⊆ G ¸si X −1 = {x−1 | x ∈ X}. S˘a se arate c˘a I = {X ⊆ G | X −1 ⊆ X} este o sublatice complet˘a a laticii (P(G), ⊆) ¸si c˘a mult¸imea S a subgrupurilor lui G este inclus˘a ˆın I, dar I = 6 S. 2.72. Fie (G, ·) un grup. S˘a se arate c˘a: i) laticea subgrupurilor lui (G, ·) este o sublatice a laticii subsemigrupurilor lui (G, ·) dar nu este sublatice complet˘a; ii) pentru orice subgrup H al lui (G, ·) exist˘a o familie de subgrupuri ciclice Hi , i ∈ I, ale lui G astfel ˆıncˆat H = sup(Hi )i∈I . 2.73. Fie (G, ·) un grup. S˘a se arate c˘a reuniunea a dou˘a subgrupuri ale lui (G, ·) este un subgrup al lui (G, ·) dac˘a ¸si numai dac˘a unul dintre ele este inclus ˆın cel˘alalt. S˘a se deduc˘a de aici c˘a G nu poate fi scris G = H1 ∪H2 unde H1 ¸si H2 sunt subgrupuri ale lui G diferite de G. 2.74. Fie (G, ·) un grup ¸si H1 , H2 , H3 subgrupuri ale lui (G, ·). S˘a se arate c˘a H3 ⊆ H1 ∪ H2 dac˘a ¸si numai dac˘a H3 ⊆ H1 sau H3 ⊆ H2 . 2.75. Fie (G, ·) un grup ¸si H, K subgrupuri ale lui G. S˘a se arate c˘a are loc egalitatea |H| · |K| = |H · K| · |H ∩ K|. 2.76. a) S˘a se dea cˆate un exemplu de ciclu (permutare circular˘a) de lungime 4, de transpozit¸ie ¸si de permutare care nu e ciclu. b) Fie σ1 = (1, 2, 3) ◦ (4, 5, 6, 7), σ2 = (3, 4) ◦ (5, 2, 6, 1, 8), σ3 = (1, 3, 4) ◦ (2, 3, 5, 7) ◦ (1, 8, 4, 6), σ4 = (8, 2, 1, 4, 3) ◦ (1, 2) ◦ (1, 5) ¸si σ5 = (8, 7, 4, 3, 1, 2) ◦ (5, 6) permut˘ari din S8 . S˘a se g˘aseasc˘a σ13 , σ22 ◦ σ1 , σ3 ◦ σ4 ◦ σ5 , σ34 ◦ σ42 ¸si σ5 ◦ σ4 ◦ σ3 .

40

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

2.77. Fie M o mult¸ime. S˘a se arate c˘a dac˘a |M| ≥ 3 atunci centrul grupului (SM , ◦) este format doar din funct¸ia identic˘a. 2.78. Spunem c˘a dou˘a permut˘ari f, g ∈ SM ale unei mult¸imi M sunt disjuncte dac˘a pentru orice x ∈ M are loc cel put¸in una dintre egalit˘a¸tile f (x) = x, g(x) = x. S˘a se arat˘a c˘a dac˘a f, g ∈ SM sunt permut˘ari disjuncte atunci f ◦ g = g ◦ f . 2.79. S˘a se arate c˘a dou˘a cicluri (i1 , i2 , . . . , il ), (j1 , j2 , . . . , jk ) din Sn sunt disjuncte dac˘a ¸si numai dac˘a mult¸imile {i1 , i2 , . . . , il }, {j1 , j2 , . . . , jk } sunt disjuncte. 2.80. a) S˘a se descompun˘a ˆın produs de cicluri disjuncte permutarea 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 τ= . 9 12 8 11 6 7 5 3 2 4 10 1 b) S˘a se scrie ˆın dou˘a moduri ca produs de transpozit¸ii permutarea 1 2 3 4 5 6 7 8 σ= . 2 3 1 5 6 8 7 4 2.81. Fie n, l ∈ N, n ≥ l ≥ 2. S˘a se determine: i) num˘arul transpozit¸iilor din Sn ; ii) num˘arul ciclurilor de lungime n din Sn ; iii) num˘arul ciclurilor de lungime l din Sn ; iv) num˘arul tuturor ciclurilor (de lungime cel put¸in 2) din Sn . 2.82. Fie n ∈ N, n ≥ 2, 2 ≤ l ≤ n ¸si σ = (i1 , i2 , . . . , il ) ∈ Sn . S˘a se arate c˘a: a) σ −1 = (il , il−1 , . . . , i1 ) = σ l−1 ; b) l este cel mai mic num˘ar natural nenul pentru care σ l este permutarea identic˘a (adic˘a ordinul lui σ este l); ij+m , dac˘a j + m < l c) σ m (ij ) = (m ∈ N∗ ). ij+m−l , dac˘a j + m > l 2.83. a) Fie γ = (i1 , i2 , . . . , ik ) ∈ Sn . S˘a se arate c˘a pentru orice σ ∈ Sn avem σ ◦ γ ◦ σ −1 = (σ(i1 ), σ(i2 ), . . . , σ(ik )). b) Fie σ1 = (1, 2, 3) ◦ (4, 5, 6, 7), σ2 = (3, 4) ◦ (5, 2, 6, 1, 8), σ3 = (1, 3, 4) ◦ (2, 3, 5, 7) ◦ (1, 8, 4, 6), σ4 = (8, 2, 1, 4, 3) ◦ (1, 2) ◦ (1, 5) ¸si σ5 = (8, 7, 4, 3, 1, 2) ◦ (5, 6) permut˘ari din S8 . S˘a se determine σ1 ◦ σ4 ◦ σ1−1 , σ5−2 ◦ σ3 ◦ σ52 , σ2−5 ◦ σ4 ◦ σ25 . c) Fie σ1 = (1, 2, 3) ◦ (4, 5, 6) ◦ (7, 8, 9), σ2 = (1, 4, 7) ◦ (2, 5, 8) ◦ (3, 6, 9), σ3 = (4, 5, 6) ◦ (7, 8, 9). S˘a se arate c˘a σ1 ◦ σ2 = σ2 ◦ σ1 ¸si σ1 ◦ σ3 = σ3 ◦ σ1 . 2.84. S˘a se g˘aseasc˘a elementele din grupul simetric (Sn , ◦) permutabile cu ciclul (i1 , i2 , . . . , in ) ∈ Sn . 2.85. S˘a se arate c˘a fiecare din urm˘atoarele mult¸imi constituie un sistem de generatori pentru grupul simetric (Sn , ◦): a) {(i, j) | i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j} (mult¸imea transpozit¸iilor din Sn ); b) {(1, 2), (1, 3), . . . , (1, n)}; c) {(1, 2), (2, 3), . . . , (n − 1, n)}; d) {(i1 , i2 ), (i1 , i2 , . . . , in )}, unde {i1 , i2 , . . . , in } = {1, 2, . . . , n}; e) {(i1 , i2 ), (j1 , j2 , . . . , jn )}, unde {j1 , j2 , . . . , jn } = {1, 2, . . . , n}.

41 2.86. S˘a se arate c˘a fiecare din urm˘atoarele mult¸imi constituie un sistem de generatori pentru grupul altern An (grupul permut˘arilor pare de grad n): a) mult¸imea tuturor ciclurilor de lungime 3; b) {(1, 2, 3), (1, 2, 4), . . . , (1, 2, n)}. 2.87. Fie K ∈ {Q, R, C} ¸si Mn (K) mult¸imea matricelor p˘atrate de ordinul n cu elemente din K, iar GLn (K) = {A ∈ Mn (K) | det A 6= 0}, SLn (K) = {A ∈ Mn (K) | det A = 1}. S˘a se arate c˘a: i) (Mn (K), ·) este un monoid necomutativ pentru n > 1 ¸si c˘a acest monoid are un submonoid izomorf cu (K, ·) — reamintim c˘a o parte stabil˘a a unui monoid se nume¸ste submonoid atunci cˆand cont¸ine elementul neutru al monoidului. Este (Mn (K), ·) grup? ii) GLn (K) este o parte stabil˘a a lui (Mn (K), ·) ¸si (GLn (K), ·) este un grup numit grupul general liniar de gradul n peste K. iii) (GLn (K), ·) are (pentru n ≥ 1) un subgrup izomorf cu (K ∗ , ·). iv) (GL2 (R), ·) are un subgrup izomorf cu (C∗ , ·). v) SLn (K) este un subgrup al lui GLn (K). 2.88. Fie n ∈ N, n ≥ 2, K ∈ {Q, R, C} ¸si GLn (K) grupul general liniar de gradul n peste K. S˘a se arate c˘a Z(GLn (K)) = {aIn | a ∈ K ∗ }, unde Z(GLn (K)) este centrul grupului GLn (K), iar In este matricea unitate. 2.89. Fie GLn (Z) = {A ∈ Mn (Z) | det A este inversabil ˆın (Z, ·)} = {A ∈ Mn (Z) | det A ∈ {−1, 1}} ¸si SLn (Z) = {A ∈ Mn (Q) | det A = 1}. S˘a se arate c˘a: i) GLn (Z) este un subgrup al lui (GLn (Q), ·); ii) grupul (GLn (Z), ·) este infinit dac˘a n > 1; 1 1 iii) subgrupul lui (GL2 (Z), ·) generat de este izomorf cu (Z, +); 0 1 iv) SLn (Z) este un subgrup al lui GLn (Z). 2.90. Fie A=

0 1 −1 0

, B=

0 1 −1 −1

.

S˘a se arate c˘a ˆın (GL2 (Z), ·) avem ordA = 4, ordB = 3 ¸si ord(AB) = ∞.

2.91. Fie n ∈ N∗ . S˘a se arate c˘a grupul (GLn (Z), ·) are un subgrup izomorf cu grupul (Sn , ◦) al permut˘arilor unei mult¸imi cu n elemente, adic˘a (Sn , ◦) se scufund˘a izomorf ˆın (GLn (Z), ·). 2.92. S˘a se arate c˘a orice grup finit de ordin n se scufund˘a izomorf ˆın (GLn (Z), ·). 2.93. S˘a se determine ordinele elementelor 1 0 −1 −1 x= , y= , z= 0 −1 0 −1 −2 + 3i −2 + 2i 2 u= , v= 1−i 3 − 2i 1

ˆın (GLn (C), ·) ¸si grupurile ciclice generate de acestea.

i 0 0 −i 1 1

,

42

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

2.94. Fie M o mult¸ime, P(M) mult¸imea submult¸imilor sale ¸si △ diferent¸a simetric˘a, adic˘a pentru X, Y ⊆ M avem X△Y = (X \ Y ) ∪ (Y \ X). S˘a se arate c˘a (P(M), △) este un grup ˆın care orice element diferit de ∅ are ordinul 2. 2.95. Fie (L, ∨, ∧,′ ) o latice Boole. Definim ˆın L operat¸ia + prin x + y = (x ∧ y ′) ∨ (x′ ∧ x). S˘a se arate c˘a (L, +) este un grup ˆın care orice element diferit de elementul neutru are ordinul 2. 2.96. S˘a se arate c˘a dac˘a (G, ·) este un grup finit de ordin par atunci exist˘a cel put¸in un element x ∈ G \ {1} astfel ˆıncˆat x−1 = x (adic˘a x are ordinul 2). 2.97. Fie (G, ·) un grup ¸si x, y ∈ G. S˘a se arate c˘a ord(xy) =ord(yx). 2.98. Fie (G, ·), (G′ , ·) dou˘a grupuri, x ∈ G ¸si f : G → G′ un omomorfism. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a x ∈ G ¸si ordinul lui x este finit atunci ordinul lui f (x) este finit ¸si ordf (x) divide ord(x); ii) dac˘a f este injectiv ¸si x ∈ G atunci ordf (x) = ord x; iii) dac˘a ordf (x) = ord x pentru orice x ∈ G atunci omomorfismul f este injectiv. 2.99. Fie (G, ·) un grup. S˘a se arate c˘a: i) G are un singur element de ordin 1; ii) pentru orice x ∈ G avem ordx = ord x−1 ; iii) dac˘a x ∈ G, n = ord x ¸si k ∈ N∗ atunci ord(xk ) =

n , unde (k, n) este (k, n)

c.m.m.d.c. al lui k ¸si n; iv) dac˘a n = ordx ¸si n = km atunci ord(xk ) = m; v) dac˘a (G, ·) este un grup ciclic de ordin n ∈ N∗ , generat de x, atunci xk este un generator pentru G dac˘a ¸si numai dac˘a (k, n) = 1; vi) dac˘a (G, ·) este un grup ciclic de ordinul n ¸si Dn = {d ∈ N∗ | d|n} atunci laticea subgrupurilor lui (G, ·) este izomorf˘a cu (Dn , |). 2.100. Fie (G, ·) un grup ¸si x, y ∈ G elemente permutabile, adic˘a xy = yx. Fie m = ord x, n = ord y, m, n ∈ N∗ . S˘a se arate c˘a: i) ord(xy) este finit ¸si ord(xy) divide pe [m, n] (unde [m, n] este c.m.m.m.c. al lui m ¸si n); ii) dac˘a hxi ∩ hyi = {1} atunci ord(xy) = [m, n]; iii) dac˘a (m, n) = 1 atunci ord(xy) = mn ¸si hx, yi = hxyi; iv) exist˘a ˆın G (chiar ¸si numai ˆın ipoteza init¸ial˘a) un element de ordinul [m, n]. 2.101. Fie σ ∈ Sn . S˘a se arate c˘a dac˘a σ = γ1 ◦ · · · ◦ γk este descompunerea lui σ ˆın cicluri disjuncte ¸si lungimea lui γi este li (i = 1, . . . , k) atunci ordinul lui σ este c.m.m.m.c. al numerelor l1 , . . . , lk . 2.102. S˘a se arate c˘a dac˘a (G, ·) este un grup, x, y ∈ G, ord x < ∞, ord y < ∞ ¸si xy 6= yx atunci este posibil ca ord(xy) = ∞.

43 2.103. Fie (G, ·) un grup ¸si t(G) = {x ∈ G | ordx < ∞}. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a (G, ·) este abelian atunci t(G) este un subgrup al lui G (numit partea de torsiune a lui G); ii) dac˘a (G, ·) este necomutativ atunci t(G) nu este, ˆın general, un subgrup ˆın G; iii) (G \ t(G)) ∪ {1} nu este, ˆın general, subgrup (nici chiar ˆın caz abelian); iv) dac˘a ∅ = 6 H ⊆ t(G) atunci H este un subgrup ˆın G dac˘a ¸si numai dac˘a (∗)

h1 , h2 ∈ H ⇒ h1 h2 ∈ H;

v) dac˘a (G, ·) este finit ¸si ∅ = 6 H ⊆ G atunci H este un subgrup ˆın G dac˘a ¸si numai dac˘a verific˘a pe (∗). 2.104. Fie (G, ·) ¸si (G′ , ·) dou˘a grupuri abeliene. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a G ¸si G′ sunt izomorfe atunci t(G) ¸si t(G′ ) sunt izomorfe; ii) este posibil ca t(G) ¸si t(G′ ) s˘a fie izomorfe f˘ar˘a ca G ¸si G′ s˘a fie izomorfe. 2.105. S˘a se arate c˘a grupurile : i) (Q, +) ¸si (Q∗ , ·); ii) (R, +) ¸si (R∗ , ·); iii) (C, +) ¸si (C∗ , ·); iv) (R∗ , ·) ¸si (C∗ , ·) nu sunt izomorfe. 2.106. Un grup G ˆın care fiecare element are ordin finit, adic˘a G = t(G), se nume¸ste grup cu torsiune. S˘a se dea exemplu de grup cu torsiune infinit. 2.107. S˘a se arate c˘a (Z, +) este un grup ciclic ¸si c˘a a orice grup ciclic infinit este izomorf cu (Z, +). 2.108. Fie n ∈ Z ¸si nZ = {nk | k ∈ Z}. S˘a se arate c˘a: i) nZ este subgrup al lui (Z, +); ii) nZ ⊆ mZ dac˘a ¸si numai dac˘a m|n (m divide pe n); iii) pentru orice subgrup H al lui (Z, +) exist˘a un unic n ∈ N astfel ˆıncˆat H = nZ; iv) laticea subgrupurilor lui (Z, +) este antiizomorf˘a cu laticea (N, |); v) mZ ∩ nZ = [m, n]Z ¸si mZ + nZ = (m, n)Z (unde (m, n) ¸si [m, n] sunt c.m.m.d.c., respectiv c.m.m.m.c. al lui m ¸si n); vi) laticea congruent¸elor lui (Z, +) este antiizomorf˘a cu laticea (N, |); vii) laticea subgrupurilor ¸si laticea congruent¸elor lui (Z, +) sunt latici distributive. 2.109. S˘a se arate c˘a fiecare dintre grupurile Hom(Q, Z) ¸si Hom(Zn , Z) (n ∈ N, n ≥ 2) este format dintr-un singur omomorfism. 2.110. S˘a se arate c˘a grupul (Z, +) este izomorf cu orice subgrup al s˘au diferit de {0} ¸si c˘a (Z, +) nu este izomorf cu (Q, +). 2.111. Fie n ∈ N∗ ¸si Un = {ε | εn = 1}. S˘a se arate c˘a Un este un subgrup ciclic al lui (C∗ , ·) (numit grupul r˘ad˘acinilor de ordinul n ale unit˘ a¸tii) ¸si c˘a orice grup ciclic de ordinul n este izomorf cu (Un , ·). 2.112. S˘a se arate c˘a laticea subgrupurilor unui grup ciclic este distributiv˘a. 2.113. S˘a se arate c˘a mult¸imea subgrupurilor unui grup infinit este infinit˘a. 2.114. S˘a se determine grupurile care au: i) un singur subgrup; ii) dou˘a subgrupuri.

44

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

2.115. Care sunt grupurile ˆın care pentru orice submult¸ime nevid˘a X subsemigrupul generat de X coincide cu subgrupul generat de X? 2.116. a) S˘a se determine grupurile cˆat ale lui (Z, +) ¸si s˘a se arate c˘a acestea sunt ciclice. b) S˘a se arate c˘a orice grup ciclic este izomorf cu (Z, +) sau cu un grup cˆat al lui (Z, +). 2.117. S˘a se arate c˘a produsul direct a dou˘a grupuri ciclice, fiecare de ordin cel put¸in 2, este un grup ciclic dac˘a ¸si numai dac˘a grupurile sunt finite ¸si ordinele lor sunt relativ prime. 2.118. Fie n ∈ N, n ≥ 2. S˘a se arate c˘a produsul direct a n grupuri ciclice, fiecare de ordin cel put¸in 2, este un grup ciclic dac˘a ¸si numai dac˘a grupurile sunt finite ¸si ordinele lor sunt dou˘a cˆate dou˘a relativ prime. 2.119. S˘a se arate c˘a grupurile Zn1 × Zn2 × · · · × Znk ¸si Zn1 n2 ···nk sunt izomorfe dac˘a ¸si numai dac˘a numerele n1 , n2 , . . . , nk sunt dou˘a cˆate dou˘a relativ prime. 2.120. S˘a se arate c˘a produsul direct al unei familii infinite de grupuri ciclice, fiecare de ordin cel put¸in 2, nu este un grup ciclic. 2.121. S˘a se arate c˘a, abstract¸ie f˘acˆand de un izomorfism, exist˘a un singur grup neciclic de ordinul 4 (numit grupul lui Klein). 2.122. S˘a se determine toate grupurile neizomorfe de ordinele 1, 2, 3, 4 ¸si 5. 2.123. S˘a se arate c˘a dac˘a f : Z → Z este un endomorfism al grupului (Z, +) atunci f (x) = f (1) · x pentru orice x ∈ Z (adic˘a f este o translat¸ie a lui (Z, ·)) ¸si c˘a orice translat¸ie a lui (Z, ·) este un endomorfism al lui (Z, +). 2.124. S˘a se arate c˘a endomorfismele grupului (Q, +) coincid cu translat¸iile lui (Q, ·). 2.125. Fie (G, +) un grup abelian. S˘a se arate c˘a grupul (Hom(Z, G), +) este izomorf cu (G, +). 2.126. S˘a se determine omomorfismele lui (Z6 , +) ˆın (Z3 , +) ¸si ale lui (Z3 , +) ˆın (Z9 , +). 2.127. S˘a se arate c˘a grupurile (Hom(Zm , Zn ), +) ¸si (Z(m,n) , +) (unde (m, n) este c.m.m.d.c. al lui m ¸si n) sunt izomorfe. 2.128. Fie (G, ·) un grup ciclic ¸si G = hai. S˘a se arate c˘a un endomorfism f : G → G este automorfism dac˘a ¸si numai dac˘a G = hf (a)i. 2.129. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele grupuri sunt izomorfe: i) (Aut(Z, +), ◦) ¸si (Z2 , +); ii) (Aut(Z5 , +), ◦) ¸si (Z4 , +); iii) (Aut(Z6 , +), ◦) ¸si (Z2 , +). 2.130. Fie (G, ·) un grup, H un subgrup, ρH relat¸ia de echivalent¸˘a la stˆanga determinat˘a de subgrupul H, fie S un sistem de reprezentant¸i pentru mult¸imea cˆat G/ρH , iar f : G → G funct¸ia definit˘a prin f (sh) = s (unde s ∈ S, h ∈ H). S˘a se arate c˘a pentru orice x ∈ G ¸si orice h ∈ H au loc urm˘atoarele: i) f (f (x)) = f (x) ; ii) x−1 f (x) ∈ H ; iii) f (xh) = f (x) .

45 2.131. Fie (G, ·) un grup, H un subgrup ¸si f : G → G o funct¸ie care verific˘a pentru orice x ∈ G ¸si orice h ∈ H condit¸iile urm˘atoare: i) f (f (x)) = f (x); ii) x−1 f (x) ∈ H; iii) f (xh) = f (x). S˘a se arate c˘a f (G) este un sistem de reprezentant¸i pentru mult¸imea cˆat G/ρH . 2.132. Fie (G, ·) un grup ¸si ∅ = 6 A ⊆ G. S˘a se arate c˘a exist˘a un subgrup H al lui G astfel ˆıncˆat A s˘a fie o clas˘a la stˆanga sau la dreapta a lui G ˆın raport cu H dac˘a ¸si numai dac˘a xy −1 z ∈ A pentru orice x, y, z ∈ A. 2.133. Fie (G, ·) un grup ¸si H1 , H2 subgrupuri ale lui G. S˘a se arate c˘a: i) H1 · H2 este un subgrup dac˘a ¸si numai dac˘a H1 · H2 = H2 · H1 ; ii) dac˘a H1 · H2 este un subgrup atunci sup(H1 , H2 ) ˆın laticea subgrupurilor lui G este H1 · H2 ; iii) dac˘a H1 E G ¸si H2 E G atunci H1 · H2 E G. 2.134. Fie (G, ·) un grup ¸si X ⊆ G. S˘a se arate c˘a: i) subgrupul hXi generat de X este comutativ dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice x, y ∈ X avem xy = yx; ii) dac˘a pentru orice x ∈ X ¸si orice g ∈ G avem g −1xg ∈ X atunci hXi E G; iii) dac˘a X = X1 ∪ X2 ¸si pentru orice x1 ∈ X1 ¸si x2 ∈ X2 avem x1 x2 = x2 x1 atunci hXi = hX1 i · hX2 i; iv) dac˘a X = X1 ∪ X2 ¸si X1 X2 = X2 X1 atunci hXi = hX1 i · hX2 i. 2.135. Fie G = Z × Z × {−1, 1} ¸si · operat¸ia definit˘a ˆın G astfel: (m1 + n1 , m2 + n2 , n3 ), dac˘a m3 = 1 ; (m1 , m2 , m3 ) · (n1 , n2 , n3 ) = (m1 + n1 , m2 + n2 , −n3 ), dac˘a m3 = −1 . S˘a se arate c˘a: i) (G, ·) este un grup; ii) subgrupul H1 = h(1, 0, 1), (0, 1, 1)i este normal ˆın G; iii) subgrupul H2 = h(1, 0, 1)i este normal ˆın H1 , dar nu este normal ˆın G. 2.136. S˘a se determine: i) ordinul fiec˘arui element din S3 ; ii) subgrupurile lui S3 ¸si s˘a se arate c˘a laticea subgrupurilor lui S3 este modular˘a, dar nu este distributiv˘a; iii) subgrupurile normale ale lui S3 ; iv) grupurile cˆat ale lui S3 . 2.137. S˘a se arate c˘a laticea subgrupurilor grupului altern A4 nu este modular˘a. 2.138. Fie (G, ·) un grup, H, N subgrupuri ˆın G ¸si ρH,N ⊆ G × G relat¸ia xρH,N y ⇔ ∃h ∈ H, ∃n ∈ N : y = hxn. S˘a se arate c˘a: i) ρH,N este o relat¸ie de echivalent¸˘a pe G ¸si G/ρH,N = {HxN | x ∈ G} (HxN se nume¸ste clasa lui x dup˘a perechea de subgrupuri (H, N)); ii) dac˘a N E G atunci ρH,N coincide cu echivalent¸a la stˆanga definit˘a de HN.

46

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

2.139. S˘a se determine descompunerea lui S3 ˆın clase dup˘a perechea de subgrupuri (H, N), unde H = N = h(1, 2)i. 2.140. Un grup necomutativ care are toate subgrupurile normale se nume¸ste grup hamiltonian. Fie (H, ·) grupul cuaternionilor (vezi problema 2.69). S˘a se arate c˘a: i) (H, ·) este grup hamiltonian; ii) laticea subgrupurilor lui (H, ·) este modular˘a, dar nu este distributiv˘a; iii) pentru orice x, y ∈ H avem x2 y 2 = y 2 x2 , de¸si (H, ·) nu este comutativ; iv) dac˘a a, b ∈ {i, j, k}, a 6= b atunci H = ha, bi ¸si a4 = 1 = b4 , a2 = b2 , aba = a iar din aceste egalit˘a¸ti s˘a se deduc˘a egalit˘a¸tile: aba = a, a3 b = ba ¸si b3 a = ab. 2.141. S˘a se arate c˘a laticea subgrupurilor normale ale unui grup este modular˘a. 2.142. Fie (G, ·) un grup necomutativ ¸si Z(G) centrul s˘au. S˘a se arate c˘a grupul cˆat (G/Z(G), ·) nu este ciclic. 2.143. S˘a se determine subgrupurile ¸si grupurile cˆat ale lui: a) (Z12 , +); b) (Z15 , +). 2.144. Fie U6 mut¸imea r˘ad˘acinilor de ordinul 6 ale unit˘a¸tii. S˘a se determine subgrupurile ¸si grupurile cˆat ale lui (U6 , ·). 2.145. Fie (G, ·) un grup. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a toate elementele din G \ {1} au ordinul 2 atunci G este abelian; ii) dac˘a G este finit ¸si orice element din G \ {1} are ordinul 2 atunci ordinul lui G este de forma 2k , cu k ∈ N. 2.146. S˘a se arate c˘a orice grup de ordinul 6 este izomorf cu (Z6 , +) sau cu grupul simetric (S3 , ◦). 2.147. S˘a se arate c˘a rotat¸iile ¸si simetriile unui triunghi echilateral formeaz˘a un grup (∆3 , ◦) izomorf cu grupul simetric (S3 , ◦). 2.148. Fie Pn un poligon regulat cu n laturi (n ∈ N, n ≥ 3). S˘a se arate c˘a izometriile f ale planului care au proprietatea c˘a f (Pn ) = Pn formeaz˘a un grup (∆n , ◦) (numit grupul diedral de grad n) ¸si c˘a ordinul acestui grup este 2n. (Amintim c˘a o transformare geometric˘ a f a planului se nume¸ste izometrie dac˘ a p˘ astreaz˘ a distant¸a dintre orice dou˘ a puncte, adic˘ a pentru orice puncte M, N din plan avem M N = f (M )f (N ).)

2.149. Fie p un num˘ar prim impar. S˘a se arate c˘a orice grup de ordinul 2p este izomorf cu (Z2p , +) sau cu grupul diedral (∆p , ◦). 2.150. S˘a se determine toate grupurile neizomorfe de ordinul 10. 2.151. S˘a se determine toate grupurile neizomorfe de ordinul 8. 2.152. Fie (G1 , ·), (G2 , ∗) dou˘a grupuri ¸si e1 , respectiv e2 elementele lor neutre. S˘a se arate c˘a grupurile cˆat (G1 /G1 , ·) ¸si (G2 /G2 , ∗) sunt izomorfe. Cˆand sunt izomorfe grupurile (G1 /{e1 }, ·) ¸si (G2 /{e2 }, ∗)? 2.153. Fie K ∈ {Q, R, C}. S˘a se arate c˘a SLn (K) este un subgrup normal al lui (GLn (K), ·) ¸si c˘a grupul cˆat (GLn (K)/SLn (K), ·) este izomorf cu (K ∗ , ·). Ce se ˆıntˆampl˘a pentru K = Z?

47 2.154. Fie U2 = {−1, 1} grupul r˘ad˘acinilor de ordinul 2 ale unit˘a¸tii. S˘a se arate c˘a au loc urm˘atoarele izomorfisme de grupuri: a) (C/R, +) ≃ (R, +); b) (Q∗ /U2 , ·) ≃ (Q∗+ , ·); c) (R∗ /U2 , ·) ≃ (R∗+ , ·). 2.155. Fie H = {z ∈ C | |z| = 1}. S˘a se arate c˘a H E (C∗ , ·) ¸si c˘a au loc izomorfismele: i) (R/Z, +) ≃ (H, ·); ii) (C∗ /H, ·) ≃ (R∗+ , ·); iii) (C∗ /R∗+ , ·) ≃ (H, ·). 2.156. S˘a se arate c˘a: i) exist˘a o funct¸ie bijectiv˘a ˆıntre mult¸imea suport a grupului cˆat (Q/Z, +) ¸si mult¸imea A = {x ∈ Q | 0 ≤ x < 1}; ii) grupul (Q/Z, +) este cu torsiune ¸si t(R/Z) = Q/Z; iii) pentru orice n ∈ N∗ grupul (Q/Z, +) are un singur subgrup de ordin n, iar acest subgrup este ciclic. 2.157. Fie U = {z ∈ C | ∃n ∈ N∗ : z n = 1}. S˘a se arate c˘a U este subgrup ˆın (C∗ , ·) ¸si c˘a (Q/Z, +) ≃ (U, ·). 2.158. Fie funct¸iile fa,b : R → R, fa,b (x) = ax + b (a, b ∈ R), SR mult¸imea permut˘arilor lui R ¸si G = {fa,b | a ∈ R∗ , b ∈ R}, H = {fa,0 | a ∈ R∗ }, N = {f1,b | b ∈ R}. i) S˘a se arate c˘a G ≤ (SR , ◦). Este G subgrup normal ˆın SR ? ii) S˘a se arate c˘a H ≤ (G, ◦). Este H subgrup normal ˆın G? iii) S˘a se arate c˘a N E (G, ◦) ¸si (G/N, ◦) ≃ (R∗ , ·). iv) Este N subgrup normal ¸si ˆın (SR , ◦)? 2.159. Fie (G, ·) un grup ¸si N un subgrup al s˘au. S˘a se arate c˘a dac˘a descompunerea lui G ˆın raport cu N la stˆanga are un sistem de reprezentant¸i H care este subgrup atunci: i) H este un sistem de reprezentant¸i ¸si pentru descompunerea la dreapta; ii) H ∩ N = {1}, HN = G = NH; iii) orice g ∈ G are o reprezentare unic˘a de forma g = hn cu h ∈ H, n ∈ N; iv) N este normal ˆın G ¸si grupul (G/N, ·) este izomorf cu (H, ·). 2.160. Fie K = {e, (1, 2) ◦ (3, 4), (1, 3) ◦ (2, 4), (1, 4) ◦ (2, 3)}, unde e este permutarea identic˘a din S4 . S˘a se arate c˘a: a) submult¸imea K formeaz˘a un subgrup comutativ al lui S4 izomorf cu grupul lui Klein; b) K este un subgrup normal al lui S4 ¸si (S4 /K, ◦) ≃ (S3 , ◦); c) (A4 /K, ◦) ≃ (Z3 , +). 2.161. Fie (G, ·) un grup, H un subgrup al s˘au, ρH relat¸ia de echivalent¸˘a la stˆanga definit˘a de H. S˘a se arate c˘a: i) pentru orice a ∈ G funct¸ia ta : G/ρH → G/ρH , ta (xH) = axH este o permutate a lui G/ρH ; ii) funct¸ia f : G → SG/ρH , f (a) = ta este un omomorfism al lui G ˆın grupul permut˘arilor mult¸imii cˆat G/ρH ;

48

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

iii) Ker f =

\

xHx−1 ;

x∈G

iv) dac˘a H E G atunci grupul translat¸iilor stˆangi ale lui (G/H, ·) este izomorf cu grupul (G/H, ·). 2.162. S˘a se descompun˘a grupurile S3 ¸si S4 ˆın clase de elemente conjugate. 2.163. Fie (G, ·) un grup, x, y ∈ G ¸si X, Y ⊆ G. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a x ¸si y sunt conjugate atunci x ¸si y au acela¸si ordin; ii) dac˘a X ¸si Y sunt conjugate atunci X ¸si Y au acela¸si cardinal. 2.164. S˘a se arate c˘a permut˘arile 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 α= ¸si β = 2 5 3 6 1 4 5 3 4 2 1 6 sunt conjugate ˆın S6 ¸si s˘a se determine num˘arul permut˘arilor σ ∈ S6 pentru care are loc egalitatea σ −1 ◦ α ◦ σ = β. 2.165. S˘a se descompun˘a grupul cuaternionilor ˆın clase de elemente conjugate. 2.166. Fie matricele A=

1 0 0 2

, B=

−1 0 0 −1

.

S˘a se determine normalizatorii acestor matrice ˆın grupul GL2 (R). 2.167. Fie (G, ·) un grup. Se nume¸ste act¸iune a grupului G pe mult¸imea X o funct¸ie G × X → X, (g, x) 7→ gx pentru care avem 1x = x ¸si (g1 g2 )x = g1 (g2 x), ∀x ∈ X, ∀g1 , g2 ∈ G. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a H este un subgrup al grupului SX al permut˘arilor lui X ¸si f : G → H este un omomorfism atunci funct¸ia G × X → X, (g, x) 7→ [f (g)](x) este o act¸iune a lui G pe X. S˘a se deduc˘a de aici c˘a orice subgrup al lui SX act¸ioneaz˘a pe X; ii) conjugarea ˆın G determin˘a o act¸iune G × G → G a lui G pe G definit˘a prin (g, x) 7→ g −1xg. 2.168. S˘a se arate c˘a dac˘a grupul (G, ·) act¸ioneaz˘a pe mult¸imea X atunci relat¸ia ∼ definit˘a pe X prin x ∼ x′ ⇔ ∃g ∈ G : gx = x′ este o relat¸ie de echivalent¸˘a pe mult¸imea X. Clasa de echivalent¸˘a Ox a lui x se nume¸ste orbita lui x. 2.169. Fie (G, ·) un grup ¸si x ∈ G. S˘a se arate c˘a orbita lui x ˆın raport cu act¸iunea lui G pe G definit˘a de conjugarea ˆın G coincide cu clasa de conjugare a lui x. 2.170. O act¸iune a grupului G pe mult¸imea X se nume¸ste tranzitiv˘ a dac˘a pentru ′ ′ orice x, x ∈ X exist˘a g ∈ G astfel ˆıncˆat gx = x . S˘a se arate c˘a o act¸iune este tranzitiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a are o singur˘a orbit˘a.

49 2.171. Fie (G, ·) un grup ¸si X o mult¸ime. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a G × X → X, (g, x) 7→ gx este o act¸iune a lui G pe X atunci, fixˆand pe g, funct¸ia tg : X → X, tg (x) = gx este bijectiv˘a, iar t : G → SX , t(g) = tg este un omomorfism de grupuri; ii) dac˘a t : G → SX este un omomorfism de grupuri atunci α : G × X → X, α(g, x) = [t(g)](x) este o act¸iune a lui G pe X; iii) corespondent¸a t 7→ α este o biject¸ie ˆıntre mult¸imea omomorfismelor lui (G, ·) ˆın (SX , ◦) ¸si mult¸imea act¸iunilor lui G pe X. 2.172. Fie G × X → X, (g, x) 7→ gx o act¸iune a grupului (G, ·) pe mult¸imea X, fie x ∈ X ¸si Fx = {g ∈ G | gx = x}. S˘a se arate c˘a: i) Fx este un subgrup al lui G numit stabilizatorul lui x; ii) cardinalul orbitei lui x coincide cu indicele lui Fx ˆın G; iii) dac˘a X = G ¸si act¸iunea este definit˘a de conjugare atunci Fx coincide cu normalizatorul lui x; iv) cardinalul clasei de conjugare a unui element g ∈ G coincide cu indicele normalizatorului lui g ˆın G. 2.173. Dac˘a grupul (G, ·) act¸ioneaz˘a pe X atunci orice subgrup al lui G act¸ioneaz˘a pe X. S˘a se arate c˘a dac˘a G act¸ioneaz˘a tranzitiv pe X ¸si F este stabilizatorul unui x0 ∈ X atunci exist˘a o biject¸ie ˆıntre mult¸imea orbitelor act¸iunii lui F pe X ¸si mult¸imea {F gF | g ∈ G} a claselor lui G dup˘a (F, F ). 2.174. Fie (G, ·) un grup, G × X → X, (g, x) 7→ gx o act¸iune a lui G pe mult¸imea X ¸si F = {g ∈ G | gx = g, ∀x ∈ X}. S˘a se arate c˘a F E G ¸si c˘a: i) exist˘a o singur˘a act¸iune a grupului (G/F, ·) pe X astfel ˆıncˆat (gF )x = gx; ii) funct¸ia tgF : X → X, tgF (x) = (gF )x este o permutare a lui X ¸si funct¸ia ϕ : G/F → SX , ϕ(gF ) = tgF este un omomorfism injectiv de grupuri. 2.175. Fie (G, ·) un grup finit de ordinul n ¸si x ∈ G. S˘a se arate c˘a: i) num˘arul elementelor conjugate cu x este un divizor al lui n; ii) dac˘a m este ordinul lui x atunci num˘arul elementelor conjugate cu x este un n divizor al lui ; m ′ iii) dac˘a m este ordinul centrului lui G atunci num˘arul elementelor conjugate cu x n este un divizor al lui ′ ; m iv) dac˘a l ∈ N atunci num˘arul elementelor conjugate cu xl este un divizor al num˘arului elementelor conjugate cu x. 2.176. ˆIn G = Z × Z se define¸ste operat¸ia · prin (m1 , n1 ) · (m2 , n2 ) = (m1 + m2 , (−1)m2 n1 + n2 ). S˘a se arate c˘a (G, ·) este un grup ¸si s˘a se determine pentru fiecare element (m, n) num˘arul elementelor conjugate cu (m, n). 2.177. S˘a se determine toate grupurile neizomorfe care au numai dou˘a clase de elemente conjugate.

50

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

2.178. Fie K1 , K2 , K3 clase de elemente conjugate ˆın grupul (G, ·). S˘a se arate c˘a: i) K1 ∩ K2 K3 6= ∅ ⇒ K1 ⊆ K2 K3 : ii) dac˘a G este finit, K1 = K2 K3 ¸si ki este num˘arul elementelor din Ki (i = 1, 2, 3) atunci k1 divide pe k2 k3 . 2.179. Fie (G, ·) un grup finit, H1 , H2 subgrupuri ale lui G ¸si x ∈ G. Dac˘a n1 = |H1 |, n2 = |H2 | ¸si m = |H2 ∩ x−1 H1 x| atunci num˘arul elementelor clasei H1 xH2 a lui x ˆın n1 n2 raport cu (H1 , H2 ) este . m 2.180. S˘a se arate c˘a centrul unui grup (G, ·) al c˘arui ordin este de forma pk , cu p prim ¸si k ∈ N∗ , este diferit de {1}. 2.181. S˘a se arate c˘a pentru orice num˘ar prim p exist˘a numai dou˘a grupuri neizomorfe de ordinul p2 . 2.182. S˘a se determine toate grupurile neizomorfe de ordinul 9. 2.183. S˘a se determine grupurile care au trei subgrupuri. 2.184. Fie (G, ·) un grup necomutativ de ordinul p3 cu p num˘ar prim. S˘a se arate c˘a |Z(G)| = p ¸si c˘a grupul cˆat G/Z(G) este izomorf cu Zp × Zp . 2.185. Fie (G, ·) un grup abelian, p un num˘ar prim ¸si Gp = {g ∈ G | ord g = pk , k ∈ N}. S˘a se arate c˘a Gp este un subgrup deplin invariant al lui G. 2.186. Fie (A, +) un grup abelian, B un subgrup al s˘au, n ∈ N∗ ¸si nB = {nb | b ∈ B}, B[n] = {b ∈ B | nb = 0}. S˘a se arate c˘a: i) nB ¸si B[n] sunt subgrupuri ale lui A; ii) dac˘a B este un subgrup caracteristic atunci nB ¸si B[n] sunt subgrupuri caracteristice; iii) dac˘a B este un subgrup deplin invariant atunci nB ¸si B[n] sunt subgrupuri deplin invariante. 2.187. Fie (G, ·) un grup ¸si H un subgrup al s˘au. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a H este deplin invariant ˆın G ¸si f este un endomorfism al lui G atunci funct¸ia f : G/H → G/H, f(gH) = f (g)H este un endomorfism al lui G/H; ii) dac˘a H este deplin invariant ˆın G ¸si H ′ este un subgrup al lui G astfel ˆıncˆat H ⊆ H ′ ¸si H ′ /H s˘a fie deplin invariant ˆın G/H atunci H ′ este subgrup deplin invariant ˆın G. 2.188. Fie (G, ·) un grup. S˘a se arate c˘a: i) mult¸imea subgrupurilor caracteristice ale lui G formeaz˘a o sublatice complet˘a a laticii subgrupurilor normale ale lui G; ii) mult¸imea subgrupurilor deplin invariante ale lui G formeaz˘a o sublatice complet˘a a laticii subgrupurilor caracteristice ale lui G.

51 2.189. Fie (G, ·) un grup ¸si X S ⊆ G. S˘a se arate c˘a: i) subgrupul lui G generat de {f (X) | f ∈ Aut(G, ·)} este cel mai mic subgrup caracteristic al lui lui G ce include S pe X; i) subgrupul lui G generat de {f (X) | f ∈ End(G, ·)} este cel mai mic subgrup deplin invariant al lui lui G ce include pe X. 2.190. Fie (G, ·) un grup, X ⊆ G ¸si H un subgrup caracteristic (deplin invariant) al lui G astfel ˆıncˆat X ∩ H = ∅. S˘a se arate c˘a exist˘a un subgrup caracteristic (deplin invariant) H ′ al lui G astfel ca: i) H ⊆ H ′ ; ii) X ∩ H ′ = ∅; iii) dac˘a H ′′ este un subgrup caracteristic (deplin invariant) al lui G astfel ˆıncˆat H ′ ⊆ H ′′ atunci X ∩ H ′′ 6= ∅. 2.191. Fie (G, ·) un grup. Un element a ∈ A se nume¸ste nongenerator al lui G dac˘a pentru orice X ⊆ G, hX ∪ {a}i = G implic˘a hXi = G. Un subgrup M al lui G se nume¸ste maximal dac˘a M 6= G ¸si pentru orice subgrup H, din M ⊆ H deducem H = M sau H = G. S˘a se arate c˘a: a) mult¸imea F (G) a nongeneratorilor lui G formeaz˘a un subgrup caracteristic al lui G, numit subgrupul lui Frattini; b) F (G) coincide cu intersect¸ia tuturor subgrupurilor maximale ale lui G (dac˘a nu exist˘a subgrupuri maximale atunci aceast˘a intersect¸ie este G). 2.192. S˘a se arate c˘a subgrupoidul Frattini al unui grup nu coincide, ˆın general, cu subgrupul Frattini al acestuia. 2.193. Fie matricele 1 2 1 2 0 1 A= , B= , C= 0 1 −1 −1 −1 1 din grupul GLn (Z). S˘a se determine comutatorii [A, B], [B, C], [C, A]. 2.194. Fie (G, ·) un grup, Z(G) centrul s˘au ¸si G′ subgrupul s˘au derivat. S˘a se arate c˘a: i) pentru orice x, y ∈ G au loc egalit˘a¸tile: xy = yx[x, y], [x, y]−1 = [y, x], [x, y −1 ] = y[y, x]y −1, [x−1 , y] = x[y, x]x−1 , [xy, z] = y −1[x, z]y[y, z], [x, yz] = [x, z]z −1 [x, y]z; ii) dac˘a x, y ∈ G atunci [x, y] = 1 dac˘a ¸si numai dac˘a xy = yx; iii) x ∈ Z(G) ⇔ ∀y ∈ G, [x, y] = 1; iv) G este abelian dac˘a ¸si numai dac˘a G′ = {1}. 2.195. Fie (G, ·) un grup. S˘a se arate c˘a dac˘a G′ ⊆ Z(G) atunci pentru orice x, y, z ∈ G ¸si orice n ∈ Z avem [x, [y, z]] = [[x, y], z], [xy, z] = [x, z] · [y, z], [x, yz] = [x, y] · [x, z], [xn , y] =[x, y n ] = [x, y]n , (x · y)n = xn y n [y, x] [x, [y, z]] · [y, [z, x]] · [z, [x, y]] = 1.

n(n−1) 2

,

52

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

2.196. S˘a se demonstreze c˘a

    1 a b  G =  0 1 c  a, b, c ∈ Z   0 0 1

este un subgrup al lui GL3 (Z) ¸si c˘a subgrupul comutator al lui G coincide cu centrul lui G. 2.197. Fie (G, ·) un grup ¸si N un subgrup al lui G. S˘a se arate c˘a N este normal ˆın G dac˘a ¸si numai dac˘a [N, G] ⊆ N. 2.198. Fie (G, ·) un grup ¸si N1 , N2 subgrupuri normale ale lui G. S˘a se arate c˘a [N1 , N2 ] ⊆ N1 ∩ N2 . 2.199. Fie G un grup, X un sistem de generatori al lui G ¸si N E G. S˘a se arate c˘a dac˘a [x, y] ∈ N pentru orice x, y ∈ X atunci G′ ⊆ N. 2.200. S˘a se determine subgrupul derivat al grupului cuaternionilor. 2.201. S˘a se determine subgrupul derivat al grupului simetric (S3 , ◦). 2.202. S˘a se determine subgrupul derivat al grupului simetric (Sn , ◦). 2.203. Fie (G, ·) un grup finit ¸si H un p-subgrup al s˘au. S˘a se arate c˘a dac˘a H nu este un p-subgrup Sylow atunci H este un subgrup propriu al normalizatorului s˘au ˆın G. 2.204. Fie G un grup finit, P un p-subgrup Sylow al lui G ¸si NG (P ) normalizatorul lui P ˆın G. S˘a se arate c˘a dac˘a H ¸si H ′ sunt subgrupuri ale lui G astfel ˆıncˆat NG (P ) ⊆ H ⊆ H ′ atunci NG (H) = H ¸si |H ′ : H| ≡ 1 (mod p). 2.205. S˘a se determine subgrupurile Sylow ale grupului simetric (S4 , ◦). 2.206. S˘a se determine toate grupurile neizomorfe de ordinul 15. 2.207. Fie p, q numere prime. S˘a se arate dac˘a (G, ·) este un grup de ordinul pq atunci G nu este simplu. Mai mult, dac˘a p 6= q, p − 1 nu se divide prin q ¸si q − 1 nu se divide prin p atunci (G, ·) este izomorf cu (Zpq , +). 2.208. Fie p, q numere prime, p 6= q. S˘a se arate dac˘a (G, ·) este un grup de ordinul p2 q atunci G nu este simplu. Mai mult, dac˘a p2 − 1 nu se divide prin q ¸si q − 1 nu se divide prin p atunci G este abelian. 2.209. Ar˘atat¸i c˘a orice grup de ordinul 255 este ciclic. 2.210. Fie (G, ·) un grup ¸si H, H ′ subgrupuri ale lui (G, ·) cu proprietatea c˘a hh′ = h′ h, ∀h ∈ H, ∀h′ ∈ H ′ . S˘a se arate c˘a: i) exist˘a un unic omomorfism f : H × H ′ → G astfel ˆıncˆat f (h, 1) = h ¸si f (1, h′) = h′ , ∀h ∈ H, ∀h′ ∈ H ′ ; ii) f este injectiv dac˘a ¸si numai dac˘a H ∩ H ′ = {1}; iii) f este surjectiv dac˘a ¸si numai dac˘a hH ∪ H ′ i = G.

53 2.211. Fie (G, ·) un grup, X o mult¸ime ¸si (GX , ·) grupul din problema 2.55. S˘a se arate c˘a GX este produsul direct al familiei de grupuri (Gx , ·) = (G, ·), x ∈ X. 2.212. Fie (Gi , ·), i ∈ I o familie de grupuri, (P, ·) produsul direct al acestei familii, (pi )i∈I familia proiect¸iilor canonice ¸si (P ′, ·) produsul restrˆans al familiei (Gi , ·), i ∈ I. S˘a seSarate c˘a dac˘a Xi este un sistem de generatori pentru (Gi , ·), i ∈ I, atunci X = {pi (Xi ) | i ∈ I} este un sistem de generatori pentru (P ′ , ·). ˆIn ce caz X este un sistem de generatori ¸si pentru (P, ·)? 2.213. a) S˘a se determine un sistem de generatori X pentru grupul (Z × Z, +) cu urm˘atoarele propriet˘a¸ti: i) cardinalul lui X este 2; ii) pentru orice grup abelian (A, +) ¸si orice funct¸ie f : X → A exist˘a un omomorfism unic f : Z × Z → A care extinde pe f (adic˘a f = f ◦ i, unde i : X → Z × Z este funct¸ia de incluziune). b) S˘a se generalizeze punctul a). 2.214. Pentru un grup abelian cu torsiune (A, +) ¸si un num˘ar prim p, subgrupul Ap = {a ∈ A | ∃k ∈ N : pk a = 0} se nume¸ste p-componenta primar˘ a a lui A. S˘a se arate c˘a A este izomorf cu suma direct˘a a componentelor sale primare, adic˘a M A≃ Ap p∈P

(unde cu P am notat mult¸imea numerelor prime). k

2.215. Fie p un num˘ar prim ¸si Zp∞ = {z ∈ C | ∃k ∈ N : z p = 1}. S˘a se arate c˘a Zp∞ este un subgrup al lui (C∗ , ·) ¸si c˘a are loc izomorfismul M (Q/Z, +) ≃ (Zp∞ , ·). p∈P

2.216. S˘a se determine toate grupurile abeliene neizomorfe de ordinul 32. 2.217. S˘a se determine toate grupurile abeliene neizomorfe de ordinul 64. 2.218. S˘a se determine toate grupurile abeliene neizomorfe de ordinul 96. 2.219. S˘a se arate c˘a grupul (Z, +) nu are ¸siruri de compozit¸ie. 2.220. S˘a se arate c˘a un grup abelian (A, +) are ¸siruri de compozit¸ie dac˘a ¸si numai dac˘a A este finit. 2.221. S˘a se determine toate ¸sirurile de compozit¸ie ale grupului (Z6 × Z5 , +). 2.222. Fie (A, +) un grup abelian finit de ordinul n = p1 · · · pk , cu p1 , . . . , pk numere prime diferite. S˘a se determine toate ¸sirurile de compozit¸ie ale lui A. 2.223. S˘a se arate c˘a un grup (G, ·) este nilpotent de clas˘a 1 dac˘a ¸si numai dac˘a G este abelian ¸si G 6= {1}. 2.224. S˘a se arate c˘a dac˘a (G, ·) este un grup nilpotent de clas˘a cel mult 2 atunci, pentru orice x, y, z ∈ G avem [xy, z] = [x, z] · [y, z] ¸si [x, yz] = [x, y] · [x, z].

54

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNT ¸ URI)

2.225. S˘a se arate c˘a grupul cuaternionilor este nilpotent de clas˘a 2. 2.226. S˘a se determine n ∈ N∗ pentru care grupul simetric (Sn , ◦) este nilpotent. 2.227. S˘a se arate c˘a grupul simetric (Sn , ◦) este resolubil pentru n ≤ 4. 2.228. S˘a se arate c˘a orice grup de ordinul 2p, cu p prim, este resolubil. 2.229. Fie p ¸si q dou˘a numere prime, nu neap˘arat diferite. S˘a se arate c˘a orice grup de ordinul pq este resolubil.

Capitolul 3 Inele ¸si corpuri 3.1. Fie ⊥ ¸si ⊤ operat¸iile definite pe Z astfel: x⊥y = x + y + 3; x⊤y = xy + 3x + 3y + 6. S˘a se arate c˘a (Z, ⊥, ⊤) este domeniu de integritate ¸si s˘a se determine elementele inversabile din acest domeniu. 3.2. Fie ∗ operat¸ia definit˘a pe C astfel: (a1 + b1 i) ∗ (a2 + b2 i) = a1 a2 + (a1 b2 + a2 b1 )i (a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R). S˘a se arate c˘a (C, +, ∗) este un inel asociativ, comutativ, cu unitate care are divizori ai lui zero. 3.3. Fie + ¸si ⊤ operat¸iile definite pe Q × Q astfel: (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ), (a1 , b1 )⊤(a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 + b1 b2 ). S˘a se arate c˘a (Q × Q, +, ⊤) este un corp comutativ. 3.4. Fie M o mult¸ime ¸si P(M) mult¸imea submult¸imilor lui M. Definim pe P(M) dou˘a operat¸ii + ¸si · astfel: X + Y = (X \ Y ) ∪ (Y \ X) ¸si X · Y = X ∩ Y. S˘a se arate c˘a: i) (P(M), +, ·) este inel asociativ, comutativ, cu unitate; ii) dac˘a |M| ≥ 2 atunci orice X ∈ P(M) \ {∅, M} este divizor al lui zero; iii) (P(M), +, ·) este corp dac˘a ¸si numai dac˘a |M| = 1. 3.5. S˘a se arate c˘a ˆıntr-un inel cu unitate, comutativitatea adun˘arii este o consecint¸˘a a celorlalte axiome. 3.6. S˘a se dea exemplu de inel finit necomutativ. 55

56

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (ENUNT ¸ URI)

3.7. Fie (R, +, ·) un inel asociativ ¸si a, b ∈ R. S˘a se arate c˘a: a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ⇔ ab = ba ⇔ a2 − b2 = (a − b)(a + b); b) dac˘a ab = ba atunci pentru orice n ∈ N∗ avem (a + b)n =Cn0 an + Cn1 an−1 b + · · · + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn ; an − bn =(a − b) an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ;

a2n+1 + b2n+1 = (a + b) a2n − a2n−1 b + · · · − ab2n−1 + b2n .

3.8. Fie (R, +, ·) un inel asociativ cu unitate ¸si n ∈ N. Dac˘a (xy)k = xk y k pentru orice x, y ∈ R ¸si k ∈ {n, n + 1, n + 2} atunci inelul R este comutativ. 3.9. S˘a se arate c˘a dac˘a ˆıntr-un inel asociativ cu unitate (R, +, ·) avem x3 = x pentru orice x ∈ R atunci inelul R este comutativ. 3.10. S˘a se arate c˘a dac˘a ˆıntr-un inel asociativ (R, +, ·) avem x6 = x pentru orice x ∈ R atunci x2 = x pentru orice x ∈ R. 3.11. Fie (R, +, ·) un inel asociativ. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele condit¸ii sunt echivalente: i) a ∈ R, a2 = 0 ⇒ a = 0 ; ii) a ∈ R, n ∈ N∗ , an = 0 ⇒ a = 0 . 3.12. S˘a se arate c˘a ˆıntr-un inel cu unitate (R, +, ·) orice element idempotent diferit de 0 ¸si 1 este un divizor al lui zero. 3.13. Fie (R, +, ·) un inel asociativ, comutativ, cu unitate, cu R 6= {0}. S˘a se calculeze produsul tuturor elementelor idempotente nenule ale lui R. 3.14. Fie (R, +, ·) un inel. Un element a ∈ R se nume¸ste central dac˘a ax = xa pentru orice x ∈ R (adic˘a a apart¸ine centrului inelului R). S˘a se arate c˘a dac˘a R nu are elemente nilpotente nenule atunci orice element idempotent este central. 3.15. Fie n ∈ N∗ \ {1} ¸si n = pα1 1 · · · pαk k (cu p1 , . . . , pk numere prime distincte ¸si α1 , . . . , αk ∈ N∗ ) descompunerea lui n ˆın factori primi. S˘a se arate c˘a: a) b a este nilpotent ˆın (Zn , +, ·) dac˘a ¸si numai dac˘a p1 · · · pk |a; b) inelul (Zn , +, ·) are elemente nilpotente nenule dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a un num˘ar prim p astfel ˆıncˆat p2 |n. 3.16. Fie n ∈ N∗ \ {1}. S˘a se determine elementele idempotente ale lui (Zn , +, ·). 3.17. Fie R = {0, 1, a, b} un inel asociativ ˆın care 0 este elementul nul ¸si 1 elementul unitate. S˘a se arate c˘a: i) funct X ¸ia f : R → R, f (x) = 1 + x este bijectiv˘a; ii) f (x) = 1 + a + b ¸si 1 + 1 + 1 + 1 = 0; x∈R

iii) dac˘a R este corp atunci 1 + 1 = 0; iv) R este corp dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a x ∈ R astfel ˆıncˆat 1 + x = x2 .

57 3.18. Un inel asociativ (R, +, ·) se nume¸ste inel Boole dac˘a orice element din R este idempotent (adic˘a x2 = x pentru orice x ∈ R). Fie (R, +, ·) un inel Boole. S˘a se arate c˘a: i) x + x = 0 pentru orice x ∈ R; ii) (R, +, ·) este un inel comutativ; iii) R nu cont¸ine divizori ai lui zero dac˘a ¸si numai dac˘a R = {0} sau |R| = 2; iv) (R, +, ·) este corp dac˘a ¸si numai dac˘a este cu unitate ¸si |R| = 2. 3.19. i) Fie (R, ∨, ∧) o latice Boole (adic˘a o latice distributiv˘a, cu cel mai mic element 0, cel mai mare element 1, ˆın care fiecare element x are un complement x′ ). S˘a se arate c˘a operat¸iile + ¸si · definite pe R astfel: x + y = (x ∧ y ′ ) ∨ (x′ ∧ y), xy = x ∧ y ˆınzestreaz˘a pe R cu o structur˘a de inel Boole cu unitate ˆın care 0 este elementul nul ¸si 1 este elementul unitate. ii) Fie (R, +, ·) un inel Boole cu unitate. S˘a se arate c˘a operat¸iile ∨ ¸si ∧ definite pe R astfel: x ∨ y = x + y − xy, x ∧ y = xy

ˆınzestreaz˘a pe R cu o structur˘a de latice Boole ˆın care 0 este cel mai mic element, 1 este cel mai mare element ¸si x′ = 1 − x. iii) Notˆand cu f (R, ∨, ∧), respectiv g(R, +, ·), inelul introdus la i), respectiv laticea introdus˘a la ii), avem g(f (R, ∨, ∧)) = (R, ∨, ∧) ¸si f (g(R, +, ·)) = (R, +, ·),

adic˘a f realizeaz˘a o biject¸ie ˆıntre clasa laticelor Boole ¸si clasa inelelor Boole, iar f −1 = g. 3.20. Fie (R, +, ·) un inel asociativ finit, cu unitate ¸si a ∈ R, a 6= 0. S˘a se arate c˘a a este inversabil dac˘a ¸si numai dac˘a a nu este divizor al lui zero. 3.21. S˘a se arate c˘a orice domeniu de integritate finit este corp. 3.22. Fie (R, +, ·) un inel asociativ, cu unitate. Dac˘a un element a ∈ R are mai mult decˆat un invers la stˆanga atunci inelul R este infinit ¸si a are o infinitate de inverse la stˆanga. 3.23. S˘a se rezolve Z12 ecuat¸iile b 4x + b 5=b 9 ¸si b 5x + b 5=b 9 ¸si ˆın M2 (C) ecuat¸ia ˆın 1 2 1 2 X= . 1 2 1 2 3.24. ˆIn Z12 , s˘a se determine divizorii lui zero ¸si s˘a se rezolve sistemul: b b 3x + b 4y = 11 b b . 4x + b 9y = 10

3.25. S˘a se dea exemple de p˘art¸i stabile ale mult¸imii R ˆın raport cu + ¸si · care nu sunt inele ˆın raport cu operat¸iile induse de + ¸si · , respectiv de p˘art¸i stabile ale mult¸imii C ˆın raport cu + ¸si · care sunt corpuri sau inele ˆın raport cu operat¸iile induse de + ¸si · . Folosind definit¸ia subinelului ¸si a subcorpului, s˘a se precizeze care din exemplele date sunt subinele sau subcorpuri ale lui (C, +, ·).

58

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (ENUNT ¸ URI)

3.26. S˘a se dea exemplu de subinel al unui inel cu unitate care nu cont¸ine unitatea ¸si de subinel al unui corp care nu este subcorp. 3.27. S˘a se dea exemplu de subinel S al unui inel cu unitate (R, +, ·) care este, ˆın raport cu operat¸iile induse, un inel cu unitate, dar unitatea sa este diferit˘a de unitatea lui R. 3.28. Fie (K, +, ·) un corp comutativ. S˘a se arate c˘a orice subinel al lui K care cont¸ine unitatea este domeniu de integritate. 3.29. S˘a se arate c˘a R=

a b 2b a

| a, b ∈ Z

este o parte stabil˘a a lui M2 (Z) ˆın raport cu adunarea ¸si ˆınmult¸irea matricelor ¸si c˘a R este un domeniu de integritate ˆın raport cu operat¸iile induse. 3.30. S˘a se arate c˘a mult¸imea K=

a b 2b a

| a, b ∈ Q

este stabil˘a ˆın raport cu adunarea ¸si ˆınmult¸irea din M2 (Q) ¸si c˘a formeaz˘a corp comutativ ˆın raport cu operat¸iile induse. √ √ √ √ 3.31. Fie Z[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Z} ¸si Q( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ Q}, adic˘a √ √ √ √ Z[ 2] = Z + Z · 2 ¸si Q( 2) = Q + Q · 2. S˘a se√arate c˘a: i) Z[ 2] √ este un subinel al lui (R, +, ·) care cont¸ine pe 1 ¸si acest subinel este generat de {1,√ 2}; √ ii) Q( 2) este un subcorp al lui (R, +, ·) ¸ s i acest subcorp este generat de 2; √ 3 iii) S1 = {a + b√ 2 | a, b ∈ Z} nu este subinel al lui (R, +, ·); iv) S2 = {a + b 3 2 | a, b ∈ Q} nu este subcorp al lui (R, +, ·). 3.32. Un num˘ar d ∈ Z se nume¸ste ˆıntreg liber de p˘ atrate dac˘a d 6= 1 ¸si d nu se divide prin √ p˘atratul nici unui num˘ar prim. Fie d un ˆıntreg liber de p˘atrate. S˘a se arate c˘a: i) d ∈ / Q; √ ii) a, b√∈ Q ¸si a + b √d = 0 implic˘a a = b = 0; iii) Z[ d] = {a + b d | a, b ∈ Z} √ este un subinel ˆın (C, +, ·) care cont¸ine pe 1 ¸si acest subinel este generat de {1, d}; √ √ iv) Q( d) = {a√+ b d | a, b ∈ Q} este un subcorp al lui (R, +, ·) ¸si acest subcorp este generat de d. 3.33. Fie d ∈ Z un ˆıntreg liber de p˘atrate ¸si funct¸ia √ δ : Z[ d] → N, δ(z) = |z · z|, √ √ √ unde cu z = a − b d √ s-a notat conjugatul lui z = a + b d ∈ Z[ 2]. S˘a se arate c˘a z este inversabil ˆın Z[ d] dac˘a ¸si numai dac˘a δ(z) = 1.

59 3.34. S˘a se determine elementele inversabile ale inelului ˆıntregilor lui Gauss Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z}. √ 3.35. S˘a se arate c˘a inelul Z[ 2] are o infinitate de elemente inversabile. 3.36. Fie p, q ∈ Z ¸si θ ∈ C o solut¸ie a ecuat¸iei x2 + px + q = 0.

(∗)

S˘a se arate c˘a: a) Z[θ] = {a + bθ | a, b ∈ Z} este subinelul lui C generat de {1, θ}; b) Q(θ) = {a + bθ | a, b ∈ Q} este subcorpul lui C generat de θ; ′ ′ c) dac˘a θ′ ∈ C e cealalt˘a solut¸ie a ecuat¸iei (∗) atunci Z[θ] = ! Z[θ ] ¸si Q(θ) = Q(θ ); p −p + p2 − 4q d) dac˘a z = a + bθ ∈ Q(θ) a, b ∈ Q, θ = atunci 2

p p 2 b z = a − b + p − 4q , 2 2 p p b iar dac˘a z = a − b − p2 − 4q este conjugatul lui z atunci z = a + bθ′ ; 2 2 e) funct¸ia δ : Z[θ] → N, δ(z) = |z · z| are urm˘atoarele propriet˘a¸ti: i) δ(z1 z2 ) = δ(z1 )δ(z2 ) pentru orice z1 , z2 ∈ Z[θ]; ii) δ(z) = 0 (z ∈ Z[θ]) dac˘a ¸si numai dac˘a z = 0; iii) dac˘a p2 − 4q nu este p˘atrat perfect atunci δ(a + bθ) = 0 (a, b ∈ Z) ⇔ a = b = 0; iv) z ∈ Z[θ] este inversabil ˆın Z[θ] dac˘a ¸si numai dac˘a δ(z) = 1; f) afirmat¸iile i), ii) ¸si iii) de la e) sunt adev˘arate ¸si pentru funct¸ia δ0 : Q(θ) → Q, δ0 (z) = |z · z|. 3.37. Determinat¸i subinelele lui (Q, +, ·) ce cont¸in pe 1. 3.38. S˘a se determine subinelul ¸si subcorpul lui (R, +, ·) generat de {1,

√ 3

2}.

3.39. S˘a se determine: i) cea mai mic˘a submult¸ime a lui R stabil˘a ˆın raport cu + ¸si · ce cont¸ine pe 1; ii) cel mai mic subinel al lui (R, +, ·) care cont¸ine pe 1; iii) cel mai mic subcorp al lui (R, +, ·). 3.40. Fie a, b, c ∈ R ¸si x⊥y = ax + by − 2; x⊤y = xy − 2x − 2y + c, ∀x, y ∈ R. i) S˘a se determine a, b, c astfel ˆıncˆat (R, ⊥, ⊤) s˘a fie corp; ii) S˘a se determine apoi α, β ∈ R astfel ˆın cˆat funct¸ia f : R → R, f (x) = αx + β s˘a stabileasc˘a un izomorfism de la (R, +, ·) la (R, ⊥, ⊤). √ 3.41. S˘a se arate c˘a inelul Z[ 2] este izomorf cu inelul R din problema 3.29.

60

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (ENUNT ¸ URI)

√ 3.42. S˘a se arate c˘a corpul Q( 2) este izomorf cu corpul K din problema 3.30. 3.43. Fie d ∈ Z un ˆıntreg liber de p˘atrate ¸si a b R= | a, b ∈ Z . bd a

√ S˘a se arate c˘a R este subinel ˆın (M2 (Z), +, ·) ¸si c˘a inelele (Z[ d], +, ·) ¸si (R, +, ·) sunt izomorfe. 3.44. Fie d ∈ Z un ˆıntreg liber de p˘atrate ¸si a b K= | a, b ∈ Q . bd a S˘a se arate c˘a: i) K este parte stabil˘a ˆın M2 (Q) ˆın raport cu adunarea ¸si ˆınmult¸irea ¸si formeaz˘a corp ˆın raport cu√operat¸iile induse; ii) corpurile (Q( d), +, ·) ¸si (K, +, ·) sunt izomorfe. 3.45. S˘a se arate c˘a inelul (Z, +, ·) ¸si inelul (Z, ⊥, ⊤) din problema 3.1 sunt izomorfe. 3.46. Fie (R, +, ·) un inel (asociativ, comutativ, cu unitate) ¸si (R′ , ⊥, ⊤) o structur˘a algebric˘a cu dou˘a operat¸ii (binare). S˘a se arate c˘a dac˘a exist˘a un omomorfism surjectiv f : R → R′ atunci (R′ , ⊥, ⊤) este inel (asociativ, comutativ, cu unitate). Cu alte cuvinte, orice imagine omomorf˘a a unui inel este un inel. 3.47. S˘a se arate c˘a exist˘a structuri algebrice cu dou˘a operat¸ii (binare) care nu sunt inele, dar au imagini omomorfe inele. 3.48. S˘a se arate c˘a dac˘a (R, +, ·) din problema 3.46 este domeniu de integritate nu rezult˘a, ˆın general, c˘a (R′ , ⊥, ⊤) este domeniu de integritate. 3.49. Fie (R, +, ·) ¸si (R′ , +, ·) dou˘a inele ¸si f : R → R′ un omomorfism de inele. a) S˘a se arate c˘a a idempotent ˆın R implic˘a f (a) idempotent ˆın R′ . b) Dac˘a R ¸si R′ sunt inele asociative, s˘a se arate c˘a a nilpotent ˆın R implic˘a f (a) nilpotent ˆın R′ . c) Dac˘a f este surjectiv, s˘a se arate c˘a a central ˆın R implic˘a f (a) central ˆın R′ . d) Dac˘a R, R′ sunt inele asociative cu unitate ¸si f este unital, s˘a se arate c˘a a inversabil ˆın R implic˘a f (a) inversabil ˆın R′ . e) Sunt reciprocele implicat¸iilor de mai sus adev˘arate? Justificat¸i r˘aspunsul. 3.50. Fie (R, +, ·) un inel (corp), R′ o mult¸ime pentru care exist˘a o biject¸ie f : R → R′ . S˘a se arate c˘a se pot defini ˆın mod unic dou˘a operat¸ii ⊥ ¸si ⊤ pe R′ astfel ˆıncˆat (R′ , ⊥, ⊤) s˘a fie inel (corp) ¸si f s˘a fie izomorfism ˆıntre (R, +, ·) ¸si (R′ , ⊥, ⊤). 3.51. Fie (R, +, ·) un inel ¸si n ∈ N∗ . S˘a se arate c˘a: i) inelul (Mn (R), +, ·) are n + 1 subinele izomorfe cu (R, +, ·); ii) inelul (Mn (R), +, ·), cu n ≥ 2, este comutativ dac˘a ¸si numai dac˘a R · R = {0}; iii) dac˘a n ≥ 2 ¸si R 6= {0} atunci inelul (Mn (R), +, ·) are divizori ai lui zero ¸si elemente nilpotente nenule;

61 iv) inelul (Mn (R), +, ·) este cu unitate dac˘a ¸si numai dac˘a inelul (R, +, ·) este cu unitate; v) dac˘a n ≥ 2 ¸si (R, +, ·) este un inel nenul cu unitate, atunci inelul (Mn (R), +, ·) are elemente idempotente diferite de elementul nul ¸si elementul unitate; vi) inelul (Mn (R), +, ·) este corp (domeniu de integritate) dac˘a ¸si numai dac˘a n = 1 ¸si (R, +, ·) este corp (domeniu de integritate). 3.52. Fie (R, +, ·) un inel asociativ cu unitate ¸si n ∈ N∗ . S˘a se determine centrul inelului (Mn (R), +, ·). 3.53. Pe mult¸imea Q = {a1 + a2 i + a3 j + a4 k | a1 , a2 , a3 , a4 ∈ R} se define¸ste ˆınmult¸irea ca ˆın problema 2.69 ¸si adunarea astfel: dac˘a q = a1 + a2 i + a3 j + a4 k ¸si q ′ = b1 + b2 i + b3 j + b4 k atunci q + q ′ = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 )i + (a3 + b3 )j + (a4 + b4 )k. S˘a se arate c˘a (Q, +, ·) este un corp (numit corpul cuaternionilor) ¸si s˘a se determine centrul s˘au. 3.54. Fie (R, +, ·) un inel asociativ cu unitate ¸si (U(R, +, ·), ·) grupul (multiplicativ) al elementelor inversabile ale inelului R. S˘a se arate c˘a: i) 0 ∈ U(R, +, ·) dac˘a ¸si numai dac˘a |R| = 1; ii) (R, +, ·) este corp dac˘a ¸si numai dac˘a R 6= 0 ¸si U(R, +, ·) = R∗ = R \ {0}; iii) dac˘a (R, +, ·) ¸si (R′ , +, ·) sunt inele izomorfe atunci grupurile (U(R, +, ·), ·) ¸si (U(R′ , +, ·), ·) sunt izomorfe; iv) exist˘a inele (R, +, ·) ¸si (R′ , +, ·) neizomorfe pentru care grupurile (U(R, +, ·), ·) ¸si (U(R′ , +, ·), ·) sunt izomorfe. 3.55. Fie n ∈ N∗ , A, B ∈ Mn (C). S˘a se arate c˘a: i) urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) A este inversabil˘a la stˆanga; b) A este inversabil˘a la dreapta; c) A este inversabil˘a; ii) dac˘a A + B = AB atunci AB = BA ¸si s˘a se dea un exemplu de astfel de matrice. 3.56. a) S˘a se determine U(Z, +, ·), U(Mn (K), +, ·), cu K ∈ {Q, R, C} ¸si n ∈ N∗ , ¸si U(Mn (Z), +, ·), cu n ∈ N∗ . b) Fie n ∈ N∗ , (R, +, ·) un inel asociativ, comutativ, cu unitate ¸si (K, +, ·) un corp. S˘a se determine U(Mn (R), +, ·) ¸si U(Mn (K), +, ·). c) S˘a se arate c˘a dac˘a n ∈ N, n ≥ 2 atunci grupul (U(Mn (Z), +, ·), ·) este infinit. 3.57. Fie (R, +, ·) un inel asociativ, comutativ, cu unitate, m, n ∈ N∗ ¸si Mm,n (R) mult¸imea matricelor de tipul (m, n) cu elemente din R. S˘a se arate c˘a (Mm,n (R), +) este un grup izomorf cu (Rmn , +). Sunt izomorfe grupurile (U(Mn (R), +, ·), ·) ¸si 2 ((U(R, +, ·))n , ·)? 3.58. Fie M o mult¸ime, (R, +, ·) un inel ¸si RM = {f | f : M → R}. Pe RM se definesc dou˘a operat¸ii (binare) astfel: dac˘a f, g ∈ RM atunci f + g, f g : R → M sunt funct¸iile definite prin (f + g)(x) = f (x) + g(x) ¸si (f g)(x) = f (x) · g(x), ∀x ∈ M.

62

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (ENUNT ¸ URI)

1) S˘a se arate c˘a: a) (RM , +, ·) este un inel care este asociativ, comutativ, respectiv cu unitate dac˘a (R, +, ·) este asociativ, comutativ, respectiv cu unitate; b) dac˘a |M| ≥ 2 ¸si |R| ≥ 2 atunci (RM , +, ·) are divizori ai lui zero; c) dac˘a M 6= ∅ atunci inelul (RM , +, ·) are un subinel izomorf cu (R, +, ·); d) dac˘a |M| = 1 atunci inelul (RM , +, ·) este izomorf cu (R, +, ·); e) inelul (RM , +, ·) este corp dac˘a ¸si numai dac˘a |M| = 1 ¸si (R, +, ·) este corp. 2) Dac˘a (R, +, ·) este un inel asociativ cu unitate, s˘a se determine U(RM , +, ·). S˘a se analizeze cazurile R = R ¸si R = Z. 3.59. Fie (R, +, ·) un inel asociativ cu unitate ¸si (End(R, +), +, ◦) inelul endomorfismelor grupului s˘au aditiv. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a pentru orice f ∈ End(R, +) ¸si orice x ∈ R, f (x) = f (1) · x atunci inelele (R, +, ·) ¸si (End(R, +), +, ◦) sunt izomorfe; ii) dac˘a inelul (R, +, ·) este comutativ atunci inelul (End(R, +), +, ◦) este comutativ dac˘a ¸si numai dac˘a (R, +, ·) ≃ (End(R, +), +, ◦).

3.60. S˘a se determine endomorfismele ¸si automorfismele grupurilor (Z, +), (Q, +) ¸si (Zn , +) (n ∈ N, n ≥ 2). Care dintre acestea sunt endomorfisme, respectiv automorfisme pentru inelele (Z, +, ·), (Q, +, ·) ¸si (Zn , +, ·)? 3.61. S˘a se descrie toate structurile de inel, respectiv inel cu unitate, ce se pot defini pe grupul abelian (Z, +). 3.62. Fie n ∈ N, n ≥ 2. S˘a se arate c˘a toate structurile de inel cu unitate pe grupul abelian (Zn , +) sunt izomorfe cu inelul (Zn , +, ·). 3.63. Fie p un num˘ar prim. S˘a se arate c˘a, abstract¸ie f˘acˆand de un izomorfism, exist˘a doar dou˘a inele asociative cu p elemente.

3.64. S˘a se arate c˘a singurul omomorfism nenul de corpuri de la (Q, +, ·) la (C, +, ·) este omomorfismul de incluziune. √ 3.65. S˘a se determine automorfismele corpului Q( 2). 3.66. S˘a se arate c˘a singurul endomorfism nenul al corpului (R, +, ·) este 1R .

3.67. Fie m, n ∈ N, m ≥ 2, n ≥ 2. S˘a se determine omomorfismele de inele de la (Zm , +, ·) la (Zn , +, ·).

3.68. S˘a se arate c˘a dac˘a (R, +, ·) este un inel ¸si restrict¸iile la Z a dou˘a omomorfisme g, h : Q → R sunt egale atunci g = h. 3.69. S˘a se determine idealele subinelelor lui (Z, +, ·).

3.70. Fie (R, +, ·) un inel asociativ. Pentru dou˘a ideale U, V ale lui R consider˘am U : V = {r ∈ R | rx ∈ U, ∀x ∈ V }. S˘a se arate c˘a: i) U : V este ideal ˆın R; ii) dac˘a U1 , U2 , V1 , V2 sunt ideale ˆın R atunci au loc egalit˘a¸tile: U : U = R, (U1 ∩U2 ) : V = (U1 : V ) ∩ (U2 : V ), U : (V1 + V2 ) = (U : V1 ) ∩ (U : V2 ); iii) dac˘a inelul R este comutativ ¸si T este, de asemenea, ideal al lui R atunci U : (U + V ) = U : V ¸si (U : V ) : T = U : (V : T ); iv) dac˘a R este comutativ, cu unitate, U : V = R dac˘a ¸si numai dac˘a V ⊆ U; [m, n] v) ˆın inelul numerelor ˆıntregi avem nZ : mZ = Z (m, n ∈ N, m 6= 0). m

63 3.71. ¸si comutativ ¸si U, V ideale ˆın R. S˘a se arate √ Fie (R, +, ·) un inel asociativ n c˘a U = {r ∈ R | ∃n ∈ N : r ∈ U} este, de asemenea, ideal R ¸si s˘a se verifice p√ pˆın √ √ √ √ √ √ √ egalit˘a¸tile U = U , U ∩ V = U ∩ V ¸si U + V = U + V. 3.72. Este intersect¸ia dintre un ideal stˆang ¸si un ideal drept un ideal (bilateral)? Justificat¸i r˘aspunsul. 3.73. S˘a se arate c˘a laticea idealelor unui inel este modular˘a. 3.74. S˘a se arate c˘a ˆıntr-un inel asociativ ¸si comutativ elementele nilpotente formeaz˘a un ideal. 3.75. S˘a se arate c˘a ˆıntr-un inel asociativ, comutativ, cu unitate suma unui element inversabil cu un element nilpotent este un element inversabil. 3.76. Fie (R, +, ·) un inel Boole nenul. S˘a se arate c˘a: i) R este inel simplu dac˘a ¸si numai dac˘a R este izomorf cu inelul (Z2 , +, ·); ii) orice ideal al lui R generat de o submult¸ime finit˘a este principal. 3.77. a) Fie (R1 , +, ·) ¸si (R2 , +, ·) dou˘a inele cu unitate. S˘a se determine idealele produsului direct (R1 × R2 , +, ·) al celor dou˘a inele. b) S˘a se determine idealele inelului (Z × Z, +, ·) ¸si al inelului (K × K, +, ·) (unde (K, +, ·) este un corp). 3.78. Fie (R, +, ·) un inel cu unitate ¸si (Mn (R), +, ·) inelul matricelor p˘atrate cu elemente din R. S˘a se arate c˘a dac˘a U este un ideal al lui (Mn (R), +, ·) ¸si A ∈ U atunci permutˆand dou˘a linii (coloane) ale lui A, ˆınmult¸ind o linie (coloan˘a) a lui A cu un element din R sau adunˆand la o linie (coloan˘a) a lui A o alt˘a linie (coloan˘a) a lui A ˆınmult¸it˘a cu un element din R obt¸inem tot o matrice din U. 3.79. Fie (R, +, ·) un inel ¸si (Mn (R), +, ·) inelul matricelor p˘atrate cu elemente din R. S˘a se arate c˘a: a) matricele triunghiulare (adic˘a matricele A = (aij ), cu aij = 0 pentru orice i, j ∈ {1, . . . , n}, i > j) formeaz˘a un subinel necomutativ T al lui (Mn (R), +, ·); b) U = {A = (aij ) | aij = 0, ∀i, j ∈ {1, . . . , n}, i ≥ j} este un ideal al lui T ; c) inelul cˆat T /U este comutativ. 3.80. Fie (R, +, ·) un inel cu unitate ¸si (Mn (R), +, ·) inelul matricelor p˘atrate cu elemente din R. S˘a se arate c˘a: i) orice ideal al lui Mn (R) este de forma Mn (U), unde U este un ideal al lui R; ii) dac˘a U este ideal ˆın R, inelele Mn (R)/Mn (U) ¸si Mn (R/U) sunt izomorfe; iii) dac˘a R este un inel simplu atunci Mn (R) este un inel simplu; iv) dac˘a R este un corp atunci Mn (R) este un inel simplu; v) dac˘a R nu are unitate, proprietatea i) nu r˘amˆane, ˆın general, adev˘arat˘a; vi) proprietatea de la i) nu se ment¸ine pentru ideale stˆangi (drepte). 3.81. Fie M o mult¸ime, (P(M), +, ·) inelul introdus ˆın problema 3.4 ¸si N ⊆ M. S˘a se arate c˘a: i) inelele (P(M \ N), +, ·) ¸si (P(M)/P(N), +, ·) sunt izomorfe; ii) dac˘a M este finit˘a, orice ideal al lui P(M) este de forma P(N) cu N ⊆ M; iii) dac˘a M este infinit˘a atunci ii) nu are loc.

64

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (ENUNT ¸ URI)

3.82. S˘a se arate c˘a dac˘a f : R → R′ este un omomorfism surjectiv de inele ¸si U este un ideal al lui R care include pe Ker f atunci inelele cˆat R/U ¸si R′ /f (U) sunt izomorfe. 3.83. Fie (R, +, ·) un inel. S˘a se arate c˘a: i) tot¸i nondivizorii lui zero din R au acela¸si ordin ˆın grupul (R, +); ii) dac˘a a ∈ R∗ nu este divizor al lui zero atunci ordinul lui a ˆın (R, +) este infinit sau un num˘ar prim; iii) dac˘a |R| = 4 ¸si R nu are divizori ai lui zero atunci grupul (R, +) este izomorf cu grupul lui Klein; iv) dac˘a |R| = 6 atunci R are divizori ai lui zero. 3.84. S˘a se arate c˘a ˆıntr-un corp (K, +, ·) nu exist˘a elemente nenule a, b astfel ˆıncˆat 2a = 3b = 0. 3.85. S˘a se determine caracteristica unui inel Boole. 3.86. Fie m, n ∈ N∗ \ {1}. S˘a se determine caracteristica inelului (Zm × Zn , +, ·). 3.87. S˘a se determine caracteristica inelelor Z × Z, Z2 × Z, Q × Z4 , End(Z, +) ¸si End(Z3 , +). 3.88. S˘a se dea exemple de inele infinite de caracteristic˘a finit˘a. 3.89. S˘a se dea exemple de inele asociative, comutative, cu unitate care nu sunt corpuri, dar au caracteristica num˘ar prim. 3.90. S˘a se determine corpurile K pentru care {0, 1} formeaz˘a un subcorp al lui K. 3.91. Fie K un corp comutativ de caracteristic˘a infinit˘a, n ∈ N∗ ¸si A, B ∈ Mn (K). Este posibil ca AB − BA = In ? 3.92. Fie R un inel asociativ cu unitate, f˘ar˘a divizori ai lui zero, cu |R| ≥ 2. S˘a se arate c˘a grupurile (R, +) ¸si (U(R, +, ·), ·) nu sunt izomorfe. 3.93. Fie K un corp. S˘a se arate c˘a grupurile (K, +) ¸si (K ∗ , ·) nu sunt izomorfe. 3.94. Fie (R, +, ·) un inel asociativ, comutativ, cu unitate ¸si (R[X], +, ·) inelul polinoamelor ˆıntr-o nedeterminat˘a peste R. Se consider˘a familia de grupuri (Rn , +) = (R, +), n ∈ N. S˘a se arate c˘a grupul (R[X], +) este izomorf cu suma direct˘a a (produsul restrˆans al) familiei de grupuri (Rn , +), n ∈ N. 3.95. Fie R un inel asociativ, comutativ, cu unitate. S˘a se arate c˘a o serie formal˘a f = a0 + a1 X + · · · + an X n + · · · cu coeficient¸i ˆın R este inversabil˘a ˆın R[[X]] dac˘a ¸si numai dac˘a a0 este inversabil ˆın R. 3.96. S˘a se determine elementele inversabile ale urm˘atoarelor inele de polinoame: i) (Z[X], +, ·); ii) (Q[X], +, ·); iii) (R[X], +, ·); iv) (C[X], +, ·); v) (Zp [X], +, ·) (cu p num˘ar prim). 3.97. Exist˘a polinoame inversabile ca serii formale care nu sunt inversabile ca polinoame? Justificat¸i r˘aspunsul.

65 3.98. S˘a se determine toate polinoamele h ∈ Z4 [X] care verific˘a egalitatea (b 2X 2 + b 2X + b 3)h = b 1.

3.99. Fie (R, +, ·) un inel asociativ, comutativ, cu unitate, a0 , . . . , an ∈ R ¸si f = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ R[X]. S˘a se arate c˘a: a) f este inversabil ˆın R[X] dac˘a ¸si numai dac˘a a0 este inversabil ˆın R ¸si a1 , . . . , an sunt elemente nilpotente ale lui R; b) f este nilpotent ˆın R[X] dac˘a ¸si numai dac˘a a0 , a1 , . . . , an sunt elemente nilpotente ale lui R 3.100. Fie n ∈ N, n ≥ 2. S˘a se determine elementele inversabile din (Zn [X], +, ·). 3.101. Fie (R, +, ·) un inel asociativ, comutativ, cu unitate. S˘a se arate c˘a un polinom nenul f este un divizor al lui zero ˆın R[X] dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a a ∈ R, a 6= 0 astfel ˆıncˆat af = 0. 3.102. S˘a se arate c˘a ecuat¸ia x2 + 1 = 0 are o infinitate de solut¸ii ˆın corpul cuaternionilor. 3.103. Exist˘a polinoame nenule cu coeficient¸i ˆıntr-un inel asociativ, comutativ, cu unitate pentru care num˘arul r˘ad˘acinilor dep˘a¸se¸ste gradul? Justificat¸i r˘aspunsul. 3.104. S˘a se determine r˘ad˘acinile polinomului aX 2 + bX + c (a, b, c ∈ C, a 6= 0). √ 2 2 3.105. S˘ a se rezolve ˆ ın C ecuat ¸ iile: a) x + (2 − i)x − i = 0; b) y + i 6y − 3 = 0; √ 2 c) x + 3x + i = 0. 3.106. a) Fie p, q ∈ C. S˘a se g˘aseasc˘a dou˘a numere α, β ∈ C astfel ˆıncˆat α + β s˘a fie o solut¸ie a ecuat¸iei y 3 + py + q = 0. b) S˘a se determine r˘ad˘acinile polinomului aX 3 + bX 2 + cX + d ∈ C[X], a 6= 0. 3.107. S˘a se rezolve ˆın C ecuat¸iile: a) x3 − 3x − 4 = 0; b) x3 + 6x2 + 18x + 27 = 0. 3.108. a) Fie p, q, r ∈ C ¸si h = X 4 + pX 2 + qX + r. S˘a se determine m ∈ C astfel p ˆıncˆat h = f 2 − g 2 unde f = X 2 + + m ¸si g ∈ C[X]. 2 b) S˘a se deduc˘a, folosind a), o metod˘a de rezolvare a ecuat¸iei ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, a, b, c, d, e ∈ C, a 6= 0. √ 3.109. S˘a se determine r˘ad˘acinile polinomului X 4 + 6X 2 + 6i 6X − 9 ∈ C[X]. 3.110. S˘a se dea exemple de inele asociative, comutative, cu unitate R pentru care omomorfismul ϕ : R[X] → RR , ϕ(f ) = fe (unde fe este funct¸ia polinomial˘a deteminat˘a de f ) nu este: a) injectiv; b) surjectiv.

3.111. a) Fie (R, +, ·) un domeniu de integritate infinit ¸si f, g ∈ R[X]. S˘a se arate c˘a fe = e g dac˘a ¸si numai dac˘a f = g (ceea ce permite aplicarea metodei coeficient¸ilor

nedeterminat¸i ˆın cazul funct¸iilor polinomiale definite pe domenii de integritate infinite, de exemplu pe Z, Q, R, C).

b) Fie (R, +, ·) un domeniu de integritate finit cu n elemente, R = {a1 , . . . , an } ¸si f, g ∈ R[X]. S˘a se arate c˘a fe = e g dac˘a ¸si numai dac˘a (X − a1 ) · · · (X − an ) | (f − g).

66

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (ENUNT ¸ URI)

3.112. Fie f = X 3 + b 2X 2 + X + b 1 ∈ Z3 [X]. Care sunt polinoamele de grad cel mult 3 din Z3 [X] care definesc aceea¸si funct¸ie polinomial˘a ca ¸si f ? Dar cele de grad cel mult 4? 3.113. Fie (R, +, ·) un inel asociativ, comutativ, cu unitate. S˘a se arate c˘a omomorfismul ϕ din problema 3.110 este surjectiv dac˘a ¸si numai dac˘a R = {0} sau R este un corp finit. 3.114. Fie (R, +, ·) un domeniu de integritate. S˘a se arate c˘a: a) dac˘a ϕ este un endomorfism surjectiv al lui R[X] cu proprietatea c˘a ϕ(r) = r, ∀r ∈ R atunci exist˘a a, b ∈ R astfel ˆıncˆat ϕ = EaX+b (amintim c˘a EaX+b (f ) = f (aX + b)); b) dac˘a a, b ∈ R atunci EaX+b este automorfism al lui R[X] dac˘a ¸si numai dac˘a a este inversabil. 3.115. S˘a se determine automorfismele inelelelor Z[X], Q[X] ¸si Zp [X] (cu p num˘ar prim). 3.116. Este inelul cˆat C[X]/(X 2 + 1) un domeniu de integritate? 3.117. Este inelul cˆat Q[X, Y ]/(X, Y ) un corp? 3.118. S˘a se demonstreze c˘a au loc urm˘atoarele izomorfisme de inele: a) C ≃ R[X]/(X 2 + 1); b) Z[X]/(n, X) ≃ Zn ; c) Z[X]/(n) ≃ Zn [X] (n ∈ N, n ≥ 2). 3.119. Fie (K, +, ·) un corp comutativ. S˘a se arate c˘a au loc urm˘atoarele izomorfisme: a) K[X]/(X + 1) ≃ K; b) K[X, Y ]/(X − Y ) ≃ K[X] ≃ K[X, Y ]/(X + Y ). 3.120. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele inele cˆat sunt izomorfe: a) Q[X]/(X 2 − 1) ¸si Q[X]/(X 2 −4); b) Z2 [X]/(X 2 − b 1) ¸si Z2 [X]/(X 2 ); c) Z5 [X]/(X 2 + b 1) ¸si Z5 [X]/(X 2 + b 2X + b 2); d) R[X]/(X 2 + 1) ¸si R[X]/(X 2 + 2X + 2).

3.121. S˘a se scrie cu ajutorul polinoamelor simetrice fundamentale urm˘atoarele polinoame ¸si fract¸ii rat¸ionale simetrice cu coeficient¸i reali: a) (X12 + X22 )(X22 + X32 )(X32 + X12 ) ; b) X13 X2 + · · · + X13 Xn + X23 X1 + X23 X3 + · · · + X23 Xn + · · · + Xn3 X1 + · · · + Xn3 Xn−1 ; c) (X12 + X13 + X14 ) + (X22 + X23 + X24 ) + (X32 + X33 + X34 ) + (X42 + X43 + X44 ); X1 X2 X2 X3 X3 X1 d) + + + + + . X2 X1 X3 X2 X1 X3

3.122. S¸tiind c˘a α1 , α2 , α3 ∈ C sunt r˘ad˘acinile polinomului X 3 − 3X − 4, s˘a se determine num˘arul (α12 + α22 )(α22 + α32 )(α32 + α12 ). 3.123. Fie (K, +, ·) un corp comutativ ¸si f = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X]. Polinomul f ′ = a1 +2a2 X +· · ·+nan X n−1 se nume¸ste derivata formal˘ a a polinomului f . S˘a se arate c˘a pentru orice f, g ∈ K[X], k ∈ N∗ ¸si α ∈ K avem (f + g)′ = f ′ + g ′ , (αf )′ = αf ′, (f g)′ = f ′ g + f g ′ ¸si (f k )′ = kf k−1 f ′ .

67 3.124. Fie (K, +, ·) un corp comutativ de caracteristic˘a ∞ ¸si f ∈ K[X]. S˘a se arate c˘a a ∈ K este r˘ad˘acin˘a multipl˘a de ordinul m a lui f dac˘a ¸si numai dac˘a f (a) = f ′ (a) = · · · = f (m−1) (a) = 0 ¸si f (m) (a) 6= 0. 3.125. Fie f = X n − s1 X n−1 + s2 X n−2 + · · · + (−1)n−1 sn−1 X + (−1)n sn ∈ C[X], α1 , . . . , αn ∈ C r˘ad˘acinile lui f , S0 = n ¸si Sk = α1k + · · · + αnk (k ∈ N∗ ). S˘a se demonstreze egalit˘a¸tile de mai jos (numite formulele lui Newton): Sk −s1 Sk−1 + · · · + (−1)k−2 sk−2 S2 + (−1)k−1 sk−1 S1 + (−1)k ksk = 0, ∀k < n, Sk − s1 Sk−1 + · · · + (−1)n−1 sn−1 Sk−n+1 + (−1)n sn Sk−n = 0, ∀k ≥ n. 3.126. S˘a se scrie formulele lui Newton ˆın cazul: a) n = 2; b) n = 3. 3.127. S˘a se arate c˘a formulele lui Newton r˘amˆan adev˘arate ˆın cazul ˆın care R este un domeniu de integritate, s1 , . . . , sn sunt polinomamele simetrice fundamentale din R[X1 , . . . , Xn ] ¸si Sk = X1k + · · · + Xnk (k ∈ N∗ ). 3.128. Fie f = a0 + a1 X + · · · + an X n , g = b0 + b1 X + · · · + bm X m , cu an 6= 0, bm 6= 0, dou˘a polinoame din C[X], α1 , . . . , αn ∈ C r˘ad˘acinile lui f , β1 , . . . , βm ∈ C r˘ad˘acinile lui g. Num˘arul complex Y n Rf,g = am b (αi − βj ) n m (i,j)∈{1,...,n}×{1,...,m}

se nume¸ste rezultanta polinoamelor f ¸si g. S˘a se arate c˘a: a) Rf,g = 0 dac˘a ¸si numai dac˘a f ¸si g au cel put¸in o r˘ad˘acin˘a comun˘a; b) Rf,g = (−1)mn Rg,f ; mn n c) Rf,g = am bm f (β1 ) · · · f (βm ); n g(α1 ) · · · g(αn ) = (−1) d) Rf,g1g2 = Rf,g1 · Rf,g2 ; e) dac˘a f, g sunt polinoame din R[X] (Q[X], respectiv Z[X]) atunci Rf,g este un num˘ar real (rat¸ional, respectiv ˆıntreg). 3.129. Fie f = a0 + a1 X + · · · + an X n , g = b0 + b1 X + · · · + bm X m , cu an 6= 0, bm 6= 0, dou˘a polinoame din C[X]. S˘a se arate c˘a rezultanta Rf,g a polinoamelor f ¸si g este egal˘a cu determinantul  an an−1 an−2 . . . a0 0 0 . . . 0    0 an an−1 . . . a1 a0 0 . . . 0 m linii ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    0 0 ... . . . a0  0 bm bm−1 bm−2 . . . . . . 0    0 bm bm−1 . . . . . . 0 n linii ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    0 0 0 ... . . . b0 3.130. S˘a se scrie sub form˘a de determinant rezultanta polinoamelor a0 +a1 X +a2 X 2 ¸si b0 + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3 (a2 6= 0 6= b3 ). 3.131. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele polinoame au o r˘ad˘acin˘a comun˘a: a) X 5 − X 4 − X 2 + 1 ¸si X 3 + 2X 2 − 3; b) 2X 3 + X 2 + X − 1 ¸si 3X 3 + 2X 2 + 2X − 1.

68

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (ENUNT ¸ URI)

3.132. S˘a se determine λ ∈ C astfel ˆıncˆat urm˘atoarele polinoame cu coeficient¸i complec¸si s˘a aib˘a o r˘ad˘acin˘a comun˘a: a) 2X 3 + X 2 + X − 1 ¸si 2X 3 + λX 2 − 3X − (λ + 1); b) X 3 + 3X 2 + 2X + λ ¸si X 2 − 3X + 2. 3.133. Fie f = a0 + a1 X + · · · + an X n , cu an 6= 0, un polinom din C[X] ¸si f ′ n(n−1) 1 derivata formal˘a a lui f . Num˘arul complex Df = (−1) 2 Rf,f ′ se nume¸ste an discriminantul polinomului f . S˘a se arate c˘a polinomul f are r˘ad˘acini multiple dac˘a ¸si numai dac˘a Df = 0. 3.134. Fie f = a0 +a1 X +· · ·+an X n , cu an 6= 0, un polinom din C[X], α1 , . . . , αn ∈ C r˘ad˘acinile sale ¸si Sk = α1k + · · · + αnk (k ∈ N∗ ). S˘a se arate c˘a n S1 S2 . . . Sn−1 S1 S2 S3 . . . Sn 2n−2 S S S . . . S 2 3 4 n+1 Df = an . .. .. .. .. . . . . Sn−1 Sn Sn+1 . . . S2n−2

3.135. S˘a se calculeze discriminantul urm˘atoarelor polinoame: a) aX 2 + bX + c (a, b, c ∈ C, a 6= 0); b) X 3 + pX + q (p, q ∈ C); c) 3X 3 + 3X 2 + 5X + 2 ∈ R[X]; d) 2X 4 − X 3 − 4X 2 + X + 1 ∈ R[X]. 3.136. S˘a se determine λ ∈ C pentru care urm˘atoarele polinoame din C[X] au r˘ad˘acini multiple: a) X 3 − 3X + λ; b) X 4 − 4X 3 + (2 − λ)X 2 + 2X − 2.

Capitolul 4 Semigrupuri ¸si inele de fract¸ii 4.1. S˘a se dea exemple de semigrupuri comutative care nu pot fi scufundate izomorf ˆıntr-un grup. 4.2. Fie (G, ·) un grup, A un subsemigrup comutativ al lui G ¸si ∅ = 6 S ⊆ A o parte stabil˘a a lui G. S˘a se arate c˘a subsemigrupul lui G generat de A ∪ S −1 este {as−1 | a ∈ A, s ∈ S} ¸si c˘a acesta este izomorf cu semigrupul de fract¸ii AS . S˘a se deduc˘a de aici c˘a A are un grup de fract¸ii izomorf cu subgrupul lui G generat de A. 4.3. S˘a se determine urm˘atoarele semigrupuri de fract¸ii (sau diferent¸e): a) (ZZ∗ , ·); b) (Z∗Z∗ , ·); c) (Z2Z∗ , ·); d) (N2N , +); e) (2N2N , +); f) (2Z2Z∗ , ·); g) (2Z2Z , +). 4.4. Fie (A, ·) un semigrup comutativ, S 6= ∅ o parte stabil˘a ˆın A cu elementele c˘areia se poate simplifica ¸si f : A → AS omomorfismul canonic. S˘a se arate c˘a dac˘a q1 , . . . , qn ∈ AS atunci exist˘a s ∈ S astfel ˆıncˆat f (s)q1 , . . . , f (s)qn ∈ f (A). 4.5. Un triplet (A, +, ·), unde A este mult¸ime ¸si +, · sunt operat¸ii pe A se nume¸ste semiinel, respectiv semiinel comutativ dac˘a verific˘a urm˘atoarele condit¸ii: i) (A, +) este monoid comutativ; ii) (A, ·) este semigrup, respectiv semigrup comutativ; iii) a(b + c) = ab + ac ¸si (b + c)a = ba + ca, ∀a, b, c ∈ A. S˘a se arate c˘a orice semiinel comutativ (A, +, ·) cu proprietatea a, b, c ∈ A, a + b = a + c ⇒ b = c se scufund˘a izomorf ˆıntr-un inel minimal, numit inelul diferent¸elor semiinelului (A, +, ·). 4.6. S˘a se construiasc˘a inelul diferent¸elor semiinelului (N, +, ·) ¸si s˘a se arate c˘a se poate identifica cu inelul (Z, +, ·) acceptat intuitiv. 4.7. S˘a se dea exemple de inele comutative care nu pot fi scufundate izomorf ˆıntr-un corp. 69

70

CAPITOLUL 4. SEMIGRUPURI S¸I INELE DE FRACT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

4.8. Fie (K, +, ·) un corp, R un subinel comutativ nenul al lui K ¸si ∅ = 6 S ⊆ R un sistem multiplicativ ce nu cont¸ine pe 0. S˘a se arate c˘a subinelul lui K generat de R ∪ S −1 este {as−1 | a ∈ R, s ∈ S} ¸si c˘a acesta este izomorf cu inelul RS . S˘a se deduc˘a de aici c˘a inelul R are un corp de fract¸ii izomorf cu subcorpul lui K generat de R. 4.9. S˘a se determine inelul total de fract¸ii ˆın cazul urm˘atoarelor inele: a) (Z, +, ·); b) (2Z, +, ·); c) (Z3 , +, ·); d) (Q, +, ·). 4.10. S˘a se determine inelul fract¸iilor cu num˘ar˘atori ˆın inelul (Z, +, ·) ¸si numitori ˆın 2Z∗ ∪ {1}. 4.11. S˘a se determine inelul total de fract¸ii al inelului ˆıntregilor lui Gauss. Genera√ lizare pentru (Z[ d], +, ·) cu d ∈ Z \ {1} liber de p˘atrate. 4.12. Fie p un num˘ar prim ¸si (p)

Q

=

nm n

o

∈ Q | (n, p) = 1 .

S˘a se arate c˘a: a) Q(p) este parte stabil˘a a lui Q ˆın raport cu adunarea ¸si ˆınmult¸irea; b) (Q(p) , +, ·) este un domeniu de integritate; c) corpul de fract¸ii al lui (Q(p) , +, ·) este (Q, +, ·). 4.13. S˘a se arate c˘a pentru orice subinel nenul cu unitate R al lui (Q, +, ·) exist˘a un sistem multiplicativ ∅ = 6 S ⊆ Z (ce nu cont¸ine pe 0) astfel ˆıncˆat R = ZS . 4.14. Fie (R, +, ·) un domeniu de integritate ¸si a ∈ R\{0}. S˘a se arate c˘a dac˘a S este semigrupul generat de a atunci inelul RS este izomorf cu inelul cˆat R[X]/(aX − 1). 4.15. Fie (R, +, ·) un inel nenul asociativ ¸si comutativ, ∅ = 6 S ⊆ A un sistem multiplicativ ce nu cont¸ine pe 0 ¸si divizori ai lui zero, iar f : R → RS omomorfismul canonic. S˘a se arate c˘a: a) dac˘a (R′ , +, ·) este un inel ¸si g, h : RS → R′ sunt omomorfisme de inele atunci g ◦ f = h ◦ f ⇒ g = h; b) dac˘a R are unitate atunci f este izomorfism dac˘a ¸si numai dac˘a S ⊆ U(R, +, ·). 4.16. Fie (R, +, ·) un domeniu de inegritate, ∅ = 6 S ⊆ R un sistem multiplicativ ce nu cont¸ine pe 0 ¸si f : R → RS omomorfismul canonic. S˘a se arate c˘a f este un izomorfism dac˘a ¸si numai dac˘a orice element din RS este r˘ad˘acin˘a a unui polinom de forma X − a cu a ∈ R. 4.17. Fie n ∈ N, n ≥ 2 ¸si S 6= ∅ un sistem multiplicativ al lui Zn ce nu cont¸ine pe b 0 ¸si divizori ai lui zero. S˘a se arate c˘a omomorfismul canonic f : Zn → (Zn )S este surjectiv.

71 4.18. Pe (RR , +, ·) inelul definit pe RR = {f | f : R → R} ca ˆın problema 3.58. S˘a se arate c˘a: a) o funct¸ie nenul˘a g : R → R este nondivizor al lui zero ˆın (RR , +, ·) dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice x ∈ R avem g(x) 6= 0; b) o funct¸ie nenul˘a g : R → R este element inversabil ˆın (RR , +, ·) dac˘a ¸si numai dac˘a g nu este divizor al lui zero ˆın (RR , +, ·); c) inelul total de fract¸ii al inelului (RR , +, ·) este izomorf cu (RR , +, ·). 4.19. S˘a se arate c˘a funct¸ia g : ZN Z∗ → (ZZ∗ )N definit˘a prin g

(xn )n∈N y

=

xn y

n∈N

este un omomorfism. Este g izomorfism? 4.20. S˘a se arate c˘a orice omomorfism injectiv (surjectiv, bijectiv) ˆıntre dou˘a domenii de integritate induce un omomorfism injectiv (surjectiv, respectiv bijectiv) ˆıntre corpurile lor de fract¸ii. 4.21. Fie (R, +, ·) un inel nenul asociativ, comutativ ¸si cu unitate, iar ∅ = 6 S⊆A un sistem multiplicativ ce nu cont¸ine pe 0 ¸si divizori ai lui zero. S˘a se arate c˘a dac˘a toate idealele lui R sunt principale atunci toate idealele lui RS sunt principale.

72

CAPITOLUL 4. SEMIGRUPURI S¸I INELE DE FRACT ¸ II (ENUNT ¸ URI)

Capitolul 5 Divizibilitatea ˆın monoizi comutativi cu simplificare ¸si ˆın domenii de integritate 5.1. S˘a se determine relat¸ia de asociere ˆın divizibilitate ¸si mult¸imea cˆat ˆın raport cu aceasta ˆın cazul monoizilor sau domeniilor de integritate urm˘atoare: a) (N∗ , ·); b) (Q∗ , ·); c) (Z, +, ·); d) (R, +, ·); e) (Z2 , +, ·); f) (Z[i], +, ·). 5.2. Fie K ∈ {Z, Q, R, C} ∪ {Zp | p num˘ar prim } ¸si f ∈ K[X]. S˘a se determine polinoamele asociate ˆın divizibilitate cu f .

5.3. S˘a se arate c˘a: i) relat¸ia de divizibilitate din Z2 [X1 , . . . , Xn ] este relat¸ie de ordine; ii) dac˘a R este domeniu de integritate ˆın care relat¸ia de divizibilitate este relat¸ie de ordine atunci caracteristica lui R este 2; iii) exist˘a domenii de integritate de caracteristic˘a 2 ˆın care relat¸ia de divizibilitate nu este relat¸ie de ordine. 5.4. Fie R un domeniu de integritate ˆın care orice elemente nenule sunt asociate ˆın divizibilitate. S˘a se arate c˘a R este un corp. 5.5. Fie R un domeniu de integritate ˆın care orice element nenul este inversabil sau ireductibil. S˘a se arate c˘a R este un corp. 5.6. Fie R, R′ domenii de integritate ¸si ϕ : R → R′ un izomorfism de inele. S˘a se arate c˘a a ∈ R este element ireductibil (prim) ˆın R dac˘a ¸si numai dac˘a ϕ(a) este element ireductibil (prim) ˆın R′ . 5.7. Fie K ′ un corp comutativ, K un subcorp al lui K ′ ¸si f ∈ K[X]. S˘a se arate c˘a dac˘a un polinom f este ireductibil ˆın K ′ [X] atunci este ireductibil ¸si ˆın K[X]. Este reciproca adev˘arat˘a? p 5.8. Fie p, q ∈ Z, (p, q) = 1 ¸si f ∈ Z[X]. S˘a se arate c˘a dac˘a f = 0 atunci q (p − q)|f (1) ¸si (p + q)|f (−1).

ˆIn particular, s˘a se arate c˘a dac˘a a ∈ Z ¸si f (a) = 0 atunci (1 − a)|f (1) ¸si (1 + a)|f (−1). 73

74

CAPITOLUL 5. DIVIZIBILITATE (ENUNT ¸ URI)

5.9. S˘a se descompun˘a ˆın produs de polinoame ireductibile toate polinoamele din Z2 [X] \ Z2 de grad cel mult 3. 5.10. Fie K un corp comutativ ¸si f ∈ K[X]. S˘a se arate c˘a: a) dac˘a grad f = 1 atunci f este ireductibil; b) dac˘a grad f ∈ {2, 3} atunci f este ireductibil dac˘a ¸si numai dac˘a f nu are nici o r˘ad˘acin˘a ˆın K; c) polinoamele ireductibile din K[X] de grad 4 (sau mai mare) nu pot fi, ˆın general, caracterizate ca la b); d) polinomul X 2 +1 este ireductibil ˆın Q[X], dar polinomul X 2 + b 1 nu este ireductibil ˆın Z5 [X]; e) polinomul X 3 + X + 1 este ireductibil ˆın Z5 [X]. Sunt adev˘arate afirmat¸iile de la a) ¸si b) cˆand K este doar domeniu de integritate? 5.11. i) Este f = 6X + 12 ireductibil ˆın Z[X]? Dar ˆın Q[X]? ii) Fie g ∈ Z[X]. S˘a se arate c˘a g este ireductibil ˆın Z[X] dac˘a ¸si numai dac˘a g este ireductibil ˆın Q[X] ¸si primitiv ˆın Z[X]. iii) Fie R un domeniu factorial ¸si K corpul fract¸iilor lui R. S˘a se generalizeze punctul ii) la R ¸si la K. 5.12. Fie R un domeniu factorial. S˘a se arate c˘a R este corp dac˘a ¸si numai dac˘a orice polinom de grad 1 din R[X] este ireductibil ˆın R[X]. 5.13. S˘a se determine elementele prime ¸si elementele ireductibile ˆın: i) (N∗ , ·); ii) (Z, +, ·); iii) (C[X], +, ·); iv) (R[X], +, ·). 5.14. Fie f = 7X 4 +2X 3 +9X 2 +5X −5. S˘a se determine cˆatul ¸si restul ˆımp˘art¸irii ˆın Z[X] a polinomului f la polinomul: a) X − 1; b) X − 2; c) X 2 + 2X; d) X 2 − 3X + 2; e) X 3 + X + 1; f) X 4 . 5.15. Fie (R, δ) un domeniu euclidian (δ : R∗ → N) ¸si a, b ∈ R, b 6= 0. S˘a se arate c˘a existent¸a a dou˘a elemente q, r ∈ R pentru care a = bq + r, cu r = 0 sau δ(r) < δ(b) nu implic˘a, ˆın general, unicitatea lor. 5.16. S˘a se arate c˘a pentru orice a, b ∈ Z, b 6= 0 exist˘a q ′ , r ′ ∈ Z astfel ˆıncˆat a = bq ′ + r ′ ¸si |r ′ | ≤

|b| . 2

Sunt q ′ ¸si r ′ unic determinat¸i de condit¸iile de mai sus? 5.17. Folosind algoritmul lui Euclid, s˘a se determine : a) ( 4148 , 7684 ) ˆın Z ; b) (X 18 − 1, X 33 − 1) ¸si (X 3 − 1, X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1) ˆın Q[X]. 5.18. Fie R un domeniu cu ideale principale ¸si a, b, c ∈ R. S˘a se arate c˘a: (a, b, c) = d ⇒ ∃u, v, t ∈ R : d = au + bv + ct; (a, b, c) = 1 ⇔ ∃u, v, t ∈ R : 1 = au + bv + ct. S˘a se generalizeze pentru n elemente.

75 5.19. Fie R un domeniu cu ideale principale ¸si a, b, c ∈ R, a 6= 0 6= b. S˘a se arate c˘a: i) ecuat¸ia ax + by = c are solut¸ii ˆın R × R dac˘a ¸si numai dac˘a (a, b)|c ; ii) ¸ie a ecuat¸iei de mai sus atunci orice solut¸ie este de forma dac˘a (x0 , y0 ) este o solut b a x0 + t, y0 − t cu t ∈ R. (a, b) (a, b) 5.20. S˘a se determine: i) (x, y) ∈ Z × Z astfel ˆıncˆat 31x − 17y = 1; ii) (x, y) ∈ N∗ × N∗ astfel ˆıncˆat 31x − 17y = 1. 5.21. S˘a se rezolve ˆın Z urm˘atoarele sisteme de congruent¸e:   3x ≡ 2(mod 5) x ≡ 2(mod 7) x ≡ 6(mod 7) . a) ; b) x ≡ 3(mod 6)  x ≡ 1(mod 6)

5.22. Fie a, b, c, d, m, n ∈ Z. S˘a se arate c˘a dac˘a sunt verificate condit¸iile (a, b) = 1, (m, a) = 1, (n, b) = 1

atunci congruent¸ele mx ≡ c(mod a) ¸si ny ≡ d(mod b) au o solut¸ie comun˘a ˆın Z. 5.23. (Teorema chinez˘a a resturilor pentru k congruent¸e) Fie numerele ˆıntregi a1 , a2 , . . . , ak dou˘a cˆate dou˘a prime ˆıntre ele. S˘a se arate c˘a oricare ar fi c1 , c2 , . . . , ck ∈ Z congruent¸ele x ≡ ci (mod ai ) (i = 1, . . . , k) au o solut¸ie comun˘a, unic˘a modulo a1 a2 · · · ak . 5.24. S˘a se arate c˘a congruent¸a mx ≡ c( mod a) are solut¸ii ˆın Z dac˘a ¸si numai dac˘a (m, a)|c, iar ˆın acest caz are exact (m, a) solut¸ii necongruente modulo a. 5.25. 1) S˘a se arate c˘a rezolvarea ecuat¸iei x2 + y 2 = z 2 ˆın Z × Z × Z se poate reduce la cazul cˆand numerele x ¸si y sunt prime ˆıntre ele. 2) Fie x, y, z ∈ Z astfel ˆıncˆat x2 + y 2 = z 2 ¸si (x, y) = 1. S˘a se arate c˘a x ¸si y nu pot fi ambele impare, iar dac˘a y este par atunci exist˘a m, n ∈ Z astfel ˆıncˆat x = m2 − n2 , y = 2mn ¸si z = m2 + n2 . √ 5.26. Fie d ∈ Z \ {1} liber de p˘ a trate, δ : Z[ d] → N, δ(z) = |z · z|. S˘a se arate c˘a √ pentru orice z1 , z2 , z ∈ Z[ d] avem: i) dac˘a z1 |z2 atunci δ(z1 )|δ(z2 ); ii) z1 ∼ z2 dac˘a ¸si numai dac˘a δ(z1 ) = δ(z2 ) ¸si z1 |z2 ; iii) δ(z1 ) = δ(z2 ) nu implic˘a, ˆın general, z1 ∼ z2 ; √ iv) dac˘a δ(z) este un num˘ar prim atunci z este element ireductibil ˆın Z[ d]. 5.27. S˘a se arate c˘a inelul ˆıntregilor lui Gauss (Z[i], +, ·) este un domeniu euclidian ¸si s˘a se determine: a) c.m.m.d.c. ¸si c.m.m.m.c. al numerelor z1 = 12 − 3i ¸si z2 = 3 + 6i ˆın Z[i]; b) cˆate un generator pentru fiecare dintre idealele (z1 ) ∩ (z2 ) ¸si (z1 , z2 ).

76

CAPITOLUL 5. DIVIZIBILITATE (ENUNT ¸ URI)

5.28. Fie p, q ∈ Z cu |p| + |q| < 3, θ ∈ C o solut¸ie a ecuat¸iei x2 + px + q = 0, subinelul Z[θ] = {a + bθ | a, b ∈ Z} al lui C ¸si funct¸ia δ : Z[θ] → N, δ(z) = |z ·z|. S˘a se arate c˘a (Z[θ], δ) este un domeniu euclidian. 5.29. Scriet¸i toate domeniile euclidiene care se obt¸in din problema anterioar˘a. " " √ # √ # 1 + i 11 1+i 7 ¸si Z sunt euclidiene. 5.30. S˘a se arate c˘a inelele Z 2 2 5.31. Fie U un ideal nenul al inelului ˆıntregilor lui Gauss. S˘a se arate c˘a inelul cˆat Z[i]/U este finit. 5.32. 1) S˘a se arate c˘a ˆın (Z[i], +, ·) au loc urm˘atoarele: a) 2, 5 ¸si 17 nu sunt elemente ireductibile; b) 3 ¸si 7 sunt elemente ireductibile; c) 1 + i ¸si 1 + 2i sunt elemente ireductibile. 2) S˘a se scrie numerele 4 ¸si 18 + 36i ca produs de elemente ireductibile din Z[i]. 5.33. S˘a se arate c˘a: a) orice element prim din Z[i] este un divizor al unui num˘ar prim din Z; b) dac˘a p este un num˘ar prim ¸si p ≡ 3(mod 4) atunci p este ireductibil ˆın Z[i]; c) dac˘a p este un num˘ar prim ¸si p ≡ 1(mod 4) atunci p este produsul a dou˘a elemente conjugate ireductibile ˆın Z[i] care nu sunt asociate ˆın divizibilitate; d) orice element ireductibil din Z[i] este asociat ˆın divizibilitate cu 1 + i sau cu un num˘ar (natural) prim de forma 4k + 3 sau cu un element ireductibil ˆın Z[i] care divide un num˘ar (natural) prim de forma 4k + 1. √ 5.34. S˘a se arate c˘a ˆın (Z[i 5], +, ·) au loc urm˘atoarele: a) 3 este element √ ireductibil, dar nu este element prim; b) 6 ¸si 2(1 +√i 5) nu au un c.m.m.d.c.; c) 3 ¸si 1 + i 5 au un c.m.m.d.c. 5.35. Fie R domeniu euclidian, a, b ∈ R relativ prime ¸si m, n ∈ N. S˘a se arate c˘a (am − bm , an − bn ) = a(m,n) − b(m,n) . 5.36. (Criteriul lui Eisenstein) Fie n ∈ N∗ ¸si f = a0 + · · · + an−1 X n−1 + an X n un polinom primitiv din Z[X]. S˘a se arate c˘a dac˘a exist˘a un num˘ar prim p cu proprietatea c˘a p | a0, . . . , p | an−1 ¸si p2 nu divide pe a0 atunci polinomul f este ireductibil peste Z. 5.37. S˘a se arate c˘a ˆın Z[X] exist˘a polinoame ireductibile de orice grad n ≥ 0, iar ˆın Q[X] exist˘a polinoame ireductibile de orice grad n ≥ 1. 5.38. Fie R un domeniu de integritate, a, b ∈ R, a inversabil ¸si f ∈ R[X]. S˘a se arate c˘a f este ireductibil dac˘a ¸si numai dac˘a f (aX + b) este ireductibil.

77 5.39. Fie p un num˘ar prim. S˘a se arate c˘a polinomul f = X p−1 + X p−2 + · · · + X + 1 ∈ Z[X] este ireductibil peste Q. 5.40. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele polinoame cu coeficient¸i ˆıntregi sunt ireductibile ˆın n n Q[X]: a) X 5 + 5X 4 + 10X 3 − 15X 2 + 15X − 20; b) X 2 + 1 (n ∈ N∗ ); c) X p + p − 1 (p prim, n ∈ N). 5.41. S˘a se descompun˘a ˆın factori ireductibili ˆın Z[X], Q[X], R[X] ¸si ˆın C[X] urm˘atoarele polinoame: i) 40X 2 − 20X; ii) 10X 2 + 5X − 5; iii) X 3 − 8; iv) X 3 + 8; v) X 4 − 1; vi) x4 + 1; vii) X 6 − 1; viii) X 6 + 1; ix) X 8 − 1; x) X 8 + 1. 5.42. S˘a√se descompun˘a polinomul X 4 − 5X 2 + 6 ˆın factori ireductibili peste Q, peste Q( 2) ¸si peste R. 5.43. Fie p un num˘ar prim ¸si f = a0 + a1 X + · · · + an−1 X n−1 + X n un polinom cu n−1 coeficienti ˆıntregi. Polinomul ab0 + ab1 X + · · · + ad + X n se nume¸ste redusul n−1 X modulo p al lui f . S˘a se arate c˘a: a) dac˘a f este reductibil peste Z atunci fiecare factor al lui f se reduce modulo p la un polinom de acela¸si grad din Zp [X]; b) dac˘a redusul modulo p al lui f este ireductibil peste Zp atunci f este ireductibil peste Q. 5.44. Folosind problema anterioar˘a, s˘a se studieze care din urm˘atoarele polinoame sunt ireductibile peste Q: f = X 3 + 6X 2 + 5X + 25, g = X 3 + 6X 2 + 11X + 8, h = X 4 + 8X 3 + X 2 + 2X + 5. 5.45. Fie K un corp comutativ, f = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X] ¸si g = an + an−1 X + · · · + a0 X n . S˘a se arate c˘a dac˘a f este ireductibil ˆın K[X] atunci ¸si g este ireductibil. 5.46. S˘a se arate c˘a Z[X] este un domeniu factorial, dar are ideale care nu sunt principale. 5.47. S˘a se arate c˘a R[X] este un domeniu cu ideale principale, dar R[X, Y ] are ideale care nu sunt principale. 5.48. Fie K un corp comutativ. S˘a se arate c˘a idealul (X 2 , XY, Y 2 ) nu este principal ˆın K[X, Y ] ¸si c˘a inelul cˆat K[X, Y ]/ (X 2 , XY, Y 2 ) are ideale care nu sunt principale. Poate fi generat idealul (X 2 , XY, Y 2 ) al lui K[X, Y ] cu dou˘a elemente? 5.49. S˘a se descompun˘a ˆın factori irductibili ˆın Q[X, Y ] polinoamele: i) X 3 − Y 3 ; ii) Y 4 −X 2 ; iii) X 2 −Y 6 ; iv) X 7 +2X 3Y +3X 2 +9Y ¸si s˘a se demonstreze ireductibilitatea fiec˘arui factor.

78

CAPITOLUL 5. DIVIZIBILITATE (ENUNT ¸ URI)

5.50. Fie K un corp comutativ. i) S˘a se arate c˘a un polinom omogen f = aX 2 +bXY +cY 2 ∈ K[X, Y ] este ireductibil ˆın K[X, Y ] dac˘a ¸si numai dac˘a a 6= 0 ¸si g = aX 2 + bX + c este ireductibil ˆın K[X]. ii) S˘a se generalizeze i) pentru polinoamele omogene de grad n ≥ 2 din K[X, Y ]. iii) S˘a se arate c˘a factorii ireductibili ai unui polinom omogen din K[X, Y ] sunt polinoame omogene. 5.51. S˘a se arate c˘a ˆın Z[i]: a) exist˘a o infinitate de ideale prime; b) idealele (3) ¸si (1 + i) sunt prime; c) idealul (2) nu este prim. 5.52. ˆIn inelul 4Z idealul generat de 8 este maximal, dar inelul cˆat corespunz˘ator nu este un corp. 5.53. S˘a se arate c˘a ˆıntr-un inel Boole nenul un ideal este maximal dac˘a ¸si numai dac˘a este prim. 5.54. S˘a se arate c˘a idealul generat de X este ideal prim ˆın Z[X] dar nu este ideal maximal. 5.55. S˘a se arate c˘a idealul generat de X este ideal maximal ˆın Q[X]. 5.56. Fie n ∈ Z \ {−1, 0, 1}. S˘a se arate c˘a idealul (n, X) al lui Z[X] este prim dac˘a ¸si numai dac˘a n este num˘ar prim. 5.57. S˘a se arate c˘a idealele (X, Y ) ¸si (X − 2, Y − 3) sunt maximale ˆın C[X, Y ].

5.58. S˘a se arate c˘a idealele (Y − 3) ¸si (X 2 + 1) sunt prime ˆın Q[X, Y ]. Sunt ele maximale? 5.59. Sunt idealele (X 2 ) ¸si (X 2 − 1) prime ˆın Q[X]? Dar maximale?

5.60. Fie R un inel nenul, asociativ, comutativ, cu unitate. S˘a se arate c˘a un ideal M 6= R al s˘au este maximal dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice x ∈ R \ M exist˘a r ∈ R astfel ˆıncˆat 1 − rx ∈ M.

5.61. Un inel R se nume¸ste local dac˘a are un singur ideal maximal. Fie R un inel asociativ, comutativ cu unitate. S˘a se arate c˘a: 1) R este corp dac˘a ¸si numai dac˘a R2 6= {0} ¸si {0} este (singurul) ideal maximal al lui R; 2) urm˘atoarele condit¸ii sunt echivalente: i) R este inel local; ii) elementele neinversabile din R formeaz˘a un ideal; iii) suma a dou˘a elemente neinversabile din R este un element neinversabil.

5.62. Fie R un domeniu de integritate, P 6= R un ideal prim al lui R, S = R \ P ¸si K corpul fract¸iilor lui R. S˘a se arate c˘a: i) {ab−1 | a ∈ R, b ∈ S} este subinel al lui K ¸si c˘a acest subinel coincide cu inelul de fract¸ii RS ; ii) inelulnRS este local; o a iii) A = | a, b ∈ Z, b impar este subinel al lui Q ¸si inelul A este local. b 5.63. S˘a se arate dac˘a R este un inel comutativ local atunci inelul seriilor formale R[[X]] este local.

Capitolul 6 Spat¸ii vectoriale 6.1. Fie V un K-spat¸iu vectorial, V 6= {0}, α, β ∈ K ¸si u, v ∈ V . Care din urm˘atoarele afirmat¸ii: a) αu = αv ⇒ u = v, b) αu = βu ⇒ α = β, c) α 6= 0 ¸si αu = αv ⇒ u = v, d) u 6= 0 ¸si αu = βu ⇒ α = β, e) αu = 0 ⇒ α = 0 sau u = 0 sunt adev˘arate? 6.2. Ar˘atat¸i c˘a grupul abelian (R∗+ , ·) este R-spat¸iu vectorial ˆın raport cu operat¸ia extern˘a ∗ definit˘a prin α ∗ x = xα , α ∈ R, x ∈ R∗+

¸si c˘a acest spat¸iu vectorial este izomorf cu R-spat¸iul vectorial definit pe R de operat¸iile uzuale de adunare ¸si ˆınmult¸ire. 6.3. Fie K un corp comutativ, V = K × K, fie (x, y), (x′, y ′ ) ∈ V ¸si α ∈ K. Este V un K-spat¸iu vectorial ˆın raport cu operat¸iile definite astfel: (0, 0) , dac˘a α = 0; i) (x, y) + (x′ , y ′ ) = (x + x′ , y + y ′), α(x, y) = −1 (αx, α y) , dac˘a α 6= 0? ii) (x, y) + (x′ , y ′ ) = (x + 2x′ , y + 3y ′), α(x, y) = (αx, αy)? iii) (x, y) + (x′ , y ′) = (x + x′ , y + y ′ ), α(x, y) = (x, 0)? Justificat¸i r˘aspunsul. 6.4. Fie V un K-spat¸iu vectorial ¸si M o mult¸ime. S˘a se arate c˘a V M este K-spat¸iu vectorial ˆın raport cu operat¸iile definite punctual ˆın V M , adic˘a (f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x), ∀f, g ∈ V M , ∀α ∈ K. 6.5. Fie (V, +) un grup abelian, V 6= {0}, K un corp ¸si α ∈ K. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a (V, +) este un K-spat¸iu vectorial ¸si tα : V → V , tα (x) = αx atunci tα ∈ End(V, +) ¸si aplicat¸ia ϕ : K → End(V, +), ϕ(α) = tα este omomorfism injectiv de inele; ii) dac˘a ϕ : K → End(V, +) este omomorfism injectiv de inele atunci grupul (V, +) este K-spat¸iu vectorial ˆın raport cu operat¸ia extern˘a definit˘a prin αx = (ϕ(α))(x); iii) exist˘a o biject¸ie ˆıntre operat¸iile externe pe V cu domeniul de operatori K cu proprietatea c˘a ˆınzestreaz˘a grupul (V, +) cu o structur˘a de K-spat¸iu vectorial ¸si omomorfismele injective de inele ˆıntre K ¸si End(V, +). 79

80

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (ENUNT ¸ URI)

6.6. Fie (V, +) un grup abelian ¸si K un corp. S˘a se arate c˘a exist˘a o structur˘a de K-spat¸iu vectorial pe (V, +) dac˘a ¸si numai dac˘a inelul (End(V, +)+, ◦) are un subinel care este corp izomorf cu K. 6.7. S˘a se arate c˘a oricare ar fi K un corp nu exist˘a nici o structur˘a de K-spat¸iu vectorial pe grupul (Z, +). 6.8. Fie K un corp. S˘a se arate c˘a exist˘a pe grupul (Q, +) o structur˘a de K-spat¸iu vectorial dac˘a ¸si numai dac˘a corpurile K ¸si Q sunt izomorfe. 6.9. Fie K un corp ¸si V 6= {0} un K-spat¸iu vectorial. S˘a se arate c˘a ordinul fiec˘arui element v ∈ V \ {0} ˆın grupul (V, +) coincide cu caracteristica lui K. 6.10. Poate fi organizat˘a o mult¸ime finit˘a ca un spat¸iu vectorial peste un corp infinit? 6.11. S˘a se arate c˘a grupul (Q, +) nu poate fi organizat ca un spat¸iu vectorial peste corpul numerelor reale. 6.12. S˘a se defineasc˘a o structur˘a de Z2 -spat¸iu vectorial pe grupul lui Klein. 6.13. a) Fie p un num˘ar prim ¸si n ∈ N∗ . S˘a se dea cˆate un exemplu de spat¸iu vectorial cu cˆate: i) 2 vectori; ii) 4 vectori; iii) 2n vectori; iv) pn vectori. b) Fie m un num˘ar natural care nu este de forma pn cu n ∈ N ¸si p num˘ar prim. Exist˘a spat¸ii vectoriale cu m elemente? 6.14. Fie K un corp comutativ ¸si n ∈ N. S˘a se arate c˘a Pn (K) = {f ∈ K[X] | grad f ≤ n} este un subspat¸iu al K-spat¸iului vectorial K[X], iar {f ∈ K[X] | grad f = n} ¸si {f ∈ K[X] | grad f ≥ n} nu sunt subspat¸ii. 6.15. Fie V un K-spat¸iu vectorial ¸si S un subspat¸iu al lui V . Este CV S = V \ S un subspat¸iu al lui V ? Dar CV S ∪ {0}? 6.16. Fie V un K-spat¸iu vectorial ¸si S ⊆ V . S˘a se arate c˘a S este un subspat¸iu al lui V dac˘a ¸si numai dac˘a S 6= ∅ ¸si α ∈ K, x, y ∈ S implic˘a αx + y ∈ S. 6.17. Fie V un K-spat¸iu vectorial, S un subspat¸iu al lui V ¸si x, y ∈ V . Not˘am hS, xi = hS ∪ {x}i. S˘a se arate c˘a dac˘a x ∈ V \ S ¸si x ∈ hS, yi atunci y ∈ hS, xi. 6.18. Fie V un K-spat¸iu vectorial, α, β, γ ∈ K ¸si x, y, z ∈ V astfel ˆıncˆat αγ 6= 0 ¸si αx + βy + γz = 0. S˘a se arate c˘a hx, yi = hy, zi. 6.19. Fie K un corp comutativ, n ∈ N ¸si S un subspat¸iu al K-spat¸iului vectorial K[X] care cont¸ine cˆate un polinom de grad i pentru orice i ∈ {0, 1, . . . , n} dar nu cont¸ine nici un polinom de grad mai mare ca n. S˘a se arate c˘a S = Pn (K). 6.20. Formeaz˘a polinoamele f1 = 3X + 2, f2 = 4X 2 − X + 1, f3 = X 3 − X 2 + 3 un sistem de generatori pentru R-spat¸iul vectorial P3 (R) = {f ∈ R[X] | grad f ≤ 3}? Justificat¸i r˘aspunsul.

81 6.21. Fie V1 , V2 substat¸ii ale unui spat¸iu vectorial V . S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) V1 ∪ V2 este subspat¸iu al lui V ; b) V1 + V2 = V1 ∪ V2 ; c) V1 ⊆ V2 sau V2 ⊆ V1 . 6.22. S˘a se arate c˘a laticea subspat¸iilor unui spat¸iu vectorial este modular˘a, dar nu este, ˆın general, distributiv˘a. 6.23. Fie V un K-spat¸iu vectorial ¸si A1 , . . . , An (n ∈ N∗ ) subspat¸ii ale lui V . S˘a se arate c˘a V = A1 + · · · + An dac˘a ¸si numai dac˘a funct¸ia f : A1 × · · · × An → V, f (a1 , . . . , an ) = a1 + · · · + an este surjectiv˘a. Ce condit¸ie trebuie s˘a ˆındeplineasc˘a f pentru a avea loc egalitatea V = A1 ⊕ · · · ⊕ An ? 6.24. S˘a se arate c˘a proprietatea unui subspat¸iu de a fi sumand direct este tranzitiv˘a. 6.25. S˘a se arate c˘a un subspat¸iu al unui spat¸iu vectorial V poate avea doi complement¸i direct¸i diferit¸i ˆın V . 6.26. ˆIn R-spat¸iul vectorial RR = {f | f : R → R} consider˘am (RR )i = {f : R → R | f este impar˘a}, (RR )p = {f : R → R | f este par˘a}. S˘a se arate c˘a (RR )i ¸si (RR )p sunt subspat¸ii ale lui RR ¸si c˘a RR = (RR )i ⊕ (RR )p . 6.27. S˘a se arate c˘a subspat¸iile lui R2 sunt {0} ¸si Va,b = {(x, y) ∈ R2 | ax + by = 0}, cu a, b ∈ R. S˘a se dea interpretarea geometric˘a. Cˆand are loc egalitatea Va,b = Va′ ,b′ ? Dar R2 = Va,b ⊕ Va′ ,b′ ? 6.28. S˘a se arate c˘a subspat¸iile R-spat¸iului vectorial R3 sunt Va,b,c = {(at, bt, ct) | t ∈ R} ¸si Wa,b,c = {(x, y, z) ∈ R3 | ax + by + cz = 0}, cu a, b, c ∈ R. S˘a se dea interpretarea geometric˘a. Cˆand are loc egalitatea R3 = Va,b,c ⊕ Va′ ,b′ ,c′ ⊕ Va′′ ,b′′ ,c′′ ? Dar R3 = Va,b,c ⊕ Wa′ ,b′ ,c′ ? 6.29. Fie V, V ′ dou˘a K-spat¸ii vectoriale. S˘a se arate c˘a o funct¸ie f : V → V ′ este o transformare liniar˘a dac˘a ¸si numai dac˘a f (αx + y) = αf (x) + f (y) pentru orice α ∈ K ¸si x, y ∈ V. 6.30. Fie V, V1 , V2 K-spat¸ii vectoriale. S˘a se arate c˘a pentru orice transformare liniar˘a f de la produsul direct V1 × V2 la V exist˘a dou˘a transform˘ari liniare unic determinate g : V1 → V , h : V2 → V astfel ˆıncˆat f (x1 , x2 ) = g(x1 ) + h(x2 ), pentru orice x1 ∈ V1 , x2 ∈ V2 . 6.31. Fie V, V1 , V2 K-spat¸ii vectoriale, dou˘a funct¸ii f : V → V1 , g : V → V2 ¸si h : V → V1 × V2 , h(x) = (f (x), g(x)). S˘a se arate c˘a h este o transformare liniar˘a dac˘a ¸si numai dac˘a f ¸si g sunt transform˘ari liniare. Generalizare.

82

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (ENUNT ¸ URI)

6.32. a) Fie m ∈ N∗ ¸si f : Rm → R. S˘a se arate c˘a f este o transformare liniar˘a de R-spat¸ii vectoriale dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a a1 , . . . , am ∈ R, unic determinate, astfel ˆıncˆat f (x1 , . . . , xm ) = a1 x1 + · · · + am xm , pentru orice (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm . b) S˘a se determine tranform˘arile liniare f : Rm → Rn (n ∈ N∗ ).

6.33. S˘a se arate c˘a exist˘a o transformare liniar˘a f : R2 → R2 astfel ˆıncˆat f (1, 1) = (2, 5) ¸si f (1, 0) = (1, 4). S˘a se determine f (2, 3). Este f izomorfism? 6.34. Exist˘a o transformare liniar˘a f : R3 → R2 astfel ˆıncˆat f (1, 0, 3) = (1, 1) ¸si f (−2, 0, −6) = (2, 1)?

6.35. Fie V un K-spat¸iu vectorial ¸si S un sumand direct al lui V . S˘a se arate c˘a tot¸i complement¸ii direct¸i ai lui S sunt izomorfi. 6.36. Fie V un K-spat¸iu vectorial, Pl (V ) ¸si Pl′ (V ), mult¸imea submult¸imilor libere, respectiv legate, ale lui V ¸si X, Y ⊆ V . Care din urm˘atoarele afirmat¸ii: a) X, Y ∈ Pl (V ) ⇒ X ∪ Y ∈ Pl (V ), b) X, Y ∈ Pl (V ) ⇒ X ∩ Y ∈ Pl (V ), c) X, Y ∈ Pl′ (V ) ⇒ X ∪ Y ∈ Pl′ (V ), d) X, Y ∈ Pl′ (V ) ⇒ X ∩ Y ∈ Pl′ (V ), e) {0} ∈ Pl (V ), f) {0} ∈ Pl′ (V ), g) V ∈ Pl (V ), h) V ∈ Pl′ (V ), i) x ∈ V, x 6= 0 ⇒ {x} ∈ Pl (V ), j) x ∈ V, x 6= 0 ⇒ {x} ∈ Pl′ (V ), k) X, Y ∈ Pl (V ), X ⊆ Y ⇒ Y ∈ Pl (V ), l) X, Y ∈ Pl′ (V ), X ⊆ Y ⇒ Y ∈ Pl′ (V ), m) Y ∈ Pl (V ), X ⊆ Y ⇒ X ∈ Pl (V ), n) Y ∈ Pl′ (V ), X ⊆ Y ⇒ X ∈ Pl′ (V ), o) ∅ ∈ Pl (V ) sunt adev˘arate? 6.37. Fie V un K-spat¸iu vectorial ¸si X, Y ⊆ V . S˘a se arate c˘a: i) hX ∪ Y i = hXi + hY i; ii) hX ∩ Y i ⊆ hXi ∩ hY i ¸si dat¸i un exemplu pentru care are loc egalitatea ¸si unul pentru care nu are loc egalitatea; iii) dac˘a X ∩ Y = ∅ ¸si X ∪ Y este liber˘a atunci hX ∪ Y i = hXi ⊕ hY i.

6.38. Fie K un corp comutativ, V1 = K[X 2 ] ¸si V2 submult¸imea lui K[X] format˘a din polinomul nul ¸si polinoamele care au ˆın scrierea algebric˘a coeficient¸ii puterilor pare ale lui X egali cu 0. S˘a se arate c˘a V1 ¸si V2 sunt subspat¸ii ale lui K[X] ¸si K[X] = V1 ⊕ V2 . 6.39. a) Fie a, b, c ∈ R ¸si polinoamele f1 = (X − b)(X − c), f2 = (X − c)(X − a), f3 = (X − a)(X − b). S˘a se arate c˘a: i) vectorii f1 , f2 , f3 sunt liniar independent¸i ˆın R-spat¸iul vectorial R[X] dac˘a ¸si numai dac˘a (a − b)(b − c)(c − a) 6= 0; ii) dac˘a (a − b)(b − c)(c − a) 6= 0 atunci pentru orice f ∈ R[X] cu grad f ≤ 2 exist˘a λ1 , λ2 , λ3 ∈ R, unic determinate, astfel ˆıncˆat f = λ1 f1 + λ2 f2 + λ3 f3 . b) S˘a se determine λ1 , λ2 , λ3 cˆand f = 1 + 2X − X 2 , a = 1, b = 2 ¸si c = 3.

83 6.40. Fie V un R-spat¸iu vectorial ¸si v1 , v2 , v3 ∈ V . S˘a se arate c˘a hv1 , v2 , v3 i = hv2 + v3 , v3 + v1 , v1 + v2 i ¸si c˘a vectorii v1 , v2 , v3 sunt liniar independent¸i dac˘a ¸si numai dac˘a vectorii v2 + v3 , v3 + v1 , v1 + v2 sunt liniar independent¸i. Este aceast˘a proprietate adev˘arat˘a ˆıntr-un spat¸iu vectorial peste un corp oarecare K? 6.41. Fie n ∈ N ¸si fn : R → R, fn (x) = sinn x. S˘a se arate c˘a L = {fn | n ∈ N} este o submult¸ime liber˘a a R-spat¸iului vectorial RR . 6.42. Fie λ1 , . . . , λn ∈ R∗ (n ∈ N∗ ) cu |λi | = 6 |λj | pentru orice i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j ¸si funct¸iile fi : R → R, fi (x) = sin(λi x), i ∈ {1, . . . , n}. S˘a se arate c˘a f1 , . . . , fn sunt vectori liniar independent¸i ai R-spat¸iului vectorial RR . 6.43. S˘a se dea o condit¸ie necesar˘a ¸si suficient˘a pentru ca vectorii v1 = (a1 , b1 ), v2 = (a2 , b2 ) s˘a formeze o baz˘a a lui R2 . S˘a se interpreteze geometric aceast˘a condit¸ie. Folosind condit¸ia stabilit˘a, g˘asit¸i o infinitate de baze ale lui R2 . Exist˘a o baz˘a a lui R2 ˆın care coordonatele unui vector v = (x, y) s˘a coincid˘a cu x ¸si y? S˘a se arate c˘a v1 = (1, 0) ¸si v2 = (1, 1) formeaz˘a o baz˘a a lui R2 ¸si s˘a se g˘aseasc˘a coordonatele lui v = (x, y) ˆın aceast˘a baz˘a. 6.44. S˘a se arate c˘a vectorii (1, 2, −1), (3, 2, 4), (−1, 2, −6) din R3 sunt liniar dependent¸i ¸si s˘a se g˘aseasc˘a o relat¸ie de dependent¸a˘ ˆıntre ei. 6.45. S˘a se determine a ∈ R astfel ˆıncˆat vectorii v1 = (a, 1, 1), v2 = (1, a, 1), v3 = (1, 1, a) s˘a formeze o baz˘a a lui R3 . 6.46. Formulat¸i ¸si rezolvat¸i ˆın cazul lui R3 o problem˘a analog˘a cu problema 6.43. 6.47. Care dintre urm˘atoarele submult¸imi ale lui R3 : a) {(1, 0, −1), (2, 5, 1), (0, −4, 3)}; b) {(2, −4, 1), (0, 3, −1), (6, 0, 1)}; c) {(1, 2, −1), (1, 0, 3), (2, 1, 1)}; d) {(−1, 3, 1), (2, −4, −3), (−3, 8, 2)}; e) {(1, −3, −2), (−3, 1, 3), (−2, −10, −2)} sunt baze ale R-spat¸iului vectorial R3 ? 6.48. Fie n ∈ N∗ . S˘a se arate c˘a vectorii (1, . . . , 1, 1), (1, . . . , 1, 2), (1, . . . , 1, 2, 3), . . . , (1, 2, . . . , n − 1, n) formeaz˘a o baz˘a a R-spat¸iului vectorial Rn ¸si s˘a se scrie coordonatele vectorului (x1 , . . . , xn ) ˆın aceast˘a baz˘a. 6.49. S˘a se arate c˘a ˆın R-spat¸iul vectorial M2 (R) matricele 1 0 1 1 1 1 1 1 E1 = , E2 = , E3 = , E4 = 0 0 0 0 1 0 1 1 formeaz˘a o baz˘a ¸si s˘a se determine coordonatele matricei A = aceast˘a baz˘a.

−2 3 4 −2

ˆın

84

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (ENUNT ¸ URI)

6.50. Fie m, n ∈ N∗ . Exist˘a o baz˘a a lui Mm,n (R) ˆın care coordonatele unei matrice coincid cu elementele sale? 6.51. Fie K un corp comutativ ¸si n ∈ N∗ . S˘a se arate c˘a pentru orice matrice A ∈ Mn (K) exist˘a m ∈ N∗ , m ≤ n2 ¸si a0 , a1 , . . . , am−1 ∈ K astfel ˆıncˆat a0 In + a1 A + · · · + am−1 Am−1 + Am = On . 6.52. a) Exist˘a o baz˘a a lui R[X] ˆın care coordonatele unui polinom s˘a coincid˘a cu coeficient¸ii s˘ai? b) S˘a se arate c˘a polinoamele (X − a)n ∈ R[X], cu n ∈ N, formeaz˘a o baz˘a a lui R[X] ¸si s˘a se determine coordonatele unui polinom f ∈ R[X] ˆın aceast˘a baz˘a. 6.53. a) Exis˘a o baz˘a a R-spat¸iului vectorial C ˆın care coordonatele lui z = a + bi (a, b ∈ R) s˘a fie a, b? b) S˘a se g˘aseasc˘a o condit¸ie necesar˘a ¸si suficient˘a pentru ca numerele complexe z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i (a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R) s˘a formeze o baz˘a a lui C peste R. 6.54. Fie p ∈ N un num˘ar prim. S˘a se arate c˘a operat¸iile uzuale de adunare ¸si p √ 3 3 ˆınmult¸ire ˆınzestreaz˘a pe V = {a + b p + c p2 | a, b, c ∈ Q} cu o structur˘a de Q-spat¸iu vectorial ¸si s˘a se determine o baz˘a ¸si dimensiunea acestui spat¸iu vectorial. 6.55. Fie V un K-spat¸iu vectorial, X o mult¸ime. S˘a se arate c˘a: i) V X este un K-spat¸iu vectorial ˆın raport cu operat¸iile definite punctual; ii) V (X) = {f ∈ V X | supp f finit} este un subspat¸iu al lui V X ; iii) Dac˘a X este infinit˘a ¸si V 6= {0} atunci V X ¸si V (X) sunt de dimensiune infinit˘a. 6.56. Fie V un spat¸iu vectorial, V1 , V2 subspat¸ii ale lui V ¸si X1 ⊆ V1 , X2 ⊆ V2 . S˘a se arate c˘a: i) dac˘a V = V1 ⊕ V2 ¸si Xi este baz˘a a lui Vi (i = 1, 2) atunci X1 ∩ X2 = ∅ ¸si X1 ∪ X2 este o baz˘a a lui V ; ii) dac˘a X1 ∩ X2 = ∅, Xi genereaz˘a pe Vi (i = 1, 2) ¸si X1 ∪ X2 este o baz˘a a lui V atunci Xi este baz˘a a lui Vi (i = 1, 2) ¸si V = V1 ⊕ V2 . 6.57. Fie K un corp, K ′ un subcorp al lui K ¸si V un K-spat¸iu vectorial de dimensiune n ∈ N. S˘a se arate c˘a, folosind operat¸iile din corpul K ¸si faptul c˘a K ′ este subcorp ˆın K, grupul (K, +) poate fi organizat ca un spat¸iu vectorial peste K ′ ¸si c˘a dac˘a dimK ′ K = m (m ∈ N∗ ) atunci dimK ′ V = mn. 6.58. S˘a se determine num˘arul bazelor ordonate ale urm˘atoarelor spat¸ii vectoriale: a) Z2 (Z2 )2 ; b) Z2 (Z2 )3 ; c) Z3 (Z3 )2 ; d) Z3 (Z3 )3 . 6.59. Fie K un corp finit cu q elemente ¸si V un K-spat¸iu vectorial de dimensiune n ∈ N∗ . S˘a se determine num˘arul bazelor ordonate ale lui V . 6.60. Fie K un corp finit cu q elemente ¸si n ∈ N∗ . S˘a se determine ordinul grupului GLn (K).

85 6.61. Fie K un corp finit cu q elemente, V un K-spat¸iu vectorial de dimensiune n ∈ N∗ , k ∈ {0, 1, . . . , n} ¸si Gkn (q) num˘arul subspat¸iilor lui V care au dimensiunea k. Numerele Gkn (q) se numesc numerele lui Gauss asociate lui V . S˘a se arate c˘a: i) G0n (q) = 1 = Gnn (q); (q n − 1)(q n−1 − 1) · · · (q n−k+1 − 1) ii) Gkn (q) = , pentru k ∈ {1, . . . , n − 1}; (q k − 1)(q k−1 − 1) · · · (q − 1) iii) Gkn (q) = Gn−k n (q), pentru k ∈ {0, 1, . . . , n}; iv) Gkn (q) = q k Gkn−1 (q) + Gk−1 n−1 (q), pentru k ∈ {1, . . . , n − 1}. 6.62. Dat¸i un exemplu de subspat¸iu propriu S al unui K-spat¸iu vectorial V care are aceea¸si dimensiune cu spat¸iul V . Poate fi dimensiunea lui V finit˘a? 6.63. Fie V un K-spat¸iu vectorial de dimensiune 3 ¸si V1 , V2 dou˘a subspat¸ii diferite de dimensiune 2. S˘a se arate c˘a V1 ∩ V2 are dimensiunea 1. Care este semnificat¸ia geometric˘a ˆın cazul K = R, V = R2 ? 6.64. Fie V un K-spat¸iu vectorial de dimensiune n ∈ N∗ ¸si V1 , V2 subspat¸ii ale lui V . S˘a se arate c˘a dac˘a dim V1 = n − 1 ¸si V2 * V1 atunci dim(V1 ∩ V2 ) = dim V2 − 1 ¸si V1 + V2 = V . 6.65. Fie V un K-spat¸iu vectorial de dimensiune finit˘a ¸si V1 , V2 subspat¸ii ale lui V care verific˘a egalitatea dim(V1 + V2 ) = dim(V1 ∩ V2 ) + 1. S˘a se arate c˘a V1 ⊆ V2 sau V2 ⊆ V1 . 6.66. Fie V un K-spat¸iu vectorial de dimensiune finit˘a ¸si V1 , V2 , S1 , S2 subspat¸ii ale lui V astfel ˆıncˆat V = V1 ⊕ V2 = S1 ⊕ S2 . S˘a se arate c˘a dim(V /(V1 ∩ S1 )) ≤ dim V2 + dim S2 . 6.67. Fie f ¸si g endomorfisme ale unui K-spat¸iu vectorial V de dimensiune finit˘a. Dac˘a f + g este un automorfism al lui V ¸si f ◦ g este endomorfismul nul atunci dim V = dim f (V ) + dim g(V ). 6.68. Fie K un corp comutativ, V = M2 (K), a b 0 a V1 = | a, b, c ∈ K , V2 = | a, b ∈ K . c a −a b S˘a se arate c˘a V1 ¸si V2 sunt subspat¸ii ale lui V ¸si s˘a se g˘aseasc˘a dimensiunile lui V1 , V2 , V1 + V2 ¸si V1 ∩ V2 . 6.69. ˆIn Q-spat¸iul vectorial Q3 consider˘am vectorii a = (−2, 1, 3), b = (3, −2, −1), c = (1, −1, 2), d = (−5, 3, 4), e = (−9, 5, 10). S˘a se arate c˘a ha, bi = hc, d, ei. 6.70. ˆIn R-spat¸iul vecorial R4 se consider˘a subspat¸iile generate astfel: a) S = hu1, u2 i, cu u1 = (1, 2, 1, 0), u2 = (−1, 1, 1, 1), T = hv1 , v2 i, cu v1 = (2, −1, 0, 1), v2 = (1, −1, 3, 7); b) S = hu1 , u2i, cu u1 = (1, 1, 0, 0), u2 = (1, 0, 1, 1),

86

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (ENUNT ¸ URI)

T = hv1 , v2 i, cu v1 = (0, 0, 1, 1), v2 = (0, 1, 1, 0); c) S = hu1, u2 , u3 i, cu u1 = (1, 2, −1, −2), u2 = (3, 1, 1, 1), u3 = (−1, 0, 1, −1), T = hv1 , v2 i, cu v1 = (−1, 2, −7, −3), v2 = (2, 5, −6, −5); d) S = hu1, u2 , u3 i, cu u1 = (1, 2, 1, −2), u2 = (2, 3, 1, 0), u3 = (1, 2, 2, −3), T = hv1 , v2 , v3 i, cu v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 0, 1, −1), v3 = (1, 3, 0, −3). S˘a se determine cˆate o baz˘a ¸si dimensiunea subspat¸iilor S, T , S + T ¸si S ∩ T . 6.71. Fie V1 , V2 dou˘a K-spat¸ii vectoriale de dimensiune finit˘a cu dim V1 = dim V2 ¸si f : V1 → V2 o transformare liniar˘a. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: i) f este injectiv˘a; ii) f este surjectiv˘a; iii) f este izomorfism. 6.72. S˘a se arate c˘a, ˆın cazul spat¸iilor vectoriale de dimensiune infinit˘a, condit¸iile din problema anterioar˘a nu sunt echivalente. 6.73. Fie P2 (R) = {f ∈ R[X] | grad f ≤ 2} ¸si ϕ : P2 (R) → M2 (R), ϕ(f ) =

f (1) − f (2) 0 0 f (0)

.

S˘a se arate c˘a ϕ este liniar˘a ¸si s˘a se determine dimensiunile lui Imϕ ¸si Kerϕ. 6.74. Fie ϕ ∈ R. S˘a se arate c˘a rotat¸ia ˆın plan de unghi ϕ, adic˘a funct¸ia f : R2 → R2 , f (x, y) = (x cos ϕ − y sin ϕ, x sin ϕ + y cos ϕ), este automorfism al lui R2 . S˘a se scrie matricea lui f ˆın baza canonic˘a a lui R2 (adic˘a ˆın baza (e1 , e2 ), cu e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)). 6.75. S˘a se arate c˘a funct¸iile f : R2 → R2 , f (x, y) = (x, −y) (simetria ˆın raport cu axa Ox) ¸si g : R2 → R2 , f (x, y) = (−x, y) (simetria ˆın raport cu axa Oy) sunt automorfisme ale lui R2 . S˘a se scrie matricele lui f , g, f − g, f + 2g ¸si g ◦ f ˆın baza canonic˘a. 6.76. Fie f : R2 → R3 , f (x, y) = (x + y, 2x − y, 3x + 2y), v = ((1, 2), (−2, 1)) ¸si v ′ = ((1, −1, 0), (−1, 0, 1), (1, 1, 1)), S˘a se arate c˘a v, respectiv v ′ este baz˘a ˆın R2 , respectiv R3 ¸si s˘a se scrie matricea lui f ˆın perechea de baze (v, v ′). 6.77. Fie f : R3 → R4 aplicat¸ia liniar˘a definit˘a pe baza canonic˘a astfel: f (e1 ) = (1, 2, 3, 4), f (e2 ) = (4, 3, 2, 1), f (e3 ) = (−2, 1, 4, 1). S˘a se determine: i) f (v) pentru orice v ∈ R3 ; ii) matricea lui f ˆın bazele canonice; iii) cˆate o baz˘a ˆın Im f ¸si Ker f . 6.78. S˘a se arate c˘a fiecare dintre mult¸imile de vectori {v1 , v2 , v3 } ¸si {v1′ , v2′ , v3′ } cu v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 3, 3), v3 = (3, 7, 1) ¸si v1′ = (3, 1, 4), v2′ = (5, 2, 1), v3′ = (1, 1, −6) formeaz˘a cˆate o baz˘a a lui R3 ¸si s˘a se g˘aseasc˘a leg˘atura dintre coordonatele unui vector scris ˆın cele dou˘a baze.

87 6.79. Fie v = (v1 , v2 , v3 , v4 ) o baz˘a a R-spat¸iului vectorial R4 , vectorii u1 = v1 , u2 = v1 + v2 , u3 = v1 + v2 + v3 , u4 = v1 + v2 + v3 + v4 ¸si f ∈ EndR (R4 ) cu   1 2 0 1  3 0 −1 2   [f ]v =   2 5 3 1 . 1 2 1 3 S˘a se arate c˘a u = (u1 , u2 , u3 , u4) este o baz˘a a lui R4 ¸si s˘a se scrie matricea [f ]u .

6.80. Fie V un spat¸iu vectorial real, v = (v1 , v2 , v3 ) o baz˘a a lui V , vectorii u1 = v1 + 2v2 + v3 , u2 = v1 + v2 + 2v3 , u3 = v1 + v2 ¸si f ∈ EndR (V ). S˘a se arate c˘a u = (u1, u2 , u3 ) este o baz˘a a lui V ¸si s˘a se scrie matricea lui [f ]v ¸stiind c˘a   1 1 3 [f ]u =  0 5 −1  . 2 7 −3

6.81. Fie P2 (R) = {f ∈ R[X] | grad f ≤ 2}. S˘a se arate c˘a ϕ : P2 (R) → P2 (R), ϕ(a0 + a1 X + a2 X 2 ) = a0 + a1 + (a1 + a2 )X + (a0 + a2 )X 2 este o transformare liniar˘a ¸si s˘a se determine [f ]b ¸si [f ]b′ unde b = (1, X, X 2 ) ¸si b′ = (1, X − 1, X 2 + 1). 6.82. Fie V, V ′ dou˘a R-spat¸ii vectoriale, a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) cˆate o baz˘a ˆın V , respectiv V ′ ¸si f : V → V ′ o transformare liniar˘a a c˘arei matrice ˆın perechea de baze (a, b) este   −1 0 1 [f ]a,b =  1 0 −1  . 0 0 0

S˘a se determine: i) f (v) pentru orice v ∈ V ; ii) dimensiunea spat¸iilor vectoriale Im f ¸si Ker f ; iii) matricea [f ]a′ ,b′ , unde a′ = (a1 , a1 +a2 , a1 +a2 +a3 ) ¸si b′ = (b1 , b1 +b2 , b1 +b2 +b3 ).

6.83. Fie S = {(x, 2x) | x ∈ R}. i) S˘a se arate c˘a S este subspat¸iu al R-spat¸iului vectorial R2 ¸si s˘a se reprezinte geometric elementele sale. ii) S˘a se determine spat¸iul cˆat R2 /S ¸si s˘a se reprezinte geometric elementele sale. iii) S˘a se determine cˆate o baz˘a ˆın S ¸si ˆın R2 /S. 6.84. S˘a se determine spat¸iile cˆat ale lui R2 ¸si s˘a se interpreteze geometric. 6.85. Fie S = {(t, 2t, 3t) | t ∈ R} ¸si T = {(x, y, z) | x + y + z = 1}. i) S˘a se arate c˘a S ¸si T sunt subspat¸ii ale lui R3 ¸si s˘a se reprezinte geometric elementele lor. ii) S˘a se determine S ∩ T ¸si S + T . iii) S˘a se determine spat¸iile cˆat R3 /S ¸si R3 /T . Interpretare geometric˘a. iv) S˘a se determine cˆate o baz˘a ˆın S, T , R3 /S ¸si R3 /T . 6.86. S˘a se determine spat¸iile cˆat ale lui R3 ¸si s˘a se interpreteze geometric.

88

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (ENUNT ¸ URI)

6.87. Fie V, V ′ R-spat¸ii vectoriale, v = (v1 , v2 , v3 ) o baz˘a ˆın V , v ′ = (v1′ , v2′ , v3′ ) o baz˘a ˆın V ′ ¸si f : V → V ′ transformarea liniar˘a cu   0 −1 5 0 . [f ]v,v′ =  1 0 0 1 −5 S˘a se determine: i) dimensiunea ¸si cˆate o baz˘a pentru Im f ¸si Ker f ; ii) dimensiunea ¸si cˆate o baz˘a pentru V /Ker f ¸si V ′ /Im f ; iii) [f ]v,e′ ˆın cazul ˆın care V ′ = R3 , v1′ = (1, 0, 0), v2′ = (0, 1, 1), v3′ = (0, 0, 1) ¸si e′ este baza canonic˘a a lui R3 ; iv) f (x) pentru x = 2v1 − v2 + 3v3 , ˆın condit¸iile de la iii). 6.88. Fie f ∈ EndQ (Q4 ) pentru  1 2 1  3 2 3 a)   −1 −3 0 0 4 −1

care matricea ˆın baza canonic˘a este    2 0 1 2 3  1 0  2  .  ; b)  −1 2  3 0 −1 −2  4  5 −3 −1 1 −3

S˘a se determine cˆate o baz˘a ˆın Ker f , Im f , Ker f + Im f ¸si Ker f ∩ Im f . 6.89. Fie K un corp comutativ, m, n ∈ N∗ , AX = B un sistem liniar de m ecuat¸ii cu n necunoscute scris sub form˘a matriceal˘a, AX = Om,1 sistemul liniar ¸si omogen asociat ¸si r = rang A. S˘a se arate c˘a mult¸imea S0 a solut¸iilor sistemului omogen formeaz˘a un subspat¸iu de dimensiune n − r al lui K n , iar mult¸iea SB a solut¸iilor sistemului AX = B se obt¸ine din S0 astfel: SB = s+S0, unde s ∈ K n este o solut¸ie a lui AX = B. O baz˘a a lui S0 se nume¸ste sistem fundamental de solut¸ii al sistemului liniar ¸si omogen AX = Om,1 . 6.90. Fie K = R. S˘a se verifice egalitatea SB = s + S0 din problema precdent˘a ˆın cazul sistemului de ecuat¸ii:   2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 1 x1 − x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0  3x1 + 3x2 − 3x3 − 3x4 + 4x5 = 2

¸si s˘a se determine un sistem fundamental de solut¸ii pentru sistemul liniar omogen asociat. 6.91. S˘a se determine cˆate un sistem fundamental de solut¸ii pentru sistemele:    2x1 − 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0  2x1 + x2 − 4x3 = 0 3x1 − 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0 3x1 + 5x2 − 7x3 = 0 ; b) a)   4x1 − 8x2 + 17x3 + 11x4 = 0 4x1 − 5x2 − 6x3 = 0

¸si s˘a se completeze pˆan˘a la o baz˘a a lui R3 , respectiv R4 .

6.92. Fie p un num˘ar prim ¸si V un Zp -spat¸iu vectorial cu dimZp V = 1. S˘a se determine cardinalul mult¸imii EndZp (V ).

89 6.93. a) S˘a se arate c˘a dac˘a V, V ′ sunt Q-spat¸ii vectoriale atunci o funct¸ie f : V → V ′ este liniar˘a dac˘a ¸si numai dac˘a este aditiv˘ a, adic˘a f (x + y) = f (x) + f (y) pentru orice x, y ∈ V . b) S˘a se arate c˘a exist˘a o funct¸ie aditiv˘a f : R → R care nu este R-liniar˘a. 6.94. Fie V1 , V2 K-spat¸ii vectoriale ¸si f : V1 → V2 o transformare liniar˘a. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) f este surjectiv˘a; b) exist˘a o transformare liniar˘a s : V2 → V1 astfel ˆıncˆat f ◦ s = 1V2 ; c) dac˘a V este un K-spat¸iu vectorial ¸si α, β : V → V1 sunt transform˘ari liniare atunci α ◦ β = h ◦ f implic˘a α = β. 6.95. a) Fie V1 , V2 , V3 K-spat¸ii vectoriale, f : V2 → V3 , g : V1 → V3 transform˘ari liniare ¸si f surjectiv˘a. S˘a se arate c˘a exist˘a o transformare liniar˘a h : V1 → V2 astfel ˆıncˆat diagrama g VO 3 o V1 f

V2

h

~

s˘a fie comutativ˘a, adic˘a g = f ◦ h. b) Fie f : R3 → R2 , f (x, y, z) = (2x − y, z). S˘a se arate c˘a f este o transformare liniar˘a surjectiv˘a ¸si s˘a se g˘aseasc˘a o transformare liniar˘a h : R2 → R3 astfel ˆıncˆat f ◦ h = 1 R2 . S˘a se scrie matricele lui f ¸si h ˆın bazele canonice. 6.96. Fie V1 , V2 K-spat¸ii vectoriale ¸si f : V1 → V2 o transformare liniar˘a. S˘a se arate c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) f este injectiv˘a; b) exist˘a o transformare liniar˘a r : V2 → V1 astfel ˆıncˆat r ◦ f = 1V1 ; c) dac˘a V este un K-spat¸iu vectorial ¸si α, β : V → V1 sunt transform˘ari liniare atunci f ◦ α = f ◦ β implic˘a α = β. 6.97. a) Fie V1 , V2 , V3 K-spat¸ii vectoriale, f : V1 → V2 , g : V1 → V3 transform˘ari liniare ¸si f injectiv˘a. S˘a se arate c˘a exist˘a o transformare liniar˘a h : V2 → V3 astfel ˆıncˆat diagrama V1 g

~

f

/V

2

h

V3

s˘a fie comutativ˘a, adic˘a g = h ◦ f . b) Fie f : R2 → R3 , f (x, y) = (x − y, x + y, 2x). S˘a se arate c˘a f este o transformare liniar˘a injectiv˘a ¸si s˘a se g˘aseasc˘a o transformare liniar˘a h : R3 → R2 astfel ˆıncˆat h ◦ f = 1 R2 . S˘a se scrie matricele lui f ¸si h ˆın bazele canonice.

90

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (ENUNT ¸ URI)

6.98. Fie V un K-spat¸iu vectorial ¸si f ∈ EndK (V ). a) S˘a se arate c˘a f este element inversabil ˆın inelul (EndK (V ), +, ◦) dac˘a ¸si numai dac˘a f nu este divizor al lui zero ˆın (EndK (V ), +, ◦). b) S˘a se demonstreze c˘a dac˘a dim V < ∞ atunci are loc echivalent¸a condit¸iilor: i) f nu este divizor al lui zero ˆın inelul (EndK (V ), +, ◦); ii) f este inversabil˘a la stˆanga; iii) f este inversabil˘a la dreapta; iv) f este inversabil˘a. 6.99. Fie K un corp comutativ, n ∈ N∗ ¸si A ∈ Mn (K). S˘a se demonstreze echivalent¸a condit¸iilor: i) A nu este divizor al lui zero ˆın inelul Mn (K); ii) A este inversabil˘a la stˆanga; iii) A este inversabil˘a la dreapta; iv) A este inversabil˘a. 6.100. Fie K corp comutativ, m, n ∈ N∗ , A ∈ Mm,n (K). S˘a se demonstreze c˘a: i) ∃B ∈ Mn,m (K) : BA = Im ⇔ rangA = n; ii) ∃B ∈ Mn,m (K) : AB = In ⇔ rangA = m. 6.101. Fie K un corp comutativ ¸si V , V ′ K-spat¸ii vectoriale. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a unul dintre spat¸iile V, V ′ este de dimensiune infinit˘a, iar cel˘alalt este nenul atunci spat¸iul vectorial HomK (V, V ′ ) are dimensiunea infinit˘a; ii) dac˘a dim V ′ = m, dim V = n (m, n ∈ N∗ ) atunci dim HomK (V, V ′ ) = mn; iii) dac˘a V ′ = K ¸si dim V = n, n ∈ N∗ atunci spat¸iul vectorial V ∗ = HomK (V, K) este izomorf cu V . Spat¸iul V ∗ se nume¸ste dualul lui V , iar o transformare din V ∗ se nume¸ste form˘a liniar˘a ; iv) dac˘a e = (e1 , . . . , en ) este o baz˘a a lui V atunci formele liniare 1, dac˘a i = j ∗ ∗ ei : V → K, ei (ej ) = δij = (i = 1, . . . , n) 0, dac˘a i 6= j formeaz˘a o baz˘a a lui V ∗ , numit˘a duala bazei e. 6.102. Fie K un corp comutativ ¸si n ∈ N∗ . S˘a se arate c˘a dac˘a f : K n → K este o form˘a liniar˘a atunci exist˘a ai ∈ K (i = 1, . . . , n) astfel ˆıncˆat f (x1 , . . . , xn ) = a1 x1 + · · · + an xn . S˘a se determine coordonatele lui f ˆın duala bazei canonice a lui K n ¸si ˆın duala bazei e′1 = (1, 0, . . . , 0), e′2 = (1, 1, 0, . . . , 0), e′n = (1, 1, . . . , 1). 6.103. Fie K un corp comutativ, V1 , V2 , V3 spat¸ii vectoriale peste K ¸si f : V1 → V2 o transformare liniar˘a. S˘a se arate c˘a: i) funct¸ia f ∗ : V2∗ = HomK (V2 , K) → V1∗ = HomK (V1 , K), f ∗ (h) = h ◦ f , numit˘a duala lui f , este liniar˘a; ii) dac˘a ¸si g : V2 → V3 este liniar˘a atunci (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗; iii) dac˘a f este injectiv˘a (surjectiv˘a) atunci f ∗ este surjectiv˘a (injectiv˘a); iv) dac˘a f este izomorfism atunci f ∗ este izomorfism. Fie K un corp comutativ, n ∈ N∗ ¸si V, V1 , . . . , Vn K-spat¸ii vectoriale. O funct¸ie f : V1 × · · · × Vn → V se nume¸ste n-liniar˘ a sau (K-)multiliniar˘ a dac˘ a f este liniar˘ a ˆın fiecare variabil˘a adic˘ a pentru orice i ∈ {1, . . . , n} ¸si orice v1 ∈ V1 , . . . , vi−1 ∈ Vi−1 , vi+1 ∈ Vi+1 ,. . . , vn ∈ Vn fixat¸i funct¸ia f (v1 , . . . , vi−1 , −, vi+1 , . . . , vn ) : Vi → V, x 7→ f (v1 , . . . , vi−1 , x, vi+1 , . . . , vn )

91 este liniar˘ a. Dac˘ a n = 2 atunci f se nume¸ste funct¸ie biliniar˘ a. Dac˘ a V = K atunci f se nume¸ste form˘ a n-liniar˘ a. Dac˘ a V = K ¸si n = 2 atunci f se nume¸ste form˘ a biliniar˘ a. ′ O funct¸ie (form˘ a) n-liniar˘ a f : V × · · · × V → V (f : V × · · · × V → K) care satisface condit¸ia vi = vj , i 6= j ⇒ f (v1 , . . . , vn ) = 0 se nume¸ste altern˘ a. Din propriet˘ a¸tile determinantului rezult˘ a c˘ a determinantul de ordinul n este o form˘ a n-liniar˘ a altern˘ a atˆ at de liniile cˆ at ¸si de coloanele sale.

6.104. Fie K corp comutativ ¸si n ∈ N∗ . S˘a se arate c˘a: i) f : K n → K, f (x1 , . . . , xn ) = x1 · · · xn este o form˘a n-liniar˘a; ii) f : K n × K n → K, f ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) = x1 y1 + · · · + xn yn este o form˘a biliniar˘a. 6.105. Fie K corp comutativ. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a a11 , a12 , a21 , a22 ∈ K atunci f : K 2 × K 2 → K definit˘a prin (∗)

f ((x1 , x2 ), (y1, y2 )) = a11 x1 y1 + a12 x1 y2 + a21 x2 y1 + a22 x2 y2

este o form˘a biliniar˘a; ii) dac˘a f : K 2 × K 2 → Keste o form˘a biliniar˘a atunci exist˘a a11 , a12 , a21 , a22 ∈ K astfel ˆıncˆat f s˘a fie definit˘a prin (∗). Generalizare. 6.106. Fie K un corp comutativ, n ∈ N∗ , V, V ′ K-spat¸ii vectoriale ¸si fie f : V × · · · × V → V ′ o funct¸ie n-multiliniar˘a. S˘a se arate c˘a dac˘a vi = vi+1 (i ∈ {1, . . . , n − 1}) ⇒ f (v1 , . . . , vn ) = 0 atunci f este altern˘a. 6.107. 1) Fie K un corp comutativ de caracteristic˘a diferit˘a de 2 ¸si fie f : V × · · · × V → V ′ o funct¸ie K-multiliniar˘a. S˘a se arate c˘a sunt echivalente afirmat¸iile: i) f este altern˘a; ii) f este antisimetric˘a, adic˘a 1 ≤ i < j ≤ n implic˘a f (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) = −f (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn ); iii) pentru orice σ ∈ Sn , f (v1 , . . . , vn ) = (−1)inv σ f (vσ(1) , . . . , vσ(n) ). 2) R˘amˆan echivalente condit¸iile de mai sus dac˘a corpul K are caracteristica 2? 6.108. Fie K un corp comutativ ¸si n ∈ N∗ . Privim coloanele unei matrice A ∈ Mn (K) ca elemente din K n ¸si identific˘am pe Mn (K) cu (K n )n . S˘a se arate ˆıntˆai ˆın cazul n = 2 ¸si pe urm˘a ˆın cazul general c˘a: i) dac˘a f : (K n )n → K este o form˘a n-liniar˘a altern˘a cu proprietatea c˘a f (In ) = 1 atunci f (A) = det A (am notat cu In matricea unitate, adic˘a In = (e1 , . . . , en ) unde e1 , . . . , en este baza canonic˘a); ii) pentru orice scalar a ∈ K exist˘a o form˘a n-liniar˘a altern˘a unic˘a f : (K n )n → K astfel ˆıncˆat f (In ) = a; aceast˘a form˘a este definit˘a prin f (A) = a det A, adic˘a f (A) = f (In ) det A.

92

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (ENUNT ¸ URI)

6.109. Fie K un corp comutativ, m, n ∈ N∗ , A ∈ Mm (K), B ∈ Mm,n (K), C ∈ Mn (K) ¸si On,m matricea nul˘a din Mn,m (K). Folosind problema anterioar˘a, s˘a se arate c˘a A B On,m C = |A| · |C|.

6.110. Fie K un corp comutativ, V un K-spat¸iu vectorial ¸si B(V ) mult¸imea formelor biliniare f : V × V → K. Dac˘a dim V = n ¸si v = (v1 , . . . , vn ) este o baz˘a ordonat˘a a lui V , iar f ∈ B(V ) atunci matricea Mv (f ) = (aij ) ∈ Mn (K), unde aij = f (vi , vj ), se nume¸ste matricea formei biliniare f ˆın baza v. S˘a se arate c˘a: i) B(V ) este K-spat¸iu vectorial  ˆınraport cu operat¸iile definite punctual; x1  ..  ii) dac˘a A = Mv (f ), X =  . , unde x1 , . . . , xn sunt coordonatele lui x ∈ V ˆın xn   y1  ..  baza v ¸si Y =  .  este matricea analog˘a pentru y ∈ V atunci yn f (x, y) = t X · A · Y,

unde t X este transpusa lui X; iii) funct¸ia ϕv : B(V ) → Mn (K), ϕv (f ) = Mv (f ) este izomorfism de spat¸ii vectoriale; iv) dim B(V ) = n2 ; v) dac˘a v ¸si w sunt baze ordonate ale lui V , S este matricea de trecere de la v la w, A = Mv (f ) ¸si B = Mw (f ) atunci B = t S · A · S. 6.111. S˘a se arate c˘a f : R2 × R2 → R, f ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = 2x1 y1 + 3x1 y2 + 4x2 y1 − x2 y2 este o form˘a biliniar˘a ¸si s˘a se determine matricea lui f ˆın baza canonic˘a ¸si ˆın baza ((1, 1), (1, −1)).

6.112. S¸tiind c˘a f : R2× R2 → R este forma biliniar˘a care are ˆın baza canonic˘a 1 2 matricea A = s˘a se determine f ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )). −1 3 6.113. S˘a se arate c˘a

f : R3 × R3 → R, f ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3)) = x1 y1 − 2x1 y2 + x2 y1 − x3 y3 este biliniar˘a ¸si s˘a se determine matricea lui f ˆın baza ((1, 0, 1), (1, 0, −1), (0, 1, 0)). 6.114. Fie K un corp comutativ ¸si V un spat¸iu vectorial peste K. O form˘ a biliniar˘a f : V ×V → K se nume¸ste simetric˘ a, respectiv antisimetric˘ a dac˘a f (x, y) = f (y, x), respectiv f (x, y) = −f (y, x) pentru orice x, y ∈ V . Dac˘a dim V = n (n ∈ N∗ ) s˘a se arate c˘a sunt echivalente urm˘atoarele condit¸ii: i) forma biliniar˘a f : V × V → K este simetric˘a (antisimetric˘a); ii) pentru orice baz˘a v = (v1 , . . . , vn ) a lui V matricea lui f ˆın baza v este simetric˘a (antisimetric˘a); iii) exist˘a o baz˘a v = (v1 , . . . , vn ) a lui V ˆın care matricea lui f este simetric˘a (antisimetric˘a).

93 6.115. Fie K un corp comutativ de caracteristic˘a diferit˘a de 2 ¸si V un K-spat¸iu vectorial cu dim V = n ∈ N∗ . S˘a se arate c˘a: i) pentru orice form˘a biliniar˘a f : V × V → K exist˘a o form˘a biliniar˘a simetric˘a fs : V × V → K ¸si o form˘a biliniar˘a antisimetric˘a fa : V × V → K astfel ˆıncˆat f = fs + fa ; ii) pentru orice matrice A ∈ Mn (K) exist˘a o matrice simetric˘a As ∈ Mn (K) ¸si o matrice antisimetric˘a Aa ∈ Mn (K) astfel ˆıncˆat A = As + Aa . 6.116. Fie V un K-spat¸iu vectorial. O funct¸ie q : V → K se nume¸ste form˘a p˘atratic˘a dac˘a exist˘a o form˘a biliniar˘a simetric˘a f : V × V → K astfel ˆıncˆat q(x) = f (x, x), ∀x ∈ V. S˘a se arate c˘a dac˘a corpul K are caracteristica diferit˘a de 2 atunci: i) pentru orice form˘a p˘atratic˘a q : V → K exist˘a o singur˘a form˘a biliniar˘a simetric˘a f : V × V → K astfel ˆıncˆat q(x) = f (x, x) pentru orice x ∈ V ; aceast˘a form˘a este numit˘a forma polar˘a a lui q ¸si este definit˘a prin (1)

1 f (x, y) = [q(x + y) − q(x) − q(y)]; 2

ii) dac˘a f : V × V → K este o form˘a biliniar˘a simetric˘a ¸si nenul˘a atunci forma p˘atratic˘a q asociat˘a lui f este nenul˘a. 6.117. Matricea unei forme p˘atratice este, prin definit¸ie, matricea formei sale polare. S˘a se afle matricele urm˘atoarelor forme p˘atratice ˆın bazele canonice: 1) q1 : R2 → R, q1 (x, y) = 2x2 + 3xy + 6y 2; 2) q2 : R2 → R, q2 (x, y) = 8xy + 4y 2 ; 3) q3 : R3 → R, q3 (x, y, z) = x2 + 2xy + 4xz + 3y 2 + yz + 7z 2 ; 4) q4 : R2 → R, q4 (x, y) = 4xy; 5) q5 : R3 → R, q5 (x, y, z) = x2 + 4xy + 4y 2 + 2xz + z 2 + 2yz. 6.118. Fie K un corp comutativ, V un K-spat¸iu vectorial de dimensiune n ¸si f : V × V → K o form˘a biliniar˘a. Se spune c˘a f este diagonalizabil˘ a dac˘a exist˘a o baz˘a a lui V ˆın care matricea lui f are forma diagonal˘a. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a f este diagonalizabil˘a atunci f este simetric˘a; ii) dac˘a corpul K are caracteristica diferit˘a de 2 atunci este adev˘arat˘a ¸si reciproca lui i), adic˘a f este simetric˘a implic˘a f este diagonalizabil˘a.   0 1 2 1 2 6.119. Fie A = ¸si B =  1 −1 3 . S˘a se diagonalizeze urm˘atoa2 3 2 3 4 rele forme biliniare x1 y1 2 2 t i) f : R × R → R, f (x, y) = xAy, unde x = ¸si y = ; x y  2  2  x1 y1 ii) f : R3 × R3 → R, f (x, y) = t xBy, unde x =  x2  ¸si y =  y2 . x3 y3

94

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (ENUNT ¸ URI)

6.120. S˘a se diagonalizeze formele p˘atratice asociate transform˘arilor biliniare din problema anterioar˘a. 6.121. S˘a se diagonalizeze formele p˘atratice din problema 6.117, prin completare la p˘atrate. 6.122. S˘a se arate c˘a forma biliniar˘a simetric˘a f : Z2 × Z2 → Z2 , f (x, y) = x1 y2 + x2 y1 , unde x = (x1 , x2 ) ¸si y = (y1 , y2), nu este diagonalizabil˘a. 6.123. Fie K un corp comutativ, n ∈ N∗ ¸si A, B ∈ Mn (K). S˘a se arate c˘a: a) t A A ¸si A t A sunt simetrice; b) dac˘a A este antisimetric˘a atunci A2 este simetric˘a; c) dac˘a A ¸si B sunt simetrice atunci AB este simetric˘a dac˘a ¸si numai dac˘a AB = BA; d) dac˘a A ¸si B sunt ambele simetrice ori antisimetrice atunci AB − BA este antisimetric˘a; e) dac˘a A este simetric˘a ¸si B este antisimetric˘a atunci AB − BA este simetric˘a; f) dac˘a n este impar, K are caracteristica diferit˘a de 2 ¸si A este antisimetric˘a atunci det A = 0. 6.124. Fie K un corp de caracteristic˘a 2, n ∈ N∗ ¸si A ∈ Mn (K). S˘a se arate c˘a: i) A este simetric˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘a A este antisimetric˘a; 0 1 ii) matricea nu se poate scrie sub form˘a de sum˘a dintre o matrice simetric˘a 0 0 ¸si una antisimetric˘a. 6.125. S˘a se afle o submult¸ime infinit˘a a lui M2 (R) format˘a din matrice care au acela¸si polinom caracteristic. 6.126. Fie K un corp comutativ, n ∈ N∗ , A ∈ Mn (K). S˘a se arate c˘a matricea A ¸si transpusa sa t A au acela¸si polinom caracteristic. 6.127. Fie K un corp comutativ, m, n ∈ N∗ , A ∈ Mn (K), B ∈ Mn,m (K), C ∈ Mm (K). S˘a se arate c˘a polinomul caracteristic al matricei A Om,n M= B C coincide cu produsul polinoamelor caracteristice ale lui A ¸si C. 6.128. Fie K un corp comutativ, n ∈ N∗ , A, B ∈ Mn (K). S˘a se arate c˘a dac˘a A sau B este inversabil˘a atunci polinoamele caracteristice ale matricelor AB ¸si BA coincid. 6.129. S˘a se determine matricele din M2 (R) care au valorile proprii 1 ¸si −1. 6.130. Fie K un corp comutativ, n ∈ N, n ≥ 2 ¸si A ∈ Mn (K). S˘a se arate c˘a: i) 0 este valoare proprie a lui A dac˘a ¸si numai dac˘a A este singular˘a, adic˘a det A = 0; ii) dac˘a suma elementelor de pe fiecare linie a lui A este 1 atunci 1 este valoare proprie a lui A.

95 6.131. Fie K un corp comutativ, n ∈ N∗ ¸si A ∈ Mn (K). S˘a se arate c˘a: i) A este inversabil˘a dac˘a ¸si numai dac˘a 0 nu este valoare proprie a lui A ¸si ˆın acest caz pA−1 (λ) = (−1)n λn [pA (0)]−1 pA (λ−1 ); ii) dac˘a A este inversabil˘a ¸si λ ∈ K ∗ este valoare proprie a lui A atunci λ−1 este valoare proprie a lui A−1 . 6.132. Fie V un K-spat¸iu vectorial ¸si f ∈ AutK (V ). S˘a se arate c˘a valorile proprii ale lui f sunt nenule, apoi s˘a se determine relat¸ia dintre valorile proprii ale lui f ¸si valorile proprii ale lui f −1 ¸si dintre vectorii proprii ai lui f ¸si vectorii proprii ai lui f −1 . Exist˘a endomorfisme care au toate valorile proprii nenule, dar nu sunt automorfisme? 6.133. Fie K un corp comutativ, m ∈ N∗ , A ∈ Mm (K) ¸si p = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X]. S˘a se arate c˘a dac˘a λ ∈ K este valoare proprie a lui A atunci p(λ) este valoare proprie pentru p(A) = a0 In + a1 A + · · · + an An . ˆIn particular, dac˘a λ este valoare proprie a lui A atunci λn este valoare proprie pentru An . 6.134. Fie V un K-spat¸iu vectorial, p = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ K[X] ¸si f ∈ EndK (V ). S˘a se arate c˘a p(f ) = a0 1V + a1 f + · · · + an f n ∈ EndK (V ), iar dac˘a λ ∈ K ¸si x ∈ V sunt valoare, respectiv vector propriu pentru f atunci p(λ) ¸si x sunt valoare, respectiv vector propriu pentru p(f ). 6.135. Fie K un corp comutativ, n ∈ N∗ , A = (aij ) ∈ Mn (K), pA = a0 + a1 X + · · · + an X n polinomul caracteristic ¸si λ1 , . . . , λn ∈ K valorile proprii ale lui A. S˘a se arate c˘a: i) pA = (a11 − X)(a22 − X) · · · (ann − X) + q, unde grad q ≤ n − 2; ii) an = (−1)n , an−1 = −1n−1 Tr(A), a0 = det A; iii) λ1 + · · · + λn = Tr(A), λ1 · · · λn = (−1)n det A; X aii aij iv) an−2 = (−1)n aji ajj . i<j

6.136. Fie K un corp comutativ, n ∈ N∗ , A ∈ Mn (K), f ∈ K[X], m = grad f ¸si bm coeficientul lui X m din f . S˘a se arate c˘a: i) dac˘a x1 , . . . , xm sunt r˘ad˘acinile lui f atunci det f (A) = bnm pA (x1 ) · · · pA (xm ); ii) dac˘a λ1 , . . . , λn sunt valorile proprii ale lui A atunci det f (A) = f (λ1 ) · · · f (λn ) ¸si s˘a se deduc˘a de aici c˘a valorile proprii ale lui f (A) sunt f (λ1 ), . . . , f (λn ). 6.137. Fie V un R-spat¸iu vectorial, v = endomorfism al lui V cu  1 1  0 −1 [f ]v =   0 0 0 0

(v1 , v2 , v3 , v4 ) o baz˘a a lui V ¸si f un  0 2 1 2  . 2 3  0 −2

a) S˘a se determine valorile proprii ¸si vectorii proprii ai lui f . b) S˘a se arate c˘a exist˘a o baz˘a a lui V format˘a din vectori proprii ai lui f ¸si s˘a se determine o astfel de baz˘a. c) S˘a se scrie matricea lui f ˆın baza determinat˘a la b).

96

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (ENUNT ¸ URI)

6.138. Fie v = (v1 , v2 , v3 , v4 ) o baz˘a a lui R4 ¸si f ∈ EndR (R4 ) cu   1 0 2 −1  0 1 4 −2  . [f ]v =   2 −1 0 1  2 −1 −1 2

S˘a se determine valorile proprii ¸si vectorii proprii ai lui f ¸si s˘a se arate c˘a S = hv1 + 2v2 , v2 + v3 + 2v4 i este un subspat¸iu f -invariant al lui R4 . 6.139. Fie K un corp comutativ, n ∈ N∗ , A ∈ Mn (K). S˘a se arate c˘a matricea A este similar˘a cu o matrice triunghiular˘a din Mn (K) (adic˘a este triangulabil˘a ˆın Mn (K)) dac˘a ¸si numai dac˘a polinomul caracteristic al lui A are toate r˘ad˘acinile (n r˘ad˘acini) ˆın K. 6.140. Fie f, g : R2 → R2 ¸si h : R3 → R3 transform˘arile liniare definite prin f (x, y) = (−3x + 4y, 2x − y), g(x, y) = (x + y, x − y), h(x, y, z) = (−x + 2y + 2z, 2x + 2y + 2z, −3x − 6y − 6z). 1) S˘a se determine: i) polinoamele caracteristice ale lui f, g ¸si h; ii) valorile proprii ale lui f, g ¸si h; iii) subspat¸iile proprii ale lui f, g ¸si h corspunz˘atoare fiec˘arei valori proprii. 2) Sunt f, g, h diagonalizabile? ˆIn caz afirmativ, s˘a se determine cˆate o baz˘a a lui R2 , respectiv R3 ˆın care matricele lui f, g, respetiv h sunt diagonale ¸si s˘a se stabileasc˘a leg˘atura dintre aceste matrice ¸si matricele [f ]e , [g]e , [h]e′ , unde e este baza canonic˘a a lui R2 ¸si e′ este baza canonic˘a a lui R3 , iar dup˘a aceea s˘a se afle ([f ]e )n , ([g]e )n ¸si ([h]e′ )n pentru n ∈ N. 6.141. Pentru aplicat¸iile liniare f, g : R3 → R3 definite prin f (x1 , x2 , x3 ) = (3x1 + 2x2 + 2x3 , x1 + 4x2 + x3 , −2x1 − 4x2 − x3 ), g(x1 , x2 , x3 ) = (4x1 + 9x2 , −2x2 + 8x3 , 7x3 ) se ment¸in cerint¸ele din problema anterioar˘a. 6.142. S˘a se arate c˘a aplicat¸ia liniar˘a f : R2 → R2 , f (x, y) = (3x + 2y, −2x + 3y) nu este diagonalizabil˘a. 6.143. S˘a se arate c˘a rotat¸ia de unghi ϕ, adic˘a f : R2 → R2 , f (x, y) = (x cos ϕ − y sin ϕ, x sin ϕ + y cos ϕ) nu este diagonalizabil˘a. 1 1 3 2 6.144. Fie A = ¸si B = . S˘a se arate c˘a: 1 −1 −2 3 i) A nu este diagonalizabil˘a ˆın Mn (Q), dar este diagonalizabil˘a ˆın M2 (R); ii) B nu este diagonalizabil˘a ˆın Mn (R), dar este diagonalizabil˘a ˆın M2 (C).

97 6.145. S˘a se studieze dac˘a matricea  1 0 0 1  0 1 0 0 A=  0 0 1 −2 1 0 −2 5



  ∈ M4 (R) 

este diagonalizabil˘a. ˆIn caz afirmativ s˘a se determine matricea diagonalizatoare, adic˘a S ∈ GL4 (R) pentru care S −1 AS coincide cu forma diagonal˘a, ¸si s˘a se calculeze An (n ∈ N∗ ). a b 6.146. Fie K un corp comutativ ¸si A = ∈ M2 (K). Se cer: c d i) polinomul caracteristic al lui A; ii) det A = 0 ⇒ An = (a + d)n−1 det A; 1 iii) det A 6= 0 ⇒ A−1 = (A − Tr(A) · I2 ); det A iv) dac˘a K = R ¸si ∆ = (Tr(A))2 − 4 det A atunci A este diagonalizabil˘a ˆın M2 (R) ⇔ ∆ > 0 sau ∆ = 0 ¸si A = aI2 (a ∈ R), A este diagonalizabil˘a ˆın M2 (C) ⇔ ∆ 6= 0 sau ∆ = 0 ¸si A = aI2 (a ∈ R). 6.147. Fie K un corp comutativ, V un K-spat¸iu vectorial, dim V = n ∈ N∗ ¸si f : V → V un endomorfism liniar. S˘a se arate c˘a: i) dac˘a f are o singur˘a valoare proprie ˆın K atunci f este diagonalizabil dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a λ ∈ K astfel ˆıncˆat f (v) = λv, adic˘a f = λ · 1V ; ii) dac˘a A = (aij ) ∈ Mn (K) are o singur˘a valoare proprie ˆın K atunci A este diagonalizabil˘ a dac˘a ¸s i numai dac˘ a A = λIn , unde λ ∈ K; 1 a 1 0 iii) matricele , , cu a ∈ K ∗ nu sunt diagonalizabile. 0 1 a 1 6.148. S˘a se arate c˘a dac˘a A ∈ Mn (C) ¸si det A 6= 0 atunci exist˘a g ∈ C[X] cu grad g ≤ n − 1 astfel ˆıncˆat A−1 = g(A). 6.149. Folosind teorema Cayley-Hamilton, calculat¸i A4 − 11A2 + 22A, unde   0 0 2 1 0 . A= 2 −1 −1 3

6.150. Fie V = R4 ¸si f : V → V transformarea liniar˘a care are ˆın e = (e1 , e2 , e3 , e4 ) matricea    2 −4 2 2 −1 0 1  −2 0 1  0 3 −1 0   = A ; b) [f ]e =  a) [f ]e =   0 1  −2 −2 3 1 0  −2 −6 3 0 −1 0 3

baza canonic˘a  2 3   = A. 3  7

S˘a se determine: i) forma canonic˘a Jordan J a lui A; ii) o baz˘a canonic˘a Jordan a lui f , adic˘a o baz˘a v ˆın care avem J = [f ]v ; iii) S ∈ GL4 (R) pentru care J = S −1 AS.

98

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (ENUNT ¸ URI)

6.151. Fie V = R6 ¸si f : V → V transformarea liniar˘a care are ˆın baza canonic˘a e = (e1 , . . . , e6 ) matricea   0 1 0 0 0 0  0 0 0 2 0 0     0 0 0 0 0 1    = A. [f ]e =   0 0 0 0 0 0    0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 S˘a se afle forma canonic˘a Jordan J a lui A ¸si o baz˘a canonic˘a Jordan a lui f . 6.152. S˘a se g˘aseasc˘a forma canonic˘a  a a  0 a A=  0 0 0 0

Jordan a matricei  a a a a   (a ∈ R∗ ). a a  0 a

6.153. Care dintre urm˘atoarele matrice       −3 3 −2 0 1 −1 0 −1 −1 A =  −7 6 −3  , B =  −4 4 −2  , C =  −3 −1 −2  , 1 −1 2 −2 1 1 7 5 6   0 1 2 D= 0 1 1  0 0 2 sunt similare ?

6.154. S˘a se g˘asesc˘a forma canonic˘a Jordan a urm˘atoarelor matrice p˘atratice cu elemente din R:       3 0 8 −4 2 10 1 2 0 2 0  , b)  3 −1 6  , c)  −4 3 7  , a)  0 −2 0 −5 −3 1 7 −2 −2 −1   3 1 0 0  −4 −1 0 0  . d)   7 1 2 1  −17 −6 −1 0

Capitolul 7 Corpuri comutative. Teoria lui Galois 7.1. S˘a se dea exemple de numere reale algebrice ¸si de numere reale trancendente. 7.2. S˘a se dea exemple de numere algebrice ¸si de numere trancendente din C \ R. 7.3. S˘a se arate c˘a nult¸imea T a numerelor transcendente nu este stabil˘a nici relativ la adunare, nici relativ la ˆınmult¸ire. 7.4. Fie z = a + bi ∈ C, a, b ∈ R. S˘a se arate c˘a z este algebric dac˘a ¸si numai dac˘a a ¸si b sunt algebrice. 7.5. Fie K ≤ K ′ o extindere de corpuri comutative, a ∈ K, u ∈ K ′ ¸si A = {x ∈ K ′ | x este element algebric peste K}. Folosind numai definit¸ia elementelor algebrice, s˘a se arate c˘a u ∈ A ⇔ u + a ∈ A ⇔ u2 ∈ A, iar dac˘a f ∈ K[X] ¸si gradf ≥ 1 atunci u ∈ A ⇔ f (u) ∈ A. 7.6. Fie f ∈ Q[X], gradf ≥ 1. S˘a se arate c˘a numerele f (π) ¸si f (e) sunt transcendente. √ √ 7.7. S˘a se determine corpul R( 2 + i 3) ¸si subcorpul s˘au prim. 7.8. Fie K ≤ K ′ o extindere de corpuri ¸si ai , bj ∈ K ′ , i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}. S˘a se arate c˘a K(a1 , . . . , am ) = K(b1 , . . . , bn ) dac˘a ¸si numai dac˘a {a1 , . . . , am } ⊆ K(b1 , . . . , bn ) ¸si {b1 , . . . , bn } ⊆ K(a1 , . . . , am ). √ 7.9. S˘a se arate c˘a num˘arul 1 + 2 este algebric ¸si s˘a se determine polinomul s˘au minimal peste Q. √ √ 7.10. Este num˘arul 2 + 3 algebric? ˆIn caz afirmativ, s˘a se determine polinomul s˘au minimal (peste Q). 99

100

CAPITOLUL 7. CORPURI COMUTATIVE (ENUNT ¸ URI)

√ √ 7.11. S˘a se determine corpurile Q( 2), Q( 3 2) ¸si subcorpurile lor prime. √ √ 7.12. Fie n ∈ N, n ≥ 2. S˘a se determine corpurile Q( n 2) ¸si Q( n 3). 7.13. S˘a se arate c˘a mult¸imea subcorpurilor corpului R este infinit˘a. 7.14. S˘a se arate c˘a pentru orice n ∈ N∗ exist˘a K astfel ˆıncˆat Q ≤ K ≤ R ¸si [K : Q] = n. Folosind acest rezultat, s˘a se arate c˘a extinderile Q ≤ R ¸si Q ≤ C sunt infinite. 7.15. S˘a se determine gradul extinderii R ≤ C, s˘a se arate c˘a orice num˘ar complex este algebric peste R ¸si C = R(z) pentru orice z ∈ C \ R. 7.16. S˘a se determine subcorpurile lui C care includ pe R. 7.17. Fie a, b ∈ Q. S˘a se determine subcorpul K al lui C generat de z = a + bi. √ √ 7.18. S˘a se determine numerele u ∈ Q( 2) care genereaz˘a corpul Q( 2). √ √ 7.19. S˘a se determine gradul extinderii Q ≤ Q(i, 2) ¸si corpul Q(i, 2). 7.20. Fie K ≤ K ′ o extindere de corpuri de grad prim. S˘a se arate c˘a: 1) K ′ = K(u) pentru orice u ∈ K ′ \ K; 2) dac˘a K = Q sau K = Zp (cu p num˘ar prim) atunci K ′ este generat de orice element u ∈ K ′ \ K. 7.21. Fie K ∈ {Q} ∪ {Zp | p num˘ar prim} ¸si K ≤ K ′ o extindere de corpuri de grad prim. S˘a se determine subcorpurile lui K ′ . √ √ √ √ √ 7.22. Fie u = 2 + 3, v = 4 5 + 5, w = 3 2 + 3 4. S˘a se arate c˘a numerele u, v ¸si w sunt algebrice, s˘a se g˘aseasc˘a polinoamele minimale ale acestor numere ¸si s˘a se determine corpurile Q(u), Q(v), Q(w). r ! √ 3 7.23. S˘a se arate c˘a Q = Q( 6). 2 7.24. S˘a se arate√c˘a dac˘a u √∈ Q ¸si d astfel ˆıncˆat Q( u) = Q( d).

√

u∈ / Q atunci exist˘a un ˆıntreg liber de p˘atrate

7.25. √ S˘a se arate c˘a o extindere K a lui Q are gradul 2 dac˘a ¸si numai dac˘a K = Q( d) unde d este un ˆıntreg liber de p˘atrate. 7.26. Fie K1 ¸si K2 corpuri care au acela¸si subcorp prim P . S˘a se arate c˘a dac˘a f : K1 → K2 este un omomorfism nenul atunci f |P = 1P . Folosind acest rezultat, s˘a se arate c˘a singurul endomorfism nenul al unui corp prim K este 1K . ˆIn particular, s˘a se determine automorfismele corpurilor Q ¸si Zp (p num˘ar prim). √ √ 7.27. S˘a se arate c˘a nu sunt izomorfe corpurile Q( 2) ¸si Q( 3). 7.28. Fie d, d′ ∈ Z \ {1} ˆıntregi liberi de p˘atrate. S˘a se demonstreze echivalent¸a: √ √ Q( d) ≃ Q( d′ ) ⇔ d = d′ .

101 √ 7.29. S˘a se determinele automorfismele corpului Q( d), unde d ∈ Z \ {1} este un ˆıntreg liber de p˘atrate. √ 7.30. S˘a se determine un subcorp K al lui C, neinclus ˆın R, izomorf cu Q( 4 2). √ 7.31. S˘a se determine un subcorp K al lui C, neinclus ˆın R, izomorf cu Q( 3 2). 7.32. S˘a se determine gradul√¸si cˆate o baz˘a pentru fiecare extin√ √ dintre urm˘atoarele √ √ 3 4 deri de corpuri : a) Q ≤ Q ( 3 , i) ; b) Q ≤ Q ( 2 , i 2) ; c) Q ≤ Q ( 18 , 2) ; √ √ √ √ √ d) Q ≤ Q( 3 , i 5 , 7); e) Q ≤ Q( 2 , 3). 7.33. Fie α o r˘ad˘acin˘a a polinomului f = X 3 − 6X 2 + 9X + 3 ∈ Q[X]. S˘a se determine: a) gradul ¸si o baz˘a a extinderii Q ≤ Q(α); 1 1 1 b) coordonatele elementelor α4 , α5 , 3α5 − α4 + 2, , , 2 ˆın baza α α + 1 α − 6α + 8 g˘asit˘a la punctul a). 7.34. a) S˘a se determine polinoamele de grad cel mult 3 din Z2 [X] ireductibile peste Z2 . b) S˘a se construiasc˘a un corp cu 4 elemente ¸si s˘a se alc˘atuiasc˘a tablele de adunare ¸si ˆınmult¸ire ale acestui corp. c) S˘a se construiasc˘a un corp cu 8 elemente. 7.35. S˘a se determine: a) polinoamele de gradul 2 din Z3 [X] ireductibile peste Z3 ; b) un corp cu 9 elemente. 7.36. Fie K un corp finit cu q elemente. Spunem c˘a un polinom din K[X] este unitar dac˘a are coeficientul termenului de grad maxim egal cu 1. S˘a se arate c˘a: a) num˘arul polinoamelor unitare de gradul 2 din K[X] ireductibile peste K este q2 − q ; 2 b) num˘arul polinoamelor unitare de gradul 3 din K[X] ireductibile peste K este q3 − q . 3 7.37. S˘a se determine corpurile de descompunere peste Q ¸si peste R ale urm˘atoarelor polinoame: a) f = X 2 −2; b) f = X 2 +2; c) f = X 3 −1; d) f = X 3 +1; e) f = X 4 −2; f) f = X 4 + 2; g) f = X 4 + X 2 + 1. 7.38. Fie n ∈ N∗ , f = X n − 1 ∈ Q[X] ¸si g = X n − a ∈ Q[X], iar ε o r˘ad˘acin˘a ˘acin˘a a lui g. S˘a se arate c˘a: primitiv˘a de ordinul n a unit˘a¸tii ¸si u o rd˘ a) Q(ε) este corpul de descompunere al lui f peste Q; b) Q(ε, u) este corpul de descompunere al lui g peste Q. 7.39. S˘a se determine grupurile Galois ale extinderilor Q ≤ R, R ≤ C ¸si Q ≤ Q(i). 7.40. Fie K subcorpul prim al corpului K ′ . S˘a se arate c˘a G(K, K ′ ) = Aut(K ′ ).

102

CAPITOLUL 7. CORPURI COMUTATIVE (ENUNT ¸ URI)

7.41. Fie f = X 3 − 2 ∈ Q[X]. S˘a se determine: 1) grupul Galois Gf (Q) al lui f peste Q ¸si permutarea r˘ad˘acinilor lui f indus˘a de fiecare automorfism din Gf (Q); 2) diagrama laticei subgrupurilor lui Gf (Q); 3) diagrama laticei subcorpurilor corpului Df (Q) de descompunere al lui f peste Q. 7.42. Fie f = X 4 − 2 ∈ Q[X]. S˘a se determine: 1) grupul Galois Gf (Q) al lui f peste Q ¸si s˘a se arate c˘a Gf (Q) nu este izomorf cu grupul simetric S4 ; 2) diagrama laticei subgrupurilor lui Gf (Q); 3) diagrama laticei subcorpurilor corpului Df (Q) de descompunere al lui f peste Q. 7.43. Fie K = Q(ε), unde ε este o r˘ad˘acin˘a de ordinul 3 a unit˘a¸tii ¸si f = X 3 − 2 ∈ K[X]. S˘a se determine: 1) grupul Galois al lui f peste K; 2) diagrama laticei subgrupurilor grupului Galois Gf (K) al lui f peste K; 3) diagrama laticei subcorpurilor corpului D = Df (K) de descompunere al lui f peste K, care includ pe K. 7.44. Fie p ∈ N∗ un num˘ar prim, ε 6= 1 o r˘ad˘acin˘a de ordinul p a unit˘a¸tii, K = Q(ε) ¸si f = X p − 2 ∈ K[X]. S˘a se determine: 1) grupul Galois al lui f peste K; 2) diagrama laticei subgrupurilor grupului Galois Gf (K) al lui f peste K; 3) diagrama laticei subcorpurilor corpului D = Df (K) de descompunere al lui f peste K, care includ pe K. 7.45. S˘a se arate c˘a pentru orice n ∈ N∗ ¸si orice num˘ar prim p ∈ N exist˘a: i) un polinom de gradul n ireductibil peste Zp ; ii) o extindere de corpuri Zp ≤ D de gradul n. 7.46. S˘a se arate c˘a pentru orice n ∈ N∗ ¸si orice corp prim P exist˘a: i) un polinom de gradul n ireductibil peste P ; ii) o extindere de corpuri P ≤ K de gradul n. 7.47. Fie K un subcorp al lui R, f ∈ K[X] un polinom ireductibil peste K ¸si p = grad f > 2. S˘a se arate c˘a dac˘a p este prim ¸si f are exact p − 2 r˘ad˘acini reale, atunci grupul Galois Gf (K) al lui f peste K este izomorf cu Sp . 7.48. S˘a se arate c˘a ecuat¸ia x(x2 − 4)(x2 + 2) = 2 nu este rezolvabil˘a prin radicali peste Q.

Partea II SOLUT ¸ II, INDICAT ¸ II ¸si ˘ RASPUNSURI

103

Capitolul 1 Relat¸ii. Funct¸ii 1.1. a) Dac˘a m = 0 sau n = 0 atunci A sau B fiind mult¸imea vid˘a avem A × B = ∅, deci num˘arul cerut este 0. Fie m, n ∈ N∗ , A = {1, . . . , m}, B = {1, . . . , n} ¸si fie f (m, n) num˘arul cerut (adic˘a f (m, n) = |A × B|). Demonstr˘am prin induct¸ie dup˘a m ∈ N∗ c˘a f (m, n) = mn. Din {1} × {1, 2, . . . , n} = {(1, 1), (1, 2), . . . , (1, n)} rezult˘a f (1, n) = n = 1 · n. Presupunˆand c˘a f (m, n) = mn avem {1, . . . , m, m + 1} × {1, . . . , n} = ({1, . . . , m} × {1, . . . , n})∪ ∪ {(m + 1, 1), (m + 1, 2), . . . , (m + 1, n)} de unde deducem c˘a f (m + 1, n) = f (m, n) + f (1, n) = mn + n = (m + 1)n. k b) Fie P(A × B) mult¸imea submult¸imilor mult¸imii A × B. ˆIntrucˆat A × B are Cmn submult¸imi cu k elemente, num˘arul cerut este 0 1 mn Cmn + Cmn + · · · + Cmn = 2mn .

c) Cum orice relat¸ie cu domeniul A ¸si codomeniul B este determinat˘a de graficul s˘au, num˘arul relat¸iilor ˆıntre elementele mult¸imilor A ¸si B este egal cu num˘arul submult¸imilor lui A × B, adic˘a este egal cu 2mn . 1.2. a) Relat¸ia universal˘a ˆıntre elementele mult¸imilor A ¸si B are domeniul A, codomeniul B ¸si graficul A × B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}. Complementara sa este relat¸ia vid˘a pentru c˘a CA×B (A × B) = (A × B) \ (A × B) = ∅. Complementara relat¸iei (A, B, R1 ) este relat¸ia (A, B, CA×B (R1 )) cu graficul CA×B (R1 ) = (A × B) \ R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2)}. 105

106

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

b) Reuniunea ¸si intersect¸ia relat¸iilor binare (B, C, R2 ) ¸si (B, C, R3 ) sunt relat¸iile (B, C, R2 ∪ R3 ), respectiv (B, C, R2 ∩ R3 ) cu R2 ∪ R3 = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 4)} ¸si R2 ∩ R3 = {(1, 4)}. c) Avem R2 ◦ R1 = {(a, c) ∈ A × C | ∃b ∈ B : (a, b) ∈ R1 , (b, c) ∈ R2 } = = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 4)}, R1 ◦ R2 = {(b1 , b2 ) ∈ B × B | ∃a ∈ A ∩ C : (b1 , a) ∈ R2 , (a, b2 ) ∈ R1 } = = {(3, 2), (3, 3)}. d) Avem −1

R1 = {(b, a) ∈ B × A | (a, b) ∈ R1 } = {(3, 1), (3, 2), (2, 1)}, −1

R2 = {(1, 3), (4, 1), (4, 3)},

iar din c) rezult˘a −1

R2 ◦ R1 = {(1, 1), (4, 1), (1, 2), (4, 2)}.

Ment¸ion˘am c˘a pentru determinarea acestui grafic putea fi folosit˘a ¸si egalitatea −1

−1

−1

R2 ◦ R1 = R1 ◦ R2 . e) Complementara relat¸iei ≤ este relat¸ia > ¸si are ca grafic semiplanul deschis format din punctele situate sub prima bisectoare. Observat¸ii: i) Dac˘ a domeniul A ¸si codomeniul B ale unei relat¸ii binare (A, B, R) sunt mult¸imi finite, A = {a1 , . . . , am }, B = {b1 , . . . , bn }, fixˆ and o ordine pe aceste mult¸imi (de exemplu cea dat˘ a de succesiunea indicilor ˆın mult¸imea numerelor naturale), putem identifica relat¸ia dat˘ a cu o matrice cu m coloane ¸si n linii, care are la intersect¸ia liniei i cu coloana j pe 1 dac˘ a (aj , bi ) ∈ R ¸si pe 0 dac˘ a (aj , bi ) ∈ / R, adic˘ a 0, respectiv 1 reprezint˘ a falsul, respectiv adev˘ arul. Astfel, relat¸iile R1 , R2 ¸si R3 vor fi reprezentate, respectiv, prin matricele:       0 0 1 0 0 0 0 0      1 0 ,  0 0 0 ,  1 1 0 .  0 0 0   0 1 0  1 1 1 0 1 1 0 0

ii) Din i) rezult˘ a imediat c˘ a operat¸ia care asociaz˘ a unei relat¸ii binare R complementara sa se va reprezenta prin matricea obt¸inut˘ a ˆınlocuind ˆın matricea lui R fiecare 0 cu 1 ¸si fiecare 1 cu 0. Conform cu cele de mai sus, relat¸iile de la punctul a) se reprezint˘ a, respectiv, prin matricele:       1 1 0 0 1 1  1 1 ,  0 0 ,  0 1 . 1 1 0 0 0 0

iii) Dou˘ a relat¸ii care au acela¸si domeniu ¸si acela¸si codomeniu vor fi reprezentate prin matrice de acela¸si tip. Matricele care reprezint˘ a reuniunea ¸si intersect¸ia acestora se obt¸in

107 la fel ca suma a dou˘ a matrice, luˆ and disjunct¸ia, respectiv conjunct¸ia elementelor de pe aceea¸si pozit¸ie din cele dou˘ a matrice: 0 ∨ 0 = 0, 1 ∨ 0 = 0 ∨ 1 = 1 ∨ 1 = 1, 0 ∧ 0 = 0 ∧ 1 = 1 ∧ 0 = 0, 1 ∧ 1 = 1. Astfel, relat¸iile R2 ∪ R3 ¸si R2 ∩ R3  0  1   0 1

se reprezint˘ a, respectiv, prin matricele:    0 1 0 0 0   1 0  ,  0 0 0 . 1 0   0 0 0  0 1 1 0 0

iv) Unele propriet˘ a¸ti ale reuniunii ¸si intersect¸iei relat¸iilor (de exemplu, asociativitatea ¸si comutativitatea) sunt determinate de propriet˘ a¸ti similare ale disjunct¸iei ¸si conjunct¸iei. v) Compusa (C, B, R ◦ S) a dou˘ a relat¸ii (A, B, R) ¸si (C, D, S) este egal˘ a cu compusa relat¸iilor (A ∩ D, B, R ∩ ((A ∩ D) × D)) ¸si (C, A ∩ D, S ∩ (C × (A ∩ D))).

vi) Compusei R ◦ S a dou˘ a relat¸ii (A, B, R) ¸si (C, D, S) ˆıi va corespunde matricea obt¸inut˘ a astfel: • din matricea corespunz˘ atoare lui R ret¸inem coloanele ¸si din cea corespunz˘ atoare lui S liniile corespunz˘ atoare elementelor din intersect¸ia D ∩ A, obt¸inˆ and astfel restrict¸iile (A ∩ D, B, R ∩ ((A ∩ D) × D)) ¸si (C, A ∩ D, S ∩ (C × (A ∩ D))) ale celor dou˘ a relat¸ii (evident, aceast˘ a etap˘ a poate fi omis˘ a dac˘ a A = D); • dac˘ a A ∩ D = ∅ atunci R ◦ S = ∅; dac˘ a A ∩ D 6= ∅ atunci matricea corespunz˘ atoare compusei R◦S se obt¸ine printr-un procedeu asem˘ an˘ ator ˆınmult¸irii matricelor ,,ˆınmult¸irea” elementelor 0 ¸si 1 realizˆ andu-se dup˘ a regulile conjunct¸iei, iar ,,adunarea” produselor obt¸inute realizˆ andu-se dup˘ a regulile disjunct¸iei. a are ˆın linia 1 ¸si coloana De exemplu, compusa R2 ◦ R1 a relat¸iilor din problema noastr˘ 1 elementul (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 1) = 0 ∨ 0 ∨ 1 = 1, ¸si matricea corespunz˘ atoare compusei R2 ◦ R1 este      0 0 1 0 0  0 0 0     1 0  =   0 0 0   1 1 1 0 1

1 0 0 1

 1 0  . 0  1

a remarc˘ am c˘ a A ∩ C = A = {1, 2}, deci Pentru calculul matricei compusei R1 ◦ R2 , s˘ din matricea asociat˘ a lui R2 ret¸inem liniile corespunz˘ atoare perechilor (x, 1) ¸si (x, 2) cu x = 1, 2, 3, adic˘ a primele dou˘ a linii, deci compusa R2 ◦ R1 se reprezint˘ a prin matricea     0 0 0 0 0  1 0  0 0 0 =  0 0 1 . 0 0 0 1 1 0 0 1 vii) ˆIn ceea ce prive¸ste inversa unei relat¸ii, aceasta se reprezint˘ a prin transpusa matricei corespunz˘atoare relat¸iei date, deci matricele corespunz˘ atoare relat¸iilor −1

−1

−1

R1 , R2 ¸si R2 ◦ R1

108

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

sunt, respectiv,

0 1 1 0 0 1



 0 0 0 1 1 0 0 1   , 0 0 0 0 ¸si . 1 0 0 1 1 0 0 1

1.3. a) Graficul relat¸iei ≤ este format de punctele din plan de coordonate (x, y) cu x ≤ y, deci este mult¸imea punctelor din plan situate deasupra sau pe prima bisectoare. b) Graficul relat¸iei ≥ este format de punctele din plan de coordonate (x, y) cu x ≤ y, deci este mult¸imea punctelor din plan situate sub sau pe prima bisectoare. c) Intersect¸ia relat¸iilor ≤ ¸si ≥ are graficul {(x, y) ∈ R2 | x ≤ y ¸si x ≥ y} = {(x, y) ∈ R2 | x = y}, deci este mult¸imea punctelor de pe prima bisectoare. d) Din faptul c˘a pentru orice numere reale x ¸si y avem x ≤ y sau x ≥ y rezult˘a c˘a reuniunea relat¸iilor ≤ ¸si ≥ are graficul {(x, y) ∈ R2 | x ≤ y sau x ≥ y} = R2 , adic˘a graficul este mult¸imea tuturor punctelor din plan. 1.4. Pentru orice x, y ∈ N avem x0⇔y−x≥1 ¸si astfel, x <2 y ⇔ ∃z ∈ N, x < z, z < y ⇔ ∃z ∈ N, z − x ≥ 1, y − z ≥ 1 ⇔ y − x ≥ 2 ⇔ x + 2 ≤ y ⇔ x + 1 < y. Analog, De asemenea, avem

x <3 y ⇔ x + 3 ≤ y ⇔ x + 2 < y.

x(< ◦ >)y ⇔ ∃z ∈ N, x > z, z < y ⇔ ∃z ∈ N, z < min(x, y) ⇔ (x, y) ∈ N∗ × N∗ ; x(> ◦ <)y ⇔ ∃z ∈ N, x < z, z > y ⇔ ∃z ∈ N, z > max(x, y) ⇔ (x, y) ∈ N × N. Observat¸ie: Relat¸iile < ¸si > sunt una inversa celeilalte. Din cele de mai sus rezult˘a c˘a inversa unei relat¸ii nu este simetric˘ a a relat¸iei date relativ la compunerea relat¸iilor. −1

1.5. Transformarea geometric˘a ce duce pe ρ ⊆ R × R ˆın ρ va duce fiecare punct (x, y) ∈ ρ ˆın punctul (y, x), deci este simetria ˆın raport cu prima bisectoare. Cum ρ0 se reprezint˘a ˆın plan prin dreapta ce trece prin origine ¸si face un unghi de 60◦ cu −1 axa Ox, deducem c˘a ρ0 este dreapta care trece prin origine ¸si face un unghi de 30◦ −1 cu Ox. L˘as˘am cititorului trasarea graficului relat¸iei ρ0 .

109 1.6. Echivalent¸a (a, b) ∈ R1 ⇔ (a, b) ∈ R2

are loc dac˘a si numai dac˘a are loc echivalent¸a −1

−1

(b, a) ∈ R1 ⇔ (b, a) ∈ R2 . 1.7. Fie a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ). Avem aρi b ⇔ aρi1 b, aρi2 b, . . . , aρin b ⇔

i X k=1

ak = b1 ,

i X

ak = b1 + b2 , . . . ,

k=1

i X

ak =

k=1

⇔ b2 = b3 = · · · = bn = 0 ¸si aρb ⇔ aρ11 b, aρ22 b, . . . , aρnn b

i X

n X

bk

k=1

ak = b1 ,

k=1

⇔ a1 = b1 , a1 + a2 = b1 + b2 , . . . , ⇔ a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , an = bn ⇔ a = b,

n X

ak =

k=1

n X

bk

k=1

deci ρ este relat¸ia de egalitate ˆın Rn ¸si, cum din asociativitatea intersect¸iei rezult˘a ′

ρ =

n \

ρi ,

i=1

deducem aρb ⇔ a = b = (a1 , 0, . . . , 0). 1.8. Cum avem R2 = R, iar din

mR2 n ⇔ ∃p ∈ N : m|p, p|n ⇔ m|n,

m(S ◦ R)n ⇔ ∃p ∈ N : mRp, pSn ⇔ ∃p ∈ N : m|p, p < n ⇔ m < n, deducem S ◦ R = S. Avem T 2 = N × N deoarece mT 2 n ⇔ ∃p ∈ N : (m, p) = 1, (p, n) = 1 ¸si p = 1 satisface condit¸iile de mai sus pentru orice m, n ∈ N. Folosind faptul c˘a |a − b| = k ⇔ a = b + k sau a = b − k avem m(R ◦ Rk )n ⇔ ∃p ∈ N : |m − p| = k, p|n ⇔ (m − k)|n sau (m + k)|n; m(Rk ◦ R)n ⇔ ∃p ∈ N : m|p, |p − n| = k ⇔ m|(n − k) sau m|(n + k); m(Rk ◦ S)n ⇔ ∃p ∈ N : m < p, |p − n| = k ⇔ m < n + k; m(S ◦ Rk )n ⇔ ∃p ∈ N : |m − p| = k, p < n ⇔ m − k < n ⇔ m < n + k; m(Rk ◦ Rl )n ⇔ ∃p ∈ N : |m − p| = l, |p − n| = k ⇔ |m − n| = k + l sau |m − n| = |k − l|.

110

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

1.9. R˘ aspuns. ρ21 = ρ1 , ρ22 = ρ2 , ρ23 = C[a, b] × C[a, b], ρ2 ◦ ρ3 = ρ3 ◦ ρ2 , f (ρ2 ◦ ρ1 )g ⇔ f (a) ≤ g(a) ¸si f (b) ≤ g(b); f (ρ3 ◦ ρ2 )g ⇔ f (a) 6= g(a) ¸si f (b) 6= g(b).

1.10. R˘ aspuns. (S ∩ S ′ ) ◦ R = ∅ = R ◦ (S ∩ S ′ ), (S ◦ R) ∩ (S ′ ◦ R) = {(1, 4), (4, 4)}, (R ◦ S) ∩ (R ◦ S ′ ) = {(1, 4)}.

Observat¸ie: Din cele de mai sus rezult˘a c˘a operat¸ia ◦ nu este, ˆın general, distributiv˘a fat¸˘ a de operat¸ia ∩.

1.11. Avem: R(X) = {y ∈ B | ∃x ∈ X : xRy} = {b4 }, Rha2 i = {y ∈ B | a2 Ry} = {b4 },

−1

R(Y ) = {x ∈ A | ∃y ∈ Y : xRy} = {a1 , a2 , a3 }, −1

−1

Rhb5 i = {x ∈ A | xRb5 } = {a3 },

pr1 R = R(B) = {x ∈ A | ∃y ∈ B : xRy} = {a1 , a2 , a3 },

pr2 R = R(A) = {y ∈ B | ∃x ∈ X : xRy} = {b2 , b3 , b4 , b5 }. Observat¸ie: S¸i calculul sect¸iunilor pentru relat¸ii binare care au domeniul ¸si codomeniul finite poate fi realizat cu ajutorul matricelor prezentate ˆın Observat¸iile de dup˘a solut¸ia problemei 1.2. T ¸ inˆ and cont de ordinea fixat˘ a ˆın domeniul (codomeniul) unei relat¸ii binare (A, B, R), o submult¸ime X ⊆ A (respectiv X ⊆ B) poate fi reprezentat˘ a ca o matrice coloan˘ a ˆın care marc˘ am cu 1 pozit¸iile corespunz˘ atoare elementelor din X ¸si prin 0 pozit¸iile corespunz˘ atoare elementelor din A \ X (respectiv B \ X). Astfel, submult¸imilor A, X, {a2 } ⊆ A ¸si B, Y, {b5 } ⊆ B le corespund, respectiv, matricele:             1 1 0 1 0 0  1   1   0   1   1   1         ,  ,  ,  1 ,  0 ,  0 .  1   0   0         1   1   0  1 1 0 1 1 1 Matricele corespunz˘ atoare  0 0  1 0   1 0   0 1 0 0

−1

relat¸iilor R ¸si R fiind  0 0 0 0   0 0   ¸si, respectiv, 0 0  1 0 −1

deducem c˘ a sect¸iunile R(X), Rha2 i, R (Y ), prin matricele (coloan˘ a):       0 0 0 0 0 0  1 0 0 0   0        1 0 0 0  1  =  0 ,   0     0 1 0 0   1  1 0 0 1 0 0



0  0   0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

 0 0 1 0  , 0 1  0 0

−1

R hb5 i, pr1 R, pr2 R se reprezint˘ a, respectiv,

     

0 1 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0









0    1     =   0     0

0 0 0 1 0



  ,  

111     1 0 1 1 0 0 1 0  1   0 0 0 1 0    1   0        0 0 0 0 1  0  =  1 , 0  1  0 0 0 0 0 0 0 1      1   0 1 1 0 0 1     0 0 0 1 0  1   1     1  =  ,   0 0 0 0 1    1    1   0 0 0 0 0 0 1 





1 0 0 0 0 1 1 0 0



1 0 0 0 0 0 0 1 0



0 0   1 0     0 1  0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0





0 0 0 0 1



  0    0   =  ,   1   0





1    1     =   1     1

0 1 1 1 1



  .  

−1

1.12. R˘ aspuns. ρh1i = N, ρ ({4, 9}) = {1, 2, 3, 4, 9}, pr1 ρ = N, pr2 ρ = N. 1.13. Avem ρh−1i = {y ∈ R | 1 + y 2 ≤ 1} = {0} = ρh1i, ρh0i = {y ∈ R | y 2 ≤ 1} = [−1, 1], ρh2i = {y ∈ R | 4 + y 2 ≤ 1} = ∅, ρ([0, 1]) = {y ∈ R | ∃x ∈ [0, 1] : x2 + y 2 ≤ 1} = [−1, 1],

pr1 ρ = {x ∈ R | ∃y ∈ R : x2 + y 2 ≤ 1} = [−1, 1] = pr2 ρ. Interpretare geometric˘ a: Graficul relat¸iei ρ e discul unitate, prin urmare, pentru o submult¸ime A ⊆ R, ρhai = {y ∈ R | ∃a ∈ A, a2 + y 2 ≤ 1} este mult¸imea ordonatelor tuturor punctelor din discul unitate care au abscisa ˆın A. Ca urmare, pentru un a ∈ R, ρhai = {y ∈ R | a2 + y 2 ≤ 1} este mult¸imea ordonatelor punctelor din plan ce se afl˘a ˆın intersect¸ia discului unitate cu dreapta x = a. 1.14. Indicat¸ie. Vezi interpretarea geometric˘a din problema anterioar˘a. Pentru determinarea contraimaginii se poate ¸tine seama de problema 1.5.

1.15. Indicat¸ie. Se folose¸ste definit¸ia sect¸iunii unei relat¸ii dup˘a o submult¸ime. 1.16. Indicat¸ie. Se folose¸ste definit¸ia sect¸iunii unei relat¸ii dup˘a un element. 1.17. Indicat¸ie. Se folosesc definit¸iile sect¸iunii ¸si a proiect¸iei ˆıntˆai. "

# r # "r 3 3 1.18. R˘ aspuns. ρ(X ∩ Y ) = −1, − ∪ , 1 , ρ(X) ∩ ρ(Y ) = [−1, 1]. 4 4

1.19. R˘ aspuns. (ρ ∩ ρ′ )(X) = ∅, ρ(X) ∩ ρ′ (X) = [−1, 1]. Observat¸ie: Din cele de mai sus rezult˘a c˘a incluziunile ρ(X ∩ Y ) ⊆ ρ(X) ∩ ρ(Y ) ¸si (ρ ∩ ρ′ )(X) ⊆ ρ(X) ∩ ρ′ (X) nu sunt, ˆın general, egalit˘ a¸ti.

1.20. R˘ aspuns. ρ1 (R) = C, ρ1 (X) = X, ρ1 hii = {z ∈ C | |z| = 1}, ρ2 (R) = R, ρ2 (X) = C \ {0}, ρ2 hii = {bi | b ∈ R, b > 0}, ρ3 (R) = R, ρ3 (X) = X, ρ3 hii = {−i}. 1.21. Indicat¸ie. Se folosesc definit¸iile sect¸iunii ¸si ale celor dou˘a proiect¸ii.

112

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

1.22. a) Avem (a, c) ∈ S ◦ (X × Y ) ⇔ ∃b ∈ B, (a, b) ∈ X × Y ¸si (b, c) ∈ S ⇔ a ∈ X ¸si (∃b ∈ Y, (b, c) ∈ S) ⇔ a ∈ X ¸si c ∈ S(Y ) ⇔ (a, c) ∈ X × S(Y ). b) Avem (a, c) ∈ (Y × Z) ◦ R ⇔ ∃b ∈ B, (a, b) ∈ R ¸si (b, c) ∈ Y × Z ⇔ c ∈ Z ¸si (∃b ∈ B, b ∈ Y ¸si (a, b) ∈ R) −1

⇔ c ∈ Z ¸si a ∈ R(Y ) −1

⇔ (a, c) ∈ R(Y ) × Z.

c) Dac˘a y0 ∈ Y ∩ Y ′ atunci pentru orice (x, z) ∈ X × Z avem (x, y0 ) ∈ X × Y ¸si (y0 , z) ∈ Y ′ × Z, de unde urmeaz˘a (x, z) ∈ (Y ′ × Z) ◦ (X × Y ). Deci X × Z ⊆ (Y ′ × Z) ◦ (X × Y ).

Invers, dac˘a (a, c) ∈ (Y ′ × Z) ◦ (X × Y ) atunci ∃b ∈ B astfel ˆıncˆat (a, b) ∈ X × Y ¸si (b, c) ∈ Y ′ × Z, de unde rezult˘a a ∈ X ¸si c ∈ Z, adic˘a (a, c) ∈ X × Z. Deci (Y ′ × Z) ◦ (X × Y ) ⊆ X × Z.

d) Presupunem c˘a (Y ′ × Z) ◦ (X × Y ) 6= ∅, adic˘a exist˘a (a, c) ∈ (Y ′ × Z) ◦ (X × Y ), ceea ce implic˘a ∃b ∈ B astfel ˆıncˆat (a, b) ∈ X ×Y ¸si (b, c) ∈ Y ′ ×Z, de unde deducem b ∈ Y ∩ Y ′ 6= ∅, ceea ce contrazice ipoteza. 1.23. a) Avem

(a1 , a2 ) ∈ ρ ◦ (A × A) ⇔ ∃a3 ∈ A, (a3 , a2 ) ∈ ρ ⇔ a2 ∈ pr2 ρ. Deci ρ verific˘a condit¸ia cerut˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pr2 ρ = A. b) Analog se arat˘a c˘a aceast˘a condit¸ie este verificat˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pr1 ρ = A. c) Avem (a1 , a2 ) ∈ ρ ◦ (A × A) ◦ ρ ⇔ ∃a3 , a4 ∈ A : (a1 , a3 ) ∈ ρ ¸si (a4 , a2 ) ∈ ρ ⇔ ⇔ a1 ∈ pr1 ρ ¸si a2 ∈ pr2 ρ. Deci ρ verific˘a condit¸ia cerut˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pr1 ρ = A = pr2 ρ. d) Avem (a1 , a2 ) ∈ (A × A) ◦ ρ ◦ (A × A) ⇔ ∃a3 , a4 ∈ A : (a3 , a4 ) ∈ ρ ⇔ ρ 6= ∅. Deci ρ verific˘a condit¸ia cerut˘a dac˘a ¸si numai dac˘a ρ 6= ∅. e) Avem −1

−1

(a1 , a2 ) ∈ ρ ◦ ρ ⇔ ∃a3 ∈ A, (a1 , a3 ) ∈ ρ ¸si (a3 , a2 ) ∈ ρ ⇔ ∃a3 ∈ A, a3 ∈ ρha1 i ¸si a3 ∈ ρha2 i ⇔ ρha1 i ∩ ρha2 i = 6 ∅.

Deci ρ verific˘a condit¸ia cerut˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice (a1 , a2 ) ∈ A × A, avem ρha1 i ∩ ρha2 i = 6 ∅.

113 1.24. a) Avem (a, c) ∈ S ◦ R ⇔ ∃b ∈ B, (a, b) ∈ R ¸si (b, c) ∈ S −1

⇔ ∃b ∈ B, b ∈ Rhai ¸si b ∈ S hci −1

⇔ Rhai ∩ S hci = 6 ∅. b) Avem −1

(a, c) ∈ S ◦ R ⇔ ∃b ∈ B : (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ S ⇔ ∃b ∈ B : a ∈ Rhbi, c ∈ Shbi [ −1 −1 ⇔ ∃b ∈ B : (a, c) ∈ Rhbi × Shbi ⇔ (a, c) ∈ Rhbi × Shbi, b∈B

de unde rezult˘a egalitatea cerut˘a. 1.25. a) Folosind incluziunea pr1 S ⊆ B, avem −1

−1

−1

−1 −1

pr1 (S ◦ R) = (S ◦ R)(C) = ( R ◦ S )(C) = R( S (C)) −1

−1

= R(pr1 S) ⊆ R(B) = pr1 R. b) Folosind incluziunea pr2 R ⊆ B, avem pr2 (S ◦ R) = (S ◦ R)(A) = S(R(A)) = S(pr2 R) ⊆ S(B) = pr2 S. c) Avem S ◦ R 6= ∅ ⇔ ∃(a, c) ∈ S ◦ R ⇔ ∃b ∈ B, (a, b) ∈ R ¸si (b, c) ∈ S ⇔ ∃b ∈ B, b ∈ pr2 R ¸si b ∈ pr1 S ⇔ pr2 R ∩ pr1 S 6= ∅. d) Avem (a, c) ∈ S ◦ R ⇒ ∃b ∈ B, (a, b) ∈ R ¸si (b, c) ∈ S ⇒ a ∈ pr1 R ¸si c ∈ pr2 S ⇒ ⇒ (a, c) ∈ pr1 R × pr2 S. 1.26. a)⇒b). ˆIntr-adev˘ar, (x, x) ∈ ∆A ⇒ x ∈ A ⇒ Rhxi = 6 ∅ ⇒ ∃y ∈ B, y ∈ Rhxi ⇒ ∃y ∈ B, xRy −1

−1

⇒ ∃y ∈ B, xRy ¸si y Rx ⇒ (x, x) ∈ R ◦ R. −1

Deci ∆A ⊆ R ◦ R. b)⇒c). ˆIntr-adev˘ar, −1

x ∈ A ⇒ (x, x) ∈ ∆A ⇒ (x, x) ∈ R ◦ R ⇒ ∃y ∈ B, xRy ⇒ x ∈ pr1 R. Deci A ⊆ pr1 R, iar incluziunea invers˘a este adev˘arat˘a pentru orice relat¸ie. Rezult˘a c˘a pr1 R = A.

114

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

c)⇒d). Implicat¸ia din d) este echivalent˘a cu implicat¸ia P1 ∩ P2 6= ∅ ⇒ (R ◦ P1 ) ∩ (R ◦ P2 ) 6= ∅. Demonstr˘am aceast˘a implicat¸ie. Din P1 ∩ P2 6= ∅ rezult˘a c˘a exist˘a (x1 , x2 ) ∈ P1 ∩ P2 ⊆ A′ × A, iar din x2 ∈ A, urmeaz˘a conform lui c) c˘a exist˘a x ∈ B astfel ˆıncˆat (x2 , x) ∈ R. Din (x1 , x2 ) ∈ P1 ¸si (x2 , x) ∈ R obt¸inem (x1 , x) ∈ R ◦ P1 , iar din (x1 , x2 ) ∈ P2 ¸si (x2 , x) ∈ R deducem (x1 , x) ∈ R◦P2 . Deci (x1 , x) ∈ (R◦P1 )∩(R◦P2 ), adic˘a (R ◦ P1 ) ∩ (R ◦ P2 ) 6= ∅. d)⇒e). Dac˘a ˆın d) lu˘am P1 = P2 = P atunci obt¸inem R ◦ P = ∅ ⇒ P = ∅, iar implicat¸ia P =∅⇒R◦P =∅ este evident˘a. e)⇒f). ˆIntrucˆat R(X1 ∩ X2 ) ⊆ R(X1 ) ∩ R(X2 ), din R(X1 ) ∩ R(X2 ) = ∅ rezult˘a R(X1 ∩ X2 ) = ∅. Prin urmare, dac˘a P = {(x, x) | x ∈ X1 ∩ X2 } atunci R ◦ P = ∅, ceea ce (conform lui e)) implic˘a P = ∅. Deci X1 ∩ X2 = ∅. f)⇒g). Dac˘a ˆın f) lu˘am X1 = X2 = X atunci obt¸inem R(X) = ∅ ⇒ X = ∅, iar implicat¸ia X = ∅ ⇒ R(X) = ∅ este evident˘a. −1 −1 −1 g)⇒h). ˆIntrucˆat R(Y1 ∪ Y2 ) = R(Y1 ) ∪ R(Y2 ), din Y1 ∪ Y2 = B rezult˘a −1

−1

−1

R(Y1 ) ∪ R(Y2 ) = R(B) = pr1 R ⊆ A.

(1)

Din g) urmeaz˘a c˘a pentru orice x ∈ A avem Rhxi = 6 ∅, adic˘a exist˘a y ∈ B astfel ˆıncˆat xRy, ceea ce ne arat˘a c˘a x ∈ pr1 R. Astfel am ar˘atat c˘a A ⊆ pr1 R. Rezult˘a A = pr1 R, de unde (conform lui (1)) deducem −1

−1

R(Y1 ) ∪ R(Y2 ) = A.

h)⇒ i). Dac˘a ˆın h) lu˘am Y1 = Y ¸si Y2 = C(Y ) atunci obt¸inem pe i). −1

i)⇒a). Dac˘a ˆın i) lu˘am Y = ∅ atunci obt¸inem R(B) = A, de unde rezult˘a c˘a pentru orice x ∈ A exist˘a un y ∈ B astfel ca xRy, adic˘a Rhxi = 6 ∅. Deci R verific˘a pe a). −1

1.27. a)⇒b). ˆIntr-adev˘ar, dac˘a (y1 , y2 ) ∈ R ◦ R atunci exist˘a x ∈ A astfel ˆıncˆat −1

(y1 , x) ∈ R ¸si (x, y2 ) ∈ R, de unde rezult˘a y1 , y2 ∈ Rhxi ceea ce (conform lui a)) −1

implic˘a y1 = y2 , adic˘a (y1 , y2 ) ∈ ∆B . Deci R ◦ R ⊆ ∆B . b)⇒c). Incluziunea (1)

(S1 ∩ S2 ) ◦ R ⊆ (S1 ◦ R) ∩ (S2 ◦ R)

115 are loc pentru orice R ⊆ A × B. Invers, dac˘a (x, z) ∈ (S1 ◦ R) ∩ (S2 ◦ R), atunci (x, z) ∈ S1 ◦ R ¸si (x, z) ∈ S2 ◦ R, de unde rezult˘a c˘a ∃y ∈ B, (x, y) ∈ R ¸si (y, z) ∈ S1

(2) ¸si

∃y ′ ∈ B, (x, y ′ ) ∈ R ¸si (y ′, z) ∈ S2 ,

(3)

ceea ce ne arat˘a c˘a y, y ′ ∈ Rhxi. De aici, conform lui b), rezult˘a y = y ′. Acum, din (2) ¸si (3) urmeaz˘a (x, y) ∈ R ¸si (y, z) ∈ S1 ∩ S3 , adic˘a (x, z) ∈ (S1 ∩ S2 ) ◦ R. Deci am demonstrat incluziunea (S1 ◦ R) ∩ (S2 ◦ R) ⊆ (S1 ∩ S2 ) ◦ R, care ˆımpreun˘a cu (1), d˘a egalitatea cerut˘a. c)⇒d). ˆIntr-adev˘ar, dac˘a S1 ∩ S2 = ∅ atunci, conform lui c), avem (S1 ◦ R) ∩ (S2 ◦ R) = (S1 ∩ S2 ) ◦ R = ∅ ◦ R = ∅. d)⇒ e). Dac˘a ˆın d) lu˘am S1 = S ¸si S2 = C(S) atunci obt¸inem pe e). e)⇒f). Ar˘at˘am c˘a negat¸ia lui f) implic˘a negat¸ia lui e). Din negat¸ia lui f) rezult˘a c˘a ∃Y1 , Y2 ⊆ B astfel ˆıncˆat −1

−1

Y1 ∩ Y2 = ∅ ¸si R(Y1 ) ∩ R(Y2 ) 6= ∅. −1

−1

−1

−1

Din R(Y1 ) ∩ R(Y2 ) 6= ∅ urmeaz˘a c˘a exist˘a un x ∈ R(Y1 ) ∩ R(Y2 ), ceea ce implic˘a existent¸a unui y1 ∈ Y1 ¸si a unui y2 ∈ Y2 astfel ˆıncˆat xRy1 ¸si xRy2 . Din Y1 ∩ Y2 = ∅ rezult˘a y1 6= y2 . Deci luˆand S = {(y1, y2 )} avem (y2 , y2) ∈ C(S). Prin urmare (x, y2 ) ∈ S ◦ R ¸si (x, y2 ) ∈ C(S) ◦ R, adic˘a (S ◦ R) ∩ (C(S) ◦ R) 6= ∅, ceea ce demonstreaz˘a negat¸ia lui e). f)⇒g). Dac˘a ˆın f) lu˘am Y1 = Y ¸si Y2 = C(Y ) atunci obt¸inem pe g). −1

−1

−1

−1

g)⇒h). Dac˘a a ∈ R(B) ∩ C( R(Y )) atunci a ∈ R(B) ¸si a ∈ / R(Y ). Deci exist˘a b ∈ B astfel ˆıncˆat (a, b) ∈ R ¸si pentru orice y ∈ Y avem (a, y) ∈ / R, de unde −1

urmeaz˘a c˘a b ∈ C(Y ) ¸si (a, b) ∈ R, ceea ce implic˘a a ∈ R(C(Y )). Astfel am ar˘atat c˘a incluziunea (4)

−1

−1

−1

R(B) ∩ C( R(Y )) ⊆ R(C(Y ))

are loc pentru orice relat¸ie R ⊆ A × B. Dac˘a R verific˘a pe g) atunci −1

−1

R(C(Y )) ⊆ C( R(Y )),

116

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II) −1

−1

de unde, ˆıntrucˆat C(Y ) ⊆ B implic˘a R(C(Y )) ⊆ R(B), deducem −1

−1

−1

R(C(Y )) ⊆ R(B) ∩ C( R(Y )).

(5)

Din (4) ¸si (5) rezult˘a h). h)⇒a). Ar˘at˘am c˘a negat¸ia lui a) implic˘a negat¸ia lui h). Din negat¸ia lui a) rezult˘a c˘a exist˘a x0 ∈ A astfel ˆıncˆat Rhx0 i s˘a cont¸in˘a dou˘a elemente diferite y1 , y2 ∈ B. −1

−1

Dac˘a Y = {y1 } atunci x0 ∈ R(Y ) ¸si y2 ∈ C(Y ), de unde urmeaz˘a x0 ∈ / C( R(Y )) ¸si −1

−1

x0 ∈ Rhy2 i ⊆ R(C(Y )), ceea ce ne arat˘a c˘a −1

−1

−1

R(B) ∩ C( R(Y )) 6= R(C(Y )).

Deci negat¸ia lui h) este demonstrat˘a. Observat¸ie: R ⊆ A×B este graficul unei funct¸ii dac˘a ¸si numai dac˘a R verific˘a o condit¸ie

din problema 1.26 ¸si o condit¸ie din problema 1.27.

1.28. ˆIn ipoteza problemei avem y ∈ R(C(X)) ⇔ ∃a ∈ A, a ∈ / X, aRy ⇔ y ∈ pr2 R, y ∈ / R(X) ⇔ y ∈ pr2 R \ R(X), ceea ce demonstreaz˘a c˘a R(CA (X)) = pr2 R \ R(X). Incluziunea R(X ∩ X ′ ) ⊆ R(X) ∩ R(X ′ ) are loc pentru orice R ⊆ A × B. Dac˘a R verific˘a ipoteza din enunt¸ atunci y ∈ R(X) ∩ R(X ′ ) ⇒ (∃x ∈ X, xRy) ¸si (∃x′ ∈ X ′ , x′ Ry) ⇒ x = x′ ∈ X ∩ X ′ , xRy ⇒ y ∈ R(X ∩ X ′ ). Rezult˘a c˘a R(X) ∩ R(X ′ ) ⊆ R(X ∩ X ′ ), deci

R(X ∩ X ′ ) = R(X) ∩ R(X ′ ).

Observat¸ii: a) Relat¸ia R(X ∩ X ′ ) = R(X) ∩ R(X ′ ) se poate generaliza de la dou˘a

submult¸imi ale lui A la o familie oarecare de submult¸imi ale lui A. b) Dac˘a f : A → B este o funct¸ie ¸si Y, Y ′ ⊆ B atunci egalit˘ a¸tile stabilite ˆın problema de −1

−1

−1

−1

−1

mai sus ne conduc la f (C(Y )) = C( f (Y )) ¸si f (Y1 ∩ Y2 ) = f (Y1 ) ∩ f (Y2 ).

1.29. Incluziunea (1)

S ◦ (R1 ∩ R2 ) ⊆ (S ◦ R1 ) ∩ (S ◦ R2 )

are loc pentru orice relat¸ii. Din (x, z) ∈ (S ◦ R1 ) ∩ (S ◦ R2 ) rezult˘a c˘a exist˘a y ∈ B astfel ˆıncˆat (x, y) ∈ R1 ¸si (y, z) ∈ S ¸si exist˘a y ′ ∈ B astfel ˆıncˆat (x, y ′ ) ∈ R2 ¸si (y ′ , z) ∈ S. Din ipoteza problemei deducem c˘a y = y ′ ∈ B a¸sadar, (x, y) ∈ R1 , (x, y) ∈ R2 ¸si (y, z) ∈ S, adic˘a (x, y) ∈ R1 ∩ R2 ¸si (y, z) ∈ S, de unde obt¸inem c˘a (x, z) ∈ S ◦ (R1 ∩ R2 ). Aceasta arat˘a c˘a (2)

(S ◦ R1 ) ∩ (S ◦ R2 ) ⊆ S ◦ (R1 ∩ R2 ).

Conform (1) ¸si (2) avem S ◦ (R1 ∩ R2 ) = (S ◦ R1 ) ∩ (S ◦ R2 ).

117 1.30. ˆIntˆai ment¸ion˘am c˘a implicat¸ia a) este echivalent˘a cu a′ ) X1 , X2 ⊆ B, R(X1 ) = R(X2 ) ⇒ X1 = X2 . a)⇒b). Dac˘a R ◦ R1 = R ◦ R2 atunci pentru orice a ∈ A avem R(R1 hai) = R(R2 hai), de unde, conform lui a′ ), rezult˘a c˘a R1 hai = R2 hai pentru orice a ∈ A, ceea ce implic˘a R1 = R2 . b)⇒a). Din negat¸ia lui a) rezult˘a c˘a ∃X1 , X2 ⊆ B, X1 6= X2 ¸si R(X1 ) = R(X2 ). Din X1 6= X2 rezult˘a c˘a una dintre submult¸imile X1 , X2 cont¸ine un element care nu apart¸ine celeilalte, de exemplu exist˘a x1 ∈ X1 , x1 ∈ / X2 . Luˆand A = {x1 } ¸si R1 = {x1 } × X1 , R2 = {x1 } × X2 , avem R1 6= R2 ¸si R ◦ R1 = {x1 } × R(X2 ) = {x1 } × R(X1 ) = R ◦ R2 . Astfel am ar˘atat c˘a negat¸ia lui a) implic˘a negat¸ia lui b). Observat¸ie: Din a) urmeaz˘a c˘a pr1 R = B, adic˘a Rhbi = 6 ∅ pentru orice b ∈ B. ˆIntr-

adev˘ ar, dac˘ a b ∈ B atunci din {b} = 6 ∅ urmeaz˘ a Rhbi = 6 R(∅) = ∅.

−1

1.31. a)⇒b). Dac˘a R verific˘a condit¸ia a) din enunt¸ atunci R verific˘a condit¸ia a) din problema de mai sus. Avem −1

−1

−1

−1

R1 ◦ R = R2 ◦ R ⇒ R ◦ R1 = R ◦ R1 −1

−1

¸si, conform problemei anterioare, avem R1 = R2 , de unde rezult˘a R1 = R2 . −1

b)⇒a). Dac˘a R verific˘a condit¸ia b) din enunt¸ atunci R verific˘a condit¸ia b) din −1

problema anterioar˘a. Deci R verific˘a condit¸ia a) din problema de mai sus, ceea ce ne arat˘a c˘a R verific˘a condit¸ia a) din enunt¸. Observat¸ie: Din condit¸ia a) rezult˘a c˘a pr2 R = B. 1.32. Indicat¸ie. Se folose¸ste definit¸ia funct¸iei. 1.33. R˘ aspuns. a) f 6= g; b) f 6= g; c) f = g. 1.34. R˘ aspuns. f (X1 ∩ X2 ) = {0}, f (X1 ) ∩ f (X2 ) = [0, 1). Observat¸ie: Din cele de mai sus rezult˘a c˘a ˆın f (X1 ∩ X2 ) ⊆ f (X1 ) ∩ f (X2 ) nu are loc,

ˆın general, egalitatea.

1.35. R˘ aspuns. a) F ⊆ A × B ¸si orice paralel˘a la axa Oy dus˘a printr-un punct din A

s˘ a intersecteze pe F exact ˆıntr-un punct. b) Nu.

1.36. R˘ aspuns. ˆIn general, nu.

118

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

1.37. R˘ aspuns. F ∪ G este un grafic funct¸ional dac˘a ¸si numai dac˘a F = G; F ∩ G este

graficul unei funct¸ii dac˘ a ¸si numai dac˘ a F = G; C(F ) este un grafic funct¸ional dac˘ a ¸si −1

numai dac˘ a A = ∅ sau B este format˘ a din dou˘ a elemente; F este grafic al unei funct¸ii dac˘ a ¸si numai dac˘ a F este graficul unei biject¸ii.

1.38. Indicat¸ie. Se folose¸ste definit¸ia injectivit˘a¸tii. 1.39. Indicat¸ii. a) Se folose¸ste problema anterioar˘a (punctul b)) ¸si interpretarea geometric˘ a din solut¸ia probemei 1.13. b) Dac˘a lu˘ am A = B = {1, 2, 3} (ordonat˘ a de relat¸ia uzual˘ a din N) atunci funct¸ia f : A → A, f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 3 este injectiv˘ a ¸si nu este monoton˘ a.

1.40. Indicat¸ie. Se folose¸ste definit¸ia surjectivit˘a¸tii. 1.41. Indicat¸ie. Se folose¸ste problema anterioar˘a (punctul c)) ¸si interpretarea geometric˘ a din solut¸ia probemei 1.13. 1.42. ˆIntrucˆat orice funct¸ie care are o retract˘a este injectiv˘a, rezult˘a c˘a funct¸iile cerute trebuie s˘a fie injective. Funct¸iile cerute nu sunt bijective, deoarece o biject¸ie are numai o retract˘a. a) Fie A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} ¸si f : A → B funct¸ia dat˘a ˆın tabelul 1 2

x f (x)

2 3

Dac˘a r : B → A este o retract˘a a lui f atunci r ◦ f = 1A , de unde urmeaz˘a r(2) = 1 ¸si r(3) = 2, iar r(1) trebuie s˘a verifice doar condit¸ia r(1) ∈ A. Rezult˘a c˘a r(1) poate fi ales ˆın dou˘a ¸si numai dou˘a feluri. Deci f are cel mult dou˘a retracte diferite r1 , r2 : B → A definite astfel: x r1 (x)

1 1

2 1

3 2

x r2 (x)

1 2

2 1

3 2

Din r1 (1) 6= r2 (1) rezult˘a c˘a r1 6= r2 . Se verific˘a u¸sor c˘a r1 ◦ f = 1A ¸si r2 ◦ f = 1A . Deci r1 ¸si r2 sunt retracte ale lui f . Prin urmare f are exact dou˘a retracte. b) Fie f : A → B o funct¸ie injectiv˘a, care nu este surjectiv˘a. Pentru ca f s˘a aib˘a o infinitate de retracte este necesar ca B s˘a fie infinit˘a. Fie A = B = N ¸si f : N → N, f (n) = 2n. Dac˘a rk : N → N, k ∈ N sunt funct¸iile definite astfel: ( n , dac˘a n este par rk (n) = 2 k, dac˘a n este impar atunci rk ◦ f = 1N . Deci rk , k ∈ N sunt retracte diferite ale lui f .

1.43. ˆIntrucˆat orice funct¸ie care are o sect¸iune este surjectiv˘a, rezult˘a c˘a funct¸iile cerute sunt surjective. Funct¸iile cerute nu sunt bijective, deoarece o biject¸ie are numai o sect¸iune. a) Fie A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} ¸si f : A → B funct¸ia definit˘a astfel: x f (x)

1 2

2 1

3 2

119 Dac˘a s : B → A este o sect¸iune a lui f atunci f ◦ s = 1B , de unde urmeaz˘a s(1) = 2 ¸si s(2) ∈ {1, 3}, adic˘a s(2) poate fi ales ˆın dou˘a feluri. Deci f are cel mult dou˘a sect¸iuni diferite s1 , s2 : B → A definite astfel: x s1 (x)

1 2

2 1

x s2 (x)

1 2

2 3

Din s1 (2) 6= s2 (2) rezult˘a c˘a s1 6= s2 . Se verific˘a u¸sor c˘a f ◦ s1 = 1B ¸si f ◦ s2 = 1B . Deci f are exact dou˘a sect¸iuni diferite. b) Fie f : R → [0, ∞[, f (x) = x2 . Dac˘a sk : [0, ∞) → R (k = 0, 1, 2, . . . ) sunt funct¸iile definite astfel: √ dac˘a x 6= k √x, sk (x) = − x, dac˘a x = k atunci (f ◦ sk )(x) = x pentru orice x ∈ [0, ∞). Deci sk (k = 0, 1, 2, . . . ) sunt sect¸iuni diferite ale lui f . 1.44. Indicat¸ie. Orice funct¸ie injectiv˘a care nu este surjectiv˘a. 1.45. Indicat¸ie. Orice funct¸ie surjectiv˘a care nu este injectiv˘a. 1.46. R˘ aspuns. a) m ≤ n; b) m ≥ n; c) m = n. 1.47. Indicat¸ie. Cum f (A) ⊆ A, condit¸ia f nu este surjectiv˘a (adic˘a f (A) 6= A) este

echivalent˘ a cu faptul c˘ a num˘ arul elementelor mult¸imii f (A) este strict mai mic decˆ at num˘ arul elementelor din A ceea ce are loc dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a cel put¸in dou˘ a elemente din A care au accea¸si imagine prin f , adic˘ a dac˘ a f nu este injectiv˘ a.

1.48. R˘ aspuns. Deosebim dou˘a cazuri:

√ a) Dac˘ a n este impar atunci f este bijectiv˘ a ¸si f −1 : R → R, f −1 (x) = n x. b) Dac˘ a n este par atunci f nu este nici injectiv˘ a ¸si nici surjectiv˘ a, dar g : R+ → R+ , √ n −1 −1 g(x) = x (unde R+ = [0, ∞)) este bijectiv˘ a ¸si g : R+ → R+ , g (x) = n x.

1.49. a)⇒b). Dac˘a f∗ (X1 ) = f∗ (X2 ) atunci f (X1 ) = f (X2 ). Rezult˘a c˘a pentru orice x1 ∈ X1 exist˘a un x2 ∈ X2 astfel ˆıncˆat f (x1 ) = f (x2 ), de unde, conform lui a), urmeaz˘a x1 = x2 , adic˘a x1 ∈ X2 . Astfel am ar˘atat c˘a X1 ⊆ X2 . Analog se arat˘a c˘a X2 ⊆ X1 . Deci f∗ (X1 ) = f∗ (X2 ) implic˘a X1 = X2 , adic˘a f∗ este injectiv˘a. b)⇒c). Pentru orice funct¸ie f : A → B ¸si orice X ⊆ A are loc incluziunea −1

X ⊆ f (f (X)) = (f ∗ ◦ f∗ )(X).

(1) −1

Dac˘a x ∈ f (f (X)) atunci f (x) ∈ f (X), adic˘a exist˘a un element x′ ∈ X astfel ˆıncˆat f (x) = f (x′ ). Rezult˘a c˘a f∗ ({x}) = f ({x′ }), ceea ce, conform lui b), implic˘a {x} = {x′ }, adic˘a x = x′ ∈ X. Astfel, am ar˘atat c˘a (2)

(f ∗ ◦ f∗ )(X) ⊆ X.

Din (1) ¸si (2) umeaz˘a c). c)⇒d). Din c) urmeaz˘a c˘a f∗ este o sect¸iune a lui f ∗ . Deci f ∗ are o sect¸iune, ceea ce ne arat˘a c˘a f ∗ este surjectiv˘a.

120

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

d)⇒e). Incluziunea f (X1 ∩ X2 ) ⊆ f (X1 ) ∩ f (X2 ) are loc pentru orice funct¸ie. Fie y ∈ f (X1 ) ∩ f (X2 )

(3)

Din d) rezult˘a c˘a exist˘a Y1 , Y2 ⊆ B astfel ˆıncˆat f ∗ (Yi ) = Xi (i = 1, 2), adic˘a −1

(4)

f (Yi ) = Xi .

−1

ˆIntrucˆat f ( f (Yi)) ⊆ Yi , din (3) ¸si (4) urmeaz˘a c˘a y ∈ Y1 ∩ Y2 . A¸sadar, −1

−1

−1

−1

f hyi ⊆ f (Y1 ∩ Y2 ) = f (Y1 ) ∩ f (Y2 ) = X1 ∩ X2 ,

deci exist˘a x ∈ X1 ∩X2 cu f (x) = y. Rezult˘a y ∈ f (X1 ∩X2 ) ¸si astfel am demonstrat f (X1 ) ∩ f (X2 ) ⊆ f (X1 ∩ X2 ). Deci f verific˘a pe e). e)⇒f). Dac˘a ˆın e) lu˘am X1 = X ¸si X2 = C(X) atunci obt¸inem ∅ = f (X) ∩ f (C(X)), de unde rezult˘a c˘a f (C(X)) ⊆ C(f (X)). f)⇒a). Dac˘a x, x′ ∈ A ¸si x 6= x′ atunci x′ ∈ C({x}), prin urmare f (x′ ) ∈ f (C({x})), ceea ce, conform lui f), implic˘a f (x′ ) ∈ C({f (x)}), adic˘a f (x) 6= f (x′ ). Deci f este injectiv˘a. 1.50. Indicat¸ie. Rezolvarea este similar˘a cu a problemei precedente. 1.51. Not˘am cu (1) egalitatea ce trebuie demonstrat˘a la a) ¸si cu (2) cea de la b). a) Demonstr˘am pe (1) prin induct¸ie dup˘a num˘arul natural nenul n. Pentru n = 1, egalitatea (1) devine f (X1 ) = f(X1 ) ¸si este, evident, adev˘arat˘a. Examin˘am ¸si cazul n = 2, care va fi folosit ˆın partea deductiv˘a a induct¸iei. Pentru n = 2 egalitatea (1) devine f (X1 ∪ X2 ) = f (X1 ) + f (X2 ) − f (X1 ∩ X2 ),

(3)

iar din definit¸ia lui f rezult˘a c˘a aceast˘a egalitate este adev˘arat˘a. Presupunem c˘a egalitatea (1) este adev˘arat˘a pentru n = m − 1 ¸si o demonstr˘am pentru n = m. ˆIntr-adev˘ar, din asociativitatea reuniunii ¸si din (3) rezult˘a ! ! m m−1 [ [ f Xi = f Xi + f (Xm ) − f ((X1 ∪ · · · ∪ Xm−1 ) ∩ Xm ). i=1

i=1

ˆIntrucˆat (X1 ∪ · · · ∪ Xm−1 ) ∩ Xm =

m−1 [ i=1

(Xi ∩ Xm ),

121 aplicˆand ipoteza induct¸iei, obt¸inem f 

−

m [

i=1 m−1 X i=1

Xi

!

=

m X i=1

f (Xi ) −

f (Xi ∩ Xm ) −

X

m

1≤i<j≤m−1

X

1≤i<j≤m−1

f (Xi ∩ Xj ) + · · · + (−1) f

f (Xi ∩ Xj ∩ Xm ) + · · · + (−1)m f

m−1 \ i=1 m \

i=1

Printr-o regrupare convenabil˘a a termenilor, primim egalitatea ! m m [ X X f Xi = f (Xi ) − f (Xi ∩ Xj ) + · · · + (−1)m+1 f i=1

i=1

1≤i<j≤m

care trebuia demonstrat˘a. b) Dac˘a aplic˘am pe (1) ˆın cazul A =

n [

i=1

Xi

!

! Xi  .

m \

!

Xi ,

i=1

Xi ¸si f : A → N, f (x) = 1, obt¸inem (2).

1.52. a) Not˘am cu |M| num˘arul elementelor unei mult ¸imi finite M. Dac˘a m > 0 A A ¸si n = 0 atunci B = 0, iar dac˘a m = n = 0 atunci B = 1. Demonstr˘am prin induct¸ie dup˘a m ∈ N∗ c˘a A B = nm . (1) Dac˘a m = 1 atunci evident B A = n = n1 . Presupunem c˘a (1) este adev˘arat˘a pentru m = k ¸si demonstr˘am c˘a este adev˘arat˘a pentru m = k + 1. Dac˘a A este format˘a din k + 1 elemente, iar A′ este o submult¸ime a lui A format˘a din k elemente ¸si x0 ∈ A, x0 ∈ / A′ atunci A = A′ ∪ {x0 }. Cu ajutorul unei funct¸ii g : A′ → B, definim n funct¸ii diferite fgy , y ∈ B astfel: g(x) , dac˘a x ∈ A′ y fg = y , dac˘a x = x0 . Dac˘a f ∈ B A , y = f (x0 ) ¸si g este restrict¸ia lui f la A′ atunci f = fgy . Deci [ ′ B A = {fgy | y ∈ B, g ∈ B A }, ′

iar funct¸ia F : B × B A → B A , F (y, g) = fgy este bijectiv˘a. Rezult˘a c˘a A B = B × B A′ = n · nk = nk+1 .

b) Dac˘a m > n atunci num˘arul cerut este egal cu zero. Fie m ≤ n. Demonstr˘am (ˆın acest caz) prin induct¸ie dup˘a m c˘a num˘arul cerut este Am n = n(n − 1) . . . (n − m + 1). Dac˘a m = 1 ≤ n atunci exist˘a n funct¸ii de la A la B ¸si fiecare este injectiv˘a. Deci, ˆın acest caz, afirmat¸ia este adev˘arat˘a. Presupunem afirmat¸ia adev˘arat˘a pentru m = k < n ¸si o demonstr˘am pentru m = k + 1. Dac˘a |A| = k + 1, iar A′ ⊆ A, |A′ | = k ¸si x0 ∈ A, x0 ∈ / A′ atunci

122

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

A = A′ ∪ {x0 }. O funct¸ie f : A → B este determinat˘a ˆın mod unic de f (x0 ) ¸si de restrict¸ia f ′ a lui f la A′ . Dac˘a f este injectiv˘a atunci f ′ este injectiv˘a, iar dac˘a f ′ este injectiv˘a atunci f este injectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a f (x0 ) ∈ / f (A′ ). Deci, f ′ fiind fixat, exist˘a n − k posibilit˘a¸ti de alegere pentru f (x0 ). Conform ipotezei induct¸iei, f ′ se poate alege ˆın Akn = n(n − 1) . . . (n − k + 1). Deci exist˘a (n − k)Akn = Ak+1 n posibilit˘a¸ti de a defini pe f . c) Dac˘a m 6= n atunci num˘arul cerut este 0. Dac˘a m = n atunci funct¸ia f : A → B este bijectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a este injectiv˘a. Deci, ˆın acest caz, rezult˘a din b) c˘a num˘arul cerut este Ann = n! = Pn . d) Dac˘a m < n atunci num˘arul cerut este zero. Presupunem c˘a m ≥ n. Fie A = {x1 , . . . , xm } ¸si B = {y1 , . . . , yn }. Dac˘a S este mult¸imea funct¸iilor surjective de la A la B, iar Si = {f ∈ B A | yi ∈ / f (A)} (i = 1, . . . , n) n n [ [ atunci S = B A \ Si , de unde rezult˘a c˘a |S| = B A − Si . Acum, din a) ¸si din i=1 i=1 problema precedent˘a deducem n n \ X X (2) |S| = nm − |Si | + |Si ∩ Sj | − · · · + (−1)n Si . i=1

i=1

1≤i<j≤n

Pe de alt˘a parte, din definit¸ia lui Si rezult˘a c˘a num˘arul funct¸iilor din Si coincide cu num˘arul funct¸iilor definite pe A ¸si cu valori ˆın B \ {yi}. Deci acest num˘ar este (n − 1)m , adic˘a |Si | = (n − 1)m .

(3)

Num˘arul funct¸iilor din Si ∩ Sj coincide cu num˘arul funct¸iilor definite pe A ¸si cu valori ˆın B \ {yi, yj }, adic˘a |Si ∩ Sj | = (n − 2)m . Analog se obt¸in egalit˘a¸tile (4)

n \ m |Si ∩ Sj ∩ Sk | = (n − 3) , . . . , Si = 0. i=1

Din (2), (3) ¸si (4) rezult˘a

|S| = nm − Cn1 (n − 1)m + Cn2 (n − 2)m − Cn3 (n − 3)m + · · · + (−1)n−1 Cnn−1 .

123 1.53. Fie g : R → R, g(x) = xn . a) Avem f (xn ) = x, ∀x ∈ R ⇔ f ◦ g = 1R .

Deci exist˘a f (cu proprietatea cerut˘a) dac˘a ¸si numai dac˘a funct¸ia g este injectiv˘a, iar g este injectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a n este impar. Prin urmare, exist˘a f dac˘a ¸si numai dac˘a n este impar. Dac˘a n este impar atunci g este chiar bijectiv˘a, de √ n unde rezult˘a c˘a f este unic˘a ¸si f (x) = x, dac˘a n ≥ 3, iar dac˘a dac˘a n = 1 atunci f (x) = x. b) Avem [f (x)]n = x, ∀x ∈ R ⇔ g ◦ f = 1R . Deci exist˘a f (cu proprietatea cerut˘a) dac˘a ¸si numai dac˘a g este surjectiv˘a, iar g este surjectiv˘a dac˘a ¸si numai dac˘a n este impar. Prin urmare, exist˘a f dac˘a ¸si numai dac˘a n este impar. Dac˘a n√este impar atunci g este chiar bijectiv˘a, de unde rezult˘a c˘a f este unic˘a ¸si f (x) = n x, dac˘a n ≥ 3, iar dac˘a dac˘a n = 1 atunci f (x) = x.

1.54. Indicat¸ie. Condit¸ia din enunt¸ exprim˘a faptul c˘a g admite o retract˘a, ceea ce nu e cazul, deoarece o funct¸ie par˘ a sau periodic˘ a nu e injectiv˘ a. 1.55. Dac˘a f este bijectiv˘a ¸si s1 , s2 : B → A sunt sect¸iuni ale lui f , adic˘a f ◦ s1 = 1 B = f ◦ s2 ,

atunci (compunˆand din stˆanga cu f −1 ) rezult˘a s1 = f −1 = s2 . Deci f are o singur˘a sect¸iune ¸si anume pe f −1 . Invers, presupunem c˘a f are o sect¸iune unic˘a. Rezult˘a c˘a f este surjectiv˘a. Dac˘a f nu ar fi injectiv˘a atunci ar exista dou˘a elemente x1 , x2 ∈ A, x1 6= x2 astfel ˆıncˆat f (x1 ) = f (x2 ) = y0 ¸si am putea construi dou˘a sect¸iuni diferite s1 , s2 : B → A astfel: xi , dac˘a y = y0 si (y) = xy , dac˘a y 6= y0 unde i = 1, 2 ¸si xy este o solut¸ie a ecuat¸iei f (x) = y. Astfel am ajuns la o contradict¸ie. Deci f este ¸si injectiv˘a. Rezult˘a c˘a f este bijectiv˘a. 1.56. a) Dac˘a A = ∅ ¸si B este o mult¸ime oarecare atunci exist˘a o singur˘a funct¸ie cu domeniul A ¸si codomeniul B, graficul acestei funct¸ii fiind ∅. Aceast˘a funct¸ie este injectiv˘a, iar dac˘a B 6= ∅, atunci nu are nici o retract˘a, deoarece nu exist˘a nici o funct¸ie cu domeniul B 6= ∅ ¸si codomeniul A = ∅. b) Dac˘a |A| = 1, |B| > 1 ¸si f : A → B atunci f este injectiv˘a, dar nu este surjectiv˘a, iar din B ˆın A exist˘a o singur˘a funct¸ie, care este retract˘a a lui f . c) Dac˘a f este bijectiv˘a ¸si r1 , r2 : B → A sunt retracte ale lui f , adic˘a r1 ◦ f = 1 A = r2 ◦ f

atunci (compunˆand la dreapta cu f −1 ) rezult˘a r1 = f −1 = r2 . Deci f are o singur˘a retract˘a ¸si anume pe f −1 . Invers, presupunem c˘a |A| > 1 ¸si c˘a f are o retract˘a unic˘a. Rezult˘a c˘a f este injectiv˘a. Fie x1 , x2 ∈ A, x1 6= x2 . Dac˘a f nu ar fi surjectiv˘a atunci ar exista y0 ∈ B \ f (A) ¸si am putea construi dou˘a retracte diferite r1 , r2 : B → A astfel: dac˘a y ∈ B \ f (A), atunci ri (y) = xi , iar dac˘a y ∈ f (A), atunci ri (y) = x, unde x este unicul element din A pentru care avem f (x) = y. Astfel am ajuns la o contradict¸ie. Deci f este ¸si surjectiv˘a. Rezult˘a c˘a f este bijectiv˘a.

124

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

1.57. Indicat¸ii. Descompunem pe f ˆın produsul (compusa) unei inject¸ii cu o surject¸ie

astfel: f = i ◦ f ′ , unde f ′ : A → f (A), f ′ (x) = f (x) ¸si i : f (A) → B, i(y) = y. ˆIntrucˆ at ′ ′ f este o surject¸ie ¸si f (A) 6= ∅, deoarece A 6= ∅, iar i este o inject¸ie, urmeaz˘ a c˘ a f are o sect¸iune s : f (A) → A ¸si i are o retract˘ a r : B → f (A). Definind pe g : B → A prin g = s ◦ r avem f ◦ g ◦ f = (i ◦ f ′ ) ◦ (s ◦ r) ◦ (i ◦ f ′ ) = i ◦ (f ′ ◦ s) ◦ (r ◦ i) ◦ f ′ = i ◦ 1f (A) ◦ 1f (A) ◦ f ′ = i ◦ f ′ = f.

Deci g = s ◦ r verific˘ a condit¸ia cerut˘ a. ˆIntrucˆ at o funct¸ie injectiv˘ a care nu este surjectiv˘ a poate avea mai multe retracte, iar o funct¸ie surjectiv˘ a care nu este injectiv˘ a poate avea mai multe sect¸iuni, propunem cititorului s˘ a construiasc˘ a un exemplu care s˘ a arate c˘ a, ˆın general, g nu este unic determinat˘a.

1.58. Indicat¸ie. Dac˘a R ⊆ A × B atunci definim funct¸ia R : A → P(B), R(x) = Rhxi. Funct¸ia f : {R | R ⊆ A × B} → [P(B)]A , f (R) = R este bijectiv˘ a.

1.59. Indicat¸ie. Dac˘a R ⊆ A × B atunci definim funct¸ia R : P(A) → P(B) prin R(X) = R(X). Funct¸ia f : R → F, f (R) = R este bijectiv˘ a.

1.60. Egalitatea f = h ◦ g ne arat˘a c˘a diagrama f

R

>

g

/

R

h

R+ este comutativ˘a. ˆIntrucˆat funct¸ia g este surjectiv˘a ¸si g(x1 ) = g(x2 ) ⇒ x21 = x22 ⇒ x1 = ±x2 ⇒ cos x1 = cos x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ), (din teorema de factorizare a unei funct¸ii printr-o surject¸ie) rezult˘a existent¸a ¸si unicitatea funct¸iei h cu proprietatea cerut˘a. Din aceea¸si teorem˘a urmeaz˘a c˘a dac˘a ˆ s : R+ → √ R este o sect¸iune a lui g atunci h = f ◦ s. Intrucˆat funct¸ia s : R+ → R, s(x) = x este o sect¸iune a lui g rezult˘a c˘a funct¸ia h : R+ → R este definit˘a prin √ h(x) = (f ◦ s)(x) = cos x. 1.61. R˘ aspuns. Nu. 1.62. Egalitatea f = g ◦ h ne arat˘a c˘a diagrama RO o g

A

f

R h

este comutativ˘a. ˆIntrucˆat funct¸ia g este injectiv˘a ¸si f (R) = [−1, 1] ⊆ [−3, +∞) = g(A),

125 (din teorema de factorizare a unei funct¸ii printr-o inject¸ie) rezult˘a existent¸a ¸si unicitatea lui h cu proprietatea cerut˘a. Din aceea¸si teorem˘a urmeaz˘a c˘a dac˘a r : R → A este o retract˘a a lui g atunci h = r ◦ f . Funct¸ia r : R → A, ( x−1 , dac˘a x ∈ [−3, +∞) r(x) = 2 0 , dac˘a x ∈ (−∞, −3) fiind o retract˘a a lui g, deducem c˘a funct¸ia h : R → A este definit˘a prin cos x − 1 . 2

h(x) = (r ◦ f )(x) = 1.63. R˘ aspuns. Nu. 1.64. R˘ aspuns. ϕA,B ((a, b)) = (b, a). 1.65. R˘ aspuns. ϕA,B,C (((a, b), c)) = (a, (b, c)).

1.66. Indicat¸ie. Fie funct¸iile fi : Ai → Bi , i ∈ I ¸si pentru fiecare i din I fie Xi ⊆ Ai , Yi ⊆ Bi . Folosind definit¸ia produsului cartezian al unei familii de funct¸ii ! Y Y Y Y fi : Ai → Bi , fi ((ai )i∈I ) = (fi (ai ))i∈I i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

se demostreaz˘ a c˘ a ! ! −1 Y Y Y Y fi Xi = (fi (Xi )) ¸si fi i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

Y i∈I

Yi

!

Y −1 fi (Yi ) . = i∈I

1.67. Indicat¸ie. Fie funct Y¸iile fi : A → Bi , i ∈ I ¸si pentru fiecare i ∈ I fie Yi ⊆ Bi . Se arat˘ a c˘ a funct¸ia h : A → Bi , h(a) = (fi (a))i∈I verific˘ a egalitatea i∈I

−1

h

Y i∈I

Yi

!

=

\ −1 h (Yi). i∈I

1.68. Indicat¸ie. Se folosesc definit¸iile injectivit˘a¸tii, surjectivit˘a¸tii ¸si a produsului cartezian a dou˘ a funct¸ii.

1.69. Dac˘a f : A → A′ ¸si g : B → B ′ sunt funct¸ii date atunci f × g este singura funct¸ie pentru care p˘atratele diagramei sunt comutative: Ao

p1

f

A′ o

p′1

A×B f ×g

A′ × B ′

p2

/

B g

p′2

B′ /

unde pi , p′i (i = 1, 2) sunt proiect¸iile canonice. Rezult˘a c˘a F este de forma cerut˘a dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a f : A → A′ ¸si g : B → B ′ astfel ˆıncˆat diagrama Ao

p1

f

A×B

p2

/

B g

F

A′ o

p′1

A′ × B ′

p′2

/

B′

126

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

s˘a fie comutativ˘a. ˆIntrucˆat pi (i = 1, 2) sunt surject¸ii, din teorema de factorizare a unei funct¸ii printr-o surject¸ie rezult˘a c˘a existent¸a lui f ¸si g este echivalent˘a cu implicat¸iile pi (a1 , b1 ) = pi (a2 , b2 ) ⇒ (p′i ◦ F )(a1 , b1 ) = (p′i ◦ F )(a2 , b2 ) pentru i = 1, 2, care exprim˘a faptul c˘a au loc egalit˘a¸tile: p′1 (F (a, b1 )) = p′1 (F (a, b2 )) ¸si p′2 (F (a1 , b)) = p′2 (F (a2 , b)) pentru orice a, a1 , a2 ∈ A ¸si orice b, b1 , b2 ∈ B. Prin urmare, dac˘a F nu verific˘a una din egalit˘a¸tile de mai sus, atunci F nu se poate scrie sub forma cerut˘a. De exemplu, dac˘a A = B = A′ = B ′ = {1, 2} ¸si F : A × B → A × B este funct¸ia definit˘a prin tabelul (x, y) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) F (x, y) (2,1) (1,2) (1,1) (2,2) atunci F nu se poate scrie sub forma cerut˘a. ◦

1.70. Indicat¸ie. a) Funct¸ia u : A1 ∪ A2 → B este definit˘a astfel: u(i, ai ) =

ai=1 u1 (a1 ) , dac˘ u2 (a2 ) , dac˘ a i = 2.

b) Se aplic˘ a unicitatea lui u.

◦

c) Dac˘a tripletul (A, q1′ , q2′ ) are aceea¸si proprietate de universalitate ca ¸si (A1 ∪ A2 , q1 , q2 ) ◦

◦

a c˘ a exist˘ a v : A1 ∪ A2 → A atunci din proprietatea de universalitate a lui A1 ∪ A2 rezult˘ astfel ˆıncˆ at v ◦ q1 = q1′ ¸si v ◦ q2 = q2′ ,

(1)

◦

iar din proprietatea de universalitate a lui A urmeaz˘ a c˘ a exist˘ a o funct¸ie v ′ : A → A1 ∪ A2 astfel ˆıncˆ at v ′ ◦ q1′ = q1 ¸si v ′ ◦ q2′ = q2 .

(2)

Din (1), (2) ¸si b) se deduce c˘ a v′ ◦ v = 1

◦

A1 ∪A2

biject¸ie ¸si v −1 = v ′ .

si v ◦ v ′ = 1A , ceea ce ne arat˘ a c˘ a v este o

Observat¸ii: i) Proprietatea de universalitate a reuniunii disjuncte este duala propriet˘a¸tii de universalitate a produsului cartezian. ii) Reuniunea disjunct˘ a se poate generaliza pentru o familie arbitrar˘ a (Ai )i∈I de mult¸imi. Se obt¸ine mult¸imea ◦ [ [ Ai = ({i} × Ai ), i∈I

i∈I

care ˆımpreun˘ a cu inject¸iile canonice corespunz˘ atoare qj : Aj →

◦ [

i∈I

Ai , qj (aj ) = (j, aj ), ∀aj ∈ Aj (j ∈ I)

verific˘ a o proprietate de universalitate analog˘ a celei din problema 1.70 (fiind, astfel, unic determinat˘ a pˆ an˘ a la o biject¸ie).

127 1.71. Indicat¸ie. Se determin˘a cele patru elemente ξi (i = 1, 2, 3, 4) din AA ¸si pentru orice b ∈ B avem f g (ξi )(b) = (f ◦ ξi ◦ g)(b) = f (ξi (g(b))).

1.72. Indicat¸ie. Se folose¸ste caracterizarea funct¸iilor injective cu ajutorul propriet˘a¸tii de simplificare.

1.73. Indicat¸ie. Se folose¸ste caracterizarea funct¸iilor surjective cu ajutorul propriet˘a¸tii de simplificare. B2 B1 ′ 1 2 1.74. Avem f g : AB si η ∈ AB 1 → A2 . Fie ξ, ξ ∈ A1 ¸ 2 . a) Dac˘a f este injectiv˘a ¸si g este surjectiv˘a atunci:

f g (ξ) = f g (ξ ′ ) ⇒ f ◦ ξ ◦ g = f ◦ ξ ′ ◦ g ⇒ ξ = ξ ′ , adic˘a f g este injectiv˘a. b) Dac˘a f este surjectiv˘a ¸si g este injectiv˘a, atunci f are o sect¸iune s ¸si g are o retract˘a r, de unde urmeaz˘a c˘a ecuat¸ia f g (ξ) = η are solut¸ia ξ = s ◦ η ◦ r, adic˘a f g este surjectiv˘a. 1.75. Indicat¸ie. Bijectivitatea lui ϕ este o consecint¸˘a a propriet˘a¸tii de universalitate a produsului cartezian. Comutativitatea diagramei din enunt¸ se stabile¸ste punctual. 1.76. Indicat¸ie. Dac˘a ϕ(f ) = ϕ(f ′ ) = F atunci fy = fy′ pentru orice y ∈ B2 , adic˘a

f (x, y) = f ′ (x, y), pentru orice x ∈ B1 , y ∈ B2 , a¸sadar f = f ′ . Dac˘ a F ∈ (AB1 )B2 atunci pentru orice y ∈ B2 , F (y) ∈ AB1 . Definind funct¸ia f ∈ AB1 ×B2 prin f (x, y) = (F (y))(x), avem fy = F (y), deci ϕ(f ) = F . Comutativitatea diagramei din enunt¸ se stabile¸ste punctual.

1.77. Indicat¸ii. c) x ∈ pr1 R ⇒ ∃y ∈ A : xRy ⇒ xRy ¸si yRx ⇒ xRx. d) Este o consecint¸˘ a imediat˘ a a punctului c). 1.78. Gre¸seala este urm˘atoarea: poate s˘a existe x ∈ A pentru care nu exist˘a nici un y ∈ A astfel ˆıncˆat xRy. 1.79. Ar˘at˘am c˘a nici una din axiome nu este o consecint¸˘a a celorlalte: • Simetria nu rezult˘a din reflexivitate ¸si tranzitivitate deoarece relat¸ia ≤ ˆın R este reflexiv˘a ¸si tranzitiv˘a, dar nu este simetric˘a. • Reflexivitatea nu este o consecint¸˘a a simetriei ¸si a tranzitivit˘a¸tii deoarece relat¸ia de paralelism ˆıntre dreptele din plan este simetric˘a ¸si tranzitiv˘a, dar nu este reflexiv˘a. • Fie A = {1, 2, 3} ¸si ρ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)} ⊆ A × A. Relat¸ia ρ este reflexiv˘a ¸si simetric˘a, dar nu este tranzitiv˘a. Deci tranzitivitatea este independent˘a de reflexivitate ¸si simetrie. Observat¸ii: Relat¸iile reflexive, simetrice sau tranzitive pe o mult¸ime finit˘a A pot fi caracterizate folosind identificarea relat¸iilor binare cu matrice (bivalente) pe care am descris-o ˆın observat¸iile ce succed problema 1.2. Astfel: • cum o relat¸ie este reflexiv˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a cont¸ine pe ∆A , toate elementele de pe diagonala matricei asociate acestei relat¸ii vor fi egale cu 1;

128

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

• cum o relat¸ie este simetric˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a coincide cu inversa sa, deducem c˘ a o relat¸ie este simetric˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a se va reprezenta printr-o matrice simetric˘ a fat¸˘a de diagonala principal˘ a; • verificarea tranzitivit˘ a¸tii unei relat¸ii se face ¸tinˆ and seama de faptul c˘ a o relat¸ie R este tranzitiv˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a R ◦ R ⊆ R ¸si de observat¸iile anterioare.

Propunem cititorului s˘ a ilustreze independent¸a axiomelor ce definesc o relat¸ie de echivalent¸˘ a folosind observat¸iile de mai sus.

1.80. ∆A ⊆ ∆A ◦ ∆A ⊆ R ◦ S. Analog ∆A ⊆ S ◦ R. −1

−1

−1

1.81. Dac˘a R ◦ S este simetric˘a atunci R ◦ S = R ◦ S = S ◦ R = S ◦ R. Reciproc, −1

−1

−1

dac˘a R ◦ S = S ◦ R atunci R ◦ S = S ◦ R = S ◦ R = R ◦ S. 1.82. (R ◦ S) ◦ (R ◦ S) = R ◦ (S ◦ R) ◦ S = R ◦ (R ◦ S) ◦ S = (R ◦ R) ◦ (S ◦ S) ⊆ R ◦ S 1.83. Dac˘a R este o relat¸ie de echivalent¸˘a atunci R este reflexiv˘a, simetric˘a ¸si tranzitiv˘a. Folosind tranzitivitatea ¸si simetria avem xRy ¸si yRz ⇒ xRz ⇒ zRx, adic˘a R este circular˘a. Invers, dac˘a R este reflexiv˘a ¸si circular˘a atunci xRy ⇒ xRy ¸si yRy ⇒ yRx, adic˘a R este simetric˘a. Folosind faptul c˘a R este circular˘a ¸si simetric˘a, avem xRy ¸si yRz ⇒ zRx ⇒ xRz, adic˘a R este tranzitiv˘a. Deci R este o relat¸ie de echivalent¸˘a. 1.84. Indicat¸ie. Se folosesc definit¸iile reflexivit˘a¸tii, simetriei ¸si tranzitivit˘a¸tii. 1.85. R˘ aspuns. a) ρ1 este o relat¸ie de echivalent¸˘a pe A, dar ρ2 nu este echivalent¸˘a. Partit¸ia corespunz˘ atoare echivalent¸ei ρ1 este A/ρ1 = {{1, 2, 3}, {4}}. b) π1 este o partit¸ie a lui A, iar π2 nu este o partit¸ie. Relat¸ia de echivalent¸˘ a corespunz˘ atoare partit¸iei π1 este ρ = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)}

= ({1, 2} × {1, 2}) ∪ ({3} × {3}) ∪ ({4} × {4}).

1.86. Cum fiecare relat¸ie de echivalent¸˘a pe A este determinat˘a de o partit¸ie a lui A prezent˘am mai jos partit¸iile lui A ¸si al˘aturi echivalent¸ele corespunz˘atoare: π1 = {{1}, {2}, {3}}, ρ1 = ∆A ; π2 = {A}, ρ2 = A × A; π3 = {{1}, {2, 3}}, ρ3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2)}; π4 = {{2}, {1, 3}}, ρ4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)}; π5 = {{3}, {1, 2}}, ρ5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}.

129 1.87. R˘ aspuns. A/∆A = {{a} | a ∈ A}, A/A × A = {A}. 1.88. R˘ aspuns. Clasele de echivalent¸˘a ale unui z ∈ C∗ modulo ρ1 ¸si ρ2 sunt ρ1 hzi = {z ′ ∈ C | |z| = |z ′ |}, respectiv ρ2 hzi = {z ′ ∈ C | arg z = arg z ′ }, adic˘ a ρ1 hzi este mult¸imea punctelor de pe cercul cu centrul ˆın origine ¸si de raz˘ a |z|, iar ρ2 hzi este mult¸imea punctelor de pe semidreapta deschis˘ a care pleac˘ a din origine ¸si trece prin z. Ment¸ion˘ am c˘ a ρi h0i = {0} (i = 1, 2), iar mult¸imile cˆ at sunt C/ρi = {ρi hzi | z ∈ C} (i = 1, 2).

1.89. Indicat¸ie. Clasele de echivalent¸˘a modulo ρ1 au ca reprezintare geometric˘a drepte paralele cu Oy, iar clasele modulo ρ2 , drepte paralele cu Ox.

1.90. Indicat¸ie. Se aplic˘a [34, Teorema 1.8.15] funct¸iilor f : R → Z, f (x) = [x] ¸si g : R → [0, 1), g(x) = {x}. 1.91. Indicat¸ie. Se arat˘a c˘a egalitatea f (ρhAi) = det A este independent˘a de alegerea reprezentantului A ∈ ρhAi, adic˘ a define¸ste o funct¸ie f : Mn (R)/ρ → R, iar dup˘ a aceea se stabile¸ste c˘ a f este o biject¸ie.

1.92. Indicat¸ie. Dac˘a R este o relat¸ie de echivalent¸˘a atunci familia Rhxi, x ∈ A verific˘a condit¸iile de mai sus.

1.93. R˘ aspuns. E(A) este ˆınchis˘a ˆın raport cu intersect¸ia ¸si cu inversarea. 1.94. Indicat¸ii. Dac˘a pi : Ai → Ai /Ri (i = 1, 2) sunt funct¸iile canonice atunci funct¸ia

p1 × p2 : A1 × A2 → (A1 /R1 ) × (A2 /R2 ) este surjectiv˘ a ¸si ker(p1 × p2 ) = R, deci R este o echivalent¸˘ a ¸si exist˘ a o biject¸ie ˆıntre (A1 /R1 ) × (A2 /R2 ) ¸si (A1 × A2 )/R.. Altfel: Se poate proceda ¸si ar˘ atˆ and c˘ a egalitatea f ((R1 ha1 i, R2 ha2 i)) = Rh(a1 , a2 )i define¸ste o funct¸ie f : (A1 /R1 ) × (A2 /R2 ) → (A1 × A2 )/R, adic˘ a nu depinde de alegerea reprezentant¸ilor, iar dup˘ a aceea stabilind c˘ a f este o biject¸ie.

1.95. Dac˘a x1 , x2 ∈ R atunci (x1 , x2 ) ∈ ker f ⇔ x21 = x22 ⇔ x1 = ±x2 ⇔ x41 = x42 ⇔ (x1 , x2 ) ∈ ker g, ceea ce ne arat˘a c˘a ker f = ker g ¸si R/ ker f = {{−x, x} | x ∈ R}. ˆIntrucˆat f (R) = R+ , din [34, Teorema 1.8.15] urmeaz˘a c˘a exist˘a o funct¸ie bijectiv˘a f : R/ ker f → R+ astfel ˆıncˆat diagrama R

f

pker f

/

RO i

R/ ker f

f

/ R+

s˘a fie comutativ˘a, unde i este funct¸ia de incluziune ¸si pker f este funct¸ia canonic˘a. Din comutativitatea diagramei de mai sus urmeaz˘a c˘a f ({−x, x}) = x2 .

130

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

1.96. Indicat¸ie. Avem (1, i) ∈ ker g ¸si (1, i) ∈ / ker f , iar biject¸iile C/ ker f → C ¸si

C/ ker f → C se pot obt¸ine aplicˆ and [34, Teorema 1.8.15] funct¸iilor f , respectiv g.

1.97. Fie 0 < k ≤ m ¸si nk = |{ρ ∈ E(A) | |A/ρ| = k}|, adic˘a nk este num˘arul acelor relat¸ii de echivalent¸˘a pe A ale c˘aror mult¸imi cˆat sunt formate din k clase. Avem |E(A)| = n1 + n2 + · · · + nm . Reducem determinarea lui nk la determinarea num˘arului de surject¸ii ale lui A pe o mult¸ime K format˘a din k elemente. Dac˘a f : A → K este o funct¸ie surjectiv˘a, atunci, conform teoremei de factorizare a unei funct¸ii printr-o surject¸ie, exist˘a o funct¸ie bijectiv˘a unic˘a f : A/ ker f → K astfel ˆıncˆat diagrama urm˘atoare s˘a fie comutativ˘a f /K. A : pker f f

A/ ker f Deci |A/ ker f | = k. Fie S mult¸imea surject¸iilor de la A la K ¸si Ek (A) = {ρ ∈ E(A) | |A/ρ| = k}. Rezultatele obt¸inute ne permit s˘a definim funct¸ia ϕ : S → Ek (A), ϕ(f ) = ker f. Dac˘a ρ ∈ Ek (A) ¸si h : A/ρ → K este o biject¸ie atunci ϕ(h ◦ pρ ) = ρ. Deci funct¸ia ϕ este surjectiv˘a. Avem (f, f ′ ) ∈ ker ϕ ⇔ ker f = ker f ′ ⇔ f = h ◦ f ′ , unde h : K → K este o biject¸ie. Rezult˘a c˘a f 6= f ′ ⇔ h 6= 1S , a¸sadar fiecare clas˘a din S/ ker f are k! elemente ¸si astfel |S/ ker ϕ| =

(1)

|S| . k!

Din [34, Teorema 1.8.15] deducem c˘a exist˘a o biject¸ie ˆıntre S/ ker ϕ ¸si Ek (A), ceea ce, ˆımpreun˘a cu (1) ¸si problema 1.52, ne conduce la nk = |Ek (A)| = −1

−1 −1

−1

−1

1 m k − Ck1 (k − 1)m + · · · + (−1)k−1 Ckk−1 . k! −1

−1 −1

−1

1.98. R ◦ R ◦ R = R ◦ R ◦ R = R ◦ R ◦ R = R.

131 1.99. d1 ⊥d2 , d2 ⊥d3 ¸si d3 ⊥d4 ⇒ (d1 kd3 sau d1 = d3 ) ¸si d3 ⊥d4 ⇒ d1 ⊥d4 . −1

−1

1.100. F ◦ F ◦ F ⊆ ∆B ◦ F = F ¸si F ◦ F ◦ F ⊇ F ◦ ∆A = F. Observat¸ie: Din problemele 1.99 ¸si 1.100 rezult˘a c˘a funct¸iile formeaz˘a o subclas˘a a clasei relat¸iilor difunct¸ionale ¸si c˘ a incluziunea aceasta este strict˘ a. 1.101. a)⇒b). Din Rha1 i ∩ Rha2 i = 6 ∅ rezult˘a c˘a exist˘a b0 ∈ Rha1 i ∩ Rha2 i, adic˘a a1 Rb0 ¸si a2 Rb0 , ceea ce implic˘a −1

(1)

a2 Rb0 ¸si b0 Ra1 . −1

Dac˘a b ∈ Rha1 i atunci a1 Rb, care ˆımpreun˘a cu (1) ne d˘a (a2 , b) ∈ R ◦ R ◦ R. Deci, conform lui a), avem (a2 , b) ∈ R, adic˘a b ∈ Rha2 i. Astfel s-a ar˘atat c˘a Rha1 i ⊆ Rha2 i. Analog se arat˘a c˘a Rha2 i ⊆ Rha1 i. Deci Rha1 i = Rha2 i. −1

−1

−1

−1

b)⇒c). Din Rhb1 i ∩ Rhb2 i = 6 ∅ rezult˘a c˘a exist˘a a0 ∈ Rhb1 i ∩ Rhb2 i, adic˘a a0 Rb1 ¸si a0 Rb2 , ceea ce implic˘a b1 , b2 ∈ Rha0 i.

(2) −1

Dac˘a a ∈ Rhb1 i atunci aRb1 , adic˘a b1 ∈ Rhai, ceea ce ˆımpreun˘a cu (2) implic˘a Rhai ∩ Rha0 i = 6 ∅. Deci, conform lui b), urmeaz˘a c˘a Rhai = Rha0 i. Acum, din −1

(2) deducem c˘a b2 ∈ Rhai, de unde obt¸inem a ∈ Rhb2 i. Astfel am ar˘atat c˘a −1

−1

−1

−1

Rhb1 i ⊆ Rhb2 i. Incluziunea invers˘a se demonstreaz˘a analog. Deci Rhb1 i = Rhb2 i. c)⇒b). Demonstrat¸ia acestei implicat¸ii este similar˘a cu cea a implicat¸iei precedente. c)⇒d). Fie Bi , i ∈ I o indexare bijectiv˘a a mult¸imii {Rhxi | x ∈ A ¸si Rhxi = 6 ∅}. −1

Pentru fiecare i ∈ I alegem cˆate un yi ∈ Bi ¸si fie Ai = Rhyii. Din c) rezult˘a c˘a Ai , i ∈ I verific˘a urm˘atoarea condit¸ie i1 , i2 ∈ I ¸si Ai1 ∩ Ai2 6= ∅ ⇒ Ai1 = Ai2 .

(3)

ˆIntrucˆat c)⇒ b), urmeaz˘a c˘a Bi , i ∈ I verific˘a urm˘atoarea condit¸ie i1 , i2 ∈ I ¸si Bi1 ∩ Bi2 6= ∅ ⇒ Bi1 = Bi2 .

(4) S˘a demonstr˘am c˘a (5)

R=

[ i∈I

Ai × Bi . −1

Dac˘a (a, b) ∈ R atunci b ∈ Rhai ¸si a ∈ Rhbi, iar din (4) rezult˘a c˘a pentru orice −1

−1

−1

b′ ∈ Rhai avem Rhb′ i = Rhbi. Deci exist˘a i ∈ I astfel ˆıncˆat a ∈ Ai = Rhbi ¸si b ∈ Bi = Rhai. Prin urmare, am ar˘atat c˘a [ (6) R⊆ Ai × Bi . i∈I

132

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

S Dac˘a (a, b) ∈ i∈I Ai × Bi atunci exist˘a i ∈ I astfel ˆıncˆat (a, b) ∈ Ai × Bi , de unde rezult˘a c˘a b ∈ Bi = Rhai, ceea ce implic˘a (a, b) ∈ R. Deci am demonstrat ¸si incluziunea [ (7) Ai × Bi ⊆ R. i∈I

Din (6) ¸si (7) urmeaz˘a (5). d)⇒a). Avem

−1

−1

(a, b) ∈ R ⇒ (a, b) ∈ R ¸si (b, a) ∈ R ¸si (a, b) ∈ R ⇒ (a, b) ∈ R ◦ R ◦ R, −1

ceea ce ne arat˘a c˘a incluziunea R ⊆ R ◦ R ◦ R are loc pentru orice relat¸ie. Din −1

−1

(a, b) ∈ R ◦ R ◦ R urmeaz˘a c˘a exist˘a b1 ∈ B ¸si a1 ∈ A astfel ˆıncˆat aRb1 , b1 Ra1 , a1 Rb, adic˘a b1 ∈ Rhai ∩ Rha1 i ¸si b ∈ Rha1 i, de unde (conform lui (4)) rezult˘a c˘a −1

b ∈ Rha1 i = Rhai, adic˘a aRb. Deci am demonstrat ¸si incluziunea R ◦ R ◦ R ⊆ R. Rezult˘a c˘a relat¸ia R este difunct¸ional˘a. 1.102. Solut¸ia 1: Dac˘a R este o echivalent¸˘a atunci R este reflexiv˘a, −1

R = R ¸si R ◦ R = R,

de unde difunct¸ionalitatea relat¸iei R urmeaz˘a astfel: −1

R ◦ R ◦ R = R ◦ R ◦ R = R ◦ R = R. Invers, dac˘a R este o difunct¸ional˘a reflexiv˘a atunci −1

R ◦ R ◦ R = R ¸si ∆A ⊆ R. Deci

−1

−1

−1

R = ∆A ◦ R ◦ ∆A ⊆ R ◦ R ◦ R = R, −1

adic˘a R este simetric˘a ¸si R = R. Tranzitivitatea relat¸iei R rezult˘a astfel: −1

−1

R ◦ R = R ◦ R ◦ ∆A ⊆ R ◦ R ◦ R = R. Solut¸ia 2: O alt˘a solut¸ie se poate obt¸ine din problemele 1.92 ¸si 1.101. 1.103. a) Avem −1

−1

x ∈ pr1 R ⇒ ∃y ∈ B, xRy ⇒ ∃y ∈ B, xRy, xRy ¸si y Rx ⇒ x R ◦ Rx, −1

ceea ce ne arat˘a c˘a R ◦R ⊆ pr1 R×pr2 R este reflexiv˘a pentru orice relat¸ie R ⊆ A×B (nu numai pentru relat¸ii difunct¸ionale). Folosind ipoteza c˘a R este difunct¸ional˘a, −1

simetria ¸si tranzitivitatea relat¸iei R ◦ R rezult˘a astfel: −1 −1

−1

R ◦ R = R ◦ R; −1 −1 −1 −1 −1 R ◦ R ◦ R ◦ R = R ◦ R ◦ R ◦ R = R ◦ R.

133 b) Analog cu a). c) Dac˘a x ∈ pr1 R atunci −1

−1

y ∈ Rhxi ⇒ R(Rhxi) = Rhyi.

(1)

−1

ˆIntr-adev˘ar, dac˘a y ∈ Rhxi ¸si x′ ∈ R(Rhxi), atunci xRy ¸si exist˘a y ′ ∈ Rhxi, x′ Ry ′, −1

de unde urmeaz˘a x′ Ry ′ , y ′ Rx, xRy, ceea ce implic˘a −1

(x′ , y) ∈ R ◦ R ◦ R = R, −1

−1

−1

−1

adic˘a x′ ∈ Rhyi. Deci R(Rhxi) ⊆ Rhyi. Invers, dac˘a x′ ∈ Rhyi ¸si y ∈ Rhxi atunci −1

−1

−1

−1

y Rx ¸si y ∈ Rhxi, de unde urmeaz˘a c˘a x′ ∈ R(Rhxi). Deci Rhyi ⊆ R(Rhxi). Astfel am demonstrat pe (1). Analog se arat˘a c˘a dac˘a y ∈ pr2 R atunci

−1

−1

x ∈ Rhyi ⇒ R Rhyi

(2)

= Rhxi.

Din (1) ¸si (2) rezult˘a c˘a −1

−1

−1

pr1 R/ R ◦ R = { Rhyi | y ∈ pr2 R} ¸si pr2 R/R ◦ R = {Rhxi | x ∈ pr1 R}. Acum ar˘at˘am c˘a (3)

−1

x, x′ ∈ Rhyi ⇒ Rhxi = Rhx′ i. −1

−1

ˆIntr-adev˘ar, dac˘a x, x′ ∈ Rhyi ¸si y ′ ∈ Rhxi atunci x′ Ry, y Rx, xRy ′ , de unde urmeaz˘a −1

(x′ , y ′) ∈ R ◦ R ◦ R = R, ceea ce ne arat˘a c˘a y ′ ∈ Rhx′ i. Deci Rhxi ⊆ Rhx′ i. Analog se arat˘a c˘a Rhx′ i ⊆ Rhxi. Rezult˘a c˘a Rhxi = Rhx′ i. −1 −1 Din (3) deducem c˘a formula ϕ Rhyi = Rhxi, unde x ∈ Rhyi, define¸ste o funct¸ie

−1

−1

ϕ : pr1 R/ R ◦ R → pr2 R/R ◦ R. Propunem cititorului s˘a arate c˘a ϕ este o biject¸ie. Dac˘a R ⊆ A × B este graficul unei funct¸ii f : A → B atunci −1

−1

R ◦ R = ∆pr1 R ¸si R ◦ R = ker f. Deci, ˆın acest caz, ϕ este biject¸ia c˘autat˘a.

134

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

1.104. Indicat¸ie. Avem −1

−1

−1

−1

−1

R ◦ R ◦ R = F2 ◦ F ◦ F1 ◦ F1 ◦ F ◦ F2 ◦ F2 ◦ F ◦ F1 −1

−1

= F2 ◦ F ◦ ∆A′ /ρ1 ◦ F ◦ ∆B ′ /ρ2 ◦ F ◦ F1 −1

−1

= F2 ◦ F ◦ F ◦ F ◦ F1 −1

= F2 ◦ ∆B ′ /ρ2 ◦ F ◦ F1 −1

= F2 ◦ F ◦ F1 = R. as˘ am cititorului. Verificarea egalit˘ a¸tilor pr1 R = A′ ¸si pr2 R = B ′ o l˘

1.105. Indicat¸ie. Se procedeaz˘a la fel ca ˆın rezolvarea problemei 1.79. −1

Observat¸ii: O relat¸ie (A, A, R) este antisimetric˘a dac˘a ¸si numai dac˘a R ∩ R ⊆ ∆A .

Rezult˘a c˘ a o relat¸ie binar˘ a omogen˘a pe o mult¸ime finit˘ a A este antisimetric˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a, ˆın matricea asociat˘ a, orice element egal cu 1 care nu este pe diagonala principal˘a are ca simetric fat¸˘ a de diagonala principal˘ a pe 0. Matricele     1 0 0 1 0 0  0 0 1 ,  1 0 1  0 0 1 0 1 1 sunt exemple de matrice asociate unei relat¸ii antisimetrice, respectiv unei relat¸ii care nu este antisimetric˘ a (definite pe o mult¸ime cu 3 elemente). Propunem ¸si aici cititorului s˘a ilustreze independent¸a axiomelor ce definesc o relat¸ie de ordine folosind matrice bivalente.

1.106. Dac˘a R este atˆat o relat¸ie de ordine cˆat ¸si de echivalent¸˘a pe A atunci ∆A ⊆ R, iar dac˘a a1 Ra2 atunci ¸si a2 Ra1 , ceea ce implic˘a a1 = a2 . 1.107. R˘ aspuns. a) N ˆımpreun˘a cu relat¸ia de divizibilitate (pe N) ; b) (Z, ≤) ; c) (N, ≤) ;

d) (N, =); e) (P(M ), ⊆) unde M este o mult¸ime format˘ a din cel put¸in dou˘ a elemente.

1.108. Indicat¸ie. Se folosesc definit¸iile reflexivit˘a¸tii, antisimetriei, tranzitivit˘a¸tii ¸si a relat¸iei de ordine total˘ a.

1.109. Indicat¸ie. Se aplic˘a [34, Teorema 1.8.16] . 1.110. a) Pe A exist˘a o singur˘a relat¸ie de ordine ¸si anume ∆A . Pe B avem −1 urm˘atoarele relat¸ii de ordine: ρ1 = ∆B , ρ2 = {(a, a), (b, b), (a, b)} ¸si ρ3 = ρ2 . Relat¸iile de ordine pe C sunt ∆C ¸si cele redate ˆın diagramele: c

b

a

c

b

a

b

c

c

a

a

b

b

c

a

c

a

a

b

b

b

a

b

b

a

c

c

a

a

b

b

b a

b c

c

c

a b

c

c

b

c c

a c

c

b

b

a a

a

a c

135 b) Din a) rezult˘a c˘a num˘arul mult¸imilor ordonate neizomorfe cu un element este 1, cu 2 elemente este 3 ¸si cu 3 elemente este 5. Propunem cititorului s˘a r˘aspund˘a la c) ¸si d), folosind diagramele de la a). 1.111. Indicat¸ie. Dac˘a a ∈ A atunci corespondent¸a care asociaz˘a lui a pe f (a) = {x ∈ A | x ≤ a} realizeaz˘ a un izomorfism f : A → {f (a) | a ∈ A}.

1.112. Indicat¸ie. Rezult˘a din propriet˘a¸tile inversei unei relat¸ii binare. 1.113. Indicat¸ie. b) Relat¸ia ρ ⊆ R × R definit˘a prin xρy ⇔ (x 6= 0 6= y ¸si x ≤ y) sau x = 0 = y este o relat¸ie de ordine. ˆIn (R, ρ) zero este unicul element minimal (maximal), dar nu exist˘ a cel mai mic (cel mai mare) element.

1.114. Fie ρ0 o ordonare total˘a pe A, ρ ∈ R ¸si ρ0 ⊆ ρ. Dac˘a xρy atunci ˆıntrucˆat ρ0 este o relat¸ie de ordine total˘a, urmeaz˘a c˘a xρ0 y sau yρ0 x. Dac˘a yρ0 x atunci din ρ0 ⊆ ρ rezult˘a yρx, care ˆımpreun˘a cu xρy ne d˘a x = y. Deci xρy implic˘a xρ0 y, adic˘a ρ0 = ρ. Astfel am ar˘atat c˘a ρ0 este un element maximal ˆın (R, ⊆). Invers, ar˘at˘am c˘a dac˘a ρ0 ∈ R nu este o ordonare total˘a atunci ρ0 nu este un element maximal ˆın (R, ⊆). ˆIntr-adev˘ar, dac˘a ordonarea ρ0 nu este total˘a atunci exist˘a x, y ∈ A astfel ˆıncˆat (x, y) ∈ / ρ0 ¸si (y, x) ∈ / ρ0 . Relat¸ia ρ = ρ0 ∪ {(a, b) | aρ0 x ¸si yρ0 b} este o ordonare pe A ¸si ρ0 ⊆ ρ pentru c˘a aρb. Deci ρ0 nu este un element maximal ˆın (R, ⊆). 1.115. Indicat¸ie. Se aplic˘a lema lui Zorn mult¸imii (R, ⊆) din problema 1.114. 1.116. Indicat¸ie. Se folose¸ste echivalent¸a dintre condit¸ia minimalit˘a¸tii (maximalit˘a¸tii) ¸si condit¸ia lant¸urilor descresc˘ atoare (cresc˘ atoare). Altfel: Se aplic˘ a o induct¸ie ˆın raport cu num˘ arul elementelor mult¸imii.

1.117. Indicat¸ie. Se arat˘a prin induct¸ie ˆın raport cu num˘arul de elemente ale mult¸imii c˘ a orice ¸sir strict descresc˘ ator este finit.

1.118. Din faptul c˘a (A, ≤) este total ordonat˘a ¸si din condit¸ia minimalit˘a¸tii urmeaz˘a c˘a (A, ≤) este bine ordonat˘a. Rezult˘a c˘a putem forma cu elementele lui A un ¸sir cresc˘ator a0 < a1 < a2 < . . . . Cum condit¸ia maximalit˘a¸tii este echivalent˘a cu cerint¸a ca orice ¸sir cresc˘ator din A s˘a fie finit, deducem c˘a acest ¸sir este finit. Deci A este finit˘a. 1.119. Indicat¸ie. Dac˘a ar exista un a ∈ A astfel ˆıncˆat a > f (a) atunci a > f (a) > f (f (a)) > . . . .

136

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

1.120. Indicat¸ie. Fie A ¸si B dou˘a mult¸imi bine ordonate. Dac˘a ar exista dou˘a izomorfisme diferite f, g : A → B atunci ar exista un a ∈ A astfel ˆıncˆ at f (a) < g(a) sau g(a) < f (a) de unde ar urma g−1 (f (a)) < a sau f −1 (g(a)) < a. ˆIn continuare se aplic˘ a problema anterioar˘ a.

1.121. Indicat¸ie. O mult¸ime total ordonat˘a este bine ordonat˘a dac˘a ¸si numai dac˘a verific˘ a condit¸ia lant¸urilor descresc˘ atoare. 1.122. Indicat¸ii. Dac˘a (A = {a1 , . . . , an }, ρ1 ) ¸si (B = {b1 , . . . , bn }, ρ2 ) sunt cele dou˘a

lant¸uri finite atunci putem scrie, f˘ ar˘ a a restrˆ ange generalitatea, a1 ρ1 a2 ρ1 . . . ρ1 an ¸si b1 ρ2 b2 ρ2 . . . ρ2 bn ,

iar izomorfismul dorit este dat de corespondent¸a ai 7→ bi (i = {1, . . . , n}). O alt˘ a solut¸ie poate fi obt¸inut˘ a prin induct¸ie ˆın raport cu num˘ arul (comun) de elemente ale mult¸imilor A ¸si B.

1.123. Indicat¸ie. a) Faptul c˘a ρ1 ¸si ρ2 sunt ordon˘ari totale nu implic˘a, ˆın general, c˘a ρ este o ordonare total˘ a. c) u(a) = (u1 (a), u2 (a)). Y 1.124. Indicat¸ie. AI = Ai , unde Ai = A pentru orice i ∈ I. i∈I

1.125. Indicat¸ie. Se folosesc definit¸iile compusei ¸si a funct¸iei (des)cresc˘atoare. 1.126. Dac˘a ρ1 , ρ2 sunt relat¸ii de ordine pe A ¸si ρ1 este strict inclus˘a ˆın ρ2 atunci funct¸ia 1A din (A, ρ1 ) ˆın (A, ρ2 ) este bijectiv˘a ¸si cresc˘atoare, dar 1−1 A = 1A din (A, ρ2 ) ˆın (A, ρ1 ) nu este cresc˘atoare. Fie acum f : A → B o biject¸ie cresc˘atoare de la mult¸imea total ordonat˘a (A, ≤) la mult¸imea ordonat˘a (B, ≤) — am notat la fel relat¸iile de ordine din cele dou˘a mult¸imi deoarece nu exist˘a pericol de confuzie. S˘a ar˘at˘am c˘a ¸si f −1 este cresc˘atoare. Fie b1 , b2 ∈ B cu b1 ≤ b2 . Cum f e bijectiv˘a, exist˘a a1 , a2 ∈ A, unic determinate, astfel ˆıncˆat f (a1 ) = b1 , f (a2 ) = b2 ¸si astfel avem a1 = f −1 (b1 ) ¸si a2 = f −1 (b2 ). Cum (A, ≤) este total ordonat˘a, avem a1 ≥ a2 sau a1 ≤ a2 . Dac˘a a1 ≥ a2 atunci, cum f este cresc˘atoare, avem b1 = f (a1 ) ≥ f (a2 ) = b2 (≥ b1 ). Deducem b1 = b2 ¸si, ˆın consecint¸˘a, a1 = a2 . Reflexivitatea relat¸iei ≤ din A ne permite s˘a scriem f −1 (b1 ) ≤ f −1 (b2 ). Dac˘a a1 ≤ a2 atunci concluzia f −1 (b1 ) ≤ f −1 (b2 ) survine imediat. 1.127. Indicat¸ie. Dac˘a (A, ≤) este bine ordonat˘a ¸si a ∈ A nu este cel mai mare element al lui A atunci cel mai mic element din {x ∈ A | x > a} este succesorul imediat al lui a. Mult¸imea 1 {1} ∪ 1 − | n = 1, 2 . . . n este bine ordonat˘ a de relat¸ia ≤ ¸si zero este cel mai mic element. ˆIn aceast˘ a mult¸ime 1 nu are predecesor imediat.

1.128. Indicat¸ie. Avem inf B X ∈ {a ∈ A | ∀x ∈ X, a ≤ x} ¸si sup B X ∈ {a ∈ A | ∀x ∈ X, a ≥ x}.

1.129. Indicat¸ie. Se folose¸ste problema 1.110.

137 1.130. Indicat¸ie. a) Se face induct¸ie dup˘a num˘arul de elemente ale lui X. b) Se folose¸ste punctul a) ¸si inf ∅ = sup L, sup ∅ = inf L.

1.131. Indicat¸ie. Nu exist˘a inf N ∅. 1.132. Indicat¸ie. Se folose¸ste faptul c˘a a ≤ b ⇔ a ∨ b = b ⇔ a ∧ b = a. 1.133. R˘ aspuns. a) (N, ≤), b) ({n ∈ Z | n ≤ 0}, ≤), c) (Z, ≤), d) ({0, 1}, ≤). 1.134. Indicat¸ie. Dac˘a X ⊆ N atunci sup X este cel mai mic multiplu comun al

numerelor din X dac˘ a X este finit˘ a ¸si este 0 dac˘ a X este infinit˘ a, iar inf X este cel mai mare divizor comun al numerelor din X.

1.135. Indicat¸ie. inf ∅ = 1 ∈ L′ ¸si sup ∅ = 0 ∈ L′ . 1.136. Indicat¸ie.

Se folosesc definit¸ia sublaticii, problema anterioar˘ a ¸si faptul c˘ a

inf P(A) ∅ = A.

1.137. Pentru orice f, g ∈ RR avem sup(f, g) = α ¸si inf(f, g) = β, unde α, β ∈ RR sunt funct¸iile definite prin α(x) = max(f (x), g(x)) ¸si β(x) = min(f (x), g(x)). Fie f, g ∈ D(R, R). Se arat˘a u¸sor c˘a pentru orice x ∈ R avem f (x) ≤ f 2 (x) + g 2 (x) + 1 ¸si g(x) ≤ f 2 (x) + g 2(x) + 1. Prin urmare f 2 + g 2 + 1 ∈ D(R, R) este o majorant˘a comun˘a pentru f ¸si g ˆıns˘a luˆand, de exemplu, f, g : R → R, f (x) = x, g(x) = −x avem f, g ∈ D(R, R) ¸si α = sup(f, g) ∈ / D(R, R) deoarece α(x) = |x| ¸si α nu este derivabil˘a ˆın x = 0. Deci D(R, R) nu este sublatice ˆın (RR , ≤). Pentru a ar˘ata c˘a D(R, R) nu este latice consider˘am funct¸iile f, g ∈ RR , f (x) = x, g(x) = −x ¸si presupunem c˘a ar exista h = supD(R,R) (f, g). Atunci, pentru orice x ∈ R, avem x ≤ h(x) ¸si −x ≤ h(x). Dac˘a        

−x r 2 2 hn : R → R, hn (x) = − − x2 2  n n       x

1 , dac˘ a x ∈ −∞, − n 1 1 , n ∈ N∗ , , dac˘ ax∈ − , n n 1 , dac˘ ax∈ ,∞ n

atunci f (x) ≤ hn (x) ¸si g(x) ≤ hn (x) pentru orice n ∈ N∗ ¸si orice x ∈ R ¸si deducem c˘a h(x) ≤ hn (x) pentru orice n ∈ N∗ ¸si orice x ∈ R. Rezult˘a c˘a −x ≤ h(x) ≤ −x, ∀x ∈

−∞, −

1 n

¸si x ≤ h(x) ≤ x, ∀x ∈

¸si, ˆın consecint¸˘a, pentru orice n ∈ N∗ , avem h(x) = −x, ∀x ∈

1 −∞, − n

¸si h(x) = x, ∀x ∈

1 ,∞ n

1 ,∞ . n

Urmeaz˘a c˘a h(x) = −x, ∀x ∈ (−∞, 0) ¸si h(x) = x, ∀x ∈ (0, ∞) ,

de unde continuitatea lui h ne conduce la faptul c˘a h(x) = |x|, ceea ce contrazice derivabilitatea (ˆın origine, a) lui h.

138

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

1.138. Indicat¸ie. Dac˘a (Ai , ρi )i∈I este o familie de mult¸imi ordonate atunci (ai )i∈I ρ(bi )i∈I ⇔ ai ρi bi , ∀i ∈ I Y Ai . define¸ste o relat¸ie de ordine ρ pe i∈I

Dac˘a mult¸imile ordonate (Ai , ρi )i∈I sunt latici ¸si (ai )i∈I , (bi )i∈I ∈

Y

Ai atunci

i∈I

(ai )i∈I ∧ (bi )i∈I = (ai ∧ bi )i∈I , (ai )i∈I ∨ (bi )i∈I = (ai ∨ bi )i∈I , iar dac˘ a laticile Ai sunt complete ¸si (aji )i∈I , j ∈ J atunci     ^ j _ j _ j ^ j (a )i∈I =  a , (a )i∈I =  a  i

i

j∈J

j∈J

i

i∈I

.

i

j∈J

j∈J

i∈I

1.139. R˘ aspuns. Dac˘a A ¸si B sunt dou˘a mult¸imi ¸si R ⊆ A × B atunci funct¸ia P(A) → P(B), X 7→ R(X) este cresc˘ atoare (ˆın raport cu ⊆) dar nu este, ˆın general, un omomorfism de latici.

1.140. Indicat¸ie. b) Vezi problema 1.49. 1.141. a) Diagramele mult¸imilor ordonate (P(A), ⊆) ¸si (B, |) sunt: {1,2,3}

{1,2}

{1}

{1,3}

{2}

30

{2,3}

6

10

15

{3}

2

3

5

O

1

Funct¸ia f : P(A) → B definit˘a prin f (∅) = 1, f ({1}) = 2, f ({2}) = 3, f ({3}) = 5, f ({1, 2}) = 6, f ({1, 3}) = 10, f ({2, 3}) = 15, f ({1, 2, 3}) = 30 este un izomorfism de ordine. b) Orice izomorfism de ordine g : P(A) → B conserv˘a nivelele diagramelor, adic˘a, pe lˆanga egalit˘a¸tile g(∅) = 1, g({1, 2, 3}) = 30 avem (1)

g({{1}, {2}, {3}}) = {2, 3, 5}, g({{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}) = {6, 10, 15}.

Mult¸imile ordonate (P(A), ⊆) ¸si (B, |) sunt latici, iar {1, 2} = {1} ∪ {2}, {1, 3} = {1} ∪ {3}, {2, 3} = {2} ∪ {3}. De aici, ˆıntrucˆat izomorfismele de ordine ˆıntre latici coincid cu izomorfismele de latici, urmeaz˘a c˘a restrict¸ia lui g la mult¸imea {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} este determinat˘a de restrict¸ia lui g la {{1}, {2}, {3}}. De aici ¸si din (1) deducem c˘a izomorfismele lui (P(A), ⊆) pe (B, |) sunt determinate de biject¸iile lui {{1}, {2}, {3}} pe {2, 3, 5}. Deci exist˘a 6 izomorfisme.

139 1.142. Din a ∧ c ≤ a ¸si a ≤ a ∨ b rezult˘a a ∧ c ≤ a ∨ b, iar cum avem ¸si a ∧ c ≤ c, urmeaz˘a c˘a a ∧ c ≤ (a ∨ b) ∧ c. Analog se obt¸ine b ∧ c ≤ (a ∨ b) ∧ c ¸si astfel se obt¸ine proprietatea de subdistributivitate. Proprietatea de submodularitate rezult˘a din proprietatea de subdistributivitate ¸tinˆand seama de faptul c˘a a ≤ c implic˘a a ∧ c = a. 1.143. Din problema 1.142 avem: (1)

a, b, c ∈ L, a ≤ c ⇒ a ∨ (b ∧ c) ≤ (a ∨ b) ∧ c.

a)⇒b) L modular˘a ¸si a ≤ a ∨ c implic˘a a ∨ [b ∧ (a ∨ c)] = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c). b)⇒a) Din a ≤ c avem a ∨ c = c, ceea ce, ˆınlocuit ˆın a ∨ [b ∧ (a ∨ c)] = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) conduce la a ∨ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∨ c. a)⇒c) Dac˘a L este modular˘a ¸si a ≤ b atunci a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ c) ∧ b ¸si, conform ipotezei de la c), avem a = a ∨ (a ∧ c) = a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ c) ∧ b = (b ∨ c) ∧ b = b. c)⇒a) Fie a, b, c ∈ L cu proprietatea c˘a a ≤ c. Not˘am a1 = a ∨ (b ∧ c), c1 = (a ∨ b) ∧ c. Din (1) deducem a1 ∨ b ≤ c1 ∨ b. Evident a ≤ a1 , de unde obt¸inem a ∨ b ≤ a1 ∨ b. Cum a ∨ b ≥ (a ∨ b) ∧ c = c1 avem a1 ∨ b ≥ c1 , de unde rezult˘a a1 ∨ b = (a1 ∨ b) ∨ b ≥ c1 ∨ b. A¸sadar a1 ∨ b = c1 ∨ b. Prin dualitate (folosind c1 ≤ c) se arat˘a c˘a a1 ∧ b = c1 ∧ b. Inegalitatea a1 ≤ c1 ¸si c) ne conduc la a1 = c1 , adic˘a a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c. c)⇒d) Pentagonul nu verific˘a proprietatea de la c). d)⇒c) Dac˘a c) nu are loc ˆın laticea L atunci exist˘a a, b, c ∈ L cu a ≤ b, a ∨ c = b ∨ c, a ∧ c = b ∧ c ¸si a 6= b. Deducem c˘a {a, b, c, a ∨ c = b ∨ c, a ∧ c = b ∧ c} este o sublatice a lui L izomorf˘a cu pentagonul. 1.144. Indicat¸ie. Se arat˘a c˘a ϕa ¸si ϕb sunt funct¸ii cresc˘atoare pentru care ϕa ◦ ϕb = 1[a∧b,a] ¸si ϕb ◦ ϕa = 1[b,a∨b] .

1.145. Din problema 1.142 avem: (1)

(a ∨ b) ∧ c ≥ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c), ∀a, b, c ∈ L.

a)⇒ b) (a∨c)∧(b∨c) = [a∧(b∨c)]∨[c∧(b∨c)] = [a∧(b∨c)]∨c = [(a∧b)∨(a∧c)]∨c = (a ∧ b) ∨ [(a ∧ c) ∨ c] = (a ∧ b) ∨ c. b)⇒ a) Se demonstreaz˘a analog.

140

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

a)⇒ c) a = a ∧ (a ∨ c) = a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) = (a ∧ b) ∨ (b ∧ c) = b ∧ (a ∨ c) = b ∧ (b ∨ c) = b. c)⇒ a) Din c) rezult˘a c˘a laticea L este modular˘a. Fie a, b, c ∈ L. Not˘am u = (a ∧ b) ∨ [(a ∨ b) ∧ c] ¸si v = (b ∧ c) ∨ [(b ∨ c) ∧ a]. Conform modularit˘a¸tii laticii L avem a ∧ b ≤ a ∨ b ⇒ u = (a ∧ b) ∨ [(a ∨ b) ∧ c] = (a ∨ b) ∧ [(a ∧ b) ∨ c], b ∧ c ≤ b ∨ c ⇒ v = (b ∧ c) ∨ [(b ∨ c) ∧ a] = (b ∨ c) ∧ [(b ∧ c) ∨ a]. Dar u ∧ b = (a ∨ b) ∧ [(a ∧ b) ∨ c] ∧ b = b ∧ [(a ∧ b) ∨ c] = (a ∧ b) ∨ (b ∧ c), v ∧ b = (b ∨ c) ∧ [(b ∧ c) ∨ a] ∧ b = b ∧ [(b ∧ c) ∨ a] = (b ∧ c) ∨ (a ∧ b) ¸si u ∨ b = (a ∧ b) ∨ [(a ∨ b) ∧ c] ∨ b = b ∨ [(a ∨ b) ∧ c] = (a ∨ b) ∧ (b ∨ c), v ∨ b = (b ∧ c) ∨ [(b ∨ c) ∧ a] ∨ b = b ∨ [(b ∨ c) ∧ a] = (a ∨ b) ∧ (b ∨ c). ˆIn concluzie, u ∧ b = v ∧ b ¸si u ∨ b = v ∨ b. Rezult˘a c˘a u = v ¸si astfel, u ∨ c = v ∨ c. Dar u ∨ c = (a ∨ b) ∧ [(a ∧ b) ∨ c] ∨ c = (a ∨ b) ∧ c, v ∨ c = (b ∨ c) ∧ [(b ∧ c) ∨ a] ∨ c = c ∧ [(b ∧ c) ∨ a] = (b ∧ c) ∨ (a ∧ c), deci (a ∨ b) ∧ c = (b ∧ c) ∨ (a ∧ c). c)⇒ d) Din c) rezult˘a c˘a c˘a L este modular˘a, iar pentru diamant avem a 6= b chiar dac˘a a ∨ c = b ∨ c, a ∧ c = b ∧ c. d)⇒ c) Demonstr˘am c˘a dac˘a L este modular˘a ¸si satisface c), atunci L cont¸ine o sublatice izomorf˘a cu diamantul. ˆIntr-adev˘ar, cum L nu verific˘a c), exist˘a a, b, c ∈ L astfel ˆıncˆat a ∨ c = b ∨ c, a ∧ c = b ∧ c ¸si a 6= b. Cum L este modular˘a deducem c˘a a ¸si b nu sunt comparabile. Dac˘a am avea a ≤ c atunci c = a ∨ c = b ∨ c implic˘a b ≤ c, a¸sadar a = a ∧ c = b ∧ c = b, ceea ce este fals. Analog se arat˘a c˘a c ≤ a nu convine. Deci submult¸imea {a, b, c, a ∨ c = b ∨ c, a ∧ c = b ∧ c} formeaz˘a o sublatice a lui L izomorf˘a cu diamantul. 1.146. Indicat¸ie. Nu cont¸ine sublatici izomorfe cu pentagonul sau diamantul. 1.147. Indicat¸ie. Se arat˘a, folosind leg˘atura dintre cel mai mic multiplu comun ¸si cel mai mare divizor comun, c˘ a dac˘ a a, b, c ∈ N ¸si c 6= 0 atunci a ∨ c = b ∨ c ¸si a ∧ c = b ∧ c ⇒ a = b.

1.148. Indicat¸ii. Pentru latici modulare se folose¸ste caracterizarea de la punctul b) al problemei 1.143, iar pentru latici distributive se folose¸ste definit¸ia.

141 1.149. Indicat¸ie. Pentru laticile neizomorfe cu cel mult 3 elemente, vezi problema 1.129. Laticile neizomorfe cu 4 ¸si 5 elemente sunt cele din diagramele:

Pentru partea a doua a problemei se folosesc problemele 1.143. d) ¸si 1.145. d).

1.150. Indicat¸ie. Se folose¸ste distributivitatea unei latici Boole ¸si punctul c) din problema 1.145.

1.151. Indicat¸ie. Reuniunea este distributiv˘a fat¸˘a de intersect¸ie, ∅ este cel mai mic element, M este cel mai mare element ¸si pentru o submult¸ime X ⊆ M complementul este CM X = M \ X.

1.152. Indicat¸ie. Cel mai mic element din (P/ ≡, ≤) este clasa formulelor identic false

(contradict¸iilor), cel mai mare element este clasa formulelor identic adev˘ arate (tautologiilor), iar complementul clasei unei propozit¸ii p este clasa negat¸iei propozit¸iei p. _ 1.153. a) Presupunem c˘a exist˘a x = ai . Rezult˘ a c˘a ai ≤ x pentru orice i ∈ I, i∈I

de unde urmeaz˘a x′ ≤ a′i pentru orice i ∈ I. Deci x′ este o minorant˘a a familiei a′i , i ∈ I. Dac˘a b ∈ B este o alt˘a minorant˘a a acestei familii (adic˘a b ≤ a′i pentru ′ ′ orice i ∈ I) atunci b′ ≥ (a a b′ este o majorant˘a a familiei i ) = ai (i ∈ I), adic˘ _ ai , i ∈ I. Acum, din x = ai rezult˘a x ≤ b′ , adic˘a x′ ≥ b. Deci x′ este cea mai i∈I

mare minorant˘a a familiei a′i , i ∈ I, adic˘a x′ =

^

a′i . Astfel am ar˘ atat c˘a egalitatea

i∈I

din enunt¸ul punctului a) are loc. ^ _ Se arat˘a prin dualitate c˘a dac˘a exist˘a y = a′i atunci y ′ = ai . i∈I

i∈I

b) Afirmat¸ia de la b) este duala celei de la a).

1.154. Indicat¸ii. a) Se ia D = ∅. b) Dac˘a D ⊆ C atunci inf (C,⊆) D =

\

X∈D

X ¸si sup (C,⊆) D =

\

(

Y ∈C|

[

X∈D

X⊆Y

)

.

1.155. R˘ aspuns. Nu. 1.156. Indicat¸ii. a) Se folose¸ste iii) din definit¸ia operatorului de ˆınchidere. b) Din i) rezult˘ a c˘ a J(X) ⊆ J(J(X)) are loc pentru orice X ⊆ A.

1.157. Indicat¸ie. Pentru funct¸ia din enunt¸, condit¸ia i) din definit¸ia operatorului de ˆınchidere rezult˘ a din reflexivitate, ii) din propriet˘ a¸tile relat¸iilor binare, iar iii’) din tranzitivitatea relat¸iei R.

142

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

1.158. a) Presupunem c˘a J, J ′ ¸si J ′ ◦ J sunt operatori de ˆınchidere. Dac˘a X ⊆ A atunci din proprietatea de extensivitate a lui J rezult˘a (1)

(J ′ ◦ J)(X) ⊆ (J ◦ J ′ ◦ J)(X),

iar din extensivitatea lui J ′ ¸si independent¸a lui J ′ ◦ J urmeaz˘a (2)

(J ◦ J ′ ◦ J)(X) ⊆ (J ′ ◦ J ◦ J ′ ◦ J)(X) = (J ′ ◦ J)(X).

Din (1) ¸si (2) rezult˘a egalitatea din enunt¸ul lui a). Invers, presupunem c˘a operatorii de ˆınchidere J ¸si J ′ verific˘a egalitatea din enunt¸ul lui a). Din extensivitatea lui J ¸si J ′ rezult˘a c˘a X ⊆ J(X) ⊆ (J ′ ◦ J)(X) pentru orice X ⊆ A, adic˘a J ′ ◦ J este extensiv. Din monotonia lui J ¸si J ′ obt¸inem X ⊆ Y ⇒ J(X) ⊆ J(Y ) ⇒ (J ′ ◦ J)(X) ⊆ (J ′ ◦ J)(Y ), unde X, Y ⊆ A, ceea ce ne arat˘a c˘a J ′ ◦ J este monoton. Din ipotez˘a ¸si din idempotent¸a lui lui J rezult˘a c˘a (J ′ ◦ J ◦ J ′ ◦ J)(X) = (J ′ ◦ J ′ ◦ J)(X) = (J ′ ◦ J)(X) pentru orice X ⊆ A. Prin urmare J ′ ◦J este idempotent. Deci J ′ ◦J este un operator de ˆınchidere. b) Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a egalitatea de la b) implic˘a egalitatea de la a). Dac˘a J ¸si J ′ comut˘a atunci J ◦ J ′ ◦ J = J ′ ◦ J ◦ J = J ′ ◦ J. 1.159. Indicat¸ie. a) Dac˘a ρi ∈ Rr , i ∈ I, atunci {ρi | i ∈ I} este dirijat˘ a superior atunci ¸si

[

ρi ∈ Rr .

i∈I [

b) Cu notat¸iile de la a), pentru I = ∅ avem

i∈I

\

i∈I

ρi ∈ Rr , iar dac˘ a I 6= ∅ ¸si

ρi = ∅ ∈ / Rr .

c) ρ ∪ ∆A este cea mai mic˘ a relat¸ie reflexiv˘ a care include pe ρ.

1.160. Indicat¸ie. b) Se arat˘a, printr-un contraexemplu, c˘a reuniunea a dou˘a relat¸ii tranzitive poate s˘ a nu fie tranzitiv˘ a. ˆIn rest, se procedeaz˘ a ca la problema anterioar˘ a.

1.161. Indicat¸ie. Se procedeaz˘a ca la problema 1.159 . 1.162. Indicat¸ie. Dac˘a |A| > 1 atunci A × A ∈ / Ra , deci Ra nu e sistem de ˆınchidere. 1.163. Indicat¸ie. Se procedeaz˘a ca la problema 1.159 . 1.164. Indicat¸ie. Se procedeaz˘a ca la problema 1.159 . 1.165. Indicat¸ie. a) Se folose¸ste definit¸ia operatorului de ˆınchidere. Pentru prima ¸si ultima funct¸ie se poate aplica punctul b) ¸si problema 1.158.

1.166. Indicat¸ie. Se folosesc definit¸ia sistemului de ˆınchidere ¸si caracterizarea sistemului de ˆınchidere algebric din remarcile ce preced enunt¸ul problemei 1.159.

143 1.167. Indicat¸ie. b) Dac˘a (Ji )i∈I este o familie \ de operatori de ˆınchidere pe A ¸si J : P(A) → P(A) este funct¸ia definit˘ a prin J(X) =

Ji (X) atunci J este un operator

i∈I

de ˆınchidere ¸si inf(Ji )i∈I = J.

1.168. Indicat¸ie. Bijectivitatea lui ϕ se deduce din remarcile ce preced enunt¸ul problemei 1.159.

1.169. Fie x ∈ A ¸si y = ϕ(x). Avem x ≤ ψ(ϕ(x)) ⇒ ϕ(x) ≥ ϕ(ψ(ϕ(x))), y ≤ ϕ(ψ(y)) ⇔ ϕ(x) ≤ ϕ(ψ(ϕ(x))), deci ϕ ◦ ψ ◦ ϕ = ϕ. Analog ψ ◦ ϕ ◦ ψ = ψ. 1.170. Indicat¸ii. La a) ¸si b) se folosesc definit¸ia operatorului de ˆınchidere, definit¸ia corespondent¸ei Galois ¸si problema anterioar˘ a, iar la c) se arat˘ a c˘ a ϕ ¸si ψ dau prin compunere funct¸iile identice ale mult¸imilor P(A) ¸si P(B).

1.171. Indicat¸ie. Egalit˘a¸tile dorite se obt¸in folosind propriet˘a¸tile relat¸iilor binare ¸si definit¸ia corespondent¸ei Galois.

1.172. R˘ aspuns. Sistemul de ˆınchidere definit de ϕ ◦ ψ, respectiv ψ ◦ ϕ este {[a, +∞) | a ∈ R} ∪ {∅, R}, respectiv {(−∞, a] | a ∈ R} ∪ {∅, R}.

1.173. Indicat¸ii. Num˘arabilitatea mult¸imii N∗ rezult˘a din bijectivitatea funct¸iei N →

N∗ , n 7→ n + 1 iar a mult¸imii Z din bijectivitatea funct¸iei  n  , dac˘ a n este par; 2 ϕ : N → Z, ϕ(n) = n + 1  − , dac˘ a n este impar. 2

Cum pentru orice num˘ ar natural n exist˘ a m, k ∈ N, unic determinate, cu proprietatea c˘ a n = 2m (2k + 1) deducem c˘ a funct¸ia N × N → N, (m, k) 7→ 2m (2k + 1) este bijectiv˘ a, deci mult¸imea N × N este num˘ arabil˘ a. Aceasta rezult˘ a ¸si din faptul ca elementele mult¸imii N × N pot fi ,,num˘ arate” a¸sa cum indic˘ a s˘ aget¸ile din figura de mai jos (0, 0)

/ (0, 1) / (0, 3) (0, 2) ; w w w ww ww ww ww ww ww w w w {ww ww {ww

(1, 0)

(1, 1)

; ww ww w w ww

(2, 0)

(3, 0) .. .

(1, 3)

...

(2, 2)

(2, 3)

...

(3, 2) .. .

(3, 3) .. .

...

(1, 2)

ww ww w w w{ w

(2, 1)

| || || | | |~ |

(3, 1) .. .

...

Similar, se poate stabili o biject¸ie ˆıntre N∗ ¸si Q+ aranjˆ and numerele rat¸ionale ˆıntr-un ¸sir p dup˘ a cum urmeaz˘ a: consider˘ am fract¸iile ireductibile cu p, q ∈ N∗ care sunt reprezentant¸i q

144

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

pentru numerele rat¸ionale pozitive ¸si le grup˘ am ˆın clase determinate de suma p+q. Astfel, o k-clas˘ a este format˘ a din fract¸iile ireductibile pentru care suma num˘ ar˘ atorului cu numitorul ˆ este k. In interiorul unei k-clase a¸sezarea elementelor se face ˆın ordinea descresc˘atoare a numitorilor, obt¸inˆ andu-se astfel ¸sirul 1 2 k−2 k−1 , ,··· , , k−1 k−2 2 1

(din care, evident, lipsesc fract¸iile reductibile). Acum putem realiza succesiunea elementelor din Q+ punˆ and elementele 1-clasei, apoi ale 2-clasei ¸s. a. m. d. Din cele de mai sus se deduce existent¸a unei biject¸ii ψ : N∗ → Q+ . Funct¸iile 0 , dac˘ a n = 0; f : N → Q+ ∪ {0}, f (n) = ψ(n) , dac˘ a n ∈ N∗ , g : N∗ → Q− , g(n) = −ψ(n),

sunt, de asemenea, bijective. Echivalent¸a mult¸imilor N ¸si Q se obt¸ine ar˘ atˆ and c˘ a  n  , dac˘ a n este par;  f 2 χ : N → Q, χ(n) = n+1  , dac˘ a n este impar  g 2 este o funct¸ie bijectiv˘ a.

Observat¸ie: Printr-un procedeu analog cu cel din ultima parte a solut¸iei acestei probleme se poate ar˘ ata c˘ a reununea disjunct˘ a a dou˘ a mult¸imi num˘ arabil˘ a este o mult¸ime num˘ arabil˘ a.

1.174. Reamintim c˘a o mult¸ime X se nume¸ste finit˘ a dac˘a exist˘a n ∈ N astfel ˆıncˆat X ∼ {1, 2, . . . , n}, ˆın caz contrar, se nume¸ste infinit˘ a. Not˘am, de asemenea, c˘a o mult¸ime X este infinit˘a dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a X ′ ⊆ X, X ′ 6= X pentru care X ′ ∼ X (Dedekind) sau, echivalent, dac˘a X are o submult¸ime num˘arabil˘a (Cantor). A¸sadar, din X infinit˘a deducem c˘a exist˘a A ⊆ X ¸si exist˘a o funct¸ie bijectiv˘a f0 : N∗ → A. Funct¸ia f0 (n) , dac˘a n ∈ N∗ ; f : N → A ∪ {x0 }, f (n) = x0 , dac˘a n = 0 este, de asemenea, bijectiv˘a. Concluzia dorit˘a se obt¸ine ar˘atˆand c˘a x , dac˘a x ∈ / A ∪ {x0 }; ϕ : X → X \ {x0 }, ϕ(x) = f (n + 1) , dac˘a x = f (n)

este o funct¸ie bijectiv˘a. Evident, ϕ este bine definit˘a. Fie x, x′ ∈ X astfel ˆıncˆat ϕ(x) = ϕ(x′ ). Rezult˘a c˘a fie x, x′ ∈ / A ∪ {x0 } ceea ce ne ′ ′ conduce imediat la x = x , fie x, x ∈ A ∪ {x0 } ceea ce ˆınseamn˘a c˘a exist˘a k, l ∈ N astfel ˆıncˆat x = f (k) ¸si x′ = f (l) ¸si f (k + 1) = ϕ(x) = ϕ(x′ ) = f (l + 1). Bijectivitatea funt¸iei f ne conduce la k + 1 = l + 1. Astfel, avem k = l ¸si x = f (k) = f (l) = x′ , ceea ce completeaz˘a demonstat¸ia injectivit˘a¸tii lui ϕ. Fie y ∈ X \ {x0 } arbitrar. Dac˘a y ∈ / A ∪ {x0 } atunci y = ϕ(y) ∈ ϕ(X). Dac˘a y ∈ A(⊆ A ∪ {x0 }) atunci exist˘a n ∈ N astfel ˆıncˆat y = f (n). Dar y 6= x0 implic˘a n 6= ∅. Rezult˘a y = f (n) = f (n − 1 + 1) = ϕ(f (n − 1)) ∈ ϕ(X). Deci ϕ este ¸si surjectiv˘a.

145 x ¸si ψ : [0, 1] → [a, b], x+1 ψ(x) = (b − a)x + a sunt bijective. Problema anterioar˘ a ¸si faptul c˘ a ∼ este tranzitiv˘ a completeaz˘ a solut¸ia.

1.175. Indicat¸ii. Funct¸iile ϕ : R → (−1, 1), ϕ(x) =

1.176. Indicat¸ii. Se folosesc propriet˘a¸tile de universalitate ale reuniunii disjuncte ¸si produsului cartezian, mai exact, unicitatea pˆ ana la o biject¸ie a acestora. 1.177. Indicat¸ie. Se folose¸ste problema 1.74. 1.178. Vom ˆıncepe prin a demonstra c˘a pentru orice n ∈ N∗ exist˘a ¸si sunt unic deter-

k(k + 1) minate numerele naturale k, j cu proprietatea c˘ a 1 ≤ j ≤ k + 1 ¸si n = + j. 2 Demonstr˘am prin induct¸ie dup˘ a n existent¸a numerelor k, j. Dac˘ a n = 1 atunci k = 0 ¸si j = 1, iar dac˘ a n = 2 atunci k = j = 1. Presupunem afirmat¸ia adev˘ arat˘ a pentru n. Avem k′ (k′ + 1) k(k + 1) n+1= + j + 1. Dac˘ a j < k + 1 atunci j + 1 ≤ k + 1 ¸si n + 1 = + j′, 2 2 unde k′ = k ¸si j ′ = j + 1. Dac˘ a j = k + 1 atunci n+1=

(k + 1)(k + 2) k′ (k′ + 1) k(k + 1) +k+1= +1 = + j′, 2 2 2

k(k + 1) k′ (k′ + 1) +j = + j ′ cu j, j ′ , k, k′ ∈ N, 2 2 a k′ < k atunci 1 ≤ j ≤ k + 1 ¸si 1 ≤ j ′ ≤ k′ + 1 atunci 2(j ′ − j) = (k − k′ )(k + k′ + 1). Dac˘ ′ ′ ′ ′ ′ (k − k )(k + k + 1) > k + k + 1 ≥ 2(k + 1) > 2(j − j), contradict¸ie. Similar k < k′ ne conduce la o contradict¸ie. Deci k = k′ ¸si j = j ′ , ceea ce demonstreaz˘ a unicitatea numerelor j, k. Pentru un num˘ ar natural nenul n not˘ am k ¸si j de mai sus cu α(n), respectiv cu β(n). unde k′ = k + 1 ¸si j ′ = 1. Dac˘ a n =

Revenind la problema noastr˘a, putem considera c˘a mult¸imile Xi sunt disjuncte. ∗ Mult¸imile Xi fiind num˘ [arabile, rezult˘a c˘a pentru orice i ∈ I exist˘a fi : N → Xi biject¸ie. Fie f : N∗ → Xi , f (n) = fα(n)−β(n)+2 (β(n)). i∈I

Dac˘a n, n′ ∈ N∗ ¸si f (n) = f (n′ ) atunci (ˆın Xα(n)−β(n)+2 ∩ Xα(n′ )−β(n′ )+2 ) avem fα(n)−β(n)+2 (β(n)) = fα(n′ )−β(n′ )+2 (β(n′ )). Mult¸imile Xi fiind disjuncte, aceasta are loc doar dac˘a α(n) − β(n) + 2 = α(n′ ) − β(n′ ) + 2, iar cum fα(n)−β(n)+2 este bijectiv˘a avem β(n) = β(n′ ) ¸si, implicit, α(n) = α(n′ ). Rezult˘a n = n′ , a¸sadar funct¸ia f este injectiv˘a. [ Funct¸ia f este surjectiv˘a deoarece pentru orice x ∈ Xi exist˘a n ∈ N∗ astfel

ˆıncˆat f (n) = x. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a x ∈

[ i∈I

i∈I

Xi atunci exist˘a un unic i ∈ I pentru

care x ∈ Xi . Cum fi este surjectiv˘a, deducem c˘a exist˘a m ∈ N∗ astfel ˆıncˆat x = fi (m). C˘aut˘am pe n astfel ˆıncˆat m = β(n) ¸si i = α(n) − β(n) + 2 ¸si obt¸inem (i + m − 2)(i + m − 1) n= + m(∈ N∗ ). 2 [ Deci f este o biject¸ie ¸si Xi este num˘arabil˘a. i∈I

1.179. a) Fie X, Y astfel ˆıncˆat |X| ≤ |Y | ¸si fie f : X → Y o inject¸ie. Dac˘a pentru X ′ , Y ′ avem X ∼ X ′ , Y ∼ Y ′ ¸si ϕ : X → X ′ , ψ : Y → Y ′ sunt dou˘a biject¸ii atunci ψ ◦ f ◦ ϕ−1 este o inject¸ie ¸si astfel avem |X ′ | ≤ |Y ′ |.

146

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

b) Fie X1 , X2 , Y1, Y2 mult¸imi de cardinale, respectiv, m1 , m2 , n1 , n2 astfel ˆıncˆat X1 ∩ X2 = ∅ = Y1 ∩Y2 . Din m1 ≤ n1 ¸si m2 ≤ n2 rezult˘a c˘a exist˘a dou˘a inject¸ii f1 : X1 → Y1 , f2 : X2 → Y2 . Este imediat faptul c˘a f1 (x) , dac˘a x ∈ X1 ; f : X1 ∪ X2 → Y1 ∪ Y2 , f (x) = f2 (x) , dac˘a x ∈ X2 este o funct¸ie injectiv˘a. Deci |X1 ∪ X2 | ≤ |Y1 ∪ Y2 | ¸si m1 + m2 ≤ n1 + n2 . Observat¸ii: i) ,,Relat¸ia” ≤ este reflexiv˘a, antisimetric˘a ¸si tranzitiv˘a.

ii) |X| ≤ |Y | dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a Z ⊆ Y astfel ˆıncˆ at X ∼ Z. iii) Propriet˘ a¸ti similare cu cea pe care am demonstrat-o la b) au loc ¸si pentru ˆınmult¸ire ¸si ridicare la putere. Astfel, dac˘ a pentru cardinalele m1 , m2 , n1 , n2 avem m1 ≤ n1 ¸si m2 ≤ n2 m2 atunci m1 · m2 ≤ n1 · n2 ¸si m1 ≤ nn12 .

1.180. a) Fie X ¸si Y dou˘a mult¸imi cu |X| = m ¸si |Y | = n. Din m < n rezult˘a c˘a exist˘a Y ′ ⊆ Y astfel ˆıncˆat X ∼ Y ′ . Fie Y ′′ = Y \ Y ′ ¸si p = |Y ′′ |. Din |Y ′ | = m < n deducem Y ′ ⊆ Y ¸si Y ′ 6= Y . Astfel, Y ′′ 6= ∅ ¸si p > 0. Cum Y = Y ′ ∪ Y ′′ ¸si Y ′ ∩ Y ′′ = ∅, avem |Y | = |Y ′ | + |Y ′′ |, deci n = m + p. b) Pentru m 6= n, necesitatea condit¸iei din enunt¸ urmeaz˘a din a), iar pentru m = n, urmeaz˘a considerˆand p = 0. Pe de alt˘a parte, orice cardinal p are proprietatea p ≥ 0, de unde conform problemei 1.179. b) avem m + p ≥ m + 0 = m, deci, dac˘a n = m + p atunci m ≤ n. Observat¸ie: i) S˘a remarc˘am c˘a propriet˘a¸tile pe care le ˆıntˆalnim la cardinalele finite sunt chiar cele pe care le cunoa¸stem din N. ii) Reciproca afirmat¸iei de la a) din problema de mai sus nu este valabil˘ a. Ca exemplu, s˘a lu˘ am egalitatea ℵ0 = ℵ0 + 1 care deriv˘ a din N ∼ N∗ . 1.181. Din m > 1, n > 1 deducem c˘a exist˘a cardinalele m′ > 0 ¸si n′ > 0 astfel ˆıncˆat m = m′ + 1, n = n′ + 1. Avem mn = (m′ + 1)(n′ + 1) = m′ n′ + m′ + n′ + 1. Din m′ > 0 ¸si n′ > 0 deducem m′ n′ ≥ 1, deci mn ≥ 1 + m′ + n′ + 1 = m + n. 1.182. 1) se obt¸ine din observat¸ia ce succede solut¸ia problemei 1.173. 2) rezult˘a din problema 1.178. 3) c2 = c · c = 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 +ℵ0 = 2ℵ0 = c. ℵ 4) cℵ0 = 2ℵ0 0 = 2ℵ0 ·ℵ0 = 2ℵ0 = c. 5) Din 2 < c avem, conform problemei 1.181, c + c ≤ c2 = c, iar cum c ≤ c + c obt¸inem c + c = c. 6) Din 2 < ℵ0 ≤ c avem, conform observat¸iei iii) de dup˘a solut¸ia problemei 1.179, c = 2ℵ0 ≤ ℵℵ0 0 ≤ cℵ0 = c, deci ℵℵ0 0 = c. 7) Observat¸ia ment¸ionat˘a mai sus (la 6)) ne conduce de la 2 < ℵ0 ≤ c la c = 2 · c ≤ ℵ0 · c ≤ c2 = c, a¸sadar ℵ0 · c = c.

147 −1

Observat¸ii: a) Dac˘a X este o mult¸ime atunci corespondent¸a f 7→ f h1i realizeaz˘a

o biject¸ie ˆıntre mult¸imea {0, 1}X a funct¸iilor de la X la {0, 1} ¸si mult¸imea P(X) a submult¸imilor mult¸imii X. b) ℵ0 < c deoarece c = 2ℵ0 = |P(N)| ≥ |N| ¸si, conform teoremei lui Cantor — dac˘ a X este o mult¸ime atunci X ≁ P(X) — avem |P(N)| = 6 |N|.

1.183. Indicat¸ie. Funct¸iile ϕ : R → P(Q), ϕ(x) = {a ∈ Q | a ≤ x} ¸si ψ : {0, 1}N → [0, 1), ψ((ai )i∈N ) = 0, a0 a1 a2 . . . ai . . . sunt injective ¸si astfel avem

deci |R| = c.

|R| ≤ |P(Q)| = 2ℵ0 = c ¸si c = 2ℵ0 = {0, 1}N ≤ |[0, 1)| = |R|,

Observat¸ie: Mult¸imea R nu este num˘arabil˘a deoarece R ∼ P(N) (avˆand acela¸si cardinal)

¸si P(N) ≁ N.

1.184. a) Fie X o mult¸ime cu |X| = m ¸si fie R = {(A, f ) | A ⊆ X, A infinit˘a, f : A → A × A biject¸ie}. Cum X este infinit˘a, rezult˘a c˘a exist˘a B ⊆ X astfel ˆıncˆat B ∼ N. Din faptul c˘a B × B ∼ N × N ∼ N obt¸inem existent¸a unei biject¸ii g : B → B × B ¸si deducem c˘a R 6= ∅ deoarece (B, g) ∈ R. Relat¸ia ≤ definit˘a prin (A, f ) ≤ (A′ , f ′ ) ⇔ A ⊆ A′ ¸si f ′ |A = f [ este o relat¸ie de ordine pe R. Fie L ⊆ R un lant¸, A0 = A ¸si funct¸ia (A,f )∈L

f0 : A0 → A0 × A0 definit˘a prin f0 (x) = f (x) dac˘a x ∈ A ¸si (A, f ) ∈ R. Atunci (A0 , f0 ) ∈ R ¸si (R, ≤) verific˘a ipoteza lemei lui Zorn. Rezult˘a c˘a ˆın (R, ≤) exist˘a un element maximal (E, f ). Dac˘a not˘am |E| = a atunci a este un cardinal transfinit ¸si a2 = a. Dac˘a a < m atunci a ≤ a + a ≤ a2 = a de unde deducem c˘a 2a = a + a = a ¸si 3a = 2a + a = a + a = a. Dac˘a |X \ E| ≤ a atunci X = (X \ E) ∪ E ne conduce la m = |X \ E| + a ≤ a + a = a, ceea ce contrazice faptul c˘a a < m. A¸sadar, |X \ E| > a de unde rezult˘a c˘a exist˘a F ⊆ X \ E astfel ˆıncˆat |F | = a. Pentru M = E ∪ F avem M × M = (E ∪ F ) × (E ∪ F ) = (E × E) ∪ (E × F ) ∪ (F × E) ∪ (F × F ) = (E × E) ∪ Z, unde Z = (E × F ) ∪ (F × E) ∪ (F × F ). Dar |Z| = |E × F | + |F × E| + |F × F | = a2 + a2 + a2 = a + a + a = 3a = a de unde urmeaz˘a c˘a Z ∼ F . Dac˘a g : Z → F este o biject¸ie atunci ¸si f (x) , x ∈ E; h : E ∪ F → (E × E) ∪ Z = (E ∪ F ) × (E ∪ F ), h(x) = g(x) , x ∈ F

148

CAPITOLUL 1. RELAT ¸ II. FUNCT ¸ II (SOLUT ¸ II)

este o biject¸ie. Deducem c˘a (E ∪F, h) ∈ R, iar cum (E, f ) ≤ (E ∪F, h), se contrazice maximalitatea lui (E, f ). ˆIn concluzie a = m, deci m2 = m. b) Cum m ≤ m + m ≤ m2 = m, rezult˘a c˘a m + m = m. c) Din 0 ≤ n ≤ m deducem m = m + 0 ≤ m + n = m, deci m + n = m, iar din 1 ≤ n ≤ m deducem m = m · 1 ≤ m · m ≤ m · m = m2 = m, de unde rezult˘a m · n = m. 1.185. a) Este o consecint¸˘a imediat˘a a problemei 1.122. b) Fie R = {(m, n) ∈ N × N | 0 < m ≤ n} ∪ {(m, 0) | m ∈ N}. Evident, (N, R) este o mult¸ime bine ordonat˘a, dar (N, R) ¸si (N, ≤) nu sunt izomorfe, deci nu au acela¸si ordinal (0 este cel mai mare element din (N, R), iar ˆın (N, ≤) nu exist˘a cel mai mare element). 1.186. Indicat¸ii. a) Se folose¸ste definit¸ia mult¸imii bine ordonate. b) Dac˘a f : A → A′ ¸si g : B → B ′ sunt izomorfisme de ordine atunci f × g este un izomorfism de ordine.

1.187. Indicat¸ii. a) Se folose¸ste definit¸ia mult¸imii bine ordonate. b) Dac˘a ϕi : Ai → Bf (i) (i ∈ I) sunt izomorfisme de ordine atunci corespondent¸a ◦ [

i∈I

Ai →

◦ [

j∈J

Bj , (i, ai ) 7→ (f (i), ϕi (ai ))

este un izomorfism de ordine. c) Evident, lant¸ul numerelor naturale nenule are ordinalul ω (fiind izomorf cu lant¸ul numerelor naturale), iar din solut¸ia de la punctul b) al problemei 1.185 deducem c˘ a 1 + ω = ω 6= ω + 1.

Capitolul 2 Grupoizi. Semigrupuri. Grupuri 2.1. R˘ aspuns. Grupoizii (A, ∗) cu A = (0, +∞) ¸si a ∗ b = ab pentru orice a, b ∈ A

¸si (V, ×) cu V mult¸imea vectorilor (segmentelor orientate) din spat¸iu ¸si x × y produsul vectorial al lui x cu y, pentru orice x, y ∈ V nu sunt semigrupuri. Cei doi grupozi nu au elemente neutre.

2.2. R˘ aspuns. Grupoidul definit de tabla ∗ a b

a a a

b b b

are dou˘ a elemente neutre la stˆ anga diferite. R˘ aspunsul la cele dou˘ a ˆıntreb˘ ari este negativ.

2.3. R˘ aspuns. Un exemplu ar fi grupoidul definit prin ∗ e a b

e e a b

a a e e

b b e a

ˆIntr-un semigrup cu element neutru (monoid) orice element are cel mult un simetric.

2.4. R˘ aspuns. ˆIn grupoidul din problema anterioar˘a, elementul a este simetrizabil ¸si a ∗ a = a ∗ b. ˆIntr-un semigrup cu element neutru se poate simplifica cu orice element simetrizabil.

2.5. Evident, x ∗ y = y ∗ x pentru orice x, y ∈ R, iar dac˘a x, y, z ∈ R atunci (x ∗ y) ∗ z = (x + y + xy) ∗ z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz, x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz. Deci (R, ∗) este semigrup comutativ. Dac˘a e ∈ R este element neutru atunci e ∗ x = x, ∀x ∈ R ⇔ e + x + ex = x, ∀x ∈ R ⇔ e(1 + x) = 0, ∀x ∈ R, de unde deducem c˘a e = 0. Ar˘at˘am c˘a e = 0 este element neutru. ˆIntr-adev˘ar, 0 ∗ x = 0 + x + 0x = x, ∀x ∈ R. 149

150

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

A¸sadar, (R, ∗) este monoid comutativ, iar cum x ∗ y = x + y + xy = −1 + (1 + x)(1 + y), avem x, y ∈ [−1, +∞) ⇒ x ≥ −1, y ≥ −1 ⇒ (1 + x)(1 + y) ≥ 0 ⇒ x ∗ y ∈ [−1, +∞). 2.6. Cum x ∗ y = 2 − 2 + xy − 2x − 2y + λ = 2 + (x − 2)(y − 2) + λ − 6, rezult˘a c˘a x, y ∈ (2, +∞) ⇒ x ∗ y ∈ (2, +∞) dac˘a ¸si numai dac˘a λ ≥ 6, pentru c˘a (x − 2)(y − 2) > 0 ¸si (x − 2)(y − 2) tinde la 0 cˆand x → 2, y → 2 (x, y ≥ 2). 2.7. R˘ aspuns. a = b = 0 sau a =

1 , b = 1. 2

2.8. i) Pentru orice x, y, z ∈ Z avem: x ∗ (y ∗ z) = m2 xyz + mnxz + mnyz + mpz + mnxy + n2 x + n2 y + np + nz + p, (x ∗ y) ∗ z = m2 xyz + mnxy + mnxz + mpx + mnyz + nx + n2 y + n2 z + np + p. A¸sadar, ∗ este asociativ˘a dac˘a ¸si numai dac˘a mpz + n2 x + nz = mpx + nx + n2 z, ∀x, y, z ∈ Z, adic˘a (z − x)(mp − n2 + n) = 0, ∀x, y, z ∈ Z, iar aceasta are loc dac˘a ¸si numai dac˘a (1)

mp − n2 + n = 0.

Deci (1) este o condit¸ie necesar˘a ¸si suficient˘a pentru ca operat¸ia ∗ s˘a fie asociativ˘a. ii) Evident, operat¸ia ∗ este comutativ˘a. Un num˘ar e ∈ Z este element neutru dac˘a ¸si numai dac˘a x ∗ e = x, ∀x ∈ Z ⇔ (me + n − 1)x + (ne + p) = 0, ∀x ∈ Z. Dar un polinom din Z[X] are o infinitate de r˘ad˘acini dac˘a ¸si numai dac˘a este polinomul nul, prin urmare, me + n − 1 = 0 (2) . ne + p = 0 Astfel, am redus problema la determinarea unor condit¸ii necesare ¸si suficiente pentru existent¸a unui e ∈ Z care verific˘a condit¸iile (2). Deosebim cazurile: 1) Dac˘a m = 0 atunci n = 1, e = −p ¸si x ∗ y = x + y + p. 1 2) Dac˘a n = 0 atunci p = 0 ¸si me = 1. Deducem c˘a e = care este un num˘ar m ˆıntreg dac˘a ¸si numai dac˘a m ∈ {−1, 1}. ˆIn acest caz x ∗ y = xy sau x ∗ y = −xy.

151 p 1−n = ∈ Z . A¸sadar, n|p ¸si mp − n2 + n = 0. n m iii) Din ii) rezult˘a c˘a existent¸a elementului neutru implic˘a (1). Deci (Z, ∗) este un monoid comutativ. ˆIn cazul 1) acest monoid este grup deoarece pentru orice x ∈ Z, x′ = −2p − x ∈ Z este simetricul lui x. ˆIn cazul 2) monoidul (Z, ∗) nu este grup pentru c˘a numai −1 ¸si 1 sunt simetrizabile. ˆIn cazul 3), dac˘a x ∈ Z ¸si x′ este simetricul lui x atunci 3) Dac˘a m 6= 0 6= n atunci e = −

x′ =

−p − np − (n + mp)x −p − np − n2 x = ∈ Z. 2 mnx + n n + mp + mnx

n + mp 1 p Trecˆand la limit˘a cˆand x → ∞ rezult˘a = + ∈ Z, care ˆımpreun˘a cu mn m n 1 n|p implic˘a ∈ Z adic˘a m ∈ {−1, 1}. Prin urmare, pentru m ∈ / {−1, 1}, monoidul m (Z, ∗) nu este grup. 1 − n2 − nx 2 ′ • Dac˘a m = 1 atunci e = 1 − n, p = n − n ¸si x = . Luˆand x = 0 x+n 1 primim 0′ = − n ∈ Z, adic˘a n ∈ {−1, 1}. Dac˘a n = 1 atunci p = 0, e = 0 ¸si n x ∗ y = xy + x + y, iar ˆın (Z, ∗) singurele elemente simetrizabile sunt 0 ¸si −2. Dac˘a n = −1 atunci p = 2, e = 2 ¸si x ∗ y = xy − x − y + 2, iar ˆın (Z, ∗) sunt simetrizabile numai 0 ¸si 2. • Dac˘a m = −1 se veific˘a analog cu cazul anterior c˘a monoidul (Z, ∗) nu este grup. ˆIn concluzie, (Z, ∗) este grup dac˘a ¸si numai dac˘a m = 0, n = 1 ¸si p ∈ Z. 2.9. R˘ aspuns. i) Elementele inversabile la stˆanga (dreapta) coincid cu funct¸iile injective (surjective) ¸si cu elementele cu care se poate simplifica la stˆ anga (dreapta) — vezi [34, Teoremele 1.3.14, 1.3.15]. Elementele inversabile coincid cu funct¸iile bijective. ii) M trebuie s˘ a fie finit˘ a. a din patru funct¸ii, definite prin tabelele: iii) ˆIn acest caz, M M este formt˘ x f1 (x)

0 0

1 1

x f2 (x)

0 1

1 0

◦ f1 f2 f3 f4

f1 f1 f2 f3 f4

x f3 (x)

0 0

1 0

x f4 (x)

0 1

1 1 ,

tabla de operat¸ie este f2 f2 f1 f3 f4

f3 f3 f4 f3 f4

f4 f4 f3 f3 f4

iar elementele cerute la punctul i) sunt f1 ¸si f2 .

2.10. i) Din solut¸ia problemei 1.52 punctul a) deducem c˘a num˘arul operat¸iilor 2 (binare) pe A este n(n ) . ii) Tabla unei operat¸ii binare comutative ϕ : A × A → A este simetric˘a ˆın raport cu diagonala principal˘a deoarece ϕ(a, b) = ϕ(b, a). Rezult˘a c˘a ϕ este determinat˘a de valorile sale pe D = {(a, a) | a ∈ A} ∪ D ′ , unde D ′ este o submult¸ime a lui A × A obt¸inut˘a alegˆand pentru orice a, b ∈ A, a 6= b, doar una dintre perechile (a, b) ¸si (b, a). A¸sadar, D ′ are atˆatea elemente cˆate submult¸imi cu cˆate dou˘a elemente are n(n + 1) A ¸si, prin urmare, |D| = n + Cn2 = . Cum orice operat¸ie comutativ˘a pe A 2

152

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

este determinat˘a de restrict¸ia sa la D, urmeaz˘a c˘a num˘arul operat¸iilor comutative pe A coincide cu num˘arul funct¸iilor cu domeniul D ¸si codomeniul A, deci este egal n(n+1) cu AD = n 2 . iii) Dac˘a a ∈ A este element neutru pentru ϕ : A × A → A atunci linia ¸si coloana elementului a din tabla lui ϕ sunt determinate ˆıntrucˆat ϕ(a, b) = b = ϕ(b, a). Deci operat¸ia binar˘a ϕ va fi determinat˘a de restrict¸ia sa la D = {(x, y) ∈ A2 | x 6= a 6= y} = (A \ {a}) × (A \ {a}). Cum = (n − 1)2 , num˘arul operat¸iilor care au ca element neutru pe a este D |D|(n−1) 2 A = n , deci num˘arul operat¸iilor pe A care admit element neutru este 2 n · AD = n(n−1) +1 .

iv) Din cele de mai sus deducem c˘a num˘arul operat¸iilor comutative care au element neutru pe a ∈ A este egal cu num˘arul funct¸iilor de la D = (A \ {a}) × (A \ {a}) ∩ D ′ n(n−1) la A, adic˘a AD = n 2 . Deci num˘arul operat¸iilor comutative pe A care admit n(n−1) element neutru este n · AD = n 2 +1 . 2.11. Indicat¸ie. Se folosesc definit¸ia asociativit˘a¸tii, a comutativit˘a¸tii ¸si a stabilit˘a¸tii.

2.12. Indicat¸ie. Mult¸imea termenilor ¸sirului x, 2x = x + x, . . . , nx = (n − 1)x + x, . . .

este finit˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a x = 0. Submult¸imile lui Z finite ¸si stabile ˆın (Z, +) sunt ∅ ¸si {0}.

2.13. Indicat¸ie. Cum mult¸imea puterilor cu exponent din N∗ ale unui num˘ar ˆıntreg x este finit˘ a numai dac˘ a |x| ≤ 1, p˘ art¸ile stabile finite ale lui (Z, ·) se caut˘ a printre submult¸imile mult¸imii A = {−1, 0, 1}. Dintre cele 23 = 8 submult¸imi ale lui A sunt stabile numai ∅, {0}, {1}, {−1, 1}, {0, 1}, {−1, 0, 1}.

2.14. Indicat¸ie. Pentru orice i ∈ {1, 2, 3} incluziunea A ⊆ Bi exprim˘a chiar asociativitatea operat¸iei · .

2.15. Indicat¸ie. Se arat˘a c˘a A = B1 (vezi problema anterioar˘a), stabilind c˘a operat¸iile ϕc : A × A → A, ϕc (x, y) = (cx)y ¸si ϕ′c : A × A → A, ϕ′c (x, y) = c(xy) coincid, ceea ce se constat˘ a alc˘ atuind tablele lor. Analog se arat˘ a c˘ a f ∈ B1 , dup˘ a care, aplicˆ and problema anterioar˘ a deducem c˘ a elementele a = f · f , b = c · c, d = c · f apart¸in a, operat¸ia · este asociativ˘ a. lui B1 . Deci A = B1 ¸si, conform cu problema anterioar˘

2.16. Indicat¸ie. f : P(M ) → P(M ), f (X) = CM (X)(= M \ X) este un izomorfism. 2.17. Indicat¸ii. i) {{a} | a ∈ A} este un subgrupoid al lui (P(A), ·) izomorf cu (A, ·). iv) (B1 · B2 )(B1 · B2 ) = B1 (B2 · B1 )B2 = B1 (B1 · B2 )B2 = (B1 · B1 )(B2 · B2 ) ⊆ B1 · B2 . vii) Dac˘ a ˆın P(A) 6= ∅ exist˘ a element neutru, fie acesta M , atunci M 6= ∅ ¸si totu¸si ∅ · M = ∅ · ∅. 2.18. Indicat¸ie. 2N ∧ 3N = 2N ∩ 3N = 6N, 2N ∨ 3N = h2N ∪ 3Ni = 2N + 3N. 2.19. Indicat¸ie. z ∈ xA ∩ yA ⇒ ∃a ∈ A : z = xa = x2 a = xz ∈ x(yA) = xyA.

153 2.20. Indicat¸ie. b) Pentru orice a, b ∈ L, a ∨ b este o majorant˘a pentru a ¸si b deoarece

a ∨ (a ∨ b) = (a ∨ a) ∨ b = a ∨ b = a ∨ (b ∨ b) = (a ∨ b) ∨ b = b ∨ (a ∨ b) iar dac˘ a c ∈ L este o majorant˘a pentru a ¸si b atunci a ∨ c = c = b ∨ c ¸si astfel, (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) = a ∨ c = c, a¸sadar a ∨ b ≤ c.

2.21. Indicat¸ie. Aceast˘a problem˘a este duala problemei anterioare. 2.22. Indicat¸ie. Aceast˘a problem˘a este o consecint¸˘a a problemelor anterioare. Pentru detalii se poate consulta ¸si [34, Teorema 1.6.5].

2.23. R˘ aspuns. a1 = 0 = b1 ; a2 = 1, b2 = 0; a3 = 0, b3 = 1. 2.24. R˘ aspuns. i) y02 = y0 , adic˘a y0 trebuie s˘a fie idempotent. ii) (B, ·) trebuie s˘ a cont¸in˘ a un element idempotent.

2.25. Indicat¸ie. ii) Se calculeaz˘a produsul ˆın (f (A), ·) al lui f (1) cu elementul neutru al lui (B, ·). iii) Se aplic˘ a ii).

2.26. Indicat¸ie. Se folosesc definit¸ia subgrupoidului ¸si definit¸ia omomorfismului. 2.27. Indicat¸ie. Orice grupoid se aplic˘a omomorf pe grupul cu un element. 2.28. R˘ aspuns. i) ˆIn general, nu. De exemplu, f : N∗ → {0, 1}, f (1) = 1 ¸si f (n) = 0

pentru n > 1 este un omomorfism al lui (N∗ , ·) ˆın ({0, 1}, ·), ˆın (N∗ , ·) orice element este regulat, dar 0 nu este regulat ˆın ({0, 1}, ·). ii) f trebuie s˘ a fie unital. 1 n ∗ 2.29. R˘ aspuns. hAi = |n∈N , 0 1 k k k 2 0 2 2 n ∗ ∗ hA, Di = hAi ∪ |k∈N ∪ | k, n ∈ N , 0 0 0 0 k k 1 0 2 0 2 0 ∗ ∗ ∗ hB, Ci = |k∈N ∪ |n∈N ∪ | k, n ∈ N , 0 1 0 2n 0 2n n 1 0 2 0 hB, Di = | n ∈ N∗ ∪ | n ∈ N∗ . 0 2n 0 0 [ 2.30. Indicat¸ii. a) Se arat˘a c˘a Xk este cel mai mic ˆıntre subgrupoizii lui (A, ·) ce k∈N

include pe X. b) Dac˘ a Y0 = f (X) ¸si Yk+1 = Yk ∪ {y1 · y2 | y1 , y2 ∈ Yk }, se arat˘ a prin induct¸ie c˘a f (Xk ) = Yk pentru orice k ∈ N.

2.31. Indicat¸ie. Se arat˘a c˘a dac˘a f, g : A → B sunt omomorfisme ale c˘aror restrict¸ii la

X coincid, atunci f = g. Se procedeaz˘ a astfel: faptul c˘ a X genereaz˘ a pe (A, ·) ˆınseamn˘ a c˘ a hXi = A ¸si se arat˘ a prin induct¸ie dup˘ a n c˘ a f |Xn = g|Xn .

2.32. R˘ aspuns. a) Dac˘a f (1) = a atunci un omomorfism f care prelunge¸ste pe f este definit prin f (n) = an . b) Nu, deoarece g(1) = 1 implic˘ a g(2) = g(1+ 1) = g(1)+ g(1) = 2. k c) Subsemigrupul lui (N, ·) generat de 2 este h2i = {2 | k ∈ N∗ }, iar omomorfismele cerute sunt fn : N∗ → h2i, fn (k) = 2nk (n ∈ N∗ ).

2.33. Cum f (Q) este parte stabil˘a ˆın (Q, ·) ¸si trebuie s˘a fie ¸si o submult¸ime finit˘a a lui Z deducem c˘a exist˘a urm˘atoarele posibilit˘a¸ti: 1) f (Q) = {0}, 2) f (Q) = {1}, 3) f (Q) = {−1, 1}, 4) f (Q) = {0, 1}, 5) f (Q) = {−1, 0, 1} (vezi solut¸ia problemei

154

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

2.13). ˆIn primele dou˘a cazuri obt¸inem endomorfismele f1 , f2 definite respectiv prin f1 (x) = 0 ¸si f2 (x) = 1. Din 0x = 0 rezult˘a c˘a pentru orice endomorfism f avem f (0)f (x) = f (0), ceea ce implic˘a f (0) = 0 sau f (x) = 1 pentru orice x ∈ Q. Deducem c˘a ˆın cazul 3) nu exist˘a nici un endomorfism, iar ˆın cazurile 4) ¸si 5) avem f (0) = 0. Egalitatea 1x = x conduce la faptul c˘a orice endomorfism f verific˘a egalitatea f (1)f (x) = f (x), ceea ce arat˘a c˘a f (1) = 0 ⇒ f (x) = 0, ∀x ∈ Q. Astfel, ˆın cazul 4), f (1) = 1. ˆIn consecint¸˘a f (x−1 ) = [f (x)]−1 pentru orice x 6= 0 ¸si se obt¸ine un singur endomorfism f4 definit prin 0 , x = 0; f4 (x) = 1 , x 6= 0. ˆIn cazul 5) este imposibil ca f (1) = −1 deoarece, ˆın caz contrar, am avea 1 = (−1)(−1) = f (1)f (1) = f (1 · 1) = f (1) = −1. Urmeaz˘a c˘a f (0) = 0, f (1) = 1 ¸si f (x) ∈ {−1, 1} pentru orice x 6= 0. Fie A = {p ∈ N∗ | p prim} ∪ {−1} ¸si B = {p−1 | p ∈ A}. Cum mult¸imea A∪B este un sistem de generatori pentru (Q, ·) ¸si f (x−1 ) = [f (x)]−1 , f este determinat de restrict¸ia sa la A. La fiecare submult¸ime nevid˘a P a lui A asociem un endomorfism fP definit prin fP (0) = 0, iar dac˘a x ∈ Q∗ se scrie sub ki+1 · · · qnkn , cu kj ∈ Z (j = 1, . . . , n), pj ∈ P (j = 1, . . . , i), forma x = pk11 · · · pki i qi+1 qj ∈ A \ P (j ∈ i, . . . , n), atunci fP (x) = (−1)k1 +···+ki . Cˆand P parcurge mult¸imea submult¸imilor nevide ale lui A atunci fP parcurge mult¸imea endomorfismelor din cazul 5). Deci endomorfismele cerute sunt f1 , f2 , f4 ¸si fP cu ∅ = 6 P ⊆ A. 2.34. R˘ aspuns. f1 este omomorfism al lui (Mn (C), ·) ˆın (C, ·), dar nu este omomorfism al lui (Mn (C), +) ˆın (C, +), f2 nu este omomorfism al lui (Mn (C), ·) ˆın (C, ·), dar este omomorfism al lui (Mn (C), +) ˆın (C, +), iar f3 este omomorfism al lui (Mn (C), ·) ˆın (C, ·), dar nu este omomorfism al lui (Mn (C), +) ˆın (C, +). 2.35. R˘ aspuns. f nu este endomorfism al lui (C, +), dar este endomorfism al lui (C, ·), iar g nu este endomorfism nici pentru (C, +), nici pentru (C, ·).

2.36. a) Unicitatea: Presupunem c˘a exist˘a o operat¸ie · ˆın P astfel ca fiecare pj s˘a fie omomorfism. Atunci (a1i )i∈I · (a2i )i∈I = (pj ((a1i )i∈I ) · pj ((a2i )i∈I ))j∈I = (pj ((a1i · a2i )i∈I ))i∈I = (a1j · a2j )i∈I , ceea ce arat˘a unicitatea modului de a defini aceast˘a operat¸ie. Existent¸a: Putem introduce o structur˘a de grupoid pe P definind (1)

(a1i )i∈I · (a2i )i∈I = (a1i · a2i )i∈I ,

pentru orice (a1i )i∈I , (a2i )i∈I ∈ P . Dac˘a j ∈ I atunci din (1) urmeaz˘a pj ((a1i · a2i )i∈I )) = a1j · a2j = pj ((a1i )i∈I ) · pj ((a2i )i∈I ) ,

155 ceea ce ne arat˘a c˘a pj , j ∈ I sunt omomorfisme. b) Unicitatea lui u: Presupunem c˘a exist˘a un omomorfism u : B → P este pentru care diagrama B@ u

P

@@ u @@ j @@ pj

/

Aj

este comutativ˘a pentru orice j ∈ I. Atunci pj (u(b)) = uj (b) pentru orice b ∈ B, adic˘a componenta de indice j ale familiei u(b) este uj (b). Deci u(b) = (ui (b))i∈I pentru orice b ∈ B, de unde rezult˘a unicitatea modului de a defini pe u. Existent¸a lui u: Definim funct¸ia u : B → P prin u(b) = (ui (b))i∈I . Pentru orice b1 , b2 ∈ B, folosind definit¸ia lui u ¸si (1), avem u(b1 · b2 ) = (ui (b1 · b2 ))i∈I = (ui(b1 ) · ui (b2 ))i∈I = (ui(b1 ))i∈I · (ui (b2 ))i∈I = u(b1 ) · u(b2 ). Deci u este un omomorfism. Pentru orice b ∈ B ¸si orice j ∈ I avem (2)

(pj ◦ u)(b) = pj ((ui (b))i∈I ) = uj (b),

de unde urmeaz˘a pj ◦ u = uj , adic˘a diagrama din enunt¸ este comutativ˘a. c) Din proprietatea de universalitate a lui P rezult˘a c˘a exist˘a un singur omomorfism f : P ′ → P astfel ˆıncˆat PO ′ A

AA p′ AA j f′ AA

f

P

pj

p′j = pj ◦ f, ∀j ∈ I,

/ Aj

iar din proprietatea de universalitate a lui P ′ urmeaz˘a c˘a exist˘a un singur omomorfism f ′ : P → P ′ astfel ca pj = p′j ◦ f ′ pentru orice j ∈ I. Deci pj = pj ◦ (f ◦ f ′ ) pentru orice j ∈ I , iar pe de alt˘a parte pj = pj ◦ 1P pentru orice j ∈ I. Acum, din unicitatea lui u deducem c˘a f ◦ f ′ = 1P . Analog se arat˘a c˘a f ′ ◦ f = 1P ′ . Deci f este un izomorfism ¸si f −1 = f ′ . d) Dac˘a f1 , f2 ∈ AI atunci f1 · f2 : I → A este definit˘a prin (f1 · f2 )(i) = f1 (i) · f2 (i) , pentru orice i ∈ I. Submult¸imea {fa ∈ AI | fa (i) = a, ∀i ∈ I} este un subgrupoid al lui (AI , ·) izomorf cu (A, ·) deoarece corespondent¸a a 7→ fa este un omomorfism injectiv de la A la AI . 2.37. Indicat¸ie. b) Din f1 ◦ g1′ = f2 ◦ g2′ rezult˘a c˘a (g1′ (x), g2′ (x)) ∈ S pentru x ∈ S ′ , ceea ce ne permite s˘ a definim pe g prin g(x) = (g1′ (x), g2′ (x)).

Observat¸ii: a) Tripletul (S, g1 , g2 ) se nume¸ste produsul fibrat al omomorfismelor f1 , f2 . b) Se constat˘ a cu u¸surint¸˘ a c˘ a enunt¸ul problemei de mai sus r˘ amˆ ane adev˘ arat dac˘ a ˆınlocuim ,,grupoid” cu ,,mult¸ime” ¸si ,,omomorfism” cu ,,funct¸ie”. Atunci (S, g1 , g2 ) este produsul fibrat al funct¸iilor f1 ¸si f2 .

2.38. Indicat¸ie. b) Din f ◦ h = g ◦ h rezult˘a c˘a h(C) ⊆ E, ceea ce ne permite s˘a definim

pe γ prin γ(c) = h(c).

156

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

Observat¸ii: a) Perechea (E, i) se nume¸ste nucleul perechii de omomorfisme (f, g). b) Se constat˘ a cu u¸surint¸˘ a c˘ a enunt¸ul problemei de mai sus r˘ amˆ ane adev˘ arat dac˘ a ˆınlocuim ,,grupoid” cu ,,mult¸ime” ¸si ,,omomorfism” cu ,,funct¸ie”. Atunci perechea (E, i) este nucleul perechii de funct¸ii (f, g).

2.39. R˘ aspuns. |A/A × A| = 1. 2.40. R˘ aspuns. ρ1 nu este congruent¸˘a nici pe (C, +) ¸si nici pe (C, ·); ρ2 nu este

congruent¸˘ a pe (C, +), dar este congruent¸˘ a pe (C, ·), iar dac˘ a z ∈ C atunci clasa de echivalent¸˘ a ρ2 hzi a lui z ˆın raport cu ρ2 este format˘ a din numerele complexe situate pe cercul cu centrul ˆın origine ¸si de raz˘ a |z|. ˆIn grupoidul cˆ at (C/ρ2 , ·) produsul a dou˘a ′ ′ clase este definit prin ρ2 hzi · ρ2 hz i = ρ2 hzz i.

2.41. Indicat¸ii. a) Din [34, Teorema 1.8.15] rezult˘a c˘a funct¸ia f : A/ ker f → f (A),

f ((ker f )hxi) = f (x) este bijectiv˘ a, iar faptul c˘ a f este omomorfism se verific˘ a imediat. b) Nucleul lui f este congruent¸a ρ2 din problema anterioar˘ a f (C) = [0, +∞), iar izomorfismul C/ρ2 → [0, +∞) dat de a) asociaz˘ a cercului cu centrul ˆın origine ¸si de raz˘ a |z| lungimea razei sale. c) Izomorfismul Mn (C)/ ker f → C dat de a) asociaz˘ a clasei matricelor cu acela¸si determinant valoarea acestui determinant.

Observat¸ie: Afirmat¸ia de la a) din problema de mai sus se nume¸ste teorema ˆıntˆai de izomorfism pentru grupoizi.

2.42. Indicat¸ii. a) Avem ρ(B) = {y ∈ A | ∃b ∈ B : bρy}. Dac˘a x ∈ B atunci

a y ∈ ρ(B) atunci clasa ρ′′ hyi = {a ∈ A | yρa} are un ρ′ hxi = {b ∈ B | xρb}, iar dac˘ reprezentant din B. Izomorfismul dintre grupoizii cˆ at B/ρ′ = {ρ′ hxi ⊆ B | x ∈ B} ¸si ρ(B)/ρ′′ = {ρhyi ⊆ A | y ∈ ρ(B)} este dat de corespondent¸a ρ′ hxi 7→ ρ′′ hxi. Acela¸si rezultat se poate obt¸ine aplicˆ and 2.41 a) restrict¸iei la B a omomrfismului pρ : A → A/ρ. ′ ′′ b) Dac˘a ρ2 , respectiv ρ2 sunt restrict¸iile lui ρ2 la B, respectiv la ρ2 (B) = {z ∈ C | |z| > 1} atunci ρ′2 ¸si ρ′′2 sunt congruent¸e pe B, respectiv ρ2 (B) ¸si B/ρ′2 = {{−x, x} | x > 1}, ρ2 (B)/ρ′′2 = {ρ2 hzi | |z| > 1} , adic˘ a ρ2 (B)/ρ′′2 este format˘ a din cercurile cu centrul ˆın origine ¸si de raz˘ a (strict) mai mare ′ ′′ decˆ at 1. Izomorfismul dat de a) este B/ρ2 → ρ2 (B)/ρ2 , {−x, x} 7→ ρ2 hxi.

Observat¸ie: Afirmat¸ia de la a) din problema de mai sus se nume¸ste teorema a doua de izomorfism pentru grupoizi.

2.43. Indicat¸ie. Z/ρn = Zn = {0, 1, . . . , n − 1}, unde i = {kn + i | k ∈ Z}, iar operat¸ia + este definit˘ a pe Zn prin i + j = i + j.

2.44. R˘ aspuns. Da, pentru c˘a n|x1 − y1 ¸si n|x2 − y2 implic˘a n|x1 (x2 − y2 ) + y2 (x1 − y1 ) = x1 x2 − y1 y2 . Operat¸ia din (Zn , ·) este definit˘ a prin i · j = ij.

2.45. Indicat¸ie. (Z2 , ·) nu este o subalgebr˘a a algebrei (P(Z), ·).

157 2.46. Indicat¸ii. a) Din teorema de factorizare a unei funct¸ii printr-o funct¸ie surjectiv˘a rezult˘ a existent¸a unei singure funct¸ii f : A/ρ1 → A/ρ2 astfel ˆıncˆ at pρ2 = f ◦ pρ1 . Aceasta este surjectiv˘ a ¸si e definit˘ a prin f (ρ1 hxi) = ρ2 hxi. Se arat˘ a c˘ a f este un omomorfism de grupoizi. Tot din teorema de factorizare a unei funct¸ii printr-o surject¸ie deducem existent¸a unei biject¸ii f care face comutativ triunghiul din dreapta al diagramei AC

p ρ1

pρ2 /ρ1

/ A/ρ1

CC CC C pρ2 CC !

/ (A/ρ1 )/(ρ2 /ρ1 )

f

A/ρ2

w

f

Se arat˘ a u¸sor c˘ a f este un omomorfism de grupoizi. 0, b 1}, Z/ρ6 = Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, b) Cu notat¸iile de la 2.43 avem ρ6 ⊆ ρ2 , Z/ρ2 = Z2 = {b Z6 /(ρ6 /ρ2 ) = {{0, 2, 4}, {1, 3, 5}}. Izomorfismul dintre Z2 ¸si Z6 /(ρ6 /ρ2 ) dat de a) asociaz˘ a lui b 0 pe {0, 2, 4}, iar lui b 1 pe {1, 3, 5}.

Observat¸ie: Afirmat¸ia de la a) din problema de mai sus se nume¸ste teorema a treia de izomorfism pentru grupoizi.

2.47. a) Fie a1 , a2 ∈ F (A). S¸tiind c˘a hX ∪ {a1 · an }i ⊆ hX ∪ {a1 , a2 }i din egalitatea hX ∪ {a1 · a2 )}i = A deducem hX ∪ {a1 , a2 }i = A. ˆIntrucˆat a2 ∈ F (A), urmeaz˘a hX ∪ {a1 }i = A, iar din a1 ∈ F (A) avem hXi = A. A¸sadar a1 · a2 ∈ F (A), adic˘a F (A) este un subgrupoid. b) Fie a ∈ F (A) ¸si f : A → A un automorfism. Dac˘a hX ∪ {f (a)}i = A atunci aplic˘am pe f −1 ¸si, conform problemei anterioare, avem hf −1(X) ∪{a}i = A de unde, ˆıntrucˆat a ∈ F (A), urmeaz˘a hf −1 (X)i = A. Aplicˆand pe f , obt¸inem hXi = A. Deci f (a) ∈ F (A) ¸si astfel, f (F (A)) ⊆ F (A). \ c) Fie {Mi | i ∈ I} mult¸imea subgrupoizilor maximali ai lui (A, ·) ¸si M = Mi . i∈I

Avem:

a∈ / M ⇒ ∃i0 ∈ I, a ∈ / Mi0 ⇒ hMi0 ∪ {a}i = A ¸si hMi0 i = Mi0 6= A ⇒ a ∈ / F (A) , ceea ce ne arat˘a c˘a F (A) ⊆ M. Dac˘a a ∈ / F (A), atunci exist˘a X ⊆ A astfel ˆıncˆat hX ∪ {a}i = A ¸si hXi = 6 A. Fie S mult¸imea acelor subgrupoizi B ai lui A pentru care avem X ⊆ B ¸si a ∈ / B. Evident c˘a hXi ∈ S, adic˘a S = 6 ∅. Mult¸imea ordonat˘a (S, ⊆) verific˘a ipoteza lemei lui Zorn, deci exist˘a un subgrupoid M ′ maximal ˆın (S, ⊆). Acesta este un subgrupoid maximal al lui A, iar din M ′ ∈ S urmeaz˘a a ∈ / M ′ . Rezult˘a a ∈ / M ¸si astfel am ar˘atat c˘a a ∈ / F (A) implic˘a a ∈ / M, adic˘a M ⊆ F (A). 2.48. i) Demonstr˘am egalitatea cerut˘a prin induct¸ie dup˘a q ∈ N. Egalitatea este, evident, adev˘arat˘a pentru q = 0. Dac˘a q > 0 ¸si am+(q−1)(n−m) = am atunci am+q(n−m) = am+(q−1)(n−m)+n−m = am+(q−1)(n−m) an−m = am an−m = an = am . ii) Dac˘a k ≥ n atunci k − m ≥ n − m. ˆImp˘art¸ind pe k − m la n − m obt¸inem k − m = q(n − m) + r, cu 0 ≤ r < n − m,

158

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

de unde, folosind i), deducem ak = am+q(n−m)+r = am+q(n−m) · ar = am · ar = am · an−m = an = am . iii) Egalitatea cerut˘a rezult˘a din ii). iv) Stabilitatea submult¸imii Kn−m ˆın (A, ·) este o consecint¸˘a imediat˘a a lui ii). Vom demonstra c˘a (Kn−m , ·) este grup ar˘atˆand c˘a este izomorf cu grupul aditiv (Zn−m , +) al claselor de resturi modulo n−m. Numerele m, m+1, . . . , n−1 formeaz˘a un sistem complet de reprezentant¸i al lui Zn−m = {0, 1, . . . , n − m − 1}. A¸sadar, pentru fiecare i ∈ Zn−m exist˘a un singur ki ∈ {m, m + 1, . . . , n − 1} astfel ˆıncˆat i = ki , de unde urmeaz˘a c˘a funct¸ia f : Zn−m → Kn−m , f (i) = aki este bijectiv˘a. Dac˘a i, j ∈ Zn−m ¸si ki + kj − m = q(n − m) + r, cu 0 ≤ r < n − m, atunci i + j ≡ ki + k + j ≡ m + r(mod n − m) ¸si m ≤ m + r < n. Rezult˘a c˘a ki+j = m + r, adic˘a f (i + j) = am+r , iar cum f (i) · f (j) = aki · akj = aki +kj = am+q(n−m)+r = am+r , deducem c˘a f este un izomorfism. 2.49. Indicat¸ie. i) Not˘am cu rk restul ˆımp˘art¸irii lui k la n − m ¸si consider˘am funct¸ia f : N∗ → {1, . . . , n − 1}, f (k) =

k , dac˘ a k < n; m + rk−m , dac˘ a k ≥ n.

Se arat˘a c˘ a pentru orice k, j ∈ N∗ avem f (k) + f (j) = f (k + j) ¸si c˘ a egalitatea k ◦ j = f (k + j) define¸ste o operat¸ie (binar˘ a) asociativ˘ a pe A = {1, . . . , n − 1}. Semigrupul (A, ◦) este generat de 1, iar tipul s˘ au este (m, n). ii) Dac˘a hai ¸si hbi sunt semigrupuri ciclice de tip (m, n) atunci ϕ : hai → hbi, ϕ(ak ) = bk (k = 1, . . . , n − 1) este un izomorfism. iii) Dac˘ a hai este un semigrup ciclic infinit atunci ψ : N → hai, ψ(k) = ak este un izomorfism.

2.50. Indicat¸ie. Se folose¸ste problema 2.48. 2.51. Indicat¸ii. i) x = x′ xx′ ; ii) x′ x este idempotent; iii) Vezi problema 1.57. 2.52. Indicat¸ie. ii) Presupunem c˘a (A, ·) este regular ¸si are un singur element idempo-

tent. Fie ecuat¸ia ax = b, cu a, b ∈ A. Cum aa ¸si bb sunt idempotente, rezult˘ a c˘ a aa = bb, de unde, ˆınmult¸ind cu b, obt¸inem a(ab) = b. Deci ab este o solut¸ie a ecuat¸iei ax = b. Analog se arat˘ a c˘ a ba este o solut¸ie a ecuat¸iei ya = b.

2.53. i) Dac˘a x, y ∈ G atunci x ∗ y ∈ G deoarece x ∗ y = −1 +

(x + 1)(y + 1) (x − 1)(y − 1) ¸si x ∗ y = 1 − . 1 + xy 1 + xy

A¸sadar, ∗ este o operat¸ie pe G. Din (1) rezult˘a c˘a ∗ este comutativ˘a. Asociativitatea sa se obt¸ine astfel: x+y x + y + z + xyz (x ∗ y) ∗ z = ∗z = , 1 + xy xy + xz + yz + 1 y+z x + y + z + xyz x ∗ (y ∗ z) = x ∗ = . 1 + yz xy + xz + yz + 1

159 Presupunem c˘a e este elementul neutru. Atunci x ∗ e = x pentru orice x ∈ G, adic˘a x+e = x pentru orice x ∈ G. Rezult˘a c˘a e = 0. Prin urmare, dac˘a elementul 1 + xe neutru exist˘a, acesta este 0. ˆIntrucˆat x ∗ 0 = x pentru orice x ∈ G, rezult˘a c˘a 0 este elementul neutru. Dac˘a x′ este simetricul lui x ∈ G atunci x ∗ x′ = 0 de unde deducem x′ = −x ∈ G. Deci, dac˘a simetricul lui x exist˘a, acesta este −x. Se verific˘a u¸sor c˘a −x este simetricul lui x pentru orice x ∈ G. Astfel am ar˘atat c˘a (G, ∗) este un grup abelian. ii) Cum imaginea elementului neutru printr-un omomorfism de grupuri este elementul neutru, rezult˘a c˘a f (1) = 0, ceea ce implic˘a α = 1. Deci (2)

f (x) =

x−1 . x+1

ˆIntrucˆat, x−1 2x > −1 ⇔ > 0, x+1 x+1 −2 x−1 < +1 ⇔ < 0, x+1 x+1 avem f (x) ∈ G pentru orice x ∈ R∗+ , ceea ce arat˘a c˘a egalitatea (2) define¸ste o funct¸ie f : R∗+ → G. Funct¸ia f este bijectiv˘a deoarece ecuat¸ia f (x) = y are o solut¸ie 1+y unic˘a x = ∈ R∗+ . Prin calcul se arat˘a c˘a f este un omomorfism, adic˘a 1−y f (x1 x2 ) =

x1 x2 − 1 = f (x1 ) ∗ f (x2 ) . x1 x2 + 1

Deci f este izomorfism. 2.54. Indicat¸ie. (R, ∗) este monoid comutativ ¸si e = 6 este elementul neutru. (R, ∗)

nu este grup deoarece 5 nu are simetric. (R \ {5}, ∗) este grup comutativ. ˆIn acest grup 5x − 24 elementul neutru este e = 6 ¸si simetricul lui x 6= 5 este x′ = 6= 5. x−5

2.55. Indicat¸ie. Fie a ∈ G ¸si fa : X → G, fa (x) = a. Funct¸ia ϕ : G → GX , ϕ(a) = fa este un omomorfism injectiv.

2.56. Indicat¸ie. Se ia ˆın i) x = 0. 2.57. Indicat¸ie. Faptul c˘a aG = G = Ga pentru orice a ∈ G este echivalent cu faptul c˘ a pentru orice a, b ∈ G ecuat¸iile ax = b ¸si ya = b au solut¸ii ˆın G.

2.58. Indicat¸ii. b) Se consider˘a cazurile i) n = 0, ii) n ∈ N∗ , iii) −n ∈ N∗ . Cazul ii) se

demonstreaz˘ a prin induct¸ie dup˘ a n, iar solut¸ia pentru cazul iii) rezult˘ a din ii), a) ¸si din definit¸ia puterilor cu exponent negativ. c) Dac˘ a m = 0 sau n = 0, egalitatea are loc. Prin induct¸ie se arat˘ a c˘ a xy = yx ⇒ xm y = yxm , ∀m ∈ N∗ . Folosind acest rezultat avem xy = yx ⇒ yx−1 = x−1 y ⇒ x−1 y = yx−1 ⇒ x−m y = yx−m , ∀m ∈ N∗ .

A¸sadar, xy = yx implic˘ a xm y = yxm pentru orice m ∈ Z. Folosind acest fapt deducem: xm y = yxm ⇒ xm y n = y n xm , ∀n ∈ Z.

160

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

2.59. Indicat¸ie. Se folose¸ste punctul i) al problemei anterioare. 2.60. Indicat¸ii. Dac˘a a ∈ G este regulat atunci funct¸iile ta , t′a : G → G, ta (x) = ax,

t′a (x) = xa fiind injective, sunt ¸si surjective (deoarece G este finit), deci pentru orice a, b ∈ G ecuat¸iile ax = b ¸si ya = b au solut¸ii ˆın G ¸si astfel G este grup. Grupurile infinite nu pot fi caracterizate analog: de exemplu, (Z∗ , ·) este un semigrup ˆın care orice element este regulat, dar nu e grup.

2.61. Indicat¸ie. Fie a ∈ R, a > 0, a 6= 1. Funct¸ia f : R∗+ → R, f (x) = loga x este un

izomorfism.

2.62. Indicat¸ie. f : R → R, f (x) =

√ n

x este un izomorfism al lui (R, +) pe (R, ∗).

2.63. Indicat¸ie. Funct¸ia f : C → R × R, f (a + bi) = (a, b) este un izomorfism al lui a ¸si numai dac˘ a (C, +) ˆın (R × R, +). ˆIn (R∗ × R∗ , ·) avem [(a, b)]n = (1, 1) (n ∈ N∗ ) dac˘ ∗ ∗ ∗ a, b ∈ {−1, 1}. Dac˘ a ar exista un izomorfism g al lui (C , ·) ˆın (R × R , ·) atunci toate r˘ ad˘ acinile complexe z ale unit˘ a¸tii (care formeaz˘ a o mult¸ime infinit˘ a) ar verifica o egalitate de forma [g(z)]n = (1, 1) deci biject¸ia g ar duce o submult¸ime infinit˘ a a domeniului ˆıntr-o submult¸ime finit˘ a a codomeniului, ceea ce e imposibil.

2.64. Indicat¸ii. i) Corespondent¸a (g, g′ ) 7→ (g′ , g) realizeaz˘a un izomorfism.

ii) Corespondent¸ele (g, g′ , g′′ ) 7→ ((g, g′ ), g′′ ) ¸si (g, g′ , g′′ ) → 7 (g, (g′ , g′′ )) realizeaz˘ a izomorfisme. Aceste izomorfisme pot fi obt¸inute ¸si aplicˆ and proprietatea de universalitate a produsului direct de grupuri.

2.65. Indicat¸ie. Surjectivitatea lui ta (respectiv t′a ) este echivalent˘a cu faptul c˘a pentru orice b ∈ G ecuat¸ia ax = b (respectiv ya = b) are solut¸ie ˆın G.

2.66. Indicat¸ie. ii) Dac˘a (G, ·) este un monoid atunci corepondent¸a g 7→ tg realizeaz˘a izomorfismul cerut. iii) Funct¸ia ϕ : G → T ′ (G), ϕ(g) = tg−1 este izomorfism.

2.67. Indicat¸ie. i) Compusa a dou˘a omomorfisme de grupoizi este, de asemenea, un omomorfism. ii) Aut(G, ·) = U (End(G, ·), ◦). 2.68. Indicat¸ie. ii) Dac˘a 0′ este elementul neutru din (G′ , +) atunci θ : G → G′ ,

θ(x) = 0′ este elementul neutru din (Hom(G, G′ ), +), iar dac˘ a f : G → G′ este un omomorfism atunci −f : G → G′ , (−f )(x) = −f (x) este, de asemenea, un omomorfism.

2.69. Indicat¸ii. S˘a remarc˘am c˘a ˆınmult¸irea definit˘a este determinat˘a de (distributivitatea sa fat¸˘ a de adunare ¸si) de produsele din tabla · 1 i j k

1 1 i j k

i i −1 −k j

j j k −1 −i

k k −j i −1

i) 1 = 1 + 0i + 0j + 0k este elementul neutru. ii) Pentru q = a1 + a2 i + a3 j + a4 k lu˘ am 2 2 2 2 q = a1 − a2 i − a3 j − a4 k ¸si N (q) = qq. Avem N (q) = a1 + a2 + a3 + a4 , iar dac˘ a q 6= 0 1 −1 atunci q = · q. N (q)

161 2.70. Evident, H 6= ∅ (de exemplu, 1 ∈ H). ˆIntrucˆat |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | ¸si |z|−1 = |z −1 |, avem z1 , z2 ∈ H ⇒ |z1 | = 1 = |z2−1 | ⇒ |z1 · z2−1 | = |z1 | · |z2−1 | = 1 ⇒ z1 · z2−1 ∈ H. Deci H este subgrup al lui (C∗ , ·). Cum 1 ∈ H, dar 1 + 1 ∈ / H, H nu este parte ′ ∗ ′ stabil˘a, deci nici subgrup, ˆın (C, +). Luˆand H = R , H este subgrup al lui (C∗ , ·), dar H ∪H ′ nu este subgrup deoarece nu este parte stabil˘a (de exemplu, 2, i ∈ H ∪H ′ ¸si 2i ∈ / H ∪ H ′ ). 2.71. Indicat¸ie. ∅ ∈ I \ S. 2.72. Indicat¸ii. i) Supremumul mult¸imii vide ˆın laticea subsemigrupurilor lui G este ∅, care nu este un subgrup al lui G. ii) H = sup(hxi)x∈H .

2.73. Indicat¸ie. Dac˘a H1 , H2 ≤ G ¸si exist˘a h1 ∈ H1 \ H2 , h2 ∈ H2 \ H1 atunci h1 h2 ∈ / H1 ∪ H2 pentru c˘ a h1 h2 ∈ H1 implic˘ a h2 ∈ H1 , iar h1 h2 ∈ H2 implic˘ a h1 ∈ H2 .

2.74. Indicat¸ie. H3 ⊆ H1 ∪ H2 dac˘a ¸si numai dac˘a H3 = (H1 ∩ H3 ) ∪ (H2 ∩ H3 ) ¸si se poate folosi ultima parte din problema anterioar˘ a.

2.75. Indicat¸ie. Fie f : H × K → H · K, f (h, k) = hk ¸si ρ = ker f . Cum f este o ˆ funct ¸ie surjectiv˘a avem |(H × K)/ρ| = |H · K| (vezi [34, Teorema 1.8.15]). In plus, (h, k) = |H ∩ K|, deoarece clasa de echivalent¸˘a (h, k) a lui (h, k) este (h, k) = {(hkg −1 , g) | g ∈ (H ∩ K)k}.

Toate clasele din (H × K)/ρ avˆand cardinalul |H ∩ K| ¸si cardinalul mult¸imii claselor fiind |H · K| avem |H| · |K| = |H × K| = |H · K| · |H ∩ K|. 2.76. R˘ a spuns.

1 2 a) ˆIn S7 , 1 4 1 2 3 4 5 1 3 2 6 7 σ3 ◦ σ4 ◦ σ5 = 1 2 3 4 5 8 1 2 5 4

3 3 6 4 1 6 6 7

4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 = (2, 4, 5, 7), = (1, 2) ¸si 5 7 6 2 2 1 3 4 5 6 7 7 nu este un ciclu. b) σ13 = (4, 8, 6, 5), σ22 ◦ σ1 = (2, 3, 5, 8, 4, 6), 5 2 3 4 5 6 7 8 , σ34 ◦ σ42 = (2, 4, 8, 7, 3, 5, 6), σ5 ◦ σ4 ◦ σ3 = 4 7 1 3 8 5 2 7 8 . 3 6

2.77. Dac˘a f ∈ SM \ {1M } atunci exist˘a a ∈ M astfel ˆıncˆat b = f (a) 6= a. Din |M| ≥ 3 rezult˘a c˘a exist˘a c ∈ M \ {a, b}. Luˆand funct¸ia g : M → M definit˘a prin g(b) = c, g(c) = b ¸si g(x) = x pentru orice x ∈ M \ {b, c} avem (f ◦ g)(a) = b ¸si (g ◦ f )(a) = c ceea ce implic˘a f ◦ g 6= g ◦ f . 2.78. Dac˘a f, g ∈ SM sunt permut˘ari disjuncte ¸si x ∈ M atunci avem una din urm˘atoarele posibilit˘a¸ti: i) f (x) = x = g(x), ii) f (x) 6= x (¸si atunci x = g(x)) sau iii) g(x) 6= x (¸si atunci x = f (x)). ˆIn primul caz avem (f ◦ g)(x) = x = (g ◦ f )(x). ˆIn cazul ii) avem (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x), iar cum f (x) 6= x ¸si f este injectiv˘a avem f (f (x)) 6= f (x), deci f (x) = g(f (x)) = (g ◦ f )(x). Analog se trateaz˘a ¸si cazul iii). A¸sadar, f ◦ g = g ◦ f .

162

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

2.79. Indicat¸ie. Fie α = (i1 , i2 , . . . , il ) ¸si β = (j1 , j2 , . . . , jk ). Dac˘a {i1 , i2 , . . . , il },

{j1 , j2 , . . . , jk } sunt mult¸imi disjuncte, faptul c˘ a α, β ∈ Sn sunt disjuncte rezult˘ a din definit¸ie. Reciproc, se arat˘ a c˘ a dac˘ a {i1 , i2 , . . . , il } ∩ {j1 , j2 , . . . , jk } = 6 ∅ atunci α ¸si β nu sunt disjuncte. ˆIntr-adev˘ ar, f˘ ar˘ a a restrˆ ange generalitatea putem presupune c˘ a i1 = j1 ¸si atunci α(i1 ) = i2 6= i1 ¸si β(i1 ) = β(j1 ) = j2 6= j1 = i1 .

2.80. R˘ aspuns. a) τ = (1, 9, 2, 12) ◦ (3, 8) ◦ (4, 11, 10) ◦ (5, 6, 7); b) σ = (1, 2, 3) ◦ (4, 5, 6, 8) = (1, 3) ◦ (1, 2) ◦ (4, 8) ◦ (4, 6) ◦ (4, 5) = (1, 2) ◦ (2, 3) ◦ (4, 5) ◦ (5, 6) ◦ (6, 8).

2.81. R˘ aspuns. i) Cn2 ; ii) (n − 1)!; iii) (l − 1)! · Cnl ; iv)

n X (l − 1)! · Cnl . l=2

2.82. Indicat¸ie. iii) se arat˘a prin induct¸ie dup˘a m. 2.83. Indicat¸ii. a) Avem (σ ◦ γ ◦ σ −1 )(σ(ik )) = σ(i1 ). Dac˘a j ∈ {1, . . . , k − 1} avem

(σ ◦ γ ◦ σ −1 )(σ(ij )) = σ(ij+1 ), iar dac˘ ai∈ / {σ(i1 ), . . . , σ(ik )}, adic˘ a σ −1 (i) ∈ / {i1 , . . . , ik }, −1 −1 −1 atunci γ(σ (i)) = σ (i), ceea ce implic˘ a (σ ◦ γ ◦ σ )(i) = i. b) Folosind a) se arat˘ a c˘ a σ1 ◦ σ4 ◦ σ1−1 = (4, 3, 2, 5, 1) ◦ (2, 3) ◦ (2, 6), σ5−2 ◦ σ3 ◦ σ52 = (8, 4, 7) ◦ (7, 5, 2, 3) ◦ (8, 6, 4, 1), σ2−5 ◦ σ4 ◦ σ25 = (8, 2, 1, 3, 4) ◦ (1, 2) ◦ (1, 5). c) Se verific˘ a egalit˘ a¸tile σ1 ◦ σ2 ◦ σ1−1 = σ2 ¸si σ1 ◦ σ3 ◦ σ1−1 = σ3 .

2.84. Fie σ ∈ Sn ¸si γ = (i1 , i2 , . . . , in ). Presupunem c˘a γ ◦ σ = σ ◦ γ. Aceasta ˆınseamna˘a c˘a (γ ◦ σ)(il ) = (σ ◦ γ)(il ) pentru orice l ∈ {1, . . . , n}. A¸sadar, notˆand ik = σ(i1 ) ¸si ˆınlocuind pe l cu 1 obt¸inem ik+1 = σ(i2 ), dac˘a k ≤ n − 1 ¸si i1 = σ(i2 ). Luˆand l = 2 primim ik+2 = σ(i3 ) dac˘a k + 1 ≤ n − 1 ¸si i2 = σ(i3 ). Contimuˆand rat¸ionamentul, conform problemei 2.82, se obt¸ine σ = γ k−1 . Deci σ comut˘a cu γ numai dac˘a σ este o putere a lui γ. ˆIntrucˆat puterile lui γ comut˘a cu γ, urmeaz˘a c˘a elementele din Sn permutabile cu γ coincid cu puterile lui γ. 2.85. Indicat¸ii. a) Orice permutate (diferit˘a de permutarea identic˘a) se scrie ca un produs de cicluri disjuncte ¸si orice ciclu se scrie ca un produs de transpozit¸ii astfel (i1 , i2 , . . . , ik ) = (i1 , ik ) ◦ (i1 , ik−1 ) ◦ · · · ◦ (i1 , i2 ). b) Pentru orice i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j avem (i, j) = (1, i) ◦ (1, j) ◦ (1, i) (vezi 2.83). c) (1, 2) ◦ (2, 3) ◦ (1, 2) = (1, 3), (1, 3) ◦ (3, 4) ◦ (1, 3) = (1, 4) ¸s. a. m. d. (vezi 2.83). d) Conform problemei 2.83 avem (i1 , i2 , . . . , in ) ◦ (i1 , i2 ) ◦ (in , in−1 , . . . , i1 ) = (i2 , i3 ), (i1 , i2 , . . . , in ) ◦ (i2 , i3 ) ◦ (in , in−1 , . . . , i1 ) = (i3 , i4 ) ¸s. a. m. d. e) Cum (j1 , j2 , . . . , jn ) = (jn , j1 , j2 , . . . , jn−1 ) putem face ca i1 s˘ a apar˘ a pe prima pozit¸ie ˆın scrierea ciclului (j1 , j2 , . . . , jn ), apoi, folosind problema 2.82, g˘ asim ˆıntre puterile lui ′ ′ ′ ′ (j1 , j2 , . . . , jn ) = (i1 , i2 , . . . , in ) (cu {i1 , i2 , . . . , in } = {1, 2, . . . , n}) un ciclu de forma (i1 , i2 , i′′3 , . . . , i′′n ) (cu {i1 , i2 , i′′3 , . . . , i′′n } = {1, 2, . . . , n}) ¸si folosim punctul anterior.

2.86. Indicat¸ii. a) Din punctul a) al problemei anterioare se deduce c˘a toate produsele de cˆ ate dou˘ a transpozit¸ii genereaz˘a pe An , iar dac˘ a i, j, k, l ∈ {1, . . . , n} sunt distincte, (i, l) ◦ (i, j) = (i, j, l) ¸si (i, j) ◦ (k, l) = (i, j) ◦ (i, k) ◦ (k, i) ◦ (k, l) = (i, j, k) ◦ (k, l, i). b) Se folose¸ste punctul b) al problemei anterioare ¸si (1, 3) ◦ (1, 2) = (1, 2, 3), (1, 4) ◦ (1, 2) = (1, 2, 4), . . . , (1, n) ◦ (1, 2) = (1, 2, n).

163 2.87. Indicat¸ii. Matricea unitate In are det In = 1, iar dac˘a A, B ∈ Mn (K) atunci det(AB) = det A · det B. Rezult˘ a c˘ a dac˘ a det A 6= 0 atunci det A−1 = (det A)−1 . i) Funct¸ia f : K → Mn (K), f (x) = xIn este un omomorfism injectiv. (Mn (K), ·) nu este grup deoarece matricele cu determinantul nul nu sunt inversabile. a ˆın Mn (K) deoarece ii) GLn (K) este parte stabil˘ A, B ∈ GLn (K) ⇒ det A 6= 0 6= det B ⇒ det(AB) = det A · det B 6= 0 ⇒ AB ∈ GLn (K). Din asociativitatea ˆınmult¸irii matricelor rezult˘ a c˘ a operat¸ia indus˘ a de aceasta ˆın GLn (K) ˆ a In ∈ GLn (K). In plus, dac˘ a A ∈ GLn (K) atunci este asociativ˘ a, iar din det In = 1 rezult˘ det A 6= 0, de unde rezult˘ a c˘ a exist˘ a A−1 ∈ Mn (K) astfel ˆıncˆ at AA−1 = In = A−1 A. Avem det A−1 6= 0, adic˘ a A−1 ∈ GLn (K) ¸si astfel (GLn (K), ·) este grup. Acesta este grupul elementelor inversabile ale monoidului (Mn (K), ·). iii) Funct¸ia ϕ : K ∗ → GLn (K), ϕ(x) = xIn este un omomorfism injectiv. a b iv) Funct¸ia ψ : C∗ → GLn (R), ψ(a + bi) = este un omomorfism injectiv. −b a a A, B ∈ SLn (K) atunci AB ∈ SLn (K) v) Cum In ∈ SLn (K), avem SLn (K) 6= ∅. Dac˘ deoarece det(AB) = det A · det B = 1, iar dac˘ a A ∈ SLn (K), din AA−1 = In deducem det A−1 = det A−1 · det A = 1, a¸sadar A−1 ∈ SLn (K).

2.88. Evident {aIn | a ∈ K ∗ } ⊆ Z(GLn (K)). Invers, dac˘a A = (aij ) ∈ Z(GLn (K)) atunci, pentru orice i, j ∈ {1, . . . , n}, A comut˘a cu matricea Eij obt¸inut˘a din In prin permutarea liniilor i ¸si j, iar din Eij · A = A · Eij rezult˘a aii = ajj ¸si aij = aji . Urmeaz˘a c˘a A este simetric˘a ¸si a11 = a22 = · · · = ann = a. Fie x ∈ K ∗ \ {1} ¸si

x E11



   =  

 0 ... 0 0 ... 0   1 ... 0  , .. ..  . .  0 0 0 ... 1

x 0 0 .. .

0 1 0 .. .

adic˘a matricea obt¸inut˘a din In ˆınlocuind elementul din linia 1 ¸si coloana 1 cu x. Din x x x E11 ∈ GLn (K) rezult˘a c˘a E11 · A = A · E11 , ceea ce implic˘a a1j x = a1j pentru orice j ∈ {2, 3, . . . , n}, de unde rezult˘a c˘a a12 = a13 = · · · = a1n = 0. Analog se obt¸ine a21 = a23 = · · · = a2n = 0, . . . , an1 = an2 = · · · = an,n−1 = 0, deci A = aIn . 2.89. Indicat¸ie. iii) Dac˘a n ∈ Z atunci 2.90. Indicat¸ie. AB = −

1 1 0 1

1 1 0 1

n

=

1 n 0 1

.

.

2.91. Fie In matricea unitate de tipul (n, n), E1 , . . . , En liniile sale ¸si E 1 , . . . , E n coloanele sale. Pentru σ ∈ Sn not˘am σ(In ) = E σ(1) , E σ(2) , . . . , E σ(n) . Avem 

 Eσ−1 (1) σ(In ) ∈ GLn (Z) ¸si σ(In ) =  · · ·  , Eσ−1 (n)

164

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

iar dac˘a σ, τ ∈ Sn atunci   Eσ−1 (1) σ(In )τ (In ) =  · · ·  E τ (1) , E τ (2) , . . . , E τ (n) Eσ−1 (n)   Eσ−1 (1) E τ (1) . . . Eσ−1 (1) E τ (n)   .. .. σ(τ (1)) = , . . . , E σ(τ (n) ) = E . . Eσ−1 (n) E τ (1) . . . Eσ−1 (n) E τ (n) = σ ◦ τ (In ).

Rezult˘a c˘a funct¸ia f : Sn → GLn (Z), f (σ) = σ(In ) este un omomorfism injectiv. 2.92. Indicat¸ie. Se aplic˘a Teorema lui Cayley ¸si problema anterioar˘a. 2.93. R˘ aspuns. ord x = 2, ord y = ∞, ord z = 4, ord u =ord v = ∞ ¸si hxi = {x, x2 },

hyi = {y k | k ∈ Z}, hzi = {z, z 2 , z 3 , z 4 }, hui = {uk | k ∈ Z}, hvi = {v k | k ∈ Z}.

2.94. Fie C(X) = CM X = M \ X complementara submult¸imii X ⊆ M. Avem X△Y = [X ∩ C(Y )] ∪ [Y ∩ C(X)].

(1)

ˆIn stabilirea asociativit˘a¸tii operat¸iei △ avem nevoie de egalitatea (2)

C(X△Y ) = (X ∩ Y ) ∪ [C(X) ∩ C(Y )]

care se deduce din (1), din formulele lui de Morgan ¸si din distributivitatea intersect¸iei fat¸˘a de reuniune astfel: C(X△Y ) = C(X ∩ C(Y )) ∩ C(Y ∩ C(X)) = [C(X) ∪ Y ] ∪ [C(Y ) ∪ X] = {[C(X) ∪ Y ] ∩ C(Y )} ∪ {[C(X) ∪ Y ] ∩ X} = [C(X) ∩ C(Y )] ∪ [Y ∩ C(Y )] ∪ [C(X) ∪ X] ∪ [Y ∩ X] = [C(X) ∩ C(Y )] ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ (X ∩ Y ) = (X ∩ Y ) ∪ [C(X) ∩ C(Y )]. Folosind (1) ¸si (2) avem (X△Y )△Z = [(X + Y ) ∩ C(Z)] ∪ [C(X + Y ) ∩ Z] ={[(X ∩ C(Y )) ∪ (Y ∩ C(X))] ∩ C(Z)} ∪ {[(X ∩ Y ) ∪ (C(X) ∩ C(Y ))] ∩ Z} =[X ∩ C(Y ) ∩ C(Z)] ∪ [Y ∩ C(X) ∩ C(Z)] ∪ [X ∩ Y ∩ Z] ∪ [C(X) ∩ C(Y ) ∩ Z] =(X ∩ Y ∩ Z) ∪ [X ∩ C(Y ) ∩ C(Z)] ∪ [C(X) ∩ Y ∩ C(Z)] ∪ [C(X) ∩ C(Y ) ∩ Z]. La acela¸si rezultat se ajunge ¸si calculˆand pe X△(Y △Z). Deci △ este asociativ˘a. Din definit¸ia operat¸iei △ rezult˘a c˘a △ este comutativ˘a, are element neutru submult¸imea vid˘a ¸si X△X = ∅, adic˘a opusa lui X este X. Deci (P(M), △) este grup abelian ˆın care orice element diferit de ∅ are ordinul 2. 2.95. Indicat¸ie. Problema 2.95 este o generalizare a problemei 2.94 ¸si, pentru a o rezolva, se procedeaz˘ a ˆın mod analog: se arat˘ a c˘ a (x + y)′ = (x ∧ y) ∨ (x′ ∧ y ′ ), se stabile¸ste asocitivitatea lui + demonstrˆ and c˘ a (x + y) + z = (x ∧ y ′ ∧ z ′ ) ∨ (x′ ∧ y ∧ z ′ ) ∨ (x′ ∧ y ′ ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ z) = x + (y + z), se verific˘ a faptul c˘ a cel mai mic element 0 este element neutru ¸si c˘ a x + x = 0.

165 2.96. Indicat¸ie. {{x, −x} | x ∈ G} este o partit¸ie a lui G. 2.97. Dac˘a ord(xy) = n ∈ N∗ atunci ˆınmult¸ind cu y la stˆanga ¸si cu y −1 la dreapta ˆın egalitatea x(yx)n−1 y = (xy)n = 1 avem (yx)n = 1, de unde rezult˘a c˘a ord(yx) este finit ¸si ord(yx) divide pe ord(xy). Analog se obt¸ine ord(xy) | ord(yx), deci ord(xy) = ord(yx). Dac˘a ord(xy) este infinit ¸si ord(yx) ar fi finit, conform celor de mai sus, s-ar obt¸ine o contradict¸ie. 2.98. Reamintim c˘a pentru orice k ∈ Z avem [f (x)]k = f (xk ). Not˘am cu 1 ¸si 1′ elementele neutre din G, respectiv din G′ . i) Dac˘a ord x = n ∈ N∗ atunci [f (x)]n = f (xn ) = f (1) = 1′ , ceea ce implic˘a ordf (x)|n. ii) Dac˘a ord x este finit, egal cu n ∈ N∗ , atunci, conform a), ordf (x) = m ∈ N∗ ¸si m|n. Avem, de asemenea, f (1) = 1′ = [f (x)]m = f (xm ) de unde, pe baza injectivit˘a¸tii lui f , deducem xm = 1, adic˘a n|m. Deci m = n. Dac˘a ord x = ∞ ¸si ordf (x) ar fi finit, egal cu m ∈ N∗ atunci ca mai sus se obt¸ine xm = 1, contradict¸ie. iii) dac˘a ordf (x) = ord x pentru orice x ∈ G atunci f (x) = 1′ implic˘a ord x = 1, adic˘a x = 1. Urmeaz˘a c˘a nucleul lui f este {1}, deci f este injectiv. 2.99. i) Elementul neutru este singurul element de ordinul 1. ii) Pentru orice k ∈ Z avem (x−1 )k = (xk )−1 , deci xk = 1 dac˘a ¸si numai dac˘a (x−1 )k = 1, de unde urmeaz˘a c˘a ord x = ord x−1. iii) Fie d = (k, n) ¸si m = ord(xk ). Avem n = n′ d ¸si k = k ′ d, unde (k ′ , n′ ) = 1. S˘a ar˘at˘am c˘a m = n′ . Din m = ord(xk ) rezult˘a c˘a xkm = 1, iar cum n = ord x deducem c˘a n|km, de unde urmeaz˘a n′ |k ′ m. De aici ¸si din (k ′ , n′ ) = 1 avem n′ |m. Din k = k ′ d, n = n′ d ¸si n = ord x obt¸inem ′

′

′

′

′

′

(xk )n = xkn = xk dn = xk n = (xn )k = 1, a¸sadar m = ord(xk ) divide pe n′ . Cum m, n′ ∈ N∗ , m|n′ ¸si n′ |m avem m = n′ . n n n iv) ord(xk ) = = = = m. (k, n) (k, km) k v) G = hxk i ⇔ ord(xk ) = n ⇔ (k, n) = 1.

n vi) Corespondent¸a d 7→ x d realizeaz˘a un izomorfism de ordine ˆıntre laticea (Dn , |) ¸si laticea subgrupurilor lui (G, ·). Observat¸ie: Cu notat¸iile de mai sus, considerˆand c˘a c.m.m.d.c. a dou˘a numere ˆıntregi este num˘ar natural, din ii) ¸si iii) rezult˘ a c˘ a ord(xk ) =

n pentru orice k ∈ Z. (k, n)

2.100. Fie a = [m, n] ¸si d = (m, n). Dac˘a m = m′ d, n = n′ d (m′ n′ ∈ N∗ ) atunci a = m′ n′ d = mn′ = m′ n. ′ ′ i) Din (xy)a = xa · y a = (xm )n · (y n )m = 1 · 1 = 1 rezult˘a c˘a ord(xy) este finit ¸si divide pe a. ii) Dac˘a b = ord(xy) atunci xb · y b = (xy)b = 1 implic˘a xb = y −b . Dar xb ∈ hxi ¸si y −b ∈ hyi, ceea ce arat˘a c˘a xb = y −b = 1. Cum ord x = m ¸si ord y = n avem m|b ¸si n|b, deci a|b, ceea ce ˆımpreun˘a cu i) conduce la ord(xy) = [m, n]. iii) Din Teorema lui Lagrange avem c˘a |hxi ∩ hyi| divide pe m = |hxi| ¸si pe n = |hyi|, iar cum (m, n) = 1, avem |hxi ∩ hyi| = 1. ˆIn consecint¸˘a, hxi ∩ hyi = {1}, a¸sadar

166

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

ord(xy) = [m, n] = mn. Evident, hxyi ⊆ hx, yi. Cum (m, n) = 1, exist˘a u, v ∈ Z astfel ˆıncˆat um + vn = 1. Deducem c˘a x = xum+vn = (xm )u xvn = xvn = xvn (y n )v = (xy)vn ¸si, analog, y = (xy)um . Deci x, y ∈ hxyi, ceea ce implic˘a hx, yi ⊆ hxyi. iv) Fie {p1 , p2 , . . . , pl } mult¸imea obt¸inut˘a reunind mult¸imea divizorilor primi ai lui m cu mult¸imea divizorilor primi ai lui n. Avem m = pα1 1 · · · pαl l , n = pβ1 1 · · · pβl l , unde αi , βi ∈ N (i = 1, . . . , l). Putem presupune, f˘ar˘a a restrˆange generalitatea, c˘a α1 ≤ β1 , . . . , αk ≤ βk , αk+1 ≥ βk+1 , . . . , αl ≥ βl , unde 1 ≤ k ≤ l. Atunci α

k+1 a = [m, n] = pβ1 1 · · · pβk k pk+1 · · · pαl l ,

α

k+1 unde numerele p = pβ1 1 · · · pβk k , q = pk+1 · · · pαl l sunt relativ prime, iar dac˘a

β

k+1 · · · pβl l , q ′ = pα1 1 · · · pαk k p′ = pk+1 ′

′

atunci ord(xq ) = q ¸si ord(y p ) = p (vezi problema anterioar˘a). Conform punctului ′ ′ ii), elementul xq y p ∈ G are ordinul pq = a. 2.101. Indicat¸ie. Dac˘a i, j = 1, . . . , k, i 6= j atunci hγi i ∩ hγj i = {e} ¸si se aplic˘a ii) din problema anterioar˘ a.

2.102. Indicat¸ie. Vezi problema 2.90 sau dac˘a (SP , ◦) este grupul permut˘arilor planului P ¸si sA , sB sunt simetriile lui P ˆın raport cu dou˘ a puncte diferite A, respectiv B din P atunci ord sA = 2 = ord sB ¸si ord(sA ◦ sB ) = ∞. 2.103. i) Din problema 2.117 rezult˘a c˘a t(G) 6= ∅ (1 ∈ t(G)) ¸si c˘a xy ∈ t(G) pentru orice x, y ∈ t(G). Cum ord x = ord x−1 avem ¸si x−1 ∈ t(G) pentru orice x ∈ t(G), deci t(G) este subgrup. ii) Vezi problema 2.102. 1 1 ∗ iii) De exemplu, ˆın (R , ·) avem ord 2 = ∞ = ord − , dar ord − · 2 = 2. 2 2 A¸sadar, (R∗ \ t(R∗ )) ∪ {1} = R∗ \ {−1} nu este subgrup. iv) Dac˘a h ∈ H atunci, cum H ⊆ t(G), urmeaz˘a c˘a n = ord h < ∞ ¸si hn = 1. Deci h−1 = hn−1 ∈ H. v) Dac˘a G este finit atunci t(G) = G ¸si se aplic˘a iii). 2.104. Indicat¸ii. i) Un izomorfism f : G → G′ induce ˆıntre p˘art¸ile de torsiune un

izomorfism f ′ : t(G) → t(G′ ), f ′ (x) = f (x); ii) t(Q∗ , ·) = {−1, 1} = t(R∗ , ·).

2.105. Indicat¸ie. P˘art¸ile de torsiune nu sunt izomorfe. 2.106. R˘ aspuns. t(C∗ , ·). 2.107. Indicat¸ie. Z = h1i.

167 2.108. Indicat¸ii. iii) Se folose¸ste faptul c˘a orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic sau se poate proceda astfel: dac˘ a H = {0} atunci n = 0, iar dac˘ a H 6= {0} atunci ∗ ∗ ˆ H ∩ N 6= ∅ ¸si n = min(H ∩ N ). Intr-adev˘ ar, nZ ⊆ H, iar dac˘ a h ∈ H atunci, conform teoremei ˆımp˘ art¸irii cu rest ˆın Z, exist˘ a q, r ∈ Z astfel ˆıncˆ at h = nq + r ¸si 0 ≤ r ≤ n − 1. Rezult˘ a c˘a r ∈ H ∩ N ¸si pentru a nu contrazice minimalitatea lui n trebuie ca r = 0, deci h ∈ nZ. Unicitatea lui n rezult˘ a din ii) ¸si antisimetria divizibilit˘ a¸tii ˆın N. iv) Corespondent¸a n 7→ nZ realizeaz˘a un antiizomorfism de ordine (deci ¸si un antiizomorfism laticial) ˆıntre laticea (N, |) ¸si laticea subgrupurilor lui (Z, +). v) Este o consecint¸˘ a imediat˘ a a lui iv). Se poate proceda ¸si astfel: dac˘ a x ∈ mZ ∩ nZ atunci m|x, n|x ¸si avem [m, n]|x, iar dac˘ a [m, n]|x atunci m|x ¸si n|x, ¸si deducem c˘ a mZ ∩ nZ = [m, n]Z; se verific˘ a mZ + nZ ≤ Z, prin urmare exist˘ a d ∈ N astfel ˆıncˆ at mZ + nZ = dZ ¸si d = (m, n) deoarece d|m, d|n, iar dac˘ a d′ ∈ N cu d′ |m ¸si d′ |n atunci d′ ∈ mZ + nZ = dZ, deci d′ |d. vi) Se folose¸ste iii), iv) ¸si [34, Teorema 2.8.13]. vii) (N, |) este latice distributiv˘ a (vezi problema 1.147).

2.109. Fie f : Q → Z un omomorfism, x ∈ Q arbitrar ¸si f(x) = a ∈ Z. Atunci, x x x pentru orice n ∈ N∗ avem a = f (x) = f n · = n·f , iar cum f ∈ Z, n n n deducem c˘a a = 0 (fiind multiplu pentru orice n ∈ N∗ ), a¸sadar f (x) = 0 pentru orice x ∈ Q. Fie n ∈ N, n ≥ 2 ¸si g : Zn → Z un omomorfism. Dac˘a x b ∈ Zn ¸si g(b x) = a ∈ Z b atunci na = ng(b x) = g (nb x) = g (c nx) = g(0) = 0, iar cum n 6= 0, deducem c˘a a = 0, deci g(b x) = 0 pentru orice x b ∈ Zn . 2.110. Indicat¸ii. Dac˘a n ∈ N∗ atunci corepondent¸a k 7→ nk realizeaz˘a un izomorfism de la (Z, +) la (nZ, +). Cum singurul omomorfism de la (Q, +) la (Z, +) este omomorfismul nul, aceste grupuri nu sunt izomorfe.

2π 2π + i sin , iar dac˘ a G este un grup ciclic n n k k de ordinul n generat de x atunci funct¸ia f : G → Un , f (x ) = ε1 este un izomorfism.

2.111. Indicat¸ii. Un = hε1 i, unde ε1 = cos

2.112. Indicat¸ii. Vezi problema 2.99, vi) ¸si problema 2.108, vii). 2.113. Indicat¸ie. Fie (G, ·) un grup infinit. Dac˘a G are un element de ordin infinit

atunci hxi ≃ (Z, +) ¸si din problema 2.108 rezult˘ a c˘ a G are o infinitate de subgrupuri. Dac˘ a toate elementele lui G au ordinele finite ¸si mult¸imea subgrupurilor ciclice ale lui G ar fi format˘ a numai din H1 , . . . , Hn atunci G = H1 ∪ H2 ∪ · · · ∪ Hn , de unde ar urma c˘ a G este finit.

2.114. R˘ aspuns. i) Grupurile cu cˆate un singur element. ii) Grupurile de ordinul p, cu p num˘ ar prim.

2.115. R˘ aspuns. Grupurile cu torsiune. 2.116. Indicat¸ii. i) Grupurile cˆat ale lui (Z, +) sunt (Z/nZ, +), cu n ∈ N. Dac˘a n = 0

atunci Z/{0} = {{k} | k ∈ Z} ≃ Z. Dac˘ a n ∈ N∗ atunci Z/nZ = Zn = {0, 1, . . . , n − 1}, unde i = i + nZ. Operat¸ia din grupul cˆ at este definit˘ a de egalitatea i + j = i + j ¸si avem Zn = h1i. ii) (Zn , +) ≃ (Un , ·) pentru orice n ∈ N∗ .

168

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

2.117. Indicat¸ie. Cum orice grup ciclic este izomorf cu (Z, +) sau cu (Zn , +), n ∈ N∗ ,

este suficient s˘ a demonsr˘ am urm˘ atoarele: ˆ a) (Z × Z, +) nu este ciclic. Intr-adev˘ ar, dac˘ a (a, b) ∈ Z ¸si a 6= b atunci subgrupul h(a, b)i nu cont¸ine perechile (m, m), cu m ∈ Z, iar dac˘ a a = b atunci subgrupul h(a, b)i nu cont¸ine perechile (m, n) ∈ Z × Z, cu m 6= n. Deci pentru orice a, b ∈ Z, subgrupul h(a, b)i este diferit de Z × Z. b) (Z × Zn , +), cu n ∈ N∗ , nu este ciclic deoarece este infinit ¸si are elemente nenule de ordin finit. b’) (Zn × Z, +), cu n ∈ N∗ , nu este ciclic. c) (Zm × Zn , +), cu (m, n) = d > 1, nu este ciclic deoarece ordinul fiec˘ arui element din mn mn (vezi problema 2.100) ¸si < mn. acest grup nu dep˘ a¸se¸ste pe d d d) (Zm × Zn , +), cu (m, n) = 1, este ciclic deoarece elementul (1, b 1) = (1, b 0) + (0, b 1) are ordinul mn.

2.118. Indicat¸ie. Se folose¸ste problema anterioar˘a ¸si se face o induct¸ie dup˘a n. 2.119. Indicat¸ie. Se folose¸ste problema anterioar˘a. 2.120. Cum produsul direct este un grup infinit, ca s˘a fie ciclic ar trebui s˘a fie izomorf cu (Z, +). Atunci orice subgrup nenul al s˘au ar fi ciclic infinit, deci ¸si grupurile din familia dat˘a ar fi infinite, ele fiind izomorfe cu subgrupuri ale produsului direct. Urmeaz˘a c˘a produsul direct are un subgrup ciclic izomorf cu (Z × Z, +) contradict¸ie cu a) din solut¸ia problemei 2.117. 2.121. Presupunem c˘a exist˘a un grup de ordinul 4 neciclic (G, ·). Fie G = {e, a, b, c} ¸si e elementul neutru. Din ipoteza c˘a G nu este ciclic urmeaz˘a c˘a nici un element din G nu are ordinul 4. ˆIntrucˆat e este singurul element de ordinul 1 ¸si ordinul fiec˘arui element divide ordinul grupului, rezult˘a ord a = ord b = ord c = 2. Deci a2 = b2 = c2 = e ¸si putem completa ˆın tabla de operat¸ie a lui (G, ·) linia ¸si coloana lui e, precum ¸si diagonala care cont¸ine p˘atratele elementelor din G. · e a b c

e a e a a e b c c b

b b c e a

c c b a e

ˆIntrucˆat translat¸iile unui grup sunt biject¸ii, rezult˘a c˘a ˆın tabla de operat¸ie, atˆat pe fiecare linie cˆat ¸si pe fiecare coloan˘a figureaz˘a toate elementel lui G, f˘ar˘a repetit¸ii. Aceast˘a constatare ne permite s˘a complet˘am toate locurile din tabla de operat¸ie ˆıntr-un singur mod, ca mai sus. Astfel, s-a demonstrat c˘a exist˘a cel mult un grup de ordinul 4 neciclic. Pentru a demonstra existent¸a acestui grup putem proceda astfel: i) Ar˘at˘am c˘a G este un grup ˆın raport cu operat¸ia definit˘a ˆın tabelul de mai sus. ii) G˘asim un exemplu de grup neciclic de ordinul 4. Prima cale duce la complicat¸ii cˆand se demonstreaz˘a asociativitatea operat¸iei. De aceea vom urma calea a doua. ˆIn acest scop consider˘am un dreptunghi ABCD, care nu este p˘atrat, E mijlocul laturii [CD], F mijlocul lui [AB], G mijlocul lui

169 [AD] ¸si H mijlocul lui [BC]. E

D ·M

q· C · MM qq MM q M MO q q Mq G· ·H q q· M M q M q MM qq M q · ·B A· F

Fie urm˘atoarele funct¸ii bijective ale acestui dreptunghi pe el ˆınsu¸si: σ1 = funct¸ia identic˘a, σ2 = simetria ˆın raport cu EF , σ3 = simetria ˆın raport cu GH, σ4 = simetria ˆın raport cu O = AC ∩ BD. Fiecare dintre aceste funct¸ii este determinat˘a de imaginile vˆarfurilor A, B, C, D prin ea. Dea aceea putem face urm˘atoarele identific˘ari: A B C D A B C D A B C D σ1 = , σ2 = , σ3 = , A B C D B A D C D C B A A B C D σ4 = . C D A B Ar˘at˘am c˘a mult¸imea K = {σ1 , σ2 , σ3 , σ4 } formeaz˘a un grup ˆımpreun˘a cu compunerea funct¸iilor. ˆIn acest scop ˆıntocmim tabelul ◦ σ1 σ2 σ3 σ4

σ1 σ1 σ2 σ3 σ4

σ2 σ2 σ1 σ4 σ3

σ3 σ3 σ4 σ1 σ2

σ4 σ4 σ3 σ2 σ1

Din tabel deducem c˘a mult¸imea K este o parte stabil˘a ˆın monoidul funct¸iilor dreptunghiului ˆın el ˆınsu¸si ¸si c˘a unitatea acestui monoid apart¸ine lui K. Deci (K, ◦) este un monoid. Din tabel rezult˘a c˘a σ1−1 = σ1 , σ2−1 = σ2 , σ3−1 = σ3 , σ4−1 = σ4 . Astfel s-a ar˘atat c˘a (K, ◦) este un grup. Tot din tabel deducem c˘a ord σ1 = 1 ¸si ord σ2 = ord σ3 = ord σ4 = 2 . Deci grupul (K, ◦) nu este ciclic, dar din tabel se vede c˘a este comutativ. 2.122. Dac˘a G = {e} este o mult¸ime cu un singur element atunci pe G se poate defini o singur˘a operat¸ie binar˘a ∗ dat˘a de egalitatea e ∗ e = e ¸si (G, ∗) este un grup. Rezult˘a c˘a, abstract¸ie f˘acˆand de un izomorfism, exist˘a un singur grup de ordinul 1. Dac˘a G este un grup de ordinul 2, respectiv 3,5, rezult˘a din [34, Teorema 2.7.10] c˘a G este izomorf cu U2 , respectiv cu U3 , U5 . Dac˘a G este un grup de ordinul 4 atunci distingem dou˘a cazuri: a) G este ciclic ¸si atunci G ≃ U4 ; b) G nu este ciclic ¸si atunci G este izomorf cu grupul (K, ◦) din problema anterioar˘a. Prin urmare, abstract¸ie f˘acˆand de un izomorfism, exist˘a dou˘a grupuri de ordinul 4: grupul r˘ad˘acinilor de ordinul 4 ale unit˘a¸tii ¸si grupul lui Klein. 2.123. Indicat¸ie. Dac˘a x ∈ N∗ , f (x) = f (1| + 1 +{z· · · + 1}) = xf (1) ¸si f (−x) = −f (x). x termeni

170

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

2.124. Indicat¸ie. Dac˘a !f este un endomorfism al grupului (Q, +) ¸si m, n ∈ N∗ atunci m

n 1 1 1 = mf + ··· + . Rezult˘ a c˘ a f (1) = f = nf n n n |n {z n} m termeni m m m m 1 1 f = f (1), f = f (1), iar f − = −f . n n n n n n f

= f

1 , deci n

2.125. Indicat¸ie. Un omomorfism f de la (Z, +) la (G, +) este determinat de f (1). Funct¸ia ϕ : Hom(Z, G) → G, ϕ(f ) = f (1) este un izomorfism de grupuri.

2.126. Indicat¸ie. Un omomorfism f : Z6 → Z3 este determinat de f (1) ¸si f (1) = ba dac˘ a ¸si numai daxc˘ a 6b a=b 0. Deci b a poate fi orice element din Z3 . Rezult˘ a c˘ a exist˘ a 3 omomorfisme de la Z6 ˆın Z3 . Analog se deduce c˘ a exist˘ a 3 omomorfisme ale lui Z3 ˆın Z9 .

2.127. Indicat¸ie. Fie x ∈ Z. Not˘am cu x, respectiv xb clasa lui x ˆın Zm , respectiv

Zn . Dac˘ a f : Zm → Zn este un omomorfism atunci f este determinat de f (1) ∈ Zn ¸si mf (1) = f (m) = f (0) = b 0 ¸si nf (1) = b 0. Prin urmare, dac˘ a d = (m, n) ¸si n = kd atunci b d f (1) = 0 deoarece exist˘ a u, v ∈ Z astfel ˆıncˆ at um + vn = d. Rezult˘ a c˘ a reprezentant¸ii lui f (1) sunt multipli de k, adic˘ a f (1) ∈ kZn . Dac˘ ab a ∈ kZn atunci funct¸ia f : Zm → Zn , f (x) = x ca este un omomorfism. Funct¸ia ϕ : Hom(Zm , Zn ) → kZn , ϕ(f ) = f (1) este un D E b izomorfism, iar kZn = k ¸si ordinul lui b k este d. Deci kZn ≃ Zd .

2.128. Indicat¸ie. Cum f (G) = f (hai) = hf (a)i, omomorfismul f este surjectiv dac˘a ¸si

numai dac˘ a G = hf (a)i.

2.129. Indicat¸ii. i) Singurele automorfisme ale lui (Z, +) sunt 1Z ¸si −1Z (vezi problema

2.123). ii) (Z5 , +) este generat de orice x ∈ Z∗5 = Z5 \ {0}. Din problema anterioar˘ a rezult˘ a c˘a automorfismele lui Z5 sunt date de urm˘ atoarele egalit˘ a¸ti: f1 (x) = x, f2 (x) = 2x, f3 (x) = 3x, f4 (x) = 4x,

¸si c˘ a Aut(Z5 , +) = hf2 i ≃ Z4 . iii) (Z6 , +) are numai doi generatori: pe 1 ¸si pe 5. Automorfismele lui Z6 sunt date de egalit˘ a¸tile f1 (x) = x ¸si f2 (x) = 5x.

2.130. Indicat¸ii. Dac˘a s ∈ S, h, h′ ∈ H atunci avem: i) f (f (sh)) = f (s) = s = f (sh);

ii) (sh)−1 f (sh) = h−1 s−1 s = h−1 ∈ H; iii) f ((sh′ )h) = f (s(h′ h)) = s = f (sh).

2.131. ¸ie. Din ii) rezult˘a c˘a o clas˘a xH ∈ G/ρH are ca reprezentant pe f (x), [ Indicat deci

f (x)H = G, iar din i) ¸si iii) se deduce c˘ a elemente diferite din f (G) determin˘a

x∈G

clase diferite ˆın G/ρH .

2.132. Fie H subgrup ˆın G, A = aH ¸si x, y, z ∈ A. Atunci exist˘a h1 , h2 , h3 ∈ H astfel ˆıncˆat x = ah1 , y = ah2 , z = ah3 , deci xy −1 z = ah1 h−1 2 h3 ∈ aH = A. Invers, dac˘a A verific˘a condit¸ia din enunt¸ ¸si fix˘am un element a ∈ A, iar H este mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iilor ax = b, cu b ∈ A, atunci H este subgrup al lui G. ˆIntr-adev˘ar, 1 ∈ H, iar dac˘a ax1 = b1 ¸si ax2 = b2 , cu b1 , b2 ∈ A, atunci x2 = a−1 b2 , −1 −1 −1 a(x1 x−1 = b1 b−1 si b1 b−1 a 2 ) = b1 (a b2 ) 2 a ¸ 2 a ∈ A, deci x1 x2 ∈ H. Este evident c˘ A = aH. Analog se procedeaz˘a ˆın cazul claselor la dreapta.

171 2.133. Indicat¸ii. Din teorema de caracterizare a subgrupului se deduce u¸sor c˘a H ≤ G ⇔ H 6= ∅, H · H = H, H −1 = H. i) Dac˘ a H1 H2 ≤ G atunci H1 H2 = (H1 H2 )−1 = (H2 )−1 (H1 )−1 = H2 H1 , iar dac˘ a are loc egalitatea H1 H2 = H2 H1 atunci (H1 H2 )(H1 H2 ) = (H1 H1 )(H2 H2 ) = H1 H2 ¸si (H1 H2 )−1 = (H2 )−1 (H1 )−1 = H2 H1 = H1 H2 . ii) H1 , H2 ⊆ H1 H2 , iar dac˘ a H ≤ G cu H1 , H2 ⊆ H atunci H1 H2 ⊆ H · H = H. iii) Dac˘ a g ∈ G, h1 ∈ H1 ¸si h2 ∈ H2 atunci g−1 (h1 h2 )g = (g−1 h1 g)(g−1 h2 g) ∈ H1 H2 .

2.134. Indicat¸ii. i) Din condit¸ia din enunt¸ se deduce c˘a orice dou˘a produse finite de elemente din X ∪ X −1 comut˘ a. ii) Se folose¸ste i) ¸si faptul c˘ a pentru orice n ∈ N∗ ¸si x1 , . . . , xn ∈ X avem g−1 (x1 x2 · · · xn )g = (g−1 x1 g)(g−1 x2 g) · · · (g−1 xn g). iii) Condit¸ia din enunt¸ conduce la faptul c˘ a orice element din subgrupul hX1 i comut˘ a cu orice element din subgrupul hX2 i, de unde urmeaz˘ a hX1 ihX2 i = hX2 ihX1 i, deci, conform problemei anterioare, punctul ii), avem hX1 ihX2 i = hhX1 i ∪ hX2 ii = hX1 ∪ X2 i. iv) Dac˘ a X1 X2 = X2 X1 atunci hX1 ihX2 i = hX2 ihX1 i ¸si se continu˘ a ca la punctul iii).

2.135. Indicat¸ie. i) Elementul neutru al lui G este (0, 0, 1), inversul lui (m1 , m2 , 1) este (−m1 , −m2 , 1), iar inversul lui (m1 , m2 , −1) este (−m1 , −m2 , −1). ii) Conform punctului ii) al problemei anterioare, H1 E G. iii) Din (1, 0, 1) · (0, 1, 1) = (0, 1, 1) · (1, 0, 1) rezult˘ a c˘ a grupul H1 este comutativ, a¸sadar ˆ H2 E H1 . Ins˘ a H2 nu este normal ˆın G, deoarece H2 = Z × {0} × {1} ¸si (1, 0, 1)−1 · (1, 0, 1) · (1, 0, −1) = (0, 1, −1) ∈ / H2 .

Observat¸ie: Din punctul iii) al problemei anterioare se deduce c˘a relat¸ia E (pe mult¸imea subgrupurilor normale ale unui grup) nu este, ˆın general, tranzitiv˘ a.

2.136. i) S3 = {σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , σ5 , σ6 }, unde σ1 este permutarea identic˘a, σ2 = (2, 3), σ3 = (1, 2), σ4 = (1, 3), σ5 = (1, 2, 3), σ6 = (1, 3, 2). Tabla compunerii ˆın S3 este ◦ σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6

σ1 σ1 σ2 σ3 σ4 σ5 σ6

σ2 σ2 σ1 σ5 σ6 σ3 σ4

σ3 σ3 σ6 σ1 σ5 σ4 σ2

σ4 σ4 σ5 σ6 σ1 σ2 σ3

σ5 σ5 σ4 σ2 σ3 σ6 σ1

σ6 σ6 σ3 σ4 σ2 σ1 σ5

Rezult˘a c˘a σ1 este elementul neutru, σ22 = σ32 = σ42 = σ1 , σ52 = σ6 , σ53 = σ6 ◦ σ5 = σ1 , σ62 = σ5 , σ63 = σ5 ◦ σ6 = σ1 . A¸sadar, σ1 are ordinul 1, σ2 , σ3 , σ4 au ordinul 2, iar σ5 , σ6 au ordinul 3. Ment¸ion˘am c˘a acest fapt rezult˘a ¸si din punctul b) al problemei 2.82. ii) Subgrupurile improprii ale lui S3 sunt {σ1 } ¸si S3 . Din teorema lui Lagrange urmeaz˘a c˘a ordinul unui subgrup divide ordinul grupului. ˆIntrucˆat |S3 | = 3! = 6, rezult˘a c˘a un subgrup propriu poate avea ordinul 2 sau 3. Deducem c˘a subgrupurile

172

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

proprii sunt ciclice ¸si c˘a subgrupurile de ordinul 2 sunt generate de elementele de ordinul 2, iar cele de ordinul 3 sunt generate elemente de ordinul 3. Deci S3 are urm˘atoarele subgrupuri proprii: hσ2 i = {σ1 , σ2 }, hσ3 i = {σ1 , σ3 }, hσ4 i = {σ1 , σ4 }, hσ5 i = {σ1 , σ5 , σ6 } = hσ6 i = A3 .

Diagrama laticii subgrupurilor lui S3 este ◦A0SA3 000AAA 00 AA 00 AAA 00 AA 00 AAA AA A 0 hσ2 i 0 ◦0 ◦hσ3 i ◦ hσ4 i }}◦ 3 00 } 00 }}} } 00 } 00 }}} 00 }}} 0 }} ◦} {σ1 }

deci aceast˘a latice este modular˘a deoarece nu cont¸ine nici o sublatice izomorf˘a cu pentagonul, dar nu este distributiv˘a deoarece are sublatici izomorfe cu diamantul. iii) Subgrupurile improprii ale oric˘arui grup sunt normale. Subgrupul altern este un subgrup de indice 2, deci este normal. Not˘am H1 = hσ2 i, H2 = hσ3 i, H3 = hσ4 i ¸si cu ρi , respectiv ρ′i echivalent¸a la stˆanga, respectiv la dreapta definit˘a de Hi (i = 1, 2, 3). Avem S3 /ρ1 = {{σ1 , σ2 }, {σ3 , σ5 }, {σ4 , σ6 }}, S3 /ρ′1 = {{σ1 , σ2 }, {σ3 , σ6 }, {σ4 , σ5 }}, deoarece σ3 ◦ {σ1 , σ2 } = {σ3 , σ5 }, σ4 ◦ {σ1 , σ2 } = {σ4 , σ6 }, {σ1 , σ2 } ◦ σ3 = {σ3 , σ6 }, {σ1 , σ2 } ◦ σ4 = {σ4 , σ5 }. Rezult˘a c˘a subgrupul H1 nu este normal. Analog se obt¸ine S3 /ρ2 = {{σ1 , σ3 }, {σ2 , σ6 }, {σ4 , σ5 }}, S3 /ρ′2 = {{σ1 , σ3 }, {σ2 , σ5 }, {σ4 , σ6 }}, S3 /ρ3 = {{σ1 , σ4 }, {σ2 , σ5 }, {σ3 , σ6 }}, S3 /ρ′3 = {{σ1 , σ4 }, {σ2 , σ6 }, {σ3 , σ5 }}, deci nici subgrupurile H2 ¸si H3 nu sunt normale. ˆIn concluzie, subgrupurile normale sunt {σ1 }, A3 ¸si S3 . iv) Din iii) rezult˘a c˘a S3 are trei grupuri cˆat. Acestea au ca mult¸imi suport pe S3 /{σ1 } = {{σ1 }, {σ2 }, {σ3 }, {σ4 }, {σ5 }, {σ6 }}, S3 /S3 = {S3 }, S3 /A3 = {A3 , σ2 ◦ A3 },

iar operat¸iile sunt definite astfel: ◦ {σ1 } {σ2 } {σ3 } {σ4 } {σ5 } {σ6 }

{σ1 } {σ1 } {σ2 } {σ3 } {σ4 } {σ5 } {σ6 }

{σ2 } {σ2 } {σ1 } {σ5 } {σ6 } {σ3 } {σ4 }

{σ3 } {σ3 } {σ6 } {σ1 } {σ5 } {σ4 } {σ2 }

{σ4 } {σ4 } {σ5 } {σ6 } {σ1 } {σ2 } {σ3 }

{σ5 } {σ5 } {σ4 } {σ2 } {σ3 } {σ6 } {σ1 }

{σ6 } {σ6 } {σ3 } {σ4 } {σ2 } {σ1 } {σ5 }

173 ◦ S3

S3 S3

◦ A3 σ2 ◦ A3

A3 A3 σ2 ◦ A3

σ2 ◦ A3 σ2 ◦ A3 A3

Deci grupul S3 /{σ1 } este izomorf cu S3 ¸si grupul S3 /A3 este izomorf cu Z2 . 2.137. Indicat¸ii. A4 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3), (1, 2) ◦ (3, 4), (1, 3) ◦ (2, 4), (1, 4) ◦ (2, 3)}, iar laticea subgrupurilor lui A4 este KAAK4 K ss}◦A s}s}} AAKAKK s s}} AAKKK s s AA KK ss}}} s B AA KKK BB |◦K ss }} s | AA KKK s }} BB | s | AA KK BB | ss }} | s B H1 sss H2 }} H3 || B H5 AA H6 KKKH7 K A 0 | ◦ KKK ◦ AA ◦0 ◦H4 ◦ }}◦ sss◦ 0 A KK }}} sss KK AAA 00 KK A 0 }} sss KK AA 00 }}}ssss KK A 0 KK AA 0 s KK A 0 }}s}ss KKAA0 }}ss KKA0 }ss ◦s} {e}

unde H1 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}, H2 = {e, (1, 2, 4), (1, 4, 2)}, H3 = {e, (1, 2) ◦ (3, 4)}, H4 = {e, (1, 3) ◦ (2, 4)}, H5 = {e, (1, 4) ◦ (2, 3)}, H6 = {e, (1, 3, 4), (1, 4, 3)}, H7 = {e, (2, 3, 4), (2, 4, 3)} ¸si K = {e, (1, 2) ◦ (3, 4), (1, 3) ◦ (2, 4), (1, 4) ◦ (2, 3)}. Laticea aceasta nu este modular˘ a deoarece {e, H3 , H6 , K, A4 } este o sublatice a sa izomorf˘ a cu pentagonul.

2.138. Indicat¸ie. ii) Dac˘a N E G atunci partit¸ia determinat˘a pe G de ρH,N coincide cu partit¸ia determinat˘ a pe G de relat¸ia de echivalent¸˘ a la stˆ anga definit˘ a de HN . 2.139. R˘ aspuns. S3 /ρH,N = {{σ1 , (1, 2)}, {(1, 3), (2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 3)}}. 2.140. i) Avem H = {−1, 1, −i, i, −j, j, −k, k}, ord(1) = 1, ord(−1) = 2 ¸si ord(i) = ord(−i) = ord(j) = ord(−j) = ord(k) = ord(−k) = 4. A¸sadar, subgrupurile ciclice ale grupului H sunt H1 = h1i = {1}, H2 = h−1i = {−1, 1}, H3 = hii = {−1, 1, −i, i} = h−ii, H4 = hji = {−1, 1, −j, j} = h−ji ¸si H5 = hki = {−1, 1, −k, k} = h−ki. Din teorema lui Lagrange rezult˘a c˘a ordinul unui subgrup al lui H poate fi 1, 2, 4 sau 8. Orice subgrup cont¸ine elementul neutru, deci singurul subgrup de ordinul 1 este H1 . ˆIntrucˆat orice subgrup de ordinul 2 este ciclic, urmeaz˘a c˘a singurul subgrup de ordinul 2 este H2 . Cum grupul H nu are trei elemente de ordinul 2, rezult˘a c˘a nu are subgrupuri de ordinu 4 neciclice (vezi solut¸ia problemei 2.122). Deci subgrupurile de ordinul 4 sunt H3 , H4 ¸si H5 . Astfel am ar˘atat c˘a mult¸imea subgrupurilor lui H este {H1 , H2 , H3 , H4 , H5 , H}. Subgrupurile H1 ¸si H sunt normale, deoarece subgrupurile improprii ale oric˘arui grup sunt normale. Elementele lui H2 comut˘a cu toate elementele lui H (H2 coincide cu centrul lui H), de unde deducem c˘a H2 este normal. Conform teoremei lui Lagrange avem |H : H3 | = |H : H4 | = |H : H5 | = 2, iar cum orice subgrup de indice 2 este normal, urmeaz˘a c˘a H3 , H4 ¸si H5 sunt normale. A¸sadar, grupul (H, ·) este hamiltonian.

174

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

ii) Laticea subgrupurilor (normale ale) lui H este ?H ◦ ??? ?? ?? H H3 ? ◦ ?? ◦H4 ◦ 5 ?? ?? ? ◦ H2

H1 ◦

Aceast˘a latice este modular˘a deoarece nu are sublatici izomorfe cu pentagonul ¸si nu este distributiv˘a doarece are o sublatice izomorf˘a cu diamantul. iii) Cum x2 , y 2 ∈ {−1, 1} avem x2 y 2 = y 2 x2 . iv) Subgrupurile lui H fiind normale, avem ha, bi = hai · hbi = {1, a, a2 , a3 } · {1, b, b2 , b3 }. ˆIntrucˆat a2 = −1 = b2 ¸si ab ∈ {−c, c} unde c ∈ {i, j, k}\{a, b}, rezult˘a c˘a ha, bi = H. Am v˘azut la punctul i) c˘a ord a = ord b = 4. Deci a4 = 1 = b4 . Celelalte egalit˘a¸ti se verific˘a prin calcul. 2.141. Reamintim c˘a ˆın laticea subgrupurilor normale ale unui grup (G, ·) avem N1 ∧ N2 = N1 ∩ N2 ¸si N1 ∨ N2 = N1 · N2 pentru orice subgrupuri normale N1 , N2 . Modularitatea acestei latici revine la a ar˘ata c˘a N1 , N2 , N3 E G, N1 ⊆ N3 ⇒ N1 · (N2 ∩ N3 ) = (N1 · N2 ) ∩ N3 . Cum N1 ⊆ N1 · N2 ¸si N1 ⊆ N3 avem N1 ⊆ (N1 · N2 ) ∩ N3 , iar din incluziunile N2 ∩ N3 ⊆ N2 ⊆ N1 · N2 ¸si N2 ∩ N3 ⊆ N3 deducem N2 ∩ N3 ⊆ (N1 · N2 ) ∩ N3 . Astfel se obt¸ine implicat¸ia N1 ⊆ N3 ⇒ N1 · (N2 ∩ N3 ) ⊆ (N1 · N2 ) ∩ N3 ,

(∗)

adev˘arat˘a ˆın orice latice ¸si numit˘a proprietatea de submodularitate. Incluziunea invers˘a din concluzia lui (∗) se obt¸ine astfel: dac˘a n3 ∈ (N1 · N2 ) ∩ N3 atunci n3 ∈ N3 ¸si exist˘a n1 ∈ N1 , n2 ∈ N2 astfel ˆıncˆat n3 = n1 · n2 . ˆIn ipoteza N1 ⊆ N3 se −1 −1 deduce c˘a n2 = n−1 sadar, n2 ∈ N2 ∩ N3 ¸si, prin 1 · n3 ∈ N1 · N3 ⊆ N3 · N3 ⊆ N3 . A¸ urmare, n3 = n1 · n2 ∈ N1 · (N2 ∩ N3 ). 2.142. Indicat a G/Z(G) ar fi ciclic atunci ar exista un element a ∈ G astfel [ ¸ie. Dac˘

ˆıncˆ at G =

k∈Z

ak Z(G), de unde ar urma c˘ a grupul (G, ·) este comutativ.

2.143. Indicat¸ii. a) Pentru determinarea subgrupurilor lui Z12 se poate folosi fie faptul c˘ a subgrupurile unui grup ciclic sunt ciclice, fie din faptul c˘ a subgrupurile grupului cˆat Z12 = Z/12Z sunt de forma H/12Z, unde H ≤ (Z, +) cu 12Z ⊆ H. Conform problemei 2.108 rezult˘ a c˘ a H = nZ cu n ∈ N ¸si n|12. Deducem c˘ a n ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 12}, deci subgrupurile lui Z12 sunt: H1 =1Z/12Z = Z12 , H2 = 2Z/12Z = {0, 2, 4, 6, 8, 10}, H3 = 3Z/12Z = {0, 3, 6, 9}, H4 = 4Z/12Z = {0, 4, 8}, H5 = 6Z/12Z = {0, 6}, H6 = 12Z/12Z = {0}.

175 Mult¸imile suport ale grupurilor cˆ at sunt: Z12 /H1 = {Z12 }, Z12 /H2 = {H2 , 1 + H2 }, Z12 /H3 = {H3 , 1 + H3 , 2 + H3 }, Z12 /H4 = {H4 , 1+H4 , 2+H4 , 3+H4 }, Z12 /H5 = {H5 , 1+H5 , 2+H5 , 3+H5 , 4+H5 , 5+H5 }, Z12 /H6 = {i + H6 | i ∈ Z12 } = {{i} | i ∈ Z12 }, iar operat¸iile din grupurile cˆ at sunt definite prin egalit˘ a¸tile (i + Hk ) + (j + Hk ) = i + j + Hk , i, j ∈ Z12 , k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Fie pe cale direct˘ a, fie folosind a treia teorem˘ a de izomorfism pentru grupuri, rezult˘ a c˘ a Z12 /H2 ≃ Z2 , Z12 /H3 ≃ Z3 , Z12 /H4 ≃ Z4 , Z12 /H5 ≃ Z6 , Z12 /H6 ≃ Z12 .

2.144. Indicat¸ie. Subgrupurile unui grup ciclic sunt ciclice. 2.145. Indicat¸ii. i) Dac˘a x, y ∈ G, din ord(xy) = 2 rezult˘a (xy)−1 = xy, adic˘a

y −1 x−1 = xy, de unde urmeaz˘ a yx = xy. ii) Se demonstreaz˘ a prin induct¸ie dup˘ a n = |G|. Dac˘ a n = 1 atunci |G| = 20 . Consider˘ am n > 1 ¸si presupunem proprietatea adev˘ arat˘ a pentru grupurile de ordin cel mult n − 1. Dac˘ a G este un grup de ordinul n care verific˘ a ipoteza afirmat¸iei din enunt¸ ¸si x ∈ G \ {1} atunci hxi E G ¸si grupul cˆ at G/hxi verific˘ a ipoteza afirmat¸iei din enunt¸ ¸si |G/hxi| < n. Conform ipotezei induct¸iei avem |G/hxi| = 2l , deci |G| = 2l · 2 = 2l+1 .

2.146. Fie (G, ·) un grup de ordinul 6. Distingem dou˘a cazuri: i) Dac˘a (G, ·) este ciclic atunci (G, ·) ≃ (Z6 , +). ii) Dac˘a (G, ·) nu este ciclic atunci orice x ∈ G \ {1} are ordinul 2 sau 3, deoarece ordinul unui element divide ordinul grupului. Din problema 2.145 rezult˘a c˘a G cont¸ine un element a de ordinul 3 — aceast˘a proprietate se deduce ¸si din faptul c˘a dac˘a toate elementele din G \ {1} ar avea ordinul 2 atunci G ar avea un subgrup izomorf cu grupul ui Klein. Subgrupul N = hai = {1, a, a2 } are indicele 2, a¸sadar N E G, iar dac˘a b ∈ G \ N atunci bN = Nb, adic˘a {b, ba, ba2 } = {b, ab, a2 b}. ˆIn grupul cˆat G/N = {N, Nb} avem Nb2k = N ¸si Nb2k+1 = Nb. Deci pentru orice c ∈ Nb = G \ N avem Nc3 = Nb, adic˘a c3 ∈ / N. Rezult˘a c˘a ordinul lui c nu este 3, de unde urmeaz˘a c˘a ordinul lui c este 2. Mai avem c˘a ba = a2 b. ˆIntr-adev˘ar, din bN = Nb rezult˘a c˘a ba = ak b (k ∈ {0, 1, 2}), ceea ce implic˘a 1 = (ba)(ba) = (ak b)(ba) = ak+1 , de unde deducem k = 2. ˆIn concluzie, G = {1, a, a2 , b, ba, ba2 } ¸si a3 = 1, b2 = 1, ba = a2 b, deci G = ha, bi, iar a, b verific˘a relat¸iile de mai sus. Deci exist˘a cel mult un un grup neciclic de ordin 6. ˆIntrucˆat (S3 , ◦) are ordinul 6 ¸si nu este ciclic, rezult˘a c˘a orice grup de ordinul 6 neciclic este izomorf cu (S3 , ◦). 2.147. Fie ABC un triunghi echilateral, d1 , d2 , d3 axele sale de simetrie ¸si O centrul s˘au de simetrie (adic˘a {O} = d1 ∩ d2 ∩ d3 ).

176

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II) A

d3

B

O

d2

C d1

Notˆand cu r rotat¸ia ˆın jurul lui O de 120◦ (ˆın sensul acelor de ceasornic), cu s simetria ˆın raport cu d1 ¸si cu ∆3 mult¸imea rotat¸iilor ¸si simetriilor care aplic˘a triunghiul pe el ˆınsu¸si avem ∆3 = {r 0 , r, r 2 , s, r ◦ s, r 2 ◦ s}, deoarece r 0 = 1 este aplicat¸ia identic˘a, r 2 este rotat¸ia de 240◦ , r ◦ s este simetria ˆın raport cu d2 ¸si r 2 ◦ s este simetria ˆın raport cu d3 . Prin urmare, r 3 = 1, s2 = 1, r ◦ s = s ◦ r 2 , iar tabla operat¸iei ◦ este 1 r ◦ 1 1 r r r r2 r2 r2 1 2 s s r ◦s r◦s r◦s s 2 2 r ◦s r ◦s r◦s

r2 r2 1 r r◦s r2 ◦ s s

s r ◦ s r2 ◦ s s r ◦ s r2 ◦ s r ◦ s r2 ◦ s s 2 r ◦s s r◦s 2 1 r r r 1 r2 r2 r 1

Deci (∆3 , ◦) nu este ciclic. Din problema anterioar˘a rezult˘a (∆3 , ◦) ≃ (S3 , ◦). 2.148. Indicat¸ii. Se verific˘a cu u¸surint¸˘a faptul c˘a ∆n este o parte stabil˘a (ˆın raport cu compunerea) a grupului izometriilor planului, c˘ a funct¸ia identic˘ a a planului (pe care o not˘ am cu 1) este ˆın ∆n ¸si c˘ a inversa oric˘ arei izometrii f pentru care f (Pn ) = Pn are aceea¸si arfurile poligonului Pn , despre care presupunem c˘ a se proprietate. Fie A1 , A2 , . . . , An vˆ succed ˆın ordinea scris˘ a, ˆın sensul acelor de ceasornic ¸si fie O centrul cercului circumscris lui. Cum izometriile planului p˘ astreaz˘ a distant¸ele, m˘ asurile unghiurilor ¸si transform˘ a orice segment de dreapt˘ a ˆıntr-un segment de dreapt˘ a, rezult˘ a c˘ a imaginea prin f ∈ ∆n a oric˘ arei laturi a poligonului regulat Pn va fi o latur˘ a a poligonului f (Pn ) = Pn , ceea ce ˆınseamn˘ a c˘ a imaginile prin f ale vˆ arfurilor A1 , A2 , . . . , An sunt determinate, ˆın mod unic, de f (A1 ) ¸si f (A2 ). Aceasta ne permite s˘ a caracteriz˘ am toate elementele din ∆n cu ajutorul rotat¸iei r de centru O ¸si unghi 2π/n ˆın sensul acelor de ceasornic ¸si cu ajutorul simetriei s a planului fat¸˘ a de axa OA1 . ˆIntr-adev˘ ar, deoarece imaginea laturii [A1 A2 ] este o latur˘ a a lui Pn , dac˘a f (A1 ) = Ak (k ∈ {1, . . . , n}) atunci f (A2 ) = Ak+1 sau f (A2 ) = Ak−1 . Dac˘ a f (A1 ) = Ak ¸si f (A2 ) = Ak+1 atunci f = r k−1 , iar dac˘ a f (A1 ) = Ak ¸si f (A2 ) = Ak−1 atunci f = r k−1 ◦ s. n 2 Dar r = s = 1, de unde urmeaz˘ a c˘ a ∆n = {1, r, . . . , r n−1 , s, r ◦ s, . . . , r n−1 ◦ s}. A¸sadar |∆n | = 2n.

177 Observat¸ii: P˘astrˆand notat¸iile de mai sus, se pot stabili urm˘atoarele: a) ∆n este subgrupul grupului izometriilor planului generat de r ¸si s. b) Avem r n−1 ◦ s = s ◦ r deoarece (r n−1 ◦ s)(A1 ) = (s ◦ r)(A1 ), (r n−1 ◦ s)(A2 ) = (s ◦ r)(A2 ). c) Grupul ∆n este determinat de generatorii r, s ¸si relat¸iile r n = 1, s2 = 1, r n−1 ◦ s = s ◦ r. d) Avem (r k )−1 = r n−k pentru orice k ∈ {1, . . . , n − 1}. e) Prin induct¸ie dup˘ a k, se poate demonstra c˘ a r n−k ◦ s = s ◦ r k ¸si (r k ◦ s)−1 = r k ◦ s pentru orice k ∈ {0, . . . , n − 1}. f) Grupul diedral (∆n , ◦) este un grup neciclic de ordin 2n.

2.149. Avˆand ˆın vedere problema anterioar˘a, aceast˘a problem˘a este o generalizare a problemei 2.146. Fie (G, ·) un grup de ordin 2p. Distingem dou˘a cazuri: i) Dac˘a (G, ·) este ciclic atunci (G, ·) ≃ (Z2p , +). ii) Dac˘a (G, ·) nu este ciclic atunci orice x ∈ G \ {1} are ordinul 2 sau p, deoarece ordinul unui element divide ordinul grupului. Din problema 2.145 rezult˘a c˘a G cont¸ine un element a de ordinul p. Subgrupul N = hai = {1, a, . . . , ap−1 } are indicele 2, a¸sadar N E G, iar dac˘a b ∈ G \ N atunci bN = Nb, adic˘a {b, ba, . . . , bap−1 } = {b, ab, . . . , ap−1 b}. ˆIn grupul cˆat G/N = {N, Nb} avem Nb2k = N ¸si Nb2k+1 = Nb. Deci pentru orice c ∈ Nb = G \ N avem Nc3 = Nb, adic˘a c3 ∈ / N. Rezult˘a c˘a ordinul lui c nu este p, de unde urmeaz˘a c˘a ordinul lui c este 2. Mai avem c˘a ba = ap−1 b. ˆIntr-adev˘ar, din bN = Nb rezult˘a c˘a ba = ak b (k ∈ {0, 1, . . . , p − 1}), ceea ce implic˘a 1 = (ba)(ba) = (ak b)(ba) = ak+1 , de unde deducem k = p − 1. ˆIn concluzie, G = {1, a, . . . , ap−1, b, ba, . . . , bap−1 } ¸si ap = 1, b2 = 1, ba = ap−1 b, deci G = ha, bi, iar a ¸si b verific˘a relat¸iile de mai sus. Deci exist˘a cel mult un un grup neciclic de ordin 2p. ˆIntrucˆat (∆p , ◦) are ordinul 2p ¸si nu este ciclic, rezult˘a c˘a orice grup de ordinul 2p neciclic este izomorf cu (∆p , ◦). 2.150. Indicat¸ie. Se aplic˘a problema anterioar˘a pentru p = 5. 2.151. Indicat¸ie. Fie (G, ·) un grup cu 8 elemente. Ordinul unui element din G \ {1}

poate fi 2,4 sau 8. Dac˘ a G are un element de ordinul 8 atunci G este ciclic ¸si deci (G, ·) ≃ (Z8 , +). Presupunem c˘ a G nu are elemente de ordinul 8. Distingem urm˘ atoarele cazuri: a) Dac˘ a fiecare element din G are ordinul 2 atunci G este abelian ¸si G este izomorf cu Z2 × Z2 × Z2 . b) G are un element x de ordinul 4. Rezult˘ a c˘ a N = {1, x, x2 , x3 } este un subgrup de indice 2 al lui G, deci N E G. Urmeaz˘ a c˘ a yN = N y pentru orice y ∈ G \ N , adic˘ a (∗)

{y, yx, yx2 , yx3 } = {y, xy, x2 y, x3 y}.

ˆIn grupul cˆ at G/N avem y 2 N = N , adic˘ a y 2 ∈ N . Dac˘ a am avea y 2 = x sau y 2 = x3 ar rezulta c˘ a y are ordinul 8, ceea ce este exclus. Urmeaz˘ a c˘ a y 2 = 1 sau y 2 = x2 ceea ce, ˆımpreun˘ a cu (∗), implic˘ a yx = xy sau yx = x3 y. Avem, deci, urm˘ atoarele subcazuri: 2 b1 ) y = 1 ¸si yx = xy. Rezult˘ a c˘ a G este abelian ¸si G = hx, yi. Grupul G este izomorf cu Z4 × Z2 . b′1 ) y 2 = x2 ¸si yx = xy. Rezult˘ a c˘ a (xy)2 = x2 y 2 = x4 = 1. Deci z = xy are ordinul 2 ¸si a G ≃ Z4 × Z2 . zN = yN . Suntem, prin urmare, ˆın subcazul b1 ). adic˘ 2 3 b2 ) y = 1 ¸si yx = x y. Grupul G este izomorf cu grupul diedral (∆4 , ◦). b3 ) y 2 = x2 ¸si yx = x3 y. Grupul G este izomorf cu grupul cuaternionilor.

178

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

ˆIn concluzie, grupurile neizomorfe de ordinul 8 sunt Z8 , Z2 × Z2 × Z2 , Z4 × Z2 , grupul diedral de grad 4 ¸si grupul cuaternionilor. Primele trei sunt comutative, iar ultimele dou˘ a sunt necomutative.

2.152. Indicat¸ii. G1 /G1 = {G1 } ≃ {e1 } ≃ {e2 } ≃ {G2 } = G2 /G2 ; G1 /{e1 } ≃ G2 /{e2 } dac˘ a ¸si numai dac˘ a G1 ≃ G2 .

2.153. Indicat¸ie. Se arat˘a c˘a f : GLn (K) → K ∗ , f (A) = det A ¸si g : GLn (Z) → U2 ,

g(A) = det A sunt omomorfisme de grupuri ¸si se aplic˘ a prima teorem˘ a de izomorfism.

2.154. Indicat¸ii. Se arat˘a c˘a funct¸iile urm˘atoare sunt omomorfisme de grupuri ¸si se aplic˘ a prima teorem˘ a de izomorfism: a) f : C → R, f (a + bi) = b; b) f : Q∗ → Q∗+ , ∗ f (x) = |x|; c) f : R → R∗+ , f (x) = |x|.

2.155. Indicat¸ii. Se arat˘a c˘a funct¸iile: i) f : R → H, f (x) = cos(2πx) + i sin(2πx); ii)

f : C∗ → R∗+ , f (z) = |z|; iii) f : C∗ → H, f (z) = aplic˘ a prima teorem˘ a de izomorfism.

z sunt omomorfisme de grupuri ¸si se |z|

2.156. Indicat¸ii. i) A constituie un sistem de reprezentant¸i pentru (Q/Z, +).

p ii) O clas˘ a din Q/Z este de forma + Z cu p, q ∈ N, p 6= 0, (p, q) = 1, p < q, iar ordinul q p clasei + Z este q. q 1 1 2 n−1 iii) Subgrupul ciclic H = + Z = Z, + Z, + Z, . . . , + Z are ordinul n. n n n n p Dac˘ a H ′ este un subgrup oarecare de ordinul n ¸si + Z ∈ H ′ (p, q ∈ N, (p, q) = 1) atunci q np np + Z = Z, adic˘ a ∈ Z de unde, ˆıntrucˆ at p, q ∈ N, (p, q) = 1 rezult˘ a c˘ a exist˘ a n′ ∈ N q q p n′ p astfel ˆıncˆ at n = n′ q. A¸sadar, + Z = + Z ∈ H. Deci H ′ ⊆ H ¸si |H ′ | = n = |H|, ceea q n ce implic˘ a H = H ′.

2.157. Indicat¸ie. Se aplic˘a prima teorem˘a de izomorfism omomorfismului de grupuri f : Q → C∗ , f (x) = cos(2πx) + i sin(2πx).

2.158. Indicat¸ii. i) Se verific˘a u¸sor c˘a fa,b ∈ SR . Pentru orice x ∈ R avem (fa,b ◦ fc,d )(x) = fa,b (cx + d) = acx + ad + b = fac,ad+b (x), iar dac˘ a a 6= 0 ¸si ax + b = y atunci x = (1)

1 b y − , adic˘ a a a

−1 fa,b ◦ fc,d = fac,ad+b ¸si fa,b = f 1 ,− b . a

a

−1 Deci fa,b ◦ fc,d ∈ G ¸si fa,b ∈ G pentru a 6= 0 6= c, ceea ce arat˘ a c˘ a G este un subgrup al lui 3 −1 (SR , ◦). Fie f : R → R, f (x) = x . Avem f ∈ SR , dar f ◦ fa,b ◦ f ∈ / G dac˘ a b 6= 0, deci subgrupul G nu este normal. −1 ii) Din (1) rezult˘ a c˘ a fa,0 ◦ fc,0 = fac,0 ¸si fa,0 = f 1 ,0 , ceea ce arat˘ a c˘ a H ≤ G. Se arat˘a a

−1 c˘ a fc,d ◦ fa,0 ◦ fc,d ∈ / H pentru a 6= 1 ¸si d 6= 0. Deci subgrupul H nu este normal. iii) Funct¸ia ϕ : G → R∗ , ϕ(fa,b ) = a este un omomorfism surjectiv al lui (G, ◦) pe (R∗ , ·). Se aplic˘ a prima teorem˘ a de izomorfism lui ϕ. iv) Din i) se deduce c˘ a N nu este normal ˆın (SR , ◦).

179 2.159. Indicat¸ii. i) H −1 = {h−1 | h ∈ H} este un sistem de reprezentant¸i pentru

descompunerea la dreapta, dar H −1 = H. iv) Funct¸ia f : G → H, f (g) = h, unde g = hn, este un omomorfism. Se aplic˘ a prima teorem˘ a de izomorfism lui f .

2.160. Indicat¸ie. b) Fie S3′ submult¸imea lui S4 format˘a din permut˘arile din S4 care las˘ a pe 4 neschimbat. S3′ este un subgrup al lui S4 izomorf cu S3 ¸si

(1, 2) ◦ K = {(1, 2), (3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 2, 3)},

(1, 3) ◦ K = {(1, 3), (1, 2, 3, 4), (2, 4), (1, 4, 3, 2)}, (2, 3) ◦ K = {(2, 3), (1, 3, 4, 2), (1, 2, 4, 3), (1, 4)},

(1, 2, 3) ◦ K = {(1, 2, 3), (1, 3, 4), (2, 4, 3), (1, 4, 2)}, (1, 3, 2) ◦ K = {(1, 3, 2), (2, 3, 4), (1, 2, 4), (1, 4, 3)}.

Deci S3′ este un sistem de reprezentant¸i pentru descompunerea lui S4 ˆın raport cu K la stˆ anga. Din problema anterioar˘ a rezult˘ a c˘ a K E S4 ¸si S4 /K ≃ S3′ . c) Grupul (A4 /K, ◦) are ordinul 3.

2.161. Indicat¸ie. iii) ta = 1G/ρH = t1 ⇔ axH = xH, ∀x ∈ G ⇔ ax ∈ xH, ∀x ∈ G ⇔ a ∈ xHx−1 , ∀x ∈ G.

Observat¸ie: Aceast˘a problem˘a constituie o generalizare a teoremei lui Cayley. 2.162. Indicat¸ii. Conjugatul unui produs este produsul conjugatelor, iar conjugatul a conjugata unei perunui ciclu este σ ◦ (i1 , . . . , il ) ◦ σ −1 = (σ(i1 ), . . . , σ(il )). Deducem c˘ mut˘ ari τ prin σ se obt¸ine astfel: consider˘ am ciclurile din descompunerea lui τ ˆın produs de cicluri disjuncte, aplic˘ am pe σ la fiecare element ce intervine ˆın acestea ¸si compunem ciclurile rezultate. Astfel, dou˘ a permut˘ ari din Sn sunt conjugate dac˘ a ¸si numai dac˘ a descompunerile lor ˆın cicluri disjuncte cont¸in acela¸si num˘ ar de cicluri de lungime dat˘ a. A¸sa se obt¸ine: S3 = {e} ∪ {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} ∪ {(1, 2, 3), (1, 3, 2)}, unde e este permutarea identic˘ a din S3 ¸si S4 = {e} ∪ {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} ∪ {(1, 2) ◦ (3, 4), (1, 3) ◦ (2, 4), (1, 4) ◦ (2, 3)}

∪ {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3)} ∪ {(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2)}, unde e este permutarea identic˘ a din S4 .

2.163. Indicat¸ii. a) Funct¸ia ig : G → G, ig (x) = g−1 xg este un automorfism. Se

folose¸ste problema 2.97. b) Dac˘ a Y = g−1 Xg atunci funct¸ia X → Y , x 7→ g−1 xg este bijectiv˘ a.

2.164. Din α = (1, 2, 5)◦(4, 6) ¸si β = (1, 5)◦(2, 3, 4) rezult˘a c˘a α ¸si β sunt conjugate. Avem: σ −1 ◦ α ◦ σ = β ⇔ α = σ ◦ β ◦ σ −1 ⇔ (1, 2, 5) ◦ (4, 6) = (σ(2), σ(3), σ(4)) ◦ (σ(1), σ(5)),

adic˘a (1, 2, 5) = (σ(2), σ(3), σ(4)) ¸si (4, 6) = (σ(1), σ(5)). Deci σ este determinat de σ(2) ∈ {1, 2, 5} ¸si σ(1) ∈ {4, 6}. Rezult˘a c˘a exist˘a ¸sase permut˘ari σ ce verific˘a condit¸ia din enunt¸.

180

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

2.165. R˘ aspuns. H = {1} ∪ {−1} ∪ {i, −i} ∪ {j, −j} ∪ {k, −k}. 2.166. Indicat¸ie. Dac˘a (G, ·) este un grup ¸si X ⊆ G atunci normalizatorul lui X este N (X) = {g ∈ G | gX = Xg}. x1 x2 y1 y2 ˆIn cazul nostru se caut˘ a matricele nesingulare U = ¸si V = pentru x3 x4 y3 y4 care U A = AU ¸si V B = BV ¸si se obt¸ine x 0 ′ ∗ N (A) = | x, x ∈ R ¸si N (B) = GLn (R). 0 x′

2.167. Indicat¸ie. Se verific˘a condit¸iile din definit¸ia act¸iunii unui grup pe o mult¸ime. 2.168. Indicat¸ie. Se verific˘a reflexivitatea, simetria ¸si tranzitivitatea relat¸iei ∼. 2.169. Indicat¸ie. x ∼ x′ ⇔ ∃g ∈ G : x′ = g−1 xg. 2.170. Indicat¸ie. ∀x, x′ ∈ G, ∃g ∈ G : gx = x′ ⇔ ∀x, x′ ∈ G, x ∼ x′ . 2.171. Indicat¸ie. Corespondent¸ele de la i) ¸si ii) dau prin compunere funct¸iile identice corespunz˘ atoare.

2.172. Indicat¸ie. ii) Dac˘a Ox este orbita lui x atunci funct¸ia ϕ : {gFx | g ∈ G} → Ox , ϕ(gFx ) = gx este bine definit˘ a ¸si este o biject¸ie. 2.173. Indicat¸ie. Dac˘a G act¸ioneaz˘a tranzitiv pe X atunci X = {gx0 | g ∈ G}. Fie Ogx0 orbita lui gx0 ˆın raport cu act¸iunea lui F pe X. Avem

g′ x0 ∈ Ogx0 ⇔ ∃f ∈ F : f (g′ x0 ) = gx0 ⇔ ∃f ∈ F : (g−1 f g′ )x0 = x0 ⇔ ∃f ∈ F : g−1 f g′ ∈ F ⇔ g′ ∈ F gF.

Deci funct¸ia ϕ : {Ogx0 | g ∈ G} → {F gF | g ∈ G}, ϕ(Ogx0 ) = F gF este bijectiv˘ a.

2.174. Indicat¸ie. Fie tg : X → X, tg (x) = gx. Funct¸ia t : G → SX , t(g) = tg este

un omomorfism ¸si N =Ker t. Deci ϕ este un omomorfism injectiv furnizat de faptul c˘a G/N ≃ t(G) ⊆ SX .

2.175. Indicat¸ii. i) Dac˘a x ∈ G atunci |{gxg−1 | g ∈ G}| = |G : N (x)|, unde N (x) este

normalizatorul lui x. ii) Fie k num˘ arul elementelor conjugate cu x. Atunci

hxi ⊆ N (x) ⊆ G ⇒ |G : hxi| = k · |N (x) : hxi| ⇒

n = k · |N (x) : hxi|. m

iii) Fie k num˘ arul elementelor conjugate cu x. Atunci Z(G) ⊆ N (x) ⊆ G ⇒ |G : Z(G)| = |G : N (x)| · |N (x) : Z(G)| ⇒

n = k · |N (x) : Z(G)|. m′

iv) N (x) ⊆ N (xl ) ⊆ G.

2.176. Indicat¸ii. Avem N ((2k + 1, n)) = {(2a, 0) | a ∈ Z} ∪ {(2a + 1, b) | a, b ∈ Z} ¸si

indicele acestui subgrup este infinit, iar N ((2k, n)) = {(2a, b) | a, b ∈ Z}, dac˘ a n 6= 0 ¸si indicele acestui subgrup ˆın G este 2, iar N ((2k, 0)) = G.

181 2.177. Fie (G, ·) un grup cu proprietatea cerut˘a. Rezult˘a c˘a |Z(G)| ≤ 2, deoarece g ∈ Z(G) dac˘a ¸si numai dac˘a clasa de conjugare a lui g este {g}. Dac˘a |Z(G)| = 2 atunci G = Z(G) ceea ce implic˘a G ≃ Z2 . Dac˘a |Z(G)| = 1 atunci G \ {1} este o clas˘a de conjugare. Prin urmare, Dac˘a |G| = n atunci n − 1 divide pe n, ceea ce nu este posibil pentru n > 2. Deci, abstract¸ie f˘acˆand de un izomorfism, (Z2 , +) este singurul grup care are proprietatea cerut˘a. 2.178. Indicat¸ii. i) Dac˘a K1 ∩ K2 K3 6= ∅ atunci exist˘a x ∈ K1 , y ∈ K2 , z ∈ K3 astfel ˆıncˆ at x = yz. Pentru orice x′ ∈ K1 exist˘ a g ∈ G astfel ˆıncˆ at x′ = gxg−1 = (gyg−1 )(gzg−1 ). Dar gyg−1 ∈ K2 ¸si gzg−1 ∈ K3 . Deci x′ ∈ K2 K3 . ii) Fie x ∈ K1 ¸si kx num˘ arul perechilor (y, z) ∈ K2 × K3 pentru care x = yz. Avem ′ kx = kx′ pentru orice x ∈ K1 , iar dac˘ a k = kx atunci k2 k3 = k1 k. 2.179. Indicat¸ie. Avem |H1 xH2 | = |x−1 (H1 xH2 )| = |(x−1 H1 x)H2 |, x−1 H1 x ≤ G,

|x−1 H1 x| = |H1 | ¸si se aplic˘ a problema 2.75.

2.180. Indicat¸ie. Fie Z(G) centrul lui G ¸si a1 , . . . , ak un sistem de reprezentant¸i al arul mult¸imii cˆ at (G \ Z(G))/ ∼, unde ∼ este relat¸ia de conjugare. Dac˘ a ni este num˘ elementelor conjugate cu ai atunci ni | |G|, iar ni > 1 implic˘ a p | ni . Din ecuat¸ia claselor |G| = |Z(G)| + n1 + · · · + nk , rezult˘ a c˘ a p | |Z(G)|, deci Z(G) 6= {1}.

2.181. Indicat¸ii. Cazul p = 2 a fost cuprins ˆın problema 2.122. Fie (G, ·) un grup de

ordinul p2 . Din problema anterioar˘ a rezult˘ a c˘ a Z(G) 6= 1, deci |Z(G)| ∈ {p, p2 }. Dac˘ a 2 G are un element de ordinul p atunci G este ciclic ¸si deci este izomorf cu (Zp2 , +). Presupunem c˘ a G nu are elemente de ordinul p2 . Dac˘ a |Z(G)| = p atunci G ar fi necomutativ ¸si grupul cˆ at G/Z(G) ar fi ciclic (avˆ and ordinul p), ceea ce, conform problemei 2.142, nu a G = Z(G), ceea ce arat˘ a c˘ a G este abelian. Dac˘ a este posibil. Deci |Z(G)| = p2 , adic˘ a ∈ G \ {1} atunci a are ordinul p. Alegˆ and b ∈ G \ hai avem hai ∩ hbi = {1} ¸si G = ha, bi. Rezult˘ a c˘a G ≃ Zp × Zp .

2.182. Indicat¸ie. Se aplic˘a problema anterioar˘a pentru p = 3. 2.183. R˘ aspuns. Grupurile ciclice de ordinul p2 , cu p num˘ar prim. 2.184. Indicat¸ii. i) Cum Z(G) 6= {1} ¸si grupul G nu este comutativ, avem |Z(G)| ∈

{p, p2 }. Dac˘ a |Z(G)| = p2 atunci |G/Z(G)| = p ¸si G/Z(G) ar fi ciclic, ceea ce este imposibil (vezi problema 2.142). Deci |Z(G)| = p. ii) Cum |G/Z(G)| = p2 ¸si G/Z(G) nu este ciclic, avem G/Z(G) ≃ Zp × Zp (vezi problema 2.181).

2.185. Indicat¸ie. Dac˘a g ∈ Gp ¸si f ∈ End(G, ·) atunci ord f (g) | ord g. 2.186. Indicat¸ie. Dac˘a f ∈ End(A, +), a ∈ A ¸si n ∈ N∗ atunci f (na) = nf (a). 2.187. Indicat¸ie. ii) Dac˘a f ∈ End(G) atunci f ∈ End(G/H), prin urmare avem f (H ′ )/H = f (H ′ /H) ⊆ H ′ /H, de unde rezult˘ a f (H ′ ) ⊆ H ′ .

182

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

2.188. Dac˘a Hi , i ∈ I, este o familie de subgrupuri caracteristice (deplin invariante) ¸si f : G → G este un automorfism (endomorfism) atunci ! \ \ \ f Hi ⊆ f (Hi ) ⊆ Hi , f

* [ i∈I

Hi

+!

i∈I

=

*

f

i∈I

[

Hi

i∈I

!+

S

i∈I

=

* [ i∈I

f (Hi )

+

⊆

* [ i∈I

Hi

+

.

2.189. Indicat¸ie. i) Se arat˘a c˘a h {f (X) | f ∈ Aut(G, ·)}i este un subgrup caracteristic

al lui G care include pe X ¸si c˘ a dac˘ a H este un subgrup caracteristic care include pe X S atunci h {f (X) | f ∈ Aut(G, ·)}i ⊆ H. ii) Se procedeaz˘ a ca la i).

2.190. Indicat¸ie. Se aplic˘a lema lui Zorn mult¸imii subgrupurilor caracteristice (deplin invariante) disjuncte de X.

2.191. Indicat¸ii. i) Fie a, b ∈ F (G). Dac˘a hX ∪ {ab−1 }i = G atunci, ˆıntrucˆat are loc

hX ∪ {ab−1 }i ⊆ hX ∪ {a, b}i rezult˘a c˘ a hX ∪ {a, b}i = G, ceea ce implic˘ a hXi = G. A¸sadar −1 ab ∈ F (G). Fie a ∈ F (G) ¸si f : G → G un automorfism. Dac˘ a hX ∪ {f (a)}i = G atunci aplic˘ am pe f −1 ¸si avem hf −1 (X) ∪ {a}i = G ceea ce implic˘ a hf −1 (X)i = G. Aplicˆ and pe f , obt¸inem hXi = G. Deci f (a) ∈ F (G). ii) Fie {Mi | i ∈ I} mult¸imea subgrupurilor maximale ale lui (G, ·) ¸si M intersect¸ia lor. a∈ / M ⇒ ∃i0 ∈ I, a ∈ / Mi0 ⇒ hMi0 ∪ {a}i = G ¸si hMi0 i = Mi0 6= G ⇒ a ∈ / F (G) . Dac˘ a a ∈ / F (G) atunci exist˘ a X ⊆ G astfel ˆıncˆ at hX ∪ {a}i = G ¸si hXi = 6 G. Fie S mult¸imea acelor subgrupuri H ale lui G pentru care avem X ⊆ H ¸si a ∈ / H. Putem aplica lema lui Zorn mult¸imii (S, ⊆), deci exist˘ a un subgrup maximal M ′ pentru care a ∈ / M ′. Deci a ∈ / M.

2.192. Subgrupul Frattini al grupului abelian (Q, +) este Q deoarece grupul (Q, +) nu are subgrupuri maximale. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a M ar fi un subgrup maximal al lui Q atunci, conform [34, Corolarul 2.9.2], grupul cˆat Q/M ar fi un grup simplu, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a Q/M este un grup ciclic de ordin num˘ar prim (vezi [34, Exemplul 2.8.8, b)]). Fie |Q/M| = p. Rezult˘a c˘a pentru orice x ∈ Q avem p(x + M) = M, adic˘a px ∈ M. Deducem astfel c˘a pQ ⊆ M. Dar pQ = Q ¸si M ⊆ Q, deci M = Q, ceea ce contrazice alegerea lui M. Totu¸si, subgrupoidul Frattini al lui (Q, +) nu este Q deoarece {x ∈ Q | x ≥ 0} este un subgrupoid maximal al lui Q. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a B ar fi un subgrupoid al lui Q ce include strict pe {x ∈ Q | x ≥ 0} atunci ˆın B exist˘a un num˘ar rat¸ional negativ p b = (p ∈ Z− , q ∈ N∗ ). Rezult˘a c˘a p = qb ∈ B, cum −p + 1 ∈ Q+ ⊆ B avem q −1 = p + (−p + 1) ∈ B ¸si astfel avem Z− ⊆ B. ˆIn consecint¸˘a, orice num˘ar rat¸ional negativ x apart¸ine lui B deoarece x = [x] + {x} este suma dintre un num˘ar ˆıntreg negativ (partea ˆıntreag˘a a sa) ¸si un num˘ar rat¸ional nenegativ (partea sa fract¸ionar˘a), de unde urmeaz˘a c˘a B = Q. 2.193. R˘ aspuns. [A, B] =

7 4 −2 −1

, [B, C] =

5 −3 −3 2

, [C, A] =

1 2 2 5

.

183 2.194. Indicat¸ii. i), ii) Se folose¸ste definit¸ia comutatorului ¸si se efectueaz˘a calculele. iii), iv) rezult˘ a din i) ¸si ii).

2.195. Indicat¸ie. Se efectueaz˘a calculele ¸si (unde e cazul) se completeaz˘a rat¸ionamentul prin induct¸ie matematic˘ a.



   1 a b 1 a′ b′ 2.196. i) Dac˘a A =  0 1 c  ¸si B =  0 1 c′  atunci 0 0 1 0 0 1 

Rezult˘a c˘a A−1 ii) Avem

(∗) Deci



 1 a′ + a b′ + ac′ + b . AB =  0 1 c′ + c 0 0 1

 1 −a ac − b −c . Deci G ≤ GL3 (Z). = 0 1 0 0 1 

 1 0 a′ c − ac′ . 0 [A, B] =  0 1 0 0 1 A ∈ Z(G) ⇔ a′ c − ac′ = 0, ∀a′ , c′ ∈ Z ⇔ a = 0 = c.

Acum din (∗) rezult˘a c˘a pentru orice A, B ∈ G avem [A, B] ∈ Z(G). Invers, dac˘a A ∈ Z(G) atunci   1 0 b A =  0 1 0  = [A′ , B ′ ], 0 0 1     1 0 0 1 b 0 unde A′ =  0 1 1  ¸si B ′ =  0 1 0 , adic˘a A ∈ G′ . 0 0 1 0 0 1

2.197. N E G ⇔ ∀n ∈ N, ∀g ∈ G, g −1ng ∈ N ⇔ ∀n ∈ N, ∀g ∈ G, n−1 g −1 ng ∈ N ⇔ ∀n ∈ N, ∀g ∈ G, [n, g] ∈ N ⇔ [N, G] ⊆ N. −1 −1 −1 −1 2.198. Indicat¸ie. ∀n1 ∈ N1 , ∀n2 ∈ N2 , n−1 si 1 n2 n1 n2 = n1 (n2 n1 n2 ) ∈ n1 N1 = N1 ¸

−1 −1 −1 n−1 1 n2 n1 n2 = (n1 n2 n1 )n2 ∈ N2 n2 = N2 .

2.199. Indicat¸ie. Folosind problemele 2.194 ¸si 2.195 deducem c˘a oric element din G′ este un produs finit de elemente de forma g−1 [x, y]g, cu g ∈ G ¸si x, y ∈ X, deci apart¸ine lui N .

2.200. R˘ aspuns. H ′ = {−1, 1}. 2.201. R˘ aspuns. S3′ = A3 .

184

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

2.202. Indicat¸ie. Fie n ≥ 3 ¸si Sn′ subgrupul derivat al lui Sn . Avem Sn′ = An . ˆIntr-

adev˘ ar, din faptul c˘ a grupul cˆ at Sn /An este abelian, rezult˘ a c˘ a Sn′ ⊆ An . Fie transpozit¸iile σ1 = (i, j) ¸si σ2 = (j, k). Avem [σ1 , σ2 ] = (i, j) ◦ (j, k) ◦ (i, j) ◦ (j, k) = (i, k, j). Deci orice ciclu de lungime 3 este comutator, iar cum mult¸imea ciclurilor de lungime 3 este un sistem de generatori pentru An (vexi problema 2.86), rezult˘ a c˘ a Sn′ = An .

2.203. Subgrupul H este inclus ˆıntr-un p-subgrup Sylow P . Fie pn ordinul lui P . Demonstr˘am prin induct¸ie dup˘a n c˘a NG (H) 6= H. Dac˘a n = 1 atunci H = {1} ¸si NG (H) = G. Presupunem afirmat¸ia adev˘arat˘a pentru P de ordinul pn . Pentru P de ordinul pn+1 , centrul Z(P ) al lui P este diferit de {1}. Dar Z(P ) ⊆ NG (H) ¸si distingem dou˘a cazuri: i) Dac˘a Z(P ) * H atunci, evident, NG (H) 6= H. ii) Dac˘a Z(P ) ⊆ H atunci, aplicˆand ipoteza induct¸iei subgrupului H ′ = H/Z(P ) al lui P ′ = P/Z(P ), urmeaz˘a c˘a exist˘a xZ(P ) ∈ P ′ , xZ(P ) ∈ / H ′ astfel ˆıncˆat (xZ(P ))−1 H ′ (xZ(P )) = H ′ . Rezult˘a c˘a x ∈ P , x ∈ / H ¸si x−1 Hx = H, adic˘a x ∈ / H ¸si x ∈ NG (H). Deci NG (H) 6= H.

2.204. i) Fie N = NG (P ). ˆIntˆai observ˘am c˘a P este un p-subgrup Sylow al lui H. Fie g ∈ NG (H). Atunci g −1 Hg = H ¸si subgrupul g −1P g este p-subgrup Sylow al lui H. ˆIntrucˆat p-subgrupurile Sylow sunt conjugate, urmeaz˘a c˘a exist˘a h ∈ H astfel ˆıncˆat g −1 P g = h−1 P h, adic˘a hg −1 P gh−1 = P , deci gh−1 ∈ N ⊆ H, ceea ce implic˘a g ∈ H, adic˘a NG (H) ⊆ H. Incluzinea invers˘a are loc deoarece orice subgrup este inclus ˆın normalizatorul s˘au. A¸sadar, NG (H) = H. ii) Fie M = {H, x1 H, . . . , xn H} mult¸imea claselor la stˆanga ale lui H ′ ˆın raport cu H. Grupul P act¸ioneaz˘a pe M prin ˆınmult¸ire la stˆanga, iar yH = H pentru orice y ∈ P , deoarece P ⊆ H. Deci orbita lui H este format˘a numai din H. Fie x ∈ H ′ . Atunci xH ∈ M ¸si ar˘at˘am c˘a dac˘a xH 6= H atunci num˘arul elementelor din orbita lui xH este de forma pk cu k ≥ 1. Pentru aceasta este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a stabilizatorul F al lui xH coincide cu P dac˘a ¸si numai dac˘a yxH = xH pentru orice y ∈ P , adic˘a x−1 yx ∈ H pentru orice y ∈ P , ceea ce ˆınseamn˘a c˘a x−1 P x ⊆ H. Deci P ¸si x−1 P x sunt P subgrupuri Sylow ale lui H, de unde urmeaz˘a c˘a ele sunt conjugate ˆın H, adic˘a exist˘a h ∈ H astfel ˆıncˆat h−1 x−1 P xh = P . Prin urmare, xh ∈ N ⊆ H ¸si x ∈ H. Folosind, acum, faptul c˘a |M| = |H ′ : H| ¸si partit¸ia lui M ˆın orbite, obt¸inem: |H ′ : H| = 1 + pk1 + · · · + pkm , cu ki ≥ 1, adic˘a |H ′ : H| ≡ 1 (mod p). 2.205. Cum |S4 | = 4! = 24 = 23 · 3, urmeaz˘a c˘a 2-subgrupurile Sylow ale lui S4 sunt subgrupurile de ordinul 8, iar 3-subgrupurile Sylow sunt subgrupurile de ordinul 3. Subgrupurile de ordinul 3 ale lui S4 sunt generate de elemente de ordinul 3, iar acestea sunt chiar 3-ciclurile din S4 . Astfel, num˘arul 3-subgrupurilor Sylow este n3 = 4 ¸si acestea sunt h(1, 2, 3)i = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}, h(1, 2, 4)i = {e, (1, 2, 4), (1, 4, 2)}, h(1, 3, 4)i = {e, (1, 3, 4), (1, 4, 3)}, h(2, 3, 4)i = {e, (2, 3, 4), (2, 4, 3)},

185 unde e este permutarea identic˘a din S4 . Pentru a obt¸ine 2-subgrupurile Sylow ale lui S4 proced˘am astfel: dac˘a σ = (1, 2, 3, 4) ¸si τ = (1, 2) ◦ (3, 4) atunci σ 4 = e, τ 2 = e ¸si τ ◦ σ = σ 3 ◦ τ , de unde rezult˘a c˘a subgrupul H = hσ, τ i = {e, (1, 2, 3, 4), (1, 3) ◦ (2, 4), (1, 4, 3, 2), (1, 2) ◦ (3, 4), (1, 3), (2, 4)} (este izomorf cu grupul diedral ∆4 ¸si) are 8 elemente, iar 2-subgrupurile Sylow sunt conjugate cu H. S¸tim, de asemenea, c˘a num˘arul n2 = |S4 : NS4 (H)| al 2subgrupurilor Sylow divide pe |S4 : H| = 3, deci n2 = 1 sau n2 = 3. Dac˘a n2 ar fi egal cu 1 atunci H ar fi subgrup normal ˆın S4 , ceea ce nu este adev˘arat deoarece (1, 4)−1 ◦ (2, 4) ◦ (1, 4) = (1, 2) ∈ / H. Deducem c˘a n2 = 3, iar 3-subgrupurile Sylow ′ −1 ale lui S4 sunt H, H = (1, 4) ◦ H ◦ (1, 4), H ′′ = (1, 2)−1 ◦ H ◦ (1, 2), adic˘a H ¸si H ′ = {e, (1, 4, 2, 3), (1, 2) ◦ (3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 3) ◦ (2, 4), (3, 4), (1, 2)}, H ′′ = {e, (1, 3, 4, 2), (1, 4) ◦ (2, 3), (1, 2, 4, 3), (1, 2) ◦ (3, 4), (2, 3), (1, 4)}. 2.206. Fie (G, ·) un grup de ordinul 15. Din teorema lui Cauchy rezult˘a c˘a G are un element a de ordinul 5 ¸si un element b de ordinul 3. Subgrupul hai este un 5subgrup Sylow. ˆIntrucˆat num˘arul n5 al 5-subgrupurilor Sylow este un divizor al lui 3 ¸si n5 ≡ 1(mod 5). Urmeaz˘a c˘a n5 = 1, a¸sadar hai este singurul 5-subgrup Sylow. Deducem c˘a hai E G, iar din a−1 , b−1 ab ∈ hai rezult˘a a−1 b−1 ab ∈ hai. Analog se demonstreaz˘a c˘a hbi ¸si c˘a a−1 b−1 ab ∈ hbi. Cum orice element din hai \ {1} are ordinul 5 ¸si orice element din hbi \ {1} are ordinul 3, folosind problema 2.99 avem hai ∩ hbi = {1}. Prin urmare, bab−1 = a, adic˘a ba = ab. Acum, folosind problema 2.100, deducem c˘a ord(ab) = 15, deci G este ciclic ¸si G ≃ Z15 . 2.207. Indicat¸ii. Aceast˘a problem˘a este o generalizare a problemei anterioare. Din teorema lui Cauchy deducem c˘ a exist˘ a a, b ∈ G cu ord a = p ¸si ord b = q. Fie np ¸si nq num˘ arul p-subgrupurilor Sylow, respectiv al q-subgrupurilor Sylow ale lui G. Avem np |q ¸si np ≡ 1(mod p), prin urmare np = 1 sau np = q. Dar egalitatea np = q poate avea loc numai ˆın cazul cˆ and q ≡ 1(mod p). Analog nq = 1 sau nq = p, iar egalitatea nq = p poate avea loc numai ˆın cazul cˆ and p ≡ 1(mod q). ˆIn condit¸iile din enunt¸ avem np = nq = 1, a¸sadar hai E G ¸si hbi E G. Ca ˆın solut¸ia problemei anterioare deducem c˘ a ab = ba este un element de ordinul pq, deci un generator al lui G.

2.208. Fie P un p-subgrup Sylow al lui G ¸si Q un q-subgrup Sylow al lui G. Avem |P | = p2 , |Q| = q, iar dac˘a np este num˘arul p-sugrupurilor Sylow ¸si nq este num˘arul q-subgrupurilor Sylow ale lui G atunci np |q ¸si nq |p2 . S˘a presupunem c˘a np > 1 ¸si nq > 1. Urmeaz˘a c˘a np = q ¸si c˘a nq ∈ {p, p2 }. Din q = np ≡ 1(mod p) avem q > p, iar din nq ≡ 1(mod p) ¸si q > p rezult˘a nq = p2 . Este evident c˘a orice element de ordinul q al lui G genereaz˘a un q-subgrup Sylow ¸si c˘a orice dou˘a subgrupuri diferite de ordinul q au intersect¸ia format˘a numai din elementul neutru ceea ce ne conduce la faptul c˘a num˘arul elementelor de ordinul q din G este nq (q − 1) = p2 (q − 1), iar num˘arul elementelor din G care nu sunt de ordinul q este p2 q − p2 (q − 1) = p2 . Cum |P | = p2 ¸si nici un element din P nu are ordinul q, deducem c˘a P este chiar mult¸imea elementelor din G care nu au ordinul q. Dar aceasta se ˆıntˆampl˘a pentru orice p-subgrup Sylow, deci np = 1, contradict¸ie. Prin urmare, np = 1 sau nq = 1, adic˘a P E G sau Q E G ¸si G nu este simplu.

186

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

Dac˘a, ˆın plus, q ∤ p2 − 1 ¸si p ∤ q − 1 atunci, conform celor de mai sus, avem np = 1 ¸si nq = 1. Deducem c˘a P E G, Q E G ¸si (ca ˆın problemele anterioare) c˘a a−1 b−1 ab ∈ P ∩Q pentru orice a ∈ P ¸si b ∈ Q. Din P Q = QP rezult˘a P Q = hP ∪Qi. Din teorema lui Lagrange deducem c˘a |P ∩ Q| divide pe (|P |, |Q|) = (p2 , q) = 1, de unde obt¸inem c˘a P ∩ Q = {1} ¸si aplicˆand problema 2.75 urmeaz˘a c˘a |P Q| = p2 q ¸si astfel, G = P Q = hP ∪ Qi. A¸sadar, ab = ba pentru orice a ∈ P , b ∈ Q, P ¸si Q sunt abeliene, deci G este abelian deoarece orice generatori ai s˘ai comut˘a. 2.209. Fie (G, ·) un grup cu |G| = 255 = 3 · 5 · 17. Un 17-subgrup Sylow H al lui G are ordinul 17, deci este ciclic, iar dac˘a n17 este num˘arul 17-subgrupurilor Sylow ale lui G atunci n17 |15 ¸si n17 ≡ 1(mod 17). Rezult˘a c˘a n17 = 1 ¸si H E G. Grupul cˆat G/H are ordinul 15, de unde, conform problemei 2.206, deducem c˘a este ciclic. Fie a, b ∈ G astfel ˆıncˆat H = hai ¸si G/H = hbHi ¸si fie n =ord(b). Aplicˆand problema 2.98 proiect¸iei canonice determinate de factorizarea modulo H avem 15|n. De asemenea, n divide pe |G| = 15 · 17 ceea ce implic˘a n = 15 sau n = 255. Dac˘a n = 255 atunci G este ciclic, generat de b. Dac˘a n = 15 atunci exist˘a r ∈ {0, . . . , 16} astfel ˆıncˆat b−1 ab = ar , deoarece b−1 ab ∈ H = hai. Presupunem c˘a m pentru un m ∈ N avem b−m abm = ar ¸si deducem c˘a m

m

m

b−(m+1) abm+1 = b−1 (b−m abm )b = b−1 ar b = (b−1 ab)r = (ar )r = ar

m+1

,

m ceea ce arat˘a c˘a b−m abm = ar pentru orice num˘ar natural m. ˆIn particular, avem 15 ar = b−15 ab15 = a, de unde urmeaz˘a r 15 ≡ 1(mod 17). Din Teorema lui Fermat ¸stim c˘a r 16 ≡ 1(mod 17), a¸sadar r ≡ 1(mod 17) ¸si astfel, r = 1. ˆIntrucˆat b−1 ab = a, avem ab = ba, iar din problema 2.100 deducem c˘a ord(ab) = 15 · 17 = 255 ¸si, prin urmare, c˘a G este ciclic.

2.210. Indicat¸ii. i) Avem f : H × H ′ → G, f (h, h′ ) = hh′ .

ii) Kerf = {(h, h−1 ) | h ∈ H ∩ H ′ } deoarece

(h, h′ ) ∈ Kerf ⇔ hh′ = 1 ⇔ h′ = h−1 . iii) Avem hH ∪ H ′ i = HH ′ ¸si f (H × H ′ ) = HH ′ , deci omomorfismul f este surjectiv dac˘a ¸si numai dac˘ a G = HH ′ .

2.211. Indicat¸ie. Se folose¸ste definit¸ia produsului direct. 2.212. Indicat¸ie. X genereaz˘a pe P dac˘a ¸si numai dac˘a I este finit˘a sau |Gi | = 1 pentru orice i ∈ I.

2.213. R˘ aspuns. a) X = {(1, 0), (0, 1)}; b) Generalizarea se poate face la grupul (Zn , +) luˆ and |X| = n ¸si atunci X = {(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1)} sau la suma direct˘ a a familiei de grupuri (A and |X| = |I| ¸si atunci i , +) = (Z, +), i ∈ I, luˆ 1, j = i; X = {fi : I → Z | i ∈ I}, unde fi (j) = 0, j ∈ I \ {i} . 2.214. Indicat¸ii. Dac˘a a ∈ A ¸si ord a = m = pr11 · · · prnn , cu p1 , . . . , pn numere prime

i diferite, atunci numerele mi = mp−r (i ∈ {1, . . . , n}) sunt relativ prime, de unde rezult˘ a i c˘ a exist˘ a s1 , . . . , sn ∈ Z astfel ˆıncˆ at s1 m1 + · · · + sn mn = 1. Avem mi a ∈ Api deoarece pri i mi A = ma = 0 ¸si astfel, * + [ a = s 1 m1 a + · · · + s n mn a ∈ Ap .

p∈P

187 Mai mult, orice element din Ap1 + · · · + Apk se anuleaz˘ a prin ˆınmult¸ire cu un produs de puteri ale numerelor prime p1 , . . . , pk , ceea ce arat˘ a c˘ a pentru orice num˘ ar prim p diferit de p1 , . . . , pk avem Ap ∩ (Ap1 + · · · + Apk ) = {0}, + * M [ deci A = Ap = Ap . p∈P

p∈P

2.215. Indicat ad˘ acinilor unit˘ a¸tii este M ¸ie. Conform problemei anterioare, grupul U al r˘ Z(p∞ ) ¸si se folose¸ste izomorfismul din problema 2.157.

izomorf cu

p∈P

2.216. Din [34, Teorema 2.16.22] rezult˘a c˘a determinarea tuturor grupurilor abeliene finite neizomorfe de ordinul m > 1 se reduce la determinarea tuturor n-uplelor (m1 , . . . , mn ) ∈ Nn cu propriet˘a¸tile: mi > 1, mi+1 |mi ¸si m = m1 · · · mn . De aici deducem c˘a orice divizor prim al lui m este divizor ¸si al lui m1 . ˆIn cazul nostru 32 = 25 , deci n-uplele sunt: 32, (16,2), (8,4), (8,2,2), (4,4,2), (4,2,2,2), (2,2,2,2,2). Rezult˘a c˘a grupurile neizomorfe de ordinul 32 sunt Z32 , Z16 ×Z2 , Z8 ×Z4 , Z8 ×Z2 ×Z2 , Z4 × Z4 × Z2 , Z4 × Z2 × Z2 × Z2 ¸si Z2 × Z2 × Z2 × Z2 × Z2 . 2.217. R˘ aspuns. Z64 , Z32 ×Z2 , Z16 ×Z4 , Z8 ×Z8 , Z16 ×Z2 ×Z2 , Z8 ×Z4 ×Z2 , Z4 ×Z4 ×Z4 , Z8 × Z2 × Z2 × Z2 , Z4 × Z4 × Z2 × Z2 , Z4 × Z2 × Z2 × Z2 × Z2 ¸si Z2 × Z2 × Z2 × Z2 × Z2 × Z2 . 2.218. R˘ aspuns. Z96 , Z48 ×Z2 , Z24 ×Z4 , Z24 ×Z2 ×Z2 , Z12 ×Z4 ×Z2 , Z12 ×Z2 ×Z2 ×Z2 ,

Z6 × Z2 × Z2 × Z2 × Z2 .

2.219. Indicat¸ie. Orice ¸sir descresc˘ator de subgrupuri (normale) cu factorii grupuri simple este de forma Z ⊃ n1 Z ⊃ n1 n2 Z ⊃ · · · , cu n1 , n2 , . . . numere prime, ori un astfel de ¸sir este infinit. 2.220. Indicat¸ii. Dac˘a (A, +) are ¸siruri de compozit¸ie ¸si (∗)

A ⊃ H0 ⊃ H1 ⊃ H2 ⊃ · · · Hn = {0}

este un ¸sir de compozit¸ie atunci Hi+1 este un subgrup maximal ˆın Hi , de unde urmeaz˘ a c˘ a grupul Hi /Hi+1 este simplu, deci finit ¸si de ordin prim (vezi [34, Exemplul 2.8.8, b)]). De aici, avˆ and ˆın vedere c˘ a (∗) implic˘ a |A| = |H0 : H1 ||H1 : H2 | · · · |Hn−1 : Hn | urmeaz˘ a c˘ a grupul A este finit.

2.221. Indicat¸ie. Fie A = Z6 × Z5 . Avem A ≃ Z30 , adic˘a grupul A este ciclic. Dac˘a

d|30 ¸si 30 = dq atunci A are un singur subgrup de ordinul d ¸si anume qA. Avem qA ⊆ q ′ A dac˘ a ¸si numai dac˘ a q ′ |q. A ⊃ 2A ⊃ 2 · 3A ⊃ 2 · 3 · 5A = {(0, b 0)}

este un ¸sir de compozit¸ie ¸si orice ¸sir de compozit¸ie se obt¸ine din acesta, aplicˆ and numerelor 2, 3, 5 o permutare. Deci A are 3! = 6 ¸siruri de compozit¸ie.

2.222. Indicat¸ie. Se procedeaz˘a ca ˆın problema anterioar˘a.

188

CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (SOLUT ¸ II)

2.223. Reamintim c˘a un grup (G, ·) este nilotent de clas˘a k dac˘a num˘arul k ∈ N este cel mai mic cu proprietatea c˘a Zk (G) = G, unde Zn (G) (n ∈ N) sunt termenii ¸sirului central ascendent. Prin urmare k = 1 dac˘a ¸si numai dac˘a Z(G) = G, adic˘a G este abelian ¸si G 6= {1}. 2.224. Indicat¸ie. Fie k clasa de nilpotent¸˘a a lui G. Dac˘a k < 2 atunci tot¸i membrii egalit˘ a¸tilor din enut¸ sunt 1. Avem k = 2 ⇒ Z2 (G) = G ⇒ Z(G/Z(G)) = G/Z(G). Deci G/Z(G) este abelian. Rezult˘ a c˘ a pentru orice x, y ∈ G avem [x, y]Z(G) = Z(G), adic˘ a [x, y] ∈ Z(G) ¸si se folosesc egalit˘ a¸tile din problema 2.194.

2.225. Indicat¸ie. Fie H = {−1, 1, −i, i, −j, j, −k, k} grupul cuaternionilor. Avem Z(H) = {−1, 1} ¸si

H/Z(H) = {{−1, 1}, {−i, i}, {−j, j}, {−k, k}}, iar H/Z(H) este abelian. Rezult˘ a c˘ a Z(H/Z(H)) = H/Z(H), adic˘ a Z2 (H) = H.

2.226. R˘ aspuns. n ∈ {1, 2}. 2.227. (S1 , ◦) ¸si (S2 , ◦) sunt abeliene, deci resolubile. Subgrupul derivat al lui Sn este An (vezi problema 2.202), iar A3 este abelian. Deci ¸sirul derivat al lui S3 este S3 ⊃ A3 ⊃ {e}, unde e este permutarea identic˘a. Rezult˘a c˘a S3 este resolubil de clas˘a 2. Mult¸imea K = {e, (1, 2) ◦ (3, 4), (1, 3) ◦ (2, 4), (1, 4) ◦ (2, 3)} (unde e este permutarea identic˘a din S4 ) este un subgrup normal ˆın S4 ¸si grupul cˆat S4 /K este izomorf cu grupul simetric S3 (vezi problema 2.160). Grupul K este abelian, deci resolubil, iar S3 am v˘azut c˘a este resolubil. Aplic˘am [34, Teorema 2.13.3, 3)] (care arat˘a c˘a orice exindere a unui grup resolubil printr-un grup resolubil este un grup resolubil) ¸si obt¸inem c˘a S4 este resolubil. 2.228. Fie (G, ·) un grup de ordinul 2p (p prim). Grupul G are un subgrup H de ordinul p. Rezult˘a c˘a H este ciclic ¸si de indice 2. Urmeaz˘a c˘a H E G ¸si c˘a grupurile H ¸si G/H sunt resolubile, deci G este resolubil. 2.229. Fie (G, ·) un grup de ordinul pq (p, q numere prime). Dac˘a p = q atunci G este abelian (vezi problema 2.181), deci resolubil. Dac˘a p > q atunci num˘arul p-subgrupurilor Sylow este de forma 1 + kp ¸si divide ordinul lui G, adic˘a pe pq. Rezult˘a k = 0, deci exist˘a un singur p-subgrup Sylow P . ˆIntrucˆat conjugatele unui p-subgrup Sylow sunt p-subgrupuri Sylow, urmeaz˘a c˘a P E G. Cum grupurile P ¸si G/P sunt ciclice, deci resolubile, avem G resolubil.

Capitolul 3 Inele ¸si corpuri 3.1. 1) Ar˘at˘am c˘a c˘a (Z, ⊥) este grup abelian. a) Pentru orice x, y, z ∈ Z, folosind asociativitatea ¸si comutativitatea adun˘arii numerelor ˆıntregi, avem: (x⊥y)⊥z = (x + y + 3)⊥z = x + y + 3 + z + 3 = x + y + z + 6; x⊥(y⊥z) = x⊥(y + z + 3) = x + y + z + 3 + 3 = x + y + z + 6, de unde rezult˘a (x⊥y)⊥z = x⊥(y⊥z), adic˘a ⊥ este asociativ˘a. b) Pentru orice x, y ∈ Z, folosind comutativitatea adun˘arii din Z, avem x⊥y = x + y + 3 = y + x + 3 = y⊥x, adic˘a ⊥ este comutativ˘a. c) Exist˘a e0 ∈ Z astfel ˆıncˆat, pentru orice x ∈ Z, s˘a avem (1)

e0 ⊥x = x = x⊥e0 .

ˆIntrucˆat ⊥ este comutativ˘a, avem: (1) ⇔ e0 ⊥x = x ⇔ e0 + x + 3 = x ⇔ e0 = −3. Deci e0 = −3 ∈ Z este element neutru ˆın (Z, ⊥). d) Pentru orice x ∈ Z exist˘a x′ ∈ Z astfel ˆıncˆat (2)

x′ ⊥x = −3 = x⊥x′ .

ˆIntrucˆat ⊥ este comutativ˘a, avem (2) ⇔ x′ ⊥x = −3 ⇔ x′ + x + 3 = −3 ⇔ x′ = −6 − x ∈ Z. Deci orice element din Z este simetrizabil ˆın (Z, ⊥). Astfel, am ar˘atat c˘a (Z, ⊥) este un grup abelian. 2) Ar˘at˘am c˘a (Z, ⊤) este monoid comutativ. 189

190

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

a) Pentru orice x, y, z ∈ Z, folosind propriet˘a¸tile operat¸iilor + ¸si · din Z avem: (x⊤y)⊤z = (xy + 3x + 3y + 6)⊤z = (xy + 3x + 3y + 6)z + 3(xy + 3x + 3y + 6) + 3z + 6 = xyz + 3xz + 3yz + 6z + 3xy + 9x + 9y + 18 + 3z + 6 = xyz + 3xy + 3xz + 3yz + 9x + 9y + 9z + 24; x⊤(y⊤z) = x⊤(yz + 3y + 3z + 6) = x(yz + 3y + 3z + 6) + 3x + 3(yz + 3y + 3z + 6) + 6 = xyz + 3xy + 3xz + 6x + 3x + 3yz + 9y + 9z + 18 + 6 = xyz + 3xy + 3xz + 3yz + 9x + 9y + 9z + 24, ceea ce ne arat˘a c˘a (x⊤y)⊤z = x⊤(y⊤z), adic˘a ⊤ este asociativ˘a. b) Pentru orice x, y ∈ Z avem x⊤y = xy + 3x + 3y + 6 = yx + 3y + 3x + 6 = y⊤x, adic˘a ⊤ este comutativ˘a. c) Exist˘a e1 ∈ Z astfel ˆıncˆat, pentru orice x ∈ Z, e1 ⊤x = x = x⊤e1 .

(3)

ˆIntrucˆat ⊤ este comutativ˘a, avem: (3) ⇔ e1 ⊤x = x ⇔ e1 x + 3e1 + 3x + 6 = x ⇔ (x + 3)(e1 + 2) = 0, care trebuie s˘a aib˘a loc pentru orice x ∈ Z. Deci e1 = −2 ∈ Z este elementul neutru ˆın (Z, ⊤). 3) Ar˘at˘am c˘a ⊤ este distrbutiv˘a fat¸˘a de ⊥. Pentru orice x, y, z ∈ Z avem: (x⊥y)⊤z = (x + y + 3)⊤z = (x + y + 3)z + 3(x + y + 3) + 3z + 6 = xz + yz + 3x + 3y + 6z + 15; (x⊤z)⊥(y⊤z) = (xz + 3x + 3z + 6)⊥(yz + 3y + 3z + 6) = xy + 3x + 3z + 6 + yz + 3y + 3z + 6 + 3 = xz + yz + 3x + 3y + 6z + 15, de unde rezult˘a (x⊥y)⊤z = (x⊤z)⊥(y⊤z). Din comutativitatea operat¸iei ⊤ rezult˘a ¸si z⊤(x⊥y) = (x⊤z)⊥(z⊤y), deci ⊤ este distributiv˘a ˆın raport cu ⊥. Din 1), 2) ¸si 3) rezult˘a c˘a (Z, ⊥, ⊤) este un inel asociativ, comutativ ¸si cu unitate. ˆIn acest inel, e0 = −3 este elementul zero ¸si e1 = −2 este elementul unitate. Evident c˘a Z 6= {e0 }. Pentru a ar˘ata c˘a (Z, ⊥, ⊤) este domeniu de integritate, mai trebuie ar˘atat c˘a (Z, ⊥, ⊤) nu are divizori ai lui zero, adic˘a (4)

x⊤y = e0 ⇒ x = e0 sau y = e0 .

ˆIntr-adev˘ar, x⊤y = e0 ⇔ xy + 3x + 3y + 6 = −3 ⇔ (x + 3)(y + 3) = 0 ⇒ x = −3 sau y = −3,

191 ceea ce arat˘a c˘a (4) este adev˘arat˘a. ˆIn concluzie, (Z, ⊥, ⊤) este un domeniu de integritate. Determin˘am elementele inversabile. Un element x ∈ Z este inversabil ˆın (Z, ⊥, ⊤) dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a x′′ ∈ Z astfel ˆıncˆat x′′ ⊤x = e1 , adic˘a ∃x′′ ∈ Z : x′′ x + 3x′′ + 3x + 6 = −2 ⇔ ∃x′′ ∈ Z : x′′ (x + 3) = −8 − 3x. Elementul nul e0 = −3 nu este inversabil, deci x 6= −3 ¸si x′′ = −

3x + 8 3(x + 3) − 1 1 =− = −3 + ∈ Z ⇔ x ∈ {−2, −4}. x+3 x+3 x+3

Deci elementele inversabile ˆın (Z, ⊥, ⊤) sunt elementul unitate e1 = −2 ¸si −4. Ment¸ion˘am c˘a ˆın orice inel nenul cu unitatea e1 ¸si elementul nul e0 , e0 nu este inversabil ¸si e1 este inversabil. Observat¸ie: Inelul de mai sus este un de domeniu de integritate care nu este corp. 3.2. Indicat¸ie. Elementul nul este 0, i 6= 0 ¸si i ∗ i = 0, prin urmare, i este un divizor al

lui zero.

3.3. Indicat¸ie. Se verific˘a condit¸iile din definit¸ia corpului. 3.4. i) Observ˘am c˘a X + Y este diferent¸a simetric˘a a mult¸imilor X ¸si Y , iar din problema 2.94 deducem c˘a (P(M), +) este grup abelian. Din propriet˘a¸tile intersect¸iei ¸si definit¸ia operat¸iei · rezult˘a c˘a · este asociativ˘a, comutativ˘a ¸si M este element neutru. Deci (P(M), ·) este monoid comutativ. Stabilim distributivitatea operat¸iei · fat¸˘a de +. ˆIntr-adev˘ar, X · Y + X · Z = (X ∩ Y ) + (X ∩ Z) = [(X ∩ Y ) ∩ C(X ∩ Z)] ∪ [(X ∩ Z) ∩ C(X ∩ Y )] = [X ∩ Y ∩ (C(X) ∪ C(Z))] ∪ [X ∩ Z ∩ (C(X) ∪ C(Y ))] = [X ∩ Y ∩ C(X)] ∪ [X ∩ Y ∩ C(Z)] ∪ [X ∩ Z ∩ C(X)] ∪ [X ∩ Z ∩ C(Y )] = ∅ ∪ [X ∩ Y ∩ C(Z)] ∪ ∅ ∪ [X ∩ Z ∩ C(Y )] = [X ∩ Y ∩ C(Z)] ∪ [X ∩ Z ∩ C(Y )] = X ∩ [(Y ∩ C(Z)) ∪ (Z ∩ C(Y ))] = X · (Y + Z), ceea ce arat˘a c˘a · este distributiv˘a ˆın raport cu +. Deci (P(M), +, ·) este inel asociativ, comutativ, cu unitate. Elementul zero, respectiv elementul unitate este ∅, respectiv M. ii) ˆIn acest inel avem, pentru orice X ⊆ M, X 2 = X, adic˘a X(X − 1) = 0, sau echivalent, X(X + M) = ∅, ceea ce arat˘a c˘a orice X ∈ P(M) \ {∅, M} este divizor al lui zero. iii) Din ii) rezult˘a c˘a inelul (P(M), +, ·) este f˘ar˘a divizori ai lui zero dac˘a ¸si numai dac˘a P (M) = {∅, M}, adic˘a |M| ≤ 1. Dac˘a |M| = 0 atunci M = ∅ ¸si (P(M), +, ·) este inelul nul, iar dac˘a |M| = 1 atunci (P(M), +, ·) este izomorf cu (Z2 , +, ·), de unde rezult˘a c˘a (P(M), +, ·) este corp.

192

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

3.5. Pentru orice a, b ∈ R avem (1 + 1)(a + b) = 1(a + b) + 1(a + b) = 1 · a + 1 · b + 1 · a + 1 · b = a + b + a + b, (1 + 1)(a + b) = (1 + 1)a + (1 + 1)b = 1 · a + 1 · a + 1 · b + 1 · b = a + a + b + b de unde deducem a + b + a + b = a + a + b + b, adic˘a a + b = b + a. 3.6. R˘ aspuns. (Mn (Zm ), +, ·), cu m, n ∈ N, m ≥ 2, n ≥ 2. Observat¸ie: Nu exist˘a corpuri finite necomutative (vezi Teorema lui Wedderburn). 3.7. a) Dac˘a (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 atunci a2 + ab + ba + b2 = a2 + ab + ab + b2 , iar cum ˆın grupul (R, +) se poate simplifica cu orice element, deducem c˘a ab = ba. Din a2 − b2 = (a − b)(a + b) rezult˘a a2 − b2 = a2 + ab − ba − b2 , de unde urmeaz˘a c˘a 0 = ab − ba, adic˘a ab = ba. Dac˘a ab = ba atunci cele dou˘a egalit˘a¸ti se verific˘a imediat. b) T ¸ inem seama de faptul c˘a orice puteri (cu exponent natural nenul) ale elementelor a, b comut˘a (vezi problema 2.58) ¸si proced˘am prin induct¸ie dup˘a n. Pentru n = 1 afirmat¸ia este, evident, adev˘arat˘a, iar dac˘a egalitatea este adev˘arat˘a pentru n atunci (a + b)n+1 = (a + b)n (a + b) = (Cn0 an + Cn1 an−1 b + · · · + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn )a + (Cn0 an + Cn1 an−1 b + · · · + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn )b = Cn0 an+1 + (Cn1 + Cn0 )an b + · · · + (Cnn−1 + Cnn )abn + Cnn bn+1 . k Cum Cn0 = Cnn = 1 ¸si Cnk + Cnk−1 = Cn+1 pentru orice n ∈ N∗ ¸si 1 ≤ k ≤ n, avem 0 1 n n+1 n+1 (a + b)n+1 = Cn+1 an+1 + Cn+1 an b + · · · + Cn+1 abn + Cn+1 b ,

ceea ce finalizeaz˘a rat¸ionamentul prin induct¸ie. Celelalte egalit˘a¸ti se obt¸in efectuˆand calculul din membrul drept. 3.8. Indicat¸ii. Cazul n = 0 este evident. Fie n ∈ N∗ ¸si x, y ∈ R arbitrare. Avem xn (xy n − y n x)y = xn+1 y n+1 − (xn y n ) xy = (xy)n+1 − (xy)n (xy) = (xy)n+1 − (xy)n+1 = 0, adic˘ a xn (xy n − y n x)y = 0. ˆInlocuind pe x cu x + 1 ¸si efectuˆ and calculele din parantez˘a n n n obt¸inem (x + 1) (xy − y x) y = 0. Cum x ¸si 1 comut˘ a, putem dezvolta (x + 1)n dup˘a formula binomului lui Newton. ˆInmult¸ind la stˆ anga egalitatea astfel obt¸inut˘ a cu xn−1 deducem c˘ a xn−1 (xy n − xn y) y = 0. Aplicarea succesiv˘ a a rat¸ionamentului de mai sus ne conduce la egalitatea (xy n − y n x) y = 0. n+1 − y n+1 x y (care este Dac˘a ˆıncepem procedeul de mai sus cu calculul lui xn+1 xy de asemenea 0), concluzia obt¸inut˘ a va fi xy n+1 − y n+1 x y = 0. Prin urmare, (xy − yx)y n+1 = xy n+2 − yxy n+1 = xy n+2 − y n+1 xy − yxy n+1 + y n+1 xy = (xy n+1 − y n+1 x)y − y(xy n − y n x)y = 0.

Cum x, y sunt arbitrare, avem, de asemenea (xy − yx)(y + 1)n+1 = 0, dezvolt˘ am binomial n+1 n n pe (y + 1) , ˆınmult¸im la dreapta cu y ¸si obt¸inem (xy − yx)y = 0. Aplic˘ am succesiv acest rat¸ionament ¸si ajungem ˆın final la egalitatea xy − yx = 0.

193 3.9. Indicat¸ii. Din x3 = x rezult˘a x4 = x2 . Folosind acest rezultat, prin calcul seobt¸ine 2

3

x2 yx2 − x2 y = 0 pentru orice x, y ∈ R. Urmeaz˘ a x2 yx2 − x2 y = x2 yx2 − x2 y = 0, 2 2 2 2 2 2 a¸sadar x yx = x y. Analog se arat˘ a c˘ a x yx = yx , prin urmare, x2 y = yx2 pentru orice x, y ∈ R ¸si astfel avem xy = x3 y 3 = x2 (xyy 2 ) = [(xy)y 2 ]x2 = y 2 (xy)x2 = y(yx)(yx)x = y(yx)2 x = (yx)2 (yx) = (yx)3 = yx.

3.10. Din −x = (−x)6 = x6 = x rezult˘a 2x = x + x = x + (−x) = 0 pentru orice x ∈ R. Atunci x + x2 = (x + x2 )6 = x6 + 6x7 + 15x8 + 20x9 + 15x10 + 6x11 + x12 = x + x3 + x5 + x2 . Prin urmare, x3 + x5 = 0 sau, echivalent, x5 = −x3 = x3 , ceea ce implic˘a x = x6 = x5 x = x3 x = x4 ¸si x2 = x5 = x3 . Astfel, avem x = x6 = x2 x4 = x2 x = x3 = x2 . 3.11. ii)⇒i) Se ia n = 2. i)⇒ii) Demonstr˘am prin induct¸ie dup˘a n ∈ N∗ c˘a, dac˘a i) are loc, atunci P (n) : n ∈ N∗ , an = 0 ⇒ a = 0. Afirmat¸iile P (1) ¸si P (2) sunt, evident, adev˘arate. Fie n ∈ N, n ≥ 3. Presupunem c˘a afirmat¸ia P (k) este adev˘arat˘a pentru orice k ∈ N∗ , k < n ¸si ar˘at˘am c˘a P (n) este adev˘arat˘a. Dac˘a n = 2m este un num˘ar par nenul atunci m ∈ N∗ , m < n ¸si an = a2m = (am )2 . Conform lui i) ¸si faptului c˘a P (m) este adev˘arat˘a avem succesiv: an = 0 ⇔ (am )2 = 0 ⇒ am = 0 ⇒ a = 0. Dac˘a n = 2m − 1 ≥ 3 este un num˘ar impar ¸si an = 0 atunci an+1 = an · a = 0, iar n + 1 = 2m ¸si m < n. Prin urmare, aplicˆand succesiv i) ¸si faptul c˘a P (m) este adev˘arat˘a, avem: an = 0 ⇒ (am )2 = a2m = an+1 = 0 ⇒ am = 0 ⇒ a = 0. 3.12. Aceast˘a problem˘a generalizeaz˘a situat¸ia ˆıntˆalnit˘a ˆın solut¸ia problemei 3.4 ii). Pentru x ∈ R, egalitatea x2 = x are loc dac˘a ¸si numai dac˘a x(x − 1) = 0. Rezult˘a c˘a orice x ∈ R \ {0, 1} este divizor al lui zero. 3.13. Pentru orice idempotent a ∈ R, a − 1 este, de asemenea, idempotent ¸si a(a − 1) = 0, iar din 1 6= 0 rezult˘a a − 1 6= a. Deducem c˘a elementele idempotente ale lui R pot fi grupate ˆın perechi care dau produsul zero. Prin urmare produsul cerut este 1 dac˘a 1 este singurul idempotent nenul, respectiv 0 dac˘a ˆın R exist˘a elemente idempotente diferite de 0 ¸si 1. 3.14. Fie a ∈ R un element idempotent ¸si x ∈ R arbitrar. Atunci (ax − axa)2 = (ax − axa)(ax − axa) = (ax − axa)ax − (ax − axa)axa = axax − axaax − axaxa + axaaxa = axax − axax − axaxa + axaxa = 0. Deducem c˘a ax − axa = 0. Analog se obt¸ine xa − axa = 0, deci ax = axa = xa.

194

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

3.15. Indicat¸ii. a) Dac˘a exist˘a m ∈ N astfel ˆıncˆat (ba)m = b0 atunci n|am , deci pi |am

pentru orice i ∈ {1, . . . , k}. Cum numerele pi sunt prime, rezult˘ a pi |a pentru orice i ∈ {1, . . . , k}, iar din faptul c˘ a sunt distincte deducem c˘ a p1 · · · pk |a. Reciproc, dac˘ a p1 · · · pk |a m =b ¸si lu˘ am m = max{α1 , . . . , αk } atunci ac 0. b) Este o consecint¸˘ a imediat˘ a a lui a).

3.16. Fie P mult¸imea nunerelor prime, n = pα1 1 · · · pαk k , cu p1 , . . . , pk ∈ P distincte ¸si α1 , . . . , αk ∈ N∗ , descompunerea lui n ˆın factori primi ¸si M mult¸imea p˘art¸ilor mult¸imii A = {p1 , . . . , pk }. Avem {p ∈ P | p|(x, n)} = {p ∈ A | p|x},

iar dac˘a p ∈ A divide pe x ¸si n divide pe x − y atunci p divide ¸si pe x − (x − y) = y. ˆInseamn˘a c˘a x b 7→ {p ∈ P | p|(x, n)} define¸ste o funct¸ie ϕ de la mult¸imea elementelor idempotente ale lui Zn la M. Mai mult, dac˘a x b ∈ Zn este un element idempotent atunci Y (1) (x, n) = pαi i .

b

pi ∈ϕ(x)

ˆIntr-adev˘ar, fie d = (x, n), x = dx′ , n = dn′ (x′ , n′ ∈ Z). Din (b x )2 = x b sau, ′ ′ ′ ′ echivalent, n|x(x − 1), deducem c˘a n |x (x − 1). Cum (n , x ) = 1, avem n′ |x − 1, ′ ceea ce ˆımpreun˘a cu (x, x − 1) = 1 ¸si d|n Yconduce la (d, n ) = 1. A¸sadar, pi |d (i ∈ {1, . . . , k}) implic˘a pαi i |d ¸si astfel pαi i divide pe d. Cum d divide pe Y

b

b

pαi i ,

pi ∈ϕ(x)

egalitatea (1) este verificat˘a.

pi ∈ϕ(x)

Funct¸ia ϕ este bijectiv˘a, ceea ce ne permite s˘a caracteriz˘am elementele idempotente ale lui Zn cu ajutorul mult¸imii M. Ar˘at˘am c˘a ϕ este injectiv˘a. Fie x b, yb ∈ Zn dou˘a elemente idempotente astfel ca ϕ(b x) = ϕ(b y ). Din (1) rezult˘a c˘a (x, n) = (y, n). P˘astrˆand notat¸iile de mai sus, avem n n ′ ′ n |(x − 1) ¸si n = = (y − 1), (x, n) (x, n)

deci n′ |(x − y). De asemenea d = (x, n) = (y, n)|(x − y) ¸si cum (d, n′ ) = 1, rezult˘a c˘a n = dn′ divide pe x − y, adic˘a x b = yb. Surjectivitatea lui ϕ se obt¸ine astfel: Y dac˘a I ⊆ {1, . . . , k} ¸si {pi | i ∈ I} ∈ M, consider˘am a = 1 dac˘a I = ∅ ¸si a = pαi i altfel, ¸si avem i∈I

n n a, = 1 ⇒ ∃u, v ∈ Z : au + v = 1. a a n Not˘am x = au. Atunci x(x − 1) = ua − v = −uvn este un multiplu de n, deci a x b ∈ Zn este idempotent, iar cum (x, n) = a conform lui (1) avem ϕ(b x) = {pi | i ∈ I}.

195 Demonstrat¸ia surjectivit˘a¸tii lui ϕ indic˘a ¸si modul de obt¸inere a elementelor idempotente ale lui Zn din submult¸imile mult¸imii A. Luˆand ca exemplu, n = 12 avem n = 22 · 3, A = {2, 3}, M = {∅, {2}, {3}, {2, 3}}, a ia valorile ¸si u ia, respectiv, valorile

1, 22 = 4, 3, 22 · 3 = 12 1, 1, −1, 0,

iar elementele idempotente ale lui Z12 sunt:

b 1, b 4, b 9 ¸si b 0.

3.17. Indicat¸ii. i) Cum (R, +) este un grup, funct¸ia f este injectiv˘a, ceea ce, ˆın ipoteza R finit˘ a, ˆınseamn˘ a chiar f bijectiv˘ a. ii) Din surjectivitatea lui f avem

{f (0), f (1), f (a), f (b)} = {1 + 0, 1 + 1, 1 + a, 1 + b} = f (A) = A = {0, 1, a, b}. Obt¸inem astfel f (0) + f (1) + f (a) + f (b) = 0 + 1 + a + b = 1 + a + b sau, echivalent, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + a + b = 1 + a + b, adic˘ a 1 + 1 + 1 + 1 = 0. iii) Dac˘ a R este corp, R nu are divizori ai lui zero ¸si din (1 + 1)(1 + 1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 0 deducem 1 + 1 = 0. iv) Dac˘ a R este corp, din 1 + 1 = 0 deducem x + x = x(1 + 1) = 0 pentru orice x ∈ R. S ¸ tiind c˘ a ˆın tabla unui grup un element apare o singur˘ a dat˘ a pe orice linie (coloan˘ a) putem ∗ 2 2 construi tabla lui (R, +) ¸si a lui (R , ·) ¸si vom constata c˘ a 1+a = a ¸si 1+b = b . Reciproc, cum 0 ¸si 1 nu verific˘ a egalitatea 1 + x = x2 deducem c˘ a x ∈ {a, b}. Dac˘ a 1 + a = a2 atunci a(a − 1) = (a − 1)a = 1. Dac˘ a a − 1 = 0 atunci a = 1, imposibil. Dac˘ a a − 1 = 1 atunci a = 1 + 1, iar din 1 + a = a2 deducem 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1, deci 0 = 1, imposibil. Dac˘ a a − 1 = a atunci 0 = 1, imposibil. R˘ amˆ ane doar posibilitatea ca a − 1 = b. Deducem c˘ a 1, a ¸si b sunt inversabile, −1 −1 −1 ¸si 1 = 1, a = b ¸si b = a. Analog se procedeaz˘ a ˆın cazul ˆın care 1 + b = b2 .

3.18. Pentru orice x, y ∈ R avem (x + y)2 = x + y ¸si (x + y)2 = (x + y)(x + y) = (x + y)x + (x + y)y = x2 + yx + xy + y 2 = x + xy + yx + y, de unde urmeaz˘a x + y = x + xy + yx + y, adic˘a (1)

0 = yx + xy.

i) Luˆand y = x ˆın (1) obt¸inem 0 = x2 + x2 pentru orice x ∈ R, ceea ce implic˘a x + x = 0, adic˘a (2)

x = −x, ∀x ∈ R.

196

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

ii) Din (1) ¸si (2) rezult˘a xy = −yx = yx, ∀x, y ∈ R, adic˘a R este comutativ. iii) Presupunem c˘a |R| ≥ 3 ¸si c˘a R nu are divizori ai lui zero. Rezult˘a c˘a exist˘a a, b ∈ R∗ , a 6= b. Cum ab = (ab)2 = (ab)(ab) = abab, avem 0 = ab − abab = (a − aba)b. Dar b 6= 0 ¸si R nu are divizori ai lui zero, prin urmare a = aba = a(ba) = a(ab) = a2 b = ab. ˆIn consecint¸˘a, a2 = a = ab sau, echivalent, 0 = a2 − ab = a(a − b). Folosind, din nou, faptul c˘a R nu are divizori ai lui zero, cum a 6= 0, rezult˘a a = b, ceea ce contrazice faptul c˘a a 6= b. Dac˘a |R| ≤ 2, inelul nul nu cont¸ine divizori ai lui zero, iar dac˘a R este un inel cu 2 elemente atunci R este un corp (izomorf cu (Z2 , +, ·)), prin urmare nu are divizori ai lui zero. iv) Pentru a ar˘ata c˘a un inel Boole cu unitate (R, +, ·) este corp numai dac˘a |R| = 2 se poate aplica punctul anterior. Folosind existent¸a elementului unitate ˆın R se poate da ¸si o alt˘a demonstrat¸ie a acestui fapt: din problema 3.12 rezult˘a c˘a orice x ∈ R\{0, 1} este divizor al lui zero. Deci, pentru ca (R, +, ·) s˘a fie corp este necesar ca |R| ≥ 2 ¸si R ⊆ {0, 1}, adic˘a |R| = 2. Observat¸ie: Inelul (P(M ), +, ·) din problema 3.4 este inel Boole cu unitate. Aceast˘a

structur˘ a de inel Boole este indus˘ a de structura de latice Boole a mult¸imii P(M ).

3.19. Indicat¸ii. i) Din problema 2.95 deducem c˘a (R, +) este grup abelian. Elementul s˘ au neutru este 0. Ca ˆın problema 3.4 se arat˘ a c˘ a (R, +, ·) este un inel asociativ, comutativ, cu unitate (1 fiind unitatea sa), iar dac˘ a x ∈ R atunci x2 = x ∧ x = x. ii) Folosim problema 2.22 pentru a ar˘ ata c˘ a (R, ∨, ∧) este o latice cu 0 cel mai mic element ¸si 1 cel mai mare element. ˆIntrucˆ at inelele Boole sunt comutative, operat¸iile ∨ ¸si ∧ sunt comutative. Asociativitatea operat¸iei · implic˘ a asociativitatea operat¸iei ∧, iar pentru a ar˘ ata c˘ a ∨ este asociativ˘ a se demostreaz˘ a egalit˘ a¸tile (x ∨ y) ∨ z = x + y + z − xy − xz − yz + xyz = x ∨ (y ∨ z). Operat¸iile ∨ ¸si ∧ verific˘ a legile de absorbt¸ie: x∧(x ∨ y) = x(x ∨ x) = x(x + x − xx) = x(x + x − x) = x2 = x, x ∨ (x ∧ y) = x ∨ (xy) = x + xy − x2 y = x + xy − xy = x,

iar dac˘a x ∈ R atunci 0 ∧ x = 0 · x = 0 ¸si 1 ∧ x = 1 · x = x, adic˘ a 0 ≤ x ¸si x ≤ 1 pentru orice x ∈ R. Distributivitatea laticii (R, ∨, ∧) rezult˘ a ar˘ atˆ and c˘ a x ∧ (y ∨ z) = xy + xz − xyz = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), iar probˆ and egalit˘ a¸tile (1 − x) ∧ x = 0 ¸si (1 − x) ∨ x = 1 deducem c˘ a orice x ∈ R are complement ¸si anume pe 1 − x.

197 iii) Mult¸imea suport a laticii g(f (R, ∨, ∧)) este, evident, mult¸imea R, iar dac˘ a not˘ am cu ∨∗ , respectiv ∧∗ operat¸iile din g(f (R, ∨, ∧)) atunci, pentru orice x, y ∈ R, avem x ∨∗ y = x + y − xy = x + (y + (xy)) = x + {[y ∧ (x ∧ y)′ ] ∨ [y ′ ∧ (x ∧ y)]}

= x + {[y ∧ (x′ ∨ y ′ )] ∨ (y ′ ∧ x ∧ y)} = x + [(y ∧ x′ ) ∨ (y ∧ y ′ ) ∨ 0] = x + [(y ∧ x′ ) ∨ 0] = x + (y ∧ x′ ) = [x ∧ (y ∧ x′ )′ ] ∨ [x′ ∧ (y ∧ x′ )] = [x ∧ (y ′ ∨ x)] ∨ (x′ ∧ y ∧ x′ )

= [(x ∧ y ′ ) ∨ (x ∧ x)] ∨ (x′ ∧ y) = [(x ∧ y ′ ) ∨ x] ∨ (x′ ∧ y) = x ∨ (x′ ∧ y) = (x ∨ x′ ) ∧ (x ∨ y) = 1 ∧ (x ∨ y) = x ∨ y

¸si x ∧∗ y = xy = x ∧ y. Similar se procedeaz˘ a pentru a arata c˘ a f (g(R, +, ·)) = (R, +, ·).

3.20. Indicat¸ie. Dac˘a a ∈ R∗ nu este divizor al lui zero atunci cu a se poate simplifica,

prin urmare, funct¸iile ta , t′a : R → R, ta (x) = ax, t′a (x) = xa sunt injective, ceea ce, ˆımpreun˘ a cu finitudinea lui R implic˘ a surjectivitatea acestor funct¸ii. Deci exist˘ a a′ , a′′ ∈ R astfel ca 1 = ta (a′ ) = aa′ ¸si 1 = t′a (a′′ ) = a′′ a. Folosind asociativitatea ˆın calculul lui a′′ aa′ se obt¸ine a′ = a′′ = a−1 .

3.21. Indicat¸ie. Se folose¸ste problema anterioar˘a. 3.22. Indicat¸ii. Fie a0 un element fixat din mult¸imea nevid˘a A = {a′ ∈ R | a′ a = 1}.

Se arat˘ a c˘ a corespondent¸a a′ 7→ aa′ − 1 + a0 define¸ste o funct¸ie injectiv˘ a f de la A la o submult¸ime proprie a sa, ceea ce face ca A ¸si, implicit, R s˘ a fie infinit˘ a. Incluziunea strict˘ a f (A) ⊂ A se obt¸ine demonstrˆ and prin reducere la absurd c˘ a a0 ∈ / f (A): presupunˆ and ′ ′ ′ contrariul, ar rezulta c˘ a exist˘ a un a ∈ A pentru care aa − 1 + a0 = a0 , deci a ar fi un invers pentru a, implicit unicul invers la stˆ anga, ceea ce contrazice ipoteza.

3.23. Avem

Fie X =

a c

1 2 1 2

b b 4x + b 5=b 9⇔b 4x = b 4 ⇔ x ∈ {b 1, b 4, b 7, 10}, b 5x + b 5=b 9⇔b 5x = b 4 ⇔ x = (b 5)−1 · b 4⇔x=b 8. b . Avem d a b 1 2 a + 2c = 1 a = 1 − 2c = ⇔ ⇔ . c d 1 2 b + 2d = 2 b = 2 − 2d

Prin urmare, mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei matriceale date este 1 − 2c 2 − 2d | c, d ∈ C . c d b ¸si problema 3.24. Folosind faptul c˘a U(Z12 , +, ·) = {b a | (a, 12) = 1} = {b 1, b 5, b 7, 11} b b b b b b b 3.20 deducem c˘a divizorii lui zero din Z12 sunt 2, 3, 4, 6, 8, 9 ¸si 10. Coeficient¸ii lui x ¸si y fiind divizori ai lui zero, aplicarea metodei reducerii poate conduce la sisteme neechivalente. Adunˆand cele dou˘a ecuat¸ii ale sistemului dat obt¸inem (1)

b 7x + y = b 9⇔y=b 5x + b 9.

198

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

ˆInlocuind pe y ˆın prima ecuat¸ie a sistemului obt¸inem b b ⇔ 11x b = 11 b ⇔x=b 3x + b 8x = 11 1.

Urmeaz˘a imediat c˘a y = b 5+b 9=b 2, deci sistemul dat are solut¸ie unic˘a pe (b 1, b 2).

Observat¸ii: a) Dac˘a ˆınmult¸irea unei ecuat¸ii cu un element care nu este divizor al lui zero sau adunarea ecuat¸iilor sau ambele operat¸iuni pot permite scrierea unei ecuat¸ii de tipul (1) care s˘ a conduc˘ a la substituirea unei necunoscute atunci rezolvarea unui sistem de ecuatii ˆıntr-un inel R se poate face ca mai sus. b) La rezolvarea sistemelor de ecuat¸ii ˆın inele R care au divizori ai lui zero recomand˘ am aplicarea metodei reducerii doar atunci cˆ and inmult¸irea ecuat¸iilor se face cu elemente care ˆ nu sunt divizori ai lui zero. In ceea ce prive¸ste ˆıncercarea de a aplica regula lui Cramer ea are succes doar dac˘ a determinantul sistemului este un element inversabil din R, ceea ce ˆın cazul de mai sus are loc. Oricum, suger˘ am cititorului ca atunci cˆ and nu este posibil s˘a respecte indicat¸iile de mai sus, s˘ a verifice solut¸iile obt¸inute.

3.25. Indicat¸ie. N, N∗ ¸si {a ∈ R | a ≥ 0} sunt p˘art¸i stabile ˆın (R, +) ¸si (R, ·), dar nu

sunt (sub)inele, Z, Q, R sunt p˘ art¸i stabile ˆın (C, +) ¸si (C, ·) care sunt inele ˆın raport cu operat¸iile induse; Z este subinel, iar Q ¸si R sunt subcorpuri ale lui (C, +, ·).

3.26. R˘ aspuns. 2Z este un subinel al lui (Z, +, ·) care nu cont¸ine unitatea, iar Z este subinel al lui Q, dar nu este subcorp. a 0 3.27. R˘ aspuns. (R, +, ·) = (M2 (R), +, ·) ¸si S = |a∈R . 0 0 3.28. Indicat¸ie. Dac˘a S este un subinel al lui K ce cont¸ine unitatea atunci |S| ≥ 2 ¸si a, b ∈ S ⊆ K ¸si ab = 0 ⇒ a = 0 sau b = 0. Orice subinel al unui inel asociativ, comutativ este inel asociativ, comutativ.

3.29. Solut¸ia 1: 1) Pentru orice A = ′

A+A =

a + a′ b + b′ ′ 2(b + b ) a + a′

a b 2b a ′

∈ R ¸si AA =

′

, A =

a′ b′ 2b′ a′

∈ R avem

aa′ + 2bb′ ab′ + ba′ ′ ′ 2(ab + ba ) aa′ + 2bb′

∈ R.

Deci R este stabil˘a ˆın raport cu + ¸si · din M2 (Z). 2) Ar˘at˘am c˘a (R, +, ·) este un domeniu de integritate. a) Din asociativitatea ¸si comutativitatea operat¸iei + din M2 (Z) rezult˘a asociativitatea ¸si comutativitatea operat¸iei + din R. b) Avem 0 0 0 0 O2 = = ∈ R, 0 0 2·0 0

de unde rezult˘a c˘a O2este elementul neutru ˆın (R, +). a b −a −b c) Pentru orice A = ∈ R avem −A = ∈ R. Urmeaz˘a 2b a 2(−b) −a c˘a −A este simetricul lui A ˆın (R, +), ceea ce finalizeaz˘a demonstat¸ia faptului c˘a (R, +) este un grup abelian.

199 d) Din asociativitatea lui · din M2 (Z) rezult˘a asociativitatea operat¸iei · din R. e) Cu notat¸iile de mai sus avem aa′ + 2bb′ ab′ + ba′ ′ AA= . 2(ab′ + ba′ ) aa′ + 2bb′ Folosind calculul lui AA′ de la 1), deducem c˘a operat¸ia · din R este comutativ˘a. f) Avem 1 0 1 0 I2 = = ∈ R, 0 1 2·0 1 de unde urmeaz˘a c˘a I2 este elementul neutru ˆın (R, ·). g) Din distributivitatea operat¸iei · fat¸˘a de + ˆın M2 (Z) rezult˘a distributivitatea operat¸iei · fat¸˘a de + ˆın R. Atfel, am ar˘atat c˘a (R, +, ·) este inel asociativ, comutativ cu unitate. Evident, |R| ≥ 2. Mai trebuie ar˘atat c˘a (R, +, ·) nu are divizori ai lui zero. Cu notat¸iile de mai sus, presupunem c˘a A 6= O2 (ceea ce este echivalent cu a 6= 0 sau b 6= 0) ¸si c˘a AA′ = O2 , ceea ce este echivalent cu ′ aa + 2bb′ = 0; ba′ + ab′ = 0. Aceste relat¸ii constituie un sistem liniar ¸si omogen ˆın necunoscutele a′ ¸si b′ . Cum √ 2 ∈ R \ Q, din a 6= 0 sau b 6= 0 rezult˘a c˘a sistemul are determinantul a 2b = a2 − 2b2 6= 0, d = b a

de unde urmeaz˘a c˘a singura solut¸ie a sistemului este solut¸ia nul˘a a′ = b′ = 0, ceea ce arat˘a c˘a AA′ = O2 ¸si A 6= O2 ⇒ A′ = O2 ,

adic˘a (R, +, ·) nu are divizori ai lui zero. ˆIn concluzie, (R, +, ·) este un domeniu de integritate. Solut¸ia 2: Este suficient s˘a se arate c˘a R este un subinel comutativ, cu cel put¸in dou˘a elemente, al lui (M2 (Z), +, ·) ¸si c˘a (R, +, ·) nu are divizori ai lui zero. Evident, R 6= ∅. Cu notat¸iile de mai sus, avem a − a′ b − b′ ′ A−A = ∈R 2(b − b′ ) a − a′

¸si ca la 1), Solut¸ia 1, se deduce c˘a AA′ ∈ R. Deci R este subinel ˆın (M2 (Z), +, ·). Avem |R| ≥ 2 ¸si, ca mai sus, se deduce c˘a (R, +, ·) este comutativ ¸si nu are divizori ai lui zero. 3.30. Ar˘at˘ (M2 (Q), +, ·). ˆIntr-adev˘ar, K 6= ∅ ¸si pentru am c˘a Keste un subinel ˆın ′ ′ a b a b orice A = ∈ K, A′ = ∈ K avem 2b a 2b′ a′ ′

A−A =

a − a′ b − b′ ′ 2(b − b ) a − a′

′

∈ R ¸si AA =

aa′ + 2bb′ ab′ + ba′ ′ ′ 2(ab + ba ) aa′ + 2bb′

∈ K,

200

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

a¸sadar, K este subinel al lui (M2 (Q), +, ·). + ¸si ·, iar (K, +, ·) este inel asociativ. Cu aa′ + 2bb′ ′ AA= 2(ab′ + ba′ )

Deci K este stabil˘a ˆın raport cu operat¸iile notat¸iile de mai sus avem ab′ + ba′ = AA′ . aa′ + 2bb′

Rezult˘a c˘a inelul (K, +, ·) este comutativ, iar din 1 0 1 0 I2 = = ∈ K, 0 1 2·0 1 urmeaz˘a c˘a inelul (K, +, ·) este cu unitate. Evident |K| ≥ 2. A r˘amas s˘a ar˘at˘am c˘a orice A ∈ K \ {O2} este inversabil˘a ˆın K. Cu notat¸iile de mai sus avem A 6= O2 ⇔ a 6= 0 sau b 6= 0,

√ ceea ce ˆımpreun˘a cu 2 ∈ R \ Q implic˘a d = det A = a2 inversabil˘a ˆın M2 (Q) ¸si  a b − 1 a −b  A−1 = =  d b ad −2b a d 2 − d d

− 2b2 6= 0. Deci A este 

  ∈ K,

adic˘a A este inversabil˘a ˆın K. Prin urmare, (K, +, ·) este corp comutativ. √ √ √ √ 3.31. i) Evident Z[ 2] 6= ∅. Pentru orice u = a + b 2, u′ = a′ + b′ 2 ∈ Z[ 2] (a, a′ , b, b′ ∈ Z) avem: √ √ √ √ u − u′ = (a − a′ ) + (b − b′ ) 2 ∈ Z[ 2], uu′ = (aa′ + 2bb′ ) + (ab′ + a′ b) 2 ∈ Z[ 2] √ √ √ √ ¸si √ 1 = 1 + 0 2 ∈ Z[ 2]. Deci Z[ 2] este subinel ¸ s i 1 ∈ Z[ 2]. Ar˘at˘am c˘a subinelul √ Z[ 2] este generat de {1, 2}. √ √ 1) Evident {1, 2} ⊆ Z[ 2]. √ √ 2) Dac˘a A este un subinel al lui (R, +, ·) ¸si {1, 2} ⊆ A atunci Z[ 2] ⊆ A. ˆIntradev˘ar, din √ 1 ∈ A ¸si din faptul√c˘a A este subgrup √ al lui (R, +) rezult˘a Z ⊆ A. Analog, din 2 ∈ A urmeaz˘ √ a Z 2 ⊆ A, iar√din Z, Z 2 ⊆ A ¸si din stabilitatea lui A fat¸˘a de + rezult˘a Z + Z 2√ ⊆ A, adic˘a Z[ 2] ⊆ A. Din√1) ¸si 2) deducem √ c˘a Z[ 2] este cel mai mic subinel √ al lui (R, +, ·) care include pe {1, 2}, adic˘a Z[ 2] este subinelul generat de {1, 2}. Acest rezultat se poate √ deduce ¸si dintr-o teorem˘a care ne arat˘ √ a c˘a elementele subinelului generat de {1, 2} sunt expresiile polinomiale ˆın 1 ¸si 2 cu coeficient¸i din Z. √ √ ′ ii) Evident c˘a |Q( 2)|√ ≥ 2. Analog cu √ i) se arat˘ a c˘ a pentru orice u, u ∈ Q( 2) √ ′ ′ avem u − u , uu ∈ Q( 2). Fie u = a + b 2 ∈ Q( 2), u 6= 0. Aceasta ˆınseamn˘a c˘a a, b ∈ Q ¸si a2 − 2b2 6= 0 ¸si astfel, √ √ √ 1 a−b 2 a b −1 √ = 2 u = = 2 − 2 2 ∈ Q( 2). 2 2 2 a − 2b a − 2b a − 2b a+b 2 √ √ √ Deci Q( 2) este subcorp. Ar˘at˘am c˘a subcorpul Q( 2) este generat de 2.

201 √ √ 1) Evident 2 ∈ Q( 2). √ √ 2) Dac˘a A este un subcorp al lui (R, +, ·) ¸si 2 ∈ A atunci Q( 2) ⊆ A. ˆIntr-adev˘ar, din ipoteza c˘a A este subcorp rezult˘a 1 ∈ A ¸si c˘a A este subgrup al lui (R, +) ceea ce implic˘a Z ⊆ A. Tot din ipoteza c˘a A este subcorp rezult˘a c˘a A∗ este subgrup ˆın ∗ ∗ ∗ (R∗ ,√ ·) care, ˆımpreun˘a cu Z∗ ⊆ √ A implic˘a Q ⊆√A . Astfel am ar˘atat c˘a Q ⊆ A, iar din 2 ∈ A, urmeaz˘a Q + Q 2 √ ⊆ A, adic˘a Q( 2) ⊆ A. Din 1) ¸s√i 2) deducem√ c˘a Q( 2) este cel mai mic subcorp al lui (R, +, ·) care √ cont¸ine pe √2, adic˘a Q( 2) este subcorpul generat de 2. iii) Fie u = 3 2. Evident c˘a u ∈ S1 . Ar˘at˘am c˘a u2 ∈ / S1 . Dac˘a am avea u2 ∈ S1 ar 2 rezulta c˘a u = a + bu cu a, b ∈ Z, ceea ce implic˘a u3 = au + bu2 , adic˘a 2 = au + b(a + bu) = ab + (a + b2 )u, dar u fiind irat¸ional, urmeaz˘a ab = 2 ¸si a + b2 = 0. Acest sistem nu are solut¸ii ˆın Z. Deci S1 nu este stabil˘a ˆın raport cu · √ ¸si astfel S1 nu este subinel ˆın (R, +, ·). iv) Se arat˘a la fel ca ¸si ˆın iii) c˘a u = 3 2 ∈ S2 , dar u2 ∈ / S2 . √

√

√

Observat¸ii: 1) Subinelul Z[ 2] este generat ¸si de Z ∪ { 2}, iar notat¸ia Z[ 2] semnific˘a

acest fapt. √ √ √ 2) Subcorpul Q( 2) este generat ¸si de Q ∪ { 2}, iar notat¸ia Q( 2) semnific˘ a acest fapt.

3.32. Indicat¸ie. Aceast˘a problem˘a generalizeaz˘a prima parte a problemei anterioare. √

3.33. Indicat¸ii. Se arat˘a c˘a δ(z1 z2 ) = δ(z1 )δ(z2 ) pentru orice z1 , z2 ∈ Z[ d]. Dac˘a z

este inversabil ¸si z −1 este inversul s˘ au atunci δ(z)δ(z −1 ) = 1 ˆın N, ceea ce implc˘ a δ(z) = 1. Reciproc, dac˘ a δ(z) = 1 atunci z este inversabil ¸si inversul lui z este z sau −z.

3.34. Indicat¸ie. a2 + b2 = δ(a + bi) = 1 (a, b ∈ Z) ⇔ a + bi ∈ {1, −1, i, −i}. √

√

3.35. Indicat¸ie. S¸irul puterilor lui 1 + 2 este un ¸sir infinit de elemente din Z[ 2] ce satisfac condit¸ia din problema anterioar˘ a.

3.36. Indicat¸ie. a) Se procedeaz˘a ca ˆın solut¸a problemei 3.31 i). b) Se procedeaz˘ a ca ˆın solut¸a problemei 3.31 ii). e) Se procedeaz˘ a ca ˆın solut¸a problemei 3.33.

3.37. Consider˘am ca reprezentant¸i pentru numerele rat¸ionale doar fract¸ii ireductibile ¸si observ˘am c˘a dac˘a A este subinel al lui (Q, +, ·) care cont¸ine o fract¸ie ireductibil˘a p ¸si pe 1 ¸si dac˘a mp + nq = 1 (m, n ∈ Z) atunci A cont¸ine ¸si pe q m·

p mp + nq 1 +n= = . q q q

Observ˘am, de asemenea, c˘a cel mai mic subinel al lui Q ce cont¸ine pe 1 este Z. Fie P o mult¸ime de numere prime. Folosind teorema de caracterizare a subinelului se arat˘a c˘a mult¸imea A(P ) a numerelor rat¸ionale reprezentate prin fract¸ii ireductibile pentru care divizorii primi ai numitorilor apart¸in lui P este un subinel al lui Q. Remarc˘am c˘a Z ⊆ A(P ). De asemenea, dac˘a A este un subinel al lui Q ce cont¸ine pe 1 ¸si not˘am cu PA mult¸imea numerelor prime care divid numitorul a cel

202

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

put¸in unei fract¸ii ireductibile din A atunci A(PA ) = A. ˆIntr-adev˘ar, este evident c˘a A ⊆ A(PA ), iar dac˘a pα1 1

m ∗ αk ∈ A(PA ), cu αi ∈ N , (i ∈ {1, . . . , k}) · · · pk

atunci p1 ∈ PA , prin urmare exist˘a n1 ∈ Z, n2 , β1 ∈ N∗ astfel ˆıncˆat Rezult˘a c˘a

n1 β1 p1 n2

∈ A.

1 1 1 n ∈ A, deci ∈ A. Analog obt¸inem , . . . , ∈ A, de unde deducem p1 p1 p2 pn pα1 1

m ∈ A. · · · pαk k

A¸sadar, subinelele lui Q ce cont¸in pe 1 sunt subinelele A(P ) (inclusiv A(∅) = Z). √

√

√

3.38. Indicat¸ie. Se arat˘a c˘a√Z[ 3 2] = {a + b 3 2 + c 3 4 | a, b, c ∈ Z} este subinel ˆın 3

(R, +, ·), include mult¸imea {1, 2} ¸si este cel mai mic subinel al lui (R, +, ·) cu aceast˘a √ 3 proprietate, deci este subinelul generat de {1, 2}. Similar se arat˘ a c˘ a subcorpul lui √ √ (R,√ +, ·) generat√de {1,√ 3 2} coincide cu subcorpul lui (R, +, ·) generat de 3 2 ¸si este Q( 3 2) = {a + b 3 2 + c 3 4 | a, b, c ∈ Q}.

3.39. R˘ aspuns. i) N∗ ; ii) Z; iii) Q. 3.40. i) Determin˘am pe a, b ∈ R astfel ˆıncˆat (R, ⊥) s˘a fie un grup abelian. 1) Operat¸ia ⊥ este asociativ˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice x, y, z ∈ R avem: (x⊥y)⊥z = x⊥(y⊥z) ⇔ (ax + by − 2)⊥z = x⊥(ay + bz − 2) ⇔ a2 x + aby − 2a + bz − 2 = ax + aby + b2 z − 2b − 2. T ¸ inˆand seama de faptul c˘a dou˘a funct¸ii polinomiale cu coeficient¸i ˆın R sunt egale dac˘a ¸si numai dac˘a provin din polinoame egale (sau particularizˆand convenabil pe x, y, z) deducem c˘a ⊥ este asociativ˘a dac˘a ¸si numai dac˘a a ¸si b verific˘a sistemul   2  a2 = a  a =a −2a = −2b ⇔ a=b .   b = b2 b = b2 Acest sistem are solut¸iile a1 = b1 = 0 ¸si a2 = b2 = 1. Pentru prima solut¸ie avem x⊥y = 2, ∀x, y ∈ R, ¸si se observ˘a c˘a (R, ⊥) nu are element neutru. R˘amˆane solut¸ia a doua care ne d˘a (1)

x⊥y = x + y − 2.

2) Operat¸ia ⊥ definit˘a de (1) este, evident, comutativ˘a. 3) Exist˘a e0 ∈ R astfel ˆıncˆat e0 ⊥x = x pentru orice x ∈ R dac˘a ¸si numai dac˘a e0 + x − 2 = x, ∀x ∈ R, adic˘a e0 = 2 ∈ R. Deci e0 = 2 este elementul neutru ˆın (R, ⊥).

203 4) Ar˘at˘am c˘a pentru orice x ∈ R exist˘a x′ ∈ R astfel ˆıncˆat x′ ⊥x = e0 . Avem x′ ⊥x = e0 ⇔ x′ + x − 2 = 2 ⇔ x′ = 4 − x, ceea ce arat˘a c˘a orice element din R este simetrizabil ˆın (R, ⊥). Deci (R, ⊥) este un grup abelian dac˘a ¸si numai dac˘a a = b = 1. Determin˘am pe c ∈ R astfel ˆıncˆat (R, ⊤) s˘a fie monoid. 5) Operat¸ia ⊤ este asociativ˘a dac˘a ¸si numai dac˘a, pentru orice x, y, z ∈ R avem (x⊤y)⊤z = x⊤(y⊤z) ⇔ (xy − 2x − 2y + c)⊤z = x⊤(yz − 2y − 2z + c) ⇔ xyz − 2xz − 2yz + cz − 2xy + 4x + 4y − 2c − 2z + c = xyz − 2xy − 2xz + cx − 2x − 2yz + 4y + 4z − 2c + c ⇔ 4x + (c − 2)z = (c − 2)x + 4z ⇔ (c − 6)(x − z) = 0 , ceea ce are loc pentru orice x, z ∈ R dac˘a ¸si numai dac˘a c = 6. Deci ⊤ este asociativ˘a dac˘a ¸si numai dac˘a c = 6. ˆIn acest caz avem (2)

x⊤y = xy − 2x − 2y + 6.

6) Evident, operat¸ia ⊤ definit˘a de (2) este comutativ˘a. 7) Exist˘a e1 ∈ R astfel ˆıncˆat e1 ⊤x = x pentru orice x ∈ R dac˘a ¸si numai dac˘a e1 x − 2e1 − 2x + 6 = x, ∀x ∈ R, adic˘a (x − 2)(e1 − 3) = 0 pentru orice x ∈ R, ceea ce are loc dac˘a ¸si numai dac˘a e1 = 3. Deci e1 = 3 este elementul neutru ˆın (R, ⊤). Prin urmare, (R, ⊤) este monoid (comutativ) dac˘a ¸si numai dac˘a c = 6. 8) Operat¸ia definit˘a de (2) este distributiv˘a ˆın raport cu operat¸ia definit˘a de (1). ˆIntr-adev˘ar, pentru orice x, y, z ∈ R avem: x⊤(y⊥z) = x⊤(y + z − 2) = xy + xz − 2x − 2x − 2y − 2z + 4 + 6 = xy + xz − 4x − 2y − 2z + 10, (x⊤y)⊥(x⊤z) = (xy − 2x − 2y + 6)⊥(xz − 2x − 2z + 6) = xy − 2x − 2y + 6 + xz − 2x − 2z + 6 − 2 = xy + xz − 4x − 2y − 2z + 10, ceea ce ne arat˘a c˘a x⊤(y⊥z) = (x⊤y)⊥(x⊤z). Deci pentru a = b = 1 ¸si c = 6, (R, ⊥, ⊤) este inel comutativ. Evident c˘a |R| ≥ 2. A mai r˘amas s˘a ar˘at˘am c˘a: 9) Pentru orice x ∈ R \ {e0 } exist˘a x′′ ∈ R astfel ˆıncˆat x′′ ⊤x = e1 . Avem: x′′ ⊤x = e1 ⇔ x′′ x − 2x′′ − 2x + 6 = 3 ⇔ x′′ (x − 2) = 2x − 3 2x − 3 ∈ R. ˆIn concluzie, (R, ⊥, ⊤) este corp x−2 dac˘a ¸si numai dac˘a a = b = 1 ¸si c = 6. ii) Condit¸ii necesare pentru ca f s˘a fie omomorfism sunt f (0) = e0 β=2 α=1 ⇔ ⇔ , f (1) = e1 α+β =3 β=2

¸si, cum x 6= e0 = 2, urmeaz˘a x′′ =

204

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

ceea ce ne d˘a f : R → R, f (x) = x + 2. Funct¸ia f este bijectiv˘a deoarece pentru orice y ∈ R ecuat¸ia f (x) = y are solut¸ia unic˘a x = y − 2 ˆın R. Funct¸ia f este omomorfism de corpuri. ˆIntr-adev˘ar, f (x)⊥f (y) = (x + 2)⊥(y + 2) = x + 2 + y + 2 − 2 = x + y + 2 = f (x + y), f (x)⊤f (y) = (x + 2)⊤(y + 2) = (x + 2)(y + 2) − 2(x + 2) − 2(y + 2) + 6 = xy + 2x + 2y + 4 − 2x − 4 − 2y − 4 + 6 = xy + 2 = f (xy). ˆIn concluzie, f este izomorfism dac˘a ¸si numai dac˘a α = 1 ¸si β = 2. a b este izomorfism. 2b a √ √ a b 3.42. Indicat¸ie. Funct¸ia f : Q( 2) → K, f (a + b 2) = este izomorfism. 2b a √ √ a b 3.43. Indicat¸ie. Funct¸ia f : Z[ d] → R, f (a + b d) = este izomorfism. bd a √ √ a b 3.44. Indicat¸ie. ii) f : Q( d) → K, f (a + b d) = este un izomorfism. bd a √ √ 3.41. Indicat¸ie. Funct¸ia f : Z[ 2] → R, f (a + b 2) =

3.45. Presupunem c˘a f : Z → Z este un izomorfism, rezult˘a c˘a f (0) = e0 ¸si f (1) = e1 , adic˘a f (0) = −3 ¸si f (1) = −2. Pentru orice n ∈ N∗ avem f (n) = f (1 · · + 1}) = f (1)⊥ · · · ⊥f (1) = (−2)⊥ · · · ⊥(−2) = −2n + 3(n − 1) = n − 3 | + ·{z | {z } n ori

n ori

¸si f (−n) coincide cu simetricul lui f (n) = n − 3 ˆın (Z, ⊥), adic˘a f (−n) = −6 − f (n) = −6 − (n − 3) = −n − 3.

Deci f (x) = x − 3 pentru orice x ∈ Z. Acum ar˘at˘am c˘a funct¸ia f definit˘a mai sus este izomorfism. ˆIntr-adev˘ar, pentru orice y ∈ Z ecuat¸ia f (x) = y are o solut¸ie unic˘a x = y + 3 ∈ Z, adic˘a f este biject¸ie. ˆIn plus, pentru orice x1 , x2 ∈ Z avem f (x1 )⊥f (x2 ) = x1 − 3 + x2 − 3 + 3 = x1 + x2 − 3 = f (x1 + x2 ), f (x1 )⊤f (x2 ) = (x1 − 3)(x2 − 3) + 3(x1 − 3) + 3(x2 − 3) + 6 = x1 x2 − 3 = f (x1 x2 ), adic˘a f este ¸si omomorfism. Deci f este izomorfism. 3.46. Indicat¸ie. Pentru orice yi ∈ R′ esist˘a xi ∈ R astfel ˆıncˆat yi = f (xi ) (i = 1, 2, 3)

¸si, folosind asociativitatea operat¸iei + avem:

(y1 ⊥y2 )⊥y3 = (f (x1 )⊥f (x2 ))⊥f (x3 ) = f (x1 + x2 )⊥f (x3 ) = f ((x1 + x2 ) + x3 )

= f ((x1 + x2 ) + x3 ) = f (x1 )⊥f (x2 + x3 ) = f (x1 )⊥(f (x2 )⊥f (x3 )) = y1 ⊥(y2 ⊥y3 )

Deci ⊥ este asociativ˘ a. Comutativitatea ¸si distributivitatea se demonstreaz˘ a analog. Elementul neutru ˆın (R, ⊥) este f (0), iar simetricul lui f (x) ˆın (R, ⊥) este f (−x).

205 3.47. Indicat¸ie. f : N → Z6 , f (n) = n b este un omomorfism surjectiv al lui (N, +, ·) pe

(Z6 , +, ·).

3.48. Indicat¸ie. f : Z → Z4 , f (n) = n b este un omomorfism surjectiv al lui (Z, +, ·) pe

(Z4 , +, ·).

3.49. a) Din (f (a))2 = f (a2 ) = f (a) rezult˘a f (a) idempotent ˆın R′ . b) Dac˘a n ∈ N ¸si an = 0 atunci (f (a))n = f (an ) = f (0) = 0′ ,

deci f (a) este nilpotent ˆın R′ . c) Oricare ar fi x′ ∈ R′ , exist˘a x ∈ R astfel ˆıncˆat x′ = f (x). Prin urmare, avem f (a)x′ = f (a)f (x) = f (ax) = f (xa) = f (x)f (a) = x′ f (a), deci f (a) ∈ Z(R′ ). d) Dac˘a x−1 e inversul lui x ˆın R atunci f (x−1 ) este inversul lui f (x) ˆın R′ . e) Reciprocele implicat¸iilor a), b), c), d) nu sunt, ˆın general, adev˘arate. De exemplu, f : Z → Z12 , f (x) = x b este un omomorfism surjectiv de inele cu unitate (deci unital), b 4 este idempotent ˆın Z12 , dar 4 nu este idempotent ˆın Z, b 6 este nilpotent ˆın Z12 , dar 6 nu este nilpotent ˆın Z, iar b 5 este inversabil ˆın Z12 , dar 5 nu este inversabil ˆın Z. Un exemplu banal pentru a ar˘ata c˘a reciproca implicat¸iei c) nu are loc se obt¸ine ˆın cazul omorfismului (nul) de la un inel necomutativ la inelul nul. Un exemplu nebanal ˆın acest sens va fi prezentat ˆın observat¸ia de dup˘a problema 3.79. 3.50. Indicat¸ie. Unicitatea: Presupunem c˘a exist˘a ⊥ ¸si ⊤ care verific˘a condit¸iile cerute.

Rezult˘ a c˘ a f (x + y) = f (x)⊥f (y) ¸si f (xy) = f (x)⊤f (y) pentru orice x, y ∈ R. ˆInlocuind pe x cu f −1 (x) ¸si pe y cu f −1 (y) primim: x⊥y = f (f −1 (x) + f −1 (y)) ¸si x⊤y = f (f −1 (x) · f −1 (y)).

3.51. Indicat¸ii. i) Funct¸iile fi, g : R → Mn (R) (i ∈ {1, . . . , n}) pentru care fi(a) este

matricea care are pe pozit¸ia (i, i) pe a ¸si 0 ˆın rest, iar  a 0 ... 0  0 a ... 0  g(a) =  . . ..  .. .. .

0 0 ... a

sunt omomorfisme injective de ii) Dac˘ a a, b ∈ R lu˘ am  a  0  A= .  ..

¸si din AB = BA deducem  0  0  iii) P˘ atratul matricei  .  ..

inele.

    

   0 ... 0 0 ... 0 b  0 ... 0 0  0 ... 0     .. ..  , B =  .. .. ..   . . .  . .  0 0 ... 0 0 ... 0 0

ab = 0.  a 0 ... 0 0 0 ... 0   a. .. .. ..  este matricea nul˘ . . .  0 0 0 ... 0

206

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II) 

 1 0 ... 0  0 1 ... 0    iv) Dac˘ a 1 este unitate ˆın R atunci In =  . . ..  este unitatea lui Mn (R).  .. .. .  0 0 ... 1 Reciproc, dac˘ a E = (eij ) este unitate ˆın Mn (R) atunci e11 este unitate ˆın R. Aceasta rezult˘ a din egalitatea elementelor   din linia 1 – coloana 1 ale matricelor (egale) AE, EA ¸si a 0 ... 0  0 0 ... 0    A, unde A =  . . .. , cu a ∈ R arbitrar.  .. .. .  0 ... 0  0 ... 0  0 ... 0    v) Matricea  .. ..  este element idempotent ˆın Mn (R).  . .  0 0 ... 0 vi) Din iii) rezult˘ a c˘ a n nu poate fi mai mare sau egal cu 2. 

0 1 0 .. .

3.52. Indicat¸ie. Se arat˘a c˘a Z(Mn (R)) = {aIn | a ∈ Z(R)}. Incluziunea ⊆ se poate obt¸ine astfel: orice matrice A = (aij ) ∈ Z(Mn (R)) comut˘ a cu orice matrice 0, dac˘ a (i, j) 6= (k, l) Ekl = (eij ), cu eij = (k, l ∈ {1, . . . , n}), 1, dac˘ a (i, j) = (k, l)

prin urmare akk = all , ∀ k, l ∈ {1, . . . , n} ¸si akl = 0, ∀ k, l ∈ {1, . . . , n}, k 6= l. a a ∈ Z(R). Notˆ and a11 = · · · = ann = a, din A(rE11 ) = (rE11 )A pentru orice r ∈ R rezult˘

3.53. Indicat¸ie. Dac˘a q = a1 + a2 i + a3 j + a4 k ∈ Z(Q), din qi = iq rezult˘a a3 = a4 = 0, iar din qj = jq deducem a2 = 0. Prin urmare Z(Q) = R.

3.54. Indicat¸ii. iii) Se aplic˘a problema 3.49 d) pentru izomorfismul R → R′ ¸si pentru inversul s˘ au. iv) U (Z, +, ·) ≃ U (Z4 , +, ·).

3.55. Indicat¸ii. i) Se foloset¸e faptul c˘a determinantul produsului a dou˘a matrice este produsul determinant¸ilor lor ¸si faptul c˘ a o matrice este inversabil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘a determinantul s˘ au este nenul. ii) Din A + B = AB rezult˘ a (A − In )(B − In ) = In , ceea ce, conform i), conduce la (B − In )(A − In ) = In . Deci (A − In )(B − In ) = (B − In )(A − In ), ceea ce implic˘a 2 1 2 −1 AB = BA. ˆIn cazul n = 2, pentru matricele A = , B = avem 0 2 0 2 A + B = AB. 3.56. Indicat¸ii. a) U (Z, +, ·) = {−1, 1}, U (Mn (K), +, ·) = {A ∈ Mn (K) | det A 6= 0},

U (Mn (Z), +, ·) = {A ∈ Mn (Z) | det A = ±1}. b) U (Mn (R), +, ·) = {A ∈ Mn (R) | det A este inversabil ˆın (R, +, ·)}, U (Mn (K), +, ·) = {A ∈ Mn (K) | det A 6= 0}. 1 m 0 ... 0 0 1 0 ... 0 c) Pentru orice m ∈ Z, 0 0 1 . . . 0 = 1. .. .. .. .. . . . . 0 0 0 ... 1

207 Observat¸ie: Dac˘a (R, +, ·) este un inel asociativ, cu unitate, atunci U (Mn (R), +, ·) se noteaz˘ a cu GLn (R) ¸si se nume¸ste grupul general liniar de gradul n peste R. 2

3.57. Indicat¸ie. (U (Mn (Z), +, ·), ·) este infinit, iar ((U (Z, +, ·))n , ·) este finit.

3.58. Indicat¸ii. 2) f : M → R este element inversabil ˆın (RM , +, ·) dac˘a ¸si numai dac˘a f (M ) ⊆ U (R, +, ·).

3.59. Indicat¸ie. i) Se ¸stie c˘a ta : R → R, ta (x) = ax este un endomorfism al lui (R, +), iar ϕ : R → End(R, +), ϕ(a) = ta este un omomorfism unital injectiv de inele. Condit¸ia de la i) afirm˘ a c˘ a pentru orice f ∈ End(R, +) avem f = tf (1) , deci ϕ este ¸si surjectiv. ii) Dac˘ a f ∈ End(R, +), x ∈ R ¸si inelul (End(R, +), +, ◦) este comutativ, atunci f (x) = f (x · 1) = f (tx (1)) = (f ◦ tx )(1) = (tx ◦ f )(1) = tx (f (1)) = x · f (1) = f (1) · x. End(Z, +) = {ta : Z → Z | a ∈ Z}, Aut(Z, +) = {−1Z , 1Z }, End(Z, +, ·) = {θ = t0 , 1Z }, Aut(Z, +, ·) = {1Z }, End(Q, +) = {ta : Q → Q | a ∈ Q}, Aut(Q, +) = {ta : Q → Q | a ∈ Q∗ }, End(Q, +, ·) = {θ = t0 , 1Z }, Aut(Q, +, ·) = {1Z }, End(Zn , +) = {tba : Zn → Zn | b a ∈ Zn }, Aut(Zn , +) = {tba | (a, n) = 1}, End(Zn , +, ·) = {tba | b a idempotent ˆın Zn }, Aut(Zn , +, ·) = {1Zn }.

3.60. R˘ aspuns.

3.61. Indicat¸ie. Dac˘a ∗ este o operat¸ie binar˘a pe Z astfel ˆıncˆat (Z, +, ∗) s˘a fie un inel, din distributivitatea operat¸iei ∗ fat¸˘ a de + avem pentru orice m, n ∈ Z

m ∗ n = (b 1 ·· +b 1}) ∗ (b 1 ·· +b 1}) = 1|d ∗ 1 + ·{z · · + 1d ∗ 1} = mn(1 ∗ 1), | + ·{z | + ·{z m ori

n ori

mn ori

prin urmare operat¸ia ∗ este determinat˘ a de 1 ∗ 1. Se verific˘ a u¸sor c˘ a pentru orice a ∈ Z, operat¸ia ∗ definit˘ a prin m ∗ n = mna determin˘ a o structur˘ a de inel pe Z. Inelul astfel obt¸inut este cu unitate dac˘ a ¸si numai dac˘ a a ∈ {−1, 1}.

3.62. Indicat¸ie. Fie ∗ o operat¸ie (binar˘a) pe Zn astfel ˆıncˆat (A = Zn , +, ∗) este un inel cu unitatea e. Dac˘ a m = ord(Zn ,+) (e) atunci m|n. Avem, de asemenea, n|m deoarece m·b 1=b 1 ·· +b 1} = b ·· +b 1 ∗ e} = b 1 ∗ (b e| + ·{z ·· + b e}) = b 1 ∗ (m · e) = b 1∗b 0=b 0. | + ·{z |1 ∗ e + ·{z m ori

m ori

m ori

Rezult˘ a c˘a Zn = {b 0, b 1, . . . , n[ − 1} = {0 · e, 1 · e, . . . , (n − 1)e} = A ¸si se demonstreaz˘ a c˘ a ϕ : Zn → A, ϕ(b k) = k · e este un izomorfism de inele.

3.63. Indicat¸ii. Toate grupurile cu p elemente sunt abeliene ¸si sunt izomorfe cu (Zp , +),

iar pe acest grup se cunosc dou˘ a structuri neizomorfe de inel: inelul de p˘ atrat nul ¸si inelul (Zp , +, ·) al claselor de resturi modulo p. Se poate ar˘ ata c˘ a, abstract¸ie f˘ acˆ and de un izomorfism, acestea sunt singurele structuri de inel ce se pot defini pe Zp astfel: presupunˆand c˘ a ∗ este o operat¸ie binar˘ a pentru care exist˘ a a, b ∈ Zp astfel ˆıncˆ at (Zp , +, ∗) s˘ a fie inel ¸si a ∗ b 6= b 0, submult¸imea A = {x ∈ Zp | a ∗ x = b 0} = 6 Zp este un subinel al lui (Zp , +, ·). Dar atunci A 6= Zp este un subgrup normal al grupului simplu (Zp , +). Rezult˘ a b A = {0}, prin urmare a nu este divizor al lui zero la stˆ anga. Urmeaz˘ a c˘ aa∈ / B = {x ∈ Zp | x ∗ a = 0} ¸si, ca mai sus, deducem c˘ a a nu este nici divizor al lui zero la dreapta. A¸sadar, cu a se poate simplifica ˆın (Zp , +, ∗). Atunci egalit˘ a¸tile f (x) = x ∗ a ¸si g(x) = a ∗ x definesc dou˘ a funct¸ii injective f, g : Zp → Zp care vor fi implicit ¸si surjective. Atunci exist˘ a e ∈ Zp astfel ˆıncˆ at a ∗ e = a, iar cum orice b ∈ Zp se scrie sub forma b = x ∗ a cu x ∈ Zp , vom avea b ∗ e = (x ∗ a) ∗ e = x ∗ (a ∗ e) = x ∗ a = b, deci e este element neutru la dreapta pentru ∗. Analog se arat˘ a c˘ a ∗ admite element neutru la stˆ anga. Deci (Zp , +, ∗) este inel cu unitate. Concluzia dorit˘a urmeaz˘ a aplicˆ and problema 3.62.

208

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

3.64. Indicat¸ie. Dac˘a f este un omomorfism al grupului (Q, +) ˆın (C, +) atunci f (x) = f (1)x, ∀ x ∈ Q. Dac˘ a, ˆın plus, f (1 · 1) = f (1) · f (1) atunci f (1) ∈ {0, 1}. Cerˆ and ca f s˘ a fie nenul, r˘ amˆ ane f (x) = x, ∀ x ∈ Q.

√ √ 3.65. Presupunem c˘a f : Q( 2) → Q( 2) este un automorfism. Se deduce, ca ˆın indicat c˘a f (x) = x pentru √ orice x ∈ √ Q. √De aici ¸si √ √ ¸ia problemei anterioare, din ( 2)2 = 2 rezult˘a [f (√ 2)]2 = 2,√ceea ce implic˘ a f ( 2) ∈ {− 2, 2}. Deci √ √ f ∈ {f1 , f2 }, unde f1 (a + b 2) = a + b 2 ¸si f2 (a + b 2) = a − b 2 . Din f1 = 1Q(√2) rezult˘a c˘a f1 este automorfism. Avem f2 ◦ f2 = 1Q(√2) , ceea ce implic˘a f2 biject¸ie ¸si f2−1 = f2 . Se verific˘a u¸sor c˘a f2 este omomorfism. Deci ¸si f2 este automorfism. ˆIn √ concluzie, automorfismele corpului Q( 2) sunt f1 ¸si f2 . 3.66. Fie f un endomorfism al lui (R, +, ·). Avem (f (1))2 = f (1), deci f (1) = 1 sau f (1) = 0, caz ˆın care f este omomorfismul nul. Dac˘a f este nenul atunci f este injectiv. Se arat˘a√u¸sor c˘a f (x) √ = 2x pentru orice x ∈ Q, iar dac˘a x ∈ R, x > 0 2 atunci f (x) = f (( x) ) = (f ( x)) > 0 (faptul c˘a inegalitatea e stric˘a provine din injectivitatea lui f ). Rezult˘a c˘a pentru orice x, y ∈ R cu x < y avem f (y) − f (x) = f (y − x) > 0, deci f este strict cresc˘atoare. Considerˆand pentru un a ∈ R \ Q ¸sirul (a′n )n∈N al aproxim˘arilor sale rat¸ionale prin lips˘a ¸si ¸sirul (a′′n )n∈N al aproxim˘arilor sale rat¸ionale prin adaos, obt¸inem a′n ≤ a ≤ a′′n pentru orice n ∈ N, prin urmare a′n = f (a′n ) ≤ f (a) ≤ f (a′′n ) = a′′n pentru orice n ∈ N. Trecˆand la limit˘a obt¸inem f (a) = a. Deci f = 1R . 3.67. Indicat¸ii. Dac˘a f este omomorfism al lui (Zm , +) ˆın (Zn , +) atunci f (x) = xba, unde b a = f (1) verific˘ a egalitatea m · b a=b 1. Dac˘ a, ˆın plus, f este omomorfism al lui (Zm , ·) ˆın (Zn , ·) atunci b a este idempotent ˆın Zn . Dac˘ a, de exemplu, (m, n) = 1 atunci b a=b 0 ¸si singurul omomorfism este cel nul.

3.68. Cum (Q, +, ·) este un corp, omomorfismele g, h sunt fie nule, fie injective. Dac˘a g, h sunt ambele nule, concluzia e imediat˘a. Consider˘am contrariul, iar din g(n) = h(n) pentru orice n ∈ Z deducem c˘a g ¸si h sunt injective. Atunci subinelele g(Q) ¸si h(Q) ale lui R sunt corpuri cu aceea¸si unitate 1′ = g(1) = h(1), iar dac˘a A este subinelul lui R generat de g(Q) ∪ h(Q) atunci A este, ˆın raport cu operat¸iile induse din (R, +, ·), un inel cu unitatea 1′ ¸si omomorfismele g, h pot fi privite ca omomorfisme (unitale) cu codomeniul A. Atunci g(n), h(n) sunt inversabile ˆın A pentru orice n ∈ Z∗ ¸si, ˆın plus, 1 1 −1 −1 −1 −1 g =g n = [g(n)] = [h(n)] = h n =h . n n Astfel, pentru orice m, n ∈ Z, n 6= 0, avem m m 1 1 g = g(m)g = h(m)h =h . n n n n

209 Observat¸ie: Din problema de mai sus rezult˘a c˘a omomorfismul de incluziune Z → Q

este un exemplu de omomorfism nesurjectiv de inele cu care se poate simplifica la dreapta (ˆıntr-o compunere de omomorfisme de inele).

3.69. Indicat¸ii. Subinelele lui (Z, +, ·) sunt de forma nZ, cu n ∈ N, iar dac˘a n ∈ N

idealele inelului (nZ, +, ·) coincid cu subinelele sale ¸si sunt de forma (mn)Z, cu m ∈ N.

3.70. Indicat¸ii. i) Dac˘a r, r ′ ∈ U : V ¸si a ∈ R atunci, pentru orice x ∈ V , avem

rx, r ′ x ∈ U ¸si ax ∈ V , prin urmare, (r − r ′ )x = rx − r ′ x ∈ U , (ar)x = a(rx) ∈ U ¸si (ra)x = r(ax) ∈ U . ii) Dac˘ a r ∈ U : (V1 + V2 ) atunci r(x1 + x2 ) ∈ U pentru orice x1 ∈ V1 , x2 ∈ V2 . Luˆ and x1 = 0, respectiv x2 = 0, obt¸inem r ∈ U : V2 , respectiv r ∈ U : V1 . iii) U : (U + V ) = (U : U ) ∩ (U : V ) = R ∩ (U : V ) = U : V . iv) Cum rx ∈ V pentru orice r ∈ R, x ∈ V , din V ⊆ U rezult˘ a U : V = R. Reciproc, dac˘ a R are unitate, 1 ∈ U : V implic˘ a V = 1 · V ⊆ U. [m, n] [m, n] v) nZ : mZ = {r ∈ Z | rmZ ⊆ nZ} = {r ∈ Z | n|rm} = r ∈ Z | r = Z. m m

3.71. Indicat¸ii. Dac˘a r, s, a ∈ R, m, n ∈ N ¸si r m , sn ∈ I atunci folosind problema 3.7 ¸si

faptul c˘ a I este ideal deducem c˘ a (r − s)m+n ∈ I, iar din comutativitatea lui R ¸si I ideal, avem (ar)m = am r m ∈ I ¸si (ra)m = r m am ∈ I. Egalit˘ a¸tile din enunt¸ se demonstreaz˘ a verificˆ and dubla incluziune. 0 a ˆ | a, b ∈ R este ideal 3.72. R˘ aspuns. In general, nu. De exemplu, A = 0 b 0 0 stˆ ang ˆın inelul (M2 (R), +, ·) ¸si B = | a, b ∈ R este ideal drept, dar intersect¸ia a b 0 0 A∩B = | a ∈ R nu este ideal ˆın (M2 (R), +, ·). 0 a

3.73. Indicat¸ii. Trebuie verificat c˘a pentru orice ideale U, V, T ale unui inel R cu U ⊆ T

avem U + (V ∩ T ) = (U + V ) ∩ T . Submodularitatea (adic˘ a incluziunea ⊆) este verificat˘ a de orice latice, iar incluziunea ⊇ se demostreaz˘ a ca ˆın solut¸ia problemei 2.141. Altfel: laticea idealelor unui inel este sublatice a laticii subgrupurilor grupului abelian (R, +), care este modular˘ a.

3.74. Indicat¸ii. Se poate a c˘ a mult¸imea elementelor p folosi problema 3.71 de unde rezult˘

nipotente coincide cu {0}, deci este un ideal al lui R. Se poate da ¸si o solut¸ie care s˘ a nu fac˘ a apel la problema 3.71 astfel: dac˘ a a, b ∈ R sunt elemente nilpotente, m, n ∈ N, a c˘ a (a − b)m+n = 0, iar am = 0 = bn ¸si r ∈ R atunci folosind problema 3.7 se arat˘ (ra)m = r m am = 0.

3.75. Dac˘a a ∈ R este nilpotent ¸si an = 0 (n ∈ N) atunci (1 + a)(1 − a + a2 − · · · + (−1)n−1 an−1 ) = 1 + (−1)n−1 an = 1, deci 1 + a este inversabil. Dac˘a x, y ∈ R cu x inversabil ¸si y nilpotent atunci, conform problemei anterioare, x−1 y este un element nilpotent al lui R, prin urmare x + y = x(1 + x−1 y) este inversabil fiind produsul a dou˘a elemente inversabile.

210

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

3.76. Indicat¸ii. i) Un inel Boole nenul simplu este un inel asociativ ¸si comutativ simplu care nu este de p˘ atrat nul, deci un corp (vezi [34, Teorema 3.4.4]). Se folose¸ste apoi problema 3.18. ii) Un rat¸ionament inductiv simplu arat˘ a c˘ a este destul s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a orice ideal U generat de o mult¸ime cu dou˘ a elemente {a, b} ⊆ R este principal. Cum orice element din R este idempotent (¸si R este comutativ) avem a = a(a + b − ab) ¸si b = b(a + b − ab), prin urmare U = aR + bR = (a + b − ab)R.

3.77. Indicat¸ii. Dac˘a U1 , U2 sunt ideale ˆın R1 , respectiv R2 atunci U1 × U2 este ideal

ˆın R1 × R2 . Reciproc, dac˘ a U este un ideal al lui R1 × R2 ¸si pi : R1 × R2 → Ri (i = 1, 2) sunt proiect¸iile canonice atunci pi (U ) este ideal ˆın pi (R1 × R2 ) = Ri (i = 1, 2) ¸si avem U = p1 (U ) × p2 (U ). ˆIntr-adev˘ ar, incluziunea U ⊆ p1 (U ) × p2 (U ) este evident˘ a, iar dac˘a ′ ′ ′ ′ (x, y) ∈ p1 (U ) × p2 (U ) atunci exist˘ a x ∈ R1 , y ∈ R2 pentru care (x, y ), (x , y) ∈ U , ceea ce implic˘ a (x, y) = (1, y)(x, y ′ ) + (x, 1)(x′ , y) − (x, y ′ )(x′ , y) ∈ U.

3.78. Indicat¸ie. Transform˘arile unei matrice ment¸ionate ˆın enunt¸ ale se numesc transform˘ ari elementare. Pentru a efectua o transformare elementar˘ a, referitoare la linii (coloane), asupra unei matrice A se poate proceda astfel: se realizeaz˘ a transformarea respectiv˘ a asupra matricei unitate In ¸si ˆınmult¸im pe A cu matricea astfel obt¸inut˘ a pe stˆ anga (dreapta). Evident, dac˘ a A ∈ U atunci matricea rezultat˘ a este tot ˆın U.

3.79. Indicat¸ie. T /U = {A + U | A matrice diagonal˘a} (A = (aij ) este diagonal˘a dac˘a aij = 0 pentru orice i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j).

Observat¸ie: Proiect¸ia canonic˘a T → T /U este un omomorfism surjectiv care duce un inel necomutativ ˆıntr-unul comutativ ¸si implicit elemente din T \ Z(T ) ˆın Z(T /U ) = T /U .

3.80. Indicat¸ii. i) Se arat˘a u¸sor c˘a dac˘a U este ideal al lui R atunci Mn (U ) este ideal ˆın Mn (R). Reciproc, dac˘ a U este ideal ˆın Mn (R) atunci U = {a ∈ R | ∃A = (aij ) ∈ U cu a11 = a} ar, dac˘ a A = (aij ) ∈ U atunci permutˆ and este un ideal al lui R ¸si Mn (U ) = U. ˆIntr-adev˘ succesiv linia 1 cu linia i ¸si coloana 1 cu coloana j se obt¸ine o matrice din U care are pe aij ˆın colt¸ul stˆ anga-sus, deci aij ∈ U . Dac˘ a B = (bij ) ∈ Mn (U ) atunci, pentru orice i ∈ U care are pe b ın colt¸ul stˆ anga-sus. Dac˘ a lu˘ am matricea ¸si j exist˘ a o matrice B ij ˆ  ij 1 0 ... 0  0 0 ... 0    X = . . ..  atunci XBij X ∈ U este matricea care are pe bij ˆın pozit¸ia (i, j) . .  . . .  0 0 ... 0 ¸si 0 ˆın rest. Suma acestor matrice este chiar B ¸si apart¸ine lui U. ii) Corespondent¸a (aij ) 7→ (aij + U ) define¸ste un omomorfism surjectiv de inele f al lui (Mn (R), +, ·) ˆın (Mn (R/U ), +, ·). Aplic˘ am prima teorem˘ a de izomorfism pentru inele lui f ¸si obt¸inem izomorfismul c˘ autat. iii) ¸si iv) urmeaz˘ a din i) a b v) U = ∈ M2 (2Z) | 4|a este ideal ˆın M2 (2Z) pentru care nu exist˘ a nici un c d ideal U al lui 2Z cu proprietatea c˘ a Mn (U ) = U. vi) Dac˘a U este ideal stˆ ang al lui R atunci Mn (U ) este ideal ang al ar˘ a ca stˆ lui Mn (R), f˘ 0 a reciproca s˘ a fie, ˆın general, adev˘ arat˘ a. De exemplu, U = | a, b ∈ R este un 0 b

211 ideal stˆ ang al inelului M2 (R), dar singurele ideale (unilaterale) ale lui R sunt {0} ¸si R, iar Mn ({0}) 6= U 6= Mn (R). Ment¸ion˘ am c˘ a acest exemplu poate fi generalizat pentru matrice p˘ atrate de orice ordin n ∈ N, n ≥ 2, cu coeficient¸i ˆıntr-un corp.

3.81. Indicat¸ii. i) Se arat˘a c˘a f : P(M ) → P(M \ N ), f (X) = X ∩ (M \ N ) = X \ N este un omomorfism surjectiv de inele ¸si se aplic˘ a prima teorem˘ a de izomorfism. ii) Dac˘ a N ⊆ M , se verific˘ a u¸sor c˘ a P(N ) este ideal al lui P(M ). Dac˘ a U este un ideal al lui P(M ) ¸si X, Y ∈ U atunci X ∪ Y = (X + Y ) + (X · Y ) ∈ U. Inductiv, se obt¸ine c˘ a U este a, U este finit˘ a, deci [ ˆınchis la reuniuni finite, prin urmare, cum M este finit˘ N = X ∈ U. De asemenea, dac˘ a X ∈ U ¸si Z ⊆ X atunci Z = X ∩ Z = X · Z ∈ U. X∈U

Rezult˘ a c˘a P(N ) ⊆ U ¸si cum X ∈ U implic˘ a X ⊆ N (adic˘ a X ∈ P(N )) avem U = P(N ). iii) Dac˘ a M este infinit˘ a, U = {X ∈ P(M ) | X finit˘ a} este un ideal infinit al lui P(M ), iar dac˘ a ar exista N ⊆ M pentru care U = P(N ) atunci N ∈ U ar fi finit˘ a, deci P(N ) = U este finit˘ a, contradict¸ie.

3.82. Indicat¸ie. Se aplic˘a prima teorem˘a de izomorfism omomorfismului de inele rezultat din compunerea R

f

/ R′

p′

/ R′ /f (U ) (p′ este proiect¸ia canonic˘ a).

3.83. Indicat¸ie. Dac˘a x ∈ R este un nondivizor al lui zero cu ord(R,+) (x) = n ∈ N∗ ¸si

y ∈ R atunci 0 = (nx)y = x(ny), prin urmare ny = 0.

Observat¸ii: a) Not¸iunea de caracteristic˘a se define¸ste ¸si pentru inele (R, +, ·) care nu

au unitate astfel: dac˘ a mult¸imea {ord(R,+) (x) | x ∈ R} este o submult¸ime m˘ arginit˘ a a lui ∗ N atunci caracteristica inelului R este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale ord(R,+) (x) (x ∈ R); ˆın caz contrar, caracteristica inelului R este ∞ (sau 0). b) Din problema de mai sus rezult˘ a c˘ a tot¸i nondivizorii lui zero dintr-un inel R au acela¸si ordinˆın (R, +), egal cu caracteristica inelului (¸si cu ordinul unit˘ a¸tii ˆın (R, +), dac˘ a aceasta exist˘ a).

3.84. Indicat¸ie. Din problema anterioar˘a rezult˘a c˘a toate elementele nenule ale unui corp K au acela¸si ordin ˆın grupul (K, +), a¸sadar, pentru a, b ∈ K ∗ nu putem avea 2a = 3b = 0.

3.85. R˘ aspuns. Dac˘a 0 = 1 atunci caracteristica inelului este 1, ˆın caz contrar este 2. 3.86. R˘ aspuns. char(Zm × Zn , +, ·) = [m, n] (am notat cu charR caracteristica inelului R).

3.87. R˘ aspuns. char(Z × Z) = char(Z2 × Z) =char(Q × Z4 ) =char(End(Z, +)) = ∞,

char(End(Z3 , +)) = 3.

3.88. R˘ aspuns. Orice inel Boole infinit (de exemplu, inelul (P(M ), +, ·) din problema

3.4 cu M infinit˘ a), char Zn [X] = n (n ∈ N, n ≥ 2).

3.89. Indicat¸ie. Dac˘a p este prim, char Zp [X] = p, char(Zp × Zp ) = [p, p] = p, dar inelele (Zp [X], +, ·) ¸si (Zp × Zp , +, ·) nu sunt corpuri.

3.90. Indicat¸ie. Pentru ca mult¸imea {0, 1} s˘a fie parte stabil˘a ˆın (K, +) este necesar

(¸si suficient) ca 1 + 1 = 0. De aici rezult˘ a c˘ a {0, 1} este subcorp ˆın K atunci ¸si numai atunci cˆ and charK = 2.

212

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

3.91. Indicat¸ie. Suma elementelor de pe prima diagonal˘a a matricei AB este egal˘a cu suma elementelor de pe prima diagonal˘ a a matricei BA, prin urmare, suma elementelor de pe prima diagonal˘ a a matricei AB − BA este 0, iar suma elementelor de pe prima diagonal˘ a a matricei In este n · 1 6= 0.

3.92. Dac˘a R este de caracteristic˘a p > 2 atunci ecuat¸ia x2 = 1 are ˆın U(R, +, ·) dou˘a solut¸ii x1 = 1 6= −1 = x2 , iar ecuat¸ia 2x = 0 are ˆın (R, +) o singur˘a solut¸ie x = 0. Dac˘a R este de caracteristic˘a 2 atunci ecuat¸ia x2 = 1 are ˆın U(R+, ·) o singur˘a solut¸ie x = 1 = −1, iar ecuat¸ia 2x = 0 are ˆın (R, +) cel put¸in dou˘a solut¸ii x1 = 0 ¸si x2 = 1. Dac˘a ar exista un izomorfism ϕ : U(R, +, ·) → R atunci acesta ar aplica bijectiv mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei x2 = 1 pe mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei 2x = 0. Deci cele dou˘a ecuat¸ii ar avea acela¸si num˘ar de r˘ad˘acini, ceea ce nu este adev˘arat. Rezult˘a c˘a grupurile (U(R, +, ·), ·) ¸si (R, +) nu sunt izomorfe. 3.93. Indicat¸ie. Se folose¸ste problema anterioar˘a. 3.94. Indicat¸ie. Se folose¸ste definit¸ia produsului restrˆans de grupuri ¸si definit¸ia polinoamelor ca ¸siruri de suport finit.

3.95. Dac˘a g = b0 +b1 X +· · · ∈ R[[X]] ¸si f g = 1 atunci a0 b0 = 1 deci a0 este element inversabil ˆın R. Invers, dac˘a a0 este inversabil, lu˘am b0 = a−1 si ar˘at˘am, prin induct¸ie 0 ¸ dup˘a n, c˘a pentru orice n ∈ N∗ exist˘a bn ∈ R astfel ˆıncˆat a0 bn +a1 bn−1 +· · ·+an b0 = 0. 2 Pentru n = 1, b1 = −a−1 a egalitatea a0 b1 + a1 b0 = 0, iar dac˘a 0 a1 b0 = −a1 b0 verific˘ presupunem c˘a b1 , . . . , bn−1 sunt determinat¸i atunci bn = −a−1 0 (a1 bn−1 + · · · + an b0 ) ∈ R. Seria formal˘a g = b0 + b1 X + · · · din R[[X]] verific˘a egalitatea f g = 1. 3.96. Indicat¸ie. Se folose¸ste faptul c˘a dac˘a (R, +, ·) este un domeniu de integritate

atunci U (R[X], +, ·) = U (R, +, ·).

3.97. R˘ aspuns. f = 1 + x ∈ R[X] este inversabil ˆın inelul (R[[X]], +, ·), dar nu este inversabil ˆın inelul (R[X], +, ·).

3.98. Indicat¸ie. Fie h = a0 + a1 X + · · · + an X n cu a0 , . . . , an ∈ Z4 , n ∈ N∗ , n ≥ 3. 1 dac˘ a ¸si numai dac˘ a Avem (b 3+b 2X + b 2X 2 )h = b

b 3a0 = b 1, b 3a1 + b 2a0 = b 0 b 3a2 + b 2a1 + b 2a0 = b 0 b 3a3 + b 2a2 + b 2a1 = b 0

.. . b 2an + b 2an−1 + b 2an−2 = b 0 b 2an + b 2an−1 = b 0 b 2an = b 0.

Rezult˘a c˘ a a0 = b 3, a1 = b 2, a2 = b 2 ¸si a3 = · · · = an = b 0, deci h = b 2X 2 + b 2X + b 3.

213 3.99. a) S˘a remarc˘am c˘a un element din R este nilpotent ˆın R dac˘a ¸si numai dac˘a este nilpotent ˆın R[X]. Fie i ∈ {1, . . . , n}. Dac˘a ai este nilpotent ˆın R[X] atunci, conform problemei 3.74, ai X i este nilpotent ˆın R[X], deci a1 X + · · · + an X n este nilpotent ˆın R[X]. Dac˘a a0 este inversabil atunci, aplicˆand problema 3.75, rezult˘a c˘a f este inversabil ˆın R[X]. Reciproc, s˘a consider˘am c˘a exist˘a un polinom g = b0 + b1 X + · · · + bm X m (b0 , b1 , . . . , bm ∈ R) astfel ˆıncˆat f g = 1. Atunci a0 b0 = 1, a1 b0 + a0 b1 = 0 .. . an bm−2 + an−1 bm−1 + an−2 bm = 0 an bm−1 + an−1 bm = 0 an bm = 0. Din prima egalitate deducem c˘a a0 ¸si b0 sunt inversabile. ˆInmult¸ind penultima egalitate cu an ¸si ¸tinˆand cont de ultima, obt¸inem a2n bn−1 = 0, care, ˆımpreun˘a cu ultima egalitate ¸si cu cea rezultat˘a din antepenultima prin ˆınmult¸ire cu a2n , implic˘a a3n bm−2 = 0. Procedˆand ˆın continuare ca mai sus se ajunge la egalitatea am+1 b0 = 0, n m+1 n adic˘a la an = 0 ¸si astfel, an este nilpotent. Urmeaz˘a c˘a an X este nilpotent, deci polinomul f1 = f − an X n = a0 + a1 X + · · · + an−1 X n−1 este, de asemenea, inversabil, ca fiind suma dintre un element inversabil ¸si unul nilpotent. Ca mai sus, se arat˘a c˘a aceasta conduce la faptul c˘a an−1 este nilpotent. Aplicˆand succesiv acest rat¸ionament se arat˘a c˘a an−2 , . . . , a1 sunt nilpotente. b) Dac˘a a0 , a1 , . . . , an sunt nilpotente, se arat˘a, ca la a), c˘a a1 X + · · · + an X n este nilpotent, a¸sadar f este nilpotent fiind sum˘a a dou˘a elemente nilpotente. Reciproc, dac˘a f este nilpotent atunci −1 + f = (−1 + a0 ) + a1 X + · · · + an X n este suma dintre un element inversabil ¸si unul nilpotent, prin urmare este inversabil. Rezult˘a c˘a a1 , . . . , an sunt elemente nilpotente. Dar atunci ¸si a1 X +· · ·+an X n este nilpotent, deci ¸si a0 = f − (a1 X + · · · + an X n ) este nilpotent.

3.100. Indicat¸ie. Se folose¸ste caracterizarea elementelor inversabile din Zn , problema anterioar˘a ¸si problema 3.15 ¸si se deduce U (Zn [X]) = {ab0 + ab1 X + · · · + a cn X n | (a0 , n) = 1, p1 · · · pk |ai , i ∈ {1, . . . , n}, n ∈ N∗ },

unde p1 , . . . , pk sunt divizorii primi (distinct¸i) ai lui n.

3.101. Consider˘am f = a0 + a1 X + · · · + an X n , cu a0 , . . . , an ∈ R, an 6= 0 ¸si g = b0 + b1 X + · · · + bm X m , cu b0 , b1 , . . . , bm ∈ R, bm 6= 0 un polinom (nenul) de grad minim astfel ˆıncˆat f g = 0. Atunci an bm = 0, prin urmare f (an g) = 0, ceea ce conform minimalit˘a¸tii lui m ∈ N conduce la an g = 0, adic˘a an bj = 0 pentru orice j ∈ {0, . . . , m}. Dar atunci (a0 + a1 X + · · · + an−1 X n−1)g = (f − an X n )g = 0, ceea ce implic˘a an−1 bm = 0. Urmeaz˘a c˘a f (an−1 g) = 0 ¸si din nou minimalitatea lui m conduce la an−1 g = 0, adic˘a an−1 bj = 0 pentru orice j ∈ {0, . . . , m}. Aplicˆand

214

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

succesiv rat¸ionamentul de mai sus obt¸inem ai bj = 0, ∀i ∈ {0, . . . , n}, ∀j ∈ {0, . . . , m}. ˆInseamn˘a c˘a luˆand a = bm avem a 6= 0 ¸si af = 0. Mai mult, gradul lui g este atunci m = 0 ¸si g = b0 = bm = a. Implicat¸ia invers˘a este, evident, adev˘arat˘a. 3.102. Indicat¸ie. Din indicat¸iile de la problema 2.69 rezult˘a c˘a orice q = a2 i+a3 j +a4 k cu a2 , a3 , a4 ∈ R ¸si a22 + a23 + a24 = 1 verific˘ a egalitatea x2 + 1 = 0. 3.103. R˘ aspuns. Gradul polinomului f = b4X − b4 ∈ Z12 [X] este 1, dar f are 4 r˘ad˘acini

b ˆın Z12 ¸si anume: b 1, b 4, b 7, 10.

3.104. Avem

c b aX 2 + bX + c = a X 2 + X + a a

" # 2 b b2 − 4ac =a X+ − . 2a 4a2

Fie z0 ∈ C o r˘ad˘acin˘a de ordinul 2 a num˘arului complex b2 − 4ac. R˘ad˘acinile −b + z0 −b − z0 ¸si α2 = . polinomului dat sunt α1 = 2a 2a Observat¸ii: a) S˘a observ˘am c˘a cealalt˘a r˘ad˘acin˘a de ordinul 2 a num˘arului complex b2 − 4ac este −z0 , deci r˘ ad˘ acinile determinate de aceasta sunt tot α1 , α2 . √ b) Dac˘a not˘ am pe z0 cu b2 − 4ac , obt¸inem o formul˘ a similar˘ a cu cea care d˘ a forma r˘ ad˘ acinilor unui polinom de grad 2 cu coeficient¸i reali. √ √ √ √ −2 ± 3 + i 6 6 − 3 ± (2 − i) 3.105. R˘ aspuns. a) ; b) ± −i ; c) . 2 2 2 2

3.106. Indicat¸ii. a) Dac˘a α, β ∈ C ¸si α + β este o solut¸ie a ecuat¸iei y 3 + py + q = 0

atunci (α + β)3 + p(α + β) + q = 0 sau, echivalent, (α3 + β 3 ) + (3αβ + p)(α + β) + q = 0. p3 Se observ˘ a c˘ a dac˘ a 3αβ + p = 0 atunci α3 + β 3 = −q ¸si α3 β 3 = − , a¸sadar α3 ¸si β 3 sunt 27 p3 2 solut¸iile ecuat¸iei t + qt − = 0, adic˘ a 27 r r q q2 p3 q q2 p3 3 3 (1) α =− + + ¸si β = − − + , 2 4 27 2 4 27 r q2 p3 q 2 p3 unde cu + s-a notat o r˘ ad˘ acin˘ a de ordinul 2 a lui + ∈ C. Dac˘ a α1 ¸si β1 sunt 4 27 4 27 solut¸ii ale ecuat¸iilor (1) atunci celelelalte solut¸ii ale ecuat¸iilor (1) sunt εα1 , ε2 α1 , respectiv εβ1 , ε2 β1 , unde ε ∈ C \ {1} este o r˘ ad˘ acin˘ a de ordinul 3 a unit˘ a¸tii. S ¸ tim c˘ a α ¸si β verific˘a p egalitatea 3αβ + p = 0. A¸sadar, putem lua α1 , β1 astfel ˆıncˆ at α1 β1 = − ¸si atunci solut¸iile 3 3 ecuat¸iei y + py + q = 0 sunt y1 = α1 + β1 , y2 = εα1 + ε2 β1 ¸si y3 = ε2 α1 + εβ1 .

1 b) Se ˆınmult¸e¸ste ecuat¸ia ax3 + bx2 + cx + d = 0, a 6= 0 cu . ˆIn ecuat¸ia rezultat˘ a, se a b substituie x cu y − ¸si se obt¸ine o ecuat¸ie de forma y 3 + py + q = 0. 3a

215 p p √ √ √ 3 3 2 − 3 , x2√= ε 2 + 3 + ε2 2 − 3 , x3 = p p √ √ −3 ± 3i 3 3 3 ε2 2 + 3 + ε 2 − 3 ; b) x1 = −3, x2,3 = . 2 2 p p2 2 2 2 3.108. Indicat¸ii. a) h = X + + m − 2mX − qX + m + pm − r + . 2 4 p2 Polinomul 2mX 2 − qX + m2 + pm − r + este p˘ atratul unui polinom g ∈ C[X] dac˘ a 4 p2 ¸si numai dac˘ a are dou˘ a r˘ ad˘ acini egale, adic˘ a q 2 − 8m m2 + pm − r + = 0. Prin 4 urmare m ∈ C trebuie s˘ a fie o solut¸ie a ecuat¸iei p2 3 2 − q 2 = 0. (1) 8m + 8pm + 8 −r + 4 q . Ment¸ion˘ am c˘ a ˆın acest caz, avem g = 2m X − 4m 1 b se obt¸ine o ecuat¸ie de forma b) ˆInmult¸ind ecuat¸ia cu ¸si substituind apoi x = y + a 4a

3.107. R˘ aspuns. a) x1 =

(2)

p 3

2+

√

3+

p 3

y 4 + py 3 + qy + r = 0,

cu p, q, r ∈ C. Ecuat¸ia (2) se mai scrie h(y) = 0. Dac˘ a m0 este o solut¸ie a ecuat¸iei (1) atunci ecuat¸ia (2) este echivalent˘ a cu [f (y) + g(y)][f (y) − g(y)] = 0 ¸si astfel rezolvarea ecuat¸iei (2) revine la rezolvarea ecuat¸iilor de gradul 2 √ √ p q p q 2 2 y − 2m0 y + + m0 + √ + m0 − √ = 0 ¸si y + 2m0 y + = 0. 2 2 2 2m0 2 2m0 √ √ √ √ 6 6 i 6 ± 3i 2 3.109. R˘ aspuns. ± −i , . 2 2 2

3.110. a) Dac˘a R este un inel finit ¸si R 6= {0} atunci R[X] este infinit, iar RR este finit, deci ϕ nu este injectiv. b) Lu˘am (R, +, ·) = (R, +, ·) ¸si consider˘am funct¸ia sin : R → R. Dac˘a aceasta ar fi definit˘a de un polinom f ∈ R[X] atunci f ar avea o infinitate de r˘ad˘acini reale, deci f = 0 ¸si prin urmare funct¸ia sinus ar fi identic nul˘a, contradict¸ie. 3.111. Indicat¸ie. fe = ge dac˘a ¸si numai dac˘a orice a ∈ R este r˘ad˘acin˘a a polinomului

f − g. Dac˘ a R este infinit atunci f − g = 0, iar dac˘ a R este finit, se obt¸ine condit¸ia de la b).

3.112. R˘ aspuns. f1 = b2X 3 + b2X 2 + b1, f2 = f = X 3 + b2X 2 + X + b1, f3 = b2X 2 + b2X + b1.

Pentru cele de grad 4 (sau mai mare) se folose¸ste problema anterioar˘ a.

3.113. Indicat¸ii. Dac˘a R 6= {0} ¸si ϕ este surjectiv atunci funct¸ia α : R → R, α(r) =

0, r = 0 1, r = 6 0

este funct¸ia polinomial˘ a indus˘ a de un polinom p = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ R[X]. Din a c˘ a a0 = 0, prin urmare r(a1 + a2 r · · · + an r n−1 ) = 1 E0 (p) = p(0) = α(0) = 0 rezult˘ pentru orice r 6= 0. A¸sadar, orice element nenul din R este inversabil de unde urmeaz˘ a c˘ a R este un corp. Pentru a ar˘ ata c˘ a R este finit, se demonstreaz˘ a c˘ a dac˘ a R ar fi corp

216

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

infinit atunci ϕ nu ar fi surjectiv. Pentru aceasta se poate proceda ca ˆın solut¸ia problemei 3.110 considerˆ and o funct¸ie nenul˘ a cu o infinitate de zerouri, de exemplu 1, r = 0 β : R → R, β(r) = . 0, r 6= 0 at˘ am c˘ a exist˘ a f ∈ R[X] astfel ˆıncˆat Reciproc, fie R = {a1 , . . . , an } corp, γ ∈ RR . Ar˘ fe = γ. Folosind teorema ˆımp˘ art¸irii cu rest ˆın R[X] ¸si problema 3.111, deducem c˘a f induce aceea¸si funct¸ie polinomial˘ a ca restul ˆımp˘ art¸irii lui f la (X − a1 ) · · · (X − an ), prin urmare, este suficient s˘ a consider˘ am c˘ a gradul lui f este cel mult n − 1. Luˆ and f = b0 + b1 X + · · · + bn−1 X n−1 , egalit˘ a¸tile f (ai ) = γ(ai ) (i ∈ {1, . . . , n}) dau un sistem de n ecuat¸ii cu n necunoscute (b0 , . . . , bn−1 ) al c˘ arui determinant este 1 a1 a21 . . . an−1 1 1 a2 a2 . . . an−1 Y 2 2 = (aj − ai ) 6= 0, .. .. . . .. .. . . 1≤i<j≤n 1 an a2 . . . an−1 n n ceea ce arat˘ a compatibilitatea sistemului ment¸ionat, deci existent¸a lui f .

Observat¸ie: ˆIn solut¸ia indicat˘a mai sus s-a ar˘atat existent¸a unui polinom f pentru care

fe = γ f˘ ar˘ a a urm˘ ari determinarea lui f . Se verific˘ a cu u¸surint¸˘ a c˘ a funct¸ia polinomial˘a determinat˘ a de polinomul (de interpolare al lui Lagrange) n X (X − a1 ) · · · (X − ai−1 )(X − ai+1 ) · · · (X − an ) γ(ai ) f= (ai − a1 ) · · · (ai − ai−1 )(ai − ai+1 ) · · · (ai − an ) i=1

este funct¸ia γ (cu

1 am notat aici inversul elementului a ∈ R∗ ). a

3.114. Indicat¸ii. Din proprietatea de universalitate a inelului de polinoame rezult˘a c˘ a un omomorfism de inele cu domeniul R[X] este determinat de restrict¸ia sa la R ¸si de imaginea lui X. a) Cum ϕ|R este omomorfismul de incluziune i : R → R[X], determinarea lui ϕ revine la determinarea lui ϕ(X) ∈ R[X]. Dac˘ a ϕ(X) ∈ R atunci ϕ(R[X]) = R, ceea ce contrazice surjectivitatea lui ϕ. Dac˘ a grad(ϕ(X)) ≥ 2 atunci polinoamele de grad 1 lipsesc din ϕ(R[X]), din nou conradict¸ie cu ϕ surjectiv˘ a. A¸sadar, ϕ(X) este un polinom aX + b de grad 1, adic˘ a ϕ = EaX+b , cu a, b ∈ R, a 6= 0. b) Dac˘a ψ este inversul automorfismului ϕ, se verific˘ a cu u¸surint¸˘ a c˘ a ψ|R = i. Ca mai sus, se obt¸ine c˘ a exist˘ a c, d ∈ R, c 6= 0 astfel ˆıncˆ at ψ = EcX+d . Din (ϕ ◦ ψ)(X) = (X) rezult˘a c˘ a ac = 1, deci a este inversabil cu a−1 = c. Mai mult, avem ¸si ad + b = 0, de unde primim d = −a−1 b. Reciproc, se verific˘ a faptul c˘ a EaX+b ◦ Ea−1 X−a−1 b = Ea−1 X−a−1 b ◦ EaX+b = 1R[X] .

3.115. Indicat¸ii. Dac˘a R ∈ {Z, Q, Zp } se arat˘a u¸sor c˘a orice automorfism ϕ al lui R[X], fiind unital, satisface egalitatea ϕ(r) = r pentru orice r ∈ R. ˆIn continuare se folose¸ste problema anterioar˘ a ¸si se obt¸ine: [ Aut(Z[X]) = {Ex+b , E−x+b }, Aut(Q[X]) = {Eax+b | a, b ∈ Q, a 6= 0}, b∈Z

Aut(Zp [X]) = {Eax+b | a, b ∈ Zp , a 6= b 0}.

217 3.116. Indicat¸ie. Din [X + i + (X 2 + 1)][X − i + (X 2 + 1)] = (X 2 + 1) rezult˘a c˘a inelul cˆ at C[X]/(X 2 + 1) are divizori ai lui zero.

3.117. Indicat¸ie. Aplic˘am prima teorem˘a de izomorfism omomorfismului de inele E0,0 : Q[X, Y ] → Q, E0,0 (a) = a, ∀a ∈ Q, E0,0 (X) = 0, E0,0 (Y ) = 0.

3.118. Indicat¸ii. a) Aplic˘am prima teorem˘a de izomorfism omomorfismului de inele Ei : R[X] → C, Ei (a) = a, ∀a ∈ R, Ei (X) = i. b) Aplic˘ am prima teorem˘ a de izomorfism omomorfismului p ◦ E0 rezultat din compunerea proiect¸iei canonice p : Z → Zn , p(a) = b a cu omomorfismul E0 : Z[X] → Z, E0 (a) = a, ∀a ∈ Z, E0 (X) = 0.

c) Proiect¸ia canonic˘ a p : Z → Zn , p(a) = b a induce un omomorfism

p : Z[X] → Zn [X], p(a) = b a, ∀a ∈ Z, p(X) = X.

Izomorfismul c˘ autat se obt¸ine aplicˆ and prima teorem˘ a de izomorfism lui p.

3.119. Indicat¸ii. Aplic˘am prima teorem˘a de izomorfism omomorfismelor de inele: a) E−1 : K[X] → K, E−1 (a) = a, ∀a ∈ K, E−1 (X) = −1; b) EX,X : K[X, Y ] → K[X], EX,X (a) = a, ∀a ∈ K, EX,X (X) = X, EX,X (Y ) = X ¸si EX,−X : K[X, Y ] → K[X], EX,X (a) = a, ∀a ∈ K, EX,X (X) = X, EX,X (Y ) = −X.

3.120. Indicat¸ii. Se aplic˘a problema 3.82 pentru: a) automorfismul E X ¸si idealul 2

(X 2 − 1); b) automorfismul EX+b1 ¸si idealul (X 2 − b 1); c) automorfismul EX+1 ¸si idealul 2 2 (X + 1); d) automorfismul EX+1 ¸si idealul (X + 1).

3.121. Indicat¸ii. a) Folosind pasul de induct¸ie din demonstrat¸ia teoremei fundamentale a polinoamelor simetrice ([34, Teorema 3.11.6]), vom descrie un algoritm care ne va permite s˘ a scriem cu ajutorul polinoamelor simetrice fundamentale orice polinom simetric omogen (adic˘ a orice polinom simetric ˆın care toate monoamele care intervin au acela¸si grad). Reamintim c˘ a exponent¸ii termenului principal al unui polinom simetric sunt ˆın ordine descresc˘ atoare (nu neap˘ arat strict) ¸si c˘ a induct¸ia se face relativ la ordonarea lexicografic˘ a a termenilor principali. Not˘ am (1)

f = (X12 + X22 )(X22 + X32 )(X32 + X12 ) ∈ R[X1 , X2 , X3 ]

polinomul dat. Polinoamele simetrice fundamentale din R[X1 , X2 , X3 ] sunt s1 = X1 + X2 + X3 , s2 = X1 X2 + X2 X3 + X3 X1 , s3 = X1 X2 X3 . Termenul principal al lui f este X14 X22 . Acest termen principal induce ˆın scrierea lui f cu 2−0 0 2 2 ajutorul lui s1 , s2 , s3 termenul s4−2 si s21 s22 sunt polinoame simetrice 1 s2 s3 = s1 s2 . Cum f ¸ omogene (de acela¸si grad), termenul principal al lui f − s21 s22 este un monom de grad 6 mai mic sau egal (ˆın sensul ordon˘ arii lexicografice) decˆ at X14 X2 X3 . Dac˘ a acesta ar fi chiar 4 aX1 X2 X3 (a ∈ R) atunci ar induce ˆın scrierea lui f cu ajutorul lui s1 , s2 , s3 termenul 1−1 1 3 as4−1 si procedeul continu˘ a. Astfel, posibilii exponent¸i pentru termenii 1 s2 s3 = as1 s3 ¸ principali care apar ˆın discut¸ie sunt (4, 2, 0), (4, 1, 1), (3, 3, 0), (3, 2, 1), (2, 2, 2)

218

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

¸si, corespunz˘ ator, posibilii exponent¸i ai monoamelor ˆın s1 , s2 , s3 ce apar ˆın scrierea lui f cu ajutorul polinoamelor simetrice fundamentale sunt (2, 2, 0), (3, 0, 1), (0, 3, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 2). Prin urmare, exist˘ a a, b, c, d ∈ R astfel ˆıncˆ at f = s21 s22 + as31 s3 + bs32 + cs1 s2 s3 + ds23 .

(2)

R˘ amˆ ane doar s˘ a determin˘ am numerele reale a, b, c, d. Aceasta se poate face ca ˆın exemplul de mai jos, ˆınlocuind convenabil pe X1 , X2 , X3 cu numere reale x1 , x2 , x3 : x1

x2

x3

E(s1 )

E(s2 )

E(s3 )

1 2 1 1

1 −1 −2 −1

0 −1 −2 −1

2 0 −3 −1

1 −3 0 −1

0 2 4 1

E(f ) dat de (1) 2 50 200 8

E(f ) dat de (2) 4+b −27b + 4d −108a + 16d 1−a−b+c+d

a imediat c˘ a b = −2, d = −1, a = −2 ¸si c = 4, deci unde s-a notat E = Ex1 ,x2 ,x3 . Rezult˘ (3)

f = s21 s22 − 2s31 s3 − 2s32 + 4s1 s2 s3 − s23 .

b) Se procedeaz˘ a ca la punctul a). c) Scriind polinomul dat astfel: g = (X12 + X13 + X14 ) + (X22 + X23 + X24 ) + (X32 + X33 + X34 ) + (X42 + X43 + X44 ) = (X12 + X22 + X32 + X42 ) + (X13 + X23 + X33 + X43 ) + (X14 + X24 + X34 + X44 ) obt¸inem o sum˘ a de polinoame (simetrice) omogene. Proced˘am cu fiecare dintre polinoamele X12 + X22 + X32 + X42 , X13 + X23 + X33 + X43 ¸si X14 + X24 + X34 + X44 ) ca la punctul a). ˆInsum˘ am rezultatele obt¸inute ¸si avem scrierea polinomului g cu ajutorul polinoamelor simetrice fundamentale. d) Fract¸ia rat¸ional˘ a dat˘ a este o fract¸ie rat¸ional˘ a simetric˘ a ce poate fi scris˘ a ca un cˆ at de polinoame simetrice (omogene) astfel X12 X2 + X22 X1 + X22 X3 + X32 X2 + X32 X1 + X12 X3 , X1 X2 X3 dup˘ a care se continu˘ a ca la punctul a).

3.122. Indicat¸ie. ˆIntrucˆat E = Eα1 ,α2 ,α3 este un omomorfism de inele pentru care E|C = 1C , odat˘ a ce am scris polinomul simetric f = (X12 + X22 )(X22 + X32 )(X32 + X12 ) ∈ C[X1 , X2 , X3 ] cu ajutorul polinoamelor simetrice fundamentale, num˘ arul c˘ autat este E(f ) = [E(s1 )]2 [E(s2 )]2 − 2[E(s1 )]3 E(s3 ) − 2[E(s2 )]3 + 4E(s1 )E(s2 )E(s3 ) − [E(s3 )]2 . Dar din relat¸iile lui Vi´ete rezult˘ a E(s1 ) = 0, E(s2 ) = −3, E(s3 ) = 4 ¸si astfel se obt¸ine E(f ) = 54 − 16 = 38. S˘ a remarc˘ am c˘ a, f˘ ar˘ a a efectua calculele se poate ar˘ ata c˘ a din faptul c˘ a polinoamele X 3 − 3X − 4 ¸si f au coeficient¸i ˆıntregi ¸si coeficientul lui X 3 este 1 rezult˘ a E(f ) ∈ Z.

219 3.123. Indicat¸ii. Formulele pentru derivata sumei ¸si produsului a dou˘a polinoame se deduc folosind definit¸ia derivatei formale, celelealte egalit˘ a¸ti se deduc din derivata produsului a dou˘ a polinoame astfel: din definit¸ia derivatei formale avem α′ = 0 pentru orice α ∈ K, de unde rezult˘ a (αf )′ = αf ′ , iar formula derivatei unei puteri se obt¸ine prin ∗ induct¸ie dup˘ ak∈N .

3.124. Indicat¸ii. Se demonstreaz˘a prin induct¸ie dup˘a m ∈ N∗ c˘a din (X −a)m |f rezult˘a f (a) = f ′ (a) = · · · = f (m−1) (a) = 0, iar dac˘ a f (m) (a) = 0 atunci (X − a)m+1 |f .

3.125. Derivata formal˘a a polinomului f este f ′ = nX n−1 − (n − 1)s1 X n−2 + · · · + (−1)k (n − k)sk X n−k−1 + · · · + (−1)n−1 sn−1 . Dar f = (X − α1 )(X − α2 ) · · · (X − αn ) implic˘a f ′ = (X − α2 ) · · · (X − αn ) + (X − α1 )(X − α3 ) · · · (X − αn ) + · · · + (X − α1 ) · · · (X − αn−1 ),

de unde deducem f′ =

f f f + +···+ . X − α1 X − α2 X − αn

Cu ajutorul schemei lui Horner obt¸inem, pentru orice i ∈ {1, . . . , n}, f = X n−1 + (αi − s1 )X n−2 + (αi2 − s1 αi + s2 )X n−3 + · · · X − αi + αik − s1 αik−1 + · · · + (−1)k−1 sk−1 αi + (−1)k sk X n−k−1 + · · · + αin−1 − s1 αin−2 + · · · + (−1)n−2 sn−2 αi + (−1)n−1 sn−1 .

ˆInsumˆand ¸si ¸tinˆand seama de egalitatea coeficient¸ilor lui X n−k−1 din cele dou˘a scrieri ale lui f ′ avem, pentru orice k < n, Sk − s1 Sk−1 + · · · + (−1)k−1 sk−1 S1 + (−1)k sk S0 = (−1)k (n − k)sk , adic˘a Sk − s1 Sk−1 + · · · + (−1)k−2 sk−2 S2 + (−1)k−1 sk−1 S1 + (−1)k ksk = 0, ∀k < n. Cum α1 , . . . , αn ∈ C sunt r˘ad˘acini ale lui f au loc egalit˘a¸tile αin − s1 X n−1 + s2 αin−2 + · · · + (−1)n−1 sn−1 αi + (−1)n sn , ∀i ∈ {1, . . . , n}. Dac˘a n ≤ k atunci, ˆınmult¸ind fiecare din aceste egalit˘a¸ti cu αik−n ¸si adunˆand egalit˘a¸tile rezultate, primim Sk − s1 Sk−1 + · · · + (−1)n−1 sn−1 Sk−n+1 + (−1)n sn Sk−n = 0, ∀k ≥ n. 3.126. Indicat¸ii. ˆIn cazurile n = 2 ¸si n = 3 determinarea lui Sk pentru k ≤ n poate fi

f˘ acut˘ a mai u¸sor utilizˆ and relat¸iile lui Vi`ete ¸si formula care d˘ a p˘ atratul unui trinom. Pentru n = 2 ¸si k < 2 avem S0 = 2 ¸si S1 = s1 , iar pentru n = 3 ¸si k < 3 avem S0 = 3, S1 = s1 ¸si S2 = x21 + x22 + x23 = (x1 + x2 + x3 )2 − 2(x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = s21 − 2s2 .

220

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

3.127. Indicat¸ie. Se consider˘a corpul K = R(X1 , . . . , Xn ) ¸si polinomul f = (X − X1 ) · · · (X − Xn ) = X n − s1 X n−1 + s2 X n−2 + · · · + (−1)n−1 sn−1 X + (−1)n sn din K[X] ¸si se procedeaz˘ a ca ˆın solut¸ia problemei 3.125 (unde se ˆınlocuie¸ste C cu K).

3.128. Indicat¸ii. e) Dependent¸a rezultantei de α1 , . . . , αn (respectiv de β1 , . . . , βm ) este polinomial˘ a iar polinoamele care o exprim˘ a sunt polinoame simetrice ˆın n (respectiv m) nedeterminate. Scrierea acestora cu ajutorul polinoamelor simetrice fundamentale ¸si utilizarea relat¸iilor dintre r˘ ad˘ acinile ¸si coeficient¸ii lui f (respectiv g) ca ˆın solut¸ia problemei 3.122 arat˘ a c˘ a proprietatea cerut˘ a are loc.

3.129. Indicat¸ii. Fie j ∈ {1, . . . , m} ¸si uj = f (βj ) = Eβj (f ). Avem an βjn + · · · + a1 βj + (a0 − uj ) = 0,

an βjn+1 + · · · + a1 βj2 + (a0 − uj )βj = 0, .. . an βjn+m−1 + · · · + a1 βjm + (a0 − uj )βjm−1 = 0,

bm βjm + · · · + b1 βj + b0 = 0,

bm βjm+1 + · · · + b1 βj2 + b0 βj = 0, .. . bm βjm+n−1 + · · · + b1 βjn + b0 βjn−1 = 0, prin urmare sistemul liniar ¸si omogen de m + n ecuat¸iicu m + n necunoscute an yn+m−1 +an−1 yn+m−2 + an yn+m−2 +

bm ym+n−1 +bm−1 ym+n−2 + bm ym+n−2 +

· · · + a1 ym + (a0 − uj )ym−1

· · · + a1 ym−1 + (a0 − uj )ym−2

···

= 0, = 0, .. .

an yn + · · · + a1 y1 + (a0 − uj )y0 = 0, + b1 yn + b0 yn−1

···

+ b1 yn−1 + b0 yn−2

= 0, = 0, .. .

bm ym + · · · + b1 y1 + b0 y0 = 0,

are solut¸ie

nenul˘ a pe (βjm+n−1 , . . . , βj2 , βj , 1), ceea ce ˆınseamn˘ a c˘ a determinantul s˘ au   0 0 ... 0 an an−1 an−2 . . . a0 − uj   0 an an−1 . . . a1 a0 − uj 0 . . . 0 m linii ... ... ... ... ... ... ... ... . . .    0 0 0 ... . . . a0 − uj   ... 0 bm bm−1 bm−2 . . .   0 bm bm−1 . . . ... 0 n linii ... ... ... ... ... ... ... ... . . .    0 0 0 ... . . . b0

este nul. ˆInlocuind pe uj cu X ˆın determinantul de mai sus obt¸inem un polinom de grad m ˆın X care are r˘ ad˘ acinile u1 , . . . , um . ˆInlocuind ˆın acest polinom pe X cu 0 obt¸inem termenul liber al s˘ au, iar cum coeficientul lui X m este (−1)m(n+1) bnm , termenul liber este (−1)m (−1)m(n+1) bnm u1 · · · um = (−1)mn bnm f (β1 ) · · · f (βm ) = Rf,g .

221

3.130. R˘ aspuns. Rf,g

=

a2 a1 a0 0 0 0 a2 a1 a0 0 0 0 a2 a1 a0 . b3 b2 b1 b0 0 0 b3 b2 b1 b0

3.131. Indicat¸ii. Se pot folosi problemele 3.128 (punctul a)) ¸si 3.129. 3.132. Indicat¸ii. Se pot folosi problemele 3.128 (punctul a)) ¸si 3.129. Observat¸ie: Indicat¸iile oferite mai sus nu sunt neap˘arat cele care conduc cel mai repede la rezultat, dar sunt cele mai potrivite contextului creat — de exemplu, rezolvarea punctului b) de la problema de mai sus este imediat˘ a dac˘ a se observ˘ a c˘ a cel de-l doilea polinom are r˘ ad˘ acinile α1 = 1 ¸si α2 = 2.

3.133. Indicat¸ii. Se folosesc problemele 3.124 ¸si 3.128 (punctul a)). 3.134. Avem f = an (X − α1 )(X − α2 ) · · · (X − αn ) ¸si f′ =

n X i=1

an (X − α1 ) · · · (X − αi−1 )(X − αi+1 ) · · · (X − αn ),

prin urmare f ′ (αi ) = an (αi − α1 ) · · · (αi − αi−1 )(αi − αi+1 ) · · · (αi − αn ), ∀i ∈ {1, . . . , n}. Cum Df = (−1)

n(n−1) 2

n(n−1) 1 ′ ′ Rf,f ′ = (−1) 2 an−2 n f (α1 ) · · · f (αn ) an

(vezi problema 3.128 c)), obt¸inem Df = (−1)n(n−1) a2n−2 (α2 − α1 )2 (α3 − α1 )2 · · · (αn − α1 )2 n (α3 − α2 )2 · · · (αn − α2 )2 .. . (αn − αn−1 )2 Dar 1 1 α1 α2 Y α2 α22 (αj − αi ) = 1 .. .. 1≤i<j≤n . . n−1 n−1 α1 α2

... ... ...

1 αn αn2 .. .

. . . αnn−1

=

1 α1 α12 . . . α1n−1 1 α2 α22 . . . α2n−1 .. .. .. .. . . . . 1 αn αn2 . . . αnn−1

.

222

CAPITOLUL 3. INELE S¸I CORPURI (SOLUT ¸ II)

Deci 2n−2 Df = an = an2n−2

1 α1 α12 .. . α1n−1 n S1 S2 .. . Sn−1

1 α2 α22 .. .

... ... ...

1 αn αn2 .. .

1 α1 α12 . . . α1n−1 1 α2 α22 . . . α2n−1 .. .. .. .. . . . . 2 n−1 1 αn αn . . . αn α2n−1 . . . αnn−1 S1 S2 . . . Sn−1 S2 S3 . . . Sn S3 S4 . . . Sn+1 . .. .. .. . . . Sn Sn+1 . . . S2n−2

3.135. R˘ aspuns. a) b2 − 4ac; b) −4p3 − 27q 2 ; c) −843; d) 2777. 3 2

3.136. R˘ aspuns. a) λ1,2 = ±2; b) λ1 = −1, λ2 = − , λ3,4 =

7 9 √ ± i 3. 2 2

Capitolul 4 Semigrupuri ¸si inele de fract¸ii 4.1. Pentru a putea scufunda izomorf un semigrup comutativ ˆıntr-un grup este necesar ca ˆın acest semigrup s˘a se poat˘a simplifica cu orice element. Prin urmare, semigrupurile (Z, ·), (Q, ·), (Z4 , ·) nu pot fi scufundate izomorf ˆıntr-un grup. Observat¸ie: Problema ce a condus la construct¸ia semigrupurilor de fract¸ii se datoreaz˘a ˆıncerc˘ arii de a scufunda minimal un semigrup comutativ cu simplificare ˆıntr-un grup. 4.2. Indicat¸ii. Not˘am M = {as−1 | a ∈ A, s ∈ S}. Din S 6= ∅ rezult˘a c˘a exist˘a un element s0 ∈ S, de unde, pentru orice a ∈ A ¸si s ∈ S avem

−1 −1 −1 −1 a = a(s0 s−1 si s−1 = (s0 s−1 = s0 (s−1 ∈ M, 0 ) = (as0 )s0 ∈ M ¸ 0 )s 0 s ) = s0 (ss0 )

prin urmare A ∪ S −1 ⊆ M . Se verific˘ a u¸sor c˘ a M este un subsemigrup al lui (G, ·) ¸si c˘ a −1 orice subsemigrup al lui (G, ·) care include mult¸imea A ∪ S include pe M . A¸sadar, M este subsemigrupul lui (G, ·) generat de A ∪ S −1 . Aplicˆ and proprietatea de universalitate a semigrupului de fract¸ii omomorfismului de incluziune i : A → G obt¸inem existent¸a (¸si unicitatea) unui omomorfism i : AS → G pentru care i ◦ f = i (unde f : A → AS este omomorfismul canonic). Rezult˘ a c˘ a i((a, s)) = as−1 pentru orice a ∈ A, s ∈ S ¸si se verific˘ a imediat c˘ a i este injectiv, deci este un izomorfism ˆıntre AS ¸si i(AS ) = M . Semigrupul total de fract¸ii al lui A este AA ¸si este izomorf cu semigrupul lui (G, ·) generat de A ∪ A−1 care este chiar subgrupul lui (G, ·) generat de A. a) (ZZ∗ , ·) = (Q, ·); b) (Z∗Z∗ , ·) = (Q∗ , ·); c) (Z2Z∗ , ·) = (Q, ·); d) (N2N , +) = (Z, +); e) (2N2N , +) = (2Z, +); f) (2Z2Z∗ , ·) = (Q, ·); g) (2Z2Z , +) = (2Z, +).

4.3. R˘ aspuns.

Observat¸ie: Din problema 4.2 rezult˘a c˘a grupul de fract¸ii al unui grup comutativ (G, ·)

este (G, ·). Aceasta se obt¸ine ¸si dac˘ a ¸tinem seama de faptul c˘ a aparit¸ia semigrupurilor de fract¸ii se datoreaz˘ a ˆıncerc˘ arii de a scufunda un semigrup comutativ cu simplificare ˆıntr-un grup minimal.

4.4. S¸tiind c˘a dac˘a a ∈ A ¸si s ∈ S atunci (1)

f (s)(a, s) = (s2 , s) · (a, s) = (as2 , s2 ) = (as, s) = f (a) ∈ f (A),

problema se poate rezolva prin induct¸ie dup˘a n. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a n = 1 ¸si q1 = (a1 , s1 ), din (1) rezult˘a c˘a putem considera s = s1 , iar dac˘a qn = (an , sn ) ¸si pentru s ∈ S avem f (s)q1 , . . . , f (s)qn−1 ∈ f (A) atunci luˆand s′ = ssn ∈ S obt¸inem f (s′ )qi = f (ssn )qi = f (s)f (sn )qi = f (sn )[f (s)qi ] ∈ f (sn )f (A) ⊆ f (A), 223

224

CAPITOLUL 4. SEMIGRUPURI S¸I INELE DE FRACT ¸ II (SOLUT ¸ II)

pentru orice i ∈ {1, . . . , n − 1}, ¸si h i f (s′ )qn = f (ssn )qn = f (s) f (sn )(an , sn ) = f (s)f (an ) = f (san ) ∈ f (A).

Observat¸ie: Cu alte cuvinte, problema anterioar˘a exprim˘a faptul c˘a orice mult¸ime finit˘a de fract¸ii din AS are un numitor comun.

4.5. Monoidul (A, +) fiind comutativ ¸si verificˆand condit¸ia a, b, c ∈ A, a + b = a + c ⇒ b = c rezult˘a c˘a (A, +) se scufund˘a izomorf ˆın grupul diferent¸elor (AA , +). Amintim pe scurt construct¸ia acestui grup. Relat¸ia ∼ definit˘a pe A × A prin (a1 , b1 ) ∼ (a2 , b2 ) ⇔ a1 + b2 = a2 + b1 este o relat¸ie de echivalent¸˘a, iar AA = (A × A)/ ∼. Not˘am cu (a, b) sau cu a − b clasa perechii (a, b) ˆın raport cu relat¸ia ∼, adic˘a (a, b) = {(a′ , b′ ) | (a, b) ∼ (a′ , b′ )}. Operat¸ia definit˘a pe AA prin (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) este independent˘a de alegerea reprezentant¸ilor, iar (AA , +) este grup abelian. Elementul neutru ˆın acest grup este (0, 0) ¸si (0, 0) = {(a, a) | a ∈ A}, iar simetrica clasei (a, b) este clasa (b, a), notat˘a −(a, b). Funct¸ia f : A → AA , f (a) = (a, 0) este omomorfism injectiv ¸si orice (a, b) ∈ AA se scrie sub forma (a, b) = f (a) − f (b). Pe grupul abelian (AA , +) exist˘a o singur˘a operat¸ie · astfel ˆıncˆat (AA , +, ·) s˘a fie inel, iar f s˘a fie omomorfism ¸si pentru ·. Aceast˘a operat¸ie este definit˘a astfel: (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 a2 + b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ), ceea ce se ret¸ine u¸sor avˆand ˆın vedere ˆınmult¸irea formal˘a (a1 − b1 ) · (a2 − b2 ). 4.6. Urmˆand procedeul din problema anterioar˘a, semiinelul (N, +, ·) se scufund˘a izomorf ˆın inelul minimal (NN , +, ·). Se verific˘a u¸sor c˘a ˆın acest inel avem (a + b, b) = (a, 0), (b, a + b) = (0, a) ¸si (a, 0) = (a′ , 0) ⇔ a = a′ ⇔ (0, a) = (0, a, ), de unde se deduce c˘a orice clas˘a din NN are un reprezentant unic de una din formele: (a, 0), (0, 0), (0, a), cu a ∈ N∗ . Prin urmare, NN = {. . . , −(2, 0), −(1, 0), (0, 0), (1, 0), (2, 0), . . .}. Injectivitatea omomorfismului f permite identificarea lui x ∈ N cu (x, 0). Dup˘a aceast˘a identificare avem NN = Z. Deci inelul diferent¸elor semiinelului (N, +, ·) este (Z, +, ·). 4.7. Pentru a putea scufunda izomorf un inel comutativ ˆıntr-un corp este necesar ca ˆın acest inel s˘a nu avem divizori ai lui zero. Prin urmare, inelele (Zn , +, ·) cu n ∈ N, n ≥ 2, num˘ar compus nu pot fi scufundate izomorf ˆıntr-un corp.

225 Observat¸ie: Construct¸ia inelelor de fract¸ii se datoreaz˘a ˆıncerc˘arii de a scufunda minimal un inel comutativ f˘ ar˘ a divizori ai lui zero ˆıntr-un corp.

4.8. Indicat¸ii. Solut¸ia este similar˘a cu solut¸ia problemei 4.2. 4.9. Indicat¸ie. Folosind problema 4.8 obt¸inem urm˘atoarele: a) (ZZ∗ , +, ·) = (Q, +, ·);

b) (2Z2Z∗ , +, ·) = (Q, +, ·); c) ((Z3 )Z∗ , +, ·) = (Z3 , +, ·); d) (QQ∗ , +, ·) = (Q, +, ·). 3

Observat¸ii: a) Corpul fract¸iilor unui corp comutativ (K, +, ·) este (izomorf cu) (K, +, ·).

b) S ¸ tiind cum se realizeaz˘ a construct¸ia inelului de fract¸ii pornind de la semigrupul (multiplicativ) de fract¸ii, problema 4.8 se poate folosi pentru construct¸ia unor semigrupuri de fract¸ii: de exemplu, din problema anterioar˘ a deducem c˘ a (ZZ∗ , ·) = (Q, ·) ¸si (Z2Z∗ , ·) = (Q, ·).

4.10. Indicat¸ie. Se folose¸ste problema 4.8 ¸si se obt¸ine (Z2Z∗ ∪{1} , +, ·) = (Q, +, ·).

√

√

4.11. R˘ aspuns. Z[i]Z[i]∗ , +, · = (Q(i), +, ·), Z[ d]Z[√d]∗ , +, · = (Q( d), +, ·). 4.12. Indicat¸ie. c) Se folose¸ste problema 4.8.

4.13. Conform problemei 4.8, pentru orice sistem multiplicativ ∅= 6 S ⊆Z nm o ce nu cont¸ine pe 0, inelul ZS poate fi identificat cu subinelul | m ∈ Z, n ∈ S al lui n Q. Fie, acum, R un subinel cu unitate al lui Q. Evident, unitatea lui R coincide cu unitatea lui Q, prin urmare, 1 ∈ R ceea ce implic˘a Z ⊆ R. Considerˆand 1 SR = n ∈ Z | ∈ R n obt¸inem un sistem multiplicativ (nevid) al lui Z ce nu cont¸ine pe 0 ¸si ZSR ⊆ R. m Reciproc, dac˘a lu˘am un element din R reprezentat prin fract¸ia ireductibil˘a atunci n exist˘a p, q ∈ Z astfel ˆıncˆat mp + nq = 1, de unde rezult˘a c˘a 1 mp + nq m = = p · + q ∈ R, n n n a¸sadar R ⊆ ZSR ¸si astfel se obt¸ine egalitatea R = ZSR . 4.14. Indicat¸ii. Din proprietatea de universalitate a inelului R[X] rezult˘a existent¸a (¸si unicitatea) unui omomorfism de inele f : R[X] → RS care extinde omomorfismul 1 canonic f : R → RS ¸si pentru care f (X) = (1, a) = . Evident, (aX − 1) ⊆ Kerf , iar a dac˘ a p = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ Kerf atunci f (p) = 0, prin urmare restul ˆımp˘ art¸irii 1 polinomului p la X − ˆın inelul RS [X] este 0, ceea ce implic˘ a existent¸a unui polinom a n q = c0 + c1 X + · · · + cn−1 X ∈ RS [X] cu proprietatea c˘ a p = q(aX − 1). De aici rezult˘ a c˘ a −c0 = a0 , −c1 + ac0 = a1 , −c2 + ac1 = a2 , . . . , −cn−1 + acn−2 = an−1 , acn−1 = an . Deci c0 , . . . , cn−1 ∈ R, ceea ce implic˘ a p ∈ (aX − 1)R[X] = (aX − 1). Izomorfismul c˘ autat se obt¸ine aplicˆ and lui f prima teorem˘ a de izomorfism pentru inele.

226

CAPITOLUL 4. SEMIGRUPURI S¸I INELE DE FRACT ¸ II (SOLUT ¸ II)

4.15. a) Din ipotez˘a rezult˘a g(f (a)) = h(f (a)) pentru orice a ∈ R. Subinelele g (RS ) ¸si h (RS ) ale lui (R′ , +, ·) sunt inele cu aceea¸si unitate 1′ = g (s, s) = h (s, s) (s ∈ S).

Dac˘a A este subinelul lui R′ generat de g(RS ) ∪ h(RS ) atunci A este, ˆın raport cu operat¸iile induse din (R′ , +, ·), un inel cu unitatea 1′ , iar omomorfismele g, h pot fi privite ca omomorfisme (unitale) cu codomeniul A. Folosind acest fapt, cum f (s) este inversabil ˆın RS pentru orice s ∈ S, deducem g (f (s))−1 = [g(f (s))]−1 = [h(f (s))]−1 = h (f (s))−1 .

ˆIntrucˆat pentru orice (a, s) ∈ RS avem (a, s) = f (a)[f (s)]−1 rezult˘a g (a, s) = h (a, s) ,

adic˘a g = h. b) Dac˘a f este surjectiv atunci pentru orice s ∈ S, din [f (s)]−1 = (1, s) ∈ RS rezult˘a existent¸a unui element a ∈ R astfel ˆıncˆat f (a) = (as, s) = (1, s), adic˘a as2 = s sau, echivalent, as = 1. Deci s ∈ U(R, +, ·). Reciproc, dac˘a S ⊆ U(R, +, ·) atunci orice (a, s) din RS se scrie astfel (a, s) = ((as−1 ) s, s) = f as−1 , deci f este ¸si surjectiv.

Observat¸ie: Se stie c˘a pentru omomorfisme de inele simplificabilitatea la dreapta nu este echivalent˘ a cu surjectivitatea, iar omomorfismul de incluziune Z → Q este un exemplu ˆın acest sens (vezi problema 3.68). Punctul a) al problemei de mai sus furnizeaz˘ a o generalizare a acestui exemplu.

4.16. Conform punctului b) a problemei anterioare, f este izomorfism dac˘a si numai dac˘a S ⊆ U(R, +, ·). Dar, dac˘a S ⊆ U(R, +, ·) atunci, identificˆand elementele din R cu imaginile lor prin f ¸si implicit orice (a, s) ∈ RS cu as−1 deducem c˘a orice as−1 ∈ RS este r˘ad˘acin˘a a polinomului X − as−1 ∈ R[X]. Reciproc, cum pentru orice s ∈ S, (1, s) este r˘ad˘acin˘a a unui polinom X − a ∈ R[X] atunci egalitatea (1, s) − a = 0 se traduce ˆın RS prin (1, s) − (as, s) = (0, s) de unde rezult˘a 1 − as = 0, deci s este inversabil ¸si s−1 = a. 4.17. Indicat¸ie. Nondivizorii lui zero din (Zn , +, ·) coincid cu elementele inversabile ¸si se aplic˘a punctul b) al problemei 4.15.

4.18. Indicat ¸ie. c) Fie T = {g ∈ RR | ∀x ∈ R, f (x) 6= 0}. Inelul total de fract¸ii al lui RR

este RR T , iar un izomorfism ˆıntre RR ¸si RR T este dat de corespondent¸a f 7→ (f, ε), unde ε este unitatea lui RR . Inversul acestui izomorfism este dat de corespondent¸a (f, g) 7→ h, f (x) unde h : R → R este definit prin h(x) = . g(x)

227 4.19. Dac˘a g ar fi surjectiv atunci cum

1 n+1

n∈N

∈ (ZZ∗ )N ar exista y ∈ Z∗

xn 1 ∼ , prin urmare n+1 y y = (n + 1)xn , ceea ce conduce la faptul c˘a orice num˘ar natural nenul ˆıl divide pe y, deci y = 0, contradict¸ie.

¸si pentru orice n ∈ N ar exista xn ∈ Z astfel ˆıncˆat

′ 4.20. Fie R, R′ domenii de integritate, RR∗ , respectiv RR ¸ii ′∗ corpurile lor de fract ′ ′ ′ ′ ∗ ¸si f : R → RR , f : R → RR′∗ omomorfismele canonice. Dac˘a α : R → R este un omomorfism de inele atunci β = f ′ ◦ α este, de asemenea, un omomorfism.

α

R′

f

/R ∗ R CC β CC CC β ! f′ / R′ ′∗

R CC

R

Din proprietatea de universalitate a corpului de fract¸ii rezult˘a existent¸a unui omo′ morfism β : RR∗ → RR ıncˆat β = β ◦ f . Astfel, β este definit prin ′∗ astfel ˆ β (a, s) = β(a)[β(s)]−1 = f ′ (α(a))[f ′ (α(s))]−1 = (α(a)α(s), α(s)) · (α(s), α(s)α(s)) = (α(a), α(s))

¸si avem (α(a1 ), α(s1 )) = (α(a2 ), α(s2 )) ⇔ α(a1 )α(s2 ) = α(a2 )α(s1 ) ⇔ α(a1 s2 ) = α(a2 s1 ), ceea ce, ˆın ipoteza α injectiv, are loc dac˘a ¸si numai dac˘a a1 s2 = a2 s1 ⇔ (a1 , s1 ) ∼ (a2 , s2 ) ⇔ (a1 , s1 ) = (a2 , s2 ). Prin urmare, omomorfismul β este injectiv. Din definit¸ia lui β deducem cu u¸surint¸˘a c˘a α surjectiv implic˘a β surjectiv ¸si, deci, c˘a α izomorfism implic˘a β izomorfism. 4.21. Se verific˘a u¸sor c˘a dac˘a U este un ideal al lui (R, +, ·) atunci n o US = (x, s) ∈ RS | x ∈ U ,

este ideal al inelului (RS , +, ·), iar dac˘a U este (idealul principal) generat de a ∈ R atunci egalitatea (ar, s) = (a, 1) · (r, s)

ne asigur˘a c˘a idealul US este, de asemenea, principal, generat de (a, 1). A¸sadar, problema este rezolvat˘a dac˘a ar˘at˘am c˘a toate idealele lui RS sunt de forma US unde U este un ideal al lui R. Fie, pentru aceasta, U un ideal al lui RS ¸si n o U = x ∈ R | ∃s ∈ S : (x, s) ∈ U . Cum (0, 1) ∈ U , avem 0 ∈ U, prin urmare, U 6= ∅. Fie r ∈ R, t ∈ S ¸si x, x′ ∈ U. Atunci exist˘a s, s′ ∈ S astfel ˆıncˆat (r, s), (r ′, s′ ) ∈ U ¸si urmeaz˘a (x − x′ , ss′) = (1, s′) · (x, s) − (1, s) · (x′ , s′ ) ∈ U ¸si (rx, ts) = (r, t) · (x, s) ∈ U.

228

CAPITOLUL 4. SEMIGRUPURI S¸I INELE DE FRACT ¸ II (SOLUT ¸ II)

Rezult˘a c˘a x − x′ , rx ∈ U, deci U este un ideal al lui R. Este evident c˘a U ⊆ US , iar dac˘a (x, s) ∈ US cu x ∈ U atunci exist˘a s′ ∈ S astfel ˆıncˆat (x, s′ ) ∈ U ¸si astfel, (x, s) = (s′ , s) · (x, s′ ) ∈ U, ceea ce completeaz˘a demonstrat¸ia faptului c˘a U = US .

Capitolul 5 Divizibilitatea ˆın monoizi comutativi cu simplificare ¸si ˆın domenii de integritate 5.1. Indicat¸ie. Dac˘a A este monoid comutativ cu simplificare sau domeniu de integritate, iar a, b ∈ A atunci a ∼ b ⇔ ∃x ∈ A inversabil : b = ax. Prin urmare, avem: a) ∼ = ∆N∗ , N∗ / ∼ = {{n} | n ∈ N∗ }; ∗ ∗ ∗ ∗ b) ∼ = Q [ × Q , Q / ∼ = {Q }; {(n, n), (n, −n)}, Z/ ∼ = {{−n, n} | n ∈ N}; c) ∼ = n∈Z

d) ∼ = {(0, 0)} ∪ (R∗ × R∗ ), R/ ∼ = {{0}, R∗ }; b e) ∼ = {([ 0, b 0)} ∪ (Z∗2 × Z∗2 ) = {(b 0, b 0), (b 1, b 1)} = ∆Z2 , Z2 / ∼ = {{b 0}, {b 1}}; f) ∼ = {±z, ±iz} × {±z, ±iz}, Z[i]/ ∼ = {{z, −z, iz, −iz} | z ∈ Z[i]}. z∈Z[i]

5.2. R˘ aspuns. Pentru K ∈ {Q, R, C} ∪ {Zp | p num˘ar prim } avem f = {af | a ∈ K ∗ }

ˆın K[X], iar ˆın Z[X] avem f = {−f, f }.

5.3. Indicat¸ii. i) U (Z2 [X1 , . . . , Xn ]) = U (Z2 ) = {b1}.

ii) Dac˘ a R are caracteristica diferit˘ a de 2 atunci ˆın subinelul lui R generat de elementul unitate 1 (¸si implicit ˆın R) exist˘ a elemente inversabile diferite de 1. iii) Fie K un corp cu 4 elemente, deci comutativ (existent¸a lui K rezult˘ a din [34, Teorema 7.7.5]). Relat¸ia de divizibilitate ˆın K, respectiv ˆın K[X], nu este relat¸ie de ordine.

5.4. Indicat¸ie. Toate elementele nenule sunt ˆın clasa de asociere ˆın divizibilitate a elementului unitate, deci sunt inversabile.

5.5. Indicat¸ie. Dac˘a ar exista r ∈ R∗ neinversabil atunci nici r 2 (care este produsul

a dou˘ a elemente neinversabile din R) nu ar fi inversabil, prin urmare, ar fi ireductibil, contradict¸ie.

5.6. Indicat¸ie. Fie a, a1 , a2 ∈ R. Avem a = a1 a2 ⇔ ϕ(a) = ϕ(a1 )ϕ(a2 ) ¸si ϕ conserv˘ a elementele inversabile.

229

230

CAPITOLUL 5. DIVIZIBILITATE (SOLUT ¸ II)

5.7. Indicat¸ie. Cum pentru f ∈ K[X] avem f inversabil ˆın K[X] dac˘a ¸si numai dac˘a f

este inversabil ˆın K ′ [X] se deduce u¸sor c˘ a orice polinom din K[X] ireductibil ˆın K ′ [X] este ireductibil ¸si ˆın K[X]. Reciproca nu este, ˆın general adev˘ arat˘ a: de exemplu, polinomul 2 2 X + 1 ∈ R[X] este ireductibil peste R, dar ˆın C[X] avem X + 1 = (X + i)(X − i).

Observat¸ie. Amintim c˘a ˆın unele manuale ¸scolare, polinoamele ireductibile (cu coeficient¸i ˆıntr-un corp comutativ) sunt introduse ca acele polinoame de grad mai mare sau egal cu 1 care nu sunt reductibile, unde polinomul reductibil este definit ca un polinom care se poate scrie ca produs de dou˘ a polinoame de grad mai mare sau egal cu 1. ˆIntrucˆ at pentru un polinom f cu coeficient¸i ˆıntr-un corp comutativ K condit¸ia grad f ≥ 1 este echivalent˘ a cu condit¸ia f nenul ¸si neinversabil, definit¸ia polinomului ireductibil coincide cu definit¸ia elementului ireductibil ˆın K[X]. De asemenea, ment¸ion˘ am c˘ a un element al unui domeniu de integritate R se nume¸ste reductibil dac˘ a se poate scrie ca produs de dou˘a elemente neinversabile. Prin urmare, un element din R∗ care nu este ireductibil este sau inversabil sau reductibil. p p 5.8. Indicat¸ie. Din f = 0 rezult˘ a c˘ a f = X− g, cu g ∈ Q[X], de unde, q q eliminˆ and numitorii, primim q n f = (qX − p)g1 cu g1 ∈ Z[X] ¸si n =grad f , ceea ce implic˘a n q f (±1) = −(p ∓ q)g1 (±1), iar din (p, q) = 1 rezult˘ a (p ∓ q, q n ) = 1. Deci p ∓ q|f (±1).

5.9. Indicat¸ie. ˆIn Z2 [X] exist˘a 24 = 16 polinoame de grad mai mic sau egal cu 3, iar un polinom de grad 2 sau 3 cu coeficient¸i ˆıntr-un corp comutativ K este reductibil dac˘a ¸si numai dac˘ a este nenul ¸si are o r˘ ad˘ acin˘ a ˆın K.

5.10. Indicat¸ii. a), b) Se folose¸ste faptul c˘a grad(gh) = grad g+ grad h pentru orice g, h ∈ K[X]; c) (X 2 + 1)2 ∈ R[X] este reductibil, dar nu are r˘ ad˘ acini reale.

5.11. R˘ aspuns. i) f = 6(x + 2) este reductibil ˆın Z[X], dar este ireductibil ˆın Q[X]. 5.12. Indicat¸ie. Pentru orice a ∈ R∗ , aX + a este un polinom ireductibil ˆın R[X], deci a este inversabil ˆın R.

5.13. Indicat¸ii. a) Elementele ireductibile p din (N∗ , ·) concid cu numerele prime (este de

notat important¸a condit¸iei p ≥ 2 ˆın definit¸ia num˘ arului prim). Din teorema fundamental˘ a a aritmeticii — orice num˘ ar natural mai mare sau egal cu 2 se poate scrie ca un produs de numere prime ˆın mod unic, abstract¸ie f˘ acˆ and de ordinea factorilor — deducem c˘a (N∗ , ·) este un semigrup factorial, deci elementele ireductibile coincid cu elementele prime. Acela¸si lucru se ˆıntˆ ampl˘ a ¸si la b), c), d) deoarece domeniile de integritate analizate sunt euclidiene, deci factoriale. b) Un num˘ ar ˆıntreg p este element ireductibil ˆın (Z, +, ·) dac˘ a ¸si numai dac˘ a p sau −p este ∗ num˘ ar prim ˆın N . c) Un polinom f ∈ C[X] este ireductibil dac˘ a ¸si numai dac˘ a grad f = 1. Aceasta rezult˘ a din problema 5.10 ¸si din teorema fundamental˘ a a algebrei (d’Alembert-Gauss): orice polinom de grad mai mare sau egal cu 1 din C[X] are cel put¸in o r˘ ad˘ acin˘ a complex˘ a. d) Un polinom f ∈ R[X] este ireductibil dac˘ a ¸si numai dac˘ a grad f = 1 sau f are gradul 2 ¸si discriminantul negativ. Pentru a demonstra c˘ a polinoamele ment¸ionate mai sus sunt singurele polinoame ireductibile din R[X] trebuie ar˘ atat c˘ a dac˘ a f ∈ R[X] ¸si grad f ≥ 3 atunci f este reductibil ˆın R[X]. Aceasta rezult˘ a astfel: cum f ∈ R[X] ⊆ C[X], f are o r˘ ad˘ acin˘ a complex˘ a a. Dac˘ a a ∈ R atunci X − a divide pe f . Dac˘ a a ∈ C \ R atunci conjugatul lui a este, de asemenea, r˘ ad˘ acin˘ a a lui f , prin urmare (X − a)(X − a) ∈ R[X] divide pe f .

231 5.14. Indicat¸ie. Se aplic˘a teorema ˆımp˘art¸irii cu rest pentru polinoame cu coeficient¸i ˆıntr-un domeniu de intergritate.

5.15. Indicat¸ie. ˆIn Z avem − 4 = 3(−1) + (−1), cu 1 = | − 1| < |3| = 3, − 4 = 3(−2) + 2, cu 2 = |2| < |3| = 3.

(S˘ a remarc˘ am c˘ a doar a doua egalitate d˘ a cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii lui −4 la 3 ˆın Z.)

5.16. Indicat¸ii. Dac˘a q ¸si r sunt cˆatul ¸si restul ˆımp˘art¸irii lui a la b ˆın Z ¸si 0 ≤ r ≤

|b| 2

|b| |b| < r < |b| atunci q ′ = q + ¸si r ′ = r − |b|. Numerele 2 b q ′ , r ′ nu sunt unic determinate: de exemplu, 7 = 2 · 3 + 1 = 2 · 4 + (−1). atunci q ′ = q ¸si r ′ = r, iar dac˘ a

5.17. R˘ aspuns. a) 68; b) X 2 + X + 1 ¸si X 3 − 1. 5.18. Indicat¸ie. Se ¸stie c˘a dac˘a (x, y) = d′ atunci exist˘a p, q ∈ R astfel ˆıncˆat d′ = xp+yq

¸si c˘ a d = (a, b, c) = ((a, b), c). Dac˘ a 1 = au + bv + ct ¸si p este un divizor comun pentru a, b, c atunci p|(au + bv + ct) ¸si implicit p ∼ 1.

5.19. i) Fie d = (a, b). Dac˘a exist˘a x, y ∈ R astfel ˆıcˆat ax + by = c atunci d|c. Reciproc, din dR = aR + bR rezult˘a existent¸a x′ , y ′ ∈ R astfel ˆıncˆat ax′ + by ′ = d. ˆInmult¸ind cu c′ = c obt¸inem ac′ x′ + bc′ y ′ = c, prin urmare c′ x′ ¸si c′ y ′ verific˘a ecuat¸ia d dat˘a. b a ii) Fie d = (a, b) ¸si a′ = , b′ = . Dac˘a (x0 , y0 ), (x, y) sunt solut¸ii ale ecuat¸iei date d d atunci a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0 sau, echivalent, a′ (x − x0 ) + b′ (y − y0 ) = 0. Cum (a′ , b′ ) = 1 rezult˘a c˘a x − x0 = b′ t ¸si y − y0 = a′ t′ , cu t, t′ ∈ R. Este imediat faptul c˘a t′ = −t, deci x = x0 + b′ t, y = y0 − a′ t. 5.20. i) Not˘am a = 31 ¸si b = 17. Avem (a, b) = 1, ceea ce implic˘a existent¸a m, n ∈ Z astfel ˆıncˆat am + bn = 1. Folosind algoritmul lui Euclid avem a = b · 1 + r1 cu r1 = 14, b = r1 · 1 + r2 cu r2 = 3, r1 = r2 · 4 + r3 cu r3 = 2 ¸si r2 = r3 · 1 + r4 cu r4 = 1 = (a, b), de unde deducem 11b − 6a = 1. Deci m = −6 ¸si −n = −11 este o solut¸ie din Z a ecuat¸iei date. Solut¸ia general˘a este x = m − k(−17) = −6 + 17k, y = −n + k · 31 = −11 + 31k, cu k ∈ Z. 6 11 ∗ ii) Folosind i) avem x, y ∈ N dac˘a ¸si numai dac˘a k > max , , k ∈ N∗ , ceea 17 31 ce are loc pentru orice k ∈ N∗ . Deci x = −6 + 17k, y = −11 + 31k, cu k ∈ N∗ .

5.21. Indicat¸ii. a) Avem x = 2 + 7m = 3 + 6n (m, n ∈ Z) de unde rezult˘a 7m − 6n = 1. Se deduce m = 1 + 6k, n = 1 + 7k cu k ∈ Z prin urmare x ≡ 9(mod 42). b) Congruent¸a 3x ≡ 2(mod 5) este echivalent˘ a cu x ≡ 4(mod 5) ¸si sistemul dat devine   x ≡ 4(mod 5) x ≡ 6(mod 7) .  x ≡ 1(mod 6)

Ca mai sus, din primele dou˘ a congruent¸e se obt¸ine x ≡ −1(mod 35) , ceea ce, ˆımpreun˘ a cu ultima congruent¸˘ a conduce la x ≡ 139(mod 210).

232

CAPITOLUL 5. DIVIZIBILITATE (SOLUT ¸ II)

5.22. Avem mx ≡ c(mod a) ⇔ ∃z ∈ Z : mx − az = c, (m, a) = 1 ⇔ ∃p, q ∈ Z : ms − at = 1 ⇒ mcp − acq = c, de unde deducem c˘a x0 = cq este o solut¸ie a primei congruent¸e. Un num˘ar ˆıntreg x este o solut¸ie a primei congruent¸e dac˘a ¸si numai dac˘a m(x − x0 ) ≡ 0(mod a), iar cum (m, a) = 1, avem x ≡ x0 (mod a). Analog se poate obt¸ine o solut¸ie particular˘a y0 pentru congruent¸a a doua, iar y ∈ Z este, de asemenea, solut¸ie a celei de-a doua congruent¸e dac˘a ¸si numai dac˘a y ≡ y0 (mod b). Pentru ca cele dou˘a congruent¸e s˘a aib˘a o solut¸ie comun˘a este necesar ¸si suficient s˘a existe r, s ∈ Z astfel ˆıncˆat x0 + ar = y0 + bs, adic˘a ar − bs = y0 − x0 , ceea ce rezult˘a imediat din (a, b) = 1. Observat¸ie: Se verific˘a cu u¸surint¸˘a c˘a solut¸ia comun˘a a congruent¸elor din problema de mai sus este unic˘ a modulo ab.

5.23. Indicat¸ie. Afirmat¸ia din enunt¸ este o generalizare a teoremei chineze a resturilor (pentru 2 congruent¸e) (vezi [34, Corolarul 5.5.7 a)]) ¸si se demonstreaz˘ a, pornind de la aceasta, prin induct¸ie dup˘ a k.

5.24. mx ≡ c( mod a) dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a y ∈ Z astfel ˆıncˆat mx − ay = c.

(1)

A¸sadar, congruent¸a dat˘a are solut¸ie dac˘a ¸si numai dac˘a ecuat¸ia (1) are solut¸ie ˆın Z × Z, ceea ce, conform problemei 5.19, are loc dac˘a ¸si numai dac˘a (m, a)|c. Dac˘a (x0 , y0 ) este o solut¸ie a ecuat¸iei (1) atunci solut¸iile lui (1) sunt acelea¸si cu solut¸iile ecuat¸iei a m (x − x0 ) − (y − y0 ) = 0. (m, a) (m, a)

(2)

m a a Cum , = 1, (2) conduce la congruent¸a x ≡ x0 mod , care (m, a) (m, a) (m, a) are (m, a) solut¸ii necongruente modulo a. 5.25. 1) Fie d = (x, y) ¸si x = dx′ , y = dy ′ atunci d|z, iar dac˘a z = dz ′ atunci x2 + y 2 = z 2 ⇔ x′2 + y ′2 = z ′2 . 2) Dac˘a x ¸si y sunt impare, adic˘a x ≡ 1(mod 2) ¸si y ≡ 1(mod 2) se deduce c˘a x2 + y 2 ≡ 2(mod 4) adic˘a z 2 ≡ 2(mod 4). Dar, dac˘a z este par atunci z 2 ≡ 0(mod 4), iar dac˘a z este impar atunci z 2 ≡ 1(mod 4), ceea ce ˆınseamn˘a c˘a congruent¸a z 2 ≡ 2(mod 4) nu poate avea loc. Dac˘a x este impar ¸si y este par atunci z este impar ¸si y 2 = (z + x)(z − x). Numerele z + x ¸si z − x sunt ambele pare ¸si 2 este singurul lor divizor comun prim. ˆIntr-adev˘ar, un alt divizor comun prim p al lor ar fi impar, ar divide pe y 2 , pe (z + x) + (z − x) = 2z ¸si pe (z + x) − (z − x) = 2x. Urmeaz˘a c˘a p|x ¸si p|y, z+x z−x contradict¸ie cu (x, y) = 1. Rezult˘a c˘a ¸si sunt numere ˆıntregi prime ˆıntre 2 2 2 y z+x z−x ele ale c˘aror produs = · este un p˘atrat perfect. Cum factorii primi 4 2 2

233 y2 din descompunerea lui au tot¸i exponent par, pentru a nu contrazice condit¸ia 4 z+x z−x y2 , = 1 este necesar ca factorii primi din descompunerea lui s˘a 2 2 4 z−x z+x , fie numai ˆın descompunerea lui , apar˘a fie numai ˆın descompunerea lui 2 2 2 z+x z−x y cu acela¸si exponent ca ˆın descompunerea lui . Prin urmare, ¸si sunt, 4 2 2 2 de asemenea, p˘atrate perfecte, deci putem considera z + x = 2m ¸si z − x = 2n2 , cu m, n ∈ Z, ¸si astfel obt¸inem x = m2 − n2 , z = m2 + n2 ¸si y = 2mn. Se verific˘a u¸sor c˘a dac˘a x, y, z au forma de mai sus atunci ele verific˘a ecuat¸ia x2 +y 2 = z2. √

5.26. Indicat a δ(z1 z2 ) = δ(z1 )δ(z2 ) pentru orice z1 , z2 ∈ Z[ d] √ ¸ii. Se folose¸ste faptul c˘

¸si c˘ a z ∈ Z[ d] este inversabil a ¸si numai dac˘ a δ(z) = 1 (vezi problema 3.33). √ dac˘ a c˘ a ii) Dac˘ a z2 = z1 z (z ∈ Z[ d]) atunci δ(z2 ) = δ(z1 )δ(z). Din δ(z1 ) = δ(z2 ) rezult˘ z1 = z2 = 0 sau δ(z) = 1, adic˘ a z e inversabil, prin urmare z1 ∼ z2 . 1 + 2i iii) ˆIn Z[i], δ(1 + 2i) = δ(1 − 2i) = 5, dar ∈ / Z[i]. 1 − 2i √ iv) Dac˘ a z = z1 z2 ˆın Z[ d] atunci δ(z) = δ(z1 )δ(z2 ) ˆın N cu δ(z) num˘ ar prim, prin urmare sau δ(z1 ) = 1 sau δ(z2 ) = 1.

5.27. S˘a remarc˘am pentru ˆınceput c˘a funct¸ia δ : Z[i] → N, δ(z) = |zz| este o restrict¸ie a funct¸iei δ0 : Q(i) → Q, δ0 (z) = |zz| care are, de asemenea, proprietatea c˘a δ0 (z1 z2 ) = δ0 (z1 )δ0 (z2 ) pentru orice z1 , z2 ∈ Q(i). Fie z1 = a1 +b1 i, z2 = a2 +b2 i 6= 0, cu a1 , a2 , b1 , b2 ∈ Z. Ar˘at˘am c˘a exist˘a numerele q, r ∈ Z[i] astfel ˆıncˆat z1 = z2 q + r, unde δ(r) < δ(z2 ) (s˘a observ˘am c˘a aceast˘a condit¸ie cuprinde ¸si posibilitatea ca r = z1 0). Avem z = ∈ Q(i), adic˘a z = a + bi cu a, b ∈ Q. Consider˘am numerele ˆıntregi z2 1 m, n cele mai apropiate de a, respectiv b, adic˘a m, n ∈ Z astfel ˆıncˆat |a − m| ≤ ¸si 2 1 |b − n| ≤ . Luˆand q = m + ni ∈ Z[i] ¸si z3 = z − q = (a − m) + (b − n)i ∈ Q(i) 2 avem z1 = z2 z = z2 q + z2 (z − q) = z2 q + z2 z3 , prin urmare z2 z3 = z1 − z2 q ∈ Z[i]. Not˘am r = z2 z3 ¸si avem: δ(r) = δ(z2 z3 ) = δ0 (z2 z3 ) = δ0 (z2 )δ0 (z3 ) = δ(z2 )δ0 (z3 ) 1 1 δ(z2 ) 2 2 + = < δ(z2 ). = δ(z2 ) (a − m) + (b − n) ≤ δ(z2 ) 4 4 2

a) Aplic˘am algoritmul lui Euclid pentru a determina c.m.m.d.c. al lui z1 ¸si z2 . Conform celor de mai sus, avem z1 = z2 q + r, unde q, r ∈ Z[i], cu δ(r) < δ(z2 ), se obt¸in astfel: din z1 12 − 3i 4−i 2 9 = = = − i z2 3 + 6i 1 + 2i 5 5 rezult˘a q = −2i, prin urmare, r = z1 − z2 q = (12 − 3i) + 2i(3 + 6i) = 3i.

234

CAPITOLUL 5. DIVIZIBILITATE (SOLUT ¸ II)

Determin˘am acum q1 , r1 ∈ Z[i] cu δ(r1 ) < δ(r), astfel ˆıncˆat z2 = rq1 + r1 . Din z2 3 + 6i 1 + 2i = = = 2 − i ∈ Z[i] r 3i i z2 ¸si astfel r1 = z2 − rq1 = 0. Prin urmare, r z1 z2 (z1 , z2 ) = 3i ∼ −3i ∼ 3 ∼ −3 ¸si [z1 , z2 ] ∼ = (12 − 3i)(2 − i) = 30 − 18i. (z1 , z2 )

rezult˘a q1 =

b) Cum toate idealele unui domeniu euclidian sunt principale, corespondent¸a zb 7→ (z) = zZ[i], unde zb este clasa de elemente asociate ˆın divizibilitate cu z, stabile¸ste un antiizomorfism de ordine (deci ¸si laticial) ˆıntre laticea (Z[i]/ ∼ , ≤) ¸si laticea idealelor lui Z[i]. De aici rezult˘a (z1 ) ∩ (z2 ) = z1 Z[i] ∩ z2 Z[i] = z1 Z[i] ∧ z2 Z[i] = (30 − 18i)Z[i], (z1 ) + (z2 ) = z1 Z[i] + z2 Z[i] = z1 Z[i] ∨ z2 Z[i] = 3iZ[i]. 5.28. Fie z1 , z2 ∈ Z[θ] cu z2 6= 0. Not˘am N(z2 ) = z2 z2 6= 0 ¸si avem z1 z1 z2 z3 = = , unde z3 = z1 z2 . z2 z2 z2 N(z2 ) Dar z3 ∈ Z[θ], rezult˘a c˘a exist˘a m, n ∈ Z astfel ˆıncˆat z3 = m + nθ. Aplicˆand problema 5.16 deducem c˘a exist˘a q1 , q2 , r1 , r2 ∈ Z astfel ˆıncˆat (1)

m = N(z2 )q1 + r1 , n = N(z2 )q2 + r2 ¸si |r1 |, |r2| ≤

|N(z2 )| , 2

ceea ce implic˘a z1 m + nθ N(z2 )q1 + r1 + N(z2 )q2 θ + r2 θ r1 + r2 θ = = = (q1 + q2 θ) + . z2 N(z2 ) N(z2 ) N(z2 ) z2 (r1 + r2 θ) atunci Q ∈ Z[θ] ¸si z1 = z2 Q + R. N(z2 ) Urmeaz˘a c˘a R = z1 − z2 Q ∈ Z[θ], iar cum RN(z2 ) = z2 (r1 + r2 θ) avem ¸si Dac˘a not˘am Q = q1 + q2 θ ¸si R =

δ(R)[N(z2 )]2 = δ(R)δ(N(z2 )) = δ(z2 )δ(r1 + r2 θ) = |N(z2 )|δ(r1 + r2 θ). Cum δ(z2 ) = |N(z2 )|, rezult˘a, prin ˆımp˘art¸ire la [N(z2 )]2 6= 0, c˘a δ(R) =

δ(r1 + r2 θ) 1 2 = r1 − pr1 r2 + qr22 . δ(z2 ) δ(z2 )

Dar |r12 − pr1 r2 + qr22| ≤ |r1 |2 + |p||r1 ||r2| + |q||r2|2 ¸si, folosind (1), avem (2)

δ(R) ≤

1 δ(z2 )2 · (1 + |p| + |q|) = δ(z2 ) (1 + |p| + |q|) . δ(z2 ) 4

Dac˘a |p| + |q| < 3 atunci δ(R) < δ(z2 ) ¸si problema este rezolvat˘a.

235 " " √ # √ # √ √ 1+i 3 1+ 5 5.29. R˘ aspuns. Z, Z[i], Z 2 , Z i 2 , Z , Z . 2 2 5.30. Indicat¸ie. Dac˘a θ ∈

(

√ √ ) 1 + i 7 1 + i 11 , atunci orice z = m + nθ se scrie 2 2

n n √ sub forma z = m + + d, unde d ∈ {−7, −11}. Fie δ : Z[θ] → N, δ(z) = |zz| ¸si 2 2 z1 , z2 ∈ Z[θ] cu z2 6= 0. Se pot asiq, r ∈ Z[θ], δ(r) < δ(z2 ) cu proprietatea c˘ a z1 = z2 q + r g˘ z1 b b√ astfel: dac˘ a = a + bθ = a + d ∈ Q(θ) (a, b ∈ Q) aunci consider˘ am n num˘ arul + z2 2 2 n b am ˆıntreg cel mai apropiat de b ¸si m num˘ arul ˆıntreg cel mai apropiat de a + − ¸si lu˘ 2 2 q = m + nθ ¸si r = z1 − z2 q.

5.31. Cum Z[i] este cu ideale principale, exist˘a a, b ∈ Z, nu ambele nule, astfel ˆıncˆat U = (a + bi) = (a + bi)Z[i]. Dar orice z ∈ Z[i] se scrie sub forma z = (a + bi)q + r, cu q, r ∈ Z[i] ¸si δ(r) < a2 + b2 . Dar, pentru a, b ∈ Z fixate, mult¸imea {r = m + ni ∈ Z[i] | δ(r) < a2 + b2 } coincide cu mult √¸imea punctelor din plan de coordonate ˆıntregi situate ˆın interiorul cercului de raz˘a a2 + b2 cu centrul ˆın originea axelor, care este o mult¸ime finit˘a. Prin urmare, ¸si mult¸imea Z[i]/U = {r + U | δ(r) < a2 + b2 } este finit˘a. 5.32. 1) a) Cum 2 = (1 + i)(1 − i) este un produs de elementele neinversabile ( δ(1 + i) = δ(1 − i) = 2 6= 1) rezult˘a c˘a 2 este reductibil ˆın Z[i]. De asemenea, 5 = (1 + 2i)(1 − 2i) ¸si 17 = (1 + 4i)(1 − 4i) sunt produse de elemente neinversabile. b) Cum δ(3) = 9 avem 3 neinversabil, iar dac˘a zk = ak + bk i ∈ Z[i], k = 1, 2 ¸si 3 = z1 z2 atunci 9 = δ(z1 )δ(z2 ). Cum δ(zk ) = a2k + b2k ∈ N (k = 1, 2), aceast˘a egalitate are loc doar ˆın urm˘atoarele cazuri: • δ(z1 ) = 1 ¸si δ(z2 ) = 9, caz ˆın care z1 este inversabil; • δ(z1 ) = δ(z2 ) = 3, caz care nu convine deoarece nu exist˘a ak , bk ∈ Z astfel ˆıncˆat a2k + b2k = 3 (dac˘a ak = 0 atunci b2k = 3 ¸si bk ∈ / Z, dac˘a |ak | = 1 atunci b2k = 2 ¸si, din nou, bk ∈ / Z, iar dac˘a |ak | ≥ 2 atunci b2k < 0, prin urmare num˘arul bk nu e nici m˘acar real). • δ(z1 ) = 9 ¸si δ(z2 ) = 1, caz ˆın care z2 este inversabil. A¸sadar, 3 = z1 z2 implic˘a z1 inversabil sau z2 inversabil, prin urmare 3 este ireductibil ˆın Z[i]. Analog se arat˘a c˘a 7 este element ireductibil ˆın Z[i]. c) Numerele δ(1 + i) = 2, δ(1 + 2i) = 5 sunt prime ¸si se aplic˘a problema 5.26 iv). 2) 4 = (1 + i)2 (1 − i)2 = −(1 + i)4 , 18 + 36i = 18(1 + 2i) = (−i)32 (1 + i)2 (1 + 2i). 5.33. Indicat¸ii. a) Dac˘a z ∈ Z[i] este un element ireductibil (deci ¸si prim) atunci z divide pe zz = δ(z) ∈ N. Considerˆ and descompunerea lui δ(z) ˆın produs de numere prime ¸si presupunˆ and c˘ a z este element prim, obt¸inem concluzia dorit˘ a. 2 2 b) Pentru k ∈ N ecuat¸ia a + b = 4k + 3 nu are solut¸ii (a, b) ∈ Z × Z deoarece dac˘ a a ¸si b au aceea¸si paritate atunci 2 | (a2 + b2 ), iar ˆın caz contrar a2 + b2 ≡ 1(mod 4).

236

CAPITOLUL 5. DIVIZIBILITATE (SOLUT ¸ II)

c) Evident p este impar. Avem p − 1 ≡ −1(mod p)

p − 2 ≡ −2(mod p) .. . p−1 p−1 +1≡− (mod p), 2 2 prin urmare, (p − 1)(p − 2) · · ·

p−1 p−1 p−1 + 1 ≡ (−1) 2 (mod p). 1 · 2··· 2 2

Cum p ≡ 1(mod 4) avem (−1)

p−1 2

= 1, a¸sadar, p−1 p−1 +1 ≡ !(mod p), (p − 1)(p − 2) · · · 2 2 p−1 de unde, ˆınmult¸ind cu !, rezult˘ a 2 (p − 1)! ≡

2 p−1 ! (mod p). 2

p−1 Dar, conform teoremei lui Wilson avem (p − 1)! + 1 ≡ 0(mod p). Notˆ and n = !, 2 obt¸inem 1 + n2 ≡ 0(mod p), adic˘ a p divide pe 1 + n2 = (1 − ni)(1 + ni). Presupunˆ and c˘ ap ar fi element prim ˆın Z[i], am avea p|(1 − ni) sau p|(1 + ni). Dac˘ a p|(1 − ni) ar rezulta c˘a exist˘ a a, b ∈ Z astfel ˆıncˆ at 1 − ni = p(a + bi), ceea ce ar implica pa = 1, adic˘ a p ∈ {−1, 1}, contradict¸ie cu p num˘ ar prim. Deci p nu este element prim ˆın Z[i], ceea ce ˆınseamn˘ a c˘a poate fi scris ca un produs de cel put¸in dou˘ a elemente ireductibile z1 , . . . , zk ∈ Z[i] p = z1 · · · zk ⇒ p2 = δ(p) = δ(z1 ) · · · δ(zk ). Cum p este num˘ ar prim, avem k = 2, adic˘ a p = z1 z2 . Prin urmare, z1 z1 = δ(z1 ) divide pe p = z1 z2 , adic˘ a z1 divide elementul ireductibil z2 . Rezult˘ a z1 ∈ {z2 , −z2 , iz2 , −iz2 }, ceea ce, ˆımpreun˘ a cu z1 z2 = p ∈ N, implic˘ a z1 = z2 . Presupunerea c˘ a z1 ∼ z1 = a + bi (a, b ∈ Z 2 2 2 2 nu ambele nule) ar conduce la (a + b )|(a − b ) deoarece a2 − b2 2ab a + bi + 2 i= ∈ {−1, 1, −i, i}. 2 2 2 a +b a +b a − bi Urmeaz˘ a c˘ a a = ±b, ceea ce ˆınseamn˘ a c˘ a z1 = a(1 + i) cu a ∈ {−1, 1, −i, i}, sau b = 0, adic˘ a z1 = a. Dar atunci p = 2 sau p = a2 , contradict¸ie cu ipoteza p prim ¸si 4|(p − 1).

Observat¸ie: Orice num˘ar prim p ∈ N este de forma 4k + 1 sau 4k + 3 cu k ∈ N. 5.34. √ ˆın √ a) Ca ˆın solut¸ia problemei 5.32 punctul b) se arat˘a c˘a 3 este√ireductibil Z i 5 , dar 3 nu este element prim deoarece 3 divide pe 6 = 1 + i 5 1 − i 5 √ √ dar cum δ(3) = 9 nu divide pe δ 1 + i 5 = δ 1 − i 5 = 6 rezult˘a c˘a 3 nu divide √ √ nici pe 1 + i 5 nici pe 1 − i 5.

237 √ b) Presupunˆand c˘a d = a + bi, a, b ∈ Z ar fi un c.m.m.d.c. al lui 6 ¸si 2 1 + i 5 √ am avea d | 6 ¸si d | 2 1 + i 5 , ceea ce ar implica √ √ δ(d) | δ(6) = 36 ¸si δ(d) | δ(2(1 + i 5)) = δ(2)δ(1 + i 5) = 4 · 6 = 24. √ A¸sadar,√δ(d)|(36, 24) = 12. Dar 2 ¸ s i 1 + i 5 sunt divizori comuni pentru 6 ¸si 2 1 + i 5 , prin urmare, ar fi ¸si divizori ai lui d. Ar rezulta c˘a √ δ(2) = 4 | δ(d) ¸si 6 = δ(1 + i 5) | δ(d), de unde am deduce c˘a 12 = [4, 6]|δ(d). Astfel, am obt¸ine a2 + 5b2 = δ(d) = 12 cu a, b ∈ Z, ceea ce nu este posibil (dac˘a |b| ≤ 1 atunci a ∈ R \ Q, iar dac˘a |b| ≥ 2 atunci a ∈ C \ Q). c) Cum 3 este element ireductibil, singurii s˘ai divizori sunt (abstract √ ¸ie f˘acˆand de o asociere ˆın divizibilitate) 1 ¸si 3. Cum 3 nu divide pe 1 + i 5 , singurul divizor √ comun pentru 3 ¸si 1 + i 5 este 1, care este ¸si cel mai mare divizor comun al lor. 5.35. Indicat¸ii. Fie d = (m, n). Cum pentru orice k ∈ N∗ , x, y ∈ R, x − y divide pe

xk − y k ˆın R, avem ad − bd divide pe am − bm ¸si pe an − bn . Dac˘ a numerele naturale q, r sunt cˆ atul ¸si restul ˆımp˘ art¸irii lui m la n atunci

am − bm = anq+r − bnq+r = anq ar − anq br + anq br − bnq br = anq (ar − br ) + (anq − bnq ) br . ˆIntrucˆ at un element α care divide pe ad − bd va divide pe am − bm ¸si pe anq − bnq , rezult˘ a c˘ a va divide ¸si pe anq (ar − br ). Dac˘ a (α, anq ) 6= 1 atunci un element prim p care ar divide pe α ¸si pe anq ar divide pe a ¸si pe am − bm , deci ¸si pe b, contradict¸ie cu (a, b) = 1. Rezult˘ a r r c˘ a α| (a − b ). Aplicˆ and cele de mai sus resturilor ce se obt¸in din algoritmul lui Euclid pentru aflarea (m, n) ∈ N se va constata c˘ a α| (ad − bd ).

5.36. Cum f este primitiv ¸si p|a0 , . . . , p|an−1 avem an 6= 0 ¸si p nu divide pe an , deci gradf ≥ 1 de unde rezult˘a c˘a f este neinversabil. S˘a presupunem c˘a f = gh, unde polinoamele g = b0 + b1 X + · · · + bm X m ¸si h = c0 + c1 X + · · · + cp X p , sunt neinversabile ˆın Z[X] (b0 , . . . , bm , c0 , . . . , cp ∈ Z, m, p ∈ N, bm 6= 0 6= cp ). Evident m + p = n, iar dac˘a m = 0 ¸si g = b0 este neinversabil ˆın Z atunci b0 |f implic˘a b0 |(a0 , . . . , an ) = 1, contradict¸ie. A¸sadar, m ≥ 1 ¸si p ≥ 1 ¸si avem (1)

b0 c0 = a0 , b1 c0 + b0 c1 = a1 . . . , bm cp = an .

Cum p este prim ¸si p|a0 = b0 c0 avem p|b0 sau p|c0 . Dar p2 nu divide pe a0 . Rezult˘a c˘a dac˘a p|b0 atunci p nu divide pe c0 , iar dac˘a p|c0 atunci p nu divide pe b0 . S˘a consider˘am c˘a p|b0 ¸si p nu divide pe c0 . Din p|a1 = b1 c0 + b0 c1 ¸si p|b0 deducem c˘a p|b1 c0 , iar cum p nu divide pe c0 , avem p|b1 . Procedˆand analog ¸si cu celelalte egalit˘a¸ti din (1) obt¸inem p|bm , deci p|an = bm cp , ceea ce contrazice faptul c˘a (a0 , . . . , an−1 , an ) = 1. 5.37. Indicat¸ie. Folosind criteriul lui Eisenstein se atrat˘a c˘a pentru orice n ∈ N∗ ,

polinomul f = X n + 2 este ireductibil ˆın Z[X] deci ¸si ˆın Q[X]. Dac˘ a p ∈ Z este prim atunci p este ireductibil ˆın Z, dar nu este ireductibil ˆın Q.

238

CAPITOLUL 5. DIVIZIBILITATE (SOLUT ¸ II)

5.38. Indicat¸ie. Se aplic˘a problemele 3.114 ¸si 5.6. Xp − 1 este ireductibil peste Z, deci ¸si peste Q. Din problema X −1 anterioar˘a avem f ireductibil ˆın Z[X] dac˘a ¸si numai dac˘a

5.39. Ar˘at˘am c˘a f =

p−1 X (X + 1)p − 1 p−1 f (X + 1) = EX+1 (f ) = =X + Cpk X p−k + p (X + 1) − 1 k=1

este ireductibil ˆın Z[X]. Dar fiecare factor din numitorul lui Cpk =

p(p − 1) · · · (p − k + 1) ∈ N∗ 2···k

este relativ prim cu p, prin urmare 2 · · · k = k!|(p − 1) · · · (p − k + 1) ¸si astfel, p|Cp1 , . . . , p|Cpp − 1, p|p, dar p2 nu divide pe p, deci EX+1 (f ) este ireductibil ˆın Z[X]. 5.40. Indicat¸ii. b) Este un caz particular al lui c). c) Se procedeaz˘ a ca ˆın problema anterioar˘ a, se obt¸ine EX+1 (X

iar Cpkn =

pn

+ p − 1) = X

pn

+

n −1 pX

Cpkn X k + p,

k=1

pn (pn − 1) · · · (pn − k + 1) se divide cu p pentru orice 1 ≤ k ≤ pn − 1. k!

5.41. Indicat¸ii. Conform problemei anterioare, polinoamele X 4 + 1 ¸si X 8 + 1 sunt

ireductibile ˆın Z[X] ¸si ˆın Q[X]. ˆIn Z[X] descompunerile celorlalte polinoame sunt: i) 40X 2 − 20X = 22 · 5 · X(2X − 1); ii) 10X 2 + 5X − 5 = 5(X + 1)(2X − 1); iii) X 3 − 8 = (X −2)(X 2 +2X +4); iv) X 3 +8 = (X +2)(X 2 −2X +4); v) X 4 −1 = (X +1)(X −1)(X 2 +1); vii) X 6 −1 = (X +1)(X −1)(X 2 +X +1)(X 2 −X +1); viii) X 6 +1 = (X 2 +1)(X 4 −X 2 +1); ix) X 8 − 1 = (X + 1)(X − 1)(X 2 + 1)(X 4 + 1). ˆIn Q[X] descompunerile sunt: i) 40X 2 − 20X = X(40X − 20); ii) 10X 2 + 5X − 5 = (5X + 5)(2X − 1); iii) X 3 − 8 = (X − 2)(X 2 + 2X + 4); iv) X 3 + 8 = (X + 2)(X 2 − 2X + 4); v) X 4 −1 = (X +1)(X −1)(X 2 +1); vii) X 6 −1 = (X +1)(X −1)(X 2 +X +1)(X 2 −X +1); viii) X 6 + 1 = (X 2 + 1)(X 4 − X 2 + 1); ix) X 8 − 1 = (X + 1)(X − 1)(X 2 + 1)(X 4 + 1). ˆIn R[X] descompunerile sunt: i) 40X 2 − 20X = X(40X − 20); ii) 10X 2 + 5X − 5 = 3 2 (5X + 5)(2X − 1); iii) X 3 − 8 = (X − 2)(X 2 + 2X + 4); iv) X 2)(X √ + 8 = (X + √ − 2X + 4); 4 2 4 2 2 v) X − 1 = (X + 1)(X − 1)(X + 1); vi) X + 1 = (X + 2X + 1)(X − √ 2X + 1); vii) 6 2 +X+1)(X 2 −X+1); viii) X 6 +1 = (X 2 +1)(X 2 + 3X+1)(X 2 − X √ −1 = (X+1)(X−1)(X √ √ 8 2 +1)(X 2 + 2X +1)(X 2 − 2X +1); x) X 8 +1 = 3X +1); p ix)√X −1 = (X +1)(X p −1)(X p p √ √ √ (X 2 + 2 + 2X + 1)(X 2 − 2 + 2X + 1)(X 2 + 2 − 2X + 1)(X 2 − 2 − 2X + 1). Descompunerile din C[X] rezult˘ a prin descompunerea ˆın factori de grad 1 a factorilor de grad 2 din descompunerile din R[X]. √ 2 − 3)(X 2 − 2), peste Q( 2) este 5.42. R˘ aspuns.√Descompunerea peste Q este f = (X √ √ √ √ √ f = (X 2 −3)(X + 2)(X − 2), iar peste R este f = (X + 3)(X − 3)(X + 2)(X − 2).

239 5.43. Indicat¸ii. Reducerea modulo p define¸ste un omomorfism surjectiv de la Z[X] la Zp [X]. a) Cum orice factor din descompunerea lui f este polinom unitar, redusul s˘ au modulo p va avea acela¸si grad. b) Dac˘ a f ∈ Z[X] \ Z este reductibil peste Q atunci f este reductibil peste Z. Aplicˆ and a) deducem c˘ a pentru orice p prim, redusul modulo p al lui f este reductibil peste Zp .

5.44. Indicat¸ii. Polinomul f este ireductibil peste Q deoarece redusul modulo 3 al lui f , X3 +b 2X + b 1 ∈ Z3 [X] nu are r˘ ad˘ acini ˆın Z3 . Redusul modulo 3 al lui g este, de asemenea ireductibil. Redusul modulo 3 al lui h este X4 + b 2X 3 + X 2 + b 2X + b 2 = (X + b 1)(X 3 + X 2 + b 2),

iar factorii din descompunerea de mai sus sunt ireductibili. Conform problemei anterioare ¸si unicit˘ a¸tii descompounerii unui polinom din Z3 [X], deducem c˘ a dac˘ a h ar fi reductibil, atunci s-ar scrie ca produsul dintre un polinom (unitar) de grad 1 ¸si un polinom (unitar) de grad 3. Aplicˆ and din nou problema anterioar˘ a rezult˘ a c˘ a redusul modulo 3 al factorului (unitar) de gard 1 este X + b 1, deci acest factor nu poate fi decˆat X + 1 sau X − 5.

Cum redusul modulo 2 al celor dou˘a polinoame este X − 1 ¸si redusul modulo 2 al lui h, X 4 + X 2 + 1 nu se divide cu X − 1, urmeaz˘a c˘a h este ireductibil peste Z, deci ¸si peste Q. 5.45. Indicat¸ie. Dac˘a g ar avea o descompunere g = (bm + bm−1 X + · · · + b0 X m )(cp + cp−1 X + · · · + c0 X p )

atunci f = (b0 + b1 X + · · · + bm X m )(c0 + c1 X + · · · + cp X p ) ar fi o descompunere a lui f .

5.46. i) Cum Z este un domeniu factorial, ¸si Z[X] este domeniu factorial. ˆIn Z[X] idealul (2, X) este format din polinoamele care au termenul liber par deoarece (2, X) = 2Z[X] + XZ[X] = {2f + Xg | f, g ∈ Z[X]} = {2a0 + a1 X + · · · + an X n | a0 , . . . , an ∈ Z, n ∈ N}. Dar acest ideal nu este principal, deoarece existent¸a unui polinom h ∈ Z[X] astfel ˆıncˆat (2, X) = (h) ar implica h|2 ¸si h|X, ceea ce ar conduce la faptul c˘a h este inversabil, adic˘a (2, X) = (h) = Z[X], ceea ce este fals, deoarece 1 + X ∈ Z[X] nu are termenul liber par. Remarc˘am c˘a dac˘a a ∈ Z \ {−1, 0, 1} atunci (a, X) nu este principal. Observat¸ie: ˆIn Teoremele 5.7.9 ¸si 5.7.11 din [34] este demonstrat c˘a dac˘a R este un domeniu factorial care nu este corp atunci R[X] este un domeniu factorial ¸si are ideale care nu sunt principale, ceea ce generalizeaz˘ a problema de mai sus.

5.47. Indicat¸ie. Idealul (X, Y ) este format din toate polinoamele cu termenul liber nul ¸si se arat˘a, ca mai sus, c˘ a acesta nu poate fi generat cu un singur element. 5.48. Indicat ¸ii.

Dac˘ a ar exista un polinom din K[X, Y ] care s˘ a genereze idealul X 2 , XY, Y 2 , acesta ar fi un divizor comun al lui X 2 ¸si Y 2 , prin urmare, ar fi inversabil ¸si X 2 , XY, Y 2 = K[X, Y ], ceea ce e fals pentru c˘ a 0 6= a + bX + cY ∈ / X 2 , XY, Y 2 . Dac˘ a ar exista f, g ∈ K[X, Y ] astfel ˆıncˆ at X 2 , XY, Y 2 = (f, g) atunci f = aX 2 + bXY + cY 2 + · · · , g = a′ X 2 + b′ XY + c′ Y 2 + · · ·

240

CAPITOLUL 5. DIVIZIBILITATE (SOLUT ¸ II)

prin urmare, exist˘ a α, α′ , β, β ′ , γ, γ ′ ∈ K astfel ˆıncˆ at α aX 2 + bXY + cY 2 + · · · + α′ a′ X 2 + b′ XY + c′ Y 2 + · · · = X 2 , β aX 2 + bXY + cY 2 + · · · + β ′ a′ X 2 + b′ XY + c′ Y 2 + · · · = XY, γ aX 2 + bXY + cY 2 + · · · + γ ′ a′ X 2 + b′ XY + c′ Y 2 + · · · = Y 2 , ceea ce conduce la

αa + α′ a′ = 1; βa + β ′ a′ = 0; γa + γ ′ a′ = 0; αb + α′ b′ = 0; βb + β ′ b′ = 1; γb + γ ′ b′ = 0; αc + α′ c′ = 0; βc + β ′ c′ = 0; γc + γ ′ c′ = 1. Privim aceste egalit˘ a¸ti ca sisteme de ecuat¸ii liniare ˆın α, α′ , β, β ′ , γ, γ ′ . Existent¸a elementelor α, α′ , β, β ′ , γ, γ ′ ∈ K este echivalent˘ a cu faptul c˘ a sistemele de mai sus sunt compatibile, ceea ce se dovede¸ste a fi fals. Dac˘a not˘ am U = X 2 , XY, Y 2 atunci K[X, Y ]/U = {(a + bX + cY ) + U | a, b, c ∈ K} ¸si idealul (X + U, Y + U ) nu este principal.

5.49. i) X 3 − Y 3 = (X − Y )(X 2 + XY + Y 2 ). Polinomul X − Y , considerat ca polinom ˆın X peste Q[Y ] este primitiv ¸si de grad 1, prin urmare este ireductibil ˆın Q[X, Y ] = (Q[Y ]) [X]. Polinomul X 2 + XY + Y 2 , considerat ca polinom ˆın X peste Q[Y ] este primitiv. Ar˘at˘am prin reducere la absurd c˘a, privit ca polinom ˆın X peste corpul Q(Y ), este ireductibil. ˆIntr-adev˘ar, cum gradX (X 2 + XY + Y 2 ) = 2, polinomul X 2 + XY + Y 2 este reductibil peste corpul Q(Y ) dac˘a ¸si numai dac˘a are f1 o r˘ad˘acin˘a f = ∈ Q(Y ) (f1 , f2 ∈ Q[Y ]). ˆIn acest caz, f 2 + f Y + Y 2 = 0, prin f2 urmare [f (a)]2 + f (a)a + a2 = 0 pentru orice a ∈ Q∗ care nu este r˘ad˘acin˘a a lui f2 . Dar a ∈ Q∗ ¸si f (a) ∈ Q implic˘a [f (a)]2 + f (a)a + a2 6= 0, contradict¸ie. ii) Y 4 − X 2 = (Y 2 − X)(Y 2 + X). Polinoamele Y 2 − X ¸si Y 2 + X, considerate ca polinoame ˆın X peste Q[Y ] sunt primitive ¸si de grad 1, deci sunt ireductibile ˆın Q[X, Y ] = (Q[Y ]) [X]. iii) X 2 − Y 6 = (X − Y 3 )(X + Y 3 ). Ireductibilitatea factorilor poate fi justificat˘a ca la ii). iv) Ar˘at˘am c˘a polinomul f = X 7 + 2X 3 Y + 3X 2 + 9Y este ireductibil ˆın Q[X, Y ]. ˆIntr-adev˘ar, gradY f = 1 ¸si f , privit ca polinom ˆın Y peste Q[X], este primitiv pentru c˘a f = (2X 3 + 9)Y + (X 7 + 3X 2 ), descompunerea lui X 7 + 3X 2 ˆın factori ireductibili ˆın Q[X] este X 7 + 3X 2 = x2 (X 5 + 3) (ireductibilitatea lui X 5 + 3 se poate justifica cu criteriul lui Eisenstein) ¸si nici unul dintre ace¸sti factori nu divide pe 2X 3 + 9. Rezult˘a c˘a f este ireductibil ˆın Q[X, Y ] = (Q[X]) [Y ]. 5.50. ii) Ar˘at˘am c˘a polinomul omogen f = a0 X m + a1 X m−1 Y + . . . + am−1 XY m−1 + am Y m este ireductibil ˆın K[X, Y ] dac˘a ¸si numai dac˘a a0 6= 0 ¸si polinomul g = a0 X m + a1 X m−1 + . . . + am−1 X + am este ireductibil ˆın K[X] (ceea ce, evident, va rezolva ¸si punctul i)). S˘a not˘am c˘a a0 = 0 ⇔ y | f.

241 R˘amˆane s˘a analiz˘am cazul a0 6= 0. Cum a0 este inversabil ˆın K, rezult˘a c˘a f , considerat ca polinom ˆın X peste K[Y ], este primitiv. Deci f este ireductibil ˆın K[X, Y ] = (K[Y ]) [X] dac˘a ¸si numai dac˘a f este ireductibil ˆın (K(Y )) [X] . ˆIntrucˆat polinomul Y m este inversabil ˆın (K(Y )) [X] urmeaz˘a c˘a f este ireductibil ˆın (K(Y )) [X] dac˘a ¸si numai dac˘a 1 f1 = m f = a0 Y

X Y

m

+ a1

X Y

m−1

+ . . . + am−1

X Y

+ am

este ireductibil ˆın (K(Y )) [X]. Din proprietatea de universalitate a inelului de polinoame ˆın nedeterminata X cu coeficient¸i ˆın K(Y ) deducem existent¸a unui (singur) endomorfism ϕ al inelului (K(Y )) [X] astfel ˆıncˆat ϕ|K(Y ) = 1K(Y ) ¸si ϕ(X) =

X . Y

Acest endomorfism este chiar automorfism (vezi problema 3.114), prin urmare, polinomul f1 este ireductibil ˆın (K(Y )) [X] dac˘a ¸si numai dac˘a polinomul g = a0 X m + a1 X m−1 + . . . + am−1 X + am ∈ K[X] ⊆ (K(Y )) [X] este ireductibil ˆın (K(Y )) [X], deci ¸si ˆın K[X] (vezi problema 5.7). iii) Fie f = a0 X m + a1 X m−1 Y + . . . + am−1 XY m−1 + am Y m ∈ K[X, Y ] un polinom omogen. Dac˘a a0 = a1 = · · · = ak = 0, k < m, atunci f are k factori ireductibili f egali cu Y (care este omogen de grad 1), iar k este un un polinom omogen cu Y primul termen nenul. Este, deci, suficient s˘a analiz˘am cazul a0 6= 0. Dac˘a g = a0 X m + a1 X m−1 + . . . + am−1 X + am ∈ K[X] nu este ireductibil atunci (1)

g = a0 g1 · · · gl ,

unde gi ∈ K[X] (i = {1, . . . , l}) este ireductibil de grad mi cu m = m1 + · · · + ml , iar coeficientul termenului de grad maxim din gi este 1. Aplicˆand ϕ−1 egalit˘a¸tii (1) obt¸inem f = ϕ−1 (g) = a0 ϕ−1 (g1 ) · · · ϕ−1 (gl ), care este o descompunere a lui f ˆın factori ireductibili ˆın domeniul factorial (K[Y ]) [X] (unica, pˆana la o asociere ˆın divizibilitate a factorilor). 5.51. Indicat¸ie. Se folosesc problemele 5.32, 5.33 ¸si faptul c˘a ˆıntr-un domeniu cu ideale principale (p) este ideal prim dac˘ a ¸si numai dac˘ a p este un element prim.

5.52. Indicat¸ie. Inelul cˆat 4Z/8Z este simplu, dar nu are unitate. 5.53. Folosind problema 3.49 se deduce c˘a dac˘a U este un ideal al unui inel Boole (R, +, ·) atunci inelul cˆat R/U este, de asemenea, inel Boole. Un ideal U al lui R este prim dac˘a ¸si numai dac˘a inelul cˆat R/U nu cont¸ine divizori ai lui zero, ceea ce, conform punctului iii) al problemei 3.18 are loc dac˘a ¸si numai dac˘a |R/U| = 2, adic˘a inelul (R/U, +, ·) este izomorf cu (Z2 , +, ·). Conform problemei 3.76, pentru inelul Boole R/U aceasta echivaleaz˘a cu faptul c˘a R/U este simplu, adic˘a U este ideal maximal ˆın R.

242

CAPITOLUL 5. DIVIZIBILITATE (SOLUT ¸ II)

5.54. Indicat¸ie. Aplicˆand prima teorem˘a de izomorfism omomorfismului de inele E0 : Z[X] → Z, E0 (a) = a, ∀a ∈ Z, E0 (X) = 0, deducem c˘ a inelul cˆ at Z/(X) este izomorf cu Z, deci este un domeniu de integritate care nu este corp.

5.55. Indicat¸ie. Se poate proceda ca mai sus cu omomorfismul E0 : Q[X] → Q, E0 (a) = a, ∀a ∈ Q, E0 (X) = 0 sau se poate folosi faptul c˘ a un ideal al unui domeniu cu ideale principale este maximal dac˘ a ¸si numai dac˘ a este generat de un element ireductibil.

5.56. Indicat¸ie. Se folose¸ste punctul b) al problemei 3.118. 5.57. Indicat¸ie. Se aplic˘a prima teorem˘a de izomorfism omomorfismelor de inele E0,0 : C[X, Y ] → C, E0,0 (a) = a, ∀a ∈ C, E0,0 (X) = 0, E0,0 (Y ) = 0,

E2,3 : C[X, Y ] → C, E2,3 (a) = a, ∀a ∈ C, E2,3 (X) = 2, E2,3 (Y ) = 3.

5.58. Indicat¸ii. Cum polinoamele Y − 3 ¸si X 2 + 1 sunt ireductibile ˆın Q[X, Y ], idealele

principale pe care le genereaz˘ a sunt prime, dar idealele (Y − 3) ¸si X 2 − 1 sunt strict incluse ˆın Y − 3, X 2 − 1 6= Q[X, Y ]. 5.59. Indicat ¸ie. Idealul X 2 al lui Q[X] nu este prim deoarece X · X ∈ X 2 , dar X∈ / X2 .

5.60. Dac˘a M este un ideal maximal al lui R ¸si x ∈ / M atunci M + xR = R, prin urmare 1 ∈ R se poate scrie sub forma m + rx cu m ∈ M, r ∈ R, deci exist˘a r ∈ R astfel ˆıncˆat 1 − rx ∈ M. Reciproc, dac˘a N este un ideal a lui R care cont¸ine strict pe M ¸si x ∈ N \ M atunci exist˘a r ∈ R astfel ˆıncˆat 1 − rx ∈ M ⊆ N, ceea ce, ˆımpreun˘a cu rx ∈ N, implic˘a 1 ∈ N, deci N = R. A¸sadar, M este maximal.

5.61. Dac˘a r, x ∈ R ¸si rx = xr este inversabil atunci x este inversabil, prin urmare, x ∈ R neinversabil implic˘a rx neinversabil, oricare ar fi r ∈ R. 2) i)⇒ii) Fie M (singurul) ideal maximal al lui R. Dac˘a x ∈ M atunci x este neinversabil, iar dac˘a x ∈ R nu este inversabil atunci Rx este un ideal al lui R format numai din elemente neinversabile, deci propriu, ¸si astfel, M = Rx ∋ x. A¸sadar, x ∈ M dac˘a ¸si numai dac˘a x este neinversabil, ceea ce ˆınseamn˘a c˘a elementele neinversabile din R formeaz˘a chiar idealul M. ii)⇒iii) este evident˘a. iii)⇒i) Fie N mult¸imea elementelor inversabile din R. Din iii) ¸si din observat¸ia de la ˆınceputul acestei solut¸ii rezult˘a c˘a N este un ideal al lui R, evident, propriu. Orice ideal propriu U al lui R este format din elemente neinversabile prin urmare este inclus ˆın N. A¸sadar, N este singurul ideal maximal al lui R. 5.62. Indicat¸ii. ii) Mult¸imea elementelor neinversabile din inelul RS este N = {ab−1 | a ∈ P, b ∈ R \ P } ¸si x, y ∈ N implic˘ a x + y ∈ N. iii) Se aplic˘ a prima parte a problemei inelului Z ¸si idealului s˘ au prim 2Z.

5.63. Indicat¸ie. Se folose¸ste problema 3.95 pentru a ar˘ata c˘a suma a dou˘a serii formale neinversabile este o serie formal˘ a neinversabil˘ a.

Capitolul 6 Spat¸ii vectoriale 6.1. Indicat¸ii. a) Pentru α = 0 afirmat¸ia nu este adev˘arat˘a. b) Pentru u = 0 afirmat¸ia nu este adev˘ arat˘ a. Afirmat¸iile c), d), e) sunt adev˘ urate.

6.2. Indicat¸ie. Se verific˘a axiomele spat¸iului vectorial. Funct¸ia f : R → R∗+ , f (x) = ex realizeaz˘ a un izomorfism.

6.3. Indicat¸ii. i) ˆIn general, nu. De exemplu, cˆand K este un corp de caracteristic˘a ∞

nu are loc egalitatea (α + β)−1 = α−1 + β −1 , cu α 6= 0 6= β ¸si α 6= −β, prin urmare nu are loc egalitatea (α + β)(x, 1) = α(x, 1) + β(x, 1). Totu¸si, dac˘ a K = Z2 atunci V este K-spat¸iu vectorial. ii) Se verific˘ a axiomele spat¸iului vectorial. iii) Pentru y 6= 0 nu are loc egalitatea 1 · (x, y) = (x, y).

6.4. Indicat¸ie. Se verific˘a axiomele spat¸iului vectorial. 6.5. Indicat¸ie. iii) Corespondent¸ele stabilite la i) ¸si ii) ˆıntre operat¸iile externe pe V care introduc pe (V, +) o structur˘ a de K-spat¸iu vectorial ¸si omomorfismele injective de inele ϕ : K → End(V, +) sunt biject¸ii, una inversa celeilalte.

6.6. Indicat¸ie. Dac˘a ϕ este omomorfismul injectiv de la ii) din problema anterioar˘a atunci ϕ(K) este subinelul c˘ autat.

6.7. Indicat¸ie. Inelul (End(Z, +), +, ◦) este izomorf cu (Z, +, ·), iar acesta nu are nici un subinel care s˘ a fie corp.

6.8. Indicat¸ie. Inelul (End(Q, +), +, ◦) este izomorf cu (Q, +, ·) care este corp prim. 6.9. Indicat¸ie. Dac˘a V este un K-spat¸iu vectorial (cu operat¸ia extern˘a ∗), n ∈ N∗ ¸si

0 6= x ∈ V atunci nx = n(1 ∗ x) = (n · 1) ∗ x, prin urmare nx = 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a n · 1 = 0.

6.10. Fie V o mult¸ime finit˘a ¸si K un corp infinit. Dac˘a V are un singur element, atunci exist˘a o singur˘a structur˘a de K-spat¸iu vectorial pe V ¸si anume spat¸iul vectorial nul. Dac˘a |V | ≥ 2, presupunˆand c˘a exist˘a o structur˘a de K-spat¸iu vectorial pe V ¸si luˆand x 6= 0, funct¸ia t′x : K → V , t′x (α) = αx este injectv˘a. Deducem c˘a |K| ≤ |V |, contradict¸ie cu V finit˘a. 6.11. Indicat¸ie. Se procedeaz˘a ca ˆın solut¸ia problemei anterioare. 243

244

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

Observat¸ii: i) Din cele de mai sus rezult˘a c˘a dac˘a V este un spat¸iu vectorial nenul peste corpul K atunci |K| ≤ |V |. ii) Dac˘a V este un spat¸iu vectorial real nenul atunci cardinalul mult¸imii V este mai mare decˆ at, sau egal cu, puterea continuului.

6.12. Indicat¸ie. Grupul lui Klein este izomorf cu (Z2 × Z2 , +). 6.13. R˘ aspuns. a) i)

Z2 Z2 ;

ii)

2 Z2 (Z2 ) ;

iii)

n Z2 (Z2 ) ;

iv)

n Zp (Zp ) .

b) Nu (se folose¸ste

problema 6.9).

6.14. Indicat¸ie. Pentru a ar˘ata c˘a Pn (K) este subspat¸iu al lui K[X] se folose¸ste teorema de caracterizare a subspat¸iului. Polinomul nul nu apart¸ine celorlalte dou˘ a submult¸imi ale lui K[X].

6.15. Indicat¸ie. Avem 0 ∈ / CV S. ˆIn general, CV S ∪ {0} nu este subspat¸iu al lui V . De

exemplu, CR[X] (P2 (R))∪{0} nu este stabil˘ a ˆın raport cu adunarea polinoamelor (polinomul 3 3 −X + (X + 1) = 1 are gradul mai mic decˆ at 2).

6.16. Indicat¸ie. Luˆand succesiv ˆın condit¸ia din enunt¸ α = 1 ¸si y = 0 obt¸inem condit¸iile din teorema de caracterizare a subspat¸iului.

6.17. Din x ∈ hS, yi rezult˘a c˘a exist˘a s1 , . . . , sn ∈ S ¸si α1 , . . . , αn , α ∈ K astfel ˆıncˆat x = α1 s1 + · · · + αn sn + αy. Presupunerea α = 0 ne-ar conduce la x = α1 s1 + · · · + αn sn ∈ S, ceea ce contrazice ipoteza, prin urmare, α 6= 0 este inversabil ˆın K. Deducem y = −α−1 α1 s1 − · · · − α−1 αn sn + α−1 x ∈ hS, xi. 6.18. Indicat¸ie. E destul s˘a ar˘at˘am c˘a x ∈ hy, zi ¸si z ∈ hx, yi, ceea ce se obt¸ine ca ˆın problema anterioar˘ a din egalitatea dat˘ a ¸si faptul c˘ a α, γ ∈ K ∗ . 6.19. Evident S ⊆ Pn (K). Dac˘a a00 ∈ K ∗ este un polinom de grad 0 din S, din inversabilitatea lui a00 ˆın K ¸si faptul c˘a S este un subspat¸iu deducem c˘a 1 = (a00 )−1 a00 ∈ S, prin urmare, pentru orice α ∈ K avem α = α · 1 ∈ S. Dac˘a a11 X + a10 ∈ S este un ponom de gradul 1 atunci a11 6= 0 este inversabil ˆın K. Cum a10 ∈ S avem a11 X + a10 − a10 ∈ S, de unde ¸si X = (a11 )−1 a11 X ∈ S. De aici urmeaz˘a αX ∈ S pentru orice α ∈ K. Presupunˆand c˘a am ar˘atat c˘a toate monoamele de grad 0,1,. . . ,n − 1 din K[X] sunt ¸si ˆın S ¸si considerˆand ann X n + ann−1 X n−1 + · · · + an0 ∈ S un polinom de grad n, avem ann 6= 0 este inversabil ˆın K, ann X n = ann X n + ann−1 X n−1 + · · · + an0 − an0 − · · · − ann−1 X n−1 ∈ S, a¸sadar X n = (ann )−1 ann X n ∈ S. Astfel, orice combinat¸ie liniar˘a de 1, X, . . . , X n este ˆın S adic˘a orice polinom de grad cel mult n este ˆın S. Deci Pn (K) ⊆ S. 6.20. Indicat¸ie. Nu. Scriind, de exemplu, polinomul 1 ca o combinat¸ie liniar˘a de f1 , f2 , f3 rezult˘ a un sistem incompatibil de 4 ecuat¸ii liniare cu 3 necunoscute. Altfel: R˘ aspunsul se poate deduce ¸si din faptul c˘ a dim P3 (R) = 4.

6.21. Indicat¸ie. Se ¸stie c˘a V1 + V2 = hV1 ∪ V2 i ¸si se poate folosi problema 2.73.

245 6.22. Fie V1 , V2 , V3 subspat¸ii ale unui K-spat¸iu vectorial V . Ar˘at˘am c˘a V1 ⊆ V3 ⇒ V1 + (V2 ∩ V3 ) = (V1 + V2 ) ∩ V3 . Incluziunea ⊆ are loc datorit˘a propriet˘a¸tii de submodularitate (care are loc ˆın orice latice). Fie v3 ∈ (V1 + V2 ) ∩ V3 . Atunci v3 ∈ V3 ¸si exist˘a v1 ∈ V1 (⊆ V3 ), v2 ∈ V2 astfel ˆıncˆat v3 = v1 + v2 . Deducem c˘a v2 = v3 − v1 ∈ V3 . Prin urmare, v2 ∈ V2 ∩ V3 ¸si astfel, v3 = v1 + v2 ∈ V1 + (V2 ∩ V3 ). Un exemplu care arat˘a c˘a laticea subspat¸iilor unui spat¸iu vectorial nu este, ˆın general, distributiv˘a este urm˘atorul: ˆın R-spat¸iul vectorial R2 consider˘am subspat¸iile V1 = {(x, 0) | x ∈ R}, V2 = {(0, x) | x ∈ R}, V3 = {(x, x) | x ∈ R} ¸si avem V1 ∩ V3 = V2 ∩ V3 = {(0, 0)}, V1 + V2 = R2 , deci (V1 + V2 ) ∩ V3 = R2 ∩ V3 = V3 6= {(0, 0)} = (V1 ∩ V3 ) + (V2 ∩ V3 ). Alt˘ a solut¸ie: Prima parte a acestei probleme rezult˘a ¸si din faptul c˘a laticea subspat¸iilor lui V este sublatice a laticei subgrupurilor (normale ale) lui (V, +), care este modular˘a. 6.23. Indicat¸ie. V = A1 ⊕· · ·⊕An dac˘a ¸si numai dac˘a f este bijectiv˘a. Surjectivitatea sa rezult˘ a din definit¸ia sumei de subspat¸ii, iar injectivitatea, din faptul c˘ a suma este direct˘ a.

6.24. Fie V1 , V2 , V3 , V4 subspat¸ii ale unui K-spat¸iu vectorial V cu proprietatea c˘a V = V1 ⊕ V2 ¸si V1 = V3 ⊕ V4 . Rezult˘a c˘a V = V1 + V2 = V3 + V4 + V2 . Mai mult, dac˘a v3 ∈ V3 ∩ (V4 + V2 ) atunci exist˘a v4 ∈ V4 , v2 ∈ V2 astfel ˆıncˆat v3 = v4 + v2 . Urmeaz˘a c˘a v2 = v3 − v4 ∈ V3 + V4 = V1 , prin urmare v2 ∈ V1 ∩ V2 = {0}. Obt¸inem v2 = 0 ¸si v3 = v4 ∈ V3 ∩ V4 = {0}. A¸sadar, V3 ∩ (V4 + V2 ) = {0} ¸si astfel, V = V3 ⊕ (V4 + V2 ), ceea ce ˆınseamn˘a c˘a V3 este sumand direct ˆın V . 6.25. Indicat¸ie. ˆIn exemplul dat ˆın solut¸ia problemei 6.22 pentru a infirma distributivitatea laticii subspat¸iilor unui spat¸iu vectorial, V1 ¸si V2 sunt complement¸i direct¸i diferit¸i ai lui V3 .

6.26. Indicat¸ii. Orice funct¸ie f : R → R se scrie f = f1 + f2 , unde f1 : R → R,

f (x) + f (−x) f (x) − f (−x) este o funct¸ie par˘ a ¸si f2 : R → R, f2 (x) = este o 2 2 funct¸ie impar˘ a, iar singura funct¸ie din RR care este ¸si par˘ a ¸si impar˘ a este funct¸ia nul˘ a.

f1 (x) =

6.27. Indicat¸ie. Subspat¸iile planului xOy sunt {O(0, 0)}, ˆıntregul plan ¸si dreptele care trec prin origine. Orice dou˘ a puncte distincte care nu sunt pe o astfel de dreapt˘ a formeaz˘ a un sistem de generatori pentru ˆıntregul plan.

6.28. Indicat¸ie. Subspat¸iile spat¸iului Oxyz sunt {O(0, 0, 0)}, ˆıntregul spat¸iu ¸si dreptele ¸si planele care trec prin origine. Orice trei puncte distincte care nu sunt ˆıntr-un astfel de plan formeaz˘ a un sistem de generatori pentru ˆıntregul spat¸iu. 6.29. Indicat¸ie. Luˆand succesiv ˆın condit¸ia din enunt¸ α = 1 ¸si y = 0 obt¸inem condit¸iile din definit¸ia transform˘ arii liniare.

6.30. Indicat¸ie. g(x1 ) = f (x1 , 0), h(x2 ) = f (0, x2 ).

246

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

6.31. Indicat¸ie. Fie α, β ∈ K, x, y ∈ V . Avem h(αx + βy) = (f (αx + βy), g(αx + βy))

¸si αh(x) + βh(y) = (αf (x) + βf (y), αg(x) + βg(y)).

6.32. Indicat¸ii. a) Dac˘a e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) atunci ai = f (ei ) pentru orice i ∈ {1, . . . , n}. b) f : Rm → Rn este o transformare liniar˘ a de R-spat¸ii vectoriale dac˘ a ¸si numai dac˘a exist˘ a aij ∈ R (i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}) unic determinate, astfel ˆıncˆ at f (x1 , . . . , xm ) = (a11 x1 + · · · + am1 xm , a12 x1 + · · · + am2 xm , . . . , a1n x1 + · · · + amn xm ), pentru orice (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm .

6.33. Indicat¸ii. Folosind problema anterioar˘a putem stabili forma transform˘arii liniare care verific˘ a egalit˘ a¸tile f (1, 1) = (2, 5) ¸si f (1, 0) = (1, 4). Se obt¸ine f (2, 3) = (5, 14), iar folosind definit¸ia injectivit˘ a¸tii ¸si surjectivit˘ a¸tii se poate ar˘ ata c˘ a f este izomorfism. Altfel: Vectorii v1 = (1, 1) ¸si e1 = (1, 0) formeaz˘ a o baz˘ a a lui R2 . Folosind [34, Teorema 6.4.11], deducem c˘ a o transformare liniar˘ a f : R2 → R2 este unic determinat˘ a de restrict¸ia f |{v1 ,e1 } . Urmeaz˘ a c˘ a f (2, 3) = f (2v1 + e1 ) = (5, 14), iar cum f (v1 ) ¸si f (e1 ) formeaz˘ ao baz˘ a a lui R2 , rezult˘ a c˘ a f este izomorfism. 6.34. Nu, pentru c˘a f (−2, 0, −6) 6= (−2)f (1, 0, 3) deoarece f (−2, 0, −6) = (2, 1) ¸si (−2)f (1, 0, 3) = (−2)(1, 1) = (−2, −2). 6.35. Indicat¸ie. Fie V = S ⊕ T . Aplicˆand prima teorem˘a de izomorfism proiect¸iei canonice p2 : V = S ⊕ T → T , p2 (s + t) = t, obt¸inem T ≃ V /S.

6.36. Indicat¸ie. Se folosesc definit¸ia mult¸imii libere ¸si a mult¸imii legate, Observat¸iile 6.4.2 ¸si Teorema 6.4.3 din [34].

6.37. Indicat¸ie. ii) Un exemplu pentru cazul ˆın care incluziunea este strict˘a se poate obt¸ine ˆın R-spat¸iul vectorial R2 astfel luˆ and X = {(1, 0), (0, 1)} ¸si Y = {(2, 0), (0, 2)}. iii) Dac˘ a ar exista un element nenul ˆın hXi ∩ hY i atunci ar exista α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm ∈ K nu tot¸i nuli, x1 , . . . , xn ∈ X ¸si y1 , . . . , ym ∈ Y astfel ˆıncˆ at α1 x1 + · · · + αn xn = β1 y1 + · · · + βm ym . Presupunˆ and α1 6= 0 rezult˘ a x1 ∈ hX ∪ Y i, contradict¸ie cu X ∪ Y liber˘ a.

6.38. Indicat¸ie. Avem K[X] = h{X k | k ∈ N}i, V1 = h{X 2k | k ∈ N}i, V2 = h{X 2k+1 |

k ∈ N}i ¸si se aplic˘ a problema anterioar˘ a.

6.39. Indicat¸ie. i) Scriind polinomul nul ca o combinat¸ie liniar˘a de f1 , f2 , f3 rezult˘a un sistem omogen de 3 ecuat¸ii liniare cu 3 necunoscute care are doar solut¸ia nul˘ a atunci ¸si numai atunci cˆ and determinantul s˘ au este nenul.

6.40. Indicat¸ii. Not˘am u1 = v2 + v3 , u2 = v3 + v1 , u3 = v1 + v2 ¸si atunci 1 1 1 v1 = (−u1 + u2 + u3 ), v2 = (u1 − u2 + u3 ), v3 = (u1 + u2 − u3 ). 2 2 2 Proprietatea nu se p˘ astreaz˘ a ˆın spat¸ii vectoriale peste corpuri de caracteristic˘ a 2. De 3 b b b b b b exemplu, ˆın Z2 -spat¸iul vectorial (Z2 ) , vectorii v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (b 1, b 1, b 1) sunt liniar independent¸i, dar u1 = (b 0, b 0, b 1), u2 = (b 0, b 1, b 1), u3 = (b 0, b 1, b 0) nu sunt liniar independent¸i.

247 6.41. L este liber˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice n1 , . . . , nk ∈ N distinct¸i, vectorii fn1 , . . . , fnk sunt liniar independent¸i. Vom indica dou˘a metode pentru a deemonstra acest fapt: I. Fie α1 , . . . , αk ∈ R astfel ˆıncˆat α1 fn1 +· · ·+αk fnk = θ (unde cu θ am notat funct¸ia identic nul˘a). Rezult˘a c˘a ∀x ∈ R, α1 sinn1 x + · · · + αk sinnk x = 0, de unde deducem c˘a polinomul p = α1 X n1 + · · · + αk X nk ∈ R[X] are ca r˘a d˘acin˘a orice num˘ar t(= sin x) ∈ [−1, 1], adic˘a are o infinitate de r˘ad˘acini. Aceasta implic˘a p = 0, a¸sadar α1 = · · · = αk = 0. II. Mult¸imea format˘a din vectorii fn1 , . . . , fnk poate fi privit˘a ca o submult¸ime a mult¸imii {f0 , . . . , fmax{n1 ,...,nk } }. Prin urmare, este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a pentru orice m ∈ N, vectorii f0 , . . . , fm sunt liniar independent¸i. Dac˘a α0 , . . . , αm ∈ R atunci α0 f0 + α1 f1 + · · · + αm fm = θ dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice x ∈ R avem α0 + α1 sin x + · · · + αm sinm x = 0.

(1)

Consider˘am x0 , . . . , xm ∈ R astfel ˆıncˆat sin x0 , . . . , sin xm sunt distincte ¸si ˆınlocuim ˆın (1). Rezult˘a un sistem omogen de m + 1 ecuat¸ii liniare cu necunoscutele α0 , . . . , αm al c˘arui determinant trebuie s˘a fie nenul. Determinantul acestui sistem este un determinant de tip Vandermonde ¸si anume: 1 sin x0 sin2 x0 . . . sinm x0 1 sin x1 sin2 x1 . . . sinm x1 Y (sin xj − sin xi ) 6= 0. = .. .. .. .. . . . . 1≤i<j≤m 1 sin xm sin2 xm . . . sinm xm 6.42. Fie α1 , . . . , αn ∈ R astfel ˆıncˆat

α1 f1 + · · · + αn fn = θ.

(0)

Aceasta ˆınseamn˘a c˘a pentru orice x ∈ R avem α1 sin(λ1 x) + · · · + αn sin(λn x) = 0.

(1)

Deriv˘am de dou˘a ori ˆın (1), ˆınmult¸im cu −1 ¸si obt¸inem (2)

α1 λ21 sin(λ1 x) + · · · + αn λ2n sin(λn x) = 0.

Repet˘am procedeul pentru a obt¸inem ˆınc˘a n − 2 egalit˘a¸ti similare. Ultima este: (n)

2(n−1)

α1 λ1

sin(λ1 x) + · · · + αn λ2(n−1) sin(λn x) = 0. n

Fie x0 ∈ [0, 2π) astfel ˆıncˆat toate numerele sin(λ1 x0 ), . . . , sin(λn x0 ) s˘a fie nenule (un astfel de num˘ar ar putea fi ¸si precizat; oricum el exist˘a pentru c˘a altfel, ¸stiind c˘a funct¸ia sin are o mult¸ime num˘ arabil˘ a de zerouri [0, 2π) ar fi o reuniune finit˘ a de mult¸imi ˆ num˘ arabile, deci ar fi num˘ arabil˘ a, cea ce este fals). Inlocuim ˆın (1), (2), . . . , (n) pe x cu

248

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

x0 ¸si obt¸inem un sistem omogen de n ecuat¸ii cu necunoscutele α1 , . . . , αn al c˘arui determinant este sin(λ2 x0 ) sin(λ1 x0 ) 2 2 λ1 sin(λ1 x0 ) λ2 sin(λ2 x0 ) 2 )2 sin(λ x ) (λ2 )2 sin(λ1 x0 ) (λ 2 0 d= 1 2 .. .. . . (λ2 )n−1 sin(λ1 x0 ) (λ2 )n−1 sin(λ2 x0 ) 1 2 1 1 ... 1 2 2 2 λ λ . . . λ n n 1 2 Y 2 2 2 2 2 (λ2 ) ... (λ2 )2 sin(λi x0 ) (λ1 ) = .. .. .. i=1 . . . (λ2 )n−1 (λ2 )n−1 . . . (λ2 )n−1 n 1 2

= 2 n−1 . . . (λn ) sin(λn x0 )

... ... ...

sin(λn x0 ) 2 λn sin(λn x0 ) (λ22 )2 sin(λn x0 ) .. .

n Y Y sin(λi x0 ) (λ2j − λ2i ). = 1≤i<j≤m i=1

Conform alegerii lui x0 ¸si condit¸iilor din ipotez˘a, avem d 6= 0, prin urmare, α1 = · · · = αn = 0. 6.43. Indicat¸ie. Scrierea unic˘a a unui vector ca o combinat¸ie liniar˘a de v1 ¸si v2 conduce la un sistem de 2 ecuat¸ii liniare cu 2 necunoscute care trebuie s˘ a aib˘ a o solut¸ie unic˘ a.

6.44. Indicat¸ie. Scrierea lui (0, 0, 0) ca o combinat¸ie liniar˘a de cei trei vectori conduce la un sistem omogen de 3 ecuat¸ii liniare cu 3 necunoscute care are o infinitate de solut¸ii. 6.45. Indicat¸ie. Se procedeaz˘a ca ˆın problema 6.43. 6.46. Indicat¸ie. Vezi problema 6.43. 6.47. Indicat¸ie. Cum rangul unei matrice este egal cu num˘arul maxim de linii (coloane) care sunt liniar independente, pentru vectorii dintr-un K-spat¸iu K n dependent¸a sau independent¸a liniar˘ a poate fi studiat˘ a calculˆ and rangul matricii care are ace¸sti vectori 3 ca linii (coloane). Cum dimR R = 3, ˆın cazul nostru, rangul matricei formate cu cei trei vectori este 3 dac˘ a ¸si numai dac˘ a ei formeaz˘ a o baz˘ a a lui R3 .

6.48. Indicat¸ie. Scrierea un vector (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ca o combinat¸ie liniar˘a de vectorii

dat¸i ne conduce la un sistem de ecuat¸ii liniare care se rezolv˘ a cu u¸surint¸˘ a prin sc˘ aderea succesiv˘ a a cˆ ate dou˘ a ecuat¸ii din sistem. Se obt¸in unicitatea acestei scrierei ¸si coordonatele cerute.

6.49. R˘ aspuns. A = −5E1 − E2 + 6E3 − 2E4 . 6.50. R˘ aspuns. Exist˘a. Aceasta este {Eij | i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}}, unde

matricea Eij are pe pozit¸ia (i, j) pe 1 ¸si 0 ˆın rest.

6.51. Indicat¸ie. dim Mn (K) = n2 . 6.52. R˘ apuns. a) {1, X, . . . , X n , . . .}; b) f = f (a) + ··· +

f (n) (X − a)n . n!

f ′ (a) f ′′ (a) (X − a) + (X − a)2 + 1! 2!

6.53. Indicat¸ie. a) Exist˘a. Aceasta este {1, i}. b) Funct¸ia R2 → C, (a, b) 7→ a + bi este

un izomorfism de R-spat¸ii vectoriale.

249 √

p

6.54. p Indicat¸ie. V este un subspat¸iul lui Q R generat de {1, 3 p, 3 p p2 }. Ar˘ at˘ am c˘ a √ 3 √ 3

1, 3 p, p2 sunt liniar independente. Dac˘ a a, b, c ∈ Q ¸si a + b 3 p +pc p2 = 0 atunci, p √ √ 3 2 prin ˆınmult¸ire cu 3 p obt¸inem a 3 p + b p + cp = 0. Eliminˆ and pe 3 p2 ˆıntre cele dou˘ a √ √ 2 2 3 3 egalit˘ a¸ti rezult˘ a (ab − c p) + (b − ac) p = 0, care, ˆın baza faptului c˘ a p∈ / Q, conduce la 2 b b4 √ ab − c2 p = 0 = b2 − ac. Presupunˆ , prin urmare ab − 2 3 p = 0, and c˘ a a 6= 0 avem c = a a 3 b b √ √ √ a 3 p = ∈ Q, contradict¸ie cu 3 p ∈ / Q. Deci a = 0, ceea adic˘ a 3 p = 3 . Aceasta implic˘ a a ce implic˘a ¸si b = c = 0.

6.55. Indicat¸ie. iii) Fie v ∈ V, v 6= 0. Pentru orice x ∈ X definim ′

f : X → V, fx (x ) =

v, dac˘ a x′ = x . 0, dac˘ a x′ 6= x

a ¸si liber˘ a. Submult¸imea {fx | x ∈ X} ⊆ V (X) este infinit˘

6.56. Indicat¸ie. Se folose¸ste problema 6.37. 6.57. Indicat¸ie. Dac˘a (e1 , . . . , en ) este baz˘a ˆın

si (α1 , . . . , αm ) este baz˘ a ˆın KV ¸ atunci (αi ej | i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}) este baz˘ a ˆın K ′ V .

K′K

6.58. a) Notˆand V = (Z2 )2 avem V = {(b 0, b 0), (b 0, b 1), (b 1, b 0), (b 1, b 1)} ¸si dim V = 2. 2 O pereche ordonat˘a (v1 , v2 ) ∈ V formeaz˘a o baz˘a dac˘a ¸si numai dac˘a v1 ¸si v2 sunt liniar independent¸i. ˆIntrucˆat orice vector v1 ∈ V \ {(b 0, b 0)} face parte dintr-o 2 baz˘a, rezult˘a c˘a v1 poate fi ales ˆın 2 − 1 moduri. Dac˘a v2 ∈ V atunci v1 , v2 sunt liniar independent¸i dac˘a ¸si numai dac˘a v2 ∈ V \ hv1 i, iar |hv1 i| = 2. Deci v2 poate fi ales ˆın 22 − 2 moduri. Prin urmare, num˘arul bazelor ordonate ale lui V este (22 − 1)(22 − 2) = 3 · 2 = 6. Urmˆand un rat¸ionament analog cu cel de mai sus, se obt¸ine: b) (23 − 1)(23 − 2)(23 − 22 ) = 7 · 6 · 4 = 168; c) (32 − 1)(32 − 3) = 8 · 6 = 48; d) (33 − 1)(33 − 3)(33 − 32 ) = 26 · 24 · 18 = 11232. 6.59. Aceast˘a problem˘a este o generalizare a problemei anterioare. Cum dim V = n avem V ≃ K n , prin urmare |V | = q n . Fie Bn num˘arul bazelor ordonate (v1 , . . . , vn ) ale lui V . Orice vector v1 ∈ V \ {0} face parte dintr-o baz˘a, rezult˘a c˘a v1 poate fi ales ˆın q n − 1 moduri. Dac˘a v2 ∈ V atunci v1 , v2 sunt liniar independent¸i dac˘a ¸si numai dac˘a v2 ∈ V \ hv1 i, iar |hv1 i| = q. Deci v2 poate fi ales ˆın q n − q moduri. Dac˘a v3 ∈ V atunci v1 , v2 , v3 sunt liniar independent¸i dac˘a ¸si numai dac˘a v3 ∈ V \ hv1 , v2 i, iar |hv1 , v2 i| = q 2 . Deci v2 poate fi ales ˆın q n −q 2 moduri. Continuˆand rat¸ionamentul ajungem la concluzia c˘a vn poate fi ales ˆın q n − q n−1 moduri. Deci num˘arul bazelor ordonate ale lui V este Bn = (q n − 1)(q n − q) · · · (q n − q n−1 ). 6.60. Indicat¸ie. Dac˘a A ∈ Mn (K) atunci det A 6= 0 dac˘a ¸si numai dac˘a liniile matricei

A formeaz˘ a o baz˘ a a lui K n . Rezult˘ a c˘ a ordinul lui GLn (K) coincide cu Bn (vezi problema anterioar˘a).

6.61. Cum dim V = n avem V ≃ K n , prin urmare |V | = q n . i) Singurul spat¸iu al lui V de dimensiune 0, respectiv n este {0}, respectiv V . Deci G0n (q) = 1 = Gnn (q). ii) Printr-un rat¸ionament analog cu cel din problema 6.58 se deduce c˘a num˘arul sistemelor ordonate (v1 , . . . , vk ) ∈ V k formate din k vectori liniar independent¸i este

250

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

(q n − 1)(q n − q) · · · (q n − q k−1), iar num˘arul unor astfel de sisteme care genereaz˘a acela¸si subspat¸iu V ′ al lui V coincide cu num˘arul bazelor ordonate ale lui V ′ , adic˘a cu (q k − 1)(q k − q) · · · (q k − q k−1 ) pentru c˘a dim V ′ = k. Prin urmare, Gkn (q) =

(1)

(q n − 1)(q n−1 − 1) · · · (q n−k+1 − 1) . (q k − 1)(q k−1 − 1) · · · (q − 1)

iii) Din (1) rezult˘a c˘a

Gkn (q) =

(2)

n Y i=1

k Y i=1

(q i − 1)

(q i − 1)

n−k Y i=1

= Gn−k n (q).

(q i − 1)

iv) Folosind pe (2) avem

k q k Gkn−1 (q) + Gk−1 n−1 (q) = q

i=1

k Y i=1

=

n−1 Y i=1

(q i − 1)

k

n−1 Y

n−k

(q i − 1)

(q i − 1)

n−k−1 Y i=1

+

(q i − 1)

k

n Y

n−1 Y i=1

k−1 Y i=1

(q i − 1)

(q i − 1)

n−k Y i=1

(q i − 1)

(q i − 1)

q (q − 1) + (q − 1) i=1 = k = Gkn (q). k n−k n−k Y Y Y Y (q i − 1) (q i − 1) (q i − 1) (q i − 1) i=1

i=1

i=1

i=1

6.62. Indicat¸ie. K = R, V = R[X], S = h{X 2k+1 | k ∈ N}i. 6.63. Din V1 6= V2 ¸si dim V1 = dim V2 rezult˘a V2 * V1 . Prin urmare V1 $ V1 + V2 ⊆ V, ceea ce implic˘a dim(V1 + V2 ) = 3 ¸si dim(V1 ∩ V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 + V2 ) = 1. ˆIn R3 aceasta se interpreteaz˘a geometric prin faptul c˘a intersect¸ia a dou˘a plane diferite care trec prin origine este o dreapt˘a care trece prin origine. 6.64. Din V2 * V1 rezult˘a c˘a V1 ∩ V2 $ V2 , prin urmare dim(V1 ∩ V2 ) < dim V2 , adic˘a dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ) ≥ 1. Atunci n = dim V ≥ dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ) ≥ n − 1 + 1 = n. A¸sadar, dim(V1 + V2 ) = n = dim V , ceea ce implic˘a V = V1 + V2 .

251 6.65. Ar˘at˘am c˘a (1)

V1 * V2 ¸si V2 * V1 ⇒ dim(V1 + V2 ) − dim(V1 ∩ V2 ) 6= 1.

ˆIn ipoteza implicat¸iei (1), egalitatea dim(V1 + V2 ) − dim(V1 ∩ V2 ) = 0 nu poate avea loc, prin urmare, trebuie verificat c˘a dim(V1 + V2 ) − dim(V1 ∩ V2 ) ≥ 2. Ca ˆın problemele anterioare avem V1 * V2 ⇒ V1 $ V1 + V2 ⇒ dim(V1 + V2 ) − dim V1 ≥ 1, V2 * V1 ⇒ V1 ∩ V2 $ V1 ⇒ dim V1 − dim(V1 ∩ V2 ) ≥ 1, a¸sadar, dim(V1 + V2 ) − dim(V1 ∩ V2 ) = dim(V1 + V2 ) − dim V1 + dim V1 − dim(V1 ∩ V2 ) ≥ 2. 6.66. Indicat¸ie. dim(V /(V1 ∩ S1)) = dim V − dim(V1 ∩ S1) = dim V − dim V1 − dim S1 + dim(V1 + S1 ) ≤ dim V − dim V1 + dim V − dim S1 = dim V2 + dim S2 .

6.67. Din f (g(x)) = 0 pentru orice x ∈ V rezult˘a c˘a g(x) ∈ Ker f pentru orice x ∈ V , prin urmare, Kerf ⊇ g(V ). Deducem de aici c˘a dim(Ker f ) ≥ dim g(V ) ¸si astfel avem (1)

dim V = dim f (V ) + dim(Ker f ) ≥ dim f (V ) + dim g(V ).

Din f + g automorfism deducem V = (f + g)(V ) ⊆ f (V ) + g(V ) ⊆ V . Atunci V = f (V ) + g(V ) ¸si avem (2) dim V = dim f (V ) + dim g(V ) − dim(f (V ) ∩ g(V )) ≤ dim f (V ) + dim g(V ). Din (1) ¸si (2) rezult˘a egalitatea dorit˘a. Observat¸ie: Din cele de mai sus urmeaz˘a imediat faptul c˘a dim(f (V ) ∩ g(V )) = 0, ceea

ce ˆınseamn˘ a c˘ a f (V ) ∩ g(V ) = {0}, deci V = f (V ) ⊕ g(V ). Aceasta indic˘ a o alt˘ a abordare a problemei bazat˘ a pe faptul c˘ a Kerf ⊇ g(V ), V = f (V ) + g(V ) ¸si V = Ker f ⊕ f (V ).

6.68. Indicat¸ii. V1 este generat de vectorii

1 0 0 1

0 1 0 0 , , , 0 0 1 0

care sunt liniar independent¸i, V2 este generat de vectorii 0 1 0 0 , , −1 0 0 1 care sunt, de asemenea, liniar independent¸i. Subspat¸iul V1 + V2 este generat de reuniunea a de generatorilor lui V1 ¸si V2 , adic˘ 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 , , , , , 0 1 0 0 1 0 −1 0 0 1 iar dintre ace¸stia, vectorii 1 0 0 1 0 0 0 0 , , , 0 1 0 0 1 0 0 1 sunt liniar independent¸i.

252

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

6.69. Indicat¸ie. Folosind indicat¸ia de la problema 6.47, se obt¸ine dimhc, d, ei = 2 ¸si c, d liniar independent¸i. Folosind aceea¸si metod˘ a obt¸inem c˘ a a, c, d sunt liniar dependent¸i ¸si b, c, d sunt liniar dependent¸i, prin urmare ha, bi ⊆ hc, di, iar egalitatea dimensiunilor conduce la egalitatea cerut˘ a.

6.70. Indicat¸ie. Se folose¸ste indicat¸ia de la problema 6.47 ¸si faptul c˘a suma este generat˘a de reuniunea generatorilor lui S ¸si T . De exemplu, la punctul d), dim S = dim T = 3 ¸si dim(S + T ) = 4. Un minor nenul de ordinul 4 poate fi ,,decupat” din coloanele corespunz˘ atoare vectorilor u1 , u2 , u3 , v2 , deci ei formeaz˘ a o baz˘ a pentru S + T . Atunci dim(S ∩ T ) = 2 ¸si v ∈ S ∩ T dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a α1 , α2 , α3 , β1 , β2 , β3 ∈ R astfel ˆıncˆ at v = α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 = β1 v1 + β2 v2 + β3 v3 . Sistemul (∗) rezultat este compatibil nedeterminat, determinantul s˘ au are rangul 4, iar un minor principal se obt¸ine chiar considerˆ and coeficient¸ii necunoscutelor α1 , α2 , α3 , β2 . Prin urmare, β1 ¸si β3 sunt necunoscutele secundare. Ment¸ion˘ am c˘ a pentru a obt¸ine 2 vectori liniar independent¸i din S ∩ T nu este necesar˘ a rezolvarea sistemului (∗). Este suficient s˘ a d˘ am valori reale necunoscutelor secundare astfel ˆıncˆ at vectorii rezultat¸i s˘ a fie liniar independent¸i ¸si s˘a determin˘ am pe β2 ˆın aceste cazuri. Astfel, dac˘ a β1 = 1 ¸si β3 = 0 atunci β2 = 0 ¸si se obt¸ine vectorul v = v1 ∈ S ∩ T , iar dac˘ a β1 = 0 ¸si β3 = 5 atunci β2 = 1 ¸si se obt¸ine vectorul ′ v = v2 + 5v3 ∈ S ∩ T . Cei doi vectori sunt liniar independent¸i, deci formeaz˘ a o baz˘ a a lui S ∩ T.

6.71. Indicat¸ie. Se folose¸ste faptul c˘a dim V1 = dim(Kerf ) + dim(Imf ) ¸si faptul c˘a f este injectiv˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a Kerf = {0}.

6.72. Indicat¸ie. ϕ : K[X] → K[X] definit˘a prin ϕ(f ) = f (X 2 ), adic˘a ϕ = EX 2 , este

liniar˘ a, injectiv˘ a, dar nu este surjectiv˘ a. Pe de alt˘ a parte, funct¸ia liniar˘ a ψ : K[X] → K[X], n 2k k 2k+1 definit˘ a pe baza {X | n ∈ N} prin ψ(X ) = X ¸si ψ(X ) = 0 este surjectiv˘ a, dar nu este injectiv˘ a.

6.73. R˘ aspuns. dim(Imϕ) = 2, dim(Kerϕ) = 1. 6.74. Indicat¸ie. Matricea lui f ˆın baza canonic˘a [f ]e = versabil˘ a.

cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ

este in-

1 0 −1 0 6.75. Indicat¸ie. [f ]e = , [g]e = sunt inversabile. Se folose¸ste 0 −1 0 1 teorema care d˘ a leg˘ atura dintre operat¸iile cu matrici ¸si operat¸iile cu transform˘ ari liniare.

6.76. Cum rangul matricei formate cu vectorii din v este 2, iar rangul matricei formate cu vectorii din v ′ este 3, rezult˘a c˘a v este baz˘a ˆın R2 ¸si v ′ este baz˘a ˆın R3 . Coloanele matricei [f ]v,v′ = (aij ) ∈ M3,2 (R) rezult˘a din egalit˘a¸tile (3, 0, 7) = f (1, 2) = a11 (1, −1, 0) + a21 (−1, 0, 1) + a31 (1, 1, 1), (−1, −5, −4) = f (−2, 1) = a12 (1, −1, 0) + a22 (−1, 0, 1) + a32 (1, 1, 1). Cele dou˘a egalit˘a¸ti conduc la sistemele    a11 − a21 + a31 = 3  a12 − a22 + a32 = −1 −a11 + a31 = 0 ¸si −a12 + a32 = −5   a21 + a31 = 7 a22 + a32 = −4

253 care au, respectiv, solut¸iile

10 11 10 , , 3 3 3 

[f ]v,v′

   =  

¸si

10 3 11 3 10 3

5 2 10 ,− ,− . prin urmare, 3 3 3  5 3   2  − . 3  10  − 3

Alt˘ asolut¸ie: Matricea de trecere de la baza canonic˘a e′ a lui R3 la baza v ′ este  1 −1 1 T =  −1 0 1 , iar matricea lui f ˆın perechea de baze v, e′ este 0 1 1   3 −1 [f ]v,e′ =  0 −5  , 7 −4 (colanele sale fiind coordonatele lui f (1, 2) ¸si f (−2, 1) ˆın baza e′ ) prin urmare,   10 5  3 3    11 2   [f ]v,v′ = T −1 [f ]v,e′ =  − .  3 3   10 10  − 3 3

6.77. Indicat¸ie. ii) Matricea lui f ˆın bazele canonice este matricea care are pe f (e1 ), f (e2 ) ¸si f (e3 ) ca ¸si coloane. iii) Im f = hf (e1 ), f (e2 ), f (e3 )i, deci dim(Im f ) este rangul matricii de la ii). 6.78. Rangul matricelor formate din vectorii v1 , v2 , v3 , respectiv v1′ , v2′ , v3′ este 3, prin urmare sunt vectori independent¸i ˆıntr-un spat¸iu de dimensiune 3, deci formeaz˘a cˆate o baz˘a. Dac˘a x1 , x2 , x3 sunt coordonatele unui vector v ˆın baza v1 , v2 , v3 ¸si x′1 , x′2 , x′3 sunt coordonatele lui v ˆın baza v1′ , v2′ , v3′ atunci     ′   ′   x1 x1 x1 x1  x′2  = S  x2  ¸si  x2  = S −1  x′2  x′3 x′3 x3 x3 unde S este matricea de trecere de la v la v ′ . Coloanele matricii S = (aij ) ∈ M3,3 (R) rezult˘a din egalit˘a¸tile (3, 1, 4) = v1′ = a11 v1 + a21 v2 + a31 v3 = a11 (1, 2, 1) + a21 (2, 3, 3) + a31 (3, 7, 1), (5, 2, 1) = v2′ = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 = a12 (1, 2, 1) + a22 (2, 3, 3) + a32 (3, 7, 1), (1, 1, −6) = v3′ = a13 v1 + a23 v2 + a33 v3 = a13 (1, 2, 1) + a23 (2, 3, 3) + a33 (3, 7, 1). Cele trei egalit˘a¸ti conduc la sistemele    a11 + 2a21 + 3a31 = 3  a12 + 2a22 + 3a32 = 5 2a11 + 3a21 + 7a31 = 1 , 2a + 3a22 + 7a32 = 2   12 a11 + 3a21 + a31 = 4 a12 + 3a22 + a32 = 1

  a13 + 2a23 + 3a33 = 1 ¸si 2a + 3a23 + 7a33 = 1  13 a13 + 3a23 + a33 = −6

254

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

care au, respectiv, solut¸iile (−33, 11, 5), (−71, 20, 12) ¸si (−41, 9, 8) prin urmare, 

 −33 −71 −41 20 9 . S =  11 5 12 8 Alt˘ a solut¸ie. Avem



   x′1 x1  x′2  = [1R3 ]v,v′  x2  , x′3 x3

iar matricea S = [1R3 ]v,v′ poate fi obt¸inut˘a ca ˆın problema 6.76. 

 1 1 1 1  0 1 1 1   6.79. Indicat¸ii. [f ]u = S −1 [f ]v S, unde S =   0 0 1 1  este matricea de trecere 0 0 0 1 de la baza v la baza u. Cum S −1 este matricea de trecere de la baza u la baza v, ea rezult˘a ¸si dac˘ a, din cele patru egalit˘ a¸ti, se exprim˘ a v1 , v2 , v3 , v4 ˆın funct¸ie de u1 , u2 , u3 , u4 .

6.80. Indicat¸ie. [f ]v = S[f ]u S −1 , unde S este matricea de trecere de la baza v la u. 6.81. Indicat¸ie. [f ]b se determin˘a cu u¸surint¸˘a, iar [f ]b′ rezult˘a ca ˆın problemele anterioare.

6.82. Indicat¸ii. ii) dim(Imf ) =rang[f ]a,b ; iii) [f ]a′ ,b′ = T −1 [f ]a,b S, unde S este matricea de trecere de la baza a la baza a′ ¸si T este matricea de trecere de la baza b la baza b′ .

6.83. Indicat¸ie. ii) Elementele din mult¸imea cˆat R2 /S se reprezint˘a ca translatatele ˆın plan ale dreptei S.

6.84. Indicat¸ie. Vezi problema anterioar˘a. 6.85. Indicat¸ie. iii) Elementele din R3 /S se reprezint˘a ca translatatele ˆın spat¸iu ale dreptei S, Elementele din R3 /T se reprezint˘ a ca translatatele ˆın spat¸iu ale planului T .

6.86. Indicat¸ie. Vezi problema anterioar˘a. 6.87. Indicat¸ii. i) dim(Im f ) =rang[f ]v,v′ = 2, dim(Ker f ) = dim V − dim(Im f ) =

3 − 2 = 1, iar cum coloanele 2 ¸si 3 ale matricii [f ]v,v′ sunt proport¸ionale, avem f (v3 ) = −5f (v1 ) ⇔ f (v3 − 5v1 ) = 0 ⇔ v3 − 5v1 ∈ Ker f.

iii) Din teorema ˆıntˆ ai de izomorfism, avem f (V ) ≃ V /Ker f . Izomorfismul este dat de corespondent¸a f (x) 7→ x+Ker f ¸si duce o baz˘ a a lui f (V ) ˆınr-o baz˘ a a lui V /Ker f . Avem dim(V ′ /Im f = 3 − 2 = 1. Un vector nenul din V ′ /Im f este de forma v ′ +Im f cu v ′ ∈ V ′ \Im f . Avem f (v1 ) = v2′ ∈Im f ¸si f (v2 ) = −v1′ + v3′ . Dac˘ a am avea v1′ ∈Im f atunci ar rezulta c˘ a ¸si v3′ ∈Im f , prin urmare V ′ = hv1′ , v2′ , v3′ i ⊆Im f , imposibil, deoarece dim(Im f ) = 2.

255 6.88. Indicat¸ie. a) Pentru determinarea unei baze ˆın Ker f se observ˘a c˘a 7(c1 − c3 ) =

c2 − c4 , unde cu ci am notat coloana i a matricei date. b) Pentru determinarea lui Ker f ¸si a unei baze a sale se rezolv˘ a sistemul     x1 0  x2   0     [f ]e   x3  =  0  . x4 0   x1   6.89. Indicat¸ie. Funct¸ia f : K n → K, f (x1 , · · · , xn ) = A  ...  este liniar˘a ¸si xn S0 =Ker f .

6.90. Indicat¸ie. Rezolvˆand sistemul obt¸inem 1 x5 1 5x5 + , + x3 + x4 + , x3 , x4 , x5 | x3 , x4 , x5 ∈ R , 3 3 3 3 1 1 , , 0, 0, 0 + S0 , unde adic˘ a SB = 3 3 x5 5x5 , x3 + x4 + , x3 , x4 , x5 | x3 , x4 , x5 ∈ R . S0 = 3 3 SB =

ˆInlocuind ˆın S0 succesiv x3 = 1, x4 = x5 = 0; x4 = 1, x3 = x5 = 0; x5 = 3, x3 = x4 = 0 primim sistemul fundamental de solut¸ii (0, 1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1, 0), (1, 5, 0, 0, 3).

6.91. Indicat¸ie. Se rezolv˘a sistemele ¸si se particularizeaz˘a convenabil necunoscutele secundare (vezi solut¸ia problemei anterioare).

6.92. Din dimZp V = 1 rezult˘a c˘a V ≃ Zp , deci |V | = p. Cum orice transformare liniar˘a este determinat˘a ˆın mod unic de restrict¸ia sa la o baz˘a a domeniului, fix˘am o baz˘a, adic˘a un element nenul v din V ¸si |EndZp (V )| este egal cu num˘arul funct¸iilor de la {v} la V , adic˘a |V |1 = |V | = p. 6.93. Indicat¸ii. a) Din f aditiv˘a rezult˘a f (mx) m ∈ Z ¸si = mf (x) pentru orice

1 1 x ∈ V . Dac˘ a n ∈ N∗ ¸si x ∈ V atunci f (x) = f n x = nf x , prin urmare n n 1 1 f x = f (x). n n b) R poate fi privit atˆ at Q-spat¸iu vectorial cˆ at ¸si R-spat¸iu vectorial. R privit ca un Q-spat¸iu vectorial are o baz˘ a infinit˘ a B. Fie x, y ∈ B, x 6= y. Cum x, y unt liniar independent¸i x peste Q avem α = ∈ R \ Q. Funct¸ia y  , dac˘ a z = x,  y ϕ : B → R, ϕ(z) = x , dac˘ a z = y,  z , dac˘ a z ∈ B \ {x, y}, se extinde ˆın mod unic la o transformare Q-liniar˘ a f : R → R. Avem f (αx) = f (y) = x, 2 y αf (x) = αy = . Dar x2 6= y 2 pentru c˘ a x2 = y 2 ar implica α ∈ Q. Deci f (αx) 6= αf (x), x adic˘ a f nu este R-liniar˘ a.

256

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

6.94. a)⇒b) Fie Y o baz˘a a lui V2 . Din surjectivitatea lui f rezult˘a c˘a pentru orice y ∈ Y mult¸imea Sy = {x ∈ V1 | f (x) = y} este nevid˘a. Folosind axioma alegerii, alegem cˆate un xy ∈ Sy pentru orice y ∈ Y ¸si definim s0 : Y → V1 , s0 (y) = xy . ˆIntrucˆat Y este o baz˘a a lui V2 , urmeaz˘a c˘a s0 se poate prelungi ˆın mod unic la o aplicat¸ie liniar˘a s : V2 → V1 . Pentru orice y ∈ V2 avem (f ◦ s)(y) = f (s(y)) = f (xy ) = y = 1V2 (y), ceea ce implic˘a f ◦ s = 1V2 . Implicat¸ia b)⇒c) este evident˘a. Implicat¸ia c)⇒a) este echivalent˘a cu faptul c˘a negat¸ia lui a) implic˘a negat¸ia lui c). Din negat¸ia lui a) rezult˘a c˘a V2 \Im f 6= ∅, ceea ce arat˘a c˘a exist˘a y0 ∈ V2 astfel ˆıncˆat ˆın spat¸iul vectorial cˆat V2 /Im f avem y0 +Im f 6=Im f . Luˆand V = V2 /Im f , α(y) =Im f , β(y) = y+Im f , obt¸inem funct¸iile liniare diferite α ¸si β, dar (α ◦ f )(x) = α(f (x)) = Im f = β(f (x)) = (β ◦ f )(x), ∀x ∈ V1 , ceea ce ne arat˘a c˘a α ◦ f = β ◦ f . Observat¸ii: i) ˆIn cazul grupurilor ¸si inelelor se ment¸ine echivalent¸a dintre a) ¸si c), dar demonstat¸ia este mai complicat˘ a (vezi [33]). Pentru grupuri abeliene demonstrat¸ia este simpl˘ a. Chiar ˆın caz abelian b) nu mai este echivalent˘ a cu a). De exemplu, aplicat¸ia b canonic˘a p : Z → Zn , p(i) = i este omomorfism surjectiv al lui (Z, +) pe (Zn , +), dar nici o sect¸iune a lui p nu este omomorfism pentru c˘ a Hom(Zn , Z) este format doar din ˆ omomorfismul nul (vezi 2.109). In cazul inelelor asociative, nici a) ¸si c) nu mai sunt echivalente. De exemplu, omorfismul nesurjectiv i : Z → Q verific˘ a pe c). ii) Condit¸ia b) arat˘ a c˘ a orice spat¸iu vectorial este modul proiectiv (vezi [30]).

6.95. Indicat¸ii. a) Folosind notat¸iile din problema anterioar˘a, o transformare liniar˘a h care satisface condit¸iile cerute este h = s ◦ g. b) Orice (a, b) ∈ R2 poate fi scris (2 · 0 − (−a), b) = f (0, −a, b), ceea ce demonstreaz˘a surjectivitatea lui f ¸si indic˘ a faptul c˘ a transformarea h poate fi definit˘ a prin h(x, y) = (0, −x, y). Acela¸si lucru se obt¸ine procedˆ and ca la punctul anterior: fie {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} baza canonic˘ a a lui R2 ¸si e1 = (0, −1, 0), e2 = (0, 0, 1); atunci f (e1 ) = (1, 0) = e1 , f (e2 ) = (0, 1) = e2 ¸si h(x, y) = xh(e1 ) + yh(e2 ) = xe1 + ye2 = x(0, −1, 0) + y(0, 0, 1) = (0, −x, y).

6.96. a)⇒b) Fie X o baz˘a a lui V1 . Din injectivitatea lui f se deduce c˘a f (X) este liber˘a ˆın V2 , deci se poate completa la o baz˘a Y a lui V2 . Restrict¸ia lui f la X define¸ste o biject¸ie de la X la f (X). Fie r0 : f (X) → X inversa acestei biject¸ii, adic˘a r0 (f (x)) = x, iar r0 : Y → V1 o prelungire a lui r0 . ˆIntrucˆat Y este o baz˘a a lui V2 urmeaz˘a c˘a r0 se poate prelungi ˆın mod unic la o aplicat¸ie liniar˘a r : V2 → V1 . Pentru orice x ∈ X avem (r ◦ f )(x) = r(f (x)) = x = 1V1 (x), ceea ce implic˘a r ◦ f = 1V1 . Implicat¸ia b)⇒c) este evident˘a. Implicat¸ia c)⇒a) este echivalent˘a cu faptul c˘a negat¸ia lui a) implic˘a negat¸ia lui c). Din negat¸ia lui a) rezult˘a c˘a Ker f 6= {0}. Luˆand V = Ker f , α(x) = x, β(x) = 0 pentru orice x ∈ V , obt¸inem funct¸iile liniare diferite α, β, dar (f ◦ α)(x) = f (α(x)) = f (x) = 0 = f (β(x)) = (f ◦ β)(x), ∀x ∈ V, ceea ce arat˘a c˘a f ◦ α = f ◦ β.

257 Observat¸ii: i) ˆIn cazul grupurilor ¸si inelelor se ment¸ine echivalent¸a dintre a) ¸si c), dar b) nu mai este echivalent˘ a cu a). De exemplu, i : Z → Q este omomorfism injectiv ˆıntre (Z, +) ¸si (Q, +), dar nici o retract˘ a a lui f nu este omomorfism pentru c˘ a Hom(Q, Z) este format doar din omomorfismul nul (vezi 2.109). ii) Condit¸ia b) arat˘ a c˘ a orice spat¸iu vectorial este modul injectiv (vezi [30]).

6.97. Indicat¸ii. a) Folosind notat¸iile din problema anterioar˘a, o transformare liniar˘a h care satisface condit¸iile cerute este h = g ◦ r. b) Fie {e1 , e2 } baza canonic˘ a a lui R2 ¸si {e′1 , e′2 , e′3 } baza canonic˘ a a lui R3 . Avem f (e1 ) = f (1, 0) = (1, 1, 2), f (e2 ) = f (0, 1) = (−1, 1, 0), iar vectorii f (e1 ), f (e2 ) ¸si e′3 = (1, 0, 0) sunt liniar independent¸i, deci formeaz˘ a o baz˘ a ˆın R3 . Procedˆ and ca mai sus, consider˘ am ′ h(f (e1 )) = e1 , h(f (e2 )) = e2 ¸si h(e3 ) = (0, 0). Prin urmare, e1 = h(1, 1, 2) = h(e′1 + e′2 + 2e′3 ) = h(e′1 ) + h(e′2 ) + 2h(e′3 ) = h(e′1 ) + h(e′2 ), e2 = h(−1, 1, 0) = h(−e′1 + e′2 ) = −h(e′1 ) + h(e′2 ). 1 1 1 1 ′ ′ Deducem c˘ a h(e1 ) = (e1 − e2 ) = , 0, 0 , h(e2 ) = (e1 + e2 ) = 0, , 0 ¸si, astfel, 2 2 2 2 x y x y , 0, 0 + 0, , 0 = , ,0 . h(x, y, z) = xh(e′1 ) + yh(e′2 ) + zh(e′3 ) = 2 2 2 2

6.98. Indicat¸ie. Se folosesc problemele 6.71, 6.96 ¸si 6.94.

6.99. Indicat¸ie. Scriind vectorii din K n sub form˘a de matrice coloan˘a, aplicat¸ia fA : K n → K n , fA (x) = Ax este liniar˘ a ¸si matricea lui fA ˆın baza canonic˘ a a lui K n este A. Corespondent¸a fA 7→ A realizeaz˘ a un izomorfism atˆ at ˆıntre K-spat¸iile EndK (K n ) ¸si n Mn (K) cˆ at ¸si ˆıntre inelele EndK (K ) ¸si Mn (K).

Observat¸ie: ˆIn cazul K = C echivalent¸ele ii) ⇔ iii) ⇔ iv) sunt cont¸inute ˆın problema

3.55.

6.100. Indicat¸ie. Scriind vectorii din K m ¸si K n sub form˘a de matrice coloane, aplicat¸ia fA : K n → K m , fA (x) = Ax este liniar˘ a ¸si matricea lui fA ˆın perechea format˘ a din bazele n m canonice ale lui K ¸si K este A. Avem rang A = n ⇔ dim(Im fA ) = n ⇔ dim(Ker fA ) = 0 ⇔ Ker fA = {0} ⇔ fA injectiv˘ a, rang A = m ⇔ dim(Im fA ) = m = dim K m ⇔ fA surjectiv˘ a.

6.101. Indicat¸ii. i) ˆIn cazul dim V = ∞ cerint¸a se deduce din problema 6.55 pentru c˘a

HomK (V, V ′ ) ≃ V ′X , unde X este o baz˘ a a lui V . Dac˘ a dim V < ∞, X este o baz˘ a a lui V ¸si x0 ∈ X atunci {f : X ′ → V ′ | supp f = {x0 }} este un subspat¸iu al lui V ′X izomorf cu V ′ . ii) HomK (V, V ′ ) ≃ Mm,n (K).

6.102. Indicat¸ie. Fie e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1). Ca ˆın problema 6.32 se obt¸ine ai = f (ei ) (i ∈ {1, . . . , n}). Mai mult, a1 , . . . , an sunt coordonatele lui f ˆın duala bazei (e1 , . . . , en ). De asemenea, avem e′1 = e1 , e′2 = e1 + e2 , . . . , e′n = e1 + · · · + en , de unde rezult˘ a c˘ a a′1 = f (e′1 ) = a1 , a′2 = f (e′2 ) = a1 + a2 , . . . , a′n = f (e′n ) = a1 + · · · + an sunt coordonatele lui f ˆın duala bazei (e′1 , . . . , e′n ).

258

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

6.103. Indicat¸ie. iii) Se folose¸ste punctul ii) ¸si problemele 6.96, 6.94. 6.104. Indicat¸ie. Se folose¸ste definit¸ia formei n-liniare. 6.105. Indicat¸ie. ii) Dac˘a (e1 , e2 ) este baza canonic˘a a lui K 2 atunci aij = f (ei , ej ) (i, j = 1, 2).

6.106. Trebuie ar˘atat c˘a vi = vi+k , k ∈ N∗ , i + k ≤ n ⇒ f (v1 , . . . , vn ) = 0. Pentru simplificarea scrierii consider˘am i = 1. Demonstr˘am aceast˘a implicat¸ie prin induct¸ie dup˘a k. Proprietatea este adev˘arat˘a pentru k = 1. O presupunem adev˘arat˘a pentru k = l − 1 cu 1 < l < n ¸si consider˘am v1 = vl+1 . Din ipoteza induct¸iei ¸si din multiliniaritate deducem 0 =f (v1 , . . . , v1 + vl , v1 + vl , . . . , vn ) = f (v1 , . . . , v1 , v1 + vl , . . . , vn )+ +f (v1 , . . . , vl , v1 + vl , . . . , vn ) = f (v1 , . . . , v1 , v1 , . . . , vn )+ +f (v1 , . . . , v1 , vl , . . . , vn ) + f (v1 , . . . , vl , v1 , . . . , vn ) + f (v1 , . . . , vl , vl , . . . , vn ) = =f (v1 , . . . , vl , v1 , . . . , vn ) = f (v1 , . . . , vl , vl+1 , . . . , vn ), ceea ce arat˘a c˘a proprietatea este adev˘arat˘a pentru k = l. 6.107. Indicat¸ie. 1) i)⇒ii) f (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) + f (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn ) = f (v1 , . . . , vi + vj , . . . , vi + vj , . . . , vn ) = 0. ii)⇒i) Dac˘ a vi = vi+1 atunci f (v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vn ) = f (v1 , . . . , vi+1 , vi , . . . , vn ), iar f fiind antisimetric˘ a f (v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vn ) = −f (v1 , . . . , vi+1 , vi , . . . , vn ), ceea ce implic˘a 2f (v1 , . . . , vi , vi+1 , . . . , vn ) = 0. 2) Funct¸ia f : K × K → K, f (x, y) = xy este biliniar˘ a ¸si antisimetric˘ a pentru c˘ a f (x, y) = xy = −xy = −yx = −f (y, x), dar nu este altern˘ a pentru c˘ a f (1, 1) = 1 · 1 = 1 6= 0.

6.108. Indicat a ˆın mod analog). ¸ie. Analiz˘ am cazul n = 2 (cazul general se trateaz˘

i) Fie A =

a11 a12 a21 a22

¸si A1 , A2 coloanele matricei A. Avem A1 = a11 e1 + a21 e2 ¸si 1 0 A2 = a12 e1 + a22 e2 , unde e1 = , e2 = . Scriind pe A = (A1 , A2 ) ¸si folosind 0 1 condit¸iile impuse lui f avem: f (A) = f (a11 e1 + a21 e2 , a12 e1 + a22 e2 ) = a11 a12 f (e1 , e1 ) + a11 a22 f (e1 , e2 ) + a21 a12 f (e2 , e1 ) + a21 a22 f (e2 , e2 ) = a11 a22 f (e1 , e2 ) − a12 a21 f (e1 , e2 ) = (a11 a22 − a12 a21 )f (I2 ) = a11 a22 − a12 a21 = det A

ii) Repetˆ and rat¸ionamentul de mai sus ˆın cazul f (I2 ) = a primim f (A) = a det A.

A B este o form˘a m-liniar˘a de 6.109. Funct¸ia g : (K ) → K, g(A) = O C I B coloanele lui A, de unde rezult˘a c˘a g(A) = m · |A|. Rat¸ionˆand analog asupra O C m m

259 Im B Im B I B m = liniilor lui C se deduce este o O In · |C|. Matricea O C O In matrice de form˘a triunghiular˘a din Mm+n (K) cu 1 pe diagonala principal˘a, prin I B urmare m = 1. A¸sadar, g(A) = |C| · |A| = |A| · |C|. O In 6.110. Indicat¸ii. i) Se verific˘a implicat¸iile

[f, g ∈ B(V ) ⇒ f + g ∈ B(V )] ¸si [α ∈ K, g ∈ B(V ) ⇒ αf ∈ B(V )] unde (f + g)(x, y) = f (x, y) + g(x, y) ¸si (αf )(x, y) = αf (x, y), de unde se deduce c˘ a B(V ) V ×V este subspat¸iu al lui K . ii) Avem f (x, y) =f (x1 v1 + · · · + xn vn , y) = =

n X

n X

xi

i=1

yj f (vi , vj ) =

j=1

n X

xi f (vi , y) =

i=1

n X

xi

i=1

n X i=1

n X j=1

xi f (vi , y1 v1 + · · · + yn vn )

aij yj = t X · A · Y.

iii) Se folose¸ste ii). iv) Din iii) rezult˘ a c˘ a dim B(V ) = dim Mn (K) = n2 . v) Notˆ and X ′ , respectiv Y ′ , matricea coloan˘ a format˘ a din coordonatele lui x, respectiv y, ˆın baza w ¸si folosind formulele de schimbare a coordonatelor, avem X = SX ′ ¸si Y = SY ′ . Acum din ii) rezult˘ a f (x, y) = t (SX ′ )A(SY ′ ) = t X ′ (t SAS)Y ′ , ceea ce implic˘ a B = t SAS.

6.111. Indicat¸ie. Vezi problema 6.110. 6.112. Indicat¸ie. Se aplic˘a problema 6.110, punctul ii). 6.113. Indicat¸ie. Vezi problema 6.110. 6.114. Amintim c˘a o matrice A = (aij ) ∈ Mn (K) este simetric˘ a, respectiv antisimetric˘a, dac˘a A = t A, respectiv −A = t A, adic˘a aij = aj i , respectiv aij = −aj i , pentru orice i, j ∈ {1, . . . , n}. i)⇒ii) Dac˘a A = (aij ) ∈ Mn (K) este matricea lui f ˆın baza v ¸si f este simetric˘a, respectiv antisimetric˘a, atunci avem aij = f (vi , vj ) = f (vj , vi ) = aj i , respectiv aij = f (vi , vj ) = −f (vj , vi ) = −aj i , ceea ce ne arat˘a c˘a A este simetric˘a, respectiv antisimetric˘a. Implicat¸ia ii)⇒iii) este evident˘a. iii)⇒i) Dac˘a matricea A = (aij ) a lui f ˆın baza v este simetric˘a, respectiv antisimetric˘a, ¸si x = x1 v1 + · · · + xn vn , y = y1 v1 + · · · + yn vn atunci din biliniaritatea lui n X n n X n X X aji yj xi = f (x, y), respectiv f avem f (x, y) = aij xi yj , deci f (y, x) = j=1 i=1

i=1 j=1

f (y, x) = −

n n X X j=1 i=1

aji yj xi = −f (x, y).

1 2 1 1 t ii) As = (A + A), Aa = (A − t A). 2 2

1 2

6.115. Indicat¸ie. i) fs = (f + g), fa = (f − g), unde g(x, y) = f (y, x).

260

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

6.116. Indicat¸ie. i) Dac˘a q este o form˘a p˘atratic˘a atunci exist˘a o form˘a biliniar˘a simetric˘ a f ′ : V × V → K astfel ˆıncˆ at q(x) = f ′ (x, x) pentru orice x ∈ V . Acum din (1) 1 rezult˘ a f (x, y) = [f ′ (x + y, x + y) − f ′ (x, x) − f ′ (y, y)], ceea ce implic˘ a f = f ′ . Deci 2 funct¸ia f definit˘ a ˆın (1) este singura form˘ a biliniar˘ a simetric˘ a pentru care q(x) = f (x, x) pentru orice x ∈ V . ii) Din (1) urmeaz˘ a implicat¸ia q(x) = 0, ∀x ∈ V ⇒ f (x, y) = 0, ∀x, y ∈ V.

Observat¸ie: Din problema de mai sus rezult˘a c˘a dac˘a corpul K are caracteristica diferit˘a de 2 atunci exist˘ a o biject¸ie ˆıntre mult¸imea formelor p˘ atratice definite pe V ¸si mult¸imea formelor biliniare simetrice definite pe V .

6.117. R˘ aspuns. Notˆand x1 = x, x2 = y, x3 = z ¸si Ak = (aij ) matricea lui qk (k ∈

1 {1, 2, 3, 4, 5}) avem: aii este coeficientul lui x2i ¸si aij = aji = a, unde a este coeficientul 2     1 1 2 3 1   0 4  2  1 3  lui xi xj . Deci avem: 1) A1 =  3 2 , 2) A2 = , 3) A3 =  2 ,  4 4 1 6 2 7 2 2   1 2 1 0 2  4) A4 = , 5) A5 = 2 4 1 . 2 0 1 1 1

6.118. i) ˆIntrucˆat matricele diagonale sunt simetrice, din problema 6.114 urmeaz˘a c˘a f este simetric˘a. ii) Demonstr˘am afirmat¸ia din enunt¸ prin induct¸ie dup˘a n. Pentru n = 1, orice form˘a biliniar˘a f : V × V → K este diagonalizabil˘a. Presupunem c˘a n ≥ 1 ¸si afirmat¸ia adev˘arat˘a pentru spat¸ii vectoriale cu dimensiunea mai mic˘a decˆat n. Dac˘a f este forma nul˘a atunci f este diagonalizabil˘a. Presupunem c˘a f este nenul˘a ¸si simetric˘a. Din problema 6.116 rezult˘a c˘a exist˘a x ∈ V astfel ˆıncˆat f (x, x) 6= 0, iar f fiind biliniar˘a deducem c˘a c˘a x 6= 0. Definind g : V → K, g(z) = f (x, z) urmeaz˘a c˘a g este liniar˘a ¸si nenul˘a, ceea ce ne arat˘a c˘a Im g este subspat¸iu nenul al lui K, ceea ce implic˘a Im g = K, pentru c˘a singurele subspat¸ii ale lui K sunt {0} ¸si K. Din dim V = dim(Ker g) + dim(Im g) rezult˘a dim(Ker g) = n − 1, pentru c˘a dim K = 1. ˆIntrucˆat restrict¸ia lui f la Ker g este simetric˘a, din ipoteza induct¸iei urmeaz˘a c˘a exist˘a o baz˘a v = (v1 , . . . , vn−1 ) a lui Ker g ˆın care matricea restrict¸iei f |Ker f este diagonal˘a, adic˘a f (vi , vj ) = 0 pentru i 6= j, i, j ∈ {1, . . . , n − 1}. Din f (x, x) 6= 0 rezult˘a x ∈ / Ker g, de unde deducem c˘a v = (v1 , . . . , vn−1 , x) este baz˘a a lui V pentru c˘a dim V = dim(Ker g) + 1. ˆIntrucˆat vi ∈Ker g urmeaz˘a f (x, vi ) = 0 = f (vi , x), ∀i ∈ {1, . . . , n − 1}. Astfel am ar˘atat c˘a matricea lui f ˆın baza v are forma diagonal˘a. 6.119. i) Efectuˆand succesiv cˆate o transformare elementar˘a pe coloane, urmat˘a de analoga pe linii, aducem pe A la forma diagonal˘a 1 2 1 0 1 0 c1 l1 A= −→ −→ = D. 2 3 2 −1 0 −1

261 Pornind de la I2 ¸si efectuˆand transform˘arile de mai sus asupra coloanelor obt¸inem matricea care diagonalizeaz˘a pe A: 1 0 1 −2 c1 I2 = −→ = S, 0 1 0 1 1 0 t adic˘a SAS = = D. Fie (e1 , e2 ) baza canonic˘a. Efectuˆand schimbarea 0 −1 de baz˘a (v1 , v2 ) = (e1 , e2 )S, care conduce la schimbarea de coordonate ′ x1 x1 =S , x2 x′2 obt¸inem f (x, y) =

(x′1 , x′2 )D

y1′ y2′

= x′1 y1′ − x′2 y2′ ,

unde x′1 , x′2 , respectiv y1′ , y2′ , sunt coordonatele lui x, respectiv y, ˆın baza (v1 , v2 ). ii) Proced˘am analog cu i). Efectuˆand succesiv o transformare elementar˘a pe coloane, urmat˘a de analoga pe linii, avem:       0 1 2 1 0 2 −1 1 3 c1 l1  −1 1 3  −→  1 0 2  B =  1 −1 3  −→ 2 3 4 3 2 4 3 2 4       −1 0 3 −1 0 3 −1 0 0 c2 l2 c3  1 1 2  −→  0 1 5  −→  0 1 5  −→ 3 5 4 3 5 4 3 5 13       −1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 c4 l4 l3  0 1 0  −→  0 1 0  = D.  0 1 5  −→ −→ 0 5 −12 0 0 4 0 5 13 Pornind de la I3 ¸si efectuˆand transform˘arile matricea care diagonalizeaz˘a pe B:    1 0 0 0 1 0 c1    0 1 0 1 0 0 I3 = −→ 0 0 1 0 0 1  0 1 0 c3  1 1 3 −→ 0 0 1

de mai sus asupra coloanelor obt¸inem 



 0 1 0 c2  −→  1 1 0  0 0 1    0 1 −5 c4  −→  1 1 −2  = S. 0 0 1

Deci t SBS = D. Efectuˆand schimbarea de baz˘a (v1 , v2 , v3 ) = (e1 , e2 , e3 )S unde (e1 , e2 , e3 ) este baza canonic˘a, care conduce la schimbarea de coordonate   ′   x1 x1  x2  = S  x′2  , x′3 x3 obt¸inem f (x, y) = −x′1 y1′ + x′2 y2′ − 12x′3 y3′ , unde x′1 , x′2 , x′3 , respectiv y1′ , y2′ , y3′ , sunt coordonatele lui x, respectiv y, ˆın baza (v1 , v2 , v3 ).

262

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

′2 6.120. Din solut¸ia problemei anterioare rezult˘a: i) q(x) = f (x, x) = x′2 1 − x2 , ′2 ′2 ′2 ii) q(x) = f (x, x) = −x1 + x2 − 12x3 . 3 3 18 2 2 2 2 6.121. 1) q1 (x, y) = 2 x + xy + 6y = 2 x + xy − y + 6y 2 = 2 2 16 2 3 39 2 = 2 x+ y + y ; 4 8 2) q2 (x, y) = (2x + 2y)2 − 4x2 ; 3 2 2 2 2 2 2 3) q3 (x, y, z) = (x + y + 2z) + 2y + 3z − 3yz = (x + y + 2z) + 2 y + z − yz + 2 2 3 15 2 +3z 2 = (x + y + 2z)2 + 2 y − z + z ; 4 8 4) q4 (x, y) = (x + y)2 − (x − y)2; 1 1 5) q5 (x, y, z) = (x + 2y + z)2 − 2yz = (x + 2y + z)2 − (y + z)2 + (y − z)2 . 2 2 b 0 b 1 6.122. Matricea lui f ˆın baza canonic˘a este A = . Presupunem c˘a b b 1 0 a b este diagonalizabil˘a, adic˘a exist˘a S = ∈ M2 (Z2 ) inversabil˘a astfel ˆıncˆat c d b 1 b 0 t 1. SAS = b b ceea ce conduce ˆın Z2 la egalitatea imposibil˘a 2ac = b 0 1

6.123. Indicat¸ie. Se folosesc egalit˘a¸tile t (X ± Y ) = t X ± t Y ¸si t (XY ) = t Y t X, unde

X, Y ∈ Mn (K). f) Din A = −t A rezult˘ a c˘ a det A = (−1)n det A.

6.124. Indicat¸ii. i) ˆIn K avem 1 = −1, deci a = −a pentru orice a ∈ K.

ii) Se vrific˘ a u¸sor c˘ a suma a dou˘ a matrici simetrice este o matrice simetric˘ a. Dac˘ a ii) 0 1 nu ar fi adev˘ arat˘ a atunci, conform lui i), matricea ar fi suma a dou˘ a matrici 0 0 simetrice, deci ar fi simetric˘ a, ceea ce este fals. 1 a 6.125. R˘ aspuns. |a∈R . 0 1

6.126. pA = det(A − XIn ) = det( t (A − XIn )) = det( t A − XIn )p t A . 6.127. Se folose¸ste problema 6.109 ¸si avem A − XIn O m,n = |A − XIn | · |C − XIm | = pA · pC . pM = B C − XIm 6.128. Dac˘a A este inversabil˘a atunci

pAB = |AB − XIn | = |A−1 (AB − XIn )A| = |BA − XIn | = pBA . a b 6.129. Fie A = ∈ M2 (R). ˆIntrucˆat pA = X 2 − (a + d)X + (ad − bc), avem c d pA (1) = 0 a+d=0 d = −a ⇔ ⇔ bc = −1 − a2 . pA (−1) = 0 ad − bc = 1 a b Deci matricele cerute sunt A = cu bc = −1 − a2 . c −a

263 6.130. i) Din pA (λ) = det(A − λIn ) rezult˘a c˘a pA (0) = 0 dac˘a ¸si numai dac˘a det A = 0. ii) Dac˘a A = (aij ) atunci, adunˆand ˆın det(A − In ) = pA (1) toate coloanele la ultima coloan˘a primim: a11 − 1 a12 ... a1n a21 a − 1 . . . a2n 22 pA (1) = . . .. .. .. . an1 an2 . . . ann − 1

a11 − 1 a . . . a 0 12 1 n−1 a21 a22 − 1 . . . a2 n−1 0 = .. .. .. .. = 0. . . . . an1 an2 . . . an n−1 0

6.131. i) Din pA (λ) = det(A − λIn ) rezult˘a pA (0) = det A. Deci A este inversabil˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pA (0) 6= 0. Folosind propriet˘a¸tile operat¸iilor cu matrice ¸si propriet˘a¸tile determinant¸ilor, avem: pA−1 (λ) = det(A−1 − λIn ) = det(A−1 − λA−1 A) = det(A−1 (In − λA)) = = det(A−1 ) det(In − λA) = (det A)−1 det −λ A − (λ)−1 In = = (−λ)n (det A)−1 det(A − λ−1 In ) = (−1)n λn (det A)−1 pA (λ−1 ). ii) Dac˘a λ este valoare proprie a lui A ¸si A este inversabil˘a atunci din i) rezult˘a c˘a λ 6= 0 ¸si λ−1 este valoare proprie a lui A. 6.132. Pentru cazul dim V < ∞ aceast˘a problem˘a este o consecint¸˘a a problemei anterioare. Ment¸ion˘am, ˆıns˘a, c˘a cele dou˘a cazuri nu necesit˘a a fi tratate diferent¸iat. Presupunˆand c˘a 0 este valoare proprie a lui f rezult˘a c˘a exist˘a x ∈ V , x 6= 0 astfel ˆıncˆat f (x) = 0 · x = 0 = f (0), ceea ce contrazice injectivitatea lui f . Dac˘a x 6= 0 ¸si λ 6= 0 sunt vector, respectiv valoare proprie (corespunz˘atoare) pentru f atunci f (x) = λx implic˘a x = f −1 (f (x)) = f −1 (λx) = λf −1 (x), de unde deducem f −1 (x) = λ−1 x. Transformarea liniar˘a ϕ : K[X] → K[X] care se obt¸ine ca o extindere a aplicat¸iei {X k | k ∈ N} → K[X], X k 7→ X 2k nu este surjectiv˘a, dar este injectiv˘a, prin urmare egalitatea ϕ(f ) = 0 · f = 0 are loc dac˘a ¸si numai dac˘a f = 0.

6.133. ˆIntrucˆat restul ˆımp˘art¸irii lui p la X − λ este p(λ), exist˘a q ∈ K[X] astfel ˆıncˆat p = (X − λ)q + p(λ). Rezult˘a c˘a p(A) − p(λ)In = (A − λIn )q(A), de unde urmeaz˘a c˘a det(p(A) − p(λ)In ) = det(A − λIn ) det q(A) = 0 · det q(A) = 0. Deci p(λ) este valoare proprie a lui p(A). Considerˆand p = X n se obt¸ine partea a doua din enunt¸.

6.134. Pentru cazul dim V < ∞ aceast˘a problem˘a este o consecint¸˘a a problemei anterioare, ˆıns˘a cele dou˘a cazuri nu necesit˘a a fi tratate diferent¸iat. Dac˘a x 6= 0 ¸si λ ∈ K sunt vector, respectiv valoare proprie (corespunz˘atoare) pentru f atunci f (x) = λx implic˘a f 2 (x) = f (f (x)) = f (λx) = λf (x) = λ2 x. Inductiv, se obt¸ine f n (x) = λn x, pentru orice n ∈ N∗ . Prin urmare, p(f )(x) = (a0 1V + a1 f + · · · + an f n )(x) = a0 x + a1 f (x) + · · · + an f n (x) = a0 x + a1 λx + · · · + an λn x = (a0 + a1 λ + · · · + an λn )x = p(λ)x. 6.135. i) Amintim definit¸ia determinantului unei matrice B = (bij ) de tipul (n, n) cu elemente dintr-un inel comutativ: X det B = (−1)inv σ b1σ(1) b2σ(2) · · · bnσ(n) . σ∈Sn

264

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

Luˆand B = A − XIn deducem det B = (a11 − X)(a22 − X) · · · (ann − X) +

X

σ∈Sn \{e}

(−1)inv σ b1σ(1) b2σ(2) · · · bnσ(n) ,

unde primul termen este dat de permutatrea identic˘a σ = e. Dac˘a σ 6= e atunci exist˘a i ∈ {1, . . . , n} astfel ˆıncˆat j = σ(i) 6= i, de unde rezult˘a c˘a produsul corespunz˘ator lui σ nu cont¸ine factorii (X − aii ) ¸si X (X − ajj ), deci are gardul cel mult n − 2. Cerint¸a din enunt¸ se obt¸ine notˆand q = (−1)inv σ b1σ(1) b2σ(2) · · · bnσ(n) . σ6=e

n

n

ii) Din i) rezult˘a an = (−1) ¸si an−1 = (−1) (a11 + a22 + · · · + ann ), iar din pA = det(A − XIn ) urmeaz˘a a0 = pA (0) = det A. iii) Rezult˘a din ii) ¸si din relat¸iile lui Vi`ete. iv) Din i) deducem c˘a termenul lui pA de gradul n − 2 se obt¸ine adunˆand termenul de gradul n − 2 din (a11 − X)(a22 − X) · · · (ann − X) care este (−1)n−2 (a11 a22 + a11 a33 + · · · + a11 ann + · · · + an−1 n−1 ann ) cu termenii de gradul n − 2 din produsele furnizate de σ = (ij), i 6= j, care sunt −(a11 −X)···(ai−1 i−1 −X)aij (ai+1 i+1 −X)···(aj−1 j−1 −X)aji (aj+1 j+1 −X)···(ann −X),

cu i < j. Rezult˘ a c˘ a an−2 este egal cu (−1)n−2 (a11 a22 +a11 a33 + · · · + a11 ann + · · · + an−1 n−1 ann ) − (−1)n−2 n−2

=(−1)

X aii aij aji ajj i<j

X aii aij = (−1)n aji ajj i<j

.

X

aij aji =

i<j

6.136. i) f = bm (X − x1 ) · · · (X − xm ) ⇒ f (A) = bm (A − x1 In ) · · · (A − xm In ) ⇒ det f (A) = bnm det(A − x1 In ) · · · det(A − xm In ) = bnm pA (x1 ) · · · pA (xm ). ii) Din pA = det(A − XIn ) = (λ1 − X)(λ2 − X) · · · (λn − X) ¸si f (A) = bm (A − x1 In ) · · · (A − xm In ) rezult˘a det f (A) = bnm det(A − x1 In ) · · · det(A − xm In ) = bnm [(λ1 − x1 ) · · · (λn − x1 )][(λ1 − x2 ) · · · (λn − x2 )] · · · [(λ1 − xn ) · · · (λn − xn )] = f (λ1 )f (λ2 ) · · · f (λn ). Aplicˆand cele de mai sus polinomului g = f − λ primim det g(A) = det(f (A) − λIn ) = (f (λ1 ) − λ) · · · (f (λn ) − λ), adic˘a pf (A) (λ) = (f (λ1 ) − λ) · · · (f (λn ) − λ), de unde rezult˘a c˘a valorile proprii ale lui f (A) sunt f (λ1 ), . . . , f (λn ).

265 6.137. a) Valorile proprii ale lui f 1−λ 1 0 2 0 −1 − λ 1 2 0 0 2−λ 3 0 0 0 −2 − λ

sunt solut¸iile ecuat¸iei det([f ]v − λI4 ) = 0, adic˘a = 0 ⇔ (1 − λ)(−1 − λ)(2 − λ)(−2 − λ) = 0.

Acestea sunt λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2, λ4 = −2. Vectorii proprii ai lui f sunt elementele mult¸imii (V (1) ∪ V (−1) ∪ V (2) ∪ V (−2)) \ {0}. Avem      x 0   1     x2   0      V (1) = x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 + x4 v4 | ([f ]v − I4 )  = , x3   0       x4 0 adic˘a V (1) este  0  0   0 0

dat de solut¸iile sistemului    x1 1 0 2    −2 1 2    x2  =  0 1 3   x3   0 0 −3 x4

  0 x1 = α     0  x2 = 0 ⇔ , α ∈ R.  0 x3 = 0    0 x4 = 0

Obt¸inem V (1) = {αv1 | α ∈ R} = hv1 i. ˆIn mod analog se obt¸ine

V (−1) = hv1 − 2v2 i, V (2) = hv1 + v2 + 3v3 i, V (−2) = hv1 + 5v2 + 3v3 − 4v4 i. b) ˆIntrucˆat valorile proprii ale lui f sunt distincte, vectorii proprii v1′ = v1 , v2′ = v1 − 2v2 , v3′ = v1 + v2 + 3v3 , v4′ = v1 + 5v2 + 3v3 − 4v4 sunt liniar independent¸i, deci v ′ = (v1′ , v2′ , v3′ , v4′ ) este o baz˘a a lui V . c) Folosind definit¸ia matricei unei transform˘ari liniare se obt¸ine   1 0 0 0  0 −1 0 0   [f ]v′ =   0 0 2 0 . 0 0 0 −2

6.138. Indicat¸ie. f (v1 + 2v2 ) = v1 + 2v2 ∈ S ¸si f (v2 + v3 + 2v4 ) = v2 + v3 + 2v4 ∈ S. 6.139. Dac˘a A este similar˘a cu o matrice triunghiular˘a T , adic˘a exist˘a o matrice S ∈ GLn (K) astfel ˆıncˆat S −1 AS = T , atunci pT (λ) = det(S −1 AS − λIn ) = det(S −1 AS − λS −1 S) = det(S −1 ) det(A − λIn ) det S = det(A − λIn ) = pA (λ).

Rezult˘a c˘a elementele de pe diagonala principal˘a a lui T ∈ Mn (K) sunt r˘ad˘acinile lui pA . Demonstr˘am prin induct¸ie dup˘a n c˘a dac˘a pA are toate r˘ad˘acinile ˆın K atunci A este similar˘a cu o matrice triunghiular˘a. Aceast˘a proprietate este adev˘arat˘a pentru n = 1. O presupunem adev˘arat˘a pentru n − 1 cu n > 1. Fie λ1 o valoare proprie ¸si

266

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

v1 un vector propriu corespunz˘ator lui λ1 . Exist˘a o baz˘a v = (v1 , · · · , vn ) a lui K n . Relativ la v, endomorfismul   x1   tA : K n → K n , tA (x1 , . . . , xn ) = A  ...  xn

are matricea de forma



 λ1 a′12 . . . a′1n  0 a′ . . . a′  22 2n   ′ A =  .. .. ..   . . .  ′ ′ 0 an2 . . . ann a′ − λ . . . a′2n 22 .. .. ¸si pA (λ) = pA′ (λ) = (λ1 − λ) = (λ1 − λ)pA′′ , unde A′′ este . . a′n2 . . . a′nn − λ matricea obt¸inut˘a din A′ prin suprimarea primei linii ¸si primei coloane. Din ipoteza problemei ¸si din pA (λ) = (λ1 − λ)pA′′ rezult˘a c˘a pA′′ are toate r˘ad˘acinile ˆın K. Acum, din ipoteza induct¸iei, urmeaz˘a c˘a A′′ este similar˘a cu matricea triunghiular˘ a 1 O T ′′ , adic˘a exist˘a P ∈ GLn−1 (K) astfel ˆıncˆat P −1A′′ P = T ′′ . Luˆand Q = O P ′ ′ ¸si L = (a12 . . . a1n ) avem λ1 LP λ1 LP −1 ′ Q AQ= = , O P −1 AP O T ′′ iar ultima matrice este triunghiular˘a ¸si similar˘a cu A. 6.140. i) Matricele transform˘arilor date ˆın bazele canonice sunt [f ]e =

−3 4 2 −1

= A, [g]e =

1 1 1 −1



 −1 2 2 = B, [h]e′ =  2 2 2  = C, −3 −6 −6

prin urmare, pf = det(A − XI2 ) = X 2 + 4X − 5, pg = det(B − XI2 ) = X 2 − 2, ph = det(C − XI2 ) = −X(X 2 + 5X + 6). ii) Valorile proprii ale endomorfismului f sunt solut¸iile ecuat¸iei pf (λ) = 0, adic˘a λ1 = 1,√λ2 = −5,√valorile proprii ale lui g sunt solut¸iile ecuat¸iei pg (λ) = 0, adic˘a λ′1 = − 2, λ′2 = 2, iar valorile proprii ale lui h sunt solut¸iile ecuat¸iei ph (λ) = 0, adic˘a λ′′1 = 0, λ′′2 = −2, λ′′3 = −3. iii) Subspat¸iul propriu Vf (λi ) al lui f corespunz˘ator valorii proprii λi este format din solut¸iile sistemului liniar ¸si omogen scris sub form˘a matriceal˘a astfel: x 0 (A − λi I2 ) = . y 0 Notˆand A = (aij ) se obt¸ine sistemul (a11 − λi )x + a12 y =0 a21 x + (a22 − λi )y = 0.

267 Prin calcule se obt¸ine Vf (λ1 ) = {(a, a) | a ∈ R} = h(1, 1)i, Vf (λ2 ) = {(−2a, a) | a ∈ R} = h(−2, 1)i. √ √ Analog se obt¸in√subspat¸iile Vg (λ′1 ) = {(a,√−(1 + 2)a) | a ∈ R} = h(1, −1 − 2)i ¸si Vg (λ′2 ) = {(a, ( 2 − 1)a) | a ∈ R} = h(1, 2 − 1)i. Subspat¸iul propriu Vh (λ′′i ) al lui h corespunz˘ator valorii proprii λ′′i este format din solut¸iile sistemului liniar ¸si omogen scris sub form˘a matriceal˘a astfel:     x 0    0 . (C − λi I3 ) y = z 0 Notˆand C = (cij ) se obt¸ine sistemul  c12 y + c13 z =0  (c11 − λi )x + c21 x + (c22 − λi )y + c23 z =0  c31 x + c23 y + (c32 − λi )z = 0.

Astfel, avem

Vh (λ′′1 ) = {(0, −a, a) | a ∈ R} = h(0, −1, 1)i, Vh (λ′′2 ) = {(−2a, a, 0) | a ∈ R} = h(−2, 1, 0)i, Vh (λ′′1 ) = {(−a, 0, a) | a ∈ R} = h(−1, 0, 1)i.

iv) Din faptul c˘a valorile proprii ale lui f , g ¸si h sunt din R ¸si sunt diferite rezult˘a c˘a f , g ¸si h sunt diagonalizabile, sistemele de√vectori v = √ (v1 , v2 ), cu v1 = (1, 1), v2 = (−2, 1) ¸si v ′ = (v1′ , v2′ ), cu v1′ = (1, −1 − 2), v2′ = (1, 2 − 1) formeaz˘a baze ˆın R2 , v ′′ = (v1′′ , v2′′ , v3′′ ), cu v1′′ = (0, −1, 1), v2′′ = (−2, 0, 1), v3′′ = (−1, 0, 1) formeaz˘a o baz˘a ˆın R3 ¸si   √ 0 0 0 1 0 − 2 √0 [f ]v = , [g]v′ = , [h]v′′ =  0 −2 0  . 0 −5 0 2 0 0 −3 Matricea de trecere de la e la v, respectiv v ′ este 1√ √ 1 1 −2 S= , T = 1 1 −1 − 2 2−1 iar de la e′ la v ′′ este

Avem S −1 = ¸si

1 3

1 2 −1 1



 0 −2 −1 0 . U =  −1 1 1 0 1 1 , T −1 = √ 2 2

√

2− √1 −1 1+ 2 1

, U −1



 −1 −2 −1 =  −1 −1 −1  1 2 2

[f ]e = S[f ]v S −1 , [g]e = T [g]v′ T −1 , [h]e′ = U[h]v′′ U −1 .

268

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

Rezult˘a c˘a n

([f ]e ) = S

1 0 0 (−5)n

S

−1

n

, ([g]e ) = T



√ (− 2)n √0 T −1 , 0 ( 2)n 

0 0 0 0  U −1 . ([h]e′ )n = U  0 (−2)n 0 0 (−3)n

6.141. R˘ aspuns. 1) i) Polinoamele caracteristice sunt pf = −X 3 + 6X 2 − 11X + 6,

pg = (4 − X)(−2 − X)(7 − X). ii) Valorile proprii ale lui f respectiv g sunt λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, respectiv λ1 = −2, λ2 = 4, λ3 = 7. iii) Subspat¸iile proprii ale lui f respectiv g sunt Vf (1) = h(1, 0, −1)i, Vf (2) = h(2, −1, 0)i, Vf (3) = h(0, 1, −1)i respectiv Vg (−2) = h(3, −2, 0)i, Vg (4) = h(1, 0, 0)i, Vg (7) = h(24, 8, 9)i.

6.142. Indicat¸ie. Nu are valori proprii ˆın R. 6.143. Indicat¸ie. Nu are valori proprii ˆın R. 6.144. Indicat¸ie. i) A are dou˘a valori proprii distinte ˆın R \ Q. ii) B are dou˘a valori proprii distinte ˆın C \ R. 6.145. Indicat¸ie. Se procedeaz˘a ca ˆın problema 6.140. a−λ b = λ2 −(a+d)λ+(ad−bc) = λ2 −Tr(A)λ+det A, 6.146. i) pA (λ) = b d−λ unde Tr(A) = a + d este urma lui A. ii) Din teorema lui Cayley-Hamilton rezult˘a c˘a pA (A) = O2 , ceea ce implic˘a A2 = (a + d)A, de unde se deduce An = (a + d)n−1A. 1 iii) pA (A) = O2 ⇒ A(A − (a + d)I2 ) = (ad − bc)I2 ⇒ A−1 = (A − (a + d) · I2 ). det A iv) Matricea A ∈ Mn (R) este diagonalizabil˘a ˆın Mn (R), respectiv Mn (C) numai ˆın urm˘atoarele situat¸ii: 1) polinomul caracteristic al lui A are dou˘a r˘ad˘acini diferite ˆın R, respectiv C — ceea ce ˆınseamn˘a c˘a A are dou˘a valori proprii distincte — ˆın acest caz avem ∆ > 0, respectiv ∆ 6= 0; a+d 2) polinomul caracteristic al lui A are o r˘ad˘acin˘a (real˘a) dubl˘a λ1 = λ2 = ¸si 2 dim V (λ1 ) = 2 − rang(A − λ1 I2 ) = 2, ceea ce este echivalent cu rang(A − λ1 I2 ) = 0 ¸si are loc dac˘a ¸si numai dac˘a a = d ¸si b = c = 0. 6.147. Indicat¸ie. i) Fie e o baz˘a a lui V . Procedˆand ca la punctul iv) al problemei anterioare avem f diagonalizabil dac˘ a ¸si numai dac˘ a rang([f ]e − λIn ) = 0, ceea ce are loc dac˘ a ¸si numai dac˘ a [f ]e = λIn .

6.148. Fie pA = (−1)n X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 polinomul caracteristic al lui A. Avem a0 = det A 6= 0, iar din teorema lui Cayley-Hamilton rezult˘a c˘a pA (A) = On . Deducem c˘a A((−1)n An−1 + an−1 An−2 + · · · + a1 In ) = a0 In = ((−1)n An−1 + an−1 An−2 + · · · + a1 In )A,

deci A−1 = g(A), cu g =

1 ((−1)n X n−1 + an−1 X n−2 + · · · + a1 ). a0

269 6.149. Polinomul caracteristic al lui A este pA = −X 3 + 4X 2 − 5X − 2. Dac˘a q ¸si r sunt cˆatul, respectiv restul ˆımp˘art¸irii ˆın R[X] a polinomului f = X 4 −11X 2 +22X la pA atunci f (A) = pA (A)q(A) + r(A) = r(A). Avem r = 8, prin urmare f (A) = 8I3 . 6.150. a) i) Polinomul caracteristic al lui A este pA = det(A − XI4 ) = (X − 2)3 (X − 3) cu r˘ad˘acinile λ1 = 2, λ2 = 3 care au ordinele de multiplicitate m1 = 3 ¸si m2 = 1. Subspat¸iul propriu corespunz˘ator lui 2 este V (2) = Ker(f − 2 · 1V ), iar   0 −1 0 1  0 1 −1 0   [f − 2 · 1V ]e = A − 2I4 =   0 1 −1 0  = A1 . 0 −1 0 1 Din formula dim V (2) = dim(Ker(f − 2 · 1V )) + dim(Im(f − 2 · 1V )) ¸si din faptul c˘a dim(Im(f − 2 · 1V )) = rang A1 = 2 rezult˘a r1 = dim V (2) = 4 − rang A1 = 4 − 2 = 2 < m1 ,

de unde urmeaz˘a c˘a A nu este diagonalizabil˘a ¸si c˘a exist˘a ˆın J dou˘a blocuri Jordan care au pe 2 situat pe diagonala principal˘a. Dac˘a Vg (2) este subspat¸iu propriu generalizat al lui f corespunz˘ator lui 2 atunci dim Vg (2) = m1 = 3 ¸si Vg (2) = Ker(f − 2 · 1V )3 . Avem

 0 −2 1 1  0 0 0 0  3  A2 = (A − 2I4 )2 =   0 0 0 0  = (A − 2I4 ) 0 −2 1 1 

¸si r2 = rang A1 − rang A2 = 2 − 1 = 1. Form˘am urm˘atoarea schem˘a de puncte • • • Prima linie cont¸ine r1 puncte, iar a doua r2 puncte. Num˘arul coloanelor, adic˘a r1 indic˘a num˘arul blocurilor Jordan corespunz˘atoare lui λ1 = 2. Deci fiec˘rei coloane ˆıi corespunde un bloc Jordan, iar num˘arul punctelor de pe coloan˘a coincide cu ordinul matricei bloc corespunz˘atoare. Prin urmare, primei colane ˆıi corespunde matricea 2 1 , 0 2 iar celei de-a doua ˆıi corespunde matricea lui λ1 = 2 este  2  0 J1 = 0

( 2 ) ¸si submatricea lui J corespunz˘atoare  1 0 2 0 . 0 2

270

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

Remarc˘am c˘a num˘arul total de puncte din schem˘a coincide cu dim Vg (2). R˘ad˘acina λ2 = 3 fiind simpl˘a, rezult˘a c˘a V (3) = Vg (3) ¸si dim V (3) = m2 = 1. Deci submatricea lui J corespunz˘atoare lui λ2 = 3 este J2 = ( 3 ). ˆIn concluzie, forma canonic˘a Jordan a lui A este   2 1 0 0  0 2 0 0   J =  0 0 2 0 . 0 0 0 3

ii) Avem V = Vg (2) ⊕ Vg (3) ¸si subspat¸iile Vg (2), Vg (3) sunt invariante relativ la f . Baza c˘autat˘a se obt¸ine reunind bazele canonice Jordan ale restrict¸iilor fi = f |Vg (λi ) , i = 1, 2. Determin˘am baza canonic˘a Jordan a lui f1 . Avem 

¸si

  x1 0  x2   0   (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ V (2) ⇔ A1   x3  =  0 x4 0

 −x2 + x4 = 0     x2 − x3 = 0 x3 = x2 ⇔ ⇔  x − x = 0 x4 = x2  3   2 −x2 + x4 = 0 

  0 x1  x2   0   (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Vg (2) ⇔ A2   x3  =  0 0 x4 

de unde deducem



  ⇔ x4 = 2x2 − x3 , 

V (2) = {(a, b, b, b) | a, b ∈ R}, Vg (2) = {(a, b, c, 2b − c) | a, b, c ∈ R}. Vectorii v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (0, 1, 2, 0), v3 = (0, 1, 0, 2) formeaz˘a o baz˘a a lui Vg (2) ¸si v2 , v3 ∈ Vg (2) \ V (2). Alegem un vector din Vg (2) \ V (2), de exemplu pe v2 ¸si un vector din V (2), de exemplu pe v1 , liniar independent de (f − 2 · 1V )(v2 ) ¸si form˘am o baz˘a Jordan a lui f1 folosind schema de la i) astfel: • (f − λ1 1V )(v2 ) • v1 • v2 Avem (f − λ1 1V )(v2 ) = (−1, −1, −1, −1) = v2′ , iar baza Jordan a lui f1 este format˘a din ciclurile c1 = (v2′ , v2 ) ¸si c2 = (v1 ). R˘ad˘acina λ2 = 3 fiind simpl˘a, rezult˘a c˘a V (3) = Vg (3) ¸si f2 este diagonalizabil˘a. ˆIntrucˆat   −1 −1 0 1  0 0 −1 0  =B A − 3I4 =   0 1 −2 0  0 −1 0 0 avem 

  x1 0  x2   0   (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ V (3) ⇔ B   x3  =  0 x4 0

  −x1 − x2 + x4 = 0     x1 = x4  −x3 = 0 ⇔ x2 = 0 ⇔  x2 − 2x3 = 0    x3 = 0  −x2 = 0 

271 de unde deducem V (3) = {(a, 0, 0, a) | a ∈ R}. Orice vector nenul din V (3), de exemplu, vectorul v3 = (1, 0, 0, 1) formeaz˘a o baz˘a Jordan pentru f2 . Prin urmare, v = (v2′ , v2 , v1 , v3 ) este baz˘a Jordan pentru f ¸si [f ]v = J. iii) Dac˘a S este matricea de trecere de la baza e la baza v, adic˘a   −1 0 1 1  −1 1 0 0   S=  −1 2 0 0  −1 0 0 1 atunci J = S −1 AS. b) i) Polinomul caracteristic al lui A este

pA = det(A − XI4 ) = (X − 2)2 (X − 4)2 cu r˘ad˘acinile λ1 = 2 ¸si λ2 = 4 care au ordinele de multiplicitate m1 = 2 ¸si m2 = 2. Subspat¸iul propriu corespunz˘ator lui 2 este V (2) = Ker(f − 2 · 1V ), iar   0 −4 2 2  −2 −2 1 3   [f − 2 · 1V ]e = A − 2I4 =   −2 −2 1 3  = A1 −2 −6 3 5

¸si r1 = dim V (2) = dim V − rang A1 = 4 − 2 = 2 = m1 , adic˘a multiplicitatea geometric˘a a lui λ1 coincide cu multiplicitatea sa algebric˘a. Deci Vg (2) = V (2). Notˆand f1 = f |V (2) rezult˘a c˘a f1 este diagonalizabil˘a, iar schema asociat˘a matricei sale Jordan este • • ceea ce ne arat˘a c˘a submatricea lui J1 a lui J corespunz˘atoare lui λ1 = 2 este format˘a din blocurile ( 2 ), ( 2 ), adic˘a 2 0 J1 = . 0 2 Subspat¸iul propriu corespunz˘ator lui λ2 = 4 este V (4) = Ker(f − 4 · 1V ), iar   −2 −4 2 2  −2 −4 1 3   [f − 4 · 1V ]e = A − 4I4 =   −2 −2 −1 3  = B1 , −2 −6 3 3

r2 = dim V (4) = dim V − rang B1 = 4 − 3 = 1 ¸si dim Vg (4) = m2 = 2. Notˆand f2 = f |Vg (4) rezult˘a c˘a f2 nu este diagonalizabil˘a, iar schema asociat˘a matricei sale Jordan este • •

ceea ce ne arat˘a c˘a submatricea lui J2 a lui J corespunz˘atoare lui λ2 = 4 este format˘a dintr-un singur bloc, adic˘a 4 1 J2 = . 0 4

272

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

ˆIn concluzie,



ii) Avem V = V (2) ⊕ Vg (4) ¸si

2  0 J =  0 0

0 2 0 0

0 0 4 0

 0 0  . 1  4

    x1 0 −4x2 + 2x3 + 2x4 = 0     x2   0  −2x 1 − 2x2 + x3 + 3x4 = 0    (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ V (2) ⇔ A1   x3  =  0  ⇔  −2x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = 0   0 −2x2 − 6x2 + 3x3 + 5x4 = 0 x4 x3 = −x1 + 2x2 2x3 + 2x4 = 4x2 ⇔ ⇔ x3 + 3x4 = 2x1 + 2x2 x4 = x1 

ceea ce arat˘a c˘a V (2) = {(a, b, 2b − a, a) | a, b ∈ R} ¸si v1 = (2, 1, 0, 2), v2 = (0, 1, 2, 0) formeaz˘a o baz˘a a lui V (2). Conform schemei asociate lui λ1 = 2, orice doi vectori liniar independent¸i ai lui V (2), de exemplu v1 ¸si v2 formeaz˘a o baz˘a Jordan pentru f1 . Acum determin˘am o baz˘a Jordan pentru f2 . Avem     x1 0 −2x2 + 2x3 + 2x4 = 0     x2   0  −2x 1 − 4x2 + x3 + 3x4 = 0    (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ V (4) ⇔ B1   x3  =  0  ⇔  −2x1 − 2x2 − x3 + 3x4 = 0   x4 −2x2 − 6x2 + 3x3 + 7x4 = 0 0    x1 = 0  −2x1 − 4x2 + 2x3 = −2x4 −2x − 4x + x = −3x x2 = x4 ⇔ ⇔ 1 2 3 4   −2x1 − 2x2 − x3 = −3x4 x3 = x4 

de unde deducem V (4) = {(0, a, a, a, a) | a, b ∈ R} ¸si (0, 1, 1, 1) formeaz˘a o baz˘a a lui V (4). Urm˘arind scema asociat˘a lui λ2 = 4 deducem c˘a baza Jordan a lui f2 se obt¸ine din schema • (f − 4 · 1V )(v3 ) • v3 unde v3 ∈ Vg (4)\V (4). Pentru a afla pe v3 putem urma calea de la a) de determinare a lui Vg (4) care conduce la rezolvarea ecuat¸iei matriceale     x1 0  x2   0  2    B2   x3  =  0  , unde B2 = (A − 4I4 ) , x4 0

ceea ce necesit˘a calcule mai dificile. Vectorul v3 R4 care verific˘a ecuat¸ia    x1 0  x2   1   B1   x3  =  1 x4 1

se poate alege dintre vectorii din 

 . 

273 Rezolvˆand sistemul de ecuat¸ii provenit din aceast˘a ecuat¸ie se deduce c˘a v3 poate fi v3 = (1, −1, −1, 0). Deci (f − 4 · 1V )(v3 ) = (0, 1, 1, 1) = v3′ ¸si baza Jordan a lui f2 este format˘a din ciclul c = (v3′ , v3 ). Prin urmare, v = (v1 , v2 , v3′ , v3 ) este o baz˘a Jordan pentru f ¸si [f ]v = J. iii) Dac˘a S este matricea de trecere de la baza e la v, adic˘a   2 0 0 1  1 1 1 −1   S=  0 2 1 −1  2 0 1 0 atunci J = S −1 AS.

6.151. i) Polinomul caracteristic al lui A este pA = det(A − XI6 ) = X 6 . Deci f are o singur˘a valoare proprie λ = 0 cu multiplicitatea m = 6. Rezult˘a c˘a Vg (0) = V ¸si r1 = dim V (0) = dim V − rang A = 6 − 3 = 3. ˆIntrucˆat   0 0 0 2 0 0  0 0 0 0 0 0     0 0 0 0 0 0  2  A =  0 0 0 0 0 0 ,    0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 urmeaz˘a c˘a r2 = rang A − rang(A2 ) = 3 − 1 = 2. Din r1 = 3, r2 = 2 ¸si din faptul c˘a schema asociat˘a are 6 = dim Vg (0) puncte rezult˘a r3 = 1. ˆIntrucˆat exist˘a o singur˘a valoare proprie, forma canonic˘a Jordan este determinat˘a de schema • • • • • • de unde deducem c˘a J este format˘a din 3 blocuri care corespund la cele trei coloane din schem˘a:   0 1 0 0 1 J1 =  0 0 1  , J2 = , J3 = ( 0 ), 0 0 0 0 0 deci

ii) Avem



   J =   

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0



   .   

f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = (x2 , 2x4 , x6 , 0, 0, 0), f 2 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = f (x2 , 2x4 , x6 , 0, 0, 0) = (2x4 , 0, 0, 0, 0, 0), f 3 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = (0, 0, 0, 0, 0, 0),

274

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II) f − 0 · 1R6 = f, (f − 0 · 1R6 )2 = f 2 , (f − 0 · 1R6 )3 = f 3 .

Deci V (0) = Ker(f − 0 · 1R6 ) = {(x1 , 0, x3 , 0, x5 , 0) | x1 , x3 , x5 ∈ R},

Ker(f − 0 · 1R6 )2 = {(x1 , x2 , x3 , 0, x5 , x6 ) | x1 , x2 , x3 , x5 , x6 ∈ R}, Vg (0) = Ker(f − 0 · 1R6 )3 = R3 .

Folosind baza canonic˘a a lui R3 = Vg (0) vom construi o baz˘a canonic˘a alui f . Avˆand ˆın vedere schema de mai sus, baza Jordan va fi format˘a din trei cicluri date de coloanele schemei • f 2 (v1 ) • f (v2 ) • v3 • f (v1 ) • v2 • v1 unde

v1 ∈ Vg (0) \ Ker f 2 , v2 ∈ / Ker f ¸si v2 ∈ / hv1 , f (v1 ), f 2 (v1 )i, iar v3 este liniar independent de f (v2 ). Luˆand v1 = (0, 0, 0, 1, 0, 0) = e4 avem v1 ∈ / Ker f 2 , f (v1 ) = (0, 2, 0, 0, 0, 0) = 2e2 = v1′ , f 2 (v1 ) = (2, 0, 0, 0, 0, 0) = 2e1 = v1′′ de unde obt¸inem primul ciclu c1 = (v1′′ , v1′ , v1 ). Luˆand v2 = (0, 0, 0, 0, 0, 1) = e6 avem v2 ∈ / Ker f, v2 ∈ / hc1 i, f (v2 ) = (0, 0, 1, 0, 0, 0) = e3 = v2′ de unde obt¸inem al doilea ciclu c2 = (v2′ , v2 ). ˆIn final putem lua v3 = e5 ¸si obt¸inem c3 = ( v3 ). Reunind cele trei cicluri, obt¸inem baza Jordan v = (v1′′ , v1′ , v1 , v2′ , v2 , v3 ). Ment¸ion˘am c˘a J = S −1 AS, unde     S=   

2 0 0 0 0 0

0 2 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0

este matricea de trecere de la baza e la baza v.

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0

       

6.152. Polinomul caracteristic al lui A este pA = det(A − λI4 ) = (a − X)4 . Deci A are o singur˘a valoare  0 a  0 0 A − aI4 =   0 0 0 0

proprie cu multiplicitatea m = 4. Avem  a a a a   = A1 , r1 = 4 − rang A1 = 4 − 3 = 1, 0 a  0 0

275 de unde rezult˘a c˘a valorii proprii a ˆıi corespunde un singur bloc ˆın forma canonic˘a Jordan J a lui A. ˆIntrucˆat a este singura valoare proprie, rezult˘a c˘a J coincide cu acest bloc, care are schema • • • • Deci



a  0 J =  0 0

1 a 0 0

0 1 a 0

 0 0  . 1  a

Alt˘ a solut¸ie: Prezent˘am ˆın continuare o alt˘a metod˘a pentru determinarea formei canonice Jordan a unei matrici A ∈ Mn (K), apoi o vom ilustra folosind matricea din enunt¸. Aceast˘a metod˘a este comod˘a ˆıntrucˆat se bazeaz˘a pe efectuarea de transform˘ari elementare asupra matricei A − XIn ∈ Mn (K[X]). Ment¸ion˘am, ˆıns˘a, c˘a avantajul metodei prezentate anterior const˘a ˆın faptul c˘a dac˘a A este matricea unui endomorfism f atunci odat˘a cu obt¸inerea formei canonice Jordan se obt¸ine ¸si o baz˘a canonic˘a Jordan pentru f . Numim transform˘ari elementare asupra unei matrice A′ ∈ Mn (K[X]) ˆınmult¸irea elementelor unei linii (coloane) cu un element nenul din K, adunarea la o linie (coloan˘ a) a altei linii (coloane) ˆınmult¸ite cu un polinom ¸si permutatea a dou˘ a linii (coloane) ale matricii. Matricile obt¸inute prin transform˘ ari elementare din A′ ′ ′ sunt echivalente cu A . Prin transform˘ ari elementare, matricea A poate fi adus˘ a la o form˘ a diagonal˘ a ˆın care elementele de pe diagonal˘ a divid fiecare pe cel care ˆıi urmeaz˘ a (ˆınspre dreapta-jos) ˆın felul urm˘ ator: ˆıntre toate matricele echivalente cu A′ , alegem pe cea care are ˆın colt¸ul stˆ anga-sus polinomul nenul de grad cel mai mic dintre toate polinomele care sunt elemente ˆın toate matricile echivalente cu A′ ; acest polinom divide toate elementele din prima linie ¸si prima coloan˘ a, prin urmare, putem forma elemente nule pe prima linie ¸si prima coloan˘ a; se consider˘ a apoi submatricea rezultat˘ a prin eliminarea primei linii ¸si primei coloane, cu care se procedeaz˘ a analog, ¸s.a.m.d. Matricea astfel obt¸inut˘ a se nume¸ste forma diagonal˘ a canonic˘ a. Fie r =rang A′ ¸si            

d11 0 0 d22 .. .. . . 0 0 0 0 .. .. . . 0

0

... ...

0 0 .. .

. . . drr ... 0 .. . ...

0

 0 ... 0 0 ... 0   .. ..  . .   0 ... 0   0 ... 0   .. ..  . .  0 ... 0

forma diagonal˘ a canonic˘ a a matricei A′ . Avem d11 |d22 , d22 |d33 ,. . . , dr−1 r−1 |drr . Polinoamele Ir−k = dkk (1 ≤ k ≤ r) se numesc factorii invariant¸i ai lui A′ , iar puterile maxime ale polinoamelor ireductibile care apar ˆın descompunerea fiec˘ arui factor invariant se numesc divizori elementari ai lui A′ . Pentru a determina forma canonic˘ a Jordan a unei matrici A se procedeaz˘ a astfel: i) se calculeaz˘ a valorile proprii ale lui A; ii) se determin˘ a divizorii elementari ai matricei A′ = A − XIn ;

276

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

iii) dac˘a λ e valoare proprie ¸si (X − λ)k1 ,. . . ,(X − λ)kl sunt divizorii elementari asociat¸i lui λ atunci ˆın forma canonic˘ a Jordan J vor ap˘ area blocurile Jordan   λ 1 0 ... 0  0 λ 1 ... 0    Jki (λ) =  . . . ..  ∈ Mki (K), (i = 1, . . . , l). . . .  . . . .  0

0 0 ... λ

Matricea J este suma direct˘ a a tuturor blocurilor astfel obt¸inute. ˆIn cazul nostru,



 a−X a a a  0 a−X a a  . A′ = A − XI4 =   0 0 a−X a  0 0 0 a−X

Schimarea primelor dou˘a coloane aduce ˆın colt¸ul stˆanga-sus pe a care este polinom de grad 0 ¸si care divide toate elementele din linia ¸si coloana sa. Prin urmare, avem 

  a a−X a a a a(a − X) a a    a−X 0 a a 0 a a ∼ a−X A′ ∼     0 0 a−X a 0 0 a−X a 0 0 0 a−X 0 0 0 a−X

   

(s-a ˆınmult¸it coloana 2 cu a ∈ R∗ ). Efectu˘am transform˘ari elementare asupra coloanelor matricei obt¸inute pentru a obt¸ine elemente nule ˆın prima linie ¸si obt¸inem matricea   a 0 0 0  a − X −(a − X)2 X X   .  0 0 a−X a  0 0 0 a−X

Efectu˘am transform˘ari elementare asupra liniilor matricei obt¸inute pentru a obt¸ine elemente nule ˆın prima coloan˘a ¸si obt¸inem matricea   a 0 0 0  0 −(a − X)2 X X   .  0 0 a−X a  0 0 0 a−X

Permutˆand liniile 2 ¸si 3, iar apoi coloanele 2 ¸si 4, ˆın pozit¸ia (2,2) va ajunge polinomul a de grad 0, care divide toate elementele din linia ¸si coloana sa. Cu matricea obt¸inut˘a proced˘am ca mai sus ¸si obt¸inem succesiv: 

  a 0 0 0 a 0 0 0    0 a a − X 0 0 a a(a − X) 0 ∼ A′ ∼  2  0   X X −(a − X) 0 X aX −(a − X)2 0 a−X 0 0 0 a−X 0 0 

  a 0 0 0 a 0 0 0  0   a 0 0 0 0 ∼ 0 a ∼  0 X X2 −(a − X)2   0 0 X2 −(a − X)2 0 a − X −(a − X)2 0 0 0 −(a − X)2 0

   

   

277 

a  c4 +c3  0 ∼  0 0

 0 0 0  a 0 0  2 2  0 X −a + 2aX 2 2 2 2 0 −a + 2aX − X −a + 2aX − X

Din terorema ˆımp˘art¸irii cu rest ˆın R[X] avem

3 a2 1 −X + 2aX − a = (2aX − a ) − X + − . 2a 4 4 2

2

2

1 3 Rezult˘a c˘a sc˘azˆand din linia 4 linia 3 ˆınmult¸it˘a cu X + ¸si ˆınmult¸ind apoi linia 2a 4 4 cu 4a avem 

a  0 A′ ∼   0 0

 0 0 0  a 0 0  0 X2 −a2 + 2aX  0 2X 3 − 7aX 2 + 8a2 X − 4a3 −a3

ˆInmult¸im coloana 4 cu − 1 , ˆın matricea rezultat˘a ˆınmult¸im linia 3 cu a2 ¸si permut˘am a coloanele 3 ¸si 4 apoi liniile 3 ¸si 4 ¸si avem 

a  0 A′ ∼   0 0 

a l4 −(a−2X)l3  0  ∼  0 0  a  0 ∼  0 0

 0 0 0  a 0 0  2 3 2 2 3 0 a 2X − 7aX + 8a X − 4a  0 a2 (a − 2X) a2 X 2

 0 0 0  a 0 0  2 3 2 2 3  0 a 2X − 7aX + 8a X − 4a 2 2 3 2 2 3 0 0 a X − (a − 2X)(2X − 7aX + 8a X − 4a )    0 0 0 a 0 0 0   0 a 0  a 0 0 0 ∼  2   0 0 a  0 a 0 0 4 4 0 0 0 (a − X) 0 0 4(a − X)

Rezult˘a c˘a λ = a este singura valoare proprie a lui A ¸si avem un singur divizor elementar ¸si anume (a−X)4 c˘aruia ˆıi corespunde un singur bloc Jordan care coincide cu forma canonic˘a Jordan   a 1 0 0  0 a 1 0   J =  0 0 a 1 . 0 0 0 a

6.153. Matricele similare au acela¸si polinom caracteristic, deci aceea¸si urm˘a ¸si acela¸si determinant. Urmele acestor matrice sunt Tr A = 5 = Tr B = Tr C, Tr D = 3. Rezult˘a c˘a D nu este similar˘a cu niciuna dintre matricile A, B, C. Determinant¸ii matricelor A, B ¸si C sunt det A = 4 = det B = det C ¸si polinoamele lor caracteristice sunt pA = −(X − 1)(X − 2)2 = pB = pC , prin urmare A, B, C pot fi similare. Pentru a stabili dac˘a sunt sau nu similare, se determin˘a forma canonic˘a

278

CAPITOLUL 6. SPAT ¸ II VECTORIALE (SOLUT ¸ II)

Jordan pentru fiecare dintre cele trei matrici, respectiv JA , JB , JC . ˆIntrucˆat λ1 = 1 este r˘ad˘acin˘a simpl˘a, blocul corespunz˘ator lui λ1 ˆın JA , JB , JC este ( 1 ). Determin˘am blocurile corespunz˘atoare r˘ad˘acinii duble λ2 = 2. Avem     −5 3 −2 −2 1 −1 A − 2I3 =  −7 4 −3  , B − 2I3 =  −4 2 −2  , 1 −1 0 −2 1 −1 

 −2 −1 −1 C − 2I3 =  −3 −3 −2  , 7 5 4

3 − rang(A − 2I3 ) = 3 − rang(C − 2I3 ) = 1, 3 − rang(B − 2I3 ) = 2. 2 1 Rezult˘a c˘a lui λ2 = 2 ˆıi corespunde ˆın JA ¸si JC un singur bloc, , iar ˆın JC 0 2 dou˘a blocuri, ( 2 ) ¸si ( 2 ). Prin urmare, avem       1 0 0 1 0 0 1 0 0 JA =  0 2 1  , JB =  0 2 0  , JC =  0 2 1  , 0 0 2 0 0 2 0 0 2

adic˘a JA = JC 6= JB , de unde deducem c˘a A este similar˘a cu C, iar B nu este similar˘a nici cu A, nici cu C. 6.154. R˘ aspuns. 













1 1 0 0 −1 0 0 2 1 0  0 a)  0 2 0 , b)  0 −1 1 , c)  0 2 1 , d)   0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 2 0

1 1 0 0

0 0 1 0

 0 0  . 1  1

Capitolul 7 Corpuri comutative. Teoria lui Galois 7.1. R˘ aspuns. Orice num˘ar a ∈ Q este algebric pentru c˘ a este r˘ ad˘ acin˘ a a apolinomului √ √ nenul f = X−a ∈ Q[X]. Numerele irat¸ionale n 2, n 3 cu n ∈ N, n ≥ 2 sunt algebrice pentu √ √ c˘ a fn = X n − 2 ∈ Q[X]∗ , gn = X n − 3 ∈ Q[X]∗ ¸si fn ( n 2) = 0 = gn ( n 3). Polinoamele f , fn , gn sunt ireductibile peste Q (ireductibilitatea lui fn ¸si gn se poate stabili cu criteriul √ lui Eisenstein). Deci f , respectiv fn , gn este polinomul minimal al lui a, respectiv n 2, √ n 3. Numerele en , π n cu n ∈ N∗ sunt trancendente. Justificarea acestei afirmat¸ii ˆın cazul n = 1 necesit˘ a mijloace analitice. 7.2. Indicat¸ie. Fie A mult¸imea numerelor algebrice. Din i2 + 1 = 0 rezult˘a i ∈ A, ceea

ce, ˆımpreun˘ a cu Q ⊆ A ¸si cu faptul c˘ a A este subcorp al lui C implic˘ a a + bi ∈ A pentru orice a, b ∈ Q, adic˘ a Q(i) ⊆ A. Aceast˘ a incluziune rezult˘ a ¸si din faptul c˘ a extinderea Q ≤ Q(i) este finit˘ a, deci algebric˘ a. Numerele de forma π + ai, a + πi, cu a ∈ Q, sunt transcendente pentru c˘ a din apartenent¸a lor la A ar rezulta π ∈ A, ceea ce este fals.

7.3. Indicat¸ie. Avem 1 + π, 1 − π, (1 + π) ·

1 =1∈ / T. 1+π

1 ∈ T dar (1 + π) + (1 − π) = 2 ∈ / T ¸si 1+π

7.4. Fie A mult¸imea numerelor algebrice ¸si z = a − bi. Din z ∈ A rezult˘a c˘a exist˘a f ∈ Q[X], f 6= 0 astfel ˆıncˆat f (z) = 0, ceea ce implic˘a f (z) = 0, adic˘a z ∈ A. Din z+z z, z, i ∈ A ¸si din faptul c˘a A este un subcorp al lui C rezult˘a c˘a = a ∈ A ¸si 2 z−z = b ∈ A. Invers, din a, b, i ∈ A deducem a + bi ∈ A. 2i 7.5. Folosind incluziunea K ⊆ A ¸si faptul c˘a A este un subcorp al lui K ′ , se deduc imediat implicat¸iile u ∈ A ⇒ u + a ∈ A ¸si u ∈ A ⇒ u2 ∈ A. Reciproc, dac˘a u + a ∈ A atunci exist˘a h ∈ K[X]∗ astfel ˆıncˆat h(u + a) = 0, de unde deducem c˘a u este o r˘ad˘acin˘a a polinomului g = h(X + a) ∈ K[X]∗ , a¸sadar u ∈ A. Dac˘a u2 ∈ A atunci exist˘a p ∈ K[X]∗ astfel ˆıncˆat p(u2 ) = 0, prin urmare u este o r˘ad˘acin˘a a polinomului q = p(X 2 ) ∈ K[X]∗ deci u ∈ A. 279

280

CAPITOLUL 7. CORPURI COMUTATIVE (SOLUT ¸ II)

Partea a doua este o generalizare a primei p˘art¸i a problemei. Din K ⊆ A ¸si A subcorp ˆın K ′ , se deduce c˘a u ∈ A implic˘a f (u) ∈ A. Invers, din f (u) ∈ A urmeaz˘a c˘a exist˘a g ∈ K[X]∗ astfel ˆıncˆat g(f (u)) = 0. Luˆand h = g(f (X)) ∈ K[X] avem grad h = (grad f )grad g ≥ 1 ¸si h(u) = 0 ceea ce arat˘a c˘a u ∈ A. 7.6. Indicat¸ie. Se folose¸ste problema anterioar˘a. 7.7. Solut¸ia 1. Folosind definit¸ia subcorpului generat, avem √ √ √ √ √ √ √ √ √ i 3 2 + i 3 − 2 = i 3 ∈ R( 2 + i 3) ⇒ √ = i ∈ R( 2 + i 3), 3 prin urmare √ √ √ √ √ √ R ∪ {i} ⊆ R( 2 + i 3) ⇒ C ⊆ R( 2 + i 3) ⇒ C = R( 2 + i 3). √ √ Rezult˘a imediat c˘a subcorpul prim al lui R( √2 + i √3) este P (C) = Q. Solut¸ia 2. Conform problemei 7.4, num˘ √arul √ 2+i 3 este algebric. Un polinom √ √cu coeficient¸i reali care are ca r˘ad˘acin˘a pe 2+i 3 va avea ca r˘ad˘acin˘a ¸si pe 2−i 3, prin urmare se divide cu polinomul √ √ √ √ √ f = [X − ( 2 + i 3)][X − ( 2 − i 3)] = X 2 − 2 2X − 1 ∈ R[X]. √ √ Rezult˘a imediat c˘a√ polinomul miniml al lui √2 + i√ 3 peste R este f , c˘a gradul √ extinderii R√≤ R( √2 + i 3) este 2 ¸si c˘a {1, 2 + i 3} este o baz˘a a R-spat¸iului vectorial R( 2 + i 3). A¸sadar, √ √ √ √ √ √ R( 2 + i 3) = {a + b( 2 + i 3) | a, b ∈ R} = {(a + b 2) + ib 3} | a, b ∈ R}, √ √ iar cum orice√z = x + yi ∈ C (x, y ∈ R) poate fi scris sub forma (a + b 2) + ib 3, √ √ y 2 y cu a = x − √ ∈ R ¸si b = √ ∈ R, avem R( 2 + i 3) = C. 3 3 7.8. Indicat¸ie. Se folose¸ste definit¸ia subcorpului generat. Avˆand ˆın vedere c˘a C = R(i), rezolvarea acestei probleme se obt¸ine prin generalizarea Solut¸iei 1 a problemei anterioare. √ 7.9. Indicat¸ie. Un polinom cu coeficient¸i rat¸ionali care are ca r˘ ad˘ acin˘ a pe 1 + 2 are √ √ ca r˘ ad˘acin˘ a ¸si √ pe 1 − 2, prin √ urmare polinomul minimal al lui 1 + 2 peste Q este f = [X − (1 + 2)][X − (1 − 2)] = X 2 − 2X − 1 ∈ Q[X]. √ √ √ √ √ √ √ √ 7.10. Indicat¸ie. Fie α1 = 2 + 3, α2 = 2 − 3, α3 = − 2 + 3, α4 = − 2 − 3. Polinomul f = (X − α1 )(X − α2 )(X − α3 )(X − α4 ) = X 4 − 10X 2 + 1 este ireductibil peste Q deoarece nu are r˘ ad˘ acini rat¸ionale, iar dac˘ a scriem f = gh cu grad g = grad h = 2 atunci polinoamele g, h sunt de forma a(X − αi )(X − αj ) (a ∈ Q∗ , i, j ∈ {1, 2, 3, 4}, i 6= j) prin urmare g, h ∈ / Q[X]. Se deduce c˘ a f este polinomul minimal al lui α1 peste Q. √ √ Observat¸ie: Faptul c˘a 2 + 3 este algebric se poate deduce ¸si astfel: √ √ √ √ x = 2 + 3 ⇒ x2 − 2 2x + 2 = 0 ⇒ x2 − 1 = 2 2x ⇒ x4 − 10x + 1 = 0 √ √ sau deducˆ and c˘ a 2 ¸si 3 sunt algebrice ¸si folosind faptul c˘ a numerele algebrice formeaz˘a un subcorp al lui C.

281 7.11. Polinoamele f = X 2 − 2 ¸si g = X 3 − 2 (din Q[X]) sunt ireductibile √ peste Q ˆ pentru √ c˘a grad f = 2, grad g = 3 ¸si f, g nu au r˘ad˘acini ˆın Q. Intrucˆat f ( 2) = 0 ¸si g( 3 2) = 0, iar coeficient¸ii termenilor de grad f ¸si g sunt 1, rezult˘a c˘a f , √ maxim din √ respectiv g, este polinomul minimal al lui 2, respectiv 3 2. Prin urmare, √ √ 3 [Q( 2) : Q] = 2, [Q( 2) : Q] = 3 √ √ √ √ ¸si {1, 2}, respectiv 1, 3 2, ( 3 2)2 este o baz˘a a Q-spat¸iului vectorial Q( 2), res√ pectiv Q( 3 2). Rezult˘a c˘a √ √ √ √ √ 3 3 3 Q( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ Q} ¸si Q( 2) = {a + b 2 + c 4 | a, b, c ∈ Q}. √ √ Din Q√≤ Q( 2) ¸si Q ≤√Q( 3 2) ¸si din faptul c˘a Q este un corp prim se deduce c˘a P (Q( 2)) = Q = P (Q( 3 2)). 7.12. R˘ aspuns. Fie d ∈ {2, 3}. Avem

n o √ √ √ n n n Q( d) = a0 + a1 d + · · · + an−1 ( d)n−1 | ai ∈ Q, i ∈ {0, . . . , n − 1} .

7.13. Indicat¸ie. Se poate folosi problema anterioar˘a. √

7.14. Indicat¸ie. K = Q( n 2). 7.15. ˆIntrucˆat orice z ∈ C se scrie ˆın mod unic sub forma z = a + bi, a, b ∈ R, rezult˘a c˘a {1, i} este o baz˘a a lui C ˆın R. Deci [C : R] = 2. Extinderea R ≤ C fiind finit˘a, este ¸si algebric˘a, adic˘a orice z ∈ C este algebric peste R. Dac˘a z = a + bi, a, b ∈ R, b 6= 0, z = a−bi atunci din f ∈ R[X]∗ ¸si f (z) = 0 rezult˘a f (z) = 0, de unde deducem c˘a (X − z)(X − z) = X 2 − 2aX + a2 + b2 ∈ R[X] este polinomul mininal al lui z peste R. Deci [R(z) : R] = 2, R(z) ≤ C, ceea ce ˆımpreun˘a cu [C : R] = 2 implic˘a C = R(z) a b

1 b

Observat¸ie: Egalitatea R(z) = C se deduce ¸si din R(z) ⊆ C = R(i), i = − + z ∈ R(z). 7.16. R˘ aspuns. R ¸si C. 7.17. Indicat¸ie. Cum Q este subcorpul prim al lui C avem Q ⊆ K. Deci K = Q(z).

Pentru b = 0 avem K = Q, iar pentru b 6= 0 se deduce K = Q(i) = {a + bi | a, b ∈ Q}. √ √ 7.18. Indicat¸ii. Din solut a c˘ a Q( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ Q}. √ ¸ia problemei 7.11√rezult˘ Subcorpul prim √ al lui Q( 2) este Q ¸si Q 6= Q( 2). Prin urmare, subcorpul lui K generat de u = a + b 2 coincide cu subcorpul generat de Q ∪ {u}. Deci, pentru b = 0 avem √ √ a 1 K = Q(a) = Q, iar dac˘ a b 6= 0 atunci K = Q(u) ⊆ Q( 2) ¸si 2 = − + u, ceea ce b b √ √ √ implic˘ a K = Q( 2). Astfel, am ar˘ atat c˘ a un num˘ ar u ∈ Q( 2) genereaz˘ a corpul Q( 2) √ dac˘ a ¸si numai dac˘ a u ∈ Q( 2) \ Q. Aceast˘ a concluzie se poate deduce ¸si din faptul c˘ a √ [Q( 2) : Q] = 2.

√ √ 7.19. Elementul 2 ∈ Q(i, 2) este element algebric peste Q cu√polinomul mini√ 2 mal f = X − 2, iar elementul i ∈ Q(i, 2) este algebric √ peste Q( 2) cu polinomul minimal g = X 2 + 1 (ireductibilitatea lui g peste Q( 2) este o consecint¸˘a a ireductibilit˘a¸tii lui g peste R). Prin urmare √ √ √ √ [Q(i, 2) : Q] = [Q(i, 2) : Q( 2)] · [Q( 2) : Q] = 4.

282

CAPITOLUL 7. CORPURI COMUTATIVE (SOLUT ¸ II)

√ √ Mai √ mult, 1, 2 formeaz˘ a o baz˘ a a lui Q( 2) peste Q ¸si 1, i formeaz˘a o baz˘a a lui √ Q(i, 2) peste Q( 2), cu termen, deducem √ de unde, ˆınmult¸ind aceste baze√termen √ c˘a o baz˘a a lui Q(i, 2) peste Q este format˘a din 1, 2, i ¸si i 2. Deci √ √ √ Q(i, 2) = {a + b 2 + ci + di 2 | a, b, c, d ∈ Q}. 7.20. 1) Din u ∈ K ′ \ K rezult˘a K(u) 6= K, ceea ce implic˘a [K(u) : K] > 1, iar din K < K(u) ≤ K ′ urmeaz˘a [K ′ : K] = [K ′ : K(u)] · [K(u) : K], ceea ce, avˆand ˆın vedere c˘a num˘arul [K ′ : K] este prim, implic˘a [K ′ : K(u)] = 1, de unde deducem K ′ = K(u). 2) Din 1) ¸si din faptul c˘a ˆın acest caz K este subcorpul prim al lui K ′ rezult˘a c˘a subcorpul generat de K ∪ {u}, adic˘a K(u), coincide cu subcorpul generat de u. 7.21. Din punctul 2) al problemei anterioare rezult˘a c˘a subcorpurile lui K ′ sunt K ¸si K ′ . 7.22. Avem √ u = 2 + 3 ⇒ (u − 2)2 = 3 ⇒ u2 − 4u − 1 = 0, √ √ √ √ √ √ √ 4 v = 5 + 5 ⇒(v − 5)2 = 5 ⇒ v 2 − 2v 5 + 5 = 5 ⇒ v 2 + 5 = (2v + 1) 5 ⇒ v 4 +10v 2 + 25 = 20v 2 + 20v + 5 ⇒ v 4 − 10v 2 − 20v + 20 = 0, w=

√ 3

√ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 2+ 4 ⇒ w 3 = 2+3 2· 4( 2+ 4)+4 ⇒ w 3 = 6+6w ⇒ w 3 −6w −6 = 0,

ceea ce ne arat˘a c˘a f (u) = 0, g(v) = 0 ¸si h(w) = 0, unde f = X 2 − 4X − 1 ∈ Q[X], g = X 4 − 10X 2 − 20X + 20 ∈ Q[X] ¸si h = X 3 − 6X − 6 ∈ Q[X]. A¸sadar, numerele u, v, w sunt algebrice — ceea ce se poate deduce ¸si din faptul c˘a termenii lui u, v ¸si w sunt numere algebrice ¸si mult¸imea numerelor algebrice formeaz˘a subcorp ˆın C. Din grad f = 2, grad h = 3 ¸si din faptul c˘a f ¸si h nu au r˘ad˘acini ˆın Q rezult˘a c˘a f ¸si h sunt ireductibile peste Q. Ireductibilitatea lui g se deduce din criteriul lui Eisenstein luˆand p = 5. Ment¸ion˘am c˘a ¸si ireductibilitatea lui h se poate deduce folosind criteriul lui Eisenstein. Prin urmare, f , respectiv g ¸si h sunt polinoamele minimale ale lui u, respectiv v ¸si w peste Q. Rezult˘a c˘a extinderile Q ≤ Q(u), Q ≤ Q(v), Q ≤ Q(w) au gradele 2, respectiv 4 ¸si 3 ¸si c˘a {1, u}, respectiv {1, v, v 2, v 3 }, {1, w, w 2} sunt baze ale Q-spat¸iilor vectoriale Q(u), respectiv Q(v) ¸si Q(w). Deci, √ √ Q(u) = {a + bu | a, b ∈ Q} = {a + b 2 | a, b ∈ Q} = Q( 2), Q(v) = {a + bv + cv 2 + dv 3 | a, b, c, d ∈ Q}, Q(w) = {a + bw + cw 2 | a, b, c ∈ Q}. 7.23. Indicat¸ie.

r

3 1√ = 6. 2 2

p , q √ √ p, q ∈ Z, q 6= 0 atunci q u = pq, iar pq se poate scrie pq = a2 d, unde a ∈ N∗ ¸si √ q√ d ∈ Z \ {1} este liber de p˘ atrate. Rezult˘ a u = d. a

7.24. Indicat¸ie. Aceast˘a problem˘a generalizeaz˘a problema anterioar˘a. Dac˘a u =

√ 7.25. Dac˘a d ∈ Z \ {1} este liber de p˘atrate atunci d este un num˘ar algebric ¸si √ 2 f = X − d este polinomul s˘au minimal. Rezult˘a c˘a extinderea Q ≤ Q( d) are

283 √ √ gradul 2 ¸si Q( d) = {a + b d | a, b ∈ Q}. Presupunem c˘a extinderea Q ≤ K are gradul 2. Rezult˘a c˘a pentru orice u ∈ K \ Q elementele 1, u formeaz˘a o baz˘a a lui K peste Q, de unde urmeaz˘a K = Q(u) ¸si c˘a exist˘a a, b ∈ Q astfel ˆıncˆat 2 b b2 b 2 u = a + bu, ceea ce implic˘a u − = a − . Notˆand v = u − , avem 2 4 2 Q(v) = Q(u) = K. Mai√mult, v ∈ / Q este r˘ad˘acin˘a a unui polinom de forma X 2 − a, √ / Q. Prin urmare Q(u) = Q(v) = Q( a) ¸si aplicˆand cu a ∈ Q ¸si, desigur, a ∈ problema anterioar˘ a obt¸inem existent √ √ ¸a unui ˆıntreg liber de p˘atrate d pentru care √ Q( a) = Q( d). Deci, Q(u) = Q( d). 7.26. Indicat¸ie. Fie 0′ ¸si 1′ elementul zero, respectiv elementul unitate din P . Avem P = {(m · 1′ )(n · 1′ )−1 | m, n ∈ Z, n · 1′ 6= 0′ }.

√ √ 7.27. Presupunem c˘a exist˘a un izomorfism de corpuri f : Q( 2) →√Q( 3). √ Din problema √ anterioar˘a rezult˘ a c˘ a f (x) = x pentru orice x ∈ Q. Din f ( 2) ∈ Q( 3) √ rezult˘a f ( 2) = a + b 3 6= 0 (a, b ∈ Q), de unde, prin ridicare la p˘atrat, se obt¸ine √ 2 = a2 + 3b2 + 2ab 3, √ ceea ce, ˆımpreun˘a cu faptul c˘ar 3 este irat¸ional, implic˘a a = 0 sau b = 0. Primul √ 2 caz ne conduce la absurditata ∈ Q, iar al doilea la absuditatea 2 ∈ Q. 3 √ √ 7.28. Dac˘a f : Q( d) → Q( d′ ) este un izomorfism atunci, an√ ca ˆın problema √ ′ terioar˘ √ a se deduce √ c˘a f (x) = x pentru orice x ∈ Q. Din f ( d) ∈ Q( d ) rezult˘a f ( d) = a + b d′ 6= 0 (a, b ∈ Q), de unde, prin ridicare la p˘atrat, se obt¸ine √ d = a2 + d′ b2 + 2ab d′ ,

√ ′ ceea ce, ˆımpreun˘ √ a cu d ∈ C \ Q, implic˘a a = 0 sau b = 0. Din b =2 0′ se deduce absurditatea d ∈ Q. Deci b 6= 0 ¸si a = 0 ceea ce implic˘a d = b d , de unde d urmeaz˘a ′ = b2 . De aici ¸si din faptul c˘a d ¸si d′ sunt ˆıntregi liberi de p˘atrate rezult˘a d d = d′ . Implicat¸ia invers˘a este o urmare a faptului c˘a aplicat¸ia identic˘a 1Q(√d) este izomorfism. √

√

7.29. Indicat¸ii. Dac˘a f : Q( d) → un automorfism√atunci f√ (x) √ = x √ Q(√ d) este √ 2

pentru orice x ∈ Q. Din d = f (d) √ = f ( d · d)√= [f ( d)] rezult˘ √ a f ( d) ∈√{− d, d}. Deci f ∈ {f1 , f2 }, unde f1 (a + b d) = a + b d ¸si f2 (a + b d) = a − b d. Evident f1 = 1Q(√d) este automorfism. Se verific˘ a cu u¸surint¸˘ a c˘ a ¸si f2 este automorfism. Prin √ urmare, Aut(Q( d)) = {f1 , f2 }. √ 4

2 este f = X 4 − 2 ¸si are r˘ ad˘ acinile ± 2, ±i 2. Subcorpul K = Q(i 2) al lui C nu este inclus ˆın R ¸si

7.30. al elementului √ Indicat √ ¸ie. Polinomul minimal √ 4

4

4

√ 4 Q( 2) ≃ Q[X]/(f ) ≃ K.

√

7.31. R˘ aspuns. Q(ε 3 2), unde ε este o r˘ad˘acin˘a a lui X 3 − 1 diferit˘a de 1.

284

CAPITOLUL 7. CORPURI COMUTATIVE (SOLUT ¸ II) √

7.32. a [Q( 3, i) : Q] = 4 ¸si c˘a √ Indicat √ ¸ii. a) Ca ˆın solut¸ia√problemei 7.19 deducem c˘

{1, 3, √ i, i 3} este a a lui Q( √3, i) peste Q. √ √ o baz˘ √ √ √ c) Din 18 = 3 2 = 3( 4 2)2 ∈ Q( 4 2) urmeaz˘ a Q( 18, 4 2) = Q( 4 2). Din criteriul lui Eisenstein rezult˘ a c˘ a polinomul f = X 4 − 2 este ireductibil peste Q, ceea ˆımpreun˘ a cu √ √ √ ce, √ 4 4 4 ne arat˘ a c˘ a f este polinomul minimal√al lui 2. Deci [Q( 18, 2) : Q] = 4 ¸si f ( √2) =√0, √ √ √ 4 4 4 4 4 {1, 2, 4, 8} este o√baz˘ a√a extinderii Q ≤ Q( 18, 2) = Q( 2). √ d) Extinderea Q ≤ Q( 3, i 5, 7) poate fi realizat˘ a astfel: √ √ √ √ √ √ Q ≤ Q( 3) ≤ Q( 3, 7) ≤ Q( 3, 7, i 5), de unde rezult˘ a √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ [Q( 3, i 5, 7) : Q] = [Q( 3) : Q] · [Q( 3, 7) : Q( 3)] · [Q( 3, i 5, 7) : Q( 3, 7)]. Determin˘ am gradele din membrul secund a¸ti. Din ireductibilitatea polino√ al acestei egalit˘ 2 − 3 peste Q ¸ mului f = X s i din f ( 3) = 0 urmeaz˘ a c˘ a f1 este polinomul minimal al lui 1 1 √ √ √ 3 peste Q, c˘ a [Q( 3) : Q] = 2 ¸si c˘ a {1, 3} este o baz˘ a a extinderii √ √ Q ≤ Q( 3) = {a + b 3 | a, b ∈ Q}. √ 2 ˆIntrucˆ at egalitatea 7 = (a a, rezult˘ a f2 = X√2 − 7 este √+ b 3) , a, √b ∈ Q este imposibil˘ √a c˘ √ polinomul c˘ a [Q( 3, 7) : Q( 3)] = 2 ¸si √ minimal al lui 7 peste Q( √3), de unde √ deducem √ c˘ a {1, 7} este o baz˘ a a extinderii Q( 3) ≤ Q( 3, 7). Din ireductibilitatea polinomului √ √ 2 + 5 peste R urmeaz˘ f3 = X√ a ireductibilitatea lui f3 peste√Q( 3, 7), √ ceea√ce, ˆımpreun˘a cu f3 (i 5) = 0 arat˘ a c˘ a f3 este polinomul minimal al lui i 5 peste Q( 3, 7). A¸sadar, √ √ √ √ √ [Q( 3, i 5, 7) : Q( 3, 7)] = 2 √ √ √ √ √ √ ¸si {1, i 5} este √ a√a extinderii Q( 3, 7) ≤ Q( 3, i 5, 7). Din cele de mai sus √ baz˘ a obt¸inem [Q( 3, i 5, 7) : Q] = 8 ¸si c˘ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ {1, 3, 3 7 = 21, i 5, i 3 5 = i 15, i 5 7 = i 35, i 3, i 3 5 7 = i 105 } √ √ √ este o baz˘ a a extinderii Q ≤ Q( 3, i 5, 7).

7.33. a) Din criteriul lui Eisenstein rezult˘a c˘a f este ireductibil peste Q. Deci [Q(α) : Q] = 3 ¸si 1, α, α2 formeaz˘a o baz˘a a extinderii Q ≤ Q(α). b) Din f (α) = 0 deducem c˘a α3 = 6α2 − 9α − 3 ¸si α4 = 6α3 − 9α2 − 3α = 6(6α2 − 9α − 3) − 9α2 − 3α = 27α2 − 57α − 18. Egalitatea de mai sus ne d˘a coordonatele lui α4 . Folosind acest rezultat ¸si f (α) = 0 deducem coordonatele lui α5 : α5 = 27α3 − 57α2 − 18α = 27(6α2 − 9α − 3) − 57α2 − 18 = 105α2 − 261α − 81. Folosind coordonatele lui α4 ¸si α5 obt¸inem coordonatele lui 3α5 − α4 + 2: 3α5 − α4 + 2 = −288α2 − 762α − 223.

Coordonatelel lui

1 se deduc din f (α) = 0 astfel: α

f (α) = 0 ⇒ α(α2 − 6α + 9) = −3 ⇒

1 1 = − α2 + 2α − 3. α 3

285 Coordonatele inversului unui element a = a2 α2 + a1 α + a0 ∈ Q(α)∗ se pot determina astfel: polinomul f fiind ireductibil, urmeaz˘a c˘a f este relativ prim cu polinomul g = a2 X 2 + a1 X + a0 , ceea ce implic˘a existent¸a a dou˘a polinoame u, v ∈ Q[X] astfel ˆıncˆat uf + vg = 1; rezult˘a v(α)g(α) = 1, ceea ce implic˘a a−1 = v(α). Polinoamele u ¸si v se determin˘a cu algoritmul lui Euclid. Folosind acest procedeu obt¸inem f = (X + 1)(X 2 − 7X + 16) − 13 care, ˆımpreun˘a cu f (α) = 0, implic˘a (α + 1)(α2 − 7α + 16) = 13, de unde rezult˘a 1 1 2 7 16 = α − α+ . α+1 13 13 13 Prin ˆımp˘art¸iri succesive avem: 3

2

X − 6X + 9X + 3 −X 3 + 6X 2 − 8X r1 = X + 3

X = q1 X − 9 = q2 X − 6X + 8 X +3 2 −X − 3X −9X + 8 9X + 27 r2 = 35 2

de unde deducem f = (X 2 − 6X + 8)q1 + r1 ¸si X 2 − 6X + 8 = (X − 9)r1 + r2 , ceea ce implic˘a 35 = r2 = X 2 − 6X + 8 − r1 (X − 9) = X 2 − 6X + 8 − [f − (X 2 − 6X + 8)q1 ](X − 9) = −(X − 9)f + (X 2 − 6X + 8)[1 + X(X − 9)].

Rezul˘a 35 = (α2 − 6α + 8)(α2 − 9α + 1), adic˘a 1 1 2 9 1 = α − α + . α2 − 6α + 8 35 35 35 7.34. a) Polinoamele ireductibile din Z2 [X] au gradul cel put¸in 1. Polinoamele de grad 1 sunt ireductibile. Acestea sunt f1 = X ¸si f2 = X + b 1.

Un polinom de gradul 2 este de forma g = X 2 + aX + b, cu a, b ∈ Z2 . Deci exist˘a 4 polinoame de grad 2 ˆın Z2 [X]. Dintre acestea sunt reductibile polinoamele g1 = X 2 , g2 = (X + b 1)2 = X 2 + b 1, g3 = X(X + b 1) = X 2 + X, iar g4 = X 2 + X + b 1

este ireductibil. Un polinom de grad 3 este de forma g = X 3 + aX 2 + bX + c, cu a, b, c ∈ Z2 . Deci exist˘a 8 polinoame de grad 3 ˆın Z2 [X]. Dintre acestea sunt reductibile acelea care se descompun ˆın produse cu factorii (ireductibili) f1 , f2 ¸si g4 adic˘a h1 = X 3 , h2 = (X + b 1)3 = X 3 + X 2 + X + b 1, h3 = X 2 (X + b 1) = X 3 + X 2 ,

286

CAPITOLUL 7. CORPURI COMUTATIVE (SOLUT ¸ II)

h4 = X(X + b 1)2 = X(X 2 + b 1) = X 3 + X, h5 = X(X 2 + X + b 1) = X 3 + X 2 + X ¸si 2 3 h6 = (X + b 1)(X + X + b 1) = X + b 1, iar h7 = X 3 + X 2 + b 1 ¸si h8 = X 3 + X + b 1

sunt ireductibile. b) Dac˘a K este un corp cu 4 elemente atunci subcorpul s˘au prim este izomorf cu Z2 , deoarece caracteristica sa este un num˘ar prim care divide pe 4. Deci K se poate considera ca o extindere a lui Z2 . Polinomul f = X 2 + X + 1 ∈ Z2 [X] are gradul 2 ¸si nu are nici o r˘ad˘acin˘a ˆın Z2 , prin urmare este ireductibil. Rezult˘a c˘a adjunct¸ionˆand la Z2 o r˘ad˘acin˘a α a lui f se obt¸ine o extindere Z ≤ Z2 (α) de gradul 2. Urmeaz˘a c˘a 1 ¸si α formeaz˘a o baz˘a a acestei extinderi. Amintim c˘a Z2 (α) = Z2 [X]/(f ) ¸si α = X + (f ). Deci Z2 (α) = {a + bα | a, b ∈ Z2 }, de unde rezult˘a c˘a Z2 (α) este un corp cu patru elemente. Not˘am K = Z2 (α). Avem K = {b 0, b 1, α, b 1 + α}. Din 2 f (α) = 0 rezult˘a α = −α − b 1=b 1 + α, egalitate care determin˘a ˆınmult¸irea din K. De exemplu, α(b 1 + α) = α + α2 = α + α + b 1 =b 1. Astfel, tablele de adunare ¸si ˆınmult¸ire din K sunt b b + 0 1 α b b b 0 0 1 α b b b b 1 1 0 1+α b b α α 1+α 0 b b b 1+α 1+α α 1

b 1+α b 1+α α b 1 b 0

· b 0 b 1 α b 1+α

b b 0 1 α b b b 0 0 0 b b 0 1 α b b α 0 1+α b b b 0 1+α 1

b 1+α b 0 b 1+α b 1 α

c) Polinomul g = X 3 + X + 1 ∈ Z2 [X] este ireductibil, prin urmare, extinderea Z2 ≤ Z2 (α), unde g(α) = 0, are gradul 3 ¸si 1, α, α2 este o baz˘a a sa. Deci Z2 (α) = {a + bα + cα2 | a, b, c ∈ Z2 }, de unde deducem c˘a Z2 (α) este un corp cu 8 elemente. 7.35. a) Un polinom f = X 2 + aX + b ∈ Z3 [X] este ireductibil dac˘a ¸si numai dac˘a f (b 0) 6= b 0, f (b 1) 6= b 0 ¸si f (b 2) = f (−b 1) 6= b 0. Prin urmare polinoamele ireductibile de 2 forma f = X +aX +b ∈ Z3 [X] sunt: f1 = X 2 +b 1, f2 = X 2 +X +b 2,f3 = X 2 +b 2X +b 2. Celelalte polinoame ireductibile din Z3 [X] sunt asociate ˆın divizibilitate cu acestea, deci sunt b 2f1 = b 2X 2 + b 2, b 2f2 = b 2X 2 + b 2X + b 1, b 2f3 = b 2X 2 + X + b 1. 2 b b) Polinomul f1 = X + 1 fiind ireductibil peste Z3 , rezult˘a c˘a extinderea Z3 ≤ Z3 (α), unde f1 (α) = 0, are gradul 2 ¸si 1, α este o baz˘a a sa. Prin urmare, Z3 (α) = {a + bα | a, b ∈ Z3 }.

Deci Z3 (α) este un corp cu 9 elemente. Adunarea ˆın Z3 se efectueaz˘a pe componente, iar ˆınmult¸irea este dat˘a de relat¸ia f1 (α) = 0, adic˘a α2 = −b 1 = b 2. Astfel, dac˘a ′ ′ ′ ′ ′ u = a + bα, u = a + b α ∈ Z3 (α) atunci u + u = (a + a ) + (b + b′ )α ¸si uu′ = aa′ + (ab′ + a′ b)α + bb′ α2 = (aa′ − bb′ ) + (ab′ + a′ b)α.

7.36. a) Corespondent¸a (a, b) 7→ X 2 + aX + b realizeaz˘a o biject¸ie ˆıntre K × K ¸si mult¸imea P2 a polinoamelor de gradul 2 unitare din K[X]. Deci num˘arul polinoamelor din P2 este q 2 . Un polinom din P2 este reductibil peste K dac˘a ¸si umai dac˘a

287 are r˘ad˘acinile ˆın K. Corespondent¸a {α, β} 7→ (X − α)(X − β) realizeaz˘a o biject¸ie ˆıntre submult¸imile cu cˆate 2 elemente ale lui K ¸si polinoamele din P2 care au ˆın K r˘ad˘acini diferite, iar corespondent¸a α 7→ (X − α)2 realizeaz˘a o biject¸ie ˆıntre K ¸si polinoamele din P2 care au o r˘ad˘acin˘a dubl˘a ˆın K. Deci num˘aul cerut este q 2 − Cq2 − q = q 2 −

q(q − 1) q2 − q −q = . 2 2

b) Fie P3 mult¸imea polinoamelor unitare de gradul 3 din K[X]. Num˘arul polinoamelor din P3 este q 3 . Un polinom din P3 este reductibil peste K dac˘a ¸si numai dac˘a are cel put¸in o r˘ad˘acin˘a ˆın K. Polinoamele din P3 care au o singur˘a r˘ad˘acin˘a ˆın K se descompun sub forma (X − α)(X 2 + aX + b), unde α ∈ K ¸si X 2 + aX + b ∈ P2 q2 − q este ireductibil peste K, deci num˘arul lor este q · . Polinoamele din P3 care au 2 o r˘ad˘acin˘a multipl˘a ˆın K se descompun sub forma (X − α)2 (X − β) cu (α, β) ∈ K 2 , deci num˘arul acestora este q 2 . Polinoamele din P3 care au trei r˘ad˘acini diferite ˆın K se descompun sub forma (X − α)(X − β)(X − γ), unde {α, β, γ} este o submult¸ime a lui K format˘a din 3 elemente, deci num˘arul acestor polinoame este Cq3 . Din cele de mai sus rezult˘a c˘a num˘arul cerut este q(q − 1) q(q − 1)(q − 2) q3 − q 2 q −q· −q − = . 2 6 3 3

7.37. R˘ aspuns.√ Notˆ √and cu D √f (K) corpul√de descompunere al lui f ∈ K[X] √ √ avem: a) Df (Q) = Q(− √2, √ 2) = Q( 2) = {a + b 2 | a, b ∈ Q}, D (R) = R(− 2, f √ √ √ 2) = R; b) Df (Q) = Q(−i 2, i 2) = Q(i 2) = {a + bi 2 | a, b ∈ Q}, Df (R) = R(i 2) = C; c) Dac˘ a ε este o r˘ ad˘ acin˘ a a lui X 3 −1 diferit˘ a de 1 atunci Df (Q) = Q(ε) = {a+bε | a, b ∈ Q} ¸si Df (R) = R(ε) = C; √ ! √ √ √ 1±i 3 d) Df (Q) = Q 1, = Q(i 3) = {a + bi 3 | a, b ∈ Q}, Df (R) = R(i 3) = C; 2 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Q(− 2, 2, −i 2, i 2) = Q( 2, i) = {a + b 2 + c 4 + d 8 + ei + f i 2+ e) √ Df (Q) = √ gi 4 4 + hi 4 8 | a, b, c, d, e, f, g, h ∈ Q}, Df (R) = C; √ √ x1 √ 1 x1 + x3 3 4 f) Df (Q) = Q( 4 2, i) pentru c˘ a x1 , x2 x3 , x4 ∈ Q( 4 2, i) ¸si i = , 2= ∈ x 4 i 2 √ √ √ √ 2 2 4 4 Q(x1 , x2 , x3 , x4 ), unde x1,2 = (1 ± i) 2, x1,2 = (−1 ± i) 2 sunt r˘ ad˘ acinile lui f , 2 2 Df (R) = C; √ √ g) Df (Q) = Q(i 3) = {a + bi 3 | a, b ∈ Q}, Df (R) = C. 7.38. a) Cum ε este generator al grupului Un , rezult˘a c˘a r˘ad˘acinile lui f sunt 1, ε, ε2, . . . , εn−1. Prin urmare, Df (Q) = Q(1, ε, ε2, . . . , εn−1) = Q(ε). b) R˘ad˘acinile lui g sunt u, uε, uε2, . . . , uεn−1, deci Dg (Q) = Q(u, uε, uε2, . . . , uεn−1) = Q(u, ε). 7.39. R˘ aspuns. G(Q, R) = {1R }, G(R, C) = {1C , σ}, unde σ(a + bi) = a − bi, ¸si

G(Q, Q(i)) = {1Q(i) , δ}, unde δ(a + bi) = a − bi.

7.40. Indicat¸ie. K = {(m · 1′ )(n · 1′ )−1 | m, n ∈ Z, n · 1′ 6= 0′ }, unde 0′ , respectiv 1′ ,

este elementul zero, respectiv unitate, din K ′ .

288

CAPITOLUL 7. CORPURI COMUTATIVE (SOLUT ¸ II)

√ 7.41. 1) R˘ad˘acinile lui f sunt x1 = 3 2 = u, x2 = εu, x3 = εu2 , unde ε este o r˘ad˘acin˘a primitiv˘a de ordinul 3 a unit˘a¸tii, adic˘a o r˘ad˘acin˘a a lui g = X 2 + X + 1. Rezult˘a c˘a D = Df (Q) = Q(u, εu, ε2u) = Q(ε, u). Polinomul munimal al lui u peste Q este f , iar al lui ε peste Q(u) este g. Acum din Q ≤ Q(u) ≤ Q(u, i) = D deducem [D : Q] = [Q(u) : Q] · [D : Q(u)] = 3 · 2 = 6, iar o baz˘a a extinderii Q ≤ D este {1, u, u2, ε, εu, εu2}. Deci (1)

D = {a1 + a2 u + a3 u2 + a4 ε + a5 εu + a6 εu2 | ai ∈ Q, i ∈ {1, . . . , 6}}.

Polinomul f fiind separabil, rezult˘a c˘a ordinul grupului G = Gf (Q) este 6. Din problema anterioar˘a urmeaz˘a c˘a G = Aut(D). Un automorfism σ : D → D din G este determinat de σ(ε) ¸si σ(u). ˆIntrucˆat polinomul g este ireductibil peste Q(u), urmeaz˘a c˘a exist˘a un singur Q(u)-automorfism σ1 : D → D pentru care avem σ1 (ε) = ε2 , rezult˘a c˘a σ1 este un Q-automorfism ¸si σ1 (u) = u, σ1 (ε) = ε2 , de unde deducem σ12 = 1D . Polinomul f este ireductibil peste Q(ε), deci exist˘a un singur Q(ε)-automorfism σ2 : D → D pentru care avem σ2 (u) = εu. Prin urmare, σ2 este un Q-automorfism ¸si σ2 (ε) = ε, σ2 (u) = εu. Rezult˘a σ22 (ε) = ε, σ22 (εu) = ε2 u ¸si σ23 = 1D . Prin urmare, (σ2 ◦ σ1 )(ε) = ε2 , (σ2 ◦ σ1 )(u) = εu ¸si (σ22 ◦ σ1 )(ε) = ε2 , (σ22 ◦ σ1 )(u) = ε2 u. Din cele de mai sus rezult˘a Gf (Q) = {1D , σ1 , σ2 , σ22 , σ2 ◦ σ1 , σ22 ◦ σ1 }. Sistematiz˘am valorile restrict¸iilor automorfismelor din Gf (Q) la {ε, u} ˆın urm˘atorul tabel: 1D σ1 σ2 σ22 σ2 ◦ σ1 σ22 ◦ σ1 ε ε ε2 ε ε ε2 ε2 u u u εu ε2 u εu ε2 u Grupul Gf (Q) este necomutativ deoarece σ2 ◦ σ1 6= σ1 ◦ σ2 = σ22 ◦ σ1 . Rezult˘a c˘a grupul Gf (Q) este izomorf cu S3 . Funct¸ia ϕ : Gf (Q) → S3 definit˘a prin σ 1D σ1 σ2 σ22 σ2 ◦ σ1 σ22 ◦ σ1 ϕ(σ) e (x2 , x3 ) (x1 , x2 , x3 ) (x1 , x3 , x2 ) (x1 , x2 ) (x1 , x3 ) este un izomorfism. 2) Subgrupurile lui Gf (Q) sunt H1 = {1D }, H2 = hσ1 i = {1D , σ1 }, H3 = hσ2 i = {1D , σ2 , σ22 }, H4 = {1D , σ2 ◦ σ1 }, H5 = {1D , σ22 ◦ σ1 } ¸si H6 = Gf (Q). Diagrama laticei subgrupurilor lui Gf (Q) este ◦0AH A6 000AAA 00 AA 00 AAA 00 AA 00 AAA AA H 0 H2 ◦0 ◦H3 ◦ H4 }}◦ 5 00 }}} 00 00 }}} 00 }} 00 }}} 00 }} } ◦} H1

289 3) Fiecare Hi determin˘a un subcorp al lui D (2)

Ki = {x ∈ D | σ(x) = x, ∀σ ∈ Hi },

numit subcorpul invariant¸ilor lui Hi . Conform teoremei fundamentale a teoriei lui Galois, corespondent¸a Hi 7→ Ki realizeaz˘a un antiizomorfism ˆıntre laticea subgrupurilor lui Gf (Q) ¸si laticea subcorpurilor lui D. Din (1) ¸si (2) rezult˘a K1 = D, K2 = Q(u), K3 = Q(ε), K4 = Q(ε2 u), K5 = Q(εu) ¸si K6 = Q. Prin urmare, diagrama laticei subcorpurilor lui D este ◦A00K AA1 000AAA 00 AAA 00 AA 00 AAA AA 00 A K5 K2 ◦0 K4 K ◦ ◦ 3 00 }}◦ } 00 }} 00 }}} 00 }} 00 }}} 00 }} } ◦} K6

√ 7.42. 1) R˘ad˘acinile lui f sunt x1 = 4 2 = u, x2 = −u, x3 = iu, x4 = −iu. Rezult˘a c˘a D = Df (Q) = Q(u, −u, iu, −iu) = Q(i, u). Polinomul minimal al lui u peste Q este f , iar al lui i peste Q(u) este g = X 2 + 1. Acum din Q ≤ Q(u) ≤ Q(u, i) = D deducem [D : Q] = [Q(u) : Q] · [D : Q(u)] = 4 · 2 = 8, iar o baz˘a a extinderii Q ≤ D este {1, u, u2, u3 , i, iu, iu2, iu3 }. Deci (1) D = {a1 + a2 u + a3 u2 + a4 u3 + a5 i + a6 iu + a7 iu2 + a8 iu3 | a1 ∈ Q, i ∈ {1, . . . , 8}}

Polinomul f fiind separabil rezult˘a c˘a ordinul grupului G = Gf (Q) este 8, deci Gf (Q) nu este izomorf cu S4 . Din problema 7.40 urmeaz˘a G = Aut(D). Un automorfism σ : D → D din G este determinat de σ(i) ¸si σ(u). ˆIntrucˆat polinomul g este polinom ireductibil peste Q(u) urmeaz˘a c˘a exist˘a un singur Q(u)-automorfism σ1 : D → D pentru care avem σ1 (i) = −i. Rezult˘a c˘a σ1 este un Q-automorfism ¸si σ1 (u) = u, σ1 (i) = −i, de unde deducem c˘a σ12 = 1D . Polinomul f este ireductibil peste Q(i), deci exist˘a un singur Q(i)-automorfism σ2 : D → D pentru care avem σ2 (u) = iu. Deci σ2 este un Q-automorfism pentru care avem σ2 (i) = i, σ2 (u) = iu, de unde deducem σ22 (u) = −u, σ22 (i) = i, σ23 (u) = −iu, σ23 (i) = i ¸si σ24 = 1D . Prin urmare, (σ2 ◦ σ1 )(u) = iu, (σ2 ◦ σ1 )(i) = −i; (σ22 ◦ σ1 )(u) = −u, (σ22 ◦ σ1 )(i) = −i; (σ23 ◦ σ1 )(u) = −iu, (σ23 ◦ σ1 )(i) = −i. Din cele de mai sus rezult˘a Gf (Q) = {1D , σ1 , σ2 , σ22 , σ23 , σ2 ◦ σ1 , σ22 ◦ σ1 , σ23 ◦ σ1 } ¸si (2)

σ12 = 1D , σ24 = 1D , σ1 ◦ σ2 = σ23 ◦ σ1 ,

290

CAPITOLUL 7. CORPURI COMUTATIVE (SOLUT ¸ II)

adic˘a Gf (Q) este generat de σ1 ¸si σ2 cu relat¸iile (2), de unde urmeaz˘a c˘a Gf (Q) este izomorf cu grupul diedral ∆4 . Din (2) rezult˘a c˘a σ1 ◦ σ2 ◦ σ1 = σ2−1 ceea ce implic˘a σ1 ◦ σ2k ◦ σ1 = σ2−k , de unde urmeaz˘a σ2j σ1 ◦ σ2k ◦ σ1 = σ2j−k . 2) Folosind teorema lui Lagrange ¸si relat¸iile stabilite, vom determina subgrupurile lui Gf (Q). Subgrupurile proprii ale lui Gf (Q) pot avea ordinul 2 sau 4. Subgrupurile de ordinul 2 sunt ciclice ¸si sunt generate de elemete de ordinul 2. Acestea sunt H2 = hσ1 i = {1D , σ1 }, H3 = hσ22 i = {1D , σ22 }, H4 = hσ2 ◦ σ1 i = {1D , σ2 ◦ σ1 }, H5 = hσ22 ◦ σ1 i = {1D , σ22 ◦ σ1 }, H6 = hσ23 ◦ σ1 i = {1D , σ23 ◦ σ1 }. Elementele de ordinul 4 sunt σ2 ¸si σ23 a¸sadar, exist˘a un singur subgrup ciclic de ordinul 4, ¸si anume H7 = hσ2 i = {1D , σ2 , σ22 , σ23 } = hσ23 i. Fiecare subgrup neciclic de ordinul 4 cont¸ine pe 1D ¸si 3 elemente de ordinul 2, deci un astfel de subgrup nu cont¸ine pe σ2 ¸si σ23 ¸si nu include pe {σ1 , σ2 ◦ σ1 }, {σ1 , σ23 ◦ σ1 }. Rezult˘a c˘a subgrupurile neciclice de ordinul 4 sunt H8 = hσ1 , σ22 i = {1D , σ1 , σ22 , σ22 ◦ σ1 } ¸si H9 = hσ22 , σ2 ◦ σ1 i = {1D , σ22 , σ2 ◦ σ1 , σ23 ◦ σ1 }. Mai not˘am H1 = {1D } ¸si H10 = Gf (Q). Diagrama laticei subgrupurilor grupului Gf (Q) este < H10 ◦<< <<< <<
3) Subcorpul invariant¸ilor unui subgrup Hi este (3)

Ki = {x ∈ D | σ(x) = x, ∀σ ∈ Hi }.

Corespondent¸a Hi 7→ Ki realizeaz˘a un antiizomorfism ˆıntre laticea subgrupurilor lui √ 4 Gf (Q) ¸si laticea subcorpurilor lui D. Din (1) √ ¸si (3) rezult˘a K1 = D, K2 = Q( 2), √ √ √ 4 4 4 4 K3 = Q(i,√ 4), K4 = Q((1 √ + i) 2), K5 = Q(i 2), K6 = Q((1 − i) 2), K7 = Q(i), K8 = Q( 4 4), K9 = Q(i 4 4), K10 = Q. Prin urmare, diagrama laticei subcorpuilor lui D este n◦P?K ?P 1 nnn ?PPP ?? PPP nn ?? PPP nnn n n K ? K4 PPK6 ◦BnBnB 5 ◦ ◦?K ??3 ◦ |◦ BB || ?? | BB | ?? || BB ?|| << K7 ◦K ◦ ◦ K8 << << 9 << < ◦K10

K2

√ √ √ √ √ 7.43. 1) D = √Df (K) = K( 3 2, ε 3 2, ε2 3 2) = Q(ε, 3 2) = K( 3 2). Polinomul minimal al lui 3 2 peste K este f . Rezult˘a c˘a [D : K] = 3, √ √ 3 3 D = {a + b 2 + c 4 | a, b, c ∈ K} √ √ ¸si |Gf (K)| = 3. Orice automorfism σ ∈ Gf (K) este determinat de σ( 3 2) ¸si σ( 3 2) este o r˘ad˘acin˘a a lui f . Din ireductibilitatea lui √ f peste√K rezult˘a c˘a exist˘a un 3 singur K-automorfism σ1 : D → D astfel ˆıncˆat σ1 ( 2) = ε 3 2, de unde urmeaz˘a √ √ 3 3 σ12 ( 2) = ε2 2 ¸si σ13 = 1D .

291 Deci Gf (K) = {1D , σ1 , σ12 } ≃ Z3 . 2) Subgrupurile lui Gf (K) sunt H1 = {1D } ¸si H2 = Gf (K) ¸si diagrama laticei subgruprilor lui Gf (K) este ◦ H2 ◦ H1

3) Subcorpul invariant¸ilor lui H1 , respectiv H2 , este K1 = D, respectiv K2 = K ¸si diagrama cerut˘a este ◦K1 ◦K2

√ √ √ √ √ p p p−1 p 7.44. 1) D = D 2) = Q(ε, p 2) = K( p 2). Polinomul f (K) = K( 2, ε 2, . . . , ε √ minimal al lui p 2 peste Q este f , iar al lui ε peste Q este g=

Xp − 1 = X p−1 + · · · + X + 1. X −1

Ireductibilitatea lui g rezult˘a din problema 5.39. Prin urmare, √ √ p p [Q( 2) : Q] = p, [K : Q] = 1 ¸si [K( 2) : K] ≤ p. Din (∗) ¸si

[D : Q] = [D : K] · [K : Q] = [D : K] · (p − 1) √ √ √ p p p [D : Q] = [D : Q( 2)] · [Q( 2) : Q] = [D : Q( 2)] · p

deducem c˘a p ¸si p − 1 divid pe [D : Q] ¸si [D : Q] ≤ p(p − 1), iar cum (p, p − 1) = 1, urmeaz˘ a c˘a [D : Q] = p(p − 1), ceea ce, ˆımpreun˘ a cu (∗) implic˘a [D : K] = p, adic˘a √ √ p p [K( 2) : K] =√p. Rezult˘a c˘a gradul lui 2 peste K este p, deci f este polinomul minimal al lui p 2 peste K, [D : K] = p, √ √ p p D = {a1 + a2 2 + · · · + an 2p−1 | ai ∈ K, i ∈ {1, . . . , n}} √ √ ¸si |Gf (K)| = 3. Orice automorfism σ ∈ Gf (K) este determinat de σ( p 2) ¸si σ( p 2) este o r˘ad˘acin˘a a lui f . Din ireductibilitatea lui √ f peste √K rezult˘a c˘a exist˘a un p singur K-automorfism σ1 : D → D astfel ˆıncˆat σ1 ( 2) = ε p 2, de unde urmeaz˘a √ √ p p σ1k ( 2) = εk 2, k ∈ {1, . . . , p}. Deci σ1p = 1D ¸si Gf (K) = {1D , σ1 , . . . , σ1p−1} ≃ Zp . 2) Subgrupurile lui Gf (K) sunt H1 = {1D } ¸si H2 = Gf (K) ¸si diagrama laticei subgruprilor lui Gf (K) este ◦ H2 ◦ H1

3) Subcorpul invariant¸ilor lui H1 , respectiv H2 , este K1 = D, respectiv K2 = K ¸si diagrama cerut˘a este ◦K1 ◦K2

292

CAPITOLUL 7. CORPURI COMUTATIVE (SOLUT ¸ II)

7.45. Fie q = pn , f = X q − X ∈ Zp [X] ¸si D = Df (K) corpul r˘ad˘acinilor lui f peste Zp . Funct¸ia ϕ : D → D, ϕ(a) = ap este un automorfism al lui D, deci ψ = ϕp este un automorfism al lui D, iar α ∈ D este r˘ad˘acin˘a a lui f dac˘a ¸si numai dac˘a ψ(α) = α, de unde se deduce c˘a r˘ad˘acinile lui f formeaz˘a un subcorp al lui D. Rezult˘a c˘a D coincide cu acest subcorp, deci |D| = q pentru c˘a f nu are r˘ad˘acini multiple, ceea ce implic˘a [D : Zp ] = n. Grupul (D ∗ , ·) fiind ciclic, exist˘a a ∈ D ∗ care genereaz˘a pe (D ∗ , ·). Rezult˘a c˘a D = Zp (a), de unde se deduce c˘a polinomul minimal g = Zp [X] al lui a are gradul n. Deci g este un polinom ireductibil de gradul n. 7.46. Indicat¸ie. P este izomorf cu Q sau Zp . 7.47. Fie x1 , x2 r˘ad˘acinile lui f din C \ R ¸si D corpul de descompunere al lui f peste K. Din ireductibilitatea lui f peste K rezult˘a [K(x1 ) : K] = p, ceea ce ˆımpreun˘a cu K ≤ K(x1 ) ≤ D ne arat˘a c˘a p divide pe [D : K]. Corpul K fiind perfect (pentru c˘a are caracteristica ∞) ¸si f ∈ K[X] fiind ireductibil urmeaz˘a c˘a f este separabil, de unde deducem c˘a |Gf (K)| = [D : K]. Deci num˘arul prim p divide ordinul grupului Gf (K), de unde rezult˘a c˘a exist˘a σ ∈ Gf (K) de ordinul p. Amintim c˘a restrict¸ia unui automorfism τ ∈ Gf (K) la r˘ad˘acinile x1 , x2 , x3 , . . . , xp ale lui f este o permutare τ ′ ∈ Sp , iar funct¸ia ϕ : Gf (K) → Sp , ϕ(τ ) = τ ′ este un omomorfism injectiv. Rezult˘a c˘a permutarea σ ′ = ϕ(τ ) are ˆın grupul Sp ordinul p, de unde deducem c˘a σ ′ este un ciclu de lungime p, pentru c˘a orice permutare din Sp se descompune ˆın produs de cicluri disjuncte ¸si ordinul unui produs este c.m.m.m.c. al ordinelor factorilor. Pe de alt˘a parte, din D = K(x1 , x2 , x3 , . . . , xp ) unde x3 , . . . , xp sunt r˘ad˘acinile lui f din R ¸si din faptul c˘a conjugarea complex˘a permut˘a pe x1 cu x2 ¸si las˘a fixe elementele din K(x3 , . . . , xp ) urmeaz˘a c˘a conjugarea induce un K(x3 , . . . , xp )-automorfism al lui D, care prin ϕ trece ˆın transpozit¸ia (x1 , x2 ). Deci subgrupul Im ϕ al lui Sp cont¸ine un ciclu de lungime p ¸si o transpozit¸ie. ˆIntrucˆat un ciclu de lungime p ¸si o transpozit¸ie genereaz˘a pe Sp (vezi problema 2.85) rezult˘a c˘a Im ϕ = Sp . Astfel am ar˘atat c˘a ϕ este un izomorfism. 7.48. Notˆand f = X(X 2 − 4)(X 2 + 2) − 2, avem f ∈ Q[X] ¸si grad f = 5. Reprezentˆand grafic funct¸ia g : R → R, g(x) = x(x2 − 4)(x2 + 2) constat˘am c˘a graficul lui g intersecteaz˘a dreapta y = 2 ˆın trei puncte. Deci f are exact 3 = 5 − 2 r˘ad˘acini reale. Folosind Criteriul lui Eisenstein se deduce c˘a f este ireductibil peste Q. Acum, din problema anterioar˘a se deduce c˘a Gf (Q) ≃ S5 , iar S5 fiind neresolubil, urmeaz˘a c˘a ecuat¸ia f (x) = 0 nu este rezolvabil˘a prin radicali.

Bibliografie [1] Andrica, D.; Duca, I. D.; Purdea, I.; Pop, I.: Matematica de baz˘ a, Editura Studium, Cluj-Napoca, 2002. [2] Andrica, D.; Deaconescu, M.; Schechter, M.; Culegere de probleme de algebr˘ a liniar˘ a, Litografia Univ. ,,Babe¸s–Bolyai”, Cluj-Napoca, fasc. 1 (Spat¸ii liniare), 1976, fasc. 2 (Omomorfisme de spat¸ii liniare), 1979. [3] Albu, T.; Ion, I. D.: Itinerar elementar ˆın algebra superioar˘ a, Editura ALL, Bucure¸sti, 1997. [4] Both, N.: Culegere de probleme de algebr˘ a, fasc. II, Litografia Univ. ,,Babe¸s–Bolyai”, Cluj-Napoca, 1978. [5] Both, N.; Crivei, S.: Culegere de probleme de algebr˘ a, Litografia Univ. ,,Babe¸s– Bolyai”, Cluj-Napoca, 1997. [6] Bourbaki, N.: Th´eorie des ensembles, Hermann, Paris, 1970. [7] Breaz, S.; Covaci, R.: Elemente de logic˘ a, teoria mult¸imilor ¸si aritmetic˘ a, Editura Fundat¸iei pentru Studii Europene, Cluj-Napoca, 2006. [8] C˘ alug˘ areanu, Gr.: Lect¸ii de algebr˘ a liniar˘ a, Litografia Univ. ,,Babe¸s–Bolyai”, ClujNapoca, 1995. [9] C˘ alug˘ areanu, Gr.; Breaz, S.; Modoi, C.; Pelea, C.; V˘ alcan, D.: Exercises in Abelian Group Theory, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht–Boston–London, 2003. [10] C˘ alug˘ areanu, Gr.; Hamburg, P.: Exercises in Basic Ring Theory, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht–Boston–London, 1998. [11] Cohn, P. M., Universal algebra, Harper and Row, New York, Evanston and London, 1965. [12] Covaci, R.: Algebr˘ a ¸si programare liniar˘ a, Litografia Univ. ,,Babe¸s–Bolyai”, ClujNapoca, 1986. [13] Fuchs, L.: Infinite Abelian Groups. Vol. I, Pure and Applied Mathematics, Vol. 36, Academic Press, New York–London, 1970. [14] Gr¨ atzer, G., Universal algebra. Second edition, Springer–Verlag, 1979. [15] Ion, I. D.; Ghioca, A. P.; Nedit¸a˘, N. I.: Matematic˘ a, Algebr˘ a, Manual pentru clasa a XII-a, Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1988.

293

294

BIBLIOGRAFIE

[16] Ion, I. D.; Nit¸˘ a, C.; N˘ ast˘ asescu, C.: Complemente de algebr˘ a, Editura S ¸ tiint¸ific˘ a ¸si Enciclopedic˘ a, Bucure¸sti, 1984. [17] Ion, I. D.; Nit¸˘ a, C.; Popescu, D.; Radu, N.: Probleme de algebr˘ a, Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1981. [18] Ion, I. D.; Radu, N.: Algebr˘ a, Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1991. [19] Kargapolov, M.; Merzliakov, I.: Osnovˆı teorii grupp, Moscova, 1972. [20] Lavrov, I. A.; Maksimova, I. I.: Probleme de teoria mult¸imilor ¸si logic˘ a matematic˘a, Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1974. [21] Kuro¸s, A. G.: Teoria grupurilor, Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1959. [22] Liapin, E., etc.: Uprajneniia po teorii grupp, Moscova, 1967. [23] MacLane, S.; Birkhoff, G.: Algebra, Macmillan Company, New York, 1967. [24] Mac Lane, S.; Birkhoff, G.: Alg`ebre. Solutions d´evelopp´ees des exercices, Gauthier– Villars, Paris, 1re partie (Ensembles, groupes, anneaux, corps - Weil, J.; Hocquemiller, J.) 1972, 2e partie (Alg`ebre lin´eaire - Allouch, D.; M´ezard, A.; Vaillant, J. C.; Weil, J.) 1973, 3e partie (Les grands th´eor`emes - M´ezard, A.; Delorme, Ch.; Lavit, Ch.; Raoult, J. C.) 1976. [25] N˘ast˘ asescu, C.: Introducere ˆın teoria mult¸imilor, Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1974. [26] N˘ast˘ asescu, C.; Nit¸˘ a, C.; Vraciu, C.: Bazele algebrei. Vol. I, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1986. [27] N˘ast˘ asescu, C.; T ¸ ena, M.; Andrei, G.; Ot˘ ar˘ a¸sanu. I.: Probleme de structuri algebrice, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1988. [28] Nit¸a, C.; Spircu, T.: Probleme de structuri algebrice, Editura Tehnic˘ a, Bucure¸sti, 1974. [29] Pic, Gh.: Algebr˘ a superioar˘ a, Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘ a, Bucure¸sti, 1966. [30] Purdea, I.: Tratat de algebr˘ a moderna. Vol. II, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1982. [31] Purdea, I.: Culegere de probleme de algebr˘ a. Relat¸ii, funct¸ii ¸si algebre universale, Litografia Univ. ,,Babe¸s–Bolyai”, Cluj-Napoca, 1996. [32] Purdea, I.: Culegere de probleme de teoria grupurilor, Litografia Univ. ,,Babe¸s– Bolyai”, Cluj-Napoca, 1997. [33] Purdea, I.; Pic, Gh.: Tratat de algebr˘ a modern˘ a. Vol. I, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1977. [34] Purdea, I.; Pop, I.: Algebr˘ a. Editura GIL, Zal˘ au, 2003. [35] Riguet, J.: Relations binaires, fermetures, correspondances de Galois, Bull. Soc. Math. France, 76, 1-4 (1948), 114–155.

BIBLIOGRAFIE

295

[36] Sierpi´ nski, W., Cardinal and ordinal numbers, PWN – Polish Scientific Publishers, Warsaw, 1961. [37] Sz´ asz, G.: Th´eorie des treillis, Akad´emiai Kiad´ o, Budapest, 1971. [38] Vagner, V. V.: Teoria otno¸senii i algebra ciasticinˆıh otobrajenii, Saratov, 1965.

296

BIBLIOGRAFIE

Index regulat, 33 ˆınchiderea unei mult¸imi (relativ la un opeelemente rator de ˆınchidere), 22 permutabile, 42 ˆıntreg liber de p˘atrate, 58 factori invariant¸i ai unei matrice, 275 form˘a n-liniar˘a, 91 biliniar˘a, 91 antisimetric˘a, 92 cardinal, 26 diagonalizabil˘a, 93 al unui ordinal, 27 simetric˘a, 92 infinit, 27 diagonal˘a canonic˘a (a unei matrice), clasa unui element dup˘a o pereche de sub275 grupuri, 45 liniar˘a, 90 complement (al unui element ˆıntr-o latice multiliniar˘a Boole), 21 altern˘a, 91 component˘a primar˘a (a unui grup abeantisimetric˘a, 91 lian), 53 p˘atratic˘a, 93 congruent¸˘a modulo n, 36 polar˘a (a unei forme p˘atratice), 93 corespondent¸˘a Galois, 24 formulele lui Newton, 67 corpul cuaternionilor, 61 funct¸ie Criteriul lui Eisenstein, 76 n-liniar˘a, 90 (K-)multiliniar˘a, 90 derivata formal˘a a unui polinom, 66 aditiv˘a, 89 diamantul, 21 biliniar˘a, 91 diferent¸a simetric˘a, 42 discriminantul unui polinom, 68 grup divizori elementari ai unei matrice, 275 cu torsiune, 43 duala hamiltonian, 46 unei baze, 90 grupul altern, 41 unei transform˘ari liniare, 90 grupul cuaternionilor, 39 dualul grupul diedral, 46 unui spat¸iu vectorial, 90 grupul general liniar, 41, 207 grupul lui Klein, 44 element grupul r˘ad˘acinilor de ordinul n ale unit˘a¸tii, central, 56 43 idempotent, 31 imediat anterior, 18 inel Boole, 57 imediat urm˘ator, 18 local, 78 reductibil, 230 inelul diferent¸elor (unui semiinel), 69 regular, 37 act¸iune (a unui grup pe o mult¸ime), 48 tranzitiv˘a, 48 algebr˘a Boole, 21

297

298 inject¸ii canonice, 12 izometrie, 46 latice Boole, 21 distributiv˘a, 21 modular˘a, 20

INDEX relat¸ie circular˘a, 14 difunct¸ional˘a, 15 reuniune disjunct˘a de mult¸imi, 12 rezultanta a dou˘a polinoame, 67

semigrup ciclic, 36 matrice regular, 37 a unei forme biliniare, 92 semiinel, 69 a unei forme p˘atratice, 93 comutativ, 69 antisimetric˘a, 259 semilatice, 31, 32 simetric˘a, 259 sistem de ˆınchidere, 22 triangulabil˘a, 96 algebric, 23 mult¸ime sistem fundamental de solut¸ii (al unui sisfinit˘a, 144 tem liniar ¸si omogen), 88 infinit˘a, 144 stabilizator, 49 num˘arabil˘a, 25 subcorpul invariant¸ilor, 289 mult¸imi subdistributivitate, 20 bine ordonate izomorfe, 27 subgrup echivalente, 25 maximal, 51 subgrupoid nongenerator, 36, 51 maximal, 36 nucleu subgrupoidul lui Frattini, 36 al unei perechi de funct¸ii, 156 subgrupul lui Frattini, 51 al unei perechi de omomorfisme, 156 submodularitate, 20 numerele lui Gauss, 85 submonoid, 41 submult¸ime ˆınchis˘a (relativ la un operaoperat¸ie indus˘a, 30 tor de ˆınchidere), 22 operator de ˆınchidere, 22 succesor imediat, 18 algebric, 23 sum˘a a unei familii de ordinale, 28 orbit˘a, 48 ordinal, 27 teorema chinez˘a a resturilor, 75 ordonare lexicografic˘a, 27 teorema fundamental˘a a algebrei (d’AlembertGauss), 230 partea de torsiune (a unui grup), 43 partea periodic˘a (a unui semigrup ciclic), teorema fundamental˘a a aritmeticii, 230 teoremele de izomorfism pentru grupoizi 36 teorema ˆıntˆai, 156 pentagon, 20 teorema a doua, 156 permut˘ari disjuncte, 40 teorema a treia, 157 polinom tip al unui semigrup ciclic, 36 simetric omogen, 217 unitar, 101 predecesor imediat, 18 produs a dou˘a ordinale, 27 produs fibrat, 155 puterea continuului, 26 redusul modulo p al unui polinom, 77